Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ЧАСТЬ I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯи ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАГНЕТИЗМА
В первой части сначала дается общее введение, гДе приводятся краткие исторические сведения о развитии учения о магнетизме веществ, описаны современные представления и задачи физики магнетизма, а также программа книги и ее назначение (гл. 1).
Поскольку магнетизм веществ, изложению теории которого посвящена настоящая монография, определяется магнитными свойствами системы электронов и атомных ядер в телах, то после общего введения приводится краткая сводка необходимых для последующего изложения сведений о магнитных свойствах атомных носителей магнетизма —спиновом и орбитальном магнитных моментах электрона и электронной оболочки атома (гл. 2), а также нуклонов (протона и нейтрона) и образованных из них атомных ядер (гл. 3). Таким образом, в этих двух главах дается основа для микроскопической (квантовомеханической) трактовки физического механизма магнитных свойств веществ.
В то же время конечной целью теории магнетизма веществ является объяснение их макроскопических магнитных свойств. Поэтому здесь изложены также основы макроскопической (феноменологической) электродинамики магнетиков (гл. 4), термодинамика и статистическая механика магнитных веществ (гл. 5).
В заключение первой части приводится общая физическая классификация магнетиков по их магнитным макроскопическим свойствам (гл. 6). В основу этой классификации положен качественный анализ экспериментальных фактов, сравнение численных оценок некоторых энергетических характеристик, вытекающих из современных теоретических представлений о взаимодействии атомных носителей магнетизма между собой и с внешними магнитными полями.
В ходе изложения введены и основные понятия и определения физики магнетизма, сформулированы общие законы магнитных явлений. Все эти сведения и данные используются в последующих частях монографии и могут служить для справочных целей.
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1・ Общие замечания
Настоящая книга посвящена систематическому изложению современного учения о магнитных свойствах различных веществ окружающего нас мира. На первый взгляд можно, казалось бы, предположить, что в этой области физической науки все уже устоялось и имеется вполне законченная во всех деталях физическая картина явлений, в которой уже сделаны все завершающие мазки. Действительно, магнетизм —— это далека не новая отрасль человеческих знаний. Из глубины веков приходят к нам красивые легенды, случайно сохранившиеся летописи, отрывки поэтических сочинений древних натурфилософов о замечательных и загадочных магнитных свойствах некоторых веществ ——минералов. Таинственность магнитного притяжения, этого actio in distance ), непонимание древними его материальной природы невольно подсказывали людям, находившимся в плену религиозных верований, мысли о связи магнетизма с проявлением неких духовных сил. Не случайно термин «магнетизм» стал использоваться как синоним «оккультных явлений». И хотя в действительности магнетизм представляет собой вполне объективное материальное явление природы, интерес и внимание людей к нему из-за этого не только не уменьшились, но, напротив, непрерывно возрастают. Несмотря на то, что о существовании магнетизма мы знаем уже давно, что при изучении магнитных явлений накоплен огромный опытный материал и на основе квантовой механики электрона уже построен прочный теоретический фундамент магнетизма, тем не менее магнетизм до сих пор остается интенсивно развивающейся областью физики, в ；которой буквально каждодневно появляются новые интересные, ранее： совсем неизвестные факты и возникают новые направления. Это вполне"согласуется с общей диалектикой развития научных знаний, когда «старые» отрасли науки непрерывно «омолаживаются», впитывая результаты новых открытий, возникающих на «переднем крае науки». Так, например, успехи атомной, а затем ядерной физики, раскрывшие в деталях микроскопический физический механизм внутриатомных движений, позволили одновременно раскрыть и микромеханизм магнитных свойств веществ, а вместе с этим, как из рога изобилия, посыпались новые открытия в области магнетизма. Можно ожидать, что новый этап в развитии микрофизики, который назревает в настоящее время в связи с исследованиями элементарных частиц и процессов при высоких энергиях, создаст соответствующий резонанс и в физике магнитных явлений. Первой ласточкой является попытка использования магнитных свойств протона и нейтрона для проверки разумности гипотезы кварков»
Современная наука достаточно глубоко проникла в сущность магнитных явлений и вскрыла их основные квантовые закономерности. Это позволило с большим эффектом заставить служить эту замечательную силу природы человеческому обществу. Научные и технические
применения магнетизма в наши дни столь обширны и разнообразны, что .делают физику магнитных явлений одним из важнейших разделов естествознания, имеющим большие практические применения в ведущих отраслях современной техники.
При попытке дать определение магнетизму мы сталкиваемся с фактом его необычайной универсальности. Магнитные свойства обнаруживаются во всем окружающем мире, от мельчайших материальных образований —— элементарных частиц ——до безграничных космических просторов, заполненных магнитными полями.
В наиболее общем виде магнетизм можно определить как особую форму материальных взаимодействий^ возникающих между движущимися электрически заряженными частицами. Передача магнитного взаимодей- •ствия, реализующая связь между пространственно разделенными материальными объектами, осуществляется особым материальным носителем —— магнитным полем. Оно является важнейшей характеристикой электромагнитной формы материи ). Между магнитным и электрическим полями нет полной симметрии. Источниками электрического поля являются электрические заряды, которыми обладают элементарные частицы —— электроны, протоны, мезоны и т. п. Аналогичных магнитных зарядов мы пока не наблюдали в природе, хотя гипотезы об их существовании высказывались (см. гл. 2). Источником магнитного поля, как уже сказано, является движущийся электрический заряд, т. е. электрический ток. В атомных масштабах для электронов и нуклонов имеются два типа микро- окопических токов ——орбитальные, связанные с переносным движением центров тяжестей этих частиц, и спиновые, связанные с внутренними степенями свободы их движения. В атомных ядрах и электронных оболочках атомов мы имеем дело с некоторым результирующим орбитальным и спиновым магнитным эффектом. Количественной характеристикой магнетизма частицы является так называемый магнитный момент М, В случае элементарного замкнутого контура, в котором течет ток силой 厶 величина вектора магнитного момента | М | равна произведению силы тока на площадь S контура: \ М \ = iS, Направление вектора момента М определяется правилом буравчика (правого винта).
Поскольку все микроструктурные элементы веществ — электроны, протоны и нейтроны ——суть элементарные носители магнитного момента, то и любые их комбинации —— атомные ядра и электронные оболочки —— и комбинации этих комбинаций, т. е. атомы, молекулы и макроскопические тела, в принципе могут быть источниками магнетизма. Отсюда и следует утверждение об универсальном характере магнетизма веществ: магнитные свойства присущи всем веществам, т. е. все они суть магнетики. Внешнее магнитное поле оказывает влияние на эти атомные орбитальные и спиновые токи (моменты). Известны два основных эффекта внешнего магнитного поля. Во-первых, диамагнитный эффект, являющийся следствием закона индукции Фарадея. По правилу Ленца магнитное поле всегда создает такой индукционный ток, магнитное поле которого направлено против начального поля. Поэтому создаваемый внешним полем диамагнитный момент всегда отрицателен по отношению к этому полю. Во-вторых, если в атоме существует результирующий отличный от нуля магнитный момент (спиновый, орбитальный или оба), то внешнее поле будет стремиться ориентировать этот собственный атомный магнитный момент вдоль своего направления. В результате возникает параллельный полю положительный момент, который называют парамагнитным.
Из-за универсальности диамагнитного эффекта все вещества обладают диамагнетизмом. Однако фактически диамагнетизм наблюдается далеко
не у всех веществ. Это объясняется тем, что во многих случаях диамагнитный эффект перекрывается более сильным парамагнитным эффектом» Таким образом, в веществах, называемых парамагнетиками^ мы фактически всегда наблюдаем разностный магнитный эффект между преобладающим парамагнетизмом и меньшим диамагнетизмом.
Хаотическое тепловое движение атомов всегда стремится разрушить упорядоченное расположение атомных магнитных моментов. Магнитное поле, например, в случае парамагнитного эффекта будет производить тем большее упорядочивающее действие, чем больше абсолютная величина энергии атомного момента в поле (равная М -Я, т. е. произведению атомного магнитного момента М на напряженность магнитного поля Н) по сравнению со средней тепловой энергией кТ (% ——постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура).
Существенное влияние на магнитные свойства вещества может оказать также внутреннее взаимодействие между атомными магнитными моментами. В некоторых случаях реализуется такая ситуация, что с точки зрения этого взаимодействия оказывается энергетически выгоднее, чтобы в веществе существовал самопроизвольный (не зависящий от внешнего поля) атомный магнитный порядок. Этот случай осуществляется в веществах, которые называют ферромагнетиками, (если атомные магнитные моменты расположены параллельно друг другу) или антиферромагнетиками (если атомные моменты расположены антипараллельно, например в шахматном порядке).
Сложность атомной структуры веществ, построенных из огромного числа атомов, приводит к практически неисчерпаемому разнообразию их магнитных свойств. Все более глубокое проникновение в мельчайшие детали атомного строения веществ позволяет нам непрерывно получать и новые сведения о деталях их магнитных свойств.
Вполне естественно, что магнитные свойства вещества связаны с его немагнитными свойствами — электрическими, мех аническими, оптическими и т. п. Эта взаимосвязь явлений позволяет очень часто использовать исследования магнитных свойств как тонкий источник информации о внутренней структуре как микрочастиц, так и тел макроскопических размеров. Эта возможность с успехом реализована в современной теории атома и атомного ядра, а в настоящее время начинается ее реализация и при построении теории элементарных частиц и при исследованиях космоса.
Универсальность магнетизма открыла широкие возможности для его применений в технике. Во-первых, на основе изучения магнитных свойств вещества можно создавать технические магнитные материалы, играющие важнейшую роль в современной энергетике, электротехнике, радиотехнике, радиоэлектронике и т. п. Во-вторых, используя «информационный» аспект магнетизма, можно, измеряя магнитные характеристики, получить детальные сведения о других физических свойствах тел, которые зачастую оказываются труднодоступными для непосредственного изучения. Это «информационное» использование магнитных измерений положено в основу широко применяемых в технике методов магнитно-структурного анализа и магнитной дефектоскопии, важнейших неповреждающих методов контроля качества промышленной продукции.
Краткие исторические сведения о развитии ученияо магнетизме веществ )
Открытие магнитных свойств вещества произошло, по-видимому, несколько тысяч лет тому назад. Наиболее древние письменные свидетельства о магнетизме идут из Китая. В частности, более двух тысяч лет тому
назад китайский историк Сума Тзян (см., например, [1]) собрал достаточно надежные отрывки древних летописей, в которых описывались применения естественных постоянных магнитов в виде компасов. Поэтому надо считать, что в Китае магнетизм впервые был использован в практических целях. Вполне понятно, конечно, что само явление магнетизма естественных постоянных магнитов было известно человеку задолго до изобретения компаса.
В античную эпоху свойства магнитов были также хорошо известны. Указанием на это может служить упоминание о «камне магнитном», вызывающем бушующее движение железных опилок и колец, которое мы находим в гениальной натурфилософской поэме знаменитого римского ученого- материалиста Лукреция Кара «О природе вещей» [2]. Само название «магнетизм», по-видимому, ведет свое начало от города Магнессы в Малой Азии, вблизи которого была гора с залежами магнетитовой руды. Греческие натурфилософы Фалес, Анаксагор, Диоген, Эмпедокл, Эпикур и Демокрит в своих трудах и поэтических сочинениях уделяли внимание чудесным свойствам магнитов и делали первые попытки их объяснения. В средние века магнетизм также привлекал внимание. Свидетельством этому может служить экспериментальная работа 1269 г. о магните Пьера Перегрина де Марикура (псевдоним ——Петрус Перегринус). В эпоху Возрождения наиболее подробные исследования по магнетизму принад- лежат известному английскому натурфилософу Уильяму Гильбертут закончившему в 1600 г. свой многолетний большой труд «De Magnete» [31, в котором был подведен итог всему, что в то время было известно о магнетизме. Почти одновременно с трудом Гильберта вышел из печати труд о магнетизме итальянского ученого Иона Баптиста Порта [4]. Оба эти ученые считали, что магнитные силы относятся к классу духовных сил. Материалистическую концепцию магнетизма мы находим в трудах великого французского философа Рене Декарта, который дал первую подробную теорию магнетизма [5L Эпинус ——немецкий физик, работавший в России, применил в теории магнетизма [6] франклиновскую однофлюидную гипотезу. Его ученик в Швеции Джоан С. Валлис и голландец Антон Бургманс в 1778 г. (последний впервые открыл экспериментально притяжение парамагнетиков и отталкивание диамагнетиков, но еще не ввел этих понятий), а также Шарль Кулон развили двух флюидную теорию магнетизма.
Однако настоящее начало развитию учения о магнитных свойствах материи было положено лишь в первой половине XIX века ), когда Эрстед [7] в 1820 г. открыл магнитные действия электрического тока, а затем Ампер (также в 1820 г. [8]) высказал свою знаменитую гипотезу молекулярных токов, в которой была предвосхищена в качественной форме современная электронная теория магнитных свойств атомов и веществ. Гипотеза Ампера основывается на его знаменитой теореме экви- валентности токов и магнитов, в которой последовательно проводится чисто токовая концепция происхождения магнетизма (см. гл. 4). Тем не менее долгое время с амперовской токовой концепцией конкурировала идея элементарных магнитиков (магнитных диполей). Первая детальная математическая разработка идеи атомных магнитиков принадлежит Веберу (1854 г.) [9] и в более позднее время Юингу [10].
Огромный вклад в учение об электромагнетизме сделал великий английский ученый М. Фарадей [11], который в 1831 г. открыл закон электромагнитной индукции и ввел впервые термин «магнитное поле». Вскоре после этого русский академик Ленц (1834 г.) [12] установил знаменитое правило о направлении магнитного поля индукционного тока. Стройная система законов эпектромагнитного поля в последовательной
математической форме была сформулирована в замечательных работах Максвелла [13]. Предсказанные Максвеллом электромагнитные волны открыл Герц [14]. Дальнейшее развитие максвелловской теории с учетом электронного строения вещества предпринял Лорентц [15] в его классической электронной теории, в рамках которой ему удалось объяснить большую совокупность магнитных свойств и, в частности, явление расщепления линий атомных спектров в магнитном поле, открытое в 1896 г. Зееманом [16]. Большое значение для атомного магнетизма имела установленная Лармором теорема [17] о прецессии электронов во внешнем
магнитном поле.
Параллельно с развитием общей классической теории магнетизма в XIX веке шло также развитие многих конкретных вопросов физики магнитных явлений. Так, например, Фарадей в 1845 г. развил опыты Бургманса и установил существование диа- и парамагнитного эффектов (он же ввел эти термины). Подробные экспериментальные исследования диа- и парамагнитных веществ в широком интервале температур проводил Пьер Кюри [18], который установил практическую температурную незави^ симость диамагнитной восприимчивости и знаменитый закон Кюри для температурного хода парамагнитной восприимчивости. Ланжевен (1905 г.) [19], используя теорему Лармора и лорентцевскую электронную теорию, развил электронную (классическую) трактовку диамагнетизма и парамагнетизма.
Систематическое изучение магнитных свойств ферромагнетиков была начато в знаменитой работе А. Г. Столетова (1873 г.) «О функции намагничивания железа» [20], в которой впервые была снята кривая магнитной проницаемости ферромагнетика (кривая Столетова). Одновременно в этой работе были предложены два важнейших измерительных метода ——метод: тороида с замкнутой магнитной цепью и баллистическое измерение намагниченности, которые с тех пор стали основными методами магнитных, измерений ферромагнитных веществ. Исследования Столетова имели! важное значение не только для развития физики ферромагнетизма, но и дали рациональные основы для расчетов магнитных цепей электрических машин и трансформаторов.
Впервые идея о существовании внутри ферромагнитного тела особого «молекулярного поля» была высказана в 1892 г. русским физиком Б. Л. Розингом [21], который называл это поле «частичной магнитной силой», вызываемой «магнитным движением вещества». Количественно последовательную термодинамическую теорию «молекулярного поля» в ферромагнетиках разработал известный французский физик П. Вейсс 122]. В основу этой теории он положил две гипотезы. Первая гипотеза о существовании самопроизвольной намагниченности в области температур от 0° К до критической температуры ферромагнетизма — точки Кюри ——независимо от присутствия внешнего магнитного поля. Однако из опыта было известно, что в отсутствие внешнего поля при охлаждении ферромагнитного образца ниже точки Кюри он всегда оказывается в целом размагниченным. Это привело Вейсса ко второй гипотезе, по которой ферромагнитный образец ниже точки Кюри в отсутствие внешнего поля разбивается на малые области ——домены, каждая из которых намагничена спонтанно, но векторы намагниченности распределены по областям так, что результирующий магнитный момент образца равен нулю. И только в присутствии внешнего магнитного поля начинается ориентация векторов намагниченности доменов вдоль поля и возникает результирующий момент в образце.
анизотропии ферромаг- работах П. Вейсса [23], объяснение в известных были заложены основы ферромагнитных моно-анизотропии ферромаг- работах П. Вейсса [23], объяснение в известных были заложены основы ферромагнитных моно-Результаты экспериментального изучения нитных свойств монокристаллов, полученные в Бека [24] и других, нашли свое теоретическое исследованиях Н. С. Акулова [25], в которых современной теории кривых намагничивания
анизотропии ферромаг- работах П. Вейсса [23], объяснение в известных были заложены основы ферромагнитных моно-
анизотропии ферромаг- работах П. Вейсса [23], объяснение в известных были заложены основы ферромагнитных моно-
и поликристаллов, в первую очередь в области процесса вращения. Почти одновременно с работами Акулова появились работы Гейзенберга [26], Беккера [27], Блоха [28], Бозорта [29] и других, в которых развивались различные аспекты теории намагничивания ферромагнитных веществ. Опыты Сикстуса и Тонкса [30] наглядно подтвердили идею Лангмюра о существовании процессов смещения граничных слоев между ферромагнитными доменами. В работе Френкеля и Дорфмана [31] впервые были оценены равновесные размеры однодоменных частиц ферромагнетиков. Знаменитая работа Ландау и Лифшица (1935) [32] дала окончательное теоретическое обоснование гипотезе Вейсса о доменах, и в ней также была предложена конкретная модель доменной структуры, которая была потом обнаружена экспериментально с помощью визуального наблюдения выхода доменной структуры на поверхность ферромагнитного кристалла методом порошковых осадков, предложенным Биттером [33] и Акуловым и Дехтяром [34]. Этот метод затем усовершенствовали Эльмор [35], Вильямс, Бозорт и Шокли [36]. А позже к нему добавились также магнетооптиче- ские и электроннооптические методы (см. гл. 23).
В работах Акулова [25], Блоха [37], Беккера и Керстена [38] и в особенности в работах Ковдорского [39] были заложены основы современной теоретической трактовки процессов магнитного гистерезиса. В работах Януса и Шура [40] были выяснены закономерности анизотропии коэрцитивной силы в ферромагнитных монокристаллах, которые нашли свое объяснение в рамках предложенных теоретических трактовок процессов перемагничивания [41]. Важное значение имели работы Брауна [42] по микромагнетизму, работы Деринга [43], Киттеля [44], Нееля [45], Керстена [46] и других.
Физическая природа ферромагнитного состояния вещества была раскрыта лишь после появления квантовой механики. Существенное значение в истории этого открытия сыграли опыты по гиромагнитным эффектам, в которых была открыта спиновая природа ферромагнетизма в большинстве известных тогда ферромагнетиков. Поэтому стало ясным, что ферромагнетизм есть особая форма спинового парамагнетизма. Однако, как это вытекало из теоремы Бора — Ван-Леевен [47—48] (этот результат был развит позже Терлецким [49]), классическая физика не могла в принципе объяснить равновесные магнитные свойства веществ, так же как и динамическую модель электронной структуры атомов. Эта очередная катастрофа классической физики могла быть ликвидирована лишь после появления теории атома по Бору и затем последовательной квантовой механики. Последняя дала законченное объяснение механизма орбитального магнетизма ——законы квантования механических и магнитных моментов (пространственное квантование), сложение орбитальных и спиновых моментов, аномалию спинового g-фактора и т. п. Была объяснена тонкая и сверхтонкая структура спектральных линий, открыт магнетизм атомных ядер. Опыты Штерна и Герлаха [50] дали первые экспериментальные методы измерения атомных и молекулярных магнитных моментов.
I 發Работа Паули [51] ликвидировала другую катастрофу классической электронной теории ——неспособность объяснить температурную независимость парамагнетизма щелочных металлов. Дорфман [52] первый ясно указал, что это свойство щелочных металлов является специфическим магнитным свойством электронов проводимости металлического кристалла. В работе Паули было количественно показано, что температурнонезависимый парамагнетизм щелочных металлов действительно является прямым следствием фермиевского распределения электронов проводимости. Работы Паули [51], Зоммерфельда [53], Френкеля [54] по электронной теории металлов, Ландау [55], Пайерлса [56] по диамагнетизму электронов проводимости, работы Ван-Флека [57] по квантовой теории парамагнетизма положили начало современной квантовой теории магнитных свойств вещества.
В области слабомагнитных веществ значительный прогресс был достигнут после открытия ряда осцилляционных и резонансных магнитных эффектов (де Гааз и ван Альфен [58], Шубников и де Гааз [59], Дорфман [60], Дингл [61], Азбель и Канер [62]). В теории магнитных и гальваномагнитных свойств слабомагнитных веществ металлов и полупроводников значительные успехи были получены в особенности в результате развития зонной теории с произвольным законом дисперсии. Развитие этого направления связано главным образом с работами И. М. Лифшица с сотрудниками [63]. Непосредственными предшественниками основных работ по квантовой теории ферромагнетизма можно считать работу Изинга (1925) [64], работу Дорфмана [65] (доказавшую немагнитную природу молекулярного поля), а также работы Гейзенберга [66] (по атому гелия) и Гайт лера и Лондона [67] (по молекуле водорода). В этих работах был открыт и теоретически объяснен обменный эффект электростатического взаимодействия электронов в оболочке атомов и молекул и установлена его непосредственная связь с магнитными свойствами электронных систем, для которых надо учитывать принцип Паули.
Квантовомеханическая теория ферромагнетизма была создана в работах Френкеля [68] (коллективизированная модель) и Гейзенберга] [69] (модель локализованных спинов). Затем коллективизированная модель ферромагнитных металлов и сплавов развивалась в работах Блоха [70], Стонера [71], Мотта [72], Слэтера [73], Вольфарта [74]. Гейзенберговская модель локализованных спинов развивалась в работах Блоха [75], ВанФлека [77], Холстейна и Примакова [76]. Была также предложена промежуточная полярная модель кристаллов в работах Слэтера [78], Шубина и Вонсовского [79], Боголюбова и Тябликова [80]. Шубин [79] также предложил s ——d-обменную модель ферромагнитных металлов, которая получила развитие в работах Вонсовского [81], Вонсовского и Турова [82], Зинера [83], Касуйи [84] и Иосиды [85].
Ландау [86] и Неель [87] предсказали существование антиферромагнетизма. В работе Нееля [88] была дана теория ферримагнетизма. Крамере [89] и затем Андерсон [90] развили теорию косвенного обменного взаимодействия. Работа Ландау [91] по теории фазовых переходов второго рода дала толчок к систематическим исследованиям магнитных фазовых переходов. После открытия Неелем ферримагнетизма и введения представления о магнитных подрешетках были предсказаны, а затем обнаружены неколлинеарные магнитные структуры. Здесь в первую очередь следует упомянуть работы Дзялошинского по слабому ферромагнетизму [92J и по теории винтовых магнитных структур [93].
Огромное значение в развитии теории ферро- и антиферромагнетизма имело применение ядерных методов исследования ——магнитной нейтронографии, ядерного магнитного резонанса, эффекта Мессбауэра, ядер- ного вклада в теплоемкость (см. гл. 26).
Работы Аркадьева [94] положили начало развитию магнетодинамики ——изучению поведения магнитных сред в переменных магнитных полях. Дорфман [95] предсказал явление электронного парамагнитного^ резонанса (ЭПР), которое было затем открыто в работе Завойского [96]. Гортер [97] открыл явление парамагнитной релаксации.
При изучении магнитных свойств атомов и веществ приобретают огромное значение исследования с применением сильных и сверхсильных магнитных полей. Пионером в этой проблеме является П. Л. Капица [98], проведший классические работы в импульсных полях до 300 кэ, Биттер [99] впервые соорудил источник (соленоид) стационарных магнитных полей до 80
Параллельно с развитием физики магнитных явлений шло развитие технических применений магнетизма: создавались и совершенствовались технические магнитные материалы, а также методы магнитного контроля, магнитных измерений и магнитной дефектоскопии.
23-523-58 Q^_^8 Q^_^5-6-7-8-Q^^1^9^0^Z^K^^7^0^Q^^1^9^O^Z^K^^ 1 1 11 1222222222233333335-6-7-8-Q^^1^9^0^Z^K^^7^0^Q^^1^9^O^Z^K^^ 1 1 11 12222222222333333337.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 1
23-5
23-5
8 Q^_^
8 Q^_^
5-6-7-8-Q^^1^9^0^Z^K^^7^0^Q^^1^9^O^Z^K^^ 1 1 11 122222222223333333
5-6-7-8-Q^^1^9^0^Z^K^^7^0^Q^^1^9^O^Z^K^^ 1 1 11 122222222223333333
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
Я. Г. Д о р ф м а и, Беседы о магнетизме, Изд-во АН СССР, М.— Л., 1950. Lucretius С а г us, De Rerum Natura, I век до и. э. (см. Лукреций, О природе вещей, редакция и перевод с латинского Ф. А. Петровского, Изд. АН СССР, М., 1946).
W. Gilbert, De Magnete, London, 1600 (см. В. Гильберт, О магните, магнитных телах и о большом магните ——Земле, перев. с англ., Изд-во АН СССР, М., 1956)..
John Baptista Porta, Natural Magick, Naples, 1589.
Descartes, Oeuvres, publiees par Ch. Adam et P. Tannery, Paris, 1897.
V. T. A e p i n о, Tentamentheriae electricitatis et magnetismi, Petropoli, 1759 (см. Э п и и у с, Теория электричества и магнетизма, перев. с лат. под ред. Я. Г. Дорфмана, Изд-во АН СССР, М.— Л., 1951).
Н. Chr. Oersted, Experimenta circa eFficaciam conflictus electrici in acum magnetic am, Hafniae, 1820 (см. Г.-Хр. Эрстед, Опыты, относящиеся к действию электрического конфликта на магнитную стрелку, Копенгаген, 21 июля 1820 г. (в переводе Я. Г. Дорфмана опубликована в добавлениях к русскому изданию книги А. М. Ампера «Электродинамика», Изд-во АН СССР, М., 1954, стр. 433). А.-М. Ampere, J. de phys. 91, 166 (1820).
W. W е b е г Pogg. Ann. 87, 145 (1854).
J. A. Ewing, Magnetic induction in iron and other metals, The Electricien, London, 1900.
M. F a r a d a y, Experimental researches in electricity, v. 1—3, London, 1839— 1855 (см. M. Фарадей, Экспериментальные исследования по электричеству, перев. с англ., т. 1—2, Изд-во АН СССР, М., 1947—1951).
Э. X. Л е и ц, Pogg. Ann. 31 (1834).
J. С. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, London, 1873 (см. Дж. Масквелл, Избранные сочинения по теории электромагнитного поля, перев. с англ., Изд-во АН СССР, М., 1954).
Н. R. Н е г t z Gesammelte Werke, Bd. 1—3, Leipzig, 1895—1914 [имеется перевод в сборнике «50 лет волн Герца» (избранные статьи), Изд-во АН СССР, М.—Л., 1938]. Г. А. Л о р е и т ц, Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения, перев. с англ. Гостехиздат, М., 1953.
Р. Zeeman, Zittingskersl. Amsterdam 5, 181, 242 (1896); Phil. Mag. (5), 43, 226 (1897).
L. L а г m о г, Phil. Mag. 47, 503 (1897).
P. Curie, Comp. rend. 118, 796, 859, 1134 (1894); J. de phys. 4, 197, 263 (1895); Ann. de chim. phys. 5, 289 (1895).
P. Langevin, Ann. de chim. phys. (8), 5, 70 (1905); J. de phys. 4, 678 (1905). А. Г. Столетов, Собрание сочинений, т. I, Гостехиздат, М., 1939, стр. 81.
Б. Л. Р о з ин г,出РОХО (часть физ.) 24, 105 (1892); 28, 59 (1896); 42, 71 (1910).
Р. Weiss, J. phys. et radium 6, 661 (1907).
P. W e i s s, J. phys. et radium 3, 194 (1904).
K. Beck, Zurich, naturforsh. Ges. 63, 116 (1918).
H. С. А к у л о в, Zs. Phys. 52, 389 (1928); 54, 582 (1929); 59, 254 (1930).
W. Heisenberg, Zs. Phys. 69, 287 (1931).
R. Becker, Zs. Phys. 62, 253 (1930).
В 1 о c h, Zs. Phys. 74, 295 (1932).
R. M. В о z о г t h, Phys. Rev. 42, 882 (1932).
K. Sixtus, L. T о n k s, Phys. Rev. 37, 930 (1931).
Я. И. (Френкель, Я. Г. Дорфман, Nature 126, 274 (1930).
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Phys. Zs. UdSSR 8, 153 (1935).
F. В i t t е г Phys. Rev. 38, 1903 (1931).
H. С. А к у л о в, M. В. Д e x т я p, Ann. Phys. 15, 750 (1932).
W. С. E 1 m о г e, Phys. Rev. 53, 757 (1938); 62, 986 (1942).
H. J. Williams, R. M. В о z о г th, W. Shockley, Phys. Rev. 75, 155 (1949).
Ф. Блох, Молекулярная теорияa магнетизма, ОНТИ, М., 1934.
R. Becker, М. Kersten, Zs. Phys. 64, 660 (1930).
E. И. Ковдорский, Phys. Zs. Ud. SSR 11, 597 (1937).
P. И. Я и у с, Я. С. Ш у p, Phys. Zs. Ud. SSR 12, 383 (1937).
С. В. Вонсовский, J. Phys. USSR 2, 11 (1940).
W. F. В г о w n, Jr., Phys. Rev. 52, 325 (1937); 53, 482 (1938).
W. During, Probleme der technischen Magnetizierungkurve, Berlin, 1938, S. 26-41.
Ch. Kittel, Phys. Rev. 69, 640 (1946); 73, 810 (1948).
L. Neel, Cahiers phys. 25, 1, 22, 241 (1944).
M. Kersten, Phys. Zs. 44, 63 (1943).
N. Bohr, Dissertation, Copenhagen, 1941.
J. A. v а и Leeuwen, Dissertation, Leiden, 1919; J. phys. et radium (6), 2, 361 (1921).
Я. П. Терлецкий,出ЗТ① 9, 796 (1939).
W. Gerlach, О. S t е г n, Zs. Phys. 9, 349 (1922).
W. P au 1 i, Zs. Phys. 41, 81 (1927).
Я. Г. Д о p ф м а и, Новые идеи в физике, Сборник № 11, Л., 1928.
A. Sommerfeld, Zs. Phys. 47, 1 (1928).
Я. И. (Френкель, Zs. Phys. 47, 819 (1928).
-55. Л. Д. Л а и д а у, Zs. Phys. 64, 629 (1930).
56・R. Р е i е г 1 s, Zs. Phys. 80,763 (1933).
J. Н. V a n V 1 е сk, Proc.Nat. Acad. Sci. 12, 662 (1926); Phys. Rev.29, 729
(1926); 30, 31 (1927); 31, 587 (1928).
W. J. de Haas, P.M. van A 1 p h e n, Proc. Amsterdam Acad. Sci. 34, 1249 (1931).
Л. В. Ш у б и и к ов, W. deHaas, Leid. Comm. 207, 210 (1930); Proc.Amster
dam Acad. Sci. 33, 418 (1930).
'60. Я. Г. Д о рф м ан, ДАН СССР 81, 765 (1951).
R. В. Dingle, Proc. Intern. Conf, of Very Low Temp., Oxford, 1951, p. 165.
•62. M. Я. A 3 б e л ь, Э. А. К ан e p,出3T① 29, 876 (1955).
*63. И. M. Лифшиц, Доклад на сессии физ.-матем. отделения АН УССР, декабрь
•64.65.•66.67.68.69.70.71.72.73.74.75.76.77.78.79.80.*81.82.83. •34.85.86.87. .88.89.90.51.92.93.94. 95・ 06.97.98.59.•64.65.•66.67.68.69.70.71.72.73.74.75.76.77.78.79.80.*81.82.83. •34.85.86.87. .88.89.90.51.92.93.94. 95・ 06.97.98.59.I s i и g, Zs. Phys. 31, 253 (1925).
•64.
65.
•66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
*81.
82.
83. •34.
85.
86.
87. .88.
89.
90.
51.
92.
93.
94. 95・ 06.
97.
98.
59.
•64.
65.
•66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
*81.
82.
83. •34.
85.
86.
87. .88.
89.
90.
51.
92.
93.
94. 95・ 06.
97.
98.
59.
Я. Г. Дорфман, Nature 119, 353 (1927).
W. Н е i s е n b е г g, Zs. Phys. 38, 411; 39, 499 (1926); 41, 239 (1927).
W. H e i t 1 e г, F. London, Zs. Phys. 44, 455 (1927).
Я・ И.① p e н к e л в, Zs. Phys. 49, 31 (1928).
W. Heisenberg, Zs. Phy s. 49, 619 (1928).
Bloch, Zs. Phys. 57, 545 (1929).
Stoner, Phil. Mag. (7), 15, 1018 (1933); Proc. Roy. Soc. A154, 656 (1936)；
A165, 372 (1938); A169, 339 (1939).'
N・ F. M о 11, Proc. Phys. Soc. 47, 571 (1935).
J. C. S 1 at er, Phys. Rev. 49, 537 (1936).
E.P. Wohlfarth, Proc. Leeds Phil. Soc. 5, 89 (1948).
В 1 о c h, Zs. Phys. 61, 206 (1930).
T. Holstein, H. Primakoff, Phys. Rev. 58, 1098 (1940).
J. H. Van V 1 e c k, Theory of electric and magnetic susceptibilities, Oxford, 1932.
J. C. S 1 a t e r, Phys. Rev. 36, 57 (1930).
С. П. Шубин, С. В. Вонсовский, Proc. Roy. Soc. A145, 159 (1934).
H. H. Боголюбов, С. В. Тябликов,出3T① 19, 251, 256 (1949).
С. В. Вонсовский, ЖЭТФ 16, 981 (1946).
С. В. Вонсовский, Е. А. Туров,出ЗТ① 24, 419 (1953).
С. Zener, Phys. Rev. 81, 440 (1951).
Т. Kasuya, Prog. Theor. Phys. 16, 45 (1956).
K. Y о s i d a, Phys. Rev. 106, 893 (1957).
Л. Д. Л а и д a y, Phys. Zs. UdSSR 4, 675 (1933).
L. Neel, Ann. de phys. 17, 64 (1932); J. phys. et radium 3, 160 (1932).
L. N ё e 1, Ann. de pnys. 3, 137 (1948).
H. A. Kramers, Physica 1, 182 (1934).
P. W. Anderson, Phys. Rev. 79, 350 (1950).
Л. Д. Л ан д ay,出 3T ① 7, 19 (1937).
И. E. Дзялошинский,出3T① 32, 1547; 33, 807, 1454 (1957).
И. Е. Дзялошинский,出ЗТ① 46, 1420, 1722; 47, 336, 992 (1964).
В. К. Аркадьев,出Р①ХО (часть физ.) 44, 165 (1912).
Я. Г. Д о р ф м а и, Zs. Phys. 17, 98 (1923).
К. 3 авойский, J. Phys. USSR 8, 377 (1944).
К. Г о р т е р, Парамагнитная релаксация, ИЛ, М., 1949.
П. Л. Капица, Proc. Roy. Soc. А123, 292 (1929).
Bitter, Rev. Sci. Instr. 10, 373 (1939).
Глава 2
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О МАГНИТНЫХ СВОЙСТВАХЭЛЕКТРОНА И ЭЛЕКТРОННОЙ ОБОЛОЧКИ АТОМА )
Спин и спиновый магнитный момент электрона
Современная физика твердо установила, что элементарная частица материи —— электрон, являющаяся основной составной частью атома (его оболочки), может быть двояким источником магнетизма — спинового и орбитального. Первый связан с собственным механическим моментом электрона, его спином, а второй — с переносным, или орбитальным движением электрона в атоме, молекуле, кристалле и т. п. Как известно, спин электрона $ по величине равен
『|5|=тЛТГГ1^=/^ (^+1)无=1/3^,(2.1>
где 2冗九=无=6,6256 -10-2? эрг-сек — постоянная Планка, s = г/2 — спиновое квантовое число. Направление вектора $ определено лишь с точностью до одной слагающей (вдоль оси квантования z). Имеются лишь две возможные проекции спина на ось z, равные по величине и обратные по знаку:
Sz=W2s^=±e，(2.2>
где т$ = ± 4/2 — магнитное спиновое квантовое число. Спин электрона обладает магнитным моментом, две, соответствующие (2.2), возможные проекции которого равны
応'= ±*^=千粤 Sz,(2.3}
где I е I = 4,80298 -10~10 СГСЭ — электронный заряд, т = 9,1091 Л0~28 а — масса покоя электрона, с = 2,997925 ЛО10 см •сек^— скорость света в вакууме. Из (2.3) следует, что по направлению магнитный момент электрона антипараллелен спину (из-за отрицательного знака заряда электрона, е V 0), а по абсолютной величине его проекции (2.3) равны «атому» электронного магнетизма — магнетону Бора:
I 屈丨= ^^£~ = 0,92732.10-20 5p3.3C-i.(2.4)，
Абсолютная величина спинового магнитного момента, согласно (2.1) и (2.3), равна
I 闷匸*~ ”^^="*Е*⑵5〉
Из сравнения формул (2.1) —(2.5) следует, что отношение спинового магнитного момента электрона к его спину (магнетомеханическое отношение )) равно
公卜粤，⑵
или в единицах ] е [/2тс получаем
g$ = 2.(2.7}
В то же время по классическим законам для электрона, вращающегося по орбите, это отношение (см. ниже) должно быть в два раза меньше. Эта так называемая гиромагнитная аномалия спина была объяснена в релятивистской квантовой механике Дирака [см., например, Шифф (1957)], а экспериментально наблюдалась при измерениях гиромагнитного отношения в ферромагнетиках (см. гл. 17) или аномального эффекта Зеемана [Шпольский (1950)]. Используя (2.7), формулу (2.3) можно записать в виде
虔〉57nsp«Е*(2.8)-
Орбитальный магнетизм одноэлектронного атома
определяются четырьмя квантовыми числами: п — главным, I — орбитальным, топределяются четырьмя квантовыми числами: п — главным, I — орбитальным, тСогласно квантовой механике стационарные состояния одноэлектронного атома
определяются четырьмя квантовыми числами: п — главным, I — орбитальным, т
определяются четырьмя квантовыми числами: п — главным, I — орбитальным, т
энергии стационарных состоя-энергии стационарных состоя-квантование орбитального моментаквантование орбитального момента(и прецессия} механического (дляй .= 3).(и прецессия} механического (дляй .= 3).магнитным орбитальным и ms — магнитным спиновым. Главное квантовое число и
энергии стационарных состоя-
энергии стационарных состоя-
квантование орбитального момента
квантование орбитального момента
(и прецессия} механического (дляй .= 3).
(и прецессия} механического (дляй .= 3).
Iw1 = 1/%十I)瓦Iw1 = 1/%十I)瓦(2.9)(2.9)в первом, нерелятивистском, приближении определяет ний атома sn (n = 1, 2, 3, . . .). Орбитальное квантовое число 2 определяет абсолютную величину возможных значений механического орбитального момента
Iw1 = 1/%十I)瓦
Iw1 = 1/%十I)瓦
(2.9)
(2.9)
耽g)=应瓦耽g)=应瓦(2.Ю)(2.Ю)Квантовые числа I—целые и (при данном п) принимают п возможных значений: Z — 0, 1, 2, . . ., (п — 1). Электронные состояния, которым отвечают эти числа, именуются соответственно s (I — 0), р (1= 1), d (Е =2), / (Z — 3), g (2 = 4) и т. д. по латинскому алфавиту. Проекции орбитального механического момента на ось квантования z (например, на направление внешнего однородного магнитного поля Н) определяются квантовыми числами ^г
耽g)=应瓦
耽g)=应瓦
(2.Ю)
(2.Ю)
Квантовые числа т? также целые и при заданном I имеют 22+1 возможных значений: ml = Z, (Z — 1),... ..0,...,——(Z ——1),—厶 На рис. 2.1 приведена графическая иллюстрация по векторной модели пространственного квантования орбитального момента для /-со-
стояния с 2 = 3* Орбитальному механическому мо
менту 30?； соответствует орбитальный магнитный момент с абсолютной величиной
(2 .⑴(2 .⑴(242>(242>I Hz 1 = 4^" ДА Q + 丄)龙="|/匕 а + D 屈
(2 .⑴
(2 .⑴
(242>
(242>
Для возможных проекций орбитального магнитного момента по (2.10) получаем
或)=-^"^ = WPb«
Для орбитального магнетомеханического отношения по аналогии с (2.6) находим
g日置?卜晏，(2的
или, в единицах \ е\/2тс^
他=丄(2.U>
Используя (2Л4), формулу (2.12) можно записать в виде
■忌。=g/串е・，(245卜
Векторная модель атома вводит в рассмотрение еще одно дополнительное квантовое- число /, которое определяет полный механический момент электрона в атоме, равный векторной сумме его орбитального и спинового моментов:
丨耽jl = l/HE 龙；(246>
где
j = L ± s= L 士玄.(2,7>
Орбитальный магнитный момент оболочкимногоэлектронного атома
Векторная модель электронной оболочки. В приближении центрально-симметричного самосогласованного поля можно сохранить те же квантовые характеристики состояний отдельных электронов, что и в водородоподобном атоме, а именно n, Z,皿厶 ms. Квантовое состояние при этом определяется электронной конфигурацией, т. е. числом электронов с заданными п и Z. В соответствии с принципом Паули в каждом эквивалентном состоянии (с данными пи/) может находиться не более 22 (2Z + 1)
：электронов; когда это число достигнуто, возникает замкнутый электронный слой: 汽/2(2/+1》, например, 1s2, 2р6 и т. д. В табл. 2Л приведена схема последовательного заполнения таких слоев.
Т аб лиц а 2.1
£=% + %2, % + %2 — 1,% — %(厶》気2)・(2.18)
Аналогичные правила сложения имеют место и для суммарного спинового момента S со спиновым квантовым числом S. Полный момент количества движения J равен векторной сумме моментов 厶 н S, т. е.
[J = Z + S.(2.19)
Соответствующее квантовое число полного момента /, если £》S, принимает следующие значения:°
J=L-]-S, £十5 —1,.…L — St всего 2S + 1 значений;(2.20)
吟ели же £ < S, то
J=S+厶QS+上一1,…，S—L, всего 2£十1 значений.(2.21)
Соответствующая группа уровней 2S + 1 при L^ S обычно называется мультиплетом {при £ < S полная мультиплетность не достигается, поскольку число уровней 田 мультиплете равно 2£十1). Величина вектора J равна
I J I = ”J(J+1)无.(2.22)
Проекции вектора J на ось квантования (как и проекции L и S) имеют лишь целочисленные значения в единицах 龙：
Jz=rrijh^(2.23)
где результирующие квантовые числа mj имеют 2J+1 возможных значений:
mj = J；J — 1,….，0. • •. у — J.(2.24)
Следовательно,
cos (X、) = —, MJ •-.(2.25)
V/(/+l)
LS- и ^/-связи *). Выше сложение моментов производилось так: орбитальные и спиновые моменты отдельных электронов складывались в результирующие моменты Z и S. Это соответствует Л^-связи, или рессел-саундерсовской связи, когда злектро- статическое взаимодействие между электронами в оболочке значительно больше магнитного спин-орбитального взаимодействия. Поэтому разности энергий состояний электронной оболочки с различными моментами £ и S заметно больше, чем разности две энергий с теми же £ и S, но различными /, т. е. различными взаимными ориента-
*) См. Герцберг (1948), Кондон и Шортли (1949).
алиями этих заданных L ^ S. Эти близко друг к другу лежащие уровни в мультиплете образуют тонкую структуру энергетического спектра оболочки атома. Разности электростатических энергий с различными £ и S обычно лежат в интервале от 0,1 до 1,0 эв (это в несколько раз меныйе разностей энергий между уровнями различных конфигураций, которые составляют обычно несколько электрон-вольт). Энергия спин-орби- ^тального взаимодействия зависит от угла между векторами 厶 н S и приближенно имеет вид
必s,
(2.26)
тде 入一константа спин-орбитальной связи. Соответствующий энергетический уровень для какого-то из возможных значений / [см. (2.30) лли (2.21)] будет определяться как
1
-l[J(J+l)-L(L+l)-S (S + 1)].
(2.27)
■Здесь использованы следующие формулы：
I/|2=/(/ + 1)=1川2+|学2+2小, \L\^ = L(L + ^ |S|2=S(S + )
В оболочках атомов тяжелых химических элементов магнитная 'спин-орбитальная связь может быть очень велика, и поэтому векторы и $£ отдельных электронов сначала связываются между собой в вектор полного момента данного электрона 7t = 2»+$2，и только затем происходит сложение отдельных ji в суммарный момент атома J. .Эта связь нбсит название //-связи.
3. Результирующий магнитный момент и фактор Ланде многоэлектронного атома. Результирующий магнитный момент электронной оболочки n в силу гиромагнитной аномалии спина (g$ 声 g?) не ■будет совпадать по направлению с результирующим механическим моментом (2.20) [см. Герцберг (1948), Кондон и Шорт ли (1949)].
产L
нитных
мо
Рис. 2.2. Сложение механических и маг-
ментов элект-
ронной лочки
обо- атома.
На рис. 2.2 это показано графически. В избранном условном масштабе длина вектора *t工 равна длине вектора Z, поэтому вектор gs в два раза длиннее вектора >8. Результирующий вектор магнитного момента 祖 составляет с вектором J угол, отличный от 180°. Нас будет интересовать лишь слагающая полного магнитного момента вдоль направления результирующего момента J. Эта слагающая равна сумме проекций 祖乙 и ц^ на направление вектора J, т. е.
/\/\
卩j=Nlcos(Z, J) + 卩$ cos (S, J)・
(2.28)
Применяя обычные тригонометрические формулы к треугольнику, образованному векторами Z, S и J, получим
cos (厶 J)=
£(£ + l)+J(J + l)-S(S + l)2"£ (上 + D ：J (J行
cos('〉)= "'/(М?滞
(2.29)
Подставляя (2.29) в (2.28), а также значения 此=”£ (L +1) р,5 и % = 2 "[/s (S 十 1)屈, находим
»J= M
J(J + l) + S(S + l)—£(£ + l)
2 J (/ + 1)
Ne =
=g了""+ 1)呢=8了異1〃, (2.30)
где
gj = 1T
J" + l) + S(S + l)—£(£ + l)
2J (/ + 1)
(2.31)
— так называемый фактор Ланде электронной оболочки. Если £ = 0, то J = S 0 gj = = gs = 2; если же S = 0, то J = £ и g」= g^ = 1. Из (2.31) видно, что gj-фактор для различных составляющих мультиплета меняется по величине в определенных пределах, соответствующих при данных £ и S экстремальным значениям квантового числа J, а именно при £ > S — значениям J = £ 士 S:
1 + 上+百》g J》'-E二阡了 ；
(2・32>
при £ < S — значениям J=S ± £:
1 +(2・33》
厶0—厶十丄
Слагающие полного магнитного момента вдоль направления внешнего поля могут иметь 2J + 1 возможных значений, определяемых магнитными квантовыми числами (2.24):
忌J二g严川中(2.30
т. е. получаем выражение, аналогичное (2.8) и (2.15) только при gj = gs^gj=gi- В качестве эффективного магнитного момента атома обычно приводят не его проекции» на вектор 0, а максимальное положительное значение проекции (| т『|макс = J) на магнитное поле:
(NJ)MaKc= gjJRE・(2.35)
Правило Хунда. Последовательность уровней с одинаковой конфигурацией но различными £ и S но величине энергии определяется двумя известными эмпирическими правилами наивысшей мультиплетнрсти, установленными Хундом (1927) ).
Первое правилом наименьшей энергией обладает терм ) с наибольшим (при заданной конфигурации) значением суммарного спина S и наибольшим (при этом значении S) суммарным орбитальным моментом 厶
、 Второе правилом если £ и S не равны нулю, то, когда в слое оболочки nl находится меньше половины максимального возможного числа электронов [т. е. меньше (22 4- 1)], наименьшую энергию имеет уровень мультиплета с/— |£—^^а при числе электронов больше ⑵ + 1) — уровень с j = £ + S.
Правила Хунда можно записать еще так:
) Суммарное спиновое квантовое число S = g иг5 в основном состоянии максимально в пределах, допускаемых принципом Паули.
Суммарное орбитальное квантовое число £=£ ^l в основном состоянии максимально в пределах, допускаемых правилом 1а).
Суммарное квантовое число полного момента J для не полностью застроенного слоя дается выражениями：
= £ — W, если слой заполнен менее чем наполовину;
= L -\- S, если слой заполнен больше чем наполовину.
Рассмотрим, с какими значениями S и £ мы имеем дело при застройке электронной оболочки для первых элементов таблицы Менделеева. В атоме Не с двумя электронами в оболочке в основном состоянии суммарные спиновый и орбитальный моменты равны нулю: $не=£не=0・ Если добавить еще два электрона (т. е. перейти в таблице через элемент Li с Z = 3 к элементу Be с Z = 4), то основному состоянию- опять соответствует магнитно нейтральная оболочка с §ве — ^ве — 0・ Однако если мы добавим еще два электрона, т. е. перейдем к атому углерода С (Z = 6) с шестью электронами, то здесь характер заполнения нарушается. В основном состоянии атома С с тремя парами электронов имеем *VC = 1 и £с =丄 Таким образом, если просмотреть, например, первые 18 элементов в. таблице с четным числом электронов (вплоть до элемента криптона с Z = 36), то только 8 из них магнитно нейтральны (т. е. у них « = £ = 0) в основном состоянии; из них 4 — инертные газы: Не, Аг, Ne, Кг и 4 других элемента — с замкнутыми валентными слоями Be (2s2), Mg (3s2), Са (3p24s^> и Zn (3d"4s2). Все эти 8 атомов имеют основное состояние ^Sq (см. примечание о термах**). В качестве примера рассмотрим еще, как из правил Хунда определить- основные термы некоторых ионов. Ион Fe2* имеет нез апо лненный З^-слой с шёСтыо электронами:
SFe2+ =彳+彳+五+彳+芽一芽=2,
4fе2+ = 2+1+0 一 1 - 2+2 = 2,
J Fe2+ = 2 + 2=4,
и, следовательно, основной терм будет 5-О4. Для иона Еи2+ имеем 7 электронов в незаполненном 4/-слое:
11111117
7
£eu2+=3+2+1 + 0 —1 —2 —3 = 0,^Ец2+ = у j
и основной терм будет 8s7/2.
Качественно правила Хунда вытекают из требования минимума энергии электростатического взаимодействия электронов в атоме, а именно обменной части этого взаи- содействия (здесь, конечно, необходимо учитывать принцип Паули). Правила Хунда имеют существенное значение для определения магнитных характеристик электронной ■оболочки атомов.
5. Застройка электронных оболочек атомов — нормальные и переходные элементы. Прежде чем привести данные для магнитных моментов атомов всех элементов, напомним, что приведенная в табл. 2.1 последовательность конфигураций при заполнении слоев электронной оболочки фактически нарушается, начиная с элемента калия «К; Z = 19). В атоме калия и следующего за ним элемента кальция (Са; Z = 20) начинают заполняться не З^-состояния, которые следуют《но порядку» после заполнившихся у аргона (Аг; Z = 18) Зр-состояний, а следующие состояния 4s. Только у скандия (Sc; Z = 21) начинается запоздалое заполнение десятиместного 3&-слоя, завершающееся у атома меди (Си; Z = 29). При заполнении 3&-слоя (группа железа) наблюдаются и другие нарушения простой последовательности: например, в атоме хрома (Сг; Z = 24) вместо «правильной» конфигурации 3d44s2 реализуется конфигурация -3d54s, а конфигурация 3d84s2 атома никеля (Ni; Z = 28) сменяется в атоме меди не конфигурацией З^9^, а конфигурацией 3d"4s. Запаздывание с застройкой 4&-слоя наблюдается в элементах от иттрия (Y; Z = 39) до палладия (Pd; Z = 46) (группа лалладия); для 4/-слоя — от элемента лантана (La; Z = 57) до иттербия (Yb; Z = 70) (группа редких земель)； для 5&-слоя — от лютеция (Lu; Z = 71) до платины (Pt; Z=78) (группа платины) и, наконец, для 6d- и 5/-слоев —от актиния (Ac; Z = 89) до урана (U; Z = 92) и включая трансурановые элементы (группа актинидов) (см. табл. 2.2). Таким образом, именно при застройке d- и /-слоев электронной оболочки происходит нарушение нормальной последовательности ее заполнения. Элементы, в которых происходит《запоздалая» достройка этих слоев, носят название переходных ).
Физическая причина существования внутренних незаполненных слоев в оболочке многоэлектронных атомов состоит в том, что энергия электрона в них существенно зависит не только от квантового числа п, но также и от 厶 При заданном п энергия растет с ростом Z. Чем сильнее самосогласованное поле оболочки многоэлектронного “атома отличается от кулоновского поля атома водорода, тем резче зависит энергия от I. Поэтому может оказаться энергетически выгоднее, чтобы при переходе от элемента Z к элементу Z + 1 у добавляемого электрона увеличивалось не число 2 (возможное при данном 凡),а число 代 с одновременным уменьшением I. Так, например, состояния '(п + 1) s и (п + 1) р могут быть энергетически выгоднее состояний nd или п/. Исполь- •зуя приближенный статистический метод Томаса — Ферми ), можно количественно предсказать минимальный атомный номер (Z,)mhh, с которого только и может начаться застройка слоя с данным 厶 Элементарный расчет показывает/* что (2Р)МИН = 5, (2&)мин — 21, (Zf)MHH = 58 и т. д., что находится в прекрасном согласии с опытом.
В табл. 2.2 приведены для атомов переходных элементов, наряду с электронными конфигурациями, также спектральные термы основного состояния, факторы Ланде gj и величины gjJ — максимальной проекции полного магнитного момента [см. ниже).
§ 4. Зеемановское расщепление атомных энергетических уровней
Известно, что, например, два электрона в конфигурации Is2 c 2 = 0 и s = 士 1/2 имеют одинаковую энергию, поэтому соответствующий уровень 】So двукратно вырожден. Приложение внешнего магнитного поля снимает это вырождение и расщепляет уровень на два зеемановских подуровня с s — + 1/2 и s = — 1/2 соответственно с проекциями спиновых магнитных моментов антипараллельной и параллельной полю. Поскольку магнитная энергия в поле равна—(jur If), то для абсолютного значения разности энергий между зеемановскими подуровнями находим
^H=^H=gs 鳴^ H = gsiiEH.(2.36)
Табл иц а 2.2г
Электронные конфигурации и основные термы атомов элементовd- и /-переходных групп
' а) Группа железа (3d)
Внутренняя оболочка имеет электронную конфигурацию оболочки Аг (Is22s22p63s23p6)
Атомный номер Z
Элемент
Электронная конфигурация внешней оболочки
Основной терм
Фактор Ланде
g" me
21
Sc
3弘s2
叨3/2
4/5
1,2
22
Ti
3d24s2
3F2
2/3
4/3
23
V
3d34s2
4F3/2
2/5
0,6
24
Сг
3d54s
7s3
2
6
25
Мп
3d54s2
九5/2
2
5
26
Fe
3d64s2
504
3/2
6
27
Со
3d74s2
4 尸 9/2
4/3
6
28
Ni
3d84s2
3尸4
5/4
5
29
Си
%1O4s
2S"2
2
1
б) Груп па палладия (4&) Внутренняя оболочка имеет электронную конфигурацию оболочки Кг (Is22s22p63s23p63&104s Мрб)
39
Y
4d5s2
叨3/2
4/5
1,2
40
Zr
4d25s2
2&
2/3
1/3
41
Nb
4d45s
叨1/2
10/3
5/3
42
Mo
4d55s
7鼻
2
6
43
Те
4 壶 5s2
609/2
14/9
44
Ru
4歩5s
5/
7/5
7
45
Rh
4d85s
4 尸 9/2
4/3
6
46
Pd
43
I.
0
0
47
Ag
4&1。5s
2%/2
2
1
Гр уппа п л ат ин ы (5d)
Внутренняя оболочка имеет электронную конфигурацию оболочки иона Yb2+ (Is22s22p63s23p63d104s2敘64加4尸 45s25рб)
71
Lu
5d6s2
叨3/2
4/5
1,2
72
Hf
5d26s2
3尸2
2/3
1/3
73
Та
5d36s2
4 尸 3/2
2/5
0,6
74
W
5d46s2
5%
0
0
75
Re
5d56s2
6%/2
2
5
76
Os'
5d66s2
5以
3/2
6
77
Ir
5d76s2
4 尸 9/2
4/3
6
78
Pt
5d96s
4%
4/3
4
79
Au
5d106s
2%/2
2
1
Продолжение табл. 2.2
Группа редких з емель—лантаниды (4/)
Внутренняя оболочка имеет электронную конфигурацию оболочки Хе '&s22s22p63s23p63 办叱 s24p64d105s25рб)
Атомный， номер Z
Элемент
Электронная конфигурация внешней оболочки
Основной терм
Фактор Ланде gj
gjJ，мб
57
La
5d6s2
羽3/2
4/5
1,2
58
Се
4/5d6s2
4/5
3,2
59
Рг
4/36s2
”9/2
8/11
3,29
60
Nd
4/《6s2
5厶
3/5
2,4
61
Pm
4*6s2
$ 反 5/2
24/35
1,7-2
62
Sm
4*6s2
7尸9
0
0
63
Eu
4/76s2
8s7/2
2
7
64
' Gd
4产5d6s2
吗
8/3
5,35
65
Tb
4娱6s2
戰7/2
24/17
12
66
Dy
4 尸 06s2
5/8
10/8
10
67
Ho
4 尸 16s2
"(5/2
18/15
9
68
Er
4 尸 26s2
7/6 .
7
69
Tu
4 尸 36s2
2 尸 7/2
8/7
4
70
Yb
4 尸 46s2
1.
0
0
д) Группа актинидов (5/ и 6d)
Внутренняя оболочка имеет электронную конфигурацию оболочки Rn (Is22s22p63s23p63d104s24P64dl04 尸 45s25рб5d106s極6)
89
Ac
6d7s2
叫，2
4/5
1,2
* 90
Th
6d27s2
3尸2
2/5
4/3
91
Pa
5产6d7s2 (?)
4Kli/2
10/3
4,23
92
U
5产6&7s2
2纭
5/7
4,28
93
Np
5产6d7s2 (?)
2£ll/2
8/13
3,24
94
Pu
5*7s2
7g
0
0
■ 95
Am
5”2
8s7/2
2
7
96
Cm
5产6d7s2 (?)
94
8/3
5,33
97
Bk
5/86d7s2 (?)
8/7/2
24/17
12
98
Cf
5”7s2 (?)
S/8
10/8
10
Из (2.36) видно, что gs определяет величину расщепления, поэтому g-фактор часто называют фактором спектроскопического расщепления. В случае многоэлектронного атома при слабых магнитных полях 〃, не нарушающих LS-связъ, величина зеемановского расщепления определяется (вместо (2.36)) формулой
А嘱 Н = mjgjp，EH・(2.37>
Зеемановскому расщеплению (2.36) можно (исходя из квантового соотношения АЕ=龙①). сопоставить некоторую эквивалентную частоту
(2.38)(2.38)А 卷Н I е I Н
(2.38)
(2.38)
которая называется ларморовской частотой (см. гл. 7).
Если атом поместить во внешнее переменное магнитное поле частоты со =①乙, то будет иметь место резонансное поглощение энергии атомом; это явление носит название электронного парамагнитного резонанса (подробнее см. гл. 13).
Аномальный магнитный момент электрона )
Численное значение спинового gs-фактора, равное 2, даваемое формулой (2.7), оказывается неточным. Дело в том, что это значение вытекало из релятивистского уравнения квантовой механики Дирака. Однако при этом не были учтены некоторые тонкие эффекты взаимодействия между электрон-позитронным полем и полем элек^ тромагнитного излучения. Первым указанием на эту неточность было открытое на опыте явление смещения некоторых уровней водородоподобных атомов (лемб-ризер- фордрвское смещение); по полученному ранее решению уравнения Дирака они должны были быть двукратно вырожденными. Например, уровни 22Pl力 и 22sl% должны иметь одну и ту же энергию, ибо энергия терма зависит только от квантовых чисел п и у, но не от I. Лемб и Ризерфорд [4] нашли, что расщепление для этих «вырожденных» уровней равно 1002 士 5 Мгц (напомним, что 1 Мгц = О,33・，()т см" = 4,1 -IO-9 as). Вначале это казалось катастрофой для теории Дирака. Однако все скоро разрешилось благополучно 一 оказалось лишь необходимым учесть в уравнении Дирака взаимодействие электрона с полем нулевых колебаний электромагнитного вакуума, тогда теория с поразительной точностью предсказывает наблюдаемое смещение (1040 Мгц для атома водорода). Такое же блестящее совпадение теории с опытом было получено в случае дейтерия и иона гелия [5]. Эффекту лемб-ризерфордовского смещения можно дать очень наглядное толкование [6]. Электрон атома находится в поле ядра 7(г); в силу нулевых колебаний электромагнитного поля электрон будет испытывать своего рода «броуновское» смещение Аг. Поэтому поле, действующее на электрон, следует брать в точке г-\- \г. Разлагая потенциал 卩(夕+厶夕)в ряд по степеням малого смещения Аг и ограничиваясь членами не выше квадратичных, получаем добавочное изменение средней потенциальной энергии электрона в атоме, которое и следует отождествлять с наблюдаемым смещением уровней.
При разработке теории этого смещения было предсказано также добавочное изменение магнитного момента электрона [7]. При наличии внешних электрических и магнитных полей в выражении для добавочной энергии (обусловливающей смещение уровней) появляется дополнительный член, который указывает, что магнитный момент электрона ~эл отличен от магнетона Бора, а именно:
^ а 也 «十券_0,328 鲁),(2.39)
где
а =脂=爲=7,29735 • 10-з(2.40)
—малая безразмерная постоянная, называемая постоянной взаимодействия тонкой структуры. Параметр а, определяющий относительную слабость связи электрон-пози- тронного и электромагнитного полей, можно использовать для вычисления различных эффектов (в том числе и лемб-ризерфордовского смещения и аномалии 卩^口) этого взаимодействия методами теории возмущения. Подставляя в (2.39) численное значение параметра а, находим
цэл = ~е (1+0ДИ1596 389).(2.41)
Таким образом, для спинового g-фактора, вместо (2.7), теория предсказывает величину g”p) =2+0,0023192.(2.42)
Наиболее точные опыты [8, 9] дали соответственно следующие результаты:
g严ыт) = 2+0,002320 士 0,00001 и 2+0,0023218 士 0,0000024.
Несмотря на расхождение между этими данными и теоретическим значением (2.42), совпадение' очень хорошее, и поэтому открытие и объяснение аномалии в величине спинового магнитного момента электрона является блестящим подтверждением современной квантовой электродинамики.
Магнитный монополь Дирака'
Из уравнений Максвелла для электромагнитного поля (см., например, Тамм (1956))
(2.43)(2.43)div £> = 4лр,— —+ rotJ,
(2.43)
(2.43)
div В = 0,一丄空一rotE = 0
с dt
вытекает фундаментальная асимметрия между магнитным Н, В и электрическим Е. D полями. Эта асимметрия проявляется в отсутствии магнитных зарядов и их токов. Поэтому магнитное поле в каком-то смысле является вторичным эффектом электричества, возникая лишь при движении электрических зарядов. Поэтому из простых соображений симметрии можно было бы предположить существование магнитных зарядов и соответствующих им токов, тогда в правых частях второй строчки уравнений Максвелла (2.43) стояли бы ие нули. Такое предположение еще в 1931 г. и сделал Дирак [10], который высказал гипотезу о возможности существования магнитного монополя и позже развил эту идею [11].
После этого появился ряд работ по теории магнитного монополя (см., например, работы Швингера [12]), а также были сделаны попытки обнаружить его на опыте, которые пока не увенчались успехом (см., например, [13, 14]). Наиболее интересным выводом теории монополя по Дираку является предсказание квантования его магнитного заряда. При этом наименьший《квант» магнитного заряда должен быть в 68,5 раза больше элементарного электрического заряда е. Следовательно, т = 68,5е. Два монополя действуют друг на друга в (68,5)2 = 4692 раза сильнее, чем два элементарных электрических заряда, находящихся на том же расстоянии. По-видимому, и масса покоя монополя должна быть большой (превышая не меньше чем в три раза массу покоя протона). Существенно, что постоянная, аналогичная постоянной тонкой структуры (2.40) для электрического заряда, равная 壮乞/九с 〜34, уже не является малой величиной, и поэтому отделение поля монополя от электромагнитного поля является весьма грубым приближением. Монополь должен обладать благодаря своему большому заряду высокой ионизационной способностью (как ядра с атомным номером Z = 68). (<Ловушкамт для монополей могут являться ферромагнитные тела. В магнитных полях космических пространств они могут ускоряться до очень больших энергий. Проблемы обнаружения магнитных монополей или получения доказательства невозможности их существования вообще остаются актуальными вопросами современной физики [15, 16].
Атом во внешнем магнитном поле; парамагнитныйи диамагнитный эффекты )
Гамильтониан задачи. В нерелятивистском приближении (с точностью до членов порядка у2/с2, но с учетом существования спина) гамильтониан электрона, находящегося во внешнем электромагнитном поле, описываемом вектор-потенциалом Л (г) и скалярным потенциалом ср (г), имеет вид
Гр+—Л (г)Т
笳=丄——^一— +ё屮⑺一需 &H)，(2/分
где hs — оператор вектора спина электрона, а Н — вектор напряженности магнитного поля. Раскрывая квадрат числителя первого слагаемого правой части (2.44) и учитывая, что оператор импульса р и вектор-потеициал А (г) в общем случае не коммутируют, будем иметь
鹼=昙十包⑺+贵[4(")e + ^&)1+爲"⑺一黑(金也).(2.45)
В случае однородного магнитного поля Н вектор-потенциал Л можно выбрать в форме
N (г) = у[/Гг].(2.46)
Напр авляя вектор Н вдоль оси z, из (2.46) имеем
33334=—Е^Н； Ay^—zH\ Лг —0.(2.47)
33
33
Таким образом, в случае однородного поля операторы р =―力龙V и Л (г) коммутируют. В случае многоэлектронной оболочки гамильтониан будет равен сумме гамильтонианов отдельных электронов, т. е.
險=» (驚+咏)一鑑為»Е"^»隗昨 kkkk
=腕。一翥少^"忘?灰^1 -黑?(説H). (2.48)
Здесь сумма по к распространяется на все электроны оболочки, вектор Л взят в виде (2.46) и использовано тождество iiHr^ *р^) — (Н \г^р^. Первые две суммы в (2.48), обозначенные через 定°, образуют «нулевой» гамильтониан свободного атома при Н = 0・ Оператор ［夕女〃女］по определению является оператором орбитального момента к-го электрона, т. е.九2女，а их сумма дает оператор орбитального момента атома, т. е.九七. Сумма 彳義 дает оператор полного спина оболочки Е Используя это, получаем вместо h
(2.48) (учитывая, что заряд электрона отрицателен):
協=彫0 = 寫((£+26)h)十為»/叫2.(2.49)
k
Второй член в правой части (2.49) ош1сывает парамагнитный, а третий — диамагнитный эффект внешнего поля.
Случай слабых магнитных полей; парамагнитный и диамагнитный эффекты- В случае слабых внешних магнитных полей (слабых по сравнению с внутриатомными полями) оба магнитных члена в (2.49) можно считать малым возмущением. При этом главную роль будет играть линейный по полю парамагнитный член, диамагнитный эффект (квадратичный по полю) будет более слабым. Оператор парамагнитного взаимодействия, выделяя в пространстве ось квантования (вдоль вектора Н), снимает вырождение уровней свободного атома по магнитному квантовому числу т『приводя к уже упоминавшемуся зеемановскому расщеплению уровней. В случае £М-связн энергия расщепления в однородном поле определяется в первом приближении теории возмущения средним значением оператора «собственного» магнитного момента атома, присущего ему при Zf = 0:
鲁〈(£+2«))=®〈(/+S)〉■(2.50>
Если поле налравлено вдоль оси z, то для расщепления в первом приближении имеем
(A卷您=限(〈厶〉+〈必)瓦(2.5今
Поскольку Jz —:в данном случае интеграл движения, то </г) — т「Проекция спинового момента 6^ не является интегралом движения, поэтому требуется найти ее среднее значение〈S笳 В случае ЕЗ-свнзн вектор S с большой ((скоростью» прецессирует вокруг вектора J, поэтому проекция S на плоскость, нормальную к J, дает при усреднении нуль. Отлична от нуля лишь проекция S на направление вектора J. Ее проекция на направление магнитного поля, т. е. на ось z, равна
(Sj)z =(S・；?，z .(2.52).
Следовательно, формула (2.51) имеет вид
(А卷)^=也反厶« +"S/)(2.53)
Заменяя среднее значение скалярного произведения〈(§•/)〉по (2.27) и вспоминая определение gj-фактора по (2.31), вместо (2.53) имеем
(А 方"丁)= liBmjgjH.(2.5分
Используя ［общее определение магнитного момента (см. гл. 5) М= —8曜1H田口, находим^ из (2.54)
Мцм ~ —7"jgjNE，(2.55)
Знак минус в (2.55) означает, что парамагнитный момент направлен антипараллельно механическому моменту ntjh. Из (2.55) видно, что условием существования парамагнетизма в первом приближении является одновременное отличие от нуля gj-фактора и полного момента /.
Если атом в свободном состоянии с J = 0 полностью магнитно нейтрален, т. е. у него одновременно S = 0 и 七=0, то ориентационный парамагнетизм отсутствует и второй член в правой части оператора (2.49) не приводит к расщеплению нулевого уровня атома даже в высших приближениях теории возмущения [см. Блохинцев (1961), Кондон и Шортли (1949), Собельман (1963)]. В этом случае сохраняется лишь эффект от диамагнитного члена в (2.49). Смещение уровня будет определяться средним значением этого члена:
(А器忌)X〈[我夕在]〉.(2.56)
k
Заметим, что [Hr^ = ZTr^sin2 0T где 0 — угол между векторами rk и Н. Поскольку в s-состоянии (£ = S = 0) распределение заряда в оболочке атома сферически-симмр- трично, то получаем <sin2 0) = 2/3; в итоге вместо (2.56) получим
(^您=彘』〈喲“"(公57)
k
Отсюда для диамагнитной восприимчивости по формуле 金м y口m= @我2
находим )
X口m=一2泳⑵58)
k
Более сложный случай, когда равен нулю полный момент атома (J — 0), однако спиновый и орбитальный моменты по отдельности отличны от нуля (£ =" 0). В этом случае магнитный момент атома равен нулю лишь в первом приближении теории возмущений. Уже во втором приближении поправка от парамагнитного члена в (2.49) может по абсолютной величине превышать диамагнитный эффект первого приближения* Интересно отметить, что парамагнитная поправка второго приближения к основному уровню всегда отрицательна [см., например, Блохинцев (1961)]. Поэтому парамагнитный момент, связанный с этой поправкой, будет всегда положителен, ибо
Этот парамагнетизм, появляющийся во втором приближении, носит название поляризационного или ванфлековского парамагнетизма (подробнее см. гл. 7).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 2
J. S 1 at er, Phys. Rev. 34, 1293 (1929).
G. F. Koster, Phys. Rev. 98, 514 (1955).
N. Karavianis, C. A. Morrison, Am. J. Phys. 32, 216 (1964).
W. E. L a m b, Jr., W.E.Retherford, Phys. Rev. 72, 241 (1947).
H. Beth e, Phys. Rev. 7 2, 339 (1947).
T. Welton, Phys. Rev. 74, 1157 (1948).
J. Schwinger, Phys. Rev. 73, 416 (1948).
B. N. Taylor, W. H< Parker, D. N. Langenberg, Rev. Mod. Phys. 41, 357 (1969).
A. A. S c h u p p, R. W. P i d d, H. R. Crane, Phys. Rev. 121, 1 (1961).
P. A. M. D i r a c, Proc. Roy. Soc. A133, 60 (1931).
P. A. M. D i г a c, Phys. Rev. 71, 817 (1948).
J. Schwinger, Phys. Rev. 144, 1087 (1966), Phys. Rev. Lett. 16, Abstr. A2 (1966).
E.M. Purcell, G. B. Collins, T. Fujii, J. Hornbostel, F.Turkot, Phys. Rev. 129, 2326 (1963).
R. L. Fleischer, H. R. Hart Jr. et al., J. Appl. Phys. 41, 958 (1970).
K. W. F о г d, Sci. Amer. 209, 122 (1963).
«Монополь Дирака», сб. статей, перевод с англ, под ред. Б. М. Болотовского .и Ю. Д. Усачева, Изд-во «Мир», М„ 1970.(
Р. Langevin, J. de phys. 4, 678 (1905).
Р. Langevin, Ann. chim. et phys. 5, 70 (1905).
W. P au 1 i, Zs. Phys. 2, 201 (1920).
Глава 3
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О МАГНИТНЫХ СВОЙСТВАХНУКЛОНОВ И АТОМНЫХ ЯДЕР )
Магнитные моменты протона и нейтрона
Тяжелые элементарные частицы — протоны и нейтроны (нуклоны), а также построенные из них атомные ядра обладают собственными магнитными моментами, которые служат источниками ядерного магнетизма. По аналогии с электроном можно было бы ожидать, что протон, как заряженная (положительно) элементарная частица, спин которой согласно (2.1) равен У3/2九,должен обладать спиновым магнитным моментом по величине, согласно (2.5), равным "§ ^^ , где М — масса покоя протона, в 1836 раз большая массы электрона. Таким образом, в ядерном магнетизме, значительно более слабом, чем электронный, роль элементарного магнитного момента должен играть ядериый магнетон Бора
卩яд = 0Мс ~(836 "е= 5,°509」0~2 2 зра/з.(3.1)
Для нейтрона — частицы, лишенной электрического заряда, казалось естественным принять, что он не обладает магнитным моментом. Однако в действительности опыт дал совершенно иную картину. Магнитный момент протона р,р оказался почти в три раза больше, чем 卩代口, а именно:
~р= (2,792782 士 0,000017)卩叩=(1 十 1,792782)卩叩.(3.2)
Магнитный二момент нейтрона оказался отличным от нуля и равным
^九=-(1,913139 士 0,00009), ^д = (0-1,913139) цнд.(3.3)
В последних выражениях в правой части (3.2) и (3.3) первые слагаемые в скобках (соответственно 1 и 0) дают величину магнитного момента по теории Дирака в единицах р,яд, а вторые слагаемые (соответственно +1,792782 и —1,913139) —«аномальную» часть. В отличие от электрона, где тоже есть аномальная добавка, вызванная флуктуацией электромагнитного вакуума [см. формулу (2.39)], эта добавка для нуклонов не малая, а того же порядка и даже больше, чем величина р,пд. Современная квантовая теория нуклонов не дает сколько-нибудь детального объяснения этой аномалии. Можно лишь качественно предполагать, что эта аномалия связана с магнитными свойствами электрически заряженных л-мезонных облаков, окружающих «голые ядра» нуклонов. Следует также указать, что появившаяся недавно гипотеза кварков в теории сильных взаимодействий дает возможность довольно точно предсказать отношение магнитных моментов протона и нейтрона:
2(Нп^Н^теор — —— 0,667;
укажем, что опыт дает величину — 0,685.
Магнитные моменты атомных ядер )
В табл. 3.1 в качестве примера приведены величины спиновых и магнитных моментов атомных ядер некоторых изотопов.
Из таблицы видно, что для спинов ядер имеет место правило аддитивности, а ядер- ные магнитные моменты явно неаддитивны (в единицах р,яд). Даже в простейшем многонуклонном ядре — дейтероне, состоящем из протона и нейтрона со спином, равным единице, т. е. с параллельными спинами обоих нуклонов, результирующий
Таблица 34
Спины (Т) и дипольные магнитные моменты (卩)атомных ядернекоторых изотопов в основном состоянии
z
Ядро
4
г
Z
Ядро
4
Г
0
п
1*
1/2
-1,913139 (45)
22
Ti
47
5/2
-0,788130 (84)
1
Н
1
1/2
+2,79277 (5)
49
7/2
-1,10377 (12)
2
1
+0,8574073 ⑵
23
V
50
+3,34702 (94)
з*
1/2
+2,97884(1)
51
7/2
+5,1470(57)
2
Не
1/2
-2,127544(7)
24
Сг
'53
3/2
-0,74391 (42)
0
—
25
Мп
55
5/2
+3,46766(14)
3
Li
1
+0,822008 (22)
26
Fe
57
3/2
+0,05
3/2
+3,256310(85)
27
Со
56*
4
3,855(7)
5
В
10
3
+1,80081 (49)
59
7/2
+4,6488 (5)
11
3/2
+2,68852 (4)
60*
5
+3,80(2)
6
С
12
0
—
28
Ni
61
+0,10(10)
13
1/2
+0,702381 (2)
29
Си
63
+2,22664(17)
7
N
14
+0,40371 (6)
31
Ga
69
+2,01605(51)
15
1/2
-0,28313(12)
71
3/2
+2,56158 (26)
8
О
16
—
34
Se
80
17
5/2
-1,89370(9)
37
Rb
85
5/2
+1,35268 (И)
9
F
19
5/2
+3,50(24)
87
3/2
+2,750529(38)
10
Ne
20
0
0
49
In
113
9/2
+5,52317(54)
11
Na
23
3/2
+2,21753 (10)
115
9/2
+5,53441 (66)
13
Al
27
5/2
+3,641421 (30)
55
Cs
133
7/2
4-2,57887 (30)
16
S
32
0
56
Ba
135
3/2
+0,832293(24)
17
Cl
35
3/2
+0,821808(71)
137
3/2
+0,9324(27)
37
3/2
+0,68409 (6)
83
Bi
209
9/2
+4,07970(84)
19
к
39
3/2
+0,39146 (7)
92
U
235*
5/2
1,8(1)
40*
-1,2981 (4)
94
Pu
241*
5/2
1,4(6)
21
Sc
45
7/2
+4,75631 (12)
95
Am
241*
5/2
1Л
Таблица составлена
в основном по данным обзора Смита (1957). Звездочкой
в столбце массовых
чисел
(Л) отмечены радиоактивные изотопы. Z
—атомный но-
мер элемента, / —
величина спина (в единицах
无).В столбце дипольных магнит-
ных моментов 卩(в
единицах р-яд) последние знаки,
5зятые
в скобки' характери-
зуют
экспериментальную
точность их определения.
магнитный момент не равен алгебраической сумме моментов составляющих. Сравнение численных значений дает (точность эксперимента гарантирует правильность значений выше 0,0001)
Н^2 — Зр + Nn) — —。，022228р,яд.
Если считать, что между протоном и нейтроном действуют центральные силы, то основное состояние должно быть S-состоянием, т. е. £ = 0. Поскольку результирующий спин равен единице, то это состояние является триплетом 3sh Вместе с тем явное нарушение аддитивности магнитного момента, а также обнаруженный на опыте квадрупольный момент ясно указывают, что состояние 3s勺 не может быть основным. Поэтому приходится предполагать, что основное состояние дейтерона является не «чистым» ^-состоянием, а «смесью» двух состояний, например 3s勺 и 3。勺(с £ = 2), причем примесь последнего составляет примерно 4%. Отсюда следует, что L не является «хорошим» квантовым числом, а ядерные силы не центральные. Однако не следует думать, что «примесь» орбитального магнетизма полностью объясняет неаддитивность магнитных моментов ядра. Возможны еще специфические ядерные причины этой неаддитивности, обусловленные 《обменным» взаимодействием между нуклонами в ядре через л-мезонное поле. Однако пока теория не в состоянии дать сколько-нибудь уверенного количественного объяснения этого вклада в неаддитивность.
Из анализа опытных данных по спинам и магнитным моментам атомных ядер можно сделать следующие общие выводы:
Все ядра с четным числом протонов (четный Z) и нейтронов (четные А — Z) обладают нулевым спином.
Ядра с нечетным Л (любым Z) имеют спин (п + 1/2)^, где п = 0, 1, 2,...
Ядра с нечетными Z и нечетным Л — Z (т. е. с четным Л) имеют спин пй., где 孔=1, 2, 3,...
Под спином ядра I понимается полный момент количества движения ядра, равный векторной сумме орбитальных моментов составляющих его нуклонов и их спинов. Орбитальные моменты нуклонов в единицах 九 выражаются целыми числами, а спиновые моменты — полуцелыми (т. е. целыми числами в единицах 九/2). Отсюда и вытекает, что в ядрах с нечетным Л результирующий спин, как говорят, полуцелый, а с четным Л —целый. То обстоятельство, что у ядер с четными Z и Л — Z всегда спин / — О в основном состоянии, обусловлено спецификой ядерных сил. Из опыта, далее, следует, что все ядра с / 六 0 имеют и ненулевой магнитный момент, равный р = ^яд7р,яд, где ^яд — магнетомеханическое отношение, или g-фактор ядра.
Тот факт, что для большинства атомных ядер спины ие превышают 7/2, позволяет предположить, что нуклон, подобно электронам атомной оболочки, образует замкнутые «слои», для которых значения спина и магнитного момента равны нулю. Следовательно, спин ядра является результатом сложения спинов лишь небольшого числа нуклонов, не вошедших в замкнутые слои. Например, в ядрах Не^, Q2, О^6 и т. и. с Z — 0 все нуклоны входят в замкнутые слои, а в ядре N尹 шесть нейтронов и шесть протонов образуют замкнутые слои, а седьмые нейтрон и протон дают результирующий спин ядра, равный их сумме: / = 1. Однако соответствующий магнитный момент этого ядра не равен, например, магнитному моменту дейтерона, у которого спин такой же (т. е. Z = 1), магнитный момент 卩 составляет всего лишь 0,40371 р,яд
В случае более тяжелых ядер энергии спиновых квантовых чисел могут достигать больших величин. Например, у изотопов индия In^f3 и Injf5 спин I = 9/2 и соответственно велики магнитные моменты: 5,486 р,яд и 5,500 р,яд* За последнее время большой успех приобрела оболочечная модель атомного ядра *). На основе этой модели были сделаны попытки объяснений и магнитных свойств атомных ядер* Упомянем здесь только о так называемых диаграммах Шмидта [1]. В случае средних и тяжелых ядер наряду с ядерным взаимодействием между нуклонами, учитывается также и кулоновское отталкивание между протонами и связанная с этим взаимодействием несферич- ность ядер* Последнее приводит к тому, что магнитные моменты тяжелых ядер складываются не только из магнитных моментов «внешних» нуклонов, но также магнитного момента, связанного с вращением аксиально-симметричного ядра*
Естественно, что одночастичная оболочечная модель ядра не может учесть в приближении самосогласованного поля все влияние взаимодействия нуклонов на их магнитные моменты. Это видно из заметных отклонений величин наблюдаемых моментов от линий шмидтовских диаграмм. Значительный прогресс в теоретическом объяснении магнетизма атомных ядер достигнут в работах Мигдала (1965), использовавшего в качестве исходного пункта своей трактовки методы теории ферми-жидкости по Ландау [4].
Численные расчеты Троицкого и Xоделя [5] дали очень хорошее согласие теории и опыта для случая симметричных ядер*
Итак, ядро, обладающее спином, имеет момент количества движения, по модулю равный
G= ”7 (/十 1)力，(3.4)
где Л принимает полуцелые и целые значения: / = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ... Магнитное квантовое число т^ при заданном / принимает 2『+1 значений:
=『，『一 1,—(『一i), —■『.
Механическому моменту G соответствует магнитный момент
卩f = gR 1/『(' +() Ияд»(3.5)
где ^яд— ядерное магнетомеханическое отношение.
Ядерныи магнитный резонанс (ЯМР) и взаимодействиесверхтонкой структуры (СТС)
Ядерный магнитный резонанс (ЯМР). Атомное ядро с отличным от нуля моментом, помещенное во внешнее постоянное магнитное поле Я, испытывает пространственное квантование, и его 2/ + 1-кратно вырожденный уровень расщепляется в зеемановский мультиплет, уровни которого обладают энергиями ^1^ЯдИядЯ. Если после этого ядро поместить в переменное поле с частотой, совпадающей с ядерной парамагнитной частотой
юЬяд^яд '2Мс，(3・6)
то возникает резонансное поглощение энергии поля атомными ядрами, которое носит название ядерного парамагнитного резонанса или просто ядерного магнитного резо-
нанса (NMP). Эта формула аналогична выражению (2.38) для электронной ларморовской частоты с заменой gj на ^яд и иг на М. В силу того, что М 匕 1836 т, резонансная частота ЯМР заметно меньше частоты ЭПР. Подставляя численное значение универсальных постоянных в (3.6), находим для линейной резонансной частоты (2nv = со)
%е = 2,13gHiц/Г, (3.7)
где V измеряется в килогерцах, а Я — в эрстедах. Таким образом, ЯМР в полях порядка 103 з наблюдается в области радиочастот. (Подробнее см. гл* 13 и 26). Впервые ЯМР наблюдали в 1946 г. Блох и др. [6] и Парселл и др. [7].
Взаимодействие сверхтонкой структуры (СТС). Добрецов и Теренин [8], а затем Шюлер [9] показали на опыте, что отдельные линии тонкой структуры линейчатых оптических спектров представляют собой совокупность нескольких различных линий с весьма большими значениями частот. Так была открыта, сверхтонкая структура (СТС) спектральных линий* Причина СТС та же, что и тонкой структуры, — магнитное взаимодействие магнитных моментов электронной оболочки и ядра атома. Энергия этого взаимодействия, как и энергия спин-орбитальной связи (2.26), может быть представлена в виде
AI^J. (3.8)
где Л ——параметр взаимодействия СТС ——зависит от ядерного и электронного g- факторов, от величин магнитных моментов электрона и ядра и от волновой функции основного состояния (подробнее об этом взаимодействии см. в гл. 13 и 26).F
Рис. 3.1. Векторная модель атома с учетом ядерного момента, а) Общий случай электронной оболочки с L ^ 0 и s，0; 6) случай s-состояния (L= 0). (Масштаб для 口工 увеличен примерно в 103 раз.)Рис. 3.1. Векторная модель атома с учетом ядерного момента, а) Общий случай электронной оболочки с L ^ 0 и s，0; 6) случай s-состояния (L= 0). (Масштаб для 口工 увеличен примерно в 103 раз.)При расчете СТС формула сложения моментов (2.19) должна быть уточнена. Полный момент количества движения атома F равен сумме полного момента электронной оболочки J и момента ядра Z:
Рис. 3.1. Векторная модель атома с учетом ядерного момента, а) Общий случай электронной оболочки с L ^ 0 и s，0; 6) случай s-состояния (L= 0). (Масштаб для 口工 увеличен примерно в 103 раз.)
Рис. 3.1. Векторная модель атома с учетом ядерного момента, а) Общий случай электронной оболочки с L ^ 0 и s，0; 6) случай s-состояния (L= 0). (Масштаб для 口工 увеличен примерно в 103 раз.)
尸=/ + 工 (3.9)
Для возможных значений квантового числа F по аналогии с (2.20) и (2.21) имеем
b= J +八 J +『一1,…，]J —/|.
(3.10)
Из (3.10) следует, что при / > J число возможных подуровней мультиплета ровно 2J + 1, а при J〉/ их существует 2/ + 1. На рис. 3.1 приведена векторная схема сложения механических и магнитных моментов электронной обо л очки и ядра атома. Из рис* 3.1 видно, что из-за гиромагнитной аномалии спина ре зультирующий магнитный момент
атома nf не параллелен результирующему механическому моменту F, вокруг которого он совершает прецессию* Электронная оболочка в силу взаимодействия СТС (3.8) создает в центре ядра эффективное магнитное поле Н^п (см. гл. 26), параллельное вектору J. Энергия взаимодействия (3.8) залисывается тогда в виде
А阮тс = ~#зн cos (工,J),(3.11)
где g/ дается формулой (3.5) и
cos(C—/尸 + 1) - 7(7 + 1)-J(J+D
2 Vf(f+l)/(/ + l) Таким образом,
Д^стс = 2^^1} [/-(/- +1)-Л (/ + 4) — J (J + 力.(3.12)
В заимодействие СТС в твердом теле осуществляет главную магнитную связь между ядерной и электронной подсистемами (подробнее см. гл. 26). Здесь мы лишь приведем общее выражение для гамильтониана взаимодействия между отдельным ядром и электронной оболочкой:
認 СТС= —^ядР-бНяд認 СТС= —^ядР-бНяд{*{*(3.13)(3.13)
認 СТС= —^ядР-бНяд
認 СТС= —^ядР-бНяд
{*
{*
(3.13)
(3.13)
Первое слагаемое в (3.13), содержащее дельта-функцию, называется контактным фермиевским взаимодействием [10]. Оно отлично от нуля только для s-электронов, волновая функция которых не имеет узлов на ядре. Два же последних дипольных члена в правой части (3.(3) для s-электронов равны нулю (при L = 0). Фермиевскому контактному взаимодействию можно сопоставить эффективное магнитное поле, равное
WcTc = ^g*BS| @(0)|2，(3.14)
где I 屮(0) I 2 = р (0) — плотность s-электронов на ядре. Это поле в некоторых случаях достигает больших величин, порядка 106 а (подробнее см. гл. 26).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 3
Schmidt, Zs. Phys. 106, 358 (1937).
А. В е t h е, Phys. Rev. 103, 353 (1956).
Н. В г а и d о w, Phys. Lett. 4, 8 (1963).
“.Ландау,出ЗТ① 35, 97 (1958).
А. Троицкий, В. А. X о д е л ь, Ядерн. физ. 1, 205 (1965).
Bloch, W. W. Hansen, М. Е. Packard, Phys. Rev. 69, 127 (1946).
М. Purcell, Н. С. Torrey, R. V. Pound, Phys. Rev. 69, 37 (1946).
H. “обрецов, A. H. Теренин, Naturwiss^ 16, 656 (1928).
Schuler, Zs. Phys* 59, 150 (1930).
Fermi, 60, 320 (1930).
Глава 4
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАГНЕТИКОВ)
§ 1. Магнитные действия постоянного электрического тока *)
Для того чтобы получить представления о магнитных свойствах тела с макроскопической точки зрения, необходимо изучить его поведение под действием магнитных сил со стороны другого магнетика или электрического тока, протекающего по проводнику. Следует поэтому начать с выяснения характера магнитных взаимодействий токов и магнетиков*
Стационарный электрический ток, протекающий по проводнику, создает в окружающем пространстве магнитное поле. Величина этого поля в какой-либо точке- пространства зависит от силы тока в проводнике и от расстояния между источником поля и точкой наблюдения. Если рассмотреть малый элемент длины dl тонкого проводника, несущего ток силой 九 то абсолютной величиной интенсивности. или напряженности, вектора магнитного поля в точке на расстоянии г от этого элемента по направлению, составляющему угол 0 с ориентацией элементарного вектора 〃2, называют величину (в ед. СГСМ)
I dH I ————— (закон Био и Савара). (4.1}
Направление вектора поля перпендикулярно к плоскости, образованной векторами dZ и г. В силу принципа суперпозиции магнитное поле проводника конечной, длины и толщины равно сумме векторов dH. Если вместо силы тока i ввести вектор плотности тока J:
(S)
(4.2).(4.2).где /п — нормальная слагающая вектора J в направлении, перпендикулярном к плоскости поперечного сечения проводника S, то суммарное поле тока конечного провода в силу (4.1) равно
(4.2).
(4.2).
где &т — элемент объема проводника, а интегрирование распространяется по всему его объему. Наряду с интегральным выражением (4.2) часто пользуются дифференциальными уравнениями (Максвелла), которые могут быть получены из (4.2). В случае постоянного магнитного поля они имеют вид
divH=0, rotH=^“divH=0, rotH=^“(4・3>(4・3>
divH=0, rotH=^“
divH=0, rotH=^“
(4・3>
(4・3>
Физический смысл первого из уравнений (4.3) заключается в утверждении отсутствия истинных магнитных зарядов ), а второе уравнение гласит, что вокруг каждой линии тока создаются《вихри» (замкнутые силовые линии) магнитного поля.
Из первого уравнения (4.3), а также теоремы Гаусса сразу же находим первое интегральное уравнение магнитного поля стационарных токов:
(4 .今(4 .今Яп dS = O.
(4 .今
(4 .今
Далее, из второго уравнения (4.3) и теоремы Стокса находим второе интегральное уравнение этого поля:
(4・5>(4・5>^ Hi dl^—^~ i,
(4・5>
(4・5>
где I — суммарная сила тока во всех проводниках, охватываемых контуром Z.
Теорема Гаусса гласит, что объемный интеграл от дивергенции любого вектора, например jdiv Н dq равен поверхностному интегралу от потока этого вектора через замкнутую поверхность, окружающую объем:勺 Нп dS, где dS — элемент поверхности, а 斗一 нормальная слагающая вектора к поверхности.
Теорема Стокса гласит, что поток ротора (вихря) любого вектора, например )(rot Н)几dS, через поверхность S равен циркуляции этого вектора по контуру I, ограничивающему эту поверхность, т. е. § H^L
Из (4.5) ярко виден соленоидальный, а не потенциальный характер магнитного поля электрического тока. Поэтому это поле невозможно описывать однозначным скалярным потенциалом, подобно электростатическому полю, а приходится пользоваться вектор-потенциалом 力.Последний связан с вектором Н известной формулой _ff = rot4(4.6)
По (4.6) вектор .4 определяется неоднозначно с точностью до произвольного вектора, имеющего вид градиента произвольной скалярной функции / (г), т. е. V/ (?*) (ибо rot v/ (父)三 0)* Эта неоднозначность обычно снимается добавочным условием
div Л = 0.(4.7)
Для полного определения магнитного поля стационарных токов к уравнениям поля (4.3) необходимо добавить условия, которым должен удовлетворять вектор Н
Рис. 4,1. Определение граиичпых условий для магнитРис. 4,1. Определение граиичпых условий для магнитна поверхностях разрыва, т. е. на поверхностях, по которым текут поверхностные токи. Предположим, что ток течет по проводнику с весьма малым прямоугольным сечением (рис. 4.1), где 〃 一«ширина» проводника, а dl ——малая его толщина, причем плотность TOKaJ настолько велика, что произведение &dZ = g остается конечным* Такой ток д (в пределе dZ f 0) называется поверхностным^ Ток, протекаю-
Рис. 4,1. Определение граиичпых условий для магнит
Рис. 4,1. Определение граиичпых условий для магнит
пото поля токов.щий через единичный отрезок
АВ на поверхности проводника, перпендикулярный к его оси (рис. 4.1), называется плотностью поверхностного тока 论.В присутствии поверхностных токов вектор-потенциал Л остается непрерывным во всем пространстве, а поле Н может испытывать разрывы только на поверхностях с fc =^ 0, отделяющих область 2 ют области 1 (рис. 4.1)* При этом, если применить уравнение ноля (4.4) к бесконечно
малому параллелепипеду с площадью основания ст и средним сечением, совпадающим с поверхностью с током, то при стремлении к нулю ребра q параллелепипеда, нормального к поверхности с током, получим при dZ f 0
Нп dS — (Я2п — Нт) о= 0・
Следовательно, граничные условия для нормальной слагающей поля токов можно записать в виде
(4.8)(4.8)*2п—*1п = ° или DivH = 0,
(4.8)
(4.8)
где Div — символ поверхностной дивергенции.
Применяя уравнение поля (4.5) к бесконечно малому контуру ABCD (рис. 4Л) при AD — BC=^dl > 0, получаем
(H2t — H^ dt = ~llim ]п dS^~kN dt,
с dS=0с
где Ht——слагающая поля по касательной t к поверхности тока, a kN — слагающая вектора 论 по другой касательной N к этой же поверхности, и перпендикулярной к 我 Таким образом,
(4.9)(4.9)rr ТТ 4 л ?гп —_4 冗 _
(4.9)
(4.9)
л2/ — Нц — ~^- /cn, или Rot Н—~^-к,
где Rot — символ поверхностного ротора.
Система уравнений (4.3) и граничных условий (4,8), (4,9) вместе с требованием исчезновения поля на бесконечности (~厂2)вполне однозначно определяют магнитное поле заданного распределения стационарных токов J и fc при условии, что мы пренебрегаем влиянием магнитного поля на электропроводность материала проводника, т. е. не учитываем эффект изменения электросопротивления в магнитном поле (магнетосопротивление) [см., например, Френкель (1935) или Ландау и Лифшиц (1957)].
§ 2. Магнитные действия магнетиков, намагниченность
Исторически магнетизм был открыт еще в древности (около 2000 лет до н. з.), но не в виде магнитного поля электрического тока, а в виде магнитного поля естественных постоянных магнитов Долгое время считалось, что источниками магнитного поля магнетиков являются особые магнитные заряды двух знаков. Однако опыт показал, что изолировать эти магнитные заряды различных знаков невозможно* Поэтому элементарной частицей начали считать магнитный диполь ——систему двух равных по величине и обратных по знаку и неразрывно связанных магнитных зарядов (полюсов). Основной качественной характеристикой магнитного диполя является вектор его магнитного момента, который условно можно представить как произведение «магнитного заряда» тмаг *) на вектор «длины» диполя 2, т. е.
(и = /Пмаг 乙 (4Л0)
Магнитные свойства тела определяются коллективным поведением таких элементарных магнитных диполей* После открытия Эрстедом магнитного поля электрического тока была высказана гипотеза (Ампер) о том, что элементарные магнитные
(4.И)(4.И)нитного момента замкнутогонитного момента замкнутоготока.тока.абсолютной величине магабсолютной величине магдиполи являются молекулярными круговыми токами* Можно показать, что элементарный круговой ток ведет себя и во внешнем магнитном поле точно так же, как и элементарный магнитный диполь (теорема эквивалентности магнитов и токов). При этом для полного количественного совпадения их активных и пассивных магнитных свойств необходимо выполнение следующего равенства:
(4.И)
(4.И)
нитного момента замкнутого
нитного момента замкнутого
тока.
тока.
абсолютной величине маг
абсолютной величине маг
где i — сила кругового тока, S — площадь, охватываемая током и n0— единичный вектор нормали к этой площади. Таким образом, произведение силы элементарного кругового тока на охватываемую им площадь равно
нитного момента этого тока.
Остановимся кратко на выводе формулы (4.11). Для этой цели рассмотрим работу ^ W, совершаемую в однородном магнитном поле Н замкнутым плоским контуром с током i при его элементарном смещении на бесконечно малый вектор 〃？\ Из электродинамики стационарных токов известно, что сила df, действующая на элемент тока i dl в проводнике со стороны внешнего поля других токов Н, равна (закон Ампера)
[dl-H],(4.12)
Поэтому при i —const интересующая нас работа равна
6力=§ (df-dr)=善§ ([dl-H] dr) = ~ § (H[dr-dl\).
Учитывая, что [dr dl] ~bS, где 66 — вектор элемента площади поверхности AS, •описываемой элементом контура dl при его смещении на 〃父(рис. 4.2), будем иметь
J (Н66)=十 j 8nds =十6①；(AS)(AS)
здесь 6Ф—изменение магнитного потока при смещении контура, когда он описывает поверхность AS (рис. 4.2). Вводя вспомогательную потенциальную функцию )
<рт ——鼠①，имеем
6Hz =—6(Pm (при I = const).
Механический момент 窥，действующий на смещающийся контур с током в поле Н, определяем как обобщенную силу, сопряженную обобщенной координате (углу 8 между вектором Н и нормалью к плоскости контура п0):
= —^фт-
Рис, 4.3. Магнитный диполь.Рис, 4.3. Магнитный диполь.В случае однородного поля и контура достаточно малых размеров поле на его поверхности можно считать постоянным и поток через контур будет равен Ф — HS cos 仆， где S — площадь контура. Тогда
Рис, 4.3. Магнитный диполь.
Рис, 4.3. Магнитный диполь.
^l = -L.SH sin^, или Я» = +[_ff・S] = [_ff.|Li].] (4/3)
Из (4ЛЗ) видно, что вектор 窥 зависит от силы тока i и площади его контура S не по отдельности, а от их произведения, которое и следует определить как магнитный момент (4.11).
Для характеристики магнитного состояния макроскопического образца удобно выбрать величину результирующего магнитного момента, отнесенного или
к единице объема, или к единице массы, или к грамм-атому Результирующий магнитный момент единицы объема принято называть намагниченностью 1\
0-14)0-14)2卩，
0-14)
0-14)
ед. об
Для того чтобы установить связь намагниченности I с магнетостатпческпм полем, рассмотрим сначала «потенциал» 屮(办 отдельного i-ro элементарного диполя *} (рис. 4.3) для расстояний, больших по сравнению с размерами диполей:
屮;屮;<j)— ^мат .^маг<j)— ^мат .^магcos (lr) (卩")cos (lr) (卩")m 一 Г r+m 一 Г r+(4.15)(4.15)
屮;
屮;
<j)— ^мат .^маг
<j)— ^мат .^маг
cos (lr) (卩")
cos (lr) (卩")
m 一 Г r+
m 一 Г r+
(4.15)
(4.15)
где l—r_ —/*+, г—расстояние от точки наблюдения (zn, уп, zn) до центра диполя (tq, Uq, zj：
r=[Qn —，q)2 十®п —Уд)2 + & —Zq]2]"2.
Используя выражение для градиента скалярной функции 厂1 относительно точки «истока» (хд, ?q, Zg), т. е. учитывая, что Vqr-i = ^・r-3 = — Vnr~i, находим
碌)=(卩”q「t)=卩厂》= 1 Hr I i cos 8,(4.15a)
= _ V UQT = * + 3 (ty °.(4.156)
Таким образом, магнитный «потенциал», создаваемый в точке (xn, yn, zn) всем магнетиком, равен интегралу по всему объему тела от (4.15а) с заменой 卩》 на магнитный момент элемента объема _Г t/т:
屮m= [ H%rT)dT.(4.16)
Если еще учесть, что
(T%rT) = div (r-ij-)-2-div Z,
а также воспользоваться теоремой Гаусса
j div (厂1工)〃т= § ‘2n；‘1n dS_ — § 6；工 as.
где /2П — /in — разность нормальных составляющих вектора / по обе стороны гра- ничной поверхности S магнетика, то (4.16) примет вид
<Pm= j 丄U"工).火 + § .(-尸vZ). ^.(4.17)
Следовательно, по аналогии с электростатикой, можно сказать, что влияние магнетиков эквивалентно действию объемных и поверхностных магнитных зарядов соответственно с плотностями
Pm=—divZ и от — —Div I,(4.18)
а вклад в магнитное поле от магнетиков равен
Кмагн=-У<Ьг=-У [ j 辱 dt+ j _dS].(4.19)
■Это поле должно удовлетворять системе дифференциальных уравнений и краевых условий, аналогичных используемым в электростатике:
div ■Н'магни4冗Рт= —4л div X, rot -ffмагн — 0, у (4 20) (^магн)2п —(^магн) 1 п = ^^m — -~ 4л Div X, (^магн)г^ — (^магн)1^ — 0--'
Если наряду с магнетиками существуют и макротоки, создающие поле, удовлетворяющие уравнениям (4.3) и краевым условиям (4.8) и (4.9), то по принципу суперпозиции полей суммарное поле Н =反丁。^ 十 ^Гмагн будет подчиняться следующей системе уравнений и краевых условий:
div J? = 0, rot Н = ^- J,
£(4.21)
^2П—51n = 0， Н2t—н^=~^~ k，N,
где введен вектор магнитной индукции В:
B^H^^I.(4.22)
Таким образом, можно сказать, что в статическом случае уравнения Максвелла разделяются на две независимые системы: одна для определения электростатического поля (div 1)=4лр, rot JK = 0) и другая ——магнетостатического поля (div J?= 4л
=0, rot Н — ~ J). Однако из электродинамики известно, что магнитное и электрическое поля не независимы, а представляют собой лишь две стороны единого электромагнитного поля. Наиболее ярко это внутреннее единство полей видно из специального принципа относительности, который и был открыт Эйнштейном, в частности, из анализа этой связи. Например, если мы хотим определить силу, с которой ток в, проволоке действует на заряженную частицу, движущуюся около нее со скоростью 沙 параллельно оси проволоки, то мы получим разную форму ответа в зависимости от выбора инерциальной системы отсчета. Если в этой системе покоится проволока, то на частицу действует чисто «магнитная» сила. Если же в качестве системы отсчета выбрать систему, в которой покоится частица, то сила имеет вид чисто «электрический» ). Следовательно, характер разделения на магнитную и электрическую части взаимодействий токов и зарядов зависит от выбора системы отсчета для их описания. Разумеется, полное электромагнитное описание делается при этом инвариантным по отношению ко всем инерциальным системам отсчета, что согласуется с принципом относительности Эйнштейна,
§ 3. Основные типы магнетиков
Опыт показывает, что намагниченность является функцией внешнего магнитного поля. Для некоторых веществ в определенном интервале полей и температур и при квазистатическом характере всего процесса намагничивания ) эта зависимость носит простой линейный характер, т. е.
7=%К (4.23)
Коэффициент пропорциональности % носит название магнитной в осприимчи в ости. Восприимчивость единицы массы %。，определяется как %/р', где р'——плотность вещества. Атомная или молекулярная восприимчивости %厶 или %乂 равны соответственно произведению %口，на атомный или молекулярный вес. Если восприимчивость отрицательна (% V 0), то вещества называются диамагнетиками. Абсолютная величина восприимчивости диамагнетиков, как правило, очень мала (порядка 10~6). Типичными представителями этих веществ являются инертные газы, многие органические соединения и ряд металлов. Вещества с положительной восприимчивостью (% > 0) называются парамагнетиками. Величина восприимчивости их также мала (порядка 10~3 — 10~6). Типичными парамагнетиками являются газы ——молекулярный кислород О2,
окись азота NO, многочисленные соли редких земель и элементов группы железа^ щелочные металлы.
Наряду с этими так называемыми слабомагнитными телами существует ряд веществ, которые можно назвать сильномагнитными (например, железо, никель, кобальт, редкоземельные металлы от гадолиния до тулия, их соединения и сплавы, а также сплавы хрома и марганца). В этих веществах намагниченность, как правило, не является линейной функцией поля, между намагниченностью и полем существует' более сложная функциональная связь ——нелинейная и неоднозначная. К числу таких веществ относятся ферромагнетики и ферримагнетики (примером могут служить природные постоянные магниты, например куски магнетитовой руды, открытые еще в древности) )・
§ 4. Кривая намагничивания, петля гистерезиса, магнитнаяв осп риимчивос ть и магнитная проницаемость
Связь намагниченности с полем графически изображается так называемой^кри- вой намагничивания. В случае диа- и парамагнетиков эти кривые имеют вид прямых (рис. 4.4), а для ферромагнетиков, впервые наиболее подробно изученных А. Г. Столетовым (1873) [3], кривая имеет гораздо более сложный вид (рис. 4.5). Из рис. 4.5-
Рис. 4.4. Кривые намагничивания слабомагнитных веществ.Рис. 4.4. Кривые намагничивания слабомагнитных веществ.Рис. 4.5. Кривая намагничивания (ОКБ) и петля гистерезиса (Е GBCSDE) ферромагнитного вещества.Рис. 4.5. Кривая намагничивания (ОКБ) и петля гистерезиса (Е GBCSDE) ферромагнитного вещества.
Рис. 4.4. Кривые намагничивания слабомагнитных веществ.
Рис. 4.4. Кривые намагничивания слабомагнитных веществ.
Рис. 4.5. Кривая намагничивания (ОКБ) и петля гистерезиса (Е GBCSDE) ферромагнитного вещества.
Рис. 4.5. Кривая намагничивания (ОКБ) и петля гистерезиса (Е GBCSDE) ферромагнитного вещества.
ного вещества.ного вещества.
ного вещества.
ного вещества.
видно, что намагниченность ферромагнетика сначала резко возрастает, а затем достигает насыщения. Величина этого насыщения Is уменьшается с повышением температуры,, и выше некоторой определенной для данного вещества температуры 0/ (точка Кюри) ферромагнитяые свойства вообще исчезают
и ферромагнетик превращается в парамагнетик с линейной кривой намагничивания. В случае ферромагнетиков можно сохранить понятие магнитной восприимчивости как отношения IIН (полная воспр иимчивостъ) или как производной dl/dH (дифференциальная восприимчивость). Однако у ферромагнетиков эти величины не являются уже постоянными, а сложным образом зависят от величины магнитного поля. Из рис. 4.6 видно, что кривая %диф (耳)(так называемая кривая Столетова} начинается при X = 0 с некоторого конечного значения уа {начальная восприимчивость) и достигает наибольшего значения %максКл4ак~ сималъная- восприимчивостъ), соответствующего наиболее крутому подъему кривой / (Я), и затем стремится к нулю, когда намагниченность приближается к насыщению Is. Неодно
значность связи между / и ^ в ферромагнетике проявляется при попытке размагнитить намагниченный до насыщения (или меньше) образец. Если начать уменьшать поле, которое довело образец до насыщения +/§, то намагниченность, начиная с некоторого значения поля, будет «отставать» в своем уменьшении от уменьшения поля и при. 〃 =0 окажется отличной от нуля. В образце появляется остаточная намагниченность /д, не равная нулю, но несколько меньшая значения, соответствующего насыщению (/л W，s)・ Для того чтобы сделать намагниченность ферромагнетика равной нулю,
надо приложить обратное магнитное поле величины — Яс (так называемая коэрцитивная сила) ). Дальнейшее увеличение отрицательного поля доведет в конце концов образец до насыщения в обратном направлении (—/§)• Возвращаясь назад (уменьшая отрицательное поле), мы при Я — 0 получим / — — /л, при Я — + ^ вновь / — О и затем снова получим насыщение +/s. Таким образом, при полном цикле мы опишем замкнутую, кривую, которую называют максимальной петлей магнитного гистерезиса (см. рис. 4.5). Если максимальные значения намагниченности меньше /5, но одинаковы, то мы имеем симметричный частный цикл (кривая KLHI на рис. 4.5). Если максимальные значения намагниченности не равны между собой по величине, то соответствующая петля будет иметь вид так называемого несимметричного частного цикла (см. рис. 4.5, кривая CSDN).
Наряду с зависимостью вектора _Г от Н можно определить также зависимость магнитной индукции В от Н, используя (4.22). Заменяя там I по (4.23), получим
(4.24)(4.24)В =(14-4л%) Н=卩Н.
(4.24)
(4.24)
Величина 卩=1 + 4л% носит название магнитной проницаемости ). Формула (4.24) справедлива и для ферромагнетиков, если 卩 считать функцией поля. В диамагнетиках 卩 V 1, а в парамагнетиках 卩〉1.
В ферромагнетиках, где величина намагниченности (точнее, 4л/) сравнима, а часто и значительно больше, чем само поле (см. рис. 4.5), следует учитывать еще влияние поверхности образцов. Рассмотрим, например, ферромагнитное тело в виде промоуголыюго бруска. Поместим его во внешнее магнитное поле Не, направленное вдоль ребер бруска. Тогда брусок намагнитится в этом направлении до величины / (ради простоты будем считать, что намагниченность однородна по всему объему бру-
ска). При этом на торцовых поверхностях возник- рис. 4.7. Определение размагниЧи- нут так называемые «магнитные полюсы». Плот-вающего поля 力。.
ность магнитного заряда стт на этих полюсах будет равна /п = 土/. Эти «заряды», наряду с внешним полем Не, будут создавать свое магнитное поле Н^^ которое внутри бруска будет направлено против внешнего поля Не и против намагниченности _Г, т. е. оно будет играть роль размагничивающего поля (рис. 4.7). Суммарное истинное поле внутри бруска будет равно
(4.25>(4.25>H^He + H^t
(4.25>
(4.25>
Во многих случаях приближенно можно принять, что величина размагничивающего поля К。пропорциональна величине намагниченности и обратна ей по зна- ку, т. е.
8о= — А7,(4.26)
где N ——размагничивающий фактор (коэффициент размагничивания), который определяется приближенно лишь геометрической формой образца. В общем случае анизотропной ферромагнитной среды N является тензором Nik (J 化=七，у, z) . Из (4.26} и (4.25) находим
H=zHe — NI.(4.27)
Но в силу (4.23) имеем
н=(1 十％N)T_He и Х= Xff = X (1 + XAJ)-1 Яе= Zo Ht,(4.28)
где % называется магнитной восприимчивостью вещества^ так как она определяется лишь физической природой данного материала, а %。называется магнитной восприимчивостью тела、так как она зависит не только от природы материала (через %), по и от формы тела (через 7V). Аналогичные определения можно сделать и для проницаемости (卩一проницаемость] вещества и р,о — проницаемость тела). Наиболее полный
разбор вопроса о различных способах определения магнитных проницаемостей дал В. К. Аркадьев (1934, 1936) (см. также работу [8]) ).
Аркадьев [8] разработал также общую макроскопическую теорию электромагнитного поля в ферромагнитных металлах (подробнее см. гл. 24).
§ 5. Теорема Ампера
Уравнения магнитостатики (4.21) и (4.22) были получены с помощью представле- ния «дипольной» картины магнетиков. Можно, однако, легко показать, что эти уравнения вытекают и из менее абстрактной квазимикроскопической картины магнетиков, основанной на представлении о молекулярных токах.
Сравнение уравнений (4.20) и (4.3) , (4.8) и (4.9) показывает, что величину и рас- пределение токов ЗиЛ; невозможно подобрать так, чтобы их поле Нток было равно полю магнетиков ffMarH с данным распределением магнитных зарядов (4.18). Таким образом, теорема Ампера об эквивалентности магнитного листка и кругового тока, упоминавшаяся выше, в этом общем случае неверна. Однако если воспользоваться вектором магнитной индукции В, то при некоторых специально подобранных ) и к можно добиться равенства Нтон и Вмати=^Нмаги^^лТ, т. е. поля, создаваемого токами, и индукции, создаваемой магнетиками. Действительно, в силу (4.22) и (4.20) j?MarH удовлетворяет следующей системе уравнений;
div Вмагн=。，rot 石магн = 4:п rot X,](4 29)
(■^магн)2п — (-^магн) in —0, (^магн)!力 一(Вмагн)22 =&"m J
(，2п = °, так как вторая среда—вакуум и 工2 三 0)・ Но если положить
11
rot J" —.УМОлек» An — ~ (^)молек?(4.30)
то поле токов ZZT0K, определенное по (4.3), (4.8) и (4.9), будет полностью совпадать с индукцией Вмагн, определенной по (4.29). На основании этого можно дать обобщенную формули ров ку теоремы Ампера: любое распределение магнетиков можно заменить эквивалентным распределением токов, так что поле этих токов будет равно индукции^ создаваемой магнетиками^ если выполнены условия (4.30).
Из обобщенной теоремы Ампера вытекает, что поле ВмагН, которое на языке дипольных представлений принято называть магнитной индукцией, совпадает с напряженностью магнитного поля токов как макроскопических, так и молекулярных, т. е. -Вдипольн == Нмолен, где Нмолек — среднее значение микроскопического поля токов и магнетиков. Поэтому более последовательно называть магнитным полем величину В, а Н=_В——4л_Г рассматривать как вспомогательный вектор и назвать его индукцией [такую терминологию принял в своей монографии Я. И. Френкель (1935)]. Однако в физике и особенно в технике старая «дипольная» терминология (В ——индук- ция, Н — поле) настолько укоренилась, что вряд ли имеет смысл менять ее, ибо это может привести к ненужной терминологической путанице.
§ 6. Общее микроскопическое определение магнитного момента
Остановимся еще на общем микроскопическом определении магнитного момента и покажем, что ему не противоречит определение Ампера (4.11). В общем случае магнитный момент определяется выражением
М =Е 2 6 [*%L(4.31)
k
€丸—— электрический заряд /с-й частицы, vk ——ее скорость, rk— радиус-вектор; сумма в (4.31) берется по всем частицам магнетика. Вводя непрерывную среднюю плотность заряда магнетика р (父),формулу (4.31) можно представить в виде
W=/ f [父・pz]dT・(4.32)
В системе микротоков и магнетиков суммарная плотность тока р0 равна сумме плотности макротока J и молекулярного тока Смолен = с r^t -Г：
Р^ = Л-^молек = Л-с г。，工，(4.33)
"=£ j К•刃血十^" j [父・rot_T]dT.(4.34)
В случае отсутствия магнетиков (，三 0) и для линейных токов первый интеграл в правой части (4.34) примет вид
Мгок =盡 § [r*dZ] = y 5п05(4.35)
где S — площадь контура. Легко видеть, что (4.35) полностью совпадает с (4.11).
1 2 3 4 56781 2 3 4 5678ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 4
1 2 3 4 5678
1 2 3 4 5678
Р. А. М. Dirac, Proc. Roy. Soc. A133, 60 (1931).
P. Фейнман, P. Лейтон, M. Сэндс, Феймановские лекции по физике, вып. 5, Электричество и магнетизм, изд-во《Мир», М., 1966.
А. Г. Столетов, Собрание сочинений, т. I, ГТТИ, 1939, см* также Pogg. Ann, 144, 439 (1873); Phil Mag. (4), 45, 40 (1873).
P. И. Янус, статья в сб., посвященном 70-летию акад» А. Ф* Иоффе, Изд-во АН СССР, М., 1950, стр. 402, 411.
Е. S. S t о п е г, Phil. Mag. 36, 816 (1946).
J. A. Osborn, Phys. Rev. 67, 51 (1945).
R. M. В о z о r t h, D. M. C h a 3p i n, J. Appl. Phys. 13, 320(1942).
В. K. A p к а д ь e b5 JKP①XO 45, 103 (1913).
Глава 5
ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ И СТАТИСТИЧЕСКОЙМЕХАНИКИ МАГНЕТИКОВ
§ 1. Уравнения 1-го и 2-го начала термодинамики
Основное уравнение термодинамики для бесконечно малых обратимых процессов в применении к магнетикам с учетом изменения их магнитного состояния имеет вид (для единицы объема)
1
dU dSН dB.(5.1)
(黑)= (崇)S,B = 以 (备)
где dU —— изменение плотности полной энергии, dS —— изменение плотности энтропии, dp — изменение плотности магнетика,工 一 химический потенциал и Т — абсолютная температура ). Последнее слагаемое в правой части (5.1) равно работе магнитных сил. При адиабатически-изохорном процессе (dS = dP = 0) и при dp — 0 эта величина равна изменению полной энергии магнетика. Плотность энергии при данных условиях является термодинамическим потенциалом ——функцией параметров 5, р и J?. При другом выборе независимых переменных, например Т, В 瓜 р, в качестве основного термодинамического потенциала вместо полной энергии U удобнее рассматривать «свободную энергию» F (изотермически*изохорный потенциал)
F=U — TS,(5.2)
для которой вместо (5.1) имеем
1
dF= — S dT^d^^-^HdB,(5・3)
—S,—S,т,Г^Н-т,Г^Н-
—S,
—S,
т,Г^Н-
т,Г^Н-
Из (5.3) следует, что в случае изотермически-изохорных процессов без изменения плот- ности (т. е. при dT ~dV =dp = 0) выражение ^ Н @_В равно изменению свободной энергии системы.
Можно также выбрать в качестве термодинамических переменных 7\ р, Н, Такому выбору переменных будет соответствовать потенциал
尸尸一士丑3(5 4)
и уравнение первого и второго начала термодинамики примет вид
dF1 = — S dT + Zdp-^^dH,(5.5)
Иногда наряду с потенциалами 耳 и 耳工 рассматривают потенциалы j—F— Я2/8л n 产=户+A2/8冗，для которых
df= ^S dT + ^dp + Hdl： и d^^ — SdT + Zdp—TdH.
Однако хотя их формально и можно рассматривать, но они не очень интересны, поскольку Н уже не «внешнее» поле для магнетика, поскольку Н изменено присутствием самого магнетика. Поэтому более целесообразно ввести другой термодинамический потенциал:
产=，俨十器)匹(5・6)
где интеграл берется по объему всей системы, а Не ——поле, создаваемое токами в отсутствие магнетиков. Из (5.6) видно, что разность 茅口一芳‘(炉工=j耳I dt) не зависит от свойств и термодинамического состояния магнетика. Вычислим изменение 6/口 при заданной температуре и при малом изменении магнитного поля [см. Ландау и Лифшиц (1957)]. Тогда по (5.6) и (5.5) и используя простые преобразования, имеем 6妥口=—£j (BdH — HedHe)dT =
=一展 j (H—HJbfledT—* J 林(H—HQdT—* \ (B—HMHedT. (5.7)
Вводя в первом и втором интегралах правой части (5.7) вместо Не и В соответственно вектор-потенциалы Л е и Л, будем иметь
(Н—Не) 6& = (Н—Не) rot бЛе = div [6N е (Н— Н^} + 6』е rot (Н — Н&), 86 (Н—Не) = 6 (Н—%) rot N = — div [б (Н—He)N] + /6 rot (Н —厘).
Легко видеть, что по теореме Гаусса интегралы от div по всему объему равны нулю, a rot (Н—&) = г0tHMагн =。в силу (4.20). Поэтому (5.7) с учетом (4.22) принимает вид
(5.8)(5.8)6妥п=— I RHe 肌, или dFn= — IdBe.
(5.8)
(5.8)
Заметим только, что выражение (5.8) —I dHe нельзя рассматривать как изменение плотности свободной энергии магнетика, поскольку 劣口 отлична от нуля и вне магнетика и, кроме того, поле Не не является истинным полем Н,
Если поле Не однородно, то (5.8) дает
d^u=-SdT—MdHe,
(5.9) где j I di—полный магнитный момент магнетика. При линейной кривой намагничивания (_В=нН) можно вычислить не только 6①п, но и зависимость 芥工工 от X и Не, Действительно, из (5.7) находим
① 11=&0 (%？)一* J {HB-H^dx^
=多0 (匕 7)一 急，(耳 一风)(B十нe)加一急，ие (B 一丑)次. (5.10)
Как было показано выше при выводе (5.8), первый интеграл в правой части (3.10) равен нулю, и поэтому, используя (4.22), находим
①口 =①о (厂,7) —2- J нё工 аT.(5.11)
В случае однородного поля (5.11) принимает вид
，尹"=①0(匕 T)—- Мне.(5.12)
В случае слабомагнитных тел, когда % 々 1 (卩〜1) и 工〜％以©, (5-11) дает
多11 =多0 (匕 r)-f，砖布.(5.13)
§ 2. Термодинамические условия равновесия
Т ермодинами чески е условия равновесия находятся из требования минимума полных свободных энергий:①=j 尸(北 Р, -В) dt или 芳工=j fKt, pf H) dr. Равенство нулю первой вариации 皆工 или 弃 дает необходимые условия минимума при за* данной температуре. При этом варьирование по р при условии постоянства полной массы тела ( Jp Qt= const) дает условие равновесия в виде постоянства химического потенциала. Задавая для В (или Н) одно из уравнений Максвелла, например div _В = 0 или rot 2Г = — из условия минимума написанных выше интегралов находим второе уравнение и соответствующие граничные условия для В или Н, Если внешние источники магнитного поля отсутствуют (магнетик в вакууме без токов), то из равенства нулю первой вариации [см. формулу (5.3)] сразу следует;
дВ ~ 4л ~°
и
div 丑=0.
Если это не ферромагнетик, то находим травиальное решение: Н ~ В ~ Q. В ферромагнетике при 左=0 возможно J?=4лX * 0, но при условии, что внутри магнетика div J? = 4л div X = 0, т. е. нет «магнитных зарядов».
Выяснение достаточных условий минимальности термодинамического потенциала требует исследования второй вариации. Эти условия имеют вид так называемых термодинамических неравенств, представляющих условия, гарантирующие устойчивость состояния магнетика. Например, для функции 尸工 эти условия [подробнее см. Ландау и Лифшиц (1957)] гласят:
警〉。，警〉。，@2尸@2尸@2尸@2尸@2?@2?@р2 @*2\ @р зн@р2 @*2\ @р зн)>0.)>0.
警〉。，
警〉。，
@2尸@2尸
@2尸@2尸
@2?
@2?
@р2 @*2\ @р зн
@р2 @*2\ @р зн
)>0.
)>0.
н,т>°，н,т>°，н, 万н, 万г>°・г>°・
н,т>°，
н,т>°，
н, 万
н, 万
г>°・
г>°・
В силу (5.5) первое из этих условий примет вид
(5.14)
т. е. имеем обычное требование полояштельности изотермической сжимаемости, ибо
Второе условие имеет вид якобиана (1/4л) (д (В, 0/@ (Н, р)) > 0. Переходя в нем от Н, р к новым переменным Н, & получим
=（器備）н.г〉°=（器備）н.г〉°(5.15)(5.15)@(ЕС) "Н, 9 @ (Н, G) "Н, р)
=（器備）н.г〉°
=（器備）н.г〉°
(5.15)
(5.15)
и в силу только что полученного условия находим из (5.15) специфическое для магнетиков требование положительности магнитной проницаемости:
(5.16)(5.16)（謝
(5.16)
(5.16)
которое является единственным ограничением, накладываемым термодинамикой на эту величину.
могутмогут§ 3. Основные дифференциальные соотношения термодинамики
могут
могут
Основные дифференциальные соотношения термодинамики для магнетиков быть получены из уравнения любого потенциала. Например, из (5.3) имеем
一（舞）一（舞）11ит-д-ит-д-(5-17)(5-17)Ниже эти соотношения будут использоватьсяНиже эти соотношения будут использоватьсяПользуясь такими соотношениями, можно вПользуясь такими соотношениями, можно впо мере надобности.по мере надобности.общей форме определятьобщей форме определятьсвязисвязимежду различными величинами, характеризующими макроскопические свойства магнетика. Зная какой-нибудь из термодинамических потенциалов как функцию соответствующих ему переменных, например 歹口(7\ р, /Г), можно определить связь междумежду различными величинами, характеризующими макроскопические свойства магнетика. Зная какой-нибудь из термодинамических потенциалов как функцию соответствующих ему переменных, например 歹口(7\ р, /Г), можно определить связь между
一（舞）
一（舞）
1
1
ит-д-
ит-д-
(5-17)
(5-17)
Ниже эти соотношения будут использоваться
Ниже эти соотношения будут использоваться
Пользуясь такими соотношениями, можно в
Пользуясь такими соотношениями, можно в
по мере надобности.
по мере надобности.
общей форме определять
общей форме определять
связи
связи
между различными величинами, характеризующими макроскопические свойства магнетика. Зная какой-нибудь из термодинамических потенциалов как функцию соответствующих ему переменных, например 歹口(7\ р, /Г), можно определить связь между
между различными величинами, характеризующими макроскопические свойства магнетика. Зная какой-нибудь из термодинамических потенциалов как функцию соответствующих ему переменных, например 歹口(7\ р, /Г), можно определить связь между
намагниченностью и полем, т. е. магнитное
уравнение состояния. В частности, из
(5.5) получаем
1 п
0尸 )
4n
1
а 戸1(5.18)
嗅’
1п
dF1
dHz'
1
т. е. находим В, а следовательно, и 工=~^
(■» —H)・
ВВdF1dF1(5.19)(5.19)Если магнетик изотропен, то направления векторов Т п И совпадают и (5.18) можно записать в более простой форме:
В
В
dF1
dF1
(5.19)
(5.19)
Статистическая механика
Общие формулы. Связь между изложенными выше термодинамическими равенствами и атомной теорией магнетизма осуществляется с помощью формул статистической механики, устанавливающих соотношения между термодинамическим потенциалом и величиной фазовой суммы Z, которая вычисляется через известные микросостояния системы. Основное такое соотношение ) Гиббса ——Богуславского имеет вид
гдегде(5.20)(5.21)(5.20)(5.21)声二一kT l.nZ,
где
где
(5.20)
(5.21)
(5.20)
(5.21)
z = N gn ехp ［一欝n
В (5.21) суммирование идет по всем микросостояниям системы с энергиями еп и статистическими весами gn (к — постоянная Больцмана). Вычисление 8П и gn— задача механики. В частности, если ее решать последовательно к вантовомеханически, то необходимо определить возможные значения энергий микросистемы % (ее энергетический спектр), а из найденной степени вырождения волновых функций микросистемы —статистические веса gn состояний системы. Из (5」9)—(5.21) следует, что
din ZдНdin ZдН2 需^ёхp ［一务］п》ехр ［-隸」gn2 需^ёхp ［一务］п》ехр ［-隸」gn(5.22)(5.22)
din ZдН
din ZдН
2 需^ёхp ［一务］п》ехр ［-隸」gn
2 需^ёхp ［一务］п》ехр ［-隸」gn
(5.22)
(5.22)
ибо магнитное поле Н входит в отдельные значения энергии микросистемы 8П как параметр ). Формулу (5.22) можно представить в несколько другом виде, если вспомнить, что выражение
^п^пgnexp ［一嗇{g"exp「一將gnexp ［一嗇{g"exp「一將(5.23)(5.23)
^п
^п
gnexp ［一嗇{g"exp「一將
gnexp ［一嗇{g"exp「一將
(5.23)
(5.23)
дает нормированную статистическую вероятность осуществления n-го состояния рас- сматриваемой макросистемы. Поэтому (5.22) примет вид
(5・24)
Величина производной (— @s»/@H) равна, как известно, магнитному моменту системы в состоянии п, т. е.
Мп =— 需••(5.25)
Следовательно, (5.24) есть определение среднего статистического значения (математического ожидания) магнитного момента системы, обладающей энергетическим спектром еп, т. е.—
I=M^^Mnwn.(5.26)
п
В качестве иллюстрации напомним вывод формулы (5.25) для случая классической механики. Прежде всего найдем энергию системы N заряженных частиц с зарядами ek (к — 1,2, 3, . . ., 7V) при движении в постоянном и однородном внешнем магнитном поле Н, направленном вдоль произвольной оси ± Энергия будет функцией обобщенных координат qk и импульсов pk отдельных частиц системы. В присутствии поля импульс каждой частицы будет состоять из механической и электромагнитной частей, т. е.
Ph十号4
где Л — вектор-потенциал поля, который в рассматриваемом случае в силу J4.6) 11меет составляющие
1
1
4=-^_9х% 4 = 0.
Поэтому энергия системы 卷 как функция обобщенных координат и импульсов будет иметь вид
富=富{0?,02, 一 .，0N；(p1)х(%)g "；(p1)g^" (?1)х "； (pl)z, . . .
• • •»(Pk)x Н^ (qQg н； (р&)у ^^(qQxH; (p&)z； •••},(5.27)
и, следовательно,
@卷=0「"(дПg @寓 一”(9冗)x @寓 ]
он ki - 2c а(р&)” 2c 。(叫у」，
частные производные 。方/@ (pk)x и д^/д (р&)у дают в силу уравнений Гамильтона соответственно составляющие скоростей отдельных частиц (沙冗)芯 и (沙冗)歹 и поэтому
3 签电“芯— (^fe)xl*(5.28)
k
Выражение в правой части (5.28) ло общему определению является z-составляющей магнитного момента, созданного движущимися заряженными частицами системы. Таким образом, формула (5.25) в действительности имеет место.
В случае квантовой механики справедливы аналогичные соотношения, только там непрерывные классические динамические переменные заменяются их средними значениями (матричными элементами операторов) в соответствующих стационарных состояниях. Этим обстоятельством мы будем широко пользоваться ниже.
Укажем также статистическое определение магнитной восприимчивости. Огра- ничимся случаем постоянной восприимчивости % из (4.23). Если внешнее магнитное поле изменяется на величину &Не、т0 изменение термодинамического потенциала /1n будет равно в силу (5.8)
捫【=-/ Ше = —%Не dHe, таким образом
(5.29)(5.29)или по (5.20)или по (5.20)—кТ @ In Z—кТ @ In Z(5.30)(5.30)1 dF11
(5.29)
(5.29)
или по (5.20)
или по (5.20)
—кТ @ In Z
—кТ @ In Z
(5.30)
(5.30)
Теорема Ван-Леевен ——Терлецкого. Укажем, что выполнение изложенной программы статистических вычислений оказалось принципиально невозможным в рам- ках классической статистики. Как было показано для частных случаев Бором [1] и Лорентцем [2], а в общем виде Ван-Леевен [3, 4] и Терлецким [5], магнитный момент любого магнетика, рассматриваемого как классический коллектив движущихся элементарных зарядов, помещенных во внешнее постоянное магнитное поле, в стацио- парном состоянии точно равен нулю *). Приведем здесь одно из возможных доказа-
тельств теоремы Ван-Леевен — Терлецкого [см., например, Вонсовский и Шур (1948)]. Допустим, что гамильтониан классической системы из 7V заряженных частиц с зарядами eh и массами mk (к = 15 2, 3, . . ., 7V) состоит из потенциальной энергии U (гь #2, •…，父N)——произвольной функции координат rk (s， у&‘ /) всех частиц системы и кинетической энергии этих же частиц. Необходимо также учитывать как действие внешнего магнитного поля Не，которое будем считать постоянным и однородным [мы будем описывать его вектор-потенциалом Л согласно (4.6)], так и эффект магнитного взаимодействия между всеми движущимися зарядами системы. Это в нут- реннее магнитное взаимодействие описывается вектор-потенциалом 4(вз), значение которого в точке, занятой 左-м зарядом, равно
恭=金諾，(5•叫
где &j— скорость /-й частицы, rkj— расстояние между к-й и f-й частицами. При этом не учитываются эффект запаздывания электромагнитного взаимодействия и существование спинового магнитного момента. В рамках классической теории этого и не имеет смысла делать, поскольку при учете запаздывания нужно принимать во внимание и электромагнитное поле излучения, которое, как и спин, можно последовательно учесть лишь в квантовой теории. Таким образом, в принятых предположениях фазовый интеграл (5.21) с учетом вектор-потенциала (5.31) будет иметь вид
ОО
Z = J expW-号(N 帚十/')]｝协….
—ook= 16(学:冗)
dr^ dpi勿n,(5.32)
где pfe— импульс А-й частицы, N冗——значение вектор-потенциала внешнего поля в точке, занятой А-й частицей. Скорости Vj суть функции импульсов pkt что следует из общего выражения
Р. = ВД+^ 2 謀十号
5(^)
Согласно определению магнитного момента (5.22) для доказательства того, что в равновесном состоянии всегда 7 = 0, нужно лишь показать, что фазовый интеграл Z, определяемый по (5.32), не зависит от магнитного поля Не. Для этого рассмотрим в (5.32) интегралы по импульсам dpi ...初n и введем в них новые переменные Р『mvk по формулам
(5.33)(5.33)
(5.33)
(5.33)
В результате интегралы по 无冗 примут вид
ОО^
J eXp ｛一强[0(~喇+2盡叩｝ a^?,…"n,
где A — якобиан преобразования 芸少…*, от импульсов pk к импульсам 马. Из (5.33) очевидно, что А не зависит от Не, ибо он состоит из производных типа。〃冗/。「冗， которые не зависят от Не [как это видно из (5.33)]. Таким образом, Z из (5.32) не зависит от Л"®, и, следовательно, теорема доказана, т. е.
三0.三0.
三0.
三0.
В заключение необходимо указать, что изложенное доказательство имеет силу лишь для состояний статистического равновесия. В моменты же непосредственно после включения или выключения внешнего магнитного поля классическая теория может привести к Z，0. Однако, как только система придет в состояние равновесия, намагниченность должна исчезать. Положительный результат, который получался для ряда случаев в классической статистической теории магнетизма, например в теории диа- или парамагнетизма (см. ниже в гл. 7 и 9), является всегда следствием неявного учета квантовой природы атома (устойчивость стационарных состояний и т. и.), чуждой законам классической физики.
В связи с этим Ван-Флек (1932) отмечает: в теории Ланжевена получена отличная от нуля магнитная восприимчивость потому, что он не применил классическую статистику к «внутренним», или электронным, степеням свободы молекул, как это сделано в (5.32), а только к《внешним» их координатам, определяющим их ориентацию как целого. Допустим, следуя Ван-Флеку, что многоатомная молекула имеет / степеней свободы и из ее / обобщенных координат 内,...,qf (и импульсов р】,...,歹拉 только три 01,典 и 0з (pi,「2 口 Рз) описывают ориентацию молекулы в пространстве (трансляционное движение молекул в данном случае нас не интересует, поэтому можно принять, что их центры тяжести покоятся). Таким образом, при обычном классическом выводе формулы Ланжевена (см. ниже) больцмановское распределение применяется только к обобщенным координатам и импульсам 色,g2, 03, р心 р? и рз, но не к %, . . .т gNl р&, . . ., pn・ Поэтому, строго говоря, обычные классические результаты необходимо [см. ниже, например выражения для диамагнитной (7.7) и соответственно парамагнитной (9.3) восприимчивости] «проинтегрировать» по оставшимся «внутренним» переменным:
W J (麻一】部学)exp (一霄)對4…匆勿4…如
%=Г_/一航"仃丁二 л,⑸ 34)
где 宛 ——гамильтониан молекулы. Здесь р,ат и г； следует считать не молекулярными постоянными, как это делается в обычной классической теории Ланжевена, а функциями внутренних переменных q《，...,乌力 р《，...,р/. Теорема Ван-Леевен [31 утверждает, что после интегрирования в (5.34) пара- и диамагнитные части точно компенсируют друг друга. Конечно, для строгого доказательства теоремы Ван-Леевен выражение (5.34) для % не является достаточно корректным, поскольку согласно этой теореме мы должны получить точную компенсацию пара- и диамагнитных эффектов, в то время как в (5.34) мы имеем дело лишь с первыми членами разложения по степеням Не, Однако и в этом случае доказательство теоремы Ван-Леевен можно, не претендуя на общность, провести для одной весьма простой динамической системы. Предположим, что мы имеем частицу с зарядом е и массой т, движущуюся по некоторой жесткой орбите постоянного радиуса г0 с постоянной угловой скоростью (о. Тогда такая частица будет иметь магнитный момент ег^з/2c (если вспомнить формулу для Корб = ер$/2тс, где р$ = тгоа)го). По теореме классической статистики о равномерном распределении энергии по степеням свободы средняя кинетическая энергия частицы (обладающей при такой орбите двумя степенями свободы) равна тг^/2 — кТ. Очевидно, что квадрат магнитного момента частицы отличается от ее кинетической энергии на постоянный множитель ^гу2т(^. Поэтому среднее статистическое значение квадрата магнитного момента будет равно в данном случае <(|Лат)) = кТ&用2т& Отсюда видно, что после усреднения (интегрирования) по формуле (5.34) в первом слагаемом температура в числителе и знаменателе сокращается, и мы получаем
《唸»ё2唱
Точно так же, исходя из простых наглядных соображений, можно показать, что в случае классической системы «свободных» электронов (электроны проводимости в металле) отсутствует диамагнетизм [см. ниже гл. 11 или книгу Ван-Флека (1932)]. Только учет квантовой природы атомных законов позволил устранить эту основную трудность классических попыток построения атомной теории магнетизма и создать последовательную квантовую теорию магнетизма на основе общих законов микроявлений, представляющих собой следующее, более точное приближение к реальной действительности, чем законы классической физики.
Общее кв ан т ов омехан ическое определение энергиии среднего магнитного момента электрона в магнитном поле
Получим с помощью квантовомеханического рассмотрения выражения для энергии и среднего магнитного момента системы электронов в магнитном поле. Эти результаты будут нужны при квантовой трактовке диа- и парамагнетизма. Оператор энергии любой системы электронов во внешнем постоянном магнитном поле имеет вид
聡=Si(^fe+TN, + 炉 +》*^~ (s冗 rot N 冗),(5.35)
kk
где 好丸——оператор вектора импульса, s冗——оператор вектора спина А:-го электрона, N — вектор-потенциал внешнего магнитного поля, U — потенциальная энергия электростатического взаимодействия электронов между собой и с внешним электрическим полем *); суммирование по к ведется по всем электронам системы. Если магнитное
поле Н однородно, то можно воспользоваться формулой Л =-^- [Яг]. Выбирая ось z вдоль поля Н и заменяя операторы импульса через —i九 V&, вместо (5.35) будем иметь
十皿磊(建十碇)J十方十金嘉瓦氯.536)
Множитель ^^М во втором слагаемом вМножитель ^^М во втором слагаемом вквадратных скобках является оператоквадратных скобках является оператором z-宜 слагающей механического момента трансляционного (орбитального) движенияром z-宜 слагающей механического момента трансляционного (орбитального) движенияэлектрона:электрона:£ =43 說£ =43 說dxk /dxk /(5.37)(5.37)
Множитель ^^М во втором слагаемом в
Множитель ^^М во втором слагаемом в
квадратных скобках является операто
квадратных скобках является операто
ром z-宜 слагающей механического момента трансляционного (орбитального) движения
ром z-宜 слагающей механического момента трансляционного (орбитального) движения
электрона:
электрона:
£ =43 說
£ =43 說
dxk /
dxk /
(5.37)
(5.37)
Таким образом, члены в операторе энергии (5.36), линейно зависящие от магнитного поля, имеют вид
—"z~^j; X (鼠+ 2sz&)= 一HZMZ,(5.38)
k
где Mz ——оператор суммарного орбитального и спинового момента всех электронов системы. Этот член учитывается, например, при расчете явления Зеемана в свободных атомах. Квадратичным по Н членом (5.36) при этом можно пренебречь, ибо его отношение к (5.38) для средних значений этих операторов имеет порядок 10"10 СГСМ. При всех практически достижимых магнитных полях (^10б а) этой величиной можно полностью пренебречь (т. е. пренебречь диамагнитной поправкой к эффекту Зеемана).
Согласно общей формуле (5.25) среднее значение z-компоненты магнитного момента электронов (диагональный матричный элемент в состоянии, характеризуемом квантовым числом п )) выражается формулой
М2 = (п|М2/«) = -。吗詛”),(5.39)
где {п\^ё \ п) — диагональный матричный элемент оператора энергии (5.36). Для вычисления (5.39) обычно пользуются теорией возмущения, считая, что в (5.36) роль малого «параметра» играет величина магнитного поля )
= ^0+Н^>+Н^> + =^o + ^；(5.40)
здесь <^0 —оператор энергии нулевого приближения (прнЕ=0), а 威— оператор энергии возмущения:
瑜，=一瓦*十型譌_ S (囁+闱.(5.41)
k
Таким образом,
(n|M2|n) = -(n| 田⑺ I 切一2% (n J 历⑵ I 汽)十….(5.42)
Проводя обычные вычисления по методу возмущений ), находим
(?г I Й7 i> I тг)= — (тг I 龙^叫 тг),(5.43)
5|w⑵1")=-》+》~Д⑷确十咽吟(544)
где штрих у суммы означает, что член с п — nz исключен, (п | 疯卯 | п#) — матричный элемент оператора магнитного момента из (5.38), взятый для невозмущенных состоя- НИЙ (при Я2 = 0), а 窮纵 и 窮^ —энергии невозмущенных состояний. В силу (5.43) и (5.44) выражение (5.42) для среднего магнитного момента примет вид
⑺疯z I n) = (n I应У I兀)+ 2忆2 喲工j "z 2^(4囁十濁P). (5.45)
Поскольку энергия n-ro невырожденного стационарного состояния в отсутствие внешнего магнитного поля равна 宫^), то согласно теории возмущений с точностью до членов второго порядка малости относительно поля Я [см. (5.40)] в силу (5.41) для возмущенного значения энергии получим
笫“=窮衆一瓦⑺应黑i〃)十里募』伍1碇+處1切一玛金'1^匿嘉止■(546)
Формулы (5.44) и (5.46) будут использованы в гл. 7 и далее для расчета диа- и парамагнитной восприимчивостей.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 5
N. Bohr, Dissertation, Copenhagen, 1911.
Н. A. Lorentz, Uber die kinetische Theorie der Materie und der Elektrizitat, Leipzig, 1914.
J. A. van Leeuwen, Dissertation, Leiden, 1919.
J. A. v a n Leeuwen, J. phys. et radium (6), 2, 361 (1921).
Я. П. T e p л e цк и Й,出3T① 9, 796 (1939).
Глава 6
КЛАССИФИКАЦИЯ МАГНЕТИКОВПО ОСНОВНЫМ ОПЫТНЫМ ДАННЫМ
Выше уже отмечалось, что все вещества являются магнетиками. В природе наблюдается очень большое их разнообразие, поэтому возникает необходимость их детальной классификации.
Классификацию магнетиков, или, точнее, различных магнитных состояний веществ, можно произвести двумя способами. Во-первых, чисто феноменологически, используя какую-нибудь макроскопическую характеристику магнетика (например, восприимчивость). По ее величине или по наблюдаемым зависимостям ее от различных физических факторов и проводится классификация, независимо от выяснения физической природы атомных носителей магнетизма и тех взаимодействий между ними, которые определяют тип магнитного состояния. Второй способ — физической классификации основан на возможно более полном учете физических факторов и в первую очередь природы атомных носителей магнетизма и характера взаимодействия между ними.
Феноменологическая классификация
Простешний способ феноменологической классификации магнетиков исходя из знака и величины магнитной восприимчивости % был уже использован в гл. 4. Упоминались три основных типа магнетиков: 1) диамагнетики (х V °), 2) парамагнетики (X > 0) м 3) ферромагнетики (% > 0 н очень большая по величине). Эта формальная классификация магнетиков стала традиционной. Однако благодаря накоплению большого опытного материала, а также развитию атомной теории магнетизма стали очевидными недостатки подобной классификации, поскольку при таком подходе игнорируется природа микроносителей магнетизма и не учитывается характер взаимодействия между ними. Так, например, из этой классификации выпадают такие важные типы магнитных состояний, как антиферромагнитное, ферримагнитное, сверхпроводящее и т. д.
Физическая классификация
При попытке более глубокой физической классификации магнитных состояний вещества необходимо прежде всего выяснить два основных вопроса: 1) какова природа атомных носителей магнитного момента? 2) каков характер влияния внешних воздействий на эти носители, а также внутренних взаимодействий между нйми?
Природа атомных носителей магнетизма. Выше уже отмечалось, что атомными носителями магнетизма в веществах являются элементарные частицы — электроны и нуклоны (протоны и нейтроны), из которых построены атомы этих веществ. При этом магнитные свойства нуклонов определяют магнетизм атомных ядер (см. гл. 3) и ядерный магнетизм в веществах. Магнитные свойства электрона определяют магнетизм электронной оболочки атома (см. гл. 2) и тем самым электронный магнетизм веществ. Магнетизм ядра значительно слабее магнетизма электронной оболочки. Это наглядно видно из сравнения элементарных моментов этих двух типов магнетизма — магнетона Бора р,Б и ядерного магнетона(ляд = р，Б/1836,5. Как мы уже видели (гл. 2 и 3), в обоих случаях — электронного и ядерного магнетизма — следует различать орбитальный и спиновый магнетизм.
Основные эффекты внешнего поля — диа- и парамагнетизм. Перейдем теперь к рассмотрению второго из поставленных выше вопросов — о влиянии внешнего магнитного поля и внутренних взаимодействий между отдельными атомными носителями магнетизма в веществе на его магнитные свойства. Прежде всего выясним основные эффекты, связанные с действием внешнего магнитного поля на магнитные моменты атомных носителей. Здесь можно указать два таких эффекта (см. гл. 2) — диамагнитный и парамагнитный. Диамагнитный эффект является результатом индукционного воздействия внешнего магнитного поля на молекулярные токи. Благодаря ларморовской прецессии электронных орбит в поле, в каждом атоме возникает добавочный магнитный момент, направленный против создающего его внешнего поля, что и определяет отри-
цательный знак диамагнитной восприимчивости. Диамагнетизм присущ всем атомам, ионам и молекулам (как электронным оболочкам, так и их ядрам), а также и их коллективам —конденсированным телам — жидкостям и кристаллам. Поэтому все тела — диамагнетики, хотя их диамагнетизм очень часто маскируется, перекрываясь более сильным положительным парамагнитным эффектом со стороны внешнего магнитного поля и за счет внутренних взаимодействий. Как будет подробно показано ниже с помощью физического анализа атомной структуры веществ, в которых наблюдается диамагнетизм, атомные носители магнетизма (атомы, ионы, молекулы, молекулярные комплексы и т. п.) оказываются магнитно нейтральными, т. е. в них наблюдается полная компенсация спиновых и орбитальных магнитных моментов электронов в атомной оболочке и нуклонов в атомных ядрах.
В тех случаях, когда атомные образования, из которых построено данное вещество, обладают собственными результирующими магнитными моментами — спиновыми, орбитальными или и теми и другими, эти моменты испытывают ориентирующее действие внешнего магнитного поля, благодаря которому в теле создается параллельная полю намагниченность, что и является причиной появления положительной парамагнитной восприимчивости (разумеется, в тех случаях, когда этот эффект превышает отрицательный диамагнитный эффект).
В простейшем случае диа- и парамагнетизм можно наблюдать в разреженных газах. Там практически можно пренебречь взаимодействием между атомными носителями магнетизма. Поскольку диамагнитный эффект связан с внутренними движениями электронов в оболочке или нуклонов в ядрах атомов (прецессия электронных и нуклонных орбит), влияние теплового движения (столкновения между атомами), пока оно не очень сильно деформирует орбиты (не происходит возбуждения электронной оболочки), будет весьма незначительным, и диамагнитная восприимчивость, как правило, практически не будет зависеть от температуры. Наоборот, ориентация атомных магнитных моментов в парамагнетике (установление атомного магнитного порядка вдоль внешнего намагничивающего поля) будет разрушаться хаотическим тепловым движением, что и будет проявляться, как правило, в резкой зависимости парамагнитной восприимчивости от температуры
Таким образом, во всех указанных типах магнетизма (ядерном, электронном, спиновом и орбитальном) мы должны считаться как с возможностью сосуществования двух основных магнитных явлении, возникающих под действием внешнего магнитного поля,——диамагнетизма и парамагнетизма, так и с дезориентирующим действием теплового движения. В случае систем, где можно пренебречь взаимодействием между атомными носителями магнетизма, задача сводится к расчету двух указанных конкурирующих эффектов при различных значениях внешнего магнитного поля и температуры. При расчете различных термодинамических величин, связанных с магнитными свойствами веществ, необходимо принимать во внимание как квантовую природу самих носителей магнетизма, так и квантовую статистику.
Влияние внутренних взаимодействий на магнитные свойства. Займемся теперь выяснением влияния взаимодействия между элементарными носителями магнетизма на магнитные свойства вещества. Возможность существенного влияния этих взаимодействий на магнитные свойства можно усмотреть уже из сравнения магнитных свойств изолированных атомов различных элементов таблицы Менделеева. Как уже отмечалось (гл. 2 и 3), переходя от элемента к элементу в периодической таблице, можно наблюдать самые разнообразные магнитные свойства как в электронных оболочках, так и в ядрах атомов. Существенная зависимость магнитных свойств вещества от характера взаимодействия между атомными носителями магнетизма может приводить к тому, что в одном и том же химическом веществе при неизменности его состава, но при различных внешних условиях (температура, давление, внешнее магнитное поле и т. п.), а также при различной кристаллической и фазовой структуре (степень упорядочения атомов в сплавах, фазовые превращения и т. п.) могут наблюдаться различные магнитные свойства. Именно поэтому, пожалуй, более правильно говорить не о магнетиках как о каких-то определенных веществах данного химического состава, в которых этот тип магнетизма существует при любых условиях, а о тех или иных магнитных состояниях вещества, которые реализуются в нем лишь при строго определенных внешних и внутренних условиях.
Внутреннее взаимодействие между атомными носителями магнетизма, которое существенно сказывается на магнитных свойствах вещества, построенного из этих частиц, количественно лучше всего охарактеризовать величиной энергии этого взаимодействия, рассчитанной на отдельную пару носителей магнетизма: 8В3. Однако сама по себе величина 8ВЗ еще ничего не говорит. Эта величина 8ВЗ приобретает смысл при сравнении ее с величинами энергий других атомных взаимодействий, которые, с одной стороны, могут влиять на магнитные свойства и, с другой стороны, могут зависеть не только от свойств данного вещества (т. е. от образующих его частиц), но и от внешних факторов, в первую очередь от величины внешнего магнитного поля Н и от температуры Т. Как известно, энергия атомного магнитного момента)лБ в поле Н равна (по
*) Могут быть, однако, и такие случаи, когда парамагнитная восприимчивость очень слабо зависит от температуры (см. гл. 11), например, в щелочных металлах, а также в случае так называемого поляризационного парамагнетизма (см. гл. 7).
модулю) Ен ^ 卩е"，средняя тепловая энергия, приходящаяся на атом, равна ег ^ кТ. Сопоставление энергий евз с Ен и £丁 делается особенно наглядным, если, пользуясь приведенными выражениями для ея и ег, ввести эффективное магнитное поле 左^巾巾 и эффективную критическую температуру ZKp, представив энергию взаимодействия в следующих двух формах:
еВЗ = Нб^эФФ » %3=аТкр-(6.1)
Пользуясь (6.1), можно разделить шкалу температур и полей соответственмо на два интервала: 0° К《Т《Ткр и Т》Ткр; 0 < Я < ЯЭфф и Я > Яэфф. Очевидно, что в областях Н V Яэфф или Т V ^кр будут сильно проявляться магнитные свойства вещества, обусловленные внутренними взаимодействиями атомных носителей магнетизма, характеризуемыми энергией евз. Наоборот, в областях Т > Ткр или Н > ЯЭфф будут доминировать внешние условия ——температура или поле, подавляющие эффекты внутреннего взаимодействия. В известном смысле вещества, для которых выполнены условия «низких» температур или «слабых» полей (по сравнению с 7氏卩 и Н344), можно назвать «сильномагнитными», а для которых выполнены противоположные условия «высоких» температур или «сильных» полей (по сравнению с Ткр и Яэфф)т «слабомагнитными». Иногда такая классификация может быть удобной, и ее следует иметь в виду. Однако для полного выяснения физической природы магнитных свойств вещества необходимо знать не только величину энергии евз по сравнению с ег и ен, но также и ее физическое происхождение, а также учитывать характер магнитного момента носителей (орбитальный или спиновый). Если исключить из рассмотрения ядерный магнетизм, то в электронных оболочках атомов и молекул, а также в электронной системе конденсированных тел действуют два типа сил ——электрические и магнитные. В качестве атомной меры сил первого типа можно взять энергию электростатического взаимодействия двух электронов, находящихся на расстояниях порядка атомных размеров。〜10-s см. По закону Кулона зта энергия равна
e2 10-20
8эл « — « 毋寸 10-11 + 10-13 эрг.(6.2)
Мерой магнитного взаимодействия (см. гл. 4) служит энергия связи двух магнитных диполей с моментом. р，Б на расстоянии а:
11110-40
емагн Q10-24"IO-15 Т Ю"17 эрг.(6.3)
Из сравнения (6.2) и (6.3) видно, что электростатическая энергия на три или даже четыре порядка превосходит величину магнитной энергии *). Согласно (6.1) соответствующие критические температуры и эффективные поля равны
Ткр. ЭЛ 105 + 103。к, яэфф. эл 109 - 107 % I^кр. маг 10,1° К, Ез^ф. маг т 103 s. J
На первый взгляд может показаться, что внутренние магнитные свойства должны определяться исключительно магнитным взаимодействием между атомными носителями магнетизма, которое по (6.3) характеризуется энергиями 10-15 + 10-17 эрг или соответственно по (6.4) критическими температурами 0,1 4- 1° К и эффективными полями 103 4- Ю5 з. Однако такое поспешное заключение оказывается неправильным. Можно сразу же привести конкретные примеры магнитных состояний, критические температуры и эффективные поля для которых значительно превышают указанные выше значения (6.4). Для типичных ферромагнитных металлов — железа, кобальта и никеля из опыта известно, что их магнитные критические температуры (точки Кюри, см. гл. 18) равны соответственно 1043° К, 1404° К и 636° К, т. е. величинам на три, четыре и более порядка вьппе, чем это может обеспечить магнитное взаимодействие. Единственным объяснением этого расхождения остается предположение о том, что в этом случае магнитные свойства вещества определяются электростатическим взаимодействием между атомными носителями магнетизма. В рамках классической физики этот парадокс оставался неразрешимым. Только после возникновения современной квантовой теории оказалось возможным раскрыть эту загадку, поскольку квантовая механика объяснила зависимость электростатической энергии взаимодействия электронов от взаимной ориентации их спиновых моментов (см. ниже гл. 19). Оказалось, что, помимо квазиклассической (кулоновской) электростатической энергии (6.2), существует по своему происхождению также электростатическая энергия, величина которой того же порядка, что и кулоновская энергия (—10-13 эрг), но которая существенно зависит от взаимной ориентации спинов электронов. Эта часть электростатической энергии носит название обменной энергии Евз. об (подробнее см. гл. 18—22).
*) В некоторых случаях, например у атомов тяжелых элементов, магнитная (релятивистская) энергия может достигать и больших величин, приближающихся
К ^ЭЛ-
В гл. 2 мы уже упоминали об этой энергии. В частности, первое правило Хунда является прямым следствием обменной связи между электронами в атомной оболочке ).
力力Рис. 6.1. Типы упорядоченного расположения магнитных моментов, а) Ферромагнетик; б) антиферромагнетик; в) ферримагнетик.Рис. 6.1. Типы упорядоченного расположения магнитных моментов, а) Ферромагнетик; б) антиферромагнетик; в) ферримагнетик.б)б)6)6)Различные типы атомного магнитного порядка. Как будет показано ниже (гл. 18), существенной чертой обменного электростатического взаимодействия является то, что под его влиянием в веществе может возникнуть упорядоченное распределение направлений атомных магнитных моментов (атомный магнитный порядок). В некоторых случаях обменное взаимодействие может благоприятствовать параллельной ориентации атомных моментов (ферромагнитный порядок, см. рис. 6.1, а), в других — тоже упорядоченному распределению, но с антипараллельной ориентацией магнитных моментов соседних атомных частиц в теле. В этом случае хотя и появляется упорядоченное распределение моментов, но результируюгций момент в каждой элементарной магнитной ячейке кристалла (подробнее см. гл. 18) равен нулю (скомпенсированный антиферромагнитный порядок, см. рис. 6.1, 6). Возможны также и такие случаи, когда при антиферромагнитном порядке атомных моментов по тем или иным причинам полная компенсация магнитного момента в каждой элементарной ячейке нарушается и в теле возникает результирующий разностный самопроизвольный магнитный момент (нескомпенсиро^ ванный антиферромагнитный порядок^ или ферримагнетизм, см. рис. 6.1, 8). Реализация того или иного типа обменного взаимодействия существенно зави-
力
力
Рис. 6.1. Типы упорядоченного расположения магнитных моментов, а) Ферромагнетик; б) антиферромагнетик; в) ферримагнетик.
