Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОСНОВЫ ФИЗИКИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Редактор О. А. Пенина
Оригинал-макет: И. В. Шутов
Оформление переплета: А. А. Логунов
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 23.07.02. Формат 70х 100/16
Бумага офсетная. Печать офсетная
Усл. печ. л. 45,36. Уч.-изд. л. 46,5. Тираж 1200 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
EBN 5-9221-0268-0EBN 5-9221-0268-0МАИК «Наука/Интерпериодика»
EBN 5-9221-0268-0
EBN 5-9221-0268-0
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист» 160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72.
E-mail: pfpv@vologda.ru http://www.vologda/~pfpv
ISBN 5-922L0268-0ISBN 5-922L0268-0© ФИЗМАТЛИТ, 2002
ISBN 5-922L0268-0
ISBN 5-922L0268-0
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию 9
Предисловие ко второму изданию 11
Предисловие к первому изданию 13
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
Типы полупроводников 16
Элементарные полупроводники (16).1.1.2. Бинарные соединения (17).
Окислы (17). 1.1.4. Слоистые полупроводники (18). 1.1.5. Органические полупроводники (18). 1.1.6. Магнитные полупроводники (18). 1.1.7. Разнообразие полупроводников (19).
Методы роста 19
Метод Чохральского (19). 1.2.2. Метод Бриджмена (20). 1.2.3. Химическая газофазная эпитаксия (20). 1.2.4. Молекулярно-пучковая эпитаксия (21).
Создание самоорганизованных квантовых точек методом роста Странско- го-Крастанова (24). 1.2.6. Жидкофазная эпитаксия (26).
Глава 2
СТРУКТУРА ЭЛЕКТРОННЫХ ЗОН
Квантовая механика 28
Трансляционная симметрия зон Бриллюэна 30
Краткие сведения о теории групп 34
Определения и обозначения (34). 2.3.2. Операции симметрии структур алмаза и цинковой обманки (39). 2.3.3. Представления и таблицы характеров (40).
Некоторые применения таблиц характеров (47).
Идеальная решетка или энергетические зоны почти свободных электронов 54
Зонная структура почти свободных электронов в кристалле цинковой обманки (55). 2.4.2. Энергетические зоны почти свободных электронов в кристаллах алмаза (58).
Расчеты зонной структуры методами псевдопотенциала 63
Форм-факторы псевдопотенциала в полупроводниках типа цинковой обманки и алмаза (66). 2.5.2. Методы эмпирического и самосогласованного псевдопотенциала (68).
(论• Ар)-метод расчета зонных структур 72
Нахождение эффективной массы невырожденной зоны с помощью (к • △@)- метода (73). 2.6.2. Дисперсия зоны вблизи вырожденного экстремума: верхние валентные зоны в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки (75).
Рассмотрение зонной структуры в приближении сильной связи .85
Молекулярные орбитали и параметры перекрытия (85). 2.7.2. Зонная структура элементов группы IV по методу сильной связи (89). 2.7.3. Параметры перекрытия и расстояния между ближайшими соседями (94).
Глава 3
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА АТОМОВ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
И ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Дисперсионные кривые фононов в полупроводниках 108
Модели для вычисления дисперсионных кривых фононов в полупроводниках 111
Модели силовых постоянных (111).3.2.2. Оболочечная модель (111).
Модели связей (112). 3.2.4. Модели с зарядами на связях (114).
Электрон—фононные взаимодействия 117
Тензор деформаций и деформационные потенциалы (118). 3.3.2. Взаимодействие электронов с акустическими фононами в вырожденных зонах (122). 3.3.3. Пьезоэлектрическое взаимодействие электронов с акустическими фононами (125). 3.3.4. Взаимодействия электронов с оптическими фононами посредством деформационного потенциала (127). 3.3.5. Фрёлиховское взаимодействие (128).
Взаимодействие между электронами и коротковолновыми фононами: междолинное электрон—фононное взаимодействие (130).
Глава 4
ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА ДЕФЕКТОВ
Классификация дефектов 149
Мелкие или водородоподобные примеси 150
Приближение эффективной массы (152). 4.2.2. Водородоподобные, или мелкие, доноры (155). 4.2.3. Доноры, связанные с анизотропными зонами проводимости (159). 4.2.4. Уровни акцепторов в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки (162).
Глубокие центры 168
Метод функций Грина для вычисления энергетических уровней дефектов (170). 4.3.2. Применение метода функций Грина: линейная комбинация атомных орбиталей (174). 4.3.3. Одно из применений метода функций Грина: азот в GaP и в твердых растворах GaAsP (178). 4.3.4. Заключительные замечания о глубоких центрах (183).
Глава 5
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТРАНСПОРТ
Квазиклассическое рассмотрение 188
Подвижность носителей в невырожденном электронном газе . . .190
Приближение времени релаксации (190). 5.2.2. Невырожденный электронный газ в параболической зоне (191). 5.2.3. Зависимость времени рассеяния и времени релаксации от энергии электрона (192). 5.2.4. Время релаксации импульса (193). 5.2.5. Температурная зависимость подвижностей (203).
Модулированное легирование 205
Транспорт в сильных полях и эффекты, связанные с горячими носителями 207
Насыщение скорости (209). 5.4.2. Отрицательное дифференциальное сопротивление (210). 5.4.3. Эффект Ганна (211).
Транспорт в магнитном поле и эффект Холла 213
Тензор магнитопроводности (213). 5.5.2. Эффект Холла (215). 5.5.3. Коэф
фициент Холла в тонких пленках (метод ван дер Пау) (216). 5.5.4. Эффект Холла в случае распределения электронов по энергиям (217).
Глава 6
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА I
Макроскопическая электродинамика
Единицы измерения частот электромагнитных волн (225). 6.1.2. Экспериментальное определение оптических параметров (225). 6.1.3. Соотношения Крамерса-Кронига (229).
Диэлектрическая функция
Экспериментальные результаты (230).6.2.2. Микроскопическая теория
диэлектрической функции (232). 6.2.3. Комбинированная плотность состояний и сингулярности Ван Хова (237). 6.2.4. Сингулярности Ван Хова в е^ (238).
Прямой край поглощения (243). 6.2.6. Непрямой край поглощения (244).
«Запрещенный» прямой край поглощения (249).
Экситоны
Экситонные эффекты в критических точках Л/о (252). 6.3.2. Спектры поглощения экситонов (254). 6.3.3. Экситонный эффект в критических точках Л/i или гиперболические экситоны (260). 6.3.4. Экситонные эффекты в критических точках Л1з (262).
Фононные поляритоны и решеточное поглощение
Фононные поляритоны (265). 6.4.2. Решеточное поглощение и отражение (267). 6.4.3. Многофононное решеточное поглощение (270). 6.4.4. Динамические эффективные ионные заряды в гетерополярных полупроводниках (272).
Поглощение, связанное с примесными атомами
Поглощение на свободных носителях в легированных полупроводниках (274).
Поглощение носителями, связанными на донорах и акцепторах (278).
Модуляционная спектроскопия
Частотно-модулированное отражение и термоотражение (285). 6.6.2. Пьезоотражение (287). 6.6.3. Электроотражение (эффект Франца-Келдыша) (288).
Фотоотражение (294). 6.6.5. Спектроскопия разностного отражения (296).
Диэлектрическая функция
Глава 7
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА II
Спектроскопия излучения
Переходы зона-зона (310). 7.1.2. Переходы зона—примесь (313). 7.1.3. Переходы донорно-акцепторных пар (315). 7.1.4. Экситоны и связанные экситоны (320). 7.1.5. Спектроскопия возбуждения люминесценции (326).
Спектроскопия рассеяния света
Макроскопическая теория неупругого рассеяния света фононами (331).
Рамановский тензор и правила отбора (333). 7.2.3. Экспериментальное измерение рамановских спектров (339). 7.2.4. Микроскопическая теория рамановского рассеяния (347). 7.2.5. Мир диаграмм Фейнмана (348). 7.2.6. Бриллюэнов- ское рассеяние (351). 7.2.7. Экспериментальное измерение бриллюэновских спектров (352). 7.2.8. Резонансные рамановское и бриллюэновское рассеяния (353).
Глава 8
ФОТОЭЛЕКТРОННАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
Фотоэмиссия
Спектры фотоэлектронов валентной зоны, интегрированные по углам (386).
Спектры фотоэлектронов валентной зоны с угловым разрешением (388).
Уровни остова (395).
223230249263274282297306331379399223230249263274282297306331379399Обратная фотоэмиссия
223
230
249
263
274
282
297
306
331
379
399
223
230
249
263
274
282
297
306
331
379
399
Эффекты, связанные с поверхностью 400
Поверхностные состояния и реконструкция поверхности (400). 8.3.2. Энергетические зоны поверхности (401). 8.3.3. Пиннинг уровня Ферми и слои пространственного заряда (403).
Глава 9
КВАНТОВЫЙ РАЗМЕРНЫЙ ЭФФЕКТ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ ИФОНОНОВ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Квантовый размерный эффект и плотность состояний 411
Квантовый размерный эффект электронов и дырок 413
Полупроводниковые материалы для квантовых ям и сверхрешеток (414).
Классификация многократно повторяющихся квантовых ям и сверхрешеток (417). 9.2.3. Квантование энергетических уровней электронов и дырок (419).
Некоторые экспериментальные результаты (427).
Фононы в сверхрешетках 431
Фононы в сверхрешетках: сложенные акустические и квантованные оптические моды (431). 9.3.2. Сложенные акустические моды: макроскопическое рассмотрение (435). 9.3.3. Квантованные оптические моды: макроскопическое рассмотрение (436). 9.3.4. Электростатические эффекты в полярных кристаллах: интерфейсные моды (437).
Рамановские спектры фононов в полупроводниковых сверхрешетках 445
Рамановское рассеяние на сложенных акустических фононах (446). 9.4.2. Рамановское рассеяние на квантованных оптических фононах (449). 9.4.3. Рамановское рассеяние на интерфейсных модах (451). 9.4.4. Макроскопические модели электрон—LO фононного взаимодействия в многократно повторяющихся квантовых ямах (453).
Электрический транспорт: резонансное туннелирование 457
Резонансное туннелирование через квантовую яму с двойным барьером (458). 9.5.2. Вольт-амперные характеристики приборов с резонансным туннелированием (461).
Квантовые эффекты Холла в двумерном электронном газе463
Теория диамагнетизма Ландау в трехмерном газе свободных электронов (464). 9.6.2. Магнитопроводность двумерного электронного газа. Фактор заполнения (466). 9.6.3. Эксперимент фон Клитцинга, Пеппера и Дорды (467).
Объяснение холловских плато в целочисленном квантовом эффекте Холла (470).
Заключительные замечания 473
Таблицы 505
Список литературы 509
Предметный указатель 542
Большой интерес к нашей книге сохраняется до сих пор, и поздравления от читателей и коллег продолжают поступать. Мы благодарны всем вам, особенно многочисленным студентам, продолжающим посылать свои замечания и предложения. Мы также рады сообщить, что в 1999 г. появился перевод на японский язык (подробную информацию можно получить на Web-сайте по адресу: http://pauline.berkeley.edu/textbook). Готовятся переводы на русский и китайский.
Физика и материаловедение полупроводников продолжают развиваться и охватывать новые области. Например, за время с момента публикации первого издания широкозонный полупроводник GaN и его сплавы, такие как GalnN и AlGaN, стали важными материалами для светодиодов (СД) и лазерных диодов. Широкомасштабное производство мощных и энергетически эффективных СД белого света однажды, возможно, произведет переворот в системах освещения наших домов и офисов. Это благоприятно отразилось бы на окружающей среде вследствие уменьшения количества выбросов от использования для производства электроэнергии горючих полезных ископаемых. Поэтому мы включили в соответствующие разделы книги дополнительную информацию по GaN и его сплавам. Использование новых методов, таких например, как раманавское рентгеновское излучение, позволило получить подробную информацию о колебательном спектре нитридов, правда только для тонких пленок или очень малых монокристаллов. Примером прогресса в физике полупроводников стало понимание природы глубоких примесных центров, известных как DX-центры. При подготовке первого издания физика этих центров была не до конца ясна и не все их предсказанные свойства были обнаружены экспериментально. За истекшие годы эксперименты подтвердили основные теоретические предположения, так что глубокие центры сейчас воспринимаются как наиболее изученные дефекты. Сейчас самое время ввести читателей в интереснейшую физику этого важного класса дефектов.
Прогресс в физике полупроводников произошел так быстро, что в настоящем издании оказалось непросто увязать новую информацию со старым материалом. Чтобы включить современные данные, необходимо было или увеличить объем книги, соответственно увеличивая ее цену, или заменить часть имеющегося материала. Мы считали любое из этих решений неконструктивным, и поэтому пришли к следующему решению, использующему возможности Интернета. Предполагается, что большинство читателей, возможно даже все, в состоянии получить информацию с нашего Web-сайта. В настоящем издании добавлены адреса Web-страниц, где может быть получена дополнительная информация. Благодаря этому решению мы оказались в состоянии добавлять новые данные, сохраняя объем книги более или менее неизменным. Мы уверены, что обладатели предыдущих изданий также будут приветствовать это решение, дающее возможность осовременить их версии практически без затрат.
Кажется, количество ошибок возрастает со временем по экспоненте. Мы думали, что во втором издании мы уже отследили большинство ошибок первого. К сожалению, мы лишь отчетливо осознали истину, заключенную в бессмертной фразе: «человеку свойственно ошибаться». Правда, число ошибок, обнаруживаемых нами лично или о которых нам сообщают читатели, резко сократилось после выхода второго издания. Однако многие серьезные недочеты сохранились; например, такие как в таблице 2*25. Помимо исправления этих ошибок в новом издании мы внесли небольшие изменения в книгу с целью сделать рассуждения по разным темам яснее.
Помимо этого, в настоящее издание мы включили намного больше параметров материалов и таблицу, указывающую наиболее общие элементы, используемые для
производства полупроводников. Надеемся, что книга будет не только удобным источником информации по физике полупроводников, но и справочником по параметрам материалов. Мы сделали книгу проще для читателей, более знакомых с системой единиц СИ. Всякий раз, когда уравнение имеет различный вид в системах СГС и СИ, мы обозначали отличие. В большинстве случаев это сводится к умножению уравнения, представленного в системе СГС, на (4тгео) —】)где во проницаемость вакуума, или к пропуску коэффициента (1/с), где с —скорость света.
И последнее (но не по значению). Мы счастливы сообщить, что Нобелевская премия по физике за 2000 г. была присуждена двум специалистам по физике полупроводников, Жоресу И. Алферову и Герберту Крёмеру (за создание полупроводниковых гетероструктур, используемых в высокоскоростной и оптоэлектронике), и инженеру по полупроводниковым приборам Джеку С. Килби (за участие в изобретении интегральной схемы).
Штутгарт и Беркли, январь 2001 г.Штутгарт и Беркли, январь 2001 г.Питер /О, Мануэль Кардона
Штутгарт и Беркли, январь 2001 г.
Штутгарт и Беркли, январь 2001 г.
Мы получили большое количество замечаний и отзывов на нашу книгу из разных источников, включая студентов, преподавателей и, конечно, многих друзей. Мы очень благодарны им не только за поздравления, но и за их критические замечания. Поступило также много просьб об инструкции для преподавателей и о решении задач, приведенных в конце каждой главы. Мы отдаем себе отчет в том, что физика полупроводников продолжала развиваться со времени публикации данной книги и необходимо модернизировать ее содержание в соответствии с современным уровнем науки. Для того, чтобы держать читателей в курсе последних достижений, для этой книги создана станица в интернете. Ее адрес (ко времени написания предисловия): http://pauline. berkeley. edu/textbook. Эта страница содержит следующую информацию:
содержание, план и выдержки книги;
обзоры книги в различных журналах;
опечатки в первом и втором изданиях (большинство из них исправлено во втором издании);
решения некоторых задач;
дополнительные задачи.
Решения в пункте (4) обычно являются неполными. Предполагается, что они должны служить только подсказками и некоторыми вспомогательными указаниями. Идея заключалась в том, чтобы полное решение задачи получили сами студенты. Надеемся, что процесс решения будет приносить удовлетворение как студентам, так и преподавателям. Мы будем продолжать добавлять материал к странице в интернете. Например, планируется список ссылок на более современные работы. Читателям рекомендуется регулярно посещать ее, чтобы получать самую свежую информацию. Мы, конечно, будем рады, если они воспользуются этой страницей для контакта с нами.
Когда в 1998 г. подготавливалось к печати это издание, в Иерусалиме (Израиль) проходила Международная конференция по физике полупроводников (МКФП). Она была 24-й по счету среди конференций, которые проводятся каждые два года, начиная с 1950 г. в Ридинге (Англия) вскоре после изобретения транзистора Шокли Бардиным и Брэттоном в 1948 г. Спонсором МКФП является Международный союз по чистой и прикладной физике. Труды МКФП представляют собой прекрасный исторический документ, отражающий прогресс в данной области и ключевые открытия, приведшие к нему. В списке литературы мы приводим ссылки на многие из трудов этих конференций; для простоты идентификации они отмечены звездочкой. Полный список всех конференций, состоявшихся до 1974г., а также ссылки на их труды можно найти в томе, посвященном конференции 1974г., проходившей в Штуттгарте [М.Н. Pilkuhn, editor (Teubner, Stuttgart, 1974) p. 1351]. Следующая конференция МКФП должна состояться в Осаке, Япония, с 18 по 22 сентября 2000 г. На Иерусалимской Конференции присутствовало около 800 ученых из 42 различных стран. Она охватывала исследования, которые в настоящее время находятся в центре внимания в этой быстро меняющейся области. Некоторые из них уже приведены в настоящей книге, однако другие продолжают быстро развиваться и пока не могут обсуждаться в учебнике, имеющим общий характер. Упомянем нескоторые ключевые темы:
дробный квантовый эффект Холла и сложные фермионы; мезоскопические эффекты, включая слабую локализацию; микрорезонаторы, квантовые точки и лазеры на квантовых точках; нитриды группы Ш—V и их приложения для изготовления лазеров; фуллерены, нанотрубки на снове Сео；
физика приборов: приборы КМОП (CMOS) и их будущее.
Студентам, интересующимся любыми из этих вопросов, не освещеных в данной книге, придется подождать до появления трудов 24-й МКФП. Возможно, некоторые из вопросов будут включены в следующее издание.
В настоящем издании мы исправили все известные нам в настоящее время ошибки и добавили несколько ссылок на публикации, которые помогут внести ясность в обсуждаемые предметы.
Штуттгарт и Беркли, Питер /О, ноябрь 1998 г. Мануэль Кардона
/, who one day was sand but am today a crystal by virtue of 窗 great fire
and submitted myself to the demanding rigor of the abrasive cut today / have the power to conjure the hot flame.
Likewise the poet, anxiety and word: sand, fire, crystal, strophe, rhythm.
—woe is the poem that does not light a flame
David Jou, 1983
(translated from the Catalan original)
Замысел этой книги относится к 1970 г., когда один из нас (М.К.) читал курс лекций по оптическим свойствам твердых тел в Университете Брауна, а другой (П.Ю.) слушал их в качестве студента. Затем лекционные заметки были расширены в рассчитанный на один семестр курс физики полупроводников на отделении физики Университета Калифорнии в Беркли. Состав студентов, слушающих этот курс, включает около 50 % из отделения физики, а остальные в основном из двух отделений Инженерной школы (Электротехника и компьютеры; Материаловедение и минералогия). Поскольку в подготовке студентов были большие различия, необходимые предварительные требования для посещения этого аспирантского курса были сведены к минимуму, а именно, предполагалось знакомство с курсами квантовой механики для студентов, электричества и магнетизма и физики твердого тела. В отделении физики уже есть рассчитанный на два семестра курс физики конденсированного состояния для аспирантов. Поэтому было решено уменьшить внимание к теоретическим методам в пользу феноменологии. Поскольку многие студенты занимались выращиванием кристаллов полупроводников или их использованием при изучении полупроводниковых приборов, особый упор был сделан на связи между физическими принципами и их применениями в приборах. Однако, чтобы избежать перекрытия с различными существующими курсами по твердотельной электронике, обсуждение устройства и работы приборов были сведены к минимуму. Подобный курс оказался весьма удачным, о чем свидетельствует тот факт, что он довольно регулярно повторялся (примерно каждые два года) по просьбе студентов.
Одной из проблем при чтении этого курса было отсутствие подходящих учебников. Физика полупроводников освещается в какой-то степени во всех современных учебниках по физике конденсированного состояния, однако не столь подробно, чтобы удовлетворить интерес студентов, занимающихся исследовательской работой. Апробированные книги по физике полупроводников часто кажутся экспериментаторам и инженерам слишком теоретизированными. Поэтому первое время учебник заменял длинный список рекомендуемой литературы. Кроме того, поскольку физика полупроводников является разработанной научной областью, в имеющихся учебниках рассматривается большое количество хорошо изученных проблем в ущерб многим новым интересным областям. Вскоре студенты начали размножать записи лекций, что привело к появлению описания этого курса лекций, который продавался Отделом физики. Можно сказать, выражаясь на жаргоне создателей программного обеспечения, что настоящая книга является примерно «версией 4.0» лекционных заметок. В этом курсе в Беркли всегда уделялось особое внимание простым физическим рассуждениям, часто за счет строгости и элегантности математических выводов. К несчастью, трудно было найти
компромисс между обещанием использовать только курсы по физике и математике для студентов и необходимостью рассмотрения специальных проблем, нужных для аспирантов, таких как теория групп, вторичное квантование, функции Грина и фейн™ мановские диаграммы и т.д. В особенности, нельзя было избежать обозначений теории групп, столь распространенных в литературе по физике полупроводников. Решение проблемы, найденное при чтении курса, заключалось в том, чтобы давать студентам краткий «ликбезовский» курс по этим предметам в тех случаях, когда это было необходимо. Этот же подход использован в данной книге. Мы вполне отдаем себе отчет в его недостатках. Такой подход не является очень серьезной проблемой во время классных занятий, поскольку преподаватель может отобрать дополнительный материал так, чтобы удовлетворить потребности студентов. Книга не обладает подобной гибкостью. Поэтому читателям в соответствии с их подготовкой рекомендуется пропускать эти «краткие курсы», в особенности если они уже с ними знакомы, и обращаться к ссылкам на литературу для более подробного изучения рассматриваемых вопросов.
Выбор тем в этой книге был обусловлен и рядом других факторов. Больший упор на оптические свойства отражает специализацию авторов. Поскольку уже существуют прекрасные книги, в которых основное внимание уделяется транспортным свойствам, как, например, книга К.Х. Зеегера, мы надеемся, что наша книга заполнит существующий пробел. Особенность нашей книги, в отличие от прочих, заключается в том, что большее внимание в ней уделено свойствам полупроводниковых материалов. Вопросы техники роста и свойства дефектов в полупроводниках обсуждаются уже в самом начале книги, а не просто, как обычно бывает, упоминаются в приложении. Такой подход отражает важность новых методов роста в развитии физики полупроводников. Большинство студентов-физиков, слушавших курс в Беркли, имели очень слабое представление, или вообще никакого, о свойствах материалов, и поэтому мы сочли желательным краткое введение, посвященное этому вопросу. Среди студентов- физиков было распространено мнение, что курс являлся наиболее простым способом узнать кое-что о материаловедении! Хотя курс в Беркли рассчитан всего на один семестр, в процессе написания книги его содержание было расширено. Поэтому маловероятно, что можно пройти курс, соответствующий этой книге, в течение одного семестра. Однако некоторые специальные темы можно опустить без нарушения непрерывности повествования, такие как транспорт в сильных полях и эффекты, связанные с горячими электронами, динамический эффективный заряд ионов, переходы донорно—акцепторных пар, резонансное рамановское и бриллюэновское рассеяние и кое-что еще. При чтении курса в Беркли трудной «задачей» было назначение помощника преподавателя для помощи в выполнения домашних задач (извините нас за каламбур).
Отделение физики не назначало преподавателю помощника для проверки решения задач. Это ложилось тяжелой нагрузкой на преподавателя, поскольку обычно число студентов было больше тридцати. В качестве «решения» проблемы мы снабжаем студентов ответами на большинство вопросов. Кроме того, многие вопросы построены так, что «ведут студентов за руку», помогая преодолеть вычисления. В других задачах содержатся подсказки или приводятся ссылки, где можно найти дальнейшие подробности. Таким образом, студенты могут сами ставить себе отметки за решения. Некоторый материал, не освещенный в основном тексте, дан в форме «задач», которые должны быть решены студентом.
В процессе написания книги, а также во время чтения курса нам много помогали наши друзья и коллеги. Мы особенно признательны Элиасу Бурштейну, Марвину Коэну, Лео Есаки, Эжену Холлеру, Конверсу Геррингу, Шарлю Киттелю, Невиллу Смитту, Яну Тауцу и Клаусу Клитцингу за то, что они поделились своими воспоминаниями о наиболее важных открытиях в истории физики полупроводников. Их заметки обогатили книгу, рассказав нам об их точке зрения на события. Будем надеяться, что их пример вдохновит будущих студентов на дальнейшее расширение
границ этой богатой и плодотворной отрасли науки. Мы также благодарны Данг-Хай Ли за данное им блестящее объяснение квантового эффекта Холла. Нам также очень помогла помощь более чем ста студентов, слушавших курс в Беркли. Их откровенные (и анонимные) ответы в анкетах, которые они заполняли после окончания курса, сделали эту книгу более «дружелюбной» по отношению к читателям. Предложения студентов также повлияли на выбор тем. Многие доктора наук, работавшие у нас после защиты диссертации, и наши гости, число которых слишком велико, чтобы всех их назвать, также в большой мере способствовали улучшению качества книги, указав нам на ошибки и другие недостатки. Их интерес к книге побудил нас продолжать работу над ней, несмотря на недостаток времени. Необычайно высоким качеством печати и цветных рисунков мы обязаны X. Лотш, П. Трейбер и С.-Д. Бахем из Издательства Шпрингер-Ферлаг, Паулине Ю и Чиа-Хуа Ю из Беркли, Сабине Биртель и Тобиасу Руфу из Штуттгарта. И наконец, но не в последнюю очередь, мы благодарны поддержке наших семей. Их понимание и ободрение поддерживали нас во время многих трудных и напряженных периодов. П.Ю. благодарен поддержке Мемориального Фонда Джона С. Гугенхайма.
Штуттгарт и Беркли, Питер Ю： октябрь 1995 г. Мануэль Кардона
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
Содержание
Типы полупроводников ...................................................16
Методы роста .............................................................19
Заключение .................................................................... 27
В учебниках по физике твердого тела полупроводнику дается несколько рас™ плывчатое определение как материалу с электрическим сопротивлением в диапазоне 10™2 + 109 Ом ■ см 1). Ему можно дать также и альтернативное определение как мате™ риалу с шириной энергетической запрещенной зоны для электронных возбуждений между нулем и примерно 3 эВ (определение запрещенной зоны будет более точно дано в гл. 2). Металлы и полуметаллы имеют нулевую ширину запрещенной зоны, а мате™ риалы, у которых она больше 3 эВ, как правило называют изоляторами. Существуют исключения из этих определений. Например, часто используются такие термины, как полупроводниковый алмаз (с шириной запрещенной зоны около 6 эВ) и полуизоли™ рующий GaAs (с шириной запрещенной зоны 1,5эВ); GaN, привлекающий большое внимание как материал для оптоэлектронных приборов в синей области, имеет запре™ щенную зону с шириной 3,5 эВ.
Несомненно, наиболее известным полупроводником является кремний (Si). Одна™ ко помимо кремния существует еще множество полупроводников. Например, полу™ проводниками являются многие природные минералы, такие как цинковая обманка (ZnS), куприт (С112О), галенит (PbS) и многие другие. Семейство полупроводников, включая полупроводники, синтезированные в лабораториях, представляет собой один из наиболее разносторонних классов материалов, известных человеку.
Полупроводники встречаются среди различных химических соединений с большим разнообразием кристаллических структур. Это могут быть элементы, как Si и селен (Se), или двойные соединения, как арсенид галлия (GaAs). Многие органические соединения, например полиацетилен (СН)п, являются полупроводниками. Некото рые полупроводники проявляют магнитные (Cdi—^Mn^Te) или сегнетоэлектрические свойства (SbSI). Другие при достаточном легировании становятся сверхпроводниками (GeTe и SrTiOa). Многие из недавно открытых высокотемпературных сверхпровод™ ников имеют неметаллические полупроводящие фазы. Например, La12cliО4 являет™ ся полупроводником, но при образовании сплава с Sr становится сверхпроводником (Lw—S%)2cli
Типы полупроводников
Приведем краткий обзор нескольких типов наиболее известных полупроводников.
Элементарные полупроводники. Наиболее известным полупроводником является, конечно, элемент Si. Вместе с германием (Ge) он является прототи™ пом большого класса полупроводников со схожими кристаллическими структурами.
Кристаллическая структура Si и Ge та же, что у алмаза и аг-олова (называемого также «серым» оловом). В этой структуре каждый атом окружен четырьмя ближайшими атомами, образующими тетраэдр (говорят, что каждый атом имеет четырехкратную координацию). Полупроводники с тетрадрической связью стали основой электронной промышленности и краеугольным камнем современной технологии. Большая часть настоящей книги будет посвящена изучению свойств именно этих полупроводников. Некоторые элементы из V и VI групп периодической таблицы элементов, такие как фосфор (Р), сера (S), селен (Se) и теллур (Те), также являются полупроводника™ ми. В этих полупроводниках атомы могут иметь трехкратную (Р), двухкратную (S, Se, Те) или четырехкратную координацию. В результате подобные элементы могут существовать в нескольких различных кристаллических структурах, а также быть получены в виде стекла. Например, Se выращивался в моноклинной и тригональной кристаллических структурах или в виде стекла (которое можно также считать поли™ мером).
Бинарные соединения. Свойства соединений, которые образуются из элементов Ш и V групп периодической таблицы (таких, как GaAs), очень похожи на свойства соединений группы IV. При переходе от элементов группы IV к соединение ям Ш-V связь становится частично ионной вследствие переноса электронного заряда от атома группы Ш к атому группы V. Ионность приводит к важным изменениям в свойствах полупроводников. Она увеличивает кулоновское взаимодействие между ионами, а также энергию фундаментальной щели в электронной зонной структуре. Ионность увеличивается, и ее роль еще более возрастает в соединениях II—VI, таких как ZnS. В результате у большинства полупроводниковых соединений группы II—VI ширина запрещенной зоны больше 1 эВ. Исключение составляют соединения, содержащие тяжелый элемент — ртуть (Hg). Теллурид ртути (HgTe) по сути является полупроводником с нулевой запрещенной зоной (или полуметаллом), подобно серому олову. В то время как полупроводниковые соединения II—VI с большой шириной запрещенной зоны могут найти потенциальное применение при создании дисплеев и лазеров, полупроводниковые соединения П-VI с более узкой запрещенной зоной необходимы для изготовления инфракрасных приемников. У соединений группы I-VII (CuCl) запрещенная зона может быть еще больше (> 3эВ) вследствие их большей ионности. Многие из них считаются скорее изоляторами, чем полупроводниками. Возрастание энергии сцепления кристалла вследствие кулоновского взаимодействия между ионами благоприятно для образования структуры каменной соли, содержащей атомы с шестикратной координацией, а не тетраэдрические связи. Двойные соединения, образующиеся из элементов групп IV и VI, такие как сульфид свинца (PbS), РЬТе и сульфид олова (SnS), тоже являются полупроводниками. Большая ионность этих соединений также благоприятствует возникновению шестикратной координации. Несмотря на свою большую ионность, они, подобно халькогенидам ртути, имеют очень узкие запрещенные зоны. Узкозонные полупроводники IV-VI применяются в качестве приемников инфракрасного излучения, тогда как GaN, широкозонное соединение группы Ш-V, используется для светодиодов и лазеров, излучающих в голубой области спектра [1.1].
Окислы. Несмотря на то, что большинство окислов являются хорошими изоляторами, СиО и С112О ——широко известные полупроводники. Поскольку двуокись меди (CU2O) встречается как минерал (куприт), это — классический полупроводник, свойства которого интенсивно изучались. Вообще говоря, процессы роста окисных полупроводников не вполне понятны, и поэтому в настоящее время их применение ограничено. Единственным исключением является окисел цинка (ZnO), соединение группы П-VI, который используется как преобразователь и в качестве ингредиента в
2 М. Кардона
клеящей ленте и в пластыре. Однако описанная ситуация изменилась после открытия сверхпроводимости во многих окислах меди.
Первый член семейства так называемых высокотемпературных сверхпроводников, открытый Мюллером и Беднорцем D, основан на полупроводнике (La2clic)4), имеющем ширину запрещенной зоны около 2 эВ. При замещении трехвалентного лантана (La) двухвалентными барием (Ва) или стронцием (Sr) в La2clic)4 вводятся носители заряда в виде дырок. При достаточной концентрации носителей полупроводник превращается в сверхпроводящий металл. Сейчас в этом семействе материалов самую высокую температуру сверхпроводящего перехода имеет HgBaCa2cliзС)8+8. Под высоким давлением она достигает значения Тс е 135 К. Однако весьма вероятно, что данный рекорд будет побит ко времени появления этой книги.
Слоистые полупроводники. Полупроводниковые соединения, такие как иодид свинца (РЫ2), дисульфид молибдена (M0S2) и селенид галлия (GaSe), характеризуются своей слоистой кристаллической структурой. Внутри слоев они обычно имеют ковалентные связи, значительно более сильные, чем ван дер ваальсовские связи между слоями. Слоистые полупроводники представляют интерес, поскольку поведение электронов в слоях является квази-двумерным. Кроме того, взаимодействие между слоями можно изменять путем введения между ними посторонних атомов, что называется интеркаляцией.
Органические полупроводники. Многие органические соединения, такие как полиацетилен [(СН?" и полидиацетилен, являются полупроводниками. Несмотря на то, что органические полупроводники пока не используются ни в каких электронных приборах, они весьма перспективны с точки зрения будущих применений. Преимущество органических полупроводников над неорганическими состоит в том, что их легко получать с заданными необходимыми свойствами. Например, соединения, имеющие сопряженные связи, такие как —С = С — С =, характеризуются большой оптической нелинейностью и поэтому могут найти важные применения в оптоэлектронике. В случае необходимости, диктуемой различными применениями, запрещенные зоны этих соединений изменять легче, чем у неорганических полупроводников, просто путем изменения химической формулы. Недавно было установлено, что новые формы углерода, такие как Сбо (фуллерен), являются полупроводниками. Одна из форм углерода, состоящая из пластин графита, свернутых в трубку диаметром несколько нанометров, известна как нанотрубки [1.3,1.4]. Этим углеродным нанотрубкам и их «родственникам», BN-нанотрубкам, обещают большое будущее в наносекундной электронике. Они могут быть металлами или полупроводниками в зависимости от их сцепления.
Магнитные полупроводники. Многие соединения, содержащие магнитные ионы, такие как европий (Ен) и марганец (Мп), имеют интересные полупроводниковые и магнитные свойства. Например, к магнитным полупроводникам относятся EuS и твердые растворы типа Сс11-жМпжТе. В зависимости от содержания в последних магнитных ионов они проявляют различные магнитные свойства, такие как ферромагнетизм и антиферромагнетизм. Магнитные твердые растворы полупроводников, содержащих небольшие концентрации магнитных ионов, называются полумагнитны- ми полупроводниками. В последнее время эти твердые растворы привлекают большое внимание вследствие их потенциальных применений. Фарадеевское вращение в них может быть на шесть порядков больше, чем в немагнитных полупроводниках.
1)За это открытие Беднорц и Мюллер получили Нобелевскую премию по физике в 1987 году.
Благодаря своим сильным магнитооптическим эффектам эти материалы могут применяться в качестве оптических модуляторов. Перовскиты типа Мпо.7Сао7зОз превос™ ходят по своим свойствам переходы металл-полупроводник, строго зависящие от маг™ нитного поля, что ведет к явлению гигантской магнето-резистивности (ГМР) [1.5].
Разнообразие полупроводников. Существует много полупроводников, не попадающих в перечисленные категории. Например, SbSI является полупроводником, который при низких температурах имеет свойства сегнетоэлектрика. Соединения с общей формулой I-III-Vb и II—IV—V2 (такие как AgGaS2 и ZnSiP?) кристаллизуются в структуре халькопирита. Связь в этих соединениях также тетраэдрическая, и их можно считать аналогами полупроводников групп Ш-V и П-VI со структурой цинковой обманки. Соединения, образованные из элементов группы V и группы VI, с формулой такой же, как у AszSe?, являются полупроводниками как в кристаллической форме, так и в форме стекла. Многие из этих полупроводников обладают интересными свойствами, но еще не привлекли большого внимания вследствие своего ограниченного применения. Их существование показвает, что область физики полупроводников все еще имеет широкий простор для роста и расширения.
1.2. Методы роста
Одной из причин, по которой полупроводники стали широко применяться в электронной промышленности, является существование очень хорошо разработанных методов их выращивания. Применение в промышленности, в свою очередь, способствовало развитию этих методов. Например, монокристаллы Ge в результате многолетнего усовершенствования методов их роста в настоящее время входят в число наиболее чистых элементарных материалов (см. приложение Е.Е. Хеллера). Сейчас можно получать почти изотопически чистый Ge (естественный Ge содержит пять изотопов). Практически идеальные монокристаллы Si могут быть выращены в виде слитков с диаметром более 30см. Было показано, что кристаллы чистого изотопа 28Si имеют существенно более высокую температурную проводимость, чем естественный Si. Плотность дислокаций в этих кристаллах может составлять всего 1000см~3, а концентрация примесей — меньше одной части на триллион (1012).
Многочисленные современные достижения в методах роста кристаллов сделали применение полупроводников еще более разнообразным. Например, молекулярнопучковая эпитаксия (МПЭ) и газофазная эпитаксия из паров металло-органических соединений (ГФЭМОС) дают возможность выращивать на подложке кристаллы с точностью до одного монослоя. Эти методы позволили синтезировать искусственные кристаллические структуры, называемые сверхрешетками и квантовыми ямами (гл. 9). Недавний прогресс в производстве малоразмерных наноструктур был достигнут благодаря использованию способности совокупности атомов с подложкой или деформации между подложкой и эпитаксиальным слоем побуждать структуру к самоорганизации в суперрешетках или квантовых точках. Несмотря на то, что детальное обсуждение всех методов роста выходит за рамки настоящей книги, краткий обзор наиболее часто применяемых из них даст основополагающую информацию, необходимую каждому физику, работающему в области полупроводников. Читатели, интересующиеся этим вопросом глубже, могут воспользоваться ссылками к данной главе.
Метод Чохральского. Метод Чохральского является основным методом для роста объемных полупроводниковых кристаллов, включая кристаллы Si. Расплав исходного материала получают в тигле. Затравочный кристалл приводится в соприкосновение с верхней, более холодной областью расплава и медленно вращается с одновременным постепенным вытягиванием из расплава. На затравке происходит рост
Рис. 1.1. Схематическое изображение печи Чохральского для роста монокристаллов Si
кристалла. Наиболее важным достижением в методе Чохральского [1.2] (изображен™ ном схематически на рис. 1.1 ) является изобретение техники Даша [1.3, 1.4] для роста монокристаллов Si без дислокаций, даже если в качестве затравки использовался кристалл с дислокациями. Обычно скорость роста составляет несколько миллиметров в минуту, а вращение обеспечивает получение кристаллов циллиндрической формы. Кремниевые слитки, изготавливаемые таким образом, имеют теперь диамет™ ры больше 30 см.
Материал тигля и газ, окружающий расплав, приводят к увеличению фоновых примесей в кристаллах. Например, наиболее распространенными примесями в Si яв™ ляются углерод (из графитового тигля) и кислород. Монокристаллы GaAs и фосфида индия (InP) обычно выращивают методом Чохральского, но расплав изолируется от воздуха слоем расплавленного оксида бора для того, чтобы предотвратить утечку летучих паров аниона. Этот метод роста кристаллов, содержащих летучие компоненты, называется методом Чохральского с жидкостной капсулой. Как и ожидалось, GaAs, выращенный таким методом, содержит загрязняющую примесь бора.
Метод Бриджмена. В методе Бриджмена, как и в методе Чохральского, затравочный кристал находится в контакте с расплавом. Однако вдоль длины тигля создается температурный градиент, так что температура около затравочного кристалла ниже точки плавления. Тигель может располагаться горизонтально или вертикально для контроля конвекционных потоков. По мере роста кристалла градиент температуры смещается вдоль тигля с помощью нагревателей, расположенных вдоль печи, или путем медленного движения внутри печи ампулы, содержащей затравочный кристалл.
Химическая газофазная эпитаксия. Для выращивания монокристаллов используются методы как Чохральского, так и Бриджмена. Выращивание тонкого слоя совершенного кристалла обходится дешевле, чем рост больших совершенных монокристаллов. В большинстве своем приборы изготавливаются из тонких слоев, выращенных на объемных кристаллах. Толщина такого слоя составляет около 1 мкм или меньше. С точки зрения экономии разумно использовать метод выращивания тонкого слоя высокого качества на подложке кристалла худшего качества. Для того, чтобы обеспечить высокое качество кристаллической структуры этого тонкого
верхнего слоя, его кристаллическая структура должна быть сходной или идентичной со структурой подложки, а постоянные их решеток должны быть как можно ближе друг к другу, чтобы свести к минимуму деформацию. При этом атомы, образующие тонкий слой, будут стремиться к образованию монокристалла с той же кристаллографической ориентацией, как и у подложки. В таких случаях говорят, что результирующая пленка наносится на подложку эпитаксиально. Нанесение пленки монокристалла с тем же химическим составом называется гомоэпитаксией (например, нанесение пленки Si на объемный кристалл Si). Если пленка наносится на подложку со сходной структурой, но с другим химическим составом, то процесс роста называется гетероэпитаксией (например, рост пленки GaAs на подложке Si).
Эпитаксиальные пленки можно растить из твердой, жидкой и газовой фазы. Как правило проще точно контролировать скорость роста в газофазной эпитаксии^ контролируя величину потока газа. В химической газофазной эпитаксии (ХГЭ) газы, содержащие необходимые химические элементы, вступают в реакцию вблизи подложки. В результате реакции на подложке внутри реактора получается тонкий слой полупроводника. Температура подложки обычно является важным фактором при эпитаксиальном росте и определяет качество получаемой пленки. Стандартная реакция для получения пленки Si таким способом имеет следующий вид:
SiH4 旦2Si十 2H2匕(1.1)
(силан)J
' 丿подложка
Описанным методом можно получать очень чистый Si, так как побочный продукт реакции Н? является газом и легко удаляется. Другим преимуществом этого метода является очень точное легирование, например, Р и As могут вводится в форме газов фосфина (РНз) и арсина (AsH?). Полупроводниковые соединения группы III-V также можно выращивать с помощью ХГЭ, используя в качестве источников металлоорганические соединения, подобные триметилу галлия [ва(СН3)з]. Например, пленка GaAs может быть выращена с помощью реакции
Ga(CH3)3 十 AsH3 т ЗСН4 f +GaAs.(1.2)
Метод выращивания эпитаксиальных пленок с помощью металлоорганических газов называется газофазной эпитаксией из паров металло-органических соединений (ГФЭМОС). Соответствующая установка для роста схематически изображена на рис. 1.2 а. Последняя модификация, введенная для роста GaN, показана на рис. 1.2 б. Рис. 1.2 в показывает детали взаимодействия двух газовых потоков вблизи подложки.
Молекулярно-пучковая эпитаксия. В ХГЭ газы подаются в реактор при относительно высоких давлениях (обычно выше 1 тор). В результате в реакторе может быть высокая концентрация загрязняющих примесей в виде остаточных газов. Можно решить эту проблему, выращивая образцы в условиях сверхвысокого вакуума (СВ). (Давления ниже 10~7 тор считаются высоким вакуумом, а давление около 10"11 тор является сверхвысоким вакуумом. Обсуждение условий СВ и определение единицы измерения тор приведены в § 8.1.) Реагенты могут вводиться в форме молекулярных пучков. Молекулярный пучок создается путем нагревания исходного материала до испарения в ячейке с очень маленьким отверстием. Такая ячейка называется эффузионной ячейкой (или ячейкой Кнудсена) и изображена схематически на рис. 1.3. Когда пар выходит из ячейки через маленькую аппертуру, его молекулы (или атомы) образуют хорошо коллимированный пучок, потому что СВ вне ячейки позволяет вылетающим молекулам (или атомам) двигаться баллистически без соударений на расстояниях порядка метра. Обычно на подложку, на которой происходит эпи-
ааXXМанометрМанометрНасосНасос乂乂ФильтрФильтр)С)СОчищенныйН2ОчищенныйН2Ga(CH3) +Н2Ga(CH3) +Н2AsH3 +Н2AsH3 +Н266Дополнительный поток№+也Дополнительный поток№+也Камера изКамера изКоническая кварцевая ,Коническая кварцевая ,нержавеющей трубкасталинержавеющей трубкасталиПодложкаПодложкаb4人нагреватель у/b4人нагреватель у/GaAsGaAsРН3+Н2РН3+Н2gg1 Q^ ИК-термометр1 Q^ ИК-термометрОсновной поток TMG+NH3+H2Основной поток TMG+NH3+H2Вращающаяся подставка、НагревательВращающаяся подставка、НагревательВакуумный насосОткачкаВакуумный насосОткачкаООДополнительный потокДополнительный потокI Педл81gM IПолс'^авкаI Педл81gM IПолс'^авкаКварцевая трубкаКварцевая трубкаОсновной поток TMG+NH3+H2Основной поток TMG+NH3+H2
а
а
X
X
Манометр
Манометр
Насос
Насос
乂
乂
Фильтр
Фильтр
)С
)С
Очищенный
Н2
Очищенный
Н2
Ga(CH3) +Н2
Ga(CH3) +Н2
AsH3 +Н2
AsH3 +Н2
6
6
Дополнительный поток№+也
Дополнительный поток№+也
Камера из
Камера из
Коническая кварцевая ,
Коническая кварцевая ,
нержавеющей трубка
стали
нержавеющей трубка
стали
Подложка
Подложка
b4人
нагреватель у/
b4人
нагреватель у/
GaAs
GaAs
РН3
+Н2
РН3
+Н2
g
g
1 Q^ ИК-термометр
1 Q^ ИК-термометр
Основной поток TMG+NH3+H2
Основной поток TMG+NH3+H2
Вращающаяся подставка、
Нагреватель
Вращающаяся подставка、
Нагреватель
Вакуумный насос
Откачка
Вакуумный насос
Откачка
О
О
Дополнительный поток
Дополнительный поток
I Педл81gM IПолс'^авка
I Педл81gM IПолс'^авка
Кварцевая трубка
Кварцевая трубка
Основной поток TMG+NH3+H2
Основной поток TMG+NH3+H2
Рис. 1.2. Схематическое изображение установки для металло-органической газофазной эпи-таксии (а) [1.10]. Двупоточная ГФЭМОС-установка, предложенная Накамурой с соавторамидля роста GaN (б). Схема газовых потоков вблизи поверхности подложки (в) [1.11]
Рис. 1.3. Схематическое изображение эффузионной ячейки (ячейки Кнудсена) [1.10]Рис. 1.3. Схематическое изображение эффузионной ячейки (ячейки Кнудсена) [1.10]
Рис. 1.3. Схематическое изображение эффузионной ячейки (ячейки Кнудсена) [1.10]
Рис. 1.3. Схематическое изображение эффузионной ячейки (ячейки Кнудсена) [1.10]
таксиальный рост пленки, направлено несколько молекулярных пучков, содержащих элементы, необходимые для образования полупроводника и для его легирования. Поэтому описанный метод роста называется молекулярно-пучковой эпитаксией (МПЭ).
На рис. 1.4 приведена конструкция типичной установки МПЭ. Вообще говоря, в методе роста МПЭ трудно контролировать концентрацию реагентов у подложки и.
следовательно, стехиометрию кристалла. Применение этого метода оказывается воз™ можным, поскольку СВ позволяет использовать электроны и ионы в качестве зонда для слежения в процессе роста за состоянием поверхности и качеством получаемой пленки. Зондирование, основанное на ионах, обычно осуществляется с помощью масс- спектрометрии. К методам контроля, связанным с электронами, относятся Оже электронная спектроскопия (ОЭС), диффракция медленных электронов (ДМЭ), диф~ фракция быстрых электронов на отражение (ДБЭ) и рентгеновская и ультрафиолетовая фотоэмиссионная спектроскопия (РФЭС и УФЭС). Эти методы будут более подробно обсуждаться в гл. 8. Наиболее часто в установках МПЭ используется ДБЭ.
Типичная система с ДБЭ состоит из электронной пушки, создающей пучок электронов с высокой энергией (10 4- 15 кэВ), направленный под очень большим углом падения (скользящее падение) на поверхность подложки (рис. 1.4). Картина диф™ фракции отраженных электронов видна на экране с люминофором, обозначенном
Смотровое окноСмотровое окноЭкран ДБЭЭкран ДБЭЭлектронная пушкаЭлектронная пушкаманометрманометрМеханизм смены образцовМеханизм смены образцовСтолик подложкиСтолик подложкиНасос сверхвысокого вакуумаНасос сверхвысокого вакуумаНасос сверхвысокого вакуумаНасос сверхвысокого вакуумаТеплоизоляторыс водяным охлаждениемТеплоизоляторыс водяным охлаждениемНасос предварительной откачкиНасос предварительной откачкиИсточникиМПЭИсточникиМПЭЗатвор для ввода образцовЗатвор для ввода образцовКалибровочный/^^ ионизационный рКалибровочный/^^ ионизационный рРис. 1.4. Схематическое изображение типичной установки молекулярно-пучковой эпитаксии [1.4]Рис. 1.4. Схематическое изображение типичной установки молекулярно-пучковой эпитаксии [1.4]口 口口 口
Смотровое окно
Смотровое окно
Экран ДБЭ
Экран ДБЭ
Электронная пушка
Электронная пушка
манометр
манометр
Механизм смены образцов
Механизм смены образцов
Столик подложки
Столик подложки
Насос сверхвысокого вакуума
Насос сверхвысокого вакуума
Насос сверхвысокого вакуума
Насос сверхвысокого вакуума
Теплоизоляторы
с водяным охлаждением
Теплоизоляторы
с водяным охлаждением
Насос предварительной откачки
Насос предварительной откачки
Источники
МПЭ
Источники
МПЭ
Затвор для ввода образцов
Затвор для ввода образцов
Калибровочный/^^ ионизационный р
Калибровочный/^^ ионизационный р
Рис. 1.4. Схематическое изображение типичной установки молекулярно-пучковой эпитаксии [1.4]
Рис. 1.4. Схематическое изображение типичной установки молекулярно-пучковой эпитаксии [1.4]
口 口
口 口
на рис. 1.4, как экран ДБЭ, в противоположной части установки. С помощью этой диффракционной картины можно установить геометрию и морфологию поверхности. Кроме того оказалось, что в интенсивности диффракционного пучка нулевого порядка (или зеркального пучка) наблюдаются затухающие осцилляции (называемые осцилляциями ДБЭ), которые позволяют следить за скоростью роста in situ. На рис. 1.5 приведен пример осцилляций ДБЭ во время роста квантовой ямы GaAs/AlAs. Квантовые ямы являются синтезированными структурами, содержащими очень тонкий слой (толщиной менее 10 нм) полупроводника, расположенного между двумя тонкими
Рис. 1.5. Осцилляции интенсивности в зеркально отраженном электронном пучке диффра- гированных быстрых электронов в процессе роста пленки GaAs или AlAs на подложке GaAs (001) [1.10]
слоями другого полупроводника с большей шириной запрещенной зоны (дальнейшее обсуждение квантовых ям будет приведено в гл. 9). Каждая осцилляция на рис. 1.5 соответствует росту одного молекулярного слоя GaAs или AlAs.
Чтобы пояснить, как могут выращиваться такие совершенные стехиометрические слои, заметим, что атомы Ga или А1 легче оседают на подложке GaAs, чем атомы As. Поскольку мышьяк очень летуч при повышенных температурах, любые атомы мышьяка, не прореагировавшие с атомами Ga или А1 на подложке, не осядут на нагретой подложке. Контролируя молекулярные пучки с помощью заслонок и следя за ростом с помощью осцилляций ДБЭ, оказывается возможным выращивать тонкие пленки буквально монослой за монослоем.
Метод МПЭ используется для роста квантовых ям высокого качества. Единственным его недостатком для коммерческого применении является длительное время роста и высокая стоимость (обычная установка МПЭ стоит по меньшей мере 500000 долларов США). Вседствие этого метод МПЭ применяется для изучения условий выращивания пленок высокого качества в лабораториях, а в промышленном производстве пленок используется метод ГФЭМОС.
Создание самоорганизованных квантовых точек методом роста Странского—Крастанова. Эпитаксиальный рост тонкой пленки А на подложке Б может осуществляться одним из трех основных методов роста: 1) монослойный или двумерный рост; 2) трехмерный рост или метод Болмера-Веб ера и 3) метод Стран- ского-Крастанова [1.12]. В методе (1) атомы группы А притягиваются к подложке сильнее, чем друг к другу. В результате этого атомы сначала объединяются, образуя монослойные островки, которые затем расширяются и сливаются, образуя первый монослой. В методе (2) атомы группы А сильнее притягиваются друг к другу, чем к подложке. Таким образом, они сначала будут объединяться, формируя островки, в ходе эпитаксии эти островки будут расти и в конце концов образуют сплошную пленку. В случае метода (3) атомы А сначала будут распределяться по плоскости, создавая или единственный монослой, или тонкую пленку из малого числа монослоев. Однако при продолжении роста дополнительные атомы А начинают образовывать объемные островки на поверхности тонкой пленки как в методе Волмера-Вебера.
Такая сплошная тонкая пленка часто именуется смачивающим слоем.
Важным фактором, управляющим ростом эпитаксиальной пленки является несоответствие решеток между эпитаксиальным слоем А и подложкой Б. Допустим, что несоответствие решеток между А и Б не слишком велико, скажем, только около 1 % от постоянных решеток. Есть по меньшей мере два возможных пути выращивания тонкой пленки А на Б. Первая возможность заключается в том, что атомы А располагаются поверх соответствующих атомов Б и принимают постоянную решетки Б. В этом случае пленка А деформировна, но псевдоморфична (псевдоморфизм — это измененная кристалическая форма, внешний вид которой тот же, что и у других видов кристаллов). При второй возможности атомы сохраняют свою объемную постоянную решетки и, следовательно, не совпадают с атомами подложки. Чтобы минимизировать это несоответствие между двумя типами атомов, тонкая пленка А создает разновидность дефекта решетки, известную как дислокация (см. также гл. 4) [1.13]. Например, если постоянная решетки А меньше, чем Б, то несоответствие может быть компенсировано периодическим введением дополнительной группы атомов А в пленку А, чтобы привести ее атомы в соответствие с атомами подложки. Этот тип дислокации известен как дислокация несоответствия. Поскольку несоответствие решеток между А и Б происходит на поверхности в двух направлениях, эти дислокации образуют двумерную сетку. Сравнение двух приведенных методов роста для систем с несовпадением решеток проводилось Франком и ван дер Мервом в 1949 г. [1.14]. Сравниваются энергия деформации в деформированной псевдоморфной пленке и энергия, требуемая для создания дислокации несоответствия в недеформированной пленке. Энергия деформации возрастает с объемом пленки, в то время как энергия дислокации зависит только от ее площади. В результате псевдоморфный метод роста доминирует при малой толщине пленки. Однако при росте толщины пленки формирование дислокаций становится энергетически более выгодным. Можно ожидать этого «перехода» при некоторой критической толщине слоя. Рассчет критической толщины [1.13] в данной книге не рассматривается.
Исходя из сказанного можно предположить, что метод роста Странского-Крас- танова нежелателен для получения эпитаксиальной пленки одинаковой толщины. Недавно обнаружилось, что этот метод удобен и недорог для производства наноструктур, известных как квантовые точки [1.15]. В этом случае постоянная решетки эпи-слоя А должна быть больше, чем у подложки Б. Атомы А могут уменьшить растяжимую деформацию «изгибанием», чтобы сформировать островки. Принцип создания таких островков подобен изгибанию биметаллической пластины с ростом температуры — эффекту, используемому в температурных датчиках и термостатах. Поскольку квантовые точки формируются спонтанно и также могут создаваться ког- герентно, их образование является феноменом в росте кристаллов, известном как самоорганизация. На рис. 1.6 представлено полученное с помощью трансмиссионного электронного микроскопа (ТЭМ) плоское изображение отдельного листа (пленка А с постоянной решетки 6,06 А), образованного квантовыми точками InAs, выращенными на подложке из GaAs (Б с постоянной решетки 5,64 А).
На рис. 1.7 представлено полученное с помощью ТЭМ объемное изображение 25слойного образца, образованного квантовыми точками InGaAs (утолщенная часть темных участков), выращенными на подложке из GaAs. Отметим, что квантовые точки соединяются внутри слоев, которые прилегают к темным участкам, представляющим собой смачивающие слои. Различные слои разделены GaAs (более светлые участки верхней части рисунка). Квантовые точки на рис. 1.7 выравниваются по вершинам друг друга, формируя участки деформации напряжения, передающейся через тонкие слои GaAs.
Связь постепенно исчезает по мере удаления слоев от подложки. Помимо массивов квантовых точек монослойные сверхрешетки, такие как GaP/InP, также могут быть выращены за счет самоорганизации.
Рис. 1.7. Объемное изображение 25слойного образца, образованного квантовыми точками InAs, выращенными на подложке из GaAs. Светлые участкиGaAs окружают слои InGaAs [1.15]Рис. 1.7. Объемное изображение 25слойного образца, образованного квантовыми точками InAs, выращенными на подложке из GaAs. Светлые участкиGaAs окружают слои InGaAs [1.15]Рис. 1.6. Плоское изображение отдельного листа квантовых точек InAs, выращенного на [100]"Ориентированной подложке из GaAs [1.15]
Рис. 1.7. Объемное изображение 25слойного образца, образованного квантовыми точками InAs, выращенными на подложке из GaAs. Светлые участки
GaAs окружают слои InGaAs [1.15]
Рис. 1.7. Объемное изображение 25слойного образца, образованного квантовыми точками InAs, выращенными на подложке из GaAs. Светлые участки
GaAs окружают слои InGaAs [1.15]
Графитовая кассетаГрафитовая кассетаРис. 1.8. Установка для роста кристаллов методом жидкофазной эпитаксииРис. 1.8. Установка для роста кристаллов методом жидкофазной эпитаксии^Жидкофазная эпитаксия. Полупроводниковые пленки могут выращиваться эпитаксиально из жидкой фазы. Жидкофазная эпитаксия (ЖФЭ) оказалась очень удачным методом для выращивания лазерных диодов GaAs. Обычно металл группы III, такой как Ga или In, используется в качестве растворителя для As. Когда растворитель охлаждается в контакте с подложкой GaAs, он становится пересыщенным для As и на подложке начинается образование зародышей GaAs. Используя кассету, содержащую несколько различных расплавов (рис. 1.8), можно выращивать последовательные эпитаксиальные слои (сокращенно эпислои) с различным составом и/или различными легирующими примесями. Преимуществом ЖФЭ является дешевизна и простота оборудования. Однако при ней трудно достигнуть того уровня контроля за условиями роста, который осуществляется в МПЭ.
Графитовая кассета
Графитовая кассета
Рис. 1.8. Установка для роста кристаллов методом жидкофазной эпитаксии
Рис. 1.8. Установка для роста кристаллов методом жидкофазной эпитаксии
Итак, для выращивания монокристаллов и тонких эпитаксиальных слоев полупроводников используются различные методы. Методы Чохральского или Бриджмена применяются для выращивания объемных кристаллов. Если возможно, для выращивания тонких пленок предпочитают метод ЖФЭ вследствие его низкой стоимости и быстрой скорости роста. Если требуются эпитаксиальные слои с толщиной менее 100 нм, необходимо пользоваться методами ГФЭМОС или МПЭ.
В последние годы для роста оксидных полупроводников приобрели большую популярность печи с оптическими зеркалами [Ы6].
Заключение
В настоящей главе мы описали широкий класс материалов, называемых полупроводниками, и упомянули о широком диапазоне структурных и физических свойств, которыми они могут обладать. Большинство полупроводников, используемых в научных целях и в современных технологических процессах, являются монокристаллами, обладающими высокой степенью совершенства и чистоты. Их выращивают в виде трехмерных объемных кристаллов или в виде тонких двумерных эпитаксиальных слоев на объемных кристаллах, играющих роль подложки. Среди методов выращивания объемных кристаллов мы кратко рассмотрели методы Чохральского и Бриджмена. Методы эпитаксиального роста двумерных образцов, которые рассматривались в этой главе, включают газовую эпитаксию, молекулярно-пучковую эпитаксию и жидкофазную эпитаксию. Самоорганизованные двумерные решетки или квантовые точки также могут быть выращены эпитаксиальными методами.
Периодическая таблица «полупроводниковообразующих» элементовПериодическая таблица «полупроводниковообразующих» элементовЭлементы, кристализующиеся как полупроводникиЭлементы, образующие полупроводники Ш—V типаЭлементы, кристализующиеся как полупроводникиЭлементы, образующие полупроводники Ш—V типа
Периодическая таблица «полупроводниковообразующих» элементов
Периодическая таблица «полупроводниковообразующих» элементов
Элементы, кристализующиеся как полупроводники
Элементы, образующие полупроводники Ш—V типа
Элементы, кристализующиеся как полупроводники
Элементы, образующие полупроводники Ш—V типа
Элементы, образующие полупроводники III-VI типа I I Элементы, образующие полупроводники II-VI типа
Элементы, образующие полупроводники I-VII типа
Элементы, образующие полупроводники IV-VI
Элементы, образующие полупроводники типа I-III-VI2 халкопирит
Элементы, образующие полупроводники типа II-VI-V2 халкопирит
ГЛАВА 2
СТРУКТУРА ЭЛЕКТРОННЫХ ЗОН
Содержание
Квантовая механика ......................................................28
Трансляционная симметрия зон Бриллюэна.............................. 30
Краткие сведения о теории групп......................................... 34
Идеальная решетка или энергетические зоны почти свободных элек
тронов ....................................................................54
Расчеты зонной структуры методами псевдопотенциала .................63
(к • р)-метод расчета зонных структур.................................... 72
Рассмотрение зонной структуры в приближении сильной связи..........85
Задачи ........................................................................97
Заключение..................................................................104
Свойством, отличающим полупроводники от других материалов, является поведение их электронов, в частности, наличие запрещенных зон в их электронных спектрах возбуждения. Микроскопическое поведение электронов в твердом теле наиболее удобно описывать в терминах электронной зонной структуры. Цель настоящей главы заключается в изучении зонной структуры наиболее известных полупроводников, а именно Si, Ge и соединений III-V. Мы начнем с краткого введения в квантовую механику электронов в кристаллическом твердом теле.
Свойства электронов в твердом теле, содержащем 1023 атомов/см3, очень сложны. Для упрощения трудной задачи решения волновых уравнений для электронов необходимо использовать трансляционную и вращательную симметрию твердого тела. Теория групп является инструментом, облегчающим эту задачу. Однако с теорией групп знаком не каждый физик, работающий в области полупроводников. Поэтому мы обсудим в настоящей главе некоторые основные концепции и обозначения теории групп. Наш подход будет заключаться в описании идей и результатов теории групп в применении к полупроводникам без приведения строгих доказательств. Особый упор будет сделан на обозначениях, поскольку обозначения и терминология часто встречаются в книгах и научных статьях по исследованию полупроводников. В некотором смысле диаграммы зонной структуры подобны картам, а обозначения теории групп —— символам на них. Если смысл этих символов понятен, диаграммы зонной структуры могут использоваться для изучения электронных свойств полупроводников.
Мы также проанализируем несколько популярных методов расчета зонной структуры полупроводников. Во всех методах вычислительной техники для расчета зонных структур используются приближения. Этими приближениями стараются подчеркнуть некоторые аспекты электронных свойств полупроводников и одновременно ослабить значение других аспектов. Поэтому нашей целью в изучении различных вычислительных методов будет понять их преимущества и недостатки. Поступая так, мы сможем пролить свет на различные грани электронных свойств полупроводников.
Квантовая механика
Гамильтониан, описывающий идеальный кристалл может, быть представлен в системе единиц СГС в виде
2Mj 2 4тгбо |修 —|
(В дальнейшем мы будем пользоваться системой СГС, поскольку эти единицы обычно используются в книгах и научных статьях по физике полупроводников). В выражении (2.1)『е ——положение г-го электрона, Rj ——положение J-ro ядра, Zj ——атомный номер ядра, pi и Pj —— операторы импульса электрона и ядра соответственно, е заряд электрона. Символ ^^ означает, что суммирование производится только по парам неидентичных индексов.
Очевидно, что гамильтониан многих частиц не может быть найден без большого числа упрощений. В качестве первого приближения надо разделить электроны на две группы: валентные электроны и электроны атомного остова. Электроны атомного остова находятся в заполненных оболочках, например, электроны Is2, 2s2 и 2р6 в случае Si. Они локализованы преимущественно около ядра и их можно объединить с ядром в так называемый ионный остов. В результате этого приближения индексы j и J / в (2.1) будут теперь обозначать ионные остовы, в то время как электронные индексы ini' будут обозначать только валентные электроны. Валентными называются электроны в неполностью заполненных оболочках. В случае Si это 3s- и Зр-электроны.
Следующим приближением является приближение Борна-Оппенгеймера или адиабатическое приближение. Ионы много тяжелее электронов и поэтому двигаются значительно медленнее. Типичные значения частот колебаний ионов в твердом теле менее 1013 с-1. Для оценки времени отклика электронов заметим, что энергия, необходимая для возбуждения электронов в полупроводнике, определяется шириной его фундаментальной запрещенной зоны, которая в большинстве полупроводников имеет величину порядка 1 эВ. Поэтому частоты движения электронов в полупроводниках имеют величину порядка 1015 с-1 (таблица, содержащая переводные множители от эВ к различным другим единицам, находится в конце этой книги). В результате электроны почти мгновенно откликаются на движение ионов, другими словами, для электронов ионы кажутся неподвижными. С другой стороны, ионы не могут следовать за движением электронов и видят только их усредненный по времени адиабатический потенциал. В приближении Борна^Оппенгеймера гамильтониан (2.1) может быть выражен в виде суммы трех членов:
丸=丸ион(马)+丸ё (%,马0)+丸е-ионе,8马)， (2.2)
где 丸ион(玛)——гамильтониан, описывающий движение ионов под действием потенциалов ионов и усредненных по времени адиабатических электронных потенциалов; 丸е(『2, Rjo) — гамильтониан электронов для случая, когда ионы заморожены в положениях А/о；丸е—ион(т〃, 6Rj) описывает изменение энергии электронов в результате смещений ионов 6Rj из их равновесных положений. Гамильтониан 丸е-ион называется гамильтонианом электрон-фононного взаимодействия; им обусловлено электрическое сопротивление достаточно чистых полупроводников при комнатной температуре. Колебательные свойства ионных остовов и электрон-фононные взаимодействия будут обсуждаться в следующей главе. В этой главе нас будет в основном интересовать электронный гамильтониан Ие.
Электронный гамильтониан Ие имеет вид
篤為+汇‘47Tе01忆鼻 47Гe0 一r处‘ ⑵3)
Приведение его к диагональному виду в случае полупроводника, содержащего > 1023 электронов/см°, является чрезвычайно трудной задачей. Сделаем очень радикальное приближение, называемое приближением среднего поля. Не вдаваясь в обоснования, которые обсуждаются во многих стандартных учебниках по физике твердого тела, предположим, что каждый электрон испытывает одинаковый средний потенциал V(г). Таким образом, уравнения Шрёдингера, описывающие движения каждого электрона, идентичны и будут иметь вид
ЖФп(г) =+ М『)必 6 = КФп(г)5(2*4)
где 丸© Фп(^) и Еп обозначают, соответственно, одноэлектронный гамильтониан, волновую функцию и энергию электрона в собственном состоянии п. Необходимо помнить, что каждое собственное состояние может содержать не более двух электронов с противоположными спинами (принцип запрета Паули).
Вычисление энергий электронов Еп производится в два этапа. Вначале находят одноэлектронный потенциал V(г). Позднее в этой главе мы обсудим различные способы определения или вычисления V(г). В одном из методов V(г) находится из первых принципов, когда номера атомов и их позиции являются единственными входными параметрами. В более простых, так называемых полуэмпирических методах, потенциал выражается через параметры, которые определяются путем подгонки к экспериментальным результатам. После того, как потенциал найден, для нахождения решения (2.4) все еще требуются сложные вычисления. Для облегчения вычислений часто бывает удобно использовать симметрию кристалла. Здесь под «симметрией» мы имеем в виду геометрические преобразования, которые не приводят к изменению кристалла.
Трансляционная симметрия зон Бриллюэна
Наиболее важной симметрией кристалла является его инвариантность под действием специальных трансляций. В добавление к такой трансляционной симметрии большинство кристаллов обладают вращательной симметрией и симметрией отражения. Оказывается, что большинство полупроводников обладают вращательной симметрией высокого порядка, что очень облегчает расчеты их энергетических зонных структур. В этом и следующих параграфах мы будем изучать использование симметрии для упрощения классификации электронных состояний. Читатели, знакомые с применением теории групп к твердым телам, могут их пропустить.
Если частица движется в периодическом потенциале, то в соответствии с квантовой механикой ее волновые функции могут быть выражены в форме блоховских функций. Чтобы понять, что такое блохов с кая функция, предположим, что уравнение (2.4) является одномерным и V(ж) — периодическая функция с периодом трансляции, равным Я. Определим оператор трансляции Tr как оператор, действие которого на функцию /(ж) имеет вид
ТД/(Ж) = /(ж + Я).(2.5)
Далее введем функцию Ф^(ж), определенную как
Ф^(ж) = exp (ikx)uk(x)^(2.6)
где Uk(x) — периодическая функция с той же периодичностью, что и V, т.е."店(力 + + nR) = и总(方)для всех целочисленных п. Если определенная таким образом Ф^(ж) умножается на ехр (—wt), она представляет собой плоскую волну, амплитуда которой промодулирована периодической функцией и^ (ж). Функция Ф^ (ж) называется
блоховской функцией. Из ее определения ясно, что, когда ж изменяется на ж + Я, Ф^ (ж) изменяется следующим образом:
Tr①心)=©М方 + Я) = exp (ikR)^k(x'). (2*7)
Из (2.7) следует, что Ф^(ж) является собственной функцией Тд с собственным значе™ нием exp {ikR). Поскольку гамильтониан 丸ie инвариантен при трансляции на Я, И±е коммутирует с Тд. Таким образом, из квантовой механики следует, что собственные функции 丸ie могут быть выражены так же, как собственные функции Тд. Поэтому мы приходим к заключению, что собственная функция 丸 Ф (ж), может быть выра™ жена как сумма блоховских функций:
m (方)=£ 4m ⑺=£ 4 exp (ikx)uk(x\ (2.8) к к
где А总 ——константы. Таким образом, одноэлектронные волновые функции могут быть проиндексированы с помощью постоянных чисел к, которые являются волновыми векторами плоских волн, составляющих《скелет» блоховских функций. График зависи™ мости энергий электронов из (2.4) от к называется электронной зонной структурой кристалла.
Г рафик зонной структуры, в которой к может принимать все возможные значения, известен как широкая зонная схема. Из (2.6) видно, что выбор 友 для индексации вол™ новой функции не является однозначным. Как к, так и к + (2птг/Я), где п — целое число, удовлетворяют (2.6). Это является следствием трансляционной симметрии кристалла. Поэтому другим способом выбора к будет замена 友 на 友'=友一(2птг/Я), где п — целое число, выбранное так, чтобы ограничить к / интервалом [—тг/А, тг/А]. Область ^-пространства, определенная интервалом [^тг/Я, тг/Я], называется первой зоной Бриллюэна. Более общее определение зон Бриллюэна будет дано позднее, а также может быть найдено в стандартных учебниках [2.1]. График зонной структуры, полученный в результате ограничения волнового вектора к первой зоной Бриллюэна, называется приведенной зонной схемой. В этой схеме волновые функции индексируй ются целочисленными п (называемыми индексами зон), а волновой вектор 友 ограни™ чен первой зоной Бриллюэна.
На рис. 2.1 зонная структура «почти свободного» электрона (т.е. с потенциалом V 0), движущегося в одномерной решетке с постоянной решетки о, приведена для сравнения в обеих схемах. В схеме приведенной зоны зонные структуры имеют более компактный вид. Кроме того, в схеме приведенных зон к сохраняется, когда электрон совершает переход из одного состояния в другое под действием
Рис. 2.1. Зонная структура свободной частицы в схеме широкой зоны (а) и в схеме приведенной зоны (б)Рис. 2.1. Зонная структура свободной частицы в схеме широкой зоны (а) и в схеме приведенной зоны (б)
Рис. 2.1. Зонная структура свободной частицы в схеме широкой зоны (а) и в схеме приведенной зоны (б)
Рис. 2.1. Зонная структура свободной частицы в схеме широкой зоны (а) и в схеме приведенной зоны (б)
трансляционно-инвариантного оператора (доказательство этого утверждения будет дано в § 2.3 при обсуждении матричных элементов операторов в кристаллах). В то же время в схеме широких зон k сохраняется только с точностью до величины, кратной (по модулю) 2тг/А. Вследствие этого в литературе почти всегда используется схема приведенных зон.
Полученные выше результаты для одного измерения можно легко обобщить на случай трех измерений. Трансляционная симметрия кристалла выражается в этом случае в виде набора примитивных векторов решетки: а* &2 к &з・ Мы можем представить образование кристалла, взяв минимальный набор атомов (известный как базисный набор) и затем транслируя этот набор на кратные значения примитивных векторов решетки. В настоящей книге нас будут в основном интересовать кристаллические структуры алмаза и цинковой обманки, приведенные на рис. 2.2 а. В обеих кристаллических структурах базис состоит из двух атомов. Базис в алмазе состоит из двух атомов углерода, тогда как в цинковой обманке два атома базиса ——цинк и сера. Решетка из точек, которая получается в результате трансляции точки на кратные величины примитивных векторов решетки, называется прямой решеткой. Прямые
Рис. 2.2. а) Кристаллическая структура алмаза и цинковой обманки (ZnS); б) ГЦК решетка с набором примитивных векторов решетки; в) обратная решетка, соответствующая ГЦК решетке, показана первая зона Бриллюэна. Особые точки высокой симметрии обозначены как Г, X и L, а линии высокой симметрии, соединяющие некоторые из этих точек, — как
А и А
решетки для алмаза и цинковой обманки идентичны. Такая структура, называемая гранецентрированной кубической (ГЦК), показана на рис. 2.2 б вместе с набором при™ митивных векторов решетки. В общем случае выбор последних не является однозначным. Примитивными векторами решетки, показанными на рис. 2.2 5, являются
«1 = (0, а/2, о/2),«2 = («/2, 0, о/2),«з = («/2, а/2, 0),
где а ——длина самого маленького куба в ГЦК решетке. Этот минимальный куб в прямой решетке называется также элементарным кубом, или кристаллографической элементарной ячейкой.
Для заданной прямой решетки мы можем определить обратную решетку с помощью трех примитивных векторов обратной решетки: bi, i>2 и Ьз, которые связаны с векторами прямой решетки 仰,а2 и аз посредством соотношения
I
仇一⑵9)
где i, j и к представляют собой циклические перестановки трех индексов 1, 2 и 3, а 3 х @2)• @з является объемом примитивной ячейки. Группа точек, порожденная путем трансляции точки на кратные величины векторов обратной решетки, называется обратной решеткой. Причиной такого определения является то, что волновой вектор к представляет собой точку в пространстве обратной решетки. Первую зону Бриллюэна в трех измерениях можно определить как наименьший многогранник, ограниченный плоскостями, перпендикулярно рассекающими пополам векторы обратной решетки. Легко видеть, что область [—тг/Я, тг/А] соответствует определению первой зоны Бриллюэна для одного измерения.
Поскольку векторы обратной решетки получены из векторов прямой решетки с помощью формулы (2.9), симметрия зоны Бриллюэна определяется симметрией кристаллической решетки. На рис. 2.2 в показана обратная решетка, соответствующая ГЦК структуре. Принято говорить, что эти точки обратной решетки образуют объемоцентрированную кубическую (ОЦК) структуру. Примитивные векторы bi,匕2 и 加 обратной решетки, полученные из (2.9), имеют вид
仇=(2тг/о)(-1, 1, 1),Ь2 = (2тг/о)(1, -1, 1),Ьз = (2тг/о)(1, 1, -1).
(Отметим, что все векторы обратной решетки, соответствующей ГЦК структуре, имеют вид (2тг/о)(г, J, к), где i, j и k должны быть все четными или все нечетными.) Первая зона Бриллюэна ГЦК решетки также приведена на рис. 2.2 в. Симметрию этой зоны Бриллюэна лучше всего представить, изготовив модель из картона. Шаблон для такой модели можно найти на рис. 2.27.
На рис. 2.2 в некоторые точки высокой симметрии этой зоны Бриллюэна обозначены с помощью букв X и Г. В дальнейшем мы будем придерживаться принятых обозначений: точек и линий высокой симметрии внутри зоны Бриллюэна——греческими буквами, а точек на поверхности зоны Бриллюэна — латинскими буквами. Центр зоны Бриллюэна всегда обозначается как Г. Три направления высокой симметрии [100], [ПО] и [111] зоны Бриллюэна ГЦК решетки обозначаются следующим образом:
направление [100]: Г Д X,
направление [111]: Г A L,
направление [ПО]: ГЕК.
3 М. Кардона
Зона Бриллюэна ГЦК решетки обладает высокой симметрией. Внимательное изучение этой зоны показывает, что она не изменяется при различных вращениях, таких как вращение на 90° вокруг ребер объемоцентрированного куба на рис. 2.2 в. Кроме того, она инвариантна при отражении в определенных плоскостях, содержащих центр куба. Эти операции называются операциями симметрии зоны Бриллюэна. Симметрия зоны Бриллюэна является следствием симметрии прямой решетки и поэтому связана с симметрией кристалла. Из этой симметрии вытекает по крайней мере два важных следствия для электронной зонной структуры. Во-первых, если два волновых вектора А: и к'зоны Бриллюэна преобразуются друг в друга под действием операции симметрии зоны Бриллюэна, то электронные энергии, соответствующие этим волновым векторам, должны быть одинаковы. Точки и оси в пространстве обратной решетки, которые преобразуются друг в друга под действием операций симметрии, называются эквивалентными. Например, у зоны Бриллюэна, приведенной на рис. 2.2 в, имеется восемь гексагональных граней, содержащих в центре точку, обозначенную L. Эти восемь граней, включая точку L, эквивалентны и могут преобразовываться друг в друга путем вращения на 90° вокруг ребер объемоцентрированного куба. Поэтому можно вычислить энергию электронов только для одной из восьми эквивалентных гексагональных граней, содержащих точку L. Вторым и, вероятно, более важным следствием симметрии кристалла является возможность выразить волновые функции в такой форме, что они будут обладать определенными свойствами преобразования под действием операций симметрии кристалла. Такие волновые функции называются симметризованными. Хорошим примером симметризованных волновых функций являются волновые функции в атомах. Атомные волновые функции обычно симмет- ризуются в соответствии с их свойствами преобразования под действием операций вращения и классифицируются как s, р, d, / и т.д. Например, волновая функция s не изменяется при любых вращениях. Волновые функции р являются трижды вырожденными и преобразуются при вращении, как три компоненты вектора. Волновые функции d преобразуются как пять компонент симметричного тензора второго ранга со следом, равным нулю. Можно показать, что при классификации волновых функций подобным образом некоторые матричные элементы операторов оказываются равными нулю, т.е. появляются правила отбора. Аналогичным образом, волновые функции в кристаллах могут классифицироваться в соответствии с их трансформационными свойствами под действием операций симметрии кристалла, и для операторов, действующих на эти волновые функции, могут быть выведены правила отбора. Математическим инструментом для совершения этих действий является теория групп. Теории групп посвящено много прекрасных учебников (см. список литературы). Для изучения физики полупроводников хорошее владение теорией групп является желательным, но не необходимым условием. Некоторое элементарное представление о теории групп достаточно для понимания материала, приведенного в этой книге. Следующий параграф является вступлением в теорию групп. Студенты, знакомые с теорией групп, могут его пропустить.
Краткие сведения о теории групп
Поскольку цель настоящего параграфа — ознакомление с терминологией и обозначениями теории групп, мы не будем утруждать себя доказательствами многих утверждений и теорем, упоминаемых здесь. Проиллюстрируем наши утверждения примерами, а для строгих доказательств отошлем читателя к книгам по теории групп.
Определения и обозначения. Первым шагом при изучении свойств симметрии любого кристалла является определение его операций симметрии. Например, квадрат не меняется при отражении в его двух диагоналях или при вращении на 90°
вокруг оси, перпендикулярной к квадрату и проходящей через его центр. Можно порождать другие операции симметрии квадрата, которые являются комбинациями этих операций. Можно сказать, что для квадрата существует бесконечное число операций симметрии. Однако многие из них состоят из последовательностей нескольких основных операций симметрии. Теория групп является математическим инструментом для систематического анализа операций симметрии любого объекта.
Группа G определяется как набор элементов а, 6, с, . . ., для которых задана операция ab (будем называть ее умножением) между любыми двумя элементами а и Ь. Эта операция должна обладать следующими четырьмя свойствами:
замкнутость: результат операции ab над любыми двумя элементами а и b в G должен также принадлежать G;
ассоциативность: для всех элементов а, 6 и с в G (ab)c = а(Ьс);
тождественное преобразование: G должна содержать элемент е, называемый единичным элементом^ такой, что ае = а для всех элементов а в G;
обратный элемент: для каждого элемента а в G существует соответствующий элемент такой, что ^а = е. Элемент называется обратным элементу а. Отметим, что важен порядок, в котором производится умножение двух элементов а и 6, поскольку в общем случае ab не обязательно равно Ьа. Если ab = Ьа для всех элементов G)то произведение является коммутативным^ а группа G называется Абелевой.
Рис. 2.3. Молекула метана (СН4) с указанием связей (штриховые линии) и координатных осей (черные стрелки). Ось [001] перпендикулярна плоскости рисункаРис. 2.3. Молекула метана (СН4) с указанием связей (штриховые линии) и координатных осей (черные стрелки). Ось [001] перпендикулярна плоскости рисункаНетрудно найти множество примеров групп. В частности, можно показать, что набор операций симметрии кристалла или молекулы образует группу. В качестве иллюстрации рассмотрим молекулу метана СН4. Структура этой молекулы приведена на рис. 2.3. Она состоит из атома углерода, окруженного четырьмя атомами водорода, образующими четыре угла правильного тетраэдра.
Рис. 2.3. Молекула метана (СН4) с указанием связей (штриховые линии) и координатных осей (черные стрелки). Ось [001] перпендикулярна плоскости рисунка
Рис. 2.3. Молекула метана (СН4) с указанием связей (штриховые линии) и координатных осей (черные стрелки). Ось [001] перпендикулярна плоскости рисунка
Для облегчения описания операций симметрии молекулы метана введем обозначения Шёнфлиса:
。2 — вращение на 180° (называемое двукратным);
。3 — вращение на 120° (называемое трехкратным);
。4 — вращение на 90° (называемое четырехкратным) ;
。6 — вращение на 60° (называемое шестикратным);
а — отражение в плоскости;
i ——инверсия;
Sn — вращение Сп с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной оси вращения;
Е — тождественное преобразование. Для краткости все вышеназванные операции часто обозначаются как вращения. Для того, чтобы отличать обыкновенные вращения (такие как С3) от отражений (таких как а) или от вращений с последующими отражениями (таких как S) последние два элемента называются несобственными вращениями. Отметим, что инверсия эквивалентна S2. Это не единственный способ для обозначения операций симметрии. Столь же популярной является система международных обозначений. Переход от одной системы к другой приводится в книгах по теории групп (см. [2.2], с. 85).
Для полного определения операции симметрии необходимо также определить ось вращения или плоскость отражения. При обозначении плоскостей отражения мы 6у= дем использовать обозначение (kin) для плоскости, которая содержит начало коорди™ нат и перпендикулярна вектору (^, /, п). (Читатели, знакомые с кристаллографией, поймут, что оно является «имитацией» индексов Миллера для обозначения плоско™ стей решетки в кубических кристаллах). Соответствующим упрощенным обозначением для оси, содержащей этот вектор, будет [kin]. Ранее на рис. 2.3 мы для удобства выбрали началом координат атом углерода. В координатной системе на рис. 2.3 четыре связи углерод—водород ориентированы вдоль направлений [111], [111], [111] и [111]. Теперь мы утверждаем без доказательства, что операциями симметрии для молекулы метана являются следующие операции (читатель легко может проверить эти результаты, сконструировав молекулу метана с помощью модели из шариков и палочек):
Е — тождественное преобразование;
。2 ——двукратное вращение вокруг одной из взаимно перпендикулярных осей [100], [010] и [001] (всего три операции。2)；
Сз ——вращение на 120° по часовой стрелке вокруг одной из четырех С—Н связей (всего четыре операции);
С^1 — вращение на 120° против часовой стрелки вокруг одной из четырех С-Н связей (всего четыре операции);
а — отражение в одной из шести плоскостей: (ПО), (ПО), (101), (101), (011), (011);
S4 ——четырехкратное вращение по часовой стрелке вокруг одной из осей [100], [010], [001] с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (всего три операции);
1 — четырехкратное вращение против часовой стрелки вокруг одной из осей [100], [010], [001] с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (всего три операции).
Легко показать, что операции С*2 и а являются обратными друг к другу. Обратным элементом к Оз является С/ , если ось вращения в обеих операциях одна и та же. Если теперь мы определим произведение двух элементов симметрии а и 6 как операцию симметрии с = аб, которая заключается в применении к молекуле СН4 сначала операции 6, а потом операции а, то легко показать, что 24 приведенные выше операции симметрии молекулы СН4 образуют группу, известную как 7d. Такие группы операций симметрии молекулы называются точечными группами. Как следует из названия, точечные группы состоят из операций симметрии, в которых по крайней мере одна точка остается фиксированной и неизменной в пространстве. Точечные группы состоят из операций двух типов: собственных и несобственных вращений.
Бесконечный кристалл отличается от молекулы тем, что обладает симметрией трансляций. Хотя в реальной жизни кристаллы никогда не бывают бесконечными, проблему, связанную с конечной природой кристалла, можно решить, применив к кристаллу так называемые периодические граничные условия (или условия Борна- Кармана)^ или эквивалентным образом представить, что все пространство заполнено копиями конечного кристалла. Не удивительно, что набор всех операций симметрии такого бесконечного кристалла тоже образует группу. Такие группы, содержащие как трансляционные, так и вращательные операции симметрии, называются пространственными группами. В трехмерном пространстве имеется 230 неэквивалентных пространственных групп.
Кроме трансляционной инвариантности кристаллы также обладают симметриями вращения. Пространственные группы могут быть разделены на два типа в зависимости от того, образуют ли вращательные части их операций симметрии группу. Рассмотрим сначала чисто трансляционные операции бесконечного кристалла. Можно показать, что операции симметрии трансляций образуют группу (обозначаемую Т). Группа Т называется подгруппой пространственной группы кристалла G. Пусть R — набор всех операций симметрии группы G, включающих или только чистые вращения
(как собственные, так и несобственные) или вращения, сопровождаемые трансляциями, не входящими в Т. Мы будем обозначать элементы R как а? /? т к т.д. Такой поднабор группы G называется комплексом. В общем случае Я не обязательно образует группу. Например, если G содержит винтовую ось или плоскость сколь™ жения (их определение будет дано ниже, см. рис. 2.4), то Я не образует группу, и пространственная группа G называется несимморфной. Если винтовые оси и плоско™ сти скольжения отсутствуют, то Я является группой (и тем самым подгруппой G); пространственная группа G в этом случае называется симморфной. Свойства симмет™ рии симморфных групп анализировать проще, поскольку в таких пространственных группах как трансляционные, так и вращательные операции симметрии образуют подгруппы. Можно, в частности, показать, что вращательные операции симметрии симморфной пространственной группы образуют точечные группы, подобные тем, которые имеются у молекул. Однако вследствие трансляционной симметрии кристалла существуют ограничения, которые накладываются на его вращательную симметрию. Например, кристал не может быть инвариантным при вращении на 72° (называемом пятикратным вращением). Вместе с тем молекула может иметь такую вращательную симметрию. Точечные группы, совместные с решеткой, обладающей трансляционной симметрией, называются кристаллографическими точечными группами. Можно показать, что в трехмерном пространстве существует 32 различные кристаллографические точечные группы (см., например, [2.3]).
Среди всех 230 пространственных групп имеется всего 73 симморфные пространственные группы. Таким образом, более простые симморфные пространственные группы являются скорее исключением, чем правилом. Далее мы рассмотрим, как анализировать вращательную симметрию несимморфных пространственных групп. По определению несимморфная пространственная группа должна содержать по крайней мере одну операцию симметрии, которая включает как трансляцию, так и такое вращение, которое само по себе не является операцией симметрии группы G. Имеется две возможности для такой операции: вращение может быть собственным или несобственным. Ось для собственного вращения называется винтовой осью^ а плоскость для несобственного вращения — плоскостью скольжения. В случае винтовой оси кристалл инвариантен при вращении относительно этой оси и трансляции вдоль нее. Кристалл также инвариантен при отражении в плоскости скольжения с последующей трансляцией параллельно плоскости скольжения.
На рис. 2.4 а, б приведены два простых примера винтовых осей для одномерного кристалла. Из рис. 2.4 5ясно, что простое трехкратное вращение вокруг вертикальной оси не является операцией симметрии этого гипотетического кристалла. Однако, если после трехкратного вращения происходит трансляция кристалла вдоль вертикальной оси на величину с/3, то кристалл остается неизменным. Вертикальная ось называется в этом случае триадной винтовой осью. На рис. 2.4 а приведен пример диадной винтовой оси. Плоскость скольжения показана на рис. 2.4 в. Плоскость, обозначенная на рисунке как А-Б, не является плоскостью отражения. Однако если после отражения в плоскости А—В происходит трансляция кристалла на величину а/2 параллельно плоскости А-Б, то кристалл остается неизменным. Эта операция симметрии называется скольжением^ а плоскость А-Б — плоскостью скольжения. Предположим теперь, что R является набором всех чистых операций вращения группы G плюс отражения скольжения, показанного на рис. 2.4 в (которое мы обозначим, как ш). Определенное таким образом, R не является группой, поскольку тт ——чистая трансляция и поэтому не является элементом R.
Для изучения вращательной симметрии пространственной группы независимо от того, является ли она симморфной или несимморфной, введем понятие фактор группы. Пусть G ——пространственная группа, а Т ——ее подгруппа, содержащая все операции симметрии чистых трансляций. Пусть С = а〉/〉. . . является комплексом всех элементов G? не содержащихся в Т. В отличие от элементов набора 凡 определенного
Рис. 2.4. Диадная винтовая ось (а), триадная винтовая ось (б) и плоскость скольжения (в). Ввив кристаллы ——трехмерные, хотя для целей иллюстрации показан только один слой атомов. Если кристаллы являются двумерными, то операция скольжения в в эквивалентна диадной винтовой оси в а. Значками 0 и ® обозначены стрелки, указывающие на читателя и от него соответственно
ранее, операции трансляций среди элементов С могут принадлежать Т. Далее создадим наборы Та, ТД и т.д. Набор Та, состоящий из операций, образованных произведением трансляции в Т, и операции а, которой нет в Т, называется правым смежным классом Т. Очевидно, что набор аТ является левым смежным классом Т.
Рассмотрим сначала случай, когда G является симморфной группой. Для сим™ морфной группы мы можем разложить любую операцию а в (7 на произведение трансляции &t и вращения аг: а = с^а_ Поскольку произведение не обязательно является коммутативным, нас может беспокоить вопрос о том, в каком порядке еле™ дуют друг за другом операции м и а- Можно показать, что Т обладает следующим свойством: правый смежный класс Тж равен левому смежному классу хТ для каждого элемента ж в группе G. Подгруппа, обладающая таким свойством, называется инвариантной подгруппой. Когда мы умножаем а на другую операцию трансляции, чтобы образовать элемент смежного класса Та, результирующая операция состоит из новой трансляции, но умноженной на то же самое вращение а- Это предполагает, что мы можем установить соответствие между набором смежных классов Та, Т仇...и набором операций вращения Я = аг, Дг, . . . Если G симморфна, то набор Я является подгруппой G? т.е. набор Та, Т仇 ...также образует группу. (Для того чтобы этот набор смежных классов образовывал группу, мы должны определить произведение двух смежных классов (Та)(ТД) как ТаД). Эта группа называется фактор-группой G по отношению к Т и обычно обозначается как G/Т. Образуя фактор-группу G/Т, мы отобразили все элементы смежного класса Тав единственной операции вращения а「 Такое отображение многих элементов в одном наборе в одиночный элемент другого набора называется гомоморфизмом. С другой стороны, соответствие между фактор™ группой G/Т и подгруппой Я группы G является взаимно однозначным, и такой тип соответствия называется изоморфизмом.
Изоморфизм между фактор-группой G/Т к точечной группой R симморфной про странственной группы можно распространить на несимморфную пространственную группу. Главное различие между этими двумя случаями заключается в том, что, в то время как в симморфной пространственной группе операции вращения а「Дг и т.д. также являются элементами симморфной пространственной группы, это не всегда справедливо для всех вращений в несимморфной группе. Если а является скольжением или поворотом вокруг винтовой оси, то а г не является элементом G. Мы будем
по-прежнему считать группу К точечной группой несимморфной пространственной группы, поскольку R содержит всю информацию о вращательной симметрии про™ странственной группы G. Однако следует соблюдать особенную осторожность при изучении точечных групп, относящихся к несимморфным пространственным『руи= пам, так как они содержат элементы, которых нет в пространственной группе.
Далее мы будем изучать операции симметрии в кристаллических структурах цинковой обманки и алмаза в качестве примеров симморфной и несимморфной пространственных групп соответственно.
Операции симметрии структур алмаза и цинковой обманки. Структуры алмаза и цинковой обманки были представлены на рис. 2.2 а. Как сказано в предыдущем параграфе, обе структуры относятся к гранецентрированной кристаллической решетке. С каждой точкой решетки связаны два атома, смещенные друг относительно друга на одну четверть объемной диагонали вдоль направления [111]. Объем, образованный примитивными векторами решетки и содержащий эти два атома, является примитивной ячейкой^ которая повторяется в каждом узле решетки. В качестве одного из простых способов для построения этих кристаллических структур следует начать с двух гранецентрированных кристаллических подрешеток, каждая из которых содержит только один атом, расположенный в каждой позиции решетки. Затем одна подрешетка смещается на одну четверть объемной диагонали вдоль направления [111] по отношению к другой подрешетке. В результирующей кристаллической структуре любой атом окружен четырьмя ближайшими соседями, образующими тетраэдр. Пространственная группа структуры цинковой обманки является симморфной и обозначается Т| (или, в международном обозначении, — F43m). Ее трансляционные операции симметрии определяются тремя примитивными векторами решетки, показанными на рис. 2.2 5, а точечная группа содержит 24 элемента. Эти 24 элемента идентичны элементам точечной группы тетраэдра 7d (или молекулы метана, которая обсуждалась в предыдущем пункте и была показана на рис. 2.3).
Операции симметрии точечной группы кристалла со структурой цинковой обманки определяются по отношению к трем взаимно перпендикулярным кристаллографическим осям и началу координат, находящемуся на узле одного из двух атомов в примитивной элементарной ячейке. Перечислим 24 операции при таком выборе координат (они практически идентичны операциям молекулы метана):
Е — тождественное преобразование;
восемь операций С*з — вращения по и против часовой стрелки на 120° вокруг осей [111], [111], [111] и [111] соответственно;
три операции。2 ~ вращения на 180° вокруг осей [100], [010] и [001] соответственно;
шесть операций S4 ——несобственные вращения по и против часовой стрелки на 90° вокруг осей [100], [010] и [001] соответственно; _ _ _
шесть операций а ——отражения в плоскостях (ПО), (ПО), (101), (101), (011) и (011) соответственно.
Структура алмаза аналогична структуре цинковой обманки за исключением того, что два атома в его примитивной элементарной ячейке идентичны. Если мы выберем начало координат посередине между этими двумя идентичными атомами, то увидим, что кристаллическая структура инвариантна при инверсии по отношению к этому началу координат. Однако для изучения операций точечной группы удобнее выбрать начало на одном из атомов^ как в случае структуры цинковой обманки. Кристалл более не будет инвариантен при инверсии относительно этого вновь выбранного начала координат, но будет инвариантен при инверсии и последующей трансляции на вектор (а/4)[1, 1, 1], где а — длина грани элементарного куба. Последнее можно понять, нарисовав атомы углерода в структуре алмаза вдоль направления [111], как это показано на рис. 2.5. Пространственная группа структуры алмаза является несимморфной: она имеет три плоскости скольжения. Например, плоскость, определенная
Рис. 2.5. Расположение атомов вдоль направления [111] в кристалле алмазаРис. 2.5. Расположение атомов вдоль направления [111] в кристалле алмаза镌雖 © ® -^[Ш]镌雖 © ® -^[Ш]
Рис. 2.5. Расположение атомов вдоль направления [111] в кристалле алмаза
Рис. 2.5. Расположение атомов вдоль направления [111] в кристалле алмаза
镌雖 © ® -^[Ш]
镌雖 © ® -^[Ш]
как ж = а/8)является плоскостью скольжения, поскольку алмаз инвариантен при трансляции на (о/4)[0)1, 1] с последующим отражением в этой плоскости. Вместо трех плоскостей скольжения, определенных как x = a/81y = a/8nz = a/81 возможно использование операций «подобных скольжению»:
Т (1/4, 1/4, 1 /4)сгж——отражение в плоскости ж = 0 с последующей трансляцией кристалла на вектор а (1/4, 1/4, 1/4);
Т (1/4, 1/4, 1 /4)«Ту отражение в плоскости у = 0 с последующей трансляцией кристалла на вектор а (1/4, 1/4, 1/4);
Т (1/4, 1/4, 1/4)аг отражение в плоскости % = 0 с последующей трансляцией кристалла на вектор а (1/4, 1/4, 1/4).
пы 7% путем добавленияпы 7% путем добавленияФактор-группа решетки алмаза изоморфна точечной группе, порожденной из груп
пы 7% путем добавления
пы 7% путем добавления
尊са尊F尊са尊FРис. 2.6. Схематическая кристаллическая структура CaF2 (флюорита)Рис. 2.6. Схематическая кристаллическая структура CaF2 (флюорита)операции инверсии. Эта точечная группа имеет 48 элементов и обозначается Од. В то время как 7d является точечной группой тетраэдра, Oh — точечная группа куба. Пространственная группа кристалла алмаза обозначается О^ (или, в международном обозначении, — Fd3m).
尊са
尊F
尊са
尊F
Рис. 2.6. Схематическая кристаллическая структура CaF2 (флюорита)
Рис. 2.6. Схематическая кристаллическая структура CaF2 (флюорита)
Структура CaF2 (флюорит)изображенная на рис. 2.6, относится к структуре алмаза. Этой кристаллической структурой обладают полупроводники, имеющие формулу Mg2X, где X = Ge, Si и Sn. Флюорит, как и алмаз, имеет гранецентрированную решетку, но у CaF? имеется три подрешетки. Две подрешетки фтора смещены симметрично относительно подрешетки Са на одну четверть объемной диагонали, так что относительно каждого атома Са существует симмет
рия инверсии. Пространственная группа CdF? симморфна, а его точечной группой, как и у алмаза, является Од. Пространственная группа обозначается О| (или Fm3m). Очевидно, что между точечной группой CaF? и фактор-группой алмаза существует
взаимно однозначное соответствие.
Представления и таблицы характеров. Изменение системы координат ж, у^ z под действием операции симметрии, подобной вращению, может быть представлено в виде матрицы преобразования. Например, при четырехкратном вращении вокруг оси ж, оси х^ у и z преобразуются в 认 у' и z‘. При этом xf = х^ yf = z и “ =—у. Это преобразование можно представить в виде матрицы М:
о о
\ о\ о0 1
\ о
\ о
—1 о
Подобным же образом трехкратное вращение вокруг оси [111] приведет к преобразованию осей х^ у и z в xf = z^ yf = х и zf = у. Это преобразование можно представить
как матрицу
О 0 1 \ 1 о о L 0 10/
В остальной части настоящей главы мы будем пользоваться сокращенным обозначением (xyz) —> (xzy) для обозначения матрицы четырехкратного вращения и (岂yz) f f (z岂у) для обозначения матрицы трехкратного вращения. Все операции симметрии в точечной группе могут быть представлены матрицами преобразования, подобны™ ми М. Легко доказать, что набор таких матриц преобразования, соответствующих группе операций симметрии, также образует группу. Говорят, что эта группа матриц образует представление группы. В сущности, для заданной группы существует бесконечное число таких групп матриц. Соответствие между группой и ее представлением в общем случае является скорее гомоморфизмом, чем изоморфизмом. Представление группы G определяется как любая группа матриц гомоморфных G. Поскольку представления группы неоднозначны, нас будут интересовать только те их свойства, которые являются общими для всех представлений данной группы.
Один из способов породить представление группы заключается в том, чтобы выбрать некую функцию / (ж, у^ %} а затем породить набор функций 九 применяя операции симметрии Oi группы к / (ж, уz) так, что 力=ОД/］ D. По определению группа должна удовлетворять условию замкнутости. Это означает, что когда операция О применяется к 九 результирующая функция О ［力］может быть представлена, как линейная комбинация функций 力:
(2.10 а)(2.10 а)О [Л] =〉2力仪川
(2.10 а)
(2.10 а)
7
Коэффициенты 仪九 образуют квадратную матрицу, которую мы будем называть матрицей преобразования. Набор матриц преобразования вида {а^}, соответствующих всем операциям группы, образует представление группы. Про функции {力} использованные для порождения представления, говорят, что они образуют набор базисных функций этого представления. Ясно, что выбор базисных функций для порождения заданного представления не является однозначным.
При использовании приведенного выше метода для порождения представления размерность результирующих матриц преобразования будет всегда равна числу элементов в группе (называемому порядком группы). Однако некоторые матрицы будут эквивалентными. Кроме того, некоторые элементы в этих матрицах будут равны нулю. Если в данном представлении матрицы для всех операций группы могут быть выражены в следующей блочной форме:
/00
0 о о о о о70 о о о о о7а00
0 о о о о о
7
0 о о о о о
7
00
(2.106)(2.106)0 0 0 Д0
(2.106)
(2.106)
ООО 7 ООО ООО
\ о о о о о
1)В нашем случае {/г} обычно представляет собой группу вырожденных собственных функций, соответствующих данному собственному значению.
где а,仇 ...,г — квадратные матрицы, то очевидно, что операции симметрии в этой группе также могут быть представлены меньшими матрицами а, Д и т.д. В то время как матрицы а?： и /?： для операции i не обязательно должны иметь одинаковую размерность, матрицы а?： для всех операций г группы должны быть одной размер™ ности. Про представление в форме (2.106) говорят, что оно полностью приводимо или просто приводимо. Как отмечено выше, выбор матриц для образования неирк- водимого представления данной группы не является однозначным. Имея один на™ бор матриц преобразования {АД, мы можем породить другой набор {AJ-} путем преобразования подобия: А^ = ТА^Т^1, где Т произвольная несингулярная мат™ рица той же размерности, что и 4?” Преобразованный набор матриц {4；} также будет являться представлением группы. Про два набора матриц {АД и {4；} гово™ рят, что они эквивалентны. Представление, матрицы которого нельзя с помощью преобразования подобия привести к матрицам вида (2.10б), называется неприводимым. Очевидно, что неприводимые представления имеют более простой вид, чем приводимые.
Две оси вращения или две плоскости отражения, которые при применении one™ рации симметрии точечной группы преобразуются друг в друга, называются эквивалентными. Можно показать, что матрицы представления, которые соответствуют таким эквивалентным вращениям, имеют одинаковый след (следом матрицы является сумма диагональных элементов). Хотя выбор неприводимых представлений для группы не является однозначным, набор следов этих неприводимых представлений однозначен, поскольку при унитарных преобразованиях след сохраняется. Это означает, что наборы всех эквивалентных неприводимых представлений данной группы могут быть однозначно охарактеризованы своими следами. По этой причине следы матриц в представлении называются его характерами. Очевидно, что представления содержат больше информации, чем их характеры; однако для использования свойств симметрии данной группы часто достаточно определить число неэквивалентных неприводимых представлений и их характеры.
Определение характеров неприводимого представления облегчается следующими свойствами группы:
элементы в группе можно объединить в классы. Набор элементов Т в группе образует класс, если для любого элемента а в группе аТ = Та. Для заданного представления все элементы в классе имеют одинаковые характеры;
число неэквивалентных неприводимых представлений группы равно числу классов.
Из этих двух свойств следует, что если элементы группы могут быть разделены на j классов, характеры ее j неприводимых представлений могут быть записаны в виде таблицы, имеющей j столбцов и j строк и называемой таблицей характеров. Предположим, что группа имеет N элементов, и эти элементы разделены на j классов, обозначенных С±, С*2, . . . , Cj. Обозначим число элементов в каждом классе как N],坛丿• ■ ., Nj. Тождественное преобразование Е образует класс с одним единственным элементом, который по соглашению обозначается Ci* Эта группа имеет также / неэквивалентных неприводимых представлений (с этого момента мы будем считать, что набор неприводимых представлений содержит только неэквивалентные представления), которые мы обозначим как 必？ &〉. . . , Rj. Будем обозначать характер Ск в Ri как Xi(k). Поскольку тождественное преобразование Е оставляет любую базисную функцию инвариантной, ее представления всегда состоят из единичных матриц (т.е. диагональных матриц с диагональными элементами, равными единице). В результате характер Xi(E) равен размерности представления 吊.Таким образом, таблица характеров этой группы будет иметь вид таблицы 2.1.
Таблица 2.1
Таблица характеров группы
Представления
{后}
Классы
{№5}
• • •{NjCj}
К⑵
Х2(М
x2⑵
色
ь（石）
В принципе, таблица характеров точечной группы кристалла может быть вычисле™ на из матриц преобразования с помощью подходящего набора базисных функций. На практике таблица характеров в большинстве случаев может быть получена с помощью следующих двух соотношений ортогональности:
J(2.11)
I少(以)*X(G) = d/N 两，⑵ 12)
где * означает комплексно-сопряженный характер, h — порядок группы, N^ — число элементов в классе 以,J^- — символ Кронекера.
В качестве иллюстрации процедуры нахождения таблиц характеров рассмотрим два примера.
Пример 1. Таблица характеров точечной группы Т^.
Как мы показали в п. 2.3.1, точечная группа 7d содержит 24 элемента, представляющих операции симметрии собственного и несобственного вращения тетраэдрической молекулы метана. В п. 2.3.2 было показано, что эта группа является также точечной группой кристалла цинковой обманки. Двадцать четыре элемента этой группы можно разделить на пять классов:
{^},{8©},{3Q}, {6SJ и {6а},
заметив, что:
—вращения на одинаковый угол по отношению к эквивалентным осям принадлежат к одному и тому же классу,
—отражения в эквивалентных плоскостях также принадлежат к одному и тому же классу.
Поскольку число неприводимых представлений равно числу классов, 7d имеет пять неприводимых представлений, которые обычно обозначаются 4,人,石，Ti и 72- Отметим, что заглавная буква Е использовалась в литературе для обозначения большого числа величин, от энергии, электрического поля, операции тождественного преобразования в теории групп и до неприводимого представления в группе Т^! Для избежания недоразумений мы всегда будем уточнять, что именно обозначается буквой Е.
В качестве следующего шага надо создать таблицу характеров 5x5, используя (2.11) и (2.12). Вначале еще раз отметим, что характер класса, содержащего операцию идентичности К, равен размерности представления. Подставив этот результат в (2.12), получим
I£Ь(^)Г = ^(2」з)
Поскольку число классов обычно мало, это уравнение можно решить умозрительно с помощью непосредственной проверки. Для Та легко показать, что единственной
возможной комбинацией пяти квадратов, сумма которых равна 24, является следующая комбинация: 2 х I2 + 22 + 2 х З2. Этот результат означает, что группа 7d имеет два одномерных неприводимых представления (обозначаемых 4 и Аз)? одно двумерное неприводимое представление (обозначаемое Е) и два трехмерных неприводимых представления (обозначаемых Ti и 石).Далее заметим, что скаляр инвариантен при всех операциях, и поэтому всегда существует тривиальное тождественное представление^ все характеры которого равны единице. По соглашению этому представлению приписывается нижний индекс 1, в данном случае ——4. Таким образом, без большого труда мы уже нашли одну строчку и один столбец таблицы характеров для 7d (табл. 2.2).
Таблица 2.2
Нахождение таблицы характеров группы 7d путем непосредственной проверки
｛码
{35}
{654}
{6。}
{84}
1
1
1
1
1
1
2
3
3
Оставшиеся характеры можно также найти путем непосредственной проверки с помощью (2.12). Для классов, отличных от {Е}, характеры могут быть или положительными, или отрицательными. Знак можно определить, имея некоторую практику. Например, для класса {6а} единственной комбинацией сумм квадратов, удовлетворяющих (2.12), является 4 х I2 + О2 = 24/6 = 4. Применив (2.12) к характерам {Е} и {ба}, нетрудно заметить, что 儿佟。)=—1, Е(6сг) = 0, в то время как два оставшихся характера для 方 и 石 содержат 1 и —1. Окончательный результат для таблицы характеров 7d приведен в табл. 2.3.
Таблица 2.3
Таблица характеров и базисные функции группы 7d
{€}
{35}
{6S《}
{6。}
{84}
Базисные функции
4
1
1
1
1
1
xyz
4
1
1
一1
一1
1
d（犷-2）+火炉一 M + + ^4（Ж2 一 犷）
Е
2
2
0
0
一1
{(*-力)，"* + ?/)}
Ti
3
一1
1
一1
0
｛力（力一 £））y（£ 一 *）, N （方2 一力）｝
т2
3
一1
一1
1
0
{ж,办 n}
Полезно рассмотреть некоторые возможные базисные функции для неприводимых представлений Т^. Одной из возможных базисных функций для представления 4 является, как уже упоминалось ранее, константа. Другой может быть функция xyz, которая также инвариантна при всех операциях симметрии группы Т^. Представление 儿 очень похоже на 4 за тем исключением, что для операций S% и а характеры равны — 1, а не 1. Это означает, что базисная функция для 儿 должна изменять знак при замене любых двух осей координат друг на друга, например, при замене х на у. Одним из возможных выборов базисной функции для 儿 является /4(д2 _ %2)+ + g4(%2 —ж2) + /4(^2 _ 夕2)* Подобным же образом трехмерные представления 方
и Т? отличаются только знаками своих характеров при взаимной замене любых двух координат. Можно показать, что три компоненты вектора х, у и z преобразуются по представлению 石.Соответствующим набором базисных функций для представления Ti может быть х (д? — %?))у (%? — ж2) и % (ж2 — д?). Читатель может подтвердить эти результаты, вычислив характеры непосредственно с помощью базисных функций (см. задачу 2.2).
В начале этой главы отмечалась важность обозначений в теории групп. Обозначения, которыми мы пока пользовались для неприводимых представлений группы Т^： 4, Е〉Ti и т.д., чаще встречаются в литературе по молекулярной физике. Волновые функции кристалла с волновым вектором к в цетре зоны Бриллюэна (точка 丁) всегда преобразуются по неприводимым представлениям точечной группы кристалла. Следовательно, блоховские функции в точке Г кристалла со структурой цинковой обманки всегда можно классифицировать в соответствии с этими неприводимыми представлениями. В литературе по физике полупроводников принято для обозначения неприводимых представлений группы 7d использовать Г с нижним индексом £ К сожалению, существуют два различных соглашения о выборе индекса i для обозначения одинаковых неприводимых представлений. Одно из них принадлежит Костеру (оно чаще используется в современных исследованиях), другое было предложено Буккаэртом, Смолуховским и Вигнером (БСВ) и встречается в более старых статьях. Соответствие между различными обозначениями для точечной группы 7d приведено в табл. 2.4.
Таблица 2.4
Часто используемые обозначения
Обозначения Костера "Обозначения Костера "Обозначение БСВОбозначение БСВдля неприводимых представлений точечной группы 7d
Обозначения Костера "
Обозначения Костера "
Обозначение БСВ
Обозначение БСВ
Молекулярное обозначение
Г1Г2ГЗГ4Г5Г1Г2ГЗГ4Г5л^ л^" к ^" ^л^ л^" к ^" ^
Г1Г2ГЗГ4Г5
Г1Г2ГЗГ4Г5
л^ л^" к ^" ^
л^ л^" к ^" ^
Пример 2. Таблица характеров Од.
Как уже упоминалось, фактор-группой структуры алмаза является Од, которая изоморфна точечной группе, полученной из 7d путем включения операции инверсии 5. Поэтому она имеет 48 элементов: 24 операции симметрии 7d плюс операции 7d с последующим применением £ Это включает все 48 операций симметрии куба. Исходя из свойств группы 7曲 можно путем дедукции заключить, что Од имеет десять классов:
{Е}——тождественное преобразование;
{ЗС2} вращение。2 вокруг каждой из эквивалентных осей [100];
{6S4}——два четырехкратных несобственных вращения вокруг каждой из трех эквивалентных осей [100];
{6%}——отражение в каждой из шести эквивалентных плоскостей (110);
{8Оз} —— два, вращения Оз вокруг каждой из четырех эквивалентных осей [111]; {讣一инверсия;
{3<тд}——отражение в каждой из трех эквивалентных плоскостей (100);
L)Отметим, что в литературе обозначения А и F5 иногда заменяются одно другим. Студентам рекомендуется проверять смысл этих обозначений в тех случаях, когда они встречаются.
{6С4} два вращения。4 вокруг каждой из трех эквивалентных осей [100];
{60$}——вращение。2 вокруг каждой из шести эквивалентных осей [110];
{85*6} — два трехкратных несобственных вращения вокруг каждой из четырех эквивалентных осей [111].
Первые пять классов те же самые, что в группе Т^, а оставшиеся пять получаются из первых пяти классов путем умножения на инверсию.
Соответственно имеется десять неприводимых представлений. Пять из них являются четными при операциях, которые получаются из операций группы 7d с последующей инверсией, а остальные пять — нечетными. Подобным же образом базисные функции неприводимых представлений Од являются четными или нечетными при этих операциях. В терминологии квантовой механики говорится, что эти базисные функции четные или нечетные. Характеры группы Од приведены в табл. 2.5, а набор базисных функций для неприводимых представлений этой группы —в табл. 2.6. Таблица 2.5 специально представлена в такой форме, чтобы показать схожесть между представлениями «без штрихов» группы Од и представлениями группы Т^. Например, в группе Oh скаляр по-прежнему принадлежит представлению &，вектор принадлежит представлению Г^.
Таблица 2.5
Таблица характеров группы Oh, представленная в форме, подчеркивающей схожесть с таблицей 2.3 для группы Т^. Обозначения БСВ
｛码
{5}
{$4}
{%}
G}
｛讣
{%}
{&}
{$6}
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
一1
一1
1
1
1
一1
一1
1
「12
2
2
0
0
一1
2
2
0
0
一1
广25
3
一1
1
一1
0
—3
1
一1
1
0
As
3
一1
一1
1
0
—3
1
1
一1
0
1
1
一1
一1
1
一1
一1
1
1
1
1
1
1
1
1
一1
一1
一1
一1
一1
「12/
2
2
0
0
一1
—2
—2
0
0
1
г25/
3
一1
一1
1
0
3
一1
一1
1
0
「15，
3
一1
1
一1
0
3
一1
1
一1
0
Таблица 2.6
Базисные функции для неприводимых представлений группы Oh
Представления
Базисные функции
П
1
/（y _炉）+ 1/（/2 _/2）+ z 4（/2 _力）
｛[炉一（方2+力）/2]…2 一力｝
广25
{^ "_一n （ж2 _犷）}
Г15
{ж, У, /}
XZy [x4（у2 —炉）+ g4（/2 _+ /4（/2 _力）]
xyz
{xyz [炉 一 （ж2 + 力）/2], xyz （ж2 -力）}
「25/
{ху, yz, zx}
{“（y2 _ /2）,（/2 —/2）, xy（/2 — y2）}
Однако соотношение между представлениями «со штрихом» и «без штриха» не столь очевидно. Например, псевдо-скаляр принадлежит представлению Г^, в то время как псевдо-вектор ——представлению Г^. Более того, некоторые из представлений «со штрихом», например Г^ и 丁25j являются при инверсии четными, тогда как другие являются нечетными.
Если табл. 2.5 представлена в форме табл. 2.7, становится ясной корреляция между первыми пятью представлениями и остальными пятью. Отметим, что иногда используется гибрид между обозначениями К и БСВ: штрихи опускаются и заменяются на верхние индексы +, — , чтобы показать четность или нечетность представления. Студенты встретятся с таким обозначением в главах 6 и 7.
Таблица 2.7 Таблица характеров группы О^ в форме, показывающей соотношения между четными и нечетными представлениями. Приведены обозначения как Костера (К), так и БСВ [2.6]
к БСВ {Е}{5}{S6 {аЛ {“} {讣{勿}{&}{&} {5б}
п Ак д д д д д пп Ак д д д д д п2/2/о 1 1 1 1 о 1 1о 1 1 1 1 о 1 1о 1 1 1 1 о 1 1о 1 1 1 1 о 1 11 о о 1 1 1 о о1 о о 1 1 1 о оAv IX IX IX IX CD IX IXAv IX IX IX IX CD IX IXо 1 1 1 1 о 1 1о 1 1 1 1 о 1 11 о о 1 1 1 о о1 о о 1 1 1 о о
п Ак д д д д д п
п Ак д д д д д п
2/
2/
о 1 1 1 1 о 1 1
о 1 1 1 1 о 1 1
о 1 1 1 1 о 1 1
о 1 1 1 1 о 1 1
1 о о 1 1 1 о о
1 о о 1 1 1 о о
Av IX IX IX IX CD IX IX
Av IX IX IX IX CD IX IX
о 1 1 1 1 о 1 1
о 1 1 1 1 о 1 1
1 о о 1 1 1 о о
1 о о 1 1 1 о о
Некоторые применения таблиц характеров. Опишем некоторые применения таблиц характеров. Отметим, что в книге будут встречаться и другие их применения.
Разложение представлений на неприводимые компоненты.
(2.14)(2.14)Часто возникает следующая проблема: если даны группа G и представление 丁)то как узнать, приводимо ли оно? Если 丁 ——приводимое представление, то как разложить его на неприводимые компоненты? На эти вопросы можно ответить с помощью таблицы характеров G. Предположим, что %г (г) является характером заданного представления 丁)относящегося к классу {讣.Если 丁 является неприводимым представлением, то набор характеров %г (г) должен быть эквивалентен характерам одного из неприводимых представлений G. Если это не так, то 丁 является приводимым представлением. Предположим, что можно разложить 丁 на два неприводимых представления а и « с характерами Ха(〃) и ^^(г) соответственно. По определению Ха(〃) и ^^(г) должны удовлетворять уравнению
(2.14)
(2.14)
Хт(?；) = Ха⑴ + ХВ⑺
для всех классов {讣 группы G. Говорят, что представление 丁 является прямой суммой двух неприводимых представлений а и /3. Прямая сумма изображается символом ф, t.е. 丁 = q ㊉仪
Если размерность приводимого представления не очень велика, его часто можно разложить на прямую сумму неприводимых представлений путем непосредственной проверки. В качестве примера рассмотрим группу Та с ее характерами, приведенными в табл. 2.3, и тензор второго ранга {7叮} с компонентами
ГТ7ГТПГТПГТПГТПГТПГТПГТПГТП
XX ? Ху ?丄宓/) ух ?丄 gg〉J- уZ у И I •
Используя эти компоненты в качестве базисных функций, мы можем породить девятиразмерное представление которое обозначим как Г. Очевидно, что Г должно
быть приводимым, поскольку ни одно из неприводимых представлений Т& не имеет размерности выше трех. Чтобы разложить Г на неприводимые представления Т^, надо сначала определить характеры Г для всех классов 7Y В принципе, это можно сделать, применив операции симметрии Т& к девяти базисным функциям, чтобы получить матрицы 9x9, образующие представление Г.
Однако в случае этого тензора второго ранга возможен более простой и прямой подход. Заметим, что вектор с тремя компонентами х^ у и z образует набор базисных функций для трехмерного неприводимого представления 不 группы Т^ Поэтому матрицы 3x3 преобразования вектора являются представлением 不.Взяв произведение двух таких матриц 3x3, получим набор матриц 9x9, образующих представление Г. Это означает, что характеры Г равны квадратам характеров 不:
{Е} {ЗС2} {6S4} {6“ {8Оз}
Х「：9111 О
Если матрицы представления 丁 равны матричному произведению матриц двух представлений а и 仇 говорят, что 丁 является прямым произведением а и /3. Прямые произведения изображаются символом ®:
Г = Т2 ® Т2.(2.15)
После определения характеров Г следующим шагом будет нахождение неприводимых представлений 备)характеры которых в сумме будут давать характер Г. Систематически это достигается применением соотношений ортогональности (2.11). В качестве упражнения (задача 2.3) предлагается показать,что
t2 % t2 = 71 ㊉ 72 ㊉臼㊉ 4] •(2.16)
Набравшись опыта, этот результат можно быстро получить путем непосредственной проверки. В приведенном примере следует начать с написания различных комбинаций представлений, имеющих размерность девять. Затем следует исключить те комбинации, характеры которых для других классов не дают в сумме х「Нетрудно убедиться, что единственной прямой суммой с характерами, равными характерам F, для всех пяти классов Т& является сумма, приведенная в (2.16). Когда нам станет ясно, что Г может быть разложена на прямую сумму указанных четырех неприводимых представлений, можно использовать базисные функции этих представлений, приведенные в табл. 2.3, для того, чтобы найти правильные линейные комбинации девяти компонент тензора второго ранга, которые преобразуются в соответствии с этими четырьмя неприводимыми представлениями:
Л：Txx + Tyy + Tzz.
Е：{Тхх^Туу, Tzz^(Txx+Tyy)/2},
Ti：{(Тху —笃宓)/2)(襄况一Тж.)/2, (Tyz T^)/2},
T2：{(Txy + T^)/2, (Txz + Tzx)!^ (Tyz + Tzy)/2}.
Симметризация длинноволновых колебаний кристаллов цинковой обманки и алмаза.
Описанный нами выше процесс называется симметризацией девяти компонент тензора второго ранга. Этот метод можно также использовать для симметризации волновых функций. Если гамильтониан инвариантен при операциях симметрии группы, его волновые функции могут быть симметризованы в соответствии с неприводимыми представлениями этой группы. Подобно тому, как атомные волновые функции обозначаются s, р и d в соответствии с их симметрией при вращении, удобно обозначать электронные и колебательные волновые функции кристалла в точке к обратного
пространства через неприводимые представления группы операций симметрии волнового вектора к. Поясним это утверждение с помощью примера, относящегося к колебательным модам кристаллов цинковой обманки и алмаза.
Хотя мы не будем обсуждать решеточные колебания в полупроводниках до следующей главы, их свойства симметрии продемонстрировать проще, чем свойства электронов. Во-первых, можно утверждать, что колебания атомов в кристалле могут быть описаны волновыми функциями, основанными на его трансляционной симметрии, подобно тому, как его электроны описываются блоховскими функциями. Например, звук является такого рода колебанием. Таким образом, движения атомов в кристалле могут быть охарактеризованы их векторами смещений (в реальном пространстве) и их волновыми векторами к (в пространстве обратной решетки). Поэтому симметрия колебания определяется эффектом, который операции симметрии кристалла оказывают на оба этих вектора. Вследствие дискретного расположения атомов в кристалле волны с волновыми векторами к или к плюс вектор обратной решетки неразличимы (этот вопрос будет обсуждаться далее в гл. 3). Поэтому операция, преобразующая к в другой волновой вектор к「отличающийся от к на вектор обратной решетки, также принадлежит к группе операций симметрии вектора к. Эта группа называется группой волнового вектора к. В частности, группа точки F, или центра зоны, всегда совпадает с точечной группой кристалла.
Длинноволновое колебание в кристалле (т.е. с к вблизи центра зоны Бриллюэна) заключается в почти однородном смещении идентичных атомов в различных элементарных ячейках. Для кристалла цинковой обманки с двумя атомами в примитивной элементарной ячейке колебательная мода центра зоны может характеризоваться двумя векторами, представляющими смещения этих двух атомов. Мы уже отмечали, что три компоненты вектора при операциях симметрии 7d преобразуются в соответствии с представлением % обозначаемом также /4 (см. таблицы 2.3 и 2.4). При обсуждении свойств кристалла цинковой обманки перейдем на обозначения Костера. Для краткости будем говорить, что вектор «принадлежите представлению /4. Два вектора, связанные с двумя атомами в примитивной ячейке, создают шестимерные представления. Эти представления приводимы, поскольку неприводимые представления в группе 7d не могут иметь размерность выше трех. Для приведения этих представлений можно вычислить их характеры, применив операции симметрии 7d к обоим векторам. Альтернативный метод заключается в рассмотрении двух атомов как базиса двумерного представления R. Характеры R можно получить, сосчитав число атомов, которые не меняют положения при операциях симметрии 7d (поскольку каждый атом, удовлетворяющий этому условию, добавляет один единичный диагональный элемент к матрице представления). Два атома в решетке цинковой обманки не переходят друг в друга при операциях группы Т^, и поэтому все характеры R просто равны двум. Таким образом, R приводится к двум представлениям &. Представления двух векторов смещения в элементарной ячейке кристалла цинковой обманки даются прямым произведением R и /4, которое равно 2&. Эти два представления /4 соответствуют акустической и оптической фононным модам (дальнейшие подробности см. в гл. 3). В акустическом колебании два атома в элементарной ячейке движутся в фазе, а в оптическом колебании их движения смещены по фазе на 180°.
Как показано в п. 2.3.2, фактор-группа кристалла алмаза изоморфна точечной группе Од. Нам следует вспомнить, что за начало координат был выбран узел одного из атомов углерода. Операцией пространственной группы, соответствующей инверсии в Од, является инверсия вокруг начала с трансляцией на (а/4) (1, 1, 1) (для краткости обозначим здесь эту операцию как 5'了 Из табл. 2.6 находим, что вектор принадлежит представлению &5 точечной группы Од. Как и в случае кристалла цинковой обманки, мы можем найти характеры шестимерных представлений, отыскав характеры R и вычислив затем прямое произведение R и П5. Теперь характеры R зависят от того, включена ли 〃 в операции симметрии. Для всех операций симмет-
4 М. Кардона
рии, уже существующих в структуре цинковой обманки и поэтому не связанных с г\ характеры равны двум. Для всех прочих операций два атома в примитивной элементарной ячейке переходят друг в друга под действием операции г\ и поэтому их характеры равны нулю. Путем непосредственной проверки из табл. 2.5 можно заключить, что R приводится к 乙 ㊉ F2Z • Таким образом, векторы смещений двух атомов в примитивной элементарной ячейке алмаза преобразуются по &5 и 丁25, • Векторы смещений акустического фонона изменяют знак под действием 5' (говорят, что они нечетные) и поэтому имеют симметрию Г^. Напротив, оптический фонон — четный и имеет симметрию 丁25： Действие i' на длинноволновые акку- стические и оптические фононы, распространяющиеся вдоль объемной диагонали кристалла алмаза, представлено на рис. 2.7.
а Акустический фонон
До инверсииДо инверсииt t —(111)t t —(111)После инверсии((После инверсии((Центр инверсииI I I IЦентр инверсииI I I II I ill)I I ill)
До инверсии
До инверсии
t t —(111)
t t —(111)
После инверсии((
После инверсии((
Центр инверсии
I I I I
Центр инверсии
I I I I
I I ill)
I I ill)
После трансляции на (#4)(1 J 1)После трансляции на (#4)(1 J 1)
После трансляции на (#4)(1 J 1)
После трансляции на (#4)(1 J 1)
До инверсииДо инверсииПосле инверсииПосле инверсии6 Оптический фонон6 Оптический фононПосле трансляции на («/4)(1, 1,1)После трансляции на («/4)(1, 1,1)? т К? т КРис. 2.7. Схематические диаграммы преобразований акустического фонона (а) и оптического фонона (6), относящегося к центру зоны Бриллюэна в алмазе, при инверсии с трансляцией на (а/4)(1, 1, 1), где а ——размер стороны элементарного куба в алмазеРис. 2.7. Схематические диаграммы преобразований акустического фонона (а) и оптического фонона (6), относящегося к центру зоны Бриллюэна в алмазе, при инверсии с трансляцией на (а/4)(1, 1, 1), где а ——размер стороны элементарного куба в алмазе
До инверсии
До инверсии
После инверсии
После инверсии
6 Оптический фонон
6 Оптический фонон
После трансляции на («/4)(1, 1,1)
После трансляции на («/4)(1, 1,1)
? т К
? т К
Рис. 2.7. Схематические диаграммы преобразований акустического фонона (а) и оптического фонона (6), относящегося к центру зоны Бриллюэна в алмазе, при инверсии с трансляцией на (а/4)(1, 1, 1), где а ——размер стороны элементарного куба в алмазе
Рис. 2.7. Схематические диаграммы преобразований акустического фонона (а) и оптического фонона (6), относящегося к центру зоны Бриллюэна в алмазе, при инверсии с трансляцией на (а/4)(1, 1, 1), где а ——размер стороны элементарного куба в алмазе
Симметризация волновых функций почти свободных электронов в кристалле цинковой обманки.
В качестве примера применения таблиц характеров для симметризации электронных волновых функций рассмотрим почти свободный электрон в кристалле цинковой обманки. Под термином «почти свободный» мы имеем в виду, что электрон движется внутри кристалла с исчезающе малым периодическим потенциалом с симметрией 7d
так, что его энергия Е и волновая функция Ф являются в сущности такими же, как у свободной частицы:
Ф (ж, д〉％) = exp [i (kxx + kyy + kzz)](2.17)
и
力2收 e = 2m
Однако вследствие периодичности решетки его волновой вектор к может быть ограничен первой зоной Бриллюэна в схеме приведенных зон.
Будем предполагать, что кристалл имеет структуру цинковой обманки и что к = = (2»/а) (1, 1, 1), где а ——длина грани элементарного куба в решетке цинковой обманки. Применив операции симметрии Оз цинковой обманки, можно показать, что все восемь точек (2»/а) (±1, ±1, ±1) зоны Бриллюэна эквивалентны. Кроме того, из определения примитивных векторов обратной решетки, приведенного в § 2.2, следует, что все восемь точек отличаются от центра зоны на примитивный вектор обратной решетки. Поэтому в схеме приведенных зон все восемь точек будут размещаться в центре зоны. Следовательно, группой волнового вектора к = (2»/а) (1, 1, 1) является 北-Для простоты будем обозначать волновые функции ехр [г (кхх + куу + kzz)] как {kxkykz}. Восемь волновых функций {111}, {111}, {111}, {111}, {111}, {111}, {111} и {111} вырождены, однако вырождение будет сниматься такими возмущениями, как не равный нулю потенциал кристалла. Нашей целью теперь является создание симметризованных линейных комбинаций из этих восьми волновых функций с помощью таблицы характеров группы 7d (см. табл. 2.3).
Заметим сначала, что указанные восемь волновых функций образуют базисные функции восьмимерного представления. Очевидно, что данное представление является приводимым. В отличие от случаев 1 и 2, здесь нет короткого пути для определения характеров этого восьмимерного представления. Поскольку характеры являются суммами диагональных элементов, их можно найти, определив число волновых функций, которые не изменяются при операциях симметрии. Вычисленные таким способом характеры приведены в табл. 2.8.
Таблица 2.8
Характеры представлений, образованных волновыми функциями почти свободного электрона кристалла цинковой обманки с волновыми векторами, равными (2тг/а) (1, 1, 1) и (2тг/а) (2, 0, 0)
Класс
Преобразование
Характеры
[Ш]
[200]
К
xyz
8
6
3。2
x~yz
0
2
6 $4
xzy
0
0
6а
yxz
4
2
8Сз
yzx
2
0
Использовав соотношения ортогональности или «метод непосредственной проверки», с помощью табл. 2.3 (использовав табл. 2.4 для перехода к обозначениям Косте- ра) находим, что единственной комбинацией неприводимых представлений, дающих набор характеров, приведенных в табл. 2.8, является прямая сумма 2n ㊉ 2&. Таким образом, восемь {(±)1 (±)1 (±)1} волновых функций свободного электрона могут быть выражены, как две волновые функции, принадлежащие к одномерному /^
представлению, и две волновые функции, принадлежащие к трехмерному представлению /4. Правильные линейные комбинации волновых функций, преобразующихся по этим неприводимым представлениям, могут быть получены систематически с помощью проекционных операторов (подробности можно найти в любой книге по теории групп). Во многих простых случаях это можно также сделать путем непосредственной проверки. Правильными линейными комбинациями волновых функций [111] являются приведенные в табл. 2.9 (см. задачу 2.4).
Аналогичным образом можно показать, что шесть вырожденных волновых функций {(±)200}, {0 (±)20} и {00 (±)2} образуют шестимерное представление с характерами, приведенными в табл. 2.8. Использовав данные характеры, можно разложить это шестимерное представление на прямую сумму А ф F3 ф А- Симметризованные волновые функции приведены в табл. 2.10, а доказательство оставлено в качестве упражнения (задача 2.4).
Таблица 2.9
Симметризованные волновые функции почти свободного электрона в кристалле цинковой обманки с волновыми векторами, равными (2тг/а) (±1, ±1, ±1)
Представление
Волновая функция
(1/V8)({111} + {111} + {111} + {111} + {ТТТ}+ +{111} + {111} + {ПТ})=
=(V5) cos (2тгж/a) cos (2тгу /а) cos (2тг//а)
(V8) sin (2тг力/а) sin (2тгу/а) sin (2тг//а)
г4
(V8){sin (2тг力/а) sin (2тгу/а) cos (2тг//а);
sin (2тг力/а) cos (2тгу/а) sin (2тг//а);
cos (2тг力/а) sin (2тгу/а) sin (2тг//а)}
г4
(V8){sin (2тг力/а) cos (2тгу/а) cos (2тг//а);
cos (2тг力/а) sin (2тгу/а) cos (2тг//а);
cos (2тг力/а) cos (2тгу/а) sin (2тг//а)}.
Таблица 2.10
Симметризованные волновые функции почти свободного электрона в кристалле цинковой обманки с волновыми векторами, равными (2тг/а) (±2, 0, 0) и (2тг/а) (0, 0, ±2)
Представление
Волновая функция
cos (4тгж/а) + cos (4тгу/а) + cos (4тг//а)
cos (4тгу/а) — cos (4тг^/а);
cos (4тг力/а) — (1/2)[cos (4тгу/а) + cos (4тг//а)]
г4
sin (4тгж/а); sin (4тгу/а); sin (4тг//а)
Правила отбора.
Из атомной физики известно, что оптические переходы подчиняются правилам отбора. Например, при оптическом дипольном переходе орбитальный угловой момент может измениться только на ±1. Эти правила отбора являются результатом ограничений, налагаемых на матричные элементы оператора электрического дипольного момента вращательной симметрией атомного потенциала (см. [6.29, 6.30]). Можно ожидать возникновения подобных же правил отбора из-за симметрии потенциала в кристалле. Чтобы понять, как получают такие правила, рассмотрим следующий пример.
Пусть 目一оператор импульса электрона, а Ф1 — его волновая функция в кристалле типа цинковой обманки с точечной группой Т^. Поскольку р является вектором, его три компоненты рх)р^ и pz принадлежат неприводимому представлению Т? (&5 или /4 согласно табл. 2.4). Предположим, что Ф1——трижды вырожденная волновая функция, также принадлежащая к 石.В результате действия оператором р на Ф1 получается набор из девяти волновых функций, которые мы обозначим как 屮3. Эти девять волновых функций порождают девятимерное приводимое представление, которое можно привести к прямой сумме Ti ® Т^ ® Е ® Ai, как это было показано в (2.16). Далее образуем матричный элемент М = (Ф2|р|Ф1) = (ф2|ф3) между Ф3 и другой волновой функцией 屮2“ Предположим, что 屮2 принадлежит неприводимому представлению В, которое не является одним из неприводимых представлений в прямой сумме представлений Т± фТ^Ф Е ® А± волновой функции Ф3. Из ортогональности базисных функций для различных неприводимых представлений следует, что матричный элемент М равен нулю. В общем случае можно доказать, что матричный элемент между оператором р и двумя волновыми функциями Ф1 и 屮2 отличается от нуля, только если прямое произведение представлений р и W] содержит неприводимое представление 屮2・ Этот важный результат теории групп известен как теорема матричного элемента.
В применении к атомам теорема матричного элемента приводит к хорошо известным правилам отбора для электрических дипольных переходов. Например, если Ф1 и Ф2 — атомные волновые функции, то они обладают определенной четностью при инверсии и четность их прямого произведения является просто произведением их четностей. Оператор электрического дипольного момента ——нечетный, и поэтому его матричный элемент между состояниями с одинаковой четностью равен нулю в соответствии с теоремой матричного элемента. Если обе волновые функции Ф1 и 屮2 обладают s-симметрией, то и их прямое произведение имеет s-симметрию. Поскольку оператор дипольного момента обладает р-симметрией, его матричный элемент между состояниями с s-симметрией равен нулю. С другой стороны, если одна из этих волновых функций имеет р-симметрию, прямое произведение будет содержать компоненту с р-симметрией и электрический дипольный переход не будет равен нулю. Таким образом, применение теоремы матричного элемента приводит к правилам отбора для оптических переходов в системах со сферической симметрией.
Используя теорему матричного элемента, можно также получить очень общие правила отбора для оптических переходов в кристаллах типа цинковой обманки и алмаза. В главе 6 мы покажем, что электрические дипольные переходы в кристалле определяются матричным элементом оператора импульса электрона р. В кристалле типа цинковой обманки р принадлежит неприводимому представлению /4. Для получения правил отбора для оптических переходов, связанных с волновыми функциями центра зоны, необходимо знать прямое произведение между /4 и всеми неприводимыми представлениями Т^. Результаты приведены в табл. 2.11.
Таблица 2.11
Прямые произведения представления Г4 со всеми представлениями 7d
Прямая суммаПрямая сумма® ® ® ® ®® ® ® ® ®㊉㊉Прямое произведение
Прямая сумма
Прямая сумма
® ® ® ® ®
® ® ® ® ®
㊉
㊉
® Г5 ® Г3 ® А® Г5 ® Г3 ® Г2
С помощью этой таблицы легко определить, разрешены ли электрические дипольные переходы между любыми двумя зонами в центре зоны Бриллюэна кристалла типа
цинковой обманки. Например, все дипольные переходы между валентной зоной 玛 и зонами проводимости с симметриями А, F2 7 ^4 и F5 разрешены. С помощью табл. 2.11 можно получить правила отбора при оптическом возбуждении фононов фотонами в инфракрасной области (что будет обсуждаться далее в гл. 6). Основное состояние кристалла без фононов должно было бы иметь симметрию П* В кристалле цинковой обманки только оптические фононы 玛 могут непосредственно возбуждаться инфракрасными фотонами при электрическом дипольном переходе. Такие фононы называются инфракрасно-активными. Напротив, оптический фонон 乃5，структуры алмаза не является инфракрасно-активным вледствие правил отбора по четности (Ge, Si и алмаз весьма прозрачны в инфракрасной области!). Оператор импульса ионов имеет симметрию F15 для группы Од и нечетен под действием операции i' в кристалле алмаза. Поэтому электрические дипольные переходы могут соединять только состояния с противоположной четностью.
Правила отбора для оптических процессов более высокого порядка, таких как рамановское рассеяние, также могут быть получены с помощью табл. 2.11. Как будет показано в гл. 7, рамановское рассеяние связано с возбуждением фонона посредством двух оптических переходов. Если оба оптических перехода относятся к типу электрических дипольных переходов в кристалле цинковой обманки, возбужденный фонон должен принадлежать к одному из неприводимых представлений прямого произведения 玛 艺玛=玛 ㊉丁5 ㊉丁з ㊉ П. Фононы, которые могут оптически возбуждаться при рамановском рассеянии, называются рамановски-активными. Таким образом, оптический фонон 玛 в кристалле цинковой обманки является рамановски-активным, будучи к тому же инфракрасно-активным. Подобным образом можно показать, что в кристаллах с точечной группой Од симметрии рамановски-активных фононов будут 丁25j А2 и П (см. дальнейшие подробности в гл. 7). Итак, оптический фонон 乃5, в структуре алмаза, не будучи инфракрасно-активным, является рамановски-актив- ным. В кристаллах с инверсионной симметрией (называемых центросимметричными) инфракрасно-активный фонон при инверсии должен быть нечетным, в то время как рамановски-активный фонон должен быть при инверсии четным, поэтому в таких кристаллах фонон не может быть одновременно как рамановски-активным, так и инфракрасно-активным.
Идеальная решетка или энергетические зоны почти свободных электронов
Применим теперь обозначения теории групп к электронным энергетическим зонам полупроводников типа алмаза и цинковой обманки. Поскольку электроны движутся в кристаллическом потенциале, их волновые функции могут быть симметри- зованы таким образом, чтобы отражать симметрию кристалла, т.е. быть записаны в такой форме, когда они принадлежат неприводимым представлениям пространственной группы кристалла. Однако для того, чтобы подчеркнуть свойства симметрии электронных волновых функций, мы будем предполагать, что кристллический потенциал исчезающе мал. В этой идеальной решетке или в модели почти свободного электрона энергия и волновые функции электрона являются такими же, как приведенные для свободной частицы в (2.18) и (2.19) соответственно. Электронная энергетическая зона, построенная в схеме расширенных зон, является просто параболой. Эта парабола выглядит значительно более сложно в схеме приведенных зон. Она имеет особенно устрашающий вид, если волновые функции обозначены в соответствии с неприводимыми представлениями точечной группы кристалла. Такие сложности возникли из-за использования симметрийных свойств кристалла, что предположительно должно было упростить проблему! Однако упрощение возникает при рассмотрении зонной структуры электронов идеальной решетки, что будет сделано в оставшихся
параграфах главы. В них мы будем пользоваться теорией групп для анализа свойств симметрии зонной структуры почти свободных электронов в кристаллах цинковой обманки и алмаза.
Зонная структура почти свободных электронов в кристалле цинковой обманки. На рис. 2.8 изображена энергетическая зона почти свободных электронов, построенная в модели приведенных зон для волнового вектора в направлении [111] и [100]. Для анализа этой зонной схемы рассмотрим симметрию и волновые функции в нескольких особых точках обратного пространства, обладающих высокой симметрией. Пусть
k = (0, 0, 0).
Как было указано в п. 2.3.4, группа волнового вектора к в точке Г всегда изоморфна группе решетки. Поскольку волновая функция для к = 0 является константой, она имеет симметрию А. Пусть
к = (6, 6, 6), b 声 тг/а.
В восьми эквивалентных направлениях [111] зоны обозначаются через Л, что соответствует обозначениям зоны Бриллюэна на рис. 2.2 в. Волновые функции для к 声 0 классифицируются в соответствии с группой волнового вектора к. Группой волнового вектора вдоль направления [111] внутри зоны Бриллюэна является Сз^, содержащая шесть элементов, распределенных по трем классам:
{Е} — тождественное преобразование;
{Сз, С^1}——два трехкратных вращения вокруг направлений [111];
{mi, Ш2, Шз} — три отражения в трех эквивалентных плоскостях (ПО), содержащих ось [111].
Рис. 2.8. Зонная структура почти свободных электронов в кристалле цинковой обманки в схеме приведенной зоны. Числами в квадратных скобках обозначены векторы соответствующей обратной решетки в схеме расширенной зоны в единицах 27r/а, где а — размер элементарного куба. Для соответствия с обозначениями, используемыми в литературе, мы будем на всех рисунках для обозначения прямой суммы двух представлений пользоваться знаком + вместо ㊉
Таблица 2.12
Характеры и базисные функции неприводимых представлений группы Л ((7з-У) в кристалле цинковой обманки
{Е}
{2Сз}
{3m}
Базисные функции
Л1
1
1
1
1 или х + у + Z
Л2
1
1
—1
ху(х — у) + yz{y _ z) + zx{z — ж)
Аз
2
—1
0
{(£ - 力■/!"(%- Ik + M)}
Характеры и базисные функции для неприводимых представлений Л представлены в табл. 2.12.
Волновая функция свободного электрона, имеющая вид ехр [(гтг^/а)(х + у + z)], где 0 < 4 < 1, инвариантна при всех операциях симметрии группы Л и поэтому принадлежит представлению А]. Можно также найти эту симметрию волновой функции электрона, воспользовавшись так называемыми соотношениями совместности. Симметрия концевой точки оси в зоне Бриллюэна выше или равна симметрии точки на оси. Поэтому группа точки на оси или равна группе концевых точек на оси или образует ее подгруппу. В последнем случае представление, принадлежащее к группе концевой точки оси, может быть разложено по неприводимым представлениям группы оси. Процедура этого разложения аналогична описанной в п. 2.3.4. Разница заключается в том, что теперь следует учитывать только операции симметрии, общие для обеих групп. Если представление группы оси содержится в представлении группы концевой точки оси, два представления называются совместными. Для точек, лежащих на оси [111] кристалла типа цинковой обманки, группа Л является подгруппой F, но идентична группе L. Из таблицы характеров для F и Л ясно, что А совместна только с Ai. Следовательно, если зона начинается в ценре зоны Бриллюэна с симметрией Fi, симметрия зоны вдоль направления [111] должна быть Ai. Этот случай является иллюстрацией довольно тривиального применения соотношений совместности. Соотношения совместности очень полезны для проверки совместности при расчетах зонной структуры. Дальнейшие применения соотношений совместности можно найти в задаче 2.6 в конце данной главы.
Пусть
к =(7г/а)(1, 1, 1).
В структуре цинковой обманки операции симметрии в группе точки 厶 идентичны операциям группы оси Л. Таким образом, представление Ai совместно только с представлением &. Для свободных электронов волновая функция дважды вырождена в(7г/а)(1, 1, 1), т.к.(7г/а)(1, 1, 1) и (—тг/^)(1, 1, 1) в структуре цинковой обманки различаются на вектор обратной решетки (2тг/а)(1, 1, 1). Пользуясь соотношениями совместности, можно показать, что следующая зона с более высокой энергией вдоль оси Л также имеет симметрию Ai.
Пусть
к = (2тг/а)(1, 1, 1).
Точка к = (7г/а)(1, 1, 1) эквивалентна точке Г, поскольку она отличается от Г на вектор обратной решетки. Как было показано в п. 2.3.4, восемь вырожденных волновых функций вида ехр [(г2тг/а)(±ж ± у 士 ％)] могут быть симметризованы в две волновые функции с симметрией Г^ и два набора по три волновых функции в каждом с симметрией 玛.Симметрия зон с более высокой энергией в направлении [111] была приведена на рис. 2.8. Они могут быть найдены путем дедукции с помощью табл. 2.12 и проверены с помощью соотношений совместности. Читателю настоятельно рекомендуется удостовериться в этом в качестве упражнения.
Пусть
k = (с, 0, 0), с 卢(2тг/а).
Волновые векторы в направлении [100] и эквивалентных направлениях обозначают™ ся △. Группа △ {C^v) содержит четыре элемента, разделенных на четыре класса, перечисленные в табл. 2.13. Неприводимые представления и характеры группы △ приведены в табл. 2.14. Волновые функции в направлении [100] имеют симметрию △], так как это единственное представление, совместное с Г\. Ось △ кончается в точке X на поверхности зоны Бриллюэна.
Пусть
к =(7г/а)(1, 0, 0).
Группа X содержит вдвое больше операций симметрии, чем группа △, так как волновые векторы (2тг/«)(1, 0, 0) и (2тг/а)(^1, 0, 0) различаются на вектор обратной решетки (2тг/а)(2, 0, 0). Восемь элементов группы X (I)2d) подразделяются на пять классов:
{Е} — тождественное преобразование;
{Cf (ж)} — двукратное вращение вокруг оси ж;
{2С?(д, 2；)} — двукратные вращения вокруг осей g к %;
{2&} — два четырехкратных несобственных вращения вокруг оси ж;
{2m，d} —“ва зеркальных отражения в плоскостях [011] и [011].
Таблица 2.13
Операции симметрии и классы группы △ (С2а) в структуре цинковой обманки
Класс
Операции симметрии
{Е}
xyz
{^}
xyz
{ma}
xyz
{md}
Таблица 2.14
Характеры неприводимых представлений группы △(。2切)
{Е}
{^}
{md}
{必}
1
1
1
1
1
1
—1
—1
1
一 1
1
一 1
1
—1
1
Таблица 2.15
Характеры неприводимых представлений группы X (Z)2d) в структуре цинковой обманки
{Е}{。沁)}{2。汽勿 ％)}{2S4{2m4
1 2 3 4 5X X X X X1 2 3 4 5X X X X X1 1 1 1 21 1 1 1 2
1 2 3 4 5X X X X X
1 2 3 4 5X X X X X
1 1 1 1 2
1 1 1 1 2
Неприводимые представления группы X и их характеры приведены в табл. 2.15. Волновые функции в точке X с к = (2тг/а)(±1, 0, 0) дважды вырождены в модели почти свободных электронов. С помощью соотношений совместности можно найти, что эти волновые функции принадлежат представлениям X] или Х3.
Пусть
к = (2тг/а)(0, 0, 2).
Точки к = (2тг/а)(±2, 0, 0), (2тг/а)(0, ±2)0) и (2тг/а)(0, 0, ±2) отличаются от центра зоны на векторы обратной решетки. Как уже было показано в примере 3 в п. 2.3.4, шесть вырожденных волновых функций
ехр [±勿4亓啰/甸;exp [±г4тг^/а]; и exp [±54ttz/а]
могут быть симметризованы так, чтобы преобразовываться подобно неприводимым представлениям Fi, F3 и /4.
Энергетические зоны почти свободных электронов в кристаллах алмаза. Очевидно, что структура зон свободных электронов в структуре цинковой обманки и алмаза одинакова. Поэтому для получения симметризованных волновых функций специально для структуры алмаза нам следует сначала предположить, что кристаллический потенциал алмаза не равен нулю, и, соответственно, произвести симметризацию волновых функций. После этого следует устремить кристаллический потенциал к нулю. Зонная структура почти свободных электронов в алмазе, полученная таким способом, показана на рис. 2.9. Она служит важным подспорьем к зонной структуре Si (показанной для сравнения на рис. 2.10), полученной с помощью более сложного метода, который будет обсуждаться ниже в этой главе.
Симметрии зон в алмазе и цинковой обманке очень похожи, потому что оба кристалла имеют ГЦК решетку и тетраэдрическую симметрию. Однако имеются и важные различия, связанные с наличием в структуре алмаза плоскостей скольжения, что
Рис. 2.9. Зонная структура почти свободных электронов в кристалле типа алмаза в схеме приведеной зоны
Рис. 2.10. Электронная зонная структура Si, расчитанная по методу псевдопотенциала. Сплошные и пунктирные линии соответствуют расчетам с нелокальным и локальным леев- допотенциалом соответственно [2.8]
обсуждалось в п. 2.3.2. В этом пункте мы отмечали, что если в алмазе выбрать начало координат на одном из атомов углерода, то кристалл будет инвариантен при всех операциях симметрии точечной группы 7d с тремя операциями «типа скольжения»: Т(1/4, 1/4, 1/4) ах, Т(1/4, 1/4, 1/4) сг^ и Т(1/4, 1/4, 1/4) az (для краткости обозна™ чим их T(jx^ Т а у и Т a z соответственно). Однако фактор-группа пространственной группы алмаза изоморфна точечной группе 0九.При симметризации электронных волновых функций в структуре алмаза следует рассмотреть действие Тах на блохов- ские функции.
Здесь мы уделим особое внимание электронным волновым функциям в точках F, L и X зоны Бриллюэна кристалла алмаза.
Пусть
к = (0, 0, 0).
Согласно (2.8), блоховские функции в центре зоны можно записать в виде и(м), где и имеет периодичность решетки. Определим С как набор, образованный из операций группы 7d плюс все операции, полученные в результате умножения каждого эле™ мента 7d на Тах. Определенный таким образом С не является группой, поскольку операции, связанные со скольжением, такие как (Тах)2 = Т(0, 1/2, 1/2), не входят в С (для краткости обозначим операции Т(0, 1/2, 1/2) через Q). Создадим теперь набор {Си}, состоящий из 48 функций, применив операции С к и(г). Для любых двух операций симметрии а к 6, принадлежащих С, мы определим операцию умно жения двух соответствующих элементов а и и Ьи в {Си} как (au^bu) = (ab)u. Легко показать, что набор операций в {Си}, определенный по их действию на и, образует группу. В частности, Qu(r) = и(г), поскольку и (г) обладает трансляционной сим™ метрией кристалла, и следовательно Qu является элементом {Си}. Удобно ввести в этой группе элемент "и, где 5’ = Т(1/4, 1/4, 1/4)5 был введен в п. 2.3.4 (г явля™ ется операцией инверсии относительно начала). Как отмечалось в п. 2.3.4, кристалл алмаза не инвариантен при инверсии относительно одного из атомов углерода; однако
он инвариантен при комбинированной операции инверсии с последующей трансляцией на Т(1/4, 1/4, 1/4). Можно показать, что 48 операций в {Си} изоморфны группе О%. Здесь приведена таблица характеров группы волновых функций Г (табл. 2.16). Ее можно сравнить с таблицей характеров группы О% (см. табл. 2.5). Отметим, что в таблицах 2.5 и 2.16 классы даны в различном порядке. В табл. 2.16 вначале приведены пять классов операций симметрии точечной группы 7d. Оставшиеся пять классов получены умножением операций 7d на г\
В различных точках высокой симметрии кристалла алмаза i‘ оказывает различное действие на симметрию волновых функций. Например, точки вдоль направления Л не инвариантны под действием 5\ поэтому их симметрия такая же, как и в кристалле цинковой обманки. С другой стороны, точка 丄 инвариантна под действием 尸，и поэтому волновые функции в точке L имеют определенную четность под действием 尸.
Пусть
к =(7г/а)(1, 1, 1).
Группа точки L в структуре алмаза изоморфна группе L в ГЦК решетке Браве (т.е. кристалле, возникающем при помещении только одного атома в каждый узел ГЦК решетки). Характеры и базисные функции неприводимых представлений в группе L (Рз^) приведены в табл. 2.17.
Пусть
к = (2тг/а)(1, 1, 1).
Как уже объяснялось для случая кристалла цинковой обманки, точка с вектором
Таблица 2.16
Характеры неприводимых представлений группы Г в структуре алмаза. Обозначения Костера (обозначения БСВ приведены в скобках)
{E}
{5}
{$4}
{%}
{以}
佇｝
口5}
{2S}
{2%d}
{9}
6（П）
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
一1
—1
1
1
1
—1
—1
1
2
2
0
0
一1
2
2
0
0
一1
行心，）
3
一1
1
一1
0
3
一1
1
一1
0
3
—1
—1
1
0
3
—1
—1
1
0
小n，）
1
1
一1
一1
1
一1
一1
1
1
一1
1
1
1
1
1
一1
一1
一1
一1
一1
2
2
0
0
—1
—2
—2
0
0
1
小广15）
3
—1
—1
1
0
—3
1
1
—1
0
3
一1
1
一1
0
—3
1
一1
1
0
Таблица 2.17
Характеры и базисные функции неприводимых представлений группы £ в структуре алмаза
{后} {2以}
{35}
{盯{2限Сз}{3%5}
Базисные функции
bi
11
1
111
1
£2
11
一1
11_1 zР(第2 一 y2)+ yz(y2 — %2) + ZX(Z2 — Ж2)
2—1
0
2—10
｛丁 一 1/2（ж^ + 旷）；一旷）｝
11
1
—1—1—1
(z — y)(y — %)(% — ж)
£2，
11
一1
一1—11
х + у + z
£3，
2—1
0
—210
{(z-%); (y- 1/2[z + %])}
к = (2тг/а)(1, 1, 1) эквивалентна точке Г. Это, конечно, справедливо и для кристалла алмаза. С помощью восьми симметризованных волновых функций для кристалла цинковой обманки, приведенных в табл. 2.9, легко показать, что для кристалла алмаза восемь эквивалентных волновых функций (111) симметризуются таким образом, чтобы преобразовываться по неприводимым представлениям, данным в табл. 2.18.
Таблица 2.18
Симметризованные волновые функции почти свободных электронов в кристалле алмаза с волновыми векторами, равными (2тг/а)(±1, ±1, ±1). Начало координат совпадает с узлом, в котором находится атом
Представления
Волновые функции
叮(G)
cos (2тгж/а) cos (2тгу/а) cos (2тг%/а) + sin (2тгж/а) sin (2тгу/а) sin (2тг%/а)
cos (2тгж/а) cos (2тгу/а) cos (2тг%/а) — sin (2тгж/а) sin (2тгу/а) sin (2тг%/а)
sin (2тгж/а) cos (2тгу/а) cos (2тг^/а) +cos (2тгж/а) sin (2тгу/а) sin (2тг%/а); плюс две циклических перестановки
^(П5)
sin (2тгж/а) cos (2тгу/а) cos (2тг%/а) — cos (2тгж/а) sin (2тгу/а) sin (2тг%/а); плюс две циклических перестановки
Симметрия волновых функций в структуре алмаза для направлений [001] совершенно другая, чем в кристалле цинковой обманки. Рассмотрим сначала точку X, представляющую особенно интересный случай.
Пусть
к = (2тг/а)(0, 0, 1).
Особенным свойством волновых функций в точке X структуры алмаза является то, что все существенные неприводимые представления группы точки X являются дважды вырожденными, однако не имеют определенной четности под действием ". Для того, чтобы понять это необычное свойство, перечислим сначала все операции симметрии группы точки X. Начнем с восьми операций симметрии группы точки к = =(2тг/а)(0, 0, 1) в зоне Бриллюэна структуры цинковой обманки:
{匕 3⑶，23Е / 2&, 2m，d}.
Затем рассмотрим комбинированное действие этих операций и операции Тaz на волновую функцию в точке X:
ф = exp (2iTrz/а)и(г).(2.19)
Можно было бы надеяться создать группу точки X, взяв восемь приведенных выше элементов и добавив к ним их произведения на операцию Тaz. В результате получается набор из шестнадцати элементов. Однако оказывается, что эти шестнадцать элементов не образуют группу, т.к. трансляция и вращение не обязательно коммутируют друг с другом. Рассмотрим, например, комбинированное действие на вектор (ж, д, %):
(ж, g, %) 3 (ж, g, N)”="口幺:公：一:幺)》(况 + 1/4й,g + 1/4a,一% + 1/4a) >
——(① + 1 /4а, -g - 1 /4а, % - 1 /4а).
Изменив порядок C：(z) n Taz^ найдем
[TazCl(x)](x, g, %)=(① + 1/4® —у + 1/4® % + 1/4а).(2.20а)
Таким образом, операция С； не коммутирует с Taz. В частности,
[r(jzCl(x)]^ = Т(0, 1/2, l/i)[c^T(j^ = QQ：]7V^.(2.206)
Для того, чтобы набор {Еф, С1(г)ф, . . . , 27nd0, Ти工小)...,Тoz2md©} образовывал группу, в него следует включить операцию Q. Взяв 16 выше упомянутых операций и их произведения с Q, получим группу из 32 элементов. Эту группу можно разделить на 14 классов:
* = {硏，
Q = {С：⑺，c：(g), QC：(z), QC：(g)},
С3 = {* ⑶},
e4 = {Q71
叁={TazS^ TazS；\ QTazS^ Q7小『},
Сб = {Taz, QTaz},
2 = {7XC：⑺,Т"П" QTazCl(xl QTazCl(y)}.
C8 = {7XC：(%),Q7VzC：(%)},
C9 = {疗况,bg})
ao = {%S”QS4,QS「}, Cll = {Qb^, Qbg},
C12 = {QTz^ уч总(T^},
*3 = {QC：⑶}, C14 = {Q}.
Характеры соответствующих неприводимых представлений приведены в табл. 2.19. Однако не все из этих представлений приемлемы для волновых функций в точке X зоны Бриллюэна в кристалле алмаза. Поскольку («/2)(0, 1, 1) является вектором ГЦК решетки, операция Q оставит инвариантной периодическую часть волновой функции в точке X. Синусная огибающая exp (ihiz/а) блоховской функции ме™ няет знак при трансляции Q, поэтому общие волновые функции точки X должны быть нечетными при действии Q. Из четырнадцати неприводимых представлений только четыре являются нечетными при трансляции Q (или。⑴.В табл. 2.19 они обозначены X], X?, Хз и Х《.Интересно, что все эти четыре представления являются дважды вырожденными. Это вырождение возникает из-за отражения скольжения и идентичности двух атомов в элементарной ячейке структуры алмаза. Вырождение состояний X] и X? снимается в структуре цинковой обманки, примитивная ячейка которой содержит два различных атома (см. задачу 2.8). Приведем некоторые примеры симметризованных волновых функций в точке X: к = (2тг/а)(0, 0, 1):
Xi： {cos (2тг%/а); sin (2тг%/а)}, к = (2тг/а)(±1, ±1, 0):
Xi： {cos (2тгж/а) cos (2тгу/а); sin (2тгж/а) sin (2тгу/а)}^
Х4： {sin (2тгж/а) cos (2тгу/а); cos (2тгж/а) sin (2тг2//а)}, к = (^7г/а)(0, 0, 1), если 0 < ^ < 2.
Обозначим блоховскую функцию вдоль направления △ через ⑺= exp (5§тг%/a)u(r), также как и в (2.19). Она инвариантна при действии следующих операций простран™ ственной группы структуры алмаза:
{匕 j ^(^), TazCl(x). TjSa, TazCl(y\ TazS^}, которые можно разделить на 5 классов:
* = {硏， q = {5(%)},
Сз = {7—4,7"1},
С4 = {(Тж , bg}〉
点= {7"?⑺，7"脑)}*
Таблица 2.19
Неприводимые представления и характеры группы операций симметрии, действующих на волновые функции в точке X (2тг/а)(0, 0, 1) зоны Бриллюэна структуры алмаза (см. [2.5])
Q
45
Оз
2 g
4G>
2。6
4瘍
2以
24
4G。
231
2012
。13
014
Ml
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
м2
1
1
1
一 1
一 1
1
1
1
一 1
一 1
一 1
一 1
1
1
Мз
1
—1
1
—1
1
1
—1
1
—1
1
—1
—1
1
1
м4
1
一 1
1
1
一 1
1
一 1
1
1
一 1
1
1
1
1
2
0
—2
0
0
2
0
—2
0
0
0
0
—2
2
Ml
1
1
1
1
1
一 1
一 1
一 1
一 1
一 1
一 1
1
1
1
1
1
1
一 1
一 1
一 1
一 1
一 1
1
1
1
一 1
1
1
1
—1
1
—1
1
—1
1
—1
1
—1
1
—1
1
1
1
一 1
1
1
一 1
一 1
1
一 1
一 1
1
一 1
1
1
1
<
2
0
—2
0
0
—2
0
2
0
0
0
0
—2
2
Xi
2
0
2
0
0
0
0
0
2
0
—2
0
—2
—2
Х2
2
0
2
0
0
0
0
0
—2
0
2
0
—2
—2
Хз
2
0
—2
2
0
0
0
0
0
0
0
—2
2
—2
Х4
2
0
—2
—2
0
0
0
0
0
0
0
2】)
2
—2
Таблица 2.20
Неприводимые представления и характеры группы операций симметрии, действующих на волновые функции в точке △ зоны Бриллюэна структуры алмаза (см. [2.5])
Q
。2
2Сз
2。4
2。5
1
1
1
1
1
1
1
—1
1
—1
△2/
1
1
一 1
一 1
1
△ v
1
1
1
—1
—1
2
—2
0
0
0
Представления, которые порождаются при действии этих операций на ⑺,изоморф™ ны с группой △ для кубической решетки. Соответствующие характеры приведены в табл. 2.20.
Расчеты зонной структуры методами псевдопотенциала
На рис. 2.10 была показана электронная зонная структура Si, расчитанная с помощью так называемого метода псевдопотенциала, который будет рассмотрен в настоящем параграфе. Сравнивая ее с зонной структурой почти свободных электронов на рис. 2.9, находим между этими структурами много общего. В основе своей зонная структура почти свободных электронов является параболой, перестроенной в приведенной зонной схеме. В случае рис. 2.10 зонная структура получена в результате сложных вычислений на суперкомпьютере. Возникает вопрос: почему зонные структуры, полученные совершенно различными методами, качественно так похожи? Ответ на этот вопрос заключается в концепции псевдопотенциалов.
Электронной конфигурацией атома Si является ls22s22p63s23p2. Когда атомы Si образуют кристалл, их электроны можно разделить на электроны остова и валентные
электроны (см. § 2.1). В кристаллическом Si орбитали Is, 2s и 2P полностью заполнены и образуют оболочки остова. Внешние 3s- и Зр-оболочки заполнены только частично. Электроны в этих оболочках называются валентными, поскольку они участвуют в связях с соседними атомами Si. Кристаллическая структура Si при атмосферном давлении подобна структуре алмаза. Тетраэдрическое расположение связей между атомом Si и его четырьмя ближайшими соседями становится понятным, если учесть, что один из электронов в оболочке 3s «переходит» на оболочку Зр, так что четыре валентных электрона образуют гибридные sp3 -орбитали. Эта ^рз-гибридизация хорошо известна при образовании связей атомами углерода и ответственна за тетраэдрическую структуру, встречающуюся у многих органических молекул. Однако атомы углерода являются более разносторонними, чем атомы кремния, поскольку они могут также образовывать двойные и тройные связи. Поэтому атомы углерода играют решающую роль во всех формах жизни, в то время как атомы кремния важны только для высшей формы жизни ——человека. Именно валентные электроны в самых внешних оболочках атома Si являются почти свободными. На эти электроны не действует полный заряд ядра вследствие экранирования ядра заполненными оболочками остова. В области остова волновая функция валентного электрона должна быть ортогональна к волновым функциям остова. Поэтому истинные волновые функции могут испытывать сильные пространственные осцилляции вблизи остова, что затрудняет решение волнового уравнения.
Одним из способов преодоления этого затруднения является разделение волновой функции на плавную часть (псевдоволновую функцию) и осциллирующую часть. Кинетическая энергия последней обеспечивает «эффективное отталкивание» валентных электронов вблизи остова (альтернативно можно считать, что валентные электроны вытолкнуты из остова вследствие принципа запрета Паули). Таким образом, для валентных электронов мы можем приближенно заменить истинный сильный потенциал на более слабый «эффективный» потенциал, или псевдопотенциал. Поскольку «плавные» части волновых функций валентных электронов вносят малый вклад в области остова, они там не очень чувствительны к форме псевдопотенциала.
Рис. 2.11. Схематический вид атомного псевдопотенциала Si в реальном пространстве [2.8]. Сплошная кривая, на которой V (г) —> 0 в области остова, называется псевдопотенциалом «мягкого остова». Штриховая кривая, на которой V (г) стремится к постоянной величине, называется псевдопотенциалом «жесткого остова»
Рисунок 2.11 качественно иллюстрирует, как псевдопотенциал в Si изменяется с растоянием『от ядра. При больших『псевдопотенциал приближается к неэкранированному кулоновскому потенциалу иона Si4+. Эта концепция замены истинного потенциала на псевдопотенциал может быть математически обоснована. Можно показать, что состояния как зоны проводимости, так и валентной зоны описываются корректно, в то время как сложности, связанные с состояниями остова, которые во многих случаях не имеют отношения к проблеме, могут быть исключены из рассмотрения [см. 2.6].
При использовании концепции псевдопотенциала одноэлектронное уравнение Шрёдингера может быть заменено на псевдоволновое уравнение:
3 十 V6) ^k(ri)=石屬也8m))(2.21)
где 中——псевдоволновая функция. Эта функция является хорошим приближением к истинной волновой функции вне области остова и поэтому может использоваться для вычислений тех физических свойств полупроводника, которые зависят только от валентных электронов и электронов проводимости. Поскольку псевдопотенциалы являются слабым возмущением зонной структуры свободных электронов, хорошей отправной точкой для диагонализации (2.21) является разложение 以 на сумму плоских волн:
Фь = ^ ag\k + g),(2*22)
9
где векторы g являются векторами обратной решетки, a \k) обозначают плоские волны с волновым вектором к. Коэффициенты ад и собственные значения Е^ могут быть найдены путем решении секулярного уравнения
det I[(方"2/2^)—石用3包用十g + (k\V(r)\k + o)l =0-(2.23)
Матричные элементы псевдопотенциала V(г) имеют вид
{k\V(r)\k + g) = exp (-ig - Л)] j V (г) exp [-ig -г] dr, (2.24)
где Л — вектор прямой решетки, а О — объем примитивной ячейки. В результате суммирования внутри квадратных скобок по всем векторам решетки матричный элемент псевдопотенциала будет равен нулю за исключением случая, когда д является вектором обратной решетки. Другими словами, матричные элементы псевдопотенциала определяются фурье-компонентами псевдопотенциала (%), которые выражаются как
『ГQ『ГQV(г) ехр [—?：д • г] dr,V(г) ехр [—?：д • г] dr,(2.25)(2.25)
『Г
Q
『Г
Q
V(г) ехр [—?：д • г] dr,
V(г) ехр [—?：д • г] dr,
(2.25)
(2.25)
где д ——вектор обратной решетки.
Если в примитивной ячейке имеется только один атом, эти фурье-компоненты псевдопотенциала называются форм-факторами псевдопотенциала. Если в примитивной ячейке имеется несколько различных атомов, то удобно для каждого типа атомов определить форм-фактор псевдопотенциала и структурный фактор, который зависит только от положения атома данного типа в примитивной ячейке. Пусть, например, в кристалле имеется два типа атомов а к 万)которые занимают в примитивной ячейке положения rai и r^i，Структурный фактор Sga атома а определяется как
exp(-ig - гai),exp(-ig - гai),(2.26)(2.26)
exp(-ig - гai),
exp(-ig - гai),
(2.26)
(2.26)
где N@ — число атомов а в примитивной ячейке. Подобным же образом определяется структурный фактор атома /5. Форм-фактор псевдопотенциала Vga для атома а можно определить так же, как и в (2.25), за исключением того, что теперь V — потенциал одного атома а и интегрирование производится по Оа, который является объемом,
5 М. Кардона
соответствующим одному атому а* Псевдопотенциал V(г) может быть выражен через структурные факторы и форм-факторы:
卜⑺=£(%a$ga + %万％万)exp(?：g 〜).(2.27)
9
Из (2.24) следует, что псевдопотенциал смешивает состояния свободных электронов, у которых к отличаются на вектор обратной решетки. Если эти состояния вырождены, вырождение может быть снято псевдопотенциалом при условии, что соответствующий форм-фактор не равен нулю. Рассмотрим, например, состояния свободных электронов с к = (2тг/а)(±1)±1, ±1) в точке Г структуры алмаза. У этих восьмикратно вырожденных состояний к различаются на векторы обратной решетки (2тг/а)(2, 0, 0), (2тг/а)(2, 2, 0) и (2тг/а)(2, 2, 2). Эти восемь состояний вырождены для свободных электронов. При наличии псевдопотенциала состояния становятся связанными, и их вырождение частично снимается, в результате чего появляются энергетические щели (сравните рисунки 2.9 и 2.10). Когда энергетическая щель возникает около уровня Ферми (наиболее высокий среди заполненных энергетических уровней), образуется полупроводник. Появление энергетических щелей в зонной структуре почти свободных электронов вследствие форм-факторов псевдопотенциала можно интерпретировать как брэгговское отражение плоских волн свободных электронов на кристаллическом потенциале с образованием стоячих волн. Если форм-факторы псевдопотенциала малы, результат их действия на зонную структуру незначителен, так что реальная зонная структура не слишком отличается от зонной структуры свободных электронов. Последнее является причиной того, что зоны почти свободных электронов, представленные в схеме приведенных зон, оказываются хорошей отправной точкой для понимания зонной структуры большинства полупроводников.
Форм-факторы псевдопотенциала в полупроводниках типа цинковой обманки и алмаза. Главная причина, по которой концепция псевдопотенциалов столь полезна, заключается в том, что для расчета зонной структуры достаточно знать только небольшое число форм-факторов [упроводниках со структурой алмаза, таких как Si и Ge, достаточно знать всего три форм-фактора псевдопотенциала. В полупроводниках со структурой цинковой обманки число необходимых формфакторов псевдопотенциала увеличивается до шести. Для того, чтобы это показать, заметим сначала, что в такой элементарной ячейке имеется два атома — а и Ь. Обозначим атомные псевдопотенциалы как %(『—%) и 14(『—гь), где % 以『ь 一 положения этих двух атомов в элементарной ячейке. Подставляя эти потенциалы в (2.25), получаем форм-факторы псевдопотенциалов кристалла:
[%(歹一歹а) + Vb(歹一歹b)] exp [―?：g • r] dr =(2.28)
=^ [%①)exp (—?：g * 歹a) + H(^)exp (—?：g * rb)]x
x exp [—' r] dr.(2.29)
He нарушая общности, можно взять в качестве начала координат точку, расположенную посередине между двумя атомами в элементарной ячейке, так что га = =(а/8)(1, 1, 1) = s и <ь = (—а/8)(1, 1, 1) = —s. Теперь можно написать
%①)exp (—?：g * 歹a) + 吟(歹)exp (—?：g * rb)=
=(К + И) cos (g * s) — ?：(％ — H) sin (o • s). (2.30)
Далее обозначим симметричную и антисимметричную компоненты форм-фактора
псевдопотенциала как
1 f
(％ +Vb)exp(—9 d歹(2.31)
и
厅=А (К - Vb)exp(-ig • г) dr.(2.32)
Подставляя результаты (2.30-2.32) обратно в (2.29), получим
■% =吗(：0S(9"$)-勿吟sin(g"D(2*33)'
При подобной симметризации форм-факторов псевдопотенциала становится ясно, что антисимметричные форм-факторы в структуре алмаза обращаются в нуль. Множитель cos (g • s) является просто структурным фактором алмаза, определение которому было дано в (2.26). В полупроводниках Ш-V, у которых разница в потенциалах катиона и аниона мала, можно ожидать, что Vg будет меньше, чем Vg и, кроме того, Vg должно быть почти таким же, как у полупроводников соседней группы — IV. Рассмотрим, например, форм-факторы псевдопотенциала в Ge и полупроводнике GaAs группы Ш-V, которые образуются из соседей по периодической таблице элементов. В структурах алмаза и цинковой обманки векторы обратной решетки в порядке возрастания их величины равны (в единицах 2тг/а)
9о = (3 & 0)；
北=(I j J), (I, —1 J),…CD；
04 = (2, о, 0), (—2,0, 0),(0,2);
08 = (2,2,0), (2,—2,0),…，(0,—2,—2);
011 = (3,1,1), (—3JJ),(—3, —1" —1).
Можно пренебречь форм-факторами псевдопотенциала с g2 > 11(2тг/а)2, поскольку в типичных случаях Vg уменьшается как g~2 при больших д. На рис. 2.12 схема
К V(r)^ lV^etqrdqК V(r)^ lV^etqrdqэкранированных ионов в металлахэкранированных ионов в металлахРис. 2.12. Схематический вид формфактора в обратном пространстве [2.8]Рис. 2.12. Схематический вид формфактора в обратном пространстве [2.8]тически показана зависимость псевдопотенциала от величины д (д предполагается сферически-симметричным, как в случае свободного атома).
К V(r)^ lV^etqrdq
К V(r)^ lV^etqrdq
экранированных ионов в металлах
экранированных ионов в металлах
Рис. 2.12. Схематический вид формфактора в обратном пространстве [2.8]
Рис. 2.12. Схематический вид формфактора в обратном пространстве [2.8]
Форм-фактор псевдопотенциала %) соответствующий ^0, является постоянным потенциалом, который просто сдвигает всю шкалу энергий; поэтому его можно положить равным нулю или любой другой удобной величине (см. рис. 2.12). Формфакторы псевдопотенциала для всех эквивалентных векторов обратной решетки вида (±1, ±1, ±1) с величиной 3(2тг/а) имеют одинаковую симметрию и будут обозначены %.
Структурный фактор, соответствующий 04* равен нулю, поскольку cos (g • s)= =0 для g = (2тг/а)(2, 0, 0). Таким обра-
зом, можно заключить, что для Ge существует только три важных форм-фактора
псевдопотенциала:壊，啜 к V^_. Для GaAs V/ обращается в нуль, поскольку sin (g х х s) = 0, так что нужно знать только шесть форм-факторов псевдопотенциала:壊) 廳，埒1)^? У и V^. В табл. 2.21 приведены форм-факторы псевдопотенциала Ge,
Таблица 2.21
Форм-факторы псевдопотенциала различных полупроводников групп IV, Ш—V и Н—VI (в единицах Ридберг = 13,6 эВ) [2.9]. Знак 14a зависит от выбора позиций аниона и катиона
w
VA
VT
Si
-0,211
0,04
0,08
0
0
0
Ge
—0,269
0,038
0,035
0
0
0
GaAs
—0,252
0
0,08
0,068
0,066
0,012
GaP
—&249
0,017
0,083
0,081
0,055
0,003
InAs
—0,27
0,02
0,041
0,078
0,038
0,036
InSb
—0,25
0,01
0,044
0,049
0,038
0,01
ZnSe
—0,23
0,01
0,06
0,18
0,12
0,03
CdTe
—0,245
—0,015
0,073
0,089
0,084
0,006
GaAs и нескольких других полупроводников. Следует иметь в виду, что знак антисимметричного форм-фактора зависит от того, какой из атомов, анион или катион, обозначен как атом а. Все антисимметричные форм-факторы в табл. 2.21 положительны, так как в качестве атома а был выбран катион, а в качестве атома b ——анион (имеющий более отрицательный атомный потенциал). Отметим также, что форм-фактор 吗 имеет наибольшую величину и отрицательный знак, что схематически показано на рис. 2.12. В соединениях Ш-V и П-VI 吗 сравним по величине с соответствующим 展 в полупроводниках группы IV и всегда больше по величине, чем 愕.Однако по мере увеличения ионности при переходе от полупроводников Ш-V к полупроводникам П- VI антисимметричный форм-фактор псевдопотенциала возрастает.
Некоторые зонные структуры полупроводников типа алмаза и цинковой обманки приведены на рисунках 2.13-2.15. Их расчеты учитывают эффект спин-орбитального взаимодействия^ который будет обсуждаться в § 2.6. Вследствие этого взаимодействия неприводимые представления электронных волновых функций должны включать эффект операций симметрии на спиновые волновые функции. (Например, вращение на 27r приведет к изменению знака волновой функции для частицы со спином 1 /2). Обозначения, использованные на рисунках 2.13-2.15 и включающие эту особенность, известны как обозначения двойных групп (см. § 2.6).
Влияние ионности на зонную структуру полупроводниковых соединений видно при сравнении зонной структуры Ge с зонной структурой GaAs и ZnSe, показанных на рисунках 2.13-15. Некоторые различия в этих трех зонных структурах возникают из-за спин-орбитального взаимодействия. В остальном большинство из них можно объяснить увеличением антисимметричных компонент форм-фактора псевдопотенциала при увеличении ионности в ряду Ge, GaAs, ZnSe. Одним из следствий увеличения ионности является монотонное увеличение запрещенной зоны между вершиной валентной зоны и дном зоны проводимости в точке Г при переходе от Ge к ZnSe. Другим следствием является то, что некоторые дважды вырожденные состояния Ge в Х-точке зоны Бриллюэна расщепляются в соединениях Ш-V и П-VI (см. п. 2.4.2). Например, самое низкое состояние X] зоны проводимости Ge расщепляется в GaAs и ZnSe на два спиновых дублета с симметрией Хб и Х7 (X] и Х3, если не учитывать спин-орбитальное взаимодействие). Подробно зависимость этого расщепления от антисимметричного форм-фактора псевдопотенциала вычисляется в задаче 2.8.
Методы эмпирического и самосогласованного псевдопотенциала. Существует два подхода к вычислению форм-фактора псевдопотенциала. Поскольку число существенных форм-факторов псевдопотенциала мало, их можно определить путем подгонки небольшого числа экспериментальных данных, таких как положение
Волновой вектор кВолновой вектор кРис. 2.13. Электронная зонная структура Ge, расчитанная по методу псевдопотенциала. Энергия в вершине заполненной валентной зоны принята равной нулю. В отличие от рис. 2.10 здесь использовано обозначение симметрии для двойных групп [2.8]Рис. 2.13. Электронная зонная структура Ge, расчитанная по методу псевдопотенциала. Энергия в вершине заполненной валентной зоны принята равной нулю. В отличие от рис. 2.10 здесь использовано обозначение симметрии для двойных групп [2.8]6420-26420-2'6'6ЮЛ ^к^афи®ЮЛ ^к^афи®ЬбЬб—10—10工4, 5^Г1工4, 5^Г1
Волновой вектор к
Волновой вектор к
Рис. 2.13. Электронная зонная структура Ge, расчитанная по методу псевдопотенциала. Энергия в вершине заполненной валентной зоны принята равной нулю. В отличие от рис. 2.10 здесь использовано обозначение симметрии для двойных групп [2.8]
Рис. 2.13. Электронная зонная структура Ge, расчитанная по методу псевдопотенциала. Энергия в вершине заполненной валентной зоны принята равной нулю. В отличие от рис. 2.10 здесь использовано обозначение симметрии для двойных групп [2.8]
6
4
2
0
-2
6
4
2
0
-2
'6
'6
ЮЛ ^к^афи®
ЮЛ ^к^афи®
Ьб
Ьб
—10
—10
工4, 5
^Г1
工4, 5
^Г1
£ Л Г А ХК Е Г
Волновой вектор к
Рис. 2.14. Электронная зонная структура GaAs, расчитанная по методу псевдопотенциала.
Шкала энергий и обозначения (двойной группы) те же, что на рис. 2.13 [2.8]
Волновой вектор к
Рис. 2.15. Электронная зонная структура ZnSe, расчитанная по методу псевдопотенциала. Шкала энергий и обозначения (двойной группы) те же, что на рис. 2.14 [2.8, с. 113]
пиков в спектрах оптического отражения (см. гл. 6) или особенностей в спектрах фотоэлектронов (см. гл. 8). Такой подход называется методом эмпирического псевдопотенциала (МЭП).
Ниже приведена последовательность расчета зонной структуры с помощью МЭП:
»(『)= £%ехр(-〃д •『)
Я = (p2/2m) + F (г);
решить H^k^r) для нахождения ⑺屬(歹)и Е^
Вычислить отражение и плотность состояний и т.п. и сравнить с экспериментом
Изменить %, если согласие между теорией ибудет удовлетвоиктельным
Один из недостатков МЭП заключается в необходимости ввода в расчет экспериментальных данных. Однако это не является самым большим его недостатком, поскольку часто может производиться «перенос» атомных форм-факторов псевдопотенциала в том смысле, что будучи определены для одного соединения они могут быть
использованы (иногда после подходящей интерполяции) для других соединений, содержащих тот же самый атом. Например, атомные форм-факторы псевдопотенциала для Ga, найденные эмпирически для GaAs, могут быть использованы для расчета зонной структуры других соединений Ga, таких как GaSb и GaP. Однако располагая высокоскоростными компьютерами, можно определять форм-факторы псевдопотенциала «из первых принципов», без использования каких-либо экспериментальных данных. Методы псевдопотенциала, исходящие «из первых принципов», называются методами самосогласованного псевдопотенциала или псевдопотенциала ab initio. В качестве отправной точки в вычислениях эти методы используют атомные псевдопотенциалы и модель кристаллической структуры (из которой можно сконструировать ионный потенциал Кюн)- После нахождения волновых функций вычисляется вклад в потенциал валентных электронов. Затем он используется для вычисления полного одноэлектронного потенциала, который сравнивается с исходным. Самосо- гласованность достигается, когда вычисленный одноэлектронный потенциал совпадает с исходным значением потенциала.
Последовательность таких вычислений показана на следующей диаграмме:
Выбрать У (г)
Решить уравнение (Ж + F) ^ = Еф
Вычислить плотность заряда。=也也
Решить уравнение V Vhart гее = 4тг0
47Г£о
Вычислить 14c = / [^ (г)]
lj^lll^lljlll=ll==—
Модельная стоуктура т 卜=Кг +
Член обмена и корреляции 匕「учитывающий многоэлектронные эффекты, обычно вычисляется в приближении, называемом приближением локальной плотности (ПЛП) D. В этом приближении предполагается, что Хс является функцией только локальной плотности заряда. Приближение локальной плотности дает хорошие результаты для свойств основного состояния, таких как энергия сцепления и плотность заряда валентных электронов. Однако оно дает неверные результаты для энергий возбужденных состояний. Например, в этом приближении систематически почти на 1 эВ недооценивается ширина фундаментальной энергетической щели. Таким образом, предсказывается, что полупроводники типа Ge будут полуметаллами. Зонные структуры, приведенные на рисунках 2.10 и 2.13^2.15, были расчитаны с помощью метода МЭП, поскольку этот метод дает, вообще говоря, лучшее согласие с экспериментом. Перечисленные недостатки метода ПЛП можно преодолеть с помощью многоэлектронной методики расчета, такой как метод квазичастиц [2.13].
В последние годы метод псевдопотенциала ab initio был настолько усовершенствован, что стало возможным применять его для электронов наполовину заполненных оболочек, таких как З^-электроны галогенидов меди. В этом методе
используются псевдопотенциалы, очень гладкие вблизи остова (сверхмягкие псевдопотенциалы), что уменьшает число плоских волн, необходимых для сходимости разложения волновых функций. Этот метод оказался особенно полезным для CuCl и алмаза [2.14].
(к • р)-метод расчета зонных структур
Метод псевдопотенциала не является единственным методом расчета зонных структур, использующим небольшое число исходных параметров, которые можно получить из экспериментов. В методе эмпирического потенциала исходными параметрами как правило являются энергетические щели. В оптических экспериментах как правило определяются как энергетические щели, так и осцилляторная сила переходов. Поэтому может оказаться предпочтительным использование в качестве исходных параметров при расчетах зонной структуры также оптических матричных элементов. В (к • р)-методе структура всей зоны Бриллюэна может быть экстраполирована исходя из величин энергетических щелей и оптических матричных элементов, относящихся к центру зоны. Поэтому указанный метод особенно удобен для интерпретации оптических спектров. Кроме того, используя этот метод, можно получить аналитические выражения для дисперсии зон и эффективных масс вблизи точек высокой симметрии.
К (к • р)-методу можно придти, исходя из одноэлектронного уравнения Шрёдингера (см. (2.4)). При использовании теоремы Блоха решения (2.4) в схеме приведенных зон могут быть выражены, как
^пк = ехр (泳• г)ипк(г), (2.34)
где п — индекс зоны, к находится внутри первой зоны Бриллюэна, unk имеет перигде п — индекс зоны, к находится внутри первой зоны Бриллюэна, unk имеет периодичность решетки. При подстановке Фп^ в (2.4) получается следующее уравнениеодичность решетки. При подстановке Фп^ в (2.4) получается следующее уравнение
где п — индекс зоны, к находится внутри первой зоны Бриллюэна, unk имеет пери
где п — индекс зоны, к находится внутри первой зоны Бриллюэна, unk имеет пери
одичность решетки. При подстановке Фп^ в (2.4) получается следующее уравнение
одичность решетки. При подстановке Фп^ в (2.4) получается следующее уравнение
Подобные уравнения могут быть получены для к, равного любой точке к。. Уравнение (2.36) решить гораздо легче, чем (2.4), поскольку функции ипо являются периодическими. Решения (2.36) образуют полный и ортонормированный набор базисных функций. После того, как EnQ и ипо найдены, можно рассматривать члены 方к • р/т и f^k2/(2т) в (2.35) как возмущения, используя теорию возмущений для вырожденного или невырожденного случая. Этот метод для расчета дисперсии зон называется (к • р)-методом. Поскольку члены, содержащие возмущения, пропорциональны к, метод лучше всего работает для малых значений к [2.13]. В общем случае его можно использовать для расчета дисперсии зон вблизи любой точки к” разлагая (2.35) около к。, при условии, что волновые функции (или матричные элементы р между этими волновыми функциями) и энергии, соответствующие к。, известны. Кроме того, используя для приближенного описания полного набора базисных функций достаточно
большое число и冷о, можно произвести диагонализацию (2.35) с помощью компьютера с целью вычисления зонной структуры в пределах всей зоны Бриллюэна [2.14]. В качестве исходных параметров в расчетах используется только ограниченное число экспериментально определенных значений для энергетических щелей и матричных элементов р.
В качестве примера применения (к • р)~метода найдем дисперсию и эффективную массу для невырожденной зоны и для трижды вырожденной (или почти вырожденной) p-подобной зоны. Случай невырожденной зоны применим к минимуму зоны проводимости в прямозонных полупроводниках со структурой цинковой обманки или вюрцита (структуру вюрцита имеют полупроводники CdS и CdSe). Почти вырожденная зона является моделью вершины валентной зоны во многих полупроводниках со структурой алмаза, цинковой обманки и вюрцита.
Нахождение эффективной массы невырожденной зоны с помощью (к * р)-метода. Предположим, что зонная структура имеет экстремум с энергией Епо и зона при этой энергии невырождена. Используя стандартную теорию возмущений для невырожденного случая, можно разложить собственные функции ипк и собственные значения Enk в соседней точке к по невозмущенным волновым функциям ипо и энергиям Епо до членов второго порядка по к, рассматривая в (2.35) члены, содержащие к как возмущения:
(2.37)(2.38)(2.37)(2.38)—方 (ипо\к • p\un>Q)
(2.37)
(2.38)
(2.37)
(2.38)
unk = 口n0 +) 万 万 u71/0)
.方油 2方 2\(ип0\к -р|^^0)|
2疗Iтп nr^n 石nt) — E#о
Члены, линейные по k, обращаются в нуль, поскольку по предположению Епо является экстремумом. Для малых значений к принято выражать Еп^ в виде
(2.39)(2.39)
(2.39)
(2.39)
где т* определяется как эффективная масса зоны. Сравнивая (2.38) и (2.39), получаем выражение для эффективной массы:
⑵40)⑵40)丄_丄 2 y I仇7101k *01我疗0)] т* ш т2к2Епо - Еп^
⑵40)
⑵40)
Формула (2.40) может быть использована для вычисления эффективной массы невырожденной зоны. Она также показывает, что в твердом теле эффективная масса электрона отличается от массы свободного электрона вследствие взаимодействия между электронными состояниями в разных зонах посредством (к • р)~члена. Влияние соседних зон на эффективную массу данной зоны зависит от двух факторов.
меньшими Епо^ добавляют к 1/т* положительный член, делая т* меньше, чем масса свободного электрона. Напротив, зоны с энергиями, большими EnQ^ приводят к увеличению т* или даже делают т* отрицательной, как в случае верхних валентных зон в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки.
Эти два простых результата позволяют понять характер изменения эффективной массы зоны проводимости т* во многих прямозонных полупроводниках групп III-V и II—VL В этих полупроводниках самая нижняя зона проводимости имеет в центре симметрию &. В соответствии с приведенными выше соображениями, ее эффективная масса будет главным образом определяться взаимодействием посредством (к • р)- члена с ближайшими зонами, имеющими симметрию Г4. Среди них есть как зоны проводимости, так и валентные зоны. Как далее будет показано, зоны проводимости в полупроводниках групп IV, Ш—V и II—VI имеют антисвязывающий характер, а валентные зоны — связывающий характер. Это означает, что в структурах типа алмаза зона проводимости Г^> (или Г^ ) и ближайшая к ней зона проводимости Г^ (или Г^) нечетны, и матричный элемент импульса между ними равен нулю вследствие правила отбора по четности. В полупроводниках группы Ш—V антисимметричный псевдопотенциал нарушает инверсионную симметрию. Вследствие этого в них матричный элемент импульса между зоной проводимости Г^ и ближайшей к ней зоной проводимости /4 не равен нулю, но все еще значительно меньше, чем матричный элемент импульса между Г^ и верхними валентными зонами Г4 [2.17]. Расстояние между зоной проводимости & и валентной зоной /4 есть прямая щель 统,так что приближенно можно представить т* как
(2.41)(2.41)11 | 2|(Г1с|Д:-р|Г4с)|2
(2.41)
(2.41)
т*т т2Еок2
Принято обозначать три волновые функции /4 через |Х), |У〉и |Z). Можно показать, что вследствие Т^-симметрии единственными не равными нулю элементами {Г1с\к *0|「4с〉будут
(2.42)(2.42)(^|рж|Л) = (^|Ру|Л) = ^\Рг\Г1} = iP.
(2.42)
(2.42)
Без потери общности можно предположить, что все волновые функции |Х), |У), \Z} и |Fi) являются реальными. Поскольку оператор р равен —zW, матричный элемент в (2.42)——чисто мнимый и Р ——величина реальная. Учитывая эти результаты можно упростить (2.41):
(2/3)
(2.44)(2.44)Оказывается, что матричный элемент F2 является более или менее постоянным для большинства полупроводников групп IV, Ш—V и И—VI, и 2P21m ^ 20 эВ. Причина этого заключается в том, что значения F2 для этих полупроводников очень близки к значениям, вычисленным для волновых функций почти свободных электронов: Р = =27r為/«о (см. задачу 2.9). Поскольку обычно Eq меньше 2 эВ, 2F2/(тЕо)^!^ и (2.43) можно еще более упростить:
(2.44)
(2.44)
—2PЕ^ т*
В табл. 2.22 значения т^ вычисленные с помощью (2.44), сравниваются с экспериментальными значениями для полупроводников групп IV, Ш—V и И—VL Значения Eq взяты из эксперимента.
Уравнение (2.44) можно использовать для оценки увеличения т* вне минимума зоны (непараболичность), которое может быть качественно описано увеличением Eq (см. задачу 6.15).
Таблица 2.22
Сравнение экспериментальных значений эффективных масс зоны проводимости А в полупроводниках структуры алмаза и цинковой обманки со значениями, вычисленными с помощью (2.44), с использованием экспериментальных значений Ео [2.18]
Ge
GaN
GaAs
GaSb
InP
InAs
ZnS
ZnSe
ZnTe
CdTe
石尸］
0,89
3,44
1,55
0,81
1,34
0,45
3,80
2,82
2,39
1,59
т* /m
(эксп.)
0,041
0,17
0,067
0,047
0,073
0,026
0,20
0,134
0,124
0,093
т* /m
((2.44))
0,04
0,17
0,078
0,04
0,067
0,023
0,16
0,14
0,12
0,08
2・6・2・ Дисперсия зоны вблизи вырожденного экстремума: верхние валентные зоны в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки. Чтобы применить (к • р)-метод для вычисления дисперсии зоны вблизи вырожденного экстремума, рассмотрим валентные зоны 口沙(广4)с наиболее высокой энергией в центре зоны у полупроводников со структурой алмаза (цинковой обманки). Как уже отмечалось, волновые функции этих валентных зон являются p-функциями и обозначаются |Х), |У) и |Z〉. Электронный спин равен 1/2, и спиновые волновые функции обозначаются а и 万 для состояний со спином-вверх и спином-вниз соответственно. В атомной физике хорошо известно, что электронный спин может взаимодействовать с орбитальным угловым моментом посредством спин-орбитального взаимодействия. Спин—орбитальное взаимодействие ——это релятивистский эффект (обратно пропорциональный с2), величина которого растет с увеличением атомного номера. Таким образом, можно ожидать, что для полупроводников, содержащих более тяжелые элементы, таких как Ge, Ga, As и Sb, спин-орбитальное взаимодействие будет играть существенную роль и его надо включить в невозмущенный гамильтониан, в частности, для состояний вблизи к = 0. Гамильтониан спин-орбитального взаимодействия имеет вид
Яо =▽丿 X р) ■ а,(2.45 а)
где компоненты сг — спиновые матрицы Паули:
0 ) ;= ( i-1 ) •(2.45 6)
(В кристаллах со структурой алмаза «вектор» W х р является примером псевдовектора с симметрией Г^). Гамильтониан Я8О действует на спиновую волновую функцию, поэтому симметрия Hso должна также зависеть от свойств симметрии спиновых матриц. Как известно из квантовой механики, свойства спина отличаются от классических характеристик частиц, таких как орбитальный угловой момент. Например, пространственная волновая функция инвариантна при вращении на 27r вокруг любой оси, в то время как спиновая волновая функция для частицы со спином 1/2 при таком же вращении изменяяет знак. Обозначим вращение на 27r вокруг единичного вектора п через Ё (задача 2.10). Для частицы без спина Ё эквивалентно тождественной операции. Для частицы со спином 1/2 Ё является дополнительной операцией симметрии в точечной группе ее волновой функции, зависящей от спина. Таким образом, если G —точечная группа кристалла при пренебрежении спином, то соответствующая точечная группа при учете спина будет содержать G плюс EG и, следовательно, будет вдвое больше G. Группы, содержащие операции симметрии спиновых волновых функций, называются двойными группами. Детальное рассмотрение двойных групп не является целью настоящей книги. Читатели, интересующиеся этим вопросом, могут обратиться к ссылкам к данной главе, приведенным в конце книги [см. 2.4, 2.5, 2.7].
Несмотря на то, что многие зонные схемы в настоящей книге содержат обозначения двойных групп (например, рисунки 2.13-2.15), в большинстве случаев достаточно знать только неприводимые представления двойных групп в центре зоны (точка Г) кристаллов типа цинковой обманки. Поскольку одиночная группа Г в кристаллах типа цинковой обманки содержит 24 элемента, очевидно, что двойная группа будет содержать 48 элементов. Однако число классов в двойной группе не обязательно в два раза больше, чем в соответствующей «одиночной группе». Причина последнего заключается в том, что класс О в одиночной группе может как относиться, так и не относиться к тому же классу, что и ЁС в двойной группе. Например, два набора операций 0勿 и ECi принадлежат к одному и тому же классу, если точечная группа содержит двукратное вращение вокруг оси, перпендикулярной 介勿(ось вращения С). В случае группы Г в кристаллах типа цинковой обманки элементы в {3Q} и в {ЗЁС2} принадлежат к одному классу в двойной группе. Это также справедливо для элементов в {бег} и в {6Еа}. В результате 48 элементов в двойной группе Г в кристаллах типа цинковой обманки разделяются на восемь классов. Эти восемь классов и восемь неприводимых представлений двойной группы Г приведены в табл. 2.23.
Таблица 2.23
Таблица характеров двойной группы в точке Г полупроводников типа цинковой обманки
{E}{35/{654}{6а/ {8GJ {Е}{6£Z54} {8石以}
ЗЁС2}бВсг}
Г1Г2ГЗГ4Г5Г6Г7Г8Г1Г2ГЗГ4Г5Г6Г7Г83 3 2 2 43 3 2 2 41 1 о о о 一一1 1 о о о 一一1 1 о 1 1 о1 1 о 1 1 о1 1 о 1 1 о о о1 1 о 1 1 о о о112332 24112332 241 о1 о『т^^о『т^^о1 1 1 о о 1 1 11 1 1 о о 1 1 1
Г1Г2ГЗГ4Г5Г6Г7Г8
Г1Г2ГЗГ4Г5Г6Г7Г8
3 3 2 2 4
3 3 2 2 4
1 1 о о о 一一
1 1 о о о 一一
1 1 о 1 1 о
1 1 о 1 1 о
1 1 о 1 1 о о о
1 1 о 1 1 о о о
112332 24
112332 24
1 о
1 о
『т^^о
『т^^о
1 1 1 о о 1 1 1
1 1 1 о о 1 1 1
Вместо того, чтобы для симметризации p-подобных волновых функций валентной зоны в кристаллах цинковой обманки с учетом спин-орбитального взаимодействия использовать табл. 2.23, воспользуемся подобием этих волновых функций атомным волновым функциям р-ткпа. Вспомним, что в атомной физике орбитальные электронные волновые функции классифицируются, как s, р, d и т.д. в соответствии с их угловым моментом I. Состояния р соответствуют / = 1 и трижды вырождены. Эти три вырожденных состояния можно выбрать так, чтобы они были собственными состояниями 厶) т.е. 2-компоненты I. Собственные значения lz называются магнитными квантовыми числами (обозначаемыми обычно т。. Для p-состояний т/ = 1, 0, —1. Волновые функции оператора орбитального углового момента называются сферическими гармониками. Сферические гармоники, соответствующие состоянию / = 1, можно представить в следующем виде (за исключением тривиального множителя (ж2 +у2 + 22)™1/2):
1) = -(с + й/)/У2,
(2.46)(2.46)I財"〉=^ |1 0) =
(2.46)
(2.46)
屮-1) = (ж - й/)/^2.
Спин-орбитальное взаимодействие в атомной физике обычно выражается через I и спин s как
(2*47)(2*47)Нsg — Х2 ' s.
(2*47)
(2*47)
Постоянная А называется постоянной спин-орбитального взаимодействия. Собственные функции (2.47) являются собственными состояниями полного углового момента j = Z + s к его 2-компоненты jz. Для / = 1 и s = 1/2 собственные значения j могут принимать два возможных значения: J = / + s = 3/2 и J = I — s = 1/2. Собственные значения jz (обозначаемые т?) принимают 2^ + 1 значений: j, 7 — 1,...,— —7 + 1, —7. Собственные функции J и jz могут быть выражены как линейные комбинации собственных волновых функций орбитального углового момента и спина (а —— спин«вверх»,万一спин«вниз»):
3/2, 3/2〉= |1, 1 几
(2.48)(2.48)(2.49)(2.49)3/2, 1/2) = (1/-УЗ)(|1,+0)«),
(2.48)
(2.48)
(2.49)
(2.49)
3/2, ^1/2) = (1/-Уз)(|1, ^1)« + V2|1, 0)Д),
3/2, —3/2〉= |1, —1〉仇
1j叫)=
口/2, 1/2) = (1/^)(|1, 0)«^^|1, 1)Д),
#/2, —1/2〉= (1/•為)(|1, 0)Д^^|1,
Спин—орбитальное взаимодействие (2.47) приводит к расщеплению состояний J = =3/2 в (2.48) и j = 1/2 в (2.49). Это расщепление Ад называется спин-орбитальным расщеплением валентной зоны в точке Г. В случае состояний j = 3/2 и j = 1/2 △о = ЗА/2.
Используя как путеводную нить результаты атомной физики, можно подобным же образом симметризовать электронные состояния |X〉q/X〉万/У〉а/У〉万 JZ〉q и \Z)(3 в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки. Во-первых, воспользуемся сходством между p-подобными состояниями Г4 и атомными р-волновыми функциями для того, чтобы определить три «(/ = 1)-подобных» состояния в кристаллах типа цинковой обманки:
11,0)= (|幻， (2.50)
|1,^1) = (|Х)^г|У))/^
Далее определим (J = 3/2)-подобные и (J = 1/2)-подобные состояния в кристаллах типа алмаза и цинковой обманки, подставив выражения (2.50) в (2.48) и в (2.49). Начиная с этого момента мы будем в случае полупроводников называть (J = 3/2)- подобные и (J = 1/2)-подобные состояния состояниями j = 3/2 и J = 1/2.
Из таблицы характеров двойной группы Г (см. табл. 2.23) легко заключить, что четырехкратно вырожденные состояния ) = 3/2 принадлежат к представлению 吊, поскольку это единственное четырехмерное представление. Дважды вырожденные состояния J = 1/2 должны принадлежать или к представлению 广6, или к Л/. Чтобы сделать выбор между этими двумя представлениями, надо вычислить характер матрицы представления, порожденного состояниями j = 1/2 при операции S4. Использовав результаты задачи 2.10, можно показать, что состояния J = 1/2 принадлежат представлению 7V Как и в случае атома, представления Pg и Л/ расщепляются спин- орбитальным гамильтонианом (2.45 а). Обычно величина спин-орбитального расщепления До в полупроводнике сравнима с Ад У составляющих его атомов. Например, полупроводники, содержащие тяжелые атомы, такие как InSb и GaSb, имеют До ~ 1 эВ,
что по порядку равно ширине запрещенной зоны или даже больше нее. Если величина До у аниона и катиона бинарного полупроводника разная, то обычно вклад аниона имеет больший вес, что отражает его большее влияние на p-подобные валентные зоны. В полупроводниках, содержащих более легкие атомы, таких как Si и А1Р, во многих случаях можно пренебречь До, поскольку оно очень мало (^0,05 эВ). Значения Ад для некоторых полупроводников типа алмаза и цинковой обманки приведены в табл. 2.24. В табл. 2.24 все значения До положительны, и в результате валентная зона j = 3/2 (Fg) имеет более высокую энергию, чем валентная зона J = 1/2 (F7) (см. рисунки 2.132.15). В некоторых кристаллах типа цинковой обманки, таких как CuCl, где большой вклад в валентную зону вносят d-электроны остова, значение Ад может быть отрицательным, что приводит к обратному порядку в расположении валентных зон Fg и F7.
Таблица 2.24
Параметры валентной зоны А и В в единицах (/г2/2ш) и |С|2 в единицах (方^/Zm)?. Усредненные экспериментальные (экс.) и теоретические (теор.) значения эффективных масс тяжелых дырок (тд), легких дырок (лд) и дырок спин~отщепленной валентной зоны (со) приведены в единицах массы свободного электрона [2.16, 2.18] (теор. получены из А, В, С? посредством (2.67), (2.69))
A
В
△0, эВ
шТд/шо
тлд/т0
mco/mo
экс.
теор.
экс.
теор.
экс.
теор.
С
—2,5
0,2
4,6
0,013a
0,66б
0,29б
0,39б
Si
—4,28
-0,68
24
0,044
0,54
0,45
0,15
0,14
0,23
0,24
Ge
— 13,38
—8,5
173
0,295
0,34
0,43
0,043
0,041
0,095
ОД
SiC
—2,8
—0,31
4,8
0,014
1,4
0,36
0,55
GaNr
—5,05
— 1,2
34
0,017
0,5
0,13
0,2
GaP
—4,05
—0,98
16
0,08
0,57
0,5
0,18
0,17
0,25
GaAs
—6,9
—4,4
43
0,341
0,53
0,78
0,08
0,08
0,15
0,17
GaSb
— 13,3
—8, 8
230
0,75
0,8
0,9
0,05
0,04
0,15
InP
—5,15
— 1,9
21
0,11
0,58
0,53
0,12
0,12
0,12
0,2
InAs
—20,4
— 16,6
167
0,38
0,4
0,4
0,026
0,026
0,14
0,10
InSb
—36,41
—32,5
43
0,81
0,42
0,48
0,016
0,013
0,12
ZnS
—2,54
— 1,5
0,07
ZnSe
—2,75
TO
7,5
0,43
1,09
0,145
ZnTe
—3,8
— 1,44
14,0
0,93
CdTe
—4,14
—2,18
30,3
0,92
a J. Serrano, М. Cardona and Т. Ruf, Solid State Commun. 2000. V. 113. P. 411.
6 M. Willatzen, M. Cardona, N.E. Christensen, Linear Muffin-tin-orbital and k • p calculation of band structure of semiconducting diamond. Phys. Rev. 1994. V. В 50. P. 18054.
B M. Willatzen, M. Cardona, N.E. Christensen, Relativistic electronic structure of 3C~SiC. Phys. Rev. 1995. V. В 51. P. 13150.
симметрийных соображений можно также показать, что не равные нулю матричные элементы р между валентной зоной Г4 и зоной проводимости Г4 имеют вид
(Х|рд|「4с ⑶〉=iy\pz\r^x)} = (Z\px\r4c(y)} = iQ)
(2.51) {X\Pz\r^y}}=，储I几⑶〉={Z\py\r^(x)}
(подробности доказательства приведены в задаче 2.11).
