Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Введение
Среди совокупности твердотельных материалов важное место занимают диэлектрики и особенно — так называемые «активные диэлектрики». Последние получили своё название из-за способности проявлять качественно новые свойства под влиянием внешних воздействий. К активным диэлектрикам традиционно относят пироэлектрики, пьезоэлектрики и, кроме того, сегнетоэлектрики. Для пироэлектриков характерным является возникновение (изменение) поляризации при изменении температуры, для пьезоэлектриков —— возникновение поляризации под действием механических напряжений. Оба указанных класса активных диэлектриков являются линейными диэлектриками, т. е. веществами, у которых возникающий эффект пропорционален величине внешнего воздействия, а сама константа пропорциональности является величиной постоянной.
Среди активных диэлектриков особое место занимают сегнетоэлектрики —вещества, обладающие в определенном температурном интервале спонтанной, т. е. самопроизвольно возникающей поляризацией, которая может быть переориентирована внешним воздействием, в частности, приложением к кристаллу электрического поля. Особое значение данных материалов связано с нелинейностью их свойств, которая дает возможность управления их характеристиками с помощью внешних воздействий.
К отличительным признакам сегнетоэлектрических материалов относится факт реализации их полярного состояния в виде так называемой доменной структуры. Отдельный домен представляет собой макроскопическую область в кристалле, в пределах которой, в частности, в сегнетоэлектрике все элементарные ячейки поляризованы одинаковым образом. Направление спонтанной поляризации в соседних доменах составляет определенные углы друг с другом. Совокупность доменов с различной ориентацией вектора поляризации и представляет собой доменную структуру.
Значительное внимание, которое уделяется в научных исследованиях такому, казалось бы, индивидуальному свойству материалов как доменная структура, связано с тем, что практически все основные отличительные признаки сегнетоэлектриков взаимосвязаны, а, значит, в большой степени и нелинейные свойства, и целиком процессы переключения этих материалов, и целый ряд их других свойств
определяются состоянием и подвижностью доменной структуры. Поэтому для изучения природы указанных явлений и их использования на практике и оказывается необходимым выяснение закономерностей, которые управляют процессами возникновения и изменением во времени доменной структуры.
Как известно, изменение макроскопической поляризации в сегнетоэлектриках осуществляется путем перемещения границ между доменами ——так называемых доменных стенок. Поэтому изучение свойств доменных структур неотделимо от изучения процессов движения доменных границ.
К сегнетоэлектрикам по родственности свойств близко примыкают так называемые сегнетоэластики ——вещества, у которых при определенных температурах происходит самопроизвольная деформация элементарной ячейки. Как и поляризация в сегнетоэлектриках, спонтанная деформация в сегнетоэластиках возникает при структурных фазовых превращениях. Этим определяется и родственность методов теоретического описания данных материалов ——с привлечением симметрийных принципов, с помощью изучения свойств соответствующих термодинамических функций и др. Поэтому там, где это возможно, естественно рассматривать свойства указанных сегнетоактивных материалов и, в частности, закономерности строения и динамики доменных структур в них совместно.
Сегнетоэлектрические материалы обладают разнообразными полезными для практики свойствами. В частности, наличие сохраняющейся без поля поляризации делает их потенциальным объектом для записи и считывания информации. При этом из-за существенно меньшей толщины переходного слоя между доменами (доменной стенки) плотность записи информации в сегнетоэлектриках оказывается гораздо выше по сравнению с магнитными материалами, что означает предпочтительность их использования с точки зрения этого фактора. Относительно недавно заговорили о возможности использования периодичности в расположении доменных границ для генерации лазерного излучения с требуемой длиной волны и др.
Таким образом, изучение доменной структуры сегнетоэлектриков представляет и фундаментальный, и практический интерес. Действительно, указанному вопросу уделяется значительное внимание ——в виде доли публикаций в общефизических журналах, в виде многочисленных международных и российских конференций и др. В то же время в отличие, например, от ферромагнетиков по данному вопросу практически не существует самостоятельной монографической литературы. Разделы, посвященные данному вопросу, в литературе, рассматривающей общие свойства сегнетоэлектриков, как правило, слишком краткие или целиком
посвящены экспериментальному описанию доменной структуры [1-28]. В то же время, несмотря на аналогию с ферромагнетиками, простой перенос на сегнетоэлектрики результатов, полученных для ферромагнитных материалов невозможен. Характеристики доменов и доменных границ в сегнетоэлектриках контролируются отличными от ферромагнетиков взаимодействиями, что вызывает наличие здесь особой специфики: в виде на несколько порядков более узкими доменными границами и, как следствие, их сильным взаимодействием с кристаллической решеткой и её дефектами, в виде контроля не поверхностного натяжения, а дальнодействую- щих полей за прогибными смещениями доменных границ, в виде влияния экранирования, которому нет аналога в ферромагнетиках, на параметры доменов и доменных границ.
В представленной работе делается попытка восполнения указанного пробела. Предлагаемая вниманию книга посвящена описанию основных параметров, характеризующих доменную структуру и доменные границы в сегнетоэлектриках и родственных материалах.
Как, наверное, в любой публикации, круг вопросов, рассматриваемых в данной книге, безусловно, отражает определенные предпочтения автора. В частности, в первой главе рассматриваются возможные механизмы образования доменной структуры. Наиболее подробно исследуется возникновение доменной структуры по механизму потери устойчивости исходной фазы в материале конечных размеров. Особое внимание уделяется равновесной доменной структуре и так называемой мелкодоменной структуре. Анализируется гипотеза, в рамках которой возникновение мелкодоменной структуры связано с переходом в новую фазу в условиях неоднородного охлаждения только небольшого слоя сегнетоэлектрического материала. Показано, что указанная гипотеза может объяснить сам факт возникновения периодической доменной структуры в сегнетоэластике со свободной поверхностью.
Во второй главе рассматривается строение доменных и межфазных границ в бездефектных сегнетоэлектриках и родственных материалах в рамках феноменологического описания в материалах с различным типом фазового перехода. Исследуется влияние на рассматриваемые границы концентрации носителей заряда, поверхности материала и др. Рассматриваются вопросы устойчивости различных типов доменных границ.
В третьей главе приводятся результаты микроскопического описания структуры доменных границ в сегнетоэлектриках на примере сегнетоэлектрических кристаллов группы титаната бария и дигидрофосфата калия. Проводится сравнение результатов микроскопического и феноменологического способов описания. Оцениваются границы применимости феноменологического способа описания в данной проблеме.
В четвертой главе рассматривается взаимодействие доменных границ с дефектами кристаллической решетки. Исследуются процессы взаимодействия доменных границ в сегнетоэлектриках и сегнето- эластиках с различными типами дефектов кристаллической решетки: заряженными дефектами, центрами дилатации, несегнетоэлектрическими включениями, с дислокациями с различной ориентацией вектора Бюргерса по отношению к направлению спонтанного сдвига и плоскости доменной стенки.
В пятой главе рассматривается вопросы устойчивости формы наклонных доменных границ, а также строение доменных границ в реальных сегнетоактивных материалах. Вводится понятие эффективной ширины доменной стенки. Показывается, что деформация формы доменной стенки в материалах с дефектами может служить причиной уширения доменной стенки в реальных материалах.
В шестой главе исследуется влияние решеточного потенциального рельефа на подвижность доменных стенок. Рассматривается термофлуктуационный механизм движения доменных стенок, параметры и вероятность зарождения критического зародыша на доменной стенке. На основании результатов данного рассмотрения дается объяснение эффекту «замораживания» доменной структуры в сегнетоэлектриках группы дигидрофосфата калия. Исследуется влияние эффекта туннелирования протонов на водородных связях на строение и подвижность доменных границ в водород-содержащих сегнетоэлектриках.
В седьмой главе рассматривается собственная и вынужденная динамика доменных границ в кристаллах сегнетоэлектриков и сегнетоэластиков. Исследуется изгибная и трансляционная динамика доменных границ в сегнетоэлектрических кристаллах, оценивается вклад доменных границ в диэлектрические свойства сегнетоэлектриков и упругие свойства сегнетоэластиков, анализируются экспериментальные данные по диэлектрическим свойствам сегнетоэлектриков с различным типом и концентрацией дефектов.
ГЛАВА 1
Образование доменной структуры как результат потери устойчивости кристаллической решетки в сегнетоэлектрическом и сегнетоэластическом кристаллах конечных размеров
Говоря о причинах возникновения доменной структуры, обычно выделяют симметрийный [7] и энергетический [4, 5] аспекты. Согласно принципу Кюри симметрия результирующего состояния кристалла является результатом перемножения симметрии кристалла до воздействия на симметрию самого воздействия. Поскольку температура является скаляром, то с точки зрения теории симметрии, по крайней мере, макроскопически, в результате фазового перехода, вызванного, например, изменением температуры, симметрия кристалла измениться не должна. Но поскольку в пределах каждого домена она понижается, то для ее восстановления в материале в целом структурные изменения в данном домене уравновешиваются противоположными изменениями в другом домене.
Ограничением на параметры доменов при симметрийном рассмотрении, очевидно, является равенство только суммарных объемов доменов разного знака. В реальной же ситуации, если отвлечься от случая кристаллов с так называемым внутренним полем [21], наблюдается равенство не только средних, но и индивидуальных размеров доменов, т. е. строго периодическая доменная структура.
Строгую периодичность доменной структуры естественно связать с минимизацией в такой доменной структуре общей энергии системы. Поскольку размер доменов конечен, то, очевидно, в общем балансе минимизируемой энергии должны быть слагаемые с противоположной зависимостью от ширины домена d. В частности, для сегнетоэлектриков такими слагаемыми являются энергия деполяризующего поля связанных зарядов спонтанной поляризации на поверхности кристалла и корреляционная энергия или энергия
Рис. 1.1. Уменьшение энергии деполяризующего поля сегнетоэлектрического образца конечных размеров при разбиении его на домены. L—размер кристалла вдоль полярной оси, d ——средняя ширина домена
доменных границ. Их минимизация, в частности, для 180-градусной (слоистой) доменной структуры дает так называемую киттелевскую доменную структуру (рис. 1.1), описанную в случае ферромагнетиков впервые Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшицем [22], а в сегнетоэлектриках —Мицуи и Фуруччи [29]. В дальнейшем исследование равновесной доменной структуры для случая сегнетоэлектрических доменов, механических двойников и магнитных доменов проводились соответственно в работах [30-^33] и [34].
Равновесная доменная структура в сегнетоэлектриках
Определим ширину слоистой равновесной доменной структуры. Для этого найдем предварительно энергию деполяризующего поля при произвольном соотношении между размерами доменов разного знака d+ и d_ соответственно, пренебрегая, как это делается в [35], при этом изменением спонтанной поляризации вдоль полярной оси z вблизи поверхности сегнетоэлектрика z = 0. Толщину поверхностного несегнетоэлектрического слоя △ будем для простоты полагать здесь равной нулю.
Поверхностную плотность заряда в этом случае
о 常(1.1)
удобно представить рядом Фурье
ОС
/ 、「7Г八力• 7ГПХ
ь(力)= к +〉丿｛a九 cos -=—I- bn sin —
2 у ad
п=1
гдегдеРМ^ — d_]2马.7rrzd+а0 =j 5 a九?0 = smj一,a7mdРМ^ — d_]2马.7rrzd+а0 =j 5 a九?0 = smj一,a7md6n = ^h-COS6n = ^h-COS(1.3)(1.3)7ГПД)——спонтанная поляризация. Электрический потенциал g удовлетворяет уравнению Лапласа7ГПД)——спонтанная поляризация. Электрический потенциал g удовлетворяет уравнению Лапласа32g32g32g32g(1.4)(1.4)&〉％—диэлектрические проницаемости монодоменного кристалла вдоль и перпендикулярно полярной оси) с граничными условиями&〉％—диэлектрические проницаемости монодоменного кристалла вдоль и перпендикулярно полярной оси) с граничными условиями字 I — I = -4тгсг(ж), g+o = g—o.Oz 丨+o OZ 1-0Из (1.4) с учетом (1.5) и (1.2) получаем/入九г 4、с •\、 TTCLqZ< 0) = > е V £с {4九 cos лпх +sin 入九力}g(z > 0) = £2 eXnZ{Cn cos Anx + Dn sin 入九力}〉 п字 I — I = -4тгсг(ж), g+o = g—o.Oz 丨+o OZ 1-0Из (1.4) с учетом (1.5) и (1.2) получаем/入九г 4、с •\、 TTCLqZ< 0) = > е V £с {4九 cos лпх +sin 入九力}g(z > 0) = £2 eXnZ{Cn cos Anx + Dn sin 入九力}〉 п(1.5)(1.5)(1.6)(1.6)гдегде4тгао4тгаоB _47r 好П 入九(1 + д/^ё^)'B _47r 好П 入九(1 + д/^ё^)'入九(1 + д/^ё^)Л 九=тгп/d.入九(1 + д/^ё^)Л 九=тгп/d.(1.7)(1.7)С учетом (1.3) поверхностная плотность энергии деполяризующего поляС учетом (1.3) поверхностная плотность энергии деполяризующего поля①=/ В(力，°) •67(力)dx + 号B(z = —E), d 丿()2①=/ В(力，°) •67(力)dx + 号B(z = —E), d 丿()2(1.8)(1.8)где L — размер кристалла вдоль полярной оси, оказывается следующей:где L — размер кристалла вдоль полярной оси, оказывается следующей:2 7ГПС?+2 7ГПС?+++2d2d2(1.9)2(1.9)
где
где
РМ^ — d_]2马.7rrzd+
а0 =j 5 a九?0 = smj一,
a7md
РМ^ — d_]2马.7rrzd+
а0 =j 5 a九?0 = smj一,
a7md
6n = ^h-COS
6n = ^h-COS
(1.3)
(1.3)
7ГП
Д)——спонтанная поляризация. Электрический потенциал g удовлетворяет уравнению Лапласа
7ГП
Д)——спонтанная поляризация. Электрический потенциал g удовлетворяет уравнению Лапласа
32g32g
32g32g
(1.4)
(1.4)
&〉％—диэлектрические проницаемости монодоменного кристалла вдоль и перпендикулярно полярной оси) с граничными условиями
&〉％—диэлектрические проницаемости монодоменного кристалла вдоль и перпендикулярно полярной оси) с граничными условиями
字 I — I = -4тгсг(ж), g+o = g—o.
Oz 丨+o OZ 1-0
Из (1.4) с учетом (1.5) и (1.2) получаем
/入九г 4、с •\、 TTCLqZ
< 0) = > е V £с {4九 cos лпх +sin 入九力}
g(z > 0) = £2 eXnZ{Cn cos Anx + Dn sin 入九力}〉 п
字 I — I = -4тгсг(ж), g+o = g—o.
Oz 丨+o OZ 1-0
Из (1.4) с учетом (1.5) и (1.2) получаем
/入九г 4、с •\、 TTCLqZ
< 0) = > е V £с {4九 cos лпх +sin 入九力}
g(z > 0) = £2 eXnZ{Cn cos Anx + Dn sin 入九力}〉 п
(1.5)
(1.5)
(1.6)
(1.6)
где
где
4тгао
4тгао
B _47r 好
П 入九(1 + д/^ё^)'
B _47r 好
П 入九(1 + д/^ё^)'
入九(1 + д/^ё^)
Л 九=тгп/d.
入九(1 + д/^ё^)
Л 九=тгп/d.
(1.7)
(1.7)
С учетом (1.3) поверхностная плотность энергии деполяризующего поля
С учетом (1.3) поверхностная плотность энергии деполяризующего поля
①=/ В(力，°) •67(力)dx + 号B(z = —E), d 丿()2
①=/ В(力，°) •67(力)dx + 号B(z = —E), d 丿()2
(1.8)
(1.8)
где L — размер кристалла вдоль полярной оси, оказывается следующей:
где L — размер кристалла вдоль полярной оси, оказывается следующей:
2 7ГПС?+
2 7ГПС?+
+
+
2d
2d
2
(1.9)
2
(1.9)
Как показывает дальнейшее исследование, при любом равновесном размере J (1.14) возникновение униполярной структуры, т. е.
структуры с d+ ^ d_ приводит к росту Ф. Минимуму Ф отвечает суммарно неполяризованная структура. В этом случае
①=16小大 1
+(2,-1)3.⑺
Как видно из (1.10), энергия деполяризующего поля уменьшается при измельчении доменной структуры. Добавляя к(1.10) суммарную энергию доменных стенок
①)=)^(1.11)
(1.12)(1.13)(1.12)(1.13)(7 — поверхностная плотность энергии доменных границ), имеющую противоположную зависимость от размера домена & и минимизируя сумму (1.10) и (1.11), мы получим следующее выражение для равновесного размера домена
(1.12)
(1.13)
(1.12)
(1.13)
\ 16,8Р& 丿
J"/”l/2J"/”l/2или с учетом конкретного выражения для 7:
J"/”l/2
J"/”l/2
имеем
Отмеченная выше минимизация проводится при температуре, соответствующей условиям наблюдения, что и отражает равновесность доменной структуры. В то же время часто в эксперименте мы имеем дело с неравновесной доменной структурой, параметры которой определяются не условиями наблюдения, а условиями формирования доменной структуры. По нашему мнению, формирование доменной структуры начинается с фазового перехода как результат потери устойчивости кристаллической решеткой при фазовом переходе в низкотемпературную фазу относительно флуктуации параметра порядка с неравным нулю значением волнового вектора.
Действительно, исследование фазового перехода в сегнетоэлектрическом кристалле конечных размеров показывает, что в отличии от бесконечного кристалла здесь реализуется переход в состояние с неоднородным распределением поляризации. Указанное состояние является, по-видимому, прообразом формирующейся затем доменной структуры, у которой вместе с ростом поляризации за счет нелинейных взаимодействий исходное волнообразное распределение поляризации заменяется на ступенчатообразное распределение с
четко выделенными доменными границами. Подвижность таких границ, а в еще большей степени их количество, в силу разных причин ограничены, поэтому у наблюдаемой доменной структуры в силу, например, одних только кинетических причин можно ожидать наличие того же самого периода, как и у исходного распределения поляризации. Другими словами, в первом приближении за размер домена здесь принимается период того модулированного распределения параметра порядка, которое возникает при фазовом переходе. Отождествление указанных периодов позволяет дать верную количественную оценку для периода доменной структуры в сегнетоэлектриках [36, 37] и сегнетоэластиках [38-41], объяснить возникновение мелкодоменной структуры [42], сам факт появления регулярной доменной структуры в сегнетоэластиках со свободной поверхностью [43], а также описать изменение периода доменной структуры в сегнетоэлектрических материалах со свободными носителями заряда и зарядами на поверхностных уровнях [44,45]. Очевидно, что получаемая в таком подходе доменная структура является неравновесной, поскольку условия ее формирования отличаются от условий наблюдения.
Образование модулированной структуры в сегнетоэлектрическом кристалле в условиях однородного охлаждения
Рассмотрим основные результаты предлагаемого подхода. Начнем со случая сегнетоэлектрического кристалла в форме тонкой пластины, вырезанной перпендикулярно полярной оси. Будем предполагать, что сегнетоэлектрический материал имеет толщину L, окружен поверхностным несегнетоэлектрическим слоем с толщиной △ и диэлектрической проницаемостью £ и помещен, либо (другой случай) не помещен внутрь закороченного конденсатора.
Для определения распределения возникающей при фазовом переходе поляризации в кристалле и сопровождающих ее электрических полей будем исходить из системы уравнений, включающей материальные уравнения для связи компонент поляризации Рх и Pz вдоль неполярной оси х и полярного направления z с электростатическим потенциалом
d2Pz _ ^dx2 dzd2Pz _ ^dx2 dzи уравнения Лапласаи уравнения Лапласаoxox=о,=о,(2.1)(2.2)(2.1)(2.2)
d2Pz _ ^dx2 dz
d2Pz _ ^dx2 dz
и уравнения Лапласа
и уравнения Лапласа
ox
ox
=о,
=о,
(2.1)
(2.2)
(2.1)
(2.2)
где еж = 1 + 4тг/аж,бг о 1-4тг/(аг-хА:2), —с^ = а()(Т — К)，ак —— волновой вектор в волновой зависимости 马 и g от координаты х.
(2.3)(2.3)屮hi = D sin屮hi = D sin
(2.3)
(2.3)
屮hi = D sin
屮hi = D sin
Распределение потенциала в различных областях (см. рис. 1.1) в случае отсутствия электродов будем искать в виде
В/ = Ае-^,夕" =Be-kz + C产,
Решения (2.3) должны удовлетворять условиям сшивки потенциала на границах раздела сред I, II, III, а также условию непрерывности нормальных компонент индукции
夕/ =夕/Nz=^+ZV 夕// =夕//』z=^〉
660夕门 dz0夕门 dz660夕门 dz0夕门 dz(2.4)(2.4)
6
6
0夕门 dz
0夕门 dz
6
6
0夕门 dz
0夕门 dz
(2.4)
(2.4)
Система уравнений (2.4) позволяет найти соотношения между неизвестными коэффициентами в выражениях для потенциалов (2.3). Условие ее разрешимости, т. е. равенства нулю определителя, составленного из коэффициентов при величинах Л, В, О, D, дает уравнение, определяющее зависимость модифицированного с учетом эффектов корреляции и электростатического взаимодействия связанных зарядов на поверхности кристалла коэффициента az от волнового вектора к.
Подстановка в (2.4) распределений (2.3) и запись указанного определителя
+△)
_6—"(^+勺
_g^(f+△)
0
_g-^(f+△)
0
0
—sinM/2)
=0.
0
％
-^p^cos(S/2)
(2.5)
дает здесь уравнение для связи az с к следующего вида:
Ь /^ж~ _ \1&代7 [(£ + 1) + (б — 1) ехр(—2fcA)]
5 g V「£[(е + 1) —("1)ехр(—2必)「
В отсутствие несегнетоэлектрического слоя, т. е. при △ т ос и 6 = 1 оно переходит в уравнение [37,46,47]
L 7L 7
L 7
L 7
△△1111zzIIIIIILL* ж* жo^z(k)=o^z(k)=—Qz +死廿+—Qz +死廿+4开32泳2/・4开32泳2/・(2.8)(2.8)
△
△
11
11
z
z
III
III
L
L
* ж
* ж
o^z(k)=
o^z(k)=
—Qz +死廿+
—Qz +死廿+
4开3
2泳2/・
4开3
2泳2/・
(2.8)
(2.8)
Рис. 1.2. Сегнетоэлектрический материал с поверхностными несегнето-электриче скими слоями
откуда с учетом связи % (k) с az приближенная зависимость az = az(k) имеет вид:
Потеря устойчивости происходит относительно того значения волнового вектора, которое соответствует минимуму зависимости ctz(k) (см. рис. 1.2), т. е. относительно значения
(2.9)(2.9)7岳 3/4
(2.9)
(2.9)
Как и период равновесной структуры (1.14), период модулированного распределения d = тг/кт из (2.9) пропорционален L1/2 и имеет аналогичные зависимости от других параметров, что не удивительно, поскольку величина d здесь определяется балансом тех же самых взаимодействий, что и в (1.14). Однако, даже различие в типе периодического решения (ступенчатообразное в (1.14) по сравнению с синусоидальным в (2.9)), т. е. присутствие в (1.14) не одной, а целой совокупности гармоник приводит к количественному различию их периодов сразу в четыре раза. Как показывают оценки, только часть этого различия можно отнести за счет неучета распределения поляризации вдоль полярной оси при нахождении периода равновесной доменной структуры и, следовательно, решение настоящего раздела является метастабильным.
Подстановка найденного значения волнового вектора кт (2.9) в зависимость az(k) (2.8) позволяет найти температуру, при которой будет происходить переход в состояние с неоднородным распределением поляризации. Ее сдвиг относительно Тс бесконечного кристалла в сторону низких температур за счет опрокидывающего действия деполяризующего поля по отношению к возникающей
поляризации равен
△Т =△Т =4开3/2 死 1/24开3/2 死 1/2(2.Ю)(2.Ю)
△Т =
△Т =
4开3/2 死 1/2
4开3/2 死 1/2
(2.Ю)
(2.Ю)
L 7L 7thS.thS.В случае, если образец, испытывающий фазовый переход, помещен в конденсатор, значение потенциала д/ = 0. В результате уравнение для определения зависимости az(k) здесь трансформируется в условие
L 7
L 7
thS.
thS.
(2.И)
Как показывает анализ полученных уравнений (2.6) и (2.11), наличие поверхностного сегнетоэлектрического слоя при не слишком большой его диэлектрической проницаемости и при наличии, и в отсутствии электродов практически не сказывается на параметрах доменной структуры при kA》1 , т. е. когда период формируемой доменной структуры меньше толщины несегнетоэлектрического слоя. С учетом конкретного значения km (2.9) это дает значение △ = △] о о (死 1/2 )1/4 о y/aL. где а ——постоянная решетки. В обратном предельном случае малых толщин слоя △《△] его влияние невелико в отсутствии электродов ——здесь уменьшение △ незначительно
二 2тг/总L
+ + +
匚一••—*2а
+ + +
Рис. 1.3. Зависимость от волнового вектора температурнозависящего коэф-фициента разложения свободной энергии и распределение поляризации вбли-зи К в бесконечном кристалле (а) и в кристалле конечных размеров (6)
измельчает доменную структуру, и очень сильно при наличии электродов —здесь с уменьшением △ происходит значительное укрупнение доменной структуры вплоть до монодоменизации при △ = △?= =(死金/斤3%)1/2 (рие. 1.3).
Сам по себе рост диэлектрической проницаемости поверхностного слоя и в том, и в другом случаях за счет дополнительной диэлектрической экранировки приводит к росту ширины доменов.
Формирование доменной структуры в сегнетоэлектрической пластине произвольного среза
Фактором, влияющим на параметры возникающей при фазовом переходе доменной структуры может являться, очевидно, и ориентация сегнетоэлектрической пластины относительно полярной оси, т. е. тип используемого на практике среза. Действительно, для любого так называемого «косого» среза, т. е. среза, для которого вектор спонтанной поляризации в сегнетоэлектрической пластине не перпендикулярен ее поверхности, плотность связанного заряда спонтанной поляризации на ней при прочих равных условиях меньше по сравнению с прямым срезом. Одновременно в пластине косого среза увеличивается и длина доменных границ. В результате баланс энергетических факторов, определяющих ширину домена, здесь изменяется, очевидно, таким образом, что в пластине косого среза следует ожидать увеличения расстояния между соседними доменными стенками с ростом угла отклонения вектора спонтанной поляризации от направления нормали к поверхности пластины.
Для количественного описания указанного эффекта рассмотрим случай произвольного косого среза. Расположим лабораторную систему координат xyz таким образом, что ось z перпендикулярна плоскости пластины одноосного сегнетоэлектрика, а ось у перпендикулярна оси спонтанной поляризации. Угол между осью z и осью спонтанной поляризации или сегнетоэлектрической осью обозначим через 吵.Кристаллографическая система координат x'y'z' имеет ось z‘, параллельную оси спонтанной поляризации Д); направления осей у и д' совпадают.
Для получения уравнений, определяющих распределение поляризации и электрического потенциала в рассматриваемой системе, запишем предварительно термодинамический потенциал пластины в кристаллографической системе координат
(3.1)(3.1)
(3.1)
(3.1)
Здесь, как и раньше, az = а^(Тс — Т), Е = (Е力〉Ez)——деполяризующее поле.
Решение данной задачи удобно проводить в лабораторной системе координат, переход к которой от кристаллографической системы координат определяется следующими соотношениями:
力‘=力 cos 2 — z sin 认
z‘ = x sin^ + zcos 认(3.2)
yf =
Откуда следует, что
- - -3丽3方Ам- - -3丽3方АмCOS^ —sin^ +COS^ —sin^ +吵 吵 inos吵 吵 inos3333
- - -3丽3方Ам
- - -3丽3方Ам
COS^ —
sin^ +
COS^ —
sin^ +
吵 吵 inos
吵 吵 inos
3
3
3
3
Минимизация термодинамического потенциала (3.1) по компонентам вектора поляризации приводит к системе уравнений, которую с учетом (3.3) можно записать следующим образом:
马=Efx =九 (3.4)
oxr oxoz
=E1 z=E1 zdz1dz1sin^ +sin^ +
=E1 z
=E1 z
dz1
dz1
sin^ +
sin^ +
Дополнение уравнений (3.4), (3.5) уравнением электростатики
△g = 4ttVP(3.6)
дает полную систему уравнений для определения компонент векторов Р = (Рж,巳)и Е = (Е力〉Ez).
С учетом линейности уравнений системы (3.4)-(3.6) относительно компонент вектора поляризации Р и потенциала g решение этой системы в нашем случае может быть представлено в виде:
g = go exp(泌力)exp(〃/；z),(3.7)
где k ——вещественный волновой вектор, a t ——параметр, определяющий изменение g по толщине пластины; в общем случае он может быть комплексным.
Подставляя (3.7) в (3.4) и (3.5), находим
Рх = —(—k cos ^ + A sin/0)(/?o exp(zfcx) ey^{itz\ (3.8)
2(fcsin^ + ^cos^) 一 、/“、
az — xfc2 cos' w
Подставляя затем (3.8) и (3.9) в (3.6) с учетом (3.3) в приближении ^ < 1 получим следующее выражение для связи t с к:
力1,2 =力1,2 =47rsiи吵 cos次а力 + az) 士 а力az,(譽 一 1)它 + 1)47rsiи吵 cos次а力 + az) 士 а力az,(譽 一 1)它 + 1)汽(3.10)汽(3.10)
力1,2 =
力1,2 =
47rsiи吵 cos次а力 + az) 士 а力az,(譽 一 1)它 + 1)
47rsiи吵 cos次а力 + az) 士 а力az,(譽 一 1)它 + 1)
汽(3.10)
汽(3.10)
где
az = az — xfc2 cos2 吵.az = az — xfc2 cos2 吵.(З.И)(З.И)
az = az — xfc2 cos2 吵.
az = az — xfc2 cos2 吵.
(З.И)
(З.И)
В частном случае 吵=0 из (3.10) получается формула (3.5)
(3.12)
предыдущего раздела, где
(3.13)(3.13)47r47r
(3.13)
(3.13)
% = 1 Н, вг = 1.
a力^z
眨1< 5〉(3.14)眨1< 5〉(3.14)(3.15)(3.15)Решение системы уравнений равновесия для поляризации с потенциалом (3.7), записанным с учетом двух корней (3.10) в виде
眨1< 5〉(3.14)
眨1< 5〉(3.14)
(3.15)
(3.15)
g = A exp(zfcx) exp^itiz) — В ехр(г^х) ехр(г/；2^),
g = Сexjp(ikx) ехр(—fc^),|z|〉^,
должно удовлетворять граничным условиям на поверхности пластины при z = ±Е/2:
9(力/兀斗—0 =夕(力/)1務+3(3」6)
д(р dzд(р dzIIII=4同…=4同…(3.17)(3.17)
д(р dz
д(р dz
II
II
=4同…
=4同…
(3.17)
(3.17)
где Р = Pz cos 吵一马 sin 吵 ——нормальная к поверхности пластины проекция поляризации, возникающей в образце при фазовом переходе.
Из (3.16) и (3.17) в приближении 4тг/йг ^> 1 находим уравнение, определяющее зависимость az от к :
_ ±2)К = 2.V az2_ ±2)К = 2.V az2(3.18)(3.18)
_ ±2)К = 2.
V az2
_ ±2)К = 2.
V az2
(3.18)
(3.18)
Так как вблизи точки фазового перехода величина dz мала, уравнение (3.18) можно переписать в виде
где п — любое целое число. На основании (3.10) из (3.19) находим
(3.20)(3.20)?————2开3/2rl cos2 吵
(3.20)
(3.20)
= kL
Анализ (3.20) показывает, что здесь значение п = 0 соответствует зарождению однородного состояния сегнетоэлектрической фазы, в то время как устойчивому состоянию зарождающейся неоднородной сегнетоэлектрической фазы будет соответствовать n = —1. Из (3.20) искомая зависимость az от кв приближении GE/2》1 есть
o^z(k)=o^z(k)=—az + 死廿cos2吵 +—az + 死廿cos2吵 +4开3 cos4吵^xk^L24开3 cos4吵^xk^L2Минимуму зависимости (3.21) соответствует значениеМинимуму зависимости (3.21) соответствует значение厶 岳3/4厶 岳3/4(3.21)(3.22)(3.21)(3.22)
o^z(k)=
o^z(k)=
—az + 死廿cos2吵 +
—az + 死廿cos2吵 +
4开3 cos4吵^xk^L2
4开3 cos4吵^xk^L2
Минимуму зависимости (3.21) соответствует значение
Минимуму зависимости (3.21) соответствует значение
厶 岳3/4
厶 岳3/4
(3.21)
(3.22)
(3.21)
(3.22)
которое при 吵=0 переходит в значение кт (2.9) для прямого среза. Таким образом, период возникающей здесь доменной структуры [48]
(3.23)(3.23)_ (%死ТГУ/"】/?
(3.23)
(3.23)
кт ，^cosi/2 吵
Подставляя в (3.21) кт (3.22) и приравнивая az(k) = 0, мы получим, что переход в состояние с неоднородным (модулированным) распределением поляризации в пластине косого среза оказывается сдвинутым относительно Тс бесконечного кристалла в сторону низких температур на величину
4万3/2 死 1/2
(3.24)(3.24)△T =方一cos3 2，
(3.24)
(3.24)
Как и ожидалось, в соответствии с (3.23) периодом возникающей доменной структуры можно управлять, используя выбор среза сегнетоэлектрической пластины соответствующей ориентации.
Формирование доменной структуры в условиях экранирования поляризации зарядами на поверхностных состояниях и свободными носителями заряда
Период возникающего при фазовом переходе распределения поляризации, становящийся затем периодом метастабильной доменной структуры, значительно меняется и при наличии экранирования поляризации, которое существенно влияет не только на параметры, но и на сам тип доменной структуры [49]. Указанное экранирование
Рис. 1.4. Зависимость от средней ширины домена d поверхностной плотности деполяризующего поля (7), поверхностной плотности энергии доменных стенок (2) и суммы этих энергий (3) для случаев: (а)——отсутствия экранирования, (6)——слабого и (е)——сильного экранирования
может о суще ствл ять ся как зарядами на поверхностных состояниях, так и свободными носителями заряда.
Механизм влияния экранирования спонтанной поляризации на равновесную ширину доменов состоит в уменьшении энергии деполяризующего поля. В этом случае для осуществляющегося в равновесии баланса энергий деполяризующего поля и доменных границ требуется уже меньшее количество доменных стенок, что и означает рост периода доменной структуры d с ростом степени экранирования. При этом, при экранировании свободными носителями заряда, начиная с определенной концентрации носителей п, равновесная ширина d скачком увеличивается до бесконечности, т. е. происходит монодоменизация кристалла.
Сказанное хорошо иллюстрируется с помощью энергетических диаграмм рис. 1.4, представляющих поверхностную плотность энергии деполяризующего поля, доменных стенок и их сумму в кристаллах с различной степенью экранирования. Из сравнения диаграмм а, б и в данного рисунка видно, что зависимость энергии деполяризующего поля от d при наличии экранирования уже не описывается прямой линией, а представляет собой более сложную кривую 1. Ее начало при малых d совпадает с соответствующей прямой без экранирования, а при больших d выходит на асимптотическое значение, описывающее энергию деполяризующего поля при наличии экранирования в монодоменном кристалле. Соответственно меняется и сумма кривых У и 2, т. е. кривая 3, минимум которой соответствует равновесной ширине домена d.
Из картины б рис. 1.4 видно, что точка пересечения кривых 1 и 2 при учете экранирования сдвигается вправо по сравнению с точкой пересечения этих кривых без экранирования, таким образом, наличие даже слабого экранирования увеличивает период доменной структуры. Для достаточно сильного экранирования (картина б)
рис. 1.4), начиная со случая, когда кривая 2, пересекается с кривой 1 в месте её выхода на насыщение, кривая 3 вообще не имеет минимума при конечных значениях d. Минимальное значение Ф здесь реализуется при d т ос, что соответствует переходу в монодомен- ное состояние. Согласно сказанному, для оценки критической концентрации носителей, при которой происходит монодоменизация, необходимо просто приравнять дебаевскую длину экранирования, на которой спадает поле при наличии экранирования, равновесной ширине домена & определяемой формулой (2.1). Как мы увидим ниже, это в точности приводит к формуле для критической концентрации носителей, получаемой из более точных оценок.
Для более детального описания указанных явлений рассмотрим сначала влияние только зарядов на поверхностных состояниях. Для пластины прямого среза учет влияния экранирования возникающей при фазовом переходе поляризации зарядами на поверхностных уровнях проводится через появление дополнительного слагаемого в условии непрерывности индукции на границе поверхностного слоя (2.4). При записи последнего необходимо задаться определенной моделью поверхностных состояний. Будем считать, что на внешней поверхности исследуемого материала существуют и донорные и акцепторные состояния с поверхностной концентрацией % и Na соответственно, при этом ионизация донорного центра на поверхности сопровождается захватом освободившегося электрона на акцепторное состояние. Будем предполагать также, что поверхностные состояния обоих типов образуют квазинепрерывные зоны, т. е. распределены равномерно в пределах энергетических интервалов △现 и △%
В неполярной параэлектрической фазе заряды на донорных и акцепторных центрах компенсируют друг друга и макроскопически, и локально. Возникновение в сегнетофазе модулированного распределения спонтанной поляризации и соответствующих связанных зарядов на поверхности сегнетоэлектрика приводит к перераспределению зарядов по поверхностным состояниям, так что в местах с положительным потенциалом оказывается больше отрицательно заряженных акцепторных центров, и наоборот: в местах с отрицательным потенциалом больше положительно заряженных донорных центров, потерявших электроны.
Для записи граничного условия (2.4) в нашем случае определим предварительно поверхностную плотность заряда на поверхностных состояниях и её связь с потенциалом д. Будем считать для определенности, что = △% = АЕ и Na = Nd = Ns. Кроме того, энергетические интервалы распределения донорных и акцепторных центров перекрываются, так что и выше, и ниже уровня Ферми есть и те, и другие состояния. В этом случае при образовании связанного заряда на поверхности в область с положительным потенциалом пе-
(4.1)(4.1)реносится заряд пропорциональный g и равный N$e2 g△石 и такой же по величине заряд при этом освобождается на донорных центрах. В результате суммарная поверхностная плотность заряда на поверхностных состояниях будет равна
(4.1)
(4.1)
△石 L=L/2+A
С учетом этого первое из граничных условий (2.4) запишется в виде
—2 d,(4.2)
△石 lz=Z/2+A Л I г=Ь/2+А
а остальные уравнения, образующие систему определяющую зависимость az(k\ остаются прежними. Исследование этой системы с учетом изменения (4.2) дает следующее уравнение, определяющее зависимость az(k) в случае экранирования поляризации зарядами на поверхностных состояниях:
=[(g + (] + ]/«А)) +(£ _ (1 + ]/kA))g-2k△]
—£ [佰 + (1 + 1/kA))—伍一(1 + l/GA))e—2必]• J 丿
При отсутствии экранирования, т. е. при Л ^ ос, уравнение (4.3) естественно переходит в уже известное соотношение (2.5). В отсутствие поверхностного слоя, но при наличии экранирования, т. е. при расположении поверхностных состояний непосредственно на поверхности сегнетоэлектрического материала (Д = 0), зависимость az(k) определяется условием
(1 + 1/М)(1 + 1/М)(4.4)(4.4)
(1 + 1/М)
(1 + 1/М)
(4.4)
(4.4)
При наличии одновременно с зарядами на поверхностных состояниях свободных носителей в объеме образца, в предыдущем рассмотрении потенциал д〃/ в объеме материала необходимо заменить на потенциал
屮hi = D sin屮hi = D sinkF + (1“2)kF + (1“2)с дебаевской длиной экранированияс дебаевской длиной экранированияA =A =/ kTV 4тге2по/ kTV 4тге2по(4.5)(4.6)(4.5)(4.6)
屮hi = D sin
屮hi = D sin
kF + (1“2)
kF + (1“2)
с дебаевской длиной экранирования
с дебаевской длиной экранирования
A =
A =
/ kT
V 4тге2по
/ kT
V 4тге2по
(4.5)
(4.6)
(4.5)
(4.6)
в случае, когда в кристалле существует примесь преимущественно одного типа с концентрацией ионизированных центров, равной по. Условие, определяющее зависимость az от волнового вектора к, при Д = 0 перепишется в этом случае
(4.7)(4.7)，区2% + (1"2)尾, f +1
(4.7)
(4.7)
gl V
При Л, A 7^ 0 зависимость az(k) в данном случае определяется уравнением
八丿 ' 丿{exkL/2 + L/2k^ + \/kKf '丿
При А т ос, она переходит в соотношение
Qz(k) = Qo(T — К) + 死廿 + , 2 \ 2(4.9)
В результате потери устойчивости система перейдет в состояние с волновым вектором 左,отвечающим условию daz/dk. При наличии экранирования только свободными зарядами в объеме кристалла, согласно (4.9) соответствующее значение к определяется выражением [44]
Из (4.10) хорошо видно, что приИз (4.10) хорошо видно, что прикТ，£力кТ，£力т. е. прит. е. при(4.Ю)
Из (4.10) хорошо видно, что при
Из (4.10) хорошо видно, что при
кТ，£力
кТ，£力
т. е. при
т. е. при
(4.И)
(4.12)
период возникающей структуры устремляется в бесконечность, что соответствует переходу в монодоменное состояние.
Оценки критической концентрации по из (4.12) при Т 〜300 К, 死〜 / 〜 10-14 см2, L 〜 10-1 см дают величину по 〜 1013 см-3 . Соответствующий сдвиг Тс по сравнению с бесконечным кристаллом в этом случае равен
(4.13)(4.13)а е 4开3入2
(4.13)
(4.13)
△К = Е・
При найденной концентрации по это значение Д7^ оценивается как Д7；〜IO-2 К.
Наоборот, при конечном Л и А ^ ос вместо (4.8) мы имеем зависимость
ос 人 к) = а°(Т — К) + %к? +ос 人 к) = а°(Т — К) + %к? +(%GE/2 + 1/GA)2(%GE/2 + 1/GA)2(4.14)(4.14)
ос 人 к) = а°(Т — К) + %к? +
ос 人 к) = а°(Т — К) + %к? +
(%GE/2 + 1/GA)2
(%GE/2 + 1/GA)2
(4.14)
(4.14)
Ее отличие от (2.8) состоит в том, что электростатический вклад в az(k) уже не является монотонно спадающей функцией к, а проходит через максимум и устремляется к нулю за счет эффективности экранирования в равновесии при малых к. В результате полная зависимость az(k) в общем случае будет иметь абсолютный минимум при к = 0 и, при определенном соотношении параметров, локальный минимум при к ^ 0. Экстремумы указанной зависимости определяются уравнением
(4.15)(4.15)
(4.15)
(4.15)
(4.16)(4.16)Из формулы (4.15) следует, что локальный максимум в зависимости az(k) будет наблюдаться при
(4.16)
(4.16)
а локальный минимум в первом приближении при
_岳 3/42 昂"/"]/2 ._岳 3/42 昂"/"]/2 .(4.17)(4.17)
_岳 3/4
2 昂"/"]/2 .
_岳 3/4
2 昂"/"]/2 .
(4.17)
(4.17)
(4.18)(4.18)Рассматриваемое локальное состояние станет неустойчивым при ki =出，т. е. при
(4.18)
(4.18)
Учитывая, что по порядку величины к 〜а?, где а ——размер элементарной ячейки, из (4.15) нетрудно видеть, что в этом случае Л < а. В соответствии с определением это происходит при значениях М 〜1014 см-2, т. е. при максимально возможной плотности поверхностных электронных состояний.
Отметим, что в рамках разрабатываемой модели поверхностная экранировка связана с перемещением зарядов вдоль поверхности на расстояние порядка длины волны выпадающей фазы. Очевидно, что в условиях реального охлаждения образца с конечной скоростью, перемещение зарядов на большие расстояния и, следовательно, эффективность экранирования при малых к будут затруднены. В результате
Рис. 1.5. Зависимость критического значения волнового вектора от толщины поверхностного не сегнетоэлектриче ского слояРис. 1.5. Зависимость критического значения волнового вектора от толщины поверхностного не сегнетоэлектриче ского слоя
Рис. 1.5. Зависимость критического значения волнового вектора от толщины поверхностного не сегнетоэлектриче ского слоя
Рис. 1.5. Зависимость критического значения волнового вектора от толщины поверхностного не сегнетоэлектриче ского слоя
состояние, отвечающее абсолютному минимуму термодинамического потенциала, скорее всего реализовываться не будет, а возникнет состояние, соответствующее локальному минимуму (см. рис. 1.5). При наличии конечного, но не слишком большого экранирования ему будет соответствовать полупериод неоднородного распределения поляризации
/ \ ,хе力• LdEL&x у/ \ ,хе力• LdEL&x у(4.19)(4.19)
/ \ ,хе力• LdEL&x у
/ \ ,хе力• LdEL&x у
(4.19)
(4.19)
возрастающий с ростом плотности поверхностных состояний.
Таким образом, поверхностное экранирование также демонстрирует тенденцию к укрупнению доменной структуры, которую в рамках рассматриваемой модели надо ограничить случаем минимум двух доменов в кристалле на основании условия равенства нулю полного заряда на поверхностных состояниях на каждой из поверхностей кристалла, перпендикулярных вектору спонтанной поляризации.
Анализ зависимости az(k) на основании исходного соотношения (4.5) при различных △ и фиксированном значении Л показывает (см. рис. 1.4), что качественно уменьшение △ аналогично уменьшению Л, т. е. росту Ns.
Отметим, что для реализации условия мономенизации (4.11), не обязательно иметь дело с сегнетоэлектриком-полупроводником. Для этого достаточно создать нужную концентрацию носителей при фазовом превращении (например, путем освещения сегнетоэлектрического материала светом нужной частоты). Поверхностное экранирование также можно создавать целенаправленно, формируя специальную структуру дефектных центров на поверхности.
Рис. 1.6. Поведение зависимости az(k) в окрестности локального минимума для сегнетоэлектриков с зарядами на поверхностных состояниях.
1, 2, 3, 4, 5, 6 — А—】=1 • Ik； I* • 108; 1,5 • 108; 2 • 108; 3 • 108; 4 • 108;
△ = О
Рис. 1.7. Зависимость а") в окрестности локального минимума при А"1 = 4 • 108 и разных △: /, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 — △ = 1,5 • 10~8; 1,3 • 10~8;
1 • IO"8; 8 • 10-9; 6 • 10-9; 4 • 10-9; 0,0
Образование доменной структуры при неоднородном охлаждении сегнетоэлектриков
Реальные условия перехода в полярное состояние, как правило, выражаются в наличие градиента температур в быстро охлаждаемом образце, который, как мы увидим ниже, оказывает существенное влияние на период возникающей структуры.
Результат влияния неоднородного охлаждения на доменную структуру легко предсказать, если заметить, что в неоднородно охлаждаемом образце уменьшается объем части материала, претерпевающей фазовый переход в момент зарождения доменной структуры. С точки зрения расчетов это означает, что при вычислении ширины домена в формулу (1.14) здесь необходимо подставлять не толщину образца L, а толщину слоя, испытывающего фазовое превращение. А поскольку последняя, очевидно меньше толщины образца и уменьшается с ростом градиента температур, в соответствии с указанной формулой это и должно приводить к уменьшению ширины, т. е. к измельчению доменной структуры с ростом скорости охлаждения.
При проведении количественных расчетов, рассмотрим сначала случай «чистого» сегнетоэлектрика. Пусть его поверхность, нормальная сегнетоэлектрической оси совпадает с плоскостью г = О, причем области кристалла соответствуют значения г > 0. Будем исследовать условия возникновения и характеристики плоскопараллельной доменной структуры периодической вдоль оси х. Положим, что свободная поверхность сегнетоэлектрического кристалла охлаждена ниже температуры Кюри £, а остальной объем кристалла находится в парафазе, что создается градиентом температуры dT/dz , направленным в объем сегнетоэлектрического кристалла нормально поверхности.
Как и в случае раздела 1.2, распределение электрических полей вблизи поверхности сегнетоэлектрического кристалла определяется
Рис. 1.8. Возникновение доменной структуры в сегнетоэлектрической пластине в условиях градиента температуры
уравнением электростатики (2.2), где
47r47r
^ж = 1 h—, % =..—适＞
a力~az + 財2 + 以/k n
az = a()(T - Qi =—.
Для периодического распределения потенциала g вдоль оси х с волновым вектором к уравнение (2.2) с учетом (5.1) переписывается в виде
)岁=0(5.2)/ oz)岁=0(5.2)/ oz47r
)岁=0(5.2)
/ oz
)岁=0(5.2)
/ oz
—az + a\z + 死倉2
с учетом явной зависимости диэлектрической проницаемости ег от координаты z .
Переходом к безразмерным величинам
^z^z?2 =775—а/ х1/4?2 =775—а/ х1/4+ ^1 + А：1+ ^1 + А：1уравнение (5.2) приводится к видууравнение (5.2) приводится к виду32g1 如сЪ 23g = О dz^ 2з dz332g1 如сЪ 23g = О dz^ 2з dz3Его решение имеет видЕго решение имеет вид夕(23)= Z3&/3夕(23)= Z3&/3(5.3)(5.4)(5.5)(5.3)(5.4)(5.5)
^z
^z
?2 =775—
а/ х1/4
?2 =775—
а/ х1/4
+ ^1 + А：1
+ ^1 + А：1
уравнение (5.2) приводится к виду
уравнение (5.2) приводится к виду
32g1 如с
Ъ 23g = О dz^ 2з dz3
32g1 如с
Ъ 23g = О dz^ 2з dz3
Его решение имеет вид
Его решение имеет вид
夕(23)= Z3&/3
夕(23)= Z3&/3
(5.3)
(5.4)
(5.5)
(5.3)
(5.4)
(5.5)
где %2/з(力)——любое решение уравнения Бесселя порядка 2/3.
Учитывая, что значение потенциала на бесконечности должно обращаться в ноль, выберем функцию Бесселя с соответствующей асимптотикой. Тогда решение (5.5) уравнения (5.4) конкретизируется как
夕(23)= 23K2/3夕(23)= 23K2/3(5.6)(5.6)
夕(23)= 23K2/3
夕(23)= 23K2/3
(5.6)
(5.6)
Уравнение для определения параметров доменной структуры найдем из условия равенства нулю поля на охлаждаемой поверхности
д(р dzд(р dz|z=0= О|z=0= О(5.7)(5.7)
д(р dz
д(р dz
|z=0= О
|z=0= О
(5.7)
(5.7)
о^(к)=死廿 +о^(к)=死廿 +Подставляя (5.6) в (5.7), с учетом (5.3), получаем зависимость
о^(к)=死廿 +
о^(к)=死廿 +
(5.8)
Переход в полярную фазу осуществляется в состояние, соответствующее условию daz/dk = 0, т. е. в состояние с
km= ^У/8.(5.9)
Из выражения (5.9) видно, что возникающая структура измельчается с увеличением градиента температуры. Полученный результат вполне понятен, поскольку при наличии градиента мы фактически имеем переход не во всем, а только в слое материала, что согласно (2.9) и должно приводить (вместо L — толщина слоя, в котором происходит переход) к измельчению возникающей структуры.
Указанная структура реализуется при условии, когда переохлаждение на поверхности сегнетоэлектрического образца по сравнению с бесконечным материалом достигает величины порядка
〜/ 丄，(5.10)
которое при используемых выше значениях 〃 , £力,значения Qi, соответствующего градиенту температуры в образце порядка 10 К/см,
〜10-3 К-1 составляет величину 〜10-1 К.
Очевидно, что неоднородное распределение температур в образце наблюдается при быстром его охлаждении. В этом случае, действительно, в соответствии с результатами настоящего раздела наблюдается структура с меньшим периодом [50], чем при медленном охлаждении.
Образование доменной структуры в сегнетоэластике, находящемся в контакте с подложкой, и в материале со свободной поверхностью
Возникновение доменной структуры в сегнетоэластическом материале, находящемся в контакте с подложкой, не испытывающей фазового перехода, аналогично случаю сегнетоэлектриков связывается с уменьшением энергии дальнодействующих упругих полей, возникающих в окрестности контакта как в случае контакта с упругой, так и при контакте с абсолютно жесткой подложкой [39], [41].
Проиллюстрируем это на примере контакта сегнетоэластика с абсолютно жесткой подложкой, приводящей к зажатию сегнетоэласти- ческого материала в области контакта. Пусть сегнетоэластик имеет
форму пластины толщиной L с нормалью к поверхности, совпадающей с осью z , а смещения в материале в процессе фазового перехода и совпадают с осью у .
Термодинамический потенциал сегнетоэластика
(6.1)(6.1)
(6.1)
(6.1)
где критический модуль а = ^(Т—Тс^ с ——некритический упругий модуль, х ——корреляционный параметр. При записи (6.1) оставлен градиентный член только по оси ж , т. е. предполагается, что для других направлений корреляционные эффекты малы. Выражение (6.1) записано при рассмотрении малой окрестности К, где вследствие малости амплитуды деформации нелинейностью можно пренебречь.
°12°12a дх "а力2 а力'a дх "а力2 а力'(6.2)(6.2)Отличные от нуля компоненты тензора напряжений находим как производные 0k = дФ/дщ^ от (6.1), что дает
°12
°12
a дх "а力2 а力'
a дх "а力2 а力'
(6.2)
(6.2)
(6.3)(6.3)Для периодического вдоль оси х распределения смещений с волновым вектором к из уравнения упругого равновесия
(6.3)
(6.3)
▽〃0к = °
находим уравнение для смещения и вида
(а —+ с -т—у = 0(6.4)
Решение уравнения (6.4) должно отвечать определенным условиям на границе материала. В нашем случае в качестве них возьмем
〃 |z=0= 0, — \z=L= 0,(6.5)
OZ
т. е. будем полагать, что при г = 0 существует контакт с абсолютно жестким материалом, а вторую границу материала z — L будем полагать свободной.
Уравнению (6.4) и условиям (6.5) удовлетворяет функция
7Г
〃 = 8sin 无(6.6)
Подставляя в (6.5) решение (6.6), получим зависимость
Значение к, соответствующее минимуму зависимости а (к)
(6.8)
При обычных с 〜 1010 эрг • см-3,死〜。•。2,。2 〜 10-15 см2, L 〜10-1 см период возникающей структуры d = тг/кт имеет порядок 10-4 см, что отвечает экспериментально наблюдаемым размерам доменов [2,12,16]. Сдвиг температуры фазового перехода относительно Тс бесконечного кристалла
(6.9)(6.9)开(死0)1/2
(6.9)
(6.9)
В отсутствии подложки, т. е. в сегнетоэластическом материале со свободной поверхностью, в рассматриваемом случае никаких упругих полей вблизи поверхности не возникает и становится непонятным сам факт возникновения регулярной доменной структуры. Очевидно, что здесь она метастабильна ввиду ничем не компенсированной положительной энергии доменных границ.
Как показано в [43], ситуацию с наличием доменной структуры в незажатом сегнетоэластике можно понять, если учесть, что в реальных условиях фазовое превращение обычно протекает при наличии градиента температуры в образце за счет неоднородности его охлаждения. В таких условиях за счет своей температурной зависимости спонтанная деформация изменяется вдоль направления градиента температуры, т. е. вдоль нормали к поверхности образца. Эта неоднородность деформации аналогично случаю контакта с подложкой приводит к возникновению упругих полей, для уменьшения энергии которых образец и переходит в состояние с модулированным вдоль поверхности распределением деформации (см. рис. 1.6).
Рис. 1.9. Распределение смещений в сегнетоэластическом материале, контактирующем с абсолютно жесткой подложкой (z = 0)Рис. 1.9. Распределение смещений в сегнетоэластическом материале, контактирующем с абсолютно жесткой подложкой (z = 0)
Рис. 1.9. Распределение смещений в сегнетоэластическом материале, контактирующем с абсолютно жесткой подложкой (z = 0)
Рис. 1.9. Распределение смещений в сегнетоэластическом материале, контактирующем с абсолютно жесткой подложкой (z = 0)
Рассмотрим такой переход более подробно. Распределение смещений и сопровождающих их упругих напряжений в сегне- тоэластическом материале, как и в случае сегнетоэлектрика, описывается здесь системой уравнений, в которой роль материальных уравнений играет обычный закон Гука с добавкой слагаемых, отвечающих корреляционным воздействиям (6.2), а роль уравнения Лапласа — уравнение упругого равновесия (6.3). При этом, как и раньше, смещения в материале, возникающее в процессе спонтанной деформации, считаются совпадающими с осью у . Наличие градиента температуры учитывается координатной зависимостью критического модуля а в (6.2):
a(z) = а()(Т — К) + "^ • z. (6.10)
С учетом этого уравнение (6.4) для смещений с помощью безразмерных величин
23 =后/3⑵-历+財2), 力=Zм ,
a = da/dz^ >q = x/c, ^i = bj^(6」D
приводится к уравнению на функцию Эйри: а?”
