ВВЕДЕНИЕ В МЕЗОСКОПИЧЕСКУЮ ФИЗИКУ

Редактор Н. Б. Бартошевич-Жагелъ

Оригинал-макет: В. В. Худяков

Оформление переплета: А. А. Логунов

ЛР №071930 от 06.07.99

Подписано в печать 01.03.04. Формат 60x90/16

Бумага офсетная № 1. Печать офсетная

Усл. печ. л. 19. Уч.-изд. л. 20. Тираж 300 экз.

Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литературах ISBN 5 -9221 -0247 -8

МАИК «Наука/Интерпериодика»

117864 Москва, Профсоюзная, 90

E-mail: fizmat@maik.ru, http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»

160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.

Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72.

E-mail: pfpv@vologda.ru http://www.vologda/~pfpv9 785922 102476

ISBN 5-9221-0247-8 (русск.)ISBN 0-1985-0738-0 (англ.)ISBN 5-9221-0247-8 (русск.)ISBN 0-1985-0738-0 (англ.)© Oxford University Press, 2002 © ФИЗМАТЛИТ, 2004 (русск.)© Oxford University Press, 2002 © ФИЗМАТЛИТ, 2004 (русск.)

ISBN 5-9221-0247-8 (русск.)

ISBN 0-1985-0738-0 (англ.)

ISBN 5-9221-0247-8 (русск.)

ISBN 0-1985-0738-0 (англ.)

© Oxford University Press, 2002 © ФИЗМАТЛИТ, 2004 (русск.)

© Oxford University Press, 2002 © ФИЗМАТЛИТ, 2004 (русск.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 7

Предисловие ко второму изданию 9

Глава 1. Введение 10

Глава 2. Квантовый транспорт. Андерсоновская локализация 20

Основные принципы 20

Идеи локализации 22

Термоактивированная проводимость в режиме локализации . . .28

Теория Таулесса. Локализация в тонких проволоках и эффекты конечной температуры 32

Скейлинговая теория локализации и ее следствия 37

Режим слабой локализации 47

Задачи 50

Глава 3. Механизмы сбоя фазы за счет взаимодействия с окружением: приложение к кулоновскому взаимодействию электронов в металлах 51

Введение и обзор механизмов дефазировки 51

Сбой фазы за счет электрон-электронного взаимодействия . . . .61

Обзор результатов для различных размерностей 67

Соотношение между временем сбоя фазы и временем электрон- электронного рассеяния 74

Одно полезное выражение для скорости дефазировки и анализ случая Т ч 0 78

Глава 4. Равновесные мезоскопические эффекты и статические свойства 85

Введение в термодинамические флуктуационные эффекты . . .85

Квантовая интерференция и равновесные свойства. Персистентные токи 91

Задача 116

Глава 5. Квантовая интерференция и транспортные свойства. Формулировка Ландауэра иее применения 117

Общие замечания о проводимости Кубо конечных систем 117

Формулировка Ландауэра для кондактанса мезоскопической системы и некоторые ее обобщения 121

Применения формулировки Ландауэра 137

Задачи 154

Глава 6. Квантовый эффект Холла 156

Введение 156

Общее рассмотрение 161

Локализация в сильных магнитных полях и КЭХ 166

Заметки о дробном квантовом эффекте Холла (ДКЭХ) 172

Задача 181

Глава 7. Мезоскопика и сверхпроводимость 182

Введение 182

Сверхпроводящие кольца и тонкие проволоки 187

Слабосвязанные сверхпроводники. Эффект Джозефсона и SNS контакты 198

Андреевское отражение. Дальнейшие свойства SN и SNS контактов 206

Глава 8. Шум в мезоскопических системах 217

Введение 217

Дробовой шум для случая «излучения из резервуара» 219

Низкочастотный (1//)-шум 223

Квантовая теория корреляторов шумов 229

Задачи 240

Глава 9. Заключительные замечания 242

Приложения 252

Теория линейного отклика Кубо 252

Б. Проводимость Кубо-Гринвуда и соотношения Эдвардса-Таулесса 255

Эффект Ааронова-Бома и теорема Байерса-Янга иБлоха 257

Г. Вывод матричных элементов в диффузионном режиме 258

Д. Более аккуратное описание сбоя фазы в двумерных проводниках при низких температурах 259

Аномалии в плотности состояний 260

Ж. Квазиклассическая теория спектральных корреляций 263

Некоторые детали четырехконтактной формулировки 266

И. Универсальность флуктуаций кондактанса и универсальные корреляции собственных значений матрицы прохождения 267

К. Кондактанс баллистического «точечного контакта» 269

Список литературы 271

Мезоскопическая физика — довольно молодая отрасль науки. Она возникла около 15 лет назад и за это время уже добилась блестящих успехов. В этой области физики счастливым образом сочетаются возможность разрешения фундаментальных физических вопросов и близость к технологическим приложениям не столь отдаленного будущего. Некоторые из экспериментальных возможностей в мезоскопике стали возможными благодаря миниатюризации электронных устройств; с другой стороны, потребности этой миниатюризации учитываются при постановке задач самой мезоскопики. Можно надеяться, что плодотворное взаимовлияние физики и технологии в этом направлении будет продолжаться и дальше. В настоящее время мы уже довольно много знаем о мезоскопическом мире, заключенном в области между микроскопическими и макроскопическими пространственными масштабами. Ответы на многие фундаментальные вопросы о том, каким образом действие квантовых законов трансформируется при переходе в классический макроскопический режим, во многих случаях уже получены, в других — ожидаются в скором времени. Есть все основания полагать, что промежуточная область размеров между уже имеющимися сейчас искусственными структурами, с одной стороны, и встречающимися в природе (или синтетическими) молекулами — с другой, будет понята и исследована уже в ближайшем будущем. Как раз сейчас развиваются мощные технологические методы, необходимые для этого будущего исследования.

Эта книга представляет собой попытку сделать увлекательные вопросы мезоскопики доступными как физикам, так и химикам, и инженерам-электронщикам, оптикам и технологам. От читателя требуются достаточно глубокие знания физики, однако близкое знакомство с современными методами теоретической физики не предполагается. Понимание основных физических идей, лежащих в основе описываемых явлений, а также умение делать простые качественные оценки эффектов должны оказаться весьма полезными и для экспериментаторов, и для технологов. В то же время изучение этой книги может помочь студентам и аспирантам, специализирующимся в области физики и химии, закрепить и творчески использовать весь комплекс полученных знаний по квантовой механике, статистической физике, электромагнетизму и физике твердого тела.

Автор чрезвычайно признателен своим коллегам и соавторам за многолетнее сотрудничество в области мезоскопики, в ходе которого мы

совместно узнали столько интересного. Результаты этого сотрудничества во многом легли в основу данной книги. Автор хотел бы упомянуть своих коллег: У. Aharonov, A. Aharony, B.L. Altshuler, N. Argaman, A.G. Aronov, M.Ya. Azbel, D.J. Bergman, M. Buttiker, G. Deutscher, O. Entin-Wohlman, B. Gavish, Y. Gefen, L. Gunther, C. Hartzstein, I. Kander, R. Landauer, N. Lang, I. Lerner, Y. Levinson, S. Mohlecke, G. Mohtambaux, M. Murat, Z. Ovadiahu, J.L. Pichard, P. Pincas, S. Pinhas, E. Pytte, A. Shalgi, D.J. Scalapino, A. Schwimmer, N.S. Shiren, N. Shmueli, U. Sivan, U. Smilansky, A. Stern, A.D. Stone, M. Strongin, D.J. Thouless, A. Yacoby, N. Zanon.

Очень полезными были также дискуссии со многими другими коллегами: Е. Abrahams, Е. Akkermans, S. Alexander, E.L. Altshuler, A. Al- tland, V. Ambegaokar, T. Ando, Y. Avishai, Y. Bar-Joseph, A. Baratoff, C. Beenakker, E. Ben-Jacob, A. Benoit, M. Berry, F. Bloch, H. Bouchiat, E. Brezin, M. Brodsky, C. Bruder, J. Chalker, P. Chaudhari, C.-s. Chi, M. Cyrot, D. Divincenzo, U. Eckern, K.B. Efetov, A.L. Efros, R. Englman, W.A.B. Evans, A. Finkel’stein, A. Fowler, E. Fradkin, H. Fukuyama, N. Garcia, L. Glazman, G. Grinstein, D. Gubser, B.L Halperin, M. Heiblum, S. Hikami, A. Houghton, A. Kamenev, M.A. Kastner, D.E. KhmeFnit- skii, S. Kirkpatrick, S. Kivelson, S. Kobayashi, W. Kohn, B. Kramer, A. Krichevsky, R. Kubo, J. Langer, A.L Larkin, D.-H. Lee, P.A. Lee, A.J. Leggett, S. Levit, L.P. Levy, H.J. Lipkin, D. Loss, S.-k. Ma, A. MacDonald, A. MacKinnon, D. Mailly, R.S. Markiewicz, Y. Meir, P.A. Mello, U. Meirav, M. Milgrom, J.E. Mooij, B. Muhlschlegel, D. Mukamel, D. Newns, Y. Ono, D. Orgad, I. Pelah, J.P. Pendry, M. Pepper, D. Prober, N. Read, H. Rohrer, T.M. Rice, M. Sarachik, M. Schlechter, A. Schmid, G. Schon, T.D. Schultz, Z. Schuss, M. Schwartz, S. Shapiro, B.L Shklovskii, N. Sivan, C.M. Soukoulis, B.Z. Spivak, F. Stern, C.-c. Tsuei, D.C. Tsui, B. van Wees, D. Vollhardt, K. von Klitzing, S. von Molnar, R. Voss, S. Washburn, R. Webb, F. Wegner, H. Weidenmuller, R. Wheeler, P. Wieg- man, J. Wilkins, N. Wingreen, S. Wolf, P. Wolfle.

Особенно благодарен автор своим четырем аспирантам последнего времени (перечисленным ниже в хронологическом порядке): Yuval Gefen, Uri Sivan, Ady Stern, Nathan Argaman, а также Amir Yacoby. Bee они из учеников очень быстро превратились в друзей и коллег и внесли огромный вклад как в нашу совместную работу, так и в общее понимание физики предмета. Автору также хотелось бы с благодарностью вспомнить сотрудничество с ныне покойными A.G. Aronov, S.-k. Ma, I. Pelah. Особая признательность выражается R. Landauer, C. Bruder, M. Heiblum, D. Orgad, U. Sivan, U. Smilansky, A. Stern, прочитавшим книгу в рукописи и сделавшим важные замечания. Вся ответственность за возможные ошибки, пропуски и прочие недоразумения, которые могут встретиться при чтении книги, целиком остаются на совести автора.

На различных стадиях этого исследования автор пользовался гостеприимством многих лабораторий и институтов, которым он хотел

бы выразить свою благодарность. Среди них Soreq Nuclear Research Center, Cornell University, Tufts University, Tel-Aviv University, the University of California at Santa Barbara and San Diego, Brookhaven National Laboratory, the IBM Yorktown Research Center, CEN Saclay, the University of Karlsruhe and the Humboldt Foundation, the Wissenschaftskolleg of Berlin, Ecole Normale Superiere, и, наконец, — the Weizmann Institute of Science — последний по порядку, но не по значению. Автор признателен за финансовую поддержку следующим организациям: BSE (U.S.-Israel Binational Science Foundation, GIF (German-Israeli Binational Science Foundation, the Israel Academy of Science and Science Foundation, the Minerva Science Foundation. Большое спасибо Mrs. Naomi Cohen, которая печатала рукопись.

Наконец, автор благодарен N. Argaman, С. Bruder, D. Cohen, R. de Piccioto, U. Gavish, Y. Gefen, S. Levit, Z. Ovadiahu, M. Schlechter, B. Shapiro, A. Stern и I. Ussishkin, прочитавшим первый вариант книги и указавшим на ряд ошибок и опечаток.

Предисловие ко второму изданию

Для этого издания гл. 3, 8 и 9, а также цитированная литература были существенно переработаны. Был включен краткий обзор некоторых новых результатов, касающихся очень маленьких квантовых точек и недавно появившихся органических и молекулярных проводников. Эти системы представляют собой примеры из бурно развивающейся новой области мезоскопики — нанофизики, которая исследует самые маленькие из мезоскопических объектов. Нанофизика за последнее время выдвинула несколько очень многообещающих направлений исследования. Было исправлено множество ошибок и опечаток, обнаруженных в первом издании. Автор благодарен многим коллегам за сообщения об обнаруженных ошибках и за комментарии. В частности, очень полезными были замечания N. Andrei, N. Argaman, Н. Bouchiat, С. Bruder, N.M. Tchelkatchev, C. Dekker, S. Levit, M. Schlechter, A. Silva, A. Stern и I. Ussishkin. Особая благодарность выражается Uri Gavish за большую помощь в написании нового варианта гл. 8 и при подборе литературы. Часть работы по подготовке второго издания книги была выполнена во время пребывания автора в Ecole Normale Superiere в Париже. Автор признателен С. Dekker за предоставление новых рисунков, использованных в гл. 9.

ВВЕДЕНИЕ

Общие замечания. Физика твердого тела и статистическая физика исследуют в основном свойства макроскопических систем, используя так называемый термодинамический предел, предполагающий, что объем Q и число частиц N в системе стремятся к бесконечности при постоянной плотности п = A^/Q. Такое приближение позволяет найти большинство «объемных» характеристик системы. Обычно систему можно считать макроскопической, если ее размер много больше некоторой характерной корреляционной длины £ или, говоря более точно, всех таких длин. Как правило, длина £ является микроскопической величиной, имеющей порядок среднего расстояния между частицами п1/3, однако в некоторых случаях (например, в окрестности точки фазового перехода второго рода) корреляционная длина £ может стать очень большой, и тогда поведение системы отличается от макроскопического в широком диапазоне размеров (Imry and Bergman, 1971).

Другой случай, где диапазон изменения размеров системы, разделяющих микроскопический и макроскопический пределы, очень широк — это случай небольших металлических или полупроводниковых образцов при низкой температуре. В таких образцах появляются две важные новые особенности: во-первых, спектр электронов становится дискретным, и, во-вторых, движение электронов становится когерентным, в том смысле, что, проходя из одного конца образца в другой, электрон, как правило, не испытывает неупругого рассеяния, и поэтому его волновая функция обладает определенной фазой. Первая особенность, однако, оказывается менее заметной, если взаимодействие системы с окружающими телами достаточно сильно и способно значительно уширить дискретные уровни. Обычно более важным является второе свойство, так как благодаря ему могут проявляться различные интерференционные эффекты. Везде далее в этой книге мы сконцентрируем внимание на изучении систем именно такого типа.

Исследование систем промежуточного — между микроскопическим и макроскопическим — размера (такой размер часто называют «мезоскопическим» — термин, введенный Ван Кампеном в 1981 г. (van Kampen, 1981)) представляет интерес не только для выяснения, каким образом достигается термодинамический предел при последовательном увеличении размера системы от молекулы до массивного образца. Существует много явлений, которые присущи только мезоскопическим системам. Мезоскопические системы в действительности похожи на большие молекулы, но они всегда, по меньшей мере слабо, связаны (посредством фононов, многочастичных возбуждений и т. д.) с гораздо

большими (по существу — бесконечными) системами. Иногда силу этой связи можно контролировать, и, в идеале, было бы интересно проследить, как меняются различные характеристики системы при последовательном изменении силы связи от случая почти невзаимодействующей (замкнутой) до сильно взаимодействующей (открытой) системы. В дальнейшем мы увидим, что фундаментальные принципы квантовой механики совершенно необходимы для объяснения свойств мезоскопических систем, так как процессы термализации и неупругого рассеяния идут в них очень медленно и поэтому фаза волновой функции играет важнейшую роль.

Важным понятием в статистической физике является концепция «примесного ансамбля». Примесный ансамбль — это набор систем, имеющих одинаковые макроскопические параметры, но отличающихся конкретной реализацией беспорядка. Например, у всех систем из такого ансамбля концентрации примесей одинаковы, однако детали расположения примесей различны. Обычно при вычислении каких-либо макроскопических характеристик системы производится усреднение по ансамблю, т. е. по расположению примесей. Для мезоскопики принципиально интересным является различие между характеристиками, усредненными по беспорядку, и свойствами каждой отдельно взятой системы из ансамбля (Landauer, 1970; Azbel, 1973; Imry, 1977; Anderson et al., 1980; Azbel and Soven, 1983; Gefen, 1984, частное сообщение). Изучение «отпечатков пальцев» отдельной системы позволяет иногда получить информацию о конкретном расположении примесей в образце (Azbel, 1973). Интересно также исследовать эффекты, связанные с изменением конфигурации примесей во времени (обычно на больших временных масштабах), которые приводят к низкочастотному шуму (Feng et al., 1986).

Многие законы, справедливые в макроскопической физике, оказываются неверными в мезоскопике. Например, известные правила сложения сопротивлений при последовательном и параллельном соединении проводников в мезоскопике несправедливы и заменяются на более сложные (Landauer, 1970; Anderson et al., 1980; Gefen et al., 1984a,b). Движение электронов имеет волновой характер и весьма сходно с распространением электромагнитного излучения в волноводах (за исключением некоторых интересных случаев, в которых беспорядок нарушает полноту этой аналогии). Такое поведение электронов в мезоскопических системах накладывает принципиальные ограничения на минимальный размер электронных устройств, меньше которого они не могут быть сделаны. С другой стороны, существенно волновая природа электронов в мезоскопических системах, состоящих из небольших «нормальных» проводников, может дать новые идеи для создания приборов, работающих по аналогии со SQUID-ами (сверхпроводящими квантовыми интерферометрами), с другими приборами, использующими эффект Джозефсона, а также с оптическими и волноводными устройствами (см., например, Hahlbohm and Lubbig, 1985).

Техника контролируемого выращивания, например метод молекулярно-лучевой эпитаксии (см. Herman and Sitter, 1989), а также современные оптические, рентгеновские и электронно-лучевые литографические методы, дали возможность создавать различные структуры сверхмалых размеров. Технология изготовления таких структур (см., например, Howard and Prober, 1982; Prober, 1983; Laibowitz, 1983; Broers, 1989) развивается сейчас очень быстрыми темпами, и уже стало возможным проверить некоторые теоретические предсказания в реальных экспериментах. В полупроводниковых устройствах, работа которых основывается на идее квантовой ямы, движение электронов ограничено в одном направлении (Ando et al., 1982), в результате чего образуется 2D (двумерный) электронный газ. Выращивая структуры, параллельные поверхности этого 2D электронного газа, можно создавать устройства с весьма небольшим числом активных электронов и/или квантовых состояний. (Ссылки и краткий обзор существующих систем и методов их изготовления приведены в следующем параграфе.)

С другой стороны, недавний технологический прорыв, связанный с появлением сканирующего теннельного микроскопа (Binnig et al., 1982), дает новый инструмент, позволяющиий создавать и изучать системы уже на атомных масштабах (как свежий пример см. Crommie et al., 1993). Вероятно, вскоре станет возможным создание и экспериментальное исследование огромных проводящих искусственных молекул, такого же (или чуть меньшего) размера, как и обычные макромолекулы. Эта потенциальная область исследования также очень интересна.

Мезоскопические структуры могут служить волноводами для фотонов и потому с электромагнитными волнами в этих структурах происходят те же явления, что и с электронами. Кроме того, разумеется, имеется много интересных эффектов, связанных с электрон-фотонным взаимодействием в различных его вариантах. И в мезоскопике, и в задаче о распространении света в неупорядоченных средах (John et al., 1983; Feng and Lee, 1991; Sheng, 1995), были достигнуты значительные успехи благодаря использованию их взаимной аналогии (см., например, van Haeringen and Lenstra, 1991).

Эта книга в основном имеет дело с теорией. Однако там, где это возможно, мы отдаем предпочтение скорее простым объяснениям, качественным оценкам и полуколичественным вычислениям, чем демонстрации мощи какого-либо формального теоретического метода. Мы надеемся, что качественное понимание физических законов окажется полезным при постановке новых экспериментов.

Одним из полезных и мощных понятий в физике является концепция универсальности, т. е. представление о том, что различные измеримые величины не зависят от большинства микроскопических свойств системы. Первоначально понятие универсальности было введено Када- новым при изучении критических явлений, где крупномасштабные физические свойства не зависят от микроскопических деталей. Более ранними примерами универсальности являются: а) независимость коэф-

фициентов Холла от эффективной массы и времени рассеяния; б) закон Дебая Т3 для теплоемкости. Последний закон является очень хорошим примером возникновения универсальности вследствие общих свойств спектра (здесь плотности состояний) некоторого оператора (фононного Гамильтониана). Такие универсальности очень важны в мезоскопике. В некотором смысле, это даже удивительно, что «грязные» и неидеальные мезоскопические системы проявляют такую универсальность, в то время как для изучения универсальности, например в критических явлениях, необходимы сверхчистые и идеальные системы.

Мы очень кратко коснемся экспериментальных методов, по большей части только затем, чтобы понять, что может быть сделано и какие ограничения существуют. Теория мезоскопических систем становится все более сложной (и интересной), по мере того как понимание одноэлектронных свойств становится полным и возникает необходимость перехода к исследованию многоэлектронных явлений, где взаимодействие играет существенную роль (см. недавние обзоры Imry and Sivan, 1994). Мы сконцентрируем внимание на изучении равновесных свойств и различных электронных транспортных явлений. Хорошим обзором оптических явлений является обзор Schmitt-Rink et al. (1989). Статья Bastard et al. (1991) содержит обзор полупроводниковых гетероструктур и некоторых их оптических свойств. Сходство между оптическими и электронными явлениями обсуждается в работе van Haeringen and Lenstra (1991). Мы рассмотрим только некоторые интересующие нас аспекты баллистического транспорта (см. Heiblum et al., 1985; Beenakker and van Houten, 1991d) и кратко упомянем о явлении кулоновской блокады (смотри задачу 5 гл. 5 и ссылки в статьях Grabert and Devoret, 1992; Hekking et al., 1994). Здесь мы отметим также и недавно предложенную гидродинамическую аналогию электронного транспорта (de Jong and Molenkamp, 1995).

В следующем параграфе будут кратко описаны экспериментальные системы и техника их изготовления. В гл. 2 будут обсуждаться ограничения на применимость обычной квазиклассической теории электронного транспорта и рассмотрен противоположный предел — Андерсонвская локализация. Так как фазовая когерентность играет исключительно важную роль в мезоскопике, мы посвятим гл. 3 описанию механизмов ее нарушения и рассмотрим некоторые примеры. В гл 4 обсуждаются равновесные свойства, а в гл. 5 — транспортные явления в мезоскопических системах. Гл. 6 посвящена явлениям в сильных магнитных полях и квантовому эффекту Холла, гл. 7 — мезоскопической сверхроводимости, а гл. 8 — различным явлениям, связанным с шумами. Заключительные замечания собраны в гл. 9. Некоторые частные вопросы рассмотрены в приложениях.

Краткое описание систем и методов их изготовления. В экспериментах с проводящими мезоскопическими системами используются следующие три класса проводников.

Металлы. Они имеют высокую концентрацию носителей заряда (~1022 см-3) и широкий диапазон изменения степени чистоты и длины свободного пробега. Многие металлы становятся сверхпроводниками при низких температурах, что приводит к дополнительным интересным явлениям.

Полупроводники. Здесь концентрация и тип носителей заряда может контролируемым образом изменяться в пределах 1015-1019 см-3, что достигается добавлением примесей, оптическим возбуждением или использованием электростатических затворов. Специальными методами можно достигать высокой подвижности носителей, а также устраивать гетероконтакты — поверхности контакта двух различных полупроводников. Такие гетероконтакты могут обладать необычными свойствами (см. ниже).

Полуметаллы. Они используются в некоторых специальных случаях. Они имеют промежуточную концентрацию носителей заряда (1О19-1О20 см-3), причем носителями одновременно являются и электроны, и дырки. В некоторых полуметаллах (особенно в висмуте, где впервые были обнаружены многие квантовые осцилляционные эффекты) длина свободного пробега при низких температурах может достигать чрезвычайно больших (практически макроскопических) значений.

Для создания низкоразмерных проводящих систем необходимо приготовление образцов, поперечные размеры («толщина») которых гораздо меньше продольных (см. специальный выпуск IBM J. Research and Development. 1998. V. 32. P. 4.). Пленки, включая очень тонкие, можно получать стандартными методами нанесения покрытий (испарением или напылением) которые применимы для изготовления как изолирующих, так и проводящих слоев. В настоящее время высококачественные полупроводниковые системы, в том числе двумерные, изготовляются путем последовательного выращивания отдельных слоев кристаллической решетки с очень жестким контролем параметров. Этот метод — метод молекулярно-лучевой эпитаксии (МВЕ) — кратко рассмотрен ниже (см. Esaki, 1984, 1986; Gossard, 1986; Herman and Sitter, 1989). С его помощью можно, например, вырастить два различных полупроводника на поверхности друг друга, особенно, если постоянные их кристаллических решеток приблизительно совпадают Д . Классическими примерами таких систем являются Ga As и Al As и их комбинации, однако возможны и другие варианты. Недавно методом эпитаксии удалось вырастить SiGe-структуру на поверхности Ge (Meyerson et al., 1990; Ismail et al., 1991).

Различие зонных структур (главным образом, ширины щели Eg) и работы выхода (разности энергий между уровнем Ферми в образце и уровнем энергии электрона в вакууме) обычно вызывает перераспре-

х) Это условие, однако, не обязательно (см. van der Merwe, 1963). Его нарушение приводит к интересному случаю «напряженных слоев».

деление заряда между двумя соприкасающимися материалами, выравнивающее их электрохимические потенциалы. Электроны начинают притягиваться к оставшимся дыркам, из-за чего у поверхности контакта образуется дипольный слой (см. например Ashcroft and Mermin, 1976), который приводит к появлению пространственной зависимости потенциальной энергии, или, другими словами, к изгибу энергетических зон возле контакта. Таким образом можно формировать потенциальные ямы, барьеры и т.д, получать обогащенные или инвертированные слои полупроводника, а также такие слои, движение электронов в которых эффективно является двумерным. Помещая между двумя слоями полупроводника одного типа слой полупроводника другого типа, можно формировать и более сложные потенциальные рельефы. Последовательно повторяя такие структуры, можно создавать периодические (в направлении роста) сверхрешетки (Esaki, 1984, 1986). В комбинации с контролем поверхностных зарядов с помощью электростатических затворов этот метод дает замечательные возможности для конструирования искусственных материалов (см. обзоры: Ando et al., 1982; Sze, 1985; Esaki, 1986; Grossard, 1986).

Качество тонких металлических пленок, выращиваемых в высоковакуумных установках, в настоящее время уже приблизилось к качеству, достигнутому в методе молекулярно-лучевой эпитаксии (Haviland et al., 1989). Здесь, однако, нет столь широких возможностей для изменения свойств системы путем добавления примесей, создания структур из различных материалов и применения электростатических затворов (хотя последнее, в принципе, возможно). Существуют и другие — менее дорогие — ростовые методы. Качество образцов, получаемых этими методами, в настоящее время хуже, чем в методе молекулярно-лучевой эпитаксии, однако для многих целей это качество оказывается достаточным (см. например Razeghi, 1989).

В методе молекулярно-лучевой эпитаксии используются установки сверхвысокого вакуума (как правило 10“11 тор) и высококачественные монокристаллические подложки, на которых выращиваются образцы. Подложка нагревается до довольно высокой температуры, для того чтобы атомы, поступающие из источников, контролируемых заслонками, имели высокую подвижность в направлении, параллельном ее поверхности. Часто достаточно контролировать поступление атомов только одного сорта, например Ga, атомы же второго сорта (As) садятся на поверхность только в том случае, если находят там свободный атом Ga в качестве соседа. В результате стехиометрический состав вещества поддерживается автоматически. Процесс роста отслеживается в реальном времени при помощи метода дифракции высоко-энергетических электронов. Это позволяет контролируемо, слой за слоем, выращивать атомарно гладкие поверхности превосходной чистоты. В результате длина свободного пробега в готовом образце может достигать десятков микронов и движение электронов как перпендикулярно, так и парал-

лельно пленке оказывается «баллистическим» на значительных пространственных масштабах.

Структуры, параллельные двумерному слою, создаются при помощи разнообразных литографических методов (см., например, Prober, 1983; Howard and Prober, 1982; Broers, 1989). Ниже мы кратко расскажем об этих методах, их возможностях и ограничениях.

Основная идея литографии заключается в нанесении на плоскую поверхность материала пленки полимера, которая — в случае оптической литографии — является фотоактивной (в электронно-лучевом методе в качестве покрытия обычно используется РММА — poly methyl methacrylate), т.е очень чувствительной к воздействию излучения определенного сорта (света, рентгеновских лучей, электронов или ионов). В методе используется способность фотоактивной пленки изменять некоторые физико-химические свойства под действием излучения. Например, излучение может вызывать разрыв и укорочение полимерных цепочек, а также образование межмолекулярных связей. Засвеченный фотослой можно смыть веществом, называемым проявителем, которое растворяет незасвеченные участки значительно медленнее, чем засвеченные. Тем самым, если рисунок в виде тонкого провода, кольца и т. п. спроецировать, например оптически, на фотослой, то затем можно удалить засвеченную часть фотослоя, оставив незасвеченную неповрежденной.

Существует много различных вариантов продолжения процесса изготовления структуры, мы остановимся на одном из них. Если фотослой был нанесен, например на металлическую пленку, тогда подходящей кислотой можно растворить или вытравить открытый металл, оставив нетронутым металл под незасвеченным фотослоем. Можно, наоборот, нанести на уже приготовленную маску из фотослоя пленку металла, а затем соответствующим растворителем (который называется вторым проявителем) смыть металл, находящийся на поверхности оставшегося фотослоя, причем в тех местах, где фотослоя не было, участки металлической пленки останутся на месте.

Возможны и другие способы обработки, подобные литографической технике, а именно: а) травление реактивными ионами (RIE), используемое для получения областей травления сильно вытянутой геометрической формы, для разрушения определенных участков и для удаления или нанесения пленок окисла; б) ионная имплантация, применяемая для легирования, сплавления или разрушения образца с контролем по глубине. Ясно, что с помощью хорошо известных оптических методов можно делать поверхностные структуры с разрешением не лучшим, чем длина волны света (дифракционный предел). Если требуется лучшее разрешение, необходимо использовать коротковолновое излучение. Применение ультрафиолетового излучения может дать лишь умеренное улучшение разрешения. Наименьший размер поверхностных структур достигается при помощи рентгена, электронов и ионов, с использованием подходящих покрытий, чувствительных к этим излучениям.

Оказывается, что такими методами можно достичь продольного разрешения порядка 100 А, причем предел разрешения определяется не длиной волны излучения (которая может быть порядка атомных масштабов), а внутренними свойствами самого фоточувствительного слоя, а именно размером области, в которую проникают вторичные электроны, рождающиеся при поглощении жесткого излучения. Эти электроны разрушают фоточувствительный слой не только в точке попадания первоначального излучения, но и в некоторой ее окрестности, производя тем самым как бы эффект уширения пучка. Учитывая, что 100 А составляет около 30 фермиевских длин волн в металле и менее одной фермиевской длины волны в GaAs, данное разрешение можно признать весьма впечатляющим. Часто, особенно в полупроводниковых системах, возникает необходимость в создании — с помощью вышеописанных методов — разных «рисунков» в различных слоях гетероструктуры. Для этого существуют методы, позволяющие — после удаления образца, обработки и помещения его обратно в камеру микроскопа — снова попасть электронным пучком в то же самое место (в пределах тех же 100 А). Таким образом, на современном уровне развития технологии возможно изготовление очень многих мезоскопических структур с подобным разрешением. Пример наноструктуры, изготовленной с помощью электронного пучка, показан на рис. 1.1. Модификацией обычного сканирующего электронного микроскопа можно достичь разрешения выше 500 А для однослойных структур (см. обзор Broers, 1989).

Как бы впечатляющи ни были данные методы, необходимо признать, что получающиеся структуры еще весьма далеки от идеала. Например, проволока толщиной несколько сот ангстрем, полученная травлением, как правило, имеет очень неровные края, что вызывает сильное диффузное рассеяние электронов. Это рассеяние значительно понижает их подвижность, особенно в полупроводниковых системах. Одним из способов избежать этих неприятностей является создание полупроводниковых структур с помощью электростатических затворов. При большом отрицательном напряжении затвор может вызвать истощение двумерного электронного газа непосредственно под собой, а также (за счет полей рассеяния) в небольшой прилегающей области. В результате между двумя такими затворами формируется узкий канал, ширина которого может немного варьироваться при изменении напряжения на затворах. Оказывается, что электростатические эффекты имеют тенденцию к сглаживанию микроскопических нерегулярностей на краях затвора, что позволяет создавать каналы с хорошей подвижностью (Thornton et al., 1986). Таким способом можно делать высококачественные каналы с шириной вплоть до нескольких длин волн. Получение более узких одномерных каналов требует привлечения других методов. Недавно новая одномерная структура была получена при помощи MOCVD метода выращивания (Razeghi, 1989) внутри желобка на поверхности подложки (Kapon et al., 1989). Другая полез-

Рис. 1.1. Пример наноструктуры, созданной электронным пучком и предназначенной для изучения интерференции электронов в кольцевой геометрии (Yakobi et al., 1995). Электроны проходят из источника S в сток D, расположенный в двумерном электронном газе (темная область), через два рукава кольца, образованного электростатическими затворами (более светлая область). Два (необозначенных) тонких затвора образуют левом рукаве кольца квантовую точку (затворы отделяют точку от рукава). Управляющий затвор Р предназначен для регулирования электростатического потенциала квантовой точки. Дополнительный затвор В управляет потенциалом центральной области (дыры в проводящем кольце), контролируя тем самым ширину рукавов. Этот затвор выходит наружу через «воздушный мост» В, проходящий на более высоком уровне (т. е. в другом слое) во избежание контакта с нижним затвором. Совмещение структур на двух уровнях, необходимость в котором возникла при создании этой системы, оказалось непростой технологической задачей. В эксперименте исследовались интерференционные осцилляции (теоретическое описание см. на стр. 103) в зависимости от напряжения на управляющем затворе Р и/или от магнитного поля, пронизывающего кольцо. В работе было продемонстрировано, что когерентность электронов, резонансно тунеллирующих через квантовую точку, сохраняется в течение времени порядка 3 нс

ная ростовая техника — техника скалывания избыточно выращенных краев: cleaved edge overgrowth (Pfeiffer et al., 1993; Yacoby et al., 1996).

Наилучшего разрешения, порядка атомного, можно достичь с помощью метода, использующего сканирующий туннельный микроскоп (STM; Binning et al., 1982). В этом методе достигнута столь высокая

степень совершенства, что для создания требуемой структуры по подложке могут, при необходимости, контролируемым способом перемещаться отдельные атомы (см. рис. 1.2).

Рис. 1.2. «Квантовый коралл», демонстрирующий возможности методов, использующих сканирующий туннельный микроскоп (рис. из Crommie et al., 1993). Кольцо из 48 атомов железа с радиусом порядка 140 Абыло сделано на поверхности [111] меди. Измерения радиальных колебаний высоты были сделаны с помощью той же техники. Эти концентрические волны, прекрасно видные на рисунке, возникают как собственные квантовые состояния коралла и демонстрируют почти идеальное качество поверхности внутри кольца

Та же самая технология используется для осуществления контакта со структурой с целью проведения на ней разнообразных измерений, что, в принципе, позволяет приблизиться к микроскопическому пределу мезоскопики (см. Crommie et al., 1993; Avouris and Lyo, 1994). Поскольку данный метод работает очень медленно и имеет дело с индивидуальными образцами, в настоящее время прикладываются усилия для его автоматизации и увеличения быстродействия.

Глава 2КВАНТОВЫЙ ТРАНСПОРТ.АНДЕРСОНОВСКАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ

Основные принципы

Квазиклассическая теория электронного транспорта Блоха-Больцмана успешно описывает зависимость от концентрации примесей и температурную зависимость удельной проводимости относительно чистых, слабо неупорядоченных проводников. Другие транспортные явления — магнитосопротивление, эффект Холла, теплопроводность и термоэд с — также хорошо описываются этой теорией. Однако когда величина беспорядка (или концентрация примесей) становится очень большой, возникают новые эффекты, которые нельзя объяснить в рамках теории слабого рассеяния. В частности, температурная зависимость удельного сопротивления р становится более слабой и в конце концов — при сильном беспорядке — меняет знак (Weismann et al., 1979), причем нарушается правило Матисса, согласно которому вклады в р от беспорядка и температуры аддитивны. Чрезвычайно интересная закономерность была обнаружена в работе (Mooij, 1973), а именно: для широкого класса неупорядоченных систем (включающего около сотни различных образцов) производная dp/dT становится отрицательной, когда р превышает некоторое значение, лежащее в диапазоне 80-180 р£1 см. Эта «почти универсальная» тенденция должна иметь столь же универсальное объяснение, которое может только слабо зависеть от конкретных свойств материала. При попытке найти такое объяснение следует помнить, что в теории слабого рассеяния производная dp/dT всегда положительна, так что, очевидно, требуется выход за пределы этой теории. Чтобы понять пределы применимости квазиклассической теории электронного транспорта, вспомним, что обычная формула Друде для удельной проводимости при слабом рассеянии,

2

(2Л)(2Л)пе г

(2Л)

(2Л)

<70 = т

(где п — плотность электронов, т — транспортное время релаксации, т — эффективная масса электрона), справедлива, только когда электронная длина волны XF = 2тг/kF много меньше длины свободного пробега / = vft, или, в других терминах:

к Fl ^> 1, Е ft ^> 1.к Fl ^> 1, Е ft ^> 1.(2-2)(2-2)

к Fl ^> 1, Е ft ^> 1.

к Fl ^> 1, Е ft ^> 1.

(2-2)

(2-2)

Перепишем (2.1), учитывая, что п = А^/Зтг2:

2

<т0 =2 k^pl.(2.3)

2тг л,

Тогда, учитывая О , что 7z/e2 to 4.1&Q (так что {e^/h^kp—это удельная проводимость, соответствующая микроскопической длине XF\ условие (2.2) можно записать в виде

л—5 крI5x10/n 1 \

а0Хр « 5 х 10>,(2.4)

или, для удельного сопротивления р^ = 1/сг0:

Ро < 200/Ш cm • XF (в А).(2.5)

Для XF ~ 5 А (в большинстве металлов XF имеет такой порядок величины) это дает условие ро <С 10-3 Q см. Мы видим, что ква- зиклассическая теория становится сомнительной, когда р достигает 100/Ш см. Для полупроводников и полуметаллов она остается применимой при гораздо больших р, а для гранулированных металлов требуется небольшая модификация вышеприведенной оценки (Imry, 1981а; см. также текст, относящийся к формуле (2.43) ниже), однако ясно, что для металлов при kFl < 1 (или, что то же, при ро > > 10-3Q см) мы оказываемся в абсолютно в другом — новом — режиме. Выведенное выше условие (2.2) называется критерием Иоффе-Регеля (Yoffe and Regel, I960; см. также Mott and Davis, 1979). Мы увидим, что для описания нового режима в качестве отправной точки удобнее пользоваться не блоховскими волнами, а локализованными (за счет механизма локализации Андерсона) состояниями. Позднее выяснилось, что для низкоразмерных систем (т. е. для тонких пленок и проволок), условие dp/dT < 0 должно (при достаточно низких температурах) выполняется всегда — при любой степени беспорядка. Этот результат следует из теории локализации (для ссылок см. работы Lee, 1980, 1984 и следующие сборники статей: Friedman and Tunstall, 1978; Balian et al., 1979; Stern, 1982; Castellani et al., 1981; Nagaoka and Fukuyama, 1982; а также книгу Мотт и Дэвиса (Mott and Davis, 1979); и обзоры: Lee and Ramakrishnan, 1985; Aronov and Sharvin, 1987). Такое поведение одномерных и двумерных систем носит довольно универсальный характер: все более возрастающее число фактов показывает (Dolan and Osheroff, 1979; Giordano et al., 1979; Bishop et al., 1980; Pepper and Uren, 1982), что низкоразмерные системы всегда являются диэлектриками, т. е. их удельное сопротивление р —> оо при Т —> 0 (Thouless, 1977;

х) Для пояснения заметим, что (е2/Т1) — это «кондактанс», равный ~(4кП)-1. В этом нет ничего удивительного, поскольку постоянная тонкой структуры а = е2 (Ис = 1/137, ас-1 ~ 30 Q, соответствует «импедансу свободного пространства».

Abrahams et al., 1979). Однако достаточно убедительной, единой теории локализации для двумерных систем до сих пор не существует. Более того, имеется несколько фактов, свидетельствующих о явной недостаточности существующей теории (например, случай сильного спин-орбитального взаимодействия, где теория формально предсказывает неограниченный рост проводимости при Т —> 0). В настоящее время имеется очень большой интерес к возможности появления перехода металл-диэлектрик (в дальнейшем для краткости именуемого MI) в двумерных системах за счет кулоновского (Finkelstein, 1989) или спин-орбитального взаимодействий. Некоторые эксперименты указывают на наличие такого перехода (противоречащего вышеупомянутому представлению об обязательно диэлектрическом поведении двумерных систем), однако ни теоретики, ни экспериментаторы еще не пришли к единому мнению по этому вопросу.

Как мы уже отмечали, обычные массивные трехмерные системы становятся диэлектриками в вышеуказанном смысле при достаточно сильном беспорядке (Anderson, 1958). Поэтому степень беспорядка — важная величина, характеризующая один из механизмов перехода металл-диэлектрик. Другие механизмы, ответственные за этот переход, связаны с эффектами, изменяющими электронную зонную структуру (Mott, 1974); с электрон-электронным взаимодействием (Mott, 1974; Hubbard, 1964); с экситонными эффектами (Knox, 1963; des Cloizeaux, 1965; Keldysh and Kopaev, 1965; Kohn, 1965) и, возможно, также с явлением автолокализации электронов за счет их взаимодействия с фононами (Holstein, 1959; Toyozawa, 1961). Все эти механизмы, как мы увидим, могут действовать сообща и влиять друг на друга, но мы начнем с обсуждения задачи о невзаимодействующих электронах в заданном постоянном непериодическом потенциале.

Структура данной главы следующая: в следующем параграфе мы обсудим общую феноменологию локализации. Транспорт в локализованной фазе будет рассмотрен в §2. В § 3 мы расскажем о подходе Таулесса, начав со случая тонкой проволоки. Основы скейлинговой теории зависимости проводимости от длины образца будут, вместе со многими приложениями этой теории, изложены в § 4. Случай слабой локализации будет вкратце рассмотрен в § 5. В данной главе мы не будем касаться формализма Ландауэра, несмотря на то что он оказывается чрезвычайно полезным для изучения некоторых вопросов локализации. Этот формализм и его применения к задачам локализации и мезоскопики подробно описаны в гл. 5.

Идеи локализации

Решение задачи об электронном транспорте при сильном беспорядке дается Андерсонвской теорией локализации. Эта теория оказалась удачным средством для описания упомянутого выше круга явлений, (см. Jonson and Girvin, 1979; Imry, 1980a, 1981a,b). Она хорошо объяс-

няет зависимость р от температуры и магнитного поля В для не очень грязных систем (Hikami et al., 1981; Kawaguchi and Kawaji, 1982; cm. также обзоры Fukuyama, 1981b; Altshuler et al., 1982a; Bergmann, 1984; Altshuler and Aronov, 1985; Lee and Ramakrishnan, 1985). Теория предсказывает, что одномерные и двумерные системы в действительности не являются истинными металлами, и указывает на наличие MI перехода в трехмерных системах. С ее помощью были получены интересные результаты для неупорядоченных магнитных металлов, сверхпроводимости в неупорядоченных металлах и т. д. Электрон-электронное и электрон-фононное взаимодействия очень важны (см. Schmid, 1974; Abrahams et al., 1981; Altshuler and Aronov, 1979), и их обязательно нужно учитывать, коль скоро задача о «чистой локализации» оказывается решенной.

Обычно рассматривается модель, в которой в роли беспорядка выступает случайный потенциал V(г), такой, что

= 0 ,= С(\т - т-'|),(2.6)

причем характерной микроскопической длиной в рассматриваемой задаче является масштаб а, на котором существенно меняется функция (7, а характерное значение этой функции (С(0) > 0) связано с величиной флуктуаций потенциала. В случае С(х) ос 5(х) случайный потенциал V(г) называется белым шумом (так как фурье-гармоники С к в этом случае не зависят от к). Другая полезная модель беспорядка — периодический потенциал со случайной модуляцией. Комбинация такого потенциала со стандартной решеточной моделью сильной связи называется моделью Андерсона (Anderson, 1958):

7/ = ^eiC+Ci + ^^.c+Cj.+h.c.(2.7)

Здесь (zj) отвечает парам ближайших соседей z и J, а оператор с^ создает электрон на z-м узле решетки. Энергии Ei на различных узлах (в случае диагонального беспорядка) или матричные элементы перескока tij (в случае недиагонального беспорядка), или и те и другие вместе, могут рассматриваться как случайные величины. В случае диагонального беспорядка, если положить tij = V и считать, что ширина функции распределения величин Ei равна 2VF, то безразмерное отношение W (V можно использовать в качестве меры степени беспорядка. Задача о нахождении собственных состояний гамильтониана (2.7) сводится к задаче о диагонализации некоторой случайной матрицы. Очевидно, что решив такую математическую задачу, мы, одновременно с описанной выше проблемой электрона в неупорядоченном металле, могли бы решить также и некоторые другие физические проблемы, например задачу о фононах в неупорядоченном кристалле.

В своей пионерской работе 1958 года (ей предшествовали, в некотором отношении, только работы Ландауэра и Хелланда (Landauer and

Helland, 1954; Landauer, 1957)) Anderson рассмотрел гамильтониан (2.7) и показал, что достаточно сильный беспорядок приводит к локализации состояний этого гамильтониана. Очевидным примером явления локализации является образование состояния, локализованного на узле г в случае, когда энергия Ei очень велика (по абсолютной величине) по сравнению с типичным значением е^ чт0 аналогично формированию связанного состояния (или локального фононного колебания, см. Economou, 1990). Здесь огибающая волновой функции ^ достаточно быстро (обычно экспоненциально) затухает на больших расстояниях от центра локализации (т. е. узла г). В общем случае волновая функция ^ оказывается локализованной на некоторой характерной длине £, причем затухание ^ при удалении от узла г может быть существенно немонотонным и нерегулярным: оно может сопровождаться всплесками и осцилляциями. Образование локализованных состояний (с учетом их взаимной ортогональности), по-видимому, имеет некоторое общее сходство с формированием связанных состояний (см. Economou, 1990; например, оба эти явления особенно легко происходят в одномерных и двумерных системах). Эта аналогия, однако, еще недостаточно хорошо прояснена. В работе Андерсона была построена теория возмущений («локаторное разложение» для собственной энергии электрона), в которой за нулевое приближение была принята система несвязанных узлов (t^j = 0), а перескоки t^ учитывались как возмущение. Anderson обнаружил, что для достаточно больших W(V^ т. е. когда W (V > > (W/V^a эта теория возмущений «сходится с вероятностью единица». Верхняя оценка для величины (W/V)c может быть найдена из условия

(2.8)

где в — основание натуральных логарифмов, а К — координационное число решетки (см., например, недавний обзор Shalgi and Imry, 1995). Качественно сходимость означает, что если начать, скажем, с нулевого узла, то вклад очень удаленных узлов будет спадать достаточно быстро. Более строго, из факта сходимости следует (см. Thouless, 1970), что набор особенностей локальной функции Грина на узле ноль (Сфо^)) представляет собой плотное множество полюсов, большинство из которых (отвечающие локализованным состояниям, расположенным далеко от нулевого узла) имеют чрезвычайно маленький вычет на нулевом узле. Эти полюса являются нулями собственно-энергетической части, в которых она аналитична и поэтому имеет нулевую мнимую часть. Для делокализованных состояний, наоборот, собственноэнергетическая часть и Gqo должны иметь разрез на действительной оси в комплексной плоскости энергии, так что функция Грина обладает конечной мнимой частью. Эта мнимая часть совершенно необходима, если мы хотим, чтобы волновой пакет, локализованный на нулевом узле в начальный момент времени, смог бы потом расплыться по всему кристаллу.

На основании некоторых аналитических результатов и множества численных расчетов в настоящее время принято считать, что при достаточно сильном беспорядке все (или почти все) состояния локализуются (Licciardelo and Thouless, 1978; Stein and Krey, 1979, 1989; Domany and Sarker, 1979; Kramer et al., 1990; Kramer and MacKinnon, 1993). При промежуточной степени беспорядка (в размерностях d > > 2) ситуацию принято описывать следующим образом (Mott, 1966). Вследствие беспорядка возникают состояния в запрещенной зоне. Состояния вблизи середины разрешенной зоны делокализованы (т. е. являются «протяженными»), тогда как состояния вблизи ее краев могут быть локализованными. Протяженные и локализованные состояния отделены друг от друга краями подвижности Emi^ Ет2 (Mott, 1966), см. рис. 2.1. Существование краев подвижности следует из физически понятной тенденции к локализации при удалении энергии Е от цен-

Рис. 2.1. Плотность состояний с беспорядком и без него, а также края подвижности (в первом случае). Отметим гладкое поведение плотности состояний вблизи Emi. Более подробно о эффектах взаимодействия, приводящих к возникновению особенностей в плотности состояний вблизи eFl смотрите в приложении Е

тра разрешенной зоны, а также из качественных рассуждений Мотт, согласно которым протяженные и локализованные состояния не могут сосуществовать при одной и той же энергии, так как любое сколь угодно малое взаимодействие немедленно перемешало бы их ’). При увеличе-

х) Это утверждение не является строгим, так как для системы размера L характерное различие энергий двух энергетически близких состояний имеет порядок O(L~d), в то время как если протяженные и локализованные состояния находятся в различных частях системы, то взаимодействие между ними

нии отношения W (V края подвижности приближаются друг к другу и сливаются при некотором критическом значении (W/V^a когда все состояния становятся локализованными, т. е. происходит переход Андерсона. Подчеркнем, что плотность состояний на уровне Ферми, по-видимому, не проявляет каких-либо особенностей вследствие одних только эффектов локализации (S. Kirkpatrick, частное сообщение; Wegner, 1976, 1979).

Некоторые физически важные аспекты локализации следуют из того факта, что если все физически значимые состояния (состояния вблизи уровня Ферми) локализованы, то система должна быть диэлектриком при Т = 0. Это физически очевидное утверждение можно доказать, продемонстрировав равенство нулю коэффициента диффузии D. Действительно, как следует из соотношения Эйнштейна (Kubo, 1957), при квТ << Ер

о = D , (2.9) \dEJ

и проводимость ст также становится равной нулю при D = 0. Чтобы доказать равенство нулю коэффициента диффузии, представим себе узкий волновой пакет при t = 0, т = 0, такой, что ^(t = 0) = 52 aj^j, где 'ф j = \j^ — собственные состояния гамильтониана. Амплитуды aj будут экспоненциально малыми для всех локализованных состояний |J), находящихся от точки г = 0 на расстояниях, много больших локализационной длины £. Через время t волновая функция

(2.10)

будет также экспоненциально убывать с расстоянием. Поэтому величина (г2), которая, в случае диффузии, должна, при большом t, быть равной 2DtD никогда (даже при t —>- ос) не будет больше, чем О(^2), откуда следует, что D = 0. Из выражения (2.10) легко видеть, что вероятность остаться на начальном узле (т. е. среднее от |(0|^)|2 при больших временах) равно У2 1(0Ю|4- Последнюю величину принято на

з

зывать «обратной степенью участия» (inverse participation ratio, (IPR)). Помня, что 521^1^|2 = ^’ легко убедиться, что IPR обратно про-

3

порциональна объему локализации и поэтому стремится к нулю, если все состояния делокализованы. Это очень удобный тест для проверки наличия либо отсутствия локализации.

Обсуждавшееся выше заключение о том, что ст = 0 в режиме локализации, дает нам очень простой механизм (см. Mott, 1974) для перехода металл-диэлектрик. Энергии s F и Ет^ могут изменяться при изменении соответственно электронной плотности и степени беспорядка ). Как только ef переходит из области протяженных в область локализованных состояний, система переходит из металлической в диэлектрическую фазу. Так как в диэлектрической фазе р(Т = 0) = ос и р уменьшается с повышением температуры, то нет ничего удивительного в том, что производная dp/dT может быть отрицательной вблизи точки перехода по обе ее стороны, т. е. и в «плохом» диэлектрике, и — по непрерывности — в «плохом» металле. Приведенных выше рассуждений уже достаточно, чтобы констатировать, что теория локализации оказалась полезной как для объяснения аномальных свойств неупорядоченных проводников, так и для объяснения обусловленного беспорядком MI перехода.

Когда степень беспорядка (например, величина W (V в случае модели Андерсона) становится очень малой, можно применять обычную теорию слабого рассеяния для систем с размерностью больше 2 (и, как мы увидим, также для одномерных и двумерных систем малого размера или при высоких температурах). Удобным безразмерным параметром, характеризующим беспорядок, является параметр kFl (или имеющий тот же порядок величины параметр £ft\ где т — среднее время упругого рассеяния, I — средняя длина свободного пробега, / = = UpT (мы не рассматриваем здесь случай малоуглового рассеяния, при котором транспортное время много больше времени рассеяния). Малым параметром в теории слабого рассеяния является величина \)^кр1\ Заметим, что коэффициент диффузии по порядку величины равен D vFr = vFl и проводимость дается обычной формулой (2.1). Ситуация в двумерных системах гораздо интереснее, так как удельная проводимость (или кондактанс тонкой квадратной пленки, отнесенный к ее толщине), ст ос (е2/K)(kFl\ оказывается фундаментальной постоянной, умноженной n^kFl. Конечно же, как обсуждалось в § 1, теория слабого рассеяния становится неприменимой, если не выполняется условие kFl >> 1. Этот факт послужил основанием для возникновения концепции минимальной металлической проводимости при d > 2 (Yoffe and Regel, 1960; Mott, 1966), соответствующей случаю kFl ^ /. В трехмерном металле (см. уравнение (2.2))

2

<7min = С^ kF , (2.11)

где С — некоторая константа, значение которой, по оценке Мотт, лежит в пределах 0,01-0,05. Для металлических систем, где kF по-

А 1

рядка нескольких А , это дает, как уже отмечалось выше, величину удельного сопротивления порядка 10-3Q см, т. е. немного больше, но того же порядка, что и значение Мойя: 1-2 • 10-4Q см. В результате производная dp/dT может стать отрицательной при kFl ~ 5-10. Ясно, что (Tmin — это характерная проводимость, при которой становятся важными эффекты локализации. Mott привел ряд аргументов в пользу невозможности существования металлов с ст < (Tmin- Этот вопрос и необходимые уточнения ниже будут обсуждаться нами более подробно. В двумерном случае мы имеем «максимальное универсальное металлическое сопротивление» порядка /г/е2 ~ 25&Q и похожее, но чуть меньшее значение в одномерном случае.

Термоактивированная проводимостьв режиме локализации

Если состояния на уровне Ферми локализованы, т. е. если ef < Ет (для определенности мы будем считать, что ef находится в нижней половине зоны, и обозначать Ет = Етг\ т0 проводимость равна нулю при Т = 0. При малых, но конечных температурах, электрон может получить энергию из термостата (обычно от других возбуждений, например от фононов) и принять участие в ряде возможных процессов проводимости, перечисленных ниже (Mott and Davis, 1979).

Активация на край подвижности. Этому процессу соответствует проводимость

<71 ос е-''Ет-£р^квТ,

где коэффициент перед экспонентой пропорционален квадрату константы электрон-фононного взаимодействия.

Активация в соседнее локализованное состояние. Если длина локализации равна £, а плотность состояний на уровне Ферми — п(0), то число состояний на единицу энергии в объеме с линейным размером £ в d измерениях равно п(0)^, и поэтому характерная разница между энергиями двух таких соседних состояний имеет порядок

А; - HOR'V,(2-12)

что дает следующую оценку величины «прыжковой» проводимости с прыжками между ближайшими соседями (см., однако, обсуждение после формулы (2.29)):

<т2 ос е-^,квТ.(2.13)

Как заметил Мотт (Mott, 1966, 1970), электрону иногда оказывается выгоднее перескочить на гораздо большее расстояние, чтобы тем самым

уменьшить энергию, необходимую для прыжка. Таким образом, мы имеем третий тип термической проводимости.

Прыжковая проводимость с переменной длиной прыжка (variable range hopping-VRH). Мы будем считать, что вклад в прыжковую проводимость за счет локализованных состояний, находящихся друг от друга на расстояниях L ^> ^ пропорционален квадрату матричного элемента (интеграла перекрытия), т. е. величине Pe-2L^ где / — характерная энергия порядка А^. С другой стороны, энергию AL, необходимую теперь для прыжка, мы получим, обобщив аргументы, использованные при выводе формулы (2.12), и заметив, что AL уменьшается при увеличении L:

AL ~ (n(O)LT1 ~(2.14)

Вероятность прыгнуть на большую длину L содержит экспоненциально малый множитель e~2L^~^L^kBT. При низких температурах (см. ниже) становится выгодным прыгать на расстояния L >> £. Оптимальная длина прыжка LM определяется из минимума выражения в экспоненте:

Lm ~ (п(0)&Lm ~ (п(0)&\ i/(^+i)

Lm ~ (п(0)&

Lm ~ (п(0)&

-.(2.

Т)v

VRH-механизм проводимости играет существенную роль только тогда, когда Lm ^ £, т. е. при достаточно низких температурах Т <С 7g, где

квТ0~^.(2.16)

При таких низких температурах прыжковая проводимость с переменной длиной прыжка ст^ равна

<73 ос e-c(To/7)V(^D ,(2Л?)

где С — безразмерная константа. При Т > 7g доминирует прыжковая проводимость сг2, описываемая формулой (2.12) (или ее модификацией (2.29)). Теперь необходимо выяснить, чем заканчивается конкуренция между процессами проводимости cti и сг2. Оказывается, что обычно доминирует проводимость сг2, особенно вблизи точки MI перехода, где А^ стремится к нулю быстрее, чем (Ет — гF) (см. рассуждения в части 3.3 работы Shalgi and Imry, 1995). Если все же имеет место обратное неравенство (Ет — ef^ < А^, то в области простой активации будет доминировать проводимость ст^ i а переход к температурной зависимости моттовского типа: ст ос ехр [—(С'/Т71^^1^)] будет осуществляться при некоторой температуре, лежащей ниже, чем 7д.

Отметим, что расстояние LM в режиме прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка является важным пространствен-

ным масштабом, который, например, определяет эффективную размерность тонкой пленки или проволоки (Fowler et ak, 1982).

Мы не будем здесь подробно обсуждать влияние кулоновского взаимодействия на прыжковую проводимость. Отметим, что даже в приближении Хартри, можно получить «кулоновскую щель» вблизи энергии Ферми и показать, что при учете этой щели степень в показателе экспоненты формулы (2.17) изменится с l/(d + 1) на 1/2 (Pollak, 1970; Shklovskii and Efros, 1971, 1984). Такая температурная зависимость проводимости действительно наблюдается во многих случаях, однако вопрос об адекватной теории этого круга явлений до сих пор еще является предметом дискуссии.

Чрезвычайно поучительный и полезный подход к изучению прыжковой проводимости был предложен Амбегаокаром и др., Шкловским и Эфросом, и Поллаком (Ambegaokar et ak, 1971; Shklovskii and Efros, 1971; Pollak, 1972). Каждую связь, вдоль которой может произойти прыжок, можно, следуя идеям Миллера и Абрахамс (Miller and Abrahams, 1960), рассматривать как резистор. Вся решетка, таким образом, эквивалентна сетке случайных резисторов, причем сопротивления резисторов в этой сетке различаются очень сильно вследствие их экспоненциальной зависимости от параметров. Проводимость системы обеспечивается в основном резисторами с малыми сопротивлениями. Если мы удалим все большие сопротивления, то сопротивление всей сети останется практически неизменным. Этот процесс можно продолжать, удаляя резисторы все с меньшими и меньшими сопротивлением, пока не останутся только резисторы с сопротивлением, меньшим некоторого порогового значения Rq. Ниже этого порога дальнейшее удаление резисторов приведет к разрыву сетки и возникновению несвязной («неперколирующей») структуры. После того как достигнут предел Rq^ можно сказать, что все резисторы с сопротивлениями, много меньшими R^. эффективно являются просто закороченными связями. Поэтому сопротивление всей сети с хорошей степенью точности определяется именно «перколяционным сопротивлением» Rq. Такая теория позволяет определить численные коэффициенты, входящие в формулу (2.17) для прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка.

Перколяционные идеи оказались также весьма полезными для изучения магнитосопротивления в слабых полях в режиме прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка. Причина того, что сопротивление каждой связи зависит от магнитного поля В, состоит в том, что матричный элемент перехода электрона из одного локализованного состояния в другое определяется не только «прямым» путем между ними, но и суммой амплитуд перехода вдоль других возможных — непрямых — путей, что приводит к явлениям квантовой интерференции. Для этого случая была разработана очень интересная модель (Nguyen et ak, 1985а); дальнейшее развитие которой (Entin-Wohlman et ak, 1989)

Термоактивированная проводимость в реснсиме локализации 31 в свете теории перколяции дало результаты, неплохо объясняющие экспериментально наблюдаемое магнитосопротивление.

В сильных магнитных полях становится важным изменение длины локализации £ с увеличением В. Понимание этого явления (см., например, Lerner and Imry, 1995), а также эффекта Холла в локализованной фазе (Holstein, 1959, 1961) — две крупные нерешенные проблемы физики прыжковой проводимости.

Mott (Mott, 1970) привел ряд аргументов в пользу того, что при Т = 0 проводимость ст (си) на конечной частоте в локализованной фазе должна вести себя как

I Г I ^+1

ст(ш) ос ш2 In — . (2.18)

Физическая причина появления логарифмического множителя в выражении (2.18) состоит в следующем (подробное объяснение см. в работе Sivan and Imry, 1987). Считая, что Нш <С А^, найдем два локализованных состояния на расстоянии R >> £ друг от друга, таких, что для них выполняется соотношение

Ie~R^ т. е. = In (2.19)

(мы использовали формулу (2.13) и условие / ~ А^). Среди всех таких пар выберем те, у которых «затравочные» (т. е. без учета туннелирования) разности энергий меньше или порядка энергии гибридизации Ie~R^. Эти резонансные состояния очень хорошо смешиваются за счет туннелирования, так что собственные состояния электрона на такой паре будут «коллективизированы», а энергетическое расщепление между ними будет равно Нш (см. формулу (2.19)). Дипольный матричный элемент между этими состояниями будет порядка R £ In (А^ /Нш\ Число пар, обладающих указанными свойствами, пропорционально Я^-1^ — объему оболочки радиуса R с толщиной £. Комбинация этого числа и квадрата дипольного матричного элемента и дает логарифмический фактор llnc^l6^1 в формуле (2.18). Множитель ш2 возникает в результате применения формулы Кубо (см. формулу А.7 в приложении) и обычного подсчета числа состояний. Важным обстоятельством, которое следует иметь в виду при подобных оценках, является отталкивание уровней, т.е тот факт, что уровни энергии обычно не могут подходить слишком близко друг к другу. Заметим, что в данном случае Ie~R^ как раз и есть отталкивание между уровнями, которое, таким образом, здесь оказывается учтенным (Sivan and Imry, 1987). Поскольку характерная длина R^ существенная для ст (си), увеличивается с уменьшением частоты, можно ожидать интересных явлений частотно-размерного кроссовера в поведении ст (си) в мезоскопической области.

Теория Таулесса. Локализация в тонкихпроволоках и эффекты конечной температуры

Мы начнем этот параграф с краткого обзора туннельной проводимости, который, кстати, в дальнейшем поможет пониманию гл. 5. Рассмотрим два куска (называемые в дальнейшем блоками) проводящих материалов, связанных через пленку диэлектрика (обычно окисла), которая достаточно тонка, чтобы позволить электронам туннелировать через нее. Будем считать поверхность контакта шероховатой, так что закон сохранения поперечного импульса не выполняется: матричные элементы t перехода из любого состояния в левом блоке в любое состояние в правом приблизительно одинаковы. Если туннелирование можно рассматривать как малое возмущение, то среднее время жизни tl электрона в одном блоке (до перехода в другой) определяется золотым правилом Ферми:

< = (2.20)

где (t2) среднее от квадрата туннельного матричного элемента, a Nt^ef^ плотность состояний на конечной (правой) стороне. Считая плотность состояний на левой стороне равной N^ef\ мы получим, что при приложенном напряжении V слева существуют eV Ni^e F) состояний, которые могут протуннелировать направо за время ть. Предполагая, что различные состояния туннелируют независимо, мы находим, что средний ток равен / = eN^ef)tftV и, соответственно, кондактанс

G = , (2 21) tl п

Это чрезвычайно полезный результат. Второе равенство в (2.21) хорошо известно в теории туннельных контактов (Bardeen, 1961; см. также Harrison, 1970). Формулы (2.20, 2.21) справедливы в системах любой размерности. Важно отметить, что для справедливости выражения (2.20) необходима непрерывность спектра конечных состояний, тогда как в реальности правый блок имеет конечный размер и, следовательно, дискретный спектр. Чтобы обойти эту проблему, можно предположить, что взаимодействие нашей системы с окружающим миром приводит к уширению уровней, большему или порядка расстояния между ними. Это действительно так для большинства мезоскопических систем. В обратном пределе, когда уровни становятся по настоящему дискретными, мы переходим на истинно микроскопический (молекулярный) уровень.

Первое равенство в формуле (2.21) носит очень общий характер. Мы рассмотрим большой образец и разделим его на блоки — кубы со стороной L >> / , а, где / — средняя (упругая) длина свободного пробега,

Теория Таулесса. Локализация в тонких проволоках 33 а а — микроскопическая длина. Типичное расстояние AL между уровнями энергии вблизи уровня Ферми для блока равно обратному числу состояний (на единицу энергии) надлине L; ^L = Л^1^^). Определим энергетический масштаб VL = tvH(tl^ связянный с характерной частотой переноса электронов между двумя соседними блоками (tl — время жизни электрона на одном блоке до перехода на другой). Тогда безразмерный кондактанс между этими блоками gL = Gl/^/^K) можно представить в виде безразмерного отношения этих двух характерных энергий задачи:

gL = (2-22)

Таулесс обосновал это соотношение, заметив, что диффузия электронов на масштабе L представляет собой случайное блуждание с шагом L и характерным временем tl, и поэтому

Т 2

Dl ~ (2.23) tl

До тех пор пока справедлива картина классической диффузии, D L не должно зависеть ни от размера L, ни от tl = L2 / D — времени диффузии через блок. Как мы увидим ниже, локализация (т. е. квантовые эффекты) заставляет D L уменьшаться с ростом L. Для металлов удельная проводимость ст блока размера L определяется из соотношения Эйнштейна (2.9), а кондактанс в d измерениях равен GL ^ аь^”4. Собрав вместе эти равенства и вспомнив, что Nl(ef) ^ Lddn/dg^ мы и получим формулу (2.22). Чтобы лучше почувствовать физический смысл энергии h/rL, отметим, что, по крайней мере для случая слабой связи, из золотого правила Ферми следует (2.20) или

VL = (2.24)

Таким образом, VL может быть определено в терминах матричного элемента перехода между блоками. Формула (2.24) также дает оценку величины сдвига уровней в одном блоке из-за взаимодействия с другим блоком, вычисленного по теории возмущений. Для данного блока этот сдвиг напоминает поверхностный эффект — сдвиг уровней за счет изменения граничных условий на его поверхности. И действительно, Таулесс выдвинул изящные аргументы в пользу того, что величина VL есть не что иное, как чувствительность уровней блока к граничным условиям. Последнее утверждение справедливо, пока L много больше / и всех других микроскопических масштабов, за исключением, быть может, случая gL <С 1, где чувствительность к граничным условиям может служить, по крайней мере, оценкой величины gL&L сверху.

Так как в использованной выше скейлинговой картине разделение на блоки является фиктивным для однородных систем, ясно, что межблочный кондактанс можно оценить как кондактанс куска, размеры которого имеют порядок L, т. е. межблочный кондактанс сравним с кон- дактансом самого блока.

Проводимость блока можно также найти, используя формулу Кубо для линейного отклика, кратко рассмотренную в приложении А. Следует отметить, что формула Кубо применима, строго говоря, только к бесконечным системам с непрерывным спектром. Для конечных систем, однако (как мы покажем позднее), уже очень слабого взаимодействия электронной системы с некоторым большим резервуаром (например, с фононами или с большим куском проводящего материала) достаточно, для того чтобы дискретные уровни были уширены и эффективно образовали непрерывный спектр. Эдвардс и Таулесс (Edwards and Thouless, 1972), используя формализм Кубо-Гринвуда, очень аккуратно вывели связь величины VL с чувствительностью к граничным условиям. Этот вопрос обсуждается в приложении Б.

Блочную (скейлинговую) картину можно использовать и для численных расчетов безразмерного кондактанса g(L), который, как мы увидим, является наиболее важным физическим параметром в задаче с невзаимодействующими электронами. С другой стороны, как формула (2.24), так и ее обобщения также часто используются для численных вычислений. Существуют и другие мощные численные методы (Fisher and Lee, 1981). Важно отметить, что при gL >> 1 состояния в соседних блоках сильно гибридизованы между собой, тогда как при gL ^ <С 1 состояния в основном сосредоточены внутри одного блока. Таким образом, величина g является удобной безразмерной характеристикой силы взаимодействия между двумя квантовыми системами. Поэтому, в частности, если g L —>- 0 при L —> ос, то масштаб длины, на которой g L ~ 1, определяет длину локализации £.

Хотя все приведенные выше рассуждения относились к невзаимодействующим электронам, очевидно, что они носят гораздо более общий характер. Отношение VL/A^L является общей безразмерной характеристикой взаимодействия двух квантовых систем. Величина g L играет роль кондактанса и тогда, когда между двумя блоками переносятся более сложные объекты (например пары электронов, см. Imry, 1995).

Проведенный Таулессом (Thouless, 1977) анализ следствий формулы (2.24) для длинной тонкой проволоки привел к чрезвычайно важным результатам. Во-первых, было показано, что одномерная локализация проявляется не только в строго (математически) одномерных системах, но также и в реальных тонких проволоках с конечным поперечным сечением. Этот результат продемонстрировал полезность блочно-скейлинговой точки зрения. Во-вторых, было достигнуто понимание эффектов конечной температуры (и других экспериментальных параметров), что позволило установить связь между g(L) и экспериментально наблюдаемыми величинами в любой размерности. Таулесс

произвел анализ явлений, происходящих в проволке с заданным поперечным сечением А, в зависимости от длины L, и этот простой анализ оказался имеющим далеко идущие последствия. Для реальной проволоки характерный «поперечный размер» VA — много больше атомного расстояния а, но все еще много меньше, чем некоторый «макроскопический размер» (строгое определение этого понятия станет ясным позднее). В этой ситуации обычный закон Ома G L ос L1 оказывается справедливым, в лучшем случае, только в ограниченном диапазоне длин L. Действительно, предположим, что GL ос L-1. Тогда, для L > > Lc, где Lc определяется условием G L = е2/2/1, мы получим g(L) < < 1. Это означает, что локализация происходит как раз на масштабе Lc, который поэтому и является длиной локализации £ для данной системы. Иными словами, закон Ома (который действительно справедлив для обычных тонких проволок при конечных температурах), при Т —>- —> 0 верен только до тех пор, пока сопротивление всей проволоки остается меньшим, чем приблизительно 10&Q. Для длин L, больших чем £, сопротивление при Т —> О должно возрастать экспоненциально с увеличением L (см. рассуждения, следующие за формулой (2.10)). Величину £ легко оценить, считая, что GL ос L1 при а, I < L < £ (как и прежде, а — микроскопический масштаб, а I — средняя длина свободного пробега). Для заданного удельного сопротивления р условие для определения £ имеет вид 2К/е1 = р^/А и, в результате,

£ = Act - ^Ak^l, (2.25) е Зтг

где для получения второго приближенного равенства была использована формула (2.3). Таким образом, порядок величины длины £ равен длине свободного пробега /, умноженной на число электронных состояний в поперечном сечении провода. Для сечения атомного размера формула (2.25) дает величину порядка /, что согласуется с «чисто одномерным» случаем. Предположение о том, что G ~ L1 при L ^ ^ по крайней мере согласуется с нашими интуитивными представлениями о проволоках. Учитывая, что А ^> 1/L, мы приходим к теоретическому выводу о том, что (t2) ~ 1/L3 до тех пор, пока L ^ ^ (эта оценка представляется довольно разумной, если вспомнить об аналогии с поверхностным эффектом).

Конечно же, мы знаем, что сопротивление тонкой проволоки обычно не возрастает экспоненциально с увеличением ее длины. Однако никто никогда и не измерял сопротивление при нулевой температуре. Для того чтобы этот результат теории сильной локализации был справедлив, Т должна быть настолько низкой, чтобы электрон не испытывал влияния температурных эффектов в течение такого времени, за которое он успеет уйти на расстояния большие, чем £. В работе Таулесса впервые была сформулирована очень правдоподобная физическая гипотеза, согласно которой характерное время т^ неупругого рассеяния (или, в более общем случае, время сбоя фазы — см. гл. 3) становится

очень большим, когда Т стремится к нулю. Впоследствии эта гипотеза была точно обоснована. Во многих случаях можно написать закон

т^ ос Т"р ,(2.26)

где р — положительная степень, в котором нужно еще определить и показатель степени р, и коэффициент перед Т~р. Рассмотрим диффундирующий электрон, за время t проходящий расстояние VDt. Для того чтобы эффекты локализации проявились в полной мере, необходимо, чтобы номинальная длина фазовой когерентности, определяемая с помощью коэффициента диффузии D^ вычисленного при L < £, т. е. в делокализованной фазе:

Ч ее Vd^,(2.27)

была много больше чем £. В противном случае электрон успеет испытать много неупругих столкновений перед тем, как почувствует локализацию, так что эффект последней не будет заметным. Итак, мы приходим к заключению о том, что L^ — это очень важный масштаб длины в электронном движении. Аналогичным способом можно вывести необходимое условие для того, чтобы проволоку можно было считать эффективно одномерной:

L^ > VA,(2.28)

где VA имеет смысл среднего геометрического от толщины и ширины проволоки. Для очень плоской проволоки L^ должно быть больше, чем оба эти размера.

Thouless также провел довольно полный анализ низкотемпературного поведения транспорта в тонкой проволоке. Как только температура становится настолько малой, что т^ > £2/D (мы будем обозначать температуру перехода, где т^ = £2 / D. через Т^), движение электрона будет диффузионным процессом, контролируемым локализацией, т. е. случайным блужданием с шагом ( и с характерным временем прыжка т^, поэтому

аост^хГ,(2.29)

откуда видно, что при низких температурах проводимость стремится к нулю по степенному закону! Этот очень важный результат до сих пор не привлек должного внимания специалистов по теории локализации (см. Shapiro, 1983а,b). По-видимому, он был обоснован в работах Имри и Овадиаху (Imry and Ovadyahu, 1982b; Ovadyahu and Imry, 1995). Формула (2.29) подразумевает, что неупругие столкновения сообщают электрону достаточную энергию для перехода из одного блока размером £ в другой, соседний. Для этого необходимо выполнение условия △^ < Т, определяющего температуру То кроссовера между законом (2.29) при Т > То и экспоненциальной температурной зависимостью

при Т < Tq (см. § 3):

квТ0 = НО)^]"1

(ср. с формулой (2.16)). Поэтому необходимое условие для наблюдения степенной температурной зависимости Тр есть Т^ >> Tq. Приведенный выше анализ справедлив для локализованных состояний в произвольной размерности. Из него, по-видимому, следует, что температурная зависимость прыжковой проводимости между ближайшими соседями может быть степенной.

Остановимся теперь на изучении температурного диапазона Т > > Т^ где эффекты локализации слабы. Здесь длина L^ преобрета- ет прямой физический смысл: это расстояние, на которое электрон может продиффундировать когерентным квантово-механическим образом. На больших расстояниях движение становится классическим и контролируется процессами неупругого рассеяния. Поэтому если мы знаем квантовомеханический (т. е. найденный при Т = 0) закон g(L), то при конечных Т он остается справедливым только для L < L^. В диапазоне L > L^ можно доверять классической интуиции, которая утверждает, что при заданном токе напряжения вдоль последовательных участков в одномерном проводнике складываются. Это означает, что макроскопическая удельная проводимость образца определяется законом Ома, в котором используется кондактанс g(L), вычисленный на масштабе L = L^ (см. формулу (2.30) ниже). Это важное замечание может быть также выведено и из формализма Ландауэра, о котором будет рассказано в гл. 5 — в этом формализме электроны теряют когерентность не в самом образце, а в связанных с ним резервуарах. Итак, масштаб L^, на котором теряется когерентность в протяженной системе, определяет максимальную длину, до которой теория Т = = 0 остается справедливой. На больших масштабах устанавливается классический механизм проводимости. Это, в частности, дает идею метода для вычисления так называемых эффектов слабой локализации при L^ < £.

Скейлинговая теория локализациии ее следствия

Общие замечания. Проводимость куба со стороной L при Т = 0 в произвольной размерности можно, в принципе, найти численно, используя соотношение Таулесса (2.30) и различные способы определения VL (см., например, MacKinnon and Kramer, 1981). Еще одним (и, возможно, более эффективным) методом (Fisher and Lee, 1981) является использование обобщенной формулы Ландауэра (гл. 5). Зная функцию g(L) в соответствующем диапазоне значений L, и учитывая, что длина L^ (или £ и т^ в режиме сильной локализации, при L^ > £)

определяет характерный масштаб в температурной зависимости безразмерного кондактанса g, можно найти температурную зависимость макроскопической удельной проводимости сг:

2

a(T^^g(L)I?-d\L=Lv. (2.30)

Таким образом, сг может быть выражено в терминах кондактанса G. размерности образца d и масштаба L^. Легко обобщить это равенство на случай тонких пленок и проволок. Полученная формула (2.30) справедлива во всей металлической фазе, а также в режиме слабой локализации — при L^ < £. В режиме сильной локализации, L^ > £, при низких температурах, необходимо использовать выражение (2.29) и другие формулы, приведенные в § 2.

Ниже мы изложим и обсудим скейлинговую теорию локализации (Abrahams, Anderson, Licciardello, Ramakrishnan, 1979; см. также Wegner, 1976, 1979). Эта теория в действительности является остроумной догадкой, основанной на интерполяции между пределом хорошего проводника, g L >> 1, и локализованого диэлектрика, g L <С 1. Она согласуется с первыми поправками к проводимости хорошего проводника (случай слабого рассеяния); с большинством доступных на сегодня численных расчетов (см., например, Kramer et al., 1990; многие из численных результатов, противоречивших теории, были позднее опровергнуты другими, более надежными данными); с результатами для одномерных проводников и тонких (квазиодномерных) проволок; и с некоторыми аналитическими приближениями (Vollhardt and Wolfle, 1980, 1982). Однако до сих пор не имеется по настоящему надежного обоснования этой теории и существует много как необоснованной критики, так и серьезных теоретических вопросов (на некоторые из которых уже получены разумные ответы). Будучи интерполяционной теорией, скейлинговая теория должна быть качественно верной (кроме, может быть, некоторых деталей в итерполируемой области, некоторые из последних, впрочем, могут быть довольно важны). Несмотря на то, что поведение реальной системы может быть чувствительно также к другим эффектам (особенно к электрон-электронному взаимодействию), скейлинговая теория оказалась способной дать качественное (а часто — и количественное) объяснение огромному числу фактов, накопленных в результате исследования многих систем, и сделать ряд удивительных (в то время) предсказаний, подтвержденных позднее экспериментально. Более того, при анализе сообщений о расхождении с предсказаниями скейлинговой теории, всегда следует сначала убедиться в том, что имеются в виду реальные предсказания скейлинговой теории (например, формула (2.30) не справедлива в диэлектрической фазе, и ее невыполнение там не является никаким противоречием) и в том, что электрон-электронное взаимодействие не играет важной роли.

В пределе хорошего проводника следует ожидать выполнения обычного закона Ома, т. е. cr(L) = const => g(L) ос Ld~\ а в противополож-

ном пределе — экспоненциального спадания а и g с L (см. §2). Поэтому в этих двух предельных случаях логарифмическая производная g равна

о — hi g Г

Р — d In L ” [const + Ing, g < 1,V • )

где мы пренебрегли малой поправкой из-за возможного наличия степенного предэкспоненциального множителя при g <С 1. О важных поправках, возникающих в случае большого g (Gorkov et ak, 1979; Abrahams et ak, 1979; Hikami et ak, 1981; Fukuyama, 1980, 1981a,b; Altshuler et ak, 1982a,b,c) мы расскажем позднее. Заметим, что поведение функции /3, описываемое формулой (2.31), не зависит ни от величины L, ни от деталей системы. Поскольку величину /3 можно найти из вычислений для конечных систем, она должна быть аналитической функцией и, скорее всего, не должна уменьшаться с увеличением g. Основным постулатом скейлинговой теории является предположение о том, что /3 есть функция только одного g. На языке ренорм-группы это означает, что g есть единственная существенная («релевантная») переменная и что зависимость от несущественных переменных исчезает уже при L >> /, а (/ — длина свободного пробега, а — характерная микроскопическая длина). Это предположение, очевидно, гораздо сильнее предположения о том, что g — единственная существенная переменная при g >> 1. Таким образом, мы получаем картину, в которой /3(g) меняется непрерывно и монотонно между двумя предельными выражениями (2.31), как это показано на рис. 2.2, где схематично изображена зависимость /3 от In g в различных размерностях.

Случай d < 2. При d < 2 функция /3 всегда отрицательна (важное исключение составляет случай спин-орбитального взаимодействия в двух измерениях; см. например Altshuler et ak, 1982b). Это означает, что если мы зададим g(L0) = go для некоторого малого Lo, то, найдя g(L) для произвольного L из уравнения d \ng/d In L = /3(g) с начальным условием g(Lo) = go, мы обнаружим, что при L —у ос всегда (при любом g0) будет выполняться закон g(L) ~ exp (—aL). Этот результат можно проиллюстрировать, заметив, что значению go соответствует некоторая точка на графике /3 (g) и что с увеличением L она будет просто спускаться вниз вдоль кривой и, наконец, достигнет линейного участка при малых g (больших отрицательных значениях Ing). На теоретическом жаргоне такая процедура (в нашем случае — очень простая) называется «решением ренорм-групповых уравнений», а движение вдоль кривой /3(g) — «ренорм-групповым потоком». Длина локализации £ — это масштаб L, выше которого движение переходит на линейный участок зависимости /3 от Ing, где достигается макроскопический предел. Так как функция /3(g) становится очень пологой при g ^> 1, то £ возрастает с увеличением go. При g >> 1, пользуясь

аналитичностью по g 1, мы можем записать

0(g) «d-2-^.(2.32)

Этот результат был подтвержден непосредственными расчетами (Gorkov et ак, 1979; Abrahams et ак, 1979), а численная константа С (как функция размерности пространства d) была найдена при помощи теории возмущений. Предел g ^> 1 называется режимом слабой локализации, этот режим будет обсуждаться в §6. Величину £ можно оценить как размер, на котором 3 значительно отклоняется от d — 2 и достигает линейного участка. В грубом приближении можно воспользоваться выражением (2.32) или даже просто оценкой 3 ~ d — 2, экстраполированной на область g ~ 1; в результате получается условие

g(^) = численной константе порядка единицы. (2.33)

Заметим, что оно находится в согласии с формулой (2.25) для эффективно одномерного случая. В двумерном случае £ будет экспоненциально велико для больших go (например, при R^Lq) = 10-3Q, £ оказывается больше, чем расстояние до Солнца!).

Отметим, что, при L ^ £ формула (2.32) определяет поправки к омическому закону cr(L) =const:

(2.34)(2.34)a(L) = g0L0-C!L, d=l,g(L) = go-C2ln(L/Lo), d = 2.

(2.34)

(2.34)

Итак, с увеличением L, мы сначала получаем слабо локализационные поправки к закону Ома (2.34), и только затем, при L > ^ оказываемся в режиме сильной локализации, с экспоненциальным поведением проводимости, уже обсуждавшимся выше. Самым интересным является двумерный случай: здесь система, в принципе, никогда не является металлической. Неклассические логарифмические поправки заметны и при относительно высоких температурах, если L^ <С £ (однако когда температура возрастает настолько, что L^ становится меньше /, эта теория перестает работать). При уменьшении Т величина g будет уменьшаться, a R возрастать. Когда сопротивление достигнет критической величины R ~ h/e1 (с учетом численных коэффициентов значение Лкрит ~ 30&Q), произойдет переход в режим сильной локализации с экспоненциальным увеличением R с L. Поэтому «двумерные металлы не являются настоящими металлами». Необходимым условием двумерности теории, как и прежде, остается малость толщины пленки по сравнению с L^.

Эти неожиданные предсказания сейчас подтверждены множеством экспериментов, выполненных в режиме слабой локализации. Было продемонстрировано, что с экспериментально достижимой точностью а\Т —> 0) —> 0 для двумерных образцов с сопротивлением R > 30&Q. Результаты эксперимента (Ovadyahu and Imry, 1983), выполненного на тонких пленках InO, показаны на рис. 2.3, где для одного и того же образца виден переход от слабой (1пТ) температурной зависимости, к более сильному росту сопротивления — как раз при температуре, соответствующей R = 30&Q, что является убедительным подтверждением данной теории.

Случай d > 2. Переход металл—диэлектрик. Новая особенность, появляющаяся при d > 2 — это возникновение перехода металл-диэлектрик, связанного с тем фактом, что /3(g) обращается в нуль при некотором g = gc. Существование этого нуля есть следствие того, что /3(g) положительно при g —> оо и отрицательно при g —> 0. Величина gc, так же как и наклон з функции /3(g) в точке gc — численные константы (играющие, как мы увидим, важную роль в теории), которые можно найти либо с помощью каких-либо приближений (Vollhardt and Wolfle, 1980, 1982), либо с помощью численного моделирования (Stein and Krey, 1979, 1980; MacKinnon and Kramer, 1981; Kramer et al., 1990). В настоящее время установлено, что в наиболее интересном случае d = 3, величина з близка к единице (но не точно единица), a gc, вероятно, лежит в интервале между 2 и 3. Легко видеть, что если g > gc

Рис. 2.3. Зависимость сопротивления от температуры для нескольких эффективно двумерных образцов (d = 210 А). Пунктирная горизонтальная линия отвечает «критическому» сопротивлению Нкрит, выше которого сопротивление образцов увеличивается по закону, более быстрому, чем логарифмический

при некотором размере L, то кондактанс будет «двигаться» в сторону омического закона при L —У ос. Наоборот, если где-либо g < gci то при L —> ос кондактанс попадет в диэлектрическую область, где g ~ ^ e-cxL. Точка g = gc — это фиксированная точка ренорм-группового преобразования. Если при некотором масштабе g = gc, то g = gc и при всех масштабах, включая предел L —У ос, и поэтому ст ~ gcL2~d —>- 0 в макроскопическом пределе. Согласно этой простой теории (важным необходимым условием для ее применимости является однородность системы на рассматриваемых масштабах), все системы описываются одной универсальной функцией /3(g), и различные материалы можно отличать друг от друга, например, по значению кондактанса go на некотором микроскопическом масштабе L^. Ясно, что материалы с go > > gc являются металлами, а с go < gc — диэлектриками. Интересно выяснить, что происходит при приближении к MI переходу. Для этого удобно ввести контрольный параметр е = | Ingo — lngc| = |go — — gc\/gc <C 1 (s = Ов точке перехода). На малых масштабах L, начиная с Lq, можно пользоваться приближенной зависимостью /3(g) ~

^> s In ^g ) gc\ качественно справедливой до тех пор, пока g не изменится настолько, что мы попадем в макроскопическую область, где будут справедливы предельные формулы (2.31). Масштаб, выше которого применимы макроскопические законы, мы обозначим как £, по аналогии с обычной корреляционной длиной в теории фазовых переходов. Интегрируя линейное приближение 3(g) от Lq до £, получим

так чтотак что(2.35)(2.36)(2.35)(2.36)In (g/gc) = Н Vln(go/gc) VLo/

так что

так что

(2.35)

(2.36)

(2.35)

(2.36)

T const

Тем самым, в общепринятой терминологии, критический индекс корреляционной длины £ равен v = 1/s (v — постоянная порядка единицы при d = 3). В «макроскопическом» пределе L > ^, g ос e~Ll^ в диэлектрической и g ос Ld~2 — в проводящей фазах, причем первая поправка к g в проводящей фазе описывается формулой (2.32). В обоих случаях можно ожидать, что при изменении L от Lq до £ (т. е. в области кроссовера от критического режима к макроскопическому) величина g не должна измениться более чем на порядок. Поэтому макроскопическая удельная проводимость металлов равна, по порядку величины:

(2.37)

Заметим, что в этой теории переход металл-диэлектрик является непрерывным фазовым переходом второго рода (ст —у 0 и £ —у ос непрерывным образом при приближении к точке перехода), и поэтому в ней отсутствует «минимальная металлическая проводимость». Значение минимальной металлической проводимости, сгт^ однако, дает оценку той проводимости, при которой в системе начинают происходить нетривиальные явления. Непрерывность локализационного перехода для невзаимодействующих электронов сейчас уже практически общепризнана. Значение показателя v до сих пор является предметом активного изучения, его численные значения, полученные различными группами (Ulloa et al., 1992; Kramer and MacKinnon, 1993; Hofstetter and Schreiber, 1993), по-видимому, постепенно сходятся к величине 1.5 ±0.1. Физический смысл длины £ в диэлектрической фазе очевиден — это длина локализации. В проводящей фазе, как показывает проведенное выше рассмотрение, величине £ можно придать смысл длины, ниже которой поведение металлической системы не отличается от поведения в диэлектрической фазе на том же масштабе. При условии L ^ £ волновые функции, различные корреляционные функции и функции Грина ведут себя одинаково в обеих фазах. Только при L > £ становится

заметным различие между экспоненциальным спаданием проводимости — в диэлектрической фазе, и ее ненулевым средним значением — в металлической.

При L < £ две фазы (диэлектрическая и металлическая) качественно похожи друг на друга. В обеих из них, как уже упоминалось выше, при изменении масштаба от Lq до £, g меняется не более чем на порядок величины. Таким образом,

~ <7^ (I) (L < С),(2.38)

т. е. удельная проводимость (а потому и коэффициент диффузии) зависят от масштаба L при L <С £ (Imry, 1981b, Shapiro and Abrahams, 1981; Shapiro, 1982; Imry and Ovadyahu, 1982b).

В режиме «аномальной» микроскопической диффузии — при L < ^ где справедлива формула (2.38), выполняется интересное соотношение между временными и пространственными масштабами. Вместо закона L2 ~ Dt с постоянным D для обычной диффузии, здесь D — изменяющийся с масштабом коэффициент, так что d L2 / dt = D Ll где D L — коэффициент диффузии на масштабе L. В результате мы приходим к соотношению

Ld ~ ^D^t,(2.39)

где Dqq — макроскопический коэффициент диффузии в металлической фазе для заданного £. Как уже упоминалось выше (см. формулу (2.27)), неупругая диффузионная длина, выраженная в терминах неупругого времени рассеяния, т^ ос Т~р. для макроскопического режима (нормальная диффузия) равна L^^DqqT^ ~ ^-р!^. в случае же

аномальной диффузии

Lv ~ос Т"р/3(2.40)

(в последнем равенстве мы положили d = 3).

Как в макроскопическом металле, так и в «микроскопическом» режиме для металлов и диэлектриков проводимость большого (по сравнению с L^ образца как функция температуры есть (как обсуждалось ранее) g{L^L^d. В критической области g остается постоянной по порядку величины, и поэтому

а^ ~ LVd ~ T<d^p^ - Тр^ (при d = 3).(2.41)

В макроскопической проводящей области /3 (g) определяется формулой (2.32), интегрирование которой дает g^L^) и, в результате,

а^Т) = const + CL^4 = const + О^4-^'^ ,(2.42)

где поправка («слаболокализационная») возрастаете Т как некоторая степень Т (в двумерном случае она становится логарифмом). Сейчас

существуют экспериментальные подтверждения обеих формул (2.41) и (2.42) в соответствующих областях их применимости, причем первая из них описывает существенное отклонение от нормального поведения в «микроскопическом режиме». В диапазоне, где эти рассуждения справедливы (для этого, в частности, необходимо условие L^ ^ /, т. е. температура должна быть низкой, а образец — не слишком чистым), мы получаем отрицательный температурный коэффициент удельного сопротивления, что является универсальным свойством (Imry, 1980а) грязных проводников! Более того, чтобы получить отрицательный температурный коэффициент удельного сопротивления при комнатных температурах, где L^ очень мало, необходимы значения /, сравнимые с межэлектронными расстояниями, и значения ст, только чуть большие, чем crmin. Нам представляется, что эти рассуждения представляют собой правильное качественное объяснение закона Мойя, обсуждавшегося в § 1.