Рис. 6.1. Типы упорядоченного расположения магнитных моментов, а) Ферромагнетик; б) антиферромагнетик; в) ферримагнетик.
б)
б)
6)
6)
сит отсит от.一一данного вещества. Как будет выяснено
сит от
сит от
ниже (гл. 18—22), ферромагнитному порядку способствует положительное обменное взаимодействие (евз. oq >> 0), а антиферромагнитному (и ферримагнитному)— отрицательное (8В3. Об < 0).
Роль электронов наружньгх и внутренних слоев атомной оболочки. В конденсированных средах с более близким расположением атомов их электронные оболочки дсформируются по сравнению с оболочками изолированных атомов или атомов в газах. Подробно об этом будет идти речь ниже (см. гл. 10, 11, 20), здесь только отметим, что при конденсации сильнее всего изменяют свое движение наружные, валентные электроны. В металлах бывшие валентные электроны образуют систему коллективизированных электронов проводимости, в полупроводниках и диэлектриках эти электроны участвуют в образовании коллективных валентных и других локализованных связей. Электроны же внутренних слоев атодшой оболочки и в конденсированных фазах практически находятся в таких же состояниях, как и в изолированных атомах. Поэтому, когда мы говорим об электронных магнитных свойствах конденсированных веществ, следует различать магнитные свойства системы коллективизированных электронов в телах различных классов (металлы, полупроводники, диэлектрики и т. п.) и магнетизм ионных остовов (т. е. атомных ядер и внутренних практически неискаженных областей электронной оболочки отдельных атомов в конденсированной фазе).
Основные типы магнитных состояний вещества
Учет природы атомных носителей магнетизма и характера их взаимодействия дает возможность сразу же уточнить классификацшо магнитных состояний вещества, выделив прежде всего следующие три главные группы магнитных состояний:
Спиновый и орбитальный магнетизм систем слабовзаимодействующих атомов, ионов и молекул (магнетизм слабовзаимодействующих частиц).
Спиновый и орбитальный магнетизм коллективизированных электронов в металлах, полупроводниках и диэлектриках, а также неколлективизированных частей электронной оболочки (ионных остовов) в этих веществах с учетом их внутрикристал- лических взаимодействий (магнетизм электронно-ионной системы в конденсированных средах без атомной магнитной структуры, т. е. без атомного магнитного порядка).
Магнитные свойства веществ с атомным магнитным порядком, обусловленным обменным взаимодействием.
Кроме того, к этим трем типам электронного магнетизма вещества необходимо добавить четвертый тип, связанный с магнетизмом коллектива атомных ядер в конденсированной фазе:
Ядерный магнетизм в веществах. Хотя этот магнетизм и слабый по сравнению с электронным, но в ряде случаев он имеет существенное значение и может быть с большим эффектом использован как средство изучения электронной структуры твердых тел.
Детальная физическая классификация магнитныхсостояний вещества
Естественно, что приведенная физическая классификация магнитных состояний не может отразить всего их многообразия. Возможны самые причудливые комбинации сосуществования различных магнитных состояний, вклад которых в суммарные наблюдаемые свойства сложно зависит от различных внешних и внутренних условий. Тем ие менее, если к приведенной классификации еще добавить наличие двух основных эффектов во внешних магнитных полях ——диа- и парамагнитного, то такая классификация в целом будет отражать общий характер магнитных свойств всей совокупности известных веществ. Возможный вариант такой классификации может быть, например, следующим.
МАГНЕТИЗМ СЛАБОВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ
А. Преобладание диамагнетизма
«Классические» диамагнитные газы: все инертные газы, а также газы, атомы или молекулы которых не имеют собственного результирующего магнитного момента. Восприимчивость их отрицательна (хдм V 0), очень мала по абсолютной величине (^10-7—10-5) и практически не зависит от температуры.
Диамагнетизм ионных остовов в конденсированной фазе: некоторые чистые элементы в жидком и кристаллическом состоянии, растворы и соединения (особенно в случае ионной связи), в которых этот диамагнетизм преобладает над парамагнетизмом коллективизированных электронов проводимости в металлах и когда внутрикристаллические связи не очень существенно влияют на характер магнитного состояния электронной системы. К этой группе веществ относятся, например, инертные газы в жидком и кристаллическом состоянии, соединения с ионными остовами, подобными атомам инертных газов (Li+, Ве2+, А13+, О2- и т. д.), галоиды в жидком п твердом состоянии, некоторые металлы (цинк, золото, ртуть и др.).
Б. Преобладание парамагнетизма
«Классические» парамагнитные газы: все газы, атомы, ионы или молекулы которых обладают результирующим магнитным моментом, отличным от нуля (например, щелочные и переходные металлы в газообразном состоянии), газы О2, NO. Восприимчивость их положительна (%пм > 0), мала по величине (—10-6), прп не очень низких температурах и не очень сильных магнитных полях (卩£我/左丁《 彳> не зависит от поля, но существенно зависит от температуры; для хпм имеет место закон Кюри
Хим = 7, (6.5) где С — постоянная Кюри (см. гл. 9).
И о и иы ii парамагнетизм в конденсированной фазе наблюдается в жидких растворах ионов переходных элементов, а также в кристаллах соединений этих элементов с ионной и неполярной связью при условии, что магнитно активные ионы слабо взаимодействуют друг с другом и их ближайшее окружение в конденсированной фазе также-слабо влияет на их парамагнетизм. Типичными представителями этого класса магнетиков являются растворы редкоземельных элементов. При не очень низких температурах и не очень сильных магнитных полях (NeE/^T《1) их парамагнитная восприимчивость опять-таки не зависит от поля, но зависит от температуры; для %пм имеет место закон Кюри—Вейсса
Хим = т @, (6.6)
где 0Р— парамагнитная точка Кюри. В случае сильных магнитных полей и низких температур З^Н/кТ》1) магнитные свойства этих парамагнетиков начинают сильно отличаться от свойств «классических» парамагнитных газов, поскольку наблюдаются эффекты магнитного насыщения, а также начинают более резко сказываться и эффекты внутрикристаллических взаимодействий (при евз》КТ).
МАГНЕТИЗМ ЭЛЕКТРОННО-ИОННОЙ СИСТЕМВ КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
А. Преобладание диамагнетизма
Диамагнетизм жидкостей и кристаллов, в которых внутрикристаллические взаимодействия оказывают существенное влияние на магнитные свойства. К этой группе тел следует отнести диамагнитные органические соединения (молекулярные кристаллы) с неполярной связью (исключая случаи, когда молекулы или радикалы имеют отличный от нуля магнитный момент и когда парамагнитный эффект подавляет диамагнетизм). Эти тела, так же как и классические диамагнетики, обладают небольшой восприимчивостью (| Хдм | 〜10~6), практически не зависящей от температуры, но с заметной анизотропией (в монокристаллах), обусловленной внутрикристаллическими взаимодействиями.
Диамагнетизм электронов проводимости металлов и полупроводников. Этот вид магнетизма присущ всем металлам и полупроводникам. Однако в обычных условиях он маскируется более сильным и всегда сопутствующим ему электронным парамагнетизмом (см. ниже группу Б, а также гл. 11 и 12), а также и более сильным магнетизмом ионных остовов. Только в области более низких температур и при наличии достаточно сильных внешних магнитных полей (^ъН!кТ》1) можно обнаружить проявление характерных особенностей диамагнетизма электронов проводимости, например периодическую зависимость магнитной восприимчивости от внешнего магнитного поля (эффект де Гааза — ван Альфена и т. п.). Эти проявления электронного диамагнетизма уже обнаружены в монокристаллах большого числа металлов (подробнее см. гл. 11).
Сверхпроводники. Ряд металлов при очень низких температурах (в интервале от 0° К до 15° К) обладает аномальными электрическими и магнитными свойствами. В частности, при пропускании через них электрического тока от посторонней э. д. с. они ведут себя подобно идеальным проводникам с нулевым электросопротивлением (отсюда термин — сверхпроводники). Однако не менее важной характеристикой сверхпроводника являются их магнитные свойства. Внутри массивного сверхпроводника магнитная индукция всегда равна нулю: В = 0 (эффект Мейсснера). Отсюда на первый взгляд можно на основании формулы (4.22) получить Z = — (1/4л) Н. Таким образом, как будто бы можно сказать, что сверхпроводники являются одновременно и сверхдиамагнетиками с колоссальной (по сравнению с обычными диамагнетиками) восприимчивостью: %сп = — (1/4л)〜0,1. Надо заметить, однако, что такое отождествление сверхпроводника со сверхдиамагнетиком носит лишь формальный характер. Дело в том, что всякий массивный сверхпроводник, находящийся ниже своей критической температуры 0сп (вьппе которой при внешнем поле Я = 0 металл переходит в нормальное состояние) и во внешнем поле также ниже некоторого критического значения Якр (Т) (вьппе которого сверхпроводимость снимается даже при Т < 0сп), представляет собой тело, на поверхности которого циркулирует макроскопический ток. Этот ток экранирует толщу сверхпроводника от внешних полей, и поэтому в нем всегда 3 = Н = 0 (кроме тонкого поверхностного слоя, толщиной —10-5 см), а проницаемость 卩卢 0 и имеет обычное значение, близкое к единице. Поэтому никакой сверхдиамагнитной намагниченности внутри массивного сверхпроводника нет. Его условно можно уподобить лишь одному диамагнитному атому, в котором роль прецессии электронных оболочек играет поверхностный макроскопический ток [см. книгу Гинзбурга (1946) и его обзоры [2—3], а также книгу Бардина и Шриффера (1962)]. К сожалению, до сих пор в рамках микроскопической теории сверхпроводимости не удалось объяснить все магнитные свойства сверхпроводников [Бардин и др. [4], Боголюбов, Толмачев и Ширков (1958)] (подробнее см. гл. 8 и 25).
万. Преобладание пар амаг нет изма
Парамагнетизм электронов проводимости в металлах и полупроводниках. Типичными представителями веществ, у которых преобладает спиновый парамагнетизм электронов проводимости, являются щелочные и щелочноземельные металлы, а также большая часть металлов переходных групп (палладий, платина, скандий, титан и ванадий из группы железа). Восприимчивость их мала (—10-7—10-5), практически не зависит от внешнего магнитного поля и, в отличйе от «классических» ларамагнетиков, очень слабо зависит от температуры (особенно в случае щелочных металлов; у переходных металлов эта зависимость более заметнее).
Парамагнетизм ионных остовов в кристаллах, когда на магнитные свойства этих ионов заметно влияет внутрикристаллическое взаимодействие. К этой группе относятся парамагнетики группы I, Б, б (см. вьппе), когда в них велико внутрикристаллическое взаимодействие, а также все кристаллы, обладающие атомным магнитным порядком при температурах выше их критической температуры (точки Кюри или Нееля) или при полях выше эквивалентных (см. ниже).
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА С АТОМНЫМ МАГНИТНЫМПОРЯДКОМ
К этой группе магнетиков относятся чистые переходные металлы группы железа: железо, кобальт, никель, хром, марганец, практически все редкоземельные металлы, а также многочисленные металлические сплавы и соединения, в которых хотя бы одна из компонент является переходным или редкоземельным элементом. Как уже отмечалось выше, здесь следует различать два основных типа атомного магнитного порядка — ферромагнитный и антиферромагнитный. В последнем случае может наблюдаться либо скомпенсированный, либо нескомпенсированный антиферромагнетизм (ферримагнетизм). С этой точки зрения возможна такая классификация магнетиков с атомным магнитным порядком:
① ерромагнетики (вещества с положительной обменной связью, ?вз. об > °)・ К ним относятся кристаллы железа, кобальта, никеля, часть редкоземельных металлов (гадолиний, тербий, диспрозий, гольмий, эрбии, тулий и иттербий), многочисленные сплавы и соединения этих элементов между собой и с другими неферромагнитными элементами; сплавы и соединения хрома и марганца с неферромагнитными элементами, а также некоторые соединения металлов группы актинидов (например, иН3). Ферромагнетизм в этих веществах наблюдается в интервале температур от 0° К до критической температуры — точки Кюри ®@, выше которой ферромагнетики ведут себя как парамагнетики группы II, Б, б или в более редких случаях как II, Б, а (иногда имеет место наложение обоих этих типов парамагнетизма). Ниже точки Кюри 0ф в ферромагнетиках наблюдаются не только специфические магнитные свойства, но также и особенности (аномалии) в поведении других, немагнитных физических свойств. Эти аномалии достигают максимума вблизи точки Кюри.
Антиферромагнетики (вещества с отрицательной обменной связью, евз, 06 V °，а также с полной компенсацией результирующего магнитного момента в каждой элементарной магнитной ячейке кристалла). К этому типу магнетиков относятся кристаллы хрома, а-марганца, часть редкоземельных металлов (церий, празео дим, неодим, самарий, европий), многочисленные соединения переходных элементов (например, MnO, FeO, V2O3, CrS, MnS, MnF2, FeCl2t CuCl и т. д.). Все они, так же как и ферромагнетики, обладают некоторой критической температурой (антиферромагнитная точка Кюри 0аф или точка Нееля ®n), выше которой они ведут себя почти как нормальные парамагнетики, подчиняющиеся закону Кюри — Вейсса (6.6). Ниже температуры Нееля их восприимчивость снова уменьшается и стремится к наименьшему значению при Т f 0。К, т. е. при Т = QN восприимчивость антиферромагнетиков имеет максимум. При этой же температуре наблюдаются максимумы и всех антиферромагнитных аномалий и других немагнитных их свойств.
① ерримагнетики (вещества с отрицательной обменной связью, €вз, об V °，но не с полной компенсацией результирующего магнитного момента в каждой элементарной магнитной ячейке кристалла — нескомпенсированный антиферромагнетизм) .К этому типу магнетиков относятся кристаллы из группы окислов металлов со структурой кристаллической решетки типа шпинели ), с общей химической формулой MO・Fe2°3, где М — двухвалентный катион металла переходных или нормальных групп (Cu2+, Zn2+, Mn2+, Ni2+, Со2+, Fe2+ и т. п.). Эти магнетики обладают свойствами, весьма похожими на свойства обычных ферромагнитных металлов и сплавов, лишь с той разницей, что практически все эти вещества являются неметаллическими (полупроводники). Особые магнитные и другие физические свойства ферритов наблюдаются в области температур ниже точки Нееля.,
Вещества, в которых сосуществуют положительное и отрицательное обменное взаимодействие. Здесь можно выделить два подслучая:
Слабые ферромагнетики (вещества с отрицательной электростатической обменной связью, &вз. 06 V О, У которых полная компенсация магнитных моментов в элементарной магнитной ячейке кристалла слегка нарушается под действием более слабого магнитного взаимодействия Евз・ магн《евз. эл). Типичными представителями этих магнетиков являются кристаллы гематита (a-Fe2O3), карбонатов переходных элементов и др.
Вещества с 《обменной» анизотропией (магнетики, в которых сосуществуют как положительная, так и отрицательная электростатическая обменная связь, евз.об > > 0 и евз.об V 0). Это могут быть гетерогенные системы с пространственно разделенными ферро- и антиферромагнитными фазами, но с тесным их контактом (например, система Со — СоО) или вещества без такого четкого пространственного разделения ферро- и антиферромагнитной фазы (например, сплав никель ——марганец вблизи состава Ni3Mn, когда имеется состояние с флуктуациями степени дальнего или ближнего порядка по объему образца, и т. п.).
Как будет подробно обсуждено ниже (гл. 18——22), для веществ с атомным магнитным порядком возможна и другая классификация, в которой за основу берется не тип магнитного порядка (ферро- или антиферромагнитный), а тип электростатического обменного взаимодействия (прямое или косвенное и т. п.). Однако для понимания такой классификации нужно хорошо представить себе физическую природу обменной связи в реальных кристаллах, а также иметь более детальные представлен шт об их электронной структуре. Поэтому такую классификацшо целесообразно привести несколько позже (см. гл. 18—22).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 6
CBBJL 工CBBJL 工.В. Вонсовский, К. Б. Власов, Е. А. Туров, ЖЗТ① 29, 37, (1955).- .Л. Гинзбург, У①Н 42, 169, 333 (1950).
CBBJ
L 工
CBBJ
L 工
.Л. Гинзбург, У ①Н 48, 25 (1952).
.Bardeen, L.N.Cooper, J.R.Schrieffe г, Phys. Rev. 106, 162 (1957);
Phys. Rev. 108, 1175 (1957).
Ч А С Т Ь II
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ,НЕ ОБЛАДАЮЩИХ АТОМНЫММАГНИТНЫМ ПОРЯДКОМ.
СЛАБОМАГНИТНЫЕ ТЕЛА—ДИАМАГНЕТИКИ И ПАРАМАГНЕТИКИ
Во второй части излагаются основные физические представления о веществах, не обладающих самопроизвольным магнитным порядком атомных носителей магнитного момента, т. е. о так называемых слабомагнитных телах — диа- и парамагнетиках.
Изложение начинается с описания простейшего случая — диамагнитных свойств систем слабовзаимодействующих атомов, ионов и молекул (газы, разбавленные растворы) и неметаллических кристаллов (гл. 7). После этого рассматриваются магнитные свойства сверхпроводников (гл. 8). Такая последовательность в изложении обусловлена тем, что сверхпроводники по их магнитным свойствам в некотором условном смысле можно считать «сверхдиамагнетиками».
Затем дается описание другого простейшего случая — парамагнетизма систем слабовзаимодействующих атомов, ионов и молекул (газы, разбавленные растворы) (гл. 9) с последующим переходом к описаншо более сложного случая —— парамагнетизма кристаллов, в которых атомные магнитные моменты подвержены сильному воздействию внутрикристаллических электрических полей (лигандные поля) (гл. 10).
Далее дано детальное описание специфических магнитных свойств слабомагнитных металлов и полупроводников (гл. 11 и 12), в которых эти свойства в основном определяются системой коллективизированных электронов проводимости.
На этом заканчивается описание магнетизма различных типов слабомагнитных веществ, и начинается изложение важнейших равновесных и кинетических явлений в слабомагнитных телах, тесно связанных с их магнитными свойствами, а также с наличием внешних статических магнитных полей и переменных электромагнитных полей различных частот. В первую очередь здесь рассматриваются основные проблемы магнитного резонанса в слабомагнитных телах ——циклотронный резонанс (ЦР), электронный парамагнитный резонанс (ЭПР) и парамагнитная релаксация, а также резонансное поглощение ультразвука в парамагнетиках (гл. 13). '
Затем описываются типичные кинетические явления, а именно важнейшие гальваномагнитные и отчасти термомагнитные эффекты в слабомагнитных веществах (гл. 14). Гл. 15 целиком посвящена описанию магнетооптических свойств слабомагнитных веществ (полупроводников и металлов), в ней также рассмотрены некоторые вопросы распространения электромагнитных волн в веществе при наличии в нем магнитного поля (геликоны), фотомагнитный эффект и явление рассеяния света на магнитном поле. В заключительной гл. 16 этой части кратко рассмотрен вопрос о физическом механизме адиабатического магнитного охлаждения.
Естественно, что ограниченные размеры монографии не позволили в сколько- нибудь полной мере изложить содержание этого огромного и быстро развивающегося раздела современного учения о магнетизме. Ее можно лишь рассматривать как введение с очень кратким физическим анализом существующей ситуации, а также как сводку самых необходимых сведений по основным направлениям развития эксперимента и теории в этой области магнетизма.
Глава 7
ДИАМАГНЕТИЗМ СИСТЕМСЛАБОВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ АТОМОВ, МОЛЕКУЛИ НЕМЕТАЛЛИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ
Теория диамагнитной восприимчивости атомов, ионов и молекул
Как отмечалось выше, причиной диамагнетизма веществ является электромагнитная индукция молекулярных токов, вызываемая в элек~ тронных оболочках атомов внешним магнитным полем ). Поэтому явление диамагнетизма универсально и присуще всем телам без исключения. Однако во многих случаях мы не наблюдаем этого явления, ибо слабый, как правило, диамагнитный эффект маскируется более сильным парамаг- нитным эффектом (см. гл. 9).
Классическая теория. Диамагнетизм наблюдается непосредственно во всех случаях, когда атомы, ионы или молекулы не имеют результирующего магнитного момента, т. е. находятся в 50- или S О'состояниях. Вещества, построенные из таких частиц ), будучи помещены во внешнее магнитное поле, теряют свою магнитную нейтральность. Магнитное поле вызывает индукционное действие, и электронная оболочка приобретает добавочную угловую скорость ларморовской прецессии (2.38). Возникновение этой прецессии легко понять, если вспомнить, что потенциальная энергия V (化к, у卜,zQ, зависящая от координат электронов атомной оболочки (^ — 1, 2, . .Z), не меняется, когда все электроны
одновременно начнут вращаться вокруг направления внешнего магнит- ного поля, и, кроме того, что в этом поле на каждый электрон, движущий- ся со скоростью 0左,действует дополнительная лорентцева сила e/clHv]. Классические уравнения движения электрона при одновременном нало- жении потенциального поля V и однородного магнитного поля Н, направленного по оси z, имеют вид
dV еН
(7.1)(7.1)7mrVyh,
(7.1)
(7.1)
dV , еЯ•dV
Решения (7.1) ищем в виде
(7.2)(7.2)xh = xOk cos 3t + sin co九
(7.2)
(7.2)
5瓦=—Ng sin (0力 4* Уок COS 3厶 Zk =： ZOk .
Здесь 富0女,yok, zok (функции времени) —— решения системы (7,1) при Н = 0. Физический смысл формул (7.2) заключается в том, что в присутствии внешнего однородного поля Н система дополнительно к своему «нулевому^ движению вращается с постоянной угловой скоростью (о вокруг
направления поля (оси z). Подстановка (7.2) в (7.1) показывает, что решение, с точностью до членов порядка Н2 и со方(слабые поля)^ удовлетворяет уравнениям задачи, если положить
Это совпадает с выражением круговой частоты ларморовской прецессии (2.38). В сильных полях, когда энергия электрона в поле Н сравнима или больше его энергии в поле ядра, пренебрегать членами порядка № или бН уже нельзя, и движение в магнитном поле приобретает более сложный характер. Однако во всех практически достижимых магнитных полях этими «квадратичными» эффектами можно пренебречь.
Магнитный момент, соответствующий ларморовской прецессии, направлен против поля и равен согласно (2.49)
Ар, = —(7.4) 「8лмс2'/
Заменяя в (7.4) S — площадь проекции орбиты на плоскость, перпендикулярную к магнитному полю Н, — через л〈г；〉, где〈寸〉一среднее по времени от квадрата проекции радиуса электронной орбиты, и замечая, что для сферически-симметричной электронной оболочки атома 6；〉= 2/3〈戸〉，находим
z
蕊2〈嗡，亿5)
где суммирование по 耳 идет по всем Z электронам атома.
В результате для атомной диамагнитной восприимчивости вещества получаем знакомую формулу (2.58):
瑞蕊》〈或〉=-2,832.101。金储〉.(7.6)
Здесь N = 6,022169 *1023 — число Авогадро. Из (7.6) видно, что диамагнетизм зависит от радиусов электронных орбит и поэтому не зависит от температуры. Полагая〈虎〉^ 10~16 см2, находим, что %%м 10~6Z в качественном согласии и опытом. Этот классический вывод применим не только к инертным газам, но также и к ионам разведенных растворов в тех случаях, когда электронная оболочка ионов подобна оболочке инертных газов.
Изложенная классическая теория диамагнетизма будет справедливой, если можно доказать, что сумма S〈遂〉имеет стационарное устойчивое значение. Однако по теореме Ван-Леевен'— Терлецкого в классической теории этого доказать нельзя. Таким образом, формула (7.6) имеет физический смысл, лишь если сделать допущение о стабильности атомных орбит, т, е. если отказаться от классической теории и с самого начала явно учитывать квантовую природу атомов.
Квантовомеханическая теория, прецессионный диамагнетизм и по- ляризациэнямй парамагнетизм. Квантовомеханическая теория диамагнетизма была разработана Ван-Флеком [1], а затем Полингом [2]. В случае атомов и молекул со сферически-симметричной электронной оболочкой получается та же формула (7.6), только вычисление〈喲 производится по законам квантовой механики. Обратимся теперь к выводам квантовой теории магнетизма, изложенным в § 5 гл. 5. В случае диамагнитных газов или растворов атомы и ионы в нормальном состоянии (при Я = 0) не имеют собственного магнитного момента, т. е. (тг | 必吵 | тг) — 0, и это состояние невырожденное. Если при этом электрическое поле атома или иона
обладает шаровой симметрией, то и все недиагональные матричные элементы оператора магнитного момента (тг |- М{р | п) при 久扌 п равны нулю, поэтому и второе слагаемое в (5.45) также исчезает. В этом случае диамагнетизм целиком определяется последним членом правой части (5.45), и, следовательно, восприимчивость таких диамагнетиков будет иметь чисто классическую форму (7.6) прецессионного диамагнетизма ):
(您‘)прей =一贏亙 2 仇 I I ^), (7.7)
Если условие сферической симметрии нарушается, то к правой части (7.7) в силу (5.45) добавляется положительный (парамагнитный) член, несколько снижающий абсолютную величину (燜％рец； в этом случае для %& получаем выражение
2Ve2 匕 —.# I (n I I nz) |2^--^h^\r^^ + 2Nh f • (7・8)
fe=l nf n n
Из квантовой формулы (7*8) видно, что магнитная восприимчивость •системы слабовзаимодействующих частиц в том случае, когда электронные оболочки у них не обладают шаровой симметрией [(тг | М^ | тг‘)=И= О при п ^= тг1], состоит из двух частей: (1) «классической» чисто диамагнитной части (х^)Прсц, связанной с прецессией электронных орбит в магнитном поле («прецессионный диамагнетизм»), и (2) специфически «квантовой» поляризационной ) положительной части х^^р, связанной с виртуальными квантовыми переходами между «нулевыми» (при Н = 0) стационарными состояниями атома ). Естественно, что это второе слагаемое в (7.8) будет существенно положительным, если во всех членах суммы по пг знаменатели будут по л ожител ьными:宮黑一宮隱)> 0. Это будет лишь при условии, что исходное состояние системы (тг) является ее основным энергетически наинизшим, т. е. если 宮(^)V 舀黎 для всех тг\ В противном случае эта часть восприимчивости в (7.8) может быть отрицательной (т. е. мы имели бы «поляризационный диамагнетизм»). Отсюда видна вся относительность и условность терминов диа- и парамагнетик!
=_g_ 5 I煮I汽).=_g_ 5 I煮I汽).Парамагнитная добавка к диамагнитной восприимчивости несимметричных атомов и молекул впервые была получена Ван-Флеком [3, 4, 5; Ван-Флек (1932)], и ее поэтому называют ванфлековским парамагнитизмом. О возможности его опытного определения см. ниже. Необходимо подчеркнуть, что ванфлековский поляризационный парамагнетизм совершенно непохож на обычный ориентационный парамагнетизм. Существенным различием между ними является то, что %^ляр практически не зависит от температуры, а %^иен обычно сильно зависит от нее. Действительно, до тех пор, пока можно не учитывать термического возбуждения более высоких энергетических уровней, прецессионная диамагнитная и поляризационная парамагнитная восприимчивости в (7.8) не зависят от температуры. Ясно поэтому, что, например, в парамагнетиках с повышением
=_g_ 5 I煮I汽).
=_g_ 5 I煮I汽).
температуры роль поляризационного парамагнетизма будет возрастать^ поскольку ориентационный парамагнетизм с температурой уменьшается (см. гл. 10). Из вида второго члена (7.8) также следует, что поляризационный парамагнетизм тем больше, чем меньше разность энергий 穹^?—後學 между нормальным п и соседними в о збужденными состояниями п атома, иона или молекулы. Отсюда также видно, что для атомных ядер, где разность энергий нормального и первого возбужденного состояний очень велика (порядка 105 — 106 зе), вклад от ванфлековского парамагнетизма весьма мал.
Для атомов и ионов, оболочки которых сами по себе обладают сферической симметрией и осевой симметрией относительно внешнего магнитного поля, поляризационный парамагнетизм во втором приближении теории возмущений исчезает [Ван-Флек (1932)].
Теория диамагнетизма молекул. Особое значение поляризационный парамагнетизм имеет для молекул. Он тем сильнее, чем асимметричнее молекула. Как показывает опыт, большинство молекул диамагнитно, ибо они обычно содержат четное число электронов, образующих замкнутые магнитно нейтральные слои. Исключением из этого правила является парамагнетизм кислорода. Хотя молекула О2 имеет четное число электронов, тем не менее ее нормальное состояние магнитно нейтрально. Молекулы с нечетным числом электронов, которых гораздо меньше, чел! «четных» молекул, всегда парамагнитны. Типичным представителем этого класса парамагнитных молекулярных газов является окись азота NO.
В простейшем случае двухатомных молекул векторная схема электронной оболочки изменяется по сравнению со случаем атомной оболочки [см. Ландау и Лифшиц (1963)]. В данном случае результирующий орбитальный момент уже не является интегралом движения; сохраняется лишь проекция этого момента на ось молекулы ), т. е. на линию, соединяющую центры ядер атомов. Однако в двухатомных молекулах поле ядер обладает аксиальной симметрией относительно оси, проходящей через центры обоих ядер атомов молекулы. Поэтому и сохраняется проекция орбитального момента на эту ось. Для нее вводится новое квантовое число А, по значению которого и классифицируют электронные термы- молекул. Термы, соответствующие значениям А = 0, 1, 2, 3,..., обозначаются через £, П, А,①(вместо S, Р, D,耳).Полный момент молекулы с квантовым числом J равен сумме «параллельной» проекции орбитального момента (А), спинового момента электронов с квантовым числом S ) и момента вращения атомов молекулы вокруг оси, перпендикулярной к линии, соединяющей центры ядер атомов (с квантовым числом 7V). Следует различать два случая сложения: а) связь между орбитальным моментом и спиновым моментом больше, чем связь между 5 и 7V; поэтому суммарный момент \r J (/ 十 1)方 равен векторной сумме момента N и результирующей проекции орбитального и спинового моментов | Q | = =I А + Sw I на ось молекулы (рис. 7.1, а): б) связь S с А меньше, чем с 7V, и поэтому проекция 5工 спинового момента на ось молекулы исчезает (рис. 7.1, 6). Векторы А иЗГ дают результирующий вектор К, который^ складываясь с вектором спина 6, дает суммарный момент J К (К 十 1)方. В случае диамагнитных молекул результирующий спин электронов равен нулю, а также отсутствует параллельная слагающая момента (в случае двухатомных молекул это состояние N) или (в многоатомных молекулах
с числом атомов, большим трех) отсутствует орбитальный момент. Восприимчивость для таких молекул дается тогда формулой (7.8).
Для того чтобы ванфлековский вклад в восприимчивость исчезал, необходимо, чтобы все недиагональные матричные элементы были равны нулю, т. е. (тг I М^ I тг') = 0 для всех тг'・
Вещество будет диа- или парамагнитно в зависимости от того, какие из слагаемых правой части (7.8) наибольшие. Здесь следует еще раз подчеркнуть необходимость и в случае молекул учета ванфлековского парамагнетизма [см. Дорфман (1961)].
При расчете диамагнитной восприимчивости мы полностью пренебрегли парамагнитным эффектом, связанным с вращением молекул. Из-за большой массы ядер этот вклад сам по себе очень мал по сравнению с (7.8),.
Рис. 7.1. Векторная модель моментов количества движения молекулы.Рис. 7.1. Векторная модель моментов количества движения молекулы.
Рис. 7.1. Векторная модель моментов количества движения молекулы.
Рис. 7.1. Векторная модель моментов количества движения молекулы.
ибо соответствующий момент пропорционален ядерному магнетону цяд. Более того, он в значительной степени компенсируется диамагнитным вкладом ядер, как это следует из классической теоремы Ван-Леевен, которая здесь хорошо оправдывается по причине больших масс ядер. Однако развитие резонансных методов позволило очень точно измерять вращательные магнитные моменты молекул ). Теорию этих моментов для молекулы Н2 дал Вик [6] и далее развили Рамзей [7] [Рамзей (I960)] и Эшбах и Стрендберг [8]. Ребане [9] на примере двухатомной молекулы с одинаковыми ядрами показал, что электронный вклад в ее вращательный магнитный момент существенно обусловлен неадиабатичностью связи электронного и ядерного движений.
В таких молекулах, как Н2, N2O, и многих других прецессионный диамагнетизм оказывается больше поляризационного парамагнетизма^ ио, как отметил еще Ван-Флек (1932), существуют и обратные случаи, т. е. когда | 戏1 | 睜又 V | 猾1 |Поляу Последнее наблюдается в веществах, содержащих атомы переходных элементов.
Из свойств двухатомных молекул следует, что недиагональные матричные элементы в числителях членов суммы, определяющей в (7.8) ванфле- ковскую парамагнитную восприимчивость, отличны от нуля только для слагающей орбитального момента, перпендикулярной к оси молекулы. Поэтому в двухатомных молекулах поляризационный магнитный момент всегда направлен под углом 90° к оси молекулы. В многоатомных молекулах эти матричные элементы отличны от нуля для всех трех главных осей молекулы.
Анизотропия диамагнитной восприимчивости. Диамагнитная восприимчивость большинства многоатомных молекул существенно анизотропна. В общем случае восприимчивость дается симметричным тензором второго ранга; здесь мы ограничиваемся случаем постоянных полей с шестью независимыми составляющими %込伍左=£, у, z):
где
11x11=11x11=Ххх X 冲 Xxz'\
11x11=
11x11=
Xw X” Xz/z 卜(7」0)
Xzx Xzy Xzz/
причем Х^ = Х^х» X%z=Xzx, Xgz = Xz・ Инвариантами этого тензора являются, во-первых, его тпур (сумма диагональных элементов) или средняя восприимчивость
X = W(X^ +務 J/+Xzz) = m(X^+x” + Xzz),(7.11)
г^е 彳先先,Xyy, Xzz —главные восприимчивости, и, во-вторых, параметр диамагнитной анизотропии Ддм, определяемый формулой
2绳М= 3 2匾一(2 Xii)2 = @x -又ду)2十出方一皿戶卜出0一心汽(7.12)
г,女г
Обе эти величины можно непосредственно найти из опыта.
Обобщение формулы /7.8) на случай анизотропных молекул [14, 15] имеет вид 蔡(〃1呐"。一u产)1〃)+2 2 ⑷睡黑,噎炉＞1〃) }(7/3)
3”，(#)"'支
где у — номера электронов, 6UU—дельта-символ, равный 0 при ь 嶼 м и 1 при v = и. С помощью (7.11) из (7.13) легко получить формулу (7.8) для средней восприимчивости.
Из (7.13), а также (7.8) видно, что метод теории возмущений, использованный при выводе этих формул, при их конкретных применениях предполагает знание соб- ственных функций и энергетического спектра (как его дискретной, так и непрерывной ветвей) невозмущенной задачи. К сожалению, это известно только для случая атома водорода и водородоподобных ионов Не+, Li2+, Be34" и т. д. Все это затрудняет использование формул (7.13) или (7.8).
Численные оценки. «. Атомы. Легко видеть, что порядок величины диамагнитной восприимчивости атомов и ионов, определяемый формулами квантовой теории, такой же, как и по классической формуле (7.6). Формулы (7.8) и (7.13) в принципе .применимы к любому атому или иону. Однако лишь в случае атома водорода можно количественно точно вычислить магнитную восприимчив ость. Используя известные волновые функции невозмущенного водородоподобного атома для состояния с главным тг и азимутальным I квантовыми числами, Ван-Флек [1] и Полинг [2] нашли %^=—2,832/0】。(3『[^〃4_^歯 U+D+H =
=0,39663-10-6 — [5n2-3Z(z + l)4-l],(7.14)
В частности, в случае атома водорода (при п — 1, Z = 0, Z = 1) величина %学= =——2,4027 *10-6 см [16]. К сожалению, этот результат не поддается непосредственной опытной проверке, ибо, во-первых, при обычных температурах водород находится в молекулярном состоянии (Н2), а во-вторых, даже в диссоциированном состоянии нормальным состоянием атома является 2S, а это приводит к сильному спиновому парамагнетизму, целиком затушевывающему диамагнитный эффект. Косвенный способ проверки (7.14) с помощью оценки вклада водорода в восприимчивость молекулярных соединений, используя правило Паскаля (см. ниже § 2, п. 4), не имеет особого смысла вследствие существенного изменения электронной оболочки атома водорода в соединениях.
Вьгаисления для атомов гелия (см., например, работу Фридберга и Шугурова [17]) и других более сложных атомов могут быть проведены лишь приближенно. Обычно дело сводится к определению эффективного атомного номера путем введения так называемой постоянной экранирования заряда ядра электронами атома *). Однако следует указать, что при этом делают грубые приближенйя, снижающие точность численного результата. Тем не менее квантовая механика дает ясную физическую картину явления, указывает на количественную связь между диа- и парамагнетизмом и дает вполне удовлетворительное согласие с опытом в смысле порядков величин.
В качестве оценочных расчетов для диамагнитной восприимчивости многоэлектронных атомов можно упомянуть результат, полученный Слэтером [18] с помощью
приближенных функции, предложенных Зинером [19]. Радиальная часть этих так называемых слэтеровских функций имеет вид
屮(г)1Техр[
где п*— эффективное квантовое число (его отношения к истинному главному квантовому числу равны 1/1; 2/2; 3/3; 3,7/4; 4/5; 4,2/6; . . .), о — постоянная экранирования (подбирается в каждом конкретном случае). Используя эти функции, Слэтер показал, что диамагнитная восприимчивость может быть записана в виде
%犬=一 0,79326：10-б £%犬=一 0,79326：10-б £球2卜'+3卜力+ 1)球2卜'+3卜力+ 1)(Z —0)2(Z —0)2(7.15)(7.15)
%犬=一 0,79326：10-б £
%犬=一 0,79326：10-б £
球2卜'+3卜力+ 1)
球2卜'+3卜力+ 1)
(Z —0)2
(Z —0)2
(7.15)
(7.15)
где суммирование ведется по всем электронам атома. При помощи формулы (7.15) были рассчитаны, в частности, диамагнитные восприимчивости инертных газов.
Ионы. Ещё большие трудности возникают при попытках определения диамагнитной восприимчивости изолированных ионов. Это связано с тем, что ионы обычно входят в соединения (молекулы, кристаллы, жидкие растворы), поэтому здесь может оказаться существенным влияние химических связей. Подробнее этот вопрос описан в книге Селвуда (1958), в обзорах Пако [20] и Майера [21] и работах Курти [16, 22, 23].
Вариационные методы расчета. В связи с трудностями расчета диамагнитной восприимчивости по обычной теории возмущений делались попытки использовать вариационные методы расчета. Впервые этот подход был применен Слэтером и Кирквудом [24]. Дальнейшее развитие он получил в работах Ганса и Мровки [14] и Тийе 『15]. Основная идея метода сводится к тому, что возмущенная волновая функция 屮 ищется в виде
屮=屮0 [1 + Sx^x + ^уНу + gz%]，(7.16)
где -ф0— волновая функция невозмущенного (при Я — 0) основного состояния атомной системы. Неизвестные функции g± (г) (i = “ у, z) определяются обычным для вариационных методов способом из требования, чтобы средняя энергия системы в состоянии, описываемом функцией (7.16), была минимальной. При этом для тензора {7.10) вместо (7.13) получаем
'力=~-4^2 2("° "»хь — "/吗 I 屮о)— j
一訂 2件。1g"必狩十g。必兜1屮。)十W■件。I Vg"・Vg。I屮。)•(7.17)
Первый член в (7.17) дает обычный вклад прецессионного диамагнетизма, а второй и третий — ванфлековского парамагнетизма. «Нулевая» функция яро выбирается по рецептам, заимствованным-из квантовой химии (метод молекулярных орбит и т. п.), когда оболочка диамагнитной молекулы разбивается на парные электронные связи и замкнуты внутренние оболочки атомов, образующих молекулу.
Сравнение с оптической поляризуемостью. Имеется еще один, указанный Кирквудом [25], независимый способ определения диамагнитной восприимчивости атомов и ионов — путем ее сравнения с оптической электрической поляризуемостью а. Дело в том, что последняя, как и восприимчивость, определяется в случае симметричных электронных систем топ же суммой средних квадратов радиусов орбит. Кирквуд [25] получил для а выражение
z
га 9Z^ ( 2 <г»0 '(7.18)
где аБ = h/mc^ — радиус первой боровской орбиты в атоме водорода, равный 0.529167-10~8 см, a Z—полное число электронов молекулы. Из сравнения с формулой (7.6) находим
%Т=- да- Vz^ « - 3,11-10+6 yz^_ (7.19)
Подробный критический анализ и дальнейшее развитие этого метода дано в книге Дорфмана (1961).
G. Молекулы. Классическая теория не давала возможности вычислить диамагнитную восприимчивость молекулярных газов. Квантовая механика, по крайней мере в принципе, дает возможность получить полное решение задачи, а в случае простейших молекул (например, Н2) — даже количественно правильный результат.
По Ван-Флеку (1932), молярная диамагнитная восприимчивость %鋁 многоатомных моле
кул, не имеющих в отсутствие поля собственных моментов, выражается формулами типа (7.8) или (7.13), где все величины следует относить теперь к молекуле. Оба слагаемых в этих формулах и в данном случае имеют порядок 10-6. Следовательно, величина %疗 мала. Она также практически не зависит от температуры, как и атомная восприимчи
вость хТ (по этому вопросу см. также работу [26]). Молекулы будут диа- или парамагнитны в зависимости от того, какой из членов в (7.8) больше. К оличеств енный расчет молярной восприимчивости труднее расчета атомной, поскольку в случае молекул мы еще хуже знаем вид волновых функций.
Для простейшей молекулы водорода расчет с приближенными волновыми функциями дает величину, лежащую в интервале от ——3,93 10-6 до ——4,21 *10-6 [27], а наилучшее опытное значение равно ——4,0051 *10-6 [см- работы [28, 29* 15], Селвуд (1958),.
Рис. 7.2. Структурная формула молекулы бензола СвНв. Показаны о- и л-связи. Расстояние между соседними атомами углерода С — С порядка 1,40 А.Рис. 7.2. Структурная формула молекулы бензола СвНв. Показаны о- и л-связи. Расстояние между соседними атомами углерода С — С порядка 1,40 А.а также замечание о гиромагнитном эффекте в диамагнетиках в гл. 8].
Рис. 7.2. Структурная формула молекулы бензола СвНв. Показаны о- и л-связи. Расстояние между соседними атомами углерода С — С порядка 1,40 А.
Рис. 7.2. Структурная формула молекулы бензола СвНв. Показаны о- и л-связи. Расстояние между соседними атомами углерода С — С порядка 1,40 А.
Можно указать для примера результаты расчетов молярной диамагнитной восприимчивости двухатомных молекул: азота: —13,539 х X ю-6 [30], фтора: —15,14 Л0-\ хлора: — 40,67 брома: ——58.84Л0-6 и молекулы воды: —12,82.10т [31],
Дальнейшая разработка теории диамагнетизма молекул велась в работах [14, 15, 27, 32—39]_ В работах Хамеки [27, 32] дается обзор вариационных методов *), а также анализируется связь диамаг
нетизма молекул с их микроволновыми спектрами. Эта связь очень важна, поскольку она открывает возможность для независимого определения ванфлеков- ского вклада в диамагнитную восприимчив ость молекулы. На это обратил внимание Вельтнер [42]. Вик [43, 6] указал, что возникающий (см. выше) во вращающейся молекуле магнитный момент, обусловленный круговыми токами электронов и ядер,, вращающихся вокруг центра тяжести молекулы, связан с рассчитанным Ван-Флеком п Франком [44] поляризационным парамагнетизмом молекулы ).
со стороны ионного остова молекулы.со стороны ионного остова молекулы.6. Диамагнетизм молекул ароматических соединений. Остановимся еще на вопросе об упоминавшейся вьппе анизотропии диамагнитной восприимчивости молекул. Наиболее ярко эта анизотропия наблюдается в молекулах ароматических соединений. Она и была впервые обнаружена в бензоле, типичном соединении такого класса^ Раманом и Кришнаном [47]. Характерная особенность этих молекул заключается в наличии особой циклической группировки (кольца) из шести атомов углерода, лежащих в вершинах правильного плоского шестиугольника. На рис. 7.2 приведена структурная формула молекулы бензола СвНб. Каждый из атомов углерода образует в плоскости кольца по три a-связи под углами 120° друг к другу (две С — С и одну С — Н). У шести атомов углерода в молекуле имеется 24 2s- и 2р-электронов. В о-связлх участвуют 3x6—18 гибридизированных р- и s-электронов. Оставшиеся шесть р электронов делокализуются в поле шести центров и образуют коллективную электронную оболочку молекулы (л-связь). Расчет такой оболочки может быть выполнен двумя способами: 1) методом молекулярных орбит, как это было предложено Полингом [481, а в квантовом варианте разработано Лондоном [49, 50] и другими [35, 51, 52]; 2) методом квантовой теории металлов. Второй метод впервые предложили Волькенштейн и Боровинский [53] и далее развили Ребане [54, 55, 40, 38, 36] и Адамов и др. [56]. В обоих мег одах предполагается в первом приближении, что л-электроны полностью коллективизированы и их движение происходит в ограниченном объеме в виде тонкой трубки вдоль периметра кольца молекулы. На боковой поверхности этой трубки существует достаточно высокий потенциальный барьер, создаваемый силами притяжения
со стороны ионного остова молекулы.
со стороны ионного остова молекулы.
Резкая анизотропия и большие абсолютные значения 式旷 ароматических соединений определяется в первую очередь заметно большей площадью орбит коллективизированных л-электронов по сравнению с площадью орбит электронов отдельных атомов или обычных молекул. Д ействительно, например, площадь бензольного кольца
равна по порядку величины 5 10-16 с^ч а площадь первой боровской орбиты в водороде равна 0,2*10-16 ел2. Восприимчивость, определяемая л-электронами, оказывается большой по абсолютной величине, когда намагничивающее поле направлено иод углом в 90° к плоскости кольца (в этом случае восприимчивость обозначим через %(汐).При этом в выражение для магнитного момента (7.4), соответствующего ларморовской прецессии, будет входить площадь S не атомной орбиты электронов, а всего ароматического кольца. Поскольку орбиты л-электронов плоские *) и «жестко» связаны с ионным кольцом молекулы, то при внешнем поле, лежащем в плоскости кольца, поле практически не вызывает ларморовской прецессии (S ^ 0) и, следовательно, соответствующий вклад в восприимчивость, обозначаемый через %[广)，будет практически отсутствовать. Суммарная восприимчивость молекулы при поле, лежащем в плоскости кольца, конечно, отлична от нуля за счет вклада электронов, локализованных в и-связях и внутренних частях атомной оболочки. Так, например, в нафталине средняя молекулярная восприимчивость в плоскости кольца %”、一 4,1 *10-6, а в перпендикулярном направлении X丄弋187/。弋 для антрацена соответственно 冲 弋 -—50 «Ю-6 п %丄 — 273 • 10-6.
Более подробные сведения, помимо упомянутых работ и обзоров, можно найти также в обзорах Кришнана [57], Лонсдейл [581 и книге Дорфмана (1961), см. также работы [59—61].
Основные опытные данные
Благодаря малости диамагнитного эффекта его измерение представляет известные экспериментальные трудности. Наиболее совершенная методика измерения диамагнитной восприимчивости газов и паров была разработана Янусом и Шуром [62] [см. также Шур [63] и Дорфман (1955)]).
Диамагнетизм атомов. На. рис. 7.3 приведен график атомных вос- приимчивостей %暫 диамагнитных элементов. Следует отметить, что в природе существует сравнительно очень мало устойчивых одноатомных
Рис. 7.3. Атомная диамагнитная восприимчивость элементов при комнатной температуре [данные взяты из книги Селвуда (1958)].
газов. Поэтому непосредственное опытное определение 席 изолированных атомов возможно лишь в ограниченном числе случаев. Типичными представителями одноатомных диамагнитных газов являются инертные газы. В табл. 7.1 приведены опытные и теоретически вычисленные значения этих веществ по различным источникам.. Из этих данных видно, что XT закономерно растет с атомным номером элемента и что расчетные значения достаточно близки к наблюдаемым. Теоретические значения получены с помощью слэтеровской формулы (7.15) или ее дальнейших модификаций (см., например, [22]).
Таблица 7.1
Диамагнитная восприимчивость инертных газов (в единицах 106 СГСМ/л^оль)
ЭлементОпыт
Теория
Не—2,02 [65]
—1,86 [Бете и Солпитер (I960), [68, 16]]
Ne—6,96 [65]
—5,8 [69]
—7,417 [70]
—7,46 [71]
—7,48 [72]
—11,4 [73]
Аг—19,23 [28]
Кг—28,02 [66]
—29,2 [67]
—18,8 [73]
—31,7 [18]
—33,38 [71]
—42,0 [2]
Хе—42,02 [63]
—44,1 [64]
—42,90 [74]
—48,0 [18]
-66,0 [2]
Кроме инертных газов, Шур [63] измерил величину 煙 для одноатомных паров ртути. Она оказалась равной —78,2 -Ю-6. Теоретический расчет дает величину —84,6 -10-6.
Диамагнетизм ионов. Для расчета диамагнитной восприимчивости ионов теория дает такие же формулы, как и для атомов. Однако из экспериментальных результатов в данном случае всегда получают или молекулярную восприимчивость (если исследуется молекулярный газ), или восприимчивость раствора, или, наконец, восприимчивость твердого кристалла. Поэтому в определениях ионной восприимчивости всегда имеется некоторая неточность, связанная с влиянием на диамагнитную восприимчивость сил связей между ионом и окружающими его атомами. С другой стороны, сравнивая между собой ионные магнитные восприимчивости различных соединений, а также сравнивая их с атомной восприимчивостью, можно получить сведения о силах связи между ионами и о роли валентных электронов в диамагнетизме. Так, например, Шур [63] получил для атомной восприимчивости паров ртути величину —78,2 «10-6, которая почти вдвое больше, чем опытное значение 牆靠 для иона Hg2 + , которое равно ——40,4 «10-6. Это указывает на существенный вклад, вносимый валентными электронами в диамагнетизм ртути.
Диамагнетизм многих солей, например NaCl и т. и., объясняется тем, что образующие их ионы (в данном случае ионы Na+ и С1~) имеют замкнутую электронную оболочку, близкую к оболочке атомов инертных газов (для Na+ и С1~ это будет соответственно Ne и Аг). Измерения производятся обычно или твердых солей, или, чаще, растворов (йодных). Несмотря на указанную выше неточность, связанную с косвенностью определения ионной в осприимчив о сти, последняя, определенная разными способами, оказывается достаточно постоянной.
На рис. 7.4 показана зависимость атомной диамагнитной восприимчивости инертных газов и одно- и двухвалентных ионов соседних с ними элементов, имеющих структуру электронной оболочки, подобную оболочке атомов инертных газов, от числа п электронов в оболочке атома или иона. Более резкий рост кривых в интервале от тг = 10 до тг = 18 связан, по-видимому, с ростом ионного радиуса [см. (7.7)]. Ионы с одинаковым значением тг, но принадлежащие разным кривым рис. 7.4, например S2-,
Cl-, Ar, K+, Ca2+, отличаются друг от друга зарядом ядра +Ze. При этом, чем больше Z, тем сильнее «притяжение» электронного облака к ядру [меньше сумма средних квадратов радиусов электронов оболочки в (7.7)] и, следовательно, тем меньше абсолютная величина восприимчивости. Значения атомных восприимчивостей инертных газов, как видно из рис. 7.4, лежат между восприимчивостями соответствующих анионов.
галоидов и катионов щелочных металлов, как и должно быть, согласно теории.
Диамагнетизм ионных растворов, в общем, следует правилу аддитивности:
%раств — С%$ 4~ (1 — С)%Н2。，
(7.20)
где %$ и %н2о — соответственно восприимчивости соли и воды, а с—концентрация соли.
Из этого правила могут быть исключения, как показано, например, на рис. 7.5 для раствора LiCl, восприимчивость которого дает заметные откло
Рис. 7.4. Диамагнитная восприимчивость атомов инертных газов и катионов и анионов соседних с ними элементов (имеющих структуру электронной оболочки, аналогичную структуре оболочки атомов инертных газов) в зависимости от числа Z электронов в оболочке [по данным работ [25, 63—67, 78— 801; см. также Дорфман (1961)].Рис. 7.4. Диамагнитная восприимчивость атомов инертных газов и катионов и анионов соседних с ними элементов (имеющих структуру электронной оболочки, аналогичную структуре оболочки атомов инертных газов) в зависимости от числа Z электронов в оболочке [по данным работ [25, 63—67, 78— 801; см. также Дорфман (1961)].нения от правила аддитивности [[75], Селвуд (1958)]. Эти отклонения могут быть обусловлены сильным взаимодействием ионов со своим окружением в растворе. Аналогичные отклонения от аддитивности наблюдаются и в
Рис. 7.4. Диамагнитная восприимчивость атомов инертных газов и катионов и анионов соседних с ними элементов (имеющих структуру электронной оболочки, аналогичную структуре оболочки атомов инертных газов) в зависимости от числа Z электронов в оболочке [по данным работ [25, 63—67, 78— 801; см. также Дорфман (1961)].
Рис. 7.4. Диамагнитная восприимчивость атомов инертных газов и катионов и анионов соседних с ними элементов (имеющих структуру электронной оболочки, аналогичную структуре оболочки атомов инертных газов) в зависимости от числа Z электронов в оболочке [по данным работ [25, 63—67, 78— 801; см. также Дорфман (1961)].
твердых ионных соединениях [например, КС1, NaCl; см. Дорфтвердых ионных соединениях [например, КС1, NaCl; см. Дорфман (1961)].
твердых ионных соединениях [например, КС1, NaCl; см. Дорф
твердых ионных соединениях [например, КС1, NaCl; см. Дорф
В кристаллах, в силу взаимодействий между электронами, друг с другом и с полем решетки, формулы (7.7) и (7.8) уже, строго говоря, 勿неприменимы. На это указывает
-£х淤хотя бы явление анизотропии
Весовой % раствораВесовой % раствораРис. 7.5. Зависимость диамагнитной восприимчивости от концентрации водного раствора.Рис. 7.5. Зависимость диамагнитной восприимчивости от концентрации водного раствора.диамагнетизма ионных кристаллов. Например, в цирконии главные значения атомной восприимчивости соответственно равны: -0,170.10-6 и -0,732/0-6 ”76], Селвуд (1958)]. На это же указывает некоторая зависимость восприимчивости и ее анизотропии от температуры.
Весовой % раствора
Весовой % раствора
Рис. 7.5. Зависимость диамагнитной восприимчивости от концентрации водного раствора.
Рис. 7.5. Зависимость диамагнитной восприимчивости от концентрации водного раствора.
Детальный анализ результатов и методов измерений ионной диамагнитной восприимчивости можно найти в обзоре Майера [21], где подвергнуто серьезной крити
ке применение правила аддитивности, а также указано на не очень большую точность существующих экспериментальных методов измерений. Следует также отметить наглядный метод проверки применимости правила аддитивности для %^н, предложенный Вейлем [77]. На рис. 7.6 приведен простейший пример использования этого метода для галогенидов щелочных металлов, В этом примере исходят
Аддитивность ионных воснрпимчивостей для щелочно-галоидных соединений (значения—%片嗚 приведены в единицах 106 CrCM/3to^b； таблица составлена на основе работ [7880])Аддитивность ионных воснрпимчивостей для щелочно-галоидных соединений (значения—%片嗚 приведены в единицах 106 CrCM/3to^b； таблица составлена на основе работ [7880])из соединения КВг и наносят по данным [78—80] восприимчивости бромидов других щелочных металлов по горизонтали, а в осприимчив о стииз соединения КВг и наносят по данным [78—80] восприимчивости бромидов других щелочных металлов по горизонтали, а в осприимчив о стигалогенидов калия погалогенидов калия попости ионной диамагнитной восприимчивости по методу Вейля [77] (по данным измерений Бриндли и Гоара [78]).пости ионной диамагнитной восприимчивости по методу Вейля [77] (по данным измерений Бриндли и Гоара [78]).
Аддитивность ионных воснрпимчивостей для щелочно-галоидных соединений (значения—%片嗚 приведены в единицах 106 CrCM/3to^b； таблица составлена на основе работ [7880])
Аддитивность ионных воснрпимчивостей для щелочно-галоидных соединений (значения—%片嗚 приведены в единицах 106 CrCM/3to^b； таблица составлена на основе работ [7880])
из соединения КВг и наносят по данным [78—80] восприимчивости бромидов других щелочных металлов по горизонтали, а в осприимчив о сти
из соединения КВг и наносят по данным [78—80] восприимчивости бромидов других щелочных металлов по горизонтали, а в осприимчив о сти
галогенидов калия по
галогенидов калия по
пости ионной диамагнитной восприимчивости по методу Вейля [77] (по данным измерений Бриндли и Гоара [78]).
пости ионной диамагнитной восприимчивости по методу Вейля [77] (по данным измерений Бриндли и Гоара [78]).
вертикали и т. д. Первые две линии при этом
образуют крест из двух прямых. Отклонения же от строгой аддитивности выражаются отклонениями от прямоугольности всей сетки па графике. Из правила аддитивности (если оно выполняется) вытекает, что разности восприимчивостей LiCl и NaCl, LiBr и NaBr должны быть одинаковыми. Насколько это выполняется, например, для галогенидов щелочных металлов, видно из табл. 7.2.
Дальнейшие подробности о восприимчивости ионов можно найти в [21] и в книгах Селвуда (1958) и Дорфмана (1961). В последней (см. гл. III) убедительно показано, что нарушение правила аддитивности для ионных восприимчивостей связано с тем, что восприимчивость ионного соединения А+В~ равна
У ДМ у ДМ 丄 уДМ I уПМ ^А+В- ЛА+ I Ав- 丁 Ацопяр，
где %翼 и %聲一восприимчивости прецессионного диамагнетизмаf а Хпопяр — восприимчивость ванфлековского поляризационного парамагнетизма, обусловленного деформацией электронных оболочек ионов А + и В- в соединении.
Диамагнетизм молекул. Как уже указывалось, расчет молекулярной восприимчивости двухатомных молекул (кроме Н2)т а также более сложных молекул представляет большие трудности. Шур [63] измерил восприимчивость паров молекулярного брома Вг2, которая оказалась равной —74 -Ю"6. Теория для ионов брома Вг_ и Вг+ в сумме дает значения в пределах от —62т24-10~6 до —89,81 -10~6т что довольно хорошо совладает с найденной величиной молекулярной восприимчивости брома.
Особый интерес вызывают измерения восприимчивости воды (Селвуд (1958)), так как она очень часто используется для целей градуировки аппаратуры и в качестве растворителя. Величина ее восприимчивости при 20° С равна %號=—0,7 218 -10-6 с точностью до 士 0,0007. Температурная зависимость восприимчивости воды исследована очень тщательно. Темпе-
ратурный коэффициент равен (Хщо) ~х —^^ , он монотонно падает от
2,9 -10^4 при 5° С до 0,62 -Ю"4 при 70° С. Полагают, что причиной слабой температурной зависимости восприимчивости воды является деполимеризация молекул воды с температурой, которая вызывает небольшие изменения в структуре электронной оболочки молекулы. Эти измерения
г,℃г,℃Рис. 7.7. Скачок диамагнитной восприимчивости сурь- мы в точке плавления 0ПЛ [Селвуд (1958)].Рис. 7.7. Скачок диамагнитной восприимчивости сурь- мы в точке плавления 0ПЛ [Селвуд (1958)].должны происходить наиоо- лее резко при плавлении и испарении, что в пекото- рых случаях фактически приводит к сильному из- А1епению диамагнитной восприимчивости , например при плавлении сурьмы (см. рис. 7.7).
г,℃
г,℃
Рис. 7.7. Скачок диамагнитной восприимчивости сурь- мы в точке плавления 0ПЛ [Селвуд (1958)].
Рис. 7.7. Скачок диамагнитной восприимчивости сурь- мы в точке плавления 0ПЛ [Селвуд (1958)].
В химии молекул различают два основных типа связей——ионную и ковалентную. В случае двухатомных молекул с ионной связью, состоящих из ионов двух химических элементов А и В, процесс образования молеку
лы описывается как переход л электронов от атома А к атому В, превращающий эти атомы соответственно в л-кратно ионизованный катион А"+ и анион Вп~. Между ионами возникает обычное кулоновское притяжение, которое и определяет в основном ионную связь молекулы. Попадая в раствор (с достаточно большой диалектрической постоянной) эти молекулы обнаруживают сильную тенденцию к диссоциации на ионы. То же происходит при нагревании газа из таких молекул. Поэтому ионная молекула малоудобна как независимый объект наблюдения. В частности, это относится и к измерениям диамагнитной восприимчивости. В твердом состоянии такие молекулы образуют ионные кристаллы, типичным примером которых является каменная соль NaGl. В этих кристаллах ионные молекулы перестают существовать как особые образования, поскольку в решетке такого кристалла каждый катион окружен z (координационное число) одинаково расположенными анионами и, наоборот, каждый анион—— z‘ катионами. Поэтому вся совокупность физических свойств ионного кристалла и соответствующего молекулярного газа может быть существенно различной. Иначе обстоит дело в случае молекул с ковалентной связью. Здесь соединяющиеся в молекулу атомы не превращаются в разноименно заряженные ионы, а отдают свои наружные (валентные) электроны в общую систему. Эти электроны образуют так называемые валентные пары, как правило, с нулевым спиновым и орбитальным моментом. Эти связи носят квантовый (обменный) характер (подробнее см. ниже гл. 19 —— 22). Попадая в раствор или кристалл, эти молекулы не диссоциируют и сохраняют там свою молекулярную индивидуальность. Между ними в конденсированном состоянии возникают более слабые поляризационные ван-дер-ваальсовские силы связи, вызванные взаимной электрической поляризацией их электронных оболочек. Следует иметь в виду, что разделение молекулярных связей на чисто ионные и чисто ковалентные
является приближенным. Фактически в реальных молекулах имеют дело лишь с преобладанием или ионной, или ковалентной связи.
Как указал Дорфман (1955), при преимущественно неполярной ковалентной связи предметом исследования служат молекулы; при преимущественно ионной связи предметом изучения являются ионы.
К молекулам с ковалентной связью относятся, например, такие двухатомные диамагнитные молекулы с основным состоянием XS 0> как Н2, D2, Т2, N2, СО, галоиды (F2, С12, . . .), галоидоводороды (HF, HG1,...), трех-, четырех- и пятиатомные молекулы (Н2О, H2S, Н2О2, NH3,...), а также огромное разнообразие органических молекул с насыщенной валентностью (см. также более поздние работы [101—105, 107, 109一112]).
Правило Паскаля. На основе анализа многочисленных опытных данных по измерениям диамагнитной восприимчивости молекулярных соединений, особенна- органических, Паскаль [81, 82] предложил эмпирическую формулу
хГ=2«ахТ+^.
А
где 九а ——число атомов сорта А в молекуле, %5M — их атомная восприимчивость, а X —— поправка, которая может быть положительной или отрицательной и зависит от природы химических связей в молекуле. Так, например, в случае молекулы СО атом углерода входит в состав молекулы с восприимчивостью %^吕=—6,0・10一6, атом кислорода —Xqq = — 4,6 10~6; двойная связь С = 0 понижает, по Паскалю, диамагнетизм на величину X = 6,35 *10~6, а тройная связь должна дать гораздо меньшее значение. С другой стороны, опыты Шура [63] дали %歌 = — 11,8 *10~6. Таким образом, 九СО = 1,2・10~б, чт0 говорит в пользу наличия тройной связи в молекуле СО.
По мере накопления опытного материала выяснилась ограниченность схемы Паскаля, которая в основном проявлялась в том, что приходилось пользоваться очень большим числом поправок 入,а это, конечно, обесценивало практическую применимость всей схемы. Поэтому эта схема подвергалась, с одной стороны, некоторым усовершенствованиям [83——86], а с другой стороны, многочисленным критическим нападкам, в которых часто делались далеко идущие выводы о принципиальной непригодности такого рода схем для магнетохимии. Однако Дорфман (1961) справедливо^ указал, что непригодной является не сам принцип схемы, а устарел лишь метод обработки и интерпретации опытных данных.
В связи с этим Дорфман предложил новый метод магнетохимического исследования вещества, в котором, в отличие от схемы Паскаля, за основу был взят ванфлеков- ский парамагнетизм [Дорфман (1961)].
Метод молекулярных орбит
Попль [33j развил общую квантовомеханическую теорию диамагнетизма на основе метода молекулярных орбит (в приближении линейной комбинации атомных орбит, Л КАО) *). Этот расчет, по мнению Попля, может служить обоснованием схемы Паскаля с учетом ванфлековского парамагнетизма. Расчет поправок X для простых молекул, содержащих атомы элементов Н, С, N, О и F, дает удовлетворительный качественный результат, однако результаты количественного сравнения с опытом оказываются не очень хорошими. Несмотря на это, можно надеяться, что схема Дорфмана ——Попля будет полезной для современной магнетохимии.
В своей работе Попль [33] одновременно рассмотрел очень интересный физический эффект связи диамагнетизма с химическим смещением линий ядерного магнитного резонанса (ЯМР). Тесная связь этих явлений обусловлена тем, что диамагнитная восприимчивость молекулы определяется магнитным моментом токов в ее электронной оболочке, индуцируемых внешним (однородным) магнитным полем. Эти токи создают вторичное магнитное поле, которое, складываясь с внешним полем, образует результирующее поле, действующее на каждое атомное ядро молекулы. Поэтому химическое смещение резонансной частоты (при заданном значении внешнего магнитного поля) при ЯМР определяется точно теми же токами, которые создают диамагнитную восприимчивость. Таким образом, строго говоря, общая теория молекулярного диамагнетизма должна давать одновременно объяснение восприимчивости и химического смещения в ЯМР как различных сторон одного и того же явления.
Математическая схема теории Попля [33] весьма аналогична той, которая была предложена Лондоном [49] для объяснения диамагнитной анизотропии ароматических
молекул. А именно гамильтониан для каждого электрона выбирается в виде
幽=去g + 千4)2 + 匕(7.21)
где V — сумма электростатического потенциала ядер и среднего экранирующего потенциала остальных электронов. В случае однородного внешнего магнитного поля Н и поля расположенных в точках Rx,冗2, * * • ядерных дипольных моментов |Л15 卩2, • •- потенциал Л в точке г равен
4 6=4■灰州+ 2 %(工•(7・22)
В рамках модели Л КАО ищем решение уравнения Шредингера 或 2才= 務^ 屮力 с гамильтонианом (7.21) и волновыми функциями г|)г в виде линейной комбинации атомных функций(pm. С учетом градиентной инвариантности по Лондону [49] это разложение ведется по несколько измененным функциям
^m = (Pni ехР [^~ ^m^J ,(7.23)
где Ат — значение А в точке, занятой ядром 丘施 атомной функции 守施.Итак, решение *ф^ ищем в виде линейной комбинации функций (7.23):
Wi = У SmKm・(7-24)
Подставляя (7.24) в уравнение Шредингера и используя вариационный принцип, получаем хорошо известную систему линейных уравнений [Ландау, Лифшиц (1963)]
2^i 习 ^施办^打，(7.25)
nn'
где 宮 t — корни секулярного уравнения
II ^тп —君 mnl| = °,
а
%%n= f 乂菽威^乂卩 dt и Smn-=- j w^zzn dx.(7.26)
Дальше развивается приближенный метод решения по схеме теории возмущения, где роль параметра малости играет внешнее магнитное поле. В известном смысле этот метод по своим результатам аналогичен тому, который был использован в работе Тийё [15] [см. формулу (7.16)].‘
Исследования молекулярного диамагнетизма имеют важное значение для проблем магнетохимии, так как дают возможность пролить свет на природу химической- связи, механизм полимеризации и ряд других вопросов структуры молекулярных систем [Дорфман (1955, 1961), Селвуд (1958)].
Магнитное экранирование ядер
Диамагнетизм электронной оболочки атомов и молекул необходимо учитывать при измерениях магнитных моментов их ядер в атомных и молекулярных пучках [Рамзей (I960)]. При наложении внешнего поля Н благодаря диамагнитному эффекту в электронной оболочке атомов (или молекул) в месте расположения ядер возникает их внутреннее магнитное поле——аядН, ослабляющее внешнее магнитное поле Н. Это явление называется магнитным экранированием ядер. Величина аяд (в общем случае являющаяся тензором) называется постоянной магнитного экранирования. Первые расчеты постоянной Онд^ля атомов провел Лемб [87]; Рамзей [88] обобщил их на случай молекул. Согласно Рамзею, в случае двухатомной молекулы с 2п электронами (без учета эффектов ее вращения и колебания) постоянную магнитного экранирования можно представить в виде суммы двух частей:
。欢=嘴+喘，
где о器—чисто диамагнитная (ларморовская) часть, а а^； соответствует ванфлеков- скому поляризационному парамагнетизму. Для 2п-электронной системы в основном состоянии, описываемом волновой функцией 中°, компоненты этих двух частей тензора1'
экранирования имеют, по Рамзею [88], следующий вид:
2п
(С)«3 = -2^Г〈屮。丨 2 從тав-(г“)а(г”)в]г%〉’(7.27)
2n2n
(喘耶=一 2^』偌А —肅Т { С。I 2 "a 田〉@ I S ^B噌 J Yo) +
+I 2 /沁尾版)〈Ya I 2 /邦卜。〉} •(7.28)
Здесь z■纾一радиус-вектор между Z-м ядром и j-м электроном, mja — оператор а-ком- поненты углового момента j~ro электрона вокруг i-ro ядра (а, ^ ~ х^ у, z), 4r在 и 豳在—— соответственно волновая функция и энергия fc-ro возбужденного состояния свободной молекулы. Дальнейшие подробности об этом эффекте можно найти в монографии Рамзея (I960) (см. также более поздние работы [89, 90, 106, 108]).
Диамагнетизм неметаллических кристаллов
Для выяснения изменения магнитных свойств совокупности слабовзаимодейст- вующих атомов, ионов или молекул при их конденсации в жидкость или кристалл необходимо прежде всего вспомнить, что в общем случае происходит с электронными оболочками атомов, ионов и молекул, когда средние расстояния между ними становятся порядка их собственных линейных размеров. С точки зрения современной квантовой механики систему взаимодействующих атомных ядер и электронов, образующих жидкость или кристалл, можно с большой степенью приближения представить как совокупность двух автономных систем *). Во-первых, системы ионных остовов^ которые, например, в твердых телах образуют ионную кристаллическую решетку, и, во- вторых, системы коллективизированных электронов^ образующих, например, в металлах так называемую ферми-жидкость (см. ниже гл. 11), а в неметаллических веществах —«мостики» более или менее локализованных в пространстве химических связей. В систему ионных остовов, наряду с атомными ядрами, входят внутренние замкнутые слои электронной оболочки бывших свободных атомов. Критерием для включения электронов в ионный остов может служить абсолютная величина так называемых интегралов перекрытия между индивидуальными волновыми функциями tpj (г) и 屮享(г) электрона слоя I атома j и электрона слоя F атома f, а именно ):
明;=j叫俨)竭⑺(7.29)
Волновые функции могут быть, например, определены в рамках приближенной теории самосогласованного поля. Если интеграл перекрытия S；；； для электронов данного слоя Z соседних атомов『 =j + 1 близок к нулю, то можно считать, что общий характер движения электронов этого слоя мало изменяется при переходе атома из изолированного состояния в связанное в кристалле или жидкости. Однако при этом не следует забывать, что электронные оболочки ионных остовов в кристалле или жидкости находятся в существенно иных условиях окружения, нежели в случае разреженного газа, когда каждый нейтральный атом, за исключением редких моментов столкновений, находится в практически изолированном состоянии (в вакууме ). Кристаллическое или жидкостное «окружение» электронной оболочки ионных остовов создает внутренние электрическое и магнитное поля определенной симметрии, могущие оказать существенное влияние на состояние электронов ионного остова. Например, эти поля могут привести к полному или частичному снятию вырождения индивидуальных орбитальных состояний (благодаря эффектам Зеемана и Штарка в этих полях), и к явлению так называемого «замораживания» орбитальных моментов и т. п. Кроме того, на электроны ионных остовов могут оказывать заметное влияние коллективизированные электроны (бывшие валентные). При строгой количественной трактовке задачи по установлению
критерия участия электронов в той или иной подсистеме конденсата необходимо учитывать самые тонкие нюансы изменений структуры электронных оболочек ионных остовов в кристалле или жидкости (более подробно этот вопрос рассмотрен в гл. 10).
Иная ситуация имеет место для системы коллективизированных электронов. Поскольку для них интеграл перекрытия (7.29) достаточно велик, то характер их движения в конденсированной среде существенно иной по сравнению с их движением в свободных атомах. Здесь следует различать два основных случая. Во-первых, когда система этих электронов по своим свойствам подобна замкнутому (спин-насыщенному) слою электронной оболочки изолированного атома или молекулы с существенно неоднородным (в соответствии с симметрией кристалла) л ок а л изовапным распределением электронной плотности по объему конденсата («мостики» ковалентных или ионных связей). В таких системах, в частности в кристаллах, энергия основного состояния (при 0° К) отделена щелью конечной ширины от энергии первого возбужденного состояния, и поэтому такие вещества относятся к неметаллическим телам, т. е. полупроводникам или диэлектрикам. Во втором случае бывшие валентные электроны образуют в объеме всего тела подвижную ферми-жидкость электронов проводимости, омы- вающую относительно малоподвижную «тяжелую» ионную систему (решетку). В таких веществах (металлах) энергетический спектр электронов непрерывен — нет щели, отделяющей энергетический уровень основного состояния от энергии возбужденных состояний.
Таким образом, все физические свойства любой конденсированной фазы, в том числе и магнитные, будут определяться в первом приближении как сумма свойств двух подсистем ——ионных остовов и коллективизированных электронов. Здесь мы рассмотрим только случай неметаллических тел (металлы будут рассмотрены в гл. 11), в которых наряду с ионными остовами, находящимися во внутреннем поле определенной симметрии, имеются еще коллективизированные электроны, осуществляющие в основном ионную или ковалентную химическую связь в конденсате. Здесь мы также ограничимся случаем диамагнитных тел, т. е. исключим из рассмотрения вещества, содержащие в своем составе атомы или ионы переходных элементов с недостроенными внутренними оболочками.
Если обратиться к основной формуле (7.8) квантовой теории диамагнетизма ато~ мов и молекул, то мы видим, что в ней никак не учитывается связь между отдельными атомами или ионами в кристалле. Однако первый член этой формулы по своей структуре аддитивен. Каждая отдельная «орбита» со своим электроном в ионной оболочке независимо прецессирует во внешнем магнитном поле и вносит свой вклад в ланже- веновскую часть восприимчивости. Все изменения, которые могут произойти с этой частью восприимчивости в конденсате, связаны с деформацией «орбит» электронов в оболочке ионных остовов. Чем глубже, т. е. ближе к атомному ядру и ионному остову, расположена орбита, тем меньше она деформируется из-за взаимодействия с окружающими атомами в кристалле или жидкости. Поэтому вклад ионных остовов в магнитную восприимчивость, если и меняется по сравнению с газообразным состоянием, то не столь уж существенно. Что же касается ванфлековского парамагнетизма, описываемого вторым слагаемым правой части формулы (7.8), то он для ионных остовов, как правило, очень мал, поскольку энергии основных состояний электронов ионного остова сильно удалены (в энергетической шкале) от энергии даже первого возбужденного состояния (велики знаменатели во всех членах двойной суммы в правой части
Поэтому можно ожидать, что вклад в диамагнетизм ионных остовов конденсированной фазы остается почти таким же, каким он был и в случае изолированных ато* мов и молекул.
Более существенные изменения должен претерпеть вклад от бывших валентных электронов. Они в конденсированной фазе могут изменить существенно состояние своего движения, ибо орбиты валентных электронов изолированных атомов и молекул, например, в кристалле испытывают весьма значительную деформацию.
Как уже отмечалось выше, химическая связь в диамагнитных молекулах может быть ионная или ковалентная. Очевидно, что и в диэлектрических кристаллах неметал* лического класса следует ожидать существования этих двух типов связей. Однако обычно мы имеем дело не с чисто ионной или чисто ковалентной связями, а с некоторой их смесью (гибридизацией), в которой имеется лишь более или менее заметное преобладание одной из компонент.
Остановимся кратко на двух основных случаях ——кристаллах с преобладанием ионной и ковалентной связи. Если считать, что электронные оболочки ионов обладают центральной симметрией и в кристалле они не испытывают деформации, то весь их магнетизм и в кристалле сводится только к ланжевеновскому прецессионному диамагнетизму. Поэтому магнитная восприимчивость диамагнитного ионного кристалла подчинялась бы правилу простой аддитивности восприимчивостей всех анионов и ка* тионов, образующих кристалл. Однако в действительности электронные оболочки ионов в кристалле благодаря электростатическому взаимодействию испытывают взаимную деформацию. Эта деформация носит анизотропный характер; центральная симметрия нарушается (если она была у изолированных ионов). Последнее приводит к тому, что в магнитной восприимчивости появляется неаддитивный вклад от ванфлековских парамагнитных слагаемых. Этот случай поляризационного парамагнетизма Дорфман (1961) предлагает называть индуцированным ванфлековским
парамагнетизмомв отличие от собственного ванфлековского парамагнетизмасуществующего и у из о лир ов анных молеку ля рных ионов. В силу деформации электронных оболочек ионов в кристалле собственный ванфлековский парамагнетизм также будет претерпевать некоторое изменение (по сравнению с изолированными ионами). Оба вклада в парамагнетизм ионных кристаллов должны быть связаны с поляризуемостью кристалла (по мнению Дорфмана, эта связь должна иметь нелинейный характер). Сопоставляя результаты измерений поляризуемости и диамагнитной (суммарной) восприимчивости для гомологических рядов соединений (например, кристаллов щелочно- галоидных солей), а также используя соотношение (7.19) Кирквуда [25] между %^^ец и поляризуемостью а, можно выделить ванфлековский парамагнитный вклад и установить его связь с поляризуемостью. В работе Кристофеля [91] была сделана первая попытка произвести теоретический расчет ланжевеновского вклада в магнитную восприимчивость ионных диамагнитных соединений с учетом деформации волновых функций свободных ионов (К+ и С1~) в кристалле по методу, пр ед лож енному Петрашень и др. [92]. Хотя расчет Кристофеля, несомненно, более точен, чем прежние расчеты Полинга [2], Слэтера [18] и Эиг юса [93], тем не менее его еще нельзя считать достаточно точным [подробнее см. книгу Дорфмана (1961), стр. 71].
Еще более сложной является проблема диамагнетизма ионных соединений (кристаллов) ,содержащих молекулярные ионы, которые и в изолированном состоянии обладают собственным ванфлековским парамагнетизмом. К этим кристаллам относятся, например, галогениды аммония NH才(NH^F, NH4C1 и др.), нитраты (NaNO3, KNO3 и др.), карбонаты (MgCO3, СаСО3 и др.), сульфаты (MgSO4, CaSO4 и др.) и т. д.
В неметаллических кристаллах с ковалентной химической связью мы также встречаемся с большими трудностями при попытке разобраться в сложных закономерностях их диамагнитных свойств. Здесь также нарушается правило аддитивности, и в первую очередь за счет активной роли ванфлековского парамагнетизма, который оказывается особенно сильным при слабой ковалентной связи, когда перекрытие орбит соседних атомов, участвующих в ковалентной связи, далеко от сферической симметрии.
В заключение краткого обзора диамагнетизма ионных и ковалентных кристаллов можно сказать, что, несмотря на еще слабо разработанную теорию этого явления, оно представляет большой интерес не только само по себе, но и как тонкий источник информации об электронной структуре таких кристаллов, а также как один из актуальных разделов современной магнетохимии.
К вопросу о диамагнетизме кристаллов с ковалентной связью мы еще вернемся ниже, когда речь будет идти о магнитных свойствах полупроводников. Отметим здесь интересные работы Анищенко и др. [94, 95] по расчету диамагнитной восприимчивости в статистической модели Томаса — Ферми ——Дирака; Дорфмана [96] о диамагнетизме и химических связях; Жуссо-Дюбьен [97] о диамагнетизме в сверхвысокочастотных полях; о диамагнетизме квантовой плазмы [98]; о магнитной анизотропии органических молекул [99] и о вращательном диамагнетизме молекул [10, 100].
12345678912345678910'1-10'1-2 3 42 3 4^4111 см см 01 O1 o^ CM^4111 см см 01 O1 o^ CMЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 7
123456789
123456789
10'1-
10'1-
2 3 4
2 3 4
^4111 см см 01 O1 o^ CM
^4111 см см 01 O1 o^ CM
J. Н. V an V 1 е с к, Proc. Nat. Acad. Am. 12, 662 (1926).
L. Pauling, Proc. Roy. Soc. A114, 181 (1927).
J. H. V ап V 1 e c k, Phys. Rev. 29, 727 (1927).
J. H. V a n V 1 e c k, Phys. Rev. 30, 31 (1927).
J. H. V a n V 1 e c k, Phys. Rev. 31, 587, 600 (1928).
G. C. W i c k, Nuovo Cim. 10, 118 (1933); Phys. Rev. 79, 51 (1948).
N. F. Ramsey, Phys. Rev. 58, 226 (1940); 87, 1075 (1952).
J. R. E s h b a c h, M. W. P. Strandberg, Phys. Rev. 85, 24 (1952).
T. К. Ребане, JK3T① 47, 1342 (1964); Вестник ЛГУ, сер. физ.-хим. 20 № 1, 30 (1965).
F. Mehran, R. A. Brooks, N. F. Ramsey, Phys. Rev. 141, 93 (1966).
R. A. Brooks, С. H. Anderson, N. F. Ramsey, Phys. Rev. 136, A62 (1964).
S. I. Chan, M. R. Baker, N. F. Ramsey, Phys. Rev. 136, A1224 (1964).
D. C. J a i n, R. C. S a h n i, Proc. Phys. Soc. 89, 409 (1966).
R. Gans, В. M г о w к a, Schriften d. Koenigsberger Gelehrt. Ges., N.-W., KI. 12, 1 (1935).
J. T i 1 1 i e n, Ann. de phys. 2, 631, 771 (1957).
С. С о u r t y, J. phys. et radium 21, 233 (I960).
П. Ш. Фридберг, В. К. Ш у г у p о в, ЖЭТФ 43, 2308 (1962).
J. С S 1 a t е г, Phys. Rev. 32, 349 (1928); 36, 57 (1930).
С. Zener, Phys. Rev. 36, 32 (1930).
A. P a с a u 1 t, Rev. Sci. 84, 169 (1946).
W. R. M у e r, Rev. Mod. Phys. 24, 15 (1952).
С. С о u г t y, Compt. rend. 250, 54, 3293 (I960).
С. С о u г t y, J. phys. et radium 22, 67S (1961).
J. C. S 1 a t e r, J. G. К i г к w о о d, Phys. Rev. 37, 682 (1931).
J. G. Kirkwood, Phys. Zs. 33, 57 (1931).
В. M г у g о n, L. W a j t c z a k, Acta phys. polon. 32, 887 (19 67).H. F. H a m e k a, Rev. Mod. Phys. 34, 87 (1962).G. G. H a v e n s, Phys. Rev. 43, 992 (1933).J. P. A u f f г a y, Phys. Rev. 126, 146 (1962).H. F. H a m e k a, J. Chem. Phys. 34, 366 (1961).В. M г у g о n, L. W a j t c z a k, Acta phys. polon. 32, 887 (19 67).H. F. H a m e k a, Rev. Mod. Phys. 34, 87 (1962).G. G. H a v e n s, Phys. Rev. 43, 992 (1933).J. P. A u f f г a y, Phys. Rev. 126, 146 (1962).H. F. H a m e k a, J. Chem. Phys. 34, 366 (1961).С. С о и г t у. Com pt. rend. 249, 2740 (1959).
В. M г у g о n, L. W a j t c z a k, Acta phys. polon. 32, 887 (19 67).
H. F. H a m e k a, Rev. Mod. Phys. 34, 87 (1962).
G. G. H a v e n s, Phys. Rev. 43, 992 (1933).
J. P. A u f f г a y, Phys. Rev. 126, 146 (1962).
H. F. H a m e k a, J. Chem. Phys. 34, 366 (1961).
В. M г у g о n, L. W a j t c z a k, Acta phys. polon. 32, 887 (19 67).
H. F. H a m e k a, Rev. Mod. Phys. 34, 87 (1962).
G. G. H a v e n s, Phys. Rev. 43, 992 (1933).
J. P. A u f f г a y, Phys. Rev. 126, 146 (1962).
H. F. H a m e k a, J. Chem. Phys. 34, 366 (1961).
Н. F. Н а т е k a, Physica 28, 908 (1962).
J. А. Р о р 1 е, J. Chem. Phys. 37, 53, 60 (1962).
J. А. Р о р 1 е, J. Chem. Phys. 38, 1276 (1964); 41, 2559 (1964).
F. Ferguson, J. A. P о p 1 e, J. Chem. Phys. 42, 1560 (1965).
К. P e б ан e, 7K3T① 38, 963 (I960).
А. Т. Т. т.А. Т. Т. т.К. Р е б а и е, Строение вещества, Сб. статей, Изд-во АН СССР, стр. 46, 1960. К. Р е б а и е, Вестник ЛГУ, сер. физ .-хим., № 22, 30 (1963).
А. Т. Т. т.
А. Т. Т. т.
М. К Т. К.М. К Т. К.а г p 1 u s, H. J. К о 1 k e r, J. Chem. Phys. 38, 1263 (1963). Ребане, Вестник ЛГУ, сер. физ.-хим. № 16, 7 (1963).
М. К Т. К.
М. К Т. К.
J. G u y, Cahier phys. 14, № 122, 418 (I960).W. W e 1 t n e r, Jr., J. Chem. Phys. 28, 477 (1958).J. G u y, Cahier phys. 14, № 122, 418 (I960).W. W e 1 t n e r, Jr., J. Chem. Phys. 28, 477 (1958).G. C.J. H.4. K.G. C.J. H.4. K.Wick, Zs.Van VieWick, Zs.Van ViePhys. 85, 25, (1933).
J. G u y, Cahier phys. 14, № 122, 418 (I960).
W. W e 1 t n e r, Jr., J. Chem. Phys. 28, 477 (1958).
J. G u y, Cahier phys. 14, № 122, 418 (I960).
W. W e 1 t n e r, Jr., J. Chem. Phys. 28, 477 (1958).
G. C.
J. H.
4. K.
G. C.
J. H.
4. K.
Wick, Zs.
Van Vie
Wick, Zs.
Van Vie
c k, A. Frank, Proc. Nat. Acad. Am. 15, 539 (1929).
Мухтаров, ЖЭТФ 45, 185 (1963).White, Rev. Mod. Phys. 27, 276 (1955).Мухтаров, ЖЭТФ 45, 185 (1963).White, Rev. Mod. Phys. 27, 276 (1955).R.С.R.С.F.F.F.F.Raman, K. S. Krishnan, Proc. Roy. Soc. A113, 511：(1927).
Мухтаров, ЖЭТФ 45, 185 (1963).
White, Rev. Mod. Phys. 27, 276 (1955).
Мухтаров, ЖЭТФ 45, 185 (1963).
White, Rev. Mod. Phys. 27, 276 (1955).
R.
С.
R.
С.
F.
F.
F.
F.
P a u i i n g, J. Chem. Phys. 4, 673 (1936).
London, J. phys. et radium 8, 397 (1937).London, J. Chem. Phys. 5, 839 (1937).London, J. phys. et radium 8, 397 (1937).London, J. Chem. Phys. 5, 839 (1937).A. Pullman, В. Pullman, Les theories electroniques de la chimie organi-
London, J. phys. et radium 8, 397 (1937).
London, J. Chem. Phys. 5, 839 (1937).
London, J. phys. et radium 8, 397 (1937).
London, J. Chem. Phys. 5, 839 (1937).
.52.53..52.53.-54.-54.55.56.55.56.que, Paris, 1952.
.52.
53.
.52.
53.
-54.
-54.
55.
56.
55.
56.
Н. J. Brooks, J. Chem. Phys. 8, 939 (1940); 9, 463 (1941).
M. В. Волькенштейн, Л. А. Боровинский, (1952).
ДАН СССР 85, 977ДАН СССР 85, 977T. К. Ребане, Вестник ЛГУ, сер.физ.-хим., № 10, 3, 70 (1957); ДАН СССР 114, 70 (1957).
ДАН СССР 85, 977
ДАН СССР 85, 977
Т. К. Ребане, Вестник ЛГУ, сер. физ.-хим., № 10,
11; № 16, 19; № 22,11; № 16, 19; № 22,24; № 22, 35 (1963).24; № 22, 35 (1963).57.58.■59.57.58.■59.M. H. А д а м о в, M. Г. В e с e л о в, T. К. P e б а и e, Изв. АН СССР, сер. физ. 22, 1015 (1958).
11; № 16, 19; № 22,
11; № 16, 19; № 22,
24; № 22, 35 (1963).
24; № 22, 35 (1963).
57.
58.
■59.
57.
58.
■59.
К. S. Krishnan, Le magnetism, vol. 3, 247, 1939.
K. Lonsdale, Rep. Prog. Phys. 4, 368 (1937).
A. Galebi_ewski, J. N owakowski, U. Kowalski, Acta phys.
polon 29, 195 (1966).
60. j. M. G a i d i s, R. West, J. Chem. Phys. 46, 1218 (1967).
61. J62. P63. H64. P65. C61. J62. P63. H64. P65. C66.67.68.69.70.71.72.73.74.75.76.77.78.79.80.81.82.83.84.85.86.87.88.89.90.91.66.67.68.69.70.71.72.73.74.75.76.77.78.79.80.81.82.83.84.85.86.87.88.89.90.91.I. Musher, J. Chem. Phys. 46, 1219 (1967).
61. J
62. P
63. H
64. P
65. C
61. J
62. P
63. H
64. P
65. C
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
И. Я и у с, Я. С. Ш у p, ДАН СССР 2, 465 (1934).
С. Ш у р, УОШ 20, 410 (1938).
Curie, Ann. chim. phys. (7) 5, 289 (1895).
Barter, R. G. Meisenheime г, D. P. Stevenson, J. Phys. Chem.
,1312 (I960).
E. Mann, Zs. Phys. 98, 548 (1936).
Abonnenc, Compt. rend. 208, 986 (1939).
Я. Д а ш б у p т, E. M. И о л и н, 7K3T① 42, 820 (19 62).
В a n у а г d, J. Chem. Phys. 34, 338 (1961).
Sacks, Phys. Rev. 124, 1283 (1961).
H. Worsley, Can J. Phys. 36, 289 (1958).
P. H u г s t, M. К а г p 1 u s, T. P. Das, J. Chem. Phys. 36, 2786 (1962).
Tietz, Ann. d. Phys. 6, 202 (I960).
.Umeda, J. Fac. Sci. Hokkaido Univ., Ser. 11, 3, 246 (1949).
S с о t t, С. M. Blair, J. Phys. Chem. 37, 475 (1933).
Voigt, S. Veil, Ann. W. В г i n d W. В г i n d E. Hoare,Voigt, S. Veil, Ann. W. В г i n d W. В г i n d E. Hoare,Kineshita, Ann. d. Phys. 24, 492 (1907). de phys. 24, 697 (1935).
Voigt, S. Veil, Ann. W. В г i n d W. В г i n d E. Hoare,
Voigt, S. Veil, Ann. W. В г i n d W. В г i n d E. Hoare,
ley, F. E. Hoare, Proc. Roy. Soc. A152, 342 (1935). ley, F. E. Hoare, Proc. Roy. Soc. A159, 395 (1938). Proc. Roy. Soc. A147, 88 (1934).
Proc. Roy.Proc. Roy.PPa s c aa s c a(1951).(1951).Pascal, Ann. chim. phys. 19, 5 (1910); 25, 289 (1912); 29, 218 (1913). c 1, Traite de chimie organique (Grignard) vol. Ш (1936).
Proc. Roy.
Proc. Roy.
P
P
a s c a
a s c a
(1951).
(1951).
Pascal, A. P a с a u 1 t, J. H о а г a n, Compt. rend. 233, 1078 (1951). Pascal, F. G a 1 1 a i s, J. F. L a b a n e, Compt. rend. 252, 2644 (1961). P a с a u 1 t, N. Lumbraso, J. H о а г a n, Cahiers phys. 43, 54 (1953). P a с a u 1 t, Experientia, 10, 41 (1954).
.E. L a m b, Phys. Rev. 60, 817 (1941).
F. Ramsey, Phys. Rev. 78, 699 (1959); 86, 243 (1952).
J. К о 1 k e г, M. К а г p 1 u s, J. Chem. Phys. 41, 1259 (1964). Hegstrom, W. N. Lipscomb, J. Chem. Phys. 46, 4538 (1967). H. Кристофель, Труды Ин-та физ. астрой. АН Эст. ССР (1958).
М. И. Петраш ей ь, А. И. Иванова, Г. Вольф, Вестник ЛГУ, сер. физ.-хим., № 10, 29 (1956).
W. R. Angus, Proc. Roy. Soc. A136, 5 69 (1932).
P. И. А нище нк о, ДАН СССР 145, 483 (1962);① ММ 18, 941 (1964).
Р. И. Анищенко, А. П. Николаев, А. Н. Мень, ФТТ 8, 251 (1966).
Я. Г. Дорфман, ЖЗТ0)35, 533 (1958).
М. J. J oussot-Dubien, Ann. de phys. 6, 375 (1961).
J. J. Quinn, J. Phys. Chem. Solids, 24, 933 (1963).
M. A. L a s h e e n, Phil. Trans. Roy. Soc. A256, 357 (1964).
R. A. Brooks, M. Kaufman, J. Chem. Phys. 43, 3406 (1965).
J. R. d e 1 a Vega, H. F. H a m e k a, J. Chem. Phys. 47, 1834 (1967), Physi- ca 35, 313 (1967).
J.R.d e 1 a Vega,Y. Fang, H. F.H a m e k a,Physica 36,577(1967).
J.R.d e 1 a Vega,D. Z i о b г о, H.F. H a m e k a, Physica37,265(1967).
D.C.Mattis, Phys. Rev. Lett. 20, 7,92 (1968).
J.T.Dehn, L. N.Mui ay, J. Chem. Phys. 48,4910 (1968).
J.K.Becconsall,Molec. Phys. 15,129 (1968).
G. P. Arrighini, M. Maestro, R. M о с c i a, J. Chem. Phys. 49, 882 (1968).
F. D. Fliock, W. R. Johnson, Phys. Rev. 187, 39 (1969).
H. Taft, B. R. Dailey, J. Chem. Phys. 51, 1002 (1969).
В. M. Ludwig, J. Voillander, Molec. Phys. 16, 405 (1969).
D. N. Tripathi, P. T i n а г i, D. K. Rai, Ind. J. Pure Appl. Phys. 7, 707 (1969).
L. B. Mendelsohn, F. Biggs, Phys. Rev. A2, ИЗО (1970).
Глава 8
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА СВЕРХПРОВОДНИКОВ )
§ 1. Критическая температура и критическое магнитное поле
Выше уже отмечалось, что одним из интереснейших типов магнетиков являются металлы и сплавы в сверхпроводящем состоянии при очень низких температурах.
dаeи(h) - П ~dH~ < u・dаeи(h) - П ~dH~ < u・(8.1)(8.1)Рис. 8.1. Фазовая диаграмма сверхпроводника на плоскости Н ——Т.Рис. 8.1. Фазовая диаграмма сверхпроводника на плоскости Н ——Т.Своеобразие и существенное значение магнитных свойств сверхпроводников ясна видны уже из факта влияния магнитного поля И на их фазовый переход из нормального в сверхпроводящее состояние. Это влияние заключается прежде всего в понижении температуры 0СП фазового перехода с ростом внешнего магнитного поля, т. е. иными словами, эта температура является функцией поля 0СП (Я), 恤八 причем
dаeи(h) - П ~dH~ < u・
dаeи(h) - П ~dH~ < u・
(8.1)
(8.1)
Рис. 8.1. Фазовая диаграмма сверхпроводника на плоскости Н ——Т.
Рис. 8.1. Фазовая диаграмма сверхпроводника на плоскости Н ——Т.
На рис. 8.1 схематически изображена фазовая диаграмма сверхпроводника на плоскости II — Т, Ее можно трактовать как кривую 0СП (Я) или как кривую Якм ⑺，где Якм— критическое магнитное поле, снимающее сверхпроводимость при данной температуре Т, При 8=0 температура фазового перехода максимальна: 0СП (0) = 0сп- Начиная с максимального значения критиче- ского магнитного поля Якм и выше
его сверхпроводящей фазы, вообще, ни при каких температурах не существует. Значения и Нкм являются характерными константами сверхпроводящего состояния данного вещества. Температуры 0?п в разных сверхпроводниках колеблются в пределах от долей градуса до 18° К (в сплаве Nb3Sn) ), а 唄「от сотни до нескольких сот тысяч эрстед (в сплаве V3Ga).
(8.2}(8.2}При 8=0 фазовый переход из нормального в сверхпроводящее состояние является фазовым переходом второго рода, при котором нет ни скачка удельного объема, ни скрытой теплоты превращения. При Н，0 это превращение становится фазовым переходом первого рода и появляется скрытая теплота ). Если через 尸^ обозначить свободную энергию нормального, а через 尸^口——сверхпроводящего состояния при Я = 0, то в точке 0?п имеем по условию термодинамического равновесия фаз
(8.2}
(8.2}
州口（然口）=斤^6^П）；
■кроме того, при 弊口 равны и энтропии обеих фаз:
(8.3)(8.3)"" (冤")=5算然П);
(8.3)
(8.3)
это и означает отсутствие скрытой теплоты превращения.
При наличии магнитного поля Н $ 0 в случае массивных образцов, все три линейных размера которых больше 10"5 см, равенство (8.2) заменяется другим ):
/R (©сп) ="п (0сп)+-^— .(8.4)
(8.5)(8.5)Ввиду важности соотношения (8.4) остановимся на его выводе [подробнее см. Гинзбург (1946)]. Если при Т = const переход из нормального (1) в сверхпроводящее (2) состояние происходит столь медленно, что его можно считать обратимым, то изменение свободной энергии тела равно работе Л12, производимой над телом электромагнитным полем, т. е.
(8.5)
(8.5)
尸2一斤1 =/12。
До перехода свободная энергия единицы объема тела /\ равна сумме [尸^ м энергии магнитного поля (氐^机)2/8口：
л=^ил=^и（恥）28л（恥）28л(8.6)(8.6)
л=^и
л=^и
（恥）28л
（恥）28л
(8.6)
(8.6)
(8.7)(8.7)В массивном образце (в пренебрежении эффектом проникновения поля м энергией экранирующего тока) после перехода будем иметь
(8.7)
(8.7)
尸2 = %
При этом считается, что 尸^ и 尸^口 не изменяются и при наличии поля, ибо магнитная проницаемость сверхпроводника равна единице. Работа Л12 внешнего магнитного поля равна произведению М (Якм) -Якм, где М (Якм) — магнитный момент массивного ■образца в поле Якм. Например, для цилиндра в поле, параллельном его оси, М (Якм)———Якм/4л и, следовательно,
42 =42 =4л4л(&8)(&8)
42 =
42 =
4л
4л
(&8)
(&8)
Подставляя (8.6)—(8.8) в (8.5), получаем (8.4).
Из (8.4) видно, что при 方，0 свободная энергия нормальной фазы практически не меняется (слабомагнитные тела), а свободная энергия сверхпроводящего состояния существенно зависит от магнитного поля. В этом случае скрытая теплота отлична от нуля и вместо (8.3) в силу (8.4) имеем
Q = 7(S^—S&)= —?(嘗一甞)=警*.(8.9)
Согласно рис. 8.1 производная dll^ldT V 0, и, следовательно, Q > 0, т. е. при переходе из нормального состояния в сверхпроводящее тепло поглощается, а при обратном ——выделяется. Для теплоемкости С = 7 dSIdT получим
^С = Сса-Сн = — Нкк-^-^~■(8.10)
При 7 =端，Нкм = 0, <2 = 0 и
(8.11)
Этот скачок теплоемкости впервые был измерен Кеезомом с сотрудниками [17].
Из термодинамических соображений (Гортер [18]) можно найти температурную зависимость критического поля：
Нкм = Н歸[1Нкм = Н歸[1?2W?2W(8.12)(8.12)
Нкм = Н歸[1
Нкм = Н歸[1
?2
W
?2
W
(8.12)
(8.12)
§ 2. Магнитные свойства сверхпроводников
Существенное влияние магнитного поля на процесс возникновения сверхпроводящего состояния тесно связано с магнитными свойствами этой фазы. Многочисленные •опыты, начиная с работ Мейсснера ——Оксенфельда [19], Рябинина и Шубникова [20, 21], показали, что внутри массивных сверхпроводников
6 = Н = 0. (8.13)
С другой стороны, еще со времени открытия явления сверх провод имо сти (Камерлинг- Оннес [22]) его первичным свойством считали отсутствие электрического сопротивления. Если справедлив закон Ома, то тогда сразу следует, что н электрическое поле внутри сверхпроводника равно нулю:
(8.14)(8.14)_Е=0・
(8.14)
(8.14)
Но тогда из уравнения Максвелла (закона индукции Фарадея)
rot Е =rot Е =1 dBс dt1 dBс dt(8.15)(8.15)
rot Е =
rot Е =
1 dB
с dt
1 dB
с dt
(8.15)
(8.15)
следует, что _В = const. Из этого вывода, казалось бы, можно ожидать, что в сверхпроводниках должен быть так называемый эффект «замораживания» магнитного поля, которое существовало в металле при Т > 0СП. Опыт, однако, показал, что имеет место
Рис. &2а. Кривая индукции бесконечно длинного сверхпроводящего цилиндра при поле, параллельном его оси..Рис. &2а. Кривая индукции бесконечно длинного сверхпроводящего цилиндра при поле, параллельном его оси..линдра при поле, параллельном его оси.линдра при поле, параллельном его оси.
Рис. &2а. Кривая индукции бесконечно длинного сверхпроводящего цилиндра при поле, параллельном его оси..
Рис. &2а. Кривая индукции бесконечно длинного сверхпроводящего цилиндра при поле, параллельном его оси..
линдра при поле, параллельном его оси.
линдра при поле, параллельном его оси.
•(8.13), т. е. магнитное поле не «замораживается», а «выталкивается» из сверхпроводника при его охлаждении ниже 0СП (эффект Мейсснера). Поскольку формула (8.13) не является следствием (8.14), то она может с равным правом считаться первичным свойством сверхпроводника.
Если рассматривать сверхпроводник в форме цилиндра при Т V 0сп считая, что нормальная фаза слабомагнитна (卩 弋 1 и Н、8), то его кривые индукции и намагничивания при поле, параллельном оси цилиндра, имеют вид, изображенный на рис. 8.2а, б. При Н <； Якм индукция 8 = 6, а при Я》Якм индукция совпадает с полем, т. е. 6 = Н. В реальных сверхпроводниках цилиндрической формы в силу неизбежных примесей и искажений кристаллической решетки вид кривой В (Я) усложняется —имеет место явление магнитного гистерезиса. Однако чем чище материал, тем гистерезис менее ярко выражен.
Более детальное рассмотрение эффекта Мейсснера показывает, что при Н V Якм в поверхностном слое массивного сверхпроводника появляется незатухающий электрический ток как раз такой силы, чтобы своим полем полностью компенсировать индукцию внутри тела ). Глубина слоя дсп, по которому течет этот ток, и есть та глубина, на которую магнитное поле проникает внутрь сверхпроводника. Величина дсп оказывается порядка 10~5——10~6 см, т. е. составляет тысячи межатомных расстояний; поэтому в тонких сверхпроводящих пленках, с толщиной, не превышающей 10-4—— 10~5 см^ строго говоря, уже нельзя считать, что имеет место условие (8.13). Параметр дсп растет с температурой, и при Т -> 0СП глубина проникновения дсп -> оо, т. е. сверхпроводник переходит в нормальное состояние.
Сверхпроводники, у которых наблюдается резкое затухание поля у поверхности (6сц мало), называются мягкими или сверхпроводниками первого рода. Кроме того, имеются еще сверхпроводники жесткие, или второго рода (см. ниже).
В гл. 6 уже указывалось, что нет оснований отождествлять сверхпроводник со «сверхдиамагнетиком>>. Действительно, как только что было указано, равенство нулю магнитного поля внутри массивного сверхпроводника обусловлено тем, что при
включении внешнего поля или при охлаждении тела в присутствии магнитного поля до 7 V 0СП (Я) в поверхностном слое сверхпроводника возникает макроскопический электрический ток. Магнитное поле этого тока внутри тела обратно по направлению внешнему полю, и в толще сверхпроводника эти поля компенсируются, а их сумма равна пулю. Таким образом, можно сказать, что в сверхпроводниках внешнее магнитное поле экранируется поверхностным макротоком. В «идеальном» же диамагнетике _В = 0 потому, что во всем его объеме существует «обратная» внешнему полю диамагнитная намагниченность, равная — Н&к, а само внешнее поле Н при этом не равно нулю.
§ 3. Основы микроскопической теории сверхпроводимости.Куперовские пары
С микроскопической точки зрения сверхпроводимость является специфическим свойством заряженной квантовой жидкости —— системы электронов проводимости. В настоящее время известны две квантовые жидкости: 1) заряженная ферми-жидкость, образованная электронами проводимости в металлах, и 2) незаряженная бозе-жид- кость —— жидкий гелпй II при Т < 2,17° К.
Сверхпроводимость является сверхтекучестью заряженной ферми-жидкоспг. Явление сверхтекучести (отсутствие вязкого течения) в незаряженной бозе-жидкости открыл Капица [25]. Сначала остановимся на изложении основных представлений теории сверхтекучести гелия II, что облегчит понимание основных положений микротеории сверхпроводимости. Ландау [26] впервые на основе феноменологических представлений о том, что слабовозбужденные состояния квантовой жидкости имеют вид элементарных возбуждений (квазичастиц, см. гл. 11) с энергией е (р) и импульсом р, дал первое качественное объяснение явлению сверхтекучести. Представим себе капилляр, по которому течет жидкость со скоростью и. При возникновении в этой жидкости элементарного возбуждения ее энергия в системе координат, покоящейся относительно стенок капилляра, изменится на величину
£(/?)+#•券. (8.16)-
Член p*v учитывает, что энергия возбуждения вычисляется в системе координат, связанной со стенками капилляра. Это изменение должно быть отрицательным, поскольку энергия возбуждения создается за счет кинетической энергии жидкости, которая поэтому будет уменьшаться, если движение жидкости действительно можег возбуждаться, т. е.
&(#)+»匕 <°・ (8.17)
Наименьшее значение левой части неравенства (8.17) при заданной величине импульса I р I достигается при антипараллельности векторов р и и. Тогда из (8.17) находим, что возбуждения возможны лишь при скоростях, больших некоторой критической скорости 0Kp (критерий Ландау):
и〉икр—минL*?"й (8.18}
При меньших скоростях (р V ркР) нарушается условие (8.17), и поэтому в жидкости не могут возникать элементарные возбуждения и она будет сверхтекучей. Таким образом, сверхтекучесть возможна лишь в том случае, если энергетический спектр квантовой жидкости £ (р) таков, что минимум величины s (〃)/р не равен нулю. Ландау [26] предположил поэтому, что на кривой s (р) имеется минимум при р 5> 0, и тогда очевидно, что мин & (р)/р ^= 0 и сверхтекучесть возможна. К сожалению, до сих пор не удалось создать последовательную квантовомеханическую теорию Не II. Боголюбов [27] впервые рассмотрел случай слабовзаимодействующего бозе-газа, нашел для него энергетический спектр s (р) и показал, что для него выполняется критерий Ландау
В рассмотрении Боголюбова важную роль играет явление бозе-эйнштейнов- ской конденсации [см., например, Ландау и Лифшиц (1964)]. Можно думать, что и явление сверхтекучести в Не II есть следствие этой конденсации, т. е. бозевской природы самой жидкости. Кроме того, естественно, что в идеальном газе сверхтекучесть также отсутствует, и поэтому для объяснения этого явления необходим учет взаимодействия между частицами жидкости.
В случае газа свободных электронов энергетический спектр возбуждений носит квадратичный характер: s (р) = ^!2т (см. гл. 11), и критерий Ландау дает в этом случае 17Kp = 0, т. е. сверхтекучесть отсутствует. Поэтому можно ожидать ее возникновения лишь как результат взаимодействия между электронами. Кроме того, различие между сверхтекучим гелием II и электронной жидкостью в металле состоит в том, что атомы гелия имеют нулевой спин и являются бозе-частицами, а электроны обладают отличным от нуля спином и подчиняются статистике Ферми. А выше отмечалось, что сверхтекучесть является свойством бозе-жидкости. Поэтому, если бы между электронами действовали силы притяжения, то в принципе из них можно было бы образовать, например, связанные пары с нулевым или целочисленным спиновым кван-
товым числом, т. е. некоторые эффективные бозе~частицы. Вначале казалось, что одноименно заряженные и поэтому отталкивающиеся электроны не могут образовывать связанные пары. Эта загадка начала проясняться лишь после работ Максуелла [28], Рейнолдса и др. [29], Аллена и др. [30], которые обнаружили, что критическая температура сверхпроводников 0Сп зависит от массы ©^ изотопов ионов решетки: 0СП 〜 战-1/2. Этот эффект по непонятным до сих пор причинам не обнаружен в сверхпроводящих металлах Ru[31—33], Os [34, 35], Mo [35] и в Zr [37], точнее, в них 0СП — с<-а, где а《 1/2. Этот изотопический эффект, несомненно, указывал, что сверхпроводимость тесно связана с взаимодействием электронов с колебаниями кристаллической решетки ——фононами. Фрёлих [38] и Бардин [39], теоретически анализируя свойства элек- трон-фононного взаимодействия, открыли новый тип косвенной связи (силы притяжения) между электронами. Эти силы связаны с колебаниями решетки кристалла, которые существуют даже при ? = 0° К (нулевые колебания). Электрон, взаимодействуя
Рис. 8.3. Схематическое изображение плотности состояний электронов проводимости в сверхпроводнике по теории БКШ. а) При Т = 0° К. б) При 0。К V Т V ©сп. Заштрихованная площадь — состояния, занятые электронами.
электростатически с соседними ионами кристалла, меняет характер их колебаний, что н приводит к добавочным эффективным силам между электронами. Силы притяжения между электронами в решетке можно наглядно представить как результат обмена виртуальными фононами между электронами. Это всегда силы притяжения и в принципе могут при определенных условиях превышать по абсолютной величине кулоновское отталкивание электронов. Однако сперва не удавалось получить таким способом удовлетворительное объяснение сверхпроводимости. Существенный шаг в этом направлении сделал Купер [40], показавший, что в системе ферми-частиц при наличии сколь угодно слабого притяжения обязательно возникают связанные пары (куперов- ские пары). В такой паре и импульсы, и спины обоих электронов антипараллельны между собой, поэтому суммарные импульс (и соответствующий ему орбитальный момент) и спин пары равны нулю ). Таким образом, куперовские пары являются бозе- частицами. Если для них выполняется критерий Ландау (8.18), то газ этих пар будет обладать сверхтекучестью, т. е. сверхпроводимостью, поскольку каждая пара несет с собой заряд —2е. Энергия основного состояния системы спаренных электронов оказывается меньше, чем энергия свободного ферми-газа; разность этих энергий будет равна энергии связи электронов в парах.
Последовательную микроскопическую теорию сверхпроводимости на основе эффекта образования куперовских пар разработали Бардин, Купер и Шриффер [43] (далее кратко: БКШ) и Боголюбов [44, 45] [см. также Боголюбов, Толмачев, Ширков (1958)]. Было показано, что энергия связи куперовской пары 2А зависит от состояния всей системы электронов, поэтому она зависит от температуры, имея максимальное значение А (0) при 0° К и стремясь к нулю при 0СП. В простейшем случае изотропного металла
e 2冗2无2匕,」
2A(0)=4^exp[-^-^J, (8」9)
где а>д ——дебаевская частота колебаний решетки, 口^巾一константа электрон-фононного взаимодействия, ь① и 歹①一соответственно средняя скорость и квазиимпульс электронов на поверхности Ферми (см. гл. 11). Для создания в системе элементарных возбуждений необходимо разорвать по крайней мере одну куперовскую пару, для чего требуется энергия 2A. Эта минимальная энергия возбуждения 2A и определяет величину энергетической щели в электронном спектре сверхпроводника. Кривая для плотности электронных состояний, как функции энергии электрона нормального металла, (см. ниже рис. 11.2) при его переходе в сверхпроводящее состояние резко изменяется (см. рис. 8.3). Из рис. 8.3, а видно, что при 7 ~ 0° К состояния
в интервале энергий от еф — Ло до еф + До в сверхпроводящем состоянии являются* запрещенными, а ниже уровня еф —А° все состояния заняты электронами. При повышении температуры щель начинает сужаться (стремясь к нулю при 0СП), а вьппе энергии 8ф + До за счет пар, не разорванных тепловым движением кристалла, появляется небольшое число «нормальных» электронов (пропорциональное ехр (— Ь]кТ、* Расчет по теории БКШ дает 2Д = 3,5 〃@сп (эксперимент дает для численного коэффициента значения от 3 до 4). Например, в случае свинца с 0СП — 7,19° К имеем (2Ао)Ект^
3,48-10-15 зра 2,16 -10-3 эв. Из (8.19) следует, что 0СП ~ з口, и, следовательно, 0СП — е^~1/2, т. е. теория БКШ объясняет изотопический эффект. Эта теория объясняет и магнитные свойства св ер хпр ов од ников. При этом весьма важной оказывается не только энергетическая характеристика пары (ширина щели) 2А, но также и ее пр ост р анств енная пр отяженно сть, т. е. размер пары Е, поскольку электроны, связанные в пару, обладают пространственной корреляцией.
Теория БКШ дает для энергетического спектра элементарных возбуждений следующее выражение:
£ (?) = [Д2 + 唸(Р —Рф)2]1/2,(8.20)
При I р—歹① I》А выражение (8.20) переходит в обычный электронный спектр нормального металла (см. гл. 11):
Р十?①?2?$
е(Р)* %(Р-РФ)* 2m (Р-Р8)* 専Ж •
Спаривание электронов в сверхпроводнике, как видно из рис. 8.3, касается электронов, кв азиимпульсы которых лежат в интервале Ар = I Р 一 歹① | ~ А /^①. Тогда по соотношениям неопределенностей квантовой механики (Ар・А% ^ 九)для размера пары находим
Из (8.21) следует, что J по порядку величины равно 10~5 —10~4 см, ибо Л ^ 10~15 эрг. а рф — 107——108 см/сек, т. е. в 103——104 раз больше постоянной кристаллической решетки 10~8 сл).
Объяснение магнитных свойств
Глубина проникновения магнитного поля. Для интерпретации магнитных свойств сверхпроводников воспользуемся электродинамикой Максвелла. Однако надо иметь в виду, что в сверхпроводниках вместо закона Ома, связывающего плотность электрического тока с электрическим полем, имеет место другой закон. Суммарная плотность электрического тока J в сверхпроводнике в общем случае складывается из токов сверхпроводящего JCn и нормального &「т. е. J= Jcn + JH, гдеун — и石(закон Ома, и ——удельная электропроводность), а /сп удовлетворяет уравнению (Лондон Ф., Лондон Г. [46])
—crot AJcn = H(8.22>
или, в силу (4.6),
(8.22а)
где А — некоторая постоянная, характерная для данного сверхпроводника. В грубой инерционной модели сверхпроводника, где сверхпроводник трактуется как идеальный проводник с удельной электропроводностью а -> 0, постоянная А = т/е2псп, псп— концентрация электронов, участвующих в сверхпроводящем токе.
Применяя уравнения электродинамики и формулу (8.22), например, для плоского массивного сверхпроводника находим, что поле в нем убывает (эффект Мейсснера) по нормали к поверхности внутрь тела по закону
а плотность токаа плотность токаН = Ное "си,Н = Ное "си,(8.23>(8.23>7 cи = /спе7 cи = /спе4лдсп4лдсп6cli =—-——н4л6сп *6cli =—-——н4л6сп *(8・24>(8・24>
а плотность тока
а плотность тока
Н = Ное "си,
Н = Ное "си,
(8.23>
(8.23>
7 cи = /спе
7 cи = /спе
4лдсп
4лдсп
6cli =—-——н
4л6сп *
6cli =—-——н
4л6сп *
(8・24>
(8・24>
где х—расстояние от поверхности, Но — поле на поверхности, а глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник дсп связана с постоянной А формулой
(8.25>(8.25>/ Ac2 \i/2— / тс2 \1/2сп — \ 4л /— \4л；е2псп / *
(8.25>
(8.25>
При Т -> 0СП величина дсп -> оо, а следовательно, и Л -> оо; таким образом, при Т = 0СП сверхпроводящий ток равен нулю.
Предельные случаи по Лондону и Пиппарду. Несмотря на объяснение эффекта Мейсснера и другие успехи, электродинамика сверхпроводников, основанная на работах Ф. Лондона и Г. Лондона [46]. в реальных условиях, как правило, неприменима. Из микроскопической теории БКШ выяснилось, что характер электродинамики сверхпроводников существенно зависит от величины отношения размера куперовской пары 自 и линейного размера той области пространства в сверхпроводнике, где заметна меняется величина электромагнитного поля. Последняя определяется величиной дсп. Если дСп》J, то пары можно считать точечными, и поэтому между током и полем будет чисто локальная связь, т. е. по (8.22) или (8.23) вектор J в данной точке определяется вектором Н (или /) в той же точке. Это так называемый лондоновский предельный случай. Поскольку обычно J ^ 10~5 + 10-4 сл, а дсп ^ 10~4 + 10~5 сл, то условие дсп》J не выполняется и поэтому лондоновский случай не реализуется (кроме очень узкой области вблизи 0Сп). ■
Близким к реальным условиям является случай 自拄 дсп, когда плотность тока в данной точке сверхпроводника уже определяется электромагнитным полем, занимающим целую область вокруг этой точки с линейными размерами порядка J. В так называемом предельном случае Пиппарда 自》дсп дифференциальное уравнение (8.22) или (8.23) должно быть заменено более сложным интегральным уравнением Пиппрада ), которое он предложил [47] из феноменологических соображений еще до появления микроскопической теории БКШ. Уравнение Пиппарда дает нелокальную связь тока с полем. Из опыта известно, что для всех сверхпроводников чистых металлов (например, А1) имеет место условие J》дСп (случай Пиппарда) либо условие J 拄 3cli промежуточного случая (например, Sn).
Кривые намагничивания и индукции. Эти кривые, изображенные на рис. 8,2а, б, имеют такой простой вид лишь для тел в форме достаточно длинного цилиндра или стержня с боковыми поверхностями, параллельными внешнему магнитному полю. Если же форма тела иная, то такие сверхпроводящие тела, находясь.
Рис, 8,4. Искажение однородного внешнего магнитного поля сверхпроводящим шаром, Н — поле в присутствии сверхпроводящего шара, Нп — в его отсутствие.Рис, 8,4. Искажение однородного внешнего магнитного поля сверхпроводящим шаром, Н — поле в присутствии сверхпроводящего шара, Нп — в его отсутствие.Рис, 8.5. Неправильная картина разделения шара на нормальную и сверхпроводящук?фазы при внешнем поле 1 Ьо | > 2/з-Н •Рис, 8.5. Неправильная картина разделения шара на нормальную и сверхпроводящук?фазы при внешнем поле 1 Ьо | > 2/з-Н •
Рис, 8,4. Искажение однородного внешнего магнитного поля сверхпроводящим шаром, Н — поле в присутствии сверхпроводящего шара, Нп — в его отсутствие.
Рис, 8,4. Искажение однородного внешнего магнитного поля сверхпроводящим шаром, Н — поле в присутствии сверхпроводящего шара, Нп — в его отсутствие.
Рис, 8.5. Неправильная картина разделения шара на нормальную и сверхпроводящук?
фазы при внешнем поле 1 Ьо | > 2/з-Н •
Рис, 8.5. Неправильная картина разделения шара на нормальную и сверхпроводящук?
фазы при внешнем поле 1 Ьо | > 2/з-Н •
во внешнем поле, будут с о искажать. Если, например, сверхпроводник имеет форму тара, то его искажающее влияние на внешнее поле HQ вне его объема (внутри объема Н = 0) эквивалентно влиянию поля магнитного диполя, помещенного в центре шара и имеющего момент М = — В^Но/2, где А。一 радиус шара. На экваторе шара (6 — b на рис. 8.4) мы будем иметь максимальное значение суммарного поля [см. формулу (4.156)]
Нмаксм^Но， (8・26)
на полюсах (а — а на рис. 8.4) — минимальное значение, равное нулю.
Существование неоднородного магнитного поля вокруг сверхпроводников можно наглядно показать, используя явление парения магнитов. На это впервые указал Аркадьев [48], осуществивший опыт парения постоянных магнитов из железо-никель- алюминиевого сплава над сверхпроводящим образцом из свинца.
Аналогичные явления будут иметь место для тел любой формы, если их размагничивающий фактор для направления, параллельного внешнему полю, отличен от нуля. Характерной особенностью процесса «намагничивания» таких сверхпроводников является то, что при постепенном увеличении внешнего магнитного поля оно достигает критического значения не сразу по всей поверхности тела. Для тара, например, критическое поле будет достигнуто прежде всего по экватору (Ъ — b рис. 8.4), где суммарное поле максимально согласно (8.26). Поэтому на первый взгляд вполне
естественно предположить, что процесс разрушения сверхпроводящего состояния должен начаться с экватора (при Н = 2/3 Якм) и постепенно проникать в объем шара при Я > 2/3 Якм. Таким образом, шар должен был бы разделиться на две части: сверхпроводящую сердцевину и нормальную оболочку (рис. 8.5). Однако легко понять, что это предположение неверно. Действительно, положение границы определяется условием, что на ней магнитное поле равно критическому, а в нормальной фазе оно должно быть больше критического. Последнее в данном случае не выполняется, так как поле вне сердцевины (заштрихованная область на рис. 8.5) меньше, чем на ее поверхности следовательно, меньше критического значения, и поэтому там снова должно восстанавливаться сверхпроводящее состояние. Более строгий количественный расчет также доказывает невозможность такого перехода из сверхпроводящего в нормальное состояние.
В случае шара кривые индукции и намагничивания имеют иной вид (рис. 8,6а, б), чем для цилиндра (рис. 8.2а, б). При значениях внешнего поля Е от 0 до 2/з "км ин- дукция 8 = 0, в интервале от Я = 2/3 Якм до Я = Якм имеем линейный рост индукции от 8 = 0 до 8 = НКм и затем обычную прямую В — Н. Таким образом, интервал
сверхпроводящего шара.сверхпроводящего шара.
сверхпроводящего шара.
сверхпроводящего шара.
полей для сверхпроводящего состояния шара уменьшился по сравнению с цилиндром (намагничиваемым вдоль образующей), т. е. вместо прежнего от 0 до Якм он стал от О до 2/з Якм. Нормальная фаза по-прежнему начинается для полей Н》Якм. Интервалу же от 2/3 Якм до Якм, когда кривая намагничивания отличается и от нормального и от сверхпроводящего состояния, стали приписывать новое промежуточное состояние (Шенберг [49], Пайерлс [50]). Верхняя граница промежуточного состояния (обозначим ее через Н?) определяется полем Якм. а нижняя Нх зависит от формы тела (его размагничивающего фактора N) по формуле
Таким образом, для шара (7V — (4/3)冗)поле 8】=2/з Якм, для цилиндра (7V = 2冗 прп поперечном намагничивании) Я4 = 1/2 Якм, для бесконечной плоской пластинки (JV = 4冗 при поперечном намагничивании) 百】 = 0, т. е. вся область полей относится к промежуточному состоянию.
Природа «промежуточного» состояния по Ландау(доменная структура)
Ландау [51, 52] в известных работах показал, что никакой особой промежуточной , фазы нет и что «промежуточное» состояние представляет собой смесь сверхпроводящих и нормальных слоев вещества, чередующихся друг с другом (рис. 8.7). При этом, например, для шара величина индукции на участке полей 2/з Якм W Н《Якм определяется величиной относительного объема шара, занятого нормальной фазой. Для пластины был проведен точный количественный расчет размеров этих слоев сверхпроводящей и нормальной фаз. В толще пластины эти слои являются плоскопараллельными. Для суммы толщин сверхпроводящего и соседнего слоя нормальной фазы внутри пластины приближенно имеем
/сп + ^н=4л1/3^3 (^7)2/3-(8.27)
где L — толщина пластины (вдоль поля), а асп— коэффициент поверхностного натя- :Кения между нормальной и сверхпроводящей фазами. Таким образом, 《геометрия» промежуточного состояния зависит от размеров образца L, величины критического
поля "км 11 величины поверхностного натяжения асп, связанного с поверхностной энергией граничного слоя сверхпроводящих областей (см. ниже) ). Вблизи поверхности пластины слоистая структура может усложниться, отдельные нормальные слои начинают разветвляться, и на самой поверхности толщина отдельных слоев становится соизмеримой с глубиной проникновения 6СП (8.25). Поэтому на поверхности, согласно теории Ландау, возникает новое макроскопическое состояние, которое он называл условно «сметанным». Лифшиц и Шарвин [53] показали, что разветвленная модель оказывается термодинамически устойчивой по сравнению с неразветвленной только для очень больших образцов.
В ряде тонких экспериментов была показана [54—62] принципиальная правильность идеи Ландау о природе промежуточного состояния. Для визуального наблюдения сверхпроводящих и нормальных слоев промежуточного состояния была использована техника порошков — сверхпроводящих [63] и ферромагнитных [64]. Детально исследовалось промежуточное состояние олова [65, 66], алюминия [67], индия [68]. Интересны исследования влияния на промежуточное состояние кристаллической структуры
Рис. 8.7. Сверхпроводящие 2 cli и ноРмальные % слои пластины в промежуточном состоянии (по Ландау [52]).
[69], химической чистоты [70] и холодной обработки [71]. Эти опыты вместе с тем показали, что в реальных сверхпроводящих образцах, которые, как правило, всегда неоднородны, наблюдается более сложная картина слоев. Очевидно также, что (как в случае ферромагнетиков, см. гл. 23) расположение границ между сверхпроводящими и нормальными областями промежуточного состояния соответствует минимуму поверхностного натяжения асп. При изменении величины внешнего магнитного поля происходят как обратимые, так и необратимые смещения границ между областями, что приводит к явлениям гистерезиса в кривых намагничивания сверхпроводников. За более подробными данными отсылаем читателя к оригинальным статьям, ссылки на которые приведены, например, в монографии Шенберга (1955) и обзорах Серина [5], а также Де Сорбо и Хили [72], где описан интересный магнетооптический метод исследования промежуточного состояния сверхпроводников I и II рода, с использованием прозрачного парамагнитного цериевофосфорного стекла, которым покрывался исследуемый образец. Андреев [73] развил электродинамическую теорию промежуточного состояния.
Природа поверхностной энергии на границесверхпроводящей фазы. Сверхпроводники I и II рода
Для всей теории сверхпроводников и особенно для объяснения их магнитных свойств весьма существен вопрос о природе поверхностной энергии асп, возникающей в металле на границе между его сверхпроводящей и нормальной фазами. По современным представлениям, эта энергия является следствием пространственной корреляции сверхпроводящих электронов в куперовских парах. Приближенно возникновение этой энергии можно понять из следующего рассуждения. Соприкасающиеся участки нормальной и сверхпроводящей фаз в промежуточном состоянии сверхпроводника будут находиться в равновесии, если в нормальной фазе присутствует магнитное поле напряженности Якм, проникающее в сверхпроводящую фазу на глубину дсп, где оно затухает. Из-за этого небольшого нарушения эффекта Мейсснера в тонком граничном слое толщины дсп магнитостатическая энергия тела уменьшается на величину порядка —6спЯ2м/8л на единицу поверхности раздела (рис. 8.8). С другой стороны, вблизи
Поверхности сверхпроводящей фазы щель А уменьшается до нуля на расстоянии порядка & Если в этом слое, толщиной J, отсутствует поле Якм, то это приведет к росту энергии на каждую единицу поверхности на величину порядка ±Я^м/8л. Таким обра^ зом, в итоге находим, что в граничном слое между нормальной и сверхпроводящей
б)
Рис. 8.8. Проникновение магнитного поля Н в толщу сверхпроводника(точечные линии) и параметр порядка А (пунктирные линии), а) Слу-чай положительной поверхностной энергии； б) случай отрицательнойэнергии.
фазами возникает избыток энергии, который и равен поверхностному натяжению аси:
Я2
ас口 =(三一Мп) £ .(8.28}
Поверхностная энергия положительна только при условии J > 6СП. В случае же выполнения обратного неравенства дсп > 自 поверхностная энергия отрицательна: асп V 0. По знаку коэффициента аСп и проводится классификация сверхпроводников： сверхпроводники I рода с асп > 0; сверхпроводники II рода с асп V 0.
§ 7・ Феноменологическая теория Гинзбурга — Ландауи ее обобщение по Абрикосову — Горькову
Еще до появления микроскопической теории БКШ Гинзбург и Ландау [74} (см. также Гинзбург [1, 2, 75]) предложили полуфеноменологическую квантовую теорию, которая, в частности, позволила вычислить и коэффициент асп. Они отметили, что локализация ^сверхпроводящих электронов» в поверхностном слое сверхпроводника толщиной дсп ^ 10-5 см в силу соотношения неопределенностей приводит к появлению импульса, пропорционального 九/бсп，и «нулевой энергии» псп^2/^*бсп ^ ^ 104 зрз/сл^, где т* ^ 10-27 г — эффективная масса и псп ^ 1021— концентрация сверхпроводящих электронов. Наряду с этим магнитная энергия (даже при полях Н ^ Якм ^ 5 *102 з) составляет всего лишь Я2/8л ^ 104 эрг!с^. Таким образом, нулевая энергия во всяком случае не меньше магнитной. Поэтому все явление проникновения поля должно носить существенно квантовый характер. Основной величиной, характеризующей квантовую природу явления, от которой зависит термодинамический потенциал сверхпроводника, авторы предлагают считать концентрацию сверхпроводящих электронов пСп. Предполагается, что число псп зависит от Т: псп -> О при Т -> 0СП. При Е = 0 свободную энергию сверхпроводника вблизи ®сп можна разложить в ряд по возрастающим степеням псп. Величина пСп выражается черея «эффективную» волновую функцию 4r по формуле
加Ц刁屮但(8.29)
При этом авторы постулируют следующие два уравнения, заменяющие уравнение (8.24):
必 4一^九П = ^^w^一^吟+韬門2/,(8.30)
厶"(訖)2[(減「)吗吁(8-31>
где
一，(&32)
q 一 заряд сверхпроводящего носителя тока (по теории БКШ он равен 2е), § — постоянная. Эти уравнения дают возможность установить зависимость между дсп и Я, найти величину поверхностной энергии сверхпроводника и т. п. За подробностями отсылаем читателя к оригинальным работам [1, 2, 74, 75].
Горьков [76, 77] обобщил теорию БКШ на случай пространственно-неоднородного сверхпроводника, когда ширина щели является функцией точки А (г), и пока-
Это уравнение Шредингера для ляторе. Из квантовой механики условии, что X = 2/г-[-1 илиЭто уравнение Шредингера для ляторе. Из квантовой механики условии, что X = 2/г-[-1 илиН~]/2х"км2也+1Н~]/2х"км2也+1n = 0, 1, 2, 3,...n = 0, 1, 2, 3,...(8.34)(8.34)При п = 0 отношение Я/ЯкмПри п = 0 отношение Я/Якмимеет. наибольшее значение:имеет. наибольшее значение:
Это уравнение Шредингера для ляторе. Из квантовой механики условии, что X = 2/г-[-1 или
Это уравнение Шредингера для ляторе. Из квантовой механики условии, что X = 2/г-[-1 или
Н~]/2х
"км2也+1
Н~]/2х
"км2也+1
n = 0, 1, 2, 3,...
n = 0, 1, 2, 3,...
(8.34)
(8.34)
При п = 0 отношение Я/Якм
При п = 0 отношение Я/Якм
имеет. наибольшее значение:
имеет. наибольшее значение:
зал, что вблизи 0СП микроскопическая теория приводит к уравнениям феноменологической теории Гинзбурга — Ландау (8.30), (8.31) с зарядом q = 2е. Дальнейшее развитие этого обобщения см. в работах [78—87].
Одним из самых больших успехов теории Гинзбурга —— Ландау явилось предсказание существования сверхпроводников II рода (Абрикосов [88, 89]). В качестве иллюстрации приведем теоретический расчет для одномерной модели. В этом случае в уравнении (8.31) следует положить A4r -> 2247d№ и 幺(/) = Нх； кроме того, принимается, что член §4rз может быть опущен благодаря тому, что рассматривается случай температур, близких к 0СП, когда псп= | ^ |2 мало. В результате после замены переменной х т)у, где у2 = Ях/Д/2 Якмдсп, вместо (8.31) получаем
(8.33)(8.33)箒=—(%—* К
(8.33)
(8.33)
задачи о квантовом линейном гармоническом осцил- известно, что (8.33) имеет физические решения при
(8.35)(8.35)Н^км
(8.35)
(8.35)
Отсюда видно, что Н > Якм при 乂 > 2-1/й даже при псп = | ^ |2 ^= 0, т. е. в сверхпроводящем состоянии поле может быть выше критического. Теория показывает, что при 乂 > 2-1/2 коэффициент асп V 0, т. е. согласно (8.28) имеет место неравенство J V ^сп* Абрикосов [89] показал, что для чистых св ер хпр ов одящих металлов параметр 乂 имеет вид
"о"о與&⑺,與&⑺,(8.36)(8.36)
"о
"о
與&⑺,
與&⑺,
(8.36)
(8.36)
где функция 幺1 (?) слабо меняется от 1 при 0СП до 1,25 при Т = 0°К.
Чистые металлы, кроме ниобия (乂 ^ 1,2 при 71 = 0。К), являются сверхпроводниками I рода. Тем не менее всякий сверхпроводник I рода можно превратить в сверхпроводник II рода, если ввести в его решетку примеси, создать в ней дефекты типа вакансий, дислокаций и т. п. Эти дефекты сильно влияют на длину свободного пробега электронов проводимости в металле в нормальном состоянии I (Т). При концентрации дефектов порядка нескольких процентов и более параметр корреляции куперовских пар ^ начинает зависеть от длины свободного пробега. Приближенно эта зависимость имеет вид
& = & (К Т/南/ УШ- (8.37)
С уменьшением параметра 扇，согласно (8.28), знак поверхностной энергии может изменяться и происходит переход сверхпроводника I рода в сверхпроводник II рода. В связи с этим весьма интересны опыты Бина и др. [90, 91], в которых ртутью или свинцом под давлением напитывалось пористое стекло и такой синтетический образец существенно повышал свое критическое поле по сравнению с его значением для сплошного образца из ртути или свинца. Весьма сильно влияют на параметры сверхпроводника структурные превращения в соответствующих сплавах (см., например, [92]).
Очень интересен также вопрос о магнитных свойствах сверхпроводников малых размеров, когда их минимальный линейный размер d становится меньше параметра корреляции (мелкие частицы, тонкие пленки). См. по этому вопросу работы [93—101].
Отрицательный знак поверхностной энергии исключает возможность термодинамического равновесия между нормальной и сверхпроводящей фазами и способствует проникновению магнитного поля в сверхпроводник II рода в виде тонкой структуры чередующихся нормальных и сверхпроводящих областей. Величину критического поля ЯК2, до которого сохраняется сверхпроводимость в этом Конкретном случае, можно просто оценить по порядку величины, учитывая, что куперовская пара может двигаться в магнитном поле, если радиус ее ларморовской спирали гн ср/еН (р —— импульс пары) больше размеров пары: гн > 扇.С другой стороны, из соотношений неопределенностей следует, что импульс пары не превышает 九/&, поэтому окончательно для поля Як2 находим
冃к2 Q 喈• (8.38)
Из (8.38) видно, что поле Як2 возрастает обратно пропорционально длине свободного пробега, т. е. пропорционально концентрации дефектов в решетке. Согласно теории Абрикосова [88] переход сверхпроводника II рода в нормальное состояние в поле
происходит следующим образом. В слабых полях магнитное поле не проникает в толщу сверхпроводника вплоть до первого критического поля Як1, которое приближенно пропорционально длине свободного пробега Z. В случае образца цилиндрической формы при поле Hr] внешнее поле начинает проникать в толщу образца в виде отдельных сильно удаленных друг от друга нитей магнитного потока. Каждая такая нить
Рис. 8.9. Распределение магнитного потока в толще сверхпроводника II рода в смешанном состоянии (по Абрикосову). Стрелки указывают направление циркулярных токов флюксоидов, а цифрами обозначена энергия связи пар в условных единицах.
несет один квант магнитного потока (см. ниже). В центре нити поле максимально и составляет примерно 2ЯК1, а щель А = 0. При удалении от оси нити щель растет и достигает значений, соответствующих данной температуре, при Н = 0 на расстоянии порядка |4. Поле спадает до нуля на расстоянии порядка 6СП. С ростом поля нити начинают сближаться, пока их центры не подойдут друг к другу на расстояние порядка J】.В идеальном случае нити
-4穴М
Рис. 8.10. Кривые намагничивания (—4л1И (Н)) сверхпроводников при различных значениях параметра %, Кривая с х V2—1/2 соответствует с верхпроводникам I рода, а с х > 2—1‘2 — сверхпроводникам II рода.
образуют какую-то правильную структуру* Состояние сверхпроводника II
рода в интервале полей от ЯК1
до Як2 называется смешанным состоянием.
выше промежуточным состоя-
которое не следует путать с р ассмотр енным
нием сверхпроводников I рода. На рис. 8.9 показана картина распределения потока
Рис. 8.11. Кривые намагничивания сверхпроводников II рода. А — дефекты структуры отсутствуют, В—после холодной обработки, С — после очень сильной холодной обработки.
в смешанном состоянии сверхпровод-
ника II рода, когда нити сблизились на расстояние порядка ^. При дальнейшем увеличении магнитного поля нити больше уже не сближаются, поле монотонно достигает величины внешнего поля и вся толща образца переходит в нормальное состояние. При этом исчезает диамагнитный момент образца. Однако в поверхностном слое толщиной порядка & до полей *кз ^ 1,7Як2 электрического сопротивления для слабого тока еще не появляется (см. [102]). Один из возможных теоретических пределов для НК2 можно получить, приравнивая энергию магнитного момента электрона в поле величине энергетической щели:卩pH =t； A =t； 1,5 ^ 日сп^、Эта грубая оценка дает для Як2 величины порядка сотен килоэрстед.
На рис. 8.10 приведены теоре-
тические кривые
намагничив ания
личных значениях параметра 乂 (кривая с
сверхпроводников II рода при раз- 乂 V 2T/2 соответствует сверхпровод-
никам I рода). Отклонения кривых от прямой —4лМ = Н начинаются при полях Hri，соответствующих данному значению параметра х. Прц Н -> Як2 намагниченность стремится к нулю. В реальных неоднородных сверхпроводниках II рода (так же как и I рода) кривые намагничивания заметно отклоняются от теоретических. Эти отклонения обусловлены необратимыми эффектами при перемагничивании (гистерезис) и появлением остаточного момента при Н = 0、На рис. 8.11 показаны схематически типичные «петли гистерезиса» для неоднородных сверхпроводников II рода [103].
Имеется уже большое число теоретических работ и экспериментальных исследований, подтверждающих реальность смешанного состояния (см., например, обзор
Рис. 8.12. Схема устройства для «накачки» магнитного поля с помощью двусвязного сверхпроводника. а и b — цилиндрические отверстия б «бублике»; с — узкая щель, соединяющая эти отверстия; d — цилиндр, равновеликий отверстиям а иРис. 8.12. Схема устройства для «накачки» магнитного поля с помощью двусвязного сверхпроводника. а и b — цилиндрические отверстия б «бублике»; с — узкая щель, соединяющая эти отверстия; d — цилиндр, равновеликий отверстиям а иНа = Н°На = Н°Sa + Sb + ScSa + (Sb—^d)~[~^c *Sa + Sb + ScSa + (Sb—^d)~[~^c *(8.39)(8.39)
Рис. 8.12. Схема устройства для «накачки» магнитного поля с помощью двусвязного сверхпроводника. а и b — цилиндрические отверстия б «бублике»; с — узкая щель, соединяющая эти отверстия; d — цилиндр, равновеликий отверстиям а и
Рис. 8.12. Схема устройства для «накачки» магнитного поля с помощью двусвязного сверхпроводника. а и b — цилиндрические отверстия б «бублике»; с — узкая щель, соединяющая эти отверстия; d — цилиндр, равновеликий отверстиям а и
На = Н°
На = Н°
Sa + Sb + Sc
Sa + (Sb—^d)~[~^c *
Sa + Sb + Sc
Sa + (Sb—^d)~[~^c *
(8.39)
(8.39)
Лоуэлла [103] и работы [104—118]. Упомянем еще интересную работу Крибье и др. [119], в которой с помощью нейтронной дифракции обнаружена непосредственно периодическая структура магнитного поля.
Большая величина критических полей делает сверхпроводники II рода весьма важным техническим материалом для изготовления сверхпроводящих магнитов.
В сплавах систем Nb — Sn, Nb — Zr, Ti — V, V — Si, V — Ga достигнуты критические поля, превышающие 105 з. Из них изготавливаются сверхпроводящие соленоиды, в которых получаются стационарные магнитные поля до 100 кэ и более.
Подробнее см. в обзорах Кропшота и Арпа [120], Кюнцлера [121], Карасика [122], Лаверика [123] и Алексеевского [14].
§ 8. «Накачка» магнитного потока с помощью сверхпроводника
В связи с вопросом о сверхпроводящих соленоидах для получения сильных
магнитных полей упоминаем, что зарядка таких соленоидов может производиться суще- ственно более слабым полем с помощью методов «накачки» магнитного потока, осно
ванных на использовании эффекта Мейсснера *)、 Если многосвязный сверхпроводящий образец охладить ниже 0СП в присутствии внешнего магнитного поля, то магнитный поток будет «заморожен» внутри отверстий в образце. Рассмотрим образец в виде двойного «бублика» с двумя отверстиями а и &, соединенными узкой щелью с (рис. 8.12). Если такой образец поместить во внешнее поле, параллельное оси цилиндрических отверстий, и затем охладить его ниже 0СП, то магнитный поток застрянет в отверстиях а и &. Если теперь вставить в отверстие & сверхпроводящий цилиндр d, то магнитный поток из отверстия b «выжмется» в оставшееся свободное пространство (через щель с в отверстие а), где величина потока соответственно возрастет. Если предположить, что полный замороженный поток остается постоянным до и после вставления сверхпроводящего цилиндра d в отверстие Ь, то поле
На в отверстии а при вставленном в отверстие b цилиндре d будет связано с первоначальным полем HQ соотношением
Рис. 8.13. Кривые критического тока для сверхпроводников II рода б полулогарифмической шкале In J (Н), аналогичные кривым намагничивания типа А, В и С, изображенным на рис. 8.11.Рис. 8.13. Кривые критического тока для сверхпроводников II рода б полулогарифмической шкале In J (Н), аналогичные кривым намагничивания типа А, В и С, изображенным на рис. 8.11.
Рис. 8.13. Кривые критического тока для сверхпроводников II рода б полулогарифмической шкале In J (Н), аналогичные кривым намагничивания типа А, В и С, изображенным на рис. 8.11.
Рис. 8.13. Кривые критического тока для сверхпроводников II рода б полулогарифмической шкале In J (Н), аналогичные кривым намагничивания типа А, В и С, изображенным на рис. 8.11.
где Sa, Sb, Sa и Sc ——соответственно площади сечения отверстий a, b, цилиндра и щели. Более подробно с результатами этого процесса накачки читатели могут ознакомиться
в указанных выше работах. Отметим лишь, что с помощью многократного повторения указанного цикла в установке с образцом из сплава Nb3Sn удалось получить поле до 22 кэ [125]. Цикл накачки можно проводить и в обратном направлении: можно «выкачивать» из объема магнитное поле. Таким путем удалось получить поле, не превышающее 0,0002 з. Такое устройство имеет огромное практическое значение для магнитного экранирования.
Разрушениесверхпроводимости током
Опыт показывает, что сверхпроводимость разрушается не только при приложении внешних магнитных полей, но и при пропускании через них достаточно сильных электрических токов. В случае массивных сверхпроводников I рода критическое значение тока /к достигается тогда, когда создаваемое
им магнитное поле на поверхности образца с током достигает критического значения Якм (гипотеза Силсби [129]). В случае сверхпроводников II рода, особенно неоднородных, вопрос о связи критиче-
ских значений тока и поля пока еще до конца не выяснен. На рис、8.13 приведены схематические кривые критических токов в зависимости от поля для сверхпроводников II рода, имеющие вид кривых намагничивания типа изображенных на рис. 8.11 [103].
Квантование магнитного потока
Остановимся на замечательном магнитном явлении в сверхпроводниках, предсказанном ф. Лондоном [130] и обнаруженном на опыте Дивером и Фербанком [131] и Доллом и Небауером [132]. См、также обзор [138] и работы [139—151]. Рассуждения Лондона были следующими. Ток, переносимый зарядом д, пропорционален его импульсу mv = р ——g//c, где А ——вектор-потенциал электромагнитного поля. Поскольку внутри сверхпроводника ток равен нулю, то р = qA/c. В этом случае применимы пра
вила квантования Бора: р dl= пй, где n = 1, 2, 3, . . а интеграл берется по контуру тока. Следовательно, имеем
冬了血=子§ Л或=+『j H ndS a冬了血=子§ Л或=+『j H ndS a告 j j B n dS=-^-①=nh.告 j j B n dS=-^-①=nh.
冬了血=子§ Л或=+『j H ndS a
冬了血=子§ Л或=+『j H ndS a
告 j j B n dS=-^-①=nh.
告 j j B n dS=-^-①=nh.
где поверхностный интеграл берется по площади контура и использовано условие, что в нормальном состоянии Н ^ В (Ф — магнитный поток). Поскольку в сверхпроводнике носителем заряда является куперовская пара с зарядом g = 2е [133, 134], то для правила квантования магнитного потока Ф в сверхпроводнике окончательно находим
①R=讶-". (&4°)
В упомянутых выше опытах на образце в форме полого цилиндра действительно было обнаружено, что поток квантуется по закону (8.40). Эти опыты можно также рассматривать как доказательство существования куперовских пар, поскольку из них следует, что q = 2е. Как показали Бардин [135], Келлер и Цумино [136] и в особенности Гинзбург [137], фактически квантуется не магнитный поток, а более сложная величина, которую теперь принято называть флюксоидом. В простейшем случае импульс # равен р = mv + qA/c. Выражая скорость v через плотность сверхпроводящего тока Jeu，т. е. 0 = Jcn/^cnq，находим р = mJ"сп/псп? + Я^/с- Поэтому
(84)(84)0 d2 =§ Jeu 或 + j f _В*?г ds] =тг瓦
(84)
(84)
Величина в квадратных скобках в (8.41) и носит название флюксоида. В тех случаях, когда можно положить усп = 0 (массивный сверхпроводник I рода), правило квантования (8.41) переходит в (8.40).
Мы еще вернемся к вопросу о магнитных свойствах сверхпроводников в гл. 25： где будет рассмотрена природа связи сверхпроводимости с парамагнетизмом, ферро- и антиф ерромагнетизмом и с влиянием на сверхпроводящее состояние магнитных примесей. По разным аспектам сверхпроводимости см. также работы [155—160].
Гиромагнитный эффект
В заключение рассмотрим еще вопрос о гиромагнитном эффекте в сверхпроводниках. Кикоин и Губарь [152] нашли на опыте, что гиромагнитное отношение для сверхпроводников равно единице. Теоретически этот результат объяснили Френкель и Рудницкий [153], а также Брур [154].
Согласно квантовой механике среднее значение плотности полного импульса имеет вид
PnM^^W^W — WVW*)；(8.42)
импульс внешнего электромагнитного поля, описываемого вектор-потенциалом Л, равен
(8.43)
где 4r—волновая функция системы. Плотность кинетического импульса равца разности выражений (8.42) и (8.43)：
Ркин — Рп—Рэм*(8.44)
Соответствующие значения момента импульса относительно некоторой точки ° определяются формулой
J= \ [r*Pi] dr (i = n, эм, кин),(8.45)
где г — радиус-вектор элемента объема dx. В рассматриваемом случае спин электронов не играет роли и поэтому не учитывается (см. гл. 9). Поскольку средняя скорость 0 =卩кнн/т, то мы будем интересоваться кинетическим импульсом (8.44) и соответствующим ему моментом <7"кин. При возрастании однородного магнитного поля в теле сохраняется полный момент импульса вдоль направления поля, ибо увеличение момента относительно поля tZ3M компенсируется кинетическим моментом, созданным электродвижущей силой индукции. Плотность электрического тока равна J = ev/c = —е〃кнн/ст, поэтому магнитный момент [согласно (8.45)] будет определяться формулой
1 ре[r.j\dx=-^JKws.1 ре[r.j\dx=-^JKws.(8.46)(8.46)
1 ре
[r.j\dx=-^JKws.
1 ре
[r.j\dx=-^JKws.
(8.46)
(8.46)
При обсуждении гиромагнитного эффекта следует рассматривать как момент электронов, так и момент положительно заряженной кристаллической решетки, т. е. и j+* Например, в опытах Эйнштейна и де Гааза измеряется ^№)тогда как магнитный момент (8.46) практически целиком связан с моментом количества движения」йин электронов.
Если бы положительная и отрицательная плотности заряда были в каждой точке тела равны по абсолютной величине, то согласно (8.45) момент электронов относительно поля полностью компенсировался бы моментом положительных зарядов. В действительности такого равенства положительной и отрицательной плотностей заряда нет. Момент J^m можно представить в виде суммы момента электрона относительно ядер и момента фиктивных отрицательных зарядов, расположенных в ядрах таким образом, чтобы целиком компенсировать эффект положительных зарядов, т. е.
J，= I [Р-Рэм]近一J丸,J，= I [Р-Рэм]近一J丸,(8.47)(8.47)
J，= I [Р-Рэм]近一J丸,
J，= I [Р-Рэм]近一J丸,
(8.47)
(8.47)
где р — расстояние между электронным зарядом в элементе объема dr и ядром. В присутствии однородного магнитного поля, ориентированного вдоль оси z, интеграл в (8.47) в силу (8.43) примет вид
N4f〈值+РК）〉=Мдм 竽
где ЗГдм—нормальный атомный диамагнитный момент [см., например, (7.7)], равный
дм=-^Е + Р»Н，
a 7V —полное число электронов тела, и, следовательно, вместо (8.47) имеем
(8.48)
(8.49)(8.49)Если свободно подвешенное тело, находившееся вначале в покое, намагнитить в однородном поле, то его полный момент количества движения должен сохраняться, т. е.
(8.49)
(8.49)
叭IM-+ /м + J^HH + JkHH = °*
В сверхпроводнике, который можно условно рассматривать как сверхдиамагнетик (см. выше), магнитный момент М ^> Л/дм. Поэтому, согласно (8.46), (8.48) и (8.49) и пренебрегая 2ИДМ, получаем
"ин = — "ин = * (8.50)
Из (8.50) сразу находим, что гиромагнитное отношение g = | «Л^ин | / I М | в единицах 2шс/е равно единице, что и было обнаружено в работах [152]. Этот результат, к сожалению, не связан с физической микроскопической природой сверхпроводимости, поскольку он является следствием общего закона сохранения момента количества движения.
Остановимся вкратце на вопросе о характере гиромагнитного эффекта в диамагнетиках. В гл. 7 мы условно разбили твердые диамагнетики на три группы: 1) вещества, в которых диамагнетизм обусловлен «связанными» электронами, движущимися в симметричном центральном поле (ионные кристаллы); 2) вещества типа молекулярных кристаллов, в которых связанные электроны движутся в нецентральном поле, и, наконец, 3) диамагнитные металлы (см. гл. 11).
Для первой групцы (8.46) дает tZ"HH = (2mc/e) Мдм, и поэтому в силу (8.49) и (8.48) получаем J甫碩 = 0, т. е, отсутствие гиромагнитного эффекта (см. также гл. 9).
Для второй группы такой компенсации, как в ионных диамагнетиках, не получается, поскольку электроны частично коллективизируются в «объеме» молекулы. Можно ожидать, что для этих веществ гиромагнитное отношение будет отличным от
нуля. Для диамагнитных металлов (третья группа) ответ на поставленный вопрос очень труден, так как для этого требуется знать точную волновую функцию электронов. Если же ограничиться приближением Ландау (см. гл. 11) и считать, что плотность как отрицательного (электронного), так и положительного заряда постоянная (屮*屮二 =const), то в (8、48)МДм= 0 и согласно (8.49) имеем ”皿亠 <Г"ИЙ = 0, т. е、g = 1、
9 о .ъ 9^ Q^ z^ ^
1 1 1 1 1 IX
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 8
В. Л. Г и н з б у р г, УОН 42, 169 (1950).
В. Л. Гинзбург, У①Н 42, 333 (1950).
В. Л. Гинзбург, У①Н 48, 25 (1952).
В. Л. Гинзбург, У①Н 95, 91 (1968); 101, 185 (1970); Contemp. Phys. 9, 355 (1968).
В. S е г i п, в книге «Физика низких температур», ИЛ, М., стр. 611, 1959、
J. Bardeen, в книге «Физика низких температур», ИЛ,血.，стр. 679, 1959. А. А. Абрикосов, И. И. Халатников, УФН 65, 551 (1958).
А. А. Абрикосов, И. И. X алатников, в книге «Физика низких температур», ИЛ, М., стр. 885, 1959.
Н. А. В о о г s е, УОН 72, 99 (I960).
L. N. С о о р е г, УОН 72, 117 (i960).
А. А б р и к о с о б, УФН 87, 125 (1965).
Л. В. К е л д ы ш, У①Н 86, 327 (1965).
Б. Т. Гейликман, У①Н 88, 327 (1966).
Н. Е. Алексеевский, У①百 95, 253 (1968).
Н. В. Агеев, Н. Е. Алексеевский, Н.血.Михайлов, В.①.П1ам рай, Письма 出9T① 6, 901 (1967).
Т. Mattias, Т. Н. G е b а 1 1 е, L. D. Longinatti, Е. С о ге nz- w i t, G. W. Hull, R. H. W i 1 1 e n s, J. P. M a i t a, Science 156, 645 (1967). W. H. К e e s о m, J. N. van den Ende, Comm. Phys. Lab. Univ. Leiden, № 219. (1932); W. H. К e e s о m, Y. A. Kok, Comm. Phys. Lab. Univ. Leiden, № 221 (1932); Physica 1, 175 (1934).
J. G о r t e r, Arch. Mus. Teyler 7, 378 (1933).
W. Meissner, R. Ochsenfeld, Naturwiss. 21, 787 (1933).
Ю. H. Рябинин, Л. В. Шубников, Nature 134, 286 (1934); 135, 581 (1935). Ю.H.Ряб и нин, JI.В. Шубников, Phys. Zs. UdSSR 5, 641; 6, 557 (1934); 7, 122 (1935).
H. Kamerlingh-Onnes, Comm. Phys. Lab. Univ. Leiden, № 119, № 120, № 122 (1911).
A. de H a a s, G. L. L о r e n t z, Physica 5, 385 (1925).
Shoenberg, Nature 143, 434 (1939).
П. Л. К а п и ц а, ДАН СССР 18, 21 (1938).
Л. Д. Ландау, 7КЗТ① И, 592 (1941).
Н. Н. Боголюбов, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 77 (1947).
Е.Maxwell, Phys. Rev. 78, 477 (1950).
A. R е у и о 1 d s, В. S е г i n, W. Н. W г i g h t, L. В. N е s b i t t, Phys. Rev. 78, 487 (1950).
W. Allen, R. D awt о n, M. Bar, R. Mendelson, J. Olsen, Nature 166, 1071 (1950).
T. H. Geballe, В. T. Matthias, G. W. Hall, E. С о renzwit, Phys. Rev. Lett. 6, 275 (1961).
K. Finnemore, D. E. Mapother, Phys. Rev. Lett. 9, 288 (1962).
J. W. Gibson, R. A. Hein, Phys. Rev. 141, 407 (1966).
R. A. H e i n, J. W. G i b s о n, Phys. Rev. 131, 1105 (1963).
Bucher, F. Heiniger, J. Muller, J. L. Olsen, Proc. 9th Intern. Conf, on Low Temperat. Physices (LT-9), Columbus, Ohio (1946), Plenum Press, № 4.
T. Matthias, T. H. Geballe, E. Corenzwit, G. W. Hall, Phys. Rev. 129, 1025 (1963).
E. В u c h e r, J. M u 1 1 e r, J. L. О 1 s e n, С. P a 1 m y, Phys. Lett. 15, 303 (1965). H. Frohlich, Phys. Rev. 79 845 (1950).
J. Bardeen, Phys. Rev. 80, 567 (1950).
L. Cooper, Phys. Rev. 104, 1189 (1956).
С. В. Вонсовский, M. С. Свирский,出3T① 40, 1676 (1961).
В. В о н с о в с к и й, М. С. С в и р с к и й, Phys. Stat. Sol. 9, 267 (1965).
J. Bardeen, L. Cooper, J. Schriffer, Phys. Rev. 108, 1175 (1957); см. перевод: сб. «Теория сверхпроводимости», ИЛ, М., i960.
Н. Н. Боголюбов,出ЗТ① 34, 58, 73 (1958).
Н. Н. Боголюбов, Nuov. cim. 7, 794 (1958).
London, H. London, Proc. Roy. Soc. A149, 71 (1935); Physica 2, 341 (1935).
А. В. P i p p a r d, Proc. Roy. Soc. A216, 547 (1953).
В. К. Аркадьев, ДАН СССР 47, 18 (1945).