—z^u = 0.(6.12)
Его решение должно удовлетворять граничным условиям:
"|z=oo= 0〉阳 =о,(6.13)
OZ
a(k) = a()(T - £) +a(k) = a()(T - £) +что дает зависимость модифицированного коэффициента а от волнового вектора к на охлаждаемой поверхности следующего вида:
a(k) = a()(T - £) +
a(k) = a()(T - £) +
(6.14)
Из минимизации а по к находим значение к , определяющее период конденсирующейся при фазовом переходе структуры
Указанная структура реализуется при условии, когда переохлаждение ЛТ на поверхности сегнетоэластического образца достигает величины порядка
(6.16)(6.16)△Т =
(6.16)
(6.16)
а。
Мелкодоменная структура в сегнетоэлектрических кристаллах с дефектами
В сегнетоактивных кристаллах с дефектами вблизи точки Кюри возможно образование доменной структуры, повторяющей определенным образом расположение дефектов. Для «сильных» дефектов минимальный размер такого домена близок к среднему расстоянию между дефектами, для «слабых» —— к размерам области, в пределах которой возникает достаточно сильная флуктуация концентрации дефектов. В любом случае размеры доменов здесь обычно гораздо меньше, чем средняя равновесная ширина доменов в идеальном кристалле, и поэтому доменную структуру в дефектных материалах называют мелкодоменной.
Возникновение мелкодоменной структуры связано с так называемыми «полярными» дефектами. Вблизи точки Кюри, где кристаллическая структура сегнетоэлектрика чрезвычайно податлива к внешним воздействиям, указанные дефекты поляризуют решетку и создают в кристалле определенное распределение поляризации, повторяющее распределение электрических полей дефектов Е^. Из- за хаотичности в ориентации полярных дефектов в указанном распределении поляризации, очевидно, есть участки как с положительным, так и с отрицательным значением поляризации. С понижением температуры вглубь сегнетофазы первоначально достаточно гладкое распределение поляризации от точки к точке заменяется на близкое к ступенчатообразному с достаточно однородной поляризацией в пределах каждого домена и четко выделенными доменными границами. Это происходит при температурах, где ширина доменной стенки становится гораздо меньше среднего расстояния между дефектами. Начиная с этого момента, можно говорить о формировании доменной структуры, созданной дефектами.
Дальнейшее понижение температуры приводит к сравнительно быстрому увеличению энергии доменных границ 〜(ДТ)3/2 (ДТ — удаление от точки Кюри £) по сравнению с температурной зависимостью выигрыша в объемной энергии 〜Е&Ри 〜(△丁尸” которое дает формирование домена на дефекте. И при условии равенства этих энергий
рассматриваемая доменная структура теряет свою стабильность. Формула (6.10) позволяет оценить температурный интервал, в котором существует мелкодоменная структура, связанная с дефектами. Как и следовало ожидать, этот интервал невелик и составляет несколько единиц градусов.
Заключая рассмотрение данной главы можно назвать целый ряд факторов, оказывающих влияние на параметры доменной структуры. Это размеры и диэлектрическая проницаемость поверхностного несегнетоэлектрического слоя, тип среза, используемого при приготовлении образца, электроды, наличие объемной или поверхностной экранировки носителями заряда при фазовом превращении, дефекты кристаллической структуры, переход в условиях градиента температуры для сегнетоэлектриков, специальный по размерам и упругим свойствам тип подложки и неоднородное охлаждение для сегнетоэластиков. Варьируя их, можно пытаться целенаправленно создавать заданный тип доменной структуры.
ГЛАВА 2
Строение доменных и межфазных границ в бездефектных сегнетоэлектриках и сегнетоэластиках
Строение 180-градусной доменной границы в сегнетоэлектрике в рамках континуального приближения в кристаллах с фазовым переходом I и II рода
Сформировавшаяся доменная структура имеет четко выделенные границы между доменами, так называемые доменные стенки, в пределах которых сосредоточенно все изменение поляризации или деформации от значения, соответствующего одному домену, до значения, отвечающего соседнему домену. Ширина доменной стенки, как правило, гораздо меньше ширины самого домена d. Это позволяет при изучении структуры доменной стенки пренебречь влиянием других границ и рассматривать изолированную доменную стенку. Возможное влияние на структуру стенки деполяризующих полей связанных зарядов на поверхности сегнетоэлектрика, которое будет рассмотрено в разделе 2.3, в любом случае должно быть ограничено толщиной слоя, в пределах которого указанное поле проникает внутрь материала. Как видно, в частности, из формулы (1.6) главы 2, толщина этого слоя имеет порядок ширины домена. При большем удалении от поверхности сегнетоэлектрика вглубь материала влиянием этих полей можно пренебречь и при рассмотрении структуры стенки воспользоваться приближением бесконечного материала.
В рамках сделанных ограничений рассмотрим простейший случай 180-градусной доменной стенки в сегнетоэлектрическом кристалле с фазовым переходом II рода. Воспользуемся здесь, так называемым, континуальным приближением, пренебрегающим дискретностью кристаллической решетки.
Пусть, как и раньше, полярное направление в кристалле совпадает с осью г, а плоскость доменной стенки с плоскостью zy.
так что распределение поляризации в переходном слое между доменами зависит только от расстояния вдоль нормали к плоскости стенки: Р = Р (力).
Для большинства сегнетоэлектриков очень велика энергия ани
зотропии, что делает невыгодным структуру стенки поворотного типа, аналогичную ферромагнетикам [18], где вектор поляризации, не меняя своей длины в каждой точке границы, поворачивается в пределах границы в данном случае на 180 градусов (возможные случаи возникновения в сегнетоэлектриках границ поворотного типа будут рассмотрены в разделе 2.6). При высокой энергии анизотропии пространственное изменение вектора поляризации Р в границе связано с изменением его модуля |Р| = Pz = Р(力).
В рамках континуального рассмотрения структура стенки опре
деляется минимумом термодинамического потенциала, в котором к обычному локальному вкладу д(Р) = —f Р2 + 4P匕 ~a = az = =a()(T — К) , учет которого достаточен для однородного материала, добавляется так называемое корреляционное слагаемое 死〃dPi dPi
—————,где ^ukm — тензор корреляционных постоянных. 2 дхк дхт
В нашем случае Р = Pz, Р = Р(力)и из всего набора здесь остает
равное —равное —.Поскольку.Поскольку-/ dPтенциала Ф = д(Р)Н—— —— 2 \ ax-/ dPтенциала Ф = д(Р)Н—— —— 2 \ axся только одно корреляционное слагаемое с постоянной х3311 =死
равное —
равное —
.Поскольку
.Поскольку
-/ dP
тенциала Ф = д(Р)Н—— —— 2 \ ax
-/ dP
тенциала Ф = д(Р)Н—— —— 2 \ ax
плотность термодинамического по-
2
в пределах границы будет меняться
от точки к точке, структура стенки в данном случае определяется минимумом функционала Ф = f Ф dx:
Ф= /卜" +借)卜 С」)
— ос
Для нахождения оптимального распределения Р(%), отвечающего минимуму Ф, проварьируем ФпоР. Для этого запишем предварительно
夕(Р+ВР)=夕(Р) + ^SP+UP夕(Р+ВР)=夕(Р) + ^SP+UP(ВР)2,(1.2)(ВР)2,(1.2)死万死万dx dxdx dxd(8P)『dxd(8P)『dx
夕(Р+ВР)=夕(Р) + ^SP+UP
夕(Р+ВР)=夕(Р) + ^SP+UP
(ВР)2,(1.2)
(ВР)2,(1.2)
死
万
死
万
dx dx
dx dx
d(8P)『dx
d(8P)『dx
Тогда
L ^ J JL ^ J J=/»(p)+w=/»(p)+w++d(P)d(P)1!1!SP +死SP +死dP d(8P) dx dxdP d(8P) dx dxdx +dx +Ф(Р + ВР) = / ^Р + JF) + I
L ^ J J
L ^ J J
=/»(p)+w
=/»(p)+w
+
+
d(P)
d(P)
1!
1!
SP +死
SP +死
dP d(8P) dx dx
dP d(8P) dx dx
dx +
dx +
+ (8)2 + 91 \dx~ Ф(Р) + 踵 + £①. (1.4)
丿[2! 2 ax ] J
Первое слагаемое в правой части (1.4) описывает термодинамический потенциал оптимального распределения Р(%), относительно которого происходит варьирование. Оно совпадает с выражением (1.1). Следующие слагаемые представляют собой соответственно первую и вторую вариации потенциала (1.1).
Равенство нулю первой вариации В①=0 позволяет найти распределение Р(喙 соответствующее минимуму Ф. С учетом интегрирования по частям
Так как вариация 6Р есть произвольная малая функция, то тождественное равенство нулю интеграла возможно лишь в случае, если равно нулю выражение в фигурных скобках. Отсюда находим уравнение, описывающее распределение поляризации в границе:
也/3dx^ ~ dP~ +也/3dx^ ~ dP~ +(1.6)(1.6)
也/3
dx^ ~ dP~ +
也/3
dx^ ~ dP~ +
(1.6)
(1.6)
Знак второй вариации позволяет судить об устойчивости соответствующего решения. Аналогично (1.5)
~d(dpydx~d(dpydx22> 8Р dx => 8Р dx =6Pdx6PdxdPLdP dx, (1.7)dPLdP dx, (1.7)
~d(dpydx
~d(dpydx
2
2
> 8Р dx =
> 8Р dx =
6Pdx
6Pdx
dPLdP dx, (1.7)
dPLdP dx, (1.7)
где дифференциальный оператор
L =L =死d22 dx2死d22 dx2(1.8)(1.8)
L =
L =
死d2
2 dx2
死d2
2 dx2
(1.8)
(1.8)
Вопрос нахождения знака второй вариации для определения устойчивости соответствующего распределения поляризации сводится к исследованию спектра оператора L. Этот спектр — набор собственных значений 入九 оператора L может быть найден из уравнения
£% = 一a + 3/3p2(力))%=无%， (1.9)
которое имеет вид уравнения Шредингера для частицы в потенциальном поле
卜⑺=g (—а + 3/ЗР2⑺).(1.10)
При этом собственные значения 入九 и собственные функции 吵九 играют роль собственных значений энергии частицы и ее волновых функций соответственно.
Из общих теорем квантовой механики следует, что 入九 есть возрастающая функция номера п. Поэтому оказывается, что для того, чтобы судить об устойчивости соответствующего решения, достаточно выяснить знак минимального собственного значения Ло оператора (1.8). Покажем это. Произвольную вариацию ВР(力)всегда можно разложить в ряд по собственным функциям 吵九(力)оператора L:
ВР(力)=£4%(吟(i.H)
п
где п ——номер собственного значения, аЛп ——коэффициент разложения. Подставляя в (1.7) разложение (1.11) с использованием условия ортонормированности собственных функций 吵九(力)：
j 叫г (力)*n (力)dx = 6nтч(1.12)
а также определения собственного значения оператора L (1.9), получим
ОС
黄①=eз |2(1.13)
Очевидно, что при наличии хотя бы одного собственного значения Ап < 0, а первым отрицательным может стать только значение 》о, всегда можно подобрать такие коэффициенты Ап, и, соответственно, нужный вид 8Р, чтобы вторая вариация термодинамического потенциала стала отрицательной. Таким образом, условием
потери устойчивости какого-либо распределения Р (力)является появление первого отрицательного собственного значения Ло < 0 в спектре оператора (1.8) [51].
Вдали от границы, там где реализуется однородное состояние, производная ^Pfdx1 = 0. Значение Р определяется здесь из обычного уравнения
-аР0 + ^Р^ = 0,(1.14)
которое дает в случае сегнетофазы Р^ = а//3. Согласно (1.8) и (1.9) условием устойчивости такого состояния является тривиальное а〉0.
Вопросы исследования устойчивости распределения поляризации, которое реализуется в доменной границе, будут рассмотрены в разделе 2.6.
Для определения структуры 180-градусной доменной стенки необходимо решить уравнение (1.6) при граничных условиях
V(1.15)
Для интегрирования уравнения второго порядка (1.6) найдем первоначально его первый интеграл. Для этого домножим обе части (1.6) на dP/dx и проинтегрируем по dx с учетом условий (1.15). В результате первый интеграл уравнения (1.6) примет вид:
f (崇)=^\р^ - ^[ро].(L16)
Разделяя в (1.16) переменные, имеем
/_ Г dx
/(力)]一夕同 /・
С учетом конкретного значения Pq разность g(P)—夕(马)преобразуется к виду
⑺]—個”(死—「2)2.(1.18)
Разлагая полученную разность квадратов на множители
琛—Р2 _ 2Ро(Ро + Р)十 2Po(Ро —Р) J 丿 и интегрируя (1.17) с учетом (1.18), (1.19), получим
丄上)=
\PQ + P PQ-Pj
=В j 1 尸(力—U). (1.20)
Рис. 2.1. Распределение поляризации в 180-градусной границеРис. 2.1. Распределение поляризации в 180-градусной границе
Рис. 2.1. Распределение поляризации в 180-градусной границе
Рис. 2.1. Распределение поляризации в 180-градусной границе
Постоянная интегрирования U определяет положение центра границы, где Р = 0. Полагая в данном случае, что центр границы находится в начале координат, т. е. при U = 0, и потенцируя соотношение (1.20), для распределения поляризации в границе получим [52-54]
Р(力)=Ро - th-,Р(力)=Ро - th-,(1.21)(1.21)
Р(力)=Ро - th-,
Р(力)=Ро - th-,
(1.21)
(1.21)
В соответствии с (1.21) и рис. 1.1 величину 8 естественно назвать полушириной доменной границы. Как следует из (1.21), она существенно зависит от температуры, возрастая при приближении к точке Кюри Тс.
Поверхностная плотность энергии покоящейся стенки 70 получается в результате подстановки распределения (1.21) в (1.1) за вычетом энергии однородного состояния. Отсюда с учетом того, что dP()/dx = 0, первого интеграла (1.16) и соотношения (1.18) находим
ОСОС22ОС aр粉/ d%/8224 2死门ОС aр粉/ d%/8224 2死门— ос— ос
ОС
ОС
2
2
ОС aр粉/ d%/8224 2死门
ОС aр粉/ d%/8224 2死门
— ос
— ос
— ос
В кристалле с фазовым переходом первого рода в разложении (1.1) присутствует дополнительное слагаемое(7/6)Р6. Поэтому распре-
Рис. 2.2. Распределение поляризации в 180-градусной доменной границе в кристалле с фазовым переходом первого при различных температурах: / — температуры близкие к К, 2 — при низких температурахРис. 2.2. Распределение поляризации в 180-градусной доменной границе в кристалле с фазовым переходом первого при различных температурах: / — температуры близкие к К, 2 — при низких температурах
Рис. 2.2. Распределение поляризации в 180-градусной доменной границе в кристалле с фазовым переходом первого при различных температурах: / — температуры близкие к К, 2 — при низких температурах
Рис. 2.2. Распределение поляризации в 180-градусной доменной границе в кристалле с фазовым переходом первого при различных температурах: / — температуры близкие к К, 2 — при низких температурах
деление поляризации в 180-градусной границе здесь описывается уравнением
死丁3 = -aP + ^Р3 + m(1.23)
Вдали от границы в однородном состоянии в сегнетофазе
(1.24)(1.24)
(1.24)
(1.24)
Первое интегрирование уравнения (1.23) с учетом (1.24) и гра- dP\ ° ничного условия ——= 0 дает
ах 1±оо
死死=^[Р^]—夕[Ро]==^[Р^]—夕[Ро]=
死
死
=^[Р^]—夕[Ро]=
=^[Р^]—夕[Ро]=
=(呼—戸)2 1р^ + ^ + |р2 . (1.25)
Интегрирование (1.25) приводит к следующему распределению поляризации в 180-градусной границе в сегнетоэлектрике с фазовым переходом первого рода:
、/(±2(力/8) + 6
/v2(126)
7— 4毋+ 3/3・
Соответствующее распределение представлено на рис. 2.2, из которого видно, что при температурах близких к точке фазового
Рис. 2.3. Термодинамический потенциал и смещения сегнетоактивных частиц в области доменной границы в кристаллах с фазовым переходом второго (о) и первого (6) рода
перехода вместо распределения 2, аналогично случаю кристалла с фазовым переходом второго рода, здесь реализуется фактически два самостоятельных распределения на участках изменения поляризации —1 < P/Pq < 0 и 0 < P/Pq < 1. Такое поведение поляризации в переходном слое связано с наличием метастабильного состояния при Р = 0 как промежуточного состояния между полярными состояниями —Д)и Д)(см. рис. 2.3).
Поверхностная плотность энергии доменной стенки здесь с учетом первого интеграла (1.25) и распределения (1.26) есть
ОС
)0 = 2 / k(P) — з(Ро)]=
— ос
ОС
+ |^о d 力=+ |^о d 力==2 / (用-戸)2 2f2 +
+ |^о d 力=
+ |^о d 力=
ch2 t dt(б + ch2 t)ch2 t dt(б + ch2 t)(1.27)(1.27)—ос
ch2 t dt
(б + ch2 t)
ch2 t dt
(б + ch2 t)
(1.27)
(1.27)
где Г ——некоторый численный фактор.
Как и следовало ожидать, выражение (1.27) отличается от (1.22) лишь численным множителем. При этом за счет конечного значения Д)(1.24) в Тс значение 70 не обращается в ноль и ширина доменной стенки не имеет расходимости при Т = Тс для кристаллов с фазовым переходом первого рода.
Проведенное рассмотрение и полученные выше решения учитывают влияние на параметры доменных границ не только чисто электрических, но и упругих взаимодействий. Дело в том, что,
как показано в [5], при одномерном распределении деформаций, которое, очевидно, реализуется в границе, компоненты тензора деформации однозначно выражаются через компоненты вектора поляризации. В результате учет упругих эффектов приводит просто к перенормировке коэффициентов разложения термодинамического потенциала в ряд по поляризации.
Для определения конкретных значений величин J и 70 необходимо задаться определенной величиной постоянной х. В случае ферромагнетиков локальное и нелокальное слагаемые в функционале (1.1) имеет разную физическую природу: энергия анизотропии и обменное взаимодействие соответственно. Сравнительно высокая роль здесь последнего приводит к широким доменным стенкам с толщиной в сотни и тысячи решеточных постоянных (〜 103 -4- 104). Для сегнетоэлектриков оба указанных слагаемых имеют одинаковую природу, а именно диполь-дипольное взаимодействие. Поэтому здесь в принципе не следует ожидать широких доменных стенок. Вычисление корреляционной энергии на дискретных структурах (см. ниже) показывает, что ;< 弋 а?, где а решеточная постоянная. Подстановка, например, в (1.10) и (1.11) значений х 〜 10-15 см2, а 〜 10-1, В 〜10-9 ед. CGSE дает значения В 〜10-7 см, 70 〜1 эрг/см2 для границ в кристаллах с фазовым переходом II рода. Очевидно, что по порядку величины таких же значений ширины и поверхностной плотности энергии следует ожидать и для 180-градусных границ в кристаллах с фазовым переходом первого рода.
Строение 90-градусной доменной границы в сегнетоэлектрике в континуальном приближении.
В кристалле с высокосимметричной параэлектрической фазой,
например, в титанатенапример, в титанатеРис. 2.4. 90-градусная доменная граница в сегнетоэлектрическом кристалле.Рис. 2.4. 90-градусная доменная граница в сегнетоэлектрическом кристалле.бария, где возникающая поляризация может быть ориентирована вдоль любой из нескольких осей, эквивалентных в кубической фазе, возможны так называемые 90-градусные доменные границы, разделяющие домены, вектор поляризации в которых развернут на 90 градусов. Исследуем структуру таких границ. Пусть в кристаллографических осях поляризация
например, в титанате
например, в титанате
Рис. 2.4. 90-градусная доменная граница в сегнетоэлектрическом кристалле.
Рис. 2.4. 90-градусная доменная граница в сегнетоэлектрическом кристалле.
в толще соседних доменов направлена по осям z и х соответственно. Для дальнейшего удобно повернуть систему координат на 45 градусов вокруг оси у, так чтобы доменная стенка в новых
координатах была расположена перпендикулярно новой оси 力 (см. рис. 2.4).
Запишем термодинамический потенциал рассматриваемого се- гнетоэлетрического кристалла в новой системе координат. Для определенности рассмотрим наиболее симметричный случай титаната бария BaTiOa，
Это удобно, поскольку все случаи сегнетоэлектриков с более низкой симметрией будут получаться отсюда обращением в ноль коэффициентов при соответствующих членах разложения. Считая решение поворотного типа для доменной стенки энергетически невыгодными, что соответствует значениям Ру = 0 для всей границы, термодинамический потенциал сегнетоэлектрического кристалла, включающий вплоть до шестых степеней поляризации, в рассматриваемом случае запишем в виде:
+ ^琮砖 + ^(砂+ Р?) + ^Р^Р义琮 +片).(2.1)
Вдали от границы равновесное значение поляризации в тетрагональной фазе, выраженное через коэффициенты разложения (2.1) в повернутой системе координат, есть
При записи уравнений равновесия для вектора поляризации в границе необходимо учитывать возможность наличия внутреннего электрического поля в 90-градусной доменной границе, связанного с неоднородностью распределения компоненты поляризации Рх в направлении нормали к границе. Указанный учет осуществляется добавлением к термодинамическому потенциалу (2.1) дополнительного слагаемого — (ЕР) = —ЕхРх, в котором поле связанных зарядов в границе Ех определяется из уравнения электростатики
divB = (Ех + 4ттРх) (2.3) ax
и имеет вид
(2.4)(2.4)4"（马一楽）
(2.4)
(2.4)
В результате минимизация функционала / (Ф — ЕХР^ dx при— ос
водит к следующей системе уравнений, описывающей распределение компонент вектора поляризации в границе:
Ж = 0,盜="=Н W - ⑶(2.5)
Вычисление вариационных производных позволяет записать систему уравнений (2.5) в виде:
р
〃涼 =-+户^ +仇心2+ 7皂+
+ )1肾2(Р/ + 2片),Q 6)
〃您=一q爲+户門+队Р境p^ + 7^ +
+ 71Р+或+ 47r但-
Изменение компоненты поляризации вдоль нормали к границе невелико, поэтому решение системы уравнений (2.6) можно найти по теории возмущений. При этом в качестве нулевого приближения выбирается решение, при котором компонента Рх не меняется вовсе, оставаясь всюду равной величине Д)/ д/^・ Компонента Pz при этом аналогично случаю 180-градусной границы меняется в соответствии с уравнением (1.12), в котором коэффициенты —а, /3, 7 заменены соответственно на
= —а + 仇『+)『,02 = В + ?\Р^>7 = 7, (2.7)
а граничные значения Pz |±8= 土品/，^・ В результате в нулевом приближении распределение поляризации в 90-градусной границе:
p =型 p =马sh(力/"
Jch2(6/B) + c(2.8)
В этом приближении, записанная через величины Вис, которые определяются теперь выражением (2.8), поверхностная плотность энергии 7о определяется здесь выражением, отличающимся от (1.27) за счет замены Д)т Д)/д/^ формально лишь множителем 1/2. Как показывают численные оценки в одном и том же кристалле, в частности в ВаТЮз, 90-градусная граница приблизительно в два раза
шире, чем 180-градусная и имеет при этом приблизительно втрое меньшую [54] поверхностную плотность граничной энергии.
Как показывают расчеты, поправки в величины В и 70 3a счет учета неоднородности распределения компоненты Рх в границе действительно невелики и для обычных оценок могут не учитываться. В то же время учет неоднородности Рх очень существен при рассмотрении вопроса взаимодействия доменных границ с дефектами, где он приводит к электростатическому взаимодействию заряженных дефектов с 90-градусными доменными стенками. Взаимодействие границ с дефектами различной природы будет рассмотрено в следующей главе. Здесь же мы определим поправку в структуре доменной границы за счет изменения компоненты поляризации Рх и найдем сопровождающие ее внутренние электрические поля в 90-градусной доменной границе.
Подстановка вместо Рх во второе из уравнений (2.6) суммы Рх + 8РХ, где Рх определяется нулевым приближением (2.8), позволяет получить уравнение для поправки 8РХ к решению (2.8):
d23Px死-d23Px死-=—4滴马=—4滴马雁dPx雁dPx(2.9)(2.9)
d23Px
死-
d23Px
死-
=—4滴马
=—4滴马
雁dPx
雁dPx
(2.9)
(2.9)
Правая часть (2.9) вычисляется при Рх и Pz в нулевом приближении (2.8) и является функцией, которая отлична от нуля в области доменной границы на расстояниях порядка ее ширины 28. Поскольку 8РХ также меняется на расстояниях 28, то по порядку величины корреляционное слагаемое равно
〃"力2力〜〃? 〜(7^0 +员比)8马《-^SPX (2.10)
Поэтому в уравнении (2.9) первое слагаемое можно отбросить и переписать его в более простом виде
8马=8马=1 а&47r дРх1 а&47r дРх(2.И)(2.И)
8马=
8马=
1 а&
47r дРх
1 а&
47r дРх
(2.И)
(2.И)
Подстановка в (2.11) правой части с учетом выражений (2.1) и (2.8), а также соотношения между коэффициентами разложения и равновесным значением 品(2.2) позволяет получить поправку 8РХ в явном виде:
++((仇 +)词)珠Sh2()/" 一
+
+
2\/^[(ch2(x/J) + б)_
.(2.12).(2.12),71^—Sh4(力/"一
.(2.12)
.(2.12)
4д/^ l_ (ch2(x/J) + б)2_
Рж/РоА 2/Ро，^
Рис. 2.5. Изменение вектора поляризации в 90-градусной доменной границе: 7, 2 ——компоненты поляризации PzhPxb зависимости от положения в границе
Из выражения (2.12) видно, что поправка 6РХ действительно отлична от нуля в области размером порядка 28. Она имеет симметричный вид и достигает максимального значения (см. рис. 2.5), равного
用(2.13)
в центре границы при 力=0.
Напряженность внутреннего электрического поля в границе, согласно (2.4), равна
Ех = —4滴马.(2.14)
В соответствии с (2.14) и (2.12) распределение потенциала в границе имеет асимметричный вид, характерный для двойного электрического слоя, образованного разделением связанных электрических зарядов, распределенных с плотностью 0cB = — divP = =d8Px/dx (см. рис. 2.6).
Как видно из рис. 2.4, в области границы электростатический потенциал испытывает скачок, величина которого приближенно равна
△ д —七 max—Г 0
Численные оценки по формуле (2.15) для В = 2 • 10一‘ см, 阮=10-12, 71 = 10-22, Д)= 7, 8 • 104 ед. CGSE приводят к скачку
Рис. 2.6. Распределение поля, потенциала и связанных зарядов в области 90-градусной доменной границы
потенциала Zp = 1,37 • 10-4ед. CGSE = 0,041 В или к энергетическому скачку для заряда, равного заряда электрона △勿= = 0,041 эВ [55].
Строение доменной границы вблизи поверхности сегнетоэлектрика
В предыдущих разделах структура границы определялась для бесконечного материала, т. е. пренебрегалось влиянием на строение границы деполяризующих полей, возникающих вблизи поверхности кристалла конечных размеров. Полученные здесь результаты применимы для так называемой объемной части материала, т. е. тех участков доменных границ, которые удалены от поверхности на расстояния большие ширины домена d (глубины проникновения деполяризующего поля в полидоменный кристалл ——см. главу 1), а также для более близко расположенных к поверхности участков доменных границ, в случае, если деполяризующее поле компенсировано, например, за счет объемной проводимости или зарядов на поверхностных состояниях.
При отсутствии указанной компенсации за счет влияния деполяризующего поля происходит уменьшение поляризации вблизи поверхности сегнетоэлектрика и, в принципе, это может отразиться и на структуре доменной стенки.
Для определения структуры доменной границы вблизи поверхности сегнетоэлектрика необходимо найти распределение поляризации в этой части кристалла. Даже для полосатой доменной структуры за счет двумерности решаемой задачи и нелинейной
а(Р 士 РоКа(Р 士 РоКсвязи поляризации с деполяризующим полем рассматриваемая задача не решается вдали от точки Кюри в общем виде. Для ее упрощения заменим исходный термодинамический потенциал для сегнетоэлектрика с фазовым переходом II рода Ф = —f Р2 + fP4
а(Р 士 РоК
а(Р 士 РоК
22на совокупность двух смещенных парабол Ф = Фо +
2
2
Р^ = а]3〉получаемых в результате разложения исходного потенциала Ф в ряд вблизи его минимумов.
В результате система уравнений, описывающих распределение поляризации и электрического потенциала в кристалле сегнетоэлектрика с полярной осью г, запишется здесь в виде:
2a (p - Д)(力))-
(3.1)(3.1)dz
(3.1)
(3.1)
32g32g dP
3力2 + Qz2 7r dz
В(3.1), также как и в разделе 1.1, Д)(力)——нечетная периодическая функция, определенная на периоде (—d〉d) как
(3.2)(3.2)1, 0 < x < d^ J^signx = Pq<,
(3.2)
(3.2)
—1,—d < 力 < 0.
(рассматривается 180-градусная доменная структура) и для простоты положено% = 1.
Будем искать решение системы (3.1 )-(3.2) в виде разложения в ряд фурье по оси 力,коэффициенты разложения которого зависят от координаты вдоль полярной оси z. С учетом симметрии задачи
(3.3)(3.3)p(力，= e 马九+i(z) Sin ——
(3.3)
(3.3)
ос
3(力，z) = £ 32九+l(z) sin
九=0
Из первого из уравнений системы (3.1) связь фурье-коэффициентов разложения поляризации и потенциала имеет вид:
p2九+1（2）=p2九+1（2）=8Poа
p2九+1（2）=
p2九+1（2）=
7г(2п + 1)[2а + х(2п + 1)2тг2/с/2]
13з2 九+1
[2а + х(2п + 1)27г2/с/2] dz
На основании уравнения Лапласа распределение потенциала в кристалле и вне его
32九+i(z > 0) = Аехр — —,
32九+i(z < 0) = В exp 区2九+1矶© 5)
卜2九+1 = (2zi + 1)^/d<)
47r
"(k)1 + 2a + x(2n + 1)2万2/(/2 •
Решение (3.5) должно удовлетворять граничным условиям
3+(。) = 3—(0),= 47rp(0),(3.6)
OZ OZ что позволяет явно определить коэффициенты
4 = 8, А =47rp2+(^^.(3.7)
^2n+l(l + l/，％(k))
Теперь на основании (3.4) и (3.7) окончательное выражение для Фурье-коэффициента разложения поляризации на поверхности сегнетоэлектрика
(3.8)(3.8)「_8Poа(，厶(к) + 1)
(3.8)
(3.8)
马九+1(0) =г7\T
*(2几 + 1) [(2q + х^п+1)(，厶(衣)+ 1) + 4тг]
Или приближенноР ⑹〜8р。а(曰^J) %+i(°)" 4*(2宀)Или приближенноР ⑹〜8р。а(曰^J) %+i(°)" 4*(2宀)4д/^аРо4д/^аРо*(2 冷 + 1) J2a +〃或+1*(2 冷 + 1) J2a +〃或+1(3.9)(3.9)
Или приближенно
Р ⑹〜8р。а(曰^J) %+i(°)" 4*(2宀)
Или приближенно
Р ⑹〜8р。а(曰^J) %+i(°)" 4*(2宀)
4д/^аРо
4д/^аРо
*(2 冷 + 1) J2a +〃或+1
*(2 冷 + 1) J2a +〃或+1
(3.9)
(3.9)
Отсюда
о/ S4Poav^. 7г(2п+ 1)ж
Р(力，0) = */sin (3.10)
九=0 7г2(2п + 1)+ хА：2п+1
Для определения ширины В доменной границы вблизи поверхности сегнетоэлектрического кристалла определим значение Р(力，0) в середине домена и значение производной дР/дх в центре доменной стенки. Поляризация на поверхности кристалла посередине расстояния между доменными границами
P(d/2,0)P(d/2,0)4fb Га7Г V 27r4fb Га7Г V 27r(З.И)(З.И)
P(d/2,0)
P(d/2,0)
4fb Га7Г V 27r
4fb Га7Г V 27r
(З.И)
(З.И)
Аналогично производная
(3.12)(3.12)ЗР(0,0) _12傾
(3.12)
(3.12)
Эх ，^ d J〃 7г2(2九+1)2 — к{^{й
и V1十2d 济
Тогда ширина доменной стенки вблизи поверхности сегнетоэлектрика
В =В =P(d/2,0) dP(^^/dxP(d/2,0) dP(^^/dx(3.13)(3.13)
В =
В =
P(d/2,0) dP(^^/dx
P(d/2,0) dP(^^/dx
(3.13)
(3.13)
Как видно из (3.13), ширина доменной стенки вблизи поверхности сегнетоэлектрика в точности совпадает с ее шириной в объеме материала (1.21) [56]. Отметим, что в определенной степени полученный результат можно было прогнозировать, поскольку найденное ранее выражение для ширины стенки в объеме (1.21) не зависит явно от поляризации Р, а, следовательно, и не должно изменяться при том изменении поляризации, которое возникает вблизи поверхности кристалла.
Строение межфазных границ в сегнетоэлектриках
Если для доменных стенок в сегнетоэлектриках можно говорить о преимущественной их ориентации, определяемой, главным образом, симметрийными соображениями, то для межфазных границ ввиду очевидной замкнутости поверхности, ограничивающей зародыш новой фазы, необходимо рассматривать межфазные границы произвольной ориентации. Ниже мы рассмотрим границы двух качественно различных типов: параллельную и перпендикулярную направлению спонтанной поляризации. Граница произвольной ориентации может быть построена на этих двух границах.
Рассмотрим плоскую межфазную границу с нормалью к ней, совпадающей с осью х, разделяющую полярное состояние с поляризацией, ориентированной параллельно плоскости границы, например, вдоль оси z и неполярное состояние.
Воспользуемся обычным разложением термодинамического потенциала
市借)+" +冲+产 (4.1) коэффициенты которого в рассматриваемой задаче удовлетворяют определенным условиям. С одной стороны, поскольку мы рассматриваем устойчивое сосуществование фаз (полярной и неполярной), значения термодинамического потенциала для этих состояний
должны совпадать, что выражается в условии
皿 + ^用 + |^о = 0(4.2)
С другой стороны, из уравнения равновесия в сегнетоэлектрической области следует, что
а(Тс) + ^ + ^ = 0(4.3)
Система уравнений (4.2), (4.3), очевидно, дает определенную связь между коэффициентами разложения, которая, в частности, может быть записана следующим образом:
* 用(4.4)
Вытекающее из (4.1) уравнение, описывающее распределение поляризации в межфазной границе, имеет обычный вид
р
= а(К) + /?рЗ + 7P5(4.5)
с граничными условиями в данном случае Р(—ос) = 0, Р(+сю) = =Д). Первый интеграл этого уравнения, приведенный в разделе 2.1, в нашем случае с учетом (4.4) за счет сокращения двух последних слагаемых в квадратных скобках правой части упрощается и с учетом соотношения 7/6 = /З2/32а(Тс) = а(£)/2" записывается в виде
庐(^)2 =г仍2 -用)2/琳 6/a(к)■ (4-6)
Разделение переменных и последующее интегрирование в (4.6) выявляет следующее распределение поляризации в области межфазной границы [57]:
Р(х)=, 兄(4.7)
，ехр[—2 力/В] + 1
Поверхностная плотность энергии межфазной границы данной ориентации с учетом первого интеграла есть
ОО2
(М)修张 (4.8)
— ос
что существенно меньше энергии 180-градусной доменной границы (см. формулу (1.22)) при тех же значениях входящих сюда величин.
Межфазная граница рассмотренной ориентации, очевидно, не заряжена. В отличие от нее в границе с нормалью к ее плоскости,
совпадающей с полярной осью, изменение поляризации связано с образованием связанных электрических зарядов. Поэтому при рассмотрении структуры такой границы необходимо учитывать взаимодействие с поляризацией деполяризующих полей указанных зарядов, а также возможность их экранирования какими-либо носителями [58]. С точки зрения вычислений это приводит к тому, что вместо равенства нулю вариационной производной ЗФ/SP = 0, приводящего к уравнению (4.5), указанная производная приравнивается здесь напряженности деполяризующего поля связанных зарядов на границе 8&/8Р = Е. При этом само поле Е находится из обычного уравнения электростатики.
Предполагая, что экранирование поляризации в области межфазной границы осуществляется невырожденным собственным газом электронов и дырок с концентрацией носителей по, указанную систему уравнений, в которой для простоты положено 6Ж = 1, с учетом (4.4) можно записать в следующем виде [59]:
- 死
Ф =—
2
+编（*戸尸
川夕 彳dP 彳1畔、87moe2g
F + 4"k 4«2sh-)、*
(4.9)
Как следует из (4.9), в зависимости от степени экранирования мы получаем разные результаты. В отсутствии экранирования, т. е. при по 0, А сю величина деполяризующего поля согласно (4.9) равна Е = —4тгР, т. е. значению гораздо большему, чем термодинамическое коэрцитивное поле. В этом поле создающая поле поляризация неустойчива, т. е. должна самопроизвольно опрокидываться. Поэтому говорить о структуре плоской межфазной границы, перпендикулярной вектору поляризации, в отсутствие экранирования, очевидно, не имеет смысла.
Будем считать, что достаточная степень экранирования имеется в наличии и при этом длина экранирования А достаточно мала, так что между слагаемыми во втором из уравнений (4.9) выполняется неравенство Р屮〔d》《屮〔大.Тогда величина деполяризующего поля
W = 4
azdzz
(4.Ю)
и уравнение, описывающее распределение поляризации в области межфазной границы, принимает вид:
(х + 4тгА
J2P _ J fa(Tc
衣( 2珠
（死
Оно отличается от уравнения (4.5) только новой постоянной 无= =死 + 4тгА2 при корреляционном члене. Поэтому мы сразу можем написать распределение поляризации в области межфазной границы данной ориентации:
(4.12)(4.12)
(4.12)
(4.12)
Энергия единицы поверхности межфазной границы данной ориентации формируется поляризацией, ее взаимодействием с деполяризующим полем и электронной подсистемой. Функционал, варьированием которого получается система (4.9), имеет вид
7о7о4Trio sh2 券 +4Trio sh2 券 +dz.dz.(4.13)(4.13)
7о
7о
4Trio sh2 券 +
4Trio sh2 券 +
dz.
dz.
(4.13)
(4.13)
Значение 飞)，определяемое в результате подстановки в (4.13) распределения (4.12) и представляет собой энергию межфазной границы. С учетом первого интегрирования системы (4.9) интеграл (4.13) может быть переписан в виде
ОС7о = / Р字位=/ dz— осОС7о = / Р字位=/ dz— ос4тгА24тгА2ОСОС—ос—ос
ОС
7о = / Р字位=/ dz
— ос
ОС
7о = / Р字位=/ dz
— ос
4тгА2
4тгА2
ОС
ОС
—ос
—ос
В случае, если 必《坛，основной вклад в (4.14) вносит корреляционное слагаемое и тогда энергия межфазной границы определяется уже найденным выражением (4.8). Если же 8。》В。，то, наоборот, первым слагаемым в (4.14) можно пренебречь. В рассматриваемом здесь приближении Р屮〔"》《屮〔f поле —dg/dz》47rp и, значит, основной вклад в интеграл (4.14) вносит последнее слагаемое. Подставляя в него распределение (4.12) при 8。》В。, с учетом (4.10) мы получим
ОС
一4储2%簧=
丿 dz2
—ос
2\ 2\
dz = -j-Pg = -^-^a(^)- (4.15)
Как и следовало ожидать, выражение (4.15) практически совпадает с аналогичными выражениями (1.22) и (4.8) с точностью до изменения смысла толщины переходного слоя от корреляционной длины на дебаевскую длину экранирования. Поскольку, как правило, 8。》В。，то и энергия заряженной межфазной границы даже с учетом экранирования выше, чем незаряженной.
Строение доменных границ в несобственных сегнетоэлектриках и сегнетоэлектриках с несоразмерной фазой
В несобственных сегнетоэлектриках возникающая при фазовом переходе поляризация не является параметром порядка, т. е. не описывает того изменения симметрии, которое происходит при фазовом переходе. В этом случае связь поляризации с параметром порядка нелинейна и как следствие этого домены по параметру порядка и по вектору поляризации не совпадает друг с другом. Поэтому и физическая природа доменных стенок здесь различна в зависимости от природы тех доменов, которые она разделяет. Одни доменные стенки, которые разделяют домены с различными векторами поляризации, являются сегнетоэлектрическими доменными стенками. Другие, у которых поляризация в разделяемых доменах одна и та же, так называемыми антифазными доменными границами или просто антифазными границами [60].
Покажем это на примере несобственного сегнетоэлектрического кристалла с симметрией молибдата гадолиния Gd2(MnO4)3. Термодинамический потенциал такого кристалла при наличии одномерной неоднородности в этом случае есть
* = /%[偌)+偌)+©+
++ Q2) + 扇 + 2P +do (5.1)
422xo 丿
Минимизация потенциала Ф по F дает нелинейную связь
Р = —£ХО010,(5.2)
подстановка которой в (5.1) приводит к перенормировке коэффициента У в разложении потенциала Ф в ряд по двухкомпонентному параметру порядка (qi〉©). В результате потенциал Ф (5.1)
переписывается в виде:
- да(就 + 成)+ *qf + 或)+ ^q紡d力.(5.3)
Согласно (5.3), распределение параметра порядка описывается здесь системой уравнений:
=—сед +/3 疝 +)qi 底=—сед +/3 疝 +)qi 底=一做2 + /3 或 + 7Q1Q2-=一做2 + /3 或 + 7Q1Q2-(5.4)(5.4)
=—сед +/3 疝 +)qi 底
=—сед +/3 疝 +)qi 底
=一做2 + /3 或 + 7Q1Q2-
=一做2 + /3 或 + 7Q1Q2-
(5.4)
(5.4)
В однородном состоянии при —/3 < 7 < /3 стабильными являются состояния (см. рис. 2.7) [61]:
，Qi = Q2 = Qo =，а/(/3 +)), Р = -%o€Qo = 一 兄〉
P = -Po,P = -Po,(5.5)(5.5)77, —qi = Q2 = Qo,f —Qi = -Q2 = Qo,
P = -Po,
P = -Po,
(5.5)
(5.5)
IV, Qi = -Q2 = Qo,IV, Qi = -Q2 = Qo,P = Po.P = Po.
IV, Qi = -Q2 = Qo,
IV, Qi = -Q2 = Qo,
P = Po.
P = Po.
При 7 > /3 картина стабильных состояний представлена на рис. 2.8.
，Qi = Qo =，а//3, © = О,
/，勿=0, © = Qo,а
(5.6)
Qi = -Qo, Q2 = о,
Qi = о, 0 = -Q0, Pi = Pn = Pin = Piv = o.
Стабильность состояний (5.5) или (5.6) определяется из сравнения значений термодинамического потенциала в точках Л I Ф =) и точках В I Ф = —) соответственно.
I 2(/3+))丿V 4/3 丿
Переход из одного стабильного состояния (домена) в другое в пределах каждой из диаграмм (5.5) или (5.6) представляет собой доменные стенки в рассматриваемом материале. Указанным стенкам соответствуют линии (стороны, диагонали квадрата или другие кривые) на представленных рисунках. Как видно из распределения (5.5), все последовательные переходы 4/ <^> 4〃，Ац <^> Аш
Рис. 2.7. Картина распределения стабильных состояний термодинамического потенциала (5.3) при —/3 < 7 < /3 (точки А/, Ац, Ащ, /”)и возможных доменных границ в рассматриваемой системе (стороны и диагонали квадрата, другие кривые)
Рис. 2.8. Картина распределения стабильных состояний при 7 > /3 (точки В/, Вц, Вш, В/у) и возможных доменных границ (стороны и диагонали квадрата, другие кривые)
Аш <^> Л/у, Л/у <^> 4/ представляют собой сегнетоэлектрические доменные стенки, в то время как переходы 4/ 令今 4///, AjI <^> Л/у представляют собой антифазные границы. Для распределения (5.6) ни одно из стабильных состояний не связано с возникновением поляризации, поэтому и все переходы между ними (и стороны, и диагонали квадрата, и другие кривые на рис. 2.8) представляют собой только антифазные границы.
Сам процесс перехода из одного стабильного состояния в другое в антифазных границах может быть связан либо с возникновением поляризации (стороны квадрата и кривые / и 7 на рис. 2.8), либо с ее изменением — диагонали квадрата на рис. 2.7), либо происходить вообще без возникновения поляризации (диагонали квадрата на рис. 2.8).
Конкретное распределение параметра порядка (его компонент qi, з) вместе с возможным изменением поляризации в описанных выше границах определяется системой уравнений (5.4), связью (5.2) и соответствующими граничными условиями. К сожалению, в общем случае не найдено аналитического решения системы (5.4) и существуют ее решения только для отдельных частных случаев. Например, при qi (力)=q2(力)решение, соответствующее антифазной границе А^ОАш имеет вид:
Qi = Q2 = Qoth(力/В),Qi = Q2 = Qoth(力/В),(5.7)(5.7)
Qi = Q2 = Qoth(力/В),
Qi = Q2 = Qoth(力/В),
(5.7)
(5.7)
При 7 = 0 переход из 4/ в Ац осуществляется по стороне квадрата, т. е. в соответствии с распределением
0(力)=Qo th(力/В), q^x) = Qo,(5.8)
а переход 8〃 令今 8“ с помощью однокомпонентной стенки, т. е. по прямой на схеме рис. 2.8:
3 = Qo th(力/В),仇=0.(5.9)
При)# 0 решение системы (5.4) может быть найдено путем численных расчетов, вариационным способом, либо (при наличии малого параметра) — по теории возмущений.
Найдем, в частности, последним способом решение системы (5.4) для перехода 4/ <^> Ац. Рассмотрим случай 7//З《1. Будем искать в этом случае решение в виде © = qoth(力/6), qi(力) =與 + bqi. Для добавки bqi из первого из уравнений (5.4) имеем неоднородное уравнение [62]
d2 bqid2 bqi—2aBq】=——2aBq】=—7虚ch2(x/5)7虚ch2(x/5)
d2 bqi
d2 bqi
—2aBq】=—
—2aBq】=—
7虚ch2(x/5)
7虚ch2(x/5)
С помощью функции Грина его решение может быть записано как
ОС
7Q0 f ехр(-2 \ x-xf \ /S),
F ) —砧丽一小("I)
— ос
Очевидно, что решение Sqi(x) симметрично, обращается в ноль при 力一 ±ос, а при ж = 0 имеет максимум, величина которого из (5.11) равна
bqi(力=0) о 0J9号.(5.12)
Таким образом, переход в границе 4/ 令今 Ац идет по кривой 7 рис. 2.7 с величиной отклонения от прямой равной (5.12).
Величина энергии соответствующей границы получается подстановкой найденных решений в (5.1) и в данном случае оказывается приближенно равной
&3/2 死 1/2
7о = ——-做範(5.13)
т. е. описывается выражением, аналогичным выражению для 70 для доменной границы в обычных сегнетоэлектриках.
Отдельный интерес представляет изучение структуры доменных стенок в сегнетоэлектриках с несоразмерной фазой. Установлено, что несоразмерная фаза, характеризующаяся модулированным распределением параметра порядка возникает в системах с конкурирующими взаимодействиями, наличие которых благоприятствует неоднородному распределению параметра порядка. Ожидается, что эта особенность указанных кристаллов должна отразиться в доменной структуре и в соразмерной сегнетоэлектрической фазе.
Одна из простейших форм объемной плотности термодинамического потенциала в таких кристаллах имеет вид
+.614)
Предполагая для простоты, что 〃 = 0, уравнение для распределения вектора поляризации из вариации функционала / Ф(ж) dx записывается в виде
Рис. 2.9. Распределение поляризации в доменной стенке в соразмерной фазе сегнетоэлектрического кристалла, которой предшествует несоразмерная фаза
Численное решение этого уравнения с граничными условиями Р = ±Pq при х т ±ос в области стабильности соразмерной сегнетоэлектрической фазы приводит к распределению Р（力）в границе, показанному на рис. 2.9.
Характерной отличительной чертой этого распределения является приближение поляризации к равновесной величине после осцилляции, как функции координаты х. Наличие участков с превышением поляризацией Р равновесного значения Д） и осцилляционный характер приближения ее к равновесию отражают, по-видимому, тенденцию к пространственной модуляции в рассматриваемых материалах [63].
2.6. Фазовые переходы в доменных стенках в сегнетоэлектриках и родственных материалах
В случае многокомпонентного параметра порядка или нескольких параметров порядка их распределение в области доменной стенки допускает несколько вариантов. При изменении условий, в которых находится исследуемый материал, в частности, его температуры или давления, в структуре доменной стенки могут произойти качественные изменения, связанные с переходом от одного варианта структурного распределения параметров упорядочения в стенке к другому, в то время как структура и симметрия материала в объеме домена останутся неизменными. Такие изменения происходят в форме фазового перехода и называются фазовыми переходами в доменных стенках.
Фазовый переход в доменной стенке, индуцированный температурными изменениями, впервые наблюдался в D^ Fe Оз [64].
Переход в доменной границе, индуцированный внешним магнитным полем, наблюдался в CUCI2X2H2 О [65] и в (С2H5NH3)2 СиС} [66].
Особое внимание к фазовым переходам в доменных стенках, проявляемое в последнее время, безусловно связано с открытием высокотемпературной проводимости и указанием [67, 68] на тот факт, что температура фазового перехода в сверхпроводящее состояние в двойниковых границах выше, чем температура такого перехода в объеме материала. Другими словами, доменные или двойниковые границы рассматриваются как естественный фактор, способствующий повышению температуры перехода в сверхпроводящее состояние.
Рассмотрим фазовый переход в доменной стенке первоначально на примере материала с двумя однокомпонентными параметрами упорядочения 〃 и д. Простейший термодинамический потенциал, который описывает такую систему, имеет вид:
{号居了+年借
仇4 色2 I户2 4 I 7 2 j1、
+р) do (6.1)
В зависимости от соотношения между коэффициентами указанный потенциал допускает четыре однородных фазы (см. рис. 2.10).
В фазе /〃 = з = 0. В фазе // 〃 # 0, g = 0. Она существует в области от —оа < 0 до —а】< —(^仇/). В фазе III 〃 = 0, 3 # 0・
Рис. 2.10. Фазовая диаграмма для потенциала (6.1). Однопараметрическая стенка с 〃卢 0, g = 0 реализуется справа от линии 3. Доменная стенка с ту 采 0, 9 务 0 реализуется между линиями 2 и 3
Она существует в области от —о^ < 0 до —a^ 〉—a2MВ? • И, наконец, фаза IV, где 〃 # 0, g # 0 существует между линиями 1 и 2, т. е. от -Qi < -а2)//?2 до -сц < -о^ВМ? •
Распределение параметров порядка в участках с неоднородностью 〃 и д, в частности, в области доменных границ описывается системой уравнений, которая как обычно, получается из варьирования потенциала (6.1) по ту и(/?:
=一財〃 + 阮〃3 + 7W2,=一財〃 + 阮〃3 + 7W2,=—02 夕 + /?2 夕 3 + 7772 g.=—02 夕 + /?2 夕 3 + 7772 g.(6.2)(6.2)
=一財〃 + 阮〃3 + 7W2,
=一財〃 + 阮〃3 + 7W2,
=—02 夕 + /?2 夕 3 + 7772 g.
=—02 夕 + /?2 夕 3 + 7772 g.
(6.2)
(6.2)
Для фазы II система уравнений (6.2) имеет обычное решение, описывающее однопараметрическую доменную стенку:
〃(力)=7)0 th-,〃(力)=7)0 th-,〃о =〃о =g（力）=Оg（力）=О(6.3)(6.3)
〃(力)=7)0 th-,
〃(力)=7)0 th-,
〃о =
〃о =
g（力）=О
g（力）=О
(6.3)
(6.3)
Аналогично (1.9) вопрос определения устойчивости этого решения сводится к исследованию спектра собственных значений системы уравнений
一死]力不+ (一因+ 3仇〃2 + 792)以 =8九心)
X(6・4)
, 2 + ( — “2 + З/З2' + )〃2)吵九=An^n-
Подстановка в (6.4) исследуемого решения (6.3) позволяет представить каждое из уравнений системы (6.4) в виде уравнения Шредингера с потенциалом V(力)〜ch~2(力/В):
一而强+Q1 [2-^^^ =
"2需 + Ja2 + )喲%-證^ =
Условием стабильности решения (6.3) является неотрицательность всех собственных значений системы (6.5). Использование известного решения уравнений системы (6.5) позволяет найти
2■"2 + W2■"2 + Wа2因入0=一-Б 8xiа2因入0=一-Б 8xiтривиальное 金()〜 財 и
2
■"2 + W
2
■"2 + W
а2因
入0=一-Б 8xi
а2因
入0=一-Б 8xi
(6.6)
Приравнивание Ло = 0 позволяет найти границу устойчивости решения (6.3) для доменной границы на фазовой диаграмме (qi, Q2)[69]. Согласно (6.6) уравнением линии 3 на рис. 2.10. является прямая
(6.7)(6.7)-8(Х1/Х2)«2_ 8X1 7
(6.7)
(6.7)
Q — [1 — д/1 + @2 ' ' В \
Левее линии 3, очевидно, реализуется распределение в доменной стенке с〃#0ид#0. Появление нового ненулевого параметра означает, что здесь вблизи исходной доменой стенки выпадает слой новой фазы (夕 步 0), локализованный вблизи доменной стенки. Ло- кализованность указанного слоя подтверждается известным видом собственной функции ^о второго из уравнений системы (6.5).
Говоря о фазовом переходе в доменной стенке в материале с многокомпонентными параметрами порядка (仙小)，необходимо отметить, что с формальной точки зрения разница в его описании по сравнении с предыдущим материалом состоит в существовании здесь дополнительной связи между коэффициентами разложения в (6.1): Qi = Q2, /?1 = ® Xi = ><2- И хотя сама схема рассмотрения
Рис. 2.11. Переход от плоской доменной стенки с изменением параметра порядка по модулю (а) к стенке с одновременным изменением модуля и ориентации параметра порядка (б)Рис. 2.11. Переход от плоской доменной стенки с изменением параметра порядка по модулю (а) к стенке с одновременным изменением модуля и ориентации параметра порядка (б)
Рис. 2.11. Переход от плоской доменной стенки с изменением параметра порядка по модулю (а) к стенке с одновременным изменением модуля и ориентации параметра порядка (б)
Рис. 2.11. Переход от плоской доменной стенки с изменением параметра порядка по модулю (а) к стенке с одновременным изменением модуля и ориентации параметра порядка (б)
фазового перехода в материале с несколькими параметрами порядка и материале с многокомпонентным параметром остается той же, интерпретация получаемых результатов в последнем случае качественно меняется. Появление в результате фазового перехода дополнительной компоненты 〃2 ¥ 0 в доменной стенке по сравнению, например, с исходным однокомпонентным распределением означает здесь не выпадение новой фазы, а поворот параметра порядка. В результате вместо плоской доменной границы (параметр порядка всюду лежит в одной плоскости) возникает доменная граница вращательного типа (см. рис. 2.11) [62]. При этом, конечно, вместе с вращением в границе может наблюдаться и изменение модуля параметра порядка. Есть основания полагать, что такой фазовый переход в доменной стенке реализуется в антифазной доменной границе несобственного сегнетоэлектрического кристалла молибдата гадолия GMO [70].
ГЛАВА 3
Микроскопическое рассмотрение структуры доменных границ в сегнетоэлектриках
Как видно из результатов главы 2, кроме некоторого интервала вблизи точки Кюри К, доменные границы в сегнетоэлектриках везде остаются узкими с шириной всего в нескольких постоянных элементарной ячейки. Очевидно, что для таких границ использование результатов континуального рассмотрения, где сама функциональная зависимость (например, зависимость (1.27) или (1.26) главы 2), описывающая изменение вектора поляризации в границе, может в пределе просто попасть на межатомный промежуток, для серьезных численных оценок неприемлемо. В этом случае необходимо микроскопическое рассмотрение, опирающееся на детали конкретной структуры и особенности взаимодействий в том или ином материале.