За наименьшее допустимое значение коротковолновой длины обрезания Lq обычно принимается длина ~ I. Однако есть много случаев, когда в системе существуют всякого рода неоднородности и она может рассматриваться как однородная только на масштабах больших, чем некоторая «длина установления однородности» 1но. Для гранулированных металлов //w порядка размера гранулы D. Возле перколяционного порога протекания //w будет иметь порядок перколяционной корреляционной длины. Нередко значения //w = 103А встречаются. Из экспериментов хорошо известно, что в таких системах «номинальная» длина свободного пробега вблизи точки перехода металл-диэлектрик очень мала (возможны значения К)2 — 10-3А) и поэтому соответствующая проводимость гораздо меньше, чем любое разумное значение ^min- В гранулированных металлах (см. обзор Abeles et al., 1975) было обнаружено, что значения удельной проводимости, соответствующие переходу металл-диэлектрик, ведут себя как 1/D (D — размер гранулы). Этот факт легко понять, если заметить, что l^o (или D в гранулированных металлах) выступает в качестве масштаба Lq. Поэтому, как следует из скейлинговой теории, величина проводимости, при которой становятся важными эффекты локализации, равна

что находится в хорошем согласии и с порядком величины, и с характером зависимости от размера гранулы (Adkins, 1977). Данные факты было бы довольно трудно понять, используя только наивные рассуждения Иоффе-Регеля о минимальной проводимости.

В присутствии магнитного поля В, появляется важный масштаб длины 1Н (см. формулу (2.48) ниже), зависящий от В и становящийся особенно важным при lH <С L^. В этом случае можно ожидать возникновения относительно большого отрицательного магнитосопротивления (аналогично случаю слабой локализации, см. § 5). Возможно, это

46 Квантовый транспорт. Андерсеновская локализация [Гл. 2 является объяснением многих случаев «аномально большого» отрицательного магнитосопротивления в грязных системах. Из скейлинговой теории легко видеть, что магнитное поле вызывает делокализацию (Efetov, 1983; Lerner and Imry, 1995). Некоторые дополнительные эффекты, такие, как спин-орбитальное рассеяние, могут изменить знак магнитосопротивления, и сейчас существует огромное количество работ, посвященных данному вопросу, а также изменению £ с ростом В и в результате эффектов электрон-электронного взаимодействия (Altshuler and Aronov, 1979, 1985; Altshuler et al., 1980a,b).

Краткая сводка результатов скейлинговой теории для cr(L) в трехмерном металлическом режиме вблизи точки перехода представлена на рис. 2.4. Нижняя кривая изображает поведение ct(L) в точке перехода, она описывается простой формулой ctcLq) L^ где стс = gce2 / HLq. Верхняя кривая отражает поведение проводимости чуть выше точки перехода. Здесь ст(Ь) изменяется как ст ос 1/L в микроскопической области £ > L > Lq и как ст « стт + е2С/hL в макроскопической области L ^ ^. Макроскопическая проводимость стт равна Ае2/Н^ где безразмерная константа А по порядку величины равны значению g в точке, где 3(g) приближается к единице, т. е. А ~ 10. Поправка к проводимости ст при L = £ порядка е2 /К^. Поэтому стт все еще остается важным при L ^ ^ что необходимо учитывать при интерпретации экспериментов в микроскопической области, которые используются для проверки закона (2.41) (Ovadyahu and Imry, 1983).

Рис. 2.4. Схематическая зависимость cr(L) в трехмерном случае

Как мы уже упоминали выше, многие эксперименты, выполненные на квазиодномерных и двумерных, а также трехмерных системах, находятся в хорошем качественном и полуколичественном согласии с картиной, предлагаемой скейлинговой теорией — при условии привлечения некоторых новых идей, касающихся механизмов неупругого рассеяния (см. гл.З). В настоящее время уже стало возможно приблизиться к полному количественному объяснению экспериментов, особенно в тех случаях, когда хорошо поняты эффекты электрон-электронной корреляции. Эксперименты обнаружили следующие две новые общие тенденции.

Время т^ в грязных системах, как правило, на несколько порядков короче (Schmid, 1974), чем в подобных чистых системах.

Температурная зависимость т^ в грязных системах слабее, чем в чистых.

Сейчас мы находимся в стадии получении количественного понимания этих явлений. Об этом будет рассказано в гл. 3.

Мы завершим обсуждение скейлинговой теории, кратко упомянув о диэлектрических и оптических характеристиках. Способность экранировать дальнодействующее кулоновское взаимодействие является столь же важным свойством вещества в проводящем состоянии, как и сама конечная проводимость. В дополнение к статическому экранированию, частотные зависимости проводимости ст и диэлектрической константы е определяют нетривиальные оптические (включая микроволновый и инфракрасный диапазоны) свойства проводника. Существуют важные аномалии этих свойств, проявляющиеся около точки перехода металл-диэлектрик и в диэлектрической фазе вблизи него. Эти явления были подробно проанализированы Имри и др. (Imry et al., 1982), а также Абрахамсом и Ли (Abrahams and Lee, 1986). Здесь мы только упомянем, что, в рамках картины экранирования Томас- Ферми, статическое экранирование в грязных металлах такое же, как и в чистых.

Режим слабой локализации

В этом параграфе мы кратко расскажем о режиме слабой локализации (см. обзоры: Fukuyama, 1981b; Altshuler et al., 1982b; Bergmann, 1984; Lee and Ramakrishnan, 1985), где квантовые поправки к классической проводимости малы, но зато известны количественно. Постоянная С в формуле (2.34) в двумерном случае равна 1/тг2. Это означает, что слаболокализационные поправки, полученные интегрированием выражения (2.31) (аналогично тому, как это делалось при выводе формулы (2.34)), в двумерном случае имеют вид

22

(2.44)(2.44)△G = -4-lnL, AGCT) = + ^- InT,ir hV ' 2ir4

(2.44)

(2.44)

где р определяется выражением (2.26). В терминах проводимости на квадрат, Ro*.

ARpRoARpRo2--Ц-Ro InT, 2тг2/г2--Ц-Ro InT, 2тг2/г(2-45)(2-45)

ARpRo

ARpRo

2

--Ц-Ro InT, 2тг2/г

2

--Ц-Ro InT, 2тг2/г

(2-45)

(2-45)

т. e. Ro уменьшается с увеличением Т, причем относительное изменение пропорционально Ro/(/Vе2)- В одномерном случае подобная же

процедура приводит к квантовым поправкам (см. формулу (2.34)) вида

АНRАНR(2.46)(2.46)Дет

АНR

АНR

(2.46)

(2.46)

ст

Наконец, в трехмерном случае:

^ ~ const + О (^) .(2.47)

Как и прежде, при конечных температурах в качестве масштаба L в формулы (2.46, 2.47) нужно подставить длину L^. Эффективная размерность образца определяется сравнением соответствующего размера с длиной L^ (см. также Kaveh et al., 1981; Davies et al., 1983).

Существует и другая поправка к проводимости — за счет электрон- электронного взаимодействия (Altshuler and Aronov, 1979) — температурную зависимость которой не так легко отличить от указанной выше. Для разделения поправок слабой локализации и поправок за счет взаимодействия чрезвычайно полезным оказывается измерение магнитосопротивления (Altshuler and Aronov, 1985).

Проще всего понять явление магнитосопротивления в режиме слабой локализации следующим образом. Пусть, например, магнитное поле В направлено перпендикулярно двухмерному слою. На пространственном масштабе /я, определяемом условием

2тгВ/^ = Фо,

he(2-48)

Фо = — = одноэлектронный квант магнитного потока е

систему пронизывет магнитный поток порядка одного кванта. Обычное калибровочное преобразование (см. приложение В) члена р + еА/с в гамильтониане приводит к тому, что при движении в поле электрон приобретает фазу порядка единицы на масштабе 1Н = a^TicJ еВ. Поэтому длина 1Н является естественным кандидатом на роль характерного физического масштаба, вплоть до которого магнитное поле не оказывает существенного влияния на движение электрона: оно остается таким же, как и при Т = О, Н = 0. (Понимание физической значимости 1Н проясняется в квазиклассической картине, описанной ниже в этой главе.) Итак, теперь мы имеем два случая: (a) lH <С L^ («сильные поля»), где главной физической длиной является /я, и, например,

2

А<т(В)~^1пВ(2.49)

в режиме слабой локализации в двумерном случае и (б) lH ^ L^ («слабые поля»), где определяющей длиной является L^ (с небольшими поправками, пропорциональными В2). Здесь поле вызывает магнитосопротивление порядка О (В2), откуда непосредственно можно извлечь

информацию о т^. «Слаболокализационное» магнитосопротивление относительно велико и обычно отрицательно, но становится положительным при достаточно сильном спин-орбитальном рассеянии.

Сейчас существует много примеров систем, где измеряемое магнитосопротивление количественно согласуется с детальными предсказаниями теории в режиме слабой локализации (Bergmann, 1984). Усложнения, вызванные различными спиновыми и магнитными эффектами, также хорошо изучены. В частности, эффект сильного спин-орбиталь- ного рассеяния приводит к умножению слаболокализационной поправки на универсальную отрицательную постоянную. Этот эффект также становится физически понятным в рамках квазиклассической картины, описанной ниже. Существует несколько превосходных обзоров, посвященных данному вопросу (Altshuler et al., 1982b; Bergmann, 1984; Lee and Ramakrishnan, 1985; Aronov and Sharvin, 1987).

Другим экспериментом, позволяющим различить вклад между локализационными поправками и поправками вследствии взаимодействия, является измерение Холловской константы RH. В «чистой» (без учета взаимодействия) теории локализации, температурные поправки в двумерном случае вовсе не должны содержать члена вида In Т (этот факт можно очень грубо интерпретировать как следствие нечувствительности плотности состояний невзаимодействующих электронов к эффектам локализации). С другой стороны, учет взаимодействия дает поправку ARH(T)/Ню вдвое большую, чем AR(T) / R. Полного понимания эффекта Холла до сих пор не достигнуто, и проблема продолжает активно изучаться как теоретически, так и экспериментально.

Результаты теории слабой локализации были сначала получены диаграммными методами теории возмущений (систематическое разложение по степеням \/kFl\ однако позднее было найдено очень поучительное объяснение этих результатов, основанное на квазиклас- сических методах (Larkin and Khmelnitskii, 1982; Bergmann, 1984; Chakravarty and Schmid, 1986). Как известно, амплитуда вероятности перехода частицы из одной точки в другую равна сумме амплитуд по всем фейнмановским путям, которую, в нашем случае, можно приближенно заменить на сумму только по классическим траекториям ]:

А^^^А^^. (2.50)

где Sj — действие вдоль j-й классической траектории, ведущей из точки 1 в точку 2, a Aj — соответствующий предэкспоненциальный множитель. Вероятность перейти из точки 1 в точку 2 равна сумме JV классических членов 52^! \Aj |2 (Л/- — число путей) и интерференционных членов ^^j АгА^ег^8^-8з^п. Последняя сумма содержит О^ЛГ2) членов, между которыми, однако, происходит много сокращений, и обычно считается, что она обращается в нуль при «усреднении по примесному

Дсг = -^ВivnДсг = -^Вivn50 Квантовый транспорт. Андерсеновская локализация [Гл. 2 ансамблю». Под последним мы, как обычно, имеем в виду усреднение по всем микроскопическим реализациям (например, по расположениям дефектов), с одинаковыми макроскопическими свойствами (средней концентрацией дефектов). Такое усреднение предполагается автоматически применимым для больших систем; оно необходимо для восстановления трансляционной инвариантности различных средних кореля- ционных функций и функций Грина в теории неупорядоченных систем. Отметим, однако, что эти интерферренционные члены являются источником очень важных «мезоскопических флуктуаций», которыми мы займемся позднее. Существует довольно обширный класс траекторий, вклад которых не исчезает при усреднении по ансамблю, если система инвариантна по отношению к обращению времени (В = 0). Ими являются пары траекторий, которые начинаются и оканчиваются в одной и той же точке и переходят друг в друга при обращении времени. Так как обе траектории в такой паре имеют одинаковую фазу, их учет приводит (в отсутствие спин-орбитального рассеяния) к увеличению вероятности возвратиться в начальную точку, и поэтому — к уменьшению вероятности уйти из нее с помощью диффузии. Можно показать, что соответствующая (отрицательная) поправка к проводимости равна

Дсг = -^Вivn

Дсг = -^Вivn

dtw(ty(2.51)

то

где параметр обрезания на больших временах т^ — описывает неупругие процессы, разрушающие квантовую интерференцию, w(t) = = (4тгDt)-d^2 — классическая вероятность возврата, а то — параметр обрезания интеграла на малых временах. Легко видеть, что это выражение воспроизводит поправки слабой локализации (2.34, 2.47). Магнитное поле при lH <С L^ нарушает фазовую когерентность между траекториями, образующими пару, и потому сильно уменьшает локализационные поправки, в конечном счете восстанавливая классическую проводимость. При еще больших значениях В, однако, достигается предел сильного поля. Здесь физика очень отлична от описанной выше и требует отдельного изучения, которое будет проведено в гл. 6.

Задачи

Проинтегрируйте в линейном приближении /3(g) вблизи gc и получите формулы (2.34, 2.47).

Докажите, что формула (2.40) действительно справедлива в режиме «аномальной» диффузии, когда D(L) 1/L.

Глава 3

МЕХАНИЗМЫ СБОЯ ФАЗЫ ЗА СЧЕТВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С ОКРУЖЕНИЕМ:ПРИЛОЖЕНИЕ К КУЛОНОВСКОМУВЗАИМОДЕЙСТВИЮ ЭЛЕКТРОНОВ

В МЕТАЛЛАХ

ЗЛ. Введение и обзор механизмов дефазировки

Многие интересные явления в мезоскопических системах происходят из-за квантовой интерференции. Среди них поправки к проводимости, возникающие за счет слабой локализации (гл. 2, §5), универсальные флуктуации кондактанса (гл. 5), незатухающие токи (гл. 4) и многие другие. Известно, что на эти явления влияет взаимодействие интерферирующей частицы с окружением, например с тепловым резервуаром. Эффекты, возникающие в результате взаимодействия с резервуаром, уже с давних пор исследуются как теоретически (Feynman and Vernon, 1963; Caldeira and Leggett, 1983), так и экспериментально. Эффект взаимодействия с окружением часто характеризуют «временем сбоя фазы» т^, т. е. характерным временем, в течении которого интерферирующая частица сохраняет фазовую когерентность (см. ниже). Строго говоря, более адекватной физической характеристикой является «скорость дефазировки» (как правило, имеющая порядок 1/т^), т. е. декремент убывания интерференционного сигнала.

В первом параграфе этой главы мы представим общую картину потери фазовой когерентности за счет взаимодействия с окружением. При этом мы пренебрежем изменением состояния интерферирующей частицы вследствие того же взаимодействия. Полностью это изменение будет учтено в § 5; мы увидим, что его учет не изменяет качественной картины явления. В § 2, в рамках метода интегралов по траекториям, изучается дефазировка заряженной пробной частицы за счет взаимодействия с электронами проводника, а в § 3 приводятся конкретные результаты для образцов различной геометрии. В § 4 рассказано о связи дефазировки с обычными процессами электрон-электронного рассеяния и о роли тождественности интерферирующего электрона с другими электронами. В § 5, представлен более последовательный подход, который не использует квазиклассического приближения и полностью учитывает принцип Паули. Окончательное выражение для скорости дефазировки оказывается очень общим и полезно как для проведения конкретных вычисления, так и для понимания физики процесса.

Стерн и др. (Stern et al., 1980а,b) изучали влияние взаимодействия интерферирующей частицы с окружением на двухволновой интерференционный эксперимент; наше дальнейшее изложение основывается на их работе. Для описания того, как взаимодействие квантовой системы с окружением подавляет квантовую интерференцию, можно предложить два различных метода. Первый из них рассматривает среду как «регистратор» траектории интерферирующей частицы. Если среда получает полную информацию о траектории частицы, то интерференции не наблюдается вовсе, если же эта информация не полна, то интерференция ослабляется, но полностью не исчезает. Второй метод в большей степени сосредоточивается на поведении самой частицы и отвечает на вопрос, естественно возникающий в первом методе: Каким образом в момент интерференции интерферирующая частица «узнает», что среда определила ее траекторию? Ответ на этот вопрос вытекает из того факта, что взаимодействие частицы с окружением может создать неопределенность в фазе волновой функции частицы (точнее, неопределенность относительной фазы при движении вдоль различных траекторий). Эту неопределенность можно себе представить как разложение общей интерференционной картины в сумму нескольких таких картин, сдвинутых по фазе друг относительно друга. Два способа объяснения эффекта сбоя фазы оказываются эквивалентными, оба они используются при исследовании процессов дефазировки за счет взаимодействия с электромагнитными флуктуациями в металлах или с фононными модами, которые могут находиться как в термодинамически равновесных, так и в когерентных состояниях. Здесь мы рассмотрим обе точки зрения и воспользуемся ими в § 2-4 для изучения процессов дефазировки за счет электрон-электронного взаимодействия в металлах. Мы увидим, что обычно оказывается удобнее рассматривать эту задачу с первой точки зрения, то есть определять, где в электронном резервуаре содержится информация о траектории интерферирующего электрона, взаимодействующего с этим резервуаром. В одной из первых моделей дефазировки (Buttiker, 1985b) просто считалось, что интерферирующий электрон, попадая в резервуар, может быть подменен электроном из резервуара. Для резервуара с непрерывным спектром состояний такая подмена может привести к изменению состояния резервуара, вызывая тем самым сбой фазы.

В качестве базового примера мы будем рассматривать эксперимент с интерференцией Ааронова-Бома в кольце. Эффект Ааронова- Бома оказался очень удобным способом исследования интерференции в мезоскопических системах, так как он позволяет простым, экспериментально доступным способом сдвигать интерференционную картину. В основе этого эксперимента лежит создание двух волновых пакетов, 1(х) и г (ж) (/, г обозначает левый (left) и правый (right) пакеты), проходящих по кольцу вдоль двух его противоположных сторон (см. рис. 3.1). Мы примем, что эти волновые пакеты движутся вдоль рукавов кольца по хорошо определенным классическим траекториям $i(t) и хт(^ и что

эти траектории не изменяются в результате взаимодействия. Интерфеэти траектории не изменяются в результате взаимодействия. Интерференция происходит после того, как каждый из двух волновых пакетовренция происходит после того, как каждый из двух волновых пакетовпройдет половину длины окружности (более подробное описание кольца Ааронова-Бома представлено в гл. 5). Начальная волновая функция электрона (его координата — ж) и среды (чью волновую функцию и набор координат мы будем соответственно обозначать как % и ту) имеет вид

эти траектории не изменяются в результате взаимодействия. Интерфе

эти траектории не изменяются в результате взаимодействия. Интерфе

ренция происходит после того, как каждый из двух волновых пакетов

ренция происходит после того, как каждый из двух волновых пакетов

W = 0) = [/(ж) + г(ж)]®хо(т?). (3.1)

В момент времени то, когда происходит интерференция, волновую функцию можно приближенно записать как

■ф(т0) = /(ж, т0)®х/(»7, то)+г(ж, т0)®Хг(»7, т0).

(3-2) При более точном учете эффектов взаимодействия электрона и окружения первоначальное произведение волновых функций г(ж) 0 XoW эволюционирует в суперпозицию таких произведений: У^ ЩГ^Х, То) 0 xV^Jb го) (см. формулу (3.51)). Вследствие ортогональности функций х только член с хгг = Хо дает вклад в интерференцию. Приближенный вид (3.2) получается, если пренебречь различием между Хг и Хо - Такое приближение, однако, все же

Рис. 3.1. Схема интерференционного эксперимента в кольце Ааронова-Бома. Каждая парциальная волна проходит вдоль половинки кольца, и интерференция происходит в точке В. Такая интерференция приводит к появлению осцилляций проводимости с периодом h/eРис. 3.1. Схема интерференционного эксперимента в кольце Ааронова-Бома. Каждая парциальная волна проходит вдоль половинки кольца, и интерференция происходит в точке В. Такая интерференция приводит к появлению осцилляций проводимости с периодом h/eпозволяет увидеть и описать основные черты

Рис. 3.1. Схема интерференционного эксперимента в кольце Ааронова-Бома. Каждая парциальная волна проходит вдоль половинки кольца, и интерференция происходит в точке В. Такая интерференция приводит к появлению осцилляций проводимости с периодом h/e

Рис. 3.1. Схема интерференционного эксперимента в кольце Ааронова-Бома. Каждая парциальная волна проходит вдоль половинки кольца, и интерференция происходит в точке В. Такая интерференция приводит к появлению осцилляций проводимости с периодом h/e

задачи о дефазировке, так как все выброшенные слагаемые, в которых х изменяется, не дают вклада в конечный ответ. Интерференци

онный член имеет вид

(3.3)(3.3)2Re Г(ж,то)г(ж,то) drjxK'n, т^Хг^, т0) .

(3.3)

(3.3)

Если бы в эксперименте отсутствовало окружение, интерференционный член был бы равен просто 2Не[/*(ж, то)г(ж, то)]. Таким образом, эффект взаимодействия сводится к простому умножению интерференционного члена на интеграл перекрытия J drjx'i ('п)Хг('п)^ вычисленный в момент времени т^. Причина этого становится ясной, если вспомнить, что в данном интерференционном эксперименте за поведением среды не наблюдают — по ее координате производится интегрирование, т. е. берется скалярное произведение двух состояний среды в момент времени tq. Первый из указанных выше способов интерпретации механизма дефазировки непосредственно иллюстрируется выражением (3.3), в котором два состояния среды в момент то, входящие в скалярное произведение, ассоциированы с двумя электронными парциальными волнами.

В момент t = 0 эти два состояния идентичны. За время эксперимента каждая парциальная волна по-своему взаимодействует с окружением, и поэтому два состояния, проэволюционировав во времени, становятся различными. Если эти два конечные состояния среды оказываются ортогональными, то мы можем по конечному состоянию среды определить путь, по которому прошел электрон. Квантовая интерференция, которая есть следствие неопределенности в выборе траектории, при этом полностью исчезает. Тем самым время сбоя фазы т^ имеет смысл времени, за которое две интерферирующие парциальные волны переводят среду в состояния, ортогональные друг другу, т. е. когда среда приобретает полную информацию о траектории, выбранной электроном ). В более общих терминах, скорость дефазировки можно определить как скорость, с которой окружение «собирает информацию» о траектории электрона.

Второе объяснение разрушения квантовой интерференции рассматривает вопрос с точки зрения влияния среды на парциальные волны, а не парциальных волн — на среду. Хорошо известно, что, когда на частицу, движущуюся по заданной траектории (т. е., в нашем случае, на парциальную волну), действует постоянный потенциал V($Y она набирает дополнительную фазу

at (3.4)

и интерференционный член домножается на ег<р. Здесь «постоянный потенциал» является только функцией координаты (и, возможно, импульса) частицы и не зависит от каких-либо других степеней свободы. Если траектория частицы задана, то величина постоянного потенциала хорошо определена. В том случае, когда потенциал не является «постоянным», а создается окружением, V становится оператором. Его значение поэтому уже не является хорошо определенным: неопределенность возникает из-за квантовой неопределенности состояния окружения. Тем самым также неопределенными становятся и значения фазы: у? оказывается случайной величиной с некоторым распределением P^Y (Подробности такого описания см. в Stern et al., 1990а,b.) В результате эффект влияния окружения на интерференцию состоит в умножении интерференционного члена на среднее значение величины е145 т. е. на

dy. (3.5)

Усреднение происходит как бы «на интерференционном экране». Так как ег(р — периодическая функция у?, то (ег<^) стремится к нулю в том случае, когда Р(^) слабо меняется на масштабах, много больших, чем период 2тг. В этом случае можно сказать, что на интерференционном экране мы видим суперпозицию многих интерференционных картин, взаимно уничтожающих друг друга. Отсюда следует, что время сбоя фазы — это такое время, за которое неопределенность фазы становится порядка периода интерференционной картины. Заметим, что в терминологии Фейнмана-Вернона, величина (ег<^) — это «функционал влияния» двух путей, соответствующих двум парциальным волнам. Таким образом, мы получаем второе объяснение подавления квантовой интерференции.

Тезис об эквивалентности двух формулировок сводится к утверждению о справедливости формулы

(3.6)(3.6)(e’v) = j drixl (т])хг(л\

(3.6)

(3.6)

Ее смысл как раз и заключается в том, что, когда среда регистрирует путь, выбранный частицей (т. е. когда %1 становится ортогональным Xr)i возникает фазовый сдвиг с неопределенностью порядка 2тг. В свою очередь, формула (3.6) доказывается следующим образом.

Мы начнем рассмотрение процесса сбоя фазы только для одной (например, правой) траектории жт. Обобщение на случай двух траекторий будет сделано позднее. Обозначим гамильтониан окружающей среды как Henv(jp рл\ а член взаимодействия — как У ^жт^1^т^ (левая парциальная волна в данном приближении не взаимодействует с окружением). Стартовав, при t = 0, с начальной волновой функции (описываемой формулой (3.1)), мы придем, в момент tq, к волновой функции

<ТО) = lHe-iHe-To/hXo(-nH

(3.7)(3.7)+ г(то)Т ехр

(3.7)

(3.7)

где Т — оператор временного упорядочения. Нам будет удобно записать ^(то) в терминах оператора Vj (t) = егНепг1У(хг^\р)е~гНепг1 т. е. оператора У в представлении взаимодействия. При помощи Ут волновую функцию ^(то) можно переписать в виде

V>(t0) =/(т0) ® е ®Яе,"То/йХо(??) + t^tq) ® е ™етат0(Пгр х

х ехрх ехр. т0—г' о. т0—г' о^Г/(Ж-ДМ) хо(>?).^Г/(Ж-ДМ) хо(>?).(3-8)(3-8)

х ехр

х ехр

. т0

—г

' о

. т0

—г

' о

^Г/(Ж-ДМ) хо(>?).

^Г/(Ж-ДМ) хо(>?).

(3-8)

(3-8)

В результате интерференционный член умножается на

Т ехрТ ехрdt Vj (xP(tY t)dt Vj (xP(tY t)(3.9)(3.9)

Т ехр

Т ехр

dt Vj (xP(tY t)

dt Vj (xP(tY t)

(3.9)

(3.9)

Интерпретация этого выражения как скалярного произведения двух состояний среды в момент времени т^ очевидна. Интерпретация его в терминах неоднозначности фазы следует из того, что выражение (3.1) является средним значением некоторого унитарного оператора, связанного с величиной фазы. Действительно, как и всякий унитарный оператор, он может быть записан в виде экспоненты от некоторого эрмитового оператора у?, т. е.

Хо Т ехрХо Т ехргhгhто-1dtV^x^,!^ Хоото-1dtV^x^,!^ Хоо= <Хо|е^|хо>- (ЗЛО)= <Хо|е^|хо>- (ЗЛО)

Хо Т ехр

Хо Т ехр

г

h

г

h

то-1

dtV^x^,!^ Хо

о

то-1

dtV^x^,!^ Хо

о

= <Хо|е^|хо>- (ЗЛО)

= <Хо|е^|хо>- (ЗЛО)

Поэтому эффект взаимодействия с окружением выражается в умножении интерференционного члена на величину ^^Y где усреднение производится по функции распределения фазы, соответствующей состоянию окружения хо-

Оператор фазы ip был введен здесь при помощи общих математических свойств унитарных операторов, так что ему еще необходимо придать физический смысл. Чтобы понять его, мы сначала рассмотрим случай, когда потенциалы, созданные средой, коммутируют в различных точках вдоль траектории частицы:

ТогдаТогдаТ ехрТ ехрWA^A уДхЛПАА^.WA^A уДхЛПАА^.(з.п)(з.п)то.dt V, (xp^ty t) о"то.dt V, (xp^ty t) о"ехрехрто.dt Vf фхт^ t)о'то.dt Vf фхт^ t)о'(3.12)(3.12)

Тогда

Тогда

Т ехр

Т ехр

WA^A уДхЛПАА^.

WA^A уДхЛПАА^.

(з.п)

(з.п)

то.

dt V, (xp^ty t) о"

то.

dt V, (xp^ty t) о"

ехр

ехр

то.

dt Vf фхт^ t)

о'

то.

dt Vf фхт^ t)

о'

(3.12)

(3.12)

И фИ фтоj dtVi^Xp^tYtY В данномтоj dtVi^Xp^tYtY В данномслучае оператор ф^ скоростислучае оператор ф^ скорости

И ф

И ф

то

j dtVi^Xp^tYtY В данном

то

j dtVi^Xp^tYtY В данном

случае оператор ф^ скорости

случае оператор ф^ скорости

набора фазы есть не что иное, как локальный потенциал, действующий

на интерферирующую частицу в данный момент и не зависящий от взаимодействия в более ранние моменты времени. Необходимо различать два предельных случая: при (<^^2) <С 1 из формулы (3.1) следует

KeiW (1- ^(V)) ,KeiW (1- ^(V)) ,(3.13)(3.13)

KeiW (1- ^(V)) ,

KeiW (1- ^(V)) ,

(3.13)

(3.13)

и потенциал среды можно приближенно заменить на одночастичный (возможно, зависящий от времени) потенциал:

(у^хт^, t^ = (xolv, (ж,Д), t)|xo).(3.14)

С другой стороны, при (5у2) 3> 1, интерференционный член стремится к нулю. В области перехода от одного режима к другому

то то

W = IТ j Т № ^YtWi Mt',^ -

О о

(з.15)

Выясним, когда справедливо условие (3.11) и что происходит, когда оно перестает выполняться. Типичным примером ситуации, когда потенциалы в различных точках вдоль траектории коммутируют друг с другом, является случай электрона, взаимодействующего со свободным электромагнитным полем. Потенциал такого взаимодействия равен

У/(жгЮ, t) = —-жг(^) • А(жг(^), t) ,(3.16)

где A(x,t) — векторный потенциал свободного электромагнитного поля, имеющий (в стандартных обозначениях) вид

Л(ж,^ = ^£fc,AМЛ(ж,^ = ^£fc,AМО 2 11/22тгсWkО 2 11/22тгсWk(акхе^"^* + а+хе-{к'х+1ш^ ,(3.17)(акхе^"^* + а+хе-{к'х+1ш^ ,(3.17)

Л(ж,^ = ^£fc,A

М

Л(ж,^ = ^£fc,A

М

О 2 11/2

2тгс

Wk

О 2 11/2

2тгс

Wk

(акхе^"^* + а+хе-{к'х+1ш^ ,(3.17)

(акхе^"^* + а+хе-{к'х+1ш^ ,(3.17)

и \УХ (х, t), Vz (х\ t')] = 0, если \х — х'\ / c\t —1'\. Поскольку xr(t) <С с, условие (3.11) выполняется. В общем случае это условие справедливо, когда амплитуда вероятности возникновения возбуждения в точке xr(t) в момент времени t и его последующей аннигиляции в точке xr(tf) в момент времени I' равна нулю. Иными словами, изменения в состоянии среды, вызванные частицей в момент t, не могут оказывать влияния на потенциал, действующий на интерферирующую частицу в любой последующий момент t'. В предыдущем примере фотон, испущенный электроном в точке хт^ в момент времени t. не сможет оказаться в точке xr(tf) в момент времени t'когда там пройдет тот же электрон, так как фотоны движутся гораздо быстрее электронов.

Если вместо взаимодействия с фотонным полем рассматривать взаимодействие с фононами, то скорость света в формулах (3.16) и (3.17) необходимо заменить на скорость звука. Тогда фонон, испущенный

электроном в точке xT(t) в момент t^ может быть снова встречен тем же электроном в точке x^t’^ в момент I’. Поэтому возбуждения решетки (фононы), созданные электроном на ранних участках траектории, могут влиять на величину потенциала, действующего на электрон, в более поздние моменты времени. Потенциал, который электрон чувствует в заданной точке своей траектории, теперь уже не является локальной функцией только этой точки, а зависит от всей траектории, так как теперь необходимо учитывать «обратную реакцию» окружения на потенциал, наводимый электроном. Такой потенциал будет уже отличен от Vt (x^t^t) и, следовательно, скорость набора фазы также будет отличаться от V, ^x^t^ t). Однако для случая сложного многочастичного окружения создаваемый таким окружением потенциал, воздействующий на интерферирующую частицу, как правило, практически не зависит от истории ее движения, поскольку окружение обладает очень короткой памятью. Поэтому формула (3.11) является разумной и физически обоснованной, если время корреляции флуктуаций в окружении меньше, чем характерное время движения электрона.

Мы видели, что подавление интерференции вследствие взаимодействия с динамическим окружением можно объяснить с двух точек зрения. Интерференция нарушается, когда состояние среды, связанное с правой волной, становится ортогональным состоянию, связанному с левой волной, или, другими словами, тогда, когда ширина функции распределения фазы становится больше единицы. Взаимодействие с динамическим окружением превращает фазу в статистическую переменную, и отсюда, с учетом того факта, что фаза определена с точностью до 2тг, возникает сформулированное выше условие ее полной неопределенности. Если считать потенциал среды, действующий на интерферирующую частицу в данной точке ее траектории, зависящим только от этой точки, но не от траектории в целом, то неоднозначность фазы равна

то То

(V) = j у j[(V, (MtUWi НУ t^ -

о о

(з.18)

где при конечных температурах усреднение следует понимать как термодинамическое.

Точное поведение интерференционного члена при ^б^^ >> 1, т. е. значение (ег<^) для широкой функции распределения, зависит от конкретного вида функции распределения фазы P^Y Однако рассмотрение фазы как случайной величины позволяет, при выполнении надлежащих условий, применять центральную предельную теорему и считать Р(^р) нормальным распределением. Центральная предельная теорема применима, например, тогда, когда фаза набирается в результате последовательности ряда независимых событий (т. е. в процессе

рассеяния на различных невзаимодействующих рассеивателях), или, в более общем случае, тогда, когда корреляционная функция потенциала затухает на характерных временах, много меньших времени эксперимента. В частности, центральная предельная теорема обычно справедлива при описании взаимодействии с тепловым резервуаром. Для нормального распределения

= ei(y)-(i/2)(V> . (3.19)

Это выражение является точным для модели среды, состоящей из гармонических осцилляторов, линейно взаимодействующих с электроном. Усреднение (ег9Д в формуле (3.19) воспроизводит результат, полученный Фейнманом и Верноном для весьма похожей модели; в их работе формула (3.19) была выведена с помощью интегрирования по траекториям окружения. Модель осцилляторов оказалась очень полезной при исследовании влияния окружения на квантовые явления (см. Caldeira and Leggett, 1983). С практической точки зрения формула (3.19) — это удобный способ вычисления функционала влияния для многочастичной среды, где обычно выполняется центральная предельная теорема.

Как видно из формулы (3.1), неопределенность фазы остается постоянной (не растет и не убывает со временем), когда интерферирующая волна не взаимодействует со средой. Поэтому если парциальная волна оставляет в окружении свой след, то он не может быть «стерт» после выключения взаимодействия. Ни внутренние взаимодействия внутри окружения, ни специальное приложение к нему классической внешней силы не могут уменьшить неопределенность фазы после выключения взаимодействия. Это утверждение можно также доказать с точки зрения изменения состояния окружения, вызванного интерференционной волной. Доказательство следует непосредственно из унитарности. Скалярное произведение двух состояний, эволюционирующих во времени под действием одного и того же гамильтониана, не меняется со временем. Поэтому если состояние системы (электрон плюс окружение) после выключения взаимодействия имеет вид

® Ix^U+l^)) ® IxlnU- (3-2°)

то скалярное произведение (хеп«Д)|ХепгД)) Уже больше не изменяется с течением времени. Единственный способ заставить его изменяться — включить другое взаимодействие электрона с тем же самым окружением (см. конец этой главы). Такое взаимодействие оставляет произведение (Xenv(^)IXenv(^)) 0 (r(t)|/(t)) постоянным, но позволяет измениться его отдельным сомножителям, в частности (хеп^tolXenv(t)). Интерференция будут полностью восстановлена только в том случае, если в результате этого взаимодействия, сомножители изменятся таким образом, что равенство нулю произведения будет выполнено за счет

60 Механизмы сбоя фазы за счет взаимодействия с окружением [Гл. 3 ортогональности электронных волновых функций, скалярное произведение которых — в данной постановке эксперимента — не влияет на результат.

Все предыдущие рассуждения касались фазы у? = у?г, набираемой только вдоль правой траектории. Левая траектория таким же образом набирает фазу у?/ при взаимодействии со средой. Интерференционная картина зависит от относительной фазы у?/ — у?г, неопределенность которой равна

Wvi - VtY') = (<^) + ^^r) - Wvi^tV (3.21)

ТО То

где ^бфгб^з^ = j dt j dtf (5V(x^ t)5V(xj, t')^ а под усреднением по- 0 о

нимается термодинамическое усреднение. Именно неопределенность ^5^ф[ — ^г)2) определяет потерю квантовой интерференции. Она всегда меньше или равна сумме неопределенностей фаз двух отдельных парциальных волн. Случай некоммутирующих фаз мы обсуждать здесь не будем.

Часто оказывается, что с обеими парциальными волнами взаимодействует одно и то же окружение. Типичный пример — взаимодействие интерферирующего электрона с электромагнитными флуктуациями в вакууме. В этом случае, если две парциальные волны следуют вдоль параллельных траекторий с одинаковыми скоростями, то их дипольное излучение, несмотря на передачу энергии полю, не разрушает интерференцию. Это излучение, хотя и делает неопределенной фазу каждой парциальной волны, не изменяет их относительной фазы. Позднее мы встретимся и с другими примерами, демонстрирующими тот важный факт, что создаваемые возбуждения среды должны быть способны отличить правую траекторию от левой, для того чтобы нарушить их интерференцию (см. рассуждения, предшествующие формуле (3.45)). Хорошо известным примером является процесс «неупругого когерентного рассеяния нейтронов» в кристалле (см., например, Kittel, 1963), где происходит когерентное сложение амплитуд процессов, в которых нейтрон обменивается одним и тем же фононом со всеми рассеивателями в кристалле.

Предыдущие примеры показывают, что обмен энергией не является достаточным условием разрушения когерентности. Он не является также и необходимым условием. Единственно важным обстоятельством для сбоя фазы является то, что две парциальные волны должны переводить окружение в два состояния, ортогональные друг другу. В принципе не важно, являются эти состояния вырожденными или нет (простые примеры были даны Стерном и др. (Stern et al., 1990a,b)). Таким образом, длинноволновые возбуждения (фотоны, фононы) не могут нарушить интерференцию, причем не в силу малости их энергии, а скорее потому, что, действуя совершенно одинаковым образом на

обе траектории, они не могут изменить их относительную фазу (см. формулу (3.34) ниже).

Подчеркнем, что сбой фазы может происходить при взаимодействии как с дискретным, так и с непрерывным окружением. В первом случае интерферирующая частица с большой вероятностью может впоследствии снова поглотить созданное ею возбуждение и тем самым «восстановить» свою фазу. В последнем случае возбуждение может уйти на бесконечность и сбой фазы должен рассматриваться, практически, как необратимый процесс. Поэтому в последнем случае окружение выступает в качестве эффективного термостата, причем не возникает никаких сложностей с определением фазы у?, так как можно пользоваться формулой (3.1). Заметим, что в некоторых специальных случаях вероятность снова поглотить созданное ранее возбуждение и тем самым сохранить когерентность оказывается конечной, даже для случая непрерывного спектра. Это относится, например, к модели квантовой интерференции, предложенной Холстейном (Holstein, 1961) для описания эффекта Холла в диэлектриках (см. также Entin-Wohlman et al., 1995а,b).

Сбой фазы за счет электрон-электронноговзаимодействия

В качестве важного примера применения вышеизложенных принципов мы рассмотрим процесс сбоя фазы в мезоскопических интерференционных эффектах в проводящих образцах, обусловленный электрон-электронным взаимодействием. Стерн и др. (Stern et al., 1990а,b) применили подход, связанный с вычислением фазовой неопределенности, к процессу дефазировки за счет электрон-электронного взаимодействия в металлах в диффузионном режиме. Они показали, что такой подход воспроизводит результаты, полученные в пионерской работе (Altshuler et al., 1981b, 1982a). Следуя Стерну и др., мы исследуем здесь дефазировку электрон-электронным взаимодействием, рассматривая изменения, возникающие в состоянии окружающей среды, с использованием ее функции отклика. В оригинальной работе Альтшулера, Аронова и Хмельницкого исследовалась неопределенность фазы частицы, вызываемая электромагнитными флуктуациями среды. Мы увидим, что флуктуационно-диссипативная теорема обеспечивает эквивалентность этих двух подходов. В этом параграфе мы примем те же допущения, что и в предыдущем, и воспользуемся формулами (3.1) и (3.21) для фазовой неопределенности. В параграфах 2, 3 и 5 мы рассмотрим только случай линейного транспорта, когда энергии электронов, участвующих в процессе проводимости, не превышают квТ.

Мы начнем с самой общей картины, рассматривающей пробную частицу, взаимодействующую с окружением. Для определенности мы рассмотрим интерферирующий электрон (траектории которого мы будем

обозначать как жгД£)), взаимодействующий с электронами окружения (с координатами у^- Тождественность интерферирующего электрона с электронами среды будет приближенно учтена позднее. Флуктуация кулоновского потенциала, описывающего взаимодействие интерферирующего электрона со всеми остальными электронами, в представлении взаимодействия имеет вид

v, (х, i) =v, (х, i) =£/(rV)dV|x-r'|£/(rV)dV|x-r'|(3.22)(3.22)

v, (х, i) =

v, (х, i) =

£/(rV)dV|x-r'|

£/(rV)dV|x-r'|

(3.22)

(3.22)

где флуктуация плотности заряда окружения равна р, (г, t) = = eyLi^T — PiW) — Р* Для краткости обозначений мы сначала рассмотрим взаимодействие электронного резервуара только с правой парциальной волной интерферирующего электрона, опуская в выражениях соответствующий индекс, и будем считать, что электронный резервуар изначально находился в своем основном состоянии |0) (в дальнейшим мы откажемся от этого допущения). Если считать левую парциальную волну не взаимодействующей с электронным резервуаром, то уменьшение интенсивности интерференционной картины происходит вследствие конечной вероятности того, что резервуар, за счет взаимодействия с правой волной, может оказаться в конечном состоянии, отличном от |0). Во втором порядке по взаимодействию эта вероятность равна

g^'(O|V} (x(f), f)|n)(n|V/ (x(f'), ^)|0).g^'(O|V} (x(f), f)|n)(n|V/ (x(f'), ^)|0).(3.23)(3.23)

g^'(O|V} (x(f), f)|n)(n|V/ (x(f'), ^)|0).

g^'(O|V} (x(f), f)|n)(n|V/ (x(f'), ^)|0).

(3.23)

(3.23)

Интерпретация Р в терминах неопределенности фазы становится очевидной из формулы (3.1). В основном состоянии (0|р|0) = 0, так что суммирование в формуле (3.23) можно распространить на все состояния. Vj является флуктуацией потенциала, а полнота набора состояний |п) обеспечивает равенство Р фазовой неопределенности в формуле (3.1). Таким образом, интерпретация величины (3.23) как изменения фазы частицы, возникающего из-за взаимодействия с окружением, становится ясной. Напомним, что мы пренебрегаем изменениями в траектории хТДР) из-за взаимодействия и учитываем только соответствующее изменение фазы электрона. Выразим теперь вероятность Р через функцию отклика среды. Применив теорему о свертке | d3r'/(r - r')g(r') = ^-к^^ ^d?qfqgqe-iqr, где fq и gq — Фурье- гармоники функций / и g, мы можем записать

то То

Р =[ At [ dt' [ ^ [ ^'^

h (2тг) J J J J q q

(3.24)(3.24)00

(3.24)

(3.24)

где pq обозначает pq — q компоненту флуктуации плотности в представлении взаимодействия. Мы предполагаем трансляционную инвариантность:

{pqPq'} = 5(Ч + ^ХРчР"чУ (3'25)

(Для конечной системы, где q — дискретно, в формуле (3.25) возникает символ Кронекера 5qqi. При увеличении размеров системы он заменяется на дельта-функцию с множителем (2тг)3/1А) Проинтегрировав по q’ и вставив |пДп| = 1, где |п) — полный набор промежуточных состояний, мы получаем

Р =Р =1Q(2^)W1Q(2^)W52 Л Л' d3q^^^\p4,(t)\n^^ х

Р =

Р =

1

Q(2^)W

1

Q(2^)W

М о о

х eiq-(x(t)-x(t')) ,х eiq-(x(t)-x(t')) ,(3.26)(3.26)

х eiq-(x(t)-x(t')) ,

х eiq-(x(t)-x(t')) ,

(3.26)

(3.26)

Переходя к шредингеровским операторам (см., например, приложение А) и вводя новую дополнительную переменную интегрирования ш, Р можно переписать в виде

То ТоОО

Р =—У' dt dt’ d3q f </w^^-1(01/ЭсIn)12 x

Q(27r)3R2V J J J J Q4 ' ' 51 '

H 00-oo

x 5(w - ШпОу^х№-х^-^^^(3.27)

(1\л 2 21\4тг еIs(q, w)/ £lq6(1\л 2 21\4тг еIs(q, w)/ £lq6На первый взгляд формула (3.2) выглядит бесполезной вследствие невозможности нахождения собственных состояний резервуара |п). Однако польза от такой записи становится очевидной, если заметить, что данное выражение можно записать через динамический структурный фактор (см. приложение А, формула А. 11) или через мнимую часть комплексной диэлектрической проницаемости. Эти две величины связаны между собой флуктуационно-диссипационной теоремой (ФДТ, см. формулу А. 13), записанной для конечных температур, т. е., с учетом температурного усреднения по заселенностям Р^ начального состояния среды г,

(1\л 2 2

1\4тг е

I

s(q, w)/ £lq6

(1\л 2 2

1\4тг е

I

s(q, w)/ £lq6

52-- 5(Ш + Wni)] =

= ^ [S(q, ш) - S(q, -cv)] = ^ S(q, w)[l - e"MkBTV (3 28) \lq hUq П

где, для того чтобы получить последнее выражение, мы использовали условие детального баланса (А. 12). В результате формула (3.2) прини-

мает вид

х S(q, w)eiq(*W-x(«'))-M«-t') =

То ТоОО

' Г , Г Q Г4е2/1\

dt dt d?q duoIm I —? ) x

J J J J ^(l-e^/^)

x егч(х(£)-х(Г))-га>(£-Г). (3.29)

Важная формула (3.2) является основным результатом данного параграфа. Подчеркнем, что в нее еще не включены ограничения, вызываемые принципом Паули, то есть запрет интерферирующему электрону, который находится вблизи ферми-поверхности, занимать состояния, уже занятые электронами резервуара. Прежде чем приступить к обсуждению результата, отметим, что в формуле (3.2) вычисления уже обобщены на случай, когда электронный резервуар первоначально находился при конечной температуре. Вероятность того, что за время то среда изменит свое состояние, выражается через интеграл от диссипативной части функции отклика, т. е. от восприимчивости системы. Эквивалентная запись через динамический структурный фактор и флуктуационно-диссипативную теорему (ФДТ) просто выражает вероятность через интеграл от вероятности неупругого рассеяния. Хорошо известно (см., например, Nozieres, 1963), что потеря энергии системой вследствие неупругого рассеяния таким же образом выражается через интеграл от S, или Im(l/s). Новой особенностью нашего результата является появление в нем классической траектории x^t\ вдоль которой происходит возбуждение среды.

Температурный фактор (1 — е-^/кв1^-1 в формуле (3.2) приводит, при высоких температурах, к появлению обычного множителя kBT/hw. При низких температурах (kBT <С /i|^|) он также играет очень существенную роль: в этом случае он обеспечивает правильное поведение S(q^ ш), удовлетворяющее условию детального баланса. Например, в пределе Т —> 0, S(qDw) равно нулю при ш < 0, что означает невозможность извлечения энергии из системы при Т —> 0. Как мы увидим, скорость сбоя фазы для электрона на уровне Ферми должна стремиться к нулю в этом пределе, причем существенно также и то обстоятельство, что и сам диффундирующий электрон не может отдать энергию в пределе Т —> 0. Для электрона проводимости, раположен- ного точно на поверхности Ферми, этот факт следует непосредственно из принципа Паули; это, однако, отнюдь не следует непосредственно из

формулы (3.2). Данный вопрос будет подробно разобран в последних параграфах (4, 5) этой главы, здесь мы сделаем всего два замечания. Отметим, что подынтегральное выражение в среднем члене формулы (3.2) инвариантно (за исключением множителя S(q, ш)) по отношению к перестановке t и С с одновременным изменению знаков у из и q (мы подразумеваем, что система инвариантна по отношению к пространственной инверсии, так что знак q не важен). Запишем: S^q^uj^ = = S^^q^^ + S-^q^Y где S+ и S_ — соответственно симметричная и антисимметричная части S. Очевидно, что S_ не дает вклада в интеграл. Для S+ ФДТ принимает вид

/1\ /I 2 2ь

Im ( — ) = е2 ^(q, ш) tanh ——.(3.30)

\s(q,w)/ h^q27 2kBTV 7

Это преобразует множитель (1 — g-^/^B7")-1 в формуле (3.2) в coth (hw / 2k ВТ). Как мы увидим в § 4 (формула (3.46)), последовательный учет принципа Паули приводит к вычитанию членов, содержащих tanh ии coth, что приводит к обращению в нуль подынтегрального выражения при квТ <^ 7&|сД для обоих знаков энергии Нш. Это, в свою очередь, обеспечивает обращение в нуль скорости дефазировки при Т 0.

Формула (3.2) была получена для случая, когда возбуждение среды вызывается электроном, движущимся только вдоль правого пути, что приводит к неоднозначности его фазы 5<р2. Точно так же взаимодействие с левой траекторией приводит к неоднозначности фазы Sep2. Наконец, подобным же образом можно получить и перекрестный член ^1рг5ф1) = ^§1р15фту

Результирующее подавление интерференции определяется флуктуацией относительной фазы, как и в формуле (3.21):

k^VPr - ^/)2)) = (6^ + (6^ - 2^^t5^TY(3.31)

где для члена ^бфг^Фз^ Ос 3 = ^ г) экспонента ^qCW-^lt )) в формуле (3.2) заменяется на ew(®i(t)-®j(t )) Взаимное сокращение членов в формуле (3.31), как мы увидим, имеет крайне важное значение в случае низкой размерности. Теперь мы сформулируем несколько выводов, следующих из вышеприведенных вычислений.

Для хороших проводников, в интересующем нас диапазоне частот и волновых векторов из <С 1/т, а^ Dq2 <С из (см. формулу (3.4)), мнимая часть диэлектрической проницаемости имеет простой вид: Im(l/s(<7, w)) = из/4тга. (Заметим, что при малых q и из Res <С <С Ims, Im(l/s) = l/(Ims) и Ims ~ 4тгсг/ол) Для тех моделей, в которых характерные частоты Низ ^ квТ^ вероятность изменения состояния электронного резервуара при движении пробной частицы

66 Механизмы сбоя фазы за счет взаимодействия с окружением [Гл. 3 вдоль траектории x(t) есть

тотоквТ

р = —Ц- [ dt [ dt' [d?q [ dw^p- ег^а)-^'))-гШа-е), /г(2тг3) JJJJ7rg2cr

00-kBT

(3.32) Для x(t) = хт(^ эта вероятность (при Р <С 1) равна половине неопределенности фазы ^р^ набираемой правой парциальной волной. Этот результат эквивалентен результату Альтшулера, Аронова и Хмельницкого; ниже (в §3), с его помощью мы найдем время сбоя фазы т^. Данный вывод показывает, что дефазировка здесь происходит из-за электрон-электронного взаимодействия, и связывает ее с линейным откликом резервуара.

Для плохих проводников Ims(Q,cj) <С Ree(Q,cj). При этом условии, в интеграл (3.2) дают значительный вклад только те значения ш и q. где Res = 0. Типичным примером такой точки является плазменная частота ш = шр.

В обоих упомянутых выше случаях скорость дефазировки определяется в основном мнимой частью диэлектрической проницаемости. Она, в свою очередь, определяет скорость, с которой электронный резервуар возбуждается интерферирующим электроном. Здесь следует отметить, что поляризуемость резервуара интерферирующим электроном, за которую ответственна действительная часть диэлектрической проницаемости, не влияет на подавление интерференции. Эта поляризация исчезает, как только электрон покидает поляризованную область и потому не позволяет определить путь, выбранный электроном. За подробным обсуждением вопросов связи между диссипацией, восприимчивостью и дефазировкой, мы отсылаем читателя к работе (Stern et al., 1990а,b).

Все рассуждения, приведенные выше, можно обобщить на случай произвольного двухчастичного взаимодействия V(г — г'). Для этого необходимо в формуле (3.22) заменить кулоновское взаимодействие е2/к — г'\ на потенциал V(г — г') и проделать все те же вычисления (3.23)-(3.32). В частности, интересно рассмотреть случай короткодействующего потенциала, который можно приближенно записать в виде V(г — г') ос 6 (г — г'). Для такого потенциала вероятность изменения состояния резервуара пропорциональна корреляционной функции плотности электронов резервуара:

то то

ос dt 6^'(р(ж(£) Д)р(ж(£') Д')).(3.33)

о о

Поэтому интенсивность интерференционных эффектов, в данном случае, содержит информацию о корреляционной функции плотности

в резервуаре, которая связана с динамическим структурным фактором и диссипативной частью функции отклика.

Как подчеркивалось выше, взаимодействие среды с интерферирующей частицей изменяет состояние среды, так что среда приобретает информацию о траектории, выбранной частицей. Можно рассмотреть случай очень медленного электрона, движущегося в куске металла, и изучить изменения, вызываемые им в состоянии металла. На первый взгляд состояние металла должно адиабатически следовать за движением электрона, так что, когда электрон покинет металл, последний окажется снова в первоначальном состоянии. Однако так как спектр возбуждений электронного резервуара непрерывен, адиабатические рассуждения неприменимы. В действительности справедливо только то, что электрон вызывает поляризацию в резервуаре, которая следует адиабатически за движением электрона и исчезает, когда электрон покидает металл. Но вследствие непрерывности спектра резервуара эта поляризация приводит к рождению возбуждений в нем, которые не исчезают после прекращения взаимодействия резервуара с интерферирующим электроном.

В диэлектриках ситуация, конечно, иная. Здесь, из-за наличия щели в спектре возбуждений, медленный электрон может поляризовать резервуар без его возбуждения, то есть без определения траектории электрона.

Выше мы выражали все величины в терминах динамического коррелятора плотности. Используя уравнение непрерывности pqu) = = —^ql^iquj^ последний можно переписать в терминах динамического коррелятора токов. Существенным оказывается только коррелятор продольных (параллельных q) компонент тока (вследствие того, что в закон сохранения заряда входит дивергенция тока V • j), который можно выразить через продольные компоненты вектор-потенциала А, как и в оригинальной работе Альтшулера, Аронова и Хмельницкого. Мы полагаем, что представленный выше вывод делает связь дефази- ровки с кулоновским электрон-электронным взаимодействием очень ясной и явной.

Случай ш >> квТ будет рассмотрен позднее.

Обзор результатов для различныхразмерностей

Мы начнем этот параграф с выяснения зависимости фурье-компонент кулоновского взаимодействия от эффективной размерности системы (см., например, Altshuler and Aronov, 1985). Кроме всего прочего, это даст нам критерий для перехода системы к низкоразмерному поведению. Как пример системы с «пониженной размерностью» мы рассмотрим случай тонкой пленки. Тонкие проволоки и квантовые точки з*

можно исследовать подобным же образом. Рассмотрим тонкую пластину толщины d в «тонком» направлении (обозначаемом ±) и макроскопическими размерами в двух «широких» латеральных направлениях (обозначаемых как ||). Поскольку силовые линии электрического поля распространяются вдоль всех направлений, фурье-образ кулоновского потенциала имеет вид Vq = 4тге2/^2, характерный для трехмерного случая. Изучая физику пленки, обычно интересуются только двумя латеральными направлениями q^ поэтому по всем q^ производится интегрирование, и, в результате, эффективное взаимодействие в плоскости становится равным Vq^ = 2тге2/|^ц|. Однако, как мы сейчас увидим, это не совсем то, что нам нужно. В качестве примера рассмотрим взаимодействие кулоновского поля с заданной плотностью заряда еп^ в пластине:

1 f 4тге2

/о \2 , / у ^11 / 2 . 2 \ ^q^qv(Q||+Q±)

где Tiq^^q^ фурье-компоненты еп(г\ Расстояние между дискретными значениями q^ имеет порядок ~ (1/ d). Их точное значение зависит от граничных условий, и, поскольку все три компоненты q^, дц не могут одновременно равняться нулю (под = 0 вследствие общей электронейтральности), допустимо только qv = 0, дц ^ 0, что соответствует постоянной — вдоль тонкого направления — плотности заряда.

Как правило, при интегрировании по дц область больших значений Ч\\ (^|| > фц где, как мы увидим, эффективный параметр qo для диффузионных проводников не больше чем kBT/D) дает пренебрежимо малый вклад. Поскольку q^d <С 1, член с q^ = 0 является доминирующим при суммировании по q^ и задача становится эффективно двумерной, но взаимодействие по-прежнему имеет трехмерный вид: Vq^ = = 4тге2/^2. Интересно, что толщина, при которой происходит переход к двумерному поведению, зависит от температуры или от некоторой другой характерной энергии электрона (Imry and Ovadyahu, 1982).

Итоговое выражение (3.32) предыдущего параграфа позволяет найти неопределенность фазы, набираемой правой парциальной волной. Физически значимой величиной является неопределенность разности фаз между двумя траекториями, например между левой и правой. Может показаться, что эта неоднозначность того же порядка, что и неоднозначность фазы для каждой траектории (5<р^ и (бср^. Это действительно так при d > 2, однако при d ^ 2 флуктуации фазы для каждой отдельной траектории расходятся в термодинамическом пределе. Эта не вполне физическая расходимость устраняется при вычитании перекрестных членов (^S^iS^p^ так что в данном случае это вычитание становится критически важным. Здесь мы сталкиваемся с типичным случаем инфракрасной расходимости при малых щ ее можно сразу увидеть, заметив, что знаменатель q2 в формуле (3.32) при d ^ 2 не компенсируется множителем qd-i в числителе, появляющимся из-за

интегрирования по фазовому пространству. Аналогичные расходимости (устраняемые тем же способом) возникают, например, при изучении флуктуаций в одно и двумерных решетках (см., например, Imry and Gunther, 1971). Они также играют важную роль в низкоразмерных сверхпроводниках, см. гл. 7.

При вычислении (по формуле (3.32)) всех трех слагаемых в (3.31) мы произведем сначала интегрирование по ш. Как мы увидим в §4, подынтегральное выражение стремится к нулю при передаче энергии, много большей, чем квТ, и обычно достигает максимума при меньших передачах энергии. Поэтому в результате интегрирования по ш мы получим резкий максимум в точке t — tf = Ос шириной порядка (квТ)-1. Мы будем считать, что все характерные времена — такие, как т^ и время проведения интерференционного эксперимента — гораздо больше, чем (квТ)-1. Тогда приближенно можно положить, что интеграл по ш пропорционален 2тгд(1 — 1/). Это приближение действительно справедливо, если выполняется условие квТт^ >> 7ц физически оно означает, что энергия возбуждения много больше, чем его ширина. Данное предположение является центральным в теории ферми-жидкости, которая лежит в основе всего современного представления о физике металлов. Поэтому хотелось бы, чтобы наш конечный результат находился в согласии с этим предположением. Просуммировав все три члена в формуле для относительной фазовой неопределенности, мы получим

то^ф2^ ~ dtото^ф2^ ~ dtоd qd qе^квТТ2 2" ri aqе^квТТ2 2" ri aqsin2 { I [9 • (ж1(*)) — ж2(<))]} ,sin2 { I [9 • (ж1(*)) — ж2(<))]} ,(3.34)(3.34)

то

^ф2^ ~ dt

о

то

^ф2^ ~ dt

о

d q

d q

е^квТ

Т2 2" ri aq

е^квТ

Т2 2" ri aq

sin2 { I [9 • (ж1(*)) — ж2(<))]} ,

sin2 { I [9 • (ж1(*)) — ж2(<))]} ,

(3.34)

(3.34)

и время сбоя фазы т^ равно такому значению времени то, при котором фазовая неопределенность становится порядка единицы.

Существуют два важных обстоятельства, касающиеся этого выражения, на которые следует обратить внимание. Во-первых, величина (5у^2) не обязательно является линейной функцией времени. Так как интерференционный член подавляется фактором е-^*2^5^ \ это означает, что уменьшение интерференционного члена не обязательно должно быть простой экспоненциальной функцией времени. Этот результат оказывается существенным при изучении зависимости проводимости мезоскопического кольца от магнитного потока, пронизывающего кольцо (см. гл. 5).

Второй важной особенностью является сильная размерная зависимость фазовой неопределенности. Величину (3.34) при d = 1,2 (где d — размерность образца) можно приближенно оценить следующим образом. При q($i — Ж2) ^ 1 опасный знаменатель q2 компенсируется . 2

малостью sin и, как легко видеть, вклад малых импульсов является малым. При q • (жх — х^ >> 1 мы имеем быстро осциллирующий множитель (квадрат синуса), который следует заменить на его среднее значение 1/2. В таком приближении интеграл будет расходиться при

70 Механизмы сбоя фазы за счет взаимодействия с окружением [Гл. 3 малых q. и его следует обрезать в точке, где величина q^xx — х^ становится порядка единицы. Таким образом, q ~ 1/|жх — #2! является инфракрасным параметром обрезания расходящегося интеграла J qd~3 ^q £ результате

е^квТе^квТdt |xi(t) - x2(t)|2 ddt |xi(t) - x2(t)|2 d(3.35)(3.35)

е^квТ

е^квТ

dt |xi(t) - x2(t)|2 d

dt |xi(t) - x2(t)|2 d

(3.35)

(3.35)

~ Д^22 p(2-d)/2 f(4-d)/2 ;~ Д^22 p(2-d)/2 f(4-d)/2 ;(3.36)(3.36)где, в случае тонкой пленки, под величиной ст следует понимать ее проводимость, умноженную на ее толщину, а в случае тонкой одномерной проволоки — проводимость, умноженную на поперечное сечение. Итак, основной вклад в интеграл (3.34) дают q ~ |xi(t) — х2 (t) | *. Так как характерное расстояние между траекториями в диффузионной имеет порядок VDt. то для таких траекторий мы получим

~ Д^22 p(2-d)/2 f(4-d)/2 ;

~ Д^22 p(2-d)/2 f(4-d)/2 ;

(3.36)

(3.36)

п ст

а время сбоя фазы при котором (5ip2) ~ 1,

2/(4-d)2/(4-d)e4BTDM^e4BTDM^(3.37)(3.37)

2/(4-d)

2/(4-d)

e4BTDM^

e4BTDM^

(3.37)

(3.37)

При d = 2, т^ ~ Kgu/k^T, где gn — безразмерный кондактанс на квадрат пленки. Этот случай является особым из-за появления логарифмического множителя. Тщательный анализ (см. приложение Д) показывает, что логарифмические поправки к т^ действительно появляются, но имеют вид In (adh/e2) loggn, где d — толщина пленки, т. е. не содержат логарифмической зависимости от температуры.

При d = 3 интеграл по q в формуле (3.34) расходится на верхнем пределе. Однако он обрезается при импульсе \q\ = (квТ/D)1/2, который находится из условия Dq2 < ш < квТ (см., например, Imry et al., 1982). Тогда

(3.38)(3.38)где мы считаем, что (квТ( DY^\xx^ — а?2(^)| ^ 1 для существенных значений t. Следовательно, при d = 3

(3.38)

(3.38)

е^квТ^^ ’

Эти результаты показывают, что описанный выше механизм часто (особенно при низких температурах) приводит к более эффективному сбою фазы, чем электрон-фононное взаимодействие. Поэтому в неупорядоченных металлах интерференция подавляется в основном кулоновским взаимодействием или, что тоже самое, продольными флуктуациями

электромагнитного потенциала. В отличие от поперечных флуктуаций (т. е. фотонных мод), существующих также в диэлектриках, продольные моды возникают из-за электрон-электронного взаимодействия свободных зарядов и исчезают, если металл превращается в диэлектрик. Наиболее эффективными флуктуациями в одно- и двумерных проводниках являются те, у которых длина волны имеет порядок расстояния между интерференционными траекториями, т. е. те, для которых q ~ L”1. Более длинноволновые флуктуации дают вклад в неопределенность фазы каждой из парциальных волн, но сохраняют относительную фазу хорошо определенной величиной, так как такие флуктуации не могут выделить выбранную траекторию. Коротковолновые флуктуации дают некоторый вклад в сбой относительной фазы, однако этот вклад мал.

При d > 2 неопределенность фазы возрастает линейно со временем, однако, например в одномерных системах:

г.13/2/\2/3

(V)~ -; ^~(^^) ,(3.39)

W\kBTVD)

где gx — безразмерный кондактанс единичной длины умноженной на эту длину (т. е. удельная проводимость, умноженная на поперечное сечение ина^/е2). Степенной закон с показателем 2/3 в формуле (3.37) получил убедительное экспериментальное подтверждение в работах Wind et al., 1986; Pooke et al., 1989, Echternach et al., 1993. Результаты первой работы приведены на рис. 3.2, где изображена зависимость т”1 от температуры, полученная из измерений магнитосопротивления в режиме слабой локализации.

Теперь мы вернемся к обсуждению вопроса о том, как определить эффективную размерность системы. Рассмотрим пластину толщины d. Интуитивно можно предположить, что за время т^ электрон пройдет характерное расстояние L^. Очевидно, что при L^ <С d, электрон, как правило, успеет потерять когерентность до того, как почувствует конечную толщину пластины, и поэтому процесс сбоя фазы можно приближенно считать трехмерным. С другой стороны, при L^ >> d диффундирующий электрон полностью почувствует толщину пластины и эффективно начнет двигаться двумерным образом еще до того, как произойдет сбой фазы. Поэтому, казалось бы, условием для эффективного низкоразмерного поведения должно быть

L^ >> соответствующего размера системы.(3.40)

Однако детальный анализ (подобный проведенному в начале этого параграфа, см., например, работу Sivan et al., 1994b, упомянутую ниже) интегрирования по к в формуле (3.34) показывает, что в условии (3.40) на самом деле появляется длина LT = [KD / к BTY^ а не L^. Существенная роль этой зависящей от энергии электрона (квТ — его

Рис. 3.2. Температурная зависимость времени сбоя фазы (из работы Wind et al., 1986). Сплошные линии для проволок — результат подгонки с помощью формулы (3.39) при d = 1. Данные для серебряной проволоки Ag2 (W = = 100 нм) в области температур от 2 до 4.5 К нормированы на сопротивление Но и коэффициент диффузии D алюминиевых образцов, для того чтобы их можно было сравнить с результатами, полученными на алюминиевых проволоках. Сплошная линия для алюминиевой пленки — подгонка с помощью формулы А'ееТ + АерТ\ где А'ее = 3,9 х 108 K-1s-1. Пунктирная линия соответствует скорости сбоя фазы за счет электрон-фононного взаимодействия. Шкала Ly действительна только для алюминиевых образцов

характерная тепловая энергия) диффузионной длины в физике элек- трон-электронного взаимодействия уже отмечалась ранее (см. Altshuler and Aronov, 1979, 1985; Imry and Ovadyahu, 1982a). Поскольку L^ > > LT, правильное ограничение на размеры образца является более жестким.

Тонкую проволоку можно считать одномерной, если LT больше, чем оба ее поперечных размера. Если проволока имеет также конечную длину L, то может произойти дальнейший переход при LT >> >> L, при котором система приобретает нулевую размерность и 1/т^ становится пропорциональным Т2. Подобный переход к нулевой размерности может происходить и при d = 2, 3 (Sivan et al., 1994b). Этот результат становится особо важным и интересным по следующей причине. Из условия (3.40), с LT вместо L^, следует, что переход к нулевой размерности происходит при квТ ~ Ес. Сейчас мы покажем, что этот переход предотвращает нарушение теории ферми-жидкости Ландау для тонких проволок. Напомним, что основным допущением

теории ферми-жидкости является малость ширины квазичастичного возбуждения по сравнению с его энергией. Как явствует из физических соображений (а также и из расчетов, см. §4.5), эта ширина равна h/т^ и условие на температуру сводится к kBTr^/h >> 1. Так как из формулы (3.37) следует, что т^ ^-^/^ ПрИ — i т0 На первый взгляд кажется, что это условие должно нарушаться при достаточно низких температурах. Используя соотношение Эйнштейна и тот факт, что в одномерном случае а (формула (3.39) при d = 1) умножается на сечение проволоки, мы запишем одномерный результат в следующей прозрачной форме:

(3.41)(3.41)Л ~ /wV'3

(3.41)

(3.41)

причем в точке размерного перехода квТ ~ Ес. Так как характерная энергия возбуждения — квТ^ то его энергетическая ширина в этой точке удовлетворяет условию К/т^ Ес/g2?3 >> квТпоскольку в металлическом состоянии g >> 1. Тем самым в точке перехода предположение о наличии хорошей ферми-жидкости {квТт^/К) >> 1 выполняется. Ниже точки перехода частота 1/т^ уменьшается быстрее чем квТ. Итак, условие применимости ферми-жидкостного описания выполняется всегда. Эта ситуация представляется весьма привлекательной как по общим физическим соображениям, так и по той причине, что мы уже предполагали данное условие выполненным при вычислении т^; теперь мы убедились, что это вычисление было самосогласованным. Поэтому, хотя задача об одномерной системе и кажется сложной и непонятной в связи с тем, что К/т^ уменьшается более медленно с температурой, чем сама энергия квТ, ситуацию спасает переход к нулевой размерности. Предыдущие аргументы можно переформулировать другим образом, если сказать, что критерием нарушения ферми-жидкостного описания является условие LT > £ (Altshuler and Aronov, 1985), где £ — длина локализации. Переход к нулевой размерности происходит при LT ~ L. Поэтому для проволок, которые не находятся в режиме локализации (т. е. их длина меньше, чем длина локализации), первое условие не выполняется. Переход к нулевой размерности происходит до того, как квТт^/К станет меньше единицы, спасая, тем самым, теорию Ферми-жидкости. Так как в металлическом состоянии проводимость на единицу площади поверхности тонкой пленки велика, то Ферми- жидкостные предположения оказываются справедливы также и для двумерных тонких пленок (формула Е.З).

Теперь мы кратко обсудим вычисление (Sivan et al., 1994b) скорости сбоя фазы в «квантовой точке» (маленькой частице конечного размера) в разных физических ситуациях, в том числе и в пределе нулевой размерности. Здесь нам необходимо определить флуктуацию относительной фазы по формуле (3.31). Она включает четыре слагаемых вида (3.2) и, чтобы их вычислить, необходимо найти средние ^е*^"х^1 ))^

по диффузионному движению, где г^ j = /, г — две диффузионных траектории. Вычисление производится разложением исходного волнового пакета, находящегося в начальной точке, по собственным функциям диффузионного уравнения с подходящими граничными условиями на поверхности точки (нулевой ток по всей поверхности). Временная зависимость получается, если позволить волновому пакету расплываться со временем согласно соответствующим собственным значениям диффузионного уравнения. Очень важным является тот факт, что мода с q = О не играет никакой роли для изолированной точки вследствие сохранения заряда. Вычисление было проделано для электрона с энергией s, лежащей выше энергии Ферми при нулевой температуре, причем, как показано в следующем параграфе, принцип Паули ограничивает область интегрирования по ш отрезком [0, s].

Каждый из трех пространственных размеров L^ квантовой точки определяет соответствующую энергию Таулесса в диффузионном режиме:

£= = (3.42)

При s, много большем всех трех энергий Е^ интегрирование является трехмерным и мы получаем соответственно трехмерный результат (3.38). При е ^ Е^ для некоторого Егс эффективная размерность понижается за счет этого направления. При количественном расчете появляется важный числовой параметр (Sivan et al., 1994b). В пределе нулевой размерности е ^ Ес = min^), получаем

А

~ /г \ЕС) '

Данный результат означает, что уже при энергиях е ^ Ес (и, тем более, при больших энергиях) неупругие процессы эффективно размывают дискретный спектр ^T^jh <С 1), что согласуется с результатами эксперимента (Sivan et al., 1994а). Тонкие вопросы, связанные с невозможностью применения золотого правила Ферми для вычисления ширины уровня при слишком малых s, обсуждались в работах (Altshuler et al., 1997; Silvestrov, 1997; Mirlin and Fyodorov, 1997; Mejia-Monasterio, 1998; Imry, 1997).

Соотношение между временем сбоя фазы и временем электрон-электронного рассеяния

Второй и третий параграфы этой главы были посвящены вычислению времени сбоя фазы т^ за счет электрон-электронного взаимодействия с использованием общих принципов, сформулированных в § 1. В данном параграфе мы обсудим связь между временем сбоя

Соотношение между временем сбоя фазы 75 фазы и временем электрон-электронного рассеяния тее- которое определяется следующим образом. Поместим электрон в одноэлектронное собственное состояние в неупорядоченной системе с заданным расположением примесей. Данное состояние характеризуется энергией возбуждения Е. Вследствие взаимодействия с электронами ферми-сферы каждое собственное состояние приобретает некоторую ширину. Эта ширина, усредненная по расположению примесей, и называется обратным временем электрон-электронного рассеяния т”^ • Очевидно, что соответствующий временной масштаб зависит от состояния электронов Ферми-сферы. Случай, когда Ферми-сфера находится при нулевой температуре, был изучен Альтшулером и др. (Altshuler et al., 1981b), которые нашли, что ~ Ed/2. Случай конечных температур для двумерных систем рассматривался Абрахамсом и др. (Abrahams et al., 1981), некоторые другие случаи были изучены Шмидом (Shmid, 1974) и Эйлером (Eiler, 1985).

В этом параграфе мы проанализируем вычисления тее, преследуя следующие две цели. Во-первых, мы хотим связать их с вычислениями т^ и выяснить, при каких условиях и чем эти два времени похожи друг на друга. И второе — обсудить одно тонкое место, пропущенное в нашем вычислении т^, а именно — ограничение Паули на потерю энергии интерферирующим электроном. В нашем подходе, развитом в параграфах 2 и 3, интерферирующий электрон считался отличным от всех остальных электронов, и состояния, в которые он рассеивался, не ограничивались только незанятыми состояниями. Вдобавок ко всему этому мы пренебрегали амплитудой обмена интерферирующего электрона с электронами ферми-сферы. Мы попытаемся при вычислении тее выяснить, насколько серьезными были ошибки, допущенные в нашем предыдущем подходе, и найти относительно простой способ исправить их.

Мы начнем обзор вычислений тее со случая нулевой температуры, а затем обобщим полученные результаты на случай конечных температур. Золотое правило Ферми для частоты рассеяния в данном случае (мы положим К = 1 в этом параграфе) принимает следующий вид:

Е О

А = ^77^ 1^' [ de 52 - Еа) х

Тее n^L J £

х 6(Е — ш — е^§^е — Е^6^е + ш — £5) , (3.44)

где п(0) — плотность состояний на уровне Ферми, а, /3, 7, 5 обозначают точные одночастичные состояния с энергиями £а1 Ер^ е^^ е§^ а V — кулоновское взаимодействие. При помощи диаграммной техники Altshuler и др. (Altshuler et al., 1981а, 1982) получили следующее выраже-

ние для усредненной по примесям величины те^\-^1 •(3.45)+ Dq Jние для усредненной по примесям величины те^\-^1 •(3.45)+ Dq J= Е= ЕЕЕdwdwdqdqсгшсгшq2 и? + (Dq2 + 4тгсг)2q2 и? + (Dq2 + 4тгсг)2ReRe

ние для усредненной по примесям величины те^\

-^1 •(3.45)

+ Dq J

ние для усредненной по примесям величины те^\

-^1 •(3.45)

+ Dq J

= Е

= Е

Е

Е

dw

dw

dq

dq

сгш

сгш

q2 и? + (Dq2 + 4тгсг)2

q2 и? + (Dq2 + 4тгсг)2

Re

Re

Прежде чем выяснять, как это выражение связано с вычислениями предыдущих параграфов, мы рассмотрим простое объяснение его физического смысла. Переменная интегрирования ш является переданной энергией в процессе рассеяния. Она ограничена сверху энергией Е вследствие принципа Паули. Снова подчеркнем, что так как электроны ферми-поверхности находятся при нулевой температуре, то рассеивающийся электрон не может получить от них энергию. Подынтегральное выражение в (3.45) представляет собой мнимую часть экранированного кулоновского взаимодействия,

е2q2 ш2 + (Dq2 + 4тгсг)2е2q2 ш2 + (Dq2 + 4тгсг)22/1\

е2

q2 ш2 + (Dq2 + 4тгсг)2

е2

q2 ш2 + (Dq2 + 4тгсг)2

(3.46)(3.46)е л11

(3.46)

(3.46)

Im —

q

умноженную на «диффузионный полюс» Re[l/(zcu + Dq^Y Как показано в приложении Г,

Re tvHN(^Re tvHN(^гш + Dq2гш + Dq2= 1Ме<(*-Н|У= 1Ме<(*-Н|У

Re tvHN(^

Re tvHN(^

гш + Dq2

гш + Dq2

= 1Ме<(*-Н|У

= 1Ме<(*-Н|У

где индекс аи обозначает усреднение по диффузионным состояниям. Отметим, что формула (3.45) напоминает формулу Е.6 приложения Е, за исключением того, что мнимая часть экранированного кулоновского потенциала (4тге2/^2)(1/^(^, о;)) заменена там на его вещественную часть (взятую в стационарном приближении) 1/тгп(0). Поэтому выражение (3.45) есть не что иное, как обменная поправка первого порядка к мнимой части собственной энергии электрона, где возмущением является комплексный потенциал 4тге2/^2^(^, ш\ Все ограничения, накладываемые принципом Паули на электронно-дырочные возбуждения (т. е. на их энергию, которая при самых больших ш должна быть меньше энергии Ферми) содержатся в диэлектрической восприимчивости. Все вышесказанное справедливо также и для вычислений в двумерных баллистических системах (Giuliani and Quinn, 1982).

Связь выражения (3.45) с вычислением т^ становится очевидной, если записать диффузионный полюс как

2 = 7 die"044-™1 = гм + Dq J

= Nо= Nоdt £>[ж(£)] expdt £>[ж(£)] exp+ iq - (x(t) - х(0)) - iwt+ iq - (x(t) - х(0)) - iwt(3.47)(3.47)

= N

о

= N

о

dt £>[ж(£)] exp

dt £>[ж(£)] exp

+ iq - (x(t) - х(0)) - iwt

+ iq - (x(t) - х(0)) - iwt

(3.47)

(3.47)

т. е. в виде преобразования Фурье-Лапласа от среднего величины eiq($(t)-x(o)) п0 диффузионной функции распределения, равной e-Dq 1. Здесь N — нормировочный коэффициент. Тогда, если положить ж(0) = = 0, то время электрон-электронного рассеяния оказывается равным

-”1 = N-”1 = Ndt £>[ж(£)] воdt £>[ж(£)] во— J ж2 ^t'^dt'/^D 2е— J ж2 ^t'^dt'/^D 2е

-”1 = N

-”1 = N

dt £>[ж(£)] в

о

dt £>[ж(£)] в

о

— J ж2 ^t'^dt'/^D 2е

— J ж2 ^t'^dt'/^D 2е

Е

(3.48)(3.48)х dw f ^ Im Г —Reeiq x(t)-iwt .

(3.48)

(3.48)

J J q v(q,w) /

0

В предыдущем параграфе мы нашли время, за которое электрон, движущийся по траектории x^t^ изменяет квантовое состояние электронов ферми-сферы (см. формулу (3.2)). Внимательно взглянув на это выражение и на формулу (3.4), легко увидеть, что т”^ «почти равно» среднему по диффузионной траектории х^1\ появляющемуся в формуле (3.2), в том случае, если Р^т^ <С 1. Главным различием между ними являются пределы интегрирования по переданной энергии ш. В выражении для тее ш ограничено энергией Е выше уровня Ферми, тогда как в выражении для времени сбоя фазы вдоль траектории x(t) оно ничем не ограничено. Это различие не должно нас удивлять, поскольку мы считали интерферирующий электрон отличным от электронов ферми-

поверхности, что легко исправить, ограничив интегрирование по ш в (3.2) интервалом от 0 до Е. Отсюда видно, что при размерностях d > > 2, когда т^ определяется типичным временем, за которое движение вдоль одной траектории возбуждает окружение, оно имеет тот же порядок величины, что и тее- При d ^ 2 мы сталкиваемся с той же аномалией, что и в начале параграфа 3.3, т. е. с расходимостью (dip2) для одной траектории, т. е. с необходимостью вычитания фаз двух траекторий, для того чтобы найти физически осмысленное значение тее.

Что происходит при конечных температурах? Выражение для тее при конечных температурах было получено Абрахамсом и др. (Abrahams et al., 1981) (отметим, что мы используем другие обозначения). Как и следовало ожидать, резкое ограничение, накладываемое принципом Паули на передачу энергии, заменяется гладкой функцией ш. Е и температуры Т:

cothcothш2kBTш2kBT— tanh— tanhш — Е2квТ 'ш — Е2квТ '(3.49)(3.49)

coth

coth

ш2kBT

ш2kBT

— tanh

— tanh

ш — Е

2квТ '

ш — Е

2квТ '

(3.49)

(3.49)

Второй член возникает из-за ограничения, накладываемого на электрон с энергией Е^ что видно из его зависимости от Е. Наше вычисление времени сбоя фазы воспроизвело первое слагаемое — с множителем coth (w/&BT), но второе слагаемое, пропорциональное tanh (ш — Е}/2квТ, было потеряно. Причина этой ошибки также

78 Механизмы сбоя фазы за счет взаимодействия с окружением [Гл. 3 кроется в неучете ограничений, накладываемых принципом Паули на потерю энергии интерферирующим электроном.

Сравнение вычислений тее и т^ приводит нас к следующему рецепту правильного нахождения диффузионного времени электрон-электрон- ного рассеяния тее, в том случае, когда оно имеет физический смысл, т. е. при d > 2. Сначала нужно вычислить время, необходимое электрону, движущемуся вдоль траектории ж(£), для изменения состояния электронов под поверхностью Ферми, с которыми он взаимодействует. Во-вторых, нужно усреднить по всем диффузионным траекториям x(t\ В-третьих, нужно сделать поправку на принцип Паули, используя температурный множитель (3.4). При d ^ 2 только время сбоя относительной фазы имеет физический смысл.

Понимая теперь, какие приближения были сделаны при вычислении т^, мы можем определить условия, при которых они были корректными, т. е. когда пренебрежение принципом Паули не оказывает значительного влияния на конечный результат. Ответ на этот вопрос легко найти в формуле (3.4). Второй член температурного множителя пренебрежимо мал при ш <С квТ. Значит, если дефазировка определяется в основном передачами энергии, много меньшими, чем температура, то пренебрежение принципом Паули не имеет особого значения. Как мы видели в §3, этот случай соответствует низким размерностям d = 1, 2. При низких размерностях время, необходимое каждой траектории Ж1(^),Ж2(^) для изменения квантового состояния электронов ферми- поверхности, стремится к нулю из-за расходящегося вклада процессов с малыми передаваемыми импульсами и энергиями. Единственным, что делает скорость сбоя фазы конечной, является сильное перекрытие возбуждений, индуцированных каждой из двух траекторий. Поэтому принцип Паули для интерферирующего электрона оказывается в этом случае несущественным. При d = 3 ситуация иная. Здесь время сбоя фазы определяется передаваемой энергией порядка температуры. Если энергия Е > квТ^ то член tanh (о; — Е}/квТ снова становится несущественным и не влияет на конечный результат. Только в случае Е ^ квТ наше вычисление времени сбоя фазы становится совершенно неправильным. Однако интерферирующий электрон имеет энергию порядка квТ, а следовательно проведенное в предыдущих параграфах вычисление времени сбоя фазы остается качественно верным и в трехмерном случае.

Одно полезное выражение для скоростидефазировки и анализ случая Т О

Для того чтобы разработать общий формализм для описания процессов дефазировки в результате взаимодействия с окружением, мы сначала рассмотрим пробную частицу с радиус-вектором ж, движущуюся в произвольном стационарном поле. Все характеристики ее

движения, например диффузия при наличии примесей, полагаются известными. Окружение представляет собой произвольную систему, набор координат частиц которой мы обозначим как г8 , В системе может присутствовать нетривиальное взаимодействие между ее частицами. Выключив взаимодействие между пробной частицей и окружающей ее системой, мы обозначим точные собственные энергии и собственные состояния первой как Ер^ и U), а последней — как Е8)П и |п) соответственно. Теперь мы рассмотрим взаимодействие пробной частицы с частицами окружения как возмущение, описываемое двухчастичным потенциалом:

V = £ Г(ж - rs) = (2тг)"3(3.50)

где Vq — фурье-образ V(r). Нашей задачей является получение выражения для скорости сбоя фазы частицы в низшем порядке теории возмущений в терминах известных свойств (в частности, функции линейного отклика и динамических корреляционных функций) частицы и окружения в отсутствие взаимодействия между ними. Перед тем как приступить к последовательному выводу, мы приведем ряд «грубых и приблизительных» аргументов. Начнем с выражения (3.2), записанного в терминах динамического структурного фактора среды S8(q^ ш):

То ТоОО,

Р= „ 1 „ f dt [ dt'Uy [ dwyV^Ss^wV^W-^^ Й2(2тг)3П J J J 4 J 191 V4 ’

00-oo

_(3.51)

Вспомнив, что ezqx^^ — это оператор флуктуации плотности fiq(t) частицы, мы рассмотрим сумму по классическим траекториям от величины\ Можно ожидать, что вследствие эргодичности

эта сумма должна совпадать со средним по примесному ансамблю от той же величины, (sfiq(t)fi_q(tf)'). Такая гипотеза кажется, по крайней мере, разумной. Последнее среднее есть не что иное, как фурье-образ от динамического структурного фактора частицы Sp(q, ш). Теперь мы перейдем к интегрированию по среднему (t + t')/2 и относительному t — E временам. Считая далее, что время то много больше, чем все существенные в задаче корреляционные времена, мы сведем интегрирование по относительному времени (с множителем е-гш^1-1 )) к преобразованию Фурье, а интеграл по среднему времени — к умножению на величину tq. Поэтому усредненная вероятность дефазировки (до тех пор пока она достаточно мала) оказывается линейной функцией времени, а среднее время сбоя фазы определяется выражением

3^ Ь/q |Vq|2Sp(-q,-W)Ss(q,^).(3.52)

Можно легко обобщить это выражение и на случай, когда корреляционные функции окружения имеют более медленное, например степенное, затухание. Физический смысл выражения (3.52) состоит просто в том, что вероятность возникновения какого-либо возбуждения в окружении есть сумма вероятностей возникновения возбуждения в каждом из возможных каналов (г/, w\

Для диффундирующего электрона динамический структурный фактор хорошо известен. Его можно найти, сделав фурье-преобразование формулы D.2, в результате чего, при Нш <С kBT, мы получим лоренциан с шириной Dq2. Случай низких температур мы рассмотрим позднее. Использование в качестве Ss(q^ ш) динамического структурного фактора электронного газа, равного в главном порядке /lQ2a;Q/2(37r)3e2cr (см. формулы (3.2) и (3.46), а также работу Imry et al., 1982 ), позволяет легко вычислить скорость дефазировки за счет электрон-электронного взаимодействия.

Для более систематического (но тоже очень простого) вывода основного выражения (3.52) мы начнем с состояния, равного при t = 0 (из-за отсутствия взаимодействия в начальный момент) прямому произведению состояний частицы и окружения, |гт) = |г) 0 |ш), и при помощи золотого правила, найдем вероятности переходов во все возможные конечные состояния, |Jn). В любой более поздний момент времени, t, полное состояние системы имеет вид

(3.53)(3.53)Ф(£) = Л \im') +’^2,aj,n(t)\jn) ,

(3.53)

(3.53)

где А — нормировочный множитель. Заметим, что это выражение есть обобщение формулы (3.2). Вероятность перехода равна MPlZjn l^jnC^)!2- Известно, что скорость ухода системы из начального состояния спустя некоторое время, большее, чем характерные микроскопические времена задачи (см., например, Merzbacher, 1970), может быть записана в виде

= vSK^I^^^I2 х

Tout гг

d(hw)S(Epj - EP)i - W)5(Esvn - Esjn + hw\ (3.54)

где последний интеграл представляет собой объединенную плотность конечных состояний, |Jn), имеющих такую же энергию, как и начальное состояние \%т). Матричные элементы в последнем выражении легко вычисляются при помощи формулы (3.50)

(zm|V|Jn) = (2тг) 3J2(zm|V|Jn) = (2тг) 3J2dqVq^e^^j^mK^H. (3.55)dqVq^e^^j^mK^H. (3.55)

(zm|V|Jn) = (2тг) 3J2

(zm|V|Jn) = (2тг) 3J2

dqVq^e^^j^mK^H. (3.55)

dqVq^e^^j^mK^H. (3.55)

Квадрат модуля этого матричного элемента состоит из «диагональных» (q = q') и «недиагональных» (q ^ q') членов. В то время как первые всегда положительны, вторые могут иметь произвольные фазы. Следующим шагом является усреднение этого результата, например по ансамблю примесей: это усреднение уничтожает все недиагональные члены. Наконец, мы произведем термодинамическое усреднение по начальному состоянию \гт^ просуммировав по г и по ш, с весовым множителем этого начального состояния Р^т = Рг^т- и немедленно обнаружим, что интеграл в выражении (3.5) содержит произведение динамических структурных факторов частицы и окружения (сравните с формулой А. 11). В результате мы получим выражение (3.52) для частоты l/rout- Отметим, что полученный результат является точным в рамках применимости золотого правила, которое, как известно, обладает большей общностью, чем теория возмущений в низшем порядке (см., например, Merzbacher, 1970).

Используя модную терминологию, можно сказать, что l/rout — это скорость, с которой частица «запутывается» с окружением. В большинстве случаев, как подробно объяснялось в первом параграфе этой главы, l/rout тождественно скорости дефазировки 1/т^. Важное исключение, связанное с инфракрасным поведением интеграла в формуле (3.52), рассматривалось в §3.

Вычисление интегралов в формуле (3.52) при d > 2 не представляет труда, оно аналогично вычислению, проведенному в § 3, и приводит к тем же результатам. Для случаев 1D и 2D (тонкие пленки и проволоки) мы снова встречаемся с той же проблемой при малых q, что и в § 3. Интегрирование по соответствующим компонентам вектора q заменяется суммированием и оказывается, что остающиеся интегралы обладают инфракрасной расходимостью (при малых q). Эта расходимость снова устраняется обрезанием на малых q. которое можно рассматривать как следствие конечности времени сбоя фазы т^ (и масштаба L^ и физический смысл которого состоит в том, что возбуждения с малыми q не могут различить траектории, разнесенные в пространстве на расстояние, меньшее, чем ~ X/q.

Теперь мы рассмотрим электронную дефазировку при Т —> 0. Недавно Mohanty et al. (1997) опубликовали обширный набор экспериментальных данных, демонстрирующий, что, в противоречии с общими ожиданиями теоретиков (Altshuler, Aronov and Khmelnitskii, 1982a; Stern et al., 1990) скорость дефазировки в пленках и проволоках не стремится к нулю при Т —> 0. Для того чтобы устранить возможные артифакты и погрешности эксперимента, были предприняты специальные меры предосторожности (Mohanty et al., 1998). В результате было высказано предположение, что насыщение скорости дефазировки при Т —У 0 происходит вследствие взаимодействия с нулевыми колебаниями окружения. Это предположение было поддержано результатами вычислений Голубева и Заикина (Golubev and Zaikin, 1998, 1999). Однако эти вычисления позднее были подвергнуты очень жесткой критике

(Altshuler et al., 1999; Aleiner et al., 1998), Помимо этого, обнаружилось их расхождение с результатами экспериментов Хавина и др. (Khavin et al., 1988) и с данными о нулевых колебаниях ионов (Rammer et al., 1988). В действительности ясно, что так как сбою фазы должно соответствовать изменение состояния окружения (Stern et al., 1990), то дефа- зировка не может произойти при Т —> 0. В этом пределе ни электрон, ни среда не обладают энергией для обмена. Это очень общее утверждение, и оно справедливо как для интерференции пробной частицы, которая отлична от электронов резервуара, так и для электрона проводимости, который подчиняется принципу Паули вместе с электронами резервуара. В обоих случаях, единственным необходимым условием для его справедливости служит то, что интерферирующая частица находится в равновесии со средой при температуре Т (которую мы потом устремляем к нулю). Это условие необходимо, потому что рассматриваемый линейный транспорт определяется (см. приложение А) равновесными динамическими корреляционными функциями. Очевидно, однако, что ничто не мешает частице с высокой энергией, далекой от равновесия, термализоваться в резервуаре при Т —> 0, передав ему свою энергию и потеряв тем самым фазовую когерентность в этом процессе. Дефазировка частицы, которая далека от равновесия с резервуаром при Т = 0, конечно же, возможна. Мы должны четко понимать, что слишком большая скорость сбоя фазы при очень низких температурах может объясняться неравновесными эффектами. Примером такой неравновесной ситуации является система электронов проводимости с энергиями, превышающими равновесную, вследствие приложения напряжения, большего чем квТ^ и слишком медленной энергетической релаксации (Ovadyahu, 2000).