D. Shoenberg, Proc. Roy. Soc. A152, 10 (1935).
R.P e i e r 1 s, Proc. Roy. Soc. A155, 613(1936).
Л.Д. Л ан д a y,出 3T ① 7, 371 (1937).
Л.Д. Л а н 貝 а у, ЖЗТ① 13, 377 (1943).
Е.М. Л и ф ш и ц, Ю. В. Ш а р в и н, ДАНСССР 79, 783 (1951).
5c. Л. В. Шубников, И. Е. Нахутин, Nature 139, 589 (1937).
И. Нах у тин,出 ЗТ ① 8, 717 (1938).
И. Н а х у т и и,出ЗТ① 9, 709 (1939).
А. И. Шальников, J. Phys. USSR 9, 202 (1945).
А. Г. М е ш к о в с к и й, А. И. Ш а л ь н и к о в, J. Phys. USSR 11, 1 (1947).
А. Г. Мешковский, А. И. Шальников,出ЗТ① 17, 851 (1947).
А. Г. Мешковский,出ЗТ① 19, 1 (1949).
Ю. В. Ш а рв ин, Б. М. Балашова,出 ЗТ ① 23, 222 (1952).
A. L. S с h a w 1 о w, В. Т. М a t t h i a s, Н. W. L е w i s, G. Е. D е v 1 i n, Phys- Rev. 95, 1344 (1954).
A. L. S c h a w 1 о w, Phys. Rev. 101, 573 (1956).
В. M. Балошова, Ю. В. Ш a p в и н, ЖЭТФ 31, 40 (1956).
Ю. В. Ш а р в и н, ЛЮТО 33, 1341 (1957).
Ю. В. Ш а р в и н, В.①.Г антмахер,出 ЗТ ① 38, 1456 (I960).
Т. Е. Faber, Proc. Roy. Soc. A248, 460 (1958).
Ю.В. Ш ap ви н,出9Т① 38, 298 (I960).
A.L. S с ha w1 о w,G. Е. D е v 1 i n, Phys.Rev.110,1011(1958).
Р*В. А 1 ег s,Phys.Rev. 105, 104 (1957).
A.L. S с ha w1 о w,G. Е. D е v 1 i n, J. К.Н u 1m,Phys.Rev.116, 626 (1959).
W.D eS о r b o, W. A. Healy, Cryogenics 4,257(1964).
A.①.Ан д p e e в,出3T① 51, 1510 (1966).
В.Л. Ги н з б у p г, Л. Д. Л а н д а у, ЛЮТО20,1069 (1950).
В. Л. Гинзбург, Nuov. cim. 2, 1234 (1955).
Л. П. Г о р ь к о в,出ЗТ① 34, 735 (1958).
Л. П. Горьков, ЛЮТО 36, 1918 (1959); 37, 1407 (1959).
N・ R. Werthamer, Phys. Rev. 132, 663 (1963).
L. T e w о r d t, Phys. Rev. 132, 595 (1963); Zs. Phys. 180, 385 (1964); Phys. Rev.
13 7, Al745 (1965).
K. Maki, Physics 1, 21, 127, 201 (1964).
К. M a k i, Phys. Rev. 141, 331 (1966).
K. Maki, T. Tsuzuki, Phys. Rev. 139, A868 (1965).
W. S i 1 v e r t, L. N. С о о p e r, Phys. Rev. 141, 336 (1966).
A. J. В e n n e t t, L. M. F a 1 i с о v, Phys. Rev. 154, 302 (1967).
V. D. Arp, R. S. Collier, R. A. Kamper, H. Meissner, Phys. Rev. 145, 231 (1966).
H. J. Fink, A. G. P r e s s о n, Phys. Rev. 151, 219 (1966).
E. Abrahams, T. T s u n e t o, Phys. Rev. 152, 416 (1966).
А. А. Абрикосов, ДАН СССР 86, 489 (1952).
А. А. Абрикосов,出3T① 32, 1442 (1957).
С. Р. В е a n, М. V. D о у 1 е, A. G. Pincus, Phys. Rev. Lett. 9, 93 (1962).
С. P. В e a n, Rev. Mod. Phys. 36, 35 (1964).
С. В. С у д a p e в a, H. H. Б у й н о в, В. А. В о 3 и л к и н, E. П. P о м а н о вг ФММ 21, 388 (1966).
P. G* de G e n n e s, M. T i n k h a in, Physics 1, 107 (1964).
G. Rickayzen, Phys. Rev. 138, A73 (1965).
H. L. C a s w e 1 1, J. AppL Phys. 36, 80 (1965).
E. А. Ш a ii о в а л,出3T① 51, 669 (1966).
R. К 1 e i n, G. F i s h e r, Phys. Rev. 150, 222 (1966).
S. Strassler, P. W у d e r, Phys. Rev. 158, 319 (1967).
R. A b e 1 e s, R. W. С о h e n, W. R. S t о w e П, Phys. Rev. Lett. 18, 902 (1967).
R. H. Parmenter, Phys. Rev. 166, 392 (1968).
R. S. Thompson, A. Baratoff, Phys. Rev. 167, 361 (1968).
А. А. Абрикосов,出3T① 44, 1675 (1963).
J. Lowell, Cryogenics 5, 185 (1965).
J. Bardeen, M. J. Stephen, Phys. Rev. 140. A1197 (1965).
R. R. H a v e, Phys. Rev. Lett. 15, 865 (1965); Phys. Rev. 168, 442 (1968).
K. Maki, Ann. of Phys. 34, 363 (1965).
P.G. deGe n n e s, SolidState Commun. 3,127(1965).
В.П. Г ала й к o,出3T①50, 1322 (1966).
И.О. К ули к, ЖЗТ① 50,1617 (1966).
A.L. F е ttе г, Р. С. Н о hе n b е г у, Р. Рiпсu s,Phys. Rev. 147, 140 (1966) ♦
W. F i t е, A. G. Redfield, Phys. Rev. Lett. 17, 381 (1966).
I. P e s c h e 1, Solid State Commun. 4, 495 (1966).
L. Neumann, L. T e w о r d t, Zs. Phys. 191, 73 (1966).
G. Eilenberger, Phys. Rev. 153, 584 (1967).
P. L e b w о h 1, M. J. Stephen, Phys. Rev. 163, 376 (1967).
6-7-8-9-^ 1^ 9^3-41111 222 22их 1 4А 1 1 1 1 “ 46-7-8-9-^ 1^ 9^3-41111 222 22их 1 4А 1 1 1 1 “ 4125.126.127.128.129.430.431.432.133.134.135.136.137.138.439.140.441.142.143.444.445.146.447.148.149.450.151.152.153.154.155.156.457.158.159.460.125.126.127.128.129.430.431.432.133.134.135.136.137.138.439.140.441.142.143.444.445.146.447.148.149.450.151.152.153.154.155.156.457.158.159.460.Ch. С а г о 1 i, К. M a к i, Phys. Rev. 164, 591 (1967).
6-7-8-9-^ 1^ 9^3-4
1111 222 22их 1 4А 1 1 1 1 “ 4
6-7-8-9-^ 1^ 9^3-4
1111 222 22их 1 4А 1 1 1 1 “ 4
125.
126.
127.
128.
129.
430.
431.
432.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
439.
140.
441.
142.
143.
444.
445.
146.
447.
148.
149.
450.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
457.
158.
159.
460.
125.
126.
127.
128.
129.
430.
431.
432.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
439.
140.
441.
142.
143.
444.
445.
146.
447.
148.
149.
450.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
457.
158.
159.
460.
H. T r a u b 1 e, U._ E s s m a n n, Phys. Stat. Sol. 20, 95 (1967).
R. Lea d o n, H. S u h 1, Phys. Rev. 165, 596 (1968).
P* £j ；幺！?\，B. J а с г о t, L. M a d h a v R а о, B. Farnoux, Phys. Lett.
106 (1964).
R. H. К г о p s c h о t, V. A r p, УФН 78, 653 (1962).
J. E. К u n z 1 e г, У①H 86, 125 (1965).
П. K a расик, Физика и техника сильных магнитных полей, изд-во《Наука»,
Laverick, Cryogenics 5, 152 (1965).
A. F. Н i 1 d е b г a n d t, Н. W a h 1 q u i s t, D. D. Е 1 1 е m a n, J. Appl. Phys. 33, 1798 (1962); A. F. H i 1 d e b r a n d t, D. D. E 1 1 e m a n? F. C. Wh i t m о re, R. S i m p k i n s, J. AppL Phys. 33, 2375 (1962).
D. E 1 1 e m a n, A. F. H i 1 d e b r a n d t, P. S i m p k i n s, F. C. W h i t m o- r e, Bull. Am. Phys. Soc. 7, 309 (1962).
F. R о t w a r f, R.C. Thiel,S. H.Autler, Bull. Am. Phys. Soc. 7, 189 (1962).
van В e e 1 e n, A. J. P. T. A r n о 1 d, R. de Bruyn О u b о t e r, J. J. M. Beenakker, K. W. T о с о n i s, Phys. Lett. 4, 310 (1963).
T. E r b e r, Discovery 24, № 2, 10 (1963).
F. B. Silsbee, J. W a s h g t, Ac. Sci. 6, 597 (1916).
F. London, Superfluids, vol. I, New York, p. 152, 1950.
B. S. Deaver, W. M. Fairbank, Phys. Rev. Lett. 7, 43 (1961).
R. Doll, M. N a b a u e r, Phys. Rev. Lett. 7, 51 (1961).
L. О n s a g e r, Phys. Rev. Lett. 7, 50 (1961).
N. В у e r s, C. N. Y a n g, Phys. Rev. Lett. 7, 46 (1961).
J. Bardeen, Phys. Rev. Lett. 7, 162 (1961).
J. В. К e 1 1 e r, B. Z u m i n o, Phys. Rev. Lett. 7, 164 (1961).
В. Л. Г и н 3 б у p г, 7K3T① 42, 299 (1962).
R. D. P a r k s, Science 146, 1429 (1964).
W. В r e n i g, Phys. Rev. Lett. 7, 337 (1961).
R.D. Parks, J.M. Mochel, Phys. Rev. Lett. 11, 354 (4 963).
В о h r, B. R. M о t t e 1 s о n, Phys. Rev. 125, 495 (1962).
M. P e s h k i n, Phys. Rev. 127, 1865 (1962).
M. P e s h k i n, Phys. Rev. 132, 14 (1963).
B.Schwartz, L・ N. Cooper, Phys.Rev.137,A829(1965).
D. A.U h 1 e n b г о c k, B. Z u m i 口 o, Phys.Rev.133,A350/1964).
R. H.W h i t e, Phys. Rev. 141, 241 (1966).
A. L.F e t t e r, Phys. Rev. 147, 153 (1966).
T. Wolfram, G. W. L e h m a n, Phys. Lett. 21, 631 (1966).
M. S c h i c k, Phys. Rev. 166, 404 (1968).
F. Bloch, Phys. Rev. 166, 415 (1968).
J. E. Zimmerman, A. H. Silver, Phys. Rev. 167, 418 (1968).
И. К. К и к о и н, С. В. Г у 6 a p ь, ДАН СССР 19, 248 (1938); J. Phys. USSR 3, 333 (1940).
Я. И.① p e н к e л ь, В. E. Рудницкий,出 3T ① 9, 260 (1939).
L.J.F. В г о e r, Physica 13, 473 (1947).
Н・ М. Б уйло в а, В. Б. Сандомирский, У ①Н 97, 119 (1969).
Э. Кинтон, У. Маклин, УФН 97 , 495 (1969).
Н. Б. Бр анд т, Н. И. Гинзбург, У ①Н 98, 95 (1969).
Б. Т. Г ейл икман, В. 3. Кресин, У ① Н, 99, 51 (1969).
П. Хоэнберг, УФН 102, 239 (1970).
Дж. Бардин, У①Н 102, 247 (1970).
Глава 9
ПАРАМАГНЕТИЗМ СИСТЕМ СЛАБОВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХАТОМОВ И МОЛЕКУЛ
§ 1. Теория парамагнетизма атомов и ионов
Выше уже отмечалось, что необходимым признаком парамагнитного состояния вещества является наличие у его атомов собственных магнитных моментов. Поэтому парамагнетизмом обладают, например, все атомы, ионы и молекулы, у которых в электронной оболочке нечетное число электронов, ибо при этом полный спин электронной системы всегда отличен ■от нуля: атомы щелочных металлов, молекула окиси азота NO, свободные радикалы органических соединений, например трифенилметан С(С6Н5)3, и др. Парамагнитны также все атомы и ионы с незаполненной внутренней d- или /-оболочкой (переходные элементы) и когда они свободны (в газах) и, как правило, в растворах и кристаллах. Могут быть парамагнитными и молекулы с четным числом электронов (молекулярный кислород, органические бирадикалы). Большое число твердых и жидких металлов также парамагнитно.
В общем случае, в отсутствие внешнего поля, дезориентирующее действие теплового движения, как правило, не допускает образования в макротелах самопроизвольной упорядоченной ориентации собственных атомных магнитных моментов. Ниже (см. гл. 17—19) будет показано, что лишь при особых условиях обменное взаимодействие между носителями атомных магнитных моментов и при Н = 0 может создать самопроизвольную ориентацию, т. е. ферро- или антиферромагнитное состояние.
В парамагнетиках намагниченность возникает и начинает расти лишь с включением и увеличением напряженности внешнего магнитного поля. Если поле не очень велико, так что энергия элементарных магнетиков в поле, равная по порядку величины 卩^月,мала по сравнению с их средней тепловой энергией кТ, т. е. “е〃《次装扌 то намагниченность возрастает прямо пропорционально величине поля:
/ ХпмН,
где парамагнитная восприимчивость Хпм не зависит от поля, но сильно зависит от температуры. Опыт в ряде случаев подтверждает этот общий вывод. Однако наряду с этим есть много случаев, когда парамагнитная восприимчивость практически не зависит от температуры (например, у щелочных металлов, см. гл. 11).
Классическая теория Ланжевена. Первая теория парамагнетизма была развита Ланжевеном [1] [см. также Ван-Флек (1932), Введенский и Ландсберг (1929)] в рамках классической статистической теории. В этом первом варианте теории не учитывалось взаимодействие между атомами и пространственное квантование, т. е. рассматривался идеальный классический газ магнитных стрелок.
В гл. 7 при выводе формулы (7.3) для ларморовской частоты [см. также (2.38)] мы видели, что в случае свободного атома магнитное поле Н не изменяет угла между орбитальным магнитным моментом атома g и направлением вектора Н, а лишь приводит к прецессии орбиты вокруг поля Н. Таким образом, непосредственное действие магнитного поля на свободные атомы приводит лишь к возникновению в них диамагнитного момента. Однако если учесть взаимодействие между атомами, то оказывается возможным и парамагнитный эффект, т. е. изменение ориентации магнитных моментов атома по отношению к полю. Это имеет место даже в случае идеальных газов, где не
учитываются явно межатомные взаимодействия. Однако неявно они учитываются в столкновениях атомов друг с другом при их хаотическом тепловом движении. Система считается идеальной, если время удара туд (когда атомы взаимодействуют) значительно- меньше времени свободного пробега т^роб (когда атомы практически свободны): Туд《тпроб. При каждом столкновении атомов направления их магнитных моментов, вообще говоря, могут меняться: △卩=/： 0. Если магнитное поле отсутствует (Н = 0), то термодинамически равновесное суммарное изменение векторов магнитного момента атомов по всему газу, в силу хаотичности теплового движения, будет равно нулю: £ А卩=0 (газ не может намагнититься под влиянием тепловых столкновений). Если же газ поместить в поле, то он намагнитится. Это произойдет .потому, что, как мы видели, энергия электронов атома в поле тем меньше, чем меньше угол между магнитным моментом атома 卩 и полем Н (см. § 5 гл. 5). В статистической физике это учитывается теоремой Больцмана, согласно которой вероятность данного состояния атома в системе, находящейся в термодинамическом равновесии, тем больше, чем меньше энергия атома. Таким образом, в результате столкновений атомов в газе при Я ^ 0 они будут изменять свои состояния главным образом так, чтобы при этом угол между их магнитным моментом м и полем Н уменьшался. Вероятность таких процессов определяется в классическом случае, согласно (5.23), больцмановским фактором ехр (—А音/&Т)= =ехр (卩Н/&Т). Отсюда сразу видно, что интенсивность всего процесса определяется величиной отношения двух энергий: энергии относительно поля —|ti*H и средней тепловой энергии кТ (см. ниже).
Обозначим через 8 угол между магнитным полем Н и вектором атомного магнитного момента 读，а через <р ——азимут вокруг направления поля. Тогда энергия атома в магнитном поле будет равна —卩Н cos 8 и статистическая сумма (интеграл) (5.21} примет вид 2л л
2旧)=[)两(ехр(-^^-) sina^]N=[^^-sh(^)]IV.(9.1)
О о
Часть выражения (9.1), зависящая от кинетической энергии, несущественна для намагниченности, так как не зависит от поля. Доля термодинамического потенциала F1 [см. (5.4)], зависящая от поля, согласно (5.20) равна
"(反，T)="(反，T)=(體 Sh
"(反，T)=
"(反，T)=
и по (5.22) будем иметь для намагниченности
L(cth 烁一舒)…(喲.(9.2)
Здесь L (x) = cth x— классическая функция Ланжевена; ее предельные значения: 厶(0) = 0 и 厶(оо) — 1. При малых х имеем cth х ^ 】/% + х/3 и, следовательно, L (%) ^ 弋 1/% + %/з ——1/% 弋 ％/з・ В случае слабых полей, т. е. при 卩Н《 кТ, из (9.2) следует
(S3)
Соотношение (9.3) дает теоретическое объяснение опытному закону Кюри (6.5). При очень низких температурах или сильных полях, когда 卩Н》&Т, линейная связь между / и Я нарушается и намагниченность, согласно (9.2), с ростом Н приближается к своему максимальному значению “卩，т. е. к насыщению.
Полученный результат неявно учитывает квантовую природу атома самим фактом существования магнитного момента ц, определяемого квантом действия h.
Формула (9.2), полученная на основе классической теории, противоречит третьему началу термодинамики. В простейшей форме этот закон сводится к тому, что энтропия системы при Т -> 0° К должна стремиться к нулю. Энергия системы относительно внешнего поля равна 岩=—/-Я; поэтому в силу (9.1а), (9.2) и (5.2) для части энтропии, зависящей от магнитного поля, будем иметь
学[-""(cth 唸-备)+枚 煤)]=
川丘(萼sh%)—X ^cthx——^-j J ,(9.4)
где ради упрощения записи введено сокращенное обозначение
2
При Т т 0。К
этом
величина / стремится
к бесконечности, а из (9.4) видно, что при
а
Х->оо
Причина этого противоречия заключается в том, что в классической теории при выводе -формулы (9.2) игнорируется пространственное квантование атомных магнитных моментов, при учете которого отпадает указанное противоречие.
До появления последовательной квантовой механики уточнение изложенной клас- ■сической теории парамагнетизма сводилось: 1) к учету пространственного квантования и 2) к учету взаимодействия между атомными магнитными моментами парамагнетиков.
Учет пространственного квантования. Чтобы учесть пространственное квантование, достаточно принять, что в (9.1) величина cos 仆， согласно (2.25), изменяется не непрерывно, а принимает дискретный ряд возможных значений. Допустим для простоты, что каждый атом парамагнетика имеет один валентный электрон, участвующий в парамагнетизме, и что имеется лишь два энергетических уровня соответственно со спиновыми квантовыми числами 1/2 и —1/2. Проекция магнитного момента на направление внешнего магнитного поля для верхнего уровня будет —g^B/2, а для нижнего +g“E/2. Тогда при температуре Т равновесные относительные заселенности этих уровней будут
= и = N- + N+ = l,
где
X= 2kT~ *
Таким образом, намагниченность
WgMb —e~x Ng^E/ ~2~~" X,
где N—полное число атомов в единице объема парамагнетика. При 胃《1 th % ^ 寫；поэтому для намагниченности получаем
<а для восприимчивости
Wg2 曜 н
Здесь фактор Ланде g = 2, а 卩= /Зръ 口° (2.5), поэтому для Хпм получаем классическую формулу (9.3).
В общем случае, когда имеется не только спиновый, но и орбитальный момент, следует использовать формулу (5.22). Замечая, что £冷= =gnij卩еН, а статистический вес g— 1, ее можно преобразовать к виду
g 2 叼exp ( 我T 一)
/ = %“в=Ng^B"*H、,(9.5)
吗=一亍
где Bj (у) — обобщенная функция Ланжевена, называемая также функцией Бриллюэна [2]. Действительно, введем обозначение а = gRsH/kT, тогда сумму в (9.5) можно записать так:
/ = Ng^E 石 In 2 exp ⑺戸)♦
“С помощью формулы для геометрической прогрессии
1 ++ е?放⑵ 33c
1 —
получаем
/ = egWB*[ln С/ = egWB*[ln С1 — e(2j+i)x-Г二户-1 — e(2j+i)x-Г二户-)])]
/ = egWB*[ln С
/ = egWB*[ln С
1 — e(2j+i)x
-Г二户-
1 — e(2j+i)x
-Г二户-
)]
)]
и, используя формулу 2sh% = e“一 L, находим
/"gWB^ln/"gWB^ln-信）_-信）_
/"gWB^ln
/"gWB^ln
-信）_
-信）_
Это дает
(9.5а)(9.5а)/ = /。鸟*th (-^2/^- у) ~Vcth (君)]=/。当(у),
(9.5а)
(9.5а)
где г лг .用卩еН
IQ = Ng^Bj,y = R-・
При j т 8 (9.5) переходит в классическую формулу (9.2). Действительно, при j f оо имеем cth (y/2j)2j/y + • • •)следовательно,
ircth (v) L- v и % (а)=cth у-Н% 3).
Если элементарным носителем магнетизма в парамагнитных атомах является электронный спин (2 = 0, / = s= 1/2), то число возможных ориентаций уменьшится до двух и (9.5а) примет более простой вид:
1=10^1/2 (у) = N^Б A th (鶉 ~) •(9.56)
В случае слабых полей (цБЯ <^； кТ) из (9.5) получаем
(9.6)(9.6)—"喝 g2j(i + l)
(9.6)
(9.6)
%пм= 誦
т. е. снова закон Кюри (6.5) или (9.3) с заменой 卩^ на ^б^2/(7 + !)• Из (9.6) можно определить постоянную закона Кюри (6.5), а именно:
。=*山說^0+ 1)].(9.7)
Таким образом, зная из опыта С и универсальные постоянные 6, N и re, можно определить эффективное число магнетонов р啖巾,приходящихся на один атом парамагнетика：
Рафф = 81Лр + 1) •(9.8)
Квантовомеханическая теория (Ван-Флек) — общий случай. Строгая квантовомеханическая теория парамагнетизма, развитая Ван-Флеком [3] [см. также Кубо [4], Герлах [5] и Ван-Флек (1932)], приводит внешне к такому же выражению для парамагнитной восприимчивости (9.6), как классическая теория и элементарная квантовая векторная модель атома. Остановимся несколько подробнее на квантовомеханическом выводе формулы для магнитной восприимчивости. При этом, в отличие от рассмотрения, приведенного в гл. 5 и 7, энергию относительно магнитного поля будем считать малой не только по сравнению с расстояниями между энергетическими уровнями невырожденных состояний атома, но также и по сравнению со средней тепловой энергией кТ (случай слабых полей или высоких температур:陸反《及Т)； поэтому мы пока не будем учитывать явления магнитного насыщения и в выражении магнитного момента системы ограничимся только линейными членами относительно магнитного поля. Подставляя выражение для энергии (5.46) в статистическую сумму (5.21), разлагая экспоненту в степенной ряд по малой
-ПО -
величине ^Н!кТ и удерживая члены не выше второй степени относительно Я, находим *)
Я (n I应黑I © ~~кТ п
2
|d I M^\nf) |2 I (n| M^ I n) |2
]｝•
(и I Ж? -Ь У? I м) — 2 пЛ(^п)
(9.9)
Из простых соображений симметрии **) следует, что сумма
Хехр( — ^)(м|лЬ»|м) = О,(9.10)
п
т. е., другими словами, парамагнетик не обладает самопроизвольным магнитным моментом. Таким образом, статистическая сумма (9.9) для газа N частиц примет вид
Z (Я, ?) . (Z可｛I + 彥X exp (一鲁)[吗产 +П
1⑷逊)1方)12 e2 3 / I 2 I 21 门尸 /0
n'^n)i=l
где через Z° обозначена статистическая сумма (9.9) при Я = 0, а через z0 — полное число электронов в оболочке атома. Из (9.11) в силу (5.30) в наших приближениях (р,БЯ《кТ) получаем для восприимчивости % = -Ж0? »m鑑°1h)卩eхр ( 一筹)十
n
2W у \(n\M^\ne)\2/ 驾、 ％е2
十 2而 Z富％一富^ 一 exP \ _ J _ Z(⑴ 4?ие2一 X
x 2 2(П1ж4+У?|^)ехр (―-^-) . (9.12)
Найденное общее выражение для магнитной восприимчивости системы атомов или ионов носит название обобщенной формулы Ланжевена — Дебая.
Первая сумма в правой части (9.12) дает вклад в восприимчивость от ориентационного парамагнетизма, а вторая и третья суммы дают уже знакомые нам [см. (7.8)] вклады соответственно от ванфлековского поляризационного парамагнетизма и прецессионного диамагнетизма. Следуя Ван-Флеку (1932), придадим формуле (9.12) более простую форму. Обычно квантовым числам пип отвечают разности энергий 宮｝—宮么 большие по сравнению с кТ, а состояние с п принимают за состояние с наименьшей энергией. Вторые индексы / или /' соответствуют внутреннему, вращательному или спиновому квантовым числам, им обычно соответствуют разности энергий 卷力，一宮％, сравнимые по величине или даже
kT L 8mc2
驾，一驾
2力7
*) Здесь под пип7 следует понимать полный набор квантовых чисел атома или молекулы, например njm или nJmj.
**) А именно, если (п | 应У | п) К 0, то обязательно существует стационарное состояние с той же самой энергией 卷椒 но с z — проекцией магнитного момента — другого знака, ибо при Н = 0 энергия атома не зависит от «направления» вращения электронов вокруг оси z.
меньшие, чем кТ. Третьи индексы m ^ m соответствуют магнитному квантовому числу, которое определяет ориентацию «орбиты» относительно оси квантования. Таким образом, различные компоненты (уровни) нормального (основного) мультиплета соответствуют фиксированному значению п и различным значениям j и ?п ). Для возбужденных мультиплетов п 卢 孔.Заметим здесь, что первые два из этих чисел (п и /) в общем случае символизируют каждое более чем одно квантовое число. Поэтому /г, /, ш правильнее именовать индексами, а не квантовыми числами. Таким образом, все дальнейшие расчеты имеют более общее значение и не ограничены системами с тремя степенями свободы.
Энергия 芻(при 〃 = 0) не зависит от магнитного квантового числа т, и поэтому 宮％m ~> 宮％. В формуле (9.12) можно перейти от матричных элементов оператора слагающей момента М^} к оператору абсолютного значения момента Л/⑹ согласно общей формуле («условие спектроскопической устойчивости»)
2 I {njm\M^} I n/j,m,) |2 ="-§- 2 I ⑺7nl 必(叫吟'〃)艮(9.13)
где
、⑺m I M^ I nfm') I2 =
=I (njm I M^^ Утп!} |2 +1 (njm | M^^fm') |2 十 | (njm | M^ | n'fm') |2.
Для пояснения доказательства формулы (9.13) 1см. Ван-Флек (1932)] рассмотрим унитарное преобразование волновых функций и операторов в квантовой механике. Пусть мы имеем систему ортонормированных и волновых функций 屮%m (г) и какой-нибудь оператор А ; матрица этого оператора в представлении данных волновых функций имеет вид
(njm I / I ni'm')0 = j 崎m (r) A^j'm' (r) dr.
Если теперь с помощью матрицы унитарного преобразования S (njm; п‘j'm') перейти к новым волновым функциям
то матрица оператора А в новых функциях 屮鹿巾了 будет связана с матричными элементами в старых функциях формулой
(njm IЛ I п丁т‘)=
Рассмотрим случай вырожденного состояния с данной энергией, т. е. с данным п, но различными /, т. Тогда матрица S будет диагональна по п и мы будем иметь конечные суммы для преобразованных функций:
•^njm (厂)=2 S (njm; nj'm')脱^，①)，
и поэтому (njm\A\n j'm^^
= Е S* ⑺加；n/^') (nffmr I A I 疗厂仇)о S (疗j"力f";几)”').
Отсюда находим
2 \(njm \ A \ nj,m,)^ = jm;尸W
=3[S* (崂п; П『т")\ A I n丁m!'% X
j【*mN;户mV
X S (疗广勿n Ут'} S*п'ртУ) (njlymlv || n ]утУ\ x
Условия ортонормировки для унитарных матриц гласят:
3 S* (njm; ть『т") S (n/IV?nIV; njm) = 6 (/"тп"; /iv^iv^
тогда из второго равенства, заменяя njm., fm ^ yiv^iv соответственно на п fm'^ jV/n%『”/n、получаем
3 \(njm\A \ -п!2 | (п]т\А | 孔/тп%产.(9.13а) 汕；尸7П，油；j'm'
Применим это равенство к случаю, когда на атом не действует магнитное поле и заданы п/, т. е. когда мы имеем пространственное вырождение. Магнитные квантовые числа m и пгг соответствуют разным ориентациям орбит относительно оси квантования. Каноническое преобразование от ipnym к ^njm означает просто поворот осей, при котором ось квантования переходит от одного направления к другому. Ясно, что если оператор 4 есть вектор, то двойная сумма в (9.13а) в силу симметрии имеет то же самое значение. Если вместо А взять любое из трех слагаемых Ах, Лу, Л 2 и затем усреднить (9.13а) по всем возможным направлениям для оси квантования, то после усреднения (при Н = О) ни для какой из осей 胃,у, z не будет никакого преимущества. Но мы доказали, что выражение в виде (9.13а) инвариантно по отношению к выбору оси квантования и, следовательно, усреднение по всем направлениям для этой оси не обязательно. Поэтому (9.13а) всегда имеет одинаковое значение для Ах, Ау и Л2, и в результате будем иметь
2 1(同力14"21叫'血‘)12 =g 2 \{пm]\а\nч,m,)^, т, т*т, т，
что и совпадает с формулой (9.13). Условие (9.13) в классическом пределе аналогично； условию 〈炉〉+ (у2) +〈z?〉=百〈户〉при наличии центральной симметрии.
При выполнении условия (9.13) формула (9.12) примет вид
% = зkк加三丨(力切I而s I九切)12 exp (-鲁)+
27V、，I仇加I应© I疗尸卅)|2/ 嘱 \ _
十 3Z(0) 厶九 у d'『；司)p \ kT~ / —
n, 3, m
-z(爆^ 2 2 ^m I ^i +У11 njm) exp .(9.14)
n, 3, m i=l
Здесь во второй сумме штрих означает, что исключены члены с /' =/, но член с п —п сохранен, a fcv(孔"'；孔力=宮^宇一宮%. Далее мы будем рассматривать случай, когда
I 无у (心'；ny) I》кТ(疗，联(9.15а)
I hv (疗j'； nj} I《kT”，n);(9.156)
условие (9.15а) означает, что расстояние между соседними мультиплетами (nz = п + 1) велико по сравнению с кТ, а условие (9.156) означает, что расстояния между соседними уровнями внутри мультиплета (у7 = / + 1, 孔‘ =п) малые по сравнению с кТ. Если эти условия выполняются, то члены с nz = п из второй суммы (9.14) можно несколько преобразовать [Ван-Флек (1932)]. Для этого рассмотрим два каких-то слагаемых из второй суммы (9.14) с пг = п, а именно j = %, m = m^ j，= 为，^‘ = ^2 И j = %，^ = ^2，广=/1, m# = 77Z1, т. е.
2 I d/yni I 应(0)I 同2m2)产/I
九У (同2；司1)еХР \
,2 I (nj2m2 I I nfimi) |2/^n；2\ /n
4 加(叫；同ReXp \
В числителях обеих дробей квадраты модулей матричных элементов оператора М(0) в силу его самосопряженности одинаковы, знаменатели же их отличаются лишь знаком. Величину 宮%纟 можно представить в виде 卷％1 + 历у (n/2； n/i), разложить экспоненту второй дроби согласно(9.15б) по степеням малой величины
и ограничиться членами не выше первой степени w. Тогда вместо (9.16) будем иметь
^ I (niiirii I М<°> I nj^ I2 ехр ( — ^i) [1 —(1 —0)+ ...] = =备[|咖%|应叫%w2)|2+|(砒加2|病叫端加1)卩3p(-^) .(9.17)
Используя (9.17), формулу (9.14) можно представить в виде )
^ = Ж^ 2 |(/™|М<о>|/^)|2ехр(-^) +
I 2Wp1 (同加I疝①I心‘话)12/ 富方\
十玄而 Nj九y (е；向p \ AT丿_
(м/=#п)
-謐Z^X W(加谓十调1河exp (一警).(9.18)
Здесь hv (孔'『；пу) заменено на hv (孔‘；п), так как в силу условия (9.156) 《высокая частота» v (孔彳 п) слабо зависит от индексов /, определяющих расстояние уровней внутри мультиплета. Займемся дальнейшим упрощением записи (9.18). Остановимся сначала на первом, так называемом низкочастотном слагаемом (определяющем восприимчивость ориентационного парамагнетизма), поскольку в нем производится суммирование по группам близких уровней с пг = п внутри одного мультиплета. По правилам умножения матриц ) имеем
2 I I M(W I j'm) |2 = (/ I МТ + М^2 + М^ I /) = (/1 М^ I /).(9.19)
В (9.19) индекс т опущен, ибо абсолютная величина момента не зависит от его пространственной ориентации. Таким образом, низкочастотная часть в о сприим чив о сти (9.18), т. е. восприимчивость ориентационного парамагнетизма, равна
緒输нт = 3%tz(oT》⑺麻m2 |j) exp ( 萨)=謂~,(9.20)
где ц2 ——сокращенная запись квадрата низкочастотной части вектора магнитного момента. Двойная черта сверху означает, что усреднение ведется дважды ——квантовомеханически в (/ | 疯(°)2 | /)и статистически по различным состояниям атомов. В силу известного «правила сумм» [см., например, Бете и Солпитер (I960)] квантовой механики выражение^ входящее в «высокочастотную») (ванфлековскую) часть восприимчивости (9.18),
2 I(П]Ш I М(0) ] п,],т,) |2
не зависит от индексов /, т. Поэтому ванфлековское слагаемое в (9.18) примет вид [см. также (9.15а)]
2W V 「1("1血⑹10|2/ 驾27Vp [("I 应<叫"，)12
■^而 Z L Av(nz； n) e p< 幽丿」—丁 2j hv(nf; n) • 丄丿 n'(=#n)n'(=#n)
Диамагнитная часть, т. e. третье слагаемое в (9.18), согласно (7.6) или (7.7) равна
-蕊X〈唠•(9・22)
i=i
Таким образом, в силу (9.21) и (9.22) ванфлековская высокочастотная и диамагнитная части восприимчивости в нашем приближении не зависят от температуры.
Введем сокращенное обозначение
添У止一言 £〈唠.(9.23)
3у (n ; n) 6mc2 々\ 丿
n'Hn)i~l
Тогда, используя (9.20) и (9.23), вместо (9.18) получим
% =需 + 源•(9-24)
Взамен магнитного момента 卩 удобно ввести величину Рзфф^в； тогда (9.24) примет вид
% = n(疇^+斗(9-25)
Здесь Рафф означает низкочастотную часть магнитного момента, измерен* ную в магнетонах Бора.
Магнитный момент атома в общем случае состоит из двух частей —— орбитальной и спиновой. В различных стационарных состояниях атомов доля этих двух типов моментов различна. Поэтому, хотя и принято говорить о «постоянных» магнитных моментах атомов, следует помнить, что в ряде случаев они могут меняться с температурой.
4. Частные случаи. При сравнении общей формулы (9.24) или (9.25》 с опытными данными ее надо записать в более конкретном виде, чтобы
в нее входили величины, непосредственно измеряемые на опыте. Для этой цели удобно рассмотреть три частных случая, когда энергетические разности hv (J, J') мультиплетной структуры электронных уровней атомов а) малы по сравнению с кТ, б) велики по сравнению с 次装 и в) сравнимы с кТ.
а) Случай узких мультиплетов [hv (J, Jr) <^ кТ].
В этом случае высокочастотная часть парамагнитного момента отсутствует [Ван-Флек (1932)].
На первый взгляд это утверждение может показаться непонятным, поскольку при условии hv (J,，‘)《кТ знаменатели слагаемых второй суммы правой части формулы (9.14) будут малы, а поэтому сами слагаемые велики. Однако в силу этого же условия узости мультиплетов можно произвести разложение
/驾J 、〜4 弱J丄
©冲 \" W + …
Тогда в первом приближении вклад в восприимчивость от второй суммы в (9.14) исчезает, поскольку
II应(叫/г厂呜)|2 _
2 hv (тгТ;
J, J'
так как Av (nJ,孔J')=——hv 飙『、nJ).
Приведем наглядное физическое объяснение приближенного исчезновения ванфлековского парамагнетизма для атомов с узкими мультиплетами [Киттель (1963)]. Рассмотрим атомную систему, не имеющую в основном состоянии, описываемом волновой функцией | 0 ) ), собственного магнитного момента (0 | Mz | 0) = 0. Недиагональные матричные элементы Мz между основным состоянием и возбужденными (п ф 0) предполагаются отличными от нуля: (n I Mz I 0) ^ 0, и соответствующая им разность энергий равна Дп0 =宮冷——So > 0* Тогда согласно теории возмущения при слабом магнитном поле, (ръН《Апо) для возмущенной волновой функции основного состояния в первом приближении получим
|0〉，= |0〉+ ^^ 肉，
а возмущенные возбужденные функции будут иметь вид
1九〉，=1 吁：^12^Ц 0).
Теперь диагональный матричный элемент оператора М2 в (возмущенном) основном состоянии будет отличен от нуля и равен
(0[ М21 О')=竺丨仇!应z|0)|2 ,
а в возбужденном состоянии (nz | Mz | nr) = — 2Я | (n | Mz | 0) |2/An0*
Рассмотрим частные случаи: 1) Дп0 «次装一случай узких мультиплетов или низкочастотных матричных элементов. Относительное превышение числа атомов, находящихся в основном состоянии, по (9.5э) приближенно дается выражением Nк71012kТ, и, следовательно, результирующая намагниченность равна
V 2Hl 网必 |0)|2 к
п
а восприимчивость
TV% = —TV% = —Sl(n|^z|0)|2 nSl(n|^z|0)|2 nkTkT
TV
% = —
TV
% = —
Sl(n|^z|0)|2 n
Sl(n|^z|0)|2 n
kT
kT
Таким образом, мы пришли к обычному закону Кюри, хотя сам механизм намагничивания обусловлен поляризационным эффектом Ван-Флека. В случае свободных ионов появление намагниченности связано с их перераспределением между различными состояниями | п〉. Любопытно отметить, что в выражении для % величины Дп0 выпадают.
2) В противоположном случае Дп0》кТ (широких мультиплетов или высокочастотных матричных элементов) все частицы находятся в основном состоянии I 0), следовательно,
% = 2N》 п% = 2N》 п1dzl 0) |21dzl 0) |2
% = 2N》 п
% = 2N》 п
1dzl 0) |2
1dzl 0) |2
т. е. мы имеем типичный случай ванфлековского парамагнетизма, не зависящего от температуры.
Если пренебречь также и диамагнитной восприимчивостью, которая везде, как правило, мала по сравнению с парамагнитной, то останется лишь низкочастотная часть. В силу малости (по сравнению с кТ) энергетических разностей мультиплетной структуры атомы могут с большой вероятностью находиться в состояниях с различными Jr [поскольку статистические факторы ехр (——鳥) для этих энергетически близких состояний мало отличаются друг от друга]. С другой стороны, малость энергий hv (J, J') позволяет считать, что связь орбитального и спинового моментов атома мала по сравнению с их связью с магнитным полем. Это эквивалентно предположению, что атом находится в сильном поле (эффект Пашена — Бака), которое «разрывает» связь между векторами £ и S, квантовое число J теряет свой смысл и оба момента 厶 и М квантуются в поле независимо друг от друга. Однако этот же результат сохраняется для случая слабых полей, когда «хорошим» квантовым числом является J. [см. Ван-Флек (1932)]. Поэтому энергия в поле принимает вид (mL + 2тп§) X X “еН и выражение для дифференциальной восприимчивости по (5.22) равно
д
2 ^ехр(—*)2 2mseXp(-^^2 ^ехр(—*)2 2mseXp(-^^m^=—L?7is~—Sm^=—L?7is~—S(9.26)(9.26)
2 ^ехр(—*)2 2mseXp(-^^
2 ^ехр(—*)2 2mseXp(-^^
m^=—L?7is~—S
m^=—L?7is~—S
(9.26)
(9.26)
в силу условия 7nL“е〃 и //^卩出《кТ находим, разлагая показательные функции в ряд и удерживая в числителях и знаменателях лишь первые неисчезающие члены,
(9.27)(9.27)匾『士磽I 4』呜
(9.27)
(9.27)
Xпм 一 7^- [2L + 1 十 2S + 1 .
или поскольку
+七+S
2 ™l = y(2L + l)L(L +1) и 2 曬二扌(2S+1)S(S + 1), (9.28)
m，=—L—S
то для восприимчивости имеем
%"翁[45(5 + 1) + “ + 1)]=黑群^, причем
^фф-[45(5 + 1)+Л(Л+1)]1/2.(9.30)
Таким образом, снова получается закон Кюри, но эффективное число магнетонов Рзфф отличается от (9.8). Этот случай реализуется для ионов элементов группы железа.
С л учай широких мультиплетов [hv (J, J')》 》кТ]. В этом случае почти все частицы должны находиться в наинизшем энергетическом состоянии, ибо статистический фактор уже для первого возбужденного нормального состояния (т. е. состояния с тем же главным квантовым числом, что и у нормального состояния, но с J'丰 J в силу условия hv (J, J')》кТ исчезающе мал. Таким образом, низкочастотная часть восприимчивости имеет классическую форму (9.6). Однако в этом случае отлична от нуля и высокочастотная часть (диамагнитную часть по-прежнему считаем равной нулю), которая имеет вид
一ТУ匾Г尸…)尸⑺ ]
""一6(2/ + 1)[九- J)十九y (J -1； J)卜 где*)
F (J) = A [(5 + Л + 1)2 _ J2] [ J2 _ (S-Lf],(9.32)
и, следовательно, окончательно имеем
(9.33)(9.33)
(9.33)
(9.33)
Этот случай реализуется для большинства ионов элементов из группы редких земель.
Остановимся подробнее на выводе формулы (9.31). Из формулы (9.12) видно, что вклад второго приближения теории возмущения (его высокочастотной части Na без диамагнитного слагаемого) в общем виде можно записать так: 电
樞芻 2^(^^,(9.34)
где согласно (5.40) и (5.38)
例盡広+2%；(9.35)
здесь Lz и 2昆一соответственно операторы z-й слагающей суммарного орбитального и спинового момента в единицах 方.Учитывая, что энергия Sn зависит только от квантовых чисел n, J, в рассматриваемом случае hv(J, Jr) ^> кТ для Na вместо (9.34) получим
2/ 貌J、^「IS^jlEz + ZgzIJ+l，》tz) |2 ,
^a = ^^l| |2lex₽(2 L九v(J; J + l)十
n, Jmj=-J
++2 2河(一等)= n, J mj=—J—Q Г I/(J，mj) |2I/ (J — l, 7HJ)|2 ]一 2(2J + 1) NJ」|_ 九 у (J,丿 + 1)十 Av (J, J—1) J'2 2河(一等)= n, J mj=—J—Q Г I/(J，mj) |2I/ (J — l, 7HJ)|2 ]一 2(2J + 1) NJ」|_ 九 у (J,丿 + 1)十 Av (J, J—1) J'hv (J; J — l)hv (J; J — l)I (Jmj I £z +2sz I J — 1, mj)I (Jmj I £z +2sz I J — 1, mj)(9.36)(9.36)
+
+
2 2河(一等)= n, J mj=—J
—Q Г I/(J，mj) |2I/ (J — l, 7HJ)|2 ]
一 2(2J + 1) NJ」|_ 九 у (J,丿 + 1)十 Av (J, J—1) J'
2 2河(一等)= n, J mj=—J
—Q Г I/(J，mj) |2I/ (J — l, 7HJ)|2 ]
一 2(2J + 1) NJ」|_ 九 у (J,丿 + 1)十 Av (J, J—1) J'
hv (J; J — l)
hv (J; J — l)
I (Jmj I £z +2sz I J — 1, mj)
I (Jmj I £z +2sz I J — 1, mj)
(9.36)
(9.36)
Здесь использованы известные выражения [Блохинцев (1961)] для матричных элементов операторов Lz и 52:
(J, mj\Sz\J + 1, mj)^｛J + 1, mj\Sz\J, mj) = —(J, mj\Lz\J+l, w)=
=—(J + 1, ^j I 厶 I J, ^j) = / (厶 ^j)=
「(」+厶+S+2)(— 厶+S+厶)(J~[-S -厶+1)(/+厶一S~[-l) (J-J-mj-J-1) (/ - znj + l)]1/2 =|_：4 (4)2 2卄 +1)(2J + 3)」•
(9.37)
Случай средних мультиплетов [hv (J, Jr) ^ kT].
В этом случае можно принять, что полное число атомов N разделяется на группы с данным значением квантового числа J, т. е. N = Nj* + + Nj2 十• • • Далее, можно считать, что N& = N (2J + 1) ехр (—書), где (2J + 1) дает число компонент мультиплета, a Sj ——энергия при 方 = 0 для состояния с данным J. В результате получаем следующую формулу для восприимчивости:
N 2 ｛崎匾J" + D/3砌+焉｝ (2J + l)exp (一尊)
% =…УЗ,(9.38)
》(2J + l)exp(—诒)
где индекс J у величин g и а указывает, что фактор Ланде и частотная часть восприимчивости а зависят от J.
Можно показать [Ван-Флек (1932)], что в предельном случае узких интервалов мультиплетной структуры формула (9.38) переходит в (9.29).
Действительно, если приближенно можно пренебречь зависимостью 卷° от J, то можно целиком освободиться от экспоненциальных членов в знаменателе и в первом слагаемом числителя в (9.38), предположив для упрощения, что отсчет энергии ведется от состояния с J = 0. Второе слагаемое в числителе (т. е. aj) вносит некоторое усложнение в эту процедуру, поскольку оно стремится к бесконечности для очень узких мультиплетных интервалов, ибо при этом величина Av (/ 士 1,/) в (9.31) стремится к нулю. Однако здесь можно воспользоваться разложением по степеням (国$十1 ——^j)/kT, аналогичным тому, которое было использовано при переходе от (9.18) к (9.20). Это дает в результате
2 [玲卩豈，(' + ')(2，+，)+彳尸(')]
%—•■(9.39)
а 3我Те(2/ + 1)\ J
Подставляя сюда F (J) из (9.32) и gj из (2.21), а также выполняя элементарные суммирования (типа (9.28)], найдем, что (9.39) переходит в (9.29).
Вообще же (9.38) приводит к температурной зависимости % (Т), отличной от классической типа (9.20). Естественно, что сравнение формул (9.33) и особенно (9.38) с опытом требует количественного определения энергетических интервалов мультиплетов 历v (J, J ± 1)・ В принципе их можно определить непосредственно по тонкой структуре атомных спектров. К сожалению, это не всегда удается сделать практически, особенно в случае парамагнитных ионов в жидких и твердых растворах. Поэтому желательно, конечно, иметь хотя бы теоретическую оценку этих теоретических параметров.
Основные опытные данные
Одноатомные парамагнитные газы. Приведенные выше формулы относятся, строго говоря, к случаю одноатомных газов, в которых межатомное взаимодействие очень мало. К сожалению, однако, обычные одноатомные газы, которые существуют в естественном состоянии (при нормальных температурах и давлении), имеют замкнутую электронную оболочку (инертные газы) и поэтому диамагнитны. Пары щелочных металлов хотя и являются парамагнитными, но упругость этих паров при нормальных температурах ничтожна. Измерения же при высоких температурах (^ 500° С) технически весьма затруднительны и неточны, ибо сам парамагнитный эффект очень мал (〜 装一丄).Тем не менее для паров калия Герлах [5] произвел наблюдения [см. также Ван-Флек (1932)] и показал, что, например, для паров калия в интервале температур от 600 до 800° С и соответственно в интервале давлений от 0,5 до 300 мм рт. ст. атомная парамагнитная восприимчивость подчиняется закону Кюри С!Т^ где С = 0,38. Естественно допустить, что нормальное состояние атома калия есть 25, т. е. имеется всего лишь один валентный электрон с нескомпенси- рованным спиновым моментом, тогда по (9.29) Хпм = N們кТ — 0,372/Г. Таким образом, согласие между теорией и опытом достаточно хорошее ).
Кубо [4] развил общий статистико-механический метод для расчета термодинамически равновесных и кинетических коэффициентов, который, в частности, можно в принципе применить и для расчета статической парамагнитной восприимчивости. Однако именно в статическом случае при конкретных расчетах метод Кубо вряд ли будет иметь существенные преимущества перед изложенным выше методом расчета по Ван-Флеку (1932). О методе Кубо для расчетов в теории парамагнитного резонанса (ЭПР) см. ниже гл. 13.
Все же приходится констатировать, что опытных данных о восприимчивости парамагнитных одноатомных газов пока еще совершенно недостаточно, экспериментальная проверка изложенной выше теории до сих пор остается одной из актуальных проблем магнетизма.
Кроме работ Герлаха и Лерера с калием, имеется еще работа Невги [7] с паром таллия, который также парамагнитен. Скотт и Кромвелл [8] измеряли парамагнитную восприимчи&ость газообразного атомарного йода. Все эти эксперименты очень сложны и недостаточно точны. Более «точным» экспериментальным доказательством парамагнетизма одноатомных газов являются опыты Штерна и Герлаха [см. Блохинцев . (1961), а также монографию Фрезера (1931)].
Ионы редкоземельных элементов. В настоящее время лучше всего экспериментально изучены парамагнитные свойства ионов редкоземельных элементов от церия Се (Z = 58) до иттербия Yb (Z = 70), соединения (соли и растворы солей) которых являются сильнопарамагнитными веществами, подчиняющимися простым законам «атомного» парамагнетизма. Последнее связано с тем, что в этих веществах практически всегда ответственными за парамагнетизм являются ионы редкоземельных элементов, а именно результирующий магнитный момент недостроенного 4/-слоя электронной оболочки этих атомов. Электронная конфигурация наружной части оболочки атомов редких земель имеет вид
・・・ 4/от45 525P65@от6s2.
Естественно считать, что замкнутые внешние электронные оболочки (5§25") достаточно хорошо экранируют недостроенную и магнитноактив-
ную 4/-оболочку от влияния соседних атомов, и поэтому эти атомы (или ионы) могут вести себя в магнитном отношении подобно атомам разреженных (идеальных) газов. На такую заэкранированность 4/-слоя от внешних влияний соседних атомов указывает сходство химических свойств и то, что полосы поглощения в спектрах и магнитная восприимчивость лишь весьма незначительно зависят от изменения «окружения» редкозе
мельного иона при переходе от одного соединения к другому или от раствора к твердой соли. В большинстве случаев ионы редких земель трехвалентны (отдают в кристаллические связи и т. п. три валентных электрона 5al и 6s2).
Первая детальная работа по расчету парамагнитной восприимчивости ионов редких земель принадлежит Дорфману [9]. Затем эта работа была продолжена Хундом [10] и
Рзфф ~Рзфф ~/ V£\1/2丿/ V£\1/2丿(9.40)(9.40)La Се Pr Nd Sm Eu Qd Tb Dy Ho Er Tu Yb LuLa Се Pr Nd Sm Eu Qd Tb Dy Ho Er Tu Yb LuРис. 9.1. Атомный эффективный магнитный момент рэф^ (в магнетонах Бора) ионов рекдоземельных элементов как функция атомного номера Z.Рис. 9.1. Атомный эффективный магнитный момент рэф^ (в магнетонах Бора) ионов рекдоземельных элементов как функция атомного номера Z.Ван-Флеком (1932). На рис. 9.1 приведены опытные данные для эффективного магнитного момента ионов редких земель, который определялся по формуле (9.29):
Рзфф ~
Рзфф ~
/ V£\1/2丿
/ V£\1/2丿
(9.40)
(9.40)
La Се Pr Nd Sm Eu Qd Tb Dy Ho Er Tu Yb Lu
La Се Pr Nd Sm Eu Qd Tb Dy Ho Er Tu Yb Lu
Рис. 9.1. Атомный эффективный магнитный момент рэф^ (в магнетонах Бора) ионов рекдоземельных элементов как функция атомного номера Z.
Рис. 9.1. Атомный эффективный магнитный момент рэф^ (в магнетонах Бора) ионов рекдоземельных элементов как функция атомного номера Z.
Кружки с вертикальными отрезками на графике показывают разброс точек по данным различных исследований [11—13]. Проведена также теоретическая кри-
большинства элементов оказалось возможным, в великолепном согласии сбольшинства элементов оказалось возможным, в великолепном согласии свая, для которой восприимчивость Хпм в формуле (9.40) рассчитывалась по формулам Ван-Флека (9.24). Для
большинства элементов оказалось возможным, в великолепном согласии с
большинства элементов оказалось возможным, в великолепном согласии с
опытом, пользоваться для %皿 упрощенными формулами (9.6) и (9.31), полу
ченными в предположении, что расстояния между соседними энергетическими уровнями мультиплетной структуры велики по сравнению с кТ. Значения же квантовых чисел J, S и L для основного состояния определяются из спектроскопических соображений по Хунду. Для двух элементов ——самария Sm (Z = 62) и европия Eu (Z = 63)——это предположение не выполняется; энергетический спектр электронной оболочки этих атомов таков, что hv (J, J') ^ кТ) ). Поэтому в указанных двух случаях приходится пользоваться более сложной формулой (9.38). Тем* пературпая зависимость 3rlM для этих ионов также отличается от закона Кюри и при не очень высоких температурах может быть хорошо аппрок симирована формулой (9.38) ).
Исследования на солях показали, что парамагнитная восприимчивость ионов Gd3+, ТЬз+, Dy3+, Но3+ и Ег3+ подчиняется закону Кюри (9.6). Однако, как показали Кук и др. [18], например, для сульфата диспрозия при очень низких температурах (《3° К) необходимо учитывать диполь-
дипольное взаимодействие магнитно активных ионов. Восприимчивость же ионов СеЗ+, Pr3+, Nd3+, Tu3+ и Yb3+ подчиняется закону Кюри — Вейсса (9.47) (см., например, работы Коэна и Дюкло [19], Худсона и Хос- лера [20], Хельвега и др. [21, 22]). Янус и Дрожжина [23] исследовали парамагнитные свойства наиболее чистых (в смысле количества ферромагнитных примесей) образцов Се и Рг в твердом состоянии и нашли, что эти редкоземельные металлы подчиняются закону Кюри ——Вейсса. Эффективные атомные магнитные моменты оказываются несколько меньшими, чем наблюдается для трехвалентных ионов при измерениях с солями и получается по теории Ван-Флека. Это вполне может быть качественно объяснено наличием неизбежных ферромагнитных примесей, а также м тем, что валентные электроны в металле, образующие газ электронов проводимости, имеют иные магнитные свойства, чем в солях и растворах; кроме того, влияние электрического поля кристалла на орбитальные моменты 4/-слоя в случае металла и соли может быть совершенно различным. Технические трудности в получении чистых и больших образцов редкоземельных металлов до сих пор не давали возможности в широких масштабах поставить их магнитные исследования, хотя изучение магнитных свойств этих металлов, особенно при сверхнизких температурах, представляет очень большой интерес (см. ниже гл. 20).
Парамагнитное насыщение. До сих пор предполагалось, что напряженность магнитного поля мала, так что намагниченность растет линейно с полем. Для предельного случая hv (J, J')》кТ не представляет большого труда, не раскладывая экспоненту в ряд по степеням показателя g^HIkT, получить точное выражение для I (〃), которое согласно (9.5) имеет вид
/ (Я, ?) = NJg^Bj ("^^) • (9囹)
Для другого предельного случая, fcv(J, J')《k7\ вместо (9.41) получаем
/ (Я, 7) = 2NS^Bs (^^) + NLpeBl (岁-)• (9.42)
Эта формула, однако, не используется, ибо при низких температурах, когда можно наблюдать на опыте явление насыщения, не выполняется предположение hv (J, J')《кТ. При больших J (9.41) переходит в классическую функцию Ланжевена (9.2). Величина насыщения, согласно (9.41), при Н f 8 равна [см. (9.8)]
,8 = NJg^B = AV"? (J + I)-172 Рфф“в・ (9.43)
Эта величина меньше, чем дает классическая формула, из-за множителя [J/(J + 1)卩/2, что является следствием соотношения неопределенности для компонент момента количества движения электрона [Ван-Флек (1932)] ).
Наилучшее совпадение теории с опытом было получено при низких температурах Вольтьером [24], Вольтьером и Камерлинг-Оннесом [25] для твердой соли Gd2(SO4)3'8H2O. В этом случае для иона Gd3+ имеем L = 0, J = S = 7/2 и формула (9.42) принимает вид
/(瓦 7) = %8"2(书Д). (9.44)
Аналогичные измерения на этой же соли провел Генри [26], который также исследовал гидратированные соли хрома KCr(SO4)2 12Н2О и железа FeNH4(SO4)2 '12Н2О. В этих солях орбитальные моменты ионов Сг3+ и Fe3+ заморожены, а спиновые моменты соответственно равны S = J = =3/2 и S = J = 5/2. На рис. 9.2 приведены теоретические кривые и экспериментальные точки для этих
трех солей по данным работы Генри [26]. Совпадение весьма хорошее. Подобные же результаты для сульфата диспрозия получил Беккерель и др. [27], см. также [28, 29].
Элементы ^-переходных Трупп и их ионы *). Как уже отмечалось, кроме редкоземельных элементов есть еще четыре группы элементов с внутренним незаполненным d-слоем электронной оболочки атомов: 1) группа железа: от скандия Sc (Z — 21) до никеля Ni (Z = 28) с незаполненной Зй-оболочкой; 2) группа палладия： от иттрия Y (Z = 39) до родия Rh (Z = 45) с незаполненной ^оболочкой; 3) группа платины： от лютеция Lu (Z=71) до платины Pt (Z=78) с незаполненной Sd-оболочкой; 4) группа актинидов: от радия Ra (Z=88) до урана U (Z=92) с незаполненной 6й-оболочкой ). Однако, в отличие от редкоземельных элементов, незаполненный d-слой электронной оболочки в атомах элементов этих групп лежит ближе к периферии оболочки и поэтому не так хорошо заэкранирован от внешних влияний.
Рис. 9.2. Сравнение экспериментальных значений магнитного момента %фф (в магнетонах Бора) в зависимости от отношения Н/Т с теорией. Сплошные кривые — теоретические, вычисленные при помощи функции Бриллюэна (9.42). I — хромо-калиевые квасцы; II — железо-аммониевые квасцы; III 一 сульфат гадолиния. Различные обозначения экспериментальных точек соответствуют разным температурам опыта (по данным работы [26]).Рис. 9.2. Сравнение экспериментальных значений магнитного момента %фф (в магнетонах Бора) в зависимости от отношения Н/Т с теорией. Сплошные кривые — теоретические, вычисленные при помощи функции Бриллюэна (9.42). I — хромо-калиевые квасцы; II — железо-аммониевые квасцы; III 一 сульфат гадолиния. Различные обозначения экспериментальных точек соответствуют разным температурам опыта (по данным работы [26]).Значение эффективных магнитных моментов этих ионов также меньше, чем у ионов редких земель, хотя бы потому, что в данном случае ответственным за парамагнетизм является d-слой, имеющий 10 электронных «мест», в то время как в электронной оболочке редкоземельных атомов магнитный момент создается 4/-слоем, имеющим 14 «мест».
Рис. 9.2. Сравнение экспериментальных значений магнитного момента %фф (в магнетонах Бора) в зависимости от отношения Н/Т с теорией. Сплошные кривые — теоретические, вычисленные при помощи функции Бриллюэна (9.42). I — хромо-калиевые квасцы; II — железо-аммониевые квасцы; III 一 сульфат гадолиния. Различные обозначения экспериментальных точек соответствуют разным температурам опыта (по данным работы [26]).
Рис. 9.2. Сравнение экспериментальных значений магнитного момента %фф (в магнетонах Бора) в зависимости от отношения Н/Т с теорией. Сплошные кривые — теоретические, вычисленные при помощи функции Бриллюэна (9.42). I — хромо-калиевые квасцы; II — железо-аммониевые квасцы; III 一 сульфат гадолиния. Различные обозначения экспериментальных точек соответствуют разным температурам опыта (по данным работы [26]).
Хпм = зкт 4s (S +1)Хпм = зкт 4s (S +1)(9.45)(9.45)Таким образом, в случае ионов группы железа приходится больше считаться с влиянием «окружения» на магнитное поведение ионов. При этом оказывается, что спиновая и орбитальная части магнитного момента ведут себя различным образом. Наилучшее совпадение между теорией и опытом получается, если допустить, что орбитальный магнетизм совершенно отсутствует и весь магнетизм обусловлен одними электронными спинами. Это явление называют «замораживанием» электронных орбит под влиянием электрического поля внутри кристалла (см. ниже гл. 10). В этом случае согласно (9.29) восприимчивость
Хпм = зкт 4s (S +1)
Хпм = зкт 4s (S +1)
(9.45)
(9.45)
и эффективный магнитный момент на атом
Рэфф = 2 [S (S + 1)] ”《
Таким образом, если известна мультиплетность (25 +1) или число непарных электронов п, то р^фф можно вычислить по формуле
Рз(1)ф =【汽(汽 + 2)]/?・(9.46〉
Данные для ионов группы железа приведены в табл. 9.1.
Таблица 9.1!
Эффективные магнитные моменты Рзфф (число магнетонов Бора)для ионов Зс?-элементов.
Ион
Число Зс?-алектро- нов
Основной терм
теория
эксперимент
Sc3+, Ti4+, V5+
0
1%
0
0
Ti3+, V4+
1
24/2
1,73
1,77—1,79
Ti2+, V3+
2
3Q
2,83
2,76—2,85
V2+, С】з+, Mn4+
3
*/2
3,87
3,82—3,86
3,68—3,86 [4,00
Сг2+, Мпз+
4
5A
4,90
4,80
1 5,0
Mn2+, Fe3+
5
6s5/2
5,92
5,2—5,96 5,4—6,0
Fe2+, Соз+
.6
4,90
5,0—5,5
Со2+
7
*/2
3,87
4,4-5,2
№2+
8
3熊
2,83
2,9—3,4
Си2+
9
2%/2
1,73
1,8—2,2
Cu+, Zn2+
10
2so
0
0
Теоретические значения вычислены по формуле р^力@=[?г (鹿 十 2)廿/2 в предположении, что орбитальные моменты «заморожены».
Согласие между теорией и опытом здесь несколько хуже, чем в случае редких земель ). Для большинства этих ионов, благодаря явленита электронного обмена '(см. ниже гл. 10) и особенно действию кристаллического поля со стороны соседних атомов, закон Кюри (9.3) практически никогда не выполняется, и в данном случае имеет место закон Кюри — Вейсса (6.6) (см. Кидо и Ватанабе [32])
Хпм 亍+A • (9.47)
Здесь следует отметить, что закон Кюри — Вейсса (9.47), в отличие от закона Кюри, имеющего, как известно, универсальное значение для определенных интервалов полей и температур, не является столь общим. Можно лишь сказать, что в определенной области температур (не очень
низких) формула (9.47) достаточно хорошо аппроксимирует опытную зависимость восприимчивости от температуры. При более низких темпе-
ратурах (ниже 〜 70° К) начинают возникать низкотемпературные магнитные аномалии (криомагнитные аномалии), и восприимчивость при понижении температуры обычно начинает возрастать медленнее, чем это следует из формулы (9.47).
Одной из причин криомагнитных аномалий и появления постоянной А в формуле (9.47) может служить влияние неоднородных электрических полей соседних ионов или ориентированных диполей молекул растворителя на орбитальный момент электронов. Эти поля вызывает расщепление мультиплетных уровней при высоких температурах, что приводит к появлению поправки А, а при низких температурах —к заметным отклонениям от формулы (9.47). На рис. 9.3 в качестве примера приведены опытные данные (см. точки на рисунке) измерений тем-
Рис, 9.3. Температурная зависимость обратной величины парамагнитной восприп-
мчивости %-1 (Т) трехвалентных ионов празеодима Рг3+ неодима Nd3+; сплошные кривые — теория [33], точки — экспериментальные данные [см. Ван-Флек (1940)].
пературной зависимости % трехвалентных ионов Рг3+
и
данные хорошо согласуются том (сплошные кривые на
(7) для
Nd3+; эти с расче-
亠рисунке)
Пенни и Шлаппа [33], в котором учтено расщепление энергетических
уровней ионов в электрическо м
Таблица
9.2
поле кристалла (см. также гл. 10).
Исходя из общих представлений, парамагнитную восприимчивость мож-
но записать в виде ряда по степеням температуры:
убывающим
Соединение
А, °К
G&O3
GdCl3
Gd2(SO4)3.8H2O
Nd2O3
Nd2F3
Nd(NO3)3
Nd(C104)
Nd2(SOH4)3-8H2O
Nd3+ (в растворе)
Значения А получены из восприимчивости по фopмyJ Каждая следующая строка ствует большей степени м разбавления.
18±2
14
2(—0)
измерений ie (9.47).
соответ- агнитного
Значения постоянной А для некоторых соединений гадолиния и неодима
%=旱十* +特+… (9.48)
Эта формула совпадает с (9.47), если °2《°丄 и C3 ^ 0, так как тогда
%(1 + f ； ) —°* (9.49)
и, следовательно, А //&• Можно также в самом общем случае утверждать, что появление величины А во многих случаях, характеризуя собой отклонения от закона Кюри, в основном вызвано действием кристаллического поля. В случае Gd, который не имеет мультиплетной структуры, причиной появления А в (9.47) являются, по-ви- димому, электростатические обменные
силы между электронами соседних ионов. Косвенным указанием на это является то, что величина А в случае гадолиния при раздвижении ионов гадолиния Gd3+ путем магнитного разбавления инертными образованиями сильно уменьшается, а в случае
неодима изменения А с ростом расстояния между ионами Gd3+ значительно слабее (см. табл. 9.2). Квантовомеханический вывод формулы (9.47) дал Голдстейн [34].
В последнее время начались исследования парамагнетизма ионов актинидов и трансурановых элементов, образующих второй ряд «редких земель» с незаполненной 5/-оболочкой. В табл. 9.3 приведены значения
Табл и'ц а 9.3
Эффективный магнитный момент Рзфф (число магнетонов Бора) для ионов трансурановых элементов [по Морришу (1965)].
Соединения
Число магнитных электронов (5/, 6d>
Теория
Эксперимент
d- и /- электроны
d- электроны
/- электроны
Na(NpO2)(C2H3O2)3
1
2,54
1,73
1,73
1,84
Na(PuO2)(C2H3O2)3
2
3,58
2,83
2,83
2,83
S+
3
3,62
Зт87
3,87
3,14
PuF4
4
2,68
4,90
4,90
2,98
PuF3t РиС1з
5
0,84
5,92
5,92
12 1,0
AmF3
6
0,00
4,90
6,92
1,3
CmF3
7
7,94
3,83
7,92
7,9
Теоретические значения для иона в целом
вычислены по формуле %巾巾=
=g [J (J + I)]"?, а для %фф=2[$(S+，)"2・
d~ и /- электронов
по отдельности — по
формуле
эффективного магнитного момента рэфф из работ Даусона [35], Грэна и Хатчинсона [36]. Из этих данных видно, что для ионов с четырьмя и более магнитными электронами лучшее совпадение с опытом дает расчет Рзфф по формуле (9.8), а для ионов с одним и двумя магнитными электронами ——по формуле (9.46). Некоторые теоретические соображения о магнитных свойствах ионов трансурановых элементов приводятся в работе- Эйзенштейна и Прайса [37]. Однако пока еще нельзя делать окончательных заключений, поскольку нет точных сведений об электронной конфигурации оболочки этих ионов.
По другим группам переходных металлов (4@ и 5d) пока имеются слишком скудные экспериментальные данные, чтобы можно было говорить подробно о сравнении теории с опытом (см. работы [38—41]).
Парамагнетизм молекул
Здесь, так же как и в случае атомов, можно рассмотреть задачу для двух предельных случаев — малых и больших мультиплетных интервалов. В первом случае, когда hv (J, J')《 кТ, для состояний со связью как типа 〃), так и типа 6) (см. рис. 7.1), восприимчивость равна
% =贯[45(5+ i) + ^] + Na.(9.50}
Действительно? в этом случае квадрат низкочастотной части магнитного момента молекулы равен квадрату оператора (2« + А) р-в. Далее, статистическое среднее для произведения SA равно нулю, ибо для узких мультиплетов мы можем пренебречь больцмановским температурным мно~ жителем, и поэтому матричные элементы скалярного произведения с раз~ ными знаками имеют одинаковый вес и взаимно компенсируют друг друга. Для матричных элементов оператора № получаем S (S + 1), а А?= = А2, что и приводит к (9.50).
Если же hv (J, J')》kT, то осуществляется лишь связь типа 〃)力 так как связь типа б) уже предполагает, что hv (JJ‘) много меньше, чем расстояния между соседними вращательными уровнями, которые обычно- меньше, чем кТ. При этом восприимчивость имеет вид
(А+ 2X)2.(А+ 2X)2.(9.51)(9.51)
(А+ 2X)2.
(А+ 2X)2.
(9.51)
(9.51)
В случае молекулы кислорода О2 основным состоянием является 3工(Л = 0 и S = l), т. е., несмотря на четное число электронов, два из них остаются «неспаренными» ). Такими же особыми магнитными свойствами обладают лишь некоторые формы паров серы [см. [43, 44] и Ван-Флек (1932)] и небольшое число молекул органических соединений («бирадикалы»). То, что у молекулярного кислорода наблюдается такая аномалия, доказывается не только измерениями магнитной восприимчивости, но и опытами с магнитным отклонением молекулярного пучка и детальным изучением структуры молекулярного спектра. В случае кислорода мультиплетные интервалы малы по сравнению с кТ, поэтому, согласно (9.50), при Л — 0 и ^ — 1 имеем
(9.52}(9.52}8N 匾0,993
(9.52}
(9.52}
Таким образом, например, при 20° С % = 339 ИО-5; эксперимент же дает 342* 10~5 (среднее по измерениям различных авторов). При низких давлениях зависимость (9.52) подтверждается в широком интервале температур (143—720° К). Однако при повышении давления возникают отклонения и вместо (9.52) имеет место закон Кюри — Вейсса (9.47) с постоянной А, зависящей от плотности. То же самое имеет место для жидкого и твердого состояний. При этом все явление усложняется тем, что в газе и в жидком растворе наряду с молекулами О2 присутствуют и молекулы 0至 [см. Селвуд (1958)].
У молекулы NO основным термом является терм 2П, т. е. дублет с уровнями 2П3/2 и 2П1/2. При этом оказывается, что разность энергий этих двух уровней — порядка кТ уже при комнатных температурах. ВанФлек (1932) для этого случая- вывел для восприимчивости более точную формулу. В этих состояниях А = 1иЕ = ±1, возможными изменениями квантового числа Л будем пренебрегать, поскольку такие изменения соответствуют в (9.18) членам, отвечающим очень высоким частотам. Введем квантовое число Q — 2 + Л (3/г, '/2). В (9.18) будут входить матричные элементы (Q/w | М^} | Q'j'm), / идентично с молекулярным вращательным квантовым числом J, a m —— с компонентой J вдоль поля. Таким образом, (9.18) примет вид
%=1^ 5 \^im\M^\Qfm'^^ (-響)+
Qjm；尸in'
丄 У |0切1而叫3，’加)|2 ( zn寸 3Z《3 Nj hv(Qf; Q) exp<— kT 卜
Здесь, как и в (9.18), частота v (Q'j'm'; Qjni) во второй сумме заменена на V (Q< Q). Первый и второй члены в (9.53) возникают соответственно от параллельной и перпендикулярной слагающих момента. Это следует из того, что изменения величины Q кинематически связаны с прецессией вокруг оси молекулы и поэтому зависят лишь от изменения
перпендикулярной слагающей. Далее аналогично (9.19) имеем
2 I (^МI м^ IQ;^^ I2 = (QI M<w IQ) = (Л + 2 2)2 цЬ = (1 ± 1 )2 ц! (9.54)
и соответственно
s I (Q 切 I 应？ Qffm^=^\ М^2\ Q)=
/(Q^Q)
=4 (S2 + S — 乎)遽 _ 2цЬ, (9.55)
где, в силу М^' является Далее имеемгде, в силу М^' является Далее имеемвышеприведенного замечания относительно изменения Л, перпендикулярной составляющей чисто спинового момента.
где, в силу М^' является Далее имеем
где, в силу М^' является Далее имеем
VC%； 1/2)= V(%； 3/2)= Av = ^
И
§3/2,子=窗/2,什а备
В силу того, что (9.54) и (9.55) не зависят от / и ттг, суммы по /, т в числителях слагаемых (9.53) сократятся с Z(" в знаменателях. Если ввести обозначение
“=等，(9-56)
то (9.53) можно записать в виде
X =+ “е)(“ + 小尸•
Вводя при помощи формулы
эффективный атомный магнитный момент, будем иметь hэфф = 2IЛб(1 - ёr + 爲7)"2 (% + /6一"厂"2,
(9.57)(9.58)(9.59)(9.57)(9.58)(9.59)где для указанного случая
(9.57)
(9.58)
(9.59)
(9.57)
(9.58)
(9.59)
А 囱173
Здесь Ag ——разность энергий между уровнями дублета 2П, равная 120 сж-1. На рис. 9.4 приведено сравнение данных опыта с теоретической
"эд](р
2
&5&5Опытные Gam 式 ° различных авторовОпытные Gam 式 ° различных авторовЮО 150 Ж 350 300 350ЮО 150 Ж 350 300 350Температура,为Температура,为力
&5
&5
Опытные Gam 式 ° различных авторов
Опытные Gam 式 ° различных авторов
ЮО 150 Ж 350 300 350
ЮО 150 Ж 350 300 350
Температура,为
Температура,为
Рис. 9.4. Кривая температурной зависимости намагничен-ности окиси азота NO.
формулой (9.59). Хорошее совпадение теории и опыта в, данном случае можно рассматривать как веское опытное подтверждение правильности квантовой теории молекулярного парамагнетизма. По вопросу о парамагнитной восприимчивости молекул см. также работы [45, 46].
Но парамагнетизму многоатомных молекул и комплексных соединений, а также свободных радикалов имеется огромный экспериментальный материал [см. Селвуд (1958)]. Конечно, во всех случаях нет возможности столь непосредственного сравнения теории с опытом, как для молекулы NO. Однако общие качественные положения квантовой теории парамагнетизма всегда находят свое подтверждение и являются очень плодотворными при изучении структуры молекул (см., например, [47—51]).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 9
1-9^ 5 6 7 0^1-9^ 5 6 7 0^13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.51.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.51.Р. Langevin, J. de phys. 4, 678 (4905); Ann. chim. et phys. 5, 70 (1905).
1-9^ 5 6 7 0^
1-9^ 5 6 7 0^
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
L. Brillouin, J. phys. et radium 8, 74 (1927).
J. H. V a n V 1 e c k, Proc. Nat. Acad. Am. 12, 662 (1926); Phys. Rev. 29, 727 (1927);
31 (1927); 31, 587 (1928).
R. Kubo, J. Phys. Soc. Japan 12, 570 (1957).
W. Gerlach, Atti del Congresso Internationale del Fisici Vol. 1, 1927, p. 119.
Lehrer, Ann. d. Phys. 81, 229 (1927).
M. B. N e v g i, J. Univ. Bombay 7, Pt. 3, 19 (1938).
A. B. S с о 11, T. M. Cromwell, J. Am. Chem. Soc. 70, 398 (1948).
Я, Г. Д о p ф м a h, Zs. Phys* 23, 286 (1924).
Hund, Zs. Phys. 33, 855 (1925).
J. G о г t e r, Arch. Mas. Tryler 7, 183 (1932).
M. B. Cabrera, Compt. rend. 205, 400 (1937).
W. Klemm, H. Bommer, Zs. anorg. allgem. Chem. 231, 138 (1937).
F г a n k, Phys. Rev. 39, 119 (1932).
R. J u d d, Proc. Phys. Soc. 69, 157 (1956).
N. U г у u, J. Phys. Soc. Japan 15, 2041 (I960).
R. О r b a c h, P. Pincus, Phys. Rev. 143, 168 (1966).
H. С о о к e, D. T. E d m о n d s, F. R. M с К i m, W. P. W о 1 f, Proc. Roy. Soc. A252, 246 (1959).
J. С о h e n, J. D u с 1 о z, J. phys. et radium 20, 402 (1959).
R. P. H u d s о n, W. R. H о s 1 e r, Phys. Rev. 122, 1417 (1961).
К. H. H e 1 1 w e g e, W. S c h e m b s, B. S c h n e i d e r, Zs. Phys. 167, 977 (1962).
К. H. H e llwege, S. H. Kusan, H, L ange, W. Rummel, W. S c h e m b s, B. Schneider, Zs. Phys. 167, 487 (1962).
P. И. Янус, В. И. Дрожжина, Phys. Zs. UdSSR 9, 72 (1935).
H. R. W о 1 t j e r, Proc. Ac. Sci. Amsterdam 26, 613 (1923).
H. R. W о 1 tj e г, H. Kamerlingh-Onnes, Proc. Ac. Sci. Amsterdam 26, 626 (1923).
W. E. Henry, Phys. Rev. 88, 559 (1952).
J. В e c q u e г e 1, W. J. de H a a s, J. van den Handel, Physica 3, 1133 (1936).
P. B. Kissinger, R. T. Weidner, Phys. Rev. 12 6, 506 (1962).
R. Stevenson, Can ad. J. Phys. 40, 1613 (1962).
M・ К о t a n i, Prog. Theor. Phys. Suppl. 14, 1 (i960).
J. H. V a n V 1 e c k, Discuss. Farad. Soc. 26, 96 (1958).
K. Kido, T. Watanabe, J. Phys. Soc. Japan. 16, 1217 (1959).
W. G. Penney, R. Schlapp, Phys. Rev. 41, 194 (1932); 42, 666 (1932); 43, 485 (1933).
L. Goldstein, Ann. of Phys. 15, 141 (1961).
J. K. D a w s о n, Nucleonics 10, 39 (1952).
D. M. Gruen, C. Hutchinson, J. Chem. Phys. 22, 386 (1954).
J. C. Eisenstein, M. H. L. Pryce, Proc. Roy. Soc. A229, 20 (1955).
M. B. Cabrera, A. Duperier, Proc. Phys. Soc. 51, 845 (1939).
D. M. В о s e, Zs. Phys. 48, 716 (1928).
N. F i g g i s, J. L e w i s, R. S. N у h о 1 m, R. D* P e а с о c k. Discuss. Farad. Soc. 26, 103 (1958).
S e 1 i g, F. A. C a f a s s o, D. M. G г u e n, J. G. M a 1 m, J. Chem. Phys. 36, 3440 (1962).
A. Meckler, J. Chem. Phys. 21, 1750 (1953).
L. N ё e 1, Compt. rend. 194, 2035 (1932).
J. A. P о u 1 i s, С. H. M a s s e n, P. van der L e e d e n, Trans. Farad. Soc. 58, 52 (1962).
H. M e у e r, J. Phys. Chem. Solids 20, 238 (1961).
J. H. V a n V 1 e c k, J. Phys. Chem. Solids 20, 241 (1961). ~ Chem. Phys. 36, 490 (1962).
W. D u f f y, Jr., R. L. G а г 1 i n, JR. M. M a c F a г Z. G. S о о s, R.(W. D u f f y, Jr., R. L. G а г 1 i n, JR. M. M a c F a г Z. G. S о о s, R.(Canziani, J. Chem. Phys. 40, 371 (1964).
W. D u f f y, Jr., R. L. G а г 1 i n, J
R. M. M a c F a г Z. G. S о о s, R.(
W. D u f f y, Jr., R. L. G а г 1 i n, J
R. M. M a c F a г Z. G. S о о s, R.(
a n e, J. Chem. Phys. 40, 373 (1964).
Hughes, J. Chem. Phys. 46, 253 (1967).
W. Duffy, Jr., D. L. Strandburg, L Chem. Phys. 46, 456 (1967).
Глава 10
ПАРАМАГНЕТИЗМ КРИСТАЛЛОВ — ТВЕРДЫХ СОЛЕЙИ ДРУГИХ НЕМЕТАЛЛИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ
Типы неметаллических парамагнитных кристаллов
Перейдем теперь к обзору теории и основных опытных фактов, касающихся парамагнетизма твердых тел и прежде всего солей элементов переходных групп. По классификации, предложенной Ван-Флеком (1932)广 следует различать три основных типа кристаллических парамагнетиков неметаллов (о металлах см. гл. 11).
Кристаллы со слабой межионной связью (соединения редкоземельных металлов). К этому типу относятся вещества, в которых межатомная связь столь слаба, что парамагнитная восприимчивость может быть вычислена в предположении, что магнитные характеристики составляющих их атомов, точнее ионов, в кристаллической решетке таковы же, что- и в идеальном газе. Критерием слабости межатомных сил может служить, малость работы, совершаемой против этих сил при изменении ориентации магнитных моментов ионов, по сравнению с энергией кТ. Этот случай реализуется для солей редкоземельных элементов, рассмотренных в гл. 9’ как пример парамагнитных 《газов». Необыкновенная свобода «орбит» 4/-слоя у ионов редкоземельных элементов проявляется не только в специфике магнитных свойств, но также и в исключительной резкости спектральных линий, связанных с / — /-переходами (внутри ^-конфигурации), для солей этих элементов. В рамках квантовых представлений зто означает, что волновые функции электронов 4/-слоя ионов в кристаллах редкоземельных элементов очень слабо перекрываются с функциями- ближайших соседних узлов (см. [1, 2]).
Кристаллы с «замороженными» орбитальными моментами (соли 3<1-металлов). К этому типу веществ относятся кристаллы или растворы, в которых межатомные силы «замораживают» орбитальные моменты, но* при этом спиновые моменты остаются практически свободными. Этот случай о существляется в большинстве солей металлов переходной группы железа (см. гл. 9, а также ниже).
Кристаллы с « замороженными» спиновыми и орбитальными моментами (соли 4〃- и 5^-металлов). К этому типу относятся кристаллы, в которых имеет место столь сильная внутренняя магнитная связь, т. е. столь широкие мультиплеты, что, независимо от электростатического- обменного эффекта, межатомные силы с необходимостью «замораживают» как спиновый момент количества движеният так и орбитальный. Этот- случай, по-видимому, осуществляется в солях переходных металлов, группы платины и группы палладия.
Влияние на магнитные ионы внутрикристаллическогоокружения (поле лигандов)
Механизм «замораживания» орбитальных моментов обусловлен влиянием электрического поля кристалла на движение электронов внутренних недостроенных слое段 парамагнитных ионов. Орбитальный момент как бы ориентируется в сильном внутреннем поле, и его направление не может быть изменено под более слабым действием внешнего магнитного поля. Влияние этого внутрикристаллического эффекта Штарка
впервые детально исследовал Бете [3, 4], затем Крамере [5], Пенни и Шлапп [6] и Ван- Флек (1932). С подробностями теории внутрикристаллического поля можно познакомиться, например, по книге Бальхаузена (1964) [см. также Лоу (1962) и [7, 8]]. Следует заметить, что применение представлений теории внутрикристаллического поля для трактовки химического строения комплексных соединений породило новый термин： лигандное поле. В узком смысле это теория чисто ионной связи между «центральным» ионом и окружающими его лигандными ионами (или лигандами), электростатическое поле точечных зарядов которых обладает определенной симметрией. В таком понимании теория поля лигандов представляет собой весьма грубую модель кристалла (см. [8]). Однако очень часто термин лигандное поле употребляют как синоним внутрикристаллического поля в общем смысле, когда это поле не связывают с каким-либо частным типом химической связи в кристалле, а используют лишь его общие свойства симметрии. Именно в этом последнем смысле и используется ниже эта терминология.
Электрическое поле кристалла снимает вырождение для различных магнитных состояний ионов с одинаковым результирующим моментом количества движения* (пространственное квантование). В зависимости от свойств симметрии этого поля снятие вырождения может быть полным, частичным или вообще отсутствовать.
Магнитно активные ионы с недостроенными d- или /-слоями электронной оболочки, находясь в кристалле неметаллического тела, испытывают в общем случае ряд. воздействий со стороны своего окружения. А именно на магнитно активные ионы действует:
внутрикристаллическое^ или лигандное^ электрическое поле, приближенно описываемое потенциалом Р^р (竽)；это, в сущности, электростатическое взаимодействие между магнитным ионом и его диамагнитным окружением;
между магнитно активными ионами возникает обменное электростатическое взаимодействие;
между этими же ионами существуют магнитные взаимодействия;
наконец, имеются взаимодействия, связанные с деформацией решетки вокруг катионов (эффект Яна — Теллера [9], подробнее о нем см. ниже).
Следует также иметь в виду, что в реальных парамагнитных кристаллах фактор спектроскопического расщепления gj, определяющий мультиплетную структуру спектра изолированного иона, изменяется из-за взаимодействия с окружением (под влиянием лигандного поля) и обычно становится анизотропным. В качестве простого прц- мера рассмотрим магнитные свойства иона меди Си2+. В основном состоянии свойд- ного иона Си2 t имеем £ = 2 и S = 1/2. Кратность вырождения этого состояния равна (2£ + 1) (25 + 1) = 10. Внутрикристаллическое поле частично или полностью снимает орбитальное вырождение. Расстояния между расщепившимися уровнями могут быть столь большими, что только наинизший уровень будет занят при нормальных температурах. Если спин-орбит ально е взаимодействие мало, то орбитальный момент при этом оказывается замороженным.' В случае нечетного числа электронов в ионе остается двукратное крамерсовское вырождение [5] (см. ниже § 9), которое может быть снято только внешним магнитным полем. При более сильном спин-орбитальном взаимодействии происходит частичное размораживание орбит, и поэтому gj фактор становится отличным от gj = 2 (точнее, от 2,0023). Во многих солях ионы меди окружены шестью ближайшими соседями (лигандами), расположенными в виде удлиненного октаэдра ——два ближайших соседних иона раздвинуты на большее расстояние вдоль оси симметрии. Поэтому g j-фактор оказывается анизотропным; для поля, параллельного оси симметрии, gj“ 2,4» а для поля, перпендикулярного к этой оси, gj丄 ^ ^ 2,05. Эта анизотропия возникает из-за анизотропного распределения плотвости электрического заряда магнитных электронов, что в свою очередь обусловлено дейт ствием лигандного поля, снимающего вырождение. Эту анизотропию можно рассчитать количественно квантовомеханически. Например, в случае ионов Со2+ и Fe2+ анизотропия достигает порядка 30% (см. [10—12]), тогда как в случае иона Ni2+, основное состояние которого — синглет, анизотропия исчезающе мала — менее 1% (см. [13— 16], а также [17—21])*
§ 3. Г амильтони ан магнитного иона в кристалле
Гамильтониан свободного иона в кристалле можно приближенно представить в виде суммы нескольких слагаемых.
Гамильтониан свободного иона, в оболочке которого находится N электронов, мояшо записать в виде
磁своб. нон= 2 奈—2 今十 2 鳥=險＞+ 風П；(10.1)
здесь 卩卜—— оператор импульса /с-го электрона, rk— радиус-вектор электрона относительно ядра с зарядом Ze・ Первые две суммы в (40.4), обозначенные через ©??0, суть соответственно операторы кинетической энергии электронов иона и потенциальной
энергии притяжения между ядром и электронами, и третья, 威зЛ,— оператор потенциальной энергии кулоновского отталкивания электронов. Как уже отмечалось в гл. 2, электростатическое отталкивание при одной и той же электронной конфигурации иона вносит различные вклады в энергию электронной оболочки при разных ее состояниях (т. е. при разных Е и S или J). Если в качестве единицы энергии выбрать обратный сантиметр (1 с^т ^ 1,4° К ^ 1,932-Ю-16 эрг), то вклад в энергию, определяемый оператором 勘зЛ из (1°・1), будет порядка 105^-1 (^10-и эрг).
Гамильтониан магнитных в з аимоде ист вий. Он состоит из операторов спин- орбитального ^?工$, орбит-орбитального 勘工工 и спин-спинового 協ss взаимодействий:
^^маг — ^LS + ^LL ~Ь ^SS — 2(aJk^jsk Н~ bj^ijifi -J- cjksjsk) •(10.2)
В случае d-ионов ) вклад этой части взаимодействия будет порядка 102 сл^ (;^10-М зра), а для /-ионов *) а 103 с^-1 (^Ю-13 зра)・
Гамильтониан лигандного поля. Оператор энергии взаимодействия электрона с лигандным полем можно записать в виде
認кр= — 2 '°кр (沙，(40.3)
где Prp (竽j)——электростатический потенциал лигандного поля. Если считать, что волновые функции соседних ионов не перекрываются с d- или /-функциями данного магнитно активного иона, то потенциал FKP удовлетворяет уравнению Лапласа и его можно разложить в ряд по шаровым функциям. В случае d-ионов вклад ^кр в энергию оказывается порядка 104 см~г (10-12 эрг), а для /-ионов — порядка 102 см~г (10~14 эрг).
Гамильтониан внешнего поля, обменных сил и эффект Яна ——Теллера. В га_ мильтониан 誣 магнитного иона входят также два члена, учитывающие эффект внешнего магнитного поля Н:
鹼Н=$也偏+2說Z)+瀛2[不啕2.(10.4)
kk
При полях Я а 104 з вклад (10.4) в энергию составляет величину порядка 1 см~г (10-16 ара). Кроме того, в гамильтониан всего кристалла в целом необходимо еще включить слагаемые обменного электростатического взаимодействия
協о6= £ ^KJ^i ^J>(Ю.5)
где Ajj— интеграл обмена i-ro и /-го ионов, а «；, Sj— операторы векторов суммарных спинов этих ионов. Необходимо также учитывать в гамильтониане слагаемое, связанное с эффектом Яна — Теллера ^OT (§ 10). Наконец, если ядро иона обладает спином и квадрупольным электрическим моментом, то в гамильтониан следует включить члены, зависящие от взаимодействия магнитного и квадрупольного электрического момента ядра соответственно с магнитным и электрическим полями, создаваемыми спинами, орбитами и зарядами электронной оболочки иона. Вклад этих взаимодействий в энергию системы очень мал [порядка 10-2 см~г (IO"? Эр3)]. Этот эффект взаимодействия сверхтонкой структуры (СТС) следует учитывать лишь в тех случаях, когда мы интересуемся ядерным магнетизмом парамагнетика или самим явлением СТС (см. гл. 26)・
Частные случаи, различающиеся величиной лигандного поля
Обычно в качестве гамильтониана нулевого приближения берут оператор 認°. Если не рассматривать внешнее магнитное поле, обменное взаимодействие, эффекты Яна — Теллера и взаимодействие типа СТС, то основной частью возмущения будут взаимодействие электростатического отталкивания электронов ^?зЛ, лигандное поле 磁кр и спин-орбитальное взаимодействие 函工足.Характер влияния возмущения, описываемого гамильтонианом
^взм-矗^ +認Нp +認工S，
на состояния магнитных ионов в кристалле будет определяться взаимным соотношением величин энергетических расщеплений АЭл» Акр и A^s, соответствующих трем слагаемым в операторе энергии возмущения ^?ВЗм. Обычно здесь различают три основных случая:
Сильные лигандные поля. Это значит, что V^p》Дэл》厶工$, причем Аз” ^ в 104 сж-1 и A，s Q Ю2 см". Этот случай реализуется для парамагнитных d-ионов, когда они сильно ковалентно связаны с окружающими лигандными ионами кислорода и т. п. Это главным образом имеет место для 4d- и 5d-ионов, но также наблюдается и для Зй-ионов. В данном случае (Дкр > Дэл) наблюдается нарушение правила Хунда (см. гл. 2)・ Это нарушение возможно лишь для ионов определенных конфигураций. Например, в случае d-ионов для конфигураций dj d§, d^, d?. По терминологии Гуди- нафа (1963), катионы d-металлов при этом находятся в низком спин-состоянии (low- spin state).
Средние лигандные поля. В этом случае Дэл》А^р 拄 Als・ Из теории тонкой структуры атомов известно [Герцберг (1948), Зоммерфельд (1956)], что значения Als заключены в пределах от 10-1 сл-1 до 104 сл-1. В этом случае, когда штарковское расщепление в лигандном поле меньше, чем расстояние между различными мультиплетами, но больше, чем расстояния между отдельными уровнями внутри мультиплетов, который чаще всего реализуется для 32-ионов (например, в солях элементов группы железа), взаимодействие РзЛ является основным возмущением.
Слабые лигандные поля. В этом случае 厶工$ 扌 ДкР; он реализуется для 4/-, 57-ионов и ионов элементов группы актинидов (например, в гидратированных солях редкоземельных элементов). Внутрикристаллическое поле лишь слабо «возмущает» мультиплетную структуру и не может разрушить спин-орбитальную связь в /-слоях электронной оболочки иона.
Теоретико-групповая трактовка внутрикристаллическихрасщеплений уровней магнитных ионов
Общие основы метода. Для последовательного определения указанных выше расщеплений Дкр,厶工$, Дэл необходимо решить задачу по крайней мере по теории возмущений с нулевым гамильтонианом 旅。из (10.1). Однако качественный характер, например, лигандного расщепления А^р можно определить, используя общие соображения теории симметрии, с помощью математического аппарата теории групп. Впервые теоретико-групповой подход к исследованию подобного рода задач был реализован в работах Бете [3, 4].
Мы не станем подробно останавливаться на изложении групповой трактовки проблемы внутрикристаллических полей, а дадим лишь некую схему решения этой задачи )・
Применение теории групп к задачам квантовой механики основывается на том факте, что уравнение Шредингера 魂屮=卷屮 любой физической системы (например, иона в кристалле) инвариантно относительно всех преобразований симметрии этой системы. Совокупность всех преобразований симметрии данной физической системы называется ее группой симметрии.
В качестве простейшего примера можно привести, например, квадрат ABCD с центром в О, изображенный на рис. 10.1. Симметрия этого тела определяется следующими восемью преобразованиями симметрии (группой симметрии), которые оставляют квадрат в положении, не отличающемся от начального:
Е — тождественное преобразование,
С^2 — вращение против часовой стрелки на угол +90° вокруг оси z, перпендикулярной к центру О,
。22 ——вращение на угол 180° вокруг той же оси z,
С^ — вращение по часовой стрелке на угол — 90° вокруг той же оси г,
Ок — зеркальное отражение по линии, проходящей через центр О перпендикулярно к оси х,
Оу ——зеркальное отражение по линии, проходящей через центр О перпендикулярно к оси у,
о〕一 отражение в диагонали А С квадрата, а2— отражение в диагонали BD (линии отражения и ось вращения z показаны на рис. 10.1). Одним из основных условий для элементов группы является то, что произведение (т. е. последовательное применение) любых двух элементов группы есть также ее элемент. Это легко проиллюстрировать на рассмотренном примере группы квадрата таблицей умножения (см. табл. 10.1). Например, мы хотим определить произведение 0芯。石・ Для этого берем строчку ах и столбец С^ и на их пересечении находим о” т. е. oxCiz = о「Легко видеть, что операторы могут не коммутировать; действительно, из табл. 10.1 следует: ^Tz^X =仃2 关 OxC』z = O「
Применяя любую операцию симметрии Т к уравнению Шредингера с определенным значением энергии 卷 и пользуясь тем, что гамильтониан системы инвариантен к преобразованиям симметрии, т. е. коммутирует с ними;力認 = ^Т, находим
Отсюда следует, что если функция 屮 является собственной функцией оператора 認, соответствующего собственному значению 卷，и 巌 остается инвариантным под действием операции симметрии 0, то функция 薫 также будет собственной функцией оператора 蝕，соответствующей тому же самому собственному значению 言(теорема Вигнера) [см. Вигнер (1961).].
Представление группы матрицами. Подействовав на функцию 屮 всеми g операциями группы симметрии (g ——порядок группы симметрии, т. е. число ее элементов, например восемь в примере рис. 10.1), мы получим, вообще говоря, g различных функции 以・ Однако, очевидно, может оказаться, что некоторые из этих функций линейно
勿勿Рис.г10.1. Операции симметрии квадрата, а) Плоскость (х, у) — линии отражения ох, Оу, Qi и ст2; б)^пространство х, у, z — оси вращения С% CJz' и C2Z.Рис.г10.1. Операции симметрии квадрата, а) Плоскость (х, у) — линии отражения ох, Оу, Qi и ст2; б)^пространство х, у, z — оси вращения С% CJz' и C2Z.зависимы. Пусть число линейно независимых функций 2女 будет равно / (f《g)・ Тогда легко понять, что под действием любого оператора симметрии Т система волновых функций ｛屮女｝ будет переходить в некоторую другую систему ｛ф^｝, причем каждая из новых функций 屮皀 может быть представлена в виде линейной комбинации старых, т. е. справедливы равенства
勿
勿
Рис.г10.1. Операции симметрии квадрата, а) Плоскость (х, у) — линии отражения ох, Оу, Qi и ст2; б)^пространство х, у, z — оси вращения С% CJz
' и C2Z.
Рис.г10.1. Операции симметрии квадрата, а) Плоскость (х, у) — линии отражения ох, Оу, Qi и ст2; б)^пространство х, у, z — оси вращения С% CJz
' и C2Z.
или, в матричной форме,
(фь 中2, ♦ • •，ф/) ~
(А ^12 …“ 42%2…北/
Tfi 与2 • — Tff
(Ю.7)
Из записи (10.7) вытекает, что каждому оператору группы Tk можно сопоставить некую матрицу. Совокупность матриц Tk, соответствующих элементам группы симметрии, называется ее представлением. Набор функций ｛屮亢｝, с помощью которого получались матрицы Т&, называется базисом представления, а их
число, равное размерности матриц,— размерностью представления. Если считать базис ｛以｝ ортонормированным, то понятие матрицы преобразования груп
пы совпадает с понятием матрицы оператора в том виде, в каком им обычно пользуются в квантовой механике, а именно:
(10.8)(10.8)Можно наглядно проиллюстрировать появление матриц представления и на примере квадрата (рис. 10.1). Представим себе в этом квадрате некий вектор Р (рис. 10.2), выходящий из центра О, с координатами конца £ и у. При преобразовании симметрии Cjz (т. е. при вращении на угол 牛90° вокруг оси z) вектор Р перейдет в Р' и координаты его конца х и у' будут связаны с х и у так;
(10.8)
(10.8)
х' = 0•/— 1・у,
илиилиy = 1.七+0.5,
или
или
(步、у，)= (； —；)(”' У)“
Отсюда видно, что, как и в (10.7), матрица (〔 °) «представляет» оператор группы квадрата Т = С% На рис. 10.2 показаны все положения вектора Р после действия на него всех восьми операторов группы квадрата. Легко сообразить, какую матрицу
Таблица ЮЛ
Произведения операций симметрии группы квадрата
Е
C2Z
C4z
%
CT1
02
°2Z
C4z
E
S
•
旳
0%
°2Z
C&z
E
或z
5
o%
S
Е
e方z
°2Z
0
S
О%
5
02
5
S
E
°2Z
Bz
ctz
5
s
%
0
°2Z
E
04z
О1
Or
02
5
ctz
C 4z
E
Gz
0
5
O1
o%
C4z
ct
°2Z
E
Символ симметрии, стоящий в каждой клетке таблицы, соответствует произведению операций симметрии, а именно операции симметрии, символы которых стоят первыми в той строке и в том столбце, пересечение которых происходит в данной клетке таблицы (например, символ 。九 стоящий на пересечении второй строки и пятого столбца, означает 0] =。％・0%, и т. д.).
следуетследуетсопоставить каждому оператору:
следует
следует
О1О1££—1\с/ — 10) ； Gzf( °—1\с/ — 10) ； Gzf( °0—10—1
О
1
О
1
£
£
—1\с/ — 1
0) ； Gzf( °
—1\с/ — 1
0) ； Gzf( °
0
—1
0
—1
Рис. 10.2. Влияние операций симмет - рии группы квадрата на положение точки (вектора) Р (х, у).Рис. 10.2. Влияние операций симмет - рии группы квадрата на положение точки (вектора) Р (х, у).и 屮2 при всех преобразованияхи 屮2 при всех преобразованиях
Рис. 10.2. Влияние операций симмет - рии группы квадрата на положение точки (вектора) Р (х, у).
Рис. 10.2. Влияние операций симмет - рии группы квадрата на положение точки (вектора) Р (х, у).
и 屮2 при всех преобразованиях
и 屮2 при всех преобразованиях
Можно легко проверить, что матрицы удовлетворяют всем соотношениям, которые суще
ствуют между элементами группы.
Неприводимые представления группы и расщепление энергетических уровней. В проблеме расщепления уровней во внешних полях (которая нас и будет в основном интересовать) понятие представления является фундаментальным, а поэтому мы остановимся на нем несколько более подробно. Из рассмотренного нами способа получения представления группы симметрии по заданному базису следует, что число различных представлений данной группы симметрии может быть сколь угодно большим. Однако на самом деле определяющую роль в тео
рии играют лишь так называемые неприводимые представления.
Если мы имели какое-то исходное представление, то с помощью унитарных преобразований можно перейти к другим представлениям.
Представление группы симметрии называется приводимым^ если все его элементы с помощью унитарных преобразований одновременно могут быть приведены к одинаковому блочному виду. Например,
!Т^ Т 盥0 ... 0
嚼嗯0 ... 0
窃=00 Т^ ... Т^ (10.10)
0 0嘴…哨丿
для всех к. На языке функций это означает, что исходный базис может быть преобразован к такому виду, что первые две его функции 中^ симметрии будут преобразовываться только друг через друга. Тогда, очевидно, соответствующие матрицы второго порядка сами будут реализовать некоторое представление группы симметрии. В том случае, когда такого одновременного приведения
к блочному виду всех матриц представления выполнить нельзя, представление называется неприводимым. Например, для указанного нами двумерного представления возможность дальнейшего приведения означала бы просто одновременную диагонализацию всех матриц, т. е. возможность построения таких линейных комбинаций функций <Pi и ф2т которые под действием преобразований симметрии просто умножались бы на скаляр. Короче говоря, неприводимость означает, что базис представления не может быть разбит на некоторые независимые подбазисы.
Если теперь вновь вернуться к теореме Вигнера, то легко понять, что функции, являющиеся базисом данного неприводимого представления, с необходимостью принадлежат к одному и тому же значению энергии. Фактически же имеет место и болео сильное утверждение, согласно которому функции, являющиеся базисом различных неприводимых представлений, в общем случае относятся к различным уровням энергии. Таким образом, проводя классификацию неприводимых представлений группы симметрии данной физической системы, мы тем самым получаем определенную классификацию ее энергетических уровней.
В частности, проведенное нами рассмотрение уже позволяет сделать вывод, что вырождение энергетических уровней в значительной мере обусловлено симметрией задачи. Последний факт является определяющим в проблеме расщепления, и мы остановимся на нем более подробно.
Пример: атом во внешнем поле кубической симметрии. Не загромождая рассмотрение абстрактными построениями, подробно разберем один конкретный пример, а именно исследуем изменение атомных энергетических уровней при помещении атома в поле кубической симметрии.
Системой осей кубической группы симметрии (группа октаэдра) является система осей симметрии куба: три оси проходят через центры противоположных граней, четыре- оси (пространственные диагонали куба) проходят через противоположные вершины, и шесть осей ——через середины противоположных ребер. Углы, на которые необходимо произвести соответствующие повороты, чтобы совместить куб сам с собой, читатель без труда найдет сам. Мы обратим еще внимание на то, что если выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы ее оси были параллельны ребрам куба, то для переменных (х, у, z) преобразования симметрии [как это видно из примера для группы квадрата, см. (10.9)], сводятся к всевозможным перестановкам и переменам знаков. Так, например, при повороте вокруг оси z на 90° переменные (х, у, z) переходят в (у, —х, z), при повороте на 120° вокруг пространственной диагонали куба они перейдут в (у, % £) И Т. д.
Далее заметим, что из теории атома водорода хорошо известно, что угловая зависимость собственных функций электрона в центрально-симметричном поле выражается через сферические гармоники вида
У}(仇 中)=p} (cos 鹤 exp (гтф), (10.11}
где Р} — полиномы Лежандра. Для нашей цели, однако, удобнее воспользоваться вещественным представлением угловой части, так что, например, волновые функции s-, р- и d-состояний будут записываться следующим образом：
(10Л2>(10ЛЗ>(10.14>(10,15}(10Л2>(10ЛЗ>(10.14>(10,15}•屮($) = %,
(10Л2>
(10ЛЗ>
(10.14>
(10,15}
(10Л2>
(10ЛЗ>
(10.14>
(10,15}
屮1(Р)= К1・£, '
屮2(Р)= К1，У, > 屮3(P)= Ki，z,.
Ф1 (d) = R^>*xy, '屮2®) =五身)，"，>
也佃)=臂)(£2 一衿，I(d)^R^ (3z2-r2), J
причем функции Ro, 必 и R^ (t = 1, 2) зависят только от модуля | г |.
а. s-уровень. Теперь мы непосредственно перейдем к обсуждению задачи о расщеплении атомных уровней в поле кубической симметрии. Так как уровни 5-типа в атоме являются невырожденными, то ясно, что и в поле кубической симметрии вырождение измениться не может. Это легче всего понять, если учесть, что s-функции, остаются неизменными под действием всех операций симметрии кубической группы.
6・ р-уровень. Теперь возьмем функцию 屮1 (р) и произведем последовательно вращения вокруг упоминавшейся выше пространственной диагонали куба на 120° и 240°. Так как под действием этих преобразований с переходит соответственно в у и z, то пз функции 屮！(卩)в результате действия операторов симметрии возникают функции 屮2 (р) и 屮з (р). Очевидно, что действие остальных операций группы уже пе может привести к появлению новых линейно независимых функций, поскольку, как уже говорилось выше, все они сводятся к перестановкам п переменам знака величин х, у, z-
Таким образом, функции (10.13) под действием операторов кубической группы симметрии преобразуются друг через друга, а следовательно, являются базисом некоторого- представления этой группы.
Докажем теперь, что это представление будет неприводимым. Допустим противоположное. Тогда по крайней мере одно из полученных в результате приведения представлений должно быть одномерным, т. е. должна существовать такая ненулевая линейная комбинация функций (10.13), для которой действие каждого из операторов группы сводится к умножению на скаляр. Обозначим эту искомую комбинацию через 2 (р)：
2 (р)=叫i(Р)+ 叫2(Р)+ 叫3 (р)，
причем для определенности будем считать, что с ^ 0. Если теперь произвести поворот на 180° вокруг оси z, то согласно сказанному должно выполняться равенство
a色w1+Mh + 叫3)=(一a5一bw2 + 叫3),
где а——некоторая постоянная, или, что то же самое, a (ax -\-by-\-cz) = (— ах — by 十 cz).
Из последнего равенства непосредственно вытекает, что
a~ 1, a = 0, Ь = 0,
т. е. искомая комбинация имеет вид
^(P)= cR^3 (р).
Если теперь вспомнить, что при вращении вокруг пространственной диагонали куба： функция 1|)з (р) переходит в 屮4 (р), то, очевидно, что и константа с также должна равняться иулю. Иными словами, искомой ненулевой линейной комбинации не существует. Это в свою очередь означает, что построенное трехмерное представление кубической группы является неприводимым.
Таким образом, атомные функции р-типа (10.13) образуют базис некоторого' трехмерного неприводимого представления кубической группы симметрии, а следовательно, атомный уровень р-тина в поле кубической симметрии остается трехкратно вырожденным, т. е. не расщепляется.
仇 d-уровень. Перейдем теперь к исследованию d-состояний. Совершенно аналогично предыдущему можно показать, что под действием операторов кубической группы симметрии из функций 屮！ (d) возникают функции 屮2 (d) и 2з (d), что получающаяся система функций является базисом представления этой группы симметрии и что построенное трехмерное представление неприводимо. В то же время оставшиеся две функции i|)4(^)仄屮5 (d) уже не могут быть получены из первых трех с помощью операторов симметрии. Более того, оказывается, что эти две функции сами образуют базис- некоторого нового двумерного неприводимого представления кубической группы. Так как функции, преобразующиеся по различным неприводимым представлениям группы симметрии, относятся к различным уровням энергии, то из сказанного вытекает, что- в поле кубической симметрии атомные уровни d-типа должны расщепляться на два уровня, один из которых будет двукратно, а другой трехкратно вырожденным.
а. Влияние понижения симметрии поля на вырожденные уровни. Аналогичный анализ в принципе может быть проделан для любого атомного уровня. Не останавливаясь больше на этом вопросе, мы несколько продолжим наш пример и проанализируем, каким образом изменяется полученная система уровней с понижением симметрии от кубической до тетрагональной. Соответствующая группа симметрии совпадает теперь с группой симметрии прямоугольного параллелепипеда, получающегося из куба путем его сжатия (или растяжения) вдоль одной из осей координат, например вдоль, оси z. Поскольку в этом случае ось z уже не будет физически равноправной осям £ и у (разумеется, оси £ и у все еще равноправны между собой), то из преобразований симметрии куба следует исключить все те, которые переводят переменную z в переменные 汇 или у. Таким образом, если взять, например, функцию 2з (р), то действие на нее всех преобразований тетрагональной группы симметрии сводится к умножению ее на скаляр. Иными словами, эта функция теперь уже сама по себе служит базисом некоторого (одномерного) неприводимого представления тетрагональной группы симметрии. В тоже время, так как среди преобразований тетрагональной группы содержатся преобразования, переводящие переменные £ и у друг в друга, то функции 也(р) и 心(卩) образуют базис другого (двумерного) неприводимого представления. Следовательно, мы можем сделать заключение, что трехкратно вырожденный в кубическом кристалле p-уровень в поле тетрагональной симметрии расщепляется на два уровня, один из которых не вырожден, а другой вырожден двукратно.
Совершенно аналогично можно показать, что трехкратно вырожденный в кубическом кристалле уровень d-типа [базисные функции 2i (d),屮2 (d), 2з (d)] расщепится также на один невырожденный [базисная функция ^i (2)] и один двукратно вырожденный [базисные функции i|)2 (d) и2з (d)]. Двукратно выроясденный уровень d-типа [базисные функции 屮4 (才)，屮5 (才)| расщепится на два невырожденных.
5. Общее теоретико-групповое рассмотрение проблемы расщепления уровней. Рассмотренные примеры позволяют думать, что вопрос о расщеплении атомных уровней кристаллическим полем, а также вопрос расщепления уровней при понижении симметрии кристаллического поля исчерпывающим образом могут быть решены с помощью теории симметрии. Вместе с тем из тех же примеров становятся очевидными недостатки нашего рассмотрения, требующего постоянного обращения к конкретным функциям и наглядным соображениям симметрии.
Аппарат теории представлений групп позволяет максимально формализовать исследование задачи, сведя все рассмотрение к алгебраическим выкладкам. Мы не станем вдаваться в детали построения математического аппарата, а, ограничившись определением самых необходимых понятий, перейдем непосредственно к рассмотрению примеров.
Важнейшим понятием теории представлений является понятие характера. Характером X данного оператора t группы симметрии в некотором представлении i называется шпур матрицы, соответствующей этому оператору в рассматриваемом представлении. Эта величина обычно обо значается следующим образом: Х(办(Т). Из определения характера сразу же вытекает, что характер единичного оператора Х($> (Е) равен просто размерности представления ni [поскольку матрица оператора имеет только единицы по главной диагонали, а все остальные элементы ■— нули, см., например, (10.9)]. Далее, из инвариантности шпура матрицы при унитарных преобразованиях вытекает, что любые два оператора группы и Т2» связанные соотношением 九=亍-行2炉，(10.16)
где Т ——также один из операторов группы симметрии, а 『一】——обратный ему (力一1力 „ 户-if — Е), во всех представлениях будут иметь одинаковые характеры, т. е. Х《办(屮i)= Х《订(乎2)для всех 九 Это легко проиллюстрировать, например, с помощью матриц (10,9).
Элементы группы симметрии, связанные соотношением (10.16), называют сопряженными элементами группы и говорят, что они принадлежат к одному и тому же классу сопряженных элементов. Можно показать, что всякая группа симметрии может быть разбита на некоторые непересекающиеся *) классы сопряженных элементов. Различные классы в дальнейшем мы будем нумеровать индексом 九 а число элементов .в классе (порядок класса) обозначим через 无户
Проиллюстрируем это снова на примере группы квадрата. В табл. 10.2 для ^той группы приведены все возможные элементы Т^Т^Т, в крайнем левом столбце ——
все элементы Т (u Т-1), а в верхней строке — элементы Т2- Из табл. 10.2 видно, что группа симметрии квадрата распадается на г ять непересекающихся классов С『(/ = 1, 3, 4, 5):
01。2。3 Q 。5
E 。22 CJz，C『Z %，Gg °1, O"2‘(10.17)
：n 力士 =九2=1, a 九3 =九4 =九5 = 2.
Если теперь вновь вернуться к понятию характера, то легко сообразить в силу сказанного после формулы (10.16), что для всех операторов данного класса сопряженных элементов характер имеет одно и то же значение, т. е.
X⑴(九)-X⑴(户2)=…=x(‘)(Thy (10.18) где операторы 几，夕九.все принадлежат одному и тому же (j-му) классу ■сопряженных элементов. Это легко видеть и из сравнения (10.17) и (10.9) для группы квадрата. Таким образом, можно сказать, что характеры являются фактически функциями не операторов симметрии, а функциями классов сопряженных элементов. Вследствие этого обычно пользуются обозначением Х$), которое следует понимать как характер /-го класса в »-м неприводимом представлении.
Выше уже говорилось, что основную роль в теории играют неприводимые представления группы симметрии. Таблицы характеров неприводимых представлений групп симметрии, обычно используемых в теории кристаллов, читатель может найти в уже цитированной литературе. Мы приведем только две из этих таблиц, необходимые для наших примеров (см. табл. 10.3 и 10.4).
Таблица 10.3
Характеры неприводимых представлений кубическойгруппы О
Е8С36Qз中6С21111111—11—12—102030—1—11301—1Е8С36Qз中6С21111111—11—12—102030—1—11301—1
Е
8С3
6Q
з中
6С2
1
1
1
1
1
1
1
—1
1
—1
2
—1
0
2
0
3
0
—1
—1
1
3
0
1
—1
Е
8С3
6Q
з中
6С2
1
1
1
1
1
1
1
—1
1
—1
2
—1
0
2
0
3
0
—1
—1
1
3
0
1
—1
Цифры каждой клетки таблицы дают величину характера (сумму диагональных элементов матрицы представления) для класса сопряженных элементов, соответствующего тому столбцу, и для представления, соответствующего той строке, на пересечении которых находится данная клетка таблицы. Смысл обозначений классов пояснен в тексте.
Указанные таблицы нуждаются в некоторых пояснениях. В левом верхнем углу таблицы стоит обозначение ) группы симметрии. В первой (верхней) строке указаны преобразования этой группы, расположенные по классам / сопряженных элементов; число (коэффициент) перед элементом симметрии равно порядку 无二 соответствующего класса сопряженных элементов. В первом (крайнем левом) столбце стоят обозначения неприводимых представлений (Z) рассматриваемой группы симметрии, причем для каждого из представлений даны два обозначения： одно согласно работе Бете [3] и другое, обычно используемое в квантовой химии, по Малликену [24]. Этими же символами обычно обозначают и соответствующие энергетические уровни. Содержащиеся в остальных клетках таблицы числа являются соответствующими характерами Х?)・
Таблица 10.4
Характеры неприводимых представлений тетрагональнойгруппы А
Классы сопряжен- hых элементов
Представление
Е
2Q
2S
2%
по Малликену
по Бете
4
Гн
1
1
1
1
1
门2.
1
1
1
—1
—1
Г/з
1
—1
1
1
—1
石2
Гм .
1
—1
1
1
Г/5
2
0
一2
0
0
Цифры каждой клетки таблицы дают величину характера (сумму диагональных элементов матрицы представления) для класса сопряженных элементов, соответствующего тому столбцу, н для представления, соответствующего той строке, на пересеченшт которых находится данная клетка таблицы. Смысл обозначений классов пояснен в тексте.
Так, например, табл. 10.3 содержит следующую информацию. Символ О озна- чает, что рассматривается кубическая группа симметрии. Обозначения классов преобразований (первая строка) следует понимать так：
Е — единичное преобразование (тождественная операция симметрии) всегда само по себе образует класс, состоящий из одного элемента;
Сз—— вращение вокруг пространственных диагоналей куба на ±120°, класс состоит из восьми элементов:
С&——вращения вокруг координатных осей (ребер куба) на +90°, класс состоит из шести элементов;
С|——вращения на 180° вокруг этих же осей, класс состоит из трех элементов;
。2一 вращения на 180° вокруг пространственных диагоналей куба, класс состоит из шести элементов.
Таким образом, общее число элементов группы равно 24.
Первый столбец таблицы дополнительных пояснений не требует, так как в нем приведены лишь обозначения неприводимых представлений. Однако полезно обратить внимание на то, что группа О имеет только пять различных неприводимых представлений. Наконец, нахождение с помощью таблицы нужных значений характеров читатель сам поймет из следующих примеров: Х£2> 三 1, хр = — 1, 丫纣3. XgG = — 1 и т. д.
Для группы Z)4 (табл. 10.4) мы дадим только описание преобразований и необходимое нам в дальнейшем распределение их по классам сопряженных элементов кубической группы.
Е — единичное преобразование;
С\— вращения вокруг оси z на ±90°, преобразования входили в третий класс кубической группы；
С±— вращение на 180° вокруг этой же оси, преобразование входило в четвертый класс кубической группы;
。2— вращения вокруг осей х и ^ на 180°, преобразования входили в четверты^г класс кубической группы;
Z7$— вращения на 180° вокруг диагональных прямых плоскости су, преобразования входили в пятый класс кубической группы. Общее число преобразований (порядок группы) равно восьми.
Уже сейчас интересно посмотреть, какие физические сведения относительно- классификации энергетических уровней в поле определенной симметрии можно почерпнуть из таблицы характеров неприводимых представлений соответствующей группы симметрии. Так как согласно теореме Вигнера каждому неприводимому представлению соответствует определенный энергетический уровень, то например, пз табл. 10.3 вытекает, что в поле кубической симметрии может быть только 5 (по числу различных неприводимых представлений) различных типов энергетических уровне!! (разумеется, полное число уровней системы может быть сколь угодно большим).
Далее, как уже говорилось выше, характер единичного преобразования равняется размерности неприводимого представления. Поскольку размерность представления определяет кратность вырождения (число функций), соответствующего этому представлению уровня, то из этой же самой таблицы следует, что в поле кубической симметрии могут быть только невырожденные, двукратно вырожденные и трехкратно вырожденные уровни энергии. В то же время максимальное вырождение в поле тетра- гопальной симметрии (см. табл. 10.4) равно двум.
Прежде чем перейти к рассмотрению задачи о расщеплении атомных уровней полем определенной симметрии, необходимо сказать несколько слов о теоретико-груп- пой классификации атомных энергетических уровней. Группой симметрии атомной задачи является полная группа вращений. В теории групп показывается, что каждая совокупность сферических гармоник вида (10.11) с фиксированным I (и т, меняющимся ст —/до +%) образует базис некоторого ⑵ + 1)-мерного неприводимого представления 27； этой группы. Данный групповой результат естественным образом (опять теорема Вигнера!) увязывается с результатами непосредственного вычисления энергетических уровней атомов, согласно которым собственные функции атомной задачи с различными орбитальными квантовыми числами I соответствуют различным уровням энергии, а по квантовому числу тп имеется (22 + 1)-кратное вырождение соответствующих уровней.
В теории групп доказывается, что характер вращения на угол ф вокруг любой из осей в 2-м неприводимом представлении группы вращений определяется по формуле sin (Z + у ) ф
X")(⑺=―•(Ю.19)
В частности, придавая (р соответствующие значения, по этой формуле можно определить, чему равны характеры преобразований кубической группы в каждом из представлений DI группы вращений. Результаты вычисления для нескольких первых значений Л приведены в табл. 10.5.
Таблица 10.5
Характеры представлений кубической группы,полученных из неприводимых представленийгруппы вращений
Теперь мы снова вернемся к рассмотренному нами примеру расщепления атомных уровней в поле кубической симметрии. Знание таблицы характеров неприводимых представлений кубической группы (табл. 10.3) и знание характеров представлений (уже не обязательно неприводимых) кубической группы, построенных из представлений группы вращений, позволяет решить эту задачу исчерпывающим образом.
Все необходимые вычисления ведутся по формуле )
吗= ^》％Х黑Xj(Z).(10.20)
Получающиеся целые числа а； показывают, сколько раз в приводимом представлении с номером I встречается неприводимое представление 九 В терминах энергетических уровней величина а| показывает, сколько раз в серии энергетических уровней, возникающих из атомного уровня с орбитальным квантовым числом I в результате его расщепления полем кубической симметрии, содержится уровень определенного типа (в классификации по неприводимым представлениям кубической группы симметрии).
В нашем случае кубической симметрии g = 24, Z и j пробегают значения от 1 до 5; 7“ = 1,九2 = 8,无з = 6, /ц= 3,无5 — 6; необходимые значения Х$)и Х$)следует брать из табл. 10.3 и 10.5.
Ниже приведены результаты вычисления 成 по формуле (10.20), позволяющие определить, каким образом происходит расщепление атомных d- и /-уровней в поле кубической симметрии:
d-уровень
遞=击[31，5 + 8.3( 一 1)+3.31 + 6.(一1).1十6.(一1).灯=0,
1
遊=芬[‘*2*5 + 8.(-1).(一1)十3.2・1十6.0.1 + 6.0.(—1)] = 1,
1
a2^_ [i.3.54-8-0*( — 1) + 3-(― 1)*1+ 6-1-1+ 6-( — 1)*( —1)] = 1;
/-уровень
碇=金[1.3-7 + 8.0.1+6-1-( — 1)+3-( —1)-( —1) +6-( — 1).( —1)]^1.
Из приведенных расчетов величин а； видно, что атомный d-уровень в поле кубической симметрии расщепляется на трехкратно вырожденный уровень Г5 и двукратно вырожденный Г3, что полностью совпадает с результатом, полученным ранее, /-уровень расщепляется на три: однократно вырожденный Г2 и два трехкратно вырожденных Г4 и Г5.
Вторая половина задачи, состоявшая в том, чтобы выяснить, каким образом происходит дальнейшее расщепление уровней при переходе от кубической симметрии к тетрагональной, может быть решена аналогичным же образом, если потенциал лигандного поля можно представить в виде суммы
Рнр (*”)=樓丫6 G) + °тетр (夕)・(10.21)'
Для этой цели формулу (10.20) перепишем в виде
或=£%力得'*w)，(10.22)，
где g= 8; i и ] снова пробегают значения от 1 до 5;九】= 1,九2 = 2,九3 = 1,九4 = 2 h5 = 2; значения X^ берутся из табл. 10.4, а X] (nt)——из табл. 10.6, представляющей таблицу характеров представлений группы О 4, построенных с помощью неприводимых представлений кубической группы (для получения последней таблицы необходимо воспользоваться распределением преобразований тетрагональной группы по классам сопряженных элементов кубической группы). Не проводя очевидных вычислений, мы дадим только окончательную схему расщепления соответствующих энергетических уровней (рис. 10.3).
В заключение следует указать на два важных обстоятельства. Вопервых, мы всюду умалчивали о том, что энергетические уровни имеют определенную четность
Таблица 10.6Характеры представлений тетрагональнойТаблица 10.6Характеры представлений тетрагональнойгруппы, полученных из неприводимыхгруппы, полученных из неприводимых
Таблица 10.6
Характеры представлений тетрагональной
Таблица 10.6
Характеры представлений тетрагональной
группы, полученных из неприводимых
группы, полученных из неприводимых
по отношению к инверсии, и, во-вторых, не обращали внимания на наличие спина- Ко второму из этих вопросов мы еще вернемся в дальнейшем рассмотрении; что же касается первого, то мы его обсудим сейчас.
Как известно, атомные энергетические уровни всегда имеют определенную четность по отношению к инверсии: s-уровень четный, р-уровень нечетный, (/-уровень- четный и т. д. В том случае, если внешнее поле имеет центр симметрии (т. е. содержит инверсию в качестве операции симметрии), то при расщеплении атомных уровней их четность будет сохраняться; в противном случае четность конечного состояния определить уже нельзя, она теряется.
——二二二——二二二Физическая интерпретация расщепления атомных уровней в кристаллах
——二二二
——二二二
Рис. 10.3. Схема расщепления термов (Г^ >при понижении симметрии внутрикристал -лического поля от кубической до тетраго-нальной (Г^).Рис. 10.3. Схема расщепления термов (Г^ >при понижении симметрии внутрикристал -лического поля от кубической до тетраго-нальной (Г^).Обратимся теперь к физическому анализу полученных результатов на основе формальных соображений симметрии и теории групп. Во многих парамагнитных соединениях кубическое лигандное поле создается молекулами воды, расположенными в вершинах октаэдра, в центре которого
Рис. 10.3. Схема расщепления термов (Г^ >при понижении симметрии внутрикристал -лического поля от кубической до тетраго-нальной (Г^).
Рис. 10.3. Схема расщепления термов (Г^ >при понижении симметрии внутрикристал -лического поля от кубической до тетраго-нальной (Г^).
находится парамагнитный ион. Любопытно отметить, что поле Укуб оказывается приближенно одинаковым для многих солей, что, по-видимо- му, связано с тем, что размеры октаэдра определяются размерами парамагнитного иона. Возникновение поля 卩тетр может иметь две физические причины: 1) оно создается всеми ионами кристалла и, следовательно, обладает островной симметрией того узла (или междоузлия) кристалла, в котором находится рассматриваемый парамагнитный ион, и оно может возникнуть из-за деформации октаэдра, вызываемой эффектом Яна — Теллера (см. § 10).
Как мы видели,卩-уровень иона остается трехкратно вырожденным в кубическом поле, а в тригональном и в тетрагональном расщепляется: на два уровня ——один простой и второй двукратно вырожденный.
Пятикратно вырожденный J-уровень свободного иона расщепляется в кубическом поле на два уровня ——один двукратно вырожденный (Г5} и другой трехкратно вырожденный (Г3). При этом мы еще не рассматриваем двукратное спиновое вырождение каждого из орбитальных состояний (о нем речь будет идти ниже, в § 8).
-из -
Можно наглядно понять физическую причину такого расщепления ^-уровня, если явно рассмотреть угловое распределение электронной плотности, соответствующее волновым d-функциям, и учесть при этом расположение соседних лигандных ионов, создающих внутрикристалли- ческое поле.
Из формул (10.14) и (10.15) можно определить угловое распределение плотности электронного заряда в пространстве для соответствующих •состояний. Это распределение изображено на рис. 10.4, а на рис. 10.5
Рис. 10.4. Угловое распределение электронного заряда в d-состояниях. Функции-фа, -ф2, -фз, -ф4 и-ф5 определяются по формулам (10.14) и (10.15).Рис. 10.4. Угловое распределение электронного заряда в d-состояниях. Функции-фа, -ф2, -фз, -ф4 и-ф5 определяются по формулам (10.14) и (10.15).
Рис. 10.4. Угловое распределение электронного заряда в d-состояниях. Функции-фа, -ф2, -фз, -ф4 и-ф5 определяются по формулам (10.14) и (10.15).
Рис. 10.4. Угловое распределение электронного заряда в d-состояниях. Функции-фа, -ф2, -фз, -ф4 и-ф5 определяются по формулам (10.14) и (10.15).
Рис. 10.5. Расположение лигандных монов по отношению к магнитному иону для различных значений координационного числа, a) Zi = 4; б) z】—6; 右)Z[ = 8; 2)zi = 12. Черный кружок— магнитный ион, светлые кружки — лигандные ионы.Рис. 10.5. Расположение лигандных монов по отношению к магнитному иону для различных значений координационного числа, a) Zi = 4; б) z】—6; 右)Z[ = 8; 2)zi = 12. Черный кружок— магнитный ион, светлые кружки — лигандные ионы.показано расположение лигандных ионов по отношению к магнитному иону для различных координационных чисел (т. е. чисел ближайших соседей: z】=4, 6, 8, 12). Из этих рисунков видно, что в случае рассмотренной выше октаэдрической симметрии (z〔 = 6, рис. 10.5) наиболыпая элек* тронная плотность («лепестки)> распределения плотности) в эквивалентных состояниях, описываемых функциями 屮5 (砌，屮4 (%), оказывается вдоль линий, соединяющих магнитный ион с лигандными ионами. Это двукратно вырожденное состояние с уровнями энергии типа Г3 (как следует из табл. 10.3). Его по Бете [3, 4] обозначают или 九 а по Малликену [24] % Наоборот, в э кв ив а лентных состояниях, описываемых функциями 屮 1 (d),屮2 (@) и 屮з (砌” <(лепестки)> плотности направлены не в сторону лигандных ионов. Это, согласно табл. 10.3, трехкратно вырожденное состояние симметрии Г5 (по Бете ^5 или de. по Малликену 力2g)・ Поэтому при октаэдрической симметрии электроны магнитно активного иона в случае (d? или &g) на орбитах симметрии Г3 испытывают более сильное электростатическое отталкивание от отрицательно заряженного аниона лиганда (к которому направлены 《ле-
Рис. 10.5. Расположение лигандных монов по отношению к магнитному иону для различных значений координационного числа, a) Zi = 4; б) z】—6; 右)Z[ = 8; 2)zi = 12. Черный кружок— магнитный ион, светлые кружки — лигандные ионы.
Рис. 10.5. Расположение лигандных монов по отношению к магнитному иону для различных значений координационного числа, a) Zi = 4; б) z】—6; 右)Z[ = 8; 2)zi = 12. Черный кружок— магнитный ион, светлые кружки — лигандные ионы.
пестки)> электронной плотности), чем в случае ^5 (de или 力2g)・ Таким образом, уровень типа Г3 лежит выше уровня типа Г5; величину энергетического расщепления между этими уровнями в октаэдре принято обозначать через Дкр = 10Z)g (см. [6]); это расщепление показано на рис. 10.6.
Физически легко понять, почему тригональное или тетрагональное искажение приводит к дальнейшему снятию вырождения. Действительно, например, появление тетрагональной симметрии можно представить себе как следствие небольшого смещения лигандных ионов, расположенных вдоль оси z, соответственно на некоторые малые расстояния 士以 При этом вклад в энергию состояний типа Г5 с волновыми функциями 2з (d) ^ z% и 屮2 (@) ^ yz от взаимодействия с кристаллическим полем будет одинаков, но отличен от вклада в энергию от состояния 屮 1 (d) ^ ху.
Поэтому ранее (до искажения кубического поля!) трехкратно вырожденный уровень Г5 расщепляется в тетрагональном поле на двукратно вырожденный уровень Г/s и однократно вырожденный уровень Гп (см. рис. 10.3 и 10.6, 6). Что касается состояний типа Г3, описываемых функциями 屮4 (@) и 屮5 (d), то они обе различно относятся к расположению лигандов вдоль оси z; поэтому при тетрагональном искажении здесь также произойдет расщепление ранее двукратно вырожденного уровня на два невырожденных (см. рис. 10.3 и 10.6, 6) Г^ и rf2. В тригональном поле уровень Г3 не расщепляется (см. рис. 10.3).
В связи с проведенным наглядным объяснением расщепления уровней типа Г5 и Г3 следует помнить, что оно основано на приближенной ионной
модели точечных зарядов лигандных ионов. Клайнер [25] сделал попытку учесть протяженность электронного заряда лигандных ионов кислорода и получил обратное расположение уровней типа Г3 и Г5 в кубическом поле для хромовых квасцов (он получил Dq — = —550 cM т, а опыт дает Dq = =+1750 с九т). Танабе и Сугано [26] учли обменное взаимодей-. ствие Зй-электронов парамагнитного иона с электронами лигандных ионов и эффект деформации электронных орбит и тех и других ионов. Они получили Dq = + 4750 см^1. Таким образом, эти два эффекта в определенной степени могут компенсировать друг друга, поэтому модель точечных лигандных ионов часто и дает неплохие результаты. Однако для точного
伤丿6
%)2
伤丿% */
勿/屮伤，%）自
Рис. 10.6. Расщепление d-уровня катиона в внутри- кристаллических полях различной симметрии, а — свободный ион, 6 ——ион в поле кубической симметрии, у — ион в поле тригональной симметрии, 6— ион в поле тетрагональной симметрии, а) Случай с координационным числом zi = 6 (см. рис. 10.5, 6), катион с конфигурацией d1 (терм 2D) или d* (TepM^D), а также с z】 = 4, или 8, или 12 (см. рис. 10.5, а, % а), катион с конфигурацией d，(терм &D) или d8 (терм 2D). б) Случай с координационными числами 力=4, или 8, или 12 (см. рис. 10.5, а, в, а), катион с конфигурацией d】(терм 2D) или d® (терм &D), а также с zi = 6 (см. рис, 10,5, б), катион с конфигурацией d4 (терм^и) или d» (терм 2夕).(у каждого уровня указано его неприводимое представление F；, F* или Гу^ и соответствующие ему волновые функции 电；
2 = 1, 2, 3, 4, 5,)
теоретического определения ве
личины Дкр следует учитывать, кроме этих эффектов, также влияние «примеси» ковалентных связей, которая присутствует даже в чисто ионных соединениях. Обобщение теории кристаллического поля на случай учета ковалентности химических связей проведено в работах Ван-Флека [27], Сугано и Шульмана [28], Сугано и Танабе [29], Маршалла [30] и других [подробнее см. по этому вопросу книгу Бальхаузена (1964), а также работы [31—43]].
До сих пор мы рассматривали ион с конфигурацией @丄(например, ионы Sc2+, Ti3+, V4 +), т. е. с одним d-электроном. Электронная конфигурация @6 (например, ионы Fe2+, Со2+) отличается от @丄 добавлением пяти электронов. По правилу Хунда (гл. 2) они занимают все пять d-орбит, и поэтому возникает состояние 6s (ионы Mn2+, Fe3 +).
Ионы с наполовину заполненным 3@~слоем (Mn2+, Fe3 +), с полностью пустым (Sc3+, Ti4+, V5+) или с целиком заполненным (Cu+, Zn2+) имеют основное 5-состояние с £ = 0 (少⑺).В случае редкоземельных металлов это будут ионы Gd3+, Eu2+ с основным состоянием 857/2. Поэтому магнетизм этих ионов обусловлен в первом приближении только спином. Кристаллическое поле не должно также расщеплять основной уровень этих ионов. Однако на опыте небольшое расщепление наблюдается. Оно объясняется более сложными эффектами возмущения высших порядков.
Все пять спинов в состоянии 6s параллельны, и результирующее спиновое квантовое число равно S = 5/2. В первом приближении внутрикри-
'кр ，4s'кр ，4sРис. 10.7. Расщепление^.уровней магнитного катиона с конфигурацией d? (терм，F) внутрикри- сталлическим полем и под влиянием спин-орбитального взаимодействия (при условии ДКр!/> Д^§). Цифры указывают полную кратность вырождения. Окружение лигандов октаэдрическое. Маспггаб расщеплений произвольный,Рис. 10.7. Расщепление^.уровней магнитного катиона с конфигурацией d? (терм，F) внутрикри- сталлическим полем и под влиянием спин-орбитального взаимодействия (при условии ДКр!/> Д^§). Цифры указывают полную кратность вырождения. Окружение лигандов октаэдрическое. Маспггаб расщеплений произвольный,стым являлся бы случай ион с конфигурациейстым являлся бы случай ион с конфигурацией
'кр ，4s
'кр ，4s
Рис. 10.7. Расщепление^.уровней магнитного катиона с конфигурацией d? (терм，F) внутрикри- сталлическим полем и под влиянием спин-орбитального взаимодействия (при условии ДКр!/> Д^§). Цифры указывают полную кратность вырождения. Окружение лигандов октаэдрическое. Маспггаб расщеплений произвольный,
Рис. 10.7. Расщепление^.уровней магнитного катиона с конфигурацией d? (терм，F) внутрикри- сталлическим полем и под влиянием спин-орбитального взаимодействия (при условии ДКр!/> Д^§). Цифры указывают полную кратность вырождения. Окружение лигандов октаэдрическое. Маспггаб расщеплений произвольный,
стым являлся бы случай ион с конфигурацией
стым являлся бы случай ион с конфигурацией
сталлическое поле не снимает шестикратного спинового вырождения. Наблюдаемое на опыте слабое расщепление спинового мультиплета 工еоре- тически может быть получено лишь в высших приближениях. Поэтому характер расщепления, вызванного лигандным полем, для конфигураций @1 и @6 (соответственно состояний 2D и 5刀)будет одинаковый ) (см. рис. 10.6). Далее, конфигурацию d9 можно представить себе как заполненный d-слой с одной дыркой (эффективным положительным зарядом + е). В таком же соотношении находятся конфигурации @《и @6. Поэтому характер расщепления для конфигураций @、@’ будет с обратной последовательностью уровней энергии, чем в случае d1, d6 (см. рис. 10.6, 6). Схемы расщепления уровней, приведенные на рис. 10.6, а, б, имеют место и в тех случаях, когда магнитный d-ион окружен четырьмя, восьмью или двенадцатью лигандными ионами; в этом случае последовательность уровней изменится на обратную соответственно для конфигураций б?, @6 и @4, @9； эт0 легко понять, если опять сравнить распределение электронной плотности d-иона и расположение лиганд- ных ионов (см. рис. 10.5,а и 6) ).
Нам осталось еще рассмотреть конфигура- I ции @2, @8 и @з, @7, которым соответствуют состояния з歹(например, ионы Ti2+, V3+, Ni2+) и 4F (V2+, Cr3+, Mn4+, Co2+). Здесь мы имеем дело с многоэлектронной задачей (два или три электрона в конфигурациях d2 и @з или две или три дырки в конфигурациях @8 и 鋁).Более про- одного /-электрона (например, редкоземельный 4/1). По аналогии с (10.12)—(10.15) угловые
части семи с водородных волновых функций ^i (/) /-состояния имеют вид 112 f 屮1(/) ^3/z,
а (10.23)а (10.23)F5 f屮2⑺^е(У2 —z2),屮3(/)^y(z2一叫，也⑺=z啰—炉)， F4 f 屮5(力 ^%(2%2 -3炉一3z2),屮 6(力 a^y(2y2-3z2 -3%2), 屮7 (/) ^ Z (2z2 — 3%2 — 3y2),
а (10.23)
а (10.23)
Из самого вида трех функций во второй и третьей строчке (10.23) опять видно, что они взаимно переходят друг в друга при циклических перестановках координат %, у, z. Поэтому в случае октаэдрического расположения лигандных ионов семикратно вырожденный 万-терм расщепляется на три терма: однократный типа Г2 и два трехкратно вырожденные типа Г6 и Г4. Из электростатических соображений можно опять выяснить, что в случае конфигураций @з и @8 нижним орбитальным уровнем будет синглет Г2, затем триплет Г5 и, наконец, триплет Г4. Для конфигураций 办 и @2 будет обратная последовательность уровней (рис. 10.7). Строго говоря, например, в двух электронной системе с конфигурацией d2 максимальное суммарное орбитальное квантовое число L равно 4, поэтому возможны состояния с £ = 0, 1, 2, 3 и 4, т. е. состояния W,叩,力,з歹 и %. Эти 5 термов имеют соответственно кратности вырождения 1, 9, 5, 21, 9. Та-
ким образом, уровень конфигурации d2 (&8) имеет кратность вырождения 1+9 + 5 + 21 + 9= 45, т. е. кратность вырождения равна числу распределений двух электронов по десяти состояниям с учетом принципа Паули: С；。= 10 -9/1 -2 = 45. По первому правилу Хунда в свободном ионе триплетные состояния 3Р и 3F будут более устойчивы, чем синглеты 1S, VD и XG. Из этих двух состояний по тому же правилу наиболее устойчивым будет состояние з尸.Поэтому лигандное поле Укр кубической симметрии расщепляет 25-кратно вырожденный (только орбитальный) уровень конфигураций ©2, @8 на одиннадцать уровней (см. рис. 10.7). Точно так л:е можно рассмотреть в много электронном изложении расщепление уровней для конфигураций @з, &7. в этом случае в свободном ионе уровень с минимальной энергией соответствует состоянию '尸.
Влияние спина и «замораживанием орбитальных моментов
До сих пор мы совершенно не учитывали спин электрона. Благодаря наличию спина каждый электронный орбитальный уровень двукратно вырожден. Для описания электронных состояний в нулевом приближении, т. е. без учета магнитных спиновых взаимодействий, но с учетом этого вырождения, необходимо образовать произведения орбитальных волновых функций [например, в случае d-состояния взять функции (10.14) и (10.15)1 на спиновые функции аир, соответствующие двум возможным значениям проекции спина (〈§丿 = 士 1/2). Таким образом, вместо (10.14) и (10.15) будем иметь
R (d)・a = R^ocyS ^2.(d)*a = R^yz^a^ G (d) • a = R^zx • a, 也(d)• a = R^} (^2 — У»a， 屮5(d).a = T?肾(电2一户).a,R (d)・a = R^ocyS ^2.(d)*a = R^yz^a^ G (d) • a = R^zx • a, 也(d)• a = R^} (^2 — У»a， 屮5(d).a = T?肾(电2一户).a,21mAВ = т?£з/・В，
R (d)・a = R^ocyS ^2.(d)*a = R^yz^a^ G (d) • a = R^zx • a, 也(d)• a = R^} (^2 — У»a， 屮5(d).a = T?肾(电2一户).a,
R (d)・a = R^ocyS ^2.(d)*a = R^yz^a^ G (d) • a = R^zx • a, 也(d)• a = R^} (^2 — У»a， 屮5(d).a = T?肾(电2一户).a,
22(办6 =吊""•3
-ф3 (d)-p = J?<1)zx.p,! (10.24)
也(d).卩=E索(泊一谓)."
屮 5®)・B = E；”(3z2 —戸)弔.
Оператор энергии спин-орбитального взаимодействия 威ls из (10.2) в при- ближении рессел-саундеровской связи можно записать в виде
礎ls =九(_L，S)=%[£5 + 彳(£+3-+ "s+)],(10.25)
А л 人 /\ А 人
где £± = £化 ± iLy, S土 = S^ 士 ZSg, а 九一энергетический параметр спин-орбитального взаимодействия (этот параметр положителен, если Зй-слой заполнен более чем наполовину). Если рассмотреть, например, состояния 2£)или 5。(см. рис. 10.6, а), то учет возмущения спин-орбиталь- ной связью (10.25) в первом приближении не изменит энергию орбитально невырожденных уровней Г/i, Г/3 и Г/4 ). Это обусловлено тем, что все
диагональные матричные элементы оператора орбитального момента £ равны нулю ). Это легко показать в общем виде. Дело в том, что опе
ментментраторы 力 и Lz, Lx, Ly чисто мнимые ^например, £? = % (у ^ — % ^)], а пулевые орбитальные волновые функции (10.24) вещественные. Поэтому, если обозначить эти функции через 屮°, то диагональный матричный эле
мент
мент
(0 I Zz 10) = I ^qLz^q dr
будет чисто мнимым числом. Тоже можно сказать и о диагональных матричных элементах операторов Lx и Ly. Следовательно, и диагональный матричный элемент оператора (10.25), т. е. 〈0|九 | (£ •«) 10〉，тоже чисто мнимое число. Но по своему физическому смыслу это должно быть поправкой к энергии, т. е. вещественной наблюдаемой величиной. Для разрешения этого противоречия остается единственная возможность, а именно считать, что этот матричный элемент равен нулю.
В связи с полученным выводом следует напомнить общую теорему квантовой механики: существование отличного от нуля среднего значения магнитного момента атома или молекулы в отсутствие внешнего магнитного поля Н предполагает наличие по крайней мере двукратного вырождения их состояния. Если вырождение полностью снимается, то волновые функции с необходимостью вещественны (при Н = 0), и мы полу- чаем приведенный выше результат. Действительно, например, для one- ратора Lz диагональный матричный элемент будет содержать сомножи- телями интегралы
jи J喘要也
Если учесть, что в силу вещественности функции 屮:三屮° и 屮° исчезает на бесконечности, то после интегрирования по частям получаем
' ОО ОО ОО ОО
J业需dy=- J5需dywOw J业譽壹J业陪d2. —ОО ——ОО —ОО ■—ОО
Этот факт означает не только исчезновение в первом приближении поправки к энергии от спин-орбитального взаимодействия, но также и исчезновение в нулевом приближении, т. е. при учете кристаллического поля, но в пренебрежении спин-орбитальной связью (〈施工$〉= 0), орбитального магнитного момента. Действительно, магнитный момент атомной системы в стационарном состоянии равен среднему значению оператора цб (芯 + 2«) в этом состоянии. Если внешнее магнитное поле Н направлено, например, вдоль оси z, то орбитальная часть магнитного момента определяется средним значением оператора Lz, Поскольку в кристаллическом поле это среднее значение равно нулю, то, следовательно, отсутствует и орбитальный магнетизм (в данном приближении, конечно). Это и объясняет явление замораживали贪 орбитальных моментов в кристаллическом поле, о котором шла речь в гл. 9. Как мы увидим ниже, спин- орбитальное взаимодействие, возмущая движение электронов, находящихся в сильном, замораживающем орбиту кристаллическом поле, может частично «размораживать» орбитальное движение. Если знак спин-орбитального взаимодействия способствует параллельной ориентации орбитальных и спиновых магнитных моментов, то g-фактор будет несколько больше 2 (т. е. больше чисто спинового значения). В противном случае будет g《2.
Рассмотрим подробнее вопрос о явлении замораживания орбитальных моментов. В частности, если мы имеем дело с《широким» мультиплетом (Av > кТ) и асимметричное внутреннее поле кристалла полностью снимает вырождение по ML, то внешнее магнитное поле уже не может привести к перераспределению электронов по состояниям с различными ML, и поэтому магнитная восприимчивость будет равна нулю. Спиновое вырождение при этом сохраняется, так как расщепление уровней, связанное с эффектом Штарка в лигандном поле, не зависит непосредственно от направления спина относительно магнитного поля. Поэтому кристаллическое поле практически не оказывает никакого влияния на ионы, находящиеся в 5-состояниях, например на ион Gd3+ ^^/г)-
Потенциальная энергия V (г) электрона в ионе, вызванная полем окружающих ионов решетки, может быть выражена в виде степенного ряда координат электронов иона. Если учесть неисчезающие члены этого ряда с наинизшими степенями, то будем иметь
段=厶2抬+ 3』说(10.26) q q q
где суммирование распространяется по всем электронам данного иона. Линейные члены и член с произведениями xqyq и т. п. в (10.26) исчезают в силу соображений симметрии. Члены более высокого порядка, как правило, будут меньше (10.26). В общем случае эффектами членов высших порядков пренебрегать нельзя, но для качественных рассмотрений [см. Ван-Флек (1932)] можно ограничиться выражением (10.26). Если А = В = —С, то кристаллическое поле центрально-симметрично и ионы твердого тела в магнитном отношении столь же свободны, как и в газе (см. гл. 9). Если Л = В ^ С^ то ось z является осью симметрии и постоянной движения будет только z-я слагающая орбитального момента (для слагающих хну отличны от нуля только недиагональные матричные элементы с Правилом отбора ДМЬ — 土 1). Если эффект кристаллического поля велик (I 4 — С I 2 翦》кТ), то уровни энергии, соответствующие различным £z, будут далеко отстоять друг от друга; если наинизшее состояние при этом соответствует £? = £ с ML = ± £, то магнитная восприимчивость будет определяться, согласно (9.20), только низкочастотной частью. Таким образом, в случае / = 8 老 С вырождение не снимается только для z-й слагающей орбитального момента, которая и участвует в восприимчивости. Если коэффициенты А, В, С все не равны между собой, то не существует оси, относительно которой орбитальный момент сохраняется, и поэтому вырождение полностью снимается. Тогда орбитальные моменты будут участвовать только в высокочастотной части (9,21) восприимчивости, и если расстояние между энергетическими уровнями Av (тг, тг') велико по сравнению с кТ (например, больше 103 см^1 при комнатных температурах), то орбитальные моменты практически полностью «заморожены». При нарушении условия Av (тг, тг')》кТ орбиты начинают постепенно «размораживаться^ и принимать участие в парамагнитной восприимчивости. Условия, необходимые для того, чтобы явление замораживания орбитальных моментов хотя бы приближенно имело место, могут быть легко получены в предельном случае hv (J, J')《кТ (см. гл. 9). Обозначим расщепление энергетических уровней, вызванное асимметричным кри- сталлическим полем, через 7zvKp ( = АКр)? тогда эффект замораживания орбитального момента будет иметь место при условии
无^кр》кТ、 .
При нарушении условия hv (J, J')《кТ, т. е. когда мультиплетная структура достаточно широка (кТ = 205 см^1 при Т = 293° К, a Av (J, J') может достигать в ряде случаев величин 2000 см~г), приходится пользоваться более общей формулой (9.38) и учет эффекта замораживания орбиты становится более трудным.
Мы видели уже, что симметрия кристаллического поля вокруг каждого данного иона может и не совпадать с симметрией кристалла в цепом. В случае квасцов, где парамагнитный ион окружен шестью молекулами воды, кристалл в целом имеет кубическую симметрию, а относительное расположение парамагнитных ионов имеет тригональную симметрию. В жидких растворах коэффициенты А, В, С в (10.26) можно считать различными из-за беспорядка в расположении атомов. Однако в случае ассоциации полярных молекул растворителя с парамагнитным ионом может возникнуть местное асимметричное электрическое поле, снимающее орбитальное вырождение.
В качестве наглядной иллюстрации рассмотрим еще упрощенный конкретный пример расчета замораживания орбитальных моментов в случае катиона с одним электроном в /^-состоянии (L = 1), находящимся в лигандном поле ромбической симметрии с потенциалом вида (10.26). Основное состояние свободного иона с £ = 1 трехкратно вырождено. Поэтому состояния с различными Ml (+1,——1, 0) имеют одинаковую энергию. Во внешнем магнитном поле в свободном ионе возникает зеемановское расщепление уровня, полностью снимающее вырождение по Л/工；в основном состоянии проекция Ml вдоль поля будет максимальной, что и приводит к парамагнетизму атома. В сильном кристаллическом поле (10.26) будет наблюдаться совершенно иная картина. Обозначим Комплексные водородоподобные p-функции через 卩十九 р0 и р_^ соответствующие значениям ML = +1, 0, —1. Из них можно образовать три вещественные линейные комбинации (10.13). Можно показать, что все недиагопальные матричные элементы оператора V (10.26) равны нулю* Дэйствительно, если, например, рассмотреть матричный элемент
[也(卩)步22(卩)击=j [^1(Г)]2 ху (Лж2 + By2 + Cz2) <fc dy dz,
то сразу видно, что из-за нечетности подынтегральной функции относительно переменной % этот элемент тождественно равен нулю. Поэтому расщепление уровня под действием потенциала возмущения (10.26) будет в первом приближении определяться диагональными матричными элементами J |R(Р)F 伏@工(％ — 1j 2, 3). Эти поправки равны
目1=/尸1+(月+ 602, 富2=笈尸1+(/+ 6尸2, ё3^СР. + (А + В)Р2, где величины Р^ и Р2 имеют вид
% = J [% (Г)]2 ^^^y^R^ 办=j Z2 [% (Г)]2 办，
尸2 = j %2y2 [Rf(Г)К @工=J 亦纟？ [7?i(Г)]2 @1； = J Z2y2 [% ⑺产 @工.
Разности 宮2 —— 宮i,宮3 ——§2 и дают штарковское расщепление Дкр, о котором шла речь выше. В данном случае, поскольку недиагональные элементы оператора (10.26) равны нулю, то волновые функции (10.13) являются собственными функциями возмущенной задачи с гамильтонианом 矗о+优.С другой стороны, как показано выше, средние значения операторов £巾 £g и £订 вычисленные с помощью вещественных функций (10.13), равны нулю, и поэтому равен нулю орбитальный магнитный момент. Обращаем внимание, что последнее непосредственно следует из того, что состояния i|)i (р) и 屮2 (р) из (10.13) являются суперпозициями состояний с Ml = =+1 и Ml = —1.
Иное влияние спин-орбитальное взаимодействие оказывает иа уровни орбитально вырожденных состояний. Для вырожденного нулевого уровня поправки от возмущения к энергии в первом приближении определяются также и недиагональными матричными элементами оператора энергии возмущения. Поэтому, например, уровень bF будет уже в первом прибли- Ярении расщепляться под влиянием спин-орбитального взаимодействия.
В рассматриваемом здесь случае солей d-элементов расщепление в кубическом лигандном поле обычно больше, чем спин-орбитальное расщепление (Ar@》AbS). Именно поэтому сначала следует найти расщепление от 廿кр, а затем уже искать добавочное расщепление от 虚工$. Следует
отметить, что часто 厶工$ может быть больше, чем расщепление от искажений кубического лигандного поля Д/, т. е.厶工^》А/. Можно ожидать [см., например, Гудинаф (1963)], что для магнитных d-катионов с конфигурациями @з, @4, @5, ©8, @9 в октаэдрическом лигандном поле и d-катионов с конфигурациями d1, d2, d5, d6, @‘ в тетраэдрическом окружении имеет место неравенство △才 > AbS. В противоположном случае, наоборот, △才V A_ls・
§ 8. Теоретико-групповая трактовка спин-орбитального расщепления
Теоретико-групповое исследование задачи, когда волновыми функциями являются не скалярные функции, а спиноры, значительно более сложно. Дело заключается в том, что теперь одному и тому же преобразованию (вращению) в координатном пространстве соответствует два различных квантовомеханических оператора. Для полного группового анализа задачи требуется определить неприводимые представления этой новой группы операторов, а не группы геометрических преобразований. Возникающая «двузначность» имеет далеко идущие следствия ). Мы не станем углубляться в существо данного вопроса, а укажем непосредственно на те изменения в формальной схеме расчетов, которые необходимо сделать, чтобы решить задачу о расщеплении термов при наличии спина.
Во-первых, формула (10.19) для вычисления характеров неприводимых представлений группы вращений остается в силе, если заменить 2 на 人 где / = 1/2, 3/2,... Заметим, что согласно этой формуле характер поворота на 0° (единичное преобразование), как и раньше, равен 4-⑵ + 1), однако поворот на 360° уже не равпоправен с поворотом на 0° и имеет характер 一 ⑵ + 1). (Вот она двузначность!)
Во-вторых, основная формула (10.20) для определения расщепления также остается в силе, однако g-порядок группы симметрии следует заменить на 2g (для кубической группы это равно 48). Величины hk и Х}" нужно брать из соответствующих таблиц характеров двузначных неприводимых представлений точечной группы симметрии (для кубической группы из табл* 10.7 ), а значения Xk (/) вычисляются с помощью формулы (10.19) с заменой Z на / (соответствующие значения для кубической группы приведены в табл. 10.8).
Классы сопряжен- ных элементов
Представления
Е
Q
4С3
4С2 4C3Q
ЗС4 3C2Q
ЗСЗ 3或Q
3中 3C2Q
6C2 66Q
по Малликену
по Бете
现
гб
2
—2
1
—1
-V2
0
0
现
г7
2
—2
1
—1
—”2
V2
0
0
Г8
4
—4
—1
1
0
0
0
0
Здесь для получения двузначных представлений использован,
по Бете [3],
Таблица 10.7
Характеры двузначных неприводимых представлений кубической группы。‘
математический прием, согласно которому предполагается, что кристалл переходит в самого себя не при вращении на угол 360° вокруг соответствующей оси, а только при вращении на 720°. Тем самым определяется новый элемент группы Q——вращение на угол 4л, ——и поэтому, кроме элементов однозначной группы, появляется еще столько же элементов в результате умножения на Q. Таким образом, двойная группа содержит больше классов, чем простая, но не вдвое больше, ибо все классы, содержащие вращение на угол л, не удваиваются (например, ЗС| и 6С2 в случае данной группы). Смысл обозначений классов пояснен в тексте, относящемся к табл. 10.3 и 10.4.
Окончательные результаты расчета суммированы в табл. 10.9.
Естественно, что методы теории групп в случае задачи спин-орбитального расщепления, так же как и в случае лигандного расщепления, не дают возможности
Таблица 10.8
Характеры двузначных представлений кубической группы О', полученных с помощью представлений
Таблица 10.9
Расщепление атомных термов с различными квантовыми числамив поле кубической симметрии
^ч Представ- ления
Г1
Г2
Гз
г4
Гб
Гб
г?
г8
Число тер-
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
3
2
0
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
1
0
1
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
1
1
2
3
0
1
0
1
1
0
0
0
3
7
2
0
0
0
0
0
1
1
1
3
В каждой клетке таблицы приведены значения коэффициентов а, рассчитанных по формуле (10.20), в которой g заменяется на 2g, индекс суммирования / заменен на 左，величины 屍 и XS)берутся из табл. 10.7, а величины ХМ/) вычисляются по формуле (10.19) с заменой 1 на / (см. табл. 10.8).
предсказать порядок величин расщеплений А^р и ^ls- Зто приходится делать с помощью расчетов по теории возмущений с гамильтонианом (10.1)—(10.5).
Прежде чем обратиться к этой задаче, остановимся еще на двух важных вопросах для всей проблемы магнетизма кристаллов, а именно на теореме Крамерса [5] и эффекте Яна — Теллера [9] [см. также Ландау и Лифшиц (1963) и Гудинаф (1969)].