Валентные зоны 玛切 вместе с зонами проводимости Г1с и Л^ образуют теперь набор из 14 невозмущенных волновых функций, связанных друг с другом (к • р)-членом. Результирующий определитель 14 х 14 можно привести к диагональному виду или с помощью компьютеров, или используя приближения. Наиболее часто для получения аналитических выражений для дисперсии валентных зон используется метод возмущений Лёвдина. В этом методе матрица 14 х 14 разделяется на две части: волновые функции, представляющие интерес, и их взаимодействия вычисляются точно, в то время как взаимодействия между этой группой волновых функций и оставшимися волновыми функциями вычисляются по теории возмущений. Например, в рассматриваемом случае шесть валентных зон 玛切(включая вырождение по спину) представляют интерес, и их взаимодействия посредством (к • р)-члена и спин-орбитальные взаимодействия рассматриваются точно. Взаимодействие между этими состояниями валентных зон и зонами проводимости рассматривается как возмущение путем определения эффективного матричного элемента между любыми двумя волновыми функциями валентной зоны как
% =(2・52)
к/вапентныезоны「且
В этом приближении матрицы 14 х 14 приводятся к матрицам 6x6 вида {//^}, где i и j изменяются от 1 до 6. Для упрощения обозначений пронумеруем шесть волновых функций валентной зоны 玛切 от Ф] до Фб：
Ф1 = |3/2, 3/2),
G = |3/2, 1/2),
% = |3/2, —1/2〉，
@4 = |3/2, —3/2〉，
% = |1/2, 1/2),
Фб = |1/2, —1/2〉，
а волновые функции дважды вырожденной Г1с и шестикратновырожденной Г4c зоны проводимости — ОТ Ф7 ДО Ф14,
Вычисление матричных элементов "% оставлено для задачи 2.13 а. Здесь мы в качестве примера вычислим только матричный элемент %「В соответствии с (2.52) эффективный матричный элемент %】 имеет вид
Чтобы опять упростить обозначения введем следующие символы: Eq ——разность энергий между Гхс и валентной зоной с J = 3/2;皖——разность энергий между и валентной зоной с J = 3/2. Используя эти символы, можно выразить Я(х как
В принципе, член hk • р/т может внести в дисперсию зоны линейный по к член. В полупроводниках со структурой алмаза этот член исчезает из-за правил отбора по четности. Можно показать, что в кристаллах типа цинковой обманки в выбранном базисе линейный (к • р)-член равен нулю. В кристаллах типа алмаза линейный по к член строго равен нулю из-за правил отбора по четности, однако это не имеет места в кристаллах, в которых отсутствует симметрия инверсии. Было показано, что в кристаллах типа цинковой обманки и вюрцита как зона проводимости, так и валентная зона могут обладать малыми членами, линейными по к [2.19, 2.20]. Однако эти линейные по к члены возникают не только из-за члена k 9 a также из-за спин- зависимых членов, которыми мы здесь пренебрегли. Поскольку линейные по к члены относительно несущественны для валентных зон большинства полупроводников, мы не будем их далее учитывать.
Для упрощения введем следующие обозначения:
т2 Eq 'N = L + М一川(统+ △)m2(^ + A0)Пользуясь ими, можно показать, 一(卜 j “в то время какВ результате刃1 = 1что в (2.54) член+(2.55)A) 2专)=% (后+居+ 2谓.⑵56);h (к^ + ") + Mkl.(2*57)т2 Eq 'N = L + М一川(统+ △)m2(^ + A0)Пользуясь ими, можно показать, 一(卜 j “в то время какВ результате刃1 = 1что в (2.54) член+(2.55)A) 2专)=% (后+居+ 2谓.⑵56);h (к^ + ") + Mkl.(2*57)
т2 Eq '
N = L + М
一川(统+ △)
m2(^ + A0)
Пользуясь ими, можно показать, 一(卜 j “
в то время как
В результате
刃1 = 1
что в (2.54) член
+(2.55)
A) 2专)=% (后+居+ 2谓.⑵56)
;h (к^ + ") + Mkl.(2*57)
т2 Eq '
N = L + М
一川(统+ △)
m2(^ + A0)
Пользуясь ими, можно показать, 一(卜 j “
в то время как
В результате
刃1 = 1
что в (2.54) член
+(2.55)
A) 2专)=% (后+居+ 2谓.⑵56)
;h (к^ + ") + Mkl.(2*57)
Аналогично можно показать, что остальные матричные элементы имеют
力2二
N
(k%к z —ikykz^
%3 二
=^^Д [(L — M)(E — k^) — ^iNkxky],
修4二
=0,
修5二
方 2 l211
^22 =+ Q (47 + 2L) /? _ (厶 _ M)(kl + 廿),
"6з = О,
^24 =华3,
〃$5 = "^ (^22 - 华1))
"£ = ^22?
出4 = 一修2, 出5 = - ("6б)*〉
用6 =用5，
^44 =修1，
%6 二-(修5广
方 2 k21
"'5 = ^^ + 3(2a' + l‘)^2 一 △"
"标=0,
^66 二 ^55-
Матрица {〃%} является эрмитовой, т.е. Н；§ = [Н[^. Эту матрицу 6x6 можно привести к диагональному виду численно, не прибегая к дальнейшим упрощениям. Читателям, имеющим персональный компьютер и программу приведения матриц к диагональному виду, рекомендуется расчитать структуру валентной зоны GaAs путем приведения к диагональному виду этой 6x6 матрицы {〃%} (задача 2.146).
Матрицу {修/ } можно привести к диагональному виду аналитически, сделав некоторые приближения. Ограничим к настолько малыми значениями, чтобы матричные элементы, связывающие зоны с J = 3/2 и J = 1/2, такие как Я(5, {Я(б} и {"65}, были пренебрежимо малыми по сравнению со спин—орбитальном взаимодействием. В этом приближении, ограничившись в разложении собственных значений только членами порядка к?, можно привести матрицу 6 х 6 к матрицам 4 х 4 и 2 х 2. Матрица 2x2
6 М. Кардона
дает энергию дважды вырожденной зоны j = 1/2 Г^ в виде
方 2 l21
Ес。= 〃£ = ^ + М (2А『+ Г)后—а。=
(2.58)(2.58)А 兴〃 Г 2 / Р2
(2.58)
(2.58)
=—△(! + 1 — — J ：
2m [3 \m {Eq + Ao)
Таким образом, в этом приближении поверхность постоянной энергии для спин-от- щеп ленной валентной зоны j = 1/2 является сферической, и эффективная масса т^о имеет вид
(2.59)(2.59)旦 _ 1 _ 2 / Р22(У)
(2.59)
(2.59)
шсо 3 \т (% + До) + (局 + Ао)丿
修1（修 2）*（修 3）*О修1（修 2）*（修 3）*ОДисперсию зон с / = 3/2 можно получить, приведя к диагональному виду матрицу 4 х х 4:
修1（修 2）*（修 3）*
О
修1（修 2）*（修 3）*
О
“;2
玛2
О
(修 3)*
Секулярное уравнение для этой матрицы приводится к двум идентичным уравнениям вида
(必1 — EXH^^E) = \H[2f + |必3匕(2.60)
Их решения имеют вид
% = J(力1 + 〃$) 土 |[(^1 + 力2)2— 4(力 i〃$ Т 力2『一 I 力з『)]1/2.(2.61)
Подставив сюда матричные элементы 〃京 определенные ранее в (2.61), можно выразить Е± следующим образом:
Е± = Лк2 土 [B2k4 + С2(к^ку + к；状 + 星短)『/2.(2.62)
Это выражение было впервые получено Дрессельхаусом и др. [2.19]. Постоянные Л, В и С в (2.62) выражаются через матричный элемент импульса электрона и энергетические щели:
(2.63)
(2.64)
(2.65)
Из уравнений (2.63-2.65) ясно, что удобнее определять постоянные А, В и С в единицах К12m. Отметим, что в [2.17] определения А, В и С могут содержать малый дополнительный член 凡 являющийся матричным элементом оператора импульса электрона между валентной зоной Л^ и зоной проводимости с более высокой энергией「^* Этот член важно учитывать, в частности, для таких широкозонных материалов, как алмаз [2.22].
Дисперсия зон Fg (J = 3/2) вблизи центра зоны дается выражением (2.62); это выражение было получено в результате ряда упрощений и справедливо только для энергий, малых по сравнению со спин-орбитальным расщеплением. Заметим, что как Л,
так и В отрицательны, поскольку доминирующим членом в (2.63) и в (2.64) является 2F2/(Зт^о), который много больше 1. В результате эффективные массы этих зон отрицательны. Во многих случаях приходится рассматривать свойства полупроводника, в заполненной валентной зоне которого не хватает нескольких электронов. Вместо того, чтобы иметь дело с электронами, обладающими отрицательными массами, удобнее ввести концепцию дырок. Заполненную валентную зону с одним недостающим электроном можно рассматривать как зону, содержащую одну дырку и называемую дырочной зоной. Если недостающий в валентной зоне электрон имеет энергию Е (предполагается, что Е — Оу вершины валентной зоны), то энергия соответствующей дырки равна —Е и положительна. При таком определении эффективная масса дырки в валентной зоне противоположна массе недостающего электрона и также положительна. Поскольку валентная зона, обозначенная Е^^ обладает меньшей дисперсией и, следовательно, большей массой, ее обычно называют зоной тяжелых дырок, а зона, обозначенная Е-, называется зоной легких дырок. В дальнейшем энергии этих двух дырочных зон будут обозначаться ЕТД и Елд. Соответствующие энергии дырок имеют ВИД
⑵ 66 а)⑵ 66 б)⑵ 66 а)⑵ 66 б)егд =_ [g2k4 + 02闺考 + 写尺 十 k歸)]I",
⑵ 66 а)
⑵ 66 б)
⑵ 66 а)
⑵ 66 б)
团ВД = 一%к2 + [в2h4 + с2(к1ку + кук^ + 代后)]"t
Поверхности постоянной энергии, описываемые выражениями (2.66 а) и (2.66б), приведены на рис. 2.16. Форму этих поверхностей называют «гофрированной» сферой.
Рис. 2.16. Поверхности постоянной энергии для зон J = 3/2(Г) в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманкиРис. 2.16. Поверхности постоянной энергии для зон J = 3/2(Г) в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманкиВследствие кубической симметрии кристалла цинковой обманки гофрировка происходит вдоль направлений [100] и [111]. В сущности, можно утверждать, что эти гофрированные сферы являются единственно возможными формами поверхностей постоянной энергии, описываемых в кубических кристаллах квадратным уравнением. Если предположить, что члены нечетного порядка по к равны нулю или пренебрежимо малы, то низшими членами четного порядка по к, совместимыми с кубической симметрией, являются к2 и [ак^ + 万(足廿 + kykl + Е足)]I/?. Если пренебречь членами более высокого порядка, то наиболее общее выражение зависимости энергии от к для компоненты Г^ (J = 3/2) состояния А в кубическом кристалле имеет вид (2.62), где Л, В и О ——линейно независимые параметры, связан-
Рис. 2.16. Поверхности постоянной энергии для зон J = 3/2(Г) в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки
Рис. 2.16. Поверхности постоянной энергии для зон J = 3/2(Г) в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки
ные с матричным элементом импульса электро
на. Из определения коэффициентов А, В и С в (2.63)—(2.65) следует, что О может быть выражено через А и В. Это является результатом пренебрежения в нашей модели перекрытием зон А© с более высокими зонами проводимости (такими как Ас)- (Относительно введения наинизшего состояния Г^с смотри задачу 2.15 г.)
к II (ЮО)к II (ЮО)(2.67 а)(2.676)(2.67 а)(2.676)Дисперсии дырочной зоны вдоль направлений [100] и [111] являются параболическими, однако эффективные массы для этих двух направлений различны:
к II (ЮО)
к II (ЮО)
(2.67 а)
(2.676)
(2.67 а)
(2.676)
"心Tд/ 6
12，掳 、
=万（一力一B）,
ШЛд 屏
II QU)II QU)1 _ 2Штд方 21 _ 2Штд方 2(2.68 а)(2.68 а)1 _ 2Шлд方21 _ 2Шлд方2(2.68 6)(2.68 6)
II QU)
II QU)
1 _ 2
Штд方 2
1 _ 2
Штд方 2
(2.68 а)
(2.68 а)
1 _ 2
Шлд方2
1 _ 2
Шлд方2
(2.68 6)
(2.68 6)
Из приведенных выше выражений видно, что гофрировка валентных зон обусловлена членом |С匕 пропорциональным Q2. Если член В2 много больше, чем |С|2/3, можно пренебречь гофрировкой и получить приближенный результат: шлд 弋 Зш*/2 и шсо р 3m*. Отметим, что Q2 играет решающую роль для штд. Если положить Q2 = =0, то мы получим неверный результат: штд = — то (даже знак неверный!). Часто для простоты целесообразно предположить, что массы валентной зоны изотропны. В таких случаях средние массы тяжелых и легких дырок ш*д и ш*д можно найти, усредняя (2.67) и (2.68) по всем возможным направлениям к (задача 4.4):
1叫口11叫口11庐1庐1庐1庐—24 + 22 1 +—24 + 22 1 +—24 — 22 1 +—24 — 22 1 +2|Cf 15月22|Cf 15月22|Cf 15月22|Cf 15月2(2.69 a)(2.69 6)(2.69 a)(2.69 6)
1
叫口
1
1
叫口
1
1庐
1庐
1庐
1庐
—24 + 22 1 +
—24 + 22 1 +
—24 — 22 1 +
—24 — 22 1 +
2|Cf 15月2
2|Cf 15月2
2|Cf 15月2
2|Cf 15月2
(2.69 a)
(2.69 6)
(2.69 a)
(2.69 6)
В табл. 2.24 для ряда полупроводников были приведены надежные, с нашей точки зрения, значения постоянных Л, В и \С^взятые из [2.18]. В указанной таблице значения эффективных масс для трех валентных зон, вычисленные с помощью (2.67)(2.69) с использованием этих значений Л, В и \С^ и экспериментальных значений энергетических щелей, сравниваются с эффективными массами, определенными зко периментально.
Заметим, что поверхности постоянной энергии для валентных зон, определенные формулой (2.62), обладают инверсионной симметрией:石(左)=石(一к), хотя кристалл может и не обладать такой симметрией. Последнее является следствием того, что использованный нами гамильтониан электрона инвариантен при обращении времени (симметрия обращения времени). Елоховская волна, распространяющаяся с волновым вектором к〉при обращении времени преобразуется в блоховскую волну с волновым вектором —к“ Если гамильтониан инвариантен при обращении времени, эти две блоховские волны будут иметь одинаковые энергии.
Отметим, наконец, что существует другой часто используемый в литературе эквивалентный подход к описанию дисперсии валентных зон в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки. С помощью теории групп можно найти эффективный (к • р)-гамильтониан, справедливый для валентных зон 玛.Пример такого гамильтониана был получен Латтинжером [2.23]:
比=4I - 27з (V • J)2 + 2 ()з -)2)(▽: J； + Ц-п.) ,(2.70)
где параметры 71, 72 и 7з известны как параметры Кона-Латтинжера; J = (Jx, Jy, 厶)— оператор, действие которого на валентные зоны Г§ идентично действию оператора углового момента на атомные состояния с J = 3/2, а сокращение ц.п. означает циклические перестановки.
Этот подход облегчает возможность одновременного приведения к диагональному виду Hl и других дополнительных возмущений кристалла. В главе 4 мы столкнемся с применением гамильтониана Hl для расчета энергий акцепторных состояний. Первые два члена в (2.70) имеют сферическую симметрию, в то время как последний член отражает эффект более низкой кубической симметрии. Таким образом, ясно, что
гофрировка валентной зоны прямо пропорциональна разности между j2 и j3. Можно показать, что параметры Кона-Латтинжера выражаются через коэффициенты Л,石 и С в (2.62) следующим образом:
(力 2/2е)71 = —4 (2.71а) (力 2/2е)72 = —2/2, (2*716) (方 2/26)73 =[(f/4) + (不/12 升 IS. (2.71 в)
Доказательство этих результатов оставлено в качестве упражнения (задача 2.15).
Рассмотрение зонной структуры в приближении сильной связи
Метод псевдопотенциала для расчета зонной структуры полупроводников, рассмотренный в § 2.5, исходит из предположения, что электроны являются почти свободными и их волновые функции могут быть аппроксимированы плоскими волнами. Рассмотрим проблему в другом предельном случае. Предположим, что электроны, как и в атомах, тесно связаны со своими ядрами. Затем будем сближать атомы. Когда расстояния между ними станут сравнимы с постоянной решетки твердого тела, их волновые функции начнут перекрываться. Мы будем приближенно представлять волновые функции в твердом теле в виде линейной комбинации атомных волновых функций. Такой подход известен как приближение сильной связи или как метод линейной комбинации атомных орбиталей (ЛКАО). Возникает вопрос: каким образом два совершенно противоположных подхода, таких как метод псевдопотенциала и метод сильной связи, могут быть хорошими отправными точками для понимания электронных свойств одного и того же твердого материала? Ответ заключается в том, что в полупроводнике с ковалентной связью реально существуют два типа электронных состояний. Электроны в зоне проводимости делокализованы и хорошо описываются в приближении почти свободных электронов. Валентные электроны концентрируются в основном на связях и сильнее сохраняют свой атомный характер. Волновые функции валентных электронов должны быть очень похожи на связывающие орбитали^ встречающиеся у молекул. Метод ЛКАО помимо того, что он является хорошим приближением для расчета структуры валентной зоны, имеет еще то преимущество, что зонная структура может быть определена, если известно небольшое число параметров перекрытия. В отличие от псевдопотенциалов эти параметры перекрытия имеют простую физическую интерпретацию, описывая взаимодействия между электронами на соседних атомах.
Молекулярные орбитали и параметры перекрытия. Для иллюстрации метода сильной связи при расчете зонной структуры мы опять ограничимся случаем полупроводников с тетраэдрической связью.
Валентные электроны таких в полупроводниках находятся на s- и р-орбиталях. Эти орбитали для двух идентичных и изолированных атомов схематически представлены на рисунках 2.17 а, 2.18 а и 2.19 а. Орбитали pz не показаны, поскольку их свойства аналогичны свойствам ру-орбиталей. На рисунках 2.17 5, 2.18 5 и 2.19 б схематически показано, что происходит с атомными орбиталями, когда два атома сближаются вдоль направления ж до тех пор, пока атомные орбитали не перекрываются, образуя двухатомную молекулу. Взаимодействие между двумя атомными орбиталями приводит к возникновению двух новых орбиталей. Одна из результирующих орбиталей симметрична относительно перестановки двух атомов и называется связывающей орбиталью^ в то время как другая, антисимметричная, орбиталь называется антисвязывающей орбиталью. Существуют два способа перекрытия р-орбиталей. Если
о (связывающие)о (связывающие)SS
о (связывающие)
о (связывающие)
о (антисвязывающие)о (антисвязывающие)Рис. 2.17. Перекрытие двух s-орбиталей, приводящее к образованию связывающих и анти
о (антисвязывающие)
о (антисвязывающие)
о (связывающие)о (связывающие)о (антисвязывающие)о (антисвязывающие)связывающих сг-орбиталей
о (связывающие)
о (связывающие)
о (антисвязывающие)
о (антисвязывающие)
Рис. 2.18. Перекрытие двух рж-орбиталей вдоль оси ж, приводящее к образованию связыва-
ющих и антисвязывающих сг-орбиталей
РуРуРуРуРис. 2.19. Перекрытие двух р^-орбиталей, приводящее к образованию связывающих и антисвязывающих тг-орбиталейРис. 2.19. Перекрытие двух р^-орбиталей, приводящее к образованию связывающих и антисвязывающих тг-орбиталейEsEsГомеополярная молекулаГомеополярная молекулаАнтисвязывающийАнтисвязывающийСвязывающийСвязывающий
РуРу
РуРу
Рис. 2.19. Перекрытие двух р^-орбиталей, приводящее к образованию связывающих и антисвязывающих тг-орбиталей
Рис. 2.19. Перекрытие двух р^-орбиталей, приводящее к образованию связывающих и антисвязывающих тг-орбиталей
Es
Es
Гомеополярная молекула
Гомеополярная молекула
Антисвязывающий
Антисвязывающий
Связывающий
Связывающий
6Е^а) Е^с)6Е^а) Е^с)Гетерополярная молекулаГетерополярная молекула
6
Е^а) Е^с)
6
Е^а) Е^с)
Гетерополярная молекула
Гетерополярная молекула
Антисвязывающий
+ (△石)2
+ (△石)2
Связывающий
Рис. 2.20. Влияние перекрытия орбиталей на уровни энергии в двухатомной гомеополярноймолекуле (а) и в двухатомной гетерополярной молекуле (б)
они перекрываются вдоль своего направления (рис. 2.18 б), то говорят, что они образуют a-связи. Если они перекрываются перпендикулярно к своему направлению (рис. 2.19 б), то говорят, что они образуют тг-связи.
Взаимодействие между атомными орбиталями изменяет их энергии. Обычно энергия антисвязывающей орбитали увеличивается на величину, определяемую гамильтонианом взаимодействия Н. Энергия связывающей орбитали уменьшается на ту же величину. Изменения в энергиях орбиталей схематически показаны на рис. 2.20 а для гомеополярной молекулы и на рис. 2.20 6—для гетерополярной молекулы. В обоих случаях V ——матричный элемент гамильтониана взаимодействия между атомными орбиталями, который обычно называется параметром перекрытия. Для гомеополярной молекулы, содержащей только s- и р-валентные электроны, имеется четыре не равных нулю параметра перекрытия. Чтобы получить этот результат, обозначим атомную орбиталь на одном из атомов через |а), а на другом — через \^}. Эти орбитали можно выразить как произведение радиальной волновой функции и сферической гармоники Yim(0^ ” причем начало координат выбирается на атоме.
Обозначим вектор, выходящий из первого атома (атом А на рис. 2.21) ко второму атому (В), через d. Выберем оси координат для обеих орбиталей |а〉и \^} таким образом, чтобы ось z была параллельна d, а азимутальные углы ф были одинаковы- мы (рис. 2.21). В этих координатных системах сферические гармонические волновые функции атомов А и В есть Yim(0^ ф) и 匕，加(夕,ф) соответственно. Гамильтониан Н имеет цилиндрическую симметрию относительно d и поэтому не может зависеть от ф. Таким образом, матричный элемент (а\Н\^} пропорционален интегралу от азимутальных волновых функций: exp [i(mf — ш) ф]. Этот интеграл не равен нулю только при т = т'. Согласно этому правилу отбора можно заключить, что имеется четыре не равных нулю и линейно независимых параметра перекрытия между s- и р-электронами:
(s\H\s)=匕sc； {s\H\pz}=匕”；{pz\H\pz} = Vppa
И (Px \ ^\Px} = %07T *
Заметим, что (px\H\py} = 0 и {ру\Н\ру} = {рх\Н\рх} вследствие симметрии. Параметры перекрытия обычно обозначаются а, тг и(5 (для волновых функций с / = 2) в соответствии со значениями т: 0, 1 или 2 (по аналогии с 5, 〃 к d атомными волновыми функциями).
Введенную для молекул концепцию связывающих и антисвязывающих орбиталей легко расспространить на кристаллы, если предположить, что орбитали каждого атома в кристалле перекрываются только с орбиталями его ближайших соседей. Это является разумным приближением для большинства твердых тел. В результате
Рис. 2.21. Выбор системы полярных координат для двух атомов А и В в двухатомной молекуле так, чтобы ось n была параллельна соединяющему их вектору, а азимутальный угол ф был идентичен для обоих атомов
перекрытия орбиталей в твердом теле связывающие и антисвязывающие орбитали уширяются в зоны. Из орбиталей, занятых электронами, образуются валентные зоны, а из пустых орбиталей — зоны проводимости. На рис. 2.22 схематически показано как s- и р-орбитали постепенно превращаются в зоны для тетраэдрического полупроводника. В этом случае связывающие орбитали заполнены электронами и образуют валентные зоны, а антисвязывающие становятся зонами проводимости. Как следовало ожидать, структура кристалла влияет на перекрытие между атомными орбиталями. Например, в твердом теле с тетраэдрической координацией каждый атом окружен четырьмя ближайшими соседями. Векторы d, связывающие центральный атом с каждым из ближайших соседей, различны, поэтому неудобно выбирать
Зоны проводимости, образованные из антисвязывающих ^-орбиталей
Зоны проводимости, образованные из антисвязывающих 5-орбиталей
Валентные зоны, образованные из антисвязывающих ^-орбиталей
Рис. 2.22. Эволюция атомных s- и р-орбиталей, приводящая к образованию зоны проводимости и валентной зоны в полупроводнике; Ер — энергия ФермиРис. 2.22. Эволюция атомных s- и р-орбиталей, приводящая к образованию зоны проводимости и валентной зоны в полупроводнике; Ер — энергия Ферми〈6 \Н\ Ру}=Vspa cos О +0 sin О〈6 \Н\ Ру}=Vspa cos О +0 sin ОРис. 2.23. Проекция параметра перекрытия между s- и р^-орбиталями и между ру- орбиталями на вектор d, соединяющий два атома, и на направление, перпендикулярное dРис. 2.23. Проекция параметра перекрытия между s- и р^-орбиталями и между ру- орбиталями на вектор d, соединяющий два атома, и на направление, перпендикулярное dВалентные зоны, образованные из антисвязывающих 5-орбиталей
Рис. 2.22. Эволюция атомных s- и р-орбиталей, приводящая к образованию зоны проводимости и валентной зоны в полупроводнике; Ер — энергия Ферми
Рис. 2.22. Эволюция атомных s- и р-орбиталей, приводящая к образованию зоны проводимости и валентной зоны в полупроводнике; Ер — энергия Ферми
〈6 \Н\ Ру}=Vspa cos О +0 sin О
〈6 \Н\ Ру}=Vspa cos О +0 sin О
Рис. 2.23. Проекция параметра перекрытия между s- и р^-орбиталями и между ру- орбиталями на вектор d, соединяющий два атома, и на направление, перпендикулярное d
Рис. 2.23. Проекция параметра перекрытия между s- и р^-орбиталями и между ру- орбиталями на вектор d, соединяющий два атома, и на направление, перпендикулярное d
ось z параллельно d. Вместо этого удобнее в качестве координатных выбрать кристаллографические оси. Тогда сферические гармоники 匕„ДМ, 0) атомных орбиталей определяются по отношению к этой фиксированной координатной системе. При вычислении параметров перекрытия для любой пары соседних атомов следует разложить сферические гармоники, определенные по отношению к d, по 匕，(仇 ^>). Пример такого разложения схематически представлен на рис. 2.23.
Зонная структура элементов группы IV по методу сильной связи. После введения в проблему взаимодействия между атомными орбиталями мы готовы к количественным расчетам электронной зонной структуры по методу линейных комбинаций атомных орбиталей (ЛКАО). Хотя этот метод использовался многими авторами [см. 2.21], мы будем следовать подходу Чади и Коэна [2.22].
Запишем положение атома в примитивной ячейке, обозначенной 九 в виде 歹"= =Rj + 丁厶 где Rj ——положение j-n примитивной ячейки в решетке Бравэ, a Rj —— положение атома / внутри примитивной ячейки. Для кристаллов типа алмаза и цинковой обманки / = 1 и 2. Пусть Ai (г) — гамильтониан изолированного атома /, ядро которого выбрано в качестве начала координат. Гамильтониан атома, расположенного в Vji, обозначим hi(r —歹//). Волновое уравнение для hi имеет вид
h^ml (^ —歹")二 ^т1фтп1 (^ —勺/), (2.72)
где Emi и фт1——собственные значения и собственные функции состояния с индексом т. Атомные орбитали фт1(г —歹/?) называются орбиталями Лёвдина. Они отличаются от обычных атомных волновых функций, поскольку построены таким образом, что волновые функции с центрами на различных атомах ортогональны друг к другу. Далее мы предположим, что гамильтониан кристалла 丸 равен сумме атомных гамильтонианов и члена 丸mt, который описывает взаимодействие различных атомов. Будем считать взаимодействие между атомами слабым, чтобы можно было привести 丸 к диагональному виду с помощью теории возмущений. В этом приближении невозмущенный гамильтониан Wo имеет вид
丸0 = e自(歹一(2.73)
и мы можем построить невозмущенные волновые функции как линейные комбинации из атомных волновых функций. Вследствие трансляционной симметрии кристалла можно выразить эти невозмущенные волновые функции как блоховские:
Фт/fe = £ exp (irji • к) фт1(г 一 歹川， (2.74)
где N — число примитивных элементарных ячеек в кристалле. Собственные функции 屮左 гамильтониана 丸 можно затем представить как линейные комбинации Ф^*:
仆抬. (2.75)
Для вычисления собственных функций и собственных значений 丸 подействуем на 屮左 гамильтонианом 丸=Wo + 丸mt・ Вследствие ортогональности блоховских функций получим систему линейных уравнений для Стг.
〉[(H ml, mrlr — ^k^mm' ^ll' ) Cmflf (^) = 0, (2.76)
где Нтц шч7 означает матричный элемент {^ т1к\Н\^ т'и к) а 石左 являются собственными значениями Н. Чтобы упростить решение (2.76), введем следующие приближения:
будем учитывать только электроны s2 и р6 самых внешних, частично заполненных атомных оболочек. Пренебрежем спин-орбитальным взаимодействием (хотя его легко включить). Две атомных орбитали с симметрией 5 для двух атомов в элементарной ячейке обозначим, соответственно, S1 и S2. Атомные орбитали с р-симметрией обозначим, соответственно, XI, Х2, У1, У2, Z1 и Z2K В последующих уравнениях орбитали s, рж, ру и pz будут обозначаться индексом ш;
подставив в (2.76) волновые функции Фт^, определяемые выражением (2.74), получим
х (Фт11— ^ц)\Н\фт'у (г —歹少“)〉=(2.77)
=£ exp [i(Rj + 口 一 歹“).k]x
X 2mi](r — Гд1)\Н\фтц^Г — Гуг)).(2.78)
Вместо того, чтобы суммировать ^ по всем элементарным ячейкам кристалла, проведем суммирование только по ближайшим соседям. В кристаллах типа алмаза и цинковой обманки это означает, что суммирование по включает сам атом и его четыре ближайших соседа. Обозначим эти атомы как / = 1, 2, 3, 4, 5. При необходимости можно легко учесть атомы следующего окружения или даже более дальние взаимодействия.
С этими приближениями матричные элементы вида (2.77) образуют матрицу размерностью 8x8 (отметим, что размерность матрицы зависит от числа базисных функций, а не от числа учитываемых соседей). При учете симметрии число не равных нулю и линейно независимых матричных элементов 丸也七 существенно уменьшается. В качестве примера рассмотрим матричный элемент Hsl s2- В соответствии с (2.78) этот матричный элемент имеет вид
Hsl 82 = [exp (泳.心)+ exp (泳. d2)+ exp (泳.或)+ exp (泳• d4Hx
x (Sl\Umt\S2), (2.79)
где мы предположили, что атом 1 расположен в начале координат, a da (а изменяется от 1 до 4) задает положения четырех его ближайших соседей:
必=(1, 1, 1)(а/4);
办=(1, -1, -1)(а/4);
厶=(-1J -1)(〃/4);
必=(-1, —1, 1)(а/4).
Матричный элемент〈51|丸由/52〉является практически тем же параметром перекрытия Vssa, который мы вводили для молекул. Другие матричные элементы, Hsi^Px2 и НРх 1,Рж2 и т.п., также можно выразить через параметры перекрытия 匕目行,УРРа и /目冗.Например, можно показать, что Hsl^Px2 содержит четыре члена с четырьмя фазовыми множителями exp (ik • da) и матричный элемент 〈Sl|丸®/Х2〉. Однако для каждого из ближайших соседей〈Sl|丸"Х2〉следует разложить на а- и тг-компоненты (см. рис. 2.23). При таком разложении возникает множитель, равный
cos 0 = ±(1 /л/З). Знаки «минус» или «плюс» определяются тем, лежит ли s-орбиталь в направлении положительного или отрицательного лепестка рж-орбитали. В результате для решетки алмаза удобно ввести новый набор четырех параметров перекрытия:
匕§ =4匕(2.80 а)
КР = 4Кра/-/3,(2.806)
кж = (4%w /3) + (8%“ /3),(2.80 в)
= (4%w /3) — (4%“ /3) •(2.80 г)
В этих обозначениях матричный элемент〈Sl(r)|丸т"Х2(г — di)〉выражается как (匕0b)/3 = Vsp/4. Связь остальных трех матричных элементов с〈S1 (歹)|丸Et|X2(歹一 —di)〉определяется из симметрии. Например, двукратное вращение вокруг оси у преобразует (ж, д, %) в (—z, g, —%)〉и следовательно, di преобразуется в d^. Волновая функция |S1〉с s-симметрией не меняется, а волновая функция |Х2〉с р-симметрией при этом вращении преобразуется в — |Х2〉. В результате〈S1(歹)|丸®/Х2(歹一d?)〉= =〈S1 (歹)|丸Et|X2(歹一&])〉• Применяя похожие операции симметрии, можно показать,
что
£ exp [i(da ” fe)](Sl(r)|Wint|X2(r 一 d。)〉=:匕Rexp [г« •左)]+
+ exp [i(d2 •左)]—exp [i(d^ •左)]—exp [%(必• k)]}. (2.81)
В структуре цинковой обманки, вследствие различия атомов 1 и 2, {S1 |丸Et|X2〉 в принципе отличается от〈52|丸也七|*1〉. Часто, однако, предполагают, что они равны друг другу (см. [2.24], с. 77). Случай кристалла цинковой обманки оставлен в качестве упражнения в задаче 2.15. Здесь мы ограничимся структурой алмаза.
Матрица размерности 8x8 для восьми з- и p-зон приведена в табл. 2.25. Через Es к 石目 в ней обозначены энергии {S\\Hq\SV)и〈Х1|Н()|Х1〉соответственно. Четыре параметра от gi до g4 возникают вследствие суммирования по множителю ехр [г (к • а)], как и в (2.81). Они определяются выражениями
gi = (1/4){ехр [г«•k)]+ехр [i(d2 • k)] +ехр[i(d3•к)]+ехр [1^ ■ к)]},
g2 = (1/4){ехр [г«•k)]+ехр [i(d2 • k)] —ехр[i(d3•田]一exp [i(d4 • ^)]},
g3 = (1/4){ехр [г«•田]—ехр 圆办•左)]+exp[i(d3*左)]一ехр [г« • ^)]},
g4 = (1/4){ехр [г«•左)]-exp [i(d2 •左)]-exp[i(d3■左)]+exp [i(d4 • k)]}*
Если k = (2»/(1)(左，«2, ^з), то gi могут быть представлены в виде
gl = COS (А；17г/2) COS (А；27г/2) COS (舐7г/2) —
一 i sin (Нтг/2) sin (后穴/?) sin (/с3тг/2), (2.82a)
g2 = — cos (А；17г/2)sin (A；27r/2) sin (舐7f/2) +
(2.82 6)(2.82 6)+ г sin (A；i7r/2) cos (后》/?) cos (舐тг/2),
(2.82 6)
(2.82 6)
g3 二—sin (А；17г/2) COS (А；27г/2) sin (舐7f/2) +
+ i cos (A；17г/2) sin (/2"/2) cos (/3"/2), (2.82 в)
g4 = — sin (左1»/2) sin (/c2tt/2) cos (А；з7г/2) +
+ i cos (/1"/2) cos (/2"/2) sin (/3"/2). (2.82 г)
Энергии валентной зоны и самой нижней зоны проводимости кристалла типа алмаза можно найти приведением матрицы размерности 8 х 8 из табл. 2.25 к диагональному виду при условии, что четыре параметра 匕匕目)Vxx и Vxy известны. Эти четыре параметра можно отыскать, сравнив расчитанную зонную структуру с эмпирическим расчетом зонной структуры или расчетом из первых принципов. Например, Чади и Коэн [2.25] нашли параметры сильной связи для С, Si и Ge путем сравнения с расчетом по методу эмпирического псевдопотенциала. Их результаты приведены в табл. 2.26.
Таблица 2.25
Матрица для восьми 5- и p-зон структуры алмаза в приближении сильной связи
SI
S2
XI
¥1
Z1
X2
¥2
Z2
SI
Es — Ek
Vssgl
0
0
0
Vspg2
VspgS
Vspg4
S2
Vssgl
Es — Ek
— Vspg3
—Vspg；
0
0
0
0
— Vspg2
Ep — Ek
0
0
^XX S 1
匕yg4
/g3
¥1
0
^Vspgs
0
Ep — Ek
0
匕yg4
匕竄gl
/g2
0
—Vspg4
0
0
Ep — Ek
匕yg3
匕yg2
^xx 1
X2
^spg2
0
5时
Ep^ Ek
0
0
¥2
VsPgl
0
0
Ep — Ek
0
Z2
0
匕yg3
0
0
Ep^ Ek
Таблица 2.26
Параметры сильной связи (в эВ) для С, Si и Ge, полученные Чади и Коэном [2.25] с учетом взаимодействия только ближайших соседей
Ep — Es
Ks
C
7,40
— 15,2
10,25
3,0
8,3
Si
7,20
—8」3
5,88
3,17
7,51
Ge
8,41
—6,78
5,31
2,62
6,82
Отметим, что знаки Vss и т.п. частично являются произвольными и определяются выбором относительных фаз двух перекрывающихся атомных орбиталей. Знаки в табл. 2.26 соответствуют выбору, приведенному на рисунках 2.17 а и 2.23. Величина параметров взаимодействия уменьшается в ряду от С до Ge. Далее будет показано, что данная тенденция может быть понята в связи с увеличением в этом ряду постоянной решетки. Если включить в расчет взаимодействие с соседями, следующими за ближайшими, то только Vxx слегка уменьшается. В целом это мало влияет на зонную структуру, поскольку Vxx соответствует наименьшему взаимодействию.
Чтобы разобраться в зонной структуре, полученной методом сильной связи, вычислим энергии зон в точке /с = 0. Из (2.82 а-г) находим, что при 左=0 g? = 8з = g4 = =0, a gi = 1. Следовательно матрица размерности 8x8 упрощается до матрицы 2x2 для s-электронов и трех идентичных матриц 2x2 для р-уровней:
(2.83 а)(2.83 а)(2.83 б)(2.83 б)Я 一石(0) 匕s匕SЯ 一石(0)
(2.83 а)
(2.83 а)
(2.83 б)
(2.83 б)
еР 一石(0)匕方
УXXеp 一石(0)
Эти две матрицы легко привести к диагональному виду, что даст четыре энергии:
ии(2.84 а)(2*84 6)(2.84 а)(2*84 6)石旺(0)=后5土1匕/
и
и
(2.84 а)
(2*84 6)
(2.84 а)
(2*84 6)
斗 ±(0) = %±|%J
В результате перекрытия атомных орбиталей уровни s и р двух атомов внутри примитивной ячейки расщепляются на величину, равную 2ksi и 2k』| соответственно. Энергия уровеня Es+ увеличивается, а его волновая функция антисимметрична относительно перестановки двух атомов. Это состояние соответствует антисвязывающему s-состоянию двухатомной молекулы. Уровень Es- соответствует связывающему s-состоянию. На основании табл. 2.5 можно ожидать, что антисимметричное, антисвязывающее состояние будет иметь симметрию Г^, а симметричное связывающее состояние — симметрию А* Исходя из подобной аналогии трижды вырожденные антисимметричные Fi5-состояния зоны проводимости соответствуют антисвязывающим р-орбиталям, а симметричные состояния Г^ валентной зоны ——связывающим р-орбиталям.
На рис. 2.24 структура валентной зоны Si, расчитанная по методу сильной связи, сравнивается со структурой, расчитанной по методу эмпирического псевдопотенциала. На этом рисунке сравниваются также плотности состояний, вычисленные с помощью этих двух методов (мы дадим определение понятию плотность состояний в зоне в п. 4.3.1, а также в гл. 8). В этом расчете по методу сильной связи в дополнение к взаимодействию с ближайшими соседями включено взаимодействие с соседями следующего окружения. Для валентных зон согласие между двумя методами довольно хорошее. На рис. 2.25 сравниваются зонные структуры Ge, расчитанные по методам сильной связи, эмпирического псевдопотенциала и в модели почти свободных электронов. В то время как валентные зоны хорошо воспроизводятся по методу сильной связи с использованным здесь простым 5р3-базисом, этого нельзя сказать о зонах проводимости, поскольку электроны зоны проводимости сильнее делокализованы. Точность расчета зон проводимости по методу сильной связи можно улучшить
Рис. 2.24. Структура валентной зоны и плотность состояний п (см. п. 4.3.1) для Si, расчитанные по методу сильной связи (штриховые кривые) и по методу эмпирического псевдопотенциала (сплошные кривые) [2.25]Рис. 2.24. Структура валентной зоны и плотность состояний п (см. п. 4.3.1) для Si, расчитанные по методу сильной связи (штриховые кривые) и по методу эмпирического псевдопотенциала (сплошные кривые) [2.25]
Рис. 2.24. Структура валентной зоны и плотность состояний п (см. п. 4.3.1) для Si, расчитанные по методу сильной связи (штриховые кривые) и по методу эмпирического псевдопотенциала (сплошные кривые) [2.25]
Рис. 2.24. Структура валентной зоны и плотность состояний п (см. п. 4.3.1) для Si, расчитанные по методу сильной связи (штриховые кривые) и по методу эмпирического псевдопотенциала (сплошные кривые) [2.25]
L-v 、IqHOm① IqHHH ①IpgmL-v 、IqHOm① IqHHH ①IpgmИЁОРМИ 口 offlodcBИЁОРМИ 口 offlodcBгагаи к Xи к XгЕ и к XАГ6АгЕ и к XАГ6А12124 о4 омл -Bom KHJdoHGмл -Bom KHJdoHG-12 Рис. 2.25. Сравнение между зонными схемами, расчитанными по методу сильной связи (а), эмпирического псевдопотенциала (б) и в модели почти свободных электронов (в) [2.24]
L
-v 、
IqHOm① IqHHH ①Ipgm
L
-v 、
IqHOm① IqHHH ①Ipgm
ИЁОРМИ 口 offlodcB
ИЁОРМИ 口 offlodcB
га
га
и к X
и к X
г
Е и к X
А
Г6
А
г
Е и к X
А
Г6
А
12
12
4 о
4 о
мл -Bom KHJdoHG
мл -Bom KHJdoHG
введением дополнительных параметров перекрытия. Однако представленная здесь модель сильной связи имеет еще один недостаток. В ней имеется только четыре зоны проводимости, поскольку мы включили только четыре §- и р-орбитали. Для исправ™ ления этого недостатка возникает необходимость в дополнительных орбиталях и параметрах перекрытия, что, к несчастью, разрушает простоту модели.
Параметры перекрытия и расстояния между ближайшими соседями. Мы показали, что преимущество метода сильной связи заключается в возможности расчитать валентные зоны полупроводников с помощью малого числа атомных энергий и параметров перекрытия. Теперь мы продемонстрируем, что эти параметры перекрытия в различных полупроводниках можно выразить в виде простых функций расстояния между ближайшими соседями, умноженными на геометрический фактор. Совокупность этих результатов делает метод сильной связи чрезвычайно мощным методом для предсказания свойств многих соединений (не только полупроводников) при наличии только малого числа параметров (см. [2.24]).
Приведем следующую простую аргументацию, на основании которой можно пред™ полагать, что между параметрами перекрытия и межатомными расстояниями существует связь. Рисунки 2.20 и 2.21 показывают, что вследствие перекрытия атомных орбиталей энергетические уровни атомов уширяются, образуя зоны. Ширина зоны равна, по-существу, 2K где V соответствующий параметр перекрытия. Одновременно в результате этого перекрытия волновые функции электронов становятся делокализованными в пределах расстояния, определяемого расстоянием d между ближайшими соседями (т.е. длиной связи). Используя принцип неопределенности, можно оценить импульс делокализованного электрона как 方тг/d, а его энергию как Й2тг2/(2md2). Отсюда следует, что параметры перекрытия зависят от d как d~2. Этот простой эвристический довод можно обосновать более строго, сравнив зонные структуры, расчитанные по методу сильной связи и в модели почти свободных электронов. В качестве примера рассмотрим валентную зону с наименьшей энергией в кристалле с простой кубической структурой. Эту зону можно отождествить со связывающими s-орбиталями и показать, что ее дисперсия вдоль направления [100] имеет вид Es — —4Vssa — 2Vssa cos kx (задача 2.15). Таким образом, ширина этой зоны равна 4Vssa. С другой стороны, в модели почти свободных электронов ширина зоны получается равной Й27г2/(2md2). Приравнивая ширину зон, найденных посредством этих двух различных методов, получим
(2.85)(2.85)_方 27r2
(2.85)
(2.85)
- 2^-
В общем случае все четыре параметра перекрытия для s- и р-орбиталей могут быть выражены в форме
(2.86)(2.86)V _ 方2
(2.86)
(2.86)
где множитель 丁〃，^ зависит от симметрии кристалла. Из (2.85) следует, что в крк- сталлах с простой кубической структурой Tssa = 7г2/8. В табл. 2.27 приведены значения тц!т в кристаллах с простой кубической решеткой и с решеткой типа алмаза.
Таблица 2.27
Геометрический фактор 丁"，加)устанавливающий связь параметров перекрытия s™ и 〃-зон с шириной зоны свободного электрона 力^/(md?) в соответствии с (2.86). В последнем столбце приведены подъюстированные значения, полученные в результате подгонки к энергетиче™ ским зонам Si и Ge (см. [2.24])
Простая кубическая решетка
Алмаз и цинковая обманка
Подъюстир. значения
^ssa
*/8 = —1,23
—9^2/64 = —1,39
-1,40
T~spcr
“)g/4)一 Ilf0
(9тг2/32)[1 — (16/37г2)]1/2 = 1,88
1,84
Tpp(j
3戸/8 = 3,70
217r2/64 = 3,24
3,24
Тррк
—打2/8 = _I/
—3^2/32 = —&93
-0,81
Для кристаллов алмаза и цинковой обманки Харрисон [2.26] рассматривал множители тц'т как подгоночные параметры для подгонки энергетических зон Si и Ge. Он получил превосходное согласие между расчетными и подгоночными значениями для трех параметров. Единственным исключением был параметр трр^, для которого подгоночное значение, равное —0,81, было несколько меньше расчетного.
При расчете валентных зон и наиболее низких зон проводимости во многих по™ лупроводниках типа цинковой обманки и алмаза единственное, что необходимо для вычисления параметров перекрытия, — табл. 2.27, выражение (2.86) и значения постоянных решетки. Даже без детальных вычислений мы можем качественно представить
5 (антисвязывающие)
〃 (антисвязывающие) Ef (уровень Ферми) 〃 (связывающие)
5 (связывающие)
〃 (антисвязывающие)
5 (антисвязывающие) Ef (уровень Ферми) 〃 (связывающие)
5 (связывающие)
〃 (антисвязывающие)
〃 (связывающие) Ef (уровень Ферми) 5 (антисвязывающие)
5 (связывающие)
Рис. 2.26. Эволюция 5 и 〃 атомных орбиталей, приводящая к образованию зоны проводимо™сти и валентной зоны при В = 0 в приближении сильной связи для Si, Ge и a™Sn. Порядокзон для алмаза такой же, как для Si
симметрию зоны проводимости и валентных зон в центре зоны Бриллюэна для трех элементов группы IV: Si, Ge и серого олова (или a-Sn). Постоянная решетки возрастает от Si к a-Sn* Это приводит к уменьшению параметров перекрытия \ VSS\ и \VXX| (изменение от С до Ge показано в табл. 2.26). Уменьшение сильнее для |匕/, чем для I匕 J В результате порядок расположения s- и р-орбиталей изменяется от Si к а- Sn, как это показано на рис. 2.26. Положение уровня Ферми определяется заполнением зон восемью имеющимися валентными электронами. Нетрудно увидеть, что самая низкая зона проводимости в центре зоны Si является p-подобной, в то время как соответствующая зона Ge — s-подобна. В данной схеме a-Sn оказывается полуметаллом вследствие меньших значений энергии у зон, полученных из s-орбиталей. Как было впервые показано Германном [2.27] для серого олова, за это несут ответственность релятивистские эффекты. Последнее справедливо также для HgTe и HgSe. Следует однако заметить, что изменение порядка расположения s- и р-орбиталей для HgSe явилось недавно объектом дискуссии; см. [2.28].
Задачи
Шаблон гранецентрированной кубической зоны Бриллюэна.
Создайте модель зоны Бриллюэна ГЦК решетки, скопировав шаблон, приведен™ ный на рис. 2.27, на картон и разрезав вдоль сплошных линий. Согните вдоль ттрк- ховых линий. Склейте края.
Рис. 2.27. Шаблон для построения зоны Бриллюэна ГЦК решетки
Упражнения по теории групп.
Проверьте таблицу характеров точечной группы 〃, приведенную в табл. 2.3.
Применив операции симметрии группы Т& к базисным функциям, приведенным в табл. 2.3, покажите, что эти функции преобразуются по соответствующим непркво- димым представлениям.
Упражнения по теории групп.
Используя таблицу характеров группы Т”, покажите, что Т2 ® Т2 = Т± ® Т2 ® ㊉石㊉
Покажите, что симметризованные линейные комбинации матричных элементов тензора второго ранга, приведенного в п. 2.3.4, преобразуются по неприводимым представлениям Ti, 厶，Е и Ai.
Симметризованные волновые функции: свойства преобразования.
Докажите, что симметризованные волновые функции в таблицах 2.9 и 2.10 преобразуются по своим неприводимым представлениям.
Характеры точечных групп Оз” и 。25
7 М. Кардона
Дедуктивно путем непосредственной проверки определите характеры для точечных групп Сзу и C^v по таблицам 2.12 и 2.14 соответственно.
26 Соотношения совместности.
12 112 △ △△△△12 112 △ △△△△Используйте таблицы 2.3, 2.4, 2.12 и 2.14 для доказательства следующих соотношений совместности:
12 112 △ △△△△
12 112 △ △△△△
八2
㊉△? Аз
ф Д3 ф Д4 Ai ф Л3
㊉Аз㊉△《 Л2㊉Аз.
Представления несимморфных групп.
Используя таблицы 2.15 и 2.19, покажите, что дважды вырожденные состояния Xj_ и Х2 в кристаллах алмаза расщепляются, соответственно, на состояния X]㊉Х3 и X?㊉ ㊉ Х4, когда кристалл алмаза (несимморфный) преобразуется в кристалл цинковой обманки (симморфный), т.е. если два атома в примитивной ячейке становятся раз™ личными. Состояния X? и Х4 при таком же преобразовании остаются дважды вы™ рожденными и превращаются в состояния Х5 в кристалле цинковой обманки.
Дважды вырожденные волновые функции в точке X зоны Бриллюэна в структуре алмаза.
В пределах приближения свободного электрона волновые функции в точке X зоны Бриллюэна могут быть представлены как exp \ik • г], где к = (2тг/а)(±1, О, 0), (2тг/а)(0, ±1, 0) или (2тг/а)(0, 0, ±1)* Рассмотрим волновые функции 吵 1 = =sin [(2тг/а)ж] к 吵1 = cos [(2тг/а)ж].
Предположим, что кристаллическая структура алмаза имеет просто инверсионную симметрию /: (ж, у, %) т (―囂，一g, ™^); применяя эту операцию симметрии к ^1 получим —吵「Поскольку кристалл инвариантен по /, можно ожидать, что 吵i и /^i имеют одинаковую энергию. Нетрудно установить, что это тривиально выполняется, поскольку ^i и /吵1 линейно зависимы. Таким образом, мы не можем утверждать, что состояния 吵 1 и 吵2 вырожденные.
Теперь учтем, что операция инверсии в решетке алмаза не просто /, а /': (ж, у, %) Т (—囂 十(а/4), —9 十(а/4), —% 十(а/4)). Применяя，к 吵八 получим =sin [(2тг/а)(^ж 十(а/4))] = sin [(2тг/а)(^ж)十(тг/2)] = cos [(2тг/а)(^ж)]= =™ cos [(2тг/а)ж]=—吵2* Поскольку 吵i и ^2 не являются линейно независимыми, то из инвариантности кристалла по /' следует, что ^1 и ^2 — вырожденные. Аналогично можно показать, что все состояния плоской волны в точке X дважды вырожденные из-за этой операции симметрии /'*
Расчеты зонной структуры «вручную» по методу псевдопотенциала.
Цель этого упражнения ——показать, каким образом псевдопотенциалы снимают вырождение и приводят к появлению энергетических щелей в зонной структуре по™ чти свободных электронов. Поскольку псевдопотенциалы достаточно малы, можно рассматривать их по теории возмущений и получить достаточно точные значения энергий зон с помощью карманного калькулятора, не прибегая к большим компьютерам*
Рассмотрим только шесть волновых функций в точке X полупроводника типа цинковой обманки, соответствующих наименьшим энергиям. В модели почти свобод™ ных электронов волновые функции выражаются как exp (ik • г), где 左=(2тг/а)(±1, 0, 0) и (2тг/а)(0, ±1, ±1). Для краткости обозначим эти шесть волновых функций как 1100), 1100 , 1011), 1011), 1011) и |01Т).
Покажите, что эти шесть волновых функций можно симметризовать в соответ™ ствии со следующими неприводимыми представлениями:
凿=(1/^)[|011)十 |ОТТ)] и^2 = (1/^)[|011) — |ОТТ〉]分 Х5
為=(1/2){[|011)^|0ТТ)]十 г[|О1Т)十 |011)]}分 Хз
妈=(1/2){[|011)^|0ТТ)]^г[|01Т)十 |011)]}分 Xi
妈=(1/2){[|100)十 |100)]十 z[1100)^|T00)]}分 ％
%=(1/2){[|100)十 1T00)]^z[1100)^|100)]}分 x3.
Следует заметить, что форм-факторы псевдопотенциала в табл. 2.21 были определены при начале координат, выбранном посередине между двумя атомами в примитивной ячейке. Для соответствия этой координатной системе операции симметрии группы X должны быть определены иначе, чем в п. 2.3.2. Чтобы оси и плоскости точечной『рун- пы пересекались в средней точке между атомами, некоторые из операций симметрии должны включать трансляцию.
(方2奴V 2m —(方2奴V 2m —6?了十 Vf j6?了十 Vf jВычислите матричные элементы псевдопотенциала между этими волновыми функциями. Задачу можно сильно упростить, использовав теорему матричного эле™ мента. Поскольку псевдопотенциал V обладает полной симметрией кристалла, его симметрией будет Г\* Единственными состояниями, которые взаимодействуют по™ средством V, будут состояния 吵？ к 吵$ с симметрией X? и состояния 吵4 K 吵5 c симмет™ рией Х「Покажите, что результирующая матрица {%/} размерности 6x6 имеет вид
(方2奴
V 2m —
(方2奴
V 2m —
6?了十 Vf j
6?了十 Vf j
一碇 0
0 一碇
0 0
0 0
0 0
0 0
0000
0000
碇十2%00公，5（t碍一呜）
0碎一2%i^（-v^ + vl）0
0一?;，5（一吗十岁勦一呜0
—?；，5（—吗—R%00十呜
в) Приведите секулярный определитель к диагональному виду
=О
2. Покажите, что ре-2. Покажите, что ре-путем приведения его к трем определителям размерности 2 х
2. Покажите, что ре-
2. Покажите, что ре-
зультирующие уровни энергии имеют вид
后（Х5）=后（Х5）=47r2 方 2ma247r2 方 2ma2
后（Х5）=
后（Х5）=
47r2 方 2ma2
47r2 方 2ma2
1/21/2
1/2
1/2
1/21/2石（工） = I十碱一3说）± I [+碱一说）2十8（呜.喧尸
1/2
1/2
^№） = 1 十碱十3说）±g十碱十说）十8（吗十呜）2
Вычислите энергии уровней Х^ X? и Х5 в GaAs, подставив в выражение (в) форм-фактор GaAs. Постоянную решетки а примите равной 5,642 А. На рис. 2.28 эти результаты сравниваются с энергиями почти свободных электронов и с энергиями, вычисленными методом эмпирического псевдопотенциала (ЭПМ).
Модель свободных электроновМодель свободных электроновМодельэмпирическогопсевдопотенциалаМодельэмпирическогопсевдопотенциалаПсевдопотенциал«вручную»Псевдопотенциал«вручную»Xi,居及Xi,居及4,72 эВ4,72 эВЛ, ЛЛ, ЛВалентнаяВалентная4,7 эВ4,7 эВзоназонаЛЛЗона проводимостиЗона проводимости
Модель свободных электронов
Модель свободных электронов
Модельэмпирическогопсевдопотенциала
Модельэмпирическогопсевдопотенциала
Псевдопотенциал«вручную»
Псевдопотенциал«вручную»
Xi,居及
Xi,居及
4,72 эВ
4,72 эВ
Л, Л
Л, Л
Валентная
Валентная
4,7 эВ
4,7 эВ
зона
зона
Л
Л
Зона проводимости
Зона проводимости
Рис. 2.28. Самые нижние энергетические зоны в точке X GaAs, расчитанные в модели по чти свободных электронов, модели эмпирического псевдопотенциала и методе возмущений из задачи 2.8. Обозначение Xi—Хз соответствует и； > 0, т.е. положению катиона в узле (а/4)(111), а аниона — в начале координат
Если Вы хотите улучшить результаты расчета, то какие плоские волны и форм™ факторы псевдопотенциала Вы должны включить?
Замечание: В литературе часто не оговаривается, какое именно начало координат используется автором D. Симметрия зонной структуры в точке X кристалла типа цинковой обманки зависит от выбора начала координат, что может привести к значительным недоразумениям (см. [2.29]). Например, если начало координат выбрано на анионе, то зона проводимости с симметрией X] образована преимущественно волновыми функциями s-типа аниона и волновыми функциями p-типа катиона. С другой стороны, зона проводимости X? образована волновыми функциями s-типа катиона и волновыми функциями p-типа аниона. Во всех полупроводниках типа цинковой обманки, за исключением GaSb [2.30, 2.31], состояние X] имеет меньшую энергию, чем состояние Хз. Если начало координат выбрано на катионе, знаки 叫 и, соответственно, роли X] и Хз меняются на обратные.
Волновые функции в L-то ч ке цинковой обманки.
Используя симметризованные волновые функции при к = (2тг/а)(1, 1, 1) в модели почти свободных электронов для кристаллов типа цинковой обманки:
П： ，§cos (2тгж/a) cos (2тгд/a) cos (2»%/а),А (ж): V8 sin (2тгж/а) cos (2тгд/а) cos (2тг^/а),
и подобные волновые функции для 玛匂)к △(%) в табл. 2.9, покажите, что матричные элементы оператора импульса р между функциями Г± и Г^ имеют вид
|(Г1|рж|Г4(х))|2 = КГ1|р2/|Г4Ы)|2 = |(Г1ЫГ4(^))|2 = (2Й7г/а)2,
в то время как все остальные матричные элементы 勿,такие как |(Fi\рх 1n匂)〉匕 равны 0.
1)Предполагается, что начало координат также является общей точкой осей точечной группы, задающих симметрию.
Представления двойных групп.
Во многих учебниках по квантовой механике приводится следующий результат. Действие бесконечно малого поворота 6J вокруг оси, определяемой единичным век™ тором п, на орбитальную волновую функцию / (г) можно найти, подействовав на / (г) оператором ехр [—?；6 Jn」/%]* Для частицы со спином 5 = 1/2 соответствующий оператор вращения на угол J)действующий на спиновую волновую функцию, имеет вид ехр [^й0п • сг/2]. Используя этот оператор покажите, что:
для частицы со спином 1/2 действие на волновые функции а к /3 вращения на угол 27r заключается в изменении знака а и /3 и, следовательно, соответствующий след Е равен —2;
следы, соответствующие операциям симметрии, приведенным в табл. 2.23, для базиса а к /3 имеют вид
Таблица 2.23
{£}
{35} {3 应5}
{6S6
{6。} {6Ка}
{8Сз}
{应}
{6 应 S6
{8 应 Оз}
2
0
/2
0
1
—2
-6
一1
Двойная группа в точке X структуры цинковой обманки.
Как дополнительное упражнение на вычисление таблицы характеров двойной группы рассмотрим точку X структуры цинковой обманки.
Прежде всего определим классы, входящие в состав двойной группы. В этом слу™ чае необходимо только сравнить классы одиночной и двойной групп в центре зоны, поскольку Х-классы образуют подгруппу этих классов. Нетрудно увидеть, что в данном случае существует 7 классов:
{石}, {。汽第)，ЁС1(х)}, {2Cl(y, z), 2ЁС1(у. z)}, {2SC，{2ям}, {应} и {ES,}.
Используя результаты задачи 2.10, можно показать, что характеры этих операций, действующих на две спиновые волновые функции, имеют вид, приведенный в табл. А. Отсюда можно получить таблицу характеров для двойной группы точки X в кристалле цинковой обманки (табл. Б). С помощью последних читателю следует показать, что представления X], X? и Х5 в структуре цинковой обманки (см. задачу 2.10) переходят в представления Х6 ® X] = Х^, Х6 ® X? = Х7 и X^ ® Х5 = Х6 ㊉ X? в двойной группе (см., например, структуру зоны GaAs на рис. 2.14).
Структурный фактор в Si.
Интенсивность пиков рентгеновского рассеяния на кристалле зависит от его структурного фактора S.
Например, структурный фактор кристалла Si (ГЦК решетка) рассматривается во многих стандартных учебниках по физике твердого тела, таких как «Введение в физику твердого тела» Киттела (гл. 2 в 6-м издании). В качестве базиса ГЦК структуры обычно выбирается единичная кубическая ячейка с четырьмя атомами. Расположение этих четырех атомов может быть выбрано следующим образом: (0, 0, 0), (0,1/2,1/2), (1/2, 0,1/2) и (1/2,1/2, 0) (в единицах размера куба а). Структурный фактор S『uk(6)«, /) для волнового вектора (Л, к, /) в обратном пространстве исчезает, если целые h, k п I содержат смесь четных и нечетных чисел. В случае кристалла Si имеется 8 атомов на единичный куб, поскольку две взаимопроникающие ГЦК подрешетки смещены друг относительно друга на расстояние (1/4, 1/4, 1/4). В результате структурный фактор кристалла Si Ssi(九砌 определяется как
Ssi(hkl) = S『uk(九k/)[l + ехр (гтг/2)(Д 十 «十
Таблица А
Е。汽①)，ECl(x)2。汽办 ^), 2ECl(y,n) 2s42mdВES4
200/50—2—6
Таблица £
Е庚(①)，ECl(x) 2Cl(y. zY ^ECKy. n) 2s4 2md Е ES4
1 2 3 4 5 6 7 X X X X X X X1 2 3 4 5 6 7 X X X X X X X11112 2 211112 2 21 1 1 1 2 о о1 1 1 1 2 о о1 1 1 1 о о о1 1 1 1 о о о1 1 1 1 о1 1 1 1 о^^^^1 1 1 1 о о о1 1 1 1 о о о11112 2 211112 2 21 о1 о
1 2 3 4 5 6 7 X X X X X X X
1 2 3 4 5 6 7 X X X X X X X
11112 2 2
11112 2 2
1 1 1 1 2 о о
1 1 1 1 2 о о
1 1 1 1 о о о
1 1 1 1 о о о
1 1 1 1 о
1 1 1 1 о
^^
^^
1 1 1 1 о о о
1 1 1 1 о о о
11112 2 2
11112 2 2
1 о
1 о
Подразумевается, что Ssi(hkl) обращается в нуль, если сумма (九十 «十 /) равна удвоенному целому нечетному числу. Объединяя оба вышеперечисленные условия, получим, что Ssi(6k/) будет отличен от нуля лишь в том случае, когда 1) («,«,/) содержит только четные числа и 2) сумма (九十 «十 /) равна учетверенному целому числу (см., например, «Введение в физику твердого тела» Киттела, задача 5 в конце гл. 2 в 6-м издании. Исходя из этого, предполагается, что диффракционное пятно, соответствующее (2, 2, 2) в рентгеновской диффракционной картине Si, будет иметь нулевую интенсивность, поскольку 九十 к + / = 6^
Уже с 1959 г. известно, что так называемое запрещенное диффракционное пятно (2, 2, 2) в алмазе имеет ненулевую интенсивность (см. [3.23] или «Введение в физику твердого тела», с. 73 в 3-м издании). В настоящее время установлено, что наличие этого запрещенного диффракционного пятна можно объяснить существованием зарядов на связи, расположенных приблизительно посередине между атомами алмаза или кремния. Каков структурный фактор зарядов на связи в кристалле Si, если предполагается, что они расположены точно посередине между двумя атомами Si?
Матричные элементы р.
Покажите, что все матричные элементы р между зонами проводимости /4 и валентными зонами Г4 полупроводников типа цинковой обманки вида〈Х|р% |/^с⑶〉, (Z\py\r4C(z)) или {Х\ру\Г4С(у)), где по крайней мере два из значков ж, g или % идентичны, равны нулю вследствие инвариантности кристалла относительно вращения на 180° вокруг одной из трех эквивалентных осей [100].
Из (а) следует, что единственные не равные нулю матричные элементы р имеют вид {X\py\r^c{z}}. Используя трехкратную вращательную симметрию кристалла цинковой обманки, покажите, что
〈Х|р/Г4c ⑶〉=(¥|Яг|Г4с(ж)) = (Z\px\r4c(y))
и
(X\pz\r4c(y)) = (Y\px\r4c(z)) = (Z\py\r4c(x)).
Используя симметрию отражения в плоскостях (110), покажите, что
(X\py\r4c(z)) = (Y\px\r4c(z)).
Линейные по к члены.
Покажите, что линейный по к член, обусловленный (к • р)™взаимодействием, равен нулю в Г-точке кристалла цинковой обманки.
(к • р)-м ето д .
Используйте (2.52) для вычисления матрицы {Н^} размерности 6x6.
Используйте компьютер с программой приведения матриц к диагональному виду для расчета структуры валентной зоны GaAs со следующими параметрами: F2/(m0) = 13эВ; Q2/(m0) = 6эВ; Ео = 1, 519эВ; Eq = 4, 488эВ; △ = 0, 34эВ и & = 0,171 эВ.
Валентные зоны; (к • р)™гамильтониан.
Найдите матрицу размерности 4x4, вычислив матричный элемент гамильто™ ниана Латтинжера в (2.70) между состояниями Jz = ±3/2 и ±1/2 для множества J = =3/2.
Приведите эту матрицу размерности 4 х 4 к диагональному виду, чтобы полу™ чить два набора дважды вырожденных уровней с энергиями
行2
石土 =而Si廿± 也7計4十12 (電一若)(号写十十
Сравнивая результаты в (б) с (2.66) получите (2.71).
Энергетические зоны полупроводника в модели сильной связи.
Найдите матрицу размерности 8x8 для энергий s- и p-зон в полупроводнике типа цинковой обманки в модели сильной связи.
Покажите, что при к = 0 энергии §- и p-зон имеют вид
及±(0) = j (及1 十及2)± 4(及1 -及2尸十 4ksi2]1/2
И
еР±(0)= 2 (石Pl十后Р2)±5[(%1 -еР2)"十4|%上円1/2
вместо (2.84а) и (2.846). Здесь Es± и ES2 — энергии атомных s-уровней〈Sl|?/o|Sl〉 и〈S2|?/o|S2〉соответственно; ^i и Ер2 соответствующие энергии р-уровней.
Интегралы перекрытия в методе сильной связи.
Вычислите геометрические факторы тц/т в табл. 2.27.
Гамильтониан сильной связи.
Пусть имеется две р-орбитали. Одна находится в начале координат, а другая — в точке d(cos 0х, cos 0у, cos 0z), где d — расстояние между двумя р-орбиталями, a cos 0х, cos Оу и cos 0z ——направляющие косинусы второй р-орбитали. Покажите, что парамет™ ры перекрытия Vxx и Vxy имеют вид
Меж 二 ^рра COS 0Х 十 Vpp^ sill 0х ,
^ху = [^ррсг -~ ^рртг ] COS 0х COS Jg •
Проводимость и зоны легких дырок в полупроводниках с малой запрещенной зоной.
Запишите матрицу гамильтониана размерностью 2x2, описывающую прово™ димость и зону легких дырок полупроводника с узкой запрещенной зоной, такого как InSb. Приведите ее к диагональному виду и объясните сходство результирующего выражения с релятивистской энергией свободных электронов и позитронов [4.28]. Используйте это выражение для оценки непараболических эффектов в массе зоны проводимости.
Заключение
В образце полупроводника содержится очень большое число атомов. Поэтому количественное квантово-механическое описание его свойств является довольно трудной задачей. Эту задачу можно чрезвычайно упростить, воспользовавшись свойствами симметрии кристаллической решетки, т.е. с помощью теории групп. Мы показали, каким образом можно классифицировать волновые функции электронов и колебательных мод (фононов) в зависимости от их поведения под действием операций симметрии. Эта классификация включает неприводимые представления группы операций симметрии. Трансляционная симметрия кристаллов приводит к теореме Блоха и введению блоховских функций для электронов. Мы узнали, что их собственные функции могут индексироваться волновыми векторами (блоховскими векторами), ограниченными областью обратного пространства, называемого первой зоной Бриллюэна. Подобным же образом их энергетические собственные значения могут быть представлены как функции волновых векторов в пределах первой зоны Бриллюэна, т.е. в виде так называемых электронных энергетических зон. Мы дали обзор следующих главных методов расчета энергетических зон полупроводников: метода эмпирического псевдопотенциала, метода сильной связи или линейной комбинации атомных орбиталей (ЛКАО) и (к • р)-метода. Были приведены упрощенные версии соответствующих вычислений для иллюстрации основных особенностей энергетических зон в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки.
ГЛАВА 3
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА АТОМОВ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ЭЛЕКТРОН^ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Содержание
Дисперсионные кривые фононов в полупроводниках....................108
Модели для вычисления дисперсионных кривых фононов в полупровод
никах ....................................................................111
Электрон—фононные взаимодействия....................................117
Задачи .......................................................................131
Заключение..................................................................148
Начнем обсуждение колебательных свойств атомов в полупроводниках с обзора динамической теории кристаллической решетки. Гамильтониан идеального кристалла уже был нами приведен (см. (2.1)). Отметим, что электроны были разделены на две группы. Предполагается, что электроны остова жестко связаны в своем движении с ядром, образуя то, что называется ионом. Валентные электроны взаимодействуют с этими ионами посредством псевдопотенциалов. Часть гамильтониана (2.1), связанная с движением ядер, имеет вид
儿。h(R…「疆)=> e + ^ g 4宀阳一 1M 一鼻4宀也一/「(工1)
где Rj, Pj, Zj и Mj положения, импульсы, заряды и массы ядер соответственно, гj——положения электронов, ^^ означает суммирование по парам индексов j и
То, что в этот гамильтониан входят координаты электронов, затрудняет получение решений для движения ядер, поскольку движение электронов связано с движением ионов. Как уже отмечалось в § 2.1, разделить эти два движения можно с помощью приближения Борна^Оппенхеймера, или адиабатического приближения. В этом приближении предполагается, что электроны адиабатически следуют за движением ионов. В результате мы можем найти решение для электронной части гамильтониана Н в (2.1) и получить энергии электронов в зависимости от положений ионов. С другой стороны, ионы не могут следовать за движением электронов, поэтому они «видят» только усредненный по времени адиабатический электронный потенциал. Следовательно, гамильтониан для ионов можно записать в виде
"ион = £ + 旦(R，• • •, Rn)〉 (3.2)
где Ее (Ж1, . . ., Rn) полная энергия валентных электронов, когда ионы занимают стационарные положения R], . . ., Rn. Величину Жион можно рассматривать, как взаимодействие между ионами, осуществляемое посредством электронов. В настоящее время с помощью суперкомпьютеров можно вычислить Ее (Ж1, . . . , R也)и затем найти решения для движения ионов ab initio.
Поскольку большая работа по исследованию динамики решетки проводилась до появления суперкомпьютеров, более ранние исследования должны были основываться на феноменологическом подходе. При этом уравнения движения для ионов обычно
получали, разлагая Жион по смещениям ионов 6R/ из их положений равновесия R”：
〃вюн = H()(Rtu)” Ruq^ + Н (<5Жю, . . ., 6Ruq^. (3.3)
Здесь Жо(Ж1о? - • -, Жпо) — гамильтониан кристалла, в котором все ядра находятся в равновесных положениях, а Ж^^Жю, . . . , ^Rno) изменение Жион вследствие малых смещений ядер 6Rio,...,方冗也。из их равновесных положений. Для приведения Hf к диагональному виду следует разложить НИОН около Rio, . . . , R^。. Поскольку Jij0 являются равновесными положениями ионов, члены первого порядка по 6R/ обращаются в нуль. Кроме того, если все 6R/ идентичны, то происходит однородное смещение кристалла без его искажений. Таким образом, в разложении Жион членами самого низкого порядка, существенными для колебаний кристалла, являются члены второго порядка по 6 (R/ — RQ* Если мы сохраним в Hf только квадратичные члены, то движение ядер будет описываться совокупностью простых гармонических осцилляторов, поэтому данное приближение называется гармоническим приближением. Ограничимся рассмотрением динамики решетки полупроводников в гармоническом приближении. Его серьезная ограниченность заключается в невозможности объяснить некоторые явления, например, тепловое расширение. В частности, в настоящее время надежно установлено, что коэффициент линейного расширения многих полупроводников типа алмаза и цинковой обманки дважды изменяет знак при возрастании температуры от температуры жидкого гелия до комнатной [3.1].
Для простоты будем обозначать смещение из положения равновесия иона к в элементарной ячейке / как u^i- В гармоническом приближении Н1 можно представить в виде
H'(Uki) =I £以广 Ф(кЦ kflf) • (3.4)
В этом уравнении Н1 (и^1)означает изменение ионного гамильтониана при смещении иона (к/), в то время как все остальные атомы остаются в своих положениях равновесия. Матрица 6(к/, кЧ1) содержит силовые постоянные, описывающие взаимодействие между ионами (к/) и (А/Г). Например, сила, действующая на ион (к/) вследствие смещения u^v иона {кЧ1\ выражается как —.(к/, кЧ1) • и^и • Силовые постоянные содержат две части. Первая часть прямое ион—ионное взаимодействие, обусловленное их кулоновским отталкиванием, вторая ——непрямое взаимодействие посредством валентных электронов. Движение одного иона вызывает изменение в распределении электронов. Эта перегруппировка электронов приводит к появлению силы, действующей на соседние ионы. В § 3.2 мы рассмотрим различные модели для вычисления силовых постоянных. Здесь же мы опишем процедуру нахождения дисперсионных кривых фононов, предполагая, что силовые постоянные известны.
Определение динамических свойств решетки, описываемых гамильтонианом (3.4), можно выполнить в два приема. Используем сначала классическое рассмотрение гамильтониана и найдем решения уравнений движения. В этом классическом приближении (3.4) описывает энергию совокупности частиц, совершающих осцилляции с малой амплитудой. Как хорошо известно из классической физики, эти осцилляции можно выразить через нормальные моды, которые не зависят друг от друга [3.2]. Затем проквантуем энергии этих нормальных мод. Каждый квант колебаний решетки называется фононом. Поскольку процедуру определения квантованных энергетических уровней одномерных простых гармонических осцилляторов можно найти в большинстве учебников по квантовой механике, мы не будем ее здесь воспроизводить. Вместо этого сосредоточим наши усилия на нахождении нормальных мод колебаний, описанных в (3.4).
Поскольку Ф(А;/, kflf) обладает трансляционной симметрией, можно предположить, что движения атомов, которые приводят (3.4) к диагональному виду, выражаются в виде плоских волн, похожих на блоховские волновые функции для электронов
в кристалле (определенных выражением (2.6) в § 2.2). Если u^i ^смещение иона к в элементарной ячейке /, характеризуемой вектором решетки Ж/, то оно связано со смещением и^о соответствующего иона в элементарной ячейке, расположенной в начале координат, блоховской волной вида
Иuu(q, = Uko exp幻力),(3.5)|
где q и си ——волновой вектор и частота волны соответственно. Существует, однако, одно важное отличие между блоховскими волнами электрона и фонона. В то время как электрон может занимать любое положение в кристалле, положения ионов в классическом приближении дискретны. Поскольку Ri в (3.5)——векторы решетки, две волны, у которых волновые векторы отличаются на вектор обратной решетки, эквивалентны. На языке зон Бриллюэна, введенных в § 2.2, этот результат можно выразить следующим образом: частоты фононов в первой зоне Бриллюэна идентичны частотам фононов в других зонах Бриллюэна. Таким образом, зависимость частоты от волнового вектора для решеточных колебаний в кристаллах (или дисперсионные кривые фононов) всегда изображают в приведенной зонной схеме. Вторым важным следствием (3.5) является то, что число степеней свободы или число независимых волн равно утроенному числу атомов в кристалле. Подставив в выражение (3.4) вместо и^1 выражение (3.5) и использовав результирующее выражение в классическом уравнении Гамильтона [3.2], получим уравнение для м&о：
Мкш2иш = £ Ф(кт, МО) exp (Tq * Rm)uk^.(3.6)
Проведя маес-модифицированное Фурье-преобразование Ф в виде
O^(q) = £伞(爲乩 ^к^МкМ^1/2 exp [^iq • Rm],(3.7)
можно записать (3.6) как
):[0友加(q) - 3 方mа，о = 0•(3.8)
Матрица D&&，(q) называется динамической матрицей. Колебательные частоты ш являются решениями секулярного уравнения
■(Q)一 矗館=0.(3.9)
Амплитуды колебаний и^о получают, подставив решения (3.9) в (3.8). Читатели могут найти подробные сведения о процедуре диагонализации матрицы в (3.8) в учебниках по линейной алгебре или классической механике. Главные различия между приведенной выше классической трактовкой и квантово-механическими вычислениями заключаются в следующем:
энергетические уровни колебательной моды с частотой ш квантуются, как [п + + (1/2)麻；
операторы рождения и уничтожения кванта колебания (или фонона) выражаются через амплитуды колебаний и^о-
В остальной части настоящей главы будут рассмотрены следующие вопросы: в § 3.1 мы рассмотрим качественные особенности дисперсионных кривых фононов в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки, в § 3.2 познакомимся с моделями вычисления этих дисперсионных кривых с помощью (3.9), а последний параграф будет посвящен взаимодействиям между электронами и фононами.
В пределах гармонического приближения (3.4) фононы имеют бесконечное время жизни. Учет ангармонических членов более высокого порядка приводит к конечному времени жизни, которое может быть вычислено с помощью методов ab initio [3.3].
Дисперсионные кривые фононов в полупроводниках
Дисперсионные кривые фононов в кристаллах вдоль направлений высокой симметрии могут быть весьма точно измерены с помощью рассеяния нейтронов На рисунках 3.1^3.3 приведены дисперсионные кривые Si, GaAs и GaN. Эти кривые могут
Рис. 3.1. Фононные дисперсные кривые Si вдоль осей высокой симметрии. Кружки —— экспериметальные результаты из [3.4]. Сплошные кривые ——вычисления с помощью адиабатической модели заряженных связей Вебера [3.5]
считаться репрезентативными для полупроводников с решетками типа алмаза и цинковой обманки. Поскольку в таких кристаллах в примитивной элементарной ячейке находится два атома, имеется шесть фононных ветвей. Они подразделяются на три ветви акустических фононов (три кривые с более низкими энергиями) и три ветви оптических фононов. Вдоль направлений высокой симметрии (таких как направления [100] и [111] в Si и GaAs) фононы можно классифицировать как поперечные и продольные в зависимости от того, перпендикулярны или параллельны их смещения к направлению волнового вектора q.
В твердом теле длинноволновые поперечные акустические (ТА) фононы являются сдвиговыми звуковыми волнами, а продольные акустические (LA) фононы —— звуковыми волнами сжатия. Скорости этих звуковых волн определяются сдвиговыми и объемными модулями упругости соответственно. Поскольку обычно легче произвести в кристалле сдвиг, чем сжатие, ТА фононы имеют меньшие скорости, чем LA фононы. Две особенности ТА фононов в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки заключаются в следующем:
их дисперсионные кривые ——относительно плоские вблизи края зоны;
их энергии вблизи края зоны много меньше, чем у LA фононов.
1)Брокхаусу и Шуллу была в 1994 г. присуждена Нобелевская премия за их работы в области нейтронной спектроскопии. Брокхаус и Янгер первыми измерили дисперсию фонона в Ge с помощью жесткого нейтронного рассеяния [Phys. Rev. 1958. V. 111. Р. 747].
ГЛ X 2 Г Л £
10"
Рис. 3.2. Фононные дисперсионные кривые GaAs вдоль осей высокой симметрии [3.6]. Экспериментальные точки получены при 12 К. Сплошные кривые расчитаны в модели жестких ионов с одиннадцатью параметрами. Около фононных ветвей указаны соответствующие неприводимые представленияРис. 3.2. Фононные дисперсионные кривые GaAs вдоль осей высокой симметрии [3.6]. Экспериментальные точки получены при 12 К. Сплошные кривые расчитаны в модели жестких ионов с одиннадцатью параметрами. Около фононных ветвей указаны соответствующие неприводимые представленияX Z Ж Q £X Z Ж Q £44Г К м800Г К м800ГГАА7007006006007500:400R 300m 2001007500:400R 300m 200100Ki(LO)Ki(LO)4(LO)4(LO)Bl石2Ж(тоУBl石2Ж(тоУ厶 1(TO)厶 1(TO)8-
Рис. 3.2. Фононные дисперсионные кривые GaAs вдоль осей высокой симметрии [3.6]. Экспериментальные точки получены при 12 К. Сплошные кривые расчитаны в модели жестких ионов с одиннадцатью параметрами. Около фононных ветвей указаны соответствующие неприводимые представления
Рис. 3.2. Фононные дисперсионные кривые GaAs вдоль осей высокой симметрии [3.6]. Экспериментальные точки получены при 12 К. Сплошные кривые расчитаны в модели жестких ионов с одиннадцатью параметрами. Около фононных ветвей указаны соответствующие неприводимые представления
X Z Ж Q £
X Z Ж Q £
4
4
Г К м
800
Г К м
800
Г
Г
А
А
700
700
600
600
7500
:400
R 300
m 200
100
7500
:400
R 300
m 200
100
Ki(LO)
Ki(LO)
4(LO)
4(LO)
Bl
石2
Ж(тоУ
Bl
石2
Ж(тоУ
厶 1(TO)
厶 1(TO)
00,500,5
義
Рис. 3.3. Дисперсия фононов вдоль направлений высокой симметрии в полупроводнике структуры вюрцита ——GaN [3.7]. Экспериментальные точки получены рамановским рассеянием (светлые кружки) и рассеянием жесткого рентгеновского излучения высокого разрешения (темные кружки). Сплошные кривые — вычисление ab initio
Позднее мы покажем, что указанные особенности обусловлены ковалентной природой связей в этих кристаллах.
В Si поперечные оптические (ТО) фононы и продольные оптические (LO) фононы вырождены в центре зоны. В GaAs и других полупроводниках типа цинковой обманки LO фонон вблизи центра зоны имеет более высокую энергию, чем ТО фонон. Точно в центре зоны ТО и LO фононы в кристаллах типа цинковой обманки также должны быть вырождены вследствие кубической симметрии их структуры. Мы снова вернемся к вопросу о вырождении и дисперсии оптических фононов в центре зоны в кристаллах типа цинковой обманки в § 6.4, когда будем изучать взаимодействие между ТО фононами и инфракрасным излучением. При волновых
векторах вблизи центра зоны, но не точно в центре, частота LO фонона в GaAs и других кристаллах типа цинковой обманки больше, чем у ТО фононов. Причиной этого является частично ионный характер связей в таких кристаллах. Например, в GaAs атомы As дают для связи больше электронов, чем атомы Ga. В результате при ковалентной связи электроны проводят в среднем несколько больше времени около атомов As, чем около атомов Ga. Поэтому атомы As заряжены слегка отрицательно, а атомы Ga—— слегка положительно. Предположим, что происходит возбуждение ТО фонона, распространяющегося вдоль направления [111]. Положительные и отрицательные ионы расположены в различных плоскостях, перпендикулярных оси [111]. В ТО моде плоскости положительных и отрицательных ионов по существу сдвигаются друг относительно друга. Ситуация похожа на смещение друг относительно друга пластин плоскопараллельного конденсатора при неизменном расстоянии между ними. При таком движении энергия конденсатора не изменяется. С другой стороны, энергия конденсатора увеличивается, когда две пластины раздвигаются, поскольку возникает дополнительная возвращающая сила, обусловленная кулоновским притяжением между положительно и отрицательно заряженными пластинами. Аналогично существует дополнительная возвращающая сила для длинноволновых LO фононных мод, хотя ее нет для ТО фононных мод.
Аналогия между оптическими фононами и смещениями пластин конденсатора продемонстрирована на рис. 3.4. Дополнительная возвращающая сила (F), возникающая из-за смещений ионов, делает частоты длинноволновых LO фононов больше частот ТО фононов. В п. 6.4.4 мы подробно покажем, что для LO фонона существует продольное электрическое поле, связанное со смещениями атомов, а для ТО фонона такого поля нет. Это продольное электрическое поле приводит к дополнительному взаимодействию между LO фононами и электронами (см. п. 3.3.5). В Si два атома в элементарной ячейке идентичны, поэтому связь является чисто ковалентной и атомы не заряжены. В результате не существует дополнительной возвращающей силы, связанной с LO фононами, и оптические фононы в центре зоны вырождены
Смещение
Конденсатор
с параллельными пластинами
СмещениеСмещениеКристалл цинковой обманки вдоль оси (111)Кристалл цинковой обманки вдоль оси (111)Рис. 3.4. Сравнение между смещениями атомов в ионном кристалле при длинноволновом оптическом колебании и в бесконечном конденсаторе с плоскими пластинами; F —— возвращающая сила, возникающая при смещении изображенных зарядовРис. 3.4. Сравнение между смещениями атомов в ионном кристалле при длинноволновом оптическом колебании и в бесконечном конденсаторе с плоскими пластинами; F —— возвращающая сила, возникающая при смещении изображенных зарядов
Смещение
Смещение
Кристалл цинковой обманки вдоль оси (111)
Кристалл цинковой обманки вдоль оси (111)
Рис. 3.4. Сравнение между смещениями атомов в ионном кристалле при длинноволновом оптическом колебании и в бесконечном конденсаторе с плоскими пластинами; F —— возвращающая сила, возникающая при смещении изображенных зарядов
Рис. 3.4. Сравнение между смещениями атомов в ионном кристалле при длинноволновом оптическом колебании и в бесконечном конденсаторе с плоскими пластинами; F —— возвращающая сила, возникающая при смещении изображенных зарядов
1)Следует, однако, отметить, что если более двух атомов одного вида присутствуют в каждой примитивной ячейке, возможно наличие активных в инфракрасной области мод и LO—ТО расщепления. См. случай селена и теллура [3.8]
Колебательные моды в кристалле могут быть симметризованы в соответствии с пространственной группой кристалла подобно электронным состояниям. Фононная мода характеризуется смещениями атомов внутри элементарной ячейки. Поэтому симметрия фонона должна принадлежать прямому произведению представления вектора и представления, порожденного перестановками положений атомов в элементарной ячейке. Симметрия длинноволновых фононов в Si и GaAs уже рассматривалась в п. 2.3.2 (1). Пример того, каким образом определяются симметрии длинноволновых фононов в другом кубическом кристалле — CU2O, — содержащем шесть атомов в примитивной элементарной ячейке, приведен в задаче 3.1. Фононы в некубической кристаллической структуре, такой как структура вюрцита, рассмотрены в задаче 3.7 б.
Модели для вычисления дисперсионных кривых фононов в полупроводниках
Для нахождения дисперсионных кривых фононов с помощью (3.9) необходимо знать силовые постоянные. В большинстве вычислений эти силовые постоянные определяют, моделируя сначала взаимодействия между ионами посредством введения ряда параметров, а затем находя значения этих параметров, подгоняя их так, чтобы описать некоторые экспериментальные величины, например, скорость звука, частоты фононов в центре зоны, объемные модули упругости и др. Однако даже когда силовые постоянные известны, для решения (3.9) и нахождения частот фононов необходимы численные расчеты. Поэтому мы можем только качественно обсудить особенности различных моделей, предложенных для вычисления дисперсии фононов в полупроводниках.
Модели силовых постоянных. Модель Борна-фон Кармана (см. [3.7], с. 55) была первой попыткой вычислить дисперсию фононов в таких полупроводниках, как алмаз и Si. Предполагалось, что атомы представляют собой жесткие сферы, соединенные пружинками. Упругие постоянные 伞(左/,左7) находили путем подгонки к экспериментальным результатам. Борн [3.10] пытался произвести подгонку к экспериментальным результатам для С и Si всего с двумя упругими постоянными а и 仇 которые определяют возвращающую силу, действующую на каждый атом вследствие его собственного смещения и смещения его ближайших соседей. Эта простая модель была использована Хсие [3.11] для расчета дисперсии фононов в Si. Вычисленная кривая расходилась с экспериментальной дисперсионной кривой в коротковолновой области. В описываемой простой модели решетка Si оказалась нестабильной при сдвиговом напряжении. Плоскую форму дисперсионных кривых ТА фононов вблизи края зоны невозможно объяснить без помощи дальнодействующих межатомных взаимодействий. Позднее Герман [3.12] показал, что распространив взаимодействия до пятых ближайших соседей и введя 15 силовых постоянных, можно достичь согласия рассчитанных дисперсионных кривых Ge с экспериментальными. Эту модель трудно понять с точки зрения физики, поскольку некоторые из силовых постоянных для отдаленных соседей оказались больше, чем для ближайших.
Оболочечная модель. Очевидно, что модель, в которой атомы рассматриваются как точечные массы, соединенные пружинками, является плохим приближением для полупроводников, поскольку в ковалентных полупроводниках, таких как Ge и Si, валентные электроны не привязаны жестко к ионам. В модели, предложенной Кокреном [3.13], предполагается, что каждый атом состоит из жесткого ионного остова, окруженного оболочкой валентных электронов (рис. 3.5), которые могут двигаться относительно остовов. В этом заключается основа оболочечной модели.
Оболочка 1Оболочка 1Оболочка 2Оболочка 2Рис. 3.5. Типичные взаимодействия между двумя деформируемыми атомами в оболочечной моделиРис. 3.5. Типичные взаимодействия между двумя деформируемыми атомами в оболочечной моделиВ оболочечной модели взаимодействия между двумя атомами внутри элементарной ячейки Si схематически изображаются пружинками, как это показано на рисунке. Важная особенность оболочечной модели заключается в возможности введения дальнодействующе- го кулоновского взаимодействия между атомами. Это достигается наличием у оболочек зарядов, так что при смещении оболочек относительно ионов возникают дипольные моменты. Используя взаимодействия между индуцированными
Оболочка 1
Оболочка 1
Оболочка 2
Оболочка 2
Рис. 3.5. Типичные взаимодействия между двумя деформируемыми атомами в оболочечной модели
Рис. 3.5. Типичные взаимодействия между двумя деформируемыми атомами в оболочечной модели
диполями для моделирования дально- действующих взаимодействий, можно было ограничиться короткодействующими взаимодействиями только между ближайшими соседями. Кокрен [3.13] смог, использовав оболочечную модель, описать дисперсионные кривые Ge с помощью пяти подгоночных параметров. Доллинг и Коули [3.14] описали дисперсионные кривые Si с помощью оболочечной модели с одиннадцатью параметрами. В этой модели короткодействующие взаимодействия учитывались также для соседей, следующих за ближайшими. Похожие оболочечные
модели с одиннадцатью параметрами успешно применялись для описания дисперсионных кривых фононов даже в соединениях группы Ш—V. При использовании четырнадцати параметров было достигнуто вполне удовлетворительное согласие теории с экспериментом. Главный недостаток оболочечной модели заключается в том, что в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки распределения валентных электронов очень отличаются от сферических оболочек. Поэтому параметры, которые определяются при использовании оболочечной модели, не имеют очевидного физического смысла и, помимо подгонки дисперсионных кривых фононов, имеют ограниченную применимость. Филлипс [3.15] отметил, что наиболее серьезные проблемы возникают при применении оболочечной модели к ковалентным твердым телам. Она искусственно разделяет валентные заряды между двумя атомами, образующими ковалентную связь. В действительности каждый из атомов владеет
валентными электронами часть времени, т.е. все они проводят часть своего времени на каждом из атомов.
Модели связей. Хорошо известно, что валентные электроны в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки образуют строго направленные в пространстве связи. Валентные электроны важны для объяснения сил сцепления в этих полупроводниках, поэтому они должны также оказывать большое влияние на частоты колебаний. Колебательные свойства молекул с ковалентными связями интенсивно изучались химиками. Обычно ко лебател ьн ые моды анализируются в терминах валентных силовых полещ приводящих к растяжению связей и к изменению углов между ними (поворот связей). С помощью этих валентных силовых полей можно непосредственно определить силовые постоянные, поскольку смещения ионов связаны с координатами связей. Одним из преимуществ такого рассмотрения является то, что силовые постоянные для растяжения и поворота связей часто характеризуют сами связи и их можно использовать для различных молекул, имеющих одинаковые связи.
Чтобы увидеть, какого рода параметры используются в методе валентного силового поля (МВСП) для вычисления динамических свойств решетки, рассмотрим кристалл с двумя атомами А и В в элементарной ячейке. Потенциальную энергию валентных связей около положений равновесия можно феноменологически разложить
в ряд по координатам валентных связей:
М = J ^^^rij)2 + ^ii(6rik)2 + £ 晶*3仇3炉 + £ 电脑3" + Л ji, kBABABA
BABABA„
Первые два члена в (3.10) соответствуют силам растяжения связей; j и к относятся, соответственно, к ближайшим и следующим за ближайшими соседям атома i. Остальные члены дают вклад в силы, приводящие к повороту связей. Движения связей для этих членов показаны на рис. 3.6. Описываемый метод вычисления дисперсионных кривых фононов дает наилучшие результаты, если небольшого числа валентных силовых полей достаточно для объяснения дисперсии фононов. В ионных кристаллах необходимо ввести дополнительные дальнодействующие силы, обусловленные кулоновским взаимодействием, для того чтобы получить расщепление LO и ТО фононов вблизи центра зоны.
k^ro^OjkiX^jk)
Рис. 3.6" Конфигурации с поворотами связей в кристалле с двумя атомами (А и В) в элемен-тарной ячейке
Впервые описываемый метод применили Мусгрейв и Попл [3.16] для изучения динамики решетки в алмазе. Они включили в потенциальную энергию только два типа валентных силовых полей: растяжение связей и поворот связей вокруг атома, находящегося в общей вершине. В модели использовалось пять параметров, которые сводились к шести силовым постоянным между ближайшими соседями и соседями, следующими за ближайшими. Модель плохо воспроизводила упругие постоянные, а также частоты фононов вблизи центра зоны. В последующей работе было показано, что лучших результатов можно достичь с помощью дополнительных параметров, связанных с изменением углов, образованных двумя связями с одной общей связью. В ионных кристаллах число подгоночных параметров пришлось увеличить до восьми, чтобы учесть кулоновские взаимодействия. Таким образом, число подгоночных параметров, которые необходимы для хорошего согласия с экспериментальными результатами, в методе валентных силовых полей и в оболочечной модели сравнимо, и нет существенного преимущества одного метода перед другим. Дисперсионные кривые фононов в полупроводнике типа вюрцита, CdS, были вычислены Нузимовичи и Бирманом [3.17] с помощью МВСП с восемью подгоночными параметрами. Поскольку
8 М. Кардона
экспериментальные дисперсионные кривые для CdS были в то время неизвестны эти параметры подгонялись к экспериментальным значениям энергий оптических фононов в центре зоны. Упрощенная версия МВСП была предложена Китингом [3.22]. В этой модели было всего два параметра а к « для ковалентных полупроводников и дополнительный параметр заряда для ионных соединений. Параметр Китинга а эквивалентен члену а в (3.10), описывающему растяжение связей, а параметр /3 — члену 衣о, описывающему поворот связей. Модель Китинга, благодаря своей простоте и ясному физическому смыслу параметров, широко использовалась для изучения упругих и статических свойств ковалентных полупроводников [3.23 а, 3.24]. Дисперсионные кривые фононов, расчитанные в рамках модели Китинга, разумно согласуются с экспериментальными результатами, за исключением проблематичной ТА ветви. Если параметры а к « определяются из упругих постоянных, то энергии ТА фононов у края зоны (точка X) оказываются слишком большими и не воспроизводят плоскую дисперсию на экспериментальных кривых (см. рис. 3.1).
Модели с зарядами на связях. Чтобы понять мотивацию модели с зарядами на связях, вернемся к ионному гамильтониану (см. (3.2)). В принципе, можно найти силовые постоянные, дифференцируя полную энергию Ее по координатам ионов (это называется приближением замороженных фононов). Однако такой способ связан с обширными численными расчетами на суперкомпьютерах. С другой стороны, для вычисления дисперсионных кривых фононов в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки можно обойтись и без суперкомпьютеров, использовав интуицию и некоторые приближения.
Наиболее трудной частью вычислений является вопрос о кулоновском взаимодействии между ионами и электронами. В результате этого взаимодействия эффективный заряд иона, который «видят» другие ионы, оказывается уменьшенным. Данный эффект называется экранированием. Чтобы простым способом учесть эффекты экранирования, надо вычислить диэлектрическую функцию е (см. § 6.1), а затем разделить на нее ионный потенциал. Существует несколько способов для приближенного описания экранирования ионов валентными электронами. Очевидным упрощением было бы предположить, что валентные электроны являются свободными. Это позволяет заменить диэлектрическую функцию полупроводника диэлектрической функцией металла. Используя этот путь, Мартин [3.23 б] нашел, что кулоновское отталкивание между ионами очень сильно экранируется: решетка кремния становится нестабильной при длинноволновой сдвиговой деформации. В результате энергии ТА фононов приобретают мнимые значения. Во избежание этого можно ввести локализацию части валентных электронов, чтобы не все они давали вклад в экранирование ионов. Для вычислений с этими локализованными валентными электронами Мартин использовал идею зарядов на связях, предложенную Филлипсом [3.15]. Из данных по рассеянию рентгеновских лучей следовало, что в Si и алмазе заряды накапливаются вдоль связей. Последнее нельзя объяснить при сферическом распределении зарядов, как в оболочечной модели. Это накопление заряда на ковалентной связи называется зарядом связи и хорошо известно при образовании ковалентных молекул. Готтлихер и Вольфель [ 3.25] наблюдали в рентгеновских спектрах алмаза диффракционный пик, соответствующий обратному вектору решетки (2, 2, 2). Такой диффракционный пик запрещен в кристаллах со структурой алмаза по закону диффракции Брэгга (см. задачу 2.11). Эти авторы заметили, что запрещенный диффракционный пик можно было
1)Нейтронное рассеяние не может быть осуществлено на составах, содержащих 113Cd, из-за очень большого поперечного сечения абсорбции тепловых нейтронов. Однако, получены дисперсионные кривые фононов для случаев обогащения изотопами 114CdS [3.181, 114CdTe[3.19] и CdSe [3.20].
бы объяснить, предположив, что приблизительно 0,4 электронного заряда находится посередине каждой связи. В недавней работе Янга и Коппенса [3.26] также с помощью диффракции рентгеновских лучей найдено распределение зарядов на связях в Si. Их экспериментальные результаты приведены на рис. 3.7 а и прекрасно согласуются с теоретическими распределениями зарядов, расчитанными Целиховским и Коэном [3.27] (рис. 3.7 6).
Рис. 3.7. Распределение валентных зарядов в Si. Показаны контуры постоянной плотности зарядов, полученные экспериментально с помощью диффракции рентгеновских лучей [3.26] (а) и рассчитанные по методу эмпирического псевдопотенциала [3.27] (б). Числа на рисунке показывают количество электронов в объеме элементарной ячейкиРис. 3.7. Распределение валентных зарядов в Si. Показаны контуры постоянной плотности зарядов, полученные экспериментально с помощью диффракции рентгеновских лучей [3.26] (а) и рассчитанные по методу эмпирического псевдопотенциала [3.27] (б). Числа на рисунке показывают количество электронов в объеме элементарной ячейки
Рис. 3.7. Распределение валентных зарядов в Si. Показаны контуры постоянной плотности зарядов, полученные экспериментально с помощью диффракции рентгеновских лучей [3.26] (а) и рассчитанные по методу эмпирического псевдопотенциала [3.27] (б). Числа на рисунке показывают количество электронов в объеме элементарной ячейки
Рис. 3.7. Распределение валентных зарядов в Si. Показаны контуры постоянной плотности зарядов, полученные экспериментально с помощью диффракции рентгеновских лучей [3.26] (а) и рассчитанные по методу эмпирического псевдопотенциала [3.27] (б). Числа на рисунке показывают количество электронов в объеме элементарной ячейки
Мартин [3.23 б] включил заряды на связях в вычисления динамических свойств полупроводников очень простым феноменологическим способом. Он предположил, что заряд на связи с величиной Z^e расположен в точности посередине между двумя атомами. В качестве первого приближения он постулировал, что Z^e равен
Zbe =Zbe =2е2е(з.и)(з.и)
Zbe =
Zbe =
2е
2е
(з.и)
(з.и)
где 2е соответствует двум электронам, осуществляющим ковалентную связь, а ди
электрическая постоянная е является результатом экранирования заряда на связи остальными валентными электронами. Для простоты предполагалось, что е —
диэлектрическая постоянная для малых значений волнового вектора и низких частот (о зависимости е от волнового вектора и от частоты см. в § 6.1). Данное приближение, по крайней мере для алмаза, оказалось довольно хорошим. Диэлектриче
=0,35е, что находится в разумном=0,35е, что находится в разумномРис. 3.8. Схематическое изображение модели заряженных связей Мартина [3.23 б] для SiРис. 3.8. Схематическое изображение модели заряженных связей Мартина [3.23 б] для Siская постоянная алмаза равна 5,7, откуда Z^e согласии с экспериментальным значением 0, 4е [3.25]. Эта простая модель для кристалла Si схематично представлена на рис. 3.8. Каждый ион Si имеет заряд +4е. Четыре валентных электрона от каждого атома Si разделяются на локализованные заряды на связях и почти свободные электроны. Атом Si предоставляет четыре Zb/2 электрона на каждую из четырех связей, которые он образует со своими четырьмя ближайшими соседями. Эти заряды на связях локализованы и поэтому не участвуют в экранировании ионов Si. Остальные (4 — 2ZJ валентных электрона от каждого атома Si предполагаются свободными и могут экранировать ионы. Силами, определяющими частоты фононов, являются:
=0,35е, что находится в разумном
=0,35е, что находится в разумном
Рис. 3.8. Схематическое изображение модели заряженных связей Мартина [3.23 б] для Si
Рис. 3.8. Схематическое изображение модели заряженных связей Мартина [3.23 б] для Si
кулоновское отталкивание между зарядами на связях;
кулоновское притяжение между зарядами на связях и ионами;
кулоновское отталкивание между ионами;
не кулоновская сила между ионами, аппроксимируемая пружинкой.
Используя описанный метод, Мартин смог вычислить дисперсию фононов и упругие постоянные Si без прочих подгоночных параметров.
Дальнейшим развитием модели с зарядами на связях Филлипса и Мартина была адиабатическая модель с зарядами на связях (АМЗС), предложенная Вебером [3.5]. Эта модель объединяет особенности модели с заряженной связью, оболочечной модели и модели Китинга. В качестве отправной точки АМЗС использует модель Мартина. Концептуальным улучшением АМЗС было то, что заряды на связях не считались жестко локализованными посередине связей, как у Мартина, а могли адиабатически следовать за движением ионов, как в оболочечной модели. В результате кулоновского притяжения к ионам заряды на связях нестабильны относительно любого малого возмущения, которое сдвигает их ближе к одному из ионов. Для того чтобы стабилизировать заряды на связях, Вебер включил два дополнительных типа сил: 1) короткодействующие отталкивающие силы между зарядами на связях и ионами; 2) силы поворота связей, как в модели Китинга.
Рис. 3.9. Схематическое изображение адиабатической модели заряженных связей Вебера [3.5]Рис. 3.9. Схематическое изображение адиабатической модели заряженных связей Вебера [3.5]ся находить из энергий фононов у грани для элементов группы IV, вычисленныеся находить из энергий фононов у грани для элементов группы IV, вычисленныеНа рис. 3.9 схематически показаны различные взаимодействия в АМЗС между ближайшими ионами и зарядами на связях. В модели имеются четыре подгоночных параметра:03 — потенциал центральных сил между ионами;。仁be — потенциал центральных сил между ионами и зарядами на связях;Z2/s — кулоновское взаимодействие между зарядами на связях;户 _ параметр изгиба связей из модели Китинга.Некоторые из этих параметров можно определить из упругих постоянных или из дисперсионных кривых для длинноволновых фононов, тогда как другие приходит- ды зоны. Дисперсионные кривые фононов с помощью АМЗС, хорошо согласуются сНа рис. 3.9 схематически показаны различные взаимодействия в АМЗС между ближайшими ионами и зарядами на связях. В модели имеются четыре подгоночных параметра:03 — потенциал центральных сил между ионами;。仁be — потенциал центральных сил между ионами и зарядами на связях;Z2/s — кулоновское взаимодействие между зарядами на связях;户 _ параметр изгиба связей из модели Китинга.Некоторые из этих параметров можно определить из упругих постоянных или из дисперсионных кривых для длинноволновых фононов, тогда как другие приходит- ды зоны. Дисперсионные кривые фононов с помощью АМЗС, хорошо согласуются с
Рис. 3.9. Схематическое изображение адиабатической модели заряженных связей Вебера [3.5]
Рис. 3.9. Схематическое изображение адиабатической модели заряженных связей Вебера [3.5]
ся находить из энергий фононов у грани для элементов группы IV, вычисленные
ся находить из энергий фононов у грани для элементов группы IV, вычисленные
На рис. 3.9 схематически показаны различные взаимодействия в АМЗС между ближайшими ионами и зарядами на связях. В модели имеются четыре подгоночных параметра:
03 — потенциал центральных сил между ионами;
。仁be — потенциал центральных сил между ионами и зарядами на связях;
Z2/s — кулоновское взаимодействие между зарядами на связях;
户 _ параметр изгиба связей из модели Китинга.
Некоторые из этих параметров можно определить из упругих постоянных или из дисперсионных кривых для длинноволновых фононов, тогда как другие приходит- ды зоны. Дисперсионные кривые фононов с помощью АМЗС, хорошо согласуются с
На рис. 3.9 схематически показаны различные взаимодействия в АМЗС между ближайшими ионами и зарядами на связях. В модели имеются четыре подгоночных параметра:
03 — потенциал центральных сил между ионами;
。仁be — потенциал центральных сил между ионами и зарядами на связях;
Z2/s — кулоновское взаимодействие между зарядами на связях;
户 _ параметр изгиба связей из модели Китинга.
Некоторые из этих параметров можно определить из упругих постоянных или из дисперсионных кривых для длинноволновых фононов, тогда как другие приходит- ды зоны. Дисперсионные кривые фононов с помощью АМЗС, хорошо согласуются с
экспериментом.
В качестве примеров на рисунках 3.1, 3.10 и 3.11 сравниваются экспериментальные и расчетные дисперсионные кривые фононов в Si, a-Sn (сером олове) и алмазе соответственно. Фононные дисперсионные кривые алмаза представляли особую трудность для АМЗС, поскольку в алмазе, в отличие от прочих элементов группы IV, энергии ТА фононов у края зоны довольно велики. Кроме того, есть некоторые особенности у фононных ветвей, которые не удается описать с помощью АМЗС с четырьмя параметрами. Для получения удовлетворительного согласия с экспериментальными результатами в алмазе Вебер ввел дополнительный параметр в член, описывающий поворот связи. На рис. 3.11 экспериментальные дисперсионные кривые фононов в алмазе сравниваются с результатами, вычисленными с помощью этой модели с пятью параметрами. Есть одна незначительная, но интересная особенность, не очевидная из этого рисунка. Она заключается в том, что максимальная энергия ветви оптических фононов достигается вдоль направления [100], а не в точке F, как для Si и Ge. Результаты более поздней работы, в которой экспериментальные результаты по динамике решетки сравниваются с вычислениями из первых принципов, можно найти в [3.28].
X ZX ZХз； ^4Хз； ^44 24 2「 А「 АГ Л L L К Ж XГ Л L L К Ж X
X Z
X Z
Хз； ^4
Хз； ^4
4 2
4 2
「 А
「 А
Г Л L L К Ж X
Г Л L L К Ж X
Рис. 3.10. Фононные дисперсионные кривые a-Sn. Сплошные линии вычислены в адиабати-ческой модели заряженных связей Вебера; штриховые — в модели валентного силового поля;кружки — экспериментальные результаты [3.5]
欠4欠4△2,△2,h」b^ьоьй^h」b^ьоьй^弋4弋4ХзХз△5△5Si оЯ久3Si оЯ久3「25,「25,£2,£2,bibiЬзЬзXiXiХзХзХ4Х4
欠4
欠4
△2,
△2,
h」b^ьоьй^
h」b^ьоьй^
弋4
弋4
Хз
Хз
△5
△5
Si оЯ
久3
Si оЯ
久3
「25,
「25,
£2,
£2,
bi
bi
Ьз
Ьз
Xi
Xi
Хз
Хз
Х4
Х4
Г А X X ГЛ L L К Ж X
Рис. 3.11. Фононные дисперсионные кривые алмаза. Сплошные линии ——вычисления в адиа-батической модели заряженных связей Вебера, кружки ——экспериментальные результаты[3用
3.3. Электрон^фононные взаимодействия
В § 2.1 было отмечено, что в пределах приближения Борна-Оппенгеймера можно представить гамильтониан кристалла в виде суммы трех членов: НИОН（Ид）, He（『i,氏加）и Bg—110H（歹爲 6Rj）. Первые два члена связаны с независимым движением ионов и электронов. В гл. 2 и в § 3.2 мы обсуждали способы нахождения этих гамильтонианов для определения зонной структуры электронов и дисперсионных кривых фононов. Рассмотрим теперь третий член, описывающий взаимодействие между движением электронов и ионов, или электрон-фононное взаимодействие. Будем предполагать в духе приближения Борна-Оппенгеймера, что электроны могут мгновенно следовать за движением ионов, так что гамильтониан электрон-фононного взаимодействия можно представить в виде разложения электронного гамильтониа-
на He(『i)Rj) в ряд Тейлора:
Не— ионНе— ион* 5 Rj + 马о* 5 Rj + 马о(3.12)(3.12)
Не— ион
Не— ион
* 5 Rj + 马о
* 5 Rj + 马о
(3.12)
(3.12)
Обычно гамильтониан электронов He(ri, Rj) не известен, и поэтому для вычисления электрон-фононного взаимодействия возникает необходимость в приближениях. Для упрощения нашей задачи будем детально рассматривать главным образом длинноволновые фононы в кристаллах типа алмаза и цинковой обманки с двумя атомами в элементарной ячейке. Как обсуждалось в § 3.1, имеется четыре типа длинноволновых фононов (т.е. с к вблизи точки F): ТА, LA, ТО и LO фононы. Рассмотрим их взаимодействия с электронами по отдельности. Взаимодействие между электронами и фононами с большими волновыми векторами будет рассмотрено в конце этого параграфа.
Тензор деформаций и деформационные потенциалы. Предположим, что энергии электронов Enk невырожденной зоны (п — индекс зоны, к — волновой вектор) известны, так что можно аппроксимировать (дНе/дRj) как
，GRj.，GRj.(3.13)(3.13)
，GRj.
，GRj.
(3.13)
(3.13)
Постоянная (дEnk/dRj) просто выражает сдвиг энергии электронной зоны вследствие статического смещения атомов. В случае длинноволновых акустических фононов смещения атомов могут соответствовать деформации кристалла (теорема о деформационном потенциале). Такая деформация приводит к изменению энергий электронов в разных точках зоны Бриллюэна. Параметры, описывающие эти изменения, индуцированные статическими искажениями решетки, называются деформационными потенциалами. Таким образом, коэффициент dEn^/dRj связан с деформационными потенциалами кристалла. Теперь мы подробно рассмотрим, как электрон-фононные взаимодействия в полупроводниках выражаются через деформационные потенциалы.
атомов:атомов:В пределе нулевого волнового вектора, или бесконечной длины волны, акустический фонон превращается в однородную трансляцию кристалла. Очевидно, что такая трансляция не изменяет электронную зонную структуру, и поэтому, если все SRj идентичны, то изменения Enk равны нулю. Следовательно, мы должны предположить, что для взаимодействия с электроном акустический фонон должен иметь не равный нулю, хотя и малый, волновой вектор. Рассмотрим градиент смещений
атомов:
атомов:
(3.14)(3.14)Э(Ж)а/
(3.14)
(3.14)
аж )аж )аж )аж )где dij является тензором второго ранга, который можно представить в виде суммы симметричного тензора eij и антисимметричного тензора 九•:
аж )аж )
аж )аж )
(3.15 а)
(3.15 6)
Антисимметричный тензор 九 описывает вращение кристалла и не приводит к изменению энергий электронов. Симметричный тензор е?/ описывает деформацию, индуцированную в кристалле вследствие смещений атомов, и называется тензором деформаций. Такие деформации в кристалле могут приводить к сдвигу энергий электронов.
Отсюда следует, что мы можем найти электрон-фононные взаимодействия для длинноволновых акустических фононов, разлагая Не(гг：, R/) по членам тензора деформаций eij.
Как симметричный тензор второго ранга, qj имеет шесть независимых элементов. Можно интерпретировать эти элементы в соответствии с разными способами деформации кристалла. Возникает следующий вопрос: сколько линейно независимых деформационных потенциалов необходимо для описания всех возможных изменений энергии заданного электронного состояния, индуцированных деформацией? В общем случае на этот вопрос дает ответ теория групп. Ответ зависит от пространственной группы кристалла и от волнового вектора и симметрии (в смысле неприводимых представлений группы волнового вектора) конкретного электронного состояния. В качестве иллюстрации обсудим частные случаи электронов и акустических фононов в кристаллах типа алмаза и цинковой обманки.
Поскольку свойства электронов и фононов инвариантны при действии операций симметрии, положим, что электрон-фононное взаимодействие также будет при этом инвариантно. Таким образом, в качестве первого шага надо симметризовать тензор деформаций и электронное состояние по неприводимым представлениям кристалла. Симметризация электронных состояний уже рассматривалась в гл. 2. Для симметризации тензора деформаций заметим, что тензор второго ранга можно получить из тензорного произведения двух векторов. В кристаллах типа цинковой обманки вектор имеет симметрию /4, так что тензор второго ранга можно разложить по следующим неприводимым представлениям (см. также задачу 2.3):
玛区玛二门㊉乃㊉Ei㊉％.(3.16)
Чтобы разложить симметричный тензор е仃 по неприводимым представлениям в выражении (3.16), мы должны воспользоваться или проекционными операторами, описанными в книгах по теории групп (см. ссылки в гл. 2), или методом непосредственной проверки. Из вида базисных функций для группы Т^, приведенных в табл. 2.3 (см. п. 2.3.3), можно догадаться, что три диагональных элемента тензора второго ранга преобразуются как 凸〶丁3, а шесть недиагональных элементов — как Л< 〶丁5* Если мы создадим из недиагональных элементов симметричные и антисимметричные комбинации, то симметричная комбинация будет принадлежать представлению с характером, равным 1, при операциии симметрии, соответствующей отражению а (при отражении в плоскости (ПО) ху Т ух, xz Т yz 込 yz Т zz), а антисимметричная комбинация под действием той же операции симметрии будет иметь характер —1. Из табл. 2.3 видно, что недиагональные элементы симметричного тензора (подобного тензору деформаций) должны принадлежать представлению &, а соответствующие элементы антисимметричного тензора (как тензора, описывающего вращения)— представлению 丁5. Таким образом, элементы тензора деформаций (симметричного) можно разложить по следующим неприводимым представлениям:
А : Si — £22, 633 — (ец + с22)/2；
涼;ime君!
Если тензор деформаций // задан в матричной форме, то мы всегда можем представить его в виде суммы следующих трех матриц:
вц + в22 + вззООвц + в22 + вззООоСи + &22 + СззОоСи + &22 + СззОООвц + в22 + СззООвц + в22 + Сзз
вц + в22 + взз
ОО
вц + в22 + взз
ОО
о
Си + &22 + Сзз
О
о
Си + &22 + Сзз
О
О
О
вц + в22 + Сзз
О
О
вц + в22 + Сзз
ОО2в22 — (ВЗ + вц)ОО2е,зз — (вц + в22)ОО2в22 — (ВЗ + вц)ОО2е,зз — (вц + в22)"0612Аз(丁4)]=6120£23_ 613&230"0612Аз(丁4)]=6120£23_ 613&2302вц — (в22 + взз) 0О2вц — (в22 + взз) 0О
ОО
2в22 — (ВЗ + вц)О
О2е,зз — (вц + в22)
ОО
2в22 — (ВЗ + вц)О
О2е,зз — (вц + в22)
"0
612
Аз
(丁4)]=
612
0
£23
_ 613
&23
0
"0
612
Аз
(丁4)]=
612
0
£23
_ 613
&23
0
2вц — (в22 + взз) 0
О
2вц — (в22 + взз) 0
О
Отметим, что у матрицы с симметрией П след не равен нулю, тогда как у других двух матриц он равен нулю. Используя определение компонент тензора деформаций в (3.15 а), можно показать, что след (ец + £22 + Вз) тензора деформаций равен дифференциальному изменению объема ^у/у) или объемному расширению. С другой стороны, матрица деформации с нулевым следом описывает сдвиг среды. В кристалле типа цинковой обманки е?/(П) соответствует сдвиговой компоненте деформации, создаваемой одноосным напряжением, приложенным вдоль направления [100], в то время как eij^r^ соответствует деформации при одноосном напряжении вдоль [111]. Доказательство этих результатов оставлено для задачи 3.2 в конце настоящей главы.
Рассмотрим длинноволновое акустическое колебание, описываемое плоской волной с частотой ш и волновым вектором q:
6R = SR。sin (q • т —幻力).(3.17)
Тензор деформации е^, связанный с этим фононом, в соответствии с определением, данным в (3.15а), имеет вид
Bij = ^[qiSRoj + qjSROi] cos (q * 歹一幻力).(3.18)
Для продольной моды смещение SR параллельно направлению распространения д. Таким образом, не равные нулю компоненты тензора деформации для LA фонона (в пределе, когда как д, так и ш стремятся к нулю) просто равны
е?:?:二 q/R°i *(3.19)
Следовательно, тензор деформации, связанный с LA фононом, является диагональным тензором. Анализ его следа показывает, что LA фонон всегда создает осциллирующее расширение (6V/V) с амплитудой, равной q * 6Ro плюс сдвиг. Последнее согласуется с нашим представлением о том, что акустическая волна приводит к периодическому расширению и сжатию среды. Небольшое однородное расширение кристалла на SV приводит к смещению энергии экстремума электронной зоны Епк на величину
6Enk = ank(6V/Vl(3.20)
где ank называется объемным деформационным потенциалом энергетического уровня Еп^. В принципе этот деформационный потенциал можно определить, измеряя смещение Еп^ при гидростатическом давлении. На практике существует очень мало экспериментальных методов прямого измерения объемного деформационного потенциала. Часто для его определения используют оптические измерения в образцах, подвергнутых гидростатическому давлению. В этих оптических экспериментах обычно измеряется только разность энергий между двумя зонными экстремумами. В результате находят лишь относительные объемные деформационные потенциалы между двумя зонными экстремумами, в то время как в (3.20) входят абсолюты ыные значения.
В случае невырожденных зон мы можем пренебречь эффектом сдвиговой деформации, связанной с LA фононом, и написать гамильтониан электрон-LA фононного взаимодействия 儿—la для малого волнового вектора фонона q в виде
He-LA = ank(q^SR).(3.21)
Величину 6R можно выразить через операторы рождения и уничтожения фононов с^ и cq с помощью стандартных выражений квантовой механики (см. [3.29], с. 107):
2NV&32NV&3eq {с^ exp [i(q • г, - ®力)]+ cq exp [~i(q • rj - wt)]} , (3.22)
2NV&3
2NV&3
где N ——число элементарных ячеек в кристалле, I/ ——объем примитивной ячейки, 0—— плотность, eq ——единичный вектор поляризации фонона. Гамильтониан 〃&_la в (3.21) справедлив для невырожденного экстремума зоны, такого, например, как Г^ минимум зоны проводимости в GaAs и других полупроводниках группы цинковой обманки. Значения объемных деформационных потенциалов а(Пс) для зоны проводимости и относительных объемных деформационных потенциалов а (凸с)—а (凸5@) в этих полупроводниках приведены в табл. 3.1.
Как отмечено выше, в оптических экспериментах при гидростатическом давлении измеряются только относительные объемные деформационные потенциалы а (凸с)— а (凸5©) между зоной проводимости и валентной зоной. В тех случаях, когда абсолютные деформационные потенциалы для зоны проводимости известны [3.31], оказывается, что деформационный потенциал для зоны проводимости 凸 обычно раз в десять больше, чем деформационный потенциал для валентной зоны 凸5 (или 丁25,) • Относительные объемные деформационные потенциалы зоны проводимости и валентной зоны для центра зоны Бриллюэна в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки можно легко вычислить в пределах приближения сильной связи (см. задачу 3.9). Однако задача вычисления абсолютных деформационных потенциалов является отнюдь не тривиальной [3.32].
Таблица 3.7
Деформационные потенциалы для экстремумов зоны проводимости и валентной зоны в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки (в эВ); а ——объемный деформационный потенциал для самого низкого минимума Ас зоны проводимости или самого высокого максимума Г15у валентной зоны (обозначения для цинковой обманки); b и d ——сдвиговые деформационные потенциалы для максимума r^v валентной зоны;己d к 己乜 一 деформационные потенциалы у границ зон. Большинство данных взято из [3.30]
二标a(「ie) a(广1e)一a(广15軍)6d
Si田
Ge—12,36
GaP
GaAs6,5a
GaSb
I11P
InAs
InSb
Z11S
ZnSe
ZnTe
CdTe
877a—10—2,2—5」
16,36—12—2,3—5,0
13—9,3—1,8—4,5
14,56—8,6—9—2Q—5,4
—8,3—1,8—4,6
—7—6,4—2Q-5,0
6Q—1,8—3,6
7,7—2Q—5,0
4Q—0,62—3,7
5,4—1,2—4,3
5,8—1,8—4,6
3,4—1,2—5,4
а[100]-долины;
б[111]-долины; Mirlin D.N., Sapega V.F., Karlik I.Ya., Katilius R.: Hot luminescence investigation of L-valley spliting in GaAs// Solid State Commun. 1987. V. 61. P. 799—805.
Следует также обратить внимание на явную и не явную зависимость 儿—la от q. Из (3.22) видно, что смещение LA фонона 6R пропорционально 幻-".Поскольку ш линейно зависит от g для акустических фононов (в длинноволновом пределе), и 儿—la в (3.21) зависит от q ♦ SR)то 儿—la явно зависит от q как g". С другой стороны, в (3.22) 6R выражено через операторы рождения и уничтожения фононов, матричные элементы которых зависят от числа заполнения фононов. Вероятность того, что фононное состояние с энергией 方川 возбуждено при температуре Т, называется его числом заполнения. Фононы являются бозонами, и число заполнения фононов 7Vph (Яш) выражается функцией распределения Бозе-Эйнштейна:
■ Nph (方= { ехр 仅ОвТ)] — ,
где 衣в — постоянная Больцмана. Квадраты величин матричных элементов операторов рождения и уничтожения фононов равны Nph (Дш) + 1 и Nph (Дш) соответственно. При квТ》Йш, Nph (Дш)弋 квТ/(方川)》1. В результате член, связанный с заполнением фононов в квадрате матричного элемента 儿—la〉зависит от g как Q-1. Поэтому явная и неявная зависимости от g квадрата матричного элемента 儿—la взаимно уничтожаются. Эти результаты будут использованы в гл. 5 при вычислении зависимости подвижности электронов от температуры.
Взаимодействие электронов с акустическими фононами в вырожденных зонах. В предыдущем пункте мы уделяли особое внимание LA фононам, поскольку они всегда вызывают изменение объема кристалла, что влияет на все энергетические зоны. Это легко доказать с помощью теоремы о матричном элементе (см. п. 2.3.4). Объемное расширение не меняет симметрию кристалла, поэтому гамильтониан в (3.21) должен принадлежать единичному представлению. При воздействии на электронную зону в точке Г гамильтониан 儿—la должен содержать член, принадлежащий представлению 凸.Если симметрия электрона Д, то Д 区凸 = Д, следовательно, матричный элемент (Д |//е^ьА| Д) не равен нулю. Сдвиговые компоненты LA фононов по сравнению с компонентой, вызывающей объемное расширение, обычно менее важны.
С другой стороны, поперечные акустические (ТА) фононы являются только сдвиговыми волнами. В первом приближении деформация сдвига не влияет на энергию невырожденной зоны в кубическом кристалле. Поэтому наиболее важным эффектом сдвиговой деформации в кубическом кристалле является снятие вырождений некоторых энергетических зон в точках высокой симметрии зоны Бриллюэна. Для того, чтобы предсказать, приведет ли определенная деформация сдвига, например, с симметрией 丁s，к снятию вырождения для состояния с симметрией Д, можно опять использовать теорему о матричном элементе. Рассмотрим влияние деформации и акустических фононов в двух важных случаях, относящихся к вырожденным зонам в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки. Это касается вырожденных зон тяжелых и легких дырок и вырожденного минимума зоны проводимости в Si и Ge.
Вырожденные зоны тяжелых и легких дырок s точке Г. Как уже было показано, любой тензор деформации в кристалле типа цинковой обманки можно представить в виде суммы трех отдельных неприводимых тензоров, преобразующихся по представлениям 凸，丁з и /4. Этот результат означает, что для описания влияния произвольной деформации на произвольный экстремум зоны в точке Г нам потребуется три деформационных потенциала. В случае вырожденных валентных зон А5 удобно считать, что эти шесть зон (с учетом спина) преобразуются как собственные состояния операторов углового момента J = 3/2 и J = 1/2 (см. п. 2.6.2). Гамильтониан взаимодействия дырка—деформация можно получить путем симметризации оператора углового момента J посредством умножения на нужные компоненты тензора деформаций (метод инвариантов). Последнее может быть сделано с помощью
теории групп, что было подробно описано Кейном [3.33], а также Пикусом и Биром [3.34, 3.35]. Эффективный гамильтониан деформации Пикуса и Бира для валентных зон с J = 3/2 в полупроводниках типа цинковой обманки имеет следующий вид (см. также обсуждение в задаче 3.8):
[
рв = а(ежж 十 вуу 十 €Zz)十，[('^ 一 丿2/3)exx + Н"П*] +
где о,, 6 и d — три деформационных потенциала, отвечающие тензорам деформаций с симметриями 凸，А и А соответственно, а ц.п. означает циклические перестановки. Тот факт, что Яр в очень похож на гамильтониан Кона-Латтинжера в (2.70) не является случайным совпадением. В конце концов, оба они получены на основе симметрии кристалла типа цинковой обманки, и тензор деформации 自方 имеет ту же симметрию, что и kikj или V?：Vj.
Деформационные потенциалы b п d определяют расщепление четырехкратно вырожденных в точке Г валентных зон с J = 3/2 при одноосном давлении вдоль направлений [100] и [111] соответственно. Хотя выражение (3.23) было получено для статической однородной деформации, разумно предположить, что этот гамильтониан и деформационные потенциалы справедливы также для длинноволновых акустических фононов. При приложении статического одноосного давления к полупроводникам типа алмаза и цинковой обманки, перечисленным в табл. 3.1, можно определить их сдвиговые деформационные потенциалы. В частности, можно показать (см. задачу 3.8), что расщепление SE валентных зон с J = 3/2 под действием одноосного напряжения сжатия с величиной X вдоль направления [100] или [111] выражается следующим образом:
Г26(5ц — Sj_2)X, напряжение вдоль [100], (3.24а)
I(l/V^)dS44X) напряжение вдоль [111], (3.246)
где 5ц, S12 и S44 являются компонентами тензора упругости (или податливости) четвертого ранга Si*〉который устанавливает связь между тензором деформаций е?》 и тензором напряжений Х&/. Определения тензора напряжения и тензора упругости можно найти в задаче 3.2. Деформационные потенциалы сдвига (при отсутствии спин-орбитального взаимодействия) могут быть вычислены в пределах приближения сильной связи (см. задачи 3.10-3.13).
Вырожденные минимумы зоны проводимости вдоль направления △ 8 Si а 8 точке L в Ge. В качестве второго примера взаимодействия между фононами и вырожденными электронными зонами рассмотрим вырожденные минимумы зоны проводимости в Si и Ge. В общем случае деформация сдвига должна привести к искажению кристалла и снятию некоторых вырождений в зоне проводимости, как это было в случае рассмотренных ранее вырожденных валентных зон. Например, из рис. 2.10 видно, что самый нижний минимум зоны проводимости в Si находится в точке [кхо, 0, 0] вдоль направления [100] зоны Бриллюэна. Этот минимум в группе волнового вектора к вдоль направления [100] имеет симметрию △> Несмотря на то, что это состояние не вырождено для заданного к, имеется пять других векторов к (в направлениях [100], [010], [010], [001] и [001]), которые по симметрии эквивалентны волновому вектору к вдоль [100]. Поэтому минимум зоны проводимости Ai является шестикратно вырожденным вследствие вырождения обратного пространства. Одноосное давление вдоль направления [100] приведет к отличию направлений [100] и [100] от остальных четырех эквивалентных направлений. Поэтому из соображений симметрии следует, что одноосное давление вдоль [100] приведет к расщеплению шести эквивалентных минимумов зоны проводимости Si на дублет и квадруплет. С другой стороны, одноосное
давление, приложенное вдоль направления [111], будет одинаково влиять на все шесть минимумов и не приведет к снятию вырождения.
Чтобы получить гамильтониан деформации, необходимо рассмотреть симметрию тензора деформаций, волновой функции зоны и эквивалентных волновых векторов к. Например, в случае Si волновая функция зоны проводимости имеет симметрию Ai, а шесть эквивалентных векторов к образуют шестикратное приводимое представление. Если волновая функция зоны для каждого заданного к не вырождена, гамильтониан деформации имеет значительно более простой вид. Поскольку именно так обстоит дело для минимумов зоны проводимости как в Si, так и в Ge, рассмотрим только этот случай. Рассмотрение более сложного случая можно найти в статье Кейна [3.33]. Гамильтониан деформации для невырожденной зоны был впервые получен Геррингом и Фогтом [3.37] путем обобщения определения, данного объемному деформационному потенциалу в (3.20):
6
ЗЕпк = (3.25)
где Sj — деформационные потенциалы, ej — компоненты тензора деформации. Для упрощения обозначений тензор деформаций второго ранга приведен в сжатой форме в виде массива с шестью компонентами (эти сжатые обозначения рассматриваются в задаче 3.3). В общем случае, если не учитывать симметрию кристалла, для описания сдвига энергии невырожденного электронного состояния в точке к необходимо знать шесть деформационных потенциалов. Их число может быть значительно уменьшено при учете симметрии. Например, тензор деформации кристалла алмаза можно разложить на три тензора, принадлежащих к неприводимым представлениям ^(F^), 丁12(丁/) и >25’(丁U) (см. таблицы 2.5 и 2.7; отметим, что благодаря существованию симметрии инверсии в решетке алмаза все ее тензоры второго ранга должны быть четными при операции инверсии). Вследствие этого для описания сдвига энергии заданного невырожденного электронного состояния под действием деформации достаточно не более трех деформационных потенциалов. Их число уменьшается до двух, если к направлен вдоль осей высокой симметрии, таких как [100] и [111]. Как указывалось в п. 3.3.1 и задаче 3.4, тензоры деформации со следом, равным нулю, с симметриями П и А в кристаллах типа цинковой обманки соответствуют сдвиговым компонентам деформации, созданной одноосным напряжением вдоль направлений [100] и [111] соответственно. Поскольку все эквивалентные долины [100] в Si симметричны по отношению к одноосному давлению вдоль [111], такое давление не может снять вырождение этих долин. Напротив, давление вдоль [100] приведет к отщеплению долины [100] от [010] и [001]. Следовательно, для описания действия деформации на долины [100] в зоне проводимости Si достаточно только двух деформационных потенциалов. Герринг и Фогт [3.37] выразили этот результат в виде деформационного гамильтониана следующего вида:
〃HV = Zd(Tr{w}) + 乙(启 * «е * 启)， (3.26)
где Тг{е} — след тензора деформации е; к ——единичный вектор вдоль направления одного из эквивалентных минимумов [100] зоны проводимости в обратном пространстве; Su — сдвиговый деформационный потенциал, связанный с одноосным напряжением вдоль направления [100]; % + 三& ——объемный деформационный потенциал (читателю настоятельно рекомендуется проверить это утверждение). Иногда деформационные потенциалы % и Е〃 обозначаются Е\ и 瓦，в соответствии с обозначениями, введенными Бруксом [3.38].
Нетрудно показать, что приведенные выше соображения для Si можно применить для получения гамильтониана деформации для 厶б=минимумов в зоне проводимости Ge, расположенных вдоль четырех эквивалентных направлений: [111], [111],
] и [111]. В этом случае одноосное напряжение вдоль [001] не расщепляет эквивалентные [111] долины, также как одноосное давление вдоль [111] не расщепляло [100] долины. Напряжение же вдоль [111] приведет к отщеплению долины [111] (которая образует синглет) от остальных трех долин, которые остаются вырожденными (триплет). Этот результат можно выразить в виде гамильтониана деформации, сходного с гамильтонианом Дну в (3.26). Однако сдвиговый деформационный потенциал Е〃 теперь будет относиться к одноосному давлению вдоль [111], а не вдоль [100] (читатели также должны в этом убедиться), a — единичный вектор вдоль одного из эквивалентных направлений [111].
В табл. 3.2 приведены соотношения между деформационными потенциалами Е/ и деформационными потенциалами S^ и SM в кубических полупроводниках для к вдоль направлений высокой симметрии. Заметим, что для эквивалентных долин вдоль направлений [ПО] нужно иметь три деформационных потенциала (%, ^и и Sp). Доказательство этого результата, не следующего из (3.26), оставлено для задачи 3.14. Значения деформационных потенциалов для долин зоны проводимости Si и Ge были приведены в табл. 3.1. Гамильтонианы взаимодействия электронов с акустическими фононами для Si и Ge получаются при подстановке тензора деформации (3.18), связанного с акустическим фононом, в (3.26).
Таблица 3.2
Соотношения между деформационными потенциалами 乙 и деформационными потенциалами % и Еи в точках высокой симметрии кубических полупроводников [3.37]
Направление к
100
111
110
乂
二 d + 二h
%+ (1/3)三
Zd + 三跳一(l/2)Zp
三2
二 d
%+ (1/3)三
斗 + 乙-(1/2)EP
三3
斗
%+ (1/3)三
三4
0
(1/3后跳
0
三5
0
(1/3)EU
0
三6
0
(1/3乃跳
(1/2总
Пьезоэлектрическое взаимодействие электронов с акустическими фононами. В нецентросимметричных кристаллах напряжение может индуцировать макроскопическое электрическое поле поляризации Е. Это явление называется пьезоэлектрическим эффектом (см. [3.39], с. ПО). Его можно также описать как деформацию, индуцирующую электрическое поле. Индуцированное поле будет пропорционально деформации при условии, что она мала. Поскольку тензор деформации е имеет ранг, равный двум, а индуцированное электрическое поле является вектором (или тензором с рангом единица), константа пропорциональности может быть выражена как электромеханический тензор ет третьего ранга. В среде с диэлектрической постоянной Eg индуцированное деформацией поле имеет вид
Е (3*27) £ос 47Г£о
Этот результат, полученный для статической деформации, можно распространить на случай осциллирующей деформации, связанной с длинноволновыми акустическими фононами. Если q и SR (определенные в (3.17)) являются соответственно, волновым вектором и смещениями атомов, связанными с акустическими фононами, то тензором деформации, соответствующим акустическому фонону, будет iqSR из выражения (3.15а). Подставив последний результат в (3.27), получим синусоидальное
макроскопическое пьезоэлектрическое поле, индуцированное акустическим фононом:
Ере = (^)1ет-^^—.(3.28)
47r£q £
Его продольную компоненту можно выразить через скалярный пьезоэлектрический потенциал фре:
0ре = —q • ^ре/(Й2)-(3.29)
В присутствии этого потенциала энергия электрона изменяется на величину — |е|0ре (I в I — абсолютный заряд электрона), и поэтому гамильтониан пьезоэлектрического электрон-фононного взаимодействия можно записать как
修ре = -|40ре = (4")2 Q，电由 * (侬冗)以(3.30)
Вид электромеханических тензоров в кристаллах со структурой цинковой обманки и вюрцита можно найти с помощью соображений симметрии (см. задачу 3.15). Используя (3.30), можно получить явные выражения для Дре для любых акустических фононов. Вычисление Яре для акустических фононов в кристаллах со структурой вюрцита оставлено в качестве упражнения (см. задачу 3.16 и статью Махана и Хоп- фильда [3.40]). Сравнив взаимодействие электрона с акустическим фононом посредством деформационного потенциала в (3.21) с пьезоэлектрическим взаимодействием в (3.30), мы увидим, что в (3.30) имеется дополнительная зависимость 1/д. Эта зависимость возникает вследствие кулоновского взаимодействия при пьезоэлектрическом взаимодействии электрона с акустическим фононом. В результате Дре усиливается для малых д, или длинноволновых акустических фононов. Поэтому Яре называют дальнодействующим взаимодействием, а взаимодействие на деформационном потенциале — короткодействующим.
Величины компонент электромеханического тензора в полупроводниках с тетраэдрической координацией можно оценить с помощью эмпирических моделей, таких как модель сильной связи. Мы не будем обсуждать здесь эти вычисления и отошлем читателей к работам [3.41, 3.42]. Вместо этого приведем в табл. 3.3 значения компонент
Таблица 3.3
Величины ненулевых и линейно независимых компонент электромеханического тензора (в 104 стат. Кл/см2) для некоторых полупроводников со структурой цинковой обманки и вюрцита (помеченных W) [4.43, 4.44]. Электромеханический тензор описывается в терминах поляризации. Единица поляризации в СГС^стат. Кл/см2 (равный 1/(3 • 105) Кл/м2 в СИ)
Полупроводник
(em) 14
(em)33
(em)3i
(em)i5
AlAs
6,7
AlSb
2,04
GaP
-3,0
GaAs
4,8
GaSb
3,78
InP
1,2
InAs
1,38
InSb
2,13
ZnS
5,1
ZnSe
1,35
ZnTe
0,81
CdTe
1,02
ZnO (W)
33
—4,8
—9,3
CdS (W)
14,7
—7,5
一6,3
CdSe (W)
10,4
—4,8
—4J4
электромеханического тензора для некоторых типичных полупроводников. Отметим, что у полупроводников со структурой вюрцита, с более ионным характером связи, таких как ZnO, CdS и CdSe, компоненты электромеханического тензора имеют большую величину, чем у полупроводников со структурой цинковой обманки, и другой знак.
Взаимодействия электронов с оптическими фононами посредством деформационного потенциала. В кристаллах с двумя или большим числом атомов в элементарной ячейке длинноволновый оптический фонон соответствует относительным смещениям атомов в примитивной элементарной ячейке. В отличие от акустических длинноволновый оптический фонон не вызывает деформации в кристалле, поскольку не происходит макроскопического искажения решетки. Оптические фононы можно рассматривать как «микроскопические искажения» внутри примитивной элементарной ячейки. Подобно акустическим фононам они могут приводить к изменению энергии электронной зоны двумя способами. В неполярных кристаллах оптические фононы приводят к изменению энергий электронов, изменяя длину связи и (или) угол между связями. Такое взаимодействие электронов с оптическими фононами является аналогом взаимодействия электронов с акустическими фононами посредством деформационного потенциала, и поэтому называется взаимодействием электронов с оптическими фононами посредством деформационного потенциала. В полярных кристаллах длинноволновый продольный оптический (LO) фонон соответствует однородным смещениям заряженных атомов внутри примитивной ячейки. Относительное смещение противоположно заряженных атомов приводит к возникновению макроскопического электрического поля. Это электрическое поле может потом взаимодействовать с электронами подобно пьезоэлектрическому полю акустических фононов. Такое взаимодействие электронов с продольными оптическими фононами называется фрёлиховским взаимодействием. Рассмотрим сначала взаимодействие посредством деформационного потенциала.
Обозначим расстояние между атомами в примитивной ячейке полупроводников типа алмаза или цинковой обманки через о,о, а относительное смещение между двумя атомами, связанное с оптическим фононом центра зоны, через и. Как и в случае акустических фононов, введем феноменологический деформационный потенциал оптического фонона для того, чтобы описать взаимодействие электрона с фононом:
ОР = Dп ^(U!(Zq) 1 (3.31)
где Dn k — деформационный потенциал оптического фонона для энергетической зоны с индексами пик. Поскольку это взаимодействие не зависит от волнового вектора фонона, оно также является короткодействующим. В полупроводнике со структурой цинковой обманки (или алмаза) смещение оптического фонона и имеет симметрию & (для структуры алмаза Г^), поэтому матричный элемент взаимодействия (3.31) между двумя невырожденными s-подобными состояниями зоны проводимости с симметрией С (или 丁2“ равен нулю. Следовательно, в полупроводниках с прямой запрещенной зоной, таких как GaAs и InP, между электронами самой нижней зоны проводимости и оптическими фононами отсутствует взаимодействие на деформационном потенциале. Случай полупроводников с непрямой запрещенной зоной, таких как Si и Ge, является более сложным и будет обсуждаться ниже наряду с взаимодействиями между оптическими фононами и валентными зонами p-типа в полупроводниках со структурой алмаза и цинковой обманки.
В некоторых кристаллах макроскопическая деформация симметрична по отношению к смещениям атомов, соответствующим фононам центра зоны. В таких кристаллах фонон можно описывать как внутреннюю деформацию [3.45, 3.46]. Например, оптические фононы в полупроводниках со структурой алмаза и цинковой обманки могут быть представлены как относительное смещение атомов внутри примитивной ячейки вдоль объемной диагонали [111]. (Хотя макроскопическая сдвиговая деформация
вдоль [111] также вызывает относительное смещение атомов внутри примитивной ячейки, это смещение не определяется однозначно тензором деформации, см. задачу 3.11.) В подобных случаях величина 2и/о,о называется внутренней деформацией (см. задачу 3.13), и взаимодействие электрона с оптическим фононом можно найти, рассматривая действие одноосного давления вдоль [111]. Например, если пренебречь спин-орбитальным взаимодействием в валентных зонах полупроводников со структурой алмаза и цинковой обманки, деформационные потенциалы оптических фононов для p-подобных валентных зон (обычно обозначаемые d°) можно связать с деформационными потенциалами, приводящими к расщеплению валентных зон при одноосном напряжении вдоль [111]. Расчет d° в приближении сильной связи оставлен в качестве упражнения (задача 3.12), подробности вычислений можно найти в [3.30]. Более общее рассмотрение вопросов вычисления деформационных потенциалов оптических фононов в полупроводниках с тетраэдрической связью приведено в [3.47].
Существует сравнительно мало экспериментальных методов определения деформационных потенциалов оптических фононов в полупроводниках. Для Ge и GaAs с помощью рамановского рассеяния были найдены значения d“ равные 36 и 41 эВ соответственно [3.48]. Другими методами для оценки d° являются температурная зависимость подвижности дырок в образцах с легированием p-типа и ширина линии прямого оптического перехода из отщепленной валентной зоны в зону проводимости. Эти измерения связаны с явлениями, которые будут обсуждаться в главах 5—7. Обычно для большинства полупроводников с тетраэдрической координацией d° по порядку величины равно 40 эВ (сводка экспериментальных значений приведена в [3.47]).
Фрёлиховское взаимодействие. В полярном, или частично ионном, кристалле с двумя атомами в элементарной ячейке длинноволновый оптический фонон может индуцировать осциллирующую макроскопическую поляризацию, приводящую к возникновению электрического поля Elo (см., например, [3.9], с. 86):
Elo =-歹 〃lo,(3.32)
где
ь1(47r£°)t/2 隔(3.33)
В (3.32), (3.33) фононная амплитуда 〃lo определяется как смещение положительного иона относительно отрицательного, N ——число элементарных ячеек в единице объема кристалла, д — приведенная масса примитивной ячейки:
4 T = Mf1 + М^1,(3.34)
где Mi и ”2 ——массы двух атомов внутри примитивной ячейки, ®lo ——частота LO фонона, Eg и £о ——высокочастотная и низкочастотная диэлектрические постоянные соответственно. Отложим вывод (3.33) до гл. 6, в которой мы будем изучать влияние длинноволновых поперечных оптических фононов на инфракрасные оптические свойства полупроводников. Это влияние обусловлено тем обстоятельством, что ТО фононы в полярных кристаллах создают поперечные электрические поля, взаимодействующие с фотонами.
Продольное поле в (3.32) можно выразить через скалярный потенциал 0lo таким же образом, как и для пьезоэлектрических акустических фононов в (3.29):
Olo = (F/ig)wLo-(3.35)
Взаимодействие между электроном с зарядом —|е| и этим макроскопическим кулоновским потенциалом называется фрёлиховским взаимодействием. Гамильтониан для
этого взаимодействия имеет простой вид:
^Fr =(一e)加0 = 0 歹/G口lo*^Fr =(一e)加0 = 0 歹/G口lo*(3*36)(3*36)
^Fr =(一e)加0 = 0 歹/G口lo*
^Fr =(一e)加0 = 0 歹/G口lo*
(3*36)
(3*36)
Если объединить (3.36) с выражением для смещения ulo, аналогичным выражению (3*32):
ulo =(方/2N〃glo)i/2 {с+ exp [“q • г 一 ®lo力)]+ к.с.} ,(3.37)
то можно записать фрёлиховский гамильтониан в виде
] 加г = y^(iCF/q) {с+ exp [i{q • г - - к.с.}〉 (3.38) где коэффициент ® равен
] <?F = e 2噴?。(唯/ (4тг£о 尸(3.39)
Обратите внимание на изменение знака для комплексно сопряженных членов внутри двух скобок в выражениях (3.37) и (3.38). Оно необходимо для того, чтобы фрёлиховский гамильтониан был эрмитовым.
В отличие от деформационных потенциалов, вычисление которых для оптических и акустических фононов является трудной задачей, фрёлиховское взаимодействие можно расчитать с помощью макроскопических параметров £% и во- Отметим, что фрёлиховское взаимодействие зависит от волнового вектора фонона как q^L Поэтому, в принципе, оно расходится, если q становится равным нулю. Последнее невозможно при внутризонном рассеянии электронов на LO фононах, поскольку частота LO фонона не равна нулю даже при q = 0* Сохранение энергии и волнового вектора не позволяет электронам участвовать в процессах рассеяния на оптических фононах с g = 0. Тем не менее, q может принимать очень малые значения в зависимости от дисперсии электронной зоны, и этот механизм рассеяния может быть доминирующим при тех температурах, при которых возбуждено значительное количество LO фононов (т.е. квТ》冇®lo)・
Из приведенного рассмотрения следует, что существует много способов взаимодействия электронов с длинноволновыми фононами. В табл. 3.4 показаны различные типы взаимодействий для двух типичных полупроводников, полярного (GaAs) и неполярного (Si), для электронов в нижней зоне проводимости или в верхних валентных зонах. Отметим, что в то время как ТА фонон может создать только сдвиговую деформацию, но не приводит к объемному расширению, с LA фононом может быть связано и то, и другое.
Таблица 3./
Сводка электрон-фононных взаимодействий в Si и GaAs; ДП и ПЭ — взаимодействие на деформационном потенциале и пьезоэлектрическое взаимодействие. В скобках приведены символы, обычно используемые для обозначения этих взаимодействий
Фонон
Si
GaAs
Зона
проводимости
Валентная зона
Зона
проводимости
Валентная зона
ТА
ДП （三）
ДП （仇砌
ПЭ
Дn （仇砌，по
LA
Дn (%)三)
ДП (а,, 6,砌
ДП (ас),ПЭ
ДП (а^ 6, d), ПЭ
ТО
Дn （厶）
ДП (d。)
LO
ДП （厶）
Фрёлих
ДП (do), фрёлих
9 М. Кардона
Взаимодействие между электронами и коротковолновыми фононами: междолинное электрон—фононное взаимодействие. До сих пор мы рассматривали взаимодействие между электронами и фононами, относящимися к центру зоны. Оказалось, что взаимодействия между электронами и фононами, относящимися к краю зоны, или фононами вблизи края зоны играют большую роль в оптическом поглощении на непрямых энергетических щелях и в явлениях, связанных с горячими электронами (см. гл. 5). Например, фонон края зоны может привести к рассеянию электрона из минимума в центре зоны в минимум у края зоны. Электрон-фононное рассеяние такого типа называется междолинным рассеянием. В главе 5 мы покажем, что междолинное рассеяние ответственно за эффект Ганна [5.33]. Для непрямозонных полупроводников, типа Si, у которых минимум зоны проводимости находится в точке внутри зоны Бриллюэна или у края зоны, существует несколько эквивалентных долин зоны проводимости. В этом случае электроны могут рассеиваться из одной долины в другую с помощью фонона с большим волновым вектором.
Существует несколько качественных различий между взаимодействиями электронов с фононами, относящимися к центру и к краю зоны. Фононы края зоны не могут создавать дальнодействующие электрические поля (вспомните о зависимости в (3.35)), и поэтому для них не существует аналога фрёлиховскому или пьезоэлектрическому взаимодействию. Междолинные электрон-фононные взаимодействия всегда являются короткодействующими и обычно в первом приближении не зависят от волнового вектора фонона. Разность энергий между акустическими и оптическими фононными модами центра зоны может быть весьма велика, однако эта разность может быть незначительна для фононов края зоны. Гамильтониан междолинного злектрон— фононного взаимодействия имеет вид
凡V凡VдНедНе(ЗЛО)(ЗЛО)
凡V
凡V
дНе
дНе
(ЗЛО)
(ЗЛО)
где е, % q и b — вектор поляризации фонона, амплитуда, волновой вектор и номер ветви. Этот гамильтониан часто выражают через его матричный элемент между двумя электронными состояниями:
(3/1)(3/1)D jj U =〈电，^i I 修iv I П j , kj ).
(3/1)
(3/1)
Здесь Dij называется междолинным деформационным потенциалом; г и J означают соответственно, начальную и конечную долину в процессе рассеяния; п и к — индекс электронной зоны и волновой вектор электрона соответственно. Волновые векторы электрона к% и kj связаны с q соотношением сохранения волнового вектора: kj — —ki = q. Отметим, что в (3.41) междолинный деформационный потенциал имеет размерность не энергии, а энергии, деленной на единицу длины. В табл. 3.5 приведены
Таблица 3.5
Расчетные междолинные деформационные потенциалы зоны проводимости для нескольких полупроводников типа цинковой обманки (в эВ/А) [3.49]
Полупроводник
Xi
Г—Хз
LA
LO
LA
LO
LA
LO
GaP
1,5
0
0
1,2
1,2
1,0
Ga As
0
4Д
4,7
0
4Д
0,6
GaSb
0
4,5
2,5
0
2,8
2J
InP
2,3
0
0
1,6
3,0
InAs
3,2
0
0
2,8
2,5
1,4
InSb
0
4,9
3,3
0
4,3
междолинные деформационные потенциалы для некоторых полупроводников типа цинковой обманки, вычисленные Цолнером [3.49].
Часто в междолинном рассеянии принимает участие не единственный краевой фонон. Правила отбора могут быть получены с помощью теории групп. Например, при рассеянии электрона в GaAs из долины Г1с в долину Llc разрешено участие LA и LO фононов точки L зоны Бриллюэна, поскольку они оба имеют симметрию ". Напротив, участие поперечных фононов точки L запрещено, так как они имеют в этой точке симметрию 厶з. Междолинное рассеяние оказывает большое влияние на подвижность электронов в непрямозонных полупроводниках, подобных Si, на релаксацию горячих электронов в прямозонных полупроводниках, подобных GaAs, и на оптическое поглощение около непрямых запрещенных зон. Однако в большинстве этих явлений в рассеянии электронов участвует несколько различных фононных мод, что затрудняет определение значений междолинных деформационных потенциалов для индивидуальных краевых фононов, разрешенных по симметрии. Экспериментальное определение междолинных деформационных потенциалов будет рассматриваться в главах 5 и 6.
Задачи
Симметрия фононов центра зоны в CU2O
На рис. 3.12 приведена кристаллическая структура куприта (CU2O), одного из первых минералов, про который было известно, что он является полупроводником.
В элементарной ячейке содержится две молекулы, т.е. шесть атомов. Пространственная группа — Од. Это несимморфная группа, которая гомоморфна группе Од. Кристалл обладает симметрией инверсии относительно атомов меди. При рассмотрении точечной группы симметрии удобнее поместить в начало отсчета атом кислорода. Ясно, что в этом случае точечная группа симметрии оказывается тетраэдрической. Если атом кислорода является началом отсчета, то за операци-
ей инверсии должна следовать трансляция кристалла на (о,/2)[1, 1,1], где а — сторона единичного куба. Таким образом, факторгруппа CU2O изоморфна фактор-группе Si,
за тем исключением, что за операцией инверсии в Si должна следовать трансляция на (о,/4)[1, 1,1]. Эта группа содержит десять классов. В пять из них операция инверсии не входит, а остальные пять классов ее содержат. Поскольку на элементарную
ячейку приходится шесть атомов, должно существовать пятнадцать оптических фо
нонных ветвей и три акустических ветви.
Перестановки шести атомов в элементарной ячейке CU2O в соответствии с ее операциями симметрии определяют представление G. Найдите характеры G. Это можно сделать, сосчитав число атомов, которые не заменяются на другой атом при операциях симметрии группы, поскольку каждый такой атом добавляет единицу к следу матрицы преобразования.
Используя таблицу характеров для неприводимых представлений группы Г для структуры алмаза (табл. 2.16), покажите, что G можно разложить на прямую сумму следующих неприводимых представлений: G = 2丁广 ㊉ 丁[㊉ Г^.
Путем комбинации G с представлением вектора Г[, покажите, что 18 фононных мод центра зоны в CU2O имеют симметрии Г^ ®Г^ ㊉ЗГ7]㊉ 丁鼠 ㊉/^. Из трех наборов трижды вырожденных Г£-фононов один набор соответствует акустическим фононам, а два других являются инфракрасно-активными оптическими модами. Мода Г^
является активной в рамановском рассеянии (обсуждение рамановского рассеяния дано в гл. 7). Оптические фононы, которые не активны ни в инфракрасном поглощении, ни в рамановском рассеянии, называются «немыми» (silent). Моды Г] и Г^ в CU2O являются примером немых мод.
Тензор н ап ряже н и й .
В § 3.3 нами был определен тензор деформаций 已打(см. (3.15 а)). Деформация может создаваться в твердом теле при приложении напряжения. Напряжение можно определить как силу, действующую на единицу площади грани элементарного куба внутри твердого тела. Поскольку важны как направление силы, так и ориентация грани, на которую эта сила действует, требуется девять компонент, чтобы полностью определить напряжение:歹(X)宓,F(Y)x, F(Z)X, . . F(Z)z. Здесь F(X)y означает силу F, действующую вдоль оси ж на единицу площади грани, нормаль к которой направлена вдоль оси у. Подразумевается, что эти силы приложены парами, т.е. сила F(Х)у уравновешивается силой —F(X)y, не вызывая ускорения твердого тела, находящегося в состоянии равновесия. Кроме того, недиагональные компоненты равны друг другу:歹(Х)д =歹(У)宓，歹(X)?=歹(Z)宓 и 歹(У)? = F(Z)y, так что отсутствует и чистое вращение. Вследствие этих ограничений компоненты напряжения образуют симметричный тензор второго ранга X, называемый тензором напряжений, который определяется как Xyz = F(Y)z и т.п.
Покажите, что гидростатическое давление Р определяется диагональным тензором напряжений
/ —Р 00 \
X = О -Р о *
\ 00—Р 丿
Обратите внимание, что в принятой намиОбратите внимание, что в принятой намисистеме знаков напряжения растяжениясистеме знаков напряжения растяжения
Обратите внимание, что в принятой нами
Обратите внимание, что в принятой нами
системе знаков напряжения растяжения
системе знаков напряжения растяжения
являются положительными, а напряжения сжатия — отрицательными.
Покажите, что одноосное напряжение растяжения X, направленное вдоль оси [100], изображается тензором
о о \
\ о\ о0 0.
\ о
\ о
растяжения X, направленное вдольрастяжения X, направленное вдоль0 0/
растяжения X, направленное вдоль
растяжения X, направленное вдоль
Покажите, что одноосное напряжение оси [111], изображается тензором
X = (Х/3) = ( 1X = (Х/3) = ( 1
X = (Х/3) = ( 1
X = (Х/3) = ( 1
Тензор упругости в кри с та л л ах типа алмаза и цинковой обманки.
В линейной теории упругости индуцированная в среде деформация пропорциональна приложенному напряжению. Постоянные пропорциональности могут быть выражены в виде тензора четвертого ранга, называемого тензором упругости (Sg加), который определяется следующим образом:
=〉[ Sjjkl Xki •
Используя операции симметрии кристалла цинковой обманки, покажите, что ненулевые и линейно независимые компоненты тензора упругости кристалла типа цинковой
обманки имеют вид
Sxxxx 二 ^уууу 二 ^zzzz)
S ххуу 二 ^xxzz 二 ^yyzz 二 ^yyxx 二 zzxx 二 zzy у 1^xyxy = ^уxyx = ^xzxz = ^zxzx = ^yzyz = ^zyzy •
Поскольку тензоры деформаций и напряжений являются симметричными тензорами, каждый из них может быть описан шестью, а не девятью компонентами. В литературе часто встречается компактная форма представления тензоров деформаций и напряжений в виде массива с шестью компонентами (см. [3.39], с. 134). Например, тензор деформации записывается в виде
e = (ci,e2, ез,"e5, ej
Нумерация от 1 до 6 в этом шестикомпонентном массиве условно связана с матрицей 3x3 следующим образом:
в =в =4*/2 в5/24*/2 в5/2е"2 е2 е"2е"2 е2 е"2в5/2езв5/2ез
в =
в =
4
*/2 в5/2
4
*/2 в5/2
е"2 е2 е"2
е"2 е2 е"2
в5/2
ез
в5/2
ез
Преимущество таких компактных обозначений заключается в возможности представить тензоры четвертого ранга, такие как тензор упругости, в виде матриц 6x6. Например, Sijki в кристалле типа цинковой обманки записывается в компактной форме как
^^^ооо^^^ооо^^^ооо^^^ооо^^^ооо^^^ооо0 0 0^-000 0 0^-000 0 0 0^-00 0 0 0^-0о о о о о ^о о о о о ^
^^^ооо^^^ооо
^^^ооо^^^ооо
^^^ооо
^^^ооо
0 0 0^-00
0 0 0^-00
0 0 0 0^-0
0 0 0 0^-0
о о о о о ^
о о о о о ^
где Smn = ZSijkii когда m или п равно 4, 5 или 6;
Smn = 4S“&/, когда как т, так и п равно 4, 5 или 6.
Тензоры деформаций для гидростатического и одноосного напряжений.
Гидростатическое давление Р приложено к кристаллу цинковой обманки с объемом V. Покажите, что дифференциальное изменение объема выражается как
= —3P(Sii + 2sl2)*
Отрицательный знак означает, что при F > 0 объем уменьшается. Объемный модуль среды определяется как В = —dP/d(ln У), так что для кристалла типа цинковой обманки
B = [3(S11+2S12)]^1.
Одноосное напряжение растяжения X приложено вдоль оси [100] в кристалле типа цинковой обманки. Покажите, что результирующий тензор деформаций имеет вид
/ S11X о о \
О S12X о
\ о О S12X 丿
и что эту матрицу можно выразить в виде суммы диагональной матрицы и сдвигового тензора деформаций с равным нулю следом:
/ 100 \/ 200 \
2sl2)Х/3]0 1 0+[(&1 — &2)Х/3]0—1 о .
\ 001 /\ 00/
Обратите внимание, что дифференциальное изменение объема кристалла при этом одноосном напряжении равно ($口 + 2si2)X.
Покажите, что тензор деформаций, соответствующий одноосному напряжению растяжения, приложенному вдоль направления [111] в кристалле типа цинковой об™ манки, имеет вид
4/2254724/225472$44/2$44/2Sii + 2s12$44/2$44/2Sii + 2s12Y / Sii + 2s12
4/225472
4/225472
$44/2
$44/2
Sii + 2s12
$44/2
$44/2
Sii + 2s12
彳 $44/2
3 \$44/2
Разложите этот тензор на сумму кратного числа единичных тензоров и тензора с нулевым следом, как в (б). Покажите, что при одноосном напряжении вдоль [111] дифференциальное изменение объема кристалла также равно (5ц + 2si2)X.
Получите тензор деформаций при одноосном напряжении вдоль направле™ ния [ПО] в кристалле типа цинковой обманки.
Тензор упругой же с т ко с т и.
В задаче 3.3 тензор деформаций второго ранга был выражен через тензор напря™ жений с помощью тензора упругости четвертого ранга. Можно наоборот представить тензор напряжений через тензор деформаций с помощью другого тензора четвертого ранга, Cijkh который называется тензором жесткости:
Xij =〉: ^ijkl^kl •
к К
Покажите, что в кристаллах типа цинковой обманки тензор жесткости, записанный в компактной форме, введенной в задаче 3.3, имеет вид (см. [3.39], с. 140)
о оо оо о^^^ооо ^^^ооо ^^^оооо оо оо о^^^ооо ^^^ооо ^^^ооо0^00^0оо0 0^-00 0^-0о о о ^о о о ^
о о
о о
о о
^^^ооо ^^^ооо ^^^ооо
о о
о о
о о
^^^ооо ^^^ооо ^^^ооо
0^0
0^0
о
о
0 0^-0
0 0^-0
о о о ^
о о о ^
—&2)_ и—&2)_ иOil+2012 = (%+2&2)тOil+2012 = (%+2&2)тгде044 = (1/^44),0口 一012 = (^11
—&2)_ и
—&2)_ и
Oil+2012 = (%+2&2)т
Oil+2012 = (%+2&2)т
В табл. 3.6 приведены постоянные жесткости для некоторых полупроводников.
Упругие волны в кристаллах типа цинковой обманки.
Пусть и^ смещение, которое возникает при распространении упругой волны в непрерывной среде. Уравнение, выражающее зависимость и от времени 力 получается из уравнения движения Ньютона:
32a
где q ——плотность кристалла, а X ——тензор напряжений.
Используйте результаты задачи 3.5, чтобы выразить тензор напряжений через тензор деформаций. Далее, использовав определение тензора деформаций: е = Vu,
Таблица 3.6 а
Постоянные жесткости Си, С12 и С44 для некоторых полупроводников типа алмаза и цинковой обманки (в 10 дин/см2) [3.43]. (Обратите внимание, что постоянные жесткости и давление имеют одинаковые единицы измерения: дин/см2 (СГС) или паскаль (1 Па = =10 дин/см2)). Курсивом показаны теоретические величины "
Полупроводник
Си
012
В
c
10,76
1,25
5,76
Si
1,66
0,639
0,796
Ge
1,285
0,483
0,680
AIN
3,04
1,93
GaN
2,93
1,59
1,55
GaP
1,412
0,625
0,705
GaAs
1,181
0,532
0,594
GaSb
0,885
0,404
0,433
InN
1,87
1,25
0,86
InP
1,022
0,576
0,46
InAs
0,833
0,453
0,396
InSb
0,672
0,367
0,302
ZnS
1,046
0,653
0,461
ZnSe
0,81
0,488
0,441
ZnTe
0,713
0,407
0,312
CdTe
0,535
0,368
0,199
Таблица 3.66
Постоянные жесткости Сц, 6*12, 6*13, С*зз, С44 и С*66 для некоторых полупроводников типа вюрцита (в 1012 дин/см2; 1012 дин/см2 = 1011 Па = 100 ГПа)
Полупроводник
Си
012
Ci3
C33
В
。66
AIN
4,11
1,49
0,99
3,89
1,25
GaN
3,9
1,45
1,06
3,98
1,05
InN
1,90
1,04
1,21
1,82
0,1
CdS
0,858
0,533
0,462
0,937
0,149
0,163
CdSe
0,74
0,452
0,393
0,836
0,132
0,145
покажите, что волновые уравнения, описывающие распространение упругих волн в кристалле цинковой обманки, имеют вид
02ux
。 3力2
11 a ①2
+。44
/ д2их (а*
+
д2их
)+ (012 +。44)1
(32?旬 \dxdy
+
dxdz
d2uy
=Qi
d^Uy
+044 1
（犷询
+
д2иу^
J + (e12 +044)1
(д2их
+
<9統n、
dy2
1 дх2
dz2 ,
\дхду
dydz
&2uz
d2uz
+044 1
(&2uz
d2uz、
1 + (012 +044)(
/ д2иу
&2ux '
° at2
=Qi
dz2
卜дх2
+
3沙2，
\Ozdy
+
dxdz
Предположим, что продольная (звуковая) волна, распространяющаяся вдоль оси [100], описывается решением приведенных выше волновых уравнений, имеющим
вид их = и о exp [i(kx — з 力)]и иу = uz = 0, где к м з являются соответственно, волновым вектором и частотой акустической волны. Покажите, что результирующая звуковая волна имеет скорость vi = ш /к = ((7ц / q)1^2. Повторите эти вычисления для поперечной сдвиговой волны, распространяющейся вдоль направления [100], предпо™ ложив, что существует решение вида иу = Uq exp [i(kx — з力)]и их = uz = 0. Покажите, что скорость поперечной волны равна vt = (С44/q)1^2.
Повторите вычисления задачи б для волн, распространяющихся вдоль направ™ ления [111], и покажите, что 例=[((7ц + 2(712 +《Си/З。)]"? к % = [((7ц — З2 + + См/Зд)]1^2.
Для волн, распространяющихся вдоль направления [ПО], поперечные волны, поляризованные вдоль направлений [001] и [110], имеют различные скорости. Пока™ жите, что упругие волны имеют следующие скорости вдоль направления [ПО]:
例= [(31 + 012+ 2&4)/2不/2;
% = (&4/0)1/2 при поляризации вдоль [001] и
v[ = [((7ц — С]?)/?®"? при поляризации вдоль [110].
Две квантованные поперечные волны называются быстрым (обычно %) к медленным (обычно 吸)ТА-фононами.
Рассмотрите собственные векторы (и соответствующие симметрии) ТА и LA фононов, распостраняющихся вдоль направлений [100], [111] и [ПО] ^-пространства.
Упругие волны в к р и сталл ах типа в ю р ц и та .
A(Zn)B(S) В亿n)A(S)A(Zn)A(Zn)B(S) В亿n)A(S)A(Zn)Рис. 3.13. Кристаллическая структура вюрцитаРис. 3.13. Кристаллическая структура вюрцитаСтруктура кристалла вюрцита, показанная на рис. 3.13, является разновидно™ стью структуры цинковой обманки. Связь между ближайшими соседями также име™ ет тетраэдрический характер. Сравнение между этими двумя структурами легче все™ го провести, рассматривая структуру цин™ ковой обманки вдоль направления [111]. В этом направлении структуру цинковой обманки можно представить как состоящую из слоев атомов, образующих правильные шестиугольники, примыкающие друг к другу. Гексагональная симметрия атомов в слоях лежит в основе вращательной симметрии Сз кристалла цинковой обманки. Внутри каждого слоя атомы идентичны, и происходит чередование слоев Zn и S. В кристалле цинковой обманки имеет ме
A(Zn)
B(S) В亿n)
A(S)
A(Zn)
A(Zn)
B(S) В亿n)
A(S)
A(Zn)
Рис. 3.13. Кристаллическая структура вюрцита
Рис. 3.13. Кристаллическая структура вюрцита
сто следующая последовательность атомных слоев Zn и S:
A(S)A(Zn)B(S)B(Zn)C(S)C(Zn)A(S)A(Zn)B(S)B(Zn)...,
как это показано на рис. 3.14 а. Если порядок слоев другой, а именно
A(S)A(Zn)B(S)B(Zn)A(S)A(Zn)B(S)B(Zn)A(S)A(Zn)...,
(рис. 3.14 6), то реализуется структура вюрцита. Говорят, что расположение тетраэдров в структуре цинковой обманки «зигзагообразное», а в структуре вюрцита — «кольцеобразное». Причина такого описания ясна из рис. 3.14. Решетка Браве для структуры вюрцита — гексагональная, и ось, перпендикулярная к шестиугольникам, обычно обозначается как ось с.
Рис. 3.14. Расположение атомов вдоль направления [111] структуры цинковой обманки с «зигзагообразной» последовательностью тетраэдров (а) и вдоль оси с структуры вюрцита с «кольцеобразной» геометрией (6)Рис. 3.14. Расположение атомов вдоль направления [111] структуры цинковой обманки с «зигзагообразной» последовательностью тетраэдров (а) и вдоль оси с структуры вюрцита с «кольцеобразной» геометрией (6)66
Рис. 3.14. Расположение атомов вдоль направления [111] структуры цинковой обманки с «зигзагообразной» последовательностью тетраэдров (а) и вдоль оси с структуры вюрцита с «кольцеобразной» геометрией (6)
Рис. 3.14. Расположение атомов вдоль направления [111] структуры цинковой обманки с «зигзагообразной» последовательностью тетраэдров (а) и вдоль оси с структуры вюрцита с «кольцеобразной» геометрией (6)
6
6
Энергии сцепления в структурах вюрцита и цинковой обманки имеют близкие значения. Поэтому некоторые полупроводники группы II-VI, такие как ZnS и CdS, могут кристаллизоваться как в структуре цинковой обманки, так и в структуре вюрцита. Пространственная группа структуры вюрцита — (7^. Это несимморфная группа с винтовой осью вдоль оси с. Она гомоморфна точечной группе Cqv.
Рассмотрим теперь 12 операций симметрии, разделенные на 6 классов. Чтобы пе
речислить эти операции, удобнее всего выбрать начало координат в центре одного из
Рис. 3.15. Выбор системы коорди-Рис. 3.15. Выбор системы коорди-равнобедренных треугольников, образованных тремя соседними атомами, например, в точке О на рис. 3.15. На этом рисунке светлые и темные кружки обозначают атомы двух смежных плоскостей в hcp- структуре. Направим оси хну, как это показано на рисунке, а ось г — параллельно оси с. Причины такого выбора станут ясны, когда мы рассмотрим операции симметрии.
Рис. 3.15. Выбор системы коорди-
Рис. 3.15. Выбор системы коорди-
Покажите, что пространственная группа вюрцита содержит следующие элементы симметрии,
разделенные на классы:
「m厂нат в структуре вюрцита
— тождественное преобразование;
{J} — одно двукратное вращение вокруг оси с
с последующей трансляцией на вектор (0, 0, с/2). Другими словами, это ——операция кручения оси;
{Сз, С^1} — трехкратное вращение вокруг оси с;
{Сб, С/】}——шестикратное вращение вокруг оси с с последующей трансляцией на вектор (0, 0, с/2) (тоже операция кручения оси). Следует отметить, что она является операцией симметрии главным образом из-за выбора начала координат. Эта операция не будет операцией симметрии, если мы выберем начало координат на одном из
атомов;
{3(Jd} — отражение на плоскость yz плюс две другие плоскости отражения, полученные из плоскости yz трехкратным вращением вокруг оси с;
{Зо(}——отражение на плоскость АА/ (рис. 3.15) с последующей трансляцией на вектор (0, 0, с/2) плюс две другие плоскости скольжения, полученные из АЛ7 трехкратным вращением вокруг оси с.
Использовав свойства симметрии кристалла вюрцита, покажите, что его тензор жесткости имеет вид (в качестве оси с выбрана ось г)
/ Qi
C12
Зз
0
0
0
Qi
Зз
0
0
0
Зз
C33
0
0
0
0
0
0
g
0
0
0
0
0
0
C44
0
\ 0
0
0
0
0
(Qi —Cb)/2 丿
Покажите, что волновые уравнения для акустических фононов в кристаллах вюрцита имеют следующий вид:
3統2 _<9%^ (Qi - Ci2)<9統2(Qi +C12)<92询 I
° dt2 11 дх22 ду2 44 dz22 дхду
+ (Зз + С44)^Ч oxoz
<92询_g旬 (Q1 -。12)g旬 办旬 (Q1 +e12)丄
° dt2 11 ду22 дх2 44 dz22 дхду
^2uz「 分統2/分統2д2ил丄「、(№询丄3統2 \
= e33+ e44亏 + (013 + e44).
ot2OZz\ дх2ду2 /yozoy OXOZ7
Предположим, что существует решение для акустической волны в кристалле вюрцита вида
口⑴=(^1, &2, &з) exp [“q • г 一 wt)].
Вследствие гексагональной симметрии относительно оси с можно без потери общности выбрать ось у так, чтобы волновой вектор q лежал в плоскости yz. Покажите, что три компоненты амплитуды удовлетворяют уравнениям
0G= g(Ql - C12)(q sin ®)2&1 +(744(9 COS O)2W1,
QUJ2U2 = Cn(q sin ®)2&2 + C^(q COS O)2^2 + (Q3 +。44)9? sin О COS O&3,
0G2&3 = (7зз(^со8О)2^з +。44(9 sin ®)2&з + (Q3 + (?44)92 sin О cos Ow2,
где О — угол между q и осью с. Обратите внимание, что &i не связана с и2 и &з, так что всегда можно найти поперечную акустическую волну, перпендикулярную плоскости, содержащей q и ось с. Эту ТА волну обычно называют ТА?.
Покажите, что для 0 = 0° продольная и поперечная акустические волны имеют скорости 例 =(Сзз/о)1/2 к % = (С44/^)1/2 соответственно.
Для 0 = 90° имеются две поперечных акустических волны: одна поляризована вдоль оси с (TAi), а другая — вдоль оси ж (ТА2). Покажите, что скорость продольной волны 例 =(Си/。)3"/?, а скорости для двух поперечных волн равны (С44/^)1/2 для ТА2 и [(Си — Ci2)/2@i/2 для ТАь
Предположим, что функцию Блоха можно записать как 屮索(丁) = &索(丁) х х exp (ik-r), где &索(г) имеет периодичность решетки. Применяя операции симметрии вюрцита к этой волновой функции, покажите, что соответствующая характеристическая таблица имеет вид D
D Rashba I.// Soviet Physics-Solid State. 1959. V. 1. P. 386.
{Е}
{5}
{2Сз}
{2Сб}
{3以}
{3crd}
1
4
1
4
1
1
1
一 1
1
1
1
1
1
4
一 1
2
—2〃
一 1
4
0
0
2
2〃
一 1
0
0
где 〃 = ехр [гkzс/2] фазовый фактор, возникающий при трансляции на век™ тор (0, 0, с/2) в операциях скручивания и скольжения. В частном случае, если к = 0) то ?; = 1 и можно видеть, что характеристическая таблица структуры вюрцита идентична таблице точечной группы Cqv. В следующей таблице показано соответствие между двумя группами для этого случая.
Точечная Пространственная {К}{С2}{2С*з}{2С*б} {Зег}} {Заа}
группа группа
12 12 12 л л в в к к12 12 12 л л в в к кГ1Г2ГЗГ4Г5Г6Г1Г2ГЗГ4Г5Г61 т т 11 т т 1о оо оо оо о
12 12 12 л л в в к к
12 12 12 л л в в к к
Г1Г2ГЗГ4Г5Г6
Г1Г2ГЗГ4Г5Г6
1 т т 1
1 т т 1
о о
о о
о о
о о
Покажите, что длинноволновые акустические фононы в структуре вюрцита имеют симметрии /\ (или 4) плюс 丁5 (или 石1). Направление смещения атомов для представления 凸 параллельно оси с, а для дважды вырожденного представления 丁5 смещения перпендикулярны оси с.
Покажите, что девять оптических фононов центра зоны в структуре вюрцита принадлежат неприводимым представлениям ㊉2r^ ф Г5 ф 2* или 4, 2gb Е± и 2石2・
Гамильтониан деформаций П и ку с а—В и ра .
Существуют две формы гамильтониана деформаций Пи куса-Бира [3.34, 3.35] для валентных зон в полупроводниках типа цинковой обманки, в зависимости от того, учитывается ли спин-орбитальное взаимодействие или нет (подобные же результаты можно получить для кристаллов типа алмаза). Если пренебречь спин-орбитальным взаимодействием, то ^-подобные волновые функции валентной зоны 玛,обозначаемые |Х), |У〉и |Z〉(см. п. 2.6.1), вырождены в центре зоны. По соображениям симметрии можно показать, что одноосное напряжение вдоль направления [100] приведет к отщеплению зоны, обозначенной как |Х), от остальных двух зон. Таким образом, напряжение [100] расщепляет три зоны на синглет и дублет. Если спин-орбитальное взаимодействие учитывается и предполагается, что оно много больше любых эффектов, индуцированных деформацией, то валентная зона расщепляется в центре зоны Бриллюэна на четырехкратно вырожденное состояние 型(или J = 3/2) и дважды вырожденное состояние Г^ (или J = 1/2) (см. п. 2.6.2). Для достаточно малого напряжения мы можем пренебречь влиянием деформации на спин-орбитальное взаимодействие. Поскольку предполагается, что деформация не влияет на вырождение электронов по спину (крамерсово вырождение), мы ожидаем, что одноосное напряжение приведет к расщеплению состояния J = 3/2 на два дублета. Гамильтониан деформаций Нрв в (3.23) справедлив в пределе большого спин-орбитального взаимодействия, поэтому пользоваться им для анализа экспериментальных результатов нужно с осторожностью. При теоретическом рассмотрении можно упростить задачу, не учитывая спин-орбитальное взаимодействие. В этом случае полный оператор углового момента J в (3.23) можно заменить на оператор орбитального углового
момента L. Однако при этом следует также заменить деформационные потенциалы b к d на Ь* и d*, поскольку выражения для индуцированного деформацией расщеп™ ления будут различными в этих двух случаях. В задачах 3.11 и 3.12 мы приведем вычисления Ь* и d*.
Воспользуйтесь результатами задачи 3.4, чтобы показать, что гамильтониан деформации Пи куса-Бира (3.23) в случае напряжения X)приложенного вдоль направления [100], приводится к виду
Нрв(Х)=时(％ + 2si2)X + "А — &2)ХМ —(尸/3)].
Покажите, что гамильтониан деформации имеет вид
Нрв(Х)=时(Su + 2si2)X + (dS44X/3-V3')[(JxJy + 厶厶)+ ц.п.],
если напряжение X приложено вдоль оси [111].
С помощью результатов (а) и (б) покажите, что четырехкратно вырожденная валентная зона J = 3/2 расщепляется на две дважды вырожденные зоны с величиной расщепления 5» заданной выражениями
Г26(5ц — 512)X, напряжение вдоль оси [100],—напряжение вдоль оси [111].
Перепишем гамильтониан Пи куса-Бира в отсутствии спин-орбитального взаимодействия, как
Ярв = “(схх + 6gg + В zz)+ЗГ[(£^£2/3)е„+ц.п#
++■у^х L п + LyLx)exy + ц.п. (3.41)
+
+
(Ь* и d* при отсутствии спин-орбитального взаимодействия равны bud). Множители Ь* к d* в (3.41) выбраны так же, как и в (3.77) из [3.36]. Покажите, что расщепления, индуцированные напряжениями, имеют вид
— ГЗЬ* (5ц — Si2)X)напряжение вдоль оси [100],
—((.У3/2)Г544Х, напряжение вдоль оси [111].
Покажите, что если спин-орбитальное расщепление, подразумеваемое в гамильтониане (3.23), не зависит от деформации, то b = Ь* и d = d*. Объясните происхождение отличия этих множителей в (3.23) и (3.41). Теперь включите спин-орбитальное взаимодействие и предположите, что состояния J = 3/2 и J = 1/2 расщеплены на энергию △. Используйте гамильтониан Пи куса-Бира для L для расчета расщепления этих уровней под действием напряжения, параллельного [100] и параллельного [111], с точностью до второго порядка по X.
Вычисление объемных деформационных потенциалов с помощью модели сильной связи.
Вычисление абсолютных объемных деформационных потенциалов края зоны в твердом теле конечных размеров является трудной задачей, потому что край зоны в твердом теле конечных размеров зависит от свойств поверхности (см., например, [3.32]). Эта трудность не возникает при вычислении относительного объемного деформационного потенциала между двумя зонами, такими как s-подобная антисвязывающая зона проводимости и p-подобная связывающая валентная зона. В этом случае легко вычислить деформационный потенциал в модели сильной связи.
Предположим, что в центре зоны Бриллюэна зона проводимости 丁2/ и валентная зона 丁25/ даются выражениями (2.84 а) и (2.84 6) соответственно. Кроме того, предположим, что оба параметра перекрытия Vss и Vxx зависят от расстояния d между
ближайшими соседями как d^2. Покажите, что относительный деформационный по тенциал ас — av выражается как (―2/3)(|匕以 + \ VXX |). Используйте эмпирические значения Vss и Vxx, приведенные в табл. 2.26, для вычисления теоретических значений ас — av для Si и Ge. Сравните эти значения с экспериментальными, приведенными в табл. 3.1 в столбце 时(Ас —八5©)*
Вычисление сдвигового деформационного потенциала Ь* для валентных зон Г^ с помощью модели сильной связи.
Сдвиговые деформационные потенциалы Ь* и d* для валентных зон А5 (или Г^' } в полупроводниках типа цинковой обманки (или алмаза) также могут быть вычислены в модели сильной связи. В этой задаче мы займемся вычислением сдвигового деформационного потенциала 6*, оставив вычисление d* для следующей задачи.
Предположим, что напряжение X приложено вдоль кристаллографической оси [100]. В соответствии с задачей 3.4 (б), деформацию, индуцированную при этом в кристалле, можно представить в виде суммы единичной матрицы и матрицы с равным нулю следом вида
/200\
а0-10,
\00-1丿
где а = (X/3)(Sii — S12)* Действие такой сдвиговой деформации сводится к пониже™ нию кубической симметрии кристалла до тетрагональной симметрии вследствие того, что направление ① становится не эквивалентным направлениям у и г. В результате ожидается, что первоначально трижды вырожденные волновые функции |Х), |¥) и |Z〉состояния As расщепятся на дублет и синглет. Для вычисления этого расщеп™ ления надо рассчитать параметры перекрытия Vxx и Vyy (Vyy =匕z) в присутствии деформации сдвига.
Предположим, что в ненапряженной решетке четыре ближайших соседа атома, расположенного в начале координат, занимают следующие положения:
di = (1, 1, 1)а/4,
&2 = (1, —1, —1)时/4,
&з = (—1」—1)时/4,
6?4 = (—1, —1, 1) fl/4.
Покажите, что в решетке, подвергнутой напряжению, положения этих четырех ближайших соседей изменятся и станут
d'i = (1 + 2а, 1 — а, 1 — a)ti/4,
d' 2 = (1 + 2а, — 1 +— l + a)ti/4,
d'3 = (一1 一 2а, 1 一 а, —1 4~ q) ti/4,
或4二(-1 - 2a, -1 + a, 1 - a)时/4*
Покажите, что в первом порядке по а длины связей при деформации не изменяются, тогда как углы между связями изменяются.
С помощью результатов задачи 2.16 покажите, что параметры перекрытия в напряженной решетке имеют вид
4.84.8
匕%(1 + 4а) + — /р?г(1 — 2q), Vyy = — Vppa(l — 2a) + — Vpp7r (1 + a).
Вычислите энергию связывающих орбиталей с р-симметрией в центре зоны в напряженной решетке. Покажите, что расщепление между дублетом с 目夕一 и pz- симметриями и синглетом с рж™симметрией равно ^8a(Vppa — Vpp7r').
С помощью результатов, полученных в задачах 3.9 (г) и 3.10 (в) покажите, что 82
Подставьте в это выражение значения *, для Si и Ge, приведенные в табл. 2.26, и найдите теоретические значения Ь* для Si и Ge. Вы увидите, что вычисленные значения больше экспериментальных примерно в два раза, но знаки согласуются. Согласие между теорией и экспериментом можно улучшить, включив в модель сильной связи дополнительную s-орбиталь с более высокой энергией (результирующая модель на™ зывается sp3s*-моделью). Более подробно этот вопрос обсуждается в [3.30].
Вычисление сдвигового деформационного потенциала d* для валентных зон Д_5 с помощью модели сильной связи.
Вычисление сдвигового деформационного потенциала d* усложняется вследствие следующих соображений.
Предположим, что в кристалле типа алмаза или цинковой обманки приложено одноосное напряжение вдоль оси [111]. Как показано в задаче 3.4 (в), результирую™ щий тензор деформаций можно разложить на сумму единичного тензора и тензора сдвиговой деформации с нулевым следом (симметрии F15)
a l 01, где a = S44X/6.
\ 1 1 0 /
Приведенный тензор деформации описывает тригональное искажение кубической решетки вдоль направления [111]. Это искажение имеет ту же самую симметрию, что и смещение вдоль объемной диагонали двух подрешеток в решетках алмаза или цинковой обманки. В результате эти два типа искажений могут «смешиваться». Смещение двух соседних атомов в решетках алмаза или цинковой обманки вдоль объемной диагонали соответствует оптическому фонону (А5) в центре зоны. Поэтому макроскопическая сдвиговая деформация П5 вдоль направления [111] в дополнение к тригональному искажению кубической решетки может изменить расстояние между ближайшими соседями вдоль направления [111]. Чтобы специфицировать это изменение, нужно определить внутренние параметры деформации « через относительные смещения и двух подрешеток. Определение внутреннего параметра деформации будет дано в задаче 3.13. Здесь мы будем предполагать, что напряжение вдоль [111] не создает внутренней деформации (т.е. « = 0). Обозначим результирующий деформационный потенциал через d- чтобы отличить его от деформационного потенциала d для случая, когда внутренняя деформация не равна нулю.
Из соображений симметрии ясно, что влияние напряжения вдоль [111] на р- орбитали будет отличаться от действия напряжения вдоль [100]. В то время как напряжение вдоль [100] делает рж™орбиталь отличной от ру и рг™орбиталей, напряжение вдоль [111] должно было бы одинаково воздействовать на все три орбитали. Вместо этого напряжение вдоль [111] приводит к смешиванию трех орбиталей и созданию нового набора из трех орбиталей, которые следует симметризовать в соответствии с тригональной симметрией (точечная группа С^). Такой набор трех ортогональных и симметризованных орбиталей имеет вид
|Х1)= [|Х1)|У1)]/А
|УГ) = [|Х1) + |У1)^2|Х1)]/А
%〉= [|Х1〉+ |У1〉+ 4〉]/л/1
Подобным же образом определяются симметризованные ^-орбитали для второго атома в примитивной ячейке. При напряжении вдоль [111] орбитали |Z1'〉 и |Z2'〉,
которые параллельны направлению напряжения (и имеют симметрию Л1), отщеп™ ляются от остальных двух орбиталей (с симметрией Лз), которые перпендикулярны направлению напряжения.
Покажите, что при деформации сдвига вдоль [111] положения четырех ближайших соседей в решетках алмаза и цинковой обманки изменяются на
(< ={(时/4) + (аа/2)}(1, 1, 1),
& =(时/4)(—2а, -1, -1),
成=(时/4)( ———1),d； = (〃/4)( —1, —1, 1 — 2а).
На основе результатов, полученных в (а), покажите, что влияние напряжения вдоль [111] сводится к следующему: 1) расстояния до ближайших соседей изменяются на величины (в первом порядке по а)
(bdi)/di = 2а,
(6d2)/d2 = (5柒)/柒=(5応)/応=-2a/3;
2) измененяются ориентации трех связей d?, d3Kd4. Направляющие косинусы связи в напряженной решетке выражаются следующим образом:
& = {3[1 — (4а/3)]}Т/2(1 — 2а, —1,—力
Для d； и d〔 получаются сходные результаты.
Предположив, что оба параметра перекрытия Vppa и Vpp7r зависят от длины связи d как d™2, покажите, что в первом порядке по а сдвиговая деформация [111] не приводит к изменению матричных элементов〈X]阳就江2〉，〈H|%nt|M〉и т.п. Напротив (используйте результаты задачи 2.16), матричные элементы〈X]|我由弋|匕〉, (Xi |?/int|^2)и т.п. в напряженной решетке изменяются, приобретая вид
匕 Р = (-8a/9)(〃w一
Таким образом, сдвиговая деформация вдоль [111] смешивает волновые функции |Xi) с |Ю и |^2), |У1) с |Х2〉и |^2)и так далее. Новая матрица 6x6 для шести р™орбиталей двух атомов внутри примитивной ячейки теперь имеет вид
Х1
У1
Zi
Х2
Z2
Х1
Epi — Ek
0
0
Ку
匕歹
к
0
%i — Ek
0
0
0
Ep± — Ек
Ку
Vxx
Х2
Vxx
匕沙
ЕР2 — Ek
0
0
п
匕歹
0
ЕР2 — Ek
0
Z2
吟歹
14®
0
0
EP2 — Ek
где Epi и ЕР2 — энергии ^-орбиталей двух атомов в примитивной ячейке.
Предположив, что два атома в примитивной ячейке идентичны (полученные результаты теперь будут справедливы только для структуры алмаза), выполните диагонализацию матрицы 6 х 6 в части (в), для того чтобы найти собственные функции и энергии в решетке, подвергнутой напряжению вдоль [111]. Результаты более общего характера для случая двух различных атомов можно найти в [3.30].
Указание. Поскольку гамильтониан симметричен относительно перестановки ато™ мов в примитивной ячейке, образуйте линейные комбинации волновых функций:
|Х+) = [|Х1) + |Х2)]/А 1П) = М〉+1^2)]/А |Z+) = [|Z1) + |Z2)]/A|Х+) = [|Х1) + |Х2)]/А 1П) = М〉+1^2)]/А |Z+) = [|Z1) + |Z2)]/A|Х—〉= их。— Мб |У—〉= [|У1〉— I匕力鱼 |Z一)= [1%)- g力，1|Х—〉= их。— Мб |У—〉= [|У1〉— I匕力鱼 |Z一)= [1%)- g力，1
|Х+) = [|Х1) + |Х2)]/А 1П) = М〉+1^2)]/А |Z+) = [|Z1) + |Z2)]/A
|Х+) = [|Х1) + |Х2)]/А 1П) = М〉+1^2)]/А |Z+) = [|Z1) + |Z2)]/A
|Х—〉= их。— Мб |У—〉= [|У1〉— I匕力鱼 |Z一)= [1%)- g力，1
|Х—〉= их。— Мб |У—〉= [|У1〉— I匕力鱼 |Z一)= [1%)- g力，1
Покажите, что матрица 6x6 (см. выше) разлагается на две матрицы 3x3:
Х+
Пz+X—У—z_
Ер Ek + }
0
0
0
%况Ку%у0оо
Ер^Ек+ К.匕 у000
上%Ер-Ек + К.000
00Ер Ek Vxx— %у^^ху
00— К?УЕр Ek Vxx— %У
00— К?У^^хуЕр Ek Vxx
Обратите внимание на то, что волновые функции с нижними индексами + (—) являются антисимметричными (симметричными) при перестановке двух атомов внутри примитивной ячейки, т.е. они соответствуют антисвязывающим (связывающим) ор™ биталям. Две результирующих матрицы 3x3 могут быть диагонализированы с це™ лью получения двух новых наборов симметризованных волновых функций, одного для связывающих и другого ——для антисвязывающих орбиталей. Набор собственных функций для антисвязывающих орбиталей дается следующими выражениями:
|Х[〉= [|Х+〉— к〉]/^,|^) = [|Х+) + |П)-2|Х+)]/А|z；)= [|x+)+ |n)+ l^+)]/-/3.
Соответствующие энергии даются выражениями
(^\Kni\Z^ = Ep + Vxx + 2^^^
(X1|%nt1XG =(理1丸ё七1理)=石Р+匕記一吟少
Энергии для связывающих орбиталей даются выражениями
(X」%nt1X!=(上阳由七y。=石Р一匕記+匕，
Эти результаты показывают, что одноосное напряжение вдоль [111] приводит к рас™ щеплению как антисвязывающих (зона проводимости 广 15), так и связывающих (ва™ лентная зона 八5，) орбиталей на дублет и синглет с энергией расщепления, рав™ ной 3 吗у
Использовав результаты задач 3.8 (г) и 3.11 (г), покажите, что деформационный потенциал d‘ в модели сильной связи имеет следующий вид:
df = (8/35/2)(%〃 — ％”)= (2/3З/2)匕勿
Полученные таким способом значения d‘ для Si и Ge составляют 2,9 эВ и 2,6 эВ соответственно* Эти теоретические значения d' имеют не только совсем другие величины, но даже противоположные знаки по сравнению с экспериментальными значениями d. Последнее связано с тем, что мы пренебрегли внутренними деформациями, которые в напряженных кристаллах обычно не равны нулю.
Вычисление оптического деформационного потенциала do для валентных зон Д_5 с помощью модели сильной связи.
Как отмечалось в задаче 3.11, относительное смещение и между двумя подрешет™ ками в кристаллах алмаза и цинковой обманки соответствует оптическому фонону центра зоны, имеющему симметрию П5* Деформационный потенциал, описывающий взаимодействие электрона с оптическим фононом, обозначается как do и определяет™ ся следующим образом:
кdQu
оЕщ =
где SEui ^изменение энергии синглетной компоненты р^орбитали ([|Х) + |У〉+ + |Z〉]/‘v^), обусловленное смещением подрешеток и. Можно также вычислить do в рамках модели сильной связи с помощью способа, подобного использованному в задаче 3.11.
Предположив, что смещение двух подрешеток и = («а/4)(1, 1, 1), покажите, что измененные положения четырех ближайших соседей в решетках алмаза или цин™ ковой обманки имеют вид
di =(@/4)(1 + «)(1, 1, 1),
d$ =(«/4)(1 + а, -1 + а, -1+а),
& =(а/4)( —1 + а, 1 + а,1+а),
& =(а/4)( —1 + а, —1 + а,1+а).
На основе результата, полученного в части (а), покажите, что влияние относи™ тельного смещения и сводится к следующему: 1) расстояния до ближайших соседей измененяются на величины (в самом низком порядке по а)
(6击)/击=a,
(6d2)/d2 = (Sd3)/d3 = (BdQ/cU = —а/З;
2) измененяются ориентации трех связей d?, d^ и ④击 Направляющие косинусы связи d： выражаются следующим образом:
d： = {3 [1 — (а/3)]} 1/2(] + а, —1 + q , —1 + a).
Для d； и d； получаются сходные результаты.
Как и в задаче 3.11 (в), покажите, что в первом порядке по а смещение подреше™ ток не приводит к изменению матричных элементов〈X]阳е/Х?〉，(Il |Wjnt|^2)и т.п. С другой стороны, матричные элементы (Xi|Wint|^2), (^1 |^int|^2)и т.п. становятся равными 匕夕=(—16а/9)(%ро — Vpp7r). Получите матрицу 6x6 для вычисления энергий р™орбиталей в смещенных подрешетках (см. задачу 3.11).
Диагонализируйте матрицу 6 х 6 из части (в) и покажите, что расщепление между дублетом и синглетом в смещенных подрешетках имеет вид
6Е = ^^(%“ — Vpp7r) = 4a 匕勿
При этом деформационный потенциал оптического фонона дается выражением
Обратите внимание, что do много больше, чем d'*
10 М. Кардона
Внутренняя деформация и деформационный потенциал d.
В задачах 3.11 и 3.12 с помощью модели сильной связи производятся вычисле™ ния деформационных потенциалов для кристаллов типа алмаза и цинковой обман™ ки в двух крайних случаях. В задаче 3.11 предполагается, что кристалл является непрерывной средой и смещения атомов описываются макроскопическим тензором деформаций. В задаче 3.12 учитывается атомная структура кристалла. Тот факт, что кристалл образуется из двух наборов атомов, расположенных в двух подрешетках, наводит на мысль, что можно сдвинуть эти две подрешетки друг относительно друга таким образом, чтобы симметрия примитивной ячейки кристалла не изменилась. Для структур алмаза и цинковой обманки это происходит, когда два атома в примитивной ячейке смещаются друг относительно друга вдоль объемной диагонали ГЦК решетки. Такие микроскопические относительные смещения подрешеток кристалла не могут быть описаны макроскопическим тензором деформаций и называются внутренней деформацией.
По определению, внутренняя деформация может возникать только в кристаллах, содержащих более одного атома в примитивной ячейке. Число возможных форм внут・ ренней деформации для заданной кристаллической структуры можно найти с помо щью теории групп и симметрии кристалла [3.46]. Для структур алмаза и цинковой обманки единственной возможной внутренней деформацией является относительное смещение двух атомов в примитивной ячейке вдоль оси [111] (или эквивалентных осей, например, [111]). Как отмечалось в задаче 3.12, данная картина смещений идентична той, которую вызывает в этих структурах оптический фонон центра зоны. Последнее не является совпадением. Анастассакис и Кардона [3.46] показали, что внутренние деформации можно рассматривать как «замороженные» рамановски-активные опти™ ческие фононы.
Клейнманом [3.45] было отмечено, что при действии напряжения вдоль [111] длина связи между двумя атомами внутри примитивной ячейки Si не определена вследствие возможности внутренней деформации. Предположим, что деформация вдоль [111] описывается тензором деформаций
/ 0 □«10 1.
\ 1 1 0 /
Внутреннюю деформацию можно задать, выбрав один из атомов в качестве начала отсчета и описывая смещение и ближайшего соседнего атома в точке («/4)(1, 1, 1) как
〃 =(-««/2)((, UR,
где 4 ——параметр внутренней деформации, упомянутый в задаче 3.11. Для 4=0 внут・ ренняя деформация отсутствует, и изменение длины связи полностью определяется макроскопическим тензором деформации (см. задачу 3.11). Для 4=1 внутренняя деформация в точности компенсирует изменение длины связи, обусловленное дефор™ мацией вдоль [111], так что длина связи в деформированном кристалле не изменяется.
Покажите, что для сдвиговой деформации вдоль [111] с параметром внутренней деформации《сдвиговый деформационный потенциал d имеет вид
d = R —(1/4)《®
Недавно были экспериментально получены значения《для Si (0,58), Ge (0,56) [3.51] и для нескольких полупроводников типа цинковой обманки, таких как GaAs (0,65) [3.52]. Поскольку do 二 16d‘ и значение《довольно близко к единице, дефор™ мационный потенциал d определяется главным образом do- Вычислите значение d для Si, используя значение do, полученное в задаче 3.12, и сравните его с эксперимент тальным значением d (—5, 1 эВ), приведенным в табл. 3.1.
Расщепление долин [ПО] под действием нап ряже ния.
Пусть в кубическом кристалле имеется невырожденное электронное состояние с волновым вектором 宮 || [ПО]. Существует шесть эквивалентных долин вдоль направ™ лений [ПО], [ПО], [101], [101], [011] и [011] (рассматривать противоположные шесть направлений нет необходимости).
С помощью соображений симметрии покажите, что одноосная деформация вдоль [100] приведет к расщеплению этих шести долин на дублет [011] и [011] и квад™ руплет (остальные четыре долины). (Это расщепление описывается сдвиговым де™ формационным потенциалом ^и в табл. 3.2.)
С помощью соображений симметрии покажите, что одноосная деформация вдоль [111] приведет к расщеплению шести долин на два триплета: долины [ПО], [011] и [101] и долины [101], [ПО] и [011] (это расщепление описывается сдвиговым деформационным потенциалом 三卩 в табл. 3.2).
Используя теорию групп, объясните, почему деформационные потенциалы 三戏 из табл. 3.2 в основном различны для деформаций вдоль [100] и [111]. Объясните, почему для определения к вдоль [ПО] требуются два различных сдвиговых деформа™ ционных потенциала ^и и 三卩.
Электромеханические тензоры в полупроводниках типа вюрци та и цинковой обманки.
Используя свойства симметрии кристалла цинковой обманки, описанные в гл. 2, покажите, что ненулевые и линейно независимые компоненты его электромеханического тензора ет имеют вид (em)i4 = (em)25 = (em)36.
Используя свойства симметрии кристалла вюрцита, описанные в задаче 3.7, покажите, что его электромеханический тензор имеет вид
0000(еП1)15о\
000(£т)1500.
(em)3i(ет)з1(ет)зз000/
Пьезоэлектрическое электрон-фонон ное взаимодействие в полупроводниках типа вюрци та.
С помощью результатов, полученных в задачах 3.7 и 3.15, вычислите для всех трех акустических мод электрическое поле, индуцированное смещением фонона п, Е = ет- (Vn)/«Soo - В частности, покажите, что для TAi и LA фононов Е выражается следующим образом:
Ех = 0,
Еу = й [(em)i5 sin Quz + (em)i5 cos €Ы丄]/,
Ez = iq [(em)3i sin €Ы丄 + (ет)3з cos Ou" ,
где ® —— у『ол между волновым вектором фонона q и осью с кристалла вюрцита, uz —— проекция п на ось с, и± — компонента и, перпендикулярная оси с.
Подставив результаты, полученные в части (а), в (3.29) и (3.30), покажите, что пьезоэлектрическое электрон-фононное взаимодействие в кристаллах вюрцита выражается следующим образом [3.40]:
Яре = (47Г14/ЕОО)[(вт)15 sill0(t/2： sill 0 + U± COS0) +
+ (em)3i sill 0 cos 0w± + (em)33 cos2 Quz].
Фононы в селене и теллуре.
При гармонической аппроксимации частоты фононов не зависят от деформации. В действительности, однако, внешние деформации приводят к малым изменениям в частотах фононов (агармонические эффекты). Простейшие из этих эффектов описываются так называемыми грюнезиновскими параметрами моды 7G = — d In з/ In 匕
io*
где 卜—— объем кристалла. Каждая частота фонона имеет специфический грюнезинов™ ский параметр моды 7^.
Дайте качественное объяснение того, что 7^ оптических фононов тетраэдриче™ ских полупроводников ~ + 1.
Проявлением агармоничности является тепловое расширение. Получите еле™ дующее выражение для коэффициента линейного теплового расширения а = =(l/3)(dhi『/d7):
а = (Г)С/ЗВ, (3.42) где С удельная теплоемкость, В — объемный модуль, (7) ^усредненный грюнези™ новский параметр по всем частотам фононов.
Параметр 7^ мод ТА на грани BZ часто отрицателен [3.53]. Опишите действие отрицательного 7^ на а [3.54].
Зависимость частот фононов от объема: грюнезиновские параметры.
Селен и теллур имеют три одинаковых атома на единичную ячейку, следовательно 6 оптических и 3 акустических фононных ответвления. Опишите собственные векторы оптических фононов в центре BZ, их симметрию и вырождения [2.5].
Заключение
Хотя атомы в полупроводниках не являются неподвижными, их движение при™ сходит настолько медленно по сравнению с движением электронов, что в главе 2 мы считали их неподвижными. В настоящей главе мы анализировали движение атомов в полупроводниках как простые гармонические осцилляции. Вместо того, чтобы вы™ числять силовые постоянные для этих квантованных осцилляторов, или фононов, из первых принципов, мы рассматривали модели, с помощью которых эти силовые по стоя иные можно найти из экспериментальных результатов. О пользе таких моделей можно судить по тому, какое минимальное число параметров в них используется для описания экспериментальных дисперсионных кривых фононов. В наиболее удачных моделях приводится реалистическое описание взаимодействия между электронами и ионами. В оболочечной модели предполагается, что валентные электроны локализовав ны в деформируемых оболочках, окружающих ионы. В моделях связей твердое тело рассматривается как очень большая молекула, в которой атомы соединены с помо™ щью связей. Взаимодействия между атомами выражаются через силовые постоянные растяжения и поворота связей. В ковалентных полупроводниках скопление зарядов в областях между соседними атомами приводит к образованию зарядов на связях. Пока наиболее удачно экспериментальные результаты удавалось аппроксимировать с помощью моделей с зарядами на связях.
В настоящей главе мы также изучали различные способы воздействия фононов на электроны, т.е. электрон-фононные взаимодействия. Эти взаимодействия оказывают сильное влияние на оптические и транспортные свойства электронов в полупроводниках. Мы показали, каким образом длинноволновые акустические фононы могут с помощью своего поля деформации изменять энергии электронов. Эти взаимодействия могут описываться посредством деформационных потенциалов. Оптические фононы могут приводить к «внутренней деформации», а их взаимодействия с электронами также могут быть описаны посредством деформационных потенциалов оптических фононов. В полярных полупроводниках длинноволновые фононы, как акустические, так и оптические, могут создавать электрические поля благодаря зарядам, связанным с движущимися ионами. Эти поля могут очень сильно взаимодействовать с электронами, приводя к пьезоэлектрическим электрон-фононным взаимодействиям для акустических фононов и фрёлиховскому взаимодействию для оптических фононов. Электроны, находящиеся в экстремумах зон, расположенных вблизи границы или на границе зоны, могут рассеиваться из одной долины в другую эквивалентную долину с помощью междолинных электрон-фононных взаимодействий.
ГЛАВА 4
ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА ДЕФЕКТОВ
Содержание
Классификация дефектов ...............................................149
Мелкие или водородоподобные примеси .................................150
Глубокие центры......................................................... 168
Задачи .......................................................................183
Заключение..................................................................187
Одной из причин, по которой полупроводники так широко используются для из™ готовления электронных приборов, является возможность существенно изменять их электрические свойства путем введения небольших количеств примесей или дефек™ тов другого типа. Однако если один тип дефектов может оказаться полезным для изготовления электронных приборов, другой тип может оказывать неблагоприятное воздействие, делающее изготовленный прибор некачественным. Количество дефек™ тов, необходимых для изменения свойств полупроводника, часто бывает значительно меньше, чем один атом дефекта на миллион собственных атомов.
В результате, возможность использования полупроводников для изготовления приборов часто определяется нашим умением контролировать наличие дефектов в полупроводниковых материалах. Для контроля количества и природы дефектов в материале необходимо научиться выращивать относительно бездефектные образцы. Затем можно ввести желаемое количество дефектов или в процессе роста, или после его окончания. Существует обширная литература, посвященная изучению дефектов в полупроводниках. Для обзора всех свойств дефектов было бы мало целой книги, по этому в настоящей главе мы ограничимся изучением электронных свойств дефектов.
Начнем с классификации различных типов дефектов, встречающихся в полупро™ водниках. Затем разделим дефекты на две большие категории. Примеси, энергии которых могут быть вычислены в «приближении эффективной массы» называются мелкими примесями, а дефекты, энергии которых не могут быть рассчитаны в рамках этого приближения, называются глубокими центрами. Энергетические уровни глубоких центров могут быть вычислены с помощью метода функций Г р и н а. В качестве простой иллюстрации этого метода мы рассмотрим глубокие центры в по лупроводниках с тетраэдрической связью.
Классификация дефектов
В общем случае дефекты подразделяются на точечные и линейные дефекты. Как показывает название, точечные дефекты обычно связаны с изолированными атомами в локализованных областях кристалла. Линейные дефекты состоят из рядов атомов, и их типичным примером являются дислокации. Кроме точечных и линейных суще™ ствуют дефекты, состоящие из небольшого числа точечных дефектов. Они называ™ ются комплексами. Линейные дефекты всегда ухудшают работу полупроводниковых приборов. Поэтому пластины полупроводников, используемые для изготовления приборов, должны содержать как можно меньше таких дефектов. Поверхность, кото™ рой оканчивается трехмерный кристалл, тоже можно рассматривать, как двумерный «дефект». Однако электронные состояния, связанные с такими поверхностями, на™ зываются «поверхностными состояниями», а не состояниями дефекта. В настоящей
главе мы не будем рассматривать поверхностные состояния и дислокации. Вместо этого мы посвятим наши усилия только изучению точечных дефектов и комплексов, поскольку ими определяются свойства полупроводниковых приборов. Краткое рас™ смотрение поверхностных состояний и их энергий проводится в § 8.3.
Точечные дефекты часто дополнительно классифицируются по следующим типам со специальными названиями и обозначениями.
Вакансия: вакансия, созданная отсутствием атома А, обозначается как Va-
Атом в междоузлии: атом А, занимающий положение в междоузлии, обознача™ ется как 1а*
Атом замещения: атом С, замещающий собственный атом А, обозначается Са*
Антисайт: особый вид дефекта замещения, когда собственный атом В занимает положение другого собственного атома А.
Дефект Френкеля: комплекс Va—【а, образованный атомом А, смещенным из узла решетки к ближайшему междоузлию.
Вакансии и антисайты являются собственными или природными дефектами, по™ скольку они не связаны с посторонними атомами. Их концентрацию нельзя опреде™ лить с помощью химического анализа или масс-спектрометрии. Дефекты, связанные с посторонними атомами (т.е. с примесями) называются несобственными дефектами.
Многие важные дефекты являются электрически активными. Дефекты, которые могут создавать в кристалле свободные электроны, называются донорами, а дефекты, создающие дырки (т.е. уничтожающие свободные электроны), называются акцепторами. Примерами доноров в Si являются атомы замещения из группы V, такие как Р, As и Sb, или междоузельные моновалентные атомы, такие как Li и Na. Атомы группы V имеют на один валентный электрон больше, чем замещаемые ими атомы Si. Кроме того, этот избыточный электрон слабо связан с атомом группы V в Si и легко может быть возбужден в зону проводимости кристалла Si. Атомы замещения из груп™ пы VI, например, S, Se и Те в Si, могут отдавать два электрона в зону проводимости, поэтому они называются двойными донорами. Примерами акцепторов в Si являются атомы замещения из группы Ш, такие как В, Al, Ga и In. Атомы замещения из груп™ пы П в Si (например. Be и Zn) являются двойными акцепторами. Если атом примеси замещения имеет ту же валентность, что и атом кристалла™хозяина, то он называется изоэлектроннъш или изовалентнъш центром. Примерами таких центров являются Csi в Si и Np в GaP. Как будет показано ниже (и* 4*3.3), изовалентные центры могут вести себя или как доноры, или как акцепторы, либо быть электрически неактивными.