Решеточный потенциальный рельеф для доменной стенки. Вычисление параметров решеточного рельефа в квазикон- тинуальном приближении
Принципиальным отличием результатов микроскопического анализа структуры доменных границ по сравнению с континуальным приближением является выявление координатной зависимости энергии доменных границ )(U), где U — координата центра границы. Наличие такой зависимости связано с неэквивалентностью различных положений доменной границы в дискретной решетке (рис. 3.1).
Действительно, как видно из рис. 3.1, смещение центра доменной стенки, показанное здесь вертикальной штриховой линией, на половину межатомного расстояния а/2 качественно меняет симметрию относительного расположения атомов и связанных с ними дипольных моментов в границе. В соответствии с этим может различаться и энергия соответствующих конфигураций доменной
Рис. 3.1. Распределение смещений сегнетоактивных частиц в различных конфигурациях узкой доменной стенки в сегнетоэлектриках
66Рис. 3.2. Изменение вектора поляризации для различных конфигураций узкой доменной стенки (а). Периодическая зависимость поверхностной плотности энергии доменной стенки с учетом дискретности кристаллинеской решетки (б); Vo ——решеточный энергетический барьер для доменной стенкиРис. 3.2. Изменение вектора поляризации для различных конфигураций узкой доменной стенки (а). Периодическая зависимость поверхностной плотности энергии доменной стенки с учетом дискретности кристаллинеской решетки (б); Vo ——решеточный энергетический барьер для доменной стенки
6
6
Рис. 3.2. Изменение вектора поляризации для различных конфигураций узкой доменной стенки (а). Периодическая зависимость поверхностной плотности энергии доменной стенки с учетом дискретности кристаллинеской решетки (б); Vo ——решеточный энергетический барьер для доменной стенки
Рис. 3.2. Изменение вектора поляризации для различных конфигураций узкой доменной стенки (а). Периодическая зависимость поверхностной плотности энергии доменной стенки с учетом дискретности кристаллинеской решетки (б); Vo ——решеточный энергетический барьер для доменной стенки
стенки (рис. 3.2), что приводит к периодическому решеточному рельефу для доменной стенки, аналогичному рельефу Пайерлса для дислокаций. При этом разница в энергии показанных на рис. 3.1 конфигураций доменной стенки обычно и представляет величину решеточного энергетического барьера %.
Рассмотрим изменение поверхностной энергии доменной стенки, которым сопровождается ее однородное перемещение в кристаллической решетке. Учет дискретности кристаллической структуры приводит к замене интеграла в термодинамическом потенциале кристалла на сумму членов, относящихся к отдельным атомным плоскостям. В кристалле с фазовым переходом II рода
@ = а £%(办—.(1.1)
Здесь п ——номер атомной плоскости, а ——межплоскостное расстояние, Рп = Р(па)——значение вектора поляризации в n-й атомной плоскости. Экстремумам (1.1) соответствуют значения Рп, являющиеся решениями разностного уравнения
—(Дг+i — 2 兄 + 3—1) = —aPn + ^Р^(1.2)
с граничными условиями Pn ^ ±Pq при 八 т ±ос. Подстановка (1.2) в (1.1) за вычетом энергии однородного состояния дает
7 =aE卜(耳)-夕(凡)-也奈｝=a £ /(гm -и), пп)ОС
(1.3)
где, как и раньше,夕(办)= —^琛 + £К‘ а 兄 удовлетворяет уравнению (1.2).
Переход в (1.3) к континуальному пределу дает не зависящую от координаты U величину 7, в то время как непосредственный расчет решеточной суммы приводит к зависимости поверхностной плотности энергии доменной стенки от ее положения 7 =)(U).
Проще всего параметры решеточного рельефа оценить в рамках так называемого квазиконтинуального приближения [71]. С учетом периодичности зависимости)(U) разложим ее в ряд Фурье
ОС7(и)= £ 7(и)戸ос
(1.8)(1.8)7Г2m2屏 + 17Г2m2屏 + 1)(U) = 7о +)(U) = 7о +Vq 2?rrzUVq 2?rrzU
(1.8)
(1.8)
7Г2m2屏 + 1
7Г2m2屏 + 1
)(U) = 7о +
)(U) = 7о +
Vq 2?rrzU
Vq 2?rrzU
где коэффициенты разложения
а
f(na-U)e-^imU>a dU.f(na-U)e-^imU>a dU.7т = |У 仰)宀EadU =
f(na-U)e-^imU>a dU.
f(na-U)e-^imU>a dU.
О
(1.5)
Домножая (1.5) на тождественную единицу 627r^77271 и проводя замену переменной U — na = Uf вместо (1.5), получим
(—п+1)а
7m = £/ 〃⑺ e~2M/a dU'=
九—ос
=/ /(ж)е-2~/а dx. (1.6)
—ос
Основным приближением, которое делается в рамках квазиконти- нуального подхода является использование при вычислении (1.6) не реальной зависимости Рп от п из (1.2), а континуальной зависимости Р(力) = Pq th(力/В), найденной в главе 2. В этом случае, с учетом явного вида2
= 8(Р) — 8(Ро) + ^ (^|)(1.7) (см.разд ел 2.1) коэффициенты
ОС
沁 2。/ ch4(力/8)30，
—ос
户 f cos(27rmx/a)
…ch4^ =
—oc
Vq = 8тг7о
Согласно (1.9) зависимость)(U) действительно имеет периодический вид с величиной барьера Vq, существенно зависящей от относительной ширины доменной стенки (по сравнению с решеточной постоянной). При В》а, как это имеет место, например, для ферромагнетиков и сегнетоэлектриков вблизи точки Кюри, барьер в зависимости)(U) практически исчезает, в то время как для узких доменных границ с В 〜а его наличие, как мы увидим ниже, существенно сказывается на возможности перемещения доменных границ.
Вычисление электрических полей в периодических дипольных структурах. Определение корреляционной постоянной в рамках диполь-дипольного взаимодействия
В основе изучения микроструктуры доменных границ в тех или иных материалах лежит определение электрических полей в месте расположения структурных единиц, а также вычисление энергии диполь-дипольного взаимодействия, которое играет особенно важную роль в сегнетоэлектриках. Ниже приводится схема, которая позволяет достаточно быстро универсальным способом рассчитывать электрические поля в различных структурах.
Как известно из электростатики, дипольный вклад в электростатический потенциал д〃，получаемый в результате разложения в ряд потенциала системы зарядов, имеет вид
J I
где Pj ——J-ая проекция дипольного момента системы, расположенного в точке с координатой г'. Отсюда создаваемое им поле
Ei =一豎=鼻巴黑公Ir-rq三鼻为号 (2-2)
где
1
Iij = 一I(2.3) dxidxj I г — г7 I
так называемый структурный фактор.
При конкретных структурных расчетах приходится выделять подрешетки различных диполей. Нумеруя их индексами 从 и 沙，а также учитывая симметрию задачи, т. е. одинаковость всех дипольных моментов 沙-oro типа Pyj(x^) при фиксированной координате 力々 вдоль направления нормали к границе и вводя с учетом этого структурный
фактор для дипольной плоскости
厶伞“—⑦(2'4)
г-ю компоненту электрического поля в месте расположения диполя /1-го типа можно записать в виде
斗Е = ^2 52 5L % (力从-以)P“j (或)(2.5)
В (2.5) суммирование осуществляется соответственно по дипольным плоскостям, типом диполей или дипольных комплексов и проекциям дипольных моментов. Штрих в сумме (2.4) означает неучет самодействия соответствующего диполя.
Медленная сходимость при суммировании в (2.4) делает неудобным здесь вычисления в реальном пространстве. Гораздо удобнее их делать, используя фурье-разложение. Для этого перейдем предварительно от гм и к новым переменным г и г^^ , где вектор г описывает положение элементарной ячейки в кристалле, а вектор г^ ——относительное расположение дипольных единиц в пределах элементарной ячейки. Тогда вместо разности в (2.4) г^ — г J имеем г — г^ = гм — г^. Переходя далее к безразмерным переменным rii = Xi/ai и Si^y = Xi^/ai, где Xi и Xi^ компоненты векторов г и г^у соответственно, а а^ ——размеры элементарной ячейки по соответствующим осям, вместо (2.4) введем безразмерный структурный (решеточный) фактор, который для решетки близкой к кубической примет вид:
勿(也 S)= кч 4/^-0 =不3 (2・6)
Здесь п =(П1, П2,八3), s 三 s^^,匕4 ——объем элементарной ячейки.
Разложим в (2.6) сумму £ ^щ в ряд Фурье. Тогда вместо (2.6) можно записать
4>(ni,s) =Т /(m2,m3) exp (2тгг(т252 +m3s3)),
(2.7)
где коэффициент Фурье-разложения
/(m2,m3) =£ I—з—г j ехр(—2тг“тп2б2+ 恤63)),
Q Q '九2,九3 II /
При вычислении (2.8) воспользуемся следующими преобразованиями. Домножим правую часть (2.8) на величину ехр (2тг“тп2八2 + ТП3П3)) тождественно равную 1 и вместо s введем новый вектор s' = (si, S2 — П2, S3 — пз). Тогда в новых переменных
-П2 + 1 -Пз + 1
九2，九3 -П2—九3 у ^2 +sg +(nl - S1Y
х ехр (—2тг“т2б$ + m^s^ ds$ dsf3. (2.9)
Заменяя сумму отдельных интегралов на интегралы в бесконечных пределах, получим
/(m2,m3)/(m2,m3)11XX
/(m2,m3)
/(m2,m3)
1
1
X
X
х ехр (—2тг“т2б$ + тз^з)) ds$ dsg, (2.10)
Переходя к полярной системе координат sf2 = р cos ср, sf3 = р sin g имеем ср + s^ =诡 s$2 十，不=^。cos 夕 и, значит,
27r ОО
exp (—Zrimp cos g) pdpd屮=
ОС
/ 2тг^у^^= pc?p = — ехр (-2тгта), (2.11)
丿Jp2 + d2 a
оv，
a =| 八1 — si I .
Возвращаясь к (2.7) с учетом симметричности зависимости (2.11) от m2, m3 (т = у m^ + т|) окончательно имеем следующее выражение для структурного фактора дипольной плоскости [72]:
/“ (s〉八1)=/“ (s〉八1)=а?dsidsjа?dsidsj£小2冲3£小2冲327rmi-siI27rmi-siIxx
/“ (s〉八1)=
/“ (s〉八1)=
а?dsidsj
а?dsidsj
£
小2冲3
£
小2冲3
27rmi-siI
27rmi-siI
x
x
x exp < —2тг|п1 — siIл/m^ + m| > x
Соотношение (2.12) пригодно только для материалов со слабым отклонением от кубичности исходной ячейки при переходе материала в сегнетофазу. В других случаях вместо (2.12) решеточный фактор для соответствующей плоскости можно получить в виде суммы решеточных факторов для дипольных нитей. Таким же образом его приходится вычислять в любом случае для так называемой «своей» плоскости, т. е. плоскости, проходящей через диполь, в месте расположения которого ищется электрическое поле. Как и следовало ожидать, в этом случае, т. е. при гл = б, в выражении (2.12) возникает расходимость.
Вычисление структурного фактора для дипольной нити проводится аналогично случаю дипольной плоскости, за исключением того, что здесь применяется разложение в одномерный интеграл Фурье. Для нити, ориентированной вдоль оси z
",(n],n2$ = % 為=
=■：£/(7nз)ехр(2тг〃пгзбз), (2.13)
23 ТПЗ
ОСОС— ос— ос7(g) = /(£ I 仰：Si |) exp(—27T〃ni3S3)ds3 =
ОС
ОС
— ос
— ос
竭.(2.14)竭.(2.14)exp (—2тггтз5з)
竭.(2.14)
竭.(2.14)
，(八1 一 61)2 + (九2 — 62产 + 谒
После переобозначения (ni — si)2 + (九2 — £2)? = а? получаем
ОС
/(恤)= / ,「+ 谒 exp (—27rim3s\)竭=
—ос
=2Ko(2тгт3，(九1 - 61)2 + (九2 - S2)2),(2.15)
где К。(力)——цилиндрическая функция Макдональда.
С учетом (2.15) и неучтенного в (2.15) возможного различия в параметрах элементарной ячейки структурный фактор для «не своей» дипольной нити имеет вид:
/^(s,ni,n2) = a a 2开〉一X dsiOsj厶17г
j m3
хК。хК。山5]-61)2 + 或(П2 - 62)山5]-61)2 + 或(П2 - 62)СО8(27ГШз5з).СО8(27ГШз5з).(2.16)(2.16)
хК。
хК。
山5]-61)2 + 或(П2 - 62)
山5]-61)2 + 或(П2 - 62)
СО8(27ГШз5з).
СО8(27ГШз5з).
(2.16)
(2.16)
Решеточный фактор для «своей» нити, т. е. нити, проходящей через точку, в которой ищется поле
ОС1
(2.17)(2.17)/ = 2 V7.
(2.17)
(2.17)
— S3 I3
Полученные выше выражения позволяют оценить прежде всего величину корреляционной постоянной, используемой в главе 2, в предположении, что основной вклад в нее вносит диполь-дипольное взаимодействие. Рассмотрим для этого простейшую кубическую решетку диполей, ориентированных вдоль одной оси z и будем считать, что изменение их величины зависит только от одной координаты X. Это позволяет убрать все индексы в выражении (2.5) и записать объемную плотность энергии диполь-дипольного взаимодействия в виде суммы
①九=〉：—I(n — РпРщ①九=〉：—I(n — РпРщ(2.18)(2.18)
①九=〉：—I(n — РпРщ
①九=〉：—I(n — РпРщ
(2.18)
(2.18)
Здесь n, m ——номера атомных плоскостей, Рп и Рт——значения вектора поляризации в этих плоскостях, /(п — т)——безразмерный структурный фактор (2.6), зависящий от разности номеров плоскостей.
С учетом неоднородности распределения вектора поляризации его значения в плоскостях соседних с n-й плоскостью можно записать в виде разложений
d _ D dPn 1 修办 2 I
(2.19)(2.19)= Pn + ~^a + 2 dx2 a
(2.19)
(2.19)
с c dPn1 dPPn о
Pn-i = Pn- a +…
dx2 dx”
Как видно из (2.12), решеточный фактор /(n —m) экспоненциально спадает с ростом аргумента, что позволяет в (2.18) оставить взаимодействие только с диполями «своей» и соседних атомных плоскостей. В результате выражение (2.18) с учетом сокращения членов, содержащих первые производные, может быть записано в виде
1р
Фп = -[1(0) + 2/(1)]肾--a2 /⑴ Pn(2.20)
или, после вычисления суммы £ ①九一 / Ф(ж) dx/a с использованием результата интегрирования по частям, как
①九=$0 + 3a2 2/(1)①九=$0 + 3a2 2/(1)
①九=$0 + 3a2 2/(1)
①九=$0 + 3a2 2/(1)
%о = —[/(0) + 2/⑴]肾.
Как видно из (2.21), второе слагаемое в Фп здесь совпадает с обычным корреляционным членом в (1.1) при
х = а2 2/(1).(2.22)
Для простой кубической решетки из (2.16)
/⑴=_(2тг)з ^2 ^з exp f—27гу^m^ + m| j ~ —0,926. (2.23) 小2師3\/
Таким образом, здесь |х| о 1,85а2 или 〜 а2 как это обычно берется при оценках по порядку величины.
Строение 180-градусной и 90-градусной доменных стенок в кристалле титаната бария
Рис. 3.3. Элементарная ячейка титаната бария: о ——барий, •——кислород, * ——титан [2].Рис. 3.3. Элементарная ячейка титаната бария: о ——барий, •——кислород, * ——титан [2].Микроскопический расчет строения доменных границ опирается на структуру конкретного материала. Элементарная ячейка одного из немногих кристаллов, для которых выполнены такие расчеты —— кристалла титаната бария BaTiOs приведена на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Элементарная ячейка титаната бария: о ——барий, •——кислород, * ——титан [2].
Рис. 3.3. Элементарная ячейка титаната бария: о ——барий, •——кислород, * ——титан [2].
В основе структуры титаната бария лежат кислородные октаэдры TiOg центрированные титаном и соединенные между собой вершинами. В пространствах между октаэдрами расположены катионы Ва.
В исходной параэлектрической фазе элементарная ячейка BaTiOs имеет кубическую симметрию с параметром решетки равным примерно 4 А. При Т = 120° С кристалл переходит
в тетрагональную сегнетоэлектрическую фазу, которая при 0° С трансформируется в ромбическую, а затем при —90 -4- 70° С — в ромбоэдрическую.
Спонтанная поляризация в соответствующих сегнетоэлектрических фазах направлена соответственно вдоль ребра, диагонали грани и пространственной диагонали куба.
Для проведения дальнейших расчетов пронумеруем ионы различного типа в элементарной ячейке. Припишем значение индексов 从〉^ = 0,1, 2,3,4 соответственно для ионов Ti, О1, О2, О3 и Ва, при этом значения 从，г/ = 2 припишем тем ионам кислорода, которые лежат в одной плоскости с ионами титана, параллельной доменной границе.
При определении структуры доменных границ будем исходить из модели Слейтера, в которой полагается, что ионная поляризация Р‘ создается только смещением иона титана, при этом все ионы имеют электронные поляризуемости. Дипольные моменты, создаваемые любыми смещениями зарядов считаются точечными и расположенными в местах, занимаемых соответствующими ионами.
Рассмотрим строение 180-градусной доменной стенки. Для определения распределения полной поляризации в границе необходимо найти связь между ионной и электронной поляризацией. При вычислении электронной поляризации ограничимся самым большим вкладом в нее F, который дадут, очевидно, электронные смещения в ионах кислорода О1, лежащих на одной прямой с ионами титана, параллельными вектору поляризации. Указанную связь между Р и Pf в произвольной n-й атомной плоскости в границе, содержащей ионы титана и указанные кислороды О1, можно найти, вычисляя напряженность электрического поля, создаваемого в месте расположения кислорода О1.
Предполагая, что возникающая поляризация направлена вдоль оси z, согласно выражениям (2.16) и (2.7) предыдущего раздела напряженность электрического поля в месте положения кислорода О1 в n-й атомной плоскости может быть записана в виде
^(О1) = £ {/о(п - 〃) 2, + 厶/2(九-川)胃，}, (3.1) nf
где
人3(九-九/) = К一苏,0 £ \n3- S3 I3 —
-(2万)3e(1 —^n —nf ,0 ^П2,0)X
ОО2
х ^2 ^2—К。^2тгтcos(27rms3). (3.2)
Здесь /о и /у? представляют собой структурные факторы для дипольных плоскостей, составленных из диполей, расположенных в местах рассматриваемых кислородов О1 и ионов титана соответственно. Индексы 0 и 1/2 у этих факторов соответствуют тому значению，з, которое надо взять при вычислении соответствующих факторов на основании выражения (3.2).
В связи с быстрым убыванием значений структурных факторов /о(^ —九')и 厶/2(九—nz) с ростом аргумента ограничимся в сумме
(3.1) несколькими членами. Вводя электронную поляризуем ость иона кислорода а соотношением 戶 = а £?(ОХ), на основании (3.1) получим следующее уравнение, связывающее:
(а_1 - /о) Рп - То⑴(2+1 - 2Рп + 2—1)=
(3.3) =Л/2 Рп - /1/2⑴(已+1 — 2已 + 已—])•
Здесь/о = /о(О)-2/о(1), ^1/2 = Л/2(0) -2Л/2(1)• Численные значения решеточных сумм получаются следующими: /。(0) = 4,5, A/2(0) = 32,5, /0(1) = -0,1,a/2(1) = 0,1.
В пределе узкой стенки, где Рп-1 — Рп — —办+L решение уравнения (3.3) можно выразить через Рп = Р^ + что с учетом конкретных значений решеточных факторов и поляризуемости а = 3,710-2 [2] дает здесь
2 = 0,6 马，已= 0,4%.(3.4)
Знание связи между 以 и 彳 позволяет теперь записать уравнение на распределение полной поляризации в границе. Для этого, как и раньше, воспользуемся вычисленным на основании (3.1) и (3.2) значением напряженности электрического поля на этот раз в месте расположения иона титана. Согласно (3.1) и (3.2)
硏Ti)=幺已+ А⑴(已+i - 2已+ p^ +
+ 乎1/2 РП + а/2⑴(2+1 - 22 + 2一1). (3.5)
С другой стороны, эта же напряженность может быть найдена как производная от термодинамического потенциала а ①/а 片=-еп
①=Е + ^已4 + ^已%(3.6)
n丿
коэффициенты а, /3, 7 которого определяются короткодействующими атомными потенциалами. Приравнивание указанных выражений с учетом (3.4) приводит к следующему уравнению равновесия, описывающему распределение полной поляризации в границе:
— 2马 + Рп-1) = —а% + ^Р^ + )爲〉
а(3.7)
х = [О,4/о(1) + 0, 6/1/2(1)] а2 о 0,02 а2.
Как и следовало ожидать, уравнение (3.7) полностью аналогично общему уравнению (2.2), с той разницей, что здесь найдена структура различных вкладов в коэффициенты разложения терм одинамиче ско - го потенциала.
Решение системы уравнений (3.7) для различных граничных конфигураций (см. рис. 3.1, а, б) может быть найдено методом, использованным при рассмотрении структуры ядра дислокации. Симметрия распределения значений вектора поляризации для различных атомных плоскостей в двух конфигурациях доменной стенки с экстремальными значениями энергии описывается выражениями вида:
/• Рп=о = О, Рп = -Р-п, п = ±1, ±2,...
〃.Р-+1 = —办，n = ±l,±2, )
Метод [73] состоит в том, что значения вектора поляризации в центре границы (плоскости с номерами п = 0, ±1 в конфигурации I и плоскости с номерами п = 0, —1 в конфигурации II) определяются непосредственно из системы уравнений (3.7). Для остальной части границы изменение поляризации с номером | п | моделируется зависимостью вида
Pn = PQ[1 - с ехр(- I n I А)], п > 2, (3.9) где параметр А, характеризующий ширину границы, определяется из условия самосогласования, получающегося в результате подстановки приближенного решения (3.9) в точные уравнения (3.7) в пределе больших п. Коэффициент с в (3.9) определяется из условия сшивки решений (3.7) и (3.9) в центре границы при n = 1.
Проведенные в [72] расчеты при полученных здесь при Т = 20℃ значениях а = 30,2 • 10~3, /3 = 0,9 • 10~12, 7 = =54 • 10-23 и Д)= 8 • 104 ед. CGSE выявили следующее распределение поляризации в конфигурациях I и II:
‘0,
п = 0
(О,6Ро,
Ы= 1
/• Рп = <
0,8 Ро,
п = 1 II. Рп =
< О,9Ро,
1 п |= 2(3.10)
п > 1
п > 2
Расчеты энергий данных граничных конфигураций показали, что при комнатной температуре конфигурация II является устойчивой или основной. Значение 70 для нее, полученное из выражения (1.3) с добавлением сюда слагаемого 患(Т —々?)，оказывается равным 6,3 эрг • см-2. Конфигурация /, наоборот, является седловой или барьерной со значением 7 = 70 + ^ = 7эрг • см-2. Таким образом, величина решеточного барьера, который необходимо преодолевать данной стенке при своем движении составляет 0,7эрг • см-2, что близко к данным [74,75].
Аналогичные расчеты, выполненные в [76,77] для 90-градусной доменной стенки в ВаТЮз показали, что в первом приближении ее структура соответствует выводам континуального приближения.
При этом ширина доменной стенки J о 5,2 а о 21А и поверхностная плотность ее энергии 70 — 7,1 эрг/см2. Решеточный энергетический барьер для такой стенки оказывается пренебрежимо малым. Как и феноменологическое рассмотрение [55], численный расчет структуры 90-градусной доменной стенки в BaTiOs подтверждает наличие неоднородности в распределении компоненты поляризации нормальной к плоскости границы, приводящей к возникновению внутреннего электрического поля в такой границе.
Строение доменных границ в сегнетоэлектрических кристаллах группы дигидрофосфата калия
Сегнетоэлектрический кристалл дигидрофосфата калия КН2РО4 (KDP) имеет тетрагональную симметрию в исходной па- раэлектрической фазе и орторомбическую ниже точки Кюри Тс = 123 К. Кристаллическая решетка этого соединения состоит из двух вставленных друг в друга объемоцентрированных подрешеток РО4 и двух объемоцентрированных подрешеток К, при этом решетки РО4 и К смещены вдоль полярного г-направления (рис. 3.4). Тетраэдры РО4 соединены водородными связями, которые лежат почти перпендикулярно сегнетоэлектрической оси.
Переход в сегнетоэлектрическую фазу сопровождается упорядочением протонов на водородных связях. Наблюдаемая величина поляризации вдали от Тс Pq = 5,1мкк • см-2 [2] объясняется смещением ионов К+, Р5+, О2- вдоль оси z относительно их
Рис. 3.4. Структура элементарной ячейки кристалла КН2Po4 по Вэсту [2]
симметричных положений. Сами смещения протонов на водородных связях вклада в величину Д)практически не дают, но считается, что их упорядочение является причиной смещения остальных ионов, дающих непосредственный вклад в спонтанную поляризацию.
Кристалл дигидрофосфата калия имеет много изоморфных ему соединений, которые также являются сегнетоэлектриками. Они образуются путем замены K—Rb, Cs и PtAs, а также водорода на дейтерий HtD.
В кластерном приближении кристалл КН2PО4 представляется [6] в виде набора конфигураций (см. рис. 3.5) с различным числом протонов, прилегающих к тетраэдру РО4. Среди этих конфигураций есть полярные и нейтральные, каждая из них обладает определенной энергией и, следовательно, определенной вероятностью ее реализации.
При низких температурах в сегнетоэлектрической области объем каждого из доменов можно представить состоящим из тех или иных конфигураций типа 1. При этом согласно [78] (см. рис. 3.6), доменная граница представляет собой мономолекулярный слой из конфигураций типа 2. В соответствии с симметрией расположения около них протонов, конфигурациям типа 2 также можно приписать определенный дипольный момент, но ориентированный уже в направлении, перпендикулярном вектору Pq. Как видно из рис. 3.6, возможны два типа доменных границ, составленных из конфигураций типа 2. Граница «нейтральная», где соседние соответствующие им диполи антипараллельны друг другу и граница «полярная» с параллельной ориентацией указанных диполей. С точки зрения электростатической энергии «полярная» стенка является энергетически более выгодной.
Конфигурация
Энергия
Дипольный момент
Формула
1
0
土Р
Н2 РО4
2
図図
匿）
0
Н2 РО4
3
W
土Р/2
Н3 РО4, НРО4
4
ж
0
Н4 РО4, РО4
Рис. 3.5. Схематическое изображение тетраэдров РО4 в структуре кристал-ла KDP с прилегающими к ним протонами
Рис. 3.6. Модель доменной границы в кристалле КН2Po4 (выделена штриховой линией), составленной из статических конфигураций Слейтера, (а)—— нейтральная граница, (6)——полярная граница [78].
Схема рис. 3.6 дает хорошее качественное представление о структуре доменной границы в недейтерированных кристаллах группы IGH2PO4 лишь в области низких температур. Наличие эффекта туннелирования протонов на водородных связях в недейтерированных кристаллах, а также неравные нулю температуры приведут к разупо- рядочению в положениях протонов на водородных связях. Очевидно, что это скажется как на структуре, так и на поверхностной плотности энергии доменной стенки. Кроме того, при реальных расчетах помимо короткодействующего взаимодействия, учитываемого через энергии граничных конфигураций (рис. 3.5), необходимо учитывать и электростатическую энергию взаимодействия диполей в границе.
Проведем по с ледовательный учет влияния указанных факторов на параметры доменной границы в кристаллах типа КН2РО4. Рассмотрим плоскую доменную стенку в бесконечном кристалле со спонтанной поляризацией, ориентированной вдоль оси z и нормалью к стенке, совпадающей с осью х. Для описания короткодействующих взаимодействий в границе воспользуемся гамильтонианом модели Изинга в поперечном поле [6]
н = -^хг-^ 九Z4・(4.1)
Здесь i ——номер протона на водородной связи, Q ——константа (интеграл) туннелирования, /у ——константы квазиспинового взаимодействия. Значения отличны от нуля только для взаимодействия ближайших соседей, причем имеется только две различные
константы взаимодействия [6]. Для взаимодействия х — у, у — х, связей 夕ij = V, а для взаимодействия х — х^у — у, связей 歹^ = =U. X* — квазиспиновые операторы, описывающие положение протона на водородной связи. Волновая функция протона на водородной связи выбирается в виде линейной комбинации функций: 次=电 \^) + bi IJ), гДе IT) и I J) описывают положение протона вдали от границы и берутся в виде линейной комбинации из функций 什〉и IQ, локализованных у «верхнего» и «нижнего» ионов кислорода на связи:
|Т) = а(х)|Т〉+ ^оо ID〉1() = 山 + a0c |ф),
Коэффициенты а» Ь^ описывают положение протона на связи вдали от границы, поскольку с учетом туннелирования I〈Z〉±OO 1-
Задача нахождения координатной зависимости〈Z», описывающей положение протона на г-й водородной связи, сводится к нахождению коэффициентов 电 и 加，так как
(7г} = ^-Ь^а1-ЬЦ (4.3)
Коэффициенты а^, 6^ выражаются через значение〈Z力 вдали от границы. Из соображений симметрии предполагается равенство по модулю смещений протонов на 力-связях, равноудаленных от плоскости границы, и равенство их на g-связях, подходящих к одной группе РО4.
Рассмотрим сначала конфигурацию границы с плоскостью симметрии, проходящей через среднее положение ^/-связей (рис. 3.7) (как мы увидим в дальнейшем, она окажется здесь основной).
Эффективное взаимодействие любой g-связи середины граничного слоя (одна цепочка связей) с соседними ж-связями равно нулю. Следовательно, смещение протонов в середине граничного слоя зависит только от взаимодействия указанных ^/-связей друг с другом и эффекта туннелирования протонов на водородных связях. Считая границу узкой, для расчета коэффициентов а〃 и 仇 можно применить вариационный метод. Введем вариационные параметры 。1 и 。2, 。1 для связей середины граничного слоя, 。2 一 для всех остальных. Для удобства нумерации связей введем также полосы, параллельные плоскости границы, шириной в половину размера элементарной ячейки с границами полос, проходящими через середины кислородных октаэдров. Тогда коэффициенты 电 и bi задаются с помощью следующих соотношений:
связи середины граничного слоя
联=仰什〉+ Jl - а彳 ID,联±1 = Jl - а彳什〉+ 仰 IQ； (4.4)
остальные связи
для х-связейm > 1, bm = а*, m < —1, am = a^'
для g-связеи m > 1, bm = ag\ m < —1〉= a, । 〉
где m ——номер полосы. С учетом (4.5) энергия, непосредственно связанная с расположением протонов в граничном слое, Н\ = (^* | Hi 丨联〉/(若 I 联〉имеет вид
К2 - 16&О2 + Q[48V + 16U]a； - 16Qa^ + 8Qa|
1 + 16a2r+
+ Ki — 4&肉 Jl —a； + 2U(2a； - l)2. (4.6)
Здесь J = (4卜 + 2U) Q, K2 = (4卜 + 2U) Q, Q =(限-呢), R = 2agbg.
Аналогично для конфигурации границы с плоскостью симметрии, проходящей через середины ж-связей (см. рис. 3.8), можно ввести следующие соотношения:
связи середины граничного слоя (две цепочки ^/-связей, соединенных ж-связями):
для связей левой цепочки
« =比 It) + Ji -。彳 ID,次±i = Ji -。彳 IT〉+ «1 ID,
Рис. 3.8. Положение протонов в домен-ной границе кристалла КН2 Po4 • Низкиетемпературы. Седловая конфигурация
для связей правой цепочки
次=У1 - ai 什〉+ й1 ID,次±i =比 It） + \Л -。彳 ID, для соединяющих связей
次=/I 什〉+ /1 2；（4'）
остальные связи:
для х-связей m > 1, bm = @£一\ m < —1,。小=G^「 （彳 &） для у-связей m > 1, bm = @£一\ m < —1, am = й^!-1,
Энергия
灯 _ 衣2 — 16Q@2 + Q[48卜 + 24U]遞一16Q磁 + 8Q遞
1 + 16a2r+
+ 左—8% Jl —G； + 4U（2冠-I）2, （4.9）
где 氏=4QR + （12卜 + 16U）Q, ^2 = （4卜 + 2U） Q.
При учете энергии диполь-дипольного взаимодействия дипольный момент комплекта К—РО4 будем для простоты считать точечным и расположенным в центре кислородного октаэдра. Четыре неэквивалентных комплекса К—РО4 нумеруются индексами 从,沙= =1, 2, 3,4. Их взаимное расположение определяется следующими матрицами.
51^г/ =51^г/ =力从沙力从沙_ У叩62 从 г/ 一 ay_ У叩62 从 г/ 一 ay，3 从 г/ =，3 从 г/ =/ о 1/2О/ о 1/2О/ о 1/2О/ о 1/2О1/2О1/2Оо 1/2 \-1/2 ОО 1/2 О /1/2 О \ О -1/2 О -1/2О /о 1/2 \-1/2 ОО 1/2 О /1/2 О \ О -1/2 О -1/2О /(4.Ю)(4.Ю)1/4-1/4 \-1/4 -3/4О -1/21/4-1/4 \-1/4 -3/4О -1/2
51^г/ =
51^г/ =
力从沙
力从沙
_ У叩
62 从 г/ 一 ay
_ У叩
62 从 г/ 一 ay
，3 从 г/ =
，3 从 г/ =
/ о 1/2О
/ о 1/2О
/ о 1/2О
/ о 1/2О
1/2О
1/2О
о 1/2 \
-1/2 О
О 1/2 О /
1/2 О \ О -1/2 О -1/2
О /
о 1/2 \
-1/2 О
О 1/2 О /
1/2 О \ О -1/2 О -1/2
О /
(4.Ю)
(4.Ю)
1/4-1/4 \
-1/4 -3/4
О -1/2
1/4-1/4 \
-1/4 -3/4
О -1/2
Для вычисления энергииДля вычисления энергиидиполь-дипольного взаимодействия
Для вычисления энергии
Для вычисления энергии
удобно предварительно найти электрические поля, создаваемые
отдельными дипольными плоскостями, параллельными плоскости доменной границе в месте расположения произвольного диполя. Вычисление последних можно провести по методике, изложенной в разделе 3.2 и примененной для вычисления полей в кристалле титаната бария. Ввиду значительной тетрагональности элементарной ячейки (ai/аз = 02/03 = 1,07) здесь не удается вычислить решеточный фактор сразу для всей плоскости. В этом случае он находится непосредственным суммированием по выражениям (2.16) и (2.17), что дает для данной структуры значения /(0) = 5, 357, /⑴=/(—1) = 1,947, /(2) = /(-2) = -0,105, /⑶=/(-3)— пренебрежимо малы.
Предположим, что взаимодействие протонной подсистемы с дипольными комплексами определяется жесткой локальной связью
р 4
(4.11)
где Д)——дипольный момент одного комплекса вдали от границы, а〈4〉——средние смещения протонов на водородных связях, подходящих к данному комплексу. Тогда, в соответствии с (4.7), (4.8), значение дипольного момента одного комплекса К—РО4 в m-м слое основной конфигурации стенки есть
F(m) = ； sign(m) [з (1 — 2^加 + (1 — Za^M+B)], m # 0
(4.12)
С учетом (4.12) и конкретных значений решеточных факторов поверхностная плотность дипольной энергии основной конфигурации стенки
2
% 丁 {4 + 8董 + С4}(4.13)
где А = 6,14, 8 = 20,145, С = 19,75.
Аналогично дипольный момент комплекса тяжелых ионов т-го слоя у седловой конфигурации есть
РО) = ysign(m) [з,
&丄乙 (4.14)
Н > 1, F(-l) = F(l) = f [(1-2Й1)], откуда поверхностная плотность дипольной энергии для седловой конфигурации стенки
方2 =響{/ + Bal + е硏},(4.15)
где A = 9,6,B = 25,9,G = 16,4.〜
Суммирование H.a^ sH^H.a^ s 方2 соответственно дает полные энергии основной и седловой конфигураций доменной стенки. При этом форма переходного слоя находится вариацией по введенным параметрам.
Использование значений энергии граничной конфигурации типа 2 患=64 К, и дефекта Такаги WH = 680 К, &н = 86 К [80-85], позволяющее найти энергетические постоянные в (4.6) и (4.9), дает следующие значения вариационных параметров, определяющих структуру стенки:仰 =0,13, a? = 0,20, Q = 0,98, Si = 0,13, @2 = 0,28. При этом поверхностная плотность энергии стенки для основной и седловой конфигурации стенки равны здесь 70 = =25 эрг • см-2, 7 = 53эрг • см-2 [79].
3・5・ Температурная зависимость решеточного барьера
в кристаллах группы КН2 PО4
Проведенное выше рассмотрение структуры граничных конфигураций с достаточно подробным изучением положения протона на каждой из граничных связей применимо, очевидно, только для случая достаточно низких температур. С ростом температуры, а значит и числа граничных связей, проследить за деталями смещения все большего числа частиц становится все труднее. В этом случае более реален подход, основанный на изучении средних характеристик.
Таким подходом может быть, например, использование приближения среднего (молекулярного) поля в уже рассматриваемом гамильтониане (4.1).
Используя симметрию задачи, т. е. однородность в плоскости, параллельной плоскости доменной границы, и проводя усреднение по таким плоскостям, в приближении молекулярного поля гамильтониан (4.1) можно записать в виде суммы гамильтонианов
Яг,п =；丿(窗〉+ 4((Zi〉+〈2+1〉)(爲〉］-
-0X3n -［乎〈2九〉+ A((Zn_i) + (Яп+1))］ Zi^n. (5.1)
Здесь 4,九,Xi,n ——операторы квазиспина г-й связи, принадлежащей п-й плоскости, параллельной доменной границе. Среднее значение квазиспина (Zn) зависит от номера п плоскости (слоя) и определяет степень упорядочения (поляризацию) в данном месте кристалла.
При записи (5.1) предполагается, что зависимость константы квазиспинового взаимодействия /^ от номеров взаимодействующих квазиспинов сводится к зависимости ее от направления взаимодействия. В (5.1) постоянная 乎 представляет собой суммарную константу взаимодействия квазиспина с соседями в направлении, параллельном плоскости границы, а постоянная А ——с соседями в направлении перпендикулярном ей направлении.
Из предыдущего раздела мы видим, что электрические поля, создаваемые различными дипольными плоскостями, в приближении жесткой связи протонной подсистемы и системы тяжелых ионов, объединяя выражения (2.2) и (4.11), могут быть записаны в виде произведения 1(п — m^Z^, где /(п — т)——соответствующий структурный фактор. При этом энергия взаимодействия данного диполя со всеми диполями m-ой плоскости 〜/(?г —吟〈7力〈Z^, т. е. она имеет такую же структуру, как и короткодействующая часть взаимодействия квазиспинов. Учитывая короткодействующий характер электрического поля дипольной плоскости, его экспоненциальное спадание с расстоянием (см. (2.12) и вычисления, например, предыдущего раздела) в общем выражении для энергии диполь- дипольного взаимодействия мы можем оставить только слагаемые ст = пит = п —1,п + 1.В результате, как и в случае короткодействующего взаимодействия, формально мы имеем взаимодействие с ближайшим соседом, хотя на самом деле оно представляет собой взаимодействие со всеми диполями данной плоскости. Полученная одинаковость структуры локального диполь-дипольного взаимодействия для системы с однородным распределением поляризации в плоскости с нормалью перпендикулярной к вектору Ро позволяет сложить их и рассматривать константы 乎 и 4 как суммарные
константы, учитывающие как локальное короткодействующее, так и диполь-дипольное взаимодействие.
При строгом вычислении параметров границы при Т # 0 на основании (5.1) в зависимости от ситуации необходимо вычислить термодинамический потенциал или свободную энергию. Вычисление соответствующей статистической суммы в предположении, что рассматриваемая система исследуется при неизменном давлении, приводит здесь к следующему выражению для поверхностной плотности энергии границы [86,87]:
)=3九-Zg Soo]-
—T In 2 ch—In 2 ch(5.2)
При записи (5.2) введены обозначения
(5.3)(5.3)
(5.3)
(5.3)
где Zg — среднее значение квазиспина вдали от границы и S — площадь боковой поверхности элементарной ячейки, параллельной плоскости доменной стенки и приходящейся на одну квазиспиновую цепочку.
Самосогласованные значения Zn и Z0c в общем случае определяются из условий минимальности dy/dZn = 0 и dy/dZ^ = 0 и подчиняются, соответственно следующим уравнениям
\(5.4)
Zoo= Soo th.
При непосредственном расчете структуры граничных конфигураций аналогично случаю титана бария (см.раздел 3.3) первыми из уравнений (5.4) можно воспользоваться для середины граничного слоя с?г = 0, ±1. Для остальной части границы зависимость Zn от I n I можно смоделировать выражением
Zn = Z^ll - A exp (- I n I Л)], (5.5) где параметр Л определяется из условия самосогласования, заключающегося в использовании в общем выражении (5.4) распределения (5.5)
для больших п, что приводит к следующему уравнению для определения Л:
+ 登竺g学!$] (1 + 2纟chA),.6)
Коэффициент А в (5.5) определяется из условия сшивки решений (5.4) и (5.5) при n = 1.
Использование расчетных значений Qh = 72 К, Qq = 0 позволяет найти суммарные значения констант (乎 + 24) из условия на температуру перехода Q/(乎 + 24) = th(Q/K), следующего из (5.4) при Zn = 2+1 = 2—1 = Zg. Это дает 乎 + 2АН = 139 К и (乎。+ 2Лр)= 整 =213 К. Предполагая, что короткодействующее локальное взаимодействие обладает симметрией, а вклад диполь-дипольного взаимодействия в константы 乎 и 4 определяется соотношением факторов /(0) и /(±1), мы можем найти и значения отдельных констант, которые оказываются следующими:乎н = =113 К, Ан = 13 К,九=173 К, 4。= 20 К.
Численный расчет структуры и поверхностной плотности энергии граничных конфигураций а и 6 рис. 3.1, обозначаемых ниже соответственно // и / с использованием полученных значений 乎, A, W на основании соотношений (5.4)-(5.6) показал следующее (рис. 3.9, 3.10) [87,88].
Вплоть до узкой окрестности Тс{^ 2 4- ЗК) для кристаллов КН2Po4 и KD2PO4 入〉2, а% = 1,15, ag = 2,45, а£ = 1,0, ag = 2,17. Таким образом, практически для всех п > 2 для обоих типов граничных конфигураций здесь Zn о Z0c и, значит, во всем указанном температурном интервале доменные границы в этих кристаллах являются узкими.
Характерной особенностью рис. 3.9, 3.10 является пересечение зависимостей 7/ и 7//, т. е. смена типа основной конфигурации доменной стенки с температурой при некоторой температуре Т&. При Т > 7Ь основной является конфигурация типа I, при Т < То —— конфигурация типа II.
Для выяснения возможных причин изменения типа структуры границы с изменением температуры сравним энергию конфигураций типа I и типа II для узких границ (рис. (3.11), сравнимых по ширине с постоянной решетки и допускающих простые аналитические оценки. Для простоты проделаем оценки с помощью континуальной модели.
Рис. 3.9. Температурная зависимость поверхностной плотности энергии граничных конфигураций и величины решеточного барьера в кристалле
KDP. / — Z]/, 7/, 2 — Z]//, 7и, 3 — Zg, Vq
Рис. 3.10. To же для KD2Po4
II
Рис. 3.11. Структура предельно узких конфигураций доменной стенки с экстремальным значением энергии
Объемный вклад в 7 для конфигураций I есть величина aP^a, в то время как корреляционный член равен xPq /4а. Их сравнение с учетом выражения для полуширины стенки В =，2死/а = а показывает, что здесь превалирует (в четыре раза) объемный вклад. Для конфигурации II объемный вклад равен нулю, в то время как корреляционный равен xPq /2а. Мы видим, что величины 7/ и 7// здесь по разному зависят от температуры: 7/ 〜 ДТ2, 7// 〜 ДТ (ДТ = =£ — Т). При некоторой температуре То, где。用。=死邦/2а, они пересекаются и эта температура и есть температура структурной перестройки в доменной границе: выше Tq здесь реализуется конфигурация типа I, а ниже ——типа II.
Как мы видим, отмеченная структурная перестройка в границе может быть объяснена разной температурной зависимостью объемного и корреляционного вкладов в поверхностную плотность энергии границы. Отметим, что на возможное изменение типа основной конфигурации по тем же причинам указывается, в частности, в модели Френкеля-Конторовой [73].
Влияние туннелирования на строение доменных границ в сегнетоэлектриках типа порядок-беспорядок
Сравнение результатов расчета параметров доменных стенок для кристаллов КН2PО4 и KD2Po4, приведенных на рис. 3.9, 3.10, показывает влияние эффекта туннелирования протонов на водородных связях на структуру и поверхностную плотность энергии границ [79,89-91]. Для выявления указанного эффекта в более наглядной форме удобно рассмотреть его в той области, где он допускает аналитическое описание. Такой областью здесь является достаточно близкая окрестность £, где можно воспользоваться континуальным приближением.
Разложение (5.2) в ряд по малым Zn и Z0c до членов четвертой степени включительно с учетом разностного аналога второй
производной (Zn+i — 2Zn + Zn_i)/a2 т dPZ/dx2, где а ——расстояние между соседними плоскостями, после перехода к континуальному пределу позволяет представить 7 в виде:
(6.1)(6.1)
(6.1)
(6.1)
где
а =(у + 2А)—(乎不⑷ 2(乎+24)4 » QQ Тс ch2Q/£「а =(у + 2А)—(乎不⑷ 2(乎+24)4 » QQ Тс ch2Q/£「27； Q27； Q1 Qth —,11 Qth —,1(6.2)(63)(6.4)(6.2)(63)(6.4)
а =(у + 2А)—(乎不⑷ 2
(乎+24)4 » Q
Q Тс ch2Q/£「
а =(у + 2А)—(乎不⑷ 2
(乎+24)4 » Q
Q Тс ch2Q/£「
27； Q
27； Q
1 Qth —,
1
1 Qth —,
1
(6.2)
(63)
(6.4)
(6.2)
(63)
(6.4)
При записи (6.2)-(6.4) предполагается, что от температуры явным образом зависит только коэффициент а, при этом коэффициенты а, /3,死 нормированы соответствующим образом, так, например, что a/Sa имеет размерность объемной плотности энергии.
Для небольших удалений от Тс
a^a^T-T^, ао =(〈2〔// 琢 (6・5)
где сама величина Тс определяется обычным соотношением °/(乎 + 24) = thQ/£. В этом случае структура и полуширина доменной стенки имеют вид [89]:
Z(”)= Z8thRПри малых QZ(”)= Z8thRПри малых QТс chQ/K (Л + 2А)Тс chQ/K (Л + 2А)(6.6)(6.6)
Z(”)= Z8thR
При малых Q
Z(”)= Z8thR
При малых Q
Тс chQ/K (Л + 2А)
Тс chQ/K (Л + 2А)
(6.6)
(6.6)
(6.7)(6.7)/ 24/ 24 Q2
(6.7)
(6.7)
亠2(乎 + 24产，
Поверхностная плотность энергии доменной стенки в соответ
ствии с (6.1) и (6.2)-(6.4) равна
7 = |aZ2da—з =学&з/2 死 1/2。—％—з =
_ 4，^41/2(7 _К)3/2q2
-叫乎+ 24)竞 ch3Q/£ X
~TC Q
x —- th —— — —9—■—. (6.8)
Tc Ch2 Q/rJ < 丿
При малых Q
=^2X73/2/1/2(夕 + 2/厂1/。2 ch3 /「…
7/(/ + 2/)’(6.9)
△К = т — £•
При этом безразмерный параметр порядка в объеме домена
户 ^7产① _ гс)1/2[1- ⑴/*1/2
z =仃=，(6.1。)
и, следовательно, характеризующая крутизну профиля доменной стен
ки производная
(6.И)(6.И)dZ Z _ а _(Т -Тс) Г Q2dx В ，2〃/3 у/АТС а _ 方
(6.И)
(6.И)
Как видно из рис. 3.12 и 3.13, отличное от нуля туннелирование увеличивает ширину доменной стенки и уменьшает плотность ее поверхностной энергии.
Как показывают численные оценки при ДТ 〜 10 Киа 〜 10-7 см, ширина доменной стенки в DKDP 坛 о 2 • 10-7 см, при этом поверхностная плотность ее энергии %□ о 6 • 10-2 эрг • см-2. В кристалле KDP при этом же удалении от Тс 5я = 2, 5 • 10-7 см, 7н — 4 • 10-2 эрг • см-2, что хорошо согласуется с результатами численных расчетов предыдущего раздела. Указанное согласие
Рис. 3.12. Изменение параметра порядка в границе при разных значениях константы туннелирования. / — Q = 0, 2 — Q ^ 0Рис. 3.12. Изменение параметра порядка в границе при разных значениях константы туннелирования. / — Q = 0, 2 — Q ^ 0
Рис. 3.12. Изменение параметра порядка в границе при разных значениях константы туннелирования. / — Q = 0, 2 — Q ^ 0
Рис. 3.12. Изменение параметра порядка в границе при разных значениях константы туннелирования. / — Q = 0, 2 — Q ^ 0
4 6
Рис. 3.13. Изменение ширины доменной стенки (о) и поверхностной плотности ее энергии (б) в зависимости от величины интеграла туннелирования обусловлено возможностью применения здесь континуального приближения, переход к которому как показывают, в частности, оценки для 7, дает относительную погрешность Д7/7 о а2/252《 1.
Как мы увидим в главе 5, не слишком значительное возрастание ширины доменной стенки при Q # 0 может приводить к чрезвычайно сильному увеличению ее подвижности.
Найденная в этом разделе связь параметров континуального рассмотрения и микроскопической модели, в частности, в выражении для ширины стенки (6.7), позволяет дополнить приведенную в предыдущем разделе интерпретацию структурной перестройки в границе при Т = 7Ь- Действительно, из условия равенства 7/ = 7//. при Т = То следует, что структурная перестройка в границе происходит при boa. Полагая в выражении для В (6.7) для простоты Q = 0 , мы видим, что в первом приближении перестройка в границе должна происходить при температуре Tq = Тс — 2А =乎.Но это как раз температура упорядочения в слое параллельном границе. Так как из-за симметрии взаимодействие центрального слоя в конфигурации I с соседями всегда равно нулю, то в соответствии с оценками рассматриваемую здесь структурную перестройку в границе можно понимать как упорядочение в результате фазового превращения в центральном слое границы.
Строение доменных границ в твердых растворах
KH2xD2(1—Х)Р°4
Рассмотрение, аналогичное предыдущему, можно провести также для твердых растворов КН2РО4—KD2PO4. Поверхностная плотность энергии доменной границы в данном случае, записанная
для простоты в приближении Q = 0, имеет вид
= ^ £{c S? + (1 _ ж) "^Zn S?- п
Гж1п2сЬ ^|^-T(l-x)ln2ch ^|^ } - MZg). (7.1)
Здесь)(Zg) — плотность свободной энергии однородного состояния, которое реализуется при 八 т ос, т. е. вдали от границы. Величина х определяет степень дейтерирования кристалла,『h,d и Ah^d ——эффективные константы взаимодействия квазиспина с соседями в направлениях, параллельном плоскости границы и перпендикулярном ей для случая, когда в данной ячейке находятся атомы водорода и дейтерия соответственно,
= Zn -\—廿о (2+1 + ^n-i)(7.2)
Уравнение равновесия, определяющее координатную зависимость квазиспина в границе, находится из (7.1) минимизацией по Zn и имеет следующий вид
加 Jh Sn + (1 - ж) /о - X th-
-(1 - Ж)^п th(^^) - (1 - Х)АОЦ^^)- th^^1) = 0 (7.3)
В однородном случае уравнение (7.3) переходит в уравнение:
力 IH Zqo + (1 —岔)【D Zqo =
=Ihx th + Ip (1 -力)th 厶了〉(7.4)
откуда при малых Zg получаем выражение для определения температуры фазового перехода частично дейтерированного кристалла [92,93]
7 = (1一力)/君+力/方
с (1 — х) Id + х 1н^
где Ih,d =乎+ 2/瓦。・
Расчет структуры и плотности поверхностной энергии границы в общем случае достаточно громоздок. В некоторых случаях, однако, оказывается достаточным описание границы в рамках уже континуального приближения. Толщина границы здесь, например, в случае сегнетоэлектрика с фазовым переходом II рода В =，2〃/а. Для определения корреляционной постоянной х и зависящего от температуры коэффициента разложения свободной энергии а выразим их, как и в разделе 3.5, через известные параметры 乎н,о и Ан,р. С этой целью перейдем в (7.1) к континуальному пределу. Вводя здесь в слагаемые с коэффициентами Ah,d разностные комбинации ДЯП = 2+1 — 2Zn + 2—1 и учитывая, что величина ДЯп/а2 является разностным аналогом второй производной d?Z/d力？ = Z〃，после перехода к приближению непрерывной среды, где Z = %(力)，имеем:
+ (l-x) \^z2 + ^zzn -
T 1(1н Z + AH(^ Zn\
—Г ж In 2 ch ——
丿
—Т (1 — In 2 ch (办 Z + а2 Z〃) } _ YZg).(7.6)
После разложения в ряд логарифмических членов в (7.6)
+ (1 —］铝 + 争2zz〃 -
-d#z2〃］ —
-(［尊 Z2 -Z〃］卜(7.7)
ОСОС
С учетом интегрирования по частям / ZZndx = / (dZ/dx^dx,
—ос—ос
после собирания вместе членов с Z? и (dZ/dx)2, выражение для 7
запишется в виде:
х 1н + (1 — х) Id —力番—(1 —х 1н + (1 — х) Id —力番—(1 —%2Т +%2Т +
х 1н + (1 — х) Id —力番—(1 —
х 1н + (1 — х) Id —力番—(1 —
%2
Т +
%2
Т +
1「4242 ZAhIhY
+ — —хАн а — (1 — ж)Лр а + х —
+ (…2号歹+ (…2号歹(7.8)(7.8)
+ (…2号歹
+ (…2号歹
(7.8)
(7.8)
(7.9)(7.Ю)(7.9)(7.Ю)= Q0(T —£), (7.11)= Q0(T —£), (7.11)(7.12)(7.12)
(7.9)
(7.Ю)
(7.9)
(7.Ю)
= Q0(T —£), (7.11)
= Q0(T —£), (7.11)
(7.12)
(7.12)
Сравнивая (7.8) с континуальным выражением для 7, записанным через коэффициенты а и где
V ⑵Y) +弘勺
видим, что здесь
a = х 1н + (1 — х) Id —力番—(1 —力)#
или, с учетом выражения для Тс (7.5)
a = xiH+^_x^_xhL_^_ТсК т
〃2 2ж /н Ан 2(1 - x)IdAd
- =—xAh-{1-x)Ad (7.13)
Отсюда ширина границы [94]
В =
=/ 4х1нАн + 4(1 - x)IdAd - 2АНТС - 2(1 - x)ADTc
-I(力昭+ (1)后)(7-J
(7.14)
При ж = 1 (/н = / = IL, Ан = А) выражение (7.14) переходит в ранее найденное выражение (5.6), записанное для Q = 0.
ГЛАВА 4
Взаимодействие доменных границ с дефектами кристаллической решетки
Взаимодействие доменной границы сегнетоэлектрика с точечным заряженным дефектом
Дефекты кристаллической решетки оказывают существенное влияние на все явления, связанные с доменами. Это касается как статики, так и динамики доменной структуры. Для описания указанных явлений прежде всего необходимо рассмотреть процессы взаимодействия доменных границ с дефектами, определить силовые или энергетические характеристики этих взаимодействий.
В процессе взаимодействия с дефектами возможны изменения профиля доменной стенки сегнетоэлектрика или сегнетоэластика, в том числе и такие, при которых в области прогнутой доменной стенки возникают связанные электрические заряды или двойникующие дислокации. Возникновение этих зарядов (двойникующих дислокаций) приведет к появлению дальнодействующих электрических или упругих полей, для расчета которых уравнение движения (или равновесия) доменной стенки необходимо дополнить уравнениями электродинамики или теории упругости.