Теорема Крамерса
Теорема Крамерса утверждает, что в случае, если система содержит нечетное число электронов^ электрическое поле любой симметрии не может полностью снять вырождение энергетического уровня. Всегда существует по крайней мере двукратное (крамерсовское) вырождение, которое может быть снято лишь внешним магнитным полем. Как впервые показал Вигнер [44] [см. также Вигнер (1961)], крамерсовское вырождение тесно связано с инвариантностью физических систем относительно изменения знака времени. Не останавливаясь подробно на этой интересной проблеме, дадим несколько упрощенный вариант доказательства теоремы Крамерса [см. Лоу (1962)]. В отсутствие внешних магнитных полей оператор Г амильтона электронной системы содержит только четные степени импульсов и моментов количества движения. Это имеет место для оператора кинетической энергии р^/2т, а также для операторов спин- орбитальной (〃•») и спин- едино вой энергии (»•$,)• Поскольку при замене 方 f—方 勿f f — s, то и 龄(勿，2, s)=覘(—p, —2, —s), т. e. он инвариантен к преобразованию 方 f —方.Заметим, что хотя спин-орбитальную связь и можно рассматривать как результат взаимодействия момента спина с внутренним орбитальным магнйтным полем системы, но при замене t на —t это поле тоже меняет знак вместе со спином, и поэтому спин-орбитальная энергия инвариантна по отношению к преобразованию 力 f —— 九 Оператор же взаимодействия с внешним магнитным полем Н• (l~Y + 2s) не инвариантен по отношению к замене 方 f ——力 так как он линеен по отношению к f и S. Обозначим через R оператор обращения времени, т. е.
Й^(г, р, Z, $)/т = %(?\—方，—i, —£)=認、 (10.27) В самом общем виде оператор 彫 одноэлектронной системы (при наличии электростатического и спин-орбитального взаимодействия) можно представить в виде
魂m 鹼0(，向+威^(尸,方)•£+矗^ m p)-4+^z(尸,户)后， (10.28) где компоненты оператора вектора спина определяются двухрядными матрицами Паули
Нетрудно показать, что оператору Л можно придать вид 方=扁 С, где С — оператор, который при действии на комплексную функцию ср превращает ее в комплексно сопряженную ф, т. е. Сф = ф*. Оператор С перестановочен (коммутирует) с isy, т. е. Cisy = isyC, и, кроме того, обратный оператор С-1 (определяемый равенством СС~1 = —С-1С = 1) равен исходному, т. е. 0-】=С. Отсюда следует, во-первых, что
d 威? (?T =威?* =威?0 (尸，-p) +(У^Х (r, -p^Sx — Q^y (л 一發)•％+ 彫zS,一方)务， и, во-вторых *),
否認左Т= (isyC)認(C-1 (isy)-^-=
=鹼0(尸，-p)-^x (r, -P)-Sx -^y (r,一方)冬一魂2(尸，一方)•岳=/'.(10.30)
Таким образом, оператор isyC действительно совпадает с R. Для системы п электронов легко показать, что R —⑴脸乙...sy С. Если две волновые функции ^ и 方叭 соответ- 人А ААл А
ствующие 駝(г,勿，s) и 駝(г, —р, s), линейно независимы, то энергетические уровни системы вырождены. Выясним, в каких случаях они могут быть линейно зависимы (т. е. вырождение может отсутствовать). Итак, допустим, что 屮 и 左屮 линейно зависимы, т. е. Е“ — аф, где а в общем случае — какое-то комплексное число. В таком случае
左2中=月(月吻=月a中=I a |2取
Но, с другой стороны,
£ ]2 = (i严.1 = ( — 1)% и поэтому
|а|2 =(_1)吃(10.31)
Поскольку I а | 2 > 0, т. е. квадрат модуля комплексного числа — величина существенно положительная, то равенство (10.31) может выполняться только для четных м. Для
нечетных м, т. е. для систем с нечетным числом электронов, функции 屮 и /?ф всегда линейно независимы, и поэтому уровни вырождены, что и доказывает теорему Кра- мерса. Снять крамерсовское вырождение может только присутствие внешнего поля, о чем уже говорилось выше.
Эффект Яна — Теллера
Рассмотрим теперь эффект Яна — Теллера [9, 45—48]. Он был установлен при выяснении условий устойчивости симметричных конфигураций атомных ядер многоатомных молекул. Исследуя все возможные типы симметричных расположений ядер, они показали, что при вырожденном электронном состоянии всякое симметричное расположение ядер (исключая расположение по одной прямой — линейные молекулы) неустойчиво. Для доказательства использовались общие методы теории групп. Поэтому ядра смещаются так, чтобы симметрия их расположения нарушалась настолько, чтобы вырождение полностью снялось (за исключением, конечно, крамерсовского); основной терм нелинейной молекулы вследствие этой деформации может быть только невырожденным.
Физическая суть этого явления очень проста. Энергетический центр тяжести уровней при расщеплении остается таким же, как и до него (т. е. при отсутствии возмущения). Это означает, что один из уровней, появившихся при снятии вырождения, обязательно должен иметь меньшую энергию, чем имел наинизший уровень до расщепления, что и обеспечивает более низкую энергию молекулы в результате ее «самоде- формации».
В этом и заключается эффект Яна — Теллера для молекул. На случай кристаллов теорему Яна — Теллера обобщил Ван-Флек [46] (см. также [49—61]). Пока еще нет полной уверенности в том, что в кристалле этот эффект имеет такой же простой смысл, как и в случае свободных молекул [см., например, Лоу (1962)]. В табл. 10.10 дана сводка типов расщеплений (27V + 1)-кратно вырожденных уровней в кристаллических полях различной симметрии.
Видно, что для полуцелых значений 7V минимальное вырождение равно двум (теорема Крамерса).
Таблица 10.10
Расщепление вырожденного уровня кратности (2%十1) кристаллическимиполями различной симметрии
N (=S, L, J)
(2N+1)
Кубическая
Тетрагональная
Тригональная
Ромбическая
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
3
3
1, 2
1, 2
1, 1, 1
4
4
2, 2
2, 2
2, 2
2
5
2, 3
1, 1, 1, 2
1, 2, 2
1, 1, 1, 1, 1
6
2, 4
2, 2, 2
2, 2, 2
2, 2, 2
3
7
1, 3, 3
1, 1, 1, 2, 2
1, 1, 1, 2, 2
1ДЛЛЛ.1Л
8
2, 2, 4
2, 2, 2, 2
2, 2, 2, 2
2, 2 2, 2
В первом столбце указаны в возрастающем порядке квантовые числа, определяющие мультиплетность (7V = S, или Л, или J); во втором столбце показана кратность вырождения соответствующего энергетического уровня свободного иона; в последующих столбцах каждая цифра означает кратность уровня в кристаллическом поле соответствующей симметрии, число цифр в каждой клетке таблицы в этих столбцах означает число уровней, на которое данный уровень будет расщеплен в поле данной симметрии, а значение цифры указывает кратность вырождения расщепленных уровней (например, в строке для 7V = 3 для поля ромбической симметрии приведено семь единиц—это означает, что семикратно вырожденный уровень в поле ромбической симметрии расщепляется на семь невырожденных уровней (с точностью до крамерсовского вырождения).
Оценки величин расщеплений
Методы теории групп не позволяют определить величину расщеплений Дкр или Als. Для этой цели необходимо воспользоваться конкретным видом гамильтониана и теорией возмущений. При этом в теории кристаллического поля, как уже отмечалось выше, пользуются приближением, в котором лигандные ионы рассматриваются как точечные заряды.
В этом приближении предполагается, что химическая связь в парамагнитных кристаллах носит чисто ионный характер. Однако есть все основания считать, что эта связь имеет более сложный характер. Фактически в реальных кристаллах имеет место смесь (гиб ри дизация) связей различного типа (ионной, ковалентной, ван-дер-ваальсовской и т. п.). Именно поэтому расчеты, основанные на чисто «ионном» приближении, не имеют строгого физического обоснования, хотя иногда и приводят к удовлетворительным результатам при сравнении с опытом. Что касается теоретико-группового аспекта теории лигандов, то он сохраняет свою силу при любой количественной трактовке.
Полуэмпирический вариант теории внутрикристаллического поля, в котором основные параметры теории рассматриваются как эмпирические, по-видимому, может быть обоснован в более общей теории, поскольку зависимость собственных значений энергии кристалла от этих иара- метров определяется в основном симметрией задачи. Например, в более общей теории молекулярных орбит вместо орбиталей, составленных из чистых @~ или /-функций магнитного иона, появятся аналогичные орбитали, содержащие не только орбитали магнитного иона, но и орбитали окружающих лигандных ионов. Существенно, однако, что симметрия орбит ?з и ?5 при этом сохраняется [см. Бальхаузен (1964)]. Это и заставляет предполагать, что все качественные результаты теории кристаллического поля (число и типы термов, параметрические зависимости собственных значений энергии) сохраняют свою силу и в более общих теориях.
В приближении точечных зарядов потенциал Укр (г) удовлетворяет уравнению Лапласа ДУкр = 0, решения которого имеют вид
唳р = 2 3 ", ф)= 3 (Ю.32) п т~п п, т
где г,仆，$ — обычные сферические координаты, а нормированная поверхностная сферическая функция имеет вид
У™ (а, ф) =( - If [^^^^..р p\r! (cos а) е-ф；.(10.33) P^mi—присоединенные полиномы Лежандра, а вещественность VKp дает, что /£ = (Л"т). Используя свойства симметрии кристаллов, можно значительно упростить (10.32). В самом деле, для магнитных ионов с незаполненными @- и /-слоями в сумме по тг в (10.32) следует отбросить соответственно члены стг>4итг>6*). Кроме того, члены с нечетными п в матричных элементах Укр также дадут нуль в силу инвариантности по отношению к преобразованию инверсии ) (для кристаллов с центром симметрии, каковыми и являются все изученные до сих пор парамагнитные соединения). Наконец, член с тг = 0 дает несущественную постоянную).
Далее, учет симметрии кристалла позволяет продолжить упрощение выражения (10.32). Читатель может найти подробные выражения для 卩кр в кристаллах различной симметрии в обзоре [62] и в монографиях Лоу (1962), Альтшулера, Козырева (1961). Обычно от угловых координат 仆，ф переходят к декартовым: х, у, z. Тогда, например, для кубического кристалла имеем
嘴б= 击4:①"+啰一")+
十 ^ /鲁成[2 (炉 + у6 + 淤)一 15 8y2 + y%2 + z%2 十 Ж422 +
+ Z&y2 + y%2) +180 炉 у2%2].(10.34)
Если лигандные ионы расположены по углам октаэдра с координатами ①，У, z — ±а, то для коэффициентов /： и 4； в (10.34) имеем
g=停)嘗и 4 =偿)譬・
При практическом вычислении матричных элементов операторов типа (10.34) обычно пользуются методом эквивалентных операторов, предложенным Стивенсом [63] и другими [64, 65], который заключается в том, что координаты %, у, z в (10.34) заменяются операторами проекций момента Jx, Jу，Jz с учетом их перестановочных соотношений. Так, например, (炉一疗)f身一 /粉⑶2 一戸)f 3卫一，(j + 1), a xy ->^ (乙方+ +)6D・ Доказательство такой замены основывается на теории групп.
Существует также более общий метод вычисления матричных элементов симметричных операторов, развитый в работах Вигнера (1961), Рака [66], Костера [67], Юциса, Левинсона, Вакагаса (I960), Юциса и Банд- зайтиса (1965). Этот метод позволяет проводить более полные расчеты, например, с учетом «взаимодействия термов» как внутри, так и между конфигурациями. Он был использован также в работах [68—75].
Эффект «размораживания» орбитальных моментов
Выясним теперь, как производится расчет спин-орбитального расщепления и его эффекта «размораживания» орбитальных моментов. Мы уже видели, что спин-орбитальное взаимодействие в первом приближении теории возмущений не может влиять на энергию невырожденного орбитального состояния. Однако в этом приближении это взаимодействие уже меняет волновые функции. Обозначим энергию основного состояния через 宮;，а энергии возбужденных состояний (без учета спин-орбитального взаимодействия) через 宮^ (п = 1, 2, 3, . . .); волновые функции основного состояния по (10.24) будут ipoa и 2°3 а возбужденных состояний 2?а, 2?)§. Допустим, что включено также внешнее магнитное поле, оператор энергии которого (10.4) можно в первом приближении (без учета диамагнитного эффекта) записать в виде
ycBH(t + 2S).(10.35)
Это возмущение полностью снимает вырождение (по спинам). Спин-орби- тальная связь в первом приближении меняет волновые функции по известной формуле теории возмущений
啥=2。+ ]，〈％。丄結戮公峭•(Ю.36)
(штрих у знака суммы означает, что при суммировании по п надо исключить член с тг = 0). Для 屮巾卩 надо заменить 〈％ а | 九(£•©) |0, а) на 〈％ § I 九(L-S) I 0, Р). Поправочный член в (10.36) по порядку величины равен Х/Дэл. Для Зй-ионов Л ^ 102—103 «-1, а Д9Л ^ 104 см-1, поэтому 九/Азп ^ 10~2 4- 10-1. При наличии магнитного поля Н, направленного вдоль оси z (оси тетрагональной симметрии иона, находящегося в состоянии 2。； этот случай мы здесь и рассматриваем), функции 屮⑷仪 и 屮⑷ § суть собственные функции возмущенного гамильтониана (10.35), и поэтому отличны от нуля только диагональные элементы, которые и дают энергию возмущения (10.35) в первом приближении:
〈屮以 |“е〈Н • (£ + 2©)) I 2⑴ а〉=
=卩e反〈2⑴a IкI"⑴а)+ 2卩её〈▽⑴a | Sz |巾⑴а). (10.37)
Подставляя функции (10.36) в выражение для матричного элемента оператора Lz из (10.37), находим в первом приближении
〈w⑴a I Lz\ W⑴a〉=〈业 I Lz | 业〉一
—寸［〈Wo|£zlW2〉〈S?)a|%(£・S)l5)a〉I тс、』7T Pnnn I МП 44 ^^j I -寥 0 卷 оКОМПЛ COUp • j •^ 1M • ОО J
Первый член в правой части (10.38) равен нулю (эффект замораживания орбитальных моментов в лигандном поле). Далее, по (10.14) и рис. 10.5 имеем
Мо 匂(у ^ — % 备)衅竺萨1 = 2W击* = 2<>. (10.39)
Поэтому в сумме в (10.38) сохраняется лишь член с 也=2. Кроме того, легко показать, что
<^20)I ^/1 ^о) = 2f； (1р^0) I Zx I ipo) = <^20)I I ^о) = 0； S：a = "|a (10.40)
и, следовательно,128
〈叩8a 也 2"а〉=—-鎏吋鄧•(10.41)
Формула (10.41) показывает, что под влиянием спин-орбитального взаимодействия (九，0) возникает «размораживание» орбитальных моментов. Относительное участие орбитального магнетизма в общем магнитном моменте определяется отношением 4Х/ДКр? т. е. величинами порядка 4 ЛО-1 — 4 ЛО-2. В этом легко убедиться, если в (10.37) вычислить еще спиновую часть момента. В силу того, что
〈2оа|&|2^'а〉= 0бп,о
(где Sn, 0—символ Кронекера), в выражении 〈屮⑴а | «/屮⑴а〉пропадает вклад от члена, аналогичного сумме, стоящей в правой части (10.38), и поэтому
<ipa,a I Sz I ip<1}a) = (ipoa | §z | ipoa) =y.(10.42)
Подставляя (10.11) и (10.42) в (10.37), имеем для зеемановского сдвига энергии *)
записывая зеемановское расщепление в обычной форме а富 Зеем = а富a + △窗8 = 8|1ne反，
находим для эффективного g-фактора, или фактора спектроскопического расщепления в кристалле с частично размороженными орбитами, ，
印= 2(1-总)•(10.44>
Например, для соединений с парамагнитным ионом Си2+ опыт дает g“ = =2, 4 = 2 (1 + 0,4), т. е. Х/Дкр 0,1.
Если магнитное поле Н перпендикулярно к оси симметрии кристалла, например, параллельно оси %, то волновые функции 2(i)a и “《口卩 уже не являются собственными функциями оператора (10.26). Поэтому энергия возмущения определяется из секулярного уравнения
A窗-件a以 !цБЯ (以 + 25х)I U"a〉〈炉% | hБЯ (4 + 2乱)| 屮呻〉 П 〈炉呻I ИБЯ (厶+ 2SQ I4⑴a〉Ag 一绅呻I迎& + 2区| г/呻)
(10.45) Пользуясь теми же приемами вычисления матричных элементов, можно легко показать, что в данном случае диагональные матричные элементы равны нулю.
Это также следует из простых соображений симметрии. Поворот на угол 180° вокруг оси z не влияет на орбитальные волновые функции [см. (10.14)], но вызывает появление множителей +% у спиновой функции а и —I у р. Поэтому диагональные матричные элементы не будут изменяться, поскольку оператор Lx + 2sx изменит знак и матричный элемент в итоге сохранит знак (—%・% = 1). Но по физическим соображениям среднее значение проекции момента должно изменить знак при повороте на угол 180° вокруг оси z. Чтобы разрешить это противоречие, остается предположить, что эти диагональные элементы равны нулю.
Вычислим теперь недиагональные элементы. Поскольку (ipoa I 応 |屮加〉=0 (из-за ортогональности спиновых функций), то по аналогии с (10.38) имеем
3aa|厶|炉呻〉=
=_ { W'电。必屮晦咚g(K)№B〉^компл. сопр.} • (10.46)
По аналогии с (10.39) легко показать, что L^q =—hp£* и поэтому
绅气心4叩〉=一离餐•(10.47)
Далее имеем〈2ша | Sx | ipa)p)и, кроме того, используя эрмитовость матрицы оператора (10.35), находим для (10.45)
AgAg0.0.(10.48)(10.48)
Ag
Ag
0.
0.
(10.48)
(10.48)
g_L = 2 (g_L = 2 (Отсюда находим, что (△宮зеем)丄二 g丄卩е〃，где
g_L = 2 (
g_L = 2 (
(10.49)
Например, в случае тех же соединений с Си2+ опыт дает g丄= 2,08. Для поля Н, направленного вдоль оси у, получаем тот же результат. Из полученных результатов видно, что следствием анизотропии кристалла является анизотропия его магнитных свойств.
При произвольном направлении поля, в силу линейности матриц для определения g|| и g丄，мы их можем представить в виде суммарной матрицы:
(А宮一Nug岡zNug丄伍一(10 50)
и, вводя некоторый фиктивный спин S' с компонентами
можно ввести спиновый гамильтониан
愈СП =卩Е [g/zd； +g丄(％訖 + ад)Ь(10.52)
Таким образом, задача об определении энергии возмущения в магнитном поле, произвольно направленном в кристалле, сводится к нахождению собственных значений спинового гамильтониана типа (10.52). Если поле составляет угол 仆 с осью z, то собственные значения (10.52), в силу (10.50), можно записать в виде
厶宮=± 匣笈(gf| cos2 仆 + gj sin2 仆产 2 = ±y Rsg仔 H,(10.53)
где
go = fell cos2 ^ + g± sin2 仆У".(10.54)
По теории спин-орбитальной связи в парамагнитных кристаллах и измерениям магнитной анизотропии см. [72—75].
Метод спин-гамильтониана
Только что рассмотренный пример является частным случаем весьма общего метода спин-гамильтониана, впервые предложенного Прайсом [76] и затем разработанного Абрагамом и Прайсом [77]. Описание этого метода можно найти также в ряде книг и обзоров [см., например, [62, 78—— 82]; Альтшулер и Козырев (1961); Лоу (1962); Хейне (1963); Пейк (1965)].
Используя теорию возмущений для орбитальных состояний, получаем обычно во втором приближении (а в некоторых случаях в более высоких приближениях) выражение для гамильтониана, содержащего лишь спиновые операторы. В общем случае эти операторы относятся не к истинному спину S свободного магнитного иона, а к некоторому фиктивному спину S', который дает наблюдаемый на опыте зеемановский мультиплет с 2S‘ + 1 составляющими.
В достаточно сильных кристаллических полях (Дкр》Дэл) возникает эффект взаимодействия термов. Такое взаимодействие может, в частности, приводить к смешиванию состояний основного терма с состояниями возбужденных (оптических) термов и к разрыву рессел-саундерсовской связи в магнитном поле. Учет этих эффектов в работах [83, 84] приводит лишь к изменению констант спинового гамильтониана, сохраняя неизменной его общую форму.
Метод спин-гамильтониана модифицировали Костер и Статц [85]. Их метод применим к любым состояниям ионов (в том числе и к ^-состоя- ниям) и является более общим. Однако в обычно используемой области частот первоначальный метод спин-гамильтониана является практически достаточным (см. [86]).
Величина S' может как совпадать, так и не совпадать с истинным спиновым квантовым числом S. Эффективный же магнитный момент этого состояния определяется эффективным g-фактором, в общем случае тензором, могущим сильно отличаться от обычного фактора Ланде. Таким образом, метод спин-гамильтониана дает феноменологическое описание
влияния разнообразных связей на структуры нижних энергетических уровней магнитных ионов в кристалле. Последние описываются всего лишь одним квантовым числом 5\ хотя фактически квантовые состояния ионов в кристалле являются сложной суперпозицией спиновых и орбитальных состояний изолированного иона.
Не останавливаясь на детальном выводе спин-гамильтониана, рассмотрим один простой пример. Пусть основное состояние является орбитальным синглетом, а оператор энергии возмущения включает только спин-орбитальную энергию 九(_£。自) и энергию во внешнем поле nБ (h•(工 + 2吩)：
舷вз = А (亢自)+Ne(H・(E+2«)).(10.55)
Поправку от (10.55) в первом приближении
,<0 I сфвз I 0) = X <0 I (±.^) I 0) + цБ (7£ • <01 ± + 2,S I 0)).
В члене 2цБ (Н ・S) нет операторов, действующих на орбитальные функции, и поскольку последние нормированы (т. е. (0 10) = 1), то поправка первого приближения для (10.55)
<0 I 矗вз I 0) = 2屈(H-S).(10.56)
Член
<0|Иб(Я-.Х) + Х(±.^)|0) =2(也％ + 九邑)〈0| 厶 |0〉= 0,
i(=氏，и, z)
ибо (0 I А/1 0) = 0 в силу синглетности основного орбитального состояния.
Поправка от (10.55) во втором приближении равна
-2П(т^О)-2П(т^О)(10.57)(10.57)I <01 цБ (/г-也+ 2«)) +Х (£ 礴 I 力 |2
-2
П(т^О)
-2
П(т^О)
(10.57)
(10.57)
第一鄧
Члены, не содержащие оператора £, дадут нуль в силу ортогональности орбитальных функций (т. е. 〈0 | тг〉= 0 при п，0). Отличными от нуля будут матричные элементы типа (fl \ Lt \ п) (i = х, у, z), конкретный вид которых определяется в каждом случае особо. Здесь важно лишь отметить, что в (10.57) сохраняются члены, квадратичные но 反 и «. Поэтому поправки первого приближения (1056) и второго приближения (10.57) в сумме имеют следующий общий вид:
с^вз =財2 (5疗一АЛ 订)印斗—\\^\ijH tHj —九 2A 仃 £S 力 (10.58)
где г, /=%, у, z, по дважды встречающимся индексам г, / предполагается суммирование и вещественный симметричный и положительно определенный тензор Л^ имеет вид *)
、,<01 Лг I п) (n\Lj\ 0>
Величина
g订=2 (必一АЛ订)(10.60)
является упоминавшимся выше тензором эффективного фактора спектроскопического расщепления.
Для магнитного момента мы получаем из (10.58)
固=-嚼券=2也(瓦一九А"&) + 2遽А〃％.(10.61)
Первый член в правой части (10.61) дает собственный эффективный момент, слагаемое —2卩е^А订W) соответствует орбитальному вкладу в момент, обусловленному эффектом размораживания орбит под действием спин- орбитальной связи ионов в кристалле, существующей и без внешнего поля. Второй член в правой части (10.61) дает индуцированный парамагнитный момент (создающий ванфлековский парамагнетизм!).
В общем случае спин-гамильтониан имеет гораздо более сложный вид, поскольку кроме спин-орбитального взаимодействия должна еще учитываться электронная спин-спиновая связь, взаимодействие между магнитным моментом ядра и магнитным полем, создаваемым орбитальным движением и спином электрона [взаимодействие приводящее к сверхтонкой структуре (СТС)]. Далее следует еще учитывать электростатическое взаимодействие с квадрупольным моментом ядра и, наконец, взаимодействие магнитного момента ядра с внешним магнитным полем. Кроме того, нужно также учитывать диамагнетизм иона. Все это приводит к более сложному выражению для спин-гамильтониана. Не приводя подробного вывода последнего [см., например, Лоу (1962)], выпишем окончательный результат:
越” =^BgijHtSj — 5$屈十 4jSjj+ Qi jit Ij — (ТИяд + ^/j) *右+'
4-^Ai3HtHi + ^[H^〈啮-HiH} 2〈喈嚟〉],(10.62) где
Dtj = —MA 幫一pkj,
lij =万〈0 1互£) + £J£2 I。〉一■^厶(厶 + 1) 6г；(2, j =芻 y, 2),
Лг； и Rtj— тензоры, определяемые через тензор 2〃 и параметры взаимодействия (СТС), Q各——тензор, связанный с квадрупольным моментом ядра, I — спин ядра; последний член в (10.62) дает диамагнитный вклад иона. Входящая в Du величина р есть параметр спин-спинового взаимодействия, общее выражение для которого имеет вид
ЛГ" А л4 А л4Г
能ss= -p[ (X-S)2 + y(i-«)-|^(^+l) 5(5 + 1)].
Спин-гамильтониан (10.62) можно легко упростить для каждого конкретного случая симметрии кристалла. Например, в случае тетрагональной или тригональной симметрии (10.62) примет вид
認си = D*^ + Re [^\\HzSz + g丄{HXSX + 〃/疝 +/Jz5z+*
+ 4 (/xSx + /gSg)+Q'E+R\\izHz — r^(ixhx+igii 力—
一?няд (1,Н)-卩看人ьН血尸(10.63)
Первый член описывает поведение уровней в нулевом магнитном поле в отсутствие взаимодействия СТС при учете лигандного поля, спин- орбитальной и спин-спиновой связи. Второй член, содержащий Яг и *力 указывает на анизотропию магнитного момента. Члены, содержащие 5г и /|, описывают анизотропию взаимодействия СТС, а член с Q'——анизотропию квадрупольного взаимодействия; смысл остальных членов очевиден.
На примере (10.63) видно, что метод спин-гамильтониана дает возможность описать спектр магнитных ионов в кристаллах с помощью небольшого числа постоянных: D, g“, g丄 и т. д.
Результаты опытной проверки всех вышеприведенных теоретических выводов, по существу, уже были рассмотрены в гл. 9. Эти выводы лишь подтверждают изложенные в гл. 9 качественные физические соображения, положенные в основу теории парамагнетизма.
Изложенная здесь теория внутрикристаллического поля, спин- гамильтониана и т. п. имеет также большое значение для обширной области электронного парамагнитного резонанса (ЭПР). Эти вопросы будут рассмотрены в гл. 13. Проблемы спин-гамильтониана рассмотрены также в работах [87—96]..
Учет магнитного взаимодействия ионов
При исследовании свойств парамагнитных кристаллов в ряде случаев необходимо учитывать и магнитное взаимодействие между ионами. Учет этого взаимодействия в первом приближении может быть сделан и чисто макроскопическим путем. Прежде всего, это может быть выполнено с помощью введения размагничивающего поля, которое учитывает эффект поверхностей образца, где имеются магнитные заряды (Div I =/= 0). Следующая поправка была внесена Лорентцем (1934) введением так называемого локально (действующего в данном месте) магнитного (или электрического) поля 左л:
Нл = н+粤 г,(10.64)
где Н — внешнее поле с учетом размагничивающего эффекта поверхности. Лорентцевская поправка 4TLz73 является законным приближением, если элементарные магнитные моменты расположены вокруг каждого данного магнитика изотропно или в узлах решетки кубической симметрии, а также если относительная ориентация элементарных магнитных моментов статистически одна и та же по всему объему образца (пренебрежение «ближним порядком»). Более точное определение локального поля было сделано Онзагером [97] чисто макроскопическим путем, а также Ван-Фле- ком [98], который развил квантовомеханическую теорию магнитного взаимодействия в кристалле. За подробностями отсылаем читателя к оригинальным работам, а также к монографии Зейтца (1949).
При повышении концентрации магнитных ионов в диамагнетике могут возникать обменносвязанные пары и более сложные комплексы магнитных ионов. Это должно влиять на магнитные, оптические, микроволновые и другие физические свойства кристаллов. Изучению этого влияния посвящено много работ. В частности, по влиянию на оптические свойства см. работы [99—105]. Влияние пар на ЭПР рассмотрено в работах [106——112]. По влиянию пар на сверхпроводимость см. работу Вонсовского и Свирского [ИЗ].
Гиромагнитное отношение ионов в парамагнитных кристаллах
Гиромагнитное отношение g для парамагнетиков было экспериментально исследовано Сексмитом [114] для ряда веществ (соли металлов группы железа и редкоземельных металлов). В табл. 10.11 приведены данные этих измерений, а такя^е теоретические значения.
В случае ионов редкоземельных элементов для определения гиромаг- нитного отношения g можно воспользоваться формулой (9.38). Заметим при этом, что средний момент количества движения вычисляется по аналогичной формуле без множителя 卩街,а также без высокочастотного слагаемого aj, которое следует отбросить, так как перпендикулярная слагающая момента по отношению к полю не рассматривается. Таким образом, для g (при 反=0) будем иметь
2 (g^(/+l) + 3^aj^](2J + l)eXp (-^-)
i 二；(10-65)
£gjJ(J + l)6 + l) exp号)
Таблица 10.11
Гиромагнитное отношение для ионов 3d- и 4/- элементов в парамагнитных солях
Ион
Вещество
^опыт
^теор
%Ф6
СгЗ+
CrCl3
1,95
0,40—1,38
3,9+0,2
Мп2+
MnCO3 MnSO4
1,98
2,00
5,9土0,2
Fe2+
FeSO4
4,89
1,50—1,67
5,0 土0, 2
Со2+
CoSO4 CoCl2
1,54
1,33—1,39
4,6+0,3
Nd3+
Nd20g
0,78
0,73—0,76
—
Еиз+
Eu2O3
4,5
6,56
—
Gd3+
Gd2（）3
2,12
2,00
—
巾3+
Dy2O3
1,36
1,33
—
причем g равно gj, если рассматривать одно-единственное /-состояние и принять, что а」=0. Вычисленные по формуле (10.65) значения g приведены в предпоследнем столбце табл. 10.11.
Теоретическое значение gB случае широких мультиплетов hv (J, J')》 》кТ соответствует просто g-фактору для энергетически наинизшего состояния [см. (9.6)]. Для узких мультиплетов, т. е. когда hv (J, J')《кТ， в силу (9.29) имеем
7 — 4s (3 + 1) + £(£+1)m 一 2s (6+。+ L(L十0
В случае полного выключения орбитального момента благодаря эффекту «замораживания» (см. выше § 7) вместо (10.66) имели бы
?=2・(10.67)
Для иона марганца Мп2+, который находится в 5-состоянии (厶= 0)， опыт дает g = 1,98, что очень близко к теоретическому значению (10.67) для свободного спина. В случае ионов хрома Сг3+ опытное значение также близко к двум. У, ионов железа и кобальта, по-видимому, орбитальные моменты заморожены лишь частично. Стонер [115] ввел в (10.66) множитель В，характеризующий эффективную свободу орбитального момента, т. е.
不 4s(5+1) + 8£(£+1) ?一百(5 + 1) + 阿(上十1) .
Согласно (9.30)
р歸巾=4S (S+l) + B厶(Z+l).
Из этих выражений можно определить эффективное число магнетонов ?»巾© через опытное значение гиромагнитного отношения g, а именно:
АФФ - {[25 (S + 1) + ①(£ + 1)] ?}"2.(10.68)
Вычисленные по (10.68) значения р》巾巾 для измеренных значений ионов З^-металлов приведены в последнем столбце табл. 10.11, и они находятся в удовлетворительном согласии с опытными данными (см. табл. 9Л)..
Обращаем внимание читателя на работу Гортера и Кана [116], в которой наиболее строго рассмотрен вопрос о гиромагнитном эффекте в парамагнетиках с точки зрения квантовой механики. В связи с определением
g-фактора из гиромагнитных опытов Сексмита [114] необходимо указать на определение g-фактора спектроскопического расщепления. Этот вопрос более подробно будет рассмотрен в связи с проблемой ферромагнитного резонанса (см. гл. 24).
19- ^^^^7-^^^^^^^ ^^ ^^ ^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^49-50-旣旣55-56-57-38-19- ^^^^7-^^^^^^^ ^^ ^^ ^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^49-50-旣旣55-56-57-38-ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 10
19- ^^^^7-^^^^^^^ ^^ ^^ ^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^49-50-旣旣55-56-57-38-
19- ^^^^7-^^^^^^^ ^^ ^^ ^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^49-50-旣旣55-56-57-38-
I. Freeman, R. Е. Watson, Phys. Rev. 127, 2058 (1962).
R. J udd, H. M. Crosswhite, H. Cross white, Phys. Rev. 169, 130 (1968).
H, Bethe, Ann. d. Phys. 3, 133 (1929).
H. В e t h e, Zs. Phys. 60, 218 (1930).
H. A. Kramers, Proc. Amster. Acad. 32, 1176 (1929).
W. G. Penney, R. S c h 1 a p p, Phys. Rev. 41, 194; 42, 666 (1932); 43, 485(1933).
J, S. Griffith, L. E. О г g e 1, Quart. Rev. 11, 381 (1957)*
Я. К. С ы p к и ht Усп. химии 28, 903 (1959).
Н. A. J a h nT Е. Т е 1 1 е г, Proc. Roy. Soc. А161, 220 (1937).
Bose, Indian J. Phys. 22, 74, 195, 276, 483 (1948).
C. Guha, Nature 184, 50 (1959).
L. С. J a c k s о n, Phil. Mag. 4, 269 (1958).
A. Bose, S. C. Mitra, S. K. Datta, Proc, Roy. Soc. A248, 153 (1958).
A- Bose, A. S. Chakravarty, R. Chatterjee, Proc. Roy. Soc. A261. 207 (1961).
А. В о s e, S. С. M i t r a, R. R a i, Indian J. Phys. 3 9, 357 (1965).
T. H a s e d a, H. R о b a у a s h iT M. Date, J. Phys. Soc. Japan 14, 1724 (1959).
W. D e W i j n, J. С. M. Henning, Physica 28, 592 (1962).
D.V.G.L. N arasimha Rao, A. Narasimhamurty, Phys. Rev. 132, 961 (1963).
M. T. Hutchings, W. P. Wolf, Phys. Rev. Lett. 11, 187 (1963).
G. H a 1 1, A. H а г d i s s о n, Proc. Roy. Soc. A278, 129 (1964).
N.Fi g g i g, M. Ge r 1 о g h, R. Mason, Proc. Roy.Soc. A279, 210 (1964).
А. В.Со к о л о в, В.П. Широковский, У ①Н 60,617 (1956).
А. В.Со к о л о вг В.П. Ш и р о в с к и й, УФН 71, 485(I960).
R. S. Мu 1 1 i k е nT I. Chem. Phys. 3, 375 (1935).
W. Н. Kleiner, J. Chem. Phys. 20, 1784 (1952).
Y. Tanabe, S. Sugano, J. Phys. Soc. Japan 11, 864 (1956).
J. H. V an V 1 e c k, J. Chem. Phys. 3, 803, 807 (1935).
S. Sugano, R. G. Shulman, Phys. Rev. 130, 517 (1963).
S. S u g a n o, Y. T a n a b e, J« Phys. Soc. Japan 29, 1155 (1965).
W. M ars h a 1 1, Phys. Rev. 123, 2048 (1961).
Ch. M. H e г z f e 1 d, P. H. E. M e i j e rT Solid State Physics, vol 12, Acad, press, N. Y・ 1961. p. 1.
V. J. F о 1 e n, J. Appl. Phys. 33, 1084 S (1962).
A. M. Л e у ш и н, ФТТ 5, 3373 (1963).
T. P. D a s, Phys. Rev. 140, A195 7 (1965).
A. Bose, S, L a h i г yT U. S. Ghosh, J. Phys. Chem. Sol. 26, 1747 (1965).
J. M. W i n t e rT J. de phys. 26, 41r 44 (1965).
J.Margerie, J. de phys. 2 6, 268 (1965).
P, J u n о d, A. M e n t hT О. V о g tT Phys. Lett. 23, 626 (1966).
J. H. V a n V 1 e с к, J. Phys. Chem. Sol. 27, 1047 (1966).
Sci. Sinica 15, 610 (1966).
M. V e g s i e, B. Dreyfus, J. Phys. Chem. Sol. 2& 499 (1967).
M. Kibler, Cahiers Phys. 21, 141 (1967).
F. Calendini, G. M e s n а г d, Cahiers Phys. 21, 149 (1967).
Wigner, Nachr. Acad. Wiss. Gottingen, Math. phys. KL Ila, 546 (1932).
H. A. J a h n, Proc. Roy. Soc. A164, 117 (1938).
J. H. Van V 1 e c k, J. Chem. Phys. 7, 72 (1939).
U. 0 p i c, U.H.L. Pryce, Proc. Roy. Soc. A238, 425 (1957).
H. C. L о n q u e t, U. Opie, M. H.L. P г у c e, R. A. S a c k, Proc. Roy. Soc.
A244, I (1958).
U. О p i g, M.H.L. Pryce, Proc. Phys. Soc. A65, 667 (1952).
A. D. L i e h r, W. M о f I i t t, J. Chem. Phys. 25, 1074 (1956).
W. M о f f i t t, A. D. L i e h r, Phys. Rev. 108, 1195 (1957).
W. Moffitt, W. Thorson, Phys. Rev. 108, 1251 (1957).
В. И. А в в а к у м о в, ЖЗТ① 37, 1015 (1959).
J.C. Slonczewski, Phys. Rev. 131, 1596 (1963).
S. H a m, Phys. Rev. 138, A1727 (1965); 166, 307 (1968).
K. W.H. Stevens, F. P e г s i c o, Nuov. cim. 41, 837 (1966).
R. M. M a c f a r 1 a n e, J* V. Wong, Phys. Rev. 166, 250 (1968).
W. Thorson, W. Moffitt, Phys. Rev. 168, 3 62 (19 68).
R. E n g 1 m a n, J. Appl. Phys. 39, 680 (1968).
H. Kamimura, S. Mizuhashi, J. Appl. Phys. 39, 684 (1968).
J. Kanamori, M. Kataoka, Y. Itoh, J. Appl. Phys. 39, 688, (1968).
В.В. В 1 e a n yT K.W. H. S t e v e n s, Re. . Progr. Phys. 16, 108(1953).
K.W. H. S t e v e ns, Proc. Pbys. Soc. Ab 209 (1952).
R.J. Elliott, K.W. H. Stevens, Proc. Roy. Soc. A218, 553(1953).
B. R. J u d d, Proc. Roy. Soc. A227, 552 (1955).
G. R a c a h, Phys. Rev. 61, 186 (1941); 62, 438 (1942), 63, 307 (1943); 76, 1352 (1949).
G. F. К о st e r, Phys. Rev. 109, 227 (1958).
Y.T an abe, S.Sugano, 3. Phys. Soc. Japan 9, 753, 7 66 (1954); 13T 394 (1958)*
W. Low, Advances in Quantum Electronics, New York, 1961 p. 138, (см. перевод в сб.《Лазеры», ИЛ, М, 1963).
В. В. Дружинин, В. И. Черепанов,①ТТ 6, 2547 (1964).
В. В. Дружинин, В. И. Черепанов,①ТТ 7, 2513, 3490 (1965).
R. J. Е i 1 1 i о t t, К. W. Н. Stevens, Proc. Phys. Soc. A65, 205 (1951).
H. H. S c h m i d t к e, Zs. Naturforschg. 18a, 276 (1963); Forschritte d. Phys. 13f 211 (1965).
A. A. M i s e t i c h, T. Buch, J. Chem. Phys. 41, 2524 (1964).
5. B. D. Bhatlachasyya, Indian J. Phys. 38, 331 (1964).
M.H.L. Pryce, Proc. Phys. Soc. A63, 25 (1950).
A. A b г a g a m, M.H.L. Pryce, Proc. Roy. Soc. A205, 135 (1951).
M.H.L. Pryce, Nuovo cim., Suppl. 6, № 3, 817 (1957).
K. D. Bowers, J. Owen, Rep. Progr. Phys. (London) 18, 304 (1955).
В. В 1 e a n y, Phil. Mag. 42, 441 (1951).
W. A) Nierenberg, Ann. Rev. Nucl. Sci., vol. 7, Palo Alto (1957).
K. W. H. Stevens, в книге《Magnetism», ed. G. T. Rado, H. Suhl, vol. 1, New York, 1963.
A. H. M e н в,①.Л. M у ф т a x о в а, А. П. H и к о л a e в, В. И. Черапа- нов,① ТТ 7, 2180 (1965).
В.В. Дружинин, А. Казаков,① ТТ 8, 2228 (1966).
G. F. К о s t е г, Н. S t a t z, Phys. Rev. ИЗ, 445 (1959); 115, 1568 (1959).
А. М. Л е у ш и н, в сб. «Парамагнитный резонанс», изд. Казанского гос. ун-та, Казань, 1964, стр. 42.
К.Sugihara, J. Phys. Soc. Japan, 14, 1231 (1959).
F. S. H a m, G. W. Ludwig, G. D. W a t k i n s, H. H. W о о d b u г y, Phys. Rev. Lett. 5, 468 (I960).-
А. К. M о p о ч и,社ЮТ① 43, 1804 (1962).
F. E. Williams, H. Gutowsky, J. Appl. Phys. 33, 251s (1962).
W. J. Nicholson, G. Burns, Phys. Rev. 129, 2490 (1963).
W. J. Grant, M.W.P. Strandberg, Phys. Rev. 135, A715 (1964).
T. R a y, Proc. Roy. Soc. A277, 76 (1964).
Huang W u - H a n, Lin Fu-Cheng, Proc. Phys. Soc.84, 661(1964).
В.H. F 1 о w г s, S. Szpikowski, Proc. Phys. Soc.84, 673(1964).
T.R ay, D. K. R a y, Phys. Rev. 164, 420 (1967).
L.О n s a g e r, J. Am. Chem. Soc. 58, 1486 (1936).
J.H. V a n V 1 e c k, J. Chem. Phys. 5, 320 (1937).
Y. Tanabe, S. Sugano, в книге «Magnetism», ed. G. T. Rado, H. Suhe, vol, 1, New York, 1963.
A. L. S h a w 1 о w, D. L. Wood, A. M. Clogston, Phys. Rev. Lett. 3, 271 (1959)..
P. К i s 1 i i)T A. L. S c h a w 1 о w, M. D. S t u г g e, Quantum Electronics, Third Symposium, Columbia Univ., New York, 1964, p. 725.
А. А. КаплянскийтА. К. Пржевусский, ДАН СССР 142, 313 (1962)* 103, A. E. H и к и ф о p о в, A. H. M e н ьт В. И. Ч e p e п а н о вт ①ТТ 6, 3288 (1965). 104. А. Е. Никифоров, В. И. Черепанов, Phys. stat. sol. 14, 391 (1966), 105. А. Е. Н и к и ф о р о в, В. И. Ч е р е п а н о в, А. Н. М е н ь, в сб. «Спектроскопия кристаллов», изд-во «Наука», М., 1966, стр. 47.
Н. Statz L. R i m a i, M.J. Weber, G. A. de Mars, G. F. Koster, J. Appl. Phys. 32, Suppl. 218 (1961).
J. Owen, J. Appl. Phys. 32, 213 S (1961); 33, 355 S (1962).
С.А.Альтшулер, P. M. В а л иш e в, ЖЗТ ① 48,464 (1965).
И.Д.М а ш,.М. И. Р о д а к,①ТТ 7, 717 (1965).
А.Е.Никифоров, В. И. Черепанов,①ТТ 7,1162, 3431(1965).
С.В.Вонсовский, В. И. Черепанов, А. Н. Мень, А. Е.Ники
форов, ДАН СССР 170, 1288 (1966).
Д. Т. Свиридов, Ю.①.Смирнов, ДАН СССР 180, 843 (1968).
ИЗ. С. В. Вонсовский, М. С. Свирский, Phys. stat. sol. 10, ИЗ (1965).
W. Suck smith, Proc. Roy. Soc. A128, 276 (1931); A133, 179 (1931); A135, 276 (1932).
E. Stoner, Proc. Leeds Phil. Soc. 2, 309 (1932).
С. J. G о г t e г, В. К a h n, Physica 7, 753 (1940).
Глава 11
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ, НЕ ОБЛАДАЮЩИХАТОМНОЙ МАГНИТНОЙ СТРУКТУРОЙ
А. МЕТАЛЛЫ НОРМАЛЬНЫХ ГРУПП
Введение
Все металлы и металлические сплавы обладают магнитными свойствами, т. е. являются магнетиками. В соответствии с общей классификацией (см. гл. 6) их можно разбить на два больших класса: 1) металлы и сплавы, в которых ни при каких условиях не возникают состояния с атомным магнитным порядком, и 2) металлы и сплавы, где такие состояния наблюдаются в определенных интервалах температур. Здесь мы рассмотрим только первый класс ——диа- и парамагнитные металлы, которые можно назвать слабомагнитными металлами.
Начнем с рассмотрения чистых элементов. Среди металлических элементов можно выделить две группы — нормальные и переходные металлы. Кристалл нормального металла представляет собой сложную систему, состоящую из коллективизированных электронов проводимости и ионной кристаллической решетки диамагнитных ионных остовов с замкнутой электронной оболочкой. В части I табл. 11.1 приведены значения магнитной во сприимчиво ст и «слабомагнитных» нормальных металлов. Из этих данных видно, что все щелочные металлы парамагнитны, а их восприимчивость мала по величине (/Пм а 10-6); отметим, что она практически не зависит от температуры. То же можно сказать и о нормальных металлах второй группы таблицы Менделеева, т. е. о щелочноземельных металлах. Исключением здесь является бериллий (Z = 4), обладающий заметным диамагнетизмом ). Среди элементов третьей и четвертой групп только алюминий (Z — 13) и белое олово (Z = 50) в р-модификации оказываются парамагнетиками. Все остальные нормальные металлы (около 20 элементов) —диамагнетики. Среди них особенно яркими диамагнитными свойствами обладает висмут (Z = 83). В части II табл. 11.1 приведены значения восприимчивости слабомагнитных переходных металлов. Отличие их электронной структуры по сравнению с нормальными металлами заключается в существовании внутренних незаполненных d- или /-слоев электронной оболочки их ионов. Здесь во всех случаях наблюдается только парамагнетизм. Абсолютная величина их магнитной восприимчивости оказывается заметно выше, чем у нормальных металлов (на один-два порядка), а также обладает хотя и слабой, но более заметной температурной зависимостью, чем у нормальных парамагнитных металлов.
Что касается магнитных свойств слабых металлических сплавов как без участия, так и с участием переходных элементов, то пока здесь проведено очень мало систематических измерений, чтобы можно было вывести общие физические закономерности.
Следует отметить, что в силу малости восприимчивости многих парамагнитных и д иамагнитных металлов присутствие в них даже ничтожных ферромагнитных примесей может полностью исказить истинную картину магнитных свойств. Одним из способов исключения влияния ферромагнитных примесей является предложенный Хонда [2] и Оуэном [1] метод измерения % при различных величинах внешнего магнитного поля. В частности, если производить измерения в очень сильных полях (когда ферромагнитная примесь находится в состоянии насыщения), то можно приближенно пользоваться формулой х —— ％оо = а/Н, где % —— измёренная восприимчивость, а — постоянная, зависящая от величины магнитного насыщения примеси, а 工国 ——восприимчивость чистого парамагнитного металла. Однако ферромагнитные примеси могут находиться в толще слабомагнитного металла не в виде изолированных частиц, а могут сильно взаимодействовать с окружающими атомами основного кристалла. Это взаимодействие может зависеть от термической и механической обработки металла. Последнее обстоятельство дает возможность использовать такое поведение примесей для изучения макро- и микроструктуры слабомагнитного металла [подробнее см. [3, 4] и Стонер (1934)], а тайже для изучения магнитных свойств малых ферромагнитных включений.
Постараемся теперь выяснить те специфические особенности магнитных свойств, кото рые являются прямым следствием металлического состояния вещества. Еще до появления современной квантовой теории металлов Дорфман [5] обратил внимание
Таблица 11.1
Атомные (%а) и объемные (%) магнитные восприимчивости слабомагнитных(диа- и парамагнитных) металлов при комнатных температурах (Т а 300° К)
I. Нормальные металлы
Элемент
Атомный номер Z
Атомный вес А
Плотность р, г • слг-З
%А*1О6
х* 106
Be Mg Са Sr Ba
Zn Cd
Hg
Al
Ga In a-Tl
G f белое
1 серое
Pb
As Sb
Те Bi
Th
U
Pu
Числе] статей Физ M., 1960—1 же источи и
3 '11
19
37
55
29
47
79
4
12
20
38
56
30 48
80
13
31
49 81
50
82
33
51
52
83
21
22
23
39
40
41
42
43
44
45
46
57
70
71
72
73
74
75
76
77
78
90
92
94
<ные значения яческого энци 966), магнита ка, а для перс
6,940 22,9838 39,100 85,47
132,905
63,54 107,870
197,2
9,013
24,32 40,08
87,62
137,36
65,37 112,41 200,59
26,98 69,72
114,82 204,37
118,69
207,19
74,9216 121,75
127,60 209,0
II. П е р ехо
45,10 47,90
50,95
88,92 91,22
92,906
95,94 99,0
101,07 102,905
106,4
138,92 173,04
174,99 178,6 180,948 183,92 186,2
190,2
192,2 195,09
232,05 238,07 239,0
для атомных клопедическог ые восприимч входных метал
0,534 0,9725 0,862 1,532
1,90
8,96 10,5034 19,32
1,8477 1,74
1,54 2,63
3,65
7,131 8,65
13,6902
2,70 5,91 7,31
11,85 7,2984 5,8466
11,3415
5,72 6：6909
6,25 9,80
д н ы е метал 2,99
4,51 6,11
4,472 6,45
8,57
10,2 11,487
12,2 12,41
12,02
6,162 6,959
9,849 13,09
16,6 19,3 21,02
22,5 22,41 21,447
11,55 18,7
19,816
весов и плотное о словаря (изд- ивости нормаль лов литературнь
+24,6 + 16,1 +21,35 +18,2 +29,9
—5,41
—21,5
—29,59
—9,02 +13,25 +44,0 +91,2 +20,4
—11,40
—19,7
—33,3
+16,7 —21,7
—12,6
—58,0
+4,5
-3,7
—24,86
—5,5 —107,0
—40,8
—284,0
л ы
19,0 161,0 296,0
196,0 121,0 212,0
82,5 270,0
44,0 101,0 558,0
112,0 250,0
336,0 70,0
152,0 55,0
65,0
9,5 35,0
189,0
132,0 414,0
627,0
ГИ ВЗЯТЫ ИЗ СО01 so «Советск, эн ных металлов 】е источники сл
+1,89 +0,68 +0,47 +0,33 +0,42
—0,76 -2,1 —2,9
—1,83 +0,95 +1,7 +2,65 +0,56
—1,24 —1,52 —2,25
+1,67 —1,84 —0,8 —3,37
+0,276 —0,184
—1,36
—0,42 —5,9
—2,0
—13,0
19,0 14,4
28,5
8,17
8,40
18,9 8,5 ‘2,5
5,18
12,4
63,5
4,93 7,95
18,7 4,6
13,9
5,6 7,33
0,11
4,06
20,8
6,44 52,8 51,91
'ветствующих циклопедия», взяты из того I. в табл. 11.3.
на следующий факт. Если сравнить наблюдаемую восприимчивость нормальных диамагнитных металлов с диамагнитной восприимчивостью их ионов, полученной, например, из измерений на солях, содержащих эти ионы, или их растворах, то всегда 1 纖ет К I Х™он I- Так, например, для меди %馭ет= —5,4 /。巾а ионная восприимчивость меди Си+ равна %д^он=—18,0«10~6; для золота и серебра соответственно имеем XАмет= —29,59• 10~6 и —21,56 ЛО"6, %^011 = —45,8-Ю"6 и—31,0-lOA Исходя из этого факта было высказано предположение [5], что электроны проводимости обладают парамагнитным эффектом и что именно он ответствен за уменьшение абсолютной величины восприимчивости при переходе от ионов к металлам.
Поскольку восприимчивость диамагнитных металлов, как правило, не зависит от температуры, то, по Дорфману, не должен зависеть от температуры и парамагнетизм электронов проводимости. Это предположение полностью подтвердилось дальнейшим развитием квантовой теории металлов [см., например, формулу (11.11)].
Итак, для большинства парамагнитных металлов характерно то, что их магнитная восприимчивость практически не зависит от температуры (наиболее яркий случай — щелочные металлы). Количественное объяснение этого важного опытного факта оказалось возможным лишь после появления квантовой механики. Если бы электроны проводимости в металлах подчинялись законам классической физики, то парамагнетизм металлов был бы в основном аналогичен парамагнетизму газов, т. е. восприимчивость должна была бы резко зависеть от температуры по закону Кюри (6.5), чего в действительности не наблюдается. В рамках классической механики проблема не зависящего от температуры парамагнетизма металлов, таким образом, оставалась неразрешимой. Более того, это явление стало одним из убедительных доказательств неприменимости законов классической физики к электронам в металлах. Именно работы по объяснению температурно не зависящего парамагнетизма металлов (Паули [6], Френкель [7], Дорфман [8]) вместе с работой Ландау [9] по диамагнетизму электронов проводимости положили начало не только квантовой теории магнитных свойств металлов, но и вообще всей современной квантовой (электронной) теории твердого тела.
Основные свойства идеального ферми-газа.Поверхность Ферми
Принципиальное объяснение особых магнитных свойств металлов можно получить на основании представления, что они обусловлены бывшими валентными электронами атомов, образующих кристаллы металлических элементов. При этом следует учитывать, что эти электроны не локализованы у отдельных атомов, а могут свободно передвигаться по всему объему металла, образуя коллективизированную систему электронов проводимости. Если для описания системы коллективизированных электронов металла ограничиться приближением «идеального газа>>, пренебрегая учетом межэлектронного взаимодействия и взаимодействия электронов проводимости с ионными остовами, то задача сводится к отысканию волновых функций и энергетических уровней электрона, движущегося в потенциальном《ящике» (предполагаем, что образец металла имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами £%, %, Zz и объемом V = £%・£g*£z). В общем случае волновая функция ip (ж, g, z) и соответствующая энергия е определяются из уравнения Шредингера для стационарных состояний
龙2h
—元厶 +。(°' "' 2)I 叩(£，У，z) = &叩(夠 у, z).(11.1)
Поскольку в модели идеального газа можно принять, что потенциальная энергия равна нулю: U (勺,у, 2) = 0, а на границах металла имеется бесконечно высокий потенциальный барьер (Z7 f оо при ж = 0, £%, у = 0, Ly и z = 0, %), то решение уравнения (11.1) будет иметь вид
屮(叫 у, z)= (Aie^ + Bie-1^ (А2еа^ + В2е~^) (A3eihzZ + B3e~^z).
(11.2)(11.2)Граничные условия требуют, чтобы волновая функция на поверхности образца обращалась в нуль: 2 = 0 при х — 0, £%; у = 0, £у и z = °, Lz. Из первых условий следует, что 4® =—方& (а = 1, 2, 3), а из вторых, что sin kjLj = 0 (j =勺，g, z). Отсюда находим для слагающих волнового вектора к: к：=冗孔『/£『,где п^ = 1, 2, 3, . . . Таким образом, волновые функции электрона в потенциальном ящике имеют вид стоячих волн:
(11.2)
(11.2)
叩(勺，У1 z) = С sin —^— sin —^— sin ―——.
Подставляя (11.2) в уравнение (11.1), находим для энергии е:
…尸费[佶『+(需)У智1=崇(偿+够+磅,
т. е. для идеального электронного газа имеет место квадратичный закон Если образец имеет форму куба (Lx = Ly — Lz — L), то
дисперсии.
（伍•分
Для импульса электрона проводимости имеем p = hkt и поэтому (11.4) в виде
запишется
здесь принято
п2 1
8 3）=而=万不3妄+P翁+史）；
(11.5>
句=
冗几j Pj
小 一方
一(/=^瑞y，z).
(11.6>
Рассматриваемая задача обладает высокой степенью вырождения,
поскольку
энергия электрона зависит от квадрата модуля волнового вектора к (или импульса р), а ей соответствует множество различных волновых функций (11.2) для всевозможных ориентаций вектора к в пространстве. Величина Де =方2冗2/27n£2 дает энергетическую разность между соседними энергетическими уровнями (11.4). В реальных случаяхf когда, например, £ q 1 сл, имеем Де q 10-16 а% т. е. энергетический спектр электрона проводимости в металле практически можно считать квазинепрерывным. На первый взгляд может показаться, что мы получили классический результат. Однако это не так, ибо основное отличие квантовой теории электронного газа от классической заключается в том, что электронный газ подчиняется не классической статистике Максвелла — Больцмана, как это предполагалось в теории Ланжевена [10], а квантовой статистике Ферми —Дирака (поэтому электроны проводимости называют также фермичастицами или фермионами).
В основе статистики Ферми — Дирака лежит принцип Паули, которому должен подчиняться квантовый коллектив электронов даже при пренебрежении в нем всеми динамическими взаимодействиями. В применении к газу «свободных^ электронов принцип Паули утверждает, что в «фазовой» ячейке не может быть больше двух электронов с противоположно направленными спинами. При температу-
ре 0°К,
т.
е. в основном состоянии, элект-
в импульсном пространстве в случае ква д-
Поверхность
усом рф.
рэтичного закона дисперсии е (р)=р2/2 т.
—имеет форму сферы с рад и-
ронный газ должен обладать наименьшей энергией. По классической статистике это означало бы, что все частицы собрались в фазовой ячейке с минимальной энергией, т. е.
это для
когда в (11.3) пх — пу ~ nz ~ 1. Однако запрещено принципом Паули. Последний допускает, что
электронов как раз ипри 0° К электроны по
одному наиболее плотно заполняют лишь ячейки с наименьшими значениями энергии. Заполненный таким образом в фазовом пространстве объем в случае квадратичного закона дисперсии (11.3) или (11.4) имеет вид сферы (рис. 11.1), изоэнергетическая
поверхность которой соответствует граничной максимальной энергии емакс = еф
~ 工()・ Эту поверхность принято называть поверхностью Ферми, а еф или 工。一 энергией Ферми. Между ^0 и числом электронов в единице объема, т. е. их концентрацией /г, имеется простая связь. Объем ы Ферми, занятой N электронами в фазовом пространстве при 0° К, равен Здесь
pф = (2叫)也=(2呜户2,
(仪.7)
наибольший импульс электрона при 0° К,— импульс Ферми; Рф 工 P^>/m — скоро- рость Ферми. Объем фазовой ячейки, согласно соотношениям неопределенностей квантовой механики, приближенно равен 九з/卩, где V — геометрический объем металла. Поэтому для концентрации электронов имеем
N 4л 3
■仁可"=2丽р0
(множитель 2 учитывает две возможные проекции спина электрона в каждом состоянии
с данным р); отсюда находим
1/3
Из (11.7) и (11.7а) получаем
儡产(И.8)
Из (11.8) следует, что при обычных концентрациях электронов проводимости в металлах (п — 1022—1023 ел'3) энергия Ферми оказывается порядка Ю-11 —10~12 эрг (10 ае), или в единицах эффективной температуры (0ЭЛ а 备/兀)порядка 10 000° К. Газ, подчиняющийся статистике Ферми ——Дирака, называют вырожденным газом (в отличие от классического газа, подчиняющегося статистике Максвелла — Больцмана). Условие сильного вырождения обычно записывают в таком виде:
а температура 0ЭЛ называется температурой вырождения электронного газа.
Из (11.7а) следует, что число состояний для электронов в шаровом слое между бесконечно близкими изоэнергетическими сферами радиусов р н р + dp в единицах объема металла с учетом спинового вырождения дается формулой
Отсюда ясно, что число электронов в единице объема, обладающих энергией в пределах от е до & + 〃&, равно по (11.5)
誓(2")3厶//2魂.
Множитель перед de определяет функцию плотности состояний электронов для единицы объема металла:
g(8)=器(2询3/2//2=4//2.(11.9)
Такая «параболическая» зависимость для функции g (е) характерна именно для квадратичного закона дисперсии (11.5). В случае произвольного закона дисперсии (см. § 5) функция g (е) может сильно отличаться от (11.9).
§ 3- Паулиевский парамагнетизм электронов проводимости
В отсутствие внешнего магнитного поля Н результирующий магнитный момент газа электронов при 0° К равен нулю из-за полной компенсации орбитальных и спиновых моментов всех электронов. Этот факт является одним из примеров того, что принцип Паули в системе фермионов приводит к существенной зависимости их энергии от магнитного момента, даже в том случае, когда не учитывается магнитное взаимодействие фермионов. С аналогичным обстоятельством мы столкнемся, когда речь будет идти о ферромагнетизме (гл. 19—22), где учет электростатического взаимодействия приводит к очень сильной зависимости энергии от результирующего магнитного момента кристалла, хотя магнитное взаимодействие при этом не учитывается.
Если включить поле Н, то для того, чтобы хотя бы у одного электрона проекция спина из антипараллельной полю Н стала направленной вдоль поля, последнее должно совершить работу, которая идет на «вытаскивание» электрона через поверхность Ферми в свободные ячейки фазового пространства. До включения магнитного поля функция плотности состояний g+(8)электронов с параллельными («правыми») и g_(8)антипарал- дельными полю (《левыми») проекциями спина) имеет [согласно (11.3)1 вид одинаковых парабол (рис. 11.2а, af). Заметим, что
g+(e) = g一⑻= 2g(e)・
После включения поля энергетическая «подполоса» электронов с «правыми» спинами сместится вдоль оси 8 вниз на величину 卩^五,а «подполоса» электронов с «левыми» спинами сместится вверх на величину(1б^> Таким образом, обе полосы сместятся друг относительно друга на величину 2|i^ff (см. рис. 11.2а, а"). Это смещение нарушает энергетическую равноправность обеих ориентаций спинов. Одинаковое заполнение энергетических подполос уже не соответствует минимуму энергии системы. Требование термодинамического равновесия заставит перейти часть электронов из подполосы «левых» спинов в подполосу правых (рис. 11.2а, а'"). Минимуму
Рис. 11.2а. Функции плотности состояний g (е) электронов проводимости. Левые части графиков а, а", а"' относятся к функции g+ (е), описывающей разрешенные уровни подполосы для электронов с проекцией спина вдоль внешнего магнитного поля Н («правые» или -}- спины); правые части графиков для функции g. (е) для электронов с проекцией спина против поля («левые», или — спины), а，)Заполненные уровни в отсутствие поля (Н = 0). Подполосы энергии для «правых» п «левых» спинов не смещены друг относительно друга.第一уровень Ферми, а") Включено магнитное поле (И R 0); равновесие нарушено. Подполоса «правых» спинов сместилась по шкале энергии вниз на величину ц^Н, а «левых» спинов на ту же величину вниз. Относительное смещение подполос равно 2у，еН・ В результате граничной верхний уровень «правой» подполосы стал ниже первоначального уровня Ферми С。на ц^Н, а «левой» подполосы — на столько же выше. Число электронов, занимающих в «левой» подполосе уровни выше приближенно равно би- ^ g- (^о)м-б^* а число пустых мест в «правой» подполосе ниже g。, составляет бп+ ^ g+ (^о)м-б^* Приближенно можно считать бп_ ^ бп+. а'〃). Новое равновесное состояние устанавливается путем перехода электронов с «левые» спины из «левой» подполосы с уровней выше ^0, на свободные уровни «правой» иодполосы, лежащие ниже ^0. Новый равновесный уровень Ферми g (И) очень мало отличается от & (при Н = 0) при условии цБН《&.
энергии в новом состоянии будет уже соответствовать намагниченное состояние. Это и будет так называемый паулиевский парамагнетизм электронов проводимости. Пренебрежем изменением функции g(8)в интервале ne冗 Это законно даже для магнитных полей порядка 104 з, так как энергия “еН для полей не выше 103—104 з равна 10-7—10-16 эрг и, следовательно, при этом в 105 раз меньше энергии Ферми ^0 в металле, равной 10-11 — 10-12 эрг. Тогда изменение концентрации электронов с《правыми» спинами равно
6& ^ g+ @) Мв〃，
а с《левыми» спинами
g.(坛)Ne〃*
Если приближенно считать, что g+($) ^ g. ($) ^ i/?g ($), то для намагниченности, созданной полем Н, получим
/= (6% — 6九一)“в = [g+ (Со) +g-储)]遲〃 ^ g⑻遲〃.(H-Ю)
Используя (11.9) и (11.8), получим парамагнитную восприимчивость электронного газа*)：
碇^犠・(11.11)
В силу того, что температура вырождения электронного газа 0ЭЛ, равная по определению
(11.12)(11.12)—С。— &2 / Зп \ 2/з'л — к — 2тк \ 8л /
(11.12)
(11.12)
велика (0ЭЛ》0ПЛ, где 0ПЛ— обычная температура плавления, т. е. верхнего предела существования твердого состояния металла), тепловое
务务Рис. 11.2°，Функция распределения Ферми — Дирака % (е). При Т = 0° К функция /" (£) имеет вид «ступень Ферми» abed, при Г > 0° К в области «разрыва» Ъс (при £ =第，где * — энергия Ферми) появляется «максвелловский хвост» 匕七〃 с эффективной шириной с，с"弋 АТ《go. На графике область теплового размытия показана в увеличенном масштабе, если ее относить к комнатным температурам (Т ^： 300° К), поскольку в типичных металлах J。= /г0эл 弋 3 as и, следовательно, 0ЭЛ 弋 10 000—100 000° к.Рис. 11.2°，Функция распределения Ферми — Дирака % (е). При Т = 0° К функция /" (£) имеет вид «ступень Ферми» abed, при Г > 0° К в области «разрыва» Ъс (при £ =第，где * — энергия Ферми) появляется «максвелловский хвост» 匕七〃 с эффективной шириной с，с"弋 АТ《go. На графике область теплового размытия показана в увеличенном масштабе, если ее относить к комнатным температурам (Т ^： 300° К), поскольку в типичных металлах J。= /г0эл 弋 3 as и, следовательно, 0ЭЛ 弋 10 000—100 000° к.движение слабо влияет на распределение электронов в фазовом пространстве. Поэтому величина %™ (11.11) должна очень слабо зависеть от температуры, что и подтверждается опытом.
务
务
Рис. 11.2°，Функция распределения Ферми — Дирака % (е). При Т = 0° К функция /" (£) имеет вид «ступень Ферми» abed, при Г > 0° К в области «разрыва» Ъс (при £ =第，где * — энергия Ферми) появляется «максвелловский хвост» 匕七〃 с эффективной шириной с，с"弋 АТ《go. На графике область теплового размытия показана в увеличенном масштабе, если ее относить к комнатным температурам (Т ^： 300° К), поскольку в типичных металлах J。= /г0эл 弋 3 as и, следовательно, 0ЭЛ 弋 10 000—100 000° к.
Рис. 11.2°，Функция распределения Ферми — Дирака % (е). При Т = 0° К функция /" (£) имеет вид «ступень Ферми» abed, при Г > 0° К в области «разрыва» Ъс (при £ =第，где * — энергия Ферми) появляется «максвелловский хвост» 匕七〃 с эффективной шириной с，с"弋 АТ《go. На графике область теплового размытия показана в увеличенном масштабе, если ее относить к комнатным температурам (Т ^： 300° К), поскольку в типичных металлах J。= /г0эл 弋 3 as и, следовательно, 0ЭЛ 弋 10 000—100 000° к.
Этот результат является, в сущности, простым следствием того факта, что электронный газ в реальном металле сильно вырожден. Как уже отмечалось, для металла в твердом состоянии любые температуры Т《 《仇п； поэтому электроны, «затронуты» тепловым движением и перешедшие в верхние свободные фазовые ячейки, находятся в узкой зоне размытости у «ступеньки Ферми», шириной порядка кТ, и составляют небольшую долю от полного числа элект
Лэл Т КТ Л0ЭЛ 一 五'Лэл Т КТ Л0ЭЛ 一 五'(11.11а)(11.11а)ронов, пропорциональную отношению Г/вэл (рис. 11.26). Таким образом, концентрация этих термически активных электронов равна 孔丁 =孔(//❷四).Эти электроны ведут себя как классический газ. Поэтому при наличии внешнего магнитного поля магнитная восприимчивость на один электрон, согласно (9.3), равна 园кТ, а суммарная электронная восприимчивость единицы объема металла не будет зависеть от температуры ) и по величине будет равна
Лэл Т КТ Л0ЭЛ 一 五'
Лэл Т КТ Л0ЭЛ 一 五'
(11.11а)
(11.11а)
что в силу (11.12) и (11.8), с точностью до численного множителя порядка единицы (=3/2), совпадает с (11.11). При очень высоких температурах (7 扭 0ЭЛ) газ свободных электронов перестает быть вырожденным и ведет себя подобно классическому газу магнитных стрелок. Однако поскольку температура вырождения 0ЭЛ, как правило, выше, чем температура плавления и даже испарения металлов, то наблюдать такое «классическое» поведение электрона в твердом и даже жидком металле практически невозможно» (Исключением может служить лишь небольшое число «плохих» металлов и среди них в первую очередь висмут.)
Проведем теперь более точный расчет %^胃,исходя из общей статистической формулы для намагниченности. Вместо (11.10) получим при этом
/ = Ne J [/(£ —卩岳反)一f(£ 十"MO] ?贤血， (11.13)
где /(8)— функция распределения Ферми——Дирака, определяющая статистическое распределение ферми-частиц (т. е“ вероятность того, что
состояние с энергией 8 занято электроном) при 7>0°К, равная )
/⑻= [ехр(彳。・+ ]「,(11-14)
a g(8)— по-прежнему полная функция плотности состояний в спектре энергии электронов. Следует учесть, что величина С в (11.14) (которая, в отличие от энергии Ферми £, не имеет индекса《0») представляет собой химический потенциал газа электронов проводимости. Химический потенциал С зависит от температуры Т [из анализа формулы (11.14) легко показать, .что при Г = 0° К химический потенциал равен энергии Ферми, 4 (0) = С。] и определяется из условия постоянства полного числа электронов в металле или их концентрации, т. е. из равенства
九=j [/(8-НбЯ) + /(8 + нбЯ)]屮曲，(11.15)
и, следовательно, в данном случае он зависит также и от магнитного поля Я. Если учесть, что в реальных случаях 卩£反 《Со，то (11.15) можно разложить в ряд по степеням малого безразмерного параметра 卩記/*. Из вида этого разложения следует, что зависимость п от магнитного поля определяется лишь членами второго порядка малости, т. е. содержащими множитель (|1б^Г/^0)2:
孔=j f (e)g⑻血+0(炉). (11.16)
В силу (11.8) можно сказать, что и С также зависит от Н. Этой «слабой» квадратичной зависимостью от Н можно пренебречь, поскольку мы интересуемся лишь линейной зависимостью намагниченности от Н. Разложим теперь в (11.13) функцию распределения (считая 8U8H = 0) в ряд по Н и ограничимся членами не выше первой степени. Тогда вместо (11.10), имея в виду, что df/дг = — ^//^^, получаем
=h侬蚩\ f⑻g⑹壶=h侬爱.(11.17)
Поскольку производная df/d& близка к 6-функции, всюду, кроме узко- области значений 8 шириной кТ, производная df/дг ^ 0; вблизи точки $ = С она имеет резкий максимум, а при 7 f 0° К df/дг -> — оо (см) рис. 11.26). Интеграл (11.17) можно •вычислить ) в виде ряда по степеням малого параметра (乃77^°); это дает
(11.18)(11.18)
(11.18)
(11.18)
Отсюда в первом приближении получаем уже известную формулу (11.10), а во втором приближении, если еще учесть зависимость от Г:
片一厂 冗* jl2T2 I dg (g)片一厂 冗* jl2T2 I dg (g)(11.19)(11.19)
片一厂 冗* jl2T2 I dg (g)
片一厂 冗* jl2T2 I dg (g)
(11.19)
(11.19)
то с точностью до чле-то с точностью до чле-и произвести замену g(C) = g(Co)+亿―*) нов порядка /2 находим из (11.18)
то с точностью до чле-
то с точностью до чле-
嚅=陽餘）｛1+2?"［贵嘗-（击舞）LJ •⑴・2。）
Из (11.20) видно, что до тех пор, пока мы не знаем вида функции g(8), нельзя получить явный вид для восприимчивости электронного газа. В случае свободного ферми-газа эта функция известна; она дается формулой (11.9). Тогда, с точностью до членов порядка Я2, используя (11.17), для намагниченности и восприимчивости соответственно получаем *)
7 гг 2 F / Ч ^/ ^ 历匾片/2(Е)皿 2 門/2(3 мл О.ч
/ 二 Нр，Е ) g ⑹页森=к?耳 1/2(Е)=孔"е 而方I/? (Е)， (1L21)
где введены сокращенные обозначения 己=О乃7 и
几(y)=『砌当託Н 3=卷，片舍)；*("弊•(й22)
о
В классическом пределе очень высоких температур (кТ》电)имеем 歹]?2(Е) = Г С/?) е&, где Г (В) — гамма-функция, и, следовательно, (11.21) переходит в закон Кюри
”》/)•(n-23)
Отсутствие множителя 1/3 в (11.23) связано с тем, что электронный спин может иметь только две проекции на направление поля, а не все возможные, как это допускалось классической механикой.
В противоположном предельном случае сильного вырождения (Со》кТ) из (11.19) и (11.21) легко получить
что согласуется при 7 = 0° К с (11.11). В промежуточной области температур приходится пользоваться численным интегрированием, используя таблицы, полученные Стонером и др. [11—15]. В приближении эффективной массы в (11,24) можно ш заменить на т*，но при этом следует помнить, что эту замену нужно сделать и в выражении для ^0. Можно исследовать также зависимость % от Я при нарушении условия Н《 备 (см. § 5, п. 6в). О сравнении с опытом см. § 5, п. 66.
*) При выводе этой формулы использованы следующие соотношения:
00i/23
9i9i;эта формула;эта формулап = А [—厂亨一uAQcT^F",(自)=4 [ ^^dz=^A^ ^exp~ i
9i
9i
;эта формула
;эта формула
где Л — постоянная из (11.9); отсюда следует, что ^^ (&)= дает зависимость ^от Т [см. (11.19)].
§ 4. Диамагнетизм электронов проводимости
Уровни Ландау. Проведенное выше рассмотрение неполно, потому что электроны проводимости обладают не только парамагнетизмом, но также и диамагнетизмом ). По общей теореме классической статистики Ван-Леевен — Терлецкого (см. гл. 6) диамагнитная восприимчивость электронного газа должна была бы равняться нулю. Согласно Бору [17], в случае металлического образца конечных размеров исчезновение диамагнитного эффекта наглядно объясняется тем, что наведенный во внешнем поле диамагнитный момент электронов внутри металла полно-
обратным моментомобратным моментомстью компенсируетсястью компенсируется«ломаной траектории» электронов, испытывающих отражение от граничных поверхностей образца (рис. 11.3). Этот же вывод следует из энергетических соображений. Магнитное поле, изменяя направление движения электронов и искривляя их траекторию, не изменяет, однако, абсолютную величину их скорости. Поэтому кинетическая энергия электронов остается неизменной при включении поля. Ландау [9] открыл замечательный факт, что трансляционное движение свободных электронов обладает отличным от
обратным моментом
обратным моментом
стью компенсируется
стью компенсируется
нуля диамагнитным эффекнуля диамагнитным эффектом. Если мы рассматриваем действие магнитного поля на классический газ свободных электронов, то можно сказать, что благодаря искривлению траекторий электронов в поле проекция их движения на плоскость, пер-
нуля диамагнитным эффек
нуля диамагнитным эффек
пендикулярную к направлению магнитного поля, имеет в квазиклассиче- ском приближении вид замкнутых траекторий (орбит), т. е. движение носит периодический характер. Учет квантовых свойств электрона приводит к тому, что всякое классически периодическое движение «квантуется», и поэтому при включении магнитного поля энергия электронов будет изменяться и возникает диамагнитный эффект.
1®н| =1®н| =тстс(11.25)(11.25)Пусть поле Н направлено вдоль оси z. Согласно классической теории ларморовская круговая частота связанного электрона в атоме по (2.38) или (7.3) равна ①匸=| е | Н!2тс. В случае же свободного электрона соответствующая частота оказывается в два раза меньшей по абсолютной величине и ее обычно называют циклотронной частотой
1®н| =
1®н| =
тс
тс
(11.25)
(11.25)
Покажем это в рамках полуклассической теории атома Бора. Движение электрона по круговой орбите в кулоновском поле ядра заряда е описы
вается уравнением
где (о0 = {e^lm^Y^—собственная угловая скорость (круговая частота) электрона в атоме, г — радиус орбиты. Если атом поместить в постоянное
однородное магнитное поле, то, кроме кулоновской силы е2/г2, на электрон будет действовать еще сила Лоренца
где v = mr—линейная скорость электрона на орбите. Если поле направлено перпендикулярно к плоскости орбиты, то уравнение движения примет вид
г с
и, следовательно,и, следовательно,T 土 [党+(*t・T 土 [党+(*t・
и, следовательно,
и, следовательно,
T 土 [党+(*t・
T 土 [党+(*t・
\е\Н \е\Н2тс — 2тс '\е\Н \е\Н2тс — 2тс '3 =3 =(2.38) электрона в атоме, т, е. со。—>0* и поэтому(2.38) электрона в атоме, т, е. со。—>0* и поэтомуоси z можно разложитьоси z можно разложитьн^он^оРис.11.4а. Расщепление квазинепрерывного (при отсутствии внешнего поля, И = 0, см. левую часть графика) энергетического спектра электронов проводимости во внешнем магнитном поле (Н 力 0, правая часть графика), когда появляется система дискретных эквидистантных уровней Ландау.Рис.11.4а. Расщепление квазинепрерывного (при отсутствии внешнего поля, И = 0, см. левую часть графика) энергетического спектра электронов проводимости во внешнем магнитном поле (Н 力 0, правая часть графика), когда появляется система дискретных эквидистантных уровней Ландау.оси z. Слагающая импульса р2 остается непрерывной и в поле Н, а возможные значения слагающих рх и ву квантуются по условию (Рх + Рр (2m)-f 邑(2п + 1)NeH・ Поэтому возможные значения рх. ру, pz внутри сферы Ферми (один октант ОАВС которой показан на графике) будут заполнять поверхности концентрических цилиндров (например, abed) с радиусами @ 丄=(р2 +「务尸戶=f(2n + 1)X X2mNEHl'/2 S = 0, 1, 2, . . .), вписанных в сферу Ферми.оси z. Слагающая импульса р2 остается непрерывной и в поле Н, а возможные значения слагающих рх и ву квантуются по условию (Рх + Рр (2m)-f 邑(2п + 1)NeH・ Поэтому возможные значения рх. ру, pz внутри сферы Ферми (один октант ОАВС которой показан на графике) будут заполнять поверхности концентрических цилиндров (например, abed) с радиусами @ 丄=(р2 +「务尸戶=f(2n + 1)X X2mNEHl'/2 S = 0, 1, 2, . . .), вписанных в сферу Ферми.
\е\Н \е\Н
2тс — 2тс '
\е\Н \е\Н
2тс — 2тс '
3 =
3 =
(2.38) электрона в атоме, т, е. со。—>0* и поэтому
(2.38) электрона в атоме, т, е. со。—>0* и поэтому
оси z можно разложить
оси z можно разложить
н^о
н^о
Рис.11.4а. Расщепление квазинепрерывного (при отсутствии внешнего поля, И = 0, см. левую часть графика) энергетического спектра электронов проводимости во внешнем магнитном поле (Н 力 0, правая часть графика), когда появляется система дискретных эквидистантных уровней Ландау.
Рис.11.4а. Расщепление квазинепрерывного (при отсутствии внешнего поля, И = 0, см. левую часть графика) энергетического спектра электронов проводимости во внешнем магнитном поле (Н 力 0, правая часть графика), когда появляется система дискретных эквидистантных уровней Ландау.
оси z. Слагающая импульса р2 остается непрерывной и в поле Н, а возможные значения слагающих рх и ву квантуются по условию (Рх + Рр (2m)-f 邑(2п + 1)NeH・ Поэтому возможные значения рх. ру, pz внутри сферы Ферми (один октант ОАВС которой показан на графике) будут заполнять поверхности концентрических цилиндров (например, abed) с радиусами @ 丄=(р2 +「务尸戶=f(2n + 1)X X2mNEHl'/2 S = 0, 1, 2, . . .), вписанных в сферу Ферми.
оси z. Слагающая импульса р2 остается непрерывной и в поле Н, а возможные значения слагающих рх и ву квантуются по условию (Рх + Рр (2m)-f 邑(2п + 1)NeH・ Поэтому возможные значения рх. ру, pz внутри сферы Ферми (один октант ОАВС которой показан на графике) будут заполнять поверхности концентрических цилиндров (например, abed) с радиусами @ 丄=(р2 +「务尸戶=f(2n + 1)X X2mNEHl'/2 S = 0, 1, 2, . . .), вписанных в сферу Ферми.
В случае слабых полей [(| е | Н/2тс) <^ соо] имеем \е\Н '
где \e\H/2mc~a)L и есть ларморовская частота Для свободной частицы радиус орбиты г —> оо,
откуда сразу следует формула (11.25).
Круговое прецессионное движение вокруг
на сумму двух взаимно перпендикулярных периодических движении
вдоль осей 况 и у. Квантовомеханическое рассмотрение приводит к тому, что в этом случае мы имеем дело с линейным гармоническим осциллятором [см., например, Блохинцев (1961)] с дискретным спектром энергий
(11.25а)(11.25а)
(11.25а)
(11.25а)
где 孔=0, 1, 2, 3, ... — квантовое число осциллятора и использована формула (2.4). Движение электрона вдоль оси z не изменяется магнитным полем, остается свободным и не квантуется, соответствующая энергия равна pz/2m, где pz — слагающая импульса электрона вдоль оси z.
Полная энергия электрона
ё(П，p2)=票+2近H卜 + ^)■(Ц.256)
Характер такого «частичного квантования» энергии свободных электронов в магнитном поле можно наглядно представить себе следующим образом. В отсутствие магнитного поля энергетический спектр, отвечающий слагающей движения свободного электрона в плоскости (况,у),— ква- зинепрерывный [энергия этого движения равна .(р^ + ^)/2^], что изображено сплошной полосой в левой части рис. 11.4а. При наличии же внешнего магнитного поля весь спектр разбивается на отдельные узкие полоски шириной .
Д8 = 2Ибя[(« + 1 +4)-(« + 4)] = 2нбЯ, (11.26)
каждая из которых превращается («сжимается») в один дискретный уровень (уровень Ландау), соответствующий середине полоски в квазинепрерывном спектре (правая часть рис. 11.4а). Таким образом, степень вырождения каждого дискретного уровня Ландау равна 2\k^H.
Картину появления энергетических уровней Ландау для газа электронов проводимости в магнитном поле можно изобразить и в @-иростран- стве. На рис. 11.46 изображен один октант сферы Ферми. Появление уровней Ландау сводится к тому, что «сплошная» сфера (при Н = 0) заменяется набором вписанных в поверхность Ферми концентрических цилиндров с общей осью z и с расстоянием между соседними цилиндрами, равным 2卩m.
Элементарная теория диамагнитной восприимчивости. Для определения диамагнитной восприимчивости электронного газа нам надо найти соответствующую намагниченность. Для этого необходимо вычислить статистическую сумму Z [см. (5.21)]. Найдем сначала статистические веса g^ состояний, т. е. иными словами, число состояний в объеме фазового пространства в виде цилиндрического кольца высотой dpz, радиусом р丄=(区 + p£)i/2 и шириной dp丄.Объем этого кольца равен 2np^dp^dpz (см. рис. 11.46). Согласно (11.256) в квантовой механике
p丄dP丄 t 2呷與а?I = 2m卩與.
Если еще вспомнить, что величина элементарной ячейки в фазовом пространстве равна h3/V, где 卩一объем металла, и учесть спин электрона, то в результате, заменяя(1е по (2.4), для статистического веса будем иметь
gn = 2лр^ dp^ dpz -^ = ——dpz.(11.27)
Подставляя (11.27) и (11.25) в формулу (5.21) для статистический суммы, находим *)
Z=t J dpz缥粤exp ｛一“萨(2计()+器]"尸卜
П—0 —8
Ne*\e\VH ^яткТ^^ / ^пшкТ) \ 3/2 ~кТ~
sh 7 小sh I —I
*) Здесь использовано, что сумма
； г (2пЦ-1) ипЯ -1.1
2 еХР [.W~~」=^(l + e-2x + e-4x+..J=_—____ sh Z)-1?
n = 0
где x=^,^H/kT.
По (5.19) и (5.20) для намагниченности получаем )
』NkT 曙=-Nrb [cth (嚼)一焉卜一心怔(警).(11.29}
где L(x) — уже известная функция Ланжевена (9.2).
В случае слабых полей и не очень низких температур, т. е. при условии Н[1в《кТ, выражение (11.25) принимает более простой вид (Z (х) ^ х/3 — %з/45+・・.)и для диамагнитной восприимчивости электронного газа получаем
Из формулы (11.30) следует, что в «классическом» случае диамагнитная восприимчивость электронного идеального газа по абсолютной величине- равна одной трети парамагнитной восприимчивости, даваемой формулой (11.23).
Следует заметить, что при выводе (11.30) мы допустили существенную неточность, так как считали, что электронный газ подчиняется классической статистике, в то время как он подчиняется статистике Ферми- Дирака. Однако из (11.30) можно получить правильное выражение для %舞 элементарным путем, не производя заново статистического расчета, как это было сделано выше при получении выражения (11.11а) для /™. Подставляя снова число термически активных электронов пт = пТ1@^л вместо п в (11.30), используя (11.12) и учитывая еще множитель 3/2, появляющийся при переходе от приближенной формулы (11.11а) к точной (11.11), находим для диамагнитной восприимчивости
啮=-竽传广用3,(11.31У
т. е. выражение, которое получил Ландау [9]. Формула (11.31) показывает,, что квантовый газ свободных электронов обладает диамагнетизмом, который также нельзя непосредственно наблюдать, так как он перекрывается в три раза более сильным положительным па ул невским спиновым парамагнетизмом (11.11).
Термодинамический потенциал системы фермионов. Приведенный выше расчет магнитной восприимчивости для модели свободных электронов был совсем элементарным. При этом был упущен ряд эффектов, кото^ рые могут быть учтены лишь при более точных статистико-термодина^ мических расчетах. Из статистической физики известно [см., например, Ландау и Лифшиц (19^4)], что термодинамический потенциал Q связан со свободной энергией F из (5.2) соотношением
Q = e—呜
где《一химический потенциал, п ——концентрация частиц системы. В случае совокупности свободных частиц, находящихся в квантовых состояниях у с энергией &力 для Q имеем
Q尸— ATIn 2 (exp ^Д广.(11.32)，
Здесь nj— число частиц в состоянии ; (число заполнения), а 孔了$『——энергия всех частиц, находящихся в состоянии ;. Поскольку для свободных
фермионов имеет место принцип Паули и числа заполнения 叫 могут принимать только два значения: 0 и 1, то (11.32) примет вид
Qf=-^ln[l + exp (-^)] •(И.ЗЗ)
Отсюда можно сразу получить формулу для среднего числа частиц (фермионов) в состоянии /, т. е. функцию распределения Ферми — Дирака (11.14), которая равна взятой со знаком минус производной термодинамического потенциала (11.33) по химическому потенциалу С« Из (11.33) находим
/(8/) =— ~^- = [ехр (^-^) + 1]"1-(11.14а)
Термодинамический потенциал газа фермионов с учетом всех квантовых состояний равен сумме выражений (11.33) по всем возможным ;:
£? = — 2枚 £ In 口 + ехр (中)]=Е 屮⑹)，(11.34)
где
<p(8)= — 2kT In [1 + exp (-^^)] •(И.35)
Двойка в (11.34) учитывает спиновое вырождение. Формула (11.34) и является исходным пунктом для статистических вычислений магнитной восприимчивости электронного газа. Определив потенциал (11.34) как функцию внешнего магнитного поля Н, мы найдем магнитную восприимчивость по формулам типа (5.29). Магнитное поле входит в (11.34) через энергии 8； и химический потенциал 以 Согласно (11.256), а также с учетом энергии электронного спина в поле Н энергия $)(Н) равна
6j (印=轰 + n13"(2九+1)±Nb" = 8(九，A).(11-36)
Два знака в последнем слагаемом в (11.36) соответствуют двум возможным проекциям спина вдоль поля Н,
Осцилляционный эффект. Подстановка (11.36) в (11.34) позволяет в принципе вычислить магнитную восприимчивость электронного газа без разделения ее на диа- и парамагнитную части, как это мы делали выше, а также более точно учесть все особенности влияния статистики Ферми —— Дирака на магнитные свойства газа фермионов. К сожалению, эти вычисления довольно громоздки. Поэтому мы остановимся здесь на элементарном способе выяснения некоторых особенностей в поведении магнитной восприимчивости электронного газа. В связи с этим следует напомнить, что еще в 1931 г. де Гааз и ван Альфен [18] обнаружили в висмуте на опыте периодические изменения Диамагнитного момента при изменении напряженности магнитного поля в области низких температур. Это явление можно количественно объяснить, если отказаться от ограничения, накладываемого неравенством 卩粗《кТ, которое лежит в основе всех предыдущих вычислений, и провести более строгий расчет, пользуясь выражением для термодинамического потенциала в форме (11.34). Качественно это можно понять, если обратиться к рис. 11.4а, а также к элементарному выводу в п. 2, из которого видно, что степень вырождения дискретных уровней определяется величиной магнитного поля по формуле (11.27). Если это число больше, чем полное число электронов N, то они все «уместятся» на одном уровне с п = 0; с уменьшением поля число мест на уровне уменьшается и может стать меньше ^; тогда электроны начнут «перебираться» на следующий уровень сп = 1 и т. д. Поэтому магнитные и вообще все свойства электронов должны периодически изменяться с изменением
величины магнитного поля, причем восприимчивость будет изменять не только величину, но и знак, что и наблюдается на опыте [18].
Пользуясь рис. 11.4а, легко получить простую оценку для《периода» этих изменений по обратной величине магнитного поля. Обозначим этот период через А (1/Я).. Для этого рассмотрим два значения поля Н〕и Я2 (Hi > Н2), Для которых число уровней Ландау с энергиями, меньшими или равными С。, соответственно равно N' и N' * 1. Тогда будем иметь 甘％ = N\ % = + 1.
2匹修 2也%
Вычитая почленно из второго равенства первое, получим
=1, откуда для периода осцилляций получаем
a (♦卜鲁.(11.37)
Следуя Зейтцу (1949), можно проиллюстрировать этот результат на простой двумерной модели этого явления. Согласно (11.25) уровни энергии электрона в присутствии поля (без учета движения вдоль поля и энергии ориентации спина в поле) определяются уравнением
6 =m/(2九+"・
В двумерном случае (7 т S, где S — площадь двумерной системы) для степени вырождения по (11.27) имеем
g' = ^s = 6H (4察).
Если g‘ становится больше полного числа электронов N, то все они занимают состояние с 孔=0 и полная энергия
ей соответствует, по (5.39), постоянный магнитный момент ” =——7V(iB и нулевая восприимчивость. По мере уменьшения магнитного поля Н уменьшается и полная энергия 宮 до тех пор, пока g‘ не станет меньше, чем N; тогда часть электронов в силу принципа Паули должна перейти на уровни с 孔=1, и, следовательно, с уменьшением поля энергия увеличивается, т. е. система становится парамагнитной. Легко найти общее выражение полной энергии для интервала значений поля, заданных неравенством
п^)Н V N V (孔 + 1) РЯ или
TV 2eS n N. dq、
(11.38)
Очевидно, что при этом условии п уровней заполнены целиком, а (孔 + 1)-й — лишь частично. Напоминаем, что п принимает значения О, 1, 2, 3, . . .; поэтому уровню n-го номера в формуле для энергии соответствует квантовое число п — 1 и т. п. Энергия электронов, заполняющих п первых уровней, равна
n一1
ря 3 ^бЯ(2«+1) = Рнб^2-(11.39)
п=0
Энергия (N —?фН) электронов, частично заполняющих (п+ 1)-й уровень, равна
(N-^n^H) ^Н(2п+1).(11.40)
Полная энергия дается суммой выражений (11.39) и (11.40) и равна
宮(〃)=N[iB(2n + l) И(тг + 1)卩祖炉・
Следовательно, в интервалах значений поля, определяемых неравенством (11.38), магнитный момент системы электронов
М =-醜^ ")= -^Иб(2п+1)4 2^^п(п^^Н. (11.41)
Магнитный момент как функция целочисленного параметра п является дискретной функцией Н. Из (11.41) снова видно, что при ^HIN》1 магнитный момент ” = — Nre и не зависит от Я. При 1/2《^HIN《1 электроны переходят на уровень с квантовым числом 孔=1. Магнитный момент при 附/N = 1 и п ~ 1 скачком изменяется до Л/ = + %此 и дальше линейно изменяется с полем
Рис. 11.5. Осцилляции магнитного момента М двумерного электронного газа при Т = 0°К в зависимости от изменения напряженности магнитного поля И. По осям отложены безразмерные величины: М/Лцб> rue N — число электронов в газе, и BH/N, где В = 2eS/cft и S — площадь, занятая газом. Каждый непрерывный участок разрывной функции М (Н) отвечает определенному числу п уровней Ландау, находящихся ниже энергии Ферми Со в данном интервале изменения поля Н (эти числа указаны около каждого участка кривой).Рис. 11.5. Осцилляции магнитного момента М двумерного электронного газа при Т = 0°К в зависимости от изменения напряженности магнитного поля И. По осям отложены безразмерные величины: М/Лцб> rue N — число электронов в газе, и BH/N, где В = 2eS/cft и S — площадь, занятая газом. Каждый непрерывный участок разрывной функции М (Н) отвечает определенному числу п уровней Ландау, находящихся ниже энергии Ферми Со в данном интервале изменения поля Н (эти числа указаны около каждого участка кривой).чае функция М (Н) действительно не имеет разрывов,чае функция М (Н) действительно не имеет разрывов,вычислив (11.34), что в этом слу- но изменения знакавычислив (11.34), что в этом слу- но изменения знакаРис. 11.6. Типичная экспериментальная кривая зависимости магнитной восприимчивости от значений обратного магнитного поля (Zn, Т — 4,2° К, по работе [21]). По осям отложены: разность восприимчивостей для двух главных осей в монокристалле цинка А% = %z — Xt (или %z — Ху) и обратная величина магнитного поля И*1 вРис. 11.6. Типичная экспериментальная кривая зависимости магнитной восприимчивости от значений обратного магнитного поля (Zn, Т — 4,2° К, по работе [21]). По осям отложены: разность восприимчивостей для двух главных осей в монокристалле цинка А% = %z — Xt (или %z — Ху) и обратная величина магнитного поля И*1 вдо М = — N^e, когда gHIN = 1/2. При дальнейшем уменьшении поля электроны начинают переходить на уровень с квантовым числом п = 2. Здесь опять при §H}N = 1/2 и тг = 2 происходит скачок момента М к значению Л/ =十 Nre, а затем идет линейное изменение до Л/ — — Nre при ^H/N — 1/3 и т. д. Таким образом по мере уменьшения магнитного поля М через определенные интервалы значений Н меняет знак и при значениях Я, для которых 2eSHIch~ —卩8 — Ng испытывает разрывы (рис. 11.5). Из (11.25) следует, что реальный трехмерный энергетический спектр непрерывный, поэтому для него разрывов в величине намагниченности не должно быть. Пайерлс [19] (см. также Вильсон [20]) показал,
Рис. 11.5. Осцилляции магнитного момента М двумерного электронного газа при Т = 0°К в зависимости от изменения напряженности магнитного поля И. По осям отложены безразмерные величины: М/Лцб> rue N — число электронов в газе, и BH/N, где В = 2eS/cft и S — площадь, занятая газом. Каждый непрерывный участок разрывной функции М (Н) отвечает определенному числу п уровней Ландау, находящихся ниже энергии Ферми Со в данном интервале изменения поля Н (эти числа указаны около каждого участка кривой).
Рис. 11.5. Осцилляции магнитного момента М двумерного электронного газа при Т = 0°К в зависимости от изменения напряженности магнитного поля И. По осям отложены безразмерные величины: М/Лцб> rue N — число электронов в газе, и BH/N, где В = 2eS/cft и S — площадь, занятая газом. Каждый непрерывный участок разрывной функции М (Н) отвечает определенному числу п уровней Ландау, находящихся ниже энергии Ферми Со в данном интервале изменения поля Н (эти числа указаны около каждого участка кривой).
чае функция М (Н) действительно не имеет разрывов,
чае функция М (Н) действительно не имеет разрывов,
вычислив (11.34), что в этом слу- но изменения знака
вычислив (11.34), что в этом слу- но изменения знака
Рис. 11.6. Типичная экспериментальная кривая зависимости магнитной восприимчивости от значений обратного магнитного поля (Zn, Т — 4,2° К, по работе [21]). По осям отложены: разность восприимчивостей для двух главных осей в монокристалле цинка А% = %z — Xt (или %z — Ху) и обратная величина магнитного поля И*1 в
Рис. 11.6. Типичная экспериментальная кривая зависимости магнитной восприимчивости от значений обратного магнитного поля (Zn, Т — 4,2° К, по работе [21]). По осям отложены: разность восприимчивостей для двух главных осей в монокристалле цинка А% = %z — Xt (или %z — Ху) и обратная величина магнитного поля И*1 в
сохраняются. На рис. 11.6 для иллюстрации приведена опытная кривая для значений магнитной восприимчивости цинка по данным Веркина и Дмитренко [21]. Кривая имеет явный «колебательный» характер.
Теория эффекта де Гааза — ван Альфена разрабатывалась многими авторами [19, 20, 22—27], а также изложена в работе Шенберга [28].
Особенно ценным вкладом в развитие теории эффекта де Гааза — ван Аль- фена явились работы И. М. Лифшица и Косевича [29, 30], построивших наиболее строгую теорию осцилляционных эффектов в металлах (подробнее см. §§ 5 и 6). Экспериментальные исследования эффекта де Гааза — ван Альфена получили также широкое развитие. Упомянем в первую очередь работы Лазарева, Веркина и их сотрудников [21, 31—35]. В этих работах впервые было показано, что эффект де Гааза — ван Альфена при низких температурах (т. е. при р,БТ/ > кТ) наблюдается не только в висмуте, но также и в других нормальных металлах — цинке, олове, бериллии, магнии, индии, кадмии, галлии, графите. Таким образом, это явление следует рассматривать не как аномальный эффект для висмута, а как универсальное свойство металлического состояния вещества.
Расчет магнитной восприимчивости ферми-газа. а. Идеальный газ. Для того чтобы стал более понятным универсальный характер осцилляционный электронных явлений в металлах, а также важность их изучения для квантовой теории металлов, необходимо хотя бы вкратце ознакомиться с современными направлениями в этой теории. Однако прежде чем сделать это, мы приведем количественный расчет в рамках модели свободных электронов [Вильсон (1953)].
.Расчет магнитной восприимчивости можно выполнить и автоматически, если известна зависимость термодинамического потенциала (11.34) от магнитного поля Н и температуры Т : ◎巾(Я, Т), поскольку согласно (5.29) % = — (1/Я) (д^/дН). Для вычисления функции 6巾(Я, Т) в правую часть формулы (11.34) надо подставить в экспоненту выражение для энергии электрона в магнитном поле (11,36) и провести суммирование. Это суммирование в случае энергетического спектра (11.36) можно провести аналитически- Однако вычисления оказываются весьма громоздкими. Не вдаваясь во все подробности этого расчета, укажем все же общую его схему. Здесь обычно используют различные формальные математические приемы. Например, можно для проведения суммирования ввести две вспомогательные функции: во-первых, функцию z (е), связанную с классической статистической суммой Z (у) (здесь у = = 〃кТ) и, во-вторых, функцию Ф (?), связанную с функцией ср (е) из (11.35), в следующей форме:
Z 'Г = j z(e)exp(—ye) de, 9(?)= [ cp (e) exp (一 ye) de.b
Пользуясь теорией преобразования Лапласа [см., например, Снеддон (1955)], эти формулы можно обратить при е > 0. Это дает
с+工 8'с+工 8
1 Г Z (s)] г
z(e)=^ ) -^-exp(es)〃s,中⑻= J ①(s) exp (es) 〃s;(11.42)
c—looc—loo
при этом постоянная с выбирается так, чтобы все особые точки подынтегральных выражений лежали слева от контура интегрирования. Подставляя второе из выражений (11.42) в (11.34) и используя первое соотношение (11.42), а также определение статистической суммы (5.21): Z(s)= 2 ехР (— ejs)，находим
a"=金①但力=急j 2①⑻exp ®s) dsН
jc — ioo j
В последнем интеграле выражение з2Ф (s) имеет трансформату Лапласа 尹屮&絃, и поэтому в силу (11.42) имеем
ООс + ^8ОО
q4，=J Sfe J 今»ехр( —es)曲]〃е= j z(e)鶏 cfe. (11.43) 0с—ioo0
Из (11.35) следует, что 承01^=2。卄呢、где /—функция распределения Ферми —— Дирака (11.14), и, следовательно,
Q*=2 j z(e) ^-d&.(11.44)
о
Таким образом, вычисление потенциала ◎巾 сводится к определению функции z (е) л взятию интеграла в (11.44).
Для вычисления z (е) подставим в первый интеграл (11.42) классическую статистическую сумму (11.28). Это дает после замены
sh 卩E*s = exp (卩e*s) [I — exp ( — 2jiBHs)]sh 卩E*s = exp (卩e*s) [I — exp ( — 2jiBHs)]и некоторых простых преобразований С + ^8и некоторых простых преобразований С + ^8綻綻，(2ran)3” ("M”，(2ran)3” ("M”z2=急 J.z2=急 J.2 exp (es — jiBHs)2 exp (es — jiBHs)(11.45)(11.45)Подынтегральная функция в (11.45) имеет полюсы в точках по мнимой оси 卩е方s = 士 rut (г = 1, 2, . . .), а также точку ветвления в начале координат. Если бы полюсов не было, то функция z (е) была бы монотонной функцией Н, а наличие полюсов, как будет показано ниже, обусловливает появление в z (е) слагаемого с периодической зависимостью от Я*1, что и приводит к осцилляционному эффекту де Гааза — ван Альфена. Физической же причиной его появления является квантование орбит свободного электрона в магнитном поле, которое приводит к квазипериодическо- му изменению плотности состояний как функции энергии.Подынтегральная функция в (11.45) имеет полюсы в точках по мнимой оси 卩е方s = 士 rut (г = 1, 2, . . .), а также точку ветвления в начале координат. Если бы полюсов не было, то функция z (е) была бы монотонной функцией Н, а наличие полюсов, как будет показано ниже, обусловливает появление в z (е) слагаемого с периодической зависимостью от Я*1, что и приводит к осцилляционному эффекту де Гааза — ван Альфена. Физической же причиной его появления является квантование орбит свободного электрона в магнитном поле, которое приводит к квазипериодическо- му изменению плотности состояний как функции энергии.Чтобы вычислить z (е) в вещественной форме,Чтобы вычислить z (е) в вещественной форме,тегрирование при вычислении функции z (е) по формуле (11.45).тегрирование при вычислении функции z (е) по формуле (11.45).рассмотрим интеграл в (11.45)рассмотрим интеграл в (11.45)по замкнутому контуру (рис. 11.7) ABCDEFA, состоящему из разреза CDEF вдоль отрицательной вещественной оси и дуг окружности ВС и FA круга радиуса 卩Е (X I s |=(%十1/2)冗，где N — большое число. При таком выборе контура интегралпо замкнутому контуру (рис. 11.7) ABCDEFA, состоящему из разреза CDEF вдоль отрицательной вещественной оси и дуг окружности ВС и FA круга радиуса 卩Е (X I s |=(%十1/2)冗，где N — большое число. При таком выборе контура интеграл■однозначен и контур не проходит ни через один полюс подынтегральной функции. При 7V -> оо интегралы по участкам окружности ВС и FA стремятся к нулю. Поэтому интеграл по АВ можно заменить интегралом по петле FED С (когда точки F и С оо) плюс 2冗九 умноженное на сумму всех вычетов R (глг). Это дает■однозначен и контур не проходит ни через один полюс подынтегральной функции. При 7V -> оо интегралы по участкам окружности ВС и FA стремятся к нулю. Поэтому интеграл по АВ можно заменить интегралом по петле FED С (когда точки F и С оо) плюс 2冗九 умноженное на сумму всех вычетов R (глг). Это дает
sh 卩E*s = exp (卩e*s) [I — exp ( — 2jiBHs)]
sh 卩E*s = exp (卩e*s) [I — exp ( — 2jiBHs)]
и некоторых простых преобразований С + ^8
и некоторых простых преобразований С + ^8
綻
綻
，(2ran)3” ("M”
，(2ran)3” ("M”
z2=急 J.
z2=急 J.
2 exp (es — jiBHs)
2 exp (es — jiBHs)
(11.45)
(11.45)
Подынтегральная функция в (11.45) имеет полюсы в точках по мнимой оси 卩е方s = 士 rut (г = 1, 2, . . .), а также точку ветвления в начале координат. Если бы полюсов не было, то функция z (е) была бы монотонной функцией Н, а наличие полюсов, как будет показано ниже, обусловливает появление в z (е) слагаемого с периодической зависимостью от Я*1, что и приводит к осцилляционному эффекту де Гааза — ван Альфена. Физической же причиной его появления является квантование орбит свободного электрона в магнитном поле, которое приводит к квазипериодическо- му изменению плотности состояний как функции энергии.
Подынтегральная функция в (11.45) имеет полюсы в точках по мнимой оси 卩е方s = 士 rut (г = 1, 2, . . .), а также точку ветвления в начале координат. Если бы полюсов не было, то функция z (е) была бы монотонной функцией Н, а наличие полюсов, как будет показано ниже, обусловливает появление в z (е) слагаемого с периодической зависимостью от Я*1, что и приводит к осцилляционному эффекту де Гааза — ван Альфена. Физической же причиной его появления является квантование орбит свободного электрона в магнитном поле, которое приводит к квазипериодическо- му изменению плотности состояний как функции энергии.
Чтобы вычислить z (е) в вещественной форме,
Чтобы вычислить z (е) в вещественной форме,
тегрирование при вычислении функции z (е) по формуле (11.45).
тегрирование при вычислении функции z (е) по формуле (11.45).
рассмотрим интеграл в (11.45)
рассмотрим интеграл в (11.45)
по замкнутому контуру (рис. 11.7) ABCDEFA, состоящему из разреза CDEF вдоль отрицательной вещественной оси и дуг окружности ВС и FA круга радиуса 卩Е (X I s |=(%十1/2)冗，где N — большое число. При таком выборе контура интеграл
по замкнутому контуру (рис. 11.7) ABCDEFA, состоящему из разреза CDEF вдоль отрицательной вещественной оси и дуг окружности ВС и FA круга радиуса 卩Е (X I s |=(%十1/2)冗，где N — большое число. При таком выборе контура интеграл
■однозначен и контур не проходит ни через один полюс подынтегральной функции. При 7V -> оо интегралы по участкам окружности ВС и FA стремятся к нулю. Поэтому интеграл по АВ можно заменить интегралом по петле FED С (когда точки F и С оо) плюс 2冗九 умноженное на сумму всех вычетов R (глг). Это дает
■однозначен и контур не проходит ни через один полюс подынтегральной функции. При 7V -> оо интегралы по участкам окружности ВС и FA стремятся к нулю. Поэтому интеграл по АВ можно заменить интегралом по петле FED С (когда точки F и С оо) плюс 2冗九 умноженное на сумму всех вычетов R (глг). Это дает
Аз!(0『 2ехр (es-Ugffs)^
《2тп『/2 ("вН)7” “ ⑻-而丄("i3Hs产2 口 — exp (—2®^$)]
+ W [R(eZ) + E(—尸欣)].(11.46)
Вклад от вычета R (mt) полюса [iBHs^mi равен
—("破)T(E)-'/2exp [(後—刃 t],
поэтому
Л (mi^ + Ii (_глг) = (-1Г+1 (Нб^)*1 (m)5/2 2cos.(11.47)
Из (11.47) и видна уже периодическая зависимость потенциала (11.44) от Я-1. Контурный интеграл в (11.46) можно преобразовать в вещественный интеграл следующим образом:
(0+)(0+)
С exp (es)曲 一 Г1] с . . , _
▲ ("熱)5/2 sh (也加)一工 L (也Hs)7"6(也融)3" J exp(es)s_
(0+)]
![("期)7/2 而詼产(也Hs)5/2 Sh (也成)]exp (es)
Первый интеграл в этой формуле определяется через гамма-функции по формуле F《T)(z)=急 f Z-2 exp (i) di, а второй можно преобразовать в интеграл от 0 до оо
по вещественной оси, умноженный на 2t sin3/2 я= — 2t, поскольку подьштеграль- ная функция вблизи начала координат ведет себя как s1^2 ). В итоге, собирая все члены в (11.46), находим **)
+ 鼻(呢H)5/2 j (厂7/2_6』-3/2_y_5/2(shy)—l) exp (—儡_"y_
-2з呼£号＞ (篇T)].⑴幽
Отсюда по (11.44) можно найти Q* в случае сильного вырождения кТ《g。, используя уже встречавшиеся асимптотические выражения для интегралов статистики Ферми ——Дирака. Однако интегралы от тригонометрических функций из (11.48) следует вычислять более точно, чем остальные члены, поскольку эти подынтегральные выражения являются быстроменяюгцимися функциями е. Воспользуемся тождеством
cos 传-盖)=Re[exp (-普+薔)ехр ｛噸严｝],
где Re означает взятие вещественной части от выражения, стоящего вправо от этого символа, и рассмотрим интеграл
Вводя новую переменную “ = (е—已)/左丁 и заменяя, как обычно при сильном вырождении, нижний предел интегрирования —(С/左Т) на ——оо [что вносит ошибку порядка ехр (——C/kT)], получаем выражение
которое можно вычислить интегрированием по контуру; в результате получим ***)гл2^Т
В итоге по (11.48) для Q* находим
2(2吩产22(2吩产2加"2 j (О加"2 j (О111111屮2屮26产2产2 5h у6产2产2 5h у))/- Q/8 (―l)rcos ｛/- Q/8 (―l)rcos ｛如十如十гп^кТгп^кТл7_曹л7_曹(11.49)(11.49)
2(2吩产2
2(2吩产2
加"2 j (
О
加"2 j (
О
1
1
1
1
1
1
屮2
屮2
6产2产2 5h у
6产2产2 5h у
)
)
/- Q/8 (―l)rcos ｛
/- Q/8 (―l)rcos ｛
如十
如十
гп^кТ
гп^кТ
л
7_曹
л
7_曹
(11.49)
(11.49)
1111116产2严2 sh6产2严2 sh111111”2”26^/2 У"2 G十击綻十告产十•••)〜6^/2 У"2 G十击綻十告产十•••)〜
1
1
1
1
1
1
6产2严2 sh
6产2严2 sh
1
1
1
1
1
1
”2
”2
6^/2 У"2 G十击綻十告产十•••)〜
6^/2 У"2 G十击綻十告产十•••)〜
卩e8
1/2
^ 厂"2_6-1厂3/2厂〃2+6-1厂3/2十(120)-1 屮2^ /_.
**) Напоминаем, что
Г 仅十1)=zr(z) и г G)=i/后
***) При вычислении интеграла с осциллирующей функцией Н"1 пользуемся нулевым приближением, заменяя производную dfjdz дельта-функцией —б (е—工).
Нормальный (не осциллирующий) диамагнетизм дает первый (интегральный) член в (11.49), а второй член дает магнитные осцилляции. Если мы пренебрежем зависимостью диамагнитной восприимчивости от магнитного поля Я, то для неосцилли- руюгцей части по (5.29) получим
嚅=—嚅=—1 ас巾万 ~дН~1 ас巾万 ~дН~4(2шп)з/2蜴3 Д/元九зJ Ое4(2шп)з/2蜴3 Д/元九зJ Ое(11.50)(11.50)
嚅=—
嚅=—
1 ас巾万 ~дН~
1 ас巾万 ~дН~
4(2шп)з/2蜴
3 Д/元九зJ Ое
4(2шп)з/2蜴
3 Д/元九зJ Ое
(11.50)
(11.50)
или, используя обозначения (11.22),
уДМ —Аэл 一уДМ —Аэл 一叫省尸;/2（Е） 福丁 //2阳・叫省尸;/2（Е） 福丁 //2阳・(11.51)(11.51)Таким образом, и из более строгого расчета видно, что диамагнитная восприимчивость электронного идеального газа по абсолютной величине точно равна одной трети его парамагнитной восприимчивости (11.21) при всех значениях температуры. Для классического предела это уже было показано при выводе формул (11.30) и (11.31).Если мы хотим учесть, вообще говоря, очень слабую зависимость нормальной (не осциллирующей) части %^ от Н, т. е. член, получающийся от интегрального слагаемого в квадратных скобках правой части (11.49), необходимо с самого начала одновременно учитывать пара- и диамагнитные эффекты. Это вызвано тем, что спин свободного электрона и его орбитальное движение дают аддитивные вклады в магнитную восприимчивость только с точностью до членов, линейных по Н; при учете членов более высокого порядка относительно Н такой аддитивности уже нет. Поэтому классическую статистическую сумму Z из (11.28) необходимо уточнить, домножив правую чаеть на ch (卩成/左T)“ Это даетNe" \Таким образом, и из более строгого расчета видно, что диамагнитная восприимчивость электронного идеального газа по абсолютной величине точно равна одной трети его парамагнитной восприимчивости (11.21) при всех значениях температуры. Для классического предела это уже было показано при выводе формул (11.30) и (11.31).Если мы хотим учесть, вообще говоря, очень слабую зависимость нормальной (не осциллирующей) части %^ от Н, т. е. член, получающийся от интегрального слагаемого в квадратных скобках правой части (11.49), необходимо с самого начала одновременно учитывать пара- и диамагнитные эффекты. Это вызвано тем, что спин свободного электрона и его орбитальное движение дают аддитивные вклады в магнитную восприимчивость только с точностью до членов, линейных по Н; при учете членов более высокого порядка относительно Н такой аддитивности уже нет. Поэтому классическую статистическую сумму Z из (11.28) необходимо уточнить, домножив правую чаеть на ch (卩成/左T)“ Это даетNe" \Z =41—exp 曙 + exp (-Z =41—exp 曙 + exp (-卩E*kT卩E*kT)J()J(2nmkT 广22nmkT 广2九2九2shsh
уДМ —
Аэл 一
уДМ —
Аэл 一
叫省尸;/2（Е） 福丁 //2阳・
叫省尸;/2（Е） 福丁 //2阳・
(11.51)
(11.51)
Таким образом, и из более строгого расчета видно, что диамагнитная восприимчивость электронного идеального газа по абсолютной величине точно равна одной трети его парамагнитной восприимчивости (11.21) при всех значениях температуры. Для классического предела это уже было показано при выводе формул (11.30) и (11.31).
Если мы хотим учесть, вообще говоря, очень слабую зависимость нормальной (не осциллирующей) части %^ от Н, т. е. член, получающийся от интегрального слагаемого в квадратных скобках правой части (11.49), необходимо с самого начала одновременно учитывать пара- и диамагнитные эффекты. Это вызвано тем, что спин свободного электрона и его орбитальное движение дают аддитивные вклады в магнитную восприимчивость только с точностью до членов, линейных по Н; при учете членов более высокого порядка относительно Н такой аддитивности уже нет. Поэтому классическую статистическую сумму Z из (11.28) необходимо уточнить, домножив правую чаеть на ch (卩成/左T)“ Это дает
Ne" \
Таким образом, и из более строгого расчета видно, что диамагнитная восприимчивость электронного идеального газа по абсолютной величине точно равна одной трети его парамагнитной восприимчивости (11.21) при всех значениях температуры. Для классического предела это уже было показано при выводе формул (11.30) и (11.31).
Если мы хотим учесть, вообще говоря, очень слабую зависимость нормальной (не осциллирующей) части %^ от Н, т. е. член, получающийся от интегрального слагаемого в квадратных скобках правой части (11.49), необходимо с самого начала одновременно учитывать пара- и диамагнитные эффекты. Это вызвано тем, что спин свободного электрона и его орбитальное движение дают аддитивные вклады в магнитную восприимчивость только с точностью до членов, линейных по Н; при учете членов более высокого порядка относительно Н такой аддитивности уже нет. Поэтому классическую статистическую сумму Z из (11.28) необходимо уточнить, домножив правую чаеть на ch (卩成/左T)“ Это дает
Ne" \
Z =41—exp 曙 + exp (-
Z =41—exp 曙 + exp (-
卩E*kT
卩E*kT
)J(
)J(
2nmkT 广2
2nmkT 广2
九2
九2
sh
sh
/ 2ппъкТ \з/2 卩е* .. / Мб^ \…
Заменим, далее, cth х по формуле
cth”=； + 2工 2 ^^72
и запишем
一胃7/2十 Nl是2П2 \胃3/2汽2П2十胃2
1了/21了/213//213//222//2汽2П2 (汽2П2十胃2)//2汽2П2 (汽2П2十胃2)
1
了/2
1
了/2
13//2
13//2
2
2
//2
汽2П2 (汽2П2十胃2)
//2
汽2П2 (汽2П2十胃2)
Если теперь снова повторить приведенный выше расчет Q* с функцией распределения (11.52), то для неосциллируюгцей части Q* вместо интегрального члена в (11.49) получим
q内=2(2北吐f [备品(也h)2//2+
8 81/
+ W(也力"X J 向2(；2；2—叫 exp (一备)可集也 (11.53) 1 0 .
Дальнейшее решение задачи по нахождению % (Я) сводится к вычислению интегралов, входящих в (11.53),——численному или приближенному аналитическому (см. работы [271—283]).
Взаимодействие с ионной решеткой. Более интересным является анализ влияния на аддитивную часть магнитных восприимчивостей (11.21) и (11.51) взаимодействия электронов проводимости металла с его ионной кристаллической решеткой.
При вычислении диамагнитной восприимчивости электронов проводимости мы считали, что они образуют газ свободных частиц, и, следовательно, не учитывали, что электроны в металле находятся как под сильным воздействием потенциала ионной
решетки, так и взаимодействуют друг с другом. Более точный расчет Пайерлс [19], Вильсон [20], см. также Зейтц (1949), Вильсон (1953)] (который здесь не приводим из- за его сложности )) показывает, что диамагнитная восприимчивость, как и следовало ожидать, состоит из двух основных частей: % дм, обусловленной диамагнетизмом ионов, %^м, обусловленной электронами проводимости; эта часть в пределе слабой связи переходит в (11.31) или (11.50). Однако появляется также третья часть Х^М» целиком связанная с взаимодействием электронов проводимости с ионными остовами. В предельных случаях слабой и сильной связи % дм обращается в нуль.
(11.54)(11.54)Для второй, наиболее интересной части диамагнитной восприимчивости теория дает следующее выражение:
(11.54)
(11.54)
У^ = 丽瓦厂 J L^T * ~^f ~ \dkxdky / J 1T№；
здесь интеграл распространяется по объему, заполненному электронами, в пространстве квазиимпульсов (или волновых векторов 左黑，左户 左小 好=龙论)；ось z параллельна внешнему магнитному полю. Из (11.54) легко видеть, что для свободных электронов, когда е =衣2k2/2® или для связанных электронов в приближении эффективной массы е — 衣2k2/2^*, в нулевом порядке по параметру малости kTl^Q выражение (11.54) сводится к формуле Ландау (11.31) соответственно с m или m2/m*. Из (11.54) также видно, что в общем случае %^м определяется кривизной ферми-поверхности (выражение в квадратных скобках, стоящее под интегралом). Поскольку поверхность Ферми может иметь сложную форму (см. § 5), %^м может быть как отрицательной, так и положительной величиной, но для почти пустой или почти заполненной энергетической полосы (когда справедливо приближение эффективной массы) величина %§м всегда отрицательна. Из (11.54) следует , что большой диамагнитной восприимчивостью должны обладать, например, щелочноземельные металлы и висмут (см. табл. 11.1), которые имеют почти заполненные энергетические полосы с большой отрицательной кривизной поверхности Ферми. Кристаллическая решетка висмута не типична для подавляющего большинства металлов. Это, по-видимому, объясняет и температурную зависимость диамагнетизма висмута ). Однако, поскольку одноэлектронное приближение является весьма грубым, вряд ли можно рассчитывать на получение численных значений диамагнитной восприимчивости.
Как только что указывалось при анализе формулы (11.54), выражение (11.51) в приближении эффективной массы будет отличаться лишь тем, что в выражении для 卩^ следует заменить массу свободного электрона на егр эффективную массу в решетке т*. Таким образом, вместо (11.51) будем иметь
Полная восприимчивость %эл электронного таза равна сумме парамагнитной (11.21) [см. также (11.17)] и диамагнитной восприимчивости (11.55), т. е. )
2心燭十購=皆鼻窯口-m(*•)[=喝贵口-3(嚎■)1• (11-56)
2
Из (11.56) видно, что случай свободного газа, когда %эл = -у %貶，имеет место только при m* = т. Если m* V т/~|/3, то результирующая восприимчивость отрицательна и система электронов ведет себя как диамагнетик. Наоборот, при т* > т/~|/3 система в целом парамагнитна. Большая диамагнитная восприимчивость возможна поэтому только при малой эффективной массе электронов, а это означает, что поверхность Ферми лежит в тех областях пространства квазиимпульсов, где изоэнергетические поверхности [е (/с) = const] имеют большую кривизну, как это и следует из формулы (11.54).
Величина %§м не имеет столь простого аналога, как первые две части, и зависит от характера и величины связи электронов в кристаллической решетке.
При более точном расчете магнитной восприимчивости металла необходимо учитывать: 1) электростатическое, т. е. обменное, и кулоновское взаимодействие валентных электронов, 2) их магнитное взаимодействие, 3) парамагнетизм по Дорфману — Лаули одновременно с диамагнетизмом по Ландау, 4) диамагнетизм ионных остовов. Теоретические значения восприимчивости для ряда металлов вообще достаточно удовлетворительно согласуются с опытными данными. Например, в случае натрия для спи- вового парамагнетизма теория дает +1,11 ЛО-6, для диамагнетизма Ландау —0,23*10-6, для диамагнетизма ионных остовов —0,18*10-6 (см. [37]). Таким образом, полная восприимчивость равна 0,70-10~6, в то время как опыт [38] дает величину 0,63 ЛО-6. Расчет пара- и диамагнитных свойств «свободного» электронного газа произвели Ахиезер [23], Румер [24, 25] и Зильберман [26, 27].
Расчеты по влиянию магнитного поля на электрон на основе зонной модели проводились за последнее время рядом авторов [39—41]. Наиболее подробный расчет, с учетом нескольких энергетических полос и магнитного (релятивистского) спин-орбитального взаимодействия, проведен в работе Рот [42]. Однако полученные ею выражения сложны н не позволяют сравнить их с опытом (см. также [271——283] и [288]).
Основы электронной теории (слабого) магнетизма металловс произвольным законом дисперсии
Введение. Недостаток всех упоминавшихся выше теоретических работ по ■объяснению магнитных свойств слабомагнитных металлов заключается в том, что в используемой в них модели свободных электронов полностью игнорируется сильное динамическое взаимодействие (кулоновское отталкивание) между электронами, а учитывается лишь статистическое взаимодействие (принцип Паули). Попытки учесть динамическое межэлектронное взаимодействие наталкиваются на большие математические трудности, которые практически до сих пор не дают возможности построить последовательную многоэлектронную теорию твердого тела, в том числе и металлов. Построение такой многоэлектронной теории необходимо, поскольку многие физические свойства, и, в частности, важнейшие, магнитные свойства металлов — ферро- и антиферромагнетизм —— не могут быть в принципе объяснены без учета межэлектронного взаимодействия в системе коллективизированных электронов в кристалле. Вместе с тем из приведенных выше примеров использования одноэлектронной зонной теории для объяснения магнитных свойств металлов видно, что, по крайней мере качественно, она хорошо согласуется с опытом. Это указывает на то, что, по-видимому, ряд общих положений этой теории, не связанных с конкретными грубомодельными предположениями, выходят, по существу, за рамки одноэлектронного подхода и имеют более универсальное значение, будучи связанными с общими свойствами реальной электронной системы металлических кристаллов. В силу указанного совершенно естественно в качестве лредварительного этапа в построении строгой теории была развита феноменологическая трактовка для объяснения физических свойств системы электронов в кристалле. В ней постулируется само существование межэлектронного взаимодействия и общие статистические н теоретико-групповые свойства ферми-систем, но вместе с тем не делается никаких модельных предположений. Последнее является наиболее сильной стороной этой трактовки, в которой оказалось возможным получить много интересных результатов и в первую очередь в области магнетизма слабомагнитных металлов. При этом теоретические выводы нашли весьма убедительное количественное подтверждение на опыте. Начало этому новому направлению в квантовой теории металлов было положено работами И. М. Лифшица с сотрудниками [43—46], см. также [47, 48]. С некоторыми аспектами этого направления, имеющими важное значение для теории магнетизма, мы сейчас кратко познакомимся.
Только что отмечалось, что успехи в применении модели свободных электронов для описания электронных свойств металлов позволяют высказать интуитивное предположение о том, что динамику системы взаимодействующих фермионов в металле можно с известным основанием аппроксимировать динамикой отдельных практически невзаимодействующих квазичастиц. При этом закон дисперсии е (р) (т. е. зависимость энергии е от квазиимпульсар или волнового вектора к) для этих квазичастиц, конечно, будет в общем случае более сложным и отнюдь не обязательно похожим на квадратичный закон дисперсии (11.5) свободных электронов.
Между электронами в металле действует сильное кулоновское отталкивание, описываемое дальнодействующим потенциалом 或/尸，сравнительно слабо спадающим с ростом г. Правда, в реальных кристаллах электронный заряд в среднем нейтрализуется положительными зарядами ионных остовов решетки. Однако при хаотическом движении электронов в кристалле могут возникать локальные флуктуации электрического заряда, которые будут создавать очень сильные электромагнитные поля. Бом и Пайне [см. Пайне (1955, 1963), Бом (1964)] сделали попытку учесть эффект этих флуктуаций электронного заряда в металле введением коллективных колебаний системы электронов. Этот прием они заимствовали из дебаевской теории теплоемкости ионных кристаллов, в которой сложное движение сильносвязанных ионов в решетке описывается системой независимых осцилляторов — фононов. Точно так же в электронной системе, в которой действует кулоновское отталкивание между частицами, оказывается
возможным часть степеней свободы системы описать специфическими осцилляторами — плазмонами (плазменными колебаниями), образующими идеальный газ (гармоническое приближение). В отличие от фононов, энергия которых непрерывно изменяется, начиная с нулевого значения, для плазмонов электронной системы существует минимальная плазменная частота (0цлаз = (4лпе2/^)1/2- При обычных концентрациях электронов проводимости в металлах (n ^ 1032)(0цЛаз ^ Ю16 сек-1. Следовательно, величина минимального кванта энергии этих колебаний 衣①цлаз порядка 1011 зр? (10 ае). Иными словами, в электронном энергетическом спектре коллективных плазменных колебаний в металле имеется большая энергетическая щель Деплаз = ^(оплаз. Отсюда видно, что при обычных температурах (кТ《 万(о^лаз) плазменные колебания в металле не возбуждаются. При этих условиях реализуются другие степени свободы электронов —— не коллективные, а индивидуальные, которые благодаря кулоновскому взаимодействию и малой массе электрона (по сравнению с массой иона) носят своеобразный характер, отличный от инди вид у а ль ных (диффузионных) движений тяжелых ионов, которые имеют место при высоких температурах в твердых телах. Электроны благодаря своей большой подвижности (по сравнению с ионами) перераспределяются в пространстве так, чтобы несколько заэкранировать кулоновское взаимодействие. Поэтому фактически потенциал взаимодействия описывается не обычным кулоновским потенциалом 或/尸，а экранированным потенциалом (е2/г) ехр [—r/Лд] [см. Пайне (1963), Бом (1964)]. Здесь Хд — характерная длина системы взаимодействующих электронов — так называемая дебаевская, длина волны (радиус экранировки)^ равная 入也=(m〈卢)/12冗是成)1/2, где д 一 концентрация, а е或〉一ередняя квадратичная скорость частиц. В обычных металлах n ^ 1022 см-3, и поэтому, заменяя (р2) по (11.7), находим 10-8 см, т. е. величину порядка параметра решетки.
Итак, в системе взаимодействуюгцих электронов можно выделить две группы' степеней свободы: 1) коллективные плазменные колебания с высокой энергией возбуждения и 2) индивидуальные движения квазичастиц, взаимодействие которых описывается экранированным потенциалом. Полное число плазменных степеней свободы в системе электронов мало по сравнению с полным числом исходных частиц. В этом смысле электронный коллектйв существенно отличается от ионной решетки, где движение «тяжелых» ионов можно практически (в гармоническом приближении) целиком описать движением идеального бозе-газа фононов, совершенно отличным по своему характеру от движения отдельных ионов. Эта диффузия ионов в кристаллах при Т « 0пЛ не играет существенной роли. В электронной же системе «львиная доля» степеней свободы принадлежит индивидуальным движениям квазичастиц, которые поэтому можно рассматривать похожими на свободные электроны (с точностью да закона дисперсии и экранированного взаимодействия).
Здесь сразу же возникает вопрос: можно ли для этих частиц в какой-то мере сохранить представления модели свободного газа Ферми с характерной для него функцией распределения (11.14), а именно с ее резким спадом (ступенькой) при Т = 0° К, определяющим в пространстве квазиимпульсов поверхность Ферми *)? Этот вопрос до сих пор еще не нашел окончательного строгого решения. Однако можно привести некоторые общие качественные соображения, дающие положительный ответ на поставленный вопрос. Дело в том, что вид функции распределения (11.14) в статистике Ферми —Дирака является прямым следствием принципа Паули. И в случае системы взаимодействующих электронов этот принцип также имеет первостепенное значение в связи с ограничениями, накладываемыми им на влияние межэлектронного взаимодействия на свойства системы. Если поверхность Ферми сохраняет свой смысл и для системы взаимодействующих частиц, то квазичастицы для возбужденных состояний системы, близких к основному (при 0° К), будут носить характер пар типа электрон — дырка, но с произвольным законом дисперсии е (р). Если бы эти квазичастицы не подчинялись принципу Паули, т. е. были не фермионами, то их сечение рассеяния (благодаря экранированному кулоновскому отталкиванию) было бы таким, что средняя длина свободного пробега Z была бы порядка среднего расстояния между электронами (узлами решетки), т. е. порядка 10-8 ели Среднее время свободного пробега при этом было бы т Z/(p) 10-8»10-8 10-16 сек. Тогда из соотношения неопределенности энергия — время Ае・А才》％ «ширина» уровня, т. е. точность определения энергии одночастичного возбужденного состояния (квазичастицы), была бы равна Де в&7т;
4QT1 эрг (10 as). Поэтому нельзя было бы вводить представления о квазичастицах
как устойчивых образованиях для всех процессов, в которых обмен энергией, приходящейся на одну частицу, оказывался меньше или порядка 10 ае, т. е. практически для всех интересующих нас явлений.
Однако если частицы подчиняются принципу Паули, то вся ситуация резко меняется, так как в этом случае рассеяние может произойти лишь при наличии свободных мест в пространстве квазиимпульсов, куда могут переходить обменявшиеся импульсами частицы после столкновения. А эти «свободные» места имеются только в области «размытия» функции распределения. Ширина этой области порядка кТ Напоминаем, что практически во всех нормальных металлах система электронов сильно вырождена и кТ « Со (см. рис. 11.26). Поэтому квазичастица может сталкиваться не со всеми N электронами, а лишь с их частью порядка N ❷TRJ. Таким образом, длина свободного пробега будет больше параметра решетки в (^/кТУ раз, т. е. будет составлять примерно 10-4 см при комнатных температурах (Т л; 300° К) и примерно 10см при Т л; 10° К. Ширина энергетического уровня квазичастицы с таким пробегом очень мала, а именно в 论 77 go раз уже, чем расширение уровня, обусловленное тепловым движением частиц. Такие квазичастицы достаточно устойчивы, чтобы их трактовать как квазинезависимые. Отсюда и следует, что функция распределения Ферми (11.14) сохраняется в какой-то мере и в системе вз аимод ей ст вующих электронов.
Основные представления зонной теории при произвольном законе диссперсии. Несмотря на качественный характер приведенных соображений, они вполне строги. В последнее время появилось довольно много теоретических работ, подтверждающих эти соображения с количественной стороны *). Мы не имеем возможности на них останавливаться. Для наших целей будет достаточно принять, что система электронов проводимости в кристаллах достаточно хорошо аппроксимируется газом фермионов с произвольным законом дисперсии е (〃)，что и представляет собой содержание феноменологического подхода в квантовой теории металлов по И. М. Лифшицу (см. выше п. 1). При этом мы будем пользоваться лишь общими свойствами произвольного закона дисперсии и волновой функции фермионов в кристалле, а также представлениями о поверхностях Ферми.
Волновая функция ipfe,s (г) и закон дисперсии е (р) фермионов в самом общем случае должны отражать симметрию кристалла. Из свойств трансляционной симметрии кристаллической решетки сразу же следует ), что волновая функция фермиона в периодическом потенциальном поле кристалла имеет вид плоской волны, модулированной в такт решетке (функция Блоха [53]):
WA,sS) = e^'U%sS),(11-57)
и ей соответствует энергия
%(砌.(11.58)
Здесь к——волновой вектор, определяющий квазиимпульс p = hk фермиона, Uk $(竺)一 модулирующий фактор, обладающий периодичностью решетки:
Uk>s(r) = Uk<s(r+Rn),(11-59)
где jRn — любой вектор решетки, определяемый через основные векторы решетки @工, @2 и "з по формуле
冗几=汽]«]十汽2b2+ 几з«з (^1» 汽2，汽з—целые числа, включая нуль). (11.60)
Волновой вектор к и индекс s (о нем см. несколько ниже) играют роль квантовых чисел, нумерующих состояния фермионов. Вектор к удобно выражать через основные векторы 力I, &2 и &з обратной решетки [см., например, Займан (1966)]. Эти векторы связаны с основными векторами «прямой» решетки условиями (/•勿)=2冗6订亿 j = 1, 2, 3; 6zj— символ Кронекера), из которых следует：
Ь^=2л [<v2-a3] Q-1, % = 2冗[аз”/QT, &3 = 2л [а^а^ Q-1,(11.61)
где Q = (<?!•[ <72'^з1)—объем элементарной ячейки кристалла. Вектор
Тт = т1^1 + т2^2 + тз^з (碗1，碗2,碗3 —целые числа, включая нуль) (11.62)
по анологии с (11.61) называется вектором обратной решетки. Из (11.61) и (11.62) следует, что (тт• Rn) = 2л (ш^ -]-m2n2 -]-m3n3), и поэтому
exp [t(TmJRn)] = l.(11.63)
Для волнового вектора к имеем [см. (11.3)]
昨小1昨小1£拠+外3,£拠+外3,(4, 6，4 — целые числа, включая нуль).(4, 6，4 — целые числа, включая нуль).(11.64>(11.64>
昨小1
昨小1
£拠+外3,
£拠+外3,
(4, 6，4 — целые числа, включая нуль).
(4, 6，4 — целые числа, включая нуль).
(11.64>
(11.64>
&(к)&(к)Рис. 11.8. Энергия электрона в одномерном кристалле в схеме расширенных зон； Из графина видно, что энергия е является периодической функцией волнового числа 冗，а также многозначной функцией, что учитывается индексом s (номером полосы): £$ (fe). Точки ±(2п + 1)л/а (где 九=0, 1, 2, . . .) соответствуют границам зон Бриллюэна одномерного кристалла.Рис. 11.8. Энергия электрона в одномерном кристалле в схеме расширенных зон； Из графина видно, что энергия е является периодической функцией волнового числа 冗，а также многозначной функцией, что учитывается индексом s (номером полосы): £$ (fe). Точки ±(2п + 1)л/а (где 九=0, 1, 2, . . .) соответствуют границам зон Бриллюэна одномерного кристалла.Из сравнения (11.63) и (11.62) видно, что /с-пространство — это пространство обратной решетки. Из (11.63) следует, что замена любого й на 论+七皿 не должно изменять волновую функцию (11.57), а следовательно, и энергию (11.58) ). Поэтому имеет смысл выделить некоторую основную' область в /с-пространстве для совокупности значений 论，которые обладают тем свойством, что ни один из них не может быть выражен qepes любой другой добавлением к йему какого-то вектора обратной решетки. Легко сообразить, что из-за совпадения /с-пространства с пространством обратной решетки эта основная область является единичной ячейкой обратной решетки. В зонной теории доказывается, что уравнение Шредингера для электрона в кристалле при каждом значении к из основной области имеет бесконечное число состояний, которые и нумеруются квантовым числом s. При каждом данном значении s энергия es (论)является квазинепрерывной функцией волнового вектора 论，которая, кроме того, является периодической функцией к с периодом обратной решетки. Таким образом, при каждом значении s мы имеем одну энергетическую полосу. На рис. 11.8 в качестве иллюстрации этих выводов зонной теории приведена картина полосчатого энергетического спектра электрона в одномерном кристалле, где показана периодичность и многозначность функции es (论).
&(к)
&(к)
Рис. 11.8. Энергия электрона в одномерном кристалле в схеме расширенных зон； Из графина видно, что энергия е является периодической функцией волнового числа 冗，а также многозначной функцией, что учитывается индексом s (номером полосы): £$ (fe). Точки ±(2п + 1)л/а (где 九=0, 1, 2, . . .) соответствуют границам зон Бриллюэна одномерного кристалла.
Рис. 11.8. Энергия электрона в одномерном кристалле в схеме расширенных зон； Из графина видно, что энергия е является периодической функцией волнового числа 冗，а также многозначной функцией, что учитывается индексом s (номером полосы): £$ (fe). Точки ±(2п + 1)л/а (где 九=0, 1, 2, . . .) соответствуют границам зон Бриллюэна одномерного кристалла.
Основная область в /с-пространствег т. е. единичная ячейка обратной решетки, которая может выбираться многими способами и имеет обычно вид многогранника, носит название зоны Бриллюэна. Для построения такой зоны можно из узла обратной решетки с Zc = 0 как начала координат провести векторы т7n во все другие- узлы и провести плоскости, перпендикулярные к этим векторам и делящие их пополам. Тогда основной областью будет наименьшая, окружающая начало и ограниченная этими плоскостями. Как правило, это будут плоскости, которые делят пополам векторы тт, идущие из начала к ближайшим соседним узлам и иногда к следующим за ближайшими.
В зоне Бриллюэна число орбитальных состояний [т. е. число векторов к (11.64)} равно числу единичных ячеек в кристалле.
Каждое такое состояние может быть занято двумя электронами с противоположными проекциями спина. Если кристалл имеет простую решетку Браве [см., например, Киттель (1963)], т. е. в единичной ячейке имеется по одному атому, то в зоне Бриллюэна может поместиться по два электрона на атом кристалла. Если число электронов на атом больше двух, то электроны будут распределяться по нескольким зонам. Основная область в «-пространстве совпадает, таким образом, с первой зоной Бриллюэна, или, как ее называют, приведенной зоной. Ясно, что по рецепту, указанному выше, все /с-пространство разбивается на зоны больших номеров — второго, третьего и т. д・,окружающие первую. Эти зоны имеют более сложную геометрическук> форму, образуя совокупность разъединенных многогранников (в одномерном случае это разъединенные отрезки оси к, см. рис. 11.8). Введение зон Бриллюэна высших номеров соответствует так называемой схеме расширенных зом, в которой энергик> е (论)можно рассматривать как однозначную периодическую функцию к. Если же ограничиться только основной областью /с-пространства, то мы будем иметь дело со схемой приведенной зоны. Обе эти схемы одинаково законны н в зависимости от необходимости могут быть с равным успехом использованы.
В литературе по квантовой теории твердого тела утвердилась не совсем точная терминология. Очень часто вместо термина «энергетическая полоса» [который правилен, поскольку он точно соответствует физической природе спектра электрона в периодическом потенциальном поле (им мы и будем пользоваться ниже)] пользуются неудачным термином «энергетическая зона». Термин «зона» следует сохранить лишь для «зон Бриллюэна». Кроме того, саму одноэлектронную теорию кристалла, в которой электронная система рассматривается как газ фермиевских квазичастиц, мы, как и повсюду в литературе на русском языке, будем называть зонной теорией (а не теорией полос — band theory, принятой на английском языке).
На рис. 11.9 в качестве примера приведены первые зоны Бриллюэна для кристаллов с простой кубической (ПК), объемноцентрированной кубической (ОЦК) и гранецентрированной кубической (ГЦК) решетками.
При значениях /с, лежащих на поверхностях, ограничивающих зоны Бриллюэна, энергия испытывает разрыв. В одномерном случае это приводит всегда к тому, что для
каждого значения s мы имеем полосу энергии, которая не перекрывается с соседними полосами снизу и сверху. Однако в трехмерном случае из-за анизотропии энергетических щелей для различных направлений векторов к в кристалле, возможно и перекрытие полос. Для того чтобы наглядно проиллюстрировать это, приведем график функций 君 1 (к) и 惠2 (左) для двух направлений вектора Л: : Л：1 и Л:2. На рис. 11.10, а приведен случай больших энергетических щелей, и поэтому, несмотря вга анизотропию, перекрытия нет. На рис. 11.10 6 показан случай малых щелей, когда происходит перекрытие.
Таким образом, если вспомнить основной вывод статистики Ферми — Дирака, что в основном состоянии (при Т = 0°К) электроны занимают наинизшие возможные уровни энергии, то будут
Рис. 11.9. Основные области — первые зоны Бриллюэна в ^-пространстве для (а)ПК, (б) ОЦК и (в) ГЦКРис. 11.9. Основные области — первые зоны Бриллюэна в ^-пространстве для (а)ПК, (б) ОЦК и (в) ГЦКвозможны следующие типы электронных энергетических спектров
Рис. 11.9. Основные области — первые зоны Бриллюэна в ^-пространстве для (а)ПК, (б) ОЦК и (в) ГЦК
Рис. 11.9. Основные области — первые зоны Бриллюэна в ^-пространстве для (а)ПК, (б) ОЦК и (в) ГЦК
кристаллов.решеток.
Если полосы не перекрываются, то они либо целиком запол
Рис. 11.10. Схематическое изображение неперенрывающихся (а) и перекрывающихся (б) энергетических полос для анизотропного трехмерного кристалла. На каждом графине показаны разрывы энергии на границах зоны Бриллюэна для двух направлений (1 и 2) в обратной решетке. Направлению 左 1 соответствует наименьшее значение энергии на границе зоны Бриллюэна, а направлению 在2 — наибольшее. В случае а) энергетические щели 厶卷〔й Д^2 велини по сравнению с анизотропией энергии 厶卷 I аниз и 厶務2 аниз (厶卷32 > 厶卷32 аниз* и коатому между первой и второй энергетическими полосами сохраняется щель, Д © 2 ^ 0. В случае б) имеем обратное соотношениеРис. 11.10. Схематическое изображение неперенрывающихся (а) и перекрывающихся (б) энергетических полос для анизотропного трехмерного кристалла. На каждом графине показаны разрывы энергии на границах зоны Бриллюэна для двух направлений (1 и 2) в обратной решетке. Направлению 左 1 соответствует наименьшее значение энергии на границе зоны Бриллюэна, а направлению 在2 — наибольшее. В случае а) энергетические щели 厶卷〔й Д^2 велини по сравнению с анизотропией энергии 厶卷 I аниз и 厶務2 аниз (厶卷32 > 厶卷32 аниз* и коатому между первой и второй энергетическими полосами сохраняется щель, Д © 2 ^ 0. В случае б) имеем обратное соотношениенены электронами, либо совершенно пусты, т. е. имеется энергетическая щель А君 между основным состоянием и первым возбужденным,—это случай диэлектриков или
Рис. 11.10. Схематическое изображение неперенрывающихся (а) и перекрывающихся (б) энергетических полос для анизотропного трехмерного кристалла. На каждом графине показаны разрывы энергии на границах зоны Бриллюэна для двух направлений (1 и 2) в обратной решетке. Направлению 左 1 соответствует наименьшее значение энергии на границе зоны Бриллюэна, а направлению 在2 — наибольшее. В случае а) энергетические щели 厶卷〔й Д^2 велини по сравнению с анизотропией энергии 厶卷 I аниз и 厶務2 аниз (厶卷32 > 厶卷32 аниз* и коатому между первой и второй энергетическими полосами сохраняется щель, Д © 2 ^ 0. В случае б) имеем обратное соотношение
Рис. 11.10. Схематическое изображение неперенрывающихся (а) и перекрывающихся (б) энергетических полос для анизотропного трехмерного кристалла. На каждом графине показаны разрывы энергии на границах зоны Бриллюэна для двух направлений (1 и 2) в обратной решетке. Направлению 左 1 соответствует наименьшее значение энергии на границе зоны Бриллюэна, а направлению 在2 — наибольшее. В случае а) энергетические щели 厶卷〔й Д^2 велини по сравнению с анизотропией энергии 厶卷 I аниз и 厶務2 аниз (厶卷32 > 厶卷32 аниз* и коатому между первой и второй энергетическими полосами сохраняется щель, Д © 2 ^ 0. В случае б) имеем обратное соотношение
А卷4 о 式 А君 4 9 агттяп и полосы перекрываются.
полупроводников (рис. 11.11, а). При этом возможен также случай, когда одна из полос (лежащая между целиком заполненными и пустыми) заполнена не целиком,— это случай -металла (рис. 11.11, 6). Если полосы перекрываются, то при любом их заполнении энергетическая щель отсутствует, и поэтому кристалл всегда относится к группе металлов. Именно этот последний случай и характерен для большинства реальных металлов, обладающих несколькими частично заполненными перекрывающимися энергетическими полосами.
Топологические свойства поверхностей Ферми. Как следует из рис. 11.11, 6, в, в металле поверхность Ферми расположена внутри одной из энергетических полос. Поскольку во всех физических явлениях в металлах основную роль играют электроны •с энергиями в интервале порядка кТ (《 已。),то прежде всего важно выяснить некоторые
幽琢滋纷睜max幽琢滋纷睜maxd€ I Энергетическая щельd€ I Энергетическая щельЗаполненная，полосаЗаполненная，полосаЧастично запол- 2〃/^^'〃〃/ ценная полоса '^^^^^^^^юбень ФермиЧастично запол- 2〃/^^'〃〃/ ценная полоса '^^^^^^^^юбень ФермиnHgodA UQE36UnHgodA UQE36U
幽琢滋纷睜max
幽琢滋纷睜max
d€ I Энергетическая щель
d€ I Энергетическая щель
Заполненная
，полоса
Заполненная
，полоса
Частично запол- 2〃/^^'〃〃/ ценная полоса '^^^^^^^^юбень Ферми
Частично запол- 2〃/^^'〃〃/ ценная полоса '^^^^^^^^юбень Ферми
nHgodA UQE36U
nHgodA UQE36U
7丿6)6)
Рис. 11.11. Энергетический спентр электронов в кристалле, а) Неперенрывающиеся полосы (дат-элентрин); б) неперенрывающиеся полосы (металл); в) перенрывающиеся полосы (металл).
общие топологические свойства изоэнергетических поверхностей е (р) = const для фермионов в кристалле.-
Внутри каждой полосы энергия фермионов при определенных значениях квазиимпульса Ро мин и Ро макс имеет соответственно минимальное и максимальное значение. Вблизи экстремальных значений энергию можно разложить в ряд по степеням 《& — Pot), где 力=1, 2, 3.
В отсутствие вырождения ) имеем
1№1/^2g\
е(Р)= е(р0)+Т»(1L65)
订(=1, 2, 3)
Симметричный тензор второго ранга.
7)e=m尸'⑴.66)
(11.67)(11.67)имеющий размерность обратной массы (г-1), носит название тензора обратной эффективной массы фермиона. Если энергию отсчитывать от точки р0 мин，т0 в силу (11.66) вблизи минимума изоэнергетические поверхности (в случае отсутствия вырождения) в координатной системе, совпадающей с их главными осями, будут иметь вид семейства -ЭЛЛИПСОИДОВ
(11.67)
(11.67)
2mje 十 2mje 十 2m|e
Здесь принята система отсчета
е(00 мин) = е (°) — °・
С ростом энергии е оси эллипсоида увеличиваются и вектор градиента V^e = и, равный 'квантовомеханической средней скорости фермиона, направлен по внешней нормали к изоэнергетическим поверхностям. Из-за периодической зависимости функции е (р) ■от 〃 с периодом hb семейство эллипсоидов (11.67) будет периодически повторяться в р- пространстве, разбивающемся на элементарные ячейки —— многогранники, вид которых определяется симметрией решетки [зоны Бриллюэна; см., например, Джонс (1968)].
Например, в случае ГЦК решетки эти ячейки являются усеченными октаэдрами (рис. 11.12, а, б, а также рис. 11.9, е) ). В этом случае изоэнергетическая поверхность вблизи точки ро мин — 0 представляет собой периодическую совокупность эллипсоидов типа (11,67), расположенных в центрах усеченных октаэдров (рис. 11.12, а). Максимумы энергии расположены в других точках р-пространства, а именно в точках
Ро маке，и ПРИ выборе системы отсчета е (р0 мин) =。имеем е (р0 мане) = &(Р‘)= %• Поэтому из (11.65) для семейства изоэнергетических эллипсоидальных поверхностей получаем уравнение
(11.68)(11.68)(Pl "-PM 丄 (p2 - p》2 J (p3-p，=12^Т (^1 — е) е 2m豈(％ — e) ' 2nlM (白一e)—
(11.68)
(11.68)
В (11.68) оси эллипсоидов уменьшаются с ростом энергии е, поэтому вектор Vpe = & направлен по «внутренней» нормали к изоэнергетической поверхности. Семейство этих
Рис. 11.12. Первая зона Бриллюэна и поверхности постоянной энергии в пространстве квазиимпульсов для электронов проводимости (случай ГЦК решетки), а) Случай, когда заполнено лишь «дно» полосы, б) Случай, иогда полоса заполнена почти целиком.Рис. 11.12. Первая зона Бриллюэна и поверхности постоянной энергии в пространстве квазиимпульсов для электронов проводимости (случай ГЦК решетки), а) Случай, когда заполнено лишь «дно» полосы, б) Случай, иогда полоса заполнена почти целиком.
Рис. 11.12. Первая зона Бриллюэна и поверхности постоянной энергии в пространстве квазиимпульсов для электронов проводимости (случай ГЦК решетки), а) Случай, когда заполнено лишь «дно» полосы, б) Случай, иогда полоса заполнена почти целиком.
Рис. 11.12. Первая зона Бриллюэна и поверхности постоянной энергии в пространстве квазиимпульсов для электронов проводимости (случай ГЦК решетки), а) Случай, когда заполнено лишь «дно» полосы, б) Случай, иогда полоса заполнена почти целиком.
эллипсоидов также может быть изображено на графиках, подобных графикам рис. 11.12, а (см. также рис. 11.9, а).
Оба класса изо энергетических поверхностей (11.67) и (11.68) мы будем называть замкнутыми. Переход от эллипсоидов типа (11.67) к эллипсоидам (11.68) при непрерыв-
Рис. 11.13. Изоэнергетические «поверхности» (кривые) для двумерного случая с законом дисперсии £i — Ai cos pxax/h + 厶2 cos pyay/h, где &【 и Az ——произвольные энергетические параметры, ах и а(/ ——параметры плоской решетки, а) Случай &【=Az\ наклонные прямые линии ——открытые «поверхиости». б) Случай А〔壬 А?； между эллипсами — слои открытых «поверхностей» (Лифшиц и Каганов [45]).Рис. 11.13. Изоэнергетические «поверхности» (кривые) для двумерного случая с законом дисперсии £i — Ai cos pxax/h + 厶2 cos pyay/h, где &【 и Az ——произвольные энергетические параметры, ах и а(/ ——параметры плоской решетки, а) Случай &【=Az\ наклонные прямые линии ——открытые «поверхиости». б) Случай А〔壬 А?； между эллипсами — слои открытых «поверхностей» (Лифшиц и Каганов [45]).6)6)
Рис. 11.13. Изоэнергетические «поверхности» (кривые) для двумерного случая с законом дисперсии £i — Ai cos pxax/h + 厶2 cos pyay/h, где &【 и Az ——произвольные энергетические параметры, ах и а(/ ——параметры плоской решетки, а) Случай &【=Az\ наклонные прямые линии ——открытые «поверхиости». б) Случай А〔壬 А?； между эллипсами — слои открытых «поверхностей» (Лифшиц и Каганов [45]).
Рис. 11.13. Изоэнергетические «поверхности» (кривые) для двумерного случая с законом дисперсии £i — Ai cos pxax/h + 厶2 cos pyay/h, где &【 и Az ——произвольные энергетические параметры, ах и а(/ ——параметры плоской решетки, а) Случай &【=Az\ наклонные прямые линии ——открытые «поверхиости». б) Случай А〔壬 А?； между эллипсами — слои открытых «поверхностей» (Лифшиц и Каганов [45]).
6)
6)
ном изменении е (внутри полосы) от & = 0 до & = % не может топологически произойти без того, чтобы при промежуточных значениях энергий 0 v £ v q простые эллипсоидальные замкнутые изоэнергетические поверхности не превратились бы в более сложные поверхности —— самопересекающиеся и открытые, проходящие через все
пространство обратной решетки (рис. 11.13, а, 6 и рис. 11.14). Из-за сложности закона' дисперсии изоэнергетические поверхности могут быть самых разнообразных типов (подробнее см. [45, 46, 52]). Нас будет интересовать здесь не общая теория поверхностей Ферми, а лишь те явления, которые связаны с влиянием на состояния фермионов внешних магнитных полей, а также внутренних их взаимодействий, приводящих:
Рис. 11.14. Открытая изоэнергетическая поверхность для трехмерного случая с законом дисперсии типа
е=е0 [1+4~ ( cos + cos + C0S ^^-)〕
(ПК решетка) (Лифшиц и Каганов [45]).
к особенностям в их магнитных свойствах. Мы рассмотрим лишь влияние внешнего магнитного поля на электроны проводимости в нормальных и переходных металлах г не обладающих атомной магнитной структурой (см. работы [284, 285]).
Движение фермионов во внешнем магнитном поле. Прежде всего рассмотрим, механику фермиона с произвольным законом дисперсии во внешнем магнитном поле. Ради упрощения изложения мы ограничимся исследованием частного случая, когда движение фермиона можно описывать уравнениями классической механики. При этом, квантовые свойства электронов учитываются лишь тем, что статистика электронов не классическая, а квантовая Ферми 一 Дирака, и тем, что предполагается существование какой-то общей формы зависимости е (〃) (произвольный закон дисперсии). Для того чтобы такое описание было возможно, необходимо выполнение следующих трех условий.
Длина волны де Бройля фермиона 厶е ~ 无/р должна быть гораздо меньше- характерной длины, входящей в теорию. Для задач о движении заряженных частиц, в магнитном поле такой характерной длиной является радиус циклотронной орбиты. Его легко найти по формуле (11.25) для циклотронной частоты (он. Действительно, для линейной скорости v электрона по общим формулам механики имеем и =①н^н， где гн ——радиус классической циклотронной орбиты свободного электрона. Используя выражение (11.25) для ①京 и заменяя и на р/m, сразу находим
尸h=器，(11.69»
Таким образом, первое условие гласит:厶^《Гн, пли
3《号，(11-70)
2.尸н》&• Радиус циклотронной орбиты г^ должен заметно превышать параметр решетки, или
.(11.71)
еН
Тогда движение электрона в кристалле можно описывать волновой функцией, имеющей вид плоской волны ).
Расстояние между квантованными энергетическими уровнями в магнитном поле ^(он должно быть заметно меньше энергии фермиона е, т. е. &(0H《 е, или
Наибольший интерес для нас имеют электроны вблизи поверхности Ферми. В силу (11.7) их импульс р①〜3汽,концентрация электронов п связана с параметром решетки а соотношением п а-3, поэтому
?ф Я2Р①〜^ и ?о-еф^—=?ф Я2Р①〜^ и ?о-еф^—=(11.73)(11.73)
?ф Я2
Р①〜^ и ?о-еф^—=
?ф Я2
Р①〜^ и ?о-еф^—=
(11.73)
(11.73)
Легко видеть, что в данном случае, в силу (11.73), все три условия: (11.70), (11.71) и (11.72)——сводятся к одному условию: а《гн. Из него можно определить верхнюю границу магнитных полей, при которых это условие не нарушается:
^ 108—109 j.^ 108—109 j.с 方八 3-10Ю.10-27” ^Таз-^ 4-10-10.10-16
^ 108—109 j.
^ 108—109 j.