В литературе часто встречается термин глубокий центр, однако ему редко дается определение. В прошлом некоторые авторы использовали термин «глубокие центры», имея в виду дефекты, электронные уровни которых расположены вблизи середины запрещенной зоны. В настоящее время известно, что существует много дефектов, свойства которых похожи на свойства дефектов с глубокими уровнями, в то время как их энергии не находятся вблизи середины запрещенной зоны. Поэтому сейчас этот термин употребляется в более широком смысле и применяется ко всем дефектам, которые нельзя классифицировать как мелкие! Вследствие этого для понимания природы глубоких центров мы должны сначала изучить мелкие центры. В следующем параграфе мы будем изучать свойства мелких или водородоподобных примесей в полупроводниках со структурой алмаза и цинковой обманки. Затем мы познакомимся со свойствами некоторых глубоких центров.
Мелкие или водородоподобные примеси
Рассмотрим донорный атом замещения, такой как Psi в Si. По сравнению с ядром Si, ядро Р имеет один дополнительный положительный заряд, который уравновешивается дополнительным, по сравнению с атомом Si, валентным электроном.
Притягивающий потенциал между этим избыточным валентным электроном и яд™ ром Р меньше, чем в изолированном атоме, т.к. в кристалле Si кулоновский потенци™ ал ядра Р экранируется не только электронами остова атома Р, но и остальными че™ тырьмя его валентными электронами, а также всеми валентными электронами сосед™ них атомов Si. Этот эффект экранирования позволяет нам приближенно представить притягивающий кулоновский потенциал, действующий на дополнительный валент™ ный электрон Р, как кулоновский потенциал протона, экранированный валентными электронами Si. Таким образом, примесь Р в Si ведет себя подобно атому водорода^ помещенному в Si, за тем исключением, что масса ядра Р настолько тяжелее массы протона, что ее можно считать бесконечной. Кроме того, кулоновское притяжение между электроном и положительным зарядом в этой «водородоподобной» примеси много меньше, чем кулоновское притяжение в атоме водорода, поскольку оно силь™ но экранировано большим количеством валентных электронов в Si. Вследствие этого избыточный валентный электрон в атоме Р слабо связан с атомом Р, когда этот атом находится в кристалле Si. Такой слабо связанный электрон легко может быть иони™ зован посредством термического или электрического возбуждения. По этой причине Р в Si является донором, а избыточный валентный электрон, который он может отдавать, называется донорным электроном. В случае акцепторного примесного атома в Si (такого как атом В, замещающий атом Si) имеется недостаток валентных элек™ тронов, когда акцептор образует связи с ближайшими соседними атомами Si. Вместо того, чтобы считать, что у атома акцептора не хватает валентного электрона, мы счи™ таем, что у него есть избыточная дырка, слабо связанная с отрицательно заряженным ядром В с бесконечной массой. В то время, как донорный атом можно сравнить с ато™ мом водорода, акцепторный атом аналогичен позитрону, связанному с отрицательно заряженным д™мезоном.
Точные расчеты экранированного кулоновского потенциала между донорным электроном и ионизованным ионом очень сложны, поскольку этот потенциал зави™ сит от многочастичных взаимодействий между электронами в примесном атоме и валентными электронами кристалла. Простой способ преодоления этих трудностей заключается в предположении, что положительный заряд иона донорной примеси экранируется диэлектрической постоянной кристалла. В этом приближении кулонов™ ский потенциал иона имеет вид
4тг£04тг£0(4」)(4」)
4тг£0
4тг£0
(4」)
(4」)
где £ ——диэлектрическая постоянная кристалла. Если предположить, что донорный электрон не слишком сильно локализован вблизи иона, то мы можем использовать в (4.1) статическую диэлектрическую постоянную £q (т.е. диэлектрическую постоян™ ную для нулевой частоты). Более подробно диэлектрические постоянные полупровод™ ников будут обсуждаться в гл. 6.
Поскольку донорный электрон движется внутри полупроводника, на него, кроме потенциала примеси (4.1), действует кристаллический потенциал. Уравнение Шрё™ дингера для донорного электрона имеет вид
(4.2)(4.2)(H0 + U)^(r) = E^(rl
(4.2)
(4.2)
где Hq——одноэлектронный гамильтониан идеального кристалла, U ——потенциальная энергия электрона при действии экранированного кулоновского потенциала Vs：
(4.3)(4.3)U = —|с|К"
(4.3)
(4.3)
Ф(г)——волновая функция донорного электрона. В принципе, одним из способов ре™ шения (4.2) является разложение Ф(г) по блоховским функциям фпк^) идеального кристалла, образующим полный ортонормированный набор функций. Однако такой
подход связан с огромной вычислительной работой. Мы не можем для облегчения задачи воспользоваться теоремой Блоха, т.к. дефект приводит к нарушению трансля™ ционной симметрии кристалла. Наиболее распространенным способом решения (4.2) является приближение эффективной массы. В этом приближении используются из™ вестные параметры зонной структуры, такие как эффективные массы идеального кристалла, и оно полезно не только для вычисления энергетических уровней дефекта, но и для изучения свойств электронов при слабых внешних возмущениях. Приближе™ ние эффективной массы будет нами обсуждаться в следующем пункте.
Приближение эффективной массы. Существует два подхода для получения приближения эффективной массы. При одном из них вводится концепция функций Ванъе. При другом подходе используются только функции Блоха. Функции Ванье являются обратным Фурье-образом функций Блоха, так что оба подхода в конечном итоге дают одинаковый результат. Функция Ванье an(r; R/ связана с функцией Бло ха 吵冷屬(『)соотношением
ап(г] А" = NT/? £ ехр (一泳•国)饵屬(『)，(4.4а)
k
吵冷屬①)=N-1/2 工 exp ^ik • Ri)an(r; Rz),(4.46)
凡
где Ri — вектор решетки, n — индекс зоны, k — волновой вектор в схеме приведенных зон, N ——число элементарных ячеек в кристалле. В то время как функции Блоха индексируются волновыми векторами в обратном пространстве, функции Ванье индексируются векторами решетки в реальном пространстве. Функции Блоха удобнее для описания протяженных состояний в кристалле, а функции Ванье больше подходят для описания локализованных состояний. Заметим, что функции Ванье похожи на орбитали Лёвдина, введенные в (2.72) для модели сильной связи (см. п. 2.7.2). В случае сильно локализованных электронов можно представлять себе функции Ванье как атомные орбитали. В этой главе мы будем исследовать дефекты с помощью функций Ванье. Для описания такого подхода лучше всего сослаться на работу самого Ванье [4.1]. Альтернативный подход, основанный на функциях Блоха, прекрасно освещен в обзорной статье Кона [4.2].
Ниже приведены некоторые свойства функций Ванье.
Функция an(r; R, является функцией только разности г — Ri* Это легко показать, заметив, что an(r; Rg) = an(r s; Ri + s) для любого вектора s. Поэтому в дальнейшем мы будем представлять 01n(г; Ri') как ап(г — R/.
Функции Ванье ап(г — Rg), где Rg принимает значения всех векторов решетки внутри кристалла, образуют полный и ортонормированный набор, также как и функ™ ции Блоха.
Функции Ванье являются собственными функциями «оператора вектора ре- шетки^ Rop, определенного как
Ropап(г — Ri) = Rgti冷(『一Rg)*(4.5)
Действие оператора Жор на любую волновую функцию
может быть приближенно представлено как
RopW(『)7 £，為^nk(r\(4.6)
Для получения (4*6) надо сначала разложить Ф(г) по функциям Блоха, а потом—— по функциям Ванье:
屮(m)=£ 4?1(左)吵 тг 屬(m)=£ 4?1(左)工(nT/2)exp (泳• R^an(r - Rj (4.7) n, kn, kJR?
Действуя оператором Жор на обе части (4.7), получим
RopW(『)=£ 4冷(宮)£ (%т/2)exp (泳• RQ 11101n(г 一 R^.(4*8)
n,屬凡
Формулу (4.8) можно переписать в виде
RopW(『)=£ 4TДк) £ (%т/2)(一分^) exp(ik * Ri)an(r — Ri) =(4.9)
kRi'''
=£ 储 4阳饵屬(『)—£4阳 饵屬6*(4*10)
k/n, k/」
Суммирование no fc в правой части (4.10) может быть приближенно заменено интегрированием по 宮 в пределе кристалла с бесконечным объемом. После интегрирования первый член в правой части (4.10) содержит разность
^п (^2)^nk2 (^) — ^п (^1) "Фпкг (^),
где 當1 и 宮2 являются двумя эквивалентными точками на противоположных поверхно™ стях зоны Бриллюэна. Вследствие периодичности блоховских функций Ап^к^фп^^г) этот член исчезает, и мы получаем (4.6) [4.1]. Знак приближенного равенства в (4.6) служит напоминанием того, что это уравнение является приближенным, поскольку значения к дискретны. Уравнение (4.6) можно интерпретировать следующим обра™ зом: действие оператора Жор на любую функцию Ф(г) эквивалентно действию one™ ратора id/дк на коэффициенты An(k) в разложении Ф(г) по блоховским функциям. Можно показать, что 力宮 и Жор являются сопряженными операторами, подобно им™ пульсу р и г, в том смысле, что
Ж о (id/dk) и k о (id/dR).(4.11)
В дальнейшем мы опустим индекс «ор» у Жор и для простоты R будет обозначать как вектор R решетки, так и его оператор Жор. Следует помнить, что к и Ж — дискретные переменные, тогда как р и『一непрерывные переменные. Соответствия в (4.11) являются приближениями, справедливыми только при различных предположениях, об™ суждавшихся выше.
Используем результат, полученный в (4.6), для упрощения уравнения Шрёдинге™ ра (4.2). Представим волновую функцию Ф(г) в (4.2) в виде линейной комбинации функций Ванье:
屮①)=%т/2 £ СДЖг)ап(г — R/(4*12)
где п — индекс зоны, a Cn{Ri) — коэффициенты, аналогичные Ап(к) в (4.7). Таким об™ разом, Cn{Ri) можно считать амплитудами функций Ванье. Ниже мы покажем, что они являются также решениями волнового уравнения, и поэтому называются огибающими волновыми функциями. Обозначим собственные значения невозмущенного гамильтониана Я0(г) в (4.2) через Wn{k). Тогда с помощью (4.11) можно преобразо™ вать И7n (к) в оператор, действующий на функции Ванье:
⑺，国|〃0(『)|方，RQ о 6nnf^3Wn(^id/dRl(4*13)
где |п\ Rj) ^функция Ванье ап> (г — R/ а индекс у R опущен для упрощения обозначений, как и в (4.11).
Для нахождения оператора, соответствующего U(г) в (4.2), предположим, что U —— медленно меняющаяся функция г, так что изменение U в пределах одной постоянной решетки (时°) мало по сравнению с U, т.е.
a0|Vl/(r)|<l/(r).(4.14)
Матричные элементы U между двумя функциями Ванье имеют вид
(п, Ri\U(r)\n\ Rj) = а* (г — RQU(г)ап，(г — Rj)dr.(4.15)
Предположим, что г находится внутри примитивной ячейки, индексированной вектором решетки R. Поскольку U — медленно меняющаяся функция г, ее можно разложить около U(Ж) до первого порядка по VrU:
U(『)=U(R)十(『—R)VrU(RI(4.16)
Подставив (4.16) в (4.15), получим
(n, R|U(『)|M 马〉=U(R)6mvM +
+ VU(R) W(『一R/S — R)anf(r — RQdr. (4.17)
На основании неравенства (4.14) вторым членом в (4.17) можно пренебречь по сравнению с первым членом, так что (4.17) сводится к выражению
(h,з11/(*)1般 /)^ U(R)6nПаr(4.18)
Из (4.13) и (4.18) находим
〈％ RI% + и(『)ЬЛ 马〉о 8пп18г^п(^д/дК) + U(R)].(4.19)
Отметим, что в то время как в левой части (4.19) Ri являются дискретными, в правой части выражения с ними обращаются как с непрерывными переменными. Чтобы быть точным, следовало бы заменить (4.19) системой дифференциальных уравнений [4.3]. Подставив (4.19) в (4.2) и использовав (4.12), получим очень полезное уравнение:
[Wn(-id/dR) + U(R)] Cn(R) 石以(&)*(4.20)
В качестве иллюстрации того, каким образом можно использовать (4.20) для нахождения энергии донорного электрона, предположим, что наинизшая зона проводимости полупроводника является изотропной, невырожденной и параболической, и минимум зоны расположен в ее центре. Таким образом, ее энергия имеет вид
|
ЖП(И = К(О) + —(4"21)
где т* ^эффективная масса этой зоны проводимости, а ^(0) ^энергия минимума зоны. Поскольку мы рассматриваем только одну зону проводимости, индекс зоны п опущен. Заметим, что как Si, так и Ge не удовлетворяют этим предположениям, поскольку минимумы зоны проводимости у них вырождены и расположены не в центре зоны Бриллюэна. Однако эти предположения справедливы для многих полупроводников со структурой цинковой обманки, таких как GaAs и InP. Подставив выражение
для Wn(k) из (4.21) в (4.20), получим
C(R) [Е — К(0)] С(К),(4.22)
что эквивалентно уравнению Шрёдингера для частицы с эффективной массой т*, движущейся в потенциале U* Другими словами, результирующий эффект кристаллического потенциала на донорный электрон внутри кристалла заключается в изменении массы электрона от того значения, которое она имеет в свободном пространстве до значения эффективной массы т*, а также в появлении множителя во в (4.1). Описанный подход называется приближением эффективной массы. Следует помнить, что (4.22) позволяет вычислить только огибающую функцию с(К)* Для того, чтобы получить полную электронную волновую функцию Ф(г), эту огибающую функцию следует умножить на функцию Ванье а(г — R).
Приближение эффективной массы будет использоваться в настоящей книге при вычислении транспортных и оптических свойств электронов в полупроводниках (эти вопросы будут рассмотрены в главах 5 и 6 соответственно). Для того, чтобы это приближение было справедливо, возмущающий потенциал должен быть слабым (чтобы электроны не возбуждались из одной зоны в другую) и медленно изменяться в пространстве (чтобы можно было считать R непрерывным). В следующем пункте мы применим приближение эффективной массы для вычисления энергий и волновых функций мелких доноров.
Водородоподобные, или мелкие, доноры. Если считать R непрерывным ветором в реальном пространстве, а не дискретным вектором решетки, то можно найти решение (4.22) как решение дифференциального уравнения. Тогда (4.2) становится, по существу, уравнением Шрёдингера для частицы, движущейся в кулоновском потенциале, а движение донорного электрона — эквивалентным движению электрона в атоме водорода. Доноры, электроны которых можно описать решениями уравнения (4.22), называются водородоподобными или мелкими. Решения уравнения Шрёдингера для электрона в атоме водорода хорошо известны. Их можно найти во многих учебниках по квантовой механике. Поэтому мы не будем их здесь повторять, а вместо этого сформулируем результаты.
Существуют как дискретные, так и непрерывные собственные значения. Непрерывные решения для донорного электрона являются делокализованными проводящими состояниями. Отметим, что вблизи запрещенной зоны эти проводящие состояния не эквивалентны состояниям зоны проводимости в отсутствии потенциала дефектов. Только в пределе U f 0 энергия электрона Е в (4.22) стремится к энергии Ес зоны проводимости, и волновые функции донорного электрона становятся эквивалентными волновым функциям электронов ближайшей зоны. Связанные состояния донорного электрона классифицируются в соответствии с главным квантовым числом TV, угловым моментом £ и спином. В атомной физике эти связанные состояния обозначаются как Is, 2s, 2р и т.п. Так же обозначаются связанные состояния мелких примесей. Энергии связанных состояний выражаются ридбергов- 竺ими сериями:
I E-Ec8 = -RN (N = (4J3^ где R——постоянная Ридберга для донорного электрона. Она связана с постоянной Ридберга для атома водорода (в4то/(2Й2)) соотношением
ЯЯт* 1 е4 mo 1т* 1 е4 mo 1то 2%2 (47r)2)то 2%2 (47r)2)(4.24)(4.24)
Я
Я
т* 1 е4 mo 1
т* 1 е4 mo 1
то 2%2 (47r)2)
то 2%2 (47r)2)
(4.24)
(4.24)
где иг。——масса свободного электрона. Схематическое изображение некоторых связанных состояний донорного атома вблизи простой параболической зоны проводимости приведено на рис. 4.1.
Рис. 4.1. Схематическое изображение связанных состояний с п = 1, 2 и 3 для электрона на мелком доноре вблизи невырожденной параболической зоны проводимости (соответствующей п = ос); Eg ^ширина запрещенной зоныРис. 4.1. Схематическое изображение связанных состояний с п = 1, 2 и 3 для электрона на мелком доноре вблизи невырожденной параболической зоны проводимости (соответствующей п = ос); Eg ^ширина запрещенной зоныПротяженность волновой функции связанного состояния электрона в реальном пространстве характеризуется боровским радиусом донора 〃*. Он связан с боровским радиусом атома водорода(Й2/(mge2)) соотношением
Рис. 4.1. Схематическое изображение связанных состояний с п = 1, 2 и 3 для электрона на мелком доноре вблизи невырожденной параболической зоны проводимости (соответствующей п = ос); Eg ^ширина запрещенной зоны
Рис. 4.1. Схематическое изображение связанных состояний с п = 1, 2 и 3 для электрона на мелком доноре вблизи невырожденной параболической зоны проводимости (соответствующей п = ос); Eg ^ширина запрещенной зоны
I @* =(4тг£0 ) •(4-25)
В частности, волновая функция ls- состояния имеет вид
Qs(R)=Qs(R)=(4*26)(4*26)Для того, чтобы можно было считать R непрерывным, а не дискретным, требуется выполнение условия 时*》时°. Это условие обеспечивает также возможность при
Qs(R)=
Qs(R)=
(4*26)
(4*26)
ближенно описывать всю зону проводимости с помощью эффективной массы т*. Причина последнего заключается в том, что протяженность R огибающей волновой функции C(R), соответствующей волновой функции электрона Ф(г), соизмерима с 〃*. С другой стороны, протяженность блоховских функций (индексируемых волновым вектором к), суммируемых по обратному пространству для построения функции Ф(г), может быть малой в ^-пространстве. Это происходит вследствие «принципа неопределенности» для двух переменных, связанных между собой преобразованием Фурье. Например, если функция /⑴ от времени 力 имеет протяженность △力 то ее Фурье-образ g(w) является функцией частоты ш и имеет протяженность Аш. Существует соотношение между △力 и Аш, имеющее вид AtAw ^ 1. Подобным же образом мы ожидаем, что Ак ■ АЖ \ Ak\a* 1 или [△k| W (1/时*)* Поэтому лишь состояния зоны проводимости, соответствующие малой области обратного пространства около минимума зоны, дают вклад в волновую функцию дефекта, при условии, что 时*》 》“о. Это оправдывает разложение энергии зоны проводимости в (4.21) только до квадратичного члена, в который входит эффективная масса. Заметим, что в то время как энергия связи донорного электрона уменьшается как (1/№), протяженность его волновой функции возрастает как N2. Следовательно, существует возможность того, что более высокие возбужденные состояния донорного электрона могут хорошо
описываться водородоподобной моделью, даже в том случае, когда такое описание неприменимо для его основного ls-состояния.
Относительные ошибки в собственных значениях из-за использования приближения эффективной массы имеют порядок величины [а。/(2тга*)]2, где 时“ постоянная решетки полупроводника, обычно равна нескольким ангстремам. Чтобы определить порядок величины для 时* и 凡 возьмем какие-нибудь типичные для полупроводников значения е0 и т*, например, е。^ 10 и т* ^ 0,1 т°. Подстановка этих величин в (4.24) и (4.25) дает для донорного электрона следующие значения:时* ^ 50 А, а энергия связи равна примерно 14 мэВ. Поскольку, как показывает эта оценка,时* обычно существенно больше, чем 时°, донорные электроны в большинстве полупроводников с минимумом зоны проводимости в точке Г довольно хорошо описываются в приближении эффективной массы.
Как уже отмечалось выше, функция С (Ж), которая получается при решении (4.22), является только огибающей, а не полной волновой функцией. Ее следует умножить на функцию Ванье, чтобы получить полную волновую функцию. Рассмот-
рим теперь волновую функцию донорного электрона Ф(г) в пределе очень большого боровского радиуса 〃*. Сначала выразим ее через блоховские функции. Начав с
w(*) = e。(五2)时(* 一r)(4.27)
i
подставим вместо а (г —(4.4 а) и получим
w①)=e0(anN-" e exp (-/，马)以(*).(4.28)
分k
Елоховскую функцию ^fe(r) можно с помощью (2.6) выразить через периодические функции 设屬(г):
^k(r) = exp (ik • Ri)uk(r).(4.29)
Подставив (4.29) в (4.28), придем к уравнению
屮(*) = £。(马)％一1/2 £ exp [一/ • (Ri - r^Uk^r).(4.30)
ik
Как уже отмечалось, если 时* велико, то суммирование по Д: в (4.30) можно ограничить малой областью вблизи минимума, находящегося в центре зоны. Это позволяет сделать предположение о том, что периодическая функция 设屬(г) не зависит от к и эквивалентна функции при к = 0. Следовательно, можно приближенно представить уравнение (4.30) как
Ф(г) ко(г) £ С(К〃)％т/2 £ exp [—ik •(马—г)]=
=m。(*)e0(马)b(R -*)=(4.31)
=ио^С^г).(4.32)
Напомним, что уравнение (4.32) является только приближенным результатом. Однако оно дает очень простую форму для волновой функции дефекта. Волновая функция электрона проводимости получается в результате умножения периодической функции и。на плоскую волну. Волновая функция донорного электрона получается в результате умножения и。на огибающую функцию С (г), локализованную около дефекта. На рис. 4.2 показана схематическая волновая функция донорного электрона в ls-состоянии.
В табл. 4.1 приведены энергии связи для ls-уровня доноров в нескольких полупроводниках типа цинковой обманки, вычисленные с помощью (4.23) и (4.24) со значениями т* и £“ взятыми из экспериментов. Эти теоретические значения энергий связи сравниваются с экспериментальными данными для некоторых доноров, обычных для каждого из приведенных полупроводников. Как видно из этой таблицы, приближение эффективной массы довольно хорошо предсказывает значения энергий связи мелких доноров. Однако существует большое число доноров, энергии связи которых не согласуются с предсказаниями теории эффективной массы. Например, Си в GaAs является донором с энергией связи 70 мэВ. Центры, энергии связи которых нельзя вычислить с помощью приближения эффективной массы, называются глубокими центрами. В дальнейшем они будут рассмотрены подробнее.
Таблица / J
Сравнение экспериментальных значений энергий связи ls-состояния мелких доноров в некоторых полупроводниках типа цинковой обманки [4.4, с. 224] с результатами вычислений с помощью (4.24)
Полупроводник
Энергия связи по (4.24), мэВ
Экспериментальные энергии связи обычных доноров, мэВ
GaAs
5,72
SiGa(5,84); GeGa(5,88)； Sas(5,87); Scas(5,79)
InP
7,14
7,14
InSb
0,6
Tesb(0, 6)
CdTe
11,6
Incd(14); AlCd(14)
ZnSe
25,7
Alzn(26,3); Gazn(27,9); FSe(29,3)； Cbe(26,9)
Заранее трудно предсказать, окажется ли некоторый примесный атом глубоким или мелким центром. В этом могут помочь следующие признаки, которые, однако, не являются абсолютно надежными.
Если «остов» примесного атома (атом минус внешние валентные электроны) подобен остову собственного атома (они могут различаться на один ядерный заряд), то примесные уровни проявляют тенденцию быть мелкими. Рассмотрим, например, GeGa в GaAs. Остов атома Ge почти идентичен остову атома Ga, вследствие чего GeGa является мелким донором в GaAs.
Если атом примеси создает сильно локализованный потенциал, подобный полю деформации вокруг атома примеси, то в результате наиболее вероятно возникновение глубокого центра. Та часть потенциала дефекта, которая локализована внутри одной элементарной ячейки, называется коррекцией центральной ячейки. Коррекция центральной ячейки делает недействительным предположение о том, что волновая функция дефекта медленно меняется в пространстве, сделанное в приближении эффективной массы, и поэтому может привести к возникновению глубоких центров. В некоторых случаях дефект может иметь как мелкие, так и глубокие связанные состояния. Например, электроны с огибающими волновыми функциями с ^-симметрией ведут себя как глубокие центры чаще, чем электроны с огибающими волновыми функциями, имеющими р-симметрию. Последнее объясняется тем, что огибающие волновые функции с s-симметрией имеют не равную нулю плотность вероятности в начале координат (т.е. на дефекте), и поэтому более чувствительны к коррекциям центральной ячейки.
Приведенные выше замечания нельзя считать незыблемыми принципами. Проблема заключается в том, что свойства дефектов в полупроводниках зависят от ряда факторов, включая зарядовое состояние дефекта, зонную структуру и так далее. Иллюстрацией того, насколько трудно предсказать, будет ли примесь мелкой или глубокой, является случай Si в GaAs. В то время как Sica в GaAs оказывается прекрасным
примером водородоподобного донора, Si может также встраиваться в твердые растворы GaAlAs, содержащие более 25% А1 [4.5], или в чистый GaAs, подвергнутый давлению [4.6], в виде глубокого донора, называемого ТУХ—центром〉который обладает совершенно другими свойствами, чем мелкий донор.
Сейчас общепринятой является точка зрения, что наинизший электронный уровень Sica в GaAs является водородоподобным, однако существует возбужденное глубокое состояние, резонансное с зоной проводимости. Наличие А1 в твердом растворе или приложение гидростатического давления приводят к изменению зонной структуры, и резонансное глубокое состояние опускается вглубь запрещенной зоны. Когда глубокое состояние становится по энергии ниже мелких уровней, наступает неустойчивость между мелким и глубоким состояниями. Высказывались соображения [4.7, 4.8], что этот резонансный уровень Si в GaAs ведет себя как глубокий центр вследствие того, что с ним связана большая релаксация решетки. Предсказанная конфигурация этого искажения решетки пока что не получила экспериментального подтверждения. Однако теоретические модели считаются в настоящее время правильными на том основании, что находят подтверждение другие предсказания, вытекающие из них.
Доноры, связанные с анизотропными зонами проводимости. У многих имеющих большое прикладное значение полупроводников, таких как Si, Ge, GaP и даже алмаз, минимумы наинизшей зоны проводимости расположены вблизи границ зоны Бриллюэна. У этих полупроводников эффективные массы зоны проводимости очень анизотропны. Кроме того, долины зоны проводимости вырождены вследствие их симметрии. Например, из рис. 2.10 видно, что у Si имеется шесть минимумов зоны проводимости вдоль эквивалентных направлений [100], смещенных примерно на 85% к границе зоны. Коррекции центральной ячейки для примеси приводят к взаимодействию между шестью вырожденными долинами, которое называется долиноорбитальным взаимодействием. Вследствие указанных осложнений необходима модификация приближения эффективной массы, которое рассматривалось в предыдущем пункте. В качестве примера рассмотрим доноры в Si, хотя этот метод с небольшими изменениями можно применить и к донорам в Ge.
Вначале мы пренебрежем долино—орбитальным взаимодействием между шестью эквивалентными долинами зоны проводимости. Эффективную массу электрона в каждой из долин Si можно представить в виде тензора второго ранга
mi 00
0 mt 0,
00mt
где Ш] и mt являются продольной и поперечной относительно оси [100] эффективными массами (при рассмотрении эквивалентных направлений [010] и [001] следует производить перестановку этих масс). С помощью экспериментов по циклотронному резонансу для этих масс в Si были найдены значения 0,916то и 0,190то соответственно. С приведенным тензором эффективных масс волновое уравнение (4.22) для огибающей волновой функции Ф/ (Ж) (целое число j теперь помечает долины вдоль оси [100]) приобретает вид
幻依质出-瓦依/牝酬）"幻依质出-瓦依/牝酬）"(4.33)(4.33)
幻依质出-瓦依/牝酬）"
幻依质出-瓦依/牝酬）"
(4.33)
(4.33)
где Vt и ▽] являются, соответственно, компонентами оператора V с проекциями вдоль направлений, поперечных и продольных по отношению к [100], а к。дает положение минимума зоны проводимости вдоль оси [100] в пространстве обратной решетки. Уравнение (4.33) можно рассматривать, как волновое уравнение «для эллиптически деформированного атома водорода». Если т、не слишком сильно отличается от mt,
то решения этого уравнения должны быть очень похожи на решения для атома водорода, и мы по-прежнему можем обозначать собственные состояния, как 15, 25, 2P и т.д. Однако содержащееся в (4.33) понижение симметрии от сферической до циллин- дрической означает, что состояния с одинаковыми главными квантовыми числами N и угловыми моментами L, но различными магнитными квантовыми числами т больше не будут вырожденными. Можно показать (например, с помощью соображениий симметрии, связанной с обращением времени), что состояния с равными и противоположными по знаку значениями т остаются вырожденными. Например, состояния 2pl и 2Р—1 остаются вырожденными, но имеют энергию, отличную от энергии состояния 2Р°. Если mi значительно больше, чем mt, то можно решить (4.33) с помощью адиабатического приближения для разделения продольного и поперечного движения. В более общем случае можно получить приближенное решение (4.33) с помощью вариационного метода. Кон и Латтинжер [4.9] нашли решение (4.33) с помощью пробной функции следующего вида:
(4.34)(4.34)ф(ж, g, %) = ехр [一@(力 + К) 一 бж2]1/2,
(4.34)
(4.34)
где параметры а и 6 варьируются для минимизации энергии, а ось ж выбрана вдоль направления долины (в рассматриваемом случае ——вдоль [100]).
На рис. 4.3 результаты вариационных вычислений Фолкнера [4.10] для нескольких доноров в Si сравниваются с экспериментальными результатами. Видно, что между вычислениями Фолкнера и экспериментом существует очень хорошее согласие для возбужденных состояний, но довольно плохое ——для основного 15-состояния. Это можно было предвидеть, поскольку возбужденные состояния имеют орбиты большего размера и менее чувствительны к коррекциям центральной ячейки. Можно значительно улучшить теоретическое значение для энергии основного 15-состояния, учитывая в расчете долин о™о рб и та л ьное взаимодействие.
Рассмотрим для простоты долино—орбитальное взаимодействие между 15-состояниями шести эквивалентных долин [100] по теории возмущений и будем пренебрегать смешиванием с возбужденными состояниями. В качестве невозмущенных волновых функций возьмем шесть приближенных волновых функций, сходных с донорными
Теория Li Р As Sb Bi S
0,0—10,00,0—10,05 Po5 Po2尸0“2尸0“
0,0
—10,0
0,0
—10,0
5 Po
5 Po
2尸0“
2尸0“
—20,0
-30,0-15^— /к 斤 ^―后^—后
——т=<—T2=>T2
—40,0 -
——Л1
一50,0 -
Рис. 4.3. Вычисленные и измеренные энергетические уровни мелких доноров в Si
волновыми функциями в (4.32):
3(『)=④八*)仍(*)， (435)
где 吵^ (г)——блоховские функции для j-ro минимума зоны проводимости (j = =1, . . . , 6), а ④j(『)—соответствующие огибающие функции, полученные при решении (4.33). Для удобства шесть блоховских функций 吵j(『) обозначаются X, X, ¥, У, Z и Z в соответствии с направлением соответствующего минимума зоны проводимости. Если предположить, что мы имеем дело с донором замещения в Si (например, Assi), то потенциал примеси имеет тетраэдрическую симметрию. Диагонализация гамильтониана возмущения упрощается при симметризации шести функций в соответствии с неприводимыми представлениями группы 7d. С помощью таблицы характеров для группы 7d (см. табл. 2.3) можно показать (задача 4.1), что эти шесть блоховских функций образуют синглет с симметрией 4, дублет с симметрией Е и триплет с симметрией 7V Поскольку потенциал примеси имеет только вращательную симметрию и не обладает трансляционной симметрией, принято для симметризован- ных волновых функций дефекта пользоваться обозначениями точечной группы. Подходящие линейные комбинации имеют следующий вид:
4 : (Х + Х + У + У + Х + Z)/V6, (4.36а) 石：(X+又—У — Р)/2, (2Z + 2^—X—H — y—P)//B" (4.36 6) Т2：(Х-又)/京 (У-F)/R (Z-W/VI (4.36 b)
Как можно заметить из рис. 4.3, обычно в эксперименте самую низкую энергию имеет полносимметричное состояние 厶工.Очевидное объяснение этого факта заключается в том, что потенциал примеси является притягивающим и состояние 4, подобно s-состояниям в атоме водорода, имеет наибольшую вероятность находиться вблизи начала координат, где порождаются притягивающие коррекции центральной ячейки. Различные доноры обладают также довольно большими химическими сдвигами между энергиями своих основных состояний. Последнее связано с тем, что потенциал примеси обычно не является чисто кулоновским вблизи остова. Существуют коррекции, обусловленные обменными и корреляционными эффектами между донорным электроном и электронами остова. Кроме того, экранирование кулоновского потенциала (посредством диэлектрической постоянной £)уменьшается вблизи остова. Рассчитать величину этих коррекций, исходя из первых принципов, довольно трудно. После того, как найден реалистичный потенциал, можно провести диагонализацию гамильтониана для огибающей волновой функции с помощью численных методов. В таблице 4.2 экспериментальные значения для энергетических уровней доноров в Si, расщепленных вследствие долино-орбитального взаимодействия, сравниваются с теоретическими значениями, вычисленными Пантелидесом и Са [4.11]. Теория и эксперимент очень хорошо согласуются для Р и As, но не столь удовлетворительно ——для Sb.
Таблица /.2
Сравнение экспериментальных значений энергии связи [мэВ] для доноров замещения в Si со значениями, полученными в результате численных расчетов путем решения уравнения для эффективной массы с учетом долино-орбитальных взаимодействий [4.11]
Уровень
Р
As
Sb
Теория
Экспер.
Теория
Экспер.
Теория
Экспер.
4
—44,3
—45,5
—53」
—53,7
—31,7
—42,7
Е
—30,5
—32,6
—29,6
—3L2
—28,5
—30,5
—31,3
—33,9
—29,8
—32,6
— 27,8
—32,9
11 М. Кардона
Уровни акцепторов в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки. Вычисление энергии связей акцепторов в полупроводниках с тетраэдрической координацией представляет особые трудности по двум причинам. Во-первых, валентные зоны вырождены в центре зоны Бриллюэна, а во-вторых, в результате вырождения они гофрированы (см. п. 2.6.2). Поэтому для валентных зон нельзя ввести простой тензор эффективных масс.
В литературе описывается несколько различных методов для решения проблемы акцепторов. Неизменно во всех методах производится численное решение волнового уравнения для огибающих функций. Здесь мы приведем вывод этих волновых уравнений без их решения. Наша цель ——познакомиться с проблемой, не вдаваясь в детали численных расчетов. Мы также постараемся, насколько возможно, упростить вычисления. Начнем с предположения, что спин-орбитальное взаимодействие много больше, чем энергии связи акцепторов, так что нужно учитывать только зоны тяжелых и легких дырок. Волновое уравнение для четырех результирующих огибающих функций ФДг) (i = 1, . . . , 4) можно записать в виде [4.2]
?3若（言）（爲 J也37）
где D；：(д/дха)(д/дхр)——матричный оператор 4x4, полученный из матрицы {Н[-} ранга 4 х 4 в п. 2.6.2 с использованием (4.11) для преобразования к в (3/3丁). При отсутствии кулоновского потенциального члена решения (4.37) являются четырехкратно вырожденными (симметрия Г* для структуры цинковой обманки и Г^ для структуры алмаза). Можно было бы также включить в (4.37) дважды вырожденные спин-отщепленные зоны (симметрия Г^ для структуры цинковой обманки и для структуры алмаза), однако их влияние на уровни акцепторов очень мало, за исключением случая Si [4.12]. Вырождение по спину не снимается кулоновским потенциалом, так что решения (4.37) должны остаться по меньшей мере дважды вырожденными.
Метод Кона и Шехтера [4.13] заключается в разложении ФДг) по радиальным волновым функциям и сферическим гармоникам, как в случае атома водорода. Для простоты разложение обрывается при значении углового момента /, меньшем некоторого значения /。, а затем для решения (4.37) используется вариационный метод. С помощью такого подхода Кон и Шехтер [4.13] получили для энергии связи основного состояния акцептора в Ge значение 8,9 мэВ. Соответствующие эспериментальные значения составляют от 10,2 до 11,2 мэВ. Недостаток этого метода заключается в том, что его точность трудно повысить.
Сравнительно недавно Балдеречи и Липари [4.14, 4.15] развили другой, более систематизированный подход к решению этой проблемы. Отправной точкой для них являлся гамильтониан Латтинжера в (2.70). Запись этого гамильтониана отражает кубическую симметрию кристалла. Заметив, что отступления от сферической симметрии в гофрированных зонах тяжелых и легких дырок для большинства полупроводников малы, Балдеречи и Липари переписали гамильтониан Латтинжера, используя вместо декартовых тензоров сферические тензоры. Идея заключалась в том, что все операции симметрии сферически-симметричного потенциала образуют группу, известную как полная группа вращений. Сферические гармонические функции образуют полный ортонормированный набор базисных функций для неприводимых представлений этой группы. Поэтому симметризация гамильтониана Латтинжера со сферическими тензорами является способом систематического разделения гамильтониана Латтинжера на члены со сферической и кубической симметрией. Выполнение этой задачи оставлено в качестве упражнения (задачи 4.2 и 4.3). В результате полученный Балдеречи и Липари «сферически симметризованный» гамильтониан
Латтинжера (//bl) имеет вид
. J⑵)+『x J叫⑷+
2m045m0'/18m0 [ L」—4
+ 響尸2)义 j(2)]：)+ 尸2) x J(2)]" ,(4.38)
где 0(2)и J^ — сферические тензоры второго ранга. Их определения, а также определения произведений тензоров Р(2)“《/(?)и [р(2)х «/(?)] . можно найти в задачах 4.2 и 43"
Отметим, что как первый, так и второй член в (4.38) являются сферически-сим- метричными. Только третий член, пропорциональный (73 —)2), имеет более низкую кубическую симметрию и приводит к гофрированию валентных зон. Для большинства полупроводников типа алмаза и цинковой обманки сферические члены много больше кубического. Это видно из табл. 4.3, где приведены значения 71, 72 и 73 для
Таблица /.3
Значения безразмерных параметров валентной зоны 71, 72, 73,从 и 8 для различных полупроводников со структурой алмаза и цинковой обманки. Хотя большинство этих значений взято из [4.14], многие из них позднее были изменены ". Величины параметров согласованы с их значениями, рассчитанными на основе параметров Л, В и С из табл. 2.4 с помощью уравнений (2.71 а)-(2.71 в)
7i
72
73
8
С
2,5
—(U
0,63
0,27
0,29
Si
4,28
0,339
1,446
0,47
0,26
Ge
13,38
4,24
5,69
0,766
0,11
Si
2,8
0,51
0,67
0,433
0,488
GaN 3)
5,05
0,59
1,78
0,52
0,24
GaP
4,05
0,49
1,25
0,47
0,19
GaAs
6,9
2,2
2,9
0,75
0,1
GaSb
13,3
4,4
5,7
0,8
0,1
InP
5,15
0,95
1,62
0,523
0,13
InAs
20,4
8,3
9,1
0,861
0,039
InSb
36,41
16,24
17,34
0,928
0,03
ZnS
2,54
0,75
1,09
0,751
0,134
ZnSe
2,75
0,5
ZnTe
3,8
0,72
1,3
0,562
0,153
CdTe
4,14
1,09
1,62
0,68
0,128
ряда полупроводников с тетраэдрической связью. Следовательно, можно в первом приближении пренебречь кубическим членом и считать зоны тяжелых и легких дырок сферическими.
1)Landoldt-Bornstein Tables.— Berlin, Heidelberg: Springer, 1987. V. 22a,; Mayer H., Rossler (/.//Solid State Commun. 1993. V. 87. P. 81.
3)величины для структуры типа цинковой обманки
ан для акцепторов
" =(439)
Для вычисления энергии связи акцептора удобнее сначала упростить гамильтони-
с помощью
1) введения двух новых параметров
〃 =2(3)з + 272)/571,
В =(7з — 72)/?!,
(4.40)(4.41)(4.40)(4.41)где д является мерой величины второго сферического члена в (4.38), а 8 пропорциональна коэффициенту кубического члена, и
(4.40)
(4.41)
(4.40)
(4.41)
2) введения эффективных атомных единиц, в которых как эффективный боровский радиус
,(4.42)
так и эффективный Ридберг
(4.43)(4.43)€4ТПо 1
(4.43)
(4.43)
2fi2£2y1 (47ГЕо )2
р2 2р2 2右2f右2f(4.44)(4.44)положены равными единице (т.е. е2 = 2* Л2 = 2mo/71)* После этих упрощений (4.39) приобретает вид
р2 2
р2 2
右2f
右2f
(4.44)
(4.44)
За исключением последнего члена, пропорционального J, гамильтониан (4.44) имеет полную вращательную симметрию. Поэтому важно сравнить значения 〃 и 6 для различных полупроводников, приведенных в табл. 4.3. Мы видим, что з а исключением Si, SiC и GaN параметр д по крайней мере в четыре раза больше кубического параметра 6.
Мы не станем проводить диагонализацию (4.44), поскольку очевидно, что это является довольно трудной задачей. Вместо этого обсудим качественные особенности решений. Начнем с простейшего случая, когда пренебрегается большинством членов в (4.44). Затем будем добавлять по одному дополнительные члены и анализировать последствия добавления каждого члена с помощью теории возмущений.
^Приближение одной сферической зоны^.
Самое простое приближение для (4.44) заключается в том, чтобы положить члены, зависящие от д и J, равными нулю:
ННР2Р222方2方2ГГ(4.45)(4.45)
Н
Н
Р2
Р2
2
2
方2
方2
Г
Г
(4.45)
(4.45)
В пределах этого приближения массы тяжелых и легких дырок равны (поэтому их рассматривают как одну зону). Уравнение (4.45) аналогично уравнению для водородоподобного донора, и поэтому его решения характеризуются главным квантовым числом N и угловым моментом L. Связанные состояния будут обозначаться nSпР и т.д., а их энергии даются ридберговской серией (4.23), за тем исключением, что ридберговская постоянная (4.24) сейчас определяется выражением (4.43).
« Сферическое приближением.
В качестве следующего шага добавим к (4.45) член。⑵• J⑵：
(4.46)(4.46)
(4.46)
(4.46)
Гамильтониан по-прежнему обладает сферической симметрией, но теперь зоны тяжелых и легких дырок имеют разные массы (задача 4.3). Член 0(?)• J^ похож на спин-орбитальное взаимодействие, где «псевдоугловой момент» J играет роль спина, за исключением того, что J = 3/2. Используя эту аналогию, можно определить «псевдополный угловой момент» F = L + J. Для момента F выполняется закон сохранения так же, как он выполнялся бы для полного углового момента Е + S при учете спин-орбитального взаимодействия (за исключением того, что сейчас J — псевдоугловой момент блоховской функции, a L — угловой момент огибающей функции примеси). Как и в атомной физике, для связанных состояний акцептора можно пользоваться спектроскопическими обозначениями:
b = 0 ： 72$з/2；
b = 1 ： пР5/2,九乌/2 И пР1/2；
£ = 2 к т.д.
Обычно важны только члены с L < 2. Отметим, что существует только одно состояние акцептора 1S. Предположив, что зоны тяжелых и легких дырок можно рассматривать как две отдельные сферические зоны, мы получили бы неверный результат о наличии двух состояний 1S.
Несмотря на аналогию со спин-орбитальным взаимодействием, рассмотрение члена 0(2)• J^ по теории возмущений является нетривиальной задачей вследствие вырождения зон тяжелых и легких дырок. Поскольку。⑵ и J^ — сферические тензоры второго ранга, правилами отбора для матричных элементов。⑵• J^ являются △歹=0 и △£ = 0 или ±2* Для простоты будем рассматривать только следующие наиболее низкие состояния: IS3/2〉2s3/2〉2P'5/2)2Р3/2 и 2Р1^- Все они, за исключением состояния 2/^/2〉взаимодействуют с более высокими энергетическими состояниями посредством члена。⑵• J⑵.Балдеречи и Липари [4.14] предположили, что каждое из них взаимодействует не более, чем с одним другим состоянием. В этом приближении огибающая волновая функция состоит из линейных комбинаций самое большее двух функций:
6(&/2)= %(『)〃 =0, J = 3/2, F = 3/2,匕〉+
+ go(『)|£ = 2,丿= 3/2, F = 3/2,忆〉；(4.47a)
Ф(А/2)=九⑺〃 J = 3/2, F = 1/2, %〉；(4.476)
Ф(П/2) = hH\L = 1, J = 3/2, F = 3/2,匕〉+
+ g2(『)Z = 3,丿= 3/2,歹= 3/2,凡〉；(4.47в)
Ф(П/2) = /з(咽丄=1, J = 3/2, F = 5/2,凡〉+
(4.47 f)(4.47 f)+ g3(咽丄=3, J = 3/2, F = 5/2,歹)
(4.47 f)
(4.47 f)
За исключением Ф(А/2), подстановка (4.47) в (4.46) приводит к двум связанным дифференциальным уравнениям для радиальных функций fi и g〃. Эти дифференциальные уравнения можно решить с помощью численных методов только приближенно.
Однако энергию состояния 2Р1^ можно вычислить точно, т.к. его радиальное волновое уравнение подобно уравнению p-состояния атома водорода. Можно показать, что собственное значение уравнения составляет [4(1+д)]-1. Поскольку эффективная масса легкой дырки равна (1 + д)^1 (задача 4.4), мы видим, что энергия состояния 2Р1^ равна энергии уровня водородоподобного акцептора с п = 2 и с массой легкой дырки.
Энергии остальных трех состояний были вычислены Балдеречи и Липари [4.14] с помощью вариационной техники и значений параметров Кона-Латтинжера, приведенных в табл. 4.4. Учтите, что значения некоторых параметров Кона-Латтинжера с тех пор подверглись ревизии. Теоретические значения энергетических уровней акцепторов сравнивались с имевшимися на тот период экспериментальными данными.
Таблица
Сравнение между значениями энергий связи для самых низких состояний акцепторов, вычисленными Балдеречи и Липари [4.14, 16, 17] с помощью (4.47), для различных полупроводников со структурой типа алмаза и цинковой обманки и доступными тогда экспериментальными данными (значения, приведенные курсивом, соответствуют измерениям после 1973г.). Все энергии приведены в мэВ
Эксперимент
1S3/2
2 s3/2
2P1/2
2P3/2
2P5/2
Si
Д, 68,9
31,6
8,6
4,2
11,2
7,6
Ge
10,8
9,8
2,9
0,6
4,2
2,5
GaP
立64
47,5
13,7
4,2
19,1
11,7
GaAs
31
25,6
7,6
1,6
11,1
6,5
GaSb
13-15
12,5
3,8
0,65
5,6
3,2
InP
Л, 56,3
35,2
10,5
2
15,5
8,9
InAs
10-20
16,6
5,1
0,4
7,9
4,4
InSb
8,6
2,7
0,2
4,2
2,3
ZnS
175,6
52
11,7
75,1
44,1
ZnSe
114
110,1
33
6,1
48,6
28
ZnTe
^30
77,7
23
5,1
33,4
19,6
CdTe
^30
87,4
26,5
3,7
39,9
22,6
Согласие между экспериментальными и теоретическими значениями для энергий основных состояний акцепторов можно считать вполне удовлетворительными для большинства полупроводников типа алмаза и цинковой обманки. Заметным исключением являются Si, GaP, InP и некоторые полупроводники группы II-VI. Как отмечалось выше, сферическая модель не может успешно применяться для Si вследствие наличия у него довольно большого кубического члена (6/〃 ^ 0,5, см. табл. 4.3). Экспериментальное значение, на которое ссылались Балдеречи и Липари [4.14], относится к Aki* Полученное позднее экспериментальное значение для Bsi (45 мэВ) лучше согласуется с предсказанием теории. В случае GaP и InP ссылки на экспериментальные данные относились к ZnQa и Cdin соответственно. Полученные позднее значения для MgGa и В6gа в GaP составляют 56,6 и 59,9 мэВ. Соответствующие энергии для Mgin и Bejn в InP обе равны 31 мэВ. Эти позднейшие экспериментальные данные находятся в гораздо лучшем согласии с теорией. Акцепторами в ZnTe и CdTe, для которых значения энергий связи стали известны только недавно, являются атомы Li, замещающие катионы. Пока еще нет хорошего понимания поведения примесей в этих полупроводниках группы II-VI, что частично связано с неточностью известных нам значений параметров Латтинжера. В последнее время проявляется повышенный интерес к мелким примесям в полупроводниках группы II-VI с большой шириной запрещенной зоны вследствие их использования в качестве материалов для лазеров в сине-зеленой области спектра [4.18, 4.19]. Это должно привести к более точным измерениям энергий связи акцепторов.
Добавление кубического члена.
При добавлении кубического члена волновые функции должны классифицироваться в соответствии с неприводимыми представлениями группы 7d. Например, волновая функция акцептора, образованная из валентной зоны с J = 3/2, обладающей * симметрией (в обозначениях двойных групп), и огибающей функции с S симметрией в сферической модели (или Fi симметрией в Т^) будет иметь симметрию * (прямое произведение * и Fi). Подобным же образом, если огибающая функция имеет Р симметрию (или 门))симметрия волновых функций акцептора будет принадлежать представлениям * 艺玛=/^ ㊉广7 ㊉ 2*. Легко показать, что дважды вырожденное состояние 吕/2 станет состоянием F^, а четырехкратно вырожденное состояние Р3/2 — состоянием Г^ в случае Si и Ge. Шестикратно вырожденное состояние %/2 приводится к дважды вырожденному уровню Г^ плюс четырехкратно вырожденный уровень Г^ * Из этих симметрийных соображений следует, что кубический член может привести
только к смещению энергетических уровней S3/2)Е/2 и Р3/2 и
снятию вырождения уровня Р5/2-
Таким образом, в первом приближении по В кубический член не влияет на уровни S3/2)А/2 и %/2* При учете членов более высокого порядка по(5 правила отбора для кубического члена следующие: △% = 0, ±4 (умножение двух сферических тензоров второго ранга, входящих в кубический член, дает тензор четвертого ранга; см. задачу 4.3). Эти правила отбора сильно ограничивают возможность взаимодействия уровней посредством кубического члена. В результате уровни IS3/2〉2s3/2 и 2Рх/2 практически не меняются при его добавлении. Следовательно, можно сказать, что «сферическая модель», в которой кубическим членом пренебрегается, является столь же хорошим приближением для вычисления самых низких энергетических уровней акцепторов в полупроводниках с тетраэдрической координацией, как и модели, учитывающие кубический член.
Кубический член сдвигает уровни 乌/2)главным образом вследствие их взаимодействия с соседними уровнями Р5/2- Величина соответствующего сдвига в энергии обычно меньше 10 %. Например, в случае Si, для которого ожидается наибольший сдвиг, кубический член приводит к изменению энергии уровня 2Р3/2 от 11,2 мэВ до 12,13мэВ. Значения для уровней 2Р5/2 (丁亍)и 2P5/2 (丁£), вычисленные Бал- деречи и Липари [4.15] при учете кубического члена, приведены в табл. 4.5.
На рис. 4.4 измеренные значения энергий возбужденных состояний некоторых обычных акцепторов в Si и Ge сравниваются со значениями, вычисленными Балде- речи и Липари. Наблюдается прекрасное согласие между теорией и экспериментом в случае Ge, но довольно плохое для Si. Особенно заметное несоответствие в случае Si получается для основного состояния 1广/* Вычисленное значение энергии связи для Si составляет 44,4 мэВ, а экспериментальные значения изменяются от 45 мэВ для бора до 160 мэВ для индия. Эти разногласия не связаны с недостатком метода Балдеречи и Липари, а скорее обусловлены тем, что для Si становятся более критичными коррекции центральных ячеек. Однако вычисления, основанные на гамильтониане Латт- инжера размером 4x4, оказываются несостоятельными, если рассчитанная энергия связи больше До- В этом случае должен быть решен полный 6x6 гамильтониан, включающий зоны Г^〉отделенные До [4.20]. Следовательно, спин-орбитальное расщепление основного состояния уровней акцептора может быть намного меньше, чем △ [4.20, 21].
Таблица /.5
Сравнение между теоретическими значениями связанных состояний акцепторов 2Р5/2 для различных полупроводников со структурой типа алмаза и цинковой обманки, вычисленными Балдеречи и Липари [4.14, 15] с учетом и без учета кубического члена. Все энергии приведены в мэВ
«Сферическая модель»«С учетом кубического члена»
2P5/22Р5/2(Г^,「8)2Р5/2(Г7,「7)
65「52 94brei1133,af4,厶442192265「52 94brei1133,af4,厶44219225171,04*59987654,56,47,32,85 27493122255171,04*59987654,56,47,32,85 2749312225^^9^2乙^^9^2乙
65「52 94
brei1133,af4,厶4421922
65「52 94
brei1133,af4,厶4421922
5171,04*59987654,56,47,32,85 2749312225
5171,04*59987654,56,47,32,85 2749312225
^^9^2乙
^^9^2乙
Валентная зонаВалентная зонаВалентная зонаВалентная зона3 114 5 2 63 114 5 2 6
Валентная зона
Валентная зона
Валентная зона
Валентная зона
3 114 5 2 6
3 114 5 2 6
16
14
12
10
8
6
4
2
Рис. 4.4. Сравнение теоретических значений для энергий мелких акцепторов в Si и Ge, вы-численных с помощью гамильтониана Балдеречи и Липари [4.14], с экспериментальнымиданными [4.22]
Глубокие центры
Как уже было показано, одной из характеристик мелких примесных уровней является то, что их электронные волновые функции обычно распространяются на много примитивных элементарных ячеек. Следовательно, эти волновые функции могут быть построены из одной блоховской функции, индексированной единственным волновым вектором, равным волновому вектору ближайшего зонного экстремума (см. (4.32)). Напротив, глубокие центры имеют локализованные волновые функции,
построенные из блоховских функций нескольких зон в большой области А:-простран- ства. Поэтому ожидается, что дефекты с сильно локализованным потенциалом будут образовывать глубокие центры. Причиной таких локализованных потенциалов могут быть оборванные связи, деформации, обусловленные смещениями атомов, и разница в электроотрицательности, или потенциалах остова между примесями и собственными атомами. Локализованная природа потенциалов глубоких центров наводит на мысль о том, что для изучения их электронных энергий лучшей отправной точкой был бы метод молекулярных орбиталей в модели сильной связи. Поскольку дефект помещен в полупроводник, необходимо также учитывать взаимодействие между электронами локализованного дефекта и блоховскими электронами полупроводника. Например, когда энергетический уровень глубокого центра (или просто глубокий уровень) перекрывается с зонными состояниями полупроводника, глубокий уровень становится резонансным состоянием.
Для вычисления энергий глубоких уровней надо для начала знать потенциал дефекта, а потом найти способ решения соответствующего уравнения Шрёдингера. Сделать заключение о потенциале дефекта очень сложно, поскольку с ним могут быть связаны смещения атомов (или релаксация решетки). В релаксации решетки могут участвовать как атом примеси, так и окружающие его атомы. Причину, по которой смещения в решетке важны в случае глубоких центров, можно качественно понять из следующих примеров.
Допустим, что у примесного атома в полупроводнике есть выбор, стать ли ему мелким донором замещения или глубоким центром посредством искажения решетки. Предположим, что если он является глубоким центром, его уровень расположен глубоко в запрещенной зоне на расстоянии Eq от зоны проводимости (Е。называется энергией термической ионизации). С другой стороны, в качестве мелкого донора он будет иметь энергию вблизи края зоны проводимости. Таким образом, становясь глубоким центром, атом примеси может понизить свою электронную энергию (примерно на Е。). Однако для искажения решетки может потребоваться энергия релаксации решетки 现・ Если Eq больше 现丿 то для примесного атома энергетически выгодно создать спонтанное искажение решетки и стать глубоким центром. Чтобы предсказать, будет ли примесь глубоким или мелким центром, необходимо знать как Е。〉так и 现・ Смещения решетки несут ответственность за неустойчивость между состояниями мелких и глубоких уровней, что приводит к преобразованию мелких доноров в GaAs в DX-центры в твердом растворе AlGaAs [4.7, 4.8]. В случае DX-центров Eq для примеси Si в AlGaAs имеет величину порядка 0,4эВ [4.23]. Оказывается, что выигрыш в энергии DX-центров из-за смещений в решетке равен 2Ео вследствие их особого свойства, называемого отрицательной U. Дополнительная информация по DX-центрам и их отрицательным свойствам изложена на Web-странице: http://Pauline.berkeley.edu/textbook/DX-Center.pdf. Здесь U означает отталкивающее кулоновское взаимодействие между двумя электронами на узле решетки в так называемой модели Хаббарда [4.21]. Для глубокого центра с отрицательной U вследствие искажения решетки второй электрон, в сущности, притягивается к центру, хотя тот уже занят одним электроном. Результирующее отрицательно заряженное состояние более стабильно, чем нейтральное. Это свойство отрицательной U делает для дефекта еще более выгодным превращение в глубокий центр в результате релаксации решетки. Известно, что для некоторых полупроводников группы II-VI с большой шириной запрещенной зоны, таких как ZnS и ZnSe, не удается получить легирование p-типа, тогда как для других, таких как ZnTe, невозможно легирование n-типа. Данный феномен называется самокомпенсацией (см. [4.4], с. 238). Полной ясности в этом вопросе пока нет, однако недавно было высказано предположение о том, что образование DX-центров донорами замещения может объяснить невозможность для ZnTe получения n-типа легирования с помощью обычных легирующих примесей группы III, таких как А1 и Ga [4.25].
Рис. 4.5. Схематическое изображение ковалентного полупроводника: вакансия с четырьмя оборванными связями до релаксации (а) и вакансия без оборванных связей после релаксации (6)
В качестве другого примера релаксации решетки при образовании глубоких центров рассмотрим вакансию в полупроводнике группы IV. Удаление атома в этом случае означает потерю четырех электронов. Последнее эквивалентно добавлению к нейтральному полупроводнику четырех положительных зарядов. Очевидно, что реакция электронов внутри полупроводника будет заключаться в экранировании этих положительных зарядов. Реакцию полупроводника легче всего понять в модели сильной связи. Вакансия в ковалентном полупроводнике создает четыре неспаренные оборванные связи^ как это схематически показано на рис. 4.5 а. Они могут быть «излечены» путем образования двух пар связей между соседними оборванными связями. Поскольку изначально расстояния между атомами с оборванными связями больше, чем длины связей в идеальном кристалле, эти атомы должны приблизиться друг к другу, чтобы образовать новые связи (рис. 4.5 б). Со смещениями соседних атомов связана упругая энергия, которая компенсируется уменьшением энергии четырех электронов, изначально имевших оборванные связи. Поскольку каждая новая связь может принять два электрона в связанных состояниях, уменьшение энергии каждого электрона в оборванной связи имеет порядок величины параметров перекрытия (匕力 Vpp и 匕/ которые обсуждались в п. 2.7.1. Более подробно электронная энергия вакансии в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки будет рассматриваться в п. 4.3.2.
Метод функций Грина для вычисления энергетических уровней дефектов. В настоящей книге мы не будем касаться трудной проблемы определения потенциалов глубоких центров. Познакомимся вместо этого с методом, который позволяет найти энергии глубоких центров, если потенциал известен. Сейчас существуют методы для вычисления энергий глубоких центров с учетом релаксации решетки исходя из первых принципов [4.7, 4.8], однако их обсуждение выходит за рамки данной книги. Мы будем рассматривать метод функций Грина для вычисления электронной структуры глубоких центров. Функциям Грина посвящено много книг. Обсуждение их применения к проблеме дефектов можно найти в работах Экономоу [4.26] и Ланну и Бургуана [4.27]. Применим этот метод для изучения систематизации дефектов, в особенности изоэлектронных центров, в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки.
Чтобы понять мотивацию использования функций Грина для изучения дефектов, определим вначале понятие плотности состояний (ПС). Плотность состояний некоторой системы определяется как число разрешенных состояний на единицу энергии,
лежащих в интервале энергий от Е до Е+ёЕ. Допустим, что изучаемая система имеет гамильтониан Я, а ее уровни энергии обозначаются как Е&. Эти уровни энергии могут быть дискретными или непрерывными. Частицы в системе могут быть периодически расположены в пространстве, подобно атомам кристалла, или занимать совершенно случайные положения, как в аморфном полупроводнике. Плотность состояний п(Е) системы равна
72(E) =(4.48)
к
где 6® является дельта-функцией Дирака [4.28], а к обозначает все возможные состояния. Величина п (Е) оказывается весьма важной, поскольку может быть вычислена теоретически и измерена экспериментально. Определим резольвенту или оператор функции Грина G как
G = lim (Е — Н + 〃〃)—L(4.49)
Чтобы понять, почему G определяется таким образом, заметим, что ожидаемое значение G для собственного состояния 问 гамильтониана Н имеет вид
{k\G\k} = lim (Е Ek+ 〃〃厂匕(4.50)
С помощью хорошо известного свойства дельта-функции правую часть (4.50) можно переписать следующим образом:
lim (Е — М + 〃〃)т = Р(Е — М)т — 〃7г*Е — Е j(4.51)
где Р[Е — Е&]-1, называемое главным значением Коши для [Е — Е"-', определяется как
+ оо+оо
f{E')P[E - E'^dE' = Р ^'R,dE，=
AT0I J Fj -也J e一也/
E+e/
В каком-то смысле мы можем считать, что функция Р[ж]-1 обладает свойством
『」[：「；(4.52 6)
при ж 0.
Из (4.48) и (4.51) получаем
п(Е)=—丄 * Im{〈川G|k〉}=—丄Im{TrG},(4.53)
k
где Im{A} означает мнимую часть комплексной величины A, a Tr{G}——след матри™ цы (k\G\k,). Таким образом, (4.53) устанавливает соотношение между оператором G и n(Е). Следует заметить, что матричный элемент G, определенный в (4.50), является комплексной функцией Е. Реальная часть комплексной величины всегда связана с ее мнимой частью. Например, обозначим (k\G\k) как g{E — EQ [см. (4.50)] и введем определение
歹（Е） =歹（Е） =(4.54)
歹（Е） =
歹（Е） =
где / (ж) любая заданная функция. Подставив (4.50) в (4.54), получим
歹(石)=。［dE' +(4.55)
Заметив, что в (4.55) Im{F} = тг/(石))можно переписать реальную часть F(Е) как
］Re{P(E)}=(4.56)
Уравнение, выражающее реальную часть функции F (Е) через ее мнимую часть, является одним из двух уранений, называемых соотношениями Крамерса-Кронша^ или дисперсионными соотношениями. Оно также называется преобразованием Гилберта. Мы будем широко пользоваться этими важными соотношениями в гл. 6 при изучении линейной функции оптического отклика (определение которому также будет дано в гл. 6). Очевидно, что функция g{E —石&) удовлетворяет соотношениям Крамерса— Кронига.
Другое выражение для 72(石)〉используемое в задачах, связанных с дефектами, имеет вид
7z(石)=；^Im{lg(detG)},(4.57)
где det G является определителем матрицы (k\G\k,).
Выразим уравнение Шрёдингера для электрона дефекта в виде
("о + 丿)①=ЕФ,(4.58)
где Яо — гамильтониан идеального кристалла, V — потенциал дефекта, Е — энергия дефекта. Как было упомянуто выше, мы будем предполагать, что V известен. Кроме того, предположим, что известны волновые функции Фо и собственные значения Eq «невозмущенного» уравнения
(Ео^>о)Фо = О.(4.59)
Уравнение (4.58) можно переписать в виде
6 =［石一%］ть 範(4.60)
Определим теперь «невозмущенный» оператор Go функции Грина с помощью (4.49)
Go = lim ［石—儿+沔т(4.61)
так, чтобы можно было выразить Ф как
6 = Go 19(4.62)
Следует помнить, что Go является функцией энергии дефекта Е.
Существуют два типа решений (4.58).
Решения для связанных состояний.
Если энергия Е электрона дефекта не перекрывается с собственными значениями Eq невозмущенного волнового уравнения, то собственное значение Ф электрона дефекта должно быть связанным состоянием. Поскольку Е не перекрывается с 石о) никакого состояния континуума при этой энергии не существует. Волновая функция
электрона дефекта должна быть локализована около дефекта. Для того, чтобы найти £7, можно разложить Ф по набору ортонормированных базисных функций ^j：
①=£а 押(4.63)
з
Подставив это выражение в (4.62), получим систему однородных линейных уравнений относительно неизвестных 勾:
£(/ — GoU)2*3 =0,2 =(4.64)
где / ——единичная матрица; (4.64) имеет ненулевые решения только тогда, когда опре™ делитель системы равен нулю. Таким образом, в принципе, можно найти энергию де™ фекта, решив уравнение
det[/ - G0V] = |/ - (Е -儿)—”| = 0.(4.65)
В случае произвольного потенциала V (4.65) имеет очень сложный вид и его трудно решить. Для точечных дефектов потенциал V локализован, и можно упростить (4.65), выбрав подходящий набор локализованных базисных функций 耽 таким образом, чтобы существовало только небольшое число не равных нулю матричных элементов Vij. Применения такого подхода будут рассматриваться в п. 4.3.2.
Решения для резонансных состояний.
Во втором случае энергия дефекта перекрывается с собственными значениями невозмущенных состояний и возникает резонансное состояние. Для Е — Eq общее решение Ф можно выразить как
Ф = Ф0 + С0УФ.(4.66)
Дефект приведет к изменению плотности По(^) невозмущенного состояния. Наша цель заключается в вычислении Вп(Е))т.е. изменения п(Е))обусловленного дефектом. По-видимому, в случае сильно локализованного потенциала дефекта удобно ввести локальную плотность состояний^ поскольку мы ожидаем, что Вп(Е) будет иметь существенную величину только вблизи дефекта. Введем матричный элемент оператора Go, определенного следующим образом:
GoE 乂 Е)=⑺G°g =勺龍 £什网依g(E — M + 2〃)т.(4.67)
С помощью (4.51) можно показать, что
Im{Gog г, Е)} = —7г £ |〈屮〉|2 "Е —晶).(4.68)
k
Здесь |(r|fe)|2 ——вероятность найти электрон с волновым вектором к в точке г, а £ В(Е —后左)является плотностью состояний в отсутствии дефекта (т.е. п^Е)). Если перемножить эти два члена, то полученное произведение
по (Г, Е) = £\(г\к)\2ЦЕ — EQ(4.69)
к
имеет смысл невозмущенной локальной ПС. С помощью (4.68) можно установить связь между по(^, Е) и Go：
По (г, Е) = -(l/7T)Im{G0(r, г, Е)}*(4.70)
Полная плотность невозмущенных состояний tiq(E) дается выражением
n0(E) = \2n0(r, E) = - -Im G0(r, r, E) \ = - —Im{TrG0}. (4.71) 7ГJ 7Г
Аналогично можно определить локальную плотность состояний в присутствии дефекта n(r, Е) как
(4.72)(4.72)(4*73)(4*73)n(r, К)=—丄 Im {EG(t, E)},
(4.72)
(4.72)
(4*73)
(4*73)
где G(r, г； К) имеет вид
G(r,歹 1 Е) = lim y^^(r\k)(k\rf)(E - Но - V + ir)『.
Для численных расчетов с целью определения по (г, К) и n(r, Е) удобнее использовать (4.57), так что индуцированная дефектом модификация локальной ПС может быть выражена как
几6Е） = J^m{bg；；^（（；；2）} ‘（4.74）
Уравнение (4.74) можно упростить, выразив G через G。:
G = \т(Е Hq^V ^i^r1 =
=lim(K — % +[1 + V(E H0^V + i^)"1] = Go + G0VG. (4*75)
В приведенных выше уравнениях lim означает предел при 〃 —> 0+. Выражение (4.75) называется уравнением Дайсона. С его помощью можно формально выразить G как
det G = det(/ — GoI/尸 det Go.(4.76)
Подставив (4.76) для det G в (4.74), получим 6n(r, К), выраженную только через Go и У:
К) = -^^ (Im {log (det [/ — G", г, К) У])}).(4*77)
Таким образом, решения как для связанного, так и для резонансного состояния показывают, что индуцированное потенциалом дефекта V изменение электронной плотности состояний определяется как det[/ — Go V].
Применение метода функций Грина: линейная комбинация атомных орбиталей. Применим метод функций Грина для вычисления энергии связанного состояния глубокого центра. В качестве базисных функций 裔 будут использованы линейные комбинации атомных орбиталей. Предполагается, что они описываются орбиталями Лёвдина фт8(г — Tjs)〉рассмотренными в п. 2.7.2. В полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки их можно ограничить четырьмя зр3™орбиталями. Для иллюстрации будем рассматривать только орбиталь одного типа (например, орбиталь с s-симметрией) от каждого атома с вектором решетки гjs. Атомы подразделяются на две группы А и В таким образом, чтобы в подпространстве В находились все атомы, для которых потенциал дефекта V имеет равные нулю матричные элементы. В этом простом случае волновая функция дефекта Ф из (4.63) может быть выражена через два набора базисных функций {屮厶} и {фв} с индексами А п В:
(4*78)(4*78)Ф = ea厶小厶+ ав小B*
(4*78)
(4*78)
Суммирование в (4.78) осуществляется по подпространствам А и В, а коэффициенты {аа} и {ав} являются массивами. Матрицы Go и V могут быть представлены как
(479)
где Gqaa, Gqab, Уаа и т.п. представляют собой матрицы Go и У, вычисленные для двух подпространств. Подставив (4.78) в (4.64) и (4.65), получим
{«а} = GqaaVaa{^a}.(4.80 а)
{«в} = GobaVaaI^a},(4.806)
det (/ 二窜*: / ) = det(/ — GoaaVaa) = 0.(4.81)
Кроме того, Ф должна удовлетворять условию нормировки:
(Ф|Ф) = 1.(4 用 2)
Для очень сильно локализованного центра подпространство А, характеризующее пространственную протяженность дефекта, очень мало. Поэтому можно легко найти определитель (4.81) и решения матричных уравнений (4.80) даже с помощью персонального компьютера. В частности, можно определить энергию дефекта Е из (4.81), поскольку матричный элемент Gqaa является функцией Е. Ниже мы покажем, как вычислить Gqaa из плотности состояний идеального кристалла.
Уравнение (4.82) обеспечивает условие того, что полная вероятность найти электрон в подпространствах А и В равна единице. Можно записать (4.80 а) в более удобной форме, если формально представить G jGo как
GjGo = [Е - Я0]™2 =(4.83)
где Gq является сопряженным оператором для Go и определяется как
G+ = lim (Е —Яо—5〃)т.(4.84)
Подставив (4.83) и (4.59) в условие нормировки
(Ф|Ф) = (Ф|У+в+С0У|Ф) = 1,(4.85)
получим уравнение, содержащее только。厶:
К44aA = L(4用6)
Поскольку (4.86) содержит только замкнутое подпространство 4)его можно решить численно при условии, что А мало. Это — случай локализованного глубокого центра. После того, как。厶 определены, можно найти ав с помощью (4.806).
Рассмотрим теперь предельный случай, когда А содержит только узел с дефектом и четыре зр3™орбитали. Это — те же самые зр3™орбитали, которые уже рассматривались в § 2.6 и были обозначены через S, X, У и Z. Такое приближение является разумным для случая глубокой примеси замещения или вакансии в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки. Из соображений симметрии легко видеть, что S преобразуется по неприводимому представлению 4 (А) группы 7* а X, У и Z принадлежат к трижды вырожденному представлению Т» (А)* С помощью этих четырех
базисных функций определители для Go и V могут быть записаны в более простой форме:О О О 7 丿гбазисных функций определители для Go и V могут быть записаны в более простой форме:О О О 7 丿гООООООо о оо о оо о оо о оООООООо о W о о W о о ^ о о оо о W о о W о о ^ о о о
базисных функций определители для Go и V могут быть записаны в более простой форме:
О О О 7 丿г
базисных функций определители для Go и V могут быть записаны в более простой форме:
О О О 7 丿г
ООО
ООО
о о о
о о о
о о о
о о о
ООО
ООО
о о W о о W о о ^ о о о
о о W о о W о о ^ о о о
где Gqa и Уд — матричные элементы〈S|Go|S) и〈S| WS) соответственно. Элементы Got и Vt определяются сходным образом с использованием триплета 4. Подставив эти определители в (4.81), получим два неявных уравнения:
Gqa(Ea)Va = 1 и GOt(Et)Vt = 1,(4.87)
из которых можно найти энергии дефекта Еа и Ет (для глубоких уровней с симметриями А± и Т2 соответственно).
Хьалмарсон и др. [4.29] изучали зависимость энергий глубоких уровней от потенциала дефекта V для широкого круга полупроводников с тетраэдрической связью. Чтобы понять их результаты, рассмотрим зависимость Gqa от Е. В соответствии с определением, данным в (4.50), Gqa равно
Goa =〈S|G(m|S〉= V lim [Е — Es(k) + 飼(4.88) 77—>o+
где Es (к) и к означают, соответственно, энергию и волновой вектор электронов в зонах, содержащих атомные орбитали с s-симметрией. Поскольку мы предположили, что глубокий уровень с симметрией 4 является связанным состоянием, не существует энергий Еs (к))для которых Е = Еs (к). Поэтому можно переписать (4.88) в виде
G(m(E) = £РEs(k)]-1 =(4.89)
=Г (\^^-dE^ ■(4-90)
В (4.90) мы заменили суммирование по волновому вектору электрона к интегрированием по энергии электрона, введя плотность состояний N^%). Отметим, что N^%)— плотность состояний только для электронов с s-симметрией. Иногда она называется парциальной или проецированной плотностью состояний.
Уравнение (4.90) можно также вывести из соотношений Крамерса-Кронига, рассматривая Gqa(E) как комплексную функцию от Е. В общем случае Re{Go4(E)} связана с интегралом от Im{GoA(E)} по всем Е выражением (4.56). Оказывается, что Iiti{Goa(E)} равно —кNd(Es) из (4.51). Чтобы представить себе функ™ цию Go/(E), сделаем сначала грубое предположение о виде парциальной ПС для зон с s-симметрией, а именно, для валентной зоны (связывающая) и зоны проводимости (антисвязывающая) в типичном полупроводнике типа цинковой обманки, таком как GaAs. Эти ПС схематически изображены на рис. 4.6 а. Для такой парциальной ПС мы можем с помощью (4.90) вычислить Gqa(E). Нетрудно также «догадаться» о форме Goa(E), заметив, что существуют «корреляции» между формой реальной и мнимой частей комплексной функции, удовлетворяющей соотношениям Крамерса- Кронига. Эти корреляции иллюстрируются для примера, приведенного в задаче 4.5. Форма Go4(E), полученная в результате такой догадки, схематично изображенана рис. 4.6 б. Если Е находится внутри энергетической щели (0 < К < Кс), то Goa(E) приближенно является линейной функцией Е (отметим, что начало отсчета энергии по предположению находится в середине энергетической щели). Вследствие такой линейной зависимости решение (4.81) дает почти гиперболическую зависимость энергии
Рис. 4.6. Схематическое изображение: а) плотности состояний в валентной зоне (с центром при энергии Esv) и в зоне проводимости (с центром при энергии й^с), полученных из атомных орбиталей с s-симметрией в полупроводнике типа цинковой обманки; б) функция Goa(E), вычисленная с помощью (4.89) из плотности состояний, приведенной в (а); Ес ——дно зоны проводимости
Энергия s-орбиталей, эВ
Рис. 4.7. Энергии глубоких примесных уровней с симметрией Ai, вычисленные Хьалмарсо-ном и др. [4.29]. Химические символы примесей указаны над верхней горизонтальной осьюв порядке потенциалов дефектов, соответствующих этим примесям
12 М. Кардона
ловушки 瓦4 от 匕：
Ea^(1/Va). (4.91)
На рис. 4.7 приведены энергии глубоких примесных уровней с симметрией 4 для ряда полупроводников типа алмаза и цинковой обманки, расчитанные Хьалмарсоном и др. [4.29]. Эти авторы вначале подгоняли известные зонные структуры ряда полупроводников к структурам, получаемым в модели сильной связи для ближайших соседей. Параметры перекрытия, найденные в результате такой подгонки, использовались затем для вычисления парциальной ПС для состояний с s-симметрией. Потенциал дефекта Уд был принят равным разнице между энергиями атомных s-орбиталей дефекта и замещаемого им собственного атома кристалла. Энергии глубоких уровней для различных примесей замещения вычислялись с помощью (4.87). Обратите внимание на почти гиперболическую зависимость энергии глубоких уровней Кд от Уд (см. (4.91)). Пересечения квазигипербол с краями зон (ось К = 0 является одним из них) определяют порог для притягивающего или отталкивающего потенциала. Для некоторых полупроводников, таких как Si и Ge, квазигиперболы прерываются в точках, где —Е равна ширине запрещенной зоны. За пределами этой точки как правило образуется резонансное, а не связанное состояние. Квазигиперболы, которые не прерываются у краев зон, асимптотически стремятся к энергиям Кд (±ос) при Уд —> ±ос. При этих энергиях, если только dG^AA/dE в (4.86) также не обращается в нуль, ад = =0, т.е. ни электрон, ни дырка не могут быть захвачены центром. Таким образом, асимптотами Кд являются энергии оборванных связей, или вакансий, зависящие от материала данного полупроводника.
Из приведенного рассмотрения можно сделать некоторые качественные выводы об энергиях глубоких уровней. Обычно энергия дефекта не очень чувствительна к У, если V имеет большую величину, поскольку Е определяется из решения Go(E) = =1/К которое медленно меняется с V при V》0. Это объясняет, почему примеси, атомные энергии которых различаются больше, чем на 10 эВ, часто приводят к возникновению глубоких уровней с энергиями, различающимися меньше, чем на 1 эВ. Для бесконечно большого значения V энергия дефекта стремится к энергии идеальной вакансии. Таким образом, энергию вакансии можно считать нижней границей для энергии глубокого уровня. На основании приведенных соображений глубокий центр замещения можно в самом грубом приближении рассматривать как вакансию. Волновая функция глубокого центра преимущественно определяется исходным кристаллом, а не примесью. Серьезным ограничением данной модели является то, что в ней пренебрегается релаксацией решетки. Поскольку большинство глубоких центров индуцируют некоторое искажение решетки, в этой модели нельзя получить правильные количественные значения их энергий. Однако ее применение основано на способности предсказывать образование глубоких центров в зависимости от химической природы примесей. Например, исходя из рис. 4.7 мы можем предсказать, что As на узлах Ga и О на узлах As приведут к образованию глубоких доноров в GaAs, что согласуется с экспериментом. Другим применением описанной модели является вычисление изменений энергии глубокого центра при изменении зонной структуры полупроводника. Такие изменения могут происходить при образовании твердого раствора или при гидростатическом давлении.
В следующем пункте с помощью описанной модели рассматривается поведение азота как примеси замещения в твердом растворе GaAsP. Эта модель недавно использовалась для оценки спин-орбитального расщепления основных состояний акцептора, которые много меньше △□ для алмаза и кремния [4.20, 21].
Одно из применений метода функций Грина: азот в GaP и в твердых растворах GaAsP. Азот, замещающий Р в GaP, является примером изоэлек- тронного или изовалентного центра, т.к. N имеет ту же валентность, что и Р. В этом случае изоэлектронные центры создают локализованные уровни дефектов. Во многих
других случаях изоэлектронные примеси, такие как фосфор, замещающий As, или алюминий, замещающий Ga, в GaAs не создают локализованных состояний. Вместо этого возникают резонансные состояния, перекрывающиеся с зонной структурой кристалла, волновые функции которых образуют гибриды с блоховскими функциями. Присутствуя в достаточных количествах, они могут создавать твердые растворы со случайным распределением типа Ga冗 А1]_方 As. Зонную структуру твердых растворов можно рассчитать, предположив, что кристалл является идеальным за тем исключением, что в нем имеется эффективный средний потенциал, или виртуальный кристаллический потенциал. Такой подход называется приближением виртуального кристалла. В случае Np в GaP, N может притягивать электрон, поскольку является значительно более электроотрицательным, чем Р. (Эти электроны могут вводиться при n-легировании или при оптическом возбуждении.) По данным Филлипса электроотрицательности N и Р равны, соответственно, 3,0 и 1,64 [4.30]. После того, как N захватил электрон и стал отрицательно заряженным (что в дальнейшем будет обозначатся как N-), он, подобно акцептору, притягивает дырку. Вследствие этого N в GaP называется изоэлектронным акцептором. Подобным же образом, Bi (электроотрицательность которого, равная 1,24, меньше, чем у Р) является в GaP изоэлектронным донором. Изоэлектронные примеси везде электрически нейтральны, кроме области непосредственно вблизи примеси. Поэтому их потенциалы всегда являются короткодействующими. Сильно локализованный характер потенциала изо- электронных примесей приводит к тому, что они ведут себя как глубокие центры, несмотря на то, что они могут иметь очень малые энергии связи. Например, энергия связи электрона с Np в GaP составляет всего около 9 мэВ [4.31].
С очень короткодействующим потенциалом N в GaP связано его применение в светоизлучающих диодах. После захвата электрона кулоновский потенциал N превышает его короткодействующий потенциал. Этот кулоновский потенциал экранируется, как всегда, диэлектрической функцией полупроводника, и поэтому N- ведет себя как водородоподобный акцептор с энергией связи 11 мэВ [4.32]. Альтернативный способ рассмотрения связывания дырки на N- заключается в том, чтобы считать, что с нейтральным N связана электрон-дырочная пара (обозначенная точкой Xn на рис. 4.8). Электрон-дырочная пара называется экситоном. Экситон, связанный с примесью, подобной N в GaP, называется связанным экситоном. Экситоны и связанные экситоны играют очень большую роль в оптических свойствах полупроводников и будут более подробно изучаться в главах 6 и 7. Здесь же мы просто заметим, что в обычных условиях GaP не является эффективным излучателем света, потому что у него непрямая запрещенная зона. Для сохранения волнового вектора при оптических переходах излучательная рекомбинация экситона в полупроводнике с непрямой запрещенной зоной нуждается в кооперации с фононами (см. п. 6.2.6). Вследствие этого полупроводники с непрямой запрещенной зоной имеют меньшие вероятности излучения света, чем полупроводники с прямой запрещенной зоной.
Однако экситоны, связанные с N в GaP, имеют относительно высокую вероятность излучательной рекомбинации, поскольку локализованные N-центры нарушают трансляционную инвариантность кристалла, и поэтому требование сохранения волнового вектора в оптических переходах выполняется не столь жестко. Следовательно, введение N в GaP делает GaP более эффективным излучателем света. Оптические свойства примесей в GaP будут более подробно изучаться в гл. 7 при обсуждении люминесценции.
Вычислим теперь с помощью метода функций Грина энергию связи N в GaP. Сначала нам надо найти потенциал примеси V. Поскольку V имеет очень малый радиус действия, мы просто предположим, что V является дельт а-ф у н к ц и е й в реальном пространстве. Точнее мы предполагаем, что матричный элемент V имеет вид
(n, R\V\n\ R〉=(V…К凡氏尢о%。(n, R\V\n\ R〉=(V…К凡氏尢о%。(4*92)(4*92)
(n, R\V\n\ R〉=(V…К凡氏尢о%。
(n, R\V\n\ R〉=(V…К凡氏尢о%。
(4*92)
(4*92)
где п и 几‘——индексы зон (наинизшая зона проводимости условно обозначается как 0), R и R ——векторы решетки (предполагается, что начало координат находится в узле Np), а |п, R〉означает функцию Ванье апд, определенную выражением (4.4 а). При таком определении V называется потенциалом взаимодействия Слэтера-Костера. Из эксперимента известно, что N образует только одно связанное состояние в запрещенной зоне GaP. Используя результаты п. 4.3.1, можно найти энергию Е этого связанного состояния путем решения (4.65). Подставив V в (4.65), получим
1 — Оо〈3 0|(К — %厂 1|3 0) = 0. (4*93)
Существуют два способа найти решение (4.93). Один из них заключается в использовании простой модели сильной связи с минимальным числом параметров (см. ранее). Другой способ состоит в использовании более точной зонной структуры, полученной с помощью таких методов как метод эмпирического псевдопотенциала (см. § 2.5). Для сравнения мы кратко опишем результаты обоих способов решения.
Метод сильной связи.
С помощью этого метода Хьялмарсон и др. [4.29] вычислили зависимость энергии электрона, связанного с N в твердых растворах Ga1Asi—看 Р冗)от состава ж этого раствора. Их результаты приведены на рис. 4.8. В соответствии с проведенными вычислениями N образует резонансное состояние выше зоны проводимости GaAs. При возрастании концентрации Р в твердом растворе этот резонансный уровень постепенно перемещается в запрещенную зону и образует связанное состояние. Важно
Рис. 4.8. Зависимость энергии глубокого уровня с симметрией 4 для N, замещающего анион в твердом растворе GaAsi—^P虞,от состава твердого раствора ж («N-данные»). Светлые кружки соответствуют измерениям энергий экситона, связанного на изолированном N-центре; линия, обозначенная《N» — теоретические значения. (Линии, обозначенные «О- данные» и «оборванная связь Ga» не имеют отношения к этой главе.) Символы Гс и Хс —— минимумы зоны проводимости в точках Г и X зоны Бриллюэна [4.29]
отметить, что положение нижайшего минимума зоны проводимости в обратном пространстве изменяется от центра зоны до точки X при ж ^ 0, 5. В результате наклон зависимости нижайшего минимума зоны проводимости от ж на рис. 4.8 резко меняется при ж ^ 0,5. С другой стороны, энергия глубокого уровня плавно меняется с х. Это согласуется с нашими представлениями о глубоком уровне. Энергия сильно локализованного центра должна определяться всей зоной, а не только самым низким минимумом, как в случае мелких центров. Измеренные величины энергий связи электрона с N в твердых растворах GaAsP показаны на рис. 4.8 светлыми кружками. Хотя вычисленные значения энергии глубокого уровня N ниже экспериментальных, измеренная зависимость энергии глубокого уровня от состава твердого раствора находится в очень хорошем согласии с теорией. Резонансный характер уровня N в GaAs был также подтвержден Волфордом и др. [4.33]. Вместо изменения концентрации Р они использовали гидростатическое давление для того, чтобы опустить минимум зоны проводимости в точке X ниже минимума зоны в точке Г. При давлениях больше 30 кбар (или 3 гПа) глубокий уровень N смещался в запрещенную зону, как и в случае увеличения концентрации Р. С помощью этого метода экситоны, связанные с N в GaAs, подробно исследовались в экспериментах по люминесценции (рис. 4.9).
Эмпирический подход с помощью «моментов энергии».
При этом подходе мы переходим от базисных функций Ванье в (4.93) обратно к
Рис. 4.9. Зависимость энергии экситонов, связанных на изоэлектронных глубоких центрах замещения N в GaAs (Nx； большие квадраты) от гидростатического давления. Экспериментальные данные (LO, 2LO, 3LO; маленькие квадраты) являются фононными повторениями основных пиков Nx・ Зависимость от давления для энергии экситонов, связанных с нейтральными мелкими донорами (О『； светлые кружки). Сплошные линии (L и X) соответствуют более высоким минимумам зоны проводимости в точках 厶 и X зоны Бриллюэна [4.33]
функциям Блоха |n, k). В результате секулярное уравнение приобретает вид
1 + ^£@ 川(昂，屬—к〉= з к1 + ^£@ 川(昂，屬—к〉= з к(4.94)(4.94)
1 + ^£@ 川(昂，屬—к〉= з к
1 + ^£@ 川(昂，屬—к〉= з к
(4.94)
(4.94)
где п = 0 обозначает наинизшую зону проводимости. Уравнение (4.94) можно решить с помощью численных методов. В частности, мы знаем, что выражение (О, 0|(К — —Яо)т|0, 0) в (4.93) связано с локальной плотностью состояний посредством соотношений Крамерса-Кронига. Следовательно, с помощью численных расчетов можно относительно простым способом найти Е из ПС исходного полупроводника. Альтернативно можно получить аналитическое выражение для Е с помощью приближений, например, раскладывая (后仇屬—Е)-1 в ряд
=e小+貝卜+負+(户f +…也95)
Подставив (4.95) в (4.94), получим
。=1 + 导{£ Ео\}+Е^ {£ 后武} + Е审{£ EJ1} + …(4.96)
Можно представить уравнение (4.96) в более компактной форме, введя определение «моментов» зоны с п = 0:
5〉= {1>^}/М(4.97 d)
聞"{ЕЕ*/%(4.976)
и так далее. Эти моменты можно вычислить с помощью известной зонной структуры. С введенными обозначениями (4.96) приобретает вид
0 = 1 + (Оо/「〉)+ Е(и0{Е^2)) + 炉(Оо/「〉)+ . . .(4.98)
Известно, что для N в GaP Е удовлетворяет условию Е (Eq1)《1)и поэтому мы можем пренебречь в (4.98) членом, пропорциональным К2, и членами более высокого порядка. Это дает приближенное решение для К:
Е * — [1 + (Оо〈Е「〉)] /Оо/尸〉.(4.99)
Из предположения о том, что потенциал V для N в GaP является притягивающим, следует, что Од отрицательна. Без потери общности мы можем положить энергию дна зоны проводимости равной нулю. Поскольку (Eq2) положительна, Е должна быть отрицательной, чтобы быть решением (4.99), лежащим в запрещенной зоне. Поэтому величина 1 + (Uq(Eq1)) также должна быть отрицательной. Это накладывает на Uq условие \Uq(Eq1')\》1.
Фолкнер [4.31] использовал структуру зоны проводимости GaP и экспериментальное значение энергии связи электрона с N для того, чтобы на основе приведенной модели вычислить Uq. К сожалению, полученное значение Од не объясняет другие экспериментальные результаты, такие как энергию связи экситона с парой атомов азота [4.34] и свойства связанных экситонов в твердых растворах GaAsP. Кроме того, потенциал Слэтера-Костера разрешает существование только одного связанного
состояния и поэтому не может объяснить существование возбужденных состояний. Можно придти к следующему выводу: причина указанных недостатков кроется в том, что разложение в (4*95) является хорошим приближением только если энергия Е дефекта существенно отличается от энергий в зоне. Другими словами, энергия связи глубокого центра должна быть большой. Последнее условие не выполняется для N в GaP. Несмотря на упомянутые недостатки, в рамках этой очень простой модели можно качественно понять некоторые свойства изоэлектронных примесей в полупроводниках. Она стала отправной точкой для более поздних моделей, предложенных с целью преодоления этих недостатков. В одной из моделей, предложенной Хсу и др. [4.35], к потенциалу Слэтера-Костера добавлялся дальнодействующий потенциал, обусловленный деформацией. Выбрав его надлежащим образом, удалось удовлетворительно объяснить энергии возбужденных состояний экситонов, связанных с N, и экситонов, связанных с атомами азота, образующими пары.
Заключительные замечания о глубоких центрах. Наше рассмотрение глубоких центров носило качественный характер, поскольку в нем пренебрегалось искажениями решетки (т.е. релаксацией). Эта тема выходит за рамки данного рассмотрения, являющегося вводным. Однако оказалось, что некоторые глубокие центры, например, ЕЬ2-центры [4.36] и DX-центры [4.23], играют важную роль в полупроводниковых приборах, основанных на соединениях Ш—V и, возможно, даже II-VI. Эти дефекты обладают интересными свойствами, такими как метастабильность, устойчивая фотопроводимость и отрицательная U. Часто понять эти свойства можно только при учете релаксации решетки. Читатели, интересующиеся данной проблемой, могут обратиться к одной из обзорных статей, приведенных в списке литературы, например, [4.23, 4.36], и приложению по DX-центрам на Web-странице http://Pauline.Berkeley.edu/textbook/DX-Center.pdf.
Задачи
Симметризация волновых функций зоны проводимости Si для вычислений энергий связи доноров.
В Si имеется шесть минимумов зоны проводимости. Они расположены вдоль эквивалентных направлений [100] внутри зоны Бриллюэна. Использовав обозначения X, У и Z для волновых функций минимумов вдоль направлений [100], [010] и [001] соответственно (X, У и Z для них же вдоль [100], [010] и [001]) и применив операции симметрии группы 7d к этим шести волновым функциям, покажите, что характеры соответствующих представлений равны
{Е} {3Q} {6J} {6。} {8С3}.62020
С помощью табл. 2.3 покажите, что эти шесть волновых функций образуют приводимое представление, которое может быть приведено к виду
4㊉石㊉72.
Анализируя базисные функции в табл. 2.3, покажите, что шесть волновых функций, записанных в виде следующих линейных комбинаций, соответствуют неприводимым представлениям:
Ai : (X + Х + Y + Y Z ^)/^
石：(X + X — У — Т)/2, (2Z + 2Z — X — X — У — Т)//П;
丁2： (X-又)/風 (¥^У)/А (Z^Z)/V2.
Полная группа вращений и сферические тензоры.
Пусть частица, движется в сферически симметричном потенциале. Ясно, что вращение вокруг оси в трехмерном пространстве является операцией симметрии. Можно показать, что набор всех вращений образует бесконечную группу, называемую полной группой вращений (см., например, книги по теории групп, на которые приводятся ссылки в гл. 2). Можно также показать, что все вращения на один и тот же угол относятся к одному классу (независимо от оси вращения). Вращения на разные углы относятся к разным классам: существует бесконечное число классов. Поэтому имеется также бесконечное число неприводимых представлений. Из квантовой механики мы знаем, что угловой момент / является хорошим квантовым числом для частиц, движущихся в сферически симметричном потенциале. Их собственными функциями являются сферические гармоники {匕加}〉где m = —/, —/ + 1, . . . , —1, 0, 1, . . . , /. Оказывается, что для целых значений / эти функции представляют собой базисные функции для неприводимых представлений полной группы вращений. Поэтому неприводимое представление, имеющее в качестве базисных функций {匕爲}, имеет размерность 2/ + + 1. Выберем полярную систему координат (г, 0, ф) с осью z в качестве полярной оси.
Покажите, что функции 1^,(0, ф) при вращении осей координат вокруг оси z на угол а по часовой стрелке изменяются следующим образом:
尸аНт(0。)= exp (-ima)Yim^,。)*
щения выражается какщения выражается как熊（尸a）=熊（尸a）=Продемонстрируйте, что матрица представления для такого вращения является диагональной матрицей с диагональными элементами, равными exp (—Ema), где m = =/, / 一 1, . . ., 0, . . . , —/ + 1, —/. Покажите, что поэтому характер для такого вра-
щения выражается как
щения выражается как
熊（尸a）=
熊（尸a）=
sin [(/ + 1/2) а]sin (а/2)
Функции {Yim} образуют сферический тензор порядка / с размерностью 2/ + 1. Для поставленных в настоящей главе целей нам достаточно знать {〉im} только для / = = 0, 1 и 2. Для / = 0 {〉im} является скаляром или любой функцией, инвариантной при всех вращениях. Для / = 1 {}^то} это ——три функции, определенные следующим образом:
н0 =m± =н0 =m± =СферическиеСферические
н0 =
m± =
н0 =
m± =
Сферические
Сферические
Пусть тензор {Т^-}, где г и J обозначают х, у и z, является декартовым тензором второго ранга с девятью элементами. Эти девять элементов образуют п р и - во- д и мое представление полной группы вращений.
Покажите, что декартовый тензор второго ранга можно привести к следующим трем сферическим тензорам порядка 0, 1 и 2 соответственно:
Т^^Тц+^+Тзз,
7?=干(1/^)[T23 - 732 土 Е(731 - 713)],
7户=(3/2)1/2733,
理一⑴3土"23),
T^) = (1/2)(T11^T22±2€T12).
Выражение гамильтониана Латтинжера через сферические тензоры.
Два сферических тензора при умножении друг на друга порождают другой тензор (аналогично случаю с декартовыми тензорами). Например, скалярное произведение двух тензоров {Т；*)} и {U；&)}, где оба они имеют порядок А;, можно определить как
q
Тензорное произведение [牙⑷ х U®]()двух сферических тензоров порядка а и 6 соответственно, является сферическим тензором порядка с, определенным как
[7⑷义 0®]: = (一1)1+"2e+ 1>/2e；7丁口匕
гдегдеa 6a 6c—dc—dпредставляет собой (3 — / ) символа, используемых в квантовой мепредставляет собой (3 — / ) символа, используемых в квантовой ме
где
где
a 6
a 6
c
—d
c
—d
представляет собой (3 — / ) символа, используемых в квантовой ме
представляет собой (3 — / ) символа, используемых в квантовой ме
ханике при сложении двух угловых моментов (см., например, приложение С в [4.37]). С помощью этих обозначений покажите, что
8^ + P；J； + 8/：=；产尸+ ^尸⑵"⑵+
[{PxPy} {Jx Jy} + циклические перестановки]=—(尸—
Средние массы тяжелых и легких дырок.
В п. 2.6.2 мы уже пытались приближенно представить гофрированные зоны тяжелых и легких дырок с помощью сферических зон, вводя средние эффективные массы
согласно выражениям (2.69 а) и (2*69 6):
1 _ 1叫h _冴1 _ 1叫h _冴111疟1疟-24 + 2В0 +摆)-21心+点)-24 + 2В0 +摆)-21心+点)(2*69 а)(2.69 6)(2*69 а)(2.69 6)
1 _ 1叫h _冴
1 _ 1叫h _冴
1
1
1
疟
1
疟
-24 + 2В0 +摆)
-21心+点)
-24 + 2В0 +摆)
-21心+点)
(2*69 а)
(2.69 6)
(2*69 а)
(2.69 6)
В настоящей главе был описан другой подход к этой проблеме. Используя метод Бал™ деречи и Липари [4.14], мы можем выразить гамильтониан Латтинжера через неприводимые представления полной группы вращений:
^=%蒜(…0+6俨)^=%蒜(…0+6俨)
^=%蒜(…0+6俨)
^=%蒜(…0+6俨)
Дырочные зоны можно сделать «сферическими», положив в Явь кубический член, пропорциональный J, равным нулю. Покажите, что в этом сферическом приближении дисперсия энергии в зонах тяжелых и легких дырок выражается следующим образом:
e（±）= -乐（1 ±"）廿,
а массы тяжелых и легких дырок имеют вид
11叫h叫h14T14T1 +1 +111 +1 +3厶59炉丿3厶59炉丿
1
1
叫h
叫h
14
T
14
T
1 +
1 +
1
1
1 +
1 +
3厶
59炉丿
3厶
59炉丿
Обратите внимание, что в пределе 0 = 0 эти массы становятся идентичными массам, приведенным в (2.69а) и (2.69б).
Соотношения Крамере а™К рони га.
Пусть мнимая часть функции F(К) является лоренцевой:
—Im｛歹（e）｝ =（E 一身产 + 广，
Покажите с помощью соотношений Крамерса-Кронига (см. (4*56)), что реальная часть F {Е) имеет вид
Re{歹(Е)} =Re{歹(Е)} =1 Е Е(Т (Е - EfY + Г21 Е Е(Т (Е - EfY + Г2
Re{歹(Е)} =
Re{歹(Е)} =
1 Е Е(
Т (Е - EfY + Г2
1 Е Е(
Т (Е - EfY + Г2
Можно решить эту задачу альтернативным и более простым способом, если обратить внимание на то, что в случае, когда F(Е) равна аналитической функции:
мнимая часть F (Е) равна заданной лоренцевой функции.
Рис. 4.10. Схематический вид функций Re{尸(Е)} (а) и —Im{尸(Е)}опреде™ ленных в задаче 4.5
На рисунках 4.10 а, б схематически показаны функции Re{F(K)} и —Im{F(E)}. Эти рисунки иллюстрируют следующие «корреляции» между функциями, связанны™ ми друг с другом соотношениями Крамерса-Кронига.
Если —Im{F(E)} симметрична по отношению к вертикальной оси у = Ко, то Re{F(K)} антисимметрична по отношению к этой оси.
Если —Im{F(E)} всегда положительна и имеет большую величину только в ограниченной области значений Е: Е\ < Е < К2, то Re{F(K)} будет отрицательна для Е《Е], но положительна для Е》Е?.
Заключение
Настоящая глава посвящена изучению электронных свойств дефектов в полупро™ водниках, поскольку электрически активные дефекты играют важную роль в работе многих полупроводниковых приборов. Так как дефекты встречаются во многих формах, мы ограничились рассмотрением только точечных дефектов. Эти дефекты разделяются на доноры и акцепторы и затем еще подразделяются на мелкие, или водородоподобные центры, и глубокие центры. Для вычисления энергий и волновых функций мелких центров было введено приближение эффективной массы. Показано, что свойства мелких центров очень похожи на свойства атома водорода, за исключением анизотропии эффективных масс и других отличий, обусловленных кристаллической решеткой, в которой находятся примеси. Поэтому на энергетические уровни мелких центров иногда ссылаются как на водородоподобные уровни. Поведение многих дефектов не может быть объяснено в этом приближении; такие дефекты называются глубокими центрами. Свойства глубоких центров часто определяются потенциалами, локализованными внутри одной элементарной ячейки, которые называются коррекцией центральной ячейки. С этими локализованными потенциалами трудно обращаться. Поэтому для вычисления энергий глубоких центров нами рассмотрен только довольно рудиментарный метод функций Грина. Мы пользовались этим методом для объяснения тенденции поведения глубоких уровней в полупроводниках с тетраэдрической связью, связанной с химической природой примесей, а также в специальном случае изовалентных примесей в твердых растворах GaAsP (азот как примесь замещения). Очень серьезным ограничением метода функций Грина является пренебрежение релаксацией решетки, которая часто сопутствует образованию глубоких центров.
ГЛАВА 5
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТРАНСПОРТ
Содержание
Квазиклассическое рассмотрение........................................188
Подвижность носителей в невырожденном электронном газе ...........190
Модулированное легирование............................................ 205
Транспорт в сильных полях и эффекты, связанные с горячими
носителями ..............................................................207
Транспорт в магнитном поле и эффект Холла ..........................213
Задачи .......................................................................218
Заключение..................................................................220
В главе 4 мы изучали электроны и дырки, локализованные около дефектов. Поскольку эти электроны и дырки неподвижны, они называются связанными. Напро™ тив, электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне полупроводника могут осуществлять электрический ток. Поэтому они называются свободными носителями. В настоящей главе мы будем изучать влияние внешнего электрического поля на свободные носители в полупроводнике. Отклик этих носителей на электрическое поле зависит от величины последнего. Сначала мы рассмотрим случай слабых электриче™ ских полей, когда поведение носителей может описываться законом Ома. В сильных электрических полях носители в полупроводнике могут приобретать такую энергию, что их средняя кинетическая энергия становится больше энергии решетки. Электро™ ны с такой высокой энергией называются горячими электронами. Определить их свойства аналитически крайне трудно, поэтому мы ограничимся качественным рассмотрением горячих электронов.
Квазиклассическое рассмотрение
Пусть к полупроводнику приложено слабое статическое электрическое поле F. Мы можем без потери общности считать, что этот полупроводник содержит только свободные электроны (n-тип). Для простоты предположим, что концентрация свободных электронов достаточно мала для того, чтобы можно было пренебречь их взаимодействиями друг с другом (такими как столкновения и эффекты экранирования). Пренебрежем также локальными полями, обусловленными зарядами ионов, т.е. будем считать, что на каждый свободный электрон действует поле, равное внешнему полю. Пусть с приложенным полем связан потенциал Ф. Волновое уравнение, выражающее изменение волновой функции электрона в полупроводнике со временем под действием потенциала Ф, имеет вид
I (н0 - 66)以人力)=沛丽) (5二)
где Яо — одноэлектронный гамильтониан (в отсутствии внешних возмущений), который мы уже изучали в § 2.1, е ——заряд электрона,吵(『,t)——волновая функция электрона в присутствии внешнего поля. Если потенциал Ф мал и медленно меняется в пространстве, то для решения (5.1) можно использовать приближение эффективной массы (см. п. 4.2.1). Подход к нахождению решения очень похож на подход, применявшийся при рассмотрении проблемы донорного электрона в § 4.2. Разница заключается
в том, что теперь нас интересуют нестационарные решения, которые описывают возникновение тока в ответ на приложенное поле. Для их нахождения нужно вычислить ожидаемое значение еи, где и — оператор скорости электрона. Тогда оператор плотности тока j определяется следующим образом:
(5&)(5&)j = пеи,
(5&)
(5&)
где п — плотность электронов. Как мы видели в § 4.2, решение уравнения Шрёдингера в приближении эффективной массы ——процедура довольно сложная. Вместо полностью квантово-механического подхода применим здесь квазиклассический подход [5.1]. Выведем классическое уравнение движения для электрона во внешнем поле на основе приближения эффективной массы.
Как подробно обсуждалось в п. 4.2.1, волновое уравнение для блоховских волн типа (5.1) можно заменить эффективным волновым уравнением для огибающих функций С(Д,方).Для простоты предположим, что электрон находится в изотропной и невырожденной зоне проводимости с минимумом энергии в центре зоны (^ = 0) и с дисперсией, имеющей вид
方2 2
瓦依)二瓦(0) +(5.3)
где m* — эффективная масса. Эти предположения справедливы для прямозонных полупроводников, таких как GaAs и InP, но не справедливы для Si и Ge. В рамках приближения эффективной массы волновое уравнение для огибающих функций можно записать как [см. (4.22)]
ГL 2m* ад2 < 1ГL 2m* ад2 < 1O(R,方)^沛^O(R, t).O(R,方)^沛^O(R, t).(5中(5中
ГL 2m* ад2 < 1
ГL 2m* ад2 < 1
O(R,方)^沛^O(R, t).
O(R,方)^沛^O(R, t).
(5中
(5中
Вместо того, чтобы искать решение (5.4), будем считать, что результат действия кристаллического потенциала на электрон внутри полупроводника сводится к изменению его массы от значения в свободном пространстве до ". Следовательно, мы можем описать движение электрона во внешнем электрическом поле с помощью классического уравнения движения (см., например, [5.1]):
* d2 r m** d2 r m*(5”5)(5”5)
* d2 r m*
* d2 r m*
(5”5)
(5”5)
где г — положение электрона, г — феноменологическое время рассеяния, которое вводится для учета рассеяние электронов на примесях и фононах. Уравнение (5.5) считается квазиклассическим, поскольку концепция эффективной массы для движения электрона была получена с помощью квантовой механики.
После того, как мы обосновали применимость уравнения (5.5), движение любого заряда g может быть найдено с помощью классической механики. Например, под действием F стационарный заряд будет ускоряться. При увеличении его скорости будет также увеличиваться член (m*/r)(dr/df), описывающий запаздывание. В конце концов они компенсируют друг друга и будет достигнуто стационарное состояние, в котором заряд не испытывает ускорения. Скорость заряда в стационарном состоянии называется дрейфовой скоростью 切小 Она получается из (5.5), если положить член т*(d2r/dt2), описывающий ускорение, равным нулю, и обозначить заряд электрона —е как q:
Vd = qF т ] " (5.6)
Плотность тока J в стационарном состоянии связана с v^ соотношением
(57)(57)J = nq^d.
(57)
(57)
Из (5.6) и (5.7) получаем следующее выражение для плотности тока:
J = nq2 F т / т".(5.8)
Тензор проводимости ст второго ранга обычно определяется как
■/(5*9)|
Для случая изотропной зоны проводимости ст является диагональным тензором, все диагональные элементы которого имеют вид
а = nq2r/m*.(5.10)
Поскольку а зависит от д2, вклады в проводимость полупроводника от электронов и дырок всегда складываются. Полупроводники отличаются от металлов тем, что в них плотность носителей может меняться путем изменения температуры или концентрации легирующей примеси. Поэтому удобно выделить зависимость а от п. Это можно сделать, определив подвижность 从 носителя как
Vd =从歹-(5.11)
Объединяя (5.6) и (5.11), получим
从=qr/т".(5.12)
В полупроводнике, содержащем как свободные электроны, так и свободные дырки, а имеет вид
ЦО冷h〃h),(5.13)
где индексы е и h относятся, соответственно, к электронам и дыркам.
Подвижность носителей в невырожденном электронном газе
Выражения, полученные нами в предыдущем параграфе, справедливы, если время рассеяния у всех носителей одинаково. Обобщим эти выражения на случай, когда имеет место распределение носителей в зоне, соответствующее распределению Больцмана (см. (5.22)), а время рассеяния зависит от энергии носителя.
Приближение времени релаксации. Определим функцию распределения носителя /fe(r) как вероятность того, что состояние зоны с энергией 耿 занято этим носителем при температуре носителя Т. Будем считать, что при отсутствии внешнего поля носители находятся в тепловом равновесии, так что 九 эквивалентна функции распределения Ферми-Дирака:
犬=犬=11exp [(Ek 一 〃f)/(«b7)] + I5exp [(Ek 一 〃f)/(«b7)] + I5(5.14)(5.14)
犬=
犬=
1
1
exp [(Ek 一 〃f)/(«b7)] + I5
exp [(Ek 一 〃f)/(«b7)] + I5
(5.14)
(5.14)
где 〃f—химический потенциал (называемый также энергией Ферми при Т ^ 0), а кв — постоянная Больцмана. Уравнение, описывающее изменение 九 в присутствии внешнего возмущения, называется уравнением Больцмана:
Уравнение (5.15) учитывает влияние, оказываемое на 九 приложенным полем, диффузией носителей и рассеянием носителей фононами, примесями и т.п. Для простоты
мы предположим, что член, описывающий диффузию, пренебрежимо мал, а приложенное поле F достаточно слабо, чтобы можно было разложить 九 около 犬 как функцию F:
九=卢+弘(f丿(5.16)
В пределах этого приближения можно записать (ЙД/dt)^^ как
где Vk ——скорость носителей с волновым вектором k. В приближении времени релаксации мы считаем, что влияние процессов рассеяния сводится к релаксации g屬 с постоянной времени 丁屬)так что
СВ518)
В стационарном состоянии dfk/dt = 0, после подстановки (5.17) и (5.18) в (5.15) получим
g屬=(f^) qMk • F(5.19)
Соответствующее обобщенное выражение для плотности тока теперь имеет вид
qfkvkdk = qgkvkdk =qfkvkdk = qgkvkdk =g2g2(vfe •歹)dk,(vfe •歹)dk,丁屬审屬丁屬审屬(5.20)(5.21)(5.20)(5.21)
qfkvkdk = qgkvkdk =
qfkvkdk = qgkvkdk =
g2
g2
(vfe •歹)dk,
(vfe •歹)dk,
丁屬审屬
丁屬审屬
(5.20)
(5.21)
(5.20)
(5.21)
поскольку J qf^v^dk = 0. С помощью (5.21) легко получить соответствующие выражения для а и //.
Невырожденный электронный газ в параболической зоне. В качестве примера применения (5.21) рассмотрим простой случай невырожденного электронного газа в параболической зоне кубического кристалла с изотропной эффективной массой т*. В таком кристалле j и и屬 параллельны F)по крайней мере в той области, где справедлив закон Ома. Функция распределения невырожденного электронного газа может быть аппроксимирована распределением Больцмана:
(5.22)(5.22)/fe ос ехр[—М/^вТ)],
(5.22)
(5.22)
следовательно
(5.23)(5.23)
(5.23)
(5.23)
Интегрирование по ^-пространству в (5.21) можно заменить интегрированием по энергии Kfe, использовав плотность состояний, введенную в п. 4.3.1. Для трехмерной параболической зоны плотность состояний D(E) имеет следующий вид (включая вырождение по спину):
D(E') =7r/D(E') =7r/(524)(524)
D(E') =
7r/
D(E') =
7r/
(524)
(524)
Подставив эти результаты в (5.21), можно вычислить 九 а следовательно и а:
2 а 、3/2 卞卜(E)iexpi/(Wr))dE* (5*25)о
По аналогии с (5.10) мы можем определить среднее время рассеяния (г) следующим образом:
=(5*26)
о
Сравнивая (5.25) и (5.26), получим
丄〕jME)E3/2exp[—E/(^T)]dEKV2 ехр [^E/(kBT')]dE"
С помощью (г) можно выразить подвижность невырожденного электронного газа как
从=g(r) / m*.(5.28)
Из выражения для (г) мы видим, что подвижность зависит от электронной температуры Т. Для вычисления этой температурной зависимости необходимо знать зависимость механизмов рассеяния от энергии электронов.
Зависимость времени рассеяния и времени релаксации от энергии электрона. Носители в полупроводниках рассеиваются при взаимодействии со следующими возбуждениями (см. [5.2], с. 82—183):
фононами, как акустическими, так и оптическими,
—ионизованными примесями,
—нейтральными дефектами,
——поверхностями и интерфейсами,
другими носителями (т.е. при рассеянии между электронами и дырками).
Для вычисления времени релаксации 丁屬 с помощью (5.18), необходимо сначала рассмотреть, каким образом рассеяние влияет на /屬.Определим 尸(к, к') как вероятность для электрона с волновым вектором к рассеяться в другое состояние к' в единицу времени. Если эта вероятность рассеяния известна, то вероятность изменения 九 вследствие рассеяния может быть вычислена с помощью уравнения
I
書 =e [尸(从 ^hf^^ 九)-口岛 3)九(1 -加)]"(5.29)
、/scatfe年屬
Первый член в квадратных скобках представляет собой вероятность того, что электрон из состояния к1 рассеется в состояние к, а второй член описывает рассеяние из состояния к в состояние к'. Суммирование охватывает все процессы рассеяния, при которых сохраняются как энергия, так и волновой вектор. Если опять предположить, что электронный газ не вырожден, то 九 и 九/ малы и ими можно пренебречь по сравнению с единицей. При применении принципа детального равновесия: Р(к\ к)犬/ = = 尸(k, k')/^ (см. [5.3]), (5.29) приобретает более простой вид:
-=e尸(网3)[九-(加%/偿)]530) '/ scat屬乐屬
В общем случае (^/fe/^f)scat нельзя выразить в виде —(九一 犬)/丁屬)как было предположено в приближении времени релаксации. Только делая дополнительные предположения мы можем получить выражение, имеющее следующий вид (задача 5.2):
=-(九-%) e 尸(回融)， (5.31) ' / scat 屬屏屬
с помощью которого можно ввести определение времени рассеяния rs:
где суммирование происходит по всем конечным состояниям к] удовлетворяющим сохранению энергии и волнового вектора. Однако время rs означает время нахождения электрона в состоянии к до процесса рассеяния и не эквивалентно времени 丁屬) за которое возмущенное распределение возвращается к состоянию равновесия. Для достижения теплового равновесия носители должны многократно рассеяться из заданного состояния и обратно. Если Р(к〉к') известно, можно рассчитать 丁屬 численно, исследуя эволюцию функции распределения электронного газа во времени с помощью метода Монте-Карло [5.4, 5.5].
Время релаксации импульса. Получим аналитические выражения для 丁屬) сделав некоторые приближения. Один из подходов заключается в приравнивании 丁屬 ко времени релаксации импульса тт. Мы можем утверждать, что наиболее существенное влияние рассеяния на электронный транспорт заключается в разупорядо- чении скоростей электронов. Важной величиной является вероятность релаксации импульса^ которая определяется как
(dk/dt) = к(тт)т = £ (3 —田尸(瓦 3)* (5.33) k'^k
Вероятность рассеяния 尸(k, к') можно вычислить с помощью Золотого правила Ферми:
尸(网 3) = (2a/方)1依1&cat財〉『Of, (5.34)
где %cat — гамильтониан для процесса рассеяния, a 0f ——плотность конечных состояний к1 в единице объема ^-пространства для процессов рассеяния, в которых сохраняются как энергия, так и волновой вектор. Из ранее перечисленных процессов рассеяния наиболее эффективными в усреднении электронного импульса являются процессы рассеяния на примесях и на фононах. Рассеивание статическим потенциалом примесей является упругим. Рассеивание на акустических фононах почти упруго (квазиупруго) из-за малой передаваемой энергии; средние углы рассеивания при этом велики. Как мы видели в гл. 3, оптические фононы в полупроводниках имеют энергии в диапазоне десятков мэВ, поэтому рассеяние электронов на оптических фононах происходит неупруго.
Найдем индивидуальные вероятности рассеяния для перечисленных процессов. Затем эти вероятности можно с л о ж и т ь для вычисления полной вероятности рассеяния, обратная величина которой является мерой времени релаксации.
Внутризонное рассеяние на акустических фононах.
Предположим, что электрон с начальной энергией Е^ и волновым вектором к рассеивается в состояние с энергией Е^ и волновым вектором к' путем испускания акустического фонона с энергией Кр и волновым вектором q. Поскольку при рассеянии в периодической решетке полная энергия и волновой вектор электрона и фонона
13 М. Кардона
должны сохраняться, начальные и конечные значения энергии и волнового вектора электрона связаны соотношениями (в случае испускания фонона)
Ek> - Ек = Ер. к' - к = 5(5.35)
Для акустического фонона с малым q, Ер линейно зависит от q:
Ер =力 &д,(5.36)
где & — скорость фонона. Для простоты будем считать & изотропной.
Предположим, что электрон находится в параболической зоне с эффективной массой ш* и рассеивается акустическими фононами внутри той же зоны (внутризонное рассеяние). Поскольку процесс рассеяния происходит с сохранением энергии и волнового вектора, разрешенные значения g можно получить, объединяя (5.35) и (5.36) в выражение
/2т^ (к2 — \к — q『)=hvsq(5.37)
и находя решение для q. Конечные состояния электрона после испускания акустического фонона схематически показаны на рис. 5.1 а. Из этого рисунка ясно, что разрешенные значения g лежат между минимальным gmin и максимальным gmax значениями. Для к > mvs/fi gmin равно нулю, a gmax достигается, когда Д/ противоположно к по диагонали, т.е. когда электрон рассеивается на 180° (рассеяние назад). Из (5.37) легко вычислить значение gmax:
gmax = 2左一2k2*/九(5.38)
Энергия, потерянная электроном при испускании этого фонона, равна
石询一石询，=^^s^max = 2Ди8к — 2771VS .(5.39)
Чтобы оценить порядок этих величин, примем следующие значения параметров: т* = 0, Imo (mg масса свободного электрона), % = 106 см/с и ^ = 25 мзВ (что примерно соответствует комнатной температуре, умноженной на кв)* Для такого электрона k = 2,6 • 106 см™1, gmax = 5 • 106 см™1 2队 к' = 2,4 • 106 см™1 (Д/— А)
и 即—/，= 3,3 мэВ. Испуская акустический фонон с волновым вектором Qmax, электрон полностью изменяет направление своего движения, однако его энергия меняется всего на 13 %. Таким образом, рассеяние электронов на акустических фононах происходит почти упруго (или квазиупруго), и главным результатом этих столкновений является релаксация импульса электрона.
Рис. 5.1. Схематические диаграммы рассеяния электрона в параболической зоне при испускании а) акустического фонона и б) продольного оптического (LO) фонона, показывающие конечные состояния электронов и диапазон волновых векторов фононов, разрешенных законом сохранения волнового вектораРис. 5.1. Схематические диаграммы рассеяния электрона в параболической зоне при испускании а) акустического фонона и б) продольного оптического (LO) фонона, показывающие конечные состояния электронов и диапазон волновых векторов фононов, разрешенных законом сохранения волнового вектора
Рис. 5.1. Схематические диаграммы рассеяния электрона в параболической зоне при испускании а) акустического фонона и б) продольного оптического (LO) фонона, показывающие конечные состояния электронов и диапазон волновых векторов фононов, разрешенных законом сохранения волнового вектора
Рис. 5.1. Схематические диаграммы рассеяния электрона в параболической зоне при испускании а) акустического фонона и б) продольного оптического (LO) фонона, показывающие конечные состояния электронов и диапазон волновых векторов фононов, разрешенных законом сохранения волнового вектора
Расчитаем с помощью (5.34) вероятность Fla(^7 q) того, что электрон, находящийся в параболической и невырожденной зоне, испустит LA фонон с волновым вектором q. Сначала мы будем рассматривать только механизм взаимодействия на деформационном потенциале и использовать гамильтониан взаимодействия электрона с LA фононом Яе_ьА, введенный в (3.21) и (3.22). Матричный элемент рассеяния в (5.34) запишем как \(k, Nq\He^A\k\ N；〉匕 где \к, Nq) означает начальное состояние, в котором электрон имеет волновой вектор к, а число заполнения LA фононов с волновым вектором q равно Nq (определение Nq дано в п. 3.3.1). Подобным же образом \к\ N；〉описывает конечное состояние, в котором число заполнения фононов стало равным N； и электрон рассеялся в состояние к1. Нас будет интересовать только однофононное рассеяние, когда N； отличается от Nq на ±1. Поскольку нашей целью является вычисление температурной зависимости подвижности с помощью (5.27), нас будет интересовать только зависимость Pla от энергии электрона и от температуры. Как уже обсуждалось в п. 3.3.1, \{к, Nq\He^A\k\ N；〉『 можно выразить следующим образом:
|〈汽 Nq|〃e—la阿，^)|2 X g (Nq 十 1/2 土 1/2),(5.40)
где знак 十(―)соответствует испусканию (поглощению) фонона электроном. В п. 3.3.1 было также показано, что при комнатной температуре можно приближенно представить Nq в виде квТ/(方幻$д)》1, так что |〈k, Nq\He^A\kf, N；〉『 пропорционален Nq》l и для испускания, и для поглощения фононов. В результате мы получим следующую зависимость Pla от Т и Е^:
Pla(A) = £ Fla(^, q) ос qNqd[Ek 一 即/一 hvsq]dq.(5.41)
qJ
В полярных координатах (5.41) можно выразить как
Fla(^) х д']//q)dq | J { [^q/^m)] {к cos 0 十 g)} d(cos®)^ (5.42 a) оо
^TgMax/队(5.42 6)
где 0 ——угол между к и q. Поскольку gmax приближенно равен 2队 вероятность Pla примерно пропорциональна кТ. Таким образом, при рассеянии на деформационном потенциале зависимость Pla от энергии электрона Е^ и температуры имеет вид (см. задачу 5.3)
PLA^T(Ekf/\(5.43)
В нецентросимметричных кристаллах носители могут рассеиваться как на LA, так и на ТА фононах посредством пьезоэлектрического взаимодействия (см. п. 3.3.3). Нас главным образом будет интересовать энергетическая зависимость соответствующего матричного элемента рассеяния: \{k, Nq\Hpe\k\ N^)\2. Из (3.30) и (3.32) получим
I的 Nq\Hpe\k\ AQ『a(i/g)(^ 十 1/2 土 1/2).(5.44)
В отличие от \{к^ JVq| Jfe-LAl^7? N；〉匕 коэффициент пропорциональности в (5.44) зависит, вообще говоря, от направления q. Поэтому для вычисления вероятности электрон-фононного рассеяния, обусловленного пьезоэлектрическим взаимодействием, нельзя просто подставить (5.44) в (5.41). Однако из сравнения зависимости от g в (5.44) и (5.40) ясно, что пьезоэлектрическое взаимодействие существеннее для фононов с малыми q. Поскольку фононы с малыми g менее эффективны для релаксации импульса электронов, мы можем утверждать, что пьезоэлектрическое взаимодействие
играет меньшую роль в релаксации импульса, чем взаимодействие на деформационном потенциале. Последнее верно только в случае малых электромеханических постоянных, которые характерны для полупроводников с малой ионностью. В кристаллах с большей ионностью, таких как полупроводниковые соединения группы II-VI, пьезоэлектрические взаимодействия обычно доминируют над взаимодействиями на деформационном потенциале [5.6]. Если предположить, что коэффициент пропорциональности в (5.44) не зависит от направления q, то отсюда непосредственно следует (задача 5.4), что вероятность пьезоэлектрического рассеяния электрона на акустическом фононе Рре пропорциональна
Р…(5.45)
Очевидно, что это выражение не справедливо для электронов с очень малой энергией. Если % мала, то мал также и волновой вектор g акустического фонона, принимающего участие в рассеянии. Обычно в рассматриваемом случае (5.45) в полупроводнике присутствуют также свободные носители, и поэтому макроскопическое пьезоэлектрическое поле, связанное с этими длинноволновыми фононами, экранируется свободными носителями. Для невырожденного электронного газа эффект экранирования можно учесть, введя волновой вектор экранирования д°, который определяется как обратная величина дебаевской длины экранирования Ad, (см. [5.1], [5.2], [6.10]):
21 4тгЖе2,
(5*46)
где г — статическая диэлектрическая постоянная. В результате матричный элемент КА Nq\Hpe\k\ М〉『в (5.44) следует заменить на
з
,Nq|/eg “了 X2(Nq 十 1/2 土 1/2)，
8m*Рис. 5.2. Схематическая зависимость вероятности рассеяния на акустических фононах при пьезоэлектрическом злектрон—фононном взаимодействии от энергии электрона [5.2]8m*Рис. 5.2. Схематическая зависимость вероятности рассеяния на акустических фононах при пьезоэлектрическом злектрон—фононном взаимодействии от энергии электрона [5.2]Отметим, что (5.47) снова сводится к (5.44) при д° = 0. Если в (5.47) включен эффект экранирования, т.е.我 卢 0, то |〈k, Nq\Hpe\k\ N；〉『 стремится к нулю при g —> 0. Подобным же образом Рре не расходится, как в (5.45), а стремится к нулю, когда энергия электрона уменьшается до нуля. На рис. 5.2 схематически показана зависимость Рре
8m*
Рис. 5.2. Схематическая зависимость вероятности рассеяния на акустических фононах при пьезоэлектрическом злектрон—фононном взаимодействии от энергии электрона [5.2]
8m*
Рис. 5.2. Схематическая зависимость вероятности рассеяния на акустических фононах при пьезоэлектрическом злектрон—фононном взаимодействии от энергии электрона [5.2]
Из (5.41) видно, что носители имеют большую вероятность рассеяться на LA фононах с большими g посредством взаимодействия на деформационном потенциале. Поскольку рассеяние на этих фононах приводит к наиболее эффективному разупоря- дочению импульса носителей, рассеяние на акустических фононах (посредством деформационного потенциала) является главным механизмом релаксации импульса носителей при комнатной и более низких температурах для большинства полупроводников, за исключением полупроводников с сильно выраженным ионным характером. Время рассеяния на акустических фононах для электронов проводимости в GaAs (только посред
ством взаимодействия на деформационном потенциале) было вычислено Конуэлл и Вассел [5.8]. Их результаты приведены на рис. 5.3. Отметим, что время рассеяния в GaAs имеет величину порядка нескольких пикосекунд (1 пс = 10-12 с) (задача 5.3), и что, в соответствии с (5.43), оно уменьшается с увеличением энергии электронов.
иSWHGO工roLfodиSWHGO工roLfodio*io*Рис. 5.3. Зависимость вероятности рассеяния электрона проводимости в GaAs от энергии электрона для процессов рассеяния: на длинноволновых LA фононах посредством взаимодействия на деформационном потенциале (тас)； на длинноволновых оптических фононах посредством фрёлиховского взаимодействия (тро) и из F в X посредством краевых фононов, относящихся к границе зоны Бриллюэна (丁…2). Для междолинного Г Т X рассеяния использовались два значения деформационного потенциала: 1 • 108 эВ/см и 5 • 108 эВ/см. Они меньше принятого в настоящее время значения 109 эВ/см [5.9]Рис. 5.3. Зависимость вероятности рассеяния электрона проводимости в GaAs от энергии электрона для процессов рассеяния: на длинноволновых LA фононах посредством взаимодействия на деформационном потенциале (тас)； на длинноволновых оптических фононах посредством фрёлиховского взаимодействия (тро) и из F в X посредством краевых фононов, относящихся к границе зоны Бриллюэна (丁…2). Для междолинного Г Т X рассеяния использовались два значения деформационного потенциала: 1 • 108 эВ/см и 5 • 108 эВ/см. Они меньше принятого в настоящее время значения 109 эВ/см [5.9]10-1210-12i m3i m3
иSWHGO工roLfod
иSWHGO工roLfod
io*
io*
Рис. 5.3. Зависимость вероятности рассеяния электрона проводимости в GaAs от энергии электрона для процессов рассеяния: на длинноволновых LA фононах посредством взаимодействия на деформационном потенциале (тас)； на длинноволновых оптических фононах посредством фрёлиховского взаимодействия (тро) и из F в X посредством краевых фононов, относящихся к границе зоны Бриллюэна (丁…2). Для междолинного Г Т X рассеяния использовались два значения деформационного потенциала: 1 • 108 эВ/см и 5 • 108 эВ/см. Они меньше принятого в настоящее время значения 109 эВ/см [5.9]
Рис. 5.3. Зависимость вероятности рассеяния электрона проводимости в GaAs от энергии электрона для процессов рассеяния: на длинноволновых LA фононах посредством взаимодействия на деформационном потенциале (тас)； на длинноволновых оптических фононах посредством фрёлиховского взаимодействия (тро) и из F в X посредством краевых фононов, относящихся к границе зоны Бриллюэна (丁…2). Для междолинного Г Т X рассеяния использовались два значения деформационного потенциала: 1 • 108 эВ/см и 5 • 108 эВ/см. Они меньше принятого в настоящее время значения 109 эВ/см [5.9]
10-12
10-12
i m3
i m3
Внутризонное рассеяние на полярных оптических фононах.
Типичные значения энергий оптических фононов в полупроводниках по порядку величины равны нескольким десяткам мэВ (см. гл. 3). Поэтому при низких температурах (Т < 100 К) энергия большинства электронов в полупроводниках не достаточно велика для испускания оптических фононов. Кроме того, термическое число заполнения Nq для оптических фононов очень мало, следовательно, мала вероятность того, что электрон поглотит оптический фонон. Поэтому при низких температурах можно пренебречь процессами рассеяния на оптических фононах. С другой стороны, при комнатной температуре, когда имеется достаточно электронов с высокой энергией, способных испускать оптические фононы, эти процессы преобладают над процессами рассеяния на акустических фононах. В частности, последнее справедливо для полярных полупроводников, в которых фрёлиховское взаимодействие может быть очень сильным (см. п. 3.3.5 и рис. 5.3). Распределение конечных электронных состояний после рассеяния на оптическом фононе было схематически показано на рис. 5.1 6. В то время как рассеяние на акустических фононах приводит в основном к релаксации импульса электронов, рассеяние на оптических фононах дает вклад и в релаксацию импульса, и в релаксацию энергии.
Можно показать ([5.2], с. 115,10), что вероятность рассеяния на LO фононах (Flo), соответствующая Pla (к) в (5.42), имеет вид
Plo осPlo осg2dg d(cos О) {Nlo®[石煩一(Ek 十石lo)]十оg2dg d(cos О) {Nlo®[石煩一(Ek 十石lo)]十о
Plo ос
Plo ос
g2dg d(cos О) {Nlo®[石煩一(Ek 十石lo)]十
о
g2dg d(cos О) {Nlo®[石煩一(Ek 十石lo)]十
о
十（Nlo 十 1）8 旧煩一（石心一El。）］｝, （5.48）
где Nlo и 石lo являются числом заполнения и энергией LO фононов. Для простоты мы предположили что у LO фонона нет дисперсии. Последнее обычно является
хорошим приближением, поскольку только фононы с g < до дают существенный вклад в (5.48). Член в первой скобке возникает из-за фрёлиховского матричного элемента (включая экранирование). Члены, пропорциональные Nlo и Nlo 十 1, связаны с поглощением и испусканием фононов соответственно. Вследствие сохранения волнового вектора в (5*35) можно выразить (5.48) как
万歯о万歯оNlo6 广(kcos® 十 g) — Elo 十Nlo6 广(kcos® 十 g) — Elo 十
万歯
о
万歯
о
Nlo6 广(kcos® 十 g) — Elo 十
Nlo6 广(kcos® 十 g) — Elo 十
十(2。十1"点—…十g)"戸卜(…)*(5*49)
После интегрирования по 0 получается следующее выражение для Flo：
qimax42mах
「LO 1 Nlo (g2 十届)2 歯 + (NlO 十 1)(g2 十届)2 "内(5*5。)
qiminq2min
где g^max и g2nlin ——максимальное и минимальное значения волнового вектора LO фонона для поглощения (г = 1) и испускания (г = 2) фонона (задача 5.5). Из рис. 5.1 б легко определить конечные состояния электрона, соответствующие минимальному и максимальному значению q. Поскольку 仇min не равен нулю для оптических фононов, волновой вектор экранирования в (5.50) не столь важен, как для пьезоэлектрических акустических фононов, за исключением случая сильно легированных полупроводников. Если пренебречь до в (5.50), то Flo уменьшается как 1/q и рассеяние на LO фононах с малыми д более вероятно, чем на LO фононах с большими q. В отличие от рассеяния на акустических фононах рассеяние электронов на оптических фононах в основном приводит к релаксации энергии электронов, а не их импульсов.
Время релаксации импульса электрона при рассеянии на LO фононе можно найти из (5.50) с помощью (5.33). В результате получим (см. [5.2], с. 118)
7m\/7m\/Ek - МюEk - МюEkEk
7m\/
7m\/
Ek - Мю
Ek - Мю
Ek
Ek
1/2十(Nw 十 l)sh—i1/2十(Nw 十 l)sh—iX ^Mo sh"1X ^Mo sh"1^-^w\1/2"^-^w\1/2"(5.51)(5.51)
1/2
十(Nw 十 l)sh—i
1/2
十(Nw 十 l)sh—i
X ^Mo sh"1
X ^Mo sh"1
^-^w\1/2"
^-^w\1/2"
(5.51)
(5.51)
Elo
Энергетическая зависимость времени релаксации электронов в GaAs вследствие рассеяния на LO фононах (посредством фрёлиховского взаимодействия) была приведена на рис. 5.3. Обычно время релаксации при рассеянии на LO фононах меньше 1 пс.
Междолинное рассеяние.
Роль междолинного рассеяния в релаксации электронов в полупроводниках с прямой и непрямой запрещенной зоной различна. В прямозонных полупроводниках типа GaAs и InP междолинное рассеяние существенно только для электронов, которые имеют энергию, достаточную для того, чтобы рассеяться в более высокие долины зоны проводимости. Поскольку эти долины расположены на несколько десятых эВ выше минимума зоны проводимости, находящегося в центре зоны, междолинное рассеяние в таких полупроводниках имеет значение только для транспортных свойств горячих электронов. Более подробно это будет обсуждаться в § 5.4. Совсем другая ситуация имеет место в непрямозонных полупроводниках типа Si и Ge. В этих материалах электроны находятся в вырожденных минимумах зоны проводимости, расположенных не в центре зоны. Помимо внутризонного рассеяния электроны могут
рассеиваться из одной вырожденной долины в другую посредством междолинного рассеяния. В обоих материалах для релаксации энергии и импульса электронов проводимости междолинные процессы рассеяния оказываются более существенными, чем внутризонные процессы. Здесь мы будем рассматривать только междолинное рассеяние электронов в непрямозонных полупроводниках.
Рис. 5.4. Схематическое изображение междолинных процессов рассеяния для электронов в минимуме зоны проводимости Si. Показаны волновые векторы фононов, участвующих в g- и f-процессах [5.2, 5.11]; /ХК дан в единицах 2тг/а。
В качестве примера рассмотрим случай Si, у которого минимумы зоны проводимости расположены вдоль шести эквивалентных [100] направлений (△]) в точке, примерно соответствующей 0,83 расстояния от центра зоны до ее границы. Электроны в одном из минимумов (например, вдоль направления [100]) могут рассеяться или в долину вдоль направления [100], или в одну из четырех эквивалентных долин [0, 土 ±1, 0] и [0, 0, 土 1] (рис. 5.4 а). Первый процесс называется g-процессом, и участвующий в рассеянии фонон называется ^фононом^ остальные процессы называются i-процессами. Для обоих процессов долина, в которую электрон попадает после рассеяния, может находится в той же самой или в соседней зонах Бриллюэна (рис. 5.4 6). В первом случае процесс называется нормальным процессом, а во втором ——процессом переброса (см. [5.7], с. 146). Как показано на рис. 5.4 б, волновой вектор ДЖё фонона, участвующего в нормальном g-процессе, приблизительно равен произведению 1,7 на длину зоны Бриллюэна вдоль оси X (для того, чтобы показать на рис. 5.4 б как g-, так и f-фононы, g-фонон выбран вдоль направления [001]). Волновой вектор(rg фонона для g-процесса переброса составляет всего ^0,34 от значения, соответствующего границе зоны Бриллюэна в направлении [001] (измеренной из центра зоны). Вектор обратной решетки, участвующий в g-процессе переброса и обозначенный Ж001, также направлен вдоль X. Волновой вектор AKf для f-фонона приблизительно равен произведению 1,2 на (2тг/а°)(1, ±1, 0), где а° — сторона элементарного куба в Si. Волновой вектор лежит вне первой зоны Бриллюэна. Следовательно, как для g-, так и для f-процессов нужны фононы с волновым вектором вне первой зоны Бриллюэна. Таким образом, в схеме приведенной зоны разрешены только процессы переброса. В комбинации с вектором обратной решетки Кщ = (2тг/а°)(1, 1, 1) результирующий волновой вектор переброса bf отклоняется примерно на 11° от направления [001] (симметрия Ei), а его длина почти в точности равна значению для границы зоны вдоль
этого направления (рис. 5*4 6)* Ниже приведены симметрии междолинных фононов в Si, разрешенных по теории групп, и их энергии (см. рис. 3.1 и [5.2], с. ПО):
^g-процесс: △$(LO))63 мэВ;
^f-процесс: Ei(LA, ТО; 45 и 57 мэВ; в [5.2], с. ПО использовано среднее значение 54 мэВ).
Соответствующие правила отбора для междолинного рассеяния в соединениях группы Ш—V были получены Бирманом и др. [5.12].
Для того, чтобы описать температурную зависимость подвижности в Si, пришлось включить в междолинное рассеяние вклад от фонона с энергией 16 мэВ [5.11]. В соответствии с дисперсионными кривыми фононов в Si фонон с энергией 16 мэВ (см. рис. 3.1; 16 мэВ 台 130 см-1 台 3, 9 ТГц) может быть ТА или LA модой с волновым вектором, равным примерно 0,3 значения волнового вектора для границы зоны (g- процесс на рис. 5.4). Этот процесс, строго говоря, запрещен, поскольку соответствующий матричный элемент имеет симметрию △] ® △] ® △?/ = △?/ и, следовательно, исчезает. Такой запрещенный процесс рассеяния удалось объяснить, включив в зависимость электрон-фононного взаимодействия от волнового вектора член более высокого порядка (выше нулевого) [5.13]. Вычисление вероятности междолинного рассеяния в принципе (за исключением учета более высоких порядков электрон-фононного взаимодействия) похоже на аналогичные вычисления для акустических фононов в прямозонных полупроводниках. На практике вычисления усложняются из-за анизотропии электронных масс в Si. Предположив для простоты, что масса изотропна, получим вероятность междолинного рассеяния, обусловленную электрон-фононным взаимодействием нулевого порядка:
(l/Tiv) X Nq(Ek 十石р)1/2 十(Nq 十 1)(^4 —石р)1/2и(丑4 — Ер), (5.52а) где £7р — энергия фонона, a U (ж) — ступенчатая функция:
U(z) = [；(5.52 6) для z》0.
Читатели, которых интересует вклад в вероятность рассеяния от члена первого порядка по электрон-фононному взаимодействию, могут обратиться к [5.13] или [5.2].
Рассеяние на примесях.
Обычно в полупроводнике содержатся такие дефекты как примеси и дислокации. Электроны на них рассеиваются упруго, а детали механизма рассеяния зависят от типа дефекта. Здесь мы будем рассматривать рассеяние на наиболее обычном типе дефектов, а именно — на заряженных примесях. Обычно свободные носители в полупроводнике возникают в результате ионизации мелких примесей (кроме термически возбужденных собственных носителей). Поэтому свободные носители в принципе всегда рассеиваются на оставленных ими ионизованных примесях. Способ, с помощью которого можно избежать такого рассеяния, будет описан несколько позже.
Наш подход к вычислению вероятностей рассеяния на примесях будет отличаться от подхода, использованного при рассмотрении рассеяния на фононах. Фононы являются квантованными решеточными волнами с хорошо определенными волновыми векторами, и поэтому они рассеивают электроны из одного блоховского состояния в другое. Потенциал примесей локализован в пространстве. Следовательно, они не рассеивают электроны в хорошо определенные блоховские состояния. Эту проблему можно рассматривать квантово-механически с помощью теории рассеяния и метода Брукса-Херринга (см. [5.2], с. 143; [5.14]). В последнем потенциал примеси приближенно представляется в виде экранированного кулоновского потенциала. Может использоваться или экранирование Дебая (с длиной экранирования, приведенной в (5.46)) или экранирование Томаса-Ферми (см. [5.7], с. 266). Поперечное сечение рассеяния вычисляется в приближении Борна. Квантово-механические результаты, полученные
Бруксом [5.14], не слишком сильно отличаются от классических результатов, полученных ранее Конуэлл и Вайскопфом [5.15]. Поэтому мы рассмотрим сначала метод Конуэлл-Вайскопфа.
Метод Конуэлл-Вайскопфа. В этом методе предполагается, что электрон рассеи
вается, как классическая частица посредством кулоновского взаимодействия с при
Рис. 5.5. Кулоновское рассеяние электрона положительно заряженным ионом [5.2]Рис. 5.5. Кулоновское рассеяние электрона положительно заряженным ионом [5.2]месным ионом, имеющим заряд 十Z&. Соответствующее сечение рассеяния расчитывается точно таким же образом, как при резерфордовском рассеянии а-частиц [5.16]. Геометрия рассеяния для этой задачи схематически приведена на рис. 5.5. Зависимость поперечного сечения рассеяния а от угла рассеяния 0 выражается следующим образом:
Рис. 5.5. Кулоновское рассеяние электрона положительно заряженным ионом [5.2]
Рис. 5.5. Кулоновское рассеяние электрона положительно заряженным ионом [5.2]
о(0)(Ш = 2тгМ|&|, (5.53)
где t/Q — элемент телесного угла, b называется прицельным расстоянием^ d\b\ — изменение |b|, которое требуется, чтобы охватить телесный угол dQ Прицельное расстояние и телесный угол dQ связаны с углом рассеяния
соотношением
b = К ctg(0/2); d^ = 2тг sin 0d0,(5.54)
(5.55)(5.55)где К — характеристическое расстояние, определяемое как
(5.55)
(5.55)
a Vk — скорость электрона, имеющего энергию Ek = mv^/2. Если выразить(Ш и d\b\ через d0, то можно упростить (5.53):
=(2sinf®/2)) •(5.56)
Хорошо известная из резерфордовского рассеяния зависимость ст от скорости электрона в степени —4 содержится в члене К2. Вероятность рассеяния R (в единицу времени) для частиц, движущихся со скоростью и, на N рассеивающих центрах в единице объема, каждый из которых имеет поперечное сечение рассеяния ст, имеет вид
Я = Nav.(5.57)
Поскольку рассеяние на примесях приводит к релаксации импульса носителей, а не их энергии, можно ввести определение времени релаксации импульса &, обусловленной примесным рассеянием, как
(5.58)(5.58)1 /т\ = N\Vk ст (0)(1 — cos 0)2тг sin QdQ,
(5.58)
(5.58)
где Д — концентрация ионизованных примесей. Член (1 — cos 0) под интегралом описывает относительное изменение импульса электрона вследствие рассеяния, а член 2тг sin QdQ — интегрирование по телесному углу Q. В принципе, интегрировать по 0 следует от 0 до тг. Расходимость (5.56) при 0 = 0 приводит к расхождению интеграла в (5.58). Этого можно избежать, заметив, что b не может быть больше максимального значения 6тах, равного половине среднего расстояния между ионизованными примесями:
^max = gNjl/3* (5.59)
В результате минимальное разрешенное в (5.58) значение 0 будет равно
Omin = 2ctgT(bmax/K).(5.60)
После интегрирования (5.58) с условием (5.60) получим следующее выражение Для 1/п：
1/Ti = -^N-.VkK2 In [sin (0min/2)] ,(5.61)
или через энергию электронов 秋:
；1• Вб?)
Вероятность рассеяния электронов на ионизованных примесях не зависит от температуры и пропорциональна энергии электронов примерно как eJ" вследствие зависимости поперечного сечения рассеяния в (5.56) от скорости частицы. В результате рассеяние на ионизованных примесях может стать доминирующим процессом при низких температурах, когда малы энергии электронов и, кроме того, происходит вымораживание рассеяния на фононах.
Метод Брукса-Херринга. Как было упомянуто ранее, в методе Брукса-Херринга вероятность рассеяния электронов на ионизованных примесях вычисляется квантовомеханически. Если учет экранирования потенциала примесей свободными носителями производится путем введения волнового вектора экранирования 我(который является обратной величиной дебаевской длины экранирования, см. (5.46)), то следует заменить (5.56) на
гq 2
ст (0)= —歹 .(5.63)
/5"(0/2)十(如/2用)["‘
При этом автоматически удается избежать в (5.56) расхождения а (0) при 0 = 0 без
Рис. 5.6. Зависимости подвижности электронов от концентрации примесей при учете только рассеяния на ионизированных примесях, рассчитанные методом Брукса-Херринга (БХ) и Корнуэлл-Вайскопфа (КВ)
На рис. 5.6 сравниваются зависимости подвижности электронов от концентрации носителей для некоторого гипотетического некомпенсированного полупроводника (в предположении, что единственным процессом рассеяния является рассеяние на ионизованных примесях), вычисленные квантовомеханическим методом Брукса-Херринга [5.14] и классическим методом Конуэлл-Вейскопфа [5.15]. За исключением области высоких концентраций оба метода дают почти идентичные результаты. Однако для очень высоких концентраций даже метод Брукса-Херринга перестает быть справедливым. Вопрос об экранировании при очень высоких концентрациях изучался многими исследователями, и подробные результаты можно найти в работе [5.2], с. 145—152.
Температурная зависимость подвижностей. Теперь мы в состоянии рассмотреть температурную зависимость подвижности носителей в невырожденных полупроводниках с параболическими зонами. Вычислим сначала время жизни электрона т(即)как обратную величину полной вероятности рассеяния. Затем подставим т(%) в (5.27), чтобы найти ⑺.Поскольку различные механизмы рассеяния по-разному зависят от энергии электрона и температуры, они приводят к различным зависимостям подвижности от температуры. Сравнивая измеренные температурные зависимости подвижности с теорией, можно определить вклады от различных механизмов рассеяния. Для облегчения этого сравнения заметим, что если можно выразить зависимость т(即)от Е^ и Т, как пропорциональную Ef и Тш, то
石3/2 exp (^E/kBT)r(E)dE ос Tm+n+5/2 (5.64)
и
⑺ ocTm+n.(5.65)
Используя полученную в предыдущем пункте зависимость вероятности рассеяния от энергии и температуры, можно придти к заключению, что
д ос 7一3/2 дЛЯ рассеяния на акустических фононах (механизм деформационного потенциала);
д ос Т—1/2 для рассеяния на акустических фононах (пьзоэлектрический механизм);
д ос /3/2 дЛЯ рассеяния на ионизованных примесях.
На рис. 5.7 приведена температурная зависимость подвижности электронов в собственном Si n-типа. Экспериментальные результаты можно объяснить комбинацией внутризонного рассеяния на акустических фононах и междолинного рассеяния на двух фононах с энергиями 16 мэВ (129 см-1, ТА) и 54 мэВ (436 см-1, LO). Электрон™ фононное взаимодействие для междолинного рассеяния на LO фононах вдоль направления △ разрешено по соображениям симметрии, а на ТА фононах запрещено. Ферри [5.13] объяснил это не исчезающее рассеяние вкладом от фононов для направления, близкого (но не идентичного) к △.
На рис. 5.8 приведена подвижность электронов в n-Si при различных концентрациях доноров. Форма экспериментальных кривых при больших концентрациях доноров может быть объяснена преобладанием при низких температурах рассеяния на ионизованных примесях (см. вставку).
На рис. 5.9 сравниваются экспериментальная и теоретическая зависимости подвижности от температуры для n-GaAs. Экспериментальные результаты опять можно объяснить рассеянием на ионизованных примесях при низких температурах и рассеянием на фононах при высоких температурах. При комнатной температуре в GaAs доминируют процессы рассеяния электронов на полярных LO фононах.
50100 200500
■SU сдн°он*ии口 0=
50100200500
т, К
т, к
Рис. 5.7. Температурная зависимость подвижности электронов в Si n-типа: а) эксперимент тальные результаты, б) относительные вклады в подвижность от рассеяния на фононах различного типа. Кривая А соответствует вкладу от внутризонного рассеяния на акустическом фононе, а остальные две кривые вкладу от междолинного рассеяния на фононах с энергиями, соответствующими температурам 190 К (или 16 мэВ) и 630 К (или 54 мэВ). Сплошные кружки в (а) описывают подгонку к экспериментальной кривой с помощью теоретических кривых (6) [5.13]
Рис. 5.9. Температурная зависимость подвижности электронов в GaAs n-типа, определенная из холловских измерений (точки) [5.18]. Штриховые кривые описывают вклады от различных процессов рассеяния [5.19]
8 7 6 5 4 3 о о о о о о
PCQ/S0 сдёонжи®口 оп §^ииок.к.о^
Нейтральная примесь
К
，Ионизированная примесь
"j 4 木 Пьезоэлектрическое
z *、Q / рассеяние
杀*] На деформационном
'% ^потенциале
Полярное рассеяние
10 ю2 ю3 ю4
т, к
Модулированное легирование
Из вида температурной зависимости подвижности электронов в Si и GaAs можно сделать вывод о том, что при низких температурах предел подвижности носителей определяется в конечном счете рассеянием на ионизованных примесях. Этот предел можно устранить с помощью метода модулированного легирования^ предложенного Штормером и др. [5.20].
Идея модулированного легирования иллюстрируется рис. 5.10. Два материала с почти равными постоянными решеток, но разной шириной запрещенной зоны выращиваются друг над другом, образуя гетеропереход (см. гл. 9). Одним из примеров хорошего гетероперехода, часто используемого при изготовлении лазерных диодов, является Ga1As/А1 力Gai —力 As (другие примеры будут рассмотрены в гл. 9). Постоянные решеток этих двух полупроводников различаются менее, чем на 1 %. Запрещенная зона AlGaAs с содержанием А1 менее 40 % является прямой и более широкой, чем запрещенная зона GaAs. Разность энергий между этими зонами распределяется между зоной проводимости и валентной зоной примерно в отношении 60/40 (см. гл. 9).
Рис. 5.10. Структура и зонная схема гетероперехода с модулированным легированием между GaAs и п-AlGaAs; Ес и Ер — дно зоны проводимости и энергия ФермиРис. 5.10. Структура и зонная схема гетероперехода с модулированным легированием между GaAs и п-AlGaAs; Ес и Ер — дно зоны проводимости и энергия Ферми
Рис. 5.10. Структура и зонная схема гетероперехода с модулированным легированием между GaAs и п-AlGaAs; Ес и Ер — дно зоны проводимости и энергия Ферми
Рис. 5.10. Структура и зонная схема гетероперехода с модулированным легированием между GaAs и п-AlGaAs; Ес и Ер — дно зоны проводимости и энергия Ферми
В результате на границе раздела возникает очень резкий разрыв зон (как схематически показано на рис. 5.10). Если материал с большей шириной запрещенной зоны (AlGaAs) легируется мелкими донорами, то уровень Ферми смещается из середины запрещенной зоны к уровню донора. Для поддержания постоянного химического по тенциала между обоими материалами электроны перетекают из AlGaAs в GaAs, что приводит к изгибу краев зон на границе раздела (см. рисунок). Это явление называется изгибом зон. В п. 8.3.3 мы покажем, что изгиб зон происходит также вблизи поверхности полупроводника из-за существования поверхностных состояний.
Вследствие изгиба зон электроны в GaAs оказываются запертыми потенциалом с приблизительно треугольной формой в области вблизи границы раздела (концентрирование электронов), образуя двумерный (2D) электронный газ. Такие 2В-электроны физически отделены от ионизованных примесей в AlGaAs, и поэтому они слабо рассеиваются заряженными примесями. Описанный метод называется модулированным легированием [5.20]. Если удается избежать рассеяния на дефектах границы раздела, то подвижность 2D электронного газа в образцах с модулированным легированием может достигать теоретического предела, определяемого рассеянием на фононах в отсутствии примесного рассеяния. С помощью этого метода в GaAs были достигнуты подвижности носителей, превышающие 106 см2/(В • с). На рис. 5.11 показана температурная зависимость подвижности 2D электронного газа в гетеропереходе GaAs/Alo^Ga。,7As. Отметим, что в отличие от подвижности, приведенной на рис. 5.9, она не уменьшается при понижении температуры до нуля, как
Рис. 5.11. Температурная зависимость подвижности двумерного электронного газа в гетеропереходе GaAs/Gao,7А1о,зAs с модулированным легированием. Кружки соответствуют экспериментальным результатам. Штриховые и штрихпунктирные кривые описывают расчетные вклады в подвижность от различных механизмов рассеяния. Сплошная кривая соответствует сумме этих вкладов [5.21]
можно было бы ожидать, если бы происходило рассеяние на ионизованных примесях. Однако некоторое остаточное рассеяние на потенциале примесей, расположенных внутри Alo^Gao^As, все еще существует; оно обозначено на рис. 5.11 как «удаленные примеси», и достигает при низких температурах малого постоянного значения. Таким образом, модулированное легирование приводит к улучшению подвижности носителей, когда вымораживается рассеяние на фононах. Поскольку рассеяние электронов в этих образцах происходит преимущественно на фононах (за исключением области очень низких температур), можно из температурной зависимости подвижности электронов определить с хорошей точностью абсолютный объемный деформационный потенциал LA фононов [5.21].
В настоящее время модулированное легирование используется при изготовлении полевых транзисторов с очень высокой подвижностью. В англоязычной литературе эти транзисторы называются или MODFET (что означает modulation-doped field-effect transistors), или HEMT (что означает high electron mobility transistors) (cm. [5.22]).
Транспорт в сильных полях и эффекты, связанные с горячими носителями
Формализм для вычисления дрейфовой скорости носителей, развитый в § 5.1, приводит к закону Ома и справедлив только в слабых электрических полях. Для большинства полупроводников закон Ома перестает выполняться при электрических полях, превышающих 104 В/см. В этом параграфе мы будем изучать влияние сильных электрических полей на распределение носителей и другие явления переноса, которые могут происходить в сильных электрических полях. Как было отмечено во введении, эффекты, возникающие в сильных полях, могут вычисляться только с помощью численных методов [5.4, 5.23], и поэтому наше рассмотрение по необходимости будет носить качественный характер.
Основная трудность вычислений заключается в том, что носители слишком быстро приобретают энергию под действием сильного электрического поля. Если эта скорость больше, чем скорость, с которой носители отдают энергию решетке, то нарушается состояние теплового равновесия между носителями и решеткой. Существует два возможных сценария для таких неравновесных ситуаций. В одном случае носители находятся в тепловом равновесии между собой, но не с фононами. В этом случае можно сказать, что носители находятся в квазитепловом равновесии. Их распределение может по-прежнему характеризоваться распределением Ферми-Дирака, но с температурой, отличной от температуры образца (температура фононов, находящихся в равновесии с тепловым резервуаром, с которым контактирует образец). Поскольку обычно температура этих носителей выше, чем у решетки, они называются горячими носителями. Во втором сценарии носители не могут быть описаны равновесным распределением и поэтому не имеют хорошо определенной температуры. В литературе эти носители также иногда неточно называют горячими. Более правильно следовало бы называть их неравновесными носителями. Эффекты, связанные с горячими носителями, играют большую роль в работе многих полупроводниковых приборов, таких как лазерные диоды, генераторы Ганна и полевые транзисторы с коротким каналом (см. [5.22], с. 698-720). Горячие носители в этих приборах генерируются электрически мощным полем или инжекцией сквозь барьер. Горячие носители могут также создаваться оптически — фотонными потоками большой мощности, как при лазерном отжиге [5.24].
Какие условия определяют, является ли распределение носителей равновесным или нет? Ответ зависит от отношения времен, характеризующих взаимодействие носителей между собой и их взаимодействие с решеткой, ко времени жизни носителя. Определим время, за которое неравновесное распределение носителей релаксирует к
равновесию как время термализации. Вклад в термализацию вносят взаимодействия носителей друг с другом и их взаимодействия с фононами. Как показано на рис. 5.3, время взаимодействия носителей с фононами может изменяться от 0,1 пс (для поляр™ ных оптических фононов и фононов при междолинном рассеянии) до десятков пи ко™ секунд (для акустических фононов). Взаимодействие носителей друг с другом сильно зависит от их концентрации. Оно исследовалось оптическими методами в GaAs. При больших концетрациях (> 1018 см-3) носители термализуются за времена, равные фемтосекундам (1 фс = 10-15 с) [5.25]. Таким образом, при больших концентра™ циях время термализации определяется взаимодействием между носителями, а при малых имеет порядок самого короткого из времен электрон-фононного взаимодействия. Часто носители имеют конечное время жизни, поскольку они могут захватываться на дефекты. Если среди носителей существуют как электроны, так и дырки, то их время жизни ограничено временем рекомбинации (см. гл. 7). В образцах с очень большой плотностью дефектов (как у аморфных полупроводников) времена жизни носителей могут составлять пикосекунды, или меньше. Поскольку время жизни носителей определяет то время, за которое носитель может термализоваться, распределение будет неравновесным, если время жизни короче времени термализации. Переходная неравновесная ситуация может быть создана при нарушении распределения носителей возмущением, длящимся более короткое время, чем время термализации.
Свойства горячих носителей могут отличаться от свойств равновесных носителей. Одним из примеров такого различия является зависимость дрейфовой скорости от электрического поля. На рис. 5.12 показана зависимость дрейфовой скорости от электрического поля для Si и GaAs. Для полей меньше 103 В/см носители подчиняются закону Ома, т.е. дрейфовая скорость возрастает линейно с электрическим полем. При более сильных полях скорость носителей возрастает с полем сублинейно и насыщается при значении 107 см/с. Это прекращение роста дрейфовой скорости носителей в сильных полях называется насыщением скорости. В GaAs n-типа наблюдается более сложное поведение: скорость имеет максимум, в котором ее значение выше значения в области насыщения. Данное явление называется превышением скорости (рис. 5.12) и наблюдается обычно только для нескольких полупроводников n-типа, таких как GaAs, InP и InGaAs. Для электрических полей между 3 • 103 В/см и 2 • 105 В/см скорость электронов в GaAs уменьшается при увеличении электрического поля. Это явление называется отрицательным дифференциальным сопротивлением. Рассмотрим перечисленные особенности поведения носителей в сильных полях по отдельности.
u\su cqloodoxu йио^адфа^u\su cqloodoxu йио^адфа^Е, В/смЕ, В/смРис. 5.12. Зависимость дрейфовой скорости от электрического поля для электронов и дырок в Si и GaAs [5.17]Рис. 5.12. Зависимость дрейфовой скорости от электрического поля для электронов и дырок в Si и GaAs [5.17]
u\su cqloodoxu йио^адфа^
u\su cqloodoxu йио^адфа^
Е, В/см
Е, В/см
Рис. 5.12. Зависимость дрейфовой скорости от электрического поля для электронов и дырок в Si и GaAs [5.17]
Рис. 5.12. Зависимость дрейфовой скорости от электрического поля для электронов и дырок в Si и GaAs [5.17]
Насыщение скорости. Уравнение Больцмана (5.15) трудно решить в условиях сильного поля, когда распределение носителей может быть неравновесным. Одним из упрощающих подходов является разложение распределения носителей в ряд Тейлора по их скоростям. Это приводит к зависящей от поля подвижности:
/1(F) = д(0)+/3F2 + .../1(F) = д(0)+/3F2 + ...(5.66)(5.66)
/1(F) = д(0)+/3F2 + ...
/1(F) = д(0)+/3F2 + ...
(5.66)
(5.66)
Иногда носители называются теплыми, если в разложении (5.66) можно ограничиться членами до pF2 (см. [5.26], с. 102). Как упоминалось в § 5.1, свойства горячих носителей обычно рассчитывают численно с помощью метода Монте-Карло; обсуждение таких вычислений выходит за рамки данной книги [5.27]. Вместо этого мы дадим очень упрощенное объяснение того, почему для большинства полупроводников дрейфовая скорость насыщения имеет более или менее одинаковое значение (10‘ см/с).
В пределах квазиклассического подхода, которым мы пользовались в § 5.1, носители в полупроводнике рассматриваются как свободные частицы с эффективной массой ". Их среднюю энергию (Е) можно определить как (Е) = m*v^/2, где ?力一 их дрейфовая скорость. Следовательно, насыщение ?力 в сильном электрическом поле означает, что в сильных полях средняя энергия носителей больше не возрастает с электрическим полем. Таким образом, должен существовать механизм потерь энергии, который становится преобладающим при больших (Е). Наиболее вероятно предположить, что таким механизмом является рассеяние на оптических фононах. Можно представить себе следующую простую картину происходящего. При слабых полях носители упруго рассеиваются на акустических фононах, и эти процессы ведут к релаксации импульса носителей. Распределение носителей является по существу «смещенным» равновесным распределением (задача 5.2). При промежуточных полях {Е) становится достаточно большой для того, чтобы некоторые носители на высокоэнергетическом хвосте распределения начали неупруго рассеиваться на оптических фононах. Это приводит к искажению распределения и к сублинейному возрастанию {Е) с полем. При еще более сильных полях все большее количество носителей рассеивается неупруго, пока процессы релаксации энергии не начинают доминировать. Когда скорость, с которой носители приобретают энергию от поля, в точности уравновешивается скоростью потерь энергии путем испускания оптических фононов, (Е) (а также ?力)становится независимой от электрического поля.
Таким образом, можно найти скорость насыщения & из уравнения вероятности энергетических потерь:
哈=心-"(5*67)
где /Гор — энергия оптического фонона, те — время энергетической релаксации. Соответствующее уравнение вероятности потерь при импульсной релаксации имеет вид
dtdt丁m丁m(5*68)(5*68)
dt
dt
丁m
丁m
(5*68)
(5*68)
где rm ——время импульсной релаксации. В предположении, что в сильных полях доминирующим процессом является рассеяние на оптических фононах, как те, так и тт равны времени рассеяния на оптическом фононе тор. В равновесном состоянии d{E)/d力= =0 и d(m*?%)/d力=0. Поэтому решением для & из (5.67) и (5.68) будет
(5.69)(5.69)Vs = (ЕОр/ш*)1/2.
(5.69)
(5.69)
Отметим, что тор не входит в выражение для ?%* Для большинства полупроводников с тетраэдрической связью энергия оптического фонона имеет порядок величины 40 мэВ, а эффективная масса т* — величина порядка 0, Im。. Подставив эти
14 М. Кардона
значения в (5.69), найдем, что vs ^ 2 • 107 см/с. Это объясняет как найденный в экспе™ риментах порядок величины скорости насыщения, так и тот факт, что она имеет во многих полупроводниках одинаковое значение.
Отрицательное дифференциальное сопротивление. Электрическое сопротивление обычно ассоциируется с диссипацией электрической энергии в проводнике в форме тепла. Поэтому, когда говорят, что среда имеет отрицательное электрическое сопротивление (ОДС), то как бы подразумевают, что в такой среде электрическая энергия может быть «создана». Однако следует заметить, что ОДС является отрицательным сопротивлением только на переменном токе. Это означает, что оно может быть использовано только для изготовления усилителя на переменном токе. Изучая электронику, мы узнаем, что усилитель с положительной обратной связью может быть превращен в осциллятор. Таким образом, одним из важных применений материалов, в которых имеет место ОДС, является изготовление высокочастотных осцилляторов (обычно с микроволновыми частотами). Туннельный диод Есаки D является примером полупроводникового прибора, в котором наблюдается ОДС (см. [5.22], с. 641-643). Позднее было показано, что ОДС наблюдается также в резонансных туннельных диодах (см. гл. 9) [5.28]. Отрицательное дифференциальное сопротивление в этих приборах связано с принципами, отличными от принципов в случае GaAs п-типа в сильном электрическом поле.
Чтобы понять возникновение ОДС в GaAs, обратимся к структуре его зоны проводимости, изображенной на рис. 2.14. Хотя самый низкий минимум зоны проводимости в GaAs находится в центре зоны Бриллюэна, существуют также минимумы в 厶 точках, лежащие на 0,3 эВ выше по энергии. Эффективная масса электронов в этих 厶 долинах не изотропна. Для движения вдоль оси долин продольная масса равна 1, 9m°, а поперечная составляет 0,075тд [5.29]. Эти массы много больше, чем эффективная масса (тр) для электронов в Г долине, равная О,О67шо. На основании (5.12) подвижность электронов в Г долине (“) должна быть выше, чем в 厶 долинах (〃厶).В слабом электрическом поле все электроны находятся в Г долине и имеют высокую подвижность вследствие малой т%. При возрастании поля электроны приобретают энергию до тех пор, пока для некоторых из них она не становится достаточной для перехода в 厶 долины путем междолинного рассеяния. Это междолинное рассеяние начинает соперничать с процессом внутризонной релаксации путем рассеяния на оптических фононах. В GaAs время испускания электроном LO фонона при фрёлиховском взаимодействии (см. рис. 5.3) составляет около 200 фс. Соответствующее время для междолинного рассеяния Г в L при комнатной температуре меньше 100фс [5.30, 5.31]. Однако время возвращения электрона в Г долину имеет величину порядка пикосекунд, поскольку плотность состояний в Г долине много меньше, чем в 厶 долинах. В результате в достаточно сильных электрических полях значительная часть электронов перейдет в 厶 долины, и проводимость электронов станет равна
. о (570)
где Nr и Nl являются, соответственно, числом электронов в F и £ долинах. Посколь™ ку 〃厶 меньше, чем “, проводимость при возрастании поля уменьшается, приводя к отрицательному дифференциальному сопротивлению. Зависимость дрейфовой скорости в GaAs от электрического поля, полученная из приведенного рассмотрения, показана на рис. 5.13. При еще более сильных полях (Е > 瓦 на рис. 5.13) в 厶 долинах будет больше электронов, чем в Г долине, потому что плотность состояний
1)Лео Есаки получил в 1973 г. Нобелевскую премию по физике за открытие эффекта электронного туннелирования в диодах, названных в его честь.
Рис. 5.13. Схематическая зависимость дрейфовой скорости электронов в Ga As от электрического поля
u\su cqloodoxu §ио^^u\su cqloodoxu §ио^^в 厶 долине больше, и междолинный переход электронов прекратится. Теперь электроны, находящиеся в 厶 долинах, ускоряются внешним полем, и их скорости снова линейно возрастают с полем, как это схематически показано на рисунке. Пороговое поле 石с, при котором дрейфовая скорость начинает уменьшаться, называется обычно критическим полем. Одно время считалось, что ОДС в GaAs связано с переходом электронов в X долины. После того, как было показано, что 厶 долины расположены по энергии ниже, чем X долины [5.32], механизмом, ответственным за ОДС в GaAs, был признан переход в 厶 долины.
u\su cqloodoxu §ио^^
u\su cqloodoxu §ио^^
Для наблюдения ОДС необходимо удовлетворить следующим условиям. Должны существовать долины с более высокой энергией, в которые электроны могут возбуждаться в сильном электрическом поле. Подвижность электронов в этих долинах должна быть много меньше, чем в долине с более низкой энергией. Энергетическое расстояние между долинами с высокой и низкой энергией должно быть много больше, чем 衣в7\ где Т — температура, при которой будет работать прибор, для того, чтобы не происходило термического заселения долин с более высокой энергией. Однако это расстояние не должно быть больше ширины запрещенной зоны. В противном случае до того, как носители приобретут от поля энергию, достаточную для перехода в более высокие долины, может произойти возбуждение носителей из валентной зоны в зону проводимости путем ударной ионизации (см. [5.22], с. 322—384). Эти условия удовлетворяются в зонах проводимости GaAs, InP [5.26] и тройном твердом растворе In^Gai-^As (ж < 0,5).
Эффект Ганна. В 1963 г. Ганн [5.33, 5.34] обнаружил, что ток в тонком образце GaAs n-типа (толщиной порядка 10 мкм), находящемся в сильном поле (превосходящем критическое поле Ес для GaAs), спонтанно приобретает характер осцилляций с микроволновыми частотами (рис. 5.14). Частота осцилляций обратно пропорциональна длине образца, к которому приложено электрическое поле. Как будет показано ниже, она равна скорости насыщения %, деленной на длину образца. Если длина образца составляет примерно 10 мкм, а & = 107 см/с, то частота осцилляций имеет величину порядка 1010 Гц, т.е. 10 ГГц D. Электромагнитные волны с такой высокой частотой называются микроволнами. Очевидной областью применения эффекта Ганна является изготовление микроволновых генераторов, называемых диодами Ганна.
1)Единица частоты Герц (Гц) названа в честь Генриха Герца, осуществившего передачу и прием радиоволн в 1888 г. Герц равен одному циклу в секунду.
14*
Рис. 5.14. Осциллограммы осцилляций Ганна в тонком образце GaAs, находящемся в сильном электрическом поле. Такие осцилляции тока возникали при приложении к образцу GaAs n-типа длиной 2, 5 • 10^3 см импульса напряжения с амплитудой 16 В и длительностью 10 нс. Частота осциллирующей компоненты равна 4,5 ГГц. Масштаб на нижнем рисунке: 2 нс/см по горизонтальной оси и 0,23 А/см по вертикальной оси. На верхнем рисунке приведен растянутый вид нижнего рисунка [5.33]Рис. 5.14. Осциллограммы осцилляций Ганна в тонком образце GaAs, находящемся в сильном электрическом поле. Такие осцилляции тока возникали при приложении к образцу GaAs n-типа длиной 2, 5 • 10^3 см импульса напряжения с амплитудой 16 В и длительностью 10 нс. Частота осциллирующей компоненты равна 4,5 ГГц. Масштаб на нижнем рисунке: 2 нс/см по горизонтальной оси и 0,23 А/см по вертикальной оси. На верхнем рисунке приведен растянутый вид нижнего рисунка [5.33]Рис. 5.15. Очень упрощенная схематическая зависимость дрейфовой скорости от поля в GaAs (а). Пространственная зависимость электрического поля в образце GaAs при напряжении смещения вблизи критического поля Ес (б). Изменение плотности заряда вдоль образца GaAs (в)
Рис. 5.14. Осциллограммы осцилляций Ганна в тонком образце GaAs, находящемся в сильном электрическом поле. Такие осцилляции тока возникали при приложении к образцу GaAs n-типа длиной 2, 5 • 10^3 см импульса напряжения с амплитудой 16 В и длительностью 10 нс. Частота осциллирующей компоненты равна 4,5 ГГц. Масштаб на нижнем рисунке: 2 нс/см по горизонтальной оси и 0,23 А/см по вертикальной оси. На верхнем рисунке приведен растянутый вид нижнего рисунка [5.33]
Рис. 5.14. Осциллограммы осцилляций Ганна в тонком образце GaAs, находящемся в сильном электрическом поле. Такие осцилляции тока возникали при приложении к образцу GaAs n-типа длиной 2, 5 • 10^3 см импульса напряжения с амплитудой 16 В и длительностью 10 нс. Частота осциллирующей компоненты равна 4,5 ГГц. Масштаб на нижнем рисунке: 2 нс/см по горизонтальной оси и 0,23 А/см по вертикальной оси. На верхнем рисунке приведен растянутый вид нижнего рисунка [5.33]
Эффект Ганна является примером того, как ОДС может приводить к высоко частотным осцилляциям. Чтобы понять этот эффект на качественном уровне [5.35], предположим, что в n™GaAs зависимость дрейфовой скорости от поля имеет простой вид, схематически изображенный на рис. 5.15 а. Пусть к образцу приложено посте™ янное высокое напряжение, так что носители дрейфуют слева направо (рис. 5.15 6). Предположим, что поле поддерживается при значении, слегка меньшем, чем пороговое поле Ес. Вследствие флуктуаций электрического поля при конечных температурах в небольшой области, обозначенной на рис. 5.15 б как D, в момент 力=0 поле слегка превышает Ес. Тогда носители по обе стороны D имеют более высокие дрей-
фовые скорости, чем носители внутри D. В результате слева от D носители будут накапливаться, а справа их плотность будет уменьшаться. Накопление заряда в D при 力〉0 приводит к возрастанию электрического поля внутри этой области и уменьшению поля вне ее (рис. 5.15 б). Вследствие ОДС для полей, больших чем 石。возрастание поля внутри D приводит к дальнейшему замедлению электронов внутри D и, следовательно, еще большему накоплению заряда. Этот процесс, раз начавшись, будет продолжаться до тех пор, пока основная часть поля не окажется приложена к D (пунктирная кривая на рис. 5.15 б). На рис. 5.15 в показано распределение заряда вдоль длины образца. Область D, в которой электрическое поле имеет большую вели™ чину, называется доменом. В определенный момент времени внутри образца может существовать только один домен, так как большая часть приложенного напряжения приходится на этот домен. Образование домена вероятнее всего около катода, поскольку там сильнее всего флюктуации электрического поля. Под влиянием приложенного напряжения этот домен будет дрейфовать вдоль образца со скоростью насыщения, пока не достигнет анода, приводя, таким образом, к периодическим осцилляциям тока. Частота осцилляций равна ?%)деленной на длину образца. В результате этого осциллирующего тока образец излучает электромагнитные волны. Из приведенного простого описания ясно, что осцилляторы Ганна являются очень эффективными, хотя и миниатюрными, микроволновыми генераторами.
Транспорт в магнитном поле и эффект Холла
В заключение настоящей главы рассмотрим электрический ток, индуцированный в образце в присутствии как электрического, так и магнитного полей. В § 5.1 было отмечено, что в кубическом кристалле тензор проводимости второго ранга ст обычно может быть представлен диагональной матрицей. Последнее, однако, неверно в присутствии магнитного поля. В этом случае тензор проводимости содержит недиагональные элементы, которые линейно зависят от магнитного поля. Получим выражение для этого тензора магнитопроводности и используем его для изучения важного явления, называемого эффектом Холла. Здесь мы применим классический подход, оставив квантово-механическое рассмотрение до гл. 9, в которой будет описываться квантовый эффект Холла в двумерном электронном газе.
Тензор магнитопроводности. Предположим сначала, что образец является бесконечным, кубическим немагнитным кристаллом. Без потери общности можно считать, что магнитное поле Bz приложено к образцу в направлении оси % а электрическое поле F ——в любом произвольном направлении. Для вычисления тока через образец воспользуемся квазиклассическим подходом, рассмотренном в § 5.1. В присутствии и электрического, и магнитного полей уравнение движения электронов (5.4) следует заменить уравнением Лоренца D:
I
* d2 T т* dr / /
加(―€)[歹 +(0 " 8/с)]) (5.71)
где с — скорость света в вакууме. В (5.71) мы считали, что т* и г изотропны. Более общее рассмотрение можно найти в [5.36, 5.37]. В равновесных условиях, dv/dt = =d2T/dt2 = 0, получим для дрейфовой скорости 0d электрона выражение
(т^/r)vd = (一£)[歹 + (@d • 8/e)L (5.72)
1)Уравнения этого параграфа переводятся в систему единиц СИ устранением скорости света с.
Для трех компонент 0d вдоль осей х, у и z можно записать
(772*/丁)削3 = (一e)[凡 + (vd^yBz/c)],(m*/r)&d,у = ( — £)[% — (vd,xBz/c)},
(m*/r)vd^ = ( — &)£•
(5.73 а)(573 б)(5.73 в)(5.73 а)(573 б)(5.73 в)Ь = (ne2r/m^Fx - (eBz/m^c)rj， jy = (ne2r/m^Fy + (eBz/n^ c)rj, jz = (n^T/m^Fz.Здесь удобно ввести следующие обозначения:do = пе2т/т* (проводимость в нулевом поле) иЬ = (ne2r/m^Fx - (eBz/m^c)rj， jy = (ne2r/m^Fy + (eBz/n^ c)rj, jz = (n^T/m^Fz.Здесь удобно ввести следующие обозначения:do = пе2т/т* (проводимость в нулевом поле) иу^у^(5.74 а) (5.746) (5.74 в)(5.74 а) (5.746) (5.74 в)(5.75)(5.75)Умножая каждое из этих уравнений на плотность электронов п и заряд ( —е), получим соответствующие уравнения для плотности тока j = п ( — e)v^:
(5.73 а)
(573 б)
(5.73 в)
(5.73 а)
(573 б)
(5.73 в)
Ь = (ne2r/m^Fx - (eBz/m^c)rj， jy = (ne2r/m^Fy + (eBz/n^ c)rj, jz = (n^T/m^Fz.
Здесь удобно ввести следующие обозначения:
do = пе2т/т* (проводимость в нулевом поле) и
Ь = (ne2r/m^Fx - (eBz/m^c)rj， jy = (ne2r/m^Fy + (eBz/n^ c)rj, jz = (n^T/m^Fz.
Здесь удобно ввести следующие обозначения:
do = пе2т/т* (проводимость в нулевом поле) и
у^
у^
(5.74 а) (5.746) (5.74 в)
(5.74 а) (5.746) (5.74 в)
(5.75)
(5.75)
(577 а) (5.776) (5.77 в)(577 а) (5.776) (5.77 в)1 + (®сТ)2j z = О 0 歹/ •1 + (®сТ)2j z = О 0 歹/ •00(凡 一 ^cTFy),00(凡 一 ^cTFy),(То(% + шст^ж),(То(% + шст^ж),(578 а)(578 а)(5.78 б)(5.78 б)(5.78 в)(5.78 в)
(577 а) (5.776) (5.77 в)
(577 а) (5.776) (5.77 в)
1 + (®сТ)2
j z = О 0 歹/ •
1 + (®сТ)2
j z = О 0 歹/ •
00(凡 一 ^cTFy),
00(凡 一 ^cTFy),
(То(% + шст^ж),
(То(% + шст^ж),
(578 а)
(578 а)
(5.78 б)
(5.78 б)
(5.78 в)
(5.78 в)
(576)(576)wc = eBz/(m*c)
(576)
(576)
(классическая циклотронная частота электрона в присутствии магнитного по™
ля 笈？)* Используя эти обозначения, можно упростить (5.74):
j х =。0 Fx - 3 门 j 期)
j у =。0 Fy + ⑴ c 7 九)
jz =z •
Решая (5.77), найдем три компоненты плотности тока:
На основании (5.78) можно ввести для электронов определение обобщенного тензора магнитопроводимости а(В) в виде
^о^о"1 + (公门)2"1 + (公门)21®сТО1®сТО^wcr01001 + Зет)?^wcr01001 + Зет)?(579)(579)
^о
^о
"1 + (公门)2
"1 + (公门)2
1
®сТО
1
®сТО
^wcr0
10
01 + Зет)?
^wcr0
10
01 + Зет)?
(579)
(579)
Отметим, что (5.79) содержит сумму диагонального и антисимметричного тензора. Знак недиагональных членов зависит от знака заряда.
На основании (5.79) можно заключить, что магнитное поле оказывает на транспорт заряда двоякое влияние: 1) проводимость, перпендикулярная к магнитному полю, уменьшается в [1 + (wcr)2]ml раз. Соответствующее увеличение сопротивления образца в магнитном поле называется магнитосопротивлением (для малых значений В оно пропорционально В2); 2) магнитное поле также индуцирует ток в направлении, перпендикулярном к приложенному электрическому полю, что приводит к появлению недиагональных элементов в тензоре проводимости. Они линейно зависят от магнитного поля, в то время как диагональные элементы зависят от магнитного поля квадратично. Недиагональные элементы приводят к эффекту Холла, который будет обсуждаться в следующем пункте.
Эффект Холла. Рассмотрим образец в форме прямоугольного бруска, ориентированного своей длинной стороной вдоль оси ж (рис. 5.16 а). Электрическое поле F теперь приложено вдоль оси ж, а магнитное поле В по-прежнему направлено вдоль оси z. В соответствии с законом Лоренца, при дрейфе электронов вдоль оси ж под действием электрического поля они испытывают также действие силы в направлении у. Это приводит к появлению тока в направлении 仇 хотя в данном направлении нет приложенного электрического поля. Одной из типичных экспериментальных конфигураций является замкнутая цепь тока в направлении ж и разомкнутая цепь в направлении у (рис. 5*16 а)* Поскольку вторая цепь разомкнута, плотность тока jy должна быть равна нулю. Из (5.78 б) видно, что в присутствии магнитного поля В в образце индуцируется электрическое поле Fy. Это явление называется эффектом Холла [5.38] в честь Е.Х. Холла (1855—1938), открывшего его во время своей работы в Университете Джона Хопкинса в 1879 г. и бывшего профессором Гарвардского Университета с 1881 по 1921 гг.
Рис. 5.16. Конфигурация образцов для холловских измерений: а) образец в форме бруска; б) образец в виде тонкой пленки, используемой в методе ван дер Пау. Обозначения: В —— магнитное поле, / ——источник тока, V ——вольтметр для измерения напряжения ХоллаРис. 5.16. Конфигурация образцов для холловских измерений: а) образец в форме бруска; б) образец в виде тонкой пленки, используемой в методе ван дер Пау. Обозначения: В —— магнитное поле, / ——источник тока, V ——вольтметр для измерения напряжения Холла
Рис. 5.16. Конфигурация образцов для холловских измерений: а) образец в форме бруска; б) образец в виде тонкой пленки, используемой в методе ван дер Пау. Обозначения: В —— магнитное поле, / ——источник тока, V ——вольтметр для измерения напряжения Холла
Рис. 5.16. Конфигурация образцов для холловских измерений: а) образец в форме бруска; б) образец в виде тонкой пленки, используемой в методе ван дер Пау. Обозначения: В —— магнитное поле, / ——источник тока, V ——вольтметр для измерения напряжения Холла
Простая физическая картина происходящего заключается в следующем. Под действием магнитного поля происходит дрейф зарядов в направлении у. В результате заряды накапливаются на двух противоположных поверхностях образца, перпендикулярных к оси 仇 и создают электрическое поле %, которое компенсирует действие силы Лоренца. В условиях равновесия, когда jy = 0, индуцированное поле
Fy = 一必丁九/(то) (5.80 а) а ток в направлении ж равен
о/. (5.806)
Измеряемой величиной в этом эксперименте является Fy)а внешними контролируемыми параметрами ——jx и В. Поэтому коэффициент Холла Rh определяется как отношение
(5.81)(5.81)Ан = Fy/(jxBz).
(5.81)
(5.81)
Из (5.80 а) и (5.806) находим
11。0&。0&песпес(532)(532)
1
1
。0&
。0&
пес
пес
(532)
(532)
Отметим, что знак Ан зависит от знака заряда. В то время как коэффициент Холла в (5.82) отрицателен (мы приняли, что заряды являются электронами), легко показать, что Ан становится положительным для дырок. Таким образом, мы видим, что эффект Холла является важным методом для определения как концентрации, так и знака заряженных носителей в образце. Применение этого метода не ограничивается только полупроводниками и широко используется при изучении металлов. В компенсированных полупроводниковых образцах, в которых присутствуют как электроны, так и дырки, Ан имеет следующий вид (задача 5.6):
(5.83)(5.83)Np -庐 义ec(bNn + Np)^
(5.83)
(5.83)
где Nn и ^p ——концентрации отрицательных и положительных зарядов, соответственно, а 6 равно отношению их подвижностей: дп/др. Выражение (5.82) для случая анизотропных масс и т было получено Геррингом и Фогтом [5.37].
Коэффициент Холла в тонких пленках (метод ван дер Пау). При измерениях эффекта Холла, описанных в предыдущем пункте, выдвигается требование, чтобы образец имел форму прямоугольного бруска, что является некоторым ограничением. Как обсуждалось в § 1.2, образцы часто выращивают в виде тонких эпитаксиальных пленок на непроводящей подложке. Распространение метода Холла на такие тонкие пленки было сделано ван дер Пау [5.39]. Две обычно применяемые геометрии для измерения коэффициента Холла и удельного сопротивления тонкого образца по методу ван дер Пау были приведены на рис. 5.16 б. Этот метод особенно удобен для образца произвольной формы или в форме диска.
Ток подводится к контактам 3 к £ а напряжение Холла измеряется между контактами 1 и 2. Преимущество формы в виде «листка клевера» (см. рис. 5.16 б) заключается в том, что ток не протекает между холловскими контактами. Чтобы свести к минимуму ошибку при измерении напряжения Холла, возникающую вследствие того, что направление тока может быть не перпендикулярно к линии, соединяющей контакты 7 K 2, напряжение обычно измеряется с магнитным полем 匕幺(±笈)и без поля %2(0). Ван дер Пау показал, что коэффициент Холла имеет следующий вид:
=[匕式笈)-%2(0)]d=[匕式笈)-匕2(一笈)]d
H — h4B — 2I34B
где d ——толщина пленки,笈——магнитное поле и /% ——ток, текущий от контакта 3 к контакту 4-
Удельное сопротивление образца р также может быть измерено с помощью метода ван дер Пау. В этом случае два соседних контакта, например 2 к 3 (/^), используются как токовые контакты, а два оставшихся контакта используются для измерения падения напряжения (%,). Результирующее сопротивление обозначается как R^i^ 23
А〃, 23 = |%/〃2 夕(5.85)
Затем производится второе измерение, при котором ток протекает между контактами 7 к 3, а напряжение измеряется между контактами 2 Kz. Из результирующего сопротивления /^24,13 и сопротивления А〃,统 можно вычислить q с помощью выражения
P —2 In 2
где / — множитель, зависящий от отношения R洱 131Rg 艺з； / = 1, когда это отношение в точности равно 1 (см. [5.26], с. 63). Если это отношение равно 10, то / уменьша™ ется до 0,7. Обычно большая величина этого отношения является нежелательной и свидетельствует либо о плохом качестве контактов, либо о неоднородном легировании образца.5.5.4. Эффект Холла в случае распределения электронов по энергиям. До сих пор мы предполагали, что все заряженные носители обладают одинаковыми свойствами. Рассмотрим теперь случай, когда энергии электронов распределены в диапазоне Е с функцией распределения f (Е). Обозначим среднее от любой характеристики электронов а(Е) как ⑷:где / — множитель, зависящий от отношения R洱 131Rg 艺з； / = 1, когда это отношение в точности равно 1 (см. [5.26], с. 63). Если это отношение равно 10, то / уменьша™ ется до 0,7. Обычно большая величина этого отношения является нежелательной и свидетельствует либо о плохом качестве контактов, либо о неоднородном легировании образца.5.5.4. Эффект Холла в случае распределения электронов по энергиям. До сих пор мы предполагали, что все заряженные носители обладают одинаковыми свойствами. Рассмотрим теперь случай, когда энергии электронов распределены в диапазоне Е с функцией распределения f (Е). Обозначим среднее от любой характеристики электронов а(Е) как ⑷:a(E)f{E)dEa(E)f{E)dEС помощью этого выражения можно переписать (5.78) в виде〈九〉=aFx 一 jBzFy.〈九〉=«^ + 1BZFX.(b：)=廿о〉凡，С помощью этого выражения можно переписать (5.78) в виде〈九〉=aFx 一 jBzFy.〈九〉=«^ + 1BZFX.(b：)=廿о〉凡，гдегде1 + (®сТ)21 + (®сТ)277ne3 /72m*2c \ 1 + (®сТ)2ne3 /72m*2c \ 1 + (®сТ)2(5.87)(5.88 а)(5.88 б)(5.88 в)(5.89 а)(5.89 б)(5.87)(5.88 а)(5.88 б)(5.88 в)(5.89 а)(5.89 б)В пределе слабого магнитного поля, или когда (шст)2《1, можно приближенно заменить 1 + @ст)2 на 1:В пределе слабого магнитного поля, или когда (шст)2《1, можно приближенно заменить 1 + @ст)2 на 1:пе2пе° (г2)а и —(т).7 и 9пе2пе° (г2)а и —(т).7 и 9(5.90)(5.90)В пределах этого приближения коэффициент Холла для распределения электроновВ пределах этого приближения коэффициент Холла для распределения электроновможно выразить какможно выразить какн (—пес)(т}2 песн (—пес)(т}2 пес(5.91)(5.91)
где / — множитель, зависящий от отношения R洱 131Rg 艺з； / = 1, когда это отношение в точности равно 1 (см. [5.26], с. 63). Если это отношение равно 10, то / уменьша™ ется до 0,7. Обычно большая величина этого отношения является нежелательной и свидетельствует либо о плохом качестве контактов, либо о неоднородном легировании образца.
5.5.4. Эффект Холла в случае распределения электронов по энергиям. До сих пор мы предполагали, что все заряженные носители обладают одинаковыми свойствами. Рассмотрим теперь случай, когда энергии электронов распределены в диапазоне Е с функцией распределения f (Е). Обозначим среднее от любой характеристики электронов а(Е) как ⑷:
где / — множитель, зависящий от отношения R洱 131Rg 艺з； / = 1, когда это отношение в точности равно 1 (см. [5.26], с. 63). Если это отношение равно 10, то / уменьша™ ется до 0,7. Обычно большая величина этого отношения является нежелательной и свидетельствует либо о плохом качестве контактов, либо о неоднородном легировании образца.
5.5.4. Эффект Холла в случае распределения электронов по энергиям. До сих пор мы предполагали, что все заряженные носители обладают одинаковыми свойствами. Рассмотрим теперь случай, когда энергии электронов распределены в диапазоне Е с функцией распределения f (Е). Обозначим среднее от любой характеристики электронов а(Е) как ⑷:
a(E)f{E)dE
a(E)f{E)dE
С помощью этого выражения можно переписать (5.78) в виде
〈九〉=aFx 一 jBzFy.
〈九〉=«^ + 1BZFX.
(b：)=廿о〉凡，
С помощью этого выражения можно переписать (5.78) в виде
〈九〉=aFx 一 jBzFy.
〈九〉=«^ + 1BZFX.
(b：)=廿о〉凡，
где
где
1 + (®сТ)2
1 + (®сТ)2
7
7
ne3 /72
m*2c \ 1 + (®сТ)2
ne3 /72
m*2c \ 1 + (®сТ)2
(5.87)
(5.88 а)
(5.88 б)
(5.88 в)
(5.89 а)
(5.89 б)
(5.87)
(5.88 а)
(5.88 б)
(5.88 в)
(5.89 а)
(5.89 б)
В пределе слабого магнитного поля, или когда (шст)2《1, можно приближенно заменить 1 + @ст)2 на 1:
В пределе слабого магнитного поля, или когда (шст)2《1, можно приближенно заменить 1 + @ст)2 на 1:
пе2пе° (г2)
а и —(т).7 и 9
пе2пе° (г2)
а и —(т).7 и 9
(5.90)
(5.90)
В пределах этого приближения коэффициент Холла для распределения электронов
В пределах этого приближения коэффициент Холла для распределения электронов
можно выразить как
можно выразить как
н (—пес)(т}2 пес
н (—пес)(т}2 пес
(5.91)
(5.91)
Множитель гн = (т2)/(т)2 называется холловским фактором. Его значение зависит от механизмов рассеяния, вносящих вклад в г, и обычно имеет величину порядка 1 (см. [5.26], с. 57). В пределе сильных магнитных полей или очень чистых образцов, когда (шст)2》1, выражение (5.91) с гн = 1 остается справедливым (задача 5.7). В принципе можно определить подвижность носителей, измерив Ан и(то, и с помощью (5.75) и (5.82) получить
Д = Ана (5.92)
однако на практике носители обычно распределены по энергиям, так что подвижность, вычисленная с помощью (5.92), это не то же самое, что подвижность д, определенная выражением (5.12). Подвижность, определенная выражением (5.92), назы™ вается холловской подвижностью дн и связана с д соотношением
Задачи
Смещенное распределение носителей.
С помощью (5.19) покажите, что в пределах приближения времени релаксации распределение носителей в присутствии слабого внешнего поля F можно приближенно представить как
А =犬(М + qrkvk • F).
Следовательно, действие электрического поля сводится к смещению всего распределения (без искажения) на энергию qT^n^F. Это как раз та энергия, которую носители с зарядом q и скоростью ©% приобретают в поле F за время %.
а) Смещенное распределение Максвелла-Больцмана.
Допустим, что распределение 犬 электронов при тепловом равновесии в (5.14) приближенно выражается функцией распределения Больцмана:
犬=Л exp [-Ek/{kBT)].
Свободные носители в сферической зоне с эффективной массой ш* имеют энергию Е% = (l/2)m*v^. Результирующая 犬 называется распределением Максвелла- Больцмана. Покажите, используя результат задачи 5.1, что в присутствии слабого внешнего электрического поля F распределение носителей может быть приближенно представлено как
где 0d —дрейфовая скорость, определенная в (5.6). Физический смысл этого результата заключается в следующем. Внешнее поле приводит к однородному увеличению скоростей носителей на величину @山 не изменяя вида функции распределения. Результирующее распределение называется смещенным распределением Максвелла— Больцмана.
б) П ри б л иже н ие времени релаксации.
Цель задачи — показать, как можно получить приближение времени релаксации
исходя из (5.30). Сделаем следующие предположения:
— электронная зона изотропна и имеет эффективную массу ш*;
—рассеяние является полностью упругим (так что &，= Е^ и 犬=/^,);
—приложенное поле является слабым, так что справедливо выражение (5.19).
Сделав эти предположения покажите, что
A 一加=(a -犬)[1 - …f)/(也• Л].
Подставьте этот результат в (5.30) и покажите, что
т£‘ = Е Р(® »)[1F)/(@i F)]，
Для упрощения приведенного выше выражения выберем (без потери общности) оси координат таким образом, что к параллельно оси z^ F лежит в плоскости yz. Пусть 6 и & — углы между к и F и между к1 и F1 соответственно. Пусть (К а, Д)— полярные координаты к1 в этой системе. Покажите, что
(Vkf • F)/(©% • F) = tg 6 sin a sin 0 + cos a.
Пусть вероятность P(k)к1) упругого рассеяния зависит от а, но не зависит от Д. Покажите, что
丁£’ 二 52 P(k)k')(l - cos a).
Физический смысл этого результата заключается в том, что при упругом рассея™ нии время релаксации определяется рассеянием на большие углы (т.е. процессами с а и 7г).
Внутризонное рассеяние н a L А фононах.
С помощью (5.42) покажите, что взаимодействие на деформационном потенциале вносит следующий вклад во время тас внутризонного рассеяния на LA фононе для электрона с энергией Е в невырожденной зоне с изотропной эффективной массой ш*:
1 —屮 2
Тас7Г 方'
где % ——объемный деформационный потенциал для электрона, Т ——температура, кв —— постоянная Больцмана, ^ — плотность кристалла и vs — скорость LA фонона.
Соответствующие GaAs параметры части (а) имеют следующие значения: ш* = =О,О67шо, Е = 36 мэВ, ас = 6 эВ, р = 5,31 г/см3, = 5,22 • 105 см/с. Покажите, что 7aс = 7 • IO—2 c (7 пс)ПрИ г = 300 К.
Вероятность пьезоэлектрического рассеяния на акустическом фононе.
Пусть коэффициент пропорциональности в (5.44) не зависит от угла. Подставьте результат в (5.41) и проинтегрируйте, как в (5.42). Покажите, что вместо вероятности рассеяния, пропорциональной Т(石南尸/乙 как в (5.43), вероятность пьезоэлектрическое го рассеяния пропорциональна Т(咼厂".Посмотрите приведенное выше обсуждение о том, каким образом можно удалить расходимость в выражении для вероятности рассеяния при Е^ —> 0.
Вероятность рассеяния электронов в параболической зоне н a L О фононах.
Рассмотрим случай полярного полупроводника, у которого LO фонон с энергией Йшьо не обладает дисперсией. Гамильтониан фрёлиховского взаимодействия электрона с LO фононом приведен в (3.36). Обозначим волновой вектор и энергию электрона в невырожденной зоне проводимости с изотропной эффективной массой ш* как к и 石％ соответственно. Покажите, что для Е^ > Йшьо минимальный ((/2 min) и максимальный (g2 max) волновые векторы фонона, испущенного электроном, вы ража™ ются как
42 min =倉口 一 f(Ek)]
И
42 max 二倉, где
/(秋)=口 -(方皿0/秋)]
Покажите, что соответствующие векторы gimin и gimax для поглощения LO фонона выражаются как
qimin = k[ff(Ek) - 1]
и
gi max = k[ff(Ek) + 1],
где
广(秋)=口 + (方秋)f/L
В особом случае, когда ^ = 0,
Ц1 min = 41 max = [2t7Z ®LC)/方]/ •
Подставив полученные выше результаты в (5.50), покажите, что вероятность релаксации импульса при рассеянии на LO фононах в пределе 窕=0 дается выражением (5.51).
Пусть для электрона в зоне проводимости GaAs 石％/(方3lo) = 4. Вычислите вероятность рассеяния этого электрона на LO фононах при фрёлиховском взаимодействии (3.36). Используйте следующие значения для материальных параметров GaAs: плотность q = 5,31 г/см°, ш* = О,О67шо, Ео = 12,5, Eg = 10,9 и Йшьо = 36мэВ.
Коэффициент Холла для образцов, содержащих как электроны, так и дырки.
Покажите, что для образца, содержащего в единице объема Nn электронов и ^p дырок с подвижностями 〃п и Др, уравнения для плотности тока в приложенном электрическом поле F и магнитном поле Bz имеют вид
jx = (^П + Qp)歹方—(0П + 0р)笈/歹у〉 jу = (^П + Qp)歹у + (0П + 0p)笈/歹 j z = b0 fp〉
где ag = Nie Hi и 0勿=^а^д^ / с (для перехода в систему СИ уберите с) для г = п и р.
Пусть jy = 0, как при обычных измерениях эффекта Холла. Получите выра™ жение для Fy. Вычислите коэффициент Холла /?н = ^/(jxBz).
Холловский фактор в пределе сильного и слабого магнитного поля.
Покажите, что коэффициент Холла для электронов, имеющих распределение по энергиям и временам рассеяния т, имеет вид
где а к т определены выражениями (5.89а, б).
Заключение
В настоящей главе мы обсуждали транспорт носителей в полупроводниках под действием внешних полей. Мы использовали приближение эффективной масс”, что™ бы иметь возможность рассматривать свободные носители как классические заряды с перенормированными массами. Сначала был рассмотрен случай слабых полей, когда поле не искажает распределение носителей, а приводит к движению всего распределения с дрейфовой скоростью. Дрейфовая скорость определяется временем, называемым временем рассеяния^ в течение которого носители ускоряются полем, прежде чем произойдет их рассеяние. Было также введено определение подвижности, как коэффициента пропорциональности между дрейфовой скоростью и электрическим полем. Мы вычислили вероятности рассеяния носителей на акустических и оптических фононах и на ионизованных примесях. С помощью этих вероятностей рассеяния была найдена температурная зависимость подвижности носителей. На ее основании предложен метод модулированного легирования как способ свести к минимуму рассеяние на ионизованных примесях при низких температурах. Мы провели качественное обсуждение поведения носителей в сильных электрических полях. Было показано, что горячие носители не подчиняются закону Ома. Вместо этого их дрейфовые скорости в сильных полях принимают постоянное значение, называемое скоростью насыщения. Мы показали, что скорость насыщения для большинства полупроводников составляет около 107 см/с вследствие энергетической и импульсной релаксации носителей при рассеянии на оптических фононах. В нескольких полупроводниках n-типа, таких как GaAs, дрейфовая скорость может превысить скорость насыщения, и возникает явление отрицательного дифференциального сопротивления. Оно является следствием наличия в этих полупроводниках дополнительных долин зоны проводимости,
энергии которых расположены выше энергии минимума самой низкой зоны проводи™ мости на величину порядка 0,1 эВ. Отрицательное дифференциальное сопротивление приводит к спонтанным осцилляциям тока на микроволновых частотах, когда тонкие образцы подвергаются действию сильных электрических полей. Данное явление называется эффектом Ганна. При совместном действии электрического и магнитного полей транспорт носителей в полупроводниках описывается антисимметричным тензором второго ранга, который называется тензором магнитопроводности. Важным применением этого тензора является объяснение эффекта Холла. Коэффициент Холла дает наиболее прямой способ определения знака и концентрации заряженных носителей в образце.
ГЛАВА 6
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА I
Содержание
. Макроскопическая электродинамика ....................................223
. Диэлектрическая функция ..............................................230
Экситоны................................................................. 249
Фононные поляритоны и решеточное поглощение........................ 263
Поглощение, связанное с примесными атомами ..........................274
Модуляционная спектроскопия...........................................282
Диэлектрическая функция ...............................................297
Задачи .......................................................................298
Заключение.................................................................. 305
Фундаментальные энергетические щели большинства полупроводников охватывают диапазон энергий от нуля и до примерно 6 эВ. Фотоны, обладающие достаточной энергией, могут возбуждать электроны из заполненной валентной зоны в пустые зо™ ны проводимости. Вследствие этого оптические спектры полупроводников являются источником богатой информации об их электронных свойствах. Во многих полупроводниках фотоны могут также взаимодействовать с колебаниями решетки и с электронами, локализованными на дефектах, благодаря чему оптические методы полезны также для изучения этих возбуждений. Оптические свойства являются основой многих важных применений полупроводников, таких как лазеры, светодиоды и фотоприемники.
Падающий.Падающий.丿门门""""1丿门门""""1产 ZZrf-产 ZZrf-На рис. 6.1 схематически показаны некоторые оптические процессы, возникающие при освещении среды. На поверхности среды часть света отражается, а остальная проходит внутрь. В среде часть излучения может поглотиться или рассеяться, а остальная часть проходит через образец. Часть поглощенных электромагнитных волн может превратиться в тепло или излучиться с другой частотой. Последний процесс называется фотолюминесценцией. Электромагнитные волны рассеиваются на неоднородностях внутри среды. Эти неоднородности могут быть статическими или динамическими. Примером динамичесческой флуктуации является флуктуация плотности, связанная с акустической волной. Рассеяние света акустическими волнами обычно называется рассеянием Бриллюэна [6.1 а]. (Это явление было независимо
Падающий.
Падающий.
丿门门""""1
丿门门""""1
产 ZZrf-
产 ZZrf-
I™ <■■■■■■■■■■ H
Рис. 6.1. Схема, иллюстрирующая линейные оптические процессы, происходящие на поверхности среды и внутри нее. Предполагается, что луч света падает на поверхность среды из вакуума (или из воздуха)
открыто Мандельштамом [6.1 б]). Рассеяние света другими элементарными возбуждениями, такими как фононы или плазмоны, называется рамановским рассеянием (сэр С.В. Раман получил в 1930 г. Нобелевскую Премию по Физике за открытие эффекта, названного его именем). В общем случае наиболее интенсивными оптическими процессами являются отражение и поглощение^ поскольку они связаны взаимодействиями самого низкого порядка между электромагнитными волнами и элементарными возбуждениями внутри среды. Рассеяние света связано с двумя такими взаимодействиями (т.к. существуют падающее и рассеянное излучения), и поэтому оно обычно бывает слабее. Мы не будем рассматривать в настоящей книге нелинейные оптические процессы (такие как генерация суммарных и разностных частот), которые связаны с оптическими взаимодействиями более высокого порядка. Читатели, которых интересует этот вопрос, могут обратиться к соответствующей литературе [62—6*4]. Поскольку существует много способов взаимодействия фотонов с возбуждениями внутри полупроводников, разделим обсуждение оптических свойств полупроводников на две главы.
В настоящей главе описываются фундаментальные оптические свойства полупроводников. В главе 7 будут рассматриваться более специальные проблемы, такие как фотолюминесценция и рассеяние света.
Макроскопическая электродинамика
В диэлектрической среде внешняя синусоидальная электромагнитная волна с вектором электрического поля F(г, t) = E(q〉w) sin (q • 丁 一 wt), где q — волновой вектор, a g — частота, индуцирует поляризацию с вектором Р, который связан с приложенным полем тензором второго ранга:
Pig 力‘)= 乂八几 М 力 t^Ejir. t)drdt. (6.1)
Тензор Xij называется тензором электрической восприимчивости. Для упрощения обозначений в (6.1) автоматически подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу J. Время, конечно, однородно при отсутствии зависящих от него возмущений. Часто пространство также предполагается однородным, что позволяет избежать осложнений, связанных с коррекцией локального поля (этого избегают, усредняя все микроскопические величины по элементарной ячейкеD). Сделав указанные предположения, можно упростить (6.1):
Pig 力‘)=О) Xij(k 一 叫)I力 一 *)М6 t)drdt. (6.2)
С помощью теоремы о свертке можно представить (6.2) в виде Фурье-образа для Р^ х и Е (определение Фурье-образа дано в п. 4.2.1)
a(q w) = 6oXv(9, ®)Е'(5 ®)“ (6*3)
В принципе, все линейные оптические свойства среды определяются тензором комплексной электрической восприимчивости Xij(r〉®)・ Отметим, что в то время, как 尸力'))Xij(r)丁\ 力,力')и E(r, t) являются реальными величинами, их Фурье-образы могут быть комплексными. Тот факт, что Xij(r〉丁\ 力 力')——реальная величина, означает, что м八4 ⑴)=达/一4 一⑴).
Для сравнения с экспериментом часто удобнее ввести другой комплексный тензор второго ранга, называемый диэлектрическим тензором. Этот тензор £g(q)g) опре™ деляется следующим образом:
D^q, g) = eoeij(q,幻)石八5 幻)， (6.4)
где D(q, w) является Фурье-образом вектора электрического смещения D(r, f), опре™ деляемого как D(r,方)=Е(т,方)十 4тгР(г, f). Из определения следует, что Xij^^ 幻) и g(q)w) в системе СИ связаны между собой соотношением
/j(d g)=1 十 4"х2乂5 g)=1 十 七八q)g)* (6*5)
Реальная и мнимая части диэлектрического тензора обозначаются как %(т, ш) и %(q,幻)соответственно. Приведем без доказательства некоторые свойства m(q,幻)：
|
Е(-q，-3)= £*Й，3), (6.6)
e叮(S =£叮(一5 3)* (67)
Уравнение (6.6) вытекает из того факта, что г (г,方)должна быть реальной функцией пространства и времени. Уравнение (6.7) является одним из примеров общего свойства всех так называемых кинетических коэффициентов: соотношений Ошагера.
В большинстве случаев, которые мы будем изучать, длина волны света много больше, чем постоянная решетки или другие характерные размеры в полупроводниковых кристаллах (например, радиус экситона; экситоны будет изучаться в § 6.3). Вследствие этого можно считать волновой вектор света q равным нулю, за исключением особо оговоренных случаев, и сокращенно записывать диэлектрический тензор как m(cj). Если предположить, что m(q,幻)не зависит от q при любом значении q (хотя это справедливо только при малых q), и вычислить ее обратный Фурье-образ (см. также п. 4.2.1), то окажется, что т(т, g) пропорциональна дельта-функции Дирака 5 (г). Это означает, что отклик на действие Е(т) имеет локальный характер, т.е. D(t) зависит только от поля, приложенного в точке г. С другой стороны, если m зависит от q, ее обратный Фурье-образ зависит от г — г\ и отклик является нелокальным. Зависимость е от q называется пространственной дисперсией. В большинстве случаев, представляющих интерес в оптике полупроводников, эта зависимость довольно слабая [< ]0—5g"(0, ш)]. Тем не менее она наблюдалась в таких полупроводниках, как Ge и GaAs [6.6, 6.7]. Читатели, интересующиеся этим вопросом, могут обратиться к книге Аграновича и Гинзбурга [6.8].
Наше рассмотрение оптических свойств полупроводников будет заключаться главным образом в вычислении диэлектрического тензора и изучении его свойств. В изотропной среде или в кубическом кристалле диэлектрический тензор е(ш) имеет только три одинаковых диагональных элемента. В тех случаях, когда тензорная природа m(cj) не важна, можно заменить %勿(幻)на скалярную функцию е(ш), называемую диэлектрической функцией. В дальнейшем мы будем пользоваться этим приближением, если не будет сделано особых оговорок.
До сих пор среди изучавшихся нами полупроводников только соединения II-VI со структурой вюрцита, такие как CdS и ZnO (задача 3.7), не являлись кубическими кристаллами. Такие кристаллы называются одноосными, поскольку они содержат особую ось, называемую оптической осью (в кристаллах со структурой вюрцита она совпадает с осью с). Когда электромагнитные волны распространяются вдоль этой оси, они имеют одну и ту же скорость, независимо от направления их поляризации. Вдоль других кристаллографических осей скорость света зависит от поляризации, что приводит к явлению, называемому двулучепреломлением. Кристаллы с тетраэдрической или гексагональной симметрией являются одноосными. Кристаллы с более низкой симметрией имеют два направления, вдоль которых плоские электромагнитные
волны распространяются с одной и той же скоростью независимо от их поляризации. Такие кристаллы называют двухосными.