Как было показано в §4 этой главы, накладываемые принципом Паули ограничения в формуле (3.4) являются существенными для получения правильного низко-температурного поведения скорости де- фазировки для электрона с малой энергией. Одним из преимуществ представления результатов (например, формулы (3.52)) в терминах динамических структурных факторов, является то, что при условии правильной записи этих факторов Паулиевские ограничения для системы, состоящей из ферми-частицы, взаимодействующей с идентичными ей частицами термостата, выполняются автоматически. В частности, когда диффундирующий электрон находится точно на поверхности Ферми, его динамический структурный фактор тождественно равен нулю при отрицательных частотах. Это же справедливо и для динамического структурного фактора (Imry et al., 1982) всего электронного газа при Т = 0, что гарантируется условиями детального баланса (формула А. 12). Поэтому, из-за присутствия ш и —ш в двух динамических структурных факторах, подынтегральное выражение в (3.52) равно нулю при всех ш. и, за исключением некоторых специальных случаев, когда окружение имеет сильно вырожденное основное состояние, скорость дефазировки обращается в нуль при нулевой температуре

(Cohen and Imry, 1998; Imry, 1998; Imry et al., 1998). Этот факт также следует и непосредственно из выражения (3.5) еще до усреднения по примесному ансамблю. Если и частица и среда первоначально находятся в своих основных состояниях, то одновременное выполнение условий Epj > Ер^ и Es n > ESiTn просто невозможно. Все это следует непосредственно из основных принципов термодинамики, и мы надеемся, что периодически возобновляющаяся дискуссия об «универсальной дефазировке при Т = 0» будет, наконец, закрыта под влиянием этих очень общих аргументов.

Таким образом, «стандартная модель» линейного транспорта в неупорядоченных металлах (в которых дефекты строго заморожены) дает, как и ожидалось, бесконечное время т^ при Т = 0. С другой стороны, могут существовать физические механизмы, которые в состоянии сделать время т^ относительно коротким даже при очень низких температурах (но все же т^ должно расходиться в пределе Т -э 0!), без противоречия с основными законами физики. Для этого необходимо присутствие большого числа низко-энергетических мод в окружении. Простейшая модель таких мод была предложена Имри (Imry et al., 1999), она напоминает мезоскопическую модель (1//)- шума, описанную в гл. 8. Это довольно специфическая модель, и ее требования могут выполняться или не выполняться в реальных образцах. Возможно, впрочем, существование и других моделей с подобной же динамикой. Линий раз подчеркнем, что эти модели не приводят к дефазировке за счет взаимодействия с нулевыми колебаниями. Непригодность квазиклассического приближения для выяснения этих вопросов была ясно показана Коэном и Имри (Cohen and Imry, 1998). Так как низкоэнергетические моды (или дополнительные источники шума, постулированные в работах (Altshuler et al., 1998; Aleiner et al., 1999)) зависят от специальных металлургических свойств конкретного образца или от деталей окружения, то соответствующие результаты, естественно, не универсальны. Некоторые указания на то, что дополнительная низко-температурная дефазировка может зависеть от способа изготовления образца (Pothier et al., 1999), находятся в согласии с этим обстоятельством. Также существенным может быть неравновесное поведение системы при низкой температуре.

Наконец, мы еще раз подчеркнем, что в этой главе рассматривалась только дефазировка, вызванная реальным (т. е. необратимым) изменением в состоянии окружения. Такое изменение принципиально отлично от обратимого изменения поляризации среды. Например, моделируя среду набором независимых гармонических осцилляторов, линейно связанных с электронной координатой, можно показать, что амплитуда перехода между двумя заданными квантовыми состояниями электрона в общем случае уменьшается за счет взаимодействия со средой. В зависимости от того в каком из этих двух квантовых состояний находится электрон, осцилляторы поляризуются по-разному. Амплитуда перехода электрона между двумя состояниями подавляется за счет произведения

интегралов перекрытия между двумя по-разному поляризованными состояниями для каждого из осцилляторов. В некоторых случаях это общее перекрытие может даже стремиться к нулю, так что амплитуда перехода подавляется полностью (Legget et ak, 1987). Во всех этих процессах, однако, участвуют только виртуальные возбуждения окружения; реальные возбуждения, необходимые (Stern et ak, 1990) для разрушения когерентности, не возникают. Обратимая поляризация окружения двумя парциальными волнами очень отличается от реального процесса дефазировки: она существует только до тех пор, пока окружение взаимодействует с электроном, и исчезает, как только взаимодействие электрона с окружением исчезает. Это происходит, например, в такой постановке эксперимента, когда электрон покидает среду и во время наблюдения интерференции находится далеко от нее. Такая же физическая ситуация возникает и при типичных транспортных измерениях, которые мы рассмотрим в гл. 5. Электронная волна с энергией точно на уровне Ферми, после произвольно долгого пребывания в среде, находящейся в невырожденном основном состоянии, снова выходит из нее, не создав ни одного реального возбуждения в среде. Такая волна сохранит полную когерентность с другой парциальной волной, которая совсем не взаимодействовала с окружением. Эта ситуация очень отличается от случая, когда одна из парциальных волн создает реальное возбуждение окружения. В последнем случае две парциальные волны, покинув окружение, оставят его в двух ортогональных друг другу состояниях. После выключения взаимодействия эта ортогональность сохраняется «навсегда» (Stern et ak, 1990) и именно она вызывает реальную дефазировку электронной интерференции. Подавление амплитуды перехода за счет перекрытия виртуальных возбуждений напоминает скорее перенормировку барьера между двумя туннельными состояниями (Leggett et ak, 1987), или фактор Дебая- Валлера в когерентном рассеянии. Мы хотели бы сделать здесь четкое и недвусмысленное утверждение, что это подавление не имеет никакого отношения к «сбою фазы при Т = 0».

Глава 4

РАВНОВЕСНЫЕ МЕЗОСКОПИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫИ СТАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

Введение в термодинамическиефлуктуационные эффекты

Эта глава посвящена мезоскопическим эффектам, не связанным с неравновесными или транспортными явлениями. Большая ее часть будет относиться к электронным свойствам, которые часто сильно флуктуируют от образца к образцу. Но начнем мы эту главу с краткого обзора более общих, конечноразмерных эффектов, связанных с обычными термодинамическими флуктуациями.

Вклады таких флуктуаций, например, в интенсивные свойства или в ~ O(N) часть экстенсивных свойств обычно пренебрежимо малы в «термодинамическом пределе». Но термодинамические флуктуации могут играть важную роль в специальных случаях, когда в системе имеются большие масштабы длины. Упомянем только два таких случая: разрушение некоторых видов дальнего порядка (и, следовательно, фазовых переходов) в низкоразмерных системах и влияние конечных размеров на обычные фазовые переходы. Имеется несколько вариантов эффектов первого типа.

В квазиодномерных (с конечным сечением) системах с «дискретными параметрами порядка» (например, в равновесной системе жидкость-газ) и короткодействующими взаимодействиями энергия «стенки» между двумя фазами, UW) конечна. Так как энтропия такой стенки имеет порядок kB\n(L/Lq) (Ландау, Лифшиц, 1958b), где L — длина системы, a Lq — атомная длина, то при достаточно больших L стенки будут рождаться спонтанно. Поэтому как обычный дальний порядок, так и фазовое равновесие произвольно больших сегментов двух фаз будут невозможны. Но нужно заметить, что в реальных системах L / L^ конечно (для типичных мезоскопических систем L/Lo ~ 103 — 104). Поэтому при Uw > квТ In (L/Lo) эти стенки не будут рождаться и эффективный дальний порядок будет восстановлен (Imry, 1969а; там же показано, что умеренно дальнодействующие взаимодействия оказывают сильное влияние на образование эффективного дальнего порядка).

Более интересные ситуации возникают в системах с «непрерывной симметрией» (т. е. такие, где параметр порядка может изменяться непрерывно, как например, фаза в сверхпроводнике, направление намагниченности в ферромагнетике Гайзенберга или непрерывный сдвиг

атомов в случае решетки). В них имеются «блоховские стенки» (Bloch, 1930), причем для образования стенки между двумя ориентациями параметра порядка в системе длины L параметр порядка нужно непрерывно повернуть на всей длине, так как только в этом случае энергия стенки Uw ~ X/ L. Существование этих стенок делает «нижнюю критическую размерность», при которой и ниже которой дальний порядок невозможен, равной di = 2. При d = 2 порядок восстанавливается ниже Т ос 1/ In (L/Lq). Это аналогично существованию металлического поведения в слабо неупорядоченных металлических пленках при размерах L/l < exp(?r2gn) (т-е- Для ^gn > 1п(^/0)? обсуждавшемуся в гл. 2. Сверхпроводимость при низких размерностях будет рассмотрена в гл. 7.

В некоторых системах с непрерывной симметрией ситуация является еще более необычной, так как дальний порядок в них разрушается длинноволновыми флуктуациями (Hohenberg, 1967), которые слабо проявляются на малых масштабах (Alexander, 1968, частное сообщение). Поэтому в них не только не разрушается ближний порядок, но, в специальных случаях, может существовать степенное убывание корреляций ) (Imry and Gunther, 1971), которое сохраняется до тех пор, пока не происходит более интересный фазовый переход диссоциации вихрей (Березинский, 1971; Kosterlitz and Thouless, 1973). До сих пор еще точно неизвестно, относится ли проблема локализации в двух измерениях к этому же типу.

В дополнение к этим явлениям в системах, в которых дальний порядок нарушен тепловыми флуктуациями, возможны другие специальные эффекты. Один такой пример — тонкое кольцо, сделанное из сверхпроводящего материала, — будет рассмотрен подробнее в гл. 7. В нем имеется область температур, где тепловые флуктуации разрушают сверхпроводящий порядок. Это происходит из-за постепенного заселения большого числа состояний с квантованным градиентом фазы параметра порядка вдоль кольца. Квантование определяется периодическими граничными условиями. Если ввести в кольцо магнитный поток Ааронова-Бома, то в каждом квантованном состоянии возникнет сверхпроводящий ток, экранирующий нецелую часть потока. Поэтому, поток квантуется в каждом состоянии, как в настоящем сверхпроводнике, но оказывается неквантованным при температурном усреднении (соответствующем большим временам наблюдения). Характерные времена перескоков между квантованными состояниями обычно много больше, чем любое микроскопическое время, и легко могут быть сделаны астрономически большими (Langer and Ambegaokar, 1967). Поэтому, эта система, которая не является сверхпроводником в обычном смысле, имеет равновесные персистентные токи и приближенное квантование

потока (Gunther and Imry, 1969; Imry, 1969b,с). Последний пример объясняет необходимость рассмотрения таких токов в нормальных системах, что будет сделано в этой главе позднее.

Для выяснения вопроса, является ли данная проволока диэлек

триком, проводником или сверхпроводником, очень полезным является следующее, довольно общее, фундаментальное наблюдение Кона (Kohn, 1964). Kohn изучал зависимость полной энергии основного состояния многочастичной системы от граничных условий. Для этого он использовал уравнение, похожее на уравнение Б 22, в котором иж является полной скоростью 52п^Жп, ^ — основное состояние, a j — возбужденное состояние многочастичной (возможно, взаимодействующей) системы. Аналогично Kohn вывел точное формальное выражение типа формулы Кубо (см. приложения А и Б) для сг(ш) в терминах матричных элементов йж. «Диамагнитный» вклад, пропорциональный полному числу частиц и обусловленный членом в гамильтониане, содержащим А (см. задачу 1 этой главы), тоже был учтен. Сравнивая два этих выражения, Kohn получил без всяких дополнительных предположений, что

lim ш Im сг(ш^lim ш Im сг(ш^е2!? д2Е0Qft2 Эср2 'е2!? д2Е0Qft2 Эср2 '(4-1)(4-1)

lim ш Im сг(ш^

lim ш Im сг(ш^

е2!? д2Е0

Qft2 Эср2 '

е2!? д2Е0

Qft2 Эср2 '

(4-1)

(4-1)

где у) — сдвиг фазы (вызванный потоком), возникающий в результате обхода электроном кольца (как в приложении В). Диэлектрический отклик металла связан с этой общей зависимостью от граничных условий х). Если система является сверхпроводящей и в основном состоянии фаза хорошо определена, то эта зависимость, как это будет показано в гл. 7, значительно усиливается.

Теперь кратко рассмотрим конечноразмерный скейлинг вблизи фазового перехода второго рода. Отметим, что различные термодинамические величины малой системы, слабо взаимодействующей со средой, хорошо определены только в среднем. Их мгновенные значения флуктуируют. Правильно определенные интенсивные величины (Ландау, Лифшиц, 1958b), такие, как температура, тоже могут рассматриваться как флуктуирующие 2). Температура конечной системы в равновесии имеет следующую термодинамическую флуктуацию:

(АТ2) = (4.2)

где N — число атомов, a cv — удельная теплоемкость на атом. Формула (4.2) дает величину этих флуктуаций только для достаточно слабого

88 Равновесные мезоскопические эффекты и статические свойства [Гл. 4 взаимодействия со средой; их временная зависимость определяется несколькими факторами, включающими, например, силу взаимодействия с изотермическим окружением. Для очень сильного взаимодействия система может сильно флуктуировать вместе с значительно большим окружением. Для слабого взаимодействия собственные флуктуации системы медленны и скорость их изменения может определяться соответствующей силой взаимодействия (для примера см. задачу 2 гл. 8).

Подчеркнем, что, хотя формула (4.2) не очень популярна среди теоретиков, она позволяет легко получить некоторые глубокие результаты. Например, первая теория конечноразмерного скейлинга вблизи фазовых переходов второго рода (см. Fisher, 1971) была создана (Imry and Bergman, 1971) именно на основе уравнения (4.2) и его аналогов. Идея состояла в том, что флуктуации ограничивают то, как близко можно подойти к переходу в конечной системе: переход, как функция температуры, будет размазан на величину (Т — Тс)т-т ((АТ2))1/2. Около такого уширенного перехода корреляционная длина £ должна достигать своего максимального значения — линейного размера системы, а другие величины (например, соответствующие восприимчивости) будут иметь конечные максимальные значения, обычно ведущие себя как некоторые степени N. Эта картина может обеспечить довольно полное описание «конечноразмерного скейлинга» вместе с качественным пониманием того, как область перехода сужается при N —У ос, а конечные пики становятся математическими сингулярностями.

Эта картина может быть также использована для получения скейлинговых соотношений между различными критическими индексами (Imry and Bergman, 1971). Например, когда расходится с^, из уравнения (4.2) сразу получается «гиперскейлинг». Когда расходятся только высшие производные cv для получения скейлинга нужно использовать соответствующие формулы для более высоких степеней флуктуаций температуры (Ландау, Лифшиц, 1958b). Эта же картина может быть использована для получения конечноразмерного размытия фазовых переходов первого рода (Imry, 1980b) и для понимания того, как, например, происходит переход между двумерным и трехмерным поведениями в тонкой пленке ). Она была также использована для получения соотношений, которые связывают критические индексы в разных размерностях (Imry et al., 1973). Хотя эти соотношения не являются строгими, их точность оказывается удивительно хорошей во многих случаях.

Подчеркнем еще раз, что в конечной системе масштаб физических корреляций £ очевидно ограничен ее конечным размером. Поэтому, даже когда дальний порядок не существует в «термодинамическом

пределе», конечная система может быть упорядочена так, как если бы упорядочение существовало в соответствующей объемной системе (Imry, 1969а). Это в точности тот же самый механизм, с помощью которого недавно было дано объяснение того, почему тонкие пленки, сделанные из металла, оказываются металлическими, хотя, «строго говоря», они не являются таковыми (Abrahams et al., 1979). Характерный масштаб, который должен сравниваться с длиной локализации £, это наименьший из таких масштабов, как размер системы L, длина L^ и т. д.

Интересное следствие соотношения (4.2) возникает при низких температурах (Imry, 1986b; Gunther and Ford, 1985, 1989, 1990). Запишем (4.2) в виде

= 1 ■ (4.3)

Теперь рассмотрим маленькую систему, очень слабо связанную с изотермическим окружением. Так как cv исчезает при приближении Т к нулю, правая часть (4.3) станет больше единицы при некоторой температуре Тт. Эта Тт для металлической частицы размером (ЗООА)3 имеет порядок расстояния межу уровнями Д, т. е. ~ 10 мК, и много больше этой величины — для диэлектрической системы. Теперь попробуем охладить частицу до температуры, меньшей Тт. за счет понижения температуры термостата. Эффективная температура частицы, определяемая степенью возбуждения ее уровней энергии, будет флуктуировать настолько сильно, что такое охлаждение окажется проблематичным. Поэтому, если бы были применимы обычные термодинамические формулы, то температура Тт была бы минимальной температурой, до которой могла бы быть охлаждена частица. При температурах ниже Тт флуктуации термодинамических величин (например, энергии) становятся больше, чем их средние значения. Эта идея заслуживает дальнейшего изучения и развития; особенно интересен временной масштаб сооветствующих флуктуаций.

Наибольший интерес для нас будет представлять влияние квантовых эффектов на статические и равновесные электронные свойства мезоскопических систем. При рассмотрении объемных систем обычно используется упрощенное представление о квазинепрерывности энергии состояний. Для металлической «частицы», состоящей, скажем, из 105 атомов, типичное расстояние Д между одночастичными состояниями с энергиями около энергии Ферми составляет несколько десятых кельвина. Поэтому ясно, что при температурах около 1К или меньше, «зернистость» уровней становится важной и может влиять, например, на термодинамические свойства систем, такие, как удельная теплоемкость или магнитная восприимчивость (Kubo, 1962; Горьков, Элиашберг, 1965; Muhlschlegel, 1983). «Точный» спектр такой системы будет зависеть от многих деталей, таких, как расположение дефектов или форма и строение поверхности гранул, но для многих приложений,

90 Равновесные мезоскопические эффекты и статические свойства [Гл. 4 особенно для тех, которые относятся к ансамблю гранул, достаточно иметь только статистическую информацию о распределении уровней. Теории таких распределений в эффективно случайных (из-за их высокой чувствительности ко многим, нескоррелированным между собой деталям) системах уже существуют и оказываются чрезвычайно успешными в атомной и ядерной физике. Эти методы и их применения изложены в обзорах (Wigner, 1951, 1955; Dyson, 1962; Mehta and Dyson, 1963; Mehta, 1967; Brody et al., 1981), поэтому мы не будем здесь детально обсуждать эти вопросы, за исключением некоторых аспектов, которые нам понадобятся. Ясно, что эти теории очень важны как для неупорядоченных (Efetov, 1982, 1983) и гранулированных (Muhlschlegel 1983) твердотельных систем, так и для некоторых вопросов теории сильно локализованных систем (Sivan and Imry, 1978). Уже на этом этапе нужно отметить, что А не является единственным существенным энергетическим масштабом в этой проблеме. Оказывается, что энергия Таулесса, Ес (см. формулы (2.20)-(2.22) и (Б.24), тоже играет важную роль (Altshuler and Shklovskii, 1986).

В этой главе мы сосредоточимся, в основном, на эффектах интерференции электронных волн и, в частности, на их чувствительности к магнитному полю или его потоку (Aharonov and Bohm, 1959). В принципе, эти интерференционные явления могут существовать, когда температура достаточно мала, чтобы не нарушать когерентность волновых функций на существенных пространственных масштабах. Рассеяние электронов примесями, дефектами, несовершенными поверхностями и т. п. будет играть важную роль в определении величины интерференционных эффектов, но не будет устранять их.

Некоторые интерференционные эффекты, которые будут рассмотрены, имеют аналогию с эффектами, хорошо известными и исследова- ными в сверхпроводниках (например, эффекты, связанные с обсуждавшимся выше квантованием потока), где они вызваны существующим в сверхпроводниках «недиагональным» дальним порядком (Byers and Yang, 1961; Yang, 1962; Bloch, 1970). Подчеркнем, однако, что здесь будут рассматриваться только нормальные проводники, в которых возможность когерентности связана не с корреляцией электронов, а только с тем фактом, что размер образца оказывается меньше соответствующей длины рэндомизации (сбоя) фазы. Ниже, в гл. 7, будут рассмотрены системы и со сверхпроводящими компонентами.

Еще одним фактором, ограничивающим величину рассматриваемых эффектов, является то, что эти эффекты проявляются в условиях, когда имеется некоторое усреднение, обусловленное, например, тем, что из-за конечной температуры электроны не являются моноэнер- гетическими. Оказывается, что меньшие размеры и (или) меньшие температуры увеличивают величину интерференционных эффектов до таких значений, когда они становятся наблюдаемыми.

Квантовая интерференция и равновесныесвойства. Персистентные токи

Общие сведения, простые случаи. Уже довольно давно было замечено (Pauling, 1936; London, 1937; Hund, 1938; Dingle, 1952), что равновесные свойства, такие, как средняя энергия или намагниченность небольшой системы свободных электронов с простой, идеальной, геометрией (например идеальный диск или кольцо, которое реализуется в ароматической молекуле бензольного типа; общий обзор свойств таких систем см. (Salem, 1966)), оказываются чувствительны к магнитному полю ). Они демонстрируют осциллирующее поведение как функции магнитного потока через систему с периодом порядка кванта потока Фо = he) е. В случае кольца (см. рис. 4.1а) с потоком Ааронова- Бома Ф проходящим через его плоскость, термодинамические функции оказываются периодическими по Ф с периодом Фо (приложение В). Для того чтобы наблюдать эту периодичность в молекулах, необходимы очень большие поля, ~ 105 тесла, или больше. Поэтому мы будем иметь в виду, главным образом, макроскопические проводящие кольца. Непрерывный переход к микроскопическому молекулярному пределу представляет собой одно из возможных будущих интересных направлений в нанофизике.

Рис. 4.1. Схема геометрии кольца: а— идеальное кольцо, б— кольцо с очень неровной формой и поверхностьюРис. 4.1. Схема геометрии кольца: а— идеальное кольцо, б— кольцо с очень неровной формой и поверхностью

Рис. 4.1. Схема геометрии кольца: а— идеальное кольцо, б— кольцо с очень неровной формой и поверхностью

Рис. 4.1. Схема геометрии кольца: а— идеальное кольцо, б— кольцо с очень неровной формой и поверхностью

Дальше в этом разделе мы сконцентрируемся на геометрии кольца. Результаты для идеальных систем типа формулы Дингл были получены несколькими исследователями в разных контекстах (Gunther and Imry, 1969; Кулик, 1970; Brandt et al., 1976, 1982). Но оставалась трудность, связанная с тем, что почти все исследователи (Кулик, 1970;

92 Равновесные мезоскопические эффекты и статические свойства [Гл. 4 Altshuler et ак, 1981а, 1982b) считали, что электронное рассеяние должно подавить эти эффекты в любой реальной системе. Дело в том, что очень трудно ожидать, что реальная система будет не только свободна от примесей и дефектов, но и будет иметь совершенную поверхность. Некоторая неровность поверхности (хотя, может быть и не такая сильная, как на рис. 4.16) практически всегда имеет место. Поэтому, длина упругого свободного пробега / ограничена, в лучшем случае, неровностями кольца и его толщиной. Следовательно, обычно / будет много меньше, чем длина L окружности кольца, на которой электронные волновые функции испытывают интерференцию типа Ааронова-Бома. На первый взгляд кажется, что множество рассеяний, которые электрон испытает при своем движении вдоль кольца, полностью устранят любой интерференционный эффект. Это действительно находится в согласии с общими результатами экспериментов по дифракции электронов, учитывающими эффект Ааронова-Бома: (Chambers, 1960; Merzbacher, 1961; Tonomura et al., 1982), некоторые из которых специально проводились в достаточно высоком вакууме для того, чтобы исключить случайное электронное рассеяние.

Как следует из обсуждения в гл. 3, это ожидание ошибочно и аналогия с экспериментами по дифракции электронов является неправильной. Дело в том, что имеется важное различие между упругим рассеянием на статическом потенциале, когда волновые функции имеют хорошо определенные фазы, и неупругим рассеянием. В последнем случае электрон может возбудить фонон или изменить состояние «пылинки» (посторонней частицы) и т. д. В результате, как отмечалось в гл. 3, электрон не будет иметь определенной фазы. Важность различия между упругим и неупругим рассеяниями стала ясной после недавно достигнутого понимания проводимости в неупорядоченных системах (Thouless, 1977; Bergman, 1984; Lee and Ramakrishnan, 1985; Imry, 1984) в рамках теории локализации (Anderson, 1981; Abrahams et al., 1979). Еще раньше, в 1966 г., Р. Ландауэр высказал (но не опубликовал) похожие взгляды, основанные на работе (Landauer, 1957), а Гюнтер и Имри (Gunther and Imry, 1969), как упомянуто в п. 1 (см. также гл. 7), нашли персистентные «диамагнитные» токи в системе с конечным сопротивлением. Перед более детальным обсуждением этого явления приведем краткий обзор некоторых простых результатов для «колец». Здесь основной идеей является тот факт, что в двухсвязной системе с потоком Ааронова-Бома Ф через ее полость все физические свойства этого «кольца» имеют свойство периодичности по Ф с периодом Фо (Byers and Yang, 1961; Bloch, 1970). Доказательство приведено в приложении В и состоит в нахождении такого калибровочного преобразования, которое устанавливает точное соответствие между Ф и изменением фазы полной преобразованной волновой функции, возникающим в результате переноса одной электронной координаты один раз вокруг

кольца по формуле ¥? = 27г^-.(4.4)

Фо

Поэтому потоки Ф и Ф + пФо неразличимы. В дополнение к доказательству упомянутой точной периодичности любой физической величины (уровней энергии, матричных элементов и т. д.) формула (4.4) также показывает, что нецелый поток математически эквивалентен изменению граничных условий. Это представление окажется чрезвычайно полезным в этой книге и позднее будет дано его, еще более простое, доказательство.

В любой системе, подчиняющейся классическим законам (что возможно, если фазовая когерентность потеряна или высреднена), поток Ааронова-Бома Ф не может играть никакой роли. В классическом случае все физические величины не зависят от него. Это, конечно, совместимо с вышеупомянутой теоремой (константа — тоже периодическая, но не очень интересная функция). Реальным вопросом является следующий: когда появляется заметная зависимость, скажем, уровней энергии или вероятностей перехода от Ф? При этом ее периодичность всегда гарантирована! Здесь можно увидеть аналогию с зависимостью уровней энергии системы от изменения граничных условий (Kohn, 1964; Edwards and Thouless, 1972; Thouless, 1977). Свойства последней зависимости фундаментально связаны с тем, является ли система изолятором, металлом или сверхпроводником (Scalapino et al., 1993).

Зависимость энергии основного состояния Е^ при Т = 0, или свободной энергии F, при Т ф 0, от потока определяется циркулирующим вдоль кольца током. Этот ток дается формулой

_ ат _ а ЕрС ^ФС ЭФ *

Она может быть выведена микроскопически, так как Ф пропорционально азимутальному вектор-потенциалу А, а производная ЭЕ (ЭА пропорциональна среднему от оператора тока. Для термодинамического вывода (Bloch, 1970) можно заметить, что если Ф меняется со временем очень медленно, то индуцированная ЭДС дается формулой V = — (1/с)Ф. Тогда скорость изменения свободной энергии системы при постоянной температуре дается произведением / • V. Отсюда легко следует уравнение (4.5). Эти токи являются равновесными, поэтому они «никогда не затухают», коль скоро сохраняется Ф, отсюда название «персистентные токи». Конечно, очень хорошо известно, что такие токи существуют в сверхпроводниках. Там они могут существовать как в равновесном, так и в метастабильном состояниях (в том числе и в состояниях кольца или цилиндра с квантованным потоком, см. гл. 7). Здесь будут рассмотрены только равновесные персистентные токи в реалистическом, несверхпроводящем, кольце при конечном Ф.

Существование таких токов до недавнего времени встречалось с некоторым скептицизмом. Этот скептицизм основывался на ошибочном предположении о том, что рассеяние на примесях разрушает фазовую когерентность, или на требовании перехода к термодинамическому пределу. Бюттикер и др. (Biittiker et al., 1983а) были первыми, кто понял эффект упругого рассеяния, изучая простую модель одномерного кольца с беспорядком,. Они заметили, что условие (4.4) похоже на граничное условие, которому удовлетворяет блоховская функция ^ в периодическом потенциале на границах элементарной ячейки размера L. Поэтому отождествление ф с kL устанавливает взаимнооднозначное соответствие между этими двумя задачами. Действительно, условие (4.4) может быть тогда понято, как условие того, что электрон, двигаясь вдоль кольца, чувствует каждый раз один и тот же потенциал, что эффективно эквивалентно периодическому случаю, при этом вся окружность кольца играет роль элементарной ячейки. Электронные уровни энергии кольца как функции Ф похожи на уровни для одномерных блоховских электронов. Это схематически изображено на рис. 4.2. Отметим, что схематическая форма (рис. 4.2а) применима

Рис. 4.2. Уровни энергии как функции Ф (схематично) для: а— одномерного кольца, б — неодномерного кольцаРис. 4.2. Уровни энергии как функции Ф (схематично) для: а— одномерного кольца, б — неодномерного кольца

Рис. 4.2. Уровни энергии как функции Ф (схематично) для: а— одномерного кольца, б — неодномерного кольца

Рис. 4.2. Уровни энергии как функции Ф (схематично) для: а— одномерного кольца, б — неодномерного кольца

при произвольном случайном потенциале вдоль кольца, так как можно показать (Peierls, 1955), что в одномерном случае экстремумы Е(к) могут находиться только в точках к = О, ±7Г/а. Для почти свободных электронов получаются обычные широкие зоны и узкие щели (т. е. V >> >> А, где V и А типичные ширина зоны и щель, соответственно),

Квантовая интерференция и равновесные свойства 95 тогда как для сильного потенциала (малое прохождение вдоль кольца) получается противоположная, типа сильной связи, ситуация (узкие зоны и большие щели, т. е. V <С А). Последний случай отвечает сильной локализации.

При низких температурах (квТ < А) можно оценить зависимость полной энергии Е от потока, так как она равна сумме всех занятых уровней. Из-за переменного знака 8Ej /8Ф для соседних уровней в этой сумме происходит сильное сокращение и вся сумма имеет порядок последнего члена, находящегося около EF. Поэтому для одноканальной одномерной системы с N электронами, предполагая, что V ~ А, получаем для тока

(4-6)(4-6), _ 8Е еЕр evF

(4-6)

(4-6)

-с уф ~ nk ~ "77

Для строго одномерного кольца, сделанного из металла, с Ер 2 эВ и длиной 1 мкм, / ~ И)8 а. Так как в этом случае А ~ 10 К, то достижение условия квТ < А вполне возможно. Еще одно условие, необходимое для наблюдения осцилляций, — это достаточно большое неупругое время рассеяния. Например, для этой одномерной модели соответствующее условие имеет вид

— <С min (А, V), (4.7)

т. е. ширина уровней должна быть много меньше как расстояния между уровнями, так и ширины зоны. Как можно показать, используя критерий Таулесса, условие h/т^ <С V ~ Ес, которое относится также и к многоканальному случаю, эквивалентно VDt^ <С L. Это понятно физически: электрон должен сохранять когерентность вдоль всего кольца. Неблагоприятная ситуация, когда эффект очень мал, отвечает пределу V <С А: в этом случае локализованные состояния нечувствительны к граничным условиям.

Отметим, что в присутствии конечного нецелого Ф малые, диамагнитного типа токи, текущие вдоль кольца, являются персистентными^ если температура достаточно низка для того, чтобы выполнялось условие (4.7).

Эти токи не затухают при достаточно слабом неупругом рассеянии, последнее только устанавливает, в течение нескольких т^ равновесную заселенность состояний. Выражение для тока дается соответствующим усреднением, но для затухания персистентных токов нет никаких каналов. Этот результат казался многим довольно удивительным, но он, очевидно, правильный: подобным же образом не затухают и обычные диамагнитные токи в металлах. Убывание амплитуды этого равновесного тока с уменьшением т^ и увеличением диссипации обсуждалось в работе (Landauer and Buttiker, 1985). Эти токи создают орбитальный магнитный момент М (иногда называемый «диамагнитным», хотя М

может быть как параллельным, так и антипараллельным Н) и магнитную восприимчивость %, осциллирующие как функции Ф с периодом Фо.

До сих пор мы обсуждали случай, когда все магнитные поля были только типа Ааронова-Бома. В случае, когда внутри самого образца имеются ненулевые магнитные поля, дающие поток Фм, нужно учесть и их вклад (как спиновый, так и орбитальный). Тогда уже не будет точной периодичности в зависимости от полного магнитного потока, а только в зависимости от его ааронов-бомовской части Ф. Эта периодическая зависимость будет складываться с зависимостью, вызванной магнитными полями внутри вещества. Если отношение площади дырки кольца к площади материала кольца достаточно велико, то можно надеяться, что быстрая периодическая зависимость от Ф еще будет видна на фоне медленного изменения, вызванного Фм. При этом должны также проявляться и апериодические орбитальные эффекты, аналогичные флуктуациям кондактанса (гл. 5). Интересный случай, когда эффективное кольцо образуют краевые состояния, был рассмотрен в работах (Sivan and Imry, 1988 и Sivan et al., 1989).

Многие интересные явления происходят, когда поток Ф изменяется во времени, создавая ЭДС V = (—l/c)dФ/dt. В случае, когда V постоянно, возникающий ток будет осциллировать (Bloch, 1968, 1970; Buttiker et al., 1983) с частотой джозефсоновского типа (е — заряд эффективного носителя)

Когда Ф меняется не так медленно (в случае переменного или конечного постоянного напряжений), между зонами могут происходить переходы зенеровского типа (Zener, 1932). Для обсуждения этих эффектов необходимо динамическое рассмотрение, которое выходит за рамки этой книги.

До сих пор мы рассматривали строго одномерный случай. Но в большинстве возможных экспериментов проволока, из которой делают кольцо, имеет конечное поперечное сечение А. Поэтому число поперечных состояний в проволоке с энергией, меньшей Ер^ имеет порядок

Ж ~ к^А, (4.9)

а полное число электронов

N-kpLN^. (4.10)

Теперь зависимость уровней от Ф становится гораздо более сложной, чем в одномерном случае. Функции Е(Ф) имеют много минимумов и максимумов. Схематично их структура изображена на рис. 4.26. Теперь даже оценка порядка величины этих токов оказывается нетривиальной. Мы вернемся к ней позднее.

Перед кратким обзором случая свободных электронов повторим, что персистентные токи существуют не только в атомах и молекулах, но и в обычных металлах, приводя к диамагнетизму Ландау. Для однородных образцов они сокращаются в объеме, но остается ненулевой поверхностный вклад. Интересным случаем являются неоднородные системы, например смесь металла и изолятора, когда ненулевые диамагнитные токи могут существовать в объеме, например вдоль поверхностей раздела металл-изолятор. Но тут есть важные различия между мезоскопической задачей и объемным случаем, где, например, когерентность на больших расстояниях не нужна.

Орбитальные моменты могут существовать и в равновесии, если соответствующий термодинамически потенциал J (т. е. Е — при нулевой и F — при конечной температурах для канонических систем, Q = F — p,N — для систем, описываемых большим каноническим ансамблем) зависит от магнитного поля Н. Тогда система имеет равновесную намагниченность М. даваемую формулой М = — dJ/dH, которая является аналогом формулы (4.5) в кольцевой геометрии. Можно считать, что эта намагниченность вызвана какими-то ненулевыми циркулярными токами. В геометрии толстого кольца эти токи текут вдоль внутренней и внешней поверхностей, и новым свойством здесь является периодичность полного циркулярного тока как функции от потока Ааронова-Бома Ф.

Так как упругое рассеяние само по себе не является необходимым для существования персистентных токов, то очень поучительно сначала рассмотреть очень простой случай свободных электронов в многоканальном кольце (Af_L ^ 1) х) • Интересным результатом в этом случае является тот факт, что полный персистентный ток и его температурная зависимость определяются расстоянием между уровнями энергии для движения вдоль кольца.

Ег = ^ ~ N±A.(4.11)

Эта формула справедлива в «почти баллистическом» режиме L < I. Возможно усиление тока (Cheung et al., 1988, 1989) на фактор VN± в сверхчистом случае, когда беспорядок является слабым возмущением (Sivan and Imry, 1987) и I >> N_\_L. Нетривиальный кроссовер между этим пертурбативным режимом и обычным баллистическим режимом (когда выполняется уравнение (4.11)) был исследован в работе (Altland and Gefen, 1995).

Свободные электроны в неупорядоченных системах.

Так как для большинства физических свойств «геометрическое» число

98 Равновесные мезоскопические эффекты и статические свойства [Гл. 4 каналов АД в баллистическом режиме заменяется в диффузионном режиме на эффективное число каналов, имеющее порядок g (Imry, 1986а,b; см. гл. 5), можно ожидать, что характерный энергетический масштаб, заменяющий масштаб АДА в баллистическом режиме, в диффузионном режиме должен иметь порядок gA ~ Ес. Как будет показано ниже, в точности так и происходит.

Типичный, зависящий от образца, персистентный ток, текущий в неупорядоченном кольце, имеет поэтому порядок величины сЕс/Ф^. При усреднении по ансамблю примесей этот ток стремится к нулю, так как он имеет, например, случайный наклон в нуле (Ф = 0). Поэтому можно ожидать, что усреднение по ансамблю полностью подавляет или, по крайней мере, сильно уменьшает величину персистентных токов. Действительно, вычисления для слабого беспорядка показали (Entin-Wohlman and Gefen, 1989, Cheung et al., 1989), что для свободных электронов в большом каноническом ансамбле персистентные токи практически исчезают после усреднения по ансамблю. Здесь «большой канонический» означает, что кольца считаются связанными с резервуаром частиц, имеющим химический потенциал /1, а число электронов N в каждом кольце может изменяться при изменении Ф.

Теперь рассмотрим экспериментальную ситуацию, относящуюся к персистентным токам. Сейчас имеются опубликованные результаты трех независимых групп. Первый эксперимент был выполнен Леви и др. (Levy et al., 1990) на ансамбле (около 105) небольших (около 0,5 мкм в диаметре) медных колец. Второй эксперимент был поставлен на одном или на небольшом числе золотых колец с немного большим размером (Chandrasekhar et al., 1991). Третий эксперимент производился на еще больших по размеру (но с достаточно большой L^ одиночных кольцах из Ga As (Mailly et al., 1993), находящихся на пороге баллистического режима (/ ~ L) и имеющих то преимущество, что кольцо, с помощью соответствующего затвора, могло быть соединено или разъединено с подводящими контактами. Это позволило провести транспортные измерения ааронов-бомовской h/ е-периодичности (гл. 5), для проверки качества образцов. Во всех трех экспериментах для измерения магнитных сигналов (являющихся периодическими функциями Ф) использовалась чувствительная СКВИД-магнитомет- рия. В двух последних экспериментах, в которых не было усиления сигнала, вызванного большим количеством образцов, потребовались даже еще большие чувствительность и редукция шума. Эти эксперименты очень трудны для выполнения. Можно считать, что комбинация их результатов (для первых двух экспериментов они приведены на рис. 4.3 и 4.4) показывает существование персистентных токов, незатухающих на временном масштабе порядка секунды (такой масштаб эффективно является «бесконечным» на микроскопическом уровне). Величины измеренных сигналов оказались довольно большими, причем в эксперименте с большим числом колец они на два порядка больше,

чем предсказывают теории невзаимодействующих электронов, и примерно на один порядок больше, чем дают пертурбативные теории (см. обсуждение ниже). Эксперименты с одиночными золотыми кольцами дали результаты, на порядок большие, чем любая существующая теория, тогда как результаты, полученные на баллистических образцах (Mailly et al., 1993), согласуются с теорией (4.11) для этого более простого режима. Результаты двух первых экспериментов (если они подтвердятся), явятся серьезным вызовом для теории. Для удобства

Рис. 4.3. Из статьи Леви и др. (Levy et al., 1990), которые измерили нелинейный отклик ансамбля 107 медных колец (малая часть которого показана на (а)) как функцию потока (значение В = 130 гс соответствует hj е\ Использовался переменный, низкочастотный (~ 1 гц) сигнал с амплитудой 15 гс. На рисунке изображены результаты измерений 2-й (/12) и 3-й (/13) гармоник основной частоты. Нелинейность возникает из периодической зависимости от потока. Эти результаты подтверждают существование усредненного по ансамблю персистентного тока с периодом Д/2еРис. 4.3. Из статьи Леви и др. (Levy et al., 1990), которые измерили нелинейный отклик ансамбля 107 медных колец (малая часть которого показана на (а)) как функцию потока (значение В = 130 гс соответствует hj е\ Использовался переменный, низкочастотный (~ 1 гц) сигнал с амплитудой 15 гс. На рисунке изображены результаты измерений 2-й (/12) и 3-й (/13) гармоник основной частоты. Нелинейность возникает из периодической зависимости от потока. Эти результаты подтверждают существование усредненного по ансамблю персистентного тока с периодом Д/2еД ГсД Гсбб

Рис. 4.3. Из статьи Леви и др. (Levy et al., 1990), которые измерили нелинейный отклик ансамбля 107 медных колец (малая часть которого показана на (а)) как функцию потока (значение В = 130 гс соответствует hj е\ Использовался переменный, низкочастотный (~ 1 гц) сигнал с амплитудой 15 гс. На рисунке изображены результаты измерений 2-й (/12) и 3-й (/13) гармоник основной частоты. Нелинейность возникает из периодической зависимости от потока. Эти результаты подтверждают существование усредненного по ансамблю персистентного тока с периодом Д/2е

Рис. 4.3. Из статьи Леви и др. (Levy et al., 1990), которые измерили нелинейный отклик ансамбля 107 медных колец (малая часть которого показана на (а)) как функцию потока (значение В = 130 гс соответствует hj е\ Использовался переменный, низкочастотный (~ 1 гц) сигнал с амплитудой 15 гс. На рисунке изображены результаты измерений 2-й (/12) и 3-й (/13) гармоник основной частоты. Нелинейность возникает из периодической зависимости от потока. Эти результаты подтверждают существование усредненного по ансамблю персистентного тока с периодом Д/2е

Д Гс

Д Гс

б

б

все результаты (по порядку величины) приведены в таблице 4.1 (с и Д положены равными единице. Недавно было обнаружено (Mohanty et al., 1995), что /г/е-компонента в опытах на золотых кольцах может быть меньше, чем было получено ранее. Этот вопрос требует дальнейшего экспериментального исследования.

Для того чтобы разобраться в теории персистентных токов, мы начнем с «типичного» случая отдельного образца. Энергия Таулесса дает типичный токовый отклик любого n-ного уровня на малый поток

Ж 1/Гс

Рис. 4.4. Из статьи Чандрасекар и др. (Chandrasekhar et al., 1991). Схема эксперимента для получения отклика одного кольца (с вычитанием сигнала от подложки) и само кольцо изображены сверху. Результаты приведены снизу: зависимость амплитуд основной (/) и второй (2/) гармоник от магнитного поля для золотого кольца размером 1,4 мкм х 2,6 мкм при Т = 7,6 мК: а) /-отклик (необработанные данные). Стрелки показывают максимумы hle- периодического сигнала, б) данные из рисунка а) после вычитания квадратичного фона, в) 2/-отклик после вычитания линейного фонового сигнала. Амплитуда возбуждающего переменного поля с частотой 4 гц равна 4,12 гс. г) спектр мощности для данных из рисунка б), h/е-стрелки показывают ’’частотное окно пропускания”, центрированное около ожидаемой частоты /г/е-осцилляций, в котором были отфильтрованы данные из рисунков б) и в); результаты этой фильтрации показаны штриховыми кривыми; также показана область, где ожидается появление /г/2е-сигнала на основании соотношения внутренней и внешней поверхностей образца; данные, приведенные на рисунках б) и в) уже численно отфильтрованы для устранения высокочастотных вкладов (с частотами выше 0,50 гс™1)

Таблица 4.1. Сводка результатов

теория без взаимодействия

теория с взаимодействием

эксперимент

Одно кольцо

L < /, ~АФо

как без

АФо

L > Z, и

А2Ф0

взаимодействия

> i^ioA

Фо

Усреднение по ансамблю

0 (большой канонический)

~ А (^_

Фо v

постоянное)

V Ес( Фо

А^А

ФоФо

1 + 1п (£>/£<) ~

~ Дс/Ф0

~ 5 А 10

Ааронова-Бома ф. Так как ^(у?) при малых у? может быть аппроксимировано выражением ~ Ecip2, то для типичной первой производной при малых Ф находим

Чему равен типичный полный ток во всем интервале |<р| ^ тг? Ответ на этот вопрос был дан в работе (Cheung et al, 1989) с помощью теории возмущений. В результате

Aot,typ сЕс/Ф0. (4.13)

Сходный результат был получен в работе (Altshuler and Spivak, 1987) для похожей модели SNS контакта (сверхпроводник-металл-сверхпро- водник), см. гл. 7. (Аналогичная модель кольца с потоком Ааронова-Бома, индуцирующим фазовый сдвиг, была рассмотрена в работе (Buttiker and Klapwijk, 1986) при изучении h/е- и /г/2е-периодичности кондактанса.) Схожесть SNS-модели с нашим нормальным кольцом можно понять из следующего наблюдения (мы еще вернемся к нему позднее, в гл. 7): электроны, падающие на NS-границу со стороны нормального металла, испытывают андреевское (Андреев, 1964) отражение с превращением в дырку с обращенной во времени траекторией и дополнительной фазой —Х2 (Х2 — фаза сверхпроводящего параметра порядка в отражающей S части. Дырка достигает другой SN-границы и после андреевского отражения снова превращается в электрон со сдвигом фазы xi (Xi — фаза сверхпроводящего параметра порядка в другой S части). В результате этих двух андреевских отражений электрон возвращается на ту же траекторию, с которой он стартовал, но с дополнительной фазой %i — %2- Это эквивалентно нашему ааронов- бомовскому кольцу с фазой ^ = Xi — %2- Поэтому зависимость сверхпроводящего тока от xi — Х2 в SNS контакте, похожа на зависимость

персистентного тока от р. В этом расмотрении не учитывалось нормальное рассеяние на границах, которое исчезает (Blonder et al., 1982) в идеальных ситуациях.

Другой, более строгий способ, учитывающий многочастичные аспекты, понять результат (4.13) основан на рассмотрении (Kohn, 1964) зависимости полной энергии основного состояния Ер от потока. Действуя как при выводе уравнения (Б.22) для Ер (см. также (4.1)) находим

(4-14)(4-14)б2Е0 _ H2N _ 2П2 ул |№|2

(4-14)

(4-14)

9ф2 у=о ml? m2I? ^Ej- Ео’

где р — полный импульс в (азимутальном) направлении ж. (Используя формулу Кубо, легко получить уравнение (4.1) из (4.14).) Следуя работе (Edwards and Thouless, 1972), можно предположить, что два члена в правой части (4.14) почти полностью сокращаются. Результат дается малой разностью этих двух членов, которая имеет порядок члена с наименьшим знаменателем Ej — Ер (порядка А) в сумме, входящей в это уравнение. Используя (Г.30) с q —> 0 для квазиклассических матричных элементов ж между основным и первым возбужденным состоянием и переходя обычным образом от жо к pOj (или определяя |poj |2 из проводимости (Б.20)), можно по порядку величины получить результат (4.13) в довольно общем виде, учитывающем и эффект электрон- электронного взаимодействия.

Квазиклассическая картина. Оказывается, что много сведений о проблеме персистентных токов может быть получено в ква- зиклассическом приближении в формулировке функционального интеграла (Imry, 1991; Argaman et al., 1993). Это приближение полезно также для понимания того, при каких условиях персистентный ток может оставаться конечным после усреднения по ансамблю.

Начнем с функции Грина G(r,r',E'). Плотность состояний (ПС) дается формулой

п(Е) = 52 6(Е — Ej) — (1/тг) ddr Im G(r,r, Е).(4.15)

3

В дальнейших выражениях пространственное интегрирование по г будет подразумеваться (хотя и не будет выписываться явно), а объем системы будет считаться равным единице. Для G(r, г, Е) используем приближение в виде суммы по всем классическим траекториям с данной энергией, начинающимся и возвращающимся в точку г. Обозначим через А^ вклад в G(E) от траекторий, обходящих кольцо п раз по часовой стрелке. Величину А^ обсудим позднее. При нулевом магнитном потоке определим Ан = |АП| егч>ТЪ (для систем, инвариантных относительно обращения времени Ап = А_п). В присутствии потока Ааронова-Бома Ф Ап умножается на elw (р = 2тгФ/Фо). Поэтому при наличии потока модифицированная ПС при нулевой температуре

дается формулой

Пф(Е) = по(Е) + 2|Л11 sin y?i cos у? + 2| A2I sin р^ cos 2 у? + . . . =

= По(Е') + 6П1 COS р + бп^ cos 2р + . . . =

еЦЕ^ШМ (4.16)

где По(А) — независящая от потока часть (обычно доминирующая), а бп^Е) — зависящая от потока поправка. Величины А^ и рп зависят от энергии Е. Типичная фаза, набираемая частицей, диффундирующей на расстояние L равна kFL/l ~ Е FL2/KD\ поэтому можно ожидать, что рх растет с Е со скоростью ~ тг/Ес и что аналогичная скорость изменения высших рп быстро растет с и ^ . Формула (4.16) очень удобна для представления зависимости пф(Е') от потока в виде ряда гармоник. Используя это представление можно легко получить следующие важные и нетривиальные выводы.

Для заданного времени сбоя фазы т^ все траектории, для прохл- ждения которых требуется время, много большее т^, будут экспоненциально подавлены. В результате все детали ПС на масштабах, меньших h/т^ будут сглажены. Вклад Ах обычно требует времени tL ~ К/Ес. В результате условие выживания первой гармоники в зависящей от потока части имеет вид

Ч <т^ О L<L^(4.17)

а высшие гармоники будут убывать быстрее. Энергетический масштаб А не важен для этого вопроса (Stern et al., 1990а,b).

В дополнение к сбою фазы, зависящие от потока гармоники при повышении температуры подавляются усреднением по энергиям. При этом существенный энергетический масштаб, который должен сравниваться с квТ, для п = 1 равен Ес 2) (в пренебрежении относительно несущественной энергетической зависимостью |А^|); для больших п соответствующие масштабы быстро уменьшаются. Можно показать, что это усреднение тоже приводит к экспоненциальному подавлению зависимости от потока.

Когда такие величины, как siny?n, усредняются по примесному ансамблю, фаза рп флуктуирует так сильно, что среднее по ансамблю (sin pn}av исчезает. Именно это усреднение разрушает /г/е-периоди- ческие осцилляции Ааронова-Бома и универсальные флуктуации кон- дактанса (УФК) в кольцах и проволоках (гл. 5). Такое поведение можно ожидать в системах, размеры которых достаточно велики по сравнению с длиной I примесного рассеяния. Было найдено (Entin-Wohlman and

Gefen, 1989; Cheung et al., 1989), что при соответствующих условиях персистентные токи, усредненные по ансамблю, убывают экспоненциально с L/1.

Представление 5п^ в виде суммы по замкнутым путям (см. в этой связи работу (Berry 1985)) связано с аналогичным представлением поправок к проводимости ст в теории слабой локализации (Ларкин, KhmePnitskii, 1982; Khmelnitskii, 1984b; Bergman, 1984; Chakravarti and Schmid, 1986; Argaman, 1995, неопубликовано). Заметим, однако, что эти величины определяются соответственно ImG и |G|2. В рассматриваемом случае поправка к g имеет порядок единицы, поэтому можно ожидать, что

5ni и т. д. (4-18) g Ес

Интересно, что зависящие от потока вклады в ПС оказываются связанными с такими же вкладами в проводимость! Эта аналогия может быть использована для подтверждения формулы (4.13).

Из вышеперечисленных выводов (2) и (3) следует сильный результат: усредненная по ансамблю ПС не зависит от потока при L >> >> I. Такое же утверждение справедливо для отдельного образца при квТ >> Ес. Это утверждение может являться обоснованием для часто высказываемого в литературе мнения (см. в том числе Altshuler et al., 1981а, 1982b) о том, что, после усреднения по ансамблю равновесные свойства системы не должны зависеть от потока. Этот результат немедленно следует, например, из того факта, что статистическая сумма является интегралом (преобразованием Лапласа) от ПС и поэтому ее зависимость от потока разрушается усреднением по ансамблю!

Вышесказанное действительно справедливо для одночастичной статистической суммы. Для многочастичной системы ситуация отличается, причем даже без учета взаимодействия. Для системы, описываемой большим каноническим ансамблем, в котором задан химический потенциал, а не число частиц, все равновесные свойства опять определяются интегралами от плотности состояний п(Е)^ умноженной на функцию Ферми и (или) ее производные. Поэтому в этом случае усреднение равновесных свойств по ансамблю также должно приводить для больших систем к независимости этих свойств от потока. Это согласуется с результатами работ (Entin-Wohlman and Gefen, 1989, Cheung et al., 1989). Для того чтобы получить зависимость от потока равновесных, усредненных по ансамблю, свойств системы невзаимодействующих квазичастиц, нужна нелинейная зависимость усредняемой величины от 5пф(Е). Такая зависимость имеет место в ансамбле, который в действительности более подходит для описания многих экспериментальных ситуаций (возможно, включая и случай работы Levy et al, 1990). Рассмотрим ансамбль колец, макроскопические параметры которых совпадают, но конфигурации примесей в каждом из них различны. Предположим, что каждое из этих колец имеет фиксированное число

электронов, которое не может менят/ься при изменении потока Ф. Такое условие должно выполняться, например, когда металлические кольца расположены на нейтральной диэлектрической подложке. Этот случай мы будет называться каноническим ансамблем, несмотря на то, что число электронов N в разных членах ансамбля различно (обсуждение различных ансамблей см. в работах (Kamenev and Gefen, 1993,1994; Kamenev et al., 1994)). Существенным обстоятельством здесь является то, что N постоянно в каждом члене ансамбля ). Изменение N при переходе от одного кольца к другому не влияет на результаты. Более того, в диффузионном режиме теряется систематическая зависимость свойств системы от четности N. Различия между обычным большим каноническим ансамблем и случаем постоянного N обсуждались в работах (Landauer and Buttiker, 1985, Cheung et al., 1988).

Для ясности мы приведем соответствующие рассуждения только для случая нулевой температуры, когда N нижних уровней заполнены до некоторой энергии Ер^ и, так как N постоянно, Ер может меняться при изменении потока р. Представляя (следуя работе (Imry, 1991)) Ер в виде

EF^) = E°F + Д(^),(4.19)

из условия постоянства N находим, что, с точностью до членов второго порядка по зависящим от потока членам дп^

Д(р) + 5Nv(E°f) = _1 По д2^_(4 20)

по2 по

Здесь по = по(ЕРУ п'й — ее производная при (Ер), а dN^E) определяется выражением

Е

6N^E) = | бп^де.(4.21)

о

Далее, вычислим каноническое среднее от энергии данной системы, вычитая Eq — значение энергии при р = 0:

(4.22)

Разложим первое слагаемое справа по степеням А (у?) (или бп^ а во втором слагаемом проведем интегрирование по частям. Член первого порядка в первом слагаемом сокращается, в результате полный вклад

первого порядка в Е — Eq равен

^Е^^) = - SN^de. (4.23)

О

Это выражение случайным образом меняется от образца к образцу (но сохраняет симметрии — периодичность и четность по у? для рассматриваемого здесь случая систем, инвариантных относительно обращения времени). Сразу видно, что Л/е-периодический член, аналогичный (4.23), существует также и в случае большого канонического ансамбля.

Формулы (4.18) и (4.23) можно использовать для оценки величины ASW^) (и тем самым, персистентных токов). Для того чтобы это сделать, нужна дополнительная информация о тонких сокращениях в интегралах (4.21) и (4.23). Все, что мы можем сделать на данном этапе, — это принять некоторые предварительные (хотя и вполне резонные) предположения о характере этих сокращений. Для более глубокого понимания потребуется более полное обсуждение соответствующих спектральных корреляций, которое будет сделано позднее. Сейчас же мы временно предположим, что осциллирующие интегралы в (4.21) и (4.22) сокращаются везде, кроме последнего слоя ширины Ес (как отмечалось ранее, это средний «период» бп^Е)). Число уровней в этом интервале имеет порядок g. Считая, что вклады в этом интервале складывается случайно, находим

|5W(E'F)|typ ~ n0AVg~ 0(«g). (4.24)

Предполагая, что интеграл (4.23) тоже определяется «последним слоем», получаем | ^£7|typ ~ ЕС1 что согласуется с результатами работ (Cheung et al., 1989, Altshuler and Spivak, 1987, Montambaux et al., 1990).

При усреднении по ансамблю линейный вклад ДЕ^^у?), конечно, сокращается, как сокращаются и все другие «прямые» члены высшего порядка. Однако, во втором порядке по 6N и Д(^) в (4.22) возникают члены

ria 'АЕ^\<р) = ^тН^ое)ria 'АЕ^\<р) = ^тН^ое)2 8е2 8еzx2^ + ^5n^e°fvzx2^ + ^5n^e°fv

ria '

АЕ^\<р) = ^тН^ое)

ria '

АЕ^\<р) = ^тН^ое)

2 8е

2 8е

zx2^ + ^5n^e°fv

zx2^ + ^5n^e°fv

- ^Е» ^А2М - ^3N^E°F) = ^А2(у), (4.0)

2Е°2

(здесь мы использовали уравнение (4.20)). При усреднении по ансамблю находим, используя (4.18) и часть выражения (4.20), содержащую

члены первого порядка:

= ^б^Е»У) = ^^N^E°f^ =

= const • cos2 p + . . .(4.26)

При малых p получаем

(AS^(y))ov = const — const' • p2.(4.27)

Персистентный ток при малых р линеен и нечетен по р и имеет «парамагнитный» знак! Позднее мы увидим, что этот знак является следствием очень фундаментального свойства: убывания флуктуаций, описываемых формулой (4.26), с ростом р. Это убывание обусловлено тем, что присутствие магнитного потока нарушает инвариантность относительно обращения времени, что ведет к эффективному усилению отталкивания уровней.

Усредненный по ансамблю персистентный ток для невзаимодействующих электронов (см. Bouchiat and Montambaux, 1989) в простейшем случае нечетен по р. /г/2е-периодичен и «парамагнитен» по знаку при малых р. Выживание Л/2е-гармоники существенно связано с постоянством числа электронов N при изменениии р. «Половинность периода» (см. Landauer, 1990) связана (но не тождественна) с аналогичным эффектом в проводимости ст (гл. 5). Последний получается из |G|2 при использовании членов типа |Ai|2, в которых рх полностью сокращается.

Общие результаты для персистентных токов, усредненных по ансамблю с постоянным N. Последнее соотношение в формуле (4.26) для вклада, определяющего усредненный по «каноническому» ансамблю персистентный ток, является весьма общим (Altshuler et al., 1991; Schmid, 1991; Montambaux et al., 1990) и следует из общего термодинамического рассмотрения. Оно основывается на учете изменения химического потенциала pt, необходимого для сохранения числа электронов N в кольце при изменении Ф. Начнем с общего термодинамического соотношения (интересные поправки к нему при А < квТ были найдены в работе (Kamenev and Gefen, 1996)

8f\ _ ani“ аф|м’

где F — свободная энергия (вычисленная для канонического ансамбля), Q = F — pN — термодинамический потенциал (вычисленный для большого канонического ансамбля), а частные производные берутся при значениях фиксированных величин, отвечающих равновесию (т. е. найденных из «уравнения состояния»); например, pt = 8F/8N\ф . Как объяснено выше, при изменении Ф меняется и ц. Мы запишем эту

зависимость в виде

м(Ф) = (м) + МФ),(4.29)

где (/1) означает среднее по периоду потока. Раскладывая правую часть (4.28) по малой 5ц^ находим

5Q I 5Q I . £5 5QIz.

дфЬ”дф|(м) + дф|(м) ‘Г

Меняя порядок производных в последнем члене (т.е., используя «соотношение Максвелла»), учитывая, чтои проводя усредне

ние по ансамблю, находим

dF I 5Q I £ д Хх 5Q I . 5/i I £, Т dN\ ,. А

где 5 ц определено выше. Было также использовано правило дифференцирования неявной функции:

_ сШ _ 5AI 5/1 I5Ф I n 5Ф ION 1ф

Наконец, используя тот факт, что усредненный по ансамблю персистентный ток при постоянном /1 = (/1) экспоненциально мал, и то, что для невзаимодействующих квазичастиц dN/дц, равное ПС, в низшем порядке есть просто обратное типичное расстояние между уровнями А, получаем

— I = —(4.32)

аф|д, 2 аФ'v 1

Итак, мы показали, что «канонически» усредненный персистентный ток равен среднему расстоянию между уровнями, умноженному на производную по потоку от среднеквадратичной флуктуации числа частиц в большом каноническом ансамбле, как и в (4.26). Последнюю флуктуацию гораздо легче вычислять, так как все величины обычно легче вычислять в большом каноническом ансамбле.

Для вычисления правой части (4.32) нужна спектральная корреляционная функция

К^Е^^^п^Е-^бп^ЕА-^(4.33)

флуктуаций плотности уровней (ПС) между двумя энергиями около энергии Е^ разделенными интервалом е (в дальнейшем положим Е = EFY Амплитуда флуктуаций, входящая в правую часть (4.32),

дается (при Т = 0) формулой

EF EF

(SN^ = j j (Sn^Sn^E^dETdE! = О о

Ef^Е

= dE dsK(E^). (4.34)

О‘2Е

Она была вычислена в работах (Schmid, 1991, и Altshuler et ah, 1991), с использованием результатов (Altshuler and Shklovskii, 1986) для спектральной корреляционной функции К. Зависимость К от потока определяется диаграммой «двойной куперон». Окончательное выражение для тока может быть представлено в виде:

=(4.35)

где

^m = ^e"2|m|/V^SgnH,(4.36)

7ГФо

причем при конечных температурах т^ в обрезающем экспоненциальном множителе заменяется пъ К/kBT. Как и ожидалось, ток имеет парамагнитный знак (из-за усиления «спектральной жесткости» с ростом Ф, что отражается в корреляции K^Y Амплитуда каждой гармоники тока по порядку величины равна только А/Фо, хотя энергетический масштаб, на котором происходит вызванное т^ или квТ обрезание, равен энергии Таулесса Ес.

Полу классическая теория спектральных корреляций. Приложения к кольцам. Формула (4.34) является примером физической важности спектральной корреляционной функции К^Е, s), которая содержит информацию о спектральных свойствах системы и о том, насколько универсальными они являются. Теперь твердо установлено (Efetov, 1982, 1983), что спектр энергетических уровней неупорядоченной, «мезоскопической», квантовой точки, (включая также и случай кольца), в некоторой области параметров удовлетворяет статистике теории случайных матриц (ТСМ; см. Mehta, 1967). В частности, как было показано в работе (Altshuler and Shklovskii, 1986), автокорреляционная функция плотности уровней имеет, в диапазоне разностей энергий между средним расстоянием между уровнями и энергией Таулесса (см. ниже), спектральную жесткость типа ТСМ. При энергиях, больших последней (но меньших обратного неупругого времени рассеяния), в этой работе был найден новый класс универсальности. Ранее Ефетов (Efetov, 1982), используя другой метод, доказал, что статистика ТСМ применима к таким спектрам при низких энергиях.

Для физического понимания того, как формируются статистические свойства, важные для многих физических явлений, удобно использовать квазиклассическую картину. В смежной области физики, изучающей «квантовый хаос», предположение (Bohigas et ak, 1984) о том, что квазиклассический спектр системы, классическое движение которой хаотично, удовлетворяет правилам ТСМ, было доказано Берри (Berry, 1985). Недавно Аргаман и др. (Argaman et ak, 1993) использовали метод Берри, развитый и обобщенный в работах (Diffrich and Smilansky, 1990, и Smilansky et ak, 1992), для демонстрации того, что корреляции ТСМ применимы при низких энергиях к квазиклассическому спектру частицы, классическое поведение которой является диффузионным. При этом результаты Альтшулера и Шкловского (Altshuler and Shklovskii, 1986) были воспроизведены во всех деталях.

Аргаман и др. (см. также Smilansky et ak, 1992, Doron et ak, 1992) представили результаты Диффриха и Смилянского следующим образом. «Спектральный форм-фактор» (фурье-преобразование К(Е^е) от е к t) в квазиклассическом приближении дается формулой

К(1) = ^Рс1^,(4.37)

где Pci(t) — классическая плотность вероятности возвращения частицы, диффундирующей в заданном конечном объеме, в начальную точку через время t. Эта формула может быть применена в металлическом пределе, когда

А < Ес < h/rei < EF.(4.38)

Это позволяет при Е < Ес (когда t > L2/D, так что диффундирующая частица заполняет объем Ld) воспроизвести результаты теории ТСМ, а при Е > Ес (когда диффундирующая частица ведет себя так же, как в бесконечном объеме) — новые результаты Альтшулера и Шкловского.

Несложно обобщить квазиклассическое рассмотрение на кольцо с магнитным потоком Ааронова-Бома. Для этого нужно опять, как и раньше, сгруппировать все орбиты с числом обходов т и фазой Ааронова-Бома егт^ с их обращенными во времени партнерами, имеющими ааронов-бомовский фазовый фактор е-гт(р. Таким способом можно вычислить зависящую от потока корреляционную функцию K(s,y?), пригодную для нахождения персистентного тока как в отдельном образце, так и в среднем по ансамблю (Argaman et ak, 1993).

Для получения неусредненного тока запишем

ЭФ ЭФ

ef

где, при Т = 0, Е = j sn(s) ds. Представим зависящие от пото

ка флуктуации в виде, аналогичном (4.16), и для суммирования по

траекториям используем диагональное приближение, как в уравнении (Ж.47) Из (Ж.47) и (Ж.48) видно, что классическая вероятность, появляющаяся благодаря члену, отвечающему п обходам вокруг кольца (опять взятому вместе с обращенным во времени партнером), — это вероятность возвращения в начало пути после п обходов. Такая вероятность пропорциональна ехр (—п2L2/4D\t\). В результате получаем (Argaman et al., 1993)

n^L2\W\)n^L2\W\)sin2sin22тгпФФо2тгпФФо(4.39)(4.39)

n^L2\

W\)

n^L2\

W\)

sin2

sin2

2тгпФФо

2тгпФФо

(4.39)

(4.39)

Выполняя интегрирование, находим, что при Т = 0 n-я гармоника типичного тока имеет для малых п ожидаемый порядок величины eEc/h и дается формулой

/п(Ф)2 =/п(Ф)2 =24 /з (7Г П V24 /з (7Г П VeD .—ту SIB L2eD .—ту SIB L227гпФ\2Фо 7 '27гпФ\2Фо 7 '(4.40)(4.40)

/п(Ф)2 =

/п(Ф)2 =

24 /

з (

7Г П V

24 /

з (

7Г П V

eD .

—ту SIB L2

eD .

—ту SIB L2

27гпФ\2

Фо 7 '

27гпФ\2

Фо 7 '

(4.40)

(4.40)

При конечных температурах и т^ интеграл по времени в (4.39) обрезается экспоненциально при h/kBT или т^, что приводит к убыванию гармоник, причем более быстрому для высших гармоник, как это отмечалось в тексте после формулы (4.17).

Используя аналогичные рассуждения и (4.32), (4.34), можно найти и персистентный ток, усредненный по ансамблю (Argaman et al., 1993). Полученные результаты эквивалентны (4.35) и (4.36) и находятся в согласии с вычислениями, основанными на результатах Альтшулера и Шкловского для К(Е ^е).

Так как выше было показано, что результаты для усредненных по ансамблю токов, по крайней мере, на два порядка меньше экспериментальных, то ясно, что модель невзаимодействующих электронов недостаточно хорошо отражает необходимую физику. Поэтому нужно серьезно учитывать электрон-электронное взаимодействие.

Влияние магнитного поля представляет интерес и для односвязных систем (квантовых точек). Магнитное поле нарушает инвариантность относительно обращения времени и, в рамках ТСМ, изменяет корреляции на «унитарные». В квазиклассической картине, в случае квантовых точек, магнитное поле просто подавляет конструктивную интерференцию между обращенными во времени орбитами, что приводит к появлению редуцирующего множителя 1/2 в К^еУ Это явление полностью аналогично (типичному для теории слабой локализации) подавлению магнитным полем «куперонного» вклада, продемонстрированному Альтшулером и Шкловским (Altshuler and Shklovskii, 1986). Детали этого «ортогонально-унитарного» кроссовера обсуждались в

112 Равновесные мезоскопические эффекты и статические свойства [Гл. 4 работе (Argaman et ak, 1993); они дают основу для понимания новой, нелинейной, парамагнитной орбитальной восприимчивости в системе квантовых точек, которая может быть довольно значительной (Altshuler et ak, 1991, 1993; Oh et ak, 1991; Raveh and Shapiro, 1992).

Влияние взаимодействия на персистентные токи. Первые микроскопические вычисления орбитального отклика взаимодействующих электронов были выполнены Асламазовым и Ларкиным (1974) в контексте сверхпроводящих флуктуаций (см. также Асламазов и др., 1969). Ранее Шмид (Schmid, 1969) рассмотрел эту проблему в рамках подхода Гинзбурга-Ландау. В действительности, полученный результат является более общим и применим также тогда, когда взаимодействие не приводит к сверхпроводимости. Отклик тока на векторный потенциал пропорционален взаимодействию, когда последнее является достаточно слабым. Знаки таковы, что ток (или орбитальный магнитный отклик), должен быть диамагнитным для эффективного притяжения (осуществляемого в сверхпроводнике выше температуры перехода) и парамагнитным в более обычном случае нормального металла с эффективным отталкиванием. Такой знак, в случае мезоскопического кольца, сделанного из сверхпроводящего материала, но ставшего несверхпроводящим из-за тепловых флуктуаций, согласуется с тем замечанием, что при Ф < Фо в кольце должен циркулировать ток, стремящийся заэкранировать нецелый поток (Gunther and Imry, 1969). Тот факт, что положительное взаимодействие вызывает парамагнитный отклик, оказывается естественным в первом порядке теории возмущений (Halperin, 1991, частное сообщение). Технически этот вклад получается добавлением одной «линии взаимодействия» к «двухкуперонным» диаграммам, использованным, например, в работе (Altshuler and Shklovskii, 1986) для вычисления К^ работах (Altshuler et ak, 1991, и Schmid, 1991) для нахождения усредненного по ансамблю персистентного тока невзаимодействующих электронов. Первые вычисления для усредненного по ансамблю персистентного тока / по теории возмущений были проделаны в работах (Ambegaokar and Eckern, 1990, 1991, и Eckern, 1991). В первом порядке по взаимодействию среднее расстояние между уровнями А, входящее в формулу (4.36) в невзаимодействующем случае, заменяется на ECV :

А ECV в первом порядке по V. (4-41)

Величина V являющаяся безразмерной константой взаимодействия при малых энергиях, должно вычисляться с учетом экранирования, что соответствует частичному суммированию диаграмм высших порядков. Результат, подобный (4.41), будет получен ниже с использованием концепции зарядовой нейтральности (Schmid, 1991; Argaman and Imry, 1993). Строго говоря, он справедлив только при V <С 1. Однако, если его использовать при относительно больших значениях V (~ 0,3 4-1,0),

соответствующих реальным металлам типа меди, то он согласуется, с точностью до фактора 2, с результатами эксперимента (Levy et al, 1990).

Но для таких значений V становятся важными поправки высших порядков. Они были вычислены еще в работах (Spivak and Khmelnitskii, 1982 и Altshuler et al., 1983), с использованием ранних результатов Асламазова и Ларкина (1974). Было показано, что существенное взаимодействие V. называемое взаимодействием в «куперовском канале»,

ренормируется по следующей схеме:

Kff =

приприV«ln-(E>/E<),

при

при

приприIn

при

при

где Е> и Е< — некоторые большой и малый энергетические масштабы, зависящие от условий задачи. Для реалистических значений V взаимодействие редуцируется, грубо говоря, на порядок. Эта ренормировка имеет ту же природу, что и уменьшение кулоновского взаимодействия, полученное Боголюбовым и Толмачевым в теории сверхпроводимости (см., например, de Gennes, 1965). Это уменьшение отталкивания, существенно важное для существования сверхпроводимости, возникает при рассмотрении вопроса о том, как взаимодействие V при малых энергиях (т.е. вблизи поверхности Ферми) связано с таковым при высоких энергиях. Оно легко вычисляется путем исключения высокоэнергетических переходов. К сожалению, этот эффект уменьшает теоретический результат для / настолько, что он становится на порядок меньше экспериментального значения. Таким образом, оказывается, что в настоящее время пертурбативная теория по V не может объяснить существующее расхождение между теорией и экспериментом.

На данном этапе изложения нам необходимо прояснить физическую картину влияния взаимодействий на I. Такая картина была впервые дана Шмидом (Schmid, 1991). Напомним, что важнейшим следствием кулоновского взаимодействия в металлах является условие локальной электронейтральности в любом элементе объема с линейными размерами, большими радиуса экранирования А. Шмид показал, что это сильное локальное ограничение дает более существенный вклад в персистентный ток, чем простое глобальное ограничение полного числа электронов N. Этот вклад воспроизводит результат первого порядка теории возмущений по взаимодействию, но он точно таким же образом редуцируется за счет ренормировки взаимодействия в «куперовском канале».

Для того чтобы представить упрощенный вариант аргументации Шмида, используем изменяющийся в пространстве эффективный потенциал (Argaman and Imry, 1993), который сохраняет локальную элек-

114 Равновесные мезоскопические эффекты и статические свойства [Гл. 4 тронейтральность (в рамках соответствующего уравнения экранирования типа Томаса-Ферми) при изменении потока. Выражение для персистентного тока, усредненного по ансамблю, содержит (под знаком интеграла по пространству) член, пропорциональный произведению отклика эффективного потенциала на поток и локальной плотности невзаимодействующих электронов (см. (4.43)-(4.45) ниже). Это прямое обобщение результата для канонического ансамбля ((4.31) и (4.32)), в котором только глобальный химический потенциал и число электронов (вычисленное для случая большого канонического ансамбля) считаются зависящими от потока. Выражение для тока, следующее из (4.45) (Argaman and Imry, 1993) напоминает результат первого порядка Амбегаокара и Эккерна. Однако, сильная ренормировка взаимодействия на этом уровне в явном виде еще не проявляется, и вопрос о ее существенности требует дальнейшего изучения. Для малых V результат согласуется с теорией возмущений и дает дополнительное прояснение аргументов Шмида.

Следуя Шмиду (Schmid, 1991) и обобщая картину, предложенную в работе (Altshuler et al., 1991), мы разобьем образец на ячейки г с линейными размерами, большими, чем длина экранирования, но меньшим, чем все другие характерные длины. Все эффекты кулоновского взаимодействия при этом учитываются и дают всю потенциальную энергию Ui для электрона в ячейке г, кроме флуктуирующего потенциала примесей, который может меняться и на меньших масштабах. Поэтому свободная энергия получившихся таким образом эффективных свободных электронов дается Qeff({?;}), Ф), где {v} обозначает множество всех потенциалов Vi , а Ф — поток Ааронова-Бома (Qeff также явно зависит от температуры, химического потенциала и потенциала примесей). Персистентный ток дается формулой /({v}), Ф) = — с8Пе«/9Ф, а число электронов в ячейке г — формулой АД{у}),Ф) = —cdQeff/Э^г- При изменении Ф потенциал и^ подстраивается так, чтобы выполнялась локальная электронейтральность, т. е. Ni остается равным ионному заряду в ячейке г (заметим, что для получения (4.30) использовалась только глобальная электронейтральность, достигавшаяся путем изменения химического потенциала, который можно рассматривать как не зависящий от г вклад в щ).

Определяя для данного образца и^ как среднее от и^ по периоду Ф и записывая и^ как и^ + Дщ(Ф), получаем

/(Ю,ф) = /(К}),ф) + £а^^- =

= Л{у°})-ф) - c^Avj ^= Л{у°})-ф) - c^Avj ^{"°}{"°}(4.43)(4.43)

= Л{у°})-ф) - c^Avj ^

= Л{у°})-ф) - c^Avj ^

{"°}

{"°}

(4.43)

(4.43)

Квантовая интерференция и равновесные свойства 115 При получении последней строки использовано термодинамическое (типа Максвелла) соотношение

dvi С ЭФ '

Поправки высших порядков в Ащ опущены, так как зависимость всех физических характеристик колец от потока считается слабой; Ащ определяется из аналогичного уравнения для Nt({у}), Ф), которое предполагается постоянным:

ф) = м(К}), Ф) + £ АУ, ^j OVj {1,0}

~ М({1)0}), Ф) - 7V(0)Av,, (4.44)

где введено локальное приближение dNi/dvj ~ —N^S^j и плотность состояний в ячейках N^ = dN^/dp считается одинаковой — независящей от г. Определяя 5Ф А^ = А^({?;}), Ф) — А^, получаем

' г (4.45)

где проведено усреднение по примесному ансамблю, и во второй строке мы пренебрегли членом (/({v0}), Ф)), который аналогичен усредненному (по большому каноническому ансамблю) току свободных электронов.

Последний член есть производная по потоку от суммы флуктуаций локальных чисел электронов при постоянных локальных потенциалах, т. е. флуктуации невзаимодействующих электронов в усредненном по потоку неупорядоченном потенциале и^. Считая этот потенциал случайно меняющимся (например, белым шумом), можно вычислить эти флуктуации, используя существующие теории для невзаимодействующих электронов. Этот вклад оказывается аналогичным результатам первого порядка (4.41) (в случае отталкивательного электрон- электронного взаимодействия): он большой, парамагнитный при малых Ф, периодический по Ф с периодом Фо/2 = hc/2e и находится в качественном согласии с экспериментом на самом наивном уровне, не учитывающем возмоэюных ренормализационных эффектов. Аграман и Имри (Argaman and Imry, 1993) воспроизвели приведенные выше результаты также и с помощью систематического применения теории функционала плотности (Kohn and Sham, 1965; хороший обзор можно найти в работах (Kohn and Vashishta, 1983, и Argaman and Makov 2000)). В какой степени этот результат может быть уменьшен возможной «ренормализацией ку перовского канала» в настоящее время неизвестно и заслуживает дальнейшего исследования.

В заключение охарактеризуем ситуацию с персистентными токами, сложившуюся на время написания книги. Можно считать, что их существование подтверждено. Но теория в настоящее время дает для величины токов в усредненных по ансамблю системах результаты, которые оказываются значительно меньше экспериментально наблюдаемых. Если не учитывать новые возможности, связанные, например, с поверхностными эффектами или явлениями на поверхностях раздела, то приходится констатировать необходимость построения более полной непертурбативной теории кулоновского взаимодействия. В этом направлении сейчас имеются две новые идеи, одна — это вышеупомянутая идея электронейтральности, а другая — очень интересное наблюдение (Altland et al., 1992, Mtiller-Groeling et al., 1993; Muller-Groeling and Weidenmuller, 1994) о том, что взаимодействие может сильно подавить влияние беспорядка. Это подтверждается недавними численными результатами (Berkovits and Avishai, 1995а,b). Однако еще нужно показать, что такое подавление сильнее сказывается на равновесных свойствах, чем на транспортных. Поэтому можно заключить, что обе упомянутые идеи нуждаются в дальнейшей разработке.

Задача

(Это упражнение об одном тонком моменте, упомянутом в приложении Б.) Докажите, используя соотношение [р, ж] = /г/г, что два члена в правой части (Б.22) в точности сокращаются. Используйте равенство Uij = icJijXij. Когда это верно? Когда и почему неверно? Убедитесь, что это сокращение означает, что в нашей системе нет зависимости энергии от граничных условий и нет орбитального магнитного отклика.

Глава 5

КВАНТОВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯИ ТРАНСПОРТНЫЕ СВОЙСТВА.ФОРМУЛИРОВКА ЛАНДАУЭРАИ ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ

Общие замечания о проводимости Кубоконечных систем

Транспортные свойства мезоскопических систем включают в себя много интересных свойств, которые являются новыми по сравнению со свойствами обычных макроскопических систем. Среди них можно назвать неаддитивность последовательных сопротивлений и параллельных проводимостей, периодические осцилляции (Gefen et al., 1984а,b; Webb et al., 1985a,b) в зависимости магнетосопротивления кольца (т. е. двух параллельных резисторов) от потока Ааронова-Бома через его площадь и аналогичные апериодические осцилляции кондактанса в тонких односвязных проволоках (Blonder, 1984; Umbach et al., 1984; Altshuler, 1985; Lee and Stone, 1985; Licini et al., 1985a; Stone, 1985; Skocpol et al., 1986). Эти флуктуации имеют интересные универсальные свойства. Как и в предыдущих главах, здесь тоже имеет важное значение различие между эффектами упругого и неупругого рассеяний. В то же время, так как система очень мала, ее измеряемое сопротивление может зависеть от наличия приложенных к ней контактов, их типа и структуры. Возможны также другие свойства, известные в разных вариантах для волновых систем — волноводов. Например, отросток со свободным концом может сильно изменить сопротивление системы (Gefen et al., 1984а,b), или сопротивление может быть нелокальным в том смысле, что измеренное между двумя данными точками оно может зависеть от контактов, расположенных в других точках (Anderson et al., 1980; Engquist and Anderson, 1981). Также могут играть роль контактные сопротивления, которыми не всегда можно пренебречь (Imry, 1986b, см. также п. 2).

С теоретической точки зрения эта задача интересна также потому, что электроны, в отличие от случаев обычного транспорта, могут находиться в неравновесном состоянии (из-за редкости неупругих столкновений). В некоторых случаях могут понадобиться специальные методы для изучения таких вопросов. Сначала дадим краткий обзор некоторых особенностей в формализме линейного отклика Кубо для наших систем, отражающих таулессовскую картину проводимости в неупорядоченных

системах. Затем, в п. 2, изложим как подход Ландауэра для вычисления кондактанса отрезка неупорядоченной системы, находящегося между двумя идеальными подводящими источниками, так и его обобщение на случай большего числа источников. Будут также обсуждены вопросы сходства и различия между этими двумя подходами. В п. 3 будут рассмотрены различные приложения.

Для бесконечной системы проводимость Кубо на частоте ш может быть получена, как в приложениях А и Б (см. Б.1), или вычислением, использующим «золотое правило», энергии поглощенной системой из классического электро-магнитного поля (здесь будет рассматриваться диагональная компонента сгжж), Дополнительный вклад, связанный с поглощением, вызванным дебаевской релаксацией, будет рассмотрен позднее. Поле, используемое в этом подходе, считается действующим полем, содержащим самосогласованное поле, создаваемое поляризацией зарядов внутри системы (см., например, Landauer, 1978):

= е2 Е№х№№ — Ек + h^(fk - h\ (5.1) к,I

Здесь, для простоты, электроны считаются невзаимодействующими (или хартри-фоковскими) и, как упомянуто выше, учитываются поправки к самосогласованному полю. Q — объем системы, \к^ |/) — свободные (или самосогласованные) одночастичные электронные состояния, a fk^ fi — их функции заполнения, йх — оператор скорости электрона в направлении ж. В этой формуле предположение о бесконечности системы существенно для того, чтобы иметь континуум состояний. В противном случае поле не будет вызывать реальных переходов. Действительно, изолированная конечная система с полностью дискретным спектром не может реально поглощать энергию монохроматического поля произвольной частоты ). Для того чтобы получить конечную проводимость, малая система должна быть связана (а в реальном случае это так и есть) с очень большим термостатом, например с тепловыми фононами. Это позволяет передавать энергию поля в термостат через малую электронную систему. Для достаточно слабого взаимодействия с термостатом можно предположить, что дискретные уровни системы приобретают конечную ширину. Тогда можно переписать (5.1) в том же виде, но с Е^ имеющими конечную ширину, или с мнимой добавкой гт] к частоте ш. Поэтому Таулесс и Киркпатрик (Thouless and Kirkpatrik, 1981), следуя Чисхоллу и Крамеру (Czycholl and Kramer, 1979), предложили следующее, основанное на (5.1), выражение для статической проводимости сг^с (Re ш —> 0) конечных систем

при малых ту (но ?? > А):

1^dc —7Г .1^dc —7Г .(5-2)(5-2)_^l2zl дш' = -LiL'v I77**!2 ni1^k - ^ w'2 + т?2« kt Ek-El (Ek - Ety + (И2 ■

1

^dc —

7Г .

1

^dc —

7Г .

(5-2)

(5-2)

Формально, лоренциан в последнем члене (5.2) при rj —> 0 становится дельта-функцией. Хотя такой подход, использующий уширение 8- функции в (5.1) с помощью введения малой конечной тр имеет смысл, он требует более строгого обоснования в случае комбинированной системы, состоящей из электронной системы и термостата. Ван Флек и Вай- скопф (van Vleck and Weisskopf, 1945) получили похожие результаты, используя квазиклассическую картину вместе со столкновительным уширением, которая позднее обсуждалась также Имри и Ширеном (Imry and Shiren, 1986). Последующее обсуждение будет основываться на формуле (5.2).

Можно показать, что когда Нту много больше, чем расстояние между уровнями электронов А при Ер (хотя много меньше, чем все другие существенные энергетические масштабы задачи), (5.2) переходит, как и должно быть, в соответствующее объемное выражение. Это условие всегда хорошо выполняется для макроскопических систем, где А/кв ~ ~ 10“18 К и /г/(т^кв) редко бывает меньше чем 10 4-F10 5 К (обычно такие значения эта величина принимает только при температурах порядка милликельвина). Поэтому из обычного выражения (5.1) для ст, заменяя сумму интегралом и предполагая, что |(к|v|Z)|2 имеет около Ер некоторое типичное значение К^)!2 (см. приложение Б), можно сразу получить низкотемпературную статическую проводимость:

= (5.3)

Здесь п(0) — плотность состояний на единицу объема при Е = Ер. Это формула Кубо-Гринвуда для проводимости (Kubo, 1957; Greenwood, 1958).

Но для типичных малых металлических систем, представляющих интерес для нас здесь, А может быть порядка нескольких милликельвинов. Поэтому при температурах, меньших ~ 0,1 К, находим новый и интересный интервал, где

Ну < А. (5.4)

В пределе бу <С А легко оценить среднюю проводимость Кубо по порядку величины (используя следующие оценки \Е^ — Е[\ ~ А ~ ~ [п(0)П]-1 )

Из этой формулы следует интересное свойство: статическая прово

димость, определяемая поглощением энергии электро-магнитного поля, стремится к нулю при /гту/А —> 0 (Landauer and Buttiker, 1985; Buttiker, 1985b; Imry and Shiren, 1986). В этом пределе в системе имеются дискретные состояния без какого-либо реального поглощения

Рис. 5.1. Статическая проводимость Кубо как функция отношения ту/А. Она стремится к проводимости Кубо-Гринвуда ст kg пРи ^Л ^ Л и пропорциональна Стко^/^ ПРИ ту < АРис. 5.1. Статическая проводимость Кубо как функция отношения ту/А. Она стремится к проводимости Кубо-Гринвуда ст kg пРи ^Л ^ Л и пропорциональна Стко^/^ ПРИ ту < Аэнергии. Поэтому статическая проводимость Кубо, как функция ту, схематично ведет себя как на рис. 5.1. Подчеркнем, что это обсуждение относится к частному определению проводимости, измеряемому, например, помещением образца, без подводящих контактов, в полость

Рис. 5.1. Статическая проводимость Кубо как функция отношения ту/А. Она стремится к проводимости Кубо-Гринвуда ст kg пРи ^Л ^ Л и пропорциональна Стко^/^ ПРИ ту < А

Рис. 5.1. Статическая проводимость Кубо как функция отношения ту/А. Она стремится к проводимости Кубо-Гринвуда ст kg пРи ^Л ^ Л и пропорциональна Стко^/^ ПРИ ту < А

с электромагнитным излучением и измерением дополнительного поглощения на малых частотах, вызванного наличием образца. Оказывается, что такое определение не является с необходимо

стью тоэюдественным другим определениям. Например, в п. 2 будет показано, что тот же образец будет обладать хорошо определенным конечным сопротивлением,

независящим от q при достаточно малых q, если его сопротивление будет измерено подсоединением к нему двух подводящих контактов. В этом случае джоулевская диссипация энергии будет происходить внутри тепловых термостатов, которые предполагаются связанными с контактами. Взаимодействие системы с дискретными уровнями с термостатом, находящимся при конечной температуре, также ведет к хорошо известному поглощению типа «дебаевской релаксации» (Gorter, 1936; Gorter and Kronig, 1936; Kittel, 1986), которое должно быть добавлено к членам типа Кубо. Это поглощение исчезает как в случае ш/q -Л 0, так и в случае ш >> 77,^9. Как отмечалось в работе (Landauer and Buttiker, 1985), это поглощение связано с осцилляцией расстояния между уровнями, вызванной внешним полем. Заселенность уровней стремится релаксировать к равновесию за время ту1, но запаздывает по отношению к полю. Этот эффект исчезает как при ш <С ту, когда система следует за полем, так и при ш >> >> ту, когда релаксация становится пренебрежимой. Такое поглощение было получено для колец с переменным магнитным потоком в работах (Landauer and Buttiker, 1985; Trivedi and Braun, 1988). При этом необходимо неравенство Т ^ 0, так как при Т = 0 заселенность уровней не зависит от расстояния между ними.

Формулировка Кубо-Гринвуда, которая может быть представлена в терминах, зависящих от времени корреляционных функций, оказалась чрезвычайно полезной в теории транспорта. Она является также

основой для систематического диаграммного разложения по величине беспорядка, характеризуемого малым параметром (&F/)-1, где I — длина упругого свободного пробега. Первая поправка (Langer and Neal, 1996; Горьков и др., 1979; Abrahams et al., 1979; Hikami et al., 1980) к классической больцмановской проводимости дает слаболокализационные вклады, обсуждавшиеся в гл. 2.

Таулессвское выражение для кондактанса сначала было получено с использованием формулировки Кубо (приложение Б). При этом обнаружилось, например, что для справедливости выражения Таулесса необходимо выполнение условия hr] >> А. Это также согласуется с приближением «золотого правила» (2.4). Но, как будет показано, формулировка Ландауэра, описанная в следующем пункте и дающая конечную проводимость для конечных отрезков при г] —У 0, оказывается тесно связанной с кондактансом Таулесса. Последний будет эквивалентен выражению Кубо, только когда hr] >> А. Остается еще выяснить, когда в формулировке Ландауэра собственное взаимодействие системы с резервуарами может играть роль, аналогичную роли параметра г] в подходе Кубо.

Формулировка Ландауэра для кондактансамезоскопической системы и некоторые

ее обобщения

Введение: «одноканальный» случай. Формулировка Ландауэра (Landauer, 1957, 1970, 1975, 1985), выражающая кондактанс в терминах данных рассеяния системы, особенно подходит для определения кондактанса сегмента (возможно, неупорядоченной) системы, к которой присоединены два подходящих контакта. Она была полезна не только как способ вычисления, но также, что возможно даже более важно, как наглядная картина, из которой можно было получить физическое понимание новых явлений. Она относится к отдельной конкретной системе и не использует усреднения по ансамблю. Поэтому в ней мезоскопические эффекты проявляются очень естественно. В 1957 г. Landauer впервые ввел одномерную версию, которая состояла из заданного барьера, связанного идеальными одномерными проводами (плоские потенциалы) с некоторым внешним источником (например, парой электронных резервуаров с разными значениями химического потенциала), который производит ток / через одномерную систему. Барьер характеризуется своими коэффициентами пропускания Т и отражения R = 1 — Т (при линейном транспорте и нулевой температуре нужны Т и R только при энергии Ферми). Как было подчеркнуто Ландауэром (Landauer, 1970, 1975), очень важно, чтобы волны, приходящие из двух резервуаров, были взаимно «некогерентны» (т. е. не имели какой-либо связи между фазами), в противном случае, при обращении времени, получаются нефизические результаты.

Landauer рассмотрел сначала нейтральные частицы и нашел разность плотностей на барьере, а затем соответствующий коэффициент диффузии. Потом, используя соотношение Эйнштейна, он получил проводимость. Для заряженных частиц учет самосогласованного экранирования (Landauer, 1957) дает такой же результат. Таким образом, кондактанс барьера, включающий спиновое вырождение, дается формулой (Landauer, 1957, 1970)

(5-6)(5-6)е2 Т

(5-6)

(5-6)

-кН R

Подчеркнем, что это кондактанс самого барьера, определенная как отношение тока /, который течет через него, и разности электрохимических потенциалов piA — piB, которая образуется на его двух сторонах. В литературе имелось некоторое разночтение в определении кондактанса барьера (позднее устраненное, см. ниже), возникшее по следующей причине. Обычный способ заставить ток течь через систему состоит в присоединении её двумя идеальными проводами к резервуарам частиц с разными химическими потенциалами /ii и /12 (/ii > > /12), как на рис. 5.2. Если теперь вычислить кондактанс Gc, используя

М1---М1---№№

М1---

М1---

№

№

В

Рис. 5.2. Геометрия Ландауэра: /и, /12 — химические потенциалы резерву-аров; цА и цв — химические потенциалы идеальных проводников на двухсторонах барьера

отношение / и /11 — /12, то получитсяотношение / и /11 — /12, то получитсяниже обсуждение (5.16) и (5.17))ниже обсуждение (5.16) и (5.17))(для вывода (5.6) и (5.7) смотри(для вывода (5.6) и (5.7) смотри

отношение / и /11 — /12, то получится

отношение / и /11 — /12, то получится

ниже обсуждение (5.16) и (5.17))

ниже обсуждение (5.16) и (5.17))

(для вывода (5.6) и (5.7) смотри

(для вывода (5.6) и (5.7) смотри

GcGc/11 - /12/11 - /122етг/г2етг/г(5-7)(5-7)

Gc

Gc

/11 - /12

/11 - /12

2е

тг/г

2е

тг/г

(5-7)

(5-7)

тогда как определенное перед этим G из (5.6) дается формулой G = = I/{уА — /ав), где piA и piB — химические потенциалы в идеальных проводах слева и справа от барьера (см. рис. 5.2). Поэтому Gc (которое оказывается меньше G), является кондактансом, измеренным между

двумя внешними резервуарами. Даже при Т = 1 Gc = (е2/тг/г) конечно (Imry, 1986b) из-за узкого канала между двумя большими резервуарами (Sharvin, 1965; Yanson et al., 1983). Это сопротивление можно представить как результат сложения существования двух контактных сопротивлений, каждое из которых равно (тг/г/2е2), между проводами и соответствующими резервуарами. Действительно, G”1 = = GA + (тг/г/е2), т. е. полное сопротивление между резервуарами есть сумма сопротивления барьера и двух контактных сопротивлений. Нахождение кондактанса в формулировке Кубо (см., например, Economou and Soukoulis, 198la,b) дает толъко кондактанс Gc. Отсюда началось долго длившееся противоречие: «какая из формул Ландауэра правильна?» Ответ состоит в том (Imry, 1986b), что они описывают разные физические величины.