Любопытно отметить, что в правую часть этого неравенства для Н не входит эффектив^ ная масса фермиона, что еще раз указывает на независимость этого критерия от вида закона дисперсии. Помимо приведённых условий, необходимо также в квазиклассиче- ском приближении исключить из рассмотрения переходы между состояниями разных полос, которые представляют собой чисто квантовые эффекты (см. [45]). Итак, если критерий для Н выполнен, то в случае постоянного и однородного внешнего магнитного поля Н движение квазичастицы описывается классическим уравнением Лорентца 票=?皿].(11.74)
Из (11.74) легко получить два основных закона сохранения для движения частицы в магнитном поле. Умножая обе части (11.74) скалярно на &, получаем (& ・〃р) = с?е = 0, т. е. закон сохранения энергии при движении в магнитном поле. А умножая (11.74) скалярно на Н、получаем (H*dp) = 0, т. е. в поле параллельная полю слагающая импульса также постоянна. Таким образом, если направить поле Н вдоль оси z, законы сохранения примут вид
е — const,const.(11.75)
Из (11.75) следует, что траектория частицы в пространстве импульсов в однородном постоянном магнитном поле Н определяется плоскими сечениями изоэнергетических поверхностей е = е0 плоскостями р^ = Р^ т* е・ изображается плоскими кривыми
£ (Рх, Ру,吧(И.76)
Естественно, что эти траектории зависят от топологии изоэнергетических поверхностей,, т. е. от того, замкнутые они или открытые. В случае замкнутых поверхностей сечения всегда будут иметь вид замкнутых кривых, описываемых уравнением (11.76) (финитное движение). Если же поверхность открытая, то могут быть два типа сечений (11.76): также замкнутые или незамкнутые, проходящие непрерывно через всю обратную решетку (инфинитное движение). Отсюда видно, что топология изоэнергетической поверхности и, в частности, поверхности Ферми может оказывать весьма существенное влияние на характер движения фермионов в магнитном поле. В силу (11.75) векторное уравнение (11.74) (при Нх = Яу = 0, Xz = X) в составляющих будет иметь вид
〃Рн 卡 ен “ dpy еН dpz 八
丁手丁也，力一一г%，В"(儿77)
Возведя первые два уравнения (11.77) в квадрат, складывая и извлекая корень квадратный, находим
dp丄dtdp丄dt(11.78)(11.78)
dp丄dt
dp丄dt
(11.78)
(11.78)
где 〃Р丄= V^Px + 〃處，^丄= У吸+ 吟，а знак минус связан с тем, что заряд электрона е V °. Геометрически dp 丄 в (11.78) определяет элемент дуги на траектории (11.76). Интегрирование (11.78) вдоль замкнутой кривой (11.76) дает для периода обращения -?h=一才§計.(й79)
Интеграл в правой части (11.79) можно связать с площадью плоского сечения (11.75} S (е0,處).Действительно, по определению
S (е, Pz) = , , '°* ‘Ру，(S)
где двойной интеграл берется в пределах, ограниченных замкнутой траекторией типа (11.76). Можно эту же площадь вычислить в других координатах, разбив ее на
бесконечно узкие «колечки» толщиной "е и длиной <у dp丄,где интегралы берутся по замкнутым контурам для всех энергий от емин до емакс = е0. Далее, используя соотношение и丄="е/8PL находим
S(Ео, Р?) = j 祢 § Т* ,
а отсюда сразу следует, что
Подставляя (11.80) в (11.79), находим (в случае замкнутых сечений)
‘h=一后前•"吃
Период обращения Тн по траектории (11.76) непосредственно связан с циклотронной частотой:(0д = 2л/Г^, поэтому из (11.81) находим
sr =sr =2пеНс ~дГ2пеНс ~дГ(11,82)(11,82)
sr =
sr =
2пеН
с ~дГ
2пеН
с ~дГ
(11,82)
(11,82)
Эта формула является обобщением классической формулы (11.25) для циклотронной частоты «свободного» электрона на случай фермионов с произвольным законом дисперсии, который входит сюда через производную dS/de. В случае справедливости изотропного (т扌 — m^ = m^ = m*) квадратичного закона дисперсии (11.65) выражение для й)н (11.82) совпадает по форме с классическим. Действительно, в данном случае
£ = -^V(p2 +必2), ~^=乌и -^ = & —— - = 2лт*.
2m* ' 3 z /dp工丄аe 力P丄
(11.83)(11.83)Подставляя выражение для производной dS/de в (11.82), находим 'еН
(11.83)
(11.83)
нст*
Сравнивая частную формулу (11.83) с общей (11.82), мы видим, что величина (1/2л) (@S/@£)играет роль эффективной массы
(11.84)(11.84)1 dS
(11.84)
(11.84)
2л де
Существенно отметить, что эта величина — интеграл движения в магнитном поле, ибо она 一 функция только сохраняющихся величин (е0 и р?). Поэтому такое «магнитное» определение эффективной массы фермионов с произвольным законом дисперсии гораздо физичнее, чем обычное определение тензора эффективой массы (11.66) для состояний, для которых значения р близки к экстремальным. Следует' также помнить, что величина т* из (11.84) различна для различных фермионов. Поэтому в газе фермионов с произвольным законом дисперсии частицы в постоянном магнитном поле 《вращаются» с различными циклотронными частотами, а не с одной частотой, как это имело место в классическом случае. В случае открытых траекторий движение вообще не носит периодического характера —— оно в этом случае инфинитно и т* — оо. Из уравнения (11.78) можно видеть, что направление движения определяется знаком 1?丄,а следовательно, по (11.80) — знаком dS/dey т. е. знаком эффективной массы (11.84). Если «г* > 6, то движение происходит по левому винту, что соответствует отрицательному знаку заряда, как у электрона. Если же m* V 0, то движение происходит по правому винту. Это соответствует движению положительного заряда (дырки). Именно это (зависимость направления вращения фермионов в поле от закона дисперсии), как известно, объясняет появление аномального знака эффекта Холла во многих металлических и полупроводниковых кристаллах. '
Выше речь все время шла о движении фермионов (или их фазовых точек) в пространстве квазиимпульсов. Из уравнения Лорентца (11.74) можно легко установить характер движения фермионов и в обычном пространстве (в классическом пределе). Из уравнения (11.74) видно, что скорость & в обычном пространстве перпендикулярна к «скорости» dpjdt в пространстве квазиимпульсов. Таким образом, траектория в г- пространстве получается поворотом на угол 90° траектории в р-пространстве и изменением масштаба на множитель c/еН. Величина периода Тн и частота ①我 остаются прежними. Кроме того, в обычном пространстве добавляется равномерное прямолинейное движение вдоль оси z (р纟—const). Поэтому траектория в r-пространстве имеет вид
спирали с осью вдоль оси z.
Учет квантования энергии по Ландау; осцилляцпонные эффекты. Выше движение фермионов (с произвольным законом дисперсии) в магнитном поле рассматривалось чисто классически; при этом совершенно не учитывалось явление квантования энергии фермионов, открытое Ландау [9]. В случае свободного электрона его энергия в однородном магнитном поле (направленном вдоль оси z) дается формулой (11.25а)- Причиной квантования энергии в (11.25а) является финитный периодический характер движения электрона в плоскости (胃，у), перпендикулярной к Н (по циклотронной орбите). В п. 4 было показано, что такой характер движения сохраняется и для фермиона с произвольным законом дисперсии, если его траектория в пространстве квази-импульсов —замкнутая кривая. Решение квантовомехантпеской задачи по определению энергетического спектра электрона с произвольным законом дисперсии в общем виде оказывается практически невозможным (по этому вопросу см., например, [55, 56]). Однако, используя то обстоятельство, что нас интересует область, близкая к поверхности Ферми, т. е. электроны с энергиями вблизи ^0 生 10-12 з卩а, а энергия в поле Н 品 104 з при этом равна 卩^ 。Ю-16 эрг, квантование в магнитном поле можно описывать квазиклассически (по Бору — Зоммерфельду), что во многих случаях оказывается вполне достаточным- Согласно правилам квантования Бора имеем
§ Pi dQi = nih,(11.85)
где Р^ 丛 Qt — соответственно сопряженные импульс и координата электрона (г = х, у, z), пг ——целые числа. Будем определять уровни энергии для электрона с произвольным законом дисперсии е — е (р) в однородном магнитном поле Н (О, О, Я), описываемым вектор-потенциалом А, выбираемым в виде
Лх = — Н-у, Лу 二 Az = 0.(11,86)
Поскольку А зависит только от координаты у, то сохраняется нс только слагающая Pz，но и Р*. Поэтому из (11.85) остается одно условие для движения вдоль оси у:
§ Ру dy = nh,(11,87)
где интегрирование ведется по классической траектории электрона, при этом Ру вычисляется как функция у при определенных значениях энергии е и проекции импуль- са на направление поля Pz. Если (11.87) рассматривать как уравнение с неизвестной е, то, решая его, можно найти квазиклассические уровни энергии электрона в магнитном поле. Прежде чем решать это уравнение, преобразуем его, введя кинетические импульсы рк, ру, Pz [см. (5.35) и (11.86)], которые в данном случае равны
Рх=рх + ~~ Н*у, & = Pz = 2=const.(11.88)
Поскольку Рх^const (см. выше), то из первого равенства (11.88) имеем dy = —(с/еН) dpx, и, следовательно, (11.87) примет вид
СеН
(V) p-у ^Рх ——汽左，(11.89)
где интегрирование ведется по траектории фермиона в р-пространстве. Легко видеть, что интеграл в левой части (11.89) равен площади S(e, р2) сечения изоэнергетгпеской поверхности плоскостью, перпендикулярной к магнитному полю. Таким образом, мы можем записать уравнение для определения квазиклассических уровней энергии электрона с произвольным законом дисперсии в такой форме:
S(£,厶)=汽一(11.90)
Строгий вывод выражения (11.90) впервые дал Лифшиц [43]. Он опубликован в работе Лифшица и Косевича [44] *).
Легко видеть, что при квадратичном законе дисперсии (11.51) имеем S (е, /^)= =л (2т*е — рр II формула (11.90) переходит в формулу Ландау (11.25а) с заменой (п + 1/2) на п. Эта замена связана с квазиклассичностью изложенного расчета энергетического спектра. Более точные значения энергии в (11.90) можно получить, если в исходном условии квантования (11.85) правую чать выбрать в виде (п + у) h, где 0 V Y V 1 (см. [44, 45]). Для квадратичного закона дисперсии ? = 1/2, и тогда (11.90) дает точные значения энергии свободного электронного газа в магнитном поле.
Поскольку квазиклассическое приближение справедливо при больших квантовых числах (п》1), то можно ояэдать, что расстояние между соседними уровнями Де будет малым (Де《е). Поэтому из (11.90) находим (для Дп = 1)
S(£,?+[, Pz) — S(2", pz) %£-' Де = H Д/z — 二 2冗———hHч откуда получаем
Ае = ?"1；У.(11.91)
Используя определение эффективной массы (11.84) или циклотронной частоты (11.82), можно (11.91) представить в виде
a3 =方^^"=方 зН，(11.92)
Внешне формула (11.92) как будто полностью совпадает с выражением для расстояния между соседними энергетическими уровнями в газе свободных электронов в магнитном поле (11.22). Однако здесь имеются и существенные различия. Во-первых, уровни энергии электрона проводимости с произвольным законом дисперсии в магнитном поле не эквидистантны, как это было в случае свободного электрона. Это видно пз того, что эффективная масса т и циклотронная частота(он зависят от энергии е и значения pz [через @S/(e, р2)/^е]. Во-вторых, различие становится особенно резким для открытых сечений (OS/дг + оо), когда, по крайней мере при квазикласспческом квантовании, энергия электрона проводимости не квантуется *). Таким образом, возникновение или отсутствие дискретных уровней Ландау определяется при произвольном законе дисперсии не только поверхностью е = const, на которой находится электрон, но и направлением вектора Н, а при фиксированном Н — величиной pz.
Как отмечалось выше, в квазиклассическом решении имеется, кроме интегралов движения е и pz, еще один: Р* = const, однако в выражение для энергии входят только два квантовых числа: п и р2. Таким образом, относительно Рх имеется бесконечнократное вырождение. Однако, как показал Зильберман [27, 57], для электрона в кристалле это вырождение снимается и уровни энергии, определяемые по (11.90), получают небольшое размытие за счет зависимости е от Рх. Наглядно это вытекает из того обстоятельства, что Рх определяет положение траектории электрона в пространстве (центр циклотронной орбиты на плоскости (胃,у) в случае свободного электрона). Для свободного электрона все точки пространства в однородном поле эквивалентны, в периодическом поле кристалла эта эквивалентность нарушается, что и приводит к снятию вырождения относительно Рх. (Более строгое решение этой задачи дал Азбель [61], см. также 162, 63].)
Из полученных результатов (11.90) и (11.91) можно ожидать, что для физического объяснения эффектов в магнитном поле в металле не обязательно знать явный вид закона дисперсии е (n, pz, Н), поскольку макроскопические характеристики металла в магнитном поле можно выразить через сечения S (е,卩丿 и их продзводные по энергии 0S (е, р2)/^е.
Как уже отмечалось в п. 4 § 4, квантование энергии электрона приводит к специфическим особенностям поведения металлов в магнитном поле. Как показывает опыт, все эти явления можно разбить на два основных класса..
Осцилляционные магнитные явления, для которых характерен немонотонный ход зависимости той или иной физической характеристики металла от магнитного поля. К этим явлениям относятся эффект де Гааза ——ван Альфена (осцилляционная зависимость магнитной восприимчивости от Я), Шубникова —— де Гааза (осцилляционная зависимость удельной электропроводности от Я), осцилляции с изменением Я в поглощении металлом ультразвуковых колебаний и т. п.
Резонансные явления, связанные с квантовыми переходами электронов проводимости с одного уровня Ландау на другой, сопровождаемые поглощением квантов энергии внешнего поля.
Теория этих явлений носит не механический, а статистический характер, однако некоторые общие важные черты этих явлений могут быть предсказаны на основе одних только формул квантования (11.90) и (11.91) А именно осцилляции в магнитном поле ряда равновесных величин и кинетических коэффициентов металла связаны с тем, что число заселенных электронами уровней с энергией, меньшей энергии Ферми ^0, изменяется, согласно (11.90), на единицу при изменении обратного значения магнитного поля А(1/Н) на величину | е | h/cS (^0, pz). Зависимость величины этого периода от pz, конечно, несколько сглаживает резкую зависимость от магнитного поля. Поэтому основную роль в осцилляционных явлениях должны играть электроны с теми значения^
ми 〃z. Для которых площадь сечения S (之°,卩z) экстремальна (рис, 11.15), поскольку для таких сечений период должен слабее всего зависеть от Pz, т &
△(乩 93)
\ 〃 / ^экстр (go)
Легко видеть, что для случая квадратичного закона дисперсии 5ЭКСтр (^0) = 2лт*^0, и, следовательно, (11.93) точно переходит в полученное выше выражение для периода (11.37).
Естественно, что осцилляционные эффекты, в частности явление де Гааза — ван Альфена, могут быть обнаружены, если выполнены условия
①нт〉1，(11.94а)
h®H〉к"(11.946)
не нарушают их циклотронныхне нарушают их циклотронныхРис, 11Л5. Пример экстремальных сечений поверхности Ферми- Направление магнитного поля обозначено стрелкой [45].Рис, 11Л5. Пример экстремальных сечений поверхности Ферми- Направление магнитного поля обозначено стрелкой [45].где т — среднее время свободного пробега электронов проводимости. Условие (11.94а) означает, что соударения электронов с фононами «орбит» и их квантования, а условие (11.946) означает, что расстояние между уровнями Ландау у поверхности Ферми не должно размазываться за счет появления там максвелловского《хвоста» при Т > 0° К・
не нарушают их циклотронных
не нарушают их циклотронных
Рис, 11Л5. Пример экстремальных сечений поверхности Ферми- Направление магнитного поля обозначено стрелкой [45].
Рис, 11Л5. Пример экстремальных сечений поверхности Ферми- Направление магнитного поля обозначено стрелкой [45].
Пара- и диамагнетизм фермионов с произвольным законом дисперсии в металлах, а. Слабые магнитные поля (；°》卩^*》В случае свободного электронного газа этот вопрос был подробно рассмотрен в §§ 3 и 4. Для произвольного закона дисперсии (см. [45]) при определении магнитного момента металла следует учитывать вклад в диамагнитный момент не только электронов проводимости
(т. е. электронов частично заполненных энергетических полос), но также электронов целиком заполненных полос* ). Как мы виделп, расчет по модели свободных электронов (см. § 3) показывает, что при низких температурах ("Т《^0) %gR слабо зависит от температуры и определяется в первом приближении, согласно (11.11), числом электронов (на единичный интервал энергии) вблизи уровня Ферми, т. е.
%黑=“2g (С。).(И-95)
При этом обычно принимается, что здесь магнитный момент 卩 совпадает с 卩七・ Если же учесть, что фактически в металле находится не свободный электронный газ, а ферми- жидкость квазичастиц с произвольным законом дисперсии, то под 卩 следует понимать некоторую эффективную величину, отличную от 卩^・ Эта перенормировка магнитного момента в какой-то мере и учитывает эффект межэлектронного взаимодействия [46]. Это затрудняет сколько-нибудь строгое количественное сравнение формулы (11.95) ■с опытом ), поскольку здесь мы имеем дело с двумя неизвестными величинами 卩 н g (С。). Помимо этого имеются еще две причины, осложняющие такое сравнение.
Во-первых, как уже отмечалось выше, в ферми-газе парамагнетизм всегда сосуществует с диамагнетизмом, а соответствующие вклады в восприимчивости одного порядка величины (для свободного ферми-газа | /^ | = х/з %™), что является прямым ■следствием вырождения ферми-системы.
Поскольку в обычно используемых интервалах магнитных полей и температур /^ и %™ практически не зависят от Т и Н, то их разделение весьма затруднительно. Фик и Микеска [64] обратили внимание на то, что при наложении высокочастотного магнитного поля можно поддерживать различными температуры спиновой Т$ и орбитальной Г。подсистем. Расчет показывает, что в этом случае для свободного ферми- газа %瑞 оказывается пропорциональной отношению T0/Ts, в то время как %^； при выполнении условий
関。《"，⑵《21靠为卜。Н (学£)(爲)
по-прежнему не зависит от температуры. Для суммарной восприимчивости получаем =澀+澀=黑(3的产[/一丹
При Ts = J1。получаем обычный результат; при Ts = ЗТ0 %зЛ = 0; при ] Ts \ ^> > То н Т$ V ° (отрицательные спиновые температуры!) всегда Хэл V 0・ При насыщении (Т$ = оо) приходим к случаю диамагнетизма Ландау. Естественно, что эти результаты могут измениться, если учесть взаимодействие электронов с кристаллической решеткой, а также межэлектронное взаимодействие.
Во-вторых, в ряде кристаллов может быть сильной спин-орбитальная связь. Это приводит к более сложной, чем в случае свободных электронов, структуре парамагнитных энергетических уровней, поскольку в данном случае квантовое состояние электрона в магнитном поле уже не может определяться спиновым квантовым числом (см. [42]).
Перенормировка магнитного момента фермиона. Покажем в несколько упрощенной форме, как взаимодействие между электронами может привести к необходимости заменить в (11.11) или (11.95) jiE па 卩.Полученные выше формулы для парамагнитной восприимчивости электронного ферми-газа [см. (11.11), (11.20) и (11.20)] выводились при полном игнорировании всех эффектов взаимодействия между электронами. Ряд исследователей делали неоднократные попытки учесть влияние этого взаимодействия на магнитные свойства электронов проводимости металлов [Пайне (1955, 1963). Бом (1964) и [63—69]). В случае электронного газа, когда взаимодействие между электронами учитывается в рамках самосогласованного поля, оператор энергии системы сводится к сумме операторов кинетических энергий р"2nl и аддитивных потенциальных энергий У(г^) отдельных частиц:
或。=£ [嗡十步①"， (H.9fi) i
где г； — радиус-вектор г-й частицы, 〃； 一 оператор ее импульса, m — масса. В зоннок теории предполагается, что в V (竺。включены периодические потенциалы ионной решетки и самосогласованный потенциал всех остальных электронов. Последнее требует, конечно, специального количественного обоснования. Строго говоря, к гамильтониану (11.96) нужно добавить еще энергию парного взаимодействия между электронами, т. с.
炉'вз=』号， (11.97)
где r^j—расстояние между электронами 力 и /.В нулевом приближении каждый электрон описывается волновой функцией в виде плоской волны, умноженной па спиновую функцию Со (s)：
3°(%s) = ^/(z&(s)・ (11.98)、
Здесь о — спиновое квантовое число, равное 1/2 или —1/2; L — линейный размер кристалла. Волновая функция всего газа фермионов, в соответствии с требованиями квантовой механики тождественных ферми-частиц, равна антисимметризированноп сумме произведений всех индивидуальных функций (11.98) (слэтеровский определитель):
屮41 ..,论"01On (尸I，…" N ； S(, . . ., ^1V)
以m (Н, s。
以 101 （小，S2）.
.以 16 (乙V, Sn)
以28 S，si)
以2。2 6，S2）.
.屮*202 "飞，S“v)
.(11.99>
以"。N (， Si)
%«N('2，S2)・
•以Nn &n，s“v)
Если локальные потенциалы V (竽；)заменить потенциалом равномерно распределенного по объему положительного заряда ионов, то это обеспечит устойчивость системы и, кроме того, (11.99) будет собственной функцией оператора (11.96). Это дает возможность вычислить энергию ферми-газа. При больших концентрациях электронного газа п это основной вклад в энергию системы. Если (11.97) рассматривать как энергию возмущения, то, согласно теории возмущений поправка к энергии системы в первом приближении равна диагональному матричному элементу оператора 認вз вычисленному с помощью волновых функций (11.99). К сожалению, в силу дальнодействующего характера кулоновского взаимодействия (т. е. его медленного спадания с увеличением расстояния между электронами) обычная теория возмущения в данном случае неприменима из-за расходимостей, появляющихся во втором и более высоких приближениях, С по-
мощью обычной теории возмущения можно учесть в первом приближении (по степеням концентрации) лишь так называемую обменную энергию, которая определяется следующей двойной суммой:
112d2d左，左，У С Г 鼠（（"-'"）7工）е2:厶J JI々一夕2Л-, к'左，左，У С Г 鼠（（"-'"）7工）е2:厶J JI々一夕2Л-, к'厂 ^((А--А-).尸2)协1 dr2.(11.100)厂 ^((А--А-).尸2)协1 dr2.(11.100)
1
1
2d
2d
左，左，
У С Г 鼠（（"-'"）7工）е2
:厶J JI々一夕2
Л-, к'
左，左，
У С Г 鼠（（"-'"）7工）е2
:厶J JI々一夕2
Л-, к'
厂 ^((А--А-).尸2)协1 dr2.(11.100)
厂 ^((А--А-).尸2)协1 dr2.(11.100)
Появление слагаемого (11.100) в выражении для энергии газа фермионов является следствием принципа Паули, так же как и появление большой (при больших концентрациях электронов) нулевой кинетической энергии ^0 [см. (11>8)] и установление корреляции во взаимном расположении спинов электронов (результирующий спиновый момент равен нулю при 8 = 0 и Т = 0°К). В первом приближении, кроме обменной энергии (11.100), следует учитывать еще квазикулоновскую энергию взаимодействия электронов
^Кул = 4 2 X j J 心，° С S)I2 1-^^\^, °，6, s') |2 dr dr. (11.101) 〃，入，о, о，
Ее также можно вычислить [см., например, Вильсон (1953)], и она равна
卷КХ譬仪瞽广》3.卷КХ譬仪瞽广》3.(11.102)(11.102)
卷КХ譬仪瞽广》3.
卷КХ譬仪瞽广》3.
(11.102)
(11.102)
интеграломинтеграломd%dk'yd% ]乃一火]2d%dk'yd% ]乃一火]2(11.104)-(11.104)-
интегралом
интегралом
d%dk'yd% ]乃一火]2
d%dk'yd% ]乃一火]2
(11.104)-
(11.104)-
Эта энергия при всех магнитных расчетах входит в полную энергию газа как аддитивная константа, поскольку она зависит от полной концентрации электронов, с обеими проекциями спинов, равной сумме концентраций для 十 и ——спинов: п = n++八-.
В (11.100) пнтеграл
можно рассматривать как потенциал, создаваемый объемным зарядом с плотностью е2ехр [Ё {(кг ——乃)•于2)]， который удовлетворяет уравнению Пуассона \U (r)-f- 十4эте2 exp 口((心一fc)-?*)] —0, решение которого известно [см. Маделунг (I960)]:
u（于）=4лu（于）=4ле^ехр [Ё (Л/—к)-г]
u（于）=4л
u（于）=4л
]火一儿]2
Подставляя это значение в матричный элемент (11.100), находим
(11.103)(11.103)4ne2 d勺4ne2
(11.103)
(11.103)
]乃—京户=l3 ]儿—/2
Сумму по 乃 от (11.103) можно заменить
лк，dM jолк，dM jоПосле введения полярных координат в fc^-пространстве 加‘,仔, 屮 тройной интеграл в (11.104) вычисляется элементарно:
л
к，dM jо
л
к，dM jо
sin 仆 d®2л Г 、 к + к，
忌十 k'JZkk' cos 产 Т、代 &" *1П I k-^kf I
o
/ 生2 - ^фI生①一生I \
(11.105)(11.105)=口 ( 2/сф ч^ —ln %+衣)'
(11.105)
(11.105)
где 左①一волновое число на поверхности Ферми, и поэтому по (11.7) /с①=(3冗2汽)"3. Подставляя (11.105) в (11.104) и затем в (11.100), после элементарного интегрирования находим
—l3评例 3м2 / 3n xVs—l3评例 3м2 / 3n xVs(N = £3汽).(N = £3汽).(11.106)(11.106)
—l3评例 3м2 / 3n xVs
—l3评例 3м2 / 3n xVs
(N = £3汽).
(N = £3汽).
(11.106)
(11.106)
Это обменная энергия электронов с одной ориентацией спина, а поскольку в каждом состояйии с данным к имеется два электрона с противоположными спинами, то полный вклад от обменной энергии равен удвоенной величине (11,106). Если записать
(11.107)(11.107)полную энергию обмена при неравных п+ и п_, то получим ) 翁6 仇+,心=一爲' [(6他人)4/3+ (6"/_)"3].
(11.107)
(11.107)
Для свободных электронов закон дисперсии и функция плотности состояний определяются выражениями (11.4) и (11,9). Тогда, зная функцию распределения Ферми— Дирака, легко вычислить также полную кинетическую энергию электронного газа, произведя интегрирование по частям:
5導修峻山о5導修峻山о5Л3 J дго5Л3 J дго
5導修峻山
о
5導修峻山
о
5Л3 J дго
5Л3 J дго
Заменяя в первом приближении df/дг дельта-функцией б (е——^0), находим, используя также (11.8),
卷产’6 隐：m"2 嗯2=^^ [(6期+)5/3+(6"2心5/3].(11.108)
Однако энергии (11.107) и (11.108) не являются единственными энергиями, которые зависят от «намагниченности» газа электронов, пропорциональной разности (п+ ——п_). Кроме того, существует еще энергия корреляции электронов с противоположными спинами. Это как раз та часть энергии, которую нельзя учесть в рамках простой теории возмущений. Ее обычно называют корреляционной энергией [см., например, Зейтц (1949), Бом (1964), Пайне (1963)], и она формально определяется как разность истинной полной энергии электронного газа 毎 и суммы энергий (11.108), (11.107) и (11.102), т. е.
^КОррМ 卷一卷КИН—^об— ^КУЛ'(11.109)
Вычисление ^корр представляет собой весьма сложную проблему. Поэтому мы не имеем возможности останавливаться здесь на подробностях вывода зависимости 窗корр от концентрации электронного газа. С некоторыми аспектами этой проблемы читатель может ознакомиться в обзорах Пайнса (1955), а также в работах Хаббарда (69] и лекциях Пайнса (1963). Здесь мы лишь укажем, что эту энергию мы можем представить в виде
(11.110)(11.110)l-3卷корp ^ n+G (汽-)+ 叁-G (汽+),
(11.110)
(11.110)
где функции G (п) у различных авторов имеют различный вид. Например, Вигнер [66,67] для обычных значений концентрации электронов в металле предложил интерполяционную формулу
G⑺方G⑺方—0,58评[值⑴+汽-'厶—0,58评[值⑴+汽-'厶(11.111)(11.111)
G⑺方
G⑺方
—0,58评
[值⑴+汽-'厶
—0,58评
[值⑴+汽-'厶
(11.111)
(11.111)
где 厂6 亍应2/〃^2 — боровский радиус. Таким образом, полная внутренняя энергия U единицы объема как функция 汽+ и п_ [без члена ^кул (汽)]может быть записана в виде [[37], Вильсон (1953), Пайне (1955)]
U =就X [(6階入产3 + (6期一)5/3] +月(人)+
+ 尸(n_)-\-n+G (n_)-\-n_G (冷+) + 卩£ (汽+ —汽-)瓦 (11.112)
Первые два члена дают кинетическую энергию Ферми (11.108], третий и четвертый —— обменную энергию (11.107), пятый и шестой —— корреляционную энергию (11.110), а последний член ——энергию относительно внешнего поля Я. Согласно (11.106) функция F (п) имеет вид
F ⑺=—е2 (6冗2汽产3(8цз)т.(11.113)
Введем новые обозначения:汽+ = n/2 + М,汽一 =п/2 ——М (здесь 2М = п+ —— —п_ — намагниченность электронного газа в единицах р，Б) — и вычислим U в (11.112) ■с точностью до членов порядка М2 (при малых М), тогда получим
U (М) = % — 2^ЪМН + ссМ2.(11.113а)
Здесь
传)传)=
—ао (I + 勿)=а。+ а()б+а^орру) + ехкорр⑵，(11.114)
XieXie& Н壷（3П2門厂，/3,& Н壷（3П2門厂，/3,акорр(1)= —2G‘акорр(1)= —2G‘双'6 =n圈)，^корр⑵= qG" (g)双'6 =n圈)，^корр⑵= qG" (g)(11.115)(11.115)
Xie
Xie
& Н壷（3П2門厂，/3,
& Н壷（3П2門厂，/3,
акорр(1)= —2G‘
акорр(1)= —2G‘
双'6 =n圈)，
^корр⑵= qG" (g)
双'6 =n圈)，
^корр⑵= qG" (g)
(11.115)
(11.115)
л штрихи у 尸 и G означают производные соответственно функций F (п/2±М) пз (11.113) и G (п/2 士 М) из (11.110) при М — 0. Если а < 0, то функция U(М) имеет максимум при М，0 (при 笈 = 0), а это означает, что имеется самопроизвольная намагнитчен- ность и металл ферромагнитен (см. ниже гл. 20, где более подробно рассмотрен вопрос об устойчивости паулиевского парамагнитного состояния электронного газа, см. также (70]). Здесь мы рассмотрим случай парамагнитного металла, тогда а > 6 и U (М) !имеет минимум при М = 也 Н/а. Следовательно, для %貶 при Т = 0。К имеем
Х黑=Х黑=2匾2匾2區2區（増）。（増）。а 一 ао(1 + 勿)一 14-cq "а 一 ао(1 + 勿)一 14-cq "(11.116)(11.116)
Х黑=
Х黑=
2匾
2匾
2區
2區
（増）。
（増）。
а 一 ао(1 + 勿)一 14-cq "
а 一 ао(1 + 勿)一 14-cq "
(11.116)
(11.116)
Формула (11*116) переходит в (11.11) при G (汽)= 尸(n) = 0, когда а = а0. Формуле (11.114) можно придать вид (11.11), если произвести «перенормировку» магнитного люмента
(11.117)(11.117)ИэФФ^иб(1 + 勿厂"2.
(11.117)
(11.117)
"Эта перенормировка и показывает влияние межэлектронного взаимодействия на эффективную величину магни! ного момента, о котором шла речь выше при обсуждении формулы (11.95). В частном случае, когда для F (п) имеем выражение (11.113), а эффектом корреляции можно пренебречь [G (п) = 0], получим
澀=（嚅山-爷总门.澀=（嚅山-爷总门.(11.118)(11.118)
澀=（嚅山-爷总门.
澀=（嚅山-爷总门.
(11.118)
(11.118)
Из (11.118) видно, что обменное взаимодействие увеличивает паулиевскую восприимчивость (обменные силы «помогают» внешнему полю намагничивать электронный газ). Наоборот, корреляционные члены [при G (п) ， 0] уменьшают величину %畧 Об учете зтих поправок см. также гл. 20. Для щелочных металлов Пайне (1955) провел расчет по формуле (11.116) и сравнил с (И .11). Соответствующие значения приведены в табл* 11.2 вместе со значениями обменных и корреляционных параметров, входящих
Таблица 11.2
Значения обменных и корреляционных параметров,входящих в формулы (11.113)——(11.115) для внутренней энергии,а также парамагнитной (паулиевской) восприимчивостищелочных металлов *)
Металл
Li
Na
К
Rb
Cs
rs
3,22
3,96
4,87
5,18
5,57
т *
1,45
0,98
0,93
0,89
0,83
&
0,326
0,319
0,221
0,207
0,191
a°6
—0,253
— 0,206
— 0,167
— 0,157
一0,伍6
«корр (.1)
0,013
0,015
0,017
0,018
0,019
«корр (2)
0,115
0,112
0,109
0,108
0,107
СС1
0,201
0,240
0,180
0,176
0,171
Хэл-1°6 **)
1,90
0,85
0,60
0,52
0,43
(%黑)d газ• 106
*) Из обзор
**) Расчет п
1,17
а Пайнса ( формуле (
0,64
1955).
И. 116).
0,48
0,44
0,38
в выражение для коэффициента а в формуле для энергии (11.113). Здесь также введена величина rs ——среднее расстояние между электронами в единицах боровского радиуса 『Е：汽т = (4冗/3)建庙,а энергии выражены в атомных единицах ридбергах: Ry = =m渔/2%2 — 13,55 эв.
Из табл. 11.2 видно, что в величинах, составляющих а, нет компенсации между эффектами обмена и корреляции, и поэтому %^ > (%畧)。・ С ростом rs эти эффекты начинают компенсировать друг друга, и можно ожидать, что при очень больших rs компенсация становится полной. К сожалению, полученные теоретические зиачспия нельзя сравнить с опытом, поскольку практически отсутствуют прямые измерения %； (из-за участия %甥 и %ион). Как уже отмечалось выше, только для Li [15] п Na [16] (см. также [71—73]) прямые измерения %£： были проведены (подробнее см. гл. 13). Для Li при комнатных температурах получена величина %貶 (2,08 士 1) -106; соответствующее теоретическое значение с поправками на температурную зависимость равно 1,87-10-6, что показывает хорошее согласие. В случае Na опыт дает %д^= (1,09 + 0,08) -10~6, а теоретическое значение равно 0,85 ЛО-6, т. е. согласие несколько худшее *).
Учет влияния обменной и корреляционной энергии необходим также при расчете диамагнитной восприимчивости электронов проводимости. Этот вопрос рассмотрел также Пайне (1955), который в основу расчета X馭 взял формулу Паперлса (11.54), подставляя в нее выражение для 卷(乃),взятое с учетом эффектов корреляции. Сравнение с опытом обнаружило заметное расхождение между теоретическими и экспериментальными значениями, указывающее на приближенность исходной формулы Папергюа (11.54).
Мы еще вернемся к рассмотрению вопроса о %黑，когда поведем речь о магнпттгых свойствах переходных металлов (см. также работу [287]).
Сильные магнитные поля ("М 》Со). Свирский [77] (см. также [78]) рассмотрел? задачу о парамагнетизме электронного газа, не пользуясь условием 卩£，才《3°，Upu Т = 0° К эта задача (без учета диамагнетизма Ландау) может быть решена точпо ). Он показал, что магнитный момент зависит от внешнего поля нелинейно и при полях 卩£*左 ~ 2 '/з^0 достигает насыщения. В обычных металлах ^0Ю-12 зрг и критиче
ское поле оказывается порядка 108 а. В связи с развитием техники получения сильных магнитных полей появляется реальная возможность изучения магнитного насыщения в парагмагнитных металлах и проверки теоретического нелинейного хода кривой %黑(Я) в области насыщения
а)6)6)Рис, 11.16. Разрыв «перемычки» на изоэнергетической поверхности. Поверхность б) соответствует критической энергии еКр. Поверхность а) соответствует энергии, большей или меньшей еКр, а поверхность в) —— соответственно меньшей или большейа)6)6)Рис, 11.16. Разрыв «перемычки» на изоэнергетической поверхности. Поверхность б) соответствует критической энергии еКр. Поверхность а) соответствует энергии, большей или меньшей еКр, а поверхность в) —— соответственно меньшей или большей?. Влияние измеле^ия топологии поверхности Ферми. При изменении топологии поверхности Ферми следует ожидать некоторых аномалий в спиновой парамагнитной восприимчивости [79, 46]. Эти изменения могут возникать, например, под действием внешнего всестороннего давления р. Рассмотрим, следуя [79], общий характер этих аномал ид. Анализ общих свойств электронной системы в кристалле- показывает, что аномалии магнитной восприимчивости и. других термодинамических и кинетических характеристик металла связаны с особенностями энергетического спектра электронов проводимости в них, поскольку эти характеристики зависят от функции плотности энергетических состояний g (е) и от динамики электронов у поверхности Ферми. Если же энергия Фермп Со совпадает или близка к критическому значению энергии екр, при котором происходит изменение топологии изо- энергетических поверхностей,
а)6)6)
Рис, 11.16. Разрыв «перемычки» на изоэнергетической поверхности. Поверхность б) соответствует критической энергии еКр. Поверхность а) соответствует энергии, большей или меньшей еКр, а поверхность в) —— соответственно меньшей или большей
а)6)6)
Рис, 11.16. Разрыв «перемычки» на изоэнергетической поверхности. Поверхность б) соответствует критической энергии еКр. Поверхность а) соответствует энергии, большей или меньшей еКр, а поверхность в) —— соответственно меньшей или большей
то это приводит к возникновению особенности в функции g (е). Наиболее существенные изменения топологии изоэнергетических поверхностей £ (〃)= С, где С ——постоянная (к таковым принадлежит н поверхность Ферми е (〃)= &), могут иметь место, когда
лрп изменении величины постоянной С (или ) открытая поверхность переходит в закрытую путем разрыва «перемычки» (см., например, рис. 11.16, а, 6) и когда, в силу -особенностей вида функции е (〃), изоэнергетпческая поверхность е (〃) = С при некоторых значениях постоянной С состоит (в пределах даже одной зоны Бриллюэна) не из одной, а из двух или более не соприкасающихся между собой отдельных поверхностей. Поэтому при вариациях величины постоянной С в 〃-пространстве может происходить «отщепление» пли «слипание» этих разъединенных поверхностей при каком-то критическом значении С = екр (рис. 11.17). Поверхность Ферми в кристалле, конечно, не обязательно должна совпадать с критической поверхностью, т. е. энергия Со не должна быть равна екр. Однако в принципе можно представить себе, что имеется некоторый физический параметр, с помощью которого можно изменять величину разности | Со ——^кр!
Gб)勿
Рис. 11.17. Появление новой полости изоэнергетической поверхности. Поверх-ность б) соответствует критической энергии еКр, поверхность а) ■——энергиие < еКр, и поверхность е) — энергии е > £кр..
и сделать ее равной нулю. В принципе, согласно формуле (11.8), наиболее простым спо- ‘собом изменения величины энергии Ферми было бы изменение концентрации электронов. Однако практически это можно сделать, лишь меняя химический состав металла (например, добавляя к нему какие-либо примеси с атомами большей или меньшей валентности, чем у основного металла). Однако при этом заметные изменения в величине 电 требуют большого числа примесей, при котором уже может измениться сам закон дис- персин пли даже вообще потерять свой смысл из-за резкого нарушения идеальности кристалла. Более реальным практическим приемом может быть деформация кристаллической решетки при всестороннем сжатии под действием высоких давлений, когда из-за уменьшения удельного объема кристалла растет концентрация электронов п, а следовательно, по формуле (11.8), растет и энергия Ферми ^0. Кроме того, при этом, как известно из опыта, уменьшается анизотропия многих свойств кристалла, а это и можно объяснить соответствующими изменениями формы поверхности Ферми (например, поверхность Ферми типа «гофрированного целиндра» может переходить в замкнутую поверх- пость, как это показано на рис. 11.16, 6). При таком изменении топологии поверхности Ферми симметрия решетки не меняется.
Вблизи особых точек изоэнергетическую поверхность &(р) = С можно аппроксимировать эллипсоидом или дву文полым гиперболоидом *). По аналогии с формулами (11.65) п (11.68) будем иметь
£ S) = &кр 士 土 ±,(11.119)
где р‘ = р ——Ркр. Если все знаки в правой части (11.119) одинаковые (все плюсы илп все минусы), то в точке р = ркр появляется новая поверхность (см. рпс. 11.17); если эти знаки разные (поверхность — гиперболоид), то в критической точке происходит разрыв перемычки (см. рпс. 11.16, 6).
Для простого квадратичного закона дисперсии в изотропном случае (11.5) функция плотности состояний дается формулой (11.9). Прп анизотропном квадратичном законе (11.65) вместо (11.9) будем иметь
(1 /у
-Jgry (m*m*m^)1/2 (е —емин)1/2,
g(e)=(11.120)
J (m*,m*,m*,)1/2 (емакс —е)1/2 .
Следовательно, вблизи экстремальных точек емин, емакс функция g (е) имеет особенность типа (е — %kctp)i/2； она имеется н вблизи критических (не экстремальных) значений энергии. В этом случае при значениях е, близких к екр, функцию плотности состояний g(£)можно представить в виде
g(£)= go(g)+M ⑻，(11.121)
где g°(8)——гладкая функция энергии, a 6g (е) отлична от нуля с той стороны от крити ческого значения екр, где число отдельных изоэнергетических поверхностей с данными значением С возрастает. Если число поверхностей растет с увеличением энергии, то по [79] тшеем
。，(s V &кр),
-^-(m?mm*)1/2(e—екр)1/2 = а(е —екр)1/2 (е>екр). (11'122^
Анарогичное рассмотрение имеет место для случая разрыва «перемычки» (подробнее- см. [46]).
Используем теперь полученные формулы для выяснения характера поведения паулиевского парамагнетизма при Т = 0° К вблизи критического состояния 亿° = £нр). Согласно (11.10) и с заменой 卩昼 на 卩》巾巾 намагниченность электронного газа, созданная； полем (без учета диамагнетизма), дается выражением
1
Е 岷ее к(So+нэфф-^) —g (&)—
Тогда ясно, что парамагнитная восприимчивость % 黑 в критической области вблизи £кр, где справедлива формула (11.121), имеет вид
X™ =(%黑)。+ у 呜巾巾[5g (G + ЦэффЯ)+6?(g-НэффЯ)],(11.124).
где
(Хэл)о^~2~ "歸"【g(C+%ee*) + g (С — Нэфф-^)1(11.125)
——нормальная часть парамагнитной восприимчивости (11.10), a 6g (С 士卩導巾巾*) дается формулой (11.122). Таким образом, аномальная часть парамагнитной восприимчивости 6%黑 в критической области дается выражениями:
0при z 士 |лэффЯ < 0,
(11.126}>(11.126}>号"喩巾(z十圈肌间"2 при z 士圈巾認<0, -y-Нэфф(2 一卩吸e8尸" при Z ±两e認^o, 夢%加伍+卩吸ф我产2+卜一出如印"2] при
(11.126}>
(11.126}>
где z = (Со — £кр). Естественно, что картина аномалии %黑 в реальном металле будет несколько осложняться наложением диамагнетизма, поэтому приведенный расчет носит лишь качественный характер. Тем не менее вблизи критического давления, когда So = £кр, следует ожидать резкую аномальную зависимость %貶 от магнитного ноля *).
О. Температурная заб〃с〃люсшь диамагнитной восприимчивости металлов. Рассмотренный в и. ? случай особенности парамагнитной восприимчивости металлов npif высоких давлениях не исчерпывает всех аномалий в их магнитных свойствах (в области слабых полей), обусловленных спецификой их электронного энергетического спектра. В частности, эти аномалии проявляются в довольно существенной температурной зависимости наблюдаемой (суммарной) магнитной восприимчивости ряда металлов. Если мы обратимся опять ко всей совокупности нормальных металлов (см. табл. 11.1), то их можно разбить на диа- и парамагнитные, но при этом диамагнитные в свою очередь разбиваются на металлы, диамагнетизм которых не зависит (впрочем, см. [80]) от температуры (Си, Ag, Аи), и металлы, диамагнетизм которых зависит от температуры (Be, Mg, Zn, Cd, Hg, Al, Ga, In, Tl, C, Sn, Pb, As, Sb, Rh). Естественно предположить, что в первой группе основную роль играет диамагнетизм ионных остовов, который практически не зависит от температуры, а во второй — диамагнетизм электронов проводимости (Веркин [35]). Последний может существенно зависеть от температуры лишь при очень слабом или, наоборот, при очень сильном заполнении полос (когда поверхность Ферми лежит вблизи границ зон Бриллюэна) либо вблизи критических точек © Q £кр) (см. п, г), когда отщепляются отдельные участки от поверхности
Ферми ) или происходят разрывы поверхностей Ферми. Эти условия как раз и выполняются в случае указанной выше второй группы диамагнитных металлов. Именно в них также легче всего наблюдается эффект де Гааза — ван Альфена (см. ниже § 6, и* 3), Что же касается щелочных металлов, то у них т* ^ т, закон дисперсии очень близок к квадратичному, и поэтому они являются хорошими представителями паулиевских 2
парамагнетиков с Хполн^^ %эл — %^Тн ； Хим — восприимчивость ионных остовов — у них относительно мала, так как эти остовы по своей электронной структуре аналогичны плотноупакованной оболочке атомов инертных газов.
Более детальное исследование температурной зависимости магнитной восприимчивости металлов указанной группы можно найти в работе Зильбермана и Ицковича [60].
Заметим, что в областях р-пространства с аномально малым числом электронов это число может существенно меняться с температурой [хотя общий химический потенциал в целом для всей поверхности Ферми, конечно, очень слабо зависит от температуры; см., например, (11.19)]. Именно это и может оказаться весьма важным, когда свойства металла в основном определяются этими малыми электронными группами. В частности, это имеет место для диамагнетизма висмута, сурьмы и подобных им металлов (см* [36, 46, 81]).
Эффект де Гааза ——ван Альфенапри произвольном законе дисперсии
Введение. Выше рассматривались магнитные свойства металлов в основном в случае слабых полей (|лБЯ《kf), когда в выражении для намагниченности можно было ограничиться лишь членами, линейными относительно поля Н. Поэтому представляет интерес рассмотреть случай сильных магнитных полей. Это тем более важно, что, как будет показано, осцилляционные свойства (о которых выше уже упоминалось в § 4, п. 4) в основном определяются электронами с энергией, лежащей в узком (порядка кТ) интервале у поверхности Ферми, и поэтому для теоретической трактовки этих свойств достаточно пользоваться «газовой» моделью (с произвольным законом дисперсии). В качестве примера мы рассмотрим здесь наиболее хорошо изученный равновесный осцилляционный эффект де Гааза —— ван Альфена в металлах в области сильных полей и низких температур (кТ，岂(лБЯ). Как уже отмечалось в § 4, п. 4. (см. также [48]), это явление носит вполне универсальный характер и оно наблюдалось для большого числа металлов. Качественная теория эффекта де Гааза — ван Альфена в рамках зонной теории была предложена Пайерлсом [19], количественная, более строгая — Ландау (ее изложение дано в работе [28]). Здесь мы остановимся на дальнейшем развитии теории этого эффекта, которое было дано в работах Лифшица и Косевича [29, 30] (см. также [46, 48]), на основе модели газа фермиевских квазичастиц с произвольным законом дисперсии и в квазиклассическом приближении ). Его здесь законно применять, потому что, если магнитное поле не слишком велико, основной вклад в осциллирующую часть термодинамического потенциала вносят квазичастицы с большими квантовыми числами п, как это следует из (11.90)：，
(И-127)
Используя это уравнение, дающее неявную зависимость энергии фермиевской квазичастицы в магнитном поле от квантового числа п в квазпклассическом приближении, и учитывая зеемановское расщепление уровней в магнитном поле из-за существования спинового магнитного момента фермионов, имеем для энергетического спектра квазичастицы по (11.36)
So (Pz.明 X) = £n(Pz； Н) +叩X;(11.128)
в случае заметной спин-орбитальной связи 卩 может не совпадать с магнетоном Бора, и тогда вообще спиновое квантовое число не является хорошим квантовым числом.
Дальнейший расчет можно рассматривать как повторение «на более высоком уровне» аналогичного расчета для случая квадратичного закона дисперсии в модели свободного газа Ферми, начало которого изложено выше, в § 4, и. 5.
Напомним еще раз, что магнитный момент газа ферми-частиц определяется, согласно общим формулам (см. гл. 5), как производная по полю Н от термодинамического
потенциала (11.34), где, вместо 立，следует взять выражение (11.128). Используя формулу для статистического веса (11.27) (без множителя 2, поскольку по спиновым проекциям о проводится суммирование), находим для термодинамического потенциала (11.34)
=-*£ / j dPz ln「+ exp Xf (卡一叩 之] = g 中(*(11.129)п — 0 с —8п~0
Здесь следует воспользоваться известной из теории рядов Фурье формулой Пуассона, которая имеет вид
ОООООО
2 中(汽)=j中(汽)山г干2 Re 2 中⑺exp (2加瓦)由г,(11.130)
71=710aZ=1
где'(п0——1) < а < 汽0，a Re означает, что от последующего комплексного выражения берется вещественная часть; поскольку в данном случае п0 = 0, как это видно из (11.129), то удобно взять а=——1/2. Тогда (11.129) можно записать так:
ОООО ОО
Q— J ср (п) dn + 2 Re ^ J <р (^) ехр(2лг In) <7w = Q0-p^i*(11*131)
-1/2Е=1Т/2
Сейчас мы покажем, что Qo монотонно зависит от Я и дает вклад лишь в иаулисв- ский парамагнетизм, а слагаемое Qj описывает диамагнетизм Ландау и осциллирующие члены.
Парамагнетизм. Введем временное обозначение
С* = .叩忆(11.132)
Тогда первое слагаемое правой части (11.131) будет иметь вид
Qo = _ к* £ j 切 j dpzln「+ expK*f £戶")].(11.133)
О —1/2 —ОО
Перейдем в (11.133) от ин тег ри рования по dn к интегрированию по dzn. Для этого воспользуемся формулами (11.90) и (11.82):
-.(11.134)
0g n ehHheH n应⑴京
Итак, вместо (11.133) будем иметь
n j &Pz 若 In 口十 exp У —] . (11.135)
О О S(>o)
Напоминаем, что S^S (еп, р2) — площадь сечения изоэнергетической поверхности £ = const плоскостью р2 = const. Формулу (11.135) можно переписать в виде, позволяющем произвести интегрирование по частям:
а。= 一 等 5 j rfenln[l +exp Ут 仍")J 言 J dpzs 做，卩 z)= CT 0S(>o)
is Jо 0is Jо 0exp [J +1 s(>o)exp [J +1 s(>o)S (en? Pz) ^Pz-S (en? Pz) ^Pz-(11.136)(11.136)
is J
о 0
is J
о 0
exp [J +1 s(>o)
exp [J +1 s(>o)
S (en? Pz) ^Pz-
S (en? Pz) ^Pz-
(11.136)
(11.136)
Легко видеть, что ивтеграл по dpz в (11.136) дает объем в р-пространстве U (еп). ограниченный изоэнергетической поверхностью en —const. Введя обозначение
w©)=, °(电)[ехр (^^)+“-%"， о
получим
Qo=—京 2 W(D*(11*137)
Поскольку в рассматриваемом случае выполняется неравенство 卩8《& функ- цшо W (Г) можно разложить в ряд по малому параметру 陷/& ограничившись членами нулевого и второго порядка, как это обычно делается в статистике Ферми —— Дирака. Тогда, произведя суммирование по двум возможным проекциям спина, получим для Qq
Qo= -^-[2w(0+(卩8)2-° ^]° ] .(11.138)
Таким образом, магнитный момент будет равен
鸣=器审工S39)
Легко видеть, что при кТ <^1^ мы имеем
ТУ (g) « j。⑻ deО
и, следовательно, B^W (⑶畤^ 3U @/0& п поэтому величина (卩/九3)。。/0& входящая в (11.139), дает функцию плотности состояний g 依) вблизи поверхности Ферми. В результате из (11.139) для магнитной восприимчивости имеем
%™=^©,
т. е., действптельно, первое слагаемое Q。в (11.131) описывает паулиевский парамагнетизм, и мы снова получили известную уже нам формулу (11.11) или (11.90) для паулиевской парамагнитной восприимчивости (с учетом, что величина момента р, может отличаться от (л-g).
Диамагнетизм и эффект Де Гааза — ван Альфена. Перейдем теперь к анализу второго слагаемого в (11.131), т. е. Qj, которое описывает диамагнетизм элек- TpoRHoio газа и эффект де Гааза一ван Альфена:
ОО ОООО
= 2 Re ^^ [ ср (п) ехр (2лг/п) &п = F；g•£2Re£九， (11.140) l— 1 一 1/ 2о I— 1
где
Il~kT [ c/汽[dpt ]n ^1 -|-exp —‘£?“' “) ] ехр(2л〃?г).(11.141)
—1/2—оо
Переходим в (11.141) от интегрирования по dn к интегрированию по dsnt как это делалось в (11.133), используя соотношения (11.134), (11.82) и (11.90). Это дает
gkT Т 次”口口 + exp /百*71] f dPz -^- exp [2ж7п (еПт Рг)]. (11.142) 0—ОО
Интегрируя (11.142) по частям и замечая, что получающийся после этого внеинте- гральный член равен нулю, и учитывая также (11.90), находим
ооЁП
Л= J^^——■1潞 j dPz 券 exp [2市加(卷，?г)]=
о ехр —^^J-i о n>o
8£n
= 為 f 白产」4 \晓 J "Pz舒exp {2m"「壶 S'(富，pa 一 "卜 o exp―—d 6s(>o)
(11.143)
Напомним, что мы используем квазиклассическое приближение (11.127). Кроме
того, в выражении 乙 все величины, за исключением (е 亙‘ + I)-1 и ехр (2冗"汽)， медленно меняются с изменением еп и рг. Это позволяет для оценки интеграла (11.143) применить метод перевала, известный из теории функций комплексной переменной. При этом основной вклад в /七 дает интегрирование 1) по окрестности точки экстремума 汽(黑，Pz) или S(K, Pz), т. е. стационарной точки, в которой dn/dpz — dS/dpz = 0 (случай экстремальных сечений —— см* рис. 11.15), п 2) по окрестности вершин области
интегрирования, когда 汽=О, S = 0, т е* когда сечения pz = const касаются поверхности Ферми. Нас будут интересовать лишь стационарные точки, поскольку вклад в осциллирующую часть термодинамического потенциала (11.129), как показано в [46], дает интегрирование лишь вблизи этих точек. Интегрирование по окрестности вертит дает непериодическую часть Q, определяющую обычный диамагнетизм Ландау *).
Итак, вблизи экстремальных сечений можно положить
汽笛，Pz) 汽7n (協)(北2 ) (Pz -Р界>)2,
—/J(1L伍岭
(富 Pz) ^Szn(卷)+玄(0?2 ) Sz-Р纱)2,.
где р^ соответствует стационарной точке.
Таким образом, первое интегрирование по dpz в (11.141) дает
£ 吋麼)exp [2加加7n 滋)]j dpzexp[2n"；(^)m(pz — z4m>)2],(H.145>
m忌g-0z
где суммирование по т ведется по всем экстремальным точкам функции п (岩，р〕)— =cS (岩，pz)/ehH при фиксированном значении 岩，точки с пт = 0 исключаются из суммы. Легко показать (см. [30]), что интеграл в (11.145) равен
1? I 諾 I」i [ехр (干 ^)而=口 I 諾 1」i ехр(±га). (11.146>
Фаза гл/4 в (11.146) входит со знаком плюс, если сечение максимально (Sm = ^макс), и со знаком минус, если оно минимально (Sm = iSMlIH). При втором интегрированшт по dK в (11.143) следует учесть, что, как правило (за редким исключением самопересе- кающихся изоэнергетических поверхностей), дпт/д^ 关 0. Поэтому при интегрировании по dK функции (11.145) [после подстановки туда выражения из (11.146)] в интервале значений 岩，определяемом пределами интегрирования (0, е„), нет стационарных точек, и, следовательно, основной вклад дают точки на самих пределах интегрирования (^ = 0 и ^ = еп). При этом нижний предел (^ = 0) нам неинтересен, так как он дает основной вклад в неосциллирующую часть Q【[30]. Для верхнего предела разложим пт (岩)по степеням (岩 ~£п): пт (岩)а пт(£几)+^~^ 笛—еп). Таким образом, второе интегрирование no d卷，согласно (11.133) и (11.134), дает
m ёд=0
X exp (士 力 ) exp [ 2Л"^-^ "(卷一8?i)]= exp ( —
二。L户/2 2 5 I 諾 I：" exp (± 4) exp [2就加7n 做)].(И-147)
Подставляя (11.147) в (11.143), мы должны провести третье интегрирование по ^&几： ехр f8
〃 =—3LL 尸 exp ( + 口 f exp [2“"^ 做)]"屍—】伍盼
笳0 (exp—
В подынтегральном выражении в (11.148) опять, как и в подынтегральном выражении (11.147), нет стационарных точек (^пт/д&п 关 0). Однако мы здесь воспользуемся резким нестационарным характером функции распределения Ферми в точке £几=С*, интегрирование вблизи которой и дает основной вклад в интеграл (11.148). Используем
разложение
（电）"тИ 密）+ （嚮）g〜Y）
и получаем для (11.148)
ехр
厶=
2л//2
exP包萨+1
X
Texp XL
0
ehH \3/2 (-1)г
С //5/2
X
XX(11.149)(11.149)屮(2九)ехр Рг ・j^- Sm (С)干 i 72浦/у]
X
X
(11.149)
(11.149)
02s『/2 丽'踪;产02s『/2 丽'踪;产
02s『/2 丽'踪;产
02s『/2 丽'踪;产
где
九
2Л2叮九⑴h
и Y^=w
(11.150)
При вычислении интеграла в (11.149) мы ввели новую переменную х ~ (гп — 6]кТ и, используя условие кТ W ^*, распространили пределы интегрирования от —оо до +оо. Согласно (11.140), для того чтобы с помощью (11.149) найти термодияамиче- ский потенциал Qj (его осциллирующую часть), нужно еще произвести суммирование по спиновым проекциям а и по Z. При суммировании по о везде, кроме аргумента показательной функции, можно заменить 3* на С, так как |лЯ《& Однако показатели у ехр 5^(^*) яужяо разложить по степеяям |1Я/$ и ограничиться первой степейъю разложения
(产)=6m@ ±眼贷 .
Учет этого иеболыиого измейеиия Sm (U) иеобходим, поскольку из условия квазиклассичности задачи cS/ehH》1 乳 небольшие изменения Sm приводят к существейным изме- йениям показателя в экспоиенте в (11.149). Учтем указанное обстоятельство. Затем произведем оба суммирования и возьмем вещественную часть от (11.140), используя для // выражение (11.149). В результате для осциллирующей части термодинамического потейциала находим
Р / е无а \5/2 в I 02s(% 网)『1/2 / dSm \
◎】=◎】=-冗2 (2Л尸/2加 V c / Z I砧~ !m； a l/一丿
◎】=
◎】=
X 2(U；(%os m 侖 Sm © — 2吋]土 *} cos 陋警).(11.151)
B=1
("ocn,)z 2("ocn,)z 2Осциллирующую часть магнитного момента можно найти путем дифференцпроваяия (11.151) по полю Я. При этом члены, зависящие от Я в (11.151), кроме косинуса, медленно меняются с Я и при диффереяцировании их можно считать приближенно постоянными. Тогда для осциллирующей компоненты магнитного момента вдоль йаправле- ния поля *) получим
("ocn,)z 2
("ocn,)z 2
л2(2л)1/2%3 ' с 丿Nj了京8 卜/2 / 况m；
хЕ12=1Й^^п[/(^Я—2哂士目 cos 卜/等).(11-152)
Из (11.152) видйот что амплитуда и период осцилляций магнитного момента целиком определяются экстремальной площадью сечения граничной поверхности Ферми
плоскостью (r・H) — const, а также производными от этой площади в экстремальных точках. Заметим, что для квадратичного закона дисперсии & = р2/2т имеем
S(7 Pz) = 2mi 卜一雯J
Sm(£)= 2jwi*£, •竺即3 =2лтп*, I 1 g=2jt и Y = }・
Поэтому в данном случае (11.152) принимает вид
Xsin[-Z 需1 + 刘冋e等)，(11.153)
или, иаюльзуя (11.150), находим для объемной восприимчивости *)
(澀(存尸*£(一产?
cos (л/ j sin Г~—1
' m/ L 4 Нэфф^」仆…，
*/ l^kT \•(11，154)
' Нэфф-^ /
Выражение (11.154) является функцией двух параметров: 〃卩或巾8 и кТ1^ъ^Н, где р,эфф = eh/2m*c — эффективный магнетон Бора. Для того чтобы осцилляции были заметны, необходимо, чтобы величина л2/сТ/|лЭффЯ была по крайней мере порядка единицы, т. е. Н IOS?* , Поэтому, если т* л; т, то эффект де Гааза — ван Альфена может наблюдаться лишь в полях 105—106 а (при Т 1° К). Фактически в тех металлах, где он наблюдается, применяются поля всего лишь порядка 104 а (при Т л; 4° К). Отсюда вытекает, что эффективные массы квазичастиц, участвующих в эффекте, малы, а именно т* лежит в пределах от 0,1т до 0,01m. Далее, из (11.154) следует, что период осцилляций А(1/8) при I = 1 равен (冗С/卩吸е)~； подставляя сюда известные выражения для t из (11.8) и 也，находим
«Гсид
Из опыта известно, что периоды А(1/Н) во многих случаях действительно с большой точностью сохраняются постоянными с изменением поля и по величине оказываются порядка 10-6 产.Но тогда из формулы (11.155) сразу следует (если подставить туда численные значения всех абсолютных констант и помнить, что период А(1/8) л; 七飓巾“冗0, что п должно быть порядка 1018—1019 см~3ч т. е. число эффективных для осцилляций магнитной восприимчивости электронов на узел решетки n/N оказывается порядка IO-3—10-4 (а иногда еще меньше). Очень малые значения n/N и т*/т, требуемые для объяснения эффекта де Гааза ——ван Альфена, сильно отличаются от значений этих же величин, получаемых из оценок величин других эффектов (например, работы выхода, электропроводности и т. п.), где эти отношения оказываются близкими к единице (кроме случая висмута). Только что указанный《парадокс», заключающийся в том, что из наблюдаемых осцилляций мы приходим к аномально малым значениям т*/т и n/N, в принципе легко снимается, если исходить не из формулы (11.154)/справедливой для квадратичного закона дисперсии, а из формулы (11.152) для произвольного закона дисперсии. В этом случае периоды осцилляций определяются формулой (11.93), т. е. экстремальными сечениями поверхности Ферми. Для квадратичного закона эти сечения равны
跷@ ^2Mo = 2mm* 抹(圖 " 襪)％ 图2 ^ * ^,
если концентрацию электронов 冷。заменить через а-3, где а——постоянная решетки. Если же концентрация 冷 не равна а-3, то можно записать
Для периода имеем
./ 1 \eh 10-зв/ п \ -2/з/ п \ ~2/з
厶(万)те°р = 7^Г= 10НМ0-37,(兩)(兩)(11Л56)
Эксперимент дает значение Д(1/Я)эксп 公；10-6 а。
Сравнивая эти две величины, находим, что п/п0 л; 10-4 + 10-5. Таким образомг общая теория с произвольным законом дисперсии позволяет разрешить указанный выше «парадокс» и утверждать, что наблюдаемые в полях Н л; 10” а (при Т а 4° К> осцилляции магнитной восприимчивости обусловлены аномально малыми экстремальными сечениями поверхности Ферми при произвольном законе дисперсии. Эти малые сечения могут соответствовать существованию отдельных малых замкнутых участков поверхности Ферми (см. рис. 11.17) или наличию небольших выпуклостей или вмятин на <(большой» поверхности Ферми (см. Азбель [83]). Вообще по теорий осцилляционных эффектов и в том числе по теории эффекта де Гааза — ван Альфена имеется довольно обширная литература (см., например, [84—96, 284]).
Сравнение теории с опытом. В опыте измерения обычно ведутся на монокристаллах с определенной ориентацией магнитного поля относительно кристаллографических осей. На рис. 11.6 в качестве примера приведены результаты исследований монокристаллов цинка, где измерялись разности восприимчивостей для главных осей кристалла A%zx — %z—%х или Д%гу—%г —締 в зависимости от 1/Н (см. Веркин, Дмитренко [21]). На графиках показана типичная кривая зависимости разности магнитной
「0,05「0,05©70f52©70f52Рис. 11.18. Тонкая структура за ■— ван Альфена у кристалла (см. рис. 11.6).Рис. 11.18. Тонкая структура за ■— ван Альфена у кристалла (см. рис. 11.6).5 4 34 〃Е 售£「0二H-w5 4 34 〃Е 售£「0二H-w4如 ，次加y4如 ，次加yэффекта де Гаа- Zn (Т = 4,2。К)эффекта де Гаа- Zn (Т = 4,2。К)"7"74/4/“20 ifO 6080 &^“20 ifO 6080 &^Рис. 11.19. Зависимости периода осцилляций эффекта де Гааза — ван Альфена от направления (угла О относительно гексагональной оси кристалла) магнитного поля по работе [21] для цинка.Рис. 11.19. Зависимости периода осцилляций эффекта де Гааза — ван Альфена от направления (угла О относительно гексагональной оси кристалла) магнитного поля по работе [21] для цинка.^^
「0,05
「0,05
©70f52
©70f52
Рис. 11.18. Тонкая структура за ■— ван Альфена у кристалла (см. рис. 11.6).
Рис. 11.18. Тонкая структура за ■— ван Альфена у кристалла (см. рис. 11.6).
5 4 3
4 〃
Е 售£「0二H-w
5 4 3
4 〃
Е 售£「0二H-w
4如 ，
次加y
4如 ，
次加y
эффекта де Гаа- Zn (Т = 4,2。К)
эффекта де Гаа- Zn (Т = 4,2。К)
"7
"7
4/
4/
“20 ifO 6080 &^
“20 ifO 6080 &^
Рис. 11.19. Зависимости периода осцилляций эффекта де Гааза — ван Альфена от направления (угла О относительно гексагональной оси кристалла) магнитного поля по работе [21] для цинка.
Рис. 11.19. Зависимости периода осцилляций эффекта де Гааза — ван Альфена от направления (угла О относительно гексагональной оси кристалла) магнитного поля по работе [21] для цинка.
^
^
восприимчивости от обратного значения магнитного поля для Д%2Х и при векторе Н, лежащем в плоскости © под углом^ = 25° к оси z ). Во многих случаях зависимость % (1/Я) не ограничивается одной гармоникой, а представляет собой наложение многих. При этом, как правило, периоды этих гармоник резко различны. Это указывает на то, что у большинства металлов поверхность Ферми весьма сложная, что, конечно, затрудняет расшифровку экспериментальных кривых. Кроме того, сама кривая биения типа, изображенного на рис. 11.6, имеет еще тонкую структуру, показанную в виде быстро осциллирующей кривой а рис. 11.18, которая представляет собой в очень растянутом масштабе по обеим координатным осям маленький участок начала кривой на рис.彳 1.6*
Рис. 11.20, Иллюстрация явления магнитного пробоя в пррстранстве обратной решетки на примере двумерного кристалла сезонами Бриллюэна в виде прямоугольников (АВЕС, ABGD, . . .) с ребрами 2л/а < 2л/Ь (а〉Ь— параметры прямой решетки). Окружности I и II —— ор- биты^свободного электрона в магнитном поле в соседних зонах. (Эти окружности одновременно являются изоэнергетическими «поверхностями».) Под влиянием возмущения ■ периодического потенциала кристалла в точках пересечения}Ь окружностей I и 11 происходит расщепление) энергии и возникает открытая траектория I，и новая замкнутая траекториями. Возможность квантового туннельного перехода с орбиты I'на орбиту III и означает в данном случае явление магнитного пробоя.Рис. 11.20, Иллюстрация явления магнитного пробоя в пррстранстве обратной решетки на примере двумерного кристалла сезонами Бриллюэна в виде прямоугольников (АВЕС, ABGD, . . .) с ребрами 2л/а < 2л/Ь (а〉Ь— параметры прямой решетки). Окружности I и II —— ор- биты^свободного электрона в магнитном поле в соседних зонах. (Эти окружности одновременно являются изоэнергетическими «поверхностями».) Под влиянием возмущения ■ периодического потенциала кристалла в точках пересечения}Ь окружностей I и 11 происходит расщепление) энергии и возникает открытая траектория I，и новая замкнутая траекториями. Возможность квантового туннельного перехода с орбиты I'на орбиту III и означает в данном случае явление магнитного пробоя.Однако использование широких интервалов полей при измерениях, а также тщательное изучение зависимости периодов осциляций от ориентации магнитного поля в кристалле (см., например, рис. 11.19) позволяют не только расшифровать кривые % (1/8), но и по измерениям периодов А (1/Я) восстановить, форму поверхности Ферми в ряде металлов. Более подробно этот вопрос рассмотрен в работе Лифшица и Погорелова [97], а также в обзоре [46], к которым мы отсылаем читателей.
Рис. 11.20, Иллюстрация явления магнитного пробоя в пррстранстве обратной решетки на примере двумерного кристалла сезонами Бриллюэна в виде прямоугольников (АВЕС, ABGD, . . .) с ребрами 2л/а < 2л/Ь (а〉Ь— параметры прямой решетки). Окружности I и II —— ор- биты^свободного электрона в магнитном поле в соседних зонах. (Эти окружности одновременно являются изоэнергетическими «поверхностями».) Под влиянием возмущения ■ периодического потенциала кристалла в точках пересечения}Ь окружностей I и 11 происходит расщепление) энергии и возникает открытая траектория I，и новая замкнутая траекториями. Возможность квантового туннельного перехода с орбиты I'на орбиту III и означает в данном случае явление магнитного пробоя.
Рис. 11.20, Иллюстрация явления магнитного пробоя в пррстранстве обратной решетки на примере двумерного кристалла сезонами Бриллюэна в виде прямоугольников (АВЕС, ABGD, . . .) с ребрами 2л/а < 2л/Ь (а〉Ь— параметры прямой решетки). Окружности I и II —— ор- биты^свободного электрона в магнитном поле в соседних зонах. (Эти окружности одновременно являются изоэнергетическими «поверхностями».) Под влиянием возмущения ■ периодического потенциала кристалла в точках пересечения}Ь окружностей I и 11 происходит расщепление) энергии и возникает открытая траектория I，и новая замкнутая траекториями. Возможность квантового туннельного перехода с орбиты I'на орбиту III и означает в данном случае явление магнитного пробоя.
Шенберг [98], используя методику сверхсильных магнитных полей, сумел наблюдать эффект де Гааза — ван Альфена и для основных групп электронов даже в таких металлах, как медь, серебро и золото (см. также работы на этих металлах [99—102]). Также удалось наблюдать эффект в щелочных металлах [103, 104]. Щелочноземельные металлы (Be, Mg и Са) исследовались в работах [105—110]; Zn, Cd и Hg — в работах [111—117]; Al, Ga, In и T1 — в работах [118—123], графит исследован в работах [124— 12б], As, Sb и Bi — в работах [127—131], некоторые разбавленные растворы — в работах [132—135] и, наконец, сплавы и твердые растворы — в работах [136—142].
Исследования эффекта де Гааза — ван Альфена ведутся весьма интенсивно. Исследуется не только «классический» тип эффекта, но также и его особые формы, например в случае тонких металлических пленок (см. [44, 98, 143]).
За последнее время появился ряд работ по измерению эффекта де Гааза — ван Альфена в переходных металлах (см. ниже раздел Б).
Магнитный пробой. В области сильных магнитных полей, когда справедливо квазиклассическое приближение, Коэн и Фаликов [144] предсказали возможность для электронов проводимости в металлах перескока с одной квазиклассической орбиты в р-пространстве на другую, соседнюю орбиту. При этом электрон должен преодолеть потенциальный барьер между этими орбитами путем квантового туннельного эффекта.
Этот процесс получил наименование «магнитного пробоя». Теория этого эффекта разрабатывалась в ряде работ [145—157]. Экспериментально он впервые был обнаружен в Mg [158, 159].
Для того чтобы понять физический механизм явления магнитного пробоя, рассмотрим очень простую двумерную модель (в плоскости ху) зонной структуры металла. Пусть двумерное р-или fc-пространство в схеме расширенных зон будет разделено на зоны Бриллюэна в виде прямоугольников с ребрами, равными 2л/о V 2л/Ь (где о > b — параметры прямой решетки). Если вначале считать потенциал периодического поля очень Малым, то траектории электрона в магнитном поле, направленном по оси z, будут иметь вид окружностей (рис. 11.20). Если орбита приближается к границе зоны Бриллюэна АВ (или пересекает), то для электрона появляется возможность брэгговского отражения в
точке L, Он может не продолжать свое движение по окружности / в соседней зоне, а перейти с окружности / на окружность II. Если периодический потенциал будет увеличиваться, то в точке «пересечениям орбит произойдет расщепление по энергии, и мы будем иметь открытую траекторию /', а части бывших окружностей, попадавшие в соседние зоны, образуют отдельные участки поверхности Ферми и соответственно отдельные замкнутые траектории III (могут быть и такие случаи, когда обе траектории будут 'замкнутыми, но иметь различные площади). В очень сильном магнитном поле электрон может двигаться не по открытой траектории Г, а «пробиться» через энергетическую щель, т. е. совершить туннельный переход через область, разделяющую орбиты 7 и 〃，и оказаться на орбите III,
Вероятность этого процесса может быть вычислена путем, аналогичным используемому в теории электрического пробоя в диэлектриках (Зинер [160]). Из этой теории следует, что электрическое поле напряженности Е может вызвать заметный туннельный переход электронов через энергетическую щель △岩，если выполняется условие
е£。卷 к(е£。卷 к((11.157)
е£。卷 к(
е£。卷 к(
где 岩к — кинетическая энергия электрона (т. е. энергия Ферми 岩①)，а а — параметр кристаллической решетки. В магнитном случае надо величину Е заменить эффективным
нолем, создаваемым силой Лорентца в магнитном поле Н:
^эфф 2^эфф 2%8%8
^эфф 2
^эфф 2
%8
%8
где Рф—скорость Ферми электрона в •образом, условие (11.157) примет видгде Рф—скорость Ферми электрона в •образом, условие (11.157) примет видплоскости, перпендикулярной к Н. Такимплоскости, перпендикулярной к Н. Таким
где Рф—скорость Ферми электрона в •образом, условие (11.157) примет вид
где Рф—скорость Ферми электрона в •образом, условие (11.157) примет вид
плоскости, перпендикулярной к Н. Таким
плоскости, перпендикулярной к Н. Таким
еифНа^ф 〜&方 с (А^)2 ~ тсеифНа^ф 〜&方 с (А^)2 ~ тс%"卷①(A卷)2%"卷①(A卷)2>1.>1.(11.158)(11.158)
еифНа^ф 〜&方 с (А^)2 ~ тс
еифНа^ф 〜&方 с (А^)2 ~ тс
%"卷①(A卷)2
%"卷①(A卷)2
>1.
>1.
(11.158)
(11.158)
Илп, вводя выражение для циклотронной частоты ⑴京 п0 (11.25), получаем окончательно
(11.159)(11.159)方⑴8卷①（△富）2-〉1
(11.159)
(11.159)
Из формулы (11.159) видно, что магнитный пробой будет возникать гораздо чаще в случае узких щелей △岩(порядка 10~3 эв), возникающих при расщеплении полос под влиянием спин-орбитального взаимодействия, начиная с полей Н ^ 10 а. В случае же щелей порядка 0,1 эв пробой может возникнуть лишь в полях порядка 100 килоэрстед.
Магнитный пробой вызывает, таким образом, появление новых орбит, с другими по сравнению с беспробойным режимом площадями, а также превращение уровней Ландау в узкие полосы (см. Зильберман [57]), 口，наконец, могут возникать осцилляции в случае пробоя при изменении Я. Все это может привести, например, к возникновению насыщения в магнетосопротивлении (см. гл. 14), к появлению новых периодов в эффекте де Гааза — ван Альфена [из-за изменения площади сечений поверхностей Ферми, см. формулу (11.156)], а также зависимости амплитуд осцилляций от величины магнитного поля.
В работе Пристли, Фаликова и Вейца [161] был исследован эффект де Гааза — ван Альфена. Из измерения периодов и амплитуд осцилляций были определены сечения с величиной площади, большей сечения зоны Бриллюэна и хорошо согласующейся с теоретическими оценками по теории магнитного пробоя. В работе [162] влияние пробоя на осцилляции де Гааза — ван Альфена было продемонстрировано на примере цинка и его разбавленного сплава с медью (0,14% Си). Здесь также найдено хорошее согласие с теорией.
В работе [163] эффект магнитного пробоя исследован в переходном металле Сг. Работы [151, 164—168] посвящены изучению влияния магнитного пробоя на магнето- сопротивление. В работе [169] рассмотренная связь пробоя с магнетоакустическим затуханием, в [170] — с циклотронным резонансом, а в [171] — с геликонами (см. гл. 14).
Заключение. Мы не имеем больше возможности останавливаться на описании других осцилляционных эффектов статистически равновесных величин, подобных магнитной восприимчивости. Отметим лишь еще раз, что все они определяются осцилляциями функции плотности состояний электронов у поверхности Ферми при изменении величины магнитного поля. В гл. 14 будут рассмотрены осцилляции некоторых кинетических коэффициентов металлов при изменении величины магнитного поля.
Недостатком феноменологической теории, которая использовалась выше, является пренебрежение межэлектронным взаимодействием. Поэтому эта теория не может в принципе учесть те эффекты, которые, по существу, определяются межэлектронной динамической корреляцией (например, ферми-жидкостные эффекты, ферро- и антиферромагнетизм, сверхпроводимость и т. п.). В настоящее время в теории существует единственный последовательный путь подхода к рассмотрению динамического взаимодействия электронов и его влияния на физические и, в частности, магнитные свойства твердого тела — с помощью методов квантовой статистики, заимствованных из квантовой теории поля. Это метод функций Грина, феймановская диаграммная техника и т. п. Мы не имеем возможности останавливаться здесь на изложении этих работ (см. гл. 20— 22); ограничимся лишь упоминанием некоторых из них. В работах Маркса и Донована {172] и Флетчера и Ларсона [173] использован метод коллективных переменных по Бому и Пайнсу [см., например, Пайне [174] (1963), Пайне, Нозьер (1967), Бом (1964)] для учета влияния кулоновского взаимодействия на магнитную восприимчивость газа фермионов. При этом последовательно учтена перенормировка магнитного момента квазичастиц и т. п. Стефен [175] использовал для этой же цели метод функций Грина. Наконец, Ахиезер и Пелетминский [176] исследовали методом квантовой теории поля влияние взаимодействия между фермионами на осцилляции магнитного момента системы и нашли изменение периода и амплитуды осцилляций магнитного момента, обусловленное взаимодействием между частицами. Можно также упомянуть работу Бракнера и Савады [177], в которой более точно рассчитывалась магнитная восприимчивость электронного газа высокой плотности; работу Вольфа [178], в которой использована диаграммная техника по Фейнману; работы Юнга [179], Бонч-Бруевича и Герцен- штейна [180] указали на необходимость учета вклада в магнитную проницаемость плазменных колебаний в электронной системе металла; этот вклад может быть значительным, поскольку нулевая энергия плазменных колебаний (не возбуждаемых при
обычных колебаниях из-за ; большой ширины энергетической щели) зависит от магнитного поля. Полученные в цитированных работах численные оценки %эл лучше согласуются с опытными данными, чем прежние расчеты.
Наконец, обращаем внимание на интересные работы по исследованию магнитных свойств ферми-жидкости типа гелия [3, 181], по расчету магнитных свойств релятивистского электронного газа [182], а также обзор Азбеля [284].
Б. МЕТАЛЛЫ ПЕРЕХОДНЫХ ГРУПП
Магнитные свойства переходных металлов
Парамагнитная восприимчивость. Рассмотрим некоторые особенности магнитных 4 свойств металлов переходных групп, не обладающих атомной магнитной структурой во всей области температур.
К этой группе металлов относятся:
Зс?-металлы группы железа (исключая Cr, Мп, Fe, Со, Ni), т. е. Sc, V, Ti.
все《"-металлы группы палладия, т. е. Y, Zr, Nb, Мо, Те, Ru, Rh, Pd, и
все 5с?-металлы группы платины, т. е. Lu, Hf, Та, W, Re, Os, Ir, Pt
Как уже упоминалось выше, все эти металлы являются резко выраженными парамагнетиками. -Величина атомной восприимчивости при комнатной температуре (см. табл. 11.1) практически для всех этих металлов значительно превышает соответствующие величины для щелочных и щелочноземельных нормальных металлов, уступая лишь редкоземельным металлам (при Т > ® или 0^. Весьма своеобразна температурная зависимость в осприимчивости этих веществ ). Закон Кюри ——Вейсса (6.6) ни для одного из этих металлов не соблюдается. В одних d-металлах (V, Nb, Та, Мп, Re, Pd, Pt) %黑 убывает с повышением температуры, т. е. ©%黑/dT < 0, а в других (Ti, Zr, Hf, Cr, Mo, W, Ru, Os, Rh, Ir) — возрастает, т. e. d%黑/dT > 0. Характерным является также, что элементы разных d-рядов, но расположенные в одной вертикальной группе таблицы Менделеева имеют одинаковый характер температурной зависимости %黑(Т) (например, d^ldT > 0 для Ti, Zr, Hf или dy^ldT < 0 для V, Nb, Та), а при переходе от одной группы к соседней имеет место, как правило, изменение знака производной d%^：/dT (например, при переходе от Zr к Nb и от Nb к Мо или от Hf к Та и от Та к W). Наблюдается также определенная корреляция в величинах восприимчивости %™ и перемене знака ее температурной производной d%；；/dT с величинами электронных теплоемкостей этих металлов, как это можно увидеть из табл. 11.3. В некоторых случаях на кривых %™ (Т) . наблюдаются максимумы (например, у Pd) или минимумы (у Zr и Nb) ).
Качественная теория парамагнитных свойств. Постараемся дать хотя бы качественное объяснение изложенным выше фактам, полученным при измерениях величины и температурной зависимости %™ слабомагнитных переходных металлов. Прежде всего выясним, чем отличаются элек
Таблица 11.3
Атомная парамагнитная восприимчивость %蹙，знак ее температурной производной d%T/dT и температурный коэффициент у электронной теплоемкости
(Сэл = уТ) переходных "-металлов
Металл
Х^-Юб
Знак d 投丿 dT
Литература
V' Ю3, дж - мол ь-1. гра0-2
Литература
Sc
286
[186]
J 11,3 1 10,66
J [187]
1 [202]
Ti
161
• +
[185]
3,3
[189]
V
296
—
[188]
9,1
[191]
Y
196
[186]
10,2
[187]
{ 2；9
[[193]
Zr
121
+
[185]
《[200] 1 [198]
Nb
212
[185]
7,8
[266]
Mo
82,5
+
J [190]
2,0
[267]
1 [192]
Tc
270
[195]
8,3
[196]
Ru
44
+
[197]
3,04
[194]
Rh
101
+
[199]
4,8
[198]
(10,7
f [268]
Pd
558
[199]
1 10,5
〈Мендельсон
1(1963)
Lu
336
[220]
11,27
[269]
Hf
70
+
[186]
2,16
[200]
Ta
152
—
”190] 1 [199]
5,9
[201]
W
55
+
([190]
/ 0,84
J [270]
1 [192]
1 0,95
1 [201]
Re
65
—
[185]
2,48
[267]
Os
9,5
+
[199]
2,3
[198]
Ir
35
+
[2, 194]
2,9
[198]
Pt
189
—
[199]
J 6,9
1 6,7
J [268]
1 [194]
тронные структуры переходных ^/-металлов и нормальных. Особенности электронной структуры первых в конечном счете обусловлены специфическими особенностями структуры электронной оболочки изолированных атомов этих элементовv а именно наличием недостроенного внутреннего 3d-，4d- или 5©-слоя. Близость энергий этих слоев с энергиями валентных соответственно 4s-, 5s— и 6^-слоев приводит к тому, что вблизи уровня Ферми системы электронов проводимости оказываются не только бывшие валентные s-электроны, но и внутренние электроны достраивающихся d-слоев. Однако «геометрия» пространственного распределения электронной плотности s- и d-электронов делает их участие в коллективизированной системе электронов проводимости различным. У s-слоев боровский диаметр орбиты заметно больше наименьшего параметра кристаллической решетки. Это приводит к сильному перекрытию волновых s-функций ближайших соседних узлов кристаллической решетки. А это в свою очередь приводит к образованию широкой энергетической s-полосы с небольшими значениями функции плотности состояний в ней g§ (宮).Наоборот, диаметр d~ орбит заметно меньше. Следовательно, слабее перекрытие d-функций. Поэтому, если все же коллективизация d-электронов в кристалле заметная, то соответствующие^ энергетические d-полосы гораздо уже s-полос.
■а значения функции плотности состояний в них gd (宮),наоборот, значительно больше g$ (宮),что объясняется как самой узостью полосы, так и большим числом d-состояний на атом (всего 10 состояний) ). Схематически такая картина перекрывающихся энергетических s- и d-полос в переходных d-металлах иллюстрируется графиками на рис. 11.21 и 11.22. На рис. 11.21 приведен график функции плотности состояний в s- и d-полосах для непереходного металла, например меди, серебра или золота, с заполненной d-полосой, лежащей ниже уровня Ферми. В переходных d-металлах уровень Ферми расположен ниже верхней границы d- полосы, которая только частично заполнена (см. рис. 11.22). Кривая
Рис. 11.21. Функция плотности состояний g (啓) в нормальном металле типа Си сРис. 11.21. Функция плотности состояний g (啓) в нормальном металле типа Си сзаполненной 3(/-полосой по двухзонной модели Мотта [203].заполненной 3(/-полосой по двухзонной модели Мотта [203].夕⑶夕⑶Рис. 11.22. Функция плотности состояний g (昌)в переходном d-металле по двухзонной модели Мотта [203].Рис. 11.22. Функция плотности состояний g (昌)в переходном d-металле по двухзонной модели Мотта [203].
Рис. 11.21. Функция плотности состояний g (啓) в нормальном металле типа Си с
Рис. 11.21. Функция плотности состояний g (啓) в нормальном металле типа Си с
заполненной 3(/-полосой по двухзонной модели Мотта [203].
заполненной 3(/-полосой по двухзонной модели Мотта [203].
夕⑶
夕⑶
Рис. 11.22. Функция плотности состояний g (昌)в переходном d-металле по двухзонной модели Мотта [203].
Рис. 11.22. Функция плотности состояний g (昌)в переходном d-металле по двухзонной модели Мотта [203].
функции плотности состояний в d-полосе gd (宮),изображенная на рис. 11.22 и 11.21, имеет вид «двугорбой» кривой. Это связано с тем, что кристаллы d-металлов имеют решетки кубической симметрии. Как мы видели в гл. 10, вырожденный d-уровень атома (иона) в кубическом поле лигандов расщепляется на два уровня 力2g и ^^, трехкратно и двукратно вырожденные. Дальнейшее их расщепление, благодаря межионному взаимодействию, и приводит к указанной <(двугорбости», изображенной на рис. 11.22 и 11.21. Таким образом, при сравнении коллективизированной электронной системы переходных d-металлов с такой же системой непереходных металлов следует ожидать, что в металлах будут более резкими те эффекты, которые определяются величиной функции плотности электронных энергетических состояний у поверхности Ферми. Это фактически и наблюдается прежде всего для электронной теплоемкости (см. [198, 204]). Из общей теории ферми-системы следует, что при сильном вырождении теплоемкость системы в широком интервале температур является линейной функцией температуры, т. е.
C.^yT, (11.160)
где коэффициент у целиком определяется функцией плотности состояний у поверхности Ферми, а именно:
(11.161)(11.161)冗2生2
(11.161)
(11.161)
Y = -^—g (“)•
Опыт показывает, что у переходных d-металлов коэффициент 丫 заметно больше, чем у нормальных металлов. Это обычно и рассматривают как наиболее непосредственное и убедительное доказательство участия d- электронов переходных d-металлов в системе коллективизированных электронов проводимости. На рис. 11.23 приведены экспериментальные значения температурного коэффициента у для 3d「4d- и биметаллов, а на рис. 11.24 ——значения функции g (g。) для них же, рассчитанные по формуле (11.161) и уложенные в зависимости от полного числа d- и s-электронов [nd + (п + 1) s], приходящихся на один атом данного d-металла.
у, дж/моль-градгу, дж/моль-градгРис. 11.23. Зависимость температурного коэффициента V электронной теплоемкости (Сэл— уТ) 3d-, 4d и 5d-переходных металлов от полного числа электронов nd- и (n + 1) s-слоев (п — 3, 4, 5).Рис. 11.23. Зависимость температурного коэффициента V электронной теплоемкости (Сэл— уТ) 3d-, 4d и 5d-переходных металлов от полного числа электронов nd- и (n + 1) s-слоев (п — 3, 4, 5).Полное число зпектраноб [ nd^(n^1)s\Полное число зпектраноб [ nd^(n^1)s\Рис. 11.24- Значения функции плотности состояний у поверхности Ферми g (^0), вычисленные через измеренные температурные коэффициенты электронной теплоемкости у (см. рис. 11.23) по формуле (11.161), как функции полного числа электронов nd- и (п +1) 京слоев (п = 3, 4, 5) переходных d-металлов. Эта зависимость для всех металлов 3d-, 4d・ и 5d-rpynn представлена заштрихованной двугорбой полосой.Рис. 11.24- Значения функции плотности состояний у поверхности Ферми g (^0), вычисленные через измеренные температурные коэффициенты электронной теплоемкости у (см. рис. 11.23) по формуле (11.161), как функции полного числа электронов nd- и (п +1) 京слоев (п = 3, 4, 5) переходных d-металлов. Эта зависимость для всех металлов 3d-, 4d・ и 5d-rpynn представлена заштрихованной двугорбой полосой.
у, дж/моль-градг
у, дж/моль-градг
Рис. 11.23. Зависимость температурного коэффициента V электронной теплоемкости (Сэл— уТ) 3d-, 4d и 5d-переходных металлов от полного числа электронов nd- и (n + 1) s-слоев (п — 3, 4, 5).
Рис. 11.23. Зависимость температурного коэффициента V электронной теплоемкости (Сэл— уТ) 3d-, 4d и 5d-переходных металлов от полного числа электронов nd- и (n + 1) s-слоев (п — 3, 4, 5).
Полное число зпектраноб [ nd^(n^1)s\
Полное число зпектраноб [ nd^(n^1)s\
Рис. 11.24- Значения функции плотности состояний у поверхности Ферми g (^0), вычисленные через измеренные температурные коэффициенты электронной теплоемкости у (см. рис. 11.23) по формуле (11.161), как функции полного числа электронов nd- и (п +1) 京слоев (п = 3, 4, 5) переходных d-металлов. Эта зависимость для всех металлов 3d-, 4d・ и 5d-rpynn представлена заштрихованной двугорбой полосой.
Рис. 11.24- Значения функции плотности состояний у поверхности Ферми g (^0), вычисленные через измеренные температурные коэффициенты электронной теплоемкости у (см. рис. 11.23) по формуле (11.161), как функции полного числа электронов nd- и (п +1) 京слоев (п = 3, 4, 5) переходных d-металлов. Эта зависимость для всех металлов 3d-, 4d・ и 5d-rpynn представлена заштрихованной двугорбой полосой.
Из вида зависимости g (g。) следует, во-первых, что существует определенная корреляция в величинах плотностей для элементов 3d-, 4Й- и би
металлов, расположенных в одной и той же вертикальной группе таблицы Менделеева, и, во-вторых, эта зависимость носит не монотонный характер, ■а имеет максимумы и минимумы. Все это, как уже отмечалось, находится в закономерной связи со сменой знаков производной dy^'/dT и величи-
оо ИМ
нои самой восприимчивости %эл. Весьма большой интерес представляют также исследования электронной теплоемкости в •системе сплавов d-металлов (Ti — V, V — Сг, Сг — Fe, Fe — Со, V — Fe, Сг — Мп и т. п.), которые могут внести большие уточнения в рассматриваемый вопрос о величине плотности электронных состояний d-металлов ); см. [210-217]..
Если считать, что в d-ме-
таллах внешние электроны образуют смесь двух ферми-жидкостей, а именно фермиевских квазичастиц d- и s-электронов, то из общей кар-
тины их энергетического спектра можно предполагать, что эффективная масса d-электронов гораздо больше эффективной массы s-электронов: 加寺》 》脸.Это видно, например, из рис. 11.22 при сравнении ширины d- и s-полосы. Тогда из выражения (11.56) сразу следует, что в переходных металлах диамагнетизм играет очень слабую роль. Поэтому переходные d-металлы должны быть сильными паулиевскими парамагнетиками. Данные, приве
денные в табл. 11.1 и 11.3, подтверждают этот вывод. Отметим специальный случай палладия. В свободных атомах палладия внешние электроны имеют конфигурацию 4d10, и поэтому они магнитно нейт
ральны (основное состояние атома 250). Однако из табл. 11.1 видно, что парамагнитная восприимчивость металлического палладия очень велика. Это прямое следствие перекрытия энергетических полос 4d- и 5s-
электронов в кристалле палладия. Согласно Вольфарту [218], в среднем около 0,6 электрона на атом переходят в 55-полосу и оставляют столько же вакантных мест в 4©-полосе. Эти вакантные места — «дырки» —— и вносят основной вклад в паулиевскую парамагнитную восприимчивость металлического палладия.
Выясним теперь, как скажется особый характер плотности состояний в d-металлах на температурной зависимости парамагнитной восприимчивости. Если пренебречь более слабым диамагнетизмом Ландау и считать, что диамагнетизм ионных остовов в кристаллической решетке также как-то учтен, то приближенное [с точностью до членов порядка (кТ/^2] выражение для паулиевской парамагнитной восприимчивости дается формулой (11.20), которую мы еще раз приведем здесь:
X™ = Н1фф ^ (Со) + ^ н1фф {в" (Со) - ^^} {кту. (11.162)
Выражение (11.162) практически совпадает с (11.20), с заменой 8 на 奥 Ne на |лэфф, а 夕也о) и g'(go) означают производные 62g(宮)/6赞 и dg(宮)/6宮,взятые при 宮=^0, т. е. на поверхности Ферми. Таким образом, из (11.162) видно, что температурная зависимость %^彳(Т) определяется первой и второй производными функции g (宮)на поверхности Ферми. При этом знак температурной производной зависит от соотношения величин и знаков слагаемых, стоящих в фигурных скобках в правой части (11.162). Вблизи минимума кривой g 德)，где g‘(宮)=0, a g"(宮)> 0, знак dy^ldT всегда положителен. Поэтому, если граница Ферми проходит вблизи минимума кривой g (宮),то там d%^?/dT > 0 и одновременно должна наблюдаться пониженная величина электронной теплоемкости. Это и наблюдается в действительности, например, для Cr, Mo, W ——трех d-металлов, расположенных в одной вертикальной группе таблицы Менделеева. В случае же, когда знак dj^ldT отрицателен, можно предположить, что уровень Ферми проходит во всяком случае вдали от минимума функции g (宮).Это, по-видимому, имеет место для V, Nb, Та — других трех d-металлов, находящихся опять в одной вертикальной группе таблицы Менделеева, что также согласуется с наблюдаемыми повышенными значениями электронной теплоемкости (см. Вонсовский и Изюмов [207] и табл. 11.3).
Корреляцию между ^™ и g (g。) можно также усмотреть при изучении зависимости %™ от концентрации в системах сплавов переходных парамагнитных металлов с непереходными диамагнитными металлами. Так, например, в сплавах типа замещения переходного металла палладия с непереходным металлом серебром наблюдается монотонный спад %；『 с ростом концентрации серебра [219]. Примерно при 50% Ag величина Хэл f 0,瓜 при дальнейшем росте содержания Ag в сплаве восприимчивость быстро достигает постоянного отрицательного значения, равного диамагнитной восприимчивости чистого серебра. Из этих данных можно заключить, что в палладии имеется в среднем по 0,5 «дырок» в Зй-полосе, которые и заполняются в сплаве при 50% Ag.
Учет обменного взаимодействия. Мы уже отмечали выше в связи с формулой (11.90) для паулиевской парамагнитной восприимчивости, что в нее входит не магнетон Бора re, как это обычно предполагалось в модели свободных электронов и зонной теории, а некоторое эффективное значение 卩》巾巾 R re, которое в какой-то мере учитывает неидеальность газа фермионов в металле. Если в обычную формулу зонной теории для %黑 = M^g (Со) подставить значение g (go), определенное по теплоемкости с помощью формулы (11.161), то для %эл получаются значения большие^ чем это следовало бы по элементарной теории. Можно качественно легко
показать ), что уже примитивный учет, например, обменного взаимодействия в системе электронов проводимости может объяснить это «расхождение» обычной зонной теории и эксперимента, которое можно в среднем описать в виде неравенства 卩嚥巾 > 卩片 Действительно, следуя работе Френкеля [7], где он впервые дал принципиальнее объяснение ферромагнетизма металлов, можно получить указанное неравенство (см., например, Фридель и др. [221] и гл. 20). Обменное взаимодействие, подобно внешнему магнитному полю, стремится произвести «сдвиг» по энергии на величину А宮 подполос энергии для «правых» и «левых» спинов (см. рис. 11.2). В результате такого сдвига v электронов на атом перейдут из левой подполосы в правую подполосу. Это приведет к росту кинетической энергии на атом vAg (если считать, что число v <^ 1 и А宮 «go). Обменная энергия газа фермионов определяется взаимодействием их пар, поэтому юна пропорциональна квадрату числа d-электронов в каждой подполосе (т. е. между электронами с параллельными спинами). Обозначим через п+ и п _ числа электронов в правой и левой подполосах. В парамагнитном ■состоянии (когда смещение полос отсутствует) n+ = п _ = п/2. Тогда изменение энергии системы на атом при переходе из парамагнитного ■состояния в ферромагнитное равно
” А宮+” А宮+У — nv^ ]亂6У — nv^ ]亂6
” А宮+
” А宮+
У — nv^ ]亂6
У — nv^ ]亂6
= v.Ag_2w2§o6=v-A§ (1 —WJ21) =v-Ag(l-g), (11.163)
(11.164)(11.165)(11.164)(11.165)где §0б — средняя обменная энергия, приходящаяся на пару электронов. Легко видеть, что плотность электронных состояний у поверхности Ферми приближенно связана с v и А宮 формулой
(11.164)
(11.165)
(11.164)
(11.165)
2nv2nv宮об ^ g (Со)宮об.宮об ^ g (Со)宮об.Следовательно, безразмерный параметр 自 равен
2nv
2nv
宮об ^ g (Со)宮об.
宮об ^ g (Со)宮об.
Из (11.163) следует, что (а) если g > 1, то равновесным является намаг- личенное, т. е. ферромагнитное, состояние, и (б) если g < 1, то равновесно ларамагнитное состояние. Здесь нас не интересует вопрос о критерии ^ферромагнетизма в металле, о котором речь будет идти ниже (см. гл. 20); мы тут покажем лишь, что обменное взаимодействие увеличивает парамагнитную восприимчивость электронного газа по сравнению с предсказанием теории, не учитывающей этого взаимодействия. Действительно, из (11.163) видно, что обменная энергия газа равна — 2?z2v2go6, т. е. она лропорциональна его намагниченности М = 2nvp,B; поэтому можно ввести эффективное (молекулярное) поле
НтНт6 [-万步2窗0м喝]6 [-万步2窗0м喝]M 務об — 271V卷обM 務об — 271V卷об
Нт
Нт
6 [-万步2窗0м喝]
6 [-万步2窗0м喝]
M 務об — 271V卷об
M 務об — 271V卷об
Далее, по общему определению имеем ^ — М/Н (Я — внешнее магнитное поле), а восприимчивость по зонной модели равна
(繕;Мн = 3g (备)(11.166)
и, с другой стороны, по теории молекулярного поля
(Х">н=я + я^-(П-167)
Из сравнения (11.166) и (11.167) находим, что Н + Нт = 7zv/|1b В (So)• Кроме того, легко видеть, что (%^)30н {Н -|- Н^ = %эл^ Подставляя в это соотношение приведенные выше выражения для Н ~\-Нт и Ят, находим
"吃кh・隹gа)"吃кh・隹gа)7пм / 2av Лэл \HEg(?O)7пм / 2av Лэл \HEg(?O)2^翁6)2^翁6)
"吃кh・隹gа)
"吃кh・隹gа)
7пм / 2av Лэл \HEg(?O)
7пм / 2av Лэл \HEg(?O)
2^翁6)
2^翁6)
отсюда уже легко получить, что
у ИМ лэлу ИМ лэл(Хэл)зон(D(Хэл)зон(D2匾g(&))2匾g(&))(11Л68)(11Л68)
у ИМ лэл
у ИМ лэл
(Хэл)зон(D
(Хэл)зон(D
2匾g(&))
2匾g(&))
(11Л68)
(11Л68)
Если формуле (11.168) придать вид (11.95)/то для эффективного магнитного момента при учете обменного взаимодействия получим *)
飓皿二合石. (n-169>
Экспериментально для поправочного множителя (1 — ^)-1 находят значение между двумя и тремя (см. [198, 204]); отсюда по (11.168) и (11.165} находим, что §Об ^ 0,3 4-1,0 з% а это вполне разумные величины^ Приведенный расчет следует, конечно, рассматривать как чисто качественный ). .
Ванфлековский парамагнетизм и влияние спин-орбитальной связи, К рассмотрению магнитных свойств переходных металлов мы еще вернемся в гл. 20 и 21, где будут рассмотрены случаи атомного магнитного порядка. Здесь же мы остановимся лишь на учете ванфлековского «высокочастотного» орбитального парамагнетизма (см. гл. 9) в металлах, в том числе особенно в переходных металлах. Даже в случае, если орбитальные моменты «заморожены», вклад ванфлековского парамагнетизма оказывается сравнимым с паулиевским парамагнетизмом. Это приводит также к тому, что гиромагнитное отношение в этих металлах меньше двух (g‘ V 2). Физическая причина такой роли высокочастотного члена заключается в том, что в парамагнитных солях, где электроны локализованы, вклад от этого члена порядка 卩置/А, где А — среднее расстояние (по энергии) между орбитальными уровнями [231]. Эта величина мала по сравнению со спиновым вкладом, который при комнатных температурах порядка 卩吿/кТ (поскольку &Т《А). Однако в случае металлов спиновый парамагнетизм порядка 卩恚/go, т. е. в кТ1/ раз меньше, чем в солях. Этот вопрос также рассматривается в работах Оргеля [232], Денбига и Ломера [233]. В расчете последних авторов предполагается, что ванфлековский: вклад в Хэл возникает из-за понижения энергии занятых электронных уровней благодаря возмущающей энергии — 卩曰(Z・2f), где f — оператор орбитального момента. Ориентируя поле Н вдоль оси z, этот оператор возмущения можно записать в виде V — — [IbHIz. Тогда изменение энергии г-го состояния благодаря его связи (из-за возмущения) с /-м состоянием будет
0卷— 名力一药 "%夕 (11470)
Здесь символ 6S.S^. означает, что взаимодействуют только электроны с параллельными спинами. Энергия всей системы равна нулю, если состояния г и / оба заняты или пустые. Поэтому изменение полной энергии
равно сумме по всем занятым 2-м состояниям и пустым у-м состояниям. В металле при 0° К каждое орбитальное состояние в полосе либо дважды занято, либо пустое. При этом не учитывается изменение гиромагнитного отношения из-за спин-орбитального взаимодействия. Таким образом, оператор Zz может связывать только состояния с одним и тем же приге- денным волновым вектором А?. Окончательно для изменения энергии металла получаем из (11.170)
6§ = 2цЬН2 2 J 響柴丨〈加，浦 01加，力〉|2/, (11.171)
где состояние определяется волновым вектором к и номером зоны г, /. Атомная восприимчивость равна
= 4Ж 2 电(1 — а» (窝一後尸\(k,i\l2\k, г>|2, (11.172)
где N — число Авогадро, а число 电=1, если состояние г занято, и * = =0, если оно свободно, а черта означает усреднение по /^-пространству. Оценивая матричные элементы в (11.172), Денбиг и Ломер [233] с помощью приближенных функций Ванье для %& получили значение порядка 100-10 ~6 СГСМ-моль ~г. Экспериментальные результаты, полученные в работе [2341 для ванадия, показали, что вклад ванфлековского парамагнетизма оказался порядка 200 -10"6 СГСМ -жоль-1. Ленгларт [235] подробно исследовал влияние спин-орбитальной связи на магнитную восприимчивость переходных металлов и на стабильность парамагнитного состояния (в рамках зонной теории в приближении сильной связи). Он показал, что спин-орбитальное взаимодействие заметно снижает поправки от обменной связи (см. п. 66 § 5) и поэтому делает парамагнитное состояние более устойчивым.
Эффект де Гааза——ван Альфена. Эффект де Гааза — ван Альфена в переходных металлах был исследован на рении [236—238], ниобии [236], тантале [236], цирконии [239], хроме [240, 241], палладии [242—244], никеле [245, 2461, рутении [2471, тории [2481 и платине [2491. В этих работах была установлена зависимость осцилляций от величины магнитного поля при различных направлениях последнего в исследуемых кристаллах. По результатам опытов строились поверхности Ферми и сравнивались с расчетами этих поверхностей, проведенными в работах Голда [250] и Харрисона [251] в модели почти свободных электронов. Результаты этих сравнений показали заметное расхождение между теорией и экспериментом, что указывает на необходимость более точного теоретического анализа результатов наблюдений. Наблюдался [240] эффект де Гааза — ван Альфена в полях 18 кэ в переходных металлах группы хрома (Cr, Mo, W). Наряду с этими опытами для W и Мо экспериментально исследовались изменение электросопротивления в магнитном поле и аномальный скин- эффект [253], с помощью которых также делалась попытка восстановить поверхность Ферми этих металлов. Ломер [254] предложил теоретическую модель для поверхности Ферми этой группы переходных d-металлов. Однако опытные данные работы [240] только в случае Мо согласуются с моделью Ломера. К проблеме формы поверхности Ферми в переходных металлах и связи этой формы с их магнитными свойствами мы еще вернемся в гл. 20; см. также работы [255—261, 286].
О магнитных свойствах металлических сплавов. Мы совершенно не касались магнитных свойств слабомагнитных металлических сплавов. К сожалению, в этой области мы до сих пор еще не имеем сколько-нибудь систематических опытных данных (см. [262]). Теория этого вопроса также практически отсутствует. Лучше разработан вопрос о магнитных свойствах ферромагнитных сплавов, его мы подробно рассмотрим позже, в гл. 21. Рассматривая сплавы как твердые растворы замещения одного металла
другим или несколькими, обычно предполагали, что каждый вносимый в раствор атом металла отдает свои валентные электроны в общий «котел». Иногда такое объяснение хорошо подтверждалось опытом. Однако более тщательные измерения последних лет показали, что такая наивная точка зрения, по-видимому, слишком груба. Есть основания считать, что электроны растворенных атомов могут образовать в решетке сплава локализованные состояния, энергия которых может быть как выше, так и ниже уровня Ферми (см. [263, 221, 265]). Эти системы сейчас являются предметом тщательных исследований в связи с изучением магнитных свойств сильно разбавленных растворов атомов переходных элементов в диа- и парамагнитной матрице. Подробно этот вопрос будет рассмотрен в гл. 21.
12 3 4 5 678901234 56-70^9o1^9^Q^Z^K^_K^7^8Q^n^1^11111 11 11122222222223312 3 4 5 678901234 56-70^9o1^9^Q^Z^K^_K^7^8Q^n^1^11111 11 1112222222222332345678901234567890333333334444444444523456789012345678903333333344444444445ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ И
12 3 4 5 678901234 56-70^9o1^9^Q^Z^K^_K^7^8Q^n^1^
11111 11 111222222222233
12 3 4 5 678901234 56-70^9o1^9^Q^Z^K^_K^7^8Q^n^1^
11111 11 111222222222233
2345678901234567890
3333333344444444445
2345678901234567890
3333333344444444445
М. Owen, Ann. d. Phys. 37, 657 (1912).
К. Honda, Ann. d. Phys. 32, 1027 (1910).
L. Pauling, Proc. Roy. Soc. A114, 181 (1927).
P. И. Янус, В. И. Дрожжина, Phys. Zs. UdSSR 9, 72 (1935).
Я. Г. Дорфман, Новые идеи в физике, изд-во «Образование», сб. № И, Л. (1924).
W. Р a u 1 i, Zs. Phys. 41, 81 (1927).
Я. И. Френкель, Zs. Phys. 49, 31 (1928).
Я. Г. Дорфман, Zs. Phys, 23, 286 (1924).
Л. Д. Ландау, Zs. Phys. 64, 629 (1930).
Р. L a n g е v i n, J. de phys. 4, 678 (1905); Ann. chim. et phys. 5, 70 (1905).
J. McDougall, E. C. Stoner, Phil. Trans. Roy. Soc. A237, 67 (1938).
P. Rhodes, Proc. Roy. Soc. A204, 396 (1950).
E. H. Sondheimer, Proc. Roy. Soc. A203, 75 (1950).
R. T. Schumacher, T. R. Carver, С. P. Slichter, Phys. Rev. 95, 1089 (1954).
R. T. Schumacher, С. P. S 1 i c h t er, Phys. Rev. 101, 58 (1956).
R. T. Schumacher, W. E. V e h s e, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-l, 460 (1962); J. Phys. Ghem. Solids 24, 297 (1963).
N. Bohr, Dissertation, Copenhagen, 1911.
W. J. de Haas, P. M. van A 1 p h e n, Proc. Ac. Sci. Amsterdam 34, 1249 (1931).
R. P e i e г 1 s, Zs. Phys. 80, 763; 87, 186 (1933).
A. H. W i 1 s о n, Proc. Camb. Phil. Soc. 49, 292 (1953).
Б. И. В e p к и н, И. M. Д м и т p e н к о, Изв. АН СССР, сер. фпз. 19, 409 (1955).
M. Blackman, Proc. Roy. Soc. A166, 1 (1938).
А. И. A x и e 3 e p, ДАН СССР 23, 872 (1939).
Ю. Б. P умер, ЖЭТФ 18, 1081 (1948).
Ю. Б. Р у м е р, ЖЭТФ 20, 573 (1950).
Г. Е. Зильберман, ЖЭТФ 21, 1209 (1951); 23, 49 (1952); 25, 713 (1953).
Г. Е. Зильберман, ЖЭТФ 30, 1092 (1956).
D. Shoenberg, Proc. Roy. Soc. 170, 341 (1939).
И. M. Лифшиц, А. М. К о с е в и ч, ДАН СССР 96, 963 (1954).
И. М. Л и ф ш и ц, А. М. К о с е в и ч, ЖЭТФ 29, 730 (1955).
Б. И. В е р к и ну Б. Г. Л а з а р е в, Н. С. Р у д е н к о, ЖЭТФ 20, 93, 995 (1950);
658 (1951); ДАН СССР 80, 45 (1951); сб. «Памяти С. И. Вавилова», Изд-во АН СССР М 1952
Б. И. В е рки н, ДАН СССР 81, 525 (1951).
Б. И. Веркин, Докторская диссертация, Харьков, 1956.
Б. И. Веркин, И. Михайлов, ЖЭТФ 24, 342; 25, 471 (1953).
Б. И. В еркин, ЖЭТФ 32, 156 (1957).
А. А. Абрикосов, Л. А. Фальковский, ЖЭТФ 43, 1089 (1962).
I. В. Sampson, F. Seitz, Phys. Rev. 58, 633 (1940).
Bohm, W. Klemm, Zs. anorg. allg. Chem. 243, 69 (1939).
J. M. Luttinger, Phys. Rev. 84, 814 (1951).
N. A d a m s, Phys. Rev. 85, 41 (1952).
W. К о h n, Phys. Rev. 115, 1460 (1959).
L. M. Roth, J. Phys. Chem. Solids 23, 433 (1962); Phys. Rev. 145, 434 (1966).
И. M. Л и ф ш и ц, Доклад на сессии физ.-матем. отд. АН УССР, 1951.
И. М. Лифшиц, А. М. К о с е в и ч, ДАН СССР 91, 795 (1953).
И. М. Л и ф ш и ц, М. И. Каганов, УФН 69, 419 (1959).
И. М. Л и ф ш н ц, М. И. К а г а н о в, УФН 78, 411 (1962).
L. О n s a g е г, Phil. Mag. 43, 1006 (1952).
В. Р i р р а г d, Reports on Progress in Physics, vol. 23, London, 1960, p. 176.
Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 30, 1058 (1956).
П. С и л и н, ЖЭТФ 33, 495 (1956).
A. M. De G г a a f, R. L u z z i, Phys. Lett. 16» 256 (1965).'
Дж. 3 а й м а н (I. M. Z i m a n) УФН 78, 291, 679 (1962); 79, 319; 80, 505 (1963).
F. В 1 о c h, Zs. Phys. 52,.555 (1928).
G. Dresselhaus, A. F. Kip, Ch. Kittel, Phys. Rev. 98, 368 (1955).
E., N. Adam s, Phys. Rev. 89, 633 (1953).
M. В. H и ц о в и 4, ФММ 7, 641 (1959).
Г. Е. Зильберман, ЖЭТФ 32, 296 (1957).
Г. Е. Зильберман, ЖЭТФ 33, 387 (1957).
Г. Е. Зильберман, ЖЭТФ 34, 243 (1958); ФММ 7, 504 (1959).
Г. Е. 3 и л ь б е р.м а н, Ф. И. И ц к о в и ч, ЖЭТФ 32, 158 (1957).
М. Я. А з б е л ь, ЖЭТФ 44, 980 (1963); 46, 929 (1964).
J. Z ak, Phys. Rev. 136, А776 (1964).
L. С. D a v i s, S. Н. L i u, Phys. Rev. 158, 689 (1967).
E.Fick, H. J.Mikeska, Zs. Naturforsch. 16a, 435 (1961).
F. В 1 о c h, Zs. Phys. 57, 545 (1929).
E. W i g n e r, Phys. Rev. 46, 1002 (1934).
E. W i g n e r, Trans. Farad. Soc. 34, 678 (1938).
D. В о К m, D. P i n e-S, Phys. Rev. 92, 609 (.1953).
J. II u b b a r d, Proc. Roy. Soc. A243, 336; A2%4, 199 (1958).
M. Я. А м у с ь я, Phys. Lett. 16, 254 (1965).
R. Hecht, Phys. Rev. 132, 966 (1963).
J.E.Enderby, J.M.Titman, G. D.Wignall, Phil. Mag. 10, 633 (1964).
E. W. Collings, J. Phys. Chem. Solids 26, 949 (1965); Phil. Mag. 11, 617 (1965).
R. A b e. Prog. Theor. Phys. 29, 23 (1963).
M. G 1 a s s e r. Prog. Theor. Phys. 31, 718 (1964).
A. В e 11 e m a n s, M. de L e e n e r, Phys. Rev. Lett. 6, 603 (1961).
M. С. С в и p с к и й, ФММ 15, 635 (1963).
E. P. W о h 1 f a r t h, Phys. Lett. 22, 280 (1966).
И. M. Л ифшиц, ЖЭТФ 38, 1569 (I960).
С. M. H u г d, J. Phys. Chem. Solids 27, 1371 (1966).
■81. Л. А. Фальковский, ЖЭТФ 44, 1935 (1963).
IO. А. Бычков, Л. П. Горьков, ЖЭТФ 41, 1592 (1962).
M.Я.А з бел ь, ЖЭТФ39, 875 (I960).
D.S h о е nb e r g, Proc.Phys. Soc. 79, 1. (1962).
M.Я.А з бe л ь, ЖЭТФ45, 2022 (1963).
А.В.Р i рр а г d. Proc.Roy. Soc. A272,192(1963).
А. Г. Самойлович, E. Я. Рабинович, ФТТ 5, 778 (1963).
R. D. Plummer, W. L. Gordon, Phys. Rev. Lett. 13, 432 (1964).
E. A. S z i k 1 a s, Phys. Rev. 138, A1070 (1965).
M. L. Glasser, Phys. Lett. 15, 17 (1965); Phys. Rev. Lett. 16. 1159 (1966).
J. W. W i 1 k i n s, J. W. F. W о o, Phys. Lett. 17, 89 (1965).
M. Fowler, R. E. P г a n g e, Physics 1, 315 (1965).
W. К о h n, L. J. S h a m, Phys. Rev. 137, A1697 (1965).
L. M. F a 1 i с о v, H. Sta.chwiak, Phys. Rev. 147, 505 (1966).
F. M. Mueller, Phys. Rev. 148, 636 (1966).
J. H. Condon, Phys. Rev. 145, 526 (1966).
И. M. Лифшиц, А. В. Погорелов, ДАН СССР 96, 1143 (1954)..
D. Shoenberg, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 787 (1957); Phil. Mag. 5, 105 (I960); Phil. Trans. Roy. Soc. 255, 85 (1§62); Proc. Phys. Soc. 79, 1 (1962).
A. S. Joseph, A. C. Thorsen,. Phys. Rev. 134, A979 (1964); 138, A1159 (1965); Phys. Rev. Lett. 13, 9 (1964).
A. S. J о s e p h, A. С. T Ji о г s e n, F. А. В 1 u m, Phys. Rev. 140, A2046 (1965).
A. S. J о s e p h, A. C. Thorsen, E. G e г t n e r, L. E. V a 1 b y, Phvs. Rev.
569 (1966).
J,-P. Jan, I. M. Templeton, Phys. Rev. 161, 556 (1967).
K. Okumura, I. M. Templeton, Phil. Mag. 7. 1239 (1962).
D. Shoenberg, P. J. Stiles, Proc. Roy. Soc. A281, 62 (1964).
L. M. F a 1 i с о v, Phil. Trans. Roy. Soc. 255, № 1051, 55 (1962).
J. H. Condon, J. A. Marcus, Phys. Rev. 134, A446 (1964).
B. R. W a 1 t s, Proc. Roy. Soc. A282, 521 (1964).
T. L. Loucks, Phys. Rev. 134, A1618 (1964).
J. H. T errell, Phys. Lett. 8, 149 (1964).
R. W. S t a г k, Phys. Rev. .162, 589 (1967).
F. T. H e d g с о c k, W. В. M u i r, Phys. Rev. 129, 2045 (1963).
J. R. В о s n e 1 1, A. N у e r s, Phys. Lett. 12, 297 (1964).
A. D. C. G г a s s i e, Phil. Mag. 9, 847 (1964).
H4. R. J. Higgins, J. A. Marcus, D. H. Whitmore, Phvs. Rev. 137 A1172 (1965).
415. G. B. Brandt, J. A. Rayne, Phys. Lett. 15, 18 (1965); Phys. Rev. 148. 644
..
116. W. J. O* S u 1 1 i v a n, J. E. Schirborg, Phys. Rev. 151, 484 (1966).
117.118.119.120.121.122.123.124.125.126.127.128.129.130.131.132.133.134.135.136.137.138.139.140.141.142.143.144.145.146.147.448.149.150.151.152.153.154.155.156.157.158.117.118.119.120.121.122.123.124.125.126.127.128.129.130.131.132.133.134.135.136.137.138.139.140.141.142.143.144.145.146.147.448.149.150.151.152.153.154.155.156.157.158.D. C. Tsui, R. W. S t а г k, Phys. Rev. Lett. 16, 19 (1966).
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
448.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
158.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
448.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
158.
M. G. P г i es t 1 e yT Phil. Mag. 7, 1205 (1962); Phys. Rev. 148, 580 (1966).
А. Галкин, В. П. Набережных, В. А. Мельник, ЖЭТФ 44, 127 (1963).
В. В г a n d t, I. A. R а у n е, Phys. Rev. 132, 1512 (1963); Phys. Lett. 12, 87 (1964).
N. W. A s h с г о f t, Phil. Mag. 8, 2055 (1963).
A. Goldstein, S. Foner, Phys. Rev. 146, 442 (1966).
С. O. L а г s о n, W. L. Gordon, Phys. Rev. 156, 703 (1967).
J. W. McClure, IBM J. Res. developm. 8, 255 (1964).
M. S. Dresselhaus, J. G. Mavroides, IBM J. Res. developm. 8, 262, (1964).
S. J. Williamson, S. F о ne г, M. S. Dresselhaus, Phys. Rev. 140, A1429 (1965).
Б. Брандт, Ю. П. Гайдуков, E. G. Ицк e в ич, Н. Я. Минина, ЖЭТФ 47, 455 (1964).
Б. Б р а н д т, Н. Я. М и н и н а, Ч ж у Чжень-ши, ЖЭТФ 51,108 (1966).
L. R. Windmitler, Phys. Rev. 149, 472 (1966).
М. G. Priestley, L. R. Windmitler, J. B. Ketterson, I. E ck- stein, Phys. Rev. 154, 671 (1967).
J.Vanderkooy, W. R. D a t a rs, Phys. Rev. 156, 671 (1967).
P. E. King Smith, Phil. Mag. 12, 1123 (1965).
Д. Г. Долгополов, ФММ 22, 326 (1966).
R. J. Higgins, J. A. Marcus, Phys. Rev. 141, 553 (1966).
A. D. Brailsford, Phys. Rev. 149, 456 (1966).
Б. И. Веркин, И. В. Свечкаре в, ЖЭТФ 47, 404 (1964).
J.-P. Jan, W. В. Pearson, М. Springford, Canad. J. Phys. 42, 2357一 (1964).
Y. Saito, Sci. Rep. T 6 h о k u Univ. 16, 42 (1964).
J.-P. J a n, W. В. P e а г s о n, Y. S a i t о, M. S p г i n g f о г d, I. M. Temp- l e t о n, Phil. Mag. 12, 1271 (1965).
O. Y. Shapiro, S. J.Williamson, S. F i s ch 1 er, Phys. Rev. 144, 71S (1966).
R. N. В h а г g a v a, Phys. Rev. 156, 785 (1967).
J.-P. Jan, W. B. Pearson, Y. S a i t o, Proc. Roy. Soc. A297, 275 (1967).
A. M. К о с e в и 4, И. M. Л и ф ш и ц, ЖЭТФ 29, 743 (1955).
М. Н. Cohen, L. М. F а 1 i с о v, Phys. Rev. Lett. 7, 231 (1961).
W. A. Harrison, Phys. Rev. 126, 497 (1962).
E. I. Blount, Phys. Rev. 126, 1636 (1962).
А. В. P i p p а г d, Proc. Roy. Soc. A270, 1 (1962); A282, 464 (1964); Phil. Trans..
Roy. Soc. A256, 317 (1964).
А. В. P i p p а г d. Proc. Roy. Soc. A287, 165 (1965).
J. R. Reitz, J. Phys. Chem. Solids 25, 53 (1964).
U. N. U p a d h у a у a, Bull. Am. Phys. Soc. 9, 635 (1964).
L. M. F a 1 i с о v, P. R. S i e v e г t, Phys. Rev. 138, A88 (1965); Phys. Rev. Lett. 12, 558 (1964).
R. G. Chambers, Proc. Phys. Soc. 84, 181 (1964); Phys. Rev. 140, A135 (1965)..
R. G. Chambers, Phys. Rev. 149, 493 (1966).
R. G. Chambers, Proc. Phys. Soc. 88, 701 (1966).
L. M.Falicov, H. Stachowiak, Phys. Rev. 14 7, A 505 (1966).
H. J. Fischbeck, Phys. stat. sol. 17, 197 (1966).
J. R u v a 1 d s, J. W. McClure, J. Phys. Chem. Solids 28, 509 (1967).
R. W. S t а г k, T. G. E c k, W. L. G о г d о n, F. M о a z e d, Phys. Rev. Lett-
159.160.161.162.163.464.165.166.167.168.169.170.171.172.173.174.175.159.160.161.162.163.464.165.166.167.168.169.170.171.172.173.174.175.8, 360 (1962).
159.
160.
161.
162.
163.
464.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
171.
172.
173.
174.
175.
159.
160.
161.
162.
163.
464.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
171.
172.
173.
174.
175.
M. G. Priestley, Thesis, Univ, of Cambridg, England (1961) (не опублико
вано).
C. Zener, Proc. Roy. Soc. A145, 521 (1934).
M. G. Priestle R. J. H i g g i n s, A. J. А г k o, J. A.
L. M. F a 1 i с о v, G. W e i s z, Phys. Rev. 131, 617 (1963)..A. Marcus, Phys. Rev. 161, 589 (1967). arcus, W. A. R e e d, Phys. Lett. 23, 617 (1966).L. M. F a 1 i с о v, G. W e i s z, Phys. Rev. 131, 617 (1963)..A. Marcus, Phys. Rev. 161, 589 (1967). arcus, W. A. R e e d, Phys. Lett. 23, 617 (1966).A. S. J о s e p h, A. C. Thorsen, Phys. Rev. Lett. 11, 67 (1963).
L. M. F a 1 i с о v, G. W e i s z, Phys. Rev. 131, 617 (1963)..
A. Marcus, Phys. Rev. 161, 589 (1967). arcus, W. A. R e e d, Phys. Lett. 23, 617 (1966).
L. M. F a 1 i с о v, G. W e i s z, Phys. Rev. 131, 617 (1963)..
A. Marcus, Phys. Rev. 161, 589 (1967). arcus, W. A. R e e d, Phys. Lett. 23, 617 (1966).
H. E. Алексеевский, В. С. Егоров, ЖЭТФ 46, 1205 (1964).
R. W. S t а г k, Phys. Rev. 135, А1698 (1964).
R. С. Y о u и g, Phys. Rev. Lett. 15, 202 (1965).
R. G. Chambers, Phys. Rev. 165 , 799 (1968).
P. R. Sievert, Phys. Rev. 161, 637 (1967).
T. W. M о о r e, Phys. Rev. Lett. 18, 310 (1967).
D. A. H a у s, W. L. M c L e a n, Phys. Rev. 168, .755 (1968).
N. H. Marx, B. Donovan, Proc. Phys. Soc. A6 7, 464 (1954).
J. G. Fletcher, D. C. Larson, Phys. Rev. Ill, 455 (1958).
D. Pines, Phys. Rev. 95, 1090 (1954).
M. J. Stephen, Proc. Roy. Soc. A265, 215 (1962).
А. И. A x и e з e p, С. В. Пелетминский, ЖЭТФ 39, 1308 (I960).
К. A. Brueckner, K. Sawada, Phys. Rev. 112, 328 (1958).
P. A. W о 1 f f, Phys. Rev. 120, 814 (I960).
W. H. Y о u n g, Phys. Rev. 129, 2019 (1963).
В. Л. Бонч-Бруевич, M. E. Герценштейн, ЖЭТФ 34, 261 (1958),
A. C. Anderson,W. Reese, J.C. Wheatloy, Phys. Rev. 127, 671 (1962).
S. Visvanathan, Phys. Fluids 5, 701 (1962).
W. Trzebiatowski, Magnetismus, Struktur and Eigenshaften magnetischen Festkorpers, VEB Deutsch. Verlag fiir Grundstoffindustrie, Leipzig, p. 88, 1967.
C. J. Kriessman, H. В. С a Г 1 e n, Phys. Rev. 94, 837 (1954).
H. К о j i m e, R. S. T e b b 1 e, D. E. G. W i 1 1 i a m s, Proc. Roy. Soc. A260.
237 (1261).
H. В. Волкенштейн,Э. В. Г а л ош и н а, ФММ 18, 784 (1964), 20, 368 (1965).
Н. Montgomery, G. Р. Р е 1 1 s, Proc. Phys. Soc. 78, 622 (1961).
В. G. Childs, W. E. Gardner, J. P e n f о 1 d, Phil. Mag. 4, 1126 (1952).
S. A. Friedberg, A. Estermann, J. Goldman, Phys. Rev. 87, 582 (1952).
C. J.Kriessman, Rev. Mod. Phys. 25, 122 (19 53).
R. D. Worley, M. W. Z e m a n s k у, H. А. В о о г s e, Phys. Rev. 87, 1142 (1952).
W. J. de H a a s, P. M. van A 1 p h e n? Proc. Acad. Sci. Amsterdam 36, 263 (1933).
R. P. Gupta, Phys. stat. sol. 20, 291 (1967).
M. Horowitz, J. G. Daunt, Phys. Rev. 91, 1099 (1953).
С. M. N e 1 s о n, Ph. D., Dissertation, Univ* Tenn, 1952.
J. G. Ь a u n 3 J. W. С о b b 1 e, Phys. Rev. 92, 507 (1953).
A. N. Guthrie, L. T. Bourland, Phys. Rev. 3 7, 303 (1931).
D. H. Parkinson, Reports on Progress in Physics, vol. 21, London, 1958, p. 226.
F. E. Hoare, J. C. Walling, Proc. Phys. Soc. В64, 337 (1951).
G. D. К n e i p, J. О. В et t e г t о n, J. O. Scarbrough, Phvs. Rev. 130,
1687 (1963).
E. В u c h e r, F. H einiger, J.Muller, Proc. IX Intern. Conf. Low Temp. Phys. Ohio (1964), NS 1965, p. 1059.
H. E. F 1 о t о w, D. W. Osborne, Phys. Rev. 160, 467 (1967).
N. F. M о t t, Proc. Phys. Soc. 47, 571 (1935).
J. G. Daunt, Progress in Low Temperature Physics, vol. 1, North Holl. Publ. Co. Amsterdam, 1955, p. 202.
J. C. Slater, Phys. Rev. 49, 537, 931 (1936).
H. M. К г u t t e r, Phys. Rev. 48, 66 (1935).
С. В. Вонсовский, Ю. А. Изюмов, УФН 77, 377 (1962).
С. А. Немнонов, ФММ 19, 550 (1965).
F. H e i n i g e г, E. В u c h e г, J. M u 1 1 e г, Phys, kondens. Materie5, 243 (1966).
С. H. C h e n g, С. T. W e i, P. А. В e c k, Phys. Rev. 120, 426 (I960).
С. T. W ei, С. H. Chen g, Phys. Rev. 124, 722 (1961).
B.W. V e a1, J. A. R a у n e, Phys. Rev.135, A442 (1964).
A.F. G. Wу a t t, Phys. Rev. Lett. 13,401 (1964).
К.P. G u pt ат С. H. C h e n g, P. А. Вe c k, J. Phys. Chern. Solids 25,73 (1964).
N.P e s s a1, К. P. G u p t a, С. H. C he n g, P. А. В e ck,J. Phvs. Chem. Solids
993 (1964).
A. К a t z u k i, M. S h i m i z u, J. Phys. Soc. Japan 19. 1135, 1856 (1964): 21,
279 (1966).
A. I. S c h i n d 1 e г, С. A. M a c k 1 i c t, Phys. Rev. Lett. 20, 15 (1968).
E. P. Wohlfarth, Proc. Leeds Phil. Soc. 5, 89 (1949).
B. Svensson, Ann. d. Phys. 14, 699 (1932).
В. И. Ч ечерников, И. Поп, ЖЭТФ 46, 1226 (1964).
J. Friedel, G. Leman, S. Olszewski, J. Appl. Phys. 32, 325S (1961).
A. W. Overhauser, Phys. Rev. 128, 1437 (1962).
J. Callaway, D. M. Edwards, Phys. Rev. 136, A1333 (1964).
L. Hedin, Phys. Rev. 139, A796 (1965).
J. Zak, Phys. Rev. 139, A1159 (1965).
V.Ce 1 1 i, N. D. M e г m i n, Phys. Rev. 140,A839(1965).
S.Na k a j i a m a, Phys. Lett. 17, 22 (1965).
T. M. R i c e, Ann. of Phys. 31, 100 (1965).
S.Fо n e r, E. J.McNiff, Jr., Phys. Rev.Lett.19,1438(1967).
B.Jо h a n s о n, K. F. Berggren, Nuov.cim. 50,B362(1967).
R. Kubo, Y. Obata, J. Phys. Soc. Japan 11, 547 (1956).
L. E. О г g e 1, J. Phys. Chem. Solids 21, 123 (1961).
J. S. Denbigh, W. M. L о m e r, Proc. Phys. Soc. 82, 156 (1963).
A. M. С 1 о g s t о n, A. C. G о s s а г d, V. J а с с а г i n o, Y. Y a f e t, Phvs. Rev. Lett. 9, 262 (1962).
K^_K^789ot2Q^4567^0^Q^n^-K9^Q^Z^K^ _K^ 7^ 0^K^_K^789ot2Q^4567^0^Q^n^-K9^Q^Z^K^ _K^ 7^ 0^901231456789O12 工4r^^70^Q^^4^9^Q^z^r^^KJ CO CO 6 CO CO 6 CO CO CO 7. 7. 7. 7 7. 7— 7. 7. 7. ОО ОО ОО ОО оэ ОЭ22222 22222222222 ■ 22222^^^^^^^901231456789O12 工4r^^70^Q^^4^9^Q^z^r^^KJ CO CO 6 CO CO 6 CO CO CO 7. 7. 7. 7 7. 7— 7. 7. 7. ОО ОО ОО ОО оэ ОЭ22222 22222222222 ■ 22222^^^^^^^789012 345888999 999222222 222789012 345888999 999222222 222P. L e n g 1 a г 3 J- Phys. Chem. Solids 28, 2011 (1967).
K^_K^789ot2Q^4567^0^Q^n^-K9^Q^Z^K^ _K^ 7^ 0^
K^_K^789ot2Q^4567^0^Q^n^-K9^Q^Z^K^ _K^ 7^ 0^
901231456789O12 工4r^^70^Q^^4^9^Q^z^r^^KJ CO CO 6 CO CO 6 CO CO CO 7. 7. 7. 7 7. 7— 7. 7. 7. ОО ОО ОО ОО оэ ОЭ22222 22222222222 ■ 22222^^^^^^^
901231456789O12 工4r^^70^Q^^4^9^Q^z^r^^KJ CO CO 6 CO CO 6 CO CO CO 7. 7. 7. 7 7. 7— 7. 7. 7. ОО ОО ОО ОО оэ ОЭ22222 22222222222 ■ 22222^^^^^^^
789012 345
888999 999
222222 222
789012 345
888999 999
222222 222
A. C. Thorsen, T. G. Berlincourt, Phys. Rev. Lett. 7, 244 (1961).
A. S. J oseph, A. C. Thorsen, Phys. Rev. 133, A1546 (1964).
A. C. Thorsen, A. S. J о s e p h, L. E. V a 1 b y, Phys. Rev. 150, 523 (1966).
C. Thorsen, A. S. J о s e p h, Phys. Rev. 131, 2078 (1963).
G. B. Brandt, J. A. Rayne, Phys. Rev. 132, 1945 (1963).
R. W a t t s, Phys. Lett. 10, 275 (1964).
J. J. Vuillemin, M. G. Priestley, Phys. Rev. Lett. 14, 307 (1965).
J. J. Vuillemin, Phys. Rev. 144, 396 (1966).
F. M. Mueller, M. G. Priestley, Phys. Rev. 148, 638 (1966).
С.T s u i, R. W. Stark, Phys. Rev. Lett.17, 871 (1966).
D. С.T s u i, Phys. Rev. 164, 669 (1967)..
P. T. Coleridge, Phys. Lett. 22, 367 (1966).
A. С. T h о г s e n, A. S. J оs e p h, L. E. V a b1 e y, Phys.Rev.162,574(1967).
L. R.Windmiller, J.B. Ketterson,Phys. Rev.Lett.20,324(1968).
A. V. Gold, Phil. Trans. Roy. Soc. A251, 85 (1958).
W. A. Harrison, Phys. Rev. 118, 1190 (I960).
E. Fawcett, Phys. Rev. 128, 154 (1962).
F a w c e t t, D. Griffiths, J. Phys. Chem. Solids 23, 1631 (1962).
W. M. L о m e r. Proc. Phys. Soc. 80, 489 (1962); 84, 327 (1964).
H. В. Волкенштейн, В. H. Качинский, Л. С. Старостина, ЖЭТФ 45, 43 (1963).
J. С. Phillips, Phys. Rev. 133, А1020 (1964).
S. L. А 1 t m a n n, С. J. Bradley, Phys. Rev. 135, A1253 (1964).
T. L. Loucks, Phys. Rev. Lett. 14, 693, 1072 (1965); Phys. Rev. 139, A1181 (1965); 143, 506 (1966); 144, 504 (1966); 159, 544 (1967).
L. F. M a t t h e i s s, Phys. Rev. 139, 1893 (1965); 151, 450 (1966).
P. T. Coleridge, Phys. Lett. 15, 223 (1965).
D. M. S p а г 1 i n, J. A. M а г с и s, Phys. Rev. 144, 484 (1966).
J. G. В о о t h, Phil. Mag. 17, 205 (1968).
J. Friedel, Adv. Phys.,3, 446 (1954); Canad. J. Phys. 34, 1190 (1956); J. phys.
et radium 19, 573 (1958).
А. В 1 a n d i n, J. F г i e d e 1, J. phys et radium 19, 573 (1958).
А. В 1 a n d i n, J. F г i e d e 1, J. phys. et radium, 20, 160 (1959).
B.J.C. van d e г Hoeven, P. H. К e e s о m, Phys. Rev. 134, 1320 (1964).
J. M о г i n, J. P. M a i t a, Phys. Rev. 129, 1115 (1963).
J. R a у n e, Phys. Rev. 95, 1428 (1954).
О. V. Lounasmaa, Phys. Rev. 133, 219 (1964).
T. H. G e b a 1 1 e. Rev. Mod. Phys. 36, 134 (1964).
H- F. В u d d, Phys. Rev. Lett. 19, 1315 (1967).
P. G. Harper, J. Phys. Chem. SoJ. 28, 495 (1967).
P. L. T а у 1 о r, Canad. J. Phys. 45, 2015 (1967).
Б. И. Веркин, Л- Б. Кузмичева, В. Свечкаре в, ЖЭТФ 54, 74 (1968).
D. Childers, Р. Pincus, Phys. Rev. 177, 1036 (1969).
Р. К. М i s г a, L. М. Roth, Phys. Rev. 177, 1089 (1969).
D. L a n g b c i n, Phys. Rev. 180, G33 (1969).
S. P. M о г г i s, J. Phys. Chem. Solids 30, 1873 (1969).
M. E. R e n s i n k, Am. J. Phys. 37, 900 (1969).
D. J annussis, Phys. stat. sol. 36, K17 (1969).
Johanson, K- F. В г у g г e n, Nuovo Cim. 50, B362 (1967).
V. Cru t о, H о ng-Y u Chin, Phys. Rev. 173, 1210, 1220, 1229 (1968).
M. Я. А м у с ь я, ФММ 29, 3 (1970)-
M. Я. A 3 б e л ь, УФН 98, 601 (1969).
Ю. П. Гайдуков, УФН 100, 449 (1970).
В. Вопсовский, В. В. Дякин, Р. Ф. Егоров, Сб. «Некоторые вопросы магнетизма и прочности твердых тел», Изд-во АН СССР, Свердловск, 1968.
W. W. Warren, V. К. Saxena,] К. S. Viswanat Т. Schneider, Н. J. Fifchbecl
К. М. W u и s с h.
Jr., et, aL, SoL State Commun. 6, 371 (1968).D. L. Bhattacharya, Phys. Stat. Sol. 27, 427 (1968). han, Sol. Stat. Commun. 8, 1031 (1970).Sol. Stat. Commun. 8, 279 (1970).Phys. stat. sol. 38, 11 (1970).W. D. Weiss, R. К о h 1 h a a s, Zs. Naturforsch. 23a, 1402Jr., et, aL, SoL State Commun. 6, 371 (1968).D. L. Bhattacharya, Phys. Stat. Sol. 27, 427 (1968). han, Sol. Stat. Commun. 8, 1031 (1970).Sol. Stat. Commun. 8, 279 (1970).Phys. stat. sol. 38, 11 (1970).W. D. Weiss, R. К о h 1 h a a s, Zs. Naturforsch. 23a, 1402(1968).
Jr., et, aL, SoL State Commun. 6, 371 (1968).
D. L. Bhattacharya, Phys. Stat. Sol. 27, 427 (1968). han, Sol. Stat. Commun. 8, 1031 (1970).
Sol. Stat. Commun. 8, 279 (1970).
Phys. stat. sol. 38, 11 (1970).
W. D. Weiss, R. К о h 1 h a a s, Zs. Naturforsch. 23a, 1402
Jr., et, aL, SoL State Commun. 6, 371 (1968).
D. L. Bhattacharya, Phys. Stat. Sol. 27, 427 (1968). han, Sol. Stat. Commun. 8, 1031 (1970).
Sol. Stat. Commun. 8, 279 (1970).
Phys. stat. sol. 38, 11 (1970).
W. D. Weiss, R. К о h 1 h a a s, Zs. Naturforsch. 23a, 1402
N, Morl, J. Phys. Soc.
H. Fukuyama, R. К
Japan 26, 926 (1969).u b o, J, Phys. Soc. lapan 27, 604 (1969).Japan 26, 926 (1969).u b o, J, Phys. Soc. lapan 27, 604 (1969).V e 1 i с k у, H. Ehrenreich, Phys. Rev. Bl,V e 1 i с k у, H. Ehrenreich, Phys. Rev. Bl,3250 (1970).3250 (1970).S. К i г k p a t г i e k, B.
Japan 26, 926 (1969).
u b o, J, Phys. Soc. lapan 27, 604 (1969).
Japan 26, 926 (1969).
u b o, J, Phys. Soc. lapan 27, 604 (1969).
V e 1 i с k у, H. Ehrenreich, Phys. Rev. Bl,
V e 1 i с k у, H. Ehrenreich, Phys. Rev. Bl,
3250 (1970).
3250 (1970).
Глава 12
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Электронная структура полупроводников
Магнитные свойства полупроводников, как и в случае металлов, обусловлены их электронной структурой. Однако, в отличпе от металла, полупроводник в основном состоянии (при 0° К) не имеет электронов проводимости. Они появляются лишь с повышением температуры, и число их растет по закону типа ехр (—N懼[кТ где А務一 величина порядка «энергии активации», т. е. величины энергетической щели, отделяющей уровень энергии основного состояния от ближайшего возбужденного уровня, где появляются носители тока (электроны и «дырки»). Поэтому можно ожидать, что часть магнитной восприимчивости, обусловленная носителями тока, будет резко зависеть от температуры. Помимо этого, вклад в восприимчивость будет вноситься ионными остовами кристаллической решетки, а также различными дефектами кристалла, в первую очередь атомами примеси.
Валентная полоса, полоса проводимости, примесные уровни. Прежде чем перейти к рассмотрению различных составляющих магнитной восприимчивости полупроводника, напомним кратко основные положения теории энергетического спектра полупроводнпков [см. Иоффе (1957); Ансельм (1962), Данлэп (1959), Шокли (1953); Блекмор (1964)]. Как уже отмечалось в гл. И, энергетический спектр электронов в кристалле имеет вид чередующихся разрешенных и запрещенных энергетических полос (см. рис. 11.11). В случае полупроводника при 0° К мы имеем целиком заполненные (нияснне) полосы и полностью пустые (верхние) полосы. Энергетическая щель А卷 (запрещенная полоса) между верхним уровнем самой верхней из заполненных полос (так называемой валентной полосы) и нижним уровнем самой нижней пз пустых полос (так называемой полосы проводимости} представляет собой энергию активации для возбужденных состояний полупроводника *). С повышением температуры некоторое количество п электронов ) пз заполненной валентной полосы будет совершать квантовые переходы в пустую полосу проводимости, превращаясь там в электроны проводимости и оставляя после перехода р (—п) дырок у верхнего уровня валентной полосы (рис. 12.1а). Эти носители заряда осуществляют так называемую собственную проводимость полупроводника. Поскольку А務 в реальных полупроводниках оказывается порядка 3 as, а числа п ^ р пропорциональны ехр [—Д^ДГ], то собственная проводимость может играть существенную роль лишь при достаточно высоких температурах (Т ^ 103° К), При низких температурах гораздо более активную роль в полупроводниках пграют электроны проводимости или дырки, происхождение которых связано с наличием в кристалле атомов примесей. Различают два основных типа атомов примесей: доноры и акцепторы. При внедрении примесных атомов в кристалл полупроводника в запрещенной полосе возникают примесные уровни. При этом уровни донорных примесей 君d лежат близко от «дна» полосы проводимости (рис. 12.16), так что энергии активации для них гораздо меньше энергии активации для собственной проводимости, т. е. А老或= =I 紡黑¥°" — % 丨 ^。,1 + 0,。1 as《А卷.Наоборот, уровни атомов акцепторов 務& лежат, как правило, близко от потолка валентной полосы (рис. 12.1в), и для них энергия активации Д^а = I 需а 一 務貶;в Л 十 0,01 эв《А名必 В основном состоянии
(при 0° К) уровни всех 7Vd доноров заняты электронами, при повышении температуры они легко ионизуются, при этом число ионизованных донорных уровней или равное им число электронов в полосе проводимости (%d— 汽d) пропорционально exp [—A卷d/AT], где n^ — число неионизованных доноров. При 0°К все Na атомов акцепторов нейтральны. С ростом температуры они начинают захватывать (на уровень, лежащий на величину %а выше ^^^с и пустой при 0° К) электроны из валентной полосы, образуя в ней дырки, и сами при эюм. превращаются в отрицательные ионы. Если число нейтральных акцепторов обозначить через ра, то число акцепторов ионизованных, т. е. с занятыми уровнями 務.，будет равно Na — 卩&, м оно будет меняться с температурой по закону (Na — р.) ~ ехр [ —А務./左7]. Например, для типичного полупроводникового
Рис. 12.1а. Электронный энергетический спектр собственного полупроводника.Рис. 12.1а. Электронный энергетический спектр собственного полупроводника.夕 Полоса проводимости 左:Z史: 牛 丄__jizr>蜀夕 Полоса проводимости 左:Z史: 牛 丄__jizr>蜀f Itg螞呢吧吧吧上f Itg螞呢吧吧吧上NtT% полохситвлънжNtT% полохситвлънж怡 доноров怡 доноров„вал„валРис. 12.16. Электронный энергетиче - ский спектр примесного полупроводниРис. 12.16. Электронный энергетиче - ский спектр примесного полупроводника п-типа.ка п-типа.
Рис. 12.1а. Электронный энергетический спектр собственного полупроводника.
Рис. 12.1а. Электронный энергетический спектр собственного полупроводника.
夕 Полоса проводимости 左
:Z史: 牛 丄__jizr>蜀
夕 Полоса проводимости 左
:Z史: 牛 丄__jizr>蜀
f It
g螞呢吧吧吧上
f It
g螞呢吧吧吧上
NtT% полохситвлънж
NtT% полохситвлънж
怡 доноров
怡 доноров
„вал
„вал
Рис. 12.16. Электронный энергетиче - ский спектр примесного полупроводни
Рис. 12.16. Электронный энергетиче - ский спектр примесного полупроводни
ка п-типа.
ка п-типа.
^Полова проводимости
夏 f 饴 акцепторов
Рис. 12.1в. Электронный энергетиче-ский спектр примесного полупроводни-ка р-типа.
элемента Ge донорными примесями могут служить, например, Р, As, Sb, а акцептор- ными,— например, In и Ga. Вообще говоря, донорами могут быть как примесные атомы (замещения или внедрения), так и атомы электроположительной компоненты ионного полупроводникового соединения, избыточные по отношению к стехиометрическому составу (например, Mg в MgO и т. п.), а также другие дефекты кристаллической решетки. В случае, когда донором, например, в Ge является атом Sb или As, то у этих атомов имеется на один валентный электрон больше, чем у основного атома кристалла Ge. Этот электрон не участвует в образовании химических связей между соседними узлами решетки и занимает отдельный локализованный у атома примеси донорный уровень 務冉 Это состояние остается локализованным, если концентрация донорной примеси невелика, в противном случае из-за взаимодействия между соседними примесными атомами возникает узкая донорная энергетическая полоса. Аналогичное явление может иметь место и при акцепторных примесях. Образование примесных полос приводит к тому, что в полупроводнике примесного типа при Т —> 0° К сопротивление не стремится к бесконечности (как в собственно полупроводнике). В тех случаях, когда примесная полоса перекрывается с полосой проводимости и для электронов уже следует применять статистику Ферми, примесные полупроводники называют вырожденными полупроводниками^ похожими по своим электрическим свойствам на полуметаллы ). Перекрытие волновых функций примесей происходит тем легче, чем больше «диаметр» орбит их валентных электронов, т. е. чем больше диэлектрическая проницаемость е* раство-
рптеля и меньше эффективная масса электрона [см. ниже формулу (12.37)]. При возбуждении этот электрон переходит в полосу проводимости п легко перемещается по решетке (рис. 12.2).
Типы полупро вод ников. Полупроводник с донорными примесями называется примесным полупроводником п-типа\ n-Ge, n-Si, и т. п. (от слова 《negative》—— «отрицательный», поскольку носителями тока у них являются отрицательно заряженные электроны, перешедшие в полосу проводимости с донорных уровнен при 7 > 0° К).
Все эти соображения применимы и к акцепторным примесям, только у них имеется ло крайней мере на один валентный электрон меньше (Al, In, Т1), чем у атомов основной
GeGeGe *Ge *〃・Ge〃・GeGe Ge Ge〃 R ЛА 夕 ЧGe X GeGe (inj Ge.Ge Л Ge / 6e/〃弋/ R cGe Ge Ge〃 R ЛА 夕 ЧGe X GeGe (inj Ge.Ge Л Ge / 6e/〃弋/ R c
Ge
Ge
Ge *
Ge *
〃・Ge
〃・Ge
Ge Ge Ge
〃 R ЛА 夕 Ч
Ge X Ge
Ge (inj Ge
.Ge Л Ge / 6e
/〃弋/ R c
Ge Ge Ge
〃 R ЛА 夕 Ч
Ge X Ge
Ge (inj Ge
.Ge Л Ge / 6e
/〃弋/ R c
Рис. 12.2. Донорная примесь (Sb в Ge).Избыточный электрон (—е) атома замеще-ния (Sb) перемещается по решетке n-Ge.[Каждый узел основной решетки (типа ал-маза) кристалла Ge связан с четырьмяближайшими соседними узлами двухэлект-ронными насыщенными валентнымисвязями.]Рис. 12.2. Донорная примесь (Sb в Ge).Избыточный электрон (—е) атома замеще-ния (Sb) перемещается по решетке n-Ge.[Каждый узел основной решетки (типа ал-маза) кристалла Ge связан с четырьмяближайшими соседними узлами двухэлект-ронными насыщенными валентнымисвязями.]Рис. 12.3. Акцепторная примесь (In в Ge). Движение дырки (+е) эквивалентно перемещению разорванной связи между атомами по решению p-Ge. [Каждый узел основной решетки (типа a.i маза) кристалла Ge связан с четырьмя ближайшими соседними узлами двухэлектронными насыщенными валентными связями.]Рис. 12.3. Акцепторная примесь (In в Ge). Движение дырки (+е) эквивалентно перемещению разорванной связи между атомами по решению p-Ge. [Каждый узел основной решетки (типа a.i маза) кристалла Ge связан с четырьмя ближайшими соседними узлами двухэлектронными насыщенными валентными связями.]
Рис. 12.2. Донорная примесь (Sb в Ge).Избыточный электрон (—е) атома замеще-ния (Sb) перемещается по решетке n-Ge.[Каждый узел основной решетки (типа ал-маза) кристалла Ge связан с четырьмяближайшими соседними узлами двухэлект-ронными насыщенными валентнымисвязями.]
Рис. 12.2. Донорная примесь (Sb в Ge).Избыточный электрон (—е) атома замеще-ния (Sb) перемещается по решетке n-Ge.[Каждый узел основной решетки (типа ал-маза) кристалла Ge связан с четырьмяближайшими соседними узлами двухэлект-ронными насыщенными валентнымисвязями.]
Рис. 12.3. Акцепторная примесь (In в Ge). Движение дырки (+е) эквивалентно перемещению разорванной связи между атомами по решению p-Ge. [Каждый узел основной решетки (типа a.i маза) кристалла Ge связан с четырьмя ближайшими соседними узлами двухэлектронными насыщенными валентными связями.]
Рис. 12.3. Акцепторная примесь (In в Ge). Движение дырки (+е) эквивалентно перемещению разорванной связи между атомами по решению p-Ge. [Каждый узел основной решетки (типа a.i маза) кристалла Ge связан с четырьмя ближайшими соседними узлами двухэлектронными насыщенными валентными связями.]
компоненты (Ge, Si). Поэтому валентных электронов примеси не хватает для образования насыщенных химических связей. Эти «недостающие» электроны и поступают из валентной полосы, в которой остается дырка, легко перемещающаяся по решетке (рис. 12-3). Полупроводники с акцепторными примесями называются примесными полупроводниками р-типа: p-Ge, p-Si и т. п. (от слова «positive» ——«положительный», поскольку носителями тока в них являются положительно заряженные дырки от электронов, ушедших из валентной полосы на пустые уровни акцепторов при Т > > 0° К). При наличии обоих типов примеси мы имеем дело с примесными полупроводниками смешанного типа.
Кроме того, полупроводники классифицируются по химическому составу и типу химических связей:
атомные полупроводники (чистые химические элементы): В, Ge, Si, Те, серое Sn и Se (иногда сюда же включают С — алмаз и графт);
полупроводники с ионной решеткой ——галогениды щелочных металлов: NaCl, КВг и т. п.
полупроводниковые соединения с валентной связью'. SigC (карбид кремния), InSb, CaAs и т. п.
Условие нейтральности, химический потенциал
Общие положения. В полупроводнике при нормальных условиях должно выполняться условие электр ической нейтральности, наглядно изображенное на рис. 12.1, которое сводится к требованию равенства числа отрицательно заряженных частиц [электронов в полосе проводимости (п) и ионизованных акцепторов (Nq — в。)，т. е. электронов на акцепторных уровнях], числу положительно заряженных частиц [дырок в валентной полосе (р) и ионизованных доноров (%d —冷d), т. e.
Свободных донорных уровней]:
^+^^a-Pa) = p + ^^d-Pd),(12.1)
(a)(d)
где суммы берутся по всем акцепторным (а) и донорным (d) уровням (однократным).
В гл. 11 отмечалось, что коллективизированные электроны в кристалле подчиняются статистике Ферми — Дирака и при статистическом равновесии среднее число электронов в квантовом состоянии с энергией 8 (к) при температуре Т дается функцией распределения / (е) по (11.14). Число электронных квантовых состояний в единице объема и в интервале энергии ds равно g (е) de, где g (s)——функция плотности состояний электронов в единице объема в случае квадратичного закона дисперсии, даваемая формулой (11.8) с учетом вырождения по спину. Поэтому число электронов в 1 сл3 с энергиями между 8 и s + de будет равно
g(£)/(£)J8.(12.2)
Согласно формуле (11.3)
"2(zn*)”2 1/2/1В а
g ⑻=е，"3>
где zn*——эффективная масса электронов. Поэтому концентрация электронов равна
汽=j g (е) / (s) deо汽=j g (е) / (s) deо"2 (zn*)3/2 ；"2 (zn*)3/2 ；优加 J о ехр优加 J о ехр81/2d8(2m^kTf2E—g\二 =一2冗2为3厶/2(现丿十81/2d8(2m^kTf2E—g\二 =一2冗2为3厶/2(现丿十(12.4)(12.4)
汽=j g (е) / (s) deо
汽=j g (е) / (s) deо
"2 (zn*)3/2 ；
"2 (zn*)3/2 ；
优加 J о ехр
优加 J о ехр
81/2d8(2m^kTf2
E—g\二 =一2冗2为3厶/2(现
丿十
81/2d8(2m^kTf2
E—g\二 =一2冗2为3厶/2(现
丿十
(12.4)
(12.4)
где z — g/W7, a F1/2 (z) — интеграл, определяемый по (11.22). Мы уже знаем из гл. 11т что формулу (12.4) можно считать определением химического потенциала g как функции п, Т и т*. В случае сильно вырожденного газа (g/儿7》1) это приводило к формулам (11.8) при Г — 0° К и (11.19) при 7 > 0° К. Однако в случае полупроводников, условие сильного вырождения электронного газа часто не выполняется, поэтому целесообразно выяснить, к чему приводит вычисление интеграла (12.4) в противоположном предельном «классическом» случае, когда ехр (—g/A:7) > 1. В данном случае функция распределения (11.14) имеет вид
〃Е) = [ехp 卜_含)+」- =eхр (舍)ехр (一倉)=4 eхр (-■ ^jr ) = /кп (s)-
(12・5>
Иэ (42,5) видно, что в классическом пределе мы получили функцию распределения Максвелла —Больцмана с нормирующим фактором Л = ехр (УкТ). Таким образом, формула (12.4) для концентрации электронов в полосе проводимости в данном случае примет вид
а =а =(2тп*)'(2тп*)'1S^1S^m2 Itm2 It-爲 l/2 ,(2zn*5)3/2 而e 8 血=2口2京1-爲 l/2 ,(2zn*5)3/2 而e 8 血=2口2京1(12.6》(12.6》
а =
а =
(2тп*)'
(2тп*)'
1S^
1S^
m2 It
m2 It
-爲 l/2 ,(2zn*5)3/2 而
e 8 血=2口2京1
-爲 l/2 ,(2zn*5)3/2 而
e 8 血=2口2京1
(12.6》
(12.6》
ибоибоJ ©т//2 d£ = Д/三/2. Из {12.6) сразу получаем о
ибо
ибо
4冗3方3汽(2шп*А:7)з/24冗3方3汽(2шп*А:7)з/2g=5 Ing=5 In4Л3方3汽(2Л7П*5)3/24Л3方3汽(2Л7П*5)3/2(12.7}(12.7}
4冗3方3汽(2шп*А:7)з/2
4冗3方3汽(2шп*А:7)з/2
g=5 In
g=5 In
4Л3方3汽(2Л7П*5)3/2
4Л3方3汽(2Л7П*5)3/2
(12.7}
(12.7}
Из (12.7) видно, что в классическом случае, в противоположность случаю вырождения (11.14), химический потенциал g электронного газа более резко зависит от температуры. Из (12.7) и (12.5) находим функцию распределения в классическом пределе:
I .、4冗3加九/8 \Q
/кЛ(е)= (227)3/2 ехр1r) ."-•)
критерием применимости которого является неравенство
》1・》1・(12.沙(12.沙_(2шп*А：7)з/2
》1・
》1・
(12.沙
(12.沙
/= _4冗3无3汽
Из (12.9) видно, что этому критерию применимости классической Статистики благоприятствует малая концентрация п, большая эффективная масса т* п высокая темпера- тура Т. Например, при п 10】？ см~3, Т н 100° К, zn* Ai 10-27 г А~х 300》1. При п л; 1019 см~3 и тех же значениях Тит* имеем 4 T л; 1. Таким образом, при комнат-
ных температурах электронный газ с эффективной массой, близкой к массе свободного электрона, ведет себя классически при концентрациях п《1019 см-3.