Макроскопические оптические свойства изотропной среды могут характеризоваться комплексным показателем преломления п. Его реальная часть п обычно называется показателем преломления, а мнимая часть х называется показателем, или коэффициентом, экстинкции. Коэффициент отражения при нормальном падении, или отражение R полубесконечной изотропной среды в вакууме, определяется в [6.10] как I冗=|(万一i)/m + DR(6.8)
Если, проходя через среду от точки 歹i до точки 丁2, свет поглощается, то коэффициент поглощения среды а определяется следующим образом:
где / (г)——интенсивность в точке г. Коэффициент поглощения связан с х соотношением
q = 4тгм/Ао,(6.10)
где Ло — длина световой волны в вакууме. Комплексный показатель преломления п связан с е (g) соотношением
8(G)= (fl)?*(6.11)
Единицы измерения частот электромагнитных волн. В качестве отступления приведем различные единицы измерения частот электромагнитных волн, встречающиеся в литературе. В принципе, частота света (обозначаемая 〃) выражается в Герцах (Гц), т.е. циклах в секунду. Угловая частота g связана с 〃 как g = =2тг〃 (радиан в секунду). В спектроскопии рассеяния света и в инфракрасной спектроскопии часто встречается другая единица, называемая волновым числом, которая определяется как обратная величина длины волны А. Волновое число 1 см-1 соответствует длине волны 1 см, или частоте 3 • 1010 Гц (т.е. 30 ГГц). При изучении квантовых процессов, связанных с электромагнитными волнами, мы квантуем энергию электромагнитных волн, называя эти кванты фотонами. Энергия фотона равна Йш, где 力一постоянная Планка. Энергии фотонов часто выражаются в электронвольтах (или эВ), а иногда — в единицах 7 (температура в градусах Кельвина). В последнем случае энергия фотона равна &в7, где &в — постоянная Больцмана. Ниже приведены переводные множители от эВ к различным единицам измерения частоты: 1 эВ о 8065,5 см-1 о 2,418 • 1014 Гц о А = 1,2398 мкм о 11600 К или 1СМ—1 о 0,12398 мэВ.
Экспериментальное определение оптических параметров. Существует несколько способов измерения оптических параметров полупроводника в зависимости от энергии фотона. Выбор метода зависит от того, что больше: энергия фотона или ширина запрещенной зоны [6.11].
Если энергия фотона меньше ширины запрещенной зоны и существенно больше любых энергий фононов, то коэффициент поглощения образца или равен нулю, или очень мал. Важной оптической характеристикой в этом случае оказывается показатель преломления (который является реальным). Его можно измерить несколькими различными методами. Очень точный метод заключается в изготовлении призмы из исследуемого материала и измерении угла наименьшего отклонения луча света, проходящего через эту призму. Другой метод заключается в изготовлении из образца полированной тонкой пластинки с параллельными поверхностями и измерении интерференционных полос в спектре пропускания или отражения.
15 М. Кардона
Если энергия фотона возрастает до величины, большей ширины запрещенной зоны, то обычно коэффициент поглощения полупроводника быстро возрастает до значений 104 см-1 и выше. Вследствие этого образец становится непрозрачным для таких фотонов, если только его толщина не очень мала. Поскольку интенсивность света, прошедшего через образец, уменьшается экспоненциально с толщиной в соответствии с (6.9), для измерения пропущенного излучения необходимо уменьшить толщину образца до величины, примерно равной qT. Поэтому се-1 называется оптической глубиной проникновения. Поскольку а имеет тенденцию быстро возрастать, когда энергии фотона становится больше ширины запрещенной зоны, для ее измерения в широком диапазоне энергий требуется набор все более тонких образцов.
Альтернативным и более популярным методом определения комплексной диэлектрической функции сильно поглощающих образцов является измерение отражения. Главный недостаток этого метода заключается в его чувствительности к качеству поверхности образца. Как указано выше, глубина проникновения света в образец равна а? а для полупроводников в типичных случаях а выше края поглощения имеет порядок 104 4- 106 см-1. При таких больших коэффициентах поглощения свет будет зондировать только очень тонкий слой вблизи поверхности образца (около 1 мкм или меньше). Поэтому отражение будет чрезвычайно чувствительно к загрязнениям поверхности, таким как окисные пленки или даже к загрязнениям, осевшим из воздуха. Если не предпринимаются большие усилия для получения атомарно чистой поверхности в сверхвысоком вакууме (см. гл. 8), измеренное отражение будет определяться «комбинированным» эффектом поверхностного загрязненного слоя и объема образца. Некоторые авторы называют диэлектрические функции, полученные
Рис. 6.2. Реальная и мнимая части диэлектрической функции GaAs, измеренные с помощью эллипсометрии. Сплошная кривая получена для атомарно чистой поверхности, штриховая кривая - для поверхности, покрытой пленкой окисла [6.11]Рис. 6.2. Реальная и мнимая части диэлектрической функции GaAs, измеренные с помощью эллипсометрии. Сплошная кривая получена для атомарно чистой поверхности, штриховая кривая - для поверхности, покрытой пленкой окисла [6.11]при измерениях отражения таких загрязненных образцов, « псевдо диэлектрическими функциями» [6.12]. В качестве примера того, насколько диэлектрическая функция чувствительна к качеству поверхности образца, на рис. 6.2 сравниваются «псевдодиэлек- трическая функция» окисленной поверхности GaAs (толщина окисной пленки 10 А) и диэлектрическая функция чистой поверхности GaAs. Обратите внимание на то, что наибольшая разница в g между этими поверхностями наблюдается при энергии фотона около 4,8 эВ. В этом диапазоне энергий значение х 4 [6.12], а соответствующая глубина проникновения составляет около 50 А. Очевидно, что даже окисная пленка толщиной всего 10 А существенно изменяет величину отражения.
Рис. 6.2. Реальная и мнимая части диэлектрической функции GaAs, измеренные с помощью эллипсометрии. Сплошная кривая получена для атомарно чистой поверхности, штриховая кривая - для поверхности, покрытой пленкой окисла [6.11]
Рис. 6.2. Реальная и мнимая части диэлектрической функции GaAs, измеренные с помощью эллипсометрии. Сплошная кривая получена для атомарно чистой поверхности, штриховая кривая - для поверхности, покрытой пленкой окисла [6.11]
Не считая чувствительности к состоянию поверхности, определение диэлектрической функции из отражения производится довольно просто. Образец облучается светом при нормальном или наклонном падении. При наклонном падении измеряется отражение 冗 и 冗р для падающего света (ком
поненты падающего излучения, поляризованные перпендикулярно или параллельно плоскости падения, обозначаются, соответственно, как s- и р-поляризованные). Эти компоненты отражения связаны с комплексным показателем преломления формулами Френеля [6.10]:
COS Ф — (n2 — sin2 0)1/2
COS Ф + (n2 — sin2 0)1/2
(6.12 a)
и
n2 COS Ф — (n2 — sin2 0)1/2 n2 COS Ф + (n2 — sin2 0)1/2
2
,(6.12 6)
где rs и гр ——комплексные отражательные способности для s- и р-поляризованного света соответственно, а ф — угол падения. Комплексный показатель преломления можно найти, измерив 及 и 冗р при фиксированном угле ф.
В последнее десятилетие большую популярность приобрел метод измерения при наклонном падении, называемый эллипсометрией. Это название связано с тем, что когда линейно поляризованный свет, который не является ни s-, ни р-поляризованным, падает наклонно на среду, отраженный свет оказывается эллиптически поляризованным. Измерив ориентацию и отношение осей эллипса поляризации, соответствующего отраженному свету, можно найти отношение (а) комплексных отражательных способностей rp/rs. При известных а и ф комплексная диэлектрическая функция рассчитывается с помощью следующего выражения (задача 6.1):
g = sin2 ф 十 sin2 ф tg2 фg = sin2 ф 十 sin2 ф tg2 ф1 — (71 + (71 — (71 + (7(6.13)(6.13)
g = sin2 ф 十 sin2 ф tg2 ф
g = sin2 ф 十 sin2 ф tg2 ф
1 — (7
1 + (7
1 — (7
1 + (7
(6.13)
(6.13)
На рис. 6.3 схематически показаны главные составные части эллипсометра [6.13]. Источником света может быть лазер или широкополосный источник типа ксеноновой газоразрядной лампы или кварцевой галогенной лампы. В случае широкополосного источника свет пропускается через монохроматор для выделения узкой полосы частот. Эллипсометрия, которая проводится в широком диапазоне частот фотонов, называется спектроскопической эллипсометрией. Свет, прошедший через монохроматор, пропускается через линейный поляризатор. После отражения от поверхности образца между s- и p-компонентами возникает относительный сдвиг фаз 仇 и свет становится эллиптически поляризованным. Определение эллиптичности отраженного света может производится разными способами. На рис. 6.3
15*15*Рис. 6.3. Схема эллипсометра [6.12]; Р и S означают поляризацию, параллельную или перпендикулярную плоскости соответственноРис. 6.3. Схема эллипсометра [6.12]; Р и S означают поляризацию, параллельную или перпендикулярную плоскости соответственно
15*
15*
Рис. 6.3. Схема эллипсометра [6.12]; Р и S означают поляризацию, параллельную или перпендикулярную плоскости соответственно
Рис. 6.3. Схема эллипсометра [6.12]; Р и S означают поляризацию, параллельную или перпендикулярную плоскости соответственно
с помощью компенсатора вводится дополнительный сдвиг фаз 一仇 в точности компенсирующий эллиптичность, возникшую при отражении, и свет снова становится линейно поляризованным. Это нулевое состояние легко определить, пропустив свет через ан ал и з ато р, который представляет собой другой линейный поляризатор, ориентированный так, чтобы погасить свет после компенсатора.
Несмотря на возросшую популярность эллипсометрии, чаще всего применяемым на практике, а также наиболее простым методом определения оптических постоянных является измерение отражения при нормальном падении. На рис. 6.4 показана конструкция прибора, которым пользовались Филипп и Эренрейх [6.14] для измерения отражения R полупроводников при нормальном падении в диапазоне примерно от 1 эВ до 20 эВ. Изменения в современных версиях этой установки заключаются в основном в достигнутых усовершенствованиях источников света, диф- фракционных решеток и приемников. Вместо газоразрядных ламп в настоящее время в качестве источника широкополосной и интенсивной радиации, простирающейся
66(2000 мк Водород <140 Вt 1 А(2000 мк Водород <140 Вt 1 АКонтинуум от 3,5 до 7,5 эВЛинейчатый спектр от 7,5 до 15 эВКонтинуум от 3,5 до 7,5 эВЛинейчатый спектр от 7,5 до 15 эВ(150 мкАргон { 75 ВI ЗА(150 мкАргон { 75 ВI ЗАЛинейчатый спектр от 13 до 28 эВЛинейчатый спектр от 13 до 28 эВВпуск газа Кат°Диз^АнодУ \ алюмината бария7 (заземлен)\、Сварка стекла / '[р R \с коваромВпуск газа Кат°Диз^АнодУ \ алюмината бария7 (заземлен)\、Сварка стекла / '[р R \с коваромВходная щельВходная щель" Кварцевый 匚、капилляр.Кольцевое уплотнение 1 см • 0,3 см Кольцевое уплотнение" Кварцевый 匚、капилляр.Кольцевое уплотнение 1 см • 0,3 см Кольцевое уплотнениеРис. 6.4. Вакуумный рефлектометр: Д ——внеосевая вогнутая диффракционная решетка, В ——юстировка расстояния от щели до решетки, С ——юстировка ширины щели, D ——держательфильтра, Pi и F2 — приемники^фотоумножители, £ лампа, S ——держатель образца [6.13](а) и конструкция газоразрядной лампы (6)Рис. 6.4. Вакуумный рефлектометр: Д ——внеосевая вогнутая диффракционная решетка, В ——юстировка расстояния от щели до решетки, С ——юстировка ширины щели, D ——держательфильтра, Pi и F2 — приемники^фотоумножители, £ лампа, S ——держатель образца [6.13](а) и конструкция газоразрядной лампы (6)
6
6
(2000 мк Водород <140 В
t 1 А
(2000 мк Водород <140 В
t 1 А
Континуум от 3,5 до 7,5 эВ
Линейчатый спектр от 7,5 до 15 эВ
Континуум от 3,5 до 7,5 эВ
Линейчатый спектр от 7,5 до 15 эВ
(150 мк
Аргон { 75 В
I ЗА
(150 мк
Аргон { 75 В
I ЗА
Линейчатый спектр от 13 до 28 эВ
Линейчатый спектр от 13 до 28 эВ
Впуск газа Кат°Диз^Анод
У \ алюмината бария7 (заземлен)
\、Сварка стекла / '
[р R \с коваром
Впуск газа Кат°Диз^Анод
У \ алюмината бария7 (заземлен)
\、Сварка стекла / '
[р R \с коваром
Входная щель
Входная щель
" Кварцевый 匚
、капилляр.
Кольцевое уплотнение 1 см • 0,3 см Кольцевое уплотнение
" Кварцевый 匚
、капилляр.
Кольцевое уплотнение 1 см • 0,3 см Кольцевое уплотнение
Рис. 6.4. Вакуумный рефлектометр: Д ——внеосевая вогнутая диффракционная решетка, В ——юстировка расстояния от щели до решетки, С ——юстировка ширины щели, D ——держательфильтра, Pi и F2 — приемники^фотоумножители, £ лампа, S ——держатель образца [6.13](а) и конструкция газоразрядной лампы (6)
Рис. 6.4. Вакуумный рефлектометр: Д ——внеосевая вогнутая диффракционная решетка, В ——юстировка расстояния от щели до решетки, С ——юстировка ширины щели, D ——держательфильтра, Pi и F2 — приемники^фотоумножители, £ лампа, S ——держатель образца [6.13](а) и конструкция газоразрядной лампы (6)
от инфракрасной до рентгеновской области, предпочитают пользоваться синхротронным излучением [6.15, 6.16]. Механически нарезанные диффракционные решетки в основном заменены голографическими решетками, в которых с помощью интерференции получают более высокое качество и большее число штрихов. В области приемников самым большим достижением было появление многоканальных приемников, таких как ПЗС (приборы с зарядовой связью). Это —— твердотельные приемники, чувствительные в диапазоне от ближней инфракрасной области (с длиной волны примерно 1 мкм) до ультрафиолета. Их можно также использовать в вакуумном ультрафиолете и в мягкой рентгеновской области совместно с сцинтилляторами и интенсификаторами изображения. Они позволяют электронным образом при одной экспозиции записать весь оптический спектр в широком диапазоне длин волн. Обработка электронного сигнала этих приемников с помощью настольных компьютеров дает возможность находить оптические постоянные в режиме реального времени с миллисекундным временным разрешением.
В принципе, для определения комплексного показателя преломления и, следовательно, диэлектрической функции е (ш) необходимо измерить как отражение при нормальном падении R)так и коэффициент поглощения а. На практике достаточно просто измерить R в широком диапазоне частот фотонов, а затем определить коэффициент поглощения с помощью соотношений Крамере а-К р о н и г а (СКК), или дисперсионных соотношений, которые были описаны в п. 4.3.1.
Соотношения Крамерса—Кронига. Если предположить, что величина поля падающего излучения достаточно мала, так что индуцированная поляризация линейно зависит от электрического поля, то как %(ш), так и e(g) описывают линейный отклик среды на внешнее поле. Можно показать, что функции линейного отклика, такие как g или %, удовлетворяют соотношениям Крамерса-Кронига:
%(з) — 1 = _02)(&14)
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII;
/ 、 2з _ f Er(J)dJ…
7(3)=029 5(6.15)
где Р — главное значение интеграла. Доказательство этих соотношений (см., например, [6.10] и задачу 6.2) основано на принципе причинности (т.е отклик на приложенное поле, такой как поляризация, не может предшествовать приложенному полю). Хотя показатель преломления не является функцией, описывающей отклик системы, мы можем получить СКК для п на основании того факта, что п имеет те же аналитические свойства, что и е. Так 苏 т 1 при 幻 т ос, и если выполняется принцип релятивистской причинности (т.е. отклик не может распространяться быстрее скорости света), то п является аналитической функцией в верхней полуплоскости комплексной переменной G. В результате можно получить СКК для п из (6.14) и (6.15), заменив % и на п и м соответственно.
Поскольку в большинстве экспериментов проще измерять отражение при нормальном падении, чем g или п объемного образца, желательно вывести СКК для отражения. Такое соотношение можно получить, построив комплексную функцию, называемую комплексной отражательной способностью, аналитические свойства которой подобны свойствам е. Определим эту функцию г как
w 一 1п + 1w 一 1п + 1=Q ехр(20).=Q ехр(20).(6.16)(6.16)
w 一 1
п + 1
w 一 1
п + 1
=Q ехр(20).
=Q ехр(20).
(6.16)
(6.16)
Рассмотрим контурный интеграл функции
./(/)=./(/)=1 十 g& ,г (ш )1 + w,2 (J 一 G)1 十 g& ,г (ш )1 + w,2 (J 一 G)(6.17)(6.17)
./(/)=
./(/)=
1 十 g& ,г (ш )
1 + w,2 (J 一 G)
1 十 g& ,г (ш )
1 + w,2 (J 一 G)
(6.17)
(6.17)
по контуру С, показанному на рис. 6.5. Функция / такова, что в отличие от In г
она стремится к нулю при а/ Т оо. Кроме того, единственными полюсами ./(幻‘)являются 5 kg, а вычет / в точке g равен In г(ш). По теореме Коши контурный интеграл / выражается суммой вычетов в 5 и з. Результат можно представить в виде
с ./(J)d J = 2* In 斤(g) — 5 In 斤⑴.(6.18)
Рис. 6.5. Контур интегрирования С
Функции / для получения СКК для Взяв реальную часть от обеих частей (6.18), полукоэффициента отражения чим следующее выражение (отметим, что главное значение интеграла в (6.19) равно контурному ин・
тегралу в (6.18) минус половина вычета при а/ = ш, см. рис. 6.5):
f (1 十 g&) In 0(й/)&й/
(6.19)(6.19)q— ™~" 7Г t)
(6.19)
(6.19)
J (1 十 Cj/ ) (” 一 w)
(о том, что In斤⑴——реальная величина, а это является необходимым условием для получения (6.19), можно заключить из выражений (6.48) и (6.49), приведенных ниже). После дальнейших упрощений можно выразить 0 через интеграл от In ^(ш):
® = —7Г® = —7ГООIn 03)dJIn 03)dJ(6.20)(6.20)
® = —
7Г
® = —
7Г
О
О
In 03)dJ
In 03)dJ
(6.20)
(6.20)
С помощью (6.20) комплексные отражательная способность, показатель преломления и диэлектрическая функция могут быть получены из измерений отражения в широком диапазоне частот. Поскольку затруднительно измерять отражение в диапазоне от нуля до бесконечной частоты, возникает необходимость в экстраполяции как в области низких, так и в области высоких частот. При низких частотах в нелегированном образце отражение R может быть аппроксимировано константой. При достаточно высоких частотах полупроводник можно приближенно считать газом свободных электронов с диэлектрической постоянной
(6*21)(6*21)” 1 — (шр/ш)2,
(6*21)
(6*21)
где плазменная частота шр определяется только плотностью валентных электронов (в задаче 6.3 приведены определение и вывод 小).Электроны остова так сильно связаны, что их вкладом в диэлектрическую функцию обычно можно пренебречь.
Диэлектрическая функция
Экспериментальные результаты. Некоторые типичные спектры отражения полупроводников групп IV и Ш—V, измеренные Филиппом и Эренрайхом [6.14], показаны на рисунках 6.6 а—6.8 а. Соответствующие реальные и мнимые части диэлектрической постоянной и мнимая часть так называемой функции энергетических
Рис. 6.6. Кривая отражения Si, измеренная при комнатной температуре (а). Реальная ег и мнимая £i части диэлектрической функции и мнимая часть — 1/е (называемой функцией энергетических потерь) для Si, определенные из кривой отражения, приведенной в (а), с помощью соотношений Крамерса-Кронига (6) [6.13]
Рис. 6.7. Кривые для Ge, подобные приведенным на рис. 6.6
Рис. 6.8. Кривые для GaAs, подобные приведенным на рис. 6.6
потерь (1/е), рассчитанные из спектров отражения с помощью СКК)приведены на рисунках 6.6 6—6«8 б. Диэлектрическая функция GaAs, приведенная на рис. 6.8 б, хо рошо согласуется с функцией, измеренной в более узком энергетическом диапазоне методом эллипсометрии и показанной на рис. 6.2.
Отметим, что как в спектрах отражения, так и в диэлектрических функциях Si, Ge и GaAs наблюдается богатая структура в форме пиков и плат. Эта структура связана с оптическими переходами из заполненых валентных зон в пустые зоны проводимости. Очевидно, что такая структура должна возникать в кристаллических полупроводниках (она, однако, должна быть сглажена в аморфных полупроводниках вследствие наличия неупорядоченности). В п. 2.3.4 изучались правила отбора для матричных элементов электрического дипольного оператора между двумя заданными волновыми функциями электронов в кристаллах типа цинковой обманки. В дальнейшем мы обсудим связь между зонной структурой полупроводника и его оптическими спектрами на основе микроскопической теории диэлектрической функции.
Микроскопическая теория диэлектрической функции. Для нахождения гамильтониана, описывающего взаимодействие между внешним электромагнитным полем и блоховскими электронами внутри полупроводника, мы будем использовать полуклассический подход. При этом подходе для электромагнитного поля используется классическое рассмотрение, а для электронов ——квантовое, в виде блоховских волн. Такой подход не является столь же строгим, как полностью квантово-механический, при котором вводится квантование электромагнитных волн в виде фотонов [6.17], однако его преимущество заключается в большей простоте и доходчивости. Получаемые результаты оказываются теми же, что и при квантовомеханическом рассмотрении, включая даже спонтанное излучение (которое будет обсуждаться в гл. 7).
Начнем с невозмущенного одноэлектронного гамильтониана, уже введенного нами (см. (2.4)):
丸о = р2/2т 十少(г). (6.22)
Для описания электромагнитных полей введем векторный A(r,力)и скалярный Ф(г,力)потенциалы. Вследствие инвариантности калибровки выбор этих потенциалов не является однозначным. Для простоты будем пользоваться калибровкой Кулона [6.10], в которой
Ф = 0, V • А = 0.(6.23)
При такой калибровке электрическое и магнитное поля (Е, 8) выражаются следующим образом D:
1
£ = — В = Vx А,(6.24)
с ot
где с — скорость света. Классический гамильтониан заряда Q в присутствии внешнего магнитного поля можно получить из гамильтониана свободной частицы путем замены 尸 на,尸一(QA)/с, где импульс, сопряженный радиус-вектору ([6.10], с. 409). Квантовомеханический гамильтониан, описывающий движение заряда —е во внешнем электромагнитном поле найдем, заменив оператор импульса электрона р в (6.22) на р + (еА/с):
Член [р 十(еА/с)^/2т можно разложить следующим образом (учитывая, что р не коммутирует с 4(г)):
р? сее2 Л2前十十石/，4+石р? сее2 Л2前十十石/，4+石(6.26)(6.26)
р? сее2 Л2
前十十石/，4+石
р? сее2 Л2
前十十石/，4+石
(6.26)
(6.26)
Используя определение р как оператора (ft/z) V, выразим член р ' А в виде
(р2)./6 =4*(р2)./6 =4*(6.27)(6.27)
(р2)./6 =4*
(р2)./6 =4*
(6.27)
(6.27)
Из (6.23) следует, что V-Л. = 0, и поэтому [е/(2тс)]р' А = [е/(2тс)]А'р. При вычис™ лении линейных оптических свойств можно также пренебречь членом е2^/(2тс2^ который квадратично зависит от поля. При таком предположении 丸 приближенно выражается как
丸=丸о 十_Д • р.(6.28)
тс
Сравнивая его с невозмущенным гамильтонианом 丸°, мы видим, что дополнительный член [е/^тс^А • р описывает взаимодействие излучения с блоховским электроном. Этот член называется гамильтонианом электрон-излунательного взаимодействия 丸eR：
I
WeR = — А-р.(6.29)
тс
Отметим, что вид HeR зависит от выбора калибровки. Другая форма WeR, часто встречающаяся в литературе, имеет вид
(6.30)(6.30)WeR = (—е)歹• Е.
(6.30)
(6.30)
Можно показать, что в пределе малого волнового вектора q электромагнитной волны, (6.30) эквивалентно (6.29) ((6.30) соответствует электрическому дипольному приближению; (6.29) имеет более общий характер). В обоих выражениях для 丸^r прене- брегается членом, квадратичным по полю. В случае (6.30) пренебрегается взаимодействием между электронами и электромагнитным полем посредством силы Лоренца. Поскольку эта сила зависит от & 义 8, а скорость © зависит от Е, данный член
* Для перевода (6.24)—(6.26), (6.28), (6.29), (6.31) в систему единиц СИ убираем с.
имеет квадратичную зависимость от приложенного поля. Преимуществом применения (6.29) в случае полупроводников является то, что матричные элементы импульса электрона непосредственно используются в (к • р)-методе расчета зонной структуры. Например, матричный элемент между самой нижней зоной проводимости Г±с и верхней валентной зоной /4 в полупроводниках с тетраэдрической связью может быть определен из эффективной массы зоны проводимости с помощью (2.44). Другие матричные элементы связаны с дисперсией валентных зон (см. (2.63)-⑵65)).
Существует несколько способов для вычисления диэлектрической функции полупроводника с помощью WeR. Мы опять воспользуемся самым простым из них. Пусть А настолько мал, что можно применить зависящую от времени теорию возмущений (в форме Золотого правила Ферми) для вычисления вероятности R перехода электрона в единице объема из состояния валентной зоны |v) (с энергией Ev и волновым вектором kv) в состояние |с) зоны проводимости (с энергией Ес и волновым вектором kJ“ Для этого нам надо рассчитать матричный элемент |(c|?/eR|v)|2:
(631)(631)|(c|Xr|v)|2 = (e/mc)2|(c|A -p|v)|\
(631)
(631)
Запишем векторный потенциал А в виде Аё, где ё —единичный вектор, параллель
ный А. Потенциал А можно выразить через амплитуду падающего электрического
поля 石(q, w):
4 = - — {ехр厶q4 = - — {ехр厶qг — G 力)]+ к.с.},г — G 力)]+ к.с.},(632)(632)
4 = - — {ехр厶q
4 = - — {ехр厶q
г — G 力)]+ к.с.},
г — G 力)]+ к.с.},
(632)
(632)
где к.с. означает комплексно сопряженный член. Вычисление матричного элемента (с| А •加V〉включает интегрирование по пространству. Интегрирование по времени члена ехр 財一g力)]в (6.32) и соответствующих множителей в блоховских функциях электрона формально приводит к выражению
ехр (iEct/h) ехр [5(—幻力)]ехр (—iEvt/K)dt ос S(Ec(kc) — Ev(kv)—方(6.33)
т.е. к дельта-функции, которая встречается в Золотом правиле Ферми. Полученный результат означает, что электрон в валентной зоне поглощает энергию фотона и возбуждается в зону проводимости. Следовательно, этот член в (6.32) описывает процесс поглощения. Аналогично, матричный элемент комплексно сопряженного члена (с| ехр (沁力)|v〉приводит к S(Ес{кс) — Ev(kv) + 方幻).Этот член не равен нулю, если электрон, первоначально находившийся в зоне проводимости, испускает фотон и оказывается в валентной зоне.
Поскольку процесс излучения происходит в присутствии внешнего поля, рассматриваемый член описывает стимулированное излучение. Другими словами, два члена в (6.32) описывают, соответственно, поглощение и излучение фотонов электронами полупроводника под действием внешнего электромагнитного поля. Отметим, что величины матричных элементов, описывающих оба процесса, равны. Член, описывающий стимулированное излучение и представленный в (6.32) как к.с. будет обсуждаться более подробно в гл. 7; здесь мы им пренебрежем.
Представив блоховские функции (см. (2.6)) для электронов в зоне проводимости и валентной зоне, соответственно, в виде
(6.34 a)(6.34 6)(6.34 a)(6.34 6)|с〉= nc；fec(r)exp [i(kc -r)],|v) = ^V,fev(^)exp [i(kv • r)]
(6.34 a)
(6.34 6)
(6.34 a)
(6.34 6)
и использовав выражение для А из (6.32), получим
|〈c|4”|v〉|2 =糸卜|〈c|4”|v〉|2 =糸卜2
|〈c|4”|v〉|2 =糸卜
|〈c|4”|v〉|2 =糸卜
ехр [i(q — ко) • г](ё • p)uv,fev ехр (ikv - г)dr .(6.35)
Действие оператора р на nv, fev exp (ikv • г) дает два члена:
卩收；8v exp (泳v •『)=exp (泳v •『)卩小左v + ^v^v,fev exp (ikv • г).(6.36)
Интеграл от второго из них, умноженного на u* кс, обращается в нуль, поскольку 奴,瓦 и "v, fev ортогональны. Можно разбить соответствующий интеграл от первого члена
忆気 exp [2(q -鼠 + 网)• r]pwv,fevdr
на две части, написав г = Rj + rz, где rf находится в пределах одной элементарной ячейки, a Rj——вектор решетки. Вследствие периодичности функций 口^左。и ^v, fev находим
U^kc exp [i(q - fcc + ^v) * r]puv^vdr =
£ exp[i(Q -kc + fcv) • Rj] u^kc exp [i(q - kc + fcv) • r(]puN^k^dr(.
J/ элем*
ячейка
(6.37)
Суммирование exp [i(q —鼠 + kv) • Rj] по всем векторам решетки Rj дает дельтафункцию S(qkc + kv)・ Этот член обеспечивает сохранение волнового вектора в процессе поглощения:
q + kv = kj(6.38)
Уравнение (6.38) представляет собой следствие трансляционной симметрии кристалла и поэтому должно выполняться во всех процессах, происходящих в идеальном кристалле. Однако в аморфных полупроводниках его выполнение не является обязательным.
При использовании (6.38) интеграл по элементарной ячейке в (6.37) упрощается:
吟裁 exp®q — 鼠 + ^v) r]puv^k^d\f srf = K,k^gPuv,^drf.(6*39)
элем,элем,
ячейкаячейка
Выражение (6.39) можно еще больше упростить, предположив, что q много меньше размера зоны Бриллюэна. Это обычно выполняется для фотонов в видимой области с длинами волн порядка 500 нм. Для малых q волновые функции можно разложить в ряд Тейлора по q:
"с, fev+q = "с, fev + q •"с, Av + - . .(6.40)
Если q достаточно малы для того, чтобы можно было пренебречь в (6.40) всеми членами, зависящими от q, то матричный элемент |(с|ё • p|v)|2 будет иметь вид
|(с|ё -p|v)|2 =u^k(e^p)uv^kdrf .(6.41а)
I элем*丿
Хячейка/
Это приближение называется электрическим дипольным приближением (можно показать, что оно эквивалентно использованию (6.30)). Соответствующий матричный элемент в (6.41 а) называется матричным элементом электрического дипольного перехода. Отметим, что электрическое дипольное приближение эквивалентно разложению члена exp (iq • г) в (6.32) в ряд Тейлора: 1 + 2(q • 丁)+ …，м пренебрежению всеми
зависящими от q членами. В этом случае мы имеем kv = kc, и переход называется вертикальным^ или прямым.
Если электрический дипольный матричный элемент равен нулю, то оптический переход определяется членом q • ^k^kv в (6.41). Матричный элемент
|(с|ё -p|v)|2 = q ■ (Vfeu*jfe) (e-p)uVtkdr\(6.416)
I элем./
Хячейка/
описывает электрические квадрупольные или магнитные дипольные переходы. Мож™ но также считать, что эти оптические переходы более высокого порядка обусловлены членом “q • г) в разложении exp (iq х г). По сравнению с электрическими диполь™ ными переходами они слабее в (постоянная решетки/длина волны света)2 раз [6.7].
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только электрических дипольных переходов, если не будет сделано особых оговорок. Для упрощения обозначений можно отбросить значки v и с у волновых векторов kv и kc, поскольку эти векторы равны. В большинстве случаев матричный элемент импульса в (6.41 а) слабо зависит от к [6.18], и поэтому мы заменим его на постоянную величину |J%v|2. Уравнение (6.31) можно упростить:
\{с\ПеК\у)\2 = (е/теГ\Л\^^^(6.42)
При использовании (6.42) следует помнить, что мы определили А в (6.32) в виде суммы exp [i(q - г wt)] и его комплексно сопряженного члена ехр [—“q х г — wt)] для того, чтобы А была реальной функцией пространства и времени. Однако из этих двух членов только член с ехр (—沁力)определяет процесс поглощения. Комплексно сопряженный член, определяющий стимулированное излучение, здесь не рассматривается.
Вероятность R электрического дипольного перехода для поглощения фотона в единицу времени можно получить, подставив (6.42) и (6.32) в Золотое правило Ферми:
(6.43 а)(6.43 а)r=(27Г/方)e 10乂皿)|26(&(鼠)-4(a)-方^
(6.43 а)
(6.43 а)
Таким образом, она равна
R =R =I 尸cv『8(&(瓦)—％(kv)— %3)*I 尸cv『8(&(瓦)—％(kv)— %3)*(6*43 6)(6*43 6)
R =
R =
I 尸cv『8(&(瓦)—％(kv)— %3)*
I 尸cv『8(&(瓦)—％(kv)— %3)*
(6*43 6)
(6*43 6)
Если ограничить суммирование по к теми значениями, которые разрешены для единичного объема кристалла, то (6.43 б) даст вероятность поглощения н а единичный объем кристалла. Мощность, потерянная полем при поглощении в единичном объеме среды, представляет собой просто вероятность перехода, умноженную на энергию каждого фотона:
потеря мощности =冗方g.потеря мощности =冗方g.(6.44)(6.44)
потеря мощности =冗方g.
потеря мощности =冗方g.
(6.44)
(6.44)
Потерю мощности полем можно также выразить через а и £?： среды, если заметить, что скорость уменьшения интенсивности падающего луча в единичном объеме
di dtdi dtdi dx c /dx dt ndi dx c /dx dt n几2几2(6.45)(6.46)(6.45)(6.46)
di dt
di dt
di dx c /
dx dt n
di dx c /
dx dt n
几2
几2
(6.45)
(6.46)
(6.45)
(6.46)
Интенсивность / связана с амплитудой поля следующим образом:
(6.47)(6.47)/ = ^|^И|2.
(6.47)
(6.47)
О7Г
Приравнивая —dl/dt к выражению для потери мощности полем в единичном объеме (6.44), получим
= 4bg (/j) J2 |Pcv『8(&(k) — %(k) — ^w).(6.48)
Используя соотношения Крамерса-Кронига, можно затем найти выражение для %：
■47ге2
у ( 2 ) |FCV|2 "
,(6/9)
где 方“V = Ec(k) — Ev(k). Мы специально написали (6.49) в форме, сходной с диэлек™ трической постоянной набора классических заряженных гармонических осцилляторов с частотами @ (задача 6.4):
%(g) = 1 + ■：47r£о7Л%(g) = 1 + ■：47r£о7Л(6.50)(6.50)
%(g) = 1 + ■：
47r£о7Л
%(g) = 1 + ■：
47r£о7Л
(6.50)
(6.50)
где Ni ——число осцилляторов с частотой @ в единичном объеме. Сравнивая выражения (6.49) и (6.50), мы видим, что безразмерная величина
(6.51)(6.51)F — 2|Kv『cv m/iwCv
(6.51)
(6.51)
является по существу «числом» осцилляторов с частотой wcv. Поэтому fcv называется силой осциллятора оптического перехода .
Комбинированная плотность состояний и сингулярности Ван Хова. В (6.48) большая часть дисперсии 吗 возникает вследствие суммирования по дельтафункциям S(Ес{к) — Ev(k)—方幻).Это суммирование можно превратить в интегри™ рование по энергии, введя комбинированную плотность состояний для дважды вы™ рожденных зоны проводимости и валентной зоны (определение плотности состояний см. в п. 4.3.1):
где Ecv = Ec — E^iaSk — поверхность постоянной энергии, определенная как Ecv(k) = =const. Мы предположили, что как зона проводимости, так и валентная зона дважды вырождены (вследствие спина). Это совершенно справедливо в случае центросимметричных кристаллов, но не в случае кристаллов типа цинковой обманки [6.19]. Поскольку в HeR спин электрона не входит, спиновое состояние электрона не изменяется при оптическом переходе (если отсутствует спин-орбитальное взаимодействие). С помощью (6.52) можно сделать в (6.48) и (6.49) следующую замену:
(6.53)(6.53)£^ ■ Dj (Ecv)dEcv.k 〕
(6.53)
(6.53)
1)Суммирование в (6.49) производится по к векторам единичного объема кристалла.
Ван Хов [6.20] показал, что плотности состояний электронов и фононов имеют сингулярности в точках, где |Vfe(£')| = 0 (см. (6.52)). Эти точки называются критическими точками, а соответствующие сингулярности в плотности состояний — сингулярностями Ван Хова. Предполагая, что к = 0 является критической точкой в трехмерном пространстве, можно разложить Е (к) как функцию к около критической точки:
E(k) = Е(0) + Qi 状 + «2^2 + «з^з + …(6.54)
Сингулярности Ван Хова классифицируют в зависимости от числа отрицательных коэффициентов а?： в (6.54). В трехмерном пространстве существует четыре типа сингулярностей Ван Хова, обозначаемых как критические точки Mg, Mi, М2 и М3. Например, критическая точка Мд не имеет отрицательных а?： и поэтому соответствует минимуму расстояния между зонами Ecv. Точки Mi и М? называются седловыми, поскольку график, представляющий зависимость их энергии от волнового вектора, напоминает седло. Критическая точка М3 соответствует максимуму в междузонном расстоянии. В литературе многократно показано (см., например, [6.11]), что плотность состояний вблизи критической точки Мо дважды вырожденной зоны имеет вид
((27Г2a3/2尸陋—昂)1/2,后〉昂；
Q = a1a2«3-(6.55)
В табл. 6.1 представлена энергетическая зависимость комбинированной плотности состояний вблизи сингулярностей Ван Хова для одномерного, двумерного и трехмерного ^-пространства. Соответствующие сингулярности Ван Хова в 吗 схематически изображены на рис. 6.9.
Таблица 6.1
Сингулярности Ван Хова в случае одного, двух и трех измерений и соответствующие плотности состояний Dj; С ——не зависящая от энергии константа
Тип
Е < Ео
Е > Ео
Три измерения
0
(£_ Ео)1/2
С — (Ео _ £)1/2
с
С-(Е-Ео)1/2
(Ео - £)1/2
0
Два измерения
0
с
一 In ( Eq 一 E)
—In (Е 一 Ео)
с
0
Одно измерение
0
(Е -
(现_e)t/2
0
Сингулярности Ван Хова в /. Исходя из зонной структуры полупроводника, реальная и мнимая части диэлектрической функции могут быть легко вычислены с помощью (6.49) и (6.48) соответственно. Детальное сравнение теоретических и экспериментальных кривых является наиболее строгой проверкой точности расчетов зонной структуры. Благодаря такому сравнению можно идентифицировать те оптические переходы в обратном пространстве, которыми обусловлена структура экспериментальных диэлектрических функций. На рисунках 6.10 и 6.11 проводится сравнение
溶 phxs 嗒qHdgwxgdM溶 phxs 嗒qHdgwxgdMзкрьхю 溶IqHdgwx®口зкрьхю 溶IqHdgwx®口^^s)sIqHdgwoHHO^^s)sIqHdgwoHHO
溶 phxs 嗒qHdgwxgdM
溶 phxs 嗒qHdgwxgdM
зкрьхю 溶IqHdgwx®口
зкрьхю 溶IqHdgwx®口
^^s)sIqHdgwoHHO
^^s)sIqHdgwoHHO
Рис. 6.9. Схематическая зависимость мнимой части диэлектрической постоянной от частоты вблизи сингулярностей Ван Хова для случая одного, двух и трех измерений
теоретических и экспериментальных диэлектрических функций для Si и GaAs. Тео ретические кривые рассчитаны на основе зонных структур, полученных с помощью метода эмпирического псевдопотенциала. Недавние теоретические расчеты приведены в [6.21], [6.22]. Коррекции, связанные с локальным полем, происходят благодаря изменениям в компонентах разложения Фурье высших порядков (псевдо)-потенциала кристалла, инициированных электромагнитным полем. Отметим, что согласно (б) их влияние мало; они не могут улучшить согласование с экспериментальными данными. Острый пик, наблюдаемый при 3,3 эВ, относится к экситонным эффектам (см. п. 6.3.3 и [6.24]). На рис. 6.12 приведено аналогичное сравнение для мнимой части диэлектрической функции Ge [6.25], за тем исключением, что зонная структура рассчитана с помощью (к • р)-метода. Во всех трех случаях наблюдается вполне хорошее согласие между теорией и экспериментом за счет того, что некоторые начальные параметры для расчета зон были фактически получены путем подгонки к особенностям, наблюдаемым на экспериментальных кривых. Этот недостаток эмпирических методов расчета зонных структур удалось устранить в более поздних вычислениях по методу псевдопотенциала a b initio (см. п. 2.5.2).
В форме мнимой части диэлектрических функций, приведенных на рисунках 6.106.12, имеется много общего. Подобное сходство наблюдается не только для трех приведенных здесь полупроводников, но и для большинства полупроводников с тетраэдрической связью групп IV, III-V и II-VI. Главное отличие между их диэлектрическими функциями заключается в энергиях переходов. Внимательный анализ £〃 этих полупроводников показывает, что все они обладают следующими особенностями.
Наблюдается подъем, связанный с переходами между абсолютным максимумом валентной зоны и минимумом зоны проводимости. Он называется краем фундаментального поглощения. Интенсивность края поглощения зависит от того, находятся ли
Рис. 6.10. Сравнение экспериментальной и расчетной диэлектрических функций Si: а) реальная часть, б) мнимая часть [6.20]. Сплошная линия ——теория, пунктир——эксперимент; в б редкий и частый пунктир — расчет с учетом и без учетаРис. 6.10. Сравнение экспериментальной и расчетной диэлектрических функций Si: а) реальная часть, б) мнимая часть [6.20]. Сплошная линия ——теория, пунктир——эксперимент; в б редкий и частый пунктир — расчет с учетом и без учетаРис. 6.11. Результаты для GaAs, подобные приведенным на рис. 6.10 для Si (без учета локального поля) [2.8]Рис. 6.11. Результаты для GaAs, подобные приведенным на рис. 6.10 для Si (без учета локального поля) [2.8]
Рис. 6.10. Сравнение экспериментальной и расчетной диэлектрических функций Si: а) реальная часть, б) мнимая часть [6.20]. Сплошная линия ——теория, пунктир——эксперимент; в б редкий и частый пунктир — расчет с учетом и без учета
Рис. 6.10. Сравнение экспериментальной и расчетной диэлектрических функций Si: а) реальная часть, б) мнимая часть [6.20]. Сплошная линия ——теория, пунктир——эксперимент; в б редкий и частый пунктир — расчет с учетом и без учета
Рис. 6.11. Результаты для GaAs, подобные приведенным на рис. 6.10 для Si (без учета локального поля) [2.8]
Рис. 6.11. Результаты для GaAs, подобные приведенным на рис. 6.10 для Si (без учета локального поля) [2.8]
локального поля соответственно
максимум валентной зоны и минимум зоны проводимости в одной и той же точке зоны Бриллюэна. Поскольку переходы между зонами с одинаковым волновым вектором называются прямыми, полупроводники, у которых фундаментальный край поглощения связан с прямым переходом, называются полупроводниками с прямым крае м поглощения. В противном случае край поглощения называется непрямым. Алмаз, Si, SiC, Ge, AlAs, AlSb, GaP имеют непрямой край поглощения, тогда как GaN, GaAs, GaSb, InP, InAs, InSb и все полупроводники группы 11-VI имеют прямой край поглощения. В пределах приведенного нами рассмотрения оптические переходы через непрямую запрещенную зону запрещены вседствие условия сохранения волнового вектора. Далее будет показано, что оптические переходы между двумя зонами с различными волновыми векторами (называемые непрямыми переходами) возможны при участии фононов, хотя они менее интенсивны, чем прямые переходы. Поэтому их
Рис. 6.12. Сравнение экспериментальных (пунктир) и расчетных (сплошная линия) значений мнимой части диэлектрической функции для Ge. Теоретическая кривая вычислена с помощью зонной структуры, рассчитанной по (к • р)-методу без учета спин-орбитального взаимодействия [6.25]
удается наблюдать только в том случае, если их энергия ниже энергий всех прямых переходов. Как правило, £i возрастает в начале прямого перехода, соответствующего наименьшей энергии. В полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки этот переход обычно происходит в центре зоны Бриллюэна между валентной зоной Л4V и зоной проводимости П「и в литературе на него часто ссылаются, как на переход Eq. Если в валентной зоне имеет место заметное спин-орбитальное взаимодействие, как, например, в полупроводниках, содержащих тяжелые элементы (In, As и Sb), оно приводит к расщеплению этого перехода на два. Переход с большей энергией「丁丫一「бс с участием спин-отщепленной валентной зоны называется переходом Е*о + До-
Выше края фундаментального поглощения 吗 обычно имеет асимметричный пик, связанный с переходами, происходящими вдоль восьми эквивалентных направлений [111] в зоне Бриллюэна (которые будут обозначаться как (111)). Если спин- орбитальное взаимодействие мало (как в Si и GaP), то наблюдается только один пик, и переход называется 邑-口 ер exoд о м. Из зонной структуры следует, что такие переходы связаны с критическими точками типа Mi в комбинированной плотности состояний. (Поскольку отрицательная продольная масса этих переходов (т.е. l/«i с а】, определенным в (6.54)), очень велика, критические точки 邑 часто моделируют, как двумерные критические точки Мд.) Если спин-орбитальное взаимодействие в валентной зоне велико, то переход 邑 расщепляется на переходы Е± и Е± ^- △> С помощью (к * р)-метода можно показать, что спин-орбитальное расщепление △】вдоль направлений (111) в валентной зоне равно приблизительно 2/3 от спин-орбитального расщепления До в центре зоны [6.11]. Это «правило двух третей» является проверкой правильности идентификации ^-переходов. В табл. 6.2 приведены Ад, △】и отношение До/Ai для ряда полупроводников с тетраэдрической координацией. Мы видим, что «правило двух третей» довольно хорошо выполняется для всех полупроводников, приведенных в таблице, за исключением InP и GaN.
Величина £?； достигает сильного абсолютного максимума, известного как пик 后2 ■ В этом пике содержатся вклады переходов, происходящих в широкой области зоны Бриллюэна вблизи границ в направлениях (100) и (ПО) [6.21]. Некоторые из них ассоциируются с критическими точками М2.
16 М. Кардона
Таблица 6.2
Спин-орбитальные расщепления в валентной зоне у центра зоны (До) и вдоль направлений (111) (△]_) и их отношение в нескольких полупроводниках с тетраэдрической координацией (компиляция из [6.19]). Значения для GaN рассчитаны с помощью метода LCAO-LDA [6.26]. Экспериментальное значение До для GaN равно 17 ± 1 мэВ
Полупроводник
△о,эВ
△ 1,эВ
△o/A
Si
0,044
0,03
1,47
Ge
0,296
0,187
1,58
GaN
0,019
0,032
0,59
GaAs
0,341
0,220
1,55
InP
0,108
0,133
0,81
InAs
0,38
0,267
1,42
InSb
0,803
0,495
1,62
ZnSe
0,432
0,27
1,59
CdTe
0,949
0,62
1,53
На описанные особенности накладывается более слабая структура, известная как переходы 闘 и Е； Она связана с переходами между валентной зоной и более высокими зонами проводимости в центре зоны и вдоль направлений (111) соответственно.
Приведенная выше система обозначения междузонных оптических переходов была предложена Кардоной [6.11]. Переходы, происходящие в центре зоны, вдоль направлений (111) и (100), обозначаются нижними индексами 0, 1 и 2 соответственно. В качестве иллюстрации на рис. 6.13 эти переходы отмечены стрелками на зонной структуре Ge. Приведенная зонная структура была расчитана по «(fc • р)-методу для всей зоны», который является расширением (к • р)-метода, обсуждавшегося в § 2.6. В расширенном методе волновой вектор электрона к не ограничивается областями
Рис. 6.13. Зонная схема Ge, на которой показаны прямые переходы, ответственные за появление структуры W рисунка 6.12. Идентифицированы переходы, ответственные за различные пики в диэлектрической функции
вблизи критических точек, а может простираться до границы зоны [6.18]. Согласие между теорией и экспериментом, наблюдаемое в общих чертах на рисунках 6.10-6.12, подтверждает, что структура в оптических спектрах действительно связана с критическими точками в плотности состояний. Следует отметить, что многие расхождения между теорией и экспериментом на этих рисунках были устранены в результате более поздних вычислений. Современное состояние теории отражают расчеты ab initio^ в которые включено кулоновское взаимодействие между электроном и оставшейся дыркой. Это взаимодействие усиливает Е'х-переходы, ослабляя одновременно переходы Е\ что улучшает согласие с экспериментом на рисунках 6.10 и 6.11 [6.22, 6.23].
В табл. 6.3 приводятся экспериментальные значения энергий структурных особенностей в оптических спектрах, измеренные при низких температурах для ряда полупроводников. В принципе, сравнивая их с энергиями критических точек в расчетной комбинированной плотности состояний, можно установить, какие типы сингулярностей Ван Хова ответственны за эту структуру в спектрах. На практике в переходах с большими энергиями часто содержатся вклады от нескольких критических точек разного типа. Только переходы Eq и 邑 могут быть вполне определенно отнесены к трехмерным критическим точкам типа Мо и Mi (или двумерным точкам Мо) сингулярностей Ван Хова.
Таблица 6*
Измеренные энергии [эВ] заметных особенностей в оптических спектрах некоторых полупроводников типа алмаза и цинковой обманки. Все энергии соответствуют низкотемпературным значениям, за исключением Eq для Si, измеренной при комнатной температуре. Компиляция данных, приведенных в [6.27], [6.28] и [6.29]
Переход SiПереход SiGeGeGaAsInPGaPGaNGaAsInPGaPGaN5 9 8 о 8 2 5 7 3 о 12 4 3 3 5А0Д1& + + + о о 1 1 / о / о 2 / 1 ККК-К-КК4К-5 9 8 о 8 2 5 7 3 о 12 4 3 3 5А0Д1& + + + о о 1 1 / о / о 2 / 1 ККК-К-КК4К-8 4 2 6 98210995 812423468 4 2 6 98210995 8124234629 9 7 5 8 9 0 15148513 5802461629 9 7 5 8 9 0 15148513 5802461663 2 7 32 3 8 2 0 7 54 5 2 4 7 10力丄 a 3 663 2 7 32 3 8 2 0 7 54 5 2 4 7 10力丄 a 3 69 9 0 56 4 8 3 2 8 2 897878289 9 0 56 4 8 3 2 8 2 89787828a a2 93031,03 力力乙a a2 93031,03 力力乙
Переход Si
Переход Si
Ge
Ge
GaAsInPGaPGaN
GaAsInPGaPGaN
5 9 8 о 8 2 5 7 3 о 12 4 3 3 5
А0Д1& + + + о о 1 1 / о / о 2 / 1 ККК-К-КК4К-
5 9 8 о 8 2 5 7 3 о 12 4 3 3 5
А0Д1& + + + о о 1 1 / о / о 2 / 1 ККК-К-КК4К-
8 4 2 6 98210995 81242346
8 4 2 6 98210995 81242346
2
9 9 7 5 8 9 0 15148513 58024616
2
9 9 7 5 8 9 0 15148513 58024616
6
3 2 7 3
2 3 8 2 0 7 5
4 5 2 4 7 10
力丄 a 3 6
6
3 2 7 3
2 3 8 2 0 7 5
4 5 2 4 7 10
力丄 a 3 6
9 9 0 5
6 4 8 3 2 8 2 89787828
9 9 0 5
6 4 8 3 2 8 2 89787828
a a
2 9
3031,03 力力乙
a a
2 9
3031,03 力力乙
а Выращено на MgO.
Прямой край поглощения. Рассмотрим более подробно оптические переходы у фундаментального края поглощения, поскольку во многих полупроводниковых оптоэлектронных приборах, таких как лазеры и фотоприемники, используются именно эти переходы. Как уже было отмечено, край поглощения бывает прямым и непрямым. В случае прямого края поглощения £分 можно вычислить с помощью (6.48). Пусть шс и mv — эффективные массы, соответственно, в зоне проводимости и валентной зоне (которые для простоты предполагаются сферическими), а "——прямая энергетическая щель. Разность энергий Ecv вблизи энергетической щели можно представить в виде разложения
=然 + (胪/2〃)紹，(6.56)
где 从—эффективная масса, определенная как 〃т = т「+ m^1. С помощью (6.52) можно получить выражение для комбинированной плотности состояний Dj：
(6.57)(6.57)D [ [21/2川/2/ (7r2方3)]_ 然)1/2 для
(6.57)
(6.57)
j [ 0 для Ecv < Eg.
Подставив этот результат в (6.48), найдем выражение для 孕 вблизи 稣:
/ 、f 4富一2（金一ДЛЯ ?〉1,/ 、f 4富一2（金一ДЛЯ ?〉1,(6.58 а)(6.58 а)
/ 、f 4富一2（金一ДЛЯ ?〉1,
/ 、f 4富一2（金一ДЛЯ ?〉1,
(6.58 а)
(6.58 а)
И
х = Кш / Eg.(6.58 б)
С помощью СКК можно показать, что е「вблизи Eg имеет следующий вид (задача 6.2):
(6.59)(6.59)—J const + 4「2 [2 — (1 十 ж)1/2] для ж > 1,
(6.59)
(6.59)
[const + Лж™2 [2 — (1 + 囂)1/2 — (1 —富尸/2] для ж < 1,
где постоянный член определяется вкладом переходов выше края фундаментального поглощения. В соответствии с (6.58), зависимость 才 или квадрата коэффициента поглощения, от энергии фотона должна быть прямой линией. Энергетическая щель определяется из пересечения этой прямой линии с осью ж, а д или |及丫『могут быть определены из ее наклона. Пример такого графика приведен на рис. 6.14 для PbS. Эквивалентная полулогарифмическая зависимость для InSb изображена на рис. 6.15. Подгонка к экспериментальным значениям &(g) для PbS с помощью выражения (6.59) показана на рис. 6*14 6*
Рис. 6.14. Зависимость квадрата коэффициента поглощения PbS от энергии фотона (а) [6.30]. (Пересечение с осью ж определяет энергию прямой запрещенной зоны.) Подгонка (кривые) реальной части диэлектрической функции из выражения (6.59) к экспериментальным значениям для PbS (точки), измеренным при 77 и 373К (6) [6.144].Рис. 6.14. Зависимость квадрата коэффициента поглощения PbS от энергии фотона (а) [6.30]. (Пересечение с осью ж определяет энергию прямой запрещенной зоны.) Подгонка (кривые) реальной части диэлектрической функции из выражения (6.59) к экспериментальным значениям для PbS (точки), измеренным при 77 и 373К (6) [6.144].
Рис. 6.14. Зависимость квадрата коэффициента поглощения PbS от энергии фотона (а) [6.30]. (Пересечение с осью ж определяет энергию прямой запрещенной зоны.) Подгонка (кривые) реальной части диэлектрической функции из выражения (6.59) к экспериментальным значениям для PbS (точки), измеренным при 77 и 373К (6) [6.144].
Рис. 6.14. Зависимость квадрата коэффициента поглощения PbS от энергии фотона (а) [6.30]. (Пересечение с осью ж определяет энергию прямой запрещенной зоны.) Подгонка (кривые) реальной части диэлектрической функции из выражения (6.59) к экспериментальным значениям для PbS (точки), измеренным при 77 и 373К (6) [6.144].
Непрямой край поглощения. Если щель с наименьшей энергией — непрямая, то фотон может возбуждать электрон из валентной зоны в зону проводимости с помощью фонона. Различие между волновыми векторами обеих зон компенсируется волновым вектором фонона. Обозначив энергию и волновой вектор фонона
как Ер и Q, запишем условия сохранения энергии и волнового вектора в оптическом процессе в следующем виде:方з 土 Ер, kc kv =干Q, (6.60) где знаки « + » и « —» относятся, соответственно, к процессам испускания и поглощения фонона. В принципе, возможны также процессы с участием нескольких фононов, однако они происходят со значительно меньшей вероятностью.В качестве характерного примера непрямого края поглощения рассмотрим Si. Зонная структура Si вблизи непрямой щели △]_—「25，схематически изображена на рис. 6.16. Процесс поглощения вблизи этой энергетической щели состоит из двух этапов. Один из них заключается в электрон-фотонном взаимодействии W€r, а другой — в электрон-фононном взаимодействии Wep. Предполагается, что оба взаимодействия достаточно слабы, что позволяет применить теорию возмущений. Следовательно, вычисление вероятности перехода можно произвести с помощью теории возмущений второго порядка.как Ер и Q, запишем условия сохранения энергии и волнового вектора в оптическом процессе в следующем виде:方з 土 Ер, kc kv =干Q, (6.60) где знаки « + » и « —» относятся, соответственно, к процессам испускания и поглощения фонона. В принципе, возможны также процессы с участием нескольких фононов, однако они происходят со значительно меньшей вероятностью.В качестве характерного примера непрямого края поглощения рассмотрим Si. Зонная структура Si вблизи непрямой щели △]_—「25，схематически изображена на рис. 6.16. Процесс поглощения вблизи этой энергетической щели состоит из двух этапов. Один из них заключается в электрон-фотонном взаимодействии W€r, а другой — в электрон-фононном взаимодействии Wep. Предполагается, что оба взаимодействия достаточно слабы, что позволяет применить теорию возмущений. Следовательно, вычисление вероятности перехода можно произвести с помощью теории возмущений второго порядка.Рис. 6.15. Полулогарифмическая зависимость коэффициента поглощения InSb при 5 К от энергии фотона. Черные кружки — экспериментальные результаты из [6.31]. Сплошная линия ^расчет при а 否沙 =Рис. 6.15. Полулогарифмическая зависимость коэффициента поглощения InSb при 5 К от энергии фотона. Черные кружки — экспериментальные результаты из [6.31]. Сплошная линия ^расчет при а 否沙 == 厶(九幻 —пунктир — расчет с уче-том матричного элемента. Точка пересече-ния с осью абсцисс дает значение прямойзапрещенной зоны InSb [6.32]= 厶(九幻 —пунктир — расчет с уче-том матричного элемента. Точка пересече-ния с осью абсцисс дает значение прямойзапрещенной зоны InSb [6.32]Систематическим способом для таких вычислений является использование диаграмм Фейнмана. Отложим обсуждение техники вычислений до главы 7, где она будет применена для изучения рамановского рассеяния. Использование фейнмановских диаграмм для нахождения вероятности перехода в случае непрямого края поглощения оставлено для задачи 7.7. В настоящей главе, не приводя доказательств, мы отметим некоторые процессы, которые вносят вклад в непрямой край поглощения. В одном из них электрон сначала возбуждается посредством виртуального перехода из валентной зоны в промежуточное состояние |i) путем поглощения падающего фотона. (Виртуальные переходы происходят без сохранения энергии, но с сохранением волнового вектора, вследствие трансляционной симметрии кристалла).
как Ер и Q, запишем условия сохранения энергии и волнового вектора в оптическом процессе в следующем виде:
方з 土 Ер, kc kv =干Q, (6.60) где знаки « + » и « —» относятся, соответственно, к процессам испускания и поглощения фонона. В принципе, возможны также процессы с участием нескольких фононов, однако они происходят со значительно меньшей вероятностью.
В качестве характерного примера непрямого края поглощения рассмотрим Si. Зонная структура Si вблизи непрямой щели △]_—「25，схематически изображена на рис. 6.16. Процесс поглощения вблизи этой энергетической щели состоит из двух этапов. Один из них заключается в электрон-фотонном взаимодействии W€r, а другой — в электрон-фононном взаимодействии Wep. Предполагается, что оба взаимодействия достаточно слабы, что позволяет применить теорию возмущений. Следовательно, вычисление вероятности перехода можно произвести с помощью теории возмущений второго порядка.
как Ер и Q, запишем условия сохранения энергии и волнового вектора в оптическом процессе в следующем виде:
方з 土 Ер, kc kv =干Q, (6.60) где знаки « + » и « —» относятся, соответственно, к процессам испускания и поглощения фонона. В принципе, возможны также процессы с участием нескольких фононов, однако они происходят со значительно меньшей вероятностью.
В качестве характерного примера непрямого края поглощения рассмотрим Si. Зонная структура Si вблизи непрямой щели △]_—「25，схематически изображена на рис. 6.16. Процесс поглощения вблизи этой энергетической щели состоит из двух этапов. Один из них заключается в электрон-фотонном взаимодействии W€r, а другой — в электрон-фононном взаимодействии Wep. Предполагается, что оба взаимодействия достаточно слабы, что позволяет применить теорию возмущений. Следовательно, вычисление вероятности перехода можно произвести с помощью теории возмущений второго порядка.
Рис. 6.15. Полулогарифмическая зависимость коэффициента поглощения InSb при 5 К от энергии фотона. Черные кружки — экспериментальные результаты из [6.31]. Сплошная линия ^расчет при а 否沙 =
Рис. 6.15. Полулогарифмическая зависимость коэффициента поглощения InSb при 5 К от энергии фотона. Черные кружки — экспериментальные результаты из [6.31]. Сплошная линия ^расчет при а 否沙 =
= 厶(九幻 —пунктир — расчет с уче-том матричного элемента. Точка пересече-ния с осью абсцисс дает значение прямойзапрещенной зоны InSb [6.32]
= 厶(九幻 —пунктир — расчет с уче-том матричного элемента. Точка пересече-ния с осью абсцисс дает значение прямойзапрещенной зоны InSb [6.32]
Рис. 6.16. Схематическая зонная структура непрямозонного полупроводника Si. Показаны переходы с участием фононов, дающие вклад в непрямой край поглощения (1 и 2). Переход, обусловленный Нер- взаимодействием, изображен сплошной линией, а //gR-взаим0rдействием ——курсивом. Промежуточные состояния обозначены |「工5〉и | △工5〉
В результате следующего виртуального перехода электрон из состояния |i) переходит в состояние △]_ зоны проводимости путем поглощения или испускания фонона. В конечном состоянии имеется электрон в зоне проводимости Ai, дырка в валентной зоне 丁25,, и фонон, который был создан или аннигилировал. Этот процесс для Si схематически представлен на рис. 6.16 (7). Другой возможный непрямой оптический переход с участием фонона отмечен на этом рисунке цифрой 2. Оба процесса похожи, за тем исключением, что для процесса 2 промежуточным состоянием является Д.
Существуют другие возможные процессы, которые вносят вклад в поглощение около непрямой щели. В принципе, при вычислении вероятности перехода они должны учитываться наряду со вкладами от рассмотренных выше членов. Чтобы понять, почему первые два члена были выделены особо, рассмотрим их вклад в вероятность перехода 冗由山 расширив Золотое правило Ферми до возмущений второго порядка (дальнейшие подробности приведены в п. 7.2.4):
.. 2
凡 nd = ^£ С(院)一Ev(kv)—方3 土石 р)" (6.61)
где |0) означает начальное состояние системы с заполненной валентной зоной, пустой зоной проводимости и числом заполнения для фононов TVp* В конечном состоянии |f) электрон возбужден в зону проводимости △，в валентной зоне Г^> создана дырка и ^p изменилось на единицу. Для двух процессов, показанных на рис. 6.16, промежуточное состояние \i) означает либо электрон, возбужденный в зону проводимости △】 (2), либо дырку, созданную в валентной зоне Г^ (1). В принципе, при вычислении 凡nd необходимо производить перестановки во времени того порядка, в котором осуществляются взаимодействия WeR и Wep, и суммировать по всем возможным пр- межуточным состояниям 〃〉* Однако процессы, в которых фононы возбуждают электрон через щель, вносят ничтожный вклад вследствие энергетического знаменателя в (6.61). Подобным же образом не играют роли те промежуточные состояния, для которых 石io》方з. Поэтому обычно два процесса, показанные на рис. 6.16, являются наиболее существенными.
Для многих полупроводников матричные элементы, входящие в (6.61), можно считать постоянными вблизи непрямой щели. Поэтому можно получить зависимость /?Ed от энергии фотона, просуммировав (6.61) по дельта-функциям. Перейдя от суммирования по кс и kv к интегрированию по энергиям зоны проводимости Ес и валентной ЗОНЫ 石屮 С ПОМОЩЬЮ ПЛОТНОСТИ ИХ СОСТОЯНИЙ Z)v(石V)И Z)c (石 с), получим
凡nd a D^^E^Dc^E^S(Ес± Ep)dEcdEv.(6*62)
Предполагая, что зоны являются параболическими и трехмерными, находим
(6.63)(6.63)(6.64)(6.64)J( — Ev)i/2 для Е、< О,[О для 石V〉О
(6.63)
(6.63)
(6.64)
(6.64)
и
Q a J(耳一用g)i/2 ДЛЯ Ес >с [0 для Ес <
Нуль шкалы энергий выбран у вершины валентной зоны, а 用g является непрямой энергетической щелью. Подставив выражения для Dv и Рс в (6.62) и интегрируя
по 后门 получим
干石p -石ig
凡nd ОС(& — Eig)i/2(方3 干稣一Ecy^dEc.(6*65)
Произведя замену переменной на
方3 土 еp 一后显‘ можно переписать (6.65) в виде
1
凡nd 仪(方3 干稣一母g)?"々I — X^^dx.(6*66)
О
Взяв интеграл в (6.66), приходим к заключению, что вблизи непрямой щели £勿 зависит от энергии фотонов как
£&) ОС£&) ОС(方3 干 Ер —石ig)" Для 方G》Eig ± Ep,(6 67)
£&) ОС
£&) ОС
О в других случаях.
Таким образом, непрямую энергетическую щель можно, в принципе, отличить от прямой по разной зависимости их коэффициентов поглощения от энергии фотона. Кроме того, в случае непрямой энергетической щели возникают два края поглощения, при Ejg + £/р и Ejg —稣,для Ер каждого фонона, участвующего в непрямом переходе. Край при 田且—Ер соответствует поглощению фонона. Матричный элемент электрон-фононного взаимодействия |(f|Wep|0|2 в (6.61) пропорционален ^p, где ^p ——число заполнения фононов (см. п. 3.3.1). Следовательно, этот край поглощения существует только при высоких температурах и исчезает, когда температура
Рис. 6.17. Зависимости квадратного корня коэффициента поглощения Si от энергии фотонов для нескольких температур. Два участка прямых линий, проведенных через экспериментальные точки, соответствуют двум вкладам, обусловленным поглощением и испусканием фононов [6.33]Рис. 6.17. Зависимости квадратного корня коэффициента поглощения Si от энергии фотонов для нескольких температур. Два участка прямых линий, проведенных через экспериментальные точки, соответствуют двум вкладам, обусловленным поглощением и испусканием фононов [6.33]
Рис. 6.17. Зависимости квадратного корня коэффициента поглощения Si от энергии фотонов для нескольких температур. Два участка прямых линий, проведенных через экспериментальные точки, соответствуют двум вкладам, обусловленным поглощением и испусканием фононов [6.33]
Рис. 6.17. Зависимости квадратного корня коэффициента поглощения Si от энергии фотонов для нескольких температур. Два участка прямых линий, проведенных через экспериментальные точки, соответствуют двум вкладам, обусловленным поглощением и испусканием фононов [6.33]
0,620,660,700,740,780,820,860,620,660,700,740,780,820,86Й¥, эВЙ¥, эВРис. 6.18. Зависимости квадратного корня коэффициента поглощения Ge от энергии фотонов для нескольких температур. На двух вставках сравнивается обусловленная экситонами резкость края поглощения, связанного с испусканием фононов, при высокой и низкой температуре [6.34]Рис. 6.18. Зависимости квадратного корня коэффициента поглощения Ge от энергии фотонов для нескольких температур. На двух вставках сравнивается обусловленная экситонами резкость края поглощения, связанного с испусканием фононов, при высокой и низкой температуре [6.34]слишком низка для термического возбуждения фононов. Напротив, край при более высокой энергии 助旦 + Ер соответствует испусканию фонона и поэтому пропорционален (1 + 7VP). Он существует как при высоких, так и при низких температурах. Идентификация двух краев поглощения по их различной температурной зависимости позволяет определить не только 母g, но и Ер.
0,620,660,700,740,780,820,86
0,620,660,700,740,780,820,86
Й¥, эВ
Й¥, эВ
Рис. 6.18. Зависимости квадратного корня коэффициента поглощения Ge от энергии фотонов для нескольких температур. На двух вставках сравнивается обусловленная экситонами резкость края поглощения, связанного с испусканием фононов, при высокой и низкой температуре [6.34]
Рис. 6.18. Зависимости квадратного корня коэффициента поглощения Ge от энергии фотонов для нескольких температур. На двух вставках сравнивается обусловленная экситонами резкость края поглощения, связанного с испусканием фононов, при высокой и низкой температуре [6.34]
Рис. 6.19. Зависимости квадратного корня коэффициента поглощения GaP от энергии фотонов при двух различных температурах. Отмечены пороги поглощения, связанные с испусканием различных фононных мод [6.35]Рис. 6.19. Зависимости квадратного корня коэффициента поглощения GaP от энергии фотонов при двух различных температурах. Отмечены пороги поглощения, связанные с испусканием различных фононных мод [6.35]На рисунках 6.17-6.19 показан край поглощения трех полупроводников с непрямой запрещенной зоной — Si, Ge и GaP. В этих материалах принимать участие в непрямых переходах могут несколько фононов, что приводит к ряду порогов поглощения. Температурная зависимость краев поглощения для Ge и GaP приведена на рисунках 6.18 и 6.19. Отметим, что при низкой температуре форма непрямого края поглощения отклоняется от пропорциональности квадрату энергии фотона, как следует из выражения (6.67). Вместо этого его форма скорее похожа на зависимость типа квадратного корня, как в выражении (6.58) для прямой щели. Указанное отклонение объясняется экситон- н ы м и эффектами, которые изменяют форму непрямого края поглощения при низких температурах. Экситонные эффекты будут рассматриваться в § 6.3.
Рис. 6.19. Зависимости квадратного корня коэффициента поглощения GaP от энергии фотонов при двух различных температурах. Отмечены пороги поглощения, связанные с испусканием различных фононных мод [6.35]
Рис. 6.19. Зависимости квадратного корня коэффициента поглощения GaP от энергии фотонов при двух различных температурах. Отмечены пороги поглощения, связанные с испусканием различных фононных мод [6.35]
«Запрещенный» прямой край поглощения. Последний случай, который мы рассмотрим, относится к прямозонному полупроводнику, у которого электрический дипольный переход между вершиной валентной зоны и самым нижним минимумом зоны проводимости запрещен правилами отбора. Примером полупроводника с таким «запрещенным» прямым краем поглощения является CU2O, кристаллическая структура которого и свойства фононов в центре зоны изучались в задаче 3.1. Этот кристалл является центросимметричным. Экстремумы как зоны проводимости, так и валентной зоны находятся в центре зоны Бриллюэна и являются четными [6.36]. Оператор импульса электрона р в WeR является нечетным при инверсии. В соответствии с теоремой о матричном элементе, обсуждавшейся в п. 2.3.3, электрические дипольные переходы разрешены только между состояниями разной четности. Поэтому они запрещены правилом отбора по четности для края поглощения CU2O.
В случае оптических переходов у изолированных атомов или молекул электронная плотность состояний имеет дискретные пики. Если электрический дипольный матричный элемент становится равным нулю, можно рассматривать оптические переходы более высокого порядка (например квадрупольные переходы). Для межзонных переходов плотность состояний непрерывна. Если |%с|2 = 0 в критической точке Мд, это не означает, что не существует электрического дипольного края поглощения; однако в любом случае плотность состояний в критической точке Мд равна нулю. Обращение |&с『в нуль точно в критической точке просто означает, что следует рассмотреть возможность того, что |&с『 не будет равен нулю для волнового вектора электрона к немного в стороне от критической точки. Обычно |Rc|2 имеет не равную нулю компоненту, зависящую от к. Например, в случае CU2O можно использовать разложение к р в (2.37), чтобы выразить волновую функцию зоны проводимости или валентной зоны как функцию к. Это разложение приводит к появлению примеси нечетных волновых функций, в результате чего появляются разрешенные по четности матричные элементы электрического дипольного перехода. Феноменологически можно разложить IRcF в ряд Тейлора по к. Предполагая, что критическая точка находится при к = 0 и |%с(0)|2 = 0, находим
I 尸vc(k)『=|d 尸vc/dk『餡 + 0(дд)" (6*68)
При подстановке (6.68) в (6.48) матричный элемент оптического перехода приводит к появлению члена, пропорционального kZ Поскольку для трех измерений комбинированная плотность состояний около прямой щели пропорциональна к (6.57), /(g) становится пропорциональной к3. Следовательно, для полупроводника с прямой «запрещенной» щелью %(g) зависит от энергии фотона как
10 для 无з .
По сравнению с прямым, но «разрешенным» краем поглощения, £〃 для «запрещенного» края медленнее возрастает с энергией вблизи запрещенной зоны. Поэтому «запрещенный» край поглощения трудно идентифицировать, за исключением тех случаев, когда имеют место сильные экситонные эффекты, которые превращают плавные края поглощения в резкие пики. Эти эффекты будут рассматриваться в следующем параграфе.
Экситоны
До сих пор при рассмотрении процессов оптического поглощения считалось, что поле падающего излучения приводит к возбуждению внутри полупроводника элек- трон-дырочной пары. Свойства электрона и дырки описывались зонной структурой
в одноэлектронном приближении. В настоящем параграфе мы выйдем за рамки этого приближения и рассмотрим, каким образом электрон-электронное взаимодействие влияет на спектры поглощения.
Для упрощения вычислений сделаем следующие предположения. Будем учитывать только кулоновскую часть электрон-электронного взаимодействия, пренебрегая членами, описывающими обмен и корреляцию. Кроме того, взаимодействие между возбужденным электроном в зоне проводимости и теми электронами, которые остались в почти заполненной валентной зоне, заменим электрон-дырочным взаимодействием. Притяжение между электроном и дыркой приводит к корреляции их движения; результирующая электрон-дырочная пара называется экситоном. Обычно экситоны изучались в двух предельных случаях. При сильном электрон-дырочном притяжении, как в ионных кристаллах, электрон и дырка тесно связаны друг с другом в пределах одной и той же элементарной ячейки или соседних элементарных ячеек. Такие экситоны называются экситонами Френкеля. В большинстве полупроводников кулоновское взаимодействие сильно экранируется валентными электронами вследствие большой диэлектрической постоянной. В результате электроны и дырки связаны слабо. Такие экситоны называются экситонами Ванье-Мотта [6.37, 6.38] или просто экситонами Ванье. В настоящей книге мы будем интересоваться только экситонами Ванье [6.39-6.41].
Свойства экситонов Ванье можно расчитать в приближении эффективной массы, введенном в §4.2. В этом приближении электрон и дырка рассматриваются как две движущиеся частицы с эффективными массами зоны проводимости и валентной зоны соответственно. Доноры и акцепторы, изучавшиеся в главе 4, можно рассматривать как «экситоны», у которых одна из частиц имеет бесконечную эффективную массу. Поскольку в полупроводнике разница в эффективных массах между электроном и дыркой не столь велика, как между электроном и протоном, экситоны скорее подобны позитронию (электрон—позитронной паре). Вследствие кулоновского взаимодействия между электроном и дыркой потенциал, действующий на электрон (или дырку) в кристалле, не обладает трансляционной инвариантностью.
Как в любой системе из двух частиц, движение экситона можно разделить на две части: движение центра масс (ЦМ) и относительное движение двух частиц вокруг ЦМ. При таком разделении потенциал, действующий на ЦМ экситона, все еще обладает трансляционной инвариантностью, поскольку кулоновское взаимодействие зависит только от относител ь н о й координаты электрона и дырки. В пределах приближения эффективной массы ЦМ экситона ведет себя как свободная частица с массой М = me + 1mh (где те и 7nh — эффективные массы электрона и дырки соответственно). Относительное движение электрона и дырки в экситоне похоже на движение электрона и протона в атоме водорода. Существуют связанные состояния и состояния континуума. Связанные состояния квантуются и имеют главные квантовые числа п = 1, 2, 3, . . . и угловые орбитальные моменты / = 0,瓦 2瓦... В состояниях континуума экситоны ионизованы на свободный электрон и свободную дырку, но их волновые функции все еще изменены вследствие кулоновского притяжения.
В литературе часто встречаются диаграммы, на которых энергетические уровни экситонов наложены на одноэлектронную зонную структуру. Строго говоря, это некорректно. Поскольку экситон — двухчастичное состояние, его уровни энергии не могут описываться в одноэлектронном приближении. В качестве иллюстрации на рис. 6.20 сравниваются энергии электрон-дырочной пары в одноэлектронной энергетической зонной схеме и в энергетической схеме для двух частиц. В одноэлектронной схеме основное состояние полупроводника представлено заполненной валентной зоной и пустой зоной проводимости. Поскольку в основном состоянии нет электрон-дырочных пар, в двухчастичной схеме это состояние представлено как начальная точка отсчета. Возбужденное состояние в одноэлектронной схеме пред-
б) Двухчастичная схемаб) Двухчастичная схемаа) Одноэлектронная схемаа) Одноэлектронная схемаОсновноеОсновноеEehEehВозбужденное состояниеВозбужденное состояниеК|0)Eeh八Ее + Kh'— —•К = ke + %hК|0)К|0)Eeh八Ее + Kh'— —•К = ke + %hК|0)КоррелированнаяКоррелированнаяНе может быть представленоНе может быть представленоe-h параe-h парав одноэлектронной схемев одноэлектронной схемеОптическое поглощениеОптическое поглощение
б) Двухчастичная схема
б) Двухчастичная схема
а) Одноэлектронная схема
а) Одноэлектронная схема
Основное
Основное
Eeh
Eeh
Возбужденное состояние
Возбужденное состояние
К
|0)
Eeh八
Ее + Kh'— —•
К = ke + %h
К
|0)
К
|0)
Eeh八
Ее + Kh'— —•
К = ke + %h
К
|0)
Коррелированная
Коррелированная
Не может быть представлено
Не может быть представлено
e-h пара
e-h пара
в одноэлектронной схеме
в одноэлектронной схеме
Оптическое поглощение
Оптическое поглощение
Рис. 6.20. Сравнение энергетических уровней основного и возбужденных состояний полупро-водника в одноэлектронной зонной схеме (а) и в двухчастичной схеме (6). Схематично изоб-ражены процессы, в которых поглощение фотона приводит к созданию электрон-дырочнойпары
ставлено электроном в зоне проводимости (с волновым вектором ke) и дыркой в валентной зоне (с волновым вектором kh =瓦).Это возбужденное состояние соответствует экситону в двухчастичной схеме. Заметим, что оптическое возбуждение является не единственным процессом, приводящим к созданию таких возбужденных состояний. Например, электрон с большой энергией также может создать экситон. В двухчастичной схеме волновой вектор экситона К = А^ + 瓦・ Как было отмечено ранее, потенциал для движения ЦМ экситона является трансляционно инвариантным, даже когда электрон притянут к дырке. Поэтому К оказывается хорошим квантовым числом. Кинетическая энергия Е^ экситона связана с К выражением для свободной
частицы (см. (6.78)):
方2 K2
Eke = R*(6.70)
Следовательно, экситонные уровни в двухчастичной энергетической схеме на рисунке 6.20 6 могут быть представлены параболами. Позднее мы покажем, что волновая функция экситонного состояния с волновым вектором центра масс экситона К является линейной комбинацией многих волновых функций электрон-дырочных пар с волновыми векторами ке и к^, удовлетворяющими условию К = ке + 瓦・ Таким образом, одночастичная схема на рис. 6.20 а является неправильной даже для состояний экситона в континууме.
На рис. 6.20 6 схематически показан оптический переход в двухчастичной энергетической схеме. Поскольку движение ЦМ трансляционно инвариантно, сохранение волнового вектора имеет место только для волнового вектора экситона, но не соблюдается для индивидуальных волновых векторов электрона или дырки. Для сохранения как энергии, так и волнового вектора при поглощении этот процесс может происходить только при пересечении дисперсионной кривой излучения (или фотона) с дисперсионными кривыми экситона (рис. 6.20 6). В точке пересечения взаимодействие электрона и излучения (или, более точно, фотона и экситона) приводит к связыванию экситона и фотона с образованием смешанной механико-электромагнитной волны, называемой экситонным поляритоном [6.42, 6.43]. Мы будем изучать экситонные поляритоны после того, как рассмотрим экситонные эффекты в критических точках разного типа.
Экситонные эффекты в критических точках Mq. Рассмотрим количественно, как кулоновское притяжение влияет на движение электронов и дырок вблизи критической точки Мд прямозонного трехмерного полупроводника. Мы будем предполагать, что зона проводимости является сферической и имеет энергию
行2 l2
Я(м = ^ + ^,(6.71)
где 稣一ширина запрещенной зоны, а соответствующая энергия дырок имеет вид
行2 l2
M(kh) =\(6・72)
Пусть 以е(『е) и 以卜(『h)—блоховские функции для электрона и дырки соответственно. Как и в § 4.2, мы считаем, что кулоновское взаимодействие между электроном и дыркой мало вследствие экранирования валентными электронами, так что применимо приближение эффективной массы. Запишем волновую функцию экситона Ф в виде линейной комбинации волновых функций электрона и дырки:
Ф(ге, rh) = £ C(ke, kh)以 е(俨 е)以h (俨 h)*(6*73)
Подобно случаю электрона на доноре, рассмотренному в § 4.2, электрон и дырка экситона локализованы относительно их ЦМ, поэтому удобнее выражать их волновые функции в виде функций Ванье, а не функций Блоха. Волновую функцию экситона через функции Ванье аде(ге) и a® (『h) для электрона и дырки, соответственно, можно написать в виде
(674)(674)屮(Г-俨h) = NT/? £ Ф(Же, Ж)«Ле(Ге)«Ль(ГЬ),
(674)
(674)
где Ф (Же, Ah) является огибающей волновой функцией экситона. Волновое уравнение для 6(五* Ah) аналогично (4.22) и имеет вид [6.44]
方2 2方2 „2方2 2方2 „2e2e247r£о £о I Ле —五h | _47r£о £о I Ле —五h | _Ф(Ле, Ж)=Ф(Ле, Ж)=
方2 2方2 „2
方2 2方2 „2
e2
e2
47r£о £о I Ле —五h | _
47r£о £о I Ле —五h | _
Ф(Ле, Ж)=
Ф(Ле, Ж)=
^Ф«, Ah), (675)
где £о ——диэлектрическая постоянная полупроводника для нулевой частоты. Уравнение (6.75) можно решать таким же способом, как для атома водорода. Следует выразить 马 и 五h в новых координатах — координате центра масс 五 и относительной координате г, определенных следующим образом:
五=五=те Re + ШьЖте + тьте Re + ШьЖте + ть丁 = Re — Rh •丁 = Re — Rh •(676)(676)
五=
五=
те Re + ШьЖте + ть
те Re + ШьЖте + ть
丁 = Re — Rh •
丁 = Re — Rh •
(676)
(676)
Уравнение движения для ЦМ теперь не связано с относительным движением, поскольку член кулоновского взаимодействия в Ж не входит. В результате получим
方2方2е247r£ое247r£о0(俨)=егф(г),0(俨)=егф(г),где приведенная масса экситона д определена какгде приведенная масса экситона д определена как111111/1 те ть/1 те ть(6.77 а)(6.776)(6.77 в)(6.77 а)(6.776)(6.77 в)
方2
方2
е2
47r£о
е2
47r£о
0(俨)=егф(г),
0(俨)=егф(г),
где приведенная масса экситона д определена как
где приведенная масса экситона д определена как
1
1
1
1
1
1
/1 те ть
/1 те ть
(6.77 а)
(6.776)
(6.77 в)
(6.77 а)
(6.776)
(6.77 в)
Полная энергия экситона Е является просто суммой Er и Ег. Решения (6.77 а) и (6.77 б) легко найти. Уравнение (6.77 а) описывает свободную частицу, волновая функция и энергия которой имеют вид
方2 к 2
(6.78)(6.78)如《(五)= (N)T/2exp(zKW), Е「无而
(6.78)
(6.78)
где Er представляет собой кинетическую энергию движения ЦМ и поэтому совпадает с Eke в выражении (6.70).
Уравнение (6.77 б) подобно уравнению, описывающему движение донорного электрона (см. п. 4.2.2). Как и в случае атома водорода его волновые функциии и энергии индексируются тремя квантовыми числами: главным квантовым числом п, квантовым числом углового момента / и магнитным квантовым числом т. Волновая функция ф может быть выражена в полярных координатах г,仇 ф как
Фп1т = Ап1(『)匕ш (仇 0))Фп1т = Ап1(『)匕ш (仇 0))(679)(679)
Фп1т = Ап1(『)匕ш (仇 0))
Фп1т = Ап1(『)匕ш (仇 0))
(679)
(679)
где Rni{r) и 匕б(仇 0) являются, соответственно, присоединенными полиномами Ла- герра и сферическими гармониками. Вид этих функций можно найти во многих учебниках по квантовой механике, и поэтому здесь они не приводятся. В случае изотропной эффективной массы Ег зависит только от п и имеет вид
(6.80)(6.80)Ер (л) = Ер (оо) — 4,
(6.80)
(6.80)
где £Jr (оо)——минимальная энергия состояний в континууме, т.е. энергетическая щель
Kg в (6.69), a R* — постоянная Ридберга для экситона, которая определяется как
2Й£1Й^ =(焉)/工6通⑹81)
Если масса дырки значительно превышает массу электрона, что имеет место для большинства прямозонных полупроводников с тетраэдрической связью, то приведенная масса д близка к эффективной массе электрона, и поэтому постоянная Ридберга экситона должна быть сравнима с энергией связи донора. Кроме того, боровский радиус экситона также сравним с боровским радиусом электрона на доноре.
Объединив полученные выше результаты для относительного движения экситона и движения его ЦМ, найдем следующие выражения для огибающей волновой функции и энергии экситона:
Г) = (1/^Ж) exp (iK ■ R)Rnl(r)Ylm(0. 0),方2 K2r*
(6.82)(6.83)(6.82)(6.83)Энергетический спектр экситона Ванье схематически представлен на рис. 6.20 б и, более детально,——на рис. 6.21.
(6.82)
(6.83)
(6.82)
(6.83)
Приведенная выше модель экситонов, основанная на электронах и дырках со сферически симметричной параболической дисперсией, полезна для качественного понимания экситонных эффектов в оптических спектрах. Однако она недостаточно точна для количественной интерпретации экспериментальных спектров в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки. Как уже говорилось в главе 2, структура валентной зоны в этих полупроводниках является более сложной вследствие вырождения и гофрировки. Из всех предпринятых попыток расчета экситонных эффектов на основе реалистических зонных структур мы упомянем только расчеты Бальдеречи и Липари [6.45]. Они вычисляли энергии связи экситонов, используя «сферический эффективный гамильтониан» для дырок, подобный предложенному ими же для водородободобных акцепторов (см. п. 4.2.4) [6.47]. В табл. 6.4 приведены экспериментально определенные энергии связи экситона и боровские радиусы для ряда прямозонных полупроводников. Энергии связи сравниваются с теоретическими значениями, полученными в [6.45].
Теоретические и экспериментальные результаты для R* хорошо согласуются в полупроводниках с меньшей запрещенной зоной, однако имеется существенное их различие для материалов с большей ионностью. От-
Рис. 6.21. Энергетические состояния экситонов Ванье. Показаны связанные состояния с п от 1 до 3 и состояния непрерывного спектра; Её — ширина запрещенной зоны, R* ——энергия связи экситонаРис. 6.21. Энергетические состояния экситонов Ванье. Показаны связанные состояния с п от 1 до 3 и состояния непрерывного спектра; Её — ширина запрещенной зоны, R* ——энергия связи экситонаметим, что Алтарелли и Липари [6.50], вычислявшие дисперсию экситонов в полупроводниках с вырожденной валентной зоной, обнаружили значительные отклонения от параболической зависимости (6.83). Однако детальное обсуждение этих расчетов вы
Рис. 6.21. Энергетические состояния экситонов Ванье. Показаны связанные состояния с п от 1 до 3 и состояния непрерывного спектра; Её — ширина запрещенной зоны, R* ——энергия связи экситона
Рис. 6.21. Энергетические состояния экситонов Ванье. Показаны связанные состояния с п от 1 до 3 и состояния непрерывного спектра; Её — ширина запрещенной зоны, R* ——энергия связи экситона
ходит за рамки данной книги.
Спектры поглощения экситонов. Спектры поглощения экситонов могут быть, в принципе, расчитаны с помощью выражений для энергий экситонов и их волновых функций (6.83) и (6.82) путем введения гамильтониана взаимодействия
Таблица 6./.
Энергия связи экситона (Я*) и боровский радиус (а。) в некоторых прямозонных полупро™ водниках. Три полупроводника с обозначением (W) имеют кристаллическую структуру вюр- цита, остальные — структуру цинковой обманки
Полупроводник
R^a\ мэВ
R* 6)(теория), мэВ
аоа\ А
GaN6
27
32
24
GaAs
4,9
4,4
112
InP
5,1
5,14
113
CdTe
11
10,71
12,2
ZnTe
13
11,21
11,5
ZnSe
19,9
22,87
10,7
ZnS
29
38,02
10,22
ZnO (W)
59
CdSe (W)
15
CdS (W)
27
а Из [6.48]
6 Из [6.49]
6 Для А-экситона
вюрцита GaN [6.45].
между экситонами и фотонами. Однако концептуально оптическое поглощение экситонами отличается от оптического поглощения в одноэлектронной схеме. В двухчастичной схеме оптическое поглощение является превращением фотона в экситон;
из законов сохранения энергии и волнового вектора следует, что этот процесс должен происходить в точке пересечения дисперсионной кривой фотона (штриховая линия на рис. 6.22) и дисперсионных кривых экситона. В точках пересечения экситон и фотон вырождены. Если ввести экситон-фотонное взаимодействие (даже очень слабое), то возникающие в результате собственные состояния являются линейными комбинациями волновых функций фотона и экситона. Такое «смешанное состояние» экситона с фотоном называется экситонным поляритоном. Как видно из рис. 6.22, построенного для так называемого А-экситона CdS, дисперсионные кривые экситонного поляритона отличаются от дисперсии несвязанных, или «голых», фотона и экситона.
Рис. 6.22. Дисперсионные кривые «голого» фотона и «голого» экситона (штриховые кривые) и экситонного поляритона (сплошные кривые I и II) для А- экситона в CdS. Кривые I и II обычно называются «верхней» и «нижней» ветвями поляритона [6.51]Рис. 6.22. Дисперсионные кривые «голого» фотона и «голого» экситона (штриховые кривые) и экситонного поляритона (сплошные кривые I и II) для А- экситона в CdS. Кривые I и II обычно называются «верхней» и «нижней» ветвями поляритона [6.51]Вообще говоря, название «поляритон» дается любой смешанной электромагнитной волне и волне поляризации, распространяющейся внутри среды. В рассматриваемом случае волна поляризации связана с электрическими дипольными моментами экситонов (которые предполагаются не равными нулю). Когда экситоны двигаются в среде, они излучают электромагнитные волны. В свою очередь, электромагнитные волны могут возбуждать экситоны. В принципе, невозможно
Рис. 6.22. Дисперсионные кривые «голого» фотона и «голого» экситона (штриховые кривые) и экситонного поляритона (сплошные кривые I и II) для А- экситона в CdS. Кривые I и II обычно называются «верхней» и «нижней» ветвями поляритона [6.51]
Рис. 6.22. Дисперсионные кривые «голого» фотона и «голого» экситона (штриховые кривые) и экситонного поляритона (сплошные кривые I и II) для А- экситона в CdS. Кривые I и II обычно называются «верхней» и «нижней» ветвями поляритона [6.51]
отделить экситонную волну от электромагнитной. Таким образом, введение экситон- фотонного взаимодействия не означает, что фотоны будут обязательно терять энергию внутри среды. В этой поляритонной картине энергия переходит от фотонов к экситонам и обратно. Предположим, что образец представляет собой тонкую пластинку, и свет падает на нее слева. Вне образца существует только электромагнитное поле, которое ассоциируется с фотонами. Когда оно проникает в образец, электромагнитная волна превращается в поляритонную волну (рис. 6.23). Если нет других взаимодействий, которые могут рассеивать поляритоны внутри образца, они будут распространяться без затухания до правой поверхности образца. При возбуждении пластинки у правой поверхности поляритоны без потерь превращаются обратно в фотоны, за исключением тех поляритонов, которые отразились от поверхности. Таким образом, внутри среды не произошло никакого оптического поглощения. Для того, чтобы произошло поглощение (т.е. для диссипации энергии фотонного поля, входящего в образец), поляритоны должны испытать неупругое рассеяние, например на фононах. После неупругого рассеяния некоторые поляритоны в конце концов выйдут из образца и появятся в форме излучения (или люминесценции, см. гл. 7) с другой энергией фотонов. Относительная вероятность переизлучения и релаксации с помощью фононов зависит от поляритонной ветви. Поляритоны с высокой энергией, относящиеся к ветви I на рис. 6.22, имеют в своих волновых функциях сильные фотонные компоненты (и называются поэтому фотоноподобными); они слабо взаимодействуют с фононами и имеют большую вероятность выйти из среды. Однако если в результате упругого рассеяния на дефектах они переходят на ветвь II, где волновые функции имеют большую экситонную компоненту (экситоноподобные), они эффективно теряют свою энергию путем рассеяния на фононах или при безызлучательной рекомбинации. Этот последний процесс является главной причиной диссипация энергии поляритонов внутри среды, приводящей к оптическому поглощению [6.52].
Падающий фотонПадающий фотонОтраженный фотонОтраженный фотонПропущенный фотонПропущенный фотон
Падающий фотон
Падающий фотон
Отраженный фотон
Отраженный фотон
Пропущенный фотон
Пропущенный фотон
Рис. 6.23. Схематическое изображение пропускания фотонов через полупроводниковую пла-стину посредством распространения поляритонов внутри образца
Вычисление оптического поглощения с помощью приведенной выше экситон-по- ляритонной картины довольно затруднительно, поскольку необходимо учитывать процессы диссипации энергии поляритонов вследствие рассеяния на фононах. Один из способов для преодоления этих трудностей заключается в предположении о том, что в результате рассеяния между экситонами и фононами постоянная затухания экситонов становится больше, чем экситон-фотонное взаимодействие. В этом приближении можно заменить поляритоны на «голые» фотоны и экситоны. Когда фотон превращается в экситон, он полностью теряет свою энергию внутри среды посредством процессов затухания экситонов. В результате вероятность диссипации энергии фотонного поля определяется только вероятностью превращения фотонов в эксито-
ны. В этом приближении мы можем с помощью Золотого правила Ферми вычислить вероятность оптического перехода в единичном объеме при превращении фотона в экситон. Подобно (6.43) получим
R = (2тг/方)£ |〈f|%R|»『“Ef(K)—稣—方з), (6.84) f
где |0) — начальное (основное) состояние без экситонов, |f) — конечное состояние, когда произошло оптическое возбуждение экситона с энергией Kf и волновым вектором К, a Wxr ——экситон-фотонное взаимодействие. Согласно закону сохранения волнового вектора К должен быть равен волновому вектору фотона, который пренебрежимо мал, т.е. К = ке — kv ^ 0. В дальнейшем мы будем обозначать ке и kv как к.
Вклад в мнимую часть диэлектрической функции g вследствие поглощения экситонов состоит из двух частей: одна возникает от связанных состояний, а другая — от континуума.
Для дискретных связанных состояний можно выразить волновую функцию экситона через огибающие волновые функции (6.82). Можно показать, что оптический матричный элемент имеет вид (см. [6.39] и задачу 6.7)
(f|WxR|0) = ^(1/-/И)егк-гфп1т{г)^^ = (6.85 а)
=^/^)^гфп1аг)Ш (6§56)
Если предположить, что матричный элемент〈中M^CrJ'少D не зависит от 瓦 то суммирование ехр (泳 *『)no к в (6.85) приводит к дельта-функции J (г). После этого легко провести суммирование по г и получить
l(f|WXR|0)|2 = 7V|^(O)|2|«|KrK)|2 (6.86)
При г = О G = Rh, следовательно, |<^n/m(0)|2 представляет собой вероятность нахождения электрона и дырки внутри одной и той же примитивной ячейки. Физическая интерпретация (6.86) заключается в том, что вероятность оптического возбуждения экситона пропорциональна перекрытию волновых функций электрона и дырки. Поскольку |^>п/то(0)|2 卢 0 только при / = 0, лишь экситоны с s-симметрией могут быть возбуждены оптически. Используя волновые функции атома водорода, нетрудно показать, что g для связанных состояний равна (в атомных единицах с то = е = % = 1)
(冇о;) = ~£ ^6(幻 一 幻九), (6.87)
где |Р|2 = К以佗• pWD|2 (cm. (6.41)), а множитель 2 включен для учета вырождения по спину. Итак, сила осциллятора связанных состояний с квантовым числом п уменьшается как 几-^, в то время как их энергия связи уменьшается как п™2. В пределе п оо дискретные пики связанных состояний сливаются с квазиконтинуумом, плотность состояний которого имеет вид [6.44]
(6.88)(6.88)dn 咒3(47r)2^2
(6.88)
(6.88)
87rl 尸“ 唸 47r£о £ '87rl 尸“ 唸 47r£о £ '/（方3）0/（方3）0(6.89)(6.89)Подставив (6.88) в (6.87), находим, что при стремлении 方з к ширине запрещенной зоны w (方з) стремится к
87rl 尸“ 唸 47r£о £ '
87rl 尸“ 唸 47r£о £ '
/（方3）0
/（方3）0
(6.89)
(6.89)
17 M. Кардона
Для состояний континуума волновые функции экситонов могут быть выражены через конфлюэнтные гипергеометрические функции [6.44, 6.53]. Соответствующий вклад поглощения экситонов в мнимую часть диэлектрической постоянной дается выражением (см. [6.44] и задачу 6.7)
2|尸|2(2〃)3/2@— %)1/22|尸|2(2〃)3/2@— %)1/2ш2 sinh гш2 sinh г(6.90)(6.90)
2|尸|2(2〃)3/2@— %)1/2
2|尸|2(2〃)3/2@— %)1/2
ш2 sinh г
ш2 sinh г
(6.90)
(6.90)
Рис. 6.24. Сравнение спектров поглощения вблизи края запрещенной зоны в прямозонном полупроводнике с участием экситонов (сплошные линии) и без учета экситонных эффектов (штриховые кривые)Рис. 6.24. Сравнение спектров поглощения вблизи края запрещенной зоны в прямозонном полупроводнике с участием экситонов (сплошные линии) и без учета экситонных эффектов (штриховые кривые)
Рис. 6.24. Сравнение спектров поглощения вблизи края запрещенной зоны в прямозонном полупроводнике с участием экситонов (сплошные линии) и без учета экситонных эффектов (штриховые кривые)
Рис. 6.24. Сравнение спектров поглощения вблизи края запрещенной зоны в прямозонном полупроводнике с участием экситонов (сплошные линии) и без учета экситонных эффектов (штриховые кривые)
где 丁 (в атомных единицах) определяется как
(6.91)(6.91)瓜* 1/2
(6.91)
(6.91)
Г = 7Г
В пределе з Т з? (см. задачу 6.7) w стремится к (6.89), и следовательно, она плавно
изменяется между дискретными связанными состояниями и континуумом, что явля
ется хорошим результатом с точки зрения физики. На рис. 6.24 схематически показан
коэффициент поглощения экситона с учетом вкладов как от связанных состояний, так и от состояний в сплошном спектре. Штриховая кривая описывает коэффициент поглощения в случае пренебрежения экситонными эффектами. Мы видим, что экситонный эффект приводит к увеличению коэффициента поглощения и выше, и ниже запрещенной зоны. Вместо того, чтобы обратиться в нуль у края запрещенной зоны, коэффициент поглощения достигает постоянной величины, как в случае критической точки Мд в двумерной системе. Для сравнения теории Элл иотта с экспериментальными результатами на рис. 6.25 даны спектры поглощения GaAs вблизи края запрещенной зоны при различных температурах. Поскольку энергия связи экситона в GaAs составляет около 5 мэВ (см. табл. 6.4), при 21 К виден только уширенный пик, соответствующий n = 1. Отметим, что при комнатной температуре экситоны в GaAs должны испытать термическую ионизацию, однако край поглощения GaAs все еще модифицирован вследствие экситонных эффектов.
При низких температурах экситонные эффекты приводят к модификации края поглощения у полупроводников с непрямой запрещенной зоной, таких как Ge и GaP (см. п. 6.2.6). Вместо того, чтобы снова получать выражение для коэффициента поглощения для этого случая, рассмотрим следующие соображения. Как было показано на рис. 6.21, в прямозонных полупроводниках уровни энергии экситонов являются набором парабол с центром при К = 0. В полупроводнике с непрямой запрещенной зоной, таком как Ge, минимумы зоны проводимости находятся в точке L, а максимум валентной зоны — в центре зоны Бриллюэна. Поэтому можно ожидать, что экситон, образованный из этих зонных экстремумов, будет иметь параболы с центром при волновом векторе к。= к厶)где к厶 ——волновой вектор электрона в Ge в точке £. В материалах с прямой зоной экситоны могут непосредственно возбуждаться фотонами только в тех точках, где пересекаются дисперсионные кривые фотона и экситона (см. рис. 6.22). Это условие сохранения волнового вектора ослаблено в материалах с непрямой зоной из-за участия фононов. В результате экситоны могут возбуждаться фотонами в любой точке парабол почти с одинаковой вероятностью. Следовательно,
9 7 Q а а а I«инотоккш лноинивфсо*9 7 Q а а а I«инотоккш лноинивфсо*1,11,142424444464622Энергия фотона, эВ
9 7 Q а а а I«инотоккш лноинивфсо*
9 7 Q а а а I«инотоккш лноинивфсо*
1,1
1,1
42
42
44
44
46
46
2
2
Рис. 6.25. Экситонные спектры поглощения GaAs вблизи края запрещенной зоны при нескольких температурах. Широкие затененные кривые, проведенные через экспериментальные точки при 21, 90 и 294 К, соответствуют подгонке к выражению (6.90) [6.54]
коэффициент поглощения будет пропорционален плотности конечных состояний, ко
торая имеет такой же вид, как край поглощения в прямозонных полупроводниках для некоррелированных электрон-дырочных пар (т.е. без экситонных эффектов). Итак,
край поглощения в полупроводниках с непрямой запрещенной зоной с участием экситонов имеет такую же зависимость от энергии, как у прямозонного полупроводника без экситонных эффектов (представленную выражением (6.58а)).
До сих пор лучшим примером экситон- ной ридберговской серии является полупроводник CU2O. Как было отмечено в п. 6.2.6, экстремумы валентной зоны и зоны проводимости в CU2O имеют одинаковую четность при инверсии. Оптические переходы между этими
двумя зонами запрещены в электрическом ди- i
польном приближении, однако разрешены как ' -1
магнито-дипольные или электрические квадрупольные переходы. Таким образом, вероятность оптического перехода пропорциональна зависящему от к члену в матричном элементе |(с, к\к • p\v, k)\2. С помощью (6.68) можно
2,12 2,132,142,152,162,12 2,132,142,152,16О 17100 172001730017400hv, см-1О 17100 172001730017400hv, см-1Рис. 6.26. Спектр поглощения С112О при низкой температуре. Видна эк- ситонная р-серия, связанная с краем зоны, запрещенным в дипольном приближении [6.55]Рис. 6.26. Спектр поглощения С112О при низкой температуре. Видна эк- ситонная р-серия, связанная с краем зоны, запрещенным в дипольном приближении [6.55]7 <(OHHEXQAIIOdll) tq7 <(OHHEXQAIIOdll) tqпоказать, что вероятность перехода зависит от производной \dФrllm(0)/dr|2 огибающей функции экситона, вычисленной в точке г = 0 [6.44]. Следовательно, связанные состояния экситона с р-симметрией являются слабо активными в электрическом дипольном приближении вблизи «запрещенной» прямой щели. Коэффициент по-
2,12 2,132,142,152,16
2,12 2,132,142,152,16
О 17100 172001730017400
hv, см-1
О 17100 172001730017400
hv, см-1
Рис. 6.26. Спектр поглощения С112О при низкой температуре. Видна эк- ситонная р-серия, связанная с краем зоны, запрещенным в дипольном приближении [6.55]
Рис. 6.26. Спектр поглощения С112О при низкой температуре. Видна эк- ситонная р-серия, связанная с краем зоны, запрещенным в дипольном приближении [6.55]
7 <
(OHHEXQAIIOdll) tq
7 <
(OHHEXQAIIOdll) tq
d ① nlm (0)drd ① nlm (0)driiiiii осiiiiii осn2 — 1n2 — 1(6.92)(6.92)глощения пропорционален
d ① nlm (0)dr
d ① nlm (0)dr
iiiiii ос
iiiiii ос
n2 — 1
n2 — 1
(6.92)
(6.92)
и тождественно равен нулю для уровня rz = 1 (это — единственный уровень без вклада p-состояния). На рис. 6.26 показан набор слабо разрешенных экситонных пиков
17*
поглощения в CU2O (так называемая желтая экситонная серия 2. 3〃, 4р и т.д.), измеренных Баумайстером [6.55]. Наблюдавшиеся пики очень хорошо аппроксимируются серией Ридберга:
Еп = (2,166 — 0,097/п2) эВ (п = 2, 3, . . .)• (6.93)
Кроме того, в CU2O наблюдается очень резкий слабый пик при 2,033эВ, связанный с ls-экситоном. Он возбуждается посредством магнитных дипольных и электриче™ ских квадрупольных переходов [6.56]. Из энергии, соответствующей порогу сплош™ кого спектра при 2,166эВ в (6.93), для ls-состояния можно получить энергию свя™ зи 0,133 эВ, в то время как более высокие экситонные состояния той же серии соответствуют меньшей энергии Ридберга, равной 0,097эВ. Причина подобного различия заключается в коррекции центральной ячейки, уже рассматривавшейся в п. 4.2.2 в связи с водородоподобными примесями. Обсуждение эффектов центральной ячейки в случае экситонов выходит за рамки настоящей книги.
Экситонный эффект в критических точках Mf или гиперболические экситоны. Как видно из табл. 6.1, сингулярность Ван Хова в плотности состояний в критической точке Mi имеет форму, описываемую выражением С — (Ко — К)1/2, для Е < Eq и равна С для Е > Eq где С ——константа, a Eq ——энергия критической точки. Соответствующая форма w вблизи такой критической точки в комбинирован™ ной плотности состояний была схематически изображена на рис. 6.9. Характерной особенностью 碎 является резкий рост при К, стремящейся к Ко снизу, и медленное уменьшение при К выше Eq. В п. 6.2.4 упоминалось, что переходы 石工 и 石工 + Дх в оп™ тических спектрах полупроводников типа алмаза и цинковой обманки приписывают критическим точкам типа Mi на основе расчетов зонной структуры. На рис. 6.27 по казана мнимая часть диэлектрической постоянной w в области Ki-переходов для двух полупроводников группы П-VI: CdTe и ZnTe. Штриховые кривые были рассчитаны Вальтером и др. [6.58] из зонных структур, полученных по методу псевдопотенциала, без учета экситонных эффектов. Они отражают асимметричную форму, которая ожи™ далась для критических точек типа Mi в случае трех измерений. Однако эксперимент тальные кривые, измеренные Петровым и Балканским [6.57], имеют противоположную асимметрию, т.е. пики являются более резкими выше, а не ниже критической точки. Кроме того, в обоих спектрах при более высоких, чем основной сильный пик, энергиях появляется слабая структура. Эти различия между экспериментом и теорией, осно™ ванной на одноэлектронном расчете энергетических зон, были объяснены влиянием
Рис. 6.27. Мнимая часть диэлектрической постоянной 吗 вблизи £Ji-перехода для a) CdTe и б) ZnTe. Сплошные кривыеэкспериментальные результаты [6.57]. Штриховая кривая —— расчет на основании зонной схемы без учета экситонных эффектов [6.58]. Пунктир —расчет с учетом экситонных эффектов Кейна (К) [6.59] и Анточи и Нарделли (А и Н) [6.60]Рис. 6.27. Мнимая часть диэлектрической постоянной 吗 вблизи £Ji-перехода для a) CdTe и б) ZnTe. Сплошные кривыеэкспериментальные результаты [6.57]. Штриховая кривая —— расчет на основании зонной схемы без учета экситонных эффектов [6.58]. Пунктир —расчет с учетом экситонных эффектов Кейна (К) [6.59] и Анточи и Нарделли (А и Н) [6.60]
Рис. 6.27. Мнимая часть диэлектрической постоянной 吗 вблизи £Ji-перехода для a) CdTe и б) ZnTe. Сплошные кривыеэкспериментальные результаты [6.57]. Штриховая кривая —— расчет на основании зонной схемы без учета экситонных эффектов [6.58]. Пунктир —расчет с учетом экситонных эффектов Кейна (К) [6.59] и Анточи и Нарделли (А и Н) [6.60]
Рис. 6.27. Мнимая часть диэлектрической постоянной 吗 вблизи £Ji-перехода для a) CdTe и б) ZnTe. Сплошные кривыеэкспериментальные результаты [6.57]. Штриховая кривая —— расчет на основании зонной схемы без учета экситонных эффектов [6.58]. Пунктир —расчет с учетом экситонных эффектов Кейна (К) [6.59] и Анточи и Нарделли (А и Н) [6.60]
экситонных эффектов на критические точки Mi. Такие экситоны, появляющиеся вблизи седловых точек, называются гиперболическими экситонами (т.к. поверхности постоянной энергии вблизи критических точек М、являются гиперболоидами).
Кейн [6.59] вычислил форму контура w вблизи седловой точки Mi с частотой 幻匕 решив волновое уравнение для относительного движения электрона и дырки:
(計 + Ф(г) = (6.94)
где Д1, Д2 > 0, а Дз < 0. В пределе |дз| Т оо (6.94) сводится к уравнению движения для критической точки Мд в двумерном случае (для этого случая аналитические решения известны, см. [6.61]). Квазидвумерные экситоны существуют в слоистых полупроводниках, подобных GaSe (см. п. 7.2.7). Позже выяснилось, что они имеют важное значение для оптических свойств квантовых ям (см. гл. 9). Энергии их связанных состояний 石2D (которые индексируются квантовым числом п) описываются серией
K2D(n) = K2D(oo) — R*/5 + 1/2)2 для n = 0, 1, 2, (6.95)
где эффективный Ридберг R* определяется выражением (6.81) для трехмерных экситонов. Соответствующие силы осциллятора, аналогичные силам в (6.87), но для двумерного случая, пропорциональны (n +1/2)™3. Отношение сил осциллятора /о//1 для пиков п = 0 и n = 1 равно (1/2)^3/[(3/2)^3] = 27. Важной особенностью двумерного Мд экситона является доминирование пика с п = 0. В случае конечного значения |дз|, но при |〃з|》〃1, 〃2, Кейн нашел решение уравнения (6.94), использовав адиабатическое приближение в направлении наиболее тяжелой массы. Численные расчеты показывают, что эффект конечного значения |дз| сводится к уменьшению энергии связи и асимметричному уширению пика п = 0 соответствующего двумерного экситона. Результаты Кейна для случаев шз = Дз/Д1 = = —320, —40 и —5 приведены на рис. 6.28. Филлипс [6.62] интерпретировал это асимметричное уширение как интерференцию Фано [6.63] между дискретным состоянием и континуумом. Если 〃з отрицательна, то существует континуум разрешенных состояний с энергиями ниже критической точки Mi. Состояние с п = 0 в «двумерном» экситоне может
10864108642 0-22 0-2-4,0 Т5 ТО -2,5 々О 4,5-0,500,5 1,0Энергия, ат. ед. массы-4,0 Т5 ТО -2,5 々О 4,5-0,500,5 1,0Энергия, ат. ед. массыРис. 6.28. Вклады в 吗 вблизи критической точки Afi (ее энергия принята за нуль), полученные численно [6.59] для тз = тз/儿工=—320, —40 и —5. Значения для тз = —40 и —5 умножены, соответственно, на 5 и на 20, чтобы их можно было представить в том же масштабе, что и кривую для тз = —320. Атомная единица энергии для легкой массы равна 工/£о RyРис. 6.28. Вклады в 吗 вблизи критической точки Afi (ее энергия принята за нуль), полученные численно [6.59] для тз = тз/儿工=—320, —40 и —5. Значения для тз = —40 и —5 умножены, соответственно, на 5 и на 20, чтобы их можно было представить в том же масштабе, что и кривую для тз = —320. Атомная единица энергии для легкой массы равна 工/£о Ry
10
8
6
4
10
8
6
4
2 0
-2
2 0
-2
-4,0 Т5 ТО -2,5 々О 4,5-0,500,5 1,0
Энергия, ат. ед. массы
-4,0 Т5 ТО -2,5 々О 4,5-0,500,5 1,0
Энергия, ат. ед. массы
Рис. 6.28. Вклады в 吗 вблизи критической точки Afi (ее энергия принята за нуль), полученные численно [6.59] для тз = тз/儿工=—320, —40 и —5. Значения для тз = —40 и —5 умножены, соответственно, на 5 и на 20, чтобы их можно было представить в том же масштабе, что и кривую для тз = —320. Атомная единица энергии для легкой массы равна 工/£о Ry
Рис. 6.28. Вклады в 吗 вблизи критической точки Afi (ее энергия принята за нуль), полученные численно [6.59] для тз = тз/儿工=—320, —40 и —5. Значения для тз = —40 и —5 умножены, соответственно, на 5 и на 20, чтобы их можно было представить в том же масштабе, что и кривую для тз = —320. Атомная единица энергии для легкой массы равна 工/£о Ry
распасться на состояния континуума и стать резонансным (см. § 4.3). Форма контура для пика п = 0 похожа на так называемые автоионизованные состояния, которые встречаются в спектрах атомов. Теория Кейна позволила количественно объяснить спектры поглощения CdTe (см. рис. 6.27 а), но не ZnTe [6.57]. Для ZnTe теоретический пик имеет меньшую энергию, чем экспериментальный, хотя их формы находятся в качественном согласии друг с другом. Позже Анточи и Нарделли [6.60] показали, что можно достичь лучшего согласия с экспериментом для положения пика в ZnTe, если слегка изменить энергию зон вдоль направлений (111). Их результаты также сравниваются с экспериментом на рис. 6*27 б.
В последние годы более сложные расчеты влияния экситонных эффектов на диэлектрическую функцию во всем диапазоне изменения, проведенные в рамках многоэлектронной теории, устранили в значительной степени различия между теорией и экспериментом, которые заметны на рисунках 6.10-6.12 (см. [6.64, 6.65] и § 6.7).
Экситонные эффекты в критических точках М^. Итак, экситонные эффекты имеют тенденцию увеличивать силу осциллятора в критических точках Мд и Mi. Поскольку полная сила осциллятора пропорциональна полному числу валентных электронов (см. правило сумм в задаче 6.5), она должна каким-то образом «сохраняться». Другими словами, выигрыш в силе осцилляторов в критических точках Мд и Mi, вызванный экситонными взаимодействиями, должен компенсироваться потерями в других областях. Оптические переходы ослабляются в критических точках М2 и М3 [6.66]. Уравнение для относительного движения (т.е. аналог (6.77б)) для электрон-дырочных пар в критических точках М3 почти идентично уравнению движения в критической точке Мд, за исключением того, что эффективная масса отрицательна. Эквивалентным образом мы можем считать приведенную массу положительной, но изменить знак члена кулоновского притяжения в (6.77б). Последнее означает, что можно считать электрон и дырку в критической точке М3 имеющими нормальные положительные эффективные массы, но отталкивающими, а не притягивающими друг друга в результате кулоновского взаимодействия. Вследствие этого не возникает связанных состояний. Отталкивание удерживает их вдали друг от дру-
Рис. 6.29. Сравнение формы е〃 вблизи критической точки Л/з при вычислениях с учетом и без учета экситонных эффектов. Сплошная линия ——e^h-взаимодействие, штриховая — зонное приближение [6.66]Рис. 6.29. Сравнение формы е〃 вблизи критической точки Л/з при вычислениях с учетом и без учета экситонных эффектов. Сплошная линия ——e^h-взаимодействие, штриховая — зонное приближение [6.66]га, и вероятность оптических переходов уменьшается. Можно показать, что решения волнового уравнения похожи на решения (6.77б), описывающие состояния континуума. Теперь ^(з < о；з), где G3 — частота критической точки М3, имеет вид (в атомных единицах^ е = т© =方,=1) [6.66]га, и вероятность оптических переходов уменьшается. Можно показать, что решения волнового уравнения похожи на решения (6.77б), описывающие состояния континуума. Теперь ^(з < о；з), где G3 — частота критической точки М3, имеет вид (в атомных единицах^ е = т© =方,=1) [6.66]W =W =21 尸 12(2儿)3/2(以3 _g)1/2 7，"21 尸 12(2儿)3/2(以3 _g)1/2 7，"0/2 sinh т'0/2 sinh т'(6.96 а)(6.96 а)где т определено какгде т определено как丁 = —к丁 = —к1/21/2幻3 - G幻3 - G(6.96 б)(6.96 б)Результирующий вид 孕 показан на рис. 6.29. Сильное подавление сингулярности в силе оптического перехода является, по-видимому, причиной того, что критические точки М3 не были идентифицированы в оптических спектрах.Результирующий вид 孕 показан на рис. 6.29. Сильное подавление сингулярности в силе оптического перехода является, по-видимому, причиной того, что критические точки М3 не были идентифицированы в оптических спектрах.
Рис. 6.29. Сравнение формы е〃 вблизи критической точки Л/з при вычислениях с учетом и без учета экситонных эффектов. Сплошная линия ——e^h-взаимодействие, штриховая — зонное приближение [6.66]
Рис. 6.29. Сравнение формы е〃 вблизи критической точки Л/з при вычислениях с учетом и без учета экситонных эффектов. Сплошная линия ——e^h-взаимодействие, штриховая — зонное приближение [6.66]
га, и вероятность оптических переходов уменьшается. Можно показать, что решения волнового уравнения похожи на решения (6.77б), описывающие состояния континуума. Теперь ^(з < о；з), где G3 — частота критической точки М3, имеет вид (в атомных единицах^ е = т© =方,=1) [6.66]
га, и вероятность оптических переходов уменьшается. Можно показать, что решения волнового уравнения похожи на решения (6.77б), описывающие состояния континуума. Теперь ^(з < о；з), где G3 — частота критической точки М3, имеет вид (в атомных единицах^ е = т© =方,=1) [6.66]
W =
W =
21 尸 12(2儿)3/2(以3 _g)1/2 7，"
21 尸 12(2儿)3/2(以3 _g)1/2 7，"
0/2 sinh т'
0/2 sinh т'
(6.96 а)
(6.96 а)
где т определено как
где т определено как
丁 = —к
丁 = —к
1/2
1/2
幻3 - G
幻3 - G
(6.96 б)
(6.96 б)
Результирующий вид 孕 показан на рис. 6.29. Сильное подавление сингулярности в силе оптического перехода является, по-видимому, причиной того, что критические точки М3 не были идентифицированы в оптических спектрах.
Результирующий вид 孕 показан на рис. 6.29. Сильное подавление сингулярности в силе оптического перехода является, по-видимому, причиной того, что критические точки М3 не были идентифицированы в оптических спектрах.
Фононные поляритоны и решеточное поглощение
В главе 3 фононы в кристаллах, содержащих более одного атома в примитивной ячейке, разделялись на акустические и оптические фононы. Как следует из названия, оптические фононы могут взаимодействовать с электромагнитным излучением. В настоящем параграфе мы будем изучать это взаимодействие.
Поскольку фононы представляют собой квантованные простые гармонические осцилляторы, начнем с рассмотрения отклика совокупности идентичных заряженных простых гармонических осцилляторов (ПГО) на поле излучения в виде плоской волны:
Е(『，力)=% exp 5(k ■『一сЛ).(6.97)
Предположим, что эти ПГО равномерно распределены по всему пространству (во избежание проблем, связанных с анизотропией или наличием поверхностей). Массу и заряд ПГО обозначим М и Q, соответственно. Естественной колебательной частотой каждого из них является з「Под действием приложенного поля ПГО смещаются из своего положения равновесия на вектор и. Уравнение их движения имеет вид
(6.98)(6.99)(6.100)(6.98)(6.99)(6.100)"(cfn/d 产)=+ QE*
(6.98)
(6.99)
(6.100)
(6.98)
(6.99)
(6.100)
В равновесном состоянии решения (6.98) могут быть выражены как
и = Uq exp [i(k ' г — з力)].
Подставляя последнее выражение в (6.98), получим решение для Uq：
"°— о;2) *
Поскольку эти ПГО заряжены и смещаются на одинаковую величину и, они создают макроскопическую поляризацию Р, которая также колеблется с частотой з:
Р = NQu,(6.101)
где N — плотность ПГО. Вектор электрического смещения D среды выражается в системе единиц СИ как
(6.102)(6.102)D = Е + 47rp = £石，D = £qE + P = £o£E,
(6.102)
(6.102)
где £ ——диэлектрическая функция изотропной среды. Подставив (6.100) и (6.101) в (6.102), найдем £ в СИ:
4ttNQ2 —NQ2=+%"((4一公2]4ttNQ2 —NQ2=+%"((4一公2](6.103)(6.103)
4ttNQ2 —NQ2
=+%"((4一公2]
4ttNQ2 —NQ2
=+%"((4一公2]
(6.103)
(6.103)
Приводя (6.103) к более общему виду для совокупности ПГО с разными резонансными частотами 妨，можно получить выражение (6.50). Уравнение (6.103) может быть также выражено через показатель преломления среды п в СИ:
(6.104)(6.104)2 = 1 . V 4bN僧= NQ?
(6.104)
(6.104)
° 乙(吟—о;2)'
Уравнение (6.104) использовалось для объяснения аномальной дисперсии показателей преломления в газах вблизи линий поглощения и называется уравнением Сельмейе- ра [6.67].
Прежде чем продолжить рассмотрение (6.103), необходимо включить в полную диэлектрическую функцию среды £ вклад от валентных электронов. Чтобы отличать
вклад валентных электронов от вклада ПГО, обозначим эти вклады как ее и / (е и 1 являются обозначениями электрона и решетки). Пусть ширина запрещенной зоны Eg》方з)так что для электронов поле излучения представляется постоянным и £е(а) можно аппроксимировать как £е(0)- С другой стороны, если ш》шт? то ПГО не могут следовать за электрическим полем и больше не вносят вклада в полную диэлектрическую функцию, т.е. в (6.103) £] Т 1. Таким образом, для (石g/方)》 》幻》幻丁 полная диэлектрическая функция £ ^ ее(0). Принято обозначать £е(0) как Eg и называть ее высокочастотной диэлектрической постоянной, поскольку это —— диэлектрическая постоянная при частоте, которая много выше колебательных частот, но ниже энергий возбуждения электронов. Если включить Eg в (6.103), то е = €i + ее в СИ будет иметь вид
/丄 47TNQ2 —ZQ2
при условии, ЧТО W《(Eg/К).
Поскольку в среде нет избыточных зарядов, вектор электрического смещения И удовлетворяет уравнению Гаусса:
div В = 0(6.106)
или,эквивалентно,или,эквивалентно,£ (к •石о) = 0.£ (к •石о) = 0.(6.107)(6.107)
или,эквивалентно,
или,эквивалентно,
£ (к •石о) = 0.
£ (к •石о) = 0.
(6.107)
(6.107)
Уравнение Гаусса выполняется или при е = 0 или при (к •石о) = 0. Рассмотрим эти
два случая раздельно.
Случай 1 (поперечное поле): к •石о = 0.
Если 石о также равно нулю, то мы имеем тривиальную ситуацию: и = Р = D = 0. При 石о * 0 условие (к •石о) = 0 означает, что Eq перпендикулярно направлению распространения. Другими словами, электрическое поле должно быть поперечным.
Для таких поперечных полей отклик ПГО описывается диэлектрической функци
ей, приведенной в (6.105). В частности, е расходится, когда 幻 приближается к 幻丁*
В результате 幻丁 является резонансной частотой среды при возбуждении поперечного
колебания (или сокращенно поперечной резонансной частотой).
Случай 2 (продольное поле): £^0 || fc и е = 0.
^NQ2Мвос^NQ2Мвосш^ = ш^ +ш^ = ш^ +4 +£ о £ сю 八〃4 +£ о £ сю 八〃(6.108)(6.108)Если электрическое поле является продольным (石о * к * 0))£ должна обратиться в нуль, чтобы удовлетворить уравнению (6.107). Из (6.105) следует, что это может произойти при частотах 幻匕)определяемых из условия e(gl) = 0. Решив (6.105), получим в СИ
^NQ2Мвос
^NQ2Мвос
ш^ = ш^ +
ш^ = ш^ +
4 +
£ о £ сю 八〃
4 +
£ о £ сю 八〃
(6.108)
(6.108)
Рассмотрим, что происходит при частотах 幻匕-Выражение (6.102) можно записать в виде Е = (1/e)D Когда е = 0, Е не обязано быть равным нулю даже при D = 0. Продольное электрическое поле при gj обозначаемое как 矶,выражается в СИ как
石匕=-卜4不I= —〈4不]&QNQu = NQu (6.109)
(при U = 0). Это означает, что когда ПГО колеблются на частоте шь, для генерации электрического поля не нужны никакие внешние заряды. Наоборот, продольное электрическое поле Е^ возникает из-за поляризации, индуцируемой колебаниями. Из (6.109) следует, что £^ь макроскопическое поле (т.к. Р — величина макроскопическая). Кроме того, оно направлено в сторону, противоположную поляризации, и поэтому создает дополнительную возвращающую силу для продольных осцилляций. Это объясняет, почему шь, продольная резонансная частота в (6.108), всегда
больше, чем поперечная частота шт- Подчеркнем, что не следует смешивать 矶 с макроскопическим электрическим полем в конденсаторе с параллельными пластинами (см. рис. 3.3). Хотя плоскости положительных и отрицательных зарядов в твердом теле похожи на заряды в таком конденсаторе, они создают микроскопические поля. В состоянии равновесия, при отсутствии LO фонона, эти микроскопические поля в результате суммирования по многим элементарным ячейкам дают нулевое макроскопическое поле. В противном случае даже без внешнего поля существовала бы макроскопическая поляризация, как в сегнетоэлектрических материалах. При возбуждении LO фонона в среде относительные смещения зарядов приводят к возникновению многочисленных дипольных моментов. В сумме они приводят к макроскопической поляризации, которая создает продольное поле 石匕.
Заряд Q и масса М ПГО являются микроскопическими параметрами, которые трудно измерить. Напротив,幻丁,幻匕 и Eg можно определить из эксперимента. Часто бывает удобно ввести другую величину ——так называемую низкочастотную диэлектрическую постоянную во = £(°), для того чтобы выразить диэлектрическую функцию через измеряемые величины (задача 6.4):
e (公)= Eg I 1 +e (公)= Eg I 1 +(6.110a)(6.110a)
e (公)= Eg I 1 +
e (公)= Eg I 1 +
(6.110a)
(6.110a)
или
(6.1106)(6.1106)/ x, £o — £oo
(6.1106)
(6.1106)
Отсюда можно получить соотношения Лиддейна-Закса-Теллера (ЛЗТ) (задача 6.4):
(6Л11)(6Л11)
(6Л11)
(6Л11)
Фононные поляритоны. До сих пор при обсуждении взаимодействия между электромагнитными полями и заряженными гармоническими осцилляторами прене- брегалось излучением, создаваемым осциллирующей макроскопической поляризацией 尸.Вследствие этого приведенная выше теория предсказывает существование поперечного и продольного резонансов на частотах 幻丁 и шь, соответственно, даже при нулевом волновом векторе. Однако вопрос о поперечности или продольности волны зависит от того, как направлены смещения в волне относительно ее волнового вектора. Поэтому можно предположить, что поперечные и продольные колебания должны стать вырожденными в пределе, когда волновой вектор приближается к нулю. Ведь, если волновой вектор равен нулю, то, казалось бы, невозможно отличить поперечное колебание от продольного. Это ограничение устраняется при учете эффектов запаздывания [6.68].
Для полного описания взаимодействия между электромагнитными волнами и зарядами необходимо воспользоваться уравнениями Максвелла. Уравнение (6.106)— лишь одно из них. Остальными тремя уравнениями (при отсутствии любых токов в среде) являются
(6Л12а)(6Л126)(6Л12в)(6Л12а)(6Л126)(6Л12в)div 3 = 0,
(6Л12а)
(6Л126)
(6Л12в)
(6Л12а)
(6Л126)
(6Л12в)
rotH = (l/c)(3D/a 力)，rotE = ^l/c)(dB/dt)y
где В и Н ——магнитная индукция и магнитное поле, а с = 1 для системы единиц СИ. Поскольку в настоящей книге мы рассматриваем только немагнитные полупроводники, можно пользоваться приближением В = Н (для системы единиц СИ В = 〃о〃,
где домагнитная постоянная в вакууме). Хорошо известно, что комбинация уравнений Максвелла приводит к двум волновым уравнениям (одно ——для Е и другое —— для U), которые описывают распространение электромагнитных полей [6.10].
Поскольку электромагнитные волны поперечны (в бесконечной среде), они взаимодействуют с поперечными возбуждениями, такими как ТО фононы, но не взаимодействуют с LO фононами. Поэтому можно ограничить наше рассмотрение только случаем 1. Из уравнения (6.112 а) следует, что поле Н также перпендикулярно к. Как и для 石,мы будем предполагать, что Н описывается плоской волной
Н(г,力)=Но exp [i(k • г —幻力)]* (6.113)
Подставив Е и Н из (6.97) и (6.113) в (6.112 б) и (6.112 в) соответственно, получим два линейных однородных уравнения для Eq и Hq. Для того, чтобы у этих двух уравнений были нетривиальные решения, требуется равенство нулю характеристического определителя. Это условие может быть выражено в виде
k2 =(g2/巒)e. (6.114a)
Очевидно, что (6.114 а) является дисперсией поперечной электромагнитной волны внутри немагнитной среды с диэлектрической постоянной £. Подставив выражение для £ из (6.111) в (6.114а), получим дисперсионное соотношение:
На рис. 6.30 показаны зависимости решений (6.114 б) от приведенного волнового вектора (сплошные кривые). Если переписать (6.1146) в виде квадратного уравнения относительно ш2, то видно, что для каждого значения к существует два решения
Рис. 6.30. Схематическое изображение дисперсион™ ных кривых в полярном кристалле при отсутствии взаимодействия между световой волной и колеба™ ниями решетки и для смешанной оптической волны (фононного поляритона) [6.68]: а — свет в вакууме; b ——смешанная фотон-фононная мода (верхняя по™ ляритонная ветвь); bi ——дисперсия фотона, как в Ь, но без взаимодействия с фононом; с, d ——продольное и поперечное решеточные колебания, соответствен™ но, не взаимодействующие со светом; / — попереч™ ная смешанная фотон^фононная мода (нижняя по™ ляритонная ветвь)
для ш2, другими словами, имеется две «ветви» на дисперсионной кривой, подобно случаю дисперсии экситонных поляритонов (см. рис. 6.22). Нетрудно показать, что при k Т 0 одно решение (6.114 б) стремится к w2 = с^к2/(известному как «нижняя ветвь»), в то время как другое решение («верхняя ветвь») стремится к постоянной величине 幻匕.Таким образом, в пределе нулевого волнового вектора частота поперечных осцилляций (для верхней ветви) становится вырожденной с частотой продольных осцилляций вследствие кубической симметрии. С другой стороны, при к т 0 дисперсия верхней ветви выражается как ш2 = с2к2/е^, в то время как нижняя ветвь стремится
к шт - Поскольку продольные осцилляции не могут взаимодействовать с поперечными электромагнитными волнами, у них нет дисперсии. Это отражено на рис. 6.30 прямой горизонтальной линией, проходящей через шь-
Хотя приведенные выше результаты были получены для ПГО, равномерно распределенных в пространстве, можно показать [6.68], что они также справедливы для ионных (или частично ионных) кристаллов, содержащих два атома в элементарной ячейке, при условии, что мы произведем следующие замены. Смещение ПГО заменяется относительным смещением двух ионов в примитивной элементарной ячейке, или
Ми 儿(и+ 一u一)， (6.115)
где «+ и и^ являются, соответственно, смещением положительных и отрицательных ионов, а д — приведенная масса двух ионов А и В с массами шд и шв (д^1 = Шд1 + + nig1). Заряд Q должен быть заменен эффективным ионным зарядом в* на ионах (положительном и отрицательном). Смысл в* будет разъяснен ниже. Частоты поперечных и продольных осцилляций теперь идентифицируются как частоты ТО и LO фононов, соответственно. Результирующая поперечная волна, дисперсия которой описывается выражением (6.114б), называется фононным поляритоном. Ее дисперсионную кривую можно описать в терминах связанных колебаний. В отсутствии ТО фононов дисперсия электромагнитной осцилляции на рис. 6.30 дается прямой линией 幻=ск/е^2. Если ТО фонон (в котором по предположению дисперсия отсутствует) не взаимодействует с излучением, он представлен на этом же рисунке прямой горизонтальной линией, проходящей через 幻丁. При значении волнового вектора, при котором эти две линии пересекаются (т.е. моды вырождены), они могут образовывать связанное колебание. Причина заключается в том, что электромагнитные волны могут возбуждать ТО фононы, а осциллирующие заряды ——излучать электромагнитные волны. Эти две волны различного типа не могут быть разделены. В результате смешивания частоты двух мод изменяются: одна из них увеличивается, а другая уменьшается. Иными словами, две моды как бы «отталкивают» друг друга. Иногда это называют антипересечением уровней. Отметим, что при 幻《 幻丁 ТО фонон тоже вносит вклад в диэлектрическую функцию. В результате дисперсия поляритонов при малых g дается выражением 卜ск]з) = е/. в главе 7 с помощью метода рассеяния света мы более подробно опишем измерения частот ТО и LO фононов в полупроводниках при к = 0 и дисперсию фононных поляритонов в GaP (см. рис. 7.2 б).
Решеточное поглощение и отражение. Если вклад в диэлектрическую постоянную от колебаний решетки известен, то можно непосредственно вычислить соответствующие оптические свойства образца, такие как коэффициент поглощения, показатель преломления и коэффициент отражения, с помощью СКК и (6.10), (6.11) и (6.8). Например, можно из (6.105) с помощью СКК найти мнимую часть диэлектрической функции (задача 6.4). Результирующее выражение представляет собой дельта-функцию с центром при частоте ТО фонона. Дельта-функцией является и форма линии спектра поглощения инфракрасно-активного оптического фонона. Из уравнения (6.110) видно, что между частотами ТО и LO фононов е — отрицательна, а комплексный показатель преломления является чисто мнимым. Отражение образца между wl и gt согласно (6.8) равно 1. Это означает, что падающий свет не может войти в образец. Как мы увидим ниже, коэффициент отражения при 幻丁 будет меньше 100 %, если учесть в вычислениях затухание ТО фонона. Тем не менее, отражающая способность максимальна при 幻丁. В результате частота ТО фонона известна как частота остаточных лучей.
Для лучшего согласия с экспериментом необходимо ввести для ТО фонона постоянную з ату ха н и я 7 [6.70]. В результате уравнение движения (6.98) приоб-
75750 5 0 55 2 20 5 0 55 2 2ооО0,751,001,251,50О0,751,001,251,50Рис. 6.31. Реальная и мнимая части комплексной диэлектрической постоянной для)/必丁 = =0,05 (а). Коэффициенты отражения, вычисленные с помощью (6.117 6); е。= 15, £(ЭО = 12 (6). Вертикальные стрелки указывают на частоты ТО и LO фононов [6.69]Рис. 6.31. Реальная и мнимая части комплексной диэлектрической постоянной для)/必丁 = =0,05 (а). Коэффициенты отражения, вычисленные с помощью (6.117 6); е。= 15, £(ЭО = 12 (6). Вертикальные стрелки указывают на частоты ТО и LO фононов [6.69]0000^"ини曽 dp0^"ини曽 dp0
75
75
0 5 0 5
5 2 2
0 5 0 5
5 2 2
о
о
О0,751,001,251,50
О0,751,001,251,50
Рис. 6.31. Реальная и мнимая части комплексной диэлектрической постоянной для)/必丁 = =0,05 (а). Коэффициенты отражения, вычисленные с помощью (6.117 6); е。= 15, £(ЭО = 12 (6). Вертикальные стрелки указывают на частоты ТО и LO фононов [6.69]
Рис. 6.31. Реальная и мнимая части комплексной диэлектрической постоянной для)/必丁 = =0,05 (а). Коэффициенты отражения, вычисленные с помощью (6.117 6); е。= 15, £(ЭО = 12 (6). Вертикальные стрелки указывают на частоты ТО и LO фононов [6.69]
00
00
^"ини曽 dp0
^"ини曽 dp0
ретает вид
M^u/dt2) — My(du/dt) =+ QE,(6.116)
а соответствующая диэлектрическая постоянная в (6.103) становится комплексной (в СИ):
£(£)= €оо + 4「(6Л17а)
47Г€оЛ1— 3厶一
Постоянную £(£)можно также выразить через Eg и во? как в (6.1106):
8 (з) = &8 +8 (з) = &8 +£o — Eg£o — Eg[1 — (w2/w|)] — i(o；7/w|) *[1 — (w2/w|)] — i(o；7/w|) *(6.1176)(6.1176)
8 (з) = &8 +
8 (з) = &8 +
£o — Eg
£o — Eg
[1 — (w2/w|)] — i(o；7/w|) *
[1 — (w2/w|)] — i(o；7/w|) *
(6.1176)
(6.1176)
Реальная и мнимая части £(£)для)/幻=0,05 показаны на рис. 6.31 а. Коэффициенты отражения для нескольких значений)/幻,вычисленные с помощью (6.1176), приведены на рис. 6.31 б. Обратите внимание на глубокий минимум в отражении, соответствующий ег ^ 1. На рис. 6.32 показаны измеренные спектры решеточного отражения для ряда полупроводников типа цинковой обманки. Их можно достаточно хорошо аппроксимировать кривыми, расчитанными с помощью (6.117б) и (6.8), используя частоту фонона и постоянную затухания в качестве единственных подгоночных параметров. Найденные таким образом параметры приведены в табл. 6.5. Частоты фононов могут быть независимо измерены с помощью других методов, таких как рамановское рассеяние (см. гл. 7), а 7 можно определить из рамановского
4040180200200240260280300180200200240260280300Рис. 6.32" Сравнение экспериментальных спектров решеточного отражения для ряда по™ лупроводников типа цинковой обманки (сплошные кривые) со спектрами, расчитанными с помощью (6.117б) и (6.8) (штриховые кривые). Частоты и постоянные затухания ТО и LO фононов были определены путем подгонки к экспериментальным данным. Спектры в левой части рисунка измерены при температуре жидкого гелия, а в правой части ——при комнатной температуре [6.69]Рис. 6.32" Сравнение экспериментальных спектров решеточного отражения для ряда по™ лупроводников типа цинковой обманки (сплошные кривые) со спектрами, расчитанными с помощью (6.117б) и (6.8) (штриховые кривые). Частоты и постоянные затухания ТО и LO фононов были определены путем подгонки к экспериментальным данным. Спектры в левой части рисунка измерены при температуре жидкого гелия, а в правой части ——при комнатной температуре [6.69]ООО о о о о 8 6 4 2 8 6ООО о о о о 8 6 4 2 8 6200200250350450250350450
40
40
180200200240260280300
180200200240260280300
Рис. 6.32" Сравнение экспериментальных спектров решеточного отражения для ряда по™ лупроводников типа цинковой обманки (сплошные кривые) со спектрами, расчитанными с помощью (6.117б) и (6.8) (штриховые кривые). Частоты и постоянные затухания ТО и LO фононов были определены путем подгонки к экспериментальным данным. Спектры в левой части рисунка измерены при температуре жидкого гелия, а в правой части ——при комнатной температуре [6.69]
Рис. 6.32" Сравнение экспериментальных спектров решеточного отражения для ряда по™ лупроводников типа цинковой обманки (сплошные кривые) со спектрами, расчитанными с помощью (6.117б) и (6.8) (штриховые кривые). Частоты и постоянные затухания ТО и LO фононов были определены путем подгонки к экспериментальным данным. Спектры в левой части рисунка измерены при температуре жидкого гелия, а в правой части ——при комнатной температуре [6.69]
ООО о о о о 8 6 4 2 8 6
ООО о о о о 8 6 4 2 8 6
20
0
20
0
250350450
250350450
Таблица 6.5
Частоты ТО (®т) и LO (必厶)фононов и отношение постоянной затухания 7 к 必丁〉определен™ ные из спектров решеточного отражения для ряда полупроводников типа цинковой обманки [6.69] и из рамановского рассеяния [6.72]
Полупроводник
Температура, К
5 см
必小CM
7 / Шт
InSb
4,2
184,7
197,2
< 0,01
300
179,1
190,4
0,016
InAs
4,2
218,9
243,3
< 0,01
I11P
300
307,2
347,5
0,01
GaSb
4,2
230,5
240,3
< 0,01
GaAs
4,2
273,3
297,3
< 0,01
296
268,2
291,5
0,007
GaP
300
366,3
401,9
0,003
GaN
300
555
740
—
AlSb
300
318,8
339,6
0,0059
CdTe
1,2
145
170
-
ZnSe
80
211
257
0,01
рассеяния с временным разрешением, поскольку 7 является обратной величиной времени жизни фонона [6.70, 6.73]. Вычисления ширины фононных линий, основанные на структуре электронной зоны, проводятся в [6.70]. Эта ширина может рассматриваться как мнимая часть негармонической поправки к энергии (собственной энергии). Действительная часть последней представляет собой негармоническую поправку к частоте фонона [6.71].
Многофононное решеточное поглощение. Хотя оптические фононы в ковалентных полупроводниках, таких как Si и Ge, не являются инфракрасно-активными (см. п. 2.3.4), эти полупроводники тоже поглощают инфракрасное излучение. На рис. 6.33 а приведены их спектры инфракрасного поглощения, измеренные Коллинсом и Фэном [6.74]. Соответствующие спектры Si, измеренные при разных температурах Джонсоном [6.75], приведены на рис. 6.33 6* Механизм этих процессов поглощения был описан Лэксом и Бурштейном [6.76]. В общем случае можно считать поляризацию 尸 в среде функцией смещения и ТО фонона. Раскладывая Р по « в полупроводниках типа цинковой обманки, находим, что не равный нулю член самого низкого порядка пропорционален «, как в (6.101) (кристаллы, у которых есть постоянный не зависящий от w член называются сегнетоэлектриками). В кристаллах со структурой алмаза этот член первого порядка равен нулю вследствие правил отбора по четности (оптические фононы являются четными, поэтому они не могут создать нечетный вектор поляризации). В результате приходится включать члены второго порядка. Не равные нулю члены второго порядка по смещениям фононов приводят к инфракрасному поглощению в Si и Ge. Согласно Лэксу и Бурштейну [6.76], эти члены можно рассматривать, как суммарный эффект двух колебаний. Первое колебание нарушает инверсионную симметрию и индуцирует заряды на двух атомах в примитивной ячейке. Второе колебание приводит к осцилляции этих зарядов и порождает электрический дипольный момент, взаимодействующий с электромагнитной волной. С помощью теории групп можно определить, какие комбинации двух фононных мод вносят вклад в электрический дипольный момент в структуре алмаза [6.77]. Многие из этих фононных мод включают оптический и акустический фононы, относящиеся к границе зоны.
Если в решеточном поглощении участвуют два фонона, то условия сохранения энергии и волнового вектора имеют вид
01 + 02 = к 0.(6.118 а)
Здесь Qi и 02 — волновые векторы двух фононов, к ——волновой вектор фотона,
公1 + g2 =(6.1186)
где Wi, W2 и ш — соответствующие частоты фононов и фотона. В отличие от однофононных процессов поглощения волновые векторы фононов теперь не ограничены центром зоны Бриллюэна. Это означает, что спектры двухфононного поглощения могут представлять собой широкие полосы, определяемые двухфононной плотностью состояний (ПС). Поэтому можно попытаться идентифицировать структуру двухфононных спектров на рис. 6.33 с помощью критических точек в фононной ПС. Энергии критических точек, найденные таким образом, можно сравнить с фононными дисперсионными кривыми, полученными с помощью рассеяния нейтронов. В табл. 6.6 приведена идентификация пиков в спектре инфракрасного поглощения Si, основанная на предположении, что эти пики соответствуют суммам и разностям следующих четырех фононных частот, относящихся к фононным ветвям ТА, LA, ТО и LO:
®та = 127, 4 см「gla = 333, 9 см-1;
gto = 482, 3 см-1; glo = 413, 8 см-1.
Отметим, что здесь ТО и LO фононы не вырождены, поскольку они относятся к границе зоны, а не к ее центру. Была установлена корреляция этих многофононных пиков поглощения в Si с критическими точками в фононной ПС (точкми £, X, Ж и Е зоны Бриллюэна) [6.79]. Многофононные спектры поглощения наблюдались также в полупроводниках типа цинковой обманки. В этом случае, помимо механизма Лэкса™ Бурштейна, существует дополнительный механизм поглощения. Поскольку однофононное поглощение разрешено, падающий фотон может виртуально возбудить ТО фонон, относящийся к центру зоны. Такой ТО фонон потом распадается на два фо нона посредством ангармонического взаимодействия. Обзор этого процесса был дан Спитцером [6.78] и здесь повторяться не будет.
Рис. 6.33. Решеточное по™ глощение в Si и Ge, из™ меренное Коллинсом и Фэном [6.74] (а). Рететоч- ное поглощение в Si, из™ меренное при нескольких температурах Джонсоном в области более низких частот [6.75] (6)
к (Si), см™
о
(① о) КИН① moIAIOIIнн ① HtIS66G0 上
A Q Q Q®^ 4 2 J
ОГ4,2,LeT
00
3
о
40
00
о60
00
7
O2」Q3®^7£FA 石 2 1 lllo о ooooo о ss -WSK^^noBOCHH ① HtIS66GOX
30
50
70
90
10
30
50
мА:,
(Is) кин ① molruol!нн ① ияи 令令 GOM
70
Таблица 6.6
Частоты пиков в многофононных спектрах поглощения Si и их идентификация с помощью четырех фононов, относящихся к границе зоны [6.78]
Частота наблюдаемого пика,
Идентификация
Частота расчетного пика, см~1
371,8
ТО — ТА
354,9
566,2
LO + ТА
541,2
609,8
ТО + ТА
607,9
739,7
LO + LA
747,7
818,7
ТО + LA
816,2
896, 1
TO + LO
896,1
963,9
2ТО
964,6
1301,9
ТО + 2LO
1309,9
Довольно сильное инфракрасное поглощение наблюдается в аморфных Ge и Si, в которых отсутствует трансляционная симметрия [6.80].
Д (^0 — £оо)、1/2 一石河一丿Д (^0 — £оо)、1/2 一石河一丿Динамические эффективные ионные заряды в гетерополярных полупроводниках .Воспользовавшись (6.108) и (6.111), выразим в* через экспериментально измеряемые величины:
Д (^0 — £оо)、1/2 一石河一丿
Д (^0 — £оо)、1/2 一石河一丿
(6.119)
Поскольку этот эффективный заряд связан с поглощением, индуцированным ТО фононами, он называется поперечным эффективным зарядом или эффективным зарядом Борна. С помощью (6.119) можно получить выражение для макроскопического продольного электрического поля 石l, создаваемого LO фононами:
矶=hwNg彳⑸-e0c)/4?ге0 吸г"(观+-观一)， (6.120a)
которое можно также представить в виде
矶=一 [4屮7/(e/1 - 6g 1)(47Гe0 厂[1"(观+ 一 观一)•(6.1206)
Уравнение (6.1206) ранее уже было приведено в (3.32). Иногда удобно выразить (6.120 б) как
El = —47rNef (虱+ —虱一))(6.121)
введя другой эффективный ионный заряд е^, называемый продольным, или эффективным зарядом Каллана. Как в*, так и е£ являются примером эффективных зарядов, которые определяются из колебаний решетки. Они называются динамическими эффективными зарядами, в отличие от статических эффективных зарядов, возникающих при статическом переносе электронов от катиона к аниону при образовании ионного кристалла. Статический эффективный заряд связан с ионностью или полярностью кристалла [6.81, 82]. Однако поскольку ионность понятие в некотором роде качественное, в литературе предлагалось несколько функциональных соотношений, связывающих ионность со статическими и динамическими зарядами. Приведем здесь одно из них, предложенное Харрисоном [6.82] для поперечного заряда:
где Z ——заряд остова катиона (равный трем и двум для соединений групп Ш—V и П—VI соответственно), а ар ——полярность, введенная Харрисоном [6.82]. Ее можно расчи- тать по методу ЛКАО. Если предположить, что связь осуществляется главным образом р-орбиталями, то
QpQp4 -号 f『+4 -号 f『+1/2 71/2 7(6.123)(6.123)
Qp
Qp
4 -号 f『+
4 -号 f『+
1/2 7
1/2 7
(6.123)
(6.123)
где Ер, Ер и Кос являются, соответственно, атомными энергиями р-электрона для катиона и аниона и их параметром перекрытия, определенным в (2.80 в) (см. п. 2.7.2). Отметим, что ар = 0 в случае, когда катион и анион идентичны (что имеет место в гомеополярных кристаллах).
В табл. 6.7 приведены экспериментальные значения в* и в^7 а также &l и соответствующие значения 噹，полученные с помощью (6.122). Обратите внимание на немонотонную зависимость в* и 噹 от ар (сравните, например, InSb с CdTe).
Таблица 6.7
Экспериментальные значения поперечного (е*) и продольного (е£) эффективных зарядов в полупроводниках типа цинковой обманки [6.69, 6.83]. Для сравнения приведены теоретиче™ ские значения эффективных зарядов е^, найденные из «р с помощью (6.126) [6.82], и eps, найденные из форм-факторов полуэмпирического псевдопотенциала. Все эффективные за™ ряды даны в единицах заряда электрона
Полупроводник е*Полупроводник е*ененePSePSInSb InAs InP GaSb GaAs GaP GaN AlSb AlAs A1P AIN ZnSe ZnTe CdTeInSb InAs InP GaSb GaAs GaP GaN AlSb AlAs A1P AIN ZnSe ZnTe CdTe2 22 2о 5 о 3о 5 о 36 6 3 412 2 12 23 3 3 3 36 6 3 412 2 12 23 3 3 3 32c532c53W ^ ^3 3 3W ^ ^3 3 39 45 33 39 45 33 37 22 33 37 22 33 3358581 0581 854 8 555445644557773 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3358581 0581 854 8 555445644557773 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3145423 3813 6 12379447903 ^ О? ^ О? ^ ^ О?145423 3813 6 12379447903 ^ О? ^ О? ^ ^ О?2221222122222122212221222221aaaaaabaaabbbb 034600 9812 9 856aaaaaabaaabbbb 034600 9812 9 856
Полупроводник е*
Полупроводник е*
ен
ен
ePS
ePS
InSb InAs InP GaSb GaAs GaP GaN AlSb AlAs A1P AIN ZnSe ZnTe CdTe
InSb InAs InP GaSb GaAs GaP GaN AlSb AlAs A1P AIN ZnSe ZnTe CdTe
2 2
2 2
о 5 о 3
о 5 о 3
6 6 3 4
12 2 12 2
3 3 3 3 3
6 6 3 4
12 2 12 2
3 3 3 3 3
2c
5
3
2c
5
3
W ^ ^
3 3 3
W ^ ^
3 3 3
9 4
5 3
3 3
9 4
5 3
3 3
7 2
2 3
3 3
7 2
2 3
3 3
358581 0581 854 8 55544564455777
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
358581 0581 854 8 55544564455777
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
145423 3813 6 12379447903 ^ О? ^ О? ^ ^ О?
145423 3813 6 12379447903 ^ О? ^ О? ^ ^ О?
22212221222221
22212221222221
aaaaaabaaabbbb 034600 9812 9 856
aaaaaabaaabbbb 034600 9812 9 856
а Из [6.84].
b Вычислено с помощью (6.124), используя форм-факторы псевдопотенциала из [6.85].
° Получено из имеющихся в наличии параметров с помощью (6.119).
Величину поперечного эффективного заряда можно оценить из форм-факторов псевдопотенциала, приведенных в табл. 2.21. Однако для этого необходимо знать волновые функции и произвести интегрирование по всей зоне Бриллюэна подобно тому, как это делалось при вычислении диэлектрической функции. Соответствующие выражения были даны Воглем [6.86] и Санджурио [6.85]. Вторая группа исследователей показала, что слишком сложное полное выражение эффективного заряда е& через форм-факторы псевдопотенциала может быть приведено к такой простой форме:
脸=Z — 4 +脸=Z — 4 +8a8a
脸=Z — 4 +
脸=Z — 4 +
8a
8a
18 М. Кардона
Здесь Z — заряд катионного остова, как и в (6.122), а 兄 =少^/少^, где 少| и 泻一 симметричный и асимметричный форм-факторы псевдопотенциала, определенные в п. 2.5.1. В табл. 6.7 приведены некоторые значения для полупроводников типа цинковой обманки, полученные с помощью (6.124) Санджурио и др. [6.85], а также вычисленные Жиронколи и др. [6.84] с применением метода псевдопотенциала ab initio. Используя этот метод, группа Жиронколи, а также Кинг-Смит и Вандербильт [6.87] рассчитали кроме того пьезоэлектрические постоянные (см. п. 3.3.3), которые также связанны с ар. В тех случаях, когда Р〃《1； уравнение (6.124) является плохой аппроксимацией. Для соединений группы II-VI и широкозонных соединений группы Ш—V (таких как GaN и A1N) оно дает разумные результаты. Это уравнение, вместе с выражением (6.122), оказалось полезным для оценки влияния внешних возмущений (таких как гидростатическое и одноосное давление) на эффективный заряд [6.88].
Поглощение, связанное с примесными атомами
В главе 4 мы рассматривали электронные свойства примесей в полупроводниках. Соответствующие «примесные» или несобственные электроны также могут взаимодействовать с электромагнитными волнами. Инфракрасное поглощение и связанная с ним оптическая спектроскопия являются, в сущности, основными методами для определения примесных энергетических уровней, изучавшихся в главе 4. Сосредоточим теперь наши усилия только на изучении поглощения, связанного с донорами и акцепторами в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки. Оптические свойства примесных атомов зависят от температуры образца. При низких температурах носители захватываются на связанные состояния примесей. При достаточно высоких температурах примеси ионизуются, и носители становятся свободными, как в металлах. Поглощение на свободных носителях играет особенно большую роль в узкозонных полупроводниках, таких как InSb, халькогениды свинца (РЬТе и др.) и некоторые соединения группы II-VI (например, HgCdTe). Последнее связано с тем, что их примесные уровни чрезвычайно мелкие, и они полностью ионизуются при сравнительно низких температурах. Рассмотрим оптические свойства примесных атомов в двух режимах по отдельности.
Поглощение на свободных носителях в легированных полупроводниках. Электрические и оптические свойства свободных носителей в простых металлах, типа щелочных, подробно освещены во многих учебниках по физике твердого тела (например, [6.89, 6.90]) на основе модели Друде. Мы тоже будем пользоваться этой моделью, поскольку свободные носители, возникающие в полупроводниках в результате легирования, ведут себя во многом так же, как электроны в простых металлах. Важным отличием между ними является то, что концентрацию носителей в полупроводниках можно изменять. Поскольку концентрация примесей как правило меньше, чем 1020 см-3 (за исключением совершенно особых случаев), плазменные частоты носителей в полупроводниках (задача 6.3) лежат обычно в инфракрасном диапазоне, тогда как в металлах они находятся в видимом и ультрафиолетовом диапазонах.
Для того, чтобы найти вклад свободных носителей в диэлектрическую функцию полупроводника в модели Друде, начнем с соответствующего выражения (6.117 а) для ТО фонона. Также, как и в задаче 6.4, мы можем получить «выражение Друде для свободных носителей», положив частоту 幻丁 фонона в (6.117а) равной нулю (в СИ):
|
£(3)= -:(6.125)
В (6.125) JVC, е и т* — плотность, заряд и эффективная масса свободных носителей соответственно, 7"1 ——их время рассеяния, связанное с феноменологическим временем
рассеяния 丁, введенным в § 5.1. Можно разделить (6.125) на реальную и мнимую части:
гдегде£r(G)= £qo I 1£r(G)= £qo I 1%(g)%(g)^2 + 7e J^2 + 7e JG（户+优G（户+优Wp = 4тгЖсе2/(47Г£о m，*£oc),Wp = 4тгЖсе2/(47Г£о m，*£oc),(6.126 а)(6.126 6)(6.126 b)(6.126 а)(6.126 6)(6.126 b)
где
где
£r(G)= £qo I 1
£r(G)= £qo I 1
%(g)
%(g)
^2 + 7e J
^2 + 7e J
G（户+优
G（户+优
Wp = 4тгЖсе2/(47Г£о m，*£oc),
Wp = 4тгЖсе2/(47Г£о m，*£oc),
(6.126 а)
(6.126 6)
(6.126 b)
(6.126 а)
(6.126 6)
(6.126 b)
a wp — плазменная частота свободных носителей, экранированных диэлектрической постоянной Eg. Отметим также, что мнимая часть диэлектрической функции, %(g), пропорциональна 7С, и, следовательно, коэффициент поглощения также пропорционален 7С. Причина этого хорошо известна из оптики металлов. Процесс поглощения свободного носителя заключается в аннигиляции фотона и возбуждении носителя из заполненного состояния ниже энергии Ферми Ер в пустое состояние выше Ер (рис. 6.34). Как и в случае экситонов, в этом процессе должны сохраняться энергия и импульс. Другими словами, процесс может произойти только в точке пересечения дисперсионной кривой фотона (с началом в точке 1 на рис. 6.34) с дисперсионной кривой свободного носителя.
Рис. 6.34. Схематическое изображение процесса поглощения на свободных носителях вблизи уровня Ферми Ер. Тонкая линия — дисперсия фотона. При поглощении носитель из состояния 1 ниже 石f возбуждается в пустое состояние 2 выше Ер. Горизонтальная стрелка — рассеяние на фононе или примесиРис. 6.34. Схематическое изображение процесса поглощения на свободных носителях вблизи уровня Ферми Ер. Тонкая линия — дисперсия фотона. При поглощении носитель из состояния 1 ниже 石f возбуждается в пустое состояние 2 выше Ер. Горизонтальная стрелка — рассеяние на фононе или примеси
Рис. 6.34. Схематическое изображение процесса поглощения на свободных носителях вблизи уровня Ферми Ер. Тонкая линия — дисперсия фотона. При поглощении носитель из состояния 1 ниже 石f возбуждается в пустое состояние 2 выше Ер. Горизонтальная стрелка — рассеяние на фононе или примеси
Рис. 6.34. Схематическое изображение процесса поглощения на свободных носителях вблизи уровня Ферми Ер. Тонкая линия — дисперсия фотона. При поглощении носитель из состояния 1 ниже 石f возбуждается в пустое состояние 2 выше Ер. Горизонтальная стрелка — рассеяние на фононе или примеси
Как видно из рисунка, такого пересечения не происходит вследствие большого наклона фотонной кривой. Волновой вектор может быть сохранен, если переход сопровождается рассеянием на фононе или примеси (горизонтальная стрелка на рис. 6.34). Использовав определение коэффициента поглощения в (6.10) и выражение (6.126б), получим коэффициент поглощения на свободных носителях «с :
18*18*&c（G）=&c（G）=£оо^р7с几гС(*2 +俏£оо^р7с几гС(*2 +俏
18*
18*
&c（G）=
&c（G）=
£оо^р7с
几гС(*2 +俏
£оо^р7с
几гС(*2 +俏
где пг — реальная часть коэффициента преломления, с — скорость света. При низких частотах (т.е.幻《 7С) «с можно представить как
QcQc4тг7Усе247r£о nrcm*7с4тг7Усе247r£о nrcm*7с(6.128)(6.128)
Qc
Qc
4тг7Усе2
47r£о nrcm*7с
4тг7Усе2
47r£о nrcm*7с
(6.128)
(6.128)
Сравнивая «с с соответствующим выражением для электрической проводимости а в (5.10), можно переписать (6.128) в виде
&с&с47roпгс47roпгс(6.129)(6.129)
&с
&с
47ro
пгс
47ro
пгс
(6.129)
(6.129)
ветствующие вычисления,ветствующие вычисления,入,мкм入,мкмРис. 6.35. Поглощение на свободных носителях в InAs n-типа при комнатной температуре для шести различных концентраций (в единицах 1017 см-3): Л — 0,28; Б — 0,85; 5 — 1,4;「一2,5;〃一 7,8 и Е — 39 [6.92]Рис. 6.35. Поглощение на свободных носителях в InAs n-типа при комнатной температуре для шести различных концентраций (в единицах 1017 см-3): Л — 0,28; Б — 0,85; 5 — 1,4;「一2,5;〃一 7,8 и Е — 39 [6.92]
ветствующие вычисления,
ветствующие вычисления,
入,мкм
入,мкм
Рис. 6.35. Поглощение на свободных носителях в InAs n-типа при комнатной температуре для шести различных концентраций (в единицах 1017 см-3): Л — 0,28; Б — 0,85; 5 — 1,4;「一2,5;〃一 7,8 и Е — 39 [6.92]
Рис. 6.35. Поглощение на свободных носителях в InAs n-типа при комнатной температуре для шести различных концентраций (в единицах 1017 см-3): Л — 0,28; Б — 0,85; 5 — 1,4;「一2,5;〃一 7,8 и Е — 39 [6.92]
при условии, что мы можем приравнять(7С)-1 к времени рассеяния т. Как мы видели в главе 5, проводимость образца при не равной нулю температуре определяется средним временем рассеяния (г) (см. (5.27)), в то время как процессы рассеяния носителей, определяющие тс, происходят в энергетическом интервале около Ер с шириной, равной меньшей из двух величин 3G или квТ. Вследствие того, что вероятности рассеяния зависят от энергии носителя (см. п. 5.2.3), 7c 卢((г))-1 и (6.129) является всего лишь приближением. Однако различные процессы рассеяния, вносящие вклад в 7с, подобны тем, которые дают вклад в ⑺,например рассеянию на акустических и оптических фононах и ионизованных примесях. Мы не будем здесь повторять соот
а отошлем интересующихся читателей к обзорной статье Фэна [6.91]. Таким образом, измерения поглощения свободными носителями совместно с измерениями электрической проводимости являются очень полезным методом для изучения механизмов рассеяния носителей в полупроводниках.
На рис. 6.35 в двойном логарифмическом масштабе представлен коэффициент поглощения на свободных носителях для n-InAs при комнатной температуре и концентрациях электронов, изменяющихся в диапазоне от 2, 8 • 1016 до 3, 9 • 1018 см-3 [6.92]. Прямые линии, проведенные через экспериментальные точки, показывают, что &с можно аппроксимировать простым выражением:
&с ос XJ(6.130)
где А — длина волны инфракрасного излучения. Показатель степени р для InAs равен 3. Для других полупроводников типа цинковой обманки (6.130) также выполняется, но величина р изменяется от 2 до 3 [6.91]. Происхождение выражения (6.130) становится понятным, если мы предположим, что в (6.126 б) g》7c и показатель преломления пг в первом приближении не зависит от 幻(т.е. если вклад валентных электронов Eg в 几「много больше вклада свободных носителей). С этими предположениями можно представить «с в виде
Qc = ОС + 7с)-1 ОС Л2.(6.131)
пгс
Отклонение р от 2 можно объяснить зависимостью 7c от G. Различие значений величины р связано с тем, что в различных полупроводниках основной вклад в 7c вносят разные механизмы рассеяния [6.91].
10101008060401008060400,10,10,20,30,40,20,30,40,50,60,50,6Энергия фотона, эВЭнергия фотона, эВРис. 6.36. Спектры инфракрасного поглощения GaAs p-типа (концентрация дырок равна 2,7 • 101' см~з)при четырех различных температурах; hh, lh и so—— зоны тяжелых, легких и спин-отщепленных дырок соответственно. На вставке схематически изображены переходы между спин-отщепленной дырочной зоной (so) и зонами тяжелых (hh) и легких (lh) дырок, а также между последними двумя зонами [6.93]Рис. 6.36. Спектры инфракрасного поглощения GaAs p-типа (концентрация дырок равна 2,7 • 101' см~з)при четырех различных температурах; hh, lh и so—— зоны тяжелых, легких и спин-отщепленных дырок соответственно. На вставке схематически изображены переходы между спин-отщепленной дырочной зоной (so) и зонами тяжелых (hh) и легких (lh) дырок, а также между последними двумя зонами [6.93]I n。скинитотои люиниввсохI n。скинитотои люиниввсох
10
10
100
80
60
40
100
80
60
40
0,1
0,1
0,20,30,4
0,20,30,4
0,50,6
0,50,6
Энергия фотона, эВ
Энергия фотона, эВ
Рис. 6.36. Спектры инфракрасного поглощения GaAs p-типа (концентрация дырок равна 2,7 • 101' см~з)при четырех различных температурах; hh, lh и so—— зоны тяжелых, легких и спин-отщепленных дырок соответственно. На вставке схематически изображены переходы между спин-отщепленной дырочной зоной (so) и зонами тяжелых (hh) и легких (lh) дырок, а также между последними двумя зонами [6.93]
Рис. 6.36. Спектры инфракрасного поглощения GaAs p-типа (концентрация дырок равна 2,7 • 101' см~з)при четырех различных температурах; hh, lh и so—— зоны тяжелых, легких и спин-отщепленных дырок соответственно. На вставке схематически изображены переходы между спин-отщепленной дырочной зоной (so) и зонами тяжелых (hh) и легких (lh) дырок, а также между последними двумя зонами [6.93]
I n。скинитотои люиниввсох
I n。скинитотои люиниввсох
В оптическом переходе, изображенном на рис. 6.34, начальное и конечное состояния электрона находятся в одной и той же зоне. Поэтому результирующее поглощение на свободных носителях называется внутризонным. Межзонное поглощение на свободных носителях может происходить, если зона, содержащая носители, отделена от другой пустой зоны на величину, меньшую ширины запрещенной зоны. На вставке к рис. 6.36 схематически показаны два таких перехода между спин-отщепленной дырочной зоной (so) и зонами тяжелых (hh) и легких (lh) дырок в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки с p-типом легирования. Соответствующие спектры инфракрасного поглощения при разных температурах, обусловленные переходами между валентными зонами в р-GaAs, показаны на рис. 6.36 [6.93]. Три широких пика при 0,15, 0,31 и 0,42 эВ были идентифицированы как переходы lh Т hh, so Т lh и so Т Т hh соответственно. Из подобных измерений поглощения между валентными зонами были определены спин-орбитальное взаимодействие и отношения эффективных масс для трех верхних валентных зон в полупроводниках InSb, InAs, GaAs и GaSb [6.91].
Согласно модели Друде отражение металлов очень резко падает в диапазоне 0 < S Er S 1)т.е. при частоте слегка выше плазменной [6.89]. Если & = 0, то коэффициент отражения падает до нуля при £「= 1. Это уменьшение отражения называется плазменным краем или краем Друде. Для большинства реальных металлов отражение
100100008080404020205510 15 20 25 30 35А, мкм10 15 20 25 30 35А, мкмРис. 6.37. Плазменный край, наблюдаемый в спектрах отражения InSb n-типа при комнатной температуре [6.85]. Сплошные кривые — подгонка отражения, вычисленного с помощью (6.8) и (6.126б), к экспериментальным точкамРис. 6.37. Плазменный край, наблюдаемый в спектрах отражения InSb n-типа при комнатной температуре [6.85]. Сплошные кривые — подгонка отражения, вычисленного с помощью (6.8) и (6.126б), к экспериментальным точкамне обращается в нуль при £「= 1, поскольку обычно плазменная частота достаточно высока и некото-
100
100
0
0
80
80
40
40
20
20
5
5
10 15 20 25 30 35
А, мкм
10 15 20 25 30 35
А, мкм
Рис. 6.37. Плазменный край, наблюдаемый в спектрах отражения InSb n-типа при комнатной температуре [6.85]. Сплошные кривые — подгонка отражения, вычисленного с помощью (6.8) и (6.126б), к экспериментальным точкам
Рис. 6.37. Плазменный край, наблюдаемый в спектрах отражения InSb n-типа при комнатной температуре [6.85]. Сплошные кривые — подгонка отражения, вычисленного с помощью (6.8) и (6.126б), к экспериментальным точкам
рые межзонные переходы могут вносить вклад в ег. В легированных полупроводниках плазменная частота часто меньше ширины запрещенной зоны, так что единственный вклад в £「вносит рассеяние свободных носителей и 碎 дается выражением (6.126 б). В результате кривые отражения легированных полупроводников могут иметь очень резкий плазменный край.
Прекрасный пример такого края показан на рис. 6.37 для InSb п-типа [6.94]. Сплошные кривые являются подгонкой к экспериментальным точкам с эффективной массой ш* в качестве подгоночного параметра. Спитцер и Фэн [6.94] нашли, что в InSb ш* возрастает от значения 0,023шо (где то — масса свободного электрона) при низких концентрациях носителей до 0, 041шо при высоких концентрациях. Такое поведение может быть объяснено сильной непараболичностью зоны проводимости InSb, что является следствием малой ширины запрещенной зоны (см. задачу 6.15).
Поглощение носителями, связанными на донорах и акцепторах. В главе 4 мы показали, что мелкие доноры и акцепторы в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки ведут себя в какой-то мере подобно «атомам водорода в твердом теле». Хорошо известно, что атом водорода
может поглощать электромагнитное излучение при электронных переходах между его квантованными уровнями. Эти переходы приводят к возникновению серий резких линий поглощения, известных как серии Лаймана, Бальмера, Пашена и др. в спектрах атомарного водорода [6.95]. По аналогии с атомом водорода, электрон на донорном атоме или дырка на акцепторном атоме могут быть возбуждены оптически из одного связанного состояния в другое. Очевидно, что эти переходы будут подчиняться правилам отбора, подобным правилам отбора в атоме водорода, т.е. электрические дипольные переходы будут разрешены между состояниями с s- и /^-симметрией (т.е. когда разница между квантовыми числами углового момента △/ равна единице), но запрещены между состояниями с одинаковой симметрией.
На рис. 6.38 а приведен спектр поглощения доноров фосфора в Si при температуре жидкого гелия, измеренный Джаганнатом и др. [6.96]. Концентрация доноров составляет около 1, 2 • Ю14 см-3. Отметим, что пики поглощения — очень резкие из-за дискретной природы соответствующих энергетических уровней. Эти пики относят к переходам из основного состояния 1s (4) (см. п. 4.2.3) доноров Р в Si на их возбужденные уровни, обозначенные 2Pd 2р± и т.д. Как было отмечено в п. 4.2.3, вырождение трех /^-уровней атома водорода с магнитными квантовыми числами ш = 0, ±1 снимается в случае донорных атомов в Si вследствие анизотропного тензора эффективной массы нижней зоны проводимости. Кроме основного состояния Is (Ai) доноры в Si имеют два состояния с несколько большей энергией с симметрией 1s (石)и Is (△) из-за долино-орбитального взаимодействия (см. рис. 4.3). При температуре жидкого гелия эти состояния не заняты. Они термически заполняются и вносят вклад в инфракрасное поглощение при более высоких температурах. Такие переходы с ls-состояний с
20ию20ию882 иW42 иW432323640Энергия фотона, эВ3640Энергия фотона, эВ4444Т=59КТ=59КТ=80К /т=30К‘ IТ=80К /т=30К‘ IМ tзм +lstQ三 аМ tзм +lstQ三 а£;?三 №包二£;?三 №包二JJ+l导 t(3 三+l导 t(3 三odet (I rmodet (I rm7L7LJrJr
20
и
ю
20
и
ю
8
8
2 и
W
4
2 и
W
4
32
32
3640
Энергия фотона, эВ
3640
Энергия фотона, эВ
44
44
Т=59К
Т=59К
Т=80К /т=30К‘ I
Т=80К /т=30К‘ I
М tзм +lstQ三 а
М tзм +lstQ三 а
£;?三 №包二
£;?三 №包二
J
J
+l导 t(3 三
+l导 t(3 三
odet (I rm
odet (I rm
7
L
7
L
Jr
Jr
20253035
Энергия фотона, эВ
Рис. 6.38. Спектр поглощения доноров Р в Si: а) измерения при температуре жидкого гелия в образце, содержащем около 1, 2 • 1014 см^3 Р. На вставке показана линия 2Po с растянутой горизонтальной шкалой [6.96]; б) измерения при температуре между 30 и 80 К в образце, содержащем 5, 2 • 101'5 см^3 Р [6.97]
более высокой энергией наблюдались в Si:P Аггарвалом и Рамдасом [6.97] (рис. 6.38 6). Энергии связанных состояний мелких доноров в Si, определенные с высокой точностью из таких инфракрасных спектров поглощения, уже сравнивались нами с теоретическими расчетами на рис. 4.3.
Несмотря на свою чувствительность и высокое разрешение, инфракрасная спектроскопия поглощения на мелких примесях имеет свои ограничения. Сила осциллятора перехода уменьшается при увеличении квантового числа п конечного состояния, и поэтому связанные состояния с более высокими энергиями становится все труднее наблюдать. Существует другой метод для измерения энергетических уровней мелких примесей в полупроводниках, еще более чувствительный, чем инфракрасное поглощение. Этот замечательный метод, известный как фототермическая ионизационная спектроскопия (ФТИС), может чувствовать примеси при концентрациях
всего 108 см^3! Впервые он был описан Лифшицем и Надем [6.98]. Основным процессом во ФТИС является фотопроводимость с участием фононов. Фотопроводимостью называют электрическую проводимость, которая появляется при освещении образца [6.99]. Например, собственный полупроводник при низкой температуре может иметь очень малую проводимость, поскольку в нем мало термически возбужденных носителей. При облучении светом с энергией фотонов, большей ширины запрещенной зоны, в полупроводнике возбуждаются свободные носители (как электроны, так и дырки). Возникающая в результате проводимость называется собственной фотопроводимостью. В легированном полупроводнике при низких температурах (когда все носители выморожены на мелких примесях) может возникать несобственная или примесная фотопроводимость^ если энергия фотонов падающего света достаточна для ионизации примесей. Таким образом, с помощью фотопроводимости можно измерять энергии ионизации примесей. Описанный метод не подходит для определения возбужденных связанных состояний примесей, если только они не заполнены.
Однако эти состояния могут быть расположены настолько близко к спектру сплошных состояний, что после оптического возбуждения носителей на эти уровни они могут быть ионизованы в результате поглощения фонона. Необходимые фононы могут создаваться термически, путем повышения температуры Т образца до значений, при которых к^Т слегка выше энергии ионизации изучаемого возбужденного уровня. Схематическое изображение процесса фототермической ионизации
34343842Энергия фотона, мэВ3842Энергия фотона, мэВ4646Рис. 6.39. Спектр фототермической ионизации легированного фосфором Si, измеренный Яганнатом и др. [6.96]. На вставке схематически показан процесс фототермической ионизации для донорного атомаРис. 6.39. Спектр фототермической ионизации легированного фосфором Si, измеренный Яганнатом и др. [6.96]. На вставке схематически показан процесс фототермической ионизации для донорного атома•Hg.IfoA ^KSHOOHOe•Hg.IfoA ^KSHOOHOe
34
34
3842
Энергия фотона, мэВ
3842
Энергия фотона, мэВ
46
46
Рис. 6.39. Спектр фототермической ионизации легированного фосфором Si, измеренный Яганнатом и др. [6.96]. На вставке схематически показан процесс фототермической ионизации для донорного атома
Рис. 6.39. Спектр фототермической ионизации легированного фосфором Si, измеренный Яганнатом и др. [6.96]. На вставке схематически показан процесс фототермической ионизации для донорного атома
•Hg.IfoA ^KSHOOHOe
•Hg.IfoA ^KSHOOHOe
показано на вставке к рис. 6.39. На том же рисунке приведен спектр ФТИС для концентрации в Si доноров Р 〜2 • 1014 см-3. Сравнение рисунков 6.38 а и 6.39 показывает, что сила переходов в более высокие возбужденные состояния в спектре ФТИС (с п от 3 до 6) возрастает относительно переходов на уровни с п = 2 и 3. Спектр ФТИС сверхчистого p-Ge, измеренный Халлером и Хансеном [6.100] при 8 К, приведен на рис. 6.40. В этом образце средняя концентрация акцепторов была всего 1010 см-3! Основным акцептором группы III является А1. Концентрации В и Ga примерно в 20 раз меньше. Наблюдаемые пики были идентифицированы путем их
ОООООО1001005050.口⑪.SAИИШГЕО 溶HNOghHndgloIOe.口⑪.SAИИШГЕО 溶HNOghHndgloIOe55Энергия фотона, мэВЭнергия фотона, мэВ1 [см4]151 [см4]15
О
О
О
О
О
О
100
100
50
50
.口⑪.SAИИШГЕО 溶HNOghHndgloIOe
.口⑪.SAИИШГЕО 溶HNOghHndgloIOe
5
5
Энергия фотона, мэВ
Энергия фотона, мэВ
1 [см4]
15
1 [см4]
15
Рис. 6.40. Спектр фототермической ионизации сверхчистого Ge p-типа, измеренный при 8 К [6.100]. Смысл букв А, В, С и т.п., приведенных в скобках, объясняется в табл. 6.8. Пики с метками £i, £2 и * являются артефактами («духами») в инфракрасном фурье-спектрометре
Таблица 6.8
Энергии связи акцепторов группы III в Ge, определенные методом ФТИС. Предполагается, что энергия уровня 2(пик D) равна теоретическому значению [6.47] 2,88 мэВ [6.101]
Энергия
связи, мэВ
Пик
В
А1
Ga
In
Т1
Теория
G
4,61
4,65
4,58
4,57
4,52
4,58"/)
Е
3,27
3,3
3,54
3,57
D
2,88
2,88
2,88
2,88
2,88
2,88 (2Г^)
С
2,14
2,13
2,13
2,10
2,13
2,13(1Г7)
2,11 (ЗГГ)
а
1,76
1,76
1,78
В
1,49
1,48
1,48
1,48
1,5
1,48 ("/)
1,22 (5/у)
А*
А，
1,16
1,13
1,15
1,15
1,14
1,14 (2Г^)
1ДЗ (6/у)
1,03
1,00
1,01
1,00
1,01
сравнения с теоретическими расчетами акцепторных уровней, сделанными Бальдере- чи и Липари [6.47] (см. п. 4.2.4). В табл. 6.8 приведены энергии связи для различных возбужденных состояний мелких акцепторов группы III в Ge, найденные методом ФТИС. Для сравнения в столбце «Теория» приведены расчетные энергии, полученные в модели Бальдеречи и Липари [6.47]. Теоретико-групповые обозначения, данные в скобках, основаны на кубической точечной группе кристалла. Поскольку в методе ФТИС может измеряться только разность энергии между основным и возбужденным уровнем, приведенные энергии связи были получены, исходя из предположения
о том, что уровень 2Г^ (пик D) имеет расчетную энергию связи 2,88 мэВ. Мы видим, что энергии связи мелких акцепторов в Ge очень хорошо согласуются с теорией. Можно также заметить, что химические сдвиги между различными акцепторами, обусловленные коррекцией центральной ячейки, имеют наибольшую величину для уровня 1 丁〔
Модуляционная спектроскопия
Спектры диэлектрической функции полупроводников выше края фундаментального поглощения довольно широкие (см. рисунки 6.11 и 6.12). Их можно описать как широкие полосы с наложенными на них сингулярностями Ван Хова (т.е. межзонными критическими точками). Причина этого заключается в том, что сингулярности Ван Хова довольно слабы, в особенности для трехмерного случая. Согласно табл. 6.1 они имеют вид (石一泾)1/2, т.е. оптические функции остаются конечными при Е =泾,хотя их производные по Е или Ei расходятся. Последнее обстоятельство подсказывает нам, что вместо диэлектрической функции надо непосредственно измерять одну из указанных производных: тогда фон в значительной мере уменьшится, и должны появиться резкие пики около межзонных критических точек (КТ). Это достигается с помощью многочисленных методов модуляционной спектроскопии, которые будут описаны в настоящем параграфе. Большая часть из того, что нам известно с большой точностью об энергиях критических точек, является результатом измерений при модуляции отражения.
Заметим, что исключительная точность, с которой e(g) может быть измерена с помощью современных эллипсометрических методов, позволяет численно находить производные £(幻)(вплоть до третьего порядка). Этот факт привел в период 19751985 г. к некоторому сдвигу внимания от модуляционной спектроскопии к спектральной эллипсометрии. Однако начиная с 1985 г. снова возродился интерес к использованию методов модуляционной спектроскопии в связи с появлением полупроводниковых сверхрешеток и квантовых ям (см. [6.102] и гл. 9).
Использование методов модуляционной спектроскопии для изучения межзонных критических точек началось, вероятно, с работ Фровы, Хандлера [6.103] и Серафина, Хесса [6.104], измерявших так называемые спектры электропропускания и электро- отражения^ в которых модуляция осуществлялась с помощью приложенного переменного электрического поля. Для развития этих методов имела большое значение коммерческая доступность синхронных усилителей — приборов, позволяющих выделить слабый переменный сигнал, синхронный с модуляцией (играющей роль сигнала сравнения), в то время как все другие сигналы, включая шум, отсекаются. Измеряемый сигнал нормализуется к средней интенсивности пропущенного или отраженного луча и к амплитуде модулируемого внешнего параметра (например, электрического поля). Таким способом получают логарифмическую производную пропускания или отражения по модулируемому параметру, в то время как интенсивность падающего света /0, включая ее флуктуации, обнуляется. Типичные амплитуды модуляции имеют порядок величины 10-4 + 10-5 от интенсивности падающего света; уровень шума может поддерживаться ниже 10-6. Обзоры по модуляционной спектроскопии приведены в [6.11, 6.105, 6.106].
Возможности метода модуляционного отражения проиллюстрированы на рис. 6.41 для GaAs. Обратите внимание на резкую структуру около критических точек Ео, Ео + + △□,石1, Ei +△],石厶 и 石2, которая появляется в производной по энергии фотона (т.е. по частоте). Эта структура хорошо воспроизводится в теоретических спектрах (штриховые кривые на рис. 6.41 в), вычисленных из зонной структуры, полученной по методу псевдопотенциала [6.21]. Отметим, что экспериментальные пики около Е± и /+△] являются значительно более резкими, чем теоретические, вследствие экситонных
Рис. 6.41. Спектры отражения и спектры отражения с частотной модуляцией для GaAs: а) спектр отражения при комнатной температуре [6.14] (тот же, что и на рис. 6.8); 0 (1/R)(dR/dE), вычисленный для кривой отражения при 2 К путем нахождения производной по энергии фотона Е [6.107]; в) сплошная кривая —— спектр (1/R)(dR/dE), измеренный на спектрометре с модуляцией длины волны при 4 К [6.108]. Штриховая кривая —— спектр, вычисленный на основе зонной структуры, расчитанной по методу псевдопотенциала. В (а) и (0 использованы спектры из [6.105]. В (в) использованы спектры из [6.21]
эффектов (см. п. 6.3.3). Модуляционный спектр пропускания непосредственно дает соответствующую производную коэффициента поглощения а (за исключением незначительных поправок на отражение). Соотношения между модуляционным спектром отражения и реальной и мнимой частями диэлектрической функции являются более сложными. Поскольку амплитуда модуляции мала, мы всегда можем линеаризовать эти соотношения путем введения так называемых коэффициентов Серафина 万『и Д:
(6*132 а)(6*132 а)гдегде万Г =万Г =ae冗дегae冗дегae冗ae冗(6.132 6)(6.132 6)= ДгА^г + ДА^ь
(6*132 а)
(6*132 а)
где
где
万Г =
万Г =
ae冗дег
ae冗дег
ae冗
ae冗
(6.132 6)
(6.132 6)
Коэффициенты 万『и 仇 можно получить, дифференцируя (6.8) с помощью (6.11) (задача 6.16). Спектральная зависимость 万『и 万i от частоты представлена для Ge на рис. 6.42 [6.109]. Заметим, что вблизи фундаментального края существенное значение имеет только 万广 Поэтому в данной области форма модуляционных спектров отражения соответствует модуляции /. Около Е± и Е± + Ai △/ к △£】вносят одинаковый вклад в спектр. Однако вблизи них доминирует △£], в то время как при более высоких
Рис. 6.42. Спектральная зависимость коэффициентов Серафина 0「и 凡 вычисленных для Ge при комнатной температуре [6.100]Рис. 6.42. Спектральная зависимость коэффициентов Серафина 0「и 凡 вычисленных для Ge при комнатной температуре [6.100]
Рис. 6.42. Спектральная зависимость коэффициентов Серафина 0「и 凡 вычисленных для Ge при комнатной температуре [6.100]
Рис. 6.42. Спектральная зависимость коэффициентов Серафина 0「и 凡 вычисленных для Ge при комнатной температуре [6.100]
частотах (氏,旦)снова доминирует Дег с обратным знаком (обратите внимание на то, что А отрицателен в зоне свыше 3,5эВ). Очевидно, что с помощью соотношений Крамерса—Кронмга можно разделить Дег и △£「 В этом случае экстраполяции вне исследуемой спектральной области не существенны (задача 6.16 (в)).
С концептуальной точки зрения наиболее простыми являются спектры, в ко торых модулируется частота. Они просто дают производную % и 研 по Е)т.е. для критической точки (Е — ^)1/2 мы получаем спектр, имеющий вид (Е — —К,)-"?* Другие типы модуляцион™ ных спектров (с так называемой внешней модуляцией) получают путем синусной модуляции внешнего параметра, оказывающего воздействие на Ei,
например, температуры, приложенного давления или электрического поля. Во многих случаях такие спектры получить проще, чем при модуляции частоты. Кроме того, они могут дать дополнительную информацию о взаимодействии внешнего возмущения с электронной системой. Эти внешние параметры изменяют не только 兄,но и множитель при (Е — EiW вследствие изменения силы осциллятора и приведенных масс (6.51) и (6.56). Кроме того, становится необходимым учитывать обусловленное временем жизни уширение критических точек, связанное с рассеянием на фононах и других рассеивателях. Здесь мы обозначим такое уширение энергией Г и запишем, например, для критической точки Мд в трехмерном случае плотность состояний выше Ei в виде
О(Е) ос Re{(E —团 + 才у/?}. (6.133)
(Соответствующие выражения, включающие уширение, для j(E) и q (石)вблизи Мд и других критических точек приведены в [6.11].) Внешнее возмущение обычно модулирует не только Ei, но и Г (последний эффект является особенно сильным в случае температурной модуляции).
Среди внешних возмущающих параметров необходимо проводить различие между теми, которые сохраняют трансляционную инвариантность (например, температура, деформация), и теми, которые нарушают ее вдоль одного или более направлений (электрическое и магнитное поля). Только в первом случае мы можем предполагать, что модулированный сигнал пропорционален производной (6.133) по Ei или по Г. Поскольку (6.133) является следствием трансляционной симметрии во всех трех направлениях, приложение однородного электрического поля £)которое вдоль своего направления z нарушает трансляционную инвариантность (т.к. гамильтониан возмущения пропорционален —e£z), лишает смысла выражение (6.133). Этот случай будет рассматриваться в п. 6.6.3.
Используя безразмерную энергетическую единицу
можно переписать (6.133) в виде
О") ос 尸/2Re{" + 戸/2}=尸/2 (手 + g”2 + i)i/2)(6.134 6)
deY Zi dci 丽deY Zi dci 丽С помощью (6.134а,б), (6.48) и (6.49) получим
deY Zi dci 丽
deY Zi dci 丽
(6.135 а)(6.135 а)0c ^厂I'厂(一%))
(6.135 а)
(6.135 а)
0c ^广1/2歹( 一 W)) а &о z
где функция 歹(川))приведенная на рис. 6.43, дается выражением
^(Ж) = (Ж2 + I)1/2 [(Ж2 + I)1/2 + ж]1/2.(6*1356)
Подобным же образом можно вычислить производные £「и Ei по энергии ушкре- ния Г. В критической точке Мд для трехмерного случая (3D) получим
林 ос—；「т/2歹(W),(6.135b)
|^ ос |厂1/2尸(—К)*(6.135г)
Выражения для других критических точек, эквивалентные (6.135), могут быть легко найдены читателем (задача 6.17).
Рис. 6.43. Универсальная функция F (W\ используемая для представления производных £г и £i по К, Ео и Г в трехмерных критических точкахРис. 6.43. Универсальная функция F (W\ используемая для представления производных £г и £i по К, Ео и Г в трехмерных критических точках
Рис. 6.43. Универсальная функция F (W\ используемая для представления производных £г и £i по К, Ео и Г в трехмерных критических точках
Рис. 6.43. Универсальная функция F (W\ используемая для представления производных £г и £i по К, Ео и Г в трехмерных критических точках
В заключение отметим, что фононы в полупроводниках также модулируют свою диэлектрическую функцию при соответствующей частоте колебаний. Эта модуляция является причиной рамановского рассеяния (см. § 7.2, (7*36)).
Частотно-модулированное отражение и термоотражение. В спектро™ метре с частотной модуляцией частота света, выходящего из щели монохроматора, подвергается небольшой модуляции, зависящей от времени по синусоидальному зако ну. Соответствующее изменение отраженного света регистрируется синхронно с модуляцией частоты с помощью синхронного усилителя. Термоотражение измеряется,
Рис. 6.44. Температурная зависимость прямой запрещенной зоны германия [6.111]
Энергия фотона, эВ
Рис. 6.45. Спектр термоотражения GaAs при 80 (сверху) и 300 К (снизу) [6.112]
когда образец подвергается периодическим изменениям температуры, создаваемым переменным током или периодически прерываемым лучом лазера.
При возрастании температуры средняя симметрия кристалла сохраняется. Од™ нако, в принципе, как Ei^ так и Г критической точки изменяются. Около Eq и £^ у большинства полупроводников типа цинковой обманки запрещенные зоны уменьшаются при возрастании температуры со скоростью порядка —4)5 • 1。一4 3g . к™1, а Г возрастает со скоростью примерно 1,5 ■ Ю™4 эВ ■ К™1 [6.110] (рис. 6.44). Таким образом, ожидается, что на спектры термоотражения в основном влияет изменение запрещен™ ной зоны, т.е. они определяются выражением (6.135 а) для критической точки Х。 в ЗБ^случае или эквивалентными выражениями для других критических точек. На рис. 6.41 были приведены модулированные по частоте спектры GaAs. Они получены с помощью двух различных методов: спектр на рис. 6.41 б был вычислен из спек™ тра отражения GaAs, измеренного при 2 К, а спектры на рис. 6.41 в непосредствен™ но измерены с помощью спектрометра с модуляцией длины волны. Два различных метода дали очень близкие результаты. Соответствующие спектры термоотражения при 80 К и 300 К показаны на рис. 6.45. Мы видим, что спектр с модуляцией частоты
для критических точек Ex п Ex + Ai почти не отличается от спектра термоотражения при 80 К, приведенного на рис. 6.45. Последнее подтверждает тот факт, что по крайней мере для этих критических точек спектр термоотражения определяется главным образом изменением ширины запрещенной зоны, а не возрастанием Г при увеличении температуры. Однако нельзя считать, что сделанное заключение имеет универсальный характер.
Пьезоотражение. Спектры пьезоотражения обычно получают, прикладывая к образцу периодически модулированное одноосное давление. Это можно сделать многими способами, например, присоединив к образцу конус громкоговорителя. Другой способ, обычно применяемый в настоящее время, заключается в установке образца на пьезоэлектрическом преобразователе (рис. 6.46).
Рис. 6.46. Устройство с пьезоэлектрическим модулятором, использованное Г а в и н и и Кардона [6.113] для измерений пьезоотражения. Параллелепипед с серыми гранями является преобразователем из цирконат-титаната свинца. Края тонкого образца (100 мкм) приклеены к преобразователю вакуумной смазкой, замерзающей при низких температурах, благодаря чему осуществляется хорошая связь с преобразователем
Результаты, полученные для запрещенной зоны Eq в образцах CdTe, ориентированных вдоль [100] или вдоль [111], приведены на рис. 6.47. Эти спектры определяются главным образом производной энергии £7о-экситона по деформации. Сильная их анизотропия (обратите внимание на изменение знака между ё || % и ё ± %, где % означает здесь направление деформации) связана с тем, что, как обсуждалось в п. 3.3.2, деформация приводит к расщеплению энергии дырок в экситоне, а величина расщепления линейно зависит от деформации % и пропорциональна значению деформационных потенциалов в вершине валентной зоны: 6 — для деформации вдоль [100] nd — для деформации вдоль [111]. Одновременно деформация имеет гидростатическую компоненту, которая приводит к сдвигу обеих расщепленных компонент на величину, пропорциональную а, где а — объемный деформационный потенциал, определенный в (3.20). С помощью волновых функций (3.20) можно показать, что после расщепления экситон (3/2, 3/2) взаимодействует только с поляризацией 6 丄 1a экситон (3/2, 1 /2)——в основном с поляризацией ё || %. Последнее является причиной противоположных знаков модулированного сигнала для двух поляризаций на рис. 6.47. Из отношения интенсивностей этих двух сигналов можно найти отношение одноосного потенциала к гидростатическому (6/а и d/а) (задача 6.18). В тех случаях, когда потенциал а известен (как это было для CdTe в период проведения работы [6.113]),
1,571,591,571,581,591,601,571,591,571,581,591,60Энергия фотона, эВЭнергия фотона, эВРис. 6.47. Спектры пьезоотражения CdTe при 80 К для двух направлений приложенного напряжения у, измеренные с поляризацией, параллельной (штриховая линия) и перпендикулярной (сплошная линия) х [6.113]Рис. 6.47. Спектры пьезоотражения CdTe при 80 К для двух направлений приложенного напряжения у, измеренные с поляризацией, параллельной (штриховая линия) и перпендикулярной (сплошная линия) х [6.113]2 44 2 о I I2 44 2 о I I4 2 0 2 44 2 0 2 4
1,571,591,571,581,591,60
1,571,591,571,581,591,60
Энергия фотона, эВ
Энергия фотона, эВ
Рис. 6.47. Спектры пьезоотражения CdTe при 80 К для двух направлений приложенного напряжения у, измеренные с поляризацией, параллельной (штриховая линия) и перпендикулярной (сплошная линия) х [6.113]
Рис. 6.47. Спектры пьезоотражения CdTe при 80 К для двух направлений приложенного напряжения у, измеренные с поляризацией, параллельной (штриховая линия) и перпендикулярной (сплошная линия) х [6.113]
2 4
4 2 о I I
2 4
4 2 о I I
4 2 0 2 4
4 2 0 2 4
можно из анизотропии сигналов определить как 6)так и d. Для CdTe были найдены следующие значения: 6 = —1,1 эВ, a d = —5,45 эВ [6.113], что довольно хорошо согласуется с другими измерениями и расчетами [6.29].
Электроотражение (эффект Франца—Келдыша). Как уже упоминалось, даже однородное электрическое поле, имеющее величину £)нарушает трансляционную симметрию вдоль своего направления (здесь используется обозначение £ для электрического поля, чтобы отличать его от энергии Е). Рассмотрим теорию диэлектрической функции полупроводника вблизи критической точки Мд в присутствии поля £. Для простоты предположим, что критическая точка является изотропной (ограничение может быть снято, и читателю рекомендуется сделать это в качестве упражнения) и имеет приведенную массу 小
Однородное поле £)приложенное вдоль направления г, дает вклад в гамильтониан 兄& = —e£z, который, очевидно, не обладает трансляционной инвариантностью вдоль z. Однако действие 兄g на злектрон—дырочную пару зависит только от относительного расстояния『между электроном и дыркой и не зависит от координаты R центра масс (см. п. 6.3.1; (6.76)). Как и в случае экситонов, однородное электрическое поле не действует на движение центра масс, приводя к уравнению, эквивалентному (6.77а). Решениями этого уравнения являются плоские волны, и только те из них, для которых Ж = 0, дают вклад в оптическое поглощение. Поэтому при вычислении £ (ш, £) мы можем пренебречь движением центра масс. Уравнение для относительного движения, эквивалентное (6.77б), приобретает вид
(-^▽/ — e£z - Е)ф(г) = 0,(6.136а)
где е ——заряд электрона (отрицательный). Выражение (6.136 а) можно разделить на уравнение для компоненты г, перпендикулярной к £ к не зависящей от £, и уравнение для компоненты %:
——°(z)= °-(6*1366)
Решение ф ⑶ уравнения (6.136 б) следует умножить на решение в виде плоской волны
соответствующего уравнения для компонент ш, у:
(6.136 b)(6.136 b)0(①)9)=去 exp [-i(kxx + %9)])
(6.136 b)
(6.136 b)
где N ——подходящая константа нормализации. Кроме того, к кинетической энергии в плоскости ①)夕 необходимо прибавить энергию Ez^ для того чтобы получить полную энергию Ег для «относительной координаты»:
Er = E0 + —Ц一” + Ez,Er = E0 + —Ц一” + Ez,(6.136 г)(6.136 г)
Er = E0 + —Ц一” + Ez,
Er = E0 + —Ц一” + Ez,
(6.136 г)
(6.136 г)
Уравнение (6*136 6) можно написать в более простой форме:
(6.137 а)(6.137 а)储0®…
(6.137 а)
(6.137 а)
введя безразмерную приведенную переменную:
(6*1376)
где так называемая электрооптическая энергия 0 имеет вид
0 =0 =(巒g方2：/3 (2〃丿(巒g方2：/3 (2〃丿(6.137 в)(6.137 в)
0 =
0 =
(巒g方2：/3 (2〃丿
(巒g方2：/3 (2〃丿
(6.137 в)
(6.137 в)
Решение (6.137а), которое удовлетворяет подходящим условиям регулярности для z f ±ос, может быть записано через функцию Эйри Ai(£) [6.114] как
0及(£)=Ai(9(6.138)
где множитель (|e|£)i/2/® обеспечивает условие ортонормальности по отношению к непрерывной переменной Ez.
Дипольный матричный элемент, необходимый для вычисления 吗(幻)£))выражается с помощью (6.48) в эквивалентном (6*86) виде:
Rd% =N戸® <0)|2.(6.139)
Уравнение (6.48) должно быть проинтегрировано по Ez и просуммировано по всем возможным значениям кх и ку, Последнее осуществляется путем введения вместо выражения (6.55), справедливого для трехмерного случая, плотности состояний, которая для двух измерений и вблизи критической точки Мд равна (включая вырождение по спину)
— /)=乐 для 〉/‘(6.140)
D (Ех5 у — J?。) = 0 для Ех^ у < Eq .
Соответствующая eQ, £))таким образом, приобретает вид
(6.141)(6.141)/ e 2戸(2〃产2产夕/2 T
(6.141)
(6.141)
Ei(5 £) =2 芥 歹2A* (£)d£
€o
19 M. Кардона
Eq — ЕEq — Еи Е = Нш.и Е = Нш.
Eq — Е
Eq — Е
и Е = Нш.
и Е = Нш.
Интеграл в (6.141) легко взять с помощью стандартного интегрального представления для Ai(£) (см. [6.10]; приложение I). Получим
(6.142)(6.142)^Ai2(a< = eAi2(a^Ai,2(e).
(6.142)
(6.142)
£о
В сущности, величиной, представляющей интерес в эксперименте по модуляционной спектроскопии, является не £i(G)£))а изменение £厶 вызванное электрическим по лем £* Это изменение можно представить в виде
]△eg, £)二0) = 2с2(2〃)：；*®1/2 歹(6」43а)
где
I 歹® =冗[a产⑹—§Ai2(£)] —(т)1/2н(—(6.1436) а Н обозначает ступенчатую функцию Хэвисайда, равную нулю (единице) для отрк・ цательного (положительного) аргумента.
Реальную часть △£(£)£) можно найти, заменив 歹(£) в (6.143) на ее Фурье-образ по Крамерсу—Кронкгу:
I о(е>ЯАГ(е)ш^ ем).
где Bi(£)——модифицированная функция Эйри, которая расходится при £ f х* По дробности приведенного выше вывода содержатся в [6.11] и в оригинальном выводе £i(E)£))полученном Тамарлингемом [6.115].
Функции 歹(£) и G(£) изображены на рис. 6.48. На вставке схематически постро™ ена диэлектрическая функция 吗 вблизи критической точки Мо в ЗБ-случае, как при наличии поля £)так и без него. Влияние электрического поля на край оптического поглощения впервые рассматриваось независимо Францем [6.117] и Келдышем [6.118], и поэтому называется эффектом Франца-Келдыша. Осцилляции в 吗(幻)выше заире щенной зоны называются осцилляциями Франца^Келдыша. В присутствии электри™ ческого поля £)吗 больше не равна нулю ниже запрещенной зоны 氏)а экспоненци™ ально убывает. Это легко объяснить тем, что член e8z в (6.136 б) приводит к наклону зон в пространстве. Вследствие этого щель исчезает. Всегда можно уменьшить энергию зоны проводимости в достаточной мере для ее перекрытия с валентной зоной в различных точках реального пространства, если сделать z достаточно большим. Однако для перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости он должен протуннелировать через расстояние, зависящее от £. Для энергии фотона %® < < Ео поглощение следует рассматривать как туннелирование с участием фотона из валентной зоны в зону проводимости (см. § 9.5).
До сих пор мы пренебрегали уширением Eq, связанным с временем жизни. Кроме того, модулирующее поле часто прикладывается к поверхностному обедненному слою (см. (8.22) и (8*23)) и является поэтому очень неоднородным. Оба эффекта можно учесть путем введения функций Эйри от комплексной переменной. Однако это, а также рассмотрение в других критических точках, выходит за рамки настоящей книги (интересующимся читателям рекомендуется обратиться к ссылкам [6.11, 6.119]).
02
Рис. 6.48. Трехмерные электрооптические функции 尸⑺(сплошная линия) и G (喧(штриховая линия) [6.116]. На вставке показана мнимая часть диэлектрической функции в приложенном электрическом поле (пунктир) и без электрического поля (сплошная кривая)
Уравнение (6.143 а) совместно с рис. 6.48 показывает, что вблизи критической точки Мд модуляционный спектр (△冗/冗)должен иметь резкий пик при энергии запрещенной зоны 石“ быстро затухать ниже Eq и осциллировать выше Eq. Можно показать, используя стандартное разложение функций Эйри [6.114], что осцилляции в пределе больших значений |£| имеют вид [6.120]
а ИГ1 cos*(6.144)
Обозначая последовательные максимумы и минимумы индексом п, из выражений (6.144) и (6.137 в) находим
(Еп —石 0)з/2 = АпЕ + В,(6.145)
где Л зависит только от 〃(4 а 〃'/') и от физических констант. Чем больше £) тем больше становится расстояние между осцилляциями. Аппроксимация энергий Еп максимумов и минимумов посредством (6.145) позволяет определить 〃)если кзвест- но £ [6.121].
В качестве примера осцилляций Франца-Келдыша на рис. 6.49 изображен спектр, полученный для слоя GaAs (толщиной 100 нм) при модуляции поля между знане- ниями 0,9 • 105 и 1,1 * 105 В/см в конфигурации, приведенной на вставке к рисунку. Наблюдается большое число осцилляций, и есть некоторое свидетельство о наличии биений между ними, соответствующих переходам тяжелая дырка-электрон и легкая дырка-электрон [6.121].
Далее мы обсудим так называемый режим слабого поля, когда параметр у шире- ния Г больше электрооптической энергии 0. В этом случае, который может точно описываться приведенной выше теорией, модифицированной так, чтобы учесть Г (т.е. путем использования функций Эйри с мнимым аргументом), осцилляции, показан™ ные на рисунках 6.48 и 6.49, должны быть в значительной мере размыты, и вместо них должен наблюдаться пик при Eq.
Аспнес предположил, что в пределе Г》® спектральная форма △冗 или Де со ответствует третьей производной по Е первоначального спектра. Этот важный и совсем не очевидный факт ярко иллюстрируется рис. 6.50 для критических точек 石1
Рис. 6.49. Сигнал электроотражения, наблюдаемый в сильно модулированном однородном поле, которое создается в слое собственного GaAs (см. вставку) модулированным напряжением (1 士 0,1 В), приложенным между сильно легированной (п+) подложкой и тонкой прозрачной пленкой золота [6.122]
к М + Л1 в германии. На нем приведены первоначальные спектры %(石)и £i(E)) полученные с помощью эллипсометрии при 300 К, совместно с их первыми, вторыми и третьими производными по Е. В нижней части рисунка показаны соответствую™ щие £г(Е) и £i(E))полученные из спектров электроотражения в слабом поле [6.105]. Близкое соответствие между последними и спектрами третьей производной (за ко ключением тривиальной разницы в знаках) является убедительным подтверждением справедливости приближения Аспнеса о третьей производной в пределе слабого поля. Хотя Аспнес дал строгий вывод этого приближения, мы приведем ниже эвристи™ ч е с ко е рассмотрение, в котором проявляется лежащая в основе физическая суть явления.
Представим приближенно (6.49) вблизи критической точки как
—1(6」46а)
где дипольный матричный элемент Р и ширина запрещенной зоны Eq включены в С) а О предполагается постоянной вблизи Eq. Считается, что вклад заданного перехода в £г для Е * Ес —凤，обусловлен виртуальными переходами. В соответствии с пркн・ ципом неопределенности время-энергия ——эти переходы длятся в течение времени г, равного
T =Ес — ” — Е
В присутствии поля £ электрон зоны проводимости (с энергией Е^ ускоряется полем и проходит за время 丁 расстояние z
Это перемещение вследствие гамильтониана ez8 приводит в результате к изменению
Рис. 6.50. Реальные и мнимые части а) * 6) E^2(d/dE')(E2e\B эВ™1; в) Е^2(d2/dЕ^^Е2е\ в зВ~% a) E^2(d3/dE3)(E2е), в зВ~⑶；0) экспериментальное индуцированное полем изменение А К, полученное из измерений электроотражения германия при £ = 38 кВ/см. Спектры в (6—а) (штриховые кривые) получены путем численного дифференцирования экспериментальных результатов (а), найденных с помощью эллипсометрии [6.105]
энергии по отношению к невозмущенному значению Ес:
е2£2方 2
-织-(6.147a)
и, соответственно, для электрона у вершины валентной зоны:
%2
△然=——(6.1476)
Уравнения (6.147 а и б) приводят к сдвигу (^ — E、J：
△(然一h (".".w产…
Чтобы вычислить влияние этого сдвига на £「продифференцируем (6.146а):
方2方2（石с — Е、一石）4（石с — Е、一石）4
方2
方2
（石с — Е、一石）4
（石с — Е、一石）4
(6.147 г)(6.147 г)方2幾22 a3后2" _ 1 д3е2БГ 12从炉 gE3 = I de3 *
(6.147 г)
(6.147 г)
Благодаря аналитическим свойствам £ подобное же выражение имеет место для 吗. Таким образом, для случая слабого поля мы получили удивительно простой резуль-
△ e =△ e =(6.148)(6.148)
△ e =
△ e =
(6.148)
(6.148)
Рис. 6.51. Изменение энергий пиков электроотражения 石。)Eq + + zl。)Ei, Ei + △], Eq и 石2 в зависимости от состава твердого раствора Ge-Si при комнатной температуре, измеренное методом электролита [6.125]Рис. 6.51. Изменение энергий пиков электроотражения 石。)Eq + + zl。)Ei, Ei + △], Eq и 石2 в зависимости от состава твердого раствора Ge-Si при комнатной температуре, измеренное методом электролита [6.125]ffim ^KOHO^ KHJdgHoffim ^KOHO^ KHJdgHo
Рис. 6.51. Изменение энергий пиков электроотражения 石。)Eq + + zl。)Ei, Ei + △], Eq и 石2 в зависимости от состава твердого раствора Ge-Si при комнатной температуре, измеренное методом электролита [6.125]
Рис. 6.51. Изменение энергий пиков электроотражения 石。)Eq + + zl。)Ei, Ei + △], Eq и 石2 в зависимости от состава твердого раствора Ge-Si при комнатной температуре, измеренное методом электролита [6.125]
ffim ^KOHO^ KHJdgHo
ffim ^KOHO^ KHJdgHo
Строгий расчет, приведенный в [6.105], дает аналогичное выражение, за исключением численного множителя 1/2. Отметим, что поскольку 03 пропорционально £?, △£ также квадратично зависит от £. Этот результат имеет глубокий физический смысл, т.к. выражение (6.148) применимо и к материалам с центром инверсии, в которых не может существовать эффекта, линейного по £ (задача 6.13). Для кристаллов типа цинковой обманки имеет место также линейный электрический эффект (задача 6.14), который мы не будем здесь рассматривать. Интересующиеся читатели могут обратиться к [6.123].
Обсуждение влияния электрического поля на поглощение экситонов дано в [6.124]. Электроотражение, обычно в условиях слабого поля, часто используется для характеризации полупроводников, в особенности смешанных кристаллов (например, Ge^Sii-^ и Саж А11_ж As). На рис. 6.51 приведеназа-
висимость различных межзонных критических точек в системе Ge^Sii-^ от концентрации Ge. Эти результаты были получены в [6.125] с помощью электролитного метода электроотражения, который особенно прост в осуществлении: поле прикладывается путем погружения образца в воду с примесью какой-нибудь соли (например, NaCl) между образцом и электродом. Модуляция напряжения приводит к модуляции электроотражения [6.126].