Контактные сопротивления появляются из-за геометрии узкоканального подключения к большому резервуару и электронам, термализующимся в термостатах через неупругое рассеяние. Как будет показано позднее, соответствующее контактное сопротивление на один канал оказывается того же порядка величины, что и в многоканальном случае. Возникает интересный вопрос: является ли этот порядок величины универсальным (как это хочется предположить) или он сильно зависит от деталей соединения тонкого провода с резервуаром. Когда прохождение между «проводом» и резервуарами идеально, Т = = 1, существование канала ведет к внутрирезервуарному кондак- тансу е2/(тг/г). Этот результат является «универсальным» и может быть обобщен на случай многих каналов (это будет рассмотрено позднее).

Концептуально правильный способ (но все еще вызывающий некоторые вопросы) измерить разность химических потенциалов был предложен Энгквистом и Андерсоном (Engquist and Anderson, 1981), а позднее обсуждался Бюттикером и др. (Buttiker et al., 1985) и Сиваном и Имри (Sivan and Imry, 1986а,b). Он тоже будет детально рассмотрен позднее.

«Барьером» может быть любой объект, питаемый двумя одномерными проводами, например отрезок линейной цепочки. Поэтому, вышеизложенный подход может быть использован для рассмотрения кондактанса любой задачи, являющейся одномерной в вышеприведенном смысле. Действительно, уже на ранней стадии Ландауэр (Landauer, 1970) получил закон сложения (см. (5.36), (5.39), (5.40)) двух таких последовательных барьеров или «квантовых резисторов», а затем, по индукции, сопротивление линейной цепочки с п случайно расположенными барьерами. Было найдено экспоненциальное увеличение этого сопротивления с ростом п для п, больших, чем некоторый характерный размер (в современной терминологии — длина локализации). Это было первой демонстрацией одномерной локализации на примере сопротивления и основой для скейлинговой теории одномерной локализации,

которая была предложена в работе (Anderson et ak, 1980) после нахождения переменных, которые должны усредняться. Нужно отметить, что сопротивление двух таких последовательных резисторов обычно оказывается больше, чем сопротивление, даваемое известным правилом сложения Ri + R^.

Случай двух параллельных одномерных резисторов был впервые рассмотрен методом Ландауэра в работе (Gefen et ak, 1984а), которые тоже нашли, что закон их сложения отличается от классического. Вводя магнитный поток типа Ааронова-Бома, Ф, внутри петли, образованной двумя резисторами, они нашли осцилляции в коэффициенте прохождения. Поэтому сопротивление такой системы, помещенной между двумя одномерными подводящими проводами, осциллирует как функция Ф с фундаментальным, обычно доминирующим (Gefen et ak, 1984b), периодом Фо, в согласии с общими рассуждениями предыдущих глав. Дальнейшее рассмотрение обоих, последовательного и параллельного, случаев вместе с другими применениями формулировки Ландауэра будет проведено позднее. Эта формулировка является достаточно общей для того, чтобы учесть некоторые аспекты электрон-электронного взаимодействия в системе, сверхпроводящие компоненты, резонансные состояния и другие возможные осложнения. Все вышеизложенное было первым четким проявлением транспортных свойств в отдельном образце, которое, в действительности, является «флуктуацией кондактан- са». Такие флуктуации были обнаружены экспериментально в опытах по Фо-периодическим осцилляциям. Их «универсальность» (Altshuler, 1985; Lee and Stone, 1985; см. также второй и третий подпункты п. 3 и приложение И) является одним из самых интересных и фундаментальных свойств мезоскопических явлений.

Обобщение подхода Ландауэра на многоканальный случай представляет интерес, например, для рассмотрения скейлинговой теории локализации в пространстве размерности, большей единицы (Anderson, 1981). Здесь мы будем, в основном, интересоваться применением этой формулировки к мезоскопическим ситуациям, например к сопротивлению малого отрезка провода или малой кольцеподобной структуры. В частности, большой интерес для нас будет представлять зависимость свойств этих структур от магнитного поля. Поэтому начнем с обзора формулировки общего многоканального кондактанса, отмечая различие между двух- и четырехтерминальными случаями (Anderson и др., 1980; Azbel, 1981; Anderson, 1981; Fisher and Lee, 1981; Langreth and Abrahams, 1981; Buttiker et ak, 1985). В следующем подпункте мы рассмотрим обобщение Бюттикером двухтерминального случая на четырехтерминальный с упором на соотношения взаимности он- сагеровского типа. Остальная часть главы будет посвящена приложениям.

Подчеркнем также, что эта формулировка применима ко многим другим задачам, таким, как туннельно-сканирующий микроскоп (Bin-

nig et al., 1982) и различные интерфейсные сопротивления (Castaing and Nozieres, 1980; Uwaha and Nozieres, 1985).

Возможны разные обобщения этого подхода на нетривиальные случаи, такие, как фононный транспорт, например, тепловой и термоэлектрический транспорт (Sivan and Imry, 1986)), учет неупругих процессов в самой системе (Buttiker, 1985а, 1986а), эффект Холла (Entin- Wohlman et al., 1986; Buttiker, 1988), другие виды шума. Обобщение на случай конечных частот (Buttiker, 1993) и учет кулоновского взаимодействия также являются очень важными.

Рис. 5.3. Многоканальный рассеиватель S. Падающая слева в канале j волна с амплитудой 1 может с вероятностями Rtj и Т^^ соответственно, отразиться или пройти в г-й левый или правый канал. Здесь предполагается нормировка на единичный падающий потокРис. 5.3. Многоканальный рассеиватель S. Падающая слева в канале j волна с амплитудой 1 может с вероятностями Rtj и Т^^ соответственно, отразиться или пройти в г-й левый или правый канал. Здесь предполагается нормировка на единичный падающий потокМногоканальная формулировка Ландауэра. Теперь рассмотрим многоканальное и конечнотемпературное обобщения формулировки Ландауэра на примере системы, изображенной на рис. 5.3. Подвод питания в общую систему упругого рассеяния S происходит

Рис. 5.3. Многоканальный рассеиватель S. Падающая слева в канале j волна с амплитудой 1 может с вероятностями Rtj и Т^^ соответственно, отразиться или пройти в г-й левый или правый канал. Здесь предполагается нормировка на единичный падающий поток

Рис. 5.3. Многоканальный рассеиватель S. Падающая слева в канале j волна с амплитудой 1 может с вероятностями Rtj и Т^^ соответственно, отразиться или пройти в г-й левый или правый канал. Здесь предполагается нормировка на единичный падающий поток

через идеальные провода с конечным поперечным сечением Л. Из- за поперечного квантования, приводящего к дискретным поперечным энергиям Ег имеем теперь TV^ проводящих каналов при энергии Ферми EFl каждый из которых при нулевой температуре характеризуется продольным волновым вектором k^ (hki/m = Vi)

, 2

Е^^-Ер, 1 =(5.8)

2m

Для двумерного поперечного сечения /V^ = ЛА^/2тг, а для одномерного поперечного сечения ширины W N± = 2кЕ&г/тг, в обоих случаях учтен спин. При конечных температурах значения к^ приобретают конечную тепловую ширину. Входящие каналы (на левой стороне идущие направо, а на правой — налево) питаются электронными резервуарами с химическими потенциалами /11, /12 и общей температурой, равной Т (случай Ti ^ Т^ обсуждался в работе (Sivan and Imry, 1986) и будет кратко упомянут позднее). Мы предполагаем, что выводящие каналы в каждом резервуаре подпитываются до равновесной температурной заселенности. До тех пор пока еще не произошло никаких рассеяний, это может быть доказано (Sivan and Imry, 1986а,b) таким же способом, как доказательство того (Ландау и Лившиц, 1958b), что излучение черного тела в данном телесном угле имеет равновесное распределение.

Это доказательство использует теорему Лиувилля. Удобно предположить, что частицы, достигающие «поглощающего» резервуара по идеальным проводам, полностью поглощаются там. Это не очевидно, так как электроны, достигающие резервуара с энергией, много меньшей энергии Ферми, не находят свободных состояний, которые они могут занять. Но если они отражаются, они будут давать вклад в электроны, выходящие из «поглощающего» резервуара, и уменьшать скорость исходящих из него частиц. Следовательно, сделанное предположение эффективно подтверждается, и неважно, действительно ли эти электроны попадают в резервуар или нет ). В равновесном состоянии сделанные предположения дают нулевой результирующий ток, и, следовательно, действительно имеется динамическая равновесная ситуация, в которой текут флуктуирующие, «шумовые» токи. Как будет показано в гл. 8, они согласуются с известным тепловым равновесным шумом. Мы предположим также, что нет никаких фазовых соотношений между электронами в различных каналах (т. е. что каналы ведут себя как «некогерентные источники»), и рассмотрим случай, когда разность /ii — /12 достаточно мала, чтобы обеспечить режим линейного транспорта. Система 8 рассеивает следующим образом: приходящая слева из канала j волна имеет вероятности Т = |t^|2 и R^j = |г^-|2 прохождения направо в канал г и отражения налево в канал г соответственно. Аналогичные матрицы для волн, приходящих справа, обозначим штрихом. (2А^ х х 2А^)-матрица S, имеющая вид

S,(5.9)

унитарна вследствие сохранения тока, так как матрицы Т^ и R^j преобразуют подводящие токи. Более того, если имеет место симметрия относительно обращения времени, то

88* = /, S = S,(5.10)

где звездочка означает комплексное сопряжение, тильда — матричное транспонирование, / — единичную матрицу. При наличии магнитного поля второе соотношение в (5.10) заменяется на 8(H) = S^—H).

Определим полные вероятности прохождения и отражения в канал г:

Ti=^Tid. Ri = ^Ri3.(5.11)

зз

для штрихованных величин введем аналогичные обозначения. Условия унитарности дают

£^=£(1-7?0(5.12)

вместе с аналогичным условием для штрихованных величин.

Для полноты отметим также, что более детальные равенства

(5.13)(5.13)Л'+^ = 1, Ri + Т' = 1 справедливы только между вероятностями прохождения направо (налево) и отражения справа (слева). Из них следует, что если подводящие каналы с обеих сторон барьера полностью заняты, то все выводящие каналы тоже будут полностью заняты. Другие унитарные соотношения следуют из столбцов матрицы S. Когда имеется симметрия относительно обращения времени, то выполняются дополнительные соотношения (см. (5.10)).

(5.13)

(5.13)

Элементы матрицы S в остальном могут быть совершенно произвольны, в принципе, они могут зависеть от энергии (хотя при низких температурах это обычно дает малый эффект). Отметим, что наши предположения о входящих каналах плюс известная матрица S полностью определяют все распределения по выходящим каналам. Это скорее является следствием равновесности, так как нет процессов, которые дают обычное «сдвинутое распределение Ферми» или переходы электронов между каналами, выравнивающими их химические потенциалы. Как бы то ни было, эти распределения точно известны. Можно прямо вычислить все токи, электронные, энергетические, энтропийные плотности и т. д. Так как имеются хорошие методы для вычисления матриц S для данных моделей (например такой, как метод сильной связи Андерсона), то эта формулировка очень удобна для численных вычислений.

Прежде чем представить вывод формулы для кондактанса, подчеркнем, что эти предположения о входных каналах не являются единственно возможными. Например, в работе (Langreth and Abrahams, 1981) предполагалось, что на каждой стороне различные каналы на подводящих проводах имеют один общий химический потенциал, что может достигаться, преимущественно, из-за электрон-электронного взаимодействия, и тогда опустили предположение о распределениях Ферми во вводящих каналах. Хотя сделанное нами выше предположение вполне разумно и аналогично, как уже было упомянуто выше, известному распределению фотонов, излучаемых фотонным термостатом (Ландау, Лифшиц, 1958b), нельзя исключить возможность других физических ситуаций, когда могут быть применимы предположения Лангета и Абрахамс.

Так как плотности состояний (на единичный объем) в каналах подобны одномерным и даются, включая и спиновое вырождение, формулой

ток справа можно написать в виде

= ^Ky\dE№)Ti(E') + №)R№ - ЫЕ^ =

= ^^dET^E^E) - f2^ =

= (J4^\dE(-^WTi^’ (5Л5)

где скорости сокращаются с множителями из плотности состояний и использовано (5.12), применимое и в режиме линейного транспорта (eV <С kBT, даже когда Т —> 0, заметим, однако, что последнее выражение справедливо также когда сначала Т —> 0). Легко проверить, что ток на левой стороне тоже равен (5.15) (сохранение тока). Поэтому кондактанс, измеренный между внешними резервуарами, аналогично (5.7), дается формулой

Mi - М2 г /жр2 жр2

= — dE --EjVTHE)>— Ут,, = — tr^, (5.16)

TT^J ) dAJ-^ ' 740 й-^ ' ТГЙ ’ V ’ ггз

где в пределе нулевой температуры все величины вычисляются при e = ef.

Формула (5.16) является правильным выражением для двухтерминального кондактанса (Imry, 1986b). Большинство предыдущих обсуждений в литературе на тему «Что является правильной формулой Ландауэра?» основывалось на неправильном понимании. Выражение (5.16) означает, что рассматривается ток, вызванный разностью электрохимических потенциалов между резервуарами «источник» и «сток». Поэтому Gc включает контактные сопротивления между резервуарами и системой. Он будет конечным, с максимальной возможной величиной N^e2/нН, получаемой тогда, когда система и ее контакты с резервуарами являются идеальными (Imry, 1985, 1986b). После замечательных экспериментальных наблюдений (van Wees et al., 1988; Wharam et al., 1988) «квантованного» кондактанса узких соединений («квантовые точечные контакты»)между двумя двумер-

Формулировка Ландауэра для кондактанса 129 ными газами была проделана большая работа по выяснению условий, необходимых для такого идеального поведения. Оказывается, что важным практическим условием, необходимым для наблюдения хорошо выраженных «ступенек» в кондактансе, возникающих из-за открытия каналов (в которых число поперечных состояний с энергией ниже Ер растет с увеличением плотности электронов в узких проводах), является постепенное открытие каналов в проводах, подводящих электроны из резервуара. Это постепенное открытие должно гарантировать условие «адиабатичности» на ранних стадиях движения в расширяющемся канале. В результате, отражения, возникающие из-за нарушения адиабатичности, будут малы (Yacoby and Imry, 1990). Для наблюдения ступенек кондактанса (Imry, 1985, 1986b) температура должна быть ниже, чем расстояние между квантованными порогами в каналах. Для исходных образцов Ga As это температуры в области 1 К, но уже при десятых долях кельвина такие эффекты хорошо видны. Для констрик- ций с атомными размерами (при условии, что они имеют хорошую пропускную способность) соответствующая температурная область может превосходить комнатные температуры. Недавно (Costa-Kramer et al., 1995) в замечательном эксперименте в системе с естественно образованными контактами атомного размера, наблюдались такие эффекты при комнатной температуре (о предыдущих экспериментах см. Olesen et al., 1994; Brandbyge et al., 1995, Krans et al., 1995, а также Lang, 1987).

Имеются различные способы рассмотрения более сложного случая 4-терминального сопротивления, который должен характеризовать сам образец. Простейший способ получить идеализированное выражение для кондактанса самого образца, определяемого по формуле I ,^р1А — — цвУ это определить цА и цв следующим образом. Плотность электронов на левой стороне равна

ТЦ = A \dEV-V(l + Riyi+TiH (5.17) г

Если бы электронный газ слева находился в равновесии с химическим потенциалом р,А и функцией Ферми /л, его плотность была бы

п =lJdEV^^l. (5.18) А тгП 1 v 7

Определим цА так, чтобы п^ = пА. что является вполне разумным определением. Оно имеет также то преимущество, что соотношение Эйнштейна будет удовлетворено автоматически (действительно, это определение р,А — р,в эквивалентно соотношению Эйнштейна). Используя так определенное значение р,А — цв. получаем следующие

результаты:результаты:М'А ^вМ'А ^в2е2 тт Н2е2 тт Н. и Hi. и Hi(5.19)(5.19)

результаты:

результаты:

М'А ^в

М'А ^в

2е2 тт Н

2е2 тт Н

. и Hi

. и Hi

(5.19)

(5.19)

т-»о тгЙ 52(1 + Ri - Ti)/tii '

ИспользованноеИспользованноевыше определение цА и цв применимо только для

Использованное

Использованное

невзаимодействующих электронов. Для реальных электронов в реальном проводнике с кулоновским взаимодействием известно, что электронейтральность должна доминировать на масштабах длины, больших, чем длина экранирования А (см. также п. 4.2). При предположении, что идеальные проводники на обеих сторонах образца достаточно большие, это может произойти благодаря самосогласованным потенциалам 6УА и дУв. которые должны образоваться для того, чтобы поддерживать плотность электронов равной ее равновесному (зарядовая нейтральность с положительными ионами) значению п. Поэтому — е5Уд = т— (пд — п\ Очевидно, что это вызывает изменение электро- оп

химического потенциала, уравнивая его с цА. Аналогичные замечания применимы к Ув и цв. Разность электростатических потенциалов УА — — Ув может быть измерена емкостными методами. Измерение цА — — р,в является более тонким и будет обсуждено позднее. Подчеркнем, что проведенное обсуждение дает удовлетворительное обоснование фундаментальной физической справедливости формулы (5.19) как базовой формулы 4-терминального кондактанса. Возможность измерения VA — Ув емкостными методами постоянно подчеркивалась Ландауэром (Landauer, 1989а,с, частное сообщение, 1990b; см. также Payne, 1989).

В важном случае, когда все Т^ малы (7^ < 1),1 + Ri — 2

и разность между G и Gc тоже мала. Это должно быть справедливо при больших N^. когда G <С e2N^/h или когда длина образца L >> >> I. Это определено имеет место в широкой области вблизи перехода локализации, где G ~ е2/^h. При аналогичных предположениях, формула (5.19) в пределе нулевой температуры была впервые получено Азбелем (Azbel, 1981). Отклонение от нее было позднее найдено и объяснено Бюттикером и др. (Buttiker et al., 1985). Обобщение на конечные температуры было проведено Бюттикером (Buttiker, 1985а,b и персональное сообщение) и Сиваном и Имри (Sivan and Imry, 1986 и неопубликованные результаты), которые обсуждали также термоэлектрический транспорт. Даже предел нулевой температуры формулы (5.19) не согласуется (кроме важного случая, когда вероятность прохождения достаточно мала для того, чтобы кондактанс Gc было хорошим приближением G) со всеми другими многоканальными

результатами, существовавшими в литературе до этого (Abrahams et ак, 1979; Anderson et ак, 1980; Anderson, 1981; Fisher and Lee, 1981; Langreth and Abrahams, 1981). Это легко можно увидеть, заметив, что даже в простом случае независимых каналов (5.19) не сводится к формуле параллельного сложения (которая дает ^ТД1 + Ri — — Т^)-1). Конечно, причина состоит в том, что последняя формула предполагает также общую разность электрохимических потенциалов для всех каналов. Расхождение с Лангетом и Абрахамсом (Langreth and Abrahams, 1981) уже обсуждалось выше. Обсуждения, перекрывающиеся с представленными здесь и Азбелем (Azbel, 1981), существовали раньше в контексте задачи сопротивления Капицы (Castaing and Nozieres, 1980; Uwaha and Nozieres, 1985). Также важно отметить, что (5.19) похоже на конечнотемпературный одноканальный результат Энгквиста и Андерсона (Engquist and Anderson, 1981). Он даже может быть получен из формулы (5.19) с небольшой модификацией в пределе нулевой температуры, если рассматривать разные энергии как континуум независимых каналов. Кстати, он тоже не совпадает с формулой параллельного сложения (о полостях см. Sivan and Imry, 1986а,b). Недавнее обсуждение многоканальной формулировки в теории линейного транспорта см. в работе (Kamenev and Коп, 2001).

Энгквист и Андерсон (Engquist and Anderson, 1981) ввели также концептуальный метод, которым могут быть измерены химические потенциалы р,А и р,в. Он завершается введением, в принципе, двух «измерительных резервуаров» с температурой Тис изменяющимися химическими потенциалами ц’д и ц^. Они могут обмениваться электронами с левым и правым проводами соответственно. Этот обмен должен быть слабым для того, чтобы не возмущать систему! Теперь будем менять, скажем, рь'А до тех пор, пока не пропадет ток между этим измерительным резервуаром и левым проводом. Потом применим такую же процедуру к /1^. Согласно самым общим принципам, в этот момент химические потенциалы измерительных резервуаров сравниваются с химическими потенциалами систем:

Мд = Мд? Мв = Мв-

Эта процедура завершает 4-терминальное измерение. Вольтметр (измеряющий цА — р,в) покажет отсутствие тока. Такое измерение дополнило бы емкостное измерение, упомянутое выше. Хотя его не легко провести, оно дает правильно определенное изменение напряжения через образец.

Здесь нужно еще обсудить три «тонких» места. Первое, как уже упоминалось, это слабое взаимодействие измерительного резервуара с системой. В противном случае, даже если оно не вызывает никакого полного тока, оно может вызвать какие-нибудь межканальные переходы электронов, генерируя токи из одних каналов в другие (Castaing 5*

and Nozieres, 1985, частное сообщение). Это может включать переходы электронов из каналов, в которых электроны движутся направо, в каналы, в которых они движутся налево. Отметим, что этот эффект (который должен быть устранен в концептуально правильном эксперименте, но мосисет существовать в конкретной экспериментальной системе) дает вклад в межканальное уравновешивание. (Это будет, в принципе, нежелательным «возмущающим измерением», когда взаимодействие оказывается достаточно сильным для процесса измерения, так как может воздействовать на измеряемое свойство, т. е. химический потенциал системы). В общем случае, такие эффекты существуют в 4-терминальном обобщении Бюттикер (Buttiker, 1986b), которое, как станет ясно позднее, не требует слабости взаимодействия с термостатом. Тот факт, что обычно несущественные детали процесса измерения могут так сильно влиять на результаты, является интересным и неустранимым свойством мезоскопических систем.

Второе: необходимо понять требование зависимости от энергии взаимодействия между измерительным резервуаром и системой. Очевидно нежелательно, чтобы результат измерения зависел от того какие электроны, каналы и энергии измеряются. Для того чтобы получить более детальное ограничение на взаимодействие, предположим, что резервуар имеет плотность состояний пг(Е) и взаимодействует с каналом системы через матричный элемент Vj^E). Используя золотое правило Ферми, условие нулевого полного тока из резервуара уА в систему можно представить в виде

ае^пАеж^/аТО - /1(1 + № - /2ТЖ]/^ =

= (5.20)

Левая часть (5.20) дает ток из резервуара в систему в виде интеграла от плотности возможных электронов, умноженной на квадрат модуля матричного элемента, на плотность конечных состояний и на плотность возможных дырок системы. Аналогично, правая часть дает ток из системы в резервуар. Используя соотношение (5.13) и сравнивая (5.20) с соотношением, полученным приравниванием (5.17) и (5.18), после некоторых алгебраических вычислений найдем, что два определения цА эквивалентны, в предположении, что пг(Е) |14(£')|2 не зависит от Е и от номера канала г (Sivan and Imry, 1986а и неопубликованные результаты). Можно показать, что строгое выполнение этого условия является очень нетривиальным. Однако для системы с большим числом каналов важным требованием будет отсутствие систематических изменений иДЕУ)! 1/Д^)|2 с изменением Е или г. Если такие изменения являются случайными^ то можно ожидать, что они усреднятся. Поэтому нужно показать, что реальное измерение можно проанализировать

в этом отношении и дать однозначное определение цА — цв. Однако в настоящее время нет доказательства правильности этого предположения и, может быть, необходимы какие-то другие усреднения. В частности, измерение должно быть выполнено на пространственных масштабах, много больших, чем длина волны и длина экранирования, для того чтобы устранить очевидные осцилляции на масштабе длины волны и согласовать с проведенным выше обсуждением, использующим условие электронейтральности (и с электростатическим измерением). Для дальнейшего рассмотрения соотношения между Gc и G и вопроса о зондах см. (Landauer, 1989с; Kamenev and Kohn, 2001).

Третье: вычисляемая здесь величина G является эффективным кондактансом в том смысле, что есть отношение измеряемого тока к измеряемому напряжению. Но при конечных температурах было показано (Sivan and Imry, 1986а), что это G может также иметь (обычно малую) термоэлектрическую компоненту. Причиной этого является то, что даже когда температуры внешних резервуаров Ti и Т-2 равны, температуры ТА и Тв, которые измеряются на двух сторонах образца (аналогично р/А и р/в). могут, в общем случае, быть разными при конечной общей температуре. Поэтому ток / может иметь дополнительную компоненту из-за ненулевого ТА — Тв. Это наблюдение существенно только тогда, когда важен знаменатель формулы кондактанса (5.19) (т. е. когда неприменимо приближение G ~ Gc\ Условие того, что Gc является хорошим приближением для G совпадает (как упоминалось ранее) с условием G <С e^N^fh^ которое эквивалентно тому, что длина образца L много больше, чем длина свободного упругого пробега I.

Соотношения Онсагер в магнитном поле. Обобщенные формулы для многотерминального кондактанса. Одним из интересных аспектов многоканальной 4-терминальной формулы (5.19) является тот факт, что различные ограничения и симметрии в общем случае не гарантируют применимость соотношений онса- геровского типа между транспортными коэффициентами (Onsager, 1931). Например, нет гарантии, что выполняется соотношение G(H) = = G(—H) (хотя для 2х-терминального кондактанса справедливо соотношение GC(H) = Сс(—Н^ см. ниже). Бюттикер и Имри (Buttiker and Imry, 1985) построили специальные примеры с небольшим числом каналов, для которых

G(H) ^ G(—H). (5.21)

Численные расчеты Стоун (Stone, 1985) на неупорядоченных моделях большого размера также имели эту асимметрию. Такая «асимметрия» появлялась также в экспериментах на мезоскопических системах и были указания на то, что это может быть связано, если в системе нет магнитных примесей (см. Shtrikman and Thomas, 1965), с неоднородно-

стью образцов и 4-терминальной природой эксперимента (Von Klitzing, 1985; персональное сообщение )).

Простое соотношение Онсагер (5.21), в действительности, выполняется для Gc — «2х-терминального» кондактанса между внешними резервуарами. Для того чтобы показать это, заметим, что обобщение соотношения (5.10), связанного с симметрией относительно обращения времени, на случай конечного магнитного поля дает

Тц(Н^Т^-Н\(5.22)

Отсюда, кстати, следует (Buttiker and Imry, 1985)

GC(H) = GC(—H).(5.23)

(Отметим, что для линейного двухтерминального транспорта перестановка терминалов обращает токи и кондактанс неизменяется.) Поэтому, явное «отклонение» от соотношения Онсагер для G просто означает, что кондактанс G. будучи 4-терминальным объектом, не должен иметь простую симметрию G(H) = G(—H). Это указывает на необходимость рассмотреть правильные следствия симметрии Онсагер для 4-зондного измерения. Аналогичная необходимость возникает в 4-терминальном термоэлектрическом случае (Sivan and Imry, 1986).

Этот вопрос был рассмотрен уже довольно давно Казимиром (Casimir, 1945), его результаты были также доказаны в предположении локальности проводимости (что не является необходимым в нашей ситуации) Сэмплм и др. (Sample et al., 1987). Для обзора 4-зондной техники смотри работу (van der Paauw, 1958). Бюттикер (Buttiker, 1986) рассмотрел обобщенный n-терминальный кондактанс типа Ландауэра и подтвердил существование правильных онсагеровских симметрий. Рассмотрим случай п = 4. Напомним, что ток между двумя резервуарами 1 и 2, соединенных с системой идеальными проводами, дается формулой (с очевидными обозначениями)

/^2 = £ Т^2^ - №) = ^(/ц - Д2),(5.24)

где соотношение (5.23) для G^2 отражает симметрию обращения времени. Теперь предположим, что четыре зонда с химическими потенциалами /11,. . . , /14 соединены с системой. Так как мы имеем линейный транспорт, а носители из разных резервуаров некогерентны, полный

ток из г-го резервуара получается сложением всех трех вкладов:

=(5‘25)

Эта система четырех линейных уравнений, связывающая четыре тока /1, . . . , /4 с четырьмя химическими потенциалами. Она может быть записана в матричной форме (с очевидными обозначениями):

/ = Gp,(5.26)

где G — матрица 4x4. Эта матрица сингулярна — ее детерминант равен нулю. Это следует из того, что вектор с четырьмя равными р- компонентами является собственным вектором G с нулевым собственным значением — отсутствие токов в равновесии. Из этого следует, что сумма элементов каждой строки G равна нулю. Поэтому уравнение (5.26) не имеет решения при произвольном векторе I. Физически условие сохранения заряда требует, чтобы сумма всех четырех компонент вектора / обращалась в нуль. Математически это следует из унитарности, так как сумма всех элементов в столбце G равна нулю. Поэтому разрешены только векторы /, сумма всех компонент которых равна нулю. Так как симметрия обращения времени дает (5.23), то система уравнений тождественна системе уравнений классического 4-зондного проводника. Тот факт, что сами G1^ могут включать в себя когерентные эффекты, является несущественным до тех пор, пока рассматриваются только симметрии. Онсагервские симметрии для такого случая в общем виде были получены и проанализированы Казимиром (Casimir, 1945). Бюттикер (Buttiker, 1986), следуя формулировке Казимир, подтвердил, что симметрии Онсагер справедливы, как это и долэ/сно быть в согласии с вышесказанным. Было также доказано, что четырех- или, в общем случае, n-терминальная формулировка оказывается очень полезной во многих ситуациях.

Удобно выбрать следующую конфигурацию токов (Casimir, 1945). Пусть ^klmn\ — некоторая перестановка {1234} и /^ = — // = Ji, Im = = — In = J^. Решая уравнение (5.26), можно выразить Ji и J^ в терминах eVi = р^ — pi и eV2 = Цт — Цп в следующем виде:

I 1|^11^12 | ||/Г ПГ7\

т =(5.27)

уЛ2 у у-0^21 ^22 у у ^2 у

где, как было найдено Бюттикером (см. приложение 3 для случая к = = 1,1 = 3, m = 2, п = 4), матричные элементы а^' даются формулами

Н,<Ткп+Ткт)(Тпк+Ттк)

Р^к

hh9^12 — е29^12 — е2TkmTln — TknTlTkmTln — TknTlSS

h

h

9^12 — е2

9^12 — е2

TkmTln — TknTl

TkmTln — TknTl

S

S

h”9^21 — в21h”9^21 — в21ТткТы - Тт1ТпкSТткТы - Тт1ТпкS

h

”9^21 — в21

h

”9^21 — в21

ТткТы - Тт1ТпкS

ТткТы - Тт1ТпкS

\ Л гр (Tmk -|- Tml^Tlm + Tkm^

~2 ^22 — / v i mp?(u.2o)

S = Tkm + Tkn + Tlm + Tln = Tmk + Tnk + Tml + TnU (5.29) где TTS = (h/e^G™ = tr tTSt^s. Отсюда сразу следует, что

^•(Я) = ^(-Я).(5.30)

Соотношение (5.30) является соответствующей симметрией Онсагер для матрицы 4-терминального кондактанса. Уравнение (5.27) можно обернуть, что дает

(V1A1 / Q22 <^12 Л (J\\(г

1т ,(0.31)

\^2уdet \«2i «иу у Луv 7

(5.32)(5.32)где det = аца22 —0^12^21- Теперь можно обсудить 4-зондные измерения сопротивления. Такому измерению соответствует выбор каналов к.1 в качестве терминалов тока, каналов m, п — в качестве терминалов напряжения, а также выбор Ji = Jk^ J2 = 0 и V2 = Vmn. где

(5.32)

(5.32)

Vmn^кЦтп^ kl

Поэтому р ^21 TikTnrn TimTnk,.

тп — i . —7\ о(и.33)

det (аца22 — ^12^21)*^

является правильным 4-терминальным сопротивлением с терминалами тока кД и терминалами напряжения т,п. Сразу видно, что (см. van der Paauw, 1958)

Rkl^mn^H^ = RmHik^ — H^.(5.34)

Соотношение (5.34) и является правильной симметрией Онсагер для 4-терминальных сопротивлений. Очевидно, что в общем случае Rk^mn^H) + Ккцтп(-Н). Поэтому, неудивительно, что простое 4-терминальное выражение Ландауэра (5.19) не имеет этой симметрии!

Все вышесказанное, очевидно, является обобщением подхода типа Энгквист-Андерсона к (5.19) на случай произвольной силы взаимодействия терминалов напряжения с системой. Хотя в этом случае измерение не может рассматриваться как «невозмущающее» измерение «сопротивления самой системы», так как контакты играют некоторую роль (что является недостатком), но зато имеются два преимущества.

Такой подход чрезвычайно полезен, потому что большинство транспортных экспериментов сейчас выполняется с терминалами напряжения, соединяющимися с системой через литографически сделанные контакты, которые определенно не являются «невозмущающими».

(Однако нужно заметить, что такая ситуация не является законом природы и что, к счастью, в принципе, уже возможны и другие, менее возмущающие измерения, использующие, например, контакты типа СТМ. Еще остается выяснить, когда в них может быть достигнута необходимая однородность взаимодействия с разными каналами. Как отмечалось выше, возможны также альтернативные емкостные измерения электростатического потенциала).

В этой формулировке токовые терминалы и терминалы напряжения рассматриваются как равноправные, и поэтому возможно изучать правильную симметрию Онсагер, соотношение (5.34), в отличие от уравнения (5.19), в котором терминалы напряжения должны быть специального вида.

Возможны также и другие варианты вышеизложенной формулировки, например, запись каждого 4-терминального сопротивления как суммы двух частей, четной и нечетной по Н. и из комбинации с разными дуальными конфигурациями зондов. Обзор этих возможностей сделан в работах (Buttiker, 1988; Benoit et al., 1987a,b). Многозондная формулировка также очень удобна для описания нелокальных эффектов. Например, ток между зондами к и I создает напряжение между другой парой контактов, т и п, находящихся на расстоянии L от первой пары. Можно ожидать, что такие эффекты сохраняются при L < L^.

Применения формулировки Ландауэра

Последовательное соединение квантовых резисторов, одномерная локализация. Теперь, следуя Ландауэру (Landauer, 1970), рассмотрим эффект двух последовательных препятствий (см. также задачу 4). Обозначим через р изменение фазы волны, проходящей через постоянный потенциал (идеальный проводник) между двумя препятствиями. Волны в области между препятствиями образуются из сложения всех многократно рассеянных волн и могут быть разделены на две полные волны, из которых одна идет налево, а другая — направо. Пусть Л — амплитуда отраженной волны, a D — волны, прошедшей через всю систему. Амплитуды Л, В. С, D являются комплексными числами. Волна, прошедшая только первое препятствие, равна Вег^кж-ш1\ и при падении на второе препятствие она набирает фазу р. Волна С испытывает такое же изменение фазы при прохождении от препятствия 2 к препятствию 1. Уравнения сшивки на барьерах имеют вид

Л = ri + Ct^-) В = Я- Cr^

Се~^ = Ве^г2, В = Ве^2.(5.35)

Решая эти уравнения, находим

D= е^М2

1 — е2г^Г2Г1 ’

откуда получаем коэффициент прохождения системы Т12:

(5.36)(5.36)7.7'2

(5.36)

(5.36)

1 + R^ R*2 — 2^Ri R^ cos 6

где 0 = 2 у? + arg (Г2Г1). Обозначая Т12 = Т, /^12 = R. находим

R Ri + R2 — 2д/R^ R2 cos 0,.

=7^•(5.37)

Теперь предположим, что имеется приготовленный ансамбль систем и все системы имеют одинаковые значения Ri и R^. Но «оптическая» разность фаз ф в разных членах этого ансамбля разбросана с равной вероятностью по интервалу 2тг, так что среднее значение cos# равно нулю. ) Среднее значение обратного, безразмерного, кондактанса g,

(5-38)

равно

(5'39)

Этот результат является уже довольно удивительным. Закон Ома сложения последовательных сопротивлении g = g1 + g2 = = Ri/(1 — Ri) + ^2/(1 — ^2)7 в общем, оказывается несправедлив! Он выполняется только в пределе хорошего прохождения или малых сопротивлений R^ ^ 1. Этот факт имеет серьезные и важные последствия, которые не так легко было бы принять вначале. Действительно, если скомбинировать последовательность из образцов с хорошей пропускной способностью (R <С 1, Т ~ 1), то ее результирующее сопротивление GA сначала будет линейно расти с ростом п, как и должно быть, но когда п будет настолько большим, что полная проходимость станет меньше единицы, тогда

Rn + R , —7рVd Jav^nRn + R , —7рVd Jav^nRR(5.40)(5.40)

Rn + R , —

7рVd Jav^n

Rn + R , —

7рVd Jav^n

R

R

(5.40)

(5.40)

Итак, добавление элемента с хорошей проходимостью (R <С 1) в качестве (п + 1)-го элемента к цепочке из п таких элементов привело к увеличению сопротивления всей цепи на R/Tn > R. Можно построить уравнение типа «ренормализационной группы» (РГ) для нахождения зависимости (g-1)^,™ от масштаба длины (п):

dn (g ^av.n -dn (g ^av.n -77[(g ^a^n + l]’77[(g ^a^n + l]’(5.41)(5.41)

dn (g ^av.n -

dn (g ^av.n -

77[(g ^a^n + l]’

77[(g ^a^n + l]’

(5.41)

(5.41)

Применения формулировки Ландауэра 139 так что (безразмерное) сопротивление, после линейного роста с увеличением п до значений 0(1), затем будет расти экспоненциалино с увеличением длины п. Это и есть явление одномерной локализации, которое обсуждалось в гл. 2.

Однако все вышесказанное не является полностью удовлетворительным, как это уже отметил Ландауэр. Распределение сопротивлений в ансамбле не является узким и поэтому, как подчеркнули Андерсон и др. (Anderson et al., 1980), результаты зависят от того, какие величины усредняются. Anderson и др. также указали правильный способ усреднения при больших п. Нужен объект, который будет вести себя как обычная экстенсивная величина со средним и среднеквадратичным, растущими линейно с п. Такой величиной является ln(l + g-1). Это происходит потому, что 1 + g-1 = \-\-RfT = 1/Т, так что ln(l + g-1) = = — In Т. Величина — In Т играет роль показателя экстинкции и можно было бы ожидать, что он будет аддитивным для двух рассеивателей, если относительная фаза усредняется. Кстати, из (5.37), используя выражение для интеграла (Anderson et al., 1980)

2тг

j dO In (a + 6 cos#) = 7Г In | [a + (a2 — б2)1^2], (5.42) о

можно получить, что (In Т12) = In Т1 +1п Т2. Поэтому, точный скейлинг одномерного сопротивления с изменением п дается формулой

(^(l + s’n1)) = Р1П, (5-43)

где рх — сопротивление одного препятствия в единицах 'кК/е2. Эта величина, кстати, тоже сначала растет линейно, а затем экспоненциально с ростом п, отличаясь только численно от результатов решения уравнения (5.41). Такое поведение доказывает одномерную локализацию, которая проявляется в измеряемой величине — сопротивлении. Локализация всех собственных состояний в одномерном случае хорошо известна и точно доказана (Mott and Twose, 1961; Borland, 1963). (Все это, конечно, при «нуле» или достаточно низких температурах. При конечных температурах возвращаемся к рассмотрению п. 2.4 и при L >> >> Lip получаем классическое сложение сопротивлений.)

Интересные эффекты могут существовать в транспорте через данный образец на фоне усредненного поведения, как это обсуждалось в работах (Azbel, 1981, 1983; Azbel and Soven, 1983; см. также Лифшиц и Кирпиченков, 1979). Если энергия (и, следовательно, оптическая разность путей между рассеивателями) данной конечной системы меняется, то будут модифицироваться и изменения фаз #, а в результате Т тоже будет меняться. Действительно, Т будет иметь острые резонансы «прохождения» (см. задачу 4). Это может проявляться при низких температурах в виде острых осцилляций сопротивления как функции плотности электронов (которая изменяема в MOSFET образцах; Ando

et al., 1982) или магнитного поля (если система не является строго одномерной).

Теперь можно дать другую интерпретацию результату Ландауэра g = Т/R при больших коэффициентах прохождения (Imry, 1981а). Пусть имеется барьер с Т ~ 1, R <С 1. Соединим п таких барьеров так, чтобы Тп было равно некоторому числу С. меньшему единицы, но порядка ее. Тогда | In С7| = п| 1пТ| ~ nR^ но пока С мало, уравнение (5.7) еще приближенно выполняется для gn ~ Тп = С. Так как закон Ома грубо выполняется при 1 < g, то теперь можно получить gi — кондактанс одного барьера — в виде ngn (так как п 1/R^ С ~ ~ 1, Т ~ 1). Это дает

gl = nC (5.44)

что согласуется по порядку величины с результатом Ландауэра (5.6).

Параллельное сложение квантовых резисторов. Теперь рассмотрим следующую задачу сложения сопротивлений — параллельное соединение резисторов. Здесь тоже будет показано, что, когда система когерентна (т. е. L^ > L — длины системы), квантовые эффекты приводят к нарушению обычного классического закона сложения. Исключительный случай имеет место тогда, когда один из параллельных кондактансов обращается в нуль («тупиковый отвод»). Такой мертвый конец еще может влиять на полное пропускание системы. Если в область между двумя проводниками ввести магнитный поток Ааронова-Бома, то появятся осцилляции с периодом h/e. Легче всего рассмотреть эту задачу, используя формулировку Ландауэра с одноканальными проводниками (Gefen et al., 1984а).

Геометрия системы изображена на рис. 5.4. Каждая ветвь кольца изображена схематично, как один рассеиватель, связанный с идеальным, математически одномерным каналом. Все фазы и эффекты рассеяния вдоль каналов собраны в параметры, описывающие каждый рассеиватель. Этими параметрами являются ^ и ^ — амплитуды прохождения, соответственно слева и справа, и Гг^) — амплитуды отражения слева (справа) от рассеивателя (г = 1,2). Отметим, что требования симметрии относительно обращения времени и сохранения тока, из которых следует, что ti = t^ и

- А = А (5.45) ti гг

(звездочка означает комплексное сопряжение), тоже выполняются, если фазы вдоль каждого пути включены в ti и т. д. Более того, когда магнитный поток Ааронова-Бома Ф проходит через центр кольца, обычное калибровочное преобразование для амплитуд прохождения и отражения дает G —> tie-16t'^ -Л t^e^6 t^ -Л t^e^16 tZ2 -л -Л t^e-16 ^i -Л ri^ -^ r^ (6 = тгФ/Фо), и все преобразованные

Рис. 5.4. Схематическая картина системы параллельных резисторов (кольца). Стрелки обозначают различные прошедшие и отраженные амплитуды, определенные вблизи соединений. Фазы, набранные при прохождении каналов, включены в коэффициенты рассеяния (п, т^ЛгЛ*^Рис. 5.4. Схематическая картина системы параллельных резисторов (кольца). Стрелки обозначают различные прошедшие и отраженные амплитуды, определенные вблизи соединений. Фазы, набранные при прохождении каналов, включены в коэффициенты рассеяния (п, т^ЛгЛ*^

Рис. 5.4. Схематическая картина системы параллельных резисторов (кольца). Стрелки обозначают различные прошедшие и отраженные амплитуды, определенные вблизи соединений. Фазы, набранные при прохождении каналов, включены в коэффициенты рассеяния (п, т^ЛгЛ*^

Рис. 5.4. Схематическая картина системы параллельных резисторов (кольца). Стрелки обозначают различные прошедшие и отраженные амплитуды, определенные вблизи соединений. Фазы, набранные при прохождении каналов, включены в коэффициенты рассеяния (п, т^ЛгЛ*^

амплитуды t и т тоже удовлетворяют уравнению (5.45) (приложение В). Следуя (Shapiro, 1983а), будем описывать каждое трехтерминальное соединение унитарной матрицей рассеяния S размером 3x3:

(5.46)(5.46)/ О -1/V2-1/V2\-1/V2 1/2-1/2,

(5.46)

(5.46)

\-l/V2 -1/21/2 /

где диагональные элементы 8ц (г = 1,2,3) обозначают амплитуды отражения г-го канала, а недиагональные элементы S^j (i ф j) обозначают амплитуды прохождения из канала г в канал 3. На рис. 5.4 канал 1 левого соединения выбран в качестве канала падающей волны (с амплитудой единица), а канал 1 правого соединения — в качестве канала выходящей волны (с амплитудой F\ В этом примере нет никакого отражения в канале 1 и есть симметрия между каналами 2 и 3. Мы не ожидаем, что наши результаты будут качественно зависеть от выбора матрицы рассеяния соединения, кроме тривиального эффекта, что эти соединения сами являются рассеивателями и дают вклад в полное сопротивление системы. О частном случае модели, имеющей резонансы, смотри (Biittiker et al., 1976).

Выписывая линейные соотношения между различными амплитудами на соединениях и рассеивателях и используя новые переменные типа суммы и разности (например, жх ± ^2, и т. д.), после некоторых алгебраических вычислений находим, что полная амплитуда прохождения кольца дается формулой

р = 47х (^i+^)M+^)-(2-r1-r2)(2-r'1-r') • ,

Это можно переписать в виде о Aei6 + Be"i6 - 2 De^9 Ee-^i9

где A = £^2 + ЫГ1 -1)(1 - ri), В = £1^2 + ЫГ2 - 1)(1 - ^2)7 D = E = = ^1^27 C = ^ + ^2 — (2 —ri — Г2Д2 —ri — Г2). Интенсивность прошедшей волны, которая определяет кондактанс по формуле Ландауэра, равна (используем <р = 20)

Т = IFI2 = 4a+£cosy+£siny,

7 + 8 cos ф + 8' sin ср + £ cos 2у? + s' sin 2у?' ’ где а = | Л |2 + |В|2, Д = 2Не(ЛВ*), 3' = -21ш(ЛВ*) = 0, 7 = |В|2 + + |В|2 + |С|2, 6 = 2Не(ВС* + ЕС*), 6' = -21ш(ВС* - ЕС*) = О, е = 2Re(BЕ*), е' = —21ш(ВВ*) = 0. Легко проверить, что Р', 8', и е' равны нулю тождественно, как и должно быть по симметрии Онсагер.

Рассмотрим сначала случай, когда нет никакого магнитного потока (у? = 0). Даже в этом случае Т может иметь осцилляции, как функция фаз амплитуд t и г (от которых зависят коэффициенты а, 3^8, е в (5.49)). Когда Е = 0, соответствующим выбором фаз ri и ri можно сделать Т = 1 или Т = 0. Это означает, что выбирая определенным образом непроводящую часть кольца, можно существенно изменять прохождение через его другую часть. Этот эффект присутствует и тогда, когда |fi| и |^21 конечны. В частности, можно получить Т = = 0, даже когда |ti| <С |^2|- С другой стороны, можно улучшить кондактанс рассеивателя, подсоединяя параллельно ему очень плохой, регулируемый, проводник. Отметим, что эти резонансы исчезнут, когда неупругая диффузионная длина L^ = ^/Dt^ (т^ — неупругое время дефазировки) станет порядка размера кольца L. Поэтому, можно получить существенные изменения (как увеличение, так и уменьшение) С с изменением температуры. Другой интересный эффект может возникнуть, если поместить один из каналов (скажем, канал 1 с |ti| <С |^2|)9 например, в электромагнитные поля, чье действие похоже на неупругое рассеяние. Это может вызвать сильное изменение в пропускании слаборассеивающего канала. При ti = t^ = t уравнение (5.47) сводится к F = t. Можно ожидать, что этот результат сохранится и в системе с п ветвями. Поэтому, когда температура увеличивается, кондактанс должен увеличиваться от значения

Г = kl2

uh i - \t\2

до значения, даваемого законом Ома: С = nGt-

Теперь включим магнитный поток Ф. В общем случае, в соответствии с теоремой Байерса-Янга (приложение В), Т должно быть периодично по Ф с периодом Фо- В общем случае имеется не только первая (с периодом Фо/2) конечная гармоника, но также и высшие

конечные гармоники. Эти осцилляции могут быть очень сильными даже в пределе сильного рассеяния (/е/ <С L <С L^. Предположим, например, что |ti| ~ |^| ~ t << 1. Тогда

и 7 ~1. кроме некоторых выделенных случаев, когда выполняются специальные фазовые соотношения. В этом случае на постоянном фоне порядка |t|2 появляются осцилляции с периодом Фо и амплитудой ~ |t|2 (так что осцилляции по величине сравнимы с фоном и Т может для некоторых значений у? обращаться в ноль). В дополнение к этому имеются также осцилляции (первая гармоника) с периодом Фо/2 и меньшей амплитудой ~ |^|4- Если |ti| <С l^h относительный размер осцилляций становится меньше (и опять гармоники с периодом Фо/2 еще меньше). Эти осцилляции получили много экспериментальных подтверждений (Webb et al., 1985а,b; Chandrasekhar et al., 1985; Dutta et al., 1985), одно из них, взятое из работы (Webb et al., 1985b), приведено на рис. 5.5. Ключом к наблюдению Л/е-осцилляций в экспериментах было разделение масштабов поля в характерных для них и для «медленной» флуктуации, которое будет рассмотрено позднее.

Перед тем как были проведены вышеприведенные вычисления и получено их экспериментальное подтверждение, существовал внешне противоречивый эффект. Одним из самых интересных предсказаний теории слабой локализации было предсказание Альтшулера, Аронова и Спивак (AAC) (Altshuler et al., 1981b) о периодических осцилляциях кондактанса (типа Кубо) колец или цилиндров малого диаметра (но имеющих много проводящих каналов) как функции потока Ааронова- Бома Ф через их отверстие. Одним удивительным аспектом этого вычисления было то, что фундаментальный период осцилляции был равен не Фо = h/е, как того требовала общая теорема Байерса-Янга, а Фо/2. Период Фо/2 является «первой гармоникой» Фо-осцилляции. Поэтому эта периодичность не противоречит этой общей теореме. Вопрос только в том, почему фундаментальный Фо-период не появился в этих вычислениях.

Прежде чем ответить на этот вопрос, упомянем, что предсказание Фо/2-осцилляции получило, начиная с прекрасной пионерской работы Шарвина (Sharvin, 1981), очень убедительную экспериментальную поддержку (Altshuler et al., 1982b; Ladan and Maurer, 1983; Gordon, 1984; Gijs et al., 1984). В более недавних экспериментах на длинных цилиндрах было достигнуто хорошее количественное согласие с полной теорией (учитывающей не ааронов-бомовское магнитное поле внутри образца). Фо/2-осцилляция была также отчетлива видна в экспериментах на больших последовательностях многих малых «колец» (Pannetier et al., 1984, 1985; Bishop et al., 1985; Licini et al., 1985a,b; Dolan et al., 1986). Во всех этих экспериментах фундаментальный период Фо не был виден. Предыдущие эксперименты (Umbach et al., 1984; Webb et al., 1984) на отдельных кольцах были неубедительными, но показывали возможность существования следов обеих, Фо и Фо/2, осцилляций с дополнительной, очень важной, апериодической структурой (медленная

Рис. 5.5. а— Магнетосопротивление золотого кольца, показанного на вставке и имеющего внутренний диаметр ~ 8000 А и толщину ~ 400 А. Стрелка соответствует 10 квантам потока через отверстие кольца, б— Фурье-спектр энергии, в произвольных единицах, показывающий пики при hje (и hj^e^ которые соответствуют видимым быстрым осцилляциям. Низкочастотный пик соответствует медленной модуляции, вызванной проникновением потока в обод кольца, которое, в свою очередь, связано, как будет показано позднее, с флуктуацией кондактанса. (Из работы Webb et al., 1985b.)

модуляция на рис. 5.5), которая будет рассмотрена позднее. Убедительные доказательства существования осцилляций с периодом Фо в малых кольцах были приведены только впоследствии (Webb et al., 1985b; Washburn et al., 1985; Chandrasekhar et al., 1985; Dutta et al., 1986 и в более поздних работах).

Ответ на вопрос, куда делись Фо-периодические осцилляции во многих вышеперечисленных экспериментах и в теориях слабой локализации, следующий (Gefen, 1984, частное сообщение, см. также Браун et al., 1984; Biittiker et al., 1985; Murat et al., 1986; Imry and Shiren, 1986; Stone and Imry, 1986). Как в теории Альтшулера и др., (Altshuler et al., 1981а), так и в экспериментах на цилиндрах и последовательностях имеется эффективное усреднение по ансамблю большого числа

микроскопически различных систем, приготовленных при одинаковых макроскопических условиях. Поэтому все кольца в последовательности имеют одинаковые средние концентрации примесей, но конкретные конфигурации примесей, очевидно, различны. В экспериментах на цилиндрах сопротивление измерялось вдоль цилиндра длиной примерно 1 см, который содержит примерно 104 отрезков длины L^, сложенных классически в ряды. В пертурбативных теоретических вычислениях усреднение по ансамблю проводится с самого начала для того, чтобы использовать пропагаторы, зависящие только от относительных расстояний (кроме случаев граничных эффектов). Упомянутая выше работа на отдельных кольцах с контактами предполагает, что коэффициент Фурье, соответствующий Фо-периодической части осцилляции, не имеет определенной фазы. С другой стороны, Фо/2-коэффициент Фурье у ААС имеет определенную фазу (например, С(Ф) минимально ) при Ф = 0; Altshuler et al., 1982b; Bergman, 1984; Lee and Ramakrishnan, 1985). Эта определенная фаза возникает из-за слаболокализационной природы поправки, которая обсуждалась в п. 2.6 (смотри также анализ классических путей в п. 4.2). Для того чтобы она была чувствительна к потоку, путь должен, по крайней мере, один раз пройти вокруг кольца. Обращенный во времени путь пройдет по кольцу в обратном направлении. Без спин-орбитального рассеяния, их сумма будет максимальной (минимальный кондактанс) при Ф = 0. При Ф ^ 0 эти два пути приобретут фазы ±92 = 2тгФ/Фо и их сумма будет осциллировать с периодом Фо/2, но с некоторым уменьшением амплитуды относительно случая у? = 0 (при отсутствии спин-орбитального рассеяния). Прекрасное подтверждение качественной правильности этой картины было дано в работе (Altshuler et al., 1982b), где замена магнезия литием (который имеет меньшее спин-орбитальное рассеяние) изменила фазу Фо/2-осцилляций ожидаемым образом. Поэтому усреднение по ансамблю (если оно сделано по достаточно широкому ансамблю) устраняет фундаментальную Фо-компоненту, но Фо/2-компонента ААС выживает. Поэтому нужны были эксперименты на отдельных кольцах, чтобы увидеть h/е- период (Webb et al., 1984, 1985а,b; Washburn et al., 1985; Chandrasekhar et al., 1985; Dutta et al., 1986).

В действительности этим экспериментам предшествовали модельные вычисления, которые были инициированы замечанием Гефена (Gefen, 1984, персональное сообщение) и которые продемонстрировали необходимость экспериментов на отдельных кольцах для того, чтобы можно было наблюдать /г/е-осцилляции. Имри и Ширен (Imry and Shiren, 1986) показали это на примере проводимости Кубо замкнутых одномерных колец, Мюрат, Гефен и Имри (Murat et al., 1986) — на одномерных кольцах с контактами, и, позднее, Stone и Имри (Stone

32 "\W = 2x10 4 Г32 "\W = 2x10 4 Гand Imry, 1986) — для многоканальных колец с контактами. Результаты из работы Мюрата и др. приведены на рис. 5.6. В ней, вместо усредненной по ансамблю проводимости, была вычислена проводимость одномерных колец для растущего ряда значений температуры Т. Оказывается, что в одном измерении при квТ >> А разные электроны

32 "\W = 2x10 4 Г

32 "\W = 2x10 4 Г

26 --

25|

Ф/Ф0Ф/Ф000,51,0

Ф/Ф0

Ф/Ф0

0,51,0

Ф/Фд

Рис. 5.6. Аналог рис. 4 и 5 из работы (Murat et al., 1986). Сопротивление как функция потока для одномерных колец с длинным ободом с рассеивателями, для трех температур, показывающее самоусреднение Фо/2-периодической компоненты при высоких температурах

в «температурной зоне» ширины квТ около Ер имеют различные фазы, набранные при движении вокруг кольца. Поэтому в одномерном случае достаточно высокие температуры, при которых существенным масштабом энергии является расстояние между уровнями А, эффективно дают самоусреднение, подобное усреднению по ансамблю. Этот вопрос будет еще обсуждаться ниже. Но достаточно одного взгляда на рис. 5.6, чтобы увидеть более сильное усреднение Фо-компоненты

при растущих Т. Идея, что усреднение по ансамблю может привести к фундаментальной Фо/2-периодичности, обсуждалась также (Карини et al., 1984; Braun and Nagel, 1985). Но так как они рассматривали определенную статическую величину (отношение амплитуд), усредненную по всей зоне, то они нашли, что Фо-периодическая компонента убывает как 1/L (L — длина системы) даже для одного кольца. Усреднение по всей зоне эквивалентно температурному усреднению с энергией квТ, сравнимой с шириной электронной зоны, которая обычно очень велика. Поэтому этот результат неприменим к низкотемпературной проводимости.

Результаты, показанные на рис. 5.6, демонстрируют постоянную тенденцию «эффективного усреднения по ансамблю» при растущих температурах. При низких температурах видна базовая периодичность Фо, но при более высоких температурах базовый период преобразуется в период Фо/2. В одномерном случае кроссовер происходит тогда, когда энергия квТ становится сравнимой с расстоянием между уровнями. Этого нужно было ожидать потому, что последовательные уровни в одномерном случае определяются условием, что вариация фазы вдоль всей системы имеет порядок О(2тг). Было также подтверждено, что эффективно усредненный по ансамблю результат (случай в) нечувствителен к изменениям фаз рассеивателей, которые сильно влияют на Фо-осцилляции.

Такое «энергетическое усреднение» может действовать и в пространстве больших размерностей. В общем случае может существовать некий характерный энергетический масштаб z\E, такой, что состояния с энергиями, отличающиеся на ДЕ, будут иметь заметные различия в интерференции вдоль системы. В одномерном случае ДЕ ~ А, так как отсутствует диффузионный металлический режим. При g < 1 и I < L имеем локализацию (гл. 2). Есть очень важный вопрос: что является «областью энергетической корреляции» ДЕ в более общих случаях? В действительности, ДЕ обычно имеет ту же природу, что и энергетический параметр Таулесса Ес, который, как отмечалось в гл. 2, измеряет чувствительность энергии уровней к граничным условиям (например, к разности фаз на границах системы или магнитному потоку типа Ааронова-Бома через кольцо). Поэтому, эвристически, можно было бы отождествить «область энергетической корреляции» ДЕ с Ес. Это следует также из рассуждения, следующего после формулы (4.16), согласно которому фаза диффузионного пути вокруг системы увеличивается на величину О(тг) при изменении энергии на Ес. Этот аргумент был впервые приведен в работе (Stone and Imry, 1986), которые также показали численно справедливость оценки ДЕ ~ Ес для многоканального случая. Эта оценка согласуется с результатами (Lee and Stone, 1985), полученными в режиме слабой локализации, для связанной с этими вопросами проблемы флуктуаций кондактанса, которая будет рассмотрены в следующем пункте. Поэтому условие

того, что температурное «Ферми-сглаживание» не будет размывать интерференционные эффекты, такие, как Фо-периодическая компонента в кольцах, имеет вид

квТ<Ес.(5.50)

Используя соотношение Таулесса Ес = h,D ( L\ можно показать, что (5.50) эквивалентно условию

L < \ = LT, (5.51) N квт v 1

т. е. длина образца должна быть меньше, чем тепловая длина LT. определяемая формулой (5.51). Отметим, что во многих реальных системах типичное т^ по порядку величины на один или два порядка больше, чем квТ (особенно в металлах, что связано с применимостью теории ферми-жидкости; эти два времени достигают одного порядка величины в некоторых, очень грязных, системах). Сравнивая условие (5.51) с условием, требующим, чтобы L была меньше, чем неупругая диффузионная длина, находим, что условие (5.51) оказывается более ограничительным, но не безнадежно жестким. Это имеет место, в частности, потому, что при квТ ^> Ес можно ожидать, что усреднение уменьшит относительные осцилляции на фактор ~ (Ес/kBTY^• Например, для золотой проволоки с сечением 500 Ах 1500 А, длиной 5000 А и с сопротивлением 20 Ом А 1 мК, а Ес ~ 0,05 К. Поэтому условие (5.51) экспериментально осуществимо и эффект может быть редуцирован энергетическим усреднением только на множитель 3 при Т ~ 0,5 К. Эта область параметров существенна для нескольких проведенных экспериментов.

До сих пор обсуждалось только влияние магнитного потока типа Ааронова-Бома, проходящего через отверстие кольца. Можно также задаться вопросом о влиянии магнитного поля в объеме образца. Действительно, как исходные экперименты на кольцах, в которых заметная часть магнитного потока проникала в их обод, так и похожие эксперименты на односвязных тонких линиях показывали апериодические флуктуации (Umbach et al., 1984) в сопротивлении этих систем. Кажущаяся случайной, структура была воспроизводима для данной системы, если только последняя не подвергалась эффективному отжигу. Эта структура и есть та самая «медленная» структура с рис. 5.5, которая тоже является апериодической флуктуацией кондактанса. Масштаб магнитного поля этой структуры соответствует потоку порядка величины кванта потока через проволоку. Это напоминает осцилляции, найденные Динглом (Dingle, 1952), в равновесных свойствах свободных электронов в геометрии, скажем, диска как функции потока через него. Можно было бы предположить, что апериодическая картина изменения сопротивления в реальной системе может быть вызвана случайным конкретным распределением примесей и дефектов в данной системе

(Blonder, 1984). Из этого следовало бы, что каждое данное распределение должно проявляться в виде особой кривой зависимости R(H).

Многоканальная формулировка проводимости предоставляет идеальное средство для численной проверки этой идеи. Неупорядоченная модель сильной связи Андерсона может быть использована для описания (невзаимодействующей) системы. Можно численно получить S-матрицу для данной модели или перемножением трансфер-матриц (Pichard and Sarma, 1981а,b; Azbel, 1983) и их вариацией, или методом функций Грина, предложенным Таулессом и Киркпатриком (Thouless and Kirkpatrick, 1981) и обобщенным на двумерный случай Фишером и Ли (Fisher and Lee, 1981). Последним методом, например, можно рассматривать двумерные модели с числом узлов 40 х 400. Свойства сходимости этого метода оказываются подходящими для случаев, представляющих здесь интерес. Эти вычисления проводились Стоуном (Stone, 1985). Влияние магнитного поля учитывалось такой модификацией фаз матричных элементов гамильтониана, что сумма всех фаз вокруг каждой петли определялась потоком внутри нее («эффект Ааронова-Бома в каждой петле»). Элементы трансфер-матрицы изменялись соответственно. Типичные результаты, при получении которых компьютерные и реальные эксперименты использовали магнитные поля, определяемые условием кванта потока на систему, приведены на рис. 5.7 (Stone, 1985). Большая разница в вертикальном масштабе (флуктуации в компьютерных экспериментах более чем на два порядка превышают соответствующие значения в реальных экспериментах) вызвана, главным образом, тем, что они имели разное число каналов (около 40 в первых и 2 х 104 — во вторых), что приводило к разным сопротивлениям. Эти и многие другие подобные результаты, полученные Стоуном (Stone, 1985), дали убедительное доказательство того, что физика апериодических воспроизводимых осцилляций связана с модификацией электронной интерференции, вызванной проходящим через систему магнитным потоком. Качественная картина этого явления такова. Каждое Ej может быть представлено в виде суммы по всем путям, проходящим по всему образцу, от амплитуды прохождения из г в з по данному пути, откуда ясно, что это интерференционное явление. Магнитное поле, создающее поток через систему порядка Фо, изменяет относительные фазы наиболее длинных путей на величину порядка 2тг. Это определяет масштаб поля, на котором сопротивление может флуктуировать. Более полно эти идеи рассматривались в работах (Stone, 1985) и (Stone and Imry, 1986). Из этих численных результатов очень естественно следует концепция энергетического корреляционного интервала Ес^ упомянутая выше. Более общие идеи (Altshuler, 1985; Lee and Stone, 1985; Altshuler and Khmel’nitskii, 1985; Imry, 1986; Lee et al., 1986) о величине этих флуктуаций кондактанса будут обсуждаться в следующем подпункте.

Закончим этот пункт суммированием различий между h/ е-осцил- ляциями и /г/2е-осцилляциями ААС в кольцах. Первые, связанные с от-

Д7)

Рис. 5.7. Сопротивление как функция потока в малой проволоке. Результаты теории и эксперимента нормированы так, чтобы иметь одинаковый горизонтальный масштаб. Вертикальные масштабы обсуждаются в тексте. (Из статьи (Stone, 1985).)

дельным образцом, чувствительны ко всякого рода усреднениям, включая энергетическое усреднение. Так как последние не чувствительны к энергии и появляются в результате усреднения, они наблюдаются без подмешивания апериодических флуктуаций кондактанса. С другой стороны, результат эксперимента (Webb et al., 1985b) состоял в том, что Фо-периодические осцилляции не затухают с ростом магнитного поля. Действительно, эксперимент дает до ~ 103 осцилляций без какого- либо заметного ослабления. Такое поведение было довольно удивительным при существовавшем ожидании, что не ааронов-бомовский поток внутри обода кольца должен был бы делать Ф плохо определенным и эффективно сглаживать структуру, как в действительности происходит с Фо/2-периодическими осцилляциями ААС-типа (Altshuler et al., 1981а, 1982с; Sharvin and Sharvin, 1981). Однако можно, по крайней

мере в случае, когда масштабы периодической (Ааронова-Бома) и апериодической (из-за поля внутри образца) структур хорошо разделены, найти эвристический аргумент (Stone and Imry, 1986) для выживания периодической структуры в Фо-периодической компоненте.

Магнитное поле, примененное к реальному кольцу, создает как поток Ааронова-Бома Ф через отверстие кольца, так и (классически существенный) поток Фс через обод кольца. Отношение этих двух потоков есть просто геометрический фактор

Ф/ФС = А. (5.52)

Для Н. перпендикулярного к плоскости кольца, А равно отношению площади отверстия кольца к площади его обода. Напомним, что, например, по результатам Стоуна (Stone, 1985), масштаб изменений Фс, который заметно изменяет проводимость обода кольца, равен ДФС ~ ~ Фо- Поэтому, при А >> 1, отсюда следует, что когда Н меняется так, чтобы изменение Ф было порядка Фо, то Фс изменится только на Фо/А. Это вызовет только очень малое изменение фонового, связанного с Фс, вклада в кондактанс, результатом которого будет медленное изменение G(Hy на фоне которого будут происходить более быстрые осцилляции, вызванные Ф. Дальнейший анализ (Stone and Imry, 1986) в рамках формулы Ландауэра с учетом эффектов Фс показал, что Фо-периодическая осцилляция переживает существование Фс, даже когда Фс >> Фо, хотя Фс вызывает медленные (определяемые ДФС ^ Фо) модуляции амплитуды и фазы осцилляции. Это также согласуется как с численным моделированием и с диаграммными вычислениями (Altshuler, 1985; Lee and Stone, 1985), так и с экспериментом (Webb et al., 1985b).

Фо-периодическая осцилляция является (Buttiker et al., 1985; Stone and Imry, 1986; смотри следующий пункт) результатом почти полностью сокращающегося сложения многих членов со случайными фазами. По этой причине она выживает при сильных магнитных полях в ободе кольца. Как отмечалось выше, вклад ААС имеет принципиально другую природу. Он получается из сложения когерентных членов. Как только сильное магнитное поле (или, скажем, случайное магнитное поле, создаваемое статическими магнитными примесями) делает их некогерентными, этот вклад сильно редуцируется. Интересно, что должен также существовать Фо/2-периодический вклад, который является первой гармоникой Фо-периодического вклада и тоже происходит из некогерентных членов, а не из особых когерентно отраженных членов типа ААС. Этот вклад возникает от двух несвязанных между собой путей, проходящих кольцо в разных направлениях, и тоже должен выживать в сильных магнитных полях. Иммунитет Фо-периодического типа осцилляций к сильным (однородным или случайным) полям хорошо передается образным выражением, что «нельзя убить мертвую лошадь».

Интересно отметить, что эти процессы имеют разную чувствительность к различным параметрам и поэтому каждый из них наблюдается

при различных экспериментальных условиях. И наконец, последнее замечание относительно силы этих явлений. При высокой температуре, когда L^ <С L, ААС и h/е-осцилляции должны вымирать, соответственно, как e-L!L^ и (дополнительная двойка во втором случае возникает из-за удвоенной длины путей). Оказывается, что апериодические флуктуации вымирают с ростом температуры медленнее, чем периодические.

Об универсальности флуктуаций кондактанса. Кон- дактанс различных образцов, принадлежащих к одному «примесному ансамблю» (т. е. имеющих тот же средний беспорядок, но отличающихся в деталях расположения дефектов), меняется от образца к образцу. Пусть мы находимся в диффузионном металлическом режиме (/ <С <С L <( £ или, эквивалентно, 1 <С g <С А^)- Рассмотрим квази- одномерную ситуацию (в других случаях меняются только некоторые численные множители), используя двух-терминальную формулу Ландауэра для безразмерного кондактанса g:

g^trtt^^Tij. (5.53)

В многотерминальных ситуациях это обсуждение применимо к кон- дактансу между данной парой контактов. Флуктуация кондактанса каждого образца равна

^g = g-ksY (5.54)

где ( ) означает среднее по ансамблю. Что можно сказать о среднеквадратичной флуктуации (Ag2)? Так как она сама является усредненной по ансамблю величиной, то она может быть вычислена на диаграммах. Это было сделано в работах (Altshuler, 1985; Lee and Stone, 1985). Ими был получен неожиданный, очень интригующий результат, что

(△g2) = С, (5.55)

где С — универсальная константа, зависящая только от эффективной размерности и общих симметрий (см. ниже), но не от самого кондактанса g и конечно не от других микроскопических деталей системы или дефектов!

Было установлено, что для квазиодномерных систем с симметрией обращения времени и без спин-орбитального взаимодействия С ~ 0,862. Для двух и трех измерений С имеет другие, но тоже универсальные, значения и зависит только от магнитного поля и спин- орбитального рассеяния (которые изменяют симметрию системы с ортогональной на унитарную (Dupuis and Montambaux, 1991) или сим- плектическую, соответственно). Этот результат справедлив, когда образец удовлетворяет квантовому когерентному пределу:

L<L^LT. (5.56)

В противном случае результат может быть оценен, например, делением образца на меньшие, «когерентные», части и их классическим сложением. Этот замечательный результат был проверен многими численными вычислениями и на эксперименте. Тот факт, что это свойство одинаково при низких температурах для всех грязных систем с одной, общей, формой беспорядка, является даже более замечательным, чем универсальность критического поведения очень чистых и тщательно приготовленных систем. Можно рассмотреть (Altshuler and Khmel’nit- skii, 1985) более общую корреляционную функцию кондактанса как функцию EF и магнитного поля Н:

F^Ef, ЬН) = (g(EF, H^g^EF + AEf, Н + ЛЯ)) - (g)2, (.5.57)

которая тоже имеет универсальное поведение. Корреляционный интервал по Е равен Е^ а таковой по Н. как можно ожидать, должен соответствать кванту потока на площадь системы. Для достаточно сильных Н симметрия относительно обращения времени нарушена и С умножается на 1/2. Универсальное изменение происходит также при наличии спин-орбитального рассеяния.

В формулировке Ландауэра эта универсальность тесно связана с универсальными корреляциями в спектре матрицы прохождения. Это будет кратко рассмотрено в приложении И. Здесь приведем очень упрощенную и нестрогую версию соответствующих аргументов.

Сначала рассмотрим (Buttiker et al., 1985) одно типичное T^j = = l^ij |2- Амплитуды t^ даются суммой экспоненциально большого числа АГ членов, возникающих из различных путей с разными ш, соединяющих входящий канал j с выходящим каналом г. Поэтому, без нормировки, можно написать

Tij ос 5^1+ 52 (5.58) 1 т^п

где первый «диагональный» член — классический, а второй — квантовый интерференционный, среднее по ансамблю от которого равно нулю. Однако типичное значение второго члена, который является суммой Л/*2 случайных вкладов (АГ ^> 1), равно О (Л/*), т. е. то же, что и у классического члена! Этот аргумент, а также довольно неожиданный результат, что относительные флуктуации в T^j имеют порядок единицы, были известны и оценены еще Рэлеем в теории рассеяния света в случайной среде.

Теперь встает вопрос, сколько имеется независимых Т^? Можно показать, что должно быть Ах независимых «каналов проводимости» и, следовательно, Np независимых T^j. Поэтому можно было бы ожидать, что ^(Ag2)/g ~ 1 /Ах. Однако это не так. Для очень длинных систем, L 2> /, большинство собственных значений экспоненциально мало и выпадают из игры. Для кондактанса g ~ N±l/L число «эффективно

154 Квантовая интерференция и транспортные свойства [Гл. 5 проводящих каналов», имеющих коэффициент прохождения, близкий к единице (Imry, 1986а), равно

NeK~£/L~g~ NJ/L. (5.59)

Эта оценка получена с помощью представления собственных значений в виде ехр(—Lpbn) и предположения, что обратные длины локализации р,п. огрубленно, равномерно распределены, как это объяснено в приложении И. Физическая длина локализации £ определяется как обратная наименьшей из рп. Можно ожидать, что вклад в (Ag2) дают только те собственные значения, которые существенны, т. е. флуктуации числа собственных значений в интервале, имеющем в среднем /Veff собственных значений. Другими словами, предполагается, что имеется ~ W2ff независимых T^j. Заменяя в вышеприведенной оценке для относительной флуктуации АД на Aeff, находим

(Ag2) = 0(1), (5.60)

что и является требуемым результатом.

Более убедительное изложение этого рассмотрения, учитывающее отталкивание уровней («спектральная жесткость», Dyson, 1962), производится в приложении И. g можно записать как «линейную статистику» собственных значений некоторой случайной матрицы. Предположение, что спектр этой матрицы удовлетворяет правилам теории случайных матриц (ТСМ), дает постоянное универсальное значение для (Ag2). Это значение близко, хотя в точности не равно, к правильному. Было много работ о точных спектральных свойствах нужных матриц (см., например, Muttalib et al., 1978; Mello, 1988; Mello and Pichard, 1989; Mello, 1990; Pichard, 1991; Macedo and Chalker, 1992, 1994; Stone et al., 1991; Slevin et al., 1993; Jalabert et al., 1993). Недавно Beenakker и Rejaei (Beenakker and Rejaei, 1993) нашли необходимое распределение, которое дает точное значение для постоянной С в ква- зиодномерной геометрии и не совпадает в точности с таковым из ТСМ. В любом случае эта точка зрения, даже хотя она и приближенная, дает некоторое понимание причин универсальности, ее чувствительности к некоторым нарушениям симметрии, а также понимание того, как можно качественно проникнуть, например, в режим сильной локализации. Обсуждение проводящих путей в неупорядоченной системе смотри в статье (Oakeshott and MacKinnon, 1994).

Задачи

а) Используйте результат уравнения (D.1) при малых q для нахождения матричных элементов жир между точными собственными состояниями, б) Покажите, что эти матричные элементы вместе с формулой Кубо приводят к обычному выражению Друде для ст. в) Покажите, что эти же матричные элементы могут быть использованы для демонстрации «чувствительности к граничным условиям» и для

получения соотношения Тулесса. г) Покажите, что эти матричные элементы можно также получить (Thouless) из постулата, что собственные состояния являются случайными фазовыми смесями к-состояний в оболочке «толщиной» h/т около поверхности Ферми.

Найдите сг(ш) для малой металлической частицы при низких частотах, используя формулу Кубо, результаты задачи 1 и предполагая, что расстояние между уровнями < ширине уровней.

Опишите сг(ш) для малой частицы с размером L )^ £ (длины локализации) в режиме локализации.

а) Рассмотрите влияние резонансного туннелирования на кондак- танс туннельного барьера, используя подход Ландауэра и простую одномерную модель (рис. 5.8; см. также Ваут, 1969, стр. 104, для общего описания). Яма внутри барьера имеет одно квази-связанное состояние

Г J

Вг Be^

D

ССе-^

Рис. 5.8. Одномерный туннельный барьер, состоящий из двух препятствий

с энергией Eq и обусловленные туннелированием налево и направо конечные времена жизни т/ и тг соответственно. Сначала вычислите коэффициент прохождения через этот барьер Т(Е) как функцию Е и объясните результаты физически. Затем найдите кондактанс G для данных значений цх и ц^ = Е\ — eV. Предположим, что Eq может меняться запирающим напряжением, опишите поведение G как функции этого запирающего напряжения. Объясните, какой вклад будет давать резонанс в нелинейный кондактанс G(V), если в начальный момент Eq > цх > //2- б) Используя полученные выше результаты объясните влияние локализованных состояний на кондактанс одномерной неупорядоченной цепочки при низких температурах (Лифшиц, Кирпиченков, 1979; Azbel, 1981).

«Кулоновская блокада». Предположим, что //2 < Eq < цх^ но энергия помещения второго электрона (с противоположным спином) в квази-связанное состояние в яме равна Eq-\-U . U называется «энергией хаббардовского отталкивания» и часто параметризуется формулой U = е2/2(7, где С — эффективная емкость. Покажите, что, когда Eq + + U > р,х > р-2 > Eqd кондактанс экспоненциально мал. Чему равна энергия активации? Какие значения V будут давать резонансный кондактанс? Обобщение этого простого явления вызвало недавно большой интерес. Для ссылок см. (Лихарев и Зорин, 1985; Ben-Jacob and Gefen, 1985; Аверин и Лихарев, 1991; Grabert and Devoret, 1992).

Глава 6

КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА

Введение

Хотя квантовый эффект Холла (КЭХ) является почти макроскопическим явлением (не считая того, что он имеет место в системе двумерных электронов), его физика имеет много общего с некоторыми аспектами мезоскопической физики. Квантованный ток Холла на больших масштабах очень похож на персистентный ток, многие другие свойства тоже оказываются похожими. Поэтому эта глава посвящается КЭХ. Особенно интересными будут вопросы влияния малых размеров на КЭХ.

Рассмотрим магнетотранспорт в двумерной электронной системе. Элементарная формула Друде для тензора сопротивлений р, с помощью которого электрические поля

Е,

Е,

имеет видимеет видвыражаются через плотности тока

имеет вид

имеет вид

здесь сто = пе^т/т — проводимость Друде. В обычном эксперименте имеется «плитка» Холла с подведенным током 1Ж и поперечным током 1у = 0. Эти условия означают, что

где VH и VL определены на рис. 6.1, W — ширина, a L — длина образца (см. рис. 6.1). Поле В перпендикулярно плоскости рисунка и направлено вдоль оси z. В предположении однородности тока /ж = = jx W напряжение Холла VH = W Еу а продольное напряжение VL = = LEX. Сопротивление Холла и сопротивление на единицу площади

Рис. 6.1. Схема эксперимента по измерению магнетосопротивления и эффекта Холла в типичной «плитке» Холла. Ток I течет от «источника» к «стоку».VH измеряется поперек тока, a VL = V — вдоль токаРис. 6.1. Схема эксперимента по измерению магнетосопротивления и эффекта Холла в типичной «плитке» Холла. Ток I течет от «источника» к «стоку».VH измеряется поперек тока, a VL = V — вдоль тока

Рис. 6.1. Схема эксперимента по измерению магнетосопротивления и эффекта Холла в типичной «плитке» Холла. Ток I течет от «источника» к «стоку».

VH измеряется поперек тока, a VL = V — вдоль тока

Рис. 6.1. Схема эксперимента по измерению магнетосопротивления и эффекта Холла в типичной «плитке» Холла. Ток I течет от «источника» к «стоку».

VH измеряется поперек тока, a VL = V — вдоль тока

в двумерном случае равны удельным сопротивлениям: Ryx п = рух = = — В/пес, Rxx □ = рхх = р^. (Независимость Rxx от В отражает хорошо известный факт отсутствия магнетосопротивления в простой теории Друде.) Независимо от того, является образец однородным или нет, измеряемыми величинами являются сопротивления (а не удельные сопротивления). В отличие от обычного случая именно сопротивления (и кондактансы, а не проводимости) являются фундаментальными величинами для КЭХ. Проводимости даются формулой, обратной (6.1) (полезно отметить, что шст / cjq = В/пес, где циклотронная частота шс определена ниже в (6.7)):

__ __ его

^жж — О"уу —2 ’

(6-4)(6-4)1 + (егст)

(6-4)

(6-4)

0"oU)cTаху = — ^ж = —,

1 + (<7ст)

Симметрия недиагональных компонент о и р предполагает, что образец инвариантен относительно поворотов. Для мезоскопических образцов это требует усреднения по ансамблю. Более общие соотношения Онза- гера, следующие из условия инвариантности относительно обращения времени, требуют равенства

®aW = М-#)(б-5)

и аналогичного соотношения для р.

Формула рху = В/пес может быть понята как следствие простого условия, что действующая на движущиеся электроны сила Лоренца Fy = evxB/с уравновешивается напряжением Холла Еу и что

Зх = —nevx.(6.6)

Напряжение Холла создается поверхностными слоями зарядов, аккумулированных на верхней и нижней границах образца, так как jy = 0. Эквивалентный вывод этой формулы для образцов с трансляционной инвариантностью основывается на замечании, что в системе координат, движущейся с дрейфовой скоростью нж = сЕу/ В z, электрическое поле исчезает (считаем, что находимся в режиме линейного отклика Еу <С Bz. т. е. ситуация похожа на «случай электрического поля»). Поэтому ток в лабораторной системе совпадает с током, следующим из теории Друде. Таким образом видно, что для получения отклонений от этих формул нужно нарушение трансляционной инвариантности. Это дают дефекты, примеси и т. п. Выше мы пренебрегли периодическим потенциалом — это отвечает условию применимости приближения эффективной массы в полупроводящих системах с малой плотностью электронов, которые представляют интерес в связи с КЭХ. Это приближение будет использоваться и дальше, но нужно помнить, что имеются тонкости, связанные с конкурирующими периодичностями, отвечающими решетке и магнитному полю. Нужно также помнить, что вышеприведенная теория Друде является, конечно, сверхупрощенной, хотя часто (но не всегда) эффект Холла хорошо описывается уравнением (6.2), дающим разумную плотность носителей и правильный знак, причем скорее в сильных, чем в слабых полях (Ashcroft and Mermin, 1976).

При сильных магнитных полях и низких температурах становятся важными эффекты квантования. Для электронов без рассеяния известно, что разрешенные уровни энергии становятся дискретными уровнями Ландау (в двумерном случае с полем В, перпендикулярным двумерной плоскости, движение электронов полностью квантовано):

= (п + |) Kwc, шс=—, (6.7) \ 2/ тс

где масса т понимается как эффективная масса соответствующих носителей, а шс — циклотронная частота. Каждый уровень Ландау Ен имеет огромное вырождение

(6.8)

которое дается числом квантов потока В через полную поверхность (Л = LW) образца. Конечно, число состояний сохраняется в том смысле, что число двумерных состояний при В = 0 в интервале бшс равно р.

Теперь, даже при Т —У 0, нужно учитывать влияние упругого рассеяния на дефектах и примесях, которое характеризуется эффективным упругим временем рассеяния т. Раз трансляционная инвариантность нарушена, то вышеупомянутый аргумент, использующий галилеевское преобразование, не работает. По этой причине решить задачу точно,

как в (6.7) и (6.8), уже невозможно. Вполне разумным является предположение, что уровни Ландау расщепляются, по крайней мере, при условии

шст >> 1, (6-9)

которое в дальнейшем будет считаться выполненным. Уровни Ландау уширяются в узкие зоны с приблизительной шириной /г/т и с очень малым перекрытием. Поэтому наличие уровней Ландау становится существенным, и можно ожидать, что будет доминировать проявление обычных эффектов де Гааза-ван Альвена и Шубникова-де Гааза. Они происходят при увеличении (двумерной) плотности п из-за последовательного заполнения высших уровней Ландау или при уменьшении В, когда

nA = jpD или (6.10)

В Фоп' v 7

где j — целые числа, и дают хорошо известную периодичность в зависимости соответствующих физических величин от 1 / В для заданного п (см. Ashcroft and Mermin, 1976). В двумерном случае ситуация простейшая и можно ожидать, что осцилляции Шубникова-де Гааза будут очень сильными из-за отсутствия сглаживания, вызванного движением электронов параллельно полю В. Действительно, наблюдение этих осцилляций было убедительным доказательством существования истинно двумерных систем (Fowler et al., 1966, см. также Ando et al., 1982, Kawaguchi and Kawaji, 1982). Конечно, нужно помнить, что спин электрона ведет к дополнительному расщеплению уровней. Масса, появляющаяся в гиромагнитном отношении, обычно не совпадает с массой, входящей в выражение для циклотронной частоты. Можно было бы ожидать, что первая масса равна голой электронной массе, но иногда возможны и часто наблюдаются другие, «аномальные», значения g-фактора. Обменное взаимодействие увеличивает расщепление уровней.

Результаты, полученные в экспериментах фон Клитцинга и др. (Von Klitzing, 1980) и представленные на рис. 6.2 а, были удивительными и неожиданными с точки зрения приведенного выше общего обсуждения. В этих экспериментах были использованы образцы Si MOSFET, в которых с помощью электронного затвора можно электростатически контролировать плотность п и которые помещались в магнитное поле, достаточно сильное для того, чтобы реализовались малые значения целого фактора заполнения j. Более поздние результаты, проведенные на гетероструктурах GaAs лучшего качества и представленные на рис. 6.2 6, демонстрируют эффект даже более удивительный. При низких температурах осцилляции Шубникова становятся такими глубокими, что значения сгхх в ее минимумах были очень малы, практически исчезали. При тех же значениях п (или В), когда фактор заполнения уровней Ландау j был целым, отклонение от «прямой линии» Rxy = В/пес было следующим: Rxy и Gxy образуют плато,

ааЕ/ц/мВЕ/ц/мВ2525(Урр/мВ(Урр/мВ2,52,5р-подложкар-подложкаПоверхностный канал Источник / Датчик Холла №5ГПоверхностный канал Источник / Датчик Холла №5ГАА20-2,020-2,0Электрические датчикиЭлектрические датчики15-1,515-1,510-1,010-1,05-0,55-0,55п = 05п = 02025п = 2^^‘2025п = 2^^‘°Й°ЙВ, ТлВ, ТлРис. 6.2. а — оригинальные результаты (Von Klitzing, Doron and Pepper, 1981) для Si MOSFET как функции запирающего напряжения, контролирующего плотность электронов; б— поздние результаты (из работы Von Klitzing, 1982) в GaAs как функции В, показывающие широкие ступени ржу с почти полным исчезновением ржж при 1,6 КРис. 6.2. а — оригинальные результаты (Von Klitzing, Doron and Pepper, 1981) для Si MOSFET как функции запирающего напряжения, контролирующего плотность электронов; б— поздние результаты (из работы Von Klitzing, 1982) в GaAs как функции В, показывающие широкие ступени ржу с почти полным исчезновением ржж при 1,6 К

а

а

Е/ц/мВ

Е/ц/мВ

25

25

(Урр/мВ

(Урр/мВ

2,5

2,5

р-подложка

р-подложка

Поверхностный канал Источник / Датчик Холла №5Г

Поверхностный канал Источник / Датчик Холла №5Г

А

А

20-2,0

20-2,0

Электрические датчики

Электрические датчики

15-1,5

15-1,5

10-1,0

10-1,0

5-0,5

5-0,5

5

п = 0

5

п = 0

2025

п = 2^^‘

2025

п = 2^^‘

°Й

°Й

В, Тл

В, Тл

Рис. 6.2. а — оригинальные результаты (Von Klitzing, Doron and Pepper, 1981) для Si MOSFET как функции запирающего напряжения, контролирующего плотность электронов; б— поздние результаты (из работы Von Klitzing, 1982) в GaAs как функции В, показывающие широкие ступени ржу с почти полным исчезновением ржж при 1,6 К

Рис. 6.2. а — оригинальные результаты (Von Klitzing, Doron and Pepper, 1981) для Si MOSFET как функции запирающего напряжения, контролирующего плотность электронов; б— поздние результаты (из работы Von Klitzing, 1982) в GaAs как функции В, показывающие широкие ступени ржу с почти полным исчезновением ржж при 1,6 К

достигая в узких интервалах В или п значений, которые они имеют при целом числе j полностью заполненных уровней Ландау. Значения на плато оказываются постоянными с относительной точностью примерно К)7. и уже в оригинальной публикации было найдено, что абсолютное

значение кондактанса равно (при nA = jp^ как в (6.10))

2

(6.11)

с точностью до К)5. В настоящее время относительная постоянность «ступенек» достигла точности К)8, а абсолютное значение кондактанса — точности К)7. Этот квант кондактанса служит лучшим определением постоянной тонкой структуры а = е2/бс (для обзора см., например, Peskin and Schroeder, 1995). Такой результат действительно имеет большую метрологическую ценность.

Отметим, что при Gxx = 0 матрица, обратная к матрице

/ о сжД

у- Gxy о у равна

/ 0 -1МЛ\1/^ о ) '

так что не должен вызывать удивления тот факт, что и Нжж = 0 и Gxx = = 0, тогда как Gxy и Rxy обратны друг другу.

Стало ясно, что это явление связано с бездиссипативной природой транспорта и что появление ступенек должно быть связано с «пиннингом» уровня Ферми между двумя уровнями Ландау в интервале, где состояния полностью локализованы. Поэтому изменения п или В в этом интервале не изменяют транспортных свойств. Нашей главной задачей является более систематическое понимание этих качественных идей.

Общее рассмотрение

Наиболее легко построить теорию для идеализированной геометрии рис. 6.3 а, где двумерный электронный газ распределен на поверхности цилиндра с окружностью Ly и с радиальным холловским магнитным полем В. Напряжение Холла VH = Vy создается изменяющимся во времени потоком Ааронова-Бома Ф = Ф+сЦД, а ток Холла течет вдоль оси ж. Эта удобная модификация геометрии была впервые рассмотрена Лафлином (Laughlin, 1981). Потенциал Vo (ж) сначала предполагается меняющимся только по оси ж (см. рис. 6.3 б). Можно считать, что Vo (ж) содержит усредненное действие примесей, возможные потенциальные барьеры и т. д. Он должен медленно меняться на масштабе магнитной длины 1Н. Для рассмотрения проще случай, когда Vo, амплитуда потенциала V, удовлетворяет условию Vo < hwc. но такое же рассмотрение применимо и для больших Vo- Медленные вариации L^, как функции ж,

6 И. Имри

К*)J1J111I1J1IК*)J1J111I1J1Iншшшншшш

К*)

J1J111I1J1I

К*)

J1J111I1J1I

ншшш

ншшш

Рис. 6.3. а — теоретический пример: напряжение Холла создается индуктивно меняющимся во времени потоком Ааронова-Бома Ф, б — потенциал У(ж) в случае локального барьера. Равномерно расположенные тонкие линии показывают положения центров уровней Ландау Xj для данного Ф. Здесь не показано, что происходит на границах цилиндра

тоже легко учесть. Небольшая модуляция Vq вдоль оси у тоже может быть учтена в квазиклассическом приближении (см. следующий пункт).

В калибровке Ландау А = (О, Нх. 0), когда работает обычное разделение переменных ф{х^у} = е^з^и^х^ и(х) удовлетворяет одномерному уравнению Шредингера с потенциалом

Г(ж) = Го(ж) + ^ тш^х - ж^)2,(6-12)

где шс = еН/тс^ Xj = — t^kj и /^ = бс/еН. Сначала рассмотрим ток Холла /ж. Из-за модификации граничных условий вдоль оси у. индуцированной калибровочным преобразованием, которое используется для устранения из задачи потока Ааронова-Бома (приложение В), разрешенные значения kj даются формулой kj = (j+ Ф/Фо)27г/£^. Поэтому, когда Ф меняется линейно со временем, все х (см. рис. 6.36) равномерно движутся налево со скоростью йж = cVy / Н Ly, приводя к среднему току Холла e^Vy/h для каждого полностью заполненного уровня Ландау (здесь спиновое вырождение уровней не учитывается). Отсюда следует, что для свободных электронов в произвольном потенциале V(ж) кондактанс Холла на одном вырожденном уровне Ландау будет равен

2

=(6.13)

Общее калибровочное рассмотрение Лафлин (Laughlin, 1981) основано на обобщении проведенного выше анализа. Здесь приведем упрощенную версию, предложенную Имри (Imry, 1983). При Vy —у 0 поток изменяется адиабатически и линейно со временем. После каждого цикла, когда Ф меняется на Фо, система должна, по теореме Байерса- Янга, вернуться в исходное состояние. (В вышеприведенном примере

множество центров орбит х^ сдвигается на единицу и возвращается в то же положение). Но возможно, что электроны во время этого процесса движутся вдоль цилиндра (так, в вышеприведенном примере, один электрон на один полный уровень Ландау переносится в системе с ее правой стороны на левую). Возвращение системы в то снсе самое состояние означает, что только целое число электронов j может быть перенесено во время этого цикла. Это дает наиболее общий квантовый эффект Холла (КЭХ):

2

Gxy--jp, (6.14)

где, в приведенном примере, j было числом полностью заполненных уровней Ландау, включая все вырожденности (спин и вырожденные долины зонной структуры в /^-пространстве). Проведенные рассуждения демонстрируют общность квантового эффекта Холла для систем, в которых поток Ф изменяется адиабатически, оставляя их в основном состоянии (при Т = 0) или в равновесном состоянии — при низких температурах. С другой стороны, обычная проводящая система имеет континуум проводящих состояний при EF^ которые чувствительны к потоку, поэтому при конечном V = — (1/с)Ф в ней всегда будет иметься некоторая диссипация и вышеприведенные аргументы не будут работать. Это дает еще один способ увидеть важность существования локализованных состояний при Ер для проявления КЭХ.