В случае полупроводника приведенные формулы хотя и применимы, но не вполне удобны, поскольку плотность электронов в полосе проводимости является функцией температуры, так как эти электроны появляются в результате термического возбуждения. При этом в валентной зоне возникают положительные дырки. Кроме того, в примесных полупроводниках присутствуют еще электроны и дырки, связанные с донорными и акцепторными уровнями (рис. 12.1). Обычно в этом случае все энергии принято отсчитывать, от общего нуля, совмещаемого с самым нижним уровнем (дном) полосы проводимости *): £^^^b°R = 0. Тогда энергию электронов у дна полосы проводимости
можно запвсать в виде s = 1г2^12т^ энергию на донорном уровне — в виде 君= ——А君d =—君d，на акцепторном уровне — в виде 君=—(А宅—Л^а) и энергию дырки в валентной зоне ——в виде 8 — — А務—ех = — А務^у , где £‘ — «кинетическая^ энергия дырки. Если ввестм химический потенциал дырки 7 = —А務一g, то- функцию распределения дырок можно записать в виде
尸⑻= 1 — /⑹=1 — [exp(g)+l「= [exp(^)+l「=
= [eхр(宁)用口 g0
Условие нейтральности (12.1), из которого определяется химический потенциал полупроводника, теперь можно записать в такой общей форме:
(12,11>(12,11>(□.□.) exp (-^-)+1(а) exp (^)+1
(12,11>
(12,11>
丄,exp(l±^)+； + 京 еХР(Ц^)+；，
где индексы у интегралов (п. п.) и (в. п.) означают, что интегрирование ведется соответственно по полосе проводимости ii валентной полосе. Если выполняется критерий (12.9). то вырождение для электронов в полосе проводимости и дырок в валентной полоса отсутствует. Если также оба сорта этих частиц имеют квадратичный закон дисперсии соответственно с эффективными массами т^ и 崂,то интегралы в (12.11) аналогичны интегралу из (12.6), и поэтому будем иметь
(2шп 秋 Т)3/24h3力3(2шп 秋 Т)3/24h3力3…「气产户…「气产户(2яm 产)‘—4冗3龙3(2яm 产)‘—4冗3龙3f厶 / A卷-ехР(-7Гf厶 / A卷-ехР(-7Г. Nd盡[烁i. Nd盡[烁i(12.12>(12.12>
(2шп 秋 Т)3/2
4h3力3
(2шп 秋 Т)3/2
4h3力3
…「气产户
…「气产户
(2яm 产)‘
—4冗3龙3
(2яm 产)‘
—4冗3龙3
f厶 / A卷
-ехР(-7Г
f厶 / A卷
-ехР(-7Г
. Nd
盡[烁i
. Nd
盡[烁i
(12.12>
(12.12>
Здесь Nq и Nd — концентрации ственно концентрации лир：Здесь Nq и Nd — концентрации ственно концентрации лир：акцепторов и доноров. Из (12.12) находимакцепторов и доноров. Из (12.12) находимсоответ-соответ-
Здесь Nq и Nd — концентрации ственно концентрации лир：
Здесь Nq и Nd — концентрации ственно концентрации лир：
акцепторов и доноров. Из (12.12) находим
акцепторов и доноров. Из (12.12) находим
соответ-
соответ-
““(2п崂kJ1产(2п崂kJ1产4лда4лда2/ UElif2/ UElif(12.13>(12.13>
“
“
(2п崂kJ1产
(2п崂kJ1产
4лда
4лда
2/ U
Elif
2/ U
Elif
(12.13>
(12.13>
(12.14)(12.14)(2鹏7产2 _nr (品+9 ]
(12.14)
(12.14)
一 4Л3龙3P [而7 J
Из условия нейтральности (12.42) в форме, справедливой в классическом пределе, можно найти химический потенциал ^ — кТ \п А в общем случае как решение алгебраического уравнения четвертой степени. Это решение можно получить численными или графическими способами. Здесь мы рассмотрим два типичных случая, когда решение (12.12) относительно А элементарно.
Собственный полупроводник. В этом случае примесей нет и поэтому Na = =N& = 0. Тогда из (12.12) сразу следует, что для А имеем
/ =/ =
/ =
/ =
откуда
U =U =А卷А卷q / т*、i (/)•q / т*、i (/)•(12.15)(12.15)
U =
U =
А卷
А卷
q / т*、
i (/)•
q / т*、
i (/)•
(12.15)
(12.15)
Если znj = m*, то In (m^/m^) = 0 и g лежит точно в середине запрещенной полосы энергий и не зависит от температуры. В более общем случае, когда т^ 声 т^, но з/& 1л (тп工/崎)ai 1, второе слагаемое в (12.15) будет порядка кТ, и поэтому значение 工 в собственном полупроводнике находится примерно (с точностью до А： Г) в середине запрещенной полосы.
При этом мы не учитываем, что и сама величина А務 изменяется с температурой. Это вызвано тем, что при нагревании кристалла изменяется постоянная решетки. Учет этих факторов позволил Фэну [1, 2] получить приближенную линейную зависимость -энергии А医 от температуры:
(12.16)(12.16)A卷=（А卷）0 一。m
(12.16)
(12.16)
В собственном полупроводнике ^соб — Рсоб ит следовательно, “П竺上矶一詛=吟ехр[^.券仞
Если т*=т*^ 10-27 г и Г л; 300° К, то п^ л; 2,5-1019 ел"3. Из сравнения (12.17)
•с (12.13) и (12.14) получаем формулу, которую можно назвать《законом действующих масс» носителей тока в полупроводнике:
(12.17а)(12.17а)（2 口仅蹄磕⑺3г ай 12
(12.17а)
(12.17а)
".Р =—丽硬—,?p[ 一才」三唬。6・
Примесный полупроводник n-типа. В этом случае 7Va = 0; предположим также, что △務》А務小 Тогда из (12.12) находим [сбитая, что можно пренебречь членом ■с ехр( —А卷优7)]
Q瓚鐺堂/"хр (皆)(12.18)
Здесь можно различать два подслучая:
Z ехр (А卷d/而Т)》L Поскольку мы рассматриваем классический предел, т. е. N《4, то этот случай реализуется лишь при А卷d》及案 Тогда, пренебрегая единицей :в скобках в левой части (12.18), находим
/ G、(2/)3/吋а
(12.19)(12.19)-Хp(汇)-俏(2m湫炉/4 eхp,
(12.19)
(12.19)
G=G=A名d , 1 加(2口力)3 Nd ~ + T(2皿秋7)3/2 •A名d , 1 加(2口力)3 Nd ~ + T(2皿秋7)3/2 •(12.19a)(12.19a)
G=
G=
A名d , 1 加(2口力)3 Nd ~ + T(2皿秋7)3/2 •
A名d , 1 加(2口力)3 Nd ~ + T(2皿秋7)3/2 •
(12.19a)
(12.19a)
При Nd ai 1017 сл~3, m^ л; IO-27 а и 7 ai 300° К логарифм в (12.19a) близок к 1 и, следовательно, в силу условия А卷d》〃T химический потенциал лежит внутри ■запрещенной полосы между дном полосы проводимости и уровнем донора. Из (12.19) находим в этом случае для концентрации электронов проводимости
…号t"хр (一舞),…号t"хр (一舞),(12.20)(12.20)
…号t"хр (一舞),
…号t"хр (一舞),
(12.20)
(12.20)
т. е. п пропорционально N》.
Zexp (A^d/而Т)《 色 Поскольку 4《1, то для осуществления этого случая необходимо, чтобы кТ ^ ^d> Оставляя теперь в скобке в формуле (12.18) единицу, полуним
—р （鳥卜制?，—р （鳥卜制?，g= А:Т Ing= А:Т In4冗з龙37Vd(2m喷Т"4冗з龙37Vd(2m喷Т"(12.21)(12.22)(12.21)(12.22)
—р （鳥卜制?，
—р （鳥卜制?，
g= А:Т In
g= А:Т In
4冗з龙37Vd(2m喷Т"
4冗з龙37Vd(2m喷Т"
(12.21)
(12.22)
(12.21)
(12.22)
Концентрация электронов проводимости, как следует из (12.21), равна
n = Nd,(12.23)
т. е. все доноры ионизованы — имеет место явление насыщения.
Аналогично можно рассмотреть и случай примесного полупроводника р-типа N& = 0), если в приведенных выше формулах для случая б) заменить “小 ^d и 徳
соответственно на А君.и т и отсчитывать энергию от верхнего уровня валентной полосы.
В случае вырождения электронного или дырочного газа химический потенциал .лежит близко к краю одной из полос или внутри полос. В этом случае для концентраций электронов и дырок, вместо классических формул (12.13) и (12.14), получаем более сложные формулы типа (12.4), в которых необходимо лишь условиться о выборе нуля для отсчета энергий электронов и дырок. Этот случай подробно исследован в работах Шифрина [3] и других (см., например, [4—6]).
Различные составляющие магнитной восприимчивости
Перейдем теперь к рассмотрению магнитных свойств полупроводников. При вычислении магнитной восприимчивости полупроводника прежде всего необходимо указать различные типы атомных носителей магнитного момента в электронной подсистеме кристалла *), а именно ):
электроны замкнутых оболочек ионных остовов кристаллической решетки полупроводника (как основных компонент кристалла, так и атомов примесей);
валентные электроны, заполняющие валентную полосу энергий полупроводника и образующие насыщенные направленные химические связи в кристалле;
электроны незаполненных внутренних d- и f-оболочек ионных остоеое решетки полупроводника — в случае, когда эти ионы относятся к переходным d- или /-элементам );
электроны и дырки — свободные носители тока, возникающие при возбуждении собственного или примесного полупроводника соответственно в полосе проводимости или валентной полосе;
электроны и Н也рки, находящиеся на локализованных уровнях атомов примеси или в добавочной примесной полосе, которые лежат в запрещенной энергетической области (между дном полосы проводимости и потолком валентной полосы);
электроны и дырки, локализующиеся на различных других дефектах решетки： дислокациях, границах блоков и зерен, на наружных поверхностях кристаллов, дефектах, возникающих при тепловых колебаниях решетки, и т. п.
В соответствии с таким подразделением электронных носителей магнетизма магнитную восприимчивость полупроводника, не обладающего атомным магнитным порядком, Xn.m можно приближенно представить в виде следующей суммы шести слагаемых:,
Хп. П = ХЛ! + Ха2 + Xd</> + Хь + Xs + Хт,(12.24)
тде %А]——атомная восприимчивость замкнутой электронной оболочки ионных остовов, а Хд2 ——электронов валентной полосы, ^d<f)——магнитная восприимчивость незаполненных внутренних d- или /-оболочек ионных остовов атомов основной решетки и атомов примесей, %工一магнитная восприимчивость свободных носителей заряда в полупроводнике, %s —— магнитная восприимчивость электронов (дырок) на локализованных уровнях атомов примесей, %т ——магнитная восприимчивость, обусловленная всеми другими дефектами решетки, помимо атомов примесей.
Рассмотрим более подробно характер каждого из этих шести слагаемых в (12.24).
Атомные восприимчивости ^j и ^2* Эти части восприимчивости обусловлены электронами, более или менее сильно связанными с узлами
решетки. Число электронов заполненной внутренней оболочки ионных- остовов не меняется, число же валентных электронов может меняться с температурой, поскольку происходят их переходы в полосу проводимости или на акцепторные уровни. Однако вплоть до самых высоких температур число таких термически активированных электронов составляет ничтожную долю от всех валентных электронов. Поэтому их число можно практически также считать постоянным и сумма x^i + Хл2 будет пропорциональна числу атомов полупроводника. Пусть в 1 см3 кристалла имеется 7V атомов основной компоненты и, кроме тогот атомы различных примесей; если обозначить через Ns. число их для i-й примеси, то для %八,卄一 斗 можно записать
+ %4а = с" + N J
здесь коэффициенты с и cs. зависят как от типа атомов полупроводника^ так и от связей между ними. В общем случае с и с% могут быть функциями, температуры и магнитного поля. В типичных полупроводниковых элементах (Ge, Si, a-Sn) атомы (ионы) ни в свободном состоянии, ни в кристалле не обладают собственными магнитными моментами. Поэтому идеальные кристаллы этого типа в пределе при Т f 0° К (когда можно пренебречь всеми остальными вкладами в Хп.п» кроме %& и 兀的)должны быть диамагнетиками, что и наблюдается в действительности. Опыт показывает, что в области низких температур магнитная удельная восприимчивость атомных полупроводников оказывается небольшой по абсолютной величине (меньше 10~6 г-1) и в общем не очень сильно зависящей от температуры (см. § 4). В гл. 7 уже отмечалось, что аддитивность диамагнитной восприимчивости для системы атомов (ионов) справедлива лишь для сферически- симметричных замкнутых электронных оболочек. В Случае же алмазоподобных кристаллических решеток валентные электроны образуют на- каждый атом по четыре гибридизованных sp3 ковалентных направленных парных связей, для которых обычные предположения о сферической симметрии у?ке, строго говоря, неприменимы. Лишь приближенно можно- считать, что суммарная атомная восприимчивость полупроводника %厶， аддитивно складывается из восприимчивости %& внутренних замкнутых слоев электронной оболочки ионного остова и восприимчивости %д2 бывших валентных электронов, участвующих в кристалле в химической связи, т. е.
е Ха = ХЛ1 -р Хл2 (12.25》
Так, например, для удельной диамагнитной восприимчивости иопов Sn4+ имеем (см. Клемм [8]) %лх = — 1,35 -10*7. Для расчета ^л2 можно воспользоваться классической формулой *) (7.6), если, согласно Лонсдейл [9]ч взять в этой формуле для 〈建〉эффективный радиус атомов, образующих тетраэдр в алмазоподобной решетке полупроводника. В случае олова (〈建〉)“2 = 1,4 А, и тогда по (7.6) находим %л2 —1,85-10~7. Следовательно, по (12,25) находим %厶=—3,2-10-7. Опыт дает [7] при экстраполяции на 0° К для a-Sn значение ^сп = 一2,65-Ю"7, что находится в удовлетворительном согласии с теорией (см. § 4).
Восприимчивость Ха5 которую часто называют также решеточной, можно разделить и по-другому, чем в формуле (12.25). А именно можно, во- первых, выделить диамагнитный вклад ионного остова %дм, описываемый формулой типа (7.7). Этот вклад дается той частью электронной плотности, которая обладает сферической либо аксиальной симметрией (относительно оси, совпадающей с направлением магнитного поля). Во-вторых, можно
'выделить ванфлековский парамагнитный вклад х；$, даваемый вторым -слагаемым в формуле (7.8). Этот вклад существенно зависит от несферич- ности электронного облака ионов в решетке и тесно связан с природой химической связи в кристалле (см. ниже, в конце § 4).
Восприимчивость у〃⑺ незаполненных d- или 尸 слоев ионов основной и примесной компоненты полупроводника. Этот вклад в Хп.п всегда носит парамагнитный характер. Для его расчета необходимо знать не только магнитные свойства соответствующих свободных ионов d- или /-металлов (см. гл. 9), но также и влияние на свойства незаполненных оболочек внутрикристаллического поля (см. гл. 10, а также [10]). За последнее время в связи с интересом к изучению различных физических -свойств d- и /-слоев атомов, внедренных в диамагнитные кристаллы (этот интерес вызван, в частности, проблемой создания кристаллических лазеров), много внимания уделяется также изучению их магнитных свойств. Эти вопросы будут достаточно подробно рассмотрены в гл. 21. Здесь же мы будем интересоваться примесями атомов нормальных элементов, для которых вклад в восприимчивость Xd(f)отсутствует.
Восприимчивость свободных носителей заряда %工・ Эта часть восприимчивости обусловлена электронами в полосе проводимости и дырками в валентной полосе [7] и по своему характеру аналогична магнитной восприимчивости электронов проводимости металлов. В первом приближении величину удельной восприимчивости %工 можно считать аддитивно составленной из парамагнитной восприимчивости Паули %пм и диамагнитной восприимчивости Ландау %дм. Эта сумма, согласно формуле (11.56) [см. также (11.17)1, в обдцем случае имеет вид
Хь Хпм + Хдм —1—(12.26)
где п0 — концентрация свободных носителей заряда при Н = Q, а 尸2 — усредненное (по различным ориентациям кристаллитов в поликристалле) выражение комбинации компонент тензора обратной эффективной массы (zn^)'1, р‘ 一 плотность полупроводника. В простейшем изотропном случае, когда тензор (嗚尸 сводится к скаляру (心尸，величина 戸= =(т/т*)2, как это и было принято в (11.56). В общем случае при выборе <оси z вдоль направления магнитного поля
戸=厶力?一廃，где 加=瑞講請 (i,j = 2,i), (12.27)
•丑 e (丸)一энергия носителя заряда как функция волнового вектора к(кх, ку, к^. Формула (12.26) имеет место как для электронов в полосе проводимости (%е)п, так и для дырок в валентной полосе (%工)卩.Если отсчет энергий вести от середины запрещенной полосы, т. е. энергию электронов еп считать положительной при отсчете «вверх» (см. рис. 12.1) и для дырок £р — положительной при отсчете «вниз», то химические потенциалы для электронов и дырок будут равны по величине и обратны по знаку: gn = =—匕0 =匕. Таким образом,
屮寶(1 —辱)，(12.28a)
0u)p = ~^—可(~з1) ；(12.286)
孤on,— концентрация электронов и дырок при Я = 0, а
Рп = (ixxtyy — /1у)п? Рр — (/хх/уу —fxy)p(12.29)
—безразмерные величины, в основном представляющие собой среднюю кривизну сечения изоэнергетических поверхностей en = const и ер = =const плоскостями kz = const. Усреднение производится по всем
состояниям (кх, ку, А:2), занятым в полосе проводимости и валентной полосег и по всем возможным ориентациям оси z относительно кристаллографических осей. При не очень высоких температурах все занятые состояния лежат вблизи краев полос 宮貶;с и 宮需『°" и имеют подобные изоэнергетические поверхности. Поэтому при этих температурах 典 и Fp лишь несущественно зависят от числа занятых состояний, т. е. от концентраций носителей заряда пп и пр.
Итак, для полной восприимчивости %工 имеем
Хь —(Хь)п + (%е)рХь —(Хь)п + (%е)р,珈Ор1,珈Ор1孑т)} •孑т)} •(12.30>(12.30>
Хь —(Хь)п + (%е)р
Хь —(Хь)п + (%е)р
,珈Ор
1
,珈Ор
1
孑т)} •
孑т)} •
(12.30>
(12.30>
Из (12.30) следует, что %工 зависит от * Однако g, как мы видели вышег можно определить из условия нейтральности (12.11) или (12.12) и тем самым исключить эту зависимость из (12.30). Как и в случае металлов, (см. § 3 гл. И), слабой зависимостью 匕 от магнитного поля можно пренебречь. В § 2 было показано, что в общем случае невозможно получить аналитическое выражение для 匕，поэтому, вообще говоря, приходится обращаться к графическим методам.
Собственный полу пр оеодник. В случае нееыр ожденного собственного' полупроводника химический потенциал g определить легко. Действительно^ в этом случае для концентраций можно воспользоваться формулами (12.13} и (12.14), переписав их для новой системы отсчета энергий:
(12.31>(12.32>(12.31>(12.32>(2jw4/cT)3/2Г —(務僚* —0
(12.31>
(12.32>
(12.31>
(12.32>
一4冗3 龙3exp [ 近
_ (2师产)3/2「TT澀с
%Р — ~4^- exp [^
Связь между 嗚，唠 и 典，F^ можно установить лишь при известных законах дисперсии £п 俾)и £р(丸).Из (12.31) и (12.32) сразу следует:
^п0п 汽On^п0п 汽On6旌о0一汽Op6旌о0一汽Op(12.33>(12.33>
^п0п 汽On
^п0п 汽On
6旌о0一汽Op
6旌о0一汽Op
(12.33>
(12.33>
Кроме того, из условия нейтральности для собственного полупроводника следует, что поп = Пор [см. (12.17)], а химический потенциал по (12.15) равен
W = ^(宮黑曾一芻盤С)+岑•ln(W|) .(12.34}
Подставляя (12.34) в (12.31) и (12.32), а затем в (12.33) и в (12.30), находим выражение для магнитной восприимчивости невырожденного собственного полупроводника:
3箒雾｛『争宀（」争］=
=m需广［（1等hh一争］（嚇中产雇（5产exp （一第）.
（12.35>
Следует иметь в виду, что характер структуры электронного энергетического спектра может существенно влиять на магнитную восприимчивость полупроводников. Примером этого может служить работа Бойко и Рашбы [И], в которой теоретически исследована магнитная восприимчивость полупроводников с особой структурой энергетических полос, когда экстремальные значения энергии носителей тока расположены вдоль окружности, охватывающей ось кристалла (петля экстремумов).
Примесный полу пр оеодник. В этом случаё %工 будет зависеть от концентраций атомовг примеси (Nd или N4 Вообще говоря, число занятых акцепторных и свободных донорных уровней [см. (12.11)] будет зависеть- от магнитного поля Я. Однако в случае слабых полей, re方《 kT, этой зависимостью можно пренебречь.
При наложении на полупроводник магнитного поля концентрация электронов в полосе проводимости меняется. Это явление существенна учитывать при анализе магнетосопротивления или зависимости постоянной Холла от магнитного поля. Строгое рассмотрение этой зависимости встречается с затруднениями, поскольку она обусловлена рядом эффектов: 1) зеемановским расщеплением уровней (±reE) в полосе проводимости и примесных уровней в запрещенной полосе — парамагнитный эффект [12]; 2) квантованием орбит электронов собственного полупроводника и примесей [13]——диамагнитный эффект; 3) увеличением энергии активации примесей, обусловленным сжатием электронного облака вокруг атома примеси в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю (в области сильных полей). Теория этих эффектов рассмотрена в работе Яфета и др. [14], а экспериментально они исследованы в работе Кейеса и Сладека [15L Парамагнитный эффект подробно исследовал Ландсберг [16].
Если ограничиться прймесным полупроводником n-типа (см. § 2, п. 36} с Na = 0 и А宮》△宮d, то химический потенциал определяется формулой (12.18). Если еще принять, что А宮d》"Т, то ^ определяется из (12.19а)^ а для производной дпОп/д^ по-прежнему имеем (12.33). Используя, далее, для пОп формулу (12.20), находим (%ь)п из (12.28а):
(Ь)п = ^ (整广(1->)^ехр[->]. (12.36) Аналогично можно рассмотреть случай примесных полупроводников p-типа и т. д.
Восприимчивость примесных атомов %s [7, 17]. Эта часть магнитной восприимчивости существенно зависит от типа и концентрации примесных атомов в полупроводнике, а при неполной их ионизации и от температуры. Как мы уже видели, если речь идет о примесях замещения в алмазоподобной решетке атомных полупроводников четвертой группы элемен- тов (Ge, Si, a-Sn), атомами элементов третьей группы (Al, Ga, In,..) или пятой группы (Р, As, Sb), то мы соответственно имеем донорные или акцепторные примеси. Связанные с этими центрами электрон (у доноров) или дырка (у акцепторов) движутся в поле положительного заряда с потенциалом V = е/£*г, где е* — диэлектрическая проницаемость, атомного полупроводника, а г — расстояние от ядра атома примеси. Эта форма потенциала приводит к тому, что электрон или дырка у атома примеси находятся в водородоподобном состоянии. Однако радиус орбиты оказывается в е* раз больше, а энергия — в е*2 раз меньше соответствующих величин свободного атома водорода. А именно для примеси в основном состоянии радиус орбиты
ГО = гБе* ^г = 0,53 • 10-8е* ^ см, (12.37》
где гБ — боровский радиус основного состояния атома водорода, а т* — эффективная масса электрона или дырки. Энергия же ионизации в электронвольтах равна
А^иониз =宮н [е*2备『=13,5 [е« 焉厂， (12.38〉
где 宮н — 13,5 эе — энергия ионизации свободного атома водорода. Таким образом, между основным состоявием донора или акцептора и соответственно минимальным уровнем полосы проводимости или максимальным уровнем валентной полосы «вклинивается» водородоподобный энергетический спектр.
Если концентрация примеси не очень велика и поэтому волновые функции основного состояния электронов или дырок атомов примеси не перекрываются, то мы имеем случай невзаимодействующих примесей с локализованными дискретными уровнями. В рассматриваемом случае система ведет себя как газ водородоподобных атомов. Например, магнитная восприимчивость такого газа водородоподобных доноров, находящихся в основном состоянии, слагается, во-первых, из парамагнитной спиновой восприимчивости (если основное состояние 25i/2, то оно лишено орбитального момента) и, во-вторых, из слабой диамагнитной восприимчивости, обусловленной ларморовской добавкой к орбитальному движению. Спиновый парамагнитный момент определяется как разность между концентрацией п-ь донорных электронов с положительным спином и концентрацией п_ электронов с отрицательным спином. Обозначая через п0 концентрацию доноров, лишенных электрона, имеем
Nd = "o 十?1十 + 联. (12.39)
Пусть 宮+ и 宮一 означают энергии электронов донорной примеси соответственно с положительными и отрицательными спинами. В отсутствие магнитного поля 宮+ =宮_ = А宮小 а при наличии магнитного поля 宮土 = =А宮d 干 Ne〃・ Для вычисления намагниченности М = (п+ — п _) |лБ надо вычислить распределение п(/ = n+ + п _ электронов по Nd донорным уровням. При тепловом равновесии химический потенциал g находим с помощью свободной энергии всех электронов на примесях
£ = S (А统-нбЯ) + 展(А焼 + nb〃) -кТ In R , , (12.40)
используя термодинамическое определение g, т. е. ^ — dF/dn^ = dF/dn^ а также приближенную формулу Стирлинга для Inn! ^ n (Inn—1). В итоге получаем
(12.41)(12.41)r U-(a龜—卩eн)
(12.41)
(12.41)
?I十二 n0 exp [近
n- = n0 exp [^n- = n0 exp [^(12.42)(12.42)
n- = n0 exp [^
n- = n0 exp [^
(12.42)
(12.42)
В отсутствие магнитного поля из (12.39), (12.41) и (12.42) находим
展= 〃+ + 〃_ = Nd {1+^ехр[-"Ц京二工]} 1.(12.43)
При наличииПри наличиимагнитного поля из (12.42), (12.39) и (12.43)магнитного поля из (12.42), (12.39) и (12.43)находимнаходимNd shNd sh从eH~W~从eH~W~n+—n- = 1/ A%—g \ h / MfAn+—n- = 1/ A%—g \ h / MfA(12.44)(12.44)и для парамагнитной восприимчивости %gM = М/Н получими для парамагнитной восприимчивости %gM = М/Н получим一 Н [芽exp一 Н [芽exp導屮"（暮導屮"（暮(12.45)(12.45)
При наличии
При наличии
магнитного поля из (12.42), (12.39) и (12.43)
магнитного поля из (12.42), (12.39) и (12.43)
находим
находим
Nd sh
Nd sh
从eH~W~
从eH~W~
n+—n- = 1/ A%—g \ h / MfA
n+—n- = 1/ A%—g \ h / MfA
(12.44)
(12.44)
и для парамагнитной восприимчивости %gM = М/Н получим
и для парамагнитной восприимчивости %gM = М/Н получим
一 Н [
芽exp
一 Н [
芽exp
導屮"（暮
導屮"（暮
(12.45)
(12.45)
ииZ>10°K)(12.46)Z>10°K)(12.46)
и
и
Z>10°K)
(12.46)
Z>10°K)
(12.46)
В области слабых полей (ррН《кТ при Н ^ 5*104^ вместо (12.45) имеем более простую формулу:
поскольку
л卩е" d 1卩е" 卩еНch -兀丁 I， sh kT ；
здесь 孔先 дается формулой (12.43). Выражение (12.45) показывает, что парамагнетизм электронов изолированных доноров оказывается ланжеве- новского типа. При достаточно низких температурах можно получить насыщение. Действительно, при 世出》кТ из (12.45) получаем
(12.47)(12.47)М/^е1и+Нб
(12.47)
(12.47)
Н —/А%一С —卩 еН \ — Н
уехр ()
Поскольку условие ме#》кТ при экспериментально достижимых полях порядка 105 э или меньше реализуется при температурах менее 1° К, то (12.47) можно еще упростить. Так как при таких температурах С ^ а А统/2, то при reH》кТ экспонента в знаменателе (12.47) много меньше единицы, и поэтому (12.47) примет вид
濾м = £^.(12.48)
Кроме рассмотренного парамагнитного слагаемого в %s, необходимо еще учесть индуцированный диамагнетизм, который дается формулой (7.7)：
%岁=一為〈叱・(1249)
Полная магнитная восприимчивость донорных примесей при jieH《кТ в силу (12.49) и (12.46) будет равна
混=成(鲁一爲捺)・(12.50)
Можно попытаться произвести сравнительную оценку абсолютных величин парамагнитной и диамагнитной слагающих восприимчивости %s [18]. Величины тп* и 〈戸〉，входящие в (12.49), трудно определить непосредственно. Однако водородоподобность донорного состояния позволяет вычислить х§м по известной энергии ионизации донора и диэлектрической проницаемости чистого полупроводника Ge или Si. Из (12.38) видно, что в диэлектрической среде энергия ионизации пропорциональна т*/£*2, а радиус орбиты пропорционален 炉/m* [см. (12.37)]. Произведя соответствующую замену в (12.49), находим для zz-Si
鶏м=—等(4ЙЧ'(£*)т= —1，7/0-27司，(12.51)
где N — число Авогадро, %晋 ——атомная диамагнитная восприимчивость водорода, равная —2,4-10~6 (см. гл. 7), А宮d — энергия ионизации донора, равная 0,05 зе, р‘ — плотность (для Si р' = 2,33, е* = 11,9).
Для соответствующей парамагнитной слагающей имеем по (12.46)
羽”=器= 2,67/О*”硝.(12.52)
Из сравнения (12.51) с (12.52) видно, что при Г = 10° К диамагнитная слагающая %s составляет примерно 6% от парамагнитной.
Гейст [19] обобщил этот расчет на случай атомов доноров (или акцепторов) с двумя электронами на локальном уровне, а также на случай нескольких различных сортов атомов примеси *). Это обобщение весьма просто, поэтому мы не будем его здесь излагать.
5. Восприимчивость примесных атомов при повышенных концентрациях. Более интересным является расчет магнитной восприимчивости электронов примесей (доноров или акцепторов), когда при повышенной концентрации их нельзя считать изолированными, поскольку волновые функции внешних электронов примесных атомов существенно перекрываются. При теоретическом рассмотрении этой задачи были предложены две модели: а) модель примесной полосы [7, 20] и б) модель донорных молекул [18, 19, 22, 23]. Остановимся на кратком рассмотрении этих моделей.
а. Модель примесной полосы. Парамагнитные свойства электронов в донорной полосе такие же, как и для электронов в металле. Парамагнитная восприимчивость дается формулой (11.56), в которой концентрацию электронов проводимости следует заменить величиной п^
澧=唯需
(12.53)
Таким образом, задача сводится к определению зависимости nd от С. Если предположить, что к коллективизированным донорным электронам применим обычный зонный подход, то число мест в донорной полосе равно удвоенному числу доноров 2Nd. Это, строго говоря, не так, так как донорные примеси распределены не в виде правильной решетки, а хаотически. Поэтому ситуация здесь больше напоминает кристалл неупорядоченного металлического сплава или жидкий металл (см., например, [24, 25, 27]). Если через g (е) обозначить функцию плотности состояний в донорной полосе, то
2Nd= j g®cte, (12.54)
где 宮内 и ^d2 — энергии двух крайних уровней полосы, а фактор 2 у интеграла отсутствует, поскольку в g ⑻ уже учтено спиновое вырождение. Число занятых состояний в рассматриваемом ферми-газе дается обычной
формулой:
1 + ехр [-^=Я]
g（E）次
(12.55)
В общем случае интеграл в (12.55) можно вычислить, если известна функция g(e). Однако при высоких тетеращурах, когда
翫一翫《场7,(12.56)
интеграл вычисляется в (12.55) при произвольной функции g(£). Действительно, при выполнении условия (12.56) функцию Ферми под знаком
интеграла в (12.55) можно заменить ее значением для
富d=g"（富山+富d2）,
и поэтому
一 ‘统2
…[中хp (%)гjg⑻匕.--""57)
兔—ехр
и по (12.53) находим
啰м
冷d匾
kT
ехР (^гЧ
…(鸟河
(12.58)
В случае низких температур, когда
翫一院i》5,(12.59)
функцию распределения Ферми можно заменить «ступенькой»
(0 для £ > &
⑻-{ 1 для £ V К
и поэтому (12.55) примет вид
nd= J g(£)©£•(12.60)
Подставляя (12.60) в (12.53), находим
絹M = ^g©・(12.61)
Диамагнитный вклад в данном случае состоит из двух частей: 1) части, соответствующей связанным состояниям донорных электронов (обусловленным их движением вокруг отдельных примесных атомов):
(谭)‘=一儒？〈产〉，(12.62)
и 2) части, соответствующей диамагнетизму Ландау. Как отметили Буш и Моозер [7], из-за узости донорной полосы расчет %§м и ^дм нельзя, строго говоря, проводить в рамках модели квазисвободных электронов, так как верхний предел занятых состояний в соответствующих интегралах определяется не функцией распределения, а верхней границей донорной полосы 宮d2* Только в предельном случае очень низких температур (12.59) спад функции распределения Ферми происходит в столь узком интервале уровней донорной полосы. В этом интервале также можно определить эффективную массу тп* и аппроксимировать энергию е квадратичным законом: е = Й2Л2/2тп*. Тогда
(澧)"=-等翁(誥『(12.63)
Из сравнения (12.45) или (12.46) и (12.58) или (12.61) видно, что парамагнетизм изолированных доноров (ланжевеновского типа) существенно отличается от паулиевского парамагнетизма электронов донорной полосы даже в отсутствие вырождения [см. (12.58)].
Модель донорных молекул. Как было показано в гл. 5, намагниченность системы определяется общей статистической формулой
М =噜4,(12.64)
где Z ——статистическая сумма. Зондер и Швейнлер [23] предполагают, что Nd доноров (в единице объема) объединяются в NJ2 двухцентровых молекулоподобных образований, в которых и располагаются донорные внешние, электроны. Статистическая сумма Z в присутствии магнитного поля содержит члены с нулевым, одно- и двухэлектронными состояниями, и имеет вид
2
Z = n Z『n W+ 2 eхр (宁)卜хp (喝)+ехр (一時)卄 i=li—13.
十2 exp (中)[exp(步)十1 + exp(一学)卄§exp (戋券)》.
1"(你65))
—243 —16*s
где е；, ег и 切，一энергии собственных состояний, С ——химический потенциал. Сумма по j берется по всем одноэлектронным состояниям отдельного двухдонорного центра, а суммы но 2 и Г относятся соответственно к триплетным и синглетным двухэлектронным состояниям молекулы. Достаточно двух наинизших одноэлектронных состояний молекулярного иона Iso и 2ра с энергиями es и ер, чтобы описать систему «атом + ион — =донор», а наинизших синглетных и триплетных двухэлектронных состояний i£g и 3£乜 с энергиями е^ и е3 достаточно для описания всех нейтральных атомов в основном состоянии. Все остальные возбужденные состояния имеют гораздо большие энергии [см., например, монографию Герцберга (1948)], и поэтому их можно не учитывать. Таким образом, Z» в (12.65) приближенно состоит из пяти слагаемых. Заметим, что сомножители Z； в (12.65) (или сумма в фигурных скобках), вообще говоря, различны ), поскольку электронные энергии е различны для различных расстояний между примесными атомами в молекулах. Однако химический потенциал С один и тот же для всей системы и определяется числом наличных электронов, которое равно концентрации доноров Nd. Эта связь дается известным соотношением
(12.66)
Выполняя дифференцирования, указанные в (12.66) и (12.64), а также производя разложение по степеням малого параметра NsH/kT《1, получаем
"d = 2 (Nd)i = г
=у 2 [ехр (审)+ехр (宁)]十6 ехр)十2 ехр (^1)
1 "2 [ехр (!^)+ехр(^)]+Зехр(^р)+ехр(?^)
匾Н ~кТ~~匾Н ~кТ~~XX
匾Н ~кТ~~
匾Н ~кТ~~
X
X
х2 гх2 г・(12.68)・(12.68)2 DxP (审)+ехр (±g^) ]+8ехр (■^l)
х2 г
х2 г
・(12.68)
・(12.68)
1 + 2[ехр(守)+ехр(^^)] + Зехр(^?)+ехр(^Д)
Учитывая равенство знаменателей и сходство числителей в (12.67)
и (12.68), можно ввести Nd в выражение для М; в результате получим
гг.(12.69).(12.69)2辰р(受产)一呻(廿)]+[eхp (中_) +eхp (与书]++ 3ехр(^9+ехр(^^)
г
г
.(12.69)
.(12.69)
Переход от формулы (12.68) к (12.69) позволяет получить для магнитного момента выражение, более удобное для сравнения с экспериментом. Выражение (12.69) можно упростить, если ввести обозначение е31 = £3 — £i
и пренебречь нулевыми и одноэлектронными состояниями ); тогда имеем
ММ2 1 — exp2 1 — exp1+Зехр (1+Зехр (e31wE31we31wE31wF!F!(12.70)(12.70)
М
М
2 1 — exp
2 1 — exp
1+Зехр (
1+Зехр (
e31
w
E31
w
e31
w
E31
w
F!
F!
(12.70)
(12.70)
Сумма от первого члена в квадратных скобках (12.70) дает полное число электронов. Сумму в (12.70) можно заменить интегралом, поскольку Nd/2— очень большое число (порядка 1015). Однако энергия триплет-синглетного расщепления е31 может быть резкой функцией расстояния между атомами- донорами в молеуле. Поэтому необходимо знать функцию распределения размеров донорных молекул. Зондер и Швейнлер [23] принимают статистическое распределение доноров и получают для функции распределения размеров Р распределение Пуассона
dP = 4nN/2 dr exp [—告л^йГ3] = Nd exp (- 7^d) dV, (12.71)
где r — расстояние между донорами, а У — 4лг3/3 — соответствующий этому расстоянию объем сферы (при этом один из доноров расположен в центре сферы). Это предположение, строго говоря, неточно, поскольку между донорами имеется электростатическое взаимодействие с энергией &2/£*「，а также и потому, что имеется не одна, а много пар. Однако Зондер и Швейнлер [23] показали, что предположение (12.71) выполняется достаточно удовлетворительно.
Таким образом, формулу (12.70) можно представить в виде
м =挈 f —丄exp.J exp (-卩猫)Nd dV. (12.72)
Сравнивая (12.72) с формулой для изолированных доноров (12.46) (М =隔11 N就кТ), видим, что в (12.72) фактически появился поправочный множитель (1 — Р), где
₽ = -\ exp (- VNd) Nd dV.(12.73)
J н3ёхр (一鏡)
Выражение (12.73) имеет правильное асимптотическое поведение. Величина р —> 0 при е31 —> 0 и р —> 1 при е31 —> оо, и парамагнетизм исчезает. Для оценки В необходимо знать зависимость е31 от г. Ее можно найти используя теорию молекулы водорода, учитывая, что донорные молекулы находятся в среде с диэлектрической проницаемостью е* и электрон имеет эффективную массу т*. В результате графического решения получаем экстраполяционную зависимость
e3i = ^jr (e3i)H2 = 4н exp [ -5Н (号)’•卩｝
где /ц = 9,66 эв и Зц = 7,84-1022 см~3. Далее, функция /® = =[1 — ехр (—/)]/[1 — 3 ехр (—/)], где 第=禽丿场丁 имеет вид кривой с насыщением и ее можно аппроксимировать (с точностью порядка 10%)
двумя прямыми / &)=右/3,7 при 0《/ W 3,7 и / (/) = 1 при х > 3,7. Это приближение окончательно дает для поправочного множителя 1 —р
]-В= (3,嘅丁)а ,(12.74)
где а — Nd/B (тп*)3, Л -= Лн/(е*)2 и В = 5н/(е*)3 (для Si / = 0,068 эв. В =^4,65*1019смг3). Подставляя (12.74) в (12.72), находим для парамагнитной восприимчивости
X™ 二 СТ°1,(12.75)
где
("^ОГ+а尸.(12.76)
Восприимчивость электронов в узкой примесной полосе проводимости. Рассмотрим особенности магнитной восприимчивости электронов в узкой примесной полосе проводимости в сильном магнитном поле [21]. В этом случае возникает своеобразный тип немонотонной зависимости магнитной восприимчивости х (Н) электронов кристалла от магнитного поля Н. При расчете [21] учитывались электроны проводимости, принадлежащие лишь одной примесной полосе. Вклад других полос считался несущественным. Если примесная полоса достаточно узка, так что ее ширина D подчиняется неравенству
D<kT,(12.77)
то свойства электронов проводимости в ней существенно определяются законом дисперсии £ ㈣ в данной полосе. Расчет показал, что при достаточно сильных магнитных полях, удовлетворяющих неравенству
где а — эффективное расстояние между соседними примесными атомами. В химическом потенциале С (Н) с ростом поля появляется осциллирующее слагаемое А£ (Я). С ним автоматически связано появление осциллирующего слагаемого А% (Я) магнитной восприимчивости и других физических величин. Такие осцилляции качественно отличны от осцилляций де Гааза ——ван Альфена, поскольку они не зависят от степени вырождения электронного газа и обусловлены, в конечном счете, периодичностью зависимости энергии от квазиимпульса в обратной решетке, е (历)=£ (历 + К), где R — вектор обратной решетки, и квантовыми свойствами (нек-ом- мутативностью) компонент импульса в магнитном поле. Периоды таких осцилляций определяются величинами типа 2HQ (они могут быть различными при разных направлениях ff) и не зависят от | Н | и Т; с ростом Т их амплитуды уменьшаются.
Конкретный расчет явных выражений для осциллирующих частей АС (Я) и А% (Я) в работе Клингера [21] дан для простейшего случая «-полосы простой кубической решетки (в приближении сильной связи).
В этом случае существует один-единственный период осцилляций 2Hq. Азбель [27] обобщил этот расчет на случай произвольного закона дисперсии.
Если эксперимент покажет существование таких осцилляций, то это будет своего рода доказательством наличия примесных полос с периодическим или почти периодическим законом дисперсии е (历)(см. в этой связи работы Джемса и Гинцбарда [24, 25] и Лифшица [26]).
Восприимчивость термических дефектов ^г. Эту часть восприимчивости считают обусловленной термическими дефектами решетки (см. Буш и Винклер [28]), дислокациями и влиянием поверхностных (таммов- ских) энергетических уровней. Никакого специального теоретического
анализа для нее пока не проводилось. Обычно ссылаются лишь на экспериментальную работу Буша и Хелфера [29], в которой наблюдались гистерезисные явления для магнитной воспримчивости [различие кривых Хзнсп (Т) при нагревании и охлаждении измеряемых образцов]. Некоторые авторы, например Хедкок [30], считают, что %т не зависит от температуры (см. также Буш и др. [31]).
Сравнение с опытом
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых опытных данных по измерению магнитной восприимчивости полупроводников и сравнению их с теорией.
Начнем со способа определения слагающей магнитной восприимчивости Ха- Согласно изложенным выше теоретическим представлениям эта часть восприимчивости, казалось бы, не должна зависеть от температуры,
Рис. 12.4. температурная зависимость магнитной восприимчивости чистого a-Sn (J — олово фирмы «Чемпер», II — фирмы «Джонсон — Маттей») (из работы 'Буша и Моозера [7]). Пунктирное продолжение кривой 工 дает (экстраполированное значение % (0), которое приближенно приравнивается вкладу %а магнитной восприимчивости полупроводника.Рис. 12.4. температурная зависимость магнитной восприимчивости чистого a-Sn (J — олово фирмы «Чемпер», II — фирмы «Джонсон — Маттей») (из работы 'Буша и Моозера [7]). Пунктирное продолжение кривой 工 дает (экстраполированное значение % (0), которое приближенно приравнивается вкладу %а магнитной восприимчивости полупроводника.刀力刀力Рис. 12.5. Температурная зависимость магнитной восприимчивости %ь (Т) для a-Sn. Отложенная по оси ординат величина равна разности % (Т) — %厶 [здерв %А 七 У(°)= —2,65・1O-'L светлые кружки и крестики — экспериментальные точки. Теоретическая (пунктирная) кривая рассчитана по формуле (12.35) (Д^^0,08 эв, 7П/тП* = 1,5, тп/тп* —0,33, р2 —41( р2 —-23).Рис. 12.5. Температурная зависимость магнитной восприимчивости %ь (Т) для a-Sn. Отложенная по оси ординат величина равна разности % (Т) — %厶 [здерв %А 七 У(°)= —2,65・1O-'L светлые кружки и крестики — экспериментальные точки. Теоретическая (пунктирная) кривая рассчитана по формуле (12.35) (Д^^0,08 эв, 7П/тП* = 1,5, тп/тп* —0,33, р2 —41( р2 —-23).
Рис. 12.4. температурная зависимость магнитной восприимчивости чистого a-Sn (J — олово фирмы «Чемпер», II — фирмы «Джонсон — Маттей») (из работы 'Буша и Моозера [7]). Пунктирное продолжение кривой 工 дает (экстраполированное значение % (0), которое приближенно приравнивается вкладу %а магнитной восприимчивости полупроводника.
Рис. 12.4. температурная зависимость магнитной восприимчивости чистого a-Sn (J — олово фирмы «Чемпер», II — фирмы «Джонсон — Маттей») (из работы 'Буша и Моозера [7]). Пунктирное продолжение кривой 工 дает (экстраполированное значение % (0), которое приближенно приравнивается вкладу %а магнитной восприимчивости полупроводника.
刀力
刀力
Рис. 12.5. Температурная зависимость магнитной восприимчивости %ь (Т) для a-Sn. Отложенная по оси ординат величина равна разности % (Т) — %厶 [здерв %А 七 У(°)= —2,65・1O-'L светлые кружки и крестики — экспериментальные точки. Теоретическая (пунктирная) кривая рассчитана по формуле (12.35) (Д^^0,08 эв, 7П/тП* = 1,5, тп/тп* —0,33, р2 —41( р2 —-23).
Рис. 12.5. Температурная зависимость магнитной восприимчивости %ь (Т) для a-Sn. Отложенная по оси ординат величина равна разности % (Т) — %厶 [здерв %А 七 У(°)= —2,65・1O-'L светлые кружки и крестики — экспериментальные точки. Теоретическая (пунктирная) кривая рассчитана по формуле (12.35) (Д^^0,08 эв, 7П/тП* = 1,5, тп/тп* —0,33, р2 —41( р2 —-23).
если опыты проводятся в области низких и средних температур, т. е. в той области, где практически отсутствует собственная проводимость, а именно при Т W А窃儿 = Tm (А宮 —ширина запрещенной полосы энергии). Поэтому на первый взгляд представляется следующая реальная возможность для экспериментального определения Ха: измерить магнитную восприимчивость максимально чистых образцов полупроводников (чтобы исключить влияние составляющих %$ и %『)при температурах ниже Тт и затем экстраполировать ее на 0° К. Это экстраполированное значение % и следует отождествить с %А (при этом исключается и %丄,поскольку концентрация носителей тока при Г -> 0° К стремится к нулю). Именно такой путь и был принят в первоначальной работе Буша и Моозера [7], которые измеряли % в a-Sn. На рис. 12.4 приведены данные для % (Г) этих измерений. Пунктирное продолжение кривой I дает экстраполированное значение
%(0)^%а=—2,65/0-7.
Если теперь из наблюдаемых значений % (Т) вычесть эту экстраполированную величину % (0) = %а, то полученную разность можно
отождествить приближенно с магнитной восприимчивостью носителей тока Хъ(Т)=必7) — %а.
На рис. 12.5 показана температурная зависимость разности %(Т)—— —Ха ^ Хь(^), там же для сравнения нанесена теоретическая кривая, рассчитанная по формуле (12.35). Если в (12.35) принять А宮=0,08 з% 疗/嗚=1,5, mlm^ — 0,33;尸^ = 41 л 理=23, то теория хорошо согласуется с опытом.
Более сложным оказался случай германия. Измерения наиболее чистых образцов Ge (где можно считать Xs = 0) показали странный результат. А именно при Т <Z Тт (Тт ^ 900° К, А宮 л； 0,75 зе), когда " ^ 0, наблюдаемые значения % существенно зависят от температуры. На рис. 12.6 и 12.7 приведены данные из работ [29, 32, 33] (аналогичные результаты
汇十汇十Рис. 12.6. Температурная зависимость диамагнитной восприимчивости германия; разные точки (белые и черные) соответствуют двум различным по форме образцам (Буш и Хелфер [291).Рис. 12.6. Температурная зависимость диамагнитной восприимчивости германия; разные точки (белые и черные) соответствуют двум различным по форме образцам (Буш и Хелфер [291).%•勿7%•勿7W200/3007力W200/3007力Рис. 12.7. Температурная зависимость диамагнитной восприимчивости для n-Ge (Стивенс и др. 1зз]). 1 и ^—экспериментальные точки для п==1018; з — то же для п=1014.Рис. 12.7. Температурная зависимость диамагнитной восприимчивости для n-Ge (Стивенс и др. 1зз]). 1 и ^—экспериментальные точки для п==1018; з — то же для п=1014.
汇十
汇十
Рис. 12.6. Температурная зависимость диамагнитной восприимчивости германия; разные точки (белые и черные) соответствуют двум различным по форме образцам (Буш и Хелфер [291).
Рис. 12.6. Температурная зависимость диамагнитной восприимчивости германия; разные точки (белые и черные) соответствуют двум различным по форме образцам (Буш и Хелфер [291).
%•勿7
%•勿7
W200/300
7力
W200/300
7力
Рис. 12.7. Температурная зависимость диамагнитной восприимчивости для n-Ge (Стивенс и др. 1зз]). 1 и ^—экспериментальные точки для п==1018; з — то же для п=1014.
Рис. 12.7. Температурная зависимость диамагнитной восприимчивости для n-Ge (Стивенс и др. 1зз]). 1 и ^—экспериментальные точки для п==1018; з — то же для п=1014.
были получены в работах [30, 34]). На основании этих результатов Стивенс и др. [33] приняли как факт (хотя и непонятный) зависимость Ха от температуры в чистом образце Ge, а затем при измерениях восприимчивости Ge с примесями при различных температурах они из суммарной наблюдаемой восприимчивости для каждой температуры вычитали соответствующие %а(Т). Получаемую разность %(Т)——％厶(7) они более или менее произвольно разделяли на сумму %s(T) + %l(T)・ Тем самым эти авторы предполагали, что наличие примесей не влияет на вид зависимости Ха(Г).
Зависимость %厶(7) от температуры наблюдается и для других полупроводников: Si [33] и соединений типа AniBv (GaP, GaAs, GaSb и др.), как это можно видеть из данных, например, работ Буша и Керна [35, 36]. Указанная непонятная зависимость %厶 от температуры дала основание Дорфману [37] подвергнуть сомнению используемые методы выделения отдельных составляющих магнитной восприимчивости полупроводника. В связи с этим Дорфман [37] предложил резонансные методы непосредственного определения магнитной восприимчивости носителей тока в полупроводнике (см. ниже гл. 14).
Критический обзор теории магнитной в осприимчивости полупроводников дан в работах Крумансля [38] и Хеджкока [39]. Основные замечания по отношению к теории Буша —— Моозера [7] по расчету %厶 сводились к тому, что магнитную восприимчивость в кристалле нельзя считать аддитивной суммой восприимчивостей отдельных ионов. Кроме того, указывалось на необходимость учета ванфлековского поляризационного парамагнетизма [40]. Ясно, что эта составляющая магнетизма, возникаю-
TJKTJKРис. 12-8. Температурная зависимость удельной диамагнитной восприимчивости германия (Буш и Керн [зб]). Сплошная кривая — теоретическая, вычисленная по формуле (12.78), штрих-пунктирная —прямая %о + ВТ; экспериментальные точки 7, 2 и з относятся к разным образцам германия.Рис. 12-8. Температурная зависимость удельной диамагнитной восприимчивости германия (Буш и Керн [зб]). Сплошная кривая — теоретическая, вычисленная по формуле (12.78), штрих-пунктирная —прямая %о + ВТ; экспериментальные точки 7, 2 и з относятся к разным образцам германия.1 = ъ + ВТ-AT^^l-^1 = ъ + ВТ-AT^^l-^(12.78)(12.78)
TJK
TJK
Рис. 12-8. Температурная зависимость удельной диамагнитной восприимчивости германия (Буш и Керн [зб]). Сплошная кривая — теоретическая, вычисленная по формуле (12.78), штрих-пунктирная —прямая %о + ВТ; экспериментальные точки 7, 2 и з относятся к разным образцам германия.
Рис. 12-8. Температурная зависимость удельной диамагнитной восприимчивости германия (Буш и Керн [зб]). Сплошная кривая — теоретическая, вычисленная по формуле (12.78), штрих-пунктирная —прямая %о + ВТ; экспериментальные точки 7, 2 и з относятся к разным образцам германия.
1 = ъ + ВТ-AT^^l-^
1 = ъ + ВТ-AT^^l-^
(12.78)
(12.78)
щая во втором приближении теории возмущения (см. гл. 7), будучи обычно не очень существенной в свободном атоме или ионе, может быть важной в кристалле благодаря межзонным переходам, вызываемым магнитным полем. Однако здесь возникает много трудных вопросов, связанных с общими недостатками теории движения электронов в кристалле. Еще в работах Пайерлса [41] были указаны трудности, возникающие при расчете %厶,связанные с тем, что члены, содержащие магнитное поле в гамильтониане, нельзя считать малым возмущением. Для преодоления этих трудностей в теории наметилось два подхода: в одном из них исходят
из индивидуальных электронных энергетических уровней [42——45], а в другом — из квантовомеханической статистической суммы [46 —— 49]. Во всех расчетах в выражении для 威 появляются всегда три члена, которые при переходе к асимптотике (изолированные атомы или свободные электроны) приобретают простой физический смысл. Это, во-первых, обычный зеемановский член J *Н (первого порядка), дающий парамагнетизм. Во-вторых, ларморовско-ланжеве- новский член (второго порядка), пропорциональный (г2). Оба эти члена существенно «атомного» порядка. Кроме того, появляется член, аналогичный тому, который
для свободного электронного газа дает циклотронный диамагнетизм Ландау, и его вид близок к формуле (11.54) (если магнитное поле направлено вдоль оси z). Этот член приводит к диамагнитным составляющим
%, содержащим компоненты тензора эффективной массы [см. член с F2 в приводимых выше формулах (12.26), (12.28) и т. д.]. Но эти члены
не исчерпывают всего выражения %, и это понятно, поскольку реальный кристалл по своим свойствам находится где-то «посередине» между изолированными атомами и свободными электронами, и поэтому для него естественно ожидать появления специфических эффектов.
Буш и Керн [35, 36], анализируя трудности с теоретической интерпретацией %а, предложили для чистого Ge следующую эмпирическую формулу:
(12.79)(12.79)где параметр А宮° имеет смысл энергии активации (порядка ширины запрещенной полосы); авторы брали ее из измерений электропроводности. Параметры ^0, В и А определяются графически (рис. 12.8). В частности, для чистого Ge имеем А宮° = 0,75 эв, %0 = —1,11 «10~7, В = 2,4«10~11, Л = 2,7 «10~8. Член %0? конечно, не имеет никакого «самостоятельного» значения, поскольку при Г ->0° К «прямая» рис. 12.8, аппроксимируемая суммой у。-)-■■ 8Т, может «загибаться» и подходить к оси ординат так, что касательная к ней будет параллельна оси абсцисс. Таким образом, из (12.78) видно, что для %厶 имеем хорошую аппроксимацию (кроме области в непосредственном соседстве к 0 °К):
(12.79)
(12.79)
%а = %о + 8Т,
а третье слагаемое в (12.78) отождествляется с восприимчивостью свободных носителей %丄 для собственного полупроводника [см. (12.35)].
Используя более детальные современные представления об энергетическом спектре Ge, Энц [32] рассчитал %丄 для области собственной проводимости (Т > Т^), конкретизировав для этого случая общую формулу (12.35). Согласно теоретическому расчету Германа [50], подкрепленному измерениями циклотронного резонанса (см., например, Дрессельхауз и др. [51]), и измерению магнетосопротивления [52, 53], изоэнергетические поверхности в полосе проводимости (при слабом ее заполнении) имеют вид эллипсоидов вращения (число этих эллипсоидов равно 4 или 8) с главными осями, направленными вдоль [111] в пространстве квазиимпульсов, которым соответствуют эффективные массы 態=啮=m^_ и m* = znj. В валентной полосе мы имеем систему из двух изоэнергети- ческих поверхностей в виде гофрированных цилиндров. В этом случае после усреднения по углам можно ввести два типа дырок в валентной полосе ——тяжелые и легкие дырки со скалярными эффективными массами тп! и тп皐.Энц [32] получил следующее выражение для %丄 электронов и дырок:
在=警(警广恤"7产exp [-鶉｝(12.80)
где
mQ = [zzn丄叫％ (тп?2 +皿竽)柏з『2 %
Гр7П / 1 ! 2 \ТП2(4“2 + у1/2)
X L9叱L「\1 而丿3(771*2 + ^2'
Здесь z ——число эллипсоидов в зоне проводимости, равное 4 или 8, р' — плотность.
Если для Ge принять ш^ == 0,08тп, тпц = 1,3тп, тп_|_ — 0,04тп, т_ = 0,Зтп, А宮=(0,75十 3,5场Т) з% то для коэффициента А в (12.78) находим
4 =4 =2,44-IO'8, (z = 4),
4 =
4 =
3,45 ЛОЛ (z=8),
т. е. величины, близкие к экспериментальному значению А = 2,7 'IO-"8. , В работах Буша и Керна [35, 36] производится аналогичное сравнение эмпирической формулы с опытом для полупроводниковых соединений InSb, InAs, InP0,2As0(8, InP, GaSb, GaP и Si.
В связи с проблемой расчета %厶(7) следует упомянуть работу Энца [54], предложившего более строгую теорию магнитной восприимчивости кристаллов, близкую к теории Хебборна и Зондхеймера [48]. Позже появилась еще одна аналогичная теоретическая работа Морита и др. [56]. Однако этот расчет, по мнению Энца [54], не дает объяснения наблюдаемой температурной зависимости %厶.Эту зависимость он связывает с эффектом электрон-фононного взаимодействия, которым Фэн [1, 2] объяснял температурную зависимость энергии активации полупроводников А宮(Т). К сожалению, расчет Энца [54] столь громоздок и содержит такое большое число неопределенных констант, что количественное сравнение с опытом пока невозможно. Единственный качественный вывод сводится к тому, что учет электрон-фононного взаимодействия приводит к появлению добавочного члена в выражении магнитной проницаемости, в основном линейно изменяющегося с температурой, как этого требует опыт [см. (12.79)].
Что касается экспериментального изучения влияния примесей на магнитную восприимчивость примесных полупроводников, то в целом можно сказать, что первоначальные идеи Буша и Моозера [7] и Моозе- ра [20] и их развитие в работах Зонд^ра и Стивенса [18] и Зондера, Швейн- лера [23] в общем качественно подтверждаются опытными исследованиями Буша и др. [31]. Однако, как показывает работа Деймона и Герритсена [55], представление о донорных двухцентровых молекулах, введенное
в работах [18, 23], не может объяснить всех наблюдаемых закономерностей в поведении %$ в широком интервале концентраций примесей от 1016 до 2 -1017 см~3 в «-Ge.
Боуэрс и Яфет [57] измеряли магнитную восприимчивость n-InSb в широком интервале концентраций примесных носителей тока (от 1016 до 6 1018 сж~3) и температур (от 300 до 1,3° К). При этом была определена величина %丄.При теоретическом анализе учитывалась непараболическая форма закона дисперсии в полосе проводимости InSb (этот вопрос рассмотрен, например, в работе Коне [58]). Кроме того, учитывалось влияние на % гибридизации полос проводимости и валентной (см. гл. 20) в присутствии магнитного поля, что, по-видимому, и объясняет наблюдаемую специфическую зависимость % от концентрации примеси. Уровни электронов в магнитном поле для рассматриваемого случая InSb рассчитывал Яфет [59]. Гейст [60] специально исследовал магнитную восприимчивость Ge с примесями Fe и обнаружил уменьшение диамагнитной восприимчивости, которая вызвана ферромагнитными выделениями железа (когда в качестве примеси использовался Ni, ему не удалось наблюдать подобное явление). Кроме того, он исследовал Ge с примесью Zn, атомы которого являются акцепторами с двумя уровнями ионизации, что приводит к особой зависимости % от температуры (см. работу Гейста [19]).
Исследования магнитной восприимчивости теллурида свинца (РЬТе) провел Матиаш [61]. Им же была исследована восприимчивость ряда других теллуридов (Sb2Te3, Bi2Te3) и селенидов (PbSe, Sb2Se3, Bi2Se3) [62] *). Упомянем также исследования магнитных свойств полупроводниковых теллуридов в работах Товстюка и Гавалешко [64] (HgTe), Потикевича и др. [65-69] (CdTe, CdTe - HgTe и CdTe - In2Te3).
Связь магнитных свойств полупроводниковс природой химических связей в них
В последнее время появились работы, в которых устанавливается связь между решеточной магнитной восприимчивостью %厶 и природой межатомных связей в полупроводниковых соединениях различного химического состава (Матиаш [70]; Байли и Манка [71, 72]; Мик хайл, Агами [73]), а также работы по выделению парамагнитной составляющей в %厶 на основе опытного определения распределения электронной плотности в кристалле полупроводника (см. Сирота, Шелег [74]; Сирота, Олехнович [75]; Сирота [76]).
В частности, если с помощью метода, предложенного в работах [74——76] выделить из полной решеточной магнитной восприимчивости ванфлековский парамагнитный вклад (см. гл. 7), то последний может быть непосредственно коррелирован с ионноковалентной природой межатомных связей полупроводниковых соединений. Эта корреляция осуществляется через параметр ионности решетки (введеный полу эмпирически Сюше [77] и рассчитанный квантовомеханически Байли [78]), весьма чувствительный к структуре электронного облака ионов полупроводникового соединения. Байли и Манка [71, 72] нашли хорошее согласие теории с опытом на изрэлектронных и изокатионных рядах полупроводниковых соединений со структурой алмаза и цинковой обманки. Подробности читатель может найти в указанных работах, а также в [93].
Заключение
В заключение можно сказать, что изучение магнитной восприимчивости полупроводников представляет собой один из интересных разделов магнетизма, поскольку магнитные данные позволяют получить ценную информацию о многих основных параметрах полупроводников (А宮, эффективные массы носителей тока, состояния атомов примесей и т. п.) в самых разнообразных условиях. Очень интересным и многообещающим является дальнейшее развитие изложенной здесь теории путем ее распространения на различные возбужденные состояния в полупроводниках ——экситоны, поляроны. В связи с этим обращаем внимание на работу
по теории магнитных свойств медленных электронов (поляронов) в полярном кристалле Хелворта и Плацмана [79], а также [80—84]. В работе [85] развита теория диамагнетизма полупроводников в квантующемся магнитном поле. Обращаем внимание и на ряд других работ по магнитным свойствам полупроводников [86—92, 94—100, 102—105].
Ниже мы еще вернемся к вопросу о магнетизме полупроводников в связи с изучением циклотронного резонанса (гл. 13), гальваномагнитных явлений (гл. 14), а также ферро- и антиферромагнетизма соединений (гл. 22).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 12
Н. Y. F a n, Phys. Rev. 78, 808 (1950).
Н.Y. F а и, Phys. Rev. 82, 900 (1951).
К.Ш и ф р и н, J. Phys. USSR 8, 242 (1944);ЖТФ14,40, 43, 49 (1944).
J. В. Austin, D. R. M с С 1 у m о n t, Physica 20, 1077 (1954).
A. W. E w a 1 d, R. К о h n k e, Phys. Rev. 102,1481(1956).
E.Г. Ц и ц и ш в и л и, ФТТ 8, 1193 (1966).
G. A. Busch, Е. М о о s е г, Helv. Phys. Acta 26, 611 (1953).
W. Klemm, Zs. anorg. allg. Chem. 250, 223 (1942).
K. Lonsdale, Proc. Roy. Soc. A159, 149 (1937).
M.M a t у as, M. К 1 i g 1, Czech. J. Phys. B18, 376(1968).
И.M. Б о йк о, Э. И. P а ш б а, ФТТ 2, 1874 (I960).
I. M. Mackintosh, Proc. Phys. Soc. B69, 403 (1956).
J. A p p e 1,Zs. Naturforsch. Ila, 689 (1956).
Y.Y a f e t,R. W. Keyes, E. N. A d a m s, J. Phys. Chem. Solids 1, 137 (1956).
R. W. Keyes, R. J. Sladeck, J. Phys. Chem. Solids 1, 143 (1956).
P. T. Landsberg, Proc. Phys. Soc. 71, 69 (1958).
E. M о о s e r, Zs. angew. Math. u. Phys. 4, 433 (1953).
E. S о n d e r, D. K. Stevens, Phys. Rev. 110, 1027 (1958).
D. G e i s t, Zs. Naturforsch. 12a, 873 (1957).
E. M о о s e r, Phys. Rev. 100, 1589 (1955).
M. И. К л и н r e p, ЖЭТФ 33, 379 (1957).
F. T. H e d g с о c k, Canad. J. Phys. 37, 381(1959).
E. S о n d e r, H. C. Schweinler, Phys.Rev. 117,1216(I960).
H. M. J a m e s, A. S. G i n z b a r d, Phys. Rev. 77, 749 (1950).
H. M. J a m e s, A. S. Ginzbard, J. Phys. Chem.57,840(1953).
И. M. Л и ф ш и ц, УФН 83, 617 (1964).
М. Я. А з б е л ь, ЖЭТФ 39, 1276 (I960).
Г. Буш, У. Винклер, Определение характеристических параметров полупроводников (перев. с нем.) ИЛ, М., 1959.
G. A. Busch, N. Helfer, Helv. Phys. Acta 27, 201 (1954).
F. T. Hedgcock, Canad. J. Phys.34, 43 (1956).
G. A. Busch, N. Helfer, О. V оg t, Helv.Phys.Acta29,188(1956).
С. P. E n z, Helv. Phys. Acta 28, 158(1955).
D. K. S t e v e n s, T. W. С 1 e 1 a n d,J. H. C r aw fоrd,Jr.,H. C.Sch w e i n-
1 e r, Phys. Rev. 100, 1084 (1955).
V. van Itterbeck, W. Duchatean, Physica 22, 649 (1956).
G. A. Busch, R. Ker n, Helv. Phys. Acta 29, 189 (1956).
6. G. A. Busch, R. Kern, Helv. Phys. Acta 32, 24 (19 59).
Я. Г. Дорфман, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 796 (1957).
J. A. Krumhansl, J. Appl. Phys. 30, 1183 (1959).
F. T. Hedgcock, J. Electronics 2, 6 (1957).
J. A. Krumhansl, H. Brooks, Bull. Am. Phys. Soc. Ser. 11, 1, 117 (1956).
R. P e i e r 1 s, Zs. Phys. 80, 763; 87, 186 (1933).
L. О n s a g e r, Phil. Mag. 43, 1006 (1952).
J. M. Luttinger, W. Kohn, Phys. Rev. 97, 869 (1955) (см. перевод, в сб. «Проблемы физики полупроводников», ИЛ, М., 1957).
Т. Kjeldass, W. Kohn, Phys. Rev. 105, 806 (19 57).
P. J. H ar pe r, Proc. Phys. Soc. A68, 879 (1955); A70, 275 (1957).
E. N. A d a m s, Phys. Rev. 89, 633 (1953).
С. P. E n z, Nuovo cim. Suppl. 6, 1224 (1957).
J. E. H e b b о r n, E. H. Sondheimer, Phys. Rev. Lett. 2, 150, (1959); J. Phys. Chem. Solids 13, 105 (I960).
A. H. W i 1 s о n, Proc. Camb. Phil. Soc. 49, 292 (1953).
F. Herman, Phys. Rev. 95, 847 (1954); Physica 20, 801 (1954) (см. перевод в сб. «Электрофизические свойства германия и кремния», изд-во «Советское радио», М., 1956).
G. Dresselhaus, A. F. Kip, Ch. Kittel, Phys. Rev. 98, 368 (1955) (см. перевод, в сб. «Проблемы физики полупроводников», ИЛ, М., 1957).
S. М е с b о о т, В. Abeles, Phys. Rev. 95, 31 (1954).
М. Shibuya, Phys. Rev. 95, 1385 (1954).
С. P. E n z, Helv. Phys. Acta 33, 89, 115 (I9 60).
D. H. Damon, A. N. Gerritsen, Phys. Rev. 12 7, 405 (19 62).
A. M о r i t a, Y. A b e, H. Y a m a z a n i, J. Phys. Soc. Japan 18, 341 (1963).
R. Bowers, Y. Y a f e t, Phys. Rev. 115, 1165 (1959).
E. О. Kone, J. Phys. Chem. Solids 1, 249 (1957).
Y. Y af e t, Phys. Rev. 115, 1172 (1959).
D. Geist, Zs. Phys. 158, 123 (I960).
M. M a t у a s, Czech. J. Phys. 8, 301 (1958).
M.M a t у a s, Czech. J. Phys. 8, 309 (1958).
M.M a t у a s, Czech. J. Phys. 9, 257 (1959).
К.Д. T о в с т ю к, M. П. Г а в а л e ш к о,Укр.физ.журн. 7, 11 (1962).
И.В. П о т и к е в и ч, Укр. физ. журн. 8,7,793(1963).
И. В. Потикевич, Кандидатская диссертация, Черновцы, 1964.
И. В. Потикевич, И. Р. Гаврищак, И. М. Р а р е н к о, Укр. физ. журн. 8, 1274 (1963).
И.В. П о т ик е ви ч, О. М. Б е л я е в, Укр. физ. журн. 8,967(1963).
И.В. П о т ик е ви ч, С. В. Ч е п у р а, Укр. физ. журн. 8,889(1963).
М. М a t у a s, Czech. J. Phys. 12, 838 (1962); В17, 227 (1967).
F.Bailly,P. Ma n c a, Compt. rend. 262, B1075 (1966).
F.Bailly,P. Ma n c a, These of Symposium on the chemicalbond in semi
conductors, May 28 — June 3, Минск, 1967.
H. Mikhail, F. I. A g a m i, J. Phys. Chem. Solids 27, 909 (1966).
H.H.С иp о та, А. У. Ш e л e г, ДАН СССР 147, 1344 (1962).
H.H.С иp о та, Н. М. Олехнович, ДАН СССР 148, 71; 151,1079(1963).
Н.Н.С ир о та, ДАН СССР 150, 781 (19 63).
J.Р. S u cn е t,Chemical Physics of Semiconductors, Van Nostrand,London, 1964.
F. Bailly, J. phys. et radium, 27, 335 (1966).
R.W. H e 1 1 w a r t h, P. M. P 1 a z m a n, Phys.Rev.128,1599 (1962).
К.К. В a j a j, Phys. Rev. 170, 694 (19 68).
E.W. Fenton, Phys. Rev. 170, 816 (1968).
G.C. S m i t h, R. С. H u g h e s, Phys. Rev. Lett.20,1358(1968).
D.M. Larsen, Phys. Rev. 135, A419 (1964).
D. В. C h e s n u t, J. Chem. Phys. 40, 405 (19 64).
Д. Сирота, 3. Урицкий, Г. Шустер, Письма ЖЭТФ, 1, 1 (1965).
А.Г.А р о н о в, Г.Е. П ик у с, ФТТ 6, 506 (1964).
В.М.Г л а з о в, С.Н. Ч иж е в с к а я, ФТТ 6, 1684(1964).
Т. S h i и d о, J, Phys. Chem. Solids 2 6, 1431 (19 65).
L.К.К e у s, L. N.M u 1 aу, Appl. Phys. Lett. 9, 248(1966).
H.И.А к и Мсе н ко, П. А. Старик, К. Д. Товстюк Phys. stat. sol.
23, 93 (1967).
M.Suffczynski, Phys. Lett. 25A, 55 (1967); Acta Phys. Polon. 23, 625 (1968).
M. К a p 1 i t, J. N. Z e m e 1, Phys. Rev. Lett. 21, 212 (1968).
H. Б. Брандт, E. А. Евистова, P. Г. Валеев, Письма ЖЭТФ 6, 724 (19 67); ЖЭТФ 55, 469 (19 68).
Л. И. Т р у с о в, ФТТ 9, 1805 (1967).
А. Ю. К у д з а н, И. М. Черненко, ФТТ 9, 1822 (1967).
L. К. Keys, Phys. Lett. 24А, 628 (1967).
7.G.R 6 m e11, D. Geist, Zs. angew. Phys.17, 438(19 64).
D.Paul,Ind. J. Phys. 41, 943 (1967).
9.Л.П. С т pa x о в, M. П. Щ e т и н и н, Б. A.К a 3 eн о в, ФТТ10,2248(19 68).
И.Г. Керимов, T. А. Мамедов, H. Г. Алиев, Изв.АНАзерб.ССР,
№ 4, 3 (1968).
М. М a t у a s, Helv. phys. acta 41, 1032 (1968).
Т. R. S a n d i n, P. H. К e e s о m, Phys. Rev. 177, 1370 (19 69).
H. Hasegawa, M. N akamura, J. Phys. Soc. Japan 26, 1362 (1969).
Y. Y amaguchi, S. Ishiguro, Sol. State Commun. 8, 833 (19 70).
J. E. L e w i s, Phys. stat. sol. 38, 131 (1970).
Глава 13
МАГНИТНЫЙ (ЭЛЕКТРОННЫЙ) РЕЗОНАНС В ВЕЩЕСТВАХ,НЕ ОБЛАДАЮЩИХ АТОМНЫМ МАГНИТНЫМ ПОРЯДКОМ
В настоящей главе кратко описаны общие характеристики широкого круга явлений современной радиоспектроскопии, носящих название магнитных резонансов различного типа, обычно подразделяемые на пять отдельных групп: 1) циклотронный резонанс (ЦР), 2) электронный парамагнитный резонанс (ЭПР), 3) ядерный магнитный резонанс (ЯМР), 4) электронный ферромагнитный резонанс (ЭФР) и 5) электронный антиферромагнитный резонанс (ЭАФР). Под общим термином «магнитный резонанс» понимается избирательное (резонансное) поглощение энергии переменного электромагнитного поля электронной или ядерной подсистемой вещества, подверженного действию постоянного магнитного поля. Механизм поглощения связан с квантовыми переходами в этих подсистемах между дискретными уровнями энергии, возникающими в присутствии магнитного поля. Как указывалось выше, такие уровни могут быть двух типов. Один из них связан с квантованием в магнитном поле орбитального движения заряженных микрочастиц ) —— уровни Ландау, а другой ——с пространственным квантованием результирующих магнитных моментов (спиновых и орбитальных) в магнитном поле ——зеемановские уровни. Первый из перечисленных выше типов магнитных резонансов —— цр ——связан с квантовыми переходами между уровнями Ландау, а все остальные четыре типа — ЭПР, ЯМР, ЭФР и ЭАФР — с переходами между зеемановскими уровнями. В этой главе мы остановимся на рассмотрении первых двух типов магнитных резонансов ——ЦР и ЭПР. Остальные три типа будут рассмотрены позднее, в гл. 24 и 26.
Циклотронный резонанс
В ЦР имеют дело с избирательным поглощением энергии электромагнитного поля в электронных проводниках (полупроводниках и металлах), находящихся в постоянном магнитном поле, обусловленным квантовыми переходами заряженных микрочастиц между энергетическими уровнями Ландау (11.25а).
Явление ЦР для свободных частиц было понято еще в работах по классической электронной теории Друде ——Лорентца. Для таких частиц цр в наиболее простой форме наблюдается в ионизованных газах (плазме). Впервые он наблюдался для свободных электронов в магнитном поле Земли при распространении радиоволн в ионосфере [1—3]. Позже с этим эффектом встретились при изучении разрядов в газах, вызываемых высокочастотным электрическим полем в присутствии постоянного магнитного поля (см., например, [4, 5]) ). Наконец, в более позднее время ЦРтакже наблюдался и для ионов [7]. Более подробные сведения об этих типах ЦР можно найти в подробном обзоре Лакса и Мавродеса [8].
В случае твердых тел это явление было теоретически предсказано Дорфманом [9] и независимо Динглом [10], а впервые на опыте его обна-
ружили Дрессельхауз и др. [11], Лакс и др. [12], Декстер и др. [13]. В настоящее время этот эффект наблюдался и изучен в десятках полупроводников и металлов *).1. Классическое рассмотрение. Здесь главное внимание будет уделено описанию явления ЦР в твердых телах. Суть физического механизма ЦР можно понять и в рамках классической теории. Рассмотрим простейший случай свободного электрона, движущегося в постоянном однородном магнитном поле Н (направленном вдоль оси z) по спиральной траектории вокруг магнитных силовых линий с циклотронной частотой сон, для которой, согласно (11.25), имеем5中・(13.1)(Заметим, что величина сон не зависит от «шага винта».) Включим теперь радиочастотное электрическое поле с электрическим Е вектором, перпендикулярным к магнитному полю Н (например, вдоль оси %); тогда, если электрон имеет подходящую фазу своего движения по спирали, то, поскольку частота его вращения совпадает с частотой внешнего поля, он будет ускоряться и спираль будет расширяться. Действительно, радиочастотное электрическое поле ускоряет электрон на первом полуцикле движения (рис. 13.1). На втором полуцикле электрическое поле изменяет знак на обратный, но и электрон, двигаясь по спирали, изменяет соответственно направление своего движения и поэтому снова ускоряется. Это в общих чертах похоже на то, что происходит при ускорении заряженных частиц в циклотроне, откуда и происходит термин «циклотронный резонанс». Электроны с неподходящей фазой будут замедляться, и их спираль будет стягиваться к ее оси, а энергия этих электронов будет передаваться радиочастотному полю. Однако общий баланс передачи энергии будет в пользу передачи энергии от поля электронам,ружили Дрессельхауз и др. [11], Лакс и др. [12], Декстер и др. [13]. В настоящее время этот эффект наблюдался и изучен в десятках полупроводников и металлов *).1. Классическое рассмотрение. Здесь главное внимание будет уделено описанию явления ЦР в твердых телах. Суть физического механизма ЦР можно понять и в рамках классической теории. Рассмотрим простейший случай свободного электрона, движущегося в постоянном однородном магнитном поле Н (направленном вдоль оси z) по спиральной траектории вокруг магнитных силовых линий с циклотронной частотой сон, для которой, согласно (11.25), имеем5中・(13.1)(Заметим, что величина сон не зависит от «шага винта».) Включим теперь радиочастотное электрическое поле с электрическим Е вектором, перпендикулярным к магнитному полю Н (например, вдоль оси %); тогда, если электрон имеет подходящую фазу своего движения по спирали, то, поскольку частота его вращения совпадает с частотой внешнего поля, он будет ускоряться и спираль будет расширяться. Действительно, радиочастотное электрическое поле ускоряет электрон на первом полуцикле движения (рис. 13.1). На втором полуцикле электрическое поле изменяет знак на обратный, но и электрон, двигаясь по спирали, изменяет соответственно направление своего движения и поэтому снова ускоряется. Это в общих чертах похоже на то, что происходит при ускорении заряженных частиц в циклотроне, откуда и происходит термин «циклотронный резонанс». Электроны с неподходящей фазой будут замедляться, и их спираль будет стягиваться к ее оси, а энергия этих электронов будет передаваться радиочастотному полю. Однако общий баланс передачи энергии будет в пользу передачи энергии от поля электронам,б)б)Рис. 13.1. К объяснению циклотр онногор езонанса.а)^Ориентация1полеЙ5(-И 丄-Е) и вид траектории электрона; б) связь^проекции vn (О ско- рости|электрона & (t) с направлением поля -Е (t).Рис. 13.1. К объяснению циклотр онногор езонанса.а)^Ориентация1полеЙ5(-И 丄-Е) и вид траектории электрона; б) связь^проекции vn (О ско- рости|электрона & (t) с направлением поля -Е (t).
ружили Дрессельхауз и др. [11], Лакс и др. [12], Декстер и др. [13]. В настоящее время этот эффект наблюдался и изучен в десятках полупроводников и металлов *).
1. Классическое рассмотрение. Здесь главное внимание будет уделено описанию явления ЦР в твердых телах. Суть физического механизма ЦР можно понять и в рамках классической теории. Рассмотрим простейший случай свободного электрона, движущегося в постоянном однородном магнитном поле Н (направленном вдоль оси z) по спиральной траектории вокруг магнитных силовых линий с циклотронной частотой сон, для которой, согласно (11.25), имеем
5中・(13.1)
(Заметим, что величина сон не зависит от «шага винта».) Включим теперь радиочастотное электрическое поле с электрическим Е вектором, перпендикулярным к магнитному полю Н (например, вдоль оси %); тогда, если электрон имеет подходящую фазу своего движения по спирали, то, поскольку частота его вращения совпадает с частотой внешнего поля, он будет ускоряться и спираль будет расширяться. Действительно, радиочастотное электрическое поле ускоряет электрон на первом полуцикле движения (рис. 13.1). На втором полуцикле электрическое поле изменяет знак на обратный, но и электрон, двигаясь по спирали, изменяет соответственно направление своего движения и поэтому снова ускоряется. Это в общих чертах похоже на то, что происходит при ускорении заряженных частиц в циклотроне, откуда и происходит термин «циклотронный резонанс». Электроны с неподходящей фазой будут замедляться, и их спираль будет стягиваться к ее оси, а энергия этих электронов будет передаваться радиочастотному полю. Однако общий баланс передачи энергии будет в пользу передачи энергии от поля электронам,
ружили Дрессельхауз и др. [11], Лакс и др. [12], Декстер и др. [13]. В настоящее время этот эффект наблюдался и изучен в десятках полупроводников и металлов *).
1. Классическое рассмотрение. Здесь главное внимание будет уделено описанию явления ЦР в твердых телах. Суть физического механизма ЦР можно понять и в рамках классической теории. Рассмотрим простейший случай свободного электрона, движущегося в постоянном однородном магнитном поле Н (направленном вдоль оси z) по спиральной траектории вокруг магнитных силовых линий с циклотронной частотой сон, для которой, согласно (11.25), имеем
5中・(13.1)
(Заметим, что величина сон не зависит от «шага винта».) Включим теперь радиочастотное электрическое поле с электрическим Е вектором, перпендикулярным к магнитному полю Н (например, вдоль оси %); тогда, если электрон имеет подходящую фазу своего движения по спирали, то, поскольку частота его вращения совпадает с частотой внешнего поля, он будет ускоряться и спираль будет расширяться. Действительно, радиочастотное электрическое поле ускоряет электрон на первом полуцикле движения (рис. 13.1). На втором полуцикле электрическое поле изменяет знак на обратный, но и электрон, двигаясь по спирали, изменяет соответственно направление своего движения и поэтому снова ускоряется. Это в общих чертах похоже на то, что происходит при ускорении заряженных частиц в циклотроне, откуда и происходит термин «циклотронный резонанс». Электроны с неподходящей фазой будут замедляться, и их спираль будет стягиваться к ее оси, а энергия этих электронов будет передаваться радиочастотному полю. Однако общий баланс передачи энергии будет в пользу передачи энергии от поля электронам,
б)
б)
Рис. 13.1. К объяснению циклотр онногор езонанса.
а)^Ориентация1полеЙ5(-И 丄-Е) и вид траектории электрона; б) связь^проекции vn (О ско- рости|электрона & (t) с направлением поля -Е (t).
Рис. 13.1. К объяснению циклотр онногор езонанса.
а)^Ориентация1полеЙ5(-И 丄-Е) и вид траектории электрона; б) связь^проекции vn (О ско- рости|электрона & (t) с направлением поля -Е (t).
т. е. будет иметь место резонансное поглощение ). Это можно легко понять из несколько упрощенного рассмотрения задачи, если принять, что все электроны делятся на две одинаковые группы: одну, находящуюся точно в фазе с электрическим полем _Е7 (^), а другую — точно в противоположной фазе. Тогда, обозначая через 士 Аи изменение величины скорости электронов за период 2л/й)н? получим для изменения кинетической энергии электрона тп/2 [(& '+ А&)2 —(0 — Az，)?] = 2mv А&. Это и показывает, что энергия системы электронов растет за счет поглощения энергии от источника радиочастотного поля. Из этого элементарного классического рассмотрения можно уже сделать вывод относительно общих необходимых условий для осуществления ЦР, а именно:
Частота со внешнего переменного электромагнитного поля, энергия которого поглощается, должна совпадать с циклотронной частотой частиц (13.1), т. е.
①= 3н・(13.2)
Вектор напряженности электрического поля Е электромагнитной волны должен иметь компоненту, нормальную к направлению постоянного магнитного поля И.
Среднее время свободного пробега электрона в кристалле т должно превышать период колебаний переменного поля при резонансе (13.2), равный 2л/о)н» т. е.
(13.3)(13.3)о)нТ > 2л.
(13.3)
(13.3)
Первые два условия необходимы для случая совершенно свободного электрона, а третье добавляется в том случае, когда движение электронов время от времени возмущается какими-либо столкновениями. При этом для наблюдения резонанса необходимо, чтобы время т для электрона равнялось по крайней мере сумме нескольких циклотронных периодов, что и выражено условием (13.3). Если это условие не выполняется, то
траектории электрона от соотношений времени релаксации т и циклотронного периода 2兀/(0^. а) T》2h/(0Н； б) т 2л/(0Н .траектории электрона от соотношений времени релаксации т и циклотронного периода 2兀/(0^. а) T》2h/(0Н； б) т 2л/(0Н .траектория электрона в плоскости, перпендикулярной к Н, уже не имеет вида раскручивающейся (или закручивающейся) спирали, а представляет собой траекторию, подобную траектории «броуновской частицы» (рис. 13.2).
траектории электрона от соотношений времени релаксации т и циклотронного периода 2兀/(0^. а) T》2h/(0Н； б) т 2л/(0Н .
траектории электрона от соотношений времени релаксации т и циклотронного периода 2兀/(0^. а) T》2h/(0Н； б) т 2л/(0Н .
Выполнение условий 1) — 3) достигается соответствующим выбором частоты переменного поля з, величины внешнего магнитного поля Н, температуры, химической однородности и совершенства кристаллической структуры образца, ибо последние два фактора определяют величину т. Обычно в реальных опы
Sh ^ 1,5-Ю11 сек-1. Согласно 2・1()з з. Следовательно, из (13.3) при комнатной температуре в по- порядка 10'13—10~15 сек. ПоэтомуSh ^ 1,5-Ю11 сек-1. Согласно 2・1()з з. Следовательно, из (13.3) при комнатной температуре в по- порядка 10'13—10~15 сек. Поэтомутах по ЦР имеют дело с частотами (13.1) это соответствует полям Я ^ имеем т》4 ЛО^11 сек, в то время как лупроводниках и металлах обычно т
Sh ^ 1,5-Ю11 сек-1. Согласно 2・1()з з. Следовательно, из (13.3) при комнатной температуре в по- порядка 10'13—10~15 сек. Поэтому
Sh ^ 1,5-Ю11 сек-1. Согласно 2・1()з з. Следовательно, из (13.3) при комнатной температуре в по- порядка 10'13—10~15 сек. Поэтому
опыты по изучению ЦР должны проводиться с химически очень чистыми
образцами с совершенной кристаллической решеткой и при очень низких температурах (порядка 4° К), когда ничтожно мало влияние теплового
движения кристалла.
Как мы видели в гл. 11 и 12, движение электрона в твердом теле благодаря влиянию поля кристаллической решетки и межэлектронному взаимодействию имеет весьма сложный характер. В общем случае система электронов проводимости в металле и полупроводнике представляет собой газ или, скорее, жидкость фермиевских квазичастиц с произвольным законом дисперсии s (历).Тем не менее, как было показано в гл. 11, в постоянном однородном магнитном поле Н движение электрона остается периодическим (хотя и не обязательно по окружности) и циклотронная частота дается формулой (11.82) или (11.83):
(^н =(^н =\е\Нт*с\е\Нт*с(13.4)(13.4)
(^н =
(^н =
\е\Нт*с
\е\Нт*с
(13.4)
(13.4)
где т* — эффективная масса, определяемая формулой (11.84) через dS/de — производную сечения S поверхности Ферми по энергии е. Там же упоминалось, что изучение ЦР дает возможность прямого определения эффективной массы т* носителей тока в металлах и полупроводниках. В настоящее время этот метод определения тп* является основным.
Экспериментальное наблюдение ЦР гораздо легче осуществить в полупроводниках, нежели в металлах. В последних дело осложняется тем, как это впервые указал Шокли [16], что толщина скин-слоя 6, на которую проникает радиочастотное поле в металл, оказывается значительно меньше, чем «радиус» циклотронных орбит rH = v/a)H электронов в магнитном поле Н. Поэтому характер рассматриваемого явления в полупроводниках и металлах оказывается совершенно различным. Имеет смысл проанализировать оба эти случая по отдельности.
Циклотронный резонанс в полупроводниках, а. Квазиклассическая теория. Расчет эффекта в полупроводниках сильно облегчается из-за
того, что их высокое электросопротивление увеличивает глубину проникновения 6 электромагнитного поля в толщу образца (она значительно превышает циклотронный радиус и длину свободного пробега 6》rH, Z), и поэтому можно не учитывать неоднородность поля в образце. Ограничимся сначала рассмотрением простейшего случая закона дисперсии в виде е = р2/2тп для фермиевской квазичастицы со скалярной эффективной массой т* [17]. На эту частицу с зарядом е действует постоянное магнитное поле Н и радиочастотное электрическое поле Е = Eq exp (ts%) (радиочастотной составляющей магнитного поля можно пренебречь). Кроме того, действует эффективная сила трения Fr, обусловленная взаимодействием электрона проводимости с фононами решетки или ее статическими искажениями (атомы примеси, вакансии, дислокации), что приводит к появлению конечного времени свободного пробега т. Если это время можно отождествить с временем релаксации скорости электрона и под влиянием силы Fr, т. е. принять, что при выключении внешних воздействий скорость спадает по закону и = и。ехр (—^/т), то *)
招—-•仕3・5)
В итоге уравнение движения электрона примет вид
(13.6)(13.6)
(13.6)
(13.6)
Направим постоянное поле Н вдоль оси z, а плоскополяризованное электрическое поле Е — вдоль оси / и предположим, что скорость & пропорциональна ехр (而力)；тогда (13.6) примет вид
(13.7)(13.7)
(13.7)
(13.7)
Решая эту систему относительно vx, находим комплексную удельную электропроводность
1 +心т1下(①方一①2) ^斗 2HDT1 +心т1下(①方一①2) ^斗 2HDTгде n — концентрация носителей тока, агде n — концентрация носителей тока, а% =% =пе2ттп*пе2ттп*(13.8)(13.9)(13.8)(13.9)
1 +心т
1下(①方一①2) ^斗 2HDT
1 +心т
1下(①方一①2) ^斗 2HDT
где n — концентрация носителей тока, а
где n — концентрация носителей тока, а
% =
% =
пе2ттп*
пе2ттп*
(13.8)
(13.9)
(13.8)
(13.9)
—статическая удельная электропроводность. Поглощение радиочастотного электромагнитного поля в образце пропорционально вещественной части электропроводности (13.8) (если размеры образца достаточно малы по сравнению с глубиной проникновения 6 и длиной волны поля). Вводя безразмерные величины
V = (ОТ, vH = о)н-т, (13.10) находим для вещественной части Rea электропроводности (13.8):
17 С. В. Вонсовский17 С. В. Вонсовский- 257 一- 257 一Re о 1 十 ”2+吟
17 С. В. Вонсовский
17 С. В. Вонсовский
- 257 一
- 257 一
Графики зависимости функции ) Re <у/<у0 от vh/v =①狂/①，т. е. от магнит
ного поля при различных фиксированных значениях v = от, приведены на рис. 13.3. Из этих графиков видно, что «уже при st> 2, когда условие (13.3) начинает выполняться, кривые имеют отчетливый резонансный
вид. Полезно рассмотреть некоторые асимптотические случаи:
*н》州瓜 ”н》1- Это случай низкочастотных переменных электрических полей и сильных стационарных магнитных полей. При этом
Рис. 13.3. Зависимость поглощаемой энергии электромагнитного поля P[001j/Po ^ Re °/°о от величины постоянного внешнего магнитного поля Я((о^/(о) при различных значениях * (Лакс и др. [121) [см. формулу (13.11)1 Р[оо1] — поглощаемая энергия при поле н, параллельном〔001] в кристалле, о。一 статическая электропроводность, Ро — поглощаемая энергия при Я = 0 и (о=0, Re о — вещественная часть комплексной удельной электропроводности, о)н—циклотронная частота, т — время релаксации, ш — частота внешнего переменного поля.Рис. 13.3. Зависимость поглощаемой энергии электромагнитного поля P[001j/Po ^ Re °/°о от величины постоянного внешнего магнитного поля Я((о^/(о) при различных значениях * (Лакс и др. [121) [см. формулу (13.11)1 Р[оо1] — поглощаемая энергия при поле н, параллельном〔001] в кристалле, о。一 статическая электропроводность, Ро — поглощаемая энергия при Я = 0 и (о=0, Re о — вещественная часть комплексной удельной электропроводности, о)н—циклотронная частота, т — время релаксации, ш — частота внешнего переменного поля.из (13.11) находим
Рис. 13.3. Зависимость поглощаемой энергии электромагнитного поля P[001j/Po ^ Re °/°о от величины постоянного внешнего магнитного поля Я((о^/(о) при различных значениях * (Лакс и др. [121) [см. формулу (13.11)1 Р[оо1] — поглощаемая энергия при поле н, параллельном〔001] в кристалле, о。一 статическая электропроводность, Ро — поглощаемая энергия при Я = 0 и (о=0, Re о — вещественная часть комплексной удельной электропроводности, о)н—циклотронная частота, т — время релаксации, ш — частота внешнего переменного поля.
Рис. 13.3. Зависимость поглощаемой энергии электромагнитного поля P[001j/Po ^ Re °/°о от величины постоянного внешнего магнитного поля Я((о^/(о) при различных значениях * (Лакс и др. [121) [см. формулу (13.11)1 Р[оо1] — поглощаемая энергия при поле н, параллельном〔001] в кристалле, о。一 статическая электропроводность, Ро — поглощаемая энергия при Я = 0 и (о=0, Re о — вещественная часть комплексной удельной электропроводности, о)н—циклотронная частота, т — время релаксации, ш — частота внешнего переменного поля.
Re и 11
干^彥^灰.(13.12>
Следовательно, поглощение в области значительно выше резонансной убывает обратно пропорционально Я2. «Орбиты» носителей тока имеют малый радиус, и возможен очень малый дрейф вдоль электрического поля.
1V《屮衣《1. Это случай: низкочастотного переменного поля и слабого статического магнитного поля [температура может
Ар ного изменения сопротивления -—- РоАр ного изменения сопротивления -—- Ро(13.13) получаем(13.13) получаембыть низкая (т. е. т не мало) и высокая (комнатная, т мало)].
Ар ного изменения сопротивления -—- Ро
Ар ного изменения сопротивления -—- Ро
(13.13) получаем
(13.13) получаем
Опять из (13.11) находим
時 ^1一吟.(13.13>
Если вместо электропроводности ввести удельное электросопротивление р = 1/и, то для относите л ь- 〜А。\ 〜Reo —。。
二— I 1 I из 00\00 /00
/、?/ wH \ 2
(13.14).(13.14).=(®HT)2= ^―),
(13.14).
(13.14).
где w ——подвижность носителей тока:
(13.15>
Таким образом, в этом предельном случае мы имеем обычный поперечный эффект изменения электросопротивления в магнитном поле (эффект магнетосопротивления) в отсутствие электрического поля Холла (см. гл. 14)«
t》1, 1VH = 0. Это случай облучения высокочастотным полем (например, инфракрасным светом) в отсутствие магнитного поля. И$ (13.11) находим
Не о 1
(13.16)(13.16)”，=*н》1・ Это условие циклотронного резонанса. Из (13.11) имеем-
(13.16)
(13.16)
Re о1
(13.17)(13.17)002
(13.17)
(13.17)
Из (13.17) видно, что при резонансе высокочастотная проводимость в два раза меньше, чем в статическом режиме. Это связано с тем, что мы рассматривали в (13.7) линейно поляризованное излучение, поглощение же испытывает только одна из двух поляризованных по кругу компонент, а именно та из них, которая при резонансе находится в фазе с дрейфовой скоростью в процессе движения, как и в обычном статическом случае. Другая компонента в рассматриваемом случае проходит свободно, без поглощения. Поэтому, если бы высокочастотное электрическое поле было поляризовано по кругу, а не линейно, то в (13.17) мы получили бы Re акруг/(Уо ^ 1. Из сравнения (13.17) и (13.16) можно найти отношение радиочастотных проводимостей при резонансе и в отсутствие магнитного поля (при частоте 》1), а именно:
Веорез Ун
Rcoe=o — 2
Таким образом, при ①衣工 ^ 10 это отношение равно примерно 50.
Полуширина Л(о кривой Re о (з) при половинном значении Re G определяется из условия
「Аз = 1. (13.19)
При не очень низких концентрациях носителей тока необходимо учитывать эффекты электростатической поляризациии токов смещения [см. (17.8)]. Здесь могут возникнуть различные вторичные явления типа магнитного резонанса плазмы, эффектов деполяризации, диэлектрические аномалии, которые затрудняют наблюдение истинного ЦР.
Опыты Дрессельхауза и др. [17—19] с соединением InSb показали, что когда число носителей тока возрастает так, что плазменная частота о)плзм (см. гл. 11, § 5, п. 1) становится сравнимой с циклотронной часто той о)н, то сильная связь плазменных колебаний с индивидуальным движением частиц приводит к расширению пиков ЦР. Это и позволило выска* зать предположение (Киттель [20]), что эффекты экранирования не позволяют наблюдать в металлах резонансные эффекты (см. ниже п. 3).
Здесь мы не имеем возможности останавливаться на этих вопросах и отсылаем читателя к цитированным выше работам. Можно лишь заметить, что для чистых Ge и Si при достаточно низких температурах концентрация носителей тока мала. Однако с ростом концентрации (при более высоких температурах) появляются эффекты пространственного заряда или плазменные эффекты, которые могут быть учтены введением деполя* ризующего члена в уравнение типа (13.5). Эти эффекты приводят к умень* шению резонансных частот, а поэтому при достаточно высоких концентра* циях электронов резонанс уже не зависит от эффективной массы. Таким образом, плазменные эффекты накладывают верхний предел на величину концентраций носителей тока, при которых возможно наблюдать ЦР.
Учет анизотропности закона дисперсии в полосе проводимости. Проведенный выше классический расчет для простейшего изотропного случая относится скорее к ионизованному газу, чем к реальному кристаллу полупроводника, в котором закон дисперсии для носителей тока (электроны или дырки) имеет существенно анизотропный характер. Так, например, в случае Ge и Si область вблизи дна полосы проводимости (т. е. вблизи минимумов энергии) описывается изоэнергетическими поверхностями в виде эллипсоидов *)
е(斤(13.20)
занимающих эквивалентные положения в fc-пространстве в соответствии с симметрией кристалла. Волновой вектор к в (13.20) отсчитывается от своего значения 儿о, соответствующего минимуму энергии, а индексы 1,2,3 относятся к осям прямоугольной декартовой системы координат (в fc-пространстве), совпадающим с главными осями
изоэнергетическпх эллипсоидов. Задачу о ЦР букем решать квазиклассически в приближении «эффективной массы». Обоснование законности такого приближения для полупроводников было дано в работе Латинджера н Кона [26]. Решение же задачи о ЦР для общего случая анизотропного квадратичного закона дисперсии было дано Шокли [16]. Уравнение движения по аналогии с (13.6) можно записать в виде
&х / 〃 ”・闺 \ m*v&х / 〃 ”・闺 \ m*v(13.21)(13.21)
&х / 〃 ”・闺 \ m*v
&х / 〃 ”・闺 \ m*v
(13.21)
(13.21)
где тп* — тензор эффективных масс. Поскольку Е (t) = JE ехр (力①力)，то скорость 0 = =% + & ехр (Zcoi)- Таким образом, уравнение (13.21) для компоненты скорости, зависящей от времени, будет иметь вид
(心 + 甘е I+ [0了).(13.22)
Из уравнения (13.22) находим скорость v через ее слагающие или в векторной форме (см. [27]), откуда сразу же получаем выражение для плотности тока J п тензора
электропроводности о：
/= nev = GE =
="加丄—土工昌叼(中3；二——(13.23)
где |^|= znjznfznf. Мощность электромагнитного поля, поглощаемая электронами дается выраженпем Р = х/2 Re^^*. В работах Лакса и др. [12] получены явные
Рис. 13.4. Зависимость мощности P[W] поглощаемой энергии электромагнитного поля в n-Ge от величины постоянного магнитного поля Я (①出①),выраженного через циклотронную частоту, для различных направлений Я ([001], С110] и [111]) в плоскости (110) монокристалла. Р35。— поглощение для поля, ориентированного под углом 35° к оси【001]; (по данным работы [14]).Рис. 13.4. Зависимость мощности P[W] поглощаемой энергии электромагнитного поля в n-Ge от величины постоянного магнитного поля Я (①出①),выраженного через циклотронную частоту, для различных направлений Я ([001], С110] и [111]) в плоскости (110) монокристалла. Р35。— поглощение для поля, ориентированного под углом 35° к оси【001]; (по данным работы [14]).
Рис. 13.4. Зависимость мощности P[W] поглощаемой энергии электромагнитного поля в n-Ge от величины постоянного магнитного поля Я (①出①),выраженного через циклотронную частоту, для различных направлений Я ([001], С110] и [111]) в плоскости (110) монокристалла. Р35。— поглощение для поля, ориентированного под углом 35° к оси【001]; (по данным работы [14]).
Рис. 13.4. Зависимость мощности P[W] поглощаемой энергии электромагнитного поля в n-Ge от величины постоянного магнитного поля Я (①出①),выраженного через циклотронную частоту, для различных направлений Я ([001], С110] и [111]) в плоскости (110) монокристалла. Р35。— поглощение для поля, ориентированного под углом 35° к оси【001]; (по данным работы [14]).
выражения для Р прп различных ориентациях магнитного поля в кристалле. При выполнении условия сот》1 из выражения для знаменателя в (13.23) легко найти резонансную частоту:.
①Н ="①Н ="(13.24)(13.24)/ Н• т*Н \ 1/2 — еН / тп*а2-|-^*Р2 + пг|у2 \ 1/2
①Н ="
①Н ="
(13.24)
(13.24)
\ znfzn责тп扌 / 一 с \ m*mfml /
где а, Р，Y — направляющие косинусы магнитного поля относительно главных осей эллипсоида. На рпс. 13.4 приведено сравнение теоретических кривых Р (сон/со) с опыт-
ными (при соответствующем подборе значений znf, т^ и тп|). Согласие получается достаточно хорошим. Определяя циклотронную частоту (по максимумам на кривых, подобных изображенным на рис. 13.4) при различных ориентациях магнитного поля в кристалле (т. е. при различных а, §, у), можно определить компоненты тензора эффективной массы тп^, тп责 и тп晋.В случае Ge и Si энергетические поверхности — эллипсоиды вращения ) (рис. 13.5) с поперечной т* = т^ = mf и продольной тп『=т, эффективными массами. Если угол между полем Н и осью 3 (т. е. осью z) равен 仆，то Y2 = cos2d и а3 + Р2 = 1 — y2 = sin2 仆 и из (13.24) следует：
嶋=(子n甯+需]=(等)2，限25)
где 疗匕斉——циклотронная эффективная масса, определяемая соотношением cos2 仆 sin2 仆 階 2 ' mfmf
которая зависит не только от закона дисперсии (т. е. тп* и тп*), но и от направления постоянного магнитного поля в кристалле. Поскольку Ge и Si имеют кубическую симметрию, то расположение семейства эллипсоидов (13.20) должно иметь ту же симметрию.
Поэтому, если ось вращения эллипсоида расположена вдоль осей типа [100], то их должно быть 3 или 6 в зависимости от того, локализованы ли минимумы энергетических поверхностей у краев пли внутри первой зоны Бриллюэна. Точно так же, если эллипсоиды ориентированы вдоль диагоналей куба, то их должно быть 4 или 8. Из рис. 13.4 видно, что когда поле Н направлено вдоль оси [001], то наблюдается всего лишь один максимум на кривой Р (Я). Следовательно, это направление наибольшей симметрии, и поэтому эллипсоиды должны ориентироваться вдоль осей [111]. Поэтому при 今=0 мы имеем (m*)[m]= 足扌 н при 仆—90° (m*)[iio] = (т弋・т：)屮.Зная из опыта тп芸，можно найти по этим соотношениям т^ и 呜.Для случая полосы Проводимости Ge по данным работы Дрессельхауза и др. [17] получено
тп： = (1,58 ± 0,04) тп и т* =(0,082 + 0,001) т.
По данным работы Декстера и др. [28] имеем
7п^ = (1,6 4 ± 0,03) т и т^ = (0,0819 + 0,0003) т.
В случае Si по данным работы Дрессельхауза и др. [17]
mf = (0,97 ± 0,02) т и тп$ = (0,19 士 0,01) тп.
По данным работы Декстера и др. [28]
mf = (0,98 ± 0,04) т и тп： = (0,19 ± 0,01) т.
Учет анизотропности закона дисперсии в валентной полосе. Расчет ЦР для дырок ) в валентной зоне р-Ge п p-Si является более сложным. В кристаллах этих
веществ имеется два типа дырок с различными эффективными массами — легкие и тяжелые дырки. Первые работы, в которых был рассмотрен теоретически и исследован экспериментально этот вопрос, принадлежат Дрессельхаузу [17, 29] и Киттелю [20], которые опирались в своих исследованиях на предшествующие работы Шокли [30] и Германа [21—24]; затем этот вопрос исследовался в работе Декстера и др. [28].
Появление дырок с двумя различными массами объясняется в теории атомных полупроводников типа Ge и Si следующим образом. Валентные энергетические полосы в электронном спектре этих кристаллов возникают путем расщепления р-уровней их изолированных атомов и поэтому обладают при Zc — 0 трехкратным вырождением (с учетом спина ——шестикратным), характерным для этих атомных состояний. Однако в изолированных атомах спнн-орбитальное взаимодействие типа (Z・S) частично снимает вырождение, расщепляя p-уровень на два подуровня Р3/2 и Р1/2, соответствующие значениям полного момента J = 3/2 н J = 1/2. При этом четырехкратно вырожденная энергетическая полоса с J = 3/2 лежит выше, чем двукратно вырожденная с J = 1/2, на величину параметра спин-орбитального расщепления 入(в Ge 九 = 0,3 а% см. Кан [31] и Дингл [32], а в Si % — 0,044 士 0,001 з% см. Цвердлинг и др. [33]) ). Для двукратно вырожденной полосы ) [21—23, 17, 30] (J = 3/2, без учета спина) закон дисперсии имеет вид
e(砌=一朝{4"2 士 [82屣+e2(碌鳍+ % 修 +伤碌)『/?}, (13.27)
где А^ В и С — константы, определяемые экспериментально или вычисляемые теоретически (методом теории возмущения), и они могут быть связаны с величиной эффективных масс. Два знака перед корнем в (13.27) объясняют наличие двух типов дырок: с легкой эффективной массой (знак минус) и с тяжелой (знак плюс). В табл. 13.1 приведены экспериментальные значения эффективных масс, определенные по ЦР дырок В валентных полосах Ge и Si [28].
Таблица 13.1
Опытные значения эффективных масс, определенные по циклотронномурезонансу дырок в валентных полосах Ge и Si.
Значения т * даны в единицах массы электрона; из работы Декстера,Цайгера и Лакса [28]
' Направление поля
Вещество
[100]
[111]
[ИО]
Ge (『гк
Si / 睁* 1т?яж
0,0438+0,003 0,284+0,001 0,171+0,006 0,46±0,01
0,0426士0,002 0,376+0,001 0,157+0,005 0,57+0,01
0,0430+0,003 0,352+0,004 0,163士0,005 0,53+0,01
«Деформированный», а не чисто «эллипсоидальный» характер изоэнергетических поверхностей вблизи края валентной полосы оказывает существенное влияние на частоты ЦР. В этом случае мы имеем дело уже не с одной резонансной частотой (при заданной ориентации постоянного магнитного поля относительно осей эллипсоида), а с целым распределением частот [17].
Произвольный закон дисперсии. Используя общую формулу для эффективной массы из теории с произвольным законом дисперсии (11.84), можно определить для каждого направления магнитного поля и сечения kH — const связь между т* и константами Л, 5 и С в (13.27). Используя для т* их значения, найденные из опытов по ЦР, можно таким образом определить численные значения этих констант. Действительно, с помощью (11.84) и (11.80) и цилиндрических координат р,屮 н Рн(PH — компонента
квазиимпульса 卩=方乃 вдоль направления магнитного поля Н, а р 一 в плоскости, перпендикулярной к вектору Н, ср — азимут в этой плоскости) находим
В общем случае использование (13.28) для определения констант А, В п С в законе дисперсии (13.27) связано с очень большими вычислительными трудностями. Однако для случая, когда вектор Н лежит в плоскости (НО) и 卩耳=0 ), вычисления не столь сложны. При этих условиях, как было показано в работе [17], имеем
冗/2
j ■一Г一尸戸77，(1&29)
где А, В и С определяются законом дисперсии (13.27),
g(屮)=一(з cos2^ —1) [(cos2^ — 3) cos 屮十2 cos2cp](13.30)
ii 仆一угол между магнитным полем и осью [100], откладываемый в плоскости (110). Разложение в ряд функции g (ф) дает )
"无 2/2ГC2(l—3cos2^)2)
(13.31)
Подставляя в (13.31) три подходящих опытных значения эффективных масс, найденных из опытов по ЦР, можно найти константы 4 , В и С.
Для вычисления формы линий ЦР в классическом приближении необходимо воспользоваться классическим уравнением Больцмана. По этому вопросу мы отсылаем читателя к оригинальным работам [34—36] или к обзору [8].
Квантовая теория и сравнение с опытом. До сих пор мы, по существу, ограничивались квазпклассическим рассмотрением явления ЦР в полупроводниках. Квантовая теория должна включать в себя расчет энергетических уровней Ландау (см. гл. 11), возникающих для носителей тока в постоянном магнитном поле, вероятностей перехода между этими уровнями под влиянием внешнего электромагнитного поля и кинетические расчеты с учетом квантовых эффектов. Расчет уровней Ландау в связи с проблемой ЦР был проведен еще в работах Дингла [10] для свободных носителей тока. Был получен энергетический спектр (11.9), а также правила отбора для электрических дипольных переходов (м f м 土 1). Квантовая теория ЦР для анизотропного квадратичного закона дисперсии, а также для более сложного закона типа (13.27) была позже рассмотрена в работах Кона и Латтинджера [37] и Латтинджера и Кона [26]. Для наиболее общего вида гамильтониана эта проблема была рассмотрена Л аттиндже- ром [38] ).
Основные результаты квантовой теории сводятся к следующему ). Для ферми- частиц носителей тока в полупроводниках n-типа (например, электрон в невырожденной полосе проводимости Ge или Si) результаты квантового расчета совпадают -с классическими. В случае же носителей типа дырок в вырожденных валентных полосах (p-Ge и p-Si) ситуация существенно усложняется. Квантовая теория приводит для таких носителей заряда другие значения для энергетических уровней Ландау (которые оказываются не эквидистантными) и другие правила отбора при малых квантовых числах (при достаточно больших квантовых числах, разумеется, приходим к обычному классическому пределу). Это особенно четко должно наблюдаться при -самых низких температурах (около 1° К), когда квантовые эффекты, связанные с переходами между наиболее низкими энергетическими уровнями, будут заметно усиливать- -ся. В первую очередь при таких температурах должны появляться дополнительные резонансные максимумы, связанные с этими переходами. Первые указания на это были получены еще в работе Дрессельхауза и др. [29]. Однако наиболее детальное наблю- дение квантовых эффектов было проведено Флетчером и др. [39], которые наблюдали
дополнительные линии ЦР в очень чистом p-Ge при наинизшей (из применявшейся в опытах по ЦР) температуре в 1,3° К, которые исчезали при повышении температуры до 4,2° К, когда на кривой поглощения оставалось лишь два обычно наблюдаемых максимума, отвечающих легким и.тяжелым дыркам (рис. 13.6). В работе Гудмена [40] проведено наиболее полное сравнение квантовой теории ЦР в полупроводниках с опытными результатами работы Флетчера и др. [39]. В работе Гудмена [40] показано, что с точностью около 3% можно считать, что проекция квазиимпульса вдоль поля равна нулю (рн = 0). Анализ показал, что многие из дополнительных линий, наблюдавшихся в опытах [39] при 4,3° К, предсказываются теоретически. Однако есть линии, которые теоретически предсказываются, но на опыте не были еще обнаружены, а также есть линии, найденные на опыте, но не предсказываемые теорией [40]. Эти несогласия.
力37f力37f00勿 4Z 窃 參 敛 46勿 4Z 窃 參 敛 46Рис. 13.6. Резонансы тяжелых и легких дырок в чистом p-Ge при 4,2° К (пунктирные кривые) и 1,3° К (сплошные кривые) в трех главных кристаллографических направлениях ([100], [111] и [110]) при круговой поляризации. Появление добавочных максимумов на кривых при более низкой температуре (1,3°) указывает на квантовые эффекты. Внизу дана шкала значений для относительных эффективных масс дырок m*/m (m — масса свободного электрона). У осей абсцисс указаны значения m*/m для соответствующих максимумов (или изломов на кривых для 1,3° К). Значения m*/m при 4,2°К указаны непосредственно у максимумов пунктирных кривых. По Флетчеру и др. [39].Рис. 13.6. Резонансы тяжелых и легких дырок в чистом p-Ge при 4,2° К (пунктирные кривые) и 1,3° К (сплошные кривые) в трех главных кристаллографических направлениях ([100], [111] и [110]) при круговой поляризации. Появление добавочных максимумов на кривых при более низкой температуре (1,3°) указывает на квантовые эффекты. Внизу дана шкала значений для относительных эффективных масс дырок m*/m (m — масса свободного электрона). У осей абсцисс указаны значения m*/m для соответствующих максимумов (или изломов на кривых для 1,3° К). Значения m*/m при 4,2°К указаны непосредственно у максимумов пунктирных кривых. По Флетчеру и др. [39].
力37f
力37f
0
0
勿 4Z 窃 參 敛 46
勿 4Z 窃 參 敛 46
Рис. 13.6. Резонансы тяжелых и легких дырок в чистом p-Ge при 4,2° К (пунктирные кривые) и 1,3° К (сплошные кривые) в трех главных кристаллографических направлениях ([100], [111] и [110]) при круговой поляризации. Появление добавочных максимумов на кривых при более низкой температуре (1,3°) указывает на квантовые эффекты. Внизу дана шкала значений для относительных эффективных масс дырок m*/m (m — масса свободного электрона). У осей абсцисс указаны значения m*/m для соответствующих максимумов (или изломов на кривых для 1,3° К). Значения m*/m при 4,2°К указаны непосредственно у максимумов пунктирных кривых. По Флетчеру и др. [39].
Рис. 13.6. Резонансы тяжелых и легких дырок в чистом p-Ge при 4,2° К (пунктирные кривые) и 1,3° К (сплошные кривые) в трех главных кристаллографических направлениях ([100], [111] и [110]) при круговой поляризации. Появление добавочных максимумов на кривых при более низкой температуре (1,3°) указывает на квантовые эффекты. Внизу дана шкала значений для относительных эффективных масс дырок m*/m (m — масса свободного электрона). У осей абсцисс указаны значения m*/m для соответствующих максимумов (или изломов на кривых для 1,3° К). Значения m*/m при 4,2°К указаны непосредственно у максимумов пунктирных кривых. По Флетчеру и др. [39].
по-видпмому, могут быть отнесены за счет приближенности теории п ошибок эксперимента. Гудмен [40] при обсуждении своих выводов высказывает предположение, что некоторые из резонансных пиков, не наблюдавшихся в опытах Флетчера п др. [39], были обнаружены Дусманисом [41] в опытах по ЦР на дырках отрицательной эффективной массы. Внимание к случаю отрицательной эффективной массы для тяжелых дырок в Ge было привлечено работами Кремера [42—45]; Дусманис 口 др. [46] и Фирсов [4力 указали на возможность обнаружения отдельных линий ЦР для этих дырок при использовании микрорадиоволн с круговой поляризацией. В работе [41] как будто бы наблюдались такие эмиссионные линии ЦР. Однако в более поздней работе Декстера и др. [48] это не было подтверждено. Вообще свойства носителей с отрицательно亦 эффективной массой рассматривались рядом авторов (см., например, Каган [49], а также обзор [8]). В теоретической работе Дункана и Розенблюма [51], точнее учитывающей характер закона дисперсии в Ge и квантование уровней в магнитном поле, показано, что при низких температурах (порядка 4,2° К) интенсивность линий ЦР для дырок с отрицательной эффективной массой должна резко спадать, ибо при низких температурах из-за квантования уровней лишь исчезающе малая доля носителей занимает состояния с отрицательной эффективной массой. Таким образом, этот эффект должен
наблюдаться при более высоких температурах, например при Т。50° К, т. е. при 龙①/左/1 V 1.
Существенно также при сравнении теории с опытом учитывать еще один эффект, а именно эффект Штарка от внешнего электрического поля, действующего при наблюдении линии ЦР. В случае невырожденных энергетических полос расчет показал [52], что с помощью соответствующего преобразования координат можно преобразовать уравнение Шредингера так, чтобы исключить в гамильтониане электрическое поле. Хотя это преобразование и смещает уровни Ландау, но можно показать, что правила отбора допускают переходы только между энергетическими уровнями, которые испытывают одинаковое смещение. Однако в случае вырожденных энергетических полос, подобных валентным полосам Ge и Si, штарковское смещение должно наблюдаться для низких уровней Ландау. Величина относительного смещения Av/v может достигать примерно 10% для типичных экспериментальных условий: Е ^ 0,3 81cM и Н。 1000 з (см. [52])*
Для определения констант Л, 5 и С, входящих в закон дисперсии типа (13.27} для дырок валентных полос Ge и Si, оказывается, может быть полезным также наблюдение ЦР в образцах, подвергнутых одностороннему растяжению. Этот вопрос был рассмотрен теоретически Пикусом и Биром [53] и исследован экспериментально Хен- селем и Фехером [54]. В этом случае можно определить не только константы А, В и С, но и отношение констант деформационного потенциала, играющих важную роль в теории рассеяния носителей тока в полупроводниках.
До сих пор речь шла о ЦР в атомных полупроводниках Ge и Si. Однако этот эффект наблюдался, правда с меньшпм успехом, и в образцах полупроводниковых соединений. Первая из работ на не слишком чистом образце соединения InSb была выполнена Декстером и Лаксом [55]. Анализируя очень размытый максимум на кривой поглощения, они оценили эффективную массу электрона проводимости т* 弋；0,02т при сот = 1/3. Дрессельхауз и др. [19] на чистом образце p-inSb (при концентрации примесей 5*1014 см~3 и при 2,2° К) обнаружили более четкую картину резонанса с одной более узкой линией при слабом поле (弋 100 5), связанной с электронами с эффективной массой т* 弋(0,013 士 0,001) т. По ширине этой лпнии было определено время релаксации т ^ 1 • 10-11 се点. Две другие широкие резонансные линии дали эффективные массы т* л; 0,18тп и тп* а 1,2тп. По-впдимому, первая из этих масс связана с дырками.
Более отчетливые результаты были получены в работе Декстера [56] на монокристалле чистого CdS, на котором он наблюдал электронный и дырочный резонанс при 4,2° К и 1,3° К соответственно с эффективными массами тп*л — 0,35тп и 呜HP = °，°7m.
Делались также попытки обнаружить ЦР в других полупроводниковых соединениях: inAs, GaAs, PbS, PbSe, а также в диэлектриках типа SiC, алмазах и др. [8], ио все они были безуспешны. Одной из самых удачных работ по изучению ЦР в полупроводниковых соединениях является исследование Стивенсона [57] на монокристаллах CdAs2, выращенного из спектрально чистых компонент. Измерения велись при 2° К и(от «； 3. Найдены две резонансные линии —— одна для электронов и другая для дырок. Для разных ориентаций постоянного магнитного поля в плоскости а — с эффективная масса дается формулой (13.26)(存 一 угол между Н и осью с) с параметрами продольной mf и поперечной тп扌 массы, которые для электронов соответственно равны 0,16 и 0, 57 т, а для дырок 0,11 и 0,32 т.
В работе Аскарелли и Броуна [58] исследовался ЦР в ионном соединении AgBr на поляронах, для которых найдена эффективная масса в 0,27тп.Определяя ширину линий ЦР как функцию температуры, можно получить сведения о природе релаксационных процессов, определяющих саму ширину линии. В случае n-Ge в опытах Баггли и др. [59] было найдено, что при Т v 10° К ширина линии определяется столкновениями с нейтральными примесями. При более высоких температурах, по-видимому, основную роль начинают играть электрон-фононные столкновения. В качестве примера можно указать более позднпе работы по ЦР в полупроводниках [60—73, 50, 552—558].
Циклотронный резонанс в металлах, а. Общие замечания, Как уже отмечалось выше, наблюдение ЦР в веществах с большой концентрацией носителей тока, к которым относятся и металлы, невозможно или во всяком случае сильно затруднено из-за эффектов экранирования.
В опытах по поглощению микроволнового излучения в магнитном поле изучаемый металл обычно делают Частью стенки резонансной полости. Энергия электромагнитного поля поглощается в таком поверхностном слое металла. Для вычисления этого поглощения необходимо определить вектор Умова — Пойнтинга плоской волны, нормально падающей на поверхность металла. Явление нерезонансного поглощения электромагнитной энергии внешнего поля в металлах в магнитном поле при низких
температурах и микроволновых частотах было теоретически предсказано Дрессельхаузом и др. [17]. Это явление наблюдали экспериментально Галт и др. [74], Декстер и Лакс [75] и проанализировали теоретически Андерсон [76], Тинкхэм [77], Лакс и др. [78]. Декстер и Лакс [75] показали возможность экспериментального определения ЦР по точкам перегиба на кривой поглощения. Этот метод широко использовали Галт и Ягер [79] на графите; теория метода была развита в работах Лакса и Цайгера [80] и Нозьера [81]. Более детально с этим вопросом можно ознакомиться в обзоре [18]. Здесь же мы остановимся на более подробном описании другого типа ЦР в металлах, который впервые предсказали Азбель и Ка- нер [82] и теория которого была разработана ими же [83—90].
В металлах из-за большой концентрации носителей тока — электронов проводимости (^1022 с>?и-з)ситуация для наблюдения магнитно-резонансных явлений существенно изменяется ). Отметим при этом две специфические «особенности» металлов.
Первая ^особенность^ металлов. Высокая концентрация электронов проводимости в металлах приводит к существенной неоднородности электромагнитного поля (резонансное поглощение которого мы хотим исследовать) на расстояниях порядка радиуса циклотронной орбиты rH = mvdeH. Порядок величины этого радиуса для обычных металлов со скоростями у поверхности Ферми г?ф ^ 108 см/сек и эффективной массой т* 10-27 г определяется соотношением
ю-27.юз.ю10 ю
Гн = ~ 10-юя ~Н '
т. е. при магнитных полях Н ^ 104 з имеем rH ^ 10-3 см. С другой стороны, глубина проникновения высокочастотного электромагнитного поля в толщу металла от его наружной поверхности, т. е. глубина скин-слоя 6, для чистых металлов при низких температурах и микроволновых частотах оказывается порядка 10-5 см, т. е. на два порядка меньше, чем гн. Чтобы наблюдать в металле ЦР, должно выполняться условие (13.3), т. е. (оят > 1. Если сон заменить по (13.1), а время свободного пробега носителей тока т выразить через среднюю длину свободного пробега 2 (т = 2/и), то вместо (13.3), используя еще формулу для гн, можно получить эквивалентное условие
7>「н・ (13.32)
Для чистых металлов при гелиевых температурах (^4° К) времена релаксации лежат в интервале от 10~9 до 101n сек、а длины свободного пробега — соответственно в интервалах от 10-1 до 10-3 см. Таким образом, при этих условиях выполняются неравенства
7>гн》6・ (13.33)
Условие 2》6 означает, что осуществляется так называемый аномальный скин-эффект.
Этот эффект вначале теоретически исследовали Рейтер и Зандхей- мер [91] и впервые исследовал экспериментально Чамберс [92], а затем Пиппард [93, 94]. Дальнейшее развитие теории дали Каганов и Азбель [95]. В случае аномального скин-эффекта глубина проникновения 6 уже не зависит от т и оказывается по порядку величины равной 6аном ^ с/(оплзм,
где плазменная частота (см. гл. 11) определяется концентрацией носителей тока п, а именно (оплзм 〜(厶發/血)"？. Если принять, что п ^ 1022 см~з, 笠° 6аном Q 1°一5 + 10-6 см. Поскольку rH 10"3 см, то неравенство (13.33) выполняется.
(l/2nrH》1) возвращающиеся(l/2nrH》1) возвращающиесяРис. 13.7. Схематический вид возможных «траекторий» носителей тока в металле вблизи плоской поверхности образца, а) Магнитное поле составляет с поверхностью металла угол <р 扭 6/?； б) то же для ф V 6/у.Рис. 13.7. Схематический вид возможных «траекторий» носителей тока в металле вблизи плоской поверхности образца, а) Магнитное поле составляет с поверхностью металла угол <р 扭 6/?； б) то же для ф V 6/у.Азбель и Канер [82] обратили внимание на то, что существенная неоднородность высокочастотного электромагнитного поля может целиком изменить механизм поглощения носителями тока энергии от внешнего поля и сделать этот механизм чрезвычайно чувствительным к ориентации внешнего магнитного поля относительно поверхности исследуемого металлического образца. Действительно, как видно из рис. 13.7, а, если направление магнитного поля составляет с поверхностью образца угол, отличный от нуля (точнее, угол ср 扭 6/「н), то практически все электроны выходят из скин-слоя толщины 6, не совершив даже полного оборота по одной петле спирали, и ускоряются полем на малом отрезке ее дуги, которая очень мало отличается от отрезка прямой. Если же магнитное поле строго параллельно плоской поверхности металлического образца (точнее, составляет с ней угол 与 61rH « 1° или V), то основной вклад ъ ток вносят электроны, движущиеся вблизи поверхности, не сталкиваю
(l/2nrH》1) возвращающиеся
(l/2nrH》1) возвращающиеся
Рис. 13.7. Схематический вид возможных «траекторий» носителей тока в металле вблизи плоской поверхности образца, а) Магнитное поле составляет с поверхностью металла угол <р 扭 6/?； б) то же для ф V 6/у.
Рис. 13.7. Схематический вид возможных «траекторий» носителей тока в металле вблизи плоской поверхности образца, а) Магнитное поле составляет с поверхностью металла угол <р 扭 6/?； б) то же для ф V 6/у.
кратна ей: (о = п(ан (厶——кратна ей: (о = п(ан (厶——щиеся с ней (рис. 13.7, 6) и многократно по виткам спирали в скин-слой, где они ускоряются внешним электромагнитным полем. В глубину металла эти электроны не диффундируют, поскольку среднее значение проекции скорости на направление нормали к поверхности металла равно нулю. Движение таких электронов проводимости эквивалентно движению заряженных частиц в циклотроне с одним зазором между дуантами [см., например, Шпольский (1950)]. Если частота со внешнего поля равна циклотронной сон или
кратна ей: (о = п(ан (厶——
кратна ей: (о = п(ан (厶——
целые числа), то может иметь место специфический для металлов ч<циклотронный» резонанс, который и был предсказан Азбелем и Кайером [82]) ). Как указал Азбель [96], этот резонанс может, по-видимому, наблюдаться не только в «хороших», но и в «плохих» металлах, с резко пониженной (по сравнению с «хорошими» металлами типа Ag, Си и т, и.) концентрацией электронов проводимости, порядка 1017 см~з, таких, как Bi, С (графит), As, Sb и т. п. Это обусловлено тем, что при резонансе резко возрастает удельная электропроводность (в сот раз), а это приводит к уменьшению толщины скин-слоя 6 в (сот)1/2 раз, и она может стать меньше радиуса циклотронной орбиты, как этого требует условие (13.33).
Вторая ^особенность^ металлов. Эта «особенность», приводящая к усложнению явления ЦР в них, также связана с высокой концентрацией
электронов проводимости, которые лишь частично заполняют полосу проводимости. При высокой плотности заполнения в большинстве металлов («хороших») граничная энергия Ферми находится не вблизи граничных (минимального или максимального) уровней полосы, где закон дисперсии имеет приближенно квадратичный характер, а где-то в середине полосы, где этот закон даже приближенно нельзя считать квадратичным (см. гл. 11). Действительно, вся совокупность сведений о поверхностях Ферми £ (р) = £ф в таких металлах, имеющаяся в настоящее время, товорит о том, что эти поверхности обладают весьма сложной структурой. Как было показано в гл. 11, в этом случае траектория электрона (с рн = =0) уже не является ни окружностью, ни эллипсоидом, поскольку сечение поверхности Ферми произвольной формы плоскостью, перпендикулярной
к Н, также, как правило, имеет сложную форму. Важно также отметить, что в случае открытых сечений (см. гл. 11) электроны проводимости внутри металла имеют бесконечно большой период вращения и поэтому не возвращаются в скин-слой, и, следовательно, такие электроны не участвуют в ЦР.
а. Случай произвольного закона дисперсии. Из формулы (11.82) следует, что соя при произвольном законе дисперсии зависит от энергии е и слагающей квазиимпульса р вдоль поля Н, направленного по оси Oz [поскольку от них завпспт сечение поверхности Ферми S (е, Pz)]・ Только при квадратичном законе дисперсии эта зависимость пропадает, так как dS/d& = 2лт = const. Зависимость ①耳 от энергии в металлах несущественна, поскольку в металле в токе принимают участие лишь электроны с энергиями, близкими к фермиевской еф. Остается, однако, зависимость ①耳(Pz)； поэтому в общем случае только электроны отдельных сечений, для которых сон (pz) = со, могут участвовать в резонансе. Поэтому в случае произвольного закона дисперсии условия возможности существования цилотронного резонанса требуют дополнительного исследования. Используя самые общие соображения, можно сразу же выяснить, какие электроны у поверхности Ферми находятся в относительно более благоприятных условиях для резонанса. Пусть точный резонанс достигается при pz = р02, тогда для электронов с pz, близкими к poz, циклотронные частоты будут равны
Sr (Pz) — wH(Poz)十①}(P0z) (Pz — Poz) H-~2"①方(P0Z)(pz —P0z)2_r • • •
Отсюда видно, что если р。％ отвечает экстремуму функции ①五(/^) [т. е.①分(pOz) — 0], то частота ①耳(Pz) слабо изменится с изменением pz, а именно как квадрат малой величины (pz — Poz)2- Поэтому вблизи таких сечений с (^5/^е)Экстр весьма большое число электронов имеет циклотронные частоты, близкие к ①耳(Poz)； при этих частотах и следует ожидать наиболее яркого проявления ЦР в металлах с произвольным законом дисперсии для электронов проводимости.
д. Общий расчет в квазиклассическом приближении. Основной задачей теории является вычисление компонент тензора полного поверхностного импеданса Z(XV = =7?Му + ZXjxv металла, находящегося в высокочастотном электромагнитном и постоянном магнитном полях, параллельном его поверхности, при условиях аномального скин-эффекта (13.33). Тензор поверхностного импеданса ZMV определяет связь между электрическим полем Е (0) на поверхности металла (z = 0) и полным током _Г, текущим в металле:.
%(0)；
vv(13.34}
/«v — У 7v(У)〃У (卩,V =汇,у, z).
О
Как будет потазано ниже, при резонансе 7?MV и XMV минимальны.
Полная система уравнений задачи состоит из уравнений Максвелла (при пренебрежении токами смещения) для переменного электромагнитного поля частоты со:
rot JT = ^ ；, rotE=―~Н,(13.35)
где J ——плотность тока, которую находят из кинетического уравнения для добавки /1 ехр (£со£) к равновесной фермиевской функции распределения /0 нз (11.14), которое для полной функции / = /о + /1 ехр (£со£) имеет вид
е「(13.36)
Исключая Н из (13.35) и учитывая, что vy ^ 0, т. е. проекция скорости у электронов, ускоряемых вдоль их орбит в скин-слое, перпендикулярная к поверхности металла, практически отсутствует *), находим
E^,z(z) = £^Jgz(z), " = 0,'
2е f(13-37)
7x,y,z=—-^- ] ”x,y,z/ld%, © = V*e(P),.
где t/Tp = dpxdpydpz и интегрирование ведется по всему импульсному пространству, ось Оу направлена по внутренней нормали к поверхности металла, а ось Oz ——вдоль проекции Н на эту поверхность. Линеаризуя кинетическое уравнение ), получим 加/1 + % 碧+ 8(ш 智嚮, (13.38) ozox \ ot f столки兆
где
eH
me(13.39)
a ^i — время обращения электрона проводимости по орбите, которое для замкнутых орбит, согласно (11.78) — (11.81), равно
(13.40)(13.40)с Г dp丄—С dStq_yTT^ J 三一；77^左
(13.40)
(13.40)
где St — площадь сектора в сечении е (р) = еф, рн ^ Pz ^ const, 击 I Ртптткн — инте- грал столкновений электронов с фононами и другими нарушениями правильности кристаллической решетки. В работе Азбеля и Канера [83] найдена общая формула для плотности тока. Однако в условиях аномального скин-эффекта можно ввести время релаксации при любых температурах. Действительно, интеграл столкновений в (13.38) в общем случае имеет вид
(^~)столкн = "(")『'(少J '(削〃')"(0')(13.41)
где величины 4 и В связаны с вероятностями переходов и их конкретный вид зависит от температуры [см., например, Вильсон (1953)]. Условие аномального скин-эффекта делает два слагаемых в (13.41) существенно различными по величине. А именно первое слагаемое в этой области значительно больше второго (в котором 九(р) усредняется), л в нулевом приближении по параметру малости ^/гн этим вторым членом можно пренебречь. Таким образом, при предельно аномальном скин-эффекте (6《гя, 7) при любых температурах, не нарушающих это условие, имеем
\ dt / столки\ dt / столки4^~，где 丁1（Р）= f /（〃； Р'）%，,4^~，где 丁1（Р）= f /（〃； Р'）%，,(13.42)(13.42)
\ dt / столки
\ dt / столки
4^~，где 丁1（Р）= f /（〃； Р'）%，,
4^~，где 丁1（Р）= f /（〃； Р'）%，,
(13.42)
(13.42)
т. е. всегда можно ввести время свободного пробега (релаксации) т (好).Физически это связано с тем, что «заселенность» неравновесных состояний с | гу | ^ 0 при аномальном скин-эффекте гораздо больше, чем состояний с | fy | ^ г, и поэтому при столкновениях более вероятен переход из состояний с | t^ |《么 чем в них.
Существенно также отметить, что электрон-фононное время свободного пробега в условиях аномального скин-эффекта имеет другую температурную зависимость, чем
в статическом случае. В последнем величина (奇謡к") -1 пропорциональна числу фононов при низких температурах, т. е.^(Т/0д)3, где 6口 一 температура Дебая, и еще (7/0д)2 благодаря малости смещений, вызываемых отдельными столкновениями /\&®д/Г、5
с низкотемпературными фононами; таким образом,(瑞館К11)т ^ — ^ ■(再^) • При аномальном скин-эффекте даже малое смещение электрона оказывается существенным и выводит его из скпн-слоя, поэтому фактор (Т/0д)2 выпадает и
(таном.с.Э)_1 (адд/Я) (Т/0Д)3.
Введецие времени релаксации позволяет упростить расчет Азбеля п Канера [83]. Это сделали Чамберс [92] и Азбель [96], которым мы и будем следовать ниже. Ради упрощения предположим еще, что т (р) = const. Тогда, согласно (13.37), имеем
； ехр (ico；)=-^- }力廿⑹一f 伯 + &в)1 dp% dpg dp% =—鳥— } v ~^~Ae de dpz ^1, (13.43)
Кроме того, в последнемКроме того, в последнемгде использована связь 〃厶 с dpx dpy [см. (13Л0)], As —— энергия, получаемая электроном от электромагнитного поля, когда он достиг точки у в момент времени t [координата у отсчитывается от поверхности кристалла по нормали внутрь него (рис. 13.8)].
Кроме того, в последнем
Кроме того, в последнем
Поскольку число электронов не меняется, функция распределения / меняется только за счет изменения энергии электронов; Ле (у, t) — энергия, приобретенная электроном, попавшим в точку у в момент t (dzldt = ev-Е). Величины s, р% определяют (см. гл. 11> положение электронной орбиты на поверхности Ферми. Время 厶 дает положение центра орбиты у —尸(幻(рис. 13.8); интегрирование по 〃厶 от 0 до Г = 2л/сон соответствует интегрированию по центрам всех орбит, проходящих через точку у, и
1
г (%) = j % 叫='С"1- const.
О
①，①，Рис. 13.8. Квазиклассическая траектория электрона в магнитном поле в поверхностном слое металла. Центр орбиты радиуса г0, двигаясь по которой электрон не сталкивается с поверхностью металла, удален от поверхности на расстояние у —г (幻 > г0. В момент времени / электрон находится на орбите в точке (/, у). В момент / ■— Л электрон пересекает линию АВ. А в момент / — «1 —才)一линию CD (см.Рис. 13.8. Квазиклассическая траектория электрона в магнитном поле в поверхностном слое металла. Центр орбиты радиуса г0, двигаясь по которой электрон не сталкивается с поверхностью металла, удален от поверхности на расстояние у —г (幻 > г0. В момент времени / электрон находится на орбите в точке (/, у). В момент / ■— Л электрон пересекает линию АВ. А в момент / — «1 —才)一линию CD (см.учесть граничные условия вблизи резонанса (I(о — мсон|《 ①, п = 1, 2, . . .). Отражение*
①，
①，
Рис. 13.8. Квазиклассическая траектория электрона в магнитном поле в поверхностном слое металла. Центр орбиты радиуса г0, двигаясь по которой электрон не сталкивается с поверхностью металла, удален от поверхности на расстояние у —г (幻 > г0. В момент времени / электрон находится на орбите в точке (/, у). В момент / ■— Л электрон пересекает линию АВ. А в момент / — «1 —才)一линию CD (см.
Рис. 13.8. Квазиклассическая траектория электрона в магнитном поле в поверхностном слое металла. Центр орбиты радиуса г0, двигаясь по которой электрон не сталкивается с поверхностью металла, удален от поверхности на расстояние у —г (幻 > г0. В момент времени / электрон находится на орбите в точке (/, у). В момент / ■— Л электрон пересекает линию АВ. А в момент / — «1 —才)一линию CD (см.
электронов от поверхности металла являете珏 всегда диффузным или почти диффузным (см. [92, 97], а также Канер [87]). Однако в данном случае электроны, сталкивающиеся с поверхностью, выключаются из периодического движения и потому не участвуют в резонансе. Поэтому в формуле (13.43) важно учитывать лишь электроны, не сталкивающиеся с поверхностью, т. е. для которых (см. рис. 13.8) у — г (“)一 г。> 0; здесь 尸()——радиус орбиты. Это можно сделать, введя под интегралом в (13.43) сомножители 屮(у 一 尸(幻—ГО), где функция 屮(汇)=1 для 忆 > 0 и U)(%) = 0 для 忆 V 0.
Азбель [96]).Азбель [96]).—г (幻 + г (乂)в момент t — (^ —点)(см. рис. 13.8),=Е (у —厂(幻 + 尸(心))exp [jco^ — %co (a —幻].Таким образом,—г (幻 + г (乂)в момент t — (^ —点)(см. рис. 13.8),=Е (у —厂(幻 + 尸(心))exp [jco^ — %co (a —幻].Таким образом,Определим теперь As. Пусть t — момент, соответствующий времени ^ вращения по орбите- (т. е. в момент t —— 厶 электрон находился на таком же расстоянии от поверхности металла, как и центр орбиты). Тогда с вероятностью (т)-1 электрон за время от % до 乂 + 成;получает энергию1 ev^.E (由第， где напряженность электрического поля должна быть взята в точке у —
Азбель [96]).
Азбель [96]).
—г (幻 + г (乂)в момент t — (^ —点)(см. рис. 13.8),
=Е (у —厂(幻 + 尸(心))exp [jco^ — %co (a —幻].Таким образом,
—г (幻 + г (乂)в момент t — (^ —点)(см. рис. 13.8),
=Е (у —厂(幻 + 尸(心))exp [jco^ — %co (a —幻].Таким образом,
причем Е (£；) ехр (icoZ)=
A%,z= j山；eXp [("二"]""g0石匂一尸(片)+r"I)) еXp 口①方一心("一抬)卜
(13.44>
После подстановки (13.44) в (13.43) находим связь между / и Е：
/匂)=_零-0(")еxр (一心屮e一г(*)一力)*
Ц-6?8 dpz dt\ j u (^)• e {у —尸(£1) + 尸(力;))eXр (①抬-)-^-)成人(13.45>
Учтем теперь периодичность скоростей и г (£j по 勿 с периодом Тн = 2л/соя, преобра- 士тн
зуем j к j , а интеграл j dt^ к j с?^; умножив их на сумму фазовых факторов, кото-
—оо f -- Т нО
рые возникают при каждом полном обороте по циклотронной орбите, и, кроме тогог используем условие 5/0/^е ^ ——6 (е ——ёф), удерживая только основной член по (сот尸《1 *), получим
2еЗ= 「J Г 2m① 2л 1】т ?
/(U)=kj {jxpl—k —dPzX
THTH
X f v (^1) ехр (— jcoZi) 1р (?/ — Г (^1) — r0) ^1 J ^ (^) E{y — r (^!)+ r (^)) exp (ico^) dt^
Ои
(13.46>
Действттельно (см. Хейне [98]), при каждом полном обороте электрон возвращается в скин-слой и подынтегральное выражение в (13.45) изменяется на фактор
eхp [-(急+'器)]=exPl _ Seхp [-(急+'器)]=exPl _ S(13.45a)(13.45a)где в левой части второе слагаемое в показателе возникает из-за изменения фазы поля Е. Поэтому в (13.45) возникают множители [1-|-ехр( — w) + ехр (—2w) +...], которые при условии (①五工尸《1 даютгде в левой части второе слагаемое в показателе возникает из-за изменения фазы поля Е. Поэтому в (13.45) возникают множители [1-|-ехр( — w) + ехр (—2w) +...], которые при условии (①五工尸《1 дают[1 —ехр( —о；)]-1,[1 —ехр( —о；)]-1,(13.456)(13.456)т. е. сумму геометрической прогрессии. Ошибка, обусловленная тем, что оборот не всег- да полный, несущественна, ибо она дает нерезонансный вклад в /. Формула (13.46) справедлива для случая vy ^ 0, поэтому векторы г?, _Е и У в (13.46) лежат в плоскостях у = const. Из (13.46) сразу же вытекает факт существования ЦР при частотах пзн (п — 1, 2, 3, . . .), а также различие между случаями квадратичного и произвольного закона дисперсии. В первом случае ①耳 не зависит от pz (см. гл. 11) и поэтомут. е. сумму геометрической прогрессии. Ошибка, обусловленная тем, что оборот не всег- да полный, несущественна, ибо она дает нерезонансный вклад в /. Формула (13.46) справедлива для случая vy ^ 0, поэтому векторы г?, _Е и У в (13.46) лежат в плоскостях у = const. Из (13.46) сразу же вытекает факт существования ЦР при частотах пзн (п — 1, 2, 3, . . .), а также различие между случаями квадратичного и произвольного закона дисперсии. В первом случае ①耳 не зависит от pz (см. гл. 11) и поэтому『~{-хр[—（嚮一譏）]『，『~{-хр[—（嚮一譏）]『，следовательно, при t f 8 плотность тока при резонансе (со =冷①耳)с точностью1 до т/ Тн растет неограниченно.При неквадратичном законе дисперсии легко видеть, что f совпадение частоты поля со с одной из частот ①耳，которая отлична от экстремального значения, приводит к нерезонансным свойствам. Если частота со равна или кратна одному из экстремальных значений (①н) зкстр [①=汽(①н) зкстр], резонанс наблюдается. Однако, в отличие от случая квадратичного закона дисперсии, / 〜(工/于耳尸厶，т* е. высота резонансныхследовательно, при t f 8 плотность тока при резонансе (со =冷①耳)с точностью1 до т/ Тн растет неограниченно.При неквадратичном законе дисперсии легко видеть, что f совпадение частоты поля со с одной из частот ①耳，которая отлична от экстремального значения, приводит к нерезонансным свойствам. Если частота со равна или кратна одному из экстремальных значений (①н) зкстр [①=汽(①н) зкстр], резонанс наблюдается. Однако, в отличие от случая квадратичного закона дисперсии, / 〜(工/于耳尸厶，т* е. высота резонансныхпиков гораздо ниже.Для вычисления импеданса необходимо решить уравнения Максвелла (13.37) совместно с (13.46).Уравнения (13.37) и (13.46) могут быть четно продолжены на область вне металлапиков гораздо ниже.Для вычисления импеданса необходимо решить уравнения Максвелла (13.37) совместно с (13.46).Уравнения (13.37) и (13.46) могут быть четно продолжены на область вне металла(у V 0), если положить Еа (—у) = Еа (у) (а = центрально-симметрична, поле Е (д), симметричное по у, есть решение уравнений, если 屮(у —尸(厶)一尸о) в (13.46) заменить такой же функцией для у > о：屮(I У —尸(幻|—々)* В(у V 0), если положить Еа (—у) = Еа (у) (а = центрально-симметрична, поле Е (д), симметричное по у, есть решение уравнений, если 屮(у —尸(厶)一尸о) в (13.46) заменить такой же функцией для у > о：屮(I У —尸(幻|—々)* Вх, z). Поскольку поверхность Фермкх, z). Поскольку поверхность Фермкэтом случае /а (у) = /а (—у)* Однако мы еще упростим формулу (13.46), заметив, согласно Азбелю и Канеру [83], что функцию 屮(I у —尸(幻 I 一 —г0) можно с большой точностью заменить единицей (приближение «не-этом случае /а (у) = /а (—у)* Однако мы еще упростим формулу (13.46), заметив, согласно Азбелю и Канеру [83], что функцию 屮(I у —尸(幻 I 一 —г0) можно с большой точностью заменить единицей (приближение «не-Рис. 13.9. Электронные квазиклассические траектории вблизи граничной поверхности АВ металла. 7, 2 — траектории, не обрезаемые граничной поверхностью; з, 4 — траектории, обрезаемые граничной поверхностью; б — толщина скин-слоя (см. [96]).Рис. 13.9. Электронные квазиклассические траектории вблизи граничной поверхности АВ металла. 7, 2 — траектории, не обрезаемые граничной поверхностью; з, 4 — траектории, обрезаемые граничной поверхностью; б — толщина скин-слоя (см. [96]).эффективности» электронных столкновений с поверхностью металла), поскольку точный учет этой функции приводит лишь к численному фактору в импедансе порядка единицы [83]. Физическая причина малости влияния граничных условий при аномальном скин-эффекте заключается в том, что существенную роль (даже при отсутствии границы) могли бы играть только траектории, по которым электрон проходит в скин-слое порядка (rd)1/2, т. е. близкие к максимально возможным (траектории 7, 2, но не 3, 4) на рис. 13.9). Учет границы обрезает траектории типа 4, 3, т. е. просто несколько уменьшает эффективную проводимость. Это уменьшение мало эффективно потому, что импеданс пропорционален а1/3. В итоге, подставляя (13.46) в (13.37), находимэффективности» электронных столкновений с поверхностью металла), поскольку точный учет этой функции приводит лишь к численному фактору в импедансе порядка единицы [83]. Физическая причина малости влияния граничных условий при аномальном скин-эффекте заключается в том, что существенную роль (даже при отсутствии границы) могли бы играть только траектории, по которым электрон проходит в скин-слое порядка (rd)1/2, т. е. близкие к максимально возможным (траектории 7, 2, но не 3, 4) на рис. 13.9). Учет границы обрезает траектории типа 4, 3, т. е. просто несколько уменьшает эффективную проводимость. Это уменьшение мало эффективно потому, что импеданс пропорционален а1/3. В итоге, подставляя (13.46) в (13.37), находим
eхp [-(急+'器)]=exPl _ S
eхp [-(急+'器)]=exPl _ S
(13.45a)
(13.45a)
где в левой части второе слагаемое в показателе возникает из-за изменения фазы поля Е. Поэтому в (13.45) возникают множители [1-|-ехр( — w) + ехр (—2w) +...], которые при условии (①五工尸《1 дают
где в левой части второе слагаемое в показателе возникает из-за изменения фазы поля Е. Поэтому в (13.45) возникают множители [1-|-ехр( — w) + ехр (—2w) +...], которые при условии (①五工尸《1 дают
[1 —ехр( —о；)]-1,
[1 —ехр( —о；)]-1,
(13.456)
(13.456)
т. е. сумму геометрической прогрессии. Ошибка, обусловленная тем, что оборот не всег- да полный, несущественна, ибо она дает нерезонансный вклад в /. Формула (13.46) справедлива для случая vy ^ 0, поэтому векторы г?, _Е и У в (13.46) лежат в плоскостях у = const. Из (13.46) сразу же вытекает факт существования ЦР при частотах пзн (п — 1, 2, 3, . . .), а также различие между случаями квадратичного и произвольного закона дисперсии. В первом случае ①耳 не зависит от pz (см. гл. 11) и поэтому
т. е. сумму геометрической прогрессии. Ошибка, обусловленная тем, что оборот не всег- да полный, несущественна, ибо она дает нерезонансный вклад в /. Формула (13.46) справедлива для случая vy ^ 0, поэтому векторы г?, _Е и У в (13.46) лежат в плоскостях у = const. Из (13.46) сразу же вытекает факт существования ЦР при частотах пзн (п — 1, 2, 3, . . .), а также различие между случаями квадратичного и произвольного закона дисперсии. В первом случае ①耳 не зависит от pz (см. гл. 11) и поэтому
『~{-хр[—（嚮一譏）]『，
『~{-хр[—（嚮一譏）]『，
следовательно, при t f 8 плотность тока при резонансе (со =冷①耳)с точностью1 до т/ Тн растет неограниченно.
При неквадратичном законе дисперсии легко видеть, что f совпадение частоты поля со с одной из частот ①耳，которая отлична от экстремального значения, приводит к нерезонансным свойствам. Если частота со равна или кратна одному из экстремальных значений (①н) зкстр [①=汽(①н) зкстр], резонанс наблюдается. Однако, в отличие от случая квадратичного закона дисперсии, / 〜(工/于耳尸厶，т* е. высота резонансных
следовательно, при t f 8 плотность тока при резонансе (со =冷①耳)с точностью1 до т/ Тн растет неограниченно.
При неквадратичном законе дисперсии легко видеть, что f совпадение частоты поля со с одной из частот ①耳，которая отлична от экстремального значения, приводит к нерезонансным свойствам. Если частота со равна или кратна одному из экстремальных значений (①н) зкстр [①=汽(①н) зкстр], резонанс наблюдается. Однако, в отличие от случая квадратичного закона дисперсии, / 〜(工/于耳尸厶，т* е. высота резонансных
пиков гораздо ниже.
Для вычисления импеданса необходимо решить уравнения Максвелла (13.37) совместно с (13.46).
Уравнения (13.37) и (13.46) могут быть четно продолжены на область вне металла
пиков гораздо ниже.
Для вычисления импеданса необходимо решить уравнения Максвелла (13.37) совместно с (13.46).
Уравнения (13.37) и (13.46) могут быть четно продолжены на область вне металла
(у V 0), если положить Еа (—у) = Еа (у) (а = центрально-симметрична, поле Е (д), симметричное по у, есть решение уравнений, если 屮(у —尸(厶)一尸о) в (13.46) заменить такой же функцией для у > о：屮(I У —尸(幻|—々)* В
(у V 0), если положить Еа (—у) = Еа (у) (а = центрально-симметрична, поле Е (д), симметричное по у, есть решение уравнений, если 屮(у —尸(厶)一尸о) в (13.46) заменить такой же функцией для у > о：屮(I У —尸(幻|—々)* В
х, z). Поскольку поверхность Фермк
х, z). Поскольку поверхность Фермк
этом случае /а (у) = /а (—у)* Однако мы еще упростим формулу (13.46), заметив, согласно Азбелю и Канеру [83], что функцию 屮(I у —尸(幻 I 一 —г0) можно с большой точностью заменить единицей (приближение «не-
этом случае /а (у) = /а (—у)* Однако мы еще упростим формулу (13.46), заметив, согласно Азбелю и Канеру [83], что функцию 屮(I у —尸(幻 I 一 —г0) можно с большой точностью заменить единицей (приближение «не-
Рис. 13.9. Электронные квазиклассические траектории вблизи граничной поверхности АВ металла. 7, 2 — траектории, не обрезаемые граничной поверхностью; з, 4 — траектории, обрезаемые граничной поверхностью; б — толщина скин-слоя (см. [96]).
Рис. 13.9. Электронные квазиклассические траектории вблизи граничной поверхности АВ металла. 7, 2 — траектории, не обрезаемые граничной поверхностью; з, 4 — траектории, обрезаемые граничной поверхностью; б — толщина скин-слоя (см. [96]).
эффективности» электронных столк
новений с поверхностью металла), поскольку точный учет этой функции приводит лишь к численному фактору в импедансе порядка единицы [83]. Физическая причина малости влияния граничных условий при аномальном скин-эффекте заключается в том, что существенную роль (даже при отсутствии границы) могли бы играть только траектории, по которым электрон проходит в скин-слое порядка (rd)1/2, т. е. близкие к максимально возможным (траектории 7, 2, но не 3, 4) на рис. 13.9). Учет границы обрезает траектории типа 4, 3, т. е. просто несколько уменьшает эффективную проводимость. Это уменьшение мало эффективно потому, что импеданс пропорционален а1/3. В итоге, подставляя (13.46) в (13.37), находим
эффективности» электронных столк
новений с поверхностью металла), поскольку точный учет этой функции приводит лишь к численному фактору в импедансе порядка единицы [83]. Физическая причина малости влияния граничных условий при аномальном скин-эффекте заключается в том, что существенную роль (даже при отсутствии границы) могли бы играть только траектории, по которым электрон проходит в скин-слое порядка (rd)1/2, т. е. близкие к максимально возможным (траектории 7, 2, но не 3, 4) на рис. 13.9). Учет границы обрезает траектории типа 4, 3, т. е. просто несколько уменьшает эффективную проводимость. Это уменьшение мало эффективно потому, что импеданс пропорционален а1/3. В итоге, подставляя (13.46) в (13.37), находим
ТнТн
X j %а)eхр(一心£)成 1 j 郊片)E)仅一?•(%) +L(z；))x о0
Xexp(tco^) dt^ (a, §=/ y, z).(13.47)
Напоминаем, что в (13.47) для упрощения принято, что т = const. Уравнение (13.47) легко решается с использованием преобразования Фурье, которое дает связь между
Ea (0) и E. (0) и, следовательно, импеданс по (13.34), а именно: % ⑼=2 W₽ = ^2 Za^(0)，
/|3= j /в (у)迎О
(13.47а)
Вблизи резонанса тензор поверхностного импеданса можно всегда привести к главным
осям, где существенно проявляется
Рис. 13.10. К оценке времени / пребывания электрона в скин-слое у граничной поверхности металла. Время i = 2(pmr/ux, где 2(рт — угол (в радианах), стягиваемый дугой АВС части квазиклассической траектории электрона, лежащей в скин-слое, г — радиус орбиты, а их — проекция скорости электрона вдоль оси %.
также различие между квадратичным и неквадратичным законами дисперсии.
е. Формулы для тензора поверхностного импеданса. Квадратичный закон дисперсии. Обратимся снова к формуле (13.46), в которой положим ^ (у — г (力)一 一喲=I.
Поэтому для плотности тока находим из (13.46)
Заметим, что время, проводимое электроном в скин-слое, приближенно равно 2rcpm/rx (рис. 13.10), причем г — г cos cpm 6/2, т. е. срт ^ б/r « 1. При этих временах экспериментальные факторы в (13.46) остаются эффективно постоянными»
，川{」『[-(嚮-諾)]「(®「2嗚^
где
м = т (м* =sin 存 cos 屮，Пу =sin -O' sin ф, nz =cos -O'),
(13.48)
(13.49)
а К — гауссова кривизна поверхности Ферми в точках 屮，今=у. Из теории аномального скин-эффекта следует (см. Пиппард [93, 94], а также Хейне [98]): /а — аа|зд£|з(О). Таким образом, тензор эффективной удельной электропроводности равен (o^qJaB — = «абб* Учитывая, что 6 = 屮^尸，находпм из (13.48) ■
(冷)…{iр[-(嗇-詰)]}%•心
Далее, для поверхностного импеданса имеем также
〃с / 2л2со2 \ 1/3/ . л \, с L
Z8aB = 2 (- 30 ) exp •(13.51)
Подставляя (13.50) в (13.51) и опуская промежуточные выкладки (см. Азбель и Канер [83] или Хейне [98]), находим для главных значений тензора 2^仪8：
Zaa 亠{一хp「(要-諾)『3,
Zaa(°) = (鳴:：卜1 +卜(13.52)
2冗
BaB= j (讐)л 迎оJ
H еквадратичный закон дисперсии. В этом случае, кроме уело- вия vy ^ 0, должно выполняться условие pz ^ р0, где р0 определяется из соотношения соя (ро) = соЭКСТр, т. е. электроны движутся почти параллельно поверхности металла с частотой, близкой к экстремальным значениям. Для главных значений импеданса получаем более сложное выражение (см. [83]):
16 / УЗлсо2
9 I с^Ааа
1/3
ехр
/ tn \
(丁)；
(13.53)
R(H)*R(H)*Рис. 13.11. Зависимость поверхностного импеданса частоты ® внешнего переменного электромагнитного поля при различных значениях произведения сот (см. цифры у кривых: 1, 10 и 50； т — время релаксации электронов проводимости). Кривые рассчитаны по формулам (13.52). a) R (H)/R (0)； б) X (Н)/Х (0)； в) X (H)/.R (Н) W, где R (Н) и X (Н) ——вещественные и мнимые части импеданса Z (Н) —Н (H)4-iX (Н). По оси абсцисс отложены ③/®“.Рис. 13.11. Зависимость поверхностного импеданса частоты ® внешнего переменного электромагнитного поля при различных значениях произведения сот (см. цифры у кривых: 1, 10 и 50； т — время релаксации электронов проводимости). Кривые рассчитаны по формулам (13.52). a) R (H)/R (0)； б) X (Н)/Х (0)； в) X (H)/.R (Н) W, где R (Н) и X (Н) ——вещественные и мнимые части импеданса Z (Н) —Н (H)4-iX (Н). По оси абсцисс отложены ③/®“.