Фотоотражение. При измерениях фотоотражения коэффициент отражения модулируется периодически прерываемым светом (обычно лазерным лучем), падающим на то же самое место на образце, что и монохроматический зондирующий луч, но под другим углом. Следует принять меры, чтобы модулирующий луч не попадал на фотоприемник (малая доля этого света всегда диффузно рассеивается в направлении отраженного зондирующего луча). Измерения фотоотражения недавно приобрели важное значение в связи с исследованиями полупроводниковых микроструктур [6.106]. Сигнал обычно имеет сублинейную зависимость от мощности Жь модулирующего лазера (часто ос Ж1/3), поэтому предпочительноиспользовать малую мощность лазера (《1 мВт) для увеличения отношения сигнала к рассеянному свету.
Энергия фотона, эВЭнергия фотона, эВРис. 6.52. Фотомодулированное отражение в области прямой запрещенной зоны Ео при Т = 6 К для монокристаллов с почти 100-процентным изотопным составом 70Ge, 74Ge и 76Ge [6.128]
Энергия фотона, эВ
Энергия фотона, эВ
Рис. 6.53. Спектр фотоотражения образца GaAs при комнатной температуре, полученный с лазером (633 нм) при мощности модуляции в диапазоне между 3 мкВт/см2 и 2 мкВт/см2. На вставке приведена зависимоеть (4/3万)(后n- — Ес»)'/? от индекса п, нумерующего экстремумы [6.130]
Вклад в фотоотражение могут давать различные процессы. В исследуемом конкретном случае все они могут происходить одновременно. Фотоотражение часто связано с экранированием поля обедненного слоя (см. п. 8.3.3) носителями, возникающими при поглощении модулированного лазерного луча. Тогда рассматриваемый метод оказывается эквивалентен электроотражению (иногда он называется безконтактным электроотражением). В данном случае удобно выбрать такую степень легирования, чтобы толщина обедненного слоя соответствовала глубине проникновения света на частоте, представляющей интерес.
В делегированных и умеренно легированных полупроводниках при низких температурах носители вымораживаются и обедненный слой становится бесконечно широким, а соответствующее поле стремится к нулю. В этом случае не может происходить существенной модуляции поля. Однако оптические особенности, связанные с критическими точками, испытывают сильные изменения из-за экситонных эффектов и могут модулироваться лазерным лучом вследствие экранирования экситонного взаимодействия индуцированными носителями (теоретическое рассмотрение этого эффекта приведено в [6.127]).
Пример такого эффекта приведен на рис. 6.52 [6.128] для прямой зоны Eq трех кристаллов германия с различным (стабильным) изотопным составом. На этом рисунке видна зависимость ширины запрещенной зоны от массы изотопа, что обусловлено перенормировкой запрещенной зоны вследствие электрон-фононного взаимодействия и тесно связано с уменьшением Eq при повышении температуры [6.129]. Поскольку спектры на рис. 6.52 измерялись при очень низкой температуре (6 К), перенормировка связана с колебательной амплитудой фононов в нулевой точке (задача 6.19).
На рис. 6.53 показан спектр фотоотражения, который вследствие большого числа осцилляций типа Франца-Келдыша (см. рисунки 6.49 и 6.50) следует отнести к модуляции поля в слое объемного заряда, и, таким образом, этот спектр эквивалентен электроотражению. Согласно (6.145), индекс п, нумерующий экстремумы, должен быть пропорционален (Е — Eq)3^2 (за исключением небольшого сдвига). Эта пропорциональность демонстрируется на вставке к рис. 6.53 [6.130].
Спектроскопия разностного отражения. В заключение настоящей главы мы обсудим метод, который в последнее время приобрел большое значение в качестве диагностики i n situ при эпитаксиальном росте из газовой фазы [6.131, 132]. Метод основан на измерении разности в отражении при нормальном падении для двух разных направлений линейной поляризации света. Первые измерения такого рода проводились путем вращения поверхности образца вокруг перпендикулярной ей оси [6.133, 134], в то время как линейно поляризованный зондирующий свет отражался от поверхности образца при нормальном падении. С помощью синхронного усилителя регистрация сигнала производилась синхронно с вращением образца (отсюда происходит название ротороотражение, использованное в [6.133]). Более поздний вариант рассматриваемого метода, ставший в настоящее время стандартным, заключается в повороте линейной поляризации между двумя взаимно перпендикулярными направлениями с помощью фотоупругого м од ул я тора [6.131]. Этот метод сейчас называется спектроскопией разностного отражения (СРО).
На рис. 6.54 приведены два спектра, полученные методом разностного отражения для поверхности [ПО] кремния, покрытой обычной пленкой окисла (толщиной 〜2 нм),
Рис. 6.54. Спектры разностного отражения от поверхности кремния [110] с пленкой естественного окисла (пунктир) и после стравливания пленки в HF (сплошная линия). Обратите внимание на резкую структуру в критических точках 司一邑，к Е^ [6.134]
и после химического удаления окисла. Разница в спектрах говорит о большой чувствительности этого метода к состоянию поверхности, что может успешно использоваться для исследований эпитаксиального роста i n situ.
Для объяснения явления разностного отражения можно привлечь различные механизмы. Самый простой из них определяется объемными свойствами и, в принципе, применим к случаю рис. 6.54. Он связан с зависимостью £(ш, к) от к〉т.е. с явлением пространственной дисперсии, которое упоминалось в § 6.1. Этот механизм эффективен для поверхности [ПО] вследствие симметрии £(ш). Симметрия системы кристалл плюс свет (сравните с концепцией поляритонов) ниже кубической. В сущности, только те операции симметрии кристалла, которые также сохраняют вектор к〉являются операциями симметрии всей системы. Результирующая симметрия оказывается орторомбической (точечная группа С20))и поэтому коэффициенты отражения при поляризациях [ПО] и [001] должны различаться [6.7]. Однако такой вклад в СРО на порядок меньше, нежели показанный на рис. 6.54. Величину наблюдаемого эффекта часто объясняют влиянием поверхности, приводящим к модификации действия локальных полей на экситоны [6.134, 6.135].
Особый интерес представляет случай поверхностей [001], наиболее часто используемых для молекулярно-пучковой эпитаксии (МПЭ). Для удобства обсуждения мы, как это принято у технологов, занимающихся выращиванием кристаллов, будем считать, что атом Ga находится в центре координатной системы, а атом As занимает положение (а/4)(111) (в гл. 2 использовалось противоположное расположение, что привело к положительным антисимметричным форм-факторам псевдопотенциала). В этом случае, если поверхность [001] оканчивается атомами Ga, самые верхние связи As-Ga направлены вдоль [ПО], в то время как если поверхность оканчивается атомами As, самые верхние связи Ga-As направлены вдоль [ПО] (читатели должны убедиться в этом факте с помощью модели кристалла). Это приводит к возникновению оптической анизотропии поверхности, которая может быть измерена с помощью СРО. Анизотропия различна в зависимости от того, кончается ли поверхность атомами Ga или As, что позволяет контролировать рост in situ. Теория эффекта приведена в [6.136]. Обзоры применений СРО для эпитаксиального роста даны в [6.132, 6.137].
Диэлектрическая функция
Как уже упоминалось, в конце 1990-х произошел значительный прогресс в вычислениях диэлектрической функции полупроводников [6.22, 6.23]. Из-за важности GaN в настоящее время предсталяем здесь пример такого рода вычислений и их сравнение с эллипсометрическими измерениями 后2(®) для модификации этого полупроводника типа вюрцита. Поскольку структура вюрцита ——оптически одноостная, для описания оптического поведения GaN нужны две группы диэлектрических функций: одна для 石丄 с к другая для Е || с. На рис. 6.55 представлена 后2(®) для 石丄 с〉полученная эллипсометрически для GaN при использовании синхротронного излучения в качестве источника света. Измеренный спектр и вычисления ab initio совпадают с очень высокой степенью точности [6.138]. Исследуемая эпитаксиальная тонкая пленка, ориентированная перпендикулярно к оси с, не допускает измерений в Е \\ с поляризационной конфигурации. Расчеты показывают, что пик 石2)отщепленный от Е] шестиугольным полем кристалла, для Е \\ с появляться не должен. Это недавно было подтверждено экспериментально для кристалла GaN [6.139]. Вычисления на рис. 6.55 начинаются с ab initio псевдопотенциала и включают так называемую коррекцию собственной энергии квазичастицы между возбужденным электроном и оставшейся дыркой плюс экситонное взаимодействие между квазичастицами.
Энергия фотона, эВЭнергия фотона, эВРис. 6.57. Сравнение диэлектрической функции &2(з) GaN для Е ^ с^ измеренной при помощи эллипсометрии с использованием ультрафиолетовогое синхротронного излучения (сплошная линия) с расчетами ab initio [6.138]Рис. 6.57. Сравнение диэлектрической функции &2(з) GaN для Е ^ с^ измеренной при помощи эллипсометрии с использованием ультрафиолетовогое синхротронного излучения (сплошная линия) с расчетами ab initio [6.138]
Энергия фотона, эВ
Энергия фотона, эВ
Рис. 6.57. Сравнение диэлектрической функции &2(з) GaN для Е ^ с^ измеренной при помощи эллипсометрии с использованием ультрафиолетовогое синхротронного излучения (сплошная линия) с расчетами ab initio [6.138]
Рис. 6.57. Сравнение диэлектрической функции &2(з) GaN для Е ^ с^ измеренной при помощи эллипсометрии с использованием ультрафиолетовогое синхротронного излучения (сплошная линия) с расчетами ab initio [6.138]
Задачи
Эллипсометрия.
Получите (6.13) из (6.12 а и б).
Соотношения Крамере а™К рони г а .
Покажите, что если линейная функция отклика, такая как линейная электрическая восприимчивость x(g) или диэлектрическая функция е(ш) — 1, удовлетворяет следующим двум условиям: 1) она имеет аналитический вид в верхней половине комплексной ш-плоскости и 2) она достаточно быстро стремится к нулю при ш оо, то она удовлетворяет соотношениям Крамерса^Кронига, приведенным в (6.14) и (6.15).
Примените СКК (6.14) к w в (6.58), чтобы получить выражение для ег, приведенное в (6.59). (Контур интегрирования для этой задачи можно найти в [6.11].) Получите соответствующие выражения для w к £「считая, что постоянной величиной является сила осциллятора /vc в (6.51), а не матричный элемент |Pvc|2.
Покажите, что диэлектрическая функция, полученная в (б), удовлетворяет условиям, перечисленным в (а).
Плазменная частота и плазмоны.
Покажите, что при пренебрежении затуханием трехмерный свободный электронный газ с плотностью N, погруженный в однородный фон таких же положительных зарядов (плазма), имеет в случае трех измерений диэлектрическую постоянную
е(ш) = 1 —е(ш) = 1 —4?r7Ve247Г£о шш24?r7Ve247Г£о шш2(6.149)(6.149)
е(ш) = 1 —
е(ш) = 1 —
4?r7Ve2
47Г£о шш2
4?r7Ve2
47Г£о шш2
(6.149)
(6.149)
где m — масса электрона.
Покажите, что е(ш) = 0 при ш = шр = (4тг7¥е2/47Г£о ш)1/2; шр называется плазменной частотой газа свободных электронов.
Покажите, что при е(ш) = 0 нет необходимости прикладывать к свободному электронному газу внешнее поле для того, чтобы создать внутреннее поле. Вычислите
это внутреннее поле Е через амплитуду осцилляций электронов. Указание: Е = =Р (внешнее поле)/е. Если е (®р) = 0, то К не обязательно равно нулю, даже при Р = =0. Осцилляции электронов с частотой 小 могут возбуждаться вследствие кулоновского притяжения между электронами и фоном положительных зарядов, что приводит к возникновению возвращающих сил. Такие осцилляции свободного электронного газа называются плазменными осцилляциями. Как и в случае простого гармонического осциллятора, энергия плазменных осцилляций может быть проквантована в единицах 方Зр. Эти кванты называются плазмонами. Вычислите плазменную частоту валентных электронов в алмазе, кремнии (см. комментарий к рис. 6.6) и в GaAs.
В свободном электронном газе также может быть возбуждена распространяющаяся волна (называемая плазменной волной). Покажите, что плазменные волны являются продольными (т.е. смещения электронов параллельны направлению распространения волны), создающими продольное осциллирующее макроскопическое электрическое поле.
Диэлектрическая функция и набор заряженных гармонических осцилляторов.
Исходя из выражений (6.105) и (6.108) получите выражения (6.110 а и б) для диэлектрических функций набора простых заряженных гармонических осцилляторов. Покажите, что при 幻丁 = 0 и = 1 (6.108) сводится к уравнению свободного электронного газа.
Получите соотношения Лиддейна-Закса-Теллера (6.111) из (6.110а).
Используя СКК (или (4.55)))покажите, что мнимая часть диэлектрической функции и, следовательно, спектр поглощения таких осцилляторов на частоте 必丁 являются дельта-функциями.
Правила сумм.
Определим J-й момент Mj мнимой части диэлектрической функции 碎 полупроводника следующим образом:
Mj = da.(6.150)
о
Используя СКК, покажите, что М、выражается через полную плотность заря™ да 7V в полупроводнике как
Mi = 27rze2%/”.(6.151)
Покажите, что М_\ связан с низкочастотной диэлектрической постоянной %(0) как
=(7г/2)[ег(0) — 1].(6.152)
Сингулярности В ан-Хо в а.
Подтвердите вид сингулярностей Ван-Хова в плотности состояний, приведенный в табл. 6.1.
Спектр поглощения экситонов Ванье вблизи прямой запрещенной зоны.
Получите матричный элемент экситон-фотонного взаимодействия |(/|Жхн|0)|2 (6.85) с помощью (6.72) и (6.82).
Найдите в учебнике по квантовой механике выражения для присоединенных полиномов Лагерра Rni(r) и покажите, что |(/|Жхн|0)|2 зависит от главного квантового числа п как п~3.
Покажите, что вероятность нахождения экситона в начальном состоянии континуума |0е(О)『 имеет следующий вид (в атомных единицах, то = в = Л = =1)：
财⑼用丽而^(6」53)
где 丁 определяется как
丁 = 7г|Н*/(ш _ %)『/2,(6.154)
N ——число элементарных ячеек в кристалле, Vo ——объем элементарной ячейки, Я* —— постоянная Ридберга экситона. Используйте этот результат, чтобы получить (6.90).
Покажите, что в пределе w ^ wg (или 丁 Т оо) Ei стремится к постоянному значению:
147Г£о%£
Покажите, что в пределе g Т оо (или § Т 0) |^>е(0)|2 Т 1 и Ei достигает значения, которое получается в отсутствии экситонного эффекта. Покажите, что экситонный эффект приводит к модификации края поглощения даже при энергиях фотонов значительно выше края.
Низкочастотная диэлектрическая постоянная и «средняя» щель.
Диэлектрическая постоянная при нулевой частоте £「(0) определяется вкладами оптических переходов во всем диапазоне частот от нуля до бесконечности (см. задачу 6.5 6)» Пенн предложил простую двухзонную модель со «средней шириной запрещенной зоны» Eg (щель Пенна), чтобы объяснить величину £「(0) для полупроводника [6.140]. В этой модели £「(0) имеет вид
sr(0) = l + (^p/^g)2,(6.156)
где Ер ——плазменная энергия валентных электронов. В [6.141] отмечалось, что поскольку сила осциллятора перехода Е? является наибольшей во многих полупроводниках с тетраэдрической координацией, хорошим приближением для щели Пенна оказывается энергия ^-перехода. Вычислите энергию щели Пенна из экспериментальных значений ег(0), приведенных в табл. 6.9, и сравните ее с энергиями ^-переходов из табл. 6.3.
Отметим, что в этом контексте «нулевая частота» означает частоту, которая мала по сравнению с межзонными переходами, но больше фононных частот. Величину /(О), приведенную в табл. 6.9, иногда называют также «высокочастотной» диэлектрической постоянной ег(оо), поскольку ее измеряют при частоте, значительно превосходящей частоты фононов.
Таблица 6.9
Сравнение между щелью Пенна [эВ], вычисленной из экспериментальных значений бг(ос), и энергиями ^-переходов [эВ] для нескольких репрезентативных полупроводников [6.142]
Si
Ge
GaAs
InP
GaP
£г(ОС)
12,0
16,0
10,9
9,6
9,1
Щель Пенна
4,8
4,3
5,2
5,2
5,75
石2
4,44
4,49
5,11
5,05
5,21
Дисперсионные кривые экситонных поляритонов.
Экситонный поляритон в диэлектрической среде представляет собой распространяющуюся моду, в которой электромагнитная волна связана с волной поляризации экситонов. Для получения дисперсионной кривой поляритона, изображенной на рис 6.22, начнем с обычного выражения для дисперсии электромагнитной волны: ,2 = с2k2/g (6.114а), где g и к являются, соответственно, частотой и волновым вектором электромагнитной волны, с — скорость света в вакууме и £ — диэлектрическая функция среды. Мы будем рассматривать экситоны как набор идентичных простых заряженных гармонических осцилляторов с массой М, зарядом q и (поперечной) резонансной частотой шех. Если воспользоваться результатом для инфракрасно-активных
оптических фононов, приведенным в § 6.4, то диэлектрическая функция среды дается выражением (6.103):
47Г£о М(ш^х ш2)
Чтобы учесть тот факт, что экситоны являются распространяющимися волнами поляризации, обладающими дисперсией, нужно заменить шех в приведенном выше выражении на дисперсию экситонов из (6.83):
3ex(k) = ®ех + ^jjj，
где теперь к — волновой вектор экситона. В результате находим диэлектрическую постоянную с пространственной дисперсией £(к, ш).
Получите из £(k, а) дисперсионные кривые экситонных поляритонов.
Вычислите продольную частоту экситона gl, т.е. частоту, при которой е (®l)= =0 при к = 0. Частота шех(0) называется поперечной частотой экситона и на рис. 6.22 обозначена как ®「
Постройте дисперсионные кривые поляритона, подставляя в дисперсионное соотношение различные значения ш, такие как w < wex(0), w = wex(0), wl〉g〉wex(0), w = wl и w > wl, и находя решения g? = c2k2/e(g, k) для различных k.
Связанные пл аз мо н-LO фононные моды.
В легированном полупроводнике типа цинковой обманки могут существовать два продольных резонанса: один соответствует плазменным колебаниям свободных но™ сителей (см. задачу 6.3), а другой ——LO фонону. Эти два продольных колебания смешиваются друг с другом и для них имеет место эффект «антипересечения» (см. § 6.4). Пусть ®р ——плазменная частота свободных носителей (когда они «не связаны» с LO фононом), определенная в задаче 6.3, a1Gl 一 частота LO фононов при отсутствии свободных носителей.
Используя результаты § 6.4 и задачи 6.3, покажите, что полная диэлектрическая функция полупроводника при наличии свободных носителей имеет вид
(6.157)(6.157)
(6.157)
(6.157)
Получите две новых частоты продольных осцилляций,必匕+ и ®l—, путем ре™ шения уравнения е(ш) = 0. Такие продольные осцилляции называются связанными плазмон-LО фононными модами. Покажите, что эти два решения, как функ™ ции шр, никогда не пересекаются (т.е. они антипересекаются). Более высокочастотная ветвь (L+) для wp《®l стремится к шь, тогда как нижняя ветвь (L~) стремится к шт, частоте ТО фонона. Это означает, что при большой плотности свободных носителей (когда Gp》®l) они полностью экранируют дополнительную кулоновскую возвраща™ ющую силу, индуцированную смещениями фононов (см. § 6.4), так что поперечные и продольные осцилляции происходят при одинаковой частоте шт
Поверхностные плазмоны и фононы.
Покажите, что для плоского интерфейса между вакуумом и твердым телом уравнение Лапласа V?。= 0 имеет решения, которые распространяются вдоль ин™ терфейса и экспоненциально затухают при удалении от него, если диэлектрическая функция твердого тела е (ш) = 0. Такие волны называются поверхностными волнами. Предположив, что е металлической среды имеет вид (6.149) (задача 6.3), выразите ча™ стоту поверхностной волны (поверхностный плазмон) через плазменную частоту шр в объеме. Вы можете пренебречь распространением (т.е. запаздыванием) поверхности ной волны. При каких условиях такое приближение справедливо?
С помощью (6.12 б) выясните, как влияет запаздывание на поверхностную волну в (а) при условии, что отражение 冗р f оо, т.е. отраженное электромагнитное поле возникает без падающего поля. Последнее означает, что возникает самоподдер- живающаяся резонансная осцилляция (подобно происходящему в объеме при е = 0). Подсказка дана в [6.143].
Для диэлектрика с * имеющей вид (6.110 а), условие е = —1 выполняется при частоте, лежащей между частотами ТО и LO фононов. Пренебрегая запаздыванием, вычислите частоту этого «поверхностного фонона».
Моделирование переходов Ei и Е1+Л1 с помощью двумерных критических точек Мо-
В п. 6.2.4 отмечалось, что во многих полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки зона проводимости и валентные зоны вдоль направления (111) почти параллельны. Вследствие этого критические точки Ei и Ei + Ai и их комбинированную плотность состояний можно моделировать двумерными критическими точками Мо.
Вычислите эффективную массу в этих критических точках с помощью (к * р)- метода (соответствующий матричный элемент р « 27r力/о。)*
Вычислите их вклад в Ei и ег. Подсказка приведена в [6.144, 7.102].
Влияние одноосной деформации на оптические фононы и эффективные заряды.
Из соображений симметрии определите влияние одноосной деформации вдоль осей [100] и [111] на оптические фононы в центре зоны Бриллюэна в полупроводниках типа алмаза (подобных Ge).
Повторите эти рассуждения для ТО и LO фононов центра зоны Бриллюэна в GaAs. С помощью полученных результатов определите влияние одноосной деформации на эффективный заряд в*. Подсказка дана в [6.145].
Электрооптические тензоры.
Влияние постоянного электрического поля Е на диэлектрическую функцию можно выразить в виде
6 & ij = 分外石命 + 6 &ijkiEkEi) (6-158) где тензор третьего ранга 6沁卜 и тензор четвертого ранга d^ijki называются электрооптическими тензорами. Первый из них описывает эффект Поккельса, а второй —— эффект Керра.
Покажите, что в центросимметричном материале S^ijk тождественно равен нулю (в предположении, что разрешены только электрические дипольные переходы).
Из соображений симметрии определите линейно независимые и не равные нулю коэффициенты электрооптических тензоров для кристаллов типа алмаза и цинковой обманки. Подсказка дана в [6.146].
Используйте результаты, полученные в (а) и (б), для вычисления изменений е, индуцированных электрическим полем вдоль направлений [001], [111] и [ПО] в Si и GaAs.
Влияние непараболичности зоны на плазменную частоту.
В полупроводниках с узкой запрещенной зоной, таких как InSb и InAs, зона проводимости имеет непараболическую дисперсию. Вследствие этого эффективная масса электрона, используемая для вычисления плазменной частоты свободных носителей в (6.126в), зависит от концентрации носителей. Эффективную массу, которую находят при подгонке плазменного отражения, называют оптической массой т*р, чтобы отличать ее от эффективной массы, определенной с помощью других методов, например, циклотронного резонанса. Влияние непараболичности зоны проводимости на плазменную частоту можно оценить с помощью (к • р)-метода.
Запишите матрицу, соответствующую (к -р)"Гамильтониану вблизи центра зоны Бриллюэна (точка Г) полупроводников типа цинковой обманки. Включите в базисные функции только те, которые относятся к самой низкой s-подобной зоне проводимости и самым верхним p-подобным валентным зонам (пренебрегая спин-орбитальным
взаимодействием). Проведите диагонализацию этой матрицы ранга 4x4 и представьте энергию зоны проводимости Е^к) в виде следующего разложения до членов порядка /：
冇2
Ec(k) = ^(l + Nk2l(6.159)
Определите постоянную непараболичности N.
Повторите вычисления в (а) с учетом спин-орбитального взаимодействия.
Определите оптическую массу как
叫方2 дк у
где индекс Ер означает, что для вырожденного полупроводника (6.160) следует вычислять при энергии Ферми. Найдите оптическую массу электронов в InSb и плазменную частоту и постройте их зависимость от концентрации носителей Ne в диапазоне 10Х/ & М W Ю19 см™3. Сравните полученные плазменные частоты с данными, приведенными на рис. 6.37, а вычисленные оптические массы с экспериментальными значениями в [6.91].
Коэффициенты Серафина.
Получите выражение для коэффициентов Серафина в (6.132 б) в виде функций ОТ % И Si.
Пользуясь экспериментальными значениями рисунка 6.10, изобразите схематическую зависимость коэффициентов Серафина от частоты для Si. Обратите внимание на то, что при малых энергиях фотонов Д пренебрежимо мал, тогда как вблизи критических точек Eq и Е±^ (Зг и Д имеют сравнимые значения.
Объясните, каким образом из модуляционного спектра отражения можно с помощью СКК найти Дег и △£「Почему не важны экстраполяции вне экспериментального диапазона?
Мод ул яци я критических точек.
Получите аналитические выражения, подобные (6.135 а), для производных deT/dE и ds\ldE вблизи всех критических точек других типов, приведенных в табл. 6.1. Нарисуйте схематически спектральную зависимость этих результатов.
Пьезоотражение.
Вычислите отношение пиков, показанных на рис. 6.47, для поляризации света параллельно (е II х) и перпендикулярно (е 丄 х) оси деформации в виде функции отношения сдвигового деформационного потенциала к гидростатическому деформационному потенциалу b/а (для х || [100]) и d/a (для х || [111]).
Температурная зависимость ширины запрещенной зоны и изотопический сдвиг.
Покажите, что зависимость запрещенной зоны 然 от температуры Т можно записать в виде
-變(。)=4 (丽詫б尸 + 1) ,(6.161)
где А — температурно-независимая постоянная, кв — постоянная Больцмана, а 方J2 означает среднюю энергию фононов. У каз ан и е: член в круглых скобках в (6.161) является квадратом смещения фонона, усредненным по ансамблю фононов. (См. также [6.144].)
Покажите, что AEg(T) = Eg(T) —Eg(0) линейно зависит от Т в пределе к^Т》 》力亿 как это показано на рис. 6.54.
Для малых Т зависимость △Kg(T) можно также записать в виде
(6.162)(6.162)
(6.162)
(6.162)
где первый член описывает изменение Eg из-за теплового расширения. Его знак может быть как положительным, так и отрицательным. Второй член возникает вследствие электрон-фононного взаимодействия. Его знак обычно отрицателен. Оцените вклад этих эффектов в Kg(0) путем экстраполяции Kg(T) к Т = 0, используя линейную зависимость при больших Т. Полученная в результате энергия называется перенормированной шириной запрещенной зоны при Т = 0 вследствие электрон-фононного взаимодействия. Определите эту энергию для запрещенной зоны Eq в Ge из рис. 6.44.
Результат, полученный в (в), можно использовать для оценки зависимости ширины запрещенной зоны от массы изотопа. Поскольку связи между атомами не зависят от массы изотопа, можно предположить, что средняя энергия фононов %J? в твердых телах с двумя идентичными атомами в элементарной ячейке, как у Ge, зависит от массы атома М как М™1/2. Вычислите разницу в энергии 昂 для следующих изотопов: 70Ge, 74Ge и 76Ge. Сравните свои результаты с приведенными на рис. 6.52.
Нелинейная оптическая восприимчивость третьего порядка в G е.
В настоящей книге мы в основном изучали линейные оптические свойства, не рассматривая нелинейные оптические явления. Однако о некоторых нелинейных оптических свойствах твердых тел можно судить по влиянию электрического поля Е на их линейные оптические свойства. Нелинейная оптическая восприимчивость третьего порядка х⑶ определяется выражением (см. также задачу 6.14)
х“(Е) = 团， (6」63)
(6.164)(6.164)где X；；)——не зависящий от поля линейный тензор электрической восприимчивости (см. (6.1)), а %^ ——нелинейный тензор восприимчивости второго порядка, связанный с нелинейными оптическими эффектами, такими как генерация второй гармоники [6.148]. В центросимметричных кристаллах при учете только электрических дипольных переходов х⑵ тождественно равен нулю. Нелинейная восприимчивость третьего порядка х⑶ ответственна за такие явления, как двухфотонное поглощение и генерация третьей гармоники. Она связана с электрооптическим тензором четвертого ранга 6£ijki)упоминаемым в задаче 6.14, посредством выражения
(6.164)
(6.164)
8&^ =^Xijkr
Обычно 方后叮总/ зависит от частоты фотона(J. Для ® р^ 0 (т.е. когда ® много меньше, чем ширина щели Ко, но много больше частоты ТО фонона) можно вычислить диагональный элемент 8е叮总/(0) в Ge, предположив, что основной вклад в его низкочастотную диэлектрическую постоянную бг(0) вносят переходы между параболической валентной зоной и параболической зоной проводимости с расстоянием между ними Ко, причем обе зоны распространяются до бесконечности (почему такое предположение разумно в этом упражнении, но не приемлемо в задаче 6.8?). Указание: начните с того, что выразите ег(0) через Ко с помощью (6.49). Затем продифференцируйте Ег(0) по Eq и воспользуйтесь выражением (6.147в) [6.149].
Отношение △。/△八
Для большинства материалов из табл. 6.2 величина △□ /△] приблизительно равна 3/2. Однако есть два исключения. Что могло бы быть причиной такого аномального поведения? Назовите другие материалы типа цинковой обманки, демонстрирующие подобные свойства.
Зеркальное отображен ие .
Рассмотрите симметрию фононов в тригональных элементарных полупроводниках —селене и теллуре. Их структура может появляться в двух различных пространственных группах: D^ и D|. Покажите, что два кристалла с различными пространственными группами являются зеркальными отображениями друг друга.
Рассмотрите возможные действия зеркального отображения на оптический отклик кристаллов.
Выясните, какие из шести оптических вибрационных мод в Г являются активными в инфракрасной области (т.е.已丁 卢 0) к объясните на качественном уровне происхождение е「Подсказка дана в [2.5] и [3.8].
Заключение
Главы 6 и 7 посвящены изучению оптических свойств полупроводников. В явлениях, обсуждавшихся в настоящей главе, присутствует только одна фотонная частота. В таких процессах, как поглощение и отражение^ частота падающей на образец электромагнитной волны не меняется при взаимодействии с образцом. В следующей главе мы будем рассматривать явления, в которых частота падающей волны изменяется образцом. Оптические свойства образца, изучавшиеся в гл. 6, могут быть полностью описаны с помощью его комплексной диэлектрической функциии. Микроскопическая теория этой функции показывает, что фотоны взаимодействуют с электронами в полупроводниках главным образом путем возбуждения межзонных и внутризонных переходов. Межзонные переходы из валентных зон в зону проводимости приводят к возникновению пиков и «плат» в оптических спектрах, которые можно сопоставить с сингулярностями Ван-Хова в комбинированной плотности состояний валентной зоны и зоны проводимости. Эти сингулярности можно значительно усилить с помощью метода модуляционной спектроскопии^ в котором измеряются производные от некоторых оптических функций отклика в зависимости от частоты или при внешней модуляции (такой, как электрическое поле или поле напряжений). Подобные оптические измерения явились очень чувствительным тестом для существующих расчетов зонной структуры. Иногда наблюдаются расхождения между положениями или формой пиков в эксперименте и теории. Они объясняются экситонными эффекта- мп> возникающими вследствие кулоновского взаимодействия между возбужденными электронами и дырками в полупроводниках. Внутризонные электронные переходы возникают в легированных полупроводниках, и их вклад в оптические свойства можно найти с помощью модели Друде^ предложенной для свободных электронов в простых металлах.
Переходы между дискретными уровнями примесей в полупроводниках также могут давать вклад в поглощение фотонов в инфракрасной области. Хотя эти примесные процессы поглощения много слабее процессов, связанных с межзонными переходами электронов, они могут приводить к возникновению очень узких пиков и оказались чрезвычайно чувствительным и полезным методом для зондирования энергетических уровней примесей. Наконец, в полярных полупроводниках с кристаллической структурой цинковой обманки фотоны могут поглощаться и отражаться в результате взаимодействия с оптическими фононами. Коэффициент отражения становится особенно высоким для фотонов с частотами между частотами ТО и LO фононов, приводя к давно известному явлению, называемому отражением на остаточных лучах. Взаимодействие между инфракрасно-активными фононами и электромагнитными волнами может быть настолько сильным, что внутри среды они неразделимы. Вместо этого их следует рассматривать, как связанные волны, или квазичастицы, называемые фононными поляритонами.
20 М. Кардона
ГЛАВА 7
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА II
Содержание
Спектроскопия излучения ...................................................306
Спектроскопия рассеяния света..............................................331
Задачи .......................................................................371
Заключение.................................................................. 374
В главе 6 рассматривалось взаимодействие между полупроводником и электромагнитным полем, при котором полупроводник переводится из основного в возбужденное состояние путем поглощения фотонов падающего излучения. В настоящей главе мы будем изучать другие важные оптические явления в полупроводниках, а именно, оптические процессы, которые заключаются в испускании образцом излучения. Одним из этих процессов является люминесценция, а другим ——неупругое рассеяние света (рамановское или бриллюэновское рассеяние; различие между ними будет обсуждаться позднее). В типичном процессе люминесценции возбуждение электронов в образце осуществляется электрически или оптически. После некоторой потери энергии (релаксации) возбужденные электроны возвращаются в основное состояние путем излучения света. В рамановском или бриллюэновском процессе свет рассеивается флюктуациями внутри образца. Важным различием между этими двумя процессами является то, что в случае люминесценции происходит реальное возбуждение электронов, тогда как при рассеянии света обычно бывает достаточно виртуальных возбуждений электронов. В этой главе мы будем изучать физические механизмы указанных процессов. Начнем с изучения люминесценции.
Спектроскопия излучения
Для того, чтобы образец мог испускать излучение, ему должна быть передана энергия. Одним из возможных способов возбудить образец является инжекция в него электронов и дырок посредством внешнего тока, что приводит к электролюминесценции. Другим обычным методом является поглощение фотонов с энергией, большей ширины запрещенной зоны. Результирующий процесс, при котором излучаются фотоны с энергией, меньшей, чем энергия возбуждающих фотонов, называется фотолюминесценцией. Возникновение излучения в результате нагревания образца называется термолюминесценцией, процесс излучения света в результате бомбардировки электронами ——электролюминесценцией или катодолюминесценцией. В настоящей главе нас больше будет интересовать процесс излучения, а не то, каким образом образец был возбужден.
В п. 6.2.2 отмечалось, что поглощение и излучение связаны друг с другом. Они описываются двумя членами в гамильтониане взаимодействия 丸限 в (6.29), которые являются комплексно сопряженными. В процессе поглощения отбирается энергия у падающей электромагнитной волны и создаются электрон-дырочные пары. Излучение является обратным процессом, т.е. электрон-дырочная пара внутри образца уничтожается с испусканием электромагнитного излучения (говорят, что пара совершила излучательную рекомбинацию). При полуклассическом рассмотрении, которым мы пользовались в п. 6.2.2, для возникновения излучения должна существовать электромагнитная волна (ее векторный потенциал А входит в 丸^r)* Такой процесс называется
стимулированным излучением. Вероятность стимулированного излучения, как и вероятность поглощения, пропорциональна полю. Однако из нашего повседневного опыта мы знаем, что лампа может излучать свет при отсутствии внешнего радиационного поля. То же самое должно быть справедливым для возбужденного полупроводника, содержащего электрон-дырочные пары. Излучение, которое возникает без внешнего поля, называется спонтанным излучением. Строгое рассмотрение таких процессов должно включать квантово-механическое описание электромагнитного излучения (читатели, интересующиеся этим вопросом, должны обратиться к [7.1]). Необходимо произвести квантование электромагнитных волн в фотоны, подобное квантованию колебаний решетки в фононы (фотоны и фононы являются бозонами). Вероятность создания фотона с энергией 行® (® ——угловая частота электромагнитной волны) пропорциональна 1 + Жр, где 7Vp — число заполнения фотонов, которое выражается функцией распределения Бозе-Эйнштейна, введенной в п. 3.3.1. Очевидно, что эта вероятность не равна нулю даже при 7Vp = 0. В последнем случае можно рассматривать излучение как индуцированное фотонами с амплитудами нулевой точки. В случае простых гармонических осцилляторов существование такого нулевого движения хорошо известно из квантовой механики и объясняется принципом неопределенности: положение и импульс колеблющейся частицы не могут быть одновременно равны нулю. Член (1 + Np)〉 описывающий движение нулевой точки, не зависит от 7Vp и приводит к спонтанному излучению, тогда как член, пропорциональный Жр, приводит к стимулированному излучению. Интересно, что впервые соотношение между поглощением, спонтанным излучением и стимулированным излучением было получено Эйнштейном [7.2, 7.3] без привлечения квантовой механики. Его подходу мы и будем следовать.
Эйнштейн обозначил вероятности поглощения и стимулированного излучения на единицу плотности электромагнитной энергии (в частотном интервале между 〃 к 〃 + + △沙))обусловленные переходом электрона между уровнями пит, коэффициентом Впт. Вероятность спонтанного излучения вследствие перехода с уровня п на уровень m была обозначена, как Апт. Теперь эти вероятности обычно называют коэффициентами Эйнштейна А и В (задача 7.1).
(7.1а)(7.1а)(7.16)(7.16)На основании принципа детального равновесия (см. п. 5.2.3) Эйнштейн показал, что между коэффициентами Апт^ Впт и Втп для двух невырожденных уровней в среде с коэффициентом преломления пг существует следующая связь [7.2, 7.3]:
(7.1а)
(7.1а)
(7.16)
(7.16)
^пт = ^тп?
8тг/и/3п^
где Л — постоянная Планка (Л = 2тг%))〃 — частота фотона (〃 = а/(2тг)))с — скорость света в вакууме. Член STrh^nf /с3 равен произведению hu на плотность электромагнитных мод с частотами между 〃 к 〃 + △〃 внутри среды. Полную вероятность излучения Rnm с уровня п на уровень m для системы, находящейся в тепловом равновесии при температуре Т, можно записать как
Rnm = ^пт + Вппг @е(")〉Rnm = ^пт + Вппг @е(")〉亿2）；亿2）；
Rnm = ^пт + Вппг @е(")〉
Rnm = ^пт + Вппг @е(")〉
亿2）；
亿2）；
где 0е(〃))плотность фотонной энергии^ ——плотность энергии фотонов с частотами между 〃 и 〃 + △〃. Легко показать, что она равна STrh^nf /с3, умноженному на число
заполнения фотонов 7Vp. С помощью (7.1) можно переписать (7.2) в виде
(7.3)(7.3)Rnm = ^пт [1 + (石 nm/4nm) 0е (〃)] = ^nm (1 + %р)*
(7.3)
(7.3)
Уравнение (7.3) содержит два члена. Второй член, пропорциональный Жр, можно отождествить со стимулированным излучением, тогда как первый член соответствует спонтанному излучению. Выражение (7.3), полученное Эйнштейном с помощью
классической физики, полностью согласуется с результатом квантовой механики. Хотя стимулированное излучение имеет важное значение для понимания работы лазерных диодов, в этой книге мы ограничимся рассмотрением только спонтанного излучения. Однако из выражения (7.3) ясно, что вероятность стимулированного излучения можно получить, просто умножив вероятность спонтанного излучения на число заполнения фотонов 7Vp.
Предположим, что плотность фотонов 0(〃)(равная Qei^)/hu) в частотном интервале △沙 мала, и мы можем пренебречь членом, описывающим стимулированное излучение. Кроме того, вместо дискретных уровней будем рассматривать зону проводимости (с) и валентную зону (v). Вероятность излучения для перехода из зоны проводимости в валентную зону дается выражением
^cv = Лсу/с(1 /v),(7.4)
где /с и /v ——электронные функции заполнения в зоне проводимости и валентной зоне. Член 1 — /v означает вероятность того, что соответствующие состояния валентной зоны пусты. Последнее необходимо для того, чтобы переходы удовлетворяли принципу запрета Паули. Соответствующая вероятность поглощения на один фотон для обратного процесса (из валентной зоны в зону проводимости) обозначена ДЛС. Согласно принципу детального равновесия (см. п. 5.2.3) необходимо, чтобы при тепловом равновесии
Ас (沙)0(〃)= ^vc(^)-(7*5)
Это соотношение между излучением и поглощением называется соотношением Руз- брека-Шокли [7.4а]. Вероятность поглощения можно связать с коэффициентом поглощения а, определенным в (6.10), равенством
Av = ac/rir-(7*6)
Объединив (7.5) и (7.6) и использовав для 0(〃)функцию распределения Планка при температуре Т, получим соотношение между вероятностью излучения и коэффициентом поглощения:
Оно справедливо только для собственных полупроводников. В сильно легированных полупроводниках спектры излучения модифицируются вследствие дополнительных эффектов, таких как появление хвостов состояний в запрещенной зоне, сжат и е запрещенной зоны (или перенормировка) и заполнение состояний вблизи края запрещенной зоны. Некоторые из этих эффектов будут более подробно рассмотрены в п. 7.1.2. Эффект заполнения зоны приводит к голубому сдвигу края поглощения, называемому сдвигом Бурштейна-Мосса [7.5, 7.6]. Эти эффекты имеют важное значение для работы приборов, таких как лазерные диоды, и читателям, интересующимся данным аспектом, следует обратиться к [7.7]. Отметим, что выражение (7.7) описывает спектр излучения внутри образца. Измеряемый спектр будет отличаться от спектра внутри образца вследствие перепоглощения излучаемых фотонов во время их распространения из внутренней части образца к его поверхности.
В качестве альтернативы с помощью (6.10) можно установить соотношение между Rvc и мнимой частью показателя преломления 衣(〃)• На рис. 7.1 приведены кривая 衣(〃)для Ge и соответствующая кривая /?vc(^), вычисленная с помощью (7.7). На графике 衣(〃)видны две особенности в поглощении при 0,65эВ и при 0,82эВ. Их можно идентифицировать, соответственно, как непрямой и прямой край поглощения Ge (см. также рис. 6.18). В то время как прямой край поглощения значительно сильнее непрямого, интенсивности соответствующих пиков в излучении имеют сравнимую величину. Это объясняется наличием экспоненциального множителя ехр(/г〃/кв) в знаменателе (7.7)* При тепловом равновесии населенности носителей
уменьшаются экспоненциально с энергией, и поэтому наиболее сильное излучение происходит с нижних энергетических состояний. Следовательно, люминесценция является чувствительным индикатором низко расположенных энергетических уровней, таких как уровни дефектов внутри запрещенной зоны, при условии, что электроны и дырки с этих уровней могут рекомбинировать излучательно. Подобные дефекты называются центрами излучательной рекомбинации, а в обратном случае они называются нерадиационными ловушками. Хотя выражения (7.5) и (7*7) были получены для переходов между зоной проводимости и валентной зоной, их можно, в принципе, применять для переходов между любыми двумя состояниями в системе, находящейся в условиях теплового равновесия. Излучение тела, находящегося при тепловом равновесии при комнатной температуре, очень мало, поэтому большинство экспериментов проводится при неравновесных условиях. Создание таких условий
Рис. 7.1. Зависимость от энергии фотона мнимой части показателя преломления х(〃)и вероятности излучения Rc (沙) для Ge при Т = 300 К, умноженной на △ 〃 = k^T/h (по историческим причинам) [7.46]Рис. 7.1. Зависимость от энергии фотона мнимой части показателя преломления х(〃)и вероятности излучения Rc (沙) для Ge при Т = 300 К, умноженной на △ 〃 = k^T/h (по историческим причинам) [7.46]и измерение результирующего спонтанного излучения составляют сущность экспериментов при изучении люминесценции.
Рис. 7.1. Зависимость от энергии фотона мнимой части показателя преломления х(〃)и вероятности излучения Rc (沙) для Ge при Т = 300 К, умноженной на △ 〃 = k^T/h (по историческим причинам) [7.46]
Рис. 7.1. Зависимость от энергии фотона мнимой части показателя преломления х(〃)и вероятности излучения Rc (沙) для Ge при Т = 300 К, умноженной на △ 〃 = k^T/h (по историческим причинам) [7.46]
При экспериментальном исследовании люминесценции сначала создается неравновесное распределение электрон-дырочных (сокращенно e-h) пар в полупроводнике. В большинстве случаев электроны и дырки термализуются между собой и достигают квазитеплового равновесия за времена, короткие по сравнению с временем их рекомбинации (п. 5.3). Часто у этих электронов и дырок бывают различные квазиравно- весные распределения. На конечном этапе происходит излучательная рекомбинация e-h пар и возникает спонтанное излучение. Итак, процесс люминесценции состоит из
трех раздельных этапов.
Возбуждение: электрон-дырочные пары должны быть возбуждены внешним источником энергии.
Термализация: возбужденные e-h пары релаксируют к квазитермализованным равновесным распределениям.
Рекомбинация: термализованные e-h пары рекомбинируют излучательно, что приводит к испусканию излучения.
При особых обстоятельствах [7.8] может наблюдаться излучение не полностью термализованных e-h пар; оно называется горячей люминесценцией. Поскольку люминесценция создается (полностью или частично) термализованными e-h парами, между испущенными фотонами и процессом возбуждения корреляция отсутствует. В настоящей главе мы увидим, что в этом заключается важное отличие между рассеянием света и фотолюминесценцией. В то время как частота рассеянного фотона следует за частотой падающего, энергия испущенного фотона в случае термализованной люминесценции зависит только от зонной структуры и энергетических уровней образца. На этом основан способ идентификации экспериментальных пиков, возникающих при двух указанных процессах. На рис. 7.2 показаны положения всех наблюдаемых пиков в эксперименте по рассеянию света в CU2O при возбуждении фотонами вблизи «зеленой» экситонной серии [7.9]. (В CU2O имеются четыре экситонных серии, обозначаемых желтая, зеленая, голубая и синяя, в соответствии с их фотонными частотами,
15001500-ЗЕ"% J-ЗЕ"% J% У — 2 尸(17328У — 3尸(17434，У - 4尸(17473% У — 2 尸(17328У — 3尸(17434，У - 4尸(17473см^1)см^1)см^1)см^1)10001000"2Г1ЧП+Г1Ч^ Л."2Г1ЧП+Г1Ч^ Л.2万⑴十万⑵"「2万⑴十万⑵"「一/^+/^⑴+/^⑵一/^+/^⑴+/^⑵
1500
1500
-ЗЕ"% J
-ЗЕ"% J
% У — 2 尸(17328
У — 3尸(17434
，У - 4尸(17473
% У — 2 尸(17328
У — 3尸(17434
，У - 4尸(17473
см^1)
см^1)
см^1)
см^1)
1000
1000
"2Г1ЧП+Г1Ч^ Л.
"2Г1ЧП+Г1Ч^ Л.
2万⑴十万⑵"「
2万⑴十万⑵"「
一/^+/^⑴+/^⑵
一/^+/^⑴+/^⑵
…f 12 + 4”
^••— ••—••• -「三 +「工⑴
5001800050018000G —2尸G —3尸G —4尸
50018000
50018000
190001900018500
19000
19000
Рис. 7.2. Пики, наблюдаемые в спектрах излучения CU2O при возбуждении фотонами вблизи зеленой экситонной серии (G—2尸,G—3尸,G—4尸了 Построена зависимость разности 〃i — us от v\. Прямые линии ——ожидаемая зависимость пиков люминесценции желтой экситонной серии от энергии падающего фотона. Горизонтальными стрелками показана идентификация различных многофононных рамановских пиков, которые усиливаются вследствие резонанса энергий падающего и рассеянного фотонов с энергиями зеленых и желтых экситонов соответственно [7.9]
см. п. 6.3.2) Некоторые из этих пиков являются пиками фотолюминесценции, связанными с рекомбинацией «желтой» экситонной серии. Однако многие пики возникают в результате рассеяния света. Подобные рамановские пики появляются только тогда, когда падающий фотон находится в резонансе с экситонными пиками (этот процесс называется резонансным рамановским рассеянием и будет рассматриваться позднее). Эти пики характеризуются постоянными рамановскими частотами (определяемыми как разность 幺一〃$ между частотой падающего лазерного света и\ и частотой рассеянного фотона / J В результате они ложатся на горизонтальные линии на рис. 72 Напротив, частоты излучения % пиков люминесценции не зависят от частоты лазера 〃卜 Поэтому разность между их часототой и 幺 линейно возрастает с 幺)следуя сплошным линиям на рис. 72
Рассмотрим более подробно различные процессы излучательной рекомбинации, которые встречаются в полупроводниках. Предположим, если не будет сделано особых оговорок, что e-h пары возбуждаются оптически, т.е. экспериментальным методом является фотолюминесценция.
Переходы зона—зона. В совершенном полупроводнике происходит термализация и аккумуляция e-h пар вблизи экстремумов зон, откуда они стремятся рекомбинировать. Если это ——полупроводник с прямой запрещенной зоной и в нем разрешены электрические дипольные переходы, то вероятность излучательной рекомбинации е- h пар очень велика. Вследствие этого полупроводники высокого качества с прямой запрещенной зоной, такие как GaAs, оказываются источниками интенсивного излучения с энергией, равной ширине запрещенной зоны. Они являются важными материалами для изготовления лазеров и светоизлучающих диодов (СД). В полупроводниках с непрямой запрещенной зоной, таких как Si и Ge, e-h пары могут излучательно рекомбинировать только при переходах с участием фононов. Поскольку вероятность этих переходов меньше, чем для конкурентных безызлучательных переходов, подобные
материалы не являются эффективными излучателями. Исключение составляет полупроводник с непрямой запрещенной зоной GaP. В GaP (см. п. 4.3.3) интенсивность излучательного перехода может увеличиться благодаря локализации e-h пары на дефектах, таких как изовалентный азот. Предпринимается много усилий, чтобы сделать Si более эффективным источником излучения путем получения Si в форме кристаллитов с нанометровыми размерами (нанокристаллов). Высказываются соображения, что путем локализации электронов и дырок в нанокристаллах можно увеличить вероятность их излучательной рекомбинации. Одним из таких методов является использование электролиза [7.10] для получения Si в форме губкообразного материала, который называется пористым кремнием. Было показано, что пористый Si, в отличие от объемного Si, является эффективным источником фотолюминесценции и электролюминесценции в видимом диапазоне [7.11, 7.12]. Однако дискуссия о причинах возрастания эффективности излучения пористого Si все еще продолжается [7.12, 7.13].
Переходы зона-зона заключаются в рекомбинации свободных электронов и свободных дырок. Обозначим через тг время излучательной рекомбинации одного электрона и одной дырки. Если концентрации свободных электронов и дырок равны, соответственно, tie и пь, то вероятность излучения фотонов при их рекомбинации дается выражением %九h/仆 при условии, что тг одно и то же для всех возможных рекомбинирующих пар. Для термализованного распределения свободных электронов и дырок время излучательной рекомбинации зависит от их энергии, и следовательно, меняется с энергией фотонов. В общем случае необходимо заменить тг на среднее время излучательной рекомбинации (тг). Процедура усреднения зависит также от того, сохраняется ли в процессе рекомбинации волновой вектор. Ожидалось, что волновой вектор будет сохраняться при рекомбинации в совершенных кристаллах, однако было обнаружено, что это неверно при возбуждении большой концентрации e-h пар. В случае электролюминесценции, когда можно инжектировать один неосновной экстра-носитель в полупроводник, содержащий равновесные распределения электронов и дырок, обычно вводят определение излучательного времени жизни неосновных носителей『「ad как времени излучательной аннигиляции этого экстра-носителя основными носителями. Для случая инжекции экстра-электрона в образец p-типа оно выражается как
1 _几h
『rad
В собственных полупроводниках пь (равная пе) определяется концентрацией термически возбужденных дырок (обычно обозначаемой как р^ см. [7.14]). В полупроводниках с широкой запрещенной зоной pi (равная п\) очень мала, и поэтому『「асЬ как правило, имеет очень большую величину, изменяясь от часов в Si до микросекунд в полупроводниках с малой шириной запрещенной зоны, таких как InSb (табл. 7.1). Время『「ас! всегда очень велико в полупроводниках с непрямой запрещенной зоной, например, Si и Ge, поскольку вероятность непрямых электрических дипольных переходов у них меньше. В легированных полупроводниках концентрации основных носителей часто много больше, чем концентрации собственных носителей. Вследствие этого излучательное время жизни неосновных носителей зависит от концентрации носителей, возникающих в результате легирования. В табл. 7.1 приведены времена жизни для нескольких полупроводников при легировании основными носителями с концентрацией, равной Ю1^ см™3.
Существует предел уменьшения rraci путем увеличения концентрации основных носителей. Мы не можем сделать эту концентрацию больше, чем населенность всей зоны. Для GaAs минимальное rraci составляет около 0,31 нс [см. 7.15]. Отметим, что для времени жизни стимулированного излучения такого предела не существует, поскольку его вероятность зависит также от плотности фотонов. Нет ничего необычного во временах жизни стимулированного излучения менее 0,1 пс.
Таблица 7.1
Излучательное время жизни неосновных носителей в нескольких полупроводниках с тетраэдрической связью при комнатной температуре [7.15]
丁г ad
Полупроводник
Собственный
1017 см^3 основных носителей
Si
4,6 ч
2,5 мс
Ge
0,61c
0,15 мс
GaP
3,0 мс
GaAs
2,8 мкс
0,04 мкс
InAs
15 мкс
0,24 мкс
InSb
0,62 мкс
0,12 мкс
В экспериментах по фотолюминесценции (ФЛ) всегда возбуждается одинаковое число электронов и дырок. Поскольку концентрации собственных носителей ?% и 仍 обычно очень малы, сравнительно легко путем оптического возбуждения создать в собственном полупроводнике достаточно носителей пе = пь》？仆=仍 для того, чтобы nt и 仍 стали пренебрежимо малы. Если сохранение волнового вектора не является необходимым условием (что может быть связано с присутствием дефектов), то вероятность излучательной рекомбинации (l/『rad) для каждого оптически возбужденного носителя равна п/〈丁)где п = ne = ??h. Даже при сохранении волнового вектора время излучательной рекомбинации все еще будет зависеть от интенсивности возбуждающего света. Кроме процессов излучательного затухания, фотовозбужденные e-h пары могут рекомбинировать безызлучательно. Полная вероятность затухания (l/rtot) фотовозбужденной популяции e-h пар имеет вид
|/iliiiiiiii||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| 三
где l/Tnonrad — вероятность безызлучательной рекомбинации. В без ызл учател ьн ых процессах диссипация энергии e-h пар происходит в виде тепла посредством возбуждения фононов. Если Ttot много больше времени электрон-фононного взаимодействия, то достижение квазитермического равновесия для электронов и дырок может происходить отдельно от фононов.
Для вычисления формы спектра фотолюминесценции при переходах зона-зона предположим, что полупроводник имеет прямую запрещенную зону 然 и его комбинированная плотность состояний [см. (6.57)]
2 а (Е —")1/2. (7.10)
Пусть /е и Д являются, соответственно, квазиравновесными функциями распределения для электронов и дырок. При малой плотности фотовозбуждения /е и Д можно аппроксимировать распределением Больцмана:
(7.11)(7.11)/е ИЛИ /ь ос ехр [-К/(/сВТ)].
(7.11)
(7.11)
Подставив (7.10) и (7.11) в (7.4))получим спектральную зависимость ФЛ:
ОС /Kg)1/2 ехр克& > Eg) (7 12)
[О в противном случае,"
где 方g — энергия испущенного фотона (обратите внимание на связь между (7.12) и (7.7)). На рис. 7.3 приведен экспериментальный спектр ФЛ GaAs при комнатной
температуре и давлении 29,4 кбар [7.16]. Теоретическая кривая соответствует выражению (7.12) для Т = 373 К, что выше комнатной температуры, вследствие учета нагревания маленького образца лазерным л у чем. В образ™ цах, находящихся под действием интенсивного возбуж™ дения, электрон-электронные и дырка-дырочные вза™ имодействия могут стать сильнее взаимодействий но сителей с фононами. В таких случаях ситуация, когда электроны и дырки достигают значительно более вьь со кой температуры, чем температура решетки, оказьь вается вполне обычной. Фотолюминесценция является одним из немногих методов, с помощью которых можно непосредственно измерять температуру носителей.
Переходы зона—примесь. Переходы зона- зона обычно доминируют при высоких температурах, когда все мелкие примеси ионизованы. При достаточно низких температурах носители выморожены на примесях. В качестве примера рассмотрим эксперимент по ФЛ в образце p-типа, содержащем в единице объема Na акцепторов. При низкой интенсивности фотовозбуждения плотность 71 е свободных электронов, созданных в зоне проводимости, много меньше, чем Жд. Эти свободные электроны могут рекомбинировать излуча™ тельно (а иногда и безызлучательно) с дырками, захваченными на акцепторах. Такие переходы между сво бодным носителем (в нашем случае — электроном) и зарядом (дыркой), связанным на примеси, называют™
Рис. 7.3. Спектр фотолюминесценции GaAs, обусловленный переходом зона—зона, измеренный при комнатной температуре и давлении 29,4 кбар (пунктир). Теоретическая кривая (сплошная линия) — расчет с помощью (7.12), которое приблизительно пропорционально ехр[—(Жи — Es) / (А：вТ)] с Г = 373 К [7.16]Рис. 7.3. Спектр фотолюминесценции GaAs, обусловленный переходом зона—зона, измеренный при комнатной температуре и давлении 29,4 кбар (пунктир). Теоретическая кривая (сплошная линия) — расчет с помощью (7.12), которое приблизительно пропорционально ехр[—(Жи — Es) / (А：вТ)] с Г = 373 К [7.16]ся переходами зона-примесь. В приведенном примере
Рис. 7.3. Спектр фотолюминесценции GaAs, обусловленный переходом зона—зона, измеренный при комнатной температуре и давлении 29,4 кбар (пунктир). Теоретическая кривая (сплошная линия) — расчет с помощью (7.12), которое приблизительно пропорционально ехр[—(Жи — Es) / (А：вТ)] с Г = 373 К [7.16]
Рис. 7.3. Спектр фотолюминесценции GaAs, обусловленный переходом зона—зона, измеренный при комнатной температуре и давлении 29,4 кбар (пунктир). Теоретическая кривая (сплошная линия) — расчет с помощью (7.12), которое приблизительно пропорционально ехр[—(Жи — Es) / (А：вТ)] с Г = 373 К [7.16]
энергия испущенного фотона равна " — Кд, где Кд — энергия связи мелкого акцептора. Таким образом, кз- лучение, обусловленное переходами зона-примесь, да™ ет простой способ измерения энергии связи примесей. На рис. 7.4 показаны спектры электролюминесценции p-GaAs при 4)2 К для различных концентраций примесей. Спектры для образцов с концентрациями Жд, равными 3,7 ■ Ю1^ см~3 и 1,9 ■ 1018 см^3, можно приписать переходам зона-примесь. При возрастании концентрации акцепторов в этих спектрах возникают некоторые интересные изменения. Сначала они уширяются вследствие изменений в плотности состояний акцепторных уровней. Когда расстояния между акцепторами уменьшаются, их волновые функции начинают перекрываться. Это при™ водит к уширению акцепторных уровней в примесную зону (подобно уширению в зоны атомных уровней в твердых телах, обсуждавшемуся в § 2.7). Когда примесная зона становится настолько широкой, что начинает перекрываться с валентной зоной, дырки перестают быть локализованными на акцепторах и становятся свободными носителями. Этот переход носителей из локализованного состояния в делокализованное называется переходом Мотта (см. [7.14]). (В сущности, переход Мотта часто происходит до того, как произошло перекрытие: примесные уровни уширяются, образуя наполовину заполненную зону, вследствие вырождения по спину. Когда уширение становится больше, чем дополнительная энергия, необходимая для помещения двух электронов на один и тот же примесный уровень данного атома, вместо того, чтобы поместить их на разные атомы, материал становится проводящим). Помимо уширения плотности состояний акцепторов, функция распределения носителей при увеличении их концентрации становится вырожденной. На рис. 7.4 это проявляется в
Рис. 7.4" Зависимость электролюминесценции GaAs р-ткпа (легированного Zn) от концентрации примеси. Концентрация приведена в см™3; Т = 4,2 К [7.15]
отступлении от экспоненциальной зависимости ехр [—方,з/(кв7)] в спектрах с большими концентрациями. Спектр, соответствующий наибольшей концентрации, явно больше похож на распределение Ферми-Дирака, чем на распределение Больцмана. Наконец, при увеличении концентрации происходит сдвиг пиков в спектре излучения в красную сторону. Этот сдвиг связан с многоэлектронными эффектами и называется перенормировкой запрещенной зоны [7.17, 7.18]. Подробное обсуждение данного эффекта выходит за рамки настоящей книги.
Условие сохранения волнового вектора при переходах зона-примесь ослаблено вследствие того, что дефекты нарушают трансляционную симметрию кристалла. Поэтому электрон в зоне проводимости может рекомбинировать с дыркой на акцепторе независимо от своего волнового вектора. Вероятности излучательной рекомбинации для переходов зона-примесь в полупроводниках типа цинковой обманки с прямой запрещенной зоной были вычислены Думке [7.19] и сравнивались с вероятностями переходов зона-зона. Результат Думке для (те—А，-】, т.е. для вероятности перехода зона проводимости-акцептор, имеет вид
]—方2g I Av |2 Na ) Te—A C3nl2(7nh 石 a)3/2 ) *
где шь — средняя масса дырок, P~ — усредненный матричный элемент импульса электрона между зоной проводимости и валентными зонами, 7VA — концентрация акцепторов. Для GaAs (7.13) дает
= 0,43 " 1(Г97VA см3/с. (7.14)
Те—А
Согласно уравнению (7.14), электроны в образце GaAs, содержащем 1018 см-3 мелких акцепторов, при рекомбинации с дырками, связанными на акцепторах, будут иметь излучательное время жизни около 2 нс. Это время сравнимо с излучательным временем жизни при переходе зона—зона. Таким образом, мы ожидаем, что при низких температурах (когда квТ《石а) в спектре ФЛ р-GaAs будет доминировать электрон- акцепторная рекомбинация. При более высоких температурах, по мере того, как все больше дырок возбуждается в валентную зону, будут наблюдаться и пик излучения зона—акцептор, и пик зона—зона. Наконец, при достаточно высоких температурах в спектре будет доминировать излучение зона-зона. Интенсивность ФЛ зона-акцептор (/е_д) должна изменяться с температурой как 1— ехр [—石а/(кв7)]* Поэтому энергию
ионизации акцептора можно найти из наклона зависимости In [1 — (/е^д//о)] относи™ тельно 1/(кв7))где /о — интенсивность излучения при Т = О К. Такие зависимости называются зависимостями Аррениуса.
Переходы донорно акцепторных пар. Довольно часто полупроводник может содержать как доноры, так и акцепторы. Такие полупроводники называются компенсированными, поскольку при равновесных условиях некоторые электроны с доноров захватываются акцепторами (или компенсируются ими). В результате, компенсированный образец содержит как ионизованные доноры (D+), так и ионизованные акцепторы (A-) D. При оптическом возбуждении электроны и дырки могут создаваться в зоне проводимости и валентной зоне, соответственно. Эти носители могут потом захватываться ионизованными донорами D+ и акцепторами А- и превращать их в нейтральные центры 0° и А0. Возвращаясь к равновесию, некоторые электроны на нейтральных донорах будут рекомбинировать излучательно с дырками на нейтральных акцепторах. Этот процесс называется переходами донорно-акцепторных пар (или переходами ДАП). Его можно представить в виде реакции
D。+ А。т %з + D+ + А」•(7.15)
На первый взгляд кажется, что энергия фотона, излучаемого при переходе ДАП, равна
/1з = Eg — Еа —(7.16)
где Eg — ширина запрещенной зоны, a Ed и Еа — энергии связи донора и акцептора. Однако в выражении (7.16) пренебрегается кулоновским взаимодействием между ионизованными донорами и акцепторами. Предположим, что расстояние между D+ и А- равно R. Тогда кулоновская энергия равна —е?/(4тг^о £冗)(в предположении, что R много больше постоянной решетки), где ^о — статическая диэлектрическая постоянная. Энергия фотона, испущенного при переходе ДАП будет иметь вид ■方3+ £2/(4Ь£()er).(7.17)
Энергия испущенного фотона увеличена на е2/(4тг€о £冗),поскольку энергия конечного состояния в (7.15) уменьшена вследствие кулоновского притяжения. Отметим, что при экситонном поглощении внешний фотон создает пару положительного и отрицательного заряда. Кулоновское притяжение между этими зарядами уменьшает энергию фотона, необходимую для их возбуждения. В случае ДАП энергия начального состояния разделяется в конечном состоянии между излученным фотоном и парой положительного и отрицательного зарядов. Любое уменьшение энергии пары зарядов вследствие кулоновского притяжения проявляется в энергии испущенного фотона. В обоих случаях кулоновское взаимодействие проявляется только в конечном состоянии, и поэтому оно называется взаимодействием конечного состояния. В принципе, должно также существовать взаимодействие начального состояния между нейтральными донорами и акцепторами. Оно подобно взаимодействию ван дер В а ал ь с а между двумя нейтральными атомами [7.20, 7.21]. В отличие от атомов, расстояния между донорами и акцепторами не меняются непрерывно, а определяются параметрами кристалла (что будет ниже обсуждаться более подробно). Для удаленных пар ван дер ваальсовское взаимодействие пренебрежимо мало. Для близких пар оно также довольно мало, и в первом приближении мы будем им пренебрегать.
Форма спектральных линий.
Существует важное различие между кулоновским взаимодействием в экситонах и в ДА-парах. В то время как расстояния между электроном и дыркой в экситоне
1)Подразумевается, что доноров больше, чем акцепторов.
определяются квантовой механикой (вытекая из решения уравнения Шрёдингера), расстояния R между ионизованными примесями определяются структурой кристалла и постоянной решетки. Поскольку величины R дискретны, ДАП приводят к возникновению серии узких пиков, сходящихся к энергии фотона Eg — Е^ — Ed (что соответствует R = ос). Лучшим и наиболее тщательно исследованным примером ДАП являются спектры GaP. Так как это соединение — бинарное, существуют два различных способа распределения замещающих доноров и акцепторов в его подрешетках.
В спектрах ДАП типа I доноры и акцепторы локализованы в одной и той же подрешетке. Например, пары Sp-Sip, Sep-Sip, Siga—ZriGa приводят к возникновению таких спектров.
В спектрах ДАП типа II доноры и акцепторы находятся в различных подрешетках, как, например, Sp—ZiiGa или Op^CdGa-
34 29 2521 18 16 14
2,232,242,252,262,272,282,292,30 加,зВ 2,32
Рис. 7.5. Расчетное распределение пар для спектров ДАП в GaP типа I (а) и типа II (6). Горизонтальная шкала приведена в единицах т, соответствующих номеру оболочки для соседних пар. Нижняя шкала энергий была получена путем пересчета номера оболочки в энергию испущенного фотона с помощью выражения (7.17), в котором использовалось соответствующее значение 然—Е\ — Ed для пар S-Si (тип I) и пар S-Zn (тип II) [7.22]
Поскольку постоянная решетки GaP известна, можно вычислить относительное число донорно-акцепторных пар для заданного расстояния R между ними, предполагая, что распределение доноров и акцепторов является случайным. На рис. 7.5 показаны расчетные распределения для спектров типов I и II в GaP. На горизонтальной шкале указаны целые числа ш, соответствующие номерам оболочек для соседних пар. Их можно преобразовать в энергию испущенного фотона, прибавив к 般/住冗后。еRm) соответствующую энергию Eg — Е^ — Ed” На рис. 7.6 приведены спектры ДАП типа I в GaP, обусловленные парами Sp—Sip и Тер—Sip и измеренные при 1,6 К Томасом и др. [7.22]. Числа, приведенные над резкими пиками в спектре S-Si, соответствуют номерам оболочек, определенным с помощью рис. 7.5 а. На рис. 7.7 приведен спектр типа II в GaP, обусловленный парами Sp-MgGa и измеренный при 1,6 К Дином и др. [7.23]. Из этих рисунков видно, какая богатая информация содержится в спектрах ДАП. В частности, можно с хорошей точностью путем подгонки большого числа наблюдаемых в спектре пиков к выражению (7.17) определить величину Еа + Ed (приняв для непрямой запрещенной зоны GaP известное низкотемпературное значение, равное 2,339 ±0,001 эВ, и € = 10, 75). На рис. 7.8 показана подгонка спектров ДАП в GaP типа I (Sp—Ср) и типа II (Sp—MgGa)・ Кривые, обозначенные С, непосредственно подгонялись к (7.17). Кривые С + vdW подгонялись к (7.17) с учетом поправок ван дер Ваальса к энергиям начальных состояний. Из приведенных теоретических кривых следует, что поправки ван дер Ваальса существенны только для пар с расстоянием R меньше 20 А, а также, что эти поправки переоценивают величину взаимодействия между нейтральными донором и акцептором. С помощью подгонок можно очень точно определить, что разница в энергиях связи двух акцепторов С и Mg составляет
Фотолюминесценция
55 43
5幫3"”7 23
2,20 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2,26 2,27
加，зВ 2,30
Рис. 7.6. Рекомбинационные спектры ДАП в GaP, содержащим пары S-Si и Te-Si (тип I).Измерения при 1,6 К. Целые числа над дискретными пиками являются номерами оболочекдля пар, идентифицированных путем сравнения с теоретическими зависимостями, типа при-веденной на рис. 7.5 [7.22]
qluoHIOIm KomhHHIIO
(5%
(59) КХ
(W)
24
⑼
4
24
12
3）（"）
I 24
(И) 12「3)
(И) 24°
/06)(32)01)?°(29)(26)(25)
(61)—」
(60)「
(56)「
(55)；—,_
(54)-(51)(48)二/7(39),
(44)142) (37У ；(36)'4i2' 48" 12
s
2,222,232,242,252,262,272,282,292,30 加,зВ 2,32
Рис. 7.7. Спектры ДАП GaP типа П, обусловленные парами Sp^MgGa- Измерения при 1,6 К,(Еа + Ed) = 157 МэВ [7.23]
(EA)Mg — (Еа)с = 5)6 士 0,3 МэВ. Приняв в качестве энергии связи мелкого донора Sp известное значение 104,2 士 0,3 МэВ, можно найти энергии связи акцепторов Mg и С в GaP, равные, соответственно, 51,5 士 1 МэВ и 48 ± 1 МэВ.
2. Эволюция во времени.
В интенсивностях переходов ДАП и их зависимости от времени также обнаруживаются интересные особенности [7.24]. Поскольку электрон и дырка пространственно разделены, вероятность излучательной рекомбинации (tda)^1 определяется перекрытием их волновых функций. Это перекрытие экспоненциально зависит от расстояния между ними как ехр [—2(R/od, а)]〉где «о, а является наибольшим из значений боровских радиусов донора и акцептора. Из обсуждения свойств доноров и акцепторов в пунктах 4.2.2 и 4.2.4 известно, что обычно в полупроводниках с тетраэдрической
(1/tda) 1 exp [-2(R/aD)L(1/tda) 1 exp [-2(R/aD)L(7.18)(7.18)
(1/tda) 1 exp [-2(R/aD)L
(1/tda) 1 exp [-2(R/aD)L
(7.18)
(7.18)
Рис. 7.8. Подгонка экспериментальных энергий пиков в спектрах ДАП в GaP типа I (Sp— Сс) и типа II (Sp—MgGa) с помощью выражения (7.17). Кривые С аппроксимированы с помощью (7.17), а С + vdW — с помощью (7.17) с учетом коррекции ван дер Ваальса для энергии начального состояния; G означает щели в спектрах типа I, числа ——номера оболочек [7.23]
связью больший боровский радиус имеет донор. Поэтому предположим, что «d, а ^ «d и
Вычисление распределения интенсивностей в спектрах ДАП довольно сложно, поскольку для этого нужно знать распределения возбужденных доноров и акцепторов. Они зависят от соответствующих концентраций, а также от того, распределены ли примеси случайным образом или существует какое-то преимущественное образование пар. Они также зависят от уровня возбуждения. При низкой интенсивности возбуждения возбуждается лишь часть доноров и акцепторов, и поэтому будет происходить рекомбинация только между отдаленными парами. Однако при достаточно большой интенсивности возбуждения возбуждаются все доноры и акцепторы (это называется насыщением), и близкие пары также вносят вклад в спектр рекомбинации. Следовательно, одной из характеристик рекомбинации ДАП является то, что спектр излучения сдвигается к более высоким энергиям при увеличении интенсивности возбуждающего света. Эта тенденция противоположна эффекту нагревания при высокой интенсивности возбуждающего света, поскольку у большинства тетраэдрических полупроводников ширина запрещенной зоны уменьшается при увеличении температуры ([6.147, 7.17], см. также рис. 6.44).
Другой интересной характеристикой рекомбинации ДАП является ее зависимость от времени после возбуждения коротким импульсом. Если предположить, что возбуждены все доноры и акцепторы, то вероятность рекомбинации будет больше для более близких пар с меньшим R вследствие (7.18). Эти рекомбинационные пики будут также иметь большие энергии фотонов вследствие (7.17). Таким образом, вначале спектр ДАП имеет пик при большой энергии фотонов. По мере того, как в результате рекомбинации происходит уменьшение числа нейтральных доноров и акцепторов, среднее расстояние между ними возрастает и пик в спектре рекомбинации сдвигается к более низким энергиям. Поэтому затухание спектров ДАП во времени не является экспоненциальным, а пик испускания с течением времени сдвигается в красную область. Пример временной зависимости спектра ДАП для GaP показан на рис. 7*9*
Рис. 7.9. Сравнение между спектрами ДАП, измеренными с временным разрешением в GaP:S,C при 20 К (сплошные кривые) и теорией (пунктир)
Теоретические кривые на рис. 7.9 были расчитаны Томасом и др. [7.24] в рамках следующей модели. Было предположено, что концентрация акцепторов больше концентрации доноров (ТУд > Nd) и примеси распределены случайным образом. Рассматривалось только излучение отдаленных пар. Поскольку энергетические расстояния между пиками очень малы, считалось, что акцепторы располагаются в сферических оболочках вокруг донора. Предполагалось, что в момент 力=0 все акцепторы возбуждены, так что число нейтральных акцепторов 7Vs (0) равно 7VA. По прошествии времени 力 Ng(力)уменьшается вследствие рекомбинации с нейтральными донорами. Доля акцепторов в оболочке с радиусом R пропорциональна Я2. Пусть〈Q⑴〉— средняя вероятность того, что в момент t электрон находится на доноре. Поскольку доля доноров в оболочке с радиусом R тоже пропорциональна Я2, полное число до нор но—акцепторных пар с расстояниями R друг от друга в момент t пропорциональна 7Vx⑴〈Q⑴〉А’. Если определить Е' как энергию излучения, измеренную по отношению к 纤一Еа — ^d, то Ef будет пропорциональна 1/Я, так как
廿二方3 — (Eg _ Еа _ Ed) = е2/(4тг^о ^Я). (7.19)
Число до нор но—акцепторных пар, дающих вклад в интенсивность излучения /da W〉 力)в момент времени 力 будет поэтому пропорционально N；(力)〈Q ⑴〉(l/E')’. Вероятность излучательной рекомбинации ДАП дается выражением (7.18), следовательно, /da 力)пропорциональна
/da(廿)％)a7VX«)〈Q«)〉(l/&)4exp[—2e2/(47T£o£E%D,A)]" (7.20)
Предполагая, что уменьшение популяции нейтральных акцепторов обусловлено исключительно рекомбинацией с нейтральными донорами, мы можем написать (используя (7.18))
7Vx(力)=^VAexp(-t/TDA)=
=Na exp {一(力/丁曲)exp [一川/住"^ eE%d, a)] }) (7.21)
где 1 /TqA — вероятность рекомбинации для ДАП с Я = 0. Из (7.20) и (7.21) получим следующее довольно сложное выражение для /da 力)：
/da(皮⑴ " NaQ(切(*)exp 卜4"e0：/小一
Jexp. (7.22)
用А \ 47Г^о^^ «D,A/J
Как видно из рис. 7.9)экспериментальные спектры довольно хорошо согласуются с (7.22).
Экситоны и связанные экситоны. В экспериментах по люминесценции при низких температурах, проводимых с весьма чистыми полупроводниками высокого качества, мы предполагаем, что фотовозбужденные электроны и дырки будут притягиваться друг к другу вследствие кулоновского взаимодействия, образуя экситоны. Поэтому в спектре излучения излучательная аннигиляция экситонов должна доминировать и приводить к возникновению так называемого пика свободного экситона. Если образец содержит небольшое число доноров или акцепторов в нейтральном состоянии (обычное состояние при низких температурах), то экситоны будут притягиваться к этим примесям силами взаимодействия ван дер Ваальса. Поскольку притяжение приводит к уменьшению энергии экситона, нейтральные примеси очень эффективно захватывают экситоны при низких температурах и возникают состояния связанных экситонов. На рис. 7.10 приведены низкотемпературные спектры ФЛ в GaAs, измеренные Селлом и др. [7.25]. Пик, обозначенный как (D°, X), обусловлен рекомбинацией экситона, связанного на нейтральном доноре, а пики, приведенные на вставке, относят к свободным экситонам. Рассмотрим эти два типа пиков излучения более подробно.
Излучение свободных экситонов.
Излучательную рекомбинацию экситонов следовало бы, в принципе, рассматривать на языке экситонных поляритонов (см. п. 6.3.2). Для краткости будем называть их просто поляритонами. Чтобы понять важность поляритонного подхода, пренебрежем этим эффектом и рассмотрим, насколько хорошо теоретические результаты согласуются с экспериментальными. В таком приближении процесс излучения представляет собой просто излучательный распад экситонов на фотоны. Поскольку в этом процессе должен сохраняться волновой вектор, только экситоны с волновым вектором к, равным волновому вектору фотона (т.е. к ^ 0), могут превращаться в фотоны. В сущности, при пренебрежении затуханием спектр излучения должен быть дельтафункцией при энергии, соответствующей основному состоянию экситона. Если учесть затухание, обусловленное временем жизни экситона, то спектр излучения должен иметь лоренцеву форму. Последнее заключение противоречит экспериментальным результатам для большинства образцов высокого качества при низких температурах. Очень часто наблюдаемые спектры излучения свободных экситонов имеют асимметричную форму линии, весьма отличную от лоренцевой. В качестве иллюстрации на рис. 7.11 приведены спектры излучения экситонов для четырех типичных полупроводников с шириной запрещенной зоны, изменяющейся от примерно 1,5 эВ (GaAs) до
Рис. 7.10. Фотолюминесценция GaAs при 2 К [7.25]. Участок спектра в прямоугольнике X приведен на вставке в увеличенном масштабе. Он связан со свободными экситонами. Спектр на вставке, обозначенный («), и спектры с обозначениями (б) и (в) относятся к двум разным образцам. Интенсивность возбуждения для спектра (в) в десять раз больше, чем для спектра (6). Пик (D°, X) относится к рекомбинации экситонов, связанных на нейтральных донорах
более 3эВ (CuCl). Ни в одном из этих случаев спектр не похож на лоренцеву кривую. Вместо этого на всех спектрах наблюдается асимметричный пик с плечом при более высокой энергии.
Тойозава [7.27] впервые отметил, что спектры люминесценции при низких температурах следует интерпретировать на языке поляритонов. При таком рассмотрении ФЛ заключается в превращении внутри образца внешних фотонов в экситонные поляритоны. Последние релаксируют к нижним энергетическим состояниям путем рассеяния своей экситонной компоненты на фононах. Их фотонная компонента взаимодействует с фононами очень слабо. Процесс релаксации приводит к разупорядоче- нию распределения поляритонов. Некоторые из них рассеиваются обратно и выходят из образца в виде фотонов люминесценции. Поскольку на кривой дисперсии поляритонов, приведенной на рис. 6.22, нет минимума энергии, где процессы релаксации могли бы нормальным образом закончиться, нет основания считать a priori, что поляритоны в результате процессов рассеяния достигнут теплового равновесия. Поэтому можно было бы предполагать, что в спектре излучения поляритонов вообще не окажется каких-либо пиков! Даже если пик существует, его ширина должна быть гораздо больше, чем следует из температуры образца. Тойозава отметил, что поляритоны могут накапливаться в районе «бутылочного горла» вблизи поперечной энергии экситона (Ер =力3丁 на рис. 6.22, см. также задачу 6.9), где они имеют наибольшее время жизни. Поляритоны нижней ветви выше этого «бутылочного горла» обладают большой экситонной компонентой [7.28] и поэтому имеют короткие времена жизни в результате сильного рассеяния на фононах. Вероятности рассеяния на фононах уменьшаются, когда поляритоны становятся более фотоноподобными. С другой стороны, когда их энергия становится меньше Е「поляритоны снова имеют малые времена жизни, поскольку возрастают их групповые скорости (определяемые
21 М. Кардона
Рис. 7.11. Сравнение между экспериментальными (сплошные линии) и расчетными (пунктир) спектрами излучения поляритонов в четырех полупроводниках: a) CdS; б) CdSe; в) CuCl; a) GaAs. Расчет проводился с помощью поляритонной модели с двумя ветвями и ДГУ Пекара [7*26]. Штрих-пунктирными кривыми показан фон от связанного экситонаРис. 7.11. Сравнение между экспериментальными (сплошные линии) и расчетными (пунктир) спектрами излучения поляритонов в четырех полупроводниках: a) CdS; б) CdSe; в) CuCl; a) GaAs. Расчет проводился с помощью поляритонной модели с двумя ветвями и ДГУ Пекара [7*26]. Штрих-пунктирными кривыми показан фон от связанного экситона
Рис. 7.11. Сравнение между экспериментальными (сплошные линии) и расчетными (пунктир) спектрами излучения поляритонов в четырех полупроводниках: a) CdS; б) CdSe; в) CuCl; a) GaAs. Расчет проводился с помощью поляритонной модели с двумя ветвями и ДГУ Пекара [7*26]. Штрих-пунктирными кривыми показан фон от связанного экситона
Рис. 7.11. Сравнение между экспериментальными (сплошные линии) и расчетными (пунктир) спектрами излучения поляритонов в четырех полупроводниках: a) CdS; б) CdSe; в) CuCl; a) GaAs. Расчет проводился с помощью поляритонной модели с двумя ветвями и ДГУ Пекара [7*26]. Штрих-пунктирными кривыми показан фон от связанного экситона
как "з/dk, т.е. наклоном дисперсионных кривых поляритонов, см. рис. 6.22), и могут легко покинуть образец в качестве фотонов. Таким образом, функция распределения поляритонов может иметь пик вблизи «бутылочного горла». Спектр излучения является произведением этой функции и коэффициента пропускания поляритона у поверхности образца. К сожалению, коэффициент пропускания поляритона нельзя вычислить только с помощью граничных условий Максвелла [7.29]. Поскольку речь идет об экситонах, необходимо ввести дополнительные граничные условия (ДГУ) для описания поведения экситонов вблизи поверхности образца. Существует множество теоретических разработок проблемы ДГУ (например, [7.30—7.33]), однако подробное описание этих теорий выходит за рамки настоящей книги. Вопрос о том, какие ДГУ выбрать для данного конкретного образца, до сих пор не решен, поскольку это, по™ видимому, зависит от особенностей поверхности образца и ее качества [7.34].
Спектры люминесценции поляритонов расчитывались Аскари и Ю [7.26] с использованием двух различных типов ДГУ. На рис. 7.12 а для CdS приведено вычисленное распределение поляритонов нижней ветви (обозначенной НВ) для двух ДГУ. Сильный пик появляется у «бутылочного горла» вблизи поперечной энергии экситона, как было предсказано Тойозавой. Соответствующие теоретические спектры люминесценции, с учетом верхней ветви (ВВ) и коэффициентов пропускания, приведены на рис. 7.12 б. Пик ФЛ можно объяснить большой населенностью поляритонов вблизи «бутылочного горла», и он мало чувствителен к виду ДГУ. «Плечо» при более
высоких энергиях, которое видно на экспериментальных спектрах на рис. 7.11, можно теперь объяснить изменением коэффициентов пропускания вблизи продольной энергии экситона (矶=力3l на рис. 6.22, см. также задачу 6.9), и оно очень чувствительно к выбранным ДГУ. Теоретические спектры ФЛ, вычисленные Аскари и Ю с использованием ДГУ, предложенных Пекаром [7.30], сравниваются с экспериментальными спектрами на рис. 7.11. Отметим, что для достижения количественного согласия с экспериментом к некоторым теоретическим спектрам добавлялся фон, обусловленный излучением, связанным с дефектами и, возможно, с излучением фононов. Согласие между теорией и экспериментом на рис. 7.11 весьма хорошее для всех полупроводников, кроме GaAs. Вместо пика при 石丁 на экспериментальном спектре для GaAs виден минимум. Более поздние эксперименты [7.35] показали, что этот минимум у GaAs связан с рассеянием на донорных примесях. Поскольку групповая скорость поляритонов имеет минимум вблизи Ег, вероятность их рассеяния на примесях при этой энергии максимальна. В более чистых эпитаксиальных слоях GaAs такого минимума в спектре ФЛ не наблюдается. Последние результаты по поляритонам в GaAs и ДГУ см. в [7.34].
Излучение связанных экситонов.
Мы уже видели на рис. 7.10, что в спектре излучения GaAs при 2 К доминирует силь-
Рис. 7.12. Теоретическая населенность поляритонов нижней поляритонной ветви (а) и спектры люминесценции поляритонов, расчитанные с двумя различными ДГУ (6). Штриховая кривая соответствует ДГУ Пекара [7.30]. На вставке схематически изображены две поляритонные ветви, использованные в расчетах. Материальные параметры соответствуют А-экситону в CdS [7.26]Рис. 7.12. Теоретическая населенность поляритонов нижней поляритонной ветви (а) и спектры люминесценции поляритонов, расчитанные с двумя различными ДГУ (6). Штриховая кривая соответствует ДГУ Пекара [7.30]. На вставке схематически изображены две поляритонные ветви, использованные в расчетах. Материальные параметры соответствуют А-экситону в CdS [7.26]ный пик при энергии слегка ниже, чем энергия свободного экситона. Этот узкий пик был идентифицирован как рекомбинация экситона, связанного на нейтральном донорном атоме и обычно обозначаемого (D°X). Кроме нейтрального донора, экситон может быть также связан с нейтральным акцептором, образуя комплекс (А°Х). На рис. 7.13
Рис. 7.12. Теоретическая населенность поляритонов нижней поляритонной ветви (а) и спектры люминесценции поляритонов, расчитанные с двумя различными ДГУ (6). Штриховая кривая соответствует ДГУ Пекара [7.30]. На вставке схематически изображены две поляритонные ветви, использованные в расчетах. Материальные параметры соответствуют А-экситону в CdS [7.26]
Рис. 7.12. Теоретическая населенность поляритонов нижней поляритонной ветви (а) и спектры люминесценции поляритонов, расчитанные с двумя различными ДГУ (6). Штриховая кривая соответствует ДГУ Пекара [7.30]. На вставке схематически изображены две поляритонные ветви, использованные в расчетах. Материальные параметры соответствуют А-экситону в CdS [7.26]
приведен спектр излучения связанного экситона при низкой температуре в кристалле CdS типа вюрцита [7.36]. Очень резкие пики (обозначенные 厶 и 厶)обусловлены рекомбинацией (А°Х) и (D°X) соответственно. Природа связанных экситонов была установлена по их расщеплению в магнитном поле (из которого могут быть определены g-факторы подвижных частиц). Множество фононных повторений этих связанных экситонов, наблюдаемых в спектре излучения, свидетельствует об усилении взаимодействия между связанными зарядами и фононами. Связанные экситоны можно рассматривать как аналог молекулы водорода Н2, но с другими энергиями связи. У связанных экситонов энергии связи меньше, поскольку масса дырки много меньше массы протона. Известно, что энергия связи молекулы водорода равна 4,75 эВ [7.37]. Поэтому отношение энергии связи в Н2 K энергии связи электрона в атоме водорода составляет 4,75 эВ/13,6 эВ = 0,35. Отношение энергии связи связанного экситона к энергии связи свободного экситона зависит от отношения『эффективной массы дырки ш^ к эффективной массе электрона ш*. Оценка этой зависимости была получена Хопфильдом [7.38]; его результаты приведены на рис. 7.14. Обычно при уменьшении『
энергии связи связанных экситонов также уменьшаются.
Рис. 7.13. Спектр излучения кристалла CdS высокого качества при 1,6 К. Видны бесфо™ ионные рекомбинационные пики связанных экситонов /1 и /2 и их фононные повторения. На рисунке приведены найденные из этого спектра энергии поперечных оптических (ТО) и продольных оптических (LO) фононов, а также поперечных акустических фононов (ТА), относящихся к границе зоны [7.36]Рис. 7.13. Спектр излучения кристалла CdS высокого качества при 1,6 К. Видны бесфо™ ионные рекомбинационные пики связанных экситонов /1 и /2 и их фононные повторения. На рисунке приведены найденные из этого спектра энергии поперечных оптических (ТО) и продольных оптических (LO) фононов, а также поперечных акустических фононов (ТА), относящихся к границе зоны [7.36]Предел ——11редел_зЭкситон Предел ——11редел_зЭкситон Экситонв нейтральном донореЭкситонв нейтральном донореООООУ Второй электрон на донореПредел^"Дырка на нейтральномдоно^еУ Второй электрон на донореПредел^"Дырка на нейтральномдоно^е2266濾/?и；10濾/?и；10
Рис. 7.13. Спектр излучения кристалла CdS высокого качества при 1,6 К. Видны бесфо™ ионные рекомбинационные пики связанных экситонов /1 и /2 и их фононные повторения. На рисунке приведены найденные из этого спектра энергии поперечных оптических (ТО) и продольных оптических (LO) фононов, а также поперечных акустических фононов (ТА), относящихся к границе зоны [7.36]
Рис. 7.13. Спектр излучения кристалла CdS высокого качества при 1,6 К. Видны бесфо™ ионные рекомбинационные пики связанных экситонов /1 и /2 и их фононные повторения. На рисунке приведены найденные из этого спектра энергии поперечных оптических (ТО) и продольных оптических (LO) фононов, а также поперечных акустических фононов (ТА), относящихся к границе зоны [7.36]
Предел ——
11редел_
зЭкситон
Предел ——
11редел_
зЭкситон
Экситон
в нейтральном доноре
Экситон
в нейтральном доноре
О
О
О
О
У Второй электрон на донореПредел^
"Дырка на нейтральномдоно^е
У Второй электрон на донореПредел^
"Дырка на нейтральномдоно^е
2
2
6
6
濾/?и；10
濾/?и；10
Рис. 7.14. Отношение энергии связи различных экситонных комплексов к энергии связи донора в зависимости т^/ 咽 [7.38]
Экситоны могут также связываться с ионизованными примесями, образуя связанные экситоны, обозначаемые (D+X) и (А~Х)^ Экситоны (D+X) можно рассматривать, как аналог ионизованной молекулы водорода Hj. Отношение энергии связи HJ (2,6 эВ) к энергии связи атома водорода равно 0,2. На первый взгляд кажется, что (D+X) можно также рассматривать как дырку, связанную с нейтральным донором (Р°Д). Более правильная интерпретация зависит от того, у какого из состояний больше энергия связи. Обозначим через Е\ энергию, которую надо затратить для того, чтобы удалить из (D+X) или (D°h) как электрон, так и дырку, оставив ион D+.
В случае (D+X) Ei равна сумме &d+x), энергии связи (D+X), и энергии ионизации экситона Ех：
(7.23)(7.23)豆=E(d+X) + Ex*
(7.23)
(7.23)
В случае D°h
Ei = ^(D°h)+ Ed,(7.24)
где E(D°h) и Ed являются, соответственно, энергией связи (D°h) и энергией связи электрона на доноре. Приравнивая выражения (7.23) и (7.24), получим
(7.25)(7.25)石(D+X) + Ex =石(D^h) + Ed “
(7.25)
(7.25)
Для полупроводника с диэлектрической постоянной g Ed = 13,6 эВ, тогда как Ех = 13,6^^зВ. Поскольку т* 〉д, из (7.25) находим, что E(d+x)〉^(D°h)7 и поэтому правильно интерпретировать этот комплекс как (D+X).
Хопфильд [7.38] расчитал, что (D+X) не будет находиться в связанном состоянии для『< 1,4. Вследствие этого экситоны в одном и том же материале не могут быть
одновременно связаны как с ионизованными донорами, так и с ионизованными акцепторами. При г > 1,4, (D+X) будет стабилен, однако при этом (1/г) < 1,4 и (А~Х) будет нестабилен. В большинстве полупроводников г > 1, и поэтому в спектрах ФЛ не наблюдалось пиков, которые были бы идентифицированы как (А~Х). На рис. 7.15 в спектрах излучения CdS, измеренных при низких температурах, наблюдается пик рекомбинации (D+X) (обозначенный /3). Для увеличения населенности ионизованных доноров при низкой температуре образец следует подсветить инфракрасным излучением. Оно приводит к ионизации мелких доноров, в результате чего экситоны, связанные с нейтральными донорами (/2), ослабляются, а связанные с ионизованными донорами (/3)——усиливаются (рис. 7.15).
лноокноё KpxoghHHuoлноокноё KpxoghHHuo
лноокноё KpxoghHHuo
лноокноё KpxoghHHuo
Рис. 7.15. Спектр излучения кристалла CdS высокого качества при 1,6 К; напряжение, при-ложенное к инфракрасному источнику: «) О В, 5) О В, в) 110 В [7.36]
Может возникнуть вопрос, существует ли аналог иона водорода Н—, содержащего два электрона, двигающихся вокруг протона. Энергия связи второго электрона в Н~ составляет всего 0,75 эВ [7.39]. Аналогами Н~ являются электрон, связанный
с нейтральным донором (D°e), или D, и дырка, связанная с нейтральным акцептором (A°h), или А+. Очевидно, что это ——очень слабо связанные состояния, как и в случае иона водорода. Состояние D~ наблюдалось в Si п-типа [7.40] с термической энергией ионизации порядка 1 мэВ. Недавно было обнаружено, что энергия связи D~ увеличивается в двумерном случае, особенно в сильном магнитном поле [7.41].
В случае связанных экситонов (D+X) и (А~X) пара электрон-дырка привязана к неподвижным заряженным примесям. В случае отрицательно заряженного иона водорода Н- два электрона связаны с тяжелым (albeit mobile) фотоном. Исходя из этого, можно спросить, реально ли наличие комплекса из трех носителей, состоящего или из двух электронов и одной дырки, или из двух дырок и одного электрона? Такие комплексы, называемые трионами, могут рассматриваться как заряженные экситоны. Трионы впервые были предложены Ламбертом в 1958 г. как аналог положительно заряженных молекул водорода Н+2, содержащих два положительных заряда и один электрон. Ламберт обозначал трион из двух дырок и одного электрона как Х+2- В настоящее время трионы считаются более близкими к положительно заряженным экситонам и обозначаются Х+ и X-. Из приведенного ранее обсуждения энергии связи связанных экситонов очевидно, что такие экситоны связаны с заряженными примесями. В нормальных условиях было бы крайне трудно найти трионы. Действительно, до последнего времени трионы в полупроводниках не обнаруживались, пока две разработки не сделали это возможным. Первая разработка заключается в изготовлении тонких слоев полупроводников, расположенных между слоями других полупроводников с большей шириной запрещенной зоны, для образования квантовых ям (см. главы 5 и 9). Размещение электронов и дырок внутри таких квантовых ям с образованием двумерных экситонов увеличивает их энергию связи [см. (6.95)] по сравнению с трехмерными. Другая разработка заключается в возможности модулированного легирования (см. § 5.3) квантовых ям таким образом, что экситоны могут соединяться со свободными носителями без препятствий со стороны заряженных примесей. Трионы (типа X-) были экспериментально получены в квантовых ямах с модулированным легированием в CdTe Финкельштейном и др. [7.43]. Впоследствии как X™, так и Х+ были обнаружены в квантовых колодцах в GaAs и в других полупроводниках П- VI групп. Детальный обзор дан Коксом и др. [7.44].
Обзор люминесценции в нитриде галлия приведен в [1.1].
Спектроскопия возбуждения люминесценции. С появлением непрерывно перестраиваемых лазеров, таких как лазеры на красителях [7.45], лазеры на центрах окраски в щелочно-галоидных кристаллах [7.46] и лазер на сапфире, легированном титаном (сокращенно — титан-сапфировый лазер Т1:сапфир) [7.47, 7.48], стала возможной излучательная спектроскопия нового типа. Спектрометр настраивается на излучение образца с определенной энергией фотона. Затем измеряется зависимость интенсивности излучения от энергии возбуждающего фотона. Этот метод называется спектроскопией возбуждения фотолюминесценции (ВФЛ). Он стал очень популярным при изучении тонких эпитаксиальных слоев, выращенных на непрозрачных подложках. Часто предполагается, что спектр ВФЛ в первом приближении эквивалентен спектру поглощения образца. Поскольку трудно удалить подложку с эпитаксиального слоя, чтобы иметь возможность измерить поглощение, в качестве простой альтернативы применяется метод ВФЛ. Рассмотрим условия, при которых такое предположение является справедливым.
Как мы видели в п. 7.1.1, фотовозбужденные e-h пары в процессе фотолюминесценции релаксируют к нижним энергетическим состояниям и достигают квази- термического равновесия с решеткой. Предположим, что во время этой релаксации e-h пары «забывают», каким образом они были возбуждены. Поэтому интенсивность излучения не обязана как-то коррелировать с коэффициентом поглощения. Однако, чтобы проанализировать этот вопрос количественно, запишем соотношение между
интенсивностью излучения /ет и интенсивностью возбуждения /ех в виде
(7.26)
где &bs, Д-ei и Рет〉соответственно,——вероятность поглощения падающего фотона образцом, вероятность релаксации фотовозбужденных e-h пар до состояния, из которого происходит излучение, и вероятность их излучательной рекомбинации после релаксации. Можно предположить, что в эксперименте по ВФЛ Рет является постоянной величиной, тогда как Rei сильно зависит от энергий e-h пар. В полупроводниках без дефектов e-h пары релаксируют главным образом путем электрон-фононного взаимодействия. Однако если имеется много дефектов, большинство e-h пар захватываются ими и рекомбинируют безызлучательно. Вероятности обоих процессов зависят от энергии электрона. В результате обычно невозможно установить корреляцию между /ет и &bs, не имея данных об относительных вероятностях захвата на дефекты и электрон-фононной релаксации. Исключением из общего случая являются полупроводники, в которых безызлучательная рекомбинация пренебрежимо мала по сравнению с релаксацией путем электрон-фононного взаимодействия. Примером материала столь высокого качества являются квантовые ямы (КЯ, см. главы 1 и 9) на основе GaAs и других полупроводников группы Ш-V. Как мы видели в главах 3 и 5, электроны с большой энергией релаксируют в этих полупроводниках преимущественно путем рассеяния на LO фононах (посредством фрёлиховского взаимодействия) и на акустических фононах (посредством пьезоэлектрического взаимодействия или взаимодействия на деформационном потенциале). Перечисленные процессы рассеяния происходят с временами порядка пикосекунд или субпикосекунд, что значительно меньше излучательных времен (см. п. 7.1.1). В образцах с квантовыми ямами высокого качества времена безызлучательной рекомбинации часто также достаточно большие, настолько, что можно считать Д.е1 почти равной единице и не зависящей от энергии e-h пар. Таким образом, в этих образцах существует хорошее соответствие между спектром ВФЛ и спектром поглощения.
В качестве иллюстрации на рис. 7.16 а приведен спектр поглощения квантовой ямы GaAs/GaAlAs толщиной 20 нм, измеренный при низкой температуре [7.49]. Обратите внимание на наличие нескольких резких пиков, которые были идентифицированы как экситонные переходы, связанные с квантовыми уровнями в яме (см. гл. 9). Они обозначены в соответствии с квантовыми числами n = 1, 2, 3 и 4. У некоторых из этих пиков, таких как n = 1 и 2, проявляется дублетная структура, связанная с расщеплением валентных зон тяжелых и легких дырок в квантовых ямах (более подробно см. гл. 9). На рис. 7.16 б приведен спектр ВФЛ другой квантовой ямы GaAs высокого качества с шириной 10 нм, отделенной от более узкой ямы (шириной 5 нм) барьером из AlGaAs [7.50]. Вся основная структура в данном спектре может быть идентифицирована как оптические переходы на возбужденные экситонные состояния в этой яме. Между спектрами возбуждения фотолюминесценции и спектром поглощения на рис. 7.16 а имеется в общем хорошее согласие, хотя они и измерялись на КЯ с разной шириной. Однако так бывает не всегда. На рис. 7.16 в приведен спектр ВФЛ другого образца с КЯ GaAs/GaAlAs, содержащей мелкие акцепторы. В этом случае не наблюдается никакой структуры, связанной с возбужденными экситонными состояниями. Возрастание интенсивности вблизи стрелки, обозначенной Eg, обусловлено шириной запрещенной зоны барьера AlGaAs. Напротив, когда измерялось излучение, связанное с захватом носителей на акцепторы, спектр ВФЛ выглядел как спектр поглощения на рис. 7.16 а. Объяснение того факта, что в одном и том же образце наблюдаются два совершенно различных спектра ВФЛ, заключается в различной величине Д-е1 в этих спектрах. В данном легированном образце экситоны эффективно захватываются нейтральными акцепторами. В результате Д.е1 ^ 1 при релаксации только в состояния связанных экситонов. Поэтому в то время как спектр ВФЛ для излучения связанных экситонов похож на спектр поглощения, спектр ВФЛ для излучения свободных экситонов не похож на него.
Рис. 7.16. Сравнение между спектрами поглощения и возбуждения фотолюминесценции в образцах с квантовыми ямами GaAs/AlGaAs, измеренными при низких температурах (< 2 К): а) спектр поглощения в КЯ толщиной 20 нм [7*49]; 6) спектры ВФЛ образца, содержащего две КЯ с толщинами 5 и 10 нм (в нижней и верхней частях рисунка, соответственно). Штриховыми кривыми показана люминесценция этих КЯ; Е' и Н1 обозначают структуры, принадлежащие яме шириной 5 нм [7.50]; в) спектр ВФЛ из легированной КЯ p-типа. Спектр, показанный штриховой кривой, получен при установке спектрометра на регистрацию только экситонного излучения (обозначенного вертикальной штриховой стрелкой). Вертикальная стрелка с обозначением Её соответствует энергетической щели барьера AlGaAs. Спектр, показанный сплошной кривой, был получен при установке спектрометра на энергию излучения зона-нейтральный акцептор (сплошная вертикальная стрелка с надписью «Измерение») [7.51]
Другим примером использования спектров ВФЛ являются системы с неоднородным уширением. В качестве примера рассмотрим типичный спектр донорно—акцепторной рекомбинации, содержащий много перекрывающихся пиков, связанных с разными расстояниями в парах. Ширина линии излучения пары, характеризующейся определенным расстоянием Я, называется однородной шириной линии и часто оказывается очень малой. Однако поскольку существует распределение большого количества пар со слегка различными расстояниями, многие из узких пиков слегка перекрываются и образуют гораздо более широкую полосу, ширину которой называют неоднородной. Это не единственный случай неоднородного уширения. Например, излучение молекул в газе уширено вследствие эффекта Допплера, связанного с их неупорядоченным движением. Структуры с периодически повторяющимися квантовыми ямами с некоторым распределением ширин индивидуальных ям являются еще одним примером систем, спектры излучения которых неоднородно уширены.
На рис. 7.17 а приведены низкотемпературные полосы донорно—акцепторных пар ZnSe (пики, обозначенные, как Р и Q), содержащего два мелких акцептора — Li и Na [7.52]. На этих пиках нет никаких особенностей, и их ширины имеют величину порядка
2,71
2,702,692,682,672,66
Энергия люминесценции, эВ
100
ии'пщф'пифщииюлг льоощинощфьщ^
50
方3p -方31，МэВ
(•ко -5^^ 55_дщф_дифщ522с- льиощинищфьщ^
50 60
70 80 90 100 ПО 120
方3p -方31，МэВ
Рис. 7.17. Спектр люминесценции донорноакцепторных пар, измеренный в ZnSe: Na,Li при низких температурах («). Спектр ВФЛ того же образца, полученный при установке спектрометра на регистрацию узкой полосы фотонов с энергией 方з工=2,705 эВ и сканировании возбуждающего излучения лазера на красителях (方Зр); Т = 1,6 К. Пики, обозначенные Li: 2s3/2 и 2Р3/2, связаны с возбужденными состояниями акцепторов Li (6). Спектры излучения ДАП, селективно возбуж™ денных лазером на красителях с различными энергиями фотонов 方Зр； Т = 1,6 К (в) [7.52]
нескольких МэВ. На основе только таких спектров было бы невозможно идентифицировать акцепторы или определить их энергетические уровни. Тьюс и др. [7.52] решили эту задачу, использовав селективное возбуждение и спектроскопию ВФЛ. Установив спектрометр на измерение узкой полосы энергий фотонов (< 1 мэВ) с центром при 2,705эВ, что соответствует высокочастотному краю Q-полосы, связанной с Li, они обнаружили в спектре ВФЛ (рис. 7.17 6) богатую структуру, один из пиков
Рис. 7.18. Схематическое изображение процессов селективного возбуждения, ответственных за резкие пики излучения в спектрах ДАП (см. рис. 7.17 в). Фотон накачки с энергией 方Зр (?) резонансно возбуждает электрон из возбужденного 35™состояния нейтрального акцепто™ ра (2) в основное 15™состояние донора, находящегося на расстоянии Я^д. Затем дырка на акцепторе релаксирует в основное состояние 1S (3), и затем рекомбинирует с электроном на доноре, удаленном на расстояние Я^д, с испусканием фотона 方3i (/). На вставке показано, как селективное возбуждение приводит к образованию узкого пика на широком фоне, обусловленном излучением ДАП от множества других пар с различными расстояниями в паре
которой (обозначенный Li: 2Р3/2) имеет ширину всего 0,5 мэВ. Этот, а также другой пик, обозначенный Li: 2s3/2, были идентифицированы как возбужденные состояния нейтрального акцептора (в данном случае остальные пики в спектре ВФЛ не представляют интереса). Полученные пики являются узкими, поскольку приемник селектирует излучение только небольшого набора акцепторов, расстояние от которых до доноров R определяется энергией излучения, соответствующей выражению (7.17). Когда падающий фотон возбуждает акцепторы в состояния 2s3/2 и 2F3/2 (об уровнях акцепторов в полупроводниках типа цинковой обманки см. в п. 4.2.4), излучение пары, возникающее при переходе с основного состояния IS3/2 на донор, усиливается. Этот процесс схематически представлен на рис. 7.18. Поскольку усиление происходит только для пар с селективно выбранным расстоянием, полоса ДАП представляет собой резкий пик, который накладывается на более широкий фон, обусловленный неселективно возбужденными парами. Спектры излучения ДАП при селективном возбуждении приведены на рис. 7.17 в. Отметим, что на рис. 7.17 представлены зависимости полос в спектре ФЛ от разности между энергией лазера 右®р и энергией излученного фотона 方⑨.В зависимости от энергии возбуждения наблюдается ряд острых пиков, обозначенных с, в, /, g, г и J. Их положения соответствуют расстояниям между основным и возбужденными состояниями нейтральных акцепторов. Пики с и в приписаны Li, а остальные пики — Na. Их ширина в этом случае определяется только однородным уширением. Из селективно возбужденных спектров ДАП Тьюс
и др. получили точные значения энергий связи и энергий возбужденных состояний акцепторов Na и Li в ZnSe.
7.2. Спектроскопия рассеяния света
Хотя большая часть света, распространяющегося в среде, пропускается или поглощается в соответствии с законами отражения и преломления （следующими из закона сохранения волнового вектора к）, очень малая его часть рассеивается во всех направлениях неоднородностями внутри среды. Эти неоднородности могут быть статическими или динамическими. Такие дефекты, как дислокации в кристалле, являются статическими рассеивателями и рассеивают свет упруго （т.е. без изменения частоты）. Флюктуации плотности среды, связанные с колебаниями атомов, представляют собой пример динамических рассеивателей. Другими примерами таких механизмов рассеяния в полупроводниках являются флюктуации плотности заряда или спина. Неупругое рассеяние света акустическими фононами было теоретически предсказано Бриллюэном [7.53] и позднее, независимо, Мандельштамом [7.54]. Неупругое рассеяние света молекулярными колебаниями впервые обнаружено Раманом [7.55], который в 1930 г. был удостоен за свое открытие Нобелевской Премии. В настоящее время рамановское рассеяние и резонансное рамановское рассеяние стали стандартными спектроскопическими методами исследования полупроводников. Здесь мы приведем сначала макроскопическую теорию рамановского рассеяния на фононах в твердых телах, а затем рассмотрим микроскопическую теорию и обсудим резонансное рамановское рассеяние. Остальная часть параграфа будет посвящена обсуждению бриллюэнов- ского рассеяния на акустических модах и резонансного бриллюэновского рассеяния на экситонных поляритонах.
Макроскопическая теория неупругого рассеяния света фононами. Рассмотрим бесконечную среду с электрической восприимчивостью %. Как было показано в § 6.1, в общем случае электрическая восприимчивость является тензором второго ранга. Временно будем считать среду изотропной, так что х может быть представлена скаляром. Если в среде существует плоское синусоидальное электромагнитное поле, которое описывается выражением
F（r,方）=Fi（^i,伤）cos （心T -伤方））（7.27）
то индуцируется синусоидная поляризация Р（г,方）:
F（r,方）=?（心,伤）cos （心T —伤方）.（7.28）
Ее частота и волновой вектор те же самые, что и у падающего электромагнитного излучения, а амплитуда равна
尸（毎"妨）=x（毎"gi）E（心"伤）.（7.29）
Если среда находится при конечной температуре, то в % существуют флюктуации, связанные с термически возбужденными колебаниями атомов. В главе 3 мы видели, что в кристаллических полупроводниках происходит квантование нормальных мод колебаний атомов в фононы. Смещения атомов Q（t, f）, соответствующие фононам, могут быть представлены в виде плоских волн:
Q（r,方）=Q（q）®о） cos （qr 一 wof）,（7.30）
с волновым вектором q и частотой g> Эти атомные колебания приводят к изменению %. Предположим, что характеристические частоты электронов, которые определяют к* много больше, чем wq, и, следовательно, можно считать х функцией Q.
Последнее называется квазистатическим или адиабатическим приближением. Обычно амплитуды таких колебаний при комнатной температуре малы по сравнению с постоянной решетки и мы можем разложить х в ряд Тейлора по Q（t,方）：
хО"妨"Q） = Хо（怎"妨）+ （dx/dQ）0Q（r,方）+（7.31）
где хо ——электрическая восприимчивость среды, в которой флюктуации отсутствуют. Второй член в （7.31） соответствует осциллирующей восприимчивости, индуцированной решеточной волной Q（r,方）.Подставив （7.31） в （7.29）, выразим поляризацию среды в присутствии атомных колебаний P（r, f, Q） как
尸（г,方"Q）=尸 об t） + Find （г,方"Q）,（7.32）
где
尸方）=ХО（心）妨）尸i（心"妨）cos （毎Г 一妨方）（7.33）
представляет собой поляризацию, колеблющуюся в фазе с падающим излучением, а
And （г,力 Q） = （dx/dQ）oQ（r, t^F-^k^ 伤）cos （k-.r —妨方） （7*34）
является волной поляризации, индуцированной фононом （или другой подобной флюктуацией）. Волны поляризации могут также индуцироваться непрямым путем продольными оптическими （LO） фононами посредством их макроскопических электрических полей （см. § 6.4）, однако мы временно пренебрежем этим эффектом.
Для того, чтобы определить частоту и волновой вектор 尸也山 перепишем 尸^（丁,厶 Q） в виде
And（Г, h Q） = （dx/dQ）0Q（q, ®о） cos （qr —幻。方）x
x 尸i（心 " 妨）cos （怎r 一妨方）=（7.35 a）
=g（3x/3Q）oQ（q" И））尸i（毎* 伤方）X
X {cos ［（毎 + q）r -（伤 + ®о）方］+（7.35 б）
+ cos ［（总 一q）r _（W1 —g0）方］}“
Поляризация Pad состоит из двух синусоидных волн: волны, сдвинутой в стоксову сторону, с волновым вектором ks =怎一q и частотой ®s =妨一幻。и волны, сдвинутой в антистоксову сторону, с волновым вектором Kas = 毎 + q и частотой gas = —®i + ^0 ■
Излучение, связанное с этими двумя индуцированными волнами поляризации, называется стоксовым рассеянным светом и антистоксовым рассеянным светом соответственно. Поскольку энергия фонона равна разности между частотой падающего фотона 妨 и частотой рассеянного фотона д, эта разность называется рамановской частотой или рамановским сдвигом （употребляются также выражения стоксов сдвиг и антистоксов сдвиг）. Обычно рамановские спектры представляют в виде зависимости интенсивности рассеянного света от рамановской частоты.
На языке нелинейной оптической спектроскопии рассеяние света можно рассматривать как параметрический процесс, поскольку в нем происходит периодическое изменение параметра （а именно, электрической восприимчивости） среды. Однако вызванное изменение линейно относительно смещения фонона и электрического поля и, следовательно, рассеяние света не является нелинейным оптическим процессом, как оптические параметрические процессы х\ Фононная модуляция восприимчивости на частоте 幻。создает боковые полосы на частотах 妨 士幻。относительно
1）Вместе с тем, вызванное рамановское рассеяние представляет собой нелинейный оптк- ческий процесс.
возбуждающего излучения с частотой 妨.В терминологии радиотехники рассеяние света можно рассматривать как вид частотной м од ул я ц и и (FM). Возбуждающее излучение играет роль несущей волны.
Отметим, что в рассмотренных выше процессах рассеяния про - исход ит сохранение как частоты, так и волнового вектора.В результате последнего волновой вектор g фононов при однофононном рамановском рассеянии должен быть меньше удвоенного волнового вектора фотона. Если для возбуждения рамановского рассеяния используются лазеры в видимом диапазоне и показатель преломления образца примерно равен 3, то g имеет порядок 106 см-1. Эта величина составляет примерно 1/100 часть от размера зоны Бриллюэна в полупроводнике. Поэтому в однофононном рамановском рассеянии зондируются только фононы центра зоны Бриллюэна. В таких экспериментах можно обычно считать g равным нулю.
Разложение (7.31) можно легко продолжить до второго и более высоких порядков по смещениям фононов. Члены второго порядка приводят к индуцированной поляризации с частотами, сдвинутыми от лазерной частоты на ±幻@ ± ®ь (где 幻建〉®ь —— частоты двух участвующих в процессе фононов). Эти индуцированные поляризации приводят к двухфононному рамановскому рассеянию. В случае двух различных фононов пики с рамановскими частотами wa + ^ь и ша ®ь называют суммарными и разностными модами соответственно. Если два фонона идентичны, результирующий двухфононный рамановский пик называется обертоном. Сохранение волнового вектора при двухфононном рамановском рассеянии удовлетворяется, если qa ^ qb ^ 0, где qa и qb ——волновые векторы двух фононов а и 6 соответственно. При рассеянии на обертоне это условие означает, что qa = —q» т.е. оба фонона имеют одинаковые по величине и противоположно направленные волновые векторы. Таким образом, при двухфононном рамановском рассеянии на величины индивидуальных волновых векторов не накладываются такие ограничения, как при однофононном рассеянии (только их сумма должна быть близка к нулю). Поэтому спектр рамановского рассеяния н а обертоне после деления рамановской частоты пополам, является мерой фононной плотности состояний, хотя и модифицированной множителем, зависящим от заполнения фононов и от эффективности рассеяния.
Для рамановского рассеяния в высокомонохроматичных рентгеновских лучах нельзя предполагать, что q ^ 0. Действительно, волновые векторы рассеяния, охватывающие всю зону Бриллюэна, могут быть получены изменением угла между векторами к падающего и рассеяного фотонов (см. [3.7], [3.28б]).
Рамановский тензор и правила отбора. Интенсивность рассеянного излучения можно расчитать из усредненной по времени мощности, излучаемой индуцированной поляризацией 尸行艮 в единицу телесного угла. Поскольку индуцированные поляризации для стоксова и антистоксова рассеяния отличаются только своими частотами и волновыми векторами, ограничимся стоксовым рассеянием. Его интенсивность зависит от поляризации рассеянного света es как |Pindes|2- Если обозначить поляризацию падающего света 白,то интенсивность рассеянного света /s, вычисленная с помощью (7.35), будет пропорциональна
厶 a H(a*/aQ)oQ(Go)备(7*зб)
В (7.36) мы приближенно считаем q равным нулю для однофононного рассеяния и учитываем возможность того, что х может быть комплексной величиной. Отметим, что интенсивность рассеяния пропорциональна квадрату амплитуды колебаний Q. Другими словами, если не будет колебаний атомов, то не будет и стоксова рассеяния. Этот результат является следствием нашего классического рассмотрения. Если мы проведем квантование колебательных мод в фононы, то при стоксовом рассеянии, когда фонон возбуждается в среде падающим излучением, интенсивность будет
пропорциональна % + 1, где Nq — число заполнения фононов. (Слагаемое 1 в % + 1 соответствует нулевому движению, упомянутому в связи с фотонами в § 7.1). Подобным же образом интенсивность антистоксова рассеяния пропорциональна Nq и будет исчезать при низких температурах.
Предположим, что Q является векторным смещением данного атома, так что (3x/3Q) — тензор третьего ранга с комплексными компонентами. Введя единичный вектор Q = Q/\Q\, параллельный смещению фонона, можно определить комплексный тензор второго ранга R следующим образом:
I冗=(3x/aQ)oQ(g))*(7.37)
Тогда /s будет пропорциональна
Тензор R называется рамановским тензором. В общем случае его находят путем свертки Q с производной х тю Q, к поэтому он, как и » является тензором второго ранга с комплексными компонентами.
Измеряя зависимость интенсивности рассеянного света от поляризации падающего и рассеянного света, можно определить симметрию рамановского тензора, а значит и симметрию соответствующего фонона, активного в рамановском рассеянии. Таким образом, с помощью рамановского рассеяния можно находить как частоту, так и симметрию фононной моды в центре зоны Бриллюэна. С помощью двухфононного рамановсого рассеяния можно также оценить фононную плотность состояний. Совершенно очевидно, что оно является чрезвычайно информативным методом при определении фононных мод в среде. Далее мы покажем, что кроме изучения колебаний атомов, резонансное рамановское рассеяние может также использоваться для исследования межзонных электронных переходов, экситонов и даже электрон-фононных взаимодействий. Оно применяется и для нахождения магнитных возбуждений [7*56]* Таким образом, рамановское рассеяние является одним из наиболее многосторонних спектроскопических методов для изучения не только полупроводников, но и других конденсированных сред.
На первый взгляд кажется, что рамановский тензор, определенный в (7.37), является симметричным тензором второго ранга, поскольку восприимчивость является симметричным тензором. Строго говоря, это справедливо только если пренебречь малым различием между частотами падающего и рассеянного света. Ниже мы вернемся к данному вопросу. В пределах этого приближения антисимметричные компоненты в рамановском тензоре могут появляться только при наличии магнитного поля [7.56]. Поскольку большинство полупроводников являются немагнитными материалами, рамановский тензор в полупроводниках обычно считают симметричным. Часто на рамановский тензор накладываются дополнительные требования, связанные с симметрией среды и колебательных мод, принимающих участие в рассеянии. В результате требований, обусловленных симметрией, рассеянное излучение исчезает при определенном выборе поляризаций Ci и es и геометрии рассеяния. Эти так называемые рамановские правила отбора очень полезны для определения симметрии фононов, активных в рамановском рассеянии.
С простейшим примером рамановских правил отбора мы встречаемся в случае центросимметричных кристаллов. Фононы в этих кристаллах можно классифицировать как четные или нечетные по отношению к инверсии. Поскольку кристалл является инвариантным при инверсии, свойства его тензора, такого как (3x/3Q), не должны изменяться при этой операции. С другой стороны, вектор смещения нечетного фонона Q изменяет знак при инверсии, а это означает, что (3x/3Q) тоже изменяет знак. Поэтому рамановский тензор нечетного фонона в центросимметричных кристаллах должен быть равен нулю (в пределах
при б л ижения, в котором волновой вектор фонона равен нулю). Как видно из § 6.4, нечетные фононы, в отличие от четных, могут быть инфракрасноактивными. Следовательно, в центросимметричных кристаллах инфракрасное поглощение и рамановское рассеяние являются комплементарными процессами. В некоторых кристаллах существуют фононные моды, которые не активны ни в рамановском рассеянии, ни в инфракрасном поглощении. Такие фононы называются «немыми».
В качестве другого примера рассмотрим рамановские правила отбора для полупроводника типа цинковой обманки GaAs. Его фонон в центре зоны Бриллюэна имеет симметрию А (обозначаемую также Г^) (см. § 3.1). Это — трижды вырожденное представление, три компоненты которого можно обозначить как X, У м Z. В рассматриваемом частном случае мы можем считать эти компоненты равными проекциям относительного смещения двух атомов в элементарной ячейке вдоль кристаллографических осей. Как было показано в главе 3, тензор третьего ранга в кристалле цинковой обманки (например, пьезоэлектрический или электромеханический тензор) имеет только одну линейно независимую и не равную нулю компоненту, а именно компоненту с индексами xyz и их циклическими перестановками, такими как yzx^ zxy и т.п. Следовательно, тензор ”/AQ имеет лишь одну линейно независимую компоненту, которую мы обозначим d. Не нулевые компоненты соответствующего рамановского тензора зависят от смещения фонона. Для оптического фонона, поляризованного вдоль направления ж, рамановский тензор 冗(X) будет иметь только две не равные нулю компоненты: RyZ(X) = &，Х) = d. Представим 冗(X) в виде матрицы с рангом 3x3:
"0 0 0 "
?г(Х) =0 0 d .(7.39 а)
„ 0 d 0 „
С помощью аналогичных аргументов можно получить рамановсие тензоры для эквивалентных оптических фононов, поляризованных вдоль осей у и z:
"0 0 d "
"0 d 0 "
冗(У)=
ООО
и 冗(Z)=
d 0 0
.(7.39 6)
d 0 0
ООО
Следует помнить, что оптический фонон в центре зоны Бриллюэна в GaAs при g 卢 W 0 расщепляется на дважды вырожденную поперечную оптическую моду (ТО) и продольную оптическую моду (LO). Элементы рамановского тензора для этих двух фононов различны, поскольку LO мода может рассеивать свет с помощью своего макроскопического продольного электрического поля (см. § 6.4). Для того, чтобы их различать, будем использовать обозначения d^o и 九。в соответствующих рамановских тензорах.
Воспользовавшись (7.39), мы можем теперь вывести правила отбора для рамановского рассеяния в GaAs. Поскольку они зависят от геометрии рассеяния, введем описывающие ее обозначения. Геометрия рассеяния определяется четырьмя векторами: 晶,ks (направления падающего и рассеянного фотонов соответственно), а также Ci, es (поляризации падающего и рассеянного фотонов). Эти четыре вектора задают геометрию рассеяния, которая обычно определяется как k\(e^ es)^s °♦
Пример: рамановские правила отбора для рассеяния назад от поверхности (100) кристалла GaAs.
Поскольку GaAs непрозрачен для обычного лазера, излучающего в видимой области (ширина запрещенной зоны равна 1,52 эВ, см. табл. 6.3), простейшей геометрией рассеяния является геометрия рассеяния назад, т.е. когда к\ и ks антипараллельны
* Это замечание появилось благодаря S.P.S. Porto, бразильскому первопроходцу рассеяния света в полупроводниках.
друг другу. Вследствие сохранения волнового вектора, для рассеяния назад от поверхности (100) волновой вектор фонона q должен быть направлен вдоль [100]. Поляризация ТО фонона должна быть перпендикулярна q (или оси ж), т.е. его рамановский тензор является линейной комбинацией 冗(У) и 冗(Z). Из вида тензоров в (7.39 б) следует, что или Ci, или es должны иметь проекцию вдоль оси х. Если к\ и ks параллельны оси ж, то Cj и es должны быть перпендикулярны к оси ж. Таким образом, рамановское рассеяние на ТО фононах запрещено в геометрии рассеяния назад. Для LO фононов ситуация другая, поскольку их вектор q направлен вдоль оси ж, а рамановский тензор имеет вид 冗(X). Для геометрий рассеяния ж (д, %)武 и ж (%, д)武 соответствующая интенсивность рассеяния пропорциональна %о『• С другой стороны, LO фонон запрещен в геометриях ж(д, у)х и 囂(％, %)方.Можно также показать, что LO фонон запрещен в геометриях 囂(д', %')武 и 囂(％- д')武，но разрешен в геометриях 囂(д', д')武 и 囂(％- 〃注 где yf и zf означают оси [011] и [011]. Эти и другие рамановские правила отбора для рассеяния назад в кристаллах типа цинковой обманки приведены в табл. 72 Выведение этих правил отбора и соответствующих правил отбора для других конфигураций рассеяния оставлено в качестве упражнения (задача 7.4).
Общая проблема в определении симметрии рамановских тензоров в кристаллах может быть решена с помощью теории групп. Для иллюстрации опять остановимся на простых примерах. Строгий вывод и обсуждение можно найти в статьях Лоудона [7.57, 7.58]. Рассмотрим кубический кристалл. В п. 3.3.1 было показано, что симметричный тензор второго ранга, вроде тензора деформаций, можно разложить на три компоненты, преобразующиеся по неприводимым представлениям G〃i, F3 и /4. Мы предполагаем, что подобым же образом рамановский тензор в кристалле цинковой обманки можно разложить на три неприводимых тензора 冗(G), 冗(玛)и 冗(А). Тензоры, соответствующие трем неприводимым компонентам А, уже были приведены в (7.39). Рамановские тензоры для двух других неприводимых представлений могут быть получены так же, как это было сделано для тензоров деформаций e^(Fi) и е^ (Рз) в п. 3.3.1:
(7.40)(7.41)(7.40)(7.41)F 00 ""600 "冗(А)=0 b 0；Узо —ь о0 0 —2Ь000F 00 ""600 "冗(А)=0 b 0；Узо —ь о0 0 —2Ь000"а 0 0 "тг(п)= о « о0 0 а
(7.40)
(7.41)
(7.40)
(7.41)
F 00 "
"600 "
冗(А)=
0 b 0
；Уз
о —ь о
0 0 —2Ь
000
F 00 "
"600 "
冗(А)=
0 b 0
；Уз
о —ь о
0 0 —2Ь
000
Хотя в таких кристаллах, как GaAs, нет оптических фононов, которые принадлежали бы указанным неприводимым представлениям, эти компоненты тензора могут встречаться в двухфононных рамановских спектрах (далее это будет показано для Si).
Величиной, часто измеряемой в экспериментах по рассеянию, является эффективность рассеяния 〃. Она определяется как отношение энергии электромагнитной волны, рассеянной в единичный телесный угол в единицу времени в единичном частотном интервале, к энергии падающей электромагнитной волны, проходящей через рассеивающую площадь в единицу времени. Подставив выражение для мощности, излучаемой индуцированным диполем (см., например, [7.29]), в (7.35), можно получить для ту [7*55] следующее выражение:
(7.42)(7.42)〃 =(ws/c)y£ 修•(”/AQ)oQ(a；o) • es|2 ,
(7.42)
(7.42)
Таблица 72
Рамановские правила отбора для геометрии рассеяния назад в кристаллах типа цинковой обманки. Через Мто и Mlo обозначены ненулевые элементы рамановского тензора для ТО и LO фононов соответственно; “ и У—оси [011] и [011]; жп, у" и z11 — набор трех взаимно перпендикулярных осей [111], [111] и [112] (см. задачу 7.4)
Геометрия рассеяния
Правила отбора
ТО фонон
LO фонон
х(у, У)х; z(z, z)x
0
0
z(g, Z)X] z(z, y)x
0
X(y\ zf)x] x(z\ y^x
0
0
Z(〃，J* z(z\ 历
0
z)歹‘
0
0
Ито|2
0
zf)yf
Ито|2
0
(2/3)1m0『
(l/3)|dLo|2
(2/3)1m0『
0
пропорциональна 必$ в четвертой степени. Таким образом, коротковолновый свет рассеивается эффективнее, чем длинноволновый. Это важное свойство рассеяния света является причиной голубого цвета неба в солнечный день и красного цвета заката. В подобных случаях процесс рассеяния называется рэлеевским рассеянием и возникает или вследствие флюктуаций энтропии, или вследствие обычных в наше время загрязнений воздуха.
Одним из недостатков приведенного выше классического рассмотрения рассеяния света является то, что в нем не проводилось точного квантования поля излучения в фотоны. Следовало бы рассматривать рамановское рассеяние как неупругое рассеяние фотонов на квантованных возбуждениях среды. Эффективность рассеяния частиц обычно выражается через поперечное сечение рассеяния а. Пусть поток падающих фотонов составляет М фотонов на единицу площади (Л). Если 7vs — полное число рассеянных фотонов, проинтегрированное по всем направлениям (т.е. в телесном угле 4тг) и по всем частотам рассеяния, то а определяется следующим выражением D:
м = Ne (7.43)
Очевидно, что а имеет размерность площади. В эксперименте обычно регистрируют фотоны, рассеянные в конус (с телесным углом 6/2), ориентированный в определенном направлении, и в частотном интервале 6g с центром при 必/ В таких случаях отношение между числом рассеянных фотонов и падающим потоком фотонов называется дифференциальным поперечным сечением рассеяния d2a/d/2 dws. Оно связано с эффективностью рассеяния в (7.42) выражением
(—&一) (7 44)
Ранее мы утверждали, что рамановский тензор является симметричным, т.к. он получен из симметричного тензора электрической восприимчивости х(%) [см. (6.1)].
D Поперечное сечение рассеяния частицы на другой частице определяется однозначно. Однако в случае твердого тела оно зависит от рассматриваемого объема, т.е. элементарной ячейки, кристаллографической единичной ячейки, 1 см3 и т.д.
22 М. Кардона
Строго говоря, это не верно. Тензор хЗ) зависит только от одной частоты ш, тогда как рамановский тензор зависит от двух слегка отличающихся частот: % и 必. Рамановский тензор является симметричным, только когда мы пренебрегаем малой разницей между частотами % и ws. Правильный результат можно получить, использовав симметрию обращения времени.
Предположим, что пучок, содержащий № фотонов с частотой wj и поляризацией Ci, падает на единичную площадь среды. В среде этот пучок испытывает сток-
Рис. 7.19. Схематическое изображение а) процесса стоксова рамановского рассеяния в среде и б) соответствующего антистоксова процесса при обращении времени
сово рассеяние (рис. 7*19 а). Поляризация рассеянного пучка — es, а его частота — 必* Полное число спонтанно рассеянных фотонов (как при спонтанном испускании, рассмотренном в § 7.1; детальное обсуждение этого вопроса отложим до п. 7.2.4) пропорционально ® * 冗(％,必)* 统『TVj. Обозначим поперечное сечение, соответствующее 佗厂冗(tdi, ws) • es 12 Ж1, как a (wj,必$). Таким образом, число рассеянных фотонов М равно а (必厶 Gs) Ni, пока оно мало и можно пренебречь стимулированным рассеянием (как в случае стимулированного испускания). Отметим, что поперечное сечение рассеяния является скалярной величиной, определенной через фотоны. Однако его можно вычислить из тензора R, определенного для макроскопических электромагнитных полей. Аргументы, входящие в a (%,必$), являются напоминанием о компонентах тензора 冗,из которого можно получить а. Пусть падающий поток фотонов дает только один рассеянный фотон (рис. 7.19 а). Это эквивалентно тому, что
Д = 1/сг(%,必).(7.45 а)
Следовательно, поток нерассеянного света будет равен М — L На рис. 7.19 б мы обращаем направление времени, так что выходящие пучки на рис. 7.19 ft становятся входящими на рис. 7.19 5, и наоборот. Обозначим через 7vs полное число фотонов, выходящих из единичной площади среды с частотой %. В этом пучке содержится 2 — 1 фотонов, которые не испытали рассеяния. Мы можем пренебречь их потерями на рассеяние, поскольку нужно иметь по крайней мере № фотонов, чтобы получить один рассеянный. Кроме нерассеянных фотонов существует еще антистоксовский рассеянный фотон, созданный одним падающим фотоном с поляризацией es и частотой ws. Пользуясь теми же обозначениями, что и для стоксова рассеяния, обозначим поперечное сечение для антистоксова рассеяния через 公①,%). Так как теперь имеется Ni — 1 фотонов с антистоксовой частотой %, мы не можем пренебречь вкладом от стимулированного рассеяния. Его вероятность пропорциональна единице плюс число имеющихся фотонов (см. § 7.1). Поэтому поток антистоксовых рассеянных фотонов равен Ni(7A(Gs, %). Итак, мы получаем
Я = (2 — 1) + %9А(У, %).(7.456)
Симметрия обращения времени требует, чтобы число фотонов М, выходящих из среды после него (рис. 7*19 6), было равно числу падающих фотонов № до обращения времени (рис. 7.19 a). Поэтому
Д = (Ni — 1) + Nii)(7.46а)
или
1 = NoaQs, %)*(7*46 6)
Поскольку в (7.45 а) мы положили № равным 1/a (ws, Wj), из (7.46 б) находим
(та(5)е).(7*47)
От (7*47) можно вернуться к 凡 чтобы показать, что элемент стоксова рамановского тензора для частоты падающего фотона % и поляризаций падающего и рассеянного фотонов Cj и es равен соответствующему элементу антистоксова тензора для падающего фотона с частотой 必 и поляризациями падающего и рассеянного фотонов es и ei. Если пренебречь разницей между % и ws, то нет разницы между стоксовым и антистоксовым рассеянием и рамановский тензор симметричен относительно перестановки 色 и es. Равенство между поперечным сечением стоксова рассеяния ст (%,必)и соответствующим поперечным сечением антистоксова рассеяния (7AS(g, %) было непосредственно проверено на квантовых дырах в GaAs (см. п. 9.2.4) в условиях резонанса (см. п. 7.2.8), когда поперечные сечения как стоксова, так и антистоксова рассеяния строго зависят от энергии возбуждающего фотона [7.60].
Экспериментальное измерение рамановских спектров.
Техника эксперимента.
Для измерения рамановских спектров требуется по меньшей мере следующее оборудование:
источник параллельного монохроматического света;
эффективная оптическая система для сбора слабого рассеянного излучения;
спектрометр для анализа спектрального состава рассеянного излучения;
очень чувствительный приемник рассеянного излучения.
Поскольку эффективность рамановского рассеяния обычно очень мала (в некоторых случаях составляет 1012), все части этой системы должны быть оптимизированы. Рассмотрим каждую из них по отдельности.
Источник света.
До появления лазеров в качестве источника света как правило применялись газоразрядные лампы большой мощности. Использовались дискретные линии газа или пара (обычно пары ртути). В то время могли изучаться только прозрачные образцы, обладавшие большей длиной рассеяния. Поскольку большинство полупроводников непрозрачны, их рамановсие исследования стали возможны только после появления лазеров. Мощные импульсные лазеры, которые появились первыми, такие как рубиновый лазер, сделали возможным наблюдение стимулированного рамановского рассеяния (см., например, [7.61]). Однако они не очень подходят для изучения спонтанного рамановского рассеяния, для чего предпочтительнее лазер непрерывного действия с большой усредненной по времени мощностью. В результате первым лазером, использованным в рамановском рассеянии, был He-Ne лазер непрерывного действия (с длиной волны А = 632, 8 нм). Однако скоро его заменили ионные лазеры Nd:YAG, Аг+ и Кг+. Два последних дают несколько сильных дискретных линий излучения (> 1 Вт в одной линии), охватывающих красную (647нм), желтую (564нм), зеленую (514нм), синюю (488нм) и фиолетовую (458нм) области видимого спектра. Благодаря лазерам непрерывного действия, обладающим большой средней мощностью, стало возможно измерять не только однофононные рамановские спектры в полупроводниках, но и их двухфононные спектры. С помощью непрерывно перестраиваемых лазеров, основанных на красителях (1 мкм》入》450 нм), центрах окраски в ионных кристаллах (3 мкм》А》1 мкм) и, позднее, Ti-сапфирового лазера (1 мкм》X》700нм) стала возможной рамановская спектроскопия возбуждения, т.е. резонансное рамановское рассеяние. По аналогии со спектроскопией
возбуждения люминесценции, рассмотренной в п. 7.1.5, в резонансной рамановской спектроскопии измеряют рамановскую эффективность в зависимости от длины волны возбуждающего лазера. Физические аспекты этих исследований будут рассмотрены в п. 7.2.7.
Спектрометры.
В большинстве рамановских экспериментов с полупроводниками сигнал бывает на 4 4- 6 порядков слабее, чем упруго рассеянный лазерный свет. В то же время разность частот между рамановским сигналом и лазером составляет всего около 1 % от частоты. Для того, чтобы иметь возможность наблюдать эту слабую боковую полосу вблизи сильного лазерного света, спектрометр должен удовлетворять нескольким жестким условиям. Прежде всего у него должна быть хорошая спектральная разрешают,ая способность. Современные рамановские спектрометры обычно имеют разрешающую способность (А/ЛЛ) > 104, что легко достигается с помощью диффракционных решеток. Важно, однако, чтобы эти решетки не давали «духов» и «сателлитов», которые можно перепутать с рамановским сигналом. С современными голографическими решетками (см. п. 6.1.2) подобной проблемы практически не существует. Рамановский спектрометр должен также иметь очень хороший коэффициент подавления рассеянного света. Он определяется как отношение фона рассеянного света (т.е. света при всех длинах волн, кроме номинальной, на которую настроен спектрометр) к сигналу. Паразитный рассеянный свет возникает из-за несовершенств оптики (зеркал и решеток) и вследствие рассеяния света от стенок и от частиц пыли внутри спектрометра. Большинство спектрометров имеют коэффициент подавления рассеянного света 10-4 4-10-6. В результате паразитный рассеянный свет все еще может быть на несколько порядков сильнее рамановского сигнала. Эту ситуацию можно исправить следующими мерами: а) сделать поверхность образца как можно более гладкой, чтобы свести к минимуму упруго рассеянный свет лазера; б) использовать фильтр, блокирующий лазерный свет («notch filter》); в) использовать последовательно два или более спектрометра. Хорошо сконструированный двойной м о н ох р о м ато р может иметь коэффициент подавления паразитного рассеянного света 10-14, что равно произведению коэффициентов для одиночных монохроматоров. Такой коэффициент подавления достаточен для рамановских исследований большинства полупроводников. В настоящее время приобрели популярность тройные спектрометры, используемые совместно с многоканальными приемниками, которые будут описаны немного позднее. В этих спектрометрах два монохроматора установлены по схеме вычитания дисперсии, играя роль блокирующего фильтра. Третий мон ох ро м ато р обеспечивает всю необходимую дисперсию для отделения рамановского сигнала от лазерного света.
Приемник и электроника счета фотонов.
Во время своих пионерских экспериментов в 1928 г. Раман регистрировал слабый неупруго рассеянный свет с помощью фотопластинок. В сущности, этот приемник обладал многими ценными свойствами современных систем. Фотопластинки имеют чувствительность, достаточную для измерения отдельных фотонов. Они являются многоканальными приемниками в том смысле, что могут измерять в одно и то же время много различных длин волн. Наконец, они могут накапливать сигнал в течение больших периодов времени — от нескольких часов до нескольких дней. Фотопластинки также обладают одним большим преимуществом по сравнению с современными приемными системами: они дешевы! Однако у них есть и некоторые серьезные недостатки: интенсивность почернения нелинейна относительно интенсивности света, и проводить преобразование сигнала в цифровую форму для целей анализа довольно затруднительно. Первым существенным продвижением вперед в фотоэлектрической (см. гл. 8) регистрации рамановских спектров было появление методов счета фотонов [7.62]. Вместо того, чтобы интегрировать все импульсы фототока, появляющиеся на аноде фотоумножителя, дискриминатор отбирает и считает лишь
импульсы с достаточно большой амплитудой, которые могли возникнуть только на фотокатоде. Фоновые импульсы (шум), которые остаются в таких системах, связаны с термоионной эмиссией электронов из фотокатода. Они могут быть сведены к минимуму путем охлаждения всего фотоумножителя до —20° С (с помощью термоэлектрических холодильников) или до температуры жидкого азота. Один из самых популярных фотоумножителей для рамановского рассеяния имеет фотокатод из GaAs, охлаждаемый до —20° С. В совокупности с хорошей системой счета фотонов такая приемная система имеет фоновый шум (или темновой счет), равный нескольким импульсам в секунду и динамический диапазон 106.
У описанной выше приемной системы имеется один существенный недостаток по сравнению с фотопластинкой. Она считает полное число фотонов, исходящих из спектрометра, не производя пространственного разрешения положений (и, следовательно, длин волн) фотонов. В результате рамановский спектр получают после сканирования выходного сигнала спектрометра в диапазоне длин волн, содержащих рамановский пик. Недавно появилось несколько доступных коммерческих многоканальных приемников. Эти системы основаны или на приборах с зарядовой связью (ПЗС), или на фотоумножителях с датчиками положения изо бра- же ния. Обзор подобных приемных систем дан Ченгом и Лонгом [7.63] и Тсангом [7.64]. Приемник ПЗС, в сущности, является современной телевизионной камерой. Его чувствительность может быть увеличена за счет добавления интенсификатора изображения. Последний состоит из фотокатода, как в фотоумножителе. В микрокана л ь н о й пластине происходит умножение возникших у катода фотоэлектронов в 106 4-107 раз. Она представляет собой соты из множества очень узких стекляных трубочек, внутренние стенки которых покрыты веществом, являющимся эмиттером вторичных электронов. Одна такая трубка с расширенным входом в форме воронки называется канальным электронным умножи телем (channeltron) (см. схематическое изображение на рис. 8.9). Между входным и выходным концами каждой стекляной трубочки приложено высокое напряжение. Когда электрон входит в нее и ударяется в стенку, вторичный эмиттер генерирует множество дополнительных электронов. Они, в свою очередь, генерируют вторичные электроны, ударяясь о стенку. Таким образом, создается лавина вторичных электронов по мере их движения вдоль узкой трубки. Люминофор, находящийся на выходном конце микроканальной пластины, превращает электронные импульсы обратно в более яркое изображение.
Фотоумножитель с датчиками положения изображения [7.65, 7.66] (так называемый mepsicron) имеет в основном такую же конструкцию, как и описанная выше, за тем исключением, что люминофор заменен на анод с четырьмя выходными контактами (рис. 7.20). Когда усиленный импульс электронов ударяется в анод, он создает на выходе четыре электрических импульса на этих четырех выходных контактах. Импульсы возникают в разное время в зависимости от положения электронного импульса на аноде. Специальная схема измеряет время задержки между появлением этих четырех импульсов. Аналоговый компьютер вычисляет по времени задержки положение первоначального электронного импульса на аноде. Рассматриваемый приемник обладает всеми преимуществами фотоумножителя плюс значительно более низкий темновой счет. Поскольку каждый элемент изображения (пиксель) равен одному «каналу», а площадь пикселя много меньше, чем у фотоумножителя, его темновой ток в расчете на один канал также много меньше. Темновой ток в таком приемнике при охлаждении может составлять всего 0,01 импульса/с на один канал. Главным недостатком этого приемника является ограниченный срок службы. Каждый раз, когда фотоэлектрон усиливается микроканальной пластиной, в ней испускаются положительные ионы и ускоряются в направлении фотокатода. В результате приемники имеют полное время жизни, равное 1013 фотоэлектронов/пиксель. Ясно, что их следует использовать только для очень слабых сигналов. По очевидным причинам динамический диапазон
позиционно-чувствительного изображенияпозиционно-чувствительного изображенияфотоэлектрического усилителяфотоэлектрического усилителяРис. 7.20. Схема конструкцииРис. 7.20. Схема конструкцииGaAsGaAsInPInPAlSbAlSb
позиционно-чувствительного изображения
позиционно-чувствительного изображения
фотоэлектрического усилителя
фотоэлектрического усилителя
Рис. 7.20. Схема конструкции
Рис. 7.20. Схема конструкции
GaAs
GaAs
InP
InP
AlSb
AlSb
Рис. 7.21. Рамановские спектры ТО и LO фононов в стоксовой и в антистоксовой областяхдля трех полупроводников типа цинковой обманки [7.67]
такого приемника мал, составляя обычно < 105 электронов/пиксель. Относительные характеристики многоканальных приемников ПЗС и мепсикрона сравнивались Тсан- гом [7.64].
Экспериментальные фононные рамановские спектры в полупроводниках.
Однофононные рамановские спектры.
На рис. 7.21 показаны рамановские спектры нескольких полупроводников группы III-V (GaAs, InP, AlSb), измеренные Мурадяном и Райтом [7.67]. Использовалась 90-градусная геометрия рассеяния, а в качестве источника возбуждения служил лазер Nd:YAG (с длиной волны 1,06 мкм) (отметим, что указанные полупроводники прозрачны для этой длины волны). В указанной геометрии в соответствии с правилами отбора, которые обсуждались в п. 7.2.2, разрешены как ТО, так и LO фононы. На рис. 7.22 приведены рамановские спектры Si, полученные Темплом и Хатавеем [7.68]
Рис. 7.22. Рамановские спектры Si первого (пик при 520 см™1) и второго порядков, полученные в геометрии, показанной на вставке (305 К) [7.68]Рис. 7.22. Рамановские спектры Si первого (пик при 520 см™1) и второго порядков, полученные в геометрии, показанной на вставке (305 К) [7.68]
Рис. 7.22. Рамановские спектры Si первого (пик при 520 см™1) и второго порядков, полученные в геометрии, показанной на вставке (305 К) [7.68]
Рис. 7.22. Рамановские спектры Si первого (пик при 520 см™1) и второго порядков, полученные в геометрии, показанной на вставке (305 К) [7.68]
в геометрии рассеяния назад, но при нескольких различных конфигурациях по поляризации. Эти конфигурации позволили авторам выделить компоненты рамановского тензора, имеющие различные симметрии. Обратите внимание на то, что наблюдается только один очень сильный однофононный пик у 519 см"1 (при 305 К), соответствующий оптическому фонону Si в центре зоны Бриллюэна (ТО и LO фононы вырождены в центре зоны в кристаллах типа алмаза; см. § 3.1). Согласно правилам отбора этот пик появляется только при таких конфигурациях рассеяния, когда разрешены компоненты Г^> рамановского тензора. В «запрещенных» конфигурациях он проявляется очень слабо, и очевидно, что его появление связано с несовершенством поляризаторов.
Двухфононные рамановские спектры.
Кроме однофононного пика Темпл и Хатавей наблюдали также ряд более слабых пиков, которые были идентифицированы как двухфононное рамановское рассеяние. Правила отбора для двухфононного рассеяния изучались рядом исследователей [7.69, 7.70], однако их обсуждение выходит за рамки настоящей книги. В Si разрешены компоненты двухфононного рамановского тензора с симметрией Г^>, G2 и G. Отметим, что пики и «плечи» в двухфононных спектрах напоминают структуру в трехмерной плотности состояний, связанной с критическими точками. Это не удивительно, поскольку, как отмечалось в п. 7.2.1, двухфононное рамановское рассеяние на обертонах имитирует фононную плотность состояний. Двухфононные пики в Si можно грубо разделить на три группы (подобные результаты имеют также место для полупроводников группы цинковой обманки, хотя фононные частоты для них другие). Широкий пик при низких энергиях в диапазоне 200 4- 450 см-1 на рис. 7.22 связан с обертонным рассеянием на акустических фононах. Несколько пиков вблизи однофононного пика — суммарные моды, состоящие из одного оптического и одного акустического фонона. Наконец, пик при высоких энергиях, расположенный между 900 и 1000 см-1, обусловлен рассеянием на обертоне оптического фонона. На рис. 7*23 приведен спектр двухфононного рамановского рассеяния Ge, полученный Вайнштейном и Кардоной [7.71]. Для его сравнения с экспериментальной плотностью фононных
ооОООО50500SK0S0 O0KS&K0K оойо»ой§^ OOKKOSfflsftK0SK0S0 O0KS&K0K оойо»ой§^ OOKKOSfflsftKОООООО2ОО2ООООо40о40ОО5ОО5о60о60_мс3,_мс3,
о
о
ОО
ОО
50
50
0SK0S0 O0KS&K0K оойо»ой§^ OOKKOSfflsftK
0SK0S0 O0KS&K0K оойо»ой§^ OOKKOSfflsftK
ОО
ОО
ОО
2
ОО
2
ОО
ОО
о
40
о
40
ОО
5
ОО
5
о
60
о
60
_мс
3,
_мс
3,
Рис. 7.23. Сравнение «приведенного» двухфононного рамановского спектра Ge (сплошная кривая) с плотностью двухфононных обертонных состояний (пунктир); цифры в скобках —— номера фононных ветвей, считая от нижних (ТА) к верхним (ТО) частотам; вертикальные штрихи — критические точки зоны Бриллюэна
состояний (полученной из нейтронных измерений), эти исследователи разделили ин™ тенсивность линейной комбинации「i + 4r12 двухфононных рамановских спектров на [7V(w)+ +1]2 (где N(ш)——функция распределения Бозе-Эйнштейна для фононной моды с частотой ш), чтобы исключить эффект функции распределения фоно™ нов. Двухфононная «обертонная» плотность состояний получена из однофононной плотности состояний, основанной на фононных дисперсионных кривых Ge [7.72], но с удвоенной фононной частотой. Между двумя кривыми наблюдается довольно хоро™ шее согласие, особенно в области акустических обертонов, за исключением наличия в спектре сильного и резкого однофононного пика у 300 см™1 (который не удалось полностью исключить вследствие несовершенства поляризаторов). Вертикальными штрихами обозначены критические точки зоны Бриллюэна, которые вносят вклад в структуру «обертонной» двухфононной плотности состояний.
Рамановские спектры полупроводниковых монослоев.
Создание источников лазерного излучения большой мощности сделало возмож™ ным измерение рамановских спектров непрозрачных полупроводников. При этом зон™ дируемая толщина образца имеет порядок величины оптической глубины проникно™ вения, которая обычно больше 100 нм. После появления многоканальных приемников оптического излучения стали возможны измерения рамановских спектров полупро™ водниковых материалов с монослойными толщинами. На рис. 7.24 в показан рама™ новский спектр двух монослоев Ge, нанесенных на подложку Si (100). Он получен путем вычитания спектра подложки Si (рис. 7*24 а) из спектра пленки Ge на под™ ложке Si (рис. 7*24 6). В отличие от рамановского спектра объемного Ge, у монослоя имеется дополнительный пик при 410 см™1. На рис. 7*25 приведена зависимость рамановских спектров монослоев Ge на подложке Si (100) от толщины. Для сравне™ ния на рис. 7*25 2 показан рамановский спектр объемного твердого раствора Ge—Si* В последнем также присутствует пик 410 см™1. Сильнее всего этот пик оказывается в спектре образца с двумя монослоями Ge. По мере увеличения толщины слоя Ge
Рис. 7.24. Рамановский спектр (в) от двух монослоев Ge, нанесенных на подложку Si(100), полученный путем вычитания спектра подложки Si («) из спектра пленки Ge (6) [7.64]
Рис. 7.25. Зависимость рамановских спектров нескольких монослоев Ge от толщины слоя Ge. Монослои Ge нанесены на подложку Si(100) и затем защищены слоем Si, толщиной 10 нм. Спектры получены путем вычитания спектра подложки. Спектр (а) соответствует объемному твердому раствору Ge—Si [7.64]
его интенсивность уменьшается относительно интенсивности рамановского пика, со™ ответствующего объемному ТО фонону Ge около 300 см™1. Приведенные наблюдения согласуются с интерпретацией пика около 410 см™1 как связанного с колебанием свя™ зи Ge—Si, которая образуется на интерфейсе между монослоем Ge и подложкой Si. Эти результаты свидетельствуют о громадных возможностях рамановской спектро™ скопии для характеризации полупроводниковых систем.
Рамановские спектры фононных поляритонов.
Обычно волновой вектор фонона, наблюдаемого при рамановском рассеянии, слиш= ком мал для того, чтобы с помощью полученных спектров можно было построить дисперсионные кривые в пределах всей зоны Бриллюэна (исключением является
Рис. 7.26. Сравнение теоретической дисперсии поляритонов в GaP (сплошные кривые) с экспериментальными значениями из [7.73] (□——къ в направлении [111], △——къ в направлении [100], о ——поликристаллический образец) («). Числами около экспериментальных точек показаны значения угла рассеяния J, определенного геометрией рассеяния (б"). Штриховыми линиями показано изменение рамановской частоты в зависимости от q при разных значениях 仇 Волновой вектор q на оси абсцисс умножен на Нс для того, чтобы его значения были в энергетических единицах (эВ). Возбуждение осуществлялось линией He-Ne лазера (1,96 эВ)
оригинальный метод рамановского рассеяния в рентгеновских лучах, см. рис. 3.6 и [3.28б]). Тем не менее, рамановское рассеяние оказывается хорошим методом для измерения дисперсии фононных поляритонов вблизи центра зоны (см. § 6.4). Взаимодействие между электромагнитным полем и волной поляризации, генерированной атомным колебанием, приводит к возникновению поляритонов, дисперсия которых дается выражением (6.114 б) (см. § 6*4)* Как показано на рис. 6.30, поляритоны об™ ладают значительной дисперсией при g < 105 см™1, т.е. в области, которую трудно зондировать с помощью рассеяния нейтронов, но удобно изучать с помощью раманов™ ского рассеяния, направленного вперед. На рис. 7.26 а сравниваются теоретическая дисперсия поляритонов в GaP, расчитанная с помощью выражения (6.114б), и зкспе- риментальные результаты, полученные для рассеяния вперед Генри и Хопфильдом [7.73]. Использованная ими геометрия рассеяния приведена на рис. 7.26 б. Штриховые кривые, отмеченные различными значениями J, показывают изменение расчетной ра= мановской частоты в зависимости от q для различных значений угла рассеяния J (за™ дача 7*6)* Хотя конфигурация рассеяния Генри и Хопфилда позволяла им наблюдать только нижнюю дисперсионную ветвь, нет никакого сомнения, что эксперименталь™ ная дисперсия поляритонов находится в прекрасном согласии с теорией.
Микроскопическая теория рамановского рассеяния. Для микроскопического описания неупругого рассеяния света в полупроводниках на фононах необхо™ димо указать состояние трех систем, принимающих в нем участие:
падающий и рассеянный фотоны с частотами о^ и ®$ соответственно;
электроны в полупроводнике;
фонон, принимающий участие в рассеянии.
В начальном состоянии |i) (до того, как происходит рассеяние) имеется, соответ™ ственно, N(cji) и 7¥(幻$) фотонов с частотами Gi и ®$. В полупроводнике существует также Nq фононов (предполагается, что температура Т не равна нулю), а все элек™ троны находятся в основном состоянии (т.е. валентные зоны полностью заполнены, а зона проводимости пуста). В конечном состоянии |f), после стоксова рамановского рассеяния, N((Ji) уменьшается на единицу, в то время как 7V(ws) и Nq увеличивав ются на единицу. С электронами изменений не происходит. На первый взгляд может показаться, что электроны не принимают участия в этом процессе рассеяния, и ио этому его можно описать гамильтонианом взаимодействия только между фотонами и фононами. Однако интенсивность данного взаимодействия очень мала, если только частоты фотонов и фононов не сравнимы по величине. Хотя возможность прямого (спонтанного) процеса рассеяния фотонов на фононах и рассматривалась теоретически [7.74], такой процесс, насколько нам известно, не был обнаружен эксперименталь™ но. Не исключено, что основным препятствием для подобного эксперимента является отсутствие лазеров и приемников отдельных фотонов в далекой инфракрасной обл а™ сти.
Если для возбуждения рамановского рассеяния в полупроводниках используются фотоны в видимой области спектра, то они в основном взаимодействуют с электрона™ ми посредством гамильтониана электрон^излучательного взаимодействия 我已艮(6.29). Рассеяние происходит в результате трех этапов.
Этап 1. Падающий фотон возбуждает полупроводник в промежуточное состоя™ ние \а) путем создания электрон-дырочной пары (или экситона).
Этап 2. Электрон-дырочная пара рассеивается в промежуточное с о с т о™ я и и е |Ь), испуская фонон посредством гамильтониана электрон-фононного взаимо™ действия ?/еТоп (см. § 3.3).
Этап 3. Электрон-дырочная пара совершает излучательную рекомбинацию из состояния |Ь), испуская рассеянный фотон.
Таким образом, электроны оказываются посредниками в процес™ се рамановского рассеяния на фононах, хотя их состояние ие ме = и я ется по окончании процесса рассеяния . Поскольку переходы электро™ нов являются виртуальными, сохранение энергии для них не обязательно, но волновой вектор должен сохраняться.
Мы видим, что спонтанное излучение рассеянного фотона происходит на этапе 3, поэтому описанный нами процесс называется спонтанным рамановским рассеянием^ в отличие от стимулированного рамановского рассеяния. В принципе, такие спонтан™ ные процессы рассеяния могут быть строго описаны только при квантовании поля излучения. Постараемся опять избежать этого, применив, как и в § 7.1, полуклассиче™ ский подход. Предположим, что существует векторный потенциал 4(®$), связанный с полем рассеянного излучения, что позволит расчитать вероятности рамановских переходов. Затем эту вероятность стимулированного рамановского излучения можно будет преобразовать в вероятность спонтанного рамановского излучения, использо™ вав соотношение (7.1) между коэффициентами Эйнштейна А и В. Здесь мы приве™ дем только вероятности стимулированного рассеяния, предоставив читателю самому провести преобразование и получить эффективность соответствующего спонтанного рассеяния.
Мир диаграмм Фейнмана. Если взаимодействия в рассмотренных выше процессах рамановского рассеяния слабы, вероятность рассеяния (для фононов) мож™ но рассчитать с помощью теории возмущений третьего порядка. Однако перечисление всех членов, входящих в такие вычисления возмущений третьего порядка, является отнюдь не тривиальной задачей. Обычно это делается систематически с помощью диаграмм Фейнмана. Детальное их обсуждение выходит за рамки настоящей книги. Вместо этого мы просто объясним, что они собой представляют и как ими пользо™ ваться для вычисления вероятности рассеяния. Читатели могут легко найти более подробные сведения во многих книгах по квантовой механике и по многоэлектрон™ ным проблемам (см., например, [7.75^7.77]).
Ниже приведены правила для получения фейнмановских диаграмм.
Пропагаторы
Фотон
:Элект рон - дырочная пара
'или экситон
Фонон
Вершины
• Гамильтониан электрон-излучательного взаимодействия M^r
□ Гамильтониан электрон 一 фононного взаимодействия Me-km
Рис. 7.27. Символы, используемые в диаграммах Фейнмана для представления рамановскогорассеяния
—Возбуждения типа фотонов, фононов и электрон^дырочных пар в рамановском рассеянии изображаются линиями (или пропагаторами") (рис. 7.27). Эти пропагато™ ры могут иметь обозначения, относящиеся к свойствам возбуждений, таким как их волновые векторы, частоты и поляризации.
—Взаимодействие между двумя возбуждениями изображается пересечением их пропагаторов. Оно называется вершиной и иногда отмечается символом в виде силош- ного кружка или пустого квадрата.
—Пропагаторы изображаются со стрелками, указывающими, создаются ли соот= ветствующие возбуждения (квазичастицы) в процессе взаимодействия или уничто™ жаются. Стрелки, обращенные к вершине, обозначают возбуждения, которые уни™ чтожаются, а направленные от вершины ——создающиеся возбуждения.
—Если существует несколько взаимодействий, то всегда предполагается, что они происходят последовательно слева направо, как функция времени.
—После того, как нарисована диаграмма для некоторого процесса, все другие возможные процессы получают, производя перестановки по времени появления вершин, встречающихся на данной диаграмме.
Следует отметить, что в разных публикациях могут встречаться небольшие изме™ нения в правилах изображения фейнмановских диаграмм.
Проиллюстрируем применение диаграмм Фейнмана, представив с их помощью ра= мановское рассеяние на фононах [7.77, 7.78]. Диаграмма для описанного выше рама™ новского процесса приведена на рис. 7.28 а. Остальные пять возможных перестановок порядка времени для трех вершин в этом процессе показаны на рисунках 7.28 6—е.
Следующий шаг после построения всех фейнмановских диаграмм заключается в том, чтобы выразить их в виде членов разложения вероятности рассеяния по воз™ мущениям. Вероятность рассеяния системы из начального состояния |i) в конечное состояние |f) может быть, как всегда, получена с помощью Золотого правила Фер™ ми (см. п. 5.2.4). Окончательные правила для перевода фейнмановских диаграмм
Рис. 7.28. Фейнмановские диаграммы для шести процессов рассеяния, вносящих вклад воднофононное (стоксово) рамановское рассеяние
в соответствующие члены разложения по теории возмущений [7.77] можно лучше все™ го проиллюстрировать с помощью примера. Рассмотрим диаграмму на рис. 7.28 а.
Первая вершина вносит в вероятность рассеяния член вида
(7.48)(7.48)『5|WeR(”i)|i〉
(7.48)
(7.48)
少仅®i - {En - Ei)]7
где |i)——начальное состояние,田 ——его энергия; \п)——промежуточное электронное состояние с энергией Еп. Знак 花Gi в знаменателе зависит от того, был ли квант с энергией 花Gi поглощен (знак +) или испущен (знак —)* Отметим, что в (7.48) произ™ водится суммирование по всем промежуточным состояниям \п). Если имеется вторая вершина (рис. 7.28 а), то член (7.48) умножается на подобный же член, что дает
(几1?4.r№(g0)卜几)(几1我eR(®i)1D(几1?4.r№(g0)卜几)(几1我eR(®i)1D^^,他以i _ (En —田)]他妨_(En 一 ^) — 花з0 — (Кn/ 一后也)]‘^^,他以i _ (En —田)]他妨_(En 一 ^) — 花з0 — (Кn/ 一后也)]‘(7.49 а)(7.49 а)
(几1?4.r№(g0)卜几)(几1我eR(®i)1D
(几1?4.r№(g0)卜几)(几1我eR(®i)1D
^^,他以i _ (En —田)]他妨_(En 一 ^) — 花з0 — (Кn/ 一后也)]‘
^^,他以i _ (En —田)]他妨_(En 一 ^) — 花з0 — (Кn/ 一后也)]‘
(7.49 а)
(7.49 а)
где \nf) — другое промежуточное состояние. Знак 花а。в знаменателе теперь отрица™ тельный, поскольку квант энергии (в данном случае ——фонон) испускается. Таким
образом, каждая вершина добавляет член, включающий матричный элемент гамиль™ тониана взаимодействия в числителе и энергетический член в знаменателе. Отметим, что второй энергетический знаменатель также включает энергетический знаменатель для первой вершины. Путем упрощения энергетических знаменателей можно пере™ писать (7.49 а) в виде
(7.49 б)(7.49 б)〈几'|?/е—ion(®0)kO〈几I我eR(®i)|i〉
(7.49 б)
(7.49 б)
~^, [^i — (^n — Ei)][flbJi —花®o — (En> — Ei)]
Этот процесс прод о лжается до тех пор, пока не будет достигнута последняя вершина на диаграмме. Поэтому диаграмма, содержащая п вершин, даст член, содержащий в числителе п матричных элементов. В принципе, должно также иметься п энергетиче™ ских членов в знаменателе. Однако последний энергетический знаменатель вы ража™ ет общее условие сохранения энергии и превращается в дельта^функцию. Например, последний энергетический член в знаменателе, соответствующем рис. 7.28 а, можно записать как
[花妨一(En - Ki) - 花®o — (Кn/ - еn)-丸3s - (Ef - E»)]=[花妨一花-花％ — (Ef -田)].
Мы уже отмечали, что рамановское рассеяние фотонов видимого света на фононах осуществляется посредством электронов. Однако с электронами не происходит изме™ нений по окончании процесса рассеяния, поэтому конечное состояние |f) в этом случае должно быть идентично начальному состоянию |i). Таким образом, последний член в знаменателе равен просто
flbJ[ — flbJQ —花®s .
Он должен обратиться в нуль вследствие условия сохранения энергии в рамановском рассеянии (см. п. 7.2.1). Поэтому при написании вероятности рассеяния с помощью Золотого правила указанный член нужно заменить дельта^функцией В [花Gi —花幻。一
Если диаграмма на рис. 7.28 а является единственным членом, вносящим вклад в процесс рассеяния, то вероятность рассеяния в соответствии с Золотым правилом имеет вид
/纪）丁〈i|WeR（“）|疗〉⑺'阳е-ion|k〉⑺阳eR（£i）|i〉 （方丿［亢зi -（ег -风）］［方毋-亢з0 -（后加一田）］/纪）丁〈i|WeR（“）|疗〉⑺'阳е-ion|k〉⑺阳eR（£i）|i〉 （方丿［亢зi -（ег -风）］［方毋-亢з0 -（后加一田）］1111X1111XX 8 [方u?i -力и?0-方g5].X 8 [方u?i -力и?0-方g5].(7.50 а)(7.50 а)
/纪）丁〈i|WeR（“）|疗〉⑺'阳е-ion|k〉⑺阳eR（£i）|i〉 （方丿［亢зi -（ег -风）］［方毋-亢з0 -（后加一田）］
/纪）丁〈i|WeR（“）|疗〉⑺'阳е-ion|k〉⑺阳eR（£i）|i〉 （方丿［亢зi -（ег -风）］［方毋-亢з0 -（后加一田）］
1111
X
1111
X
X 8 [方u?i -力и?0-方g5].
X 8 [方u?i -力и?0-方g5].
(7.50 а)
(7.50 а)
Чтобы получить вероятность рассеяния 吊h, обусловленную всеми шестью диаграм™ мами на рис. 7.28, необходимо сначала сложить их индивидуальные вклады, исполь™ зуя приведенные выше правила, а затем возвести в квадрат (задача 7*8):
27r % л Pph(g) = %〉/27r % л Pph(g) = %〉/〈i|%R(g)⑺⑺I%—е/М〉W%R®)|i〉
27r % л Pph(g) = %〉/
27r % л Pph(g) = %〉/
[花妨一(En - Ei)][hbJi -无- (еП,-田)]
〈i|%R(g)⑺⑺|%R(g)n〉〈疗陷―i°n|i〉
[花g - (Kn -后)][花伤一%％ - (En> - KQ]
++(7*506)(7*506)〈i|%R(%)⑺⑺陷―io"* W%R(伤)|i〉
+
+
(7*506)
(7*506)
[―%®s — (En — Ei)][—%®s —花 ®o — (Enr — Ki)]
(i1^eR(%)卜几)(几保eR(gi)卜方)(疗阳e.ion1i)
[一— (En -田)][一%3s + 花妨一(Enf —田)]
川我e—9"几)(几併eR(зi)W〉(疗併eR(S)1D
— (Еп — Ei)][—fibjQ + 花 eg — (En? — Ki)]
〈i|^e—io/几〉〈几併eR(S)W〉〈疗併eR(®i)|i〉*
X 8 (%®i -花g0 —花®s)
Подставив некоторые характерные значения для полупроводников вместо парамет™ ров в (7.50б), Лоудон [7*57] оценил эффективность рамановского рассеяния примерно как I。—" . 1()—7 (стерад • см)™1. Обычно (7.50б), несмотря на свой общий характер, не очень подходит для вычисления абсолютных значений эффективности раманов™ ского рассеяния из^за большого числа входящих в него неизвестных параметров (на™ пример, матричных элементов электрон-фононного взаимодействия).
Бриллюэновское рассеяние. Неупругое рассеяние света на акустических фононах было впервые предсказано Бриллюэном [7.53]. Поэтому данный тип рассе™ яния называется бриллюэновским. С точки зрения физики разница между раманов™ ским и бриллюэновским рассеянием очень мала. В случае полупроводников основное различие между ними возникает вследствие различия дисперсионных кривых для ои= тических и акустических фононов. За исключением инфракрасно^активных фононов (поляритонов), энергии оптических фононов обычно слабо меняются в диапазоне из™ менения волнового вектора g от 0 до 106 см^1 (что соответствует рассеянию назад). Напротив, дисперсия акустических фононов меняется линейно с д:
®ас(д)=普 асО,(7-51)
где ®ас и 普ас — угловая частота и скорость акустического фонона. Подставив (7.51) в соотношения для сохранения энергии и волнового вектора при рассеянии света в кристаллах, найдем бриллюэновскую частоту^ т.е. частоту акустического фонона шас, принимающего участие в бриллюэновском рассеянии [7.79]:
®ас(д)=(妨普 ac/e)[5i — %产 + 4几sill2 (6>/2)]1/2 ,(7 方 2)
где c — скорость света,几i и ns — показатели преломления среды при частоте падаю™ щего и рассеянного фотонов (几i 0 ns), 0 — угол рассеяния, определенный на рис. 7.26. В (7.52) мы пренебрегли членами более высокого порядка по vac/e, т.к. они обычно слишком малы для экспериментального обнаружения. Для большинства полупровод™ ников разница между п\ и ns также пренебрежимо мала и (7.52) можно упростить:
■@ac(q) (2yii3Rac/e) sin (J/2).(7*53)
Таким образом, одним из применений бриллюэновского рассеяния является определение 普ас ИЛИ П{.
Теоретически для строго заданного угла рассеяния спектральная форма бриллюэновского рассеяния, следующая из (7.53), является дельта^функцией. На практике пик оказывается уширенным из^за экспериментальных факторов, таких как конеч™ ный угол сбора рассеянного света и разрешение спектрометра. Помимо этих внешних факторов существуют собственные механизмы уширения, например, время жизни фо™ нона и непрозрачность образца. Пренебрежем внешними факторами и будем считать, что главным механизмом уширения является затухание акустического фонона с по™ стоянной затухания, равной Fg. Тогда бриллюэновский пик имеет лоренцеву форму:
人(必)="'2 丄 ■(7*54)
Многие полупроводники сильно поглощают свет на частотах лазеров, используе™ мых в экспериментах по рассеянию, таких как Аг и Кг ионные лазеры. Это ослабление лазерного света приводит к неопределенности волнового вектора фотона внутри полу™ проводника. Допустим, что показатели преломления 几i и ns являются комплексными:
(7.55 a)(7.55 6)(7.55 a)(7.55 6)几i =⑺+ ^i,几S=刀S +eK5)
(7.55 a)
(7.55 6)
(7.55 a)
(7.55 6)
где 刀 и к — реальная и мнимая часть п. Волновой вектор фотона теперь определяется через реальный показатель преломления:
(7*56 а)(7*56 а)к1 =攸/с,
(7*56 а)
(7*56 а)
в то время как мнимый показатель преломления приводит к «размазыванию» волно™ вого вектора фотона внутри полупроводника на величину
(7.56 6)(7.56 6)ки =件/с.
(7.56 6)
(7.56 6)
В результате бриллюэновский пик также уширяется в лоренцеву кривую вида [7.80]
厶 = c2[(g —月—а：)2‘+(什 + 依/)2『(7*57)
где /о ——параметр, зависящий от материала. Пайн и Дрессельгауз [7.81] обратили внимание на то, что если рассеяние происходит очень близко от поверхности образца (последнее имеет место в непрозрачных материалах), то акустический фонон состоит из падающей волны и волны отраженной от поверхности образца. При учете вкладов от обеих волн форма линии становится асимметричной лоренцевой. Форма линии, полученная Дервишем и Лоудоном [7.80], имеет вид
厶= 前[(g 一終一依)2 -(什+抬/产]+ 4(凡+依)2(什+依/)2 •(7*58)
Немного другое выражение было найдено Пайном и Дрессельгаузом [7.81]. Такая асимметричная лоренцева форма линии наблюдалась в спектрах бриллюэновского рассеяния многих полупроводников, как это будет показано в следующем пункте.
Экспериментальное измерение бриллюэновских спектров.
Техника эксперимента.
Поскольку разница частот между падающим и рассеянным светом в бриллюэнов™ ском рассеянии много меньше, чем в рамановском, и часто составляет несколько см™1, бриллюэновские спектры как правило анализируют не с помощью спектрометров с диффракционными решетками, а с помощью интерферометров ①абри—Перо. Так как многие полупроводники непрозрачны для видимых лазеров, интенсивность света, упруго рассеянного на несовершенствах поверхности, обычно довольно велика. Один интерферометр часто имеет недостаточный коэффициент подавления паразитного рассеянного света и разрешение недостаточное для того, чтобы отделить бриллю- эновский пик от сильного пика упругого рассеяния. Как и в рамановском рассеянии, эту проблему можно решить, используя несколько интерферометров, установленных последовательно (тандем). Подобная система показана на рис. 7.29 а. Она состоит из плоскопараллельного интерферометра Фабри-Перо (ППФП), за которым установлен конфокальный сферический интерферометр Фабри-Перо (КСФП). Первый интерферометр является предварительным фильтром для второго. Он помещен внутри камеры с инертным газом, давление которого может изменяться. Расстояние меж™ ду двумя параллельными зеркалами настраивается путем изменения давления газа
Рис. 7.29. Схема экспериментальной установки для измерения бриллюэновского рассеяния на основе последовательности двух интерферометров Фабри-Перо (а). Конструкция многопроходного интерферометра Фабри-Перо (6) [7.79]
внутри камеры. Расстояние между зеркалами в КСФП настраивается посредством пьезоэлектрических преобразователей (ПЭП).
Наиболее важным достижением в технике эксперимента по бриллюэновскому рас™ сеянию было изобретение Сандеркоком [7.82—7*84] многопроходного интерферометра Фабри-Перо (рис. 7.29 6). Благодаря тому, что рассеянный пучок с помощью ретро рефлекторов несколько раз проходит через один и тот же плоскопараллельны卤 ин™ терферометр, снимается проблема синхронизации между интерферометрами, уста™ новленными последовательно друг за другом.
Экспериментальные бриллюэновские спектры в полупроводниках.
На рис. 7.30 приведены некоторые спектры бриллюэновского рассеяния, измерен™ ные Сандеркоком [7.82, 7.83] в непрозрачных полупроводниках Si, Ge и GaAs. Свет возбуждающего лазера (488 нм) очень сильно поглощался в Ge и GaAs, тогда как для Si глубина проникновения была значительно больше. Асимметрия бриллюэнов™ ских спектров Ge и GaAs, связанная с непрозрачностью образцов, совершенно оче™ видна. Из известных скоростей акустических фононов Сандеркок [7.82] смог найти комплексный показатель преломления Ge.
Резонансные рамановское и бриллюэновское рассеяния. Уравнения (7.42) и (7.50) показывают, что из рамановского рассеяния, помимо энергий фононов, можно извлечь дополнительную информацию о среде. Для определения энергий фо ионов используется только условие сохранения энергии при рассеянии света. В попе™ речном сечении рассеяния, по крайней мере теоретически, содержится информация об электрон-фононном и электрон-фотонном взаимодействиях и об электронной зонной структуре. Обычно невозможно извлечь эту информацию вследствие суммирования по многим промежуточным состояниям, которое проводится в (7.50). Однако ее полу™
23 М. Кардона
2 о ао -3^ -JHUOKMSUK^HKS-JbuoKMSUX^bKS2 о ао -3^ -JHUOKMSUK^HKS-JbuoKMSUX^bKSLL
2 о ао -3^ -JHUOKMSUK^HKS
-JbuoKMSUX^bKS
2 о ао -3^ -JHUOKMSUK^HKS
-JbuoKMSUX^bKS
L
L
—20—1001020
Сдвиг частоты, ГГц
-3-2-10123
Волновое число, см™1
—8 —6 —4 —2 024—8 —6 —4 —2 0246868•^ -3^ cqBOH篤ИОНОЕНМ•^ -3^ cqBOH篤ИОНОЕНМВолновое число, смВолновое число, смРис. 7.30. Спектры Бриллюэна: GaAs («), Si (6) и Ge (в), измеренные с помощью многопроходного интерферометра Фабри-Перо. На вставке показана геометрия рассеяния; Я ——пик упругого рэлеевского рассеяния; £ ——бриллю- эновские пики, обусловленные продольными акустическими фононами
—8 —6 —4 —2 024
—8 —6 —4 —2 024
68
68
•^ -3^ cqBOH篤ИОНОЕНМ
•^ -3^ cqBOH篤ИОНОЕНМ
Волновое число, см
Волновое число, см
чение становится возможным в случае, когда только одно или небольшое число проме™ жуточных состояний вносят основной вклад в (7.50). Достичь этого можно, настроив возбуждающий лазер в резонанс с сильным межзонным переходом. Увеличение попе™ речного сечения рамановского рассеяния вблизи электронного резонанса называется резонансным рамановским рассеянием. Аналогично определяется ре™ зонансное бриллюэновское рассеяние. Такая рамановская ибриллюэнов™ с кая спектроскопия возбуждения нуждается в качестве источников возбуждения в перестраиваемых лазерах. Как уже отмечалось в п. 7.2.3, в настоящее время существуют различные типы непрерывно перестраиваемых лазеров, таких, например, как лазеры на красителях. Зависимость рамановского (бриллюэновского) поперечного сечения от энергии фотона называется спектром возбуждения рамановского рассеяния (бриллю™ эновского рассеяния) или резонансным рамановским (бриллюэновским) контуром.
При резонансных условиях возбуждения можно рассматривать вклады в вероят™ ность рассеяния от нерезонансных членов как постоянные величины. Кроме того, из шести фейнмановских диаграмм, включающих резонансное состояние, наибольший вклад вносит изображенная на рис. 7.28 а. Чтобы показать это, предположим, что начальным электронным состоянием является основное состояние |0) полупроводни™ ка, в котором нет возбужденных электрон-дырочных пар, и примем энергию этого состояния равной нулю. Обозначим через \а) промежуточное резонансное состояние с энергией Еа. Вероятность рамановского рассеяния для заданной фононной моды вблизи Еа можно приближенно представить в следующем виде (после суммирования по 5, чтобы убрать дельта-функцию):
尸ph（5）尸ph（5）〜 包〈0|丸eR(Gi)|G S阳ionIG〈&|丸eR(“)|0〉〜 包〈0|丸eR(Gi)|G S阳ionIG〈&|丸eR(“)|0〉方方(石а -力3i)(石a -右3s)(石а -力3i)(石a -右3s)+ ° ,+ ° ,(7.59)(7.59)
尸ph（5）
尸ph（5）
〜 包〈0|丸eR(Gi)|G S阳ionIG〈&|丸eR(“)|0〉
〜 包〈0|丸eR(Gi)|G S阳ionIG〈&|丸eR(“)|0〉
方
方
(石а -力3i)(石a -右3s)
(石а -力3i)(石a -右3s)
+ ° ,
+ ° ,
(7.59)
(7.59)
где С ——постоянный фон. Отметим, что в (7.50) есть другие члены, содержащие в сво их знаменателях или (石^一％®i),设门设(石%®s)“ Они тоже будут приводить к усилению, когда 花®i окажется вблизи Еа. Однако разность между 花幻；и 花®$ равна энергии фо™ нона и обычно мала по сравнению с электронными энергиями. При малой (Еа —花с^) также будет мала (Еа —方у). Следовательно, член, который мы включили в (7.59), содержит «почти» два резонансных знаменателя, тогда как другие члены — самое большее один. (За исключением особых случаев эти два резонансных знаменателя не обращаются в нуль одновременно. Случай, когда Еа =方妨,называется входным резонансом, а случай Еа =方у — выходным резонансом). Поэтому мы объединили все менее резонансные члены в постоянную С. Важно отметить, что для получения вероятности рассеяния надо сначала прибавить постоянный член С к резонансному члену, а потом возвести сумму в квадрат. Это означает возможность интерференции резонансного члена с членом С в зависимости от знака. Хотя такие интерференционные эффекты отнюдь не являются редкими [7.85, 7.86], здесь мы ими пренебрежем. В таком приближении постоянный член можно вынести за квадрат модуля в (7.59).
Если энергия падающего фотона 方д, или энергия рассеянного фотона 方у становится резонансной с Еа, (7.59) расходится (энергетический знаменатель обращается в нуль). Чтобы избежать этой лишенной физического смысла ситуации, необходимо предположить, что промежуточное состояние \а) имеет конечное время жизни та вследствие процессов радиационного и нерадиационного затухания. В результате следует заменить Еа на комплексную энергию Еа — 1Га^ где Га ——постоянная затухания [7.1], связанная с та выражением Га =花/丁联 Если резонансное состояние Еа является дискретным (как связанное состояние экситона) и достаточно хорошо отделено от других промежуточных состояний, то вероятность рамановского рассеяния вбли-
зи Еа может быть записана в виде 乃
I»27r
(0|WeR(ws)|a) (a|We-iOn|o) (o|^eR(^i)|0)
2
(石a —克3i — i^a)(Ea —冇3s iTa)
.(7.60)
В случае, когда фонон, принимающий участие в рамановском рассеянии, имеет не пренебрежимо малую постоянную затухания /}), она также может быть включена в (7.60) путем замены %®$ на 丸5 —(花幻。一〃/})).
В общем случае поведение поперечного сечения рамановского рассеяния при резо™ нансных условиях зависит от того, образуют ли промежуточные состояния континуум или нет. В случае резонанса с экситоном результаты зависят от силы осциллятора экситона и его постоянной затухания. Рассмотрим некоторые типичные примеры ре™ зонансного рамановского и бриллюэновского рассеяния.
Резонансное рамановское рассеяние вблизи континуума поглощения.
Для простоты рассмотрим резонансное рамановское рассеяние вблизи прямой за™ прещенной зоны между сферическими зоной проводимости и валентной зоной. Кроме того, предположим, что: 1) волновые векторы падающего и рассеянного фотонов и фонона пренебрежимо малы и 2) три матричных элемента в (7.60) имеют постоянную величину и не зависят от волновых векторов. С этими упрощениями зависимость 耳卜 от энергии падающего фотона 花妨 можно выразить как
(7.61)(7.61)ph(力®о)Еа —方— 5「а石а —花5 — 〃「а
(7.61)
(7.61)
Использовав (4.51), чтобы записать (Еа — 乱心 —〃丁а)~в виде суммы реальной и мнимой частей, а затем, сравнив результат с выражениями (6.48) и (6.49) для реальной и мнимой частей диэлектрической функции вблизи прямой запрещенной зоны, мы можем выразить Рр^ через комплексную диэлектрическую функцию £：
尸ph 8 (瓦丁) 1£(妨)-£(5)『*(7*62)
Мартин [7.82 б] получил более строгий вывод этого результата, а также выяснил вли™ яние не равных нулю волновых векторов на резонансное рамановское рассеяние.
В пределе, когда энергия фонона стремится к нулю, можно переписать (7.62) в виде
1
Pph ос —回―％『》(7.63)
九Go
Поскольку частота фонона в бриллюэновском рассеянии очень мала, (7.63), по™види™ мому, более справедливо для описания экспериментов по резонансному бриллюэнов™ скому рассеянию. Можно считать, что выражение (7.63) позволяет трактовать ре™ зонансное рамановское или бриллюэновское рассеяние как тип модуляционной спек™ троскопии. К тому же выводу можно придти, исходя из макроскопической теории рамановского рассеяния (см. п. 7.2.1). В этом подходе колебания атомов модулиру™ ют электрическую восприимчивость х (а следовательно, и диэлектрическую функ™ цию) на частоте фонона. Если затухание электронов больше, чем частота фонона 幻“ то результирующая осцилляция электронов является передемпфированной и моду™ ляция воспринимается ими как статическая. В результате член (dx/dQ)o в рама™ новском тензоре R (см. (7.37)) можно считать производной х по статической
I)У читателя может вызвать удивление, почему член № из (7.42) не входит в (7.60). Ответ на этот вопрос можно найти в [7.82 а].
модуляции Q* Например, если оптический фонон с амплитудой Q изменяет энер™ гию запрещенной зоны на 3Eg, то 冗 пропорционален (дх/дЕё) для энергии фотона вблизи Eg. В пределах этого приближения дисперсия рамановской интенсивности /s пропорциональна Px/3£?g|2 или \де/дЕ\2. Тензор 冗 для бриллюэновского рассея™ ния (бриллюэновский тензор) является, по существу, производной х по деформации (т.е. так называемыми упругооптическими постоянными), свернутой с деформацией, индуцированной соответствующим акустическим фононом (задача 7.7).
Сравнение (7.63) с экспериментом затруднено из-за того, что для большинства полупроводников типа алмаза и цинковой обманки наинизшая запрещенная зона со ответствует двум переходам (£?□ к / + △□)? расщепленным из-за спин-орбитального
5Г『О一/7r(s0br5Г『О一/7r(s0br103103106106104104-1,0 -0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,4h(©L-Q)), эВ-1,0 -0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,4h(©L-Q)), эВРис. 7.31. Поперечное сечение рамановского рассеяния на ТО фононе в GaP при комнатной температуре в зависимости от разности частот падающего фотона nl и запрещенной зоны шо- Крестики ——экспериментальные данные, кривые ——теоретический расчет. Штриховая кривая соответствует вкладу только от перехода Ко, а сплошная учитывает также вклад от перехода Eq + △(). В обоих случаях в качестве ширины запрещенной зоны использовано ее действительное значение шо плюс половина частоты фонона J?o [7.88]Рис. 7.31. Поперечное сечение рамановского рассеяния на ТО фононе в GaP при комнатной температуре в зависимости от разности частот падающего фотона nl и запрещенной зоны шо- Крестики ——экспериментальные данные, кривые ——теоретический расчет. Штриховая кривая соответствует вкладу только от перехода Ко, а сплошная учитывает также вклад от перехода Eq + △(). В обоих случаях в качестве ширины запрещенной зоны использовано ее действительное значение шо плюс половина частоты фонона J?o [7.88]
5Г『О一/7r(s0br
5Г『О一/7r(s0br
103
103
106
106
104
104
-1,0 -0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,4
h(©L-Q)), эВ
-1,0 -0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,4
h(©L-Q)), эВ
Рис. 7.31. Поперечное сечение рамановского рассеяния на ТО фононе в GaP при комнатной температуре в зависимости от разности частот падающего фотона nl и запрещенной зоны шо- Крестики ——экспериментальные данные, кривые ——теоретический расчет. Штриховая кривая соответствует вкладу только от перехода Ко, а сплошная учитывает также вклад от перехода Eq + △(). В обоих случаях в качестве ширины запрещенной зоны использовано ее действительное значение шо плюс половина частоты фонона J?o [7.88]
Рис. 7.31. Поперечное сечение рамановского рассеяния на ТО фононе в GaP при комнатной температуре в зависимости от разности частот падающего фотона nl и запрещенной зоны шо- Крестики ——экспериментальные данные, кривые ——теоретический расчет. Штриховая кривая соответствует вкладу только от перехода Ко, а сплошная учитывает также вклад от перехода Eq + △(). В обоих случаях в качестве ширины запрещенной зоны использовано ее действительное значение шо плюс половина частоты фонона J?o [7.88]
взаимодействия. На рис. 7.31 показаны теоретическая и экспериментальная зависи™ мости поперечного сечения рамановского рассеяния на ТО фононе в GaP при комнат™ ной температуре от разности частот падающего фотона и запрещенной зоны. Более поздние низкотемпературные результаты для GaP, в которых разделяются входной и выходной резонансы, приведены в [7.89].
Рамановское рассеяние в резонансе с экситонами.
Свободные экситоны.
На рис. 7.31 увеличение рамановского поперечного сечения при резонансе всего на два порядка больше нерезонансного фона. Кроме того, из этих измерений была получена только ограниченная информация относительно электрон-фононного взак- модействия и зонной структуры. Важная роль экситонов в качестве промежуточных резонансных состояний отмечена Бирманом с сотрудниками [7.90, 7.91]. Ими показано, что свободные и связанные экситоны вследствие их малой постоянной затухания при низких температурах приводят к увеличению рамановского поперечного сечения на несколько порядков. Сильные резонансные эффекты сделали возможным наблюдение
новых явлении, таких как зависящее от волнового вектора взаимодействие электронов с LO фононами, запрещенные электрические дипольные переходы, рамановское рас™ сеяние более высоких порядков с участием более трех фононов и измерение дисперсии экситонов. Этим областям посвящено множество обзоров [7.78, 7.92, 7.93]. Здесь мы ограничимся упоминанием некоторых репрезентативных результатов.
С помощью (7.60) можно записать вероятность рамановского рассеяния на фононе вблизи экситонной серии, индексированной главным квантовым числом п (см. § 6.3),
22с 27rPphс 27rPphу〈3丸eR(®i)k0 51 丸ionW〉⑺ 1 丸eR(“)|0〉у〈3丸eR(®i)k0 51 丸ionW〉⑺ 1 丸eR(“)|0〉(7.64)(7.64)как
2
2
с 27r
Pph
с 27r
Pph
у〈3丸eR(®i)k0 51 丸ionW〉⑺ 1 丸eR(“)|0〉
у〈3丸eR(®i)k0 51 丸ionW〉⑺ 1 丸eR(“)|0〉
(7.64)
(7.64)
В частном случае, когда экситонное состояние 1s является единственным важным промежуточным состоянием, (7.64) можно упростить:
⑼丸eR（妨）卩〉（"丸ё-i。n|D（11丸eR（5）］0〉⑼丸eR（妨）卩〉（"丸ё-i。n|D（11丸eR（5）］0〉(7.65)(7.65)
⑼丸eR（妨）卩〉（"丸ё-i。n|D（11丸eR（5）］0〉
⑼丸eR（妨）卩〉（"丸ё-i。n|D（11丸eR（5）］0〉
(7.65)
(7.65)
в 1в 110510410310210105104103102109/419/41
в 1
в 1
10510410310210
10510410310210
9
/
41
9
/
41
Пример резонансного рамановского рассеяния вблизи такого единственного изоли™ рованного экситонного уровня встречается в слоистом полупроводнике GaSe. Квази™ двумерная природа кристаллической структуры GaSe приводит к увеличению знер・ гии связи его экситона и силы осцилляции. На рис. 7.32 видно усиление рамановского поперечного сечения при рассеянии на LO фононе с частотой 255 см™1, когда энергия возбуждения близка к энергии экситона с n = 1 при 2,102 эВ [7.89]. Обратите внимание на то, что как в стоксовой, так и в антистоксовой областях, согласно (7.65),
:(自191負)
户 о 255 см4 L0 фонон (антистокс)
255 см4 LO фонон (стокс)
512 смч2ЬО фонон
765 см4 3LO фонон
口 1020 cm44LO фонон
2,052,102,152,20 hv,3B
Рис. 7.32. Увеличение поперечного сечения рамановского рассеяния на LO фононе 255 см—' в GaSe в зависимости от энергии падающего фотона при Т = 80 К. Для облегчения восприятия через экспериментальные точки проведены штриховые кривые. Стрелка с буквой X обозначает пик, соответствующий входному резонансу; Х-LO ——выходному резонансу [7.94]
имеется два резонансных пика одинаковой интенсивности. Один из этих пиков, соот™ ветствующий входному резонансу, появляется, когда в резонансе с экситоном нахо™ дится энергия падающего фотона 花幻丿 Второй пик является результатом резонанса с экситоном для рассеянного фотона с энергией 花®$ и соответствует выходному резо™ нансу. Отметим, что выходной резонанс в антистоксовой моде расположен на энергию одного фонона ниже энергии экситона. Причиной столь большого усиления является то, что затухание экситона составляет всего около 3 мэВ. На рис. 7.32 наблюдается сильный резонанс не только для однофононных мод, но и для мод более высокого порядка. Обратите внимание на то, что в таких многофононных резонансных рамановских контурах пики, соответствующие выходным резонансам, обычно сильнее пиков, соответствующих входным резонансам. Позднее мы вернемся к этому вопросу.
Связанные экситоны.
Связанные экситоны (см. п. 7.1.4), имеющие «гигантскую» силу осциллятора [7.95] и большие безызлучательные времена жизни, также являются хорошими кандидата™
ми для изучения резонансного рамановского рассеяния. Естественно предположить,
что экситон, сильно локализованный вблизи примеси, будет сильно взаимодейство™
вать с колебательными модами этой примеси. Ес™ ли колебательные моды также локализованы вблизи примеси, они называются локальными модами [7.96а]. Таким образом, особенно существенное уск『 ление локальных мод данной примеси ожидается при резонансе с экситонами, связанными на этой примеси. При указанных условиях резонансное ра™ мановское рассеяние может быть полезным мето™ дом для изучения малых количеств примесей в кристалле. В качестве примера на рис. 7.33 показано резкое и очень большое усиление колебательной моды мелкой донорной примеси С1 в CdS с частотой 116 см-1, измеренной при 2 К [7.96б]. Резонанс происходит при 2,5453эВ и обусловлен экситонами, связанными на мелких донорах С1. Образец содержит 2 • 1017 см-3 С1. При столь малой концентрации рамановский сигнал от колебательных мод С1 в нормальных условиях был бы слишком слаб для обнаружения. Сплошная кривая на рис. 7.33 построена с помощью выражения (7.65), модифицированного с учетом затухания колебательной моды примеси:
(01丸eR(妨)切 ®丸кж1Ь〉®丸eR(5)]0〉" Ph 〜庐 (矶一花妨一〃丁b)(Eb -花5 —，
Рис. 7.33. Зависимость увеличения интенсивности рамановского рассеяния колебательной моды 116 см-1, соответствующей донорам С1 в CdS с концентрацией 2 • 10，' см-3, от энергии падающего фотона. Стрелкой 【2 обозначена энергия экситона, связанного на донорах С1, определенная из спектра фотолюминесценции. Сплошная кривая построена с помощью (7.66) в предположении, что матричные элементы являются константами [7.96 6]. Температура равна 2 КРис. 7.33. Зависимость увеличения интенсивности рамановского рассеяния колебательной моды 116 см-1, соответствующей донорам С1 в CdS с концентрацией 2 • 10，' см-3, от энергии падающего фотона. Стрелкой 【2 обозначена энергия экситона, связанного на донорах С1, определенная из спектра фотолюминесценции. Сплошная кривая построена с помощью (7.66) в предположении, что матричные элементы являются константами [7.96 6]. Температура равна 2 К(7.66) где 石ь к Лэ — энергия и затухание связанного экситона соответственно, а Д)— затухание примесной колебательной моды. Такая модификация была необходима, поскольку Д)(равное 2,8мэВ) больше, чем 10Fb (Лэ = 0,25 мэВ). Вследствие большого Го выходной резонанс примерно в 100 раз слабее входного резонанса.
Рис. 7.33. Зависимость увеличения интенсивности рамановского рассеяния колебательной моды 116 см-1, соответствующей донорам С1 в CdS с концентрацией 2 • 10，' см-3, от энергии падающего фотона. Стрелкой 【2 обозначена энергия экситона, связанного на донорах С1, определенная из спектра фотолюминесценции. Сплошная кривая построена с помощью (7.66) в предположении, что матричные элементы являются константами [7.96 6]. Температура равна 2 К
Рис. 7.33. Зависимость увеличения интенсивности рамановского рассеяния колебательной моды 116 см-1, соответствующей донорам С1 в CdS с концентрацией 2 • 10，' см-3, от энергии падающего фотона. Стрелкой 【2 обозначена энергия экситона, связанного на донорах С1, определенная из спектра фотолюминесценции. Сплошная кривая построена с помощью (7.66) в предположении, что матричные элементы являются константами [7.96 6]. Температура равна 2 К
Экситоны, запрещенные в электрическом дипольном прибли™ же н и и .
17390 1741017390 17410Преимущества необычно сильного увеличения поперечного сечения рамановского рассеяния при резонансе с резкими экситонами можно использовать для изучения слабых экситонов, запрещенных в электрическом дипольном приближении. В п. 6.3.2 уже отмечалось, что в центросимметричном кристалле CU2O состояние 15, соответствующее нижнему энергетическому состоянию экситонной серии (известной также, как желтая экситонная серия) запрещено в электрическом дипольном прибли™ жен и и вследствие правил отбора по четности. Последнее также справедливо для более высоких состояний той же серии с 5 и D симметрией. Эти уровни могут возбуждаться оптически посредством электрических квадрупольных и магнитных дипольных пе™ реходов. Однако их очень трудно наблюдать при измерениях поглощения, поскольку они маскируются переходами с Р симметрией, слабо разрешенными в электрическом дипольном приближении. Фононы в центре зоны Бриллюэна в CU2O также обладают определенной четностью (задача 3.1). Большинство из них являются нечетными, и по этому не активны в рамановском рассеянии. Вашингтон и др. [7.97] воспользовались этими правилами отбора по четности и наблюдали увеличение поперечного сечения рамановского рассеяния нечетных фононов в CU2O при резонансе с запрещен™ ными экситонами. Им удалось с хорошей точностью определить энергии нормально запрещенных 5 и D экситонных серий с помощью резонансного рамановского рассея™ ния. Полученные экспериментальные результаты для моды 109 см™1 с симметрией Г^ (также обозначаемой как Г^ или FQ представлены на рис. 7.34.
17390 17410
17390 17410
- 3SЗД 3尸 3。2 4S 4Д 4Р4А 5S
17360 17380 17400 17420 17440 17460 17480 17500
1021010210Уровень шумаУровень шумаиз+xg.I 03+QE Iиз+xg.I 03+QE I3+ss — a+x: 03+Q*3+ss — a+x: 03+Q*117480 17500 17520 17540 17560 17580 17600-1Рис. 7.34. Зависимость увеличения поперечного сечения рамановского рассеяния нечетной моды (109 см~1) в CU2O от энергии падающего фотона в области желтой экситонной серии: пики в спектре возбуждения рамановского рассеяния, идентифицированные как входные резонансы с S и D-экситонами, запрещенными в электрическом дипольном приближении (а) и пики, идентифицированные как выходные резонансы (6); Т = 4К [7.97]117480 17500 17520 17540 17560 17580 17600-1Рис. 7.34. Зависимость увеличения поперечного сечения рамановского рассеяния нечетной моды (109 см~1) в CU2O от энергии падающего фотона в области желтой экситонной серии: пики в спектре возбуждения рамановского рассеяния, идентифицированные как входные резонансы с S и D-экситонами, запрещенными в электрическом дипольном приближении (а) и пики, идентифицированные как выходные резонансы (6); Т = 4К [7.97]
102
10
102
10
Уровень шума
Уровень шума
из+xg.I 03+QE I
из+xg.I 03+QE I
3+ss — a+x: 03+Q*
3+ss — a+x: 03+Q*
1
17480 17500 17520 17540 17560 17580 17600
-1
Рис. 7.34. Зависимость увеличения поперечного сечения рамановского рассеяния нечетной моды (109 см~1) в CU2O от энергии падающего фотона в области желтой экситонной серии: пики в спектре возбуждения рамановского рассеяния, идентифицированные как входные резонансы с S и D-экситонами, запрещенными в электрическом дипольном приближении (а) и пики, идентифицированные как выходные резонансы (6); Т = 4К [7.97]
1
17480 17500 17520 17540 17560 17580 17600
-1
Рис. 7.34. Зависимость увеличения поперечного сечения рамановского рассеяния нечетной моды (109 см~1) в CU2O от энергии падающего фотона в области желтой экситонной серии: пики в спектре возбуждения рамановского рассеяния, идентифицированные как входные резонансы с S и D-экситонами, запрещенными в электрическом дипольном приближении (а) и пики, идентифицированные как выходные резонансы (6); Т = 4К [7.97]
Эти результаты можно объяснить на основании выражения (7.50а). Предполо™ жим, что одно из экситон-фотонных взаимодействий (обозначенное 兄彘)поскольку оно нечетное) является электрическим дипольным переходом, а другой переход —— электрический квадрупольный или магнитный дипольный (兄%). Из двух промежуточных экситонных состояний п и п/ одно опять будет четным (например, экситоны желтой серии в состоянии S или D), в то время как другое будет нечетным (т.е. F-состояния желтой экситонной серии CU2O). Следует вспомнить, что эти симмет™ рии относятся только к симметриям огибающих экситонных функций. Полная функ™ ция экситона получается при умножении огибающих функций на функции Ванье для электрона и для дырки (см. (6.72)). Поскольку энергии связи экситонов жел™ той серии в CU2O малы, можно вместо функций Ванье использовать периодические блоховские функции для соответствующих краев зон [см. (4.32)], которые обе оказы™ ваются четными: край поглощения CU2O является прямым, но запрещенным (см. п. 6.2.7). Соответственно, переходы посредством взаимодействия 兄彘 в экситонные состояния с четной огибающей функцией будут запрещены (в дипольном приближе™ нии), а переходы в состояния с нечетной огибающей волновой функцией разрешены. В случае квадрупольных или магнитных дипольных переходов, индуцированных взаимодействием 兄九)будет справедливо обратное. Учитывая эти результаты, можно переписать выражение (7.50 а) так, чтобы все матричные элементы в числителе были не равны нулю:
р ^肛〈(W/R(妨巾〃Q〉5'(Q|兄eTon^S" 0)〉5(S, 3弘R(“)|0〉 ph 花 _花g -。几)(后冷一花5 -。乙)
(7.67)(7.67)〈3兄+“(g)ki(S, 0)〉5(S, D)M—кж卜〃Q〉6(Q|兄eR(s)|0〉(En -花妨一1гn)(еnf -花С* -0丁标)
(7.67)
(7.67)
при условии, что в электрон-фононном взаимодействии 兄е—Еп, связывающем два со™ стояния с противоположной четностью, участвует фонон с нечетной симметрией. Обычно матричные элементы электрических квадрупольных и магнитных дипольных переходов в (7.67) бывают на несколько порядков меньше матричных элементов электрических дипольных переходов. В принципе, такие «запрещенные» (в соответ™ ствии с рамановскими правилами отбора, приведенными в п. 7.2.2) фононные моды должны быть слишком слабыми для обнаружения. Однако малые оптические матричные элементы означают и малые вероятности излучательного затухания, т.е. малые постоянные затухания в том случае, когда можно пренебречь вероятностью безызлучательного затухания. При резонансе малые постоянные затухания в знаменателях выражения (7.67) более чем «компенсируют» малость матричных элементов в числителе, поскольку постоянные затухания пропорциональны квадратам оптических матричных элементов. Эти соображения особенно применимы к уровню 15, время жизни которого составляет около 1,5 нс и определяется его распадом в более низкое энергетическое состояние параэкситона [7.98].
На основании (7.67) можно сделать следующие предположения: 1) только нечетные фононные моды усиливаются при резонансе с 5 и D экситонными состояниями; 2) как нечетные, так и четные фононы усиливаются при резонансе с F-состояниями экситона; 3) как входные, так и выходные резонансы должны наблюдаться для S- ,F- и D-состояний. Из рис. 7.34 а видно, что резонансы с 3F- и 4Р-состояниями действительно наблюдаются, хотя они и слабее, чем резонансы с 5- и D-состояниями. Предположительно это связано с их большими постоянными затухания, поскольку Р- состояния имеют большую вероятность радиационного распада. Выходные резонансы также исследовались Вашингтоном и др. [7.97] (рис. 7.34 б). Кроме моды Г^ в CU2O наблюдалось усиление и других нечетных фононов в хорошем согласии с (7.67).
Зависимость экситон-LО фононного взаимодействия от вол™ нового вектора.
Теоретически определить величину электрон-фононного взаимодействия можно путем измерения резонансного рамановского контура. На практике это довольно труд™ но, поскольку необходимо знать абсолютные значения рамановского поперечного се™ чения. Пока это удалось сделать только в нескольких случаях [7.94—7.96]. Гораздо проще с помощью резонансного рамановского рассеяния получить информацию ка™ чественного характера или относительные величины электрон-фононного взаимодей™ ствия. В качестве примера такого применения рассмотрим зависимость зксктон—LO фононного (фрёлиховского) взаимодействия от волнового вектора и важную роль, которую это взаимодействие играет в резонансном рамановском рассеянии.
В п. 3.3.5 исследовалось фрёлиховское взаимодействие, возникающее при взаимо™ действии электрона и макроскопического продольного электрического поля, создава™ емого LO фононом. Подобное же взаимодействие для дырок можно получить, просто изменив знак заряда. Экситон состоит из коррелированного движения электрона и дырки. Приведем без вывода гамильтониан фрёлиховского взаимодействия Wf,x для экситона, образованного из сферических зон электрона и дырки с эффективными массами те и ть [7.27]. Гамильтониан Wf,x будет легче понять, если мы выразим его через операторы рождения и уничтожения фононов (С+д и Cq соответственно, см. также (3.22), (3.37)) и экситонов (а% и ак соответственно, где К — волновой вектор экситонов):
Wf,x = (iCF/q^lexp^ipbq •『)一 exp(ipeq • r)](a+ K+qaKXC++ CJ (7.68)
Здесь Cr — тот же коэффициент, что был введен в (3.39), г — относительное по™ ложение электрона и дырки, определенное в (6.76), величины ре и рь определяются следующим образом:
Ре = ., Ph =.
me + тьme + mh
Член к+д^кС^-q в (7.68) описывает рассеяние экситона из состояния с волновым вектором К в состояние К + q с испусканием LO фонона с волновым вектором —q. Подобным же образом оставшийся член описывает рассеяние экситона, происходящее с поглощением LO фонона.
Можно показать, что матричный элемент Wf,x для состояния экситона 1s с бо™ ровским радиусом «в имеет вид (см. [7.27, 7.87, 7.97])
I
|(1s|Wf,xI1s)I =—242 —丄/ 1.(7.70а)
Зависимость квадрата этого матричного элемента от дав показана на вставке, разме™ щенной на рис. 7.35 для ре = 0,4 к 〃h = 0,6. Она имеет следующие важные особен™ ности: 1) квадрат матричного элемента |(1s|Wf,x|15)|2 обращается в нуль при g = 0 и возрастает как д2 при дав《1; 2) он достигает максимума при дав pj 2; 3) он снова уменьшается до нуля при больших дав- Такое поведение можно объяснить с помощью следующих простых соображений. Для g = 0 макроскопическое электри™ ческое поле LO фонона однородно в пространстве. Поскольку экситон нейтрален, его энергия не может быть изменена однородным полем. Для малых, но не равных нулю значений д, знаменатели в (7.70 а) можно разложить по степеням д, получив в первом порядке
I(1s|Wf x|1s〉| u •(7.706)
'me + mh
Следовательно, этот матричный элемент пропорционален д, как и матричный элемент для оптических квадрупольных переходов. Отметим, что (7.70а), а также (7.70б),
в точности равны нулю при всех знамени™ ях д, когда те = ть- Последнее от ража™ ет тот факт, что действие электрического поля на электрон в точности компенсируй ется соответствующим действием на дырку. Для те 卢 ть взаимодействие между эк™ ситоном и электрическим полем максималь™ но, когда длина волны поля имеет порядок величины боровского радиуса экситона, или при дав р^ 1. Наконец, когда g очень велик, матричный элемент гамильтониана взакмо действия уменьшается как q^.
Зависимость матричного элемента в (7.70) от волнового вектора оказывает боль™ шое влияние на рамановские правила отбора для рассеяния на LO фононе в тех случаях, когда экситоны являются резонансными про™ межуточными состояниями. Как отмечалось в п. 7.2.2, рамановские правила отбора для однофононного рассеяния обычно выводят, делая предположение о том, что волновой вектор фонона q равен нулю. Оно позволяет на основании одних только свойств симмет™ рии кристалла найти ненулевые и линейно независимые элементы рамановского тензо™ ра 冗 Если q не равен нулю, то разрешен™
Рис. 7.35. Увеличение поперечного сечения рамановского рассеяния для разрешенного ТО и запрещенного LO рассеяния в CdS вблизи резонанса с экситоном, имеющим наименьшую энергию; Т = =6 К. Сплошные кривые ——вычисления в предположении, что В~экситон в CdS является единственным промежуточным состоянием [7.103]. На вставке приведена зависимость квадрата матричного элемента |(1s|?/f,x|15)|2 от q для экситон- LO фононного взаимодействия (ре = 0,4 и рь = 0,6) (см. (7.70 а))Рис. 7.35. Увеличение поперечного сечения рамановского рассеяния для разрешенного ТО и запрещенного LO рассеяния в CdS вблизи резонанса с экситоном, имеющим наименьшую энергию; Т = =6 К. Сплошные кривые ——вычисления в предположении, что В~экситон в CdS является единственным промежуточным состоянием [7.103]. На вставке приведена зависимость квадрата матричного элемента |(1s|?/f,x|15)|2 от q для экситон- LO фононного взаимодействия (ре = 0,4 и рь = 0,6) (см. (7.70 а))ными операциями симметрии являются те, которые оставляют q инвариантным, и по этому рамановские правила отбора будут зависеть от направления q. Нарушение в случае резонанса с экситонами рамановских правил отбора для LO фонона, ранее полу™ ченных Лоудоном, наблюдалось Мартином и Даменом [7.104] в CdS и было названо «запрещенным» рассеянием. Оказалось, что
Рис. 7.35. Увеличение поперечного сечения рамановского рассеяния для разрешенного ТО и запрещенного LO рассеяния в CdS вблизи резонанса с экситоном, имеющим наименьшую энергию; Т = =6 К. Сплошные кривые ——вычисления в предположении, что В~экситон в CdS является единственным промежуточным состоянием [7.103]. На вставке приведена зависимость квадрата матричного элемента |(1s|?/f,x|15)|2 от q для экситон- LO фононного взаимодействия (ре = 0,4 и рь = 0,6) (см. (7.70 а))
Рис. 7.35. Увеличение поперечного сечения рамановского рассеяния для разрешенного ТО и запрещенного LO рассеяния в CdS вблизи резонанса с экситоном, имеющим наименьшую энергию; Т = =6 К. Сплошные кривые ——вычисления в предположении, что В~экситон в CdS является единственным промежуточным состоянием [7.103]. На вставке приведена зависимость квадрата матричного элемента |(1s|?/f,x|15)|2 от q для экситон- LO фононного взаимодействия (ре = 0,4 и рь = 0,6) (см. (7.70 а))
усиление LO фонона при резонансе в «разрешенной» конфигурации рассеяния мень・ ше, чем в «запрещенной» конфигурации. Кроме того, усиление было наибольшим всегда, когда поляризации падающего и рассеянного света были параллельны друг другу, независимо от симметрии кристалла. Эти результаты (рис. 7.35) объясне™ ны Мартином [7.103] на основе экситон-LO фононного взаимодействия, зависящего от волнового вектора. Колвелл и Клейн [7.105] пытались непосредственно подтвердить зависимость однофононного рамановского рассеяния на LO фононе в CdS от
волнового вектора при резонансе с экситонами, сравнивая сечения рассеяния для геометрии рассеяния вперед (q ^ 0) и геометрии рассеяния назад (д максимально). Они нашли, что сечения рассеяния почти одинаковы для обоих случаев, и пришли к выводу, что наличие дефектов привело к нарушению сохранения импульса, а также к матричному элементу, имеющему величину, большую, чем в (7.70а, б), и почти не зависящему от волновых векторов падающего и рассеянного света. Асимметрия резонансного рамановского рассеяния при геометрии 《вперед» и «назад» наблю™ далась позднее в очень совершенных кристаллах CdS Пермогоровым и Резницким [7.106] и Ю [7.92]. Гросс и др. [7.107] применили другой подход. Они измеряли от™ ношение между «запрещенным» однофононным рассеянием на LO фононе в CdS и двухфононным LO-рассеянием, не зависящим от волнового вектора. Как оказалось,
измеренное отношение меняется с энергией возбуждающего фотона в соответствии с зависимостью д™2 для квадрата матричного элемента экситон-LO фононного взаимодействия. Позднее было показано, что можно выбрать конфигурации рассеяния так, чтобы «разрешенный» рамановский тензор для LO фонона (обусловленный взаимодействием на деформационном потенциале) интерферировал конструктивно или деструктивно с зависящим от волнового вектора «запрещенным» тензором [7.86, 7.101]. Недавние вычисления демонстрируют, что для получения правильных резонансных контуров и абсолютных эффективностей рассеяния следует учитывать экситонные состояния в континууме [7.100, 7.101].