Отметим, что в этой задаче имеется заданная временная периодичность, когда Ф растет линейно со временем, ее период равен h/eV, а частота равна

^ = ^ (6.15)

по аналогии с эффектом Джозефсона на переменном токе (гл. 7). Постоянный ток Холла вдоль цилиндра должен иметь малую переменную компоненту с такой частотой (Imry, 1983а). Остается только понять, как это может быть получено в более реалистичной геометрии типа слабой связи (Imry, 1988).

Если система (по причине, связаной с осложнениями, которые еще нами не обсуждались) имеет несколько вырожденных основных состояний и если при добавлении Фо к Ф она переходит из одного основного состояния в другое, то возможна другая модификация. Для возвращения в то же самое состояние теперь понадобится некоторое целое число квантов потока т > 1. В этом случае теорема Байерса-Янга может быть обобщена, давая, при подходящем факторе заполнения, квантовый кондактанс Холла e^/mh на один уровень Ландау, как в дробном квантовом эффекте Холла (ДКЭХ) (п. 4; см. Thouless, 1990; Thouless and Gefen, 1991; Gefen and Thouless, 1993).

Важная модификация калибровочного анализа Лафлина была сделана Гальпериным (Halperin, 1982). Она ведет к установлению возможной важности границ («поверхностей образца» в двух измерени-

ях) для задачи КЭХ и дальнейшему пониманию несущественности деталей беспорядка. Гальперин рассмотрел геометрию диска Корби- но (рис. 6.4), которая топологически эквивалентна ) цилиндрической геометрии. Он ввел потенциальные стенки на внутренней и внешней

Рис. 6.4. Геометрия диска Корбино. Напряжение VH — радиально, а ток I течет азимутально. Заштрихованная область изображает потенциальный барьер или сильно неупорядоченную часть образца

границах кольца. Мы пренебрегли ими в модели рис. 6.3 а, так как там мы предположили, что границы каким-нибудь образом подсоединены к источникам тока. Напряжение теперь прикладывается по радиусу (раньше оно было направлено по оси ж и току), как в исходном обсуждении Лафлина. Энергии состояний, как функции положений центров орбит х^ изображены на рис. 6.5. Теперь поток Ааронова-Бома через отверстие в кольце нужен только для того, чтобы продемонстрировать, что в случае большого кольца ток в каждом состоянии дается разностью в энергии расположенных последовательно вдоль оси х состояний, деленной на Фо- Конечно, то же самое следует из выражения для групповой скорости иу = (1/К)дЕ/ dky. Поэтому полный ток в занятых состояниях рассматриваемого уровня Ландау равен

т /2

<616)

что согласуется с (6.14). Эквивалентный способ понимания этого заключается в следующем: когда Ф медленно меняется на Фо, квантованные протяженные состояния на границах непрерывно переходят в свои соседние. Суммарным результатом этого должен быть переход

Рис. 6.5. Схематическая зависимость энергии данного уровня Ландау с границами (но без беспорядка) от координаты центра Xj. Подключение устроено так, что EF(d) — EF(0) = eV. Деления на оси х означают Xj. Все расстояния между ними равны Ажо = 2тг(/^/Ly)

одного электрона в каждом заполненном уровне Ландау в образце. Ответ на вопрос, как это может происходить при неупорядоченном режиме в объеме, является довольно нетривиальным и будет рассмотрен в следующем пункте. Но даже без полного понимания этого, мы видим, что, когда Ф меняется на Фо, полная энергия системы на один активный уровень Ландау меняется на eV. Использование формулы (6.16) для тока позволяет установить, что на каждый заполненный уровень Ландау приходится ток величины (e^/h^V, текущий в азимутальном направлении. Этот квантовый ток Холла аналогичен персистентному току, обсуждавшемуся в гл. 4. Он будет равновесним током даже при наличии напряжения V (но при Т —У 0), так как, из-за того, что сгжж = = 0, диссипации нет даже в присутствии V. Кроме подчеркивания роли границ (для линейного транспорта), этот анализ показывает также, что наличие локализованных состояний в объеме несущественно для тока. Если заштрихованная область на рисунке является барьером или ямой (вдоль ж), вызванные ею изменения энергии будут сокращаться. Ясно, что это должно происходить при любых потенциалах в объеме, включая и те, которые могут локализовать состояния. Очень наглядно видно, что детали «внутреннего» потенциала не имеют значения, по крайней мере тогда, когда стенки крутые и могут быть аппроксимированы быстро растущими (убывающими) функциями радиальной координаты ж

на внешней (внутренней) границе. Ясно также, что это не значит, что «весь» ток течет по границам. Большая часть тока может течь в различных направлениях в объеме, но конечный, «измеряемый», ток дается (6.16). Важным результатом проведенного анализа является то, что для большинства значений п или В, для которых уровень Ферми располагается среди большинства объемных или граничных состояний, система находится на некотором плато. Переходы между различными плато происходят тогда, когда уровень Ферми проходит через очень узкую зону делокализованных объемных состояний. Это объясняет резкость холловских плато для больших систем и Т —> 0. Полезно отметить, что в равновесии из соотношения Максвелла (равенство смешанных производных свободной энергии по /1 и Ф) следует

81 _ 8Ndjl С~ЭФ"

Ток на каждой границе равен е/ h на единицу добавленного химического потенциала на этой границе вследствие того свойства, что квант потока соответствует одному состоянию на уровне Ландау (MacDonald and Girvin, 1988; MacDonald, 1995).

Локализация в сильных магнитных поляхи КЭХ

Сначала давайте вспомним, что согласно результатам, изложенным в гл. 2, в двумерной системе с беспорядком при В = 0 все состояния являются локализованными. С другой стороны, калибровочный анализ в предыдущем пункте показал, что протяженные состояния чувствительны к магнитному потоку и дают ток Холла. В то же время нужны области энергий, содержащих только локализованные состояния, для того чтобы фиксировать в них Ер и получать конечные плато (Aoki and Ando, 1981). Поэтому введение магнитного поля должно делокализовать некоторые состояния, по крайней мере тогда, когда оно достаточно сильное, чтобы можно было находиться в режиме КЭХ. Действительно, такие протяженные состояния могут быть созданы при довольно общих условиях для конечных образцов, имеющих потенциальные стенки и граничные состояния. Эти состояния играют принципиальную роль в подходе Гальперина (см. предыдущий пункт). Их роль в переносе тока уже была частично прояснена в случае, когда экспериментальная конфигурация, такая, как на рис. 6.1, анализировалась в рамках формулировки Ландауэра, в которой каналы движений направо (налево) соединены с левым (правым) резервуарами, а квантованный ток Холла соответствует единичной трансмиссии в граничных состояниях заполненных уровней Ландау. Определение соответствующих напряжений было рассмотрено Бюттикером (Buttiker, 1990). Но главная задача состоит в том, чтобы узнать, как магнитное поле делокализует число состояний, достаточное для наблюдения КЭХ в объеме системы.

Это рассмотрение должно также улучшить наше понимание несущественности локализованных состояний в переносе тока и определении величины проводимостей. Но конечно, эти состояния важны для пиннинга энергии Ферми при изменении В или п в конечных интервалах значений (см. также Kiss et al., 1990).

Обзор влияния беспорядка был сделан Прангом (Prange, 1990). Здесь же, в основном, будет рассматриваться квазиклассическая картина «центров орбит», которая применима в случае сильного магнитного поля (lordanski, 1982; Kazarinov and Luryi, 1982; Trugman, 1983; Joynt and Prange, 1984). Ее результаты находятся в согласии с численными исследованиями Ando (Ando, 1983, 1984).

Прежде чем приступить к рассмотрению, полезно определить порядки величин. Очень важно условие применимости классического циклотронного движения, шст ^ 1. Учитывая то, что классический циклотронный радиус /с электрона на уровне Ферми дается формулой Пр,шС1 условие шст ^ 1 означает, что /с <С /, т. е. опять чисто классическое условие. В терминах квантовомеханической длины 1Н = ^Нс)еВ, имеем lc kF(l?H ~ ^hVЕ F/hojc ~ ^нл/З > ^н^ где j — число заполненных уровней Ландау. Поэтому условие сильного квантующего поля lH ^ I обычно определяет поле, более слабое, чем классическое условие. Режим слабой локализации соответствует области I ^ 1н. Промежуточный интервал lH ^ I ^ 1с тоже является интересным и будет кратко рассмотрен позднее. Сначала сконцентрируемся на режиме шст ^ 1, lc ^ I.

Классически, в двумерном пространстве с сильным, перпендикулярным к плоскости магнитным полем В и заданным, не очень сильным электрическим полем Е в плоскости быстрое циклотронное движение электрона приводит к его дрейфу перпендикулярно к полю В, т. е. центр циклотронного движения дрейфует вдоль линии постоянного потенциала со скоростью на так, что сила Лоренца уравновешивает силу, создаваемую полем Е:

(6-17)(6-17)па _ В

(6-17)

(6-17)

7 _ в'

(В более подробном описании электрон, при малых В, совершает быстрые циклотронные вращения, при которых центр окружности медленно дрейфует вдоль контура постоянного потенциала. При больших Е электрон «прыгает», совершая движение вдоль «дуг» и отражаясь от наклонного потенциала; хорошим примером является движение вдоль границ образца.) Теперь обобщим это описание на случай плавного, но в остальном произвольного потенциала У (ж), который не очень сильно (т. е., в квантовом случае, меньше, чем 1гшс) меняется на масштабе циклотронного движения. Опять имеется разделение масштабов: быстрое циклотронное движение с характерным временем 1/шс и медленный дрейф центра вдоль эквипотенциальной линии со скоростью, даваемой

в каждой точке формулой (6.17) с локальным полем Е. Рассмотрим сначала замкнутую эквипотенциальную линию (вдоль потенциального холма или долины либо вдоль границы конечного образца, либо вдоль внутренней или внешней границы неупорядоченного диска Корбино). Время дрейфа вдоль этого контура дается формулой ^dlfDaY dl — элемент длины вдоль контура. Частота медленного движения, с учетом (6.17), будет даваться формулой

= 2тг = (2тгс/В) 2с XV , .

5 (dl Г.,^± В ХА1 (6Л8)

где dx^ — элемент длины в направлении градиента, а Л( V) — площадь, охватываемая эквипотенциальным контуром У (ж) = V. Быстрое движение квантуется с разностью энергии Ншс. Медленное периодическое движение будет квантоваться для каждого уровня Ландау в серию локально эквидистантных уровней, разделенных энергией Нш8. В этом приближении энергия каждого состояния равна сумме циклотронной энергии hcjc(j + 1/2) и потенциальной энергии eV. Из (6.18) следует, что площадь между двумя такими квантованными орбитами дается формулой

ВАД = ^ = Фо, АД = 2тг/^. (6.19)

Опять находим, что поток поля В через площадь, приходящуюся на одно состояние в данном уровне Ландау, отвечает кванту потока, как и в случае свободных электронов. (Отметим, что эта картина напоминает квазиклассическую теорию квантования движения блоховского электрона в ^-пространстве, предложенную Онзагером. Так как орбита в r-пространстве получается из таковой в ^-пространстве поворотом на 90° и масштабированием на /^, то квантованная площадь между двумя изоэнергетическими контурами двух последовательных состояний в ^-пространстве будет равна 2тг)1?н. Поэтому, например, осцилляции Шубникова оказываются связанными с поверхностями постоянной энергии в ^-пространстве.)

Теперь рассмотрим состояния данного уровня Ландау в плавном случайном потенциале с амплитудой, меньшей Ншс (так что уверенно можно пренебречь смешиванием уровней Ландау). Потенциальная энергия соответственно квантованного эквипотенциального контура должна быть прибавлена к Q + -) hwc. Для высоких энергий в «j-й зоне Ландау» они соответствуют эквипотенциальным контурам, обходящим возвышенности потенциала. Аналогично, низкоэнергетические уровни в этой зоне Ландау соответствуют орбитам, проходящим вокруг долин или «озер». Все эти состояния являются локализованными (электрон «движется» вдоль конечных замкнутых контуров). Оказывается, что в двумерном случае имеется одна и только одна энергия, при которой эквипотенциальная кривая проходит по всей (очень большой)

системе. Интуитивно это можно понять, глядя на «рельеф» потенциала V(x^y) и представляя его заполненным водой до данной высоты Vo- При малых Vq имеем изолированные озера, площади которых растут с ростом Vo. Для больших Vo имеем изолированные острова в непрерывном море. В обоих случаях «линии побережья» (т. е. контуры У(ж, у) = = Vo) не проходят через всю систему. Имеется только одна выделенная энергия Ес , при которой и континеты и море распространяются на всю большую систему. Для того чтобы доказать это интуитивно очевидное свойство, можно заметить, что если для заданного Е линии побережья проходят через всю систему в направлении ж, то по симметрии они должны проходить через нее и в направлении у. и поэтому они должны пересекаться (именно здесь проявляется природа двумерного случая). Но эквипотенциальные кривые различных энергий по определению не должны пересекаться. Поэтому, такое неограниченное распространение происходит только при выделенной энергии Ес. Точка пересечения контуров при этой энергии очевидно является седловой точкой потенциала. Используя терминологию теории перколяций можно сказать, что эта ситуация соответствует тому, что озера перколируют по всей системе при низких Е, а острова — при высоких Е. и имеется только одно ЕС1 при которой перколируют оба. Для бесконечной системы при Ес гарантированно существует делокализованное состояние (в действительности, при Ес будет конечная ПС, но, математически, делокализация происходит только при Ес).

Ясно, что характерный размер £р, который может быть определен как средний размер площадей, окруженных эквипотенциальными контурами локализованных состояний, должен расходиться при Е Ес как

(6.20)(6.20)^\Е-ЕС\"^

(6.20)

(6.20)

где показатель vp по порядку величины ожидается равным единице. Конечно, контуры могут быть сильно изрезанными и поэтому их длина может быть много больше, чем О^Е,р\ Нужно заметить, что было много работ, которые не будут здесь обсуждаться, использующих теорию перколяций при применении этой картины к КЭХ.

Теперь мы в состоянии понять, почему существование специального, перколяционного, объемного протяженного состояния на данном уровне Ландау необходимо для получения квантового тока Холла на этом уровне. Для этого вернемся к картине Гальперин, определяющей ток через изменение полной энергии, возникающее из-за кванта потока Ааронова-Бома. Теперь можно легко понять, как один электрон при изменении Ф на Фо переходит между двумя границами образца, увеличивая свою энергию на eV. Напомним, что при таком изменении потока протяженные состояния на границах переходят в свои соседние в том же пространственном направлении. Что нужно понять, так это то, как происходит суммарный переход одного электрона во всем объеме. Рассмотрим для простоты одну седловую точку потенциала в объеме

конечной системы (можно показать, что точная перколяция всегда происходит через последнюю, типа «узкое горло», седловую точку). Эта седловая точка (см. рис. 6.6) находится при определенной энергии Ес. Для общих значений Ф Ес не будет совпадать с каким-нибудь из кванто-

Рис. 6.6. Схематические контуры для кольца с границами и одной седловой точкой. Квантованные протяженные состояния вдоль кольца для общих значений Ф показаны линиями. Состояние при энергии ЕС1 равной энергии седловой точки, показано контурами 1 и 2. Оно является промежуточным состоянием через которое состояния типа 1 переходят в состояния типа 2 в некоторой точке в каждом интервале Фо потока

ванных уровней, определяемых (6.19). Оно будет иметь два ближайших уровня типа 1 и 2 на рис. 6.6, орбиты которых проходят по всему кольцу и нигде не пересекаются, кроме как только при Ес. Когда Ф меняется на Фо, одно из этих двух состояний должно переходить в другое. Это происходит потому, что при некотором значении Ф в данном интервале состояние с энергией ЕС1 по непрерывности, станет равным некоторому разрешенному квантовому состоянию (как на рис. 6.6). Поэтому два состояния переходят друг в друга через выделенное состояние с энергией Ес.

Это рассуждение показывает, что при шст ^ 1 каждый уровень Ландау, имеющий одно протяженное состояние с энергией, меньшей EF^ будет давать вклад (e^/h^V в ток Холла. С другой сторо-

ны, можно рассмотреть дуальный способ калибровочных рассуждений, применяющий холловское напряжение индуктивно, как в рассуждении, ведущем к (6.13) и измеряющем ток в радиальном направлении. Тогда вышеприведенная картина показывает, как радиальный ток через седловое протяженное состояние течет по объему образца.

Применением этих же рассуждений к модели длинного цилиндра (рис. 6.3) можно получить явный пример того случая, когда наличие границ не является необходимым условием для существования КЭХ. Если окружность цилиндра (вдоль которой приложено напряжение) много короче, чем его длина, то х^-симметрия будет нарушена и перколяция в радиальном направлении будет проходить легче, чем вдоль цилиндра. Механизм перехода электронов из радиально-протяженных, чувствительных к потоку состояний слева от нее в такие же состояния справа от нее будет тот же. Остаются интересные вопросы, относящиеся к влиянию отклонений от квазикласического приближения, когда /с// недостаточно мало. Эти отклонения должны быть наиболее важными для рассмотренного процесса движения около седловой точки, и поэтому они должны иметь физическое значение для изучения таких свойств, как разрушение и частотная зависимость КЭХ. Туннелирование между такими протяженными состояниями (Jain and Kivelson, 1988) рассматривалось в работах (Chalker and Coddington, 1988; Миль- ников и Соколов, 1988; см. также Macedo and Chalker, 1994).

Завершим этот пункт кратким обзором интригующего обобщения (Khmel’nitskii, 1984а) теории КЭХ на случай более слабых магнитных полей lH ^ I ^ 1С1 в котором шст <1 и уровни Ландау теряют свое значение. Этот случай допускает обобщение (Khmel’nitskii, 1983; Левин и др., 1983; Pruisken, 1984, 1985) однопараметрического уравнения РГ, даваемого (2.29) и рис. 2.2, на область, где магнитное поле достаточно велико для того, чтобы стжу уже было важно, т. е. сгжу > 1. Такое же РГ- поведение было найдено Пруискеном (Pruisken, 1984, 1985) и приведено на рис. 6.7. Оно получило прямое подтверждение в экспериментах Вейя и др. (Wei et al., 1986). Эти уравнения РГ были решены (см. задачу 1 в конце главы) с использованием в качестве начальных условий, например, проводимостей Друде (6.4). При шст ^ 1 это приводит к обычному КЭХ-поведению. Но когда шст <С 1 можно сразу увидеть, что при сг0 ~ kFl ^ 1 имеется режим, когда, хотя шст <С 1, начальные значения для ажу попадают в «области притяжения» фиксированных точек КЭХ со значениями J, меньшими, чем Ерт (т. е. со значениями з соответствующими обычным ступенькам КЭХ при более высоких полях). Отсюда следует, что в этом режиме имеются другие плато квантового эффекта Холла, не связанные с уровнями Ландау. С ними ассоциируются энергии новых протяженных состояний, которые оказываются «приподнятыми» по сравнению с теми энергиями, при которых должны были бы находиться уровни Ландау при более слабом рассеянии. Справедливость этой неожиданной картины Хмельницкого основывается только на вышеупомянутом РГ-поведении. Имеются

Рис. 6.7. Теоретическая диаграмма РГ-потока двухпараметрического скейлинга сгжж и стжу для целочисленного КЭХ (Pruisken, 1985))

недавние эксперименты (Jiang et al., 1993; Wang et al., 1994; Hughes et al., 1994), которые кажутся согласующимися с такими КЭХ-ступень- ками и протяженными состояниями. Эта картина была обобщена на режим дробного КЭХ (ДКЭХ) (Kivelson et al., 1992).

Заметки о дробном квантовом эффекте Холла(ДКЭХ)

Когда общие рассуждения, доказывающие, что ажу в КЭХ должна равняться целому, кратному e^jh^ кристаллизовались и стали очень убедительными, эксперимент сыграл с теорией злую шутку. Цуи, Штормер и Госсар (Tsui, Stornier and Gossard, 1982), проводя магнетотранспортные измерения на высокочистых образцах гетероструктуры GaAs, обнаружили, что при заполнении нижнего уровня Ландау, равном 1/3, имеется очевидная КЭХ-ступенька с ажу = е2/(3/г). Эта ступенька также сопровождалась, как и в целочисленном КЭХ (ЦКЭХ), провалом в сгжж. Их результаты изображены на рис. 6.8. Последующие эксперименты обнаружили многие другие дробные холловские плато. Из них следовало, что необходима ревизия наших рассуждений о КЭХ и что они не могут быть объяснены моделью невзаимодействующих электронов. Должно быть учтено кулоновское электрон-электронное взаимодействие. Ожидается, что в этом случае (трех- или двумерный) электронный газ при низких плотностях и температурах должен образовать «вигнеровский кристалл». В этой кристаллической фазе элек-

Фактор заполнения v

Рис. 6.8. Оригинальный ДКЭХ при заполнении основного уровня Ландау равном 1/3 (из статьи (Tsui et al., 1982)). Отметим образование провалов в ржж и плато в ржу с уменьшением температуры

троны стараются расположиться регулярно и дальше друг от друга, так, чтобы минимизировать кулоновское отталкивание. Ожидается, что дефекты подложки должны закреплять этот кристалл (при малых полях). Поэтому, в линейном режиме, и <тжж и ажу обращаются в нуль ). Было предположено, что в случае дробного эффекта Холла возможна менее сильная конденсация электронного газа в коррелированную жидкость, в которой электроны находятся на некотором расстоянии друг от друга. По аналогии с другими квантовыми жидкостями Лафлин (Laughlin, 1983) построил вариационную волновую функцию для такой системы, которая, видимо, содержит большую часть представляющей

интерес физики системы. Справедливость этой картины была проверена во многих численных экспериментах и была показана ее высокая точность. Это коррелированное основное состояние при заполнении нижнего уровня Ландау, равном 1/3, имеет некоторую конечную энергию связи, и поэтому его нижние, возбужденные состояния имеют энергетическую щель. Эта щель немедленно объясняет провал в ажж^ а также может объяснить тенденцию к образованию плато в ажу. Элементарные возбуждения над коррелированным основным состоянием имеют дробный заряд и нетривиальную статистику, которые вызвали огромный интерес.

Ниже будут приведены главные свойства основного состояния Лафлин, а затем кратко будут обсуждены элементарные возбуждения над ним. После этого упомянем некоторые недавние интересные достижения, касающиеся специальной роли заполнения, равного 1/2.

Наш гамильтониан описывает двумерный электронный газ в плоскости х — у с (обычным, трехмерным) кулоновским взаимодействием l/s|ri — Г21 и сильным магнитным полем В в ^-направлении, которому соответствует в симметричной калибровке векторный потенциал

А=|(у,-Ж). (6.21)

При числе заполнения основного уровня Ландау, близком к 1/3, оказывается очень удобным использовать базис (сильно вырожденный) одночастичных волновых функций основного уровня Ландау, которые имеют вид

^0т(®, у) = Zm exp (--X И2) , (6.22)

где т ^ 0 и использовано обозначение z = х + iy. Легко показать, что ^m\Lz\mx> = Нт и (m|r2|m) = 2(m + 1)1^- Поэтому разность потока, проходящего через ближайшие соседние состояния, опять равна у?о- Вырожденность уровня равна, как и в (6.8),

где R — радиус образца.

Для невзаимодействующих электронов можно было бы просто разместить данные N электронов по р ~ 3N возможным базисным состояниям и антисимметризовать. Наиболее прямой путь учесть корреляции — это умножить невзаимодействующую волновую функцию на произведение функций вида /(^ — Zj^ где / должна обращаться в нуль, когда Z{ и Zj стремятся друг к другу (Laughlin, 1983). Эти функции / называются «факторами Джастрова» и были очень удачно введены Джастровом при вычислениях по жидкому гелию для того,

чтобы учесть сильное короткодействующее отталкивание между каждой парой атомов. В принципе, вся функция / может рассматриваться как набор вариационных параметров: f(z) варьируется для того, чтобы минимизировать среднее значение гамильтониана в предполагаемом основном состоянии. Как было показано Лафлином, оказывается, что / почти полностью определяется симметриями системы и остается не очень много вариационной свободы. При рассмотрении движения в электрических полях, в пределе сильного магнитного поля, было показано, что кинетическая энергия, в основном, сосредоточена в быстром циклотронном движении. Поэтому потенциальная энергия играет главную роль в нетривиальных аспектах задачи. Отметим также, что из-за /-факторов перекрытие между электронами оказывается довольно малым. Уже простой выбор антисимметричной / учитывает фермионную природу электрона и поэтому нет необходимости брать обычный детерминант Слэтера ).

Итак, волновая функция Лафлина выбирается в следующем виде:

/ N \

• • •, = П f^i ■ ехр( У 1г,12 ) ’(6-23)

н 1=1/

где последний фактор (с точностью до движения центра масс) может быть поглощен фактором Джастрова; / должна быть нечетной для антисимметричности ф: f(z) = —/(—z). Так как система инвариантна относительно вращений, то ^-компонента полного углового момента Lz должна быть хорошим квантовым числом. Это требует, чтобы П f(zj — Zk) было однородным полиномом по ^i, . . . , zN. Для

получения полного углового момента М степень полинома должна равняться М (для проверки этого утверждения подействуйте оператором Lz = (^/0 ^(^/y^j) на ЭТУ волновую функцию, здесь <pj — фаза Zj\

3

Из этого условия и нечетности / следует, что

f(z) = zm, т — нечетное.(6.24)

Так как число пар z^ z^ равно N(N — 1)/2, то

7V(7V — 1)М = — т.

При данном числе заполнения N /р, которое выбрано равным N/р = = 1/3, единственная оставшаяся вариационная степень свободы — это выбор т. Лафлин придумал элегантный, интуитивно ясный способ

для определения т. Он представил |^|2? имеющую теперь только один вариационный параметр т^ как классическую плотность вероятности:

(6.25)(6.25)

(6.25)

(6.25)

Здесь Р — фиктивная обратная температура, значение которой должно быть несущественно. Из соображений простоты Laughlin взял Р = 1/т, тогда

<р^ ...,2^ = -2т2 ^ ln Vi - zk\ + ^"Ы-(6-26)

3<kН

Отметим, что похожее, физически прозрачное представление было использовано Дайсоном (Dyson, 1962) в теории спектральных корреляций случайных матриц, упомянутых в гл. 4. Выражение (6.26) есть потенциальная энергия набора двумерных зарядов ш, отталкивающих друг друга через двумерное кулоновское взаимодействие и притягиваемых к центру одночастичным потенциалом (1/2/^) |zi |2. Последний может рассматриваться как созданный однородным положительным зарядом с плотностью р+ = 1/2тг/^. Наименьшая энергия этой классической плазмы достигается, когда отрицательная плотность заряда т/(3, 2тг/^) в точности компенсирует положительный заряд и обеспечивает зарядовую нейтральность. Это дает

т = 3 длят = 3 дляNРNР13'13'(6.27)(6.27)

т = 3 для

т = 3 для

N

Р

N

Р

1

3'

1

3'

(6.27)

(6.27)

Если нарисовать график зависимости полной энергии жидкости от N/р, то оказывается, что он имеет отрицательный пик при N/p = = 1 /ш = 1/3. Поэтому, состояние с т = 3 имеет дополнительную стабильность (из-за «зарядовой нейтральности» плазменного аналога) при правильном заполнении. Существование этой дополнительной стабильности означает, что при числе заполнения 1/3 в спектре возбуждений имеется эффективная щель, и поэтому дрь/dN —> ос и, следовательно, система является несжимаемой. Такое поведение является обобщением разрывного поведения ^(N) при полных заполнениях в строго невзаимодействующем двумерном газе. Важная связь между этой несжимаемостью и целочисленным или дробным КЭХ обсуждалась Макдональдом (MacDonald, 1995). Именно эта дополнительная стабилизация вызывает обращение в нуль ржж при Т —у 0. Она также фиксирует величину кондактанса Холла на ступеньке е2/(3/г) при N/р =1/3, когда элементарные возбуждения пиннингуются малым беспорядком. Сейчас имеется много вычислений, подтверждающих, что состояние (6.23) очень близко к правильному основному состоянию. Если взять N/р = = 1/5,1/7, . . . , то лучшими значениями т в вариационной волновой функции (6.23) будут 5, 7,... Но нужно принять во внимание, что при достаточно малых числах заполнения вигнеровский кристалл может

заменить коррелированную жидкость в качестве истинного основного состояния системы.

Другие заполнения с нечетным знаменателем, скажем 2/3, (которое, в действительности, было открыто следующим), могли быть рассмотрены аналогичным способом, с использованием дырки в полностью заполненном нижнем уровне Ландау. Анализ всей иерархии рациональных чисел заполнения с нечетным знаменателем (Haldane, 1983), таких, как 2/5, 3/7 и т. д., представляет собой очень сложный вопрос, который будет кратко рассмотрен после обсуждения элементарных возбуждений состояния с заполнением 1/3.

Прежде чем сделать это, будет полезно обратиться, например, к геометрии диска (рис. 6.4). При отсутствии взаимодействия одночастич- ние состояния переходят друг в друга при адиабатическом изменении потока Ааронова-Бома на Фо- При числе заполнении 1/3 в среднем один электрон проходит через систему после добавления трех квантов потока. Поэтому ток Холла будет даваться (е2/3h}V^ как и в картине Друде для этого же заполнения. Задача состоит в том, чтобы понять, как взаимодействие стабилизирует эту ситуацию для небольшого интервала значений N (р вблизи 1/3.

Лафлин придумал остроумный способ получения квазичастиц в своей теории. Он предложил рассмотреть систему, пронзенную бесконечно тонкой линией магнитного потока, адиабатически изменяющегося на квант Фо. Во всех промежуточных случаях единственным эффектом этой линии потока (как ааронов-бомовского потока (приложение В)), будет изменение фазы многочастичной волновой функции на 2тгФ/Фо при обходе вокруг нее. В момент времени, когда Ф становится равным Фо, система возвращается к исходному гамильтониану и граничным условиям, и можно показать, что теперь она находится в возбужденном состоянии. Но, как и в случае Ааронова-Бома, одноэлектронная волновая функция zk этим изменением потока переводится в zkJrl или ^/.-i, в зависимости от направления потока (кроме случая состояния с т = 0, которое при устранении потока переходит в состояние z* ехр (— |^|2/4/^), принадлежащие соседним уровням Ландау. Поэтому, если рассмотреть заряд внутри некоторой окружности вокруг начала координат, то, так как наша многочастичная волновая функция построена из одноэлектронных состояний, изменение магнитного потока на Фо приводит к переносу в окружность или из окружности среднего заряда на одно состояние, равного 1/т. Угловой момент этой одночастичной волновой функции изменился на единицу. Так как «движение» одночастичных состояний имеет ту же природу, что и обсуждавшее в контексте явления Ааронова-Бома, то это означает, что не только кондактанс Холла равен е2 /(3/г), но и что эффективный заряд созданной таким образом квазичастицы, равен 1/3 заряда электрона. Таким образом, полное изменение заряда при создании одной квазичастицы в большом цилиндре, окружающем линию потока, равно е/3, если т = 3. Лафлин, основываясь на вышеприведенном рассужде-

нии, предложил также приближенную форму для волновых функций квазичастиц (Haldane, 1983; Halperin, 1984).

Похожий расчет заряда, использованный Сю и Шриффером (Su and Schrieffer, 1981) во взаимодействующих одномерных электронных системах, тоже давал возможные дробные заряды, равные 1/3. В одномерных задачах было много обсуждений, как можно наблюдать эти дробнозаряженные квазичастицы. Оказывается, что это очень непросто, так как большинство экпериментов использует обычные электроны, которые «одеваются» только тогда, когда находятся внутри системы, а когда в конце эксперимента они наблюдаются вне системы, правильный подсчет дает заряд в. Для того чтобы наблюдать заряд е/3, эксперимент должен быть проведен внутри системы с ДКЭХ. Было предположено, что осцилляции Ааронова-Бома, вызванные квазичастицами, движущимися по эффективному кольцу внутри двумерного газа, могут дать периодичность с квантом потока 3hc/e. Существуют экспериментальные указания на то, что такое возможно (Simmons et al., 1989, 1991). Соответствующая нетривиальная теоретическая картина обсуждалась в работах (Thouless, 1990; Thouless and Gefen, 1991; Gefen and Thouless, 1993).

Другим необычным свойством квазичастиц Лафлина является их статистика (Halperin, 1984). Она оказывается ни бозонной, ни фермионной, а промежуточной «дробной статистикой» (отсюда и название «анионы»). Это происходит из-за того, что квазичастицы можно рассматривать прикрепленными к квантам потока. Поэтому при перестановке двух квазичастиц из-за этих нитей потока возникает дополнительная фаза типа фазы Ааронова-Бома (Halperin, 1984; Arovas et al., 1985; Haldane and Rezayi, 1988). Соединение линий потока и частиц оказывается очень полезным теоретическим приемом. Но является ли это физически реальным, остается отдельным вопросом.

Следующей рассмотрим интересную идею Джейна (Jain, 1989) о иерархии состояний ДКЭХ. Картина, возникшая на основании этой идеи, недавно получила впечатляющее экспериментальное подтверждение, относящееся как к выделенной роли числа заполнения N/р = = v = 1/2, так и к ступенькам около него (см. рис. 6.9 из работы (Du et al., 1993а)), и оказалась наиболее близкой к реальности (Wheeler et al., 1993; Goldman et al., 1994). Теория, относящаяся к этой картине, была развита Гальпериным, Ли и Ридом (Halperin, Lee and Read, 1993). Картина основывается на двух свойствах экспериментальных данных: 1) нечто особенное происходит при числе заполнения, равном 1/2; 2) наиболее выраженные плато ДКЭХ располагаются при числах заполнениях m/(2m ± 1), где т — целое, а их амплитуда убывает с ростом т. При числе заполнении 1/2 имеется не очень хорошо выраженный минимум <тжж (но никаких ступенек в ож^^ а транспортные свойства очень близки к свойствам электронов в нулевом магнитном поле. Выделенную роль значений m/(2m ± 1) не так легко понять в «иерархической» схеме (Haldane, 1983), хотя возможно, что, в конце

Рис. 6.9. Данные для диагонального сопротивления ржж в окрестности и = = 1/2 и v = 1/4 при Т = 40 мК в образце А (из работы (Du et al., 1993)). Числа заполнения уровня Ландау указаны. Для полей, больших чем 14 тесла, данные уменьшены в 2,5 раза. Отметим выделенную роль v = 1/2 и v = = т/(2m ± 1). Поведение около v = 1/2 имеет вид осцилляций Шубникова, который они обычно имеют вблизи Н = 0. Цитата из статьи: «Действительно, поведение ДКЭХ при v = т) (2m ± 1) воспроизводит поведение ЦКЭХ при

v = р и В = 0»

концов, они окажутся связанными с представлением композитных фермионов, которое будет описано ниже.

В наивной версии этого представления предполагается, что около заполнения 1 /2 к каждому электрону прикреплены два кванта потока, по направлению противоположные направлению В (эти комплексы ведут себя как фермионы, отсюда и название «композитный фермион»). Посмотрим, что происходит при некотором рациональном числе заполнении v. Имеется v электронов на один (внешний) квант потока. Поток, прикрепленный к композитным фермионам, равен 2г/, так что остающийся эффективный поток 0eff на один композитный фермион равен

Фе№=^/^. (6.28)

Для числа заполнения 1/2 эффективный поток 0eff = 0. При числе заполнения \]т Фегг = т — 2, что соответствует при т = 3 целочисленному КЭХ для композитных фермионов, а при т = 5,7,... — простым числам заполнения с нечетным знаменателем 1/3,1/5,...

(О более элегантном способе ) получения этих высших дробностей смотри ниже.) Дополнительное заполнение 2/3 соответствует 0eff = = — 1/2, т. е. опять ЦКЭХ для композитных фермионов. Что можно сказать о выделенных заполнениях mj^m ± 1)? Они соответствуют ^eff = ±1/т^ т. е. высшим плато ЦКЭХ. Когда т увеличивается, эти две дуальные серии плато при заполнениях тЦ^т ± 1) сходятся к случаю заполнения 1/2, который похож на предел Н —> 0 обычного КЭХ с большим j или ряд Шубникова (достижение которого, конечно, ограничивается примесями и температурой). Это объясняет главные характерные черты (рис. 6.9), включая поведение типа Шубникова-де Гааза при заполнении 1/2.

Обобщение этой картины на иерархию дробных чисел заполнения рассматривает их как отвечающие ЦКЭХ различных типов композитных фермионов, составленных из электрона и р пар квантов потока. Для них, в обобщение (6.28), имеем

, । 1 1 « 7

Фе№ = ±" = - - 2р Z/ = /

J V 2рз ± 1

где з — номер плато ЦКЭХ композитных фермионов. Знак минус возникает потому, что целочисленные плато отвечают эффективному полю, которое направлено против направления исходного поля В.

Эта картина не только дает прекрасный способ представления большинства существующих данных для ЦКЭХ и ДКЭХ, использующий одну парадигму, но он также привлекателен своей простотой и физической интерпретацией. Фундаментальное развитие этой картины эффекта Холла в терминах соответствующей калибровочной теории Черна- Саймонса было дано Гальпериным и др. (Halperin et al., 1993). Использованный выше прием устранения некоторых линий потока может быть правилен только в приближении среднего поля. Поэтому нужно еще рассмотреть эффект флуктуаций вблизи этой картины. Приближение среднего поля было бы хорошим приближением, если получающееся состояние оказалось бы «несжимаемым». Можно показать (Read, 1994), что физически фазы, похожие на возникшие выше в результате прикрепления линий потока к частицам, должны возникать из-за возможности существования в системе вихрей. Аргументы в пользу физической правильности композитных фермионов были даны Кангом и др. (Kang et al., 1993; Wheeler et al., 1993a,b; Stornier et al., 1994). Ферми-жидкостная картина для описания КЭХ около заполнения 1/2 согласуется с численными вычислениями для конечных систем (Rezayi and Read, 1994).

Задача

1. Допустим, что фазовая диаграмма (рис. 6.7) справедлива, а) Объясните, почему в пределе L —> оо или нулевой температуры почти все образцы будут показывать КЭХ. б) Покажите, что только при очень специальных условиях образцы будут иметь сгжж = 1/2 и ажу1 квантованное при полуцелых значениях, в) Опишите поведение образца, незначительно отличающегося от образца, поведение которого совпадает с (б), г) Воспроизведите аргументы Хмельницкого (Khmel’nitskii, 1984а): 1) найдите на рис. 6.4 области притяжения фиксированных точек КЭХ в терминах сг^; 2) найдите соответствующие плато КЭХ при шст ^ 1. Покажите, что при шст <С 1 новые плато получаются тогда, когда Ер пересекает энергии «левитирующих протяженных состояний» Ej ~ (J + 1/2)(/1/шст2у Здесь эти состояния не связаны с уровнями Ландау.

Глава 7

МЕЗОСКОПИКА И СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ

Введение

Многое из того, что рассматривалось нами в мезоскопике, касалось эффектов, связанных с фазовой когерентностью нормальных электронов. Каждый электрон сохраняет фазовую когерентность на длине L^; эффекты, связанные с интерференцией электронов с энергиями, лежащими в полоске шириной квТ вокруг уровня Ферми, проявляются на расстояниях, меньших или порядка LT. Сверхпроводящее состояние характеризуется наличием макроскопической волновой функции, идеально сохраняющей когерентность на произвольно больших длинах. Очень интересно проследить, как эти два (нормальный и сверхпроводящий) эффекта когерентности влияют друг на друга. Ответ на этот вопрос не очевиден, так как в нормальном металле носителями заряда являются одиночные электроны (или дырки), тогда как в сверхпроводнике когерентность связана с волновой функцией куперовских пар. Хорошо известно, однако, что сверхпроводимость может проникать в нормальный металл на глубину ~ LT (которую, в данном контексте, принято называть «нормальной металлической длиной когерентности, £N» х) ) ). Это так называемый эффект близости (см., например, Deutscher, de Gennes, 1969). Между двумя сверхпроводниками могут возникать сильные корреляции, сопровождающиеся протеканием сверхпроводящего тока через разделяющий их барьер из нормального металла (последний может иметь длину ~ LT или ~ L^, см. § 5). Такой контакт называется «слабой связью» (см., например, Licharev, 1979). Это явление похоже на обычный эффект Джозефсона, имеющий место при туннелировании куперовских пар через тонкий диэлектрический барьер (но не тождественно ему).

Сверхпроводящий ток через слабую связь — периодическая функция разности фаз между сверхпроводниками. Его максимальная величина называется «критическим током слабой связи». Вышеупомянутая разность фаз чувствительна к электрическим полям между двумя сверхпроводниками и к магнитным потокам, проходящим между ними

и через смежные электрические контуры. Различные типы слабых связей имеют многочисленные практические применения из-за их фазовой чувствительности к слабым электромагнитным полям. Например, такие слабые связи используются в высокочувствительных датчиках слабых статических магнитных полей и высокочастотных излучений. Встроенная нелинейность таких слабых связей, связанная с периодичностью тока как функции разности фаз) приводит к целому ряду интересных явлений и приложений, которые выходят за рамки этой книги.

Комбинация сверхпроводящих и нормальных компонент приводит к огромному количеству новых и интересных явлений. В гл. 4 уже было упомянуто, что сверхпроводящий ток через нормальную слабую связь имеет много общих свойств с незатухающим (бездиссипативным) током в кольце, изготовленном из того же материала, что и эта слабая связь (Altshuler et al., 1983; Altshuler and Spivak, 1987). (Подчеркнем, что это соответствие, связанное с эффектом Андреева, обсуждаемым ниже (см. §5), справедливо только для «длинной» системы, в которой энергия Таулеса меньше, чем щель в спектре возбуждений сверхпроводника.) Так как критический ток слабой связи пропорционален ее кондактансу, критический ток в баллистическом точечном контакте может «квантоваться» (изменяться скачками), что связано с аналогичным квантованием кондактанса (Beenakker, van Houten, 1991а,b,с). Было экспериментально продемонстрировано (Petrashov et al., 1993b, 1995), что, добавляя сверхпроводники в качестве «Андреевских зеркал» к кольцу из нормального металла, в котором наблюдаются осцилляции сопротивления Ааронова-Бома, можно увеличить амплитуду последних более чем на два порядка. Интересные новые эффекты наблюдались также в контактах нормальный металл-сверхпроводник с единственной поверхностью раздела (Beenakker, 1992а; van Wees et al., 1992).

Особенно интересны системы, в которых роль нормального «металла» играет полупроводник, так как здесь легче реализовать баллистический режим, и, кроме того, возникает возможность исследовать эффекты, связанные с переходом металл-изолятор и с наведением сверхпроводимости в полупроводнике. Множество новых явлений можно наблюдать благодаря использованию электростатических затворов или оптического возбуждения для управления свойствами полупроводника. Технология ) создания хороших контактов полупроводник- сверхпроводник сейчас интенсивно развивается. Можно надеяться, что такие контакты с контролируемыми свойствами скоро будут сделаны, и тогда можно будет производить систематические исследования этих систем (van Wees, 1993; van Wees et al., 1994; den Hartog et al., 1996). Данная область исследований обещает стать одним из самых захватывающих новых направлений в мезоскопике. Органические проводники,

о которых рассказывается в § 9, управляемые при помощи затворов, также открывают новые возможности в создании комбинаций нормальный проводник-сверхпроводник.

Мы будем описывать сверхпроводники, используя, главным образом, теорию Гинзбурга-Ландау (ГЛ), которая была первоначально развита феноменологически и позже выведена из микроскопической теории. Мы ограничимся кратким обзором этой теории и будем использовать ее, не входя в детали микроскопической картины. Данный подход достаточно удобен при описании многих ситуаций, встречающихся в эксперименте. Хорошие изложения теории ГЛ могут быть найдены в учебниках де Жена (de Gennes, 1966) и Тинкама (Tinkham, 1975). Остаток этого параграфа посвящен элементарному обзору теории ГЛ. Тонкие кольца и проводники будут рассмотрены в § 2 (причем особенное внимание будет уделено флуктуационным эффектам); в §3 обсуждаются слабые связи; в § 4 дается краткое введение в теорию вихрей. Андреевское отражение и некоторые из его применений описаны в § 5, где упомянут также ряд интересных экспериментальных результатов и открытые вопросы в этой области. Многое из того, что рассматривается ниже, намеренно (с педагогическими целями) излагается на элементарном уровне, причем основной акцент делается на вопросах, существенных для мезоскопики.

Сверхпроводящее состояние описывается комплексным параметром порядка ффг\ который (как это было угадано еще Лондоном) физически представляет собой «макроскопическую волновую функцию». Свободная энергия F системы является функционалом «поля» ф(г\ где координата г характеризует точки образца. Вероятность состояния с конфигурацией ^(г) пропорциональна e“^F^; в состоянии равновесия свободная энергия F минимальна.

Согласно теории ГЛ, функционал ^[V7] в сверхпроводнике имеет вид

РШ =РШ =d3x < — фd3x < — ф(М^^ФГ^ кт — а ^+^1#|4(М^^ФГ^ кт — а ^+^1#|4(7-1)(7-1)

РШ =

РШ =

d3x < — ф

d3x < — ф

(М^^ФГ^ кт — а ^+^1#|4

(М^^ФГ^ кт — а ^+^1#|4

(7-1)

(7-1)

где а и b — константы, А —где а и b — константы, А —векторный потенциал, и 2е — заряд

где а и b — константы, А —

где а и b — константы, А —

куперовской пары (как известно из теории БКШ). В однородном случае ф = const, А = 0; так что плотность свободной энергии F/П дается выражением / = п|^|2 + - 5|^|4, имеющим минимум при ф = фо. В нормальном состоянии а > 0 и фо = 0; в сверхпроводящем состоянии а < 0 и ф ^ 0. Следовательно, коэффициент а должен изменять знак при переходе через критическую температуру Тс, ниже которой устанавливается сверхпроводимость.

Разумно предположить, что вблизи Тс

а = const > 0, b = const > 0.(7.2)

Ниже Тс параметр порядка и выигрыш в плотности свободной энергии сверхпроводящего состояния (по сравнению с нормальным) равны

12

l^o|2 = -f,=(7.3)

Из микроскопической теории известно, что

Д-Л = |п(0)А^(7.4)

где As — щель в спектре возбуждений сверхпроводника, удовлетворяющая условию 2AS 22 3.5квТс при Т = 0. Сверхпроводящая длина когерентности £(Т) дается формулой

,=№).

При низких температурах £(0) = ^о ^ hv F / As ~ 103 — 104 А в чистых сверхпроводниках. В грязных сверхпроводниках (где I <С £о) С(Т —У —> 0) ~ V£o^- В обоих случаях вблизи Тс

1

Как для любой волновой функции заряженных частиц, наличие пространственного изменения фазы волновой функции ^ и/или ненулевого векторного потенциала А приводит к возникновению плотности тока

j = ^™-W)-—№(7.7)

гттс

Заметим, что это выражение калибровочно инвариантно. Граничное условие на открытой поверхности образца должно требовать обращения в нуль нормальной к поверхности компоненты тока, уп:

К = о.(7.8)

Экстремали функционала Г7^] находятся из уравнения Гинзбурга- Ландау

^ (z^V + ^ А^ ф = афА-Цф^ф.(7.9)

Вместе с уравнениями (7.7) и (7.8) оно полностью описывает большинство представляющих интерес физических ситуаций, при условии, что все параметры не меняются со временем, а их пространственные изменения малы на масштабах £(Т) (последнее условие позволяяет сохранять только член низшего порядка в разложении по градиентам ^,

как в уравнении (7.1)). Если решение уравнения (7.9) не единственно, то нужно выбрать те из решений, которые отвечают минимумам Е7^], причем низший из них описывает равновесное состояние. Более высокие минимумы соответствуют метастабилъным состояниям; в простых случаях переходы между ними могут быть представлены как результат флуктуации, непрерывным образом переводящей ^(ж) из одного минимума в другой через некоторую седловую точку функционала F[^] (Little, 1967; Langer and Ambegaokar, 1967; Halperin and McCumber, 1970).

Вообще говоря, из-за наличия малого параметра [&^£(0)]-1 флуктуации ^ около минимума довольно малы, обычно в массивных сверхпроводниках ими можно пренебречь. В гранулах (OD-системах) и в 1D- проводниках сверхпроводящий переход размыт температурными флуктуациями. Это явление хорошо изучено (Shmidt, 1966; Muhlschlegel et al., 1972; Gunther and Gruenberg, 1972; Scalapino et al., 1972). В двумерных (2D) системах флуктуации порождают качественно новый эффект: характер дальнего порядка меняется, и сверхпроводящий переход происходит благодаря механизму распаривания вихрей (Berezinskii, 1971; Kosterlitz and Thouless, 1979; Nelson and Halperin, 1979), имеющему общее и фундаментальное значение для всей физики взаимодействующих двумерных систем. Особенно интересные примеры — двумерные сетки джозефсоновских «точек», в которых, как было показано (Mooij et al., 1990; Lenssen et al., 1992; Mooij and Schon, 1992; Elion et al., 1993, 1994; van der Zant et al., 1991a,b, 1992a,b,c; Tighe et al., 1991), вихри могут двигаться подобно частицам. В § 4 мы кратко вернемся к обсуждению некоторых красивых эффектов, связанных с вихрями.

Эффект Мейснера, который заключается в выталкивании не очень сильного магнитного поля из массивного сверхпроводника, немедленно следует из теории ГЛ. В самом простом случае однородное магнитное поле приводит к возникновению сверхтекучих токов вблизи поверхности образца, экранирующих его внутреннюю область от проникновения магнитного поля. Ток и поле спадают вглубь от поверхности на характерной длине, которая называется лондоновской глубиной проникновения:

Л-2(Т)= 1677^^,2, (710) тс

пока поле меньше некоторого критического значения. Эта картина справедлива, если AL(T) >> £(0), т. е. если отклик системы локален. Однако в сверхпроводниках первого рода параметр Гинзбурга-Ландау х, равный

ып

мал по сравнению с единицей. Теория ГЛ с большим параметром и описывает сверхпроводники второго рода, в которых, из-за отрицатель-

ной поверхностной энергии границы раздела нормальной и сверхпроводящей фаз, кванты потока (с соответствующими токами, текущими вокруг них) могут относительно легко проникать в сверхпроводник. Отметим, что при низких температурах, когда ^д ^ 'Г длина XL имеет порядок радиуса экранирования Томаса-Ферми, умноженного на с/vF (или разделенного на постоянную тонкой структуры а). В чистом сверхпроводнике |^о|2 ~ ^ при Т = 0, тогда как в грязном случае (т. е. при / < £0) |^о|2 ~ n(V^o)-

Сверхпроводящие кольца и тонкие проволоки

Рассмотрим кольцо (см. Imry, 1969b,с), сделанное из обычной тонкой проволоки с площадью поперечного сечения А (не путать с векторным потенциалом А) и длиной L, так что ^(ж) (где х — координата вдоль провода) удовлетворяет периодическим граничным условиям. Начнем с обсуждения сверхпроводящего состояния системы при Т < < Тс и в отсутствие магнитного поля. Нетрудно найти решения уравнения ГЛ (7.9) с независящей от х амплитудой |^| = ^о (см. (7.3)). Эти решения, являющиеся локальными минимумами F^ имеют при kn <С « 1/£ вид

^п(ж) = |^о|ехр(г/г„ж), fc„ = 2тгр jn =(7.12)

где jn — азимутальный ток в состоянии п. Им соответствуют фазовые сдвиги 2тгп вдоль кольца и свободные энергии

Fn = Fo +(7 13)

2Lm

так что состояние с п = 0 стабильное, а с п ^ 0 — метастабильное. При выводе формулы (7.13) не было учтено уменьшение Fq за счет кинетической энергии, связанной с конечностью kn. Такой учет, однако, мог бы привести лишь к несущественной для дальнейшего эффективной перенормировке численного коэффициента перед вторым членом в (7.13). При заданном АБ потоке Ф, соответствующий набег фазы вокруг кольца равен ср = 2тгФ/(/гс/2е) = 4тгФ/Фо. Благодаря тому что в уравнения ГЛ входит 2е, изменение фазы у? при калибровочном преобразовании (см. приложение В) содержит сверхпроводящий квант потока, который мы будем обозначать как Ф8:

_ Ф , he Фо

Стационарные решения по-прежнему определяются выражением (7.12), но вычисление свободной энергии ГЛ показывает, что в формуле

(7-15)(7-15)п нужно заменить на п — 6, где

(7-15)

(7-15)

— 2тг Ф6 "

Для заданного 0 существует множество решений. Так как свободная энергия пропорциональна (п — 0)2, мы можем ожидать, что наиболее стабильному состоянию должно отвечать п = т. где т — ближайшее к О целое число. В нормальном случае, исследованном в гл. 4, постоянные незатухающие токи были так малы, что их влияние на О или Ф было пренебрежимо малым, и можно было положить 0 = = 0ext (внешнему потоку). В рассматриваемом здесь случае ситуация может быть совершено иной, и спонтанные потоки могут играть очень важную роль. Возьмем, например, случай, когда толщина проволоки в направлении, перпендикулярном потоку, много больше, чем XL. Мы знаем, что глубоко внутри проволоки (на расстоянии от ее поверхности, большем, чем XL) и ток j, и магнитное поле исчезают. Проинтегрируем ток в уравнении (7.7), т. е. найдем jj^l вдоль линии, охватывающей кольцо и проходящей внутри проволоки. Так как j = О вдоль контура интегрирования, то

Ф = оА-(/1 =Ф = оА-(/1 =he I .he^^фгУ7 • d\ = п — .‘lie Т2еhe I .he^^фгУ7 • d\ = п — .‘lie Т2е(7-16)(7-16)

Ф = оА-(/1 =

Ф = оА-(/1 =

he I .he

^^фгУ7 • d\ = п — .

‘lie Т2е

he I .he

^^фгУ7 • d\ = п — .

‘lie Т2е

(7-16)

(7-16)

где 27 — фаза волновой функции ^, которая при обходе кольца обязана изменяться на 2тгп, потому что функция ^ должна быть однозначной (имеется в виду «физическое» ^, отвечающее случаю, когда калибровочное преобразование, описанное в приложении В, еще не сделано, т. е. векторный потенциал А еще не исключен). Мы приходим к заключению, что поток квантуется в единицах Ф5, что общеизвестно для случая сверхпроводников.

В общем случае, когда ширина кольца d не обязательно велика по сравнению с AL, квантуется так называемый флюксоид, равный сумме потока через кольцо и величины, пропорциональной j dl; при d ^> XL квантование флюксоида сводится к квантованию потока.

Так как внешний поток 0ext может принимать произвольные значения, факт квантования потока 0 указывает на то, что самонаведенные (спонтанные) потоки существенны и ими нельзя пренебрегать, как в нормальном случае. Причина этого, конечно, в том, что незатухающие токи здесь на много порядков больше, чем в нормальном случае.

Фундаментальной причиной столь большой величины незатухающих токов является то, что ^ — не одночастичная собственная функция (как в нормальном состоянии), а «макроскопическая волновая функция», отражающая тот факт, что в сверхпроводнике весь электронный газ формирует новое (сверхтекучее) основное состояние и конечная доля электронов этой электронной жидкости когерентным образом участ-

вует в переносе тока. Чтобы оценить порядок величины незатухающих токов в сверхпроводящем кольце, мы отметим, что из уравнений (7.1)(7.5) (ср. (7.13)) для «чистого» случая (£0 ^ /) следует

fa) (j) £о - п(0)Д2 • n (^f ~ Nib. (7.17)

Это выражение соответствует идее Лондона о «жесткости волновой функции», из которой следует, что в гамильтониане только член, пропорциональный А2, ответствен за чувствительность к магнитному потоку. Подчеркнем, что в (7.17) As — сверхпроводящая щель, а А — характерное расстояние между уровнями в нормальном случае. В грязном случае результат следует умножить на 0(//£о), так что последнее выражение заменяется на N_lZXsI / L. Уравнение (7.17) надо сравнить с результатом для нормальных электронов, где (см. (4.13) и (4.14)) величина Ес ос N±Al/L играет (в диффузионном случае) аналогичную роль. Таким образом, в чистом сверхпроводнике амплитуда токов оказывается в N^L/l раз больше, чем в нормальном состоянии, что составляет пять или шесть порядков по величине для типичных колец, используемых в экспериментах с незатухающими токами. В грязном случае это отношение имеет порядок As/A ос 104. Заметим, что вышеупомянутое отношение было бы не столь громадным для полупроводникового кольца высокого качества и с малым

Полезно вспомнить, что индуцированный током / поток в кольце,

Фг = С£(7.18)

определяется коэффициентом самоиндукции С. Для типичных колец С ~ L/с с точностью до логарифмических множителей. Максимальный незатухающий ток, который может протекать в нормальном кольце с единственным каналом, можно оценить как I ~ /д ~ ex F ) L (см. гл. 4); так что самоиндуцированный безразмерный поток имеет порядок (Altshuler, 1991, частное сообщение)

Ji ~~ а2 ~ Ю"4,(7.19)

Фо С'

где а — постоянная тонкой структуры, и мы приходим к выводу о том, что Ф^ пренебрежимо мало (см. также Loss and Martin, 1993; заметим, однако, что Azbel (Azbel, 1993) высказывал другое мнение по этому вопросу). Легко видеть, что Ф^ <С Фо также и в многоканальной ситуации. Напомним, что Ф^ ос V^± в сверхчистом проводнике (см. замечание, следующее за формулой 4.11) и Ф^ не зависит от А^ в обычных баллистических или диффузионных проводниках. С другой стороны, в достаточно массивных сверхпроводящих кольцах Ф^/Фд > 1, так что индуцированный поток Ф^ дает существенный вклад в полный поток Ф. Характерным масштабом длины здесь служит AL, которая, согласно нашим оценкам, имеет порядок микроскопической длины, деленной

на а. Малая амплитуда нормальных незатухающих токов препятствует возникновению метастабильных токовых состояний в нормальных системах. Было бы очень интересно найти какой-нибудь пример, в котором такие самонаведенные магнитные моменты (типа «bootstrap») существовали бы в несверхпроводящей системе. Возможно, что подобные эффекты могли бы проявляться в системах взаимодействующих нормальных колец при низких температурах (Szopa and Zipper, 1995).

Напомним общую идею, принадлежащую Кону (Kohn, 1964) (аналогичные идеи, в применении к одночастичным уровням, высказывались Эдвардсом и Таулессом (Edwards and Thouless, 1972)), заключающуюся в том, что ненулевая величина чувствительности к потоку (левая часть (7.17), ср. (4.1) и (4.14)), вычисленной в состоянии системы, отвечающем ее наинизшей энергии (или свободной энергии), характерна для проводящих систем (для изоляторов она равна нулю). Теперь мы убедились, что сверхпроводник и нормальный металл отличаются зависимостью д2Е/дО2 от размеров системы. Такая классификация веществ по трем состояниям (изолятор, нормальный металл, сверхпроводник) представляется очень глубокой (Scalapino et al., 1991; Scalapino, 1993).

Блох (Bloch, 1970) предложил наглядную общую интерпретацию эффекта самоиндуцированного потока, основанную на исследовании полной свободной энергии системы ^(Ф), где Ф — полный поток. При фиксированном внешнем потоке Фех1 нужно минимизировать по Ф соответствующую свободную энергию Ft. включающую в себя, кроме Е^ и вклад от электромагнитного поля (1/2/2) (Ф — Фех1)2:

^ = ^ + ^(ф-фех1)2. (7.20)

Минимизируя это выражение по Ф, получим

ф = феХ(+£Л (7.21)

где, как и раньше, / = —dF/дФ. Таким образом, полный поток равен внешнему потоку плюс поток, происходящий от циркулирующих токов х). Удобно представить решение уравнения (7.21) графически (Bloch, 1968, 1970), изображая на одном и том же рисунке графики функции /(^) и линейной зависимости (7.21) (последняя будет иметь вид / = q(0 — 9ext\ где q = Ф5//2). Из общей теоремы Байерса-Янга (Byers-Yang) следует, что в равновесии /(^) должна быть нечетной периодической функцией 0 с периодом 2, но, в данном случае, из- за эффекта сверхпроводящего спаривания, она имеет период 1 (т. е. период Д/(2е), как функция Ф). График ветви 1п(0) (см. выражение (7.12), где п нужно заменить на п — 0) — прямая линия. Функция 1(0) для каждого 0 совпадает с некоторой ветвью 1п(0)> гДе ^ выбирается таким, чтобы / было наименьшим. Прямая линия / = q(0 — 0ext) может

') В нескольких последних уравнениях мы положили с = 1.

иметь много пересечений с различными ветвями (показанными пунктирными линиями на рис. 7.1). Пересечение, отвечающее наименьшему

• Метастабильное решение

• Наиболее стабильное решение

Рис. 7.1. Схематический график /(#) для сверхпроводящего кольца. Штриховыми линиями показаны графики 1П(9) (7-12). Сплошная кривая соответствует равновесному значению 1(9) в пренебрежении индуцированным потоком при низких температурах. Сплошная прямая изображает зависимость I = q(9 — ^ext) (см. (7.21)). Ее пересечения с 1(9), отмеченные черными кружками, — локально стабильные решения, причем наиболее стабильному решению (показанному стрелкой) соответствует наименьший ток. Остальные пересечения (отмеченные светлыми кружками) представляют неустойчивые решения. Квантование потока возникает тогда, когда пунктирные линии идут значительно круче сплошной прямой линии

току (и величине 9, которая «почти квантована» и лежит ближе всего к ^ext), — описывает наиболее устойчивое решение. При увеличении толщины кольца (или цилиндра) пересечения приближаются к целым значениям 9, и квантование потока становится более точным.

Гюнтер и Имри (Gunther and Imry, 1969) рассмотрели длинный тонкостенный цилиндр и вывели ряд соотношений, которые демонстрируют, как квантование потока становится все более точным с увеличением d) XL. При конечных температурах заселяются состояния с разными п, и изломы функции 1(9) при «переключениях» между различными значениями п сглаживаются.

Идея о том, что «макроскопическая волновая функция» связана с дальним порядком, проявляющимся в корреляционных функциях поля ^(г)> лежит в основе подхода ГЛ и всей теории сверхпроводи-

мости. Обычно (кроме случая, когда температура чрезвычайно близка к Тс) в массивных системах флуктуации ^ можно считать слабыми отклонениями от результатов теории среднего поля (отвечающих минимуму Т^^]). Эти отклонения очень малы и в большинстве случаев могут рассматриваться в гауссовом приближении. В низкоразмерных системах ситуация совершенно иная и флуктуации могут разрушить даже дальний порядок ^(г). Ниже мы обсудим эту проблему для случая тонкой проволоки (Gunter and Imry, 1969; Imry, 1969a,b,с), и покажем, что эффекты, связанные с флуктуациями, здесь очень существенны (хотя они и не обязательно полностью разрушают среднеполевую картину).

Нас будут интересовать флуктуации параметра порядка ^(ж) и его корреляционная функция (которая должна, в частности, описывать дальний порядок):

(^(ж)^*^')) при больших \х — х’|. (7.22)

Как было показано Райсом (Rice, 1965), в одном и двух измерениях равновесная корреляционная функция теряет дальний порядок, главным образом из-за флуктуаций фазы. Флуктуации амплитуды не очень существенны, так как они увеличивают свободную энергию системы. Фундаментальная роль флуктуаций фазы станет более ясной в следующем параграфе, где будет показано, что они связаны с диссипацией. Записывая ^(ж) = |^|ег^^ж\ рассмотрим самый простой случай, когда (у?) = const, причем константу можно положить равной нулю. Тогда

^И®)-^')]^ = (7.23)

где Ау? = ф^х^ — ф^х'\ Равенство (7.23) верно в случае гауссовых флуктуаций (предположение о гауссовском характере флуктуаций важно для дальнейшего изложения). Мы исследуем поведение (А у?2) на больших расстояниях х — х'.

Теория термодинамических флуктуаций (см. учебник Ландау и Лифшиц, 1995) говорит нам, что вероятности флуктуаций некоторой экстенсивной переменной X, характеризующей рассматриваемую малую подсистему, описываются формулой

Р(Х) = const • exp ^-PF^Y (7.24)

где 3 = (kBT)-1 и F(X) — свободная энергия подсистемы, в которой данная переменная является однородной (т. е. ее плотность — X на единицу объема — одинакова во всех точках подсистемы) и имеет значение X. Предполагается, что усреднение по локальным флуктуациям уже было выполнено при выводе F^XY Нашей «большой системой» является кольцо, связанное с термостатом, и в качестве подсистемы мы будем сначала рассматривать все кольцо. При |ж — х'\ = O(L) величина Ау? = ф(х) — ф^хР является экстенсивной переменной, поэтому при

вычислении среднего квадрата флуктуаций каждому значению А у? отвечает вес (7.24), причем рассматриваться должны только состояния, удовлетворяющие вышеуказанному условию однородности, имеющему, в данном случае, вид: dip ( dx = const. Как раз такие состояния описываются выражением (7.12). Согласно (7.24), вероятность нахождения в состоянии п пропорциональна

Р(п) ос ехр (—/82тг2п2^2А|?/’|2/т£),(7.25)

так что

W = о

и

(и2) = т^вТ(fc2) = тк®Т(7-25)

Х '47г2Й.2Л|^|' 'A\^\2Lh2V

кроме того,

(7-26)

Выберем теперь в качестве нашей подсистемы не все кольцо, а его малый участок, занимающий область провода между ж и ж' (|ж — ж'| <^ <С L\ Снова, для того чтобы рассмотреть термодинамические флуктуации, надо предположить, что dip/dx = const в данной подсистеме. Состояния, удовлетворяющие такому условию, не имееют, вообще говоря, ничего общего с состояниями, характеризуемыми определенными значениями п. Вычисленное с помощью такого ансамбля значение (Ау?2) оказывается, как обычно, пропорционально длине |ж — ж'| подсистемы:

Последний ответ в L/\x — ж'| раз больше, чем (7.26) (этот результат принадлежит Райсу (Rice, 1965)).

Для того чтобы объяснить кажущееся противоречие между двумя последними выражениями, следует иметь в виду, что при выводе формулы (7.27) мы рассматривали состояния, в которых градиент фазы постоянен только в области между ж и ж', в то время как при выводе (7.26) использовался более узкий ансамбль, в котором градиенты постоянны вдоль всего кольца. Ясно, что эти два результата соответствуют разным типам усреднения. Мы покажем ниже, что каждый из них имеет свою область применимости и соответствующий временной масштаб, и обсудим их физический смысл. Сначала мы рассмотрим общие свойства этих двух средних, верные при |ж — ж'| = O(L), но |ж — ж'| <С L (эти два условия означают, что рассматривается ансамбль систем с увеличивающимися размерами L, причем отношение |ж — ж'|/ L мало по сравнению с единицей, но остается фиксированным при увеличении L).

В пределе, когда L велико, (А у?2) «расходится» и из (7.23) следует отсутствие дальнего порядка ). Следует также отметить, что в двух измерениях возникает более интересная ситуация: здесь корреляционные функции спадают как отрицательные степени \х — х'\. Корреляции могут иметь, таким образом, бесконечный радиус действия; такой вывод следует из расходимости, при достаточно низких температурах, соответствующего интеграла по всему пространству.

Если поток магнитного поля через кольцо не равен нулю, то выражение (7.13) нужно, как уже отмечалось выше, модифицировать: Еп = = 4тг2/12Л|'^|2(п —^)2/2mL, где 0 — поток в единицах Кс/2е. Состояние, соответствующее самому низкому минимуму свободной энергии, характеризуется значением п, ближайшим к 6. При нецелых 0ext индуцированный ток может флуктуировать, но не может затухать. Приведенный выше анализ флуктуаций справедлив в этом случае для отклонений А у? от среднего.

Обратим внимание на то, что флуктуации интенсивных переменных, таких, как к = dip/ dx или ток /, а также относительные флуктуации экстенсивных переменных типа ([А(Ау?)]2)х/2/(Ау?) стремятся к нулю в пределе больших L. Таким образом, выражения (7.26) и (7.27) не содержат никакой необычной расходимости, а описывают самые обычные термодинамические флуктуации.

Мы рассмотрим сейчас проблему двух временнйх масштабов флуктуаций и начнем с рассмотрения интервалов времени, характерных для ансамблей, приводящих к выражениям (7.26) и (7.27). Мы будем обозначать тн — типичное время перескока между двумя соседними n-состояниями, и тг — время релаксации всего кольца в рассматриваемом подансамбле с фиксированным п. В интересующем нас случае тн ^ тг. Равновесие в кольце, для данного п, устанавливается за время тг. Состояния, которые приводят к флуктуациям, описываемым формулой (7.27), имеют постоянный градиент dip/dx на отрезке между ж и ж' и произвольный — вне этого отрезка. Такие — сильно неоднородные — состояния могут существовать только на временах, меньших тг (отметим, что |ж — ж' | <С L). Следовательно, если мы будем рассматривать систему на временных масштабах, больших тг (т. е. проделаем «процедуру огрубления» по всем меньшим масштабам), то обсуждавшиеся выше флуктуации внутри различных n-состояний будут подавлены. Если теперь подождать достаточно долго — дольше, чем время тя, то за счет переходов между

подансамблями можно будет наблюдать относительно небольшие флуктуации, описываемые выражением (7.26).

Итак, мы подошли сейчас к ответу на главный вопрос: каковы физические проявления вышеупомянутых двух типов флуктуаций? Поскольку тн ^ тг, метастабильные «незатухающие» токи не могут измениться на временах < тг, на которых справедливо выражение (7.27). Мы приходим к выводу о том, что «большие» флуктуации, описываемые (7.27), соответствуют флуктуациям внутри подансамбля, описывающего кольцо с фиксированным незатухающим током, т. е. локальным процессам, происходящим на очень коротких временных масштабах. Если интересоваться только «глобальными» (однородными) характеристиками кольца, то эти локальные флуктуации можно эффективно высреднить с помощью, скажем, «процедуры огрубления». Медленные глобальные флуктуации, в которых изменяется величина п, трансформируют квантовое состояние системы; можно показать, что они приводят к возникновению конечного сопротивления.

Физический механизм, приводящий к переходам между различными п-состояниями, представляет фундаментальный интерес. Реальной физической ситуации соответствует случай тн ^ тг. Следуя Литтлу (Little, 1967), можно сделать вывод, что вышеупомянутые переходы определяются флуктуациями, в которых изменяется не только фаза, но и модуль параметра порядка |^| *). Время тн перехода между двумя минимумами через седловую точку F было вычислено Лангром и Амбегаокаром (Langer and Ambegaokar, 1967; см. также Langer, 1971). Барьер в свободной энергии AF = (8д/2/3)(/п — fs)A£ п0 ПОРЯДКУ величины равен выигрышу в свободной энергии за счет перехода в сверхпроводящее состояние (т.е. «энергии конденсации») куска проволоки длиной £. (Отметим, что оценка (7.17) дает масштаб энергии, меньший, чем высота барьера на обычный «фактор блоховской стенки» ^/L, см. §4.1.) Предэкспоненциальный множитель в выражении для тн (коэффициент перед ехр (—ДАР)) был впервые правильно вычислен в работе (McCumber and Halperin, 1970). Результат, по-видимому, согласуется с экспериментальными данными (Webb and Warburton, 1968; Newbower et al., 1972).

Резюмируя вышеприведенное описание, мы сделаем несколько замечаний.

х) Литтл показал, что скачки фазы (между различными подансамблями) могут происходить только через промежуточные состояния, в которых флуктуирует амплитуда. Эту идею позднее развивали Лангр и Амбегаокар (Langer and Ambegaokar, 1967), которым удалось найти оценку для барьера в свободной энергии между этими двумя состояниями. Для наших целей здесь достаточно просто предположить, что механизм, который переводит систему между подансамблями с различными тг существует, не рассматривая деталей этого механизма.

Равновесный сверхпроводящий ток существует для нецелого 9ext и не затухает, если тн > тг. Эта ситуация явилась первым примером незатухающего тока в системе без дальнего порядка и в которой, кроме того, могут быть примеси (Gunter and Imry, 1969).

Эффекты сверхтекучести, такие, как метастабильные сверхпроводящие токи, вполне возможны на временах, меньших или сравнимых с масштабом тя, которое является характерным для времени жизни этих токов.

Если тн значительно больше, чем «время попытки» то (обратное частоте, с которой система пытается преодолеть барьер в свободной энергии между соседними п состояниями), то система будет проводить большую часть времени около какого-нибудь из минимумов и пренебрежимо малое время — «в пути». Разумно ожидать, что то не слишком сильно (в пределах нескольких порядков) отличается от тг; это согласуется с условием тн ^ тг. Такая картина будет, конечно, неверна при тн $ то-

Для тн ^ то характерные свойства системы, общие для всех п состояний, не будут нарушаться при усреднении по п. Квантование потока и эффект Мейснера, являющиеся примерами таких свойств, будут рассмотрены ниже.

Вычисляя вклад ps в удельное сопротивление из-за «эффекта проскальзывания фазы», обусловленного рассмотренными выше флуктуациями (см. (7.30) и работу Langer and Ambegaokar, 1967), можно найти, что

= (7.28)

Рп Тн

где т — время релаксации нормальных электронов, рп — их удельное сопротивление, a S = fi? An/2LmkBT — безразмерный множитель (S ~ 104 в типичном случае, когда L = 1cm, А = 10-8cm2, Т « 2 К). Предполагая, что экспериментально возможно измерить сопротивления порядка ерп (где, скажем, е ~ Ю-6), можно оценить характерный временной масштаб флуктуаций, приводящий к измеримому сопротивлению:

тн ~ e^Sr « 10-1s. (7.29)

Таким образом, поведение системы можно, в терминах тя, характеризовать тремя режимами:

тн < то, (~ 10“11 с, система, по-видимому, должна находиться в нормальном состоянии;

то <С тн ^ e-1St « 10“1 с, возникает заметное (измеримое) сопротивление, но при этом другие характерные проявления сверхпроводимости, такие, как незатухающие токи (см. ниже), остаются возможными;

Тн ^ е-1 St^ сопротивление, в принципе, существует, но неизмеримо; метастабильные токовые состояния имеют времена жизни порядка тн.

Отметим, что временные масштабы в начале режима (в) и в режиме, в котором незатухающие токи имеют неизмеримо большие времена жизни, отделяет много порядков по величине. В промежутке между этими двумя режимами сопротивление еще практически неизмеримо, но уже можно наблюдать скачки между различными метастабильными токовыми состояниями.

Рассмотрим теперь равновесные явления: незатухающие токи и выталкивание потока. Пока система находится в подансамбле с заданным п и не предпринимается попыток делать измерения с временным разрешением, лучшим чем тг, флюксоид постоянен и равен п. Если только мы не находимся в режиме (а), то система проводит большую часть времени в различных — но хорошо определенных — п-состояниях, и, соответственно, большую часть времени флюксоид квантован. В случае нецелого внешнего потока в системе течет равновесный незатухающий ток, равный среднему по тепловому распределению различных n-состояний. Равновесный незатухающий ток имеет сверхпроводящую природу: период его осцилляций равен h/Ze, а порядок величины описывается выражением (7.17). Наоборот, в режиме (а) незатухающий ток имеет такое же происхождение, как в нормальном случае, разобранном в гл. 4. Отметим также, что эффект Джозефсона возможен, несмотря на флуктуации фазы. Этот вывод следует из «аргумента Блоха» (Bloch, 1968), который уже обсуждался в начале этого параграфа и будет подробнее разобран в начале следующего. Величина джозефсоновского тока зависит от условий, которым подчиняются параметры: тл >> тн ^ ^ то или тн ^ tj ^ то (здесь тл есть время, обратное джозефсонов- ской частоте o?j, определенной ниже, см. (7.31)).

Если толщина стенки много больше ^> AL, то квантуется не флюксоид, а истинный поток, как указывалось выше. Кроме того, возникает эффект Мейснера — в том смысле, что магнитные поля оказываются вытолкнутыми из внутренней области цилиндра (независимо от величины п).

Представляет интерес удельная теплоемкость вблизи сверхпроводящего перехода. Отметим, что когда £ значительно превосходит характерный радиус взаимодействия, теория ГЛ ничего не может сказать нам о поведении корреляционных функций на расстояниях, сравнимых с этим радиусом (Fisher and Langer, 1967; Fisher, 1967). To же самое применимо, поэтому, и к энергии системы, которая, строго говоря, определяется значениями корреляционной функции (а также ее производной по температуре) на расстояниях, не превышающих радиуса взаимодействия. Это очень важное наблюдение, оно показывает, что крупномасштабные флуктуации оказывают лишь слабое влияние на теплоемкость. Сверхпроводящий переход при этом оказывается размытым, но пик теплоемкости около «затравочной» (т. е. найденной без

учета длинноволновых флуктуаций) критической температуры обычно сохраняется (Gunther and Gruenberg, 1972; Scalapino et al., 1972).

Слабосвязанные сверхпроводники. ЭффектДжозефсона и SNS контакты

Модель Блоха. Рассмотрим мысленный эксперимент, в котором проводимость малой части (заштрихованный сектор на рис. 7.2) сверхпроводящего кольца — типа рассмотренного в преды-

Рис. 7.2. а — кольцо с искусственной слабой связью (заштрихованная область); б — кривая /(0) и прямая I = q(0 — 9ext) для сверхпроводящего кольца со слабой связью (схематично)

дущем параграфе — постепенно становится все хуже и хуже. Кольцо, в принципе, может быть и массивным — не обязательно мезоскопическим. Ухудшения проводимости можно добиться, например, бомбардируя ионами этот участок кольца (в конце концов, в результате испарения, вся эта часть кольца может быть разрушена). Очевидно, что амплитуда осцилляций незатухающего тока /(#), текущего в кольце, будет монотонно уменьшаться при увеличении степени повреждения участка кольца (то же можно сказать и о свободной энергии F(9)). Тем не менее амплитуда станет пренебрежимо малой только тогда, когда будет поврежден достаточно длинный участок кольца.

Давайте прекратим портить кольцо на некоторой промежуточной стадии, когда ток 1(9) имеет конечную амплитуду, но уже достаточно мал, так что его график может иметь только одно пересечение с прямой (7.21) (см. рис. 7.2 б). В этом режиме метастабильные состояния отсутствуют, так что, если 9ext изменяется достаточно плавно, то система всегда будет оставаться в состоянии равновесия (точке пересечения 1(9)

с прямой). При этом нет ничего удивительного в том, что в состоянии равновесия, при нецелых значениях 9. в кольце может течь конечный незатухающий ток. Величина этого тока и его зависимость от геометрии кольца может (если «слабый участок» в кольце не очень широк) быть сделана, хотя и меньшей, чем в сплошном сверхпроводящем кольце, но все же того же порядка величины (см. замечание после уравнения (7.17)). Более того, можно показать (см. следующий параграф), что в случае незамкнутого кольца через слабую связь между двумя сверхпроводниками может, без заметного затухания протекать конечный сверхпроводящий ток (кроме нескольких исключительных случаев). Эффект протекания сверхпроводящего тока из одного сверхпроводника в другой через барьер между ними называется «стационарным эффектом Джозефсона». Еще более интересен случай, когда между двумя берегами слабой связи в кольце приложено напряжение, так что 0ext линейно растет со временем. Равновесное значение 9 (т. е. точка пересечения Ц9) с прямой линией на рис. 7.2.) соответственно также будет изменяться и увеличиваться со временем с той же средней скоростью, что и 9exV При этом разность потенциалов связана со скоростью изменения фазы соотношением

у = _1^ = _А^ = _А^ (7 30) с dt 2е dt 2е dt ’

так как 9 = Ф/Ф5 = ^/2тг. Таким образом, ток, возникающий в кольце, не постоянен во времени, но осциллирует с периодом, равным времени, за которое величина 9 увеличивается на 1. Частота этих осцилляций называется «джозефсоновской частотой»:

2eV

Таким образом, рассмотренная нами система — это «a.c./d.c. преобразователь» (выпрямитель) с отношением приложенного напряжения к частоте, определяемым комбинацией фундаментальных констант! Отметим, что аналог такого нестационарного эффекта Джозефсона должен возникать в любой системе, в которой может течь незатухающий ток, чувствительный к АБ потоку (Buttiker et al., 1983а; Imry, 1983b).

Сам Джозефсон (Josephson, 1962, 1965), на самом деле, пришел к открытию своего нестационарного эффекта не таким образом, как это изложено выше. Блох (Bloch, 1968) придумал этот изящный калибровочный метод вывода нестационарного эффекта позже, чтобы объяснить чрезвычайно высокую точность эффекта (джозефсоновской частоты) и его нечувствительность, например, к материалу из которого изготовлено кольцо и его геометрическим параметрам. Предложенное Лафлином объяснение КЭХ (Laughlin, 1981, см. гл. 6), также основанное на калибровочном преобразовании, имеет сходное происхождение.

Янг в своей работе (Yang, 1989) проследил, как исторически развивалась идея «калибровочного аргумента»: поток —> вектор-потенциал —> квантование фазы: от Фарадея к Максвеллу; затем к монополю Дирака и эффекту Ааронова-Бома и, наконец, к эффекту Джозефсона и КЭХ.

Сейчас мы постараемся объяснить физику этого эффекта, используя только самые общие аргументы типа приведенного выше (более детальное рассмотрение вопроса см. в следующем параграфе). Полный набег фазы при обходе кольца равен ф (7.30). Мы будем считать фазу параметра порядка более или менее постоянной в сверхпроводящей части кольца; т. е. предположим, что она меняется, главным образом, при переходе через «слабую связь» (поврежденную часть кольца). Правильность этого предположения подтверждается, например, тем, что в теории ГЛ (см. (7.1)) затраты энергии на изменение параметра порядка всего меньше там, где сверхпроводимость наиболее «слабая» (коэффициент а менее отрицателен, чем в других местах, или даже положителен). Итак, уравнение (7.30) связывает друг с другом скорость изменения фазы и разность потенциалов между берегами «слабой» связи. Оно обладает чрезвычайной общностью, так как следует из совершенно общих соотношений. Даже появление заряда 2е, следующее из теории БКШ, можно получить из общих соображений (Byers and Yang, 1961; Bloch, 1968)). Итак, соотношение (7.30) может применяться в самых различных ситуациях.

Например, можно разрезать кольцо и присоединить к концам получившегося провода источник, так что через систему потечет небольшой ток. Понятно, что наиболее интересные эффекты будут происходить непосредственно в области слабой связи, соединяющей берега двух сверхпроводников. В этой более простой односвязной системе также должен наблюдаться эффект Джозефсона; мы обсудим эту ситуацию в следующем параграфе.

Разность фаз между сверхпроводящими берегами слабой связи может изменяться со временем, например благодаря обсуждавшимся выше процессам активации, при этом на «центрах скольжения фазы» должны возникать скачки напряжения. Это происходит потому, что фаза из-за этих флуктуаций, уже не является постоянной, а изменяется — так, чтобы уменьшить средний ток. Если изменения фазы на 2тг происходят в среднем с частотой \/тн, то, согласно (7.30), должно возникать напряжение

Vsiip = -^-. (7.32) ^етн

Таким образом, скорость нарастания фазы ф из-за VsuP в точности компенсирует ее уменьшение из-за флуктуаций. Таким способом была получена оценка (7.28).

В случае равновесных токов «аргумент Блоха» применим тогда, когда V настолько мало, что тл ^> тн )^ то (^j = l/^j)- Если тн ^ ^ tj ^ то, то в системе также может наблюдаться нестационарный

эффект Джозефсона, но с метастабильными токами. Мы напомним, что

Тн ОС e~^AF,(7.33)

где Д F барьер типа Лангра-Амбегаокара в проводе со слабой связью. Он определяется Джозефсоновской энергией (см. следующий параграф) для туннельного контакта. Величина /XF будет иметь меньшее значение в области слабой связи; в результате последняя станет центром скольжения фазы. Если /XF ^ квТ, то VsuP экспоненциально мало и может оказаться слишком малой величиной для того, чтобы быть экспериментально измеренной.

Джозефсоновские контакты и другие слабые связи. Мы будем следовать наиболее простому и экономичному выводу эффекта Джозефсона, который можно найти в Фейнмановских лекциях по физике (Feynman et al., 1965). Предположим, что две макроскопические волновые функции фх и ^2 на двух сторонах сверхпроводящего контакта (^ = д/п7ег^", г = 1, 2, где п* — плотность куперовских пар в г-м сверхпроводнике) связаны через константу взаимодействия К, при этом к контакту приложено напряжение У. При соответствующем выборе начала отсчета энергии уравнение Шредингера (для частиц с зарядом 2е) имеет вид

гПфх = -еУфх + К^2,z? 34х

гкф^ = еУф^ + Кфх.

Скорость изменения плотности куперовских пар равна йх = ФхФ1 — — ФхФъ аналогичное соотношение справедливо для ri^ так что, с учетом (7.34), получим

^ = ^ = 2^Vnin2 sin ф,(7.35)

где ф = фз — УТ- Если предположить, для простоты, что пх = п^ = п при К = 0, то разность фаз будет удовлетворять уравнению:

¥ Г(7.36)

at п.

Ток /12, текущий из сверхпроводника 1 в сверхпроводник 2, равен /12 = = 2eni = —2вП2^ тогда из (7.35) следует, что

/12 = Jc sin ф = Jc sin u)jt.(7.37)

Первое равенство справедливо в общем случае, а второе — только при наличии постоянного напряжения У. Амплитуда джозефсоновского тока есть Jc = (4e//z)Kn, а частота шл определяется соотношением (7.31). Уравнения (7.31), (7.36) и (7.37) — основные уравнения теории джозефсоновского контакта; в частности, (7.37) описывает как

нестационарный, так и стационарный (в случае ф = const) эффекты Джозефсона. Точность универсального соотношения (7.31) между напряжением и частотой следует из аргументов Блоха, представленных в § 2 (где напряжение возникало индуктивно, при изменении потока через кольцо) и в начале этого параграфа. В общем случае, ток — нечетная периодическая функция разности фаз, содержащая много гармоник, а не обязательно один только чистый синус. Можно доказать, что Jc и К увеличиваются с ростом взаимодействия между сверхпроводниками 1 и 2. И действительно, из микроскопической теории следует, что в случае туннельного барьера между сверхпроводниками при Т —> 0

JC = ^Gni (7-38)

где Gn — кондактанс барьера в нормальном состоянии (см. (2.19)). Когда Т Тс. Jc обращается в нуль пропорционально A2 (Ambegaokar and Baratoff, 1963). Соотношения (7.35) и (7.36) можно интерпретировать как уравнения движения для канонически сопряженных переменных: числа куперовских пар, перенесенных через контакт, и разности фаз на контакте.

Амплитуда джозефсоновского тока Jc имеет тот же порядок (^ ~ |t|2) по проницаемости барьера, что и одноэлектронная вероятность прохождения через контакт (которой пропорциональна величина Gn^ см. (2.19)). Это факт кажется удивительным, так как через контакт туннелируют два электрона. Из микроскопического вывода амплитуды Jc следует, что сила джозефсоновского тока второго порядка по t, так как процесс туннелирования двух электронов проходит в два этапа, через промежуточное (виртуальное) состояние. Сначала туннелирует один электрон, в результате чего виртуально возбуждается квазичастица с энергией As (отсюда возникает энергетический знаменатель As). Затем туннелирует другой электрон и спаривается с первым, образуя куперовскую пару (квазичастица при этом исчезает). Дополнительный множитель А2 возникает в амплитуде джозефсоновского тока из так называемых факторов когерентности (амплитуд электрона к f и дырки — к ^) в основном состояния БКШ-Боголюбова (см. de Gennes, 1966); в результате остается один множитель As в числителе (7.38).

Картина, предложенная выше, буквально применима к описанию эффекта Джозефсона только в туннельных сверхпроводящих контактах. Реально же этот эффект наблюдается во множестве самых разных «мостиков» и «слабых связей» между двумя сверхпроводниками, так как, по сути дела, единственное, что необходимо для его существования, — это некоторое парное взаимодействие К, как в уравнении (7.34). В частности, это относится ко многим случаям, когда «слабая связь» представляет собой область нормального металла (или полупроводника), разделяющую два сверхпроводника. Ее кондактанс можно сделать достаточно малым (и тем самым обеспечить малость взаимодействия (7.38)) несколькими способами. Среди них можно выделить создание

геометрических сужений (т. е. точечных контактов различного типа) или просто обеспечение низкой проводимости в области слабой связи, чего, в случае полупроводника, можно добиться с помощью затвора. Ответ на вопрос о том, как константа К зависит от параметров для слабой связи определенного вида или какова ее эффективная емкость, зависит от типа контакта (см. обзор Likharev, 1979), но общие свойства, заложенные в уравнения (7.36) и (7.37), остаются качественно одинаковыми. Это также касается и чувствительности по отношению к относительно малым магнитным потокам (см. ниже). Рассуждения, приведенные в гл. 2 и 4, наводят на мысль о том, что каждую слабую связь, при условии ее когерентности, можно рассматривать просто как «черный ящик», рассеивающий электроны по определенному закону, который определяет его кондактанс в нормальном состоянии (Beenakker, 1992а). Поэтому можно ожидать, что в пределе низких температур амплитуда джозефсоновского тока в общем случае контакта, сделанного из нормального металла или изолятора, будет также даваться выражением типа (7.38). Хотя это предположение оказывается качественно верным, конкретный механизм связи все же должен учитываться при описании системы. К этим механизмам относится «эффект близости» (наведение слабой сверхпрводимости в нормальном мостике; см., например, Deutscher and de Gennes, 1969) и эффект андреевского отражения (Андреев, 1964), который мы будем рассматривать в следующем параграфе. Условие когерентности нормальных электронов с энергиями, лежащими в полоске с шириной порядка температуры, накладывает ограничение на длину нормальной области L, которая должна удовлетворять условию L ^ £N, где ^N — «длина когерентности в нормальном металле» (она аналогична определенной выше длине LT). В большинстве известных случаев, £N ^ L^ что, таким образом, гарантирует когерентность парциальных волн каждого электрона.

В заключение этого параграфа мы рассмотрим эффекты, к которым приводит проникновение магнитного поля в контакт между сверхпроводниками. В приложении Б приводится соотношение между потоком магнитного поля через кольцо и набегом фазы при обходе вокруг этого кольца; оно справедливо и в рассматриваемом здесь случае, если считать, что частицы имеют заряд 2е, т. е. применимо уравнение (7.15). Другое важное условие применимости нашего подхода — предположение о том, что фаза в сверхпроводниках постоянна и может меняться только в контактах. В качестве примера мы рассмотрим кольцо (см. рис. 7.2) с двумя одинаковыми контактами с разностями фаз tpi и ф^ соответственно (изменение фазы отсчитывается в направлении сверху вниз) и предположим, что нам нужно пропустить сверхпроводящий ток из вершины в основание кольца. Джозефсоновский ток в этой ситуации равен

(7.39)(7.39)1 = 1 j(sin (pi + sin у?2)-

(7.39)

(7.39)

Согласно уравнению (7.15), поток Ф через кольцо есть

Pi - У>2 = 2тг^- = у>,(7.40)

и, следовательно, сверхпроводящий ток / имеет максимальную амплитуду

/maxCOS ^.(7.41)

Критические токи двух контактов складываются, например, при ip = 0, но полностью компенсируют друг друга при у? = тг. Это явление аналогично интерференции на двух щелях или осцилляциям кондактанса при эффекте АБ, обсуждавшимся в гл. 5. Описанный выше двойной контакт используется в реальном приборе (двухконтактном сквиде), позволяющем измерять очень малые изменения потока (на доли кванта Ф5) в кольце. Этот метод, в принципе, используется и для регистрации незатухающих токов, о которых шла речь в гл. 4. В плоских контактах, параллельных плоскости ху (где джозефсоновский ток течет вдоль оси z), благодаря магнитному полю, имеющему компоненту, скажем, в направлении у. разность фаз изменяется вдоль направления х.