R(H)*
R(H)*
Рис. 13.11. Зависимость поверхностного импеданса частоты ® внешнего переменного электромагнитного поля при различных значениях произведения сот (см. цифры у кривых: 1, 10 и 50； т — время релаксации электронов проводимости). Кривые рассчитаны по формулам (13.52). a) R (H)/R (0)； б) X (Н)/Х (0)； в) X (H)/.R (Н) W, где R (Н) и X (Н) ——вещественные и мнимые части импеданса Z (Н) —Н (H)4-iX (Н). По оси абсцисс отложены ③/®“.
Рис. 13.11. Зависимость поверхностного импеданса частоты ® внешнего переменного электромагнитного поля при различных значениях произведения сот (см. цифры у кривых: 1, 10 и 50； т — время релаксации электронов проводимости). Кривые рассчитаны по формулам (13.52). a) R (H)/R (0)； б) X (Н)/Х (0)； в) X (H)/.R (Н) W, где R (Н) и X (Н) ——вещественные и мнимые части импеданса Z (Н) —Н (H)4-iX (Н). По оси абсцисс отложены ③/®“.
в общем случае
XX_1662 у J / 忆呼、 4в=~^“ Z I〈&к 儿=“
X
X
x{iP「(^-急)]}%+黑}T晔4)
Тензор аар 弋 1 имеет довольно сложный вид, однако он несуществен для резонанса. Интегрирование в (13.54) ведется по углам вдоль «пояска» поверхности Ферми, где
Х(Н)
Vy = 0; cpi,屮2 屮з, ■ • ■» фр1 ——точки, где ①耳 имеет экстремальное значение по отношению к изменению угла ср. При взятии кубического корня в (13.52) и (13.53) нужно брать корень, соответствующий 7?аа ＞。(который всегда существует).
ж. Поверхностный импеданс вблизи резонанса. Анализ выражений поверхностного импеданса вблизи резонанса тоже имеет смысл провести для двух рассмотренных случаев законов дисперсии.
Квадратичный закон дисперсии. В этом случае можно построить кривую для всего интервала частот ①耳(включая и нерезонансные области). На рис. 13.11, а —— в в качестве примера приведены графики функций R (H)/R (0), X (Н)/Х (0) и X (H)/R (Я) Д/з для сот = 1, 10, 50, построенные по формулам (13.52). Небольшие максимумы К и X при со = (q + 1/2)①耳(9 — целые числа) не связаны с резонансом, ибо при ①耳工 f 8 значения импеданса в этих точках стремятся к иосто- янному пределу, отличному от нуля. Важно отметить, что при конечных т глубина резонансных минимумов и смещение частоты минимума ) относительно^ со/^ сильно различаются для К и X:
(13.55)(13.55)Крез = К (Нрез)。К (0) Д-^j , ^ (2зтдсот厂 /2,
(13.55)
(13.55)
Хре3 н Х (彊訂)。Х (0)(書), ——。加)工
В экспериментах часто измеряют не сами К и X, а их производные по полю, т. е. dR/dH и dX/dH. Поэтому имеет смысл рассмотреть и эти величины. На первый взгляд можно подумать, что поскольку при резонансе К и X минимальны, то при резонансе их производные обращаются в нуль. Однако фактически резонанс соответствует не нулевым значениям dR/dH и dX/dH, а их максимальным значениям. Это обусловлено тем, что при сот ~ со функции R (Я) и X (Я) не имеют минимума при резонансе, а имеют
Рис. 13.12. К определению производных вещественной части импеданса R (Н) по полю Н: dR/dH в точке резонанса (Н = /ез) (масштаб произвольный).Рис. 13.12. К определению производных вещественной части импеданса R (Н) по полю Н: dR/dH в точке резонанса (Н = /ез) (масштаб произвольный).(для основных групп ..обычно гораздо меньше, чем первые из отбрасываемых членов в разложениях, исполь(для основных групп ..обычно гораздо меньше, чем первые из отбрасываемых членов в разложениях, испольполем, в радиочастот- Гааза — ван Альфенаполем, в радиочастот- Гааза — ван АльфенаЯ-1Я-1ehСs3中中（Е中，Pz）ehСs3中中（Е中，Pz）
Рис. 13.12. К определению производных вещественной части импеданса R (Н) по полю Н: dR/dH в точке резонанса (Н = /ез) (масштаб произвольный).
Рис. 13.12. К определению производных вещественной части импеданса R (Н) по полю Н: dR/dH в точке резонанса (Н = /ез) (масштаб произвольный).
(для основных групп ..
обычно гораздо меньше, чем первые из отбрасываемых членов в разложениях, исполь
(для основных групп ..
обычно гораздо меньше, чем первые из отбрасываемых членов в разложениях, исполь
полем, в радиочастот- Гааза — ван Альфена
полем, в радиочастот- Гааза — ван Альфена
Я-1
Я-1
eh
Сs3中中（Е中，Pz）
eh
Сs3中中（Е中，Pz）
наименьшее значение (равное нулю), которое соответствует излому этих функций А именно, из (13.52) при сот =8 находим, что в области, полей, где Н V Я^, имеем R (Я) ;<； (Я ^^ — Н)4/з и dR/dH=Ot когда мы приближаемся к резонансу из этой области; в области, где Н > Н 稠，имеем R (Я) (Н 黑一Я)4/3 и dR/dHf со, если приближаться к резонансу с этой стороны (рис. 13.12). Следовательно, положение резонанса действительно, удобнее всего определять по максимуму кривой dR/dH (или dX/dH, для которой имеем аналогичные свойства).
Неквадратичный закон дисперсии. Этот случай гораздо более сложный. Однако и здесь анализ экстремальных сечений поверхности Ферми произвольной формы позволяет установить и характер резонансных кривых, и связь их
с определенными характеристиками поверхности Ферми. Это последнее и делает явление ЦР в металлах одним из наиболее эффективных средств экспериментального изучения поверхностей Ферми в металлах. Для детального знакомства с теорией ЦР в случае произвольного закона дисперсии отсылаем читателя к оригинальным работам [82 — 88] и обзором [99, 8, 100]. Здесь лишь укажем, что кривые для dRldH (и dX/dH) в случае неквадратичного и квадратичного законов дисперсии имеют аналогичный вид, когда резонансная частота отвечает минимуму эффективной массы. Когда же резонанс соответствует максимальному (по pz) значению эффективной массы, то dRldH = — 8 при Н = Ярез—0 и dRldH = + 8 при Н = Ярез + 0 (см. рис. 13.11, б). В последнем случае резонансное магнитное поле можно определить как по максимуму, так и по минимуму производной dRldH. Близость положений минимума и максимума кривой dRldH (даже при ь|онечном сот) позволяет отличить максимальную эффективную массу от минимальной. Следует в заключение подчерк- путь, что поведение резонансных участков на кривых R, dRldH и т. д. очень чувствительно к свойствам поверхности Ферми, что и дает возможность получить много интересных сведений об этих свойствах.
Квантовая теор ия. До сих пор излагалась чисто классическая теория ЦР в металлах, в которой использовалось лишь квантовое понятие поверхности Ферми. Этой теории достаточно для изучения основных черт явления, ибо энергетическое расстояние 方①耳 между уровнями Ландау в магнитном поле значительно меньше энергии Ферми е$ =第 электронов) и поэтому квантовые поправки оказываются
зуемых при классической трактовке. Однако принципиально рассмотрение квантовых эффектов представляет существенный интерес. Эти эффекты, как уже отмечалось в гл. 11, носят осцилляционный характер по отношению к изменению магнитного поля с периодом в обратном поле, пропорциональным 卩 ^/之。，который существенно меньше, чем «периоды» ЦР (т. е. расстояния между соседними гармониками с g = 1, 2, 3,...), пропорциональные dmc®. Это дает возможность отличать квантовые осцилляции от классических свойств ЦР. Вместе с тем знание периодов квантовых осцилляций много дает для определения формы поверхности Ферми.
Квантовая теория поверхностного импеданса для магнитного поля произвольной ориентации и произвольного знака дисперсии и интеграла столкновений была развита в работах Азбеля [89, 90], а также независимо в работе Маттиса и Дрессельхауза [101] при более частных предположениях (квадратичный закон дисперсии, постоянное время релаксации т и при поле Н, параллельном поверхности металла). Азбель [89, 90]
показал, что периодичность осцилляций, вызванных магнитным ном случае такая же, как и в статическом поле (эффекты де и Шубникова — де Гааза):
Это делает экспериментальный анализ импеданса в магнитном поле очень полезным для определения поверхности Ферми.
Более подробная квантовая теория ЦР была разработана Лифшицем [102] и Лифшицем и др. [103], которые показали, что при достаточно низких температурах и больших временах релаксации возникают «гигантские» осцилляции высокочастотных характеристик, периодичные по обратному магнитному полю, не совпадающие, однако, по периоду с осцилляциями типа эффекта де Гааза ——ван Альфена. Это проявление резонанса на дискретных частотах, возникающего вследствие квантования эффективных масс в сильном магнитном поле в металлах со сложным законом дисперсии. За подробностями отсылаем читателя к оригинальным статьям [102—104].
Можно также учесть поправки в теории ЦР в металлах, обусловленные корреляцией между электронами проводимости, например, в рамках метода ферми-жидкости по Ландау (см. гл. 11). Этот вопрос рассматривали Азбель [105], Платцман и Джекобс [106]. См. также обзор [99].
Следует отметить, что в теоретических работах Хейне [98], Родригеса [107], Филлипса [108] и Маттиса и Дрессельхауза [101] недостаточно корректно учтены граничные условия (см. [85, 104]).
Сравнение с опытом. Первое экспериментальное доказательство эффекта Азбеля ——Канера дал Фосетт [109] на Sn и весьма неотчетливо на Си. В случае Sn этот эффект позднее исследовался в ряде работ: Безуглым и Галкиным [110], К ином и др. fill], а также особенно тщательно Хайкиным [112—115], который разработал новый метод [116] частотной модуляции для исследования зависимости высокочастотного поверхностного сопротивления металла от приложенного к нему постоянного магнитного поля. Эта методика позволила значительно повысить точность измерений ЦР в металлах. В Си более успешно, чем у Фосетта [109], ЦР наблюдали Лангенберг 口 др. [117—118]. Весьма детальное исследование на Си провели также Кип и др. [119]; они подтвердили теорию Азбеля и Канера, а также ранее предложенную «геометрию» поверхности Ферми. В работе Коха и др. [120] также на Си была усовершенствована экспериментальная техника и установлены новые нюансы эффекта, еще не нашедшие своего количественного теоретического объяснения. На РЬ эффект наблюдали Безуглый и Галкин [110] и Хаййин и Мина [121]. В последних работах с помощью ЦР была проверена модель поверхности Ферми для РЬ. ЦР наблюдался в In [122], Zn [123, 124]r Al [118, 125 —128]. В работе Гримса и др. [129] дается анализ наблюдаемых расхождений между данными [127] и теорией и проведены дополнительные эксперименты, разъясняющие этот вопрос. В Cd ЦР наблюдали Галт и др. [130]. Гриме и Кип [131] наблюдали ЦР Азбеля — Канера в ориентированных монокристаллах Na и К. Их результаты дали возможность определить эффективные массы: m爲@/加=1,24 + 0,02 и т^ /т = =1,21 土 0,02. Изотропность результатов для Cd указывает на то, что в этом металле поверхность Ферми очень близка к сферической (с точностью по кф до 1%). На Na результаты оказались неточными из-за низкотемпературного фазового превращения. На монокристаллах Bi ЦР исследовали Галт и др. [74, 132], Декстер и Лакс [75], Обри и Чамберс [133] и Обри [134]. Наиболее детальные исследования, с анализом данных и сравнением их с имеющимися моделями поверхности Ферми, проведены в работах Хайкина, Мины и Эдельмана [135] и Као [136]. ЦР для нескольких типов носителей (гибридный резонанс), а также для наклонных орбит в случае Bi был рассмотрен теоретически и экспериментально в работе Смита и др. [137].
Первый эксперимент по ЦР на кристаллах переходных металлов провели Фосетт и Уолш [138], они изучили монокристалл вольфрама достаточно большой чистоты (с отношением удельных сопротивлений р295“ к/Р1 6е к 弋 7250) (см. также гл. 25).
Как уже отмечалось выше, ЦР наблюдался также и в полупроводниках с большой плотностью носителей тока (^ 1017/c№3). Этот случай, очевидно, реализуется в р- РЬТе [139]. Здесь отличие от металлов заключается в том, что в полупроводниках отношение гн/6 из-за большой глубины скин-слоя гораздо меньше, чем в металлах. Кроме того, не наблюдается также резонанс на высших гармониках (кроме первой). Последнее связано с тем, что при малых гн/6 вероятности соответствующих переходов также очень малы, как это показано в теоретической работе Верстейна и др. [140], в которой рассмотрен ЦР типа Азбеля —— Канера в полупроводниках и полуметаллах.
Мы не имеем возможности останавливаться на других частных случаях проявления ЦР в металлах. К этим случаям относится ЦР, наблюдаемый, когда постоянное магнитное поле направлено нормально к поверхности металла и измеряется поглощение (или отражение) циркулярно поляризованного электромагнитного поля, которое также нормально к металлу (т. е. параллельно постоянному магнитному полю),— это так называемая ^геометрия Галтам (см. обзор Пиппарда [100]). В этом случае наблюдались точки перегиба и изолированные пики. Более детально с теорией этого случая можно ознакомиться в работе Миллера и Хакнинга [141].
Кох и Кип [142] рассмотрели другой специальный случай ЦР типа Азбеля —— Канера при постоянном магнитном поле, перпендикулярном к поверхности образца, который они наблюдали в монокристалле Sn. В этом случае мы имеем дело с так называемым резонансом на наклонных орбитах^ возникающим при движении электронов по экстремальным орбитам, которые хотя и лежат в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю в пространстве квазиимпульсов, но в обычном пространстве они наклонены к полю (к нормали к поверхности образца), как это показано на рис. 13.13.
Более сложный случай этого типа резонанса также рассмотрел Уолш [143], который учел указанную Кохом и К ином [142] возможность существования орбит (в обычном пространстве), которые не лежат в одной плоскости и допускают многократные прохождения электрона через скин-слой (skipping orbits). Этот эффект наблюдался Уолшем на монокристалле весьма чистого W (р295о к/р4 20 к % 28 000).
Интересную возможность наблюдения ЦР в наклонных магнитных полях при открытых траекториях электронов указали в теоретической работе Песчанский и Лех- цнер [144].
В качестве примера наиболее типичных экспериментальных результатов на рис. 13.14 приведено сравнение опытной и теоретической кривых dR(H}j dH как функции Н для меди (см. Кип [145]). Обращаем Внимание на некоторые более поздние исследования ЦР в металлах [146—182].
Резонансные всплески магнитного поля в толще металла. В металлах на высоких частотах возможен еще один резонансный эффект, предсказанный теоретически
Рис. 13.13. Циклотронный резонанс на наклонных орбитах, а) Поверхность Ферми в пространстве квазиимпульсов;。⑴一 скорость Ферми, АВ — траектория электрона в плоскости, нормальной к полю Н. б) Наклонная орбита в обычном пространстве; 6 — толщина скин-слоя у наружной поверхности металла CD.Рис. 13.13. Циклотронный резонанс на наклонных орбитах, а) Поверхность Ферми в пространстве квазиимпульсов;。⑴一 скорость Ферми, АВ — траектория электрона в плоскости, нормальной к полю Н. б) Наклонная орбита в обычном пространстве; 6 — толщина скин-слоя у наружной поверхности металла CD.
Рис. 13.13. Циклотронный резонанс на наклонных орбитах, а) Поверхность Ферми в пространстве квазиимпульсов;。⑴一 скорость Ферми, АВ — траектория электрона в плоскости, нормальной к полю Н. б) Наклонная орбита в обычном пространстве; 6 — толщина скин-слоя у наружной поверхности металла CD.
Рис. 13.13. Циклотронный резонанс на наклонных орбитах, а) Поверхность Ферми в пространстве квазиимпульсов;。⑴一 скорость Ферми, АВ — траектория электрона в плоскости, нормальной к полю Н. б) Наклонная орбита в обычном пространстве; 6 — толщина скин-слоя у наружной поверхности металла CD.
Рис. 13.14. Циклотронный резонанс типа Азбеля — Канера в монокристалле меди по данным работы Кипа [145]. По оси ординат отложена в произвольном масштабе измеряемая величина dR/dH (производная вещественной, активной части импеданса R по полю Н), а по оси абсцисс — магнитное поле в относительных единицах (Н/Нс). Поверхность образца совпадает с кристаллографической плоскостью (110). Измерения проводились при фиксированной частоте внешнего электромагнитного поля м=2,4-107 гц при (от — 10. Верхняя кривая опытная, нижняя — теоретическая [см. (13.52)].Рис. 13.14. Циклотронный резонанс типа Азбеля — Канера в монокристалле меди по данным работы Кипа [145]. По оси ординат отложена в произвольном масштабе измеряемая величина dR/dH (производная вещественной, активной части импеданса R по полю Н), а по оси абсцисс — магнитное поле в относительных единицах (Н/Нс). Поверхность образца совпадает с кристаллографической плоскостью (110). Измерения проводились при фиксированной частоте внешнего электромагнитного поля м=2,4-107 гц при (от — 10. Верхняя кривая опытная, нижняя — теоретическая [см. (13.52)].
Рис. 13.14. Циклотронный резонанс типа Азбеля — Канера в монокристалле меди по данным работы Кипа [145]. По оси ординат отложена в произвольном масштабе измеряемая величина dR/dH (производная вещественной, активной части импеданса R по полю Н), а по оси абсцисс — магнитное поле в относительных единицах (Н/Нс). Поверхность образца совпадает с кристаллографической плоскостью (110). Измерения проводились при фиксированной частоте внешнего электромагнитного поля м=2,4-107 гц при (от — 10. Верхняя кривая опытная, нижняя — теоретическая [см. (13.52)].
Рис. 13.14. Циклотронный резонанс типа Азбеля — Канера в монокристалле меди по данным работы Кипа [145]. По оси ординат отложена в произвольном масштабе измеряемая величина dR/dH (производная вещественной, активной части импеданса R по полю Н), а по оси абсцисс — магнитное поле в относительных единицах (Н/Нс). Поверхность образца совпадает с кристаллографической плоскостью (110). Измерения проводились при фиксированной частоте внешнего электромагнитного поля м=2,4-107 гц при (от — 10. Верхняя кривая опытная, нижняя — теоретическая [см. (13.52)].
Азбелем [96, 105] (см. также [99]) для случая, когда закон дисперсии электронов прово-димости неквадратичный. Выше уже многократно использовался хорошо известный
факт, что переменное электромагнитное поле в металле затухает тем быстрее, чем больше частота поля со. Однако -фермиевская природа электронов в металле может при известных условиях привести к резким максимумам («всплескам») магнитного поля и тока на глубинах, значительно больших толщины скин-слоя (до двух порядков). Рассмотрим движение электрона в металле по какой- то орбите7(рис. 13.15), которое происходит внутри поверхностного слоя толщины 6. На длине дуги в этом слое порядка (rd)1/2 (г ——радиус орбиты) электроны будут ускоряться электрическим полем и создадут ток плотности j. При движении «вниз» по орбите будет меняться слагающая скорости электронов, параллельная поверхности металла, и поэтому ток будет уменьшаться пропорциопально cos ср】％ и электроны еще будут «разбегаться» по глубине при ср 拄 ^(б/гд-)1/2,поэтому эффективным будет не слойб, а слой (尸н。)"〉sin ср. Таким образом, плотность тока j будет уменьшаться по закону / ctg 屮 х X (dr)-:/2. При ср 〜(6/尸)1/2, т. е. на расстояниях от поверхности порядка
6, ток J6, ток Jдостигнет, очевидно, своего
6, ток J
6, ток J
значения на поверхности (а //6). На глубине у > г плотность тока “изменит знак, но будет такой же ма
лой по величине по сравнению с //6 до тех пор, пока ср не достигнет ср0 (см. рис. 13.15), когда плотность тока будет отличаться от своего значения на поверхности лишь знаком. Эта плотность тока создала бы электрическое поле, которое ускоряло бы внутренние электроны (орбиты которых подходили бы к слою 6 в нижней части орбиты 2, рис. 13.15). Это в свою очередь приводило бы к всплеску поля при g = 2d
и т. д. Орбиты данного радиуса г имеют разброс своих центров по оси у порядка 6. Они все приведут к уширениям《всплесков», также порядка 6. Однако другая картина возникает при наличии орбит с различными радиусами (орбиты 2 и 3 на рис. 13,15), отвеча- чающих другим сечениям поверхности Ферми. Разброс по радиусам приводит к тому, что при любом у в слое 6 собирается лишь небольшая часть электронов (^ 6/г), и поле,
Рис. 13.15. К определению резонансных всплесков магнитного поля и электрического тока в толще металла на глубинах, значительно больших толщины скин-слоя 6 (Азбель 196, 105]). 7, 2, 3 — три орбиты электрона, проходящие через скин-слой, с различными радиусами г, отвечающие различным сечениям поверхности Ферми. Угол $ определяет положение электрона на орбите (см. подробное объяснение рисунка в тексте).Рис. 13.15. К определению резонансных всплесков магнитного поля и электрического тока в толще металла на глубинах, значительно больших толщины скин-слоя 6 (Азбель 196, 105]). 7, 2, 3 — три орбиты электрона, проходящие через скин-слой, с различными радиусами г, отвечающие различным сечениям поверхности Ферми. Угол $ определяет положение электрона на орбите (см. подробное объяснение рисунка в тексте).
Рис. 13.15. К определению резонансных всплесков магнитного поля и электрического тока в толще металла на глубинах, значительно больших толщины скин-слоя 6 (Азбель 196, 105]). 7, 2, 3 — три орбиты электрона, проходящие через скин-слой, с различными радиусами г, отвечающие различным сечениям поверхности Ферми. Угол $ определяет положение электрона на орбите (см. подробное объяснение рисунка в тексте).
Рис. 13.15. К определению резонансных всплесков магнитного поля и электрического тока в толще металла на глубинах, значительно больших толщины скин-слоя 6 (Азбель 196, 105]). 7, 2, 3 — три орбиты электрона, проходящие через скин-слой, с различными радиусами г, отвечающие различным сечениям поверхности Ферми. Угол $ определяет положение электрона на орбите (см. подробное объяснение рисунка в тексте).
Рис. 13.16. Резонансные всплески электрического поля в толще металла на глубинах у (отсчитываемых от поверхности образца), больших толщины скин-слоя 6 и кратных диаметров d циклотронных орбит электронов проводимости [96, 105].Рис. 13.16. Резонансные всплески электрического поля в толще металла на глубинах у (отсчитываемых от поверхности образца), больших толщины скин-слоя 6 и кратных диаметров d циклотронных орбит электронов проводимости [96, 105].=0, 1, 2, . . .) имеются=0, 1, 2, . . .) имеются
Рис. 13.16. Резонансные всплески электрического поля в толще металла на глубинах у (отсчитываемых от поверхности образца), больших толщины скин-слоя 6 и кратных диаметров d циклотронных орбит электронов проводимости [96, 105].
Рис. 13.16. Резонансные всплески электрического поля в толще металла на глубинах у (отсчитываемых от поверхности образца), больших толщины скин-слоя 6 и кратных диаметров d циклотронных орбит электронов проводимости [96, 105].
=0, 1, 2, . . .) имеются
=0, 1, 2, . . .) имеются
«проталкиваемое» в глубину металла, будет поэтому очень быстро убывать в последующих «всплесках» при у > d. Если закон дисперсии квадратичный, поверхность Ферми имеет форму эллипсоида, то ①耳 не зависит от сечения, и поэтому указанный разброс по радиусам ликвидировать нельзя. Поэтому при квадратичном законе дисперсии эффект «всплесков^ поля практически полностью размазывается. Наоборот, если сон зависит от сечения (т. е. от р^), то разброс устраняется при использовании ЦР, в котором участвуют, как мы видели выше, только электроны, находящиеся вблизи экстремальных частот ЦР с разбросом по Pz )：i Apz^Poz/(①г)'"* Строгое решение задачи определения указанной выше самосогласованной системы токов и полей приводит к зависимости Е (у) [и 7 (у)], качественно изображенной на рис. 13.16. Из этого рисунка видно, что при у = d, 2d,... поле (и ток) имеют резкие максимумы; при этом при уь = 2Ь х X d (Ь = 0, 1, 2, . . .) имеются одиночные экстремумы, знаки ко
торых чередуются как (—1)匕，а _
экстремума, отличающихся знаком. Знаки первых из двух соседних экстремумов чередуются как (——1)匕+丨；первый экстремум при y=d имеет знак, противоположный знаку поля (тока) при у = +0..
В работах Азбеля [96, 105] также перечислены возможные новые резонансные эффекты, связанные с рассмотренным эффектом всплесков поля: скачки резонансных значений импеданса (при сохранении резонанса) и скачкообразное исчезновение резонанса в пластинках на гармониках толщины 0 > d: а) с увеличением частоты переменного поля и б) при вращении постоянного магнитного поля в плоскости пластинки; селективная прозрачность пластинок в резонансе; электронное «эхо», аналогичное спиновому《зху». Кроме того, эти эффекты дают еще один способ непосредственного воспроизведения поверхности Ферми.
Эффект, предсказанный Азбелем, относится к группе так называемых размерных эффектов, возникающих в достаточно чистых металлических образцах с большой длиной свободного пробега электронов проводимости при их помещении во внешнее постоянное магнитное поле и одновременно в постоянное или радиочастотное электрическое поле и определяемых соотношением между размерами электронных (циклотронных) орбит и размерами образца. В случае радиочастотных полей эти эффекты становятся наиболее яркими (при измерении высокочастотного импеданса), поскольку в этом
случае входит еще один существенный параметр размерности длины ——глубина проникновения переменного электромагнитного поля д.
Впервые размерный эффект наблюдал Хайкин [114], обнаруживший исчезновение ЦР при уменьшении внешнего статического поля, при котором диаметр циклотронной орбиты становится меньше размеров образца. Размерные эффекты наблюдали и теоретически рассматривали Гантмахер [184], Канер [185], Гантмахер и Канер [186], Гант- махер и Крылов [187]. За подробностями отсылаем читателей к этим интересным исследованиям, а также см. работы [188—190, 559—566, 568,569].
Упомянем здесь еще некоторые явления, которые также можно отнести к группе эффектов типа ЦР.
Магнетоплазменные явления. Эти явления присущи системам с повышенной плотностью носителей тока. Более подробно с этим вопросом можно ознакомиться в обзоре [8]. См. также работы [191, 192] и приведенные в них библиографии, а также работы [193, 194, 567]. “
Циклотронный резонанс в инфракрасной области. Этот случай ЦР представляет интерес для полупроводников, где при обычных частотах не выполняется условие сот > > 1 пли сильны магнетоплазменные и деполяризациионные эффекты из-за высокой плотности носителей тока (со < мплзм). Именно в этих случаях ЦР при инфракрасных частотах окрывает возможности для преодоления указанных трудностей. Даже при комнатной температуре, где т 弋 10-13 сек, при резонансе при 九 ^ 100 микрон сот》1, а в BiХплзм 100 микрон (при п 二七 1018 сж-3). Поэтому в опытах при комнатных температурах и длинах волн от 1 до 100 мкм условия для наблюдения ЦР оказываются выполненными. Однако есть еще одна трудность даже при малых эффективных массах (тп 弋 0,001 тп): частота ю ^ 3 -1013 требует полей порядка 10б з, чтобы осуществлялся ЦР (см. работу [195]). Здесь возможны два пути: высокие постоянные поля, до 6 ・1。4 з, или импульсные поля до 3 -105 乱 Подробнее см. обзор [8] и [570].
§ 2. Электронный парамагнитный резонанс
Общие замечания. При внесении парамагнитного ионного кристалла, полупроводника или металла в переменное магнитное поле частоты (о наблюдается явление дисперсии магнитной проницаемости (т. е. зависимости от частоты (о) и поглощение энергии внешнего поля. При этом поглощение носит ярко выраженный резонансный характер. Типичные условия такого эксперимента следующие: образец парамагнитного вещества помещают в постоянное магнитное поле Н, под прямым углом к которому включается переменное магнитное поле Н~ = Н\ ехр (%з£) частоты (о с амплитудой Hi и производится измерение комплексной магнитной восприимчивости *) %*=%' + %%", где вещественная часть %’ называется высокочастотной или динамической еосприимчиеостъю, а мнимая часть %" характеризует коэффициент поглощения ). Резонансный характер этого поглощения открыл экспериментально Завойский [197,
198] в солях ионов группы железа. Это явление было названо электронным парамагнитным резонансом (ЭПР). Одна из первых экспериментальных работ по ЭПР принадлежит Куммероу и Холлидею [199]. Открытию Завойского предшествовали общие теоретические соображения о возможности существования этого явления. Вскоре после опытов Штерна и Герлаха по изучению явления пространственного квантования атомных моментов Эйнштейн и Эренфест [200] высказали предположение о возможных квантовых переходах между магнитными подуровнями атомов под влиянием внешнего электромагнитного поля. Дорфман [201], анализируя открытое Аркадьевым [202] селективное поглощение энергии переменного электромагнитного поля в ферромагнетиках и основываясь на упомянутой работе Эйнштейна и Эренфеста, высказал идею о возможности резонансного поглощения электромагнитной энергии парамагнетиками, дав этому явлению термин «фотомагнитного эффекта». Валлер [203], по предложению Паули, подробно разработал теорию парамагнитной релаксации в твердых телах； эта работа явилась исходной для последующего развития теории динамических явлений в парамагнетиках, в том числе и для ЭПР *). Интенсивное и систематическое экспериментальное изучение дисперсии и поглощения электромагнитного поля в парамагнетиках в области частот 106——3・1。7 гц в присутствии постоянного магнитного поля было предпринято школой Рортера в Голландии [см. монографию Гортера (1949)]. Гортер для измерения у" пользовался прямым калориметрическим методом измерения поглощаемой в парамагнетиках энергии. Этот метод обладает рядом недостатков; в частности, с его помощью нельзя производить измерений при комнатных температурах не только в растворах, но и в твердых телах из-за огромных омических и диэлектрических потерь, практически целиком затушевывающих] малый эффект парамагнитного поглощения. Метод Гортера не может быть применен также в области частот выше 108 гц.
Заслугой Завойского [197, 198] является то, что он разработал косвенные радиотехнические методы измерения поглощаемой энергии в парамагнитных телах. В этих методах используется обнаруженная на опыте линейная связь между сеточным или анодным током электронного генератора и ваттной нагрузкой на последний при условии, что величина этой нагрузки равна очень малой части мощности генератора. Чувствительный и простой метод Завойского дал возможность расширить измерения до частот порядка 3 «109 гц и производить их при комнатной температуре даже в жидких растворах. Все это позволило обнаружить резонансную природу парамагнитного поглощения в присутствии постоянного под- магничивающего поля, перпендикулярного к переменному магнитному полю.
того, согласно Крамерсу [204] и Кронигу [205], между 先'и %" существует универ- сальная связь (соотношение Крамерса ——Йронига}\
s%" ®) <Zw①2 一晚s%" ®) <Zw①2 一晚'%' (00),'%' (00),%*(«0)=4-， о%*(«0)=4-， оСоо片（①）dco 欣一%Соо片（①）dco 欣一%
s%" ®) <Zw①2 一晚
s%" ®) <Zw①2 一晚
'%' (00),
'%' (00),
%*(«0)=4-， о
%*(«0)=4-， о
Соо片（①）dco 欣一%
Соо片（①）dco 欣一%
(обычно %' (оо) = 0). Вывод этих соотношений можно найти, например, в книге Пей- ка (1965).
*) Валлер [203] указал, что в магнитной подсистеме кристалла (например, в случае кристаллов Зс?-металлов или Gd, где орбитальные моменты заморожены или их нет, это просто спин-система 3d- или 4/-оболочек) возможны два типа релаксационных процессов. Один из них протекает внутри самой магнитной (спиновой) системы и определяется взаимодействием атомных магнитных моментов (спинов) — так называемая спин-спиновая релаксация. Другой протекает между магнитной (спиновой) подсистемой и колеблющейся кристаллической решеткой —— спин-решеточная или спин-фонон- ная релаксация.
Завойский усовершенствовал также методику измерения динамической восприимчивости %' при частотах порядка 109 гц. Вместе с тем он не только открыл явление ЭПР, но и изучил ряд его закономерностей, а также значительно расширил область исследования парамагнитной релаксации (см. его работы [197, 198, 206—209]). Работы Завойского положили на чало как широкому развитию теоретических и экспериментальных исследований по ЭПР и парамагнитной релаксации, так и практическому применению этих явлений для изучения структуры твердых тел, природы химической связи и структуры молекул и кристаллов и т. п. В настоящее время ЭПР представляет собой один из важнейших разделов современного учения о магнетизме.
” Первое теоретическое объяснение опытов Завойского по парамагнитной дисперсии и поглощению было предложено Френкелем [210]. Дальнейшее развитие теории дано Альтшулером, Завойским и Козыревым [211]. Шапошников [212], используя методы Мандельштама и Леонтовича [213J для теории акустической релаксации, развил общую теермодинамическую теорию парамагнитной релаксации, учитывающую не только спин-решед'оч- ную релаксацию (Казимир, Дю-Пре [214]), но и спин-спиновую.
Общие условия электронного парамагнитного резонанса. Для того чтобыУуяснить себе физическую природу явления ЭПР, обратимся снова к рассмотрению влияния внешнего постоянного магнитного поля и внешнего электромагнитного поля на изолированный атом (ион), обладающий в своем свободном состоянии отличным от нуля результирующим магнитным моментом. Каждый энергетический уровень такого атома характеризуется квантовым числом полного момента (см. гл. 2). Если внешнее статическое магнитное поле Н относительно слабее по сравнению с внутренними магнитными полями атома, то оно не нарушает спин- орбитальной связи, и поэтому вокруг направления Н будет прецессировать результирующий вектор момента J". Под действием поля в этом случае энергетический уровень атома расщепляется на 2J -И 1 эквидистантных магнитных подуровней (зеемановское расщепление, см. гл. 2, § 4). Под действием переменного магнитного поля частоты (о возможны магнитные дипольные переходы (с правилами отбора для магнитного квантового числа mf: | ^mf | = 1) между соседними подуровнями, если выполняется резонансное соотношение (боровское правило частот)
五①=■ gj卩pH =卷球 宮 1,(13.56)
где фактор Ланде gj определяется формулой (2.31). Заменяя магнетон Бора [хБ его выражением по (2.4), вместо (13.56) находим
①晶р = gj ~^" = yH・(13.57)
Формула (13.57) и дает условие для частот элементарного магнитного резонанса изолированного атома (иона). В простейшем случае, когда мы имеем дело с чисто спиновым моментом (£ = 0), согласно (2.13) и (2.42) gj = gs = 2,0023 (для орбитального магнетизма g^ = 1) и (13.57) дает
3認p=gs 察= 1,0116зн.(13-58)
Из (13.58) следует, что для свободного электронного спина резонансная частота о)эпр отличается на 0,116% от циклотронной частоты ) (Од.
Из формул (13.57) и (13.58) следует, что резонансные частоты ЭПР определяются величиной магнитного поля, в частности, из (13.58) имеем м^р« 1,401-107-Я.(13.58а)
Из (13.58а) видно, что при полях от 1 до 104 э резонансные частоты лежат в интервале частот 107—1011 гц (10—105 Мгц), т. е. в радиочастотной (107—— 109 гц) или микроволновой (1010—1011 гц) областях (интервал длин волн 104—1 см).
Наблюдение ЭПР на сравнительно низких частотах и соответственно в слабых магнитных полях хотя принципиально возможно [см. (13.56)—— (13.59)], но практически оказывается невозможным. Это обусловлено тем, что вероятности соответствующих квантовых переходов резко падают с уменьшением частоты и эффект становится неразличимым. Последнее и было причиной неудачи перевоначальных попыток обнаружения ЭПР [Гортер (1949)] ).
Основные условия ЭПР можно также с большой наглядностью получить из анализа классических и квантовых уравнений движения магнитного момента. Как известно из классической механики, намагниченность I в магнитном поле Н подчиняется уравнению движения
券=?[7 ⑴.h(切，(13.59)
где
T = gj 盡' и Н «) = Н + %ехр(йо»
Направим постоянное однородное поле Н вдоль оси z (0, 0, Н), а переменное линейно поляризованное поле Н^ — вдоль оси /. Последнее можно рассматривать как суперпозицию двух полей с круговой поляризацией (с правым — по часовой стрелке и с левым — против часовой стрелки вращением), а именно:
• Hx = Hlcos(iit, Hx^Hi cos(oi, правое вращение Ну ~ Hi sin(о/, левое вращение %=—Н^ sincoi,
Если Н^ — 0, то статическое поле Hz = Н, действующее вдоль оси z, будет создавать прецессию магнитного момента I вокруг своего направления с ларморовской частотой ①工—уН, Поскольку составляющая переменного поля Н〜с левым вращением совпадает с направлением вращения I (i), то вращательный момент [I •НА будет стремиться увеличивать угол ®, т. е. отклонять прецессирующий магнитный момент I от направления Н. Если частота s поля Н^ заметно отличается от ларморовской частоты ①丄，то фаза между I (i) и Н~(£) будет непрерывно меняться, так что средний по времени вращательный момент [_Г (i) >Н^ (川 будет исчезать. Если же I(о I = I (Dj； I , то 2" и Н^ будут вращаться синхронно, и поэтому среднее значение по времени от вращательного момента будет отличным от нуля и постоянным. Следовательно, со временем намагниченность I будет либо приближаться к оси z (отдавая энергию), либо удаляться от нее (поглощая энергию). Слагающая поля с правым вращением действует также, как слагающая с левым вращением, и | s | = | 8丄| , и поэтому ее
эффект в среднем сводится к нулю. Таким образом, мы снова приходим к условию ЭПР в виде (13.57). Действительно, уравнение (13.59) в компонентах имеет вид
号^ = — %?/+Н + iyIzH± ехр (而力 ]
■^― = iyI~H — iyIzHi exp ( — Zs力)，|(13.59a)
= Y [/十 exp( — Xs£) —exp (Xs办]H, J
где введены обозначения 1^ = Ix± ily. Решение (13.59а) имеет вид
/± = ^^Г ехр (士心/),/2 = const
ИЛИ
革=tg®=・丝 = % .(13.596)
Из (13.596) видно, что при резонансе s =①丄=—уЯ, так что ® = л/2. Таким образом, восприимчивость, определяемая отношением слагающих намагниченности 1± к амплитуде переменного поля Я\, неограниченно возрастает при резонансе, поскольку мы в (13.59) не учитывали затухания (см. ниже).
В квантовом случае намагниченность I заменяется на оператор I и уравнение движения (13.59) принимает операторную форму:
-讯* =就i一i瓢、(13.60)
где ^ = — I Н — гамильтониан (зеемановское слагаемое полного гамильтониана, зависящее от внешнего поля Н). Подставляя в (13.60) это выражение 威 после несложных алгебраических преобразований и используя соотношения коммутации для операторов механического момента (см. гл. 19), находим
■^ = у[1-Н].(13.60а)
Таким образом, квантовое уравнение для оператора I целиком аналогично классическому уравнению (13.59). Поэтому для средних или собственных значений оператора I (из 13.60а) получаем обычные классические результаты.
На магнитные моменты парамагнитных ионов в кристалле, как правило, действует не только внешнее статическое поле 方，но и внутреннее поле 九，об источниках которого речь будет идти ниже. При наличии поля h условие резонанса (13.57) изменится:
ззпР = дД^т .(13.57а)
Из (13.57а) видно, что внутреннее поле h вызывает сдвиг резонансной частоты. Если для различных парамагнитных ионов поле неодинаково, то это может привести к уширению резонансной линии (см. ниже).
Переменное магнитное поле резонансной частоты с одинаковой вероятностью будет вызывать переходы с нижних магнитных подуровней энергии на верхние (поглощение) и наоборот (индуцированное испускание) *). Однако в системе атомов (ионов), находящихся в термодинамиче-
ском равновесии со своим окружением, состояния с более низкой энергией обладают большей заселенностью. Поэтому число атомов, поглощающих кванты электромагнитного поля, в этих условиях будет преобладать над числом атомов испускающих; в итоге парамагнитная система будет поглощать энергию внешнего электромагнитного поля. Допустим в качестве простого примера, что мы имеем систему из N свободных атомов, обладающих двумя магнитными подуровнями с энергетической разностью А筑 Пусть частиц с энергией нижнего подуровня будет и1т а верхнего — п2 <办！ + 办2 = %)• Внешнее поле частоты s вызывает переходы между уровнями: 1 n 2. Если вначале был больше заселен нижний уровень (nJ > п®), то под влиянием поля будет происходит выравнивание чисел заполнения, лока не наступит равенство 办；工 тг； = 7V72, т. е. наступит так называемое насыщение, после которого прекратится поглощение энергии. Если магнитная (спиновая) часть рассматриваемой системы может обмениваться энергией (т. е. взаимодействовать) с другой ее частью (в кристалле это колеблющаяся ионная решетка — фононы!), то система будет стремиться к равновесию. При равновесии
鳥=eXр (-等)， (13.61)
т. е. nJ》/г® (если А》кТ) *). Число актов поглощения больше числа актов индуцированного излучения; поэтому, как отмечалось выше, наблюдается поглощение, ведущее к росту п^. Однако благодаря взаимодействию ■с решеткой поглощаемая энергия в виде тепла передается решетке, и обычно настолько быстро, что при используемых частотах отношение njn2 очень слабо отличается от своего равновесного значения (13.61) ).
Тонкая структура линии ЭПР. Итак, условие резонанса (13.56) или (13.57) определяет спектр ЭПР. Естественно, что в реальных кристаллах g-фактор может существенно отличаться от своего значения для свободного иона благодаря эффекту внутри- кристаллических взаимодействий (см. гл. 10). Поэтому g-фактор в кристалле уже не определяется формулой (2.31). Наоборот, можно его найти экспериментально, используя явление ЭПР и измеряя Н и юэпр. А именно из (13.57) находим
/ 2mc \ ©зир 21,4178
…k = - ' 03.576)
где Н измеряется в килоэрстпедах, а Хэпр— в см. (резонансная длина волны микроволГ нового излучения). В гл. 10 мы уже видели, что g-фактор является тензором, отражающим анизотропию поля лигандов. Кроме того, как уже отмечалось там же, поле лигандов может приводить к частичному снятию вырождения состояний изолированного иона. Это в свою очередь приводит к возникновению тонкой структуры в спектрах ЭПР. Поясним это явление на конкретном примере иона Сг3+. Основным состоянием этого иона является состояние 4^, обладающее семикратным орбитальным вырождением (Е = 3; 2L + 1 = 7). В поле лигандов октаэдрической симметрии вырождение частично снимается, и уровень 4^ расщепляется на три: наинизший, синглет (Г2) и два триплета (Г4 и Г5) с большими энергиями (рис. 13.17). Синглет Г2 обладает четырехкратным спиновым вырождением (S = 3/2, 2S + 1 = 4), которое не снимается при одновременном действии кубического поля лигандов и спин-орбитальной связи (гл. 10). Это вырождение может быть снято только внешним магнитным полем (эффект Зеемана). Переходы |Ат'| — 1 между соседними линейно расходящимися зеемановскими уровнями дают одну-единственную спектральную линию (А на рис. 13.17, а) при данной частоте внешнего поля s и всех полях Н, удовлетворяющих условию (13.57), и тонкой структуры нет. Если в кристалле имеется слабая аксиальная добавка к кубическому полю лигандов, то спиновое вырождение уровня Г2 частично снимается (рис. 13.17, б) и при Н = 0 имеем расщепление основного уровня парамагнитной частицы, лежащего в микроволновой области. Поэтому линии ЭПР могут наблюдаться под влиянием магнитных дипольных переходов и в отсутствие постоянного магнитного поля. Внешнее поле дает дальнейшее расщепление этих двух крамеровских дублетов (см. гл. 10). При разных ориентациях поля Н в кристалле это расщепление будет, вообще говоря,
различным. Если поле Н направить под углом к лигандному полю, то здесь также надо различать случай слабых полей, когда ось квантования определяется направлением поля лигандов, и сильных, когда ось квантования определяется направлением поля Н.
Есть тонкая структура
а)б)
Рис. 13.17. Тонкая структура линий ЭПР иона Сг3+ с основным состоянием *尸 в кристалле с октаэдрической симметрией. Имеет место частичное снятие вырождения в поле лигандов: три уровня с симметрией типа Г2, Г4 и Г5; ms — магнитное спиновое квантовое число, а) Случай, когда зеемановское расщепление уровня Гггне приводит к тонкой структуре,—одна линия в спектре ЭПР (А), б) Случай частичного снятия вырождения уровня Г2 под влиянием слабой «аксиальной» добавки к лигандному полю — зеемановское расщепление дает тонкую структуру — три линии в спектре ЭПР (Л/, В' и С*).
Зеемановские уровни при этом расщеплении расходятся опять линейно с ростом поля Н (но для разных дублетов с разным наклоном).
Если фиксировать частоту внешнего электромагнитного поля со, что обычно и делается в опытах по ЭПР *), и менять силу поля Я, то для переходов Ат' = 士 1 в спектре ЭПР появляются три линии.»Это расщепление называется «тонкой структурой».
На рис. 13.18 приведены фотографии тонкой структуры спектра ЭПР ионов Сг3+ в кристалле А12О3 для двух ориентаций Н: вдоль тригональной оси и перпендикулярно к ней.
Для расчета тонкой структуры спектра ЭПР в кристаллах тетра- и тригональной сим-
б)
Рис. 13.18. Фотографии тонкой структуры спектра ЭПР на ионах Сг3+ в кристалле А12О3. По оси ординат отложены величи-
ны, пропорциональные поглощению, а по оси абсцисс — напряженности внешнего магнитного поля, частота которого фиксирована. а) Случай внешнего поля Н, параллельного тригональной оси кристалла. б) Случай внешнего поля ”，перпендикулярного к тригональной оси кристалла.
метрии можно воспользоваться методом «спин-гамильтониана» (см. гл. 10). Если опустить члены, обусловленные спином ядра (/ = 0) и члены, квадратичные по полю Я, то (10.52) примет вид
8спнн = g俨E^zSz十
+ ^±ЦБ (ЯХ5Х + HySy) + DSl (13.62)
Напоминаем, что ось z выбрана вдоль оси симметрии кристалла. Если поле Н параллельно этой оси, то собственные значения (13.62) будут
露3=g?| 也5吗 喈，(13.62a)
гд6 nig = S, S — 1, S — 2, . . ., — (S — 1),— числа. Правила отбора в этом случае будут
тё в симметрич
—S — магнитные спиновые квантовые
I Ams 1=1. Тогда, если записать начальные и конечные значения ной форме ms = 〃 士 "2, то условия резонанса будут
九碣% = A名=g II也8十2m，
(13.63)
*) Поскольку в микроволновой области стандартные источники излучения имеются для ограниченных интервалов частот.
где м = S — 1/2, S — 3/2, . . ., — (S — 3/2) — (S — 1/2). Если D мало, то это указывает ,что «тонкая структура» ЭПР имеет 25 равноотстоящих линий. Если D велико, то для достижения резонанса необходимы более высокие частоты со. Если магнитное поле Н имеет другое направление, то картина ЭПР усложняется. При малых D можно, однако, воспользоваться приближенными методами. Угловая зависимость расстояния между составляющими тонкой структуры от утла 仆 между Н и осью симметрии z оказывается пропорциональной угловому множителю (3 cos2 ^ — 1).
ААДАРис. 13.19а.ААДАРис. 13.19а.Рис. 13.19а. Схема зеемановской зависимости положения энергетических уровней иона Си2+ при возрастании внешнего поля Н и переходах между этими уровнями (при фиксированной частоте внешнего электромагнитного поля со), приводящих к возникновению сверхтонкой структуры (СТС) спектра ЭПР парамагнитного иона со спиновым квантовым числом] электронной оболочки S = =1/2 и ядра I = 3/2. Все переходы соответствуют правилу отбора Дти/ = 0, | Amg | = 1. Цифры под схематическим изображением линий (<<гребенки») СТС (внизу рисунка) указывают значения ядерного магнитного квантового числа mj уровней, между которыми происходит соответствующий переход (см. [283]).Рис. 13.19а. Схема зеемановской зависимости положения энергетических уровней иона Си2+ при возрастании внешнего поля Н и переходах между этими уровнями (при фиксированной частоте внешнего электромагнитного поля со), приводящих к возникновению сверхтонкой структуры (СТС) спектра ЭПР парамагнитного иона со спиновым квантовым числом] электронной оболочки S = =1/2 и ядра I = 3/2. Все переходы соответствуют правилу отбора Дти/ = 0, | Amg | = 1. Цифры под схематическим изображением линий (<<гребенки») СТС (внизу рисунка) указывают значения ядерного магнитного квантового числа mj уровней, между которыми происходит соответствующий переход (см. [283]).Сверхтонкая структура линий ЭПР. Если ядро парамагнитного иона также обладает магнитным моментом, соответствующим его спину 7, который имеет 2/ + 1 ориентаций в поле Н, благодаря взаимодействию ядерного спина со спином электронной оболочки в спектре ЭПР наблюдается также сверхтонкая структура (СТС). Например, если мы имеем 万 ион с S = 1/2 и / = 3/2, то при достаточно сильных полях оба зеемановских уровня с = ± 1/2 расщепляются на четыре подуровня и их энергия будет линейно меняться с полем (рис. 13.19а). При заданной частоте внешнего электромагнитного поля s переходы с Д/п/ = 0 будут происходить при четырех значениях внешнего поля Н — это и будут линии СТС ЭПР. Сверхтонкую структуру
ААДА
Рис. 13.19а.
ААДА
Рис. 13.19а.
Рис. 13.19а. Схема зеемановской зависимости положения энергетических уровней иона Си2+ при возрастании внешнего поля Н и переходах между этими уровнями (при фиксированной частоте внешнего электромагнитного поля со), приводящих к возникновению сверхтонкой структуры (СТС) спектра ЭПР парамагнитного иона со спиновым квантовым числом] электронной оболочки S = =1/2 и ядра I = 3/2. Все переходы соответствуют правилу отбора Дти/ = 0, | Amg | = 1. Цифры под схематическим изображением линий (<<гребенки») СТС (внизу рисунка) указывают значения ядерного магнитного квантового числа mj уровней, между которыми происходит соответствующий переход (см. [283]).
Рис. 13.19а. Схема зеемановской зависимости положения энергетических уровней иона Си2+ при возрастании внешнего поля Н и переходах между этими уровнями (при фиксированной частоте внешнего электромагнитного поля со), приводящих к возникновению сверхтонкой структуры (СТС) спектра ЭПР парамагнитного иона со спиновым квантовым числом] электронной оболочки S = =1/2 и ядра I = 3/2. Все переходы соответствуют правилу отбора Дти/ = 0, | Amg | = 1. Цифры под схематическим изображением линий (<<гребенки») СТС (внизу рисунка) указывают значения ядерного магнитного квантового числа mj уровней, между которыми происходит соответствующий переход (см. [283]).
Рис. 13.196. Сверхтонкая структура (СТС) спектра ЭПР иона Мп2+ в водном'растворе МпС12 прификсированной частоте переменного электромагнитного поля (о/2л = 9345 Мгц. По оси ординатотложена интенсивность'линий, по оси абсцисс—внешнее постоянное магнитное поле в пределах от2900 до 4300 э [Альтшулер и Козырев (1961)]*
ЭПР впервые наблюдал Пенроз [216], следуя указанию Гортера [217]. На рис. 13.196 приведена картина фактически наблюдаемой СТС в ЭПР для иона Md* в водном растворе МпС12 при s/2；n = 9345 Мгц.
Количественно СТС спектра ЭПР описывается членами в спин-гамиль- тониане (10.63) с постоянными 4, А2 и 0. Все линии СТС обычно (рис. 13.196) имеют одинаковую интенсивность, и поэтому их легко можно отличить от линий тонкой структуры, интенсивность которых спадает от середины мультиплета к его краям. Угловая зависимость СТС также оказывается иной, чем для тонкой структуры.
Ширина линий спектра ЭПР и парамагнитная релаксация. Приведенные выше соображения, строго говоря, применимы лишь к сильно разведенным растворам магнитных ионов в монокристаллах. В реальных парамагнитных кристаллах или жидких растворах имеется много усложняющих причин, приводящих к существенному уширению резких линий резонансного поглощения. Поскольку ЭПР обычно наблюдают при фиксированной частоте микроволнового электромагнитного поля, а изменяют величину напряженности постоянного магнитного ноля Н, то уширение резонансных линий
принято измерять в эрстедах. В явлении уширения резонансных линий мы имеем дело с двумя основными эффектами; один из них обусловлен взаимодействием между матнит- ними ионами (спин~спиновое взаимодействие), а другой — взаимодействием между системой магнитных моментов парамагнитных ионов и колебаниями решетки (спин-реше- точное взаимодействие). Эти взаимодействия определяют и соответствующие времена спин-спиновой релаксации тсс и спин-решеточной релаксации тСр в парамагнетиках [Гортер (1949)]. Приближенно принимают следующую связь между полушириной: линии поглощения ЭПР и этими временами:
11
А^зир Q ~И—— •
тср
В действительности эта связь, конечно, более сложная. Взаимодействие парамагнетика с внешним электромагнитным полем частоты со, согласно Казимиру и Дю-Пре [214], схематически изображено на рис. 13.20. Парамагнитный кристалл, как уже отмечалось, можно представить как совокупность двух подсистем: спин-системы и кристаллической решетки, к которой относятся все остальные (не спиновые) степени свободы парамагнетика: фононы и др. Такое разделение, естественно, предполагает, что эти подсистемы сравнительно слабо взаимодействуют друг с другом (в нулевом приближении они считаются независимыми), т. е. что спин-решеточная связь заметно меньше спин-спиновой.
В этом случае равновесие внутри спин-системы устанавливается гораздо быстрее, чем
Рис. 13.20. Схема релаксационных процессов в парамагнетике при ЭПР (方①一 квант внешнего электромагнитного поля, тсс и 一 времена релаксации, спин-спиновое и спин-решеточное).
между спин-системой и решеткой (тсс《тср), и спин-системе можно приписать, вообще говоря, свою температуру, отличную от температуры решетки. Как мы видели выше, в условиях теплового равновесия для заселенности уровней в спин-системе последняя поглощает энергию падающего на нее излучения, а затем благодаря спин-решеточному взаимодействию непрерывно передает ее решетке (фононам) с восстановлением равновесного распределения парамагнитных ионов по уровням энергии, между которыми происходят магнитные переходы. Затем она отдает эту энергию термостату (при не очень низких температурах, когда теплоемкость решетки велика и заметно выше чем у спин- системы, термостатом может явиться и сама решетка) ). Время тср сильно изменяется при переходе от вещества к веществу и сильно зависит от температуры.
Опыт показывает, что температурная зависимость времени тср имеет вид тср—Т"1. По величине | тср | 弋 10"6 сек при Т 弋 20° К, и оно возрастает до значений порядка Ю"2 сек при Т = 4,2° К. Время спин-спиновой релаксации гораздо короче, а именно тсс 弋 1()70 eg%, и Оно практически не зависит от температуры. Именно эти различия и позволяют рассматривать оба процесса как автономные, и поэтому, например, при (о V Ю7 2“ спин-спиновую релаксацию можно не рассматривать. Следует также иметь в виду, что времена релаксации зависят и от соотношения величин внешнего поля | Н J и внутренних полей | 无 | [см. (13.57а)]. При | Н |《| 无 | в основном изменение Н меняет направление результирующего поля Н 壬 无，но не его величину. Это приводит к некоторой разориентации атомных моментов, поскольку меняются их оси прецессии (эта поляризация магнитной спиновой подсистемы не связана с взаимодействием с решеткой и определяется небольшими изменениями энергии зеемановских уровней атомных магнитиков). Если же | Н" |》| 无 |, небольшие изменения меняют в основном величину результирующего поля ff 4~ fe, а не его ориентацию. В данном случае поляризация связана с изменением заселенности уровней, что требует взаимодействия с решеткой. Отсюда следует, что спин-решеточную релаксацию можно изучать в больших статических полях и в параллельном переменном поле со столь малой частотой, что спин-спиновой релаксацией можно пренебречь (ибо s《т"1). С другой стороны, эту последнюю релаксацию следует изучать при высоких частотах.
Установление равновесия в спин-системе, происходящее путем обмена энергией между отдельными ее частями, идет так, что полная энергия спин-системы не меняется. Наоборот, спин-решеточная релаксация происходит с изменением энергии спин-системы.
К проблеме о ширине линий ЭПР можно подойти очень просто и чисто феноменологически. В микроскопическом аспекте это весьма сложная задача. Здесь, например, необходимо выяснить связь между релаксационными процессами в нерезонансных и резонансных опытах [см. Пейк (1965)].
Физический механизм релаксационных процессов, а. Стшн-спино- вое взаимодействие. Выше уже указывалось, что в уравнениях (13.59) необходимо учитывать затухание при ЭПР. Вводя времена релаксации тсс и тср, можно, следуя Блоху [218], обобщить уравнения (13.59), добавляя члены затухания IXt у/тсс и (70 — /2)/тср, где 70 — равновесное значение Iz. В итоге имеем
d/士dtdlzdtd/士dtdlzdt土 iyIzH1 exp (土 心力土 iyIzH1 exp (土 心力土1 厶 —gy[/+exp( — йо£) — 7"exp(Z(oi)] ^4土1 厶 —gy[/+exp( — йо£) — 7"exp(Z(oi)] ^4/о^ср/о^ср> (13.64)> (13.64)Решение для /士 ищем в видеРешение для /士 ищем в виде7/2Я1 ехр (士 心上)0)+уН 干 i(тсс)-1 •7/2Я1 ехр (士 心上)0)+уН 干 i(тсс)-1 •(13.65)(13.65)При определении Iz будем предполагать, что dlz/dt = 0, т. е. в спиновой системе существует равновесная температура, определяемая поглощаемой энергией, релаксацией и температурой решетки (которая может не совпадать с температурой спиновой подсистемы). Величину Iz находим из второй строки (13.64), подставляя туда выражения (13.65):При определении Iz будем предполагать, что dlz/dt = 0, т. е. в спиновой системе существует равновесная температура, определяемая поглощаемой энергией, релаксацией и температурой решетки (которая может не совпадать с температурой спиновой подсистемы). Величину Iz находим из второй строки (13.64), подставляя туда выражения (13.65):71 十 ®+?Н)2%с2° 1 十(3 十？Н)2 磕^十丫2H扌ТсрТсс71 十 ®+?Н)2%с2° 1 十(3 十？Н)2 磕^十丫2H扌ТсрТсс(13.66)(13.66)Подстановка (13.66) в (13.65) даетПодстановка (13.66) в (13.65) дает7土Г 浊1 ехр (土 心上)тее I® 十 M) tcc 士 4。1 十(3十 T8)2 ZcT^A汽ертее~7土Г 浊1 ехр (土 心上)тее I® 十 M) tcc 士 4。1 十(3十 T8)2 ZcT^A汽ертее~(13.67)(13.67)Из (13.67) находим комплексную парамагнитную восприимчивость в плоскости (瑞 у):Из (13.67) находим комплексную парамагнитную восприимчивость в плоскости (瑞 у):,.w /± eхр (沁力)% f =一瓦一,.w /± eхр (沁力)% f =一瓦一гдегдеX —yg/с® 十?н)蔦=1十(s + TH)2喂十产4汽cptcc，Хо~—1+7<°+тЯ)2 т2с+?2Я2тсртсс，X —yg/с® 十?н)蔦=1十(s + TH)2喂十产4汽cptcc，Хо~—1+7<°+тЯ)2 т2с+?2Я2тсртсс，(13.68)(13.68)где Хо = ЩН\ поскольку ?Н=—①丄，то 犬>°・Выражения для слагающих комплексной восприимчивости значительно упрощаются, если выполняется условие *)где Хо = ЩН\ поскольку ?Н=—①丄，то 犬>°・Выражения для слагающих комплексной восприимчивости значительно упрощаются, если выполняется условие *)?2Н；%р%с《1-?2Н；%р%с《1-(13.69)(13.69)Действительно, тогда по (13.66) следует, что Iz -^ 70- Это означает, что, несмотря на увеличение заселенности мультиплета из-за поглощения энергии переменного поля, благодаря малости времени релаксации тср температурное равновесие быстро восстанавливается и температура магнитной (спиновой) подсистемы практически совпадает с температурой кристаллической решетки. При выполнении условия (13.69) для угла прецессии ® вместо (13.596) имеемДействительно, тогда по (13.66) следует, что Iz -^ 70- Это означает, что, несмотря на увеличение заселенности мультиплета из-за поглощения энергии переменного поля, благодаря малости времени релаксации тср температурное равновесие быстро восстанавливается и температура магнитной (спиновой) подсистемы практически совпадает с температурой кристаллической решетки. При выполнении условия (13.69) для угла прецессии ® вместо (13.596) имеемI = tg®I = tg®HiHi附十代7）2十（严ее）-2m附十代7）2十（严ее）-2m(13.70)(13.70)
d/士dtdlzdt
d/士dtdlzdt
土 iyIzH1 exp (土 心力
土 iyIzH1 exp (土 心力
土
1 厶 —gy[/+exp( — йо£) — 7"exp(Z(oi)] ^4
土
1 厶 —gy[/+exp( — йо£) — 7"exp(Z(oi)] ^4
/о^ср
/о^ср
> (13.64)
> (13.64)
Решение для /士 ищем в виде
Решение для /士 ищем в виде
7/2Я1 ехр (士 心上)
0)+уН 干 i(тсс)-1 •
7/2Я1 ехр (士 心上)
0)+уН 干 i(тсс)-1 •
(13.65)
(13.65)
При определении Iz будем предполагать, что dlz/dt = 0, т. е. в спиновой системе существует равновесная температура, определяемая поглощаемой энергией, релаксацией и температурой решетки (которая может не совпадать с температурой спиновой подсистемы). Величину Iz находим из второй строки (13.64), подставляя туда выражения (13.65):
При определении Iz будем предполагать, что dlz/dt = 0, т. е. в спиновой системе существует равновесная температура, определяемая поглощаемой энергией, релаксацией и температурой решетки (которая может не совпадать с температурой спиновой подсистемы). Величину Iz находим из второй строки (13.64), подставляя туда выражения (13.65):
71 十 ®+?Н)2%с
2° 1 十(3 十？Н)2 磕^十丫2H扌ТсрТсс
71 十 ®+?Н)2%с
2° 1 十(3 十？Н)2 磕^十丫2H扌ТсрТсс
(13.66)
(13.66)
Подстановка (13.66) в (13.65) дает
Подстановка (13.66) в (13.65) дает
7土Г 浊1 ехр (土 心上)тее I® 十 M) tcc 士 4
。1 十(3十 T8)2 ZcT^A汽ертее~
7土Г 浊1 ехр (土 心上)тее I® 十 M) tcc 士 4
。1 十(3十 T8)2 ZcT^A汽ертее~
(13.67)
(13.67)
Из (13.67) находим комплексную парамагнитную восприимчивость в плоскости (瑞 у):
Из (13.67) находим комплексную парамагнитную восприимчивость в плоскости (瑞 у):
,.w /± eхр (沁力)% f =一瓦一
,.w /± eхр (沁力)% f =一瓦一
где
где
X —yg/с® 十?н)
蔦=1十(s + TH)2喂十产4汽cptcc，
Хо~—1+7<°+тЯ)2 т2с+?2Я2тсртсс，
X —yg/с® 十?н)
蔦=1十(s + TH)2喂十产4汽cptcc，
Хо~—1+7<°+тЯ)2 т2с+?2Я2тсртсс，
(13.68)
(13.68)
где Хо = ЩН\ поскольку ?Н=—①丄，то 犬>°・
Выражения для слагающих комплексной восприимчивости значительно упрощаются, если выполняется условие *)
где Хо = ЩН\ поскольку ?Н=—①丄，то 犬>°・
Выражения для слагающих комплексной восприимчивости значительно упрощаются, если выполняется условие *)
?2Н；%р%с《1-
?2Н；%р%с《1-
(13.69)
(13.69)
Действительно, тогда по (13.66) следует, что Iz -^ 70- Это означает, что, несмотря на увеличение заселенности мультиплета из-за поглощения энергии переменного поля, благодаря малости времени релаксации тср температурное равновесие быстро восстанавливается и температура магнитной (спиновой) подсистемы практически совпадает с температурой кристаллической решетки. При выполнении условия (13.69) для угла прецессии ® вместо (13.596) имеем
Действительно, тогда по (13.66) следует, что Iz -^ 70- Это означает, что, несмотря на увеличение заселенности мультиплета из-за поглощения энергии переменного поля, благодаря малости времени релаксации тср температурное равновесие быстро восстанавливается и температура магнитной (спиновой) подсистемы практически совпадает с температурой кристаллической решетки. При выполнении условия (13.69) для угла прецессии ® вместо (13.596) имеем
I = tg®
I = tg®
Hi
Hi
附十代7）2十（严ее）-2m
附十代7）2十（严ее）-2m
(13.70)
(13.70)
(13.72)(13.72)явлением насыщения, поскольку спин-решеточная релаксация не в сосявлением насыщения, поскольку спин-решеточная релаксация не в состоянии установить термодинамическое равновесие в магнитной подсисте-тоянии установить термодинамическое равновесие в магнитной подсисте-Рис. 13.21. Зависимость вещественной части комплексной восприимчивости % (верхний график а) и ее мнимой части %" (нижний график 6) от частоты внешнего электромагнитного поля со [по формулам (13.71)]. По оси ординат отложены безразмерные величины x7XoWltcc и %'7%o(Ol%c，а по оси абсцисс — безразмерные величины °сс (①—①L)，「ne °cc — время спин- спиновой релаксации, а ①乙一ларморовская частота; %0 — статическая восприимчивость парамагнетика.Рис. 13.21. Зависимость вещественной части комплексной восприимчивости % (верхний график а) и ее мнимой части %" (нижний график 6) от частоты внешнего электромагнитного поля со [по формулам (13.71)]. По оси ординат отложены безразмерные величины x7XoWltcc и %'7%o(Ol%c，а по оси абсцисс — безразмерные величины °сс (①—①L)，「ne °cc — время спин- спиновой релаксации, а ①乙一ларморовская частота; %0 — статическая восприимчивость парамагнетика.
(13.72)
(13.72)
явлением насыщения, поскольку спин-решеточная релаксация не в сос
явлением насыщения, поскольку спин-решеточная релаксация не в сос
тоянии установить термодинамическое равновесие в магнитной подсисте-
тоянии установить термодинамическое равновесие в магнитной подсисте-
Рис. 13.21. Зависимость вещественной части комплексной восприимчивости % (верхний график а) и ее мнимой части %" (нижний график 6) от частоты внешнего электромагнитного поля со [по формулам (13.71)]. По оси ординат отложены безразмерные величины x7XoWltcc и %'7%o(Ol%c，а по оси абсцисс — безразмерные величины °сс (①—①L)，「ne °cc — время спин- спиновой релаксации, а ①乙一ларморовская частота; %0 — статическая восприимчивость парамагнетика.
Рис. 13.21. Зависимость вещественной части комплексной восприимчивости % (верхний график а) и ее мнимой части %" (нижний график 6) от частоты внешнего электромагнитного поля со [по формулам (13.71)]. По оси ординат отложены безразмерные величины x7XoWltcc и %'7%o(Ol%c，а по оси абсцисс — безразмерные величины °сс (①—①L)，「ne °cc — время спин- спиновой релаксации, а ①乙一ларморовская частота; %0 — статическая восприимчивость парамагнетика.
а вместо (13.68)
(13.71)(13.71)%，_ уН%с(з + уН) у,-уЯтос
(13.71)
(13.71)
石=1十(3+得)2 唳，-=1 + (m + ?Я)2Т?e
Графически соотношения (13.71) приведены на рис. 13.21, 〃, 6. Из рис. 13.21, 6 видно, что %" имеет максимум при резонансе, т. е. при з = =—уН =①匕.Полуширину резонансной линии, соответствующую половине высоты максимума %", находим из (13.71):
XoWLTcc 2 十(3-3L)21^ '
или
Асо ■— I (0 — ^l I —•- Тсс ♦
Если условие (13.69) не выполняется, то ситуация делается]более сложной. Тогда из (13.66) при резонансе получаем
/（）1十丫2H 汽 cptcc
Таким образом, в этом случае Iт V /。, и мы имеем дело с так называемым
ме. Восприимчивости %’ 11 X” при этом уменьшаются по величине и резонансная линия расширяется.
Остановимся теперь на выяснении вопроса о физическом механизме процессов релаксации в парамагнетиках. Среди спин~спиновых в заимодействий парамагнитных ионов между собой в свою очередь можно указать два главных типа: 1) диполь-дипол ьное магнитное взаимодействие и 2) обменное (электростатическое) в заимодействие.
а. Диполь-дипольное (ма- гнитное) взаимодействие можно наглядно представить себе так, что каждый парамагнитный Гион находится в магнитном поле, представляющем собой сумму внешнего поля и полей, создаваемых его соседями (подобно входящему в (13.57а) внутреннему полю 初 Ионы в парамагнетике ориентированы хаотически, следовательно, суммарное поле случайным образом отличается от постоянного внешнего поля. Поэтому резонанс для каждого отдельного иона происходит при поле, отличающемся на случайную величину от резонансного поля, даваемого формулой (13.56), т. е. от
丁了 龙 (о
peЗ —"加 j '
Резонанс для всего кристалла или жидкости в целом наблюдается в некоторой области полей (частот) около некоторого среднего значения. Уширение линии As по порядку величины определяется средним значением магнитного поля h, создаваемого другими магнитными ионами в кристалле
Рис. 13.22. Спектры ЭПР кристаллов ZnS (вюрцита), содержащих примеси ионов Мп2+. По оси абсцисс отложены значения напряженностей магнитного поля (в вебер/м2). Числа справа от кривых для интенсивностей поглощенной энергии указывают содержание Мп2+ в образце (в атомных %) [220].Рис. 13.22. Спектры ЭПР кристаллов ZnS (вюрцита), содержащих примеси ионов Мп2+. По оси абсцисс отложены значения напряженностей магнитного поля (в вебер/м2). Числа справа от кривых для интенсивностей поглощенной энергии указывают содержание Мп2+ в образце (в атомных %) [220].斤〜nе〜斤〜nе〜10-20jQ~22 ^ I。？ 3,10-20jQ~22 ^ I。？ 3,
Рис. 13.22. Спектры ЭПР кристаллов ZnS (вюрцита), содержащих примеси ионов Мп2+. По оси абсцисс отложены значения напряженностей магнитного поля (в вебер/м2). Числа справа от кривых для интенсивностей поглощенной энергии указывают содержание Мп2+ в образце (в атомных %) [220].
Рис. 13.22. Спектры ЭПР кристаллов ZnS (вюрцита), содержащих примеси ионов Мп2+. По оси абсцисс отложены значения напряженностей магнитного поля (в вебер/м2). Числа справа от кривых для интенсивностей поглощенной энергии указывают содержание Мп2+ в образце (в атомных %) [220].
斤〜nе〜
斤〜nе〜
10-20
jQ~22 ^ I。？ 3,
10-20
jQ~22 ^ I。？ 3,
или растворе. Поскольку это поле падает обратно пропорционально кубу расстояния: Д 〜 卩崔/N, то основной вклад в него дают лишь ближайшие соседи. В кристаллах с большой концентрацией магнитных ионов ширина линий обычно 500 з ). Наоборот, в сильно магнитно разведенных системах она падает до нескольких эрстед.. В качестве примера диполь-диполь- ного уширения линий ЭПР на рис. 13.22 приведен спектр ЭПР ионов Мп2+, растворенных в решетке вюрцита (ZnS), при различных концентрациях марганца (см. ван Виринген [220]). Из рис. 13.22 видно, что при увеличении концентрации ионов Мп2十от 0,05 ат. % до 1 ат. % вместо шести довольно ясно разделенных линий СТС мы получаем спектр в виде одного широкого максимума с почти исчезнувшей стр уктурой.Приведенный
пример наглядно иллюстрирует причину невозможности разрешения отдельных линий в спектрах ЭПР в чистых парамагнитных соединениях, например МпО и т. п. Эти линии разрешаются лишь при условии сильного разбавления парамагнитных ионов немагнитными: Zn2+,
Mg2+ и т. п. Теорию спин-спинового дипольного взаимодействия в парамагнетиках впервые предложил Валлер [203], а затем развили Брур [219]; Ван-Флек [221, 222], Прайс и Стивенс [223], Киттель и Абрагамс [224] и Глебашев [225]; см. также монографию Касперса (1964).
р. Обменное (электростатическое) взаимодействие. Парамагнитные ионы, не слишком сильно удаленные друг от друга, испытывают также эффект обменных взаимодействий, являющихся следствием антисимметрии электронных волновых функций ионов (или в более простом выражении—принципа Паули); благодаря этому электростатическая энергия двух ионов зависит от взаимной ориентации их спинов. Эти эффекты можно наглядно представить себе как «обмен» электронными спинами между соседними парамагнитными ионами с частотой (о()бм ^ 4/五,где Л — энергетический параметр обменной связи (интеграл обмена). Если этот «обмен» очень быстрый и происходит между подобными ионами (имеющими одинаковую энергию в суммарном магнит- ном поле Н + 九),то он будет усреднять (выравнивать) локальные поля 九, действующие на данный ион, и тем самым приводить к сужению резонансной линии («обменное сужение» Ван-Флек [222] )).
если среднее расстояние между парамагнитными ионами порядка 5-10~8 см. Заметим здесь, что указанная связь ширины резонансной линии с h согласуется с формулой (13.72), поскольку Брур [219] показал, что тсс Q gjeh/2mc.
**) При неодинаковых ионах, ларморовские частоты которых различны, обмен ведет к выравниванию этих частот и тем самым к уширению линии.
19 G. В. Вонсовский19 G. В. Вонсовский-289 一
19 G. В. Вонсовский
19 G. В. Вонсовский
у. Форма линии Э П Р. Теория спин-спинового взаимодействия парамагнитных ионов разработана в довольно грубом варианте, не допускающем точного расчета формы резонансной линии. Развитые методы расчета позволяют лишь вычислять так называемые «моменты кривых резонансного поглощения». По определению Л-й момент линии поглощения со средней частотой ①。равен
м黑)=j (з — 3o)h g (cd) da,
где g(s) — функция формы резонансной линии.
При сравнении с опытом предполагают, что g (s) имеет гауссову форму g「⑹=ехр [5]十 ехр [-卫/ }
As21/^Ш，As21/^Ш，или лорентцеву
As
21/^Ш，
As
21/^Ш，
gл ()一4冗2 ( (s —铀)2+1/232 1 (S+g)2+% a/
где As — ширина линии поглощения. Для гауссовой формы М^ = а2 и М^ = 3d и (М^У^1{М^У^ = 1,32. Обменное сужение будет увеличивать это отношение, а диполь-дипольное —уменьшать. Поэтому, определяя из опыта это отношение, можно судить о наличии эффектов обменного сужения. Следует, однако, отметить, что в теории Ван-Флека [221, 222] имеется много упрощающих предположений [см. Альтшулер, Козырев (1961)], которые могут быть неприменимы в реальных случаях.
Поскольку ЭПР исследуется при ①=const и при изменяющемся магнитном поле, то ширину линии, как отмечалось, необходимо измерять в эрстедах. В этом случае формула для моментов будет иметь вид
МН)= J {H-H^g-{H)I J g*(H)dH.
оои
о
о
Обычно о граничив а ются вычислением второго и четвертого момента. Глебашев [226] вычислил также шестой момент.
Более общий подход к расчету формы линий ЭПР на основе теории стохастических процессов развит в работах [227—231].
Механизм спин-решеточной релаксации. Рассмотрим теперь кратко механизм спин-решеточной релаксации, заключающейся в передаче энергии от магнитных (спиновых) степеней свободы парамагнитных ионов к колебательным степеням свободы (фононам) кристаллической решетки. Если этот обмен энергией очень быстрый, то уже нельзя считать, что парамагнитные ионы находятся в состояниях с определенными дискретными уровнями энергии. Действительно, согласно соотношению неопределенности между энергией и временем
А§ Ai > ^
можно ожидать, что если время жизни данного состояния тер ^ Ai уменьшается, то возрастает неопределенность (размазанность) энергетических уровней парамагнитных ионов: А宮》月/%р. Это в свою очередь приводит к уширению спектральной линии, которая возникает при переходах между такими размазанными уровнями. Время релаксации тср растет с понижением температуры, поэтому можно сделать спин-решеточное уширение линий ЭПР (〜 rjp) пренебрежимо малым, проводя эксперименты при достаточно низких температурах (《20° К).
Проблема спин-решеточной релаксации была предметом исследования многих авторов [203, 214, 232—238]. Мы не будем останавливаться на деталях различных теоретических трактовок и перечислении различных
механизмов спин-решеточной релаксации, с которыми читатель может ознакомиться в монографиях и обзорах [Гортер (1949), Альтшулер, Козырев (1961), Лоу (196 2), Пейк (1965)].
Здесь мы упомянем лишь два главных механизма: механизм Вал- лера [203], или прямой, и механизм Кронига — Ван-Флека [232, 233], или рамановский,
а. Механизм Баллера. Идея, которая была высказана Баллером, сводилась к тому, что изменение ориентации магнитного момента парамагнитного иона относительно внешнего поля под влиянием колебаний решетки происходит благодаря изменению магнитного взаимодействия иойов, вызываемому изменением расстояний между магнитными
备i•■微wФонон''+=Рис, 13.23. Схема спин-решеточной рел б) по Кронигу — Ван-Флеку (косвен备i•■微wФонон''+=Рис, 13.23. Схема спин-решеточной рел б) по Кронигу — Ван-Флеку (косвен*2Фонон+ "X^vr^Тд&н =%№ а)Фонон方“=力3+言-6‘=аксации. а) По Баллеру (прямой процесс)； 1ый процесс рамановского типа).*2Фонон+ "X^vr^Тд&н =%№ а)Фонон方“=力3+言-6‘=аксации. а) По Баллеру (прямой процесс)； 1ый процесс рамановского типа).
备i•■微w
Фонон''
+=
Рис, 13.23. Схема спин-решеточной рел б) по Кронигу — Ван-Флеку (косвен
备i•■微w
Фонон''
+=
Рис, 13.23. Схема спин-решеточной рел б) по Кронигу — Ван-Флеку (косвен
*2
Фонон
+ "X^vr^
Тд&н =%№ а)
Фонон
方“=力3+言-6‘=
аксации. а) По Баллеру (прямой процесс)； 1ый процесс рамановского типа).
*2
Фонон
+ "X^vr^
Тд&н =%№ а)
Фонон
方“=力3+言-6‘=
аксации. а) По Баллеру (прямой процесс)； 1ый процесс рамановского типа).
ионами при этих колебаниях. Действительно, магнитное поле, создаваемое магнитным ионом в точке, занимаемой его соседом, изменяется, согласно (4.15), со временем приближенно, как (р,Б/а3) (Ar/a) cos s詳 где а — расстояние между соседними ионами, а Аг — средняя амплитуда тепловых колебаний. Иными словами, спин-система обменивается энергией с системой фононов через моуляцию магнитных взаимодействий между парамагнитными ионами, вызываемую колебаниями решетки. Схема этого механизма представлена на рис. 13.23, а.
Механизму Баллера в общем случае соответствуют очень большие времена релаксации тср, на несколько порядков величины большие, чем дает опыт, например, в титано-цезиевых квасцах (см. Декстер [56] и Стивенсон [57]).
Механизм Кронига — Ван-Флека. Крониг [232] и Ван-Флек [233] предложили другой механизм спин-решеточной релаксации, в котором она осуществляется благодаря тому, что тепловые колебания модулируют электрическое внутрикристаллическое поле (поле лигандов) и через посредство спин-орбитального взаимодействия вызывают переходы в спин-системе. Схема этого «рамановского» механизма изображена на рис. 13.23, 6.
Альтшулер [237] показал, что механизм Баллера может играть главную роль в случае парамагнитных нонов с достаточно большими магнитными моментами, при большой концентрации этих ионов или, наконец, для ионов, находящихся в 5-состоянии с нулевым орбитальным моментом ) [см. Альтшулер, Козырев (1961) и работу Башкирова [240]].
у. Другие механизмы. Кроме указанных двух основных механизмов спин-решеточной релаксации возможны и другие типы. В качестве примера можно указать на механизм, рассмотренный Орбахом [241], в котором передача энергии от спин-системы редкоземельных ионов происходит через реальные промежуточные состояния.
Времена релаксации при ЭПР. Таким образом, для описания парамагнитной релаксации необходимо знать по крайней мере два основных временных параметра — время спин-спиновой релаксации тсс и время спин-решеточной релаксации тср. Как уже отмечалось выше, равновесие внутри спин-системы устанавливается значительно быстрее, чем между спин-системой в целом и решеткой. Именно в этом случае можно ввести эти два времени, причем они связаны неравенством тсс《 тср. В литературе эти времена часто отождествляют соответственно с двумя другими: тср с Т± — временем продольной релаксации, а тсс с Т2 — временем поперечной релаксации. Времена 711H 7\ были введены Блохом [218] в его феноменологическом уравнении магнитного резонанса
в = g 財印 л—I (13.73)
H = Hk + H[ cos(oi-г,J
где M — магнитный момент системы в момент времени i, Mq — равновесное значение магнитного момента в постоянном поле Н乃,Hr cos s£・0 — переменное поле частоты s, a z,J, к ——орты координатных осей. Из (13.73) видно, что если парамагнетик помещен в Статическое поле, то время 7Tl (продольная релаксация) характеризует скорость установления равновесия, если мгновенно изменить величину поля Н без йзменения его направления. Время же Т2 характеризует релаксацию при мгновенном изменении направления поля Н, но при сохранении его абсолютной величины. Время 7\ определяет релаксационный процесс, связанный с изменением энергии спин-системы, поэтому 7\ и следует отождествлять с тср. Время Т2 определяет релаксацию при неизменной энергии спин- системы, а это и позволяет связать его с тсс. Эквивалентность времен
?2 и тср, тсс не всегда может иметь место. Действительно, понятия времен продольной и поперечной релаксации могут быть введены всегда для любой системы, а о временах тср и тсс можно говорить, лишь если спин- система достаточно автономна, т. е. тсс《тср.
Развитие теории и накопление опытных фактов по ЭПР показало, что далеко не всегда достаточно двух времен Т^ и Т^ (или тср и тсс) для описания весьма сложного процесса парамагнитной релаксации и требуется введение еще дополнительных параметров, В частности, например, Бломберген и др, [242] ) ввели понятие еще одного параметра — времени перекрестной релаксации (кроссрелаксации) Т12, за которое устанавливается равновесие в спин-системе между системой индивидуальных спиновых уровней пар ама г нитных ионов, с одной стороны, и системой диполь- дипольных взаимодействий — с другой ).
Мы не имеем возможности больше останавливаться на вопросе о парамагнитной релаксации и отсылаем читателя к соответствующим обзорам и оригинальным статьям ).
Связь с экспериментом (неметаллические вещества). ЭПР парамагнитных ионов, о котором шла речь выше, наблюдается в неметалли- ческих ионных кристаллах (в солях с растворенными в них парамагнит-
ными ионами), парамагнитных жидких растворах и газах. Главное внимание уделялось изучению ЭПР в различных солях элементов группы железа (Зй-металлов) и р ед ко земел ьных элементов (4/-металлов); за последние годы начались также исследования ЭПР в солях 4d- и биметаллов (группы палладия и платины), а также актинидов (включая и соли трансурановых соединений). Конкретные сведения о спектрах ЭПР в солях d- и /-металлов можно найти в специальных перечисленных ранее монографиях и обзорах Блини и Стивенса [283], Боуэрса и Оуена [284] и Вертца [285].
Особое внимание, в частности в работах казанской школы физиков, уделялось изучение ЭПР в органических соединениях, а именно в растворах свободных радикалов. Первая работа в этой области была вьшолне- на Козыревым и Салиховым [286] (см. также Холден и др. [287]). Сведения об этом типе ЭПР читатель может найти в книгах Альтшулера и Козырева (1961), Инграма (1958) и в обзорах Вертца [285] и Блюменфельда и Воеводского [288].
Большое число работ по применению ЭПР в химии печатается в «Journal of Chemical Physics». Можно упомянуть несколько более поздних работ по ЭПР [289—302, 577].
Явления, связывающие ЭПР и ЯМР, будут рассмотрены в гл. 26.
За последнее время явление ЭПР прибрело особый интерес для квантовой электроники в связи с тем, что открылась возможность использования этого явления в твердых телах для создания чрезвычайно удобных парамагнитных усилителей и генераторов с исключительно низким уровнем шумов как в микроволновой («мазеры»), так и в оптической («лазеры») области ). Сведения по этому вопросу можно найти у Альтшулера и Козырева (1961), в обзорах Басова и Прохорова [303], Зверева и др. [304].
Электронный парамагнитный резонанс в электронных проводниках. а. Общие замечания. Специфический характер носит ЭПР в металлах и полупроводниках, где носителями парами гнети зма являются электроны проводимости. В переходных металлах можно также ожидать ЭПР для электронов d-или /-оболочек. Остановимся кратко на описании этого особого случая ЭПР ). Условие резонанса (13.58) для электронов проводимости и электронов d- или /-оболочек дает возможность определить их g-фактор. Из ширины линии ЭПР в металлах можно, очевидно, определить соответствующее время релаксации. Наблюдение ЭПР в металлах, однако, затруднено из-за скин-эффекта ), который делает существенно неоднородной величину напряженности магнитного поля на расстояниях порядка глубины скин-слоя. В частности, вероятность перехода электронного спина в единицу времени (определяющая интенсивность линии ЭПР) можно ввести только при том условии, что электрон находится в достаточно однородном поле в течение времени, во много раз большего, чем период поля Т = 2л(о-1. Поскольку глубина скин-слоя 6 ^ 10~5 + + 10-6 см, а смещение электрона при свободном движении за время Т равно ^①/①,то вышесказанное условие требует, чтобы и①/со《 6, или
(0》u①/6 108: (10-5 + 10~6) сек-1 1013 十 10u еек~1.
Иными словами, для магнитных полей получаем условие
Ю-27.1 OK10百~Ю-27.1 OK10百~^ 10б 十 107 з.^ 10б 十 107 з.гт 方 310-27.10+13
Ю-27.1 OK
10百~
Ю-27.1 OK
10百~
^ 10б 十 107 з.
^ 10б 十 107 з.
H^T^Q g。—
Это означает, что при обычных полях порядка 104 з (частотах до 1011 гц) электрон покидает скин-слой за время, значительно меньшее периода переменного поля. На первый взгляд может показаться, что наблюдение ЭПР в металлах практически невозможно (поскольку мы можем располагать стационарными полями лишь до 105 з), так как электрон не может даже «почувствовать» частоту внешнего поля. Однако такой вывод неправилен. Дело в том, что ввиду слабой связи спина электрона с его орбитальным движением время 7s между двумя последовательными изменениями ориентации спина велико по сравнению со средним временем свободного пробега т. Опыт, например, в случае натрия показывает, что лишь одно из 106 столкновений вызывает переориентацию спина, т, е. ТJx ^ 106 (см. Фехер и Кип [305]). Поэтому электрон испытывает много столкновений и медленно диффундирует внутрь металла. За время Тs он проходит расстояние 6,巾巾 = v \хТJ^^. Это означает, что благодаря столкновениям электрон за время Тs много раз возвращается в скин-слой и находится в нем в течение времени Тs (6/6эфф) (6/р) (Т Jx)^2. Поэтому условие резонанса в данном случае имеет вид
или
з 拄 2п(^)"2(1013 十 1014). 10-3 1010 十 1011 сек-1,
а для полей получаем условие Н 扭 104 з + 103 з, которое легко выполнимо. Таким образом, ЭПР в металлах может быть наблюдаем. В теории этого эффекта необходимо рассматривать диффузию спинов от поверхности металла внутрь его толщи, а сравнение теории с опытом дает возможность определить g-фактор электорнов проводимости и время спин-реше- точной релаксации тср.
В теории парамагнитного резонанса в металлах имеется две самостоятельные задачи: 1) определение времени спин-решеточной релаксации тср и 2) вычисление поверхностного импеданса металла при заданной величине тср.
Заметим, что g-фактор электронов проводимости из-за внутренних взаимодействий отличается от g-фактора изолированного электрона (в последнем случае ge ^ 2,0023). Основной вклад в этот «магнитный» эффект (Ag = g — ge) вносит магнитное спин-орбитальное взаимодействие *); можно ожидать, что электростатические корреляционные и обменные эффекты несущественны. Магнитная связь спинов ядра и электронов проводимости в силу малости может вносить заметный вклад лишь при сверхнизких температурах (ниже 1° К).
Теоретический расчет Ag провел Яфет [306], а затем Брукс [307] и Аргирес и Кан [308]. Для Na они нашли, что Ag = —6,6 «10-4, а для Li Ag ^ 6,0 -IO-5. Опыт (Фехер и Кип [305], Леви [309]) дает соответственно Ag = — (8 士 2) • 10-4, Ag V 10-4. Хорошее согласие между опытными [309] и рассчитанными [307] величинами Ag было также получено для К и Cs.
Форма линий парамагнитного резонанса в металлах определяется спин-решеточной релаксацией, поскольку из-за большой подвижности электронов проводимости и относительной слабости их спин-спинового взаимодействия спин-спиновая релаксация не играет в металлах существенной роли. Время парамагнитной релаксации в металлах впервые рас-
данса. При 7《蜕ц (0д — температура Дебая) тСр -у Е 方-，данса. При 7《蜕ц (0д — температура Дебая) тСр -у Е 方-，считал Оверхаузер [310], который в рамках одноэлектронной теории свободных электронов рассмотрел ряд релаксационных механизмов: взаимодействие электронов проводимости с поперечными и продольными фононами, магнитное дипольное взаимодействие электронных спинов, взаимодействие электронов с ядерными спинами и, наконец, взаимодействие электронных спинов с магнитным полем токов, возникающих при поступательном движении электронов проводимости. Опыт показал 1305, 309], что даже в случае последнего из этих механизмов наблю- Паевые времена релаксации (^ 10-9 сек) на два порядка меньше предсказываемых теорией. Недостаток расчета Оверхаузера был устранен в работах Эллиота [311], который указал, что основной причиной релаксации, помимо столкновений с парамагнитными примесями, является обмен энергией между спинами электронов проводимости и колебаниями решетки, обусловленный спин-орбитальной связью. Расчет Эллиота был позже уточнен в работе Андреева и Герасименко [312], которые развили общую теорию парамагнитной релаксации на основе метода матрицы плотности. Они доказали равенство времен поперечной и продольной релаксаций для электронного газа и доказали возможность ■считать тср заданным параметром при расчете поверхностного импе~
данса. При 7《蜕ц (0д — температура Дебая) тСр -у Е 方-，
данса. При 7《蜕ц (0д — температура Дебая) тСр -у Е 方-，
(13.74)
где
16П软082 (Ag)240①
as — средняя скорость звука, р'——плотность металла, е ——средняя энергия электрона, %。——статическая парамагнитная восприимчивость электронов проводимости, к — постоянная Больцмана, Рф ——скорость на поверхности Ферми, Ag —— аномалия g -фактора электронов проводимости: I Ag I 旬 2 — g I . При высоких температурах, когда Т》％•
Тср^^т (13.75)
Например, в случае Na в интервале температур от 4° до 293° К опыты [305] в согласии с теорией дают тср 〜Т~г. Найденное при комнатной температуре значение тср = 9 «10-8 сек находится в хорошем согласии со значением, даваемым теоретической формулой (13.75), которая дает тсР 10'6 丁-1 сек *).
На ширину линии парамагнитного резонанса очень сильно влияют примеси [305, 315]. Гарифьянов и Стариков [316J показали, что ничтожные примеси атомов тяжелых металлов (Hg, Pb) в металлах Na и Li могут значительно увеличить ширину резонансной кривой (до 104 раз), что связано с большой величиной спин-орбитального взаимодействия с атомами тяжелых металлов.
Общие выводы теории (металлы). Теория резонансного парамагнитного поглощения в металлах при заданном значении тсР при постоянном магнитном поле, нормальном к поверхности металла, была впервые предложена Дайсоном [317] как для тонких пленок, так и для сплошного металла. Дайсон определял магнитный момент, решая уравнение движения для оператора электронного спина, учитывая диффузию спина в неоднородном переменном электромагнитном поле. Диффузия учитывалась следующим путем. Переменное магнитное поле бралось в точке, где в данный момент, находится диффундирующий электрон, а затем производилось усреднение по всем траекториям хаотически движущегося электрона. Метод расчета, принятый Дайсоном, оказался весьма сложным, несмотря на целый ряд упрощающих предположений. Во-пер-
вых, он принял, что электроны проводимости имеют квадратичный закон дисперсии. Во-вторых, считалось, что > постоянное магнитное поле перпендикулярно к поверхности металла, а напряженность переменного поля такова, что резонанс далек от насыщения.
Все эти ограничения теории Дайсона были преодолены в серии работ Азбеля, Герасименко и Лифшица [318——320]. В этих работах была развита теория парамагнитного резонанса, основанная на решении кинетического уравнения для матрицы плотности электронов, рассматриваемых как газ невзаимодействующих квазичастиц с произвольным законом дисперсии е (р) и без ограничений относительно ориентации постоянного магнитного поля Н и величины напряженности переменного поля ЯР При этом был вычислен поверхностный импеданс в условиях парамагнитного резонанса в зависимости от закона дисперсии электронов проводимости и угла наклона Н к поверхности металла, а также рассмотрен случай насыщения резонанса.
Результаты перечисленных выше работ, весьма сложных по своему математическому аппарату, находятся в хорошем согласии с данными опыта.
Каплан [321] предложил более простой метод для получения качественных результатов работ [317, 319]. Он воспользовался обобщенным учетом релаксации и диффузии с помощью уравнения Блоха [218] в форме, которую предложил Торри [322]. Если ограничиться случаем, когда Н перпендикулярно к поверхности металла, и считать, что для электронов проводимости выполняется закон дисперсии 8 = р2/2т , то уравнение Торри для переменной части намагниченности запишется так:
= у [МДМ,(13.76)
тср
где у = е/тсч 0=。2工/3,工一время релаксации для импульса электрона проводимости. В линейном приближении по переменному полю Н± вместо (13.76) имеем
У читывал уравнения Максвелла
rot 石=一工(一^^——^+4冗一^-),rot (Н + hI)= -у X (13.78)
и полагая, что Н направлено по оси 2、а переменное поле 风 циркулярно поляризовано в плоскости (х, у), и полагая также, что компоненты М,及十 _Hi и 丑 меняются по закону exp t(s£ — /cz), из (13.77) и (13.78) находим
д一貝1一從2)]定+0毙=0,]
4m<2耽十[乂2统*2]% = 0, J‘ " )
где
欢=Mx—iMy^ 駝= H\x-由 ig, 焚*2= Y2生2§2/2, Y 2= 20/тер62,
4поз 'условии=0,(13.80)4поз 'условии=0,(13.80)a = Tcp (s—sh), В = %оЗнТср・
4поз '
условии
=0,(13.80)
4поз '
условии
=0,(13.80)
Система (13.79) имеет ненулевые решения при
%*2-1—奴一沿
-»4n乂2%2—氏 2
а отсюда уже не представляет особого труда вычислить импеданс Z:
о 4п [&о {Е (H+Hi)]]⑪— 宮
где Ze。一единичный вектор вдоль оси % а 卷=后％—»Еу *), а затем и поглощаемую мощность：
芋=奈參绵ImZ,(13.81)
где 麺о — магнитное поле у самой поверхности металла (снаружи).
Метод Каплана [321] на случай металлов с двумя полосами проводимости (щелочноземельные и переходные d-металлы, полупроводники с примесной полосой) был обобщен в работе Мурао [323]. Этот случай представляет интерес для более детального изучения электронного энергетического спектра в кристаллах с несколькими типами носителей тока (спина).
в. Сравнение с опытом. Впервые ЭПР в металлах наблюдали Грисуолд и др. [324] на порошке Na. Затем на различных щелочных металлах, как чистых, так и с примесями, и на бериллии (на образцах в виде порошков и пленок) этот эффект исследовался в работах [325——329, 305, 309, 315, 316]. Хайкину [112, ИЗ] удалось впервые наблюдать ЭПР в массивном монокристалле Sn (с размерами 11 X 6 X 1 加九3)высокой чистоты (с содержанием примесей менее 6 ЛО-5%), используя свой высокочувствительный метод частотной модуляции. Сравнение формы резонансной линии, наблюдавшейся, например, на пленке натрия (Фехер и Кип [305]) при 4° К и(о — 314 Мгц, с теорией Дайсона [317] показывает, что согласие можно считать вполне удовлетворительным, если учесть приближения, принятые в расчете.
Отметим еще одно интересное свойство ЭПР в металлах. Дело в том, что площадь под кривой парамагнитного резонансного поглощения пропорциональна чисто парамагнитной части статической восприимчивости. Поэтому, как это было уже отмечено в гл. 11, измерения ЭПР могут дать возможность отделить диамагнитную часть восприимчивости от парамагнитной. Этот способ впервые применили в своей работе Шумахер и др. [328] (см. также гл. 11).
Укажем на более поздние работы по теории и наблюдениям ЭПР в нормальных металлах [330一349, 578—584].
Азбель и Лифшиц [350] показали, что в металлах в сверхпроводящем состоянии парамагнитный резонанс наблюдать нельзя.
г. Случай переходных металлов• Большой интерес представляет исследование ЭПР в переходных d- и /-металлах. Здесь мы имеем дело с двумя типами носителей магнитного момента: 1) электронами незаполненных d- или /-слоев электронной оболочки и 2) электронами проводимости. Однако пока опытные данные весьма скудны. А именно исследованы сплавы Си 一 Мп с содержанием Мп от 0,07 до 11 % (Оуен и др. [351]), а также сплавы Ag ——Мп и Mg ——Мп. Сплав Си ——Мп при небольших содержаниях марганца оказался ферромагнитным, а сплавы Ag — Мп и Mg ——Мп ——антиферромагнитными, что обусовлено косвенным (s ——d)- взаимодействием, поскольку оператор (s ——й)-обменного взаимодействия имеет вид (см. Вонсовский [352])
应 sd = 4sd(反间， (13.82)
где Sd ——оператор спина d (/)-иона, as ——электрона проводимости. Оператор (13.82) имеет точно такой же вид, как и оператор взаимодействия СТС между электронами проводимости и спинами атомных ядер:疯$?= ^AsI (_Г ・s). Это взаимодействие определяет форму линий ЯМР в металлах (см. Корринга [353]) и приводит к двум эффектам： 1) появляется найтовское смещение [354] резонансных линий ЯМР, ибо на ядерные спины вследствие намагничивания в статическом поле Н электронов проводимости ,кроме поля Н, будет еще действовать «внутреннее иоле» Hsi — =KsiMe, где Ме ——намагниченность электронов проводимости, а постоянная 九s? — ——AsIl^\)^ne4 где пе —— концентрация электронов; 2) взаимодействие А&Т (_Г •«) обусловливает главный механизм спин-решеточной релаксации. Если эту картину перенести по аналогии на сплавы типа Си ——Мп, то теория согласуется с опытом, если принять, что параметр (s —— й)-обменной связи в сплаве будет на порядок меньше, чем в изолированном атоме (где Asd 7 -10-13 эрг).
Также весьма скудны сведения по измерению ЭПР в /-металлах редкоземельной группы [355——357]. Теоретически этот вопрос рассмотрел Альтшулер [358]. Более поздние исследования ЭПР в переходных металлах см. в работах [359—362].
G. Случай примесных полупроводников. Работа Портиса и др. [364] положила начало интенсивному исследованию ЭПР в примесных полупроводниках как на электронах проводимости (при высоких температурах, когда кТ более энергии ионизации примеси, и при концентрациях примесей не меньше 1018 已加一3), так и в донорных электронных оболочках (при низких температурах и малых концентрациях примеси). ЭПР на донорах наблюдали в Si [365, 366] и в Ge [367], а также на акцепторах в Si при гелиевых температурах [368]. Было установлено, что при Т V V 2° К релаксация в спин-системе осуществляется валлеровским механизмом с тср ^ 5 «10-4 сек [369——373]. При более высоких температурах (7 > 2° К) вступает в силу механизм релаксации Кронига ——ВанФлека и тср 〜7一7； обращаем внимание также на работы [374—381].
Существенное внимание стали уделять изучению ЭПР на примесях ионов переходных металлов 3d-, 4d-, 5d~ и 4/-групп (см., например, работы [382, 383]). За подробностями отсылаем читателя к книге Гортера (1949) и обзорам [384——386]. Укажем также некоторые работы по ЭПР с примесями ионов d-металлов [387——406] и /-металлов [407——421]. Наблюдается также СТС ЭПР, обусловленная ядерным магнитным моментом примесных ионов Li, Р, As, Sb, а также ионов группы железа [422, 423].
Большое внимание начали уделять исследованию ЭПР центров окраски в ионных кристаллах, которые в большинстве случаев являются также парамагнитными центрами. Типичным примером таких кристаллов являются галогениды щелочных металлов, например, при нарушениях их стехиометрического состава за счет избытка ионов металла.
Для краткого ознакомления с вопросом о физической природе центров окраски рекомендуем соответствующий раздел в книге Киттеля (1963) или обзор Зейтца [424]. Отметим только, что /'-центр представляет собой локализованный электрон в вакантном узле отрицательного иона кристалла; Vi -центр——локализованная дырка (возникающая из-за «ухода» электрона от одного из окружающих ионов) в вакантном узле положительного иона; Т2~ЦентР 一 немагнитное образование (молекула!) из двух соседних Vi-центров; V3-центр — образование из двух вакантных узлов соседних положительных ионов с одной «прилипшей» дыркой; наконец, [7-центр —— это вакантный узел отрицательного иона, содержащий отрицательный ион водорода.
Появляющаяся вакансия в узлах, занятых галоидом, может локализовать электрон —— это и образует так называемый /'-центр. Наиболее последовательную теорию ЭПР на 耳-центрах в ионных кристаллах с учетом СТС взаимодействия локализованного электрона с ядерными магнитными моментами развил Дейген с сотрудниками [425——433] [см. также книги Гортера (1949), Лоу (1962) и обзор Зайделя и Вольфа [434]]. Экспериментально ЭПР наблюдали на F-, U- и У3-центрах в работах Хатчинсона [435] и других [436——441]. В этих работах, в частности, было показано, что значения ^-фактора /'-центров лежат в пределах от 2,00 до 1,98.На "Из-центрах ЭПР наблюдал Канциг[442], а в U-центрах——Дельбек и др. [443].
Явление ЭПР применяется как метод исследования не только центров окраски, но также любых других дефектов, если они приводят к образованию парамагнитных центров в диамагнитной среде или меняют уровни уже существующих парамагнитных ионов в кристаллах. Большое значение в связи с указанным имеет изучение ЭПР кристаллов, подвергнутых облучению нейтронами и другими типами ядерных излучений. По этому вопросу см. книги Гортера [1949] и Лоу (1962). Для иллюстрации в табл. 13.2, взятой из книги Морриша (1965), приведены данные по ЭПР для некоторых облученных материалов.
Таблица 13.2
Электронный парамагнитный резонанс на дефектах радиационного происхождения [из книги Морриша (1965)]
Вещество
Тип излучения, создающего дефект
Тик дефекта
Значение ^-фактора
СТС для ядер
SiO2 с примесью А1
Рентгеновские лучи при 290° К
Ионы О-
2,00-2,06
На А127(/=5/2)
LaMg3 (NO3).24 Н2О
а-, В-или у- лучи при 290° К
Молекулы NO?
1,993—2,005
На N】4(/ = l)
KNO3
у-лучи
NO2 и NO夕
1,993—2,007
На N14
KN3 с примесью нитрата
7-лучи
NO n NO?
2,00
На К19
Н2so& (в твердом состоянии)
у-лучи при 77° К
Атомы Н
2,0024
НаШ (/ = 1/2)
Н2О (лед)
у-лучи при 77° К
Н и ОН
2,00
На Hi
Тефлон
Рентгеновские лучи при 290° К
Разорванные связи С — С
2,02
На F19 (/=1/2)
CF3CONH2
у-лучи при 290° К
Свободные радикалы
0,0025—2,0045
HaF】9(/ = i/2)
CF3CF2CONH2
у-лучипри
290° К
Свободные радикалы
2,00 .
На F19
Алмаз
Нейтроны при 290° К
Атомы с вакансией и в междоузлиях.
Возможно, молекулы С2
2,0028
Нет
LiH
Ультрафиолетовые лучи
Коллоидальный Li
2,0
Нет
AgCl
Ультрафиолетовыеи
рентгеновские лучи
Коллоидальное Ag
2 ,0
Нет
е, Металлоаммиачные растворы. Явление ЭПР было подвергнуто подробному исследованию в металлоаммиачных растворах [т. е. растворах металлов, например щелочных и щелочноземельных, в аммиаке (NH3), электропроводность которых по порядку величины близка к проводимости твердых металлов [см. Альтшулер и Козырев (1961)]. В этих растворах была обнаружена исключительно узкая линия поглощения, шириной примерно 0,1 з (см., например, [309, 444]). Значение g-фактора оказалось близким к его значению для свободного электрона, но все же заметно меньшим. Огг [445] предложил модель металлоаммиачных растворов, согласно которой атомы растворенных металлов теряют валентные электроны, которые по одному или по два локализуются в полостях, существующих между соседними молекулами NH3 жидкого аммиака (так называемые е- и е2-центры) Каплан и Киттель [447] воспользовались этой моделью, чтобы объяснить опытные факты по ЭПР в металлоаммиачных растворах. Однако эту теорию подвергнул серьезной критике Дейген [448], который показал, что причиной специфических свойств ЭПР в метал- лоадшиачных растворах являются не локальные е- или е2-центры, а
поляроньг), В другой работе Дейген и Пекар [450] показали, что в первом приближении поправка к энергии полярона от взаимодействия СТС равна нулю и поэтому оно не может вызвать уширения линии ЭПР. Поэтому узость линий ЭПР в металлоаммиачных растворах и может служить доказательством того, что в них носители тока ——поляроны. В этой же работе Дейген и Пекар предсказали, что при интенсивном освещении ионных кристаллов можно получить столь большую концентрацию экситонов, что окажется возможным наблюдать ЭПР на экситонах ).
Двойной магнитный резонанс. Упомянем еще об одном аспекте ЭПР, а именно о двойном магнитном резонансе, который заключается в одновременном резонансном поглощении электромагнитного излучения не одной, а двух различных частот. Можно указать три важнейшие конкретные области: 1) одновременное возбуждение электронного и ядерного магнитных резонансов; 2) парамагнитные усилители и генераторы (мазеры) и 3) одновременное воздействие на атомы электромагнитного излучения двух частот —— оптического и радиочастотного диапазонов.
Мы не имеем возможности останавливаться здесь на описании этих интересных явлений. Первый из этих типов двойных резонансов будет рассмотрен в гл. 26, где речь будет идти о ЯМР и связанных с ним явлениях). О втором типе мы уже упоминали выше. А с третьим типом читатель может ознакомиться по монографии Альтшулера и Козырева (1961) ).
§ 3. Резонансное поглощение звука в парамагнетиках(магнетоакустический парамагнитный резонанс)
Выше была рассмотрена теория резонансного поглощения электромагнитной энергии при переходах электронов проводимости (при наличии магнитного статического поля) между уровнями Ландау (ЦР), электронов проводимости и электронов, локализованных в атомах (ионах), между зеемановскими уровнями (ЭПР). Однако эти переходы могут быть индуцированы не только электромагнитным полем, но и другим внеш- ним воздействием, например звуковыми колебаниями, возбуждаемыми в веществе. На эту возможность впервые указал Завойский (см. примечание на стр. 459 в обзоре [453]) сразу же после открытия им явления ЭПР.1. Электронный акустический парамагнитный резонанс. Теория электронного акустического парамагнитного резонанса (сокращенно ЭАПР) была развита Альтшуле-Выше была рассмотрена теория резонансного поглощения электромагнитной энергии при переходах электронов проводимости (при наличии магнитного статического поля) между уровнями Ландау (ЦР), электронов проводимости и электронов, локализованных в атомах (ионах), между зеемановскими уровнями (ЭПР). Однако эти переходы могут быть индуцированы не только электромагнитным полем, но и другим внеш- ним воздействием, например звуковыми колебаниями, возбуждаемыми в веществе. На эту возможность впервые указал Завойский (см. примечание на стр. 459 в обзоре [453]) сразу же после открытия им явления ЭПР.1. Электронный акустический парамагнитный резонанс. Теория электронного акустического парамагнитного резонанса (сокращенно ЭАПР) была развита Альтшуле-ФононФонон方s〃方s〃++苞『一孑必%〃叁产十/%%%苞『一孑必%〃叁产十/%%%Рис. 13.24,Рис. 13.24, Схема электронного акустического парамагнитного резонанса (ЭАПР). Схема электронного акустического парамагнитного резонанса (ЭАПР).нитной спин-решеточной релаксации, т.нитной спин-решеточной релаксации, т.е.е.ром [454] и другими [455, 456] для парамагнитных солей переходных rf-метал- лов, редкоземельных 4/ ——металлов и их солей, для жидких растворов солей и газов *****).Эффект ЭАПР сводится к передаче энергии ультразвуковых колебаний кристаллической решетки спин-системе при условии типа (13.56), т. е. что звуковой квант 九“в равен разности энергий магнитных подуровней. Механизм этой передачи такой же, как и парамаг- эта первая происходит благодаряром [454] и другими [455, 456] для парамагнитных солей переходных rf-метал- лов, редкоземельных 4/ ——металлов и их солей, для жидких растворов солей и газов *****).Эффект ЭАПР сводится к передаче энергии ультразвуковых колебаний кристаллической решетки спин-системе при условии типа (13.56), т. е. что звуковой квант 九“в равен разности энергий магнитных подуровней. Механизм этой передачи такой же, как и парамаг- эта первая происходит благодаряналичию сшш-фононного взаимодействия, с тем только отличием, что спин- решеточная релаксация (исключая область очень низких температур) обычно происхО' дит путем косвенных процессов релаксации (процесс Кронига — Ван-Флека рамановского типа, см. рис. 13.23, б). ЭАПР является однофононным процессом рассеяния ультразвука рамановского типа; схема эффекта изображена на рис. 13.24. Энергия от звукового поля, поглощенная спин-системой, из-за релаксации будет передаваться решетке с помощью процесса, изображенного схематически на рис. 13.23, б.наличию сшш-фононного взаимодействия, с тем только отличием, что спин- решеточная релаксация (исключая область очень низких температур) обычно происхО' дит путем косвенных процессов релаксации (процесс Кронига — Ван-Флека рамановского типа, см. рис. 13.23, б). ЭАПР является однофононным процессом рассеяния ультразвука рамановского типа; схема эффекта изображена на рис. 13.24. Энергия от звукового поля, поглощенная спин-системой, из-за релаксации будет передаваться решетке с помощью процесса, изображенного схематически на рис. 13.23, б.
Выше была рассмотрена теория резонансного поглощения электромагнитной энергии при переходах электронов проводимости (при наличии магнитного статического поля) между уровнями Ландау (ЦР), электронов проводимости и электронов, локализованных в атомах (ионах), между зеемановскими уровнями (ЭПР). Однако эти переходы могут быть индуцированы не только электромагнитным полем, но и другим внеш- ним воздействием, например звуковыми колебаниями, возбуждаемыми в веществе. На эту возможность впервые указал Завойский (см. примечание на стр. 459 в обзоре [453]) сразу же после открытия им явления ЭПР.
1. Электронный акустический парамагнитный резонанс. Теория электронного акустического парамагнитного резонанса (сокращенно ЭАПР) была развита Альтшуле-
Выше была рассмотрена теория резонансного поглощения электромагнитной энергии при переходах электронов проводимости (при наличии магнитного статического поля) между уровнями Ландау (ЦР), электронов проводимости и электронов, локализованных в атомах (ионах), между зеемановскими уровнями (ЭПР). Однако эти переходы могут быть индуцированы не только электромагнитным полем, но и другим внеш- ним воздействием, например звуковыми колебаниями, возбуждаемыми в веществе. На эту возможность впервые указал Завойский (см. примечание на стр. 459 в обзоре [453]) сразу же после открытия им явления ЭПР.
1. Электронный акустический парамагнитный резонанс. Теория электронного акустического парамагнитного резонанса (сокращенно ЭАПР) была развита Альтшуле-
Фонон
Фонон
方s〃
方s〃
+
+
苞『一孑必%〃叁产十/%%%
苞『一孑必%〃叁产十/%%%
Рис. 13.24,
Рис. 13.24,
Схема электронного акустического парамагнитного резонанса (ЭАПР).
Схема электронного акустического парамагнитного резонанса (ЭАПР).
нитной спин-решеточной релаксации, т.
нитной спин-решеточной релаксации, т.
е.
е.
ром [454] и другими [455, 456] для парамагнитных солей переходных rf-метал- лов, редкоземельных 4/ ——металлов и их солей, для жидких растворов солей и газов *****).
Эффект ЭАПР сводится к передаче энергии ультразвуковых колебаний кристаллической решетки спин-системе при условии типа (13.56), т. е. что звуковой квант 九“в равен разности энергий магнитных подуровней. Механизм этой передачи такой же, как и парамаг- эта первая происходит благодаря
ром [454] и другими [455, 456] для парамагнитных солей переходных rf-метал- лов, редкоземельных 4/ ——металлов и их солей, для жидких растворов солей и газов *****).
Эффект ЭАПР сводится к передаче энергии ультразвуковых колебаний кристаллической решетки спин-системе при условии типа (13.56), т. е. что звуковой квант 九“в равен разности энергий магнитных подуровней. Механизм этой передачи такой же, как и парамаг- эта первая происходит благодаря
наличию сшш-фононного взаимодействия, с тем только отличием, что спин- решеточная релаксация (исключая область очень низких температур) обычно происхО' дит путем косвенных процессов релаксации (процесс Кронига — Ван-Флека рамановского типа, см. рис. 13.23, б). ЭАПР является однофононным процессом рассеяния ультразвука рамановского типа; схема эффекта изображена на рис. 13.24. Энергия от звукового поля, поглощенная спин-системой, из-за релаксации будет передаваться решетке с помощью процесса, изображенного схематически на рис. 13.23, б.
наличию сшш-фононного взаимодействия, с тем только отличием, что спин- решеточная релаксация (исключая область очень низких температур) обычно происхО' дит путем косвенных процессов релаксации (процесс Кронига — Ван-Флека рамановского типа, см. рис. 13.23, б). ЭАПР является однофононным процессом рассеяния ультразвука рамановского типа; схема эффекта изображена на рис. 13.24. Энергия от звукового поля, поглощенная спин-системой, из-за релаксации будет передаваться решетке с помощью процесса, изображенного схематически на рис. 13.23, б.
Коэффициент парамагнитного резонансного поглощения звука будет определяться вероятностью Р“用 того, что парамагнитный ион в единицу времени перейдет с магнитного подуровня а на а', поглотив один квант звуковых колебаний кристалла частоты созВ. Эта вероятность равна (см. Блохинцев (1961))
%廿=謂 Р ®в) I а п (%в) I 磁ср I а', П(8зв) — 1〉I2,(13.83)
где (...I 痂ср I ■ ■ ■> ——матричный элемент гамильтониана сшш-фононного взаимодействия, п (созв)— число фононов с резонансной частотой созв, а р (созв) = со|в 厂/2冗2§3 — спектральная плотность плоскополяризованных продольных или поперечных фононов, распространяющихся в кристалле объема V со скоростью s. Энергия звуковой почти монохроматической волны с разбросом частот Асо, проходящая за 1 сек через площадку 1 с”，равна,
/в = sp ®зв)а『зв№3зв ди(13.83а)
Энергия, поглощаемая за 1 сек в 1 сл3, в котором находится N магнитных частиц при температуре Т при тех же условиях, равна
UnorJi = NPaa，^^ ' g(°)厶①，
8a(13.84)
,g(s)ds = l,0丿
где g (co) — функция формы линии поглощения. Множитель Нш/кТ определяет разность заселенностей пары магнитных подуровней а и а' ) и тем самым превышение числа актов поглощения звуковых квантов над числом актов их испускания. Из (13.84) и (13.83) получаем для коэффициента поглощения звука
%, о/=守°： = U в Tsn (со в)纟 ©зв) I〈а, “ @зв) I ^ср | а', п (созв) — 1) |2.(13.85)
Дальнейшее вычисление 0口 а，требует знания структуры энергетических уровней магнитных частиц и природы связи спин-системы с фононами. Численная оценка 6口 口,， например, для хромовых квасцов [456] дает при комнатных температурах 6口 а，а 10-21 со? см-】，а опыт дает 6口,口，七 0,1 см"1 при s/2m ^ 1010 сек'1 (см. [457, 458]. Таким образом, получаем хорошее согласие между теорией и опытом.
Определение 0口 口，требует абсолютных измерений потерь звуковой мощности, что весьма затруднительно технически. Шерен [459, 460] предложил метод двойных фонон- фотонных квантовых переходов, вероятность которых пропорциональна произведению плотности энергии фотонов и фононов. Измерить энергию поглощенных фотонов очень легко, а тем самым можно легко определить и связанное с ней поглощение фононов. Теория этого метода рассмотрена в работе Кесселя и Копвиллема [461].
Трудности эксперимейтов с ЭАПР обусловлены тем, что для получения четкого эффекта должно выполняться условие созв》Дсо1/2, где Дсо1/2 — полуширина линии поглощения. А это в большинстве случаев требует применения гиперзвука, т. е. частот больше чем 109 ?寸，техника генерации которого не столь проста. Более детальные сведения по вопросу ЭАПР можно найти в книгах Альтшулера и Козырева (1961), Гортера (1949); см. также теоретическую работу Доброва [465]. Экспериментально был исследован своего рода обратный эффект ЭАПР, а именно влияние парамагнитных ионов на распространение ультразвука в кристалле [459, 460]; теория этого эффекта дана в работе [466].
Случай металлов. Особенно интересным оказался случай металлов, когда мы имеем дело с взаимодействием звука с электронами проводимости. Вопрос о той части поглощения звука, которая обусловлена его взаимодействием с электронами проводимости, был впервые теоретически рассмотрен в известной работе Ахиезера [462]. Однако более широкое внимание к этой работе было привлечено лишь после появления экспериментальных исследований по поглощению звука в металлах [463, 464].
После этого появились теоретические исследования для произвольного закона дисперсии (см. работы Ахиезера, Каганова и Любарского [467], Блаунта [468], Силина [469]). Почти одновременно с этим начались опытные исследования поглощения звука в металлах при одновременном наложении внешнего магнитного поля [468], что
послужило началом развития исследований обширной области магнетоакустических явлений в металлах.
Первые опытные данные, полученные в работе [468] на очень чистом Sn при 4,2° К, обнаружили резонансный характер поглощения. Пиппард [470] (см. также [471]) дал феноменологическое объяснение этих результатов, введя представление о магнетоаку- стическом резонансе, аналогичном циклотронному резонансу (переходы между уровнями Ландау обусловлены поглощением звуковых квантов). Подобное резонансное поглощение в настоящее время наблюдено во многих металлах ) (Sn, Pb, Си, Au, Ag, Al, Zn, Mg, Cd, Tl, In, Bi, As, Sb, W, Mo, Re). После работ Пиппарда [470, 471] теория магнетоакустических явлений подвергалась детальной разработке в многочисленных работах различных авторов [509—529]. Фундаментальный обзор теории магнетоакустических явлений в металлах написан Штольцем [530].
Можно считать, что в чистых металлах существует три основных магнетоакустических эффекта в зависимости от соотношения между величинами длины волны 九 (частоты со) звука, магнитного поля Н (частоты ①^ или радиуса циклотронной орбиты Гн) и средним временем свободного пробега т электрона проводимости в металле. Эти эффекты обычно называют так: 1) акустический циклотронный резонанс (АЦР), 2) пространств енный (геометрический) магнетоакустический резонанс (ПМАР), 3) магнетоаку- стические осцилляции типа эффекта де Гааза — ван Альфена.
Акустический циклотронный резонанс (АЦР). Наблюдался при слабых магнитных полях, когда частота звука созв кратна циклотронной частоте сон: созв — псон. Этот эффект был предсказан теоретически [511, 516] и изучен экспериментально на галлии [107]; детальную теорию АЦР развил Канер [524]. Отличие АЦР от обычного ЦР в металлах заключается в том, что переходы электронов между уровнями Ландау возбуждаются не электромагнитным полем, а звуковым. Для реализации АЦР, так же как и в случае ЦР, необходимо, чтобы время свободного пробега электронов было больше периода звуковой волны, т. е. созВ т; > I. Эти условия удовлетворяются при достаточно низких температурах и в области микроволновых частот. Если в условие Ззв т > 1 подставить частоту фундаментального резонанса (п = 1) сон = еН/ст * и т = Z/рф, то для магнитного поля получим условие Н > ифст */е? и при I ^ 10~2 см, Уф q 108 см/сект* ^ 10~27 а, с q 1010 см/сек, е ^ 10~10 СГСЭ получаем, что Н > > 103 а. Различие между АЦР и обычным ЦР заключается еще и в том, что в случае АЦР могут появляться гармоники резонанса (n > 1). Физически это связано с тем, что когда электрон движется в направлении электрического поля, созданного звуковой волной, и находится в фазе с полем в какой-то момент, то он будет опять в фазе спустя период своего обращения по орбите. Электрическое поле за время обращения электрона по орбите может испытать несколько циклов изменения; это дает резонансные гармоники (n > 1). Преимущество АЦР проявляется в металлах в том, что он не связан со скин- эффектом и магнетоплазменными явлениями.
В общем случае произвольного закона дисперсии для электронов проводимости теория АЦР достаточно сложна [524], но вместе с тем, изучая этот эффект экспериментально, можно не только определить экстремальные значения эффективных масс и диаметров сечений поверхностей Ферми, но также найти т* и иф на произвольных сечениях, направления и период открытых траекторий и т. п.
Пространственный магнетоакустический резонанс (ПМАР). Этот эффект был открыт экспериментально Бёммелем [531], а первое качественное объяснение ему было дано Пиппардом [470, 94]. Он наблюдается при более высоких магнитных полях, чем АЦР. В этом случае размеры электронной орбиты и длины волны звука должны быть одного и того же порядка величины. А именно, как показали качественно Пиппард [470, 94] и более строго Гуревич [509] (см. также [516]), магнитные осцилляции коэффициента поглощения звука в металле связаны с таким «пространственным резонансом», при котором экстремальный диаметр электронной орбиты в направлении, перпендикулярном к векторам q и H(q—волновой вектор звуковой волны, q 丄Н), оказывается порядка длины волны фонона. Этот эффект также дает возможность определить ряд свойств поверхности Ферми. См. также работы [532—535].
Магнетоакустические осцилляции. Этот эффект связан с квантовыми явлениями, возникающими в системе ферми-частиц, помещенных в магнитное поле, когда энергетическое расстояние между уровнями Ландау (см. гл. 11) больше кТ :五о)н》кТ. Кроме того, в этом случае также необходимо наложить условие на время т: сонт》1, т. е. электрон должен совершить много оборотов по циклотронной орбите, прежде чем он испытает столкновение с решеткой, а также условие 九》т*н (чтобы не было пространственного резонанса). В отличие от эффектов де Гааза — ван Альфена (или Шубникова —де Гааза), эти осцилляции в некоторых случаях не являются малыми поправками к неосциллирующей части коэффициента поглощения звука оа> а/. Возможны случаи, когда(0口，а/)макс》(0口，а,)мин, т. е. когда возникают гигантские квантовые осцилляции поглощения звука (см. работы Гуревича и др. [518], Свирского [526], Ганцевича и Гуревича [527]. Этот эффект наблюдали в ряде металлов [472, 476, 479, 486，536—540]. Подробные сведения о теории всех изученных магнетоакустических эффектов читатель может найти в обзоре Штольца [530] (см. также [541—546]).
Спин-акустический резонанс в парамагнитных металлах. Этот эффект состоит в поглощении в металлах энергии ультразвука, обусловленном связью звуковых колебаний решетки со спиновыми магнитными моментами электронов проводимости. Этот эффект является аналогом ЭАПР неметаллических кристаллов, а также акустическим аналогом обычного ЭПР в металлах. Вместе с тем изучение этого эффекта представляет особый интерес, поскольку здесь можно избежать влияния скин-эффекта. Теория этого эффекта была рассмотрена Герасименко [517], который показал, что резонансные значения магнитного поля оказываются низкими (о)н ^ 108—109 сек-1, т. е. Н ^ 10—100 а) и времена релаксации т должны быть малыми (не низкие температуры). Отсюда сразу следует невозможность поляризации ядер (эффект Оверхаузера), поскольку для получения заметной поляризации нужны сильные магнитные поля и низкие температуры, что противоречит условиям рассматриваемого типа ЭАПР.
Укажем еще на работы по изучению влияния магнитного поля на скорость звука в металлах [547 — 549], по осцилляциям скорости звука [550, 551].
О некоторых магнитно-фононно-резонансных явлениях в полупроводниках будет идти речь еще и в гл. 14.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 13
Е. V. Appleton, Proc. Phys. Soc. 37, 160 (1925).
H. W. N i c h о 1 s, J. C. S c h e 1 1 i n g, Bell. System Tech. J. 4, 215 (1925).
A. H. Taylor, E. O. Hullburt, Phys. Rev. 27, 189 (1929).
E. W. G i 1 1, Nature 140, 1061 (1937).
J. S. Townsend, E. W. Gill, Phil. Mag. (7) 26, 290 (1938).
J- Schneider, F. W. Hofmann, Phys. Rev. Lett, 1, 408 (1958).
T. H. S t i x, R. W. Palladino, Phys. Fluids 1, 446 (1958).
B. Lax, J. G. Mavrodies, Solid State Physics, vol. 11, New York, 1960 p. 261
Я. Г. Д о p ф м а и, ДАН СССР, 81, 765 (1951).
R. В. Dingle, Proc. Intern. Conf, on Very Low Temperatures, Oxford, 1951, p. 165; Proc. Roy Soc. A212, 38 (1952).
G. Dresselhaus, A. F. Kip, Ch. Kittel, Phys. Rev. 92, 827 (1953).
B. Lax, H. J. Z e ig er, R. N. Dexter, E. S. Rosenblum, Phys. Rev.
1418 (1954).
R. N. D e x t e r, H. J. Z e i g e r, B. L a x, Phys. Rev. 95, 557 (1954).
B. L a x, H. J. Z e i g e r, R. N. D e x t e r, Physica 20, 818 (1954).
D. Geist, Paramagnetische Elektronenresonans in Halbleitern, Festkorperpro- bleme, II. Braunschweig, 1963, S. 93; Phys. stat. sol. 5, 217 (1964).
W. Shockley, Phys. Rev. 90, 49 (1953).
G. D r e s s e 1 h a u s, A. F. Kip, Ch. Kittel, Phys. Rev. 98, 368 (1955) (cm. перевод в сб. «Проблемы физики полупроводников», ИЛ, М., 1957).
G- D г е s s е 1 h a u s, A. F. К i р, Ch. Kittel, Phys. Rev. 100, 618 (1955) (см. перевод в сб. «Проблемы физики полупроводников», ИЛ, М-, 1957).
G. Dresselhaus, A. F. Kip, Ch. Kittel, G. W о g о ner, Phys. Rev. 98, 556 (1955).
Ch. Kittel, Physica 20, 829 (1954).
F. H e r m a n, Phys. Rev. 88, 1210 (1952); 95, 847 (1954).
F. H e r m a n, Physica20, 801 (1954) (см. перевод всб. «Электрофизические свойства германия и кремния», Изд-во «Советское радио», М., 1956).
F. Herman, Phys. Rev. 93, 121 (1954).
F. Н е г m a n, Proc. IRE 43, 17 03 (1955).
F. Herman, J. Callaway, Phys. Rev. 89, 518 (1953).
J. M. Luttinger, W. Kohn, Phys. Rev. 97, 869 (1955) (см. перевод в сб. «Проблемы физики полупроводников», ИЛ, М., 1957).
М. S h i b и у a, Phys. Rev. 95, 1385 (1954).
R. N. Dexter, H. J. Z e i g e r, B. Lax, Phys. Rev. 104, 637 (1956).
G. Dresselhaus, A. F. Kip, Ch. Kittel, Phys. Rev. 95, 568 (1954).
W. Shockley, Phys. Rev. 78, 173 (1950).
A. Kahn, Phys. Rev. 97, 1644 (1955).
R. B. Dingle, Phys. Rev. 99, 1901 (1955).
S. Zwerdling, K. J. В о t t о n, B. Lax, L. M. Roth, Phys. Rev. Lett. 4, 173 (I960).
J. M.Luttinger, R. R, Goodman, Phys.Rev.100,673(1955).
H. J.Z e i g e r, B. L a x, R. N. D e x t er, Phys.Rev.105,495 (1957).
J. M.M с С 1 u r e, Phys. Rev. 101, 1642(1956).
W. Kohn, J. M. Luttinger, Phys.Rev. 96,529(1954).
J. M. Luttinger, Phys. Rev. 102, 1030 (1956).
R. C. F 1 et c h e r, W. A. Y a g e r, F. R. M e r r i t t, Phys. Rev. 100, 747 (1955).
R. R. G о о d m a n, Phys. Rev. 122, 397 (1961).
G. C. Dousmanis, Phys. Rev. Lett. 1, 55 (1958).
H. Kroemer, Phys. Rev. 109, 1856 (1958).
H. Kroemer, Proc. Inst. Radio Engrs 47, 397 (1959).
H. Kroemer, Progress in Semiconductors, vol. 4, London, 1959, p. 1.
H. Kroemer, Intern. Solid State Conf., Philadelphia, 1960, p. 86.
G, C. D о u s m a n i s, R. C. D u n c a n, J. J. T h о m a s, R. C- W i 1 1 i a m s, Phys. Rev. Lett. 1, 404 (1958).
Ю. A.① и p с о в,①TT 1, 44, 528 (1959).
R. N. D е х t е г, D. Н е n s 1 е г, Е. Н о 1 1 а г, М. Н а 1 о г a n, Bull. Am. Phys. Soc. 5, 177 (I960).
Ю. M. К а г а н, ЖЭТФ 38, 1854 (I960).
J. M. Chamberlain, R. A. St r ad 1 in g, Solid State Commun, 7, 1275 (1969).
R. C. Duncan, Jr. B. Rosenblum, Phys. Rev. 125, 484 (1962).
J. С. H e n s e 1, M. Peter, Phys. Rev. 114, 411 (1959).
Г. E. П и к у с, Г. Л. Б и p,①TT 1, 139 (1959); Phys. Rev. Lett. 6, 103 (1961).
J. C. Hensel, G. Feher, Phys. Rev. Lett. 5, 307 (I960).
R. N- D e x t e r, B. L a x, Phys. Rev. 99, 635 (1955).
R. N. Dexter, J. Phys. Chem. Solids 8, 494 (1959).
M. J. Stevenson, Phys. Rev. Lett. 3, 464 (1959).
G. A s c a r e 1 1 i, F. C, Brown, Phys. Rev. Lett. 9, 209 (1962).
D. M. S. Baggale y, R. A. S t r a d ing, J. S. S. Whiting, Proc. Roy. Soc. A262, 340, 365 (1961).
W. S. В a e r, R. N. D e x t e r, Phys. Rev. 135, Al388 (1964).
D. Geist, Phys. stat. sol. 5, 217 (1964).
M. Fukai, H. Kawamura, J. Phys. Soc. Japan 19, 30 (1964).
R. N i i, J. Phys. Soc. Japan 19, 58 (1964).
H. К awamura, H. Saji, J. Phys. Soc. Japan 19, 288 (1964).
K. Sawamoto, J. Phys. Soc. Japan 19, 318 (1964).
Ф. Г. Басс, И. Б. Левинсон, ЖЭТФ 49, 914 (1965).
J. С. Hensel, Н. Hasegawa, М. Nakayama, Phys. Rev. 138, А225 (1965).
Е. О s u k a, S. Nagata, К. Murase, J. Phys. Soc. Japan 20, 727 (1965).
Л. E. Благосклонская, E. M. Гершензон, Ю. А. Г у p впч, H. Г. Птицына, H. А. Серебрякова,① ТТ 8, 332 (1966).
R. A. S t г a d 1 i n g, Phys. Lett. 20, 217 (1966).
J. C. Hen s el, Solid StateCommun. 4, 231 (1966); Phys. Rev. Lett. 21, 983(1968).
J. W. H о b d y, J. А. В о r d e s e, F. С. В r ow n, S. F о n e r, Phys. Rev. Lett.
952 (1967).
M.Ownes-Petersen, M.R.Samuelsen, Phys. stat. sol. 28, 211 (1968).
J. K. G a 1 t, M. A. Y a g e r, F. R. M e r r i t t, В. В. C e t 1 i n, H. W. D a i 1, Jr., Phys. Rev. 100, 748 (1955).
R. N. Dexter, B. La x, Phys. Rev. 100, 1216 (1955).
P, W. Anderson, Phys. Rev. 100, 749 (1955).
7. M. T i n k h a m, Phys. Rev. 101, 902 (195 6).
B. Lax, K. J. В о t t о n, H. J. Z e i g e r, L. M. Roth, Phys. Rev. 102, 715 (1956).
J. K. G a 1 t, M. A. Y a g e r, Jr., Phys. Rev. 103, 1586 (1956).
B. L a x, H. J. Z e i g e r, Phys. Rev. 105, 1466 (1955).
P. N ozieres, Phys. Rev. 109, 1510 (1956).
M. Я. A 3 б e л ь, Э. А. К а и e p, 7K3T① 30, 811 (1956).
M. Я. A 3 б e л ь, Э. А. Капер, 7K3T① 32, 896 (1957).
M. Я. А з б e л ь, Э. А. К а и e p, J. Phys. Chem. Solids 6, 113 (1958).
M.Я.A 3 б e л ь, Э. А. К а и e p, 7K3T① 39, 80 (I960).
Э.А.К а н e p, M. Я. A 3 б e л ь, 5КЭТ① 33, 1461 (1957).
Э.А.К ан e p, 7K3T① 33, 1472 (1957).
3.А.К а н e p, 7K3T① 35, 962 (1958).
M.Я.А з б e л ь, 7КЗТ① 34, 1158 (1958).
М.Я.А з б е л ь, J. Phys. Chem. Solids 7, 105 (1958).
G. E. H. Reuter, E. H. S о n d h e i m e r, Proc. Roy. Soc. A195, 336 (1948).
R.G.C h a m b e r s, Proc. Roy. Soc. A215, 481 (1952); A238,344(1956).
А.В.P i p p a r d, Proc. Roy. Soc. A224, 273 (1954); Advancesin Electronics and
Electron Physics, vol. 6, New York, 1954, p. 1.
А. В. P i p p a r d, Phil. Trans. Roy. Soc. A250, 325 (1957).
M. И. Каганов, M. Я. А з 6 e л ь, ДАН СССР 102, 49 (1955).
М. Я. А з б е л ь, ЖЭТФ 39, 400 (I960).
К. F и с h s, Prog. Cambr. Phil. Soc. 34, 100 (1938),
V. Heine, Phys. Rev. 107, 431 (1957).
M. Я. A 3 б e л ь, И. M. Л и ф ш и ц, Progress in Low Temperature Physics, vol.
Amsterdam, 1961, p. 288.
А. В. P i p p a r d, Reports on Progress in Physics, vol. 23, London, 1960, p. 176.
D. Ch. Mattis, G. Dresselhaus, Phys. Rev. Ill, 403 (1958).
И.M. Л ифш и ц, 5K3T① 40, 1235(1961).
И.М. Л и ф ш и ц, М. Я. А з б е ль, А. А.С л у ц к и и,出ЗТ① 43,1464 (1932).
М.Я. А з б е л ь, ДАН СССР 99,519 (1954).
М.Я. А з б е л ь. 7КЗТ① 39, 1138(I960).
Об. Р. М. Platzman, К. С. J а с о b s, Phys. Rev. 134, А974 (4 964).
S. Rodriguez, Phys. Rev. 112, 80, 1616 (1958).
J. С. P h i 1 1 i p s, Phys. Rev. Lett. 3, 327 (1959).
E. F a w c e t t, Phys. Rev. 103, 1582 (1956).
НО. П. А. Безуглый, А. А. Галкин, ЖЗТ① 33, 1076 (1957); 34, 236 (1958).
A. F. К i p, D. N. Langenberg, B. Rosenblum, G. Wagoner, Phys. Rev. 108, 494 (1958).
M. С. X а й к и и, ЖЭТФ 37, 1473 (1959).
ИЗ. M. С. X а й к и и, ЖЗТ① 39, 212, 513 (I960).
M. С. X а й к и н,出3T① 41, 1773 (1961).
M. С. X а й к и и,出ЗТ① 42, 27; 43, 59 (1962).
М. С. X а й к и и, Приборы и техн, экспер. № 3, 95 (1961).
D. N. Langenberg, A. F. Kip, В. Rosenblum, Bull. Amer. Phys. Soc. 3, 416 (1958).
D. N. Langenberg, T. W. Moore, Phys. Rev. Lett. 3, 137, 328 (1959).
A. F. К i p, D. N. L a n g e n b e r g, T. W. Moore, Phys. Rev. 124, 379 (1961).
J. F. Koch, R. A. S t r a d 1 i n g, A. F. К i p, Phys. Rev. 133, A240 (1964).
M. С. X а й к и н, P. T. M и и a,出3T① 42, 35 (1962); 45, 1304 (1963).
П. А. Б e з у г л ы й, А. А. Галкин,出ЗТ① 37, 1480 (1959).
J. К. Galt, W. A. Y a g e r, F. R. Merritt, В. В. C e t 1 i n, A. D. Brailsford, Phys. Rev. 114, 1396 (1959).
J. K. Galt, F. R. Merritt, Proc. Intern. Conf, on Fermi Surface in Metals, Cooperstown, 1960, New York, p. 159.
E. Fawcett, Phys. Rev. Lett. 3, 139 (1959).
H. Fawcett, Proc. Intern. Conf, on Fermi Surface in Metals, Cooperstown, 1960, New York, p. 166.
T. W. M о о r e, F. W. S p о n g, Phys. Rev. 125, 846 (1962).
А. А. Галкин, В. П. Набережных, В. Л. Мельник,①ТТ, 5, 201 (1963).
С. С. G г i m е s, A. F. К i р, F. S р о n g, R. A. S t г a d 1 i n g, Р. Р i п с u s, Phys. Rev. Lett. 11, 455 (1963).
J.К. Galt, F.R.Merrit t, Р.Н.Schmidt, Phys. Rev. Lett. 6, 458 (1961).
С. C. G r i m e s, A. F. К i p, Phys. Rev. 132, 1991 (1963).
J. K. G a 1 t, F. R. M e r r i t t, W. A. Y a g e r, H. W. D a i 1, Jr., Phys. Rev. Lett. 2, 292 (1959).
J. E. A u b r e y, R. G. Chambers, J. Phys. Chern. Solids, 3, 128 (1957).
J. E. Aubrey, J. Phys. Chem. Solids 19, 321 (1961).
M. С. X а й к и н, P. T. Мин а, В. С. Эдельман,出 3T ① 43, 2063 (1962).
Y. H. Kao, Phys. Rev. 129, 1122 (1963).
G. E. S m i t h, L. С. H e b e 1, S. J. В u c h s 1 a u m, Phys. Rev. 129, 154 (1963).
E. F a w c e t t, W. M. W a 1 s h, Jr., Phys. Rev. Lett. 8, 476 (1962).
P. J. Stiles, E. Burstein, D. N. Langenberg, Phys. Rev. Lett. 9, 257 (1962).,
E.B urste in, P. J. Stiles, D. N. L angenb erg, R. F. W allis, Phys. Rev. Lett. 9, 260 (1962).
P. В. M i 1 1 e r, R. R. H a c n i n g, Phys. Rev. 128, 126 (1962).
J. E. К о c h, A. F. К i p, Phys. Rev. Lett. 8, 473 (1962).
W. M. Walsh, Jr., Phys. Rev. Lett. 12, 161 (1964).
В. Г. Песчанок и й, В. С. Л е х ц н е р, ЖЭТФ 46, 7 64 (1964).
A. F. К i р, Proc. Intern. Conf, on Fermi Surface in Metals, Cooperstown, New York, 1960, p. 176.
В. П. Набережных, В. П. Толстолужский,出 ЗТ ① 46, 18 (1964).
В. П. Набережных, В. Л. Мельник,出ЗТ① 47, 873 (1964).
Э. А. К а н е р, В. Г. С к о б о в, ФТТ 6, 1104 (1964).
Y. Н. Као, R. D. Brown, R. L. Hartman, Phys. Rev. 136, A858 (1964).
D. W. Langenberg, S. M. Marcus, Phys. Rev. 136, Al383 (1964).
M. T. Taylor, Phys. Rev. Lett. 12, 497 (1964); Phys. Rev. 137, A1145 (1965).
M.C.J о n e s, E. H. S о n d h e i m e r, Proc. Roy. Soc. A278,256(1964).
P.T.M и н a, M. С. X а й к и n,出3T① 48, ill (1965); 51, 62(1966).
В.С.Э д e л l м а н, M. С. X а й к и н,出ЗТ① 49, 107 (1965).
Г.А.Б е ш а ш в и л и,①ММ 20, 641 (1965).
F. S р о n g, A. F. К i р, Phys. Rev. 13 7, А431 (1965).
J. J. Quinn, S. Rodriguez, Phys. Rev. 137, A1400 (1965).
L. С. H e b e 1, Phys. Rev. 138, A1641 (1965).
J. K. Galt, F. R. Merritt, J. R. К 1 a u d e r, Phys. Rev. 139, A823 (1965).
D. G. Howard, Phys. Rev. 140, A1705 (1965).
A. E. D i x о n, W. R. D a t a r s, Sol. Stat. Comm. 3, 377 (1965).
R. G. C h a m b er s, Proc. Phys. Soc. 86, 305 (1965).
S. J. M i у a k e,J. Phys. Soc. Jap in 20, 412 (1965).
M. P. S h a w, P.I. S a m p a t h, T. G. E c k, Phys.Rev.142,399(1966).
M. P. S h a w, T.G. E c k, D. A. Z у c h, Phys. Rev.142,406(1966).
P. T. Мина, В. С. Эдельман, М. С. X айк и и,出 ЗТ ① 51, 1363 (1966).
Н. S с h е г, Т. Holstein, Phys. Rev. 148, 598 (1966).
L. E.Hartmann, J. M. Luttinger, Phys. Rev.151, 430(1966).
P. Ha u s s 1 e r, S. J. Welles, Phys. Rev. 152, 675(1966).
Y. Ya f e t, Phys. Rev. 152, 858 (1966).
T. W.M о о r e, Phys. Rev. Lett. 16, 581 (1966); Phys. Rev. 165,864 (1968).
J.P. Goldshorough, Appl. Phys. Lett. 8, 218 (1966).
A. R о n , M. R e v z e n, Phys. Lett. 20, ,106 (1966).
S. J. Williamson, M. Surwa, H. C. Praddande, R. A. P atte iu J. K. F u r d у n a, Sol. Stat. Comm. 4, 37 (1966).
J.M. W achtel,J.L. Hirshfield, Phys. Rev. Lett. 19, 293(1967).
Э.А. Капер, А.Я.Бланк, J. Phys. Chem. Solids28, 1735 (196 7).
А.Я. Бланк, Э.А.К а н e p, Phys. Stat. Sol. 22, 47(1967).
D.A. S m i t h, Proc.Hoy. Soc. A297, 205 (1967).
A.Kawabata,J.Phys. Soc. Japan 23, 999 (1967).
В. Г. П e с ч а П с к и й, Письма ЖЭТФ 7, 489 (1968).
W. L. Dahlquist, R. G. Goodrich, Phys. Rev. 164, 944 (1968).
G. A. В a r a f f, Phys. Rev. 167, 625 (1968).
J. B. Ketterson, L. R. Windmiller, Phys. Rev. Lett. 20, 321 (1968).
B.①.Гантмахер, 7КЭТ① 42, 1416; 43, 345 (1962).
Э. А. К ан e р,出ЗТ① 43, 1036 (1963).
В.①.Гантмахер, Э. А. К а н е р,出 ЗТ ① 45, 1430 (1963); 48, 1572 (1965).
В.①.Гант махер, И. П. Крылов,出 ЗТ ① 47, 2111 (1964).
J. F. С о с h г а n, М. Y a q u b, Phys. Rev. 140, А2174 (1965).
3. А. К а н е р, В. Л.① а л в к о, ЖЭТФ 51, 586 (1966).
Р. Н. Haberland, С. A. S h i f f m a n, Phys. Rev. Lett. 19, 1337 (1967).
M. С. X а й к и и, В. С. Эдельман, P. T. Мина, ЖЭТФ 44, 1704 (1963).
M. С. X а й к и н, Л. A•① а л ь к о в с к и й, В. С. 3 д e л ь м а н, P. T. M и n a, ЖЭТФ 45, 17 04 (1963)..
A. L. McWhorter, J. N. Walpole, Phys. Rev. 158, 719 (1967).
S. В e r m о n, Phys. Rev. 158, 723 (1967).
E. В u r s t e i n, C. S. P i c u s, H, A. G e b h 1 e, Phys. Rev. 103, 825, 826 (1956).
R. J. Keyes, S. Zwerdling, S. F о ne г, H. H. К о 1 m, В. Lax, Phys. Rev. 104, 1804 (1956).
E.K. Завойский, Докторская диссертация,① ИАН, М., 1944.
Е. К. Завойский, J. Phys. USSR 9, 245 (1945).
R. L. С u m m е г о w, D. Н а 1 1 i d а у, Phys. Rev. 70, 433 (1946).
A. Einstein, P. Erenfest, Zs. Phys. 11, 31 (1922).
Я. Г. Дорфман, Zs. Phys. 17, 98 (1923).
В. K. A p к а д ь e в, ЖРФХО 45, 103 (1913).
I. W a 1 1 e r, Zs. Phys. 79, 370 (1932).
H. A. К r a m e r s, Atti. congr. fis. (Como), 545 (1927).
R. К г о n i g, J. Opt. Soc. Am. 12, 54 7 (1926).
E.K. Завойский, J. Phys. USSR 8, 377 (1944).
E. К. Завойский,出3T① 15, 345 (1945).
E. К. 3 а в о й с к и й, J. Phys. USSR 10, 17 0 (1946).
Е. К. 3 а в о й с к и й, J- Phys. USSR И, 197 (1947);报ЗТ① 17, 155 (1947); ДАН
Я. И. Френкель,出ЗТ① 15, 409 (1945).
С. А. Альтшулер, Е. К. Завойский, Б. М. Козырев, ЖЭТФ 17, ]]22 (1947).
И. Г. Шапошников,出ЗТ① 17, 824 (1947); 18, 533 (1948).
Л. И. Мандельштам, М. А. Леонтович,出 ЗТ ① 7, 438 (1937).
Н. Casimir, F. D и - Р г ё, Physic а 5, 507 (1938).
Т. R. Caver, С. Р. S 1 i с h t е г, Phys. Rev. 92, 212 (1953).
R. Р. Penrose, Nature 163, 992 (1949).
C. J. G о r t e r, Pliysica 14, 504 (1948).
F. В 1 о c h, Phys. Rev. 70, 460 (1946) (см. перевод в сб. «Проблемы современной физики», вып. 8, ИЛ. М., 1958).
L.J.F. В г о е г, Physica 10, 801 (1943); 13, 353 (1947).
J. S. van Wieringen, Physica 19, 397 (1953).
J. H. Van V 1 e c k, Phys. Rev. 74, 1168 (1948).
J. H. V a n V 1 e c k, Phys. Rev. 73, 1249 (1948).
M. H. L. P г у с e, K. W. H. S t e v e n s, Proc. Phys. Soc. A63, 36 (1950).
Ch. Kittel, E. Abrahams, Phys. Rev. 90, 238 (1953).
Г. Я. Глебашев, ЖЗТ① 30, 612 (1956); Уч. записки КГУ, 116, 121 (1956).
Г. Я. Глеб аш ев, ЖЭТФ 32, 82 (1957).
Р. W. Anderson, Р. R. Weiss, Rev. Mod. Phys. 2 5, 269 (1953).
P. W. Anderson, J. Phys. Soc. Japan 9, 316 (1954).
R. Kubo, K. J.' T о m i t a, J. Phys. Soc. Japan 9, 888 (1954).
R. Kubo, J. Phys. Soc. Japan 9. 935 (1954).
M. Y о k о t o, S. Koide, J. Phys. Soc. Japan 9, 953 (1954).
R. de К г о n i g, Physica 6, 33 (1939).
J. H. V a n V 1 e c k, Phys, Rev. 57, 426 (1940); 59, 724 (1941).
45 6789012 345678901234 5678901234 5 633 3 3 3 3 4 4 4 444444455555 55555666666622 2222222 2222 2 22222 22 22 2 22 2222 22245 6789012 345678901234 5678901234 5 633 3 3 3 3 4 4 4 444444455555 55555666666622 2222222 2222 2 22222 22 22 2 22 2222 222789012345 67890123 4 567 89012345678666777777 77778888 8 888 88999999999222222222 22222222 2 222 22222222222789012345 67890123 4 567 89012345678666777777 77778888 8 888 88999999999222222222 22222222 2 222 22222222222H e i t 1 e r, E. Teller, Proc. Roy. Soc. A155, 629 (1936).
45 6789012 345678901234 5678901234 5 6
33 3 3 3 3 4 4 4 444444455555 555556666666
22 2222222 2222 2 22222 22 22 2 22 2222 222
45 6789012 345678901234 5678901234 5 6
33 3 3 3 3 4 4 4 444444455555 555556666666
22 2222222 2222 2 22222 22 22 2 22 2222 222
789012345 67890123 4 567 89012345678
666777777 77778888 8 888 88999999999
222222222 22222222 2 222 22222222222
789012345 67890123 4 567 89012345678
666777777 77778888 8 888 88999999999
222222222 22222222 2 222 22222222222
.x и e 3 e p, И. Я. Померанчук, ЖЭТФ 14, 342 (1944); ДАН СССР (1952).
льтшулер, ЖЭТФ 24, 68 (1953).
льтшулер, Изв. АН СССР, сер. физ. 20, 1207 (1956).
Аввакумов, ФММ 4, 199 (1957).
:е у m н н,①ТТ 4, 1564 (1962).
Башкиров,①而М 6, 577 (1958).
bach, Proc. Phys. Soc. A77, 261, 821 (1961).
:)c in b e r g e n, S. Shapiro, P. S. P c r s h a n, J. O. A r t in a n, ev. 114, 445 (1959).
? 1, Phys. Rev. 120, 137 (I960).
:л и in к о, В. С. T у м а и о в, Л. Л. У ш а к о в а, ЖЭТФ 43, 25 (1962).
1 е и к и п, ФТТ 6, 368 (1964).
• Grant, Phys. Rev. 134, А1554, А1565, Al574; 135. A1265 (1964)
a m, M. И. P о д а к, ФТТ 7, 717 (1965).
ф р с м о в,出ЗТ① 51, 156 (1966).
:a s р е г s, Physica 26, 778, 798, 809 (i960).
рохоров, В.Е.① едоров,出 ЗТ ① 46, 1937 (1964).
а с а н о в, А. М. Г! р о х о р о в, В. В•① е д о р о и, ФТТ 6, 193 (1964).
Александров, А. В. К ес сени х, ФТТ 6, 4 006 (1964).
{равченко, В. Л. В и и е цк п й,① ТТ 6, 2075 (1964).
「ring a, J. L. Motchanc, Р. Papon, A. Yoshimori, Phys.
А1230 (1964).'
1 w е g 1 с г, Zs. Phys. 181, 22 (1964).
k а п о, A. Y oshimori, Prog. Theor. Phys. 32, 685 (1964).
лександров,出 3T ① 48, 864 (1965).
ц a p к и и, ЖЭТФ 49, 148 (4 965).
К абибуллин,①ТТ 7, 2894 (196 5).
о й ц и н, ФТТ 7, 3169 (1965)..
)etcrson, Phys. Rev. 137, А1444 (1965).
е i m s, Phys. Rev. 138, A587 (1965).
"л и н ч у кт В. Г. Г p а ч e в, M. Ф. Д e й г e h,①TT 8, 3354 (1966)*
I о t c h a n e, P. Papon, Phys. Rev. 141, 246 (1966).
a r s о n, C. D. J e f f r i c s, Phys. Rev. 141, 461; 145, 311 (4 966).
ills, Phys. Rev. 146, 336 (1966).
В г у a, P. E. W a g n e r, Phys. Rev. 147, 239 (I960).
а у, T. R а у, P. R u d r a, Proc. Phys. Soc. 87, 985 (1966).
g s t m a u m, Zs. Phys. 189, 433 (1966).
k a n oT Prog. Theor. Phys. 35, 214 (1966).
H я m и h,①MM 23, 728 (1967).
Довгопол, T. Г. Изюмова,(DMM 24, 3 (1967).
Wangsness, Phys. Rev. 160, 1190 (1967).
i g, A. Honig, Phys. Rev. 168, 271 (1968).
Gamble, I. Miyagawa, R. L. Hartman, Phys. Rev. Lett. 20,
M a 1 k e r, Canad. J. Phys. 46, 161 (1968).
Veissfloch, Canad. J. Phys. 46, 943 (1968).
о д а kt ①TT 6, 521 (1964).
ilippot, Phys. Rev. 133, A471 (1964).
『alstedt, Phys. Rev. 138, A1096 (1965).
1 d m a n, L. Shen, Phys. Rev. 144, 321 (19G6).
r a n z, Ch. P. Slichter, Phys. Rev. 148, 287 (I960).
51 e a и у, K. W. H. Stevens, Reports on Progress in Physics, vol. 16, 1953, p. 108.
lowers, J. Owen, Reports on Progress in Physics, vol. 18, London, 304.
'e r t z, Chem. Rev. 55, 829 (1955).
Козырев, С. Г. Салихов, ДАН СССР 68, 1023 (1947).
[о } d e n, Ch. К i t t e 1, F. R. M e r r i t t, W. A. Y a g e r, Phys. Rev. (1949).
；люменфельд, В. В. Воеводский, УФН 68, 31 (1959).
Альтшулер, Р. М. В а л ишев, ЖЗТ ① 48, 4 64 (1965).
l м и и о в, 7КЗТ① 48, 1398 (1965).
1икифоров, В. И. Черепанов,①ТТ 7, 1162 (1965).
Хабибуллин, ФТТ 7, 207 0 (1965); ЖЭТФ 54, 1865 (1968).
1 d m а п, Phys. Rev. 138, А1668 (1965).
W е е п у, J. Chem. Phys. 42, 1717 (1965).
?ri, F. K. Kneubiihl, Phys. Kondens. Materie 4, 230 (1965).
у ц и ш в и л ит 出ЗТ① 50, 1641 (1966).
а м о х и и,出ЗТ① 51, 928 (1966).
Коновалов, С. М. Рябченк о, ФТТ 8, 3541 (1966).
299.300.301.302.303.304.299.300.301.302.303.304.5 6 7 8 9 0 1 о и о о3 3 3 3 3 3 35 6 7 8 9 0 1 о и о о3 3 3 3 3 3 3312.313.314.312.313.314.5-^7 0^9-3 3 3 3 35-^7 0^9-3 3 3 3 3320.321.322.323.324.325.326.327.328.320.321.322.323.324.325.326.327.328.В. П. С а к у и, ФТТ 8, 3631 (1966).Р. М. Richards, Phys. Rev. 141, 189, 196 (1966).J. А. Т j о n, Phys. Rev. 143, 259 (1966).J.Maruani, Cahiers de phys. 21, 209, 412 (1967).H. Г. Басов, A. M. Прохоров, У①H 57, 485 (1955).Г. M. Зверев, H. В. Карлов, Л. С. Кориенко, А. А. Маненков, А. М. П р о х о р о в, У①Н 77, 61 (1962).G. F е h е г, A. F. К i р, Phys. Rev. 98, 337 (1955).Y. Y a f е t, Phys. Rev. 85, 478 (1952)； 106, 679 (1957).H. J. Brooks, Phys. Rev. 94, 1411 (1954).P. A r g у r e s, A. К a n, Phys. Rev. 98, 2 26 (1955).R. A. L e v y, Phys. Rev. 102, 31 (1956).A. W. Overhauser, Phys. Rev. 89, 689 (1953).R. J.Elliott, Phys. Rev. 96, 266 (1954); в книге «Defects in Crystalline Solids», Bristol, 1954, p. 12.В. В. Андреев, В. И. Герасименко,出ЗТ① 35, 1209 (1958).Y. Y a f e t, Solid State Phys., vol. 14, New York, 1963, p. 1.VesciaLN. S. von Vander, R.T. Schumacher, Phys. Rev. 134, A1286 (1964).H.C. Гарифьянов,出 3T ① 32, 149 (1957).H. С. Гарифьянов, М. А. Стариков, ЖЭТФ 35, 798 (1958).F. J. Dyson, Phys. Rev. 98, 349 (1955).М. Я. А з б е л ьт В. И. Г е р а с и м е и к о, И. М. Л и ф ш и ц,出ЗТ① 31, 357 (1956); 32, 1212 (1957).М. Я. Аз бе ль, В. И. Герасименко, И. М. Лифшиц, ЖЭТФ 35, 69 (1958).И. М. Лифшиц, М. Я. Аз 6 ел ь, В. И. Герасименко, Phys. Chem. Sol. 1, 164 (1956).J. I. К а р 1 а щ Phys. Rev. 115, 575 (1959).Н. С. Т о г г е у, Phys. Rev. 104, 563 (1956).Т. Murao, J. Phys. Soc. Japan 16, 1940 (1961).T. W. G r i s w о 1 d, A. F. К i p, Ch. Kittel, Phys. Rev. 88, 951 (1952).A. F. К i p, T. W. Griswold, A. M. Portis, Phys. Rev. 92, 544 (1953).F e h e r, T. W. Griswold, Phys. Rev. 93, 952 (1954).S. Gutowsky, P. J. Frank, Phys. Rev. 94, 1067 (1954).R. T. Schumacher, T. R. Carver, С. P. Slichter, Phys. Rev. 95, 1089 (1954).В. П. С а к у и, ФТТ 8, 3631 (1966).Р. М. Richards, Phys. Rev. 141, 189, 196 (1966).J. А. Т j о n, Phys. Rev. 143, 259 (1966).J.Maruani, Cahiers de phys. 21, 209, 412 (1967).H. Г. Басов, A. M. Прохоров, У①H 57, 485 (1955).Г. M. Зверев, H. В. Карлов, Л. С. Кориенко, А. А. Маненков, А. М. П р о х о р о в, У①Н 77, 61 (1962).G. F е h е г, A. F. К i р, Phys. Rev. 98, 337 (1955).Y. Y a f е t, Phys. Rev. 85, 478 (1952)； 106, 679 (1957).H. J. Brooks, Phys. Rev. 94, 1411 (1954).P. A r g у r e s, A. К a n, Phys. Rev. 98, 2 26 (1955).R. A. L e v y, Phys. Rev. 102, 31 (1956).A. W. Overhauser, Phys. Rev. 89, 689 (1953).R. J.Elliott, Phys. Rev. 96, 266 (1954); в книге «Defects in Crystalline Solids», Bristol, 1954, p. 12.В. В. Андреев, В. И. Герасименко,出ЗТ① 35, 1209 (1958).Y. Y a f e t, Solid State Phys., vol. 14, New York, 1963, p. 1.VesciaLN. S. von Vander, R.T. Schumacher, Phys. Rev. 134, A1286 (1964).H.C. Гарифьянов,出 3T ① 32, 149 (1957).H. С. Гарифьянов, М. А. Стариков, ЖЭТФ 35, 798 (1958).F. J. Dyson, Phys. Rev. 98, 349 (1955).М. Я. А з б е л ьт В. И. Г е р а с и м е и к о, И. М. Л и ф ш и ц,出ЗТ① 31, 357 (1956); 32, 1212 (1957).М. Я. Аз бе ль, В. И. Герасименко, И. М. Лифшиц, ЖЭТФ 35, 69 (1958).И. М. Лифшиц, М. Я. Аз 6 ел ь, В. И. Герасименко, Phys. Chem. Sol. 1, 164 (1956).J. I. К а р 1 а щ Phys. Rev. 115, 575 (1959).Н. С. Т о г г е у, Phys. Rev. 104, 563 (1956).Т. Murao, J. Phys. Soc. Japan 16, 1940 (1961).T. W. G r i s w о 1 d, A. F. К i p, Ch. Kittel, Phys. Rev. 88, 951 (1952).A. F. К i p, T. W. Griswold, A. M. Portis, Phys. Rev. 92, 544 (1953).F e h e r, T. W. Griswold, Phys. Rev. 93, 952 (1954).S. Gutowsky, P. J. Frank, Phys. Rev. 94, 1067 (1954).R. T. Schumacher, T. R. Carver, С. P. Slichter, Phys. Rev. 95, 1089 (1954).