Общую тему данной главы в настоящем разделе мы начнем прежде всего с рассмотрения взаимодействия 180-градусных доменных границ в сегнетоэлектриках с точечными заряженными дефектами. Уравнение равновесия доменной стенки представляет собой условие равенства нулю суммарного давления на любой участок границы. В данном случае оно имеет вид
_7_7(dz2(dz2+++ 2Р。+ 2Р。д(р dzд(р dz=О х=0=О х=0(1.1)(1.1)
_7
_7
(dz2
(dz2
+
+
+ 2Р。
+ 2Р。
д(р dz
д(р dz
=О х=0
=О х=0
(1.1)
(1.1)
Первый член в (1.1) представляет собой давление на границу, связанное с увеличением ее поверхности при прогибе ——так называемое лапласовское давление [95], а второй — давление со
стороны электрического поля в рассматриваемой системе, описываемого электростатическим потенциалом д. Здесь и далее для линеаризации используемых соотношений значения вычисляемых полей берутся не в реальном месте расположения прогнутой границы, а в области ее несмещенного положения. Очевидно, что используемое приближение будет тем точнее, чем меньше величина прогиба границы. Границы допустимости сделанного приближения будут обсуждаться непосредственно в конкретных случаях. В рассматриваемой задаче положение несмещенной границы совпадает с координатной г ^/-плоскостью, а полярное направление с г-осью.
Уравнением, дополняющим (1.1), является уравнение электростатики div D = 0, где D — вектор электростатической индукции. Разделяя поляризацию кристалла на спонтанную и индуцированную, мы можем переписать
div D = div £ijEj + 4тг div Рсп = 47ro.(1.2)
Здесь £办 ——тензор диэлектрической проницаемости монодомен- ного кристалла, р = Zeb(r — rj)——объемная плотность заряда, соответствующая одиночному заряду с величиной Ze, Рсп ——распределение спонтанной поляризации в сегнетоэлектрике при наличии доменной структуры. В кристалле с одиночной стенкой
Pcn = -Po[l-20(x-C/)],(1.3)
где ®(力) ——функция Хевисайда. При записи (1.3) для простоты используется приближение бесструктурной границы (рис. 4.1).
Помещая в пределе малых смещений границы, возникающие на ней при прогибе связанные электрические заряды в плоскость несмещенной границы, из (1.3) получим
divPw =亨=2Po =2Po(1.4)
oz oU ozoz
Po
X
—R
Рис. 4.1. Распределение поляризации в кристалле с одиночной непрогнутойстенкой в модели бесструктурной границы
Подставляя теперь (1.4) в (1.2) и дополняя полученное соотношение уравнением равновесия границы для £“ = В” (金〃 =бс или £а для г = 1 или i = 2, 3, соответственно) с учетом связи Ej = =—d(p/dxj, приходим к следующей системе уравнений, определяющей профиль прогнутой в поле стороннего заряда Ze границы:
(1.5)(1.5)+ 2凡+ 2凡d(p dzd(p dz=0.x=0=0.x=0
(1.5)
(1.5)
+ 2凡
+ 2凡
d(p dz
d(p dz
=0.
x=0
=0.
x=0
=8тгД)Ь(力)—-4тг%еЬ(г - rj),
Радиус-вектор rj описывает здесь положение дефекта.
Используем для смещения границы и электростатического потенциала разложения в двумерные интегралы Фурье:
詳，
/、//、"k(1.6)
P= ®/)・
Подстановка разложений (1.6) в первое из уравнений (1.5) позволяет переписать его в виде
就-+ 写)Bk =包包与Ukb(力)-士区8(力-力(1.7)
где считается, что дефект расположен в точке с радиус-вектором 「d =(力d〉0,0). Решение уравнения (1.7), например, с помощью еще одного фурье-разложения теперь для 夕卜(力)по z дает
Dk⑺=——Dk⑺=——++"TTPaihUk"TTPaihUkH/= exp \ x — x(i \ 侬 + 写)• (1-8)H/= exp \ x — x(i \ 侬 + 写)• (1-8)
Dk⑺=——
Dk⑺=——
+
+
"TTPaihUk
"TTPaihUk
H/= exp \ x — x(i \ 侬 + 写)• (1-8)
H/= exp \ x — x(i \ 侬 + 写)• (1-8)
Согласно второму из уравнений системы (1.5)
9k()=。)=_^29k()=。)=_^2廿=А^ + ку.廿=А^ + ку.(1.9)(1.9)
9k()=。)=_^2
9k()=。)=_^2
廿=А^ + ку.
廿=А^ + ку.
(1.9)
(1.9)
Приравнивая выражение (1.8), взятое при ж = 0 , и соотношение (1.9), мы получаем уравнение для определения фурье-коэффициента смещения границы 力匕 откуда
Подстановка (1.10) в выражение (1.8) дает окончательное выражение для фурье-разложения потенциала [96,97]:
Первый член в (1.11) представляет собой двумерный фурье- образ потенциала точечного заряда. Второй ——индуцированный им потенциал связанных зарядов на прогнутой доменной стенке. Интегрирование последнего позволяет найти координатную зависимость индуцированного потенциала. В пренебрежении поверхностным натяжением зависимость указанного потенциала, взятого в месте положения дефекта, от расстояния дефекта до исходного положения границы имеет вид (рис. 4.2):
Рис. 4.2. Изменение электростатического потенциала, индуцированного прогнутой стенкой в месте положения заряженного дефекта, в зависимости от расстояния между ними (линейное приближение)
Полученный результат имеет наглядное физическое истолкование. Как видно из рис. 4.3, антисимметрия поля заряженного дефекта вдоль полярной оси относительно нормали к границе, проходящей через дефект, приводит к тому, что дав-
Рис. 4.3. Смещение доменной стенки под действием поля заряженного дефектаРис. 4.3. Смещение доменной стенки под действием поля заряженного дефекталение на границу со стороны этого поля имеет разный знак при г > Оиг < 0. Смещаясь в разные стороны под действием этого поля, граница в результате прогибается в окрестности точки z = 0. При этом направление прогиба всегда таково, что знак связанного заряда, возникающего на прогнутой границе, всегда противоположен знаку заряженного дефекта. Притяжение этих зарядов разного знака означает, что взаимодействие заряженного дефекта любого знака с доменной стенкой всегда носит характер притяжения.
Рис. 4.3. Смещение доменной стенки под действием поля заряженного дефекта
Рис. 4.3. Смещение доменной стенки под действием поля заряженного дефекта
Энергия взаимодействия заряда со стенкой представляет собой разницу величин Zegc^d(力〃),взятых в области максимального взаимодействия и вдали от границы при g т 8・ Расходимость указанного выражения при 力〃 т 0 связана,
очевидно, с использованием модели бесструктурной границы. Огра
%)=%)=Z2e22 ^y/^c^aZ2e22 ^y/^c^a(1.13)(1.13)ничивая минимальные значения 力^ полушириной доменной стенки 5, находим энергию взаимодействия дефекта с границей
%)=
%)=
Z2e2
2 ^y/^c^a
Z2e2
2 ^y/^c^a
(1.13)
(1.13)
Для Z = 1,酸〜 103 , 〜 10, В 〜 10-7 см величина % составляет порядка 10-3 эВ, при е^а 〜 Ю2 ——на порядок величины больше.
Отметим, что выражение (1.13) для 窗)можно написать сразу, если учесть, что взаимодействие заряженного дефекта с индуцированным им связанным зарядом на границе фактически представляет собой взаимодействие с зарядом изображения, а сама доменная стенка в соответствии с (1.1) в пренебрежении поверхностным натяжением является эквипотенциальной поверхностью, перетекание по которой связанных зарядов за счет изменения ее профиля аналогично перемещению свободных зарядов по металлической поверхности.
При определении конкретной формы прогиба границы рассмотрим случай 力^ = ° 口 наиболее типичную ситуацию £с》£а・ При обычных)〜0,1 ♦ 1 эрг/см2, ес 〜103, 〜10,貫)〜104 ед. CGSE отношение А =),£鼻/87r用 имеет порядок 10-8 -4- 10-7см, в то
время как максимальное kz 2iv/6 W7 см-1. Тогда с учетом малости kzX < 1 фурье-образ (1.10) смещения границы можно записать в виде
以=以=^tvPqZc ikz7^； ^ I kz I +k^/X)^tvPqZc ikz7^； ^ I kz I +k^/X)(1.14)(1.14)
以=
以=
^tvPqZc ikz
7^； ^ I kz I +k^/X)
^tvPqZc ikz
7^； ^ I kz I +k^/X)
(1.14)
(1.14)
Отсюда координатная зависимость смещения границы
и®/)=и®/)=Ze2开兄，^Ze2开兄，^(1.15)(1.15)
и®/)=
и®/)=
Ze
2开兄，^
Ze
2开兄，^
(1.15)
(1.15)
p = Wv^,
где C(力),S(x) —— интегралы Френеля. Для анализа выражения в фигурных скобках (1.15) его удобно аппроксимировать полиномом [98]
I — (Т) cos ("2)+ g — S(T)卜in (評)=g” (1.16) где
g(T)= 2 + PT + QT2 + RT3'
(L17)
Здесь p = 4,142, Q = 3,492, R = 6,670 [98].
Используя (1.17), смещение границы (1.15), удобно записать в виде
27rxz
х ,
[2(2тгА I Z 1)3/2 +р\у\ 2тгА I z | +QU，27rx 丨 z | +R\y\3]
(L18)
Как и следовало ожидать, смещение (1.18) асимметрично вдоль полярной оси z относительно положения заряженного дефекта, обладая характерным законом спада 1 / д/г вдоль полярной оси и зависимостью U 〜 1/дЗ в перпендикулярном направлении. С ростом г смещение границы, оставаясь максимальным для g = 0 расплывается вдоль g-направления, одновременно уменьшаясь по величине.
При этом интеграл от U(д, г) dy остается равным константе (в противоположном случае мы имели бы дело с локализацией связанного заряда на границе вблизи точки закрепления, т. е. не с компенсацией заряда точечного дефекта связанным зарядом на границе, а лишь с перераспределением плотности последнего при общей нулевой его величине). Это хорошо иллюстрируется, например, при рассмотрении фурье-образа смещения границы. Интеграл от U (у г) по dy дает дельта-функцию 8(%). Полагая тогда & = 0 в (1.14), мы получим /U(g〉z)dg = (2е/2Д))®(2), где ®(z)——знаковая функция от г, т. е. постоянную при любом данном г величину, независящую от коэффициента поверхностного натяжения границы.
Для 90-градусной доменной стенки, как мы видели в разделе 2.2, взаимодействие заряженных носителей с доменной стенкой осуществляется не только через аналогичное рассмотренному искажение ее профиля, но и через взаимодействие с внутренним электрическим полем, существующим в такой границе.
Дислокационное описание изогнутых доменных стенок в се- гнетоэластиках. Уравнение несовместности для спонтанной деформации
Как уже отмечалось в главе 1, домены в сегнетоэластиках представляют собой механические двойники, различающиеся в простейшем случае знаком сдвиговой спонтанной деформации, при этом плоскость доменной стенки, как правило, совпадает с так называемой инвариантной плоскостью, т. е. плоскостью, положение атомов в которой остается неизменным в процессе перестройки кристаллической структуры при фазовом переходе. У такой границы в каждой ее точке деформации совместны и сохраняется сплошность среды (рис. 4.4 а).
При отклонении доменной стенки от инвариантной плоскости возникают разрывы сплошности, которые в зависимости от направления смещения стенки (рис. 4.4 6, б) могут быть описаны двойникующими краевыми (рис. 4.4 б) или винтовыми (рис. 4.4 в) дислокациями с векторами Бюргерса b гораздо меньшими, чем решеточная постоянная а. При этом соответствующим набором двойникующих дислокаций можно обеспечить любой макроскопический наклон доменной стенки. Для малых наклонов доменных границ указанные двойникующие дислокации можно считать расположенными в исходной инвариантной плоскости. Изменение наклона доменной стенки при таком описании связано с изменением плотности двойникующих дислокаций и их скольжением в инвариантной плоскости.
Рис. 4.4. Различные ориентации доменной стенки в сегнетоэластиках. (а) доменная граница совпадает с инвариантной плоскостью, (б) наклонная стенка, смещение стенки зависит от координаты в направлении спонтанного сдвига, (б) наклонная стенка, ее смещение меняется в направлении перпендикулярном спонтанному сдвигуРис. 4.4. Различные ориентации доменной стенки в сегнетоэластиках. (а) доменная граница совпадает с инвариантной плоскостью, (б) наклонная стенка, смещение стенки зависит от координаты в направлении спонтанного сдвига, (б) наклонная стенка, ее смещение меняется в направлении перпендикулярном спонтанному сдвигу
Рис. 4.4. Различные ориентации доменной стенки в сегнетоэластиках. (а) доменная граница совпадает с инвариантной плоскостью, (б) наклонная стенка, смещение стенки зависит от координаты в направлении спонтанного сдвига, (б) наклонная стенка, ее смещение меняется в направлении перпендикулярном спонтанному сдвигу
Рис. 4.4. Различные ориентации доменной стенки в сегнетоэластиках. (а) доменная граница совпадает с инвариантной плоскостью, (б) наклонная стенка, смещение стенки зависит от координаты в направлении спонтанного сдвига, (б) наклонная стенка, ее смещение меняется в направлении перпендикулярном спонтанному сдвигу
Проведем математическое описание наклонной доменной стенки в сегнетоэластике. Для этого воспользуемся основными соотношениями дислокационной теории упругости. Согласно исходному определению дислокации [99-101] при обходе по любому замкнутому контуру охватывающему некоторую совокупность дислокационных линий, вектор упругого смещения среды и получает конечное приращение, равное сумме векторов Бюргерса b всех дислокационных линий, охватываемых этим контуром. Указанное определение можно записать в виде
(2.1)(2.1)
(2.1)
(2.1)
где тензор 〃/ = 3〃用/3力〃 называется тензором упругой дисторсии. Заменяя в (2.1) интеграл по контуру интегралом по опирающейся на него поверхности
У Щп dxiУ Щп dxi(2.2)(2.2)
У Щп dxi
У Щп dxi
(2.2)
(2.2)
и вводя тензор плотности дислокаций ain , с помощью соотношения
вместо (2.1) мы получим дифференциальное соотношение
дЩп дхкдЩп дхк-必九）-必九）(2.3)(2.3)
дЩп дхк
дЩп дхк
-必九）
-必九）
(2.3)
(2.3)
где q奴 ——единичный антисимметричный тензор. Применяя к обеим частям (2.3) еще один раз дифференциальную операцию ejmnd/dxm и симметризуя полученное соотношение по индексам in j, находим
где sin — симметричная часть тензора дисторсии — тензор деформацийгде sin — симметричная часть тензора дисторсии — тензор деформаций
где sin — симметричная часть тензора дисторсии — тензор деформаций
где sin — симметричная часть тензора дисторсии — тензор деформаций
так называемый тензор несовместности Кренера [102,103]. Название последнего связано с тем, что в отсутствии прогиба доменной стенки, т. е. в отсутствии двойникующих дислокаций 〃“ = 0 и соотношение (2.4) переходит в известное условие совместности деформаций — условие Сен-Венана [102]:
eikl ejmn= 0.(2・7)
Соотношение (2.4) позволяет по известному тензору несовместности находить распределение упругих деформаций. Используя закон Гука, его можно переписать в уравнение на напряжения. Для осуществления этой задачи перепишем предварительно (2.4), исключая из него с помощью соотношения
Cijk Cklm = ^il ^jm — ^im %/(2・8)
единичный антисимметричный тензор. В результате мы имеем [102]
—^ikl ^jmn ^In^km = —^ikl ^jmn ^pq,km 6Pl ^qn
= —^ikl ^-jmn £pq,km(6九0T ^rql + 31Pq ^In) =
=—(8讦 6kq — ^iq ^kr) (§jp ^mr — %『^mp) £pq,km —
一(8” 8km - ^im ^kj) ^吵用力=eji,kk + ^用耳"-
—(&jk,ki + ^ki,jk) + (^用/附一^用瓦〃)*" = Vij • Q・9)
Здесь 8办 ——символ Кронекера, а индексы после запятой означают дифференцирование по соответствующей координате.
Подстановка в (2.9) закона Гука, записанного для изотропного случая
(2.Ю)(2.Ю)07 = ^J^ (b" — (^ + ]) °kk ^ij^ ,= 2(А + 771)/А,
(2.Ю)
(2.Ю)
где X и 从——коэффициенты Ламэ, дает
m
Oij,kk + ^ + ] \^kk,ij — ^kk,U—
—{^jk,ki + ^ki,jk + ^kl,kl ^ij) = 2/1 T]ij (2.11)
(2.12)(2.12)С помощью уравнения динамики упругой среды ^ij,j + fi = РЩ
(2.12)
(2.12)
где 力 ——соответствующая проекция объемной плотности внешних сил, р — плотность среды вместо (2.11) находим
m
Oij,kk + ^ + ]- ^kk,ll Oij)-
一[(面加+(叫)办]+ (0面)义 3ij = 2从也•• (2.13)
(2.14)(2.14)Учитывая теперь, что в (2.13) величины 〃“ представляют собой в общем случае сумму спонтанной 畸 и упругой дисторсии и вводя тензор плотности потока дислокаций
(2.14)
(2.14)
加一Qt，
с помощью соотношений (2.5) и (2.10) для упругой части тензора Uij и соотношения (2.14) для его неупругой части переписываем окончательно (2.13) в виде
^ij,kk + ^ + ] Ek,ij - ^kk,u 8办)-%ij +
+ (!:戏)+ 力J —力，/ M +
+0步(3" + 办3)-0步勿'"=2从恤 (2.15)
Полученное соотношение называется динамическим уравнением Бельтрами-Мичелла [102]. Оно позволяет по известным источникам полей, описываемых тензорами T]ij и 力，находить создаваемые ими упругие напряжения. Таким образом, в теории упругости это уравнение играет роль аналогичную уравнениям Максвелла в электродинамике.
Взаимодействие с точечным заряженным дефектом доменной границы сегнетоэлектрика-сегнетоэластика
В кристаллах сегнетоэлектриков-сегнетоэластиков фазовый переход в полярное состояние сопровождается появлением спонтанной деформации. В этом случае прогиб границы при ее взаимодействии с дефектом приводит к появлению не только связанных электрических зарядов, но и двойникующих дислокаций в плоскости границы. Очевидно, что последние будут также оказывать влияние на характер прогиба границы и, следовательно, на энергию взаимодействия границы с дефектом.
Рассмотрим взаимодействие границы с заряженным дефектом в сегнетоэлектрике-сегнетоэластике на примере кристаллов с симметрией дигидрофосфата калия, у которого возникновение поляризации по оси z сопровождается появлением спонтанной сдвиговой деформации в перпендикулярной плоскости £12 = с»
Система уравнений, описывающая указанное взаимодействие, имеет вид:
£^+£ 件+ * =
с dz2 Q I ду2 дх2 /
ди
=87гР()8(力)—-47rze 8(г - г^), (3.1)
—+ 260^12!= 0.
Как видно из (3.1), в этом случае в уравнение равновесия границы добавляется слагаемое, связанное с давлением на границу со стороны поля упругих напряжений (оно записывается аналогично давлению со стороны электрического поля). Одновременно в уравнении равновесия границы пренебрегается поверхностным натяжением, которое, как будет видно ниже, для всех ориентаций прогиба и всех значений волнового вектора к оказывается гораздо меньше других слагаемых.
Для совместного решения уравнений системы (3.1) найдем прежде всего связь напряжений, возникающих при прогибе границы, с величиной и ориентацией ее прогиба. В рассматриваемой здесь статической ситуации напряжения, сопровождающие прогиб границы, находятся из статического уравнения Бельтрами в отсутствие внешних упругих сил. С учетом равенства 力，jij = 0 и отсутствия зависимости от времени величин ст办 последнее приобретает вид:
Oij,kk + ^ + ］廿用瓦"—^kk,ll 8") = ^^ij •(3-2)
Найдем отличные от нуля компоненты тензора несовместности и их связь с прогибом границы. Распределение спонтанной дисторсии в кристалле с одиночной доменной стенкой, совпадающей в исходном состоянии с плоскостью zy
呜2 =—旬[1 — 2®(力-U(z,y))].(3.3)
022022а〃；2 ° аи3而=2m巫"吟а〃；2 ° аи3而=2m巫"吟(3.4)(3.4)Прогибы границы в направлении спонтанного сдвига (вдоль оси д) и в перпендикулярном направлении приведут к возникновению краевых и винтовых дислокаций [104-107], распределенных в соответствии с (2.3) с плотностями
022
022
а〃；2 ° аи
3而=2m巫"吟
а〃；2 ° аи
3而=2m巫"吟
(3.4)
(3.4)
аз2 = —*21不一=-2б0—О(ж).少力2
Подставляя (3.4) в (2.6), получим отличные от нуля компоненты тензора несовместности
力2 =1 3(^22 _2 а力31 a&32d2U，/、53 =2 a力3〃33 =Заз2 _ dxi一26帝"（吟力2 =1 3(^22 _2 а力31 a&32d2U，/、53 =2 a力3〃33 =Заз2 _ dxi一26帝"（吟1 da^小 3 =—2 ox I1 da^小 3 =—2 ox IdUdU(3.5)(3.5)
力2 =
1 3(^22 _
2 а力3
1 a&32
d2U，/、
53 =
2 a力3
〃33 =
Заз2 _ dxi
一26帝"（吟
力2 =
1 3(^22 _
2 а力3
1 a&32
d2U，/、
53 =
2 a力3
〃33 =
Заз2 _ dxi
一26帝"（吟
1 da^
小 3 =—
2 ox I
1 da^
小 3 =—
2 ox I
dU
dU
(3.5)
(3.5)
Для решения уравнения (3.2) воспользуемся двумерным фурье- разложением
。" =/ 勾⑺ /*^^ p =(弘 z).。" =/ 勾⑺ /*^^ p =(弘 z).(3.6)(3.6)
。" =/ 勾⑺ /*^^ p =(弘 z).
。" =/ 勾⑺ /*^^ p =(弘 z).
(3.6)
(3.6)
Тогда на основании (3.2) и (3.6) система уравнений для фурье- образов(7ц,(722, Ззз принимает вид
况 1 -廿311 + ^О = 0,刃2 -廿歹22 + /3(3 % - 3〃)= 0,
5"33 -廿333 + /3(5■/一 3〃)= -^e^ikyU^ *(力)，
(3.7)
где ^ = m/(m + 1), к2 = ку + к^, 3 =亍口 + 亍22 + Ззз・
Суммируя уравнения (3.7), мы получим уравнение для опре-
деления а:
°(2/3 — 1)•38)
Воспользуемся еще раз фурье-разложением:
ОС
3(力)=/ eikxX^.(3.9)
— ос
Подставляя (3.9) в (3.8) и разрешая возникающее уравнение относительно с瓦，получим
^QkxkyUk
叫—(20 —1)岗+ %)•310)
Откуда
«)= ^ /^ е 岡％gna;.(3.11)
На основании (3.2) и (3.5) уравнение для определения фурье- образа(712 (ж) имеет вид:
(7i2 -廿万2 + ^ikya = 2拠(^8⑺ 以.(3.12)
Используя для 3(力)разложение (3.9) и аналогичное разложение для(712, на основании (3.12) получим
七一開+n产開+炉产，.（3」3）
Или, с учетом (3.10)
喳二
2从€0崎加60k飘
Отсюда
312 (力)=
-［竺f以(1 1)1) J
18丄丿 &
(3.15)
и, значит
万2(力=0) = - ｛量Uk (/^ 确｝,
_/3_ m _2(1 + 从)(3・16)
2/3 — 1771 一 1 /X + 2从
Используя теперь найденное в 4.1 решение первого из уравнений системы (3.1) в виде (1.6), (1.8), в данном случае кристалла сегнетоэлектрика-сегнетоэластика для фурье-образа смещения границы в поле точечного заряженного дефекта мы получим следующее:
以=以=—4тгЛ)Zeikz е-1^1 丿^用 + 写—4тгЛ)Zeikz е-1^1 丿^用 + 写.(3.17).(3.17)
以=
以=
—4тгЛ)Zeikz е-1^1 丿^用 + 写
—4тгЛ)Zeikz е-1^1 丿^用 + 写
.(3.17)
.(3.17)
Как и в случае «чистого» сегнетоэлектрика, энергия взаимодействия дефекта с границей представляет собой здесь разницу величин Ze(Pind(xd) в области максимального взаимодействия и вдали от границы. С учетом (1.6), (1.8) и найденного здесь выражения для U^ (3.17) указанная энергия взаимодействия в случае ес = еа = е равна
2药[(1 + 7)+，g(1 + ))]
(3.18)
8开用_ А+А
£2卩鳥‘' A + 2/1
Как видно из выражения (3.18), при 句 т 0, т. е. при 7 Toe энергия взаимодействия дефекта с границей определяется одной электростатикой и переходит в выражение (1.13). При отличных от нуля значениях коэффициента 7, описывающего относительную роль электрического и упругого взаимодействий в контроле за смещениями границы, дополнительная жесткость, препятствующая смещению границы, связанная с появлением упругих полей при прогибе доменной стенки сегнетоэлектрика-сегнетоэластика приводит к уменьшению энергии взаимодействия границы с дефектом.
Вычисление на основе выражения (3.17) смещения границы в случае, когда дефект расположен непосредственно на границе, дает при ес = еа = е смещение
U(у)z) = — , °= уу (3.19)
как и (1.18) асимметричное вдоль полярной оси z.
Взаимодействие доменной границы сегнетоэластика с центром дилатации
Дефекты кристаллической решетки — междоузельные атомы и вакансии, а также введенные в кристалл примеси вызывают деформацию решетки того или иного знака в своем ближнем окружении, создавая тем самым вокруг себя определенное распределение напряжений. Аналогично взаимодействию заряженного дефекта с доменной границей в сегнетоэлектрике доменная граница в сегнетоэластике способна изгибаясь снимать определенную часть напряжений, создаваемых внешним источником ——дефектом. Это делает расположение доменной стенки в сегнетоэластике вблизи дефекта, создающего упругие поля, энергетически более выгодным по сравнению с их изолированным расположением, т. е. приводит к взаимодействию границы с дефектом.
Простейшей моделью точечного дефекта в теории упругости является так называемый центр дилатации, действие которого на ближайшее окружение эквивалентно действию трех пар равных сил, приложенных к месту расположения дефекта и направленных по координатным осям. В теории упругости такой дефект описывается объемной плотностью сил вида
〃г) = —卜+|从)Qo gradj(r - rrf), (4.1) где r^ — координата дефекта. В кубическом кристалле или в изотопной среде величина Qq имеет простой физический смысл. Ее значение равно изменению объема кристалла, вызванному наличием в нем одного дефекта. Для междоузельного атома О。〉0, а для вакансии, где смещение соседних атомов наоборот происходит в сторону дефекта, Qq < 0.
Системой уравнений, описывающей взаимодействие между центром дилатации и доменной границей в сегнетоэластике, является совокупность уравнений
m
^ij,kk + ^ + ] \^kk,ij — ^кк,И) +
+ fi,j + fj,i — fl,I ^ij = ^^ij, (4・2) ^12 1/=0= 0.
Первое из них представляет собой статическое уравнение Бель- трами при наличии внешних сил, а второе ——условие равенства нулю упругих напряжений на любом участке прогнутой границы, как следствие уравнения ее равновесия. При этом, как и в предыдущем разделе, предполагается, что доменная граница в эластике
разделяет домены, характеризуемые спонтанной деформацией +бо, —бо, и плоскость несмещенной доменной стенки совпадает с zy координатной плоскостью.
Будем считать центр дилатации расположенным в точке с координатами г =(力曲 0, 0). Найдем распределение напряжений в рассматриваемой системе. Аналогично предыдущему разделу на основе фурье-разложения (3.6) здесь
売］_ 廿万］+ 州2行 + у，_ ikyf2 _ ikJ3 = 0,
不2 -后办2 + /3(5■居一 3")一丹 + ikyf2 - ikzf3 = 0, 澱3 一廿333 + 队方写一3") - /1 - ikyf2 + ikzfs =
=-^eoikyUkd^x),
суммируя которые мы находим
3〃 一炉33〃 一炉3Л + ikyh + ikzf3 4肥甫⑺ ikyUk
3〃 一炉3
3〃 一炉3
(2/3 -1)
откуда
=(X + |从)° -ikxxd IА^еик也kyUk
kx _ (2/3 - 1) 0 十(2/3 —1)(眠+ 倉2)，
(4.3)(4.3)(4.4)(4.4)(4.5)(4.5)фурье-образ ai2 определяется здесь уравнением
(4.3)
(4.3)
(4.4)
(4.4)
(4.5)
(4.5)
3?2 —炉312 + /3ikyd-f + 2ikyfi = 2 g)尾3(化)。匕(4.6)
откуда с учетом (4.5)
2дк；Вкхку ^yfxx
修e L+必)
—2N€oUk , 2 I 2/3 к泳^ =一悶 + N) z 十 ^nj 悶 + N)
(2/3-1) J(2/3-1) J(4.7)(4.7)(X + ^M0()kxky ikxXd(^ + N)
(2/3-1) J
(2/3-1) J
(4.7)
(4.7)
Вычисляя на основании (4.7) 312(力),мы получим
312 (力)=3-12 + 5-12 + ^12，
^2 = -^Uke~kx^.
賢2 = _Z^oUk 儲①?(1 - 6 I 力 1)ei叫
/1 (ЗА + 2从) 3 (a + 2从)/1 (ЗА + 2从) 3 (a + 2从)^ikye-k\x~Xd\.^ikye-k\x~Xd\.
/1 (ЗА + 2从) 3 (a + 2从)
/1 (ЗА + 2从) 3 (a + 2从)
^ikye-k\x~Xd\.
^ikye-k\x~Xd\.
фурье-фурье-(4.9)(4.9)Приравнивая к нулю сумму 3i2(力)при ж = 0, находим образ смещения границы [108]:
фурье-
фурье-
(4.9)
(4.9)
_ (ЗА + 2从)П^гкук e~kXd _ 2(А + 从) к 3(a + 2/1) €о[期砲，"(入 + 2从)
Энергия взаимодействия центра дилатации с доменной границей сегнетоэластика определяется шпуром индуцированной части напряжений
1.,
(4.Ю)(4.Ю)罢屛0。靈
(4.Ю)
(4.Ю)
Подстановка (4.8) в (4.5) и затем в (4.10) показывает, что энергия взаимодействия убывает с ростом расстояния Xd пропорционально 1/力胃.При этом максимальная энергия взаимодействия, за величину которой взято ее значение при Xd = В, равна
% =% =1 (ЗА + 2М)221187r2 (Х + 2/1)2J3-1 (ЗА + 2М)221187r2 (Х + 2/1)2J3-(4.П)(4.П)
% =
% =
1 (ЗА + 2М)221
187r2 (Х + 2/1)2J3-
1 (ЗА + 2М)221
187r2 (Х + 2/1)2J3-
(4.П)
(4.П)
(при расчетах % для простоты положено g t 1).
Используя при расчетах значения /1 〜Ю10ед. CGSE, 6 〜10-7 см, Qo = ^3? где а3 — атомный объем и значение а равно приблизительно половине размера элементарной ячейки, типичное значение которой равно 10-7 см, мы получим значение 溢 〜 0, 02 эВ.
Распределение смещений границы, взаимодействующей с дефектом при g t 1, описывается функцией (рис. 4.5)
U(dP)=U(dP)=(4.12)(4.12)1 (ЗА + 2/1) Qo
U(dP)=
U(dP)=
(4.12)
(4.12)
Зтг (А + 2/1) Со ®2 + /2 + 力»3/2
Как видно из рис. 4.5, смещение стенки симметрично в направлении, перпендикулярном спонтанному сдвигу и ассиметрично вдоль этого направления.
Рис. 4.5. Характер распределения смещений доменной стенки сегнетоэла- стика, взаимодействующей с центром дилатации
Рис. 4.6. Взаимодействие доменной границы с не сегнетоэлектрическим включением за счет (а)——уменьшения площади границы, (б)——за счет уменьшения энергии деполяризующего поля включения
Завершая рассмотрение взаимодействия точечных дефектов с доменными границами, рассмотрим здесь же кратко случай родственных им нарушений кристаллической решетки ——так называемых несегнетоэлектрических включений. Взаимодействие указанных дефектов с доменными стенками связано с конечностью их размеров и обусловлено как минимум двумя причинами.
勿Ьтах =勿Ьтах =С одной стороны, попадание несегнетоэлектрического включения непосредственно на границу уменьшает её площадь (рис. 4.6). А так как энергия границы имеет положительный знак, то уменьшение поверхности границы означает эффетивное притяжение границы к дефекту. Указанное взаимодействие очевидно имеет короткодействующий характер, поскольку оно возникает только в случае прямого попадания дефекта на границу, и максимальная величина его величина [109,110]
勿Ьтах =
勿Ьтах =
(4.13)
Здесь 7 ——поверхностная плотность энергии доменной стенки, а R — радиус включения.
С другой стороны, попадание дефекта на границу уменьшает энергию связанных зарядов спонтанной поляризации, возникающих на поверхности включения (рис. 4.6), аналогично тому, как это происходит при разбиении кристалла на домены. Данное взаимодействие также имеет короткодействующий характер с максимальной величиной энергии взаимодействия дефекта с границей равной [111]:
%max =必%max =必(4.14)(4.14)
%max =必
%max =必
(4.14)
(4.14)
Взаимодействие доменной границы сегнетоэластика с дислокацией, параллельной плоскости границы
Наряду с точечными дефектами в кристаллах существуют и линейные дефекты-дислокации. Краевая дислокация представляет собой возмущение, обусловленное вставленной в кристаллическую решетку лишней полуплоскостью. Винтовая дислокация есть результат «разреза» решетки по полуплоскости с последующим сдвигом разрезаемых частей параллельно краю разреза. Для обычных, т. е. недвойникующих дислокаций вектор Бюргерса Ь, равный приращению вектора упругих смещений среды при обходе по замкнутому контуру вокруг линии дислокации, совпадает с одним из периодов решетки. Для краевой дислокации единичный вектор касательной к линии дислокации 丁丄 Ь, для винтовой дислокации т || Ь.
Как и в случае взаимодействия с центром дилатации, при взаимодействии доменной границы в сегнетоэластике с дислокацией
определенный прогиб границы способен снимать часть напряжений, создаваемых в кристалле дислокацией, что эффективно означает их взаимное притяжение.
При описании взаимодействия дислокации того или иного типа с доменной границей в сегнетоэластике зададимся их взаимным расположением. Будем рассматривать дислокации параллельные и перпендикулярные плоскости границы. Пусть, как и в предыдущем разделе, исходное положение границы совпадает с 纱плоскостью, а направление спонтанного сдвига с осью у. Распределение упругих напряжений, а вместе с ним и профиль прогнутой границы определяется здесь системой уравнений (4.2), в которой компоненты объемной плотности сил fi можно положить равными нулю
^ij,kk + 皿 — ^kk,ll ^办)=2/1〃力〉 (§ ]) ^12 1力=0= 0,
а компоненты тензора несовместности определяются не только плотностями двойникующих дислокаций (3.4)
(5.2)(5.2)022 = 2со —OZ
(5.2)
(5.2)
аи
032 = —2бо 瓦"8(力)〉
возникающих при прогибе границы, но и плотностями исходных дислокаций а^, взаимодействующих с границей.
Для записи компонент тензора а^ перепишем соотношение (2.3) для индивидуальной дислокации несколько иным образом. Поскольку тензор ем антисимметричен по индексам fc,Z,a тензор 3〃配/дх^ = =д^ип/dx^xi ——симметричен по этим же индексам, то подынтегральное выражение в (2.2) тождественно равно нулю всюду за исключением точки пересечения линии дислокации с поверхностью, по которой производится интегрирование. С учетом этого и исходного определения (2.1) для индивидуальной дислокации подинтегральное выражение в (2.2) можно представить в виде
—а^ = е^/ ^^ = —TibnS(^)—а^ = е^/ ^^ = —TibnS(^)(5.3)(5.3)
—а^ = е^/ ^^ = —TibnS(^)
—а^ = е^/ ^^ = —TibnS(^)
(5.3)
(5.3)
где £ ——двумерный радиус-вектор, отсчитываемый от оси дислокации в плоскости перпендикулярной вектору т. Нетрудно видеть, что в соответствии с определением дислокации интегрирование (5.3) по d£ дает компоненту вектора Бюргерса Ьп.
Рассмотрим сначала взаимодействие с границей дислокаций, линия которых параллельна плоскости границы. Начнем с краевой дислокации. Нетрудно видеть, что если ось краевой дислокации
параллельна направлению спонтанного сдвига, то она не взаимодействует с границей. Действительно, у такой дислокации отличными от нуля компонентами тензора напряжений являются компоненты(713 и сгц и отсутствует компонента。⑵ В этом случае, в соответствии с (5.1), давление на границу отсутствует, ее смещение везде равно нулю и, следовательно, не создается напряжений в месте расположения дислокации.
Для краевой дислокации перпендикулярной спонтанному сдвигу, т. е. в данном случае параллельной оси z и линией дислокации, описываемой радиус-вектором pd = (х =力曲 У = 0) отличной от нуля компонентной тензора а^ является компонента
q^2 = Ь8(х - xd)8(y^ (5.4)
которой соответствует единственная ненулевая компонента тензора несовместности
〃зз = ^1 = 6*(力-力d) В®)〃зз = ^1 = 6*(力-力d) В®)(5.5)(5.5)
〃зз = ^1 = 6*(力-力d) В®)
〃зз = ^1 = 6*(力-力d) В®)
(5.5)
(5.5)
На основании уравнения Бельтрами в(5.1)с учетом однородности рассматриваемых полей и смещений границы вдоль оси дислокации и соотношения (5.5) выражение для фурье-образа шпура той части матрицы упругих напряжений а^, которая создается взаимодействующей с границей дислокацией, имеет вид:
〜_ ikx 2^ibeik^
- "(I-2/3)(^ + ^)-©б)
Аналогично фурье-образ
"宮=%(5'7)
Подстановка в (5.7) выражения (5.6) дает
_(1_2/3)(踞 + 玲产
откуда с учетом интегрирования (5.8) по кх
万2(力=0) = 2(；,；g)sign&(l - ку)е~ку Xd. (5.9)
Суммируя выражение (5.9) с полем упругих напряжений (3.16), индуцированным прогнутой границей, с учетом однородности вдоль оси z (в этом случае в (3.16) kz = 0) из уравнения равновесия границы в (5.1) получаем фурье-образ смещения прогнутой
за счет взаимодействия с краевой дислокацией доменной границы сегнетоэластика [112,113]:
=九(5.10)
Отсюда координатная зависимость смещения стенки здесь
[arctg— -2] •(5.11)
2тг0ео [ xd ®^ + y2J
Зависимость, выражаемая соотношением (5.11), показана на рис. 4.7, из которого видно, что смещение свободной стенки представляет собой перегиб, в месте которого сосредоточены двойникующие дислокации другого по сравнению с исходной дислокацией знака.
Ширина области перегиба равна 2力小 т. е. возрастает при удалении дислокации от границы. При 力^ т ° перегиб на границе превращается в ступеньку с высотой равной b]2d
При описании силовых и энергетических характеристик взаимодействия дислокации с границей удобно сначала вычислить силу, действующую на дислокацию со стороны индуцированных ей напряжений. Выражение для компонент указанной силы описывается так называемой силой Пича-Келера [100]:
^ = егк1тк^Ъш(5.12)
Непосредственные вычисления и анализ симметрии данной задачи показывают, что единственной отличной от нуля компонентной в данном случае будет компонента:
А = —о變'® = 0,力=力“)6(5.13)
Для ее определения необходимо найти предварительно индуцированную прогибом границы компоненту тензора напряжений 022 • Согласно (5.1) уравнение на двумерный фурье-образ 兔2 имеет вид:
艰—此灾2一明〃 =0,(5.14)
где штрихи, как и раньше, означают дифференцирование по х. Отсюда с учетом (3.10) и конкретного вида фурье-образа U^ (5.10)
户好〜 =4从60户磯% =
(眠+一 (2/3 -1)(眠+ 学)2 k _
=-2从淤渺) e~Xd ky (5 15)
_(2/3 -1)開+%)2(丄e"
Рис. 4.7. Смещение доменной стенки, взаимодействующей с краевой дислокацией. Штриховой линией показано смещение стенки при с〃 = 0, а также дислокация изображенияРис. 4.7. Смещение доменной стенки, взаимодействующей с краевой дислокацией. Штриховой линией показано смещение стенки при с〃 = 0, а также дислокация изображенияСила Пича-Келера с учетом (5.15)Сила Пича-Келера с учетом (5.15)ОС— осОС— ос一从b2 1 27r(2/3 —1)乐一从b2 1 27r(2/3 —1)乐(5.16)(5.16)
Рис. 4.7. Смещение доменной стенки, взаимодействующей с краевой дислокацией. Штриховой линией показано смещение стенки при с〃 = 0, а также дислокация изображения
Рис. 4.7. Смещение доменной стенки, взаимодействующей с краевой дислокацией. Штриховой линией показано смещение стенки при с〃 = 0, а также дислокация изображения
Сила Пича-Келера с учетом (5.15)
Сила Пича-Келера с учетом (5.15)
ОС
— ос
ОС
— ос
一从b2 1 27r(2/3 —1)乐
一从b2 1 27r(2/3 —1)乐
(5.16)
(5.16)
Нетрудно видеть, что взаимодействие (5.15), как и в предыдущих задачах, где мы имели дело со свободной границей и «чистым» материалом, т. е. сегнетоэлектриком или сегнетоэластиком, представляет собой взаимодействие с изображением. В данном случае изображение представляет собой также краевую дислокацию (см. рис. 4.7), которая как всякое изображение имеет другой знак по сравнению с оригиналом и поэтому их взаимодействие при любом знаке исходной дислокации будет представлять собой взаимное притяжение. Характерным законом спада функции /(力d) с расстоянием является (см. рис. 4.8) закон /(力d) — При 力d т ° значение силы Пича- Келера растет до максимальной величины, которая ограничивается значением / при большей из величин В или Umax, где В — полуширина доменной стенки, a Umax — максимальное смещение границы, которое ограничивает возможность использования линейного приближения в данной задаче. При обычных с。〜10-2, /3 〜1 величина Umax 〜 IO? а〉В и поэтому именно она определяет величину максимальной силы взаимодействия, которая оказывается равной
I /max | =I /max | =W2/3 —1)W2/3 —1)
I /max | =
I /max | =
W2/3 —1)
W2/3 —1)
Рис. 4.8. Зависимость силы взаимодействия дислокации с границей от расстояния между нимиРис. 4.8. Зависимость силы взаимодействия дислокации с границей от расстояния между ними
Рис. 4.8. Зависимость силы взаимодействия дислокации с границей от расстояния между ними
Рис. 4.8. Зависимость силы взаимодействия дислокации с границей от расстояния между ними
Энергию взаимодействия границы с дислокацией, отнесенную к единице её длины, можно определить как работу по перенесению дислокации из точки с координатой Xd = Umax в бесконечность. Это
дает для нее выражение
(5.18)(5.18)储 L
(5.18)
(5.18)
где L — характерный размер кристалла.
Рассмотрим взаимодействие с доменной стенкой сегнетоэластика винтовой дислокации, линия которой параллельна исходному положению доменной границы. Среди винтовых дислокаций, ориентированных таким образом, дислокации с вектором 丁, перпендикулярным направлению спонтанного сдвига, не создают напряжений 内2, активных в смещении границы, и, значит, не взаимодействуют с ней. Наоборот, дислокации, у которых вектор 丁 параллелен спонтанному сдвигу, создают указанные напряжения и взаимодействуют с доменной границей. Для описания этого взаимодействия найдем выражение для напряжений, создаваемых рассматриваемой дислокацией в месте расположения доменной границы. Отличная от нуля компонента тензора плотности дислокации а^ здесь равна
а% = Ь8(х -力d)“z),а% = Ь8(х -力d)“z),(5.19)(5.19)
а% = Ь8(х -力d)“z),
а% = Ь8(х -力d)“z),
(5.19)
(5.19)
Ей соответствуют ненулевые компоненты тензора несовместности
52 = -Y^ =_； “力—力d)小3 = j^1 = I *(力-力d) 8(z).
С учетом (5.20) из уравнения Бельтрами а = 0 и фурье-образ
5偌)()
Отсюда
3i2(力=0) =z e~kz Xd(5.22)
фурье-образ напряжений, индуцированных прогибом границы с учетом однородности всех величин вдоль оси дислокации, т. е. оси g из (3.16) равен:
5■設'(力=0)= —从 Co Uk kz sign kz(5.23)
Приравнивание нулю суммы (5.22) и (5.23) дает уравнение для определения фурье-образа смещения границы, откуда
Uk =d(5.24)
Вычисление на основании (5.24) координатной зависимости смещения границы показывает, что получающаяся здесь зависимость
U ⑶=arctg —(5.25)
2тгб0 xd качественно аналогична смещению границы в поле краевой дислокации (рис. 4.7).
Сила взаимодействия доменной границы с винтовой дислокацией данной ориентации имеет одну отличную от нуля компоненту
/1 = 6。夢(力=©ь z = 0)(5.26)
Уравнение Бельтрами для компоненты(723 имеет вид
對3 -к"23 = 2从小3,(5.27)
где индуцированная часть этой компоненты о窮'определяется частью компоненты 〃23, связанной с прогибом границы (3.5), откуда
(5.28)(5.29)(5.28)(5.29)kxind _ 2从£0冗儿_ 从 从% Xd
(5.28)
(5.29)
(5.28)
(5.29)
12
С учетом (5.28) компонента силы
_ 丄
147r xd
и линейная плотность энергии взаимодействия границы с дислокацией здесь равна
Взаимодействие доменной границы сегнетоэластика с дислокацией перпендикулярной плоскости границы
Наряду с дислокациями, параллельными плоскости доменной стенки, в кристалле, очевидно, существуют и наклонные по отношению к ней дислокации. Рассмотрим взаимодействие доменной стенки с пересекающей ее дислокацией для наиболее симметричной ситуации ——дислокации перпендикулярной границе.
Пусть, как и раньше, плоскость невозмущенной границы совпадает с zy координатной плоскостью, направление спонтанного сдвига ——с осью у. Для винтовой дислокации, перпендикулярной границе, отличная от нуля компонента тензора плотности дислокаций 唸 равна
«11 = 68®) В⑶， (6.1)
и ей соответствуют ненулевые компоненты тензора несовместности
力2 =T=| W)， 力3 = -3芻=勺(沙№(2),
С учетом (6.2) из уравнения Бельтрами фурье-образ той части сдвигового напряжения(Т12, которая создается исходной дислокацией,
°12 =°12 =/^bikz(写+喲/^bikz(写+喲(6.3)(6.3)
°12 =
°12 =
/^bikz
(写+喲
/^bikz
(写+喲
(6.3)
(6.3)
Добавляя к (6.3) фурье-образ напряжений ai2, индуцированных прогибом границы и взятый в общем виде (3.16)
312(力=о)=—胃 Uk(欣+ 以硝，а = 2n)")(6・4)
приравнивая полученную сумму нулю, мы получим фурье-образ смещения границы
Uk =。(6.5)
Отсюда само смещение границыОтсюда само смещение границыarctg ()(6.6)arctg ()(6.6)
Отсюда само смещение границы
Отсюда само смещение границы
arctg ()(6.6)
arctg ()(6.6)
Как видно из симметрии задачи, для бесконечной дислокации в данном случае не существует выделенного положения относительно границы и, следовательно, сила Пича-Келера здесь равна
нулю. Вычисление ее для дислокации конечных размеров затруднено и поэтому для определения энергии взаимодействия границы с перпендикулярной ей дислокацией при конечности хотя бы одного из размеров ——границы или дислокации ——удобно поступить по-другому. Величину последней удобно найти как разницу упругой энергии системы из границы с пересекающей ее дислокацией и упругой энергии системы изолированной дислокации. Для ее определения найдем распределение упругих напряжений в рассматриваемой системе. С учетом （3.5）, （6.5） и （6.2） фурье-образы суммарных компонент напряжений здесь равны [114]
4/dbikxkykz кз
（够+к2）2 （誌+以写），
к（麻+ N）2 （膨+ G碣），
21dbi к %к（眠+к2）（膨+ G碣）21dbi к %к（眠+к2）（膨+ G碣）2kyk^ а 開+n）2kyk^ а 開+n）^1лЫкхkykz （匐 + 厩）sk{k^ + шк^）（眠 + 倉2）
21dbi к %
к（眠+к2）（膨+ G碣）
21dbi к %
к（眠+к2）（膨+ G碣）
2kyk^ а 開+n）
2kyk^ а 開+n）
（膈+玲，
21dbiкук；2唸3 /лЫкг6（кх）
M眠+ N）（紀+ s- 関+殆]+ （戚+
〜_ Zidbiky* Г _ 2写以
"23m够+g2）阳+ 8%）開+ N） •
（6.7）
Упругая энергия системы
W =纵/ [2（a12 + a13 + 唸）+ all + a22 + a33 -
А о 1 dkdkx “一（31+ 2从）*河，（）
Область интегрирования в （6.8） в плоскости （ку^ к^ представляет собой круговое кольцо с внутренним радиусом 1/Li, где Li — характерный размер доменной границы и внешним радиусом 4бо/Ь.
После интегрирования в (6.8) находим
4 开 b 27r|_1 + УА/(А + 2/i) J
Первый член здесь представляет собственную упругую энергию винтовой дислокации, а второй описывает уменьшение упругой энергии системы за счет прогиба доменной стенки в упругом поле дислокации, L ——длина дислокации.
Учитывая, что Е]》Ь/4бо, и деля второе слагаемое в (6.9) на длину дислокации, для средней линейной плотности энергии взаимодействия границы с дислокацией в данном случае мы получим следующее:
Wr =，宀(6.10)
Е 2тг [1 + у/А/(А + 2/1)]
Для пересекающей доменную границу по нормали краевой дислокации с вектором Бюргерса b параллельным любой из осей у или z ее взаимодействие с границей отсутствует.
ГЛАВА 5
Строение доменных границ в реальных сегнетоактивных материалах
Ориентационная неустойчивость наклонных доменных границ в сегнетоэлектриках. Образование зигзагообразных доменных стенок
Как образования с положительной энергией, доменные границы в сегнетоэлектриках и сегнетоэластиках стремятся иметь минимально возможную поверхность. При отсутствии других конкурирующих факторов из-за этого они обычно принимают плоскую форму. Допустимые границы плоского вида, а также зависимость энергии таких границ от их ориентации рассмотрены в [115-121]. Однако, существует целый ряд ситуаций, когда доменным границам выгоднее иметь изломанный или деформированный профиль [122-128]. В этом случае, очевидный проигрыш за счет увеличения общей поверхности стенки компенсируется каким-либо другим энергетическим выигрышем. Для наклонной доменной стенки ——это выигрыш в электростатической энергии зарядов на стенке за счет принятия таких ориентаций, где плотность зарядов на стенке меньше. В кристаллах с фазовым переходом первого рода такой выигрыш достигается за счет перехода части объема кристалла в поле зарядов на прогнутой границе из метастабильной в энергетически более выгодную фазу. В кристаллах с дефектами указанный выигрыш получается за счет понижения энергии системы ——доменная граница плюс дефекты за счет захвата отдельных участков границы дефектами. Все указанные ситуации, а также ситуация с тепловым искажением профиля границы, рассматриваются в данной главе.
Рассмотрим вначале ситуацию с наклонной доменной границей в одноосном сегнетоэлектрике. Пусть вектор поляризации направлен вдоль оси z. Плоскость доменной границы первоначально расположена в кристаллографической плоскости zy. Предположим для определенности, что в правом домене (力〉0) вектор поляризации Р ориентирован в положительном направлении оси г, а в левом (ж < 0)——
Рис. 5.1. Наклонная 180-градуснаядоменная граница в одноосном сегне-тоэлектрике
в отрицательном. Совершим поворот плоскости доменной стенки на угол ⑺ вокруг оси у (рис. 5.1).
При этом на доменной границе возникает заряд, а в объеме кристалла появится электрическое поле
Е = -4тг(Р,п)п,(1.1)
где п — нормаль к плоскости границы между доменами, направленная внутрь того домена, в котором указывается электрическое поле (1.1). В частности, для правого домена n = (cos ^, — sin ⑺).С учетом наличия поля объемная плотность термодинамического потенциала
Ф = Ф0(Р) + |^,(1.2)
О7Г
где для одноосного сегнетоэлектрика с фазовым переходом 2-го рода (общая схема рассуждений справедлива и для сегнетоэлектриков с фазовым переходом первого рода) термодинамический потенциал Фо(Р), связанный с короткодействующими межатомными силами, равен
① 0(Р) = *肾*肾+(1.3)
Подстановка (1.1) в (1.2) приводит к выражению
①=^肾-^肾 + ^月 + 27r(鸟 cos ⑺-Pz sin^)2.(1.4)
Варьирование Ф по компонентам вектора поляризации приводит к уравнениям
3①3①= axpx + 47r cos ⑺(鸟 cossin =0,
3①
3①
(1.5)(1.6)(1.5)(1.6)=—azPz + /3肾—4тг sin (Pe cos^ — Pz sin^) = 0.
(1.5)
(1.6)
(1.5)
(1.6)
Отсюда
47r sin ⑺ cos ⑺” аж + 4тг cos22 йг ~аж 4тг sin2匕0 =万 5 Qn = QnГраж + 4тг cos'Для практически важного случая ⑺《1Рх = Pz sin ⑺, az = az - ax sin247r sin ⑺ cos ⑺” аж + 4тг cos22 йг ~аж 4тг sin2匕0 =万 5 Qn = QnГраж + 4тг cos'Для практически важного случая ⑺《1Рх = Pz sin ⑺, az = az - ax sin2(1.7)(1.7)(1.8)(1.8)(1.9)(1.9)
47r sin ⑺ cos ⑺
” аж + 4тг cos2
2 йг ~аж 4тг sin2
匕0 =万 5 Qn = QnГ
раж + 4тг cos'
Для практически важного случая ⑺《1
Рх = Pz sin ⑺, az = az - ax sin2
47r sin ⑺ cos ⑺
” аж + 4тг cos2
2 йг ~аж 4тг sin2
匕0 =万 5 Qn = QnГ
раж + 4тг cos'
Для практически важного случая ⑺《1
Рх = Pz sin ⑺, az = az - ax sin2
(1.7)
(1.7)
(1.8)
(1.8)
(1.9)
(1.9)
ние субструктуры доменов вблизи наклонной доменной границы.ние субструктуры доменов вблизи наклонной доменной границы.
ние субструктуры доменов вблизи наклонной доменной границы.
ние субструктуры доменов вблизи наклонной доменной границы.
Формулы (1.8) и (1.9) показывают, что при достаточно большом угле наклона границы ⑺о 〉д/о7/аж термодинамически выгодной становится парафаза. Таким образом, одним из возможных каналов распада наклонной доменной границы является объемный канал, свя-
занный с неустойчивостью поляризации объема кристалла в поле связанного заряда, создаваемого наклонной доменной границей.
Следует отметить, что этот процесс ограничен в лучшем случае слоем толщиной 2d вблизи наклонной доменной стенки, где d — ширина доменов, на систему которых разбивается материал (рис. 5.2), для того, чтобы уменьшить энергию деполяризующего поля зарядов на границе. В данном случае это аналогично тому, как возникновение доменной структуры в обычном случае уменьшает энергию зарядов спонтанной поляризации на поверхности сегнетоэлектрического материала.
Оценим минимальный период новой доменной структуры d из условия равенства плотности термодинамического потенциала (1.2) для материала, находящегося в поле за-
рядов на наклонной границе и аналогичной характеристики для сегнетоэлектрика, разбитого на систему параллельных доменов:
(1.10)(1.10)Ф0(Р) + |- = Ф0(Р0) + ^__.
(1.10)
(1.10)
Здесь 7 ——поверхностная плотность энергии симметричной границы. Появление sin^ в знаменателе в правой части (1.10) описывает эффект удлинения наклонных доменных границ по сравнению с прямой доменной структурой.
При аж, az < 1 с учетом (1.2)
а т т /一、 t 、 E2sin2也
(1.11)(1.11)△①=Фо(Р) - фо(Ро) + ^ =
(1.11)
(1.11)
и
d =
△① sin ⑺ azax sin3 ⑺
(1.12)
Формула (1.12) показывает, что граница бесконечных размеров,
как идеализированная система является термодинамически неравновесной для сколь угодно малых углов ⑺ поворота. Однако, поскольку
реальная доменная структура ограничена по своим размерам размерами кристалла Е , наклонные доменные границы оказываются
устойчивыми по отношению к возникновению субструктуры доменов для малых углов поворота
(1.13)
где В — ширина доменной стенки,现= =，а，а/.