Несколько коротких замечаний о вихрях. Оказывается, что в достаточно длинном джозефсоновском контакте квант магнитного потока, которому соответствует изменение фазы на 2тг при его обходе, и сверхпроводящий ток, текущий по охватывающему этот поток витку проволоки (ток связан с разностью фаз при помощи соотношений (7.7,7.37)), ведут себя, в определенном смысле, как единое целое. Такой составной объект принято называть «флаксоном», «солитоном» или «квантованным вихрем». Хорошо известно, что вихри с одним квантом потока могут существовать в длинных джозефсоновских контактах (см., например, Scalapino, 1969) и в сверхпроводниках второго рода (вихри Абрикосова, см., например, Tinkham, 1996). Изучение динамики вихрей позволяет ответить на вопросы о том, насколько большой свер- проводящий ток может проходить через сверхпроводник и к какому сопротивлению приводит движение вихрей (смотри ниже). Вообще, вихри (с непрерывной — неквантованной — завихренностью) играют важнейшую роль в задачах о течении классической жидкости; квантованные же вихри возникают в задаче о сверхтекучем гелии (Donnely, 1991). Нетривиальные эффекты, связанные с движением вихрей, наблюдаются в двумерных решетках джозефсоновских переходов (Mooij et al., 1990; Fazio et al., 1991a,b; Fazio and Schon, 1992; Tighe et al., 1991; Elion et al., 1993, 1994; Lenssen et al., 1992; Mooij and Schon, 1992; van der Zant et al., 1991a,b, 1992a,b; van Otterlo et al., 1993), которые в настоящее время уже могут быть изготовлены достаточно однородными. Простое описание таких решеток и некоторые экспериментальные данные можно найти в работах (Imry and Strongin, 1981; Hebbard and Paalanen, 1985).

Когда вихрь, параллельный оси z, движется вдоль оси ж, то разность фаз с двух сторон от его траектории (на достаточном удалении от нее в направлении у) изменяется на 2тг. Как следует из джозеф- соновского соотношения, при этом должно возникать индуцированное напряжение в перпендикулярном движению направлении у. Когда ток течет вдоль у. то возникает сила, действующая на вихрь в направлении х. На вихрь также могут действовать и диссипативные силы трения, тормозящие его движение. Эти наблюдения наводят на мысль о том, что вихрь можно рассматривать как некоторую сложную частицу, при этом роли тока и напряжения меняются местами по отношению к обычной ситуации, причем с поворотом на 90°. В простом случае длинного джозефсоновского контакта аналогия частица-вихрь может быть продемонстрирована явно (Bergman et al., 1983). Эта дуальность имеет место также в сверхпроводящих пленках и Джозефсоновских решетках, причем для последних было экспериментально показано, что вихри действительно движутся, как частицы (Mooij et al., 1990; Mooij and Schon, 1992).

Другой интересный эффект — квантование движения вихрей. Оказывается, что если учесть кулоновскую энергию (емкость), то вихрь в длинном джозефсоновском контакте приобретает конечную массу. (Для короткого контакта, в классическом уравнении движения для фазы также возникает член, соответствующий кинетической энергии, см. Fulton and Dolan, 1987.) За вытекающим отсюда квантованием можно проследить последовательно (Jackiw, 1977). Квантование существует также и в более общих случаях, например, в решетках (Eskern and Schmid, 1989) и в сверхпроводниках второго рода (Blatter et al., 1994). В последнем случае, впрочем, все еще нет окончательного ответа на вопрос о массе вихря. Убедившись в существовании квантования, мы приходим к неизбежному заключению о том, что с вихрями должно быть связано множество мезоскопических явлений (когерентное зонное движение для периодической системы, локализация из-за беспорядка, осцилляции АБ (van Wees, 1990а,b) и т. д.) — дуальных рассмотренным нами эффектам, характерным для электронов. Вихрь, окружающий заряд, приобретает фазовый сдвиг Ааронова-Бома, который можно контролировать с помощью емкостной связи. Транспортные измерения в джозефсоновских решетках (van Wees, 1990а,b) позволяют наблюдать этот эффект. Хотя явления дефазировки и энергетического усреднения в системах с вихрями еще мало изучены, этот очень трудный эксперимент уже успешно удалось поставить (Elion et al., 1993). Он показал, что возможна интерференция вихрей, и дал развитие многим другим интересным направлениям. Стерн (Stern, 1994), основываясь на аналогии между вихрями и электронами в сильном магнитном поле, показал, что в системе вихрей возможно возникновение фазы КЭХ. Подобная же аналогия использовалась в работе (Ao and Thouless, 1993), для того чтобы продемонстрировать универсальность сил Магнуса, которые действуют на вихри со стороны движущейся сверхтекучей

жидкости в двумерном сверхпроводнике. Эта универсальность — топологическое свойство, не зависящее от величины заряда электрона. Теоретический обзор интересных эффектов, связанных с емкостной связью фазовой и зарядовой динамики, можно найти в работе (Schon and Zaikin, 1990). Многие результаты можно получить, просто перенося наши знания о физических явлениях с электронов на флаксоны (Mooij et al., 1990; Fazio and Schon, 1991). В качестве примера упомянем переход Березинского-Костерлица-Таулеса, который эквивалентен коллективному разделению жидкости на пары зарядов противоположного знака. Последний недавно наблюдался в тонких пленках (Tighe et al., 1993; Delsing et al., 1994; Liu and Price, 1994; Kanda et al., 1994; Kanda and Kobayashi, 1995; Katsumoto, 1995; Yamada and Kobayashi, 1995).

Интересно, что в сверхпроводниках второго рода существует механизм передачи импульса между движущейся и циркулирующей сверхтекучей жидкостью в вихре — с одной стороны, и его нормальным ядром — с другой, в результате процессов андреевского отражения. По-видимому, это важный физический механизм, позволяющий понять действие силы Магнуса на нормальное ядро и выяснить, почему последнее имеет тенденцию двигаться с той же скоростью, что и сверхтекучая компонента (см. также Hoffman and Kummel, 1993; Wingreen et al., 1994). Учет Андреевских процессов в физике вихрей может оказаться полезным для лучшего понимания магнетотранспорта в сверхпроводниках второго рода.

Андреевское отражение. Дальнейшие свойстваSN и SNS контактов

Рассмотрим границу нормальный металл-сверхпроводник (NS). Пусть электрон с энергией Ek над поверхностью Ферми, летящий из нормального металла (N), подлетает к границе со сверхпроводником (S). Исследуя рассеяние электрона на NS-границе, мы постараемся ответить на два связанных между собой вопроса: 1) каким образом нормальный ток в N превращается в сверхпроводящий ток в S? 2) как и какая информация о фазе х сверхпроводника передается нормальным электронам в N?

Энергии Ek квазичастиц в (S), отсчитанные от общего с нормальным металлом уровня Ферми, даются известными соотношениями

Ек = ^2 + ^, £k=8k-8F, (7.42)

где ^к — энергия возбуждений в нормальном металле. Для отрицательных значений ^к величину |£Д можно интерпретировать как положительную энергию дырочных возбуждений. Остановимся, для простоты, на случае низких температур и малых токов, так что характерные значения ^к ^ As. NS-граница стационарна, поэтому электроны могут

рассеиваться на ней только упруго. Из-за наличия сверхпроводящей щели не существует такого процесса, в котором электрон, прилетевший из N-области, мог бы превратиться в квазичастицу в S-области. Только два процесса рассеяния могут происходить в пределе малых ^:

обычное зеркальное отражение, при котором электрон с волновым вектором к превращается в электрон с волновым вектором, имеющим компоненты &ц (такая же, как до рассеяния) и — к^ (с противоположным знаком). Здесь к^ и &ц — компоненты к, соответственно, перпендикулярные и параллельные поверхности. Электроны отражаются зеркально, если поверхность плоская; в противном случае (шероховатой поверхности) отражение будет «диффузным», но \к\ будет сохраняться;

как было впервые обнаружено Андреевым, другим процессом рассеяния, сохраняющим энергию, при ^ —> 0, будет создание дырки с волновым вектором —к, т. е. с изменением знака всех компонент волнового вектора х): как к±, так и &ц. Из закона сохранения энергии следует, что при конечном ^ величина к^ для дырки немного отличается от — к^ для электрона до рассеяния. Такое отражение называется андреевским. Его можно описать — используя чисто электронный язык — как процесс, при котором два электрона с к и —к (и с противоположными спинами), летящие из N в S на границе связываются в куперовскую пару и попадают в конденсат.

Именно этот последний процесс, для которого требуется, чтобы в ферми-море (под поверхностью Ферми) существовал электрон с волновым вектором —к, ответственен за протекание тока между N и S. Заряд при андреевском отражении, очевидно, сохраняется. В случае идеальной NS границы (когда N и S имеют одинаковые электронные структуры), амплитуда нормального отражения очень мала. Можно показать, что обычно ) вероятность андреевского отражения почти равна единице, а вероятность нормального отражения близка к нулю. Причина этого в том, что масштаб длины для эффективного «потенциала», созданного изменяющейся в пространстве щелью As, есть, согласно (7.42), длина когерентности £о ^ кр1. Таким образом, при нормальном отражении вероятность приобрести от этого эффективного потенциала импульс, достаточный для обращения к±, чрезвычайно мала. Обыкновенный потенциальный барьер с атомным пространственным масштабом, или неровность поверхности, будут, очевидно, приводить к нормальному отражению. Влияние поверхностного барьера, наряду с обычным квазичастичным прохождением, возможным при ^к > As7 было систематически исследовано в работе (Blonder et al.,

. Мы не будем здесь приводить деталей вычислений, в которых используется модификация микроскопической теории, предложенная Боголюбовым, и — позднее — де Женом. Ниже мы обсудим некоторые интересные физические эффекты, возникающие при низких температурах квТ <С As. Для этого нам потребуются вышеперечисленные факты и очень важные для дальнейшего фазовые сдвиги (см., Андреев, 1964, 1966; Кулик, 1969), возникающие при андреевском отражении. Отраженная дырка на поверхности Ферми приобретает фазу — х + тг/2, где х — фаза параметра порядка сверхпроводника. Аналогично, когда дырка отражается от поверхности, превращаясь в электрон, фазовый сдвиг равен х + тг/2.

Еще Андреев понял, что отражение такого типа приводит, при энергиях, меньших As, к интересным состояниям нового типа, локализованным в нормальной области SNS-сэндвича. Классические траектории, отвечающие этим состояниям, показаны на рис. 7.3 для энергий ^ <С <С As (напомним, что ^ отсчитывается от уровня Ферми ef\ Электрон ударяется о NS-границу и отражается от нее в виде обращенной по

Рис. 7.3. Локализованное состояние, возникающее в N-области (при энергии <С As), благодаря андреевскому отражению в баллистическом (а) и в диффузионном (б) режимах. Стрелки показывают направление движения электрона и дырки, (в) Аналогичные траектории, но в присутствии достаточно сильного магнитного поля, которое ограничивает движение квазичастицы таким образом, что она отражается только от одной NS-границы

времени дырки с фазовым сдвигом —х^ + тг/2; последняя отражается от другой границы в виде электрона с фазовым сдвигом xi + тг/2 и так далее. Разница между баллистическим и диффузионным режимами заключается только в том, как выглядит траектория электрона между отражениями: квазиклассическое движение периодично в обоих случаях. Для того чтобы найти спектр уровней, можно использовать, например, квазикласические условия квантования. Проще всего это сделать для баллистического режима (Андреев, 1966; Кулик, 1969; Заикин, 1982; см. также Абрикосов, 1988), когда квантование, в большинстве

случаев, зависит от угла 0 (см. рис. 7.3а). Такие состояния, локализованные в нормальной области дают, в согласии с экспериментом, заметный вклад в теплоемкость промежуточного состояния сверхпроводника (когда N и S области чередуются в объеме образца). Этот и другие эксперименты подтверждают правильность физической картины андреевского отражения. Интересно отметить, что достаточно сильное магнитное поле может так завернуть траекторию, что, отразившись от одного сверхпроводника, другого она уже не коснется (рис. 7.3 в).

Наиболее интересное для нас свойство андреевского отражения заключается в том, что для ^ <С As электрон приобретает на каждом периоде движения дополнительную фазу Xi — Х2 + тг. В результате уровни имеют такую же структуру, как если бы N-область была согнута в кольцо (с этого момента мы будем предполагать, что длина L N- области между сверхпроводниками больше, чем ее поперечные размеры) и через него проходил бы АБ поток, равный

ф^фо^-Хз 1, (7 43)

Очевидно, что электронные уровни в кольце будут периодическими функциями Xi — %2 с периодом 2тг, как и в АБ кольце. Незатухающий ток, описываемый выражением (4.5), где F зависит от Ф благодаря вышеупомянутой чувствительности уровней к разности фаз Xi— %2, будет бездиссипативным, как джозефсоновский ток, протекающий из Si в S^ через TV-область (Кулик, 1969b, 1970а,b). Для того чтобы характерные энергии нормальных электронов были значительно меньше As, нужно потребовать Ес <С As; когда скорости Ферми в N- и S-областях имеют одинаковый порядок величины, это условие эквивалентно L >> V^oT. Ситуацию, когда последнее неравенство выполнено, мы будем называть случаем длинного нормального мостика (напомним, что £о = ^vF/As — длина когерентности в чистых сверхпроводниках Si и S2, а / — упругая длина свободного пробега в слабой связи). Заметим, что длина V^o^ совпадает также и с величиной £N для нормальной связи в грязном пределе / <С £о и при температуре, сравнимой с Тс сверхпроводников ). Итак, мы определили физический механизм протекания сверхпроводящего тока через SNS-контакт. При андреевском отражении (электрон — в дырку) от сверхпроводника S2 два электрона из N проходят в S2, а при андреевском отражении (дырка — в электрон) от сверхпроводника Si два электрона из Si проходят в N. В результате, при каждом цикле периодического движения одна куперовская пара из Si эффективно переносится в S2. Такое объяснение дает четкую картину взаимосвязи и сходства между эффектом Джозефсона и задачей о нормальных

незатухающих токах. Фаза дырки, приобретаемая при андреевском отражении, приводит, однако, к количественному различию между этими двумя явлениями. Если к контакту приложить напряжение, то многократное андреевское отражение может привести к субгармонической структуре (Bratus et al., 1995, см. также Frydman and Ovadyahu, 1995).

Перед тем как начать изложение дальнейших результатов в теории SNS-контактов, мы расскажем о эффектах фазовой когерентности в NS-системе (Furusaki et al., 1991; Furusaki and Tsukada, 1991; Lambert, 1991, 1993, 1994; Nakano and Takayanagi, 1991; Takane and Ebisawa, 1991, 1992, Beenakker, 1992a,b; Furusaki, 1992; Takagi, 1992; Hui and Lambert, 1993; Lambert et al., 1993; Lambert and Robinson, 1993; Mar- morkos et al., 1993; Zaikin, 1994). Микроскопическая теория развивалась в работах (Yoshioka and Fukuyama, 1990, 1992). Мы рассмотрим последовательное соединение (многоканальное обобщение формулы (5.36)) трех областей: неупорядоченной нормальной области (описываемой матрицей рассеяния Sq^))? идеального нормального контакта и сверхпроводника — с идеальной плоской границей между двумя последними. В этой задаче нормальное и андреевское рассеяния пространственно разделены (сверхпроводник S предполагается чистым). Если N — число электронных каналов, то матрица рассеяния электронов и дырок имеет размерность 2N х 2N (так как число дырочных каналов тоже равно N\ Будем считать, что первые N каналов электронные, а последние N — дырочные. Тогда часть матрицы рассеяния, связанная с отражением от идеальной плоской NS-границы с большой точностью аппроксимируется выражением

SA^ = e-iarccosh(£/Aa, (7-44)

где е отсчитывается от уровня Ферми, % — фаза параметра порядка в S. При выводе (7.44) использовалась самая простая модель пространственного поведения модуля параметра порядка: в ней As(r) изменяется на NS-границе скачком от 0 до As (см. Лиарев, 1979). Полная S- матрица рассеяния в нормальной части описывает невзаимодействующие друг с другом электроны и дырки и определяется выражением

(7.45)

Ответ, приведенный ниже, в предположении о независимости каналов друг от друга, был получен в работе (Blonder et al., 1982), см. также (Shelankov, 1984; Zai, 1980, 1984); недавно эта задача рассматривалась в работе (Takane and Ebisava, 1991, 1992а,b). В последующем изложении мы следуем работе (Beenakker, 1992а). Комбинируя S N и S А и используя соответствующее обобщение формулы Ландауэра, полагая В =

= 0, получим следующий ответ для полного кондактанса NS-контакта:

9 N2

(7-46) п = 1 х7

Здесь Тп — собственные значения матрицы прохождения для неупорядоченной области нормального металла. Физический смысл формулы (7.46) проще всего понять, рассматривая задачу с одним каналом (7V=1). Электрон проходит через неупорядоченный металл с амплитудой te и отражается от NS-границы в виде дырки с амплитудой —ге-гх (см. (7.44)). Последняя с амплитудой t^ возвращается через неупорядоченную область. В этом случае пара проходит с вероятностью Т2. Если же дырке не удалось пройти через неупорядоченную область и она отразилась от нее (амплитуда этого процесса г^ = г*), то она снова получает возможность отразиться от NS-границы андреевским образом (с амплитудой — ге-гх)^ превратившись опять в электрон. Тогда два электрона, перешедшие в сверхпроводник при первом андреевском отражении, возвратятся из сверхпроводника назад при условии, что отраженный электрон пройдет через неупорядоченную нормальную область. Однако этот «вторичный» электрон может также отразиться от неупорядоченной нормальной области (с амплитудой ге) и перейти в сверхпроводник с помощью андреевского отражения (амплитуда —ге-гх) и т. д. Суммируя амплитуды бесконечного ряда всех таких процессов, получим выражение

для полной амплитуды превращения электрона в дырку с образованием пары в сверхпроводнике. Соответствующая вероятность в рассматриваемом канале равна Т2/(2 — Т)*2. Выражение (7.46) полезно сравнить с собственным кондактансом (5.16) неупорядоченной нормальной области:

Легко увидеть, что GNS ^ 2Gn- Если все собственные значения матрицы прохождения Тп близки к нулю или к единице, то из (7.46) следует, что

GNS — 2GN. (7.45)

В частности, последнее уравнение становится точным для баллистического точечного контакта в области плато кондактанса, когда все Тп точно равны нулю или единице.

Когда нормальная область длины L неупорядочена, средние по ансамблю удовлетворяют уравнению

(GNsW> = 2(Gn(2L)) ^ (GN^. (7.46)

Первое равенство следует из свойств Тп (см. приложение И и работу Lee et ак, 1987). Небольшое различие между (XGNS(L)X) и (С^ЬУ) возникает, в основном, из-за эффектов слабой локализации. Эти эффекты, однако, в NS-системе почти в два раза больше, чем в нормальном случае (Beenakker, 1992а, 1994; Marmorkos et al., 1993; Macedo and Chalker, 1994; Takane and Otani, 1994). Вследствие этого в дифференциальном кондактансе появляется провал при нулевом напряжении (Lenssen et al., 1992). Заметим, что все вышесказанное буквально справедливо только тогда, когда вероятность нормального отражения от NS- границы достаточно мала.

Чрезвычайно интересен случай, когда нормальная часть имеет резонанс в вероятности прохождения (как, например, в квантовой точке (Beenakker, 1992а)) или находится в режиме сильной локализации (см. задачу 4 в конце гл. 5 и работы Lifschitz and Kirpichenkov, 1979; Azbel, 1983). G NS тогда имеет пик при энергии, соответствующей резонансу, так же, как и GN. Однако резонанс в G NS вдвое выше и имеет нелорен- цевскую форму. Это пример того, как квантовые (волновые) свойства могут помогать электрону проходить через высокие барьеры.

Беенаккер (Beenakker, 1992а) также рассмотрел эффект, связанный с дополнительным барьером на NS-границе (см. также Blonder et al., 1982; Volkov, 1994), в условиях, когда нормальный металл находится в диффузионном режиме. Он обобщил интересное теоретическое предсказание о «безотражательном туннелировании», полученное (см. van Wees et al., 1992) в предположении о том, что потенциалы в нормальной части являются плавными, на более реалистический случай. Оказывается, что наличие неупорядоченной нормальной области делает неэффективным подавление GNS за счет барьера. Это выглядит так, как если бы электрон, нормально отраженный от барьера, всегда возвращался назад к барьеру за счет рассеяния в неупорядоченной нормальной области и пытался отразиться по Андрееву на NS-границе с барьером снова и снова, до тех пор, пока бы это ему не удалось. Лови димому, так можно объяснить экспериментальные результаты (см. Kleinsasser et al., 1989; Kastalsky et al., 1990, 1991 и множество более поздних работ, обзор которых можно найти в (Beenakker, 1994, 1995). Такое усиление андреевского отражения, вероятно, происходит также и в тех баллистических системах, в которых геометрия позволяет многократное андреевское отражение от NS-границы. Физически подобный эффект должен также существовать и при резонансном прохождении через локализованное состояние в андерсоновском диэлектрике (Aleiner et al., 1996), где барьер на границе просто увеличивает один из двух

барьеров, так или иначе уже существующих в системе (см. модель, рассмотренную в задаче 4 в конце гл. 5). Последнее явление, вероятно, экспериментально наблюдалось в работе (Frydman and Ovadyahu, 1996). Численные эксперименты (Marmokos et al., 1993) подтвердили теоретические предсказания для диффузионного режима, включая безотража- тельное туннелирование. Последнее наблюдалось, когда коэффициент прохождения через барьер был мал, но все же больше, чем отношение 1/L для нормальной области. В работе (Marmokos et al., 1993) были также численно изучены флуктуации кондактанса; в результате были подтверждены как их увеличение в NS-случае (см. Takane and Ebisawa, 1991, 1992; Beenakker, 1993), так и предположение (Beenakker, 1992а) о их нечувствительности к магнитному полю.

22Теперь мы обсудим ряд эффектов (аналогичных обсуждавшимся в гл. 4), относящихся к протеканию сверхпроводящих токов в SNS- переходах. Мы начнем со случая, когда нормальная область находится в диффузионном режиме. Для невзаимодействующих электронов Альтшулер и Спивак (Altshuler and Spivak, 1987) вычислили вклад в кондактанс нормальной области, периодически зависящий от разности фаз %1 — %2 с периодом 2тг. Они также показали, что, при низких температурах kBT < As (когда V^o^ ^ E,n\ помимо среднего сверхпроводящего тока с амплитудой х) /с ~ (eAs//i)gn, существуют мезоскопические флуктуации тока от образца к образцу; их амплитуда

2

2

(7.47)

Этот результат, согласующийся с выражением для флуктуаций незатухающего тока от образца к образцу (гл. 4), справедлив при L <С £N (т. е. при квТ <С Ес\ но, кроме того, длина L должна быть больше поперечных размеров слабой связи. Интересно, что величина щели As не входит в этот результат. Позднее, в связи с результатами (Beenakker and van Houten, 1991a), полученными для баллистического случая, было показано (Beenakker, 1991), что выражение (7.47) справедливо только в пределе «длинного образца» (т. е. при L >> V^i чт0 означает Ес >> As; напомним, что здесь, как и выше, L — длина нормальной

х) Следует отметить, однако, что детальная форма 1С^) отличается в этом случае от соответствующего результата для джозефсоновского контакта (Кулик и Омельянчук, 1975; Beenakker, 1992b). Например, в коротком образце, L <^ V^ok ПРИ Т О

г / х еД .Ег

= Sm У Х / О =

а в баллистическом случае

г х еД •

ЭД = “TgnSm 2"

области, а ^о — длина когерентности сверхпроводника в чистом случае). Подчеркнем, что при низких температурах это условие совместимо с требованием L <С %N. В коротком образце (при L <С V^o^ или Ес >> >> As) (Beenakker, 1991) мезоскопические флуктуации критического тока имеют амплитуду

(Д/с2)~Д2(ДС2)~ (^)\ (7.48)

в соответствии с универсальностью флуктуаций кондактанса, которым они в данном случае аналогичны. Как уже подчеркивалось, условие L <С V^o^ эквивалентно Ес >> As. Физическая разница между случаями, описываемыми выражениями (7.47) и (7.48), определяется различием в масштабе характерной энергии электронов и дырок, которые переносят сверхпроводящий ток. В первом случае этот масштаб — ЕС1 а во втором — As. В этой связи см. также работы (Takane and Otani (1994) and Takane (1994)).

Так как (/c) ~ (As/e)Gn, то флуктуации в длинном образце относительно слабы ):

~ ~ 10"4 (7.49) (/=) Д» ~ 7

(характерное расстояние между уровнями А обычно составляет 10 К.) Альтшулер и Спивак предложили различные способы подавления среднего критического тока, чтобы сделать флуктуации более заметными. Например, относительно сильное магнитное поле подавит величину (А/с) экспоненциально, в то время как (А/^) уменьшится всего в два раза. Происхождение последнего эффекта имеет сходство с относительной нечувствительностью флуктуаций кондактанса (и его АБ осцилляций с периодом h/e) по отношению к сильному магнитному полю (гл. 5). Другое интересное свойство мезоскопических флуктуаций (A/f) — это их спадание на масштабе длины L^ (а не на £ю как для среднего тока (/с))- Так как условие L^ >> £N почти всегда выполнено, то флуктуации более устойчивы по отношению к увеличению длины образца, чем среднее значение тока.

Имеется интересное различие между мезоскопическим поведением туннельных контактов с одной стороны, и металлических слабых связей — с другой, из-за разницы в поведении собственных значений Тп матрицы проницаемости. В диффузионном режиме — при том же среднем кондактансе — в первом случае имеется много малых Тп, в то время как во втором случае — большинство Тп близки либо к нулю, либо к единице (Dorokhov, 1982, 1984; Imry, 1986; Pendry et al., 1992). Последняя ситуация наиболее ярко проявляется в баллистическом случае, когда кондактанс квантован, и ровно g из собственных чисел Тп

равны единице, а все остальные — исчезающе малы. Это различие приводит и к некоторым другим интересным следствиям (см., например, Beenakker et al., 1994).

Период 2тг осцилляций физических величин, зависящих от уд — — %2 7 соответствует, согласно (7.43), периоду h/e их осцилляций как функции потока в соответствующем кольце. Периоду тг осцилляций усредненных величин должно соответствовать изменение потока на /г/2е. Спивак и Хмельницкий (Spivak и Khmel’nitskii, 1982) получили такую периодичность (с периодом тг) для средней нормальной проводимости SNS-контакта как функции %i — %2- Такой же период (тг) был позже найден в зависимости от уд — уд вклада в средний сверхпроводящий ток, возникающего в результате электрон-электронного взаимодействия (Altshuler et al., 1983). Этот эффект аналогичен /г/2е- периодичности средних незатухающих токов, обусловленных электрон- электронным взаимодействием (Ambegaokar and Eckern, 1991). Так как знак этого эффекта связан со знаком константы эффективного взаимодействия, здесь возникает интересная возможность реализации «отрицательной амплитуды джозефсоновского тока» ). В этом случае может появиться неустойчивость (как это видно из аргумента Блоха, описанного выше) токового состояния с 0 = 0, с образованием двух стабильных основных состояний с противоположными значениями захваченного потока: 9 и — 9 при 0ext = 0. Если приложить между двумя сверхпроводниками напряжение V, то уд — %2 будет изменяться со временем согласно уравнению (7.36). Таким образом, тг-периодический незатухающий ток будет осциллировать со временем с основным периодом ^eV /К (Spivak and Khmel’nitskii, 1982). Множитель 4 получается здесь из двух двоек: одна происходит из соотношения Джозефсона, другая — из усреднения по ансамблю. Некоторые из вышеописанных явлений изучались экспериментально (De Vegvar et al., 1994).

Вопрос о том, какую периодичность — h/e или h/2е — должен иметь незатухающий ток в кольце, состоящем из N и S сегментов, изучался в работе Buttiker and Klapwijk, 1986. Было обнаружено, что в общем случае период равен h/2e^ кроме ситуации, когда S-область достаточно узкая, так что нормальные электроны могут эффективно туннелировать сквозь нее. В последнем случае период мезоскопических (зависящих от образца) флуктуаций в спектре возбуждений и постоянном токе становится равным h/e. Назаров (Nazarov, 1994) разработал оригинальную «теорию мезоскопических электрических цепей», которая позволяет исследовать NS-комбинации в общем случае.

В заключение этого параграфа, мы упомянем ряд интересных свойств узких и коротких (L <С ^о ? 0 баллистических точечных контактов (которые можно изготовить на основе полупроводниковых

Д/с = ^,Д/с = ^,структур) и некоторые совсем новые мезоскопические явления в сверхпроводниках. Так как нормальный кондактанс в первом случае квантован в единицах е2/тг/г, сверхтекучий ток (7.38) становится квантованным в единицах

Д/с = ^,

Д/с = ^,

(7.50)

(см. Beenakker and van Houten, 1991a,b; Beenakker, 1991).

Когда, благодаря резонансу в коэффициенте прохождения кондактанс барьера становится равным е2/тг/г (см. задачу 4 в конце гл. 5), в амплитуде джозефсоновского тока также возникает резонанс (Glaz- man and Matveev, 1989) с максимальным значением еА//г (Beenakker and van Houten, 1991c). Таким образом, отношение 1С к As при низких температурах оказывается кратным универсальной величине.

Приведем четыре других интересных экспериментальных результата в физике мезоскопических сверхпроводников.

Состояния с четным и нечетным числом электронов на маленьком сверхпроводящем островке (Tuominen et al., 1992; Eiles et al., 1993a,b; Lafarge et al., 1993; Ralph et al., 1997) существенно различаются, так как только четное число электронов участвует в формировании сверхпроводящего состояния. В качестве обзора по сверхпроводимости в маленьких гранулах см. работу von Delft and Ralph, 2001.

Возможна прямая демонстрация (Elion et al., 1994; Joyez et al., 1994; Matters et al., 1995) принципа неопределенности в паре канонически сопряженных величин: число электронов-фаза при соответствующем взаимодействии со сверхпроводящим островком.

Аномалии в эффекте «Литла-Паркса» (АБ осцилляции Тс цилиндрического образца) наблюдались экспериментально (Vlohbergs et al. (1992)).

Аномалии в магнитной восприимчивости макроскопических цилиндров, имеющих хороший контакт между нормальными и сверхпроводящими частями стенок (Visani et al., 1990).

Два последних эффекта еще ожидают теоретической интерпретации (см., однако, работы Bruder and Imry, 1998; Fauchere et al., 1999a,b).

Область мезоскопической сверхпроводимости — это очень многообещающее поле деятельности. Для дальнейшего знакомства с этой областью мы рекомендуем следующие, недавно написанные обзоры: Bruder, 1995 и сборник статей Hekking et al., 1994.

Глава 8

ШУМ В МЕЗОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Введение

В этой главе мы будем рассматривать три типа явлений, связанных с шумом.

Равновесный шум Найквиста-Джонсона на сопротивлении (см. А.9 и А.13-17).

Различные стационарные эффекты, связанные с неравновесным или дробовым шумом, возникающим в проводниках, когда через них течет постоянный ток. 3. Низкочастотный «(1//)-шум», возникающий в результате медленных изменений сопротивления.

В первых трех параграфах настоящей главы эти три типа шумов будут рассмотрены на классической основе; четвертый параграф посвящен последовательному квантовому исследованию проблемы. Как мы увидим, квантовое рассмотрение выявляет неполноту классической картины явления; необходимое условие справедливости последней: кш << квТ.

В первом (равновесном) случае спектральная плотность шума чаще всего не зависит от частоты («белый шум») в широком интервале частот от нуля до 1/т* — частоты обрезания, которая представляет собой меньшую из двух величин: квТ/К = 1 //3^ (в этой главе мы, в основном, зарезервируем обозначение Т для коэффициента прохождения) и 1/т. Время т характеризует транспорт через систему; например, роль т может играть время свободного пробега в резисторе в состоянии равновесия. Итак, при постоянном кондактансе, спектральная плотность равновесного шума является белой в промежутке ш <С (Д/г)-1,1/т. Чтобы описать токовый шум (который измеряется в равновесии с помощью соединенного последовательно с сопротивлением «а.с.-амперметра» с нулевым импедансом), обычно (см. ссылки в Wax, 1954; Reif, 1965) рассматривают преобразование Фурье от корреляционной функции токов:

saw) = 2- \ (MH^M^t'+ t^eiMtdt,(8.1)

2тг J

— оо

которая зависит только от Д но не от t'; тип усреднения, обозначенного угловыми скобками, будет обсуждаться позже. В формуле (8.1) △/(t) = Ц1) — /, причем средний ток / равен нулю в равновесии; S(w) — пропорционально |/(cj)|2, где Цш) — преобразование Фурье от А/(t\ Величина 8(ш) называется спектром шума в единичном

интервале угловых частот (для более детального изучения всех этих соотношений см. задачу 1 в конце этой главы). Обычно, в простых случаях, (А/(0)А/(£)) = (А/(0)2)е-^1/т . В число этих случаев входят равновесный шум при Д < т и классический дробовой шум. Спектр шума Sj^co) на низких частотах (ш < 1/т*) дается формулой

S/(w) = — (△/2(0))т*. (8.2)

7Г

Как следует из флуктуационно-диссипативной теоремы (см. формулы (А.9) и (А.13)-(А.17) приложения А), в равновесии, при условиях / = = 0, ш<1/т*ЛРП)-\

7Гр К

где R — сопротивление. В часто встречающемся «инженерном» определении спектра шума используется симметричный коррелятор токов (косинус-преобразование выражения (8.1)), дополнительный множитель 2 учитывает то, что здесь в интегрировании участвует только область частот ш > 0 (разница в этих двух определениях спектра шума несущественна при (ЗНш < 1). В «инженерном» определении спектр шума в единичном интервале частоты / равен, таким образом, 4k ВТ/R. Теоретическое исследование справедливости формулы (8.3)) для случая равновесного шума в мезоскопической системе проводилось, например, в работах (Landauer, 1989b; Entin-Wohlman and Gefen, 1989).

Неравновесный дробовой шум возникает при протекании тока, переносимого дискретными носителями с зарядом е в стационарном неравновесном состоянии. Если через счетчик заряда течет средний ток /, то это означает, что через него в среднем проходит I / е электронов в единицу времени. Считая, что эти однозарядные события (т. е. акты переноса одного заряда) некоррелированы^ можно показать (в духе решения задачи 1), что флуктуации заряда, протекающего через счетчик в единицу времени, имеют дисперсию А/2 = е/ и в пределе низких частот )

с / \А/2 е Yс / \А/2 е Y(8.4)(8.4)

с / \А/2 е Y

с / \А/2 е Y

(8.4)

(8.4)

Соотношение (8.4) позволяет найти классический дробовой шум (см. van der Ziel, 1986) при условии некоррелированости элементарных событий. Примерами такого шума могут служить флуктуации потока воды, проходящего — в виде капель — через единичную площадку во время дождя, или флуктуации тока в вакуумных трубках (в пренебрежении

пространственными зарядами) ). Квантовая природа частиц (то есть их статистика — бозевская или фермиевская) приводит к корреляциям, которые могут изменить вид выражения (8.4). Хорошо известный феномен такого типа — «группировка фотонов» (Hanbury-Brown and Twiss, 1956, 1957). Дробовой шум в реальных цепях не подчиняется закону (8.4), в том числе и из-за подавления флуктуаций заряда рассеянием и кулоновским взаимодействием. Далее в этой главе мы рассмотрим только те модификации формулы (8.4), которые обусловлены квантовой природой частиц.

Конечно же, формулы для равновесного шума являются точними результатами равновесной статистической теории флуктуаций, и они также справедливы и для мезоскопики. Результаты же для дробового шума существенно изменяются за счет квантовых эффектов (для когерентных проводников) как на одночастичном уровне, так и при учете ферми-статистики. Однако когда средний ток / стремится к нулю, равновесный шум во всех случаях получается как предел квантового дробового шума (Landauer, 1989а, 1993).

Самый простой случай проявления шума — излучение из резервуара в свободное пространство через волновод с препятствием — мы рассмотрим во втором параграфе. Нетривиальные поправки, возникающие вследствие наличия другого резервуара, а также равновесный предел будут обсуждаться в § 4, уже на квантовом уровне.

В § 3 мы рассмотрим низкочастотный (обычно пропорциональный 1//, где / — частота) шум. Уже давно было выяснено (Bernamont, 1937; Dutta and Horn, 1981), что этот шум часто вызывается редкими изменениями сопротивления, обусловленными медленными движениями атомов или изменениями их состояния ионизации. Фенг и др. (Feng et al., 1986) предположили, что мезоскопический эффект — изменение сопротивления фазово-когерентной части образца в результате изменения конфигурации примесей — может объяснять (1//)-шум в макроскопических образцах.

Дробовой шум для случая «излученияиз резервуара»

Рассмотрим резервуар, содержащий частицы в состоянии равновесия, характеризуемом химическим потенциалом pi и обратной температурой р. Он излучает частицы в свободное пространство через волновод, представляющий собой трубку (или идеальный проводник), присоединенную к отверстию в резервуаре. Волновод характеризуется полной вероятностью прохождения Т из резервуара в вакуум. Т может определяться препятствиями в волноводе и/или несовпадением

импедансов на границе со свободным пространством. Отверстие, соединяющее резервуар с трубкой, достаточно узко, чтобы излучение не нарушило равновесия в большом резервуаре на всех представляющих интерес временах. Мы также будем считать, что отверстие устроено так, чтобы обеспечить идеальное прохождение частиц в волновод, см. рис. 8.1. Для простоты мы рассмотрим одноканальный волновод; обобщение на многоканальный случай не представляет особой сложности, аналогичное обобщение уже делалось в гл. 5. Это обобщение, так же, как и переход к задаче со многими резервуарами, можно найти в цитированной литературе. Введем плотность состояний пДе) (на единицу длины волновода) для частиц, вылетающих из резервуара в волновод. Так же как и в формализме Ландауэра, мы будем считать, что частицы, вылетающие из резервуара, имеют равновесное распределение /(е) (/ — Ферми или Бозе функция — в зависимости от статистики частиц).

Рис. 8.1. Резервуар, содержащий частицы в состоянии равновесия и излучающий их (с вероятностью прохождения Т) в свободное пространство через идеально состыкованный волновод

Для «черного тела» эти предположения обосновываются с помощью теоремы Лиувилля (Ландау и Лившиц, 1995), как уже отмечалось в гл. 5. Средний ток частиц в интервале энергий As, вылетающих в единицу времени из резервуара в волновод (везде ниже, включая уравнение (8.9), если специально не оговорено обратное, мы будем иметь в виду именно ток частиц, т. е. число частиц, прошедших в единицу времени) равно /о = ^/, причем среднее

/о =v = vni(s)As,(8.5)

где и — скорость вдоль трубки, / — мгновенная заселенность состояния, а / — его среднее. «Частота излучения» v (не путать с измеряемой частотой Сс2/2тг) для массивных частиц равна ) v = ^е/кК. Величина v оказывается такой же и для неполяризованных фотонов в одномерном волноводе. Перейдем к рассмотрению флуктуаций тока частиц, вышедших в свободное пространство (Schwimmer and Imry, 1994). Эти флуктуации связаны как с флуктуациями тока /д (частиц, влетающих в трубку из резервуара), так с вероятностным характером прохождения частиц через препятствие при фиксированной величине /д. (Повторим опять, что /о флуктуирует во времени благодаря флуктуациям заполнений /; среднее /д определяется выражением (8.5).) Вероятность того, что из /о частиц, излученных в единицу времени из резервуара в трубку частиц, ровно / пройдет через препятствие, равна

PIq^ = (^ Т1^ - ТУ0"1.(8.6)

Величина Р1о — это вероятность / успехов из /д независимых попыток с вероятностью успеха Т в каждой попытке. Среднее и среднеквадратичное отклонение равны /д, умноженному на Т инаТ(1 — Т) соответственно.

Если Р(До) есть вероятность «излучения» тока /д, то средний ток, прошедший через волновод в вакуум, равен

ОО/о

= £ Е IPl» W = Е р№, = Т70 = vfT. (8.7) /о=О7=1/о

Вычислим теперь его флуктуации А/2 = /2 — 72:

= Е РМ Е 12МП = Е МДЖМ + 7оЩ - ту (8.8) /о/о

где мы использовали тот факт, что (как уже упоминалось после формулы (8.6)) дисперсия биномиального распределения (8.6) равна /дТ(1 —

— Т\ Теперь нам нужно определить 1^. Получаем 1^ = ^ Р(/д) х /о

X /02 = 702 + Д/2 = ГУ + z//(l Т /)• В последнем соотношении мы применили хорошо известный результат, заключающийся в том, что для фермионов (верхний знак) или бозонов (нижний знак) дисперсия / равна /(1 =р /) (Ландау и Лившиц, 1995), а также то, что заполнения различных состояний v независимы. Подставляя эти соотношения в (8.8), мы получим окончательное выражение для полной флуктуации

тока в единицу времени:

△ Р = Т2р/(1 т /) + р/Т(1 - Т) = vfT^l т fT\ (8.9)

Это выражение имеет простой физический смысл: флуктуации тока (текущего через конец трубки в вакуум) определяются обычными для статистик Ферми или Бозе результатами: /Т(1 =р /Т) на каждое состояние. Ясно, что и средний, и флуктуационный токи получаются сложением v независимых вкладов.

В простейшей версии экспериментов, посвященных фотонным корреляциям (Hanbury-Brown and Twiss, 1956; см., также, книгу Ваут, 1969; с. 431, где приводится ясное и подробное описание эффекта), флуктуации интенсивности, зарегистрированные фотонным детектором, нацеленным на источник с Т = 1, оказались больше, чем классический результат v f справедливый для независимых событий. Правильный — квантово-механический — расчет дает, как мы видели г//(1 + /). Последний результат можно найти в учебнике (Ландау и Лившиц, 1995), со ссылкой на работу Эйнштейна (Einstein, 1909). Мы видим, что наличие барьера (с вероятностью прохождения Т) между источником и счетчиком, влияет на результат таким образом (8.9), что роль среднего заполнения состояний / играет теперь «среднее наблюдаемое заполнение» fT.

Для некоррелированных электронов при нулевой температуре дробовой шум в токе заряда, вызванном напряжением У, дается сложением eV/As независимых вкладов:

Др = e^eVf^vTyV - Т) = eVG(l - Т) = е/(1 - Т). (8.10)

Это эквивалентно классическому результату (8.4), умноженному на (1 — TY Итак, дробовой шум, вычисленный в этом самом простом случае, исчезает при Т = 0 и при Т = 1. В этих двух предельных случаях (и при нулевой температуре) процесс прохождения барьера не имеет вероятностного характера. Результат (8.10) в случае произвольного Т (довольно легко обобщаемый на случай многих каналов), был получен в работах (Khlus, 1987; Lesovik, 1989; см. также Yurke and Kochansky, 1989; Buttiker, 1990).

В ситуации, когда кондактанс квантуется (изменяется на дискретную величину) в баллистическом квантовом точечном контакте, дробовой шум максимален в промежутках между ступенями, т. е. в момент открытия канала (0 < Т < 1). Из уравнений (8.8)-(8.9) следует, что флуктуации тока имеют две независимие причины: флуктуации чисел заполнения в источнике и статистические флуктуации около средней вероятности прохождения Т. Ясно, что любая частица, подлетающая к барьеру, или пролетит, или нет! Отсюда следует простая интерпретация выражения (8.9): в каждом из и независимих событий, fT — вероятность успеха, а дисперсия — /^(1 — fT). Умножив на г/, по-

лучим (8.9). Представленный выше короткий вывод (8.7)-(8.9) просто повторяет известные результаты из теории вероятности.

Такой подход также показывает, где именно проявляется Ферми или Бозе статистика частиц, и дает возможность увидеть соответствие с флуктуациями Хэнбери-Брауна и Твисса (хотя точная природа этого соответствия до сих пор еще является предметом обсуждения). Дальнейшие ссылки по этому кругу вопросов: (Beenakker and van Houten, 1991b, Buttiker, 1992a,b; Chen and Ting, 1992; Hershfield, 1992; Tsukada et al., 1992; Shimizu et al., 1992; Landauer and Martin, 1992; Martin and Landauer, 1992; de Jong and Beenakker, 1992, 1994; Levitov and Lesovik, 1993; Landauer, 1993,1995; Ueda and Shimizu, 1993; Gurevich and Rudin, 1996). Ландауэр, в последней из приведенных ссылок, обсуждает вопрос о том, как уменьшается дробовой шум в образце, много большем, чем L^, и, наконец, как он стремится к нулю в макроскопическом пределе. За этим можно проследить, если мысленно разделить образец на множество когерентных областей, как в гл. 5. Беенаккер и Buttiker (Beenakker and Buttiker, 1992) и Нагаев (Nagaev, 1992) обнаружили, что в выражении для дробового шума в квазиодномерном (см. гл. 5) когерентном проводнике возникает дополнительный множитель 1/3. Это следует из вычисления, основывающегося на том, что большинство собственных значений матрицы прохождения лежат вблизи 0 или вблизи 1 (Dorokhov, 1984; Imry, 1986; Pendry et al., 1991). Результаты соответствующих экспериментов см. в работах Li et al., 1990а,b; Kil et al., 1990; Washbum et al., 1991; Liefrink et al., 1994a, b. Подавление дробового шума в квантовых точечных контактах экспериментально наблюдалось в работе (Reznikov et al., 1995). В этой же работе был обнаружен и другой тип подавления шума при малых вероятностях прохождения, вероятно, обусловленный кулоновским взаимодействием, (см. также Birk et al., 1996). Поведение шума при низких частотах исследовалось в статье Kumar et al., 1996.

Спектральная плотность дробового шума чувствительна к заряду носителей. Этот факт может быть использован для выявления роли носителей, заряд которых отличается от единичного (например, Ку- перовских пар). Недавно были проведены интересные эксперименты, подтверждающие дробность заряда квазичастиц в дробном квантовом эффекте Холла (de Picciotto et al., 1997; Saminadayar et al., 1979).

Низкочастотный (1//)-шум

Спектральная плотность флуктуаций напряжения на образце, через который течет ток, при низких частотах почти всегда увеличивается обратно-пропорционально некоторой степени частоты. Показатель степени обычно близок к единице, поэтому шум этого типа обычно называется «1//» или просто низкочастотным шумом. Он очень отличается от независящего от частоты белого шума. Вездесущий (1//)- шум затрудняет измерение дробового шума, который является белым

224 Шум в мезоскопических системах [Гл. 8 на низких частотах. Уже очень давно было замечено, что амплитуда (1//)-шума пропорциональна квадрату величины протекающего постоянного тока. Выражение весьма общего вида для описания 1 //-шума было предложено в работе (Hooge, 1969):

AV2M = 7^p (8.11)

где Ne — полное число носителей заряда, а 7 обычно ~ 10-3. Принято считать, что (1//)-флуктации напряжения вызываются медленными изменениями сопротивления при фиксированном токе. Таким образом, 1 //-шум может возникать, как результат флуктуаций интенсивности шума Джонсона-Найквиста (см. работу Voss and Clarke, 1976; эти авторы развивали температурно-флуктуационную модель (1//)-шума, которая успешно объяснила некоторые эксперименты, однако, все же представляется нам недостаточно общей). Аргументы в пользу интерпретации многих случаев (1//) шума, как результата медленных флуктуаций сопротивления, были представлены в работе (Dutta and Horn, 1981). В недавнем обзоре (Weissman, 1988), напротив, подчеркивалось многообразие и вероятная неуниверсальность (1//)-шума. Отметим, что дробовой шум пропорционален первой степени тока, и его, в принципе, легко можно отличить от (1//)-шума.

Кондактанс многих систем (Ralls et al., 1984; Farmer et al., 1987; Ralls and Buhrman, 1988) может флуктуировать между двумя или большим числом локально-стабильных значений («телеграфный шум»), что можно объяснить перемещением рассеивающего центра между локально-стабильными состояниями, или процессом ионизации-деионизации примесей (например, доноров или акцепторов в полупроводнике). Ниже будет показано, что (1//)-шум появляется в том случае, когда в системе существует много таких центров с плавной функцией распределения активационных барьеров, разделяющих состояния. Возможная роль поверхностных состояний в этой связи отмечалась в работе (McWhorter, 1957). Отметим в скобках, что интенсивность процессов перехода между состояниями рассеивателя должна значительно увеличиваться вблизи перехода металл-изолятор (Finkelshtein and Imry, 1992, неопубликована) из-за эффекта допирования. Действительно, гигантское (и, по-видимому, универсальное) увеличение интенсивности (1//)-шума наблюдалось экспериментально вблизи перехода металл- изолятор (Cohen et al., 1992).

Нетрудно убедиться в том, что если сопротивление изменяется благодаря процессам возбуждения с энергией активации, распределенной более или менее однородно в некотором конечном интервале, то действительно возникает (1//)-шум (Bernamot, 1937). Рассмотрим такой процесс возбуждения с энергией активации W и скоростью

-~2_eSw. (8.12) Т То

Предположим, что концентрация «примесей» тц ^ 1017/см3. Изменение сопротивления в результате такой активации обозначим АД. Будем считать, что энергия активации распределена почти однородно между IVmin и И/щах (обычно эти энергии лежат в диапазоне ~ (0.1 —5) эВ. Для изменений сопротивления на частоте ш. очевидно, важны процессы, идущие со скоростями 1/т ~ ш, а значит отвечающие активационным барьерам с высотой

Weff ~ ||ln(wro)|(8.13)

(более строгие оценки приведены ниже). Для типичного значения то ~ 10-14^ частот в диапазоне ш ^ 1-108 Hz (восемь порядков!) и при достаточно низкой температуре характерный интервал изменения VPeff приближенно равен 0,5-1 эВ и чрезвычайно слабо зависит от частоты и от tq. Мы будем приближенно считать, что W однородно распределено в этом интервале с P(W) ~ 1/Жо (в более общем случае Жо может слабо меняться в интересующем нас диапазоне частот). Из уравнения (8.13) следует, что распределение частот переходов действительно характеризуется обратно-пропорциональной зависимостью от частоты:

Коэффициент 1/Ж0/3 может принимать значения в диапазоне 10-3- ю-1.

Чтобы вывести (8.14) на более строгой основе (Bernamont, 1937; Dutta and Horn, 1981), мы рассмотрим процесс, происходящий с характерной частотой 1/т. Вклад такого процесса в автокорреляционую функцию сопротивления будет спадать по закону ехр(—t/т), а шум, связанный с флуктуациями сопротивления (или измеренного напряжения), будет иметь спектр

SwH = "^(8.15)

ш + (1Л)

Индекс W означает, что спектральная функция вычислена при определенном значении высоты активационного барьера W (т = т(Ж)). Рассмотрим теперь широкий спектр т. Предполагая, что разброс значений т в основном связан с флуктуациями барьеров Ж, мы найдем полную спектральную плотность шума

5^(Ж) = j dWSwHP(W)(8.16)

Мы опять предположим, что P^W) ~ 1/Жо (где Жо — постоянная с размерностью энергии) в достаточно широком диапазоне ш. Тогда,

учитывая, что

_ Toe

— 1 , 2 2 2/3W ’1 + w т0 е

и вычисляя несложный интеграл по W [главный вклад в этот интеграл вносит окрестность точки VFeff (8-13)], мы снова получим выражение (8.14). Интересно отметить, что, как следует из флуктуационнодиссипативной теоремы (см. (А.16) или (8.1)) и из формулы (8.14), мнимая часть восприимчивости (или ст(ш)) пропорциональна P(W\ где W = Жел(й>) логарифмически зависит от частоты (Pytte and Imry, 1987). Следовательно, поправки к P^W), описывающие отличие распределения от однородного, из-за которых, в свою очередь, возникает слабая частотная зависимость 7 в формуле (8.11), приводят также и к логарифмической зависимости сг(ш). Другие важные свойства функции отклика следуют из соотношения Крамерса-Крониг.

Подчеркнем, что (1//)-зависимость не является точной, так как P(W) в диапазоне, соответствующем (8.13), все-таки (хотя и слабо) зависит от си. Очевидно также, что (1//)-зависимость не может быть верной при / —> 0 и при / —У ос, так как полная интегральная плотность шума должна быть конечной. Это означает, что слишком большие и слишком малые значения W эффективно должны быть исключены из рассмотрения. Это, однако, едва ли представляет реальную проблему, так как зависимость (8.13) эффективного барьера от частоты — всего лишь логарифмическая.

Далеко не так просто оценить, как конкретный процесс релаксации в образце влияет на его сопротивление (исключением являются двухуровневые системы в металлических стеклах (Ludvikson et al., 1984); позже мы кратко вернемся к этому вопросу). Обратный объем (или число частиц) входят в выражение 8.11 правильным образом, но нужно еще определить конкретный механизм флуктуаций сопротивления. Это может показаться удивительным, но мезоскопическая физика помогает найти ответ на вопрос об этом механизме даже для случая макроскопических систем (Feng et al., 1986).

Для начала рассмотрим полностью когерентную систему (т. е. предположим, что все ее размеры L^ удовлетворяют неравенствам: L^ <С <С L^Lj^. Известно, что кондактансы двух элементов ансамбля систем с разной конфигурацией примесей отличаются на величину ~ ~ (е2//г), а сопротивления — на величину ~ ^2(е2//г) (где R — среднее сопротивление). Флуктуации кондактанса — «отпечатки пальцев» данной конфигурации примесей (оговоримся, что этот термин чаще используется для обозначения зависимости кондактанса от магнитного поля, которую мы здесь не будем рассматривать). Возникает вопрос: насколько сильно нужно изменить конфигурацию примесей, чтобы вызвать полное изменение «отпечатка пальцев», т. е. изменение кондактанса на величину порядка е2//г?

Альтшулер и Спивак (Altshuler and Spivak, 1985) и Фенг и др. (Feng et al., 1986) нашли изменение кондактанса методами диаграмной техники. Было обнаружено, что перемещения какого-нибудь одного рассеивающего центра на расстояние порядка длины волны Ферми достаточно, чтобы кондактанс изменился на е2//г — в строго одномерной и на е2/tikFl — в строго двумерной системе. Эти выводы справедливы в «металлическом режиме», когда I ^ L ^ ^. В трехмерной системе характерное изменение кондактанса содержит дополнительный малый множитель (k^lL)-1^2 по сравнению с величиной е2//г, причем L следует заменить на толщину в случае пленки или тонкой проволоки. Этим результатам можно дать простую физическую интерпретацию, если учесть, что кондактанс пропорционален вероятности прохождения электрона через образец. Последняя величина может быть найдена, как квадрат модуля фейнмановского интеграла по путям, пересекающим образец (количественное описание в этом представлении было выполнено в неопубликованной работе (Argaman, 1993)). Нетрудно убедиться, что число таких диффузионных путей имеет порядок (L//)2. Для случая двумерной системы это означает, что каждая траектория проходит около конечной доли всех рассеивателей, при этом изменения на 2тг фазы рассеянии только для одного единственного рассеивателя уже окажется достаточно, чтобы значительно изменить картину интерференции. В одномерных системах этот эффект проявляется даже сильнее, так как траектории проходят вблизи каждого рассеивателя много раз. В трехмерных системах вероятность прохождения любой траектории вблизи какого-нибудь фиксированного рассеивателя ~ I / L^ что приводит к уменьшению эффекта в ^1 (L раз по сравнению с двумерными системами.

Фенг и др. (Feng et al., 1986; см. также Pendry et al., 1986) предположили, что вышеупомянутые эффекты могут иметь отношение к (1//)- шуму. В когерентных системах упомянутое изменение R определяет величину множителя пропорциональности в (1//)-шуме. Флуктуации кондактанса относительно слабо, степенным образом, зависят от L /L^ (Altshuler and Khmelnitskii, 1985; Lee et al., 1987), и в этом заключается причина того, что приведенный выше механизм приводит к заметным изменениям сопротивления даже в макроскопических образцах (L ^ >> L^. Чтобы лучше понять этот эффект, разделим образец, как в гл. 2 и 4 (Imry, 1986), на ^LjL^ областей а размера L^. Каждая такая область почти когерентна, и имеет «почти когерентную» (т. е. почти как в образце с L ^ L^) чувствительность кондактанса к положению примесей. Вклады таких областей следует складывать классически, учитывая, что движение между двумя областями некогерентно. Таким образом, изменение состояния одного рассеивателя оказывает влияние на кондактанс только одной единственной области (той, в которой находится этот рассеиватель) и полный средний квадрат флуктуаций 8*

кондактанса всей системы приобретает малый множитель (Ь^^/П (отметим согласие с зависимостью от объема в выражении (8.11)). Для дальнейшей полуколичественной оценки эффекта следует вспомнить, что вклад в проводимость дает область энергий шириной квТ и что квТ > h/т^ во всех представляющих интерес случаях ’). Усреднение по энергии в этом температурном интервале энергий области приводит к дальнейшему подавлению AG (появляется дополнительный малый фактор li/квТт^^ см. работы Lee et al., 1987; Altshuler and Khmelnitskii, 1985). Итак, окончательный ответ для изменения кондактанса за счет движения примеси имеет вид:

(^ _ 6G2coh(^ _ 6G2coh,2,2,2,29. J9. J(8.16)(8.16)

(^ _ 6G2coh

(^ _ 6G2coh

,2

,2

,2

,2

9. J

9. J

(8.16)

(8.16)

Индекс coh подразумевает (когерентную) область с характерным размером < L^, безразмерная функция / пропорциональна своему аргументу, когда последний много меньше единицы, и достигает насыщения ~ G(l) при больших значениях аргумента. Эти оценки позволяют, при некоторых предположениях, правильно найти порядок величины (1//)-шума. Чтобы перейти от уравнений (8.15)-(8.16) к спектральной плотности флуктуаций кондактанса, напишем (AG(O)AG(^)) = = AG2e-^T для фиксированного т. Интегрирование по распределению т (или W) выполняется так же, как это делалось раньше. В случае трехмерного образца размера L можно, предполагая что AG2^ = = (Ле2//г)2, с точностью до численного коэффициента найти параметр Хоге (множитель 7 в формуле (8.11)):

(8-17)(8-17)Л2 L^ квТ kFl I Wo

(8-17)

(8-17)

Когда Л ~ 1 (что в трехмерном случае означает выполнение условия kFl ~ 1)7 формула (8.17) дает значения, по порядку величины совпадающие с результатами эксперимента. Переход к большим значениям kFl только незначительно изменяет этот результат, потому что L^ увеличивается с kFl 2). Справедливости ради следует сказать, что достаточно общей количественной теории, развивающей представленные выше идеи, до сих пор не существует. Вместе с тем нам кажется, что эти идеи качественно верны — если не всегда, то, по крайней мере, в очень многих случаях.

Изложенная концепция может найти дальнейшее применение в металлических стеклах, в которых двухуровневые системы играют большую роль при низких температурах (например, в распространении акустических волн). Классическая теория их вклада в (1//)-шум была построена в работе (Ludvigson et al., 1984), но указанные выше квантовые эффекты могут оказаться заметными даже при относительно высокой температуре (Feng et al., 1986; Birge et al., 1990). Некоторые сходные идеи, касающиеся спиновых стекол, были сформулированы в работе (Altshuler and Spivak, 1985). Эти идеи мы не будем здесь обсуждать.

Квантовая теория корреляторов шумов

Введение и общие замечания. Рассмотрим корреляционную функцию некоторой наблюдаемой величины, возможно многочастичной, необязательно равновесной системы. Хотя наши рассуждения будут носить общий характер, мы будем иметь в виду мезоскопические системы. Примерами наиболее интересных наблюдаемых величин являются плотность частиц п (см. выражения (А.П)-(АЛЗ) и вектор плотности тока j. В этом параграфе мы рассмотрим именно ток, и будем иметь в виду небольшой виток («антенну»), по которой может течь ток. Как правило, в физических эффектах важную роль играет корреляционная функция фурье-компоненты Jq плотности тока и сопряженной ей величины 3-ч. Во многих реальных ситуациях достаточно рассмотреть только компоненту оператора j с q = 0, что мы и сделаем. Это соответствует интегрированию тока j по поперечному сечению (мы считаем его узким и выберем такие единицы длины, в которых это сечение равно единице) и вдоль длины системы ). При взаимодействии с электромагнитными полями на реальных частотах соответствующие значения q чрезвычайно малы, так что использование предела q = 0 (дипольное приближение) является вполне удовлетворительным. Корреляционная функция тока (обычно она обозначается Cjj(t), но для краткости мы будем пользоваться здесь обозначением С^\ равна

= GW)) = £,(8.18)

230 Шум в мезоскопических системах [Гл. 8 где |г) — собственное состояние системы, с энергией Е^ и статистическим весом Р^ причем ^ Р^ = 1. Фурье-образ C(t) есть S(w) = = (1/2тг) j C(t) exp (—iwt) dt. 8(ш) есть спектральная функция токового шума, или динамический структурный фактор типа ванХова; обычно он обозначается как Sjj^wY В общем случае можно показать (см. рассуждение, приводящее к (А.8), а также работу van Hove, 1954), что S^w) определяется точным выражением

SH = h'^Pi\a\3\i)\25<Ei — Ef — hw), (8.19)

где |г) и |/) — точные начальные и конечные состояния соответственно. Например, в равновесной системе при нулевой температуре, в качестве начального состояния появляется только многочастичное основное состояние, |g), т. е. Pg = 1, и Pi = 0 для всех г / j. Отсюда следует, что 8 стремится к нулю при ш > 0 и Т = 0.

Как хорошо известно, 8 представляет собой сечение передачи энергии Нш из системы вовне: например, для спектральной функции флуктуаций плотности nqi 8Пд,п_д это есть сечение неупругого борновского рассеяния (van Hove, 1954); для случая испускания и поглощения электромагнитного излучения сечение (8.19) соответствует коррелятору токов (см. ниже и, например, Ваут, 1993). В последнем случае, свободное электромагнитное поле описывается векторным потенциалом А(ж,£), где А представляется в терминах фотонных операторов рождения и уничтожения. Учитывая взаимодействие J j А электронной системы с электромагнитным полем в наинизшем порядке теории возмущений, легко показать (см. Ваут, 1993), что, согласно золотому правилу Ферми, 8(ш) определяет перенос энергии между флуктуирующим током и электромагнитным полем. Это означает, что при ш > 0 8(ш) описывает испускание фотонов в вакуум (фотонное состояние с нулевыми числами заполнения), a S(—ш) — поглощение заданного фотона электронами. Зависимость от числа фотонов в поле будет обсуждаться в §4.3 этой главы.

Если система находится в равновесии при температуре Т (что подразумевает Pi/Pj = e~^Ei~Ej^ksT) и ее гамильтониан инвариантен по отношению к обращению времени, то, как следует из (8.19), S^w) удовлетворяет очень общему принципу детального баланса:

8Н = 8Не"МквТ- (8.20)

Нетрудно видеть, что в классическом пределе (при квТ > HwY S(w) приближенно симметрично, что означает приближенное равенство вероятностей рождения и поглощения возбуждений в системе. С другой стороны, в противоположном — сильно квантовом — пределе (при

Т = 0), 8 обращается в нуль при ш > 0. Этот факт просто означает невозможность извлечения энергии из системы, находящейся в основном состоянии.

В общем случае из (8.20) мы видим, что в равновесии 8(ш) не симметрично по отношению к обращению знака у ш. за исключением предела очень высоких температур (квТ >> 1гш). Эта асимметрия имеет чрезвычайно глубокое физическое значение, которое будет обсуждаться в § 4.2 этой главы. Перед этим мы рассмотрим другие симметрии функции С^1\

Поскольку 8 — действительная величина, то корреляционная функция C(t) подчиняется условию C(t) = C(—t)*. Если S(w) = S(—ш\ то C(t) действительная функция, инвариантная по отношению к обращению времени. Однако если 8 не инвариантно при изменении знака ш (что бывает очень часто), то и С(t) не симметрично при обращении времени. Очевидно, что причина этой асимметрии в некоммутативности операторов тока в различные моменты времени. Как мы увидим, это свойство в действительности приводит ко многим нетривиальным физическим следствиям. Оно также подразумевает, что С имеет ненулевую мнимую часть. Величина С^ не может быть непосредственно измерена, как в классическом случае, где она получается при усреднении произведения измеренных j^t') и j(tf + t), например по «начальному» времени I'. Прежде всего отметим, что среднее от j(Z) не зависит от времени в стационарном состоянии, поэтому «з^» необходимо понимать как результат некоторого «неполного» усреднения. Но даже при этом условии, очевидно, измерение j(tf) воздействует на квантовую систему в такой степени, что влияет на ее дальнейшую эволюцию, а значит и на j(tf + t\ Однако и действительная, и мнимая части C(t) получаются фурье-преобразованием функции З^ш^ которая может быть измерена в экспериментах по поглощению-испусканию, неупругому рассеянию и т.п. При этом важно знать величину S^w) как при ш > 0 (сечение поглощения), так и при ш < 0 (сечение испускания). Мнимая часть C(t), и тем самым ее квантовая природа, очевидно проявляются при t < h/kBT. При Т —> 0 области классического поведения C(t), где она чисто действительна, просто не существует.

Тот факт, что C(t) имеет мнимую часть, хорошо известен, и некоторые из приведенных рассуждений появлялись уже в классической работе ванХова (van Hove, 1954) по рассеянию (заметим, однако, что приведенные выше рассуждения, касающиеся свойств корреляторов, имеют гораздо более общее значение). Именно ванХов впервые понял, что мнимая часть С^ возникает вследствие некоммутативности j в различные моменты времени. Для того чтобы лучше в этом разобраться, запишем произведение j^j^t) как полусумму коммутатора и антикоммутатора. Последнее слагаемое дает классическую симметризованную версию S, а первое — антисимметричную часть 8откуда и возникает мнимая часть С. Этот коммутатор в действительности является не чем иным,

как диссипативной проводимостью Кубо (ср. (А.8)), что хорошо известно (и также было замечено в работе van Hove, 1954). Можно сказать, что полная диссипация возникает вследствие неравенства процессов поглощения и испускания, как и подразумевается общей тенденцией к установлению равновесия. Это замечание станет особенно ясным после того, как мы рассмотрим ниже процесс обмена энергией между двумя системами. Может показаться странным, что корреляционная функция двух физически наблюдаемых величин не является чисто действительной. Однако никакого противоречия здесь нет. Произведение у при разных временах не является эрмитовым оператором, поэтому его собственные значения и математическое ожидание могут быть комплексными. Хотя мы подробно обсуждали асимметрию 8(ш) только в равновесном случае, отметим, что асимметрия такого рода имеет место также и во многих неравновесных системах.

Тепловой поток между связанными системами.

Асимметрия 8(ш) имеет важные физические следствия. Предположим, что две системы, 1 и 2, каждая из которых находится в равновесии, имеют различные температуры Ту и Т^. Пусть эти системы приведены в контакт посредством слабого ток-токового взаимодействия. Две асимметрии в 8 комбинируются таким образом, что между системами возникает неравный нулю средний тепловой поток, направленный от горячей системы к холодной. В этом легко убедиться, заметив, что полный средний поток энергии между 1-й и 2-й системами пропорционален

/12 = ^ ш dw Si(—w^ S^w^ (8.21)

и использовав условие детального баланса (8.19) для 8(ш) (ср. с задачей 4 этой главы). Поток будет течь до тех пор, пока не выравняются температуры систем, и только в этом случае полный средний поток будет равен нулю. Этот процесс не зависит от статистики частиц в системах. Для различных типов взаимодействия, например вида плотность- плотность, аналогичная асимметрия соответствующих динамических структурных факторов (например фактора ванХова для плотности) будет играть похожую роль, обеспечивая выполнение второго начала термодинамики. Читателю следует отметить дополнительный множитель ш в (8.21) по сравнению с уравнением (3.51) гл. 3, отражающий различие между потоком энергии и потоком числа квазичастиц с произвольной энергией. Именно последний поток существен для вычисления дефазировки. Множитель ш приводит к различию в знаке подынтегрального выражения для положительных и отрицательных ш. Две слабо связанные системы, находящиеся в равновесии при одинаковой температуре, дефазируют друг друга без передачи энергии (кроме случая Т = 0, когда частота дефазировки также равна нулю, как

уже рассматривалась в гл. 3 (Cohen and Imry, 1999; Imry et al., 1999)). Следует особо подчеркнуть, что, даже в ситуации, когда средний поток энергии между двумя системами равен нулю, существуют зависящие от времени флуктуации этого потока. Такой «шум» в термическом транспорте — достойный предмет для изучения.

Антенна, взаимодействующая с электромагнитным полем при произвольном числе фотонов в последнем. Теперь мы обобщим рассуждение об антенне, взаимодействующей с электромагнитным полем, на произвольное состояние последнего. Когда число фотонов с частотой ш в электромагнитном поле равно ЛГ\ш^ вероятности испускания и поглощения фотонов системой модифицируются хорошо известными (см., например, Ваут, 1993) факторами. Для испускания и поглощения они соответственно имеют вид Д/ДсД-Ь! иД/Дси). Это делает полный поток энергии Цш) от электронов к электромагнитному полю равным (при ш > 0)

Цш) ~ [ЛЛ(си) + 1]S(oj) — N\w)S(—w) = 8(ш) + Жш)\Жш) — ЗД—w)].

(8.22)

В частном случае, когда электронная система находится в равновесии при температуре Т, обозначая равновесное число фотонов ЛГ^ш) при температуре Т как Ыт^ш^ = 1/[ехр фш^ — 1], получим

1^ - 8^1^ - 8^х МИх МИ(8.23)(8.23)

1^ - 8^

1^ - 8^

х МИ

х МИ

(8.23)

(8.23)

что находится в согласии с результатом работы (Lesovik and Loosen, 1997).

1И - ЭД1И - ЭД। _ МТ,И. Мт (^) .। _ МТ,И. Мт (^) .Если далее принять, что само электромагнитное поле тоже находится в равновесии при своей температуре То, то получается

1И - ЭД

1И - ЭД

। _ МТ,И

. Мт (^) .

। _ МТ,И

. Мт (^) .

= 8ИМТоИ\.ехР (ЗИ - ехр (ЗИ .

(8.24)

Очень полезно снова убедиться (как в предыдущем параграфе), что

поток энергии течет от горячей системы к холодной, как того требует

второе начало термодинамики. В равновесии, при Tq = Т, полный поток равен нулю. Асимметрия 8(ш) в квантовом случае происходит из того факта, что поток энергии в электромагнитное поле (которое здесь играет роль термического резервуара) больше, чем обратный поток, ровно на величину спонтанного излучения. В равновесии эти процессы сбалансированы тем, что 8(ш) меньше, чем 8(—ш\ Условие детального баланса (8.21), которое можно записать как 8(ш) — 8(—ш))/8(ш) = = — (1/Л/До;)), обеспечивает равенство нулю полного потока энергии (8.22) в состоянии равновесия. Как спонтанное излучение, так и асимметрия 8(ш) очень малы в классическом пределе. Интересно, что они все же очень важны для обеспечения правильного термодинамического

поведения. Это было отмечено еще в начале XX в., при рассмотрении хорошо известных коэффициентов Эйнштейна А и В.

Детектирование квантового шума. Перетекание энергии из системы в электромагнитное поле (или в какой-нибудь другой тип гармонических мод), предлагает способ детектирования флуктуаций в системе. Такими модами могут быть, например, собственные колебания в резонансном контуре с частотой wo, взаимодействующем с системой. Измерение потока энергии между системой и контуром как раз и представляет собой детектирование S(ojo) (Lesovik and Loosen, 1997). Если система находится в основном состоянии, то она может только получать энергию от детектора. Поэтому в равновесии при Т = = 0 шум нулевых колебаний ничего не сообщает пассивному детектору. Шум нулевых колебаний, однако, можно обнаружить, заимствуя энергию у детектора с ненулевым N\oj\ Такой «энергетически активный» детектор работает при Т = 0 скорее возбуждая, чем охлаждая систему (Gavish et al. 2000). Из (8.19) видно, что спектр шума содержит информацию о возбужденных состояниях. Для равновесной системы при Т = 0 токовый коррелятор пропорционален фурье-преобразованию о

от спектра поглощения (т. е. C(t) = j 8(ш)е-гш1с1ш). Чтобы увидеть нулевой шум системы, можно использовать множество других типов активных детекторов, таких, как усилители, смесители, рассеивающиеся частицы и др. Мы не рассматриваем здесь важный специальный случай использования усилителя для исследования системы (Tucker and Feldman, 1985). Отметим однако, что квантовая теория таких устройств и шума, который они могут вносить в систему в результате измерения, является чрезвычайно интересным объектом для исследования.

В случае, когда система слабо взаимодействует с «классической» электромагнитной модой, из этих рассуждений следует другой поучительный результат. Как уже неоднократно говорилось, асимметричная часть 8 возникает из-за некоммутативности операторов j(t) в различные моменты времени. Полный поток энергии из поля в систему пропорционален фурье-образу этого коммутатора. Из этого наблюдения можно вывести и формулу Кубо и флуктуационно-диссипативную теорему.

Здесь следует подчеркнуть, что в низкотемпературном квантовом случае правильной спектральной функцией шума является именно S^w), определенная выше, а не ее обычная симметричная версия, которая применима только в классическом случае. Это утверждение (Gavish et al., 2000; Aguado and Kouwenhoven, 2000) согласуется с результатами работы (Lesovik and Loosen, 1997). Хотя обычно принято (см., например, Landau and Lifschitz, 1958b, 118-125) использовать для спектральной функции токового шума симметризованное выражение

8(ш) = [S(oj) + S(—<л>)]/2, получаемое Фурье преобразованием [C(t) + + С(—£)] /2, эта процедура хорошо работает только в классическом пределе, но не проходит в случае квантовых флуктуаций, когда kBT ^ Two. В частности, использование симметризованного коррелятора означало бы, что пассивный детектор (т. е. такой, который не возбуждает систему) будет измерять только половину спектра поглощения. Такая симметризация упускает из виду квантовые эффекты в информации, посылаемой системой детектору, и, в частности, приводит к утверждению о возможности обнаружить нулевые флуктуации пассивным детектором, что неверно в свете предыдущих рассуждений. В квантовом пределе именно несимметризованная функция 8^ш\ отвечающая прямому физическому измерению, является правильной спектральной функцией шума. Это утверждение справедливо для произвольного состояния электронной системы, используемого при усреднении в (8.18), в том числе и для неравновесного — например — для состояния с текущим током, где возникает дробовой шум (Lesovik, 1989). Предположение о равновесности было нам необходимо только для использования принципа детального равновесия в формуле (8.20) для корреляторов. Заметим, что обобщенный принцип детального равновесия может существовать и для некоторых неравновесных систем (Gavish et al., 2001).

Вывод основных соотношений для шума в квантовом режиме. Нетрудно, используя формулу (8.19), вывести спектральную плотность как для равновесного теплового, так и для дробового шума (Levinson and Imry, 1990). Проще всего использовать геометрию Ландауэра, как в гл. 5. Мы проведем все вычисления для одноканального случая; обобщение на многоканальный случай для двух терминалов (а также и для шума в токе между любыми двумя терминалами в многотерминальном случае) очевидно.

Пусть два бесконечно больших электронных резервуара, электрохимические потенциалы которых, цх и //2, отличаются на величину eV, связаны между собой идеальной одномерной проволокой длины L. Проволока считается чистой, за исключением ее средней точки ж = = 0, где находится «барьер» с амплитудами прохождения и отражения, соответственно равными t и т для волны, падающей слева направо, и t' и г' — для волны, падающей справа налево. Матрица рассеяния на барьере является унитарной. Для системы, инвариантной по отношению к обращению времени (эту инвариантность мы здесь будем предполагать), t = t'. В проволоке мы имеем состояния рассеяния, пришедшие слева (/) и справа (г). Для каждого к > 0 мы можем определить эти два состояния, Хк И W (соответственно (/) и (г)); они должны удовлетворять уравнению Шредингера и следующим граничным условиям:

Хк^ = £-1/2(е+г/гж + тке-гкж^ , х —> —ос : , (8.

(8.26)(8.26)—Х^2(е гкж + г'ке+гкх) ,

(8.26)

(8.26)

х —> +ос :.

Xfe(®) = £-1^tke+ik;c .

Эти состояния нормированы на длину С ^ L. Для длины С^ много большей, чем все микроскопические размеры, результаты получаются не зависящими от С. Как и в гл. 5, эти состояния считаются заселенными в соответствии с равновесным распределением, соответственно левого и правого резервуаров. При таких допущениях для кондактанса немедленно следует двух-терминальная формула Ландауэра, G = (е2/тгК)Т где Т — коэффициент прохождения барьера, Т = |t|2, a R = 1 — Т — коэффициент отражения.

Нам понадобятся матричные элементы пространственно-усреднен-

L

ного (т. е. отвечающего q = 0) оператора тока, j = — j Дж) dx^ плот- о

ность которых в шредингеровском представлении имеет вид

Дж) = -^ ф+(ж)^(ж) + h.c..(8.27)

Матричные элементы должны вычисляться между состояниями рассеяния, определенными выше. Здесь е — заряд носителей, L много больше всех микроскопических длин. Для состояний с одинаковыми к (т. е. при к = к’) получаем

ЫМДг|2=(^) ; |Д/|2 = |Лг|2= TR, (8.28) где индексы т и I соответствуют состояниям рассеяния, пришедшим справа (рк) и слева ^Хк\ а ^ = кк(т. Перед тем как произвести последовательный вывод этих результатов, мы представим некоторые физические соображения, а именно мы заметим, что эти матричные элементы будут практически такими же, как в (8.28), для любых двух состояний с к и к'таких, что (к — k'^L <С 1, и равными нулю — в противоположном предельном случае. Энергетически это условие гласит:

Е^ - Е(к') <(8.29)

Оно будет справедливым для всех существенных для задачи значений к и к\ если взять eV и Нш. подчиняющиеся неравенствам

(8.30)(8.30)eV. кш <<

(8.30)

(8.30)

L

В упрощенном выводе (Levinson and Imry, 1999) матричных элементов (8.28), справедливом при низких частотах, ограниченных условием (8.30), мы воспользуемся тем обстоятельством, что ток вдоль проволоки приближенно сохраняется. Поэтому его матричные элементы равны

8.4] Квантовая теория корреляторов шумов 237 плотности заряда е(L^ умноженной на матричные элементы оператора скорости, который, в этом случае, тривиально вычисляется. В общем случае мы покажем, что матричные элементы компоненты тока j с q = = 0 равны матричным элементам оператора скорости, умноженным на заряд носителей в и деленным на длину С.

Мы начнем с представления полевого оператора Ф, который появляется в операторе плотности тока (3.28), в терминах операторов уничтожения а^ для полного набора одночастичных состояний гь^:

= ^2akUk(x). (8.31) к

Удобным набором состояний и^ (Levinson and Imry, 1999) является набор состояний рассеяния, р^ и Хк^ пришедших из правого и левого резервуаров соответственно. Тогда

3 ^^ — ^ у ^АУ ^к^к' к ? (8.32) к к*

где

Аук^ = (уас|аА,Дж)а^|уас) = -^ ^Vuk - ик\7и*к,^ = А*кк,. т (8.33)

Поэтому матричный элемент тока з^х^ между двумя многочастичными состояниями, отличающимися друг от друга возбуждением одной частицы из состояния к в состояние к' ^ равен просто A^^xY Интегрируя (8.33) по ж и выполняя интегрирование по частям во втором члене, мы убедимся, что матричные элементы ^ j(x)dx равны матричным элементам — (ze/m)V. В результате получаются окончательные формулы (8.28).

Теперь мы можем, используя уравнение (8.19), получить спектральную функцию токового шума S(w) в различных физических ситуациях. Напомним, что Pi есть заселенность начального состояния. Мы начнем с системы, находящейся в своем наинизшем многочастичном состоянии |g), т. е. Pg = 1 и Pi = 0 для г ^ g. Состояние |g) не обязательно является основным: например, оно может нести небольшой ток, если система подвергается внешнему воздействию (слабому, во избежание нагрева). В приближении независимых электронов (или квазичастиц) в формуле (8.19) производится суммирование по всем возможным конечным состояниям, содержащим электрон-дырочные возбуждения. В несколько иной терминологии обычно говорят о возбуждении одного электрона из состояния |&) под уровнем Ферми в состояние \к,х) над уровнем Ферми. Вследствие билинейности оператора тока по операторам рождения и уничтожения электронов состояния с несколькими электрон-дырочными возбуждениями не возникают.

В равновесии, как упоминалось ранее, сумма в (8.19) берется по начальным состояниям, лежащим ниже уровня Ферми и по конечным,

лежащим выше него. Мы заменим каждую из двух сумм по квантовым состояниям на интеграл по энергии с одномерной плотностью состояний ). Дельта-функция в формуле (8.19) требует чтобы эти два состояния отличались на энергию Нш. Пока справедливо условие (8.30) и матричные элементы приближенно постоянны, число разрешенных переходов равно плотности состояний £/2irhv (скорость и = v F\ умноженной на Нш. Для каждого /-состояния мы имеем переход в другое /-состояние с квадратом матричного элемента, пропорциональным Т2 (см. (8.28)), и переход в r-состояние с вероятностью, пропорциональной Т Щ так что их сумма даст Т. Плотность конечных состояний даст еще один множитель С,2^НиF. Точно такой же вклад получится и для каждого r-состояния; кроме того, вследствие спинового вырождения возникнет дополнительный множитель 2. Собрав все вместе и вспомнив, что кондактанс равен G = (е2/тгК)Т^ для основного состояния мы получим

S^ = ^ , (8.34)

при ио < 0, и 8(ш) = 0 при ио > 0. На частотах |o;| ^ vF/£ резкое уменьшение матричных элементов приведет к подавлению 8(ш\ В реальных системах (при низких температурах) £ ограничено длиной свободного пробега /, что даст обычное обрезание шума на частотах порядка обратного среднего упругого времени пробега. Мы не будем здесь снова обсуждать возможности детектирования нулевого шума — это уже было сделано в §4.4.

Вычислим теперь дробовой шум при нулевой температуре. Из-за конечного напряжения V к сумме в формуле (8.19) добавятся члены — соответствующие начальным состояниям, пришедшим слева, и конечным состояниям, пришедшим справа — с энергиями, находящимися в интервале шириной eV. Снова используя в формуле (8.19) соответствующие матричные элементы из формул (8.28), мы получим (при условии справедливости всех вышеуказанных допущений) для симметризованного спектра 88(ш) = [5(о;) + 8(—w)]/2 избыточного (т. е. полный шум минус равновесный вклад) неравновесного дробового шума при Цсо\ < eV, следующее выражение:

88е» = ^-(еУ-ПИ (8-35)

где в последнем преобразовании мы взяли низкочастотный предел. С другой стороны, 81ж(ш) = 0 при Н\ш\ > eV. Это хорошо известный результат (Khlus, 1987; Lesovik, 1989).

Важно подчеркнуть, что даже когда состояния, пришедшие справа, не заполнены и можно было бы наивно предположить, что они не играют никакой роли, они все же должны быть учтены при вычислениях. Формально это следует из необходимости использовать полный набор состояний, образующих Гильбертово пространство, для правильной записи оператора тока, как делалось выше (см. работу Levinson and Imry, 1999). Из формулы (8.19) очевидно также, что для правильного вычисления 8(ш) очень важно знать, в какие именно состояния может произойти переход.

(8.36)(8.36)Очевидный эффект температуры состоит в появлении в формуле (8.19) ненулевых Р^ для начальных состояний в пределах энергетической полосы шириной квТ возле основного состояния. В модели независимых частиц это обеспечивается обычным множителем Ферми. В результате, в правой части формулы (8.34) произойдет замена ш на обычный температурный множитель для 8 s (ш):

(8.36)

(8.36)

ехр (hw/квТ) — 1

который становится равным 2квТ при кш <С квТ. Для дробового шума результат при нулевой температуре справедлив до тех пор, пока eV ^ квТ, и стремится к равновесному в противоположном пределе. Легко получить и общую формулу, единым образом описывающую как оба предельных режима, так и промежуточную область.

Более сложным оказывается влияние на дробовой шум эффектов неупругого рассеяния, которые приводят к энергетической релаксации ). Здесь мы приведем только ряд эвристических аргументов. Рассмотрим, для простоты, неупругое рассеяние (вроде электрон- фотонного), которое не только устанавливает локальную температуру и электрохимический потенциал на некотором характерном масштабе длины L^ но и обеспечивает равенство локальной температуры температуре резервуара. Различия между таким типом неупругого рассеяния и тем, которое затрагивает только электронную подсистему, хотя и важны, но обсуждаться здесь не будут. Для нас будет интересен случай, когда р <С Ltoti где ^tot — размер всей системы. Для грубого понимания физики явления можно использовать модель Ландауэра для части системы с L ~ L^ положив электрохимический потенциал и температуру постоянными на размерах порядка L^ а напряжение, приложенное к этому участку, — равным V^L^ = IG^L^ = = VtotLi/Ltot ^ Hot- Если температура достаточно высока, так что V^L^ *С квТ, то дробовой шум практически исчезает. С другой

стороны, при низких температурах, таких, что У(ЬД ^ квТ^ но Li <С <С Ltot, каждый участок Li системы в полной мере производит свой дробовой шум. Поскольку, однако, мы интересуемся системой в целом, нужно изучить флуктуации полного напряжения, которое возникает в результате сложения флуктуирующих напряжений вдоль отдельных участков. Для каждого участка размера L^ низко-частотный дробовой шум в Li /Ltot раз меньше, чем полный дробовой шум для всей системы, вычисленный при Т = 0. Так как флуктуации на различных участках не коррелированы между собой, полный среднеквадратичный дробовой шум в системе при Li <С Ltot оказывается в (L^/Ltot)1/2 раз меньше, чем в обратном предельном случае. Ясно, что дробовой шум стремится к нулю в пределе макроскопически больших Ltot-

Мы завершим этот параграф, снова указав на важность формулы (8.19). Она не только дает хороший инструмент для вычисления мощности шума, но, что, может быть, еще более важно, устанавливает прямое соответствие между мощностью шума и способностью системы обмениваться энергией с окружением. Пропорциональность мощности шума сечениям испускания и поглощения, для соответствующих знаков од приводит к очень глубоким физическим следствиям.

Задачи

Эта задача имеет целью прояснить смысл понятия «спектра мощности шума» и показать его тесную связь с наблюдаемой в эксперименте величиной: средней мощностью шума в единичном интервале частот.

Определения. Предположим, что сигнал u^t) измеряется в течение большого интервала времени Т (для простоты используем периодические граничные условия, что, однако, не очень существенно). Фурье преобразование u(t)

(8.37)(8.37)

(8.37)

(8.37)

т

где vn = — I и(1?)е27ггп1^т dt. Для ип мы будем также использовать о

(8.38)(8.38)обозначение иШ1 ио = 2'кп/Т, иш = гД^. Корреляционная функция Cv(t) величины и может быть определена для t <С Т, как среднее от произведения u^t^u^t + tf) — или по ансамблю сигналов, или по начальному моменту времени, для достаточно большого Т:

(8.38)

(8.38)

Cy(£) = w(ioMio + i) = у7 v(<')v(i' + i) dt'.о

2 _ 1“ 2?2 _ 1“ 2?Спектр мощности определен так:

2 _ 1“ 2?

2 _ 1“ 2?

C^ty-^dt.(8.39)

Докажите, что |crw|2 = ‘I/kTu^ (теорема Винера-Хинчина).

Предположим, что экспериментатор фильтрует сигнал в диапазоне частот Аси вблизи ио (Аси ^ 2тг/Т^ но Аси достаточно мало, чтобы изменением дисперсии v2 на этом интервале можно было пренебречь). Фильтрованный сигнал в очевидных обозначениях (n 6 Аси означает (си — Аси/2) < Inn/T < (w + Аси/2)) имеет вид

X ^е“'т.(8.40)

пЕ Аси

Средняя мощность шума равна, очевидно,

т

(8.41)

о

Докажите, что

рдш = (^) х м2-I8-42)

пЕ Аси

Так как число частот со в интервале Аси равно ТАси/2тг, то, с помощью (б), получаем

РДш = (2тг)2^Дш.(8.43)

Итак, (2тг)2г72 Аси — усредненная мощность шума в соответствующем интервале частот Аси. Отметим, что она перестает зависеть от Т, когда 67(f) достигает своего предельного значения при больших Т.

Вычислите спектральную мощность шума напряжения на конденсаторе С, соединенном параллельно с сопротивлением R. двумя способами: во-первых, используя теорему Найквиста и, во-вторых, изучая термодинамические флуктуации напряжения на конденсаторе и рассматривая R как величину, задающую масштаб частот. Рассмотрите качественно два предельных случая: coRC > 1 и coRC <С 1.

Проделайте все шаги вывода (8.11).

Используя условия детального баланса (8.3) для величин Si (си) и 8Уш\ рассмотренных в §4.2 этой главы, а также выражение (8.21) для потока энергии, докажите, что:

полный поток энергии обращается в нуль, если температуры двух систем равны между собой;

в случае неравенства температур поток течет от более горячей системы к более холодной. Убедитесь, что это верно также и в частном случае антенны, связанной с электромагнитным полем (см. §4.3).

Глава 9

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В этой книге мы рассмотрели многие новые и интересные явления мезоскопической физики. После обсуждения в гл. 1 существующих экспериментальных систем и технологии их изготовления на «микро-» и «нано-уровнях», в гл. 2 рассматривалось изменение электронных (особенно транспортных) свойств проводников вследствие локализации Андерсона. Эта локализация — первый и главный пример проявления квантовой когерентности на макроскопических масштабах. Глава 3 была посвящена вопросу о том, как неупругое рассеяние делает относительную фазу парциальных волн неопределенной, разрушая тем самым их интерференцию. Было получено выражение, позволяющее записать неупругое время рассеяния через диссипативную функцию отклика системы (эта функция обычно известна). В качестве примера был рассмотрен весьма нетривиальный механизм сбоя фазы за счет электрон- электронного взаимодействия в грязном (диффузионном) пределе.

В гл. 4 рассматривались равновесные явления, главным образом отклик мезоскопической системы на внешнее магнитное поле. В качестве базового примера были рассмотрены незатухающие токи в кольце, вызванные потоком Ааронова-Бома (АБ). Мы прояснили физическую причину этих токов и их абсолютной устойчивости; сделали оценки их величины для случая невзаимодействующих электронов. Здесь мы встретились с ярким примером очень общего и важного различия между мезоскопическим эффектом, например, током в данном конкретном кольце и (обычно значительно меньшим) «термодинамическим» эффектом, т. е. результатом, получающимся после усреднения по ансамблю систем со случайными конфигурациями примесей. В последнем случае период осцилляций тока, как функции потока Ааронова-Бома, уменьшается в два раза, и результат начинает зависеть от тонких деталей постановки эксперимента: например от того, какая величина оставалась фиксированной при изменении потока — полное число электронов или их химический потенциал. В связи с тем что величины экспериментально наблюдаемых токов значительно превышают вышеупомянутые оценки, становится очевидной необходимость учета электрон- электронного взаимодействия. Мы изложили некоторые простые идеи, касающиеся этого взаимодействия; особое внимание уделялось очень важной концепции локальной нейтральности (включая применения, рассмотренные в гл. 5). В том, что касается объяснения экспериментов с усредненными по ансамблю незатухающими токами, эти идеи до

сих пор являются весьма приблизительными, необходимо более полное и последовательное описание.

В гл. 5 рассматривалось наиболее интенсивно развивающееся направление в мезоскопике: транспортные явления. За основу изложения была принята концепция Ландауэра в ее двухконтактной и четырехконтактной версиях. Исходя из этой концепции были получены многие конкретные результаты: квантование кондактанса в баллистических «точечных контактах»; последовательное сложение сопротивлений, ведущее к одномерной и квази-одномерной локализациям; параллельное сложение, в том числе приводящее к осцилляциям АБ с периодом h/e в кольце, и многие другие явления. АБ кольцо является идеальным примером для демонстрации эффектов, зависящих от конкретного образца. Усреднение по ансамблю приводит к осцилляциям с периодом /г/2е, как это сейчас хорошо известно. На основе экспериментальных наблюдений и понимания важности специфики конкретного образца возникла идея воспроизводимых флуктуаций кондактанса, величина которых универсальна в случае двухконтактной схемы эксперимента. Мы проанализировали на качественном и полуколичественном уровнях связь этих универсальных флуктуаций с теорией случайных матриц и возникающими в этой теории универсальностями. В заключение мы рассмотрели многоконтактное обобщение формулы Ландауэра, используя в качестве примера широко распространенную четырехконтактную схему. Описание всех контактов на единой основе и использование симметрии по отношению к обращению времени приводят к соотношениям Онзагера, согласующимся с общей концепцией Казимир и с экспериментальными данными.

Последние три главы посвящены наиболее интересным, по мнению автора, направлениям в современной мезоскопической физике. Две из них объединяют явления, которые можно описать в рамках общего теоретического подхода, основанного на теореме Ааронова-Бома- Байерса-Янга. В гл. 6 был конспективно описан КЭХ. Особое внимание было уделено двумерной динамике электронов в сильном магнитном поле в присутствии беспорядка, что необходимо для понимания целочисленного квантового эффекта Холла (ЦКЭХ). Мы кратко описали лафлиновское состояние, описывающее дробный квантовый эффект Холла (ДКЭХ) с заполнением 1/3, и упомянули о замечательных новых идеях, касающихся «композитных фермионов» и особой роли заполнения 1/2.

В гл. 7 рассматривались мезоскопические эффекты в сверхпроводниках и различных комбинациях сверхпроводников и нормальных металлов (NS). Обсуждались интересные ситуации, в которых, несмотря на разрушение (благодаря флуктуациям) дальнего порядка, сверхпроводящие свойства системы все же, в определенной мере, сохраняются. Был дан краткий обзор некоторых результатов, касающихся очень интересного механизма передачи фазовой информации через нормальную прослойку между двумя сверхпроводниками. В его основе лежит

андреевское отражение электронов и дырок от NS границ. Благодаря этому механизму сверхпроводящий ток может течь через нормальную область при условии, что длина последней не превосходит длины когерентности L^. Было показано, что существует определенное соответствие между этими явлениями и нормальными незатухающими токами, и были продемонстрированы некоторые интересные свойства SN и SNS контактов. Был сделан также краткий обзор физики вихрей.