Мультифононное резонансное рамановское рассеяние с участием экситонов.
Как видно из рис. 7.32, в резонансном рамановском рассеянии LO моды в GaSe при 255 см-1 при возбуждении вблизи самого низкого экситонного состояния сильно усиливается не только однофононная мода, но и многофононные моды более высоких порядков, причем их интенсивность медленно уменьшается с возрастанием порядка рассеяния. Такое сильное многофононное рассеяние на LO фононах впервые наблюдалось в CdS Лейте и др. [7.108], а также Клейном и Порто [7.109]. Было обнаружено до девяти LO фононов (рис. 7.36). На первый взгляд кажется, что такие рамановские процессы п-го порядка с 几》1 должны быть крайне слабыми, поскольку рассеяние экситонов в них происходит или на п фононах одновременно, или путем последовательного взаимодействия с одним фононом п раз. Если имеет место первый случай, то соответствующее однофононное взаимодействие должно быть столь сильным, что теория возмущений перестает быть применимой. Это не согласуется с другими
5025 А5025 АeХ4一—° — —о- -о _ 一5025 А1800 1500 1200 900Аш, см4eХ4一—° — —о- -о _ 一5025 А1800 1500 1200 900Аш, см4Q 4579 АQ 4579 А600600300300оо
5025 А
5025 А
eХ4一
—° — —о- -о _ 一
5025 А
1800 1500 1200 900
Аш, см4
eХ4一
—° — —о- -о _ 一
5025 А
1800 1500 1200 900
Аш, см4
Q 4579 А
Q 4579 А
600
600
300
300
о
о
Рис. 7.36. Многофононные рамановские спектры LO фононов в CdS при Т = 300 К, возбуж-денные различными линиями Аг+ лазера. Пунктирной кривой с надписью «люминесценция»показан фон от фотолюминесценции образца. При возбуждении вдали от резонанса люми-несценция обычно много интенсивнее рамановского сигнала. Штриховыми кривыми показа-на интенсивность рассеяния после вычитания люминесцентного фона и учета пропусканияспектрометра [7.108]
экспериментальными результатами, такими как нормальное поведение электронной подвижности, определяемой электрон- фононным взаимодействием. Во втором случае каждое последовательное применение экситон-фононного взаимодействия должно уменьшать поперечное сечение рассеяния по крайней мере на один порядок. Многофононные рамановские спектры, усиленные резонансом с экситонами, были объяснены в рамках «каскадной модели» (рис. 7.37) [7.110].
В этой модели процесс рассеяния разбивается на последовательные ступени: 1) поглощение падающего фотона (方g, с возбуждением ls-экситона с энергией 々(KQ и волновым вектором К] и испускание LO фонона, что необходимо для сохранения волнового вектора (энергия не обязана сохраняться); 2) релаксация экситона в пределах ls-экситонной зоны в более низкие энергетические состояния Ei(K^) и т.д. с последовательным испусканием LO фононов («каскад»); 3) излучательная рекомбинация экситона с испусканием рассеянного фотона
Рис. 7.37. Диаграмма каскадной модели многофононного рассеяния на LO фононах, когда резонансным промежуточным состоянием является 15-экситон; Е = =方2K2/(2”), где М = Ше + Шн； К — волновой вектор центра масс экситона (К =鹿 + kh)Рис. 7.37. Диаграмма каскадной модели многофононного рассеяния на LO фононах, когда резонансным промежуточным состоянием является 15-экситон; Е = =方2K2/(2”), где М = Ше + Шн； К — волновой вектор центра масс экситона (К =鹿 + kh)(方Gs) и еще одного LO фонона для сохране
Рис. 7.37. Диаграмма каскадной модели многофононного рассеяния на LO фононах, когда резонансным промежуточным состоянием является 15-экситон; Е = =方2K2/(2”), где М = Ше + Шн； К — волновой вектор центра масс экситона (К =鹿 + kh)
Рис. 7.37. Диаграмма каскадной модели многофононного рассеяния на LO фононах, когда резонансным промежуточным состоянием является 15-экситон; Е = =方2K2/(2”), где М = Ше + Шн； К — волновой вектор центра масс экситона (К =鹿 + kh)
ния волнового вектора (но не энергии). Вероятность рассеяния для LO фононного рамановского процесса можно представить в виде
(7*71)(7*71)) ( Trel ) I| Trad
(7*71)
(7*71)
где ®i ——коэффициент поглощения для создания экситона с участием LO фонона, rrei определяется вероятностью релаксации экситонов путем испускания одного LO фонона, G(Ki)——затухание экситонного состояния E](Ki), Trdb(i определяется вероятностью излучательной рекомбинации экситонов с участием LO фонона. В данной модели усиление LO фонона порядка п по отношению к порядку (п — 1) зависит от относительных величин rrei и /^(K^—i)* Для полярных полупроводников, в которых захват экситонов примесями не имеет столь важного значения, как релаксация экситонов путем испускания LO фононов, квадрат матричного элемента (7.70 а, б) появляется и в числителе, и в знаменателе (7.71). Поэтому (7.71) становится независимым от электрон-фононного взаимодействия, которое обычно мало, а многофононный каскад медленно затухает с п (см. рис. 7.36). Такие каскадные процессы обычно заканчиваются, когда у экситона не остается достаточно энергии для релаксации путем испускания LO фононов. При этом 方必$ ^ Е] (К ^ 0). Следовательно, в многофононных рамановских процессах обычно проявляются выходные резонансы с экситонами. Строгая формулировка каскадной модели была дана Цейером [7.111], пришедшим к выводу, что приведенные выше соображения справедливы в трехмерном случае для п》4* Приведенные соображения (рис. 7.37) учитывают только индуцированные фононами реальные переходы, для которых реальные части знаменателей в выражении для вероятности рассеяния обращаются в нуль (см., напр., (7.65)). Для п < 3 значительный вклад вносят виртуальные переходы, для которых эти знаменатели не равны нулю.
Менендес и Кардона [7.112] отметили, что описанная модель может объяснить гораздо более сильные выходные резонансы, наблюдаемые даже при рассеянии на
одном LO фононе, если учесть упругое рассеяние на примесях в качестве замены одного из LO фононов.
Все процессы, изображенные на рис. 7.37, являются реальными (кроме нерезонансных первого и последнего процессов). Этот факт наводит на мысль о том, что каскадная модель резонансного рамановского рассеяния похожа на процессы фотолюминесценции, описанные в п. 7.1. Многие авторы предпочитали называть такие процессы горячей люминесценцией, а не резонансным рамановским рассеянием [7.113]. Различие между указанными двумя типами процессов вызвало большую полемику [7.114]. Чтобы проводить подобное различие, необходимы измерения когерентности рассеянного фотона для хорошо определенного набора рассеянных фононов. Поскольку в большинстве экспериментов по резонансному рамановскому рассеянию такие измерения не проводятся, выбор названия для процесса излучения становится вопросом семантики.
В заключение хотелось бы упомянуть о недавних вычислениях резонансного двухфононного рамановского рассеяния в ряде полупроводников группы III-V, в которых учитывались не только дискретные экситонные состояния, но и экситонный континуум. Эти вычисления показали, что учет экситонного континуума существенен для правильного воспроизведения эффективностей рассеяния, найденных в экспериментах [7.115].
Определение дисперсии экситонов с помощью резонансного рамановского рассеяния .
Одним из следствий каскадной модели многофононного LO-рассеяния (доминирования реальных переходов) является то, что волновые векторы LO фононов, участвующих в процессе, определяются дисперсией экситона (для реальных переходов процессы релаксации экситонов должны удовлетворять сохранению как энергии, так и волнового вектора). В принципе, волновой вектор LO фонона, испущенного экситоном, будет изменяться с энергией экситона, а следовательно, и с 方д. В результате соответствующие частоты LO фононов будут меняться с 方⑨.Обычно этого не наблюдается, поскольку дисперсия LO фононов вблизи центра зоны Бриллюэна очень мала (фрёлиховское взаимодействие оказывает предпочтение фононам с малыми q; см., однако, [7.116]). Для продольных (LA) фононов справедливо обратное. Акустические фононы имеют линейную дисперсию (по крайней мере, для малых q), и деформационный потенциал электрон-LA фононного взаимодействия 乂一la [cm. (3.21)] имеет явную линейную зависимость от q. При очень низких температурах, когда число заполнения TVla для LA фононов много меньше единицы, член TVla + 1 в вероятности испускания LA фонона приблизительно равен единице. Таким образом, можно показать, что квадрат матричного элемента для 乂一la при испускании фонона также пропорционален q (см. п. 3.3.1). В отличие от фрёлиховского взаимодействия, взаимодействия на деформационном потенциале для электрона и дырки не компенсируют друг друга. В результате квадрат матричного элемента |(1s|Wx,la|1^)|2 гамильтониана Wx,la для экситон-LA фононного взаимодействия линейно зависит от q. Вследствие этого возникают различия между LA и LO фононами: многофононные резонансные рамановские пики с участием LA фононов более широкие, чем для LO фононов, и положение пика определяется максимальным значением д, которое разрешено экситонной дисперсией. Кроме того, частота этого пика изменяется с энергией фотона, поскольку в качестве промежуточных состояний возбуждаются разные экситоны. Такие обладающие дисперсией многофононные рамановские моды с участием акустических фононов наблюдались в Си?О в резонансе с экстремально узким ls-экситоном желтой серии [7.9]. Из изменения рамановской частоты при изменении энергии возбуждающего фотона была определена эффективная масса экситона ше + ть-
В качестве иллюстрации на рис. 7.38 приведена измеренная зависимость частот многофононных рамановских мод в Си?О от частоты падающего фотона [7.9]. За исключением трех пиков X, У и Z, большинство остальных рамановских пиков были
Рис. 7.38. Зависимость частот рамановских мод в С112О от частоты падающего фотона. Моды, обладающие дисперсией, обозначены как X, У и Z. Сплошные кривые, проходящие через экспериментальные точки для этих мод, вычислены в предположении резонанса с Is- экситоном с эффективной массой Зш。, где т。一 масса свободного электрона [7.9]Рис. 7.38. Зависимость частот рамановских мод в С112О от частоты падающего фотона. Моды, обладающие дисперсией, обозначены как X, У и Z. Сплошные кривые, проходящие через экспериментальные точки для этих мод, вычислены в предположении резонанса с Is- экситоном с эффективной массой Зш。, где т。一 масса свободного электрона [7.9]
Рис. 7.38. Зависимость частот рамановских мод в С112О от частоты падающего фотона. Моды, обладающие дисперсией, обозначены как X, У и Z. Сплошные кривые, проходящие через экспериментальные точки для этих мод, вычислены в предположении резонанса с Is- экситоном с эффективной массой Зш。, где т。一 масса свободного электрона [7.9]
Рис. 7.38. Зависимость частот рамановских мод в С112О от частоты падающего фотона. Моды, обладающие дисперсией, обозначены как X, У и Z. Сплошные кривые, проходящие через экспериментальные точки для этих мод, вычислены в предположении резонанса с Is- экситоном с эффективной массой Зш。, где т。一 масса свободного электрона [7.9]
идентифицированы как оптические многофононные моды на основании известных частот оптических фононов в центре зоны Бриллюэна [7.117, 7.118]. В отличие от оптических многофононных пиков, пики X, У к Z обнаруживают значительную дисперсию при изменении частоты возбуждающего фотона. Ю и Шен [7.9] относят пики X и У к трехфононному рассеянию на модах 2rB + ТА и 2rB + LA. Пик Z идентифицирован как многофононное рассеяние 2「R + 2LA. Соответствующие резонансные рамановские процессы схематически изображены на рис. 7.39. Исходя из сходства между рисунками 7.37 и 7.39, воспользуемся каскадной моделью для того, чтобы записать вероятности рассеяния этих мод:
Здесь «1 ——вероятность для падающего фотона возбудить 1 s-экситон с волновым вектором К] при участии бездисперсионного оптического фонона Г^ (с волновым вектором —К], вследствие сохранения волнового вектора), т「е1 определяет вероятность релаксации 1 s-экситона в более низкое энергетическое состояние с волновым вектором К2, Trad определяет вероятность излучательной рекомбинации 1 s-экситона с испусканием второго оптического фонона Г^ (с волновым вектором —К?)^ Энергия и волновой вектор фотовозбужденного 1 s-экситона определяются из условия сохранения энергии:
方2 гх2
(7.73)(7.73)Eis(Ki) = Els(Q) + ^" =方(3 — g。)，
(7.73)
(7.73)
EEРис. 7.39* Схема трехфононного рассеяния в С112О с испусканием акустического фонона с линейной дисперсией и двух бездисперсионных оптических фононов с симметрией Эта схема, как и (7.72), показывает реальность промежуточных состояний, достигаемых после испускания первого и второго акустических фононов, т.е. что можно пренебречь соответствующими процессами, содержащими виртуальные (энергонесохраняющие) состояния
E
E
где М — масса экситона, а 方g и 方必。一энергии падающего фотона и 丁R фонона соответственно. Хотя в общем случае для рамановского рассеяния сохранение энергии при переходе в виртуальные промежуточные состояния не обязательно, этот случай ——особый, поскольку предполагается, что происходит реальное возбуждение 1 s-экситона. На следующей ступени, когда происходит релаксация экситона с испусканием LA фонона, опять сохраняется не только волновой вектор, но и энергия:
Qla = (Ki-%),(7.74)
где Qla — волновой вектор LA фонона, и
=—К3/(2М),(7.75)
где gla — частота LA фонона.
Предполагая, что дисперсия LA фонона линейна, имеем
gla(q) = ^la|q|,(7.76)
где ula — скорость фонона. Уравнения (7.74) и (7.75) можно объединить в одно:
^la|<i — K2I =方(к； — Kl)/(2Af)“(7.77)
Для заданного значения К] решения (7.77) находятся в диапазоне от К? = К] (т.е. Qla = 0) Д° К2, противоположного по диагонали К], но с величиной К» = =Ki — 2Xula/%* В последнем случае ^la принимает максимально возможное значение qLA(max):
gLA(max) = 2Kl - (2ЖХа/%)“(7.78)
Использовав тот факт, что квадрат матричного элемента экситон-LA фононного взаимодействия |(1s|Wx,la|1s)|2 пропорционален дьА? Ю и Шен [7.9] показали, что rrei пропорционально q^A (см- также задачу 7.10). Этот результат позволил им дать количественное объяснение экспериментально наблюдаемой форме линии резонансно усиленного пика 2丁R + LA, а также получить теоретическую зависимость рамановской частоты от частоты возбуждающего фотона, показанную на рис. 7.38. Теоретическая кривая для пика У представляет собой зависимость 2Go + vLA^LA(m^x) от д^А(т®х), вычисленного с помощью (7.78). Значения К] в этом уравнении были определены по частоте падающего фотона с помощью (7.73). Поскольку скорости акустических фононов можно найти из упругих постоянных, единственной неизвестной величиной
является масса экситона М. Ю и Шен путем подгонки моды 2「R + LA нашли, что М равна утроенной массе свободного электрона. Определив М, они смогли предсказать зависимость рамановских частот от g для мод 2丁石 + ТА и 2丁石 + 2LA (пики X и Z на рис. 7.38) без подгоночных параметров. Прекрасное согласие между теоретическими кривыми и экспериментальными точками является убедительным подтверждением их интерпретации и показывает, что из резонансного рамановского рассеяния можно непосредственно определять эффективную массу экситона. Далее мы покажем, что с помощью резонансного рассеяния акустических фононов может также измеряться дисперсия экситонных поляритонов.
Резонансное бриллюэновское рассеяние экситонных поляритонов.
В рассмотренном нами резонансном рамановском рассеянии важную роль играют экситонные эффекты. В кристаллах высокого качества, в которых экситонное затухание меньше или сравнимо с экситон-излучательным взаимодействием, существенную роль должны играть экситон-поляритонныеэффекты (см. пункты 6.3.2 и 7.1.4). Роль экситонных поляритонов (будем сокращенно называть их поляритонами) в понимании резонансного рамановского рассеяния отмечалась многими исследователями в 1969-1970 годах [7.119-7.121]. Здесь нас главным образом будет интересовать определение дисперсионных кривых поляритонов с помощью резонансного бриллюэновско- го рассеяния. Было показано, что такие методы, как излучение [7.122] и пропускание сквозь сверхтонкие пластинки [7.123], тоже могут применяться для измерения дисперсии поляритонов (см. рис. 6.22). Однако до сих пор наиболее прямым методом для подобных измерений является резонансное бриллюэновское рассеяние (РБР).
Идею изучения поляритонов с помощью РБР, впервые предложенную Бренигом и др. [7.124], можно понять с помощью рис. 7.40. Предположим, что фотон падает на среду слева, как это показано на рис. 6.1. Около поверхности возбуждаются поляритоны, распространяющиеся направо. Число возбужденных поляритонных ветвей зависит от частоты падающего фотона. Если частота последнего меньше продольной частоты экситона gj то будет возбуждаться только нижняя поляритонная ветвь (см. рис. 6.22). В противном случае будут одновременно возбуждаться два поляритона, по одному на каждой ветви. В рамках поляритонной картины бриллюэновское рассеяние является
Рис. 7.40. Схематическая диаграмма дисперсионных кривых экситонного поляритона и процессы бриллюэновского рассеяния назад на поляритонах с различными частотами. Конечные поляритонные состояния для этих четырех процессов рассеяния поляритонов с высокой частотой (> Xis, т.е. частоты экситона) обозначены как Г, If, Ш‘ и IV'. Стрелки, обозначающие процессы рассеяния в состояния Г, II’ и Ш] IV] должны перекрываться, однако для ясности они показаны неперекрывающимися
24 М. Кардона
просто рассеянием поляритонов на акустических фононах. В геометрии рассеяния назад поляритоны, распространяющиеся направо, рассеиваются акустическими фононами в поляритоны, двигающиеся налево. Как показано на рис. 7.40, два таких поляритона, двигающихся направо, могут при рассеянии на фононах, принадлежащих одной определенной акустической ветви, превратиться в четыре поляритона, двигающихся налево (Г, Н[ Ш‘ и IV'). Стрелки на рис. 7.40 обозначают процессы рассеяния и нарисованы так, чтобы соблюдалось сохранение энергии и волнового вектора. Наклон стрелок определяется скоростью акустического фонона. В этом отношении они очень похожи на стрелки, изображенные на рис. 7.39 и представляющие рассеяние ls-экситона в С112О с испусканием LA фонона. Главное различие между экситонной и поляритонной картиной заключается в наличии двух поляритонных ветвей с одинаковой энергией. В результате для каждой ветви акустического фонона поляритонное рассеяние может дать четыре бриллюэновских пика по сравнению с только одним пиком для экситонного рассеяния. Как и в случае с модой 2「R + LA в СизО бриллю- эновские частоты при рассеянии поляритонов на акустических фононах меняются с частотой возбуждения. Это позволяет измерять дисперсионные кривые поляритонов.
Теоретические предсказания Бренига и др. [7.124] были впервые подтверждены экспериментально Ульбрихом и Вайсбушем [7.125]. Используя перестраиваемый лазер на красителях, они возбуждали поляритоны в GaAs при низкой температуре и наблюдали усиленные бриллюэновские пики с помощью двойного монохроматора. Число этих пиков (как стоксовых, так и антистоксовых) и их частоты менялись с частотой возбуждающего лазера в хорошем согласии с предсказаниями Бренига и др. Полученные результаты приведены на рис. 7.41. Теоретические кривые на этом рисунке были вычислены с помощью дисперсии поляритонов, полученной при решении уравнения
1
c2k2 . 0^一冶(0)
4ТГеосоо/ + з弘0) + зT(0)(亢用2/加)一g2)
на четыре ответственных за бриллюэновские пики в (6) стоксовых процесса. 6) Экспериментальные (точки) и теоретические (сплошные кривые) сдвиги энергий бриллюэновских пиков в зависимости от энергии возбуждающего лазера. (Теоретические кривые вычислены с помощью дисперсии поляритонов, приведенной в («). Скорость LA фонона принята равной 4,8-105 см/с. Штриховые кривые вычислены с М = О,3то). в) Зависимость эффективностей рассеяния бриллюэновских пиков от энергии падающего фотона [7.125]
где Sqq ——фоновая диэлектрическая постоянная (обусловленная электронными переходами, не связанными с рассматриваемым экситоном), М — масса экситона,必丁(0)— поперечная частота экситона (или 必丁 на рис. 6.22). Выражение (7.79) очень похоже на выражение для фононных поляритонов, приведенное в § 6.4. В сущности, можно получить этот результат, заменив частоту поперечного оптического фонона в (6.1106) на соответствующую частоту экситона, зависящую от к:必丁(卜)=幻丁(0) + (fik2/М). Теоретические поляритонные кривые на рис. 7.41 а были построены путем подгонки экспериментальных точек на рис. 7.41 б со следующими подгоночными параметрами: воо = 12,55, М = О,6шо (mg ——масса свободного электрона),方必丁(0) = 1,5150эВ и 方必匕一方必丁(0) = 0,08 мэВ. Хотя для подгонки экспериментальных результатов используется довольно большое число параметров, все их можно довольно точно определить благодаря обширной информации, содержащейся в экспериментальных данных. Например, штриховая кривая на рис. 7.41 б была получена при изменении значения М до О,3шо без изменения других параметров. Это показывает, что кривая 2 T 2’ весьма чувствительна к значению М.
Со времени пионерских работ Ульбриха и Вайсбуша [7.125] РБР изучалось почти во всех полупроводниках, для которых наблюдались хорошие экситонные поляритоны. Обзор последующих работ в этой области выходит за рамки настоящей книги. Читатели, интересующиеся данным вопросом, могут обратиться к прекрасным обзорным статьям [7.93, 7.126, 7.127].
Задачи
Коэффициенты Эйнштейна Л и В .
Пусть имеется набор атомов с двумя невырожденными уровнями пит, находящимися в тепловом равновесии с излучением черного тела. Энергии этих уровней Еп и Ет соответственно (Еп > Ет). Пусть Nn и Nm ——населенности этих уровней электронами. При тепловом равновесии Nn/Nm = exp [—(Еп — Em)/(々в7)]* Использовав принцип детального равновесия, выведите (7.1). Частота излучения равна 沙,а энергия фотона hu = Еп — Ет. Скорость света в среде составляет с/пг, где пг — показатель преломления. Пусть и(沙)• △〃 ——средняя энергия излучения черного тела на единицу объема в интервале частот от 沙 до 沙 + △〃* Величина и(у) выражается хорошо известным законом излучения Планка (получите этот закон из функции распределения Бозе-Эйнштейна):
(7.80)(7.80).8тг/1〃з几;
(7.80)
(7.80)
и 沙 c3{ exp [/ш/(кв)] — 1} 7
где кв ——постоянная Больцмана, а Т — температура. Энергия поля излучения, поглощаемая атомами в единицу времени, равна Втпи(у) • Nm. Это может быть названо «стимулированным поглощением». В то время, когда Эйнштейн ввел коэффициенты А и В, предполагалось, что излучение всегда является спонтанным (его вероятность обозначается как Апт). Эйнштейн понимал, что если излучение не зависит от и(〃), а поглощение зависит от и("), то невозможно достичь теплового равновесия между поглощающей системой и тепловым излучением. В результате он предложил концепцию стимулированного излучения (вероятность которого обозначается как Впт). Демонстрацией важного следствия этой новой идеи является лазер. Полное количество энергии, излученной атомами в единицу времени, имеет вид Nn '[石nm U (沙)+ ^nm] •
Форма линии излучения при переходе зона-зона.
С помощью (7.12) найдите частоту пика и его полуширину (полную ширину на половине высоты максимума) для спектра ФЛ зона-зона в собственном полупроводнике. Рассчитайте и графически изобразите форму спектра люминесценции для сильно легированного (вырожденного) полупроводника п- или p-типа. Покажите, что выражение (7.7) в этом случае не справедливо, и объясните, почему именно.
Распределение донорно-акцепторных пар.
В случае спектра ДАП типа I в решетке типа цинковой обманки как доноры, так и акцепторы расположены в одной и той же гранецентрированной кубической подрешетке. Допустим, что донор расположен в начале координат. Покажите, что векторы решетки и вырождение для акцепторов, расположенных в первых десяти оболочках, даются значениями, приведенными в табл. 7.3.
Повторите вычисления для распределения типа П.
Таблица 7.3
Вектор решетки и вырождение в спектре ДАП типа I, когда донор находится в начале координат, а акцептор ——в первых десяти оболочках
Номер оболочки
Вектор решетки в единицах а。/2
Вырождение
1
(1, 1, 0〉
12
2
⑵ 0, 0〉
6
3
〈2, 1, 1〉； (—2, —1, —1)
12
4
〈2, 2, 0〉
12
5
〈3, 1, 0〉
24
6
〈2, 2, 2〉；〈—2, —2, —2〉
4
7
〈3, 2, 1); (—3, —2, —1)
24
8
〈4, 0, 0〉
6
9
〈4, 1, 1〉; (-4, -1, -1)
12
9
〈3,3, 0〉
12
10
〈4, 2, 0〉
24
Рамановские правила отбора для оптического фонона А в кристаллах типа цинковой обманки.
Исходя из рамановских тензоров для оптических фононов в (7.39), выведите правила отбора, приведенные в табл. 7.2. Следуйте примеру, данному в тексте. Из направлений к\ и ks определите волновой вектор фонона q. Найдите направления поляризаций для ТО и LO компонент. С помощью (7.39) вычислите компоненты рамановского тензора, соответствующие этим фононным поляритонам. С помощью (7.38) найдите интенсивности рассеяния.
Получите правила отбора для следующих геометрий рассеяния: ж (% g) д; ж (у, z)g;/(% ①加；①(％ N)g*,
Получите правила отбора для рассеяния назад от поверхности (311) для Si и для GaAs (как для ТО, так и для LO фононов).
Рамановские тензоры для кристаллов со структурой вюрцита.
Получите неприводимые компоненты рамановского тензора в кристалле типа вюрцита, таком как CdS, с точечной группой Cqv (его структура и симметрия приведены в задаче 3.7). Ответ можно найти в [7.58].
Рамановское рассеяние при участии поляритонов.
С помощью рис. 7.26 5, на котором показана геометрия рассеяния, использованная Генри и Хопфильдом [7.73] для измерения дисперсии поляритонов в GaP, вычислите минимальное значение для волнового вектора поляритона (qmin) при заданном значении угла рассеяния 0.
Покажите, что волновой вектор рассеянного фотона имеет вид
履=阮cos0 — (g2 — 4言由尸/t履=阮cos0 — (g2 — 4言由尸/t(7.81)(7.81)
履=阮cos0 — (g2 — 4言由尸/t
履=阮cos0 — (g2 — 4言由尸/t
(7.81)
(7.81)
Изобразите зависимость рамановской частоты (必匕—必)от q для 0 = 0, 2 и 4. Используйте какие-нибудь фиктивные значения для 阮 и показателя преломления среды, или значения, соответствующие GaP и He-Ne лазеру, использованному Генри и Хопфильдом [7.73].
Правила отбора для бриллюэновского рассеяния.
Бриллюэновский тензор получается из производных х по деформациям, которые мы обозначим здесь для кубического кристалла тремя независимыми постоянными Рц(дххх/дехх), Р12(дххх/деуу) и Рм(д%ху/деху\ Получите правила отбора для рассеяния «вперед» и «назад» на LA и ТА фононах от грани (100) кубического полупроводника.
Упражнени я с диаграммами Фейнмана.
Переведите фейнмановские диаграммы рисунка 7.28 в соответствующие члены в (7.50).
Постройте фейнмановские диаграммы для процессов, вносящих вклад в оптические переходы с участием фононов в полупроводнике с непрямой запрещенной зоной. Переведите эти диаграммы в выражения для вероятности оптического перехода и сравните с результатами, приведенными в (6.61). Допишите недостающие члены в (6.61), чтобы получить полное выражение для вероятности перехода Rind*
Постройте диаграммы Фейнмана для всех возможных двухфононных процессов рамановского рассеяния. Не забудьте ввести новую вершину для гамильтониана взаимодействия электрона с двумя фононами. При этом взаимодействии один электрон (или одна дырка) может одновременно испускать два фонона.
Симметрия рамановского тензора.
Исходя из (7.50), покажите, что рамановский тензор удовлетворяет условию (7.47). У казан и е: см. [7.57].
Рамановское рассеяние на нечетных фононах в Си2cL
В п. 7.2.2 обсуждались правила отбора для рамановского рассеяния при участии электрических дипольных переходов. Эти результаты изменяются, если один из оптических переходов является электрическим квадрупольным переходом. Чтобы получить симметрию соответствующих «разрешенных» фононов в CU2O, можно исходить из выражения (7.67) и учесть, что согласно теореме о матричном элементе, состояние, возбужденное при электрическом дипольном переходе, имеет симметрию электрического диполя (F^). Аналогично состояние, возбужденное при электрическом квадрупольном переходе, имеет симметрию квадруполя (F^). С помощью теоремы о матричном элементе определите симметрии фононов в CU2O, для которых матричные элементы гамильтониана We™iOn? связывающие эти состояния, не равны нулю.
Рамановское рассеяние на акустических фоно нах в CU2O.
Вычислите волновой вектор конечного состояния К2 ls-экситона (с начальным волновым вектором К±) в CU2O после испускания LA фонона, путем решения уравнения (7.77). Покажите, что величина волнового вектора LA фонона, ^la, меняется от 0 до 2Kl — (2Xula/%)*
Используйте Золотое правило для вычисления вероятности релаксации rrei, обусловленной испусканием LA фонона с волновым вектором 4la* Покажите, что матричный элемент взаимодействия экситона с LA фононом пропорционален 4la, а плотность конечных состояний приводит к появлению еще одного члена, пропорционального 4la・ В результате rrei оказывается пропорциональным ^久.
Фононы при действии одноосного давления.
Объясните, как происходит расщепление оптических фононов в Si и GaAs в точке Г при одноосном давлении вдоль направлений [001] или [111]. Найдите вид соответствующих рамановских тензоров и правила отбора для рассеяния назад и рассеяния вперед от грани (100) (для деформации вдоль [001]) и от грани (ПО) (для деформации вдоль [111]). Помощь можно найти в [7.128].
Рамановское рассеяние второго порядка.
Рассмотрите рамановские спектры второго порядка в кремнии. Их можно разделить на компоненты с симметрией 凸,Г^ и Г^ • Опишите, каким образом при нескольких конфигурациях поляризаций можно экспериментально наблюдать эти три компоненты.
Рассеяние на деформационном потенциале и фрёлихов- ское рассеяние.
Вычислите вероятность рассеяния (в условных единицах) на LO фононах при рассеянии назад от поверхности (100) GaAs, когда поляризации как падающего, так и рассеянного света параллельны направлению [001] или направлению [011]. Проведите вычисления в случае обычного рамановского тензора и в случае диагонального рамановского тензора при фрёлиховском взаимодействии.
«Уменьшенное» рамановское поперечное сечение и плотность состояний фононов.
Объясните на качественном уровне, почему «уменьшенное» рамановское поперечное сечение при обертонном рассеянии в Ge, показанное на рис. 7.23, меньше плотности состояний фононов на низких частотах. Указание: матричный элемент электрон-фононного взаимодействия для низкочастотных мод акустического фонона пропорционален волновому вектору фонона.
Бриллюэновское рассеяние и скорость акустического фонона.
Бриллюэновское рассеяние можно использовать для нахождения скорости vac акустического фонона с помощью (7.53), полагая известным коэффициент преломления Hi среды на частоте падающего фонона. Покажите, что можно выбрать экспериментальную геометрию рассеяния, для которой 74c может быть определена на основе бриллюэновского рассеяния без знания п\. Указание: при переходе фотона из одной среды в другую, компонента его волнового вектора, параллельная интерфейсу, должна быть неизменной. Если геометрия рассеяния такова, что компонента волнового вектора фотона, перпендикулярная интерфейсу, при рассеянии не меняется, то волновой вектор фотона полностью определяется изменением параллельной интерфейсу компоненты. Эти параллельные компоненты падающих и рассеяных фотонов внутри образца могут быть определены без знания коэффициента преломления образца.
Заключение
В настоящей главе изучались процессы излучения света в полупроводниках. При фотолюминесценции внешнее излучение возбуждает в образце электрон-ды- рочные пары. Они релаксируют к более низким энергетическим состояниям, отдавая избыток своей энергии фононам. В результате излучение совершивших релаксацию электрон-дырочных пар является характеристикой запрещенной зоны полупроводника или состояний внутри запрещенной зоны, связанных с дефектами. Поэтому люминесценция является очень полезным методом для изучения экситонов, связанных экситонов, доноров, акцепторов и даже глубоких центров (таких как изоэлектронные ловушки). Часть излучения при прохождении через среду всегда рассеивается на флюктуациях. Это рассеяние можно рассматривать как спонтанное излучение от поляризаций, индуцированных в среде падающим излучением. Когда индуцированная поляризация модулируется фононами (как оптическими, так и акустическими), падающий свет рассеивается неупруго. Исследование таких процессов излучения, называемых рамановским и бриллюэновским рассеянием, является чрезвычайно информативным методом для определения частот и симметрии колебательных мод в конденсированных средах. Изучение спектров возбуждения такого рассеяния (называемого резонансным рамановским и резонансным бриллюэновским рассеянием), представляющих зависимость поперечного сечения рассеяния от энергии падающего фотона, также очень информативно. Мы показали, что с их помощью можно определять уровни энергии электронов, электрон™ фононное взаимодействие и дисперсию экситонов. Поскольку при резонансном рамановском и бриллюэновском рассеянии возбуждаются реальные электрон-дырочные пары, как и в случае люминесценции, различие между этими двумя процессами отчасти стирается. В связи с этим появилась следующая точка зрения: то процессы резонансного рассеяния света, особенно многофононные, могут рассматриваться как форма нетермализованной люминесценции, или горячей люминесценции.
ГЛАВА 8
ФОТОЭЛЕКТРОННАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
Содержание
Фотоэмиссия.............................................................379
Обратная фотоэмиссия 399
Эффекты, связанные с поверхностью ...................................400
Задачи407
Заключение 409
Читатели, вероятно, обратили внимание на то, что большое количество приведенной информации, особенно в главах 6 и 7, было получено с помощью спектроскопических методов. Под ними подразумеваются эксперименты, в которых измеряется число элементарных возбуждений в заданном бесконечно малом интервале энергий (плотность возбуждений). Среди обсуждавшихся нами возбуждений были фононы, энергии которых находятся в диапазоне от нуля до 0,1 эВ. Возбуждения электронов из заполненных валентных зон в пустые зоны проводимости и соответствующие экситоны имеют энергии в диапазоне 0,1 4- 10 эВ. Этот диапазон включает фотоны видимой области (1,8 4- 3,5эВ).
Мы можем задаться вопросом, играют ли какую-либо роль в физике полупроводников возбуждения с более высокой энергией. Ответ будет утвердительным. В качестве примера можно упомянуть коллективные плазменные колебания валентных электронов, которые происходят с угловой частотой (называемой плазменной частотой, см. задачу 6.3) ы 〜 р - 4хбо
где TVy — плотность валентных электронов, ат, — масса свободного электрона.
Плазменные осцилляции с частотой, определенной выражением (8.1), приводят к квантованным возбуждениям, называемым плазмонами с квантом энергии Ер = =方Gp D. Для типичного полупроводника с тетраэдрической координацией и 7Vv = =4/атом из (8.1) находим, что энергия плазмонов, соответствующих валентным электронам, находится в диапазоне 15 4- 16 эВ. Эта область энергий фотонов называется областью вакуумного ультрафиолета (ВУФ), поскольку воздух поглощает ультрафиолетовые (УФ) фотоны с энергией больше 6 эВ. Поэтому для экспериментов в данной области требуются спектрометры, все компоненты которых находятся в вакууме. В атомах, составляющих полупроводник, имеются электроны остова, энергии связи которых гораздо больше, чем у соответствующих валентных электронов (примерно 100 эВ для 2р-электронов Si и 30 эВ для З^-электронов Ge; таблица энергий связи электронов остова приведена в [8.1, 8.2]). Уровни остова обладают свойствами, весьма похожими на свойства изолированных атомов, и поэтому содержат относительно небольшую информацию о свойствах полупроводников. Однако интенсивность их спектров и малые сдвиги линий между материалами, содержащими одинаковые атомы, могут использоваться для химического анализа и характеристики материалов [8.3, 8.4].
* Отметим, что эти плазмоны отличаются от низкочастотных плазмонов, обусловленных свободными носителями, которые рассматривались в п. 6.5.1.
Упомянутые нами возбуждения обычно исследуются с помощью спектроскопиче™ ских методов, использующих фотоны и/или электроны. Монохроматический пучок частиц (т.е. частиц с заданной энергией) одного из этих типов падает на образец. Такие частицы обычно имеют энергию в диапазоне 10 4- 1500 эВ. В результате их взаимодействия с образцом испускаются фотон или электрон с энергией, меньшей, чем у падающей частицы. Разница в энергиях между падающими и испущенными частицами соответствует энергии одного или нескольких элементарных возбуждений, созданных в твердом теле падающей частицей.
На рис. 8.1 представлена схема спектроскопического эксперимента такого типа. Случай фотон Т 0 соответствует аннигиляции фотона при создании возбуждения, как при поглощении света твердым телом, обсуждавшемся в главе 6 для фотонов в видимой и инфракрасной областях. В вакуумном ультрафиолете (方g > 6 эВ) обычные газоразрядные лампы не дают столь яркого излучения, как излучение, которое испускается электронами с траекториями, изогнутыми магнитным полем в электронном синхротроне или в накопительном кольце [8.5, 8.6], и называется синхротронным излучением. Это излучение, доступное в настоящее время в нескольких специальных центрах, простирается в виде сплошного спектра от инфракрасной области до рентгеновской. Верхний предел энергий (до нескольких десятков кэВ) зависит от энергии испускаемых электронов и изгибающих магнитных полей. Излучение выходит в виде параллельного пучка и может быть линейно или циркулярно поляризованным. В качестве примера использования синхротронного излучения в спектроскопии поглощения фотонов в полупроводниках на рис. 8.2 приведены спектры поглощения Ge, GaAs и GaP в диапазоне 20 4-160 эВ [8.7]. Около 20 эВ на этих спектрах виден хвост переходов из валентной зоны в зону проводимости и переходы с участием З&уровней остова Ga (Dm). Переходы, соответствующие З&уровням остова Ge и As, видны при 〜32 эВ (Div) и 43эВ (Dy)- При более высоких энергиях наблюдаются пики, соответствующие Зр-уровням остова Ge, Ga и Р (обозначенным Qv, Дп и Ру). Эти уровни часто исследуются с помощью фотоэлектронной спектроскопии, которая будет обсуждаться ниже.
Монохроматическое синхротронное излучение часто используется в качестве источника в спектроскопическом методе, называемом фотоэмиссией, в котором поглощается фотон, а испускается электрон. Пики в энергетических спектрах испущенных электронов имеют сдвиги по отношению к энергии падающего фотона, отвечающие энергиям связи электронов остова для соответствующих атомов. При малых значениях энергетических потерь можно также получить данные о занятых состояниях валентных электронов.
ИсточникИсточникАнализаторАнализаторИсточникИсточникАнализаторАнализаторфотон —> О
Источник
Источник
Анализатор
Анализатор
Источник
Источник
Анализатор
Анализатор
по глощеииеотраве 巴 ни 巴
фотон —> фотон
рамановское рассеяние
комптоновское рассеяние
флюоресценция рентеено&ских луией
фотон —> электрон
фотоэлектронная спектроскопия (РФЭС, УФЭС)
фотон —> электрон + электрон
Оснсе-спектроскопия
электрон f электрон
характеристические энергетические потери
электрон f электрон + электрон
Оэюе электронная спектроскопия
электрон —> фотон
обратная фотоэмиссия
спектроскопия потеициалов появления
Рис. 8.1. Схематическая диаграмма спектроскопических методов с участием фотонов и злек-тронов
6-105
Рис. 8.2. Спектры поглощения GaP, GaAs и Ge, полученные с помощью синхротронного излучения. Стрелки, обозначенные D и Р^ указывают на пики, соответствующие переходам из d-уровней или р-уровней остова. Индексы III, IV, V отвечают элементам групп III, IV, V, а Ар означает спин-орбитальное расщепление [8.7]Рис. 8.2. Спектры поглощения GaP, GaAs и Ge, полученные с помощью синхротронного излучения. Стрелки, обозначенные D и Р^ указывают на пики, соответствующие переходам из d-уровней или р-уровней остова. Индексы III, IV, V отвечают элементам групп III, IV, V, а Ар означает спин-орбитальное расщепление [8.7]Tso CKsHomomoKIHOUImeeGO*Tso CKsHomomoKIHOUImeeGO*
Рис. 8.2. Спектры поглощения GaP, GaAs и Ge, полученные с помощью синхротронного излучения. Стрелки, обозначенные D и Р^ указывают на пики, соответствующие переходам из d-уровней или р-уровней остова. Индексы III, IV, V отвечают элементам групп III, IV, V, а Ар означает спин-орбитальное расщепление [8.7]
Рис. 8.2. Спектры поглощения GaP, GaAs и Ge, полученные с помощью синхротронного излучения. Стрелки, обозначенные D и Р^ указывают на пики, соответствующие переходам из d-уровней или р-уровней остова. Индексы III, IV, V отвечают элементам групп III, IV, V, а Ар означает спин-орбитальное расщепление [8.7]
Tso CKsHomomoKIHOUImeeGO*
Tso CKsHomomoKIHOUImeeGO*
Комплементарным спектроскопическим методом является спектроскопия изохроматического тормозного излучения, называемого также обратной фотоэмиссией (рис. 8.1). Она заключается в бомбардировке образца монохроматическими электронами, которые инжектируются с пренебрежимо малыми потерями энергии в соответ™ ствующие состояния пустой зоны проводимости. Затем они совершают переход в пу™ стые состояния с меньшей энергией, излучая при этом фотон для сохранения энергии. Спектр испущенных фотонов дает детальную информацию о пустых состояниях зоны проводимости, которая является дополнительной к информации о заполненных состояниях валентной зоны, получаемой из фотоэмиссии.
Информацию об элементарных возбуждениях, связанных с уровнями валентной зоны и остова можно также получить, бомбардируя образец электронами и изучая энергетический спектр электронов, которые испускаются при этом процессе. Некоторые из электронов испускаются, отдав энергию одному элементарному возбуждению. Таким образом, распределение по энергиям отраженных или пропущенных электронов содержит пики, соответствующие возбуждениям в твердом теле. Этот метод называется спектроскопией электронных энергетических потерь [8.8] и в особенности полезен при изучении уже упоминавшихся нами плазмонов валентной зоны. Обычно плазмоны не могут быть возбуждены при оптическом поглощении, поскольку они являются продольными возбуждениями (т.е. электроны совершают колебания вдоль направления распространения), тогда как фотоны являются поперечными возбуждениями (электрическое поле перпендикулярно направлению распространения, см. задачу 6.3). Отметим, что интенсивность спектров электронных энергетических потерь пропорциональна мнимой части б™1 (функции потерь), где 6 ——диэлектрическая функция, определяющая оптические свойства (см. гл. 6) [8.9]. На рис. 8.3 показан спектр электронных энергетических потерь в GaP, полученный с помощью электронов с энергией 56 кэВ. Наиболее интенсивным в нем является пик при АЕ ~ 16 эВ, соответствующий возбуждению одного плазмона. Возбуждения двух плазмонов видны при △£? ~ 32 эВ. Спектр содержит также пики, отвечающие возбуждениям электронов из валентной зоны в зону проводимости, и пики, соответствующие уровням 3d остова Ga.
ОО30403040Потери энергии электроном, эВПотери энергии электроном, эВРис. 8.3. Спектр электронных энергетических потерь в GaP [8.9]Рис. 8.3. Спектр электронных энергетических потерь в GaP [8.9]Рис. 8.4. Схематическое изображение процессов, происходящих при ЭОСРис. 8.4. Схематическое изображение процессов, происходящих при ЭОС
О
О
3040
3040
Потери энергии электроном, эВ
Потери энергии электроном, эВ
Рис. 8.3. Спектр электронных энергетических потерь в GaP [8.9]
Рис. 8.3. Спектр электронных энергетических потерь в GaP [8.9]
Рис. 8.4. Схематическое изображение процессов, происходящих при ЭОС
Рис. 8.4. Схематическое изображение процессов, происходящих при ЭОС
Среди других спектроскопических методов, перечисленных на рис. 8.1, отметим электронную Оже-спектроскопию (ЭОС) и флюоресценцию (или эмиссию) рентгеновских лучей (ЭРЛ). В методе ЭОС на уровне остова возникает дырка, когда оттуда с помощью падающего электрона или фотона выбивается электрон (процесс 7 на рис. 8.4). Эта дырка затем заполняется электроном с более высокого заполненного уровня остова (процесс 2), а высвободившаяся энергия используется для испускания другого электрона (процесс 3). В процессе 3 могут участвовать или электроны валентной зоны, или электроны остова (на рис. 8.4 изображен электрон остова). Оже-спектр фактически является энергетическим распределением электронов, испущенных в процессе 3. Он содержит информацию об энергиях связи электронов остова, несколько модифицированную вследствие сложных многоэлектронных взаимодействий, происходящих в течение этого процесса.
В ЭРЛ дырка в остове или в валентной зоне создается в процессе, сходном с процессом 7 на рис. 8.4 (при возбуждении электронами или фотонами). Затем она заполняется электроном с более высокой энергией, а разность энергий высвобождается путем испускания фотона, энергия которого обычно находится в рентгеновском диапазоне. Этот фотон содержит информацию об энергиях связи электронов в валентной зоне или на уровнях остова. Как ЭОС, так и ЭРЛ являются стандартными методами характеризации полупроводников, в особенности тонких пленок и других микроструктур.
Важнейшим параметром в описанных методах является толщина анализируемого слоя. В спектроскопии, связанной с испусканием фотонов, она определяется обратным коэффициентом поглощения этих фотонов и обычно имеет величину порядка 200 А или более (см. рис. 8.2). Поэтому толщина анализируемого слоя охватывает несколько сотен монослоев, и спектры характеризуют объемные свойства при условии, что приняты меры, обеспечивающие достаточную чистоту поверхности. Если испускаемыми частицами являются электроны, то толщина анализируемого слоя соответствует глубине выхода этих электронов, которая зависит от их энергии. Такая зависимость является почти универсальной кривой для большинства твердых тел (рис. 8.5) и глубина выхода может равняться всего 5 А в интервале энергий 50 : 100 эВ. При столь малых значения глубины выхода полученная информация характеризует скорее поверхностные, чем объемные свойства. Для получения достоверной информации необходима сверхчистая, хорошо охарактеризованная поверхность [8.11, 8.12].
Рис. 8.5. Универсальная зависимость глубины выхода электрона / от его энергии в различ™ ных твердых телах, изображенная в виде затененной полосы, которая охватывает большую часть существующих экспериментальных данных. Для сравнения приведены энергии различных лабораторных источников фотонов [8.10]. Приведены также данные для некоторых наиболее типичных полупроводников [8.11]
Фотоэмиссия
Фотоэмиссия является весьма старым методом. В 1887 г. Герц заметил, что искра между двумя электродами проскакивает легче, если отрицательный электрод освещается УФ излучением [8.13 а]. Спустя несколько лет Томпсон [8.13б] продемонстрировал, что этот эффект связан с эмиссией электронов из освещенного электрода. Правильная интерпретация эффекта была дана Эйнштейном [8.14] (который был удостоен Нобелевской Премии в 1921 г., в особенности за свои работы по фотоэмиссии). Эйнштейн постулировал, что свет состоит из дискретных квантов с энергией 矶,пропорциональной частоте света gl：矶=方gl・ Разность 矶 и энергии связи /, которую электрон должен преодолеть, чтобы выйти из твердого тела, равна максимальной энергии электрона Ке при фотоэмиссии:
Ке = Пшъ — /?(8.2)
где / называется энергетическим порогом фотоэмиссии (или энергией ионизации). Точность выражения (8.2) проверялась многими исследователями. Фотоэмиттер (проводник) окружался экраном, к которому прикладывался отрицательный (замедляющий) потенциал К- При |К| = Ее фотоиндуцированный ток должен обратиться в нуль. Если (8.2) справедливо, то зависимость потенциала, при котором фототок обращается в нуль, от gl должна быть прямой линией. Одно из первых подтверждений этого утверждения, сделанное Хьюгесом и Дю Бриджем [8.15], приведено на рис. 8.6.
Энергетический порог фотоэмиссии из полупроводников с чистыми поверхностями лежит обычно в диапазоне 5 + 7 эВ. Его можно значительно уменьшить, если нанести на чистую поверхность монослой цезия. В случае GaAs такая процедура приводит к значениям /, равным всего 1,4эВ, благодаря чему этот полупроводник может применяться в качестве фотокатода в фотоумножителях, работающих в видимой и ближней инфракрасной областях спектра [8.16].
В последние годы были созданы очень чувствительные приборы, позволяющие измерять фототок для gl вблизи порога фотоэмиссии (方gl — /) [8.17]. Для gl выше этого порога измеряемый фототок J (gl) можно как правило представить в виде по-
Рис. 8.6. Экспериментальная проверка выражения (8.2) [8.15]. Зависимость (?) от энергии фотона 否®l порогового запирающего потенциала % (в условных единицах) гораздо ближе к прямой линии, чем зависимости 匕1'" (2) или И3'" (3)Рис. 8.6. Экспериментальная проверка выражения (8.2) [8.15]. Зависимость (?) от энергии фотона 否®l порогового запирающего потенциала % (в условных единицах) гораздо ближе к прямой линии, чем зависимости 匕1'" (2) или И3'" (3)роговой функции ([8.18]; см. также рис. 1.4 в [8.1])
Рис. 8.6. Экспериментальная проверка выражения (8.2) [8.15]. Зависимость (?) от энергии фотона 否®l порогового запирающего потенциала % (в условных единицах) гораздо ближе к прямой линии, чем зависимости 匕1'" (2) или И3'" (3)
Рис. 8.6. Экспериментальная проверка выражения (8.2) [8.15]. Зависимость (?) от энергии фотона 否®l порогового запирающего потенциала % (в условных единицах) гораздо ближе к прямой линии, чем зависимости 匕1'" (2) или И3'" (3)
(8-3)(8-3)/(gl) = %(方gl - /)\
(8-3)
(8-3)
где а имеет величину порядка 1, зависящей от типа участвующих переходов (прямые или непрямые) и от состояния поверхности (чистая, зеркальная, грубая). Фототоки для 方gl < / в случае кристалли-
方gl, эВ方gl, эВРис. 8.7. Значение фототока вблизи порога фотоэмиссии, измеренное для поверхности Si(lll) через: 1) спустя 1,5 мин после получения скола (т.е. для практически чистой поверхности при использованном вакууме 4 • 1О^10 тор "); 2) 10 мин; 3) 60 мин;4) 125 мин; 5) 19 ч. [8.17]Рис. 8.7. Значение фототока вблизи порога фотоэмиссии, измеренное для поверхности Si(lll) через: 1) спустя 1,5 мин после получения скола (т.е. для практически чистой поверхности при использованном вакууме 4 • 1О^10 тор "); 2) 10 мин; 3) 60 мин;4) 125 мин; 5) 19 ч. [8.17]ческих материалов приписываются дефектам. В аморфных полупроводниках они соответствуют остаточным состояниям, существующим внутри запрещенной зоны. Вероятно, спектроскопия пороговой фотоэмиссии является наиболее точным и прямым методом для исследования этих состояний: были построены спектрометры для измерения ^(gl) с динамическим диапазоном 108. При таком большом диапазоне можно измерять плотности состояний в запрещенной зоне, равные всего 1015 (эВ х х см3)-1 [8.19]. Типичные спектры фототока вблизи порога для сколотой поверхности Si показаны на рис. 8.7.
方gl, эВ
方gl, эВ
Рис. 8.7. Значение фототока вблизи порога фотоэмиссии, измеренное для поверхности Si(lll) через: 1) спустя 1,5 мин после получения скола (т.е. для практически чистой поверхности при использованном вакууме 4 • 1О^10 тор "); 2) 10 мин; 3) 60 мин;
4) 125 мин; 5) 19 ч. [8.17]
Рис. 8.7. Значение фототока вблизи порога фотоэмиссии, измеренное для поверхности Si(lll) через: 1) спустя 1,5 мин после получения скола (т.е. для практически чистой поверхности при использованном вакууме 4 • 1О^10 тор "); 2) 10 мин; 3) 60 мин;
4) 125 мин; 5) 19 ч. [8.17]
Выше было упомянуто, что монослой щелочного металла, например Cs, может приводить к громадным изменениям I. То же самое относится к другим источникам загрязнения поверхности. Поэтому во всех экспериментах по фотоэмиссии образец должен находится в сверхвысоком вакууме. Предполагая, что образец окружен газом, находящимся при давлении р, и что любая молекула газа, падающая на образец, прилипает к нему (т.е. коэффициент прилипания равен 1), легко показать,
что за одну секунду при давлении 10-6 тор возникает покрытие толщиной в один монослой (см. задачу 8.1). Эта единица экспозиции, Ю™6 тор, называется Лэнг- мюром (L) в честь И. Лэнгмюра, удостоенного Нобелевской премии по химии в 1932 г. Важная роль хорошего вакуума иллюстрируется рис. 8.7: кривая тока экстраполируется к порогу / = 4,87эВ для поверхности Si (111) в течение 1 мин после приготовления скола при давлении 3,6 * 10-10 тор (экспозиция 0,02 L). После часовой экспозиции («1 L) при этом давлении / уменьшается на 0,2 эВ.
Упомянутый спектрометр для пороговой фотоэмиссии является одним из множества фотоэмиссионных спектрометров различных типов, используемых для специальных задач. Разнообразие используемых приборов становится понятным, если учесть, что ток фотоэлектронов зависит от большого числа переменных (рис. 8.8):
(8.4)(8.4)j = 〃方gl, eL, %, ди Ее, ee,仇，Зе),
(8.4)
(8.4)
где ёь, %, 3l ——поляризация, угол падения и полярный угол фотонов, падающих на образец; 2е)Je к Зе — соответствующие значения для испущенных электронов (ёе —— спиновая поляризация), а Ее ——энергия этих электронов. Число переменных в (8.4) и, следовательно, информация, которую можно получить при измерении тока j в зависимости от всех восьми переменных, является серьезной проблемой как для теоретиков, так и для конструкторов приборов. Если теоретик с помощью современных компьютеров может, по крайней мере в принципе, вычислить j как функцию всех переменных в (8.4), то в спектрометрах можно реализовать лишь ограниченный набор из восьми независимых переменных, входящих в (8.4). Оборудование, позволяющее измерять поляризацию электронного спина, встречается крайне редко, и не будет здесь обсуждаться [8.20] ?). Измерения с поляризованными фотонами легче всего осуществляются с помощью синхротронного излучения [8.5], которое обычно является линейно поляризованным, однако может быть и циркулярно поляризованным. Часто углы % и pl поддерживаются постоянными, а углы 0е и д© варьируются (фотоэлектронная
Рис. 8.8. Схема типичной конфигурации при измерениях j (几jl, cl, ^l, #l； 砚,ёе, 仇,#e) в фотоэлектронной спектроскопии. В принципе, все переменные могут изменяться непрерывным образомРис. 8.8. Схема типичной конфигурации при измерениях j (几jl, cl, ^l, #l； 砚,ёе, 仇,#e) в фотоэлектронной спектроскопии. В принципе, все переменные могут изменяться непрерывным образом
Рис. 8.8. Схема типичной конфигурации при измерениях j (几jl, cl, ^l, #l； 砚,ёе, 仇,#e) в фотоэлектронной спектроскопии. В принципе, все переменные могут изменяться непрерывным образом
Рис. 8.8. Схема типичной конфигурации при измерениях j (几jl, cl, ^l, #l； 砚,ёе, 仇,#e) в фотоэлектронной спектроскопии. В принципе, все переменные могут изменяться непрерывным образом
D Обычно используются единицы давления паскаль (1 Па = 1Н/м2) и бар (1 бар = = 105 Па). Однако при использовании вакуума предпочитают единицу измерения тор (1 тор = 1 мм рт. ст. = 133 Па).
2)Отметим, что GaAs и другие полупроводники могут использоваться как источники спин-поляризованных фотоэлектронов. В [8.21] приведен красивый пример фотоэлектронной спектроскопии в GaAs с разрешением по спину.
Рис. 8.9. Схема фотоэлектронного спектрометра, включающего полусферический анализатор (1), образец (2), помещенный в цилиндр Фарадея с замедляющим/ускоряющим потенциалом 吟,при развертке которого получается спектр, и канальный фотоэлектронный умножитель (3)務 качестве приемника
спектроскопия с угловым разрешением). В некоторых спектрометрах регистрируются электроны, охватывающие большой диапазон значений 仇 к Зе, при фиксированном среднем значении этих углов (метод с интегрированием по углам) [8.22].
На рис. 8.9 показаны главные части спектрометра, на котором анализируется энергия Ее испущенных электронов. Кроме системы со сверхвысоким вакуумом (вакуум обычно лучше 10-10 тор), важными частями спектрометра являются источник света, анализатор и приемник. Приведем некоторые подробности, относящиеся к этим частям спектрометра.
Источники. Идеальным источником света является электронное накопительное кольцо (для синхротронного излучения) (см. [8.5, 8.6]), за которым установлен монохроматор с решеткой. Спектральное разрешение монохроматора обычно находится в диапазоне от 0,1 до 0,01 эВ; делать его выше, чем у анализатора энергий, не имеет смысла. Поскольку такие источники доступны лишь в небольшом числе мест в мире, альтернативными источниками являются газоразрядные лампы и источники рентгеновского излучения. В первых используются дискретные линии разряда в инертных газах, наиболее часто — линия Hei при 21,22 эВ и линия Hell при 40,82 эВ (спектроскопия с такими УФ фотонами называется УФ фотоэмиссионной спектроскопией (УФЭС). Ширина этих линий порядка 1 мэВ, и поэтому при их использовании разрешающая способность определяется разрешающей способностью анализатора D.
Рентгеновские трубки дают фотоны с большими значениями 方gl (рентгеновская фотоэмиссионная спектроскопия или РФЭС). Используются характеристические эмиссионные линии металлического анода, чаще всего — Ка-лнния алюминия с энергией 1486,6эВ. Однако эти линии значительно шире (〜1 эВ), чем линии газоразрядных ламп, и поэтому их ширина определяет довольно плохое общее разрешение. Линия Ка алюминия имеет несколько сателлитов и асимметричную форму (рис. 8.10), что часто приводит к паразитным сигналам. С помощью рентгеновского монохроматора можно уменьшить ширину линий до 〜0,1 эВ и таким путем решить
1)Для исследования при помощи фотоэлектронной спектроскопии запрещенных зон сверхпроводников с высокой Тс (~50 мэВ) были разработаны монохроматоры с очень высоким (W 10 мэВ) разрешением.
0,16 эВ
указанные проблемы (рис. 8.10). Однако это достигается ценой значительной потери в интенсивности и ухудшения отношения сигнала к шуму. Список наиболее распространенных газоразрядных и рентгеновских линий приведен в таблице 1.7 в [8.1].
Что именно определяет выбор УФ газоразрядной лампы или рентгеновской трубки? Мы уже упомянули разрешение. Другим аспектом яляется тот факт, что фотоэлектроны, испускаемые при возбуждении УФ фотонами, имеют энергии вблизи минимума кривой на рис. 8.5 и, следовательно, глубину выхода около 5 А. Такие электроны зондируют область, очень близкую к поверхности. Это может быть преимуществом при исследовании эффектов, связанных с поверхностью, но привести к искажениям спектров, связанных с объемными свойствами. Фотоны, соответствующие линии Ка А1, создают электроны с энергиями около 1,4 кэВ и глубинами выхода около 40 А. При этом спектры соответствуют объемным свойствам. Такие энергии фотонов нужны для исследования уровней остова, например, 2р-уровней Si (с энергией связи 〜100эВ) или Ge (~1250эВ). Фотоэмиссия с угловым разрешением часто исследуется с помощью газоразрядных ламп, хотя в идеале следовало бы использовать синхротронное излучение для достижения лучшего отношения сигнал-шум.
Анализаторы электронов. В фотоэлектронной спектроскопии применяются разнообразные виды анализаторов, большинство из которых основано на действии электростатических сил. На рис. 8.9 был схематически изображен полусферический анализатор. Используются также циллиндрические зеркальные анализаторы и системы с замедляющими сетками. В полусферический анализатор электроны проникают через щель и их траектории изгибаются с помощью электростатического потенциала %, приложенного между двумя полусферическими металлическими стенками. Электроны с заданной энергией /, которая определяется величиной %, фокусируются на выходной щели и после выхода попадают на приемник. Типичное относительное разрешение такой системы равно △ Ее/Ее = ]0—2, независимо от энергии электрона. Для поддержания высокого и постоянного абсолютного разрешения (т.е. малого значения △/) принято поддерживать Ее на постоянном низком уровне. Это достигается ускорением или замедлением электронов с помощью потенциала Vs, приложенного между фарадеевским цилиндром, окружающим образец, и входной щелью. Спектры фотоэлектронов получают путем измерения зависимости тока приемника (или числа импульсов, если производится счет индивидуальных электронов) от Vs，
Приемник. В схеме, изображенной на рис. 8.9, приемником является канальный электронный умножитель, состоящий из стеклянной воронки, за которой расположена узкая трубка с поверхностью, покрытой изнутри эмиттером вторичных электронов. Последний создает по нескольку электронов на каждый падающий. Этот приемник является по сути у м нож и те л е м электронов. Отметим, что подобная система является одноканальной: в заданный момент времени регистрируются только электроны с одной определенной энергией; следовательно, большая часть электронов, падающих изнутри на выходную щель, не используется
при измерениях. Хуже того, в заданный момент времени регистрируется только одна пара углов 优 к Зе- Многоканальные системы, состоящие из многоканальной пластины, за которой расположены люминофор и видеокамера, позволяют одновременно регистрировать весь спектр со значительным улучшением отношения сигнала к шуму (примерно в 100 раз). Как уже упоминалось (см. рис. 8.7), спектры фотоэлектронов очень чувствительны к состоянию поверхности. Многоканальные системы сокращают время измерения, благодаря чему поверхность сохраняется чистой во время сбора данных (кроме того, затраты за время пользования синхротронным излучением поддерживаются в пределах бюджета!).
Подготовка поверхности. Вероятно, лучшим методом подготовки поверхности к измерениям является изготовление сколов, при условии, что материал хорошо колется и имеются образцы достаточно больших размеров. Например, Ge и Si раскалываются относительно хорошо вдоль поверхностей (111), а материалы типа цинковой обманки — еще лучше вдоль (ПО). Если изготовление сколов невозможно, поверхности можно очистить путем скрайбирования в вакууме с помощью алмазного инструмента. Они также могут быть очищены ионной бомбардировкой с последующим термическим отжигом. Поверхности роста исследуются в образцах, изготовленных с помощью эпитаксиальных методов роста.
Начало отсчета энергии. Мы говорили об энергии фотоэлектронов 瓦， не упоминая, что является началом ее отсчета. В качестве начала отсчета можно принять энергию электрона, покоящегося в «бесконечности» (т.е. вдали от спектрометра, в области, где нет электрических полей).
Однако в фотоэлектронных спектрометрах существует более доступное естественное начало отсчета энергии в том случае, если измеряются проводящие образцы (такие как полупроводники). Уровни Ферми двух проводников, находящихся в контакте, должны принять одинаковое значение, следовательно, уровень Ферми образца и его металлического держателя становятся равными. Заменяя образец металлом (или просто измеряя фотоэмиссию металлического держателя), получают зависимость спектра фотоэлектронов от Vs с относительно резкой ступенькой при уровне Ферми металла, которая должна быть на том же месте, что и у подлежащего измерению образца. Поэтому естественным началом отсчета энергии в спектроскопии фотоэлектронов является общий уровень Ферми. Энергии можно относить также к уровню вакуума (точка вне образца, но вблизи него), если известно положение уровня Ферми относительно уровня вакуума. Для 力幻匕，равному пороговой энергии /, фотоэлектроны выходят с нулевой энергией по отношению к уровню вакуума. Если фотоэлектроны возникают из валентной зоны в объеме (т.е. не существует занятых поверхностных состояний, см. § 8.3), то / соответствует энергии уровня вакуума по отношению к вершине валентной зоны Еу (т.е. состоянию с наивысшей энергией). Уровень вакуума можно определить относительно уровня Ферми. Тогда его энергия называется работой выхода и обозначается как ф. Сродство к электрону х определено как энергия уровня вакуума по отношению к дну зоны проводимости Ес (рис. 8.11).
0404ВакуумВакуум凡凡Рис. 8.11. Схематическое изображение зон полупроводника вблизи поверхности, поясняющее определение понятий электронного сродства %, работы выхода ф и энергииРис. 8.11. Схематическое изображение зон полупроводника вблизи поверхности, поясняющее определение понятий электронного сродства %, работы выхода ф и энергииНа рис. 8.12 показан схематический спектр фотоэмиссии полупроводника относительно потенциала Vs- Потенциал Vso? при котором фотоэмиссия исчезает, соответствует энергии уровня вакуума, поскольку в вакууме электроны с энергией ниже этого уровня не могут испускаться (такое обрезание приводит к появлению пика выше Vso на рис. 8.12).
0
4
0
4
Вакуум
Вакуум
凡
凡
Рис. 8.11. Схематическое изображение зон полупроводника вблизи поверхности, поясняющее определение понятий электронного сродства %, работы выхода ф и энергии
Рис. 8.11. Схематическое изображение зон полупроводника вблизи поверхности, поясняющее определение понятий электронного сродства %, работы выхода ф и энергии
Рис. 8.12. Схематическая зависимость типичного спектра с интегрированием по углам для фотоэлектронов в полупроводнике от потенциала Vs, показанного на рис. 8.9. Точка Vso соответствует уровню вакуума,吟v ——вершине валентной зоны, Vsf ——положению уровня Ферми, определенному из спектра металла
Вершина валентной зоны соответствует 伝v, а уровень Ферми —丘р. Как показа™ но на рис. 8.12, Vs0 и Vsv могут быть с разумной точностью идентифицированы из спектров фотоэлектронов. Как правило, Vsf определяется с точностью 0,01 эВ путем замены образца металлом (см. выше). После этого I, ф п х находятся из уравнений
I
/ =加兀—e(Wv 一 Ю
Ф =花 3L — "Wf — Vso),(8.5)
x = / —
где Eq — ширина запрещенной зоны материала,力幻匕 ——энергия падающего фотона.
Наиболее общее описание процесса фотоэмиссии заключается в следующем: в ре™ зультате поглощения падающего фотона происходит возбуждение электрона из занятого электронного состояния внутри твердого тела в пустое состояние вне твердого тела (так называемая одноступенчатая модель). Скорость возбужденного электрона должна быть направлена в сторону от образца, чтобы он мог попасть на приемник. Ограничения на этот процесс накладываются законами сохранения. Очевидно, что одним из них является сохранение энергии: сумма энергий начального состояния электрона и фотона должна быть равна энергии испущенного электрона. Кроме того, как и в большинстве процессов в кристаллах, выполняется закон сохранения волнового вектора, однако только для двух компонент, параллельных испускающей поверхности (fc||). Трансляционная симметрия сохраняется параллельно поверхности, когда последняя является чистой нереконструктированной поверхностью. Реконструкция поверхности может понизить трансляционную симметрию, но обычно (не всегда!) двумерная трансляционная решетка остается. Пример реконструкции поверхности будет показан на рис. 8.24. Перпендикулярно к поверхности трансляционной симметрии не существует, и соответствующая компонента к (к丄) не обязана сохраняться.
Несмотря на то, что одноступенчатый процесс фотоэмиссии кажется простым, он создает большие трудности при компьютерных вычислениях, когда делаются попытки количественной оценки. (Читатели, интересующиеся данным вопросом, могут обратиться к работе [8.25].) Поэтому часто применяется приближение, называемое трехступенчатой моделью [8.26]. В этой модели предполагается, что электрон возбуждается фотоном из занятого состояния в валентной зоне в пустое состояние в зоне проводимости (шаг 1), после чего следуют баллистический транспорт (т.е. без рассеяния) к поверхности (шаг 2) и пропускание через поверхность (шаг 3). Шаг 1 очень близко связан с процессами оптического поглощения, описанными в § 6.2.
25 М. Кардона
К трехступенчатой модели также применимы упомянутые выше законы сохранения, хотя для первого и второго шага обычно предполагается сохранение всех трех компонент к.
Спектры фотоэлектронов валентной зоны, интегрированные по углам. В случае фотоэлектронной спектроскопии с интегрированием по углам в анализатор должны попадать электроны с большим диапазоном углов 0е и ^е для того, чтобы сохранение к” не ограничивало зондируемые состояния валентной зоны. Легко видеть (задача 8.3), что в случае рентгеновской фотоэмиссионной спектроскопии (т.е. при возбуждении линией 1487 эВ Ка А1), даже при малых диапазонах 0е и ^е (〜5), используемых при УФЭС с угловым разрешением, сохранение к” не играет никакой роли, поскольку ke размазано по всей зоне Бриллюэна вследствие углового разрешения. Фотоэмиссия с интегрированием по углам получается автоматически при измерении поликристаллических образцов. При интерпретации интегрированных по углу спектров фотоэмиссии обычно используется трехступенчатая модель. Если рассматривается малый диапазон энергий первичных электронов, соответствующий ширине валентных зон полупроводников (〜10эВ), то как правило можно предположить, что транспорт к поверхности и прохождение через нее не зависят от начальной энергии. В этом случае, поскольку после анализатора регистрируются электроны с энергиями между Ее и Ее + ^Ее (где △石© — полная спектральная ширина прибора, т.е. сумма ширины линии фотона и спектральной ширины спектрометра), ток фотоэлектронов j должен быть пропорционален плотности начальных (т.е. валентных) состояний JVy (石))умноженной на вероятность перехода Р (石)：
j(Ec — Пшь) = Nv (石е — Пшь)Р(^е), (8.6)
где Ее — энергия фотоэлектронов, измеренная по отношению к уровню Ферми, или к вершине валентной зоны, или к уровню вакуума. Энергия в аргументах ^v и Р должна, конечно, измеряться по отношению к одному и тому же началу отсчета. Как следует из эксперимента и из точных вычислений (см. рис. 8.13), Р(Е) слабо зависит от Е. (Это неверно, если мы имеем дело с d-электронами в валентной зоне, как в CuCl; см. [8.27].)
На рис. 8.13 приведены спектры фотоэмиссии германия, измеренные с монохроматическим излучением Ка А1 (РФЭС) и с монохроматическим синхротронным излучением с энергией 25эВ (УФЭС). Шкала энергий электронов была выбрана так, что
Рис. 8.13. РФЭС и УФЭС спектры валентных зон германия. Штриховая линия —вычисленная плотность состояний, сплошная — плотность состояний, умноженная на вероятность перехода на шаге 1 в трехступенчатой модели РФЭС [8.2]
нуль находился в вершине валентной зоны. В рисунок включены также результаты двух расчетов рентгеновских спектров фотоэмиссии, полученных на основе расчетов зонной структуры. Один (штриховая кривая) основан просто на плотности валентных состояний, т.е. предполагается, что Р не зависит от 石v, а другой (сплошная кривая) учитывает вычисленную зависимость Р от Еу [8.28]. Сравнение этих двух вычисленных спектров дает некоторое представление о возможном влиянии энергетической зависимости Р(Еу). Отметим, однако, что кривая, учитывающая Р(石у), хуже со
гласуется с соответствующим экспериментальным спектром, чем кривая, полученная
в предположении Р(Еу) = const.
Сравним теперь спектры рисунка 8.13 со структурой валентной зоны германия. Для этого воспользуемся рис. 2.24, полученным для кремния, который очень близок к соответствующим результатам для германия (см. также рисунки 2.25 и 8.19 для зонной структуры германия). На рис. 2.24 можно идентифицировать три набора полос, которые приводят к трем хорошо разделенным пикам в плотности состояний (ПС). Пик с наибольшей энергией связан с двумя верхними валентными зонами, состоящими почти исключительно из чистых атомных 4р-состояний (см. § 2*7)* Следующий более низкий пик соответствует гибридной 4р—4s зоне. Самый нижний пик (зона) является 45- подобным с некоторой примесью p-состояний вдали от точки Г. Перечисленные пики довольно хорошо соответствуют пикам на рис. 8.13, обозначенным как I, II и III. Отметим, что пик I вдвое интенсивнее пиков II и III. Последнее связано с двукратным вырождением двух самых верхних валентных зон вдоль направлений [111] и [100] (они почти вырождены в большей части зоны Бриллюэна). В модели сильной связи (см. п. 2*7*2) это соответствует двукратному вырождению р-орбиталей, перпендикулярных к таким направлениям к. Обратите внимание на то, что для к вдоль направления [111] эти орбитали не смешиваются с s-орбиталями ближайших соседей вдоль к; р-орбитали вдоль направления к сильно взаимодействуют с s-орбиталями ближайшего соседнего атома, приводя, таким образом, к двум нижним зонам и пикам в плотности состояний (см. рис. 2.23).
В качестве других примеров на рис. 8.14 приводятся интегрированные по углу спектры рентгеновской фотоэмиссии (К。А1) и спектры ультрафиолетовой фотоэмиссии (Hei) для четырех полупроводников группы III-V. Отметим, что здесь шкала энергий со
ответствует «энергии связи», т.е. энергии начального состояния на рис. 8.13 с обратным знаком. В литературе употребляются обе эти шкалы энергий.
Рис. 8.14. РФЭС спектры GaP, GaAs, GaSb и AlSb (сплошные линии) и интегрированные по углу УФЭС спектры (%gl = = 21,2 эВ, штриховые линии); L — особенности в спек-Рис. 8.14. РФЭС спектры GaP, GaAs, GaSb и AlSb (сплошные линии) и интегрированные по углу УФЭС спектры (%gl = = 21,2 эВ, штриховые линии); L — особенности в спек-тре, соответствующие крити-ческим точкам [8.2]тре, соответствующие крити-ческим точкам [8.2]В показанных спектрах также наблюдается три пика, сходные с пиками, приведенными на рис. 8.13, но с одним важным различием: расщепление между пиками II и III больше (〜5эВ для GaAs, 3эВ для Ge). Это связано с тем, что дважды вырожденная в точке X] валентная зона германия расщепляется в структуре цинковой обманки вследствие антисимметричного или ионного потенциала (X】-Хз расщепление на рис. 2.28). Обратите внимание на то, что расщепления между пиками II—Ш
Рис. 8.14. РФЭС спектры GaP, GaAs, GaSb и AlSb (сплошные линии) и интегрированные по углу УФЭС спектры (%gl = = 21,2 эВ, штриховые линии); L — особенности в спек-
Рис. 8.14. РФЭС спектры GaP, GaAs, GaSb и AlSb (сплошные линии) и интегрированные по углу УФЭС спектры (%gl = = 21,2 эВ, штриховые линии); L — особенности в спек-
тре, соответствующие крити-ческим точкам [8.2]
тре, соответствующие крити-ческим точкам [8.2]
на рис. 8.14 равны примерно 5 эВ. Это очень близко к значениям, полученным в тео рии псевдопотенциала на рис. 2.28. Было предложено считать величину расщепления между пиками II и III после вычитания соответствующего значения для элемента группы IV мерой ионности соединения [8.29].
Спектры фотоэлектронов валентной зоны с угловым разрешением. В экспериментах по спектроскопии фотоэлектронов с угловым разрешением (СФУР) необходимо измерять j (方gl,石l, ^e, ge)・ Как и в других спектроскопических методах, нельзя измерить j для точных значений ве и(ре. Приемник воспринимает некоторый диапазон этих параметров, а именно 0е ± А^е/2 к д© ± ± △де/2. Угловое разрешение △% и Д^е составляет обычно несколько градусов.
Подобно тому, как уже обсуждалось в п. 8.1.1, для измерения зависимости ^ от 矶 можно использовать системы двух типов: одноканальные и многоканальные. Одноканальные приемники в заданный момент времени регистрируют только электроны в диапазонах 0е ± А6>е/2 и ^е ± △夕е/2 для заданной пары углов ^е； Зе, значения которых изменяются после полной записи 八石©)* Поэтому большая часть сигнала, соответствующего определенному моменту времени, не используется. Тем не менее, значительная часть существующих результатов была получена с одноканальными системами.
Стандартный одноканальный приемник состоит из миниатюрного электростатического анализатора с присоединенным к нему канальным электронным умножителем (см. рис. 8.9), установленного на вращающемся столике, что позволяет изменять угол J©* Азимутальный угол де изменяется путем вращения образца вокруг оси, перпендикулярной к поверхности, из которой происходит фотоэмиссия [8.30]. Спектрометры для СФУР, основанные на подвижных полусферических анализаторах, выпускаются промышленностью.
Многоканальные системы, измеряющие одновременно 优 к Зе)дают очень большой объем данных за короткое время. Таким образом, время сбора информации сводится к минимуму и главный упор переносится на нетривиальную задачу анализа большого объема одновременно полученных результатов. Короткое время измерений имеет важное значение при использовании синхротронного излучения (время пользования которым ограничено и/или дорого стоит), а также когда нужно свести к минимуму загрязнение поверхности в процессе измерений.
Схема многоканальной системы с угловым разрешением, в которой используются замедляющие сетки, многоканальная пластина и видеокамера или другой подобный двумерный приемник, приведена на рис. 8.15. Угловое разрешение определяется расстоянием между элементами изображения (пиксель) в многоканальной пластине, а также аберрациями электронной оптики. Для одновременной регистрации со всеми углами 0е применяются тороидные анализаторы энергии совместно с синхротронным излучением [8.31].
Ценность метода СФУР связана с сохранением к^, компоненты волнового вектора к, параллельной испускающей поверхности. Следует отдавать себе отчет в том, что сохранение 包卜 подобно сохранению к в трехмерном кристалле, происходит с точностью до G\\, где G” — вектор обратной решетки в двумерной пространственной группе, которая оставляет поверхность инвариантной D. Можно не учитывать G“, если мы ограничиваем к” испущенного электрона первой зоной Бриллюэна поверхности. Компонента к, перпендикулярная поверхности (к丄),в общей одноступенчатой модели не сохраняется. В этом случае мы имеем два уравнения, выражающие сохранение
1)Здесь предполагается, что пространственная группа поверхности является подгруппой пространственной группы объема. Могут возникнуть трудности в определении такой группы для реконструктированной поверхности.
Рис. 8.15. Многоканальная система для измерения фотоэмиссии с разрешением по углу (9е, ^е), основанная на полусферической электронной оптике для дифракции медленных электронов
двух компонент 包卜 и уравнение, выражающее сохранение энергии. Из эксперимента получают энергию Ее испущенных электронов и три компоненты их волнового век™ тора, который мы обозначим как К (строчные буквы употребляются для векторов к внутри твердого тела). Три компоненты К можно найти из 0е,(ре и Ее, сделав разумное предположение о том, что дисперсионное соотношение имеет такой же вид, как для свободного электрона в вакууме (石е = 力2K2/(2m)). С помощью трех уравнений сохранения можно определить три неизвестных, а именно, Ее, ве и(ре, т.е. спектр фотоэмиссии, при условии, что известна зонная структура твердого тела. Поскольку к丄 не входит в уравнения сохранения, информацию о нем нельзя получить таким способом, и, следовательно, из спектра фотоэмиссии с угловым разрешением для одной заданной поверхности невозможно определить структуру валентной зоны в объеме Еу(к).
Теперь следует упомянуть о роли векторов поверхностной обратной решетки G卜 Для заданных gl и Ее испущенные фотоэлектроны образуют конус, который можно описать как ве = &(力幻匕)瓦)^е). Предполагается, что функция Fo соответствует G” = 0. Поскольку £е и де находят из направления К卜 для каждого не равного нулю вектора G“ существуют разные соотношения между 0е и(ре:
优=歹G|| (力瓦 (8.7)
Мы, таким образом, получаем множество конусов фотоэмиссии, называемых конусами Махана. Уравнение (8.7) основано только на законах сохранения, которые не содержат информации о величине тока фотоэлектронов j (/zwl, 瓦)优)Зе)・ Получение относительной величины 7GH для различных конусов Махана является довольно сложной теоретической задачей и не будет здесь рассматриваться. К счастью, как можно было предвидеть, основной вклад вносят несколько первых конусов (соответствующих G“ = 0 и низшим значениям G^). Кроме того, большие значения G^ (т.е. большие £е) не реализуются при измерениях вследствие механических ограничений и ограничений по энергии фотонов.
Несмотря на невозможность определить объемную зонную структуру из спектров фотоэмиссии с угловым разрешением, в определенных случаях можно получить некоторые результаты с помощью соответствующих приближений. Такого рода случаем
являются слоистые структуры, т.е. трехмерные твердые тела, состоящие из отдельных слоев, которые удерживаются вместе с помощью взаимодействий ван дер В аал ь с а (см. гл. 1). Взаимодействия между электронами соседних слоев очень слабо, и поэтому слои в стопе можно считать независимыми, т.е. двумерными кристаллами. В данном случае энергия электронов не зависит от к丄 и можно непосредственно найти двумерные зоны из спектров с угловым разрешением.
В случае истинно трехмерных кристаллов можно получить дополнительную информацию, позволяющую определить %(к), путем измерения фотоэмиссии от двух или более различных поверхностей. Компонента к, перпендикулярная к одной поверхности, имеет компоненту, параллельную другой поверхности. Получают дополнительные уравнения сохранения, которые позволяют определить Ev(k), если удается идентифицировать пики, соответствующие одному и тому же начальному состоянию в спектрах фотоэлектронов от двух поверхностей. Однако такой метод оказывается очень громоздким и редко используется для полупроводников. Более плодотворным является метод, основанный на трехступенчатой модели, в которой трехмерный волновой вектор к сохраняется на первом шаге (возбуждение из валентной зоны в зону проводимости). Дополнительное уравнение сохранения для к丄 позволяет определить к丄 при условии, что конечное состояние подобно состоянию свободного электрона. Этот метод широко и плодотворно использовался для нахождения зависящей от к зонной структуры полупроводников. Ниже мы приведем несколько примеров определения зонной структуры с помощью спектров фотоэлектронов с угловым разрешением (см. п. 8.3.2).
Двумерные кристаллы. Двумерные кристаллы (см. гл. 1) идеально подходят для определения зонной структуры по методу СФУР. Среди исследовавшихся упомянем дихалькогениды переходных металлов (например, TaSe?); халькогениды In и Ga (InS, GaSe, InSe); GeS, GeSe, SnS, SnSe и полуметаллический графит. Следует также отметить, что поверхности полупроводников имеют электронные состояния в пределах одного или двух наружных монослоев (поверхностные состояния). Им соответствуют двумерные энергетические зоны (поверхностные зоны), которые также могут измеряться с помощью метода СФУР.
Процедура определения зонной структуры двумерного полупроводника заключается в следующем. Спектр 7(瓦)измеряется при фиксированных значениях всех прочих параметров в (8.4), особенно 力®l)优 и 必* Предполагается, что пики в этом спектре j (瓦)соответствуют испусканию из состояния валентной зоны с хорошо определенными значениями к” и 石屮 Из энергии пика Ее (конечное состояние), отнесенной к уровню вакуума, Кц находят с помощью уравнения
石 e(力 ®L)^e ? Зе)石 e(力 ®L)^e ? Зе)力2(Kj +%)力2%力2(Kj +%)力2%2 m2 m2 m2 m(1 + ctg2 6>e).(1 + ctg2 6>e).(8-8)(8-8)
石 e(力 ®L)^e ? Зе)
石 e(力 ®L)^e ? Зе)
力2(Kj +%)力2%
力2(Kj +%)力2%
2 m
2 m
2 m
2 m
(1 + ctg2 6>e).
(1 + ctg2 6>e).
(8-8)
(8-8)
Из (8.8) определяется величина К卜 Его направление задается азимутальным углом де・ Вектор К“ равен к“ после вычитания вектора обратной решетки G^, что необходимо для приведения к“ в приведенную двумерную зону Бриллюэна. Таким образом, мы определили к“ для начального (валентного) состояния. Полная зонная структура
"V (к")=力-石ё (力GLo ^e , дe)
может быть получена путем варьирования 0е и(ре при фиксированном значении 力®> Указанная процедура особенно удобна в случае дискретных линий газоразрядных ламп. Отметим, что вследствие существования больше чем одного ко нуса Махана, т.е. возможности получить одно и то же значение к” с разными наборами £е и де (при вычитании необходимых G“), процедура обладает даже избыточной информацией: те же самые валентные зоны должны получаться при различных значениях G卜 что является надежной проверкой точности. Для иллюстрации этого на
®е =®е =J「+ G||J「+ G||尸尸ГГ808070706060「+ G「+ G5050404030302020/Сц(X V^ sin ®е/Сц(X V^ sin ®еО 510 15 20Энергия электрона, эВО 510 15 20Энергия электрона, эВ00
®е =
®е =
J
「+ G||
J
「+ G||
尸
尸
Г
Г
80
80
70
70
60
60
「+ G
「+ G
50
50
40
40
30
30
20
20
/Сц(X V^ sin ®е
/Сц(X V^ sin ®е
О 510 15 20
Энергия электрона, эВ
О 510 15 20
Энергия электрона, эВ
0
0
Рис. 8.16. Кривые распределения энергий графита, возбужденного излучением Hell, с по-лярным углом 仇 в качестве параметра [8.33]. Два шестиугольника изображают соседние2d-зоны Бриллюэна
Рис. 8.17. Дисперсия Ev (Д?ц) двумерных зон графита. Измерения с помощью УФЭС с угловым разрешением (точки), теория (штриховые линии) [8.34]. На вставке изображена двумерная зона БриллюэнаРис. 8.17. Дисперсия Ev (Д?ц) двумерных зон графита. Измерения с помощью УФЭС с угловым разрешением (точки), теория (штриховые линии) [8.34]. На вставке изображена двумерная зона Бриллюэна
Рис. 8.17. Дисперсия Ev (Д?ц) двумерных зон графита. Измерения с помощью УФЭС с угловым разрешением (точки), теория (штриховые линии) [8.34]. На вставке изображена двумерная зона Бриллюэна
Рис. 8.17. Дисперсия Ev (Д?ц) двумерных зон графита. Измерения с помощью УФЭС с угловым разрешением (точки), теория (штриховые линии) [8.34]. На вставке изображена двумерная зона Бриллюэна
рис. 8.16 приведены пики в J(Ее,优)，наблюдавшиеся в полуметаллическом графи™ те. На рис. 8.17 зонная структура графита, полученная с помощью этой процедуры, сравнивается с результатами расчета [8.34]. Зоны 内 происходят от s-орбиталей углерода, зоны。2 и(7з — от связывающих р-орбиталей, лежащих в плоскости, а зоны 7Г1 — от внеплоскостных связывающих р-орбиталей. Материал является полуметаллом, поскольку связывающие и антисвязывающие тг-зоны (на рис. 8.17 показаны
только связывающие зоны) вырождены по симметрии в точке Р (задача 8.7). Результаты, специфичные для полупроводников, приведены в [8.22, 8.35]. Описанный метод успешно применялся для исследования высокотемпературных сверхпроводников, которые также являются двумерными кристаллами [8.36].
Т рехмерные полупроводники. Наиболее часто для определения структуры валентной зоны в трехмерных полупроводниках с помощью СФУР используется метод, базирующийся на сохранении трех компонент к, что следует из трехступенчатой модели. Таким способом были исследованы многие полупроводники типа алмаза и цинковой обманки [8.22, 8.37]. Делается дополнительное предположение о том, что в результате переходов, индуцированных высокоэнергичными фотонами 力®l)состояния зоны проводимости (т.е. конечные состояния) при столь высоких энергиях подобны состояниям свободных электронов, и поэтому могут описываться параболами Ес = =力2k2/(2th). Поскольку парабола является просто аппроксимацией к более высоким зонам проводимости, ее дно не соответствует дну истинной зоны проводимости. Вблизи этого дна поведение электронов в зоне сильно отличается от поведения свободных электронов (см. гл. 2). Поэтому энергия дна параболы свободных электронов является просто подгоночным параметром, не имеющим ясного физического смысла.
1/2(еe _石 。)"2 - G丄,1/2(еe _石 。)"2 - G丄,Этот тип СФУР обычно измеряется для ^е = 0 (эмиссия, перпендикулярная к поверхности). Поэтому к” начальных состояний равен или нулю, или одному из векторов двумерной обратной решетки G”. Энергию Ее преобразуют в энергию внутри твердого тела по отношению ко дну внутренней подгоночной параболы для свободных электронов путем вычитания постоянной Ео. Мы относим Ее к вершине валентной зоны (т.е к точке, где начинаются спектры фотоэмиссии), так что 昂 представляет собой энергию дна параболы свободных электронов в вакууме по отношению к вершине валентной зоны (рис. 8.18). Значение к丄,которое соответствует энергии заданного пика в 石©)т.е. % =力®l —石е, можно найти из выражения
1/2
(еe _石 。)"2 - G丄,
1/2
(еe _石 。)"2 - G丄,
(8.9)
где G丄—компонента вектора обратной решетки, перпендикулярная к поверхности, необходимая для того, чтобы привести к丄 к приведенной зонной схеме Бриллюэна. Уравнения (8.9) и
Еу =加几—Ее (8.10)
определяют структуру валентной зоны 石丫(衣丄)в направлении зоны Бриллюэна, перпендикулярной к поверхности, при условии, что 昂 известна. Энергия 昂 может использоваться в качестве подгоночного параметра для подгонки вычисленной зонной структуры, если таковая существует. Для полупроводников типа алмаза и цинковой обманки значения Eq находятся в диапазоне 5 + 9 эВ, хотя, как уже отмечалось, этот параметр не имеет большого физического смысла и возник вследствие того, что конечные состояния рассматриваются в приближении свободных электронов. Анализ СФУР для эмиссии, нормальной к поверхности, с использованием соответствующей расчетной структуры зоны проводимости вместо конечных состояний типа свободных электронов для ряда полупроводников группы III-V приведен в [8.38].
Для определения 石v(k丄)с помощью (8.9) и (8.10) требуется несколько значений 加;l・ Для каждой частоты как правило получается несколько пиков в Ее (обычно три или четыре) и, таким образом, находится соответствующее число точек зонной структуры. Достаточно плотная сетка достигается при использовании всех линий разряда инертных газов (около 20 линий в диапазоне 10 4- 50эВ), при условии, что свет пропускается через монохроматор. Более качественные результаты получаются, конечно, с непрерывно перестраиваемым синхротронным излучением.
В только что описанной процедуре для нахождения Eq необходимо использовать имеющиеся зонные структуры. Если доступен широкий диапазон 力幻匕 в случае непрерывно перестраиваемого излучения, то можно определить весь спектр 石丫(衣丄)из двух
ветвей зоны проводимости, различающихся на вектор G丄(Eci и 瓦2 на рис. 8.18). Из рис. 8.18 мы видим, что к丄 возрастает при уменьшении Eq для состояния Eci (т.е. для перехода 方с%) и уменьшается при возрастании Eq для состояния ЕС2 (т.е. для перехода 方幻2). Путем метода проб и ошибок можно найти значение Eq^ которое приводит к одной и той же величине к丄 для заданного начального значения независимо от выбора ветви Ес. Эта процедура, впервые выполненная Мидлеман- ном и др. [8.39], позволяет определить Е，к丄)〉не зная предварительно Eq и зонную структуру.
Описанный метод был очень успешно применен Ченом и др. [8.40] для Ge с использованием кристалла в форме цилиндра (с осью [ПО]) для того, чтобы иметь возможность проводить измерения для различных направлений к丄(△, А, Е), просто вращая цилинр вокруг его оси. Результаты приведены на рис. 8.19. Они прекрасно согласуются с результатами расчетов зонной структуры по методу псевдопотенциала, выполненными Целиковским и Коэном [8.41].
Как уже отмечалось, для многих полупроводников структуры валентных зон были определены из нормальной к поверхности фотоэмиссии с помощью метода, основанного на трехступенчатой модели, в которой предполагается сохранение вол-
ВакуумВакуумРис. 8.18. Схема метода определения к± в предположении, что зоны проводимости подобны зонам свободных электронов. Рассматриваются два различных фотона (%д и %&2), приводящие к переходам с одинаковыми Ev, но различными Kci и КС2 (в схеме расширенных зон к± отличаются на вектор обратной решетки)Рис. 8.18. Схема метода определения к± в предположении, что зоны проводимости подобны зонам свободных электронов. Рассматриваются два различных фотона (%д и %&2), приводящие к переходам с одинаковыми Ev, но различными Kci и КС2 (в схеме расширенных зон к± отличаются на вектор обратной решетки)нового вектора к. Такая схема называется схемой прямых переходов, поскольку в ней предполагается сохранение к при поглощении фотона (шаг 1) (см. § 6.2). Однако это
Вакуум
Вакуум
Рис. 8.18. Схема метода определения к± в предположении, что зоны проводимости подобны зонам свободных электронов. Рассматриваются два различных фотона (%д и %&2), приводящие к переходам с одинаковыми Ev, но различными Kci и КС2 (в схеме расширенных зон к± отличаются на вектор обратной решетки)
Рис. 8.18. Схема метода определения к± в предположении, что зоны проводимости подобны зонам свободных электронов. Рассматриваются два различных фотона (%д и %&2), приводящие к переходам с одинаковыми Ev, но различными Kci и КС2 (в схеме расширенных зон к± отличаются на вектор обратной решетки)
Рис. 8.19. Сравнение структуры валентной зоны Ge, определенной с помощью УФЭС с угловым разрешением, с теоретическими результатами (сплошные линии). Большими (маленькими) кружками обозначены сильные (слабые) пики [8.40]Рис. 8.19. Сравнение структуры валентной зоны Ge, определенной с помощью УФЭС с угловым разрешением, с теоретическими результатами (сплошные линии). Большими (маленькими) кружками обозначены сильные (слабые) пики [8.40]mG £0 мин KSJdgHGmG £0 мин KSJdgHGпредположение не является точным: наличие поверхности вызывает по крайней мере частичное нарушение сохранения к丄.Оставаясь в рамках трехступенчатой модели, рассмотрим теперь противоположный случай, когда к丄 совсем не сохраняется. Новая
Рис. 8.19. Сравнение структуры валентной зоны Ge, определенной с помощью УФЭС с угловым разрешением, с теоретическими результатами (сплошные линии). Большими (маленькими) кружками обозначены сильные (слабые) пики [8.40]
Рис. 8.19. Сравнение структуры валентной зоны Ge, определенной с помощью УФЭС с угловым разрешением, с теоретическими результатами (сплошные линии). Большими (маленькими) кружками обозначены сильные (слабые) пики [8.40]
mG £0 мин KSJdgHG
mG £0 мин KSJdgHG
ситуация называется моделью непрямых переходов по аналогии с описанными в § 6.2 непрямыми переходами, идущими без сохранения к. Для начальных состояний с заданным к“)который сохраняется в процессе фотоэмиссии, к± может не сохраняться. Таким образом, в первом приближении считается, что регистрируются все валентные электроны с заданным к“ (определяемым значениями &)夕е и <9е) и всеми возможными значениями к丄.Поскольку Ev =方川匕一玖)при постоянном разрешении △®l и А^е регистрируются все электроны с энергией Ev 士 △&/2)где величина △& предполагается постоянной. Эти электроны с фиксированным значением к“ 1)и переменными к± могут быть представлены одномерной зонной структурой 及，％口 (к丄)“ Число собранных электронов, соответствующих начальным состояниям внутри интервала AEV вокруг Ev будет пропорционально одномерной плотности состояний m,%"(k 丄)：
1 /dEy 丄)、1
甸 8m…(к丄)=一 一J^^ . (8.11)
Величину М,%“ легко вычислить, если известна зонная структура. В ней будут проявляться сингулярности, когда производная в (8.11) будет обращаться в нуль, т.е. когда наклон 及，％口 будет равен нулю. Это происходит в критических точках одномерной зонной структуры, например, при к“ = ^± = 0, а также, иногда, в случае, когда к± пересекает границы зоны Бриллюэна. К счастью, одномерные критические точки могут возникать и внутри приведенной зоны. При сделанных предположениях в измеренном спектре будут появляться пики при значениях &「вычисленных с помощью (8.10) из значений & для таких одномерных критических точек.
Мы рассмотрели два предельных случая: полное сохранение к± и отсутствие какого-либо сохранения. Истина, конечно, лежит где-то посередине: к± будет сохраняться с точностью до «разрешения» Ак±7 т.е. конечное состояние для первого шага будет находиться в интервале к± 士 Ак±/2. Оценим теперь величину △卜丄⑥ Испущенные фотоэлектроны с энергией £7е имеют внутри кристалла длину затухания J, приведенную на рис. 8.5. Поэтому их можно представить волновой функцией
夕6 〜£2(%||”|)£2(П—2心卄丄=小1『丄， (8.12)
где Гц и г± — компоненты г, параллельные и перпендикулярные к поверхности образца, причем г± является положительным при направлении в сторону вакуума. Уравнение (8.12) показывает, что конечная глубина выхода 5 может быть представлена мнимой частью к丄？ k[? где 2kl = 5~1. Легко доказать, что эта мнимая часть превращает требование сохранения к丄)выраженное дельта-функцией 5(к[ — к]} в лорен- цево распределение вероятности:
厶m,比)一瓦(&13)
с полушириной АА;^ = 2A；Y = ^1 (обратите внимание на то, что 2к±^а кг± + к^). Для £7е 40эВ J = 5 А и 厶卜丄 0, 2 А Х, что соответствует 1/5 расстояния Г-Х для зоны Бриллюэна германия. Если в этот диапазон попадет одномерная критическая точка при одном из значений к丄)определяемых выражением (8.9), то ожидается, что она будет оказывать доминирующее влияние на кривую распределения энергии. Как в действительности обстоит дело можно проверить, изменив 方川匕.Для прямых
1)Строго говоря, при изменении Ее мы должны изменять 0е для того, чтобы сохранять величину ос Е^2 sin 0е постоянной.
переходов, идущих с сохранением к丄)значения вычисленные с помощью (8.10) из Eq для заданного спектрального пика, меняются при изменении 方川匕.Для непрямых переходов в спектрах воспроизводятся сингулярности в одномерной плотности состояний, которые возникают при фиксированных значениях 及以 Поэтому из (8.10) будут получаться значения &〉не зависящие от 方川匕(Ее должна измениться таким образом, чтобы в точности компенсировать изменение 方3匕)“
Очевидно, что в спектрах СФУР реальных полупроводников содержится смесь пиков, соответствующих процессам с сохранением к± и одномерной плотности состояний. В спектрах Ge и полупроводников типа цинковой обманки в основном видны пики, отвечающие процессам с сохранением к±. В то же время большинство пиков (но не все) в халькогенидах свинца можно объяснить пиками в одномерной плотности состояний [8.42]. Полной ясности в вопросе о том, почему к этим двум семействам полупроводников применимы противоположные модели, не существует. Однако можно предположить, что модель непрямых переходов применима тем лучше, чем большее число одномерных критических точек находится внутри зоны Бриллюэна. Более высокая симметрия приводит к увеличению числа таких критических точек (задача 8.9). Халькогениды свинца имеют точечную группу Оь, а полупроводники типа цинковой обманки ——точечную группу Та, у которой число операций симметрии меньше, чем у Оь- Кроме того, при измерениях в кристаллах типа цинковой обманки используется поверхность скола [110], а для халькогенидов свинца поверхностью скола является [100]. Последняя вследствие более высокой симметрии имеет больше одномерных критических точек, чем поверхность [110]. Наконец, у халькогенидов свинца есть случайные критические точки вдоль направлений △ и Е (см. рис. 1 в [8.42]), что увеличивает вероятность непрямых переходов. В качестве иллюстрации на рис. 8.20 показана область ^-пространства (с двумя соседними объемными зонами Бриллюэна), которая доступна для фотоэмиссии с поверхности (100) PbS для к“ вдоль направления (001). На рис. 8.20 в приведена соответствующая зависимость от к” для измеренных одномерных критических точек, а на рис. 8.20 б даны результаты расчетов зонной структуры, которые вполне удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными (в).
Уровни остова. Первые уровни остова Ge (3d) в порядке возрастания энергии связи (ЭС) находятся на 〜30 эВ ниже вершины валентной зоны (см. таблицу в [8.1, 8.2]). У кремния нет (/-уровней остова; его первые уровни (2р) имеют ЭС 〜100эВ. В соединениях группы III-V самые высокие d-уровни остова расщепляются на уровни катиона (ЭС 〜18эВ) и аниона (ЭС 〜30 4- 40эВ). У соединений II-VI это расщепление увеличивается (катион 〜10эВ; анион приблизительно от 40 до 55эВ). Отметим, что для соединений II-VI уровни 3d и 4d касаются s-подобного дна валентных зон; однако d-s смешивание пренебрежимо мало вследствие малой протяженности волновых функций (/-уровней. В соединениях I-VII (например, CuCl) 3(/-уровни меди перекрывают верхние (p-подобные) части зон проводимости, приводя к значительному смешиванию, ответственному за ряд интересных эффектов, таких как изменение знака спин-орбитального расщепления в точке Г у CuCl [8.27]. Обратите внимание на то, что у Al, Р и S, как и у Si, нет (/-уровней остова.
Вследствие спин-орбитального взаимодействия p-подобные уровни остова расщепляются на атомноподобные компоненты с j = 3/2 и 7 = 1/2 (расщепление Ар 二 0,6 эВ для 2夕-уровней в Si и 4 эВ для Зр-уровней Ge; величина этих расщеплений быстро возрастает с атомным номером). В атомах d-уровни остова имеют орбитальное вырождение, равное 5(/ = 2). Таким образом, под действием спин-орбитального взаимодействия они расщепляются на j = 5/2 и j = 3/2. Однако если атом помещен в кубическое (или тетраэдрическое) окружение, должно произойти снятие пятикратного орбитального вырождения, поскольку в точечных группах Оь или Td степень вырождения не может быть выше трех. В цинковой обманке орбитальные d-уровни
Е, эВЕ, эВXZFZXXZFZXPbS(lOO)PbS(lOO)—1,0д II, А 11,о—1,0д II, А 11,оРис. 8.20. а) Схема расширенных зон ГЦК структуры. Критические точки вдоль направлений Г—X, △—РИ и X —РИ—X представлены вертикальными линиями. 6) Расчетная зависимость энергий критических точек вдоль трех вертикальных линий, приведенных в а. в) Справа ——экспериментальные результаты для критических точек, измеренные с помощью фотоэмиссии с угловым разрешением с k^\ вдоль [001] (газоразрядная лампа Hei, Лш = =21, 2 эВ); через экспериментальные точки проведены кривые по возможности близко к вычисленным результатам в б. Слева — результаты для 他〔вдоль [011] [8.42]Рис. 8.20. а) Схема расширенных зон ГЦК структуры. Критические точки вдоль направлений Г—X, △—РИ и X —РИ—X представлены вертикальными линиями. 6) Расчетная зависимость энергий критических точек вдоль трех вертикальных линий, приведенных в а. в) Справа ——экспериментальные результаты для критических точек, измеренные с помощью фотоэмиссии с угловым разрешением с k^\ вдоль [001] (газоразрядная лампа Hei, Лш = =21, 2 эВ); через экспериментальные точки проведены кривые по возможности близко к вычисленным результатам в б. Слева — результаты для 他〔вдоль [011] [8.42]
Е, эВ
Е, эВ
XZFZX
XZFZX
PbS(lOO)
PbS(lOO)
—1,0д II, А 11,о
—1,0д II, А 11,о
Рис. 8.20. а) Схема расширенных зон ГЦК структуры. Критические точки вдоль направлений Г—X, △—РИ и X —РИ—X представлены вертикальными линиями. 6) Расчетная зависимость энергий критических точек вдоль трех вертикальных линий, приведенных в а. в) Справа ——экспериментальные результаты для критических точек, измеренные с помощью фотоэмиссии с угловым разрешением с k^\ вдоль [001] (газоразрядная лампа Hei, Лш = =21, 2 эВ); через экспериментальные точки проведены кривые по возможности близко к вычисленным результатам в б. Слева — результаты для 他〔вдоль [011] [8.42]
Рис. 8.20. а) Схема расширенных зон ГЦК структуры. Критические точки вдоль направлений Г—X, △—РИ и X —РИ—X представлены вертикальными линиями. 6) Расчетная зависимость энергий критических точек вдоль трех вертикальных линий, приведенных в а. в) Справа ——экспериментальные результаты для критических точек, измеренные с помощью фотоэмиссии с угловым разрешением с k^\ вдоль [001] (газоразрядная лампа Hei, Лш = =21, 2 эВ); через экспериментальные точки проведены кривые по возможности близко к вычисленным результатам в б. Слева — результаты для 他〔вдоль [011] [8.42]
расщепляются на Г^ (двукратно вырожденные) и Г4 (трехкратно вырожденные, см. задачу 8.10). Однако это расщепление в случае уровней остова составляет не больше нескольких десятых эВ, т.е. меньше спин-орбитального (~1 эВ). Поэтому расщепление в кристаллическом поле должно действовать на уровни j = 5/2 (шестикратно вырожденный) и j = 3/2 (четырехкратно вырожденный) после их расщепления вследствие спин-орбитального взаимодействия. Уровень j = 3/2 не расщепляется кристаллическим полем. Однако уровень j =5/2 расщепляется на 几 и 广7 (задача 8.10), хотя это расщепление в кристаллическом поле довольно слабое.
Обратите внимание на то, что самые внешние катионные d-уровни остова в германии и полупроводниках типа цинковой обманки могут исследоваться с помощью обычных газоразрядных ламп (для исследования анионных уровней, за исключением Sb, требуется синхротронное или рентгеновское излучение). На рис. 8.21 приведены интегрированные по углам спектры фотоэлектронов 4(/-уровней Cd в CdTe и в металлическом Cd с энергиями связи, отнесенными к вершине валентной зоны CdTe. В спектре видны два пика (с j = 5/2 и 3/2), интенсивности которых, как и следовало
ожидать, относятся как 3/2. Отметим, что спин™ орбитальное расщепление больше для элементарного Cd, чем для соединения CdTe, для которого оно, в сущности, очень близко к значению для изолированного атома. Это объясняется как результат перекрытия уровней Cd 4d—Cd 4d между ближайшими соседями в металлическом Cd (т.е. образования зоны). Такого перекрытия не возникает в CdTe, в котором ближайшим соседом Cd является Те. Недавние экспериментальные и теоретические исследования образования зоны из 4(/-состояний Cd в CdSe приведены в [8.44].
Наиболее интересной особенностью рис. 8.21 является сдвиг катионных уровней остова CdTe к большим по сравнению с элементом ЭС. Подобным же образом уровни Те (аниона) сдвинуты к меньшим ЭС [8.43]. (Эти так называемые сдвиги уровней остова обычно имеют одинаковые значения для всех уровней остова заданного атома.) Простое качественное объяснение данного довольно общего факта основано на ионности соединения: катион отдает электрон аниону. Удаление электрона из области вблизи катиона уменьшает энергию отталкивания, которую чувствуют электроны катионного остова, благодаря чему их энергия связи возрастает. Противоположный эффект имеет место для уровней остова аниона. Однако приведенные простые соображения наталкиваются на некоторые
Рис. 8.21. Спектры 4с/~уровней остова для Cd (пунктир) и CdTe (сплошная линия), полученные с помощью УФЭС (Hei). Обе ЭС отнесены к вершине валентной зоны CdTe. Сдвиг уровней остова равен 1,44 эВ [8.43]Рис. 8.21. Спектры 4с/~уровней остова для Cd (пунктир) и CdTe (сплошная линия), полученные с помощью УФЭС (Hei). Обе ЭС отнесены к вершине валентной зоны CdTe. Сдвиг уровней остова равен 1,44 эВ [8.43]трудности при количественном рассмотрении. При удалении заряда q (отрицательного для катионов и положительного для анионов) из атома изменение ЭС для уровней его остова должно быть равным — q/尸？ где г — среднее расстояние между валентными электронами и остовом. В случае двухатомного кристалла удаленный электрон помещается на узел другой под решетки, приводя к увеличению вклада энергии Маделунга в энергию связи. Таким образом, полный сдвиг ЭС по сравнению с нейтральным эле
Рис. 8.21. Спектры 4с/~уровней остова для Cd (пунктир) и CdTe (сплошная линия), полученные с помощью УФЭС (Hei). Обе ЭС отнесены к вершине валентной зоны CdTe. Сдвиг уровней остова равен 1,44 эВ [8.43]
Рис. 8.21. Спектры 4с/~уровней остова для Cd (пунктир) и CdTe (сплошная линия), полученные с помощью УФЭС (Hei). Обе ЭС отнесены к вершине валентной зоны CdTe. Сдвиг уровней остова равен 1,44 эВ [8.43]
ментом имеет следующий вид:
△ Е = q△ Е = q(8.14)
△ Е = q
△ Е = q
где ам — постоянная Маделунга (для структуры цинковой обманки ам = 1,64), а А — расстояние между ближайшими соседями. Приняв для случая цинковой обманки г = =Н/2)из (8.14) находим
△ Е = —5〉2〃凡 (8.15)
где q выражено в зарядах электрона, R — в ангстремах и А£7 — в эВ. Для типичного значения q 二 1 (что ожидается для соединений группы II—VI〉см. [8.45]) и Я = 2, 8 А из (8.15) следует, что для уровней остова Cd в CdTe сдвиг АЕ = +1, 8эВ. Последнее довольно хорошо согласуется с данными на рис. 8.21 (А£7 = +1, 44 эВ). Однако подобное согласие является несколько обманчивым: вследствие компенсации двух членов в (8.14) небольшое изменение в значении г, которое было нами выбрано довольно произвольно, может привести к большим изменениям величины А£7, возможно даже к перемене знака.
Для того, чтобы более точно определить величину г, было предложено использовать следующее выражение (см. [8.2]):
(8.16)(8.16)戸=гт/А(Г),
(8.16)
(8.16)
где rm ——межатомное расстояние в элементе, а Л (F)——геометрический фактор, который получается из предположения о том, что валентные электроны равномерно распределены в сферической оболочке с внешним и внутренним радиусами rm/2 и Ггт/2 (Г W 1)- Определение Л(F) рассматривается в задаче 8.11. Здесь мы просто утверждаем, что Л(F) = 2,6 для Г = 0,5. При этом значении Г сдвиги уровней остова катиона в полупроводниках типа цинковой обманки находятся в полуколичественном согласии с экспериментами (2,2 эВ для CdTe). Следует отметить, что между переносом заряда от катиона и ионностью /^ существует следующее соотношение (см. [8.2]):
(8」7)
в котором N = 3, 2,1 для соединений Ш-V, 11-V1 и 1-V11 соответственно, а ^о инфракрасная диэлектрическая постоянная.
Мы часто отмечали чувствительность УФЭС спектров фотоэлектронов к состоянию поверхности. Вблизи минимума на рис. 8.5 глубина выхода в случае эмиссии, нормальной к поверхности, равна 〜5А)т.е для типичного полупроводника первые два монослоя дают почти половину всей эмиссии. Для этих монослоев Qm должно быть меньше, чем для объема, поскольку в медленно сходящейся сумме
Энергия связи, эВЭнергия связи, эВРис. 8.22. Спектры ЗМ-уровней остова As, измеренные от поверхности InAs (110) с помощью синхротронного излучения (力nl = 105 эВ) для азимутальных углов 仇=0° (сверху) и 60° (снизу). Дублет j = (5/2, 3/2) раскладывается на две компоненты, соответствующие поверхности и объему [8.46]Рис. 8.22. Спектры ЗМ-уровней остова As, измеренные от поверхности InAs (110) с помощью синхротронного излучения (力nl = 105 эВ) для азимутальных углов 仇=0° (сверху) и 60° (снизу). Дублет j = (5/2, 3/2) раскладывается на две компоненты, соответствующие поверхности и объему [8.46]Маделунга не хватает нескольких членов. Поэтому в соответствии с (8.14) ЭС катионов вблизи поверхности будет больше, а анионов —— меньше. Следовательно, наблюдаемые спектры остова можно разложить на две компоненты, одна из которых соответствует поверхности, а другая — объему. Это проиллюстрировано на рис. 8.22, на котором приведены спектры 3(/-уровней As (спин-орбитальный дублет) в InAs, измеренные с синхротронным излучением. Отметим, что данные спектры можно разложить на два дублета сравнимой интенсивности. Чтобы понять, какой из дублетов обусловлен поверхностью, следует изменить угол Je* Глубина выхода равна величине, приведенной на рис. 8.5, умноженной на cos %. Поэтому при 仇=60° вклад от поверхности в спектрах должен быть больше, чем для ве = =0°. Из анализа рис. 8.22 видно, что поверхности соответствует дублет с меньшей ЭС, согласно предсказанию, основанному на уменьшении ам вблизи поверхности.
Энергия связи, эВ
Энергия связи, эВ
Рис. 8.22. Спектры ЗМ-уровней остова As, измеренные от поверхности InAs (110) с помощью синхротронного излучения (力nl = 105 эВ) для азимутальных углов 仇=0° (сверху) и 60° (снизу). Дублет j = (5/2, 3/2) раскладывается на две компоненты, соответствующие поверхности и объему [8.46]
Рис. 8.22. Спектры ЗМ-уровней остова As, измеренные от поверхности InAs (110) с помощью синхротронного излучения (力nl = 105 эВ) для азимутальных углов 仇=0° (сверху) и 60° (снизу). Дублет j = (5/2, 3/2) раскладывается на две компоненты, соответствующие поверхности и объему [8.46]
Рассмотрим теперь, как влияет на спектры уровней остова окисление поверхности. Кислород обладает очень большой электроотрицательностью, и поэтому окисление приводит к большим значениям q (〜2)〉как при оценке по (8.14), так и просто в предположении, что кислород всегда находится в конфигурации О?-Признаком окисления поверхности
является появление сателлитов при больших значениях ЭС. При глубоком проникновении окисления наблюдается сдвиг всех пиков, соответствующих уровням остова, примерно на 1 эВ. Более детальное количественное обсуждение этой проблемы приведено в [8.47].
В заключение заметим, что измерения энергий уровней остова по отношению к вершине валентной зоны могут быть очень полезны при определении разрывов валентных зон в полупроводниковых гетеропереходах (см. гл. 9). Подробности приведены в [8.48].
Обратная фотоэмиссия
Ранее было показано, каким образом можно использовать фотоэлектронную спектроскопию для определения зонной структуры заполненных состояний. Дисперсию в ^-пространстве пустых зон проводимости можно определить с помощью обратной процедуры, называемой обратной фотоэмиссией. Существует несколько разновидностей этого метода. В самой простой из них электроны с известной энергией Ее падают на образец и располагаются при соответствующей энергии в зоне проводимости. Затем они неупруго рассеиваются в состояние зоны проводимости с меньшей энергией. Разница энергий начального и конечного состояний электрона равна энергии испущенного фотона. Используется узкополосный приемник фотонов с фиксированной энергией цетра полосы, равной 〜9*2 эВ, а для получения спектра сканируется начальная энергия электрона Ее. Поэтому такие спектры называются изохроматическими спектрами тормозного излучения D. В более сложной разновидности данного метода испущенные фотоны диспергируются с помощью решетки и детектируются многоканальным приемником (например, телекамерой или другим подобным приемником). В этой последней версии применяется вариант с угловым разрешением, что достигается путем изменения углов (<9е,夕е) падающего электронного пучка. В спектрометре, использованном Ортега и Химпселем [8.48], было получено разрешение, равное 0,3 эВ в интервале энергий фотонов 8 20 эВ с угловым разрешением, соответствующим △ к“ ~ 0,1 А.
Основные принципы обратной фотоэмиссии те же, что обсуждались в п. 8.1.2. В этом случае также наблюдаются прямые или непрямые переходы. Последние связаны с сингулярностями в одномерной плотности состояний зоны проводимости. Прямые переходы исследуют, подгоняя параболу свободных электронов с дном, находящимся при подгоночной энергии Eq, к начальному состоянию. Эта парабола после сложения с приведенной зоной определяет возможные значения к± для заданного значения к“, подчиняющегося закону сохранения. Здесь также часто принимают к“ равным нулю (если электроны падают нормально к поверхности). Вследствие сложения расширенной и приведенной зон, величины к± не определяются однозначно: различные возможные значения соответствуют различным векторам обратной решетки G卜 т.е. обратным конусам Махана. Как правило, преимущественно возбуждается первичный конус (G“ = 0), что используется для упрощения анализа спектров. После того как к± найден, можно найти зонную структуру Ее(к^, к丄)с помощью выражения
где 方川匕 ——энергия заданной особенности в спектре испущенных фотонов. Следует соблюдать осторожность при правильном отнесении энергий Ее и Ес к одному и тому же началу отсчета, обычно к уровню Ферми или к вершине валентной зоны.
1)Термин «тормозное излучение» означает электромагнитное излучение, испускаемое при торможении электронов в твердом теле.
Рис. 8.23. Сравнение зонной структуры Ge, полученной с помощью УФЭС (валентные зоны) и обратной фотоэмиссии (зоны проводимости) с теоретическими результатами. МЗП —— минимум зоны проводимости. Неприводимые представления даны в обозначениях простых групп [8.49]
В качестве иллюстрации возможностей этого метода на рис. 8.23 приведена полная зонная структура (зона проводимости и валентная зона) Ge, полученная с помощью обратной фотоэмиссии и фотоэмиссии с угловым разрешением. Она сравнивается с расчетом зонной структуры из первых принципов с учетом проблемы щели, упомянутой в § 2.5. Согласие между экспериментальными и теоретическими результатами является весьма убедительным.
Эффекты, связанные с поверхностью
Как видно из рис. 8.22, если электронные состояния вблизи поверхности отличаются от состояний в объеме, то они могут существенно повлиять на спектры фотоэмиссии. Поэтому прямая и обратная фотоэлектронная спектроскопия в ее разнообразных формах является идеальным методом для исследования и характеризации поверхностей: вспомните, например, огромную чувствительность ультрафиолетовой фотоэлектронной спектроскопии к загрязнению поверхности (см. рис. 8.7). В настоящей книге мы не занимаемся глубоким изучением поверхностей. Читатели, интересующиеся данным вопросом, могут обратиться к [8.11]. Приведем, однако, несколько общих понятий и фактов, относящихся к поверхностям, которые необходимы для понимания прямой и обратной фотоэлектронной спектроскопии, а также других рассматриваемых нами вопросов.
Поверхностные состояния и реконструкция поверхности. Рассмотрим сначала чистую поверхность полупроводника. Основным результатом раскалывания и удаления половины кристалла является разрыв связей, после чего остаются атомные орбитали, заполненные одним электроном, которые называются оборванными связями. Если рассматривать один монослой таких связей, то ясно, что они должны
образовывать двумерные зоны Es(k^) вследствие трансляционной симметрии вдоль поверхности. При перекрытии этих зон с континуумом пустых или заполненных зон объема они уширяются из-за взаимодействия с объемными состояниями. Однако если их уширение не слишком велико, их все еще можно идентифицировать как поверхностные резонансы с помощью фотоэлектронных методов для двумерных объектов.
Поверхностные зоны могут лежать, по крайней мере частично, в запрещенной энергетической зоне. В этом случае говорят о поверхностных состояниях. Оборванные связи, заполненные только одним электроном, должны приводить к возникновению частично заполненных, т.е. металлических, поверхностных зон. В одномерном случае в наполовину заполненных (металлических) зонах обычно происходит так называемый переход Пайерлса: они расщепляются на две зоны, полностью заполненную и пустую, вследствие удвоения размера примитивной ячейки (реконструкции). Последнее приводит к уменьшению энергии, поскольку заполненная зона опускается по энергии, а пустая зона поднимается: металл превращается в диэлектрик.
Строго говоря, переход Пайерлса происходит только в одномерных металлах. Чем выше размерность, тем меньше вероятность обнаружить такое явление. Однако в двумерных системах (таких как поверхности) иногда также возможно понижение энергии путем реконструкции (реконструкция поверхности). Эта реконструкция, порой довольно сложная, специфична для рассматриваемой системы и может непосредственно наблюдаться в реальном пространстве с помощью туннельной сканирующей микроскопии (ТСМ) D. В качестве иллюстрации на рис. 8.24 приведена реконструкция с(8 х 2), непосредственно наблюдаемая с помощью ТСМ на поверхности Ge (111). (Обозначение 8x2 подразумевает, что новая элементарная ячейка содержит 8x2 элементарных ячеек поверхности до реконструкции; «с» означает, что она центрирована. Обратите внимание на то, что она имеет орторомбическую симметрию). Показана также схематическая диаграмма этой реконструкции, которая основана на другом принципе, чем описанное выше искажение Пайерлса. Сколотая поверхность (111) имеет очень большое количество оборванных связей — по одной на атом в первом монослое. Многие из этих оборванных связей могут быть насыщены путем покрытия групп из трех атомов первого монослоя адатомами (толстые кольца на рис. 8.24 5), приводящего к реконструктированной структуре на рисунках 8.24 а, б. Таким способом в примитивной ячейке на рис. 8.24 б шесть из восьми атомов покрыты адатомами, что залечивает шесть из восьми оборванных связей, но приводит к появлению двух новых, обусловленных адатомами, которые предположительно сохраняют тетраэдрическую конфигурацию связей. Следовательно, при реконструкции с помощью адатомов устраняется половина оборванных связей, что приводит к понижению энергии на величину энергии связей половины атомов поверхности (〜4 эВ/атом).
Энергетические зоны поверхности. Поверхностные энергетические зоны 风(к“) могут исследоваться с помощью фотоэмиссии (заполненные состояния) или обратной фотоэмиссии (пустые состояния), как это обсуждалось в параграфах 8.1 и 8.2. Однако до сих пор обратная фотоэмиссия не была столь же плодотворной при изучении поверхностей, как прямая фотоэмиссия.
В качестве примера на рис. 8.25 приведены результаты, полученные многими исследователями с помощью прямой фотоэмиссии от с(2 х 8)(111) поверхности Ge, построенные в зоне Бриллюэна нереконструктированной поверхности. Обращает на себя внимание то, что все заполненные поверхностные зоны лежат ниже вершины валентной зоны и таким образом являются поверхностными резонансами. Отметим (см. п. 8.3.3), что ширина этих зон (〜0〉5 эВ) меньше, чем ширина зон, соответствующих объему (〜2эВ). Вследствие пиннинга уровня Ферми (см. п. 8.3.3)
D Изобретенной Г. Биннигом и X. Рорером, Нобелевскими лауреатами по физике 1987 г.
26 М. Кардона
О Адатомо • Первыймонослой
• Второй монослой Насыщенные связи
Примитивнаяячейка
Рис. 8.25. Дисперсия поверхностных зон Ge(lll)~c(2 х 8), измеренная с помощью УФЭС с угловым разрешением. Результаты построены в зоне Бриллюэна нереконструктированной элементарной ячейки (1 х 1), являющейся расширенной зоной для реконструктированной структуры. Различные символы ——результаты различных авторов [8.11]. Для облегчения восприятия через измеренные точки проведены кривыеРис. 8.25. Дисперсия поверхностных зон Ge(lll)~c(2 х 8), измеренная с помощью УФЭС с угловым разрешением. Результаты построены в зоне Бриллюэна нереконструктированной элементарной ячейки (1 х 1), являющейся расширенной зоной для реконструктированной структуры. Различные символы ——результаты различных авторов [8.11]. Для облегчения восприятия через измеренные точки проведены кривыеРис. 8.24. Изображение поверхности Ge(lll)~c(2 х 8) в туннельном сканирующем микроскопе(а). Диаграмма реконструкции, неявно выраженной в а и нарисованной в том же масштабе(6). Большие кружки в 6 и яркие пятна в а соответствуют адатомам [8.50]
Рис. 8.25. Дисперсия поверхностных зон Ge(lll)~c(2 х 8), измеренная с помощью УФЭС с угловым разрешением. Результаты построены в зоне Бриллюэна нереконструктированной элементарной ячейки (1 х 1), являющейся расширенной зоной для реконструктированной структуры. Различные символы ——результаты различных авторов [8.11]. Для облегчения восприятия через измеренные точки проведены кривые
Рис. 8.25. Дисперсия поверхностных зон Ge(lll)~c(2 х 8), измеренная с помощью УФЭС с угловым разрешением. Результаты построены в зоне Бриллюэна нереконструктированной элементарной ячейки (1 х 1), являющейся расширенной зоной для реконструктированной структуры. Различные символы ——результаты различных авторов [8.11]. Для облегчения восприятия через измеренные точки проведены кривые
должны существовать пустые поверхностные состояния, расположенные на 〜0,1 эВ выше вершины валентной зоны. Несколько точек в структуре поверхностных зон были рас читаны в [8.51]. Они находятся в качественном согласии с более полными данными, приведенными на рис. 8.25.
Обсуждавшаяся только что структура с(2 х 8) возникает после раскалывания и отжига поверхности Ge(lll). Непосредственно после раскалывания получается ме- тастабильная поверхность 2x1. Для данной реконструкции, которую мы не будем здесь детально рассматривать, имеются расчеты зонной структуры, измерения фотоэмиссии с угловым разрешением и измерения обратной фотоэмиссии. Сравнение этих результатов представлено на рис. 8.26. Видно, что достаточно сдвинуть расчетные зоны вниз на 〜0〉5 эВ, чтобы привести их в разумное согласие с экспериментом. Между заполненными и пустыми состояниями появляется поверхностная щель величиной около 0,5 эВ. Эта щель наблюдалась в Si с помощью необычного метода измерения оптического поглощения [8.52].
Пиннинг уровня Ферми и слои пространственного заряда. Как было показано в п. 8.3.2, энергетические зоны поверхности могут или находиться, или не находиться в запрещенной зоне. Если в запрещенной зоне нет поверхностных состояний (как в случае чистой сколотой поверхности GaAs), то положение объемных зон по отношению к энергии Ферми не меняется на всем протяжении от глубины кристалла и вплоть до его поверхности (рис. 8.27 а). Если в запрещенной зоне существуют поверхностные зоны, то они обычно довольно узкие (см. рисунки 8.25 и 8.26), и, следовательно, их поверхностная плотность состояний должна быть очень большой. На рисунках 8.27 б и 8.27 в это проиллюстрировано для полупроводников
Рис. 8.26. Измеренная (точки) и расчетная (сплошные линии) дисперсия для заполненных и пустых поверхностных зон, обусловленная оборванными связями, для поверхности Ge(lll)- (2 х 1); пунктир ——резонансы, серый фон ——объемные зоны. Прямоугольник на вставке отвечает 1/4 приведенной поверхностной зоны Бриллюэна (2 х 1) и определяет обозначения точек, соответствующих 1fcH у ее краев [8.11, 8.12]
26*
Рис. 8.27. Примеры поверхностных слоев обеднения и обогащения: пиннинг уровня Ферми (Ер) отсутствует: нет слоев обеднения или обогащения (а); полупроводник p-типа с пиннингом Ef： обедненный слой дырок (6); полупроводник п~типа с пиннингом Ef： обедненный слой электронов (в); почти собственный полупроводник с пиннингом Ер вблизи валентной зоны: обогащенный слой дырок (г)
и n-типа, соответственно. Большая плотность поверхностных состояний (1015 4~ + 1016/эВ • см2) приводит к закреплению («пиннингу») уровня Ферми так, как это показано на рисунках. Легирование n-типа, дающее ^1018 электронов/см°, приводит к плотности носителей у поверхности ^1О10 электронов/см2. Поэтому уровень Ферми может проникнуть в поверхностную зону только на величину
1010 электронов/см25
q — JL UЭ JlS •
iiiiiiiiiiiOlliiB/iMliiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii 屮
Следовательно, уровень Ферми едва проникает в зону пустых поверхностных состоя™ ний. Последнее является причиной явления, известного как «пиннинг» (закрепление) уровня Ферми (рис. 8.27 в). Подобным же образом для объемного материала р-тмпа (рис. 8.27 6) уровень Ферми закреплен у вершины заполненных поверхностных со™ стояний (или у вершины валентных зон, если эти состояния являются резонансами внутри валентной зоны объема). Вследствие малой величины поверхностной запре™ щенной зоны (^0,2 эВ) в случаях как п™, так и р-легирования часто говорят, что уровень Ферми закреплен при единственно возможной энергии пининга. Перечень энергий пиннинга, измеренных для германия и полупроводников типа цинковой об™ манки, приведен в [8.11] (таблица 1.1).
Явление закрепления уровня Ферми приводит к изгибу зон, показанному на рксун= ках 8.27 б-г (обратите внимание на то, что на рис. 8.27 а, где пиннинг уровня Ферми отсутствует, нет и изгиба зон). Изгиб зон у поверхности происходит потому, что в со стоянии равновесия положение уровня Ферми Ер не должно изменяться от объемных слоев до поверхности: следовательно, края зон должны измениться таким образом, чтобы быть совместимыми с закреплением уровня Ер у поверхности и объемным зна™ чением Ер вдали от поверхности. В случаях, изображенных на рисунках 8.27 6 и 8.27 в,
возникает поверхностный обедненный слой. На рис. 8.27 2 показан поверхностный обо гащенный слой: у поверхности при конечной температуре находится больше носителей (дырок), чем в объеме. Края зон на рис. 8.27 б-г соответствуют электростатическим потенциалам, которые могут быть вычислены при совместном решении уравнений, описывающих статистику электронов и дырок в полупроводниках, и уравнения Пу ас™ сона, выражающего соотношение между потенциалом и зарядом. Вычисления можно значительно упростить, предположив, что существует слой объемного заряда с посто янной плотностью заряда ^, простирающийся от поверхности до некоторой точки на расстоянии d от нее и равный нулю за пределами точки d. Тогда уравнение Пуассона
можно записать в виде
(8*19)(8*19)оР, —4тгр
(8*19)
(8*19)
dz2 4тгео £
где ф ——электростатический потенциал, во ——статическая диэлектрическая постоян™ ная. Можно переписать уравнение (8.19) следующим образом:
87r47r£0 £87r47r£0 £(8.20)(8.20)
87r
47r£0 £
87r
47r£0 £
(8.20)
(8.20)
В результате интегрирования получим
(8.21)(8.21)⑶.
(8.21)
(8.21)
47r£0 £
Постоянная интегрирования в (8.21) была определена из следующих условий: 0(d)= =0 и электрическое поле £(d) = — (d0/d%)?=d = 0. Второе интегрирование приводит к выражению
。=—d)2,(8.22)
47r£0 £
из которого, положив 0(0) = 0о)получим зависимость толщины слоя объемного за™ |яда от плотности заряда:
I,/47ГЕО&加、1/2
где фо дает величину полного изгиба зон.
Уравнения (8.22) и (8.23) позволяют определить потенциал при условии допусти™ мости разумного предположения о средней плотности заряда g* В умеренно легиро™ ванных полупроводниках, в которых уровень Ферми закреплен вдали от края зоны, как правило можно считать, что g в слое объемного заряда равно плотности носите™ лей в объеме. Для типичных значений: g ~ 1016 электронов/см3, £q = 10 и фо = 1 эВ, из (8.23) получаем d = 1300 А. Для типичной наибольшей концентрации носителей, встречающейся в полупроводниках, (1020 см^3) и тех же параметров d 二 13 А.
У читателя может возникнуть вопрос о том, не приведет ли изменение 0(%) и, следовательно, энергий объемных зон E*v(%) вблизи поверхности к размазыванию спектров фотоэлектронов как валентных зон, так и уровней остова. При не слишком сильном уровне легирования (до ^1018 см^3 в случае использования ультрафиолето™ вой фотоэлектронной спектроскопии и до 1017 см^3 при использовании рентгеновской фотоэлектронной спектроскопии) такого размазывания не происходит, поскольку гл у™ бина выхода электронов много меньше, чем d. Таким образом, в этих случаях мы измеряем уровни зон и остова по отношению к уровню Ферми у поверхно™ с т и. При более сильном легировании глубина выхода становится близка к d или даже больше, чем d. Измеренные уровни зон и уровни остова должны смещаться относи™ тельно Ер и при наибольших возможных уровнях легирования стремиться к значениям в объеме. Последнее дает возможность определять ход 0(%))изображенный
102103104105106102103104105106ЭС =— Ее, эВЭС =— Ее, эВРис. 8.28. УФЭС спектры с угловым разрешением уровней остова для трех образцов Si сРис. 8.28. УФЭС спектры с угловым разрешением уровней остова для трех образцов Si сразличным уровнем легирования: а) почти собственный (n = 1014 см™3 рованный (п = 8 • 1019 см™3); в) сильно легированный (р = 1,6 • 1020 смразличным уровнем легирования: а) почти собственный (n = 1014 см™3 рованный (п = 8 • 1019 см™3); в) сильно легированный (р = 1,6 • 1020 см)；6))；6)помощью синхротронного излучения для нескольких значений %®l [8.53]помощью синхротронного излучения для нескольких значений %®l [8.53]сильно леги~полученные ссильно леги~полученные с
102103104105106
102103104105106
ЭС =— Ее, эВ
ЭС =— Ее, эВ
Рис. 8.28. УФЭС спектры с угловым разрешением уровней остова для трех образцов Si с
Рис. 8.28. УФЭС спектры с угловым разрешением уровней остова для трех образцов Si с
различным уровнем легирования: а) почти собственный (n = 1014 см™3 рованный (п = 8 • 1019 см™3); в) сильно легированный (р = 1,6 • 1020 см
различным уровнем легирования: а) почти собственный (n = 1014 см™3 рованный (п = 8 • 1019 см™3); в) сильно легированный (р = 1,6 • 1020 см
)；6)
)；6)
помощью синхротронного излучения для нескольких значений %®l [8.53]
помощью синхротронного излучения для нескольких значений %®l [8.53]
сильно леги~
полученные с
сильно леги~
полученные с
на рис. 8.27, путем измерения спектров резких уровней остова для нескольких зна= чений 方®l)соответствующих некоторому диапазону энергий выхода. Для этой цели необходимо перестраиваемое синхротронное излучение.
Описанный метод измерения 0(%) проиллюстрирован на рисунках 8.28 и 8.29. На рис. 8.28 приведены 2р=уровнк остова Si (ЭС ^ 100эВ), измеренные относительно уровня Ферми, для трех образцов с различным легированием (собственного, 8 х х 1018 электронов/см° и 1, 6 • Ю20 дырок/см°) в некотором диапазоне энергий 力®l. В то время как пики собственного образца не сдвигаются при изменении 方®l)пики образца n-типа сдвигаются к меньшим значениям энергии связи при увеличении 方®l и, таким образом, достигают минимума, изображенного на рис. 8.5. Для сильно леги™ рованного образца р-тмпа наблюдается обратная зависимость. Энергии связи, полученные из данных рисунка 8.28, построены на рис. 8.29 в зависимости от 方®l) а также от соответствующей глубины выхода (〜％). Получается зависимость 0 от %)аналогия™ ная изображенной на рисунках 27 6)в. На рис. 8.29 подтверждается существование щели величиной примерно 0,3 эВ между заполненными и пустыми поверхностными состояниями для скола поверхности Si(lll).
В заключение настоящей главы отметим очевидный факт, заключающийся в том, что пиннинг поверхностного уровня Ферми сильно зависит от типа поверхности, реконструкции поверхности, качества скола и загрязнения поверхности. Например, для
Рис. 8.29. Зависимость положения пиков, приведенных на рис. 8.28, от энергии возбуждающих фотонов 妆九 и от соответствующей глубины выхода (см. рис. 8.5). Эти результаты воспроизводят ход потенциала в слое объемного заряда и демонстрируют существование поверхностной запрещенной зоны ~0,ЗзВ [8.53]Рис. 8.29. Зависимость положения пиков, приведенных на рис. 8.28, от энергии возбуждающих фотонов 妆九 и от соответствующей глубины выхода (см. рис. 8.5). Эти результаты воспроизводят ход потенциала в слое объемного заряда и демонстрируют существование поверхностной запрещенной зоны ~0,ЗзВ [8.53]
Рис. 8.29. Зависимость положения пиков, приведенных на рис. 8.28, от энергии возбуждающих фотонов 妆九 и от соответствующей глубины выхода (см. рис. 8.5). Эти результаты воспроизводят ход потенциала в слое объемного заряда и демонстрируют существование поверхностной запрещенной зоны ~0,ЗзВ [8.53]
Рис. 8.29. Зависимость положения пиков, приведенных на рис. 8.28, от энергии возбуждающих фотонов 妆九 и от соответствующей глубины выхода (см. рис. 8.5). Эти результаты воспроизводят ход потенциала в слое объемного заряда и демонстрируют существование поверхностной запрещенной зоны ~0,ЗзВ [8.53]
свежеполученного скола поверхности (ПО) GaAs пиннинга не происходит. При экспо™ зиции в кислороде достаточно образования пленки толщиной в малую долю монослоя для появления пиннинга у поверхности с Ер ^ 0,5 эВ выше вершины валентной зоны.
Задачи
Экспозиция поверхности в газах: Лэ нгм юр .
Вычислите число молекул воздуха (О2, N2), которые падают в одну секунду на единичную площадь поверхности твердого тела при 300 К и давлении 10^6 тор. Эта единица экспозиции называется Лэнгмюр (L). Предположив, что коэффициент при™ липания для атомов первого монослоя поверхности равен единице (а для всех остальных ——нулю), найдите величину покрытия (число монослоев) для чистых поверхно стей кремния (111), (100) и (ПО) после экспозиции 1 L на воздухе.
Сферический анализатор электронов.
Вычислите энергию Ее (в эВ) и разрешение ZkEe (в эВ/мм) для полусферического анализатора (см. рис. 8.9) с радиусами сферы Яа + △& и Яа — △&•
Интегрированная по углу фотоэмиссия.
Покажите, что можно получить интегрированную по углу фотоэмиссию для излу™ чения Ка А1 даже при использовании приемника с угловым разрешением (8е/^8е) ^ + 5 (примите 0е = 45°).
Фурье-преобразование (5™функции.
Покажите, что
elkrdr = 2Re《elkrdr >elkrdr = 2Re《elkrdr >=27rB (k),=27rB (k),
elkrdr = 2Re《elkrdr >
elkrdr = 2Re《elkrdr >
=27rB (k),
=27rB (k),
ак2 + а?ак2 + а?
а
к2 + а?
а
к2 + а?
где J (k) — дельта-функция Дирака. Покажите также, что
'ОО、
3? ekr^ardr >
、0>
Пространственные группы поверхности и зоны Б ри л л ю™ Иэна поверхности.
Рассмотрите двумерные пространственные группы нереконструктированных по верхностей (100) и (111) для структур алмаза и цинковой обманки. Нарисуйте соот™ ветствующие двумерные зоны Бриллюэна. Получите неприводимые представления групп в центре двумерной зоны Бриллюэна.
Фотоэлектронная спектроскопия с угловым разрешением для GaAs.
Рассмотрите фотоэлектронную спектроскопию с угловым разрешением от поверх™ ности (100) GaAs для 方®l = 25 эВ. Используя зонную структуру, приведенную на рис. 2.14, постройте зависимость ве от энергии Ее фотоэлектронов для *口 вдоль [010] и [011]. Считайте, что дно параболы свободных электронов находится выше вершины валентной зоны на 9 эВ.
Зонная структура графита по методу ЛКАО.
Нарисуйте примитивную ячейку и зону Бриллюэна и запишите матрицу элек™ тронного гамильтониана для двумерного слоя графита в базисе ЛКАО (см. § 2.7), в котором содержатся одна 2s- и три 2р=ор6кталк для каждого атома и учитывают™ ся взаимодействия только ближайших соседей. Если на Вашем ПК есть программа диагонализации матриц, вычислите соответствующие энергетические зоны, исполь™ зуя параметры сильной связи, приведенные в [8.45] (для дополнительной помощи см. § 2.7 настоящей книги).
УФЭС спектры германия.
Используя зонную структуру германия (см. рис. 8.19) и Eq = 8,8 эВ, вычислите зависимость Ее от 方®l в диапазоне от 20 до 40 эВ для пиков фотоэмиссии Е^ полу™ ченных для «丄 вдоль [100] и [111].
Одномерные критические точки в фотоэмиссии.
Рассмотрите, какие области квадратных и гексагональных граней ГЦК зоны Бриллюэна имеют обусловленные симметрией одномерные критические точки (ну= левой наклон Е(к丄))где «丄一компонента 左)перпендикулярная к рассматриваемой грани) для случаев: а) структуры цинковой обманки, б) структуры каменной соли и в) структуры германия.
Спин-орбитальное расщепление d-состояний в к у б ичес™ ком и тетраэдрическом поле.
Рассмотрите расщепление орбитальных ^уровней под действием поля с кубк- ческой или тетраэдрической симметрией. Исследуйте, как действуют эти поля на компоненты таких уровней с j = 5/2 и j = 3/2, расщепленных вследствие спин- орбитального взаимодействия. Указание: характеры для полной точечной группы вращений в трехмерном пространстве даются выражением
(&24)
где а — угол вращения (см. задачу 4.2).
Потенциал в центре однородно заряже иной оболочки.
Найдите потенциал в центре однородно заряженной оболочки с зарядом 1 и внут= ренним и внешним радиусами, равными Ггт и rm (Г < 1). Начало отсчета потенци™ ала находится в бесконечности.
Потенциал в поверхностном слое объемного заряда.
Рассмотрите находящуюся на воздухе поверхность вырожденного образца GaAs п™ типа (1018 электронов/см°) при 300 К. Уровень Ферми должен быть закреплен на 1 эВ ниже дна зоны проводимости. Запишите уравнения, определяющие ход потенция™ ла 0(%) у поверхностного обедненного слоя, не пользуясь приближением о постоянстве заряда, которое было использовано при выводе (8.22) для Т = 0 (Указание:
выразите g как функцию ф в (8.20), применив соотношение между плотностью носи™ телей и энергией Ферми.) Решите уравнения (если нужно, то численно) и постройте зависимость。(％了 Как следует изменить уравнения для достаточно высокой темпе™ ратуры, когда условие кТ < Ер больше не выполняется?
Атом ное рассеяние от поверхностей .
Нейтральные атомы и ионы с энергиями порядка нескольких кэВ жестко рассей™ ваются на атомах, так что их глубина проникновения в кристалл обычно меньше тол™ щины монослоя. В результате они очень полезны для определения структуры поверх™ ностей через упругое рассеяние и поверхностных дисперсий фононов через неупругое рассеяние.
Рассчитайте длину волны де Бройля для атомов Не с кинетической энергией 10 кэВ и объясните, почему их рассеяние на атомах поверхности может происходить классическим образом.
Вычислите минимальную кинетическую энергию моноэнергетического пуч™ ка атомов Не, требуемую для исследования поверхностных фононов нереконструкро- ванного кристалла [111] Ge на краю зоны Бриллюэна.
Объясните, каким образом электроны могут быть использованы для опреде™ ления поверхностной дисперсии фононов в спектроскопии высокого разрешения с потерей энергии электронов. Какой диапазон кинетических энергий следует выбрать для падающих электронов?
Указание: см. следующие ссылки:
Н. Liit 11： Surfaces and Interfaces of Solid Materials, 3rd Edition (Springer, Berlin, Heidelberg, 1998) Chapter 4, 5.
J.P. Toennies: The study of the forces between atoms of single crystal surfaces from experimental phonon dispersion curves, in Solvay Conference of Surface Science, edited by F.W. de Wette (Springer, Berlin, Heidelberg, 1988) p. 248.
Заключение
Мы кратко обсудили широкий диапазон спектроскопических методов, в которых используются электроны и/или фотоны. Эти методы дают очень подробную кнфор= мацию о заполненных и пустых электронных энергетических зонах, а также об уровнях остова в полупроводниках. Различные варианты фотоэмиссии с угловым разрете- нием и обратной фотоэмиссии предоставляют весьма убедительные зависимости Е (左) для электронных состояний в объеме. Они также дают сведения о поверхностных состояниях. Мы представили спектры возбуждения уровней остова и обсудили ин™ формацию, которая может быть из них получена. Были также введены понятия о реконструкции поверхности, электронных поверхностных состояниях и поверхности ных энергетических зонах и описаны несколько связанных с ними явлений, таких как пиннинг уровня Ферми. Это привело к краткому обсуждению технологически в аж™ ных сведений об обедненных и обогащенных слоях пространственного заряда вблизи поверхности полупроводников.
ГЛАВА 9
КВАНТОВЫЙ РАЗМЕРНЫЙ ЭФФЕКТ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ И ФОНОНОВ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Содержание
Квантовый размерный эффект и плотность состояний ..................411
Квантовый размерный эффект электронов и дырок..................... 413
Фононы в сверхрешетках ................................................431
Рамановские спектры фононов в полупроводниковых сверхрешетках... 445
Электрический транспорт: резонансное туннелирование ................ 457
9*6* Квантовые эффекты Холла в двумерном электронном газе .............463
Заключительные замечания .............................................473
Задачи .......................................................................474
Заключение.................................................................. 477
Эффект Ганна изучался в главе 5 в качестве примера отрицательного диффе™ ренциального сопротивления (ОДС). Данный эффект наблюдается в таких полупро водниках, как GaAs, зона проводимости которых удовлетворяет особому условию, а именно — существуют более высоко расположенные минимумы зоны проводимости на расстоянии примерно 0,2 子 0,4эВ от основного минимума. В качестве способа до™ стижения этого условия в любом полупроводнике Есаки и Тсу предложили в 1970 г. [9.1] создать искусственную периодическую структуру, состоящую из чередующихся слоев двух разных полупроводников с толщинами слоев порядка нанометров. Они назвали подобную синтетическую структуру сверхрешеткой. Утверждалось, что ко кусственная периодичность приведет к сложению зоны Бриллюэна в меньшие зоны Бриллюэна, или «мини-зоны», и вследствие этого ——к появлению более высоких ми™ нимумов зоны проводимости с энергиями, необходимыми для осцилляций Ганна.
Благодаря развитию современных методов роста, таких как молекулярно-пучко™ вая эпитаксия (МПЭ) и металло-органическая газофазная эпитаксия (ГФЭМОС), рассмотренные в § 1.2, теперь стало возможным выращивание сверхрешеток (СР), предложенных Есаки и Тсу [9.1]. В сущности, с тех пор помимо СР было выращено множество полупроводниковых структур другого типа с размерами порядка нано метров (часто сокращенно называемых наноструктурами). Сверхрешетка являет™ ся лишь одним примером планарной или двумерной наноструктуры. Другим приме™ ром служит квантовая яма (сокращенно КЯ). Эти термины были введены в § 1.2 и п. 7.1.5, но пока не обсуждались в деталях. Цель настоящей главы состоит в изучении электронных и колебательных свойств указанных двумерных наноструктур. Были успешно изготовлены и изучались структуры даже с размерностью, меньшей двух. Например, одномерные наноструктуры, называемые квантовыми проволоками. Кри™ сталлиты с нанометровыми размерами называют квантовыми точками. Существует такое множество различного типа наноструктур и способов их изготовления, что опк- сать их все в одной книге невозможно. В некоторых наноструктурах в результате рассогласования постоянных решеток у подложки и нанесенного на нее слоя поя в™ ляется деформация, что приводит к возникновению так называемой сверхрешетки с напряженными слоями. Мы рассмотрим только наиболее хорошо исследованные наноструктуры. Наша цель ——познакомить читателя с этой быстро развивающей™ ся областью. Одной из причин, по которой наноструктуры представляют большой интерес, является изменение электронных и колебательных свойств в результате их
более низкой размерности и симметрии. Таким образом, наноструктуры дают нам прекрасную возможность применить знания, полученные в предыдущих главах, для понимания новых достижений в области физики полупроводников.
Вследствие ограничений, связанных с объемом книги, мы рассмотрим в настоя™ щей главе только влияние пространственного размерного эффекта на электронные и колебательные свойства наноструктур и связанные с этим изменения их оптических и кинетических свойств. Главный упор будет сделан на квантовые ямы, поскольку сей™ час точность и совершенство их изготовления значительно выше, чем у всех прочих структур. Начнем с определения понятия квантового размерного эффекта и обсудим его влияние на электроны и фононы в кристалле. Вслед за этим рассмотрим взакмо- действия между размерно квантованными электронами и фононами. В заключение мы ознакомимся с прибором (называемым прибором резонансного тунне = лирования), который основан на размерно квантованных электронах, и квантовым эффектом Холла (КЭХ) в газе двумерных электронов. Последний был открыт Клаусом фон Клитцингом и сотрудниками в 1980 г., и его значение отмечено при™ суждением фон Клитцингу Нобелевской премии по физике в 1985 г. Возможно, этот эффект, наряду с дробным квантовым эффектом Холла, является наибольшим до™ стижением физики полупроводников за последние два десятилетия.
Квантовый размерный эффект и плотность состояний
До сих пор мы исследовали свойства электронов, фононов и экситонов или в беско™ нечном кристалле, или в кристалле с периодическими граничными условиями (един™ ственным исключением были поверхностные и интерфейсные состояния, см гл. 8). При отсутствии дефектов эти частицы, или возбуждения, описываются на языке блоховских волн, которые могут свободно распространяться в кристалле. Предпо™ ложим теперь, что кристалл конечен и существуют два бесконечно высоких барьера на расстоянии £ друг от друга, которые могут отражать блоховские волны вдоль направления z. Тогда говорят о пространственном ограничении этих волн. Классическим примером волн, ограниченных в одном измерении двумя непроницае™ мыми барьерами, является колеблющаяся струна с двумя фиксированными концами. Хорошо известно, что нормальные колебательные моды такой струны представляют собой стоячие волны с длиной волны Л, принимающей дискретные значения вида
А冷—2L/72)72 = 1)2)3)..А冷—2L/72)72 = 1)2)3)..(9.1)(9.1)
А冷—2L/72)72 = 1)2)3)..
А冷—2L/72)72 = 1)2)3)..
(9.1)
(9.1)
Другим классическим примером является интерферометр Фабри-Перо (упоминав™ шийся ранее в п. 7.2.6 в связи с рассеянием Бриллюэна). В результате мно『ократ= ных отражений в концевых зеркалах, образующих резонатор, в спектре пропускания прошедших через интерферометр электромагнитных волн появляются максимумы и минимумы при дискретных длинах волн. Если пространство внутри резонатора заполнено воздухом, условием конструктивной интерференции будет выражение (9.1). В минимуме пропускания волну можно считать «запертой» в интерферометре.
Для свободной частицы с эффективной массой т*, движение которой в кристалле в направлении 乞 ограничено непроницаемыми барьерами (т.е. барьерами с бесконеч™ ной потенциальной энергией), разрешенные значения волновых векторов kz блохов™ ских волн имеют вид
(9*2)(9*2)kzn = 2тг/Ап = П7г/£,п = 1, 2, 3,...
(9*2)
(9*2)
а энергия основного состояния по сравнению с состоянием без ограничения возрастает
на величинуна величину2m*2ш* 丄2 *2m*2ш* 丄2 *(93)(93)
на величину
на величину
2m*2ш* 丄2 *
2m*2ш* 丄2 *
(93)
(93)
Это увеличение энергии называется энергией размерного квантования частицы. Энергия размерного квантования является следствием принципа неопределенности в квантовой механике. Если частица ограничена в пространстве в пределах расстояния L (в нашем случае ——вдоль направления %))неопределенность ^-компоненты ее импульса возрастает на величину порядка й/L. Соответствующее увеличение кине™ тической энергии частицы дается тогда выражением (9.3). Поэтому данный эффект часто называют квантовым размерным эффектом. Кроме увеличения минималь™ ной энергии частицы квантовый размерный эффект приводит также к квантованию энергий ее возбужденных состояний. Позднее мы покажем, что для бесконечного одномерного потенциала «прямоугольной ямы» энергии возбужденных состояний выражаются как 7”△石)где п = 1, 2, 3, . . ., как и в (9.2).
Важно проводить различие между ограничением, обусловленным барьерами, и л о™ кализацией вследствие рассеяния на примесях. В полупроводниках свободные носите™ ли заряда рассеиваются на фононах и дефектах со средним временем рассеяния (г), введенном в § 5.2. Мы можем определить их среднюю длину свободного пробега (/) как произведение средней скорости на (г). Подобное рассеяние также может уменьшить неопределенность в положении частицы и, следовательно, увеличить неопределен™ ность ее импульса. Последнее приводит к неопределенности в энергии частицы на величину, задаваемую выражением (9.3) с L? + (/2). Этот эффект обычно связан с дефектами или беспорядком в твердых телах и отличается от эффектов квантового ограничения («конфайнмента»), представляющих интерес в настоящей главе. Одним из способов провести различие между двумя указанными случаями является иссле™ дование волнового вектора kz вдоль направления ограничения. Волновой вектор ча™ стицы, движение которой происходит без рассеяния, но ограничено квантовой ямой, дискретен, поскольку он соответствует стоячей волне и дается выражением (9.2). Рао сеяние на дефектах приводит к нарушению фазы волны, так что ее амплитуда экспо™ ненциально убывает в пределах длины свободного пробега (/). Фурье-преобразование такой затухающей волны показывает, что в рассматриваемом случае kz не является дискретным, а имеет лоренцево распределение с шириной, равной 1/(/). Тионг и др. [9.2 а] предложили модель для оценки (/) для фононов по сдвигу частоты и уширению оптического фонона, локализованного на дефектах, введенных путем ионной кмплан= тации.
Большинство возбуждений имеют конечное время жизни. Например, оптические фононы затухают вследствие взаимодействия с другими фононами (посредством ан™ гармонизма) [3.3] или взаимодействия с дефектами. В результате их энергии имеют мнимую часть, описываемую постоянной затухания Г (см., например, § 6.4). Роль Г сводится к уширению энергетических уровней. Поэтому для возникновения эффек™ тов размерного квантования необходимо, чтобы энергия квантования была по крайней мере равна Г. Это, как следует из (9.3), эквивалентно существованию максимально™ го размера L, при котором еще возможно наблюдение подобных эффектов. Другими словами, если L слишком велико, то произойдет затухание возбуждения до того, как оно достигнет барьера. Поскольку энергия размерного квантования обратно пропор™ циональна т*, эти эффекты труднее наблюдать для тяжелых частиц. Как правк- ло, необходимо охладить образец до низких температур (для уменьшения F), чтобы иметь возможность фиксировать малые энергии квантования.
Поведение экситонов при размерном квантовании отличается от поведения как электронов, так и фононов, поскольку они состоят из электрона и дырки, находящих™ ся на расстоянии боровского радиуса а。 (см. п. 6.3.1). Если L 》а。〉 экситон может двигаться между барьерами как свободная частица с полной массой М (равной сумме масс электрона и дырки [9.2 6]). Максимальное значение L для квантового размерно™ го эффекта определяется средней длиной свободного пробега экситона. При L < а() свойства экситона модифицируются вследствие действия квантового размерного эф™ фекта на составляющие его электрон и дырку. Например, энергия связи экситона
увеличивается, поскольку электрон и дырка вынуждены располагаться ближе друг к другу. В предельном случае двумерного экситона энергия связи возрастает в четыре раза по сравнению с трехмерным (см. (6.95) в п. 6.3.3). Иногда потенциал квантовых барьеров (в предположении, что он бесконечен) оказывает на две частицы большее воздействие, чем их кулоновское взаимодействие. Тогда удобнее считать, что квантовый конфайнмент внутри потенциальной ямы испытывает более тяжелая частица (поскольку ее волновая функция сильнее локализована в центре ямы), а более легкая притянута к ней вследствие кулоновского взаимодействия. Аналогично ожидается, что энергии связи донора и акцептора будут увеличены, когда такие примеси нахо дятся в потенциальной яме с шириной, меньшей их боровского радиуса.
Квантовый размерный эффект не только измененяет энергии возбуждений, но также модифицирует их плотность состояний (ПС). Мы уже рассматривали влияние размерности на ПС вблизи критических точек в главе 6 (табл. 6.1). В общем случае ее уменьшение приводит к «усилению» сингулярности в ПС в критической точке. Например, при уменьшении размерности от трех в объемных образцах до двух в квантовых ямах электронная ПС вблизи запрещенной зоны Eg меняет вид от функ= ции с порогом, зависящей от энергии фотона 方® как (方® —石且尸/乙 до функции в виде ступеньки. Поскольку вероятности переходов, вычисляемых с помощью Золото™ го правила Ферми, зависят от плотности конечных состояний, квантовый размерный эффект существенно влияет на динамику процессов рассеяния в полупроводниковых приборах. Было продемонстрировано, что лазерные диоды, изготовленные на основе КЯ, обладают большей эффективностью и меньшим пороговым током, чем соответ™ ствующие объемные лазерные диоды [9.3]. Предсказывается, что лазеры на квантовых точках (нуль-размерные) должны иметь еще меньшие пороговые токи. Кроме того, их частоты генерации будут значительно менее чувствительны к изменениям температуры. Здесь мы не будем рассматривать влияние квантового размерного эффекта на полупроводниковые приборы. Читатели, интересующиеся этим вопросом, могут обратиться к другим книгам, посвященным данной проблеме (например, [9.4, 9.5]).
Квантовый размерный эффект электронов и дырок
Для иллюстрации квантового размерного эффекта электронов в полупроводни™ ках рассмотрим случай одиночной КЯ. Ее структура представляет собой «сэндвич», состоящий из тонкого слоя (с толщиной L) полупроводникового материала (обозна™ ченного А) между двумя слоями другого полупроводника В (с равными толщина™ ми //)• Направление, перпендикулярное к этим слоям, примем за ось %• Существуют более сложные структуры, состоящие из периодически повторяющихся слоев типа В/А/В/А/В/А/В/А. . . (где L' ^> L). Такие структуры называются многократно повторяющимися квантовыми ямами или МКЯ. Сверхрешетки и МКЯ имеют одина™ ковую структуру за исключением того, что в МКЯ расстояние между ямами доста™ точно велико для того, чтобы исключить возможность туннелирования электронов из одной ямы в другую. Ширина барьера L1 в СР достаточно мала для обеспечения электронам возможности туннелирования, так что электроны «видят» чередующие еся слои как периодический потенциал, который добавляется к потенциалу кристалла.
Предположим, что в одиночной КЯ ширина запрещенной зоны ямы A (EgA) меньше, чем у барьеров В (EgB > EgA)^ Вследствие такого различия в ширине запрещен™ ных зон не происходит выравнивания краев зон проводимости и валентных зон для А и В. Разность между их краями называется разрывом зон (этот термин был уже введен в § 5.3). Разрыв зон создает потенциал, ответственный за квантовое ограни™ чение (конфайнмент) носителей только в одном слое, в результате чего и возникает квантовый размерный эффект. Таким образом, знание величины разрыва зон и его
Рис. 9.1. Просвечивающая электронная микроскопия высокого разрешения. На микрограм™ ме показана сверхрешетка GaAs/AlAs для луча, падающего в направлении [110]. (Любезно предоставлена К. Плугом, Институт Пауля Друде, Берлин). Несмотря на почти совершенное качество интерфейсов, постарайтесь найти возможные атомы А1 на узлах Ga, и наоборот
контроль играют решающую роль при изготовлении приборов с квантовым размерным эффектом. Хотя наше понимание факторов, определяющих разрыв зон двух различных полупроводников, является не полным, в технике изготовления и контроле формы разрыва зон достигнут большой прогресс. Например, в хорошо изученной системе GaAs (= А)/GaAlAs (= В) толщина интерфейсов между А и В составляет всего один монослой, что было показано с помощью просвечивающей электронной микроскопии высокого разрешения (рис. 9.1). Многочисленные сравнения экспериментальных результатов и теоретических расчетов показали, что разрывы краев зон могут быть весьма резкими. Последнее делает простую прямоугольную яму хорошим приближением для большинства КЯ. Поэтому мы не будем больше обсуждать различные теории, предложенные для объяснения разрыва зон, а предположим, что его величина известна из эксперимента. В качестве способа характеризации разрыва зон Дингл и др. [9.6] ввели множитель Q)равный отношению между разрывом зон проводимости (△&■) и разностью между шириной запрещенных зон QEg). Например, было найдено, что в технологически важных КЯ GaAs/GaAlAs и InGaAs/InP значения Q равны 0,6 [9.7] (как уже упоминалось в § 5.3) и 0,3 [9.8] соответственно.
Полупроводниковые материалы для квантовых ям и сверхрешеток. Несмотря на то, что прямоугольный потенциал в квантовых ямах является не единственным из существующих в наноструктурах, он тем не менее встречается наиболее часто. Получение резких интерфейсов накладывает жесткие ограничения на условия роста, такие как чистота исходных материалов, температура подложки и многие другие, которые здесь не перечисляются. Однако в конечном счете качество интерфейса между двумя различными материалами А и В, называемого гетеропереходом (см. § 5.3), определяется их химическими и физическими свойствами. Возможно, наиболее важным из них является различие между постоянными решеток. Если постоянные решеток равны, то всем атомам материала А легко подстроиться относительно всех атомов В. Такое подстраивание решеток называется псевдоморфным ростом (см. гл. 1) и крайне желательно для достижения высокого качества гетеропереходов. Существует всего несколько систем, у которых постоянные решеток очень близки. На рис. 9.2 приведена зависимость ширины запрещенной зоны при низких температурах от постоянной решетки для ряда полупроводников со структурой алмаза и цинковой обманки. Затененные вертикальные области охватывают группы полупроводников с близкими
4,44,64,85,45,65,86,06,26,46,6
Постоянная решетки, А
Рис. 9.2. График зависимости энергии запрещенной зоны при низкой температуре от постоянной решетки для ряда полупроводников со структурой алмаза и цинковой обманки. Затененные области объединяют группы полупроводников с близкими постоянными решеток. Полупроводники, соединенные сплошными линиями, образуют между собой стабильные твердые растворы. [Chen А.В., Sher A.:Semiconductor Alloys (Plenum, New York 1995) Plate 1.] Отрицательное значение, приведенное для энергии запрещенной зоны HgSe, является спорным [2.28]. Штриховые линии указывают на непрямые запрещенные зоны
постоянными решеток. Материалы в пределах одной затененной области, но с разной шириной запрещенных зон, можно, по крайней мере в принципе, использовать для получения гетеропереходов с некоторой величиной разрыва зон. Возможности выбора величины разрыва зон можно расширить посредством роста двойных (таких как SiGe), тройных (AlGaAs) и четверных (GalnAsP) твердых растворов. Сплошные линии на рис. 9.2, соединяющие некоторые полупроводники, показывают, что эти материалы образуют стабильные твердые растворы во всем диапазоне концентраций (например, InGaAs, GaAlAs и InGaP). Руководствуясь приведенным рисунком, можно создавать гетеропереходы «на заказ» с желаемой величиной разрыва зон или КЯ с заданной формой потенциала. В этом заключается основная идея того, что Капассо [9.9] назвал проектированием запрещенной зоны.
В качестве примера проектирования запрещенной зоны рассмотрим прибор, который намного превосходит традиционный, не использующий гетеропереходы,——лазер с двойным гетеропереходом (ДГП-лазер). Полупроводниковый лазерный диод, изначально изобретенный тремя группами исследователей независимо друг от друга, основывался на переходе, образованном между GaAs р- и n-типа (подобные переходы между одним и тем же материалом, но с разным легированием, называются гомопереходами). Эффективность таких лазеров не очень высока, и поэтому они с трудом могут быть использованы в режиме непрерывной волны (НВ). Кроме того, они имеют короткое время жизни. Основным улучшением в конструкции лазерного диода стало использование двух гетеропереходов в активной зоне, что позволило создать высокоэффективные НВ лазеры с продолжительным временем жизни. Лазеры с двойным гетеропереходом нашли применение в бытовой и офисной технике в качестве проигрывателей компакт-дисков, лазерных принтеров и дисководов для
66Нелегированный GaAsНелегированный GaAsУровень Ферми 上-丝П.丝*Уровень Ферми 上-丝П.丝*Рис. 9.3. Структура ДГП-лазера с двумя гетеропереходами (а). Зависимость энергий края зоны от координаты х вдоль направления роста (6). Зависимость коэффициента прелом™ ления от х (в). Зависимость электрического поля, ограниченного, в основном, слоем GaAs, от х (г)Рис. 9.3. Структура ДГП-лазера с двумя гетеропереходами (а). Зависимость энергий края зоны от координаты х вдоль направления роста (6). Зависимость коэффициента прелом™ ления от х (в). Зависимость электрического поля, ограниченного, в основном, слоем GaAs, от х (г)
6
6
Нелегированный GaAs
Нелегированный GaAs
Уровень Ферми 上-丝П.丝*
Уровень Ферми 上-丝П.丝*
Рис. 9.3. Структура ДГП-лазера с двумя гетеропереходами (а). Зависимость энергий края зоны от координаты х вдоль направления роста (6). Зависимость коэффициента прелом™ ления от х (в). Зависимость электрического поля, ограниченного, в основном, слоем GaAs, от х (г)
Рис. 9.3. Структура ДГП-лазера с двумя гетеропереходами (а). Зависимость энергий края зоны от координаты х вдоль направления роста (6). Зависимость коэффициента прелом™ ления от х (в). Зависимость электрического поля, ограниченного, в основном, слоем GaAs, от х (г)
CD-ROM в компьютерах. Идея использования гетеропереходов, аналогичных образованному между GaAs и AlGaAs, как эффективных инжекторов носителей, была предложена Н. Kroemer в 1960-х [9.10]. Идея же создания ДГП-лазера на базе двух таких гетеропереходов принадлежит Ж.И. Алферову и его коллегам из Санкт-Петербурга [9.11, 9.12]. За свой вклад в развитие ДГП-лазеров, Kroemer и Алферов были в 2000 г. удостоены Нобелевской премии по физике, совместно с J.S. Kilby (награжденным за участие в изобретении интегральных схем). Основная идея ДГП-лазера представлена на рис. 9.3. На рис. 9.3 а схематически изображена его структура. На рис. 9.3 б показана диаграмма энергетических зон на участке двух гетеропереходов. Отметим, что переход должен находиться под первым спуском (разность потенциалов на диоде равна разности энергий между уровнями Ферми по обе стороны перехода), чтобы инжектировать электроны и дырки из AlGaAs в слой GaAs. На рисунке показано,
каким образом электроны и дырки замыкаются внутри области GaAs слоями AlGaAs с большей шириной запрещенной зоны. Такое пространственное ограничение не позволяет носителям диффундировать из области перехода и, следовательно, увеличивает вероятность их рекомбинации за счет излучения. Достоинство идеи не сводится лишь к пространственному ограничению носителей в активной области. Из рис. 9.3 в видно, что коэффициенту преломления в области переходов свойственна прерывистость. Коэффициент преломления GaAs больше, чем у AlGaAs. Вследствие этого фотоны, входящие в переход под углами, большими критического, испытывают полное внутреннее отражение. Таким образом, ДГП AlGaAs/GaAs/AlGaAs образует также волнопровод, туннелирующий фотоны внутрь слоя GaAs, где они способствуют возбуждению излучательной рекомбинации инжектированных пар электрон-дырка. Усиление электромагнитной волны внутри ДГП в электрическом поле показано на рис. 9.3 а* Комбинированные воздействия ДГП на электронные и оптические свойства диода существенно понижают плотность порогового тока при работе лазера.
Равенство постоянных решеток не является необходимым условием для псевдо- морфного роста одного полупроводника (эпитаксиального слоя, или эпислоя) на другом (подложке). Можно заставить эпислой иметь ту же постоянную решетки, что и подложка, хотя в объемном состоянии они могут быть различны. В результате возникает напряженный эпислой, который, однако, может быть весьма совершенным в том, что касается остальных свойств. Вместе с тем существует предельная толщина напряженного слоя, который можно вырастить, сохранив совершенство решетки. Поскольку энергия напряжения возрастает с увеличением толщины, то выше определенной толщины, называемой критической толщиной слоя, эпислой может уменьшить свою полную энергию, ослабив напряжение путем создания дислокаций рассогласования. Интуитивно ясно, что энергия дислокации пропорциональна числу атомов в дислокации. Поскольку дислокации имеют тенденцию сначала возникать около интерфейса, а затем распространяться по направлению к поверхности, их энергия пропорциональна толщине слоя. Для очень тонких слоев энергия напряжения может быть меньше энергии дислокации, и тогда эпислой растет псевдоморфно, сохраняя совершенную решетку без дислокаций. В случае более толстого слоя для создания дислокации рассогласования может потребоваться меньше энергии, чем для создания напряжения во всей пленке. Поэтому пленки с толщиной выше критической имеют дислокации, но в них отсутствуют напряжения. Очевидно, что критическая толщина слоя для двух различных материалов зависит от разницы их постоянных решетки. При условии, что слои в сверхрешетке будут тоньше критической толщины, можно, в принципе, вырастить сверхрешетку с напряженными слоями (СРНС) из любых двух полупроводников, независимо от их постоянных решетки. Одним из таких примеров является СРНС Si/Ge, в которой рассогласование решеток составляет около 4 %. На этом мы закончим рассмотрение напряженных сверхрешеток. Дополнительную информацию об их свойствах читатели могут найти в [9.13] и [6.88].
В заключение заметим, что если внутри запрещенной зоны одного из материалов, образующих КЯ, имеются интерфейсные состояния, они могут привести к закреплению (пиннингу) положения уровня Ферми. Последнее приведет к изгибу зон (см. п. 8.3.3). Иногда он является желательным или неизбежным (например, при легировании). Однако в результате этого теоретическое рассмотрение потенциала квантовой ямы усложняется. Здесь, если не будет сделано особых оговорок, мы будем предполагать, что изгиб зон отсутствует.
Классификация многократно повторяющихся квантовых ям и сверхрешеток. Со времени возникновения идеи выращивать СР и КЯ для изготовления электронных приборов, стало обычным классифицировать эти структуры в соответствии со схемами квантования энергий их электронов и дырок. На рис. 9.4 схематически представлены три сценария, которые могут осуществляться, если даны два полу-
27 М. Кардона
Тип IТип IТип ПАТип ПАРис. 9.4. Схема трех типов квантования электронов и дырок в МКЯ и сверхрешетках, образованных из двух полупроводников А и В с шириной запрещенных зон К8а и К8вРис. 9.4. Схема трех типов квантования электронов и дырок в МКЯ и сверхрешетках, образованных из двух полупроводников А и В с шириной запрещенных зон К8а и К8в
Тип I
Тип I
Тип ПА
Тип ПА
Рис. 9.4. Схема трех типов квантования электронов и дырок в МКЯ и сверхрешетках, образованных из двух полупроводников А и В с шириной запрещенных зон К8а и К8в
Рис. 9.4. Схема трех типов квантования электронов и дырок в МКЯ и сверхрешетках, образованных из двух полупроводников А и В с шириной запрещенных зон К8а и К8в
проводника А и В (EgB > ^а), образующие МКЯ В/А/В/А/В/А/В/А. . . Эти схемы квантования обычно обозначаются как тип I и тип П. В МКЯ и СР типа I квантовое ограничение (конфайнмент) как электронов, так и дырок происходит внутри одних и тех же слоев А (образующих яму). Энергии этих частиц изображены штриховыми линиями. В системе GaAs/AlGaAs МКЯ типа I образуются при условии, что толщина слоев GaAs больше 2 нм или молярная доля А1 меньше, чем 0,3.
Многократно повторяющиеся квантовые ямы типа II могут быть названы полупроводником с «пространственно непрямой запрещенной зоной». В них конфайнмент электронов происходит в одном слое, а дырок ——в другом. МКЯ или СР типа НА образуются из GaAs (А) и AlAs (В), если толщина слоев GaAs меньше 2 нм. Вследствие малой ширины ямы энергия электронов в GaAs лежит выше минимума зоны проводимости AlAs (расположенного в точке X зоны Бриллюэна), слабо квантованного вследствие большой эффективной массы. В результате конфайнмент электронов происходит в слоях AlAs, а конфайнмент дырок ——по-прежнему в слоях GaAs.
Многократно повторяющиеся квантовые ямы типа ПВ ведут себя как полупроводник с малой или нулевой шириной запрещенной зоны, поскольку энергетическая щель между электронами в слое А и дырками в слое В очень мала или вообще отсутствует. Примером типа ИВ является сверхрешетка InAs/GaSb.
Иногда можно встретить в литературе описание сверхрешетки, образованной обычным полупроводником и полупроводником с нулевой запрещенной зоной. Такая СР относится к типу Ш [9.14]. Наконец, МКЯ и СР могут быть образованы
из двух одинаковых полупроводников, но с различным типом легирования. Сверхрешетка со слоями А n-типа и слоями В p-типа называется сверхрешеткой легирования (или nipi-структуройгде i обозначает слой собственного полупроводника (intrinsic) между слоями 簿厂 и р-типа) [9.15]. Проводились также исследования изотопических сверхрешеток [9.16].
Квантование энергетических уровней электронов и дырок. Чтобы понять, как образуются энергетические уровни в КЯ, начнем с предположения, что КЯ имеет простой прямоугольный потенциал вида
при —厶/2 < % < £/2)
при % > £/2 или % < —£/2,
где £ и Vo ——ширина и высота ямы. Отметим, что высота ямы с обеих сторон одинакова и, следовательно, ее потенциал (9.4) обладает симметрией отражения относительно центра. Для того, чтобы воспользоваться этой симметрией, мы выбрали начало координат в центре ямы. В результате собственные состояния электронов в яме обладают определенной четностью при операции отражения относительно плоскости г = 0. Следовательно, существуют правила отбора (помимо наложенных симметрией кристалла) ,которые определяют взаимодействие электронов и фононов в КЯ с внешними возмущениями. Однако при использовании результатов, основанных на симметрии отражения, необходимо соблюдать осторожность. В наиболее часто встречающемся случае квантовой ямы GaAs, окруженной барьерами из AlAs и выращенной на подложке GaAs с ориентацией (001), нецентросимметричный кристалл GaAs, строго говоря, не содержит зеркальных плоскостей, перпендикулярных оси роста. Тем не менее, симметрия, подобная четности, существует относительно двукратного вращения вокруг осей [100] и [010] (см. п. 2.3.2). Предположение о существовании зеркальной плоскости, проходящей через центр симметрии КЯ, остается в силе в обычно используемом приближении эффективной массы (в нем пренебрегается деталями микроскопической зонной структуры электронов). Асимметричные КЯ, для которых четность не является хорошим квантовым числом, возникают, когда барьеры с двух сторон ямы различны, но здесь такие КЯ изучаться не будут.
Квантование электронов в квантовых ямах. Начнем с простейшего случая и рассмотрим электрон в КЯ типа I, образованной двумя полупроводниками с похожими параболическими зонами проводимости. Кроме того, предположим, что направление роста (ось г) параллельно одной из главных осей тензора эффективной массы в обоих материалах. Как уже говорилось, энергии и волновые функции электрона могут быть вычислены в приближении эффективной массы, если потенциал М (г) удовлетворяет условиям, перечисленным в п. 4.2.1. Последнее, в принципе, означает, что ширина ямы должна быть много больше толщины одного монослоя (о вычислении энергетических уровней в сверхтонких КЯ см. [9.17, 9.18]). В этом приближении волновые функции электронов можно представить в форме, сходной с (4.12). Обозначим функции Ванье и огибающие функции внутри ямы через 071A и Сп^^ а соответствующие функции в барьере ——через апв и Спв> В литературе по КЯ рассматриваемое приближение часто называют приближением огибающих функций. Волновую функцию электрона в КЯ можно представить в виде
(99(99[%т/2 £ CnA(Ri)anA(r 一 R/ при 一 £/2 & % & £/2)
(99
(99
『(足)OnB(『—马)при г > £/2 или %—£/2.
Уравнения движения для огибающих функций также различны внутри и вне ямы. Для изотропных эффективных масс (тд и mj для ям и барьеров соответственно)
эти уравнения имеют вид
方 2а2 1方 2а2 10A(R)片旧—然a]Ca(R) при — £/2 W z W £/20A(R)片旧—然a]Ca(R) при — £/2 W z W £/2(9.6 a)(9.6 a)
方 2а2 1
方 2а2 1
0A(R)片旧—然a]Ca(R) при — £/2 W z W £/2
0A(R)片旧—然a]Ca(R) при — £/2 W z W £/2
(9.6 a)
(9.6 a)
и
+ 7。貳R)""a]Ob(R)(966)
при z > £/2 или % < —£/2)
где ЕсА край зоны проводимости в яме (без ограничения общности он будет принят равным нулю).
Поскольку потенциал ямы зависит только от г, можно разделить (9.6 а) и (9.6б) на два уравнения, из которых одно будет зависеть только от г, а другое ——только от £ к у. После этого можно выразить волновые функции (7(а или в)(£)5)%) в виде произведения решений этих двух уравнений:
(9.7 а)(9.7 а)О(АилиВ)(£)沙)％)二 0(АилиВ)(£)") 3(А или В) (%) “
(9.7 а)
(9.7 а)
Выражение для ф^ или в)(ж, у) является уравнением для свободной частицы, и поэтому его решения представляют собой плоские волны вида
Ф(к или в)(ж, у) ос exp [±i{kxx + kyy)], (9.76) где kx и ky компоненты блоховских волновых векторов, параллельных плоскости ямы. Поскольку в плоскости ху сохраняется трансляционная инвариантность, все теоремы, касающиеся сохранения к и полученные для объемных кристаллов, применимы к кх и ку но не применимы к г-компоненте.
Отметим, что масса изменяется от значения тд внутри ямы до значения т^ вне ее. Однако из граничного условия о непрерывности волновых функций по обе стороны интерфейса следует, что как %虞)так и ky должны быть одними и теми же внутри и вне я м ы. Уравнения для ф^ или в)(^) имеют вид
一武(万+后+储)机⑶^后個⑶ (9.8а)
при — £/2 & z & £/2 и
при z > L/2 или z < —£/2.
За исключением того, что массы тд и т^ могут различаться, выражения (9.8) при kx = ку = 0 идентичны случаю частицы, находящейся в одномерной прямоугольной яме, который описывается в учебниках по квантовой механике. Решения для случая Шд = г?硝 можно, например, найти в [9.19], с. 34. Здесь мы только попытаемся суммировать результаты.
В общем случае (9.8) имеет два типа решений. Если Е —[方？/(277硝)](帚 + 写)> Vo, то решения являются плоскими волнами с непрерывным спектром энергий. Частица обладает достаточной кинетической энергией для преодоления барьера и поэтому не испытывает конфайнмента в яме. Эти непрерывные решения, хотя и являются важными, но в данный момент нас не интересуют.
Если Е — [%2/(2mj)](/^ + /^) < Vo, то решения (9*8 6) являются экспоненциальными функциями вида
Зb ⑶=ai「+ a26-丁总,(9.9 a)
где г ——положительное реальное число, которое находится из уравнения
Е _Е _冇2木（局+后一#）=項冇2木（局+后一#）=項(9.10)(9.10)
Е _
Е _
冇2
木（局+后一#）=項
冇2
木（局+后一#）=項
(9.10)
(9.10)
Из условия конечности @в(%) при % = ±оо следует
仙⑶=仙⑶=J aieTZ \a2^TZJ aieTZ \a2^TZпри z < —£/2) при z > L/2.при z < —£/2) при z > L/2.(9.9 6)(9.9 6)
仙⑶=
仙⑶=
J aieTZ \a2^TZ
J aieTZ \a2^TZ
при z < —£/2) при z > L/2.
при z < —£/2) при z > L/2.
(9.9 6)
(9.9 6)
kz = П7г/£, где n = 1, 2, 3, . . .(9.11)kz = П7г/£, где n = 1, 2, 3, . . .(9.11)Рис. 9.5. Схематическая зависимость энергетичес™ ких подзон квантовой ямы с бесконечным барьером от волнового вектора в плоскости ямы к±Рис. 9.5. Схематическая зависимость энергетичес™ ких подзон квантовой ямы с бесконечным барьером от волнового вектора в плоскости ямы к±
kz = П7г/£, где n = 1, 2, 3, . . .(9.11)
kz = П7г/£, где n = 1, 2, 3, . . .(9.11)
Рис. 9.5. Схематическая зависимость энергетичес™ ких подзон квантовой ямы с бесконечным барьером от волнового вектора в плоскости ямы к±
Рис. 9.5. Схематическая зависимость энергетичес™ ких подзон квантовой ямы с бесконечным барьером от волнового вектора в плоскости ямы к±
Волновая функция 0в(£)у)Фв(^) описывает волну, распространяющуюся параллельно яме, но экспоненциально затухающую в барьерах по мере удаления от интерфейсов. Такие волны называются затухающими волнами. Их волновой вектор имеет мнимую ^-компоненту, равную ±5т« Внутри ямы решения (9.8 а) могут быть представлены в виде линейной комбинации симметризованных волновых функций (по отношению к отражению в плоскости г = 0), таких как косинус (симметричная функция) и синус (антисимметричная функция):
^а(^) = Д1 cos (kzz) или Д2 sin (kzz) для ™ £/2 < г < £/2.(9.9 в)
В рассматриваемом случае разрешенные значения Е имеют дискретный характер. Эти решения, описывающие связанные состояния, (т.е. четыре коэффициента «1, «2, 01 к 02)определяются путем наложения обычного требования: волновые функции и их первые производные должны быть непрерывны при пересечении двух интерфейсов КЯ. Обычно не существует аналитического выражения для собственных значений, за исключением случая, когда Vo ——бесконечная величина. Тогда частица полностью заперта внутри ямы (и поэтому значения т^ не существенны), а значения kz
даются классическими выражениями для стоячих волн:
На рис. 9.5 показаны уровни энергии электронов в КЯ с бесконечными барьерами. Эти энергетические зоны, квантованные в двух измерениях, называют подзонами^ чтобы отличать их от электронных энергетических зон соответствующего объемного кристалла А.
При конечном значении Vo энергии подзон не могут быть выражены аналитически. Их можно определить или графически, или посредством численных расчетов с помощью компьютера. Первый способ для частного случая Шд = г?硝 содержится в учебниках по квантовой
ОООО5010015020050100150200Рис. 9.6. Зависимость расчетных значений энергий квантования для электронов от ширины ямы £ для КЯ Gao,47ln Aso,53As/Alo,4sIno,52As, выращенной на подложке InP с согласован™ ной постоянной решетки [9.20б]. Энергии связи выше 0,5 эВ не представлены, так как они соответствуют неограниченным состояниям, перекрывающим континуум барьера. Для £ < < 30 А дано только одно связанное состояниеРис. 9.6. Зависимость расчетных значений энергий квантования для электронов от ширины ямы £ для КЯ Gao,47ln Aso,53As/Alo,4sIno,52As, выращенной на подложке InP с согласован™ ной постоянной решетки [9.20б]. Энергии связи выше 0,5 эВ не представлены, так как они соответствуют неограниченным состояниям, перекрывающим континуум барьера. Для £ < < 30 А дано только одно связанное состояние君 2 о а君 2 о аШа -иокоаькфк-а ErsdGHeШа -иокоаькфк-а ErsdGHe
О
О
О
О
50100150200
50100150200
Рис. 9.6. Зависимость расчетных значений энергий квантования для электронов от ширины ямы £ для КЯ Gao,47ln Aso,53As/Alo,4sIno,52As, выращенной на подложке InP с согласован™ ной постоянной решетки [9.20б]. Энергии связи выше 0,5 эВ не представлены, так как они соответствуют неограниченным состояниям, перекрывающим континуум барьера. Для £ < < 30 А дано только одно связанное состояние
Рис. 9.6. Зависимость расчетных значений энергий квантования для электронов от ширины ямы £ для КЯ Gao,47ln Aso,53As/Alo,4sIno,52As, выращенной на подложке InP с согласован™ ной постоянной решетки [9.20б]. Энергии связи выше 0,5 эВ не представлены, так как они соответствуют неограниченным состояниям, перекрывающим континуум барьера. Для £ < < 30 А дано только одно связанное состояние
君 2 о а
君 2 о а
Ша -иокоаькфк-а ErsdGHe
Ша -иокоаькфк-а ErsdGHe
механике. При тд # т^ условие непрерывности для производных d^^z}/dz
и а@в(%)/а% следует преобразовать в так называемое граничное условие Бастар- 儿I [9.20 а]:
&吵а 1 дфв丄価
—при 2 = 士丄/2.(9.13)
тд dzmg dz
Оно обеспечивает непрерывность потока частиц через интерфейс между А и В.
На рис. 9.6 показана зависимость вычисленных энергий связанных состояний электрона (для kx = ky = 0) от ширины £ ямы в КЯ Gao,47lno,53 As-Alo,48lno,52 As. Глубина ямы Vo = 0,5 эВ. Обратите внимание на то, что число связанных состояний внутри ямы уменьшается по мере уменьшения L. Для £ < 30 А существует только одно связанное состояние. Следует заметить, что «несвязанные», или непрерывные, решения модифицируются потенциалом ямы и отличаются от соответствующих состояний в объемных кристаллах. Рассмотрение случая, когда эффективная масса является параболической, но не изотропной, можно найти в [9.21].
Квантование дырок в квантовых ямах. Как было показано в п. 4.2.4, уравнение движения дырок в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки под действием кулоновского потенциала является довольно сложным даже в приближении эффективной массы. В случае мелких акцепторов (см. п. 4.2.4) решения упрощаются вследствие сферической симметрии потенциала. Поскольку потенциал М (г) в квантовой яме не является сферическим, можно предполагать, что проблема окажется более сложной. Действительно, для нахождения имеющих смысл результатов необходимы численные расчеты. Пример дырочных подзон, полученных с помощью таких расчетов, показан на рис. 9.7 для КЯ GaAs/Gao^Al。,3As с шириной 100 и 150 А[9.22]. Они происходят или от зон тяжелых дырок (ТД), или от зон легких дырок (ЛД) объемного кристалла. Мы увидим, что это, строго говоря, неверно, поскольку валентные зоны объемного кристалла в квантовых ямах сильно перемешаны из-за потенциала М(г). Качественно происхождение таких подзон можно понять следующим образом.
-50 0-50 0PQmN gwsJdGHePQmN gwsJdGHeООО PQmN gwsJdGHeООО PQmN gwsJdGHeо10о10оо0,5ку,л- Ю^м™10,5ку,л- Ю^м™111—30 о—30 о110,5/，万” 106cMТ0,5/，万” 106cMТ必必
-50 0
-50 0
PQmN gwsJdGHe
PQmN gwsJdGHe
ООО PQmN gwsJdGHe
ООО PQmN gwsJdGHe
о10
о10
о
о
0,5ку,л- Ю^м™1
0,5ку,л- Ю^м™1
1
1
—30 о
—30 о
1
1
0,5
/，万” 106cMТ
0,5
/，万” 106cMТ
必
必
Рис. 9.7. Энергии дырочных подзон в КЯ GaAs/Gao,7А1о,зAs, расчитанные [9.22] в прибли™жении огибающей функции для ширины ям а) 100 и 6, 150 А. Штриховые кривые относятся кподзонам, которые произошли из объемных валентных зон тяжелых и легких дырок. Сплош™ными кривыми показаны энергии подзон, расчитанные без учета смешивания зон тяжелыхи легких дырок
Пусть спин-орбитальное расщепление дырочных зон настолько велико, что можно рассматривать только дырочные зоны с J = 3/2, тяжелые [Jz = ±3/2) и легкие (Jz = ±1/2). Выберем ось квантования для J вдоль направления роста. Их дисперсию в объемном кристалле можно вычислить с помощью гамильтониана Латт- инжера 丸l в (2.70), к которому в случае КЯ следует добавить потенциал квантовой ямы М(г). В окончательном виде гамильтониан в основном содержит члены вида Jx Jy(d/дх)(д/ду) и подобные им из разложения (J-V)2. Уравнение Шредингера, соответствующее этому гамильтониану, неразделимо. Поскольку «внедиагональные» члены появляются из-за гофрирования валентных зон и не важны для понимания эффекта пространственного ограничения (конфайнмента) на дисперсии валентной зоны, мы ими пренебрежем. Для большинства полупроводников эти члены малы (исключениями являются Si, SiC и алмаз; см. табл. 4.3) и могут быть введены позже как слабые возмущения. При сделанных предположениях гамильтониан дырок в КЯ приобретает вид
71 +71 +▽2-2也(f+4 m) +m ⑶.▽2-2也(f+4 m) +m ⑶.(9.14)(9.14)
71 +
71 +
▽2-2也(f+4 m) +m ⑶.
▽2-2也(f+4 m) +m ⑶.
(9.14)
(9.14)
Соответствующее уравнение Шредингера можно разделить на два уравнения так же, как это было сделано с (9.6). Гамильтониан для движения вдоль % выражается как
2 m2 m71 +71 +_2也J：_2也J：22(9.15 а)(9.15 а)
2 m
2 m
71 +
71 +
_2也J：
_2也J：
2
2
(9.15 а)
(9.15 а)
Отсюда следует, что состояние Jz = 3/2 (будем избегать названия «тяжелые» и «легкие» дырки, поскольку позднее мы увидим, что они более не имеют смысла) ведет себя при вычислении квантованных состояний с помощью гамильтониана (9.15 а) так, как если бы его эффективная масса шьг была бы равна (ср. с (2.67))
а состояние J总=1/2 — как если бы оно имело более легкую массу т^：
(mJ—1 =(71 +272)/ш.(mJ—1 =(71 +272)/ш.((9」6 6))((9」6 6))
(mJ—1 =(71 +272)/ш.
(mJ—1 =(71 +272)/ш.
((9」6 6))
((9」6 6))
Поскольку энергия кватования обратно пропорциональна эффективной массе (см.
для состояния Jz = 1/2 она больше, чем для тяжелого состояния с Jz = 3/2. Схематично эта ситуация показана на рис. 9.8 а.
Гамильтониан для движения, перпендикулярного потенциалу квантовой ямы (на-
k у —— k х == Оk у —— k х == Оа
k у —— k х == О
k у —— k х == О
厶=3/2
Jz = 1/2
Рис. 9.8. Схематическое изображение дисперсии валентных зон с Jz = 3/2 и Jz = 1/2; а) квантующий потенциал «прямоугольной ямы» в направлении n без учета «недиагональных» элементов (т.е. без учета смешивания)——посередине и с учетом «недиагональных» элементов (с учетом смешивания)——внизу; б) одноосное давление сжатия вдоль направления nРис. 9.8. Схематическое изображение дисперсии валентных зон с Jz = 3/2 и Jz = 1/2; а) квантующий потенциал «прямоугольной ямы» в направлении n без учета «недиагональных» элементов (т.е. без учета смешивания)——посередине и с учетом «недиагональных» элементов (с учетом смешивания)——внизу; б) одноосное давление сжатия вдоль направления n
Рис. 9.8. Схематическое изображение дисперсии валентных зон с Jz = 3/2 и Jz = 1/2; а) квантующий потенциал «прямоугольной ямы» в направлении n без учета «недиагональных» элементов (т.е. без учета смешивания)——посередине и с учетом «недиагональных» элементов (с учетом смешивания)——внизу; б) одноосное давление сжатия вдоль направления n
Рис. 9.8. Схематическое изображение дисперсии валентных зон с Jz = 3/2 и Jz = 1/2; а) квантующий потенциал «прямоугольной ямы» в направлении n без учета «недиагональных» элементов (т.е. без учета смешивания)——посередине и с учетом «недиагональных» элементов (с учетом смешивания)——внизу; б) одноосное давление сжатия вдоль направления n
пример, вдоль оси 夕),имеет вид
方22 m方22 m71 + 17271 + 172(9.15 6)(9.15 6)
方2
2 m
方2
2 m
71 + 172
71 + 172
(9.15 6)
(9.15 6)
Ожидаемые значения (3/2, 3/2 \ Jy\ 3/2, 3/2) и (3/2, l/2|J^|3/2, 1/2) равны 3/4 и 7/4 соответственно. Если они используются для вычисления ожидаемых значений гамильтониана (9.15б), то оказывается, что состояние Jz = 3/2 ведет себя так, как если бы в направлении у оно имело массу
■ (mhy)T = + 72)/?% (9.17 а)
в то время как состояние Jz = 1/2 имеет массу
||「「^^^^^
Из табл. 4.3 видно, что 71 〉72, к оба значения положительны для большинства полупроводников типа цинковой обманки. Таким образом, мы получили отчасти па™ радоксальный результат: состояние Jz = 3/2 (тяжелая дырка в объемном кристалле вдоль направления квантования, а также при вычислениях в квантовой яме вдоль направления %) имеет меньшую массу в направлениях х и у, чем состояние Jz = = 1/2 (или легкая дырка в объемном случае). Данный феномен известен как обращение масс. Впервые с ним встретились в экспериментах по циклотронному резонансу в Si p-типа при одноосном сжатии вдоль [001] [9.23]. В этом случае одноосное давление приводит к расщеплению вырожденных зон тяжелых и легких дырок в центре зоны Бриллюэна (см. задачу 3.8в), и зоны становятся параболическими. Деформационный потенциал b имеет такой знак, что состояние Jz = 1/2 (обладающее теперь большей массой!) имеет большую энергию, чем состояние Jz = 3/2. В результате эти две зоны не пересекаются (рис. 9.7 б). Однако в квантовых ямах дырочные зо ны пересекаются (рисунки 9.7 а и 9.6). Если учитываются недиагональные члены, то происходит смешивание двух зон и возникает антипересечение уровней там, где они могли пересекаться (см. также § 6.4). Это схематически показано на рис. 9.7 а. В то время как одноосное давление сжатия вдоль направлений высокой симметрии в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки приводит к упрощению валентных зон с J = 3/2 в направлении к, перпендикулярном давлению, снимая их вырождение и устраняя гофрирование, потенциал квантовой ямы усложняет структуру валентных зон, приводя к их смешиванию и антипересечению уровней. Несмотря на двусмысленность терминов тяжелая и легкая масса, термины «тяжелая дырка» и «легкая дырка» часто используются в литературе для обозначения подзон в КЯ, произошедших из валентных зон с J = 3/2.
Электроны и дырки в сверхрешетках. В принципе, энергии электронов и дырок в сверхрешетках могут быть расчитаны таким же способом, как и для КЯ, при условии использования соответствующих граничных условий. Периодичность сверхрешетки (с периодом d, равным сумме толщин ямы и барьера) накладывает на волновые функции электронов и фононов те же самые граничные условия, что и периодический потенциал одномерного кристалла. В результате можно выразить огибающую волновую функцию ф ⑶ электрона в зоне проводимости в виде блоховских волн, распространяющихся вдоль направления роста СР. В простом случае kx = ky = Q в СР GaAs/А*—况Ga况As (в которой при 0,15 < ж < 0,30 можно приближенно считать массы электрона изотропными и Шд = mg) волновое уравнение для электрона в направлении z сводится к уравнению для одномерного периодического потенциала прямоугольной ямы, лучше известному как модель Кронига-Пенни. Решения этой задачи приводятся во многих учебниках по квантовой механике (см., например, [9.24]).
Мы не будем вдаваться в детали нахождения решения волнового уравнения для огибающей функции. Достаточно отметить, что для СР, состоящей из ям и барьеров с толщиной а и b соответственно, и с высотой барьера Vo, энергия электрона Е связана с блоховским волновым вектором kz = к (дисперсия) посредством трансцендентных уравнений вида
cos (kd) = cos cos (后6)— …？ sin sin (后6) при E > Vq (9.18 a)
cos (kd) = cos (自&) ch (кб)—cos (kd) = cos (自&) ch (кб)—kf 一 左：kf 一 左：2kl左2kl左，iiii(lii|iihi(i办[五piiiiEiVii|；BiBii((9，i6|i|，iiii(lii|iihi(i办[五piiiiEiVii|；BiBii((9，i6|i|
cos (kd) = cos (自&) ch (кб)—
cos (kd) = cos (自&) ch (кб)—
kf 一 左：
kf 一 左：
2kl左
2kl左
，iiii(lii|iihi(i办[五piiiiEiVii|；BiBii((9，i6|i|
，iiii(lii|iihi(i办[五piiiiEiVii|；BiBii((9，i6|i|
где &i, &2 к к определяются выражениями
(9.19 а)(9.19 6)(9.19 в)(9.19 а)(9.19 6)(9.19 в)К =戸后/⑵小
(9.19 а)
(9.19 6)
(9.19 в)
(9.19 а)
(9.19 6)
(9.19 в)
后 一 % =戸后/⑵九大)при е〉％,Vo Е =方2K2/(2тпХ) пРи Е < Vq.
Обычно трансцендентные уравнения (9.18) решают численно. В качестве сравнения энергий в КЯ и СР на рис. 9.9 приведена зависимость изменения энергии электрона в одномерной МКЯ с высотой потенциального барьера 0,4 эВ (схематически изображенной на вставке) от ширины барьера (выбранного равным ширине ямы). При уменьшении ширины барьера соседние квантовые ямы начинают взаимодействовать друг с другом и МКЯ превращается в СР: ее дискретные уровни энергии уширяются в зоны, называемые минизонами. Напомним, что приближение огибающей функции перестает быть применимым при ширине слоев, равной нескольким монослоям. Для вычисления энергий электронов в этих так называемых короткопериодных сверхрешетках^
Рис. 9.9. Образование минизон сверхрешетки из энергетических уровней КЯ в зависимости от ширины барьера (который считается равным ширине ямы). Вычисления в модели потенциала Кронига-Пенни (показанного на вставке). Высота прямоугольного потенциала равна 0,4 эВ. Щели между минизонами существуют даже в том случае, когда они расположены выше потенциальных барьеров [9.25]Рис. 9.9. Образование минизон сверхрешетки из энергетических уровней КЯ в зависимости от ширины барьера (который считается равным ширине ямы). Вычисления в модели потенциала Кронига-Пенни (показанного на вставке). Высота прямоугольного потенциала равна 0,4 эВ. Щели между минизонами существуют даже в том случае, когда они расположены выше потенциальных барьеров [9.25]
Рис. 9.9. Образование минизон сверхрешетки из энергетических уровней КЯ в зависимости от ширины барьера (который считается равным ширине ямы). Вычисления в модели потенциала Кронига-Пенни (показанного на вставке). Высота прямоугольного потенциала равна 0,4 эВ. Щели между минизонами существуют даже в том случае, когда они расположены выше потенциальных барьеров [9.25]
Рис. 9.9. Образование минизон сверхрешетки из энергетических уровней КЯ в зависимости от ширины барьера (который считается равным ширине ямы). Вычисления в модели потенциала Кронига-Пенни (показанного на вставке). Высота прямоугольного потенциала равна 0,4 эВ. Щели между минизонами существуют даже в том случае, когда они расположены выше потенциальных барьеров [9.25]
—[110][100] —
к% 2тг/а
Рис. 9.10. Зависимость энергий дырочных минизон от волнового вектора, перпендикулярно™ го оси роста СР GaAs (68 монослоев)/Gao,7Alo,зAs (71 монослой). Расчет Чанга и Шульмана в модели ЛКАО [9.26]
следует применить стандартные методы расчета зон к «искусственному» трехмерно™ му кристаллу, порожденному посредством «суперячейки», состоящей из одного перио™ да сверхрешетки. Уровни энергии в короткопериодных СР рассчитывались подобным образом с использованием метода псевдопотенциала или в приближении сильной связи (см. гл. 2). На рис. 9.10 показаны энергии дырочных минизон в GaAs/А1о,зСао,7As, вычисленные Чангом и Шульманом [9.26] с помощью модели ЛКАО (см. § 2.7), хотя слои GaAs и GaAlAs (с толщинами 68 и 71 монослоев соответственно) были толще, чем несколько монослоев. Отметим, что один монослой GaAs имеет толщину 2,827 А, очень близкую к толщине одного монослоя GaAlAs. На рис. 9.10 ясно видно несколько антипересечений lh—hh описанного выше типа.
9・2.4. Некоторые экспериментальные результаты. В период написания настоящей книги проводились интенсивные экспериментальные исследования по проверке теоретически предсказанных энергий зон и минизон в КЯ и СР. Невозможно привести полный обзор всех результатов. Вместо этого мы представим некоторые типичные результаты для КЯ типа I для хорошо изученной системы GaAs/AlGaAs. Прекрасное согласие между теорией и экспериментом дает еще одно убедительное подтверждение высокому уровню, достигнутому при выращивании наноструктур. Многие результаты были получены при исследовании явлений переноса (эксперименты по туннелированию, которые будут описаны позднее) и с помощью оптических методов (поглощение, как междузонное, так и межподзонное, фотолюминесценция, возбуждение люминесценции и рамановская спектроскопия; см. главы 6 и 7).
Первые убедительные свидетельства квантования уровней электронов и дырок в КЯ были обнаружены при измерениях оптического поглощения. На рис. 7.16 а был приведен такой спектр для КЯ GaAs толщиной 20 нм, полученный Динглом [9.27].
Хотя спектры поглощения отражают комбинированную плотность состояний элек™ тронов и дырок (часто модифицированную вследствие экситонных эффектов, уси™ ленных в двумерном случае; см. § 9.1), тем не менее на рис. 7.16 а отражены две важные особенности квантового размерного эффекта. Во-первых, наблюдается вызванный квантованием сдвиг экситонного пика в сторону высоких энергий по сравнению с объемным GaAs. Последнее не очевидно при сравнении рисунков 6.25 и 7.16 а из-за довольно большой ширины КЯ на рис. 7.16 а. Это лучше видно для более узкой КЯ, показанной на рис. 7.16 б. Второй особенностью является появление серии пиков (соответствующих квантованным уровням с квантовыми числами n = 1, 2, и т.д.), расстояние между которыми изменяется с шириной ямы, как предсказано выражением (9.12б). У этих экситонных пиков (помеченных n = 1 и 2) наблюдается дублетная структура, связанная с расщеплением валентных зон в КЯ на подзоны тяжелых и легких дырок. На рис. 9.11 приведено более детальное сравнение теоретических и экспериментальных энергий оптических переходов между подзонами тяжелых и легких дырок и электронными подзонами в КЯ GaAs/AlGaAs с толщиной 316 А, измеренных Динглом [9.27]. Интерпретация экспериментального спектра облегчается благодаря правилам отбора для электрических дипольных переходов. Как отмечено Динглом и др. [9.6], для ямы с бесконечно высоким барьером квантовые числа для электронных и дырочных подзон при электрическом дипольном переходе должны быть одинаковыми вследствие ортогональности огибающих функций. Это условие перестает быть жестким для КЯ с конечной высотой барьера, когда гамильтонианы для электронов и дырок изменяются и соответствующие им волновые функции не обязаны быть ортогональными друг к другу. В симметричных ямах вследствие условия сохранения четности (см. п. 9.2.3) разрешены переходы только между подзонами с одинаковой четностью. Однако даже для ям конечной глубины переходы между подзонами с одинаковыми квантовыми числами обычно являются более интенсивными (рис. 9.11). Подобные же экситонные пики, связанные с квантованными электронными и дырочными уровнями, наблюдались при фотолюминесценции и спектроскопии возбуждения люминесценции. Примеры таких спектров возбуждения фотолюминесценции для двух КЯ с шириной, равной 5 и 10 нм, ранее уже приводились на рис. 7.16 6 и обсуждались в п. 7.1.5.
Перечисленные результаты являются примером раздельного квантования электронов и дырок. Были также получены свидетельства квантования экситонов, типа упомянутого в § 9.1 (см. [9.2 б] и приведенные там ссылки).
Как при изучении поглощения, так и в спектрах возбуждения фотолюминесценции измеряется скорее межподзонная разность энергий, а не энергия индивидуальных подзон. Кроме того, отсутствует какая-либо информация о дисперсии подзон. Кэш и др. [9.29] использовали своего рода «спектроскопию возбуждения горячей люминесценции» для непосредственного нахождения дисперсии дырочной подзоны в КЯ. В основе их эксперимента лежала идея, впервые продемонстрированная для объемного GaAs Фазолем [9.30]. Здесь мы рассмотрим только случай КЯ, хотя сходные результаты были получены для объемных материалов. На рис. 9.12 а показано, как с помощью перестраиваемого лазера (力аЛазер) электрон из подзоны тяжелых дырок возбуждается в самую низкую электронную подзону. Из условия сохранения энергии и волнового вектора следует, что
力®лазер =后1€(仙|) + ^lh (一^|| ) + Eg, (9*20 a)
где Eie(k||) и КцД^ц) — кинетические энергии движения электрона и дырки в плоскости КЯ, к” — их волновой вектор, параллельный плоскости КЯ (значение к” для электронов в валентной зоне и в зоне проводимости равны при вертикальных переходах), a Kg ——энергетическая щель, разделяющая подзоны электронов и дырок. Слои GaAs
Зона проводимости」L = 316 А М
Валентная зона GaAsВалентная зона GaAs100 75 50 25 0Пропускание, %
Валентная зона GaAs
Валентная зона GaAs
Рис. 9.11. Зависимость спектра пропускания МКЯ GaAs/Alo,2Gao,sAs, 31бА от энергии фо™ тонов при низкой температуре (справа). Пики, обозначенные (и, и), идентифицированы как оптические переходы из подзон тяжелых (hh) и легких (111) дырок с номером и в п~подзоны проводимости. Они обозначены стрелками на зонной диаграмме (слева) [9.27]. Значение разрыва зон, использованное Динглом для этих расчетов, с тех пор подверглось ревизии [9.28]
в КЯ GaAs/AlGaAs, использованной в эксперименте Кэша и др. [9.29], были легкрова- ны Be (с концентрацией порядка 1018 акцепторов/см3). Эти акцепторы захватывают электроны в результате излучательного перехода из подзоны проводимости до того, как произойдет релаксация электронов. Энергия фотона (方®pl), испущенного в про™ цессе «горячей люминесценции» (см. § 7.1), определяется следующим выражением:
方®PL = + Eg —鬲， (9.20 б)
где 爲一энергия связи акцептора Be в GaAs. В принципе, энергию Eie{k^) «горячего» электрона можно найти из спектров горячей люминесценции. Зная эту энергию, с по™ мощью (9.12) вычисляют волновой вектор к” для электрона (а, следовательно, и для
оо202040406060一 一 一一 一 一—80
о
о
20
20
40
40
60
60
一 一 一
一 一 一
00,04 0,08 0,1200,04 0,08 0,1200,04 0,08 0,12
к, тг/а (а = 5,56 А)
Рис. 9.12. (а) Схема структуры подзон для КЯ GaAs/AlGaAs, иллюстрирующая процессы горячей люминесценции, возникающие в результате возбуждения электронов из подзоны дырок в соответствующую электронную подзону и их последующего излучательного перехода на акцепторный уровень Be. Дисперсия дырочных подзон, измеренная с использованием представленной в а схемы зонной структуры в трех КЯ GaAs/Alo,3i5Gao,685 As разной толщины: б) 51 А; в) 75 А; а) 98 А [9.29]. Кружки ——результаты, полученные для 生“)параллельного направлениям [10] и [11] в яме. Светлые кружки получены для двух асимметрично связанных квантовых ям (легированной ——51 А к нелегированной ——153 А). Соответствующие теоретические дисперсионные кривые показаны сплошными и штриховыми линиями
дырки) в предположении, что эффективная масса т* электрона в GaAs известна. Используя Е1е(к^), можно с помощью (9.20 а) рассчитать соответствующую энергию дырки 石ih(—包|) как функцию 包卜 Таким способом, варьируя 方®pl путем измене™ ния 方®лазер, определяют дисперсию тяжелых и легких дырок.