Другой возможный канал «распада» собственно наклонной доменной стенки связан с изменением геометрии самой границы, когда она принимает зигзагообразную форму (рис. 5.3).
При этом достигается баланс между уменьшением ее электростатической
Рис. 5.3. Зигзагообразная доменная граница. Исходная наклонная стенка показана штриховой линией
энергии за счет увеличения площади стен
ки (и, следовательно, области локализации заряда) и одновременным увеличением ее поверхностной энергии.
Определим вслед за [131] условие потери устойчивости плоской доменной границы путем изгиба ее поверхности. Для этого запишем термодинамический потенциал бидоменного сегнетоэлектрического кристалла с изогнутой доменной границей:
Ф = У {①o(P) + ^^}d力厶 +)/ Jl + *b力(1.14)
Здесь первое слагаемое описывает объемную энергию сегнетоэлектрика, а второе — поверхностную энергию доменной стенки, форма которой представляется функцией z = z(力).Для изучения потери устойчивости формы плоской границей будем считать, что z(力)=х ctg ^ф + U(ж), где U(力)——малое смещение участков границы от среднего положения.
Разложим выражение (1.3) для ①о(Р) в ряд около /^)= &/В и ограничимся квадратичным членом
Vl^ax sin2 ^ \ (В - Во)?册呼
аж + 47r cos2 ⑺丿 22
Воспользовавшись тем, что ЗФ/dPi = Ei мы преобразуем (1.14) к виду
ФФ^±^dxdz + y87r^±^dxdz + y87r(1.16)(1.16)
Ф
Ф
^±^dxdz + y87r
^±^dxdz + y87r
(1.16)
(1.16)
где в соответствии с (1.15)
47r =1 +47r =1 +£ = 1 Н2а?£ = 1 Н2а?47r12тгаж sin2 ⑺аж + 47r cos2 ⑺47r12тгаж sin2 ⑺аж + 47r cos2 ⑺(1.17)(1.17)
47r =1 +
47r =1 +
£ = 1 Н
2а?
£ = 1 Н
2а?
47r
12тгаж sin2 ⑺аж + 47r cos2 ⑺
47r
12тгаж sin2 ⑺аж + 47r cos2 ⑺
(1.17)
(1.17)
Рис. 5.4. К вычислению линейной плотРис. 5.4. К вычислению линейной плотности заряда на на-клонной границености заряда на на-клонной границе(1.19)(1.19)
Рис. 5.4. К вычислению линейной плот
Рис. 5.4. К вычислению линейной плот
ности заряда на на-клонной границе
ности заряда на на-клонной границе
(1.19)
(1.19)
Окончательно для анализа функционал (1.16) необходимо записать через координату границы z(力).Это удобно сделать, если
вычислять первое слагаемое в (1.16) не как энергию поля в диэлектрической среде, а как энергию взаимодействия связанных зарядов на границе. Учитывая (см. рис. 5.4), что линейная плотность связанного заряда на участке границы длиной dl равна
P@z dl = Р(ь sin = P^z d" (1.18) sm吵
электростатический потенциал этих зарядов в точке с координатами (ж, z) с учетом анизотропии диэлектрических свойств сегнето
электрика можно записать в виде
Тогда с учетом (1.19) выражение для функционала (1.16) может быть записано в виде
Варьируя (1.20) по малому смещению доменной границы U (力)， находим давление 夕(力)，действующее на отдельные участки границы
+ 7+ 7p（力）=p（力）=11，1 + (ctg 砂 + 0)2(,1 + (ctg 砂 + 0)2)3，1 + (ctg 砂 + 0)2(,1 + (ctg 砂 + 0)2)3(ctg^ + U，)2(ctg^ + U，)2U〃 (1.21)U〃 (1.21)
+ 7
+ 7
p（力）=
p（力）=
1
1
，1 + (ctg 砂 + 0)2(,1 + (ctg 砂 + 0)2)3
，1 + (ctg 砂 + 0)2(,1 + (ctg 砂 + 0)2)3
(ctg^ + U，)2
(ctg^ + U，)2
U〃 (1.21)
U〃 (1.21)
Считая, что граница поворачивается на малые углы U'(力)《1 и производя разложение подинтегрального выражения в (1.21) по этому параметру, мы получим
+ 7 I sin少 I3 (1.22)
Плоская доменная стенка потеряет устойчивость относительно малых смещений при условии обращения в ноль действующего на нее давления. Учитывая малость производной d?U/d力？ в момент потери устойчивости, мы видим, что это произойдет при условии обращения в ноль первого слагаемого в (1.22), т. е. при
ctg?叽=—(1.23)
47r
Учитывая, что согласно (1.17) для малых ^~ ,
2аг — Заж sin ⑺
из (1.23) получаем выражение для критического угла наклона границы, при котором она теряет устойчивость своей формы [129-131]:
优=Qz 12a 竄(1.24)
Для определенных условий эксперимента может реализоваться ситуация, когда угол наклона границы ⑺〉叽.При этом период возникающей зигзагообразной структуры будет зависеть от степени превышения ⑺ над 巾「Для его определения перейдем к фурье- компонентам смещения стенки и действующего на нее давления
U = Uq егкх, р = ро егкх . Подстановка их в (1.22) дает
2 仔-ctg
Po =A。0开丨 丨一” sin少 I3 廿&•(1.25)
+ C,g2
Конкуренция между объемной и поверхностной энергиями приводит к периоду границы А*, для которого скорость распада ее плоской формы максимальна. Она находится из условия dp()/dk = 0 и дается следующей формулой
(1.26)(1.26)(1.27)(1.27)
(1.26)
(1.26)
(1.27)
(1.27)
Таким образом, с ростом угла между плоскостью доменной стенки и плоскостью, соответствующей ее критическому наклону, период возникающей зигзагообразной структуры уменьшается.
Уширение доменной стенки за счет тепловых флуктуаций ее профиля
Деформация профиля доменной стенки может иметь не равновесный, а энтропийный характер и быть вызванной тепловыми флуктуациями ее профиля. Для определения спектра флуктуаций профиля доменной границы в кристалле сегнетоэлектрика-сегне- тоэластика запишем добавку к термодинамическому потенциалу кристалла, содержащего изолированную доменную стенку с деформированным профилем в виде функционала от смещения границы U (z, у):
ф=/ Ц^2+2p°tfL=oи ■ 2606712L=oи]dp q・d Кристалл будем считать бесконечным, а полярное направление и направление спонтанного сдвига совпадающими, как обычно, соответственно с z- и ^-направлениями.
Первое слагаемое в (2.1) описывает увеличение энергии, связанное с возрастанием площади доменной стенки, второе и третье, соответственно, энергию деполяризующего поля связанных зарядов и упругую энергию двойникующих дислокаций, возникающих при прогибах доменной стенки.
Вариация (2.1) В①/8U приводит к уравнению равновесия границы
-"+2吟 l°-"+2吟 l°—2боСГ12丨力=0—2боСГ12丨力=0=о=о(2.2)(2.2)
-"+2吟 l°
-"+2吟 l°
—2боСГ12
丨力=0
—2боСГ12
丨力=0
=о
=о
(2.2)
(2.2)
Разлагая смещение U, потенциал g и компоненту тензора напряжений 012 в ряды Фурье:
U = eUk产匕夕=e内⑺产匕 kk(2.3)
。12 = £ 312(力)6*匕k = (kz, %), p = (d g),
перепишем выражение для Ф (2.1) в виде:
①=S£{^UkU-k + 2Po泳— U-к - 2e0a12| _ U—
(2.4)
Как показано в предыдущей главе (разделы 4.1 и 4.3 соответственно), вклад в фурье-компоненты 夕卜 |力=о и а12 |ж=о, связанный с изгибным смещением границы, в приближении малых смещений границы линейным образом выражается через фурье-компоненту ее смещения 几：
Dk = 1ж=0 £аDk = 1ж=0 £а47rpо 泳 zUk47rpо 泳 zUk(2.5)(2.5)
Dk = 1ж=0 £а
Dk = 1ж=0 £а
47rpо 泳 zUk
47rpо 泳 zUk
(2.5)
(2.5)
Мб0 〃 “ 2 I 7_ 2(》+ М)Мб0 〃 “ 2 I 7_ 2(》+ М)и аналогично
Мб0 〃 “ 2 I 7_ 2(》+ М)
Мб0 〃 “ 2 I 7_ 2(》+ М)
(2.6)(2.6)5-12
(2.6)
(2.6)
1%=06口入十2n
Подставляя в (2.4)夕卜 |力=о в виде (2.5) и а12 |ж=о в виде (2.6) с учетом условия U_^ = U^, следующего из действительности смещений U, имеем
@ = S@ = S£汐k£汐k+8开用崎2。（1：期 + %）1/2+8开用崎2。（1：期 + %）1/22凋(Q +*)2凋(Q +*)xx
@ = S
@ = S
£汐k
£汐k
+8开用崎
2。（1：期 + %）1/2
+8开用崎
2。（1：期 + %）1/2
2凋(Q +*)
2凋(Q +*)
x
x
x I t^k |2 =— £ 丨 Uk |2 夕k (2.7) k
При постоянных температуре и объеме тела минимальная работа, требуемая для вывода тела из состояния равновесия, равна изменению его термодинамического потенциала Ф. Поэтому вероятность
флуктуаций профиля доменной стенки
(2.8)(2.8)cj = Аехр(—①/Т)
(2.8)
(2.8)
Так как каждый из членов суммы (2.7) зависит только от одного Uk, то флуктуации различных Uk статистически независимы и их распределение дается выражением
必=4 ехр ｛ —£g(k) I Uk『｝ = A exP^-| 丨几『｝ • (2.9) Из условия нормировки
(2.Ю)
и тогда величина средне-квадратичной флуктуации
WF =工 I I2 4 exp (—^ I Uk I2) =|^ ^gT(k).(2.11)
(2.12)(2.12)На основании (2.11) средний квадрат смещения доменной стенки
(2.12)
(2.12)
(2.13)(2.14)(2.15)(2.13)(2.14)(2.15)который можно рассматривать как квадрат новой, «эффективной» ширины доменной стенки, в пределах которого происходит изменение параметра порядка от его значения в одном домене до значения в другом домене при отличной от нуля температуры, оказывается следующим [132]: для сегнетоэлектрика-сегнетоэластика
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
для чистого сегнетоэлектрика
и, наконец, для «чистого» сегнетоэластика
—— Т
=
4/1 帛 В
Численные оценки, проведенные на основании выражений (2.13)-(2.15), показывают, что заметное (U2〉52, 5 — ширина доменной стенки без учета флуктуаций) уширение доменных границ за счет тепловых флуктуаций их профиля может возникать уже при температурах больших 100 К.
Эффективная ширина доменной стенки в реальных сегнетоэлектриках
Как видно из рассмотрения глав 1 и 2, ширина доменной стенки в сегнетоэлектрических кристаллах при теоретическом рассмотрении как в феноменологическом, так и в микроскопическом подходах оказывается чрезвычайно узкой ——близкой к постоянной решетки. В то же время в эксперименте обычно фиксируется ширина переходного слоя между доменами в десятки и даже сотни решеточных постоянных [133-140].
Доменная структура реального кристалла в значительной мере определяется природой и характером распределения его дефектов. В таком кристалле взаимодействие доменной границы с дефектами кристаллической решетки приводит к деформации ее формы, в результате которой, как и в случае тепловых флуктуаций профиля доменной стенки, эффективная толщина переходного слоя между доменами возрастает. Естественно предположить, что одной из возможных причин наблюдения в эксперименте относительно широких доменных границ является регистрация в большинстве экспериментов не локальной толщины доменной стенки, которая остается узкой, а эффективного переходного слоя между доменами, который возникает за счет деформации формы доменной стенки в кристаллах с дефектами. В пользу такого предположения говорят эксперименты по электронно-микроскопическому исследованию ширины границы в молибдате гадолиния [137-139], которые, фиксируя значение толщины границы всего в несколько постоянных решетки, разнятся с данными оптических измерений ширины границы на два-три порядка.
Рассмотрим сказанное более подробно. Прогиб доменной границы (отклонение ее от плоскости равновесной ориентации в бездефектном кристалле) может быть вызван не только действием внешнего поля на доменную границу, закрепленную дефектами, но и притяжением границы неподвижными дефектами, расположенными вблизи плоскости, описывающей положение середины границы в кристалле. Закрепление прогнутой границы на таких достаточно мощных дефектах, расположенных в соответствии с хаотичностью их распределения по разные стороны от плоскости средней ориентации, приведет к деформации формы границы, при которой любой ее полярный срез будет представлять уже не прямую, а в простейшем случае кривую близкую к ломанной линии.
При рассмотрении геометрически правильной, недеформирован- ной доменной стенки в сегнетоэлектрике под ее шириной понимается область, в пределах которой происходит обращение вектора поляризации между его значениями в соседних доменах. В кристаллах с дефектами указанное изменение вектора поляризации происходит в
Рис. 5.5. Увеличение эффективной ширины，е/ переходного слоя между доменами по сравнению с локальной толщиной доменной стенки в реальном материале
среднем в слое, в пределах которого располагается локально изогнутая за счет взаимодействия с дефектами доменная граница. Ширину указанного слоя естественно назвать эффективной шириной доменной границы lef в реальном сегнетоэлектрике (рис. 5.5). Ниже величина lef определяется для различной концентрации закрепляющих границу точечных и линейных дефектов при различной ориентации последних относительно полярного направления.
Как мы видели в главе 4, взаимодействие доменных границ с дефектами кристаллической решетки создает потенциальную яму для доменной стенки в месте расположения дефекта. Отклонение стенки от дна этой ямы на расстояние х создает действующую на нее силу W (力)，равную взятой с обратным знаком производной вдоль данного направления от указанного потенциального рельефа. Для точечных дефектов действие данной силы на границу локализовано не только в перпендикулярном к границе направлении, но и в плоскости доменной стенки. В результате давление на границу со стороны отдельного закрепляющего ее дефекта может быть записано в виде
F = W(x)6(z,y). (3.1)
Выберем начало координат таким образом, чтобы оно совпадало не с дефектом, а с положением несмещенной границы. Профиль границы вблизи захватывающего ее дефекта будет определяться системой уравнений
< (3.2)
「(需+券)+ 2崂"=力
Решение системы (3.2) методом двумерного фурье-разложения смещения границы и электростатического потенциала g в плоскости zy дает для коэффициентов разложения Uk 口 Вк следующие
выражения:
Uk =Uk =47rp0 泳 zUk47rp0 泳 zUk1 — 2P()ikz 9 k(化=0) 7阳+写)1 — 2P()ikz 9 k(化=0) 7阳+写)(3.3)(3.3)
Uk =
Uk =
47rp0 泳 zUk
47rp0 泳 zUk
1 — 2P()ikz 9 k(化=0) 7阳+写)
1 — 2P()ikz 9 k(化=0) 7阳+写)
(3.3)
(3.3)
Выражая gk(力=0) из (3.3) через Uk и приравнивая его предэкс- поненциальному множителю в (3.4), получим уравнение для определения 几，из которого находим [141]:
= jg」p 廿=% +写(3.5) 7k2 (|^e + 写)+ 8xP^k?l&a
С помощью обратного фурье-преобразования из (3.5) для наиболее типичной ситуации sc》％ получим
и© 力
X {[I-ЭДX {[I-ЭДg —c(0)] sin(T02)}, (3.6)g —c(0)] sin(T02)}, (3.6)
X {[I-ЭД
X {[I-ЭД
g —c(0)] sin(T02)}, (3.6)
g —c(0)] sin(T02)}, (3.6)
Здесь O(0), S(0)— интегралы Френеля. При выводе (3.6) использовался тот факт, что для всех активных в прогибе kz < 1/S (напомним, что в соответствии с принятыми обозначениями В ——толщина доменной границы) с учетом связи А =)，£鼻/87r用=，％/厶8 выполняется условие kzX <С 1.
Для дальнейшего соотношение в фигурных скобках (3.6) удобно представить в виде полинома [98], тогда координатная зависимость смещения границы (3.6) запишется в виде:
87r耳 ^Xz + byV2^ + cy^ где a, b, с ——численные коэффициенты, близкие соответственно к 1, 2, 3. Из (3.7) хорошо видно, что локализация связанного заряда
а(г, у) = 2Pq3U/dz на прогнутой границе вблизи точки закрепления вдоль полярного /-направления делает смещение границы резко анизотропным с характерными законами убывания U 〜1/ д/г и U 〜 〜1/g соответственно вдоль полярной и неполярной осей. Анализ смещения границы на основании (3.5) в случае sa〉％ также под
тверждает анизотропию смещения границы, хотя закон изменения здесь оказывается иным: соответственно U 〜1/z nU 〜1/у2. При Ес = £а 三 § законы спада смещений закрепленной границы вдоль полярной и неполярной осей описываются соответственно функциями U 〜1///зии 〜1/储/.
В случае, если одна из диэлектрических проницаемостей % или sa оказывается особенно большой, смещение границы целиком контро
Рис. 5.6. Профиль доменной стенки вблизи места ее захвата точечным дефектомРис. 5.6. Профиль доменной стенки вблизи места ее захвата точечным дефектомлируется поверхностным натяжением и оказывается изотропным:
Рис. 5.6. Профиль доменной стенки вблизи места ее захвата точечным дефектом
Рис. 5.6. Профиль доменной стенки вблизи места ее захвата точечным дефектом
Здесь и далее Z — среднее расстояние между закрепляющими границу дефектами.
Определение величины Zey начнем со случая сегнетоэлектрика с sc = sa = s. Пренебрегая малым смещением границы порядка радиуса ее взаимодействия с дефектом а (см. рис. 5.6) относительно дна потенциальной ямы, создаваемой им для границы, для максимального ее смещения на основании (3.5) здесь получим
(3.9)(3.9)max - 4 岳 Ро 产.max - 4 岳 Ро 产.Найдем значение W, при котором происходит отрыв доменной границы от дефектов. Для этого необходимо приравнять увеличение поверхност
(3.9)
(3.9)
max - 4 岳 Ро 产.
max - 4 岳 Ро 产.
ной и электро статиче ской энергий, связанных с прогибом границы, энергии взаимодействия доменной границы с дефектом ^. Указанное увеличение энергии равно работе силы W при смещении границы. Таким образом, из условия ^W Umax = ^ с учетом (3.9) следует,
что сила отрыва
Величина среднего смещения границы U из (3.5) есть
U =
(3.10)(3.11)(3.10)(3.11)8岳2耳厂
(3.10)
(3.11)
(3.10)
(3.11)
Подставляя в(3.11) W в виде (3.10) для эффективной ширины границы Q/ = 2U(Жтр), в которой среднее расстояние между точками закрепления I выражается через объемную концентрацию дефектов п из условия самосогласования UI2 = п-1, где
получим следующее:
f V 23(^2)WJ 丿 < 丿
При обычных % 〜(Т — К)3/2 величина Zey оказывается пропорциональной (Т — К)】/?, убывая, в отличие от величины В при приближении к точке фазового перехода.
В случае, если смещение границы определяется выражением (3.8), эффективная ширина доменной стенки, полученная из аналогичных рассуждений, определяется выражением:
(3.14)(3.14)lef = JIn-1 (у/т^/2па2 x/^b).
(3.14)
(3.14)
V 27Г7
В случае закрепления доменных границ линейными дефектами, оси которых перпендикулярны вектору Pq, аналогично (3.5) имеем
к= (М#；+87ГР割,к= (М#；+87ГР割,(3.15)(3.15)
к= (М#；+87ГР割,
к= (М#；+87ГР割,
(3.15)
(3.15)
где Ж-——средняя сила, действующая на границу со стороны единицы длины линейного дефекта.
Как отмечалось выше, величина 7〃^Z^/8tt# всегда меньше 1//с и, следовательно, первым слагаемым в в знаменателе (3.15) для всех реальных к можно пренебречь. Это означает, что в случае захвата доменной границы на линейные дефекты указанной ориентации ее профиль полностью определяется взаимодействием связанных зарядов, возникающих при прогибе границы на ее поверхности, и оказывается следующим:
(3.16)(3.16)
(3.16)
(3.16)
Из условия I Umax* = %「，где %「——энергия взаимодействия с единицей длины дефекта, с учетом (3.16) линейная плотность
силы отрывасилы отрыва
силы отрыва
силы отрыва
(3.17)(3.17)市оtр =4万凡，^7
(3.17)
(3.17)
7(%2а)1/4，］п"2a
На основании связи Z U = п/】, где ns ——поверхностная плотность линейных дефектов и U = Um^(WT\
心(3.18) ns^^a^^y^/^
и, следовательно,
= 2U(市.(3.19)
47r2%у/ЩР^/т^^
Для закрепления доменных границ линейными дефектами, оси которых параллельны полярному направлению,
U^ = WTl/^(3.20)
Плотность силы отрыва здесь
而胃 P =，8)%丿.(3.21)
Среднее расстояние между закрепляющими границу дефектами
1■322)
И, наконец,
陽=2夂或)=力=(察广(3.23)
Отметим, что использование (3.19), (3.23) возможно для случая ориентированных осей линейных дефектов, возникающих при определенных условиях приготовления кристаллов. В случае произвольной ориентации осей этих дефектов обычно будет наблюдаться пересечение осей дефектов с плоскостью доменной границы. В этом случае закрепление границ на дефектах ближе к случаю точечного закрепления и более подходящими для Zey оказываются, по-видимому, выражения (3.13), (3.14).
Численные оценки величины Zey при Pq 〜 104, % 〜 1 эВ, а 〜 〜10-7 см, %「〜备/а 〜10-5 (а ——размер элементарной ячейки), 7 〜1 эрг/см2 дают следующие результаты. Для точечных дефектов 1018 см-3, Q/ t 4 • 10-7 см в отсутствие компенсации сил дальнодействия и Zey 〜10-6 см при наличии такой компенсации. Для линейных дефектов с 九$ 〜108 см-2 в случае, если их оси
а 6
Рис. 5.7. Качественно различное температурное поведение (а) эффективной и (6) локальной толщины доменной стенки
перпендикулярны вектору спонтанной поляризации,，力 t 10-6 см, в противоположном случае при том же ns, 1^ < 10-4 см. Как видно из приведенных оценок, для всех типов дефектов при реальной их концентрации величина Zey больше или гораздо больше, чем В. Это позволяет предположить, что наблюдение в эксперименте широких доменных стенок с толщиной много большей, чем 5, может быть связано с взаимодействием доменных границ с дефектами кристалла.
В пользу этого говорит и иная, в сравнении с предсказаниями термодинамической теории (выражение (1.21) главы 2), температурная зависимость Zey , которая ближе к экспериментальным результатам, например, по измерению толщины доменной стенки в кристалле триглицинсульфата [134], где наблюдается не рост, а уменьшение толщины доменной стенки при Т Тс (рис. 5.7).
Эффективная ширина доменной стенки в сегнетоэластиках с дефектами
Проведенное в предыдущем разделе рассмотрение ширины переходного слоя между доменами в сегнетоэлектрике не учитывало изменения упругой энергии кристалла при деформации формы доменной стенки. Такое рассмотрение описывает «чистые» сегнетоэлектрики, например, кристалл ТГС, который по классификации Айзу не является сегнетоэластиком. В то же время большое число сегнетоэлектриков при фазовых переходах испытывают и сегнетоэластические деформации. Кроме этого существуют так называемые «чистые» сегнетоэластики, вообще не обладающие сегнетоэлектрическими свойствами. При рассмотрении структуры деформированной доменной стенки во всех этих кристаллах необходим учет упругих эффектов.
Определим форму взаимодействующей с дефектом доменной границы и эффективную ширину доменной стенки в сегнетоэластике. Смещение границы, взаимодействующей с дефектом, аналогично 5.3 найдем из совместного решения системы уравнений, одно из которых, как и раньше, есть уравнение равновесия границы, а роль другого выполняет условие несовместности упругих деформаций, записанное для статического случая:
< f (需 + 割-1-0=У),& 1)
^ij,kk + 皿 + ] Ckk,ij — ^kk,U^ij} = 2卩刀仃•
Как и раньше, рассматриваемый материал предполагается изотропным в упругом отношении.
Связь компонент тензора упругих напряжений со смещениями доменной стенки, определяемая уравнением несовместности деформаций в (4.1) через зависимость тензора r)ij = 〃力(U) от смещений стенки, естественно оказывается такой же, как и в предыдущих задачах (разделы 4.3, 5.2) на прогибные смещения стенок в эластиках. В частности, фурье-образ
万 12(力=0)=8 片)，
cj = 2(/\ + 乩)/ (X + 2从)
Уравнение равновесия границы (4.1)в фурье-пространстве имеет вид
7(^ + 确 Uk - 2€体2『0= ▽•(4.3)
Отсюда с учетом (4.2)
以呪.(4.4)
[)收+ 2竭的
Анализ оригинала, получаемого на основании фурье-образа (4.4) показывает, что почти для всех р в смещении границы активны только малые к , при этом
7/с3《2竭(矿 + а确(4.5)
и, следовательно, здесь в знаменателе (4.4) можно оставить только второе слагаемое. В этом случае координатная зависимость смещения границы имеет вид [142]:
g)=宀#!^，(4.6)
т. e. обладает характерным законом спада 〜 1/р. Сравнение смещения (4.6) со смещением границы (4.3), определяемым только по-
верхностным натяжением, показывает, что последнее, действительно, определяет смещение границы лишь при р <)/2/ic^ 1п(//д/^а), т. е. практически за границей применимости проводимого здесь рассмотрения р > а.
Для определения эффективной ширины границы Zey найдем предварительно значение W, при котором происходит отрыв границы от дефектов. На основании используемого выше условия | Umax W = =^Ь (符 ——энергия взаимодействия границы с дефектом) и выражения (4.6) имеем:
(4.7)(4.7)W = 2с()\/27г/1%Ьа. Среднее смещение границы
(4.7)
(4.7)
— W
и= с少(4.8)
2у/тгмбо I
Согласно условию Umax(W) /2 =八—i, среднее расстояние между закрепляющими границу дефектами
Тогда с учетом (4.7)-(4.9) эффективная ширина доменной стенки J/ = 2U(W) оказывается следующей:
(4.10)
В заключение рассмотрения деформированного профиля доменной стенки в кристаллах с дефектами отметим следующее обстоятельство. Как и следовало из линейности используемых уравнений, величина максимального смещения стенки в области прогиба линейно растет с ростом действующей на нее силы. Одновременно сам прогиб из-за контроля под ним дальнодействующих электрических или упругих полей и в случае сегнетоэлектрика, и в случае сегнето- эластика оказывается чрезвычайно сильно локализованным вблизи места закрепления прогнутой стенки (рис. 5.8). В результате, если говорить о смещении доменной стенки, отсчитываемом от положения дефекта (что естественно, например, в задаче о смещении закрепленной доменной стенки во внешнем поле), то для не слишком большой концентрации дефектов среднее смещение стенки будет практически совпадать с его максимальным значением. И, значит, величина U будет также пропорциональна W. Вводя коэффициент пропорциональности ” между U = Umax и ТУ из условия W = "Umax на основании выражений (4.3) и (4.6), мы получим эффективные коэффициенты квазиупругой силы, действующей на границу, смещаемую
Рис. 5.8. Локализованность области прогиба вблизи места закрепления доменной стенки в случае (а) сегнетоэлектрика и (б) сегнетоэластика. Замкнутой линией показаны линии равных смещений доменной стенкиРис. 5.8. Локализованность области прогиба вблизи места закрепления доменной стенки в случае (а) сегнетоэлектрика и (б) сегнетоэластика. Замкнутой линией показаны линии равных смещений доменной стенки
Рис. 5.8. Локализованность области прогиба вблизи места закрепления доменной стенки в случае (а) сегнетоэлектрика и (б) сегнетоэластика. Замкнутой линией показаны линии равных смещений доменной стенки
Рис. 5.8. Локализованность области прогиба вблизи места закрепления доменной стенки в случае (а) сегнетоэлектрика и (б) сегнетоэластика. Замкнутой линией показаны линии равных смещений доменной стенки
относительно закрепляющего ее дефекта. Для случая «чистого» сегнетоэлектрика
"=4(4.П)
Для случая «чистого» сегнетоэластика
” =4тг/1бда.(4.12)
Причем теперь уже смещаемая доменная стенка рассматривается как плоская, что, очевидно, существенно упрощает дальнейшее рассмотрение.
(4.13)(4.13)В случае сегнетоэлектрика-сегнетоэластика фурье-образ смещения границы получается добавлением слагаемого 2тг^^(к^, + шку)/к в знаменателе выражения для U^ (5.3) «чистого» сегнетоэлектрика. В результате структура смещения стенки оказывается качественно аналогичной случаю «чистого» сегнетоэластика (5.4.6.), т. е. U 〜1/. и эффективный коэффициент квазиупругой силы
(4.13)
(4.13)
ГЛАВА 6
Подвижность доменных границ в кристаллах с различной высотой барьера в решеточном потенциальном рельефе
Как мы видели в главе 3, величина решеточного барьера, преодолеваемого стенкой при своем движении, существенно зависит от структуры доменной стенки, и, в частности, от ее ширины. Ниже мы увидим, что аналогичная зависимость подвижности доменной границы будет существовать и в том случае, когда влиянием указанного рельефа на движение доменной стенки можно пренебречь.
Для изучения подвижности доменных границ в сегнетоэлектриках рассмотрим прежде всего параметры движущихся доменных границ в рамках континуального приближения.
Строение движущейся границы, ее предельная скорость и эффективная масса доменной стенки в рамках континуального приближения. Подвижность доменных границ
Для определения параметров движущейся доменной стенки выражение (1.1) главы 1 необходимо дополнить плотностью кинетической энергии Т. Выписывая явно только сегнетоактивные смещения частиц, мы имеем
加6加6(1.1)(1.1)
加6
加6
(1.1)
(1.1)
где и ——смещение сегнетоактивных частиц, приводящие к возникновению поляризации Р, р ——плотность кристалла, а ——размер элементарной ячейки, е* ——эффективный заряд, связывающий и с Р иа.
С учетом (1.1) поверхностная плотность полной энергии сегнетоэлектрика равна
ОС
— ос
二/壮備y+弘鼾-"+冲卜"
На основании (1.2) уравнение движения для поляризации в отсутствии диссипации и внешних воздействий можно записать в виде
32P32P" a/" 3力 232P32P" a/" 3力 2аР + /ЗА = о.аР + /ЗА = о.(1.3)(1.3)
32P32P
" a/" 3力 2
32P32P
" a/" 3力 2
аР + /ЗА = о.
аР + /ЗА = о.
(1.3)
(1.3)
Предполагая далее, что распределение поляризации в движущейся стенке Р(力,и) = Р^х —就),где и ——скорость движения доменной стенки, с учетом следующего отсюда соотношения между производными dP/dt = —vdP/dx в системе координат, движущейся вместе со стенкой, где 力'=力一vt, уравнения для распределения поляризации в границе (1.3) перепишем в виде
р
元石+ 0w,
X = X 削2 = X (1 f 2/Cq),X = X 削2 = X (1 f 2/Cq),(1.4)(1.4)
X = X 削2 = X (1 f 2/Cq),
X = X 削2 = X (1 f 2/Cq),
(1.4)
(1.4)
С точностью до замены ;< т 无 и 力 т " уравнение (1.4) в точности совпадает с уравнением (1.6) главы 2, поэтому мы сразу можем записать распределение поляризации в движущейся доменной стенке как
(1.5)(1.5)
(1.5)
(1.5)
Согласно (1.5) существует предельная скорость движения доменной стенки со =，死/从,при приближении к которой наблюдается «лоренцовское» сокращение ширины движущейся доменной стенки 5 = Ь，1 —少2/。^ по сравнению с ее статическим значением. В отсутствии вязкости и внешнего поля доменная стенка может свободно двигаться с постоянной скоростью, принимающей по модулю произвольные значения между нулем и предельным значением cq.
Определим энергию движущейся границы. Подстановка распределения (1.5) в (1.2), где & т & 一 Ф(Д)) дает
/ ч 4*/ ч 4*(1.6)(1.6)
/ ч 4*
/ ч 4*
(1.6)
(1.6)
Здесь 7о ——энергия неподвижной доменной стенки, совпадающая с выражением (1.22) главы 2, а
川川т*т*(1.7)(1.7)
川
川
т*
т*
(1.7)
(1.7)
так называемая эффективная масса единицы площади доменной стенки, которая при малых скоростях стенки и《о。равна его предельному значению
т* =т* =7о со7о со(1.8)(1.8)
т* =
т* =
7о со
7о со
(1.8)
(1.8)
Подстановка в (1.8) явного выражения для 70 (1.6), со (1.4) и 从 (1.1) с учетом связи Д)= е*〃о/а3 позволяет записать (1.8) в удобном для анализа виде
川=Т2 = 筒(L9)
Здесь 〃о ——величина спонтанного смещения сегнетоактивных частиц, а с。= 〃о/Ь ——соответствующая ему деформация. Для кристаллов сегнетоэластиков с。в частности есть спонтанная деформация.
Из (1.9) легко видеть, что по порядку величины эффективная масса стенки представляет собой произведение настоящей массы частиц, расположенных в пределах доменной стенки р 5, на безразмерный множитель 肩.При типичных 0 〜 1 г/см3, В 〜 10-7 см и с。〜 10-2 мы имеем т* 〜10-11 г • см-2 [143].
При учете диссипации и наличия внешнего поля уравнение движения для поляризации имеет вид
32 Pgp32 P
М о,2 +「— аР + BP?—衣 2 = Е・ (1-Ю) otoxz
Для определения решения уравнения (1.10) рассмотрим прежде всего его асимптотики. Вдали от границы, там где значения всех производных равна нулю, асимптотические значения поляризации являются корнями уравнения
—аР + 0рЗ = Е.(1.11)
Рис. 6.1. Корни полинома —аР + /ЗР3 — Е при разных значениях внешнего поляРис. 6.1. Корни полинома —аР + /ЗР3 — Е при разных значениях внешнего поля
Рис. 6.1. Корни полинома —аР + /ЗР3 — Е при разных значениях внешнего поля
Рис. 6.1. Корни полинома —аР + /ЗР3 — Е при разных значениях внешнего поля
При Е # 0 указанные корни Д)1,马2, Д)з (см. рис. 6.1) уже не обладают теми соотношениями симметрии Д)1 =—马2 = а//3, Д)з = 0, которые существуют для кристалла в отсутствии внешнего поля. В данном случае Д)1〉| Д)2 |< Лэ, и Д)з # 0. В соответствии с определением доменной границы в одном пределе поляризация в границе должна принимать здесь значение Д)1, а в другом — не равное ему по модулю значение Р^-
Для конструирования решения уравнения (1.10), имеющего указанные асимптотики, удобно предварительно записать его в безразмерных переменных р = P/Д), £ = V2 (力一就)/Ь，1 —庐/о# Деля обе части (1.10) на а А, получим
1 52 32P Г Зр ，2^d^ + adl^P + P^1 52 32P Г Зр ，2^d^ + adl^P + P^(1.12)(1.12)
1 52 32P Г Зр ，2^d^ + adl^P + P^
1 52 32P Г Зр ，2^d^ + adl^P + P^
(1.12)
(1.12)
где Ef = Е/аРо, Откуда, с учетом связи, 32P2f232P
(1.13)(1.13)初=贯(1 一庐/响冠d2p2d2p
(1.13)
(1.13)
屈=贫(1-2/喲家，
уравнение для распределения поляризации в движущейся границе при наличии диссипации есть
(1.14)(1.14)
(1.14)
(1.14)
где
абу/1 — f2/Cgабу/1 — f2/Cg
абу/1 — f2/Cg
абу/1 — f2/Cg
Рис. 6.2. Распределение поляризации в неподвижной и движущейся во внешнем поле доменной стенке
Для записи решения уравнения (1.14) воспользуемся решением этого уравнения при v, Ef = 0 (соотношение (1.21) главы 2), записанным в несимметричном виде
£ =th 土 = ^Р(2 力/6 —I；】2
pQ bexp(2 力/В) + 1exp(2 力/В) + 1
С учетом изменившихся асимптотик будем искать решение уравнения (1.14) в виде [144,145]
р(£) = а +(1.17)
[1 + exp(6 - а)£/л/^]
где а = р(и/ро, 6 = m/Ро, с = роз/ро — безразмерные корни полинома
рЗ — р — Е，= (р — а)(р — 6)(р — с).(1.18)
Подстановка (1.17) в (1.14) показывает, что функция (1.17) будет являться решением уравнения (1.14) при
(1.19)
Последнее соотношение следует из условия a + b + с = 0, которому удовлетворяют корни полинома (1.18) из-за отсутствия в нем квадратичного слагаемого.
Знание корня с учетом (1.15) и (1.19) дает неявную зависимость скорости доменной стенки и от величины приложенного внешнего электрического поля [146-148]. При малых скоростях стенки указанную зависимость можно записать явно. В этом случае, как видно из рис. 6.1, с = роз/Ро — Е/аД), и《со, поэтому согласно (1.15) и (1.19) здесь
ЗЕВ 「3 5 1
V =-——=从石, 从=-——.(1.20)
2 Ро Г产 2 Ро Г< 丿
Таким образом, в малых полях скорость стенки линейно зависит от поля через подвижность 从,определяемую соотношением (1.20) [149]. Отметим, что с точностью до численного коэффициента соотношение (1.20) можно написать сразу непосредственно из исходного уравнения (1.10) в предположении, что внешнее поле и диссипация не влияют на профиль движущейся стенки. Предполагая тогда, что последний определяется уравнением (1.3) и приравнивая после этого слагаемые FdP[dt = Е, где dP/dt ~ Д)/5, мы сразу получаем соотношения (1.20).
Отметим также, что согласно (1.17) распределение поляризации в движущейся во внешнем поле стенке в любых полях определяется только асимптотическими значениями поляризации, т. е. зависит от величины внешнего поля и не зависит от диссипации.
Боковое движение доменных границ в кристаллах сегнетоэлектриков с высокими значениями барьера в решеточном рельефе для доменных стенок. Термофлуктуационный механизм движения доменной стенки. Параметры боковых стенок критического зародыша на доменной стенке
Найденные выше выражения для скорости доменной стенки и ее подвижности применимы для достаточно широких доменных границ, реализующихся вблизи Тс, для которых влиянием решеточного рельефа на их движение можно пренебречь. Для обычных, как правило, узких доменных стенок наличие решеточного рельефа, связанного с координатной зависимостью их энергии, делает практически невозможным их движение как целого в относительно слабых внешних полях. Действительно, выход доменной стенки на безактивационный режим движения определяется условием превышения внешним давлением на доменную стенку со стороны электрического поля Е^ давления со стороны силы Пайерлса dy/dU |max, где )(U) — зависимость энергии доменной стенки от ее смещения. Для предельно узкой доменной стенки с нулевой толщиной изменения электростатической энергии дипольной подсистемы кристалла во внешнем электрическом поле Е , связанное с смещением доменной стенки, равно = 2(Pq, Е) 8U, где SU — величина смещения стенки. Отсюда давление на стенку со стороны внешнего поля
踵
р= —= 2(Р0,Е).(2.1)
ои
Приравнивая давления (2.1) давлению со стороны силы Пайерлса
2(Po,EQ = *- —,(2.2)
oU max а
где Vq — величина барьера в решеточном рельефе, а — размер элементарной ячейки, находим величину критического поля
Роа
(2.3)(2.3)Результаты расчета величины Vq для некоторых сегнетоэлектри
(2.3)
(2.3)
ков, приведенные в главе 3, показывают, что, в частности, даже для кристалла с высокоподвижной доменной структурой ——дигидрофосфата калия, значения % при (Тс — Т) равном нескольким градусам составляют величину порядка нескольких сотых долей эрг • см-2.
При этих значениях % и 品 〜 〜104 ед. CGSE, a 〜10-7 см величина E^ оказывается гюряд- ка 〜1 кВ • см-1. В кристаллах с менее подвижной доменной структурой она ожидается приблизительно на порядок большей.
Приведенные оценки соответствуют многочисленным экспериментам по определению обратного времени переключения сегнетоэлектрического кристалла. Как видно, в частности, из рис. 6.3, где изображена указанная зависимость для кристалла
Рис. 6.3. Зависимость обратного времени переключения от поля для кристалла ТГС [16]Рис. 6.3. Зависимость обратного времени переключения от поля для кристалла ТГС [16]триглицинсульфата, кривую тока переключения качественно можно разделить на два участка. На участке I обратное время переключе
Рис. 6.3. Зависимость обратного времени переключения от поля для кристалла ТГС [16]
Рис. 6.3. Зависимость обратного времени переключения от поля для кристалла ТГС [16]
ния, а, значит, и скорость движения доменных границ следует экспоненциальному закону l/ts = l/力0c ・ехр(—S/Е), и = v^ ехр(—S/E). На участке II указанная зависимость подчиняется линейному закону: 1 /力=const • Е (v = const • Е). При этом конкретная величина критического поля 应用,разделяющего указанные участки, для кристалла триглицинсульфата составляет 〜 20 KB • см-1.
В полях Е > Е^ движение доменных границ, очевидно, осуществляется безактивационным способом и описывается какой-либо из зависимостей v = /лЕ, полученных в предыдущих разделах данной
главы.
В полях меньших Е^ боковое движение доменных стенок как целого является кажущимся. С большой вероятностью оно осуществляется здесь путем образования зародышей обратных доменов на боковой поверхности доменной стенки и их последующим разрастанием. Разработке этой идеи был посвящен целый цикл работ [150-156] от Дроугарда [150], Миллера и Вайнрайха [151] до
Хайяши [153,154]. Основное внимание в наиболее подробных исследованиях [153,154] было посвящено детальному рассмотрению кинетики процесса. Исходная же стадия ——зародышеобразование —— практически во всех работах [150-154] рассматривается на основании слишком упрощенных модельных представлений (представление зародыша, имеющим в сечении треугольную, прямоугольную форму и др.).
Определение равновесной формы критического зародыша на доменной стенке сравнительно недавно было проведено в [155]. Однако, и здесь в ряде мест (определение энергии заряженного участка боковой стенки зародыша путем ее замены соответствующим участком диэлектрического эллипсоида, использование изотропного приближения для скорости движения боковых стенок зародыша различно ориентации и др.) были использованы не вполне корректные приближения. Кроме того, как будет показано ниже, ограничение вида пробной функции, используемой в [155] при решении вариационной задачи, не дает верного представления о форме критического зародыша.
Последовательное определение параметров критического зародыша и на этой основе ——скорости доменной стенки во внешнем поле было проведено в работе [156].
Найдем вслед за [156] параметры боковых стенок критического зародыша на доменной стенке. Предположим для определенности, что плоскость несмещенной доменной стенки, а также плоская стенка зародыша, который предполагается имеющим толщину в одну постоянную элементарной ячейки, параллельны zy ——координатной плоскости, а ось х совпадает с направлением смещения границы. Боковые стенки зародыша, представляющие собой участки доменной стенки, в пределах которых она переходит из какой- либо х = const плоскости в соседнюю 力 ± а = const плоскость, имеют, очевидно, две качественно различных ориентации ——параллельно оси z ——направлению вектора спонтанной поляризации и оси у соответственно. Ниже будет показано, что стенки обоих типов имеют ширину X》а, что позволяет использовать при их описании континуальное приближение.
Структура заряженной боковой стенки зародыша, параллельной оси у (рис. 6.4), в пренебрежении поверхностным натяжением определяется условием равенства давления на границу со стороны поля связанных зарядов на границе давлению со стороны силы Пайерлса:
ОС
/ 2。⑺ dz)=一 包
°/ dU' (.)
—ос
Рис. 6.4. Возникновение боковых стенок зародыша на доменной стенке при переходе из одной долины решеточного рельефа в соседнюю. U — смещение стенки, 2А1 ——ширина заряженной боковой стенки зародыша. Стрелками показано направление вектора поляризации в соседних доменах
Здесь(7(^9 ——плотность связанных зарядов на границе. Интеграл в (2.4) понимается в смысле главного значения, чтобы исключить физически бессмысленное действие связанного заряда самого на себя.
Подставляя в (2.4) плотность связанного заряда на границе, выраженную через смещение границы
а(У) =(2.5)
для простейшей формы периодического потенциального рельефа
% 27TU ⑶= у cos ——
уравнение (2.4) перепишем в виде
ОС
7&C&Q 丿 dz1 (2-4) a I a
(2.6)(2.7)(2.6)(2.7)U⑶=5 1 - - arctg U⑶=5 1 - - arctg (2.8)(2.8)Решение уравнения (2.7) с граничными условиями U(сю) = О, U(—ос) = а хорошо известно в теории дислокаций [101] и имеет вид
(2.6)
(2.7)
(2.6)
(2.7)
U⑶=5 1 - - arctg
U⑶=5 1 - - arctg
(2.8)
(2.8)
Здесь Z ——координата середины заряженной боковой стенки зародыша, Л1 — ее ширина. При Д)〜 104 , а 〜 10^7 см,厶 〜 Ю3 , 8a 〜10, И)〜10-2 -4- io-1 эрг • см-2 получим Л]〜10-6 4- 10-7 CM, что оправдывает возможность использования здесь континуального рассмотрения. Условие 尢》а — малого наклона стенки зародыша по отношению к несмещенной границе позволяет помещать при записи (2.5)-(2.8) связанный заряд на границе в плоскость несмещенной границы.
Энергия заряженной стенки зародыша складывается из энергии несовпадения границы с минимумом потенциального рельефа )(U) и электростатической энергии связанных зарядов в ней.
Линейная плотность энергии несовпадения
ОООООО
(2・9)(2・9)(2.Ю)(2.Ю)Ж； = / ()(и) —)o)dz = — / zd)(U) = — / z^ ^ dz.
(2・9)
(2・9)
(2.Ю)
(2.Ю)
—оо—оо—оо
Подставляя сюда dy/dU, на основании (2.7) имеем
ОСdU(zf) dU dzdz'dz1 dz (z —
Прибавляя к интегралу в (2.10) эквивалентный интеграл, где z и zf изменены местами, получим:
(2.П)(2.П)4用后
(2.П)
(2.П)
V ^c^a
Линейная плотность электростатической энергии заряженной стенки зародыша
с учетомс учетом夕(％)=夕(％)=естьесть；/ a(z)^z)dz(2.12)(2.13)1п(Л1/а).(2.14)；/ a(z)^z)dz(2.12)(2.13)1п(Л1/а).(2.14)
с учетом
с учетом
夕(％)=
夕(％)=
есть
есть
；/ a(z)^z)dz
(2.12)
(2.13)
1п(Л1/а).
(2.14)
；/ a(z)^z)dz
(2.12)
(2.13)
1п(Л1/а).
(2.14)
Структура незаряженной стенки зародыша определяется уравнением, аналогичным (2.7), в котором левая часть заменена на лаплас- совское давление:
斫=丁 Sm斫=丁 Smaa(2.15)(2.15)
斫=丁 Sm
斫=丁 Sm
a
a
(2.15)
(2.15)
Интегрирование его с прежними граничными условиями и(ос) = О, U(—ос) = а (период функции)(U) в направлении g для простоты полагается также равным а) дает [100]:
(2.16)
ТоТоsin(7rU/a)sin(7rU/a)(2.17)(2.17)и уравнение для определения координатной зависимости U (д):
То
То
sin(7rU/a)
sin(7rU/a)
(2.17)
(2.17)
Отсюда распределение смещений в незаряженной стенке зародыша
U®) =1 - -arctg(exp(-7rx/A2)) , Л2 =(2-18)
Линейная плотность энергии незаряженной стенки зародыша, связанная с увеличением общей поверхности доменной стенки, переходящей в соседнюю х = const плоскость,
W7 + Wv = 2W7 + Wv = 22a2a(2.20)(2.20)
W7 + Wv = 2
W7 + Wv = 2
2a
2a
(2.20)
(2.20)
равна линейной плотности энергии несовпадения. Поэтому суммарная плотность энергии незаряженной стенки зародыша
Ширина незаряженной стенки при % 〜0,1)。，70 〜1 эрг/см2 оказывается 〜2, 5a. Энергия заряженной стенки, отнесенная к единице ее длины 71 = Wq+Wv оказывается 4 -10^7 эрг/см. Линейная плотность энергии незаряженной стенки 72 = И^ + Wv при тех же значениях 70 и % имеет величину 4 • 10^8 эрг/см, т. е. на порядок меньшую, чем 71. Сделанные оценки позволяют судить и о вкладе поверхностного натяжения в энергию и структуру самой заряженной стенки, а именно считать их пренебрежимо малыми, что оправдывает использование выше уравнения (2.4) при определении структуры заряженной стенки.
Уширение боковой стенки зародыша по сравнению с обычной доменной стенкой уменьшает величину барьера (для обычной стенки его величина равна %), преодолеваемого ею при своем движении активационным путем, на множитель ехр(—тг2Л/а), что делает движение стенки зародыша практически нечувствительным к величине
указанного барьера. В этих условиях скорость боковой стенки зародыша будет контролироваться вязкостью той или иной природы. Заменим здесь уравнения статики (2.7) и (2.15) на уравнения движения боковых стенок зародыша путем добавления в указанные уравнения слагаемых 〃 dU/dt, и 2PqE а где 〃 ——коэффициент вязкости доменной стенки (см. предыдущий раздел), a 2PqE а ——давление со стороны внешнего поля на единицу длины боковой стенки зародыша. Предполагая далее для простоты, что структура движущейся стенки не меняется по сравнению с ее статической конфигурацией, с учетом связи dU/dt = —vidU/dz = —v^dU/dy для скоростей заряженной и незаряженной боковых стенок зародыша получим соответственно следующие выражения
S =S =(2.21)
S =
S =
陋 QPoa 尸° о。、
少2 =туE.(2.22)
При этом
^1/^2 = Ai/A2 = —= 71/72-(2.23)
Как будет видно ниже, отношение размеров критического зародыша Zmax/^max = 2，)1/” ПОСКОЛЬКУ При ЭТОМ В ОТНОШСНИИ скоростей стоит более высокая степень отношения 71/72, чем в отношении размеров зародыша и, как правило, 71/72》1, то в процессе движения (разрастания) зародыша следует ожидать ещё большее его вытягивание в полярном направлении (рис. 6.5).
Эффективная масса боковых стенок зародыша на доменной стенке, отнесенная к единице их длины, определяется аналогично (1.1) соотношением
(2.25)(2.25)Подставляя сюда dUi^/dx из (2.8) и (2.18), получим研2 -0庐/尢2
(2.25)
(2.25)
Рис. 6.5. Критический зародышна доменной стенке. Штриховойлинией показано изменение ука-занного зародыша в процессе раз-растания
恤=4琛a2，恤=4琛a2，心=心=тпд/2%о, m = paтпд/2%о, m = pa(2.26)(2.27)(2.26)(2.27)что дает для заряженного и незаряженного участков стенки зародыша соответственно
恤=4琛a2，
恤=4琛a2，
心=
心=
тпд/2%о
, m = pa
тпд/2%о
, m = pa
(2.26)
(2.27)
(2.26)
(2.27)
Скорость бокового движения доменной стенки сегнетоэлектрика в условиях термофлуктуационного образования и роста зародышей обратных доменов.
Для определения параметров критического зародыша на доменной стенке запишем функционал, соответствующий полной энергии зародыша
Ц = / ^{^dl - 2Р^Еа / dS.(3.1)
Здесь)(g)——линейная плотность энергии боковой стенки плоского зародыша как функция ее ориентации, угол g определяется соотношением tgg = У, где у = д⑶一координатная зависимость кривой, описывающей границу зародыша.
Согласно (2.11) и (2.14), линейная плотность энергии заряженной боковой стенки зародыша, параллельной оси д, пропорциональна квадрату спонтанной поляризации Pq. Для стенки, составляющей с ней некоторый угол, линейная плотность энергии будет определяться,
очевидно, заменой в (2.11) и (2.14) Д)на нормальную к границе зародыша компоненту поляризации, лежащую в его плоскости. С учетом этого, а также вклада поверхностного натяжения, ориентационную зависимость линейной плотности энергии боковой стеки зародыша можно записать в следующем виде:
7(^) = 71 sin2 夕 +)2・ (3.2)
Функционал (3.1), записанный с учетом конкретной ориентационной зависимости 7 (3.2), в декартовых координатах имеет следующий вид:
ПП/2У ,/2У ,dz — 2P^Ea Ф ydz. (3.3)dz — 2P^Ea Ф ydz. (3.3)
П
П
/2
У ,
/2
У ,
dz — 2P^Ea Ф ydz. (3.3)
dz — 2P^Ea Ф ydz. (3.3)
Уравнение Эйлера, соответствующее экстремуму функционала (3.3),
—]=—Lz + const (3.4)
представляет собой уравнение для определения равновесной формы критического зародыша. В (3.4) L = 2Р^Еа\ соответствующая константа определяется из граничных условий и оказывается здесь равной нулю.
Уравнение (3.4) в параметрической форме имеет вид:
(3.5)(3.5)土 cos 夕 + 7 sin g = —L z
(3.5)
(3.5)
cos 夕 + 7 sin gcos 夕 + 7 sin g11Его интегрирование дает [157]
cos 夕 + 7 sin g
cos 夕 + 7 sin g
1
1
(3.6)
С учетом связи у' = tgg = dy/dz и соотношения (3.6) дифференциал
L \/L \/(3.7)(3.7)
L \/
L \/
(3.7)
(3.7)
откуда
(3.8)(3.8)
(3.8)
(3.8)
Подставляя в (3.6) и (3.8) 7=7((/?) из (3.2), мы получаем уравнение границы зародыша в параметрической форме
11<<11[71 sin3 夕 + 72 sin 夕 + 271 sin 夕 cos2 夕](3.9)[71 sin3 夕 + 72 sin 夕 + 271 sin 夕 cos2 夕](3.9)[—71 sin2 g cos g + 72 cos g][—71 sin2 g cos g + 72 cos g]
1
1
<
<
1
1
[71 sin3 夕 + 72 sin 夕 + 271 sin 夕 cos2 夕]
(3.9)
[71 sin3 夕 + 72 sin 夕 + 271 sin 夕 cos2 夕]
(3.9)
[—71 sin2 g cos g + 72 cos g]
[—71 sin2 g cos g + 72 cos g]
проиллюстрироватьпроиллюстрироватьРис. 6.6. Форма критического зародыша в плоскости доменной стенки. 2夕0 — угол между образующими поверхностями в месте острия линзыРис. 6.6. Форма критического зародыша в плоскости доменной стенки. 2夕0 — угол между образующими поверхностями в месте острия линзыАнализ соотношений (3.9) показывает, что в зависимости от соотношения между 72 и 71 форма критического зародыша может качественно меняться. Для того, чтобы это, рассмотрим участок стенки зародыша, опирающийся на единичное основание, перпендикулярное по отношению к полярной оси и составляющий с ней угол д. Плотность его энергии
проиллюстрировать
проиллюстрировать
Рис. 6.6. Форма критического зародыша в плоскости доменной стенки. 2夕0 — угол между образующими поверхностями в месте острия линзы
Рис. 6.6. Форма критического зародыша в плоскости доменной стенки. 2夕0 — угол между образующими поверхностями в месте острия линзы
П=(3.10)
Условие минимальности П (П = 0) имеет вид
7 sin до = 7 cos до (3.11)
Подстановка в (3.11) 7 в виде (3.2) позволяет найти оптимальную ориентацию рассматриваемой стенки зародыша из соотношения
sir? до = 72/71(3.12)
Из (3.12) видно, что зародыш овальной формы устойчив ЛИШЬ при 72 2 71, при 71〉72 овальная форма становится неустой
чивой и зародыш принимает линзовидную форму с углом до между образующими ее поверхностями в месте их пересечения (рис. 6.6).
Условие (3.11) в точности соответствует обращению координаты у в ноль. Учитывая это, из выражения для z (3.9), получим Zmax = '1\%2丨Р^Еа. Максимальное значение у оказывается равным Утах = ^/^Р^Еа. Таким образом, ИХ отношение Zmax/^max = =2J7172 определяется отношением линейных плотностей энергии заряженной и незаряженной стенок зародыша и в соответствии с реальным соотношением между 71 и 72 указывает на вытянутость критического зародыша вдоль полярной оси (рис. 6.6).
П =П =^(у z - zy)d(p^(у z - zy)d(p(3.13)(3.13)Для получения энергии критического зародыша запишем функционал (3.1) в параметрической форме
П =
П =
^(у z - zy)d(p
^(у z - zy)d(p
(3.13)
(3.13)
(здесь точка означает дифференцирование по углу д). На основании (3.6) и (3.8)
(3.14)(3.14)2 = --|(7 + 7)cos у у = --|(7 + 7)sing.