Гл. 8, посвященная шумам, начиналась с краткого изложения теории равновесного шума Найквиста-Джонсона. Затем, на классическом уровне, был рассмотрен дробовой шум в токовом состоянии; он интерпретировался как комбинация эффекта флуктуаций чисел заполнения в «источнике» и случайной природы прохождения электронов через «сопротивление» (каждый дискретный электрон либо проходит сопротивление (с вероятностью, равной коэффициенту прохождения, который, в свою очередь, связан с кондактансом) либо не проходит его). При рассмотрении низкочастотного (1//)-шума особое внимание уделялось его интерпретации как результата дискретных изменений в кондактансе вследствие движения дефектов или изменения их зарядового состояния. Мезоскопический механизм, лежащий в основе изменения «отпечатков пальцев» образца из-за изменения конфигурации примесей, может обеспечивать такое изменение кондактанса. Удивительно, что это явление может, оказывается, наблюдаться даже и в макроскопических системах. Наконец, мы подробно изложили квантовую теорию шума, связывающую его мощность со способностью системы выделять и поглощать энергию. В последних трех главах мы попытались построить изложение таким образом, чтобы объяснить физические принципы, лежащие в основе описываемых явлений, тем читателям, которые не являются специалистами в данной области.

Мы рассказали здесь далеко не обо всех работах по мезоскопике. Существует много интересных и важных вопросов, о которых мы не рассказали — либо вследствие их более очевидной физики, либо из- за наличия уже написанных великолепных обзоров, касающихся этих вопросов. Среди последних отметим оптические явления (Schmitt-Rink et al., 1989); баллистический режим, очень хорошо описанный в работе Beenakker and van Houten, 1991d; различные резонансные туннельные явления (см., например, задачу 4 гл. 5) и явление Кулоновской блокады (задача 5 гл. 5; Grabert and Devoret, 1992; Glattli et al., 1994). Многие аспекты проблемы кулоновских эффектов в резонансном ту- нелировании при выходе за рамки простейших приближений приводят к весьма нетривиальным проблемам, о которых не было рассказано в этой книге; ниже в этом заключении мы все-таки кратко упомянем о некоторых из них (см. также Imry and Sivan, 1994; еще один ферми- жидкостной эффект рассматривается в приложении Е). За рамками этой книги оказались также квантовые явления в джозефсоновских системах (Лиарев, 1986), обусловленные «емкостным членом» (Anderson, 1963), и связанная с ними динамика зарядов и вихрей (см. ряд статей

в сборнике Hekking et al., 1994); интересные аналогии этих явлений с КЭХ (см., например, Ao and Thouless, 1994; Stern, 1994). Мы также решили не рассматривать большое количество работ, касающихся аналогии между электронами и классическими волнами (см., например, Anderson, 1985; Genack et al., 1990; van Haeringen and Lenstra, 1991; Pendry and Mac Kinnon, 1992; Sheng, 1995).

Мы надеемся, что интересные физические эффекты, возникающие на масштабах, промежуточных между микроскопическими и макроскопическими, были представлены в этой книге достаточно широко. Несмотря на некоторую произвольность такого выделения, мы рискнем сказать, что наш обзор науки, располагающейся на границе между квантовой и статистической физикой, привел нас к пониманию следующих четырех ключевых положений.

Упругое и неупругое рассеяния очень сильно различаются. Первое придает электрону хорошо определенную (хотя, возможно, и весьма сложно устроенную) фазу. Последнее делает эту фазу неопределенной, «сбивает ее», что приводит к подавлению квантовых интерференционных эффектов.

Эти интерференционные эффекты проявляются вплоть до масштабов порядка L^ и приводят к некоторым квантовым явлениям, таким как андерсоновская локализация, различные осцилляции АБ и флуктуации кондактанса.

Специфика мезоскопических систем проявляется в флуктуациях — от образца к образцу — различных величин: например кондактанса и орбитальной диамагнитной восприимчивости. Некоторые из этих флуктуаций универсальны, что обусловлено универсальностью спектральных характеристик соответствующих операторов, таких, как гамильтониан или матрица прохождения. По-видимому, спектр времен релаксации тоже должен проявлять некоторую универсальность.

Фазовая когерентность нормальных электронов на масштабе L^ позволяет им переносить квантовую (например, сверхпроводящую) информацию. Есть надежда, что с помощью этого свойства электронов можно будет по-новому понять явление наведенной сверхпроводимости — даже в полупроводниках.

Вообще говоря, на одноэлектронном уровне мезоскопические и квантовые интерференционные эффекты сейчас довольно хорошо поняты. Новые эффекты, обусловленные взаимодействиями и комбинациями зарядов и магнитных потоков, вероятно станут ареной нового развития мезоскопики. Следует заметить, что, несмотря на достигнутый в последние годы существенный прогресс, мы все еще далеки от полного понимания фундаментальной проблемы соотношения между тремя основными электронными состояниями вещества — изоляторами, проводниками и сверхпроводниками. Это остается верным, даже если упростить картину и не принимать во внимание возможные магнитные упорядочения различных типов.

Ясно, что мезоскопическая физика может внести свой вклад в решение возникающих здесь вопросов.

Очень важной в мезоскопической физике была и остается тенденция ко все к меньшим и меньшим размерам систем к наномасштабам. Кроме проявления квантовых и Кулоновских эффектов при более высоких температурах, о чем уже упоминалось, переход к наномасштабам предлагает новые уникальные возможности создания различных низкоразмерных систем.

Удачным примером здесь являются квантовые точки. Кроме факта увеличения кулоновской энергии с уменьшением размеров, что позволяет, например, более легко наблюдать «кулоновскую лестницу» и достигать режима работы одноэлектронного транзистора (см., например, статьи в сборнике Geerligs et al., 1993), возможно появление качественно новых явлений. Недавно удалось очень изящно продемонстрировать наличие эффекта Кондо в полупроводниковых квантовых точках, содержащих всего несколько десятков электронов (Goldhaber- Gordon et al., 1998; Cronenwett et al., 1998; Schmid et al., 2000). В массивной системе эффект Кондо происходит из-за стремления неспаренного примесного спина сформировать синглетное состояние с электронами проводимости вблизи уровня Ферми (Anderson, 1961, более подробно см. Hewson, 1993). В результате происходит формирование резонанса, всегда расположенного очень близко к уровню Ферми, что приводит к дополнительному электронному рассеянию (и тем самым к дополнительному сопротивлению) при очень низких температурах порядка «температуры Кондо», Тк. Для квантовой точки, играющей роль «примеси» и связанной с контактом (Ng and Lee, 1988; Glazman and Raikh, 1988), тот же самый резонанс Кондо приводит к появлению дополнительного кондактанса, который может достигать «унитарного предела» 2e2/h. Поскольку этот резонанс всегда находится на уровне Ферми, он приводит к сильному увеличению кондактанса во всей кулоновской долине. При уменьшении (в подходящем диапазоне) температуры экспериментально наблюдалось поразительное увеличение кондактанса между пиками кулоновской блокады. В более поздних экспериментах (van der Wiel et al. 2000) это увеличение действительно достигало «унитарного предела». Тк заметно увеличивается с уменьшением размеров точки; для того чтобы перевести ее в экспериментально измеримую область, был необходим переход к самым малым доступным размерам. Было экспериментально проанализировано влияние различных внешних воздействии (помимо температуры), которые могут уменьшить эффект, таких, как ослабление связи с контактом, повышение транспортного напряжения или приложение внешнего магнитного поля. Наблюдаемое подавление эффекта оказалось в согласии с теоретическими предсказаниями. В мезоскопических системах возникает интересная возможность измерения фазы амплитуды прохождения при помощи эффекта интерференции Ааронова-Бома (Yacobi et al., 1995; Schuster et al., 1997). Задача о фазовом сдвиге прозрачности в условиях эффекта

Кондо (Nozieres, 1974) сейчас активно исследуется (Gerland et al., 2000; Yang Ji et al., 2000).

Другим примером сильно коррелированной электронной системы с нетривиальными свойствами является одноканальный одномерный проводник. Такой проводник можно получить на основе полупроводниковой техники МВЕ в комбинации с методом скалывания перерощен- ных краев (cleaved edge overgrowth) (Yacobi et al., 1996). Углеродные нанотрубки, о которых рассказано ниже, представляют собой еще один интересный пример одномерного проводника.

Сейчас мы кратко расскажем о некоторых недавно открытых органических системах, которые являются весьма многообещающими кандидатами на роль молекулярных нанопроводников и двумерных систем — как для физики, так и для технологии. Этот обзор крайне схематичен и предназначен только для того, чтобы возбудить интерес у читателя. Первым классом из множества активно исследуемых сейчас систем являются структуры, основанные на графитовых фазах углерода, таких, как молекулы фуллерена (Kroto et al., 1985; Dresselhaus et al., 1996) и углеродные нанотрубки (Ijima et al., 1991; Dresselhaus et al., 1996; Saito et al., 1998; Dekker, 1999). Второй класс включает в себя как слоистые структуры (Schon et al., 2000а), составленные из сопряженных кольцевых молекул (Salem, 1986), так и слои из связанных молекул фуллерена, где с помощью электростатических затворов можно создавать относительно высокие двумерные электронные (или дырочные) плотности. В системах первого типа наблюдались нетривиальные низкоразмерные эффекты, а в системах второго типа были обнаружены разнообразные электронные фазы, включая и специфически двумерные. Множество этих фаз включает как диэлектрическое состояние, так и «нормальный» проводник, фазы КЭХ и ДКЭХ, и, наконец, даже сверхпроводящее состояние. Специального внимания заслуживают системы из связанных фулеренных молекул. С помощью допирования их можно сделать проводящими или даже сверхпроводящими (Hebard et al., 1991; Gunnarson, 1997). Недавно было сообщено о сверхпроводимости при 52 К в фуллеренных системах с еще более высокими плотностями носителей, достигнутыми при помощи затворов (Schon et al., 2000b). Интересно, что использование подходящих затворов может оказаться даже более эффективным, чем химическое допирование.

Специальный фундаментальный интерес представляют однослойные нанотрубки (см. Dekker, 1999), получаемые, упрощенно говоря, скатыванием двухмерного слоя графита (называемого графеном) в полый цилиндр с нанометровым диаметром. Зонная структура графена была исследована уже много лет назад (Wallace, 1947; Saito et al., 1998). Для гексагональной двумерной решетки (характерной для графена) зона Бриллюена является также гексагональной. Ответственной за проводимость зоной, расположенной вблизи уровня Ферми, является

наполовину заполненная «тг-зона», составленная из 2pz-орбиталей углерода, «торчащих» из плоскости. Уоллес впервые получил зонную структуру графена в рамках простейшей модели сильной связи, однако в дальнейшем все найденные им существенные характеристики зон были с высокой точностью воспроизведены современными вычислительными методами — как из первых принципов, так и на основе метода функционала плотности (Mintmire et al., 1992). Существенно важная зона изображена на рис. 9.1, взятым, с разрешения автора, из диссертации С. Танса (S. Tans), выполненной в Дельфте (Delft) под руководством профессора С. Деккера (С. Dekker).

Рис. 9.1. Зонная структура графена (из диссертации S.Tans)

Уровень Ферми, лежащий в середине энергетической зоны, проходит через шесть точек вырождения в шести углах зоны Бриллюэна. В этих точках плотность состояний равна нулю и растет линейно при удалении от ef. Поэтому графен — очень плохой проводник, с очень низкой эффективной плотностью состояний на уровне Ферми.

Когда графеновая плоскость заворачивается в цилиндр (Mintmire et al., 1992; Saito et al., 1992; Hamada et al., 1992), уровни в азимутальном направлении, характеризуемые волновым вектором к^ квантуются и дискретные значения k_t определяются граничными условиями. Каждый уровень азимутального квантования превращается в одномерную подзону, с состояниями, характеризуемыми непрерывной компонентой kz вектора к. параллельной оси цилиндра (см. рис. 9.2).

Состояния в подзонах заполнены вплоть до уровня Ферми. В предположении симметричной зоны (верном, по крайней мере, в модели сильной связи), энергия Ферми в недопированной системе (с наполовину заполненной зоной) должна находиться ’) в точке вырождения. Как

х) В реальности некоторое допирование может возникать даже для номинально чистых систем. Оно происходит из-за различия в работах выхода самой трубки и контакта (в комбинации с неэффективностью одномерного экранирования) или даже просто из-за соприкосновения с атмосферой, если принять во внимание большую величину отношения площади поверхности

видно из рис. 9.1, существуют шесть эквивалентных «ферми-точек». Необходимо выяснить, являются ли эти ферми-точки разрешенными собственными состояниями системы — от этого зависит, является ли система проводником или полупроводником. Чтобы ответить на этот тонкий вопрос, нужно определить, существуют ли значения непрерывного параметра kz. при которых энергетическая подзона проходит через точку вырождения (соответствующую половинному заполнению), а значит и через уровень Ферми. Если такие значения существуют, то система является проводником (см. рис. 9.2а)! Это происходит для всех «прямолинейных» нанотрубок (в которых направление % параллельно одной из сторон шестиугольника) и для одной трети «зигзагообразных» нанотрубок (в которых направление % перпендикулярно одной из сторон шестиугольника) (Saito et al., 1992). Последнее следует из требования кратности «вектора наматывания» трем постоянным решетки. Если, однако, для всех значений kz шесть точек вырождения не входят во множество разрешенных значений энергии, то уровень Ферми е F оказывается в запрещенной зоне и система является полупроводником (см. рис. 9.25). Итак, незначительные детали закручивания нанотрубки при фиксированном диаметре могут определять: будет ли система диэлектриком (как некоторые, в зависимости от вектора закрутки, «зигзагообразные» нанотрубки) или одномерным проводником (как «прямолинейные» нанотрубки). Эти идеи получили обширную экспериментальную поддержку (для ссылок см. Dekker, 1999; Saito et al., 1998) как из транспортных измерений, так и из данных, полученных при помощи сканирующего электронного микроскопа. Еще раз подчеркнем, что нанотрубки предлагают уникальные возможности для создания чисто одномерных проводников.

Очень интересен вопрос о возможности возникновения сверхпроводимости в таких системах. Совсем недавно сообщалось о наблюдении (по эффекту близости) сверхпроводимости в пучках однослойных углеродных нанотрубок (Kociak et al., 2001).

Не вызывает сомнений, что наносистемы открывают огромные перспективы как для фундаментальных исследований, так и для практических приложений. В этой связи интересна идея использовать молекулы ДНК для конструирования электрических цепей (Braun et al., 1998). Такие цепи уже созданы, но сложной — и до сих пор нерешенной — задачей остается обеспечение их хорошей (и легко контролируемой) проводимости.

Ясно, что замечательные достижения технологического прогресса, приведшие к созданию все меньших и меньших наноструктур, в большой степени обязаны своим возникновением общей тенденции к дальнейшей миниатюризации реальных электронных приборов. Прогресс

трубки к ее объему. Влияние такого непреднамеренного допирования можно, однако, уменьшить на рабочих температурах. Автор благодарен Н. Bouchiat и С. Dekker за разъяснение этого обстоятельства.

Рис. 9.2. а— «прямолинейная» нанотрубка — проводник, б— «зигзагообразная» нанотрубка — диэлектрик

в этом направлении будет происходить и независимо от фундаментальных достижений мезоскопической физики. Совершенно очевидно, однако, что эти достижения также окажут, в свой срок, важное обратное воздействие на промышленность. Даже если не предполагать, что многие из ныне существующих идей создания мезоскопических устройств окажутся плодотворными, понятно, что просто вследствие дальнейшего уменьшения (на порядок или половину порядка) допустимых размеров мезоскопических приборов температуры жидкого азота скоро окажется достаточно для наблюдения мезоскопических эффектов ). При этом нужно будет учитывать «изменение правил игры» для электронной проводимости и можно будет ожидать возникновения новых технологических идей, базирующихся на явлениях, в которых существенную роль играют квантовые и/или кулоновские масштабы энергии. Поэтому — хотя к подобным экстраполяциям, несомненно, следует относиться с должной осторожностью (см. Landauer, 1989b, 1990а; Moore, 1993) — мы все же думаем, что уже очень скоро мезоскопическая физика, а возможно и сверхпроводимость, будут изучаться инженерами, специализирующимися в электронике. Как-никак, квантовая механика и теория полупроводников тоже отнюдь не были стандартной частью образования инженеров 30-40 лет назад. В то же время технологии типа STM быстро развиваются и могут проложить дорогу к созданию сверхмалых структур, с масштабами вплоть до молекулярных. Очень вероятно, что многие интересные и полезные явления кроются в этой области масштабов, лежащей на самом нижнем краю мезоскопической шкалы размеров.

ПРИЛОЖЕНИЯ

А. Теория линейного отклика Кубо

Мы изложим здесь теорию линейного отклика для системы, которая сначала (при t -Л — ос) находилась в основном состоянии |g) гамильтониана ?/, который можно считать независящим от времени. Для общих ссылок по рассматриваемому вопросу мы рекомендуем книгу (Nozieres, 1963). Возмущение, без ограничения общности, можно считать монохроматическим с частотой ш. Оператор возмущения имеет вид

-Нех = Ит Ле^Ле^,(АЛ)

77^0Х

где т] — положительная, бесконечно малая величина. Мы будем работать в гайзенберговском (по отношению к оператору ?/) представлении, т. е. в представлении взаимодействия. Обычная теория возмущений, зависящих от времени, говорит нам (см., например, Fetter and Walecka, р.173), что (зависящее от времени) среднее значение (B(t)) некоторого оператора B(t) изменяется в результате возмущения на величину

t

5{B(t)) = i j dt'w^kt'Y BH(t)]\g} =

t

= И dt'^^№H\n>\BH\gWg\B^(A.2)

-oo n

где 7/^ = B^^tY BH = Вн(ВЬ n нумерует полный набор состояний 7/, а индекс Н обозначает гайзенберговское представлении по отношению к оператору В. Переходя к представлению Шредингера (в этом представлении у операторов нет индексов), обозначая Тш)^ = Ei — — Ej и используя соотношения (^|Ля|п) = егШбть1 ^А^ и т. д., мы приходим к зависимости 5 В (В) = 5Вшегш1 D где фурье-компонента

(А.З)(А.З)бВш = цт /м^мм^ш + м^мидм ш 77-Ш h [ w + wng + гт] w — u)Hg + гт]

(А.З)

(А.З)

Согласно определению восприимчивости, 5ВШ = Хва^ш^- В результате мы находим, в общепринятых обозначениях, отклик величины В

на возмущение А:

Хв A И = lim i VAgnBng + BgnAng ,(Д.4)

77—>0 п,со + cOng + ip со — cong + ip

Сначала мы применим общую формулу (А.4) к поляризуемости системы хра^ определяемой, как дипольный момент еж^, индуцированный единичным электрическим полем, приложенным в направлении а (а и Р обозначают пространственные декартовы компоненты). В случае заряженных частиц с зарядом е, электрическому полю соответствует гамильтониан возмущения еЕха, так что

-ХЯаИ = lim ^ У (+, (А 5х

р v 777^0 б [ со + cong Т гр со — cong + гр J v 7

Комплексная диэлектрическая проницаемость равна 1 — 4тг%(щ), и ее мнимая часть есть 4irar(u))/ш, где ст-Дсо) — действительная часть проводимости. Комплексная проводимость, таким образом, равна

ё’ (А-6)ё’ (А-6)2 • (си В0 а

ё’ (А-6)

ё’ (А-6)

а0а(сА = lim V J^gn^ng+xgnxngр v 77^0 б [ со + cong + ip со — cong + гр

эквивалентная формула может быть получена, если выразить поле Е через векторный потенциал и вычислять не дипольный момент, а результирующую плотность тока. Из (А.6), в частности, следует

2

Кестеры) = ^^^{ж“пж^5(ш + wng) - ж^ж"^^ - w„g)} .

”(А.7)

Представляя 5-функции как фурье-преобразование соответствующих экспонент и производя манипуляции, обратные используемым при переходе от (А) к (А.З), можно представить проводимость как фурье- преобразование корреляционной функции коммутаторного типа (см. van Hove, 1954):

конечное Т СОеконечное Т СОеReap^w) = *^- j ^^(^^^“(i^lg^e^4 KOH^eT

конечное Т СОе

конечное Т СОе

dt(yx0(tf),xa(t)y>Teiut, (A.8)

где последнее выражение в (А) обобщает первое на конечные температуры путем замены усреднения по основному состоянию на усреднение по тепловому распределению (. . Рт. В случае равновесия легко получить условие детального баланса, гласящее, что отношение между двумя членами в (А), содержащими соответственно ж^ж" и жаж^,

должно равняться е^^ш где 3 = ^/^в^' В результате мы приходим к флуктуационно-диссипативной теореме

2

Re^aH= ™5^)[1-е^ш],(А.9)

где

Spa = 3 ( M^^^WK^ = ^ж“пж^т5(ш + шпт)Рт, Z7T I

— схэт,п

"(АЛО)

а Рт — температурный вес состояния т (которое не обязательно является основным). Уравнение (А.9) — совершенно общее соотношение между диссипативным откликом системы и ее равновесными флуктуациями, справедливое, в том числе, и в динамическом случае.

Особенно важен для нас случай, когда операторы А и В представляют собой фурье-компоненты плотности частиц, nq и П-^ где nq = = J2 вгдтз. Соответствующая величина S называется динамическим

структурным фактором S(q, ш\

S(q,^) = y^|(n|ng|m)|25(w + wnm)Pm = ^ j dt^n_q(0)nq(t))elbjt.

(АЛ1)

Динамический структурный фактор S(q, w) пропорционален сечению неупругого рассеяния с изменением импульса Hq и передачей энергии Нш для пробной частицы из системы, вычисленному в борновском приближении (van Hove, 1954). Имея в виду что, согласно нашему определению, отрицательная частота в аргументе S означает приток энергии к системе, мы можем записать соотношение детального баланса при конечном Т в виде

S(-q,-w) = е^ S(q,u).(АЛ2)

(Заметим, что для систем с центром инверсии нет необходимости менять знак q в левой части этого равенства.)

Флуктуационно-диссипативная теорема связывает S^q^w) с мнимой частью точной обратной диэлектрической проницаемости системы, найденной при тех же q и ш (см. Ландау и Лившиц, 1995, Лившиц и Питаевский, 1979):

л 2 2

Im 77^ =(АЛЗ)

^\4^) nq

(здесь мы воспользовались тем, что фурье-преобразование кулоновского взаимодействия равно 4тге2/^2).

Чтобы преобразовать флуктуационно-диссипативную теорему (А.9) к более привычному виду, мы используем известное соотношение меж-

ду матричными элементами скорости v = ж и координаты х. Благодаря дельта-функциям в (А) шпт = ио и, при кьТ >> ш^ мы получаем

Re ст® ® (^) —Re ст® ® (^) —2 е2квТ t2 е2квТ tdt^x^V№dt^x^V№(А.14)(А.14)

Re ст® ® (^) —

Re ст® ® (^) —

2 е

2квТ t

2 е

2квТ t

dt^x^V№

dt^x^V№

(А.14)

(А.14)

Записывая иж(0)иж(t)) как фурье-преобразование Sv(co) — спектральной мощности (или спектральной плотности) скорости и (см., например, Reif, 1965, гл. 15.15-16), находим

e^S^co) = —— Recr(w),(А.15)

7Г

где, в окончательном выражении, мы восстановили множитель 1/Q — обратный объем, который, вплоть до этого момента, принимался равным единице.

Учитывая, что в системе длиной L электроны со скоростью и дают вклад в ток, равный ev/L^ мы приходим к заключению, что выражение (А. 15) эквивалентно хорошо известному соотношению Найквиста- Джонсона между спектральной плотностью токового шума и кондак- тансом. При произвольном соотношении между кш ыквТ мы получаем

2 г# / \Recr(cv)/д 1

е_(АЛ6)

Для симметризованной спектральной мощности шума имеем

= ^(U-) Rea(W). (А.17)

е — 1/

(См., однако, гл. 8, где рассказано о том, почему симметризация не всегда желательна!) Так как / = ev/L и действительная часть кон- дактанса G = (Re ст А)/L^ то

= AGMcoth№)- (Ал§)

Z7TX Z /

Подчеркнем, что мы рассмотрели здесь только системы, обладающие симметрией по отношению к обращению времени и сг^ш) = а(—ш\

Б. Проводимость Кубо-Гринвудаи соотношения Эдвардса-Таулесса

Выражая (с должной аккуратностью) матричные элементы х через матричные элементы и и вводя объем системы Q, мы можем, пользуясь формулой (А.7) при положительных ио (так что ио = шп§\ записать действительную низкочастотного часть кондактанса в виде

Recr(w) = АоУ|?А^ -Wng),(Б.19)

где декартовы индексы для диагональной проводимости сгжж = ст были опущены. Для невзаимодействующих квазичастиц возбужденные состояния представляют собой электрон-дырочные пары с энергиями дырок, лежащими в интервале между е F — Нш и ef. Заменяя в этом интервале |rg.n|2 на среднее значение v2, мы получим

а = Не<т(ш -> 0) = ^%2[N(0)]2, (Б.20)

где АДО) — одночастичная плотность состояний на единичный интервал энергий. Это соотношение носит имя формулы Кубо-Гринвуда. Отметим, что оно справедливо для достаточно большой системы, имеющей эффективно непрерывный спектр. О том, как обращаться с дискретным спектром в мезоскопике, рассказано в гл. 5.

С помощью изящных аргументов Эдвардса и Таулесса (Edwards and Thouless, 1972) проводимость (Б. 19) может быть связана с подходящим образом определенной «чувствительностью к граничным условиям». Как показано в приложении В, граничные условия, соответствующие изменению (при прохождении электрона через систему длины L) фазы волновой функции ^ на величину у?, в точности эквивалентны замыканию системы в кольцо длины L с проходящим через него потоком Ф, см. (В.29). Это, в свою очередь, эквивалентно возникновению вектор- потенциала, определяемого из условия ^ Аж dx = Ф, где х — азимутальное направление. Возмущение, производимое постоянным вектор- потенциалом Аж, имеет вид

Л^ = ХА$ = ^, (Б.21)

так что вычисление поправки второго — по вектор-потенциалу А или эквивалентному ему фазовому сдвигу ср — порядка к энергии собственного состояния приводит к результату (включающему «диамагнитный член» А2)

dV2 mL2 L2 ^ Et- Ej '

Здесь можно опять заменить квадрат матричного элемента его характерным значением v2. Сумма ^^ стремится сократить первый («диамагнитный») член, и порядок величины (Б.22) определяется членом с наименьшим знаменателем, имеющим порядок расстояния между уровнями

откуда находим оценку

8й Ег/Й\2 I?Bp?XL/ А8й Ег/Й\2 I?Bp?XL/ А(Б.24)(Б.24)Определим теперь энергию Таулесса как Ес = hD / L? и выразим коэффициент диффузии D через проводимость ст, используя соотношение Эйнштейна. Для проволоки сечения А в плоскости yz получимОпределим теперь энергию Таулесса как Ес = hD / L? и выразим коэффициент диффузии D через проводимость ст, используя соотношение Эйнштейна. Для проволоки сечения А в плоскости yz получимЕс h ст АЕс h ст А(Б.25)(Б.25)Вспоминая, что аА)LВспоминая, что аА)Lесть не что иное, как кондактанс G, найдеместь не что иное, как кондактанс G, найдем“ Т дГ’“ Т дГ’(Б.26)(Б.26)Выражая теперь v2 через ст с помощью формулы (Б.20), получимВыражая теперь v2 через ст с помощью формулы (Б.20), получимБ2 Ej а ф2Б2 Ej а ф2Ес.Ес.(Б.27)(Б.27)

8й Ег/Й\2 I?

Bp?XL/ А

8й Ег/Й\2 I?

Bp?XL/ А

(Б.24)

(Б.24)

Определим теперь энергию Таулесса как Ес = hD / L? и выразим коэффициент диффузии D через проводимость ст, используя соотношение Эйнштейна. Для проволоки сечения А в плоскости yz получим

Определим теперь энергию Таулесса как Ес = hD / L? и выразим коэффициент диффузии D через проводимость ст, используя соотношение Эйнштейна. Для проволоки сечения А в плоскости yz получим

Ес h ст А

Ес h ст А

(Б.25)

(Б.25)

Вспоминая, что аА)L

Вспоминая, что аА)L

есть не что иное, как кондактанс G, найдем

есть не что иное, как кондактанс G, найдем

“ Т дГ’

“ Т дГ’

(Б.26)

(Б.26)

Выражая теперь v2 через ст с помощью формулы (Б.20), получим

Выражая теперь v2 через ст с помощью формулы (Б.20), получим

Б2 Ej а ф2

Б2 Ej а ф2

Ес.

Ес.

(Б.27)

(Б.27)

Таким образом, мы показали, что Ес = У^тг, где параметр VL был определен в §2.3 (см. формулу (2.22)).

Уравнение (Б.26) — это замечательный результат, показывающий, что безразмерный кондактанс равен отношению двух энергетических параметров, один из которых определяет чувствительность энергии к граничным условиям, а другой — среднее расстояние между уровнями.

В. Эффект Ааронова-Бома и теоремаБайерса—Янга и Блоха

Рассмотрим двухсвязную систему, через отверстие которой проходит поток Ааронова-Бома (АБ) величиной Ф (см. рис. 10.1). Очень важная и общая теорема Байерса-Янга (Byers and Yang, 1961) и Блоха (Bloch, 1970) утверждает, что все физические свойства этого «кольца» являются периодическими функциями Ф с периодом Фо- В доказательстве этой теоремы используется калибровочное преобразование, устраняющее поток Ф:

(В.28)(В.28)

(В.28)

(В.28)

где Ej — координаты электронов, а фаза х определяется из условия А^ = Vy, где А^ — векторный потенциал, ротор которого равен магнитному полю АБ (т. е. V х А = 0 везде в материале кольца, но ^ A^dl = = Ф вдоль любого контура, охватывающего отверстие). В результате

9 И. Имри

Рис. В.З. Магнитный поток Ааронова-Бома, пронизывающий двухсвязную область (кольцо)Рис. В.З. Магнитный поток Ааронова-Бома, пронизывающий двухсвязную область (кольцо)такого преобразования эффективный векторный потенциал А^, входящий в многоэлектронное уравнение Шредингера для функции ^', становится равным нулю: А^ = 0. Цена, которую приходится платить за это упрощение — тот факт, что преобразованная волновая функция ^' уже не удовлетворяет периодическим граничным условиям: фаза ^' меняется на величину

Рис. В.З. Магнитный поток Ааронова-Бома, пронизывающий двухсвязную область (кольцо)

Рис. В.З. Магнитный поток Ааронова-Бома, пронизывающий двухсвязную область (кольцо)

^ = 2тг^о, (В.29)

когда одна из электронных координат обегает вокруг кольца. Этот фазовый сдвиг, обусловленный наличием векторного потенциала области кольца, где магнитного поля нет, очевидно, всегда возникает при сравнении фаз, набираемых электроном

на двух траекториях, охватывающих отверстие с двух разных сторон. Заметим, что потоки Ф и Ф + пФо неразличимъц так как ср определено с точностью до 2тг.

Г. Вывод матричных элементов в диффузионномрежиме

Матричные элементы оператора ezqr, вычисленные между двумя точными состояниями диффундирующего электрона, имеют вид

Еп ЕтЕп Ет(Г.30)(Г.30)_1Рд .

Еп Ет

Еп Ет

(Г.30)

(Г.30)

ithN^ (Рд2)2 + ш2 '

где АЦО) — плотность состояний (DOS) системы.

Самый простой способ вывода выражения (Г.30), которым мы в дальнейшем будем часто пользоваться — квазиклассическое приближение 0 для диффундирующей частицы (Azbel, частное сообщение, 1981). В этом приближении вероятность перехода в единицу времени

х) Для доказательства этого утверждения можно использовать тождественность ((8.1), ср. уравнения (А) и (А)) спектральной мощности флуктуаций наблюдаемой величины, с одной стороны, и фурье-образа ее корреляционной функции — с другой. Для диффундирующей частицы в квазиклассиче- ском приближении корреляционная функция операторов егдг и е-гдт есть (e4[r(t)-r(o)]^ как и в (р 31) Предположив постоянство квадратов матричных элементов в нужном интервале, мы получим требуемое соотношение.

Д ] Более аккуратное описание сбоя фазы в двумерных проводниках 259

(т. е. — на квантовом языке — левая часть уравнения (Г.ЗО), умноженная на плотность состояний), равна Фурье-преобразованию от корреляционной функции соответствующей классической величины с частотой, равной (Еп — E^/h. Если положить г(0) = 0, то классическое среднее от ezqr равно

(Г.31)(Г.31)(eiq-r) = е-П/2)^^2^)) = e-q^Dt,

(Г.31)

(Г.31)

где в (r2(t)) подразумевается усреднение по флуктуациям вдоль направления q. Фурье-преобразование от (Г.31) как раз и дает лоренциан, входящий в правую часть уравнения (Г.ЗО). Немного другой (но эквивалентный) способ вывода (Г.ЗО) (Abrahams et al., 1981; Kaveh and Mott, 1981; McMillan, 1981; Imry et al., 1982) использует динамический структурный фактор S(q, а;), описывающий диффузию; он пропорционален правой части уравнения (Г.ЗО) и выражается через квадраты нужных матричных элементов. «Диффузионный полюс» (Г.ЗО) естественным образом возникает в теории возмущений.

Д. Более аккуратное описание сбоя фазыв двумерных проводниках при низкихтемпературах

Выполним двумерное интегрирование J d?k в уравнении (3.34), пренебрегая численными множителями порядка единицы. После интегрирования по углам, имеем

(Д.32)(Д.32)^ (1 - ^о(^Ж12) In (А:тЖ12),О

(Д.32)

(Д.32)

где Jq — функция Бесселя нулевого порядка, Ж12(^) = |ж1 (t) — ^2(^)| и кт ~ (кВТ/hD) — коротковолновое обрезание интегрирования по к. которое мы рассматривали перед уравнением (3.38).

Вспоминая, что в очень тонкой пленке толщины d интеграл J dkz следует заменить на вклад, соответствующий kz = 0, умноженный на 2тг/d. мы получаем для т^:

12квТ .

— ~ е — In 1 т^к ad \

/ kBT \2 kBT . / kBTTv \/

V вп Ж12 ~ eInv ,(Д.ЗЗ)

V h,D/ft crd у ft у

где мы взяли оценку ж 12 ~ 3/Dt^ для характерного размера ж 12

и пренебрегли константой под логарифмом. Решая это уравнение итерациями, найдем

1 ~ с2 квТ т^к? ad1 ~ с2 квТ т^к? ad^ (k^ldA ^еИ k^ad V 7 gn^ (k^ldA ^еИ k^ad V 7 gnIn gn ,In gn ,(Д.34)(Д.34)

1 ~ с2 квТ т^к? ad

1 ~ с2 квТ т^к? ad

^ (k^ldA ^еИ k^ad V 7 gn

^ (k^ldA ^еИ k^ad V 7 gn

In gn ,

In gn ,

(Д.34)

(Д.34)

гДе № = (o-dh^/e2 — безразмерный «кондактанс на квадрат» пленки, появляющийся и под знаком логарифма, и в коэффициенте перед ним. Формула (Д.34) согласуется с результатом для тонких пленок (см., например, Altshuler and Aronov, 1985, уравнение (4.47а)).

Е. Аномалии в плотности состояний

Хорошо известно (см. Kittel, 1963), что в обычной модели электронного газа с кулоновским отталкиванием, обменные члены приводят (в приближении Хартри-Фока) к особенностям в собственной энергии и в плотности состояний (DOS). В частности, возникает логарифмическое подавление последней на уровне Ферми ef. Эти логарифмические особенности оказываются фиктивными: они исчезают, если, например, использовать экранированное кулоновское взаимодействие. Однако позднее было обнаружено, что в электронном газе с беспорядком (хотя бы и слабым) слабая сингулярность в одночастичной плотности состояний п(Е) на ef действительно должна существовать — даже и при учете экранировки (Altshuler and Aronov, 1979; см. также McMillan, 1981). Такая сингулярность и на самом деле была найдена экспериментально (Abeles et al., 1975; McMillan and Mochel, 1981; Dynes and Garno, 1981, Imry and Ovadyahu, 1982a; Hertel et al., 1983; White et al., 1985). Это явление становится более заметным в низкоразмерных системах (при d ^ 2). Ниже мы дадим упрощенный вывод эффекта для статически экранированного кулоновского взаимодействия (см. McMillan, 1981). Он качественно (и отчасти количественно) воспроизводит правильный результат для трехмерной системы. Низкоразмерный случай будет кратко рассмотрен в конце этого приложения.

Согласно теории Хартри и Фока (см., например, Kittel, 1963), в самосогласованном приближении эффективное уравнение Шредингера имеет вид

Ро фт2mРо фт2mdyV(x - у)^ fi^(y)<pi(y)<pm(x)-

Р

о фт

2m

Р

о фт

2m

ddyV(x - у)£ /;^z*(y)^z(«)^m(y) = Етфт^ (Е.35) I

где V — электрон-электронное взаимодействие, Ет и ipm — соответствующие одноэлектронные уровни и волновые функции, // — их числа заполнения, штрих у суммы ^ обозначает, что суммирование I

идет только по тем состояниям /, в которых спин параллелен спину в состоянии т. Второй член в (Е) называется прямым хартриевским вкладом, а третий — обменным Фоковским. Энергии удобно записать в виде

Ет=£т-\-^т^(Е.36)

где Ет — невозмущенные энергии невзаимодействующих электронов, а Ет — собственно-энергетическая часть в приближении Хартри-Фока:

^т = X MmlRmO-^'Mml\V\M. (Е.37) II

Здесь (mZ|V|m/) = f f ddz с^у<^(ж)у?т(ж)К(ж - У^^^МуУ а (ml\V\lm) получается из предыдущего выражения, если поменять местами х и у в аргументах у?/ и ^рт (но не в ^ и ip^Y

В обычном электронном газе без беспорядка хартриевский член в точности компенсируется вкладом однородного положительного фона; этого сокращения, однако, не происходит в неупорядоченной системе. Мы тем не менее будем здесь интересоваться только обменными членами Х^; более аккуратные вычисления, учитывающие хартриевский член и динамическое экранирование, приводят к появлению важных численных множителей, модифицирующих полученные здесь результаты, но не меняющих характера сингулярности.

Мы будем использовать Фурье преобразование взаимодействия V:

v(r) = W р^е'чг’(К38)

так что

(m/|V|/m) = —!-g [(/q|(m|e’qr|/)|ug.(Е.39)

(2тг) J

В самом простом приближении мы используем статически экранированное кулоновское взаимодействие для Vq и выражение (Г.30) для квадратов матричных элементов. Существенным для сингулярности оказывается поведение при малых q, когда Vq = (4тге2/^2) • Л2^2 = = 1/п(0), где Л — длина экранирования (отметим, что заряд электрона в выпадает из этого выражения). Таким образом, обменная собственно-энергетическая часть, как функция от невозмущенной энергии s, имеет вид

начала заметим, что, переходя в уравнении (Е.40) к переменной интегрирования (s' — s), мы получим ef — s вместо ef в качестве верхнего предела в интеграле. Таким образом, первая производная равна просто подынтегральному выражению:

^'(е) =^'(е) =(Е.42)(Е.42)1 Eq

^'(е) =

^'(е) =

(Е.42)

(Е.42)

8ir4n(())k J (Dq2)2 + w2 1

где Нш = £ — Ер. Тогда

^ех»^ех»147г4п(0)/1 ,147г4п(0)/1 ,id Dq2wЧ И 2x2 .272 —V(Dq ) + ^ ]id Dq2wЧ И 2x2 .272 —V(Dq ) + ^ ]constconst(Е.43)(Е.43)

^ех»

^ех»

1

47г4п(0)/1 ,

1

47г4п(0)/1 ,

id Dq2w

Ч И 2x2 .272 —

V(Dq ) + ^ ]

id Dq2w

Ч И 2x2 .272 —

V(Dq ) + ^ ]

const

const

(Е.43)

(Е.43)

где последнее равенство справедливо в трехмерном случае. Итак, Е' в 3D имеет сингулярный вклад, равный численной константе (7, умноженной на шЛ/2\Тип^ ^^^

(Е.44)(Е.44)п(Е) = п0(Е) (1 + С • а^ХО)^2]’1} .

(Е.44)

(Е.44)

Таким образом, плотность состояний имеет коренную особенность на уровне Ферми с относительной величиной (определенной при кш ^ £р) порядка 1/^kpl^^• Приведенные здесь вычисления (McMillan, 1981) — это упрощенный вариант более систематического расчета (Aronov and Altshuler, 1979). Все эти вычисления справедливы, только если поправка к плотности состояний мала, т. е. при kFl < 1 В этом пределе наблюдается хорошее согласие полученных формул с экспериментом.

Интересный вопрос, касающийся аномалий в плотности состояний, — это их зависимость от размерности системы. В достаточно тонкой системе — эффективно двумерной — сингулярность л/ш заменяется на более сильную, логарифмическую. Чтобы выполнялось условие эффективной двумерности, необходимо, чтобы толщина d пленки была меньше характерной длины Ьш ~ у/ D/ы (см. замечание после (3.38); мы предполагаем, что кш >> квТ^ кт”1). И этот кроссовер, и логарифмическое поведение были, на качественном уровне, подтверждены экспериментально (Imry and Ovadyahu, 1982а). Сингулярность оказывается еще более сильно выраженной в 1D, но мы должны подчеркнуть, что все эти результаты справедливы только тогда, когда относительные поправки к DOS малы.

Другой интересной стороной вопроса, очень важной для низкоразмерных систем, является то, что электромагнитное окружение (т. е. поверхностные плазмоны, другие электромагнитные моды, взаимодействующие с системой) играют существенную роль при определении эффективного взаимодействия электронов. Это сильно влияет на величину особенности, как впервые было замечено в работе (Altshuler et al., 1984). Связь с явлением кулоновской блокады была прояснена в работах (Ingold and Nazarov, 1992; Joyez et al., 1998), см. также недавний эксперимент (Pierre et al., 2001).

Ж. Квазиклассическая теория спектральныхкорреляций

Следуя работам (Dittrich and Smilansky, 1990; Smilansky et al., 1992; Argaman et al., 1993), основанным на результатах (Berry, 1985), мы рассмотрим металлическую частицу объема V = Ld и будем изучать статистику ее энергетических уровней вблизи е F. Металлический предел означает, что удовлетворяется условие (4.38), но рассуждения, приведенные ниже, имеют более широкую область применимости. С помощью аппроксимации фейнмановской суммы для пропагатора (преобразования Фурье от функции Грина G) в виде суммы по периодическим классическим путям j можно вывести следующую формулу (Gutzwiller, 1971), применимую к любой хаотической системе, в которой все классические траектории неустойчивы:

пЦ) = по^ + 52 Aje18^ (Ж.45) 3

(мы применяли этот метод при выводе формулы (4.16)).

Здесь Sj обозначает классическое действие вдоль периодической орбиты j (с точностью до поправок — индексов Маслова), а коэффициенты Aj возникают в результате гауссова интегрирования вблизи j-й неустойчивой орбиты:

Aj-^TMet^Mj-ir^, (Ж.46)

Tj — период j-й орбиты, a Mj — «матрица монодромии» (показывающая — в линейном приближении — как за один период изменяется (2d — 2)-мерный вектор, характеризующий отклонение от орбиты положения системы в фазовом пространстве). Множитель Tj отражает то факт, что путь может начинаться и заканчиваться в любой точке периодической орбиты и все такие вклады для данной орбиты складываются когерентно.

Представляет интерес исследование корреляционной функции плотностей состояний (4.33) и ее фурье-преобразования K(E,ty последняя величина называется «спектральным структурным фактором» (усреднение в определении К может производиться либо по энергии Е в определенном диапазоне, либо «примесному ансамблю» в случае неупорядоченной системы).

При вычислении суммы Гуцвиллера возникают серьезные математические трудности, связанные с тем, что ряд не сходится абсолютно. Кроме того, очевидно, что «диагональное» квазиклассическое приближение (см. ниже) неверно на достаточно больших временах из-за экспоненциального роста числа орбит при увеличении t. Существуют достаточно основания полагать, что предельное время больше (Tomso- vic and Heller, 1993), чем получающееся в результате простых наивных

оценок; возможно, что оно имеет порядок К/ А. Мы будем пользоваться обрезанием т^ на больших временах (и, соответственно, обрезанием 7 ~ ~ т”1 на низких энергиях), возникающим из-за процесса сбоя фазы. Для справедливости приведенного ниже расчета необходимо условие А <С ^ <С Е^ это также следует и из сравнения с результатами работы (Altshuler and Shklovsky, 1986). Квазиклассический метод безусловно несправедлив для энергий, меньших, чем А. Так как интересующие нас здесь масштабы величины |s — s'| имеют порядок А или Ес^ величины которых пропорциональны hd и К соответственно (обе они значительно меньше, чем sF), то кажется естественным воспользоваться квазиклас- сическим приближением, опирающимся на малость И. Берри (Berry, 1985) использовал классическое выражение Tj = dSj/dE в варианте квазиклассического приближения, сохраняющем только «диагональные» члены Д в двойной сумме по путям. Для структурного фактора K(t) он получил

(Ж.47)

3

Затем, использовав классическое правило сумм (см. Hannay and Ozorio d’Almeida, 1984), он доказал, что квазиклассический спектр классической эргодической системы имеет (на масштабах энергий, меньших, чем А, см. ниже) тот же характер корреляций, что и ансамбль случайных матриц: К^ ос s2. Следует отметить, что, для того чтобы эту теорию можно было применять к классическим эргодическим системам при t < К/А, необходимо, чтобы (неустойчивые) орбиты — вместе с областями гауссовых флуктуаций вокруг них — были эффективно разделены. Классическая вероятность вернуться в первоначальное положение через время t дается суммой по всем орбитам (см., например, Ozorio d’Almeida, 1990):

Pcl(E, t) = £ P5(E, t) = £ 6(t - T№\ det (М5 -1Г1. (Ж.48) 33

Здесь, как и раньше, матрица (Mj — I) появляется из-за преобразования элемента объема в фазовом пространстве.

Результат Берри оказалось возможным (Dittrich and Smilansky, 1990; см. также Smilansky et al., 1992) обобщить на случай малых временных масштабов (но все же больших, чем, например, среднее время пробега). Это удалось сделать, в основном, благодаря осознанию того факта, что постоянный коэффициент пропорциональности между

Д Для систем, обладающих симметрией по отношению к обращению времени (Н = 0, отсутствуют магнитные примеси), здесь появляется дополнительный множитель 2. Он возникает из-за существования, как и в случае слабой локализации, пар обращенных во времени орбит, (совпадающие) амплитуды Aj которых нужно складывать когерентно в формуле (Ж.45).

спектральным структурным фактором и временем t — есть не что иное, как классическая вероятность возврата (точнее ее эргодический предел на больших временах). Использование этой функции вероятности вместо постоянной оказывается оправданным также и на временах, где этот предел еще не достигается. В работах (Argaman et al., 1993; см. также Dittrich et al., 1990; Smilansky et al., 1992; Doron et al., 1992) предыдущие расчеты были обобщены следующим образом. Из уравнений (Ж.46)- (Ж.48) можно получить указанное соотношение

K(.t^MpclW.(Ж.49)

ri

Для удобства нормировки можно вставить множитель d£l/dE, где Q(E') — (чисто классический) объем фазового пространства при заданной энергии Е (см. Argaman et al., 1993). Это очень полезное соотношение; удивительно, что в нем появляется в точности та же классическая вероятность возврата, как, например, в поправках к квантовому транспорту из-за эффекта «слабой локализации» (см. гл. 2). В качестве простого примера рассмотрим диффузионное движение частицы в объеме V = Ld^ предполагая, что частица нелокализована в квантовом смысле, так что безразмерный кондактанс g 22 Ес/А >> 1. Если учесть, что частица изотропно диффундирует по изоэнергетической поверхности, так что плотность вероятности возврата в фазовом пространстве отличается от соответствующего выражения в координатном пространстве только множителем 1/4тг, то можно получить

t > h/Ec - L^jD.

PaW ос <PaW ос <(47rDt)d/2 ’ Tcl(47rDt)d/2 ’ Tcl< ^ < ^/Ec.< ^ < ^/Ec.(Ж.50)(Ж.50)

PaW ос <

PaW ос <

(47rDt)d/2 ’ Tcl

(47rDt)d/2 ’ Tcl

< ^ < ^/Ec.

< ^ < ^/Ec.

(Ж.50)

(Ж.50)

Выполняя фурье-преобразование выражений (Ж.49) и (Ж.50) и используя только времена много меньше /l/А, мы очень просто придем к результату Альтшулера и Шкловского для спектральных корреляций:

-е 2,7 < £ < Ес,

К^ ос <К^ ос <.(RD)d/2.(RD)d/2ed/2 2 Ес < £ < К/тС1,ed/2 2 Ес < £ < К/тС1,(Ж.51)(Ж.51)

К^ ос <

К^ ос <

.(RD)d/2

.(RD)d/2

ed/2 2 Ес < £ < К/тС1,

ed/2 2 Ес < £ < К/тС1,

(Ж.51)

(Ж.51)

где тс1 — коротко-временной предел справедливости данной картины. Квазиклассическая интерпретация этих результатов очевидна. В области малых энергий (нуль-мерный предел) формула (Ж.51) хорошо согласуется с результатом Берри и с теорией случайных матриц. Например, чтобы найти спектральную жесткость, надо вычислить флуктуации числа уровней в интервале W. Двойной интеграл от К^ при е ^ Ес действительно воспроизводит хорошо известный результат log(lV/7), причем с правильным коэффициентом. Для этого следует, однако, ввести правильную регуляризацию (например, умножая K(t)

на е-7^1). В результате такой регуляризации возникнет положительный вклад в К^ при энергиях £ < 7, который уничтожит фиктивную инфракрасную расходимость — 1/е2 при s —> 0. Максимальная энергия s Ес. при которой наблюдается поведение корреляций, характерное для теории случайных матриц, пропорциональна, как и ожидалось, 7ц при е > Ес наблюдается другая зависимость — закон Альтшулера- Шкловского. Заметим, что различные степенные законы были получены также для зависящих от масштаба классических диффузионных процессов (см. гл. 2 и работу Derrida and Pomeau, 1982).

Некоторые детали четырехконтактнойформулировки

Напишем уравнение (5.26) подробно:

~Т1

Т12

Т13

Т1Л

/мА

ДА

Т21

7з1

-Т2

Т32

^23

-Тз

Т-24

Т34

Мз

= ^ ,(3.52)

\Т41

т42

Т4з

-т4 ^

\М4/

\lj

где Ti = ^ T{j = J2 Тз^ для г = 1,. . . , 4. Так как вектор с одинако- Э^гз^г

выми /1 дает нулевой ток, среди четырех уравнений (3.52) только три независимы. Кроме того, мы имеем условие 22 А = 0.

В четырехконтактном случае /1 = — /3 = Ji, /2 = — /4 = «/2- Этим токам соответствуют три независимых напряжения рц — pi^ но, так как у нас есть только две независимые переменные, Ji и J27 мы можем выразить их через два напряжения, например через eV-у = /11 — /13 и eV^ = /12 — /147 как в уравнениях (5.27) и (5.31). При обычной схеме измерения сопротивления, когда 1 и 3 — токовые контакты, а 2 и 4 — потенциальные, мы полагаем J2 = 0 и (как в (5.32), при k = 1, I = 3, т = 2, п = 4) находим Я1з524 = V^/Jy. Самый простой способ найти коэффициенты а в уравнении (5.27) — приложить некоторое ненулевое напряжение Vi при V2 = 0, чего можно добиться, выбрав вектор /1 в уравнении (5.26) в виде (1, 0, — А, 0), где Vi = 1 + А. После этого — с помощью соответствующего выбора А — нужно удовлетворить условиям /1 = —/3, /2 = —/4 и, наконец, найти Jy и J^. Отсюда определим «и и «21- Два других коэффициента, «12 и «227 можно определить аналогично, используя /127 AM- В результате мы немедленно получаем ответ:

(3.53)(3.53)д _ Т31 — Ti _ Т21 + Т41

(3.53)

(3.53)

71 з — ТзТ-23 + Т43 ’

и, например,

I _ I _ гр гр Д _ Т21Т43 — Т23Т41J2 — 12 — 1 21 - 1 23^1 —

1 23 + 1 43

ц = 1 + А =ц = 1 + А =Sт23 + Т43 ’Sт23 + Т43 ’(3.55)(3.55)

ц = 1 + А =

ц = 1 + А =

Sт23 + Т43 ’

Sт23 + Т43 ’

(3.55)

(3.55)

где S = Т21 + Т41 + Т23 + Т43, как в (5.29). По определению, —а^х = = J2/V1. Отношение (3.54) (и аналогичного выражения для Ji) к (3.55) действительно дает q2i и «и в согласии с (5.28):

«11 — — Т] +«11 — — Т] +(Т12 + Т14)(Т21 + Т41)(Т12 + Т14)(Т21 + Т41)— «21 —— «21 —S Т21Т43 — Т23Т41S Т21Т43 — Т23Т41SS(3.56)(3.57)(3.56)(3.57)

«11 — — Т] +

«11 — — Т] +

(Т12 + Т14)(Т21 + Т41)

(Т12 + Т14)(Т21 + Т41)

— «21 —

— «21 —

S Т21Т43 — Т23Т41

S Т21Т43 — Т23Т41

S

S

(3.56)

(3.57)

(3.56)

(3.57)

Следует понимать, что, хотя мы выразили два тока J через два напряжения У, как в (5.27), эти токи также зависят и от других напряжений, например от /12 ~ Дл- Таким образом, мы не можем добиться приложения напряжения Vi просто за счет выбора произвольных цх и /13 с фиксированной (равной Vi) разностью.

И. Универсальность флуктуаций кондактансаи универсальные корреляции собственныхзначений матрицы прохождения

Наше рассуждение будет основано на двухконтактной формуле Ландауэра для кондактанса (5.16). Удобно переписать левую часть этой формулы (Imry, 1986) через собственные значения трансфер- матрицы Т, следуя работам (Pichard and Sarma, 1981а,b; Pichard, 1984):

tr = tr7i,(И.58)

TTf 4- (TT1)"1 +2/

где / — единичная матрица. Матрица амплитуд прохождения t, связывающая прошедшие волны (справа от рассеивающей системы, кондак- танс которой мы изучаем) с волнами, падающими на нее слева, имеет ранг ДА х Трансфер-матрица Т (ранга 2АА х 2АА) может быть выражена через матрицу t и матрицу отражений г, определенную в (5.9); Т связывает амплитуды волн, движущихся в обоих направлениях (налево и направо) справа от препятствия — с соответствующим волнами слева от него. Она обладает мультипликативным свойством: трансфер-матрица нескольких последовательно соединенных препятствий равна произведению их трансфер-матриц (более полное освещение этих вопросов можно найти в работах Pichard, 1984; Pendry, 1989). В свете этой мультипликативности кажется разумным предположить (Dorohov, 1982, 1984), что в системе достаточно большой длины L >> 1 (в атомных единицах) собственные значения, появляющиеся в знаменателе (И.58), будут экспоненциальными функциями L. [Это утверждение основано на теореме Оселедеца (Oseledec, 1968; см. также недавнюю работу de Jong and Bannakar, 1994).] Тогда (И.58) удобно

переписать в виде

6 l + cosh(An) 1 + cosh (Lgn) ’ v 7

где An — собственные значения для всей системы, а р,п следует понимать, как «собственные значения на единицу длины», или как обратные длины локализации. Самое маленькое р,п дает обратную физическую длину локализации, £-1. Если упорядочить Хп по возрастанию, то можно сказать, что ^eff из них — меньше или равны единице, а остальные — большие чем единица — дают экспоненциально малые вклады, так что

Neff = g, (И.60)

что мы использовали при выводе формулы (5.60). Важное свойство собственных значений — их отталкивание, предотвращающее вырождение, и приводящее к подавлению флуктуаций величины Neff- На самом деле, так как формула (И.58) выражает g в виде так называемой «линейной статистики» собственных значений (т. е. в виде суммы по п от плавной функции Ап), можно применить результаты работ (Dyson, 1963; Mehta and Dyson, 1967; см. также Mehta, 1967), согласно которым флуктуации g — порядка единицы при условии, что собственные значения удовлетворяют статистике теории случайных матриц. Последнее утверждение можно доказать, используя «глобальный принцип максимума энтропии» для распределения собственных значений (Mello et al., 1988), который действительно приводит к постоянному и универсальному значению для (Ag2). Позднее, однако, было замечено (Beenakker, 1993), что этот результат — хотя и очень близок (различие — множитель 16/15!) — но все же не равен правильному, полученному с помощью диаграмной техники для одномерных систем (где этот метод применим, если выбрать конечное 7V_l при очень большой длине L). Совсем недавно это противоречие было разрешено (Beenakker and Rejaei, 1993 и, независимо, Chalker and Maedo, 1993): было обнаружено, что принцип глобального максимума энтропии (Mello and Pichard, 1989) — это только приближение среднеполевого типа, точное же распределение нужно искать, решая некоторое уравнение типа Фоккера-Планка. Итак, это приближение прекрасно работает, но оно не точно. Если выйти за его рамки, то можно получить точные значения (Ag2) для квазиодномер- ных систем всех известных симметрий. В большем числе измерений использование теории случайных матриц для вычисления (Ag2) также дает ответ — правильный по порядку величины — но не точный. Однако даже при отсутствии полного количественного соответствия, можно уверенно утверждать, что качественная физическая причина универсальности (Ag2) заключается в отталкивании собственных значений матрицы прохождения.

К. Кондактанс баллистического «точечногоконтакта»

Рассмотрим два массивных резервуара, соединенные идеальным баллистическим проводом с 7V^ каналами, так что T^j = Т^ = 5^ Rij = RG = 0. В этом случае Gc = Л^(е2/тг/1) и сопротивление, приходящееся на один контакт и на один канал, есть тг7г/2е2 — как и в одноканальном случае. Интересно, что рассматриваемая здесь ситуация идентична случаю маленького узкого отверстия (т. е. «точечного контакта», Jansen et al., 1983) между двумя массивными проводниками. Сопротивление такого «баллистического» контакта с сечением А (А <С < I2, где / — длина свободного пробега в проводниках (резервуарах) в нашем случае), вычислил Шарвин (Sharvin, 1965). Результат для двумерного отверстия, соединяющего два массивных трехмерных проводника, имеет вид

^отверстия ^д ?(К.61)

где р — удельное сопротивление проводника, а множитель 4/3 возникает из-за усреднения по углам. Отметим, что этот результат, который легко получить в баллистическом квазиклассическом варианте кинетической теории (а потому необходимое условие его справедливости есть k^A >> 1), не зависит от I. Так как число каналов в отверстии сечением А равно Ак^/4тт (без учета спинового вырождения; напомним, что последнее мы уже учли в формуле (5.16) для кондактанса одного канала), то, учитывая, что р = Зтг2/г/е2А:^/, сопротивление отверстия с проводником можно переписать в виде

Rc -(К.62)

е

что совпадает с выражением для сопротивлениея 1/GC1 которое мы приводили выше, и которое, для идеального контакта, справедливо при произвольном A^l. Подчеркнем, что это сопротивление не имеет ничего общего с сопротивлением провода самого по себе; оно существует и тогда, когда проводник, соединяющий два резервуара, совершенно идеален (рассеяния нет). Величина Rc определяется только геометрией; идеальное отверстие является «узким местом» для электронов, проходящих из одного проводника в другой (причем оба находятся в равновесии).

В двумерных системах число каналов есть Wkp/ir^ где W — ширина отверстия. В обоих случаях — ив двумерном, и в трехмерном,

2

GC = ^N^,(К.63)

где Л^ — число каналов без учета спина (Imry, 1986). В других обозначениях можно включить спин в определение Л^7 тогда идеальный кондактанс одного канала будет равен е2/2тг/1. Квантование баллистического кондактанса было экспериментально открыто (Wharam et al., 1988, и, независимо, van Wees et al., 1988) в точечном контакте, разделяющем два двумерных электронных газа в квантовой яме на основе GaAs. Оказалось совсем не просто определить условия, при которых полный кондактанс действительно описывается формулой (К.63). Этот вопрос коротко рассматривается в тексте, после формулы (5.16). Необходимы дальнейшие исследования для того, чтобы выяснить, как ведет себя кондактанс микроскопических контактов, содержащих всего один (или малое число) атомов.

Abeles et al. (1975): Abeles В., Sheng P., Coutts M. D. and Ane Y. // Adv. Phys. 1975. V. 24. P. 407.

Abrahams and Lee (1986): Abrahams E. and Lee P.A. 11 Phys. Rev. 1986. V. B33. P. 683.

Abrahams and Ramakrishnan (1980): Abrahams E. and Ramakrishnan T. V. // J. Noncryst. Solids 1980. V. 35. P. 15.

Abrahams et al. (1979): Abrahams E.. Anderson P. W.. Licciardello D. C. and Ramakrishnan T.V. // Phys. Rev. Lett. 1979. V. 42. P. 673.

Abrahams et al. (1981): Abrahams E.. Anderson P. W., Lee P.A. and Ramakrishnan T.V. 11 Phys. Rev. 1981. V. B24. P. 6783.

Abrikosov (1988): Abrikosov A. A. Fundamentals of the Theory of Metals. — North-Holland, Amsterdam: 1988.

Adkins (1977): Adkins C.J. // Phil. Mag. 1977. V. 36. P. 1285.

Aguado and Kouwenhoven (2000): Aguado R. and Kouwenhoven L.P. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 1986.

Aharonov and Bohm (1959): Aharonov Y. and Bohm D. // Phys. Rev. 1959. V. 115. P. 485.

Akkermans et al. (1995): Akkermans E.. Montambaux G. and Pichard J.-L., eds. Mesoscopic Quantum Physics, Les Houches Session LXI. — North-Holland, Amsterdam: 1995.

Aleiner et al. (1996): Aleiner I.L., Clarke P. and Glazman L.I. // Phys. Rev. 1996. V. B53. P. R7630.

Aleiner et al. (1997): Aleiner I.L., Wingreen N.S. and Meir Y. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79. P. 3740.

Aleiner et al. (1999): Aleiner I. L., Altshuler B. L., Gershenson M. E. // Waves in Random Media 1999. V. 9. P. 201; Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82(C). P. 3190.

Alexander (1968): Alexander S. (1968) private communication.

Altland and Gefen (1995): Altland A. and Gefen Y. // Phys. Rev. 1995. V. 51. P.10671.

Altland et al. (1992): Altland A., Lida S., Muller-Groeling A. and Weiden- muller H.A. // Ann. Phys. 1992. V. 219. P. 148.

Altshuler (1985): Altshuler B.L. // Pis’ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1985. V. 41. P. 530 У E TP Lett. 1555.41648].

Altshuler (1991): Altshuler B.L. (1991) private communication.

Altshuler and Aronov (1979): Altshuler B. L. and Aronov A.G. // J. Exsp. Teor. Fiz. 1979. V. 77. P. 2028 (Translated in: Sov. JETP 1980. V. 50. P. 968).

Altshuler and Aronov (1985): Altshuler B.L. and Aronov A.G. I In: ElectronElectron Interactions in Disordered Systems A. L. Efros and M. Pollak, eds. — North-Holland, Amsterdam: 1985. P. 1.

Altshuler and Khmelnitskii (1985): Altshuler B.L. and Khmelnitskii D.E. // JETP Lett. 1985. V. 42. P. 359.

Altshuler and Lee (1988): Altshuler B.L. and Lee P.A. // Physics Today 1988. V. 41, DEC. P. 36.

Altshuler and Shklovskii (1986): Altshuler B.L. and Shklovskii B. // Sov. Phys. JETP 1986. V. 64. P. 127.

Altshuler and Spivak (1985): Altshuler B. L. and Spivak B.Z. 11 JETP Lett. 1985. V. 42. P. 447.

Altshuler and Spivak (1987): Altshuler В. L. and Spivak B.Z. // Sov. Phys. JETP 1987. V. 65. P. 343.

Altshuler et al. (1980): Altshuler B. L., Aronov A. G. and Lee P.A. // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 44. P. 1288.

Altshuler et al. (1980): Altshuler B.L., KhmeUnitskii D., Larkin A. I. and Lee P.A. // Phys. Rev. 1980. V. B22. P. 5142.

Altshuler et al. (1981a): Altshuler B.L., Aronov A. G. and Khmelnitskii D.E. // Solid State Commun. 1981a. V. 39. P. 619.

Altshuler et al. (1981b): Altshuler B. L., Aronov A. G. and Spivak B.Z. // JETP Lett. 1981b. V. 33. P. 94.

Altshuler et al. (1982a): Altshuler B.L., Aronov A. G. and Khmelnitskii D.E. // J. Phys. 1982a. V. C15. P. 7367.

Altshuler et al. (1982b): Altshuler B.L., Aronov A.G., Spivak B.Z., Sharvin D. Yu. and Sharvin Yu. V. // JETP Lett. 1982b. V. 35. P. 588.

Altshuler et al. (1982c): Altshuler B.L., Aronov A.G., Khmelnitskii D.E. and Larkin A. I. / In: Quantum Theory of Solids I.M. Lifschitz, ed. — M.: Mir Publishers, 1982. P. 130.

Altshuler et al. (1983): Altshuler B.L., Khmelnitskii D.E. and Spivak B.Z. // Solid State Commun. 1983. V. 48. P. 841.

Altshuler et al. (1986): Altshuler B.L., Kravtsov V.E. and Lerner I. V. // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1986. V. 91. P. 2276 [Sov. Phys. JETP 1986. V. 64. P. 1352].

Altshuler et al. (1991a): Altshuler B.L., Gefen Y. and Imry Y. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66. P. 88.

Altshuler et al. (1991b): Altshuler B. L.. Lee P.A. and Webb R. A. eds. Mesoscopic Phenomena in Solids, — North-Holland, Amsterdam: 1991.

Altshuler et al. (1993): Altshuler B. L.. Gefen Y., Imry Y. and Montambaux G. // Phys. Rev. 1993. V. B47. P. 10335.

Altshuler et al. (1997): Altshuler B. L.. Gefen Y., Kamenev A. and Levitov L.S. 11 Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 2803.

Altshuler et al. (1998): Altshuler B.L., Gershenson M.E. and Aleiner I.L. // Physica 1998. V. E3. P. 58.

Ambegaokar and Baratoff (1963): Ambegaokar V. and Baratoff A. // Phys. Rev. Lett. 1963. V. 10. P. 486; erratum: Phys. Rev. Lett. 1963. V. 11. P. 104.

Ambegaokar and Eckern (1990): Ambegaokar V. and Eckern U. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 381; 1991. V. 67. P. 3192.

Ambegaokar et al. (1971): Ambegaokar V., Halperin B.I. and Langer J.S. // Phys. Rev. 1971. V. B4. P. 2612.

Anderson (1958): Anderson P.W. // Phys. Rev. 1958. V. 109. P. 1492.

Anderson (1959): Anderson P.W. / / J. Phys. Chern. Solids 1959. V. 11. P. 26.

Anderson (1961): Anderson P.W. / / Phys. Rev. 1961. V. 124. P. 41.

Anderson (1963): Anderson P. W. (1963) / in Lectures on the Many-Body Problem, Ravello E.R. Caianello, ed. — N.Y.: Academic Press, 1964. P. 113.

Anderson (1967): Anderson P. W. The Josephson Effect and Quantum Coherence Measurements in Superconductors and Superfluids / In: Progress in Low Temperature Physics. Gorter C.J., ed. — North-Holland, Amsterdam: 1967.

Anderson (1981): Anderson P.W. / / Phys. Rev. 1981. V. B23. P. 4828.

Anderson (1985): Anderson P.W. / / Phil. Mag. 1985. V. B52. P. 505.

Anderson et al. (1980): Anderson P.W., Thouless D.J., Abrahams E. and Fisher D.S. // Phys. Rev. 1980. V. B22. P. 3519.

Ando (1983): Ando T. // J. Phys. Soc. Japan 1983. V. 52. P. 1740.

Ando (1984): Ando Т. // J. Phys. Soc. Japan 1984. V. 53. P. 3101, 3126.

Ando et al. (1982): Ando T., Fowler A. B. and Stern F. // Rev. Mod. Phys. 1982.

54. P. 437.

Andreev (1964): Andreev A.F. // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1964. V. 46. P. 1823 [Sov. Phys. JETP 1964. V. 19. P. 1228; ibid. 1966. V. 22. P. 455].

Andreev (1966): Andreev A.F. // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1966. V. 51. P. 1510 [Sov.

Phys. JETP 1967. V. 24. P. 1019].

Ao and Thouless (1993): Ao P. and Thouless D.J. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70.

P. 2158.

Ao and Thouless (1994): Ao P. and Thouless D.J. 11 Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72.

P. 132.

Aoki and Ando (1981): Aoki H. and Ando T. // Solid State Commun. 1981. V. 38. P. 1079.

Aoki et al. (1992): Aoki H.. Tsukada M.. Schluter M. and Levy F. eds. New

Horizons in Low-Dimensional Electron Systems. — Dordrecht: Kluwer, 1992. Argaman (1995): Argaman N. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75. P. 2750-2753. Argaman and Imry (1993): Argaman N. and Imry Y. // Physica Scripta 1993.

T49. P. 333.

Argaman and Makov (2000): Argaman N. and Makov G. 11 Am. J. Phys. 2000.

68. P. 68.

Argaman et al. (1993): Argaman N., Imry Y. and Smilansky U. // Phys. Rev. 1993. V. B47. P. 4440.

Aronov and Sharvin (1987): Aronov A. G. and Sharvin, YuV. // Rev. Mod. Phys. 1987. V. 59. P. 755.

Arovas et al. (1985): Arovas D.P., Schrieffer J.R., Wilczek F. and Zee A. // Nucl. Phys. 1985. V. 8251. P. 117.

Ashcroft and Mermin (1976): Ashcroft N. and Mermin N.D. Solid State

Physics. — Holt: Rinehart and Winston, 1976.

Aslamazov and Larkin (1974): Aslamazov L.G. and Larkin A. I. // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1974. V. 67. P. 647 [Sov. Phys. JETP 1975. V. 40. P. 321].

Aslamazov et al. (1969): Aslamazov L. G., Larkin A. I. and Ovchinnikov Yu. N. // Sov. Phys. JETP 1969. V. 28. P. 171.

Averin and Likharev (1991): Averin D. V. and Likharev K.K. in Altshuler et al.

(1991).

Avouris and Lyo (1994): Avouris P. and Lyo L-W. // Science 1994. V. 264. P. 942.

Azbel (1973): Azbel M. Ya. // Phys. Rev. Lett. 1973. V. 31. P. 589.

Azbel (1980): Azbel M. Ya. (1980) private communication.

Azbel (1981): Azbel M. Ya. // J. Phys. C. 1981. V. 14. P. L225.

Azbel (1983): Azbel M. Ya. // Solid State Commun. 1983. V. 45. P. 527.

Azbel (1993): Azbel M. Ya. // Phys. Rev. 1993. V. B48. P. 4592.

Azbel and Soven (1983): Azbel M. Ya. and Soven P. // Phys. Rev. 1983. V. B27.

P. 831.

Balian et al. (1979): Balian R., Maynard R. and Toulouse G., eds. Ill-Condensed

Matter. — North-Holland, Amsterdam: 1979

Bardeen (1961): Bardeen J. // Phys. Rev. Lett. 1961. V. 6. P. 57.

Bastard et al. (1991): Bastard G., Brum J. A. and Ferreira R. (1991) In: Solid

State Physics 44, H. Ehrenreich and D. Turnbull, eds., P. 229.

Baym (1969): Baym G. Lectures on Quantum Mechanics, N.Y.: Benjamin, 1969. Baym (1993): Baym G. Lectures on Quantum Mechanics. — Addison-Wesley, 1993. P. 271-276

Beenakker (1991): Beenakker С. W.J. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 3836; 1992. V. 68. P. 1442E.

Beenakker (1992a): Beenakker C. W.J. // Phys. Rev. 1992a. V. 846. P. 12841.

Beenakker (1992b): Beenakker C. W. J. (1992b) in Fukuyama and Ando, P. 235.

Beenakker (1993): Beenakker C. W. J. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 1155.

Beenakker (1994): Beenakker C. W.J. 11 Phys. Rev. 1994. V. 849. P. 2205.

Beenakker (1995): Beenakker C. W. J. (1995) in Akkermans et al., P. 279.

Beenakker and Biittiker (1992): Beenakker C. W.J. and Biittiker M. / / Phys. Rev. 1992. V. 846. P. 1889.

Beenakker and Rejaei (1993): Beenakker C. W. J. and Rejaei B. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. P. 3689.

Beenakker and van Houten (1991a): Beenakker C. W. J. and ran Houten H. 11 Phys. Rev. Lett. 1991a. V. 66. P. 3056.

Beenakker and van Houten (1991b): Beenakker C. W. J. and ran Houten H. 11 Phys. Rev. 1991b. V. 843. P. 12066.

Beenakker and van Houten (1991c): Beenakker C.W.J. and ran Houten H. I In: SQUID ’91, Proceedings of the fourth International Conference on Superconducting and Quantum Effect Devices and Their Applications, H. Kochand and H. Liibbig, eds. — Berlin: Springer, 1991.

Beenakker and van Houten (1991d): Beenakker C. W. J. and ran Houten H. I In: Solid State Physics 44, H. Ehrenreich and D. Turnbull, eds., 1991. P. 1.

Beenakker et al. (1994): Beenakker C. W. J., Rejaei B. and Meisen J. A. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 2470.

Ben-Jacob and Gefen (1985): Ben-Jacob E. and Gefen Y. // Phys. Lett. 1985. V. 108A. P. 289.

Benoit et al. (1986): Benoit A.D., Washburn S.^ Umbach C.P., Laibowitz R.B. and Webb R.A. // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57. P. 1765.

Benoit et al. (1987): Benoit A.D., Umbach C.P., Laibowitz R.B. and Webb R.A. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 2343.

Berezinskii (1971): Berezinskii V.L. // Sov. Phys. JETP 1971. V. 32. P. 493.

Bergman (1983): Bergman D.J. (1983) private communication; the author is indebted to D. J. Bergman for this suggestion.

Bergman et al. (1983): Bergman D.J., Ben-Jacob E.. Imry Y. and Maki K. // Phys. Rev. 1983. V. A27. P. 3345.

Bergmann (1982): Bergmann G. // Z. Phys. 1982. V. B48. P. 5.

Bergmann (1984): Bergmann G. // Phys. Reps. 1984. V. 107. P. 1.

Berkovits and Avishai (1995a): Berkorits R. and Arishai Y. // Europhys. Lett. 1995a. V. 29. P. 475.

Berkovits and Avishai (1995b): Berkorits R. and Arishai Y. // Phys. Rev. Lett. 1995b. V. 76. P. 291.

Bernamont (1937): Bernamont J. // Ann. Phys. (Leipzig) 1937. V. 7. P. 71.

Berry (1985): Berry M.V. // Proc. Roy. Soc. of London, Ser. a 1985. V. 400. P. 229.

Binder (1987): Binder K. ed. Application of Monte-Carlo Methods in Statistical Physics. — Berlin: Springer-Verlag, 1987.

Binnig et al. (1982): Binnig C., Rohrer H.. Gerber Ch. and Weibel E. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 49. P. 57.

Birge et al. (1990): Birge N. O., Golding B. and Haemmerle W.H. // Phys. Rev. 1990. V. B42. P. 2735.

Birk et al. (1996): Birk M.. Schonenberger C. and de Jong M. J. M. / In: Quantum Transport in Semiconductor sub-Micron Structures, B. Kramer ed., Nato ASI, series E, 326. — Kluwer Academic, 1996.

Bishop et al. (1980): Bishop D. J., Tsui D. C. and Dynes R.C. // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 44. P. 1153.

Bishop et al. (1985): Bishop D. J., Licini J. C. and Dolan G.J. // App. Phys. Lett. 1985. V. 46. P. 1000.

Blatter et al. (1994): Blatter G., Feigelman M. V., Geshkenbein V. B., Larkin A. I. and Vinokur V. M. // Rev. Mod. Phys. 1994. V. 66. P. 1125.

Bloch (1930): Bloch E. // Z. Phys. 1930. V. 61. P. 206.

Bloch (1968): Bloch F. 11 Phys. Rev. Lett. 1968. V. 21. P. 1241; Phys. Rev. 1968. V. 166. P. 415.

Bloch (1970): Bloch F. // Phys. Rev. 1970. V. B2. P. 109.

Blonder (1984): Blonder G.E. // Bull. Am. Phys. Soc. 1984. V. 29. P. 535.

Blonder et al. (1982): Blonder G.E., Tinkham M. and Klapwijk T.M. // Phys. Rev. 1982. V. B25. P. 4515.

Bockrath et al. (1999): Bockrath M.. Cobden D.H., Jia Lu, Rinzler A. G., Smalley R.E., Blamentz L. and McEwen P. L. // Nature (London) 1999. V. 397. P. 598.

Bohigas et al. (1984): Bohiqas О., Giannoni M.J. and Schmidt С. H Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 1.

Borland (1963): Borland R. E. // Proc. Roy. Soc. 1963. V. A274. P. 529.

Bottger and Bryksin (1985): Bottger H. and Bryksin V. V. Hopping Conduction in Solids. — Berlin: Academic Verlag; Mannheim: VCH Verlag, 1985.

Bouchiat and Montambaux (1989): Bouchiat H. and Montambaux G. //J. Phys. (Paris) 1989. V. 50. P. 2695.

Brandbyge et al. (1995): Brandbyge M.. Schiotz J., Sorensen M.R., Stoltze P., Jacobsen K. W.. Norskov J.K.. Olesen L.. Laegsgaard E.. Stensgaard I. and Besenbacher F. // Phys. Rev. 1995. V. B52. P. 8499.

Brandt et al. (1976): Brandt N.B., Bogachek E.N., Gitsu D. V., Gogadze G.A., Kulik I. O., Nikolaeva A. A. and Ponomarev Ya. G. // Pis’ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1976. V. 24. P. 304 [JETP Lett. 1976. V. 24. P. 272].

Brandt et al. (1982): Brandt N.B., Bogachek E.N., Gitsu D. V., Gogadze G.A., Kulik I. O., Nikolaeva A. A. and Ponomarev Ya. G. // Fiz. Nizk. Temp. 1982. V. 8. P. 718 [Sov. J. Low Temp. Phys. 1982. V. 8. P. 358].

Bratus et al. (1995): Bratus E.N., Shumeiko V.S. and Wendin G. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. P. 2110.

Braun et al. (1998): Braun E.. Eichen Y., Sivan U. and Ben-Yoseph G. // Nature, 1998. V. 391. P. 775.

Brody et al. (1981): Brody T.A., Flores J., French J.B., Mello P.A., Pandey A. and Wong S. S. M. // Rev. Mod. Phys. 1981. V. 53. P. 385.

Broers (1989): Broers A.N. (1989) in Reed and Kirk (1989) P. 421.

Browne and Nagel (1985): Browne D.A. and Nagel S.R. // Phys. Rev. 1985. V. B32. P. 8424.

Browne et al. (1984): Browne D.A., Carini J. P., Muttalib K. A. and Nagel S.R. / / Phys. Rev. 1984. V. B30. P. 6798.

Bruder (1990): Bruder C. 11 Phys. Rev. 1990. V. B41. P. 4017.

Bruder (1995): Bruder C. (1995) Mesoscopic Superconductivity, Habilitation Thesis, University of Karlsruhe; Superconductivity Review 1, (1996) P. 261.

Bruder and Imry (1998): Bruder C. and Imry Y. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. P. 5782; ibid. 1999. V. 82. P. 1797.

Bruder et al. (1994): Bruder C.. Fazio R. and Schon G. // Physica 1994. V. B203. P. 240; Phys. Rev. 1994. V. B50. P. 12766.

Buks et al. (1998): Buks E.. Schuster R., Heiblum M.. Mahalu D. and Umansky V. // Nature 1998. V. 391. P. 871.

Buot (1993): Buot F. // Phys. Rep. 1993. V. 234. P. 73.

Buttiker (1985a): Buttiker M. (1985a) private communication.

Buttiker (1985b): Buttiker M. (1985b) in Hahlbohm and Liibbig (1985).

Buttiker (1985c): Buttiker M. // Phys. Rev. 1985c. V. B32. P. 1846.

Buttiker (1986a): Buttiker M. (1986a) Phys. Rev. B33, 3020.

Buttiker (1986b): Buttiker M. // Phys. Rev. Lett. 1986b. V. 57. P. 1761.

Buttiker (1988): Buttiker M. // IBM J. Res. Dev. 1988. V. 32. P. 317.

Buttiker (1990): Buttiker M. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 2901.

Buttiker (1992a): Buttiker M. // Phys. Rev. Lett. 1992a. V. 68. P. 843.

Buttiker (1992b): Buttiker M. // Phys. Rev. 1992b. V. B46. P. 12485.

Buttiker (1993): Buttiker M. // J. Phys. Condens. Matter 1993. V. 5. P. 9361.

Buttiker and Imry (1985): Buttiker M. and Imry Y. // J. Phys. C. 1985. V. 18. P. L467.

Buttiker and Klapwijk (1986): Buttiker M. and Klapwijk T.M. // Phys. Rev. 1986. V. 33. P. 5114.

Buttiker et al. (1983a): Buttiker M.. Imry Y. and Landauer R. // Phys. Lett. 1983a. V. 96A. P. 365.

Buttiker et al. (1983b): Buttiker M.. Harris E. P. and Landauer R. // Phys. Rev. 1983b. V. B28. P. 1268.

Buttiker et al. (1984): Buttiker M.. Imry Y., and Azbel M. Ya. // Phys. Rev. 1984. V. АЗО. P. 1982.

Buttiker et al. (1985): Buttiker M.. Imry Y., Landauer R. and Pinhas S. // Phys. Rev. 1985. V. B31. P. 6207.

Byers and Yang (1961): Byers N. and Yang C.N. // , Phys. Rev. Lett. 1961. V. 7. P. 46.

Caldeira and Leggett (1983): Caldeira A. O. and Leggett A. J. // Ann. Phys. 1983. V. 149. P. 374.

Capasso and Datta (1990): Capasso F. and Datta S. (1990), Physics Today 43, FEE 74.

Carini et al. (1984): Carini J.P., Muttalib K.A. and Nagel S.R. // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 53. P. 102.

Casimir (1945): Casimir H.B. G. // Rev. Mod. Phys. 1945. V. 17. P. 343.

Castaing and Nozieres (1980): Castaing B. and Nozieres P. // J. de Physique (Paris) 1980. V. 41. P. 701.

Castaing and Nozieres (1985): Castaing B. and Nozieres P. (1985) private communication. The author is grateful to Drs. Castaing and Nozieres for a discussion on this point.

Castellani et al. (1981): Castellani C.. di Castro C. and Pelliti L. Disorderd Systems and Localization. — Berlin: Springer-Verlag, 1981.

Cerdeira et al. (1995): Cerdeira H.A., Kramer B. and Schon G.. eds. uantum Dynamics of Submicron Structures, NATO ASI Ser. E, V. 291. — Dordrecht: Kluwer, 1995.

Chakraborty and Pietilainen (1988): Chakraborty T. and Pietildinen P. he Fractional Quantum Hall Effect. — Berlin: Springer-Verlag, 1988.

Chakravarty and Schmid (1986): Chakravarty S. and Schmid A. // Phys. Rep. 1986. V. 140. P. 193.

Chalker and Coddington (1988): Chalker J. T. and Coddington P.D. // J. Phys. 1988. V. C21. P. 2665.

Chalker and Macedo (1993): Chalker J. T. and Macedo A. M.S. / / Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. P. 3693.

Chambers (1960): Chambers R.G. // Phys. Rev. Lett 1960. V. 5. P. 3.

Chandrasekhar et al. (1985): Chandrasekhar V.. Rooks M.J., Wind S. and Prober D.E. II Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55. P. 1610.

Chandrasekhar et al. (1991): Chandrasekhar V., Webb R.A., Brady M.J., Ketchen M.B., Gallagher W.J. and Kleinsasser A. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 3578.

Chaudhari and Habermeier (1980): Chaudhuri P. and Habermeier H. U. / / Phys. Rev. Lett. 1980. V. 44. P. 40.

Chen and Ting (1992): Chen L. Y. and Ting C.S. // Phys. Rev. 1992. V. B46. P. 4714.

Chtchelkatchev (2001): Chtchelkatchev N.M. // JETP Lett. 2001. V. 73. P. 100.

Cheung et al. (1988): Cheung H.F., Gefen Y. and Riedel E.K. // IBM J. Res. Dev. 1988. V. 32. P. 359.

Cheung et al. (1989): Cheung H. E, Riedel E. K. and Gefen Y. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 587.

Cohen and Imry (1999): Cohen D. and Imry Y. 11 Phys. Rev. 1999. V. B59. P.11143.

Cohen et al. (1992): Cohen O., Ovadyahu Z. and Rokni M. // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. P. 3555.

Costa-Kramer et al. (1995): Costa-Kramer J.N., Garcia N., Garcia-Mochales P. and Serena P.A. // Surf. Sci. 1995. V. 342. P. L1144.

Courtois et al. (1994): Courtois H., Gandit P. and Pannetier B. (1994) in Glattli et al. (1994).

Courtois et al. (1995): Courtois H., Gandit P. and Pannetier B. // Phys. Rev. 1995. V. B52. P. 1162. Courtois H.. Gandit P., Mailly D. and Pannetier B. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 130.

Crommie et al. (1993): Crommie M.F., Lutz C.P. and Eigler D.M. // Science 1993. V. 262. P. 218; Phys. Rev. B48, 2851; Nature 363, 524.

Cronenwett et al. (1998): Cronenwett S.M., Oosterkamp Т.Н. and Kouwen- hoven L. 11 Science 1998. V. 281. P. 540.

Cutler and Mott (1969): Cutler M. and Mott N.F. // Phys. Rev. 1969. V. 181. P. 1336.

Czycholl and Kramer (1979): Czycholl G. and Kramer B. // Solid State Commun. 1979. V. 32. P. 945.

Datta et al. (1985): Datta S., Melloch M.. Bandyopadhyay S., Noren R.. Vaziri M., Miller M. and Reifenberger R. // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55. P. 2344.

Davies et al. (1983): Davies R.A., Pepper M. and Kaveh M. // J. Phys. 1983. V. C16. P. L285.

Davies et al. (1992): Davies J. H.. Hyldgaard P., Hershfield S. and Wilkins J.W. // Phys. Rev. 1992. V. B46. P. 9620.

de Gennes (1965): de Gennes P. G. Superconductivity of Metals and Alloys. — N.Y.: Benjamin, 1965.

de Gennes (1966): de Gennes P. G. / in: 1965 Tokyo Lectures in Theoretical Physics, Vol. 1, R. Kubo, ed. — N.Y.: W. A. Benjamin, 1966. 117.

de Jong and Beenakker (1992): de Jong M. J. M. and Beenakker C. W-JJ! Phys. Rev. 1992. V. B46. P. 13400.

de Jong and Beenakker (1994): de Jong M.J. M. and Beenakker C. W. J. (1994) in Glattli et al. (1994).

de Jong and Beenakker (1995): de Jong M. J. M. and Beenakker C. W. J. // Phys. Rev. 1995. V. B51. P. 16867.

de Jong and Molenkamp (1995): de Jong M.J. M. and Molenkamp W. / / Phys. Rev. 1995. V. B51. P. 13389.

de Picciotto et al. (1997): R de Picciotto., Reznikov M., Heiblum M., Umansky V., Bunin G. and Mahalu D. // Nature 1997. V. 389. P. 162.

de Vegvar et al. (1994): de Vegvar P.G.N., Fulton T.A., Mallison W.H. and Miller R.E. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 1416.

Dekker (1999): Dekker C. (1999) Carbon Nanotubes as Molecular Quantum Wires, Physics Today, May 1999, P. 22.

den Hartog et al. (1996): den Hartog S.G., Kapteyn C.M.A., van Wees B.J., Klapwijk T. M. and Borghs T.M. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 4954.

Derrida and Pomeau (1982): Derrida B. and Pomeau Y. // Phys. Rev. Lett. 1982.

V. 48. P. 627; see also: Sinai Ya. G. / In: Proceedings of the sixth International Conference on Mathematical Physics. — Berlin, 1981 (Berlin: Springer, 1982). des Cloizeaux (1965): des Cloizeaux J. // J. Phys. Chern. Solids 1965. V. 26.

P. 259.

Deutscher and de Gennes (1969): Deutscher G. and de Gennes P. G. (1969) In: Superconductivity, V. 2, P. 1005, R. O. Parks, ed. Marcel Dekker, N.Y.

Deutscher and Fukuyama (1982): Deutscher G. and Fukuyama H. // Phys. Rev. 1982. V. B25. P. 4298.

Devoret et al. (1995): Devoret M., Esteve D. and Urbina C. (1995) in Akkermans et al., P. 605

Dingle (1952): Dingle R.B. // Proc. Roy. Soc. 1952. V. 212. P. 38.

Dittrich and Smilansky (1990): Dittrich T. and Smilansky U. // Nonlinearity 1990. V. 4. P. 59; ibid. P. 85.

DiVincenzo (1990): Di Vincenzo D. (1990) unpublished results.

Dolan and Osheroff (1979): Dolan G.J. and Osheroff D. D. // Phys. Rev. Lett. 1979. V. 43. P. 721.

Dolan et al. (1986): Dolan G. J., Licini J. C. and Bishop D.J. // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 1493.

Domany and Sarker (1979): Domany E. and Sarker S. 11 Phys. Rev. 1979. V. B20. P. 4726.

Donnely (1991): Donnely R.J. Quantized Vortices in Hell. Cambridge, 1991.

Dorokhov (1982): Dorokhov O.N. // Pis’ma J. Exsp. Teor. Fiz. 1982. V. 36. P. 259 [JETP Lett. 1982. V. 36. P. 318].

Dorokhov (1984): Dorokhov O.N. // Solid State Commun. 1984. V. 51. P. 381.

Doron et al. (1992): Doron E., Smilansky U. and Dittrich T. // Physica 1992. V. B179. P. 1.

Dorozhkin et al. (1993): Dorozhkin S.I., Shashkin A. A., Kravchenko G.V., Dolgopolov V. T., Haug R.J., von Klitzing K. and Ploog K. // JETP Lett. 1993. V. 57. P. 58.

Dresselhaus et al. (1996): Dresselhaus M.S., Dresselhaus G. and Eklund P.C.

(1996) Science of Fullerenes and Carbon Nanotubes, Academic Press, N.Y.

Du et al. (1993): Du R., Stormer H., Tsui D., Pfeiffer L. and West K. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 2944.

Dupuis and Montambaux (1991): Dupuis N. and Montambaux G. // Phys. Rev. 1991. V. B43. P. 14390.

Dutta and Horn (1981): Dutta P. and Horn P. M. // Rev. Mod. Phys. 1981. V. 53. P. 497.

Dynes and Garno (1981): Dynes R.C. and Garno J. // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 46. P. 137.

Dyson (1962): Dyson E.J. // J. Math. Phys. 1962. V. 3. P. 140, 157, 166.

Ebisawa (1992): Ebisawa H. (1992) in Fukuyama and Ando, P. 273.

Echternach et al. (1993): Echternach P.M., Gershenson M.E.. Bozler H.M.. Bogdanov A.L. and Nilsson B. // Phys. Rev. 1993. V. B48. P. 11516.

Eckern (1991): Eckern U. // Z. Phys. 1991. V. B82. P. 393.

Eckern and Schmid (1989): Eckern U. and Schmid A. // Phys. Rev. 1989. V. B39. P. 6441.

Economou (1990): Economou E.N. (1990) Green’s Functions in Quantum Physics, 2nd edition, Springer-Verlag, Berlin.

Economou and Soukoulis (1981b): Economou E. N. and Soukoulis C.M. // Phys. Rev. Lett. 1981b. V. 47. P. 973.

Economou and Soukoulis (1981a): Economou E. N. and Soukoulis C.M. // Phys. Rev. Lett. 1981a. V. 46. P. 618.

Edwards and Thouless (1972): Edwards J. T. and Thouless D.J.//3. Phys. 1972. V. C5. P. 807.

Efetov (1982): Efetov K.B. // Zh. Exsp. Teor. Fiz. 1982. V. 82. P. 872 [Sov. Phys.

JETP, 55, 514].

Efetov (1983): Efetov K.B. 11 Adv. Phys. 1983. V. 32. P. 53.

Efetov (1991): Efetov K.B. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66. P. 2794.

Efros and Pollak (1985): Efros A.L. and Pollak M. eds. Electron-Electron Interaction in Disordered Systems. — North-Holland, Amsterdam: 1985.

Eiler (1985): Eiler W. // Solid State Commun. 1985. V. 56. P. 11.

Eiles et al. (1993): Eiles T. M.. Martinis J. M. and Devoret M. H. (1993) in Geerligs et al., P. 210.

Eiles et al. (1993b): Eiles T.M., Martinis J.M. and Devoret M.H. // Phys. Rev. Lett. 1993b. V. 70. P. 1862.

Elion et al. (1993): Elion W.J., Wachters J. J., Sohn L.L. and Mooij J.E. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. P. 2311.

Elion et al. (1994): Elion W.J., Matters M.. Geigenmuller U. and Mooij J.E. // Nature 1994. V. 371. P. 594.

Engquist and Anderson (1981): Engquist H. L. and Anderson P.W. // Phys. Rev. 1981. V. B24. P. 1151.