На практике описанная процедура осложняется тем обстоятельством, что дисперсии тяжелой и легкой дырок не изотропны. Падающий лазерный фотон возбуждает электроны с распределением по к” в соответствии с условиями сохранения энергии. В объемных полупроводниках волновой вектор электрона к” в (9.20 б) усредняется по всем направлениям поэтому таким способом определяется только дисперсия «сфери™
чески усредненной» валентной зоны [9.30]. Для преодоления этого затруднения в случае КЯ Кэш и др. измеряли разность /ц — /丄 между интенсивностями излучения, поляризованного параллельно (/ц) и перпендикулярно (/丄)к возбуждающему лазеру. Рассмотрев вероятности оптических переходов для света, поляризованного вдоль направлений [100] и [ПО] (в плоскости КЯ), они показали, что в /“ 一/丄 доминируют переходы возбужденных электронов с к”, параллельным поляризации лазера. Это позволило им найти анизотропную дисперсию дырок в трех КЯ GaAs/Al。,315Ga。,685As с разной толщиной ям. Результаты для к”, параллельного направлениям [10] и [11] в КЯ, показаны на рисунках 9.12 6—2 темными и светлыми кружками. На тех же рисунках соответствующие теоретические дисперсионные кривые представлены как сплошные и штриховые. При малых значениях к” слабая горячая люминесценция маскируется интенсивной термализованной люминесценцией. Для устранения фона Кэш и др. вырастили структуру с ямой 51 А и соседней нелегированной ямой с шириной 153 А. Энергия подзон более широкой ямы была меньше, чем в узкой легированной яме. Если эти две квантовые ямы разделены узким барьером (26 А), то носители могут протуннелировать из легированной Be ямы в нелегированную (см. § 9.5). Такая структура обеспечивает эффективный путь безызлучательного ухода фотовозбуж- денных носителей из легированной ямы и подавляет ее термализованное излучение (см. п. 7.1.1). На горячую люминесценцию в легированной яме это не влияет, поскольку она характеризуется более короткими излучательными временами. Данные, представленные на рис. 9.12 светлыми кружками, были получены для этих асимметрично связанных квантовых ям. Экспериментальные точки довольно хорошо воспроизводят «обращение масс», предсказанное теорией как результат антипересечения между зонами тяжелых и легких дырок.
В легированных КЯ (в которых некоторые из электронных или дырочных подзон уже населены) структуру подзон можно наблюдать с помощью инфракрасного (межподзонного) поглощения и рамановской спектроскопии. Первый метод в принципе аналогичен инфракрасному поглощению электронов, связанных с донорами и акцепторами (см. п. 6.5.2). Эти процессы поглощения используются для изготовления инфракрасных приемников, подобных тем, в которых используются носители, связанные на примесях, в объемных материалах. Дополнительное преимущество КЯ заключается в том, что спектральный диапазон работы приемника легко изменять, изменяя ширину ямы. Расстояние между подзонами в КЯ можно непосредственно определять с помощью электронного рамановского рассеяния. Данная тема, вследствие ее специального характера, в книге не обсуждается. Читателям, интересующимся указанным вопросом, рекомендуется обратиться к обзорной статье Пинчука и Абстрайтера [9.31].
Фононы в сверхрешетках
Фононы в сверхрешетках: сложенные акустические и квантованные оптические моды. В § 9.2 рассматривалось, как размерное квантование влияет на электроны в квантовой яме. Это влияние возникает, когда разрешенные энергии электронов в яме соответствуют запрещенным энергиям в барьере (т.е. состояниям запрещенной зоны). Фононы, подобно электронам, также можно представить в виде бло- ховских волн с дисперсионными соотношениями, дающими зависимость разрешенных энергий (т.е. частот) от блоховского волнового вектора. Поэтому возникает вопрос, могут ли для фононов в КЯ, МКЯ и сверхрешетках возникать эффекты квантования?
Для ответа на этот вопрос на рис. 9.13 приведены рассчитанные Джианноцци и др. [9.32] дисперсионные кривые для фононов в GaAs и AlAs, наиболее типичных представителей таких структур. Мы видим, что оптические ветви весьма похожи на электронные зоны. Энергия, например, изменяется квадратично с волновым вектором к около
о40о40оо0000оо0030031 — 1ДЮ ^ноной^1 — 1ДЮ ^ноной^ж X X кж X X ко40о40Ga L X W LGa L X W Lо20о20К XК X
о
40
о
40
о
о
00
00
о
о
00
3
00
3
1 — 1ДЮ ^ноной^
1 — 1ДЮ ^ноной^
ж X X к
ж X X к
о
40
о
40
Ga L X W L
Ga L X W L
о
20
о
20
К X
К X
Рис. 9.13. Дисперсионные кривые (сплошные линии) для объемных GaAs (сверху) и AlAs (снизу) [9.32]. Наблюдается сильное перекрытие частот их акустических мод, в отличие от оптических мод, для которых перекрытие отсутствует. Ромбики соответствуют эксперимент тальным данным для GaAs
критических точек, включая и точку Г (т.е. центр зоны Бриллюэна). Однако акустические ветви имеют другой вид: в любом материале они стремятся к нулю при к = 0. Последнее является результатом того, что акустический фонон с к = 0 (т.е. бесконечной длиной волны) соответствует однородной трансляции кристалла. При такой трансляции не возникает возвращающей силы, поскольку расстояния между атомами не изменяются. Другая особенность, характерная для акустических фононов, заключается в том, что их дисперсия вблизи Г линейна (а не квадратична) по k.
Указанные особенности дисперсии акустических фононов обычно препятствуют их квантованию: в любой системе из двух заданных материалов акустические моды распространяются в обоих материалах в диапазоне частот от нуля до максимальной частоты того материала, который является более мягким в смысле упругости (GaAs в случае рис. 9.13). Отметим, что в системе GaAs/AlAs максимальные акустические частоты обоих компонент почти одинаковы, поэтому едва ли существует диапазон частот, в котором распространяющиеся акустические моды существовали бы только в одном из двух материалов. В пределах применимости теории упругости акустические фононы в сверхрешетках соответствуют упругим волнам, распространяющимся с дисперсией w = vk, где 万——средняя скорость звука для двух сред. Если к направлен вдоль оси роста сверхрешетки, состоящей из повторяющихся слоев среды А с толщиной &а и среды В с толщиной 如(период d = &а + &в), легко найти эту среднюю скорость. Время распространения вдоль d равно t = &а/оа + &в/^в, поэтому средняя скорость звука
^d5^^d5^
^d5^
^d5^
348 см™1 е~^ е-^ —*е~^ е~^
—K£Tkd 七 力 —у —и ueikd
266 cMт ^e e~^ -^ ^~ ^e ^^
2 z
Рис. 9.14. Сверху: элементарная ячейка сверхрешетки А2В2 (например, SizGe?). Внизу: кар-тина смещений атомов в элементарной ячейке для трех мод в точке Г, расчитанных длясистемы SizGe?
Особенности распространения акустических фононов в слоистых структурах рассмат™ ривались Рытовым [9.33], который отметил, что эти результаты применимы к распро странению сейсмических волн.
Рассмотрим теперь оптические моды на рис. 9.13. Они образуют узкие зоны с цен™ тром около 280 cM-1 в GaAs и 380 см™1 в AlAs. В области некоторых частот, соответ™ ствующих оптическим модам в GaAs, распространяющиеся моды в AlAs отсутствуй ют. Вследствие этого должны возникать эффекты квантования. Однако, в отличие от случая электронов, на рис. 9.13 имеются моды, распространяющиеся в одном из двух материалов, но не распространяющиеся в другом: существуют GaAs-подобные моды, для которых слои AlAs ведут себя как барьеры, и AlAs-подобные моды, для которых подобно барьерам ведут себя слои GaAs. Такие квантованные оптические моды широко изучались в последние годы [9.34, 9.35].
Для того, чтобы проиллюстрировать эти эффекты в наиболее простом случае, рас™ смотрим сверхрешетку с периодом, состоящим из двух слоев элемента А с атомной массой шд и двух слоев элемента В с массой тв (например, Si и Ge). Элементарная ячейка такой периодической структуры показана на рис. 9.14. Мы будем рассматрк-
вать только моды, распространяющиеся вдоль оси роста, и предположим, что возвращающие силы с одной и той же силовой постоянной / существуют лишь между сосед™ ними плоскостями (между плоскостями Ge—Ge, Ge—Si и Si—Si). Уравнения движения для фононов с волновым вектором к, распространяющихся вдоль оси сверхрешетки, имеют вид
—тА®2р = / [(ж — о) + (ue^idk — о)],
(9.22)(9.22)-ШВШ2Ж = f[(y —冗)+ (о — ж)],
(9.22)
(9.22)
-твш2у = f[(u —夕)+ (z —少)], —tha/u = f[(veidk — u) + (g — u)].
28 M. Кардона
Рис. 9.15. Расчетные дисперсионные кривые для сверхрешетки SizGe?, показанной на рис. 9.14Рис. 9.15. Расчетные дисперсионные кривые для сверхрешетки SizGe?, показанной на рис. 9.14Для того, чтобы эта система однородных линейных уравнений (относительно смеще™ ний V, ж, д「м) имела ненулевые решения, ее определитель должен быть равен нулю. Последнее приводит к секулярному уравнению четвертой степени относительно g?
Рис. 9.15. Расчетные дисперсионные кривые для сверхрешетки SizGe?, показанной на рис. 9.14
Рис. 9.15. Расчетные дисперсионные кривые для сверхрешетки SizGe?, показанной на рис. 9.14
которые границе частотыкоторые границе частотыш2ш2(9.23)(9.23)для произвольного к. Его можно разбить на два квадратных уравнения, нетрудно решить алгебраически для k = 0 (это можно также сделать на так называемой мини-ЗБ, к = тг/d; см. задачу 9.3). Четыре разрешенных при 6 = 0 включают ш2 = 0 (акустические моды сверхрешетки) и
которые границе частоты
которые границе частоты
ш2
ш2
(9.23)
(9.23)
(9*24)(9*24)2 —+ шв) 土 У9(ша - шв)2 + 4mAmB
(9*24)
(9*24)
2 971А К2 в2 971А К2 вg = /Z
2 971А К2 в
2 971А К2 в
Проще всего всего найти два раздельных квадратных уравнения для собственных значений, учитывая, что смещения фононов (собственные векторы) могут быть или нечетными, или четными относительно центра суперячейки на рис. 9.14. Поскольку нечетные и четные собственные векторы не смешиваются, можно разделить (9.22) на два не связанных набора уравнений, которые сводятся к (9*23) для нечетного соб™ ственного вектора (плюс ш2 = 0) и к (9.24)——для четного (см. задачу 9.3). Подставим в (9*23) и (9.24) значения шв = 2,6шд, что соответствует сверхрешетке GezSi?, и возь™ мем //тд = (520см~1)2, чтобы приблизительно воспроизвести фононную частоту для объемных материалов при k = Q. Из (9*23) находим g = 348 см^1, а из (9.24) g = 516 cM-1 и w = 266 cM-1* Наиболее высокочастотная мода очень близка к моде объемного Si (520см~1) при А? = 0, в то время как две более низкочастотные мо ды близки к моде объемного Ge (300см~1). Дисперсионные кривые, полученные для рассматриваемой сверхрешетки, построены на рис. 9.15 для произвольного к в пер™ вой зоне Бриллюэна (ЗБ) сверхрешетки (мини-ЗБ). Отметим, что вектор к на краю этой ЗБ равен половине значения, соответствующего точке X в Si (2?r/d, где d = =о,о). Поэтому у дисперсионных кривых, приведенных на рис. 9.15, число ветвей вдвое больше, чем у Si (см. рис. 3.1) или Ge. Чтобы отметить данный факт, говорят, что происходит сложение дисперсионных кривых (или ЗБ). Для случая шд = шв вместо рис. 9.15 мы бы получили дисперсионные кривые Г — X для объемных про™ дольных фононов, сложенные посередине линии Г — X* В сверхрешетках с шд 卢 шв
появляются расщепления сложенных зон при к, равном 0 и тг/d. Эти расщепления подобны расщеплениям, появляющимся в зонах свободных электронов (см. рис. 2.8) вследствие периодического потенциала: модуляция массы вдоль оси роста является эквивалентом периодического потенциала.
Из приведенного выше рассмотрения следует, что две самые низкие ветви на рис. 9.15 можно описать как дисперсионные кривые сложенных LA фононов двух объемных компонент, усредненных в соответствии с (9.21), со щелью при к = тг/d, обусловленной модуляцией массы. Две верхние ветви, которые можно было бы на™ звать сложенными оптическими фононами^ нельзя описать как усредненные оити= ческие зоны двух объемных компонент: верхняя ветвь почти плоская, и ее частота соответствует частоте объемного Si в точке F, а более низкая ветвь довольно близка к частоте объемного Ge в точке Г. Таким образом, похоже, что для оптических фо= нонов не происходит никакого усреднения. Подобный феномен обычно наблюдается для сверхрешеток, особенно для сверхрешеток с большой толщиной индивидуальных слоев. Это довольно наглядно иллюстрирует сделанное выше предположение о том, что оптические моды существуют в некотором интервале частот в одном из слоев, но не существуют в другом. Поэтому они называются модами с квантовым ограничением или квантованными модами. Такое квантование ясно видно на картине смещений, приведенной на рис. 9.14 для моды 516 см^1: атомы Ge почти не смещают™ ся. Квантование является менее полным для бесподобных мод, которые становятся более квантованными при увеличении толщины слоев Si, играющих роль барьеров. Детальные вычисления фононных спектров более сложной системы Ge—Si можно наЛ= ти в [9.36, 9*37].
Сложенные акустические моды: макроскопическое рассмотрение. Дисперсионные соотношения для сложенных акустических мод, включая расщепле™ ния в центре и на краю мини-ЗБ, легко вычислить в так называемом упругом иреде= ле, соответствующем области частот, в которой дисперсия составляющих объемных материалов может считаться линейной. Мы уже показали, что для волн, распростра™ няющихся вдоль оси роста (примем ее направление за направление [001], если это не будет оговорено особо), скорость длинноволновых сложенных мод дается выражени™ ем (9.21). Для расчета полных соотношений дисперсии, рассмотрим упругие волны в обеих средах, с одинаковой частотой ш, того типа, для которого смещения атомов описываются выражением (3.17), а тензор деформаций ——выражением (3.19). Ком™ поненты волнового вектора д, перпендикулярного оси роста (gx, д^), должны быть равны в обоих средах, как и в случае электронных волновых функций (см. п. 9.2.3). Компоненты же q вдоль % (д^) должны изменяться при переходе из одной среды в другую, чтобы разным скоростям звука соответствовало одно и то же значение ш. Сверхрешетка как целое обладает трансляционной симметрией вдоль направления % с векторами трансляций, имеющими длину nd (п = ±1, ±2, . . .). Поэтому можно вы™ разить смещение 8 R атомов в каждом слое в форме блоховской волны. Для любого периода, содержащего два слоя А и В, при п = 0
SRo(x.勿 ％)=SRo(x.勿 ％)=р^А exp ^(qxx + g2/1/)] exp [i(qzA^ 一 公力凡 {3RB exp [i(qxx + qyy)]exi)附 ％в% - wt)],р^А exp ^(qxx + g2/1/)] exp [i(qzA^ 一 公力凡 {3RB exp [i(qxx + qyy)]exi)附 ％в% - wt)],0 < 2； < fl^A,dA < z < dB.0 < 2； < fl^A,dA < z < dB.(9.25 a)(9.25 a)
SRo(x.勿 ％)=
SRo(x.勿 ％)=
р^А exp ^(qxx + g2/1/)] exp [i(qzA^ 一 公力凡 {3RB exp [i(qxx + qyy)]exi)附 ％в% - wt)],
р^А exp ^(qxx + g2/1/)] exp [i(qzA^ 一 公力凡 {3RB exp [i(qxx + qyy)]exi)附 ％в% - wt)],
0 < 2； < fl^A,
dA < z < dB.
0 < 2； < fl^A,
dA < z < dB.
(9.25 a)
(9.25 a)
и, соответственно, при конечном значении п:
8Rn(x, у, z) = JRg(x, y.z — nd)e^nkd\ nd < z < (n + l)d, (9.256)
где Ma,в — толщина составляющих слоев, d = Ma + dp,少а,в — соответствующие скорости звука, g^A = ®/少а и д?в = ®/少в- Теперь мы вкратце покажем, как найти дисперсионные соотношения G(g%〉д^, к) для сложенных акустических мод.
Пусть в средах А и В существует по две волны с одинаковой частотой g и волновьа ми векторами 士(g%, д^, д?А), 士(4上,Яу^ 4/В), соответственно. Неизвестными являют™ ся четыре амплитуды этих волн. Для произвольного направления распространения надо учесть все три возможных поляризации для акустических волн, т.е. всего имеет™ ся 12 неизвестных амплитудных коэффициентов, которые надо найти из граничных условий. На интерфейсе должны быть непрерывны смещения (что дает три уело вия), а также перпендикулярные к интерфейсу компоненты деформации, которые выражаются через градиенты смещений (три дополнительных условия). Необходимо применить эти граничные условия на интерфейсах АВ и ВА, что дает 12 линейных однородных уравнений для определения двенадцати амплитудных коэффициентов. Легко видеть, что граничные условия на всех других эквивалентных интерфейсах ав= томатически удовлетворяются вследствие выбора распространения блоховских волн вдоль %/ Получающееся в результате секулярное уравнение размерности 12 х 12 при™ водит к дисперсионным соотношениям для G(g%〉g^, «)•
Секулярное уравнение размерности 12 х 12 обычно является довольно сложным и в общем случае решается численными методами. В частности, в случаях высокой симметрии (например, при qx = qy = 0 или g^ = к = 0) в рассматриваемой здесь сверхрешетке [001] продольные и поперечные моды не смешиваются, и система из 12 уравнений распадается на три несвязанных системы по 4 уравнения. Это приводит к секулярным уравнениям размерности 4x4, которые при qx = qy = 0 можно предста™ вить в неявной форме [9.33, 9.34]:
W^AG^b1 / 0В&В , 0A少. g^a . gMrz ч
cos = coscos — I + 1 sinsin)(9®26)
少A 少В2 \оа&А QBVB J 少A 少В
где 0а，в — плотности масс в слоях А и В.
Обратите внимание на сходство между (9.26) и секулярным уравнением (9.18а), которое определяет энергетические зоны электронов в модели потенциала Кронига- Пенни в приближении эффективной массы. Такое сходство характерно для задач, связанных с распространением волн в слоистых средах. Эти уравнения позволяют нам выразить волновой вектор к вдоль направления распространения как функцию частоты ш.
Уравнение (9.26) можно переписать в слегка измененной форме:
1cos (kd) = cos
产 * 3dA " 3dB
—— smsm,(9.27)
2&A&B
где
с = 0“ — 0A "А/)
°(РВ^ВРА^а)】/?以•
Отсюда видно, что если акустические импедансы ^в^в и 0A少А равны, т.е. при е = =0, дисперсионное соотношение является просто соотношением для среды со средней скоростью звука, определяемой выражением (9.21).
Квантованные оптические моды: макроскопическое рассмотрение. Квантование оптических мод математически выражается наложением граничного условия, требующего, чтобы амплитуды колебаний обращались в нуль в неиосред= ственной близости от границ между слоями A-В и В-А. При этих условиях мы полу™ чаем А^иодобные и В^иодобные квантованные оптические моды, зависимость частот которых от дискретных эффективных векторов к можно найти из соответствующих дисперсионных соотношений для объемного случая:
k1m〉 1m —- 1)2〉3〉...lllllillllllll 办
Уравнение (9.29) можно использовать для LO и для ТО мод. Соответствующие сме= щения атомов меняют знак при переходе от одного атомного слоя к соседнему, как это требуется для оптических мод, с величинами, определяемыми огибающими функ= Ниями
I
Uуд) —■ COS kffi Z. 777, —- 1, 3, 5, . . . •
(»30)
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||!|!a^
где % указывает на положение атомной плоскости вдоль оси сверхрешетки, а знане= ние % = 0 находится в середине слоя.
Обычно уравнение (9.29) является хорошим приближением для эффективного волнового вектора. Однако в частном случае короткопериодных сверхрешеток (ко гда период состоит только из нескольких атомных слоев) следует задуматься, будет ли приближение, в котором на границе каждого слоя материала волновая функция в точности равна нулю, наилучшим. Один взгляд на рис. 9.16 показывает, что ра= зумнее считать огибающую функцию равной нулю на первых атомах «другого рода» (т.е. на атомах А для В-подобных колебаний и наоборот). МолинаоМата и Кардона провели детальное исследование этого вопроса для сверхрешеток GenSim [9.36]. Слу= чай GaAs проиллюстрирован на рис. 9.16. Колебательные амплитуды ведут себя в соответствии с выражением (9.30), но эффективные векторы кт нужно сделать слег™ ка меньше, чем в (9*29): амплитуды исчезают не на номинальной границе слоя AlAs, а около первого слоя Ga вне ее. Это нетрудно понять. Граница образована слоями As,
Рис. 9.16. Картина смещений для А1 As-подобных квантованных LO мод в сверхрешетке (GaAs)5/(A1As)5; кх = 0, кг Т сю. Треугольниками показана величина смещения для атомов As, а кружками — для атомов Ga и А1 [9.38]
которые должны все еще колебаться на частотах AlAs, в то время как Ga, имеющий гораздо большую массу, чем А1, не будет колебаться. Последний факт можно учесть, заменив толщину слоя Ма, в в (9*29) на Ма, в + ^о / 4, где о о — объемная постоянная ре™ шетки, которая соответствует четырем атомным слоям для материалов типа алмаза и цинковой обманки [9.39].
Электростатические эффекты в полярных кристаллах: интерфейсные моды. О существовании мод, локализованных вблизи поверхности полярного кристалла (поверхностные плазмоны, поверхностные оптические фононы), уиоми= налось в задаче 6.11. Здесь будут обсуждаться аналогичные явления, возникающие
около интерфейсов (гетеропереходов) между двумя полупроводниками, из которых по крайней мере один является полярным. Сначала рассмотрим случай одиночного плоского гетероперехода, потом двойного гетероперехода (т.е. КЯ) и, наконец, случай периодической МКЯ или сверхрешетки. Отметим, что в то время как для электронов может быть сделано четкое различие между МКЯ (с пренебрежимо малой дисиерси= ей волнового вектора вдоль направления роста) и СР, для фононов такое различие отсутствует: сложенные акустические фононные ветви всегда обладают дисперсией, даже в случае больших периодов, а у оптических ветвей дисперсия даже в случае малых периодов отсутствует. Поэтому при разделении периодических структур на МКЯ или сверхрешетки имеется в виду только поведение электронов.
При рассмотрении фононов в таких двумерных структурах мы будем пренебре™ гать так называемыми эффектами запаздывания (о влиянии эффекта запаздывания на поверхностные моды см. задачу 6.11 б). Это означает, что длины волн рассматри= ваемых возбуждений предполагаются малыми по сравнению с длинами волн фотонов той же частоты, и следовательно, можно пренебречь волновой природой электрине= ских полей, сопровождающих движение ионов. Считается, что эти поля имеют элек= тростатическое происхождение, т.е. подчиняются только уравнению Гаусса (6.106) и соответствующему уравнению Максвелла (6.112 в), в которых производная по вре™ мени положена равной нулю для того, чтобы можно было пренебречь эффектами, сопровождающими распространение электромагнитных волн:
V х £? = 0.(9.31)
В уравнении (9.31) подразумевается, что поле Е можно найти из скалярного потен™ риала 0(『), который вследствие (6.106) должен удовлетворять уравнению Лапласа:
▽206 = 0,(9.32)
а также обычным граничным условиям непрерывности для компонент электрического смещения О丄=еЕ丄)перпендикулярного к интерфейсу, и непрерывности параллель™ ных компонент поля Кц. Рассмотрим одиночный интерфейс между двумя полупро™ водниками А и В с изотропными диэлектрическими функциями ea(g) и Er(g):
Е||А = Е||В)(9.33 а)
еаЕ 丄 а = erE 丄 в.(9.33 б)
Временно пренебрегая механическими граничными условиями, накладываемыми на амплитуду колебаний 〃 и соответствующее напряжение (оправдание этому будет да™ но позднее), найдем решение (9.32) в обеих средах и применим электростатические граничные условия (9.33), учитывая, что Е = ^Vф. Мы предполагаем, что интерфей™ сом является плоскость ^ = 0, а ^ < 0 соответствует среде А. Рассмотрим решения (9.32) следующего вида:
0А 二斗宀“+… при ^ ^ 0,(9.34 а)
0в = Ве^е-з при %》0,(9.34 6)
где ось ж выбрана вдоль направления вектора q, лежащего в плоскости, a g^ = д^〉как следует из (9.32). Отметим, что (9.34) отражает наличие трансляционной симметрии (т.е. тот факт, что ф должны быть функциями Блоха) вдоль е и g и отсутствие ее вдоль %• Потенциалы 0A и 0в сконцентрированы вблизи интерфейса, поскольку они экспоненциально затухают по мере удаления от % = 0. Моды, которые описываются такими функциями, называются интерфейсными модами.
Применение граничного условия (9.33а) к (9.34) приводит к равенству Л = В, в то время как (9.33 б) приводит к «секулярному уравнению» для частот интерфейсных
Рис. 9.17. Схема, иллюстрирующая получение решения для интерфейсного фонона cjif из (9.35) в случае интерфейса между полярным полупроводником А и неполярным В путем построения зависимости &「а и — qb от шРис. 9.17. Схема, иллюстрирующая получение решения для интерфейсного фонона cjif из (9.35) в случае интерфейса между полярным полупроводником А и неполярным В путем построения зависимости &「а и — qb от шмод gif：
Рис. 9.17. Схема, иллюстрирующая получение решения для интерфейсного фонона cjif из (9.35) в случае интерфейса между полярным полупроводником А и неполярным В путем построения зависимости &「а и — qb от ш
Рис. 9.17. Схема, иллюстрирующая получение решения для интерфейсного фонона cjif из (9.35) в случае интерфейса между полярным полупроводником А и неполярным В путем построения зависимости &「а и — qb от ш
Ц£a3if) = —£b3f)"(9.35)
Оно имеет решения только в том случае, когда существуют частоты, для которых две диэлектрические функции бд и бв имеют противоположные знаки.
Как говорилось в п. 6.5.1, е может быть отрицательной в сильно легированных полупроводниках в диапазоне 0 < ш < шр. В этом случае (9.35) описывает интерфейсные плазмоны. Обсуждение плазмонов в КЯ и МКЯ приведено в [9.31]. Диэлек™ трическая постоянная становится отрицательной также в полярных полупроводниках в диапазоне ®то < g < ®lo (см. (6.110)). Тогда (9.35) может иметь решения, если g находится в этом диапазоне (еа < 0) для материала А, в то время как er〉0 для ма= териала В. Следовательно, в случае интерфейса между полярным полупроводником (например, GaAs) и неполярным (например, Ge или Si) должна существовать одна интерфейсная мода в области частот 必丁。< wpi < ®lo (рис. 9.17), тогда как в случае интерфейса между двумя полярными полупроводниками, к примеру, GaAs и AlAs, должно быть две интерфейсных моды, одна GaAs-подобная, а другая А1 As-подобная.
Рассмотрим теперь случай КЯ из материала В с барьером из материала А (рис. 9.18). Вследствие симметрии отражения в плоскости, обозначенной на рис. 9.18 буквой А, решение (9.32) должно быть четным или нечетным по отношению к отражению в этой плоскости. Четности также указаны на рисунке. Благодаря такому выбору 0(『) граничные условия достаточно применить на одном из интерфейсов. Условия на другом удовлетворяются автоматически. Итак, для интерфейса АВ в левой части рис. 9.18 находим
4 = B\l±e^dlЛбАМ = ^ВбвИ[1±е^^].
ЕаЗ) = -ЕвЗ)ЕаЗ) = -ЕвЗ)Jth (д"/2),Jth (д"/2),(936)(9*37 а)(936)(9*37 а)Соответствующее секулярное уравнение приводит к двум ветвям:
ЕаЗ) = -ЕвЗ)
ЕаЗ) = -ЕвЗ)
Jth (д"/2),
Jth (д"/2),
(936)
(9*37 а)
(936)
(9*37 а)
Рис. 9.18. Схематическое изображение одиночной квантовой ямы В с барьерами из материала А. Показаны волновые функции (сплошные кривые), соответствующие четному (знак +) и нечетному (знак —) потенциалу интерфейсных модРис. 9.18. Схематическое изображение одиночной квантовой ямы В с барьерами из материала А. Показаны волновые функции (сплошные кривые), соответствующие четному (знак +) и нечетному (знак —) потенциалу интерфейсных мод
Рис. 9.18. Схематическое изображение одиночной квантовой ямы В с барьерами из материала А. Показаны волновые функции (сплошные кривые), соответствующие четному (знак +) и нечетному (знак —) потенциалу интерфейсных мод
Рис. 9.18. Схематическое изображение одиночной квантовой ямы В с барьерами из материала А. Показаны волновые функции (сплошные кривые), соответствующие четному (знак +) и нечетному (знак —) потенциалу интерфейсных мод
Эти моды были предсказаны Фуксом и Кливером [9.40]. Отметим, что для g方 f ос (9.37) сводится к (9.35) (в этом случае два интерфейса не взаимодействуют друг с дру= гом вследствие сильной локализации 0(%) вблизи поверхности). При g方 f 0 решени™ ями (9.37) являются g = што,в и w = wlo,в- На рис. 9.19 построены дисперсионные кривые, подобные тем, которые следуют из (9.37), но для двух различных барьеров: воздуха и AlAs, окружающих квантовую яму GaAs. Там же даны эксперименталь™ ные результаты, полученные с помощью рамановской спектроскопии Накаямой и др. [9.41]. Обсуждение соответствующей 0(①,之)приведено в задаче 9.6.
Рассмотрим теперь «электростатические» моды периодической МКЯ (или сверх™ решетки), состоящей из слоев материала А с толщиной Ма и материала В с толщи™ ной dp. Как и при трактовке сложенных акустических фононов (см. (9.25)) наложим на потенциал 0(①,％) бл oxo в с кое условие (см. рис. 9.18 для одного слоя В и двух соседних с ним слоев А). Действуя подобным образом, мы имеем дело всего с дву™ мя граничными условиями (для Кц и О丄)на каждом из интерфейсов АВ и ВА. Их достаточно для определения двух коэффициентов для волн вида ехр (士g方 ％) в мате™ риале А и двух ——для материала В. Получается типичное секулярное уравнение (см. (3.41) из [9.31] с приведенными там ссылками):
I cos(kd) = ch(qxdA)ch(qxdB) + D(w) sh (джйд) sh (qxdB) (9.38)
O(g)=；O(g)=；/ EA(G)+ EB(G)\
O(g)=；
O(g)=；
Vb(^) ea(g)丿 *
Уравнение (9.38) позволяет вычислить зависимость величины блоховского волновсь го вектора к в сверхрешетке (вдоль направления роста) от g и qx. Напомним, что
®, град.®, град.О 102030405060 70О 102030405060 70:400и380:400и380360360024680246810121012Частота, смЧастота, смРис. 9.19. А1 As-подобные интерфейсные моды в системе воздух/GaAs (60 нм)/Al As (500 нм) с двумя гетероинтерфейсами. Точки ——экспериментальные результаты рамановских измерений, в которых свет лазера падал под углом О к нормали, а рассеянный собирался в направлении нормали. Сплошные линии получены с помощью выражения типа (9.37), но с учетом асимметрии гетероструктуры [9.41]Рис. 9.19. А1 As-подобные интерфейсные моды в системе воздух/GaAs (60 нм)/Al As (500 нм) с двумя гетероинтерфейсами. Точки ——экспериментальные результаты рамановских измерений, в которых свет лазера падал под углом О к нормали, а рассеянный собирался в направлении нормали. Сплошные линии получены с помощью выражения типа (9.37), но с учетом асимметрии гетероструктуры [9.41]
®, град.
®, град.
О 102030405060 70
О 102030405060 70
:400
и
380
:400
и
380
360
360
02468
02468
1012
1012
Частота, см
Частота, см
Рис. 9.19. А1 As-подобные интерфейсные моды в системе воздух/GaAs (60 нм)/Al As (500 нм) с двумя гетероинтерфейсами. Точки ——экспериментальные результаты рамановских измерений, в которых свет лазера падал под углом О к нормали, а рассеянный собирался в направлении нормали. Сплошные линии получены с помощью выражения типа (9.37), но с учетом асимметрии гетероструктуры [9.41]
Рис. 9.19. А1 As-подобные интерфейсные моды в системе воздух/GaAs (60 нм)/Al As (500 нм) с двумя гетероинтерфейсами. Точки ——экспериментальные результаты рамановских измерений, в которых свет лазера падал под углом О к нормали, а рассеянный собирался в направлении нормали. Сплошные линии получены с помощью выражения типа (9.37), но с учетом асимметрии гетероструктуры [9.41]
уравнение (9.38) появилось в результате применения электростатических граничных условий и не гарантирует выполнения механических граничных условий. Ниже мы вернемся к этому вопросу. Нам следует также обратить внимание на близкое сход™ ство между (9.38), (9*26) и (9.18 а). Они имеют каноническую форму, общую для всех задач, связанных с распространением волн в слоистой среде.
Полезно рассмотреть несколько предельных случаев (9.38), и прежде всего, случай распространения в плоскости при к = 0, но д% 卢 0. Легко видеть, что (9.38) сводится к двум ветвям:
ea(g) £вЗ)ea(g) £вЗ)th (g%dA/2)ch (g%dB/2),(*39@)
ea(g) £вЗ)
ea(g) £вЗ)
th (g%dB/2)ch(4上厶/2) .(9.396)
Получение этих уравнений и их обсуждение приведено в задаче 9.7.
Далее рассмотрим случай, когда величина суммарного волнового вектора (д^ + к?)】/? стремится к нулю. Пусть 0 ——угол между этим волновым вектором и осью сверхрешетки: tg 0 = qx/к. Тогда секулярное уравнение (9.38) сводится к виду
〈e(g)〉/t(g)〉= -tg20,(9.40)
где (. . .) обозначают среднее значение функций на одном периоде МКЯ, отнорми= рованное на толщину Ма и dp соответственно. Подставив £а(®) и £r(g) из (6.110) в (9.40), найдем квадратное уравнение относительно ш2(0), из которого получаются две ветви дисперсионного соотношения. Его решения схематически представлены на рис. 9.20 для трех случаев: dp > €/д, ^в = ^А и ^в < ^а- Из этого рисунка следует, что даже при (дж, k) f 0 частота имеет дисперсию, являясь функцией угла 0. По следнее связано с сингулярной природой кулоновского взаимодействия, с чем мы уже встречались в главе 3.
Рис. 9.20. Схематические диаграммы угловой дисперсии «интерфейсных» электростатических мод в сверхрешетках, полученные с помощью (9.40) для a) d^ > Ма, 6) dg = Ма и в) dg < 4а； ®£о и с^то ——моды, распространяющиеся в плоскости структурыРис. 9.20. Схематические диаграммы угловой дисперсии «интерфейсных» электростатических мод в сверхрешетках, полученные с помощью (9.40) для a) d^ > Ма, 6) dg = Ма и в) dg < 4а； ®£о и с^то ——моды, распространяющиеся в плоскости структуры
Рис. 9.20. Схематические диаграммы угловой дисперсии «интерфейсных» электростатических мод в сверхрешетках, полученные с помощью (9.40) для a) d^ > Ма, 6) dg = Ма и в) dg < 4а； ®£о и с^то ——моды, распространяющиеся в плоскости структуры
Рис. 9.20. Схематические диаграммы угловой дисперсии «интерфейсных» электростатических мод в сверхрешетках, полученные с помощью (9.40) для a) d^ > Ма, 6) dg = Ма и в) dg < 4а； ®£о и с^то ——моды, распространяющиеся в плоскости структуры
Рассмотрим теперь случай распространения в плоскости (т.е. когда 0 = тг/2). При этом (9.40) распадается на два уравнения [9*42]:
佰(з)〉=&АеА(з)^^^=о,
〈£(3)T〉= ^(^ + ff)=0・(9・416)
Для Ma = dp оба уравнения (9.41 а, б) сводятся к (9.35), и две резонансных частоты в случае стремящегося к нулю волнового вектора при 0 = тг/2 становятся равны™ ми частотам интерфейсных фононов в случае одного интерфейса, как показано на рис. 9.20. При Ма 卢 dp вырожденные частоты расщепляются.
Интересно отметить, что уравнения (9.41 а, б), справедливые при 0 = тг/2, можно непосредственно получить, применив граничные условия для Кц и D± при «% f 0 (т.е. бесконечной длине волны вдоль ж). В этом случае с помощью ф(х, %), приведенного на рис. 9.18 для слоя В, можно увидеть, что Ех однородно для четных решений, a Ez —— для нечетных. Для первого случая из граничного условия для Кц:
после усреднения по А и В (по периоду) находим
〈必〉=值3))后卜(9.42 h)
任丄〉=任丄〉=Поэтому МКЯ можно рассматривать как кристалл, имеющий эффективную диэлек™ трическую функцию (е(ш)). «Продольные» моды эффективной среды имеют частоту, определенную выражением (9.41 а). В «нечетном» случае Е± однородна, а непрерыв™ ность D± приводит к уравнению
任丄〉=
任丄〉=
(9.42 б)
Соответствующую частоту действительно можно найти из (9.41 б). На основании всего изложенного можно рассматривать МКЯ как кристалл, в котором объемная симмет™ рия составляющих его сред понижена вседствие слоистости структуры: для системы
а
ббРис. 9.21. Схема, иллюстрирующая влияние электростатических эффектов на фононы, распространяющиеся а) вдоль и 6) перпендикулярно оси МКЯ для A-подобных модРис. 9.21. Схема, иллюстрирующая влияние электростатических эффектов на фононы, распространяющиеся а) вдоль и 6) перпендикулярно оси МКЯ для A-подобных модGaAs/AlAs, выращенной вдоль (001), кубическая точечная группа 7d понижается до тетрагональной группы。2办 Таким образом, можно ожидать, что поперечный эффек= тивный заряд в* из выражения (6.119) будет анизотропным с разными значениями вдоль направлений [001] и [100]. Об этом свидетельствует разная величина LO—ТО расщепления (см. (6.108), где Q2 = е*2/4тгбо ^оо), которое для 0 = тг/2 всегда мень= ше, чем для 0 = 0. Рисунок 9.21 дает простое качественное объяснение данному факту. На рис. 9.21 а эффект деполяризующего поля, приводящий к LO—ТО рао щеплению, равному расщеплению в объеме, иллюстрируется для расспространения вдоль %* На рис. 9.21 б изображен случай распространения LO мод вдоль х. Мы ви™ дим, что деполяризующие поля генерируются в слое А для А-подобных мод, но не генерируются в слое В. Вследствие этого деполяризующее поле и сопутствуещее ему LO—ТО расщепление становятся меньше, чем в объеме в соответствии с угловой дио Персией, приведенной на рис. 9.20.
б
б
Рис. 9.21. Схема, иллюстрирующая влияние электростатических эффектов на фононы, распространяющиеся а) вдоль и 6) перпендикулярно оси МКЯ для A-подобных мод
Рис. 9.21. Схема, иллюстрирующая влияние электростатических эффектов на фононы, распространяющиеся а) вдоль и 6) перпендикулярно оси МКЯ для A-подобных мод
Приведенная выше картина угловой дисперсии LO—ТО расщеплений, подобная той, которая наблюдается в обычных не кубических полярных кристаллах, позволяет сделать еще несколько очевидных выводов. «Интерфейсные» эффекты должны иметь место только для мод, активных в инфракрасной области. В обозначениях (9.30) эти моды соответствуют нечетным значениям ш: для четных мод смещения, а следова™ тельно, и индуцированные дипольные моменты (т.е. средние эффективные заряды), в результате усреднения по одному слою становятся равными нулю. Самые большие эффективные заряды (примерно равные объемным) получаются для т = 1. Для нечетных т》3 эффективный заряд уменьшается в 1 /т раз, а соответствующее LO—ТО расщепление ——в 1 /ш2 раз. Поэтому ожидается, что для т 》3 эффекты, связанные с «интерфейсными модами», будут очень, часто пренебрежимо, малы.
Вернемся, наконец, к вопросу о том, как можно обосновать пренебрежение механи™ ческими граничными условиями, и о возможных последствиях этого пренебрежения. Для 0 = 7г/2ид 方 f 0 четная мода на рис. 9.18 приводит к постоянным знамени™ ям 0(%) и их внутри слоя В (LO-подобная мода). Для нечетной моды постоянно uz (ТО-подобная мода). Поскольку для В-подобных мод атомное смещение и в слое А должно быть равно нулю, мы сталкиваемся с вопиющим нарушением непрерывности и при пересечении интерфейсов. В действительности, микроскопические расчеты (а
Рис. 9.22. а) Огибающая функция для квантованной TOi моды (т.е. 0 = 0) сверхрешетки (GaAs)9(AlAs)10 с осью роста вдоль направления [111]. б) Эквивалентные моды для О = тг/2 с плоской вершиной, характерной для интерфейс™ ных мод. (Несмотря на название, эти моды не локализованы около интерфейсов вследствие бесконечной малости q翼.Однако они ближе прижаты к интерфейсам, чем квантованные моды.) в, а) Огибающие функции при 0 = тг/2 для LO-подобных ИФ мод и мод с m = 3. Видно, что их можно разложить на смесь моды типа (б) с плоской вершиной и квантованной моды с m = 3 [9.44]
также макроскопические расчеты по методу Траллеро—Джинера и др. [9.43]) показывают, что внутри слоя и почти постоянно для интерфейсных мод с m = 1, а вблизи интерфейса стремится к нулю (рис. 9.22 5). Физическую природу такого изменения можно объяснить следующим образом. Рассмотрим дисперсионные соотношения для объемного ТО фонона и разложим их вблизи q = 0 до членов порядка q2:
®то = ®то,о -。@ + q^ + ^)- (9.43)
Для мнимого qz = ^i\qz\ для огибающих функций фононов, которые экспоненциально затухают около интерфейсов (на расстоянии двух монослоев), значения што равны gif. Их амплитуды можно выбрать так, чтобы сделать почти плоские огибающие функции gif равными нулю, удовлетворив тем самым одному из механических граничных условий.
Рассмотрение граничных условий для напряжений и соответствующих аналитических огибающих функций содержится в [9.45]. Очевидно, что дисперсионные соотношения для интерфейсных мод, полученные из (9.38), несколько изменятся при наложении механических граничных условий и включении экспоненциально затухающих ТО мод (а также осциллирующих LO мод с большими qz, которые тоже могут иметь частоту gif). Из приведенного выше обсуждения легко понять качественную природу этих изменений (для иллюстрации см. рис. 9.23). При непрерывном изменении О от 0 до 7г/2 длинноволновые моды с m = 1 из (9.30) становятся главными
Рис. 9.23. Сплошные линии ——ИФ моды, полученные с помощью (9.38), т.е. в пренебрежении механическими граничными условия™ ми, для МКЯ (GaAs) 12(AlAs) 12- Штриховые получены с учетом механических граничных уело™ вий. Экспериментальные точки найдены с помощью рамановской спектроскопии. Наблюдается весьма хорошее согласие теории с экспериментом [9.46]
интерфейсными модами, а огибающая функция вместо синусоидальной формы, при™ веденной на рис. 9.16, приобретает форму с плоским верхом, характерную для ИФ мод (см. рис. 9.22 б). Такая эволюция связана с дальнодействующими электростатически™ ми полями. Поэтому ИФ моды будут вследствие граничных условий смешиваться со всеми ИК-активными квантованными модами с m = 3, 5, 7, . . . В результате смешивания в дисперсионных зависимостях будут возникать антипересечения, очень хорошо заметные на рис. 9.23 (LOi^LOg, LO3—LO5, ТО】—LO7).
0.4. Рамановские спектры фононов в полупроводниковых сверхрешетках
Рамановская спектроскопия оказалась наиболее информативным методом для ио следования колебательных возбуждений в сверхрешетках. Объем образцов такого типа обычно слишком мал для измерения рассеяния нейтронов. Несколькими ио следователями использовалась инфракрасная спектроскопия, однако ее применение серьезно осложняется вследствие того, что в области остаточных лучей отражение близко к единице, и трудно заметить в спектре слабую структуру (например, соот™ ветствующую модам с m = 3, 5, 7, . . .). Как это следует из (9.42) (см. также (9.41)), в первом приближении спектры отражения оказываются похожими на спектры одно™ осных кристаллов с усредненными диэлектрическими постоянными [9.47, 9.48]
(9.44)
Дифференциальная спектроскопия отражения (см. (6.61)) помогла разрешить ела™ бую структуру в ИК спектрах, связанную с квантованными модами с m = 3, 5,... [9.49]. Однако вследствие сравнительно малой информации, полученной с помощью ИК измерений, по сравнению с огромной информацией, найденной из рамановских спектров, мы больше не будем обсуждать ИК результаты. Заметим только, что ИК измерения могут быть полезны в тех случаях, когда ТО фононы запрещены по соображениям симметрии, например, при рассеянии назад от сверхрешеток с осью роста вдоль [001].
Рамановское рассеяние на сложенных акустических фононах. В параграфах 9.1 и 9.2 уже упоминалось, что акустические фононы в МКЯ и сверхрешетках получаются из акустических фононов в объемных материалах в результате следующих операций:
-усреднение акустических дисперсионных соотношений для каждого q;
—сложение их столько раз, сколько потребуется в пределах мини-ЗБ;
-открытие щелей, возникающих в центре и на границах зоны из-за рассогласования акустических импедансов.
В случае GezSi? (см. рис. 9.15) появляется только одна щель на границе ЗБ. Отметим, что в общем случае эта граница соответствует продольному k-вектору с величиной 7г/〃, в то время как в объемном кристалле для направления [001] соответствующий вектор имеет величину 27r/а。, вдвое большую, чем на рис. 9.15.
Как подразумевается в (7.36), в объемном случае обычно предполагается, что волновой вектор фононов, активных в рамановском рассеянии, очень мал, т.е. только фононы, относящиеся к центру зоны, могут быть рамановски активными. Было дано обычное объяснение этому утверждению в пределах дипольного приближения: длина волны света много больше, чем характеристические длины в материале (т.е. радиус экситона и/или постоянная решетки). Ограничение q ^ 0 остается справедливым для короткопериодных сверхрешеток, но должно быть изменено при достаточно большой величине d. Определим приведенную величину волнового вектора рассеяния ? для рассеяния назад как
~ 4жп/Хъ 4nd
Для типичных значений показателя преломления п а 3, 5 и длины волны лазера Al = =500 нм, g = 1 для 〃 = 36 нм, что соответствует 130 монослоям GaAs. В этом случае рассеяние происходит на фононах, относящихся к границе мини-ЗБ. Таким образом, меняя d или Al, можно охватить весь диапазон изменений приведенного волнового вектора и даже достичь границы мини-ЗБ. Это проиллюстрировано на рис. 9.24 для [001]-сверхрешетки со сложным периодом (AlAs)9g[(GaAs)i7(AlAs)4]5 при измерениях в диапазоне 730 < 尤 < 830 нм. Столь сложный период был выбран для увеличения расщеплений на краю мини-ЗБ. На рисунке представлены самая нижняя и первая сложенная фононные ветви LA (FLA) и ясно продемонстрировано наличие щели на краю мини-ЗБ [9.50]. Обратите внимание на прекрасное согласие между экспериментальными точками и теоретической кривой, в которой подгоночным параметром было только значение упругой постоянной Сц для AlAs. (Оно не было достаточно хорошо известно в период проведения работы. Таким образом, из этих спектров можно определять упругие постоянные).
Далее мы обсудим механизмы, влияющие на эффективность рассеяния на сложенных акустических фононах. В принципе, рамановский тензор дается выражением, аналогичным (7.36), где вместо производных по фононным амплитудам Q следует подставить производные по деформации 它?了. Заметьте, что для длинноволновых акустических фононов 七叮 ос iq^Qj. Производная х 口。Qj линейна относительно 仇 вследствие трансляционной инвариантности; поэтому производные % по 它?了 не зависят от q в пределе теории упругости.
0,81111
0,850,90〜0,951,00
9 = 4nd/XL
Рис. 9.24. Дисперсионные кривые (в приведенных единицах) сверхрешетки с периодом AlAs9g[(GaAs)i7™ (A1As)4].5? полученные с помощью рамановской спектроскопии. Пунктир —— дисперсия, расчитанная с помощью уравнения Рытова (9.26). Сплошные линии ——дисперсия, полученная со средней скоростью звука (поэтому расщепление на ней отсутствует) [9.50]
Производные х по деформации являются компонентами тензора четвертого ранга и называются упру го-оптическими коэффициентами. Как и в случае 6 £^i (см- 3al дачу 6.14), в кубическом кристалле существуют три независимых упруго-оптических коэффициента. Мы, однако, должны подчеркнуть, что «рамановский тензор» вида (7.36) для сложенных акустических фононов не является просто производной по однородной деформации, а включает интеграл по периоду d, поскольку деформация не однородна в пределах периода. Это хорошо иллюстрируется для сложенной аку™ стической моды 266см~1 на рис. 9.14: деформация между плоскостями Ge и Si почти равна нулю, в то время как между Ge и Ge и между Si и Si она имеет противопо™ ложные знаки. Соответствующий рамановский тензор Лрд получают поэтому путем усреднения фотоупругого отклика по периоду сверхрешетки. В кратких обозначение ях Rfa записывается в виде [9.51, 9.52]
d
>fa ос ^^ • e(z)dz.(9.46)
о
Рассмотрим сложенные акустические фононы вблизи щели при q = 0. Соответствующие деформации являются или четными, или нечетными относительно плоско™ сти, делящей пополам один из слоев. Последнее справедливо и для g = 1, но в этом случае фононы являются нечетными (четными) по отношению к плоскости, делящей пополам слой А, или четными (нечетными) по отношению к плоскости, делящей пополам слой В (см. задачи 9.4 и 9.8). Для нечетных фононов (9.46) обращается в нуль, в то время как для четных фононов рамановский тензор не равен нулю. Поэтому в случае фононов с g = 0 только одна из двух компонент сложенного дублета должна появляться в рамановском спектре. Легко видеть, что для ? # 0 появляются обе ком™ поненты (задача 9.8).
В заключение отметим, что Лрд в (9.46) может быть отличным от нуля из-за различия в упруго-оптических коэффициентах для двух составных частей СР или из-за отступления е(г) от простого поведения, свойственного плоской волне в однородной среде. Последний эффект может быть значительным только при больших различиях в плотности q или в упругих постоянных. Это случается редко, если материалы, образующие слои, хорошо растут друг на друге при эпитаксиальном росте (самые большие
различия в 0 могут возникать в системах Ge—Si). Однако из-за наличия межзонных
резонансов в одном материале и отсутствия таковых в другом, упруго-оптические ко™
эффициенты могут отличаться по величине на несколько порядков. Поэтому обычно именно они определяют величину Rfa (который в общем случае имеет комплекс™ ные компоненты!). Таким образом, из наблюдаемых эффективностей в рамановских спектрах можно находить упруго-оптические коэффициенты [9.53, 9.54]. Различия в диэлектрических функциях двух сред также могут вносить вклад в рассеяние на ело™ женных акустических модах [9.52]. Однако ожидается, что этот эффект будет мал.
Рассмотрим теперь резонансные эффекты при
15 2025 3035 4015 2025 3035 40•口①・юхлюониион ①HHg•口①・юхлюониион ①HHgрассеянии на сложенных акустических модах. На рис. 9.25 представлены спектры рассеяния для МКЯ (GaAs) 16(AlAs)is. Около каждой кривой указана энергия АНш = /i(WL^Wei,hi)? которая яв™ ляется разностью (расстройкой) между частотой лазера и частотой перехода между первыми раз™ мерными подзонами тяжелой дырки и электрона 伍51,hi = 1, 7эВ при 10 К). К нашему удивлению, мы не видим резонансного усиления сложенного LA-дублета. Вместо этого наблюдается появление широкого резонансного фона. Это явление было объяснено неоднородным уширением частоты 51, hi вследствие случайных флюктуаций толщины слоев [9.55].
15 2025 3035 40
15 2025 3035 40
•口①・юхлюониион ①HHg
•口①・юхлюониион ①HHg
Здесь уместно сделать отступление и ввести понятия однородного и неоднородного уширения энергии (или частоты). Под однородным мы понимаем уширение, появляющееся в виде мнимой энергии (или частоты) в знаменателе лоренцев- ского резонанса, как 7 в (6.117), Гя в (7.54) или Га в (7.60). Это — результат конечного времени жизни 丁 = 7-1 соответствующего возбуждения, которое обычно приписывается распаду на другие возбуждения. Напротив, неоднородное уширение является результатом наличия совокупности осцилляторов, как в (6.117), но с распределением по частотам вокруг центральной частоты 理.В простейшем случае случайного распределения имеет место закон Гаусса:
Рамановский сдвиг, см-1
Рис. 9.25. Влияние резонанса
р(ш) ос ехрр(ш) ос ехр(9.47)(9.47)с самым нижним переходом lh -4- 1е в ямах GaAs в МКЯ (GaAs) 16(AlAs) 16 на LA фононы. Широкий светлый фон обусловлен рассеянием на LA фононах без сохранения волнового вектора (вследствие неоднородного уширения). Резкие пики серого цвета соответствуют сложенным дублетам. Измерения проводились в магнитном поле с целью усиления резонансного эффекта [9.55]с самым нижним переходом lh -4- 1е в ямах GaAs в МКЯ (GaAs) 16(AlAs) 16 на LA фононы. Широкий светлый фон обусловлен рассеянием на LA фононах без сохранения волнового вектора (вследствие неоднородного уширения). Резкие пики серого цвета соответствуют сложенным дублетам. Измерения проводились в магнитном поле с целью усиления резонансного эффекта [9.55]где р(ш) — число осцилляторов с частотой между cj и w+dejg, a g означает неоднородную ширину. Осцилляторы с вероятностью распределения р (ш) могут также испытывать влияние однородной ширины 7, которая часто бывает меньше, чем g. В МКЯ ожидается наличие значительного неоднородного уширения частот их электронных переходов (подобных wei,hi) вследствие случайных флюктуаций толщины слоев вдоль направления роста или в пределах плоскости индивидуальных слоев. Внимательный анализ двух интерфейсов на
р(ш) ос ехр
р(ш) ос ехр
(9.47)
(9.47)
с самым нижним переходом lh -4- 1е в ямах GaAs в МКЯ (GaAs) 16(AlAs) 16 на LA фононы. Широкий светлый фон обусловлен рассеянием на LA фононах без сохранения волнового вектора (вследствие неоднородного уширения). Резкие пики серого цвета соответствуют сложенным дублетам. Измерения проводились в магнитном поле с целью усиления резонансного эффекта [9.55]
с самым нижним переходом lh -4- 1е в ямах GaAs в МКЯ (GaAs) 16(AlAs) 16 на LA фононы. Широкий светлый фон обусловлен рассеянием на LA фононах без сохранения волнового вектора (вследствие неоднородного уширения). Резкие пики серого цвета соответствуют сложенным дублетам. Измерения проводились в магнитном поле с целью усиления резонансного эффекта [9.55]
(9.49)(9.49)Рис. 9.26. Зависимость отношения интенсивности фона /в к интенсивности LA дублетов из рис. 9.24 от величины расстройки с резонансом на lh Т 1е переходе. Кривая является подгонкой к экспериментальным точкам [9.55]Рис. 9.26. Зависимость отношения интенсивности фона /в к интенсивности LA дублетов из рис. 9.24 от величины расстройки с резонансом на lh Т 1е переходе. Кривая является подгонкой к экспериментальным точкам [9.55]
(9.49)
(9.49)
Рис. 9.26. Зависимость отношения интенсивности фона /в к интенсивности LA дублетов из рис. 9.24 от величины расстройки с резонансом на lh Т 1е переходе. Кривая является подгонкой к экспериментальным точкам [9.55]
Рис. 9.26. Зависимость отношения интенсивности фона /в к интенсивности LA дублетов из рис. 9.24 от величины расстройки с резонансом на lh Т 1е переходе. Кривая является подгонкой к экспериментальным точкам [9.55]
рис. 9.1 показывает, что хотя они и являются очень плоскими, можно найти атомы обоих сортов (А1 и Ga) по обе стороны данного интерфейса. Разумно поэтому предпо™ ложить, что существует флуктуация толщины слоя порядка одного монослоя GaAs, т.е.(1о/2 или 6 = ±(1о/4- С помощью уравнения (9.3) можно оценить соответствующее неоднородное уширение g (в предположении бесконечного потенциального барьера):
(9.48)(9.48)g * 2^△它.
(9.48)
(9.48)
Для、Е 1 180 мэВ, d = 44 А и 6 = ±1, 4 А из (9.48) находим g * 10 мэВ.
Вернемся к рис. 9.25. Как мы увидим позднее, однородная ширина 7 для перехода lh f 1е составляет х 0, 8 мэВ, что много меньше неоднородной ширины g. При этих условиях и для частоты лазера в диапазоне
hl — g < ®L < 51, hl + g
(7.50 а) будет в резонансе с частью ям GaAs, имеющих случайное распределе™ н и е по толщине. В первом приближении только эти случайные слои следует включать в сумму в (7.50а). Благодаря «случайно
му характеру» членов в сумме трансляционная инвариантность эффективно отсутствует, и нет никакой причины для сохранения волнового вектора q в процессе рассеяния. Поэтому в рассеянии могут участвовать акустические фононы с произвольным значением q, что и ведет к появлению широкого континуума рассеяния, показанного на рис. 9.25. Вне диапазона (9.49) флуктуации ширины запрещенной зоны g не играют существенной роли и сохранение волнового вектора q восстанавливается.
На рис. 9.26 приведено обратное отношение интенсивностей дискретного сложенного фонона /р и фона /в при одинаковой величине рамановского сдвига. Сплошной кривой представлена подгонка под экспериментальные точки, сделанная Руфом и др. [9.55]. Можно показать (задача 9.9б), что ширина этой подгоночной кривой («12 мэВ) равна приблизительно 4g, т.е. g * 3 мэВ. Из детальной подгонки Руф и др. [9.55] нашли g = 2,5 мэВ. Разделив g на максимальное значение /в//р — 3,3, можно получить однородную ширину перехода 7 = 0,76 мэВ.
Рамановское рассеяние на квантованных оптических фононах. Для рассмотрения рамановского рассеяния на квантованных оптических модах на рис. 9.27 представлена картина смещений и электростатических потенциалов LO мод в полярной [001]-сверхрешетке для т = 1, 2, 3, 4 и 衣上，^ = 0. Отметим, что ф и uz сдвинуты по фазе. Обратите также внимание на то, что иz на интерфейсе равно нулю в соответствии с механическими граничными условиями.
Как уже было показано (см. (7.5а)), рамановское рассеяние на фононах происходит посредством электрон-фононного взаимодействия. Возможны взаимодействия двух типов. Одно, связанное со смещениями атомов, не требует, чтобы материал был полярным. В случае МКЯ оно следует из аналогичного эффекта в соответствующем объемном материале. Для систем типа Ge/Si или GaAs/AlAs это взаимодействие
29 М. Кардона
Рис. 9.27. Схематическая зависимость смещения uz и электростатического потенциала ф от z для для квантованных мод LOm (m = от 1 до 4) с /гж? ^ = 0 в полярной сверхрешетке с осью роста вдоль [001]
определяется тензором вида (7.39), и для рассеяния назад от плоскости [001] разрешается только рассеяние на LO фононах. Если поляризации лазера и рассеянного света 6l и es параллельны осям кристалла (или ж, или ^), LO рассеяние происходит при скрещенных поляризациях возбуждающего и рассеянного света. При вычислении матричного элемента деформационного потенциала электрон-фононного взаимодействия для четных m осцилляции uz в точности взаимоуничтожаются, и рассеяние остается запрещенным. Однако для m = 1 взаимного уничтожения не происходит, а для m = 3, 5, . . . оно происходит только частично: интенсивности рассеяния для квантованных мод с т = 1, 3, 5, . . . должны быть приблизительно пропорциональны 1, 3~2, 5~2,...
Взаимодействие через матричные элементы электростатического потенциала ф (фрёлиховское взаимодействие) обсуждалось в главе 7 в связи с запрещенным рассеянием на LO фононах при параллельных 瓦 и 6s (см. (7.706)). В этом случае в объемных материалах электрон-фононное взаимодействие обусловлено дальнодейству- ющим характером кулоновского взаимодействия. Соответствующая сингулярность типа q-i была устранена вследствие суммарного воздействия LO фонона на зону проводимости и валентную зону. Эти воздействия равны и должны вычитаться друг из друга. Оставшийся несингулярный эффект пропорционален разнице обратных масс электрона и дырки и поперечному заряду фонона е* (см. (7.70), (3.39) и (6.119)). Поскольку сверхрешетки могут считаться кристаллами, указанный тип «запрещенного» рассеяния также должен появляться для ИК-активных мод, т.е. для LOm фононов с нечетными т. Эффект должен уменьшаться при увеличении т (ос т~2) и исчезать при рассеянии назад вдоль оси роста в случае больших периодов, поскольку энергетические зоны вдоль 2 становятся совершенно плоскими (обратные массы вдоль г обращаются в нуль). При рассеянии назад, когда свет распространяется в плоскости структуры (свет падает на край МКЯ), подобный эффект также должен существовать: рамановский тензор пропорционален разности обратных масс электрона и дырки, которая не исчезает даже в случае большого периода. Однако в этой конфигурации проводилось очень мало экспериментов (см., например, [9.56, 9.57]).
До сих пор мы не нашли механизма, который разрешал бы рассеяние для LO мод при четном т. Однако нетрудно заметить, что эти моды принадлежат к полностью симметричному представлению А точечной группы О2d сверхрешетки GaAs/AlAs.
Соответствующий рамановский тензор имеет вид (задача 9.10)
/ а 0 0 \
Hlo(A) =0 а 0.(9.50)
\ 0 0 a J
Тензор (9.50) становится равным нулю в случае оптического фонона в объемном GaAs. Его происхождение в МКЯ обусловлено электрон-фононным взаимодействием, ин™ дуцированным матричными элементами 0⑶(рис. 9.17). Диагональный матричный элемент 0 ⑶ между квантованными электронными волновыми функциями 夕九⑶:
d
Мер =夕 ^(z)6m(z)夕九(z)"z，(9.51)
о
обращается в нуль для нечетных ш, но не равен нулю для четных т. Однако он быстро уменьшается при возрастании т. Матричный элемент (9.51) был получен из фрё- лиховского электрон-фононного взаимодействия, хотя соответствующий потенциал в КЯ не является дальнодействующим: он не равен нулю только внутри монослоя материала одного типа и исчезает вне его из-за осцилляций 0⑶.Отметим, что рамановский тензор (7.50 а) будет содержать два взаимно уничтожающихся члена, включающих матричные элементы типа (9.51): один для зоны проводимости и один для валентной зоны. Взаимоуничтожение будет точным для бесконечных электронных барьеров. Однако поскольку эти барьеры не бесконечны, некоторое взаимодействие обычно остается.
На основании предыдущего обсуждения мы делаем вывод о том, что при ёь || ж и 6s II У (скрещенные поляризации) должны наблюдаться моды с т = 1, 3, 5,.. а при 6l И 6s (параллельные поляризации)——моды с m = 2, 4, . * . (задача 9.12). Первый случай иллюстрируется рис. 9.28 для сверхрешетки (GaAs)i6(AlAs)i6. Обратите внимание на пики, соответствующие фононам с т = 1, 3, . . . , 11. Их частоты в зависимости от эффективного волнового вектора km построены на вставке к рисунку (см. (9.29)), и сравниваются с дисперсионными соотношениями объемного GaAs. Как мы видим, согласие превосходное. Светлые кружки на вставке соответствуют пикам, полученным при параллельных поляризациях. Кружки с двумя самыми большими частотами отвечают квантованным модам LO2 и LO4. Остальные светлые кружки, по-видимому, связаны с антипересечениями интерфейсных мод с квантованными модами [9.58] и будут обсуждаться в следующем пункте.
Рамановское рассеяние на интерфейсных модах. Для наблюдения интерфейсных мод с помощью рамановской спектроскопии волновой вектор рассеянного света должен иметь компоненту в плоскости структуры, так чтобы выполнялось условие 0 > 0 (см. рис. 9.20). Недавно такой эксперимент был осуществлен контролируемым образом со светом, падающим на боковой край сверхрешетки (экспериментальные точки на рис. 9.23). Однако впервые интерфейсные моды наблюдались в геометрии рассеяния назад вдоль направления z [9.42, 9.59]. При этом необходимый волновой вектор в плоскости структуры возникал вследствие шероховатостей на индивидуальных интерфейсах (благодаря которым в плоскости нарушалась трансляционная инвариантность). На рис. 9.29 приведены измерения Суда и др. [9.59] для AlAs-подобных мод в МКЯ GaAs/AlAs. Широкая полоса, расположенная посередине между частотами LO и ТО фононов, характерна для интерфейсных мод в симметричных структурах (т.е. при "а = 〃в)： пик соответствует решению уравнения (9.35). В асимметричном случае для получения длинноволновых решений при 0 = тг/2 следует использовать (9.41). В отличие от симметричного случая, при "а 济"в появляются две различных моды. Им отвечают две полосы в спектрах, приведенных в
29*
46/46 А46/46 А260270280290300Рамановский сдвиг, см-1260270280290300Рамановский сдвиг, см-1Рис. 9.28. Рамановский спектр сверхрешетки (GaAs)工6 (AlAs)工6 для скрещенных поляриза™ ций при нерезонансных условиях. На вставке черные кружки соответствуют частотам этих мод в зависимости от эквивалентного объемного волнового вектора кт. Сплошной кривой показана дисперсия LO фононов объемного GaAs. Светлые кружки относятся к данным, полученным при параллельных поляризациях [9.58]Рис. 9.28. Рамановский спектр сверхрешетки (GaAs)工6 (AlAs)工6 для скрещенных поляриза™ ций при нерезонансных условиях. На вставке черные кружки соответствуют частотам этих мод в зависимости от эквивалентного объемного волнового вектора кт. Сплошной кривой показана дисперсия LO фононов объемного GaAs. Светлые кружки относятся к данным, полученным при параллельных поляризациях [9.58]•口①-3^ сдёониион ①нни WSUMOK^S^^•口①-3^ сдёониион ①нни WSUMOK^S^^
46/46 А
46/46 А
260270280290300
Рамановский сдвиг, см-1
260270280290300
Рамановский сдвиг, см-1
Рис. 9.28. Рамановский спектр сверхрешетки (GaAs)工6 (AlAs)工6 для скрещенных поляриза™ ций при нерезонансных условиях. На вставке черные кружки соответствуют частотам этих мод в зависимости от эквивалентного объемного волнового вектора кт. Сплошной кривой показана дисперсия LO фононов объемного GaAs. Светлые кружки относятся к данным, полученным при параллельных поляризациях [9.58]
Рис. 9.28. Рамановский спектр сверхрешетки (GaAs)工6 (AlAs)工6 для скрещенных поляриза™ ций при нерезонансных условиях. На вставке черные кружки соответствуют частотам этих мод в зависимости от эквивалентного объемного волнового вектора кт. Сплошной кривой показана дисперсия LO фононов объемного GaAs. Светлые кружки относятся к данным, полученным при параллельных поляризациях [9.58]
•口①-3^ сдёониион ①нни WSUMOK^S^^
•口①-3^ сдёониион ①нни WSUMOK^S^^
нижней части рис. 9*29* Доминирует полоса с большим или с меньшим рамановским сдвигом в зависимости от условия "в > Ма или "в < "а- Она соответствует поло се о;" на рис. 9.20.
Спектры на рис. 9.29 можно качественно объяснить как простые электростати™ ческие интерфейсные моды типа, предсказанного уравнением (9.38), без учета взаи™ модействия с квантованными модами с нечетными значениями ш. Причина, по ко торой этим взаимодействием можно пренебречь, заключается в том, что дисперсия оптических мод в AlAs (как LO, так и ТО) очень мала (см. рис. 9.13), и поэтому антипересечения играют существенную роль только в непосредственной близости к объемным ТО и LO фононам в точке F = 0 (в спектре на рис. 9.29 возникает ела™ бая структура в этой области). Однако в случае GaAs объемная дисперсия больше. (Различие в дисперсионных соотношениях GaAs и AlAs (см. рис. 9.13) объясняется тем, что массы Ga и As очень близки, в то время как массы А1 и As довольно сильно различаются. Это увеличивает частоту оптических и уменьшает частоту акустиче™ ских фононов в AlAs на границе ЗБ). Более сильная дисперсия в GaAs вызывает появление ряда антипересечений во всем диапазоне между ТО и LO частотами (см. рис. 9*23 для GaAs-подобных оптических мод). В результате появления щелей, обу™ словленных антипересечениями, возникает ряд пиков между объемными LO и ТО пиками (рис. 9.30). Экспериментальные спектры на этом рисунке получены в конфи™ гурации рассеяния назад с 瓦 112sll [100]. Поэтому, в принципе, на них должны быть видны квантованные моды с четными значениями ш, интенсивность которых долж™ на быстро уменьшаться при возрастании т. В экспериментальных спектрах действи™ тельно четко видны LO2 и LO4 моды, и их интенсивность ведет себя нужным образом.
330 350 370 390 410 430 Рамановский сдвиг, d1
Рис. 9.29. Рамановские спектры в области частот оптических фононов объемного AlAs, полученные в резонансных условиях при 6l || 6s для СР GaAs/AlAs (A/В) с различными отношениями между толщиной слоев: 7) &а = с/в； 2) с/в = 3dа； 3) &а = 3dB при Т = 10 К
Другие пики (обозначенные ИФ) в прошлом также приписывали модам LOe , LOg, LOio, . . . Исходя из этого предположения, они построены на вставке к рис. 9.28: за исключением самого нижнего пика, они довольно хорошо удовлетворяют объемным дисперсионным соотношениям. Однако их интенсивности не убывают должным об™ разом при возрастании ш. Последнее привело Шилдса и др. [9.58] к предположению о том, что эти пики связаны не с квантованными модами с четными ш, а с антипересече™ ниями ИФ мод с квантованными модами с нечетными ш, подобными изображенным на рис. 9.23. Области на рисунке, где дисперсия имеет плоский характер, играют роль «сингулярностей ван Хова», приводя к очень большой плотности состояний. Это ясно демонстрируется расчетными кривыми на рис. 9.30; можно показать, что пики, обозначенные ИФ, соответствуют плоским областям дисперсионных кривых с антипересечениями [9.58].
Макроскопические модели электрон—LO фононного взаимодействия в многократно повторяющихся квантовых ямах. В п. 9.3.3 обсуждалось, каким образом оптические фононы в МКЯ и СР, образованных двумя материалами с неперекрывающимися энергиями оптических фононов, например, GaAs и AlAs, могут квантоваться в соответствующих слоях. Кроме того, образуются интерфейсные моды, смещения которых экспоненциально затухают (хотя в некоторых случаях очень медленно) по мере удаления от интерфейса. В главе 5 мы изучали влияние фрёлиховского электрон-LO фононного взаимодействия на подвижности электронов в таких полупроводниках, как GaAs. Естественно теперь задаться вопросом, как фрёлиховское взаимодействие изменяется в МКЯ и СР. Для ответа на него рассмотрим случай МКЯ и СР, образованных из GaAs и AlAs.
Гамильтониан фрёлиховского взаимодействия может быть выражен в виде скалярного электростатического потенциала, умноженного на заряд электрона (см. п. 3.3.5). Теоретически этот потенциал можно вычислить, используя микроскопические динамические модели решетки с подходящими граничными условиями. На практике
.ПФ к°х AwbQOMfflsQM^bMS bfEMUmoHEJMEd.ПФ к°х AwbQOMfflsQM^bMS bfEMUmoHEJMEd
.ПФ к°х AwbQOMfflsQM^bMS bfEMUmoHEJMEd
.ПФ к°х AwbQOMfflsQM^bMS bfEMUmoHEJMEd
270280290300
Рамановский сдвиг, см-1
Рис. 9.30. Сравнение расчетных (сплошные кривые) и измеренных (пунктир) рамановских спектров, обусловленных GaAs-подобными оптическими модами в МКЯ GaAs/AlAs с различной толщиной слоев, в условиях выходного резонанса с переходами el-lhl при 10 К и параллельными поляризациями падающего и рассеянного света. Спектры нормализованы к одинаковой высоте и для наглядности сдвинуты вертикально друг относительно друга [9.58]
подобные расчеты занимают очень много времени, и для их проведения нужны вы™ сокоскоростные суперкомпьютеры. Кроме того, полученные результаты будут справедливы только для заданных в расчете ширин ямы и барьера. Поэтому желательно найти простые, хотя и приближенные, выражения для скалярного потенциала, ко торые можно было бы использовать для образцов с различной шириной ям. Было предложено несколько таких моделей. Они называются «макроскопическими», по скольку на начальном этапе в них предполагается, что образец представляет собой континуум. Основное различие между этими моделями заключается в подходе к гра™ ничным условиям, которые накладываются на оптические фононы на интерфейсах в МКЯ или сверхрешетках. В зависимости от применяемых граничных условий одни из них получили название «механических моделей», а другие — «диэлектрических континуальных моделей».
Грубо говоря, в «механических моделях» выдвигается требование, чтобы смеще™ ния квантованных LO фононов обращались в нуль на интерфейсе, даже если это приводит к нарушению на нем уравнений Максвелла. Пример картины смещений и электростатического потенциала квантованных ЬО^фононов, удовлетворяющей меха- ни ческим граничным условиям, был приведен на рис. 9.27* Отметим, что злектроста- тический потенциал ф не исчезает на интерфейсе. Для фонона, квантованного в сре・ де А и обладающего не равным нулю дж, можно представить скалярный потенциал как
ф(х^ z) = ф0 ехр (分а宓⑦)cos [kmz) для четного m,0(z)=仇 exp [iqxx) sin [kmz) для нечетного m.
Компонента электрического поля, параллельная интерфейсу (Ех\ имеет вид
后宓=一（1ф!dx =（-分a宓）0（比）2）后宓=一（1ф!dx =（-分a宓）0（比）2）(9.53)(9.53)
后宓=一（1ф!dx =（-分a宓）0（比）2）
后宓=一（1ф!dx =（-分a宓）0（比）2）
(9.53)
(9.53)
и не обращается в нуль на интерфейсе (т.к. потенциал ф на нем не равен нулю), как того требуют условия непрерывности тангенциальных компонент электрического поля на границе двух диэлектрических сред (заметьте, что Ех равно нулю в среде В, если имеет место квантовое ограничение фонона в среде А). Поскольку такие модели не учитывают уравнения Максвелла, из них не вытекает существование интерфейс™ ных мод, если не сделаны дополнительные предположения ad hoc.
В «диэлектрических континуальных моделях» в качестве отправной точки исполь™ зуются уравнения Максвелла. На их основании получаются интерфейсные моды как часть решений уравнения Лапласа (9.32). Хотя такие модели и нарушают механкне- ские граничные условия (требующие, чтобы атомные смещения квантованных фоно™ нов были равны нулю на интерфейсе), однако для интерфейсных мод они являются довольно хорошим приближением к результатам микроскопических вычислений, по скольку в действительности смещения атомов становятся равными нулю только в непосредственной близости от интерфейса (см. п. 9.3.4).
Макроскопическая модель, в которой предпринята попытка воспроизвести резуль™ таты микроскопических вычислений, была предложена Хуаном и Джу [9.60]. Сде・ лав модельные микроскопические вычисления динамики решетки для определения смещений атомов и электростатического потенциала, они обратили внимание на то, что диэлектрическая континуальная модель дает довольно хорошее приближение к результатам микроскопического расчета, за исключением нарушения механических граничных условий. Интерфейсные моды особенно хорошо описывались этой моде™ лью. Для одновременного выполнения механических и максвелловских граничных условий необходимо, чтобы как 如 так и его производная Лф)dz обращались в нуль на интерфейсе. Хуан и Джу [9.60] заметили, что этого можно достичь, вычитая подхо дящую константу из ф с четной симметрией (по отношению к отражению в плоскости, проходящей через центр слоя) или подходящий член, линейный по ^, из ф с нечетной симметрией. Таким способом они получили следующие выражения для ф:
(9.54 а)(9.54 а)= cos 7…竺二(―1广/2 ДЛЯ четного
(9.54 а)
(9.54 а)
0nг(2)= б®0nг(2)= б®〃^不2〃^不2。小2。小2(n + l)a 十(几 + l)a(n + l)a 十(几 + l)aдля нечетного m,для нечетного m,(9.54 6)(9.54 6)
0nг(2)= б®
0nг(2)= б®
〃^不2
〃^不2
。小2
。小2
(n + l)a 十(几 + l)a
(n + l)a 十(几 + l)a
для нечетного m,
для нечетного m,
(9.54 6)
(9.54 6)
где。一 расстояние между атомными плоскостями в слоях GaAs или AlAs, а 冗。一 толщина слоя с/д или 如 в (9.29). Постоянные рт и Ст определяются из равенства нулю фт и Лфт)dz на интерфейсе, расположенном при z = ±(冗 十 1)а/2* Эти гра™ ничные условия удовлетворяются, если 〃加 и Ст являются решениями следующих двух уравнений:
(9.55 a)(9.55 6)(9.55 a)(9.55 6)tg(〃mk/2) =/17717r/2)
(9.55 a)
(9.55 6)
(9.55 a)
(9.55 6)
$Е冗/2) = — Сm 12"
Приведем некоторые решения этих двух трансцендентных уравнений:
〃з = 2,86064;Сз = 1,9523;〃з = 2,86064;Сз = 1,9523;〃5 = 4,918;% = -1,983;〃5 = 4,918;% = -1,983;〃7 = 6)95 и CV = 1,992.〃7 = 6)95 и CV = 1,992.
〃з = 2,86064;
Сз = 1,9523;
〃з = 2,86064;
Сз = 1,9523;
〃5 = 4,918;
% = -1,983;
〃5 = 4,918;
% = -1,983;
〃7 = 6)95 и CV = 1,992.
〃7 = 6)95 и CV = 1,992.
На злектрон—LO фононное взаимодействие, которое получается с потенциалами в и™ да (9.54), ссылаются как на модель Хуана-Джу.
Рис. 9.31. Сравнение атомных смещений (uz) и электростатических потенциалов, связанных с самыми низкими квантованными и интерфейсными фононами в GaAs/AlAs, рассчитанных с помощью «макроскопических» моделей: а) диэлектрического континуума; б) механических граничных условий; в) Хуана-Джу; и г) в рамках микроскопической теории [9.61]Рис. 9.31. Сравнение атомных смещений (uz) и электростатических потенциалов, связанных с самыми низкими квантованными и интерфейсными фононами в GaAs/AlAs, рассчитанных с помощью «макроскопических» моделей: а) диэлектрического континуума; б) механических граничных условий; в) Хуана-Джу; и г) в рамках микроскопической теории [9.61]
Рис. 9.31. Сравнение атомных смещений (uz) и электростатических потенциалов, связанных с самыми низкими квантованными и интерфейсными фононами в GaAs/AlAs, рассчитанных с помощью «макроскопических» моделей: а) диэлектрического континуума; б) механических граничных условий; в) Хуана-Джу; и г) в рамках микроскопической теории [9.61]
Рис. 9.31. Сравнение атомных смещений (uz) и электростатических потенциалов, связанных с самыми низкими квантованными и интерфейсными фононами в GaAs/AlAs, рассчитанных с помощью «макроскопических» моделей: а) диэлектрического континуума; б) механических граничных условий; в) Хуана-Джу; и г) в рамках микроскопической теории [9.61]
На рис. 9.31 потенциалы, связанные с квантованными LO фононами самого низкого порядка и с интерфейсными модами в сверхрешетке GaAs/AlAs, получен™ ные с помощью трех обсуждавшихся выше макроскопических моделей, сравнивают™ ся с результатами микроскопической модели ab initio [9.61]. Мы видим, что модель Хуана—Джу является наилучшей аппроксимацией микроскопической модели, за ней следует диэлектрическая континуальная модель. Рудин и Рейнеке [9.62] провели в рамках трех указанных макроскопических моделей вычисления полной вероятности рассеяния электронов на LO фононах в квантовых ямах GaAs/AlAs в зависимости от ширины ямы. Их результаты приведены на рис. 9.32. Хотя и существуют различия в вероятностях рассеяния, вычисленных с помощью этих моделей, однако различия между моделью Хуана—Джу и диэлектрической континуальной моделью исчезают в случае ям с малой шириной. Для таких ям основной вклад в вероятность рассеяния вносят интерфейсные моды, а они в этих двух моделях почти идентичны. Тзен и др. [9.63] с помощью довольно сложного оптического метода экспериментально изучали относительную величину электрон-LO фононного взаимодействия для ряда сверхтон™ ких КЯ GaAs/AlAs и сравнивали свои результаты с предсказаниями, основанными
Рис. 9.32. Зависимость полной внутризонной (подзона 1 f 1) вероятности рассеяния электрона квантованными и интерфейсными LO фононами от ширины ямы. Расчитана для КЯ GaAs/AlAs. Сплошная кривая Ж^ ——рассеяние на интерфейсных модах; рассеяние на квантованных модах вычислено с помощью: Жз ——модели Хуана—Джу, Ж1 ——диэлектрической континуальной модели; Ж2 ——механической модели [9.62] (см. также [9.61] и задачу 9.13)
на макроскопических моделях. Они использовали пикосекундные лазерные кмпуль- сы для возбуждения электронов в состояния с избыточной энергией в 200 мэВ по отношению к минимуму подзоны. Электроны с избыточной энергией релаксировали посредством злектрон—LO фононного взаимодействия, и испущенные ими LO фоно™ ны создавали неравновесную популяцию с временами жизни порядка 10 пс. Применяя второй, более слабый, лазерный импульс с задержкой относительно возбуждающего импульса и настроенный в резонанс с наиболее низкой электронной подзоной, эти ав・ торы исследовали фононные популяции различных квантованных и интерфейсных LO мод с помощью рамановского рассеяния. Полученные экспериментальные резуль™ таты лучше всего согласуются с предсказаниями модели Хуана—Джу.
Электрический транспорт: резонансное туннелирование
В последних двух параграфах мы обсудим некоторые электрические измерения, относящиеся к транспорту в квантовых ямах и гетеропереходах. Поскольку в данной области проводится очень много активных исследований, нам придется ограничиться рассмотрением только двух вопросов: резонансного туннелирования и квантового эф™ фекта Холла. Их выбор обусловлен тем, что оба этих эффекта используют свойства электронов в случае квантового конфайнмента. В настоящем параграфе мы будем обсуждать явление резонансного туннелирования, оставив рассмотрение квантового эффекта Холла для последнего параграфа.
Туннелирование частицы сквозь барьер является одним из наиболее изученных явлений в квантовой механике. Теорию о туннелировании частицы в одном кзмере- нии можно найти почти во всех учебниках по квантовой механике. Туннелирование играет важную роль во многих полупроводниковых приборах. В частности, туннельный диод, или диод Есаки, изобретенный Есаки в 1958 г. [9.64], использует туннелирование через сильно легированный (вырожденный) переход в германии с прямым
смещением. Важной характеристикой диода Есаки является отрицательное диффе™ ренциальное сопротивление (ОДС), что делает возможным его применение в качестве осциллятора высокой частоты (микроволнового осциллятора, см. п. 5.4.2). Свойства первоначального диода Есаки в основном определялись (и лимитировались) зонной структурой объемного полупроводника. В 1973 г. Тсу и Есаки [9.65] выдвинули идею о том, что ОДС может быть достигнуто в сверхрешетке. Однако прошло более де™ сяти лет, прежде чем удалось изготовить образцы с квантовыми ямами высокого качества, в которых наблюдался эффект ОДС [9.66]. Даже в этом случае образцы представляли собой скорее квантовые ямы, а не сверхрешетки. Сообщение об ОДС в СР GaAs/AlAs появилось несколько лет спустя [9.67]. Со времени этой пионерской ра・ боты ОДС наблюдалось во многих структурах с КЯ и СР. Чтобы проиллюстрировать физику явления, рассмотрим простейшую структуру, состоящую из КЯ между двумя барьерами, которую часто называют квантовой ямой с двойным барьером. Читатели, интересующиеся транспортными явлениями в сверхрешетках, могут познакомиться с обзором Пальмера [9.68].
Резонансное туннелирование через квантовую яму с двойным барьером. На рис. 9.33 а схематически представлена структура с квантовой ямой и двойным барьером в направлении роста (ось 2). В данном случае КЯ состоит из слабо легированного GaAs (с концентрацией носителей Nf)2), окруженного двумя нелегированными барьерами GaAlAs. Предполагается, что высота барьеров и шири™ на ямы (W2) таковы, что в яме образуется только один уровень (邑).Эта трехслойная структура помещена между двумя слоями GaAs с сильным легированием п^типа для создания электрических контактов (Ер ——уровень Ферми). Прибор, изображенный на рис. 9.33 а, является прибором п^типа, хотя могут быть созданы подобные тун™ нельные приборы и р^типа. На рисунках 9.33 б и 9.33 в показаны схемы зон при при™ ложен и и к прибору напряжения смещения. При приложении поля электроны могут туннелировать из слоя GaAs слева (эмиттер) в слой справа (коллектор). Рассуждая на качественном уровне, мы ожидаем, что туннельный ток вначале окажется мал, но будет возрастать при увеличении приложенного напряжения. Это схематически показано на рис. 9.33 2 вблизи начала координат. Когда напряжение смещения достк- гает величины 2Е±/в, Ер в эмиттере попадает в резонанс с подзоной 后工 в яме (рис. 9.33 6). (Последнее утверждение справедливо только при одинаковой ширине обоих барьеров.) Тогда электроны, протуннелировавшие в яму, могут, в принципе, быть захвачены в ней, а затем освободиться, протуннелировав через второй барьер. При этом напряжении туннельный ток сильно возрастает. Описанное явление называет™ ся резонансным туннелированием. Когда напряжение превышает 2Е±/в (рис. 9.33 в), туннельный ток резко падает, создавая область с отрицательным дифференциальным сопротивлением (рис. 9.33 а).
Зависимость туннельного тока от напряжения смещения в квантовой яме с двои™ ным барьером можно вычислить с помощью следующей приближенной процедуры. Для простоты предположим, что эмиттер, яма и коллектор сделаны из одного материала (такого как GaAs на рис. 9.33), а электроны ведут себя как свободные носители с изотропной эффективной массой тд. Электрон с волновым вектором к в эмиттере будет туннелировать через барьеры в коллектор без рассеяния, т.е. без потери энергии и изменения волнового вектора в плоскости структуры (отметим, что волновой вектор вдоль направления роста 2 не сохраняется, поскольку структура не обладает трансля・ ционной инвариантностью в этом направлении). Пренебрежем кулоновским взаимо™ действием между электронами, которое создает «потенциал изображения», действу™ ющий на туннелирующий электрон. Пренебрежем также изгибом зон, возникающим на интерфейсах между эмиттером (коллектором) и барьером вследствие потенциала смещения (это предполагается на рисунках 9.33 6 и 9.33 в). Сделанные упрощения позволяют свести трехмерную задачу к одномерной.
б ^б ^22a %a %к тк тРис. 9.33. Пространственное изменение энергии электрона в состоящем из КЯ с двойным барьером резонансном туннельном приборе GaAs/GaAlAs/GaAs/GaAlAs/GaAs при трех напряжениях смещения: а) нулевое смещение, б) напряжение смещения кь = 2Е±/е и в) Уь > 2Ki/е, где & — энергия электронной подзоны внутри КЯ GaAs; г) схематические I—V характеристики прибора а, на которых видна область ОДС для напряжения смещения чуть выше 2Ki/e [9.66]
б ^
б ^
2
2
a %
a %
к т
к т
Пусть, как и на рис. 9.33)2 — направление роста. Поскольку потенциал V ⑶(яв™ ляющийся функцией напряжения смещения “))который «видит» туннелирующий электрон на рис. 9.33, зависит только от % уравнение Шрёдингера можно разделить на два уравнения, представив волновую функцию в виде произведения двух функций, как в (9.7 а). Решения в направлениях хну являются плоскими волнами, как в (9.7 б), и далее рассматриваться не будут. Собственные значения для этих решений даются выражениями 后宓^ = [Я2/(2m^)](k^ 十 份).Уравнение Шрёдингера для движения вдоль 2 имеет вид
2 d2]
一丁丁7^十卜(2)小式z) = Eg式z)(9.56 a)
для z вне барьеров и
2 d2]
卜⑶ 屮b⑶=EzWb(z)(仇566)
вj
для z внутри барьеров, где 加玄一эффективная масса электрона внутри барьеров, предполагаемая изотропной. Полная энергия туннелирующего электрона Е = Ех^у + + EZ. За исключением того факта, что масса электрона внутри и вне барьеров различ™ на, выражения (9.56) соответствуют хорошо известной задаче об одномерном туннелировании, решения которой приводятся во многих учебниках по квантовой механике.
22
2
2
Вместо того, чтобы повторять вычисления, мы просто опишем ниже эту процедуру. Подробности можно найти, например, в [9.5].
Нас интересует только случай, когда энергия электрона Ez меньше, чем высота каждого из барьеров даже при положительном смещении. При таких обстоятельствах волновая функция электрона может быть представлена в виде суммы падающей и от™ раженной плоских волн в области эмиттера и ямы. Внутри барьеров волновые функ™ ции имеют чисто мнимый волновой вектор, т.е. являются экспоненциальными. В об™ ласти коллектора волновая функция является плоской волной, распространяющейся только направо, поскольку предполагается, что эта область простирается направо до бесконечности, и поэтому отраженной волны нет. На интерфейсе накладывается обычное граничное условие непрерывности волновой функции и ее первой произ™ водной по %)т.е. (9.13). При этих условиях коэффициенты падающей и отраженной волновых функций в одной области связаны с коэффициентами в соседних областях посредством матрицы 2x2, которая называется матрицей переноса [9*69]*
В качестве примера предположим, что потенциал можно разделить на n + 1 об™ ластей, которые мы определим как z = [—оо)%i])[z，％2〕)• • ., [^п, оо], а также что внутри каждой области г потенциал %： можно считать постоянным. Эмиттер и коллектор соответствуют областям 1 и n + 1. В реальных ситуациях, если потенциал не является постоянным внутри какой-то области, следует делить эту область на мень・ шие до тех пор, пока потенциал не станет приближенно постоянным внутри каждой из них. Пусть Аг： и Bi — амплитуды волн, распространяющихся направо и налево, со™ ответственно, внутри области г. Обозначим обобщенный волновой вектор в области г как ki：
方2
就(9.57)
где m* — масса электрона в области г. Из (9*57) ясно, что ki будет или не будет мни™ мым числом в зависимости от того, является ли область г барьером (%：〉Ez} или нет. Если ki — мнимый, то волна затухает (см. п. 9*2.3)* Коэффициенты (Ai, Bi) и (An+i,月气+i) в областях эмиттера и коллектора, соответственно, связаны соотноше™ нием
= М1М2.^Мп (^,(9.58)
где элементы матриц переноса Мр(а, /3) («, /3 = 1 или 2) выражаются следу™ ющим образом:
Мр(\^ 1)=
/ 1 %+U 吗 \ (22kpm*+1 J
1 exp [i(kp+1 一 kp)zp],
(9*59 a)
”0(1)2)=
1 ехр[—分(％+1 + kp)zp],
(9*596)
"р(2> 1)=
1 exp [i(kp+1 十 ％)z j
(9.59 b)
2крт*+1 丿
МР(2, 2)=
(22крт*^1 J
1 exp[—分(％+1 — kp)zp].
(9.59 r)
7（旦）=7（旦）=^п+1^п+1На основании этих результатов можно вычислить коэффициент пропускания для электрона с энергией Ez:
7（旦）=
7（旦）=
^п+1
^п+1
Рис. 9.34. Расчетная энергетическая зависимость коэффициента пропускания электрона через структуру с двойным барьером при нулевом смещении (сплошная кривая) и при смещении 0,1 эВ (штриховая кривая). Ширина барьера и ямы равны 26 и 50 А соответственно. Высота барьеров относительно дна ямы —— 1,2эВ [9.5]
На рис. 9.34 приведена зависимость Т(Ez) для электрона, туннелирующего через структуру с двойным барьером высотой 1,2 В, при нулевом смещении и при сме・ щен и и 0,1 В. Обратите внимание на то, что при приложенном смещении потенцк- ал не является постоянным внутри барьеров (см. рисунки 9.33 б и 9.33 в). Как уже отмечалось выше, метод матриц переноса все еще можно применять приближенно, представляя медленно меняющийся потенциал в виде нескольких постоянных сту・ пенек потенциала. Заметьте, что при нулевом смещении коэффициент пропускания достигает единицы при значениях EZJ равных 0,25 и 0,83 эВ. При этих энергиях злек・ трона происходит резонансное туннелирование. В случае отличного от нуля смещения коэффициент пропускания не равен единице даже в условиях резонансного туннелирования.
Вольт-амперные характеристики приборов с резонансным туннелированием. В эксперименте не измеряют непосредственно вероятность туннелирова™ ния Т (旦).Вместо этого обычно измеряют зависимость туннельного тока от налря- жения смещения (так называемые вольт-амперные (/—к) характеристики прибора с резонансным туннелированием). Однако если зависимость Т(Ez) известна, то мож™ но вычислить полный туннельный ток /, суммируя вероятность туннелирования по распределению электронов в эмиттере с помощью следующего выражения:
в f4开3方, ов f4开3方, о(9.61)(9.61)dkxdky j dkzT(Ez)[f(E) — 廿)]
в f
4开3方, о
в f
4开3方, о
(9.61)
(9.61)
Jи Kz
о
где в — абсолютное значение заряда электрона, /(Е) — вероятность заполнения для электронов в области эмиттера (которая при равновесных условиях является функ™ цией распределения Ферми-Дирака), а / (日)一аналогичная вероятность заполнения в области коллектора. Член [/ (£*) — / (£'/)] описывает туннелирование электрона из заполненного состояния в пустое. В предположении, что рассеяния не происходит,
0,0200,016 工 0,012 § 0,008 « 0,004 к 0,0 о ^0,004° ^0,008-0,012-0,016-0,0200,35I 0,30 巨 0,25 * 0,20 5 0,15 I 0,10 g 0,05 а о,о-0,05-0,10—0J50,0200,016 工 0,012 § 0,008 « 0,004 к 0,0 о ^0,004° ^0,008-0,012-0,016-0,0200,35I 0,30 巨 0,25 * 0,20 5 0,15 I 0,10 g 0,05 а о,о-0,05-0,10—0J5Постоянное напряжение, ВПостоянное напряжение, ВРис. 9.35. Зависимость тока (а) и зависимость проводимости (5) от напряжения для трех различных температур: 7 — 25 К, 2 — 230 К, 3 ——290 К. Результаты получены для КЯ с двойным барьером; Ж1 = Ж2 = Жз = =50 A, NDi = ND^ = 1018 см™3, концен-Рис. 9.35. Зависимость тока (а) и зависимость проводимости (5) от напряжения для трех различных температур: 7 — 25 К, 2 — 230 К, 3 ——290 К. Результаты получены для КЯ с двойным барьером; Ж1 = Ж2 = Жз = =50 A, NDi = ND^ = 1018 см™3, концен-энергия электрона в области коллектора Е1 связана с энергией в области эмиттера какEf = Е + eVb. (9.62)Выше мы предполагали, что нап ряже™ ние смещения “ положительно. В случае отрицательного смещения роли эмиттера и коллектора меняются местами.На рис. 9*35 приведены /—к характе™ ри стики и проводимость di / dV резонанс™ ного туннельного диода, изготовленного Соллнером и др. [9.66] и изображенное го на рис. 9.33 窃.Предполагается, что барьеры Ga()，75Alo,25As не легированы и являются полуизолирующими вследствие компенсации остаточных мелких доно™ ров другими дефектами, расположенные ми вблизи середины запрещенной зоны. Только на кривой, относящейся к 25 К, ясно видна область ОДС. При комнатной температуре есть намек на область ОДС на кривой проводимости при обрат™ ном смещении. Вольт-амперная характе- ри стика не является полностью скммет- ричной по отношению к нулевому сме・ щению, хотя она должна была бы быть таковой, если бы не было изгиба зон. Несмотря на то, что приведенная выше теория качественно объясняет экспери™ ментальные результаты, показанные на рис. 9*35)получить хорошее количествен™ ное согласие значительно сложнее.Одним из экспериментальных пара™ метров, играющих важную роль в при™ менениях прибора, является так называ™ емое отношение пикового тока к току в долине. Оно определяется как отношение тока при резонансной энергии, соответ™ ствующей пику туннелирования, к токуэнергия электрона в области коллектора Е1 связана с энергией в области эмиттера какEf = Е + eVb. (9.62)Выше мы предполагали, что нап ряже™ ние смещения “ положительно. В случае отрицательного смещения роли эмиттера и коллектора меняются местами.На рис. 9*35 приведены /—к характе™ ри стики и проводимость di / dV резонанс™ ного туннельного диода, изготовленного Соллнером и др. [9.66] и изображенное го на рис. 9.33 窃.Предполагается, что барьеры Ga()，75Alo,25As не легированы и являются полуизолирующими вследствие компенсации остаточных мелких доно™ ров другими дефектами, расположенные ми вблизи середины запрещенной зоны. Только на кривой, относящейся к 25 К, ясно видна область ОДС. При комнатной температуре есть намек на область ОДС на кривой проводимости при обрат™ ном смещении. Вольт-амперная характе- ри стика не является полностью скммет- ричной по отношению к нулевому сме・ щению, хотя она должна была бы быть таковой, если бы не было изгиба зон. Несмотря на то, что приведенная выше теория качественно объясняет экспери™ ментальные результаты, показанные на рис. 9*35)получить хорошее количествен™ ное согласие значительно сложнее.Одним из экспериментальных пара™ метров, играющих важную роль в при™ менениях прибора, является так называ™ емое отношение пикового тока к току в долине. Оно определяется как отношение тока при резонансной энергии, соответ™ ствующей пику туннелирования, к токутрация внутри ямы в объемном эквиваленте ND* = 1018 см"3 [9.66]в минимуме (или долине), прежде, чем он снова начинает возрастать при увеличе™трация внутри ямы в объемном эквиваленте ND* = 1018 см"3 [9.66]в минимуме (или долине), прежде, чем он снова начинает возрастать при увеличе™
0,020
0,016 工 0,012 § 0,008 « 0,004 к 0,0 о ^0,004
° ^0,008
-0,012
-0,016
-0,020
0,35
I 0,30 巨 0,25 * 0,20 5 0,15 I 0,10 g 0,05 а о,о
-0,05
-0,10
—0J5
0,020
0,016 工 0,012 § 0,008 « 0,004 к 0,0 о ^0,004
° ^0,008
-0,012
-0,016
-0,020
0,35
I 0,30 巨 0,25 * 0,20 5 0,15 I 0,10 g 0,05 а о,о
-0,05
-0,10
—0J5
Постоянное напряжение, В
Постоянное напряжение, В
Рис. 9.35. Зависимость тока (а) и зависимость проводимости (5) от напряжения для трех различных температур: 7 — 25 К, 2 — 230 К, 3 ——290 К. Результаты получены для КЯ с двойным барьером; Ж1 = Ж2 = Жз = =50 A, NDi = ND^ = 1018 см™3, концен-
Рис. 9.35. Зависимость тока (а) и зависимость проводимости (5) от напряжения для трех различных температур: 7 — 25 К, 2 — 230 К, 3 ——290 К. Результаты получены для КЯ с двойным барьером; Ж1 = Ж2 = Жз = =50 A, NDi = ND^ = 1018 см™3, концен-
энергия электрона в области коллектора Е1 связана с энергией в области эмиттера как
Ef = Е + eVb. (9.62)
Выше мы предполагали, что нап ряже™ ние смещения “ положительно. В случае отрицательного смещения роли эмиттера и коллектора меняются местами.
На рис. 9*35 приведены /—к характе™ ри стики и проводимость di / dV резонанс™ ного туннельного диода, изготовленного Соллнером и др. [9.66] и изображенное го на рис. 9.33 窃.Предполагается, что барьеры Ga()，75Alo,25As не легированы и являются полуизолирующими вследствие компенсации остаточных мелких доно™ ров другими дефектами, расположенные ми вблизи середины запрещенной зоны. Только на кривой, относящейся к 25 К, ясно видна область ОДС. При комнатной температуре есть намек на область ОДС на кривой проводимости при обрат™ ном смещении. Вольт-амперная характе- ри стика не является полностью скммет- ричной по отношению к нулевому сме・ щению, хотя она должна была бы быть таковой, если бы не было изгиба зон. Несмотря на то, что приведенная выше теория качественно объясняет экспери™ ментальные результаты, показанные на рис. 9*35)получить хорошее количествен™ ное согласие значительно сложнее.
Одним из экспериментальных пара™ метров, играющих важную роль в при™ менениях прибора, является так называ™ емое отношение пикового тока к току в долине. Оно определяется как отношение тока при резонансной энергии, соответ™ ствующей пику туннелирования, к току
энергия электрона в области коллектора Е1 связана с энергией в области эмиттера как
Ef = Е + eVb. (9.62)
Выше мы предполагали, что нап ряже™ ние смещения “ положительно. В случае отрицательного смещения роли эмиттера и коллектора меняются местами.
На рис. 9*35 приведены /—к характе™ ри стики и проводимость di / dV резонанс™ ного туннельного диода, изготовленного Соллнером и др. [9.66] и изображенное го на рис. 9.33 窃.Предполагается, что барьеры Ga()，75Alo,25As не легированы и являются полуизолирующими вследствие компенсации остаточных мелких доно™ ров другими дефектами, расположенные ми вблизи середины запрещенной зоны. Только на кривой, относящейся к 25 К, ясно видна область ОДС. При комнатной температуре есть намек на область ОДС на кривой проводимости при обрат™ ном смещении. Вольт-амперная характе- ри стика не является полностью скммет- ричной по отношению к нулевому сме・ щению, хотя она должна была бы быть таковой, если бы не было изгиба зон. Несмотря на то, что приведенная выше теория качественно объясняет экспери™ ментальные результаты, показанные на рис. 9*35)получить хорошее количествен™ ное согласие значительно сложнее.
Одним из экспериментальных пара™ метров, играющих важную роль в при™ менениях прибора, является так называ™ емое отношение пикового тока к току в долине. Оно определяется как отношение тока при резонансной энергии, соответ™ ствующей пику туннелирования, к току
трация внутри ямы в объемном эквиваленте ND* = 1018 см"3 [9.66]
в минимуме (или долине), прежде, чем он снова начинает возрастать при увеличе™
трация внутри ямы в объемном эквиваленте ND* = 1018 см"3 [9.66]
в минимуме (или долине), прежде, чем он снова начинает возрастать при увеличе™
нии напряжения. Для прибора на рис. 9.35 это отношение при 25 К равно примерно 6 при отрицательном смещении и 4 ——при положительном. Его величина определяется рассеянием туннеллирующих электронов внутри ямы на фононах, шероховатостях интерфейсов и других дефектах. Важность рассеяния на фононах иллюстрируется на рис. 9.35 быстрым уменьшением отношения пик-долина при возрастании температуры. Рассеяние на шероховатостях интерфейса делает несправедливым ранее введенное предположение об одномерности. Его влияние на резонансные туннельные приборы, изготовленные из GaAs/GaAlAs, недавно моделировалось с помощью чис™ ленных расчетов [9.70]. Гораздо большее отношение пик—долина было достигнуто у резонансных туннельных приборов, основанных на других материалах. Например, на рис. 9*36 показан прибор, состоящий из Ino^^Gao,47As (эмиттер и коллектор), AlAs (барьеры) и InAs (яма). В этом приборе отношение токов «пик-долина» равно 30 при комнатной температуре и достигает 63 при 77 К (рис. 9.37).
а100 нм100 нм100 нм100 нм400 нма100 нм100 нм100 нм100 нм400 нмВся структураВся структурапроисходит туннелированиепроисходит туннелированиеРис. 9.36. а) Схематическое поперечное сечение структуры с псевдоморфным In- GaAs/AlAs/InAs резонансным туннельным диодом, выращенным на подложке из InP; Т = 77 К 5) зависимость энергии электрона от его положения вдоль направления, перпендикулярного слоям структуры, приведенной в а; Т = 300 К [9.71]Рис. 9.36. а) Схематическое поперечное сечение структуры с псевдоморфным In- GaAs/AlAs/InAs резонансным туннельным диодом, выращенным на подложке из InP; Т = 77 К 5) зависимость энергии электрона от его положения вдоль направления, перпендикулярного слоям структуры, приведенной в а; Т = 300 К [9.71]Рис. 9.37. Вольт-амперные характеристики псевдоморфного In- GaAs/AlAs/InAs резонансного туннельного диода 30 х 30 (мкм)2, показанного на рис. 9.36, измеренные при а) 77 К и б) 300 К [9.71]Рис. 9.37. Вольт-амперные характеристики псевдоморфного In- GaAs/AlAs/InAs резонансного туннельного диода 30 х 30 (мкм)2, показанного на рис. 9.36, измеренные при а) 77 К и б) 300 К [9.71]
а
100 нм
100 нм
100 нм
100 нм
400 нм
а
100 нм
100 нм
100 нм
100 нм
400 нм
Вся структура
Вся структура
происходит туннелирование
происходит туннелирование
Рис. 9.36. а) Схематическое поперечное сечение структуры с псевдоморфным In- GaAs/AlAs/InAs резонансным туннельным диодом, выращенным на подложке из InP; Т = 77 К 5) зависимость энергии электрона от его положения вдоль направления, перпендикулярного слоям структуры, приведенной в а; Т = 300 К [9.71]
Рис. 9.36. а) Схематическое поперечное сечение структуры с псевдоморфным In- GaAs/AlAs/InAs резонансным туннельным диодом, выращенным на подложке из InP; Т = 77 К 5) зависимость энергии электрона от его положения вдоль направления, перпендикулярного слоям структуры, приведенной в а; Т = 300 К [9.71]
Рис. 9.37. Вольт-амперные характеристики псевдоморфного In- GaAs/AlAs/InAs резонансного туннельного диода 30 х 30 (мкм)2, показанного на рис. 9.36, измеренные при а) 77 К и б) 300 К [9.71]
Рис. 9.37. Вольт-амперные характеристики псевдоморфного In- GaAs/AlAs/InAs резонансного туннельного диода 30 х 30 (мкм)2, показанного на рис. 9.36, измеренные при а) 77 К и б) 300 К [9.71]
Квантовые эффекты Холла в двумерном электронном газе
После открытия фон Клитцингом в 1980 г. [9.72] квантового эффекта Холла (КЭХ) в двумерном электронном газе в Зьструктуре металл—окисел—полупроводник (МОП^структура) исследования свойств низкоразмерных электронов в гетерострук™ турах в сильных магнитных полях стали одной из наиболее интересных областей физики полупроводников. Вскоре к КЭХ добавилось открытие, сделанное Тсуи и др. в 1982 г. [9.73], так называемого дробного КЭХ (в результате первоначально открытый КЭХ теперь называется нормальным или целочисленным). Во время написания настоящей книги оставалось еще много нерешенных вопросов, касающихся дробного КЭХ, и данная область продолжает быстро развиваться. Поэтому мы ограничимся рассмотрением лучше изученного целочисленного КЭХ. В дальнейшем под КЭХ 6у・ дет иметься в виду целочисленный КЭХ, если это не оговорено особо.
В § 5.4 мы, используя классический подход, рассматривали транспортные свойства трехмерного газа свободных электронов в присутствии электрического и магнитного полей. В п. 5.5.2 описывался эффект Холла и было введено определение коэффициент та Холла Ян (см. (5.81)). Теперь мы снова рассмотрим эффект Холла, но при совсем других условиях. Во-первых, в данном случае электронный газ может свободно пе・ ремещаться только в плоскости (два измерения), перпендикулярной к приложенному магнитному полю В.
Во-вторых, магнитное поле и качество образца удовлетворяют условию сильного поля ®сТ》1 (см. § 5.5, где даны определения ®с и г). При этих условиях прибли™ жения, сделанные в § 5.5, больше не справедливы. Начнем с квантово-механического описания свойств трехмерного электронного газа в магнитном поле, следуя теории Ландау [9.74]. Затем опишем эксперимент фон Клитцинга и др. [9.72]. Теоретическая интерпретация этого выдающегося открытия дана в короткой заметке, написанной Данг™Хай Ли (см. п. 9.6.4).
Теория диамагнетизма Ландау в трехмерном газе свободных электронов. Предположим, что трехмерный газ свободных электронов с изотропной эф™ фективной массой т* движется в однородном и не зависящем от времени магнитном поле 8, приложенном вдоль направления %• Магнитное поле влияет как на орбиталь™ ное движение, так и на спиновую динамику электронов. Для простоты пренебрежем взаимодействием между электронным спином и магнитным полем, поскольку оно не существенно для КЭХ (хотя это утверждение не верно для дробного КЭХ). Га™ мильтониан для электрона, движущегося под совместным влиянием электрического и магнитного полей, уже приводился (см. (6.25)). Для однородного и постоянного маг™ нитного поля (6.25) упрощается до
где е ——величина заряда электрона, р ——оператор импульса электрона, А ——вектор™ ный потенциал, связанный с магнитным полем (для системы единиц СИ в этом и последующих уравнениях вводится деление на с). Получение решений для гамильто™ ниана (9.63) можно найти в учебниках по квантовой механике (например, [9.75]) или по физике твердого тела (например, [9.77]). Здесь мы просто подведем итоги.
далдалЛандау упростил (9.63) путем введения калибровки (называемой калибровкой Ландау), в которой
дал
дал
4 = (0,丛)0)
(в (6.23) мы использовали другую калибровку, а именно, так называемую калибровку Кулона). Легко показать, что (9.64) удовлетворяет условию В = rot4. При использовании (9.64) уравнение Шредингера, соответствующее гамильтониану И, приобретает вид
3(X g/) = 0.3(X g/) = 0.(9*65)(9*65)a2 j丄 2m*石
3(X g/) = 0.
3(X g/) = 0.
(9*65)
(9*65)
дх2 + уду +方с ①丿 + dz2 + 方2
EzEz力2质2m*力2质2m*(9.66 a)(966 6)(9.66 a)(966 6)Его можно разделить на два уравнения, одно ——для движения вдоль направления г, а другое — для движения в плоскости ху. Движение вдоль г является движением свободной частицы с энергией и волновой функцией, имеющими, соответственно, вид
Ez
Ez
力2质
2m*
力2质
2m*
(9.66 a)
(966 6)
(9.66 a)
(966 6)
吵⑶=exp (^ikzz\
Последнее согласуется с результатом классической теории: движение электрона, па™ раллельное магнитному полю, не изменяется и остается движением свободного элек™ трона. Уравнение для движения в плоскости ху (т.е. в плоскости, перпендикулярной магнитному полю) можно решить, использовав волновую функцию в форме
д2и(х) 3①2 +д2и(х) 3①2 +2и{х) = Efu{x),2и{х) = Efu{x),Подставив (9.66б) и (9.67) в (9.65), волновое уравнение для и{х) можно записать в виде
д2и(х) 3①2 +
д2и(х) 3①2 +
2
и{х) = Efu{x),
2
и{х) = Efu{x),
(9.68)
(9.69)(9.69)где Е‘ = Е — Ez. Выражение (9.68) похоже на уравнение Шредингера для простого одномерного гармонического осциллятора с резонансной частотой 幻。(т.е. с цикло™ тронной частотой) и положением равновесия
(9.69)
(9.69)
Собственные значения Ef из (9.68) даются хорошо известными выражениями для простых гармонических осцилляторов:
(9.70)(9.70)Ef = (п — 1/2)Йшс, где n = 1, 2,...
(9.70)
(9.70)
По причине, которая станет понятной позднее, мы начали отсчет квантового числа п с единицы, а не с нуля, как обычно делается в случае простых гармонических осцилля™ торов. Эти квантованные уровни энергии называются уровнями Ландау. В трехмер™ ном случае энергия электрона Е = Ef ^- Ez образует зоны (энергия не зависит от 衣勿 т.е. является одномерной в обратном пространстве), как это показано на рис. 9.38 а. Соответствующая плотность состояний приведена на том же рисунке.
Поскольку электронные зоны в отсутствие магнитного поля являются трехмерными в обратном пространстве, а на полное число степеней свободы электрона магнитное поле не влияет, каждый уровень Ландау должен быть сильно вырожден. Степень вырождения « (одинаковая для всех уровней Ландау), умноженная на число уровней Ландау, должна быть равна числу степеней свободы в отсутствие магнитного поля. Можно показать, что
2 7Г Ть2 7Г % в2 7Г Ть2 7Г % в(9.71)(9.71)
2 7Г Ть2 7Г % в
2 7Г Ть2 7Г % в
(9.71)
(9.71)
где Lx и Lg ——размеры образца в направлениях х п у^ а, 1в = [Йе/(еВ)]1^2 (с = = 1 для системы единиц СИ) ——так называемая магнитная длина Л ан дау. (Читателю следует показать, что эта длина равна радиусу классической орбиты, со™ ответствующей уровню Ландау с п = 1).
Полученные результаты можно выразить немного иначе [9.76]: циклотронные ор™ биты электронов в магнитном поле квантуются в ^-пространстве в орбиты, которые представляют собой произведения целых чисел на площадь
4 = 2тге^/(сП). (972)
Итак, квантовый эффект действия однородного и постоянного во времени магнит™ ного поля на движение электрона в трех измерениях может быть описан как кван・ тование циклотронных орбит в уровни Ландау, подобные уровням простого гармонического осциллятора. Каждая циклотронная орбита в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, имеет в ^-пространстве площадь, равную произведению площади, определенной выражением (9.72), на целое число. Электрон движется как свободная частица только вдоль направления, параллельного магнитному полю. В результате его плотность состояний (рис. 9.38 а) для каждого уровня Ландау похожа на плотность состояний частицы с одномерным движением (см. рис. 6.9). Вырождение уровня Лан™ дау с номером п не зависит от п и равно (9.71).
Если кроме сильного магнитного приложено слабое электрическое поле, то в пер™ вом приближении можно считать, что быстрое циклотронное движение электрона не меняется. Электрическое поле приводит в основном к дрейфовому движению положе™ ния равновесия ①о, или сведущего центрам циклотронных орбит. Дрейфовое движе™ ние ведущего центра под суммарным действием электрического и магнитного полей
30 М. Кардона
a
Рис. 9.38. а) Схематическое изображение уровней Ландау и соответствующей ПС свободного электрона во внешнем магнитном поле для трехмерного случая. 6) То же для свободного электрона, движение которого может происходить только в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Для 2D ПС показана при отсутствии и наличии беспорядка. В последнем случае затененные области соответствуют локализованным состояниям, которые отделены от делокализованных краями подвижности (штриховые линии)
можно исследовать с помощью классического подхода (см. § 5.5). В нашей упрощен™ ной трактовке мы опять можем получить тот же самый тензор магнитопроводимости и коэффициент Холла, что и в § 5.5.
Магнитопроводность двумерного электронного газа. Фактор заполнения. Если движение электронов ограничено движением в плоскости, перпенди™ кулярной магнитному полю, то их «свободное» движение, параллельное магнитно™ му полю, будет подавлено. Разрешенные уровни энергии электронов приобретают дискретный характер и даются выражением для Ef (9.70). Соответствующая плот™ ность состояний является набором дельта-функций, разделенных энергетическими щелями, равными 方幻。(см. рис. 9.38 б). Наличие энергетических щелей между уровнями Ландау означает, что когда уровень Ферми лежит посередине между двумя уровнями Ландау, этот двумерный электронный газ (2D) ведет себя как полупро™ водник с шириной запрещенной зоны, равной 方幻「При температуре Т《(方®с/&в) такой «полупроводник» будет вести себя как изолятор, т.е. диагональные элементы ахх = ауу тензора магнитопроводности будут стремиться к нулю. Интересно отме™
тить, что когда диагональные элементы тензора магнитопроводности обращаются в нуль, диагональные элементы обратной матрицы (называемой тензором машито- сопротивления °) также обращаются в нуль (задача 9.14). Однако равенство нулю диагональных элементов тензора сопротивления qxx и Qyy в 2D электронном газе не означает, что образец стал сверхпроводящим. Если недиагональные элемен™ ты дху и Qyx не равны нулю, в образце происходит диссипация энергии.
Предположим теперь, что Т = 0 и концентрация 2В™электронов Ne такова, что уровень Ферми лежит чуть выше уровня Ландау с квантовым номером п. Поскольку вырождение каждого уровня Ландау равно « (вспомните, что мы пренебрегаем спи™ ном электронов), полное число электронов на этих п уровнях Ландау
Же =簿С (9.73)
Подставив сюда « из выражения (9.71), получим
Ne = пВ LxLy(e/he). (9.74)
Величина hc/e (с = 1 для единиц СИ)——самая маленькая единица магнитного по тока, который может проходить через орбиту электрона. Она называется квантом потока (обычно обозначается как Фо)- Величина BLxLy представляет собой полный магнитный поток Ф, проходящий через площадь LxLy. Таким образом, можно пере™ писать (9.74) в виде
“=几(@/m力 (975)
Пусть 7¥ф = Ф/Фо ——полное число квантов потока, охватываемых 2В™орбитой. Принято называть 沙=N®]N① фактором заполнения в 2D случае. В соответствии с (9.75)沙 равен номеру п последнего заполненного уровня Ландау, если уровень Фер™ ми лежит между п и n + 1. Обратная величина (沙)~' представляет собой среднее чис™ ло квантов потока, охватываемых каждым электроном в образце. Про эксперименты, которые выполняются при 〃》1, говорят, что они проводятся в режиме целочисленного КЭХ, в противном случае (沙 < 1) они проводятся в режиме дробного КЭХ. Если фактор заполнения для 2D равен целому числу п, то уровень Ферми лежит между уровнями Ландау п и п + 1, и диагональные элементы его тензора магнитосопротивления обращаются в нуль. (Если бы мы выбрали в качестве самого нижнего уровня Ландау п = 0, а не п = 1, то фактор заполнения отличался бы от п на единицу). Из этой простой картины (не учитывающей наличие беспорядка в образце) следует, что диагональные элементы тензора магнитосопротивления в 20-случае должны периодически обращаться в нуль в зависимости от магнитного поля — эффект, который и наблюдался фон Клитцингом и др. [9.72]. Однако в их результатах содержится и много интересных сюрпризов (см. п. 9.6.3). Эти экспериментальные результаты нельзя объяснить, не учитывая влияние беспорядка на транспорт электронов в 20-случае.
При выводе (9.70) мы пренебрегли спином электрона, который в случае свободных электронов в магнитном поле приводит к расщеплению уровней Ландау на △石=
=±-g//B^? где 〃в — магнетон Бора, a g ~ 2 — g-фактор электрона. В полупроводнике ДЕ1 определяется эффективным ^-фактором g*.On может значительно отличаться от g (для электронов в GaAs g* = 0,4). (См. задачу 9.16).
Эксперимент фон Клитцинга, Пеппера и Дорды. Геометрия образца, использованного фон Клитцингом и др. [9.72], показана на рис. 9.39 а. Он состоит из кремниевого полевого транзистора металл-окисел-полупроводник. Поперечное сечение образца схематически изображено на рис. 9.39 б. Двумерный электронный газ, являющийся «сердцем» эксперимента, «заперт» в инверсионном слое (см. гл. 8) вблизи интерфейса между двуокисью кремния (Si()2)и подложкой из Si p-типа. Изгиб
ааРис. 9.39. а) Вид сверху холловского образца (полевой транзистор металл—окисел— полупроводник [MOSFET]), использованного в эксперименте фон Клитцинга и др. 6) Попе™ речное сечение образца а вдоль поверхностного канала, в котором под затвором находится 2D газ электронов, в) Пространственное изменение энергии электронов поперек образца, ко гда в результате приложенного смещения образуется инверсный слой между подложкой и интерфейсом SiO2Рис. 9.39. а) Вид сверху холловского образца (полевой транзистор металл—окисел— полупроводник [MOSFET]), использованного в эксперименте фон Клитцинга и др. 6) Попе™ речное сечение образца а вдоль поверхностного канала, в котором под затвором находится 2D газ электронов, в) Пространственное изменение энергии электронов поперек образца, ко гда в результате приложенного смещения образуется инверсный слой между подложкой и интерфейсом SiO2
а
а
Рис. 9.39. а) Вид сверху холловского образца (полевой транзистор металл—окисел— полупроводник [MOSFET]), использованного в эксперименте фон Клитцинга и др. 6) Попе™ речное сечение образца а вдоль поверхностного канала, в котором под затвором находится 2D газ электронов, в) Пространственное изменение энергии электронов поперек образца, ко гда в результате приложенного смещения образуется инверсный слой между подложкой и интерфейсом SiO2
Рис. 9.39. а) Вид сверху холловского образца (полевой транзистор металл—окисел— полупроводник [MOSFET]), использованного в эксперименте фон Клитцинга и др. 6) Попе™ речное сечение образца а вдоль поверхностного канала, в котором под затвором находится 2D газ электронов, в) Пространственное изменение энергии электронов поперек образца, ко гда в результате приложенного смещения образуется инверсный слой между подложкой и интерфейсом SiO2
зон, возникающий вблизи этого интерфейса при приложении к подложке смещающе™ го напряжения для создания инверсионного слоя, показан на рис. 9.39 в. Подложка, слой Si()2 и металлический контакт сверху (называемый затвором) образуют емкость с параллельными пластинами. Полный заряд на этих электродах пропорционален напряжению на затворе Vg. В результате, изменяя %, можно изменять поверхностную плотность заряда “• Постоянное магнитное поле в эксперименте прикладывалось в направлении г, перпендикулярно к образцу. В образце с помощью приложенного потенциала поддерживался постоянный ток в направлении х и измерялись скачки напряжения поперек образца в направлениях х и у (обозначенные, соответственно, Uxx и Uxy). Напряжение Uxx пропорционально продольному удельному сопротивлению rxx)a Uxy ——поперечному удельному сопротивлению Qxy (хотя и с другой константой пропорциональности) и, следовательно, коэффициенту Холла (см. (5.81)).
Первые грубые результаты, полученные фон Клитцингом и др., воспроизведены на рис. 9.40. Обратите внимание на то, что U農農)Uxy и Ne обозначены на нем как U%, Uh и ^, соответственно. Как мы видим, Uxx (/ на рисунке) регулярно обращается
Рис. 9.40. Оригинальные экспериментальные кривые, на которых видны плато в КЭХ, и относящиеся к ним вычисления, приведшие к открытию квантового эффекта Холла. Хол™ ловское напряжение Uh и напряжение в направлении тока Ux для кремниевого полевого транзистора измерены в зависимости от напряжения на затворе % при фиксированном маг™ нитном поле. Напряжения на затворе, соответствующие целочисленным факторам заполне™ ния 2, 4 и 6, отмечены стрелками
в нуль при определенных значениях напряжения затвора. Последнее можно интер™ претировать как результат того, что фактор заполнения принимает целочисленные значения 2, 4 и 6, в согласии с теорией, приведенной в п. 9.6.2. Неожиданным ре™ зультатом оказалось образование плато Uxy (Uh на рис. 9.40) каждый раз, когда Uxx обращалось в нуль. Кроме того, значение поперечного сопротивления на этих плато (называемого также холловским сопротивлением) было равно 25,813 кОм, деленным на последовательные целые числа. Как видно из сделанных от руки пометок фон Клитцинга на рис. 9.40, этот «квант сопротивления» приведен в единицах фунда™ ментальных постоянных h/e2. С тех пор (с 1980 г.) значение h/e2 было измерено с точностью 2-10™7 и в настоящее время используется в качестве стандарта сопротивле™ ния. Появление плато в холловском сопротивлении (или холловских плато) не явля™ ется очевидным с точки зрения обсуждавшихся ранее магнитотранспортных свойств
двумерного электронного газа. Мы попросили Данг™Хай Ли дать упрощенное, но фи™ зическое объяснение этого интригующего явления, которое и приведено в следующем пункте.
Объяснение холловских плато в целочисленном квантовом эффекте Холла. Рассмотрение целочисленного КЭХ, которое мы приведем, основано на моде™ ли невзаимодействующих 2D электронов. Согласно имеющимся на настоящий момент сведениям, электрон—электронное взаимодействие является решающим фактором для дробного КЭХ, но целочисленный КЭХ может существовать даже при отсутствии этого взаимодействия. В основе объяснения целочисленного КЭХ лежит наличие беспорядка. В реальных образцах всегда присутствуют дефекты и несовершенства. Из-за возникновения индуцированного беспорядком потенциала дельта-функции 2D плот™ ности состояний, приведенные на рис. 9.38 6, будут уширены в пики, имеющие конеч™ ную ширину. Не равная нулю температура и конечный размер образца также вли™ я ют на это уширение. Хвосты пиков соответствуют хвостам плотности состояний, которые, как известно, существуют при наличии беспорядка и в запрещенной зоне объемных полупроводников. Электроны вблизи центров пиков являются подвижны™ ми, или делокализованными, и могут рассматриваться как аналоги свободных но™ сителей в зонах трехмерных полупроводниковых кристаллов. Электроны в хвостах пиков являются неподвижными, или локализованными, и поэтому не вносят вклад в проводимость. Граница между локализованными и делокализованными состояния™ ми называется краем подвижности. Края подвижности и локализованные состояния (затененные области), связанные с уровнями Ландау двумерных электронов, были схематически показаны на рис. 9.38 б. Край подвижности важен только для состоя™ ний, которые возникают в энергетических щелях вследствие беспорядка. Поскольку в трехмерном электронном газе между уровнями Ландау нет энергетических щелей, беспорядок в случае трехмерного магнитотранспорта не играет такой роли, как в дву™ мерном случае. Отметим, что концепция края подвижности использовалась ранее для аморфных полупроводников (т.е. при экстремальной степени беспорядка) [9.77, 9.78].
Рассмотрим, как беспорядок влияет на движение электронов в сильном магнитном поле. Для простоты предположим, что индуцированный дефектами потенциал Vdis медленно меняется в пространстве, т.е.
(976)(976)IV Vdis I В《方®с.
(976)
(976)
где 1в — магнитная длина, определенная выражением (9.71). В пределах это™ го приближения движение электронов можно рассматривать на основе классической теории как состоящее из двух частей: очень быстрое циклотронное движение и мед™ ленный дрейф ведущего центра (см. п. 9.6.1) вдоль эквипотенциальных контуров, определенных полным потенциалом У (суммой любого приложенного электрического потенциала и Vdis)- Направление дрейфа определяется направлением силы Лоренца: ▽卜 x В.
Простой способ превратить классическую картину в квантово-механическую за™ ключается в использовании условия квантования Бора-Зоммерфельда [9.76]. В ре™ зультате квантования площади, охватываемые циклотронными орбитами в Д>ттрсь странстве, выражаются в виде величин, кратных Л (см. (9.72)), в то время как в реальном пространстве они охватывают целое число квантов потока. Наличие бесись рядка не влияет на эти условия в пределах приближения (9.76). Для простоты предположим, что концентрация электронов (и, следовательно, Ер) фиксирована, а величина магнитного поля варьируется. Хотя это предположение противоречит условиям эксперимента фон Клитцинга и др. (см. рис. 9.40), было показано, что идентичные холловские плато наблюдаются и в такой конфигурации. Последнее неудивительно, поскольку поле Холла, определенное выражением (5.80 а), зависит одинаковым образом от магнитного поля и от обратной величины концентрации носителей.
Предположим, что флуктуации Кп$ меньше, чем (1/2)%®с • Заметьте, что вслед™ ствие уширения в ПС, вызванного беспорядком, энергия Ферми 石f может распо™ лагаться где угодно между двумя уровнями Лан дау, а не обязательно посередине между ними, как при отсутствии беспорядка. «Ведущим центрам» элек™ тронных орбит приписывается квантовое число По уровня Ландау, ближайшего к 石f* За исключением случая, когда уровень Ферми Ер расположен в точности посередине между уровнями Ландау, По определяется однозначно. При Т = О контуры потенциала с Е < Ер содержат орбиты «ведущих центров», занятые элек™ тронами, в то время как контуры с Е > Ер содержат пустые орбиты. Таким об™ разом, вблизи минимума потенциала У все эквипотенциальные контуры со значе™ ниями энергии меньше, чем Ер, будут заняты электронами. В литературе области, заполненные орбитами «ведущих центров», занятых электронами, называются квантовыми холловскими каплями. Электроны, которые находятся на самых внешних орбитах, называются краевыми электронами. Поскольку эти электроны расположе™ ны около уровня Ферми, только они играют существенную роль в переносе заряда. Эффект увеличения магнитного поля В заключается в увеличении 方®с или уменьшении 1в и, следовательно, в уменьшении размеров квантовых холловских капель. На рис. 9.41 а схематически изображены краевые электроны и соответствующие холловские капли в случае, когда магнитное поле достаточно велико для того, чтобы уровень Ферми лежал в области локализации ниже первого уровня Ландау (см. диа™ грамму на рис. 9.41 а). Когда поле уменьшается настолько, что Ер располагается при энергии непосредственно выше области делокализации (график на рис. 9.41 в), раз™ мер холловских капель настолько увеличивается, что они заполняют большую часть образца, оставляя только маленькие области — «карманы», которые не содержат занятых электронами орбит (дырочные капли).
Схематическое изображение орбит краевых электронов на рис. 9.41 позволяет нам объяснить появление холловских плато. При большом В размеры квантовых холловских капель (рис. 9.41 а) малы и капли хорошо отделены друг от друга в долинах потенциала беспорядка. Поэтому орбиты краевых электронов не пересекаются, эти электроны локализованы и ахх = аху = 0. При уменьшении В квантовые холловские капли увеличиваются в размере и некоторые из них начинают перекрываться. Однако ахх и аху продолжают оставаться равными нулю до тех пор, пока число перекрывающихся капель слишком мало и проводящий канал между электродами не может образоваться (последняя ситуация называется перколяцией). Наконец, когда В уменьшается настолько, что большое число капель сливается, становится возможной перколяция электронов от одного электрода к другому. В то же самое время самая внешняя орбита ведущего центра мигрирует к физической границе образца (рис. 9.41 в). Когда это происходит, продольное удельное сопротивление qxx (а также ахх) становится равным нулю, а аху ——равной е2/h. В сущности, аХу/(е2/Л) играет роль счетчика числа краевых каналов в процессе перколяции. Таким образом, поперечная проводимость аху переключается от плато // = 0, где аху = 0, к плато 沙=1, где аху = е2/h (рис. 9.42。). Соответствующее поведение аху (или Uh) в зависимости от плотности электронов Ne (или Vg в эксперименте фон Клитцинга и др.) показано на рис. 9.42 б. Продолжение описанного процесса для уровней Ландау с 〃 = 2 объясняет появление холловских плато, связанных с более высокими целочисленными значениями у.
Представляет интерес и промежуточная область между двумя плато. На краю плато, соответствующего 〃 = 0, когда ахх должна вот-вот стать не равной нулю, происходит дивергенция размера самой большой электронной капли. С другой стороны, вблизи плато с // = 1, когда ахх должна вот-вот стать равной нулю, происходит дивергенция размера самой большой «дырочной» капли. На рис. 9.41 б мы попытались схематически изобразить орбиты краевых электронов. Для очень больших образцов при Т = 0 переход происходит чрезвычайно резко и его следует трактовать как фазовый переход. Граница между холловскими электронными и дырочными
а Холловский образеца Холловский образецПСПСРис. 9.41. Схематическое изображение квантовых холловских капель (затененные области), орбита краевых электронов (кривая со стрелками) и ПС для трех положений уровня Ферми относительно края подвижности: а) Ер ниже края подвижности в области локализованных состояний (затененные области в ПС); б) Ер в режиме делокализации; в) Ер снова в обла™ сти локализации, но выше делокализованных состояний. Плотность состояний соответствует образцу конечных размеров при Т > ОРис. 9.41. Схематическое изображение квантовых холловских капель (затененные области), орбита краевых электронов (кривая со стрелками) и ПС для трех положений уровня Ферми относительно края подвижности: а) Ер ниже края подвижности в области локализованных состояний (затененные области в ПС); б) Ер в режиме делокализации; в) Ер снова в обла™ сти локализации, но выше делокализованных состояний. Плотность состояний соответствует образцу конечных размеров при Т > Ойюс/2йюс/2
а Холловский образец
а Холловский образец
ПС
ПС
Рис. 9.41. Схематическое изображение квантовых холловских капель (затененные области), орбита краевых электронов (кривая со стрелками) и ПС для трех положений уровня Ферми относительно края подвижности: а) Ер ниже края подвижности в области локализованных состояний (затененные области в ПС); б) Ер в режиме делокализации; в) Ер снова в обла™ сти локализации, но выше делокализованных состояний. Плотность состояний соответствует образцу конечных размеров при Т > О
Рис. 9.41. Схематическое изображение квантовых холловских капель (затененные области), орбита краевых электронов (кривая со стрелками) и ПС для трех положений уровня Ферми относительно края подвижности: а) Ер ниже края подвижности в области локализованных состояний (затененные области в ПС); б) Ер в режиме делокализации; в) Ер снова в обла™ сти локализации, но выше делокализованных состояний. Плотность состояний соответствует образцу конечных размеров при Т > О
йюс/2
йюс/2
каплями должна быть фрактальной и не может изображаться простыми кривыми, показанными на рис. 9.41 б. Соответствующие переходы между холловскими плато также должны быть бесконечно резкими (штриховые линии на рисунке 9.42). Однако вследствие конечного размера образца и не равной нулю температуры эти перехо™ ды (в области б) уширены (сплошные кривые на рис. 9.42). В рассмотренной выше картине перколяции не придается большого значения квантовому туннелированию в процессе перехода между двумя плато. Оказывается, что игнорирование процессов туннелирования не мешает пониманию причины существования плато, хотя и оказы™ вает влияние на возможность предсказать истинную природу переходов. Кроме того,
pxy(UH)pxy(UH)Рис. 9.42. а) Схематическая зависимость переключения недиагонального элемента тензора магнитопроводности аху от одного холловского плато к другому от магнитного поля при постоянной концентрации электронов Ne. б) Переключение холловского удельного сопро тивления Qxy в зависимости от Ne (или 瞑)при постоянном магнитном поле. Области 7)2 и 3 отвечают ситуациям, изображенным на рис. 9.40 а, бив. Штриховые кривые соответ™ ствуют Т = 0 и двумерному образцу бесконечно больших размеров, а сплошные ——более реальной ситуации с образцом конечных размеров и Т > 0Рис. 9.42. а) Схематическая зависимость переключения недиагонального элемента тензора магнитопроводности аху от одного холловского плато к другому от магнитного поля при постоянной концентрации электронов Ne. б) Переключение холловского удельного сопро тивления Qxy в зависимости от Ne (или 瞑)при постоянном магнитном поле. Области 7)2 и 3 отвечают ситуациям, изображенным на рис. 9.40 а, бив. Штриховые кривые соответ™ ствуют Т = 0 и двумерному образцу бесконечно больших размеров, а сплошные ——более реальной ситуации с образцом конечных размеров и Т > 0
pxy(UH)
pxy(UH)
Рис. 9.42. а) Схематическая зависимость переключения недиагонального элемента тензора магнитопроводности аху от одного холловского плато к другому от магнитного поля при постоянной концентрации электронов Ne. б) Переключение холловского удельного сопро тивления Qxy в зависимости от Ne (или 瞑)при постоянном магнитном поле. Области 7)2 и 3 отвечают ситуациям, изображенным на рис. 9.40 а, бив. Штриховые кривые соответ™ ствуют Т = 0 и двумерному образцу бесконечно больших размеров, а сплошные ——более реальной ситуации с образцом конечных размеров и Т > 0
Рис. 9.42. а) Схематическая зависимость переключения недиагонального элемента тензора магнитопроводности аху от одного холловского плато к другому от магнитного поля при постоянной концентрации электронов Ne. б) Переключение холловского удельного сопро тивления Qxy в зависимости от Ne (или 瞑)при постоянном магнитном поле. Области 7)2 и 3 отвечают ситуациям, изображенным на рис. 9.40 а, бив. Штриховые кривые соответ™ ствуют Т = 0 и двумерному образцу бесконечно больших размеров, а сплошные ——более реальной ситуации с образцом конечных размеров и Т > 0
из нынешнего понимания эффекта следует, что на детали переходных областей могут оказывать влияние электрон-электронные взаимодействия. Обсуждение этого вопро™ са выходит за рамки нашего простого эвристического подхода.
Приведенное выше рассмотрение представляет собой пример объяснения холлов™ ских плато в двумерном электронном газе. Подчеркнем, что в данном рассмотрении игнорируются электрон-электронные взаимодействия. Поскольку они ответственны за появление плато в режиме дробного КЭХ, наша модель не может объяснить поя в™ ление плато при дробных числах заполнения или переходы между этими плато. В период написания книги все еще не существовало детальной теории о критической природе переходов между дробными холловскими плато. Возможно, одним из спосо™ бов понять происхождение дробных холловских плато является введение нового типа дробных квантовых холловских капель, которые также обладали бы краевыми состо™ яниями. Тогда можно приписать дробный К ЭХ появлению этих краевых состояний у границы образца, как и в случае целочисленного К ЭХ [9.79, 9.80] 1).
Заключительные замечания
Обсуждением К ЭХ уместно закончить настоящую книгу. Его открытие показывает, что в области исследования полупроводников могут появляться новые, неожиданные и интригующие, физические явления. Появление полупроводниковых материалов, которые оказываются более чистыми, принадлежат к иному классу или имеют искусственно созданную структуру, часто приводит и к открытиям новых явлений, а также к новым применениям. Прекрасным примером является изготовление синтетических слоистых структур, например, обсуждавшихся в настоящей главе квантовых ям и сверхрешеток. Хотя первоначально эти структуры были предложены для применения в электронных приборах, позже их значение оказалось намного шире всего, что можно было вообразить. Они стали толчком, способствовавшим развитию
* За открытие [9.81] и развитие теории [9.82] дробного КЭХ Штёрмер, Цуи и Лафлин были удостоены Нобелевской премии по физике в 1998 г.
многочисленных новых областей, не связанных с физикой полупроводников и электронными приборами, таких как материаловедение, физика поверхностей, молекуляр™ ные физика и химия. Учитывая тот факт, что многие новые методы роста и изготовле™ ния полупроводников изучаются и совершенствуются в ведущих лабораториях мира, можно уверенно предсказать, что физика полупроводников еще не достигла насы™ щения и продолжает быстро развиваться. Мы надеемся, что данная книга послужит связующим звеном между прошлым, когда в центре исследований были объемные свойства полупроводников, и будущим, когда все возрастающую роль начинают играть различные наноструктуры, такие как квантовые проволоки и квантовые точки.
Задачи
Частица в одномерном потенциале прямоугольной ямы.
С помощью персонального компьютера и программы вычислений типа Mat head D или Mathematica 2^ вычислите:
энергии связанных состояний частицы с изотропной массой ш*, равной 0,045 массы свободного электрона (для сравнения с эффективной массой электрона в зоне проводимости твердого раствора Ga0,47ln0;53As), находящейся в яме с одномерным прямоугольным потенциалом высотой 0,5 эВ. Проведите вычисления для ширины ямы, равной 50, 100 и 150 А, и сравните полученные результаты с приведенными на рис. 9.7 и основанными на более точных вычислениях [9.20];
вероятности найти частицу внутри ямы для этих связанных состояний;
повторите вычисления для ямы 50 А, предположив, что масса частицы в барьере равна только половине ее массы в яме. Можно ли, основываясь только на (9.13), предсказать, будут теперь энергии связанных состояний больше или меньше, чем раньше?
Частица в одномерном периодическом потенциале прямоугольной ямы (или потенциале Крони г а—Пенни ).
С помощью персонального компьютера и программы вычислений типа Mat head или Mathematica рассчитайте зависимость собственных значений для одномерного периодического потенциала прямоугольной ямы высотой 0,4эВ от волнового вектора к для нескольких дискретных значений к между 0 и тг/а, где а = 30 А — ширина как ямы, так и барьера. Постройте структуру минизон и сравните полученные энергии экстремумов зон и ширины с приведенными на рис. 9.9.
Поперечные фононы в тетраэдрических структурах.
Объясните, почему (9.22) справедливо для продольных, но не справедливо для поперечных фононов сверхрешетки SizGe?, выращенной вдоль направления [100]. Какие нужны изменения, чтобы получить соответствующие уравнения для поперечных мод? У каз ан и е: исследуйте модель структуры GaAs, сделанную из палочек и шариков.
Продольные фононы в сверхрешетках.
Получите выражения (9.23) и (9.24), подставив в (9.22) нечетные или четные смещения по отношению к середине между монослоями В-В на рис. 9.14.
Покажите, что для к = tv/d картина смещений также является нечетной или четной по отношению к середине между В-В, но в отличие от случая к = 0, картина, нечетная (четная) относительно середины между В-В, является четной (нечетной) относительно середины между А-А. Получите следующее выражение для четырех собственных частот при к = тг/d:
2 _ £ (Зтв + П1А)±，(Зшв + П1А)2 — А^вCd = / -~
и подобное же выражение при перестановке ша и шв-
1)Mathcad является торговой маркой MathSoft, Inc.
2)Mathematica является торговой маркой Wolfram Research, Inc.
Расщепления акустических мод в сверхрешетках.
Использовав (9.27), получите выражение для расщеплений сложенных акустиче™ ских фононов в центре и на краю минизоны Бриллюэна в зависимости от б.
Электростатический потенциал интерфейсных мод.
Постройте зависимость потенциала <^> (ж) для интерфейсных мод, отвечающих КЯ, описанной в подписи к рис. 9.19, для нескольких значений кх. Объясните зависимость от кх. Покажите, что соответствующее поле Е не является ни продольным, ни попе™ речным относительно направления распространения (в плоскости).
Угловая зависимость интерфейсных мод.
Постройте дисперсионную зависимость ®(g1r), полученную из (9.39 а) для МКЯ GaAs/AlAs, используя в качестве оси абсцисс приведенный волновой вектор @ = =dqx/7r вместо qx и "а/"в в качестве параметра. Объясните зависимость этой дио Персии от "а/"в.
Повторите часть (а) для МКЯ Ge/GaAs. (Вспомните, что у Ge нет инфракрасно™ активных фононов, и поэтому его e(g) не обладает дисперсией в инфракрасной об™ ласти).
Правила отбора при рассеянии н а сложенных акустичес™ к и х модах.
Покажите, что в то время как при @ = 0 в рамановском рассеянии должна наблю™ даться только одна компонента сложенного акустического дублета, при @ # 0 должны появляться обе компоненты. Что произойдет при ? = 1? (См. рис. 9.24).
Влияние фл уктуаци й толщины при резонансном рассеянии света.
В п. 9.4.1 мы показали, что при рассеянии на акустических фононах в неоднородно уширенной МКЯ в основном виден широкий, похожий на люминесценцию фон (см. рис. 9.25).
Объясните, почему подобное явление не наблюдается для оптических фононов.
Получите выражение для подгоночной кривой на рис. 9.26 в зависимости от неоднородных флюктуаций запрещенной зоны. Покажите, что ширина этой кривой («12 мэВ) примерно в четыре раза больше, чем неоднородная ширина g.
Точечная группа и правила отбора для сверхрешеток [001].
Найдите неприводимые представления для LO и ТО фононов в случае сверхрешетки GaAs/AlAs, выращенной вдоль направления [001], для четных и нечетных значений т. В этом случае точечной группой является 厶小 а ее таблица характеров приведена ниже.
Е
2S：
出
2Q
2%
1
1
1
1
1
1
1
1
一1
一1
1
—1
1
1
—1
1
一1
1
一1
1
2
0
—2
0
0
Покажите, что LO-моды с четными т имеют рамановский тензор, определяемый выражением (9.50).
Указание: см. [9.83].
Точечные группы сверхрешеток А В / С D типа цин ко вой обманки.
Определите, к какой точечной группе принадлежит сверхрешетка GaAs/AlSb, выращенная вдоль направления [001]. Обратите внимание, что может существовать три неэквивалентных структуры такого типа в зависимости от того, каковы интерфейсы между слоями GaAs и AlSb: а) слои GaSb, б) слои AlAs, в) слои AlAs и GaSb попеременно.
Правила отбора для рассеяния назад на LO-фононах.
Получите правила отбора для рассеяния назад на L0 фононах для поляризаций 瓦 и 2s (параллельных и скрещенных) вдоль [ПО] и [ПО] для МКЯ GaAs/AlAs, выращенной вдоль [001].
Зависимость электрон-фононного взаимодействия от ширины К Я .
Объясните на качественном уровне следущие черты теоретических кривых на рис. 9.32, показывающих зависимость силы взаимодействия между электронами в квантовых ямах для мод различных интерфейсных и пространственно ограниченных оптических фононов:
-существует очень малая разница между кривыми 恥 и Жз, которые рассчитаны, соответственно, с помощью «модели диэлектрического континуума» и «модели Хуан— Жу». С другой стороны, кривая W2, рассчитанная на основе «механической модели», отвечает гораздо меньшим интенсивностям рассеяния, чем Wi и W3.
—теоретические интенсивности рассеяния в случае всех трех кривых Ж1™Жз для мод пространственно ограниченных оптических фононов уменьшаются при уменьшении ширины квантовой ямы. С другой стороны, интенсивность рассеяния для моды интерфейсных фононов (кривая 双+由)возрастает с уменьшением ширины квантовой ямы.
Исходя из типа деформационного потенциала электрон-фононного взаимодействия и его зависимости от волнового вектора фонона в объемных полупроводниках, объясните на качественном уровне, какой вы ожидаете увидеть зависимость электрон-фононного взаимодействия деформационного потенциала от ширины квантовой ямы для
пространственно ограниченных поперечных оптических фононов и
свернутых продольных акустических фононов.
Туннелирование через одномерный барьер.
Используйте формализм матриц переноса в (9.58), (9.59) и вычислите коэффициент пропускания для электрона, туннелирующего через одномерный барьер на рис. 9.34, в зависимости от энергии электрона. Сделайте это сначала для нулевого смещения, а потом для смещения 0,1 В. Во втором случае Вам придется приближенно представить потенциал смещения в виде ряда прямоугольных потенциалов. Начните со сравнительно малого числа прямоугольных ям (например, с четырех) и выясните, насколько хорошо Вы можете воспроизвести результат, приведенный на рис. 9.34. Затем удвойте число ям и посмотрите, насколько близко сходятся Ваши результаты с приведенными на рис. 9.33.
Тензор магнитопроводности и тензор магнитосопротивления в 2D случае.
Покажите, что тензор магнитопроводности двумерного (2D) электронного газа в плоскости ху с магнитным полем, направленным перпендикулярно к этой плоскости, имеет вид
когда факторы заполнения уровней Ландау являются целыми числами. Покажите, что соответствующий тензор магнитосопротивления имеет вид
0 =0 =01/ху01/хуоо
0 =
0 =
0
1/ху
0
1/ху
о
о
Эффективный g- фактор электронов зоны проводимости в полупроводниках типа цинковой обманки.
Изучая квантовый эффект Холла в § 9.6, мы полностью пренебрегали спином электрона. В принципе, приложенное магнитное поле будет действовать на магнитный момент электрона. В случае электронов в атомах их магнитные момен-
ты имеют двойственную природу: вследствие орбитального движения электрона и вследствие его спина. Взаимодействие между приложенным магнитным полем и магнитным моментом электрона ведет к расщеплению энергетических уровней электрона, т.е. к так называемому эффекту Зеемана. Для электронов в полупроводниках, подобных GaAs, вызванное магнитным полем зеемановское расщепление энергетического уровня электрона может быть существенно уменьшено в результате спин-орбитального взаимодействия. В данной задаче предлагается показать, как появляется проводящий электрон с эффективным g-фактором^ величина которого может быть больше или меньше, чем у свободного электрона (g = 2). Прежде, чем пытаться решить эту задачу, читателю следует изучить Приложение 9.1: эффективный g-фактор (g*) электронов в полупроводниках на Web-сайте http://Pauline.Berkeley.edu/textbook/Appendices.
Предположим, что полупроводник типа цинковой обманки может быть представлен тремя зонами вокруг его запрещенной зоны при к = 0. Одна из них является зоной проводимости с вырожденным спином и симметрией ** Две другие ——валентными зонами с симметриями 几(соответствует J = 3/2 зонам) и Гу (соответствует J = 1/2 отколотой зоне). Обозначим энергию запрещенной зоны (т.е. расстояние между зоной проводимости и валентной зоной 丁8)石съ а спин-орбитальное расщепление между двумя валентными зонами ——До (см. табл. 6.2).
Используя приближение эффективной массы, покажите, что проводящий электрон при наличии приложенного магнитного поля ведет себя так, как если бы его g-фактор имел эффективную величину
.
ЗтЕ()(Eq + До)
Матричный элемент 严 задан выражением (2.42).
С помощью (2.43) выразите g* через эффективную массу проводимости ш* вместо Р2. Используя величины 石о, Ло и ш* для GaAs, GaN, InSb и ZnSe, данные табл. 2.2, рассчитайте теоретические значения g* и сравните их с экспериментальными:
Полупроводник
Экспериментальное значение g*
GaAs
0,44
GaN
1,98
InSb
—51
ZnSe
1,15
Более поздние результаты по g*-фaктopy в полупроводниках см.: М. Willatzen, М. Cardona, N.E. Christensen: Spin-orbit coupling parameters and electron g factor of II—IV zinc-blende materials. Phys. Rev. B51, 17992-17994 (1995).
Заключение
В настоящей главе изучалось влияние квантового размерного эффекта на электроны и фононы в полупроводниках с искусственной слоистой структурой, которые называются квантовыми ямами и сверхрешетками и обычно выращивают методом молекулярно—пучковой эпитаксии. Вследствие ограниченного объема книги мы рассматривали главным образом системы, состоящие из слоев с согласованными постоянными решеток (GaAs, AlAs и их твердые растворы). Однако эта система является достаточно разносторонней, что позволило продемонстрировать многие физические явления, такие как образование электронных подзон и минизон, квантование оптических фононов, сложение акустических фононов и появление интерфейсных мод. Мы также проиллюстрировали влияние квантования на транспортные свойства носителей в этих материалах, изучая явления резонансного туннелирования и целочисленный квантовый эффект Холла. Отметим, что дробный квантовый эффект Холла является сейчас одной из увлекательнейших областей современных и следований.
ДОПОЛНЕНИЕ:
ПЕРВОПРОХОДЦЫ ФИЗИКИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ ВСПОМИНАЮТ …
У физики полупроводников длинная и замечательная история. Кульминацией ранних исследований было изобретение транзистора Бардиным, Шокли и Бреттеном в 1948 г. Более современные исследования привели к открытию в 1962 г. лазерного диода независимо тремя группами. Многие выдающиеся физики внесли свой вклад в эту плодотворную и захватывающую область науки. В последующих коротких сообщени™ ях некоторые из первооткрывателей воскрешают исторические мгновения, благодаря которым физика полупроводников стала такой, какой мы ее знаем теперь. Среди этих первооткрывателей (в алфавитном порядке):
Элиас Бурштейн
Почетный профессор физики,
Университет Пенсильвании, Филадельфия, РЛ, США.
Главный редактор Solid State Communications 1969—1992;
Медаль Джона Прайса Ветзерилла, Франклиновский институт, 1979 2；
Премия Франка Изаксона, Американское физическое общество^ 1986 г.
Лео Есаки
Президент Университета Тсукуба, Тсукуба, Япония.
Нобелевская премия по физике, 1973 г.
Шарль Киттель
Почетный профессор физики, Университет Калифорнии^ Беркли^ С А, США. Премия Оливера Бакли, Американское физическое общество^ /957а;
Медаль Эрстеда, Американское общество преподавателей физики^ 1978 г.
Клаус фон Клитцинг
Директор^ Институт Макса Планка по изучению твердых тел, Штуттгарт, Германия.
Нобелевская премия по физике, 1985 2.
Марвин Коэн
Профессор физики, Университет Калифорнии, Беркли, С А, США.
Премия Оливера Бакли, Американское физическое общество^ 1979 г.
Премия Юлиуса Эдгара Лилиенталя^ Американское физическое общество^ 1994 г-
Невилл Смит
Руководитель научной программы, «Новые источники Светам, Лаборатория Лоуренса Беркли^ Беркли, СЛ, США.
Премия С П Дэвиссона и Л.Х. Джермера, Американское Физическое Общество , 1991 г.
Ян Тауц
Почетный профессор физики и техники, Университет Брауна,
Провиденс, Ж/, США.
Премия Александра фон Гумбольда, 1981 г.;
Премия Франка Изаксона^ Американское физическое общество^ 1982 г.
Эжен Халлер
Профессор материаловедения и техники минералов,
Университет Калифорнии, Беркли, СЛ, США.
Премия Александра фон Гумбольдщ 1986 г.
Премия Макса Планка за исследования, 1994 乙
Конверс Херринг
Профессор прикладной физики^ Университет Стэнфорда^ Стэнфорд, СЛ, США. Премия Оливера Бакли^ Американское физическое общество^ 795,2*;
Премия Вольфа по физике, 1985 г.
СВЕРХЧИСТЫЙ ГЕРМАНИЙ: ОТ ПРИКЛАДНЫХ ДО ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ, ИЛИ НОВЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ СТАРОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Эжен Э. Халлер
Университет Калифорнии, Беркли, США
Представьте себе, что Вы приходите утром в лабораторию, и кто-то спрашивает Вас, можно ли вырастить монокристалл германия с концентрацией легирующей при™ меси в диапазоне 1010 + 1011см^3! Вы быстро сравниваете эту концентрацию с числом атомов в одном см^3 Ge, которое близко к 4 • 1022. Вы молча недоумеваете, как это кто-то может спрашивать, можно ли получить материал, чистый на 99,999999999 %. Самые чистые химикалии бывают обычно в 100 или 1000 раз более грязными. Роберт И. Холл из Компании Дженерал Электрик высказал в 1968 г. предположение [1], что такие кристаллы могут быть выращены, и что они будут чрезвычайно полезны для изготовления p-i-n переходов очень большого объема (до 400 см3) для использования в качестве детекторов гамма-лучей [2].
Когда я появился в Беркли после защиты докторской диссертации, я вошел в группу Ф.С. (Фреда) Голдинга, который возглавлял одну из ведущих групп по полупроводниковым детекторам и электронике в лаборатории Лоуренса Бэркли (LBL), называвшейся тогда радиационной лабораторией. Там я познакомился с В.Л. (Биллом) Хансеном. Он включился в гонку за выращивание сверхчистого монокристалла Ge, получение которого Холл считал возможным. Билл был очень знающим человеком в области химии, физики и лабораторной техники общего характера. Кроме того, он был наиболее быстро работающим экспериментатором из тех, кого мне когда-либо приходилось встречать. Я начал работать с Биллом и Фредом над кристаллами Ge, находясь в несколько подавленном состоянии. Когда Билл испытывал различные установки для роста кристаллов методом Чохральского [3], он упорно стремился к созданию сверхчистых условий роста, используя самое простое устройство для роста кристалла, наиболее чистый тигель из синтетического Si()2 для расплава Ge и водород, очищенный в диффузионной системе с Pd. Я же, со своей стороны, пытался создать арсенал различных характеризационных методик, которые позволили бы нам выяснить в течение нескольких часов, какой чистоты и кристаллического совершенства мы достигли. Встречи IEEE по ядерным исследованиям, проходившие каждую осень, были форумом, где мы «скрещивали шпаги» с Холлом [4-7]. Это было упорное соревнование. Преимуществом Холла являлся огромный опыт еще с тех времен, когда был впервые очищен Ge и выращены монокристаллы для транзисторов. Нашим преимуществом оказалось блаженное невежество, а также доброжелательные и готовые придти на помощь коллеги. Кроме того, никто не мог сравниться с проворством Билла в испытании новых методов очистки и роста кристаллов. Этап наших исследований, на котором мы узнали от Холла о существовании сверхчувствительной методики фотопроводимости, был очень важным. С ее помощью можно определять чрезвычайно малые количества примесей в монокристаллах Ge. Эта методика открыта русскими учеными в Институте радиотехники и электроники в Москве (см. [8, 6.85] а также рисунки 6.39 и 6.40). Они обнаружили, что двухступенчатый процесс ионизации мелких водородоподобных доноров или акцепторов в очень холодном кристалле приводит к появлению чрезвычайно резких пиков фотопроводимости, характерных для каждого
вида легирующей примеси. У Пауля Ричардса в Отделении Физики Калифорний™ ского Университета в Беркли был самодельный Фурье-спектрометр для далекой инфракрасной области и дьюар, обеспечивающий температуру жидкого гелия. К концу первого дня экспериментов мы получили спектр кристалла Ge р™типа высокой сте・ пени чистоты со средней концентрацией акцепторов всего 1010 см^3. Кроме того, мы знали, что главными остаточными примесями являлись фосфор и алюминий.
Параллельно с новыми интересными физическими исследованиями мы занимались в LBL изготовлением детекторов гамма-лучей. Мы с нашими сверхчистыми кристаллами побили рекорды разрешения пиков гамма-лучей [2]. Скоро этим заинтересовались производители коммерческих детекторов и начали свои собственные программы по выращиванию сверхчистого Ge. Через несколько лет ряду компаний в США и Европе удалось получить монокристаллы большого диаметра (> 8 см) с невероятно хорошим выходом, прекрасными данными по чистоте(< 2 • 1010 см-3) и очень малой концентрацией (108 см-3) дефектов с глубокими уровнями, которые бы вредно влияли на накопление заряда в коаксиальных р-г-п диодах большого размера. Для достижения наилучшего спектрального разрешения электроны и дырки должны иметь среднюю длину свободного пробега до нескольких метров. Большинство физиков, занимающихся полупроводниками, только качали головами, будучи не в состоянии постигнуть эти цифры.
Насколько чистым является сверхчистый Ge? Те, кого интересуют только электрически активные примеси, сказали бы, что кристаллы с количеством примесей несколько единиц на 1010 см-3 выращиваются рутинным способом. Но существуют ли другие, неактивные примеси? Конечно, они существуют. Водород, кислород, кремний и углерод обычно присутствуют в концентрациях вплоть до 1014 см-3, в зависимости от условий роста кристалла. Эти примеси не мешают работе Ge в качестве детекторов радиации при соблюдении определенных условий: отсутствии нагрева до температур выше 350 ℃ и быстрых изменений температуры. Можем ли мы уменьшить концентрацию указанных четырех неактивных примесей? Да, это возможно, но определенной ценой. Удаление водорода путем роста в вакууме приводит к появлению примесей, которые нельзя потом удалить из вытягивателя кристалла. Кроме того, водород пассивирует дефекты и примеси с глубокими уровнями, всегда присутствующие в очень малых концентрациях. Свободный кислород и кремний возникают при восстановлении сверхчистого кремниевого тигля расплавленным Ge. Мы не знаем ни одного материала, который бы мог заменить кремний, за исключением разве что графита. Многочисленные попытки вырастить сверхчистый Ge в графитовых тиглях пока окончились неудачей, поскольку полученные кристаллы содержали слишком много акцепторов А1. В самое последнее время интерес к Ge резко вырос в связи с тем, что из России можно получить изотопически чистый Ge. Были выращены изотопически чистые объемные кристаллы Ge [9-12] и изотопические сверхрешетки [13]. Несколько групп сейчас заняты исследованиями новой физики фононов и процессов транспорта электронов в этих изотопически контролируемых кристаллах и мультислоях. Получили ли мы в конце концов идеальный материал: изотопически и химически чистые и кристаллографически совершенные монокристаллы Ge? Возможно, ответ будет отрицательным, но я, право, не знаю, какой еще параметр можно было бы контролировать.
Список литературы
Hall R.N.// Proc, of the 12th Int. Conf, on Physics of Semiconductors/Ed. M.N. PiL kuhn. — Stuttgart: Teubner, 1974. P. 363.
Haller E.K, Goulding F.S.// Handbook on Semiconductors/Ed. C. Hilsum. —N.Y.: Elsevier, 1993. V. 4. P. 937—963“
Hansen W.L., Haller E.K// Mater. Res. Soc. Proc. 1983. V. 16. P. 1.
Hall RN, Soltys TJ.// IEEE Tpans. NucL Sci. 1971. V. NS™18. P. 160.
31 M. Кардона
Haller ЕЕ, Hansen Ж£., Goulding F.S.// IEEE Tpans. Nucl. Sci. 1973. V. NS™20. P. 481.
Haller E.K, Hansen W.L., Hubbard G.S., Goulding F.S.// IEEE Trans. Nucl. Sci. 1976. V.NS^23. P. 81.
Haller EE, Hansen Ж£., Goulding F.S.// Adv. Phys. 1981. V. 30. P. 93.
Haller EE〃 Physics. 1987. V.146B. P. 201.
Haller EE// Semicond. Sci. Technol. 1990. V. 5. P. 319.
Haller E.E.// Solid State Phenom. 1993. V. 32—33/ P. 11.
Davies G.)Hartung J., Ozhogin У., Itoh K., Hansen Ж£., Haller EE" Semicond. Sci. Technol. 1993. V. 8. P. 127.
Fuchs H.D., Etchegoin P., Cardona M, Itoh K, Haller E.E.// Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 1715.
Spitzer J., Ruf T., Cardona M, Dondl Ж, Schorer R., Abstreiter G., Haller E.E.// Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72* P. 1565.
ДВА МЕТОДА ПСЕВДОПОТЕНЦМАЛА: ЭМПИРИЧЕСКИЙ И АВ INITIO
Марвин Л. Коэн
Университет Калифорнии, Беркли, США
Разработка методов, с помощью которых можно было бы детально определять электронную структуру кристаллов, заняла сравнительно много времени. Напротив, в случае газов проникновение в тайну атомных энергетических уровней шло рука об руку с развитием квантовой теории. Оптические спектры атомов имеют резкие линии, которые можно интерпретировать как возбуждения электронов из заполненных состояний в пустые. Эти исследования являлись важной проверкой теории. Однако по сравнению со спектрами атомов спектры твердых тел — широкие, поскольку взаимодействия между атомами приводят к уширению разрешенных заполненных и пустых уровней энергии в энергетические зоны. Последнее делало интерпретацию спектров в терминах электронных переходов очень трудной. Для интерпретации спектров твердых тел необходимы точные и надежные структуры электронных энергетических зон, но их трудно получить.
Поведение электронов в твердых телах описывается, в принципе, уравнением Шрёдингера; однако из него, не делая приближений, крайне трудно найти решения для уровней энергии электронов и волновых функций. Несмотря на значительные усилия, ситуация к 1960 г. все еще оставалась неудовлетворительной. Были созданы модели твердых тел, позволившие на редкость успешно объяснить многие физические явления, такие как электронная теплоемкость и сверхпроводимость. Однако не существовало расчетов, которые могли бы предсказать зонную структуру и другие свойств для вполне определенных материалов.
Важным промежуточным шагом стала разработка модели эмпирического псевдопотенциала (МЭП). Псевдопотенциалами пользовались, начиная с 1934г., когда Ферми ввел эту концепцию для изучения энергетических уровней в щелочных атомах. Поскольку его интересовали сильно возбужденные атомы, он игнорировал осцилляции электронных волновых функций в областях вблизи ядра. Предполагая, что откликом на слабый потенциал или псевдопотенциал являются плавные волновые функции, Ферми легко смог найти решения для энергетических уровней внешних электронов.
Поскольку на большинство эффектов в твердом теле, таких как образование связей, оказывают влияние изменения самых внешних электронов, данный подход является адекватным. В МЭП предполагается, что твердое тело состоит из периодического множества положительных остовов. Каждый остов содержит ядро и электроны остова. Любой из внешних валентных электронов движется в поле электростатического потенциала, или псевдопотенциала, создаваемого остовами и другими валентными электронами. В этой одноэлектронной модели предполагается, что каждый электрон откликается на средний периодический псевдопотенциал кристалла. Периодичность позволяет произвести Фурье-разложение потенциала, а для получения коэффициентов Фурье в МЭП производится подгонка к экспериментальным данным. Обычно достаточно знания трех коэффициентов на атом.
Появление МЭП стимулировало взаимодействие между теоретиками и экспериментаторами, и в результате возникло наиболее активное сотрудничество в физике. Кроме того, что были расшифрованы оптические и фотоэмиссионные спектры твердых тел, эта активность привела также к появлению новых экспериментальных методов и к более глубокому пониманию поведения электронов в твердом теле. Областью
пересечения между экспериментом и теорией обычно являются функции отклика, такие как диэлектрические функции или отражение. На ранних стадиях этой работы энергетические зонные структуры, которые представляют зависимость энергии от волнового вектора, были областью теоретиков. Однако появление фотоэмиссионной спектроскопии с угловым разрешением позволило непосредственно находить энергетические зоны и явилось дальнейшей проверкой МЭП.
Зонные структуры, найденные с помощью МЭП в 1960-х и 1970-х годах, используются до сих пор. Кроме того, с помощью МЭП были получены первые диаграммы электронной плотности заряда в кристаллах. На этих диаграммах видны ковалентные и ионные связи, и, следовательно, в них содержится значительная информация о структуре. С помощью расчитанных по МЭП энергетических уровней и волновых функций были с большой точностью определены оптические постоянные, плотности состояний и многие другие свойства кристаллов.
Несмотря на достигнутые с помощью МЭП успехи, все еще существовала достаточная мотивация для развития модели, исходящей из первых принципов, или модели ab initio. Был выбран подход, аналогичный избранному Ферми. Вместо эмпирического потенциала взаимодействие валентных электронов с остовом описывалось псевдопотенциалом ab initio, сконструированным из известных волновых функций атомов. Электрон-электронные взаимодействия валентных электронов моделировались в рамках теории функционала плотности, которая позволяет в некотором приближении найти электрон-электронный потенциал, используя электронную плотность заряда. Однако этот последний подход годится только для расчета свойств основного состояния. Для нахождения возбужденных состояний, подобных тем, которые нужны для интерпретации спектров атомов, необходимы подгонки к этой теории. Такие подгонки сложны и требуют большого компьютерного времени по сравнению с МЭП, однако они успешно воспроизводят экспериментальные данные, и подход является полностью ab initio.
Одним из наиболее важных приложений модели псевдопотенциала ab initio было определение структурных свойств. Стало возможным объяснять структурные переходы в твердых телах под действием давления и даже предсказывать новые структурные фазы твердых тел при высоком давлении, зная только атомный номер и массу атома. Были рассчитаны модули упругости, постоянные электрон-фононного взаимодействия, спектры фононов и множество свойств твердого состояния. Результаты позволяли привести микроскопическое объяснение свойств и сделать предсказания. Примером является удачное предсказание того, что при высоком давлении полупроводник кремний превращается в сверхпроводящий гексагональный металл.
Два метода псевдопотенциала, эмпирический и ab initio, сыграли центральную роль в концептуальной картине многих материалов. Часто на результирующую модель ссылаются как на «стандартную модель» твердого тела. В отличие от стандартной модели физики частиц, которую иногда называют вездесущей теорией, стандартная модель твердого тела наиболее применима к твердым телам с достаточно делокализованными электронами. Несмотря на последнее ограничение, она чрезвычайно полезна и является триумфом квантовой теории.
ФИЗИКА ЗОННЫХ СТРУКТУР НА РАННИХ СТАДИЯХ РАЗВИТИЯ И ЕЕ БОРЬБА ЗА МЕСТО ПОД СОЛНЦЕМ
Конверс Херринг
Стэнфордский Университет, Стэнфорд, США
В настоящее время всеми признано, что специфические зонные структуры электронов занимают фундаментальное положение среди характеристик, необходимых для теоретического понимания свойств полупроводников. В учебниках по полупроводникам первые главы посвященны зонной структуре, и в них для важнейших полупроводников содержатся графики зависимости энергии от волнового вектора, обычно полученные в результате численных расчетов, основанных на первых принципах. Очевидно, что эти расчеты не были бы так полно представлены, если бы не существовало согласия между ними и огромным экспериментальным материалом. Однако современный студент, вероятно, не отдает себе отчета в том, что несмотря на всплеск активности в первые годы после изобретения транзистора ——примерно 1948-1953 гг., исследователи тогда почти ничего не знали о зонных структурах, и им приходилось по мере возможности пробиваться без этого. Эволюция данной области физики полупроводников навевает мысли о том, что движение науки к истине происходит путем блуждающих, как при диффузии, шагов, а не военным строем.
Конечно возможные типы зонных структур были, в принципе, давно известны. Общие сведения о блоховских волнах и их энергетическом спектре существовали уже пару десятилетий; обусловленное симметрией вырождение состояний было классифицировано; из ранних количественно не очень надежных расчетов зонных структур следовало, что часто могут возникать вырожденные и многодолинные края зон. Беда заключалась в другом. Когда появлялось столько возможностей для интересной работы, люди обычно избегали участия в утомительных проектах, требующих больших затрат времени. Теоретики, занятые расчетами зонных структур и экипированные только механическими калькуляторами, часто использовали неполные граничные условия или ограниченный набор базисных функций. Экспериментаторы, несмотря на быстрое улучшение чистоты и совершенства материалов, продолжали в основном изучать те свойства, интерпретация которых не зависела критически от анизотропии и других специальных особенностей энергетических зон. Значительная часть вины за это лежит на теоретиках не только вследствие их неспособности прийти к согласию относительно расчитанных зонных структур, но и из-за того, что они слишком долго чурались утомительных детальных расчетов таких свойств, как магнитосопротивление для разного рода сложных зонных структур.
Мой собственный опыт является типичным примером. В декабре 1953 г., на заседании Американского Физического Общества я сделал приглашенный доклад под названием «Корреляция электронных зонных структур со свойствами кремния и германия». В нем я пытался настолько логично, насколько было возможно при существующей экспериментальной и теоретической литературе, прийти к правдободобным заключениям о возможной симметрии краев зон для этих элементов. Хотя некоторые результаты оказались правильными, для меня было очень неприятно узнать в следующем году, что большинство моих выводов были неверными. Как я мог так ошибиться?
Моим первым достаточно серьезным шагом была классификация возможных типов точек, соответствующих краям зон: при к = 0 и к # 0 (боковые долины); для каждой из них состояния могли быть вырожденными (два или более состояний с оди-
наковой энергией и к) или невырожденными. Рассматривая экспериментальные и теоретические сведения, чтобы сделать выбор между этими многочисленными возможностями, я пытался ограничиться теми состояниями, которые могли бы реализоваться для зонных структур, качественно похожих на недавно вычисленные Херманом [1] для алмаза и казавшихся более надежными, чем все прочие, сделанные для любых материалов с этой кристаллической структурой. Использование《(左♦ р)-метода» для качественной оценки изгиба зон вдали от точки Е = 0 означало, что я пренебрегал тем возмущением p-подобных Е = 0 состояний Г2s и 广15, которые вызывает антисвязывающий s-подобный уровень Gj расположенный в алмазе очень высоко. Однако, вопреки моим предположениям, в кремнии и германии он расположен значительно ниже. Оказалось, что указанное пренебрежение привело к тому, что я упустил наличие долин зоны проводимости вдоль осей [111] в ^-пространстве для n-германия и сохранил возможность краев валентных зон вдоль осей [100] для р-кремния.
После столь неудачного начала я старался еще более ограничить возможности выбора, обратившись к экспериментальным данным и, особенно, к измерениям магнитосопротивления. Почти нулевое продольное магнитосопротивление в направлениях типа [100] находилось в согласии с многодолинными краями зон с цетрами на осях типа [100] в ^-пространстве, и это оказалось правильной идентификацией для кремния n-типа. Вместе с тем, в отсутствие точных расчетов я предположил, что энергетические поверхности вырожденной при к = 0 дырочной зоны будут очень сильно гофрированы и не дадут продольному магнитосопротивлению вдоль направлений [100] стать равным нулю, как это наблюдалось для р-кремния. Так что в этом случае мои предсказания были неправильными. Наконец, мне пришлось провести утомительные расчеты анизотропии магнитосопротивления для многодолинных моделей, которые, как оказалось спустя несколько месяцев, были сильным доводом в пользу долин типа [111] для п-германия.
Все это является иллюстрацией того факта, что для приемлемой степени понимания зонных структур каждый из трех источников информации должен достичь определенного минимального уровня. Необходимо выполнить точные и самосогласованные расчеты зон из первых принципов для получения достаточно большого базиса. Следовало провести экспериментальные измерения свойств, чувствительных к зонной структуре, при хорошо контролируемых условиях, а также иметь теоретические предсказания этих свойств для различных моделей зонной структуры. В каждом из трех указанных источников информации существовали провалы вплоть до конца 1953 г. Не удивительно, что когда Шокли писал книгу, которая должна была стать основным руководством для грядущего века полупроводников [2], он утверждал, что теоретические рассуждения в книге будут основываться на простой модели с изотропной эффективной массой, хотя отдавал себе отчет в разнообразии возможных зонных структур. Знаменательно, что примерно год спустя, начиная с 1954г., каждый из упомянутых трех источников информации значительно расширился (появились лучше расчитан- ные теоретические зонные структуры [3], циклотронный резонанс [4], теория магнитосопротивления [5]), так что они смогли объединить свои усилия, и физика зонных структур стала существенной и всеми принятой частью фундаментального знания.
Список литературы
Herman К// Phys. Rev. 1952. V 88. PJ210.
Shockley Ж// Electrons and Holes in Semiconductors. — N.Y.: van Nostrand, 1950. Esp. P. 174.
В качестве раннего обзора прогресса, достигнутого в 1953-1955 гг., см., например, Herman К // Proc. IRE. 1955. V.43. PJ703.
См. следующее сообщение Ш. Киттеля
Abeles В., Meiboom S.// Phys. Rev. 1954.V. 95. Р. 31; Shibuya М.// Phys. Rev. 1954.
V.95. R 1385.
ЦИКЛОТРОННЫЙ РЕЗОНАНС И СТРУКТУРА КРАЯ ЗОНЫ ПРОВОДИМОСТИ И ВАЛЕНТНОЙ ЗОНЫ В КРЕМНИИ И ГЕРМАНИИ
Шарль Киттель
Университет Калифорнии, Беркли, США
Главной задачей группы твердого тела в Беркли (состоящей из Артура Кипа и меня) с 1951 по 1953 гг. было наблюдение и объяснение циклотронного резонанса в полупроводниках. Стоящие перед нами практические проблемы заключались в получении доступа к жидкому гелию и в добывании нужного для исследований магнита и достаточно чистых кристаллов Ge и Si. Жидкий гелий мы получали из Лабораторий Шелла, а позднее ——из лаборатории Жифюка, находящейся на территории университета. Магнит был частью очень старого циклотрона (из оборудования, которое можно назвать коллекцией Эрнеста О. Лоуренса), а постоянный ток через магнит давали перезаряженные батареи подводных лодок военно-морского флота США. Полупроводниковые кристаллы поставлялись Исследовательскими Лабораториями Сильваниа и Вестингауз, а позднее — Лабораториями белл телефон. Микроволновое оборудование было, по-видимому, из военных запасов Радиационной лаборатории МТИ. Как видите, покупного оборудования имелось очень мало.
Первые эксперименты проводились на Ge [1] как n-типа, так и p-типа. Термически ионизованных при 4 К носителей было слишком мало для получения измеряемых сигналов, но существующие носители ускорялись микроволновым электрическим полем в резонаторе до энергий, достаточных для возникновения лавины носителей, вследствие ударной ионизации. Это был настоящий циклотронный резонанс! Можно задать хороший вопрос: почему нельзя было работать при температуре жидкого водорода, при которой термическая ионизация была бы достаточной? Дело в том, что работать с жидким водородом в здании, где находились студенты, не разрешалось вследствие его взрывоопасности.
Почему бы тогда не работать при температуре жидкого азота, когда носителей очень много, а их подвижности значительно выше, чем при более низких температурах? Эксперименты по циклотронному резонансу при азотных температурах безуспешно пытались проводить во многих других лабораториях. Причина неудач заключалась в том, что магнитоплазменные частоты, которые являются результатом смешивания плазменных и циклотронных частот, при большой концентрации носителей оказываются слишком высокими, и вы измеряете не циклотронный, а магнитоплазменный резонанс [2]. Действительно, при нагревании резонатора можно следить за изменением циклотронной частоты вследствие подмешивания плазменных колебаний. При распространении радиоволн в ионосфере этот эффект называется магнитоионным отражением, о чем я узнал из лекций Е.В. Апплетона в Кембридже.
Лучший способ для создания носителей при 4 К был предложен группой МТИ. Они освещали кристалл слабым светом, достаточным для возбуждения как электронов, так и дырок. Носители одного вида можно возбуждать, облучая инфракрасным светом материал п- или p-типа. Модулируя возбуждающее излучение, можно было получить высокую чувствительность при измерении поглощенного сигнала [3]. Кроме того, если существовало сомнение в знаке носителей, можно было использовать (и это делалось) циркулярно поляризованные микроволны для определения направления вращения носителей в магнитном поле.
Самым удивительным результатом первых экспериментов было наблюдение двух приблизительно изотропных эффективных масс (ш*) для дырок в Ge: m*/mo = 0,04 и 0,3- Франк Херман и Иосиф Каллавэй расчитали, что вершина валентной зоны в Ge находится в центре зоны Бриллюэна и трижды вырождена (шестикратно вырождена при учете спина), соответствуя связывающим р-орбиталям на атомах Ge. Это приводило бы к трем массам для дырок. Мы высказали предположение [4, 5], что спин-орбитальное взаимодействие расщепляет р-орбитали на четырехкратно вырожденные зоны (связанные с р3/2 орбиталями) и двукратно вырожденные зоны (связанные с 〃1/2 орбиталями) в центре зоны Бриллюэна. Мы нашли наиболее общий вид энергии верхних валентных зон в структуре алмаза с точностью до членов второго порядка по к (2.62):
Е(к) = Ак2 土 [В2к4 + С2(к^ку + кук^ + 紀忌)产/上
Возможно, это было первым применением спин-орбитального взаимодействия в полупроводниках.
Спин-отщепленная или более низкая зона в Ge расположена на 0)30зВ ниже вершины валентной зоны. Это расщепление и саму спин-отщепленную зону лучше всего исследовать с помощью оптического поглощения. Анализ существующих экспериментальных данных, проведенный Каном [6], был важным подтверждением нашей модели, полученной из циклотронного резонанса.
Одним из ранних приложений результатов экспериментов по циклотронному резонансу в Si и Ge было их использование в теории энергий ионизации мелких донорных и акцепторных состояний в этих материалах. Приближенные значения энергий ионизации равны 0,04эВ для электронов и 0,05 эВ ——для дырок в Si и 0,01 эВ как для электронов, так и для дырок в Ge. Почти равные значения энергий ионизации для электронов и дырок в то время вызывали удивление, поскольку было известно (благодаря циклотронному резонансу), что их зонные структуры вблизи краев зон совершенно различны. Мы обсуждали эту проблему летом 1954 г. с гостями Беркли, знаменитыми Фрименом Дайсоном и Иоакином Латтинжером. После того, как энергии ионизации электронов и дырок были расчитаны независимо, оказалось, что их близкие значения ——просто совпадение.
Энергия ионизации донора была впервые расчитана в Беркли [7]. Мы использовали гамильтониан для эллипсоидальной энергетической поверхности для каждой из вырожденных долин зоны для электронов и диэлектрическую постоянную объемного кристалла. Расчетные энергии хорошо согласуются с экспериментом, по крайней мере для доноров с атомными номерами, близкими к исходному кристаллу. Для более тяжелых доноров необходима коррекция центральной ячейки. В случае акцепторов задача является более сложной вследствие четырехкратного вырождения края валентной зоны в центре зоны Бриллюэна. Удовлетворительные результаты по ее решению были получены Вальтером Коном [8].
Список литературы
DresselhausG.)KipД.К,Kittel С.//Phys.Rev.1953. V. 92.Р. 827.
DresselhausG.)Kip4/丿Kittel C〃Phys.Rev.1955. V. 100. P. 618.
DresselhausG.)KipД.К,Kittel C.//Phys.Rev.1955. V. 98.P. 368.
DresselhausG.)KipД.К,Kittel C.//Phys.Rev.1954. V. 95.P. 568.
Elliot R.JJI Phys. Rev. 1954. V. 96. P. 266.
Kahn А.М.// Phys. Rev. 1955. V. 97. P. 1647.
Kittel &, Mitchell A,MJ/ Phys. Rev. 1954. V. 96. P. 1488.
Kohn Ж// Advances in Solid State Physics/Eds F. Seitz, D. Turnbull. — N.Y.: Academic, 1957. V. 5. P. 257—320*
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМОРФНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ И СОЛНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Ян Тауц
Университет Брауна, Провиденс, США
К началу шестидесятых годов были заложены основы для понимания оптических свойств кристаллических полупроводников. Они базировались на существовании дальнего порядка и сохранении /г-вектора, что приводило к появлению резких полос в спектрах, связанных с сингулярностями Ван Хова. Моя группа, работавшая в Институте физики твердого тела Академии наук Чехословакии в Праге, вносила свой вклад в эти исследования, которые процветали в течение шестидесятых годов. Во время отпуска в Гарварде в 1961—1962 гг., я начал думать, какими могут стать оптические свойства при отсутствии дальнего порядка, и продолжал заниматься этой проблемой после возвращения в Прагу.
Существует большая группа материалов, называемых стеклами, в которых дальний порядок отсутствует; они получаются закаливанием расплава, очевидно, не имеющего дальнего порядка. В этих материалах жидкость имеет такой же ближний порядок, как и твердая фаза. В полупроводниках с тетраэдрической связью это не так. Эффективность связи при уменьшении энергии зависит от геометрической жесткости структуры. Когда она ослабевает при высокой температуре, энергетически выгодной становится металлическая структура (некоторый тип плотной упаковки). Так что, если бы даже удалось, например, закалить жидкий Ge (что невозможно), близкий порядок этого «стекла» был бы совершенно иным, чем у кристаллического Ge, и, следовательно, сравнение их оптических свойств было бы бессмысленным. Существуют, однако, способы получения аморфного Ge (a-Ge) (и других тетраэдрических полупроводников) с таким же ближним порядком, как и у кристаллического Ge (c-Ge), например, путем конденсации напыленного Ge на холодной подложке в виде тонких пленок.
В Праге мы сначала изучали оптические свойства некоторых жидкостей. Из этих исследований было видно, что основные оптические свойства зависят от ближнего порядка. Прорыв произошел, когда мы узнали, что Раду Григоровичи изготовил тонкие пленки a-Ge в Институте физики Академии наук Румынии. Между нами скоро возникло тесное, плодотворное и дружеское сотрудничество, и в течение нескольких лет Раду регулярно посещал Прагу. Мы проводили долгие часы и дни, обсуждая аморфные полупроводники с тетраэдрической связью. В это время мы не знали, интересуется ли кто-нибудь еще аморфными полупроводниками такого типа (в Ленинграде была сильная группа, начиная с 1950 г. занимавшаяся изучением аморфных халькогенидных полупроводников, но это ——настоящие стекла, которые сильно отличаются от тетраэдрических полупроводников). Раду интересовался приготовлением, структурой и явлениями электронного транспорта, в то время как мы в Праге изучали оптические свойства.
Из спектров отражения с помощью преобразований Крамерса—Кронмга мы определили оптические постоянные a-Ge в спектральном интервале вплоть до 12 эВ и подтвердили ожидаемое отсутствие в спектре резких полос [1]. Вместо трех сильных пиков, наблюдаемых в полосе фундаментального поглощения с-Ge, наблюдается только одна полоса с той характерной особенностью, что поглощение много сильнее со
стороны низких энергий («красный сдвиг»). Из спектров пропускания мы определили зависимость коэффициента поглощения а от энергии фотона в области края поглощения. Результаты изображаются прямой линией, если построить，幻а как функцию энергии фотона 方g[，幻q = const •(方g — Eg)]. Из графика определяется энергия ”, которую естественно назвать оптической щелью. Было очевидно, что следует испробовать именно такую зависимость: если k-вектор не сохраняется, если плотность электронных состояний вблизи экстремумов валентной зоны и зоны проводимости пропорциональна, как и в кристалле, корню квадратному из энергии, и если матричный элемент является константой, то а ос (方g —然尸/幻,как и в случае непрямых переходов с участием фононов в кристаллических полупроводниках. В сущности, в то время для аморфных полупроводников не было строгого теоретического обоснования такой зависимости (ее нет и теперь, по крайней мере общепринятой), поэтому ее следует считать эмпирической. В высшей степени удивительно, однако, что такая зависимость справедлива для многих аморфных полупроводников. В литературе на этот тип края поглощения часто ссылаются как на «край Тауца» и используют для определения «оптической» щели, которая обычно несколько отличается от щели, определяемой из электрических измерений проводимости («электрическая щель»).
Упомянутый выше «красный сдвиг» наблюдается также в a-Si и является основной причиной его использования для изготовления солнечных элементов. Хотя Раду и я во время наших прогулок по Праге (которая, несмотря на угнетающую политическую атмосферу, была все равно прекрасна) рассматривали различные возможные применения этих материалов, но, по правде говоря, в электронике они бесполезны, поскольку в них слишком много дефектов, которые ведут себя как ловушки и делают невозможным легирование п- или p-типа. Главным дефектом является атом Si, имеющий только три соседа, т.е. с неспаренным электроном («оборванная связь»). Наши прогулки окончились в 1968 г. после трагических политических событий, положивших конец тому, что с тех пор известно, как «Пражская весна».
В 1970-е годы мир потряс нефтяной кризис и стали популярными размышления о возобновляемых источниках энергии. Среди них весьма привлекательными казались солнечные элементы. Элементы, сделанные из c-Si, очень хороши, но слишком дороги для широкомасштабного применения. Причина заключается в том, что c-Si —— полупроводник с непрямой запрещенной зоной с малым коэффициентом поглощения в спектральной области солнечного света. Чтобы поглотить этот поток, элемент должен быть относительно толстым (〜100 мкм), для чего требуется большое количество довольно дорогого материала в дополнение к дорогой технологии (рост кристаллов, нарезка образцов, полировка и т.д.). Вследствие красного сдвига a-Si поглощает солнечный свет гораздо эффективнее: элементы могут быть сделаны значительно более тонкими, а технология изготовления тонких пленок много дешевле.
Электронные свойства a-Si были значительно улучшены благодаря следующему открытию. Оно началось с работы Шиттика и сотрудников из Лабораторий «Стандарт телекоммуникации» в Англии в конце 1960 г. Обычной процедурой роста кристаллического слоя на кремниевой подложке является разложение газа SiH《 вследствие высокой температуры подложки. Вместо этого Шиттик и др. [2] исследовали разложение SiH《с помощью радиочастотного тлеющего разряда, что позволило им наносить кремний на холодную некристаллическую подложку. Были получены тонкие аморфные пленки Si с электронными свойствами, радикально улучшенными благодаря уменьшению плотности дефектов в запрещенной зоне. Эти исследователи показали, что путем добавления газа РНз к SiH《 сопротивление пленок можно понизить на два порядка. Это было первой демонстрацией возможности легирования аморфного полупроводника. Компания, в которой они работали, не позволила им продолжить работу. Совершенно поразительно то, что Шиттик в 1969 г. многим из нас рассказывал о данной работе, и никто не понял огромной важности этого результата, кроме Спиера и Ле Комбера из Университета Данди. Они сообщили в 1975 г. [3] о п- и р-
легировании, а в 1976 匸一о получении р-n переходов. Вначале полагали, что хорошие свойства были получены благодаря чрезвычайно совершенной технике напыления, но работы В. Пауля и другие работы показали, что это связано с присутствием в пленках водорода. Водород в a-Si:H уменьшает плотность состояний дефектов благодаря компенсации оборванных связей.
Ширина запрещенной зоны в a-Si:H (около 1,8эВ) больше, чем в a-Si (1,4эВ), но спектр по-прежнему сдвинут в красную область по сравнению с c-Si, и поэтому достаточно тонкие пленки (1 мкм) все еще могут поглощать значительную часть солнечного спектра. Казалось бы, обладая всей указанной информацией, кто-нибудь изготовит солнечный элемент из a-Si:H. Однако произошло совсем по-другому. Карлсон и Вронский [4] из «Америкэн Радио Корпорейшн» независимо обнаружили такие элементы среди тонкопленочных солнечных элементов, сделанных из поликристаллического Si. Они заметили, что если при изготовлении подложка была достаточно холодной, то эффективность элементов возрастала. Они также обнаружили, что лучшие элементы были скорее аморфными, нежели поликристаллическими. Только после этого они поняли связь между своим открытием и текущими исследованиями a-Si:H. Подобые элементы сейчас выпускаются в небольшом количестве для прикладных целей и все еще остаются первым кандидатом для применения в промышленных масштабах в качестве фотоэлектрических преобразователей энергии, которые могут когда-нибудь понадобиться.
Список литературы
Таис J., Abraham 4, Pajasova L., Grigorovici Я., Vancu A.// Non-Crystalline Solids.— Amsterdam: North-Holland, 1965. P. 606.
Chittick R.C., Alexander J.H.)Sterlin H.F.// J. Electrochem. Soc. 1969. V. 116. P. 77.
Spear ЖК, Le Comber P.G.// Solid State Commun. 1975. V. 17. P. 1193.
Carlson D.E., Wronski C.R.// Appl. Phys. Lett. 1976. V. 28. P. 671.
ОПТИЧЕСКАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ МЕЛКИХ ПРИМЕСНЫХ ЦЕНТРОВ
Элиас Бурштейн
Университет Пенсильвании, Филадельфия, США
Осенью 1948 г. Франк Изаксон, глава Отделения физики в Отделе военно-морских исследований, часто посещал Лабораторию военно-морских исследований, где я был членом Отделения кристаллов. Во время одного из наших частых обсуждений проектов, представляющих взаимный интерес, он сообщил мне об интересе Военно- морсого флота к разработке инфракрасного (ИК) фотопроводника, чувствительного для области более 7 мкм, что было длинноволновым пределом для пленок PbS, собственного фотопроводника, разработанного в Германии в течение Второй мировой войны. Свойства полупроводников группы III-V тогда еще были неизвестны. Летом 1949 г. мне повезло присутствовать на ежегодном Симпозиуме по современной физике в Университете Мичигана, одном из ряда симпозиумов, начавшихся в 1928 г. Лекции в то лето читали Луис Альварец (Физика высоких энергий), Ричард Фейнман (Метод интегрирования по траекториям), Фредерик Зейтц (Физика твердого тела) и Гордон Б.Б. Сэзерленд (Инфракрасная спектроскопия твердых тел).
В своих лекциях о полупроводниках Зейтц рассказывал о природе примесных уровней в Si и Ge и привел значения энергий ионизации акцепторов группы III и доноров группы V, которые были получены Пирсоном и Бардином из Лаборатории белл телефон [1] из температурной зависимости плотности носителей, определенной на основании измерений сопротивления и холловских измерений. Он также обсуждал сделанный ими вывод о том, что энергии ионизации акцепторов группы III (0,048 эВ) и доноров группы V (0,045 эВ) находятся в разумном согласии с простой моделью эффективной массы для водородоподобных примесей. Именно тогда, во время лекции, мне пришла идея использовать фотоионизацию неионизованных водородоподобных примесных центров в Si и Ge для изготовления ИК приемников.
Вскоре после возвращения в Вашингтон я навестил Джона Бардина, который снабдил меня несколькими образцами Si. Я начал измерения низкотемпературных ИК спектров поглощения образцов Si совместно с Джоном Дж. Оберли, Джеймсом В. Дэвиссоном и Бертой Хенвис. Я хотел изучить спектры поглощения, связанные с фотоионизацией неионизованных примесных центров, прежде чем попытаться наблюдать фотопроводимость. Наши первые измерения с использованием спектрометра Перкин- Эльмер модели 12С со сменными призмами из NaCl, KBr, KSR-5(TlBr + I) и зеркальной оптикой проводились при температуре 77 К, поскольку простые вычисления, основанные на знании термических энергий ионизации примесей, показывали, что более 90 % примесных центров останутся при этой температуре не ионизованными.
Спектр, наблюдавшийся для образца Si, легированного бором, оказался поразительным, поскольку на нем были видны пики, отвечающие переходам из основного состояния на возбужденные состояния акцепторных центров, а также начало сплошного спектра, соответствующего фотоионизации [2, 3] (рис. 1). Более того, положения пиков соответствовали переходам 1s—2. Is—3〃 и Is—4〃 водородоподобного центра и энергии ионизации, равной 0,046 эВ, в хорошем согласии с данными по термической ионизации [4]. Однако силы осцилляторов пиков поглощения заметно отличались от водородоподобного центра. В частности, сила осциллятора для пика 1s—2〃 была на порядок меньше, чем у водородободобного центра. Ширина пиков
уменьшалась при охлаждении до температуры жидкого гелия, но в их положениях заметного сдвига не происходило, что указывает на малость эффекта Франка-Кондона. Мы не видели переходов из основного состояния спин-отщепленной валентной зоны; последнее не было неожиданным, поскольку в Si спин— орбитальное взаимодействие мало, а оптические спектры были довольно сильно уширены.
Попытки обнаружить фотопроводимость в Si п- и p-типа при 77 К оказались неудачными вследствие большого количества термически возбужденных носителей. Однако фотопроводимость удалось наблюдать при температуре жидкого гелия. Спектральный отклик относительно чистого n-Si показан на рис. 2 [5]. Минимумы в спектре фотопроводимости в области между 8 и 24 мкм обусловлены поглощением на колебаниях решетки. Из этих данных была получена оптическая энергия ионизации доноров, равная 0,04эВ. Позднее измерения фотопроводимости проводились при температуре жидкого гелия в Ge, легированном примесями группы III и группы V. Фотопроводимость измерялась вплоть до длины волны 38 мкм, которая в то время была пределом, доступным для измерений [6].
Были проведены довольно полные оптические исследования для акцепторов группы III (В, Al, Ga и In) и для доноров группы V [7, 8]. Спектры поглощения для центров группы III приведены на рис. 1. Вариации в энергиях ионизации (рис. 3) сопровождаются изменениями в характере спектров поглощения и фотоионизации. Положения пиков возбуждения для центров Al, Ga и In, в отличие от В, не описываются моделью водородоподобных примесей, их силы осцилляторов также существенно отличаются от этой модели (рис. 3). Указанные отклонения, которые становятся все более выраженными при переходе от В к In, связаны с коррекцией центральной ячейки. Энергии и волновые функции у состояний s-типа довольно сильно модифицируются, поскольку их волновые функции относительно велики около примесных атомов. Состояния р-типа,
Рис. 1. Спектры поглощения при фотовозбуждении и фотоионизации акцепторов группы III: а) В; б) А1; в) Ga; a) In в Si при температуре жидкого гелия [6]. Для случая а штриховой линией показан теоретический спектр поглощения при ионизации в модели водородоподобных примесейРис. 1. Спектры поглощения при фотовозбуждении и фотоионизации акцепторов группы III: а) В; б) А1; в) Ga; a) In в Si при температуре жидкого гелия [6]. Для случая а штриховой линией показан теоретический спектр поглощения при ионизации в модели водородоподобных примесейволновые функции которых малы в центре примесного атома, в меньшей степени подвергаются изменениям. Возможно, что согласие между экспериментальным значением энергии ионизации для бора и предсказаниями модели водородоподобных примесей связано с взаимной компенсацией различных эффектов.
Рис. 1. Спектры поглощения при фотовозбуждении и фотоионизации акцепторов группы III: а) В; б) А1; в) Ga; a) In в Si при температуре жидкого гелия [6]. Для случая а штриховой линией показан теоретический спектр поглощения при ионизации в модели водородоподобных примесей
Рис. 1. Спектры поглощения при фотовозбуждении и фотоионизации акцепторов группы III: а) В; б) А1; в) Ga; a) In в Si при температуре жидкого гелия [6]. Для случая а штриховой линией показан теоретический спектр поглощения при ионизации в модели водородоподобных примесей
Было найдено, что оптические энергии ионизации для доноров в Si на 10 % больше, чем термические энергии ионизации. Последнее частично связано с существованием низко расположенных возбужденных состояний, которые не учитывались при вы-
Длина волны, мкмДлина волны, мкмРис. 2. Относительный отклик фотопроводимости в расчете на один падающий фотон для относительно чистого образца n™Si [4]Рис. 2. Относительный отклик фотопроводимости в расчете на один падающий фотон для относительно чистого образца n™Si [4]1005 a a mmmsJd ① не1005 a a mmmsJd ① неРис. 3. Схема уровней, предложенная для акцепторов группы Ш в Si. Показаны уровни, энергии которых были определены из низкотемпературных спектров поглощения [6]Рис. 3. Схема уровней, предложенная для акцепторов группы Ш в Si. Показаны уровни, энергии которых были определены из низкотемпературных спектров поглощения [6]числениях энергий активации. Положения основных уровней по отношению к зоне проводимости существенно различны для трех доноров Р, As и Sb, что опять-таки связано с эффектами центральной ячейки. Однако их возбужденные р-состояния расположены одинаково относительно зоны проводимости (см. рис. 3 и [7]). Более того, они хорошо согласуются с результатами Кона и Латтинжера, полученными в приближении эффективной массы для донорных р-уровней [9], где было принято во внимание, что зона проводимости Si имеет шесть невырожденных минимумов вдоль направления [100] и эквивалентных направлений.
Длина волны, мкм
Длина волны, мкм
Рис. 2. Относительный отклик фотопроводимости в расчете на один падающий фотон для относительно чистого образца n™Si [4]
Рис. 2. Относительный отклик фотопроводимости в расчете на один падающий фотон для относительно чистого образца n™Si [4]
1005 a a mmmsJd ① не
1005 a a mmmsJd ① не
Рис. 3. Схема уровней, предложенная для акцепторов группы Ш в Si. Показаны уровни, энергии которых были определены из низкотемпературных спектров поглощения [6]
Рис. 3. Схема уровней, предложенная для акцепторов группы Ш в Si. Показаны уровни, энергии которых были определены из низкотемпературных спектров поглощения [6]
Результаты, полученные в ранних исследованиях, лимитировались низким качеством образцов Si, плохим разрешением спектрометров и электроникой. С тех пор в инфракрасной спектроскопии мелких примесных уровней в полупроводниках был достигнут большой прогресс благодаря важным улучшениям качества кристаллов, спектрометров и приемников, развитию спектроскопии фототермической проводимости, которая обладает гораздо большей чувствительностью по сравнению с ИК- приемниками, а также вследствие появления перестраиваемых ИК-лазеров [101.
Список литературы
Bardeen J., Pearson G.L.// Phys. Rev. 1949. V. 75. P. 865.
Burstein K, Oberly J. J., Davisson J. Ж, Henvis В. Ж.// Phys. Rev. 1951. V. 82. P. 764.
Burstein K, Bell К К, Davisson J. Ж, Lax M./ / J. Phys. Chem. 1953. V. 57. P. 849.
Morin F. J., Maita J.F., Schulman R.G.^ Hannay N.B,// Phys. Rev. 1954. V. 97. P. 833*
Burstein K, Oberly J. J., Davisson J. Ж// Phys. Rev. 1953* V. 89* P. 331*
Burstein К, Davisson J. Ж, Bell К К, Turner Ж/., Lipson H.G.// Phys. Rev. 1954. V.93. Р. 65.
Burstein К, Picus G., Henvis В. Ж., Wallis R.F.// J. Phys. Chem. Solids. 1956. V. 1. P.65.
Picus G., Burstein K, Henvis В. Ж// J. Phys. Chem. Solids. 1956. V. 1. P. 75.
Kohn Ж, butting er J.MJ / Phys. Rev. 1954. V 97* P.883; ibid. 1955. V 98* P.915.
10. Ramdas A.K., Rodriguez £// Rep. Prog. Phys. 1981. V. 44. P. 1297.
О ПРЕДЫСТОРИИ ФОТОЭМИССИИ С УГЛОВЫМ РАЗРЕШЕНИЕМ
Невил В. Смит
Смит Лаборатория Лоуренса Беркли, Беркли, США
Определение зонных структур с помощью фотоэмиссии с угловым разрешением началось на заре 1970-х годов. Однако интерес к угловой зависимости фотоэлектрического эффекта появился гораздо раньше. На рис. 1 изображен прибор, которым в 1920 г. пользовались Герберт Иве и др. [1] в Лабораториях белл телефон. Эти исследователи совершенно не интересовались зонной структурой. Волновая механика
Рис. 1. Прибор, использованный Ивсом и др. [1]
была новомодной концепцией, а физику твердого тела еще предстояло открыть. Они скорее интересовались улучшением эффективности фотокатодов для использования в телевидении и, возможно, в видеотелефонии.
Образец (С) находится в центре сферического коллектора (В). Приложение задерживающих потенциалов к коллектору позволяет измерять энергетические спектры фотоэлектронов. Палец (F), перемещающийся относительно щели в коллекторе, позволяет проводить измерения в зависимости от угла эмиссии. Здесь заметно сходство с современными экспериментальными методами. Прослеживается и сходство с прибором, который использовали Клинтон Дэвиссон и Лестер Гермер для установления волновой природы электрона [2]. Последнее не удивительно. Все названные ученые работали в одно и то же время в одном и том же здании в Манхэттене.
Забавно строить догадки о трениях между Ивсом и Дэвиссоном. Есть свидетельства, что они пользовались услугами одного и того же стеклодува! Но о чем они разговаривали? Были бы они рады узнать, что разные направления их исследований приведут спустя полвека к незаменимому методу определения зонных структур?
Ивэн Кэйн в провидческой статье, опубликованной в 1964г., высказал мысль о том, что можно, в принципе, определять зонные структуры, используя угловую зависимость спектров фотоэмиссии [3]. Однако прошло десять лет, прежде чем зонные структуры действительно были найдены [4]. В начале 1970-х Морт Траум и я занялись этой проблемой, но не без некоторых сомнений. Высказывалось авторитетное мнение, что фотоэлектроны, прежде чем выйти из образца, испытают такое количество актов рассеяния, что вся память об угловой информации будет потеряна. Мы были так запуганы этими утверждениями, что построили только самый простой прибор, в основном такой же, как у Ивса, но с канальным усилителем электронов вместо пальца F. Для того, чтобы обойти трудность, связанную с неопределенностью в к丄) мы исследовали двумерные материалы, а именно, слоистые соединения TaS? и TaSe2- Франк ДиСалво выращивал монокристаллы этих соединений в своей лаборатории, помещавшейся по соседству. Чуть дальше по корридору Лен Маттхейс проводил расчеты зонных структур, и наши результаты прекрасно совпали с его вычислениями [5].
Благодаря этому «тесному» общению и их участию в работе, мы смогли продемонстрировать первые зонные структуры [4]. Оглядываясь назад, нам стыдно за наши сомнения и робость. Теперь все кажется таким очевидным и обыденным.
Список литературы
Ives Н.К, Olpin A.R.^ Johnsrud A.L.// Phys. Rev. 1928. V. 32. P. 57.
Davisson C. J., Germer L.H.// Phys. Rev. 1927. V. 30. P. 705.
Kane EG* ' ' Phys. Rev. Lett. 1964. V. 12. P. 97.
Smith M F., Traum M.M., DiSalvo F.J.// Solid State Conimun. 1974. V. 15. P. 211. 5.厶氏 Mattheiss// Phys. Rev. 1973. V.B8. P. 3719.
32 M. Кардона
ОТКРЫТИЕ И ОСНОВЫ КВАНТОВОГО ЭФФЕКТА ХОЛЛА
Клаус фон Клитцинг
Институт Макса Планка исследования твердых тел, Штуттгарт, Германия
Открытие квантового эффекта Холла (КЭХ)——результат фундаментальных исследований кремниевых полевых транзисторов, которые являются наиболее важным прибором в микроэлектронике. В отличие от других проводников, концентрация электронов в этих приборах может меняться в широких пределах просто путем изменения напряжения на затворе. Поэтому такая система идеальна для исследований эффекта Холла при различных концентрациях носителей путем изучения зависимости напряжения Холла от напряжения на затворе. Экспериментальные кривые и записи, относящиеся к 4 февраля 1980 г. дню рождения квантового эффекта Холла, были приведены на рис. 9.40. Как можно было ожидать из классического эффекта Холла на основании качественных соображений, напряжение Холла l/н (при фиксированном магнитном поле В = 18 Т) обратно пропорционально числу свободных электронов N (или напряжению на затворе 吗).Однако если отношение числа электронов N к числу квантов потока Иф в пределах площади транзистора является целым, возникают плато. В случае, когда один электрон приходится на один квант потока (что соответствует полностью заполненному нижнему уровню Ландау с фактором заполнения, равным 1), напряжение Холла, деленное на ток, является фундаментальной константой Як = h/е2 = (25812,807±0, 005) Ом. Это холловское плато едва заметно в верхнем левом углу рис. 9.40 и искажено из-за большого сопротивления прибора, обусловленного явлениями локализации при относительно малой плотности электронов. Плато при концентрациях электронов, в 2 и 4 раза больших, разрешаются значительно лучше. В настоящее время имеются электронные системы лучшего качества, что делает возможными измерения при значительно меньшей концентрации электронов с факторами заполнения, меньшими единицы. Это ——диапазон, в котором наблюдается дробный эффект Холла [9.70].
Похоже, что существует особая ситуация, когда на один электрон приходится два кванта потока (фактор заполнения 1/2): образуются квазичастицы (сложные фермионы), которые ведут себя, как электроны, двигающиеся в эффективном магнитном поле В* = 0. Осцилляции Шубникова-де Газа этих сложных фермионов эквивалентны структурам при дробном квантовом эффекте Холла.
Уже первая публикация по КЭХ [1] под названием «Реализация стандарта сопротивления, основанного на фундаментальных константах» показала, что возможно его применение, подобное эффекту Джозефсона. В настоящее время известно, что различные материалы (кремниевые полевые транзисторы, гетероструктуры GaAs/AlGaAs) дают одинаковое значение для квантованного сопротивления Холла в пределах экспериментальной ошибки 3,5 ■ 1О^10, и начиная с 1990г. калибровки сопротивлений основаны на квантовом эффекте Холла с фиксированным значением Rk-1990 = 25812,807Ом для константы фон Клитцинга Як-
Для получения квантованного значения сопротивления Холла могут быть использованы различные подходы. Вычисления, данные на рис. 9.40, которые привели к открытию квантового эффекта Холла, основаны просто на классическом выражении для эффекта Холла. Квантованное значение для холловского сопротивления h/е2 получается для плотности носителей, соответствующей фактору заполнения, равному единице. Удивительно, что этот простой расчет приводит к правильному результату. Лафлин был первым, кто попытался вывести результат КЭХ в более общем виде
из принципов калибровочной инвариантности [2]. Однако геометрия его прибора довольно далека от реальных приборов для холловских измерений с металлическими контактами для инжекции тока и для измерения электрохимического потенциала.
Формализм Ландауэра^Бюттикера, в котором сопротивление рассматривается на основе коэффициентов пропускания и отражения, гораздо больше подходит для для анализа квантового эффекта Холла [3]. В этом формализме удалось очень успешно объяснить квантованное сопротивление баллистических точечных контактов [4]. Подобным же образом квантованное холловское сопротивление является результатом идеального одномерного электронного транспорта. В классической картине это соответствует орбитам электронов на границе прибора. В будущем объяснения КЭХ в учебниках, возможно, будут основаны на одномерном транспорте в канале около границы прибора (см. рис. 9.41).
Список литературы
К. “ Klitzing^ Dorda G., Pepper M.// Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45. P. 494.
Laughlin KA// Phys. Rev. 1981. V. В 23： P. 5632.
Biittiker М// Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57* P. 1761.
Von Wees A 人 van Houten Я., Beenakker S. Ж J., Williamson J. G., Kouwenho ven Dp van der Marel D)Foxon С. T.// Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 848; Wharam Р.Л., Thornton T.J.)Newbury H.)Pepper M, Ahmed Я., Frost J.K.F., Hasko DG) Peacock D.C., Ritchie Р.Л., Jones G.A.C.// J. Phys. 1988. V. C 21, L 209.
32*
РОЖДЕНИЕ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ СВЕРХРЕШЕТКИ
Лео Есаки
Университет Тсукубы, Тсукуба, Япония
Исследование материалов с исскуственно созданной структурой было инициировано в 1969г., когда Тсу и я предложили [1, 2] сконструировать полупроводниковую сверхрешетку с одномерным периодическим потенциалом. В расчете на успехи контролируемого эпитаксиального роста сверхтонких слоев рассматривалось два типа сверхрешеток: легирования и композиционных, как это показано на рис. 1.
Прежде, чем у нас возникла идея создать сверхрешетку, мы исследовали возможность изготовления структур с потенциальными барьерами и ямами, достаточно тонкими, для того чтобы сделать возможным резонансное туннелирование [3]. У резонансного туннельного диода [4, 5] характеристики были лучше, чем у туннельного диода Есаки [6], первого квантового электронного прибора, в котором был только один туннельный барьер. Мы полагали, что новые полупроводниковые технологии готовы к демонстрации электронных волн де Бройля. Резонансное туннелирование (см. § 9.5) можно сравнить с пропусканием электромагнитной волны через резонатор Фабри-Перо. Эквивалентом резонатора Фабри-Перо является полупроводниковая потенциальная яма, помещенная между двумя потенциальными барьерами.