(3.14)
(3.14)
Тогда энергия критического зародыша
(3.15)(3.15)П* = I / 7(7 + 7)
(3.15)
(3.15)
о
Подставляя сюда 7 и 7, на основании (3.2) для произвольного соотношения между 71 и 72 получим
11+ ;PQEaВ случае, если 71》72+ ;PQEaВ случае, если 71》72arcsin уЦ {-^ +”2 + *} • (3.16)arcsin уЦ {-^ +”2 + *} • (3.16)
1
1
+ ;
PQEa
В случае, если 71》72
+ ;
PQEa
В случае, если 71》72
arcsin уЦ {-^ +”2 + *} • (3.16)
arcsin уЦ {-^ +”2 + *} • (3.16)
(3.17)(3.17)(3.18)(3.18)П* о —— а/ 3PQEa V в обратном предельном случае 71《72
(3.17)
(3.17)
(3.18)
(3.18)
П* о — ZPqEa
в момент смены формы зародыша из овальной в линзовидную, когда
1 - 72/71 < 1
(3.19)(3.19)
(3.19)
(3.19)
При описании скорости бокового движения доменной стенки в области действия термофлуктуационного механизма образования зародышей на доменной стенке можно выделить три области.
В случае относительно слабых полей, когда время между рождением двух зародышей на доменной стенке велико по сравнению со временем разрастания одного зародыша на всю площадь стенки, скорость бокового движения доменной стенки определяется временем образования одного зародыша на всей площади S стенки и оказывается следующей:
(3.20)(3.20)u = aN S)
(3.20)
(3.20)
где
N = * ехр(-П7Т)(3.21)
——среднее число зародышей, возникающих в единицу времени на единице площади доменной стенки. Здесь z/q ——характерный частотный фактор, s* ——площадь критического зародыша, которая в наиболее реалистической ситуации 71》72 есть s* =用石2a2.
В области промежуточных полей, когда на стенке развивается одновременно много зародышей, скорость бокового движения доменной стенки определяется не только вероятностью возникновения на ней зародышей, но и скоростью их разрастания. При этом, как показано в предыдущем разделе, скорость прорастания различных участков зародыша будет различной.
Скорость бокового движения доменной стенки в области промежуточных полей
(3.22)(3.22)V = a %4u1и2 N.
(3.22)
(3.22)
В случае сильных полей, когда перемещение стенки в соседнюю плоскость происходит только за счет образования на ней нужного числа критических зародышей,
(3.23)(3.23)u = aNs*.
(3.23)
(3.23)
Скорость бокового движения доменной стенки здесь, как и в случае слабых полей, не зависит от 吵
Подставляя в (3.20), (3.22), (3.23) N из (3.21), для всех трех скоростных режимов имеем активационный характер движения с полем активации
(3.24)(3.24)= 8，)1嘴
(3.24)
(3.24)
3Pq а Т
в случае слабых и сильных полей и полем 5/3 в случае промежуточных полей. Подстановка в (3.24) конкретных значений 71 и 72 показывает, что величина 5 убывает при Т т К・ Для получения закона убывания 5 необходимо знать температурную зависимость барьера %. Если % имеет такую же температурную зависимость, как и энергия доменной стенки 7 , то 5 оказывается 〜ЛТ3/2.
Приведем еще один результат, получающийся из анализа зависимости и(Е) в различных скоростных режимах. Как видно из выражений (3.20) и (3.23) для и в случае слабых и сильных полей и выражения для s*, предэкспоненциальный множитель в зависимости и(Е) оказывается пропорциональным Е2 в случае слабых полей и не зависящим от поля в случае сильных полей. Указанное изменение предэкспоненциального множителя в выражении и(Е) в предположении независящего от поля предэкспоненциального множителя может трактоваться и как некоторое увеличение с полем поля активации 5, которое отмечалось в эксперименте. Отметим, что этот результат получается здесь при рассмотрении зародышей толщиной в одну постоянную элементарной ячейки и, следовательно, не требует обязательного учета многослойных зародышей, которое предлагается в [153,154].
Проведенное рассмотрение основывается на приближении идеального бездефектного материала. В реальных кристаллах, как показывают экспериментальные наблюдения [158-160], в дополнение к рельефу Пайерлса необходимо также учитывать влияние дефектов кристаллической решетки [161-163]
Влияние туннелирования сегнетоактивных частиц и температуры на подвижность доменных границ
Для определения влияния эффекта туннелирования на подвижность границ в режиме термофлуктуационного механизма движения, подставим в выражение (3.24) для поля активации конкретные выражения для 71 и 72- Это дает
5=2()%a2)3/4/(銓 7)1/4Т(4.1)
/ j \ зVq = 87r) exp/ j \ зVq = 87r) expВ квазиконтинуальном приближении зависимость величины решеточного энергетического барьера % от параметров доменной стенки имеет вид (1.10):
/ j \ з
Vq = 87r) exp
/ j \ з
Vq = 87r) exp
(4.2)
и = Ug expи = Ug exp-W exp-W exp(4.3)(4.3)Подставляя (4.2) в (4.1), для скорости бокового движения доменной стенки получим следующее:
и = Ug exp
и = Ug exp
-W exp
-W exp
(4.3)
(4.3)
9/4
W = 2(7后)3/4(8%)T/4tT (8万打)3/4 ( J石-1
Из соотношений (4.3) видно, что скорость доменной стенки в данном режиме чрезвычайно сильно зависит от ее ширины (функциональная зависимость ——экспонента в экспоненте). Поэтому даже относительно небольшое увеличение ширины стенки В за счет эффекта туннелирования должно привести к существенному росту скорости стенки v.
Указанное увеличение, по-видимому, может быть одной из причин наблюдаемого в эксперименте [78] увеличения подвижности доменных границ при замене дейтерия на водород в структуре KD2PО4 сразу на шесть порядков величины. Действительно, при вышеуказанных значениях констант (乎 + 24)。t 213 К,(乎 + 2А)я — 140 К, Л79 ~ 20 К, Q79 ~ 0 К, Он t 86 К, а 〜10^7 см при ЛТ 〜 〜20 К, где 7л — 4, 2 • 10^2 эрг • см^2, 7я — 3, 5 • 10^2 эрг • см^2
и (В/。)。о 1,4, {8/о)н о 2, g，〜103, sf 〜102, sf 〜10, sf 〜5, при 石〜1В • см-1 значение постоянной W для дейтерированного и недейтрированного кристаллов равно соответственно Wd — 5 • 105, WH 心 7,7- 105.
Предполагая далее, что предэкспоненциальный множитель в (4.3) не меняется при замене Н т D, с учетом найденных значений Wh и Wd для отношения скоростей доменных границ в дейтерированном и недейтерированном кристаллах при равном удалении от Тс на величину ЛТ 〜20 K имеем vd/vh 〜1。一' + 10-6.
В режиме вязкого движения доменных стенок с линейной зави-
симостью их скорости от величины внешнего поля
(4.4)(4.4)3 8 「
(4.4)
(4.4)
V — — —— Е
2 Ро「
величина последней, как видно из (4.4), обратно пропорциональна крутизне распределения параметра порядка в границе Д)/8, а поскольку, согласно результатам раздела 3.5, величина последней уменьшается с ростом эффекта туннелирования, то и в данном случае мы имеем рост скорости доменной стенки с ростом Q.
Подставляя в (4.4) вместо Pq/6 умноженное на Д)соотношение, находим
ЕЕ(4.5)(4.5)у/АТса
Е
Е
(4.5)
(4.5)
7J
Ро (Т —К) [1 —02/童]г
Согласно (4.5) вместе с уменьшением крутизны распределения параметра порядка в границе при приближении к Тс растет и скорость движения доменной стенки в данном внешнем поле Е. Аналогичная, но гораздо более сильная зависимость и(Т) следует из соотношения (4.3).
«Замораживание» доменной структуры в кристаллах группы КН2PО4 (KDP).
В любом из режимов движения (3.20), (3.22), (3.23) скорость доменной стенки, контролируемая термофлуктуационным преодолением барьера типа Пайерлса, существенно зависит от температуры. Последнее, очевидно, может быть обнаружено не только из прямых измерений, но и в результате косвенных исследований, одним из которых является изучение температурной зависимости диэлектрической проницаемости.
На основании прямых оптических и косвенных диэлекриче- ских измерений аномально сильная зависимость скорости доменной стенки от температуры при определенных температурах обнаруживается в случае кристаллов группы КН2РО4. Особенностью
диэлектрических свойств кристаллов этой группы является наличие ярко выраженного доменного вклада в значения диэлектрической постоянной, измеренной вдоль полярной оси, на протяжении так называемой области «плато» (области почти постоянных значений s), рис. 6.7. Однако, по-видимому, еще более значительной особенностью кристаллов этого вида является факт резкого исчезновения при некоторой температуре Tf указанного доменного вклада в значения е с одновременным ростом при этих температурах значений тангенса угла диэлектрических потерь tg В. Это явление получило название «замораживания» доменной структуры [164-168].
Общий характер зависимостей е(Т) и tgb(T) подобен для всех кристаллов изоморфных KDP (рис. 6.7), хотя количественно у арсенатов по сравнению с фосфатами отмечаются меньшие значения £ (〜103) в области «плато» (у фосфатов 〜105), меньше общий уровень диэлектрических потерь и уже сама область «плато» [169]. Значения указанных характеристик существенно зависят от наличия специальных воздействий на доменную структуру и условий измерения, в частности, от концентрации структурных дефектов [170] и амплитуды 石〜измерительного поля [171,172]. В отличие от других фосфатов в кристалле CsH2Po4, имеющим иную в сравнении с перечисленными кристаллами структуру сегнетофа- зы, в поле с 石〜 〜1 В см-1 ширина области «плато» очень мала
Рис. 6.7. Температурные зависимости е (7, 3) и tgb(T) (2, 4) для кристаллов RbH2Ase)4 (7, 2) и КН2Po4 (3, 4).石〜=1 В-см-1, / = 1 кГц.
(порядка нескольких градусов, в то время как для других кристаллов она может составлять несколько десятков градусов) [173-178].
Дейтерирование приводит к значительному уменьшению величины £ на «плато» (приблизительно на два порядка) и более плавному, чем в недейтерированных кристаллах, уменьшению значений е и менее четко выраженному максимуму tg В в окрестности Ту [179-181].
Первые соображения о природе «замораживания» доменной структуры в кристаллах группы КН2РО4 были высказаны Баркла и Финлейсоном, обнаружившим это явление экспериментально [164]. Однако высказанное ими предположение фактически о разрушении кристалла при температуре Ту подтверждения не получило.
Наиболее подробно явление «замораживания» обсуждалось в [182-184], где было высказано предположение об его упругой природе. Изменение симметрии при фазовом переходе в полярное состояние из тетрагональной на орторомбическую в кристаллах группы KDP сопровождается возникновением здесь спонтанной сдвиговой деформации ху = во в плоскости перпендикулярной полярной оси, что допускает существование четырех возможных ориентаций элементарной ячейки [2]. В соответствии с этим доменная структура в кристаллах типа KDP должна представлять 180-градусные блоки 力 и у-доменов, отделенных доменными стенками, плоскости которых параллельны полярному направлению (оси г) и перпендикулярны сдвиговой плоскости (рис. 6.8).
Реальные условия образования доменной структуры, связанные с прорастанием встречных блоков от противоположных поверхностей кристалла, формируют домены в виде игл, вытянутых вдоль одной из двух тетрагональных осей х или д, с шириной d вдоль другой оси, постоянной в образце при нулевом значении внешнего электрического поля или механического напряжения. Концы игл иногда имеют клинообразную форму, но чаще закруглены. При этом домены полностью прорастают через кристаллическую пластинку в полярном направлении [182].
Рис. 6.8. Доменная структура в кристаллах группы КН2Po4
На концах доменов, там где доменная граница выходит из плоскостей (100) и (010), в соответствии с симметрией низкотемпературной фазы, существует множество краевых двойникующих дислокаций, рассмотренных в разделе 4.2. Подвижность этих дислокаций в собственном рельефе Пайерлса при прорастании конца домена и определяет, согласно [182], общую способность к смещению доменных границ в процессе переполяризации и, значит, их вклад в е, поскольку в [182] предполагается жесткая корреляция между движением конца домена и боковыми смещениями доменных границ.
Приведенная здесь точка зрения [182-184] также имеет свои изъяны. Дело в том, что как и для движения доменных границ в решеточном рельефе, для движения двойникующих дислокаций в рельефе Пайерлса необходимо критическое механическое напряжение или, с учетом того, что рассматриваемый кристалл является сегнетоэлектриком-сегнетоэластиком ——критическое электрическое поле. Аналогично движению непрогнутых доменных границ величина последнего
где С — полуширина дислокации, аб — ее вектор Бюргерса. Величина^ в (5.1) равна= а/2(1 — где v = A/2(A + /i)—коэффициент Пуассона, а 6 = 2а 句.Е показателе экспоненты выражения (5.1) единственной потенциально зависящей от температуры величиной могла бы быть длина вектора 6 из-за возможной температурной зависимости спонтанной деформации sq. Однако, как показывают экспериментальные исследования линейно связанной с с。спонтанной поляризации [2], в области температуры «замораживания» доменной структуры эти величины почти не зависят от температуры.
Отмеченная слабая зависимость критического поля от температуры противоречит эксперименту по влиянию амплитуды измерительного поля 石〜на положение Tf [168,171,172], где показано, что хотя сдвиг величины Tf и происходит в полях с малой амплитудой, для получения величины указанного сдвига порядка нескольких градусов иногда требуется увеличение 石〜в десятки раз (рис. 6.9, 6.10).
Отметим также, что поскольку для кристаллов изоморфных KDP значения упругих постоянных близки по величине между собой в рамках модели [182] трудно понять резкое отличие значения Ту, например, в кристаллах CSH2ASO4 (7/ t 140 К), CsH2PО4 (Tf t 150 К) [169,173] по сравнению с другими кристаллами этой группы: КН2РО4, RbH2Po4, RbH2AsO4 (7) t 95 + 97 К).
Для выяснения природы «замораживания» доменной структуры вместе с уже приведенными экспериментальными данными воспользуемся также частотными зависимостями компонент диэлектрической проницаемости в кристаллах группы КН2РО4. Согласно
£ • 10£ • 10303015152020101010105590909595100 105100 105110110tg “IO?tg “IO?Г, КГ, КРис. 6.9. Температурные зависимости е—7,3,5 и tg 6(7) —2,4, 6 для кристалла RbH2 As64 при нескольких амплитудах измерительного поля! 7, 2 —石〜=1; 3, 4 — 5; 5, 6 — 25В-СМ-1.Рис. 6.9. Температурные зависимости е—7,3,5 и tg 6(7) —2,4, 6 для кристалла RbH2 As64 при нескольких амплитудах измерительного поля! 7, 2 —石〜=1; 3, 4 — 5; 5, 6 — 25В-СМ-1.
£ • 10
£ • 10
30
30
15
15
20
20
10
10
10
10
5
5
90
90
95
95
100 105
100 105
110
110
tg “IO?
tg “IO?
Г, К
Г, К
Рис. 6.9. Температурные зависимости е—7,3,5 и tg 6(7) —2,4, 6 для кристалла RbH2 As64 при нескольких амплитудах измерительного поля! 7, 2 —石〜=1; 3, 4 — 5; 5, 6 — 25В-СМ-1.
Рис. 6.9. Температурные зависимости е—7,3,5 и tg 6(7) —2,4, 6 для кристалла RbH2 As64 при нескольких амплитудах измерительного поля! 7, 2 —石〜=1; 3, 4 — 5; 5, 6 — 25В-СМ-1.
результатам [167] наблюдаемый здесь частотный сдвиг Tf очень своеобразен: резкое смещение максимума диэлектрических потерь в сторону высоких температур, которое обычно используется как указание на релаксационные потери, было отмечено в КН2PО4 лишь при /〜IO’ + 108 рц При изменении частоты измерительного поля в пределах до 107 Гц положение указанного максимума на шкале температур остается неизменным.
Отсутствие монотонности в зависимости 4(/) указывает на сильную температурную зависимость скорости бокового движения доменной стенки и, в частности, энергии критического зародыша П* на доменной стенке, а, именно, на резкое возрастание последней вблизи Tf.
Рис. 6.10. Зависимость сдвига температуры «замораживания» доменной структуры ⑵ = Aiaxtgb) кристалла RbH2 Ase)4 от амплитуды 石〜измерительного поляРис. 6.10. Зависимость сдвига температуры «замораживания» доменной структуры ⑵ = Aiaxtgb) кристалла RbH2 Ase)4 от амплитуды 石〜измерительного поля
Рис. 6.10. Зависимость сдвига температуры «замораживания» доменной структуры ⑵ = Aiaxtgb) кристалла RbH2 Ase)4 от амплитуды 石〜измерительного поля
Рис. 6.10. Зависимость сдвига температуры «замораживания» доменной структуры ⑵ = Aiaxtgb) кристалла RbH2 Ase)4 от амплитуды 石〜измерительного поля
Действительно, положение максимума tg В, как обычно, для релаксационных потерь (см. следующую главу) определяется условием s = const. Согласно этому условию, отсутствие частотного сдвига максимума tg В при изменении / от 101 до 107 Гц свидетельствует о том, что в окрестности Ту в интервале температур 〜1 К время релаксации доменной структуры изменяется сразу на шесть порядков, в то время как при Т〉Т, в интервале температур больше десятка градусов (сдвиг Ту при изменении / от 107 до 108 [167]) оно меняется только на порядок. Вблизи Tf ни один из параметров, определяющих г, кроме П*, не имеет аномальной температурой зависимости, поэтому причину немонотонности в зависимости т(Т), а, следовательно, и само объяснение явления «замораживания» доменной структуры искать в критической зависимости П*(Т) вблизи Ту.
Причиной ее возникновения, как показали расчеты главы 3, скорее всего является резкий рост здесь величины решеточного энергетического барьера % (энергия критического зародыша П* 〜 匕^“), преодолеваемого стенкой при боковом движении. Как мы видели, здесь ширина доменной стенки, уменьшающаяся с понижением температуры, становится сравнимой с решеточным периодом [87-89,185,186], что делает ее особенно чувствительной к своему положению в решеточном потенциальном рельефе. Прямым доказательством этого, по-видимому, можно считать результаты изучения температурной зависимости ширины доменной стенки в кристалле KDP на основе анализа спектров рассеяния рентгеновских лучей [187] (рис. 6.11), где обнаружен выход ширины доменной стенки ниже Tf на постоянную, хотя и более высокую величину. В пользу предлагаемой здесь
Рис. 6.11. Температурная зависимость ширины доменной стенки в KDP [187]
трактовки «замораживания» доменной структуры говорит и предсказываемая соотношением (6.7) главы 3 аномальная близость к Тс температуры «замораживания» в квазиодномерном сегнетоэлектрике CSH2PO4 [188], обладающем минимальной среди других кристаллов этой группы константой А.
Знание температурной зависимости %(Т) и общих выражений (3.20)-(3.23), определяющих скорость бокового движения доменной стенки в условиях термофлуктуационного образования и последующего разрастания зародышей обратных доменов на боковой поверхности доменной стенки, позволяет непосредственно определить величину Ту, а также ее зависимость от амплитуды 石〜 измерительного поля.
Для определения последних запишем выражение для частотной зависимости диэлектрической проницаемости, для чего воспользуемся дебаевской формулой
£(&) = ^00 + ―—(5.2)
Здесь so — статическая диэлектрическая проницаемость, обусловленная смещениями доменных границ, г ——время релаксации доменной структуры. Последнее можно найти как отношение
U U -
т = — t ——exp(S/E〜)，(5.3)
где среднее смещение доменной стенки U, отвечающее статической диэлектрической проницаемости sq, есть
U = кЕ^а]* 不 Р°.(5.4)
Положение максимума тангенса угла диэлектрических потерь из (5.2) определяется условием
^^тах = ，”(),(5・5)
откуда поле активации, соответствующее температуре максимума tg В, есть
71 ( 87rpо и0c
(5.6)(5.6)，max =石〜111 I片~
(5.6)
(5.6)
На основании соотношения (5.6) и выражения для S (3.1) величина решеточного барьера, определяющего положение максимума потерь, есть
就х = ^"(Т = 4)=
(5.7)
Согласно непосредственным расчетам раздела 3.5, температурную зависимость % для кристаллов исследуемого типа можно охарактеризовать следующим образом. В области «плато» величина % настолько мала, что здесь в полях с g/27r < 107 Гц, по-видимому, измеряется диэлектрическая проницаемость е, контролируемая квазиу- пругими смещениями границ. При понижении температуры величина Vq достигает минимума при температуре перестройки в доменной границе ТВ, а затем, при дальнейшем понижении температуры, резко возрастает по закону, который приблизительно можно аппроксимировать степенной зависимостью: Vq = с Л Тп + %(7Ь), где АТ = Т — ТВ , с показателем n > 1. На основании температурной зависимости % и соотношения (5.7) сдвиг температуры «замораживания» с ростом амплитуды измерительного поля происходит в сторону низких температур (с ростом 石〜уменьшается энергия критического зародыша) и при %(7Ь) — 0 подчиняется закону
加4 1加4 1(5.8)(5.8)
加4 1
加4 1
(5.8)
(5.8)
С учетом реального n〉1, из соотношения (5.8) мы имеем а < 1, что действительно соответствует экспериментальным результатам, приведенным на рис. 6.9, 6.10, из которых видно, что с ростом амплитуды измерительного поля экспериментально измеряемое смещение температуры «замораживания» доменной структуры постепенно замедляется.
Оценим коэффициент пропорциональности между ЛТу и 石〜в (5.8). При 8c 〜103, 〜10,分〜10-14, a 〜10-7,)〜0 J, p()〜 〜104, g 〜103,石〜〜IO-2, d 〜104 ед. CGSE имеем a 〜IO-1. Величина С , согласно вычислениям раздела 3.5, оценивается как 〜10-2 -4-1()—3 Таким образом, коэффициент пропорциональности между ЛТу и Е^ оказывается 〜10-2 -4-10-1, что при 八〜2, а 〜2/3 дает величину смещения ЛТу несколько градусов при росте поля 应〜 от 1 до 25 В см-1. Это также хорошо согласуется с экспериментом, где сдвиг Tf в несколько градусов в малых полях 石〜< 102 В см-1 является типичным для всех кристаллов группы KDP. Так, например, в кристалле RbHzAsOd (рис. 6.9, 6.10) сдвиг Tf с ростом 石〜от 1 до 25 В см-1 достигает 5 градусов.
ГЛАВА 7
Собственная и вынужденная динамика границ в кристаллах сегнетоэлектриков и сегнетоэластиков
Изгибные колебания 180-градусных доменных границ бездефектных сегнетоэлектриков.
Данная заключительная глава посвящена изучению динамических аспектов движения доменных границ в сегнетоэлектриках и сегнетоэластиках. Начнем с изучения динамики изгибных колебаний в чистых бездефектных сегнетоэлектриках со 180-градусной доменной структурой.
Как мы уже убедились в главах 4 и 5 при изучении вопросов взаимодействия доменных границ с дефектами и при изучении вопросов устойчивости профиля или ориентации доменных стенок, отклонение последней от полярной оси в сегнетоэлектриках или от направления спонтанного сдвига в сегнетоэластиках приводит к увеличению энергии системы за счет возникновения дальнодействую- щих электрических или упругих полей. Это равнозначно тому, что на таким образом отклоненные доменные стенки действует возвращающая сила, которая в приближении малых смещений стенки линейна относительно величины U смещения последней и, следовательно, может считаться квазиупругой.
Наличие дополнительно к этой силе инерционных свойств доменных границ, рассматриваемых в разделе 6.1, а также в данном и последующем разделах, приведет к созданию условий для изгибных колебаний доменных стенок [189,190].
Особенностью данного движения доменных границ в сегнетоэлектриках, как и любого другого, связанного с возникновением дальнодействующих электрических полей при смещениях доменных границ, является вовлечение в движение через пьезоэффект упругой среды, окружающей границу [191-195]. Как мы увидим ниже, по сравнению с неучетом пьезоэффекта это вызовет лишь незначительную добавку к коэффициенту квазиупругой силы, действующей на
смещенную границу, но коренным образом поменяет ее эффективную массу, а значит, и динамику доменных стенок.
С учетом сказанного для получения закона дисперсии изгибных колебаний доменных границ в чистом бездефектном сегнетоэлектрике воспользуемся уравнением движения доменной стенки
mU = 2(Pq, Е)и=о,mU = 2(Pq, Е)и=о,(1.1)(1.1)
mU = 2(Pq, Е)и=о,
mU = 2(Pq, Е)и=о,
(1.1)
(1.1)
дополненным уравнением движения упругой среды и уравнением электростатики:
_ daij dDi __ daij dDi _(1.2)(1.2)
_ daij dDi _
_ daij dDi _
(1.2)
(1.2)
где m ——локальная эффективная масса доменной стенки, Di ——вектор электростатической индукции.
Записывая выражения для компонент тензора упругих напряжений <Jij и вектора Di в кристалле с пьезоэффектом [196]
〈(1.3)
、D^ = £{j E^j + 47rp0£ — 4?r f^ijk^jk •
где, как и раньше с^. е” ——тензоры упругих модулей и диэлектрической проницаемости монодоменного кристалла соответственно, а Bijk ——тензор пьезокоэффициентов, для случая 180-градусной доменной стенки, расположенной в несмещенном положении в плоскости zy и полярного направления, совпадающего с осью г, принимая во внимание распределение поляризации в кристалле, содержащем доменную стенку
Роз(2)= —Ро[1 —2®(力—U)],Роз(2)= —Ро[1 —2®(力—U)],(1.4)(1.4)
Роз(2)= —Ро[1 —2®(力—U)],
Роз(2)= —Ро[1 —2®(力—U)],
(1.4)
(1.4)
выражение для тензора деформации
(1.5)(1.5)
(1.5)
(1.5)
и связь напряженности электрического поля с потенциалом 田 = =—3夕/3力爲 мы перепишем систему уравнений (1.1)-(1.2) в виде
(1.6)(1.6)OXiOXjOX^OXj
(1.6)
(1.6)
л4 KBiZ= 8тгД)8(力),OXiOXjOX^OXioz
mU = 2F0 字 I •dz
Найдем выражение для электрического поля (―3夕/3力)力=(), сопровождающего изгибные смещения доменных стенок. Для получения этого выражения воспользуемся двумя первыми уравнениями в (1.6). Для упруго-изотропного материала, где
Cjjkl =入Bij5kl + 以 Sik3jl + 8"多%)〉(1。7)
уравнение динамики упругой среды имеет следующий вид
侬* м侬* мвaвa.8.8
侬* м
侬* м
вa
вa
.8
.8
Записывая (1.8) в векторной форме и применяя оператор div к обеим частям этого уравнения, мы получим
divu = - о//：])' 后=/^ + 片 + ^,(1.9)
где Л^ = BkijU屮/。岔卜。岔j, 0 cl =，(Л + ?NP ——скорость продольной звуковой волны. С учетом этого вместо (1.8) мы имеем
(1.1а а(1.1а а(a +从)32a2/3力?3力50(О 孤 2 — CJ2)
(1.1а а
(1.1а а
При записи (1.9) и (1.10) мы рассматриваем волну, распространяющуюся вдоль стенки с волновым вектором k = (ку> 卜力)и используем фурье-разложение для вектора упругих смещений среды
% = / а, е^И-^)巳7kx嘿)р = ®,z)(1.11)
Подставляя (1.11) в (1.10), мы получаем связь между фурье-коэффициентами а? и，力：
"伙=0(。2義2 ^2^ Bkijkkkj — ^~2^yhljkkkjk[ki g”
q = \/Д7^-
(1.12)
Аналогично из уравнения электростатики мы имеем
片的期屮統 + 47v(3ijkkkkiU^x = 87rpо 泳 z"(1.13)
Подставляя выражение (1.12) в (1.13) вместо u^z, мы найдем выражение дляиз которого
—8kP/U
〈£切險电 + ；^卷专^ Bpmjkpkj —(；±2_；j Bpljkpkjkikm ｝
(1.14)
Подстановка (1.14) в уравнение движения доменной границы (1.1) позволяет определить спектр изгибных колебаний 180-градусных доменных стенок в сегнетоэлектрических кристаллах произвольной симметрии. В качестве примера рассмотрим определенный случай изгибных колебаний 180-градусных доменных стенок для тетрагональной полярной фазы. Здесь
0 0 \
=0 £а 0(1.15)
\00 % /
и матрица пьезомодулей 伪小右=/3^т имеет следующие ненулевые коэффициенты: /З3зз = Вз, 6з22 = /?311 = /?2, /?223 = /3131 = /31 [196]. В этом случае выражение для поля (1.14) принимает следующий вид [194]:
ОС
=/ 芻(—8?ГР走U) £展 + £а(^ + 考)+
—ос
47r Q ｛関Q + [(/?2 + 仇)2 + 2/31/?з] (ку + 确｝ + /3i(ky + 确
рd” - /)
_ 47r (寸一。》收风崎+ (户2 + 2仇)(碣+T
p(O孤 2 -g2)(0孤 2 - /)_
Раскладывая подинтегральное выражение в (1.16) в ряд по а? с точностью до членов первого порядка в приближении малости 4тг/32//ж о?《1, в частности, для &@ — &с 三 % Вз》队)廿2 込 ％》ку мы получим
_竺 p… -4穴р0к汐47r第57Tfgk?U 2
dz A。° — %J^^ +礴 。力 4g阳 + 玲)7/2•
т +т +5开坏/^к?5开坏/^к?p^cj^kl + 玲)7/2p^cj^kl + 玲)7/2&^ + 礎&^ + 礎Подстановка (1.17) в уравнение движения доменной стенки приводит к следующему уравнению, определяющему закон дисперсии изгибных колебаний доменных границ в сегнетоэлектриках:
т +
т +
5开坏/^к?
5开坏/^к?
p^cj^kl + 玲)7/2
p^cj^kl + 玲)7/2
&^ + 礎
&^ + 礎
Рис. 7.1. (а)——Возникновение связанных зарядов на доменной стенке сегнетоэлектрика при её отклонении от полярного направления. (6)——Линейная зависимость частоты изгибных колебаний 180-градусных доменных границ от волнового вектора с учетом пьезоэлектрической «раскачки» окружающего материалаРис. 7.1. (а)——Возникновение связанных зарядов на доменной стенке сегнетоэлектрика при её отклонении от полярного направления. (6)——Линейная зависимость частоты изгибных колебаний 180-градусных доменных границ от волнового вектора с учетом пьезоэлектрической «раскачки» окружающего материала
Рис. 7.1. (а)——Возникновение связанных зарядов на доменной стенке сегнетоэлектрика при её отклонении от полярного направления. (6)——Линейная зависимость частоты изгибных колебаний 180-градусных доменных границ от волнового вектора с учетом пьезоэлектрической «раскачки» окружающего материала
Рис. 7.1. (а)——Возникновение связанных зарядов на доменной стенке сегнетоэлектрика при её отклонении от полярного направления. (6)——Линейная зависимость частоты изгибных колебаний 180-градусных доменных границ от волнового вектора с учетом пьезоэлектрической «раскачки» окружающего материала
Выражение в круглых скобках перед cj2 может быть интерпретировано как перенормированная эффективная масса доменной стенки, содержащая нелокальное слагаемое т* 〜1/к благодаря включению в движение за счет пьезоэффекта целого слоя материала с толщиной равной 1/к, окружающего границу и приходящего в движение при движении доменной стенки.
Для сравнения величин т* и т представим максимальную для данного модуля к величину т* для случая волны, распространяющейся вдоль полярного направления в виде
* _ 4开俨 57rfg 1 рее 4污 k
где 7 ——поверхностная плотность энергии доменной стенки, В —— толщина доменной стенки. При записи (1.19) использовались выражения для 7 (1.22) главы 2 и локальной массы доменной стенки (1.6) главы 6.
Из выражения (1.19) видно, что величина т* определяет закон дисперсии колебаний вплоть до к* = 1/5〈4不俨件危)，т. е. с учетом используемого приближения (4穴俨/卩£喻《1, вплоть до величины к*《ктах = 1/Ь, где ктах — предельное значение волнового
вектора к, определяемое пределом применимости приближения геометрической границы. Для других ориентаций к величина к*, очевидно, меньше.
Правая часть уравнения (1.18) с точностью до множителя 1/к2 представляет собой эффективную жесткость относительно изгиб- ных смещений доменной стенки. Как видно, в принятом приближении (47г/?2/0£о2)《1, вклад в нее за счет пьезоэлектрических взаимодействий оказывается пренебрежимо малым, и она целиком определяется здесь электростатическим взаимодействием зарядов на прогнутой границе.
Анализируя закон дисперсии рассматриваемых колебаний доменных границ, из уравнения (1.18) нетрудно видеть, что в области малых к, где m*〉m мы имеем а 〜к и, значит, скорость распространения соответствующих волн не зависит здесь от волнового вектора.
Изгибные колебания доменных границ бездефектных сегнетоэластиков, сегнетоэлектриков-сегнетоэластиков и 90-градусных доменных границ сегнетоэлектриков
В чистых сегнетоэластиках, сегнетоэлектриках-сегнетоэластиках, а также в случае 90-градусных доменных границ, например, в сегнетоэлектриках со структурой перовскита разделяемые ими домены отличаются не только спонтанной поляризацией, как в двух последних случаях, но и спонтанной деформацией. В этом случае, как это отмечалось выше, уравнение движения доменной стенки по сравнению с чистым сегнетоэлектриком дополняется в правой части слагаемым 2©к碌 и принимает вид
mU = 2(Ро, Е)и=о + 2©kU京.(2.1)
Наличие прямого упругого взаимодействия в данной задаче приводит к тому, что его вклад в 0k превосходит вклад от пьезоэффекта и в результате именно оно, а не пьезоэффект, включает в движение среду, окружающую доменную стенку, т. е. определяет величину эффективной массы доменной стенки. Учитывая это, пьезоэффектом в данной задаче можно пренебречь, что резко упрощает вычисление электрического поля. Для нахождения последнего в данном случае можно воспользоваться обычным уравнение электростатики
(2.2)
Для вычисления связи а^ со смещением стенки U можно воспользоваться здесь динамическим уравнением Бельтрами (2.15)
главы 4:
Oij,kk + 加 + ](唸而-外汽〃 8")- ^"力 +
+ 点 *;)毗％ + '^询+词一部傾• = 2询力(2.3)
Определим упругие напряжения и электрические поля, сопровождающие прогиб доменной стенки в кристалле сегнетоэлектрика- сегнетоэластика в динамическом случае. Будем, как и в главе 4, для определенности считать, что направление спонтанного сдвига перпендикулярно вектору Ро и совпадает с осью у. В этом случае ненулевая компонента тензора спонтанной дисторсии
“;2 = —SR —2®(力一U(z,g))].(2.4)
Компоненты тензора плотности двойникующих дислокаций, а вместе с ними и ненулевые компоненты тензора несовместности 〃“， очевидно, совпадают с соответствующими выражениями (3.4) и (3.5) главы 4 в задаче о статическом прогибе доменной стенки сегнетоэластика. На основании определения тензора плотности потока двойникующих дислокаций (выражение (2.14) главы 4) и выражения (2.4) данной главы тензор /“• имеет единственную неравную нулю компоненту
Л2 = -2е05(ж)洋.(2.5)
Пусть каждый элемент доменной границы совершает малые гармонические колебания, распространяющиеся вдоль стенки в виде волны
U = Uq ехр(гкр - з0 к = &,期)，р(у)%)•(2.6)
Тогда
СГ12 = 312(力)ехр(гкр - а",
a^k = сг = 3(力)ехр(гкр — а",(2.7)
g = 0⑺ ехр(гкр — а".
На основании уравнения Бельтрами, выражений для компонент тензора 也 и компоненты 无2 (2.5), записанных через смещение стенки U, а также представлений (2.6)-(2.7) уравнение для компоненты 012 есть
оd2U
0% —廿(712 + B%kyO‘С12 = 2卩€口舄17 + 2р€оЗ^Х) 2 . (2.8)
Система уравнений для сгц,。22,。33 есть
^11 -廿内1 + 户廿。--ah + E /[；：，、万=0〉
从 从(зА + 2从)
a22 -后022 + 户0矿一0")-"而2 + " (!、： ？、万=0,(2.9)
成3 — к%зз + ©С片一— —^зз + “(；》二=
" 从 从(зА + 2从)
=-4从e0 泳 gU*(力).
Суммируя их, мы получим
(1 - 2/3)/ —廿(1 _ 2/3)。+， 万=-^ikyU8\xY (2.10)
Используя фурье-разложение
ОС
亍(力)=/ akx exp% 芻，(2.11)
мы получим
=4吗к小网
(2/3 - 1)[眠 + N -次2/(3A + 2从)(2/3 - 1)] •
С помощью фурье-разложения ai2, на основании уравнения (2.8) и выражения (2.12) мы имеем
及=2g)Uu 出—M/从)—
12 网 + k2 - p^jy\
4从6旅两/3 Uq
(2/3 - 1)网 + N -次2/(3A + 2从)(2/3 - 1)]网 + N -晔 2/打
(2.13)
Отсюда
=一岭)u的一 M/从)_
/=0 ，k2 _晔2/从
(2.14)(2.14)ZgU в 唸
(2.14)
(2.14)
(2/3 - 1)[,к2 一晔2/从 + ,k2 _ 0G2/(a + 2从)]
Аналогично, на основании уравнения Пуассона (2.2) для тетрагональной симметрии тензора £“ мы находим потенциал связанных
зарядов на границе
-^PQikzU 夕=—-^PQikzU 夕=—ехр — I力I 侬+玲ехр — I力I 侬+玲(2.15)(2.15)
-^PQikzU 夕=—
-^PQikzU 夕=—
ехр — I力I 侬+玲
ехр — I力I 侬+玲
(2.15)
(2.15)
^P^U^P^UUZ I x=0 uUZ I x=0 u++(2/3 - 1)[，к2 — 0G2/从 +，/一082/(л + 2从)](2/3 - 1)[，к2 — 0G2/从 +，/一082/(л + 2从)]++(2.17)(2.17)
^P^U
^P^U
UZ I x=0 u
UZ I x=0 u
+
+
(2/3 - 1)[，к2 — 0G2/从 +，/一082/(л + 2从)]
(2/3 - 1)[，к2 — 0G2/从 +，/一082/(л + 2从)]
+
+
(2.17)
(2.17)
и
(2.16)
Подставляя (2.14) и (2.16) в (2.1) после сокращения на U мы имеем
тз‘тз‘246^（/^ 一0以2/从）+，k2 一晔2/从
тз‘
тз‘
Принимая во внимание, что с^ =从/。，о： = (X + 2从)//)и вводя связь з = V к, где и — скорость распространения волны изгибных смещений доменной стенки, для достаточно малых к, когда локальной массой доменной стенки можно пренебречь, с учетом выражения для В мы можем переписать уравнение (2.17) в виде
,1 — */疗\,1 — */疗\sin夕sin夕++
,1 — */疗\
,1 — */疗\
sin夕
sin夕
+
+
7 COS2 0
+ / У歹 ^= = 0, (2.18)
л / 1a cos2 g + sin2 g
7 = 4万户咪/^从畠，
где угол g отсчитывается от полярного направления, или, после очевидных преобразований, как [197,198]
++(2.19)(2.19)
+
+
(2.19)
(2.19)
Анализ полученного уравнения показывает следующее. В чистом сегнетоэластике (Д)= 0) распространение волны изгибных смещений доменной стенки описывается уравнением (2.19) без последнего члена(7 = 0). Хорошо видно, что для данного конкретного направления скорость распространения волны есть постоянная, не зависящая от к величина. Эта скорость зависит от направления распространения волны, т. е. и = и(д). Ориентационная зависимость и такова, что для направления спонтанного сдвига (д = тг/2) она совпадает со скоростью волны Релея, скорость которой определяется уравнением [99,199]
При отклонении от этого направления она постепенно трансформируется и полностью переходит в объемную сдвиговую волну для направления g = 0 перпендикулярного направлению спонтанного сдвига (рис. 7.2).
На языке двойникующих дислокаций динамика соответствующих смещений определяется взаимодействием ансамбля движущихся дислокаций. При g = тг/2 это полностью краевые дислокации. При g < тг/2 к ним подмешиваются винтовые дислокации. С их появлением скорость поверхностной волны на доменной стенке увеличивается, а ее локализация соответственно уменьшается, стремясь к бесконечности для объемной сдвиговой волны (рис. 7.2) при g = 0.
В бездефектном сегнетоэлектрике-сегнетоэластике предельные величины для скорости поверхностных граничных волн при g = 0 и g = тг/2 остаются теми же самыми. Величина и для промежуточных значений g по сравнению с чистым сегнетоэластиком везде больше,
Рис. 7.2. (а)——Возникновение двойникующих дислокаций при отклонении доменной стенки сегнетоэластика от направления спонтанного сдвига. Ориентационная зависимость скорости поверхностной волны, локализованной на доменной границе ——(6) и глубина ее проникновения при фиксированном к в материале — (б) в бездефектных / — сегнетоэластике, 2 — сегнетоэлектрике-сегнетоэластике
что, очевидно, происходит за счет появления здесь дополнительной жесткости границы относительно ее изгибных смещений, связанной с поляризацией.
Как и в случае чистого сегнетоэлектрика прямая пропорциональность а 〜к в бездефектных сегнетоэластиках и сегнетоэлектриках- сегнетоэластиках связана с включением в движение инерционной среды, окружающей границу (рис. 7.3), с толщиной слоя 〜1/к. Вместе с пропорциональностью к коэффициента действующей на нее квазиупругой силы, связанной со смещением границы (правая часть (2.17) при а = 0), это и дает здесь линейную зависимость а от к.
Отметим, что в отличие от чистого сегнетоэлектрика со 180градусной доменной структурой, где смещение доменной границы как целого в бесконечном материале не приводит к возникновению электрических полей и, значит, к пьезодеформации материала, т. е. т"(к = 0) = 0 (точка к = 0 здесь является особой), а прямого упругого взаимодействия там нет, в случае сегнетоэластика, как это видно из рис. 7.3, трансляционное движение доменной стенки приводит к бесконечному росту ее эффективной массы, т. е. т*(к = 0) здесь равна бесконечности.
Как и в сегнетоэлектрике-сегнетоэластике, 90-градусные доменные стенки, в частности, в сегнетоэлектриках типа перовскита отделяют домены, которые различаются не только спонтанной поляризацией, но и спонтанной деформацией. Причиной этого являются стрикционные взаимодействия, которые в лабораторной системе координат, повернутой вокруг неподвижной оси у соответственно на 45° и 135° относительно кристаллографических систем, разделяемых доменной стенкой (рис. 7.4), приводят к возникнове-
Рис. 7.3. Зависимость эффективной массы доменной стенки от волнового вектора в чистых сегнетоэлектриках (исключая случай к = 0), сегнетоэластиках и в сегнетоэлектриках-сегнетоэластиках(^). Возникновение бесконечной массы (включение в движение всего верхнего полупространства) при трансляционном (к = 0) смещении доменной границы в сегнетоэластике (б)Рис. 7.3. Зависимость эффективной массы доменной стенки от волнового вектора в чистых сегнетоэлектриках (исключая случай к = 0), сегнетоэластиках и в сегнетоэлектриках-сегнетоэластиках(^). Возникновение бесконечной массы (включение в движение всего верхнего полупространства) при трансляционном (к = 0) смещении доменной границы в сегнетоэластике (б)
Рис. 7.3. Зависимость эффективной массы доменной стенки от волнового вектора в чистых сегнетоэлектриках (исключая случай к = 0), сегнетоэластиках и в сегнетоэлектриках-сегнетоэластиках(^). Возникновение бесконечной массы (включение в движение всего верхнего полупространства) при трансляционном (к = 0) смещении доменной границы в сегнетоэластике (б)
Рис. 7.3. Зависимость эффективной массы доменной стенки от волнового вектора в чистых сегнетоэлектриках (исключая случай к = 0), сегнетоэластиках и в сегнетоэлектриках-сегнетоэластиках(^). Возникновение бесконечной массы (включение в движение всего верхнего полупространства) при трансляционном (к = 0) смещении доменной границы в сегнетоэластике (б)
положение спонтанной поляризации, кристаллографических систем координат соседних 90-градусных доменов и жлабораторной системы координат
нию спонтанной деформации [5]
S 033 —032Q33 - Q32 d2
Со = Чз =[Лэз]Л)1 =*,(2.21)
°33 — °32°33 — °32
где использовалось обозначение
[Роз] = Р/ - Р《з = -^о/А(2.22)
индексы I и II обозначают соседние домены и 急伪 ca^ ——тензоры электрострикционных постоянных и упругих модулей соответственно, записанные в сокращенных индексных обозначениях.
Как видно из нумерации индексов сегнетоактивной компоненты “；з в (2.21), в противоположность случаю сегнетоэластика-сегнето- электрика, где направление спонтанного сдвига перпендикулярно вектору Pq, в настоящем случае эти направления параллельны. Учитывая это и переходя к записи тензора диэлектрических постоянных вместо кристаллографической в лабораторной системе координат, аналогично случаю сегнетоэлектрика-сегнетоэластика, мы получим здесь ту же линейную зависимость а от к в законе дисперсии изгиб- ных колебаний 90-градусных доменных стенок в сегнетоэлектрике, где скорость их распространения определяется близким к (2.18) уравнением [200]:
(cos2g-病/响 4 1
，1 -
G _si]12 g +
7 sin2 0
+'夕=0. (2.23)
у cos2 g + b sin2 g
Здесь 7 = 4不р^I啾户或、b = (1 + %/銓)/2.
Как следует из анализа (2.23), присутствие здесь в последнем члене слева в отличие от (2.18) не cos2 g, a sin2 g, связанное с изменением взаимной ориентации вектора спонтанной поляризации и
Рис. 7.5. Ориентационная зависимость скорости поверхностной волны на 90-градусной доменной стенке в сегнетоэлектрике 71 < 72 < 7з
направления спонтанного сдвига, приводит к следующим отличиям волн на 90-градусной доменной стенке в сегнетоэлектрике от рассмотренных ранее случаев. Во-первых, скорость указанных волн не является здесь всегда монотонной функцией угла g (рис. 7.5). Во-вторых, в виду наличия здесь дополнительной жесткости доменной стенки электростатического происхождения, неисчезающей вдоль направления спонтанного сдвига, чисто Рэлеевская волна не реализуется здесь для любого направления распространения. По той же причине, как и в сегнетоэлектрике-сегнетоэластике, скорость поверхностной волны, локализованной на 90-градусной доменной стенке, всегда больше, чем в случае чистого сегнетоэластика для тех же значений упругих постоянных.
Изгибные колебания доменных границ реальных сегнетоэлектриков и сегнетоэластиков
Наличие в кристалле дефектов кристаллической решетки приводит, как это будет видно ниже, к качественным изменениям в спектре колебаний доменных границ, изменяя не только скорость распространения волны изгибных смещений границ, но и сам закон дисперсии их колебаний. Для его получения при описании влияния дефектов в длинноволновом приближении можно воспользоваться, как это было сделано в главе 5, представлениями о квазиу- пругой силе, действующей на границу со стороны дефекта. Для изолированных дефектов в кристаллах чистого сегнетоэлектрика со 180-градусными доменами, сегнетоэлектрика-сегнетоэлас- тика и чистого сегнетоэластика коэффициенты квазиупругости
соответствующих сил равны
” =^/^〉£ = % = £а” =^/^〉£ = % = £а(3.1)(3.1)
” =^/^〉£ = % = £а
” =^/^〉£ = % = £а
(3.1)
(3.1)
(3.2)(3.2)(3.3)(3.3)犷 _ 4V/^оД)а
(3.2)
(3.2)
(3.3)
(3.3)
户=4тг/1бда
Действие дефектов на границу в данном приближении приводит к появлению дополнительного давления на границу в виде слагаемого KU в правой части уравнений движения границы (1.6) и (2.1), где К = 19/Z2 и Z ——среднее расстояние между закрепляющими границу дефектами и, значит, к добавлению непосредственно коэффициента К в правые части уравнений (1.17) и (2.18), описывающих законы дисперсии изгибных колебаний доменных границ в чистых сегнетоэлектриках и сегнетоэлектриках-сегнетоэластиках.
Результат влияния дефектов на рассматриваемую зависимость G(k) хорошо виден уже на примере чистых сегнетоэлектриков со 180-градусной доменной структурой. При наличии дефектов уравнение, определяющее закон дисперсии изгибных колебаний доменных границ, имеет здесь вид
(3.4)(3.4)
(3.4)
(3.4)
Как видно из уравнения (3.4) и рис. 7.6, наличие дефектов приводит к изменению эффективного коэффициента квазиупругости, который определяется теперь двумя слагаемыми. Для полярного направления в области малых к, где жесткость границы в бездефектном материале спадает пропорционально к, поведение Kef определяется слагаемым К. В области больших к ситуация становится противоположной.
В результате линейная зависимость g 〜к, которая в бездефектном материале наблюдалась и в области малых, и в области относительно больших к, в кристалле с дефектами будет реализовываться только при больших к. В длинноволновом пределе зависимость cj(к) здесь трансформируется в корневую g 〜у/к. В частности, для полярного направления это имеет место при kz =衣〃8宀/4开用.Учитывая связь коэффициента К с индивидуальным коэффициентом 户 и непосредственное выражение для последнего (3.1), мы можем найти значение критической длины волны Л, при которой происходит
Рис. 7.6. Зависимость эффективного коэффициента квазиупругой силы, действующей на границу, от волнового вектора в бездефектном — / и в дефектном — 2 материалах.Рис. 7.6. Зависимость эффективного коэффициента квазиупругой силы, действующей на границу, от волнового вектора в бездефектном — / и в дефектном — 2 материалах.Рис. 7.7. Смена закона дисперсии изгибных колебаний доменных границ в дефектном материале — 2 по сравнению с бездефектным — /
Рис. 7.6. Зависимость эффективного коэффициента квазиупругой силы, действующей на границу, от волнового вектора в бездефектном — / и в дефектном — 2 материалах.
Рис. 7.6. Зависимость эффективного коэффициента квазиупругой силы, действующей на границу, от волнового вектора в бездефектном — / и в дефектном — 2 материалах.
смена режимов колебаний (см. также рис. 7.7) [194,195]:
(3.5)(3.5)Л二岳项2
(3.5)
(3.5)
〜10-7 см, 7 〜〜10-7 см, 7 〜При обычных R 〜 104, у&氏“ 〜 103, a
〜10-7 см, 7 〜
〜10-7 см, 7 〜
〜 0,1 эрг/см2, Z 〜 I。-' см (концентрация дефектов 〜 1018 см-3) это происходит при Л 〜10-5 см.
Аналогичная ситуация с изменением режима колебаний будет наблюдаться для всех других направлений вектора к, исключая направление, перпендикулярное полярной оси. При этом критическое значение Л будет непрерывно уменьшаться при отклонении вектора к от полярного направления.
Направление, перпендикулярное вектору Ро, является специальным. Для этого направления существует собственная частота колебаний доменных границ, почти не зависящая от к вплоть до к = К/^ (при обычных Z 〜I。—' см данное значение к равно приблизительно 3 х 106 см-1, т. е. находится почти на верхней границе допустимых значений к, ограниченных приближением бесструктурной границы)
и равная g =и равная g =.Как это видно из определения К, значение
и равная g =
и равная g =
данной частоты зависит от концентрации дефектов, взаимодействующих с границей.
Добавление слагаемого, связанного с дефектами в случае се- гнетоэластика-сегнетоэлектрика показывает, что по сравнению с идеальным материалом, зависимость ш от к становится нелинейной. Ее конкретный анализ удобно, тем не менее, проводить, если
по-прежнему положить ш = v к с уже зависящей от к скоростью распространения. После всех преобразований, это приведет к следующему уравнению, определяющему зависимость и (к) для &с = =% (и, значит, в конечном итоге &(к)) в данном случае [194,195]:
где угол g по-прежнему отсчитывается от полярного направления.
(3.7)(3.7)Анализ (3.6) показывает, что, как и в чистом сегнетоэлектрике с дефектами, в реальном (дефектном) сегнетоэлектрике-сегнетоэлас- тике, а также в чистом сегнетоэластике для всех направлений, кроме направления спонтанного сдвига, частота изгибных колебаний доменных границ возрастает в области малых к. При этом скорость соответствующей волны стремится к Ct при к т 0. Выход на обычную линейную зависимость G(k), в частности, для направления спонтанного сдвига в сегнетоэлектрике-сегнетоэластике с учетом (3.2) происходит при
(3.7)
(3.7)
А =——-Pqcl
В направлении перпендикулярном спонтанному сдвигу и в сегне- тоэлектрике-сегнетоэластике, где направление спонтанного сдвига s 丄 Ро, и в чистом сегнетоэластике, как в дефектном материале, так и в идеальном кристалле, для всех величин к распространяется объемная сдвиговая волна.
Трансляционные колебания доменной структуры в сегнетоэлектриках и сегнетоэластиках
Факторы, которые вызывают появление изгибной динамики доменных границ, приводят и к возникновению трансляционных колебаний доменной структуры, т. е. таких колебаний, при которых доменные границы смещаются как целое в направлении перпендикулярном полярной оси. Указанные смещения доменных границ также приводят к изменению распределения зарядов спонтанной поляризации, но теперь уже на поверхности материала, в месте контакта его с поверхностным несегнетоэлектрическим слоем или блоком доменной структуры с другой ориентацией, вызывая
тем самым увеличение электростатической энергии полидомен- ного сегнетоэлектрика и, значит, появление возвращающих сил, действующих на смещенные доменные границы [201, 223]. Для 90-градусных доменных границ в сегнетоэлектриках и в случае сегнетоэлектриков-сегнетоэластиков при наличии механического контакта доменной структуры с другой частью материала, не испытывающей таких смещений, как рассматриваемая доменная структура, смещения доменных границ вызывают увеличение еще и механической энергии системы и, значит, появление возвращающих сил соответствующей природы. Как и в случае изгибных колебаний доменных границ, другим основополагающим фактором для возникновения трансляционных колебаний доменной структуры являются инерционные свойства доменных границ и самого сегнетоактивного материала.
Основное рассмотрение таких колебаний мы проведем на примере чистого сегнетоэлектрика со 180-градусной доменной структурой. Сформулируем систему уравнений, определяющих характер движения доменных границ в данном случае. Выберем систему координат, как и раньше, таким образом, что ось z совпадает с полярным направлением, а ось х ——с направлением движения доменных границ. Будем полагать, что в процессе трансляционных смещений доменных стенок последние сохраняют плоскую форму (рис. 7.8), а сама величина их смещений Un^d(n ——номер стенки, d ——средняя ширина домена). Тогда в гармоническом пределе электростатическую энергию сегнетоэлектрического материала
Ф = ^ / Р(力〉z)子 d力也 (4.1)
Рис. 7.8. Трансляционные смещения доменных границ в сегнетоэлектрике со 180-градусной доменной структурой в квазиакустической (а) и квазиоп- тической ветвях колебаний доменной структуры (б)
удобно представить в виде разложения
1①1〜
ф = фо + йЕ^ • UnU” = 2 з£кт 吟 UnU”.
(4.2)
Здесь Фо — энергия деполяризующего поля для несмещенных доменных границ, т. е. для периодического их распределения, которое соответствует равновесной доменной структуре, Ly ——размер кристалла по соответствующему направлению.
На основании (4.2) уравнение движения n-ой доменной стенки
mUn = --~-(4.3)
принимает вид
mUn + ^(n, n)Un+ ^2 公(电 〃)Uw = 0.(4.4)
Здесь m = mLyLz, m ——плотность локальной эффективной массы доменной стенки.
Особенностью данной задачи, как и задачи об изгибных колебаниях доменных границ в сегнетоэлектриках, является включение в движение при смещениях доменных границ за счет пьезоэффекта всей области материала, где локализовано изменяющееся в процессе движения доменных границ поле зарядов спонтанной поляризации. Поэтому при расчете в (4.4) коэффициентов квазиупругих сил К(п)п‘), действующих на смещенные из равновесных положений доменные стенки, уравнение электростатики здесь также необходимо дополнить уравнение движения упругой среды и соответствующими материальными уравнениями в кристалле с пьезоэффектом.