Entin-Wohlman and Gefen (1989): Entin- Wohlman O. and Gefen Y. // Europhys. Lett. 1989. V. 8. P. 477.

Entin-Wohlman et al. (1986): Entin- Wohlman O., Hartzstein K. and Imry Y. // Phys. Rev. 1986. V. B34. P. 921.

Entin-Wohlman et al. (1989): Entin- Wohlman O., Imry Y. and Sivan U. 11 Phys. Rev. 1989. V. B40. P. 8342.

Entin-Wohlman et al. (1995a): Entin- Wohlman O., Imry Y., Aronov A.G. and Levinson Y. // Phys. Rev. 1995a. V. B51. P. 11584.

Entin-Wohlman et al. (1995b): Entin-Wohlman O., Aronov A.G., Levinson Y. and Imry Y. // Phys. Rev. Lett. 1995b. V. 75. P. 4094.

Esaki (1984): Esaki L. (1984) In: Proceedings of the 17th International Conference on the Physics of Semiconductors, San Francisco, August 1984, J.D. Chadi and H. A. Harrison, eds. (Springer N.Y., 1985).

Esaki (1986): Esaki L. // IEEE J. Quantum Electronics QE- 1986. V. 22. P. 1611.

Farmer et al. (1987): Farmer K.R.^ Rogers С. T. and Buhrman R.A. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 2255.

Fauchere et al. (1999): Fauchere A.L, Belzig W. and Blatter G. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 1796, 3336.

Fazio and Schon (1991): Fazio R. and Schon G. // Phys. Rev. 1991. V. B43. P. 5307.

Fazio et al. (1991): Fazio R.^ Geigenmueller U. and Schon G., eds. (1991) In: Quantum Fluctuations in Mesoscopic and Macroscopic Systems H.A. Cerdeira F. Guinea and U. Weiss (World Scientific, 1991), P. 214.

Fazio et al. (1994): Fazio R., Brader C. and Schon G. (1994) in Glattli et al. (1994).

Feng and Lee (1991): Feng S. and Lee P.A. // Science 1991. V. 251. P. 633.

Feng et al. (1986): Feng S., Lee P.A. and Stone A.D. // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 1960; (2772-E).

Fetter and Walecka (1971): Fetter A.L. and Walecka J.D. Quantum Theory of Many Particle Systems. — N.Y.: McGraw-Hill, 1971.

Feynman et al. (1965): Feynman R.P., Leighton R.B. and Sands M. (1965) The Feynman Lectures on Physics, Addison Wesley, Reading MA, V. III. P. 21, 14.

Feynmann and Vernon (1963): Feynmann R. P. and Vernon F.L. // Ann. Phys. (N.Y.) 1963. V. 24. P. 118.

Field et al. (1993): Field M., Smith C. G., Pepper M., Ritchie D.A., Frost J. E. E, Jones G.A. and Hasko D. G. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 1311.

Finkelstein (1989): Finkelstein A.M. // Springer Proceedings in Physics, 1989. V. 28. P. 230.

Finkelstein (1990): Finkelstein A.M. // Sov. Sei. Rev., A Physics 1990. V. 14(2). P. 1. Harwood Academic Publishers.

Finkelstein and Imry (1992): Finkelstein A.M. and Imry Y. (1992) unpublished.

Fisher (1967): Fisher M.E. // Rep. Progr. Phys. 1967. V. 30. P. 615.

Fisher (1971): Fisher M.E. In: Proceedings of the Varenna International Enrico Fermi School, course 51, M.S. Green, ed. — N.Y.: Academic, 1971.

Fisher and Langer (1967): Fisher M. E. and Langer J.S. 11 Phys. Rev. Lett. 1967. V. 20. P. 665.

Fisher and Lee (1981): Fisher D.S. and Lee P.A. // Phys. Rev. 1981. V. B23. P. 6851.

Flensberg et al. (1988): Flensberg K.. Hansen J. B. and Octavio M. // Phys. Rev. 1988. V. B38. P. 8707.

Fowler et al. (1966): Fowler A.B., Fang F.F., Howard W.E. and Stiles P.J. // Phys. Rev. Lett. 1966. V. 16. P. 901.

Fowler et al. (1982): Fowler A.B., Hartstein A. and Webb R.A. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 196.

Frauenfelder and Wolynes (1985): Frauenfelder H. and Wolynes P.G. // Science 1985. V. 229. P. 337.

Friedman (1963): Friedman L. // Phys. Rev. 1963. V. 131. P. 2445.

Friedman and Holstein (1963): Friedman L. and Holstein T. // Ann. Phys. (N. Y.) 1963. V. 21. P. 494.

Friedman and Tunstall (1978): Friedman L.R. and Tunstall D.P., eds. The Metal-Nonmetal Transition in Disordered Systems. — Edinburgh: SUSSP, 1978.

Fritzche and Pollak (1990): Fritzche H. and Pollak M.. eds. Hopping and Related Phenomena. — World Scientific publishing company, 1990.

Frydman and Ovadyahu (1996): Frydman A. and Ovadyahu Z. // Europhys. Lett. 1996. V. 33. P. 217.

Fujikawa and Ono (1996): Fujikawa K. and Ono Y.A.^ eds. (1996) In: Quantum Coherence and Decoherence, Proceedings of the Fifth ISQM, Tokyo North- Holland, Amsterdam.

Fukuyama (1980): Fukuyama H. // J. Phys. Soc. Japan 1980. V. 48. P. 2169; J. Phys. Soc. Japan 1981. V. 50. P. 3407.

Fukuyama (1981): Fukuyama H. (1981) in Nagaoka and Fukuyama (1982), P. 89.

Fukuyama (1984): Fukuyama H., (1984) in Goldman et al., P. 161.

Fukuyama and Ando (1992): Fukuyama H. and Ando T. (1992) Transport Phenomena in Mesoscopic Systems, Proceedings of the 14th Taniguchi Symposium, Shima, Japan, 1991, Springer-Verlag.

Fukuyama (1985): Fukuyama H. (1985) in Efros and Pollak, P. 155.

Fulton and Dolan (1987): Fulton T.A. and Dolan G.J. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 109.

Furusaki (1992): Furusaki A. (1992) in Fukuyama and Ando, P. 255.

Furusaki and Tsukada (1991): Furusaki A. and Tsukada M. // Solid State Com- mun. 1991. V. 78. P. 299. Furusaki A. et al. (1991) Furusaki A., Takayanagi H. and Tsukada M. 11 Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 132.

Fye et al. (1991): Fye R.M., Martins M.J.^ Scalapino D.J., Wagner J. and Hanke W. // Phys. Rev. 1991. V. B44. P. 6909.

Fye et al. (1991): Fye R.M., Martins N.J., Scalapino D.J., Wagner J. and Hanke W. // Phys. Rev. 1991. V. B44. P. 6909.

Gantmakher and Levinson (1987): Gantmakher V.F. and Levinson Y. Carrier Scattering in Metals and Semiconductors. — North-Holland, 1987.

Gavish et al. (2000): Gavish U., Levinson Y. and Imry Y. // Phys. Rev. 2000. V. B62. P. R10637.

Gavish et al. (2001): Gavish U., Levinson Y. and Imry Y. (2001) to be published in the proceedings of the 2001 Rencontres de Moriond T., Martin G. Mon- tambaux and J. Tran Thanh van eds.

Geerligs et al. (1993): Geerligs L. J., Harmans C. J. P. M. and Kouwenhoven L. P., eds. The Physics of Few-Electron Nanostructures. — North-Holland, 1993.

Gefen (1984): Gefen Y. (1984) private communication in March.

Gefen and Entin-Wohlman (1991): Gefen Y. and Entin- Wohlman O. // Ann. Phys. (N.Y.) 1991. V. 206. P. 68.

Gefen and Thouless (1993): Gefen Y. and Thouless D.E. // Phys. Rev. 1993. V. B47. P. 10423.

Gefen et al. (1984a): Gefen Y., Imry Y. and Azbel M. Ya. // Phys. Rev. Lett. 1984a. V. 52. P. 129.

Gefen et al. (1984b): Gefen Y., Imry Y. and Azbel M. Ya. // Surf. Sei. 1984b. V. 142. P. 203.

Genack et al. (1990): Genack A.Z., Garcia N., Li J., Polkosnik W. and Drake J.M. // Physica 1990. V. A168. P. 387.

Gerland et al. (2000): Gerland U., von Delft J., Costi T.A. and Oreg Y. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 3710.

Gijs et al. (1985): Gijs M.. C van Haesendonck. and Bruynseraede Y. // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 52. P. 5069; Phys. Rev. 1985. V. B30. P. 2964.

Ginzburg and Landau (1950): Ginzburg V. L. and Landau L.D. // J. Exsp. Teor. Fiz. 1950. V. 20. P. 1064, translated in: Men of physics: L. D. Landau, (1965, D. ter Haar, ed.) Pergamon, Oxford.

Giordano et al. (1979): Giordano N., Gilson W. and Prober D.E. // Phys. Rev. Lett. 1979. V. 43. P. 725.

Giuliani and Quinn (1982): Giuliani G.F. and Quinn J. J. // Phys. Rev. 1982. V. B26. P. 4421.

Glattli et al. (1994): Glattli D. C.. Sanquer M. and Tran Trank Van J., eds. Coulomb and Interference Effects in Small Electronic Structures. — France: Editions Frontieres, 1994.

Glattli et al. (1999): Glattli D.C., Sanquer M. and Tran Trank Van J., eds. Quantum Physics at the Mesoscopic Scale. — France: Editions Frontieres, 1999.

Glazman and Matveev (1989): Glazman L.L and Matveev K.A. // JETP Lett. 1989. V. 49. P. 659.

Glazman and Raikh (1988): Glazman L.L and Raikh M.E. // JETP Lett. 1988. V. 47. P. 452.

Glazman et al. (1988): Glazman L.L., Lesovik G.B., Khmelnitskii D.E. and Shekhter R.L // JETP Lett. 1988. V. 48. P. 238.

Gogolin and Zimanyi (1983): Gogolin A. A. and Zimanyi G.T. // Solid State Commun. 1983. V. 46. P. 469.

Goldhaber-Gordon et al. (1998): Goldhaber-Gordon D.. Gores J., Kastner M.A., Sktrikman H., Mahalu D. and Meirav U. // Nature (London) 1998. V. 391. P. 156.

Goldman and Wolf (1984): Goldman A.M. and Wolf S. A.^ eds. (1984) Percolation, Localization and Superconductivity, Nato Advanced Study Institutes, Series B: Physics, V. 109, Plenum, N.Y.

Goldman et al. (1988): Goldman V., Shayegan M. and Tsui D. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 61. P. 881.

Goldman et al. (1994): Goldman V., Su B. and Jain J.K. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 2065.

Golubev and Zaikin (1998): Golubev D.S. and Zaikin A.D. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 1074; Phys. Rev. 1999. V. B59. P. 9195; Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82(C). P. 3191.

Gordon (1984): Gordon J.M. // Phys. Rev. 1984. V. B30. P. 6770.

Gor’kov and Eliashberg (1965): Gor’kov, L.P. and Eliashberg G.M. H JETP 1965. V. 21. P. 940.

Gor’kov et al. (1979): Gor’kov, L. P., Larkin A. I. and Khmel’nitskii D.E. / / JETP Lett. 1979. V. 30. P. 288.

Gorter (1936): Gorier C.J. // Physica 1936. V. 3. P. 503.

Gorter and Kronig (1936): Gorter C.J. and Kronig R. // Physica 1936. V. 3. P. 1009.

Gossard (1986): Gossard A. C. // IEEE J. Quantum Electronics QE- 1986. V. 22. P. 1649.

Gougam et al. (2000): Gougam A.B., Pierre F.. Potkier H.. Esteve D. and Birge N. O. // J. Low Temp. Phys. 2000. V. 118. P. 447.

Grabert and Devoret (1992): Grabert H. and Devoret M.H., eds. (1992) Single Charge Tunneling, Coulomb Blockade Phenomena in Nano structure s (1992) Nato ASI, Series B: Physics, Vol. 294, Plenum, N. Y., L.

Greenwood (1958): Greenwood J. // Proceedings of the Physics Society London 1958. V. 71. P. 585.

Gruenberg and Gunther (1972): Gruenberg L. and Gunther L. // Phys. Lett. 1972. V. 38A. P. 463.

Gunther and Ford (1985): Gunther L. and Ford L. (1985) unpublished; Gunther L. // J. Low Temp. Phys. 1989. V. 77. P. 151; ibid. 1990. V. 79. P. 225 (erratum).

Gunther and Imry (1969): Gunther L. and Imry Y. // Solid State Commun. 1969. V. 7. P. 1391.

Gunnarson (1997): Gunnarson O. // Rev. Mod. Phys. 1997. V. 69. P. 575-606.

Gurevich and Rudin (1996): Gurevich V. L. and Rudin A.M. // Phys. Rev. 1996. V. B53. P. 10078.

Gurvitz (1997): Gurvitz S.A. // Phys. Rev. 1997. V. B56. P. 15215 and Quant- ph/9697029.

Gutzwiller (1971): Gutzwiller M. C. 11 J. Math. Phys. 1971. V. 12. P. 343.

Hahlbohm and Liibbig (1985): Hahlbohm H.D. and Lubbig H., eds. (1985) Proceedings of the Third International Conference on Superconducting Quantum Devices, Berlin, (de Gruyter, Berlin) [contains references on squids].

Haldane (1983): Haldane F.D. M. // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51. P. 605.

Haldane and Rezayi (1985): Haldane F.D.M. and Rezayi E.H. // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 54. P. 237.

Haldane and Rezayi (1988): Haldane F.D.M. and Rezayi E.H. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 956.

Halperin (1982): Halperin B.I. // Phys. Rev. 1982. V. B25. P. 2185.

Halperin (1984): Halperin B.I. // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 1583; 52, 2390(E).

Halperin (1991): Halperin B.I. (1991) private communication.

Halperin et al. (1993): Halperin B.L, Lee P.A. and Read N. // Phys. Rev. 1993. V. B47. P. 7312.

Hamada et al. (1992): Hamada N., Sawada S. and Oshiyama A. // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 68. P. 1579.

Hanbury-Brown and Twiss (1956): Hanbury-Brown R. and Twiss R. Q. // Nature 1956. V. 177. P. 27.

Hanbury-Brown and Twiss (1957): Hanbury-Brown R. and Twiss R.Q. // Proc. Roy. Soc. London 1957. V. A242. P. 300; ibid. 1958. V. A243. P. 291.

Hannay and Ozorio de Almeida (1984): Hannay J.H. and Ozorio de Almeida A. M. // J. Phys. 1984. V. A17. P. 3429.

Haroche (1998): Haroche S. Physics Today, July (1998) P. 36.

Harrison (1970): Harrison W. A. Solid State Theory. — N.Y.: McGraw-Hill, 1970.

Haviland et al. (1989): Haviland D. B., Liu Y. and Goldman A.M. / / Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 2180.

Haviland et al. (1994): Haviland D.B., Harada Y., Delsing P., Chen C.D. and Claeson T. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 1541.

Hebard and Fiory (1983): Hebard A. F. and Fiory A.T. // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 50. P. 1603.

Hebard and Paalanen (1985): Hebard A.F. and Paalanen M.A. // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 54. P. 2155.

Hebard et al. (1991): Hebard A.F., Rosseinsky M.J., Haddon R.C., Murphy D. W.. Glarum S. H.. Palstra T. T. M., Ramirez A. P. and Kortan A.R. // Nature 1991. V. 350. P. 600.

Heiblum et al. (1985): Heiblum M., Nathan M.L, Thomas D.E. and Knoedler C.M. // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55. P. 2200.

Hekking and Nazarov (1994): Hekking F. W. J. and Nazarov Yu. V. // Phys. Rev. 1994. V. B49. P. 6847.

Hekking et al. (1994): Hekking F. W. J., Schon G. and Averin D. V.. eds. Mesoscopic Superconductivity, Proceedings of the NATO ARW in Karlsruhe, Physica 1994. V. B203. P. 201.

Herman and Sitter (1989): Herman M.A. and Sitter H. (1989) Molecular Beam Epitaxy, Fundamentals and Current Status, Springer Series in Material Sciences 7, Springer, Berlin.

Hershfield (1992): Hershfield S. // Phys. Rev. 1992. V. B46. P. 7061.

Hertel et al. (1983): Hertel G.H., Bishop D.J., Spencer E. G., Rowell J.M. and Dynes R. G. // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 50. P. 743.

Hewson (1993): Hewson A. C. The Kondo Problem to Heavy Fermions. — England: Cambridge University Press, 1993.

Hikami et al. (1980): Hikami S., Larkin A. I. and Nagaoka Y. // Progr. Theor. Phys. 1980. V. 63. P. 707.

Hirsch (1984): Hirsch J.E. // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 53. P. 2327.

Hofmann and Kummel (1993): Hofmann S. and Kummel R. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 1319.

Hofstetter and Schreiber (1993): Hofstetter E. and Schreiber M. // Europhys. Lett. 1993. V. 21. P. 933.

Hohenberg (1967): Hohenberg P.C. // Phys. Rev. 1967. V. 158. P. 383.

Holstein (1959): Holstein T. // Ann. Phys. (N.Y.) 1959. V. 8. P. 325, 343.

Holstein (1961): Holstein T. 11 Phys. Rev. 1961. V. 124. P. 1329.

Hooge (1969): Hooge F.N. // Phys. Lett. 1969. V. A29. P. 139.

Hopkins et al. (1989): Hopkins P.F., Burns M.J., Rimberg A. J. and Westervelt R.M. // Phys. Rev. 1989. V. B39. P. 12708.

Howard and Prober (1982): Howard R.E. and Prober D.E. (1982) On Nanofabrication, In: VLSI Electronics: Microstructure Science (Academic, N. Y.) Vol. 5, Chap. 9.

Hsu and Valles (1995): Hsu S. Y. and Valles J.M. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. P. 2331. Huang S.W., Wei H.P., Engel L.W., Tsui D.C. and Pruisken A. M. N. // Phys. Rev. 1993. V. 848. P. 11416.

Hubbard (1964): Hubbard J. // Proc. Roy. Soc. 1964. V. A277. P. 237.

Hughes et al. (1994): Hughes R. J. E. Nicholls J. T., Frost J. E. F.. Enfield E. H.. Pepper M., Ford C.J.B., Ritchie D.A., Jones G.A.C., Kogan E. and Kaveh M. 11 J. Phys. Cond. Matt. 1994. V. 6. P. 4763.

Hui and Lambert (1993): Hui V. C. and Lambert C.J. // Europhys. Lett. 1993. V. 23. P. 203.

Hund (1938): Hund F. // Ann. der Physik 1938. V. 32. P. 102.

Iijima (1991): Iijima S. 11 Nature 1991. V. 354. P. 56.

Hani et al. (2001): Hani S., Yacoby A., Mahalu D. and Shtrikman H. // Science 2001. V. 292. P. 1354.

Imry (1969a): Imry Y. // Ann. Phys. (N.Y.) 1969a. V. 51. P. 1.

Imry (1969b): Imry Y. (1969b) In: Proceedings of the 1969 Stanford Conference on Superconductivity, F. Chilton, ed. (North-Holland) P. 344.

Imry (1969с): Imry У. // Phys. Lett. 1969с. V. 29А. Р. 82.

Imry (1977): Imry К / / Phys. Rev. 1977. V. B15. P. 4448.

Imry (1980a): Imry К / / Phys. Rev. Lett. 1980a. V. 44. P. 467.

Imry (1980b): Imry Y. // Phys. Rev. 1980b. V. B21. P. 2042.

Imry (1981a): Imry Y. (1981a) Phys. Rev. B24, 1107.

Imry (1981b): Imry Y. // J. Appl. Phys. 1981b. V. 52. P. 1817.

Imry (1983b): Imry Y. // J. Phys. C. 1983b. V. 16. P. 2501.

Imry (1984): Imry Y. (1984) Localization and Superconductivity, in Goldman et al., P. 189.

Imry (1985): Imry Y. (1985) Invited lecture at the Freudenstadt German Physical Society Meeting.

Imry (1986a): Imry Y. 11 Europhysics Lett. 1986a. V. 1. P. 249.

Imry (1986b): Imry Y. (1986b) Physics of Mesoscopic Systems, In: Directions in Concenseed-Matter Physics, Memorial Volume to S.-k Ma, G. Grinstein and G. Mazenko, eds. (World Scientific, Singapore) P. 101.

Imry (1988): Imry Y. 11 Physica 1988. V. B152. P. 295.

Imry (1991): Imry Y. (1991) in Kramer (1991), P. 221.

Imry (1995): Imry Y. // Europhys. Lett. 1995. V. 30. P. 405.

Imry (1995): Imry Y. (1995) in Akkermans et al., P. 181.

Imry (1997): Imry Y. (1997) in Sohn et al. (1997), P. 83.

Imry (1997): Imry Y. (1997) Mesoscopic Physics and the Fundamentals of Quantum Mechanics, In: Proceedings of the Nobel Symposium on Modern Studies of Basic Quantum Concepts and Phenomena, E. B. Karlsson and E. Brandes, eds. Physica Scripta, T76, 171 (1998).

Imry (1998): Imry Y. (1998) in Ono and Fujikawa (1998).

Imry and Bergman (1971): Imry Y. and Bergman D. J. // Phys. Rev. 1971. V. A3. P. 1416.

Imry and Gunther (1971): Imry Y. and Gunther L. // Phys. Rev. 1971. V. B3. P. 3939.

Imry and Ovadyahu (1982a): Imry Y. and Ovadyahu Z. 11 Phys. Rev. Lett. 1982a. V. 49. P. 841.

Imry and Ovadyahu (1982b): Imry Y. and Ovadyahu Z. // J. Phys. CIS 1982b. V. L327. P. .

Imry and Shiren (1986): Imry Y. and Shiren N. // Phys. Rev. 1986. V. B33. P. 7992.

Imry and Sivan (1994): Imry Y. and Sivan U. 11 Solid State Commun. 1994. V. 92. P. 83.

Imry and Strongin (1981): Imry Y. and Strongin M. // Phys. Rev. 1981. V. B24. P. 6353, contains many prior references.

Imry et al. (1973): Imry Y., Deutscher G., Bergman D.J. and Alexander S. 11 Phys. Rev. 1973. V. A7. P. 744.

Imry et al. (1982): Imry Y., Gefen Y. and Bergmann D.J. // Phys. Rev. 1982. V. B26. P. 3436 (Brief Reports).

Imry et al. (1999): Imry Y., Fukuyama H. and Schwab P. // Europhys. Lett. 1999. V. 47. P. 608.

Ingold and Nazarov (1992): Ingold G.-L. and Nazarov Yu. V.. (1992) in Grabert and Devoret, P. 21.

lordanski (1982): lordanski S.V. 11 Solid State Commun. 1982. V. 43. P. 1.

Ismail et al. (1991): Ismail K., Meyerson B.S. and Wang P.J. // Appl. Phys. Lett. 1991. V. 58. P. 2117; 59, 973.

Jackiw (1977): Jackiw R. 11 Rev. Mod. Phys. 1977. V. 49. P. 681.

Jain (1989): Jain J.K. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. P. 199; Phys. Rev. 1989. V. B40. P. 8079.

Jain and Kivelson (1988): Jain J. K. and Kivelson S.A. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 1542; Phys. Rev. Lett. 60, 1542; Phys. Rev. B37, 4111, 4276.

Jalabert et al. (1993): Jalabert R.A., Richard J.-L. and Beenakker C. W.J. // Europhys. Lett. 1993. V. 24. P. 1.

Jansen et al. (1983): Jansen N. J. M., van Gelder A.P., Duif A. M., Wyder P. and d’Ambrumenil N. // Helv. Phys. Acta 1983. V. 56. P. 209.

Jerome et al. (1967): Jerome D., Rice T.M. and Kohn W. 11 Phys. Rev. 1967. V. 158. P. 462.

Jiang et al. (1993): Jiang H. W.. Johnson С. E.. Wang K. L. and Hannahs S.T. 11 Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. P. 1439.

John et al. (1983): John S., Sompolinsky H. and Stephen M.J.// Phys. Rev. 1983. V. B27. P. 5592.

Jonson and Girvin (1979): Jonson M. and Girvin S. 11 Phys. Rev. Lett. 1979. V. 43. P. 1447.

Josephson (1962): Josephson B.D. // Phys. Lett. 1962. V. 1. P. 251.

Josephson (1965): Josephson B.D. // Adv. Phys. 1965. V. 14. P. 419.

Joyez et al. (1994): Joyez P., Lafarge P., Filipe A., Esteve D. and Devoret M. 11 Phys. Rev. Lett 1994. V. 72. P. 2458.

Joyez et al. (1998): Joyez P., Esteve D. and Devoret M.H. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. P. 1956.

Joynt and Prange (1984): Joynt R. and Prange R.E. // Phys. Rev. 1984. V. B29. P. 3303; Joynt R., J. Phys. C17, 4807.

Kagan and Leggett (1992): Kagan, Yu. and Leggett A. J., eds. Quantum Tunnelling in Condensed Media. — North-Holland, Amsterdam: 1992.

Kamenev and Gefen (1993): Kamenev A. and Gefen Y. / / Phys. Rev. Lett. 1993.

V. 70. P. 1976.

Kamenev and Gefen (1994): Kamenev A. and Gefen Y. / / Phys. Rev. 1994. V. B49. P. 14474.

Kamenev and Gefen (1995): Kamenev A. and Gefen Y. / / Int. J. Mod. Phys. 1995. V. B9. P. 751.

Kamenev and Gefen (1996): Kamenev A. and Gefen Y. // Phys. Rev. 1996. V. B56. P. 1025.

Kamenev and Kohn (2001): Kamenev A. and Kohn W. // Phys. Rev. 2001. V. B63. P. 155304.

Kamenev et al. (1994): Kamenev A., Reulet B.. Bouchiat H. and Gefen Y. / / Europhys. Lett. 1994. V. 28. P. 391.

Kanda and Kobayashi (1995): Kanda A. and Kobayashi S.-I. //J. Phys. Soc. Japan (Letters) 1995. V. 64. P. 19.

Kanda et al. (1994): Kanda A., Katsumoto S. and Kobayashi S.-I. //J. Phys. Soc. Japan 1994. V. 63. P. 4306.

Kane and Fisher (1994): Kane C. L. and Fisher M.P. A. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 724.

Kang et al. (1993): Kang W.. Stornier H.L., Pfeiffer L.N., Baldwin K. W. and West K.W. 11 Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. P. 3850.

Kapon et al. (1989): Kapon E.. Hwang D.M. and Bhat R. П Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. P. 430.

Kastalsky et al. (1990): Kastalsky Л., Green L.H., Barner J.B. and Bhat R. ]] Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 958.

Kastalsky et al. (1991): Kastalsky A., Kleinsasser A. W., Greene L.H., Bhat R., Milliken F.P. and Harbison J.P. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 3026.

Katsumoto (1995): Katsumoto S. // J. Low Temp. Phys. 1995. V. 98. P. 287.

Kaveh and Mott (1981): Kaveh M. and Mott N.F. // J. Phys. 1981. V. C14. P. L659, L177, L183.

Kaveh et al. (1981): Kaveh M., Uren M.J., Davies R.A. and Pepper M. // J. Phys. 1981. V. C14. P. L413.

Kawabata (1977): Kawabata A. // J. Phys. Soc. Japan 1977. V. 43. P. 1491; J. Phys. Soc. Japan 1980. V. 49. P. 628; J. Phys. Soc. Japan 1981. V. 50. P. 2461.

Kawaguchi and Kawaji (1982): Kawaguchi Y. and Kawaji S. 11 Surface Sci. 1982. V. 113. P. 505 and references therein.

Kazarinov and Luryi (1982): Kazarinov R.F. and Luryi S. 11 Phys. Rev. 1982. V. B25. P. 7626.

Keldysh and Kopaev (1965): Keldysh L. V. and Kopaev Yu. V. 11 Sov. Phys. Solid-State 1965. V. 6. P. 2219.

Khavin et al. (1998): Khavin, Yu. B., Gershenson M. E. and Bogdanov A. L. // Sov. Phys. Uspekhi. 1998. V. 41. P. 186; Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 1066, Phys. Rev. 1998. V. B58. P. 8009.

Khlus (1987): Khlus V. A. // JETP 1987. V. 66. P. 1243.

Khmelnitskii (1983): Khmelnitskii D.E. // Sov. Phys. JETP Lett. 1983. V. 38. P. 552.

Khmelnitskii (1984a): Khmelnitskii D.E. // Phys. Lett. 1984a. V. 106A. P. 182.

Khmelnitskii (1984b): Khmelnitskii D.E. // Physica 1984b. V. 126B. P. 235.

Kil et al. (1990): KU A. J., Zijlstra R.J.J., Schuurmans M.F.H. and Andre J.P. // Phys. Rev. 1990. V. B41. P. 5169.

Kimura and Bandow (1988): Kimura K. and Bandow S. 11 Phys. Rev. 1988. V. B37. P. 4473.

Kirk and Reed (1992): Kirk W.P. and Reed M.A., eds. (1992) Nanostructures and Mesoscopic Systems, Proceedings of the 1991 Santa Fe International Symposium, Academic Press, Boston.

Kirkman and Pendry (1984): Kirkman P. D. and Pendry J.B. / / J. Phys. C. Solid State Phys. 1984. V. 17. P. 5707.

Kiss et al. (1990): Kiss L.B., Kertesz J. and Hajdu J. // Z. Phys. 1990. V. B81. P. 299.

Kittel (1963): Kittel C. (1963) Quantum Theory of Solids, John Wiley, N.Y.

Kittel (1986): Kittel C. (1986) Introduction to Solid State Physics, John Wiley, N.Y.

Kivelson et al. (1992): Kivelson S., Lee D. H. and Zhang S.C. // Phys. Rev. 1992. V. B46. P. 2223.

Kleinsasser et al. (1989): Kleinsasser A. W.. Jackson T.N., Mclnturff D.. Rammo F., Pettit G.D. and Woodall J.M. // Appl. Phys. Lett. 1989. V. 55. P. 1909.

Knox (1963): Knox R.S. // Solid State Phys. Suppl. 1963. V. 5. P. 100.

Kobayashi et al. (1990): Kobayashi S.-L., Ezawa H.. Murayama Y. and Nomura S. (1990) Proceedings of the third International Symposium on the Foundations of Quantum Mechanics in the Light of New Technology (ISQM), Tokyo, 1989, held at the Central Research Laboratory, Hitachi. Published by The Physical Society of Japan.

Kociak et al. (2001): Kodak M., Kasumov A. Yu., Gueron S., Reulet B., Vac- carini L., Khodos LL, Gorbatov, Yu. B., Volkov V. T. and Bouchiat H. / / Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 2416.

Kohn (1964): Kohn W. // Phys. Rev. 1964. V. 133. P. A171.

Kohn (1965): Kohn W. (1965) In: Physics of Solids at High Pressures С. T. Tomizuka and R. M. Emrick, eds. P. 561, Academic Press, N.Y.

Kohn and Sham (1965): Kohn W. and Sham L.J. // Phys. Rev. 1965. V. 140. P. A1133.

Kohn and Vashishta (1983): Kohn W. and Vashishta P. (1983) In: Theory of the Inhomogeneous Electron Gas, S. Lundqvist and N. H. March, eds. Plenum, N.Y.

Kosterlitz and Thouless (1973): Kosterlitz J.M. and Thouless D.J. // J. Phys. 1973. V. 06. P. 1181.

Kramer (1991): Kramer B. ed. (1991) Quantum Coherence in Mesoscopic Systems, NATO ASI Series В no. 254, Plenum, N.Y.

Kramer (1996): Kramer B. ed. (1996) Quantum Transport in Semiconductor Submicron Structures, NATO ASI Series E, Vol. 326, Kluwer Academic, Dordrecht.

Kramer and MacKinnon (1993): Kramer B. and MacKinnon A. 11 Reports on Progress in Physics 1993. V. 56. P. 1469 (1993).

Kramer et al. (1985): Kramer B., Bergmann G. and Bruynseraede Y., eds. (1985) Transport Phenomena, Springer Series in Solid State Sciences 61, SpringerVerlag, Berlin.

Kramer et al. (1990): Kramer B., Broderix K., McKinnon A. and Schreiber M. // Physica 1990. V. A167. P. 163.

Kramers (1940): Kramers H.A. // Physica 1940. V. 7. P. 284.

Krans et al. (1995): Krans J. M., van Ruitenbeek J. M., Fisun V. V., Yanson I. K. and de Jongh L.J. // Nature 1995. V. 375. P. 767.

Kroto et al. (1985): Kroto H.W., Heath J.R., O'Brien S.C., Curl R.F. and Smalley R.E. // Nature, 1985. V. 318. P. 162.

Kubo (1957): Kubo R. // 3. Phys. Soc. Japan 1957. V. 12. P. 570.

Kubo (1962): Kubo R. // J. Phys. Soc. Japan 1962. V. 17. P. 975.

Kulik (1969): Kulik I.O. // Zh. Exsp. Teor. Fiz. 1969. V. 57. P. 1745; Sov. Phys. JETP 1970. V. 30. P. 944.

Kulik (1970a): Kulik I.O. 11 Zh. Exsp. Teor. Fiz. 1970. V. 58. P. 2171; Sov. Phys. JETP 1970. V. 31. P. 1172.

Kulik (1970b): Kulik I.O. // Pis’ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1970. V. 11. P. 407 [JETP Lett. 1970. V. 11. P. 275].

Kulik and Ellialtiglu (2000): Kulik I. O. and Ellialtiglu R. (2000) Quantum Mesoscopic Phenomena and Mesoscopic Devices in Micro Electronics, NATO Science Series C, Vol. 559.

Kulik and Omelyanchuk (1975): Kulik I. O. and Omelyanchuk A. N. // Sov. Phys. JETP Lett. 1975. V. 21. P. 96; Sov. Phys. J. Low Temp. Phys. 1977. V. 3. P. 459; ibid. 1978. V. 4. P. 142.

Kulik and Yanson (1972): Kulik I. O. and Yanson I. K. (1972) The Josephson Effect in Superconductive Tunneling Structures, the Israel Program of Scientific Translations, Jerusalem.

Kumar et al. (1996): Kumar A., Saminadayar L., Glattli C., Jin Y. and Etienne B. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 2778.

Ladan and Maurer (1983): Ladan F.R. and Maurer C.R. // C. R. Acad. Sei. 1983. V. 297. P. 227.

Lafarge et al. (1993): Lafarge P., Joyez P., Esteve D., Urbina C. and De- voret M.H. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 994.

Laibowitz (1983): Laibowitz R. (1983) in Goldman and Wolf (1983).

Lambert (1991): Lambert C.J. // J. Phys. Cond. Matt. 1991. V. 3. P. 6579.

Lambert (1993): Lambert C.J. // J. Phys. Cond. Matt. 1993. V. 5. P. 707.

Lambert (1994): Lambert C.J. // Physica 1994. V. B203. P. 201.

Lambert and Robinson (1993): Lambert C.J. and Robinson S.J. // Phys. Rev. 1993. V. B48. P. 10391.

Lambert et al. (1993): Lambert C.J., Hui V. C. and Robinson S.J. // J. Phys. Cond. Matt. 1993. V. 5. P. 4187.

Landau and Lifschitz (1958a): Landau L.D. and Lifschitz E.M. (1958) Quantum Mechanics, Pergamon Press, London.

Landau and Lifschitz (1958b): Landau L. D. and Lifschitz E. M. (1958) Statistical Physics, Pergamon Press, London.

Landau and Lifschitz (1960): Landau L.D. and Lifschitz E.M. (1960) Electrodynamics of Continuous Media, Pergamon Press, London.

Landauer (1957): Landauer R. // IBM J. Res. Dev. 1957. V. 1. P. 223.

Landauer (1966): Landauer R. (1966) unpublished IBM proposal.

Landauer (1970): Landauer R. // Philosoph. Mag. 1970. V. 21. P. 863.

Landauer (1975): Landauer R. // Z. Physik 1975. V. B21. P. 247.

Landauer (1978): Landauer R. (1978) In: Proceedings of the Ohio State University Conference on Electrical Transport and Optical Properties of Inhomogeneous Media. AIP conference proceedings, 40, J. C. Garland and D. Tanner, eds. AIP, N.Y.

Landauer (1985): Landauer R. (1985) In: Localization, Interaction and Transport Phenomena, B. Kramer, G. Bergmann and Y. Bruinseraede eds., P. 38., Springer Series in Solid-State Sciences.

Landauer (1987): Landauer R. // Z. Physik 1987. V. B68. P. 217.

Landauer (1988): Landauer R. // IBM J. Res. Dev. 1988. V. 32. P. 306.

Landauer (1989a): Landauer R. // 3. Phys. Cond. Matt. 1989. V. 1. P. 8099.

Landauer (1989b): Landauer R. // Physica 1989. V. D38. P. 226.

Landauer (1989c): Landauer R. (1989) in Reed and Kirk (1989), P. 17.

Landauer (1990b): Landauer R. // Physica 1990b. V. A168. P. 75.

Landauer (1990c): Landauer R. (1990c) unpublished.

Landauer (1993a): Landauer R. // J. Phys. Cond. Matt. 1993a. V. 1. P. 8099.

Landauer (1993b): Landauer R. // Phys. Rev. 1993b. V. B47. P. 16427.

Landauer (1994): Landauer R. (1994) In: Proceedings of the Conference on Fundamental Problems in Quantum Theory, D. Greenberger and A. Zeilinger, eds. (N.Y. Acad. Sci., N.Y., 1995).

Landauer and Biittiker (1985): Landauer R. and Buttiker M. // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 54. P. 2049.

Landauer and Heiland (1954): Landauer R. and Heiland J.C. 11 J. Chern. Phys. 1954. V. 22. P. 1655.

Landauer and Martin (1991): Landauer R. and Martin T. (1991) in : van Hoeringen and Lenstra (1990); Physica 1990. V. B175. P. 167; Erratum: Physica 1992. V. B182. P. 288.

Landauer and Swanson (1961): Landauer R. and Swanson J. A. // Phys. Rev. 1961. V. 121. P. 1668.

Lang (1987): Lang N.D. 11 Phys. Rev. 1987. V. B36. P. 8173.

Langenberg (1969): Langenberg D.N. (1969) AC Josephson TunnelingExperiment, In: Tunneling Phenomena in Solids, E. Burstein and S. Lundqvist, eds. Plenum, N. Y., P. 519.

Langer (1971): Langer J.S. // Ann. Phys. 1971. V. 65. P. 53.

Langer and Ambegaokar (1967): Langer J. and Ambegaokar V. 11 Phys. Rev. 1967. V. 164. P. 498.

Langer and Neal (1966): Langer J. S. and Neal T. 11 Phys. Rev. Lett. 1966. V. 16. P. 984.

Langreth and Abrahams (1981): Langreth D. C. and Abrahams E. // Phys. Rev. 1981. V. B24. P. 2978.

Larkin and Khmelnitskii (1982): Larkin A. I. and Khmelnitskii D.E. // Usp. Fiz. Nauk 1982. V. 136. P. 336. [Sov. Phys. Usp. 25, 185].

Laughlin (1981): Laughlin R.B. // Phys. Rev. 1981. V. B23. P. 5632.

Laughlin (1983): Laughlin R.B. // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 50. P. 1395; Phys. Rev. 1983. V. B27. P. 3383.

Laughlin (1988): Laughlin R.B. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 2677.

Laughlin (1990): Laughlin R.B. (1990) in Prange and Girvin (1990).

Laughlin (1999): Laughlin R.B. // Rev. Mod. Phys. 1999. V. 71. P. 863.

Lee (1980): Lee P.A. // J. Noncryst. Solids 1980. V. 35. P. 21.

Lee (1984): Lee P.A. // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 53. P. 2042.

Lee (1998): Lee D.-H. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. P. 4745.

Lee and Fisher (1981): Lee P.A. and Fisher D.S. / / Phys. Rev. Lett. 1981. V. 47. P. 882.

Lee and Ramakrishnan (1985): Lee P.A. and Ramakrishnan T. V. // Rev. Mod. Phys. 1985. V. 57. P. 287. [on localization and transport in disordered systems].

Lee and Stone (1985): Lee P. A. and Stone A. D. // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55. P. 1622.

Lee et al. (1987): Lee P.A., Stone A.D. and Fukuyama H. 11 Phys. Rev. 1987. V. B35. P. 1039.

Leggett et al. (1987): Leggett A. J., Chakravarty S., Dorsey A.T.. Fisher M.P. A., Garg A. and Zwerger W. // Revs. Mod. Phys. 1987. V. 59. P. 1; Stern A., Ph. D. Thesis, Tel-Aviv University (1990), unpublished.

Lenssen et al. (1992): Lenssen K.M.H., Jacket P.C.A., Harmans C.J.P.M., Mooij J.E., Leys M.R., Woltar J.H. and Holland M. C. (1992) in Glattli et al. (1994).

Lenstra and van Haeringen (1985): Lenstra D. and W van Haeringen. 11 Physica 1985. V. 128B. P. 26, and references therein.

Lerner and Imry (1995): Lerner I. V. and Imry Y / / Europhys. Lett. 1995. V. 29. P. 49.

Lesovik (1989): Lesovik G.B. // Pis’ma Zh. Eksp. Teor. 1989. V. 49. P. 515 [JETP Lett. 1989. V. 49. P. 592].

Lesovik (1998): Lesovik G.B. // Phys. Usp. 1998. V. 41(2). P. 145.

Lesovik and Loosen (1997): Lesovik G.B. and Loosen R. // JETP Lett. 1997. V. 65. P. 295; see also: Lesovik G.B. and Levitov L.S. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 538.

Levi et al. (1990): Levi A.F. J. et al. (1990) In: Physics Today, FEB 1990. V. 43. P. 58.

Levin et al. (1983): Levin H., Libby S.B. and Pruisken A.M. M. 11 Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51. P. 1915.

Levinson (1997): Levinson Y. 11 Europhys. Lett. 1997. V. 39. P. 299.

Levinson (2000): Levinson Y. 11 Phys. Rev. 2000. V. B61. P. 4748.

Levinson and Imry (1999): Levinson Y. and Imry Y. (1999) Dephasing and ShotNoise in Mesoscopic Systems, Proceedings of the of the NatoASI “Mesoscope 99” in Ankara/Antalya (1999), Kluwer.

Levinson and Wolfle (1999): Levinson Y. and Wolfle P. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 1399.

Levitov and Lesovik (1993): Levitov L.S. and Lesovik G.B. // JETP Lett. 1993. V. 58. P. 230 and unpublished.

Levy et al. (1990): Levy L.P., Dolan G.. Dunsmuir J. and Bouchiat H. / / Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 2074.

Leyronas et al. (1999): Leyronas X., Tworzydlo J. and Beenakker C. W.J. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 4894.

Li et al. (1990a): Li Y.P., Tsui D.C., Heremans J. J., Simmons J. A. and Weiman G.W. // Appl. Phys. Lett. 1990a. V. 57. P. 774.

Li et al. (1990b): Li Y. P.. Zaslavsky A., Tsui D. C.. Santos M. and Shayegan M. 11 Phys. Rev. 1990b. V. B41. P. 8388.

Licciardello and Thouless (1975): Licciardello D. C. and Thouless D.J. 11 J. Phys. 1975. V. C8. P. 4159; C 1975. V. 11. P. 925.

Licini et al. (1985a): Licini J. C.. Bishop D. J., Kastner M. A. and Melngailis J. 11 Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55. P. 2987.

Licini et al. (1985b): Licini J. C.. Dolan G. J. and Bishop D.J. 11 Phys. Rev. Lett. 1985. V. 54. P. 1585.

Liefrink et al. (1994a): Liefrink F., Dijkhuis J. I. and van Houten H. 11 Semiconductor Sei. Technol. 1994. V. 9. P. 2178.

Liefrink et al. (1994b): Liefrink F., Dijkhuis J.L, de Long M.J.M., Molenkamp L. W. and van Houten H. // Phys. Rev. 1994. V. B49. P. 14066.

Lifschitz and Kirpichenkov (1979): Lifschitz I.M. and Kirpichenkov V. Ya. // JETP 1979. V. 50. P. 499.

Lifshitz and Pitaevskii (1980): Lifshitz E. M. and Pitaevskii L. P. (1980) Statistical Physics (Pergamon Press, N.Y.) Vol. 2, (see, in particular, sees. 75-77).

Likharev (1979): Likharev K.K. // Revs. Mod. Phys. 1979. V. 51. P. 101.

Likharev (1986): Likharev K.K. (1986) Dynamics of Josephson Junctions and Circuits, Gordon and Breach, N.Y.

Likharev and Zorin (1985): Likharev К. K. and Zorin A.B. // J. Low Temp. Phys. 1985. V. 59. P. 347.

Little (1967): Little W. A. // Phys. Rev. 1967. V. 156. P. 396.

Liu and Price (1994): Liu Y. and Price J.C. // Physica 1994. V. 194-196B. P. 1351.

London (1937): London F. // J. Phys. Radium 1937. V. 8. P. 397.

Loss and Martin (1993): Loss D. and Martin T. // Phys. Rev. 1993. V. B47. P. 4619.

Ludviksson et al. (1984): Ludviksson A., Kree R. and Schmid A. // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 950.

Macedo and Chalker (1992): Macedo A. M.S. and Chalker J.T. / / Phys. Rev. 1992. V. B46. P. 14985.

Macedo and Chalker (1994): Macedo A. M.S. and Chalker J.T. / / Phys. Rev. 1994. V. B49. P. 4695.

io*

MacDonald (1962): MacDonald D.K. С. (1962) Noise and Fluctuations, Wiley, N.Y.

MacDonald (1995): MacDonald A.H. (1995) in Akkermans et al., P. 659 [on the theory of the quantum Hall effect].

MacDonald and Girvin (1988): MacDonald A. H. and Girvin S. M. // , Phys. Rev. 1988. V. B38. P. 6295.

MacKinnon and Kramer (1981): MacKinnon A. and Kramer B. // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 47. P. 1546.

Mahan (1990): Mahan G.D. (1990) Many-particle Physics, Plenum Press, N.Y.

Mailly et al. (1993): Mailly D., Chapelier C. and Benoit A. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 2020.

Marmorkos et al. (1993): Marmorkos LK., Beenakker C.W.J. and Jal- abert R.A. // Phys. Rev. 1993. V. B48. P. 2811.

Martin and Landauer (1992): Martin Th. and Landauer R. // Phys. Rev. 1992. V. B45. P. 1742.

Matters et al. (1995): Matters M., Elion W. J. and Mooij J.E. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75. P. 721.

Matveev et al. (1994): Matveev K.A., Glazman L.I. and Shekhter // Mod. Phys. Lett. 1994. V. B8. P. 1007.

McCumber and Halperin (1970): McCumber D.E. and Halperin B.I. // Phys. Rev. 1970. V. Bl. P. 1054.

McMillan (1981): McMillan W.L. // Phys. Rev. 1981. V. B24. P. 2739.

McMillan and Mochel (1981): McMillan W. L. and Mochel J. // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 46. P. 556.

McWhorter (1957): MeWhorter A.L. (1957) In: Semiconductor Surface Physics R. H. Kingston, ed. University of Pennsylvania Press, Philadelphia, P. 207.

Medina and Kardar (1992): Medina E. and Kardar M. // Phys. Rev. 1992. V. B46. P. 9984.

Mehta (1967): Mehta M.L. (1967) Random Matrices, Academic Press, N.Y.

Mehta and Dyson (1963): Mehta M.L. and Dyson F.J. // J. Math. Phys. 1963. V. 4. P. 713.

Mejia-Monasterio et al. (1998): Mejia-Monasterio C.. Richert J., Rupp T. and Weidenmuller H.A. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 5189.

Mello (1988): Mello P.A. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 1089.

Mello (1990): Mello P.A. // J. Phys. 1990. V. A23. P. 4061.

Mello and Pichard (1989): Mello P.A. and Pichard J.L. // Phys. Rev. 1989. V. B40. P. 5276.

Mello et al. (1988): Mello P.A., Pereyra P. and Kumar N. / / Ann. Phys. (N.Y.) 1988. V. 181. P. 290.

Mercereau (1969): Mercereau J.E. (1969) DC Josephson Effects, In: Tunneling Phenomena in Solids, E. Burstein and S. Lundqvist, eds. Plenum, N.Y., P. 461.

Merzbacher (1961): Merzbacher E. // Am. J. Phys. 1961. V. 30. P. 237.

Merzbacher (1970): Merzbacher E. (1970) Quantum Mechanics, 2nd edition, Wiley, N.Y.

Meyerson et al. (1990): Meyerson B.S., Himpsel F.J. and Uram K.J. // Appl. Phys. Lett. 1990. V. 57. P. 1034.

Milgrom (1993): Milgrom M. (1993) private communication.

Miller and Abrahams (1960): Miller A. and Abrahams E. 11 Phys. Rev. 1960. V. 120. P. 745.

Milliken and Ovadyahu (1990): Milliken F.P. and Ovadyahu Z. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 911.

Milnikov and Sokolov (1988): Milnikov G. V. and Sokolov I.M. // JETP Lett. 1988. V. 48. P. 536.

Mintmire et al. (1992): Mintmire J. W.. Dunlap B.I. and White C.T. // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 68. P. 631, 634.

Mirlin and Fyodorov (1997): Mirlin A. D. and Fyodorov Y. V. 11 Phys. Rev. 1997. V. B56. P. 13393.

Mohanty et al. (1995): Mohanty P., Jariwala E.M.Q., Ketchen M.B. and Webb R.A. (1995) in Fujikawa and Ono (1996), p 191.

Mohanty et al. (1997): Mohanty P., Jariwala E.M. Q. and Webb R.A. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 3366.

Montambaux et al. (1990): Montambaux G., Bouchiat H.. Sigeti D. and Fries- ner R. // Phys. Rev. 1990. V. B42. P. 7647.

Mooij (1973): Mooij J.H. // Phys. Stat. Sol. 1973. V. A17. P. 5 21.

Mooij and Schon (1992): Mooij J. E. and Schon G. (1992) in Grabert and Devoret (1992), P. 275.

Mooij et al. (1990): Mooij J. E.. van Wees B. J., Geerligs L. J., Peters M., Fazio R. and Schon G. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 645.

Moore (1993): Moore G. // Bull. Am. Phys. Soc. 1993. V. 38. P. 298.

Mott (1966): Mott N.F. // Phil Mag. 1966. V. 13. P. 989.

Mott (1969): Mott N.F. 11 Phil. Mag. 1969. V. 19. P. 835.

Mott (1970): Mott N.F. // Phil. Mag. 1970. V. 2 2. P. 7.

Mott (1974): Mott N.F., (1974) Metal-Insulator Transitions, Taylor & Francis, London.

Mott and Davies (1979): Mott N. F. and Davies G. A. (1979) Electronic Properties of Noncrystalline Materials, 2nd edition, Clarendon Press, Oxford.

Mott and Twose (1961): Mott N.F. and Twose W.D. // Adv. Phys. 1961. V. 10. P. 107.

Muhlschlegel (1983): Muhlschlegel B. (1983) In: “Percolation, Localization and Superconductivity”, A. M. Goldman and S.A. Wolf, eds. Nato Advanced Science Institutes, Series B: Physics, 109.

Muhlschlegel et al. (1972): Muhlschlegel B.. Scalapino D.J. and Denton R. // Phys. Rev. 1972. V. B6. P. 1767.

Muller et al. (1992): Muller C.J., van Ruitenbeek J.M. and de Jongh L.J. // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. P. 140.

Miiller-Groeling and Weidenmuller (1994): Miiller-Groeling A. and Weidenmuller H.A. // Phys. Rev. 1994. V. B49. P. 4752.

Miiller-Groeling et al. (1993): Muller-Groeling A., Weidenmuller H.A. and Lewenkopf C.H. // Europhys. Lett. 1993. V. 22. P. 193.

Murat et al. (1986): Murat M., Gefen Y. and Imry Y. // Phys. Rev. 1986. V. B34.

P. 659.

Murphy (1992): Murphy S. (1992) unpublished.

Muttalib et al. (1987): Muttalib K.A., Pichard J.-L. and Stone A.D. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 2475.

Muzykantskii and Khmel’nitskii (1994): Muzykantskii B.A. and Khmel’nit- skii D.E. // Phys. Rev. 1994. V. B50. P. 3982.

Nagaev (1992): Nagaev K.E. // Phys. Lett. 1992. V. A160. P. 103.

Nagaoka and Fukuyama (1982): Nagaoka Y. and Fukuyama H.. eds. (1982) Anderson Localization, Springer-Verlag, Berlin.

Nakano and Takayanagi (1991): Nakano H. and Takayanagi H. / / Solid State Commun. 1991. V. 80. P. 997.

Nazarov (1994): Nazarov Y. V. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 1420.

Nelson and Halperin (1979): Nelson D.R. and Halperin B.L // Phys. Rev. 1979. V. B19. P. 2457.

Newbower et al. (1972): Newbower R. S., Beasley M. R. and Tinkham M. // Phys. Rev. 1972. V. B5. P. 864.

Ng and Lee (1988): Ng T.K. and Lee P.A. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 61. P. 1768.

Nguyen et al. (1985a): Nguyen V.L., Spivak B.Z. and Shklovskii B.L // JETP Lett. 1985a. V. 41. P. 42.

Nguyen et al. (1985b): Nguyen V. L., Spivak B. Z. and Shklovskii B.L // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1985b. V. 89. P. 1770 [Sov. Phys. JETP 62, 1021].

Nguyen et al. (1992): Nguyen C., Kroemer H. and Hu E.L. // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. P. 2847.

Nightingale (1976): Nightingale M. 11 Physica 1976. V. 83A. P. 561.

Nishino and Kowabe (1987): Nishino T. and Kowabe U. (1987) Proceedings of the second International Symposium on Foundations of Quantum Mechanics, M. Namiki et al., eds. Phys. Soc. of Japan (1986), P. 231.

Nozieres (1964): Nozieres P. (1964) Theory of Interacting Fermi Systems. Benjamin, N.Y. [See also: Pines D. and Nozieres P. (1989) The Theory of Quantum Liquids, Addison-Wesley, Advanced Book Classics]

Nozieres (1974): Nozieres P. // J. Low Temp. Phys. 1974. V. 17. P. 31.

Oakeshott and MacKinnon (1994): Oakeshott R.B.S. and MacKinnon A. // J. Phys. 1994. V. C6. P. 1513.

Oh et al. (1991): Oh S., Zyuzin A. Yu. and Scrota R.A. // Phys. Rev. 1991. V. B44. P. 8858.

Olesen et al. (1994): Olesen L., Laegsgaard E.. Stensgaard L., Besenbacher E, Schirtz J., Stoltze P., Jacobsen K. W. and Norskov J.K. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 2251; ibid. 1995. V. 74. P. 2147.

Ono and Fujikawa (1998): Ono Y.A. and Fujikawa K., eds. (1998) Quantum Coherence and Decoherence, Proceedings of the Sixth ISQM, Tokyo North- Holland, Amsterdam.

Onsager (1931): Onsager L. // Phys. Rev. 1931. V. 38. P. 2265.

Oseledec (1968): Oseledec V.L // Trans. Moscow Math. Soc. 1968. V. 19. P. 197.

Ovadyahu (1990): Ovadyahu Z. (1990) In: Localization 1990, K. A. Benedict and J.T. Chalker, eds. Proceedings of the International Conference, series 108, held at Imperial College, IOP publishing 1991, P. 7.

Ovadyahu (2000): Ovadyahu Z. // Phys. Rev. 2001. V. B63. P. 235403.

Ovadyahu and Imry (1983): Ovadyahu Z. and Imry Y. // J. Phys. 1983. V. C16. P. L471.

Ovadyahu and Imry (1985): Ovadyahu Z. and Imry Y. // J. Phys. 1985. V. CIS. P. L19.

Ozorio de Almeida (1990): Ozorio de Almeida A. M. (1990) Hamiltonian Systems: Chaos and Quantization, Cambridge University Press.

Paalanen et al. (1982): Paalanen M.A., Rosenbaum T.F., Thomas G.A. andBhatt R.N. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 1284.

Pandey and Mehta (1983): Pandey A. and Mehta M.L. 11 Commun. Math. Phys. 1983. V. 87. P. 449.

Pannetier et al. (1984): Pannetier B., Chaussy J., Rammal R. and Gandit P. // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 53. P. 718; Phys. Rev. 1985. V. B31. P. 3209.

Pasquier and Haldane (1998): Pasquier V. and Haldane F.D. M. // Nucl. Phys. 1998. V. B516. P. 719.

Pauling (1936): Pauling L. // J. Chem. Phys. 1936. V. 4. P. 673.

Payne (1989): Payne M. С. 11 J. Phys. Cond. Matt. 1989. V. 1. P. 4931.

Peierls (1955): Peierls R. (1955) Quantum Theory of Solids, Oxford, P. 29 (comment attributed to W. Shockley), P. 79.

Pendry (1990): Pendry J.B. // J. Phys. Cond. Matt. 1990. V. 2. P. 3287.

Pendry and MacKinnon (1992): Pendry J.B. and MacKinnon A. 11 Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. P. 2772.

Pendry et al. (1986): Pendry J. B., MacKinnon A. and Castano E. 11 Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57. P. 2983.

Pendry et al. (1992): Pendry J. B., MacKinnon A. and Roberts P.J. 11 Proc. Roy. Soc. London 1992. V. A437. P. 67.

Pepper and Uren (1982): Pepper M. and Uren M.J. // J. Phys. 1982. V. CIS. P. L617.

Peshkin and Tonomura (1989): Peshkin M. and Tonomura A. (1989) The Aharonov Bohm Effect, Springer-Verlag, Berlin.

Peskin and Schroeder (1995): Peskin M. E. and Schroeder D. V. (1995) An Introduction to Quantum Field Theory, Addison Wesley, 1995.

Petrashov et al. (1993a): Petrashov V. T., Antonov V.N., Maksimov S. V. and Shaikhaidarov R. Sh. 11 Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1993a. V. 58. P. 48 [Sov. Phys. JETP Lett. 58, 49].

Petrashov et al. (1993b): Petrashov V. T., Antonov V.N., Delsing P. and Clae- son R. // , Phys. Rev. Lett. 1993b. V. 70. P. 347.

Petrashov et al. (1995): Petrashov V.T., Antonov V. N., Delsing P. and Clae- son T. // , Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. P. 5268.

Pfeiffer et al. (1993): Pfeiffer L.N., Stornier H.L., Baldwin K. W., West K. W., Coni A. R., Pinczuk A., Ashoori R. C.. Dignam M. M. and Wegscheider W. f f J. Crystal Growth 1993. V. 840. P. 127.

Pichard (1984): Pichard J.L. (1984) Thesis, University of Paris, Orsay, No. 2858.

Pichard (1991): Pichard J.L. (1991) In: Quantum Coherence inMesoscopic Systems, B. Kramer, ed. Proceedings of the 1990 Nato ASI Series B254 (Plenum, N.Y.) P. 369.

Pichard and Sarma (1981a): Pichard J. L. and Sarma G. // 3. Phys. (Paris) 1981. V. 10. P. 4.

Pichard and Sarma (1981b): Pichard J. L. and Sarma G. // J. Phys. 1981. V. C14. P. L127; L617.

Pierre et al. (2000): Pierre F.. Pothier H.. Esteve D. and Devoret M. // J. Low Temp. Phys. 2000. V. 118. P. 437.

Pierre et al. (2001): Pierre F, Pothier H., Joyez P. and Birge N.O. // , Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 1590.

Pollak (1970): Pollak M. // Disc, Faraday Society Soc. 1970. V. 50. P. 13; Proc. Roy. Soc. (London) 1971. V. A325. P. 383; Phil. Mag. 1971. V. 23. P. 519.

Pollak (1972): Pollak M. 11 J. Noncryst. Solids 1972. V. 11. P. 1.

Pooke et al. (1989): Pooke L., Faquin N., Pepper M. and Gundlach A. J. // Phys. Cond. Matter 1989. V. 1. P. 3289.

Pople and Untch (1966): Pople J. A. and Untch K.G. 11 J. Am. Chem. Soc. 1966. V. 88. P. 4811.

Popovic et al. (1991): Popovic D., Fowler A.B. and Washburn S. (1991) in Kirk and Reed (1992), P. 515.

Pothier et al. (1994): Pothier H., Gueron S., Esteve D. and Devoret M. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 2488.

Poyarkov et al. (1986): Poyarkov, Ya. B., Kontarev V.Ya.^ Krylov I. P. and Sharvin Yu. V. // Pis’ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1986. V. 44. P. 291 [JETP Lett. 1986. V. 44. P. 373].

Prange (1990): Prange R.E. (1990) in Prange and Girvin (1990), P. 1, P. 69.

Prange and Girvin (1990): Prange R.E. and Girvin S.M. (1990) The Quantum Hall Effect, 2nd edition, Springer-Verlag, N.Y.

Pruisken (1984): Pruisken A.M. M. // Nucl. Phys. 1984. V. B235. P. 277.

Pruisken (1985): Pruisken A.M. M. // Phys. Rev. 1985. V. B32. P. 2636; Phys.

Rev. 31,416; in Prange and Girvin (1990), P. 117.

Pytte and Imry (1987): Pytte E. and Imry Y. // Phys. Rev. 1987. V. B35. P. 1465.

Rajarman (1982): Rajaraman R. (1982) Solitons and Instantons, Eisevier.

Rails and Buhrman (1988): Rails K.S. and Buhrman R. A. // , Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 2434.

Rails et al. (1984): Rails K.S., Skocpol W.J., Jacket L.D., Howard R.E., Fetter L.A., Epworth R. W. and Tennant D.M. // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 228.

Ralph et al. (1997): Ralph D. C., Black T. C. and Tinkham M. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 4087.

Rammer et al. (1988): Rammer J., Shelankov A. L. and Schmid A. 11 Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 1985.

Raveh and Shapiro (1992): Raveh A. and Shapiro В. 11 Europhys. Lett. 1992. V. 19. P. 109.

Razeghi (1989): Razeghi M. (1989) The MOCVD Challenge, Adam Hilger, Bristol and Philadelphia.

Read (1994): Read N. (1994), in Semicond. Sei. Technol. 9, P. 1859.

Read (1998): Read N. // Phys. Rev. 1998. V. B58. P. 16262.

Reed and Kirk (1989): Reed M.A. and Kirk W.P., eds. (1989) Nanostructure Physics and Fabrication, Proceedings of the Texas A&M International Symposium, Academic Press, Boston.

Reif (1965): Reif F. (1965) Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw-Hill, N.Y.

Rezayi and Read (1994): Rezayi E. and Read N. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 900.

Reznikov et al. (1995): Reznikov M.. Heiblum M.. Shtrikman H. and Mahalu D. 11 Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75. P. 3340.

Rice (1965): Rice T.M. // Phys. Rev. 1965. V. 140A. P. 1889.

Saito et al. (1992): Saito R., Fujita M., Dresselhaus G. and Dresselhaus M.S. // Appl. phys. Lett. 1992. V. 60. P. 2204.

Saito et al. (1998): Saito R., Dresselhaus G. and Dresselhaus M. S. (1998) Physical Properties of Carbon Nanotubes, Imperial College Press.

Salem(1966): Salem L. (1966) The Molecular Orbital Theory of Conjugated Systems, Benjamin, N.Y.

Salem (1986): Salem L. (1986) The Molecular Theory of Conjugated Systems W.A. Benjamin, Reading, Mass., 1966.

Saminadayar et al. (1997): Saminadayar L.. Glattli D. C., Jin Y. and Etienne В. 11 Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79. P. 2526.

Sample et al. (1987): Sample H. H„ Bruno W. J., Sample S. B. and Sichel E.K. 11 J. Appl. Phys. 1987. V. 61. P. 1079.

Scalapino (1969): Scalapino D. J. (1969) The Theory of Josephson Tunneling, In: Tunneling Phenomena in Solids, E. Burstein and S. Lundqvist, eds. Plenum, N. Y., P. 477.

Scalapino et al. (1972): Scalapino D.J., Sears M. and Ferrel R.A. // Phys. Rev. 1972. V. B6. P. 3409.

Scalapino et al. (1993): Scalapino D.J., White S.R. and Zhang S. 11 Phys. Rev. 1993. V. B47. P. 7995.

Schechter et al. (2001): Schechter M.. Imry Y. and Levinson Y. (2001) to be published.

Schmid (1969): Schmid A. 11 Phys. Rev. 1969. V. 180. P. 527.

Schmid (1974): Schmid A. // Z. Physics 1974. V. 2 71. P. 2 51.

Schmid (1986): Schmid A. 11 Ann. Phys. (N.Y.) 1986. V. 170. P. 333.

Schmid (1991): Schmid A. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66. P. 80; 66, 1379(E).

Schmid et al. (2000): Schmid J., Weis J., Eberl K. and von Klitzing К. 11 Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 5824.

Schmitt-Rink et al. (1989): Schmitt-Rink S., Chemla D.S. and Miller D.A. B. // Adv. Phys. 1989. V. 38. P. 89.

Schon and Zaikin (1990): Schon G. and Zaikin A.D. // Phys. Rep. 1990. V. 198. P. 237.

Schon et al. (2000): Schon J. H.. Berg S., Kloc Ch. and Batlogg B. // Science 2000. V. 287. P. 1022; Schon J.H., Kloc Ch. and Batlogg B.Science 2000. V. 288. P. 2338.

Schon et al. (2000): Schon J. H.. Kloc Ch. and Batlogg В. 11 Nature 2000. V. 408. P. 549.

Schuster et al. (1997): Schuster R., Buks E., Heiblum M.. Mahalu D.. Umansky V. and Shtrikman H. // . Nature (London), 1997. V. 335. P. 417.

Schwimmer and Imry (1994): Schwimmer A. and Imry Y. (1994) unpublished.

Shalgi and Imry (1995): Shalgi A. and Imry Y. (1995) in Akkermans et al., P. 329.

Shankar and Murthy (1997): Shankar R. and Murthy G. 11 Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79. P. 4437.

Shapiro (1982): Shapiro В. 11 Phys. Rev. 1982. V. B25. P. 4266.

Shapiro (1983a): Shapiro В. (1983a) P. 367, In: Percolation Structures and Processes, G. Deutscher, R. Zallen and J. Adler, eds., Ann. Isr. Phys. Soc. Vol V.

Shapiro (1983b): Shapiro В. 11 Phys. Rev. Lett. 1983b. V. 50. P. 747.

Shapiro (1984): Shapiro B. /'/ Phil. Mag. 1984. V. B50. P. 241.

Shapiro and Abrahams (1981): Shapiro B. and Abrahams E. // Phys. Rev. 1981. V. B24. P. 4889.

Sharvin (1965): Sharvin Yu. V. 11 Zh. Exp. Teor. Fiz. 1965. V. 48. P. 984; [Sov. Phys. JETP 1965. V. 21. P. 655].

Sharvin and Sharvin (1981): Sharvin D. Yu. and Sharvin Yu. V. // JETP Lett. 1981. V. 34. P. 272.

Shashkin et al. (1993): Shashkin A. A., Kravchenko G. V. and Dolgopolov V. T. 11 Pis’ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1993. V. 58. P. 215; [JETP Lett. 1993. V. 58. P. 220].

Shelankov (1984): Shelankov A. L. // Fiz. Tverd. Tela 1984. V. 26. P. 1615; [Sov. Phys. Solid State 1984. V. 26. P. 981].

Sheng (1990): Sheng P., ed. (1990) Scattering and Localization of Classical Waves in Random Media, World Scientific, Singapore.

Sheng (1995): Sheng P. (1995) Introduction to Wave Scattering, Localization, and Mesoscopic Phenomena, Chap. 8, Academic Press, Boston.

Shklovskii and Efros (1971): Shklovskii B.L and Efros A.L. // Zh. Exp. Teor. Fiz. 1971. V. 60. P. 867; [Sov. Phys. JETP 1971. V. 33. P. 469].

Shklovskii and Efros (1984): Shklovskii B.L and Efros A.L. (1984) Electronic Properties of Doped Semiconductors, pp. 210-216, Vol. 45 of Springer Series in Solid State Sciences, Springer Verlag, Berlin.

Shklovskii and Spivak (1985): Shklovskii B.L and Spivak B.Z. // J. Stat. Phys. 1985. V. 38. P. 267.

Shklovskii and Spivak (1990): Shklovskii В. I. and Spivak B. Z. (1990) in Shklovskii and Pollak (1990).

Shklovskii and Spivak (1990): Shklovskii В. I. and Spivak B. Z. (1990) in Fritzsche and Pollak, P. 139.

Shklovskii and Pollak (1990): Shklovskii B.L and Pollak M.. eds. (1990) Hopping Conduction in Semiconductors, Elsevier, North-Holland.

Shmidt (1966): Shmidt V. V. // ZhETF Pis’ma 1966. V. 3. P. 141 [JETP Lett. 1966. V. 3. P. 89].

Shtrikman and Thomas (1965): Shtrikman S. and Thomas H. / / Solid State Commun. 1965. V. 3. P. 147.

Silvestrov (1997): Silvestrov P.G. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79. P. 3994.

Simmons et al. (1989): Simmons J. A., Wei H.P., Engel L. W.. Tsui D.C. and Shayegan M. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. P. 1731.

Simmons et al. (1991): Simmons J. A., Huang S.W.^ Tsui D.C., Wei H.P., Engel L. W. and Shayagan M. 11 Phys. Rev. 1991. V. B44. P. 12933.

Sivan and Imry (1986a): Sivan U. and Imry Y. // Phys. Rev. 1986a. V. B33. P. 551.

Sivan and Imry (1986b): Sivan U. and Imry Y. (1986b) unpublished results.

Sivan and Imry (1987): Sivan U. and Imry Y. 11 Phys. Rev. 1987. V. B35. P. 6074.

Sivan and Imry (1988): Sivan U. and Imry Y. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 61. P. 1001.

Sivan et al. (1988): Sivan U., Entin-Wohlman O. and Imry Y. 11 Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 1566; Entin- Wohlman O., Imry Y. and Sivan U. // Phys. Rev. 1989. V. B40. P. 8342.

Sivan et al. (1989): Sivan U., Imry Y. and Hartzstein C. // Phys. Rev. 1989. V. B39. P. 1242.

Sivan et al. (1990): Sivan U., Entin-Wohlman O. and Imry Y. (1990) in Fritzche and Pollak (1990), P. 151.

Sivan et al. (1994): Sivan U., Milliken F.P., Milkove K., Rishton S., Lee Y., Hong J.M., Boegli V., Kern D. and M de Franza. // Europhys. Lett. 1994. V. 25. P. 605.

Sivan et al. (1994b): Sivan U., Imry Y. and Aronov A.G. // Europhys. Lett. 1994b. V. 28. P. 115.

Skocpol et al. (1982): Skocpol W.J., Jackel L.D., Hu E.L., Howard R.E. and Fetter L.A. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 49. P. 951.

Skocpol et al. (1986): Skocpol W. J., Mankiewich P. M.. Jackel L. D._ Howard R. E. and Tennant P.M. // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 2865.

Slevin et al. (1993): Slevin К., Pichard J.-L. and Muttalib K.A. // J. de Physique 1993. V. 3. P. 1387.

Smilansky et al. (1992): Smilansky U., Tomsovic S. and Bohigas О. 11 J. Phys. 1992. V. A25. P. 3261.

Smith and Craighead (1990): Smith, H. I. and Craighead H. G. (1990), on Nanofabrication in Physics Today 43, FEB 24.

Sohn et al. (1997): Sohn L. L.. Kouwenhoven L. P. and Schon G., eds. (1997) Delocalization, Inelastic Scattering and Transport due to Interactions, Proceedings of the July 1996 NATO ASI, Curacao, Mesoscopic Electron Transport, NATO ASI Series E, no. 345 (1997).

Sompolinsky et al. (1984): Sompolinsky H.. Kotliar G. and Zippelius A. H Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 392.

Soukoulis et al. (1982): Soukoulis C.M., Webman /., Greet G.S. and Economou E.N. // Phys. Rev. 1982. V. B26. P. 1838.

Special Issue of IBM Journal of Research and Development 32 no. 3 (May 1988): Special Issue of IBM Journal of Research and Development 32, no. 3 (May 1988).

Special Issue of IBM Journal of Research and Development 32 no. 4 (July 1988): Special Issue of IBM Journal of Research and Development 32, no. 4 (July 1988).

Special Issue of Physics Today June 1993 on Optics of Nanostructures Spivak and Khmelnitskii (1982?): Special Issue of Physics Today, June 1993 on Optics of Nanostructures.

Spivak and Khmelnitskii (1982): Spivak B.Z. and Khmelnitskii D.E. // Pis’ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1982. V. 35. P. 334 [JETP Lett. 1982. V. 35. P. 412].

Spivak and Zyuzin (1991): Spivak B.Z. and Zyuzin A. Yu. (1991) in Altshuler et al. (1991b), P. 37.

Sprinzak et al. (2000): Sprinzak D.. Buks E.. Heiblum M. and Shtrikman H. )) Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 5820.

Stein and Krey (1979): Stein J. and Krey U. // Z. Phys. 1979. V. B34. P. 287; В 1980. V. 37. P. 18.

Stern (1967): Stern F. 11 Phys. Rev. Lett. 1967. V. 18. P. 546.

Stern (1982): Stern F, ed. Electronic Properties of Two Dimensional Systems. — North-Holland, Amsterdam: 1982.

Stern (1994): Stern A. // Phys. Rev. 1994. V. B50. P. 10092.

Stern et al. (1990): Stern A., Aharonov Y. and Imry Y. (1990) in Kramer, P. 99.

Stern et al. (1990): Stern A., Aharonov Y. and Imry Y. // Phys. Rev. 1990. V. A41. P. 3436.

Stern et al. (1999): Stern A., Halperin B.L.^ von Oppen F. and Simon S.H. // Phys. Rev. 1999. V. B59. P. 12547.

Stodolsky (1999): Stodolsky L. // Phys. Lett. 1999. V. B459. P. 193.

Stone (1985): Stone A.D. // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 54. P. 2692.

Stone and Imry (1986): Stone A. D. and Imry Y. 11 Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 189.

Stone et al. (1991): Stone A.D., Mello P.A., Muttalib K. A. and Pichard J.-L. / In: Mesoscopic Phenomena in Solids B.L. Altshuler, P.A. Lee and R. A. Webb, eds. — North-Holland, Amsterdam: 1991. P. 369.

Stornier (1994): Stornier H. I in Semicond. Sei. Technol. 1994. V. 9. P. 1853.

Stornier et al. (1994): Stornier H., Du R.R., Kang W.. Tsui D. C., Pfeiffer L.N., Baldwin K. W. and West K.W. 11 Semicond. Sei. Technol. 1994. V. 9. P. 1853.

Stornier et al. (1999): Stornier H. L., Tsui D. C. and Gossard, A.C. // Rev. Mod. Phys. 1999. V. 71. P. S298.

Su and Schrieffer (1981): Su W.P. and Schrieffer J.R. // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 46. P. 738.

Suprapto and Butcher (1988): Suprapto В. B. and Butcher P. N. // 3. Phys. 1988. V. C8. P. L517.

Sze (1981, 1985): Sze S.M. Physics of Semiconducting Devices, 2nd edition. — N.Y.: John Wiley, 1981; Semiconductor Devices, Physics and Technology. — N.Y.: John Wiley, 1985.

Szopa and Zipper (1995): Szopa M. and Zipper E. 11 Int. J. Mod. Phys. 1995. V. B9. P. 161.

Takagi (1992): Takagi S. // Solid State Commun. 1992. V. 81. P. 579.

Takane (1994): Takane Y. // J. Phys. Soc. Jpn. 1994. V. 63. P. 2849, 2668, 4310.

Takane and Ebisawa (1991): Takane Y. and Ebisawa H. // J. Phys. Soc. Jpn. 1991. V. 60. P. 3130.

Takane and Ebisawa (1992): Takane Y. and Ebisawa H. // J. Phys. Soc. Jpn. 1992. V. 61. P. 1685; 61, 2858.

Takane and Otani (1994): Takane Y. and Otani H. // J. Phys. Soc. Jpn. 1994. V. 63. P. 3361, 4310.

Takayanagi and Kawakami (1985): Takayanagi H. and Kawakami T. 11 Phys. Rev. Lett. 1985. V. 54. P. 2449.

Thaha et al. (1993): Thaha M., Blumel R. and Smilansky U. // Phys. Rev. 1993. V. E48. P. 1764.

Thornton et al. (1986): Thornton T.J., Pepper M., Ahmed H.^ Andrews D. and Davies J. J. // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 1198.

Thouless (1970): Thouless D.J. // J. Phys. 1970. V. C3. P. 1559.

Thouless (1974): Thouless D.J. // Phys. Reports 1974. V. 13C. P. 9 3.

Thouless (1977): Thouless D.J. // Phys. Rev. Lett. 1977. V. 39. P. 1167.

Thouless (1989): Thouless D.J. // Phys. Rev. 1989. V. B40. P. 12034.

Thouless and Gefen (1991): Thouless D. J. and Gefen Y. 11 Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66. P. 806.

Thouless and Kirkpatrick (1981): Thouless D.J. and Kirkpatrick S. 11 J. Phys. 1981. V. C14. P. 235.

Tighe et al. (1991): Tighe, T, Johnson A. T. and Tinkham M. // Phys. Rev. 1991. V. B44. P. 10286.

Tighe et al. (1993): Tighe T., Tuominen M.T.. Hergenrother J.M. and Tinkham M. 11 Phys. Rev. 1993. V. B47. P. 1145.

Tinkham (1996): Tinkham M. (1996) Introduction to Superconductivity, 2nd edition, McGraw Hill, N. Y.

Tomsovic and Heller (1993): Tomsovic S. and Heller E. // Phys. Rev. 1993. V. E47. P. 282.

Tonomura et al. (1982): Tonomura A., Matsuda T., Suzuki R., Fukuhara A., Osakabe N., Umezaki H.. Endo J., Shinagawa K.. Sugita Y. and Fujiwara H. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 1443.

Tousson and Ovadyahu (1989): Tousson E. and Ovadyahu Z. // Phys. Rev. 1989. V. B38. P. 12290.

Toyozawa (1961): Toyozawa Y. // Progr. Theor. Phys. 1961. V. 26. P. 29.

Tremblay et al. (1990): Tremblay F, Pepper M.. Newbury R.. Ritchie D.A., Peacock O.C., Frost J.E.F. and Jones G.A.C. (1990) in Fritzsche and Pollack (1990).

Trivedi and Browne (1988): Trivedi N. and Browne D.A. // Phys. Rev. 1988. V. B38. P. 9581.

Trugman (1983): Trugman S.A. // Phys. Rev. 1983. V. B27. P. 7539.

Tsui et al. (1982): Tsui D.C., Stormer H.L. and Gossard A.C. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 1559; Phys. Rev. B25, 1405.

Tsukada et al. (1992): Tsukada M., Kobayashi S.A.^ Kurihara S. and Nomura S. (1992) Proceedings of the Fourth ISQM, Tokyo 1992, held at the Central Research Laboratory, Hitachi, JJAP series 9, Jap. J. Appl. Phys., Tokyo 1993.

Tucker and Feldman (1985): Tucker J. R. and Feldman M.J.// Revs. Mod. Phys. 1985. V. 57. P. 1055.

Tuominen et al. (1992): Tuominen M.T., Hergenrother J.M., Tighe T.S. and Tinkham A. // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. P. 1997.

Ueda and Shimizu (1993): Ueda M. and Shimizu A. 11 J. Phys. Soc. Jpn. 1993. V. 62. P. 2994.

Ulloa et al. (1992): Ulloa S., MacKinnon A., Castano E. and Kirczenow G. (1992) Handbook on Semiconductors Vol. 1, Basic properties of Semiconductors P. T. Landsberg, ed. (North- Holland: Amsterdam) 864.

Umbach et al. (1984): Umbach C.P., Washburn S., Laibowitz R.B. and Webb R.A. // Phys. Rev. 1984. V. B30. P. 4048.

Umbach et al. (1986): Umbach С. P, C van Haesendonck., Laibowitz R.B., Washburn S. and Webb R.A. // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 386.

Uwaha and Nozieres (1985): Uwaha M. and Nozieres P. // J. de Physique (Paris) 1985. V. 46. P. 109.

van der Merwe (1963): van der Merwe J.H. 11 J. Appl. Phys. 1963. V. 34. P. 117. van der Paauw (1958): van der Paauw L.J. // Philips Res. Rep. 1958. V. 13. P. 1. van der Wiel et al. (2000): Wiel W. G., De Francheschi S., Fujisawa T., Elz- erman J.K.^ Tarucha S. and Kouwenhiven L.P. // Science. 2000. V. 289. P. 2105.

van der Zant et al. (1991a): van der Zant H.S. J., Fritschy F. C., Orlando T.P. and Mooij J.E. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66. P. 2531.

van der Zant et al. (1991b): van der Zant H.S. J., Geerligs L.J. and Mooij J.E. in Kramer (1991) P. 511.

van der Zant et al. (1992a): van der Zant H.S. J., Fritschy EC., Elion W.J.. Geerligs L.J. and Mooij J.E. / / Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. P. 2971.

van der Zant et al. (1992b): van der Zant H.S. J., Fritschy F. C., Orlando T.P. and Mooij J.E. // Europhys. Lett. 1992. V. 18. P. 343.

van der Zant et al. (1992c): van der Zant H.S. J., Geerligs L.J. and Mooij J.E. (1992) Europhys. Lett. 19, 541.

van der Ziel (1986): A van der Ziel. (1986) Noise in Solid State Devices and Circuits, John Wiley, N. Y.

van Haeringen and Lenstra (1990): W van Haeringen. and Lenstra D.. eds. (1990) Analogies in Optics and Microelectronics, Proceedings of the Conference, Kluwer Academic Publishers, see also (1991) Physica В 175.

van Houten and Beenakker (1991): van Houten H. and Beenakker C. W. J. // Physica 1991. V. B175. P. 187.

van Hove (1954): L van Hove. // Phys. Rev. 1954. V. 95. P. 249.

van Kampen (1981): van Kdmpen N. G. (1981) Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North-Holland, Amsterdam.

van Otterlo et al. (1993): A van Otterlo., Wagenblast K.H., Fazio R. and Schon G. // Phys. Rev. 1993. V. 848. P. 3316.

van Ruitenbeck (1991): van Ruitenbeck J.M. // Z. Phys. 1991. V. D19. P. 247.

van Ruitenbeeck and van Leeuwen (1991): van Ruitenbeeck J.M. and van Leeuwen D.A. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 640.

van Vleck and Weisskopf (1945): van Vleck J.H. and Weisskopf V.F. // Rev. Mod. Phys. 1945. V. 17. P. 227.

van Wees (1990): van Wees B.J. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 255.

van Wees (1991): van Wees B.J. // Phys. Rev. 1991. V. B44. P. 2264.

van Wees (1993): van Wees B.J. / / Bull. Am. Phys. Soc. 1993. V. 38. P. 492.

van Wees et al. (1988): van Wees B.J., H van Houten., Beenakker C.W.J., Williamson J. G., Kowenhoven L.P., D van der Marel. and Foxon C.T. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 848.

van Wees et al. (1991): van Wees B.J., Lenssen K.M.H. and Harmans C.J. P. M. // Phys. Rev. 1991. V. B44. P. 470.

van Wees et al. (1992): van Wees B.J., P de Vries., Magnee P. and Klap- wijk T.M. // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. P. 510.

van Wees et al. (1994): Wees B.J., Dimoulas A., Heida J.P., Klapwijk T.M., Graaf W. v. d. and Borghs G. 11 Physica 1994. V. B203. P. 285.

Viehweger and Efetov (1990): Viehweger O. and Efetov K.B. // J. Phys. Cond. Matt. 1990. V. 2. P. 7049; Phys. Rev. 1991. V. B44. P. 1168.

Visani et al. (1990): Visani P., Mota A. C. and Polini A. H Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 1514.

Vloberghs et al. (1992): Vloberghs H., Moschalkov V. V., C van Haesendonk., Jonckheere R. and Bruynseraede К // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. P. 1268.

Volkov (1994): Volkov A.F. // Physica 1994. V. B203. P. 267.

Vollhardt and Wolfle (1980): Vollhardt D. and Wolfle P. // Phys. Rev. 1980. V. B22. P. 4666; Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 699.

Von Delft and Ralph (2001): J Von Delft, and Ralph D.C. // Phys. Repts. 2001. V. 345. P. 61.

Von Klitzing (1982): К Von Klitzing. // Europhysics News 1982. V. 13. P. 3.

Von Klitzing (1985): К Von Klitzing. (1985) private communication, has pointed out to the author that the Onsager relation implies ?(H = ?(—H), which implies G(H) = G(—H) only for homogenous systems. Otherwise, the (antisymmetric in H) Hall part of the conductance tensor might come in and contribute to the effective G. The author is indebted to K. von Klitzing for pointing this out to him.

Von Klitzing et al. (1980): К Von Klitzing., Dorda G. and Pepper M. // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45. P. 494.

Voss and Clarke (1976): Voss R.F. and Clarke J. // Phys. Rev. 1976. V. B13. P. 556.

Wainer et al. (1988): Wainer J. J., Fowler A.B. and Webb R.A. (1988) In: Proceedings of EP2DS-7, Sante Fe , Surf. Sei. 1987. V. 196. P. 134.

Wallace (1947): Wallace P.R. // Phys. Rev. 1947. V. 71. P. 622.

Wang et al. (1992): Wang X.-F, Wang Z., Kotliar G. and Castellani C. // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 68. P. 2504.

Wang et al. (1994): Wang T., Clark K.P., Spencer G.F., Mack A.M. and Kirk W.P. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 709.

Washburn and Webb (1986): Washburn S. and Webb R.A. // Adv. Phys. 1986. V. 35. P. 375.

Washburn et al. (1985): Washburn S., Umbach C.P.. Laibowitz R.B. and Webb R.A. // Phys. Rev. 1985. V. 32. P. 4789, and unpublished results.

Washburn et al. (1991): Washburn S., Haug R.J., Lee K. Y. and Hong J.M. // Phys. Rev. 1991. V. B44. P. 3875.

Wax (1954): Wax N., ed. (1954) Selected Papers on Noise and Stochastic Processes, Dover, N. Y.

Webb and Warburton (1968): Webb W. W. and Warburton R.J. // Phys. Rev. Lett. 1968. V. 20. P. 461.

Webb and Washburn (1988): Webb R.A. and Washburn 8. 11 Physics Today. 1988. V. 41. DEC. P. 46.

Webb et al. (1984): Webb R.A., Washburn S., Umbach С. P. and Laibowitz R. B. (1984) in Kramer et al., 1985.

Webb et al. (1985a): Webb R.A., Washburn 8., Umbach С. P. and Laibowitz R. B. (1985a) in Hahlbohm and Liibbig, 1985, P. 561.

Webb et al. (1985b): Webb R.A., Washburn 8., Umbach C.P. and Laibowitz R.B. // Phys. Rev. Lett. 1985b. V. 54. P. 2696.

Webb et al. (1986): Webb R.A., Fowler A.B., Hartstein A. and Wainer J. J. // Surf. Sci. 1986. V. 170. P. 14.

Webb et al. (1998): Webb R.A., Mohanty P., Jariwala E.M. Q., Stevenson T.R. and Zharikov A. G. (1998) in Ono and Fujikawa (1998).

Wegner (1976): Wegner F. // Z. Phys. 1976. V. 25. P. 327; Phys. Reps. 1980. V. 67. P. 151.

Wegner (1979): Wegner F. // Z. Phys. 1979. V. B35. P. 207.

Wei et al. (1986): Wei H.P., Tsui D.C. and Pruisken A.M.M. // Phys. Rev. 1986. V. B33. P. 1488.

Weissman (1988): Weissman M.B. // Rev. Mod. Phys. 1988. V. 60. P. 537.

Wharam et al. (1988): Wharam D.A., Thornton T.J., Newbury R., Pepper M., Ahmed, H., Frost J.E.F, Hasko D.G., Peacock D.C., Ritchie D.A. and Jones G.A. C. // J. Phys. 1988. V. C21. P. L209.

Wheeler et al. (1982): Wheeler R.G., Choi К. K.. Goel A., Wisnieff R. and Prober D.E. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 49. P. 1674.

White et al. (1985): White E., Dynes R. C. and Garno J.P. // Phys. Rev. 1985. V. B31. P. 1174.

Widom and Clarke (1982): Widom A. and Clarke T.D. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 63.

Wiesmann et al. (1977): Wiesmann H.. Gurvitch M.. Lutz H.. Gosh A., Schwartz B., Strongin M._ Allen P.B. and Halley J.W. // Phys. Rev. Lett. 1977. V. 38. P. 782.

Wigner (1951): Wigner E.P. Ann. Math. 1951.5336; Ann. Math. 1955. V. 62. P. 548.

Willett et al. (1993a): Willett R., Ruel M., West K. and Pfeiffer L. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. P. 3846.

Willett et al. (1993b): Willett R., Ruel R., Paalanen M.. West K. and Pfeiffer L. // Phys. Rev. 1993. V. B47. P. 7344.

Wind et al. (1986): Wind S., Rooks M. J., Chandrasekhar V. and Prober D.E. // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57. P. 633.

Wingreen et al. (1994): Wingreen N., Stern A. and Imry Y. (1994) unpublished results.

Yacoby and Imry (1990): Yacoby A. and Imry Y. 11 Phys. Rev. 1990. V. B41. P. 5341, and references therein.

Yacoby et al. (1995): Yacoby A., Heiblum M., Mahalu D. and Shtrikman H. 11 Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. P. 4047.

Yacoby et al. (1996): Yacoby A., Stornier H. L.. Wingreen N.S., Pfeiffer L.N., Baldwin K. W. and West K.W. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 4612-4615.

Yamada and Kobayashi (1995): Yamada R.-L and Kobayashi S.-L //J. Phys. Soc. Japan (Letters). 1995. V. 64. P. 360.

Yang (1962): Yang C.N. // Rev. Mod. Phys. 1962. V. 34. P. 694.

Yang (1989): Yang C.N. (1989) In: Proceedings of the Third ISQM, S.-L Kobayashi, H. Ezawa, Y. Murayama and S. Nomura, eds., The Physical Society of Japan, P. 383.

Yang Ji et al. (2000): Yang Ji, Heiblum M., Sprinzak D.. Mahalu D. and Shtrikman H. (2000) cond-mat/0007332.

Yennie (1987): Yennie D.R. // Rev. Mod. Phys. 1987. V. 59. P. 781.

Yoffe and Regel (1960): Yoffe A.F. and Regel A.R. // Progr. Semicon. 1960. V. 4. P. 237.

Yoshioka and Fukuyama (1990): Yoshioka H. and Fukuyama H. // J. Phys. Soc. Japan (Letters). 1990. V. 59. P. 3065.

Yoshioka and Fukuyama (1992): Yoshioka D. and Fukuyama H. (1992) in Fukuyama and Ando, P. 221.

Yoshioka and Fukuyama (1992): Yoshioka H. and Fukuyama H. (1992) in Fukuyama and Ando, P. 263.

Yurke and Kochanski (1989): Yurke B. and Kochanski G.P. // Phys. Rev. 1989. V. 41. P. 8184.

Zai(1980): Zai A. V. // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1980. V. 78. P. 221 [Sov. Phys. JETP 1980. V. 51. P. Ill]; 1980. V. 79. P. 2016(E) [ 1980. V. 52. P. 1018(E)].

Zai(1984): Zai A. V. // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1984. V. 86. P. 1742 [Sov. Phys. JETP 1985. V. 59. P. 1015].

х) См. также обсуждения после уравнения (2.22) и ниже, в п. 2.

^Результирующая, почти периодическая флуктуация Пф^Е) согласуется с численными результатами (Bouchiat and Montambaux, 1989; Divincenzo, 1990, неопубликовано).

х) Если нормальный металл переходит в сверхпроводящее состояние при более низкой температуре Тстг < Т, то Т в определении £N заменяется на Т-Тсп.

х) Спин электрона с —к противоположен спину электрона с к. Для простоты мы всюду опускаем спиновые индексы. Вообще говоря, отраженная дырка — это состояние, обращенное по времени по отношению к первоначальному состоянию электрона.

х) На самом деле это условие должно выполняться всегда, если только справедлива теория ферми-жидкости.

Еех(е) =Ц [de'[ddq —(Е.40) (2тг)3 J J Чтг^(О) (Dq2)2 + (е - е')2/Й2) V ' e'<ef

dE = d?dE=diV+d?! ’(K41>

где dn/dE = n(s) — невозмущенная плотность состояний. Если найти производную Еех (см. уравнение (Е.40)) по энергии, то окажется, что в трехмерном случае она имеет слабую сингулярность при е = ef. Удобно усилить эту сингулярность, взяв еще одну производную. Для

УДК 538.9ГГИздание осуществлено при поддержке

изо^TPILРоссийского фонда фундаменталън'ых

ББК 22 3**исследований по проекту 03-02-30054д

Имри Й. Введение в мезоскопическую физику: Пер. с англ. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 304 с. - ISBN 5-9221-0247-8.

Книга известного израильского физика-теоретика Йозефа Имри посвящена относительно новой (существующей около 15 лет) области физики, изучающей поведение «мезоскопических» систем (с размерами от десятков до тысяч ангстрем), в которых существенную роль играют квантовые эффекты. Сейчас, в связи с общей тенденцией к миниатюризации в электронике, эта область науки бурно развивается. Книга написана очень доступно, изложение большинства вопросов ведется на качественном уровне.

Для научных работников, студентов и аспирантов (как теоретиков, так и экспериментаторов), специализирующихся в физике твердого тела, а также в физике, химии и технологии материалов для микроэлектроники.

Научное издание

ИМРИ Йозеф