лкоаркф§ —^афколкоаркф§ —^афко
лкоаркф§ —^афко
лкоаркф§ —^афко
Расстояние аРасстояние аРис. 1. Пространственные изменения краев зоны проводимости и валентной зоны в сверхре™ шетках двух типов: а) легированная, 6) композиционнаяРис. 1. Пространственные изменения краев зоны проводимости и валентной зоны в сверхре™ шетках двух типов: а) легированная, 6) композиционнаяA BHGdmK①冃®«з^афкоA BHGdmK①冃®«з^афко
Расстояние а
Расстояние а
Рис. 1. Пространственные изменения краев зоны проводимости и валентной зоны в сверхре™ шетках двух типов: а) легированная, 6) композиционная
Рис. 1. Пространственные изменения краев зоны проводимости и валентной зоны в сверхре™ шетках двух типов: а) легированная, 6) композиционная
A BHGdmK①冃®«з^афко
A BHGdmK①冃®«з^афко
Идея сверхрешетки возникла у нас как естественное развитие двойной, тройной и многократной барьерной структуры: сверхрешетка состоит из серии потенциальных ям, связанных между собой вследствие резонансного туннелирования. Для наблюдения квантовых эффектов в структуре важным параметром является длина фазовой когерентности, которая приближенно отражает среднюю длину свободного пробега электрона. Она зависит от качества кристалла в объеме и качества интерфейсов, а также от температуры и эффективной массы. Как схематически показано на рис. 2, если характеристические размеры, такие как период сверхрешетки или ширина ямы, становятся меньше длины фазовой когерентности, то для всей электронной системы возникает квантовый мезоскопический режим низкой размерности, занимающий область между макроскопическими и микроскопическими размерами. Наше предложение заключалось в использовании квантовых эффектов в мезоскопическом режиме.
Введение одномерного потенциала сверхрешетки приводит к нарушению зонной структуры исходных материалов, возникает серия узких подзон и запрещенных щелей, которые появляются вследствие разделения зоны Бриллюэна на ряд минизон. Таким образом, ожидалось, что сверхрешетка будет обладать беспрецедентными электронными свойствами. При выдвижении идеи сверхрешетки мы отдавали себе отчет в том, что длинный, изготовленный на заказ, период решетки представляет уникальную возможность исследовать эффекты, индуцированные электрическим полем. Динамика электронов в направлении сверхрешетки анализировалась для электронов проводимости в узкой подзоне с сильно нарушенным соотношением между энергией и волновым вектором. Результат приводил к предсказанию отрицательного дифференциального сопротивления при умеренной величине электрического поля, что могло быть предтечей блоховских осцилляций. Сверхрешетка позволяет нам осуществить режим квантования, индуцированного электрическим полем: например, образование штарковских лестниц [7, 8] может быть доказано в (одномерной) сверхрешетке [9], тогда как в естественных трехмерных кристаллах существование и природа этих локализованных состояний в сильном электрическом поле была спорной [10, 11].
1мкм— Макроскопический режим
Сверхрешетка или
Межатомное расстояние Микроскопический режим
0,1 НМА
Качество кристалла (уменьшение температуры)
Рис. 2. Схематическая иллюстрация «мезоскопического» квантового режима (затененная область). На вставке изображена сверхрешетка или квантовые ямы
Возможно, это было первым предложением по использованию оригинальной технологии по выращиванию тонких пленок для создания нового полупроводникового материала с применением принципов квантовой теории. Это предложение (хотя и со слабой надеждой на успех) было сделано Исследовательскому Отделу Армии США (ARO), бывшему в 1969 г. организацией, распределявшей фонды, и в нем смело утверждалось, что «исследование сверхрешетки и наблюдение квантовомеханических эффектов в новом физическом масштабе может стать важной областью исследования полупроводников ».
Хотя это предложение было благосклонно встречено в ARO, первая версия статьи [1] была отвергнута для публикации в Physical Review на основании трезвого отзыва рецензента: в ней содержится «слишком много спекуляций» и «нет новой физики». Сокращенная версия статьи, опубликованная в IBM Journal of Research and Development [2], была объявлена наиболее цитируемой Институтом научной информации (ISI) в июле 1987г. Наше предложение, сделанное в 1969г., называли наиболее новаторской идеей на Симпозиуме ARO в Дархеме, Северная Каролина, в 1991 г., посвященном 40-летнему юбилею.
Во всяком случае, внеся это предложение, мы запустили программу по превращению «мысленного эксперимента» в реальность. В некоторых кругах его критиковали как почти неосуществимое. В одном из возражений утверждалось, что исскуственно созданная структура с вариациями состава порядка нескольких нанометров не будет термодинамически стабильной вследствие эффектов интердиффузии. К счастью, оказалось, что при использованных температурах интердиффузией можно пренебречь.
В 1970 г. Чанг, Тсу и я [12] изучали сверхрешетку GaAs-GaAso,5Po,5 с периодом 20 нм, синтезированную методом химической газовой эпитаксии Блейксли и Алиот- та [13]. Хотя предсказанные эффекты не были обнаружены при транспортных измерениях, этот образец был, по-видимому, первой сверхрешеткой с напряженными слоями с довольно большим рассогласованием между постоянными решеток. Первые попытки в нашей группе вырастить эпитаксиально сверхрешетки Ge^—^Si冗 и Cd]_1cHg冗Те были вскоре прекращены из-за серьезных в то время технических проблем. Вместо этого мы сосредоточили наши усилия на выращивании методом молекулярной эпитаксии композиционной сверхрешетки GaAs — Са1^ж А1Ж As. В 1972 г. мы обнаружили в таких сверхрешетках отрицательное дифференциальное сопротивление [14], которое было интерпретировано как эффект сверхрешетки.
После получения зависимости резонансного туннельного тока от напряжения [5], Чанг, Тсу и я наблюдали вольт-амперные характеристики при отрицательном сопротивлении [15]. Впоследствии Чанг и я исследовали свойства квантового транспорта в сверхрешетке с узкой шириной зоны, в которой наблюдались осцилляции [16]. Тсу и др. провели измерения фототока в сверхрешетках, подвергнутых действию электрического поля, приложенного перпендикулярно плоскости слоев с помощью полупрозрачного контакта Шоттки, в которых проявилась структура минизон [17].
Гетероэпитаксия представляет большой интерес для роста композиционных сверхрешеток. Новаторские идеи и улучшения в технике эпитаксии, такие как молекулярно-пучковая эпитаксия и металло-органическая газовая эпитаксия, позволили выращивать очень совершенные гетероструктуры с заданными профилями потенциала и распределением примесей, в которых размеры контролировались с точностью, близкой к межатомным расстояниям. Эта высокая точность открыла путь к переходу в мезоскопический квантовый режим [18, 19].
Поскольку одномерный потенциал может создаваться вдоль направления роста структуры, знаменитые примеры из истории одномерной математической физики, в том числе упомянутое выше резонансное туннелирование [3], зоны Кронига-Пенни [20], поверхностные состояния Тамма [21], зон—зонное туннелирование Зеннера [22] и лестницы Штарка, включая осцилляции Блоха [7—9], которые раньше были лишь упражнениями в учебниках, могли теперь впервые осуществляться в лаборатории.
«фёно ВШИН OJOHITOII но нкф^оа«фёно ВШИН OJOHITOII но нкф^оа>50>50о о2 15о о2 15ии0 0 52 10 0 52 11970 72 74 76 78 801970 72 74 76 78 80оноих Jdx9HH口g найнн^нн BffiBmdBCQоноих Jdx9HH口g найнн^нн BffiBmdBCQ862Л§Г«^ОНО84OHUHnHBde ПВО82^д§сько^862Л§Г«^ОНО84OHUHnHBde ПВО82^д§сько^88йёз&ш88йёз&ш92 199492 1994
«фёно ВШИН OJOHITOII но нкф^оа
«фёно ВШИН OJOHITOII но нкф^оа
>50
>50
о о
2 15
о о
2 15
и
и
0 0 5
2 1
0 0 5
2 1
1970 72 74 76 78 80
1970 72 74 76 78 80
оноих Jdx9HH口g найнн^нн BffiBmdBCQ
оноих Jdx9HH口g найнн^нн BffiBmdBCQ
862Л§Г«^ОНО
84OHUHnHBde ПВО
82^д§сько^
862Л§Г«^ОНО
84OHUHnHBde ПВО
82^д§сько^
88йёз&ш
88йёз&ш
92 1994
92 1994
Рис. 3. Рост числа статей по обсуждаемому предмету на Международных конференциях пофизике полупроводников, проводящихся каждые два года
Таким образом, сейчас стала возможной квантовая механика под девизом «сделай сам»: ее принципы диктуют особенности полупроводниковой структуры [23].
Наше первоначальное предложение [1] и пионерские эксперименты стали спусковым крючком для широкого спектра экспериментальных и теоретических исследований сверхрешеток и квантовых ям в течение последних двух десятилетий. Созданные теперь разнообразные структуры демонстрируют необычные транспортные и оптические свойства, которые не существуют в каких-либо естественных кристаллах. Эта новая степень свободы в исследованиях полупроводников, благодаря возможности создания новых материалов, вдохновила исследователей на проведение многих остроумных экспериментов и привела к наблюдению не только предсказанных эффектов, но и совершенно неизвестных явлений. В качестве индикатора расширения данной области исследований на рис. 3 приведено число статей, относящихся к этому предмету, и их процент среди всех статей, представленных на Международных конференциях по физике полупроводников, проходящих каждые два года. После 1972 г., когда была представлена первая статья [14], в этой области исследований был короткий инкубационный период, а затем, в 1980г.,——феноменальный рост работ. Складывается впечатление, что почти половина всех физиков, занимающихся полупроводниками, работают в этой области. Активность на новом фронте физики полупроводников дала, в свою очередь, коллосальный стимул физике приборов, рождая новые идеи для приложений. Благодаря этому появился новый класс транспортных и оптоэлектронных приборов.
Список литературы
Esaki £., Tsu R.// IBM Res. 1969* Note RC-2418*
Esaki £., Tsu R.// IBM J. Res. Devel. 1970. V. 14. P. 61.
Bohm D.// Quantum Theory (Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ 1951). P. 283.
logansen L. ¥.// Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1963. V*45. P* 207 [Sov. Phys. —JETP. 1964. V. 18. P. 146].
Tsu A., Esaki £.// AppL Phys. Lett. 1973. V. 22* P. 562*
Esaki L.// Phys. Rev. 1958. V. 109. P. 603.
James Я.М// Phys. Rev. 1949. V. 76. P. 1611.
Wannier G.H.// Elements of Solid State Theory. — Cambridge: Cambridge University Press, 1959. P. 190; Phys. Rev. 1960. V. 117. P. 432.
Shockley Ж.// Phys. Rev. Lett. 1972* V.28. P. 349.
Zak J.// Phys. Rev. Lett. 1968. V. 20. P. 1477; Phys. Rev. 1991. V.B43. P. 4519.
Rabinovitch Л., Zak J.// Phys. Rev. 1971. V. В 4. P. 2358.
Esaki £., Chang £.£., Tsu R.// Proc. 12th Int. Conf. Low Temp. Phys. —Kyoto, Japan 1970. P. 551.
Blakeslee Л.К, Aliotta C.F.// IBM J. Res. Devel. 1970. V. 14. P. 686.
Esaki £., Chang £.£., Howard ЖК, Rideout ¥.£.// Proc. 11th Int. Conf. Phys. Semiconductors,. ^Warsaw, Poland 1972. P. 431.
Chang £.£., Esaki £., Tsu R.// Appl. Phys. Lett. 1974. V. 24. P. 593*
Esaki £., Chang £.£.// Phys. Rev. Lett. 1974. V. 33. P. 495.
Tsu /?., Chang £.£., Sal-Halasz G.A., L. Esaki £.// Phys. Rev. Lett. 1975. V. 34. P. 1509.
Esaki L.// IEEE J. Quantum Electron. 1986. V. QE-22. P. 1611.
Esaki L.// Highlights in Condensed Matter Physics and Future Prospects/Ed L. Esaki* —N.Y*: Plenum, 1991. P*55.
De L. Kronig A*, Penney Ж. G.// Proc. R* Soc.London. 1931. V. A 130. P. 499.
Tamm /.// Phys. Z. Sowjetunion. 1932. V. 1. P. 733.
Zener C// Proc. R* Soc： London. 1934. V. 145. P* 523*
Esaki £.// Phys. Scr* 1992. V.T42. P. 102.
Таблица единиц
Величина
Единицы
в системе СИ
Преобразование
СГС
СИ 一 сгс
сгс 一 СИ
Длина
метр [м]
ю2
сантиметр [см]
Масса
килограмм [кг]
103
грамм [г]
Время
секунда [с]
1
1
секунда [с]
Сила
Ньютон [Н]
ю5
г • см/с2 [дина]
Энергия
Джоуль [Дж]
ю7
эрг
Мощность
Ватт [Вт]
ю7
эрг/с
Давление
Паскаль [Па]
10
дина/см2
7,52」厂3
133
торр
10^5
ю5
бар
гигапаскаль
[ГПа]
10
килобар
Частота
Герц [Гц]
1
1
Электрические
единицы
Заряд
Кулон [К]
ЗЛО9
3
статкулон
Ток
Ампер [А]
зло9
3
статампер
Потенциал
Вольт [В]
1
300
300
статвольт
Кулон
1к
статкулон
Поляризация
метр2
зло5
3
см2
Проводимость
Сименс [сим]
9- 1011
1
статмо
Сопротивление
Ом [Ом]
L ют 9
9- 1011
статом
Емкость
Фарада [Ф]
9- 1011
статфарада
Магнитные единицы
Поток
Вебер [Вб]
ю8
1厂8
Максвелл [Гс • см2]
Индукция
Тесла [Т]
ю4
IL
Гс
Таблица фундаментальных физических постоянных
Величина
Символ
Значение
СГС
СИ
Скорость света в вакууме
с
2,997925
1010 см/с
108 м/с
Заряд электрона
е
1,60219
—
10-19 к
4,803250
10-10 сгс
—
Масса покоя электрона
т，о
9,10956
“28 г
10-31 кг
Масса покоя протона
мр
1,67261
1厂24 r
10—27 кг
Масса покоя нейтрона
мп
1,674920
“24 г
10—27 кг
Постоянная Планка
h
6,62620
10-27 эрг• С
10 — 34 дж . с
h = h/(2тг)
1,05459
]0-27ЭрГ.с
10—34 дж . с
Постоянная Больцмана
кв
1,38062
10-16 эрг/К
IL Д水/К
Радиус Бора [h2/(m0e2)]
ав
5,29177
10-9 см
10」м
Постоянная Ридберга [т0е4/(2П2)]
Ry
2,17991
10-11 эрг
1L дж
Классический радиус электрона [е2/(тс2)]
%
2,81794
10-13 см
“15 м
Обратная величина постоянной тонкой структуры (/гс/е2)
1/а
137,036
——
——
Квант магнитного потока (亢с/е) Энергии фотона
Фо
4,135708
10-7 Гс • см2
1「5 в6
1 электрон-вольт
эВ
1,60219
10^12 эрг
1L Дж
eV /К
2,41797
1014 Гц
1014 Гц
eV/(he) (волновое число)
8,06546
103 см^1
ю5 L
eV/(feB)
1,16048
104 К
ю4 к
Диэлектрическая проницаемость вакуума
£о
8,854
10 — 12 м
Taylor B.N., Parker W.H., Langenberg D.N. // Rev. Mod. Phys. 1969. V. 41. P. 375.
Физические характеристики некоторых полупроводниковых материалов со структурой типа алмаза, цинковой обманки и вюрцита. Все значения, кроме специально отмеченных, приведены при комнатной температуре.
Полупроводник
Параметр решетки1, A
Объемный
модуль, ГПа
Коэффициент линейного температурного расширения2, “6 у】
Теплопроводность, Вт/см • К
с
3,567
442
1,0
〜20
Si
5,43
98,8
2,59
1,56
Ge
5,66
73,3
5,9
0,6
SiC
4,35
224
2,8
4,9
AIN
3,11, 4,98
5,27, 4,15
〜2
A1P
5,46
95
0,9
AlAs
5,66
78,1
5,2
AlSb
6,135
58,1
4
〜0,5
GaN
3,18, 5,17
180
5,59, 3,17
1,3
GaP
5,45
88,7
4,65
0,77
GaAs
5,64
75,4
6,0
0,54
GaSb
6,09
56,3
6,7
0,33
InN
3,53, 5,69
3,8, 2,9
InP
5,87
71,1
4,75
0,7
InAs
6,06
57,9
4,52
0,26
InSb
6,49
28,6
5,04
0,18
ZnO
3,25, 5,21
4,75, 2,9
0,54
ZnS
5,41
76,9
6,7
0,27
ZnSe
5,67
62,5
7,8
0,19
ZnTe
6Д
51,0
8,3
0,18
CdS
4Д4, 6,7
61,5
4,2, 2,6
0,20
CdSe
4,3, 7,01
55
0,09
CdTe
6,48
42,1
4,8
0,07
HgSe
6,08
48,3
HgTe
6,46
42,3
4
0,02
1 Длина стороны элементарной кубической ячейки для кристаллов со структурой типа алмаза и цинковой обманки. Для кристаллов типа вюрцита приводятся две длины — а и с — сторона равносторонних треугольников, образующих шестиугольники в главной плоскости и высота шестигранной призмы.
2 Для кристаллов со структурой вюрцита приведены значения вдоль осей а и с соответственно.
Физические характеристики тетрадрических полупроводников (продолжение)
Полу™ проводник
Диэлектрическая проницаемость3
Ширина запрещенной зоны4 Eg〉эВ
dEg/dT, мэВ/К
dEg/dP, мэВ/ГПа
с
5,7
(5,48) 7,3
(—0,05) —0,6
(5)
Si
11,9
(1,11) 3,48
(-0,28)
(Т4)
Ge
16,2
(0,66) 0,81
(-&37) -&4
(50) 121
SiC
9,72,6,52
(2,4) 7,0
(-&3)
AIN
8,5,4,68
6,28
A1P
9)8,7,54
(2,45) 3,62
AlAs
10,8,16
(2,15) 3J4
(—&5) —&51
(—5J) 102
AlSb
11,22,9,88
(1,63) 2,219
(-0,35)
(-15)
GaN
9,5,12,2; 5,35, 5,8
3,44
-0,48
40
GaP
11,1,9,0
(2,27) 2,78
(—&52) —&65
(—14) 105
GaAs
13,1,11,1
1,43
—0,395
115
GaSb
15,7,14,4
0,70
—0,37
140
InN
2,09
InP
12,4,9,52
1,35
—&29
108
InAs
14,6,11,8
0,36
—&35
98
InSb
17,9,15,7
0,18
—0,29
157
ZnO
7向 8*5; 37 3,75
3,445 (4,2 К)
25
ZnS
9,6,5,13
3,68
—0,47
57
ZnSe
8,33,5,9
2,7
—0,45
70
ZnTe
9,86,7,28
2,26
—0,52
83
CdS
8,45, 9,12;5,32,5,32
2,485
—&41
45
CdSe
9,3,6」
1,75
—0,36
50
CdTe
10,3,6,9
1,43
—0,54
80
HgSe
25,6,21
-0,061
HgTe
21,15,2 (77 К)
-0,30 (4,4 К)
3 Для кристаллических структур типа алмаза приведена диэлектрическая проницаемость в области низких частот. Для кристаллов со структурой цинковой обманки представлены значения низкочастотной и высокочастотной диэлектрической проницаемости. Для структуры типа вюрцита первые две величины характеризуют низкочастотную диэлектрическую проницаемость для электрического поля, поляризованного вдоль осей а и с. Следующие две величины соответствуют высокочастотной диэлектрической проницаемости.
4 Величины для непрямозонных переходов даны в скобках. Соответствующие им значения в двух последних колонках также заключены в скобки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К главе 1
Pankove J./., Moustakas T.D. eds. Gallium Nitride I, Semiconductors and Semimetals. V. 50 (Academic Press, San Diego, 1998).
Nakamuru S., Fasol G.. The Blue Laser Diode. GaN Based Light Emitters and Lasers.——Berlin, Heidelberg: Springer, 1997*
Gao £., Xue Y. K, Chen K, Xiong Q., Meng R.L., Ramirez D., Chu С. Ж, Eggert J-Я., Mao H.K. Superconductuvity up to 164 in HgBa2Cam^iCumO2m+2-cr (加= =1, 2, 3), under pressure// Phys. Rev. 1994. V. B50. P. 4260—4263.
Saito A.，Dresselhaus G., Dresselhaus M.S. Physical Properties of Carbon Nan™ otubes.——London: Imperial College Press, 1998.
Shin an J., Vardeny Z., Kapati Z. eds.Optical and Electronic Properties of Fullerenes and Fullerene^Band Materials.——N.Y.: Marcel Dekker, 1999*
Rao C.N.R.^ Raveau B. eds. Colossal Magnetoresistance, Charge Ordering and Related Properties of Manganese Oxides.——Singapore: World Scientific, 1998.
Ruf T., Henn А. Ж, Asen-Palmer M, Gmelin K, Cardona M, Pohl Я.- J., Devyatyel G.G*，Sennikov P.G. Thermal conductivity of isotopically enriched silicon// Solid State Commun. 2000. V. 115. P. 243.
Czochralski J.: A new method for measuring the crystallization velocity of metals (in German)// Z. Phys. Chem. 1918. V. 92. P*219-22L
Madelung 0., Schulz M, Weiss Я. eds. LandolVBornstein, Series Ш. V. 17c (Semiconductors) (Springer, Berlin, Heidelberg 1984) P. 29* This series contains com pre™ hensive references on the growth techniques and properties of individual semiconductors up to 1984.
Dash W.C. Growth of silicon crystals free of dislocations// J. Appl. Phys. 1959. V.30. P. 459.
Foxon С. T., Joyce B.A. Growth of thin films and heterostructures of Ш—V com™ pounds by molecular beam epitaxy, in Growth and Characterization of Semiconductors/ Ed. by R.A* Stradling, P.C. Klipstein. — Bristol: Hilger, 1990. P. 35.
Nakamura £, Fasol G. The Blue Laser Diode: GaN Based Light Emitters and Lasers (Springer™Verlag, Berlin 1997) P. 36—37*
Stranski IN)Krastanow L. Sitzungsberichte d. Akad. d. Wissenschaften in Wien. 1937. Abt. 11B, Band 146, 797.
Pashley D. Ж The Basics of Epitaxy, in Growth and Characterization of Semi- conductors/ Ed. by R.A. Stradling, P.C. Klipstein.——Bristol: Hilger, 1990. P. 1.
Frank F.C.^ van der Merwe J.H. One^dimensional dislocations I. Static theory, Proc. Royal Society 1949. V. A198. P. 205—216; One^dimensional dislocations П. Misfitting monolayers and oriented overgrowth, Proc. Royal Society 1949. V. A198. P. 216—225; One^dimensional dislocations III. Influence of the second harmonic term in the potential, representation on the properties of the model, Proc. Royal Society. 1949. V. A200. P. 125^134.
Bimberg D., Grundmann M, Lebentsov N. N. Growth, Spectroscopy, and Laser Application of Self^ordered Ш—V Quantum Dots// Bulletin of the Materials Research Society. 1998. V. 23. P. 31.
Bohm J., Ludge Л., Schroder Ж. Crystal Growth by Floating Zone Melting, in Handbook of Crystal Growth. V. 2 ed. by D. T. H. Hurle (NortlbHolland, Amsterdam, 1994) P. 213-25&
Общая информация
Bernard J.C., Sugawara М. eds.Self™Assembled in GaAs/GaAs Quantum Dots. Vol™ ume 60 of Semiconductors and Semimetals.——N.Y.: Academic Press, 1999*
Bimberg D., Grundmann M, Ledentsov /V. Quantum Dot Heterostructures.——N.Y.: John Wiley & Son, 1999.
Chernov A.A. Modern Crystallography 111 ——Crystal Growth// Springer Ser. SolidSlate Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1984. V. 36.
Gilman J. J. eds.The Art and Science of Growing Crystals. — N.Y.: Wiley, 1963.
Hermann МЛ., Sitter Я. Molecular Beam Epitaxy, 2nd edn.// Springer Ser. Mater.
Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1996. V. 7.
Kittel C. Introduction to Solid State Physics, 7th edn. — N.Y.: Wiley, 1995.
Laudies R.A. The Growth of Single Crystals. — N.Y.: Prentice^Hall, 1970.
Matthews J. Ж. ed.Epitaxial Growth, Pts. a & b. — N.Y.: Academic, 1975.
Panish MB., Temkin Я. Gas Source Molecular Beam Epitaxy// Springer Ser. Mater. Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1993. V. 26.
Williams J.O. Metal Organic Chemical Vapour Deposition [MOCVD] for the preparation of semiconductor materials and devices, in Growth and Characterization of Semi- conductors/ Ed. by R.A. Stradling, P.C. Klipstein. — Bristol: Hilger, 1990. P. 17.
К главе 2
Quantum Theory of Real Materials/ Eds. Chelikowsky J.R., Louie S.G.—— Dordrecht: Kluwer, 1996.
Kittel C. Introduction to Solid State Physics, 7th edn. — N.Y.: Wiley, 1995. P.37.
Falicov L.M. Group Theory and its Physical Applications. — Chicago: Univ. Chicago Press, 1966.
Koster G.F. Space groups and their representations / Solid State Physics 5. P. 173—256工一N工Y*: Academic, 1957.
Lucovsky G. A comparison of the long wavelength optical phonons in trigonal Se and Те// Phys. Stat. Sol. (b) 1972. V.49. P633*
Greenaway D.M, Harbeke G. Optical Properties and Band Structure of Semiconductors. — N.Y.: Pergamon, 1968. P. 44.
Jones Я. The Theory of Brillouin Zones and Electronic States in Crystals. 2nd edn. — Amsterdam: North-Holland, 1975.
Cohen M£., Chelikowsky J. Electronic Structure and Optical Properties of Semiconductors, 2nd edn.// Springer Ser. Solid-State Sci.——Berlin, Heidelberg: Springer. 1989. V.75.
Chelikowsky J./?., Chadi D. J., Cohen M.L. Calculated valence band densities of states and photoemission spectra of diamond and zinc^blende semiconductors// Phys. Rev. 1973. V. В 8. P. 2786-2794.
Varea de Alvarez C，Walter J.P., Boyd R. Ж., Cohen M.L. Calculated band structures, optical constants and electronic charge densities for InAs and InSb// J. Chem. Phys. Solids. 1973. V* 34* P 337—345工
Hohenberg P., Kohn Ж Inhomogeneous electron gas// Phys. Rev. 1964. V. В 863. P. 136.
Kohn Ж, Sham L. Self-consistent equations including exchange and correlation effects// Phys. Rev. 1965. V. A 113. P. 140.
Hybertsen M.S., Louie SG Electron correlation in semiconductors and insu™ lators// Phys. Rev. 1986. V. В 34. P* 5390—5413*
Trouillier N*, Martins J.L. Efficient pseudopotentials for plane wave calcula™ tions// Phys. Rev. 1991. V. В 43* P. 1993^2006.
Капе EO Band structure of indium antimonide// J. Phys. Chem. Solids. 1957. V. 1. P. 249—261.
Cardona M, Pollak F.H. Energy^band structure of germanium and silicon// Phys. Rev. 1966. V. 142. P. 530^543.; see also V.41B.
Cardona M. Band parameters of semiconductors with zincblende, wurtzite, and germanium structure// J. Phys. Chem. Solids. 1963. V. 24. P. 1543-1555.; erratum: ibid. 1965. 26* 1351E.
Madelung 0., Schulz M, Weiss Я. eds. Landolt^Bornstein, Series Ш. V. 17a™h (Semiconductors) (Springer, Berlin, Heidelberg 1987)
Kane E. 0. The (k-p)™method// Semiconductors and Semimetals. — N.Y.: Аса™ demic. 1966. V. 1. P. 75—10(1
Cardona M, Christensen N.K, Fasol G. Relativistic band structure and spinorbit splitting of zincblende4ype semiconductors// Phys. Rev. 1988. V. В 38. P. 18061827*
Dresselhaus G.)Kip Л.К, Kittel C. Cyclotron resonance of electrons and holes in silicon and germanium crystals// Phys. Rev. 1955. V. 98. P. 368—384.
Willatzen M, Cardona M, Christensen NE LMTO and (k • p)™calculation of effective masses and band structure of semiconducting diamond// Phys. Rev. 1994. V.B50. P. 18054.
Luttinger J.M Quantum theory of cyclotron resonance in semiconductors: Gen™ eral theory// Phys. Rev. 1956. V. 102. P. 1030^1041.
Harrison ЖЛ. Electronic Structure and the Properties of Solids: The Physics of the Chemical Bond. — N.Y.: Dover, 1989.
Cha di D. J., Cohen M£. Tight^binding calculations of the valence bands of diamond and zincblende crystals// Phys. Stat. Solidi. 1975. V. В 68. P* 405—419*
Harrison Ж A. The physics of solid state chemistry/ Festkorperprobleme 17, P. 135—155 (Vieweg, Braunschweig, FRG 1977).
Herman F. Recent progress in energy band theory/ Proc// Infl Conf, on Physics of Semiconductors. — Paris: Dunod. 1964. P. 3—22*
Dietl T., Dobrowolski Ж., Kosut J., Kowalski B.J., Szuskiewicz Ж., Wilamoski Z, Witowski A.M. HgSe: Metal or Semiconductor?// Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 1535.
Eich D., Hubner D., Fink A.)Umbach K, Ortner K., Becker C.R.^ Landwehr G*, Flezsar A. Electronic structure of HgSe investigated by direct and inverse photoemis™ sion// Phys. Rev. 2000. V.B61. P. 12666-12669.
Morgan T.N. Symmetry of electron states in GaP// Phys. Rev. Lett. 1968. V.21. P. 819-823.
Wentzcovitch ILM^ Cardona M, Cohen M£., Christensen N.E. Xi and X? states of electrons and phonons in zincblende^type semiconductors// Solid State Com™ mun. 1988. V.67. P. 927-93(1
Wei £〃., Zunger A. Band gaps and spin^orbit splitting of ordered and disordered Al^Gai^^ As and GaAs^Sbi—^ alloys// Phys. Rev. 1989. V. В 39. P* 3279—3304.
Общая информация
Теория групп и ее применение
Burns G. Introduction to Group Theory and Applications.——N.Y.: Academic, 1977.
Evarestov R.A.^ Smirnov V.P. Site Symmetry in Crystals// Springer Ser. Solid-State Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1993. V. 108.
Falicov L.M. Group Theory and Its Physical Applications. — Chicago: Univ. Chicago Press, 1966.
Heine V. Group Theory in Quantum Mechanics. — N.Y.: Pergamon, 1960.
Inui T., Tanabe K, Onodera К Group Theory and Its Applications in Physics, 2nd edn.// Springer Ser. Solid-State Sci.——Berlin, Heidelberg: Springer. 1996. V. 78.
Jones Я. Groups, Representations, and Physics. — Bristol: Hilger, 1990.
Koster G.R. Space groups and their representations// Solid State Physics.——N.Y.： Academic. 1957. V.5. P. 173-256.
Lax M. Symmetry Principles in Solid State and Molecular Physics. — N.Y.: Wiley, 1974.
Ludwig Ж, Falter C. Symmetries in Physics, 2nd edn.// Springer Ser. Solid-State Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1996. V. 64.
Tinkham M. Group Theory and Quantum Mechanics. — N.Y.: McGraw-Hill, 1964.
Vainshtein BK Fundamentals of Crystals, 2nd edn.// Modern Crystallography.—— Berlin, Heidelberg: Springer. 1994. V. 1.
Электронная зонная структура
Cohen M£., Chelikowsky J. Electronic Structure and Optical Properties of Semicon™ ductors, 2nd edn.// Springer Ser. Solid-State Sci.——Berlin, Heidelberg: Springer. 1989. V.75*
Greenaway D.L., Harbeke G. Optical Properties and Band Structure of Semicon™ ductors. — N.Y.: Pergamon, 1968.
Harrison ЖЛ. Electronic Structure and the Properties of Solids: The Physics of the Chemical Bond. — N.Y.: Dover, 1989.
Jones Я. The Theory of Brillouin Zones and Electronic States in Crystals.—— Amsterdam: NortlbHolland, 1962.
Phillips J.C. Covalent Bonding in Crystals, Molecules, and Polymers. — Chicago: Univ. Chicago Press, 1969.
К главе 3
Talwar D.M, Vandevyver M, Kune <., Zigone M. Lattice dynamics of zinc chalcogenides under compression: Phonon dispersion, mode Griineisen, and thermal expansion// Phys. Rev. 19 81. V. В 2 4. P. 741-753.
Debernardi Л., Cardona M. Isotope effects on the lattice constant by perturbation theory: an ab initio calculation// Phys. Rev. 1996. V. В 54. P. 11305-11310.
Goldstein H. Classical Mechanics. — Reading: Addison™Wesley, 1950. P. 329.
Debernardi A. Phonon Linewidth in Ш—V semiconductors from density funo tional perturbation theory// Phys. Rev. 1998. V. В 57* P. 12847—12858.
Nilsson G.，Nelin G. Study of the homology between silicon and germanium by thermakneutron spectroscopy// Phys. Rev. 1972. V. В 6. P. 3777-3786.
Weber Ж Adiabatic bond charge model for the phonons in diamond, Si, Ge, and a-Sn〃 Phys. Rev. 1977* V. В 15. P. 4789-4803.
Strauch D., Dorner B. Phonon dispersion in GaAs// J. Phys.: Condens. Matter. 1990. V. 2. P. 1457-1474.
Ruf T., Serrano J., Cardona M, Pavone P., Pabst M, Kris ch M, D'Astuto M, Suski T., Grzegory /., Leszczynski M. Phonon Dispersion curves in wurtzite^structure GaN determined by inelastic x^ray scattering// Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 906909.
Zallen A.，Martin R.M.^ Natoli V. Infrared Activity in Elemental Crystals// Phys. Rev. 1994* V* B49* P. 7032.
Born M, Huang K. Dynamical Theory of Crystal Lattices. — Oxford: Oxford Univ. Press, 1988 (reprint of the original 1954 edition).
Born M. The space lattice theory of diamond// Ann. Physik. German 1914. V.44. P. 605—642*
Hsieh Y.C. The vibrational spectrum and the specific heat of germanium and silicon// J. Chem. Phys. 1954. V 22. P. 306-311.
Herman F. Lattice vibrational spectrum of germanium// J. Phys. Chem. Solids. 1959. V. 8. P* 405—418.
Cochran Ж Theory of the lattice vibrations of germanium// Proc. R. Soc. (London). 1959* V. A 253. P 260—276*
Dolling G., Cowley R.A. The thermodynamics and optical properties of germa™ nium, silicon, diamond and gallium arsenide// Proc. Phys. Soc. 1966. V. 88. P. 463—494.
Phillips J.C. Covalent bonds in crystals. I. Elements of a structural theory// Phys. Rev. 1968. V. 166. P. 832-838.
Phillips J.C. Covalent bonds in crystals. П. Partially ionic bonding// Phys. Rev. 1968. V. 168. P. 905-911.
Musgrave MJ.P., Pople J.A. A general valence force field for diamond// Proc. R. Soc. (London). 1962. V. A 268* P* 474—48丄
Nusimovici M.A.^ Birman J.L. Lattice dynamics of Wurtzite: CdS// Phys. Rev. 1967. V. 156. P. 925—938.
Debernardi Л., Pyka TV.M, Gobel A., Ruf T., Lauck /?., Kramp 5., Cardona M. Lattice Dynamics of Wurtzite CdS// Solid State Commun. 1997. V. 103. P. 297—301*
Rowe J.M, Nicklow R.M., Price D.L., Zanio K. Lattice dynamics of cadmium telluride// Phys. Rev. 1974. V. В 10. P. 671—675.
Widulle F., Kramp 5., Pyka TV.M, Gobel Л., Ruf T., Debernardi Л., Lauck /?., Cardona M. The phonon dispersion of wurtzite CdSe// Physica 1998. V. B263—264. P. 448-451
Lang G., Karch <., Schmitt M, Pavone P., Mayer A.P., Wehner /?.<., Strauch D. Anharmonic lineshift and linewidth of the Raman mode in Ge and Si// Phys. Rev. 1999* V.B59. P. 6182.
Shobhana £, Vanderbilt D. Anharmonic self^energies of phonons in silicon// Phys. Rev. 1991. V.B43. P. 4541.
Keating P.N. Effect of invariance requirements on the elastic strain energy of crystals with application to the diamond structure// Phys. Rev. 1966. V. 145. P. 637— 645*
Martin R.M. Elastic properties of ZnS structure semiconductors// Phys. Rev. 1970. V.B 1. P. 4005^4011.
Martin R.M. Dielectric screening model for lattice vibrations of diamond^structure crystals// Phys. Rev. 1969* V. 186. P. 871.
Noolandi J. Theory of crystal distortions in AnBIVCY and A1BniC2V chaicopyrite semiconductors// Phys. Rev. 1974. V. В 10. P. 2490—2494.
Gottlicher 5., Wolfel E. X・ray determination of the electron distribution in crystals (in German)// Z. Elektrochem. 1959. V. 63. P. 891-901.
Yang L. Ж, Coppens P. On the experimental electron distribution in silicon// Solid State Commun. 1974. V. 15. P. 1555—1559.
Chelikowsky J., Cohen M.L. Nonlocal pseudopotential calculations for the elec™ tronic structure of eleven diamond and zincblende semiconductors// Phys. Rev. 1976. V.B 14. P. 556—582.
Pavone P., Karch <., Schiitt 0., Windl Ж, Strauch D., Gianozzi P., Baroni £ Ab initio lattice dynamics of diamond// Phys. Rev. 1993. V. В 48. P. 3156-3163.
Schwoerer-Bohning M, Macrauder Л. T., A. Arms D. Phonon Dispersion in Diamond measured by inelastic X^ray scattering// Phys. Rev. Lett. 1998. V. 8 0. P. 5 5 72—5 5 75*
Srivastava G.P. The Physics of Phonons. — Bristol: Hilger, 1990.
Blacha Л., Presting Я., Cardona M. Deformation potentials of к = 0 states of tetrahedral semiconductors// Phys. Stat. Solidi b. 1984. V. 126. P. 11-36.
Nolle D.D*)Walukiewicz Ж, Haller E.E. Critical criterion for axial modes of defects in as-grown n^type GaAs// Phys. Rev. 1987. V. В 36. P* 9374—9377*
Cardona M, Christensen NE Acoustic deformation potentials and heterostruc™ ture band offsets in semiconductors// Phys. Rev. 1987. V. В 35. P. 6182-6194.
Kane E.O. Strain effects on optical criticakpoint structure in diamond^type crystals// Phys. Rev. 1969* V. 178. P. 1368^1398.
33 M. Кардона
Pikus G.K, Bir G.L. Effect of deformation on the hole energy spectrum of germanium and silicon// Sov. Phys. — Solid State. 1960. V. 1. P. 1502-1517.
Pikus G.K, Bir G.L. Symmetry and Strain Induced Effects in Semiconduo tors. —N.Y.: Wiley, 1974.
Ivchenko K£., Pikus G.E. Superlattices and other Helerostructures.——Heidek berg: Springer, 1997. P. 71.
Herring C., Vogt E. Transport and deformation-poteiitial theory for many™valley semiconduclors with anisotropic scattering// Phys. Rev. 1956. V. 101. P. 944—961.
Brooks Я. Theory of the electrical properties of germanium and silicon// Ad™ vances in Electronics and Electron Physics. — N.Y.: Academic. 1955. V. 7. P. 85—182.
Nye J.F. Physical Properties of Crystals. — Oxford: Oxford Univ. Press, 1969.
Marian G.D., Hop field J. J. Piezoelectric polaron effects in CdS// Phys. Rev. Lett. 1964. V. 12. P. 241—243.
Hiibner K. Piezoelectricity in zincblende™ and wurtzite-type crystals// Phys. Stat. Solidi. 1973. V. В 57. P. 627—634.
Harrison Ж4. Electronic Structure and the Properties of Solids: The Physics of the Chemical Bond. — N.Y.: Dover, 1989. P. 224.
Madelung 0., Schulz M, Weiss Я. eds. Landolt-Bornsteiii, Series III. V.22 (Semiconductors), Subvolume a. Intrinsic Properties of Group IV Elements. Ш—V, II— VI and I—VII Compounds (Springer, Berlin, Heidelberg 1987).
Adachi S. GaAs, AlAs, and AlxGaj-xAs: Materials parameters for use in re™ search and device applications// J. Appl. Phys. 1985. V. 58. P. Ш-29
Kleinmann L. Deformation potentials in Si: I. Uniaxial strain// Phys. Rev. 1962. V. 128. P. 2614-2621.
Anastassakis K, Cardona M. Internal strains and Raman-active optical pho nous// Phys. Stat. Solidi. 1981. V. В 104. P. 589—600.
Plotz Ж, Vogl 尸.Theory of opticabphonon deformation potentials in tetrahe™ dral semiconductors// Phys. Rev. 1981. V. В 24. P. 2025-2037.
Cardona M.^ Grims ditch M, Olego D. Theoretical and experimental determi™ nations of Raman scattering cross sections in simple solids, in Light Scattering in Solids/ Ed. by J.L. Birman, H.Z. Cummins, K.K. Rebane. — N.Y.: Plenum, 1979. P. 249-256.
Zollner £, Gopalan £, Cardona M. Intervalley deformation potentials and scattering rates in zincblende semiconductors// Appl. Phys. Lett. 1989. V. 54. P. 614-616.
Carabatos C, Prevot B. Rigid ion model lattice dynamics of cuprite (CU2O)// Phys. Status Solid. 1971. V. В 44. P. 701—712.
Molinas-Mata P., Cardona M. Planar force-constant models and internal strain parameter of Ge and Si// Phys. Rev. 1991. V. В 43. P. 9799-9809.
Molinas-Mata P., Shields 4.J., Cardona M. Phonons and internal stresses in IV-VI and III-V semiconductors: The planar bond-charge model// Phys. Rev. 1993. V. В 47. PJ866-1875*
Xu C.H.)Wang C.Z.^ Chan С. T., Ho K.M. Theory of the thermal expansion of Si and Diamond// Phys. Rev. 1991. V.B43. P. 5024-5027*
Debernardi A., Cardona M. Isotopic effects on the lattice constant in compound semiconductors by perturbation theory: an ab initio calculation// Phys. Rev. 1996. V.B54. PJ1305-11310*
Общая информация
Динамика решетки
Bilz Я., Kress Ж Phonon Dispersion Relations in Insulators// Springer Ser. SolidState Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1979. V. 10.
This is touted as a jjphonon atlas2,2, by its authors. It presents a collection of phonon dispersion curves and den-sities of states for more than a hundred insulators, including all the well-known semiconductors.
Born М, Huang К. Dynamical Theory of Crystal Lattices. — Oxford: Oxford Univ. Press, 1988 (reprint of the original 1954 edition).
Horton G.K「Maradudin A.A. eds.// Dynamical Properties of Solids. — Amsterdam: NortbHolland. 1974. V」—5.
Sinha S.K. Phonons in semiconductors// CRC Critical Reviews in Solid State Sci™ ences. 1973. УЛ. P. 273^334.
Srivastava G.P. The Physics of Phonons.——Bristol: Hilger, 1990.
Свойства фононов
Harrison Ж4. Electronic Structure and the Properties of Solids: The Physical of the Chemical Bond. — New: Dover, York, 1989.
Kittel C. Introduction to Solid State Physics, 7th edn. — N.Y.: Wiley, 1995. Chap. 4.
Madelung 0. Introduction to Solid-State Theory// Springer Ser. Solid-State Sci.—— Berlin, Heidelberg: Springer. 1978. V. 2.
Madelung 0., Schulz M.)Weiss H. eds. Landolt-Bornstein, Series III. V. 22 (Semiconductors), Subvolume a) Intrinsic Properties of Group IV Elements, III-V, 11-VI and I—VII Compounds (Springer, Berlin, Heidelberg 1987)
Nye J.E. Physical Properties of Crystals. — Oxford: Oxford Univ. Press, 1969.
Pikus G.E, Bir G.L. Symmetry and Strain Induced Effects in Semiconductors.— N.Y二 Wiley, 1974.
К главе /
Wannier G. Elements of Solid State Theory.——Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1959 (for discussions of Wannier functions).
Kohn Ж Shallow impurity states in silicon and germanium// Solid State Physics.—N.Y.: Academic. 1957. V.5. R 257^320.
Ziman J.M. Principles of the Theory of Solids, 2nd edn. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1972. (for discussion of the effective-mass approximation, see Chap. 6, P. 147-176》
Watts R.K. Point Defects in Crystals. — N.Y.: Wiley-Interscience, 1977.
Chand M, Henderson T., Klem J., Masselink W. T., Fischer R., Chang Y. C., MorkoQ H. Comprehensive analysis of Si-doped AlxGai_xAs (x = 0 to 1): Theory and experiment// Phys. Rev. 1984. V. В 30. P. 4481-4492.
Mizuta M.)Tachikawa M.)Kukimoto Я., Minomura S. Direct evidence for the DX center being a substitutional donor in AlGaAs alloy system// Jpn. J. Appl. Phys. 1985. V. 24, N L 143^146.
Ch a di D. J., Chang K.J. Energetics of DX-center formation in GaAs and
AlxGa^xAs alloys//'Phys. Rev. 1989. V.39. P. 10063^10074.
Dabrowski J., Scheffler M. Defect metastability in Ш—V compounds// Mater. Sci. Forum. 1992. V. 83^87. P. 735—756
Kohn Ж, Luttinger J.M. Theory of donor levels in silicon// Phys. Rev. 1955. V.97川 P.172L
Kohn Ж, Luttinger J.M. Theory of donor levels in silicon// Phys. Rev. 1955. V. 98. P. 915-922.; Theory of donor states in silicon, ibid. 1955. V. 98, P. 915-922.
Faulkner R.A. Higher donor excited states for prolate-spheroid conduction bands: A re-evaluation of silicon and germanium// Phys. Rev. 1969. V. 184. P. 713-721.
Pantelides £, Sah С. T. Theory of localized states in semiconductors. I. New results using an old method// Phys. Rev. 1974. V. В 10. P. 621-637.
Pantelides S., Sah С. T. Theory of localized states in semiconductors. II. The pseudo impurity theory applications to shallow and deep donors in silicon// Phys. Rev. 1974. V. В 10. P. 638-658. II. The pseudo impurity theory applications to shallow and deep donors in silicon, ibid. 1974. P. 638—658
Lipari M, Baldereschi A. Interpretation of Acceptor Spectra in Semiconductors/ / Solid State Commun. 1978. V. 25. P. 665-668.
Kohn Ж, Schechter И Theory of acceptor levels in germanium// Phys. Rev. 1955. V.99. P.1903—1904*
Baldereschi 4., Lipari N. 0. Spherical model of shallow acceptor states in semi™ conductors// Phys. Rev. 1973. V. В 8. P. 2697-2709"
Baldereschi 4., Lipari N. 0. Cubic contributions to the spherical model of shak low acceptor states// Phys. Rev. 1974. V. В 9. P. 1525-1539.
Baldereschi 4., Lipari N. 0. Interpretation of acceptor spectra in semiconduc™ tors// Solid State Commun. 1978. V. 25. P. 665, 668.
Willatzen M, Cardona M.^ Christensen NE Spin-orbit coupling parameters and g-factors of II-VI zincblende materials// Phys. Rev. 1995. V. В 51. P. 17992— 17994.
Hasse M.A., Qiu J., DePuydt J.M, Cheng Я. Blue-green laser diode. Appl// Phys. Lett. 1991. V.59. P 1272—1274.
Jeon Я., Ding J., Patterson Ж, Nurmikko 4. V., Xie Ж, Grillo DC, Kobayashi M, Gunshor R.L. Blue-green injection laser diodes in (Zn,Cd)Se/ ZnSe quantum wells// Appl. Phys. Lett. 1991. V.59. P 3619—3621.
Serrano J., Cardona M, Ruf T. Spin-orbit splitting of acceptor-related states// Solid State Commun. 2000. V. 113. P. 411^414.
Serrano J., Wysnedek 4., Ruf T., Cardona M. Spin-orbit splitting of acceptors in Si and C// Physica. 1999. к B273—27人 P 640—644.
Pantelides S. The electronic structure of impurity and defect states in semicon- ductors// Rev. Mod. Phys. 1978. V. 50. P 797-85&
Mooney P.M. Deep donor levels (DX centers) in Ш—V semiconductors// J. Appl. Phys. 1990. V. 67. N Ш—26川
Mott N.F. Metaklnsulator Transition.——London: Taylor and Francis, 1990. P. 76.
Chadi D.J. Doping in ZnSe, ZnTe, MgSe, and MgTe wide-band-gap semiconductors" Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 534-537.
Economou E.N. Green's Functions in Quantum Physics, 2nd edn.// Springer Ser. Solid-State Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1983. V. 7. P. 97-125.
Lannoo M.^ Bourgoin J. Point Defects in Semiconductors I, Theoretical As™ pects// Springer Ser. Solid-State Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1981. V. 22. P. 68^152.
Dirac P.A.M. The Principles of Quantum Mechanics. — Oxford: Oxford Univ. Press, 1967. P58-61.
Hjalmars on Я.Р., Vogl P., Wolford D. J., Dow J.D. Theory of substitutional deep traps in covalent semiconductors// Phys. Rev. Lett. 1980. V. 44. P. 810—813.
Phillips J.C. Covalent Bonding in Crystals, Molecules, and Polymers.— Chicago: Univ. Chicago Press, 1969. P. 232. Table E. 1.
Faulkner R.A. Toward a theory of isoelectronic impurities in semiconductors// Phys* Rev. 1968. V. 175. P. 99H009.
Thomas DG.)Hopfield J. J. Isoelectronic traps due to nitrogen in GaP// Phys. Rev. 1966. V. 150. P. 680^703.
Wolford D.J.)Bradley J.4., Fry <., Thompson J. The nitrogen isoelectronic trap in GaAs, in Physics of Semiconductors 1984./ Ed. by J.D. Chadi, W.A. Harrison. — N.Y.: Springer, 1984. P. 627-636
Cohen K, Sturge M.D. Excited states of excitons bound to nitrogen pairs in GaP// Phys. Rev. '1977. V. В 15. P.1039-1051.
Hsu Ж К, Dow J.D., Wolford D. J., Streetman B.G. Nitrogen isoelectronic trap in GaAsi^xPx. II. Model calculation of the electronic states TVr and Nx at low temperature// Phys. Rev. 1977. V. В 16. P. 1597-1615.
Pantelides S. ed. Deep Centers in Semiconductors, A State of the Art Approach.—N.Y.: Gordon and Breach, 1986. Chaps. 1, 7.
Messiah Л. Quantum Mechanics. — Amsterdam: North-Holland, 1961. PJ054— 1060.
Общая информация
Есопотои E.N. Green's Functions in Quantum Physics, 2nd edn.// Springer Ser. Solid-State Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1983. V. 7.
Lannoo M.^ Bourgoin J. Point Defects in Semiconductors I, Theoretical Aspects// Springer Ser. Solid-State Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1981. V. 22.
Pantelides S. The Electronic Structure of Impurity and Defect States in Semiconductors// Rev. Mod. Phys. 1978. V. 50. P. 797—858.
Pantelides S. ed.Deep Centers in Semiconductors, A State of the Art Approach.—— N.Y.: Gordon and Breach, 1986.
Schubert E.F. Doping in Ш—V Semiconductors. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993.
Wannier G. Elements of Solid State Theory. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1959 (for discussions of Wannier functions).
Watts R.K. Point Defects in Crystals. — N.Y.: Wiley-Interscience, 1977.
Ziman J.M. Principles of the Theory of Solids, 2nd edn.——Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1972 (for discussions of the effective-mass approximation).
К главе 5
Ziman J.M. Principles of Theory of Solids, 2nd edn.——Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1972. PJ29—178.
Ridley B.K. Quantum Processes in Semiconductors, 2nd edn. — Oxford: Clarendon, 1988.
Robertson H.S. Statistical Thermophysics. — Englewood Cliffs NJ: Prentice Hall, 1993* P 445-449.
Jacoboni C, Lugli P. The Monte Carlo Method for Semiconductor Device Simulation.—Wien: Springer, 1989. P. 104-160.
Ferry D.K. Semiconductors. — N.Y.: Macmillan, 1991.
Devlin S.S. Transport properties, in Physics and Chemistry of П—VI Compounds/ Ed. by M. Aven, J.S. Prener. — Amsterdam: North-Holland, 1967.
Kittel C. Introduction to Solid State Physics, 7th edn. — N.Y.: Wiley, 1995.
Conwell E.M, Vassel M. 0. High-field distribution function in GaAs// IEEE Trans. 1966. V. ED-" P. 22-27.
Collins C.L., Yu P. K: Nonequilibrium phonon spectroscopy: A new tech-nique for studying intervalley scattering in semiconductors. Phys. Rev. 1983. V. В 27. P. 2602-2604.
Rode D.L. Low field electron transport// Semiconductors and Semimetals.— N.Y.: Academic. 1982. V.10. PJ—89*
Long D. Scattering of conduction electrons by lattice vibrations in silicon// Phys. Rev. 1960. V. 120. P. 2024-2032.
Birman J.£., Lax M, Loudon R. Intervalley-scattering selection rules in III-V semiconductors// Phys. Rev. 1966. V. 145. P. 620-622.
Ferry D.K. First-order optical and intervalley scattering in semiconductors// Phys. Rev. 1976. V. В 14. PJ605-160»
Brooks H. Scattering by ionized impurities in semiconductors// Phys. Rev. 1951. V.83. P879.
Conwell E.M.)Weisskopf V. Theory of impurity scattering in semiconductors// Phys. Rev. 1950. V. 77. P. 388—390*
Liboff R.L. Quantum Mechanics. — Reading: Addison-Wesley, MA 1980. P. 625.
Sze S.M. Semiconductor Devices. — N.Y.: Wiley, 1985. P. 33.
Stillman G.K, Wolfe C.M, Dimmock J. 0. Hall coefficient factor for polar mode scattering in n-type GaAs// J. Phys. Chem. Solids. 1970. V. 31. P. 1199-1204.
Fletcher <., Butcher P.N. An exact solution of the linearized Boltzmann equation with applications to the Hall mobility and Hall factor of п-GaAs// J. Phys. 1972. C 5. P. 212-22人
Stdrmer Я.£., Dingle A*, Gossard A.C.^ Wiegmann Ж, Logan R.A. Electronic properties of modulation-doped GaAs-AlxGai^xAs Superlattices/ Ed. by B.L.H. Wilson.—Bristol: Inst. Phys., 1979. P. 557—560 (in Physics of Semiconductors 1978).
Walukiewicz Ж, Ruda Я.K, Lagowski J., Gatos H.C. Electron mobility in modulation-doped heterostructures// Phys. Rev. 1984. V. В 30. P. 4571—4582.
Wang S. Fundamentals of Semiconductor Theory and Device Physics. — Englewood Cliffs: Prentice Hall, NJ, 1989.
Conwell E.M. High Field Transport in Semiconductors// Solid State Physics.—— N.Y.: Academic. 1967. Suppl. 9.
Yoffa E.J. Dynamics of dense laser-induced plasmas// Phys. Rev. 1980. V. В 21. P* 2415-2425*
Knox ЖЯ., Hirlimann C, Miller D.A.B.^ Shah J., Chemla DS., Shank С. V. Femtosecond excitation of nonthermal carrier populations in GaAs Quantum Wells// Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. РЛ19И193.
Seeger K. Semiconductor Physics, 5th edn.// Springer Ser. Solid-State Sci.— Berlin, Heidelberg: Springer. 1991. V. 40.
Carnez А, Сарру 4., Kaszynski Л., Constant K, Salmer G. Modeling of a submicrometer gate field-effect transistor including effects of non st at ion ary electron dynamics// J. Appl. Phys. 1980. V.51. P. 784^790.
Singh J. Physics of Semiconductors and Their Heterostructures.——N.Y.: McGraw-Hill, 1993. P524—53L
Blakemore J.S.: Semiconducting and other major properties of gallium arsenide// J. Appl. Phys. 1982. V.53, N RI23—18L
Shah J., Deveaud A, Damen TC, Tsang Ж. T., Gossard 4 c, Lugli P. Determination of interval ley scattering rates in GaAs by subpicosecond luminescence spectroscopy// Phys. Rev* Lett. 1987. V. 59. P* 2222—2225*
Kim D£, Yu P. У. Hot-electron relaxation and hot phonons in GaAs studied by subpicosecond Raman scattering// Phys. Rev. 1991* V. В 43. P. 4158^4169.
Vinson P*J*： Pickering C, Adams 4.Л., Fawcett Ж, Pitt G.D The band structure of GaAs from transferred electron effects at high pressure/ Ed. by. F.G. Fumi.—— Rome: Tipografia Marves, 1976. P. 1243-1246 (in Physics of Semiconductors 1976).
Gunn J.B. Microwave oscillations of current in III-V semiconductors// Solid State Commun. 1963. V. 1. P. 88—91.
Gunn J.B. Microwave oscillations of current in Ш—V semiconductors// IBM J. Res. Dev. 1964. V.8. PJ41—159.
Dalven R. Introduction to Applied Solid State Physics, 2nd edn (Plenum, N.Y. 1990) P. 158^165.
Seeger K. Semiconductor Physics, 5th edn.// Springer Ser. Solid-State Sci.— Berlin, Heidelberg: Springer. 1991. V. 40. P. 217^272.
Herring C, Vogt E. Transport and deformation potential theory for many-valley semiconductors with anisotropic scattering// Phys. Rev. 1956. V. 101. P. 944—961.; erratum 1956. V. 105. P. 1933.
Hall E.H. On a new action of the magnet on electric current// Am. J. Math. 1879. V.2. P. 287-292.
Van der Pauw L. A method of measuring specific resistivity and Hall effect of discs of arbitrary shape// Philips Res. Rep. 1958. V. 13. P. 1—9.
Общая информация
Транспортные свойства
Dalven Л. Introduction to Applied Solid State Physics 2nd edn. — N.Y.: Plenum, 1990*
Ferry D.K. Semiconductors (Macmillan, N.Y. 1991)
Rode D.L. Low field electron transport// Semiconductors and Semimetals. — N.Y.: Academic. 1982. V. 10. P. 1^89.
Kittel C. Introduction to Solid State Physics, 7th edn. — N.Y.: Wiley, 1995.
Nag B.R. Electron Transport in Compound Semiconductors// Springer Ser. SolidState Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1980. V. 11.
Ridley BK Quantum Processes in Semiconductors, 2nd edn. — Oxford: Clarendon, 1988.
Seeger K. Semiconductor Physics, 5th edn.// Springer Ser. Solid-State Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1991. V. 40.
Shah J* Ultrafast Spectroscopy of Semiconductors and Semiconductor Nanostructures, 2nd edn.// Springer Ser. Solid-State Sci.— Heidelberg, 1999: Springer. V. 115
Wiley J.D. Mobility of holes in Ш—V compounds// Semiconductors and Semime- tals.^N.Y.: Academic. 1982. V. 10. P“91—174*
Ziman J.M. Principles of the Theory of Solids, 2nd edn.——Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1972.
Горячие носители
Conwell E.M. High Field Transport in Semiconductors// Solid State Physics.——N.Y.: Academic. 1967. Suppl. 9.
Conwell Е.М.// Handbook of Semiconductors.——Amsterdam: North-Holland. 1982.
V.l. P. 513^561.
Jacoboni C., Lugli 尸.The Monte Carlo Method for Semiconductor Device Simulation.——N.Y.: Springer, 1989.
Приборы
Singh J% Physics of Semiconductors and Their Heterostructures.——N.Y.: McGraw- Hill, 1993.
Sze S.M. Semiconductor Devices. — N.Y.: Wiley, 1985.
Wang S. Fundamentals of Semiconductor Theory and Device Physics. — Englewood- Cliffs,NJ: Prentice Hall, 1989.
К главе 6
Brillouin L. Scattering of light and X-rays by a transparent homogeneous body: Influence of the thermal agitation (in French)// Ann. Pysique. 1922. V. 17. P. 88-122.
Mandelstam L.L On light scattering by an inhomogeneous medium (in Russian)// Zh.
Russko Fiz. Khim. Obshch. (J. Russian Physico-Chemical Soc.) 1926. V. 58. P. 381.
Shen Y.R. The Principles of Nonlinear Optics. — N.Y.: Wiley, 1989.; Mills D.L. Nonlinear Optics. — Berlin, Heidelberg: Springer, 1991.
Haug Я., Koch S. Ж Quantum Theory of Optical and Electronic Properties of Semiconductors. — Singapore: World Scientific, 1990.
Henneberger F., Schmidt-Rink £, Gobel E.O. eds.Optics of Semiconductor Nanostructures.—Berlin: Akademie, 1993.
Shah 丄 Ultrafast Spectroscopy of Semiconductors and Semiconductor Nanostructures.—Heidelberg: Springer, 1999.
Joannopoulos J.D., Meade RD, Winn J.N. Photonic Crystals. — University: Princeton, Press 1995.
Landau L.D., Lifshitz /.M. Statistical Physics, 3rd edn.——Reading, MA: Addison- Wesley, 1980.
Yu Р. К, Cardona М. Spatial dispersion in the dielectric constant of GaAs// Solid State Commun. 1971. V. 9. P. 1421—1424.
Etchegoin 尸.，Cardona M. Stress induced optical activity in zincblende-type semiconductors// Solid State Commun. 1992. V. 82.655—661.
Agranovich У.М, Ginzburg V. Crystal Optics with Spatial Dispersion// Springer Ser. Solid-State Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1984. V. 42.
Jackson J.D. Classical Electrodynamics, 2nd edn. — N.Y.: Wiley, 1975.
Cardona M. Modulation Spectroscopy// Solid State Physics.——N.Y.: Аса™ demic. 1969. Suppl. IL P. 55—65.
Aspnes D.K, Studna A.A. Dielectric functions and optical parameters of Si, Ge, GaP, GaAs, GaSb, InP, InAs, and InSb from 1,5 to 6,0 eV// Phys. Rev. 1983. V. В 27. P. 985-1009.
Hauge P.S. Recent developments in instrumentation in ellipsometry// Surf. Sci. 1980. V.96. P. 108-140.
Philipp H*A.)Ehrenreich H* Ultraviolet optical properties — optical properties of Ш-V compounds// Semiconductors and Semimetals. — N.Y.: Academic. 1967. V. 3. P. 93—12人
Kunz C. Synchrotron Radiation, Techniques and Applications// Topics Curr. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1979. V. 10.
Koch E.E. Handbook of Synchrotron Radiation.——Amsterdam: North-Holland, 1983.
Heitler Ж The Quantum Theory of Radiation, 3rd edn. — Oxford: Oxford Univ. Press, 1954. P. 56—64.
Cardona M, Pollak F.H. Energy-baiid structure of germanium and silicon: The (k-p)4iiethod// Phys. Rev. 1966. V. 142. P. 530^543.
Cardona M., Christensen MK, Fasol G. Relativistic band structure and spinor™ bit splitting of zincblende-type semiconductors// Phys. Rev. 1988. V. В 38. P. 18061827.
Van Hove L. The occurence of singularities in the elastic frequency distribution of a crystal// Phys. Rev. 1953. V. 89. P. 1189—1193川
Cohen M*L*)Chelikowsky J.R. Electronic Structure and Optical Properties of Semiconductors, 2nd edn.// Springer Ser. Solid-State Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1989. V. 75.
Benedict LX., Shirley K£., Bohn R.B. Theory of optical absorption in dia™ mond, Si, Ge, and GaAs// Phys. Rev. 1998. V. В 57. P* R9385—9387.
Albrecht 5., Reining £., Del Sole A., Onida G* Ab initio calculation of ex™ citonic effects in the optical spectra of semiconductors// Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. P. 4510—4153. Note that the peak calculated to appear in Si at 3,8 eV is not observed exper-imentally and must be due to a shortcoming in the calculation;
Cardona M, Lastras-Martinez £.K, Aspues D.E. Comment on jjAb initio calcu™ lations of excitonic effects in the optical spectra of semiconductors^^// Phys. Rev. Lett. 1999. V.83. P3970.
Higginbotham С. Ж Band structure and optical properties of semiconductors// PhD Thesis. — Providence, Ш: Brown University, 1970.
Cardona M, Christensen ME Spin-Orbit Splittings in AIN, GaN, and InN// Solid State Commun. 2000. V. 116. P 421—425.
Ramirez-Flores G., Navarro-Contreras H.)Lastras-Martinez 4., Powell A.C, Greene J. E. Temperature dependence of the optical band gap of the metastable zincblende structure /3™GaN// Phys. Rev. 1994. V. B50. P. 8433—8438.
Logothefidis £, Petalas J., Cardona M, Moustakas T.D. Optical properties and temperature dependence of the interband transitions of cubic and hexagonal GaN// Phys. Rev. 1994. V. В 50. P. 18017, 18029.
Madelung 0., Schulz M, Weiss H. eds. Landolt-Bornsteiii, Ser. III. V. 22
(Semiconductors), Subvol. a: Intrinsic properties of group-IV elements, III-V, II—VI and I-VII compounds (Springer, Berlin, Heidelberg 1987)
Schoolar R.B.^ Dixon J.R. Optical constant of lead sulfide in the fundamental absorption edge region// Phys. Rev. 1965. V. 137. N A667—67CL
Gobeli G. Ж, Fan Я. Y. Semiconductor Research, Second Quartertly Rept., Purdue University, Lafayette, IN (1956), as reproduced in [6.25]
Johnson E.J. Absorption near the fundamental edge, optical properties of Ш—V compounds// Semiconductor and Semimetals. — N.Y.: Academic. 1967. V. 3. P. 153^ 258.
MacFarlane G. G.)Roberts V. Infrared absorption of germanium near the lattice edge// Phys. Rev. 1955. V. 97* P. 1714—1716*
MacFarlane G.G., Roberts V. Infrared absorption of silicon near the lattice edge// Phys. Rev. 1955" V. 98. P. 1865-1866.; Infrared absorption of silicon near the lattice edge. ibid. 1955* V* 98, P* 1865-1866*
MacFarlane G. G., McLean T.P” Quarrington J.K, Roberts V. Fine structure in the absorption-edge spectrum of Ge// Phys. Rev. 1957. V. 108. P. 1377-1383.
Gershenzon M., Thomas D.G.. Dietz R.E. Radiative transitions near the band edge of GaP// Proc. Infl Conf, on the Physics of Semiconductors/ Ed. by A.C. Stickland.^ London: ЮР* 1962* P* 752—759*
Nikitine S. Excitons, in Optical Properties of Solids/ Ed. by S. Nudelman, S.S. Mitra. —N.Y.: Plenum. 1969. P. 197—237*
Wannier G.H. The structure and electronic excitation levels in insulating crystals// Phys. Rev* 1937* V* 52* P. 191—197*
Mott N,F. Conduction in polar crystals: II. The conduction band and ultraviolet absorption of alkalihalide crystals// Trans. Faraday Soc. 1938. V. 34. P. 500—506.
Knox R.S. Theory of Excitons// Solid State Physics/ Ed. by F. Seitz, D. Turnbull. — N.Y.: Academic. 1963. Suppl. 5.
Dexter D.L.^ Knox R.S. Excitons. — N.Y.: Wiley, 1965.
Cho K. ed. Excitons// Topics Curr. Phys.——Berlin, Heidelberg: Springer. 1974. V.14.
Hop field J. J. Theory of contribution of excitons to the complex dielectric constant of crystals// Phys. Rev. 1958. V. 112. P* 1555—1567*
Toyozawa Y. On the dynamical behavior of an exciton// Suppl. Prog. Theor. Phys. 1959* V.12. P.11H40.
Elliott R.J. Intensity of optical absorption by excitons// Phys. Rev. 1957. V. 108. P. 1384-1389.
Steube M, Reimann <., Frohlich D., Clarke S.J. Free excitons with n = 2 in bulk GaN// Appl. Phys. Lett. 1997. V. 71. P. 948-949; Monemar B. Optical Properties of GaN// Semiconductors and Semimetals. — N.Y.: Academic. 1998. P. 305—363; Clarke S.J. Free Excitons with n = 2 in bulk GaN// Appl. Phys. Lett. 1991. V. 71. P. 948—949.
Baldereschi 4., Lipari N.O. Energy levels of direct excitons in semiconductors with degenerate bands// Phys. Rev. 1971. V. В 3. P. 439-450.
Baldereschi 4., Lipari N.O. Spherical model of shallow acceptor states in semiconductors// Phys. Rev* 1973* V. В 8. P. 2697-2709*
Adachi S. Physical Properties of Ш—V Semiconductor Compounds. — New: Wiley, York 1992.
Segall A, Marple D. T.F. Intrinsic exciton absorption// Physics and Chemistry of П—VI Compounds/ Ed. by M. Aven, J.S. Prener.——Amsterdam: North-Holland, 1967. P* 319-378*
Altarelli M, Lipari N.O. Exciton dispersion in semiconductors with degenerate bands// Phys. Rev. 1977. V. В 15. P4898—4906.
Yu P. Y. Resonant Brillouin scattering of exciton polaritons// Comments Solid State Phys. 1979. V. 9* P. 37—48*
Hopfield J. J. Aspects of polaritons// J. Phys. Soc. Jpn. 1966. V. 21. P. 77-88.
Landau L*D.)Lifshitz /.M. Quantum Mechanics, Nonrelativistic Theory, 3rd edn. — Reading, MA: Addison™Wesley, 1965. P. 116^125, 600-610.
Sturge M.D. Optical Absorption of gallium arsenide between 0,6 and 2,75 eV// Phys. Rev. 1962. V.127. P. 768-773*
Baumeister P. Ж Optical absorption of cuprous oxide// Phys. Rev. 1961. V.121. P.359-362功
Petroff У., Yu P. У., Shen Y.R. Study of photoluminescence in CU2O// Phys. Rev. 1975. V. В 12. P. 2488-2495.
Petroff У., Balkanski M. Coulomb effects at saddle-type critical points in CdTe, ZnTe, ZnSe, and HgTe// Phys. Rev. 1971. V. В 3. P 3299-330L
Walter J.P., Cohen M.L., Petroff K, Balkanski M. Calculated and measured reflectivity of ZnTe and ZnSe// Phys. Rev. 1970. V. В 1. P 2661—2667.
Kane E.O. Coulomb effects at saddle-type critical points// Phys. Rev. 1969* V.180. P852-85&
Anted £, Nardelli G.F. Evidence for a high sensitivity of A?—Ai resonant absorption structures on energy™band behavior for CdTe and ZnTe// Phys. Rev. 1972. V.B 6. РЛ31И314.
Fliigge £, Marschall Я. Rechenmethoden der Quantentheorie. — Berlin, Heidek berg: Springer, 1952. P. 80.
Phillips J.C. Excitons// The Optical Properties of Solids/ Ed. by J. Taue.— N.Y.: Academic. 196C 门 155—184.
Fano U. Effects of configuration interaction on intensities and phase shifts// Phys. Rev. 1961. V. 124. P. 1866—1878.
Hanke Ж, Sham L.J. Many-particle effects in the optical spectrum of a semi™ conductor// Phys. Rev. 1980. V. В 21. P. 4656—4673.
Meskini M, Mattausch Я.J., Hanke Ж Many-body effects in the absorption spectrum of a heteropolar crystal// Solid State Commun. 1983. V. 48. P. 807—809*
Velicky B., Sak J. Excitonic effects in the interband absorption of semiconduc™ tors// Phys. Status Solidi. 1966. V. 16. P. 147—157.
Jenkins F.4., White H"E. Fundamentals of Optics, 3rd edn. — N.Y.: McGraw™ Hill, 1957. P.472.
Born M, Huang <. Dynamical Theory of Crystal Lattices.——Oxford: Oxford Univ. Press, 1988. P. 228—238 (reprint of the original 1954 edition).
Hass M. Lattice reflections (Optical Properties of Ш—V Compounds)// Semi™ conductors and Semimetals. — N.Y.: Academic. 1967. V. 3. P. 3—16.
Debernardi 4. Phonon linewidth in Ш—V semiconductors from density funo tional perturbation theory// Phys. Rev. 1998. V. B57. P. 12847-12858.
Debernardi A. Anharmonic effects in the phonons of Ш—V semiconductors: first principles calculations// Solid State Commun. 2000. V. 113. P. 1-10.
Siegle Я., Eckey £., Hoffmann 4., Thomsen C)Meyer AK, Schikora D., Han- keln M, Lischka <. Quantitative determination of hexagonal minority phase in GaN using Raman spectroscopy// Solid State Commun. 1995. V. 96. P. 943—949«
Fuchs Я.О., Grein С.Я., Devlin /?./., Kuhl J., Cardona M. Anharmonic decay time, isotopic scattering time, and inhomogeneous line broadening of optical phonons in 70Ge, 76Ge and natural Ge crystals// Phys. Rev. 1991* V. B44. P« 8633—8642*
Collins R.J., Fan Я. Y. Infrared lattice absorption bands in gerhianium, silicon and diamond// Phys. Rev. 1954. V. 93. P. 674—678.
Johnson F.A. Lattice absorption bands in silicon// Proc. Phys. Soc. (London). 1959. V. 73. P. 265-272.
Lax M.^ Burstein E. Infrared lattice absorption in ionic and homopolar crys™ tals// Phys. Rev. 1955* V. 97. P 39—52功
Birman J.L. Space group selection rules: Diamond and zinc blende// Phys. Rev. 1962. V.127. P.1093-1106.
Spitzer ЖС. Multiphonon lattice absorption (Optical Properties of III-V Com™ pounds)// Semiconductors and Semimetals. — N.Y.: Academic. 1967. V. 3. P. 17-69.
Bilz Я., Geik A*, Renk KE Lattice vibrations and infrared absorption of ger™ manium, silicon, and diamond// Proc. Infl Conf, on Lattice Dynamics/ Ed. by R.F. Wallis. — Oxford: Pergamon. 1963. P. 355—368.
Debernardi 4., Bernasconi M., Cardona Л£, Parrinello M. Infrared absorption in a-Si from ab initio molecular dynamics// Appl. Phys. Lett. 1997. V. 71. P. 2692— 2694*
Phillips J. C. Covalent Bonding in Crystals, Molecules, and Polymers.— Chicago: Univ. Chicago Press, 1969.
Harrison W.A. Electronic Structure and the Properties of Solids: The Physics of the Chemical Bond. — N.Y.: Dover, 1989.
Sinha S.K. Phonons in semiconductors// CRC Crit. Rev. Solid State Sci. 1973. V.3. P. 273-334.
De Gironcoli £, Baroni £, Resta R. Piezoelectric properties of Ш—V semiconductors from first-principles linear-response theory// Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 2853-2856.
Sanjurjo J.4., Lopez-Cruz K, Vogl P., Cardona M. Dependence on volume of the phonon frequencies and their IR effective charges of several III-V semicondutors// Phys. Rev. 1983. V. В 28. R 4579-4584.
Vogl 尸.〃 Physics of Nonlinear Transport in Semiconductors/ Ed. by D. K. Ferry, J.R. Barker, C. Jacoboni. — N.Y.: Plenum. 1980. P. 75-116.
King-Smith R.D.： Vanderbilt D. Theory of polarization of crystalline solids// Phys. Rev. 1993. к В 47「P. 1651—1654.
Anastassakis K, Cardona M. Phonons, strains, and pressure in semiconductors/ / High Pressure in Semiconductor Physics II/ Ed. by T. Suski, W. Paul. — San Diego: Academic. 1998. P. 196.
Ibach Я., Luth Я. Solid-State Physics, 2nd edn.——Berlin, Heidelberg: Springer, 1995* Chap. 9.
Kittel C. Introduction to Solid State Physics, 7th edn. — N.Y.: Wiley, 1995.
Fan H. Y. Effects of free carries on the optical properties (Optical Properties on III-V Compounds)// Semiconductors and Semimetals. — N.Y.: Academic. 1967. V. 3. P. 405-41»
Dixon J.R. Optical absorption mechanism in InAs// Proc. Infl on the Physics of Semiconductors. — Prague: Czech. Acad. Sci. — N.Y.: Academic. 1961. P. 366-368.
Braunstein R.)Kane E.O. The valence band structure of the III-V compounds//
J. Phys. Chem. Solids. 1962. V. 23. PJ423-1429”
Spitzer Ж. G., Fan H. Y. Determination of optical constants and carrier effective mass of semicondutors// Phys. Rev. 1957. V. 106. P. 882-890.
Herzberg G. Atomic Spectra and Atomic Structure. — N.Y.: Dover, 1944.
Jagannath C, Grabowski Z. Ж, Ramdas A.K. Linewidth of the electronic excitation spectra of donors in silicon// Phys. Rev. 1981. V. В 23. P. 2023-2098.
Aggarwal R.L., Ramdas 4.K. Optical determination of the symmetry of the ground states of group-V donors in silicon// Phys. Rev. 1965. V. 140, N A1246-1253.
Lifshits T.M, Nad' F. Ya. Photoconductivity in germanium doped with group- У impurities at photon energies below the impurity ionization energy// Sov. Phys. 1965. Dokl. 10. P 532-533*
Seeger K. Semiconductor Physics, 5th edn.// Springer Ser. Solid-State Sci.— Berlin, Heidelberg: Springer. 1991. V. 40. P. 6-70.
Haller E.K, Hansen W.L. High resolution Fourier transform spectroscopy of
shallow acceptors in ultra™pure germanium// Solid State Commun. 1974. V. 15. P* 687— 692.
Ramdas A.K.^ Rodriguez S. Spectroscopy of the solid state analogues of the hydrogen atom: Donors and acceptors in semiconductors// Rep. Prog. Phys. 1981. V.44. P. 1297-1387.
Glembocki 0. J., Shanabrook В. K, Bottka TV., Beard Ж T., Comas J. Pho toreflectance characterization of interband transitions in GaAs/Al As multiple quantum wells and modulation doped heterojunctions// Appl. Phys. Lett. 1985. V. 46. P* 970— 972.
Frova 4., Handler P. Electric field shift of the absorption edge in the space charge region of a Ge p-n junction// Physics of Semiconductors/ Ed. by M. Hulin.—— Paris: Dunod. 1964. P. 157-164"
Seraphin B.O., Hess R.B. Franz-Keldysh effect above the fundamental edge in germanium// Phys. Rev. Lett. 1965. V. 14. P. 138-140.
Aspnes D.E. Modulation spectroscopy/electric field effects on the dielectric function of semiconductors// Handbook of Semiconductors / Ed. by M. В al kan ski.— Amsterdam: North-Holland. 1980. V. 2. P. 109-154.
Pollak F.Я., Shen Я. Modulation spectroscopy of semiconductors: Bulk/thin films, microstructures, surfaces/interfaces and devices// Mater. Sci. Eng. 1993. V. R 10. P. 275-374.
Sell D.D., Stokowski E.E. Modulated piezoreflectance and reflectance studies of GaAs// Proc. 10th Infl Conf, on the Physics of Semiconductors/ Ed. by S.P. Keller, C. Hensel, F. Stern. — Springfield, VA: Nafl Bureau of Standards. 1970.卩.417—422.
Zucca R.R.L.^ Shen Y.R. Waveleiigth-modulation spectra of some semicon- ductors// Phys. Rev. 1970. V. В 1. P. 2668-2676.
Seraphin B.O., Bottka N* Band structure analysis from electroreflectance stud™ ies// Phys. Rev. 1966. V. 145. P. 628—636"
Gopalan 5., Lautenschlager P., Cardona M. Temperature dependence of the shifts and broadenings of the critical points in GaAs// Phys. Rev. 1987. V. B35. P. 5577—5584”
Alien P.B., Cardona M. Temperature dependence of the direct gap of Si and Ge// Phys. Rev. 1983. V. B27. P. 4760—4769.
Matatagui K, Thomson 4., Cardona M. Thermoreflectance in semiconduo tors// Phys. Rev. 1968. V. 176. P 954—960.
Gavini 4., Cardona M. Modulated piezoreflectance in semiconductors// Phys. Rev. 1970. V. Bl. P. 672-682.
Abramowitz M, Stegun LA.// Handbook of Mathematical Functions, NBS Math. Ser.^Washington, DC: US GPO. 1970. No.44. Sect. 10.
Thamarlingham K. Optical absorption in the presence of uniform electric field// Phys. Rev. 1963. V. 130. P. 2204—2206.
Aspnes DE Electric field effects on the dielectric constant of solids// Phys. Rev. 1967. V. 153" P. 972—982”
Franz Ж Influence of an electric field on an optical absorption edge (in Ger™ man)// Z. Naturforsch. 1958. V. 13a. P. 484—489.
Keldysh L. F. Effect of a strong electric field on the optical properties of insulating crystals// Sov. Phys. (JETP). 1958. V. 34. P. 788—790.
Estr er a J.P., Duncan Ж.М, Glosser R. Complex Airy analysis of phot о re™ flectance spectra for III-V semiconductors// Phys. Rev. 1994. V. В 49. P. 7281-7294.
Aspnes D.K., Studna A.A. Schottky barrier electroreflectance: Application to GaAs// Phys. Rev. 1973. V. В 7. P. 4605—46^5.
Aspnes D£ Schottky barrier electroreflectance of Ge: Noi>degeiierate and optically degenerate critical points// Phys. Rev. 1975. V. В 12. P. 2297—2310.
Kuball М. Effects of hydrogen exposure, doping, and electric fields on the properties of GaAs surfaces// Dissertation. — University of Stuttgart. 1995.
Gharhamani K, Moss D.J., Sipe J.E. Linear and nonlinear optical properties of (GaAs)TO/(AlAs)n superlattices// Phys. Rev. 1991. V.B43. P. 9269—9272.
Blossey D.F. Wannier excitons in an electric field: II. Electroabsorption in direcVband™gap solids// Phys. Rev. 1971. V. 3. P. 1382-1391.
Kline J.5., Pollak КЯ., Cardona M. Electroreflectance in the Ge-Si alloys// Helv. Phys. Acta. 1968. V.41. P. 968—976.
Cardona M, Shaklee <.£., Pollak F.H. Electroreflectance at a semiconductor™ electrolyte interface// Phys. Rev. 1967. V. 154. P. 696—720.
Gay J. G. Screening of excitons in semiconductors// Phys. Rev. 1971. V. В 4. P. 2567-2575.
Parks C., Ramdas 4.K.)Rodriguez 5., Itoh К.M, Haller E.E. Electronic band structure of isotopically pure Ge: Modulated transmission and reflectivity study// Phys. Rev. 1994. V.B49. P；14244—14250.
Zollner £〉Cardona M, Gopalan S. Isotope and temperature shifts of direct and indirect band gaps in diamond-type semiconductors// Phys. Rev. 1992. V. В 45. P. 3376—3385.
Yin X.〉Guo X.〉Pollak КЯ., Chan K, Mantau P.A.^ Kirchner P.D., Petit G.D., Woodal J.M Photoreflectance study of the surface Fermi level at a (001) 几-and p-type GaAs surface// J. Vac. Sci. Technol. 1992. V. A 10. P. 131—136.
Kamiya /., Aspnes D.K, Florez L. T., Harbison J.P. Reflectance difference spectroscopy on (001) GaAs surfaces in ultrahigh vacuum// Phys. Rev. 1992. V. В 46. P. 15894—15004.
Richter Ж. Optical in-situ control during MOVPE and MBE growth// Philos. Trans. R. Soc. (London). 1993. V.A344. P.453—467.
Cardona M, Pollak КЯ., Shaklee K.L. Electroreflectance in semiconductors// J. Phys. Soc. Jpn. 1966. V. 21. P. 89-94.
Aspnes D.K, Studna A.A. Anisotropies in the above™band™gap optical spectra of cubic semiconductors// Phys. Rev. Lett. 1985. V. 54. P. 1956—1959.
Mochan Ж£., Barrera R.G. Local field on the surface conductivity of ad™ sorbed overlayers// Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 2221—2224.
Chang K, Aspnes D.E. Theory of the dielectric function anisotropy of (001) GaAs (2 x 1) surface// Phys. Rev. 1990： V.B4L R 12002-12012.
Aspnes D.E. Observation and analysis of epitaxial growth with reflectance™ difference spectroscopy// J. Electron. Mater. 1995. V. В 30. P. 109^119.
Benedict £.X, Wethkamp T., Wilmers Ж., Cobet C)Esser M, Shirley K£., Richter Ж, Cardona M. Dielectric function of wurtzite GaN and AIN thin films// Sol. Stat. Com mini. 1999. V. 102. P. 129.
Cobet C: private communications.
Penn D.R. Wavenumber-depeiideiit dielectric function of semiconductors// Phys. Rev. 1962. V. 128. P. 2093-2097.
Cardona M. Infrared dielectric constants and ultraviolet optical properties of solids with diamond, zincblende, wurtzite and rocksalt structures// J. Appl. Phys. 1965. V.36. P. 2181—2186.
Yu P. K, Cardona M. Temperature coefficient of the refractive index of zino blende and diamond-type semiconductors// Phys. Rev. 1970. V. В 2. P. 3193—3197.
Cardona M. Fresnel reflection and surface plasmons// Am. J. Phys. 1971. V.39. P. 1277.
Cardona M. Electronic optical properties of solids// Solid State Physics, Nib clear Physics and Particle Physics/ Ed. by I. Saavedra. — N.Y.: Benjamin. 1968. P. 737— 816.电
Wickbold Р., Anastassakis К, Sauer А.)Cardona М. Raman phonon piezospec™ troscopy in GaAs: Infrared measurements// Phys. Rev. 1987. V. В 35. P. 1362—1368.
Nye I.F. Physical Properties of Crystals. — Oxford: Oxford Univ. Press, 1969. Shuvalov L.A. ed. Modern Crystallography IV// Springer Ser. Solid-State Sci.——Berlin, Heidelberg: Springer. 1988. V. 37.
Lautenschlager P., Alien P.B., Cardona M. Temperature dependence of band gaps in Si and Ge// Phys. Rev. 1985. V.B31. P. 2163—2171.
Shen Y.R. The Principles of Nonlinear Optics. — N.Y.: Wiley, 1984. P. 86—93.
I4m Vechten J.4., Cardona, M, Aspnes D.K, Martin R.M. Theory of the 3rd- order susceptibility// Proc. 10th Infl Conf, on the Physics of Semiconductors/ Ed. by S.P. Keller, C. Hensel, F. Stern. — Springfield, VA: Nat，l Bureau of Standards. 1970. P. 82^86.
Общая информация
Azzam R.M.A.^ Bashara N.M. Ellipsometry and Polarized Light. — Amsterdam: NortbHolland, 1977.
Bassani F. Electronic States and Optical Transitions in Solids.——London: Pergamon, 1975.
Burstein E. Atomic Structure and Properties of Solids. — N.Y.: Academic, 1972.
Greenaway D., Harbeke G. Optical Properties and Band Structure of Semiconduo tors. — London: Pergamon, 1968.
Yu.A. Iirinskii^ F. Keldysh L. Electromagnetic Response of Material Media. — N.Y.: Plenum, 1994.
Kalt H. Optical Properties of III—V Semiconductors// Springer Ser. Solid-State Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1996. V. 120.
Landau Lifshitz /.M The Classical Theory of Fields. — Reading, MA: Addison™ Wesley, 1958.
Pollak КЯ., Shen H. Modulation Spectroscopy of Semiconductors, Bulk, Thin Film, Microstructures, Surfaces/Interfaces and Devices// Mater. Sci. Eng. 1993. V. RIO. P. 275-374.
Palik E.A. Handbook of Optical Constants. — Orlando, FL: Academic, 1985.
Pankove J. Optical Processes in Semiconductors (Dover, N.Y. 1971)
Taue /. The Optical Properties of Solids.——N.Y.: Academic, 1966.
Willardson R.K.^ Beer A.C. eds. Optical Properties of Ш—V Compounds// Semiconductors and Semimetals. — N.Y.: Academic. 1967. V. 3.
К главе 7
Heitler Ж The Quantum Theory of Radiation. — Oxford: Oxford Univ. Press, 1954.
Einstein A. Emission and absorption of radiation in the quantum theory (in German)// Verh. Dtsch. Phys. Ges. 1916. V. 18. P. 318—323.
Einstein A. The quantum theory of radiation (in German)// Phys. Z. 1917. V.18. P. 121^128.
Van Roosbroeck Ж, Schockley Ж Photon-radiative recombination of electrons and holes in germanium// Phys. Rev. 1954. V. 94. P. 1558—1560.
Pankove J. Optical Processes in Semiconductors.——N.Y.: Dover, 1971. P. 110.
Burstein E. Anomalous optical absorption limit in InSb// Phys. Rev. 1954. V.93. P. 632-633.
Moss NS. The interpretation of the properties of indium antimonide// Proc. Phys. Soc. (London). 1954. V.B67. P. 775-782.
Wang S. Fundamentals of Semiconductor Theory and Device Physics.——Engle™ wood: Prentice Hall, Cliffs, NJ 1989. P. 760—766.
Caswell Ж, Weiner J.S.)Yu P.Y. К study of non-thermalized luminescence spectra: The case of С112О// Solid State Commun. 1981. V. 40. P. 843—846.
Yu P. K, Shen Y.R. Resonance Raman studies in cuprous oxide. II. The yellow and green excitonic series// Phys. Rev. 1978. V. В 17. P. 4017—4030.
Canham L. T. Silicon quantum wire array fabrication by electrochemical and chemical dissolution of wafers// Appl. Phys. Lett. 1990. V. 5 7. P. 1046-1048.
Canham L. T., Leong Ж К, Cox T./., Beale М/., Nash K.J.^ Calcott P., Brumhead D., Taylor £.£., Marsh K.J. Efficient visible photoluminesceiice and electrol 11 mi™ nescence from highly porous silicon// The Physics of Semiconductors/ Ed. by P. Jiang, H.-Z. Zheng. Singapore: World Scientific. 1992. V. 2. P. 1423—1430.
Jung Ж.Я., Shih 5，Kwong D.L. Developments in luminescent porous Si// J. Electrochem. Soc. 1993. V. 140. P. 3046—3064.
Zeman J., Zigone M, Rikken G.L.J.A.^ Martinez G. Hydrostatic pressure effects on the porous silicon luminescence// J. Phys. Chem. Solids. 1995. V. 56. P. 655—661.
For reviews on the luminescence of porous silicon see: Brus L. Luminescence of silicon materials: Chains, sheets, nanocrystals, microcrystals, and porous silicon// J. Phys. Chem. 1994. V. 98. P 3575—3581」
Kittel C. Introduction to Solid State Physics, 7th edn. — N.Y.: Wiley, 1995.
Pankove J. Optical Processes in Semiconductors.——N.Y.: Dover, 1971.
Yu P. K, Welber B. High pressure photoluminesceiice and resonance Raman studies of GaAs// Solid State Commun. 1978. V. 25. P. 209—211.
Fan Я. У* Temperature dependence of the energy gap in semiconductors// Phys. Rev. 1951. V.82. P. 900—905.
Inks on J. C. The effect of electron interaction on the band gap of extrinsic semiconductors// J. Phys. 1976. V. C 9. P. 1177—1183.
Dumke ЖР. Optical transitions involving impurities in semiconductors// Phys. Rev. 1963. V. 132. P. 1998-2002.
Williams F.K Theory of the energy levels of donor-acceptor pairs// J. Phys. Chem. Solids. 1960. V. 12. P. 265^275.
Dean P.J. Inter-impurity recombinations in semiconductors// Progress in Solid State Chemistry. — Oxford: Pergamon. 1973. V. 8. P. 1—216.
Thomas D.G., Gershenzon M, Trumbore F.A. Pair spectra and jjedge^^ emission in gallium phosphide// Phys. Rev. 1964. V. 133, N A269—279.
Dean P. J., Schonherr E*G「Zetterstrom R.B. Pair spectra involving the shallow acceptor Mg in GaP// J. Appl. Phys. 1970. V. 41. P. 3474—3479.
Thomas D.G., Hop field J. J., Augustyniak Ж TV. Kinetics of radiative recombination of randomly distributed donors and acceptors// Phys. Rev. 1965. V. 140, N A202—22(1
Sell D.D., Stokowski S.E., Dingle 兄DiLorenzo J. V. Polariton reflectance and photoluminesceiice in high-purity GaAs// Phys. Rev. 1973. V. В 7. P. 4568-4586.
Askary F., Yu P. Y. Polariton luminescence and additional boundary conditions: Comparison between theory and experiment// Solid State Commun. 1983. V. 47. P. 241— 244.
Toyozawa Y. On the dynamical behavior of an exciton// Prog. Theor. Phys. 1959. V. 12. R 111^140.
Hopfield J. J. Theory of the contribution of excitons to the complex dielectric constant of crystals// Phys. Rev. 1958. V. 112. P. 1555—1567.
Jackson J.D. Classical Electrodynamics, 2nd edn. — N.Y.: Wiley, 1975. P. 17— 22,396.
Pekar S.L The theory of electromagnetic waves in a crystal in which excitons are produced// Sov. Phys. (JETP). 1958. V. 6. P. 785—796.
Pekar £/* The theory of electromagnetic waves in a crystal in which excitons are produced// Sov. Phys. (JETP). 1958. V. 7. P. 813—822; ibid. 1958. V. 7, P. 813—822.
Ting C*Sp Frankel MJ., Birman J.L. Electrodynamics of bounded spatially dispersive media: The additional boundary conditions// Solid State Com mini. 1975. V. 17. P. 1285—1289.
Cho K. ed. Excitons// Topics Curr. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1979. V.14.
Stahl 4., Bohlev /. Electrodynamics of the Semiconductor Band Edge// Springer Tracts Mod. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1987. V. 110.
Tignon J., Hasche T., Chaula D., Schneider H*C)Jahnke F., Koch S. Ж Unified Picture of Polariton Propagation in Bulk GaAs Semiconductors// Phys. Rev. Lett. 2000. V.84* P. 3382.
Steiner T., Thewalt M£., Koteles E.S., Salerno J.P. Effect of neutral donor scat™ tering on the time™dependent exciton-polariton photoluminesceiice line shape in GaAs// Phys. Rev. 1986* V.B34. P. 1006^1013.
Thomas D.G., Hop field J. J. Optical properties of bound exciton complexes in cadmium sulfide// Phys. Rev. 1962. V. 128. P. 2135—2148.
Me Weeny R. Coulson^ Valence, 3rd edn. — Oxford: Oxford Univ. Press, 1979. P. 90.
Hop field J. J. The quantum chemistry of bound exciton complexes// Proc. 7th Infl Conf, on the Physics of Semiconductors/ Ed. by M. Hulin. — Paris: Dunod. 1964. P. 725—735.
Pauling £., Wilson E.B. Introduction to Quantum Mechanics.——N.Y.: McGraw-Hill, 1935. P. 225*
Thornton D.D., Honig A. Shallow-donor negative ions and spin-polarized elec™ tron transport in silicon// Phys. Rev. Lett. 1973. V. 30. P. 909—912.
Huant £〉Najda S.P., Etienne B. Two-dimensional D~ centers// Phys. Rev. Lett. 1980. V. 65. P. 1486—1489.
Lambert M.L. Mobile and Immobile Effective™Mass™Particle Complexes in Non- metallic Solids// Phys. Rev. Lett. 1958. V. 1. P* 450—453.
Finkelstein G., Shtrikmann Я., В ar-Joseph /. Optical spectroscopy of a two™ dimensional electron gas near the metakinsulator transition// Phys. Rev. Lett. 1993. V.74* P. 976*
Cox R. T., Huard F., Kheng K.^ Lovisa 5., Miller R.B.^ Saminadayar K.^ Arnoult 4., Cibert J., Tatarenko 5., Potemski M. Exciton Trions in II—VI Heterostructures// Acta Physica Polonica A. 1998. V. 94. P. 99*
Stukc M. ed. Dye Lasers: 25 Years// Topics Appl. Phys.——Berlin, Heidelberg: Springer. 1992. V. 70.
Gellermann Ж Color center lasers// J. Phys. Chem. Solids. 1991. V. 52. P. 249-279.
Carts Y.A. Titanium sapphire^ star rises// Laser Focus World. September 1989. V. 25. P. 73-8&
Sanchez 4., Fancy R.E.^ Strauss 4.J., Aggarwal R.L. Room temperature CW operation of the Т1:А120з laser, in Tunable Solid State Lasers II./ Ed. by A.B. Budgor, L. Esterowitz, G. DeShazer// Springer, Ser. Opt. Sci.——Berlin, Heidelberg: Springer. 1986. V.52. P. 202.
Dingle R. Optical properties of semiconductors superlattices// Proc. 13th Infl Conf, on the Physics of Semiconductors/ Ed. by F. Fumi. — Rome: Tipografia Marves. 1976. P. 965—97上
Liu Я. Ж, Ferreira A”〉Bastard G.)Delalande C., Palmier J.F., Etienne B. Optical evidence of assisted tuniieliiig in a biased double quantum well structure// Appl. Phys. Lett. 1989. V. 54. P. 2082—2084.
К op 'ev 尸” £)Ledentsov MM, Meltser В. Уа., Uraltsev /.M, Efros A.L.^ Yakovlev D.R. Exciton luminescence probe of interface quality in multi-quaiitum well structures//
The Physics of Semiconductors/ Ed. by 0. Engstrom. — Singapore: World Scientific. 1986. P： 219-222.
Tews Я., Venghaus Я., Dean P.J. Excited states of shallow acceptors in ZnSe// Phys. Rev. 1979. V. В 19. P. 5178—5184.
Brillouin L. Scattering of light and X-rays by a transparent homogeneous body: Influence of the thermal agitation (in French)// Ann. Physique. 1922. V. 17. P. 88-122*
Mandelstam £./. On light scattering by an inhomogeneous medium (in Rus™ sian) / / Zh. Russ ко Fiz. Khim. Obshch (J. Russian Physico-Chemical Soc.). 1926. V.58. R 381.
Raman С. К A new class of spectra due to secondary radiation// Ind. J. Phys. 1928. V.2. P. 387^400.
Raman C. F. A change of wavelength in light scattering// Nature. 1928. V. 121. P. 619^620.
Ramdas 4.K.)Rodriguez S'* Raman Scattering in Diluted Semiconductor in Light Scattering in Solids VI./ Ed. by M. Cardona and G. Giintherodt. — Heidelberg: Springer, 1991. P. 137—206; Light scattering in Solids VII/ Ed. by M. Cardona and G. Giintherodt.——Heidelberg,: Springer, 1999.
Loudon R. Theory of the first-order Raman effect in crystals// Proc. Roy. Soc. (London). 1963. V* A 275；P218—232*
Loudon R. Raman effect in crystals// Adv. Phys. 1964. V. 13. P. 423—482.; erratum ibid. 1965. V. 14, P. 621.
Loudon R. Raman effect in crystals// Adv. Phys. 1965* V. 14. P. 621.
Burstein K, Pinczuk A. Light scattering by collective excitation in dielectrics and semiconductors// The Physics of Opto-electronic Materials/ Ed. by W.A. Albers Jr. —N.Y二 Plenum, 1971. P. 33^79.
5% Z.P., Ruf T., Wald K.R.^ Yu P. К Resonant Generation of Nonequblibrium Phonons in GaAs/Al As Quantum Wells via Intersubbaiid Scattering// Proc, of 22nd Int. Conf, on The Physics of Semicond./ Ed. by D.J. Lockwood. — Singapore: World Scientific. 1995. P 963二966.
Shen Y.R. The Principles on Nonlinear Optics. — N.Y.: Wiley, 1984. P. 141— 186.
Zatzick M.R. How to make every photon count / / Electro-Opt. Sy st. Design. 1972. V. 20^23. P. 26^27.
Chang R.K.^ Long M.B. Optical multichannel detection (Light Scattering in Solids II)/ Ed. by M. Cardona, G. Giintherodt// Topics Appl. Phys.——Berlin, Heidel™ berg: Springer. 1983. V. 49. Chap. 3. P. 179—205*
Tsang JC Multichannel detection and Raman sprectroscopy of surface layers and interfaces (Light Scattering in Solids V)/ Ed. by M. Cardona, G. Giintherodt// Topics Appl. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1989. V. 66* Chap. 6, P* 233—284*
Firmani C., Ruiz K, Carlson С. Ж, Lamp ton M, Paresce F. High™resolution imaging with a two-dimensional resistive anode photon counter// Rev. Sci. lustrum. 1982. V. 53. P. 570—57丄
Firmani C, Gutierrez £., Ruiz E., Bisiacchi G.F., Salas £., Paresce F.K, Carlson С. Ж, Lampton M. High dispersion spectropho tome try with the mepsicron photon counter// Astron. Astrophys. 1984. V. 134. P* 251—257.
Mooradian 4P Wright G.B. First order Raman effect in Ш—V compounds// Solid State Com mini. 1966. V. 4. P. 431—434.
Temple P.4., Hathaway C.E. Multiphonoii Raman spectrum of silicon// Phys. Rev. 1973. V. В 7. P. 3685-3697*
Birmann J.L. Space group selection rules: Diamond and zinc blende// Phys. Rev. 1965. V. 127. P. 1093-1106.
Kleinman L. Polarization effects in two-phonon Raman scattering in cubic crystals// Solid State Com mini. 1965. V. 3. P*47—53.
34 M. Кардона
Weinstein В.4., Cardona М. Second-order Raman spectrum of germanium// Phys. Rev. 1973. V. В 7. P. 2545-255L
Nelin G., Nilsson G. Phonon density of states in germanium at 80 К measured by neutron spectrometry// Phys. Rev. 1972. V. В 5. P. 3151—3160.
Henry CH)Hopfield J. J. Raman scattering by polaritons// Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15. P. 964^966.
Humphreys L.B.^ Maradudin A.A. Ionic Raman effect. III. First and second™ order ionic Raman effect// Phys. Rev. 1972. V. В 6. P* 3886—3897.
Berestetskii V.B^ Lifshitz КM, Pitaevskii L.P. Quantum Electrodynamics.— Oxford: Pergamon, 1980.
Parry Ж К The Many-Body Problem. — Oxford: Clarendon, 1973.
Belitsky F./., Cantarero 4P Cardona M, Lang /. G., Pavlov S. T. Spatial cor™ relation of electrons and hole in multiphonoii resonant Raman scattering in a high mag™ netic field// Phys. Rev. 1992. V.B46. P.15767—1578&
Martin R*M»〉Falicov L.M. Resonance Raman scattering (Light Scattering in Solids I)/ Ed. by M. Cardona, 2nd edn.// Topics Appl. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1983. V.8. Chap.3. R 70^145.
Pine A. Brillouin scattering in semiconductors (Light Scattering in Solids I)/ Ed. by M. Cardona, 2nd edn.// Topics Appl. Phys.——Berlin, Heidelberg: Springer. 1983. V.8. Chap. 6. P. 253—273.
Dervisch 4., Loudon R. Theory of Brillouin scattering lineshape in an opaque material// J. Phys. 1976. V. C 9, N L669—673*
Pine A.S.^ Dresselhaus G. Lineshape asymmetries in light scattering from opaque materials / / Light Scattering in Solids/ Ed. by M. В al kan ski, R.C.C. Leite, S.P.S. Porto.——Paris: Flammarion. 1976. P. 138.
Sandercock J.R. Brillouin scattering measurements on silicon and germanium// Phys. Rev. Lett. 1972. V. 8. P* 237—240.
Sandercock J.R. Light scattering from surface acoustic phonons in metals and semiconductors// Solid State Commun. 1978. V. 26. P. 547—551.
Sandercock J.R. The design and use of a stabilized multipassed interferometer of high contrast ratio// 2nd. Infl Conf, on Light Scattering in Solids/ Ed. by M. В al kan ski.——Paris: Flammarion. 1971. P*9—12*
Ralston J.M, Wadsack R.L^ Chang R.K. Resonant cancellation of Raman scattering from CdS and Si〃 Phys. Rev. Lett. 1970. V. 25. P. 814-818.
Menendez J., Cardona M. Interference between allowed and forbidden Raman scattering by longitudiiiakoptical phonons in GaAs// Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51. P. 1297^1299.
Zeyher Ap Bilz Я., Cardona M. On the 幻‘ jaw in microscopic theories of inelastic light scattering// Solid State Commun. 1976. V. 19. P. 57*
Martin R.M. Resonance Raman scattering near critical points// Phys. Rev. 1974. V.B10. P. 2620.
Weinstein B.A.^ Cardona M. Resonant first- and second-order Raman scattering in GaP// Phys. Rev. 1973. V.B8. P. 2795—28СЖ
Cantarero 4P Trallero-Giner C., Cardona M. Excitons in one-phoiioii resonant Raman scattering// Solid State Commun. 1989. V. 69. P. 1183-1186.
Ganguly A.K.^ Birman J.L. Theory of lattice Raman scattering in insulators// Phys. Rev. 1967. V. 162. P. 806—816.
Bendow B., Birman J.L. Polariton theory of Raman scattering in insulating crystals// Phys. Rev. 1971. V. В 4. P. 1678^1686.
Yu P. У. Study of excitons and exciton-phonoii interactions by resonant Raman and Brillouin spectroscopies (Excitons)/ Ed. by K. Cho// Topics Curr. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1979. V. 14. P. 211.
Weisbuch C., Ulbricht R.G. Resonant light scattering mediated by excitonic
polaritons in semiconductors (Light Scattering in Solids III)/ Ed. by M. Cardona, G. Giintherodt// Topics Appl. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1982. V. 51. Chap. 7.
Reydellet J., Yu P. K, Besson J.M, Balkanski M. Cascade resonant Raman processes in GaSe// Physics of Semiconductors 1978/ Ed. by B.L.H. Wilson. — U.K., Bristol: Inst, of Phys. 1979. P. 1271-1274.
Rashba E./., Gurgenishvili G. Edge absorption theory in semiconductors// Sov. Phys. (Solid State). 1962. V. 4. P. 759-760.
Barker Jr. A.S.^ Sievers A. J. Optical studies of the vibrational properties of disordered solids// Rev. Mod. Phys. 1975. V. 47, N SI—178.
Yu P. K, Pilkhun М.Я., Evangelist% F. Resonant Raman scattering of Cl in CdS// Solid State Commun. 1978. V. 25. P. 371-373.
Washington M.A.^ Genack 4.Z)Cummins H.Z.^ Bruce R.H.^ Compaan 4., Forman R.A. Spectroscopy of excited yellow exciton states in C112O by forbidden resonant Raman scattering// Phys. Rev. 1977. V. В 15. P. 2145-2153.
Weiner J.S., Caswell M, Yu P. K, Mysyrowicz A. Ortho to para-exciton con™ version in C112O: A subiiaiiosecond time-resolved photoluminesceiice study// Solid State Commun. 1983. V.46. P. 105-108.
Cardona M, Grims ditch M, Olego D. Theoretical and experimental determi™ nation of Raman scattering cross sections in simple solids// Light Scattering in Solids/ Ed. by XL. Birman, H.Z. Cummins, K.K. Rebane. — N.Y.: Plenum. 1979. P. 249—256.
Cantarero 4., Trallero-Giner C., Cardona M. Excitons in one-phoiioii resonant Raman scattering: Deformation potential interaction// Phys. Rev. 1989. V. B39. P. 8388—8397”
Cantarero 4., Trallero-Giner C., Cardona M. Excitons in one-phoiioii reso™ 11 ant Raman scattering: Frohlich and interference effects// Phys. Rev. 1989. V. В 40. P. 12290-12295”
Cardona M. Resonance phenomena (Light Scattering in Solids II)/ Ed. by M. Cardona, G. Giintherodt// Topics Appl. Phys.——Berlin, Heidelberg: Springer. 1982. V.50. Chap* 2. P」9-176”
Martin R.M. Theory of the one-phoiioii resonance Raman effect// Phys. Rev. 1971. V. В 4. P. 3676—3684.
Martin R.M.^ Damen T.C. Breakdown of selection rules in resonance Raman scattering// Phys. Rev. Lett. 1971. V. 26. P. 86—89”
Colwell P. J., Klein M. V. Wave vector dependence and numerical value of the scattering efficiency for the resonant Raman effect in CdS// Solid State Commun. 1970. V.& P. 2095-2100：
Permogorov 5., Reznitzky 4. Wave vector conservation in the first order reso™ 11 ant Raman scattering// Solid State Commun. 1976. V. 18. P. 781^784.
Gross K.F., Permogorov S.A.^ Travnikov F. F., Sel'kin A. V. Inelastic scattering of polaritons in CdS crystals// Light Scattering in Solids/ Ed. by M. Balkanski. — Paris: Flammarion. 1971. P. 238-243”
Leite R. С. C., Scott J. C., Damen T. C. Multiple-phonoii resonant Raman scat™ tering in CdS// Phys. Rev. Lett. 1969. V. 22. P. 780-782.
Klein M У., Porto S.P.S. Multiple-phonoii-resoiiaiice Raman effect in CdS// Phys. Rev. Lett. 1969. V” 22. P. 782—784”
Martin R.M.^ Varma С.M. Cascade theory of inelastic scattering of light// Phys. Rev. Lett* 197L V” 26. P. 1241—1244”
Zeyher R. Theory of multiphonoii Raman spectra above the energy gap in semiconductor// Solid State Commun. 1975. V. 16. P. 49—52.
Menendez J., Cardona M. Interference effects: A key to uiiterstaiiding forbid™ den Raman scattering by LO phonons in GaAs// Phys. Rev. 1985. V. В 31. P. 3696— 3706.
Klein М. V. The equivalence of resonance Raman scattering in solids with absorption followed by luminescence// Phys. Rev. 1973* V. В 8. P. 919—921.
Shen Y.R. Distinction between resonance Raman scattering and hot lumines™ cence// Phys. Rev. 1974. V. В 9. P. 622—626.
Garcia- Cristobal 4., Cantarero 4., Trail его-Giner C, Cardona M. Excite nic model for second-order resonance Raman scattering// Phys. 1994. V. Rev. В 49. P. 13430^13445.
Olego D., Cardona M. Raman scattering by two LO-phonons near Г in GaAs// Solid State Commun. 1981. V. 39. P. 1071—1075.
Huang K. The long wave modes of the C112O lattice// Z. Physik. 1963. V. 171. P213—225川
Carabatos 0.)Prevot B. Rigid ion model lattice dynamics of cuprite (C112O)// Phys. Status Solidi (b). 1971. V.44. P. 701—712.
Burstein K, Mills D.£., Pinczuk 4., Ushioda S. Exciton-enhaiiced Raman scattering by optical phonons// Phys. Rev. Lett. 1969. V. 22. P. 348—352.
Hopfield J. J. Resonant scattering of polaritons as composite particles// Phys. Rev. 1969. V. 182. P. 945—952.
Bendow B., Birman J.L. Polariton theory of resonant Raman scattering in insulating crystals// Phys. Rev. 1970. V. В 1. P. 1678^1686.
Reynolds D.C., Euwema R.N.^ Collins T.C. Evidence for spatial dispersion in emission from CdS platelets// Proc. Infl Conf, on the Physics of Semiconductors/ Ed. by S.M. Ryvkin. — M.: Nauka, 1968. P. 210—216.
Kiselev У.4., Razbirin B.S., Uraltsev LN. Additional waves and Fabry-Perot interference of photoexcitation (polaritons) in thin II—VI crystals// Phys. Status Solidi. 1975. V. В 72. P. 161—172.
В renig Ж, Zeyher A.)Birman J.L. Spatial dispersion effects in resonant polariton scattering. II. Resonant Brillouin scattering// Phys. Rev. 1972. V. В 6. P. 4617— 4622.
Ulbrich A.G*) Weisbuch C. Resonant Brillouin scattering of excitonic polaritons in gallium arsenide// Phys. Rev. Lett. 1977. V. 38. P. 865—868.
Ulbrich A.G* Resonant Brillouin scattering in semiconductors. Festkorper™ probleme// Adv. Solid State Phys. — Braunschweig: Vieweg. 1978. V. 18. P. 217-240.
Koteles E.S. Investigation of exciton-polariton dispersion using laser tech™ niques// Excitons/ Ed. by E.I. Rashba, M.D. Sturge. — Amsterdam: North-Holland. 1982. P. 85^140.
Wickboldt P., Anastassakis K, Sauer A.) Cardona M. Raman phonon piezo™ spectroscopy in GaAs: Infrared measurements// Phys. Rev. 1987. V. В 35. P. 1362— 1368.
Общая информация
Agrawal G.P. Semiconductor Lasers: post, present, and future.— Wood burry, New York: AIP Press, 1995.
Balkanski M. ed. Light Scattering in Solids.——Paris: Flammarion, 1971.
Bebb Я.В., Williams E. Ж Photoluminesceiice: I. Theory, II. Gallium arsenide// Semiconductors and Semimetals. — N.Y.: Academic. 1972. V. 8. P. 182—329.
Cardona M, Guntherodt G* eds. Light Scattering in Solids I—VI// Topics Appl. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1975—91. V. 8, 50, 51, 54, 66)68.
К главе 8
Cardona M, Ley L. eds. Photoemission in Solids I// Topics App. Phys.—— Berlin, Heidelberg: Springer. 1978. V. 26.
Ley £., Cardona, М. eds. Photoemission in Solids II// Topics Appl. Phys.—— Berlin, Heidelberg: Springer. 1979. V. 27.
Siegbahn Ж., Nord ling C., Fahlman A., Nordberg A.)Hamrin Ж., Hedman J., Johansson G., Bergman T., Karlsson S.-E., Lindgren /., Lindberg B. ESCA — Atomic, Molecular and Solid State Structure. — Uppsala: Almqvist and Wiksels, 1967.
Davis £.K, MacDonald N.C.^ Palmberg P. Ж, Riach G.K., Weber R.E. Handbook of Auger Electron Spectroscopy. — Eden Prairie, MN: Physical Electronics Industries, 1979.
Kunz C. ed. Synchrotron Radiation Techniques and Applications// Topics Curr. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1979. V. 10.
Koch E.E. Handbook of Synchrotron Radiation.——Amsterdam: North-Holland, 1983.
Cardona M, Gudat Ж, Sonntag B., Yu P. К Optical absorption of semiconductors from 12 to 200 eV// Proc. 10th Infl Conf, on the Physics of Semiconductors, Cambridge MA.—Washington, DC: National Bureau of Standards. 1971. P. 209—212.
Daniels J., v. Festenberg C*〉Raether J/., Zeppenfeld K. Optical constants of solids by electron spectroscopy// Springer Tracts Mod. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1970. V. 54. P. 77—135：
v. Festenberg 0. // Z. Phys. 1969. V. 227. P. 453.
Shirley D.A. In Photoemission in Solids I/ Ed. by M. Cardona. L. Ley// Topics Appl. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1978. V. 26. Chap. 4.
Monch Ж Semiconductor Surfaces and Interfaces, 2nd edn.// Springer Ser. Surf. Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1995. V. 26.
Luth H. Surfaces and Interfaces of Solids, 3rd edn.——Berlin, Heidelberg: Springer, 1995.
Hertz H. The effect of ultraviolet light on an electrical discharge// Ann. Phys. (Leipzig) (in German). 1887. V. 31. P. 983-1000.
Thompson J. J. Cathode rays// Phil. Mag. 1897. V. 44. P. 293.
Einstein A. The production and transformation of light: A heuristic point of view// Ann. Phys. (Leipzig) (in German). 1905. V. 17. P. 132.
Hughes 4.£., DuBridge L.A. Photoelectric Phenomena.——N.Y.: McGraw-Hill, 1932. P. 16. Fig. 2—7.
Bell RJ. Negative Electron Affinity Devices. — Oxford: Clarendon, 1973.
Sebenne C*〉Bolmont D., Guichar G., Balkanski M. Surface states from pho toemission threshold measurements on a clean, cleaved Si (111) surface// Phys. Rev. 1983. V.B12. P. 3280—3285.
Kane E.O. Theory of photoelectric emission from semiconductors// Phys. Rev. 1962. V.127. PJ31—141」
Winer K.^ Hirabayashi /., Ley L. Distribution of occupied near-surface bandgap states// Phys. Rev. 1988. V.B38. P. 7680—7693.
Kirschner J. Polarized Electrons at Surfaces// Springer Tracts Mod. Phys.—— Berlin, Heidelberg: Springer. 1985. V. 106.
Kessler J. Polarized Electrons, 2nd edn.// Springer Ser. Atoms Plasmas.——Berlin, Heidelberg: Springer. 1985. V. 1.
Riechert Я., Alvarado 5.F., Titkov A.N.^ Safarev V.L Precession of the spin polarization of photoexcited electrons in the band bending region of GaAs (110) // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 2297—2306
Himpsel F.J. Measurements of the photoemission in the study of solids// Adv. Phys. 1983. V.32. P.l—51.
Valla T., Fedorov 4. У., Johnson P.D., Wells B.O., Hulbert £L)乙分 Gu G.D., Koshizuka N* Evidence for Quantum critical behavior in optimally doped Bi2Sr2CaCii2O8+^// Science. 1999. V. 285. P. 2110-2113. Here a commercial hemispherical analyzer with a resolution of 10 meV was used.
Feldner-Feldegg Я., Gelius I/., Wannberg В., Nilsson Д.С., Basilier К, Siegbahn К. New developments in ESCA instrumentation// J. Electron Sprectrosc. 1974. V. 5. P. 643-689.
Schaich Ж£. Theory of photoemission: Independent praticle model, in Pho toemission in Solids I/ Ed. by M. Cardona, L. Ley// Topics Appl. Phys.——Berlin, Heidelberg: Springer. 1978. V. 26. Chap. 2.
Berglund C.N*> Spicer Ж К Photoemission studies of Cu and Ag: Theory/ / Phys. Rev. 1964. V. A 136. P. 1030-1044.
Goldmann Д., Tejeda J., Shevchik TV.J., Cardona M. Density of valence states of CuCl, CuBr, Cui, and Agl// Phys. Rev. 1974. V. В 10. P. 4388-4402.
Nemoshkalenko Ж У., Aleshin KG., Kucherenko Yu.N. Theoretical study of X-ray photoelectron spectrum of germanium valence electrons// Solid State Coininiin. 1976. V.20. P. 1155-1157.
Kowalczyk S.P*)Ley £., McFeeley F.R.^ Shirley D.A. An ionicity scale based on X-ray photoemission valence band spectra of ANb”n an(j ANB10™N type crystals// J. Chem. Phys. 1974. V.61. P* 2850—2856.
Smith N. У. Angular dependent photoemission (Photoemission in Solids I)/ Ed. by. M. Cardona, L. Ley// Topics Appl. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1978. V.26* Chap. 6*
Leckey Я., Riley J.D., Stampfl A. Angle resolved photoemission using a toroidal energy analyser// J. Electron Spectrosc. 1990. V. 52. P” 855—866.
Mahan G.D. Theory of Photoemission in Simple Metals// Phys. Rev. 1970. V.B2. P. 4334-4350.
Williams P.M Direct evalution of electronic band structures of layered solids using angle resolved photoemission// Nuovo Cimento. 1977* V. В 38. P. 216-225.
McGovern /. T., Eberhardt Ж, Plummer К Ж., Fischer LE. The band struo tures of graphite and graphite intercalation compounds as determined by angle resolved photoemission using synchrotron radiation// Physica. 1980. V. В 99. P. 415-419.
Ley L.F. Angular resolved photoemission and the band structure of solids// J. Electron Spectrosc. 1979. V. 15. P. 329—347.
Schabel M.C.^ Park CH： Matsuura Д., Shen Z.X, Bonn D.4., Liang Я., Hardy ЖМ Angle Resolved Photoemission on untwinned YBa12cli佃,95〃 Phys. Rev. 1998. V.B57. P. 6107-6115. ”
Himpsel F.J. Electronic structure of solids: photoemission spectra and related data// Landolt-Bornstein. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1989. V. 23.
Williams G., Cerrina F., Lapeyre G.J., Anderson J.R., Smith Я.J., Hermanson J. Experimental study of the band structure of GaP, GaAs, GaSb, InP, InAs, InSb// Phys. Rev. 1986. V. В 34. P. 5548—5557.
Middleman Я. I/., Sorba £., Kinkel I/., Horn K. Valence™band™structure deter™ mination of InSb by angle resolved photoemission// Phys. Rev. 1986. V. В 34. P* 957— 962.
Chen H*X.)Ranke Ж, Schroder-Bergen E. Complete band structure of ger™ inaniiiin determined by photoemission// Phys. Rev. 1990. V. В 42. P* 7429—7433*
Chelikowsky ХЯ., Cohen M.L. Nonlocal pseudopotential calculations for the electronic structure of eleven diamond and zinc™blende semiconductors// Phys. Rev. 1976. V.B14. P. 556-582.
Grandke T., Ley £., Cardona M. Angular resolved UV photoemission and elec™ tronic band structure of the lead chalcogenides// Phys” Rev. 1978. V. В 18. P. 3847— 3871.
Shevchik MJ., Tejeda J., Cardona M, Langer D. Ж Photoemission and density of valence states of П-VI compounds// Phys. Stat. Solidi. 1973. V. B59. P. 87-100.
Magnusson K.0., Neuhold G., Horn K., Evans D.A. Electronic band structure
of cubic CdSe by angle resolved photoemission: Cd 4d and valence states// Phys. Rev. 1998. V.B57. P. 8945-8950.
Harrison ЖД. Electronic Structure and the Properties of Solids: The Physics of the Chemical Bond. — N.Y.: Dover, 1989.
Anderson J.M, Karlsson U.O. Surface core level shifts of InAs (110)// Phys. Rev. 1990. V.B4L P. 3844-3846.
Chiang T.C. Core level photoemission of surfaces, interfaces, and overlayers// Crit. Rev. Solid State Mater. Sci. 1988. V. 14. P 275—317.
Kolwalczyk 5.F., Kraut КД., Waldrop ХЯ., Grant R. Ж Measurement of ZnSe/GaAs and ZnSe/Ge het er о j unctions band discontinuities by X-ray pho™toelectron spectroscopy// J. Vac. Sci. Technol. 1982. V. 21. P. 482—485.
Ortega J.K, Himpsel F.J. Inverse-photoemission study of Ge (110), Si (100), and GaAs (110): Bulk bands and surface states// Phys. Rev. 1993* V. В 47. P*5130— 2137*
Molinas 公 Mata P. Atomic structure and electronic properties of pure and Ga-covered Ge(lll) surfaces as seen with STM (in German)// Dr. Sci. Dissertation.—— University of Stuttgart, 1993.
Takeuchi M, Selloni Д., Tosatti E. Do we know the true structure of Ge(lll)™ c(2 x 8)?// Phys. Rev. Lett. 1992. V.69. P. 648^651.
Olmstead М.Д., Amer N. Direct ineasureinent of the polarization dependence of Si (111) 2x1 surface-state absorption by use of photo thermal displacement spec™ troscopy// Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 1148.
Eberhardt Ж, Kalkoffen G., Kunz C)Aspnes D「Cardona M. Surface band bending, EDC and Yield spectroscopy from 2P core levels in heavily doped silicon// Phys. Stat. Solidi. 1978. V.B88. P.135-143.
Общая информация
Электронная спектроскопия
Cardona М, Ley L. Photoemission in Solids I// Topics Appl. Phys. — Berlin, Hei™ delberg: Springer. 1978. V. 26.
Daniels J., v. Festenberg C., Raether Я., Zeppenfeld K* Optical constants of solids by electron spectroscopy// Springer Tracts Mod. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1970. V.54. P 77—135川
Davis K, MacDonald TV. C)Palmberg P. Ж, Riach G.K, Weber R.E. Handbook of Auger Electron Spectroscopy. — Eden Prairie, MN: Physical Electronics Industries, 1976.
Himpsel F.J. Electronic structure of solids: Photoemission spectra and related data// Landolt-Bornstein. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1989. V. 23.
Hilfner S. Photoelectron Spectroscopy, 2nd edn.// Springer Ser. Solid-State Sci.— Berlin, Heidelberg: Springer. 1996. V. 82.
Ley £., Cardona M. Photoemission in Solids П// Springer Ser. Solid-State Sci.—— Berlin, Heidelberg: Springer. 1979. V.35.
Siegbahn K., Nord ling Fahlman Д., Nordberg Я., Hamrin K., Hedman J., Johansson G., Bergman T., Karlsson 5.-K, Lindgren /., Lindberg B. ESCA-Atomic, Molecular and Solid State Structure. — Uppsala: Almqvist and Wiksels, 1967.
Thompson M, Barker M.D.^ Christi о Д., Tysan J.F. Auger Electron Spectroscopy.—— N.Y.: Wiley, 1985.
Синхротронное излучение
Eberhardt Ж. ed. Applications of Synchrotron Radiation.
Springer Ser. Surf. Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1995. V.35.
Koch E.E. Handbook of Synchrotron Radiation.——Amsterdam: North-Holland, 1983.
Kunz C. Synchrotron Radiation// Topics Curr. Phys.——Berlin, Heidelberg: Springer. 1979. V.10.
Электронная и поверхностная структура
Bai C.-L. Scanning Tunneling Microscopy and Related Techniques// Springer Ser. Surf. Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1995. V. 32.
Bell R.I. Negative Electron Affinity Devices.——Oxford: Clarendon, 1973.
Guntherodt Я. ™ J., Wies endanger R. eds. Scanning Tunneling Microscopy I, 2nd edn.// Springer Ser. Surf. Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1994. V. 20.
Harrison ЖД. Electronic Structure and the Properties of Solids: The Physics of the Chemical Bond. — N.Y.: Dover, 1989.
Lannoo M, Friedel P. Atomic and Electronic Structure of Surfaces// Springer Ser. Surf. Sci.——Berlin, Heidelberg: Springer. 1991. V. 16.
Luth Я. Surfaces and Interfaces of Solids 3rd edn. — Berlin, Heidelberg: Springer, 1995.
Monch Ж Semiconductor Surfaces and Interfaces, 3rd ed// Springer Ser. Surf. Sci.—— Berlin, Heidelberg: Springer. 2001. V. 26.
Wies endanger Я., Giintherodt H.-J. eds. Scanning Tunneling Microscopy II and Ш, 2nd edn.// Springer Ser. Surf. Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1995, 1996. V. 28, 29*
К главе 9
Esaki £., Tsu A. Superlattice and negative differential conductivity in semi™ conductors// IBM J. Res. Devel. 1970. V. 14. P. 61-65.
Tiong K.K.〉Amirtharaj F.M, Pollak КЯ., Aspnes D.E. Effects of As+ ion implantation on the Raman spectra of GaAs: jjSpatial correlation^^ interpretation// AppL Phys. Lett. 1984. V.44. P 122—12丄
Tomassini M, d^Andrea Д., del Sole Я., Tuffigo-Ulmer /£)Cox R. T. Center of mass quantization of excitons in CdTe/Cdi—zZn^Te quantiiin wells// Phys. Rev. 1995. V.B51. P.5005^5012.
Asada M, Migamoto K, Suematsu X Gain and the threshold of three dimensional quantum-box lasers// IEEE J. 1986. V. QE™22. P. 1915-1921.
Weisbuch C.) Vinter B. Quantiiin Semiconductor Structures, Fundamentals and Applications. — San Diego, CA: Academic, 1991.
Singh J. Physics of Semiconductors and their Heterostructures.——N.Y.: McGraw-Hill, 1993. В 524.
Dingle Я., Wiegmann Ж., Henry C.H. Quantiiin states of confined carriers in very thin А1жСа1^жА8™СаА8™А1жСа1^жAs heterostructures// Phys. Rev. Lett. 1974. V.33. P. 827^830.
Meynadier М.Я., Delalande C)Bastard G., Voss M, Alexandre K, Lievin J.L. Size quantization and band-offset determination in GaAs-GaAlAs separate confinement heterostructure// Phys. Rev. 1985. V. В 31. P. 5539-5542.
Skolnick M.S., Tapster P.R.〉Bass S.J.)Pitt A.D., Apsley M, Aldredy S.P. Investigation of InGaAs-InP quantum wells by optical spectroscopy// Semicond. Sci. Technol. 1986. V.l. P.29^40.
Capasso F. Band-gap engineering: From physics and materials to new semiconductor devices// Science. 1987. V. 235. P. 172-176.
Kroemer H. Theory of a wide gap emitter for transistors// Proc. IRE. 1957. V. 45. P. 1535; A proposed class of heterojunction injection lasers// Proc. IEEE. 1963. V. 51. P. 1782; Problems in the theory of heterojunction discontinuities (a general review on heterojunctions)// Crit. Rev. SSC. 1975. V. 5. P. 555.
Alferov Zh丄)Z“ Gabruzov D. Recombination radiation spectrum of GaAs with current excitation via p-n heterojunctions of GaP-GaAs [English translation]// Sov. Phys. Solid State. 1966* V. 7. P. 1919^1921.
Alferov ZA., Andreev У.М, KoroUkov У./., Portnoi, EL)Tretyakov D.N. Coherent Radiation of Epitaxial Heterojunction Structures in the AlAs™GaAs system [English translation]// Sov.Phys. Semiconductors. 1969. V. 2. P. 1289.
Pearsall T.P. ed. Strain-Layer Superlattices: Physics// Semiconductors and Semimetals. — N.Y.: Academic. 1990. V. 32.
Esaki L. Semiconductor superlattices and quantiiin wells// Proc. 17th Infl Conf, on The Physics of Semiconductors/ Ed. by J. Chadi, W.A. Harrison. — N.Y., Berlin: Springer. 1984. P. 473-483.
Ploog K., Dohler G.H. Compositional and doping superlattices in Ш—V semi™ conductors// Adv. Phys. 1983. V. 32. P. 285—359*
Spitzer J., Ruf T., Dondl Ж, Schorer Я., Abstreiter G., Haller E.E. Optical Phonons in Isotopic 70Ge74Ge Superlattices// Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 15651568.
Ihm J. Effect of the layer thickness on the electronic character in GaAs-Al As superlattices// Appl. Phys. Lett. 1987. V. 50. P. 1068-1070.
Gopalan 5., Christensen N.K, Cardona M. Band edge states in short period (GaAs)m(AlAs)m superlattices// Phys. Rev. 1989. V.B39. P. 5165^5174.
Schiff L.L Quantiiin Mechanics. — N.Y.: McGraw-Hill, 1955.
Bastard G. Superlattice band structure in the envelope-function approxima™ tion// Phys. Rev. 1981. V. 24. P 5693—5697川
Bastard G., Brum J.4., Ferreira A. Electronic states in semiconductor heterostruct™ tires// Solid State Physics. — San Diego, CA: Academic. 1991. V. 4. P. 229-415.
Ivchenko K£., Pikus G. Superlattices and Other Heterostructures: Symuietry and Optical Phenomena// Springer Ser. Solid-State Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1995* V.110.
Bastard G., Brum J.A. Electronic states in semiconductor heterostructiires// IEEE J. 1986. V.QE^22. P. 1625^1644.
Hensel J. C., Feher G. Cyclotron resonance experiment in uniaxially stressed silicon: Valence band inverse mass parameters and deformation potentials// Phys. Rev. 1963. V.129. P. 1041^1062.
Liboff L. Introductory Quantiiin Mechanics.——Reading, MA: Addison™Wesley, 1980. P 267-27仇
Esaki L. A perspective in superlattice development// Symp. on Recent Topics in Semiconductor Physics (Prof. Y. Uemura's Festschrift). — Singapore: World Scientific. 1983. P. 1^71.
Chang Y.C.^ Schulman JN Interband optical transitions in GaAs-Gai^^A^As and InAs-GaSb superlattices// Phys. Rev. 1985. V. В 31. P. 2069-2079*
Dingle A. Optical properties of semiconductor superlattices// Proc. 13th Infl Conf, on the Physics of Semiconductors/ Ed. by F.G. Fumi.——Rome: Tipografia Marves. 1976* P* 965—974.
Cardona M, Christensen NE Heterostructure band offsets in semiconductors// Phys. Rev. 1987. V.B35. P. 6182^6194.
Kash J.4., Zachau M, Tischler МД. Anisotropic valence bands in quantiiin wells: Quantitative comparison of theory and experiment// Phys. Rev. Lett. 1992. V.69. P 2260—2263川
Fasol G., Hackenberg Ж, Hughes Я.P., Ploog K., Bauser К, Kano H. Continous™ wave spectroscopy of femtosecond carrier scattering in GaAs// Phys. Rev. 1990. V. В 41. P. 1461^1478.
Pinczuk Д., Abstreiter G. Spectroscopy of free carrier excitations in semi™ conductor quantiiin wells, in Light Scattering in Solids V/ Ed. by M. Cardona, G. Giintherodt// Topics Appl. Phys.——Berlin, Heidelberg: Springer. 1989. V. 66. P. 153— 211.
Giannozzi F., Gironcoli S.A*)Pavone P., Baroni S. Ab initio calculation of phonon dispersions in semiconductors// Phys. Rev. 1991* V. В 43. P. 7231—7242.
Rytov S.A£ Acoustic properties of a thinly laminated medium// Sov. Phys.— Acoust. 1956. V. 2. P. 68—80.
Jusserand 5.)Cardona M. Raman spectroscopy of vibrations in superlattices (Light Scattering in Solids V)/ Ed. by M. Cardona, G. Guntherodt// Topics Appl. Phys. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1989. V. 66. Chap. 3.
Menendez J. Phonons in GaAs™AlxGai^xAs superlattices// J. Luminesc. 1989. V.44. P”285—31丄
Molinas-Mata P., Cardona M. Planar force-constant models and internal strain parameter of Ge and Si〃 Phys. Rev. 1991. V. В 43. P. 9959-9961.
Ghanbari Я.Д., White J.D., Fasol G., Gibbings C.J.)Tuppen C. G. Phonon frequencies for Si-Ge strained-layer superlattices calculated in a three-dimensional model// Phys. Rev. 1990. V.B42. P. 7033-7041.
Richter Ж., Strauch D. Lattice dynamics of GaAs/Al As superlattices// SolidState Coininiin. 1987. V* 64. P 867—872*
Molinari K, Fasolino Д., Kune K. Superlattice effects on confined phonons// Phys. Rev. Lett. 1986. V.56. P.1751.
Fuchs Я., Kliewer K.L. Optical modes of vibration in an ionic crystal slab// Phys. Rev. 1965. V. A140. P. 2076^2088.
Nakayama M, Ishida M, Sano N. Raman scattering by interface-phonon po laritons in GaAs-AlAs heterostructiires// Phys. Rev. 1988. V. В 38. P. 6348-6351.
Merlin Я., Colvard C)Klein M У., Morkoc Я., Cho Д. K, Gossard A.C. Raman scattering in superlattices: Anisotropy of polar phonons// Appl. Phys. Lett. 1980. V.36* P.43—45*
Trallero-Giner C)Garcia-Moliner F., Velasco У.Я., Cardona M. Analysis of the phenomenological models for long™wavelength polar optical modes in semiconductor layered systems// Phys. Rev. 1992. V. В 45. P* 11944-11948.
Popovic Z. У., Cardona M, Richter K, Strauch D)Tapfer £., Ploog K. Phonons in GaAs/Al As superlattices grown along the (111) direction// Phys. Rev. 1990. V. В 41. P. 5904-5913.
Chamberlain M.P.^ Cardona M, Ridley B.K. Optical modes in GaAs/Al As superlattices// Phys. Rev. 1993. V. В 48. P. 14356-14364.
Zunke M, Schorer Я., Abstreiter G., Klein Ж, Weimann G., Chamberlain MP Angular dispersion of confined optical phonons in GaAs/Al As superlattices studied by micro™ Ram an spectroscopy/ / Solid State Coininiin. 1995. V. 93. P. 847-851.
Scarmarcio G., Tapfer £., Konig Ж, Fischer Д., Ploog K.)Molinari K, Baroni £)Giannozzi F., de Gironcoli S. Infrared reflectivity by transverse-optical phonons in (GaAs)m/(AlAs)n ultrathin-layer superlattices// Phys. Rev. 1991. V. В 43. P” 14754— 14757.
Jahne K, Roseler Д., Ploog K. Infrared reflectance and ellipsometric studies of GaAs/Al As superlattices// Superlattices Microstruct. 1991. V. 9. P. 219-222.
Pusep Yu., Milekhin A., Poropov A. FTIR spectroscopy of (GaAs)n/(AlAs)m superlattices// Superlattices Microstruct. 1992. V. 13. P. 115-123.
Krieger M, Sigg H. Zone-edge gap in the folded acoustic phonon dispersion of an AlAs-GaAs semiconductor superlattice// The Physics of Semiconductors/ Ed. by J. Lockwood. — Singapore: World Scientific. 1995. P. 959-962.
Colvard C, Gant Т.Д., Klein M У., Merlin Я., Fischer Я., Morkoc Я., Gossard A.C. Folded acoustic phonons and quantized optic phonons in (GaAl)As superlattices// Phys. Rev. 1985. V.B31. P. 2080-2091.
He J., Djafari Rouhani B., Sapriel 丿"Theory of light scattering by longitudinalacoustic phonons in superlattices// Phys. Rev. 1988. V. В 37. P. 4086-4098.
Не J., Sapriel J., Brugger Я. Semiconductor photoelastic constants measured by light scattering in superlattices// Phys. Rev. 1989. V. В 39. P. 5919—5923.
Spitzer J., Popovic Z. У., Ruf T., Cardona M, Notzel Я., Ploog К Folded acoustic phonons in GaAs/Al As superlattices grown on non™(100)™oriented surface/ / Solid State Electron. 1994. V. 37. P. 753—756.
Ruf T., Spitzer J., Sapega У.К, Belitsky У./., Cardona M, Ploog K. Interface roughness and homogeneous linewidths in quantiiin wells and superlattices studies by resonant acoustic-phonon Raman scattering// Phys. Rev. 1994. V. В 50. P. 1792—1806*
Zucker J.K, Pinczuk 4)Chemla D.S.^ Gossard 4a Wiegmann Ж Opti™ cal vibrational modes and electron-phonon interaction in GaAs quantiiin wells// Phys. Rev. Lett. 1984. V. 53. P. 1280-1283.
Fainstein Д., Etchegoin F., Chamberlain MP., Cardona M, Totemeyer K) Eberl K. Selection rules and dispersion of GaAs/Al As multiple quantiiin well optical phonons studied by Raman scattering in right angle, forward and backscattering in™ plane geometries// Phys. Rev. 1995” V. В 51. P. 14448-14458.
Shields Д.J., Chamberlain M.P.^ Cardona M, Eberl K. Raman scattering due to interface optical phonons in GaAs/Al As multiple quantiiin wells// Phys. Rev. 1995. V.B51. PJ7728—17739.
Sood A.K.^ Menendez J., Cardona M., Ploog K. Interface vibrational modes in GaAs-AlAs superlattices// Phys. Rev. Lett. 1985. V. 54. P. 2115-2118.
Huang K., Zhu B. Dielectric continiiuin models and Frohlich interaction in sib perlattices// Phys. Rev. 1988* V.B 38. P.13377-13386*
Rucker Я., Molinari K, Lugli P. Microscopic calculation of the electron-phonon interaction in quantiiin wells// Phys. Rev. 1992. V. В 45. P. 6747-6756.
Rudin S*)Reinecke T* Electron™LO™phonon scattering rates in semiconductor quantiiin wells// Phys. Rev. 1991. V. В 41. P. 7713-7717.
Tsen К. T., Wald K.R., Ruf T., Yu P. K, Morkoc H. Electron-optical phonon interactions in uIt rath in multiple quantiiin wells// Phys. Rev. Lett. 1991* V. 67. P. 2557-2560.
Esaki L. New phenomenon in narrow gerinaniiiin p-n junctions// Phys. Rev. 1958. V. 109. P. 603-604.
Tsu Я., Esaki L. Tunneling in a finite superlattice// Appl. Phys. Lett. 1973. V.22. P562-564. 199L V.43. P928&; erratum 1991” V” 43” P. 9288.
Sollner T.C.L.G., Goodhue Ж.Л., Tannenwald P.K, Parker C.D.^ Peck DD Resonant tunneling through quantiiin well at frequencies up to 2.5 THz// Appl. Phys. Lett. 1983. V.43. P. 588^590.
Silbille Д., Palmier J.F., Wang Я., Mollot F. Observation of Esaki-Tsu nega™ tive differential velocity in GaAs/Al As superlattices// Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 52-55”
Palmier JP Miniband transport and resonant tunneling in superlattices// Resonant Tunneling in Semiconductors/ Ed. by L.L. Chang. — N.Y.: Plenum. 1991. P. 361-375”
Mendez E.K, Wang Ж/., Ricco B*> Esaki L. Resonant tunneling of holes in GaAs™ GaAlAs superlattices// Appl. Phys. Lett. 1985. V. 47. P. 415-417. For this and related work Mendez was awarded the Prince of Asturias Prize, 1998”
Merzbacher E. Quantiiin Mechanics. — N.Y.: Wiley, 1961. P* 94—97.
Ting D.Z.-Y.^ Kirby SK)McGill T.C. Interface roughness effects in resonant tunneling structures// Appl. Phys. Lett. 1994. V. 64. P” 2004—2006”
Broekaert T.P.E., Lee Ж, Fonstad C.G. Pseudomorpliic In(),536^0,47As/AlAs/ InAs resonant tunneling diodes with peak™to™valley current ratios of 30 at room temper™ attire// Appl. Phys” Lett. 1988. V. 53. P. 1545^1547.
Von Klitzing K., Dorda G., Pepper M. New method for liigli-accuracy determi™
nation of the fine™striictiire constant based on quantiiin Hall resistance// Phys. Rev. Lett. 1980. V.45. P. 494—497.
Tsui DC〉Stdrmer Я.£., Gossard A.C. Two dimensional magnetotransport in the extreme quantiiin limit// Phys. Rev. Lett. 1982. V.45. P. 1559-1562.
Landau L.D. Diamagnestism of metals (in German)// Z. Physik. 1930. V. 64. P. 629-637.
Landau L.D.^ Lifshitz E.N. Quantum Mechanics, 3rd edn. — Oxford: Pergamon, 1977.
Ziman J.M Principles of the Theory of Solids, 2nd edn. — Cambridge: Cam™ bridge Univ. Press, 1972. P 313—326.
Brodsky M. ed. Amorphous Semiconductors, 2nd edn.// Topics Appl. Phys.—— Berlin, Heidelberg: Springer. 1985. V. 36.
Taue J. Amorphous and Liquid Semiconductors. — N.Y.: Plenum, 1974.
Stormer Я. Fractional Quantiiin Hall effect today, Solid State Coininiin. 1998. V. 107. P. 617-622.
Girvin 5.M Exotic quantiiin order in two-dimensional systems// Solid State Coininiin. 1998. V. 107. P 623-628.
Tsui DC、Stdrmer Я., C. Gossard A. Two-dimensional magnetotransport in the extreme quantiiin limit// Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 1559-1562.
Laughlin R.B. Anomalous QHE: An incompressible fluid with fractionally charged excitations// Phys. Rev. Lett. 1983. V. 50. P. 1395—1398.
Loudon R. Raman effect in crystals// Adv. Phys. 1964. V. 13. P. 423—482. 1965. V. 14. P. 621.; erratum ibid. 1965. V. 14. P. 621.
Общая информация
Выращивание квантовых я м и сверхрешеток
Hermann МД., Sitter Я. Molecular Beam Epitaxy, 2nd edn.// Springer Ser. Mater. Sci. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1996. V. 7.
Milnes A.G., Feucht D.L. Heterojunctions and MetakSemiconductor Junctions.—— N.Y.: Academic, 1972.
Panish MB〉Temkin H“ Gas Source Molecular Beam Epitaxy, Springer Ser. Mater. Sci. V. 26 (Springer, Berlin, Heidelberg 1993).
Ploog Formation of semiconductor interfaces during molecular beam epitaxy// Semiconductor Interfaces: Formation and Properties/ Ed. by G. LeLay, J. Denien, N. Boccara. — Berlin, Heidelberg: Springer. 1987.
Stradling A/., Klipstein P.C. eds. Growth and Characterization of Semiconductors.—Bristol, UK: Hilger, 1990.
Wang S.: Fundamentals of Semiconductor Theory and Device Physics, (Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1989).
Свойства квантовых ям и сверхрешеток
Ando Т., Arakawa К, Furuya К., Komiyama S.) Nakashima ". eds. Mesoscopic Physics and Electronics, NanoScience and Technology (Springer, Berlin, Heidelberg 1998).
Dekker A.J. Solid State Physics (Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ 1957) P. 244
Ehrenreich H., Turnball D. eds. Semiconductor Heterostructures and Nanostruc-tures Adv. Res. AppL. V. 44 (Academic, San Diego, CA 1991)
Ivchenko K£., Pikus G. Superlattices and Other Heterostructures: Symmetry and Other Optical Phenomena, Springer Ser. Solid-State Sci. V. 110. (Springer, Berlin, Heidelberg 1995).
Jaros M. Superlattices of Semiconductor Microstructures (Clarendon, Oxford 1985)
Jusserand B., Cardona M. Raman spectroscopy of vibrations in Superlattices, in Light Scattering in Solids V, ed. by M. Cardona, G. Giintherodt, Topics Appl. Phys. V. 66 (Springer, Berlin, Heidelberg 1989) P. 49—152.
Kroemer Я. Theory of heterojunction: A critical review, in Molecular Beam Epitaxy and Heterostructtires, ed. by L. L. Chang, K. Ploog (Nijhoff, Dordrecht 1985) P. 331— 379.
Menendez J. Phonons in GaAs-A^Gai^^As Superlattices. J. Luminesc. 1989. V. 44. P. 285—314.
Pearsall T.P. ed. Strain-Layer Superlattices: Physics, Semiconductors and Semimet™ als. V. 32 (Academic, Orlando, FL 1990).
FiPinczuk A., Abstreiter G. Spectroscopy of free carriers excitations in semiconduc™ tor quantiiin wells, in Light Scattering in Solids V, ed. by M. Cardona, G. Gilnthe™rod, Topics Appl. Phys. V.66 (Springer, Berlin, Heidelberg 1989) Chap. 4, P. 153—211.
Sapriel J., Djafari Rouani B. Vibrations in Superlattices. Surf. Sci. Rent. 1989. V. 10. P. 189-275.
Singh J. Physics of Semiconductors and their Heterostructtires (McGraw-Hill, New York 1993).
Wang S. Fundamentals of Semiconductor Theory and Device Physics (Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ 1989).
Weisbuch C.)Vinter B. Quantiiin Semiconductor Structures, Fundamentals and Applications (Academic, San Diego, CA 1991).
Квантовый эффект Холла
Chakraborty T., Pietildinen P. The Quantiiin Hall Effects ——Fractional and Integral, 2nd edn., Springer Ser. Solid-State Sci. V. 85 (Springer, Berlin, Heidelberg 1995).
Jain J.K. The composite fermion: a quantiiin particle and its quantiiin fluids, Physics today, April 2000, P.金9—45.
Janssen M, Viehweger 0., Fastenrath U.)Hajdu J. Introduction to the Theory of the Integer Quantiiin Hall Effect (VCH, Weinheim 1994).
McDonald A.H. ed. Quantiiin Hall Effect: A Perspective (Kluwer, Boston 1989).
Prange Я.К, Girvin £Л£ eds. The Quantiiin Hall Effect (Springer, New York, Berlin 1990).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
(Lai—虞 Si%)2cliCh 16
AgGaS2 19
Al К。линия возбуждения для РФЭС 383
AlAs дисперсия фононов 432
AlGaAs
——прямая запрещенная зона 205
AlSb рамановские спектры 342
АзгЗез 19
С(11^жМпжТе 16, 18
CdS 73, 136, 325
——дисперсия экситонов 255
——излучение поляритонов 322
—фононы 113
CdSe 73
CdTe 260
—пьезоотражение 288
——эффективные заряды 273
CuCl 17, 322, 395
—d-злектроны 386
—спин-орбитальное расщепление в точке Г 78, 395
——эмиссия поляритонов 322
СиО 17
—критические точки 260, 282, 283
—переходы 241
—экситоны 260
Ei + △] критические точки 260, 282, 283
后2
—критические точки 282, 283
—пик 241
GeS, GeSe 390
GeTe 16
Н— 326
HgBaCa2Cu3O8 18
HgSe 96
HgTe 96
InS, InSe 390
InSb
—спин-орбитальное расщепление 77
——фундаментальный край поглощения 245
La2CuO4 16, 18
Mg2Ge, Mg2Si, Mg2sli 40
M0S2 18
Pbl2 18
PbS 17
—дисперсия er 244
——фундаментальный край поглощения 244, 245
РЬТе 17
SbSI 16, 19
Q-Sn (серое олово) 96
——дисперсия фононов 117
SnS 17, 390
SnSe 390
SrTiO3 16
TaS2 497
TaSe2 497
ZnO 17
ZnS 136
ZnSe
—зонная структура 70
—самокомпенсация 169
——селективно возбужденные спектры экситонов, связанных на донорах Na и Li 329
——эффективные заряды 273
ZnSiP2 19
ZnTe
—самокомпенсация 169
——мнимая часть диэлектрической функции 260
——эффективные заряды 273
Абелевы группы 35
Автоионизованное состояние
—атомные спектры 262
Адатомы 401
Адиабатическая модель с зарядами на связях 116
—фононные дисперсионные кривые 108
Адиабатическое приближение 29, 105
——для примесных уровней 160
Азот в GaAs, GaAsP 178—183
Акустический фонон 49, 108, 327
—в слоистых структурах 432
—В Cll2О 131
——рамановское рассеяние 374
——рассеяние электронов на акустических фононах 209
Акцепторный уровень
——в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки 162
——приближение одной сферической зоны 164
——энергии связи 167
——энергетические уровни, вычисленные с помощью гамильтониана
Балдеречи-Липари 168
Акцепторы 150
——двойные акцепторы 150
Алмаз
——дисперсионные кривые фононов 116, 117
—кристаллические структуры 32, 39
——неприводимое представление точки X 62
——неприводимое представление и характеры точки △ 63
——параметры взаимодействия в методе сильной связи 91
—постоянные жесткости 135
—симметрия точки L 60
—симметрия точки X 63
—таблицы характеров группы Г 60
—фактор-группа 38
—фононы центра зоны 50
Аморфные полупроводники 208, 232
—аморфный Ge 272, 489
——ближний порядок 489
——оптические свойства 489
——плотность дефектов в запрещенной зоне 490
—аморфный Si 272, 490
эффект легирования водородом 491
приготовление 490
——несохранение волнового вектора 235
—спектры поглощения 489, 490
Анализ Крамерса-Кронига 489
Анализатор электронов
——замедляющая сетка 383
—цилиндрическое зеркало 383
Ангармоническое взаимодействие в
двуфононном поглощении 270
Антипересечение уровней 267, 301, 445
Антисайт™ дефект 150
Антисвязывающая орбиталь 85
Антисвязывающие состояния 74
Антистоксов рамановский сдвиг 332
Антистоксово рамановское рассеяние 332
Антиферромагнетизм 18
Аррениуса зависимости 315
Арсенид Галлия GaAs 320
——вероятность рассеяния электронов проводимости 197
——время релаксации электронов 196
—гетеропереход 205
——деформационный потенциал для
валентных зон 121
——дисперсия фононов 108, 431
——диэлектрическая функция 226, 232, 240, 293
производные 293
——дрейфовая скорость 208
—зонная структура 69
——излучательное время жизни 312
—инфракрасное поглощение в образцах р-ткпа 277
——квантовые ямы 418
вероятности межподзонного рассеяния 457
дисперсия дырочных подзон 423, 427, 429
изображение на просвечивающем электронном микроскопе 414
интерфейсные моды 440, 441, 445
квантованный LO фонон 437
квантованный ТО фонон 444
однородное и неоднородное уширение 448
отрицательное сопротивление 502
рамановский спектр 451—453
резонансное туннелирование 459
сложенный акустический фонон 447
сложенный LA фонон 448
спектры возбуждения
фотолюминесценции 328
—компонента электромеханического тензора 126
——люминесценция при переходе свободного электрона на связанную дырку 314
—междолинные деформационные потенциалы 130
—отражение 232, 283
——параметры валентной зоны 78
—параметры Латтинжера 84, 163
—подвижность
в образцах тг-типа 204, 205
в 2D электронном газе 206
—постоянные жесткости 135
—примесь азота 180
—рамановские спектры 342
——резонансное бриллюэновское рассеяние 369
—рост
газофазная эпитаксия 21
молекулярно-пучковая эпитаксия 22
жидкофазная эпитаксия 26
—спектр Бриллюэна 354
—спектр отражения решетки 269
——спектр поглощения уровня остова 377
—спектр рентгеновской фотоэмиссии 387
—спектры пропускания 429
——спин-орбитальное расщепление 242
—термоотражение 286
—фотокатод 341
—фотолюминесценция 321
—фотоотражение 295
—щель Пенна 300
—экситон
дисперсия поляритона 370
излучение 322
спектры поглощения 259
энергия связи и боровский радиус 255
——электрон-фононные взаимодействия 129
—электроотражение 292
——энергии акцепторных уровней 166
—энергии зон в точке X 98-100
—энергия и затухание оптического фонона центра зоны 296
——энергия связи донора 158
—эффект Ганна 212
——эффективная масса зоны проводимости 74
——эффективные заряды 273
Арсин 21
Асимметричная квантовая яма 419
Атом водорода 253
——электронные состояния 155
——эллиптически деформированный 159
Атомарно чистая поверхность 226
Атомные единицы 300
—эффективные 164
Базисные функции 41
Безызлучательные ловушки 309
Беспорядок 470
Ближний порядок 489
Блоховские осцилляции 501, 502
Бозоны 307
Больцмана постоянная 225
Больцмана распределение 191
Больцмана уравнение 190
Боровский радиус
—экситона 255
——эффективный 164
Бриллюэновский тензор 357
Бриллюэновское рассеяние 222, 306, 331,
351, 352
—правила отбора 373
—резонансное 353
—спектры Ge, Si, GaAs 352, 353
Брэгговское отражение 66
Вакансии 150
——в кристаллах типа алмаза и цинковой обманки 155
——энергия связи 178
Вакуумный ультрафиолет 375
Валентная зона
—Ge, определенная УФЭС 393
——дисперсия в КЯ GaAs/AlGaAs, определенная с помощью горячей фотолюминесценции 430
—параметры А, В, С 83
——параметры полупроводников типа алмаза и цинковой обманки 78
—экстремумы 121
Валентные плазмоны 377
—в GaP 377
Валентные электроны 29, 64
Вариационная техника вычислений для примесных уровней 160
Ведущий центр циклотронной орбиты 465, 470
Вероятность безызлучательной рекомбинации 312
Вероятность излучения в зависимости от частоты в Ge 309
Вероятность релаксации экситонов 360
Вершина в диаграммах Фейнмана 348
Взаимодействие конечного состояния 315
Взаимодействие начального состояния 315
Взаимодействие Ван-дер-Ваальса 18, 315, 390
Взаимодействие носителей с фононами 208
Взаимодействие электронов с LO фононами в квантовых ямах
—диэлектрическая модель 454
—макроскопические модели 453
—механическая модель 454
модель Хуана-Чжу 455
Взаимодействие электронов с акустическими фононами 29
—для вырожденных зон 122
пьезоэлектрическое 125
Взаимодействия Слэтера^Костера 180
Взаимодействия электронов с оптическими фононами 127
Видеотелефония 497
Винтовая ось 37
Виртуальные переходы 245, 292
Вклад энергии Маделунга в энергии связи уровня остова 397
Влияние непараболичности зоны на плазменную частоту 302
Внутренняя деформация 128, 146
Внутризонное рассеяние 194
на акустических фононах 193
—на полярных оптических фононах 197
Водородоподобный примесный центр 492 Возбуждения между валентными зонами —спин-орбитальное расщепление 277 Возможность переноса псевдопотенциала 70 —ab initio 71
—самосогласованного 71
Волновая природа электрона 497
Волновое число 225
Волновой вектор экранирования 196
Волновые векторы 31
Волновые функции почти свободных электронов в кристаллах типа цинковой обманки 50
Вольт-амперные характеристики резонансных туннельных диодов с двойными барьерами 461
Вращение Фарадея 18
Временная зависимость переходов донорно-акцепторных пар 317
Время жизни носителей 208
Время релаксации 192
—приближение 191, 218
—импульса 193
Время релаксации импульса 209
Время термализации 208
Время энергетической релаксации 209
Входной рамановский резонанс 355
—GaSe 358
Вырождение Крамерса 139
Высокотемпературные сверхпроводники 18
Высокочастотные осцилляторы 210
Выходной рамановский резонанс 355
—GaSe 358
Газофазная эпитаксия 20
Газофазная эпитаксия из
металло-органических соединений 19, 21
Газофазный эпитаксиальный рост 296
Галенит (PbS) 16
Гамильтониан
—Бальдеречи-Липари 162
——для электрона в магнитном поле 464
——для движения ядер 105
—Латтинжера 84
——Пикуса—Вира 123, 139
—пьезоэлектрического электрон-фононного взаимодействия 126
—Герринга и Фогта 124
—кубический член 167
Гамильтониан электрон~излунательного взаимодействия 233, 347
Гармонические осцилляторы 263
——диэлектрическая функция 237
Гармоническое приближение 106
Германий (Ge)
——валентная зона
дисперсия, определенная с помощью
У①9c с угловым разрешением 393, 400
параметры 78
——вероятность излучения 309
——внутренний параметр деформации £ 146
—деформационные потенциалы 121
——диэлектрическая функция 231, 293
энергии особенностей 242
мнимая часть 241
—зона проводимости
дисперсия, определенная с помощью обратной фотоэмиссии 400
эффективная масса 74
—зонная структура 69, 242
——излучательное время жизни неосновных носителей 312
—изотопически чистый 481
—коэффициенты поглощения 248
—коэффициенты Серафина 284
—отражение 231
——параметры взаимодействия в методе сильной связи 92
—параметры Латтинжера 163
——плотность состояний валентной зоны 386
—поверхность (111)~с(2х8)
зонная структура 402
поверхностные зоны от оборванных связей 403
изображение в сканирующем туннельном микроскопе 402
——поглощение с уровней остова 377
—постоянные жесткости 135
—рамановские спектры
монослои 345
двухфононные 344
——сверхчистый 480
—спектр Бриллюэна 354
—спектр Р①9c 386
—спектр У①9c 386
—спектр фототермической ионизации 281
—спин~орбитальное расщепление 242
——температурная зависимость ширины
запрещенной зоны 286
—форм-факторы псевдопотенциала 68
—фотомодулированное отражение 295
—циклотронный резонанс 487
—щель Пенна 300
——электронная зонная структура 69
——энергетические уровни акцепторов 166, 168
Герц 225
Гетеропереход 205, 414
——с модулированным легированием 205
Гетерополярная молекула 86
Гетероэпитаксия 21
Гибридизация р-d в галлогенидах меди 395
Гибридные 5рЗ-ор6итали 64
Гидростатическое давление 132
Гиперболические экситоны 260—262
Главное значение Коши 171, 229
Глубина выхода электронов 378, 394
——универсальная кривая 379
Голографические решетки 229
Голый экситон в CdS 256
Гомоморфизм 38, 41
Гомополярная молекула 86
Гомоэпитаксия 21
Горячая люминесценция 309
Горячие электроны 188, 207
—транспорт 198
Гранецентрированная кубическая решетка
(ГЦК) 32
Граничные условия Борна~фон Кармана 36
Группа 34
Группа волнового вектора к 49
Группа полных вращений 162, 184
Дальний порядок 489
Движение нулевой точки 307
—фононы 334
—фотоны 307
Движение центра масс экситона 251, 288
Двойной монохроматор 340
Двойные группы 75
——представление 101
Двулучепреломление 224
Двумерные кристаллы 390, 497
Двумерные критические точки 241
Двумерный экситон 261
Двухатомная молекула 86, 87
Двухосные кристаллы 225
Двухфононное поглощение 270
—спектры Si и Ge 271
Двухфононное рамановское рассеяние 333
—Ge 344
—Si 343
ДГУ (дополнительные граничные условия) 322'
Дебаевское экранирование 196, 200
Декартовы тензоры 162
Дельта-функция Дирака 171
Детальное равновесие 192, 307
Детекторы гамма-лучей 481
Дефекты замещения 150
Деформационные потенциалы 118, 121, 123,
125, 127, 145，，，
——взаимодействие на деформационном потенциале 195
—междолинные 130
—объемный 120
—у 厶 долины в Ge 123
Диадная винтовая ось 38
Динамическая матрица 107
Динамические модели решетки 111
Дислокации рассогласования 417
Дислокация 19, 149
Дисперсия
—дисперсионные соотношения 172, 229
—дырочных зон Jz = 3/2 и Jz = 1/2 в КЯ 424
——дырочных зон Jz = 3/2hJz = 1/2 при
одноосном давлении 425
—поверхностных зон Ge(lll)-c(2x8) 402
Дисперсия зон 72
Дисперсия зоны вблизи вырожденного
экстремума 75
Дисперсия экситонов по спектрам
резонансного рамановского рассеяния 366
Дифференциальное поперечное сечение
рассеяния 337
Диффракция быстрых электронов при
отражении (ДБЭ) 23, 24
Диффракция медленных электронов (ДМЭ)
23, 389
Диффузия носителей 190
Диэлектрическая постоянная 300
——высокочастотная 128, 264
—низкочастотная 128, 265
—статическая 151
Диэлектрическая функция 114, 224, 230, 237, 282，，，
——включая фононы и свободные носители 301
——микроскопическая теория 232
—GaAs 226, 232
теория и эксперимент 240
—Ge 231, 232
теория и эксперимент 241
—Si 231
теория и эксперимент 240
Диэлектрическая функция заряженных
гармонических осцилляторов 299
Диэлектрический тензор 224
Длинноволновые колебания (в кристаллах алмаза и цинковой обманки) 48
Долино-орбитальное взаимодействие 159, 278
Долино-орбитальное расщепление донорных уровней 161
Домен в диодах Ганна 213
Донорно-акцепторные пары (ДАП)
——кулоновское притяжение 315
—распределение 372
——спектры люминесценции 329
селективное возбуждение в ZnSe 330
с временным разрешением 319
——в GaP 316, 317
форма линий 315
тип I 316
тип II 316
Донорный электрон 151
——боровский радиус 156
——уровни энергии в Si 160, 161
Доноры 150
—водородободобные 155
——двойные 150
—мелкие 140
——метод сильной связи 180
——отклик фотопроводимости в Si 494
——связанные с анизотропными зонами проводимости 159
——энергия связи в полупроводниках типа цинковой обманки 158
Дополнительное граничное условие Пеккара (ДГУ) 323
Дополнительные граничные условия 322
Допплеровское уширение 328
Дрейфовая скорость 189, 208
——зависимость от электрического поля 208
в GaAs 212
Дробный эффект Холла 467, 473
DX-центр 159, 169, 183
Дырка 18
—зона 83
—капли в КЭХ 471, 472
—определение 83
—подзоны в КЯ GaAs/AlGaAs 422, 423
EL2 183
EuS 18
Единицы
—давления 381
—частоты электромагнитных волн 225
^Жидкофазная эпитаксия 26
Зависимость запрещенных зон от
изотопической массы 296
Зависимость запрещенной зоны от
постоянной решетки 415
Зависимость экситон-LO фононного взаимодействия от волнового вектора 362
Закон излучения Планка 371
Закон фотоэмиссии Эйнштейна 379
Запаздывание 265, 302
Запрещенная зона 16, 66
Запрещенная зона Eq 74, 80, 241
Запрещенная зона Eq + До 241
Запрещенное рамановское рассеяние в CdS 363
Запрещенный экситонный спектр CU2O 259
Заряд Каллана 272
Заряды на связях 114
Затухающие волны 421
Зеннеровское туннелирование зона-зона 502
Золотое правило Ферми 234, 236, 257, 413
Зона Бриллюэна 31
—ГЦК решетки 97
Зонная структура
—арсенид галлия 69
——валентные зоны в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки 75, 487
—германий 69
изображение оптических переходов 242
—историческое развитие 485
—кремний 59
—определение по фотоэмиссии 389, 392
в Ge 400
в графите 391
——почти свободные электроны в алмазе 58
——почти свободные электроны в цинковой обманке 55
—расчет методом (к • р) 72
——расчет методом сильной связи 85
—селенид цинка 70
—расчет методом псевдопотенциала 63, 68,
483
Зоны Кронига-Пенни 502
Изгиб зон 417
——влияние на уровни остова в спектрах
У<ЮС Si 405
——около интерфейсов 206
—определение с помощью УФЭС в Si 406
Излучательная рекомбинация 179, 306
——время 311
—центры 309
Излучательное время жизни неосновных носителей 311
Излучение свободного экситона 320
Измерения эффекта Холла 215
Изовалентная примесь 150
Изоляторы 16
Изоморфизм 38, 41
Изотопически чистый Ge 19, 481
Изотопический сдвиг ширины запрещенной зоны 303
Изохроматические спектры тормозного излучения 377, 399
Изоэлектронная примесь 150
Инвариантная подгруппа 38
Индекс зоны 31
Индексы Миллера 36
Интеркаляция 18
Интерфейсные моды 438
——двойные гетеропереходы 438
—КЯ GaAs/Al As 441
—одиночный гетеропереход 438
—одиночная КЯ 439, 440
—сверхрешетки 442
——угловая дисперсия 442
Интерфейсные плазмоны 439
Интерфейсные состояния 417
Интерференция Фано 261
Интерферометры Фабри-Перо 353
Инфракрасно-активные переходы 54
Ионизационные энергии примесей, Ge, Si 488
Ионная связь 110
Ионность 17, 272
Ионные лазеры 339
Испускание фотонов 234
Калибровка
—инвариантность 233
—Кулона 233, 464
—Ландау 464
Канальный электронный умножитель 341,
383
Капли в квантовом эффекте Холла 471, 472
Картина смещений фононов в СР
(GaAs)5/(AlAs)5 437
Каскадная модель 365, 368
Квазитепловое равновесие 207
Квазичастичный подход 71
Квант сопротивления 469
Квантование, обусловленное электрическим полем 502
Квантованное сопротивление Холла 499
Квантовая яма Gao,47lno,53As-Alo,42lno,58 As
422'''
Квантовое число, главное 155
Квантовые проволоки 410
Квантовые точки 410
Квантовые ямы (КЯ) 413
——горячая люминесценция 430
——квантование дырок 422
——квантование электронов 419, 422
—классификация 417
——на основе GaAs и полупроводников Ш—V 327
—обращение масс 425
—подзоны 421, 429
——просвечивающая электронная микроскопия 414
—рамановские спектры (см. также сверхрешетки) 445
—рост 19
—спектр пропускания 429
——спектры возбуждения люминесценции 326
—фононы (см. также сверхрешетки) 431
—экситонный эффект 261
Квантовый размерный эффект 410, 411
—электронов и дырок 413
Квантовый эффект Холла (КЭХ) 463
—дробный 463
—инвариантность калибровки 499
—открытие 498
——сопротивление поперечное и продольное 468
——стандарт сопротивления 469, 498
эффект беспорядка 470
—целочисленный 463, 470
эксперимент фон Клитцинга, Пеппера и Дорды 467
Класс в теории групп 42
—в двойных группах 75
Классическое уравнение движения
свободных носителей 189
Колебательные свойства полупроводников 105
Коллектор в резонансном туннельном приборе 458
Кольцо накопления 382, 376
Комбинированная плотность состояний 237
Компенсатор 227, 228
Компенсированные полупроводники 315
Комплекс в теории групп 37
Комплексная диэлектрическая постоянная для колебаний решетки 268
Комплексная отражательная способность 229
Комплексы дефектов 149
Комптоновское рассеяние 376
Постоянная затухания 267, 355
Постоянная непараболичности 303
Конусы Махана 390
обратные 399
Конфлюэнтные гипергеометрические
функции 258
Координата центра масс 288
—экситонов 253
Коррекция локального поля 223
Коррекция центральной ячейки 158, 463
—акцепторов 282
Коррелированные электрон-дырочные пары 250
Коэффициент отражения 225
Коэффициент прилипания к поверхности 407
Коэффициент пропускания электрона через двойной барьер 461
Коэффициент Холла 215, 463, 466
—дырок 220
—тонкой пленки 216
—электронов 220
Коэффициент экстинкции 225
Коэффициенты Серафина 283, 303
Коэффициенты Эйнштейна А и В 307, 371
Краевые электроны 471
Край Друде 277
Край поглощения
—непрямой 240, 245—248
—прямой 240, 249
Тауца 490
Край подвижности
——в аморфных полупроводниках 470
—в КЭХ 470
Край фундаментального поглощения 239
Кремний (Si)
——вероятность рассеяния электронов проводимости 196
—выход фототока в случае чистых и загрязненных поверхностей (111) 380
—деформационные потенциалы
зоны проводимости 124
валентные зоны 121, 145
——дисперсия фононов 108
диэлектрическая функция 231, 240
——дрейфовая скорость 208
—зонная структура 59
изгиб зон в Si п~ и р~типа из спектров
У(ЮС 407
——квантовый эффект Холла 469, 498
—междолинное рассеяние 198
—минимумы зоны проводимости 123
—отклик фотопроводимости 494
—отражение 231
——параметр внутренней деформации《146
——параметры в методе сильной связи 92
——параметры валентной зоны 78
—параметры Латтинжера 163
—подвижность в образцах n-типа — 204
—полевые транзисторы
металл~окисел~полупроводник 468
—пористый Si 311
—постоянные жесткости 135
——радиационное время жизни 311
—разностные спектры отражения 296
—рамановские спектры 343, 345
распределение зарядов валентных электронов 115
решеточное поглощение 271
—спектр Бриллюэна 354
—спектр поглощения 247
обусловленный донорами Р 279
—спектр фототермической ионизации Р-доноров 280
—спин-орбитальное расщепление 77, 242
——стуктура и плотность состояний валентной зоны 93
——уровни акцепторов
энергии 166-168, 494
В, Al, Sb, In 494
——УФЭС собственного и сильно легированного образцов 406
—форм-факторы псевдопотенциала 68
—щель Пенна 300
——электронная конфигурация 63
——электрон-фононное взаимодействие 129
—энергии глубоких примесей 177
——энергии фононов края зоны 270
——энергия связи донора 160
Кристал вюрцита
—акустические фононы 138
—операции симметрии 137
—пьезоэлектрическое электрон-фононное взаимодействие 147
—структура 136, 137
—тензор жесткости 137
—элементы электромеханического тензора 126
Кристаллическая структура флюорита
(CaF2) 40
Кристаллографическая элементарная ячейка 33
Кристаллографические точечные группы 37
Критическая толщина слоя 417
Критические точки Eq 282
Критические точки Eq + До 282
Критические точки в плотности состояний 238
—типа Mo, Mi, ”2 и Хз в 3D 238
Критические точки при фотоэмиссии 394
Критическое поле для диодов Ганна 211
Кулоновская каллибровка 233, 464
Кулоновский потенциал, экранированный 151
Кулоновское взаимодействие 110, 126
Куприт (Си2О) 16, 17, 249
——запрещенный край поглощения 249
——зеленая экситонная серия 309
—кристаллическая структура 131
—люминесценция 310
——рамановское рассеяние 310, 366, 367
на нечетных фононах 360, 361
—фононы 111, 131, 360
——эффективная масса экситона 369
Лазер He-Ne 339
Лазер Nd:YAG 339
Лазер на красителях 339
лазер титан-сапфировый 339
Лазерные диоды 207, 308
Лазерный отжиг 207
Лампы газоразрядные
——источники для спектров фотоэмиссии 396
Латтинжер 84
—гамильтониан 84, 162, 185, 423
—параметры 84, 163, 423
Легкая дырка 83, 425
—масса 78
Линейная комбинация атомных орбиталей
(ЛКАО) 85
Линейные дефекты 149
Линейный по к член в дисперсии зон 80
Линейный электрический эффект 294
Локализованные состояния 152, 470
Локальная плотность состояний 173
——связанная с дефектом 173
Локальные колебательные моды 359
Локальный диэлектрический отклик 224
Лэнгмюр (L) 407
Люминесценция 256, 306
——возбуждение, термализация и рекомбинация 309
——горячих электронов на уровни акцепторов 430
—N в GaP 311
——экситонов и связанных экситонов в GaAs 320
Люминесценция зона-примесь 313
Магнитная индукция 265
Магнитные дипольные переходы 236, 360
Магнитные квантовые числа 76
Магнитные полупроводники 18
Магнитоплазменный резонанс 487
Магнитотранспорт 213
Магнитосопротивление 214
—многодолинные модели 486
Макроскопическая электродинамика 223
Макроскопическое продольное поле 335
Масса тяжелой дырки 78
Масс-спектрометрия 23
Матрица преобразования 41
Матрицы переноса 460
Междолинное рассеяние 130, 198
——время 210
— LA-фононами 219
—электронами в Si 198—200
Междолинный деформационный потенциал 130
Межзонное рассеяние
—/-процессы 199
—g-процессы 199
Межузельный дефект 150
Мезоскопический квантовый режим 501, 502
Мелкие доноры
——волновая функция электрона 157
——связанные состояния 156
Мелкие примеси 149, 150, 158
——оптическая спектроскопия 492
Мепсикрон 341
Метод (论• р) 72, 234, 241, 302, 486
——вычисление диэлектрической функции
239
——спин-орбитальные взаимодействия 79
Метод (к • р) для всей зоны 242
Метод Бриджмена 20
Метод Брукса-Герринга 200, 202, 203
Метод валентного силового поля 112
——силовые постоянные 112
Метод ван дер Пау 215, 216
Метод возмущений Левдина 79
Метод инвариантов 122
Метод Конуэлл—Вайскопфа 201
Метод псевдопотенциала 283
—ab initio 483
——вычисление зонной структуры 63
——самосогласованный 68
—эмпирический 68, 70, 483
Метод рентгеновской флюоресценции 378
Метод Чохральского 19
—рост Ge 480
Метод Чохральского с жидкой капсулой 20
Механические граничные условия в КЯ 438
Микроволновые генераторы 213
Микроволновый осциллятор 458
Минизоны 426, 502
МКЯ типа I и типа II 418
—тип ПА 418
—тип ПВ 418
МКЯ типа Ш 418
Многоканальные приемники 229, 340
Многократно повторяющиеся квантовые
ямы (МКЯ) 413
—классификация 417
Многофононное рамановское рассеяние
—в CdS 364
—каскадная модель 365
Многофононное решеточное поглощение 270
Моделирование методом Монте-Карло 193,
209
Модель Еорна—фон Кармана 111
Модель Друде 274
Модель жестких ионов для вычислений
динамики решетки 109
Модель Китинга 114
Модель Кронига^Пенни 425
Модель почти свободных электронов 54
Модель с зарядами на связях 114
—адиабатическая 116
Модель Хаббарда 169
Модифицированные функции Эйри 290
Модули упругости
—объемные 108
——сдвиговые 108
Модулирование по частоте 333
Модуляционная спектроскопия 282
Модулированное легирование 205
Модуляция критических точек 303
Молекула метана 35
Молекулярно-пучковая эпитаксия (МПЭ)
21, 410
Молекулярные орбитали 85
Монохроматоры 227
Набор базисных функций 32
Нанокристаллы 311
Наноструктуры 410
Насыщение скорости 208, 209
Нелинейная восприимчивость третьего
порядка в Ge 304
Нелинейные оптические процессы 223
Нелокальный диэлектрический отклик 224
«Немые» фононные моды 132
Неоднородная ширина линии 328
Неоднородное уширение 448
Непараболические зоны 302
Неприводимые представления
—группы А 56
—двойной группы Г в цинковой обманке 76
Непрямая запрещенная зона у Si 245
Непрямой край поглощения 244
—GaP 248
—Ge 248, 308
—Si 247
Непрямые переходы 240
—диаграммы Фейнмана 373
—зависимость от ш 247
—поглощение и испускание фононов 247, 248'
—с участием фононов 490
Непрямые экситоны 258
Неравновесные носители 207
Несимморфные группы 37, 39
Несобственные вращения 35
Нестабильность перехода от мелкого
состояния к глубокому 159
Неупругое рассеяние нейтронов 108
Неупругое рассеяние света 331
Нормальные моды (фононы) 106
Обмен и корреляция 71
Обозначения Порто в рамановском
рассеянии 335
Обозначения Шенфлиса 35
Оболочечные модели 111
Оболочки остова 64
Оборванные связи 401
Обратная решетка 33
Обратная фотоэмиссия 376, 377, 399, 400
Обращение масс
—в КЯ 425
—при одноосном сжатии 425
Объемный деформационный потенциал 219
——модель сильной связи 140
Объемный модуль 133
Объемоцентрированная кубическая решетка 33
Огибающая функция 153, 155, 157
Одноосное напряжение 132
Одноосные кристаллы 224
Однородная ширина линии 328
Однородное уширение 448
Одноступенчатая модель фотоэмиссии 385
Однофононные рамановские спектры в
GaAs, InP, AlSb, Si 342
Оже-электронная спектроскопия 23, 376
—схематическая диаграмма 378
Оператор вектора решетки 152
Оператор плотности тока 189
Оператор трансляции 30
Операции симметрии 33
—кристалла вюрцита 137
— молекулы метана 35
——структуры алмаза и цинковой обманки 39
——эквивалентные 40
Оптическая глубина проникновения 226
Оптическая масса 303
Оптическая ось 224
Оптические модуляторы 19
Оптические спектры полупроводников 222
——энергии особенностей в спектре 243
Оптический деформационный потенциал do, вычисленный в модели сильной связи 145
Оптический отклик примесных электронов 274
Оптический фонон 49, 108
—деформационный потенциал 127
—зависимость от деформации 302
—рассеяние 209
Оптическое поглощение у непрямой щели
244
Орбитали Лёвдина 89, 174
Орбитали связей 85
Орбитальный угловой момент 75
Органические полупроводники 18
Остов примеси 158
Осцилляторы Ганна 207, 211—213
Отношение токов пик—долина в
резонансных туннельных приборах 462
Отражательная способность
—комплексная 227
—область остаточных лучей 267
—спектры 70
Отражение 225
—GaAs 232, 283
——модуляция 282
—нормальное падение 228
—спектры 489
Отражение, модулированное по частоте 285
—спектры в GaAs 283
Отражение света колебаниями решетки 267
—спектры в InAs, GaAs, InSb, GeSb, AlSb,
InP 269
Отрицательное U 169
Отрицательное дифференциальное
сопротивление (ОДС) 208, 210, 458, 502
Параметр внутренней деформации 142, 146
Параметр перекрытия 85, 143
——зависимость от расстояния между ближайшими соседями 94
——сильная связь 96
——универсальный 95
Параметрический процесс 332
Параметры Кона-Латтинжера 84, 423
Парный дефект Френкеля 150
Парциальная плотность состояний 176
Перестраиваемые лазеры постоянного действия 339
—ИК-лазер 494
—лазер на красителях 370
Переход Eq 241
Переход 風‘ 242
Переходы М' 242
Переход Мотта 313
Переход Пайерлса 401
Переходы зона-зона в фотолюминесценции 310
Переходы зона-зона: форма линии излучения 371
Периодические граничные условия 36
Перколяция 471
Плазма 298
——плазменная волна 299
——плазменный край 277
плазменные осцилляции 299
—плазменная частота 230, 274, 298
валентных электронов 375
экранированная 275
Плазмоны 299
Плоскости скольжения 37
—структура алмаза 58
Плотность возбуждений 375
Плотность заряда валентных электронов 71
Плотность конечных состояний 413
Плотность состояний в зоне проводимости 399
Плотность состояний 170, 411
——двумерная 289
—локальная 173
—парциальная 176
—пики в фотоэмиссии 395
Поверхности и интерфейсы 192
Поверхности постоянной энергии
—дырок 83
——J = 3/2 (「8)зон в полупроводниках типа алмаза и цинковой обманки 84
Поверхностная щель в Si и Ge 403
Поверхностные волны 301
Поверхностные состояния 149, 390, 400
Поверхностные таммовские состояния 502
Поверхностные энергетические зоны 398,
401
—поверхности Ge(lll)~(2х 1) 403
Поверхностные эффекты в фотоэмиссии 400
Поверхностный обогащенный слой 404, 405
Поверхностный плазмон 301
Поверхностный резонанс 401
Поверхностный обедненный слой 404, 405
Поверхностный уровень остова
—In As 398
——влияние кислорода 398
Поверхностный фонон 302
Поверхность Ge с(2х8)(111)
——прямая фотоэмиссия 401, 402
—энергетические зоны 401
Поглощение
—в квантовых ямах GaAs/AlGaAs 328
—выше фундаментального края 282
коэффициент 225
——свободными носителями 275
——связанными носителями 278
Поглощение свободных носителей
—в легированных полупроводниках 274
—в InAs п~типа 276
—межзонное 277
——сохранение энергии и волнового вектора 275
Подавление паразитного рассеяния в рамановских спектрометрах 340
Подвижность 190
—в GaAs с модулированным легированием
в зависимости от температуры 206
—в п-GaAs в зависимости от температуры 205
—в n~Si 204
рассеяние на ионизованных примесях 204
в зависимости от температуры 204
——обусловленное рассеянием на ионизованных примесях 202
——температурная зависимость 203
Подвижность носителей в невырожденном электронном газе 190
Подгруппы 38
Позитроний 250
Показатель преломления 225
Полевые транзисторы 498
Полевые транзисторы
металл~окисел~полупроводник 468
Полиацетилен 16, 18
Полидиацетилен 18
Полная вероятность затухания 312
Полное время рекомбинации 312
Полный угловой момент 77
Полу изолирующий GaAs 16
Полу магнитные полупроводники 18
Полуметаллы 16, 18
Полупроводник с нулевой запрещенной зоной 17
Полупроводник с прямой запрещенной зоной 131, 198
Полупроводники с непрямой запрещенной
зоной 130, 179, 198
Полупроводниковый алмаз 16
Полусферический анализатор 382
Поляритон
——бриллюэновское рассеяние в GaAs 370
—бутылочное горло 321, 322
——верхняя и нижняя ветви 322, 346
——дисперсия в GaP 346
—дисперсионные кривые 369
——групповая скорость 321
—излучение 320
—коэффициент пропускания 322
—рассеяние 256
спектры излучения в CdS, CdSe, CuCl, GaAs
322
Полярность 272
—Харрисон 273
Поперечные акустические (ТА) фононы 108
—быстрые 136
—медленные 136
Поперечные колебания 264
Поперечный заряд 272
——в полупроводниках типа цинковой обманки 273
Поперечный оптический (ТО) фонон 109,
267
Пористый Si 311
Пороговая функция в фотоэмиссии 380
Порядок группы 41
Постоянная Маделунга 397
Постоянная Ридберга 155
—экситона 254
——эффективная 164
Постоянная фон Клитцинга 498
Постоянные жесткости полупроводников
типа алмаза и цинковой обманки 135
Построение зонных структур 496
Потенциал виртуального кристалла 179
Правила отбора в рамановском рассеянии
333, 334
Правила отбора по четности для инфракрасного поглощения 334
Правило двух третей для спин-орбитального расщепления 241
Правило сумм 299
Превращение фотона в экситон 257
Превышение скорости 208
Представления 40
—тождественное 44
—неприводимое 42
—приводимое 42
—размерность 42
—совместность 56
—характеры 42
——эквивалентные 42
Преобразование Гильберта 172
Преобразования подобия 42
Приближение Борна 200
Приближение Борна^Оппенхеймера 29, 105, 117•
Приближение замороженных фононов 114
Приближение локальной плотности 71
Приближение огибающей функции 419
Приближение среднего поля 30
Приближение эффективной массы 152, 155, 189•
Приборы с зарядовой связью 229
Приведенная ионная масса 267
Приведенная масса экситона 253
Приемник в рамановской спектроскопии 340
Приемники инфракрасного излучения 492
Примеси
—водородоподобные 150
—глубокие 168
—мелкие 150
Примесная зона 313
Примитивная ячейка 39
Примитивные векторы обратной решетки 33
Примитивные векторы решетки 32
Принцип детального равновесия 308, 371
Принцип запрета Паули 30, 64
Принцип неопределенности 156
Присоединенные полиномы Лагерра 253
Прицельное расстояние 201
Причинность 229
Проблема щели 71
Продольная частота 264
Продольная частота экситона 301
Продольные возбуждения 377
Продольный заряд 272
——в полупроводниках типа цинковой обманки 273
Продольный оптический (LO) фонон 108, 264, 265'
—LO-TO расщепление 109
и интерфейсные моды 442
Проекционные операторы 52
Проектирование запрещенной зоны 415
Произведение матриц 48
Производная диэлектрической функции 282, 285
Проникновение объемного заряда при изгибе зон 405
Пропагаторы 348
Пространственная дисперсия 224, 301
Пространственные группы 36
Прямая решетка 32
Прямая сумма представлений 47
Прямое произведение представлений 48
Прямой край поглощения 243
—Ge 308
—запрещенный 249
Прямые запрещенные переходы
—в CU2O 259
—зависимость е? от ш 249
Псевдовектор 47
Псевдоволновая функция 65
Псевдоволновое уравнение 65
Псевдодиэлектрические функции 226
Псевдоморфный рост 414
Псевдопотенциал 64
—атомный 66
—жесткого остова 64
—локальный 59
——мягкого остова 64
—нелокальный 59
——ультрамягкий 72
Псевдопотенциал в сверхрешетках 427
Псевдопотенциал, расчет «вручную» 98
Псевдоскаляр 47
Псевдоугловой момент акцепторных
уровней 165
Пьезоотражение 287, 303
—спектры Cd Те 288
——экспериментальная установка 287
Пьезоэлектрический эффект 125
Пьезоэлектрическое поле 126
Пьезоэлектрическое электрон-фононное
взаимодействие 125, 196
——в полупроводниках типа вюрцита 147
Работа выхода 384
Радиационное время жизни для неосновных носителей 312
Размерно квантованные оптические фононные моды 435, 436
——в квантовых ямах 431
——в сверхрешетках 431
——электрон-фононные взаимодействия
взаимодействия на деформационном потенциале 450
модель Хуана-Джу 455
фрёлиховское взаимодействие 450
Размерное квантование частицы в одномерной прямоугольной яме 420
Размерное квантование электронов в квантовых ямах 419
Размерное квантование энергии экситонов 412
Разорванные связи 169
Разрешающая способность рамановских спектрометров 340
Разрыв зон 206, 413
Раман
—акустические фононы в СизО 366
—резонансы на запрещенном экситоне в Си2О 360
—спектрометры 340
—частоты 310, 332
Рамановская спектроскопия
—источник света 339
—приемник 340
—спектрометр 340
Рамановски-активные переходы 54
Рамановские спектры
—интерфейсные моды в GaAs/AlAs 452, 453
—монослои Ge 344
—СР (GaAs)i6(AlAs)i6 452
—фононные поляритоны 345
Рамановские спектры InP 342
Рамановский тензор 334
—антисимметричные компоненты 334
——кристалл вюрцита 372
——кристалл цинковой обманки 335
—свойства симметрии 338, 373
Рамановское рассеяние 306
—двухфононное 333
—и фрелиховское взаимодействие в сверхрешетках 450
интерференция амплитуд рассеяния 364
—как форма модуляционной спектроскопии 285
микроскопическая теория 347
на LA модах в СР GaAs/AlAs 447
на интерфейсных модах 451
на квантованных оптических фононах 449
нарушение закона сохранения q 363
—нечетные фононы в Си^О 373
—поляритоны 372
—посредством деформационного потенциала 374
——посредством фрёлиховского взаимодействия 374
—правила отбора 372
четность 334
кристаллы типа цинковой обманки 335
—спонтанное 347
—стимулированное 347
—стоксово и антистоксово рассеяние 332
—трехфононное в Си^О 367-369
—фононы центра зоны 333
Рамановское рассеяние размерно квантованных акустических фононов 446
Распределение зарядов 114
—определение с помощью рентгеновских лучей 114
Распределение Максвелла-Больцмана, смещенное 218
Распределение Планка 371
Рассеяние
——вероятность рассеяния носителей на фононах 219
—время 190, 192, 412
—дифференциальное 337
—длина 336
—поперечное сечение 337
—процессы
нормальные 199
переброса 199
——электромагнитных волн на неоднородностях 222
—эффективность 336
Рассеяние на ионизованных примесях 192
Рассеяние на обертоне 333
Рассеяние носителей 190
—в GaAs 197
—на акустических фононах 219, 276
—на оптических фононах 219, 276, 327
—на примесях 200, 276
Рассеяние света как модуляционная спектроскопия 356
Рассогласование между постоянными решеток 417
Расширение 120
Расширенная зонная схема 31
Расщепление Х「Хз в кристаллах типа
цинковой обманки 387
Резерфордовское рассеяние 201
Резонансное бриллюэновское рассеяние 331
—в GaAs 370
Резонансное рамановское рассеяние 331
—в GaP 357
—в CdS 359, 363
квантованные и интерфейсные моды в
МКЯ GaAs/AlAs 453
—многофононное 364, 365
на зонном континууме 356
на свободном экситоне 357
на связанном экситоне 359
разрешенное и запрещенное 363
Резонансное состояние 262
в глубоких центрах 169
Резонансное туннелирование 458, 461, 502
в КЯ с двойным барьером 458
GaAs/GaAlAs/GaAs 459
InGaAs/AlAs/InAs 463
—диод 210
приборы 461
Резонансный рамановский контур 355
Резонатор ①абри—Перо 500
Рекомбинация 208
Реконструкция поверхности 400
Реконструкция поверхности с(2х8)(111) Ge 401
Релаксация решетки у глубоких центров 169
Ренормализация ширины запрещенной зоны при Т = 0 304
Рентгеновская фотоэмиссионная спектроскопия (РФЭС) 23, 376, 386
—спектр соединений группы III-V 387
Резольвентный оператор 171
Рефлектометр 228
Решеточное поглощение 263, 267
Роль центральной ячейки для экситонов 260
Рост кристаллов (см. рост) 19
Рэлеевское рассеяние 337
Самокомпенсация в соединениях II-VI 169
Сверхвысокий вакуум 21, 226, 380
Сверхпроводники 16
Сверхрешетки (СР) 19, 410, 500
——блоховские осцилляции 502
—короткопериодные 426
—минизоны 426
——отрицательное дифференциальное сопротивление 502
—поверхностные таммовские состояния 502
—рамановские спектры 445
интерфейсные моды 452
LA фононы 448
LO фононы 452
—резонансное туннелирование 502
—рождение 500
—с напряженными слоями 417
—схема 500
—фононы 431
в полярных СР 437
интерфейсные моды 439—445
——Si-Ge 433-435, 437
—штарковская лестница 501, 502
—электроны и дырки 425
Сверхрешетки Ge^Sim 437
Сверхрешетки легирования (nipi) 419
—схематическое изображение 500
Сверхрешетки типа I и типа II 418
—тип ПА 418
—тип ПВ 418
Сверхчистый германий 480
Свободные носители 188
Связанные дырки 188
Связанные плазмон-LO фононные моды 301
Связанные экситоны 179, 180, 320, 359
в GaAsP 183'''
спектры излучения 323
спектры рекомбинации в CdS 324
Связанные электроны 188
Связывающие состояния 74
Сдвиг среды 120
—деформационные потенциалы
——6* 141
——d* 142
——/ 144
do 145
Сегнетоэлектрики 16, 19, 270
Седловые точки 238
Сейсмические волны 433
Селективное возбуждение
фотолюминесценции 327
Селен 16, 17
Селенид галлия 18
—двумерные экситоны 261
Сера 17
Серия Ридберга 155
Серое олово 17
—дисперсионные кривые фононов 117
Сила изгиба связи 112
Сила осциллятора 237
Сила растяжения связей 112
Силовые постоянные (межатомные) 106
Сильная связь
— гамильтониан 91
—модель 85, 92
оптический деформационный потенциал 145
параметры ввзаимодействия для С, Si, Ge 92，，
сверхрешетка 427
сравнение с методом эмпирического псевдопотенциала для Si 93
Сильно легированные полупроводники 313
Симметризация
—базисных функций 48
——длинноволновых колебаний 48
Симметризованные волновые функции 34
—в точке X 98
Симметрия вращений 30, 35
Симметрия инверсии энергетической зоны 84
Симметрия обращения времени 84, 338
—дисперсия фононов Sn 117
Симметрия отражения 30
Симморфные группы 37
Сингулярности ван Хова 238, 243, 282, 299,
489''''
—в 8г 238
—в одном, двух и трех измерениях 239
Синхронные усилители 282
Синхротронное излучение 229, 376, 392
—перестраиваемое 406
спектры поглощения Ge, GaAs, GaP 377
Скорости насыщения 209
Сложение зон и расщепление фононов 434
Сложенные акустические фононы 431, 435
эффективность рассеяния 446
Сложенные оптические фононы 435
Слоистые полупроводники 18
Слой пространственного заряда 403
Смежные классы 38
Собственные векторы фононов в СР SizGe?
434
Собственные значения
—дискретные 155
—непрерывные 155
Собственный дефект 150
Солнечные элементы 489
основанные на аморфном и кристаллическом Si 490
——основанные на поликристаллическом Si 491
Соотношения Крамерса-Кронига (СКК)
72, 186, 229, 298
Соотношения Лиддейна^Сакса^Теллера 265, 299
Соотношения Онзагера 224
Соотношения Рузбрека-Шокли 308
Соотношения совместности 56, 98
Сопряженные связи 18
Сохранение к в КЯ 420
Спектроскопическая эллипсометрия 227
спектроскопия (УФЭС) 23, 376, 386
—спектр соединений группы III-V 386
—эффект изгиба зон 405
Спектроскопия возбуждения фотолюминесценции 326
—соответствие со спектрами поглощения 328
Спектроскопия излучения света 306
Спектроскопия потенциалов появления 376
Спектроскопия разностного отражения 296
Спектроскопия рассеяния света 331
Спектроскопия электронных
энергетических потерь 376, 378
Спектры инфракрасного поглощения
—в GaAs р-типа 277
—мелкие примеси 279
Спектры поглощения
—Р в Si 279
—экситоны 254, 258, 259
Спектры поглощения экситонов
—в GaAs 259
—в С112О 259
Спектры с внешней модуляцией 284
Спектры термоотражения GaAs 286
Спектры фотовозбуждения акцепторов
группы III в Si 492, 493
Спектры фотоэлектронов 70
—с интегрированием по углу 386
Спин 75, 155
Спин электрона 75
Спиновая динамика электронов 464
Спиновые матрицы Паули 75
Спин-орбитальная связь 68, 139, 241, 488, 493
—в атомной физике 76
Спин-орбитальное взаимодействие 75
Спин-орбитальное расщепление 77
—в атомах 77
——вдоль направления (111) △】242
—у центра зоны До 242
Спин-орбитальное расщепление GaSb 77
Спин-отщепленная валентная зона
—инфракрасное поглощение 487, 488
—эффективная масса 78
Спин-поляризованные спектры
фотоэлектронов в GaAs 381
Спонтанное излучение 307
Средняя длина свободного пробега 412
Средняя щель 300
Сродство к электрону 384
Стекла 17, 489
Стекловидные полупроводники 17, 19
Стимулированное излучение 234, 236, 307,
371
Стимулированное рамановское рассеяние 339
Стоксово рамановское рассеяние 332
Структура nipi 419
Структура каменной соли 17
Структура кристаллов
—алмаз 32
—вюрцит 136
—куприт (С112О) 131
—цинковая обманка 32
—флюорит (CaF?) 40
Структура металл-окисел-полупроводник
463
Структурный фактор 65
Суммарные и разностные моды в
рамановском рассеянии 333
Сферические гармоники 76, 162, 253
Сферические тензоры 162
Сферическое приближение при расчете
энергий акцепторных уровней 164
Схема приведенной зоны 31, 107
Таблица £г (оо) 300
Таблицы характеров 40, 42
—D2d 475
—О% 46, 47
—Т"4
— структура алмаза
точка Г 60
точка △ 63
точка X 63
—структура цинковой обманки
точка Г 76
точка А 56
точка △ 57
точка X 57
Твердые растворы GaAlAs 159
Твердые растворы GaAsP
——глубокие центры с симметрией Ai 180
—примеси N 180
Твердые растворы Ge-Si
—межзонные критические точки в зависимости от состава 294
—рамановский спектр 344
Твердый раствор со случайным
распределением атомов 179
Теллур 17
Температурная зависимость ширины
запрещенной зоны 303
—запрещенная зона Eq в Ge 286
Тензор деформации 118
—неприводимые компоненты 119
—объемное расширение 120
Тензор жесткости 134
Тензор магнитопроводности 213, 214, 466
Тензор магнитосопротивления 467
Тензор напряжений 123, 132
Тензор податливости 123, 132
Тензор проводимости 190
Тензор упругой жесткости 134
Теорема о свертке 223
Теорема о матричном элементе 53, 73, 373
Теория возмущений
——для вырожденного случая 72
——для невырожденного случая 72
Теория групп 28, 34
Теория диамагнетизма Ландау 464
Тепловое расширение 106
—низкотемпературные аномалии 106
Теплые носители 209
Термическая энергия ионизации примесных уровней 169
Термоотражение 287, 306
Тетраэдрическая связь 285, 489
отсутствие ее в аморфных полупроводниках 489
Техника Даша 14
Тормозное излучение, изохроматические
спектры 377, 399
Тождественное представление 44
Точечная группа 36
—О% 46
—С2d 57
一03" 56
—Td43
Точечная группа О%
базисные функции 46
таблица характеров 46
Точечная группа Т^
базисные функции 44
—неприводимые представления 45
таблица характеров 44
Точечные дефекты 149
Транспорт в сильном поле 207
Транспорт носителей
в параболических зонах 191
——квазиклассический метод 188
Трехмерные критические точки (см. также сингулярности ван Хова) 243
Трехступенчатая модель фотоэмиссии 386, 392
Триадная винтовая ось 37, 38
Триметил галлия 21
Тройные спектрометры 340
Туннелирование 413, 457
Туннелирование с участием фотонов 290
Туннельный диод 457
Туннельный диод Есаки 210, 457, 500
Тяжелая дырка 83, 425
Угловая частота 225
Угловое разрешение в фотоэмиссии 388
Угловой момент 155
Ультрафиолетовая фотоэмиссионная спектроскопия (УФЭС) 23, 376, 386
—спектры соединений группы III-V 387
эффект изгиба зон 405
Умножитель электронов 383
Упругие волны в кристаллах типа цинковой обманки 134
Упругое рассеяние 331
пругооптические коэффициенты 447
пругооптические постоянные 357
Уравнение Дайсона 174
Уравнение Лоренца 213
Уравнение Пуассона 405
Уравнение Сельмейера 263
Уравнение Шредингера
—для водородоподобных примесей 155
——для электрона на дефекте 172
Уравнения Максвелла 265
Уравнения Френеля 226
Уровень вакуума 384
Уровень глубокой примеси 149, 150, 158, 168, 183
—метод ЛКАО 174
—метод функций Грина 170
—моменты энергии 182
—резонансные состояния 173
—связанное состояние 172
—Ai симметрия 177, 180
Уровень Ферми 66, 484
——в случае 2В-электронов 471
—на поверхности 405
—пиннинг 403
Уровни Ландау 465
—вырождение 465
—квантование площади 465
—фактор заполнения 467, 498
Уровни остова
—фотоэмиссия 395
—энергия связи 395
Уровни размерного квантования 419
Усилитель изображения 229, 342
Усилитель переменного тока 210
Условие ортогональности для характеров
43, 48
Уширение, обусловленное временем жизни
—критические точки 284
—модуляционные спектры 284
Фазовый переход в КЭХ 471
Фактор заполнения уровней Ландау 467, 498
Фактор-группа 37
Фейнмановские диаграммы 245, 348
—для однофононного рамановского рассеяния 349
—символы 348
—упражнения 373
Фемтосекунда 208
Ферромагнетизм 18
Фильтр《пробка» (notch filter) 340
Флюоресценция под действием
рентгеновских лучей 376
Фонон 106, 192
—акустический 108
—в полярных СР 437, 438
—в туннельных приборах 462
—дисперсионные кривые 107, 108, 111
AIAs 432
——a-Sn 116, 117
алмаз 117
——GaAs 109, 432
——Si 108
—дисперсионные соотношения в SizGe? 433
—квантование 106, 107
—операторы рождения и аннигиляции 121
—оптический 108, 269
—поперечный 108, 136
—при одноосном давлении 373
——продольный 108
—рамановские спектры в полупроводниках 342
—рамановские спектры в сверхрешетках 445
—скорость 194
—фононные повторения в спектрах испускания 323, 324
——число заполнения 122
Фононный поляритон 263, 267
Форм-фактор псевдопотенциала 65, 66, 70
—антисимметричный 66
——для группы IV и полупроводников типа цинковой обманки 68
—симметричный 66
Фосфид Галлия (GaP)
—азот 178
——край поглощения 248
—спектры рекомбинации донорноакцепторных пар типа I и типа II 317
—фононные поляритоны 346
—частоты оптических фононов 269
—эффективные заряды 273
Фосфин 21
Фосфор 17
Фотокатоды
—GaAs 379
—эффективность 497
Фотолюминесценция 222, 306
—GaAs 313
——определение температуры носителей 313
Фотоны, движение нулевой точки 307
Фотон-экситонное взаимодействие 252
Фотоотражение 294
—от GaAs вблизи Ко 295
—от Ge с различными массами изотопов 295
Фотопроводимость
—собственная 280
Фототермическая ионизационная спектроскопия 279
—от сверхчистого Ge 281
—спектр Р в Si 280
Фотоумножители с датчиками положения
изображения 341, 342
Фотоэлектронная спектроскопия 375—377
—схема 381
—начало отсчета энергии 384
—с интегрированием по углу 382
—с разрешением по углу 381, 382
Фотоэлектронный спектрометр (схема) 382
Фотоэмиссионная спектроскопия
—рентгеновская 382
——ультрафиолетовая 382
Фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением (ФУСР) 388, 390, 484
—эмиссия, перпендикулярная поверхности 392
Фотоэмиссия 376, 379
—схема непрямых переходов 393
—одноступенчатая модель 385
—подготовка поверхности 384
—пороговые спектры Si 380
—схема прямых переходов 393
—трехступенчатая модель 386, 392
Фотоэмиссия без сохранения к 394, 395
Фрактальная граница 472
Фрёлиховское электрон-фононное
взаимодействие 127, 128, 197
Функции Блоха 30, 152, 252
Функции Ванье 152, 252
Функция Грина, реальная часть 176
Функция потерь 377
Функция распределения 190
——Бозе-Эйнштейна 122
—Больцмана 191
—① ерми—Дирака 190
Функция распределения носителей
—вырожденная 313
—смещенное распределение 218
Функция Эйри 289
Функция энергетических потерь
—Ge 231
—Si 231
Фурье-образ 223
Халькогениды свинца 395
Характеристические потери 376
Характеры представлений 42
Химические сдвиги 161
Химический потенциал 190
Холловская подвижность 217
Холловские плато
—объяснение 470
Холловский фактор 217
——предел слабого и сильного магнитного поля 220
Целочисленный квантовый эффект Холла 467, 470
Центросимметричные кристаллы 54
Циклотронная частота 214
Циклотронный резонанс 486
——исследование края валентной зоны 487
Цинковая обманка (ZnS) 16, 372
—группа Д и ее представления 57
—группа X и ее представления 57
—зонная структура почти свободных электронов 55
——кристаллическая структура 32
—операции симметрии 39
—упругие волны 134
—фононы ТО и LO центра зоны 109
Цилиндр Фарадея 382, 383
Частота остаточных лучей 267
Частота поверхностного плазмона 301
Четность 46
—запрещенные переходы 249
—правило отбора 74
для фононов в Ge, Si 270
Штарковские лестницы 501, 502
Щель Пенна 300
—таблица 300
Экранирование ионных зарядов 114
Экранирование Томаса-Ферми 200
Экранированный кулоновский потенциал
151, 200
Экситон 179, 250, 299
—в CdS 255
—дисперсия центра масс 252
—масса трансляции 250
—рекомбинация 320, 321
——связанный на нейтральных донорах в CdS
ослабление с помощью ИК-излучения 325
спектры излучения 325
—состояния континуума 299
—у критической точки Мо 252
—у критической точки Mi 260
—у критической точки Мз 262
—у непрямого края 248
—энергия связи и боровский радиус в полупроводниках типа цинковой обманки и вюрцита 255
Экситонное поглощение
—дискретные спектры 258
—континуум 258
Экситонные поляритоны 252, 255, 369
—дисперсия 300
——в GaAs 370
——в CdS 255
излучение 320—323
Экситонный Ридберг 254
Экситоны Ванье 250, 254
—спектр поглощения 299
Экситоны Ванье-Мотта 250
Экситоны Френкеля 250
Экстремумы зоны проводимости 121
—в AlAs 418
——вдоль направления △ в Si 123
Электрическая восприимчивость 223
Электрический диполь 235
—вероятность перехода 236
—момент (второго порядка) 270
—оператор 52
—приближение 233, 235
Электрический квадруполь 236
Электрический транспорт в МКЯ 457
Электролюминесценция 306, 314
Электромеханический тензор 125, 126
——в полупроводниках типа цинковой обманки 147
—таблица 126
Электрон, связанный на нейтральном
доноре D- 325, 326
Электрон, связанный на нейтральном доноре D- в низкоразмерном случае 325, 326
Электрон-вольты 225
Электрон-дырочные некоррелированные пары и экситоны, разные способы описания 250, 251
Электроника счета фотонов 340
Электронная зонная структура (см. Зонная структура)
Электронные волны деБройля 500
Электронный адиабатический потенциал
105
Электрон-фононные взаимодействия 29, 105,117
—в Si и GaAs 129
——вырожденные зоны тяжелых и легких дырок в точке 122
—гамильтониан 348
—междолинные 130
Электроны в магнитном поле
—квантовое рассмотрение 464
—классическое рассмотрение 213
Электроны и дырки в сверхрешетках 425
——экспериментальные результаты 427
Электроны остова 29, 63
—d 376
—р 376
Электрон-электронные взаимодействия 250
Электрооптическая функция 291
Электрооптическая энергия 289
Электрооптические тензоры 302
Электроотражение 282
—бесконтактное 295
——в слабом поле 291
—от GaAs при Ео 292
—третья производная 291
Электроотрицательность 169
Электропропускание 282
Эллипсометрия 227, 298
Эллиптически поляризованный свет 227
Эмиттер в резонансном туннельном диоде с
двойным барьером 458
Эмиттер вторичных электронов 383
Энергетические уровни в КЯ 426
Энергетическое распределение при
фотоэмиссии из графита 391
Энергетические уровни акцепторов 162
Энергии ионизации 379
—акцепторы группы III в Si 492
—доноры группы V в Si 492
Энергии связи
—акцепторов в Ge 281
—электронов остова 376
—экситона с парой атомов азота 183
—экситона с ионизованными донорами и акцепторами 325
Энергии сцепления 71
Энергии фотонов 225
Энергия поперечного экситона 300, 321
Энергия релаксации решетки 169
Энергия связи молекулы водорода 323
Энергия связи экситонов с нейтральными донорами 323
Энергия фотопорога 379, 384
Эпислой 417
Эффект Ганна 130, 211
Эффект Керра 302
Эффект Поккельса 302
Эффект Франка-Кондона 493
Эффект Франца-Келдыша 288, 290
—слабое поле 291
Эффект Холла
——в случае распределения электронов по энергиям 217
—квантовый 463, 498
——классический 213, 215
Эффективная масса 72
(к . 0)-метод 73
дырок в полупроводниках групп IV, III-V 78, 185
—отрицательная 74
электронов в L долине GaAs 210
электронов в полупроводниках групп IV, Ш-V, n-VI 74, 75
Эффективный заряд
—динамический 272
зависимость от деформации 302
—метод ЛКАО 273
—метод псевдопотенциала 273
—статический 272
Эффективный заряд Борна 272
Эффективный ионный заряд 267
Эффузионная ячейка 15
Ячейка Кнудсена 21
* Ом * см —обычно используемый в науке и технике «гибрид» СИ и СГС единиц сопротивления. Единица сопротивления в СИ была бы Ом • м.
1. Волновая функция un>Q взаимодействует с волновой функцией и冷°, только если матричный элемент {unfo\p\uno) не равен нулю. В п. 2.3.4 мы отметили, что при использовании теоремы о матричном элементе и теории групп можно составить перечень всех типов симметрии, которые может иметь unfQ. Например, р в структуре цинковой обманки имеет симметрию Если, как в GaAs, зона проводимости имеет симметрию А, то ее эффективная масса будет определяться только взаимодействием с зонами, имеющими симметрию Л4. С другой стороны, валентная зона с симметрией Г4 может посредством р взаимодействовать с зонами с симметрией А,玛，玛 к「5^
УДК 621.315.592
ББК 22.379
К21
Ю П., Кардона М. Основы физики полупроводников / Пер. с англ. И.И. Решиной. Под ред. Б.П. Захарчени. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.— 560 с. - ISBN 5-922L0268-0.
Настоящее, уже третье издание «Основ физики полупроводников» должно заполнить нишу между учебниками по физике твердого тела и научными статьями путем детального объяснения электронных, колебательных, транспортных и оптических свойств полупроводников. В книге применен скорее физический, чем строго формальный подход к рассматриваемым явлениям. Строгая теория дана лишь для объяснения экспериментальных результатов.
Книга предназначена как для студентов, так и для научных работников. Основное внимание уделяется объяснению физических свойств Si и подобных ему тетраэдрических полупроводников, причем объяснение дано с точки зрения физической картины явления. Каждая глава содержит таблицы с параметрами материалов, рисунки и задачи. Многие из этих задач «за руку» приведут студентов к научным результатам.
Научное издание
Ю Питер
КАРДОНА Мануэль