Отметим, что роль дальнодействующих электрических полей в контроле за смещениями доменных границ может быть уменьшена при наличии достаточно большого числа свободных носителей заряда в сегнетоэлектрическом кристалле. Однако, большинство сегнетоэлектриков является хорошими диэлектриками, время максвелловской релаксации в которых измеряется секундами или минутами и, значит, оно почти всегда превышает обратную частоту рассматриваемого здесь динамического процесса. В этом случае атмосфера носителей заряда практически не успевает реагировать на изменения полярного состояния кристалла, вызванные смещениями доменных границ. А поскольку для одинаковых смещений доменных стенок изменения в суммарной плотности заряда, которые и контролируют их смещения, оказываются практически тождественными (см. рис. 7.9) независимо от того, скомпенсированы или нет дальнодействующие
= 0)
zz?(и 0)?(и 0)cr(U * 0) — cr(U = 0)cr(U * 0) — cr(U = 0)
z
z
?(и 0)
?(и 0)
cr(U * 0) — cr(U = 0)
cr(U * 0) — cr(U = 0)
a6
Рис. 7.9. Эквивалентность возникающего заряда для равных смещений доменных границ для случаев: первоначально не скомпенсированных (а) и полностью скомпенсированных (б) зарядов спонтанной поляризации электрические поля в исходном состоянии, влияние свободных носителей в данном случае вообще может не учитываться при проведении конкретных расчетов.
Как отмечалось выше, смещения доменных стенок в данной задаче предполагаются беспрогибными, поэтому единственным местом расположения зарядов спонтанной поляризации является поверхность сегнетоэлектрического материала. Будем рассматривать в качестве последнего бесконечную сегнетоэлектрическую пластину с толщиной Lz вдоль полярной оси. Выберем начало координат посередине ее толщины и совпадающим с одной из стенок вдоль направления бесконечной длины сегнетоэлектрика ——оси х. Будем пренебрегать координатной зависимостью величины спонтанной поляризации вблизи поверхности сегнетоэлектрической пластины вдоль направления полярной оси, считая, что она сохраняет постоянную, не зависящую от г, равную ±Pq величину в пределах домена того или иного знака и скачком падает до нуля на поверхностях сегнетоэлектрической пластины при координатах ±厶/2. Будем полагать также доменную границу бесструктурной, т. е. имеющей нулевую толщину. Это означает, что распределение связанного заряда по поверхности сегнетоэлектрика будет иметь ступенчатый вид с постоянными значениями 土Д) в пределах домена соответствующей ориентации, т. е. в интервалах от координаты какой-либо n-й доменной стенки хп = nd + Un до координаты соседней стенки 力九±>
Указанное распределение заряда по поверхности сегнетоэлектрика для дальнейшего удобно представить в виде суммы периодического распределения, соответствующего равновесной доменной структуре [5]
'—Ро, (2九—l)d < х < 2nd
<М力)=《(4.5)
、Pd 2nd < x < (2n + l)d
при z =厶/2 и антисимметричного ему при z =—厶/2 и его изменения (71 (ж), связанного со смещением доменных границ от равновесных положений. Для малых смещений доменных границ Un d последнее можно представить в виде [203]
内(力)=e)九8(力 一 d 九)〉(4.6)
где величина)九 = 2n1al при г = Lz/2 и равна — 2兄?7九 при г = =~Lz/2.
Уравнение для электрического поля указанного распределения зарядов (4.5), (4.6) после подстановки в уравнение электростатики (1.2) связей (1.2) и (1.3) представляет собой неоднородное уравнение, для решения которого можно воспользоваться методом функции Грина. Система уравнений для определения ее фурье-образа получится из указанных уравнений после замены здесь реального координатного распределения зарядов спонтанной поляризации 5Рог/dxi на В(力,z)- образный источник. С учетом выражения для тензора деформации и связи напряженности электростатического поля Ei с потенциалом g и осевой симметрии задачи эта система принимает вид
'』以 -4哂光獻 =4П(£)2)6
<_ d2uk52^•
Pui = cijkl^——Б—〉
OXiOXjOX^OXj
где в соответствии с условиями задачи 7 = 70 力.
Дальнейшее нахождение связи потенциала g и смещений щ из (4.7) аналогично случаю изгибных колебаний доменных границ в чистом сегнетоэлектрике. Представляя g(力〉z) и “広(力〉z) в виде фурье- разложений:
9(2,2)= /бк ⑴ е—泳
7r(4.8)
0k ⑴=47r0k ⑴=47r47r 氏 jk kk 阮47r 氏 jk kk 阮где Зк (土) и “Ек (土) пропорциональны е®"力，для изотропного в упругом отношении материала аналогично рассмотрению раздела 7.1. для нормированного фурье-коэффициента 0k = Dk/), который и представляет собой фурье-образ функции Грина уравнения для электрического поля с учетом пьезоэффекта, получим
0k ⑴=47r
0k ⑴=47r
47r 氏 jk kk 阮
47r 氏 jk kk 阮
-/)
где ^2 = ^ + 短.
Взаимодействие равновесно распределенных зарядов (4.5) между собой определяет в (4.2) только постоянное слагаемое 汽,не входящее в уравнение движения доменных границ (4.4). Следующее слагаемое в (4.2) определяется взаимодействием зарядов (4.6). Поэтому естественно ограничиться здесь расчетом полей и взаимодействием именно этих зарядов. Объемная плотность заряда, соответствующего (4.6), распределенного по обеим поверхностям сегнетоэлектрической пластины есть
Тогда в соответствии со свойствами функции Грина потенциал этих зарядов
31(力,2)= / ркОк「kр 晋尸 f?也 J0^-滋式"-"九)><
(2万)2 -
(4.Н)
Энергия их взаимодействия
Ф — Фд
а ЕЕ7n7n^k exp {-ikxd{n - 〃)) х 九 П,
Учитывая, что 7 = ZP^Un, и)九/ = 2P()Unf (—l)n-n，, где множитель (—l)n-n учитывает, что при одинаковых знаках Un и Unf заряд, возникающий на поверхности кристалла для соседних доменных стенок, имеет противоположный знак, последнее выражение можно записать в виде
①-①。=h 公(电川),(4.13)
n,nr
где
A(电 〃)=К{п - 〃) = (-l)n~nf8P^Ly x
0kexp (—ikxd(n - 〃)) [1 - exp (~ikzLz)] ； ；. (4.14)
47r47rКонкретное выражение для указанных коэффициентов можно посчитать аналитически в отсутствие пьезоэффекта, где для тетрагональной симметрии тензора диэлектрической проницаемости
47r
47r
(4.15)
В этом случае, аналогично ферромагнетику со 180-градусной доменной структурой [204], [205],
к(и, и )九?歩-k(九一冷)=
=广—疗 In 1 +=广—疗 In 1 +入 1;/ d m _歩)丿入 1;/ d m _歩)丿(4.16)(4.16)
=广—疗 In 1 +
=广—疗 In 1 +
入 1;
/ d m _歩)丿
入 1;
/ d m _歩)丿
(4.16)
(4.16)
Использование выражения (4.16) для случая п! = п невозможно, поскольку способ вычисления коэффициентов (4.16) не предполагает отделения эффекта самодействия зарядов, возникающих в области смещенной доменной стенки, что естественно приводит к бесконечному росту выражения (4.16) при п = п\
Для расчета любого из коэффициентов К(п)nQ в сумме (4.13) в принципе надо сместить из исходного состояния стенки только с номерами п и n\ оставляя остальные неподвижными, так чтобы в сумме (4.13) осталось только одно слагаемое. После этого необходимо рассчитать электростатическую энергию такой системы Ф = Фо + +加…‘)44, и отделить в ней коэффициент при UnUn>. При расчете коэффициента К(п)п/), очевидно, надо сместить только одну доменную стенку (рис. 7.10 о) и подсчитать изменение электростатической энергии системы в этом случае.
Как видно из рис. 7.10 6, это все равно, что сместить в противоположную сторону на равное расстояние все другие стенки, оставляя
Рис. 7.10. Изменение электрического состояния полидоменного сегнетоэлектрика со 180-градусной доменной структурой при смещении только одной стенки (о) и при смещении всех остальных стенок на то же расстояние (б)Рис. 7.10. Изменение электрического состояния полидоменного сегнетоэлектрика со 180-градусной доменной структурой при смещении только одной стенки (о) и при смещении всех остальных стенок на то же расстояние (б)
Рис. 7.10. Изменение электрического состояния полидоменного сегнетоэлектрика со 180-градусной доменной структурой при смещении только одной стенки (о) и при смещении всех остальных стенок на то же расстояние (б)
Рис. 7.10. Изменение электрического состояния полидоменного сегнетоэлектрика со 180-градусной доменной структурой при смещении только одной стенки (о) и при смещении всех остальных стенок на то же расстояние (б)
исходную несмещенной. В этом случае начало координат не совпадает ни с одной из смещаемых стенок и, следовательно, для всех них при расчете электростатической энергии можно воспользоваться коэффициентами (4.14). Суммируя для ситуации рис. 7.10 6 слагаемые К(п^ nf)UnUnf с Un = Unf для всех номеров 八 и п/ начиная с \п — nf\ = 1 до бесконечности и приравнивая это изменение энергии одному слагаемому К(п,疗)吗,мы найдем коэффициент
К(п)п)三 К =К(п)п)三 К =11十 1^(2" 1)211十 1^(2" 1)2• (4.17)• (4.17)
К(п)п)三 К =
К(п)п)三 К =
11
十 1^(2" 1)2
11
十 1^(2" 1)2
• (4.17)
• (4.17)
Исследуем спектр колебаний доменной структуры в этом случае (/3 = 0). Пусть стенка, совпадающая с началом координат, имеет номер п = 0. Как уже отмечалось, соседние стенки (в принятых обозначениях это стенки с четными 2п и нечетными 2п — 1 номерами) отличаются чередованием знаков разделяемых ими доменов от отрицательного (с отрицательным направлением Pq) к положительному и наоборот для движения в положительном направлении оси х. Поэтому движение этих стенок необходимо рассматривать отдельно. Будем описывать смещения соответствующих стенок в виде плоских
волн
Щп = Uo(2rz) exp (i[kd2n —以土])〉
。2吋]=Uo(2rz — 1) exp (i\kd(2n — 1)—⑺廿)，()
где Uo(2rz) и Uo(2rz — 1) — амплитуды соответствующих колебаний, к — волновой вектор.
Подставляя поочередно U^n и 历九一i из (4.18) в уравнение движения стенки (4.4) и сокращая на соответствующие им экспоненты, мы получим систему уравнений
—mg’UuRn) + KUo(2n) + ОС
+2 £ К(2п - 1) Uo(2八-1) cos kd(2n - 1)+ n=l ОС
+ 2 ^2 К(2n) Uo(2n) cos kd2n = 0, n=l
-m/Uo(2八-1) + KU^(2n -1) +
CO
+2 ^2 K(2八—1) Uo(2rz) cos kd(2n — 1) + n=l ОС
+ 2 22 K(2八)U()(2rz — 1) cos kd2n = 0.
n=l
Последняя представляет собой систему однородных уравнений относительно неизвестных и неопределяемых в линейном приближении амплитуд Uo(2rz) и Uo(2rz — 1). Группируя коэффициенты при Uo(2rz) и С7о(2п — 1) и приравнивая нулю определитель, составленный из этих коэффициентов, мы получим уравнение для определения неизвестных частот колебаний
—mJ + К] К?
〜2〜=a
衣2 —mu + Ki
ОС
(4.20)(4.20)Ki = К + 2 22 К(2n) cos 2n kd〉
(4.20)
(4.20)
п=1
ОС
К2 = 2 ^2 К(2八—1) cos(2n — l)kd.
п=1
Последнее имеет два решения
СЛ = (П1 -公2)/历，сд = (П1 + 公2)/历， (4.21) которые совместно, с учетом конкретных выражений для К иК (2п), К(2п — 1) можно записать в виде:
十酸廖（2九一1）2.十酸廖（2九一1）2.XX
十酸廖（2九一1）2.
十酸廖（2九一1）2.
X
X
х [1 干 cos(2n — l)kd]—
— fin ! + |；^(^2] [l-cos2nMj>- (4.22)
Подстановка (4.22) в любое из уравнений системы (4.19) показывает, что
Uo(21)丿 ，旧(2"1)丿+-.(.)
Таким образом, согласно (4.22)-(4.23) существует две ветви колебаний доменной структуры (рис. 7.11). Первая ветвь а_ (к) соответствует колебаниям акустического типа (мы будем называть их квазиакустиче скими). Здесь а_ (0) = 0 при малых к,ш ки смещение соседних доменных стенок осуществляется в одну сторону. Для
Рис. 7.11. Частотная дисперсия трансляционных колебаний доменной структуры в квазиакустической (—) и квазиоптической (+) ветвях. / —— без пьезоэффекта, 2 — с учетом пьезоэффектаРис. 7.11. Частотная дисперсия трансляционных колебаний доменной структуры в квазиакустической (—) и квазиоптической (+) ветвях. / —— без пьезоэффекта, 2 — с учетом пьезоэффекта
Рис. 7.11. Частотная дисперсия трансляционных колебаний доменной структуры в квазиакустической (—) и квазиоптической (+) ветвях. / —— без пьезоэффекта, 2 — с учетом пьезоэффекта
Рис. 7.11. Частотная дисперсия трансляционных колебаний доменной структуры в квазиакустической (—) и квазиоптической (+) ветвях. / —— без пьезоэффекта, 2 — с учетом пьезоэффекта
второй ветви
4(0) Леш4(0) Леш8a e^ 1£с 廖(2п — I)28a e^ 1£с 廖(2п — I)2宀1#+宀1#+.(4.24).(4.24)=3 屮“ ^h=3 屮“ ^h8a e^ 1酸 d2 (2n + l)28a e^ 1酸 d2 (2n + l)2При обычных бс 〜1()3,7Г 后су》L Это дает2 V酸dПри обычных бс 〜1()3,7Г 后су》L Это дает2 V酸d£a 〜10, Дг 〜l°TcM,d 〜10一4.10-Зсм,£a 〜10, Дг 〜l°TcM,d 〜10一4.10-Зсм,印。）印。）16ttPqecmd16ttPqecmd(4.25)(4.25)
4(0) Леш
4(0) Леш
8a e^ 1
£с 廖(2п — I)2
8a e^ 1
£с 廖(2п — I)2
宀1#+
宀1#+
.(4.24)
.(4.24)
=3 屮“ ^h
=3 屮“ ^h
8a e^ 1
酸 d2 (2n + l)2
8a e^ 1
酸 d2 (2n + l)2
При обычных бс 〜1()3,
7Г 后с
у》L Это дает
2 V酸d
При обычных бс 〜1()3,
7Г 后с
у》L Это дает
2 V酸d
£a 〜10, Дг 〜l°TcM,d 〜10一4.10-Зсм,
£a 〜10, Дг 〜l°TcM,d 〜10一4.10-Зсм,
印。）
印。）
16ttPqecmd
16ttPqecmd
(4.25)
(4.25)
Таким образом, здесь 以+(0)步 0, смещения соседних стенок осуществляется в противоположные стороны, и колебания такого типа естественно назвать квазиоптическими.
На границе зоны Бриллюэна при к = тг/2d (2d — период доменной структуры) в (4.22) cos(2n — Y)kd = 0, поэтому щель в спектре между оптическими и акустическими колебаниями отсутствует. Непосредственное вычисление / здесь дает
bj^{k = 7r/2d)=
_旺(k =0) _ 32用Eg1亠包丘 ]
—一2三蒜 J 十 原 22(2h一])2
16用人16用人In chIn ch—2 In ch—2 In ch(4.26)(4.26)
16用人
16用人
In ch
In ch
—2 In ch
—2 In ch
(4.26)
(4.26)
7Г1
11PH 彳》1
= 7f/2d) t.，EaEcLzTTl= 7f/2d) t.，EaEcLzTTl(4.27)(4.27)
= 7f/2d) t.
，EaEcLzTTl
= 7f/2d) t.
，EaEcLzTTl
(4.27)
(4.27)
Аналитический расчет спектра колебаний доменной структуры при учете пьезоэффекта в общем виде провести трудно. Однако это можно сделать для некоторых характерных точек спектра. Рассчитаем, в частности, значение частоты колебаний доменной структуры в квазиоптической ветви для предельных (к = 0) колебаний. Для расчета эффективной массы доменной стенки рассчитаем среднее
значение кинетической энергии материала образца, связанной с вовлечением в движении за счет пьезоэффекта составляющих его элементов среды. В рассматриваемом пределе (к = 0) в любой момент времени все доменные стенки смещаются на определенные равные расстояния U и во всем объеме образца возникает электрическое поле, которое везде, за исключением тонкого приповерхностного слоя толщиной d (чем можно пренебречь с учетом соотношения d《L), практически является однородным. На основании (1.3) с учетом (4.6) его величина в приближении малых пьезодеформаций равна
47rd47r с U =47rd47r с U =Е ==27^q —Е ==27^q —(4.28)(4.28)
47rd47r с U =
47rd47r с U =
Е ==27^q —
Е ==27^q —
(4.28)
(4.28)
Это поле вызывает пьезодеформацию материала, величина которой в статическом случае (здесь и далее для простоты тензорностью используемых соотношений пренебрегается) на основании (1.2), первого из соотношений (1.3) и соотношения (4.28) есть
с &cd сс &cd с(4.29)(4.29)
с &cd с
с &cd с
(4.29)
(4.29)
Данной пьезодеформации соответствует определенное смещение точек среды, среднее значение которого с учетом линейности связи указанных величин для простого удлинения (сокращения толщины) образца, которым мы здесь и ограничимся, пренебрегая одновременным изменением поперечных размеров, равно
(4.30)(4.30)〃з = Lz й/2.
(4.30)
(4.30)
Учитывая, что в рассматриваемом случае в движение вовлекается весь объем материала, и записывая среднюю кинетическую энергию составляющих его элементов, рассчитанную на единицу поверхности образца в направлении перпендикулярном полярной оси
мы можем найти эффективную массу единицы площади образца
0= Р0= Р(47Г)2用户丘厶(47Г)2用户丘厶金 汨202金 汨202(432)(432)
0= Р
0= Р
(47Г)2用户丘厶
(47Г)2用户丘厶
金 汨202
金 汨202
(432)
(432)
Так как эта масса распределена между Lx/d стенками, для эффективной массы единицы площади одной стенки мы имеем [206,207]
(4.33)(4.33)167r2用俨丘
(4.33)
(4.33)
遂0dd
где Q ——скорость соответствующей звуковой волны.
Оценка величины m^w при обычных Д)〜IO’ (здесь, как и раньше, используются единицы CGSE), /3 〜 106,乙乞 〜 1, d 〜 10-4,
酸 〜103, 0 〜5, з 〜105 ед. CGSE дает величину 3 • 10-2 г-см-2, что на много порядков величины больше обычной эффективной массы доменной стенки [143], которая связана с обращением спонтанной поляризации в области движущейся доменной стенки и которая для тех же значений входящих в нее констант равна 〜10一" г/см 2.
Такое увеличение эффективной массы доменной стенки существенно понизит, очевидно, и частоту собственных колебаний доменных стенок (см. рис. 7.11). В частности, согласно (4.25), для предельно длинноволновых квазиоптических колебаний вместо величины 〜1010 Гц без учета пьезоэффекта значение соответствующей частоты с его учетом уменьшается до 〜106 Гц, т. е. до Мегагерцевых частот.
По тем же причинам, что и в сегнетоэлектриках, трансляционные колебания доменных границ возникают и в сегнетоэластиках. Для произвольных значений волнового вектора такие колебания не исследовались, однако, для случая к = 0 частоту соответствующих колебаний легко оценить, минуя длинные расчеты. Подсчитаем для этого сначала увеличение упругой энергии сегнетоэластика, связанное с равновеликими смещениями доменных границ. Средняя деформация материала каждого из доменов при смещении доменных границ на величину U равна й = 2e^U/d. Тогда для контакта с абсолютно жестким материалом, где все упругие поля сосредоточены в материале сегнетоэластика, указанное увеличение упругой энергии для одного домена
F^^V^ ^U2LyLz/d. (4.34)
Относя указанное значение F на единицу площади доменной стенки и отделяя здесь коэффициент при U?/2, мы найдем коэффициент квазиупругой силы, действующий на единицу площади доменной стенки
К ==如LyL % dК ==如LyL % d(4.35)(4.35)
К ==如
LyL % d
К ==如
LyL % d
(4.35)
(4.35)
где, как и раньше,从 ——упругий модуль, ас。——величина спонтанной деформации.
Учитывая, что среднее смещение элементов материала сегнето- эластика при смещении доменных границ на величину U есть (направление спонтанного сдвига совпадает с осью у)
〃2 =〃2 =U ~!T~dU ~!T~d(4.36)(4.36)
〃2 =
〃2 =
U ~!T~d
U ~!T~d
(4.36)
(4.36)
мы можем определить кинетическую энергию материала одного домена
苧皿=^嗜/炉人％ = ^^人仆 (4.37)
Отсюда эффективная масса единицы площади доменной стенки [209-212]
С учетом (4.35) и (4.38) частота колебаний доменных границ сегне- тоэластика в квазиоптической ветви при к = 0 есть
3+(" = 0) = 4(4.39)
V mdwР
Как и следовало ожидать, она совпадает с резонансной частотой упругих колебаний сдвига сегнетоэластической пластины по толщине. Для других значений к такого совпадения, конечно, не будет.
Собственные и вынужденные трансляционные колебания доменных границ в реальных сегнетоэлектриках и сегнето- электриках-сегнетоэластиках
Собственные незатухающие трансляционные колебания доменных границ в сегнетоэлектриках и сегнетоэластиках в рамках принятой схемы рассмотрения описываются достаточно просто. Как и в случае изгибных колебаний доменных стенок, в данном случае в уравнение движения границы добавляется квазиупругое слагаемое KUn с тем же, что и в 7.3 коэффициентом К, характеризующим взаимодействие границы с системой дефектов. В результате это приведет к увеличению жесткости доменной структуры относительно трансляционных смещений границ и, следовательно, к увеличению всех частот колебаний в обеих ветвях. Принципиально новым моментом здесь является отсутствие зануления зависимости а (к) в квазиаку- стической ветви при к т 0 в реальном материале [213].
Большее разнообразие практически важных ситуаций возникает при рассмотрении затухающих колебаний доменных границ, в особенности там, где это затухание обусловлено релаксацией доменных стенок, взаимодействующих с дефектами. Исследуем особенности такого движения доменных стенок на примере их взаимодействия с системой точечных дефектов.
В зависимости от подвижности дефектов их влияние на подвижность доменных границ может осуществляться двумя качественно различными способами — соответственно через силы сухого и вязкого трения. В первом случае движение доменной стенки представляет собой продвижение через систему неподвижных препятствий, состоящее из последовательных актов отрыва границ от неподвижных стоппоров и дальнейшего ее захвата новыми дефектами. Второй
случай возникает, если доменная стенка взаимодействует с системой подвижных дефектов, сопровождающих ее перемещения [194,195].
В соответствии с представлениями главы 5 и раздела 7.3 оба типа движения могут быть описаны с помощью одномерной модели. При этом, несмотря на общность схемы рассмотрения, из-за различия в терминологии их конкретное описание удобно проводить по отдельности. Рассмотрим первый из указанных видов движения, когда доменная стенка во внешнем поле продвигается через систему неподвижных стоппоров. При этом примем во внимание, что в соответствии с результатами главы 5 в реальном кристалле уже в исходном равновесном положении доменная граница имеет деформированный профиль за счет ее захвата близлежащими дефектами.
Определим выражение для силы, действующей на движущуюся границу со стороны взаимодействующих с ней дефектов. Мощность на единицу площади доменной стенки, затрачиваемая внешним электрическим полем на преодоление сопротивления дефектов перемещению произвольной доменной стенки, равна
FU= -^п（ж, t）dx =
=-——U п（ж, t）dx = —U——п（ж, t）dx （5.1）
UJ dx
Здесь 勿 =勿（力一U （土））——увеличение энергии, связанное с отклонением стенки от ее равновесного （ в данном случае симметричного） положения в системе точек ее закрепления дефектами, т. е. в конечном счете связанное с дополнительным прогибом доменной стенки, U ——координата плоскости средней ориентации взаимодействующей с дефектами доменной стенки, U ——ее скорость,八（力，土）—— объемная концентрация точек закрепления границы дефектами.
Изменение во времени распределения точек закрепления 八（力，土） будем описывать кинетическим уравнением с одним временем релаксации г:
dn П - Поо
又= （5.2）
atт
где 八оо （力）——равновесное распределение точек закрепления в данном месте кристалла, которое в соответствии с результатами главы 5 можно представить как имеющим ступенчатый вид:
Поо = n®（U — I力 I）.（5.3）
Здесь ®（力）——функция Хевисайда, п ——объемная концентрация дефектов, смещение U, как и раньше, характеризует максимальное расстояние дефекта от плоскости средней ориентации границы, при котором граница еще захватывается дефектом.
Решение (5.2) имеет вид:
t
= / exp ^-^Y^)n°°^ ~~(5.4)
—oc
Подставляя (5.4) в выражение для давления силы, действующей на границу со стороны дефектов, которое согласно (5.1) есть
F = ———n(x)t，dx(5.5)
и заменяя здесь разницу х — U(t) на 力,получим следующее [214]:
—ос tОС
=/ exp/^^-noo[U(t)-U^)]dx^=
—ос—ос
t
=/ exp(—1)蜀U⑴一[/(£)]?, (5.6)
—ос
где
ОС
蜀и⑴-и^)] = / 八oo[U⑴-U^)]dx.(5.7)
丿 ox
— ос
При определении движения доменных границ в гармоническом приближении будем считать разницу △三 U(土) 一 U(g) малой. Тогда, с учетом конкретного вида поо(ж) (5.3), имеем:
蜀и⑴—U(Q]三蜀△]=君(0) +赤卜△+
t n^U[U(t) - U^)] = K\u(t) - U^)], (5.8)
где 户 и U, для чистого сегнетоэлектрика определяются выражениями главы 5, а для сегнетоэлектрика-сегнетоэластика ——соответственно выражениями данной главы.
Будем рассматривать далее движение доменных границ во внешнем поле. Так как величина последнего зависит только от времени и практически не зависит от координаты, движение всех доменных
стенок в этом поле будет одинаковым. Поэтому при записи уравнения движения произвольной стенки величину ее смещения можно не нумеровать и записать его, с учетом сказанного, в виде
m*U + К U ⑴ + F[U] = 2PQE(t\ (5.9)
где К =где К =Lz ——коэффициент кваLz ——коэффициент ква
где К =
где К =
Lz ——коэффициент ква
Lz ——коэффициент ква
зиупругости доменной стенки в бездефектном кристалле, отнесенный к единице ее площади, в бездефектном кристалле, который, очевидно, равен коэффициенту квазиупругости в оптической ветви колебаний, взятому при к = 0 (4.24), сила F\U] задается выражением (5.6), а слагаемое 2PqE описывает давление на доменную
стенку во внешнем поле.
Подставляя в (5.9) вместо F\U] выражение (5.6), где 蜀U⑴一U(g)] определяется выражением (5.8), получим
m^U + К U⑴ + KU(t) - Кm^U + К U⑴ + KU(t) - К=2马石⑴.=2马石⑴.
m^U + К U⑴ + KU(t) - К
m^U + К U⑴ + KU(t) - К
=2马石⑴.
=2马石⑴.
—ос
(5.10)
Пусть внешнее электрическое поле меняется со временем по гармоническому закону Е = Eq е13t. БуДем искать решение уравнения (5.10) для установившегося движения в виде U (^) = Uq exp(z(cj^ + а)). Подставляя его в (5.10), в общем случае мы получим [194,195]:
U ⑴=75- 2 他⑴ (5.11)
+ (К + К) — К / (1 + 〃ат)]
В практически важном случае достаточно малых частот w, когда инерционным слагаемым в (5.10) и, значит, в (5.11) можно пренебречь, мы имеем
2Д)Ео
U=^ х
и (К + К)
X S 1 + 八.• 2 2、 COSS* + ,2 2、sms力 3 (5.12)
где
(5.13)
Описание движения доменной стенки, взаимодействующей с системой подвижных дефектов, проводится по схеме, аналогичной рассмотренной выше, с той разницей, что роль 八(力，土) во всех выражениях здесь играет непосредственно концентрация дефектов в данном
месте кристалла и, значит, г здесь ——время релаксации дефектной атмосферы. Таким образом, в отличие от предыдущего рассмотрения, посвященного исследованию прохождения доменной стенки через систему неподвижных стоппоров, где время 丁 характеризует релаксационные свойства доменной стенки, определяемые в первую очередь энергией ее взаимодействия с дефектами, здесь время г характеризует подвижность дефекта, т. е. зависит, главным образом, от энергии активации его движения.
При наличии в кристалле относительно подвижных дефектов доменная стенка в исходном состоянии имеет плоскую форму, но обогащена (или истощена в зависимости от знака энергии взаимодействия границы с дефектами) атмосферой дефектов. Подстановка в (5.7) в случае взаимодействия границы с атмосферой подвижных дефектов в качестве равновесного распределения [215]
九оо(力)=九 + n(exp(^b/T) — 1) ab(力—U(^)), (5.14) показывает, что уравнение движения доменной стенки и его решение здесь также описываются выражениями (5.10)-(5.13), в которых К = n^U заменено на К = па(ехр (%/Т) — 1)仇
Разница в описании случаев сегнетоэлектриков и сегнетоэлект- риков-сегнетоэластиков для обоих типов движения доменных стенок состоит в использовании различных коэффициентов ".
Доменный вклад в начальную диэлектрическую проницаемость сегнетоэлектриков. Дисперсия диэлектрической проницаемости доменного происхождения.
Смещаясь во внешнем поле, доменные границы осуществляют переполяризацию сегнетоэлектрического материала и дают таким образом вклад в его диэлектрическую проницаемость £ [216-231]. Величина последнего с учетом определения диэлектрической постоянной есть, очевидно,
(6.1)(6.1)47r △ Р 8тгД)и£ ==
(6.1)
(6.1)
Е Е d
Подстановка в (6.1) выражения для U (5.12) показывает, что в данном случае он имеет обычный дебаевский вид
*3) = +*3) = +(®0 — Еро)1 + штс(®0 — Еро)1 + штсдействительные и мнимые компоненты которогодействительные и мнимые компоненты которого/ _(®0 — Epp) 〃 _(£о — £ро)87с*(1 + ш2т^)? *1 +/ _(®0 — Epp) 〃 _(£о — £ро)87с*(1 + ш2т^)? *1 +(6.2)(6.3)(6.2)(6.3)
*3) = +
*3) = +
(®0 — Еро)
1 + штс
(®0 — Еро)
1 + штс
действительные и мнимые компоненты которого
действительные и мнимые компоненты которого
/ _(®0 — Epp) 〃 _(£о — £ро)87с
*(1 + ш2т^)? *1 +
/ _(®0 — Epp) 〃 _(£о — £ро)87с
*(1 + ш2т^)? *1 +
(6.2)
(6.3)
(6.2)
(6.3)
Здесь £о и бое соответственно статическая (т. е. измеренная при а = 0) и высокочастотная (cj т ос) диэлектрические проницаемости, которые в соответствии с результатами разделов 7.4и7.5 контролируются величинами К и К , т. е. зарядами на поверхности сегнетоэлек
трического материала или упругим влиянием на смещения границ поверхностного несегнетоэлектрического слоя и взаимодействием границ с дефектами. В частности, в кристалле сегнетоэлектрика- сегнетоэластика с неподвижными дефектами в пренебрежении упругим вкладом в величину К
= dK = 2dhich(7T©Ez/2，^d)'
_ 167r用可 W21/4
— nd2a2 丿•
В кристалле чистого сегнетоэлектрика в рамках вышеуказанного приближения величина бо остается той же, а величина становится следующей
В обоих случаяхВысота максимума(tg b)maxВ обоих случаяхВысота максимума(tg b)max(6.6)(6.7)(6.8)(6.6)(6.7)(6.8)(7a)1/4?2 幽У2 d
В обоих случаях
Высота максимума
(tg b)max
В обоих случаях
Высота максимума
(tg b)max
(6.6)
(6.7)
(6.8)
(6.6)
(6.7)
(6.8)
l _167r用反
So — £qo) _ 1 nkU2№0*°° 2 ^^7й^5
В случае, если коэффициент квазиупругой силы, действующей на границу со стороны дефектов (для определенности выбран случай сегнетоэлектрика-сегнетоэластика),
k = ^万=2^2 (叩住)1/4 九，^^(6.9)
гораздо больше, чем К, высота максимума tg В
1 /n^U 1 /1/4 nd\/^ueua
max F 丁 F.
Из (6.8) и (6.10) видно, что с ростом концентрации дефектов первоначально линейный рост высоты максимума сменяется затем на корневую зависимость, т. е. скорость роста высоты максимума tg В с увеличением п постепенно замедляется.
Общее выражение для компонент диэлектрической проницаемости и связанных с ними величин, записанных через квазиупругие постоянные К и К , очевидно, сохраняется и на случай атмосферы подвижных дефектов. При этом, поскольку постоянная К пропорциональна концентрации дефектов п, независимо от того являются они подвижными или нет, концентрационная зависимость компонент диэлектрической проницаемости для подвижных дефектов в сравнении со случаем прохождения доменной границы через систему неподвижных стоппоров остается неизменной, в то время как их температурные зависимости ожидаются здесь более резкими.
Высокие значения диэлектрической проницаемости являются одной из основных отличительных особенностей сегнетоэлектриков. Частично они связываются с аномальной мягкостью кристаллической решетки вблизи точки Кюри, а частично с вкладом в величину 6 смещений во внешнем поле доменных границ.
Сравним полученные нами теоретические зависимости с экспериментальными данными. Экспериментально наличие доменного вклада в значения диэлектрической проницаемости отмечалось практически для всех основных семейств сегнетоэлектрических кристаллов — кристаллов группы ТГС, ВаИзОз, КН2PО4 и др. [232-241]. При этом в случае кристаллов семейства дигидрофосфата калия этот вклад особенно значителен, ярко выражен и наиболее хорошо изучен. Доменная природа аномально высоких значений диэлектрической проницаемости в области так называемого «плато» подтверждается здесь целым рядом экспериментов. Среди них и понижение значений диэлектрической проницаемости вплоть до перехода зависимости £(Т) в соответствующую зависимость для монодоменного кристалла при наложении на кристалла внешнего электрического поля (рис. 7.12) достаточной величины [232], и уменьшение значений £ при специальном введении в кристалл дефектов в процессе легирования кристалла при росте (рис. 7.13) [233], облучении его излучением или частицами различного типа [242-245] и, наконец, визуальное наблюдение за доменной структурой кристалла, находящегося во внешнем поле [183].
Экспериментально наблюдаемый вклад в £ в номинально чистых кристаллах можно описывать выражением для бо • Как показывает эксперимент для тех же кристаллов KDP значение £ здесь, так же как и постоянная бо в (6.4), зависит от толщины сегнетоэлектрической пластины, а именно растет с ростом Lz.
Дефекты, возникающие в кристалле KDP при его легировании, очевидно, являются неподвижными. Поэтому диэлектрическую постоянную такого материала можно описывать выражением для Eg. Как видно из рис. 7.13, ожидаемая согласно формуле (6.5) здесь обратно пропорциональная зависимость от п достаточно хорошо
Рис. 7.12. Зависимость е(Т) для кристалла RDA, измеренная при наложении на него постоянного поля Е. 1, 2, 3, 4 —— Е = 0; 1; 1, 5; 2 кВ/см; 石〜=1 В/см.
Рис. 7.13. Зависимость е(Т) для кристалла KDP с различным содержанием ионов хрома [233]: / ——номинально чистый KDP; 2, 3, 4 ——п = =1О18,1О19,1О20 см"3 ;石〜=1 В/см
согласуется с экспериментальными результатами по измерению значений £ в области «плато» в кристалле KDP с различной степенью его легирования ионами хрома.
Хорошо совпадает с экспериментом и численная оценка £ в рассмотренных случаях. При обычных значениях £с 〜10? — IO’,金。〜 〜 10, Lz 〜 10-1см, d 〜 10-4 см постоянная К в (6.4) оказывается 〜 1010, а само значение £о 〜 Ю4 см. Ионы хрома в легированных кристаллах KDP можно рассматривать как заряженные дефекты, энергия взаимодействия доменных границ с которыми составляет 〜10-13 эрг.
Подставляя в (6.5) данное значение ^, а также 6 〜102, Д)〜104, б0 〜IO"2, d 〜IO"4 см,从二3 • 1010 ед. CGSE [183], a 〜10-7см, n 〜1018 см-3, мы получим К 〜1011 и само значение 〜103, что также соответствует рис. 7.13 и экспериментальным данным [232].
Общий вид зависимостей компонент диэлектрической проницаемости, (tgb)max от концентрации дефектов, задаваемый соотношениями (6.2)-(6.8), соответствует результатам эксперимента по взаимодействию с доменными границами дефектов, возникающих при 7 и электронном облучении в кристаллах группы дигидрофосфата калия — KDP.
Облучение кристалла KDP 7-лучами при комнатных температурах приводит к постепенному уменьшению высоты исходного максимума (tgb)/ в области «замораживания» доменной структуры и появлению нового максимума (tgb)〃 при температуре 〜108 К, который с увеличением дозы облучения D растет и расширяется, а затем стремится к насыщению (рис. 7.14). Значения £ с увеличением дозы облучения падают.
Доменная природа максимума (tgb)〃 , как и максимума (tgb)/ подтверждается уменьшением его величины при наложении на образец постоянного поля. При изменении частоты измерительного поля максимум (tg 5)// смещается по шкале температур, что указывает на его релаксационный характер.
Результаты влияния на диэлектрические свойства кристаллов группы KDP 7-облучения, проведенного при комнатных температурах, подтверждаются облучением кристаллов при температуре жидкого азота. Существенно, что сразу после облучения при температуре жидкого азота пик (tg 5)// отсутствует и появляется лишь в процессе отжига. Наибольшей величины он достигает после отжига при температуре 〜213 К, а затем уменьшается по величине и исчезает полностью после отжига при 〜293 К [242,243].
Результаты влияния на диэлектрические свойства кристаллов КН2РО4 и CSH2ASO4 электронного облучения, проведенного при комнатных температурах, оказались качественно аналогичными случаю 7-облучения.
Рис. 7.14. Температурные зависимости е (7, 5) и tg 5 (2, 3, 4) кристалла KDP до и после электронного облучения (Е〜 =1 В/см, / = 1 кГц). 7, 2 ——nvt (интегр.поток) = 0; 3 ——nvt 〜5 • 1014 е-см-2; 4, 5 ——nvt 〜 〜5 • 1015 е-см-2; (nv о 1012 е-см-2 • с-1)
Как отмечалось выше, концентрационная зависимость компонент диэлектрической проницаемости при различных способах движения доменных границ в кристаллах с дефектами (продвижение доменной стенки через систему неподвижных стоппоров или движение с увлечением за собой атмосферы дефектов) оказывается одинаковой. В этих условиях решающими для ответа на вопрос ——Какой тип движения доменных стенок осуществляется в данном эксперименте?—— являются температурные зависимости б и tg5.
Из сравнения рисунков 13 и 14 видно, что зависимости £(Т) в последнем случае являются более резкими. Кроме того, при близкой концентрации дефектов здесь существенно различно поведение tg Ь(Т) (в случае кристалла KDP с хромом нового максимума tg В не возникает). Все это указывает на то, что механизм движения доменных границ в легированных и 7, е--облученных кристаллах качественно различен. А поскольку в легированных кристаллах однозначно реализуется механизм продвижения границы через систему неподвижных стоппоров, то в облученных кристаллах с наибольшей вероятностью движение доменных границ носит характер вязкого трения.
Использование условия зтс = увое/бо наблюдения максимума tgb и соотношения (5.13), связывающего время релаксации доменных границ в данном случае со временем релаксации дефектов г позволяет определить последнее при температуре максимума tgb.
На основании указанных соотношений и связи 金^/金。=К/(К + К) и связи имеем
Наиболее заметно эффект облучения проявляется, начиная с интегрального потокаnvt 〜5х 1015е-см-2 . Отношение диэлектрических проницаемостей до и после облучения при температуре максимума tg В здесь (см. рис. 7.14) равно приблизительно 2-3. Подставляя в (6.11) указанное отношение и а = 2тг • 103, получим ттах 〜 〜(2 — 3) х 10-4 с-1. Предполагая, что температурная зависимость г подчиняется обычному активационному закону г = то ехр(%/Т), при выше найденном значении ттах и температуре максимума 〜108 К, % 〜Ю-13 с-1 получим отсюда энергию активации взаимодействующего с границей дефекта 溢 〜0, 2 эВ.
Найденное значение энергии активации позволяет сделать ряд предположений о природе взаимодействующего с границей дефекта. Этот дефект должен быть значительно более подвижным, чем протонная вакансия, которая, как показывают эксперименты по измерению электропроводности в этих кристаллах, имеет энергию активации своего движения 〜0,54 эВ [246-248] и, следовательно, практически неподвижна в интересующей нас области температур 〜100 К. В тоже время он должен быть менее подвижным, чем дефекты Такаги, и, значит, вносимое таким дефектом искажение кристаллической решетки должно быть промежуточным по сравнению с искажениями, вносимыми указанными структурными нарушениями. Этим требованиям удовлетворяет замеченный в ЭПР спектрах [249] дефект вида (Н2Po4尸—,который формируется путем захвата дырки обедненной протонами РО^- структурной единицей кристалла.
Анализ динамики отжига возникающих при 7, е--облучении дефектов показывает, что низкотемпературное (температура жидкого азота) и высокотемпературное (комнатные температуры) облучение приводит к созданию в кристаллах группы KDP, по крайней мере, качественно различных типов дефектов. Низкотемпературное облучение вызывает появление в кристалле относительно малоподвижных дефектов, которые приводят к закреплению доменных границ на них, а высокотемпературное —— к созданию подвижных дефектов, взаимодействие которых с доменными границами носит характер вязкого трения. При этом дефекты первого типа неустойчивы по отношению к температуре [249] и при 〜 —193 К превращаются в дефекты второго типа. Изменение окраски кристалла при низкотемпературном облучении (бледно-пурпурный цвет) указывает на то, что дефектами первого
типа могут быть радикалы [250], которые наблюдались в ЭПР спектрах [249].
Отмеченную трансформацию дефектов в 7,е--облученном кристалле при изменении температуры можно представить следующим образом. Облучение кристалла потоком 7-лучей или электронов при достаточно высоких температурах порядка комнатной приводит, с одной стороны, к ионизации, а с другой ——к локальному разогреву кристалла, в результате которого сразу четыре протона на прилегающих к данному тетраэдру водородных связях могут подходить к нему и образовывать невыгодную в обычных условиях конфигурацию. Захват образовавшейся конфигурацией электрона приводит к ее стабилизации и образованию достаточно устойчивого комплекса (Н4РО4). При понижении температуры вблизи Т стремление протонов к упорядочению на водородных связях приводит к тому, что два протона отходят от комплекса (Н4РО4) к другим соседним тетраэдрам, в результате чего структура указанного комплекса изменяется и образуется достаточно подвижный дефект (Н2Po4)2—.
Облучение кристаллов типа KDP при температуре жидкого азота приводит к образованию протонных вакансий и сдвоенных протонов на связи, энергия которых частично может быть понижена соответственно потерей или захватом электрона, что приводит к образованию (НРО4)— и (НзРС>4)+ структурных единиц кристалла. Несмотря на частичное уменьшение искажения решетки вокруг дефекта за счет потери (захвата) электрона, единицы (НРО4)— и (НзРС>4)+ остаются малоподвижными при температурах ниже 193 К и их взаимодействие с доменными границами приводит к выключению последних из процессов переполяризации. С повышением температуры до величины порядка 193 К комплексы (НРО4)— и (НзРС>4)+ превращаются в достаточно подвижные единицы (Н2Po4)2— , взаимодействие которых с доменными границами носит характер вязкого трения.
Соотношения (6.2)-(6.8) не только верно описывают основные качественные закономерности влияния дефектов, созданных облучением, на диэлектрические свойства сегнетоэлектриков типа KDP (например, замедление скорости роста высоты максимума (tgb)〃 при определенной концентрации дефектов и др.), но и дают хорошее количественное согласие с экспериментом, что хорошо демонстрируется, например, оценками высоты максимума (tg b)〃 в зависимости от величины п.
Гораздо более сильное воздействие на диэлектрические свойства кристаллов типа KDP, по сравнению 7,е--облучениями, оказывает облучение их потоками быстрых нейтронов [244,245]. Как показано в [245], облучение рассматриваемых кристаллов потоком быстрых
Доменный вклад в упругую 209
нейтронов с nvt 〜1017 - 1018 нейтрон-см-2 плюс сопутствующим 7-облучением с дозой 109 - 1010 Р приводит к резкому изменению характера зависимостей £(Т) и tg b (Т): подавляется «плато» на зависимости £(Т), исчезает (tg В)/ и возникает новый при более высокой температуре, который, по-видимому, имеет то же происхождение, что и (tg5)// в 7-облученных кристаллах.
Дефекты, возникающие в кристаллах в случае нейтронного облучения, связаны, по-видимому, с нарушениями не только в электронной подсистеме, но и смещениями более тяжелых ионов. Такие дефекты в условиях проводимых экспериментальных исследований можно считать практически неподвижными, а их взаимодействие с доменными границами достаточно сильным. Для их описания в (6.2)-(6.8) необходимо положить тс ^ ос , откуда, в полном соответствии с экспериментом, получим У = < бо, £〃, tgb = 0 (максимум (tgb)〃 здесь вызван, очевидно, воздействием сопутствующего 7-облучения).
Экспериментальные исследования показали, что влияние 7 и рентгеновской радиации на диэлектрические свойства дейтерированных кристаллов группы KDP подобно их воздействию на диэлектрические свойства недейтерированных кристаллов. Это позволяет предположить, что дефекты, возникающие при родственных видах облучения в этих кристаллах, качественно одинаковы.
Доменный вклад в упругую податливость сегнетоэластиков
Рассмотрение аналогичное предыдущему позволяет оценить также и доменный вклад в значения упругой податливости сегнето- эластических материалов. В частности, для изотропного сегнето- эластика воздействие упругого напряжения а сопряженного спонтанной деформации с。дает
Umax — U —Umax — U —a Z227rg)аa Z227rg)а(7・1)(7・1)
Umax — U —
Umax — U —
a Z2
27rg)а
a Z2
27rg)а
(7・1)
(7・1)
Тогда доменный вклад в значения коэффициента упругой податливости
UUст dст dZ227VlMdZ227VlMd(7.2)(7.2)
U
U
ст d
ст d
Z227VlMd
Z227VlMd
(7.2)
(7.2)
Коэффициент квазиупругой силы, действующей на границу со стороны отдельного дефекта
"6 -"6 -7cl不田1勿b nd7cl不田1勿b nd(7.5)(7.5)
"6 -
"6 -
7cl不田1勿b nd
7cl不田1勿b nd
(7.5)
(7.5)
С учетом (7.3) на основании условия ^U2/2 = %
(7.4)
и, следовательно, окончательное выражение для коэффициента упругой податливости
При с。〜10-2, a 〜10-7 см, % 〜10-13, d 〜10-4, n 〜10-18, 从〜 3 • 1010 значение s晶 оказывается 〜 3 • 1010, т. e. сравнимым с упругой постоянной монодоменного кристалла.
Нелинейные диэлектрические свойства сегнетоэлектриков, связанные с движением доменных границ
В предыдущих параграфах были получены выражения для, так называемой, начальной диэлектрической проницаемости и, соответственно, начальной упругой податливости. В проводимых вычислениях это соответствовало случаю малых отклонений доменных границ от равновесного состояния в системе точек закрепления границы дефектами. В результате средняя величина смещения доменных границ оказывалась линейно зависящей от внешнего поля, а константа пропорциональности между ними, с точностью до коэффициента соответствующая диэлектрической постоянной,—— вообще не зависящей от внешнего поля. Такое поведение диэлектрической постоянной характерно для линейных диэлектриков. В то же время в сегнетоэлектриках, которые являются нелинейными диэлектриками, как мы уже видели из рассмотрения главы 6, в достаточно сильных полях наблюдается нелинейная зависимость поляризации от внешнего поля. В модели движения доменных границ, взаимодействующих с дефектами, указанному поведению диэлектрической проницаемости соответствует случай достаточно больших смещений доменных стенок. Действительно, в достаточно сильных полях, очевидно, произойдет отрыв границы от дефектов, что вызовет резкий рост смещения доменной стенки, а, значит, и величины диэлектрической постоянной.
Расчет давления F\U] на единицу площади границы со стороны дефектов в общем случае согласно (5.5) дает зависимость
F\U] = — / 礬九(力/)盛=g \2UU - С/2] ,(8.1)
Рис. 7.15. Амплитудная зависимость tg S при частоте 1 кГц и температуре 46° С для номинально чистого кристалла ТГС ——7, для кристалла, подвергнутого рентгеновскому облучению с дозами 0,08 крад и 1,8 крад (кривые 2 и 3 соответственно) и для кристалла, легированного хромом.Рис. 7.15. Амплитудная зависимость tg S при частоте 1 кГц и температуре 46° С для номинально чистого кристалла ТГС ——7, для кристалла, подвергнутого рентгеновскому облучению с дозами 0,08 крад и 1,8 крад (кривые 2 и 3 соответственно) и для кристалла, легированного хромом.
Рис. 7.15. Амплитудная зависимость tg S при частоте 1 кГц и температуре 46° С для номинально чистого кристалла ТГС ——7, для кристалла, подвергнутого рентгеновскому облучению с дозами 0,08 крад и 1,8 крад (кривые 2 и 3 соответственно) и для кристалла, легированного хромом.
Рис. 7.15. Амплитудная зависимость tg S при частоте 1 кГц и температуре 46° С для номинально чистого кристалла ТГС ——7, для кристалла, подвергнутого рентгеновскому облучению с дозами 0,08 крад и 1,8 крад (кривые 2 и 3 соответственно) и для кристалла, легированного хромом.
которая проходит через максимум при
(8.2)(8.2)/ах = ^U2 =九勿Ь・
(8.2)
(8.2)
(8.3)(8.3)Приравнивая это давление давлению на границу со стороны внешнего электрического поля, мы получим значение критического (порогового) поля, при котором происходит отрыв доменных границ от дефектов:
(8.3)
(8.3)
с — • 2Po
Как видно из (8.3), указанное поле линейно зависит от п. Кроме того, благодаря более сильной температурной зависимости энергии взаимодействия границ с дефектами % по сравнению с температурной зависимостью спонтанной поляризации Д), указанное пороговое поле уменьшается при Т стремящейся к Тс.
Описанная теоретически амплитудная зависимость диэлектрической проницаемости, а также тангенса угла диэлектрических потерь tg В экспериментально наблюдалась во многих работах. Подробные исследования указанной зависимости проведены, в частности, в работах [251,252], посвященных исследованию амплитудной зависимости диэлектрических потерь в кристалле триглицинсульфата, легированного примесью хрома, а также подверженного действию рентгеновских лучей. Результаты данных работ (см. рис. 7.15) не только подтверждают сам факт существования порогового поля, но также и сделанные выше предсказания о его температурной и концентрационной зависимости.
Старение и деградация сегнетоэлектрических материалов
Один из важнейших процессов, который ограничивает или по крайней мере затрудняет практическое применение сегнетоэлектриков и родственных им материалов, является их старение. Под последним понимается изменение (как правило, ухудшение) характеристик материала со временем. С точки зрения практики не менее важной характеристикой является и деградация применяемых материалов —— ухудшение их эксплуатационных характеристик в процессе практического использования.
В своей основе указанные явления могут быть связаны со многими причинами. Деградация свойств может быть связана с механическими процессами, в частности, с микрорастрескиванием в области контакта сегнетоэлектрика с электродами [253-257]. И деградация, и процесс старения могут быть вызваны диффузионными процессами и в объеме материала, и на его поверхности.
При изучении процесса старения сегнетоэлектрика с точки зрения его диэлектрических свойств, которые, как было показано, обусловлены главным образом смещениями доменных границ, естественно рассматривать в первую очередь взаимодействие доменных границ с дефектами кристаллической решетки, контролирующее указанные смещения. В сегнетоэлектрическом материале со свежесформированной доменной структурой решеточные дефекты распределены статистически равномерно по объему материала. В этом случае число точек закрепления доменных границ дефектами описывается выражением (5.14), а доменный вклад в диэлектрическую проницаемость соответственно выражением (6.6), который для дальнейшего мы обозначим как
е(土 = 0)е(土 = 0)8Po 抵 my()а)1/4?г %"? d8Po 抵 my()а)1/4?г %"? d(9.1)(9.1)
е(土 = 0)
е(土 = 0)
8Po 抵 my()а)1/4?г %"? d
8Po 抵 my()а)1/4?г %"? d
(9.1)
(9.1)
При долговременном хранении сегнетоэлектрического материала в полярной фазе естественно ожидать перераспределения в расположении дефектов по объему материала. Причиной этого, как мы видели, является предпочтительность расположения дефектов в границе из-за понижения суммарной энергии рассматриваемой системы в данном случае. Таким образом, из-за диффузии дефектов к границе, со временем следует ожидать увеличения числа точек закрепления доменных стенок дефектами и далее, в соответствии с уже указанным выражением (9.1), понижения значения диэлектрической постоянной сегнетоэлектрического материала.
При рассмотрении указанного явления в нашем случае, как и при описании диэлектрической дисперсии доменного происхождения,
естественно воспользоваться тем же кинетическим уравнением с одним временем релаксации г:
dn п - Поо
万у =,(9.2)
atг
в котором равновесная концентрация дефектов п^ (力)уже не зависит от времени.
С учетом указанного условия в нашем случае решение (9.2) имеет простой вид
几(力=九(力)方 = 0) 6-"7+ поо(ж)(1 - 6一"7).(9.3)
Здесь n(x)t = 0) = no и зависимость 九^(力)с учетом деформиро- ванности профиля доменной стенки за счет её захвата близлежащими дефектами есть
Условие, определяющее связь по и Z2 в нашем случае
и/ n(x)dx = j.(9.5)
о
Подставляя сюда п(ж) в форме (9.3), мы получим указанное условие в виде
по^еТ/т +(1-у|恁产々erf倒/Т)]=扌(9.6)
Полученное выражение отличается от условия самосогласо- вания riot? = 1/Z2, использованного при получении начального значения диэлектрической проницаемости е(土 = 0), наличием зависящего от времени выражения в квадратных скобках. Подставляя с учетом этого в выражение (9.1) вместо п。всю левую часть выражения (9.6), для изменения со временем диэлектрической проницаемости в «стареющем» сегнетоэлектрике мы получим
следующее:
仪方)= т0Г (9.7) + (1- £-〃「) 67^闾喝 6%/%rf(%/T)]
Как видно из выражения (9.7), собственно эффект старения зависит только от подвижности дефектов и энергии их взаимодействия с дефектами.
Согласно рассмотрению предыдущего раздела, другой важной характеристикой, определяющей диэлектрические свойства сегнетоэлектриков, является поле отрыва доменных границ от дефектов. Данное поле является пороговым для начала амплитудной зависимости диэлектрических свойств и, в случае, когда стадия отрыва доменных границ от дефектов является ведущей в контроле за процессами переключения, может рассматриваться как коэрцитивное поле. Изменение со временем числа точек закрепления границы дефектами, описываемое выражением (9.6), приведет, очевидно, и к изменению поля отрыва доменных границ от дефектов. Для нахождения зависящего от времени давления на границу F\t\ со стороны дефектов подставим в уже известное выражение
F\U] =(力/)d力=一3——-n(x + C7, t) dx (9.8)
найденное выражение (9.3). Это дает
F用=П^『\^.UU - U^ +
+ 2п0 (1 - е") Te~ku2/2T sh 卜万/т) U. (9.9)
Из-за громоздкости общего выражения (9.9) определение порогового (коэрцитивного) поля в аналитическом виде в данном случае удобно проводить в двух предельных случаях: для полностью несостаренного (土 = 0) и полностью состаренного (土 т ос) образца. В первом случае указанное выражение уже определено и представляется выражением (9.2), а во втором на основании условия 2Р()Ес = Fmax и максимальной силы взаимодействия границы с дефектами, найденной из (9.9) для (土 т ос) оно оказывается следующим
Как и следовало ожидать, мы имеем здесь увеличение поля Ес со временем, конкретное значение которого зависит от соотношения между % и Т.
В процессе эксплуатации сегнетоэлектрического материла в малоамплитудных внешних полях, по аналогии с процессом старения, происходит обогащение границы дефектами за счет дополнительного захвата границей дефектов из области, в пределах которой происходит движение границы в данном внешнем поле. Это также ведет к увеличению числа точек закрепления границы дефектами и, следовательно, к уменьшению вклада доменных границ в величину диэлектрической постоянной е. При этом характер распределения дефектов в пределах области, где происходит движение доменной границы, а, значит, и величина результирующего эффекта зависят от частоты и амплитуды приложенного поля.
Литература
Кенциг В. Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики.——М.: ИЛ, 1960,-234 с.
Иона Ф., Ширане Д. Сегнетоэлектрические кристаллы.——М.: Мир, 1965. —556 с.
Желудев И. С. Физика кристаллических диэлектриков.——М.: Наука, 1968. —464 с.
Сонин А. С., Струков Б. А. Введение в сегнетоэлектричество. — М.: Высшая школа, 1970. — 272 с.
Холоденко Л.П. Термодинамическая теория сегнетоэлектриков типа титаната бария. — Рига: Зинатне, 1972. — 227 с.
Вакс В.Г. Введение в микроскопическую теорию сегнетоэлектриков. —М.: Наука, 1973. — 328 с.
Желудев И.С. Основы сегнетоэлектричества.——М.: Атомиздат, 1973. —472 с.
Бурсиан Э.В. Нелинейный кристалл. Титанат бария.——М.: Наука, 1974. —296 с.
Блинц Р., Жекш Б. Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики. — М.: Наука, 1975. — 398 с.
Фридкин В.М. Сегнетоэлектрики-полупроводники. —— М.: Наука, 1976. —408 с.
Струков Б.А. Сегнетоэлектричество. — М.: Наука, 1979. — 96 с.
Лайнс М., Гласс А. Сегнетоэлектрики и родственные им материалы,—— М.: Мир, 1981. —736 с.
Барфут Дж., Тейлор Дж. Полярные диэлектрики и их применения.— М.: Мир, 1981. —526 с.
Изюмов Ю.А., Сыромятников В.Н. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. — М.: Наука, 1984. — 248 с.
Брус А., Каули Р. Структурные фазовые переходы. — М.: Мир. 1984.— 408 с.
Смоленский Г.А., Боков В.А., Исупов В.А. и др. Физика сегнетоэлектрических явлений.——Л.: Наука, 1985.——396 с.
Рудяк В.М. Процессы переключения в нелинейных кристаллах.——М.: Наука, 1986. — 243 с.
冲берт А. Теория доменных стенок в упорядоченных средах.——М.: Мир. 1987. —306 с.
Levanyuk А.Р., Sigov A.S. Defects and structural phase transition. Gordon and breach science publishers. — New York, 1988. — 208 p.
Фесенко Е.Г., Гавриляченко В.Г., Семенчев А.Ф. Доменная структура многоосных сегнетоэлектрических кристаллов. —Ростов-на-Дону: Изд. Ростовского гос. Ун-та, 1990. — 192 с.
Струков Б.А., Леванюк А.П. Физические основы сегнетоэлектрических явлений в кристаллах.——М.: Наука, 1995.——301 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982. — 620 с.
Классен-Неклюдова М.В. Механическое двойникование кристаллов. —М.: Изд. АН СССР, 1960. — 261 с.
Гарбер Р.И. Механизм двойникования кальцита и натронной селитры при пластической деформации. И ЖЭТФ, 1947, Т.17, № 1, С.48-62.
Привороцкий И.Л. К теории доменных структур. И ЖЭТФ, 1969, Т.56, №6, С.2129-2142.
Привороцкий М.А. Термодинамическая теория ферромагнитных доменов. И Успехи физ. наук, 1972, Т.108, № 1, С.43-80.
Марченко В.И. О доменной структуре сегнетоэлектриков. 〃 ЖЭТФ, 1979, Т.77, № 61(12), С.2419-2421.
Ingle S.G., Joshi S.C. Unstable point domains in ferroelectrics. // Phys. Rev. B, 1986, V.34, № 7, P. 4840-4845.
Mitsui T., Furuchi J. Domain structure of rochelle salt and KH2Po4. // Phys.Rev., 1953, V.90, № 2, P. 193-202.
Fousek J., Safrankowa M. On the equilibrium domain structure of BaTiO3. H Jap. J. Appl. Phys., 1965, V.4, № 6, P.404-408.
Булаевский Л.Н., Панюков С.В. О доменной структуре систем с нелокальным взаимодействием. 〃 Физика твердого тела, 1986, Т.28, В.1, С.193-196.
Ройтбурд А.Л. Теория формирования гетерофазной структуры при фазовых превращениях в твердом состоянии. // Успехи физ. наук, 1974, Т.113, № 1, С. 69-104.
Ройтбурд А.Л. Влияние механических напряжений на образование доменной структуры при мартенситных и сегнетоэластических фазовых переходах. И Изв. АН СССР. Сер. физ., 1983, Т.47, № 3, С.43 5-448.
Барьяхтар Е.Г., Богданов А.Н., Яблонский Д.А. Физика магнитных доменов. И Успехи физ. наук, 1988, Т.156, В.1, С.47-91.
Сидоркин А.С., Сигов А.С. Униполярное состояние сегнетоэлектрической пластины с ориентированными полярными дефектами. И Кристаллография, 1999, Т.44, В.1, С.109-110.
Ченский Е.В. Термодинамические соотношения для доменной структуры сегнетоэлектриков. 〃 Физика твердого тела, 1972, Т.14, В 8, С.2241-2246.
Ченский Е.В., Тарасенко В.В. Теория фазовых переходов в неоднородное состояние в ограниченных сегнетоэлектриках во внешнем электрическом поле. И ЖЭТФ, 1982, Т.83, В.3(9), С.1089-1099.
Андреев А.Ф. Стрикционные сверхструктуры в двумерных фазовых переходах. И Письма в ЖЭТФ, 1980, Т.32, № 11, С. 654-656.
Дикштейн И.Е. Поверхностные волны и доменная структура в пленке сегнетоэластика, закрепленной на деформируемой подложке в окрестности фазового перехода. 〃 Физика твердого тела, 1986, Т.28, В.6, С.1748-1752.
Сыркин Е.С., Гельфгат И.М. Замедление поверхностных акустических волн в системе пленка-подложка в окрестности структурного фазового перехода. И Поверхность. 1982, Т.1, № 8, С.28-29.
Дикштейн И.Е., Тарасенко В.В. Зарождение доменной структуры в пленке сегнетоэластика на массивной подложке в окрестности фазового перехода. И Физика твердого тела, 198 8, Т.3 0, В 1, С.200-204.
Darinskii В.М., Lazarev А.Р., Sidorkin A.S. Formation of the domain structure by the cooling of ferroelectric surface. // Ferroelectrics, 1989, V. 98, P.193-195.
Даринский Б.М., Лазарев А.П., Сидоркин А.С. Образование доменной структуры в сегнетоэластическом образце со свободной поверхностью. И Известия АН СССР, сер. физ., 1989, Т.53, № 7, С.1276-1279.
Даринский Б.М., Лазарев А.П., Сидоркин А.С. Формирование доменной структуры в сегнетоэлектрических пленках со свободными носителями заряда. И Кристаллография, 1991, Т.36, В.З, С.757-758.
Сидоркин А.С., Даринский Б.М., Сигов А.С. Формирование доменной структуры в сегнетоэлектриках в условиях экранирования поляризации зарядами на поверхностных состояниях и свободными носителями заряда. И Физика твердого тела, 1997, Т.3 9, В.5, С.922-924.
Тарасенко В.В., Ченский Е.В., Дикштейн И.Е. Теория полосовой доменной структуры в редкоземельных ортоферритах в окрестности точки переориентации спинов. 〃 Физика твердого тела, 1976, Т.18, В. 6, С.1576-1582.
Дикштейн И.Е., Лисовский Ф.В., Мансветова Е.Г., Тарасенко В.В. Типы неустойчивостей в упорядоченных доменных структурах. И ЖЭТФ. 1991, Т.100, В.1(7), С. 205-223.
Даринский Б.М., Лазарев А.П., Сидоркин А.С. Доменная структура в сегнетоэлектрической пластине косого среза. И Физика твердого тела, 1993, Т.3 5, В.7, С. 1942-1946.
Shur V.Ya., Gruverman A.L., Letuchev V.V., Rumyantsev E.L., Subbotin A.L. Domain structure of lead germanate. // Ferroelectrics, 1989, V.98, P.31-50.
Даринский Б.М., Кривонос A.A., Лазарев А.П., Саввинов А.М., Сидоркин А.С. Образование доменной структуры в кристаллах сегнетовой соли (NaKC4H4。6> 4H2 О при неравномерном охлаждении. 〃 Известия Академии наук. Сер. физ., 1993, Т.5 7, № 9, С.63-65.
Хачатурян А.Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов. — М.: Наука. 1974. — 384 с.
Жирнов В.А. К теории доменных стенок в сегнетоэлектриках. 〃 ЖЭТФ, 195 8, Т. 3 5, № 5, С.1175-1180.
Иванчик И.И. К микроскопической теории сегнетоэлектриков. 〃 Физика твердого тела, 1961, Т.3, В 12, С.3 731-3 742.
Булаевский Л.Н. Термодинамическая теория доменных стенок в сегнетоэлектриках типа перовскита. 〃 Физика твердого тела, 1963, Т.5, В 11, С.3183-3187.
Даринский Б.М., Нечаев В.Н. Электрическое поле в 90-градусных доменных границах сегнетоэлектриков со структурой перовскита. И Физика твердого тела, 1979, Т.21, В.2, С.520-523.
Даринский Б.М., Лазарев А.П., Сидоркин А.С. Строение доменной границы вблизи поверхности сегнетоэлектрика. 〃 Физика твердого тела, 1989, Т.31, В.П, С.287-289.
Даринский Б.М., Федосов В.Н. Строение межфазной границы в сегнетоэлектриках типа перовскита. И Физика твердого тела, 1974, Т.16, С.594-595.
Дмитриев С.Г. К вопросу об экранировании поля спонтанной поляризации свободными носителями заряда в сегнетоэлектриках. И ЖЭТФ, 1980, Т.78, В.1, С.412-419.
Даринский Б.М., Федосов В.Н. Строение межфазной границы в сегнетоэлектриках-полупроводниках. 〃 Физика и техника полупроводников, 1978, Т.12, В.З, С.603-605.
МелешинаВ.А., Инденбом В.Л., Багдасаров Х.С., Полховская Т.М. Доменные стенки, антифазные границы и дислокации в монокристаллах молибдата гадолиния. // Кристаллография, 1973, Т.18, № 6, С.12181226.
Ishibashi Y, Dvorak V. Domain walls in Improper Ferroelectrics. // J. Phys. Soc. Jap., 1976, V.41, № 5, P.1650-1658.
Даринский Б.М., Нечаев В.Н. Взаимодействие доменных и антифазных границ в несобственных сегнетоэлектриках. 〃 Изв. АН СССР, Сер.физ., 1979, Т. В. С.
Ishibashi Y Phenomenological theory of domain walls. // Ferroelectrics, 1989, V.98, P.193-205.
Залесский A.M., Саввинов A.M., Желудев И.С., Иванченко А.И. ЯМР в доменных границах в кристалле DyFeOs. 〃 Физика твердого тела, 1973, Т.15, С.93-98.
Богданов А.Н., Галушко В.А., Телепа В.Т., Яблонский Д.А. Спиновая переориентация в 180- градусных доменных границах спин-флоп фазы легкоосных ферромагнетиков. 〃 Письма в ЖЭТФ, 1984, Т.40, В.11, С.453-455.
Богданов А.Н., Телепа В.Т., Щацкий П.П., Яблонский Д.А. Индуцированные внешним полем фазовые переходы в доменных границах ромбического антиферромагнетика (C2H5NH3)2- C4CI4. 〃 Письма в ЖЭТФ, 1986, Т.90, С.173 8-1747.
Хлюстиков И.Н., Хайкин М.С. Плоскость двойникования металлического кристалла ——двумерный сверхпроводник. 〃 Письма в ЖЭТФ, 1981, Т.33, С.167-170.
Хлюстиков И.Н., Хайкин М.С. Сверхпроводимость слоя микроскопических кристаллов ——двойников. 〃 Письма в ЖЭТФ, 1981, Т.34, В.4, С.207-211.
Bullbich А.А., Gufan Yu.M. Phase transition in domain walls. // Ferroelectrics, 1989, V.98, P.277-290.
Sonin E.B., Tagantsev A.K. Structure and phase transition in antiphase boundaries of improper ferroelectrics. // Ferroelectrics, 1989, V.98, P.291295.
Кан Дж. Теория роста кристалла и движение границы раздела фаз в кристаллических материалах. 〃 Успехи физ. наук, 1967, Т.91, С.677689.
Даринский Б.М., Федосов В.Н. Движение 180 ——градусной доменной границы в сегнетоэлектриках типа перовскита. // Изв. АН СССР, сер.физ., 1971, Т.3 5, № 9, С.1795-1797.
Зегер Ф., Шиллер П. Перегибы на дислокациях и их влияние на внутреннее трение в кристаллах.——В кн.: Физическая акустика. Под ред. У Мезона, T.III, — М.: Мир, 1969. — 578 с.
Lawless W.N. 180° domain wall in BaTiO3. // Phys. Rev., 1968, V.175, №2, P.619-624.
Строкач A.A. Микроскопическое рассмотрение 180-градусных доменных стенок в перовските. И Укр. физ. ж., 1981, Т.26, В.4, С.656-659.
Kinase W., Orayama Н., Yoshikawa A., Taguchi N. On the 90° domain wall of BaTiO3 crystal. // J. Phys. Soc. Japan, 1970, V.28, Suppl., P.3 83-3 85.
Даринский Б.М., Федосов В.Н. Строение 90° доменной границы в ВаТЮз. 〃 Физика твердого тела, 1971, Т.13, В.1, С.22-27.
Bjorkstam J.L., Oettel R.E. The effect of deuteron substitution on domain dynamics in potassium dihydrogen phosphate (KDP). // Proc. Intern. Meet. Ferroelectricity, Prague, 1966, V.2, P.91-96.
Федосов B.H., Сидоркин A.C. Влияние туннелирования на строение доменных границ в кристалле КН2РО4. 〃 Изв. АН СССЕ сер.физ., 1975, Т.39, №4, С.682-685.
Tokunaga М., Matsubara Т. Theory of Ferroelectric Phase Transition in KH2PO4 Type Crystals. I. // Progress of Theoretical Physics, 1966, V.35, №4, P.581-599.
Novakovic L. A possible theoretical explanation of the shift of the Curie temperature in KH2PO4 and KD2PO4 upon a hydrostatic pressure. II J. Phys. Chem. Sol, 1968, V.29, P.963-966.
Moore М.А., Willians H.C.W.L. Theory ofhydrogen-bonded ferroelectrics: 1.11 J.Phys. C: Solid State Phys., 1972, V.5, P.3168-3184.
Samara G.A. The effects of deuteration on the static ferroelectric properties ofKH2PO4 (KDP). // Ferroelectrics, 1973, V.5, P.25-37.
Strukov B.A., Vaks V.G. Baddur A., Zinenko V.I., Koptsik V.A. Experimental and theoretical study of phase transitions in KH2PO4 (KDP)- type cristals. // Ferroelectrics, 1974, V.7, P.195-197.
Lawrence M.C., Robertson G.N. Estimating the barrier to proton or deuteron tunnelling in hydrogen-bonded crystals. // Ferroelectrics, 1980, V.25,№ 1-4, P.363-366.
Kamysheva L.N., Fedosov V.N., Sidorkin A.S. Temperature Dependence of the Domain Wall Mobility in the KH2PO4 (KDP) Group Crystals. // Ferroelectrics, 1976, V.13, № 1-4, P.463.
Федосов B.H., Сидоркин A.C. Влияние двумерного упорядочения на подвижность доменных границ. 〃 Физика твердого тела, 1977, Т.19, В.8, С.1322-1326.
Tentrup Т., Weyrich К.Н., Siems R. Domain walls in pseudo Spin Systems with Competing interactions. // Japanese Journal of Applied Physics, 1985, V.24, S.24-2, R571-573.
Сидоркин A.C. Влияние туннелирования на строение и подвижность доменных границ в сегнетоэлектриках типа порядок-беспорядок. // Физика твердого тела, 1989, Т.31, В.9, С.293-295.
Egami Т., Theory of Bloch Wall Tunneling. // Phys. Stat. Sol., 1973, V.57, № 1, P.211-224.
Baldwin J.A., Milstein F., Wong R.C. Slow magnetic domain wall motion and tunneling. // J. Appl. Phys., 1977, V.48, № 1, P.396-397.
Вакс В.Г., Зейн Н.Е. Сегнетоэлектрические свойства твердых растворов типа КН2ЖВ2(1-Ж)РО4. // Физика твердого тела, 1975, Т.17, В.6, С.1617-1626.
Holakovsky J. Study of phase transition in mixed КН2ЖВ2(1_Ж)РО4 crystals by modified molecular field approximation. // Czech. J. Phys., 1972, V. В 22, №8, P.651-665.
Сидоркин A.C., Федосов B.H., Бурданина H.A., Камышева Л.Н. Влияние доменной структуры на процессы переполяризации кристалла КН2ЖВ2(1_ж)РО4 (DKDP). И Физика твердого тела, 1979, Т.21, В 3, С. 861-865.
Попов Э.С., Шувалов Л.А. Поверхностное натяжение 180-градусных доменных стенок в некоторых явлениях в кристаллах триглицинсульфата и с-доменного титаната бария. // Кристаллография, 1973, Т.18, В.З, С.642-644.
Сидоркин А.С., Федосов В.Н. Ионизация заряженного примесного центра при переполяризации сегнетоэлектрика. 〃 Физика твердого тела, 1981, Т.23, В.9, С.2854-2856.
Сидоркин А.С., Даринский Б.М. Строение доменной границы в сегнетоэлектрике с точечными дефектами. 〃 Физика твердого тела, 1986, Т.28, В.1, С.285-288.
Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. — М.: Наука, 1979. — 830 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. — М.: Наука, 1965.— 202 с.
Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. —— М.: Атомиздат, 1972. —— 599 с.
Косевич А.М. Дислокация в теории упругости. Киев: Наукова Думка, 1978. —219 с.
Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. — М.: ИЛ, 1963.— 247 с.
Де Вит Р. Континуальная теория дисклинаций.——М.: Мир. 1977.—— 208 с.
Косевич А.М., Бойко В.С. Дислокационная теория упругого двойникования кристаллов. И Успехи физ. Наук, 1971, Т. 104, № 2, С.201 — 254.
Бойко В.С., Косевич А.М., Фельдман Э.П. Дислокационное описание стенки упругих доменов. 〃 Физика твердого тела, 1987, Т.29, В 1, С. 170-177.
Перцев Н.А., Арльт Г. Дислокационный метод расчета внутренних напряжений в поликристаллических сегнетоэластиках. И Физика твердого тела. 1991, Т.33, В 10, С.3077-3088.
Sidorkin A.S., Shevchenko А.А. The interaction of domain wall in ferroelectric crystal with dilatation center. // Ferroelectrics, 1993, V.141, P.235-242.
Косилов A.T., Перевозников A.M., Рощупкин А.М. Взаимодействие когерентных межфазных границ с точечными дефектами в кристаллах. И Поверхность. Физика, химия, механика, 1984, Т.58, № 1, С.5-10.
Неель Л. Влияние пустот и включений на коэрцитивную силу. В кн. Физика ферромагнитных областей. — М.: ИЛ, 1951. с.215-239.
Prause W. The interaction energy between a spherical cality and ferromagnetic domain wall. // J. Magn. And Magn. Mat, 1977, V.4, P.344355.
Лазарев А.П., Федосов B.H. Деполяризующее поле включения конечных размеров в сегнетоэлектрике. И Кристаллография, 1984, Т.29, В.6, С.1182-1184.
Косилов А.Т., Перевозников А.М., Рощупкин А.М. Взаимодействие когерентных межфазных границ с дислокациями в кристаллах. И Поверхность. Физика, химия, механика, 1983, № 9, С.25-30.
Нечаев В.Н. Взаимодействие дислокации с доменной границей в сегнетоэлектрике. И Физика твердого тела, 1991, Т.33, В 5, С.1536-1568.
Горбунов В.В., Даринский Б.М. Изгиб доменной границы в поле наклонной дислокации в сегнетоэластике. 〃 Изв АН СССР. Сер.физ., 1989, Т.53, №7, С.1292-1295.
Желудев И.С., Шувалов Л.А. Сегнетоэлектрические фазовые переходы и симметрия кристаллов. И Кристаллография, 1956, Т.1, В.4, С. 681-688.
Желудев И.С., Шувалов Л.А. Ориентация доменов и макро симметрия свойств сегнетоэлектрических кристаллов. // Изв. АН СССР. Сер. физ., 195 7, Т.21, №2, С.264-274.
Fousek J., Janovec V. The orientation of domain walls in twinned ferroelastic crystals. // J.Appl.Phys., 1969, V.40, № 1, P. 13 5-142.
Fousek J. Permissible domain walls in ferroelectric species. // Chech. J.Phys., 1971, V.B21, № 9, P.95 5-968.
Sapriel J. Domain-wall orientations in ferroelastics. //Phys. Rev. B., 1975, V.12,№ 11, P.5128-5140.
Hatano J., Suda F., Futama H. Orientation of the Ferroelectric domain wall in Triglicine Sulphate Cristals. // J. Phys. Soc. Japan, 1976, V.41, № 1, P.188-193.
Shuvalov L.A., Dudnik E.F., Wagin S.V. Domain structure geometry of real ferroelastics. //Ferroelectrics, 1985, V.65, № 1-2, P.143-152.
Parker T.J., Barfbot I.C. The structure of transition fronts in barium titanate. // Brit. J. Appl.Phys., 1966, V.17, № 2, P.213-218.
Barfbot I.C., Parker TJ. The movement of transition fronts in barium titanate. 11 Brit. J. Appl.Phys., 1966, V.17, № 2, P.219-222.
Федосов B.H., Сидоркин A.C. О «тонкой» структуре межфазной границы в сегнетоэлектрике. 〃 Физика твердого тела, 1979, Т.21, В.7, С.2116-2120.
Крайнюк Г.Г., Отко А.И. Статика зигзазообразной границы в молибдате гадолиния. И Кристаллография, 1989, Т.34, № 2, С.502-504.
Natterman Т. Metastablility and Depinning Threshold in the Random Field Ising Model. // Phys. Stat.Sol.(b), 1985, V.129, P.153-162.
Natterman T. Dielectric Tails in K2ZnCl4： No Evidence for an Intrinsic Chaotic State. 11 Phys. Stat.Sol.(b), 1986, V.133, P.65-69.
Rice T.M., Whitchaise S.W., Littleword P. Impurity pinning of discommensuraties in charge-density waves. // Phys. Rev.B, 1981, № 5, P.2751-2759.
Ройтбурд А.Л. Неустойчивость приграничных областей и образование зигзагообразных междоменных и межфазных границ. И Письма в ЖЭТФ, 1988, Т.74, № 3, С.141-143.
Chervonobrodov S.P., Roitburd A.L. Orientation instability of domain boundary in ferroelectrics. // Ferroelectrics, 1988, V.93, № 1-4, P.109-112.
Darinskii B.M., Gorbunov V.V. Instability of inclined 180° domain boundary in ferroelectrics. // Ferroelectrics, 1989, V.98, P.23 5-240.
Darinskii B.M., Sidorkin A.S., Lazarev A.P. The structure and the motion of the domain baundaries of ferroelectrics-ferroelastics. // Ferroelectrics, 1989, V.98, P.245-252.
Bastie P. Bornarel J., Legrand J.F. Pertubated region in the vicinity of domain wall in ferroelectric — ferroelectric crystals. //Ferroelectrics, 1976, V.13,№ 1-4, P.455-458.
Tylczynski Z. Determination of domain wall thickness in TGS crystals from measurements of longitudinal ultrasonic wave propagation. 〃 Acta phys. Polon., 1977, V.A51, № 6, P. 865-868.
Papria P.Y. Determination of the thickness of the ferroelectric domain boundary in triglicine sulphate by X-ray topography. // Phyl. Mag., 1982, V. A 46, №4, P. 691-697.
Petroff J.F. Topographyc Study of 180° Domains in Triglicine Sulphate. 〃 Phys. Stat. Sol (b), 1969, V.31, P. 285-295.
Yamamoto N. Yagi К., Honjo G. Electron microscopic observation of ferroelectric and antiphase domain in Gd2(MoO4)3. // Phyl. Mag., 1974, 8 ser.,V.30,№ 5, P.1161-1164.
Suzuki K. Observation of diffracted light from domain wall in Gd2(MoO4)3. // Sol. Stat. Comm., 1972, V.ll, P.93 7-939.
Есаян C.X., Леманов B.B., Смоленский Г.А. Отражение и преломление упругих волн на доменных границах в сегнетоэлектрическом кристалле Gd2(MoO4)3. И ДАН СССР, 1974, Т.217, В.1, С.83-85.
Lin Peng Ju, Bursill L.A. On the width of the charged 110 ferroelectric domain walls in potassium niobate. // Phil. Mag., 1983, V.48, № 2, P.251263.
Даринский Б.М., Сидоркин A.C. Эффективная ширина доменной стенки в сегнетоэлектриках с дефектами. 〃 Физика твердого тела, 1984, Т.26, В.11, С.3410-3414.
Сидоркин А.С., Даринский Б.М., Пачевская Г.Н. Эффективная ширина доменной стенки в сегнетоэластиках с дефектами. // Изв. АН СССЕ сер. физ., 1987, Т.51, С. 389-392.
Санников Д.Г. К теории движения доменных границ в сегнетоэлектриках. И Изв. АН СССР, сер.физ., 1964, Т.28, № 4, С.703-707.
Krumhansl J.A., Schriefler J.R. Dynamics and statistical mechanics of a one-dimensional model Hamiltonian for structural phase transitions. // Phys. Rev.B., 1975, V.ll, № 9, P.3535-3545.
Bishop A.R., Domani E., Krumhansl J.A. Quntum correction to domain walls in a model (one-dimensional) ferroelectric. // Phys. Rev. B., 1976, V.14,№ 7, P.2966-2971.
Pouget J., Maugin G.A. Influence of an external electric field on the motion of a ferroelectric domain wall. // Physics Letters, 1985, V.109 A, № 8, P.389-392.
Pouget J., Maugin G.A. Solitons and electroacoustic interactions in ferroelectric crystals. I. Single solitons and domain walls. // Phys. Rev. B, V.30, № 9, P.5306-5325.
Pouget J., Maugin G.A. Solitons and electroacoustic interactions in ferroelectric crystals. II. Interactions of solitons and radiations. // Phys. Rev. B, V31, № 7, P.4633-4649.
Даринский Б.М., Паршин A.B., Турков C.K. Фононный механизм торможения 90-х доменных границ в сегнетоэлектриках. Изв. АН СССЕ Сер.физ., 1975, Т.39, № 4, С.677-681.
Drougard М.Е. Detailed study of switching current in barium titanate. 11 J. Appl. Phys., 1960, V.31, № 2, P.352-355.
Miller R.C., Weinreich G. Mechanism for the Sidewise Motion of 180- degree Domain Walls in Barium Titanate. // Phys. Rev., 1960, V.117, № 6, P.1460-1466.
Flippen R.B. Domain Wall dynamic in ferroelectric/ferroelastic molybdates. // J. Appl. Phys., 1975, V.46, № 3, P.1068-1071.
Hayashi M. Kinetics of domain wall motion in ferroelectric switching. I. General formulation. // J.Phys. Soc. Japan, 1972, V.3 3, № 3, P.616-628.
Hayashi M. Kinetics of domain wall motion in ferroelectric switching. II. Application to Barium Jitanate. // J.Phys. Soc. Japan, 1973, V.34, № 5, P. 1240-1244.
Бурцев E.B., Червонобродов С.П. Возможная модель для описания процесса переполяризации сегнетоэлектриков в слабых электрических полях. И Кристаллография, 1982, Т.27, В.5, С.843-850.
Darinskii В.М., Sidorkin A.S. The motion of the domain boundaries in crystals of KH2PO4 Group.//Ferroelectrics, 1987, V.71, P.269-279.
Ландау Л.Д. Собрание трудов. — М.: Наука, 1969, Т.2, 450 с.
Тихомирова Н.А., Чумакова С.П., Шувалов Л.А. и др. Использование жидких кристаллов для изучения процессов переполяризации сегнетоэлектриков. И Кристаллография. 1987, Т.32, B.l, С.143-148.
Corp А.А., Бородин В.З. Наблюдение динамики доменной структуры сегнетоэлектриков в растровом электронном микроскопе. 〃 Изв. АН СССР. Сер.физ., 1984, Т.48, № 6, С. 1086-1089.
Бульбич А.А., Дмитриев В.П., Желнова О.А., Пумпян П.Е. Зародышеобразование на двойниковых границах в кристаллах, испытывающих структурные фазовые переходы вблизи особых точек фазовых диаграмм. Прямое наблюдение зародышеобразования низкосимметричных фаз в NaNbO3. // ЖЭТФ, 1990, Т.98, № 3(9), С.1108-1119.
Корженевский А.Л. О фазовых переходах первого рода в дислокационных кристаллах. 〃 Физика твердого тела, 1986, Т.28, В.5, С.13241331.
Набутовский В.М., Шапиро Б.Я. Сверхпроводящая нить вблизи дислокации. И ЖЭТФ, 1978, Т.75, № 3, С.948-959.
Бульбич А.А., Пумпян П.Е. Локальный фазовый переход на движущейся дислокации. И Кристаллография, 1989, Т.35, № 2, С. 284-288.
BarklaH.M., Finlayson D.M. The properties ofKH2PO4 bellow the Curie point. 11 Phyl. Mag., 1953, V.44, № 349, P. 109-130.
Bornarel J., Fouskova A., Gudon P. And Lajzerowicz J. Electrycal and optical investigation of ferroelectric properties of KH2PO4. // Proc. Intern. Meet Ferroelectricity, Prague, 1966, V.ll, P.81-90.
Kamysheva L.N., Zhukov O.K. On the non-linear properties KH2PO4. // Proc. Intern. Meet Ferroelectricity, Prague, 1966, V.ll, P.200-203.
Шувалов Л.А., Желудев И.С., Мнацаканян A.B., Лудупов Ц.-Ж., Фиала И. Сегнетоэлектрические аномалии диэлектрических и пьезоэлектрических свойств кристаллов КН2Po4 и KD2Po4・ 〃 Изв. АН СССЕ сер. физ., 1967, Т.31, С.1919-1924.
Малек 3., Шувалов Л.А., Фиала И., Штрайблова Я. Об аномальном поведении диэлектрической проницаемости кристаллов RDP ниже точки Кюри. И Кристаллография, 1968, Т.13, В.5, С.825-83 0.
Камышева Л.Н., Золототрубов Ю.С., Гриднев С.А., Сидоркин А.С., Рез И.С. Диэлектрические свойства дигидроарсената рубидия вблизи температуры фазового перехода. — В кн.: Механизмы релаксационных явлений в твердых телах.——Каунас, 1974, с.273-276.
Бурданина Н.А., Камышева Л.Н., Гриднев С.А., Золототрудов Ю.С. Журов В.Н. Диэлектрические и механические потери кристаллов КН2РО4 со специально введенными дефектами. — В кн.: Механизмы релаксационных явлений в твердых телах.——Каунас, 1974, с.239-244.
Пешиков Е.В., Шувалов Л.А. Амплитудная зависимость диэлектрических характеристик дигидрофосфата рубидия. И Кристаллография, 1981, Т.26, В 4, С.855-858.
Сидоркин А.С.. Бурданина Н.А., Лазарев А.П. Амплитудная зависимость эффекта «замораживания» доменной структуры. 〃 Физика твердого тела, 1986, Т.26, В.5, С.1419-1423.
Баранов А.И., Шувалов Л.А., Рабкин В.С., Рашкович Л.Н. Критическое поведение диэлектрической проницаемости в одноосном сегнетоэлектрике CSH2PO4. // Кристаллография, 1979, В.З, С.524-527.
LevstikA., Blinc R., KadabaР., Cizikov S., LevstikI., Filipic C. Dielectric properties of the 250 К phase transition in BaMnF4 and CSH2PO4. // Ferroelectrics, 1976, V.14, P.703-706.
Uesu Y., Kobayashi J. Crystal structure and ferroelectricity of cesii dihydrogen phosphate CSH2PO4. // Phys. Stat. Sol (a), 1976, V.34, № 2, P.475-482.
Рашкович Л.Н., Матвеева К.Б. О свойствах дигидрофосфата цезия. И Кристаллография, 1978, Т.23, В.4, С.796-800.
Kamysheva L.N., Drozhdin S.N., Sidorkin A.S. The «freezing» of the domain Structure in the CDP crystals resulting from the structural reconstruction of the domain walls. // Ferroelectrics, 1981, V.31, P.37-40.
Камышева Л.Н., Дрождин C.H., Сидоркин A.C., Бухман В.С. Особенности поляризационных свойств дигидрофосфата цезия, обусловленные наличием доменной структуры. 〃 Кристаллография, 1981, Т.26, В.З, С.540-545.
Камышева Л.Н., Бурданина Н.А., Жуков О.К., Беспамятова Л.А. Влияние сильного электрического поля на диэлектрические свойства кристалла KD2PO4. И Кристаллография, 1969, Т.14, B.l, С.162-163.
Сидоркин А.С., Бурданина Н.А., Камышева Л.Н., Федосов В.Н. Влияние доменной структуры на процессы переполяризации кристалла КН2ЖВ2(1_ж)РО4 (DKDP). 〃 Физика твердого тела, 1979, Т.21, В.З, С.861-864.
КрыжановскаяН.А., Довченко Г.В., ДудникЕ.Ф., Мищенко А.В. Процессы переполяризации в кристаллах КЬ(ВЖН(Х_Ж))2РО4. // Изв. АН СССР, сер. физ., 1975, Т.3 9, С.1031-103 5.
Bornarel J., Lajzerowicz J. Experimental evidence for the long-range interaction of domain in ferroelectric KH2PO4. // J.Appl. Phys., 1968, V.39,№ 9, P.4339-4341.
Bornarel J. Lajzerowicz J. Interdomain and domaim defect interactions in KDP.// Ferroelectrics, 1972, V.4, P. 177-187.
Bornarel J. Domains inKH2PO4.//Ferroelectrics, 1987, V.71, P.255-268.
Sidorkin A.S. The Mobility of Domain walls in Hydrogen-containing ferroelectric crystals. // Ferroelectrics, 1993, V.150, P.313-317.
Choi Byoung-Koo, Kim Jong-Jean. Ammonium dihydrogen phosphate (ADP) impurity effects on phase transition and domain-wall freezing in potassium-ammonium dihydrogen phosphate. // Phys. Rev. 1983, V. В 28, №3, P.1623-1625.
Andrew F.R., Cowley R.A. X-ray scattering from critical actuations and domain walls in KDP and DKDP. // J. Phys. (C). Solid St.Phys., 1986, V.19, №4, P.615-635.
Kamysheva L.N., Fedosov V.N., Sidorkin A.S. Pyroelectric Anomalies rezulting from domain structure reconstruction in ferroelectrics. // Ferroelectrics, 1984, V.34, P.27-30.
Privorotskii I.A. Surface electromagnetic waves on the domain boundaries in ferroelectrics. 11 Physics Letters, 1977, V. A 60, P.361-362.
Лайхтман Б.Д. Изгибные колебания доменных стенок и диэлектрическая дисперсия в сегнетоэлектриках. И Физика твердого тела, 1973, Т. 15, В.1, С.93-102.
Кесених Г.Г., Любимов В.Н., Санников Д.Г. Поверхностные упругополяризационные волны на доменных границах в сегнетоэлектриках.// Кристаллография, 1972, Т.17, В.З, С.591-594.
Федосов В.Н. Спектр колебаний доменных границ в пьезоэлектрических и магнитоупругих средах. И Физика твердого тела, 1988, Т.30, В.9, С.2572-25 74.
Нечаев В.Н., Рощупкин А.М. О динамике доменных границ в сегнетоэлектриках и ферромагнетиках. И Физика твердого тела, 1988, Т.30, В.6, С.1908-1910.
Даринский Б.М., Сидоркин А.С., Косцов А.М. Колебания доменных границ в сегнетоэлектриках и сегнетоэластиках с точечными дефектами.// Изв. АН СССР сер. физ., 1991, Т.55, № 3, С.583-590.
Darinskii В.М., Sidorkin A.S., Kostsov А.М. The oscillatuions of the domain boundaries in real ferroelectrics and ferroelectrics-ferroelastics. // Ferroelectrics, 1994, V.160, P.3 5-45.
Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах.——М.: Мир, 1986. — 159с.
Даринский Б.М., Сидоркин А.С. Колебания доменных границ в сегнетоэлектриках и сегнетоэластиках. 〃 Физика твердого тела, 1987, Т.29, В.1, С.3-7; 1989, Т.31, В.7, С.3 07.
Даринский Б.М., Сидоркин А.С. Колебания доменных границ в реальных сегнетоэластиках. 〃 Физика твердого тела, 1989, Т.31, В.12, С.28-31.
Косевич А.М., Поляков М.Л. Коллективные колебания дислокационной стенки. И Физика твердого тела, 1979, Т.21, В.10, С.2941-2946.
Нечаев В.Н. Об изгибных колебаниях 90° границ в сегнетоэлектриках. И Физика твердого тела. 1990, Т.32, В.7, С.2090-2093.
Fousek J. The contribution of domain walls to the small-signal complex permittivity of BaTiO3. // CzechJ.Phys., 1965, V. B15, № 6, P.412-417.
Фоусек Я., Бржезина Б. Частотные зависимости движения 90градусных доменных стенок в титанате бария. 〃 Изв.АН СССР. Сер. физ., 1964, Т.28, № 4, С.717-721.
Федосов В.Н., Сидоркин А.С. Квазиупругие смещения доменных границ в сегнетоэлектриках. И Физика твердого тела, 1976, Т.18, В.6, С.1632-1639.
Малоземов А., Слонзуски Дж. Доменные стенки в материалах с цилиндрическими магнитными доменами. — М.: Мир, 1982. — 382 с.
Гуревич Л.Э., Ливерц Э.В. Квазиакустические и квазиоптические колебания доменной структуры одноосного ферромагнетика. 〃 ЖЭТФ, 1982, Т.82, В.1, С.220-223.
Sidorkin A.S. Translation oscillations of domain structure in ferroelectrics and ferroelastics. // Ferroelectrics, 1996, V.186, № IT, P.239-242.
Sidorkin A.S. Dynamics of Domain Walls in ferroelectrics and ferroelastics. //Ferroelectrics, 1997, V.191, P.109-128.
Sidorkin A.S. Translational vibrations of domain srtucture in ferroelectrics. // Journal of Applied Physics, 1998, V.83, № 7, P.3 762-3 768.
Сидоркин A.C., Нестеренко Л.П. Эффективная масса и собственная частота колебаний для трансляционного движения 180° доменных границ в сегнетоэлектриках и сегнетоэластиках. И Физика твердого тела, 1995, Т.37, В.12, С.3747-3750.
Ройтбурд А.Л. Равновесие фаз в твердом теле. 〃 Физика твердого тела, 1986, Т.28, № 10, С. 3051-3054.
Arlt G., Pertsev N.A. Force constant and effective mass of 90° domain walls in ferroeletric ceramics. // J.Appl.Phys., 1991, V.70, № 4, P.22832289.
Pertsev N. A., Arlt G. Forced translated vibrations of90° domain walls and the dielectric dispersion in ferroelectric ceramics. // J. Appl. Phys. 1993, V.74, № 6, P. 4105-4112.
Sidorkin A.S., Sigov A.S. Translational vibrations of domain boundaries in ferroelectrics with different defect concentration. // Ferroelectrics, 1998, V.219, P. 199-205.
Федосов B.H., Сидоркин А.С. Нелинейность диэлектрической проницаемости в сегнетоэлектрических кристаллах с дефектами. И Физика твердого тела, 1977, Т.19, В.6, С.1632-1637.
Федосов В.Н., Сидоркин А.С. Подвижность доменных границ в кристаллах группы КН2РО4 (KDP). 〃 Кристаллография, 1976, Т.21, В.6, С.1113-1116.
Санников Д.Г. Дисперсия диэлектрической проницаемости в сегнетоэлектриках. И ЖЭТФ, 1961, Т.41, В.1, С.133-138.
Nettleton R.E. Switching Resonance in Crystallites of Barium Titanate. 11 J. Phys. Soc. Japan, 1966, V.21,№ 9, P. 1633-1639.
Демьянов B.B., Соловьев С.П. Динамическая поляризация и потери в сегнетоэлектриках. И ЖЭТФ, 1968, Т.54, В.З, С.1542-1553.
Турик А.В. Упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические свойства монокристаллов ВаТЮз со слоистой доменной структурой. 〃 (физика твердого тела, 1970, Т.12, В. 3, С.892-899.
Федосов В.Н., Сидоркин А.С. Зависимость характера смещения доменных границ в сегнетоэлектриках от концентраций дефектов. И Физика твердого тела, 1976, Т.18, В.7, С.1967 — 1970.
Турик А.В., Чернобабов А.И. Об ориентационном вкладе в диэлектрические, пьезоэлектрические и упругие постоянные сегнетокерами- ки.//ЖТФ, 1977, Т.47, № 9, С.1944-1948.
Гриднев С.А., Даринский Б.М., Федосов В.Н. Влияние динамики доменных границ на диэлектрическую проницаемость сегнетоэлектриков в окрестности точки Кюри. И Физика и химия обработки материалов. 1979, № 1, С.117-120.
Arlt G., Dederichs Н. Complex elastic, dielectric and piezoelectric constants by domain wall damping in ferroelectric ceramics. // Ferroelectrics, 1980, V.29, № 1-2, P.47-50.
Kopvillem U.Kh., Prants S.V. Domain theory of polarization echoes in ferroelectrics. // J.Physique, 1982, V.43, P.567-574.
Б.М.Даринский, А.С.Сидоркин. Концентрация электрических полей в полидоменном сегнетоэлектрике. И Физика твердого тела, 1984, Т. 26, В.6, С.1634-1639.
Bondarenko E.I., Topolov V.Yu., Turik A.V. The effect of 90° domain wall displacements on piezoelectric and dielectric constants of perovskite ceramics. // Ferroelectrics, 1990, V.110, Pt B, P.53-56.
Bondarenko E.I., Topolov V.Yu., Turik A.V. The role of 90° domain wall displacements on forming physical properties of perovskite ferroelectrics. // Ferroelectrics Lett.Sec., 1991, V.13, № 1, P.13-19.
Sidorkin A.S. The domain mechanism of aging and degeneration of ferroelectric material. // Proc. 9-th IEEE Intern. Symp. on Applications of Ferroelectrics. Penn. State University, IEEE Catalog Number 94 CH 3416-5, 1994, P.91-94.
Даринский Б.М., Сидоркин A.C., Лазарев А.П. Упругая податливость полидоменных сегнетоэластиков с дефектами. 〃 Известия АН СССЕ сер.физ., 1989, Т.53, № 7, С.1265-1266.
Вонсовский С.Н. Магнетизм. — М.: Наука, 1971. — 786 с.
Дьячук П.П., Иванов А.А., Лобов И.В. Движение изгибающейся доменной границы в непрерывном потенциальном поле дефектов. И Изв. АН СССР, сер.физ., 1981, Т.45, С.1701-1703.
Камышева Л.Н., Жуков О.К., Бурданина Н.А., Кривицкая Т.П. Нелинейные свойства кристалла KDP в сильных полях. 〃 Изв. АН СССР, сер.физ., 1967, Т.31, №7, С.1180-1183.
Камышева Л.Н., Бурданина Н.А., Жуков О.К. О диэлектрических свойствах кристаллов KDP с добавками хрома. 〃 Кристаллография, 1969, № 14, №5, С.940-941.
Турик А.В., Сидоренко Е.Н., Шевченко Н.Б., Жестков В.Ф., Проскуряков Е.①.Влияние внешних воздействий на СВЧ-диэлектрине скую проницаемость монокристаллов титаната бария. 〃 Изв. АН СССР. Сер.физ., 1975, Т.39, № 4, С.850-853.
Cross L.E., Cline T.W. Contributions to the dielectric Response from charged Domain walls in Ferroelectric Pb^Ge^O^. H Ferroelectrics, 1976, V.ll, P.333-336.
Smits Jan G. Influence of Moving Domain Walls and Jumping Lattice Defects on Complex Material Coefficients of Piezoelectrics. // IEEE Transactions on sonics and ultrasonics, 1976, V. SU-23, № 3, P.168-173.
Сидоркин A.C., Бурданина H.A., Камышева Л.Н. Возрастание действительной части диэлектрической проницаемости в области «замораживания» доменной структуры в кристаллах группы КН2РО4. 〃 Физика твердого тела, 1984, Т.26, В.10, С.3172-3175.
Kamysheva L.N., Sidorkin A.S. Dielectric Relaxation in Crystals of KH2PO4 Group. // Ferroelectrics, 1984, V.55, № 4, P.205-208.
Камышева Л.Н., Сидоркин A.C., Зиновьева И.Н. Диэлектрическая релаксация в кристаллах группы КН2РО4. И Известия АН CtCE сер. физ., 1984, Т.48, В.6, С.1057-1060.
Kamysheva L.N., Sidorkin A.S., Milovidova S.D. Dielectric Relaxation in Ferroelectric TGS.//Physica Status Solidi, (a), 1984, V.84, K115-K120.
Шильников A.B., ГалияроваН.М., Надолинская Е.Г., Горин С.В., Шуваев М.А. Низкочастотная дисперсия диэлектрической проницаемости в полидоменных кристаллах обычной и дейтерированной сегнетовой соли вблизи точек фазовых переходов. И Кристаллография, 1986, Т.31, В.2, С.326-332.
Камышева Л.Н., Бурданина Н.А., Жуков О.К., Даринский Б.М., Сизова Л.Н. О диэлектрических свойствах облученных кристаллов КН2Po4・ 〃 Изв. АН СССР, сер.физ., 1970, Т.34, С.2612-2615.
Бурданина Н.А., Камышева Л.Н., Дрождин С.Н. Влияние мощности дозы-излучения на свойства кристаллов КН2РО4. И Кристаллография, 1972, Т.17, №6, С.1171-1174.
Пешиков Е.В. Радиационные эффекты в сегнетоэлектриках. — Ташкент: ФАН, 1986. — 139 с.
Пешиков Е.В. Структурная чувствительность сегнетоэлектрического фазового перехода и диэлектрических свойств кристаллов дигидрофосфата калия, облученных быстрыми нейтронами. 〃 Кристаллография, 1971, Т.16, В.5, С.947-951.
О9Keefe М., Perrino С.Т. Proton conductivity in pure and doped KH2PO4. 〃 J. Phys. Chem. Sol., 1967, V.28, № 2, P.211-218.
О9Keefe M., Perrino C.T. Isotope effects in the conductivity of KH2PO4 and KD2PO4. H J. Phys. Chem. Sol., 1967, V.28, № 6, P.1086-1088.
Fairall C.W., Reese W. Electrical conductivity of KH2Ase)4 and KD2Ase)击 〃 Phys. Rev. B.: 1973, V.8, № 7, P.3475-3478.
Dalal N.S., Hebden J.A., McDowell C.A. EPR studies of X-ray irradiated KH2Ase)4 and KH2PO4-type ferroelectrics and antiferroelectrics. // J.Chem.Phys., 1975, V.62, № 11, P.4404-4410.
Tokumaru Y., Abe R. Effect of irradiation on the Dielectric Constants of KH2PO4. // Japan J.Appl.Phys., 1970, V.9, № 12, P. 1548-1549.
Гриднев C.A., Попов B.M., Шувалов Л.А., В.Н.Нечаев. Температурная зависимость порогового поля для диэлектрических потерь в триглицинсульфате вблизи Тс. И Физика твердого тела, 1985, Т.27, С.3-7.
Гриднев С.А., Даринский Б.М., Попов В.М., Шувалов Л.А. Амплитудная зависимость диэлектрических потерь в реальных кристаллах триглицинсульфата. // Физика твердого тела, 1986, Т.28, С.2009-2014.
Stankowska J., Czarnecka A. Investigation of the aging process and domain structure of TGS — Group crystals. // ferroelectrics, 1989, V.98, P.95-103.
Jiang Q.Y.,Cross L.E. Effect of porosity on electric fatique behaviour in PLZT and PZT ferroelectric ceramics. // J. Material Science, 1993, V.28, P.4536-4543.
Jiang Q.Y., E.C.Subbarao, Cross L.E. Fatique in PLZT: acoustic emission as a discriminator between microcracking and domain switching. // Ferroelectrics, 1994, V.154, P.1251-1256.
Jiang Q.Y, E.C.Subbarao, Cross L.E. Effect of electrodes and electroding methods on fatique behavior in ferroelectric materials. // Ferroelectrics, 1994, V.154, P.1257-1262.
Brennan C.J., Parrella R.D., Larsen D.E. Temperature dependence fatique rates in thin-film ferroelectric capacitors. // Ferroelectrics, 1994, V. 151, P.33-38.
Оглавление
Введение3
Глава 1. Образование доменной структуры как результат потери устойчивости кристаллической решетки в сегнетоэлектрическом и сегнетоэластическом кристаллах конечных размеров7
Равновесная доменная структура в сегнетоэлектриках . .8
Образование модулированной структуры в сегнетоэлектрическом кристалле в условиях однородного охлаждения . .11
Формирование доменной структуры в сегнетоэлектрической пластине произвольного среза 15
Формирование доменной структуры в условиях экранирования поляризации зарядами на поверхностных состояниях и свободными носителями заряда 18
Образование доменной структуры при неоднородном охлаждении сегнетоэлектриков 26
Образование доменной структуры в сегнетоэластике, находящемся в контакте с подложкой, и в материале со свободной поверхностью 28
Мелкодоменная структура в сегнетоэлектрических кристаллах с дефектами 32
Глава 2. Строение доменных и межфазных границ в бездефектных сегнетоэлектриках и сегнетоэластиках34
Строение 180-градусной доменной границы в сегнетоэлектрике в рамках континуального приближения в кристаллах с фазовым переходом I и II рода 34
Строение 90-градусной доменной границы в сегнетоэлектрике в континуальном приближении 42
Строение доменной границы вблизи поверхности сегнетоэлектрика 47
Строение межфазных границ в сегнетоэлектриках ...50
Строение доменных границ в несобственных сегнетоэлектриках и сегнетоэлектриках с несоразмерной фазой ...54
Фазовые переходы в доменных стенках в сегнетоэлектриках и родственных материалах 59
Глава 3. Микроскопическое рассмотрение структуры доменных границ в сегнетоэлектриках64
Решеточный потенциальный рельеф для доменной стенки. Вычисление параметров решеточного рельефа в квазикон- тинуальном приближении 64
Вычисление электрических полей в периодических дипольных структурах. Определение корреляционной постоянной в рамках диполь-дипольного взаимодействия ...68
Строение 180-градусной и 90-градусной доменных стенок в кристалле титаната бария 73
Строение доменных границ в сегнетоэлектрических кристаллах группы дигидрофосфата калия 77
Температурная зависимость решеточного барьера в кристаллах группы КН2РО4 84
Влияние туннелирования на строение доменных границ в сегнетоэлектриках типа порядок-беспорядок 89
Строение доменных границ в твердых растворах КН2хО2(1_ж)РО4 92
Глава 4. Взаимодействие доменных границ с дефектами кристаллической решетки96
Взаимодействие доменной границы сегнетоэлектрика с точечным заряженным дефектом 96
Дислокационное описание изогнутых доменных стенок в сегнетоэластиках. Уравнение несовместности для спонтанной деформации102
Взаимодействие с точечным заряженным дефектом доменной границы сегнетоэлектрика-сегнетоэластика106
Взаимодействие доменной границы сегнетоэластика с центром дилатации110
Взаимодействие доменной границы сегнетоэластика с дислокацией, параллельной плоскости границы 114
Взаимодействие доменной границы сегнетоэластика с дислокацией перпендикулярной плоскости границы .... 121
Глава 5. Строение доменных границ в реальных сегнетоактив- ных материалах124
Ориентационная неустойчивость наклонных доменных границ в сегнетоэлектриках. Образование зигзагообразных доменных стенок124
Уширение доменной стенки за счет тепловых флуктуаций ее профиля130
Эффективная ширина доменной стенки в реальных сегнетоэлектриках 133
Эффективная ширина доменной стенки в сегнетоэластиках с дефектами139
Глава 6. Подвижность доменных границ в кристаллах с различной высотой барьера в решеточном потенциальном рельефе143
Строение движущейся границы, ее предельная скорость и эффективная масса доменной стенки в рамках континуального приближения. Подвижность доменных границ . . 143
Боковое движение доменных границ в кристаллах сегнетоэлектриков с высокими значениями барьера в решеточном рельефе для доменных стенок. Термофлуктуационный механизм движения доменной стенки. Параметры боковых стенок критического зародыша на доменной стенке . . . 148
Скорость бокового движения доменной стенки сегнетоэлектрика в условиях термофлуктуационного образования и роста зародышей обратных доменов 155
Влияние туннелирования сегнетоактивных частиц и температуры на подвижность доменных границ 160
«Замораживание» доменной структуры в кристаллах группы КН2РО4 (KDP)161
Глава 7. Собственная и вынужденнаядинамика границ в кристаллах сегнетоэлектриков и сегнетоэластиков169
Изгибные колебания 180-градусных доменных границ бездефектных сегнетоэлектриков 169
Изгибные колебания доменных границ бездефектных сегнетоэластиков, сегнетоэлектриков-сегнетоэластиков и 90градусных доменных границ сегнетоэлектриков174
Изгибные колебания доменных границ реальных сегнетоэлектриков и сегнетоэластиков181
Трансляционные колебания доменной структуры в сегнетоэлектриках и сегнетоэластиках184
Собственные и вынужденные трансляционные колебания доменных границ в реальных сегнетоэлектриках и сегнетоэлектриках-сегнетоэластиках197
Доменный вклад в начальную диэлектрическую проницаемость сегнетоэлектриков. Дисперсия диэлектрической проницаемости доменного происхождения201
Доменный вклад в упругую податливость сегнетоэласти- ков209
Нелинейные диэлектрические свойства сегнетоэлектриков, связанные с движением доменных границ210
Старение и деградация сегнетоэлектрических материалов 212
Литература216
Научное издание
СИД ОР КИН Александр Степанович
ДОМЕННАЯ СТРУКТУРА В СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКАХИ РОДСТВЕННЫХ МАТЕРИАЛАХ
Оригинал-макет Е.Ю. Морозова
ЛР № 071930 от 06.07.1999. Подписано в печать 08.11.2000.
Формат 60x90 1/16- Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 15,0. Уч.-изд. л. 15,0. Тираж 400 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117864 Москва, Профсоюзная ул., 90
Отпечатано с диапозитивов в ППП «Типография «Наука» РАН121009 Москва Г-99, Шубинский пер., 6
3sh(7r2md/a)
А. С. Сидоркин
ДОМЕННАЯ СТРУКТУРА
В СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКАХ
И РОДСТВЕННЫХ
МАТЕРИАЛАХ
МОСКВА①阴 ЗМАТЛ14Т2000
УДК 538.911ББК 22”379С34УДК 538.911ББК 22”379С34上#三上#三Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 00~02~30015д
УДК 538.911
ББК 22”379
С34
УДК 538.911
ББК 22”379
С34
上#三
上#三
Сидоркин А. С. Доменная структура в сегнетоэлектриках и родственных материалах. —М.: ФИЗМАТ Л ИТ, 2000. — 240 с. — ISBN 5-922L0095-5.
Исследуется возникновение доменной структуры по механизму поте™ ри устойчивости исходной фазы в материале конечных размеров. Рассматривается строение доменных и межфазных в рамках континуаль™ ного приближения. Приводятся результаты микроскопического описания структуры доменных границ в ряде сегнетоэлектриков. Рассматривается взаимодействие доменных границ с дефектами кристаллической решетки и их строение в реальных сегнетоупорядоченных материалах. Исследуется влияние решеточного потенциального рельефа на движение доменных границ. Рассматривается изгибная и трансляционная динамика доменных границ в сегнетоэлектрических кристаллах. Оценивается вклад доменных границ в диэлектрические свойства сегнетоэлектриков и упругие свойства сегнетоэластиков.
ISBN 5-922L0095-5ISBN 5-922L0095-5© ФИЗМАТЛИТ, 2000(с) А.С. Сидоркин, 2000© ФИЗМАТЛИТ, 2000(с) А.С. Сидоркин, 2000Ил. 75. Библиогр. 257 назв.
ISBN 5-922L0095-5
ISBN 5-922L0095-5
© ФИЗМАТЛИТ, 2000
(с) А.С. Сидоркин, 2000
© ФИЗМАТЛИТ, 2000
(с) А.С. Сидоркин, 2000