299.
300.
301.
302.
303.
304.
299.
300.
301.
302.
303.
304.
5 6 7 8 9 0 1 о и о о
3 3 3 3 3 3 3
5 6 7 8 9 0 1 о и о о
3 3 3 3 3 3 3
312.
313.
314.
312.
313.
314.
5-^7 0^9-
3 3 3 3 3
5-^7 0^9-
3 3 3 3 3
320.
321.
322.
323.
324.
325.
326.
327.
328.
320.
321.
322.
323.
324.
325.
326.
327.
328.
В. П. С а к у и, ФТТ 8, 3631 (1966).
Р. М. Richards, Phys. Rev. 141, 189, 196 (1966).
J. А. Т j о n, Phys. Rev. 143, 259 (1966).
J.Maruani, Cahiers de phys. 21, 209, 412 (1967).
H. Г. Басов, A. M. Прохоров, У①H 57, 485 (1955).
Г. M. Зверев, H. В. Карлов, Л. С. Кориенко, А. А. Маненков, А. М. П р о х о р о в, У①Н 77, 61 (1962).
G. F е h е г, A. F. К i р, Phys. Rev. 98, 337 (1955).
Y. Y a f е t, Phys. Rev. 85, 478 (1952)； 106, 679 (1957).
H. J. Brooks, Phys. Rev. 94, 1411 (1954).
P. A r g у r e s, A. К a n, Phys. Rev. 98, 2 26 (1955).
R. A. L e v y, Phys. Rev. 102, 31 (1956).
A. W. Overhauser, Phys. Rev. 89, 689 (1953).
R. J.Elliott, Phys. Rev. 96, 266 (1954); в книге «Defects in Crystalline Solids», Bristol, 1954, p. 12.
В. В. Андреев, В. И. Герасименко,出ЗТ① 35, 1209 (1958).
Y. Y a f e t, Solid State Phys., vol. 14, New York, 1963, p. 1.
VesciaLN. S. von Vander, R.T. Schumacher, Phys. Rev. 134, A1286 (1964).
H.C. Гарифьянов,出 3T ① 32, 149 (1957).
H. С. Гарифьянов, М. А. Стариков, ЖЭТФ 35, 798 (1958).
F. J. Dyson, Phys. Rev. 98, 349 (1955).
М. Я. А з б е л ьт В. И. Г е р а с и м е и к о, И. М. Л и ф ш и ц,出ЗТ① 31, 357 (1956); 32, 1212 (1957).
М. Я. Аз бе ль, В. И. Герасименко, И. М. Лифшиц, ЖЭТФ 35, 69 (1958).
И. М. Лифшиц, М. Я. Аз 6 ел ь, В. И. Герасименко, Phys. Chem. Sol. 1, 164 (1956).
J. I. К а р 1 а щ Phys. Rev. 115, 575 (1959).
Н. С. Т о г г е у, Phys. Rev. 104, 563 (1956).
Т. Murao, J. Phys. Soc. Japan 16, 1940 (1961).
T. W. G r i s w о 1 d, A. F. К i p, Ch. Kittel, Phys. Rev. 88, 951 (1952).
A. F. К i p, T. W. Griswold, A. M. Portis, Phys. Rev. 92, 544 (1953).
F e h e r, T. W. Griswold, Phys. Rev. 93, 952 (1954).
S. Gutowsky, P. J. Frank, Phys. Rev. 94, 1067 (1954).
R. T. Schumacher, T. R. Carver, С. P. Slichter, Phys. Rev. 95, 1089 (1954).
В. П. С а к у и, ФТТ 8, 3631 (1966).
Р. М. Richards, Phys. Rev. 141, 189, 196 (1966).
J. А. Т j о n, Phys. Rev. 143, 259 (1966).
J.Maruani, Cahiers de phys. 21, 209, 412 (1967).
H. Г. Басов, A. M. Прохоров, У①H 57, 485 (1955).
Г. M. Зверев, H. В. Карлов, Л. С. Кориенко, А. А. Маненков, А. М. П р о х о р о в, У①Н 77, 61 (1962).
G. F е h е г, A. F. К i р, Phys. Rev. 98, 337 (1955).
Y. Y a f е t, Phys. Rev. 85, 478 (1952)； 106, 679 (1957).
H. J. Brooks, Phys. Rev. 94, 1411 (1954).
P. A r g у r e s, A. К a n, Phys. Rev. 98, 2 26 (1955).
R. A. L e v y, Phys. Rev. 102, 31 (1956).
A. W. Overhauser, Phys. Rev. 89, 689 (1953).
R. J.Elliott, Phys. Rev. 96, 266 (1954); в книге «Defects in Crystalline Solids», Bristol, 1954, p. 12.
В. В. Андреев, В. И. Герасименко,出ЗТ① 35, 1209 (1958).
Y. Y a f e t, Solid State Phys., vol. 14, New York, 1963, p. 1.
VesciaLN. S. von Vander, R.T. Schumacher, Phys. Rev. 134, A1286 (1964).
H.C. Гарифьянов,出 3T ① 32, 149 (1957).
H. С. Гарифьянов, М. А. Стариков, ЖЭТФ 35, 798 (1958).
F. J. Dyson, Phys. Rev. 98, 349 (1955).
М. Я. А з б е л ьт В. И. Г е р а с и м е и к о, И. М. Л и ф ш и ц,出ЗТ① 31, 357 (1956); 32, 1212 (1957).
М. Я. Аз бе ль, В. И. Герасименко, И. М. Лифшиц, ЖЭТФ 35, 69 (1958).
И. М. Лифшиц, М. Я. Аз 6 ел ь, В. И. Герасименко, Phys. Chem. Sol. 1, 164 (1956).
J. I. К а р 1 а щ Phys. Rev. 115, 575 (1959).
Н. С. Т о г г е у, Phys. Rev. 104, 563 (1956).
Т. Murao, J. Phys. Soc. Japan 16, 1940 (1961).
T. W. G r i s w о 1 d, A. F. К i p, Ch. Kittel, Phys. Rev. 88, 951 (1952).
A. F. К i p, T. W. Griswold, A. M. Portis, Phys. Rev. 92, 544 (1953).
F e h e r, T. W. Griswold, Phys. Rev. 93, 952 (1954).
S. Gutowsky, P. J. Frank, Phys. Rev. 94, 1067 (1954).
R. T. Schumacher, T. R. Carver, С. P. Slichter, Phys. Rev. 95, 1089 (1954).
G. F e h e r, A. F. К i p, Phys. Rev. 95, 1343 (1954).
P. L. P e n d e r, Phys. Rev. 134, A1174 (1964).
A. Biencnstock, H. Brooks, Phys. Rev. 13 6, A784 (1964).
R. B. Lewis, T. R. Carver, Phys. Rev. Lett. 12, 693 (1964).
A.D.C a p 1 i n, Phil.Mag. 10, 241 (1964).
L.C.Hebei, E. I. В1 о u n t, G. E. Smith,Phys. Rev. 138,A1636(1965).
R.J.Pressley, N.L. Berk, Phys. Rev. 140, A1207 (1965).
B.J.Kearney, A.R. Mackintosh, R.С. V о ung, Phys.Rev.140,
A1671 (1965).
S. Schultz, C. Latham, Phys. Rev. Lett. 15, 148 (1965).
J. E. Cousins, R. Dupree, Phys. Lett. 14, 17 7 (1965).
В. П. Калашников,①TT 8, 2130 (1966);①MM 22, 786 (1966).
M. M. W a 1 s h, Jr., L. W. R u p p, Jr., P. H. S c h m i d t, Phys. Rev. 142, 414 (1966); Phys. Rev. Lett. 16, 181 (1966).
M. Lampe, P. M. Platzman, Phys. Rev. 150, 340 (1966).
G.D. Gaspari, Phys. Rev. 151, 215(1966).
S.Schultz, M. R. Shanabarger,Phys.Rev.Lett.16,178(1966).
M.S t г о n g i n, O. F. Kammerer,Phys.Rev.Lett.16,456(1966).
W.J. O'S u 1 1 i a n, J. E. S c h i r b e r,Phys.Rev.Lett.16,691(1966).
D. Griffiths, B. R. С о 1 e s, Phys. Rev. Lett. 16, 1093 (1966).
J. I. Kaplan, J. Phys. Chem. Solids 27, 19 (1966).
R. H. W e b b, Phys. Rev. 158, 225 (1967).
N. S. V a n de r Ven, Phys. Rev. Lett. 18, 277 (1967).
M. Я. A 3 б e ль, И. M. Л и ф ш и ц, ЖЭТ① 33, 792 (1957).
J. Owen, М.Browne, W. D. Knight, Ch. Kittel,Phys.Rev.102,
1501 (1956); J.Owen, M. Browne, V. Arp, A. F. Kip,J.Phys.Chem.
Solids 2, 85 (1957).
С. В. Вонсовский,出3T① 16, 981 (1946).
J. Korringa, Physica 16, 601 (1950).
W. D. Knight, Phys. Rev. 76, 1259 (1949).
A. F. К i p, Rev. Mod. Phys. 25, 229 (1953).
A. F. К i p, Ch. К i t t e 1, A. M. P о r t i s, R. В a r t о n, F. H. S p e d d i n g, Phys. Rev. 89, 518 (1953).
С. Г. С а л и x о в,出3T① 26, 447 (1954).
С. А. Альтшулер,出ЗТ① 26, 439 (1954).
359.360.361.362.363.364.359.360.361.362.363.364.5 678901234 5 6 7 8 9 0 12 346 666677777 7 7 7 7 7 8 88 883 333333333 333333 33 335 678901234 5 6 7 8 9 0 12 346 666677777 7 7 7 7 7 8 88 883 333333333 333333 33 335 6 78-9-0- 383838395 6 78-9-0- 38383839391.392.393.394.395.396.397.398.399.400.401.402.403.404.405.406.391.392.393.394.395.396.397.398.399.400.401.402.403.404.405.406.7 8 9 0о о о 14 4 4 47 8 9 0о о о 14 4 4 4411.412.411.412.A. M. Harris, J. Popplewell, R. S. T e b b 1 e, Proc. Phys. Soc. 85, 513 (1965).
359.
360.
361.
362.
363.
364.
359.
360.
361.
362.
363.
364.
5 678901234 5 6 7 8 9 0 12 34
6 666677777 7 7 7 7 7 8 88 88
3 333333333 333333 33 33
5 678901234 5 6 7 8 9 0 12 34
6 666677777 7 7 7 7 7 8 88 88
3 333333333 333333 33 33
5 6 78-9-0- 38383839
5 6 78-9-0- 38383839
391.
392.
393.
394.
395.
396.
397.
398.
399.
400.
401.
402.
403.
404.
405.
406.
391.
392.
393.
394.
395.
396.
397.
398.
399.
400.
401.
402.
403.
404.
405.
406.
7 8 9 0
о о о 1
4 4 4 4
7 8 9 0
о о о 1
4 4 4 4
411.
412.
411.
412.
R. G. В a r n e s, D. A. Cornell, D. R. Torgeson, Phys. Rev. Lett. 16, 233 (1966).
R. B. Lewis, G. C. Alexandrakis, T. R. Carver, Phys. Rev. Lett. 17, 854 (1966).
H. Merz, K. Ulmer, Phys. Lett. 22, 251 (1966).
R. G. Goodrich, G. E. Everett, Phys. Rev. 141, 541 (1966).
A. M. Portis, A. F. Kip, Ch. Kittel, W. H. В r a t a i n, Phys. Rev. 90, 988 (1953).
R. C. Fletcher, W. A. Y ager, G. L. P e ars о n, F. R. M e г ritt, Phys. Rev. 95, 844 (1954).
G. Feher, Phys. Rev. 103, 834 (1956).
G. F e h e r, D. K. W i 1 s о n, E. A. Gere, Phys. Rev. Lett. 3, 25 (1959).
G. Feher, J. C. Hensel, E. A. Gere, Phys. Rev. Lett. 5, 309 (I960).
A. Honig, E. Stupp, Phys. Rev. Lett. 1, 275 (1958).
G. Feher, E. A. Gere, Phys. Rev. 114, 1245 (1959).
L. R о t h, Phys. Rev. 118, 1534 (I960).
H. Hasegawa, Phys. Rev. 118, 1523 (i960).
D. K. Wilson, G. Feher, Phys. Rev. 124, 1068 (1961).
Г. Л. Б и p, E. И. Б и т и к о в, Г. Е. Пику с, J. Phys. Chem. Solids 24, 1467. 1475 (1963).
D. J e г о m e, J. M. Winter, Phys. Rev. 134. A1001 (1964).
W. Ludwig, Phys. Rev. 137, A1520 (1965).
K. Morigaki, T. M i t s u m a, J. Phys. Soc. Japan 20, 62 (1965).
Б. M. Хабибуллин,①MM 22, 3 (1966).
N. Almelen, B. Goldstein, Phys. Rev. 149, 687 (1966).
W. M. W a 1 s h, Jr., J. P. Remeika, L. W. R u p p, Jr., Phys. Rev. 152, 223 (1966).
D. S. D о w n s, F. S. W i 1 1 i a m s, Phys. Rev. 170, 763 (1968).
H. W о о d b u r y, G. W. Ludwig, Phys. Rev. 117, 102 (i960); 124, 1083: 126, 466 (1961).
W. Ludwig, H. H. Woodbury, Phys. Rev. Lett. 5, 98 (I960).
W. Ludwig, H. H. Woodbury, Solid State Physics, vol. 13, New York, 1962 p. 223.
F e h e г, в книге «Paramagnetic Resonance», vol. II, New York, 1963, p. 715 Л. Д. Богомолова, В, H. Л азу к ин, И. В. Ч епелев а, УФН 83, 433 (1964).
J. Е. Drumheller, R. S. Rubins, Phys. Rev. 133, A1099 (1964).
R. S. T i t 1 e, Phys. Rev. 133, A1613 (1964).
J. A. G a i n о n, Phys. Rev. 134, A1300 (1964).
S. Kirkpatrick, К. A. M u 11 e r, R. S. Rubins, Phys. Rev. 135, A86 (1964).
E. Y m a k u, R. G. Barnes, Phys. Rev. 135, A144 (1964).
J. J. Krebs, Phys. Rev. 135, A396 (1964).
S. A. Marshall, J. A. Hodges, R. A. S e r w a y< Phys. Rev. 136, A1024 (1964).
T e - T s e Chang, Phys. Rev. 136, A1413 (1964).
J. C. Garth, Phys. Rev. 140, A656 (1965).
Л. H. Ансельм, Г. Л. Бир, И. Е. Мыльникова, М. П. Петров, ①ТТ 8, 1013 (1966).
L. R i m a i, Т. Kushida, Phys. Rev. 143, 160 (1966).
R. P. van Stapele, J. С. M. Henning, G. E. G. Hardeman, P. F. В о n g e r s, Phys. Rev. 150, 310 (1966).
T. I. В a r r y, Solid State Comm. 4T 123 (1966).
J. H. P i f e r, Phys. Rev. 157, 272 (1967).
D. M. Hannon, Phys. Rev. 164, 366 (1967).
H. D. P о w e 1 1, C. A. R e e d, J. Chem. Phys. 46, 2127 (1967).
M. R. К a g a n, J. F. Lally, R. M e i s t e r, P. H. E. Meier, Phys. Rev. 166, 234 (1968).
V. A. M i 1 e r, E. L. Offenbacher, Phys. Rev. 166, 269 (1968).
L. C h a s e, Phys. Rev. 168, 341 (1968).
W. С. H о 1 t о n, M. de W i t, T. L. E s t 1 e, B. D i s c h 1 e r, J. S c h n e i d e r, Phys. Rev. 169, 359 (1968).
R. S. T i t b, Phys. Rev. 133, A198 (1964).
R. Kohler, P. Thaddeus, Phys. Rev. 134, Al204 (1964).
J.Weber, R.W. В i e r i g, Phys. Rev. 134, Al492(1964).
R. L.White, G.F. Herrmann, J. W. Carson. M. Mandel,Phvs.
Rev. 136, A231 (1964).
B. A.Calhoun,J. Overmeyer, J. Appl. Phys. 35,989 (1964).
M. A b r a h a m, R.A. W e e k s, G. W. C 1 a r k, С. B. F i nc h, Phvs. Rev.137.
A138 (1965).
413.414.415.416.417.418.419.420.421.413.414.415.416.417.418.419.420.421.4 4 4 4 44 4 4 4 44 4 4 4 4 44 4 4 4 4 42-3-45-6-7^ 0^ Q^ ^ 4^ 9^ Q^22222 22233332-3-45-6-7^ 0^ Q^ ^ 4^ 9^ Q^22222 222333345678901234 434343434343444444444445678901234 4343434343434444444444567890123444445555444444444567890123444445555444444444454.455.456.457.458.459.460.461.462.463.464.465.466.467.454.455.456.457.458.459.460.461.462.463.464.465.466.467.8 9 о 1 26 6 7 7 74 4 4 4 48 9 о 1 26 6 7 7 74 4 4 4 4S. S a b i s к у, Phys. Bev. 141, 352 (1966).
413.
414.
415.
416.
417.
418.
419.
420.
421.
413.
414.
415.
416.
417.
418.
419.
420.
421.
4 4 4 4 4
4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4
2-3-45-6-7^ 0^ Q^ ^ 4^ 9^ Q^22222 2223333
2-3-45-6-7^ 0^ Q^ ^ 4^ 9^ Q^22222 2223333
45678901234 4343434343434444444444
45678901234 4343434343434444444444
567890123
444445555
444444444
567890123
444445555
444444444
454.
455.
456.
457.
458.
459.
460.
461.
462.
463.
464.
465.
466.
467.
454.
455.
456.
457.
458.
459.
460.
461.
462.
463.
464.
465.
466.
467.
8 9 о 1 2
6 6 7 7 7
4 4 4 4 4
8 9 о 1 2
6 6 7 7 7
4 4 4 4 4
R. Merritt, H. Guggenheim, C. G. B. Garrett, Phys. Rev. 145, 188 (1966).
K. L. Brower, H. J. Stapleton, E. O. Brower, Phys. Rev. 146 , 233 (1966).
S. D. M c L augh 1 an, P. A. Forrester, A. F. Fray, Phys. Rev. 146, 344 (1966).
S. D. M c L a u g h 1 a n, Phys. Rev. 150, 118 (1966); 160, 287 (1967).
А. В о a t n e rT M. M. A b r a h a m, Phys. Rev. 163, 213 (1967).
J. Rosenthal, Phys. Rev. 164, 363 (1967).
K. L. Brower, H. J. Stapleton, J. Chem. Phys. 46, 888 (1967).
Z. S г о n b e к, M. Tachiki, P. H. Zimmerman, R. О r b ach, Phys. Rev. 165, 435 (1968).'
I. C. Kravitz, W. W. Piper, Phys. Rev. 146, 322 (1966).
T. L. E s t 1 e, W. С. H о 1 t о nT Phys. Rev. 150, 159 (1966).
F. Seitz, Rev. Mod. Phys. 18, 384 (1954).
M. Ф. Д e й г e н, ЖЭТФ 33, 773 (1957).
Ф. Д e й г e и, JI. А. Ш у л ь м а н, Журнал оптики и спектроскопии 3, 21
Я. 3 е в и и, Жури, оптики и спектроскопии 3, 660 (1957).
Л. А. Шульман, Жури. общ. химии 3, 684 (1957).
М. Д.Г л и п ч у к, М. Ф. Д е й г е и,出ТО 28, 1981 (1958);ФТТ 4,2521(1962).
М.①.Д е й г е н, О. Б. Р о й ц п и, Укр. физ. жури. 3, 439(1958).
М. Ф. Д е й г е нт Г. В. Коробко, ФТТ 5, 1126 (1963).
М. Ф.Д е и г е н, М. Д. Г л и и ч у к, «ФТТ 5, 3250 (1963).
М. Ф.Д е й г е и, В. М. М а с в с к и й, В. Я. 3 е в и н, И.И. В и трихо в-
с к н 気 ОТТ 6, 2 75 6 (1964).
Н. S е i d е 1, II. С. W о 1 f, Phys. stat. sol. 12, 3 (1965).
A. Hutchinson. Phys. Rev. 75, 1769 (1949).
E. Schneider, T. S. England, Physica 17, 221 (1951).
M. T i n k h a m, A. F. К i p, Phys. Rev. 83, 657 (1951).
С. P. S 1 i c h t e r, Phys. Rev. Lett. 5, 197 (I960).
W. С. H о 1 t о n, H. В 1 u m, Phys. Rev. 1纟5, 89 (1962).
Hughes, Phys. stat. sol. 5, 55 (1964).
J. A r g e n d s, A. J. Dekker, Phys. stat. sol. 5, 265 (1964).
W. К a n z i g, Phys. Rev. 99, 1890 (1955).
J. Delbccq, B. Smaller, P. H. Y aster, Phys. Rev, 104, 599 (1956),
А. А. Г а л к л н, Я. А. Ш а м cb a p о в, А. В. Стефа н и ui и и а, 9КЭТФ 32, 1581 (1957).л
R. A. Ogg, J. Chem. Phys. 14, 114, 205 (1946).
R. А. О g g, J. Am. Chem. Soc. 68, 155 (1946).
J.К ap1 a n,Ch.К i t t e 1,J. Chem. Phys. 21, 1429 (1953).
M.Ф.Дe й гe h,出3T① 26,293, 300 (1954); Укр. фпз. жури. 1, 245 (1956).
И. П е к а рт ЖЭТФ 16, 341 (1946),
М.Ф.Де й ге и,С. И. П е к а р, ЖЭТФ 34, 684 (1958).
Я.И.Фр е ик ел ь, Phys.Rev. 37, 17, 1274 (1931).
G. Е. G. Hardeman, Philips Techn. Rev. 24, 206 (1962/63).
А. Альтшулер, Б. И. Кочелаев, A. M. Л e уши н, УФН 75, 459 (1961).
А. А л ь т ш упер, ДАН СССР 85, 1235 (1952); ЖЭТФ 28, 38, 49 (1955).
А. Альтшулер, М. М. 3 арино в, Л. Я. Ш ек ун, Изв. АН ©ССР, сер. фпз. 21, 844 (1957).
А. Альтшулер, Ш. Ш. Б а ш к и р о в, А. М. Л е v ш н н,①ТТ 3, 1501 (1961).'
Н. J acobson, N, S. S h i г е n, Е. В. Tucker, Phys. Rev. Lett. 3, 81 (1954).'
N. S. S h i r e n, E. B. Tucker, Phys, Rev. Lett. 6, 105 (1961).
N. S. Shire% Phys. Rev. Lett. 6, 168 (1961).
N. S. S h i r e n, Phys. Rev. 128, 2103 (1962).
A. P. К e с с e л ь, У. X. К о п в ii л л e м, ФТТ 5, 667 (1963).
А. И. A x и e в e p, J. Phys. USSR 1, 290 (1939).
N. E. В о ш in e 1, Phys, Rev. 96, 220 (1954).
L. MacKenna m, Phys. Rev. 98, 1181; 100, 655 (1955).
W. I. D о b г о v, Phys, Rev. 134, A734 (1964); 146, 268 (1966).
E. H. J а с о b s e n, K. W. H. Steven s, Phys. Rev. 129, 2036 (1963).
И. A x и e 3 e p, M. И. Каганов, Г. Я. Любарский, ЖЭТФ 32, 837 (1957).
Е. I, Blount, Phys. Rev. 114, 418 (1959).
П. С и л ii н, ЖЭТФ 38, 977 (I960).
А. В. Р i р р а г d, Phil. Mag. (8) 2, 1147 (1957).
А. В. Р i р р а г d, Proc. Hoy. Soc. A257, 165 (I960).
D. H. Renecker, Phys. Rev. 115, 303 (1959),
R.W. M о r s e, J. D. G a v e n d a, Phys. Rev. Lett. 2,250 (1959).
А.А. Г а л к и н, Э. А. К а н e p, А. П. К a p о л ю к,ДАН СССР134,74(I960).
E. В. Tucker, Phys. Rev. Lett. 6, 183, 547 (1961).
А.П. К a p о л ю к, T. А. П у щ а к, ЖЗТ① 41, 1689(1961).
В.W. R о b e r t s, Phys. Rev. 119, 1889 (I960); Phys. Rev. Lett.6,453(1961).
A. Myers, Am. J. Phys. 29, 143 (1961).
D. F. Gibbons, Phil. Mag. 6, 445 (1961).
П. А. Б e 3 у г л ы й, А. А. Г а л к и н, А. И. П у ш к и н, А. И. X о м ч e и к o, 7K3T① 42, 84 (1962).
V. J. E asterling, H. V. Bohm, Phys. Rev. 125, 812, 128, 1021 (1962).
I. G. M a v г о i d e s, B. L a x, К. I. В u t t о n, Y. S h a p i r a, Phys. Rev. Lett. 9,(1962).
J： A. R a у n e, Phys. Lett. 2, 128 (1962); Phys. Rev. 129, 652; 131, 653 (1963);
A1104 (1964).
ГГ. А. Б e 3 у г л ы й, А. А. Г а л к и н, А. И. П v ш к и н, ЖЭТФ 44, 71 (1963).
Y. Eckstein, Phys. Rev. 129, 12 (1963).”
J. B. Ketterson, Phys. Rev. 129, 18 (1963).,
G. N. Kamm, H. V. В о h m, Phys. Rev. 131, 111 (1963).
B. Segall, Phys. Rev. 131, 121 (1963).
A. R. Mackintosh, Phys. Rev. 131, 2420 (1963).
T. Olsen, J. Phys. Chem. Solids 24, 649 (1963).
M. R. Daniel, L. Mackinnen, Phil. Mag. 8, 537 (1963).
П. А. Б e 3 у г л ы ii, А. А. Г а л к и н, С. E. Ж e в а г о, ЖЭТФ 47, 825 (1964); ①TT 7, 480 (1965)..
С. K. J о n e s, J. A. R a у n e, Phys. Lett. 8, 155 (1964).
L. Eriksson, O. R e c k m a n, S. H 6 r n f e 1 d t. J. Phys. Chem. Solids 25, 1339 (1964).
R. F о s s h e i m, T. Olsen, Phys. stat. sol. 6, 867 (1964).
H. J. Foster, P. H. M e i j e г, E. V. M i e 1 c z a r e k, Phys. Rev. 139, A1849 (1965).
С. K. J ones, J. A. R a у n e, Phys. Lett. 14,13 (1965); Phys. Rev. 139,1876 (1965).
В. C. Deaton, Phys. Rev. 140, A2051 (1965).
Y. Shapira, S. J. Williamson, Phys. Lett. 14, 73 (1965).
J. T r i v i s о n n о, M. S. Said, L. A. P a n e r, Phys. Rev. 147, 518 (1966).
E. W. F e n t о n, S. B. W о о d s, Phys. Rev. 151, 424 (1966).
В. I. M i 1 1 e r, Phys. Rev. 151, 519 (1966).
J. R. В о у d, J. D. G a v e n d a, Phys. Rev. 152, 645 (1966).
J. D. G a v e n d a, Phys. Rev. Lett. 16, 228 (1966)..
S. Mase, Y. Fujimori, H. Mori, J. Phys. Soc. Japan 21, 1744 (1966).
H. P. A n b a n e r. Phys. Rev. 155, 673 (1967).
J. В. К etterson, R. W. Stark, Phys. Rev. 156, 748 (1967).
L. R. T estardi, R. R. Soden, Phys. Rev. 158, 581 (1967).
В. Л. Г у p e в ii ч,出3T① 37, 71, 1680 (1957).
М. S. S t е i n b е г g, Phys. Rev. 109, 1486; 110, 772 (1958).
N. Mikoshiba, J. Phys. Soc. Japan 13, 759 (1958).
T. К j e 1 d a a s, Jr. Phys. Rev. 113, 1473 (1959).
T.К je 1 d a a s, Jr., T. H a 1 s t e i n, Phys. Rev.Lett.2,340(1959).
A.13.P i p p a r d, Proc. Roy. Soc. A257, 165 (1959).
3.А.Канер, ЖЭТФ 38, 212; 39, 1071 (I960).
M.H.Cohen, М. J. Harrison, W. А. И a rr i s оn,Phys.Rev. 117, 937
(I960)..
В. И. Герасименко, }K3T① 40, 585 (1961).
В.Л.Г у pe вп ч, В. Г.С ко 6 о в, Ю.А. Фпр сов,ЖЭТФ40,786(1961).
Г.Л.К о тк ии,出ЗТ①41,281 (1961).
Э.А.К а не р,В. Г. П ес ч а н с к и й, И. А.Пр иворо их^ий.ЖЗТ①40
212 (1961).,「 -，'
Н. Stolz, Phys. stat. sol. 1, 222, 451 (1961).
H. S t о 1 z, Ann. d. Phys. 7, 353 (1961).
H. Stolz, Zs. Naturforsch. 16a, 406 (1961).
Э. A. К a H e p,出3T① 43, 216 (196 2).
J. J. Quinn, S. Rodriguez, Phys. Rev. 128, 2494 (1962).
M. С. С в и p с к и й,出3T① 44, 628 (1963).
С. В. Г а н ц е в п ч, В. Л. Г у р е в и ч,出ЗТ① 45, 587 (1963).
П. С. Зырянов, ФММ 13, 641 (1962).
Б. II.①口 л н u 口 о в, ЖЭТФ 46, 223 (1964).
329а.К. Б. В л а с о в,①ММ 21, 176 (1966).
Н. Stolz, Phys. stat. sol. 3, 1153, 1493, 1957 (1963); 9, 3 (1965).
И. E. В о in m e 1, Phys. Rev. 100, 758 (1955).
Э. А. К а н e p, В. Л.① а л ь к o,出9T① 46, 1344 (1964).
Y. Eckstein, J. B. Ketterson, S. G. Eckstein, Phys. Rev. 135. A740 (1964).
S. G. Eckstein, Phys. Rev. Lett. 12, 360 (4964).
K6 789012345678901234 3 333444444444455 £55 55 555555555555555555K6 789012345678901234 3 333444444444455 £55 55 555555555555555555555.5F6. 557.52 5；9. 560.561.562.563.564.565.566. 567 568.569.570.571.572.573.574.575.576.577.578.579.580.581.582.583.584.555.5F6. 557.52 5；9. 560.561.562.563.564.565.566. 567 568.569.570.571.572.573.574.575.576.577.578.579.580.581.582.583.584.
K6 789012345678901234 3 333444444444455 £55 55 555555555555555555
K6 789012345678901234 3 333444444444455 £55 55 555555555555555555
555.
5F6. 557.
52 5；9. 560.
561.
562.
563.
564.
565.
566. 567 568.
569.
570.
571.
572.
573.
574.
575.
576.
577.
578.
579.
580.
581.
582.
583.
584.
555.
5F6. 557.
52 5；9. 560.
561.
562.
563.
564.
565.
566. 567 568.
569.
570.
571.
572.
573.
574.
575.
576.
577.
578.
579.
580.
581.
582.
583.
584.
Y. Sawada, E. Burstein, Phys. Rev. 150, 456 (1966).
D. N. L ang en b erg, J. J. Quinn, S. Rodriguez, Phys. Rev. Lett. 12. 104 (1964).
Y. S h a p i r a, B, L a x, Phys, Rev. Lett. 12, 166 (1964).
Y. Shapira, Phys. Rev. Lett. 13, 162 (1964).
M. T о x e n, S. T a n s a 1, Phys. Rev. 137, A211 (1965).
J. J. Q u i u n, Phys. Rev. 137, A889 (1965).
Г. 3. Г e p ш у н и,出3T① 39，326 (I960).
Г. П e с ч а н с к и й, И. А. П p и в о p о ц к и й, ФММ 12, 327 (1961).
Г. Акрамов,①ТТ 5, 1310 (1963).
S. Н. L i n, А. М. Т о х е n, Phys. Rev. 138, А487 (1965).
J. Mertsching, H. Stolz, Phys. stat. sol. 8, 847 (1965).
Б. H.①口 л н n □ о в, П. С. Зырянов, ФММ 23, 769, 24, 18 (1967).
J. J. Q u i n n, S. Rodriguez, Phys. Rev. Lett. 9, 145 (1962).
G. A. A 1 e r s, P. A. F 1 e u r y, Phys. Rev. 129, 2425 (1963).
S. Rodriguez, Phys. Rev. 130, 1778 (1963).
S. Rodriguez, Phys. Rev. 132, 535 (1963).
G. A. A 1 e r s, R. T. Swim, Phys. Rev. Lett. 11, 72 (1963).
Л. Д. А б д у л а д 3 e, 3. С. К а г л и in в и л ит ①ТТ 10, 1902 (1968).
К. J. Button, В. L а х, С. С. Bradley, Phys. Rev. Lett. 21, 3 0 (1968). P，Eisenberger, P. S. Pershan, D. K. Bosomworth, Phys. Rev. 188, 11： 7 (1969).
K. J. Button, G. L a n d w e h г, С. C. Bradley, Phys. Rev. Lett. 23, 14 (1969).
J■ Waldman, D. M. Larsen et al., Phys. Rev. Lett. 23, 1033 (1969).
J. R. A p e 1, T. О. P о e h 1 e r, C. R. W estgate, Appl. Phys. Lett. 14, 161 (1969).
L.Mears, R. A.S t r a d И n g,Sol. StateCommun. 7, 1267 (1969).
IO.Ф. Комп и к, E.И. Б у x ш т аб,ЖЭТФ54, 63(196&).
М-С.X а й к it л, С.М. Ч е р р м с и口，ЖЭТФ54, 69(1968).
М.Я.А 3 б е л ь, В.Г. П е с ч а н ск ий,出ЗТ① 54,477 (1968).
В. П. С и л и н, ЖЭТФ 54, 1016 (1968).
П. Набережных, Н. К. Даньшин. Л. Т. Ц и м б а л. ЖЭТФ 55, 389 (1968). ■
А. Е. D i х о nT W. R- D a t а г s, Phys. Rev. 175, 928 (1968).
R. G- Chambers, Phys. Kondens. Matcrie 9, 171 (1969).
J. F. С а г о 1 а и, A. P. von Gelder, Phys. Rev. Lett. 25, 1433 (1970).
В. С. Э д e л ь м а п, ЖЭТФ 54, 1726 (1968); УФН 102, 55 (1970).
Б. A. T а в г c p, В. И. Д e м и x о в с к и ii, У①Н 96, 61 (1968).
Э. А. Кайер, В.①.Г а п т м а хер, УФН 94) 193 (1968).
Т. О. Р о е h J е г, J. R. А р е 1. Phys. Lett. 32, А208 (1970).
К. Pfeuffci, Phys. stat. sol. 29, 171 (1968).
U. Haeberlen, J. S. W a n g h, Phys. Rev. 185, 420 (1969).
H. В 6 t t g e r, Phys. stat. sol. 32, 413 (1969).
J. Levy, Phys. Rev. 1B, 4261 (1970).
Д. И- Кадыров, И. Г. Шапошников, Compt. rend. 271, B611 (1970); ФММ 29, £8 (1970)..
Walgraef, P. Brockmans, Phys, Rev. 187, 421, 430 (1969).
N. M. Atherton, Sci. Progr., Oxford 56, 179 (1968).
M. X а б и б у л л и н, ЖЭТФ 54, 1865 (1968).
W. Overhauser, А. М. de Graaf, Phys. Rev. 168, 763 (1968).
H. С. Г а р н ф ь я и о в, Э. Г. Харахашьян,①.Г. Черкасов,① ММ 28, 383 (1969).
Caroli, С. Caroli, D. R. F г е d k i n, Phys. Rev. 178, F98 (1969).
А. М. d с Graaf, A. W. Overhauser, Phy«. Rev. 180, 701 (1969).
J. I. Kaplan, M. L. Glasser, Phys. Rev. 183, 408 (1969).
M. B. Walker, Phys. Rev. IB, 3690 (1970).^
Глава 14
ГАЛЬВАНО- И ТЕРМОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯВ МЕТАЛЛАХ И ПОЛУПРОВОДНИКАХ,НЕ ОБЛАДАЮЩИХ МАГНИТНЫМ ПОРЯДКОМ
Феноменологическая теория гальвано- и термомагнитныхэффектов
Классификация эффектов. В предыдущих главах книги в основном шла речь о термодинамически равновесных магнитных свойствах вещества (магнитная восприимчивость в постоянных и переменных полях). Только при изложении проблемы времени релаксации (гл. 13) рассматривались процессы перехода электронно-ионной системы кристалла из неравновесных состояний в равновесные. При этом на электроны и иопы могли действовать внешние электромагххитные поля, звуковые колебания, могли сказываться и внутренние взаимодействия. Процессы, связанные с переносом заряда, импульса, магнитного момента, массы частиц и т. п., принято называть процессами переноса или кинетическими я&人е^пн用и. Здесь мы кратко ) рассмотрим некоторые кинетические явления в металлах и полупроводниках, не обладающих атомным магнитным порядком, когда среди внешних полей обязательно присутствует магнитное поле. При этом мы ограничимся лишь случаем стационарных кинетических явлений, когда величины, характеризующие процесс переноса — плотность электрического тока, тепловой поток, напряженности внешних электрических и маг白итнмх полей не зависят от'времени. Конкретно будут рассмотрены два класса стационарных кинетических явлений:
гальваномагнитные под которыми понимается совокупность эффектов, возникающих в электронных проводниках (металлах и полуметаллах) под действием магнитного поля 〃，когда в них протекает электрический ток плотности У, и 2) термомагнитные. под которыми понимается совокупность эффектов, возникающих в электронных проводниках под действием магнитного поля К, когда в них имеется тепловой поток плотности W.
При этом г ла вное внимание будет уделено гальваномагнитным эффектам в металлах, которые хорошо иллюстрируют класс магнитных кинетических явлений в кристаллах вообще.
Эти явления с равным правом можно отнести не только к магнитным, но также к электрическим и соответственно к тепловым эффектам. Однако наиболее характерные черты этих явлений связаны с активным воздействием внешнего магнитного поля на движение носителей тока. Именно этот магнитный аспект и будет интересовать нас прежде всего.
Дело в том, что сильные магнитные поля здесь выступают в качестве уникального «инструмента» для исследования важнепшей динамической характеристики носителей тока в кристаллах — закона дисперсии s (〃)< описывающего зависимость энергии носителей тока s от его квазиимпульса 〃. Это становится возможным благодаря тому, что в сильных магнитных полях циклотронная частота со^^т-1 ,т.е. значительно больше частоты столкновений носителей с различного рода рассеивателями, и поэтому в первом приближении можно пренебрегать эффектами рассеяния. Тогда движение носителя в кристалле полностью определено его законом дисперсии е (〃)и внешним магнитным полем. Иными словами, сильное магнитное поле позволяет как бы отключить эффект случайных столкновений, мешающий исследованию динамических свойств носителя. Именно поэтому изучению гальвано- и термомагнитных явлений в сильных магнитных полях уделяется большое внимание. Эти явления позволяют также, наряду с другими методами, исследовать и механизмы релаксации носителей тока в кристаллах металлов и полупроводников.
Гальвано- и термомагнитные эффекты могут быть трех типов в зависимости от взаимной ориентации вектора магнитного поля Н и вектора плотности электрического тока 7 или теплового потока w<
Поперечные эффекты в поперечном магнитном поле, когда поле перпендикулярно к токам (Н 丄 /; Н ± ^), а исследуемый эффект (разность потенциалов, градиент температуры и т. п.) измеряется в «третьем» направлении ——перпендикулярном к JT и J (или w).
Продольные эффекты в поперечном магнитном поле, когда поле перпендикулярно к токам, а эффект измеряется вдоль направления тока.
Продольные эффекты в продольном магнитном поле, когда поле параллельно токам (AU J; ИII и?) и эффект измеряется в этом же направлении.
Общие соотношения. В основу определения всех гальвано- и термо магнитных коэффициентов положены [Ландау и Лифшиц (1957)] формулы для двух векторных потоков: объемной плотности тока проводимости )彳或 объемной плотности потока тепла ) и?. Это следует здесь подчеркнуть, потому что при изучении термомагннтных явлений необходимо рассматривать пространственно-неоднородные системы, поскольку в качестве обобщенных сил, создающих потоки, выступают пространственные неоднородности температуры Т (г) и химического потенциала ^ (г). В таких системах (дТ!дхг 声 0 о дУдхх 声 0) ток проводимости У, вообще говоря, не совпадает с 7<е)— объемной плотностью потока заряда. Это различие У и 7<е) в пространственно-неоднородных системах появляется тогда, когда носители тока начинают давать заметный вклад в намагниченность системы, другими словами, когда среди термодинамических характеристик состояния системы носителей появляется их намагниченность ^нпсит (диамагнетизм Ландау, парамагнетизм Паули и ферромагнетизм в модели коллективизированных электронов). Действительно, в этих условиях [когда /носит зависит от /- qep(?3 Т (г) и С (“,
^(е)— ус rot -f носит'
Как следует из этой формулы, J =/《吩 только в пространственно-однородных системах, когда rot Тцисит = 0 н всегда при 4осит = °*
Еще большую осторожность следует проявлять при нахождении величины плотности потока тепла ^. Даже в пространственно-однородных системах (когда потоки обусловлены слабым электрическим полем J?) величина разности потока энергии 歹(“) и (匕/e) j (廿——за,ряд носителя тока) не является потоком тепла, поскольку 11t/"' содержится еще поток магнитной энергии (вклад в вектор Пойнтинга от намагниченности), равный (с/4п)[ 73 (Н —В)] = —с [JETH(,CIIT]. В общем случае дространственно-неодпородных систем, когда носители тока вносят вклад в намагниченность (равный 工口)снТ), ток проводимости J и поток тепла ш определяются формулами, найденными впервые в работах Зырянова и Силина [8, 9] (см. также работы Образцова [10], Ахиезера, Баръ- яхтара и Пелетмипского [11], а также [12 — 17] и обзор [18]):
7 8 = Sp (6,户}) — с rot Тпосит, )"'(')= Sp(P，严j
%оснт = -с【/"иоснт] ++{7(^)в + М^)т} j 縛 rot/носнт (Г,
Все соотношения термодинамики необратимых процессов (принцип симметрии кинети- ческих коэффициентов Онзагера, соотношение Эйнштейна, возрастание энтропии) относятся к потокам j (г) и ш (/*), но отнюдь не к J(e> и j^^ С помощью этих потоков j и w определяются гальвано- и термомагнитные коэффициенты как в классических, так н в квантовых системах. Для дальнейшего нам удобно соотношения, связывающие обобщенные силн^,。第d%友,дТ!дхк и вызванные ими потоки J и ш, записывать в форме, предложенной Мейкспером [19] и Калленом [20] )：
дТ
L* --冗加九L* --冗加九.дТ5兩Г.дТ5兩Г(3 к— \, 2, 3),(3 к— \, 2, 3),(14.2)(14.2)
L* --冗加九
L* --冗加九
.дТ
5兩Г
.дТ
5兩Г
(3 к— \, 2, 3),
(3 к— \, 2, 3),
(14.2)
(14.2)
где 9T/dxh ——градиент температуры вдоль оси ①片，Ei ——эффективное электрическое поле, равное Е» ——(1/е) д^дх^ Тензорные коэффициенты в (14.2^ представляют собой вполне определенные физические величины, характер которых обусловлен условиями опыта (см. ниже), р^——тензор удельного электросопротивления,入沿——тензор удельной теплопроводности, ^/г—тензор абсолютной термо-э. д. с. (или Зеебека) и л；й — тензор Пельтье. Все эти тензоры являются функциями магнитного поля 耳，температуры, давления и других термодинамических переменных. Вид этих функций может быть определен лишь в микроскопической теории. Компоненты тензоров р；&, Х^, eik и 冗,在 связаны между собой; характер этой связи можно установить с помощью соотношений взаимности Онзагера, известных из статистической физики (см., например, Ландау и Лифшиц (1964, 4.957), а также работы [21——29]). Эти соотношения имеют вид
Pik (Н)=^1 ( — Я)；] 儿克(8) = ^i(-〃)； j(14.3)
Tq克 (X) = ^4t (-①.丿
Детальное исследование пространственно-временной симметрии линейных кинетических коэффициентов в присутствии внешнего магнитного поля для кристаллов, обладающих и не обладающих атомным магнитным порядком, провел Клайнер [30]. Развитый им метод может быть в принципе использован и для анализа свойств симметрии нелинейных кинетических коэффициентов. Клайнер показал, что соотношения Онзагера (14.3) можно обобщить, и нашел это обобщение. Все (1651) трехмерные пространственные группы (см. гл. 18 и 19), в которых учитывается инверсия времени, разбиваются на три класса. I класс: 230 групп, которые одним из элементов симметрии содержат инверсию времени; II класс; 230 групп, пе содержащих такого элемента, и III класс: 1191 группа, содержащая инверсию времени лишь в комбинации с пространственными преобразованиями симметрии. Класс I соответствует немагнитным кристаллам, а классы II и Ш — магнитным. Соотношения взаимности в обычиой форме (14.3) справедливы всегда для кристаллов класса I и для некоторых кристаллов класса II. В случае же класса Ш они применимы лишь в видоизмененной форме, най- деппоп Клайпором [30] (см. также гл< 25).
В случае изотропных и однородных образцов ). когда магнитное поле Н иаправ- лено но осп 胃3 (0, 0, %), общие уравнения (14.2) (применимые и в анизотропном случае монокристаллов) принимают более простой вид );
W；=PW1 — p2I『2^11W；=PW1 — p2I『2^11дТдТ^2 ~ Р21/1-ГрП/2'"^ &21^2 ~ Р21/1-ГрП/2'"^ &21дТ0xiдТ0xiОТдТОТдТ力寺=一n21， 1 一冗11%一入21力寺=一n21， 1 一冗11%一入21дТдТ 、生_储1生/144、О/dx2 IдТдТ 、生_储1生/144、О/dx2 I
W；=PW1 — p2I『2^11
W；=PW1 — p2I『2^11
дТ
дТ
^2 ~ Р21/1-ГрП/2'"^ &21
^2 ~ Р21/1-ГрП/2'"^ &21
дТ0xi
дТ0xi
ОТ
дТ
ОТ
дТ
力寺=一n21， 1 一冗11%一入21
力寺=一n21， 1 一冗11%一入21
дТдТ 、
生_储1生/144、
О/dx2 I
дТдТ 、
生_储1生/144、
О/dx2 I
. dTЕз=Рзз/з-езз 石,. dTЕз=Рзз/з-езз 石,*., дТ吗=一n33,3 一为33 E•*., дТ吗=一n33,3 一为33 E•
. dT
Ез=Рзз/з-езз 石,
. dT
Ез=Рзз/з-езз 石,
*., дТ
吗=一n33,3 一为33 E•
*., дТ
吗=一n33,3 一为33 E•
В «изотропные» соотношения (14.4) входят 12 различных компонент тензоров р消， % 在，nik 口 eik (по три от каждого). В табл. 44d п 14.2 (① шип и др. [27]① итпи. [31]) дано перечисление обычных изотропных эффектов с принятыми для них наименованиями и обозначениями. В этих таблицах также учитывается различие между изотермическими и адиабатггческими условиями эксперимента, что соответствует для оси ^2: либо дТ/дх2 = 0 (изотермические), либо ш2 = 0 (адиабатические). Из (14.4) и формул таблиц. 14.1 и 14.2 легко получить связь между изотермическим (с индексом i) и адиабатическим (с индексом а) коэффициентами:
% = % + С1 尸 q。=。?十/15 P”「Q/〃2% = % + С1 尸 q。=。?十/15 P”「Q/〃2(Холла),(Нернста — Эттингсхаузена),(Холла),(Нернста — Эттингсхаузена),(14.5)(14.5)ОТ d勺ОТ d勺(удельного электрического сопротивления),(удельного электрического сопротивления),/1/1—PSH?г—PSH?г九弘=九%（I+S2耳2） e；i =叱一QtSH2九弘=九%（I+S2耳2） e；i =叱一QtSH2(Нернста, продольный эффект),(теплопроводности),(термо-э.д<с.)<(Нернста, продольный эффект),(теплопроводности),(термо-э.д<с.)<
% = % + С1 尸 q。=。?十/15 P”「Q/〃2
% = % + С1 尸 q。=。?十/15 P”「Q/〃2
(Холла),
(Нернста — Эттингсхаузена),
(Холла),
(Нернста — Эттингсхаузена),
(14.5)
(14.5)
ОТ d勺
ОТ d勺
(удельного электрического сопротивления),
(удельного электрического сопротивления),
/1
/1
—PSH?
г
—PSH?
г
九弘=九%（I+S2耳2） e；i =叱一QtSH2
九弘=九%（I+S2耳2） e；i =叱一QtSH2
(Нернста, продольный эффект),
(теплопроводности),
(термо-э.д<с.)<
(Нернста, продольный эффект),
(теплопроводности),
(термо-э.д<с.)<
Таблица 14.1
Гальваномагнитные явления в изотропных образцах
Тип эффекта
Эффект
Первичный ток
Измеряемая величина
Соотношение, определяющее эффект
Дополнител ьные условия
о
III
^憎
изотермический
Холла(коэффициент 勺)
адиабатический (коэффициент 五口)
/1
磁
"1 五ah = p21+勺1 次言
. дТ дТ с
/ 2 ==0
0*13*2
•дТ舞 п
/2 =丽=出=°
Эттингсхаузена (адиабатический) (коэффициент Р)
/1
дТ
汲2
дТ
"九h
•дТ* П
"=e=耽=°
g：
о !!! 工協
百
II
Н
Магнето-[ изотермический
сопротивления ( адиабатический
/1
△Р = Р — РО
Ри
Ef _ %.f21 — а
-^― =〈一 pH — ^21 -T— — Ри
/1/1^и
дТ дТ п
%=丽=丽=° .дТ * п "=e=也=。
! изотермический
Н°Р1 адиабатический
/1
дТ дх^
九11
дТ
^1[1 冗 21 九 21、
/1=格网,大"丿
дт
:2="期=°
/2 = W* =切贵—0
Магнетосопротпвления
/3
△Р = Р —Ро
=『 = Рзз
/з /з
dt*史八
'加，=〃 = " = % —唠=о
Названия не имеет
/з
дТ 加з
дТ
加 з = Лзз
/з入 33
/\ =/2=第f=我?芸=缈寺=0
Тип эффекта
Эффект
Первичный тепловой поток
Измеряемая величина
Соотношение, определяющее эффект
Дополнительные условие
о
智
Риги—Ледюка (адиабатический) (коэффициент S)
喈
дТ
дТ
дх^
:1 = /2 =缈手 =。
изотермический
Нернста—(коэффициент Q)
Эттингсхаузенаадиабатический
(коэффициент Qa)
若
碇
風一j汲！
Z1T= QJ =魯
. ат 石=°
/1 = 72 —W2=0
о о 百
о
II
百
1 епловое/ изотерМичесКий
магнето-< адиабатический
сопротивления [
若
A九=九0——九
дТ ~ дТ « дх^dxt
九11
1人h
•- dT n
〃=/2=五=°
"=/2=唠=0
Магнето- J изотермический термо-э.д.с. [ адиабатический
w*
Ef
дТ дх^
勺1
611 +31 -y^ ~ell
1аh
дТ с
"=/2 =丽=° /1^/2= W2=0
га
Теплового магнетосопротивления
齊
A九=九0九
33
汲3汲3
/з = 0
Магнетотермо-э-Д-с.
若
碇
-犷=e33 加3
/з = 0
Термомагнитные явления в изотропных образцах
Табл ица 14.2
Кроме того, в изотропном случае между 12 коэффициентами в (14.4) существуют три соотношения:
тёй0) = %1(耳)；те^ (Я)-Лзз(Я); T出(幻=g1 (五)， (関.6>
которые вытекают из того факта, что в данном случае ри, р33, Хи, Л33, ли,冗33, е” 11 侬一четные функции магнитного поля, a p2i，入21,冗21 и 久1 — нечетные функции. Первые два соотношения (14.6) - это соотношения Кельвина для случая поперечного и продольного магнитного поля, а третье ——соотношение Бриджмена для изотермического коэффициента Нернста — Эттингсхаузена Q и коэффициента Эттингсхаузена Р; TQt = РХИ, где Хи — изотермическая удельная теплопроводность в поперечном магнитном поле.
Гораздо сложнее обстоит дело в случае анизотропных монокристаллических образцов. Этот вопрос, однако, мы не будем здесь рассматривать из-за недостатка места [см. обзор Жана [1] и Ландау и Лифшиц (1957)].
§ 2. Магнетосопротивление и эффект Холла
В качестве конкретного примера рассмотрим более подробно магнетосопротивло- ние и эффект Холла для изотропного случая, когда измерения проводятся в изотермических условиях (VT = 0). У равнения (14.4) при этом примут вид
e1=p丄，1 - px。口/2,'
(14.7}(14.7}К2 — РхОЛ/ 1 + Р 丄％，，
(14.7}
(14.7}
Ез = Р||/з,.
где р丄=ри = р22 — удельное сопротивление в поперечном магнитном поле (77 = =Я3), рн — р33 — то же в продольном поле, рхол = p?i = RH — изотермическое-
Рис. 14.1. Типичные условия для наблюдения эффекта Холла в пластине металла или полу проводит ка. 4 и В—токоподводящие электроды; С и D—контакты дг：я гзмеренгя э.д.с. Холя,а; G— пргбор для этого озмсренгн； Охол—угол Xолла между векторами напряженности ялектрического поля 洞 и плотности тока J. Справа показаны координатные оси хп х2 и х3.Рис. 14.1. Типичные условия для наблюдения эффекта Холла в пластине металла или полу проводит ка. 4 и В—токоподводящие электроды; С и D—контакты дг：я гзмеренгя э.д.с. Холя,а; G— пргбор для этого озмсренгн； Охол—угол Xолла между векторами напряженности ялектрического поля 洞 и плотности тока J. Справа показаны координатные оси хп х2 и х3.
Рис. 14.1. Типичные условия для наблюдения эффекта Холла в пластине металла или полу проводит ка. 4 и В—токоподводящие электроды; С и D—контакты дг：я гзмеренгя э.д.с. Холя,а; G— пргбор для этого озмсренгн； Охол—угол Xолла между векторами напряженности ялектрического поля 洞 и плотности тока J. Справа показаны координатные оси хп х2 и х3.
Рис. 14.1. Типичные условия для наблюдения эффекта Холла в пластине металла или полу проводит ка. 4 и В—токоподводящие электроды; С и D—контакты дг：я гзмеренгя э.д.с. Холя,а; G— пргбор для этого озмсренгн； Охол—угол Xолла между векторами напряженности ялектрического поля 洞 и плотности тока J. Справа показаны координатные оси хп х2 и х3.
холловское сопротивление. Магнетосопротивление обычно определяется как относительное изменение сопротивления образца в виде стержня (проволоки) Ар по отношению к его удельному сопротивлению в отсутствие магнитного поля р0- Если поле параллельно или перпендикулярно стержню, то мы имеем соответственно
m丄_ p丄-Р°Ро Роm丄_ p丄-Р°Ро РоМ*!1РоМ*!1РоР II — РоРоР II — РоРо(14.8)(14.8)
m丄_ p丄-Р°
Ро Ро
m丄_ p丄-Р°
Ро Ро
М*!1Ро
М*!1Ро
Р II — РоРо
Р II — РоРо
(14.8)
(14.8)
Если поле Я составляет с осью стержня угол (р, то
(14.9)(14.9)р (屮)=「丄 sin2(р + р“ cos2 ф.
(14.9)
(14.9)
При обычно используемых полях Н W 104 з и при комнатных температурах магнето сопротивление Ар/ро для большинства металлов весьма мало. Например, в случае меди Др/р0 弋 Ю~4 при И = 2 *104 а. Исключением является висмут, у которого Др/р0、2 при Н = 3-104 з. В полупроводниках этот эффект значительно больший, чем в металлах (кроме висмута): (Др/р0)п/а 弋 Ю^ч-Ю'2, а, например, в германии при Т 弋 100° К и Я 2 ■ 104 э Ар/ро 弋 3.
Эффект Холла связан с существованием отличного от нуля угла (Холла) -&хол между векторами Е и J (рис. 14.1). Граничные условия в обычных условиях дают Л =/,，，2 = /з =。п
£2 Е sin _— рхОл = RH.(14.9)
Здесь ^—угол между вектором Е и осью 2. В качестве меры эффекта можно также использовать угол Холла:
,и Е2 Рхол К 卄 тг о Р丄'且 О'хо打с
tg%oji = № = F— = ~—Н ~ иН; R —万~-—,(14-10)
Р丄h
где м——подвижность носителей тока (см. ниже).
Экспериментаторы обычно предпочитают пользоваться но уравнениями (14.7), а уравнениями, разрешенными относительно заданных в эксперименте компонент плотности тока:
，1 = 0丄'1+0X0ЛE2，,
，2= —Охол£1」「о 丄月2，，(14.1 I)
/з = О||£з・"
Легко показать, что
В общем анизотропном случае, как это уже было видно из (14.2), электрическое поло 石 связано с вектором плотности тока соотношениями удельного сопротивления
M = PWK、(14.13)
где р»在匸0聂——тензор удельного сопротивления. Уравнения (14.13), разрешенные относительно компонеит вектора J, имеют вид
lt~^ihE^(14.14)
Компоненты тензоров р^ и а£к ——функции магнитного поля Н. Кроме того, они зависят от других термодинамических параметров (температуры, давления) и свойств вещества; в анизотропном случае эти компоненты уже не симметричны по своим индексам i и к, а в соответствии с (14.3) удовлетворяют соотношениям
Pi在(耳)= P克t (一耳)， S/i (冃)= Sit (一»).(14.15)
Оба эти тензора второго ранга общего вида, и их можно разбить на симметричную и антисимметричную части:
p『p 毋+р!2，。込=曙+ 喉.(14.16)
Тогда по определению будем иметь
р£ (〃)『#(〃)，р限)()=—р*(〃)，)
嚓(方)=啖)(切,嚟(方)=一唱(初j(自⑺
Тогда из (!&15) следует, что
Р£(〃)=Р 黑)(一〃)= р£( —〃)， ^ W = ^)^Н)=^ {-Н),(14.18)
p 然(月)= p^(一8)=-處)(一方)，。伊日)=或？(一方)=一嘅)(一砚(伍.19)
Таким образом, из (14.18) следует, что слагающие симметричных частей тензоров являются четными функциями магнитного поля, а слагающие антисимметричных частей — нечетными функциями. Антисимметричные части тензоров можно представить в виде эквивалентного аксиального вектора:
p* =做,p^ = 一 旬,p；? = aз喝‘=瓦，啮‘=一隔哪‘=跟
С помощью векторов а и & формулы (14.13) и (14.14) можно записать в следующем виде 衿：
М=р^% +次5，(14.21)
Ji^^Ek^[Eb]h. '(J4.22)
В слабых магнитных полях симметричная часть тензоров сопротивления и проводимости в силу их четности в первом приближении зависит квадратично от поля;
4? = 0靠'+ Bw/Um耳声m Р^ — Pi^ + ^1Шт^^т(厶兄'，『也=£, р, z), (14.23)
где с42, р能一соответственно проводимость и сопротивление при _ff — 0, а тензоры Pi/iZm 11 ^iMm симметричны поиндвксам Z,7cHZ,m. Аксиальные векторы а и & в первом приближении линейны по полю:
a2 =a氾?力1, bt = Btt1Hti.(14.24)
Поскольку векторы а, & и £Г все аксиальны, то тензоры а^ и р^ь являются полярными тензорами.
В изотропном образце или в монокристалле с кубической симметрией векторы а н G могут быть направлены только вдоль поля Н, а тензоры pg? и ©^ сохраняют лишь диагональные члены; и если поле Н направлено вдоль оси z, то р,& = р^ и о^2 = = о馭 откуда и вытекают формулы (14.7).
Опыт показывает, что коэффициент Холла R может быть как больше, так и меньше нуля и даже менять знак с изменением температуры. По абсолютной величине в случае металлов значение R оказывается порядка 10-4 СГСМ, а в случае полупроводников R принимает значения от 106 до 10-1.
§ 3. Микроскопическая теория магнетосопротивленияи эффекта Холла по модели свободных электронов
Для того чтобы перейти к микроскопическому анализу магнетосопротивления и эффекта Холла, начнем с простейшей трактовки, впервые проведенной Франком [32] (см. также [2]) в рамках модели свободных электронов по Зоммерфельду. Оба этих кинетических эффекта обусловлены влиянием магнитного поля на траектории электронов проводимости металлов и полупроводников. В квазиклассическом приближении
Рис, 14.2. Наглядное объяснение зффекта Холла. Электроны, движур иеся вдоль оси к в токе .? , отклоняются магнитным полем Н： к hfhней поверхности пластины. В результате между ее верхне访 и линией говсрхпсстгми возникает поле Холла Ед.
Слева показаны координатные оси х, у и z.
можно принять, что при Н = 0 электрон проводимости между двумя по след о вательны- ми актами рассеяния (на фононах или статических дефектах) движется прямолинейно. В магнитном же поле под действием силы Лорентца (е/с) [Hv] его траектория искривляется (рис. 14.2). Радиус кривизны этой траектории определяется циклотронным (ларморовским) радиусом гн, даваемым формулой (11.69). Искривление траекторий электронов проводимости приводит к изменению электросопротивления и к появлению добавочного почетного по Н поперечного электрического поля или тока Холла.
При микроскопическом расчете любых кинетических коэффициентов можно при определенных условиях пользоваться методом кинетического уравнения типа Больцмана ) для функции распределения / (р. /) микрочастиц (зависящей от их импульса и времени), принимающих участие в процессе переноса. Эта функция может изменяться как под действием внешних полей, так и под влиянием взаимодействий (столкновений)
между частицами. Из статистической теоремы Лиувилля полная производная функции распределения по времени замкнутой системы равна нулю;
* = +[系"25)
где [^/^]пол и [°//°订ст — изменения функции распределения под воздействием соответственно внешних полей и столкновений. Если ограничиться рассмотрением уже установившихся кинетических процессов, когда процесс не меняется со временем, т. е. положить df/dt = 0, то (14.25) примет вид
[*]ст。(伍.26)
Из (14.26) следует, что в стационарном режиме воздействия полей и столкновений на распределение частиц точно компенсируют друг друга. Изменение [^//^]пол равно
K9w=今)，(伍.27)
где V — скорость частицы, a dp/dt — изменение ее импульса; первое слагаемое в правой части (14.27) учитывает пространственную неоднородность функции распределения (Vr /)，а второе — ее неоднородность в пространстве импульсов. В случае электромагнитного поля имеем *)
噜=—е (_Е + }[©Н]) .(14.28)
Ограничимся случаем однородных полей Н (О, О, Hz),否(Ех, Еу, 0) и однородной функции распределения (\zr/ = 0); тогда
11г]пол = ^ е (% + ! ”/z) +蒜 е ；。也).(14.27а)
Предположим пока, что внешние поля слабы и не приводят к большим изменениям равновесной (ферми-^цираковской или максвелл-больцмановской) функции распределения /о, т. е. / —— /о = %《/0. Будем искать изменение / — /0 функции распределения в виде
/- /о = /1 —^Хх ⑼ +%骗(办(14.29)
где малые добавки х^п %у предполагаются зависящими лишь от модуля скорости (Ганс [33]). Далее также примем, что изменение из-за столкновений можно учесть простым введением одного времени релаксации т (р) ), т. е.
[寡]ет=_^=_T^Г"以办(伍.3°)
Таким образом, кинетическое уравнение (14.27а) можно записать в виде
—(%%* + %%力 ^ е (%сЕх + %4/) —-^-— VyH^ — — %cZG%夕(14.31)
I /C/oUilL
В (14.31) вместо производных по импульсам введены производные по энергии, в предположении квадратичного закона дисперсии е = m№/2 = р2/2т, а именно: д/дрх -> vxdldz и т. д. Кроме того, в (14.31) мы пренебрегли произведениями Ех и Еу на Хх и %у и производными от %* и Ху, как малыми величинами более высокого порядка малости. Приравнивая в (14.31) коэффициенты при иж и иу, получаем два уравнения для определения поправок %“ и %^; решения этих уравнений имеют вид
/х — sfy九+ "х
s2 + [， 购 g)= T $2+[，
где введены сокращенные обозначения
fx, у^еЕх)у ^~, s = -^-Hz.(14.32а)
Легко видеть, что безразмерная величина s равна отношению длины свободного пробега / = тр к радиусу циклотронной орбиты [см. гл. 11, формулу (11.69)]
rjj = р/сод = mcv/еН, а именно:
(14.326)(14.326)s ：=.
(14.326)
(14.326)
7=Т7=Т沙仇 十 九）或〃=+ j ^/i d3p,沙仇 十 九）或〃=+ j ^/i d3p,Воспользуемся обычным определением плотности тока по Лорентцу:
7=Т
7=Т
沙仇 十 九）或〃=+ j ^/i d3p,
沙仇 十 九）或〃=+ j ^/i d3p,
(14.33)
ибо в силу симметрии члены с «нулевой» функцией распределения /0 выпадают:
vf0 &з〃 三 О,
/1 —«несимметричная добавка» к /0 по (14.29), определяемая из кинетического уравнения в присутствии внешних полей и при учете столкновений.
Поэтому для слагающих /ж и /у плотности тока / находим
% = 1F j 吟C*d»% = 1F j 吟C*d»8neVm3 f fx —sfy8neVm3 f fx —sfy%=蠢j "2加加p=%=蠢j "2加加p=3W j т 8ле7т3 f3W J т3W j т 8ле7т3 f3W J т§2+1九+叶*§2+1九+叶*§2+1§2+1р4 dv,р4 dv,t?4 dv,t?4 dv,(14.34)(14.34)где V — объем образца. Здесь также выпали члены с %у в выражении для /ж и с %у в /у из-за нечетности по рж и ру. Кроме того, в (14.34) проведено интегрирование по углам и использовано, что объем для квантовой элементарной ячейки в фазовомгде V — объем образца. Здесь также выпали члены с %у в выражении для /ж и с %у в /у из-за нечетности по рж и ру. Кроме того, в (14.34) проведено интегрирование по углам и использовано, что объем для квантовой элементарной ячейки в фазовомпространстве равен^Зр = 2 -^- dpx &Ру &Pz =пространстве равен^Зр = 2 -^- dpx &Ру &Pz =фазовомфазовом27^327^3dvx dvy dvz = Z^1 p2 du sin 3 d8 dtp.dvx dvy dvz = Z^1 p2 du sin 3 d8 dtp.
% = 1F j 吟C*d»
% = 1F j 吟C*d»
8neVm3 f fx —sfy
8neVm3 f fx —sfy
%=蠢j "2加加p=
%=蠢j "2加加p=
3W j т 8ле7т3 f
3W J т
3W j т 8ле7т3 f
3W J т
§2+1九+叶*
§2+1九+叶*
§2+1
§2+1
р4 dv,
р4 dv,
t?4 dv,
t?4 dv,
(14.34)
(14.34)
где V — объем образца. Здесь также выпали члены с %у в выражении для /ж и с %у в /у из-за нечетности по рж и ру. Кроме того, в (14.34) проведено интегрирование по углам и использовано, что объем для квантовой элементарной ячейки в фазовом
где V — объем образца. Здесь также выпали члены с %у в выражении для /ж и с %у в /у из-за нечетности по рж и ру. Кроме того, в (14.34) проведено интегрирование по углам и использовано, что объем для квантовой элементарной ячейки в фазовом
пространстве равен
^Зр = 2 -^- dpx &Ру &Pz =
пространстве равен
^Зр = 2 -^- dpx &Ру &Pz =
фазовом
фазовом
27^3
27^3
dvx dvy dvz = Z^1 p2 du sin 3 d8 dtp.
dvx dvy dvz = Z^1 p2 du sin 3 d8 dtp.
В соответствии с условиями эксперимента ищем решение (14.34) при /у = 0:
/х =/х =0 =0 =8ле2т33月3一8ne2m38ле2т33月3一8ne2m3T_ %ts m+ $2 况T_ %ts m+ $2 况М dv—ЕуМ dv—Еуts d/ots d/oJ l+s2 @gJ l+s2 @gММ
/х =
/х =
0 =
0 =
8ле2т3
3月3一
8ne2m3
8ле2т3
3月3一
8ne2m3
T_ %
ts m
+ $2 况
T_ %
ts m
+ $2 况
М dv—Еу
М dv—Еу
ts d/o
ts d/o
J l+s2 @g
J l+s2 @g
М
М
Переходим к новой переменной интегрирования е:
и в итоге получаем
(14.35)(14.35)(14.35а)(14.35а)/* =-^7 (/% - 石山2),0=^^~ (%£?+ EyZq),
(14.35)
(14.35)
(14.35а)
(14.35а)
где
g'% g%g'% g%1 -)-52 @e1 -)-52 @ede,de,e3^2rs d%e3^2rs d%i + s2 оi + s2 оd£d£de.de.(14.356)(14.356)
g'% g%
g'% g%
1 -)-52 @e
1 -)-52 @e
de,
de,
e3^2rs d%
e3^2rs d%
i + s2 о
i + s2 о
d£
d£
de.
de.
(14.356)
(14.356)
Решая систему (14.35) относительно Ex и Ey, находим
% =% =3m Lt3m Lt2^ Ll + Ll /x2^ Ll + Ll /x4/ =4/ =3m g3m g2e2 Ll + Ll2e2 Ll + Ll(14.36)(14.36)
% =
% =
3m Lt
3m Lt
2^ Ll + Ll /x
2^ Ll + Ll /x
4/ =
4/ =
3m g
3m g
2e2 Ll + Ll
2e2 Ll + Ll
(14.36)
(14.36)
%=-(L2/L1) Ex.J
Первое из уравнений (14.36) дает удельную электропроводность в магнитном поле:
o(%) =o(%) =2e2 £? + №2e2 £? + №3m Zq3m Zq(14.37)(14.37)
o(%) =
o(%) =
2e2 £? + №
2e2 £? + №
3m Zq
3m Zq
(14.37)
(14.37)
Поскольку, в силу фермиевского характера /0, производную 0/о/@£ в первом приближении можно заменить дельта-функцией: ^/о/^е л; — д (е ——g。)，где 百。——энергия Ферми, то из (14.35а) и выражения для s из (14.32а) получаем
(14.38)(14.38)"=一胃兴瓦厶
(14.38)
(14.38)
Подставляя (14.37) в (14.36), находим
叫
(14.35),
имеем
(14.39)
(14.35b)
Для интеграла £]
。(%)-為研3 в этом же приближении,
м«4с°/2г(Со)[1+
е2т2(g0) m2c2
согласно е2T2 (Со) m2c2
Подставляя L] из
(14.35в) и С。из (11.8) в (14.39), видим, что
в первом приближении
(14.40)
не зависит от HZ1 т. е. без учета отклонения от вырождения газа ферми-частиц (см, гл. 11) эффект магнетосопротивления в модели Зоммерфельда с квадратичным законом дисперсии отсутствует (для сферической поверхности Ферми). Это связано с тем, что поперечное холловское электрическое поле в данном случае точно компенсирует отклонение носителей тока, вызываемое магнитным полем Я~, поэтому траектория каждого носителя будет такой же, как при Nz = 0 皿 Е^ = 0 (см. рис. 14.2).
§ 4. Трудности модели свободных электронов
cnecne(14.41)(14.42)(14.41)(14.42)Два знака коэффициента Холла. Прежде чем выяснить возникшую трудность с микроскопическим объяснением явления магнетосопротивления, выясним, как обстоит дело с подобным объяснением эффекта Холла. Из второго уравнения (14.36) сразу же находим изотермический коэффициент Холла, используя (14.37) и (14.38):
cne
cne
(14.41)
(14.42)
(14.41)
(14.42)
поровну делятся на две группы, причем у однойпоровну делятся на две группы, причем у однойРис. 14,3. Смещение сферы Ферми под действием внешнего постоянного и однородного электрического и магнитного полей, а) Смещение сферы при включении электрического поля вдоль сси х. 6& — величина смещения между центрами сфер О (несмещенной) и О' (смещенной). ABCD —«линза» фаговых точен электронов, несущих ток в поле Е. б) Поворот смещенной сферы (с центром в О') в магнитном поле ■Н, направленном по оси z, на угол Холла %оп к направлению вектора Е(J—вектор плотности тока, РФ— величина импульса Ферми). Сверху показаны координатные оси х, у и z.Рис. 14,3. Смещение сферы Ферми под действием внешнего постоянного и однородного электрического и магнитного полей, а) Смещение сферы при включении электрического поля вдоль сси х. 6& — величина смещения между центрами сфер О (несмещенной) и О' (смещенной). ABCD —«линза» фаговых точен электронов, несущих ток в поле Е. б) Поворот смещенной сферы (с центром в О') в магнитном поле ■Н, направленном по оси z, на угол Холла %оп к направлению вектора Е(J—вектор плотности тока, РФ— величина импульса Ферми). Сверху показаны координатные оси х, у и z.Поскольку e V °, то, следовательно, R； V 0. С другой стороны, опыт показывает, что
поровну делятся на две группы, причем у одной
поровну делятся на две группы, причем у одной
Рис. 14,3. Смещение сферы Ферми под действием внешнего постоянного и однородного электрического и магнитного полей, а) Смещение сферы при включении электрического поля вдоль сси х. 6& — величина смещения между центрами сфер О (несмещенной) и О' (смещенной). ABCD —«линза» фаговых точен электронов, несущих ток в поле Е. б) Поворот смещенной сферы (с центром в О') в магнитном поле ■Н, направленном по оси z, на угол Холла %оп к направлению вектора Е(J—вектор плотности тока, РФ— величина импульса Ферми). Сверху показаны координатные оси х, у и z.
Рис. 14,3. Смещение сферы Ферми под действием внешнего постоянного и однородного электрического и магнитного полей, а) Смещение сферы при включении электрического поля вдоль сси х. 6& — величина смещения между центрами сфер О (несмещенной) и О' (смещенной). ABCD —«линза» фаговых точен электронов, несущих ток в поле Е. б) Поворот смещенной сферы (с центром в О') в магнитном поле ■Н, направленном по оси z, на угол Холла %оп к направлению вектора Е(J—вектор плотности тока, РФ— величина импульса Ферми). Сверху показаны координатные оси х, у и z.
все электронные проводники примерно (■^г)ЭКСП > О' а у другой (%)ЗКС11〉 V 0 ). Это расхождение теории Зоммерфельда с опытом (так же как и отсутствие магнетосопротивлеиия в первом приближении) было одной из главных ее трудностей. Причина этой трудности заключается в предположении о «свободных» электронах. Она была в принципе снята уже в одноэлектронной блоховской теории, которая допускает, как правило, отклонение поверхностей Ферми от сферической формы (неквадратичный закон дисперсии), а также появление во многих случаях эффективно положительно заряженных носителей тока, т. е. электронных «дырок» (см. гл. 11 и 12),
Невозможность объяснения эффекта магнетосопротивления в случае сферической поверхности Ферми. Рассмотрим эффект магнето-
сопротивления в квазиклассическом приближении (когда можно пренеб- речь всеми специфическими квантовыми эффектами). Как мы уже знаем, состояние свободного «электронного газа» в импульсном пространстве изображается сферой Ферми (рис. 14,3). Под действием внешнего постоянного и однородного электрического поля Е импульс электрона меняется со временем по закону
〃=е石.(14.43)
За время свободного пробега т вся сфера Ферми сместится на расстояние др вдоль поля W:
5# =工卩=ет 石.(14.43а)
Это смещение эквивалентно появлению электрического тока вдоль 芯,поскольку, как это видно из рис. 14.3, а, оно нарушает сферическую симметрию в распределении электронов по импульсам из-за того, что компонента импульса вдоль поля увеличивается, тогда как компонента импульса против поля уменьшается. Величина вектора плот- ности тока дается интегралом по поверхности Ферми
片出 "。ms.必）=［為 卜。间无.片出 "。ms.必）=［為 卜。间无.(14.44)(14.44)
片出 "。ms.必）=［為 卜。间无.
片出 "。ms.必）=［為 卜。间无.
(14.44)
(14.44)
Множитель перед 石 в (14.44) равен удельной электропроводности
е2T4Л3方3е2T4Л3方3v dS.v dS.(14.45)(14.45)
е2T4Л3方3
е2T4Л3方3
v dS.
v dS.
(14.45)
(14.45)
Для электронного газа & = plm и поверхность сферы §dS = 4лрф. Используя связь р①с концентрацией электронного газа п [см. (11.7а)], получаем классическую формулу (14.40) для электропроводности электронного газа.
(14.46)(14.46)Выясним теперь, каково влияние на ток постоянного и однородного магнитного поля. Как мы видели в гл. 11, магнитное поле вызывает изменение импульса электронов проводимости, равное
(14.46)
(14.46)
p=^Y [0•砌.
Это изменение действует в течение времени т. Магнитное поле будет поворачивать смещенную электрическим полем поверхность Ферми как целое вокруг направления магнитного поля Е(см. рис. 14.3, 6, где поле направлено к плоскости чертежа) с угловой скоростью 用/p①.Поэтому《линза» ABCD、несущая с собой ток, повернется за время т на угол Холла Охол [см. (14.10)]. Согласно (14.46)
^хол^холтрРФтрРФет元ет元ме2工тме2工т11песпесН = 6%Н.Н = 6%Н.(14.47)(14.47)
^хол
^хол
тр
РФ
тр
РФ
ет
元
ет
元
ме2工
т
ме2工
т
1
1
пес
пес
Н = 6%Н.
Н = 6%Н.
(14.47)
(14.47)
Таким образом, из этого наглядного рассмотрения мы видим, что магнетосопротивление для сферической поверхности Ферми (рф = const) должно равняться нулю, так как происходит уже упоминавшаяся выше полная компенсация отклонений носителей тока холловским полем 不勿 Однако для поверхностей Ферми, отклоняющихся от сферы, уже одно-ед инственпое значение поля Холлане в состоянии в точности скомпенсировать отклонения у электронов, поскольку скорости рф у них будут различными. Поэтому только при отклонениях от квадратичного закона дисперсии в вырожденном электронном газе можно в первом приближении получить отличное от нуля магнетосопротивление. Этот эффект будет отличен от нуля также, если учесть отклонения от полного вырождения при Г > 0, т. е. провести расчет до второго приближения по параметру малости (к77ao)2 (см. гл. 11). Как впервые показал Франк [32] [см. также Бете и Зом- мерфельд (1938)], магнетосопротивление во втором приближении отлично от нуля и равно
гдегде1+8玩、1+8玩、(3.48)(3.48)и?и?(14.49)(14.49)
где
где
1+8玩、
1+8玩、
(3.48)
(3.48)
и?
и?
(14.49)
(14.49)
Из (14.48) и (14.49) снова видно, что при Т = 0, т. е. полном вырождении, Ар f 0. В области слабых полей (8方2《〔) наблюдается квадратичный рост Ар с полем, а в сильных полях (8笈纟》1) — эффект насыщения. Хотя качественно в некоторых металлах такой ход Ар с полем и наблюдался, но количественное сравнение (14.48) с опытом показало, что «постоянная» Л в 104 раз меньше, чем это вытекает из эксперимента (см. Корец [34], Колдуэлл-Хорсфал, Тер Хаар [35]).
Линейный закон Капицы. Одним из существенных противоречий «изотропной» теории с опытом было открытое Капицей [36] (см. также Танабе [37]) линейное возрастание сопротивления с полем, полученное им в его фундаментальных опытах с сильными магнитными полями до 3*105 з на целой серии непереходных металлов до температуры жидкого азота. При дальнейшем понижении температуры до 4—2° К отношение Ар/р0 в очень чистых металлах сильно увеличивается, достигая значений порядка 102—103, а в висмуте даже 10б. Трудность с объяснением линейного закона Капицы рассматривалась как одна из очередных «катастроф» электронной теории металлов. Ее разрешение было достигнуто лишь в последнее время, как это будет ясно из последующего изложения (см. § 5). Малость коэффициента Л в (14.48) указывает, что модель со сфе-
рической поверхностью Ферми и изотропным временем релаксации т не может объяснить количественно эффект магнетосопротивления (как и разные знаки коэффициента Холла). Пайерлс [38] пытался объяснить этот эффект, вводя анизотропное время т. Джонс и Зинер [39] и Дэвис [40] рассмотрели эту задачу для несферической поверхности Ферми (неквадратичный закон дисперсии).
§ 5. Модель двух полос (двухзонная модель) и правило Колера
Для объяснения указанных трудностей использовалась также модель двух перекрывающихся полос проводимости (см. [41—48]). При этом каждой из полос может соответствовать свой квадратичный закон дисперсии и свое изотропное время релаксации.
Дадим краткое феноменологическое описание результатов [см. Жан [1] или Займан (1966)], поскольку она используется до сих пор во многих работах *). Пусть в металле имеются два тока — электронов с плотностью J4 и дырок с плотностью 优.Оба тока вызываются одним и тем же электрическим полем Е и образуют с ним какие-то (произвольные!) углы Холла 火2 近激2 в присутствии магнитного поля Я **). Знаки этих углов из-за различия знака зарядов носителей также различны (рис. 14.4). Суммарный ток /=/1 * 伪 имеет свой угол Холла Вхол* Введем удельные электропроводности для каждой полосы о^ и о2:
71
0产后cos 6需
07.2
2一 Ecos*
(14.50)
расчетов этой модели
Рис. 14.4. Относительное расположение векторов плотиостей гонов — электронного 弘，дырочного J? и результирующего ，一и напряженности электрического поля 瓜 ^хол1 ^>?ол и ^хол — углы Холла соответственно для токов 九 J2 и J. Магнитное поле направлено нормально к чертежу.
и предположим, что они не зависят от магнитного поля (квадратичный закон дисперсии для каждой из полос). Для результирующих о丄 или р丄 из (14.7) и (14.11) чисто геометрический расчет дает
。丄=Pf = Ec：s<p =
(oi + o2)2+(oitg ^JI+o2tg^«(>JI)
―S(l+tg2-甌 л)十。2(1 十 tg2 3 界 л) • j
Отсюда легко находим Ар丄/р°:
Ар丄J tg 8编,(1 *tg2 3肾丿 +。2 tg 8懿n (1 +tg2 8^л)
b—(01 +。2)2+ (01 tg 8兇П +。2 tg 8型n)2
Ро — ^О1 — (。10 + О20)Т,
(14.52)
угол Холла
.„_ °1 tg ^йл(1 + tg2 ^л) + °2 tg ^л (1 + tg2 ^л)
唔х。n 一啞可曹蓝万FgE^^
(14.53)
Теперь по (14.10), (14.51) и (14.53) имеем
Р丄 t *— °i ^^^л(1 + tg2^SJ+°2 ^^^«(1+tg2^^J
tg ХОЛ-(о, + %户 + (O"g 8% +。2 tg 8豈“)2
(14.54)
Придадим формулам (14.52) и (14.54) более удобный вид. Воспользуемся выражением для «парциальных» углов Холла ^^л, 6兇口 в изотропной модели [см. (14.10) и (14.42)]:
tg 嘅尸鳥 & (14.55)
*) Преимуществом этой модели, несмотря на ее несомненные недостатки, является то, что она дает (в случае слабых полей и изотропин закона дисперсии в каждой из полос) конечный результат в ясной количественной форме [см., например, ниже формулу (14.566)].
**) А именно
где
Pl —, Р2 —二.
cm*с 吟
где nt и 孔2一соответственно концентрации электронов и дырок. Тогда (14.52) примет вид
аp丄~Ро~аp丄~Ро~（^^（内十0^（^^（内十0^(包+红)2H2 \ Ml ^2 /(包+红)2H2 \ Ml ^2 /I 曼哈 .他1 一妆）2h2 十C%2 g+02）2也;呜I 曼哈 .他1 一妆）2h2 十C%2 g+02）2也;呜(14.56)(14.56)
аp丄~Ро~
аp丄~Ро~
（^^（内十0^
（^^（内十0^
(包+红)2H2 \ Ml ^2 /
(包+红)2H2 \ Ml ^2 /
I 曼哈 .他1 一妆）2h2 十C%2 g+02）2也;呜
I 曼哈 .他1 一妆）2h2 十C%2 g+02）2也;呜
(14.56)
(14.56)
Можно еще больше конкретизировать выражение (14.40) для парциальных электропроводностейМожно еще больше конкретизировать выражение (14.40) для парциальных электропроводностей(14.56), используя формулу(14.56), используя формулу(14.56a)(14.56a)В частном случае 汽(=汽2 =冷,Xi = t2 = t и о(=О2 = ~ 普=(蔡)&В частном случае 汽(=汽2 =冷,Xi = t2 = t и о(=О2 = ~ 普=(蔡)&(14.56) принимает вид(14.566)(14.56) принимает вид(14.566)Эта формула, например, для Zn и Cd дает правильный порядок величины [см. Вильсон (1953)].Точно так же, используя (14.54) и (15.55), находим выражение для коэффициента Холла в модели двух полос:Эта формула, например, для Zn и Cd дает правильный порядок величины [см. Вильсон (1953)].Точно так же, используя (14.54) и (15.55), находим выражение для коэффициента Холла в модели двух полос:
Можно еще больше конкретизировать выражение (14.40) для парциальных электропроводностей
Можно еще больше конкретизировать выражение (14.40) для парциальных электропроводностей
(14.56), используя формулу
(14.56), используя формулу
(14.56a)
(14.56a)
В частном случае 汽(=汽2 =冷,Xi = t2 = t и о(=О2 = ~ 普=(蔡)&
В частном случае 汽(=汽2 =冷,Xi = t2 = t и о(=О2 = ~ 普=(蔡)&
(14.56) принимает вид
(14.566)
(14.56) принимает вид
(14.566)
Эта формула, например, для Zn и Cd дает правильный порядок величины [см. Вильсон (1953)].
Точно так же, используя (14.54) и (15.55), находим выражение для коэффициента Холла в модели двух полос:
Эта формула, например, для Zn и Cd дает правильный порядок величины [см. Вильсон (1953)].
Точно так же, используя (14.54) и (15.55), находим выражение для коэффициента Холла в модели двух полос:
К；—— сеК；—— се壮 璃，№ …沱1沱2с2е2 1 2壮 璃，№ …沱1沱2с2е2 1 2陋+”产+声酬必陋+”产+声酬必М] -— 3仰氾2（也1 一也2）2М] -— 3仰氾2（也1 一也2）2(14.57)(14.57)
К；—— се
К；—— се
壮 璃，№ …
沱1沱2с2е2 1 2
壮 璃，№ …
沱1沱2с2е2 1 2
陋+”产+声酬必
陋+”产+声酬必
М] -— 3仰氾2（也1 一也2）2
М] -— 3仰氾2（也1 一也2）2
(14.57)
(14.57)
В слабых полях и при дц 力 м? имеем часто используемую формулу
(14.58)(14.58)(14.59)(14.59)1 n1 m2
(14.58)
(14.58)
(14.59)
(14.59)
В предельном случае очень сильных полей
lim Ri а —.
Н->оосе(?ц—孔2)
Наконец, при п^—п2=^п коэффициент Холла не зависит от Н:
"2)=备(伍.6°)
Из формул (14.56а) и (14.40) следует, что магнетосопротивление в данном веществе зависит только от произведения тЯ или. поскольку р0 ~ т~1, от отношения Я/р0* На это впервые обратил внимание Колер [49]. Этот результат известен как правила Колера и мож ет быть записан в виде
(14.61)(14.61)需二，借
(14.61)
(14.61)
где функция / (Н/ро) определяется физическими свойствами данного металла и геометрическими размерами исследуемых образцов. Правило Колера экспериментально детально проверил Юсти [50, 51]. На основании этих экспериментов были построены кривые по уравнению (14.61) для большого числа металлов (《диаграмма Юсти — Колера») ,см. [50, 47]. Из (14.61) видно, что магнетосопротивление больше при малых значениях р0, т. е. при низких температурах. Для сравнения кривых (14.61) различных металлов удобнее вместо сопротивления р0 (Г) при произвольной температуре Т ввести приведенные сопротивления в виде отношения остаточного сопротивления ро (0) к сопротивлению при комнатной р0 (Ткомн) или дебаевской р0 (®д) температуре. В последнее время на очень чистых металлах наблюдались весьма заметные отклонения от правила Колера. Например, в работе Боровика и др. [52] па образцах чистого алюминия были обнаружены отклонения до 100%. Джонс и Зондхеймер [53] пытались дать некоторое обобщение правилу Колера, заменив формулу (14.61) на более сложную Арн/Ароо = / (Zf/Ароо), где Арос = Арн=оо, а / (汇)——некоторая универсальная для данного металла функция, возрастающая от значения / (0) = 0 до /(8)= 1. Правило Колера и его обобщение по Джонсу — Зондхеймеру не являются выводами строгой теории, их следует рассматривать как полуэмлирические [см. Лифшиц и Каганов [54, 5]; Займан (1966); Чамберс [55]). Отклонение от этих правил указывает, что различные механизмы рассеяния приводят к различным временам релаксации у носителей тока различных типов.
Теория гальваномагнитных явлении в металлахпри произвольном законе дисперсии
Общие замечания. Теория га ль в аномагнитных эффектов получила существенное развитие в работах И. М. Лифшица и его сотрудников (см. [56—63]). На основе изложенного выше, а также развитой общей теории движения электронов проводимости в кристаллах в магнитном поле (см. п. 4 § 5 гл. И) становится очевидным, что изотропная модель свободных электронов слишком груба для описания гальваномагнитных явлений. Трудности квазиклассической теории этих явлений, основанной на модели свободных электронов, и ряд не поддающихся объяснению экспериментальных фактов привели к естественной необходимости построения более общей, универсальной теории с несферическими поверхностями Ферми и анизотропными временами релаксации, т. е. с произвольным законом дисперсии е (р) и временем релаксации т (&). Вместе с тем по этим же причинам стало ясным, что гальваномагнитные явления могут быть источниками ценной информации о форме поверхностей Ферми и о механизме процессов рассеяния электронов проводимости в кристалле. Этот аспект гальваномагнитных эффектов уже был использован и в более ранних работах Блохинцева и Нордгейма {41], Джонса и Зинера [39].
Развитий более общей теории га ль в ано магн итных явлений в металлах предшествовали также детальные экспериментальные исследования Юсти [51] и в особенности комплексные исследования Боровика [64——70] на достаточно чистых металлах при низких температурах. Обширный опытный материал позволил Юсти с помощью диаграмм Колера чисто формально разделить исследованные металлы на две группы: 1) металлы с неограниченным ростом сопротивления в магнитном поле, про порциональным «2 (Bi, Be, Zn, Hg, Cd, Ga ,W и др.), и 2) металлы, у которых с ростом поля сопротивление стремится к насьпцению (Си, Na, In, Al и др.). Боровик показал, что для металлов каждой из этих двух групп характерно и р аз лично е^пов едение величины отношения полей Еу/Ех. В металлах первой группы это отношение в сильных полях с ростом поля уменьшается, а в металлах второй группы оно неограниченно возрастает. Боровик установил также, что линейный закон Капицы для Ар/р0 наблюдается в промежуточной области между двумя квадратичными зависимостями.
Однако более обоснованная классификация металлов по характеру их 1'альвано- магнитных свойств могла быть дана лишь после развития теории электронного энергетического спектра металлов с произвольным законом дисперсии. Если учесть возможные топологические особенности поверхностей Ферми, то все металлы по характеру зависимости их электросопротивления от магнитного поля можно разделить на три группы. К первой группе следует отнести металлы, сопротивление которых стремится к насьпцению при Н f со вне зависимости от направления магнитного поля в кристалле. Увеличение электросопротивления (которое всегда растет в больших полях) у этих металлов достигает сотен процентов, т. е. отношение Apjpo составляет несколько единиц. Ко второй группе относятся металлы, у которых сопротивление возрастает пропорционально А® с ростом магнитного поля, опять-таки независимо от ориентации Н в кристалле. Электросопротивление при этом может возрасти в миллионы раз (например, в Bi); по сути дела, металл в сильном магнитном поле приобретает свойства изолятора. Третья группа металлов обладает промеж уточными свойствами: при некоторых направлениях магнитного поля в кристаллах сопротивление растет пропорционально Я2, а при других — стремится к насьпцению. Как будет ясно из дальнейшего, эта теоретическая классификация тесно связана с формой поверхностей Ферми соответствующих металлов.
Систематические экспериментальные исследования поверхностей Ферми на основе изучения гальваномагнитных явлений были начаты в работах Алексеевского и Гайдукова [71, 72] (см. также Гайдуков [73]). Следует еще отметить, что при рассмотрении гальвано- и термомагнитных явлений нужно считаться с различным характером этих эффектов в зависимости от величины внешнего магнитного поля Н или, что более удобно, от пропорциональной ему циклотронной частоты 3^ = еН/т*с по отношению к некоторым внутренним параметрам металла — его времени релаксации т, энергии Ферми С。, а также к внешним параметрам — в первую очередь к температуре. В связи с этим можно указать на различные области магнитных полей по их относительной величине:
з_Н《 т~1 ——область слабых полей,
зн 〜т~1—область средних полей,
&Н》丁工——область сильных полей (квазиклассический случай), Йсоя ^ кТ——область квантовых осцилляций,
Йсоя > Со ——ультраквантовый предел.
Из сказанного выше ясно, что для объяснения особенностей гальваномагнитных эффектов в металлах в указанных различных областях полей Н модель со сферической поверхностью Ферми (квадратичный закон дисперсии) явно недостаточна. Поэтому естественно, что были предприняты попытки произвести расчеты для более сложных
случаев закона дисперсии. Например, был произведен расчет для эллипсоидальных поверхностей Ферми [74] или для цилиндрических [55]. Упомянем также работы [39, 40, 75], в которых производится общий расчет тензора о订 для случая слабых полей в виде ряда по степеням Н при произвольных е (р) и т (е). В области средних полей (сот 〜 1), где разложение в ряд по степеням Н невозможно, были предложены вариационные методы для расчета о^ (см., например, работы [76, 77]).
Из общих соображений ясно, что в области слабых полей (сот《 1) электрон на квазиклассической траектории в р-пространстве (см. п. 4 § 5 гл. 11) проходит лишь по малому участку поверхности Ферми между двумя последовательными столкновениями. Поэтому гальваномагнитные эффекты в этом случае не будут зависеть сколько- нибудь существенно от формы всей поверхности Ферми. Иначе обстоит дело в области сильных полей (сот》1), когда фазовая точка электрона между столкновениями успевает обежать большую часть замкнутой траектории или даже опишет ее многократно. Тогда форма поверхности Ферми будет очень существенно влиять на характер кинетического процесса.
Если мы ограничимся квазиклассическим приближением, когда можно приближенно говорить и о траектории электрона в обычном пространстве, то из уравнения движения (14.46) следует, как это уже отмечалось (в гл. 11), что при магнитном ноле, направленном вдоль оси z, проекция на плоскость %, у траектории электрона в обычном пространстве подобна его траектории в р-пространстве. Она лишь повернута на угол я/2 с коэффициентом подобия еШс. В случае замкнутых траекторий для средних от составляющих скорости имеем "^ = Гу = 0 и р2 ^ 0. Но для открытых траекторий (см. гл. 11), которые, например, вытянуты в р-пространстве вдоль оси рх, движение вдоль оси у в обычном пространстве неограниченно и поэтому их = 0, как и в предыдущем случае, a 沙^ * 0 и 7^z ^ 0. Это и вносит существенное различие в роль замкнутых и открытых траекторий в кинетических процессах в магнитных полях.
Решение кинетического уравнения в квазиклассическом приближении. В работах Лифшица, Азбеля и Каганова [58, 59], посвященных теории гальваномагнитных эффектов в сильных полях при произвольном законе дисперсии, использовалось кинетическое уравнение, которое решалось в квазиклассическом приближении. При этом не делалось никаких специальных предположений о виде интеграла столкновений [df/dt]CT. Однако качественно их выводы можно получить вообще не привлекая аппарат кинетического уравнения, а лишь приняв факт существования времени релаксации т (е). Чамберс [75, 55] предложил соответствующий метод расчета, которым мы здесь и воспользуемся. Выражение для плотности тока, согласно (14.33), можно записать в такой форме:
‘=詣而)明或p' (伍S2)
где интеграл берется по всему 好-пространству. Добавку к функции распределения /( ищем в виде
九=一嚮 Ае, (14.63)
где Де — средняя энергия, которую получает электрон в электрическом поле Е после его последнего столкновения. В принятом приближении о существовании времени релаксации величина Ае равна интегралу по времени i：
[7 鳥｝(14・64)[7 鳥｝(14・64)t оАе=，dtE*v(t) exp
[7 鳥｝(14・64)
[7 鳥｝(14・64)
Заметим, что вектор & «), взятый в момент 九 отличается от вектора & в (14.62), т. е. от & (0) (как и 工(з) соответственно от т (0)), если т зависит от £ (&) вследствие движения электрона по его траектории в магнитном поле Н. В случае сильных полей, когда электроны между по следов ат ельными столкновениями успевают много раз обежать свои замкнутые траектории или большие участки открытых траекторий, величины & (Н) и 工~丄(5)в (14.64) являются быстропеременными функциями 九 Поэтому в пределе можно t~i (s) заменить средним значением 工一丄 вдоль траектории. Тогда для тензора электропроводности о订 из (14.62)—(14.64) будем иметь
о
J ⑴ exp (^) • (14.65)
Интегрирование в (14.65) и в следующих формулах ведется по всему ^-пространству. Дальнейшее преобразование выражения (14.65) зависит от того, равны ли нулю пли отличны от нуля средние значения компонент скорости. Если t?；, t?y ^ 0, то р；(方) в (14.65) можно заменить на t?y, поскольку ехр (〃т) — лишь медленно спадающая
функция. Таким образом, мы находим в пределе очень сильных полей величину, не зависящую от Я:
Ozz (°°)—Ozz (°°)—4Л3无34Л3无3(14.66)(14.66)
Ozz (°°)—
Ozz (°°)—
4Л3无3
4Л3无3
(14.66)
(14.66)
Величина компоненты тензора электропроводности, определяемая формулой (14.66), оказывается меньше, чем величина этой же компоненты при 比=0, т. е.
。zz(°)= 一為，咤翁d取(伍•67)
Это различие обусловлено анизотропией vz и т-1. Если в металле существуют открытые траектории, то компоненты оуу (8) и ау2 (8) тоже не зависят от Н, как и (14.66), но обычно по величине эти компоненты меньше oz2(8), поскольку открытые траектории заполняют лишь часть поверхности Ферми.
Если t?y = 0 для 7 = %, у, z, то нет членов, не зависящих от магнитного поля Н. В этом случае необходимо более общее рассмотрение [58, 5]. Состояние электрона удобно описывать не декартовыми слагающими импульса рх, ру и р%, а координатами, связанными с квазиклассической траекторией электрона в p-пространстве. Этими координатами являются энергия е и проекция импульса на магнитное поле pz，определяющие траекторию (как сечение поверхности Ферми плоскостью pz = const), и, наконец, положение фазовой точки электрона на траектории. Удобнее всего это по лож ение определить по времени t движения электрона от какой-то выбранной начальной точки траектории в данную. Формулы преобразования от координат рх, ру, pz к е, pz и i находим с помощью закона дисперсии и уравнения движения электрона в магнитном поле (14.46) и формулы для скорости
。=万，(14.68)
которые дают [см. (11.78)]
где &丄 и 用丄一векторы с компонентами 勿,％ (收=°) и рх, ру (pz=0). В выбранных переменных кинетическое уравнение для функции распределения f (е, pzi t) в силу (14.26) имеет вид
df '. ~^~Pz + opzdf '. ~^~Pz + opz(14.70)(14.70)
df '. ~^~Pz + opz
df '. ~^~Pz + opz
(14.70)
(14.70)
причем
［記l%丹，
где W {/} — интеграл (оператор) столкновения, вид которого нам здесь несуществен, т— время релаксации. Используя уравнение движения (14.46) и (14.43), находим обобщенные скорости pz，е и i:
(14.71)(14.71)Pz=eEz, 6 = eEv, $=1或^ •[&丄，否]z.
(14.71)
(14.71)
Линеаризуя 來)Линеаризуя 來)уравнение (14.70) относительно E ((df/dpz) pz л; 0, t ^ со^), получаем dedt т
Линеаризуя 來)
Линеаризуя 來)
где, как обычно, положено
，/ = %~Н1 = А)—■也&, /о=[ехр (^Д)+" \ £ = у, z. (14.73)
Здесь 屮之(£=$, у, z) — векторная функция, дающая искомые «добавки» к функции распределения /0. Подставляя (14.73) в (14.72), находим
響+诊{也}(14.74)
*) Это можно сделать, если предположить, что энергия, приобретаемая электроном в электрическом поле за время свободного пробега, мала не только по сравнению с энергией Ферми, но и с тепловой энергией кТ, характеризующей ширину зоны размытия распределения Ферми.
Граничные условия уравнений (14.74), соответствующие решениям, описывающим замкнутые траектории, тождественны требованию периодичности функций 办 с периодом Tr [см. формулу (11.81)], а для открытых траекторий — требованию конечности 办 при £ = ± 8.
Усредняя уравнение (14.74) по времени t [по правилу р = Г^-1 (е, pz) f v d力 О
где Тн (е, р?) — циклотронный период, см. формулу (11.81)], находим
历卩｛皿｝=先 с = /у, Z)・(14.75)
Для открытых траекторий (см. гл. И) среднее в (14.75) означает переход к пределу при Т f 8. Равенство (14.75) можно рассматривать как граничное условие, наложенное на функции 屮广
Случай больших магнитных полей означает, что в уравнении (14.74). член Q^ildt ^t!TH значительно превышает член с оператором столкновений: W ｛яр；｝ ^ 屮/т； действительно, условие | d^Jdt |》丨宓｛屮力 I означает, что ?н《т или гн《， (где I ——средняя длина свободного пробега). Это позволяет воспользоваться методом последовательных приближений при решении (14.74) путем разложений искомых решений в ряд по степеням обратного магнитного поля (см. [59]).
В случае замкнутых траекторий из уравнения движения (14.46) следует, что
农工％ = 0 и vz ф 0.(14.76)
Итак, будем искать решение уравнений (14.74) при условии (14.75) в виде ряда по степеням «т = у:
*=S干屮产.(14.77)
h=0
Подставляя (14.77) в (14.74) и приравнивая члены с одинаковыми степенями у, получаем систему уравнений для функций 屮*幻 из (14.77):
'* +帚{屮V0}=w，粵」妳时T)}=0'* +帚{屮V0}=w，粵」妳时T)}=0(k = 2, 3, 4,...).(k = 2, 3, 4,...).(14.78)(14.78)
'* +帚{屮V0}=w，
粵」妳时T)}=0
'* +帚{屮V0}=w，
粵」妳时T)}=0
(k = 2, 3, 4,...).
(k = 2, 3, 4,...).
(14.78)
(14.78)
Интегрируя (14.78), находим
(14.79)(14.79)wV)= C*一不产，
(14.79)
(14.79)
萧) = 0,
研i)= j的｛4%—⑴或, 0
码h)= j W ｛屮,АТ)｝威(fc = 2, 3, 4,...).
о
Величины С，* зависят только от е и р2 и находятся из условий периодичности (14.75). Из системы (14.79) и условий (14.75) можно в пределе сильных полей найти все 屮卢)， если известен вид оператора W. Однако для ряда важных общих следствий теории нам нет необходимости знать конкретный вид оператора столкновений Ж. Асимптотические значения величин, характеризующих измеряемые значения соответствующих кинетических коэффициентов, можно получить, если известна лишь топология изоэнергети- ческих поверхностей вблизи поверхности Ферми для двух типов траекторий: 1) замкнутых и 2) открытых (при заданном направлении вектора Н в интервале размытия порядка кТ функции распределения Ферми).
В первом случае в силу (14.76) из (14.79) находимВ первом случае в силу (14.76) из (14.79) находим心=一备[рy —с屮]十…, % - ^^ [Рх-e科]+ …，心=一备[рy —с屮]十…, % - ^^ [Рх-e科]+ …，Wz = M°近+…Wz = M°近+…(14.80)(14.80)Из (14.80) ВИДНО, ЧТО 屮*,屮力 С ОДНОЙ стороны, И “z， С другой, при сильных полях 《〃т -> 0) имеют различную асимптотику.Во втором случае при произвольной ориентации поля разложение всех компонент 屮£ начинается с нулевого члена:Из (14.80) ВИДНО, ЧТО 屮*,屮力 С ОДНОЙ стороны, И “z， С другой, при сильных полях 《〃т -> 0) имеют различную асимптотику.Во втором случае при произвольной ориентации поля разложение всех компонент 屮£ начинается с нулевого члена:电= С°〉+函屮屮电= С°〉+函屮屮(14.81)(14.81)Для частного случая «гофрированного цилиндра» (см. гл. 11) и поля Я, перпендикулярного к его оси х, когда 沙久=0, % RO, vz Ф 0, имеемДля частного случая «гофрированного цилиндра» (см. гл. 11) и поля Я, перпендикулярного к его оси х, когда 沙久=0, % RO, vz Ф 0, имеем%= —[Ру—^хЧ+ …,%= —[Ру—^хЧ+ …,“У = С，>%, ^z — ^^^*“У = С，>%, ^z — ^^^*Для компонент вектора плотности тока J из (14.34) и (14.73) получаемДля компонент вектора плотности тока J из (14.34) и (14.73) получаем门=亠（2Л花）3, j先屯E左d% = o订e/（Z,力=瑞y, z）;门=亠（2Л花）3, j先屯E左d% = o订e/（Z,力=瑞y, z）;(14.82)(14.82)(14.83)(14.83)отсюда очевиден способ получения явного вида компонент тензора о±『・Подставляя в эти выражения для ⑦丁 решения -фг (14.80) для случая замкнутых траекторий, получаемотсюда очевиден способ получения явного вида компонент тензора о±『・Подставляя в эти выражения для ⑦丁 решения -фг (14.80) для случая замкнутых траекторий, получаем"Ж"Ж0订（女）0订（女）аУУ ~Н2агуаУУ ~Н2агуazzazz(14.84)(14.84)
В первом случае в силу (14.76) из (14.79) находим
В первом случае в силу (14.76) из (14.79) находим
心=一备[рy —с屮]十…, % - ^^ [Рх-e科]+ …，
心=一备[рy —с屮]十…, % - ^^ [Рх-e科]+ …，
Wz = M°近+…
Wz = M°近+…
(14.80)
(14.80)
Из (14.80) ВИДНО, ЧТО 屮*,屮力 С ОДНОЙ стороны, И “z， С другой, при сильных полях 《〃т -> 0) имеют различную асимптотику.
Во втором случае при произвольной ориентации поля разложение всех компонент 屮£ начинается с нулевого члена:
Из (14.80) ВИДНО, ЧТО 屮*,屮力 С ОДНОЙ стороны, И “z， С другой, при сильных полях 《〃т -> 0) имеют различную асимптотику.
Во втором случае при произвольной ориентации поля разложение всех компонент 屮£ начинается с нулевого члена:
电= С°〉+函屮屮
电= С°〉+函屮屮
(14.81)
(14.81)
Для частного случая «гофрированного цилиндра» (см. гл. 11) и поля Я, перпендикулярного к его оси х, когда 沙久=0, % RO, vz Ф 0, имеем
Для частного случая «гофрированного цилиндра» (см. гл. 11) и поля Я, перпендикулярного к его оси х, когда 沙久=0, % RO, vz Ф 0, имеем
%= —[Ру—^хЧ+ …,
%= —[Ру—^хЧ+ …,
“У = С，>%, ^z — ^^^*
“У = С，>%, ^z — ^^^*
Для компонент вектора плотности тока J из (14.34) и (14.73) получаем
Для компонент вектора плотности тока J из (14.34) и (14.73) получаем
门=亠（2Л花）3, j先屯E左d% = o订e/（Z,力=瑞y, z）;
门=亠（2Л花）3, j先屯E左d% = o订e/（Z,力=瑞y, z）;
(14.82)
(14.82)
(14.83)
(14.83)
отсюда очевиден способ получения явного вида компонент тензора о±『・
Подставляя в эти выражения для ⑦丁 решения -фг (14.80) для случая замкнутых траекторий, получаем
отсюда очевиден способ получения явного вида компонент тензора о±『・
Подставляя в эти выражения для ⑦丁 решения -фг (14.80) для случая замкнутых траекторий, получаем
"Ж
"Ж
0订（女）
0订（女）
аУУ ~Н2
агу
аУУ ~Н2
агу
azz
azz
(14.84)
(14.84)
при этом разложение элементов матрицы。炉 по Я~1 начинается, вообще говоря, с нулевого члена. Эти элементы являются функционалами от。，亢)и, таким образом, зависят от оператора столкновений Ж. Мы рассмотрим нулевой член разложения по Я"1 эле- мента 唱)(=—嚟))•
Подставляя в (14.83) решение (14.80), используя (14.76) для замены vx и переходя к переменным е,九 pz с помощью (14.46) и (14.69), находим
嚟2 =_嘗 j % (加—%")饗 азР =譌r j 第 de j dpz § Px dpy.
Интеграл § p^ dp^ = ± S (e, pz), где S (e, pz) — площадь сечения поверхности е (р) = е плоскостью pz — const, а знак определяется направлением обхода, т. е. знаком эффективной массы (см. гл. 11). Итак, для оХу = a*jH в приближении асимптотически больших полей и учитывая, что dfjdz = —6 (е — g), находим
(14.85)(14.85)о切=方庐 J [S_ (C，Pz) —S+(& p2)] dpz.
(14.85)
(14.85)
Если рассматриваемые замкнутые траектории электронов лежат на замкнутых поверхностях Ферми, то
(14.86)
Здесь V+ (g) — объем, ограниченный замкнутыми поверхностями g (用)=匸，внутри которого энергия меньше £ (т. е. т* > 0), а Г_ (已)——такой же объем, внутри которого
энергии больше 甘(т. е. m V 0). Поскольку при Т = 0 электронами заняты только состояния с энергией меньше & то из (14.86) следует *):
(14.87)(14.87)се(М] —■ Ai?)
(14.87)
(14.87)
0切= я
Здесь ni — число занятых электронных состояний с т* > 0 («электроны»), а 孔2 —— число свободных состояний с V 0 (《дырки»).
Таким образом, в сильных полях в случае замкнутых траекторий при произвольном операторе столкновений [58, 59] ) имеем ожх, оуу ~ Я-2, o：j ~ «" (г Ф /),. т. е. эти компоненты стремятся к нулю при « т 8 (но по-разному), а а22 не зависит от Н [см. (14.66)]. Поэтому, если существуют только замкнутые траектории, то зависимость компонент тензора проводимости о^ или сопротивления р^ ) от Я такая же, как и в случае модели свободных электронов (см. выше). А именно диагональные члены р；； при « -> 8 дают насыщение, а ржу = —рух ^ Н /(孔2 — wjce. Другие же компоненты насыщаются в слабых полях; значения полей насыщения, зависят от анизотропии поверхности Ферми и направления Н. Если п2 = п15 то о£；)= 0 и, следовательно, необходимо проводить расчет до второго приближения; это дает
飞〜Н*(14.88)
Поэтому
РаВ 〜«2, Paz 〜办 Pzz 〜const (а, 6 = / у).(14.89)
«Дырки» и понятие компенсации в металлах. Равенство числа электронов и «дырок» не является особым случаем, поскольку все металлы с четным числом валентных электронов обладают электронами проводимости только из-за перекрытия энергетических полос, когда пг = пр Естественно, что это имеет место лишь при малом перекрытии и при Г — 0° К. С повышением температуры и при наличии в зоне размытия открытых или самопересекающихся траекторий (см. гл. 11) равенство п2 = 孔i нарушается. При Г > 0° К 孔2 —也1 〜孔 exp ( —Ае/〃Т), где Ае — расстояние от поверхности Ферми до ближайшей открытой поверхности. Каганов и Песчанский [80] специально рассмотрели случай металлов с почти равными числами электронов и 《дырок»： 孔2 — wi = An < n = 1/2 (孔1 + 孔2)・ Введение дополнительного малого параметра Ам/м《 1 позволило уточнить зависимость компонент тензора сопротивления р力 от магнитного поля Н.
В связи с изложенной проблемой гальваномагнитных, а также и других кинетических явлений в металлах с электронной и дырочной проводимостью оказалось весьма полезным понятие компенсации в металлах, введенное впервые Фосеттом и Ридом [81]. Металл называется компенсированным, если полное число м】электронов проводимости на элементарную ячейку решетки Браве, просуммированное по «электронным участкам» поверхности Ферми (т. е. если все сечения — «циклотронные орбиты» — для этих участков имеют электронный характер, см. гл. 11), равно полному числу 孔2 «дырок», просуммированному по всем «дырочным участкам» (см. гл. 11). Является ли металл компенсированным нли нет, зависит от полного числа занятых состояний на элементарную ячейку, которое равно rZ, где Z — порядковый номер элемента, а г —— число атомов на ячейку. В каждой бриллюэновской зоне имеется точно по два состояния на элементарную ячейку из-за спинового вырождения (в неферромагнитных металлах). Поэтому F заполненных зон содержат 2尸 занятых состояний, a J незаполненных дырочных зон ——(2J —— 孔2)состояний и электронные зоны ——щ состояний. В итоге будет иметь
rZ — 2F-^-(2 J—п2) + 也1, или
—n^ - (n1一也2)=以-2(尸 +J)，(14.87a)
где 汽厶一алгебраическая сумма чисел электронов и дырок, которую можно назвать полным числом носителей тока на элементарную ячейку. Это имеет существенное значение для гальваномагнитных явлений в области высоких полей. Случаи па ¥= 0 и п^ = 0 приводят к качественно различным свойствам металлов. Из (14.87а) следует, что металл никогда не может быть компенсированным, если rZ нечетно, а п^ тогда должно быть равно положительному или отрицательному нечетному целому числу. Если же rZ четно, то 孔厶 может быть равно положительному или отрицательному четному числу, или же металл может быть компенсированным, если
2J = rZ —2a(14.876)
Опыт показывает (см. табл. 14.3), что пока все изученные немагнитные металлы с четными rZ являются компенсированными.
Таблица 14.3
Значения полного числа носителей тока пА (на элементарную ячейку)в различных металлах, а также сводка основных работ по изучениюгальваномагнитных эффектов в области сильных полей(из работы ①осетта [111])
Группа
Металл
"A теория [81]
эксперимент
Наличие открытых траекторий
Работы по измерению магнетосопротивления, эффекта Холла и магнитного пробоя в тех же веществах
IA
Li
-1
-0,89 [82]
нет
Na
-1
一0,96 [82]
-0,94 [83]
»
—
К
-1
-0,96 [82]
»
[82]
IB
-1
〜 一1
есть
[84—87]
-1
— 1,04 [88]
»
[88]
~-1
»*
[73]
ПА
0
0
»
[89]
0
0
[90, 91]
ПВ
0
0
[92-94]
0
0
[94]
ША
+1
+0,93 [82] +0,98 [95]
[52, 95, 96]
ШВ
Ga
0
есть
[97]
In
+1
.+0,95 [82]
нет
[98]
T1
есть
[88, 99]
IVA
Sn '
»
[100]
Pb
[101, 102]
VA
Bi
нет
[ЮЗ]
Sb
»
[104]
VB
Nb
есть
[Ю5]
Ta
»
[Ю5]
VIB
Mo
нет
[106, 107]
W
»
[106, 107]
VIIB
Re
есть
[108, 109]
VIII
Pd
»
[110]
Pt
»
[72]
Влияние открытых траекторий. Из (14.89) видно, что в случае пг = 孔i магнетосопротивление квадратично возрастает с полем. Поскольку компоненты р%? и ру;с содержат также члены, пропорциональные Я2, то, вообшо говоря, и в выражении для поля Еу (Н) появится такого типа член, т. е.
Еу (Я) = (АН—ВН" (14.90)
где Л, В — постоянные, определяемые конкретным видом оператора столкновений и закона дисперсии. В изотропном случае Л = 0.
Член в формуле (14.90), пропорциональный Я2, обычно называемый «четной поперечной напряженностью», обнаружен в пяти металлах: Sn [112], Си [85], Ga [97], W [ИЗ] и Мо [114], К лаудер и Кунц лер [85] объясняют появление поперечной четной напряженности в Си возникновением мощного слоя открытых траекторий носителей тока. В случае компенсированных металлов Sn, W и Мо этот эффект находит объяснение в теории (см. [59]).
Из сказанного выше можно сделать вывод, что наблюдаемые на опыте случаи 《аномальное。》возрастания магнетосопротивления (в Be, Zn, Cd, Mg, Ga, Sn, Pb, C, Bi, Sb, As, Mo, W, Ba) согласуются с самыми общими положениями современной электронной теории металлов. Как было показано в работах [56——59], для этого нет необходимости делать какие-то специальные допущения, которые обычно делались ранее (см., например, [43]). Что касается линейного закона магнетосопротивления Капицы [36], то, в соответствии с качественным выводом Боровика [69], он относится к переходной области от квадратичной зависимости магнетосопротивления в слабых полях к квадратичной зависимости с другим коэффициентом в сильных полях.
При отличных от нуля температурах, когда @%/6е 声一6 (е — ^), уже нельзя считать 1；%,? = 0 везде, ибо могут появиться открытые траекториии. Это приводит к появлению нулевых членов разложения по «т в функцииipf. Из-за множителя df0/де эти нулевые члены пропорциональны ехр(—Ае^кТ) (см. выше стр. 332). Эти же члены появляются во всех, кроме о?%, компонентах тенздра о订,но эти члены пренебрежимо малы
вплоть до полей Но exp (А%/кТ), которые в настоящее время недостижимы. Кроме того, при значительно более слабых полях возникают квантовые эффекты (см. § 7).
Рассмотрим теперь случай, когда в интервале де — кТ есть открытые траектории. Этот вопрос был впервые исследован в работах [58, 59], а более подробно — в работах Лифшица и Песчанского [62, 63]. Как следует из (14.84), в данном случае все функции ipi0> отличны от нуля. Следовательно, все компоненты тензора огу при Я>Я0 стре мятся к насыщению и существенно зависят от температуры даже при низких тем пературах, где обычно все кинетические коэффициенты (при Я=0) металлов слабо зависят от Т *). Когда имеется одномерное (двугранный угол) или двумерное (телесный угол) множество направлений магнитного поля, приводящих к открытым траекториям, то должна
外外б)
外
外
Рис. 14.5. Построение стереографической проекции направлений магнитного поля для различных типов нормальных к полю сечений (траекторий) изоэнергетической поверхности Ферми типа «пространственной сетки», а) Вид поверхности Ферми. Для одного узла решетки показаны оси координат 2, 2 и 3, а также отсчет полярных углов е (от оси з) и ср (в плоскости 1—2 от оси 1) для вектора магнитного поля К. б) Стереографическая проекция (каждая точка круга соответствует определенным значениям полярных углов 6 н ср, определяющих направление вектора IZ в обратной решетке) направлений магнитного поля. Заштрихованные области (I)— направления поля, при которых существует слой открытых траекторий. В областях II открытые траектории отсутствуют. Области III, отделенные пунктирными! линиями,——направления поля, при которых существуют растянутые， замкнутые траектории (охватывающие много ячеек). Центр круга проекции соответствует значению ^ = 0; наружная окружность соответствует концам векторов Н с е = л/2; стрелка у горизонтального диаметра показывает отсчет углов ср.
наблюдаться резкая зависимость огу от направления магнитного поля. Когда вектор Н приближается к направлениям, в которых существуют открытые нормальные сечения, то величина слагающих тензора о^『(или р〃) существенно изменяется [ибо изменяется характер решений уравнений (14,78)L Поэтому определение о廿 в сильных полях при различных углах в принципе позволяет выяснить топологию изоэнергетических поверхностей вблизи граничной энергии Ферми. В частном случае поверхности типа «гофрированного цилиндра» при Н, перпендикулярном к его оси, как это следует из (14.83)， и (14.82), тензор 虫力 вместо (14.84), принимает вид
(14.91)(14.91)
(14.91)
(14.91)
Здесь разложение элементов матрицы а仃 по степеням Н~^ начинается с нулевого члена. Симметрия открытой поверхности может весьма сильно изменить конкретный вид полевой зависимости магнетосопротивления и поля Холла, Так, например, в частном случае «гофрированного цилиндра», когда магнитное поле перпендикулярно к его оси, из (14.91) получаем для тензора магнетосопротивления
Р订（《）=Р订（《）=女26工Hb[x女26工Hb[xHbfxyHbfxy(14.92)(14.92)
Р订（《）=
Р订（《）=
女26工
Hb[x
女26工
Hb[x
Hbfxy
Hbfxy
(14.92)
(14.92)
Рис. 14.7. Зависимость магнетосопротивления монокристалла W от магнитного поля в направлениях, соотве- ствующих максимуму (при 屮=37。)и минимуму (при ср = 0°) на кривой диаграммы вращения, приведенной на рис. 14.6 (по [115]).Рис. 14.7. Зависимость магнетосопротивления монокристалла W от магнитного поля в направлениях, соотве- ствующих максимуму (при 屮=37。)и минимуму (при ср = 0°) на кривой диаграммы вращения, приведенной на рис. 14.6 (по [115]).Рис. 14.6. Анизотропия магнетосопротивления Ар/р0 монокристалла W (Р300。к/р4,2° К = 13 000) при температуре Т = 4,2° К и Н = 8,95 кэ. Плоскость вращения магнитного поля перпендикулярна к оси [001]; угол ср, определяющий направление поля в этой плоскости, отсчитывается от оси [0?0](по [115]).Рис. 14.6. Анизотропия магнетосопротивления Ар/р0 монокристалла W (Р300。к/р4,2° К = 13 000) при температуре Т = 4,2° К и Н = 8,95 кэ. Плоскость вращения магнитного поля перпендикулярна к оси [001]; угол ср, определяющий направление поля в этой плоскости, отсчитывается от оси [0?0](по [115]).
Рис. 14.7. Зависимость магнетосопротивления монокристалла W от магнитного поля в направлениях, соотве- ствующих максимуму (при 屮=37。)и минимуму (при ср = 0°) на кривой диаграммы вращения, приведенной на рис. 14.6 (по [115]).
Рис. 14.7. Зависимость магнетосопротивления монокристалла W от магнитного поля в направлениях, соотве- ствующих максимуму (при 屮=37。)и минимуму (при ср = 0°) на кривой диаграммы вращения, приведенной на рис. 14.6 (по [115]).
Рис. 14.6. Анизотропия магнетосопротивления Ар/р0 монокристалла W (Р300。к/р4,2° К = 13 000) при температуре Т = 4,2° К и Н = 8,95 кэ. Плоскость вращения магнитного поля перпендикулярна к оси [001]; угол ср, определяющий направление поля в этой плоскости, отсчитывается от оси [0?0](по [115]).
Рис. 14.6. Анизотропия магнетосопротивления Ар/р0 монокристалла W (Р300。к/р4,2° К = 13 000) при температуре Т = 4,2° К и Н = 8,95 кэ. Плоскость вращения магнитного поля перпендикулярна к оси [001]; угол ср, определяющий направление поля в этой плоскости, отсчитывается от оси [0?0](по [115]).
Элементы Ьг； определяются через элементы матрицы аг； из (14.91). При произвольном направлении тока сопротивление возрастает квадратично; при токе, направленном вдоль оси у, оно стремится к насыщению. Поле Холла линейно растет с увеличением магнитного поля.
Более подробное изложение общей теории и анализ частных случаев читатель может найти в цитированных оригинальных работах, а также в детальных обзорах [54, 5, 111], В обзоре Фосетта [111] также дается достаточно подробное описание экспериментальных методов и результатов. Остановимся кратко на последних. Напомним прежде всего построение стереографической проекции направлений магнитного поля, для которых имеются открытые траектории [62, 63, 55, 111]. На рис. 14.5 приведенное такое построение для типичного случая поверхности Ферми вида «прост-
“〃〃
ранственной сетки». В задачу эксперимента и входит построение такой стереографической проекции на основании измерений асимптотического поведения гальваномагнитных эффектов в сильных полях (Я-1 f 0). Кроме того, эксперимент дает возможность определить при данной величине поля зависимость магнетосопротивления от ориентации поля в монокристалле. На рис. 14.6 и 14.7 приведены в качестве примера результаты подобного исследования для монокристалла вольфрама (Волкенштейн, Новоселов, Старцев [115]). В табл. 14.3, дана сводка основных экспериментальных источников для исследованных металлов. Эти исследования не во всех случаях дают полные сведения о тензоре o；j (или p；j), но то, что установлено, дает возможность получить информацию об общем характере геометрии поверхности Ферми (наличие или отсутствие открытых траекторий и т. п.), а также о принадлежности металла к группе компенсированных или некомпенсированных.
Эффект Есаки. Есаки [116] открыл новый гальваномагнитный эффект (нелинейный в смысле отклонения от закона Ома) сильного возрастания магнетосопротивления при определенном значении электрического поля, Есаки объяснил это явление тем, что при возрастании электрического поля скорость дрейфа электронов в скрещенных магнитном и электрическом полях рдрейф = еЕ[Н может стать больше скорости звука в металле. Но тогда, в силу «эффекта Черенкова» для звуковых волн, электроны начинают терять энергию за счет излучения фононов, что и обусловливает рост электросопротивления (более подробные сведения об эффекте Есаки можно найти, например, в работе Калашникова [117]).
Гальваномагнитные явления в квантующем магнитном поле
Общие замечания. До сих пор мы ограничивались рассмотрением гальваномагнитных эффектов хотя и в сильных магнитных полях (сон》т-1), но в квазиклассиче- ском предельном случае (九⑴耳 < kT). Если последнее неравенство уступает обратному йсоя》кТ, то становится существенным квантование орбитального движения носителей тока. При этом все термодинамические и кинетические характеристики
сносителей тока, зависящие от плотности состояний на поверхности Ферми, являются немонотонными — осциллирующими функциями магнитного поля. Обусловлено это тем, что при изменении величины магнитного поля уровни Ландау (см. гл. 11) перемещаются относительно уровня Ферми. И всякий раз, когда один из уровней Ландау совпадает с уровнем Ферми, плотность состояний на поверхности Ферми резко возрастает из-за того, что каждый уровень Ландау сильно вырожден (кратность вырождения пропорциональна напряженности магнитного поля). Когда же уровень Ферми находится между уровнями Ландау, плотность состояний минимальна. Ясно, что эти рассуждения имеют силу только тогда, когда тепловые и столкнови- тельные уширения энергетических уровней Ландау, равные по порядку величины соответственно кТ и Йт-1, малы по сравнению с разностью энергий соседних уровней Ландау, т. е. когда выполняются неравенства
无》кТ,无сон》无
Наиболее удобными объектами для эксперимента являются полуметаллы и полупроводники, поскольку в них эффективные массы носителей тока т* могут быть почти на два порядка меньше массы свободного электрона, что способствует выполнению последних неравенств с большим запасом (ибо сон 〜
Ниже роль квантования орбитального движения носителей тока иллюстрируется на примере гальвано- и термо магнитных явлений в полупроводниках и полуметаллах.
Итак, квантующими магнитными полями Н будем называть поля, удовлетворяющие приведенным выше неравенствам. Как только что отмечалось (см. также гл. 11), квантование это проявляется в специфической ——осциллирующей зависимости от магнитного поля Н электросопротивления и многих других физических свойств.
Первые работы по квантовой теории гальваномагнитных явлений принадлежат Титейка [118], Давыдову и Померанчуку [119]. К более поздним работам относятся исследования Аргириса и Адамса [120], Лифшица [121] и Лифшица и Косевича [61]. Последовательная квантовая теория гальваномагнитных явлений была создана Кубо [122] и Кубо с сотрудниками [123], Адамсом и Холстейном [124]. Обзор квантовой теории гальваномагнитных явлений содержится в работе [125].
Ниже влияние квантования орбитального движения электронов будет проиллюстрировано несколькими наиболее характерными и простыми примерами.
Так, поперечное магнетосопротивление рЖх в классической области магнитных полей имеет монотонную зависимость от Я, а продольное магнетосопротивление pzz в случае изотропного закона дисперсии вообще не зависит от Н [см. формулу (14.66)]. В квантующем же магнитном поле появляется более сложная зависимость от Н не только pH%, но также и р22.
Явление переноса вдоль квантующего магнитного поля можно описывать [126] в рамках обычного кинетического уравнения Больцмана, записав его для функции распределения (диагональной матрицы плотности) /卩 в пространстве квантовых чисел U (п, ку, 〃z) представления Ландау в виде
[%办(1一%)一%u(1一九)/J(14.93)
Для упругого рассеяния вероятности переходов W^v равны
吗 v=^l%v|2 6(eu — ej,(14.94)
где Vgv — матричные элементы энергии взаимодействпя электрона с рассеивающими центрами, е^ и ev ——энергия электрона в состояниях ц, и v. Для случая неупругого электрон-фононного взаимодействия формула (14.94) принимает вид
%uv = " 21 % 户 I ⑴ I е^-1 V)|2 [(Ng +1)6 做一玩一Eg) + NR (%-ev + 亢％)],
(14.95) где
Ng = [exp(^)-"
a %(0g — энергия фонона, C^ — фурье-образ константы электрон-фононной связи. Для вычисления поперечного магнетосопротивления ржх необходимо знать компоненты тензора проводимости оху и охх. Первая из этих величин точно такая же, как и в классическом случае. Для нахождения компоненты охх необходимо знать недиагональные элементы матрицы плотности /卩”. Последовательное решение задачи вычисления величины охх приведено в работе [124]. Результат имеет вид
九I 一 九)印uv (Хи - Х、,)2,(М.96)
где
%=一修司, гН=_^*
а вероятности определяются формулами (14.94) или (14.95). Поскольку в приближении бнт》1 имеет место неравенство 0久^》0*久,то поперечное магнетосопротивление пропорционально компоненте охх:
= (-—) а#,(14.97)
а продольное
Pzz — ^zz*(14.98)
Ультраквантовый предел. Рассмотрим ультраквантовый предел, когда характерная энергия электрона (кТ или Со) гораздо меньше энергии 冇④五.При этом мождо считать, что все электроны занимают самый нижний уровень Ландау с п = 0 и в процессах рассеяния изменяются только квантовые числа ку и kz (и, возможно, спиновое квантовое число о).
Уравнение (14.93) допускает при этом решение вида
九=%"一m^ **” &%(14.99)
у nlr
где,
S/小。騎.卜一今)，包=他，初・ (1499a)
В формуле (14.96) также необходимо учитывать лишь члены с п = п7 — 0. Вычисление компонент pzz и р%% показывает, что в ультраквантовом пределе обе эти величины монотонно зависят от 方 в случае упругого рассеяния, причем характер зависимости определяется видом потенциала взаимодействия электрона с рассеивателями. Действительно, квадрат модуля матричного элемента | С^ |3 зависит от | ^ |, а характерная величина изменения импульса в направлении, перпендикулярном к магнитному полю 也,пропорциональна rH — (eh/eH)1/2. Поэтому зависимость р (Я) в ультраквантовом пределе непосредственно отражает зависимость ! Cq |2 от | g |. Это иллюстрируется табл. 14.4, заимствованной из работы [124]. В табл. 14.4 rs ——радиус экранирования, % =九2/2mrs* С。一 уровень Ферми при Я = 0.
Таблица 14.4
Зависимость компонент электросопротивления pzz и Рхх от магнитного поля в ультраквантовом пределе
Механизм рассеяния
Характер зависимости квадрата фурье-образа константы элентрон- фононной связи 1 Cq |2 от импульса фонона Q = 1 Q 1
Статистика
Максвелла — Больцмана
Статистика Ферми—Дирана
Pzz
Po"
~P0~
Pzz
То"
"FT
Точечные дефекты (d-образный потенциал рассеяния)
const
〜无(0Н ~ kт
〜(轡)2
〜(響)2
〜制5
Акустические фононы (квази- упругое рассеяние)
const
〜无3H ~ кт
〜肾)2
У У
〜阳y
Пьезоэлектрические фононы; высокие температуры (ГН《г5)
啰十七2尸
〜In「敕
〜ПёГ
go
Ионизованные примеси (「н《％)
(%十不
const
const
〜然3
у у
Экспериментальное изучение магнетосопротивления в ультраквантовой области является многообещающим и в принципе может дать информацию о процессах рассеяния электронов. Имеющиеся Пока данные в мировой литературе относятся в основном к полупроводникам типа А；цВу с малой эффективной массой (см. [127] и [128]). Интерпретация данных не вполне однозначна (особенно это относится к поперечному магнетосопротивлению). Как показал Херринг [129], вследствие неоднородности распределения примесей в кристалле возникает добавочное магнетосопротивление Ар“х， пропорциональное Н. Однако есть надежда, что возможности, которые открывает изучение различных кинетических эффектов в ультраквантовой области, будут реализованы.
Осцилляционные эффекты, а； Эффект Шубникова ——де Гааза. Значительно подробнее исследована квантовая область, определяемая неравенством
В ней особенно детально исследуются осцилляционные эффекты. Здесь прежде всего следует упомянуть эффект Шубникова — де Гааза, открытый ими в 1930 г. (см. [130, 131]) на монокристалле Bi. Этот эффект заключается в осциллирующей зависимости статического удельного электросопротивления электронного проводника от обратной величины внешнего магнитного поля Я~1, которая наблюдается в области низких температур. Для обнаружения этих осцилляций необходимо выполнение следующих неравенств:
Со > 无сон》кТ,无тТ, т. е. иными словами, в кристалле должно быть достаточно сильное вырождение электронного «газа», а расстояние между соседними уровнями Ландау 九吗^ должно заметно превышать ширину теплового размытия уровня Ферми (кТ), а также уширение уровней Ландау, обусловленное столкновениями электронов (Й-т^1).
Вероятность перехода электрона из состояния 卩 во все другие состояния с той же энергией пропорциональна функции плотности состояний g (е). Поэтому эта вероятность резко возрастает всякий раз, когда е = nhoH4 т. е. когда возможны переходы в конечные состояния с kz = 0. Обусловленные этим осцилляции сопротивления вполне аналогичны осцилляциям термодинамических величин. Например, формула для продольного магнетосопротивления при рассеянии электронов на точечных дефектах имеет вид (при квадратичном законе дисперсии)
(甯广S?為;cos (粽T) exp (一嚮)，(з) r=l
где
Xr — r —,
а Г характеризует уширение уровней Ландау из-за столкновений. По порядку величины обычно можно считать, что Г ~ Лт~1. Детальные вычисления величины Г, которая определяет амплитуду осцилляций, приведены в работах [125, 132]. Экспериментальные результаты (см. [133]) подтверждают периодическую зависимость pzz ("一】). В случае квадратичного закона дисперсии период осцилляций равен
А(})=鳥’
и поэтому он зависит, по существу, лишь от концентрации электронов (при заданной величине т*). В некоторых случаях удается по температурной и полевой зависимости амплитуд осцилляций определить эффективную массу т* (см. [134]).
В веществах с большим g-фактором (InSb, InAs) в достаточно сильных иолнх наблюдалось спиновое расщепление осцилляционных пиков [135], по.величине которого и был определен g-фактор.
См. также более поздние работы по исследованию эффекта Шубникова — де Гааза, главным образом в полуметаллах и полупроводниках [136—154].
Магнитофононный резонанс. Другой тип осцилляций магнетосопротивления связан с неупругим характером рассеяния в квантующих магнитных полях (магнитофононный резонанс). Он возникает, когда энергия между соседними уровнями Ландау h®H становится равной энергии оптического фонона ^(0фОн. При этом вероятность неупругого рассеяния электронов на этих фононах резко возрастает в области низких температур: кТ v 九з巾он・ Вследсзвие этого магнетосопротивление и другие кинетпче- ские коэффициенты, зависящие от рассеяния, должны осциллировать при изменении величины магнитного поля. Физические причины магнитофононного резонанса в случае поперечного магнетосопротивления проще всего понять, если формулу (14.96) представить в несколько ином виде после интегрирования по dk и d启：
(阪 £ ⑻代口Т(е±^°н)](14.101)
J[g 一(也+2)无3h] 2 [g 土无(o巾oh一(也方3h] 2
Здесь Bnn, (е) — некоторая плавная функция энергии е. Из (14.101) видно, что при интегрировании по de величина <гхх логарифмически расходится при
无co(j)oh = ^"无со_П 仇"=1, 2, 3, .. ) (14.102)
поскольку при этом подынтегральное выражение содержит полюсы первого порядка. Эта расходимость устраняется, если учесть уширение уровней Ландау, но величина охх по-прежнему будет резко возрастать в магнитных полях, удовлетворяющих условию (14.102). Этот вывод справедлив при любой статистике электронов. Период магнитофононных осцилляций равен А (Я~) = е/т*с(0фон и, таким образом, зависит от эффективной массы т* и предельной частоты(0фОН оптических фононов.
Магнитофононный резонанс, теоретически предсказанный Гуревичем и Фирсовым [155], а также Клингером [156], был впервые исследован экспериментально на n-InSb Пури и Джеблом [157], а затем более детально Шалытом и др. [158] и Ци- дильковским и др. [159] в n-InSb, а также в n-InAs [160—163], в n-GaAs [164] и n-Ge [165J как для поперечного, так и для продольного магнетосопротивления.
Интересную особенность имеет магнитофононный резонанс для продольного магнетосопротивления в случае вырожденного электронного газа [см. [166]). Поскольку основной вклад в проводимость о22 вносят электроны, расположенные вблизи уровня Ферми С。, и время релаксации т (е) обращается в нуль при условии е 土 方со巾он — (^ + 1/2) ^сон, то о22 имеет минимум (а р22 — соответственно максимум) прп выполнении равенства
С 士 ^фон^ 卜+ 4")无3斗 (14.103)
Резонансные значения магнитного поля зависят в этом случае от концентрации электронов п, эффективной массы и предельной частоты(0фОН. По существу, это осцилляции Шубникова ——де Гааза, связанные с неупругим рассеянием электронов.
Спин-магнитофононный резонанс. В случае магнитофононных переходов ориентация спина электронов не изменяется. Возможна, однако, и иная ситуация, когда расстояние между двумя спиновыми (зеемановскими) подуровнями одного уровня Ландау (см., например, рис. 15.5) становится равным энергии фонона 九⑴巾。％ Тогда возникает неупругое резонансное рассеяние электронов на оптических фононах с изменением ориентации электронного спина, т. е. спин-магнитофононный резонанс. Этот резонанс также приводит к появлению осцилляций магнетосопротивления. Условие резонанса имеет вид
“о — = ^фон»
где о, о' = + 1/2 или —1/2 в зависимости от ориентации спина. Возможны, конечно, комбинированные переходы с одновременным изменением номера уровня Ландау и ориентации спина. Этот тип резонанса должен сравнительно легко наблюдаться на опыте в полупроводниках с сильной спин-орбитальной связью, так как прямое фонон-спиновое взаимодеиствие невозможно.
Впервые спин-магнитофононный резонанс наблюдали в n-InSb Цидильковский, Аксельрод и Соколов [159], а затем Машовец, Парфеньев и Шалыт [167]. Теорию этого явления дали Цидильковский, Аксельрод и Урицкий [168], а также Фирсов и Павлов [169].
Термомагнитные явления в квантующем магнитном поле
и соотношению Эйнштейна ), связывающему коэффициенты диффузии и электропроводности. На это нарушение соотношения Эйнштейна впервые и обратили внимание Касуя [170] и Накаджима [171]. Нарушение принципа симметрии Онзагера и соотношений Эйнштейна было обнаружено Зыряновым и Силиным [8]; они же [8, 9] вскрыли и причины нарушения: пространственные неоднородности намагниченности Ландау _Гноеит [Г (г), ^ (г)]. Эти неоднородности вносят вклад в объемную плотность потока заряда и энергии, равный соответственно
С rot -Гносит^ Qi，
но не вносят никакого вклада в ток проводимости н поток тепла. Иными словами, в [8, 9] были получены с помощью микроскопической теории формулы (14.1).
Формула для тока проводимости была получена также Образцовым [10]. В работах Пелетминского и Барьяхтара [172], Пелетминского [17] были найдены формулы, совпадающие, по существу, с (14.1) и отличающиеся лишь формой записи.
Все термо магнитные коэффициенты определяются в квантовой теории, так же как и в классической, с помощью формулы (14.2) для тока проводимости и потока тепла. Поэтому для этих коэффициентов остается в силе табл. 14.2. Тензоры кинетических коэффициентов, характеризующие ток проводимости и поток тепла, вычислялись в разных модельных предположениях в работах Зырянова [13, 14], Зырянова и Окулова [15], Ахиезера, Барьяхтара н Пелетминского [11], Барьяхтара и Пелетминского [16], Зырянова и Калашникова [173], Окулова [174]. Обзору работ по квантовой теории термомагнитных явлений посвящена статья Зырянова и Гусевой [18], в которой читатель может найти подробное изложение вопроса и соответствующие ссылки на литературные источники. Здесь мы ограничимся лишь кратким рассмотрением наиболее интересных, на наш взгляд, квантовых термомагнитных явлении в полупроводниках и полуметаллах с носителями тока, подчиняющимися статистике Ферми — Дирака, а именно:
Осцилляционные эффекты в двух случаях: во-первых, когда выполняется условие кТ《 Лсон《《，при котором заполнено большое число уровней Ландау (большие квантовые числа: п 〜 以无(0耳》1), и во-вторых, при условии кТ《 Лсон V & когда заполнено небольшое число уровней Ландау (малые квантовые числа: п ~ ~ 口无&>н 拄 1);
явления в ультраквантовом пределе &Т《《V 方吗尸 Все носители размещены на одном наинизшем уровне Ландау с п = 0.
В полупроводниках, где носители тока подчиняются статистике Максвелла — Больцмана из термомагнитных эффектов в квантовом пределе кТ《 工《Лсон наибольший интерес представляет дифференциальная термо-э. д. с., обусловленная неравно- весностью фононной подсистемы полупроводника (термо-э. д. с. увлечения).
Осцилляционные термомагнитные эффекты, а. Случай больших квантовых чисел. Квантовые осцилляции термо магнитных коэффициентов (теплопроводность, дифференциальная термо-э. д. с.) при больших квантовых числах впервые экспериментально наблюдали на очень чистых монокристаллах Bi Стил и Бабискин [175]. Эта работа замечательна прежде всего тем, что в ней установлены весьма важные закономерности общего характера, а именно совпадение периодов и фаз квантовых осцилляций теплопроводности, термо-э. д. с. и электропроводности при больших квантовых числах. Эти закономерности могут быть поняты с точки зрения элементарных представлении об осцилляции плотности состояний. Действительно, при больших квантовых числах зависимостью энергии Ферми Со от магнитного поля можно пренебречь, как это отмечалось выше, тогда как при изменениях величины Н уровни Ландау смещаются относительно уровня Ферми и при совпадении с ним какого-либо из уровней Ландау плотность состояний на поверхности Ферми резко возрастает. При больших квантовых числах плотность состояний можно разбить на две части. Первая из них меняется плавно с полем Н, а вторая, малая добавка к ней,— осциллирующая при изменении величины Н. Теплопроводность, электропроводность и термо-э. д. с. зависят от плотности состояний, поэтому все эти величины также можно представить как часть, плавно изменяющуюся с Я, и осциллирующую малую добавку. Следовательно, при больших квантовых числах периоды и фазы осцилляций всех кинетических и термодинамических величин должны совпадать с периодом и фазой осцилляций плотности состояний. Эти качественные соображения можно подтвердить расчетами (см. [18]). Заметим здесь, что периоды и фазы осцилляций при больших . квантовых числах нечувствительны к механизму рассеяния носителей тока.
Очень интересные экспериментальные результаты по изучению квантовых осцилляций изложены в работе Кунц л ер а и др. [176], в которой изучались магнетотерми- ческие осцилляции в Bi, т. е. обратимые изменения температуры адиабатически изолированного образца, возникающие при изменении величины или направления приложенного магнитного поля. Эти осцилляции температуры обусловлены осцилляциями энтропии носителей тока S и имеют такую же физическую природу, что и осцилляции намагниченности этих носителей7Н0Сит, поскольку и S и /носит определяются как частные производные термодинамического потенциала Fn с помощью формул (5.9):
/носит一(崙)" 6=-(警)&疝
Осцилляции же F"、как известно, обусловлены немонотонной, осциллирующей зависимостью от Н функции плотности состояний g (g) на поверхности Ферми. Изучение магнетотермических осцилляций и осцилляций термомагнитных коэффициентов позволяет определить форму поверхности Ферми и концентрацию носителей тока.
6. Случай малых квантовых чисел. В области небольших квантовых чисел характер осцилляций кинетических коэффициентов изменяется. Амплитуды осцилляций становятся большими, сравнимыми с плавно изменяющейся частью этих коэффициентов, возникает сдвиг фаз осцилляции различных величин. Так, например, Энтклиф и Стредлинг [177] на образцах 孔-InSb наблюдали сдвиг фаз осцилляций эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления. Этот сдвиг фаз зависит от механизма рассеяния носителей тока.
Ультраквантовый предел. В ультраквантовой области различные термомаг- нитные коэффициенты вычислялись в работе [173]. В этом пределе зависимость термомагнитных коэффициентов от температуры и магнитного поля определяется механизмом рассеяния носителей тока. Поэтому изучение термомагнитных эффектов в ультра- квантовой области позволяет определить наиболее существенные механизмы релаксации носителей тока.
Эффекты увлечения в магнитном поле. Остановимся теперь на обсуждении дифференциальной термо-э. д. с. в 孔-InSb, обусловленной эффектом увлечения! электронов потоком фононов, когда выполняется условие квантового предела 无①&》kT. Ниже всюду предполагается, что носители тока подчиняются статистике Максвелла —— Больцмана. В таких полупроводниках с помощью квантующего магнитного поля Н можно в широких пределах изменять частоту столкновений электронов с фононами ^эл.фон* Ясно, что все кинетические характеристики электронов, зависящие от соэл, ф0Нт будут также изменяться в широких пределах, как функции Н. Рассмотрим этот вопрос подробнее в рамках простых качественных соображений, основанных на использовании закона сохранения импульса при взаимодействии электрона с фононом и на соотношении неопределенностей. По закону сохранения импульса электрон, имеющий импульс &зЛ, может взаимодействовать лишь с фононами, импульсы которых удовлетворяют условию hq W рэл. При температуре фононов Т их средний тепловой импульс равен hqT ^ T/s (s — скорость звука). Соотношение между рэл и T/s существенно при изучении соэл, фОн. Так, например, объем фазового пространства импульсов фоно- нов, взаимодействующих с электронами, при рэл《 hqT определяется величиной рЭЛг а не 无дэл. В классическом случае, а также в слабых неквантующих магнитных поляхг т. е. при 无Sr V kT, имеем рЭл ~ ⑺右Q1”. Поэтому число фононов, взаимодействующих с электронами, зависит лишь от температуры, но не зависит от магнитного поля. В случае квантующего магнитного поля порядок величины импульса электрона (характеризующего его движение в плоскости, перпендикулярной к вектору Я) можно оценить с помощью соотношения неопределенностей, зная локализацию волновой функции электрона. В квантовом пределе при кТ《 方①笈 волновая функция локализована на магнитной длине или радиусе циклотронной орбиты гн = (с无/еН尸"(гл. 11). Отсюда следует, что порядок величины импульса электрона равен рэл =^ hrH. Тогда объем фазового пространства импульсов фононов, взаимодействующих заметным образом с электронами, будет пропорционален величине (无/「我卢〜Н. Поскольку частота «эл,фОК пропорциональна этому объему, то в квантовом пределе с помощью внешнего магнитного поля можно «управлять» величиной(оэл, фОН изменяя ее в широких пределах.
Сейчас уже нетрудно показать, что ток проводимости, обус л о в ле нный увлечением электронов потоком фононов, созданным градиентом температуры, пропорционален °эл.фон* При наличии такого градиента (который направлен вдоль оси к, перпендикулярной к вектору JT) возникает поток фононов в отрицательном направлении оси /. Плотность этого потока пропорциональна длине свободного пробега фонона: 2小 〜s/софф (<Офф — частота релаксации фононов на фононах, на дефектах решетки, примесях, границах кристаллитов, одним словом, неэлектронная часть времени релаксации фононов).
При столкновениях электронов с фононами электроны приобретают упорядоченный импульс в направлении потока фононов. Величина этого импульса пропорциональна частоте столкновений электрона с фононами ①эл. фОН и плотности потока фононов, т. е.〜s/①巾巾,тем самым импульс пропорционален отношению(ОфОН,ол/(Офф. Поэтому ток проводимости, обусловленный эффектом увлечения электронов фононами, определяющий величину термо-э. д. с. увлечения, также пропорционален отношение ①ЭЛ. фон/^фф*
Поскольку в квантующем магнитном поле частота соэл,фон — возрастающая функция Н, то и термо-э. д, с. увлечения также растет с увеличением поля Н. Что касается электронной части термо-э. д. с., не связанной с эффектом увлечения, то она обычно невелика и от поля Н зависит логарифмически. При низких температурах этой частью термо-э. д, с. можно пренебречь. Экспериментально термо-э. д. с. увлечения изучали в n-InSb Пури и Джебалл [178]. Они обнаружили, что термо-э, д. с. в квантующем магнитном поле почти на два порядка величины больше ее классического значения. Теоретический анализ этих опытов, данный Гусевой и Зыряновым [179], позволяет по экспериментально наблюдаемой зависимости термо-э. д. с. увлечения от Т н Н определить частотную и температурную зависимость неэлектронной части времени релаксации фононов для частот ультразвука порядка w ~ s(eH/c无)“2. Этот анализ привел к выводу, что основным механизмом релаксации продольных длинноволновых [q М (еН/с无尸‘2] фононов являются процессы рассеяния их на продольных же тепловых фононах (см. работы Саймонса [180], Зырянова и Талуца [181]). Этот вывод также подтверждается прямыми измерениями коэффициента поглощения продольного звука, проведенными Беммелем и Дрансфельдом [182], Чикарелло и Дранс- фельдом [183].
В заключение укажем еще некоторые теоретические и экспериментальные работы по гальвано- и термомагнптпым эффектам в полупроводниках [184——208] и в металлах [209—228].
123 456 789011 1123 456 789011 112.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 14
123 456 78901
1 1
123 456 78901
1 1
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
J. Р. J a n, Solid State Physics, vol. 5, Acad, press, New. York, 1957, p. 1.
A. Sommerfeld, N, H. Frank, Rev. Mod. Phys. 3, 1 (1931).
D. К. C. MakDonald, K. Sarginson, Reports on Progress in Physics, vol, 15, London, 1952, p. 249.
M. Dresden, Rev. Mod. Phys. 33, 265 (1961).
И. M. Л и ф in и ц, M. И. К а г а н о в, У①H 87, 389 (1965).
А. С. В e e r, Galvanomagnetic Effects in Semiconductors, Acad. Press, New York, 1963.
R. T. D e 1 v e s, Reports on Progress, in Physics, vol. 28, London 1965, p. 249.
П. С. Зырянов, В. П. Силин, }кЗТ① 46, 537 (1964).
П. С. Зырянов, В. П. Силин,①ММ 17, 934 (1964).
Ю. Н. Образцов,① ТТ 6, 414 (1964); 7, 573 (1965).
И. Ахиез е р, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский, ЖЗТ ① 40, 365 (1961); 48, 204 (1965).
П. С. Зырянов, ФТТ 5, ЗОН (1963).
П. С. 3 ы р я н о в,①ТТ 6, 3563 (1964).
П. С. 3 ы р я н о в, ФММ 16, 13 (1963); ЖЭТФ 47, 206 (1964); Phys. stat. sol. 6, 401 (1964); 7, 223 (1964).
П. С. Зырянов, В. И. Окулов,①ТТ 7, 1749 (1965).
Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский, ЖЗТ① 48, 187 (1965).
В. П е л е т м и н с к и й,①ММ 20, 777 (1965);①ТТ 7, 2666 (1965).
П. С. Зырянов, Г. И. Гусева, У①Н 95, 565 (1968).
J. Meixner, Ann. der Phys. 35, 701 (1939); 40, 165 (1941).
H. В. С a 1 1 e n, Phys. Rev. 85, 16 (1952),
H. B.G. Casimir, Rev. Mod. Phys. 17, 343, (1945).
H. В. C a 1 1 e n, Phys. Rev. 73, 1349 (1948).
P. Mazur, I. Prigogine, J. phys. et radium 12, 616 (1951).
P. M a z u r, S. R. de Groot, Physica 19, 961 (1953).
S. R. d e Groot, Nuovo cim. Suppl. (9) 12, 51 (1954).
F i e s c h i, S. R. de G г о о t, P. M a z u r, Physica 20, 67, 259 (1954),
F i e s c h i, S. R. de Groot, P. Mazur, J. V 1 i e g e r, Physica 30, 245 (1954).
R. de Groot, N. G. van К a m p e n, Physica 21, 39 (1955).
L. G r a b n e r, J. A. Swanson, J. Mat. Phys. 3, 1050 (1962).
W. H. Kleiner, Phys. Rev. 142, 318 (1966).
R. F i e s c h i, Nuovo cim. Suppl. (10) 1, 4; 2, 1165 (1955).
N. H. F r a n k, Zs. Phys. 63, 596; 64, 650 (1930).
R. Gans, Ann. d. Phys. 20, 293 (1906).
M. А. К о p ец, Phys. Zs. UdSSR 5, 877 (1934).
R. A. Coldwell-Horsfall, D. ter Haar, Phil. Mag. 46, 1149 (1955).
П. Л. К а п и ц a, Proc. Roy. Soc. A123, 292 (1929).
Y. T a n a b e, Sci. Repts. Res. Inst. Tohoku Univ. Al, 267, 275 (1949); A2, 341.
531 (1950); A3, 91 (1951).
R. P e i e r 1 s, Ann. der Phys. 10, 97 (1931).
H. J ones, C. Zener, Proc. Roy. Soc. A145, 101, 268 (1934).
L. D a v i s, Phys. Rev. 56, 93 (1939).
Д. И. Блохинцев, Л. Нордгейм, Zs. Phys. 84, 168 (1933).
Я. И. (Френкель, T. А. Конторова, Phys. Zs. UdSSR 7, 452 (1935).
М. К о h 1 е г, Phys. Zs. 39, 9 (1938).
К. Ariyama, Sci. Rap. Inst. Phys. Chem. Res. (Tokyo) 34, 344 (1938).
E. H. S о n d h e i m e r, A. H, W i 1 s о n, Proc. Roy. Soc. A190 , 435 (1947).
E. H. Sondheimer, Proc. Roy. Soc. A193, 484 (1948).
M. Kohler, Ann. der Phys. 6, 18 (1949).
E. С. Б о p о в и к, ЖЭТФ 23, 83, 91 (1952).
M. Kohler, Ann. der Phys. 32, 211 (1938).
E. J u s t i, Phys. Zs. 41, 486, 563 (1940).
E. J u s t i, Leitfiihigkeit und Leitungsmechanismus. Ruprecht, Gottingen, 1948._
E. С. E о p о в и к, B. I\ В о л о и; к а я, H. Я•① о f e л в, ЖЗТ① 45, 46 (1963).
M. C. J ones, E. H. S о n d h e i m e r, Phys. Lett. 11, 112 (1964).
И. M. Л и ф in и ц, M. И. К а г а н о в, У①H 78, 411 (1962).
R. G. Chambers, в сб. «Fermi-Surface», New York, 1960, p. 100.
И. M. Л П ф in и ц,出3T① 30, 814 (1956).
И.М.Лифшиц,J.Phys. Chem. Solids 44, Г1 (1958).
И.М.Л и ф in и ц,М.Я. А з б е л ь, М. И. К а г а н о в,出ЗТ①30, 220(1955).
И.М.Лифшиц,М.Я. А з б е л ь, М. И, Каганов,牀ЗТ① 31,63(1956).
И.М.Лифшиц,А.М. К о с е в и ч,出ЗТ① 33, 88 (1957).
И. М. Лифшиц, А. М. К о с е в и ч, J. Phys. Chem. Solids 4, 1 (1958).
И. М. Лифшиц, В. Г. Песчанский,出ЗТ① 35, 1251 (1958).
И. М. Лифшиц, В. Г. П е с ч а н с к и й,出ЗТ① 38, 188 (i960).
Е.С.Бо р о в и к,ДАНСССР 69, 737 (1949).
Е.С.Бо р о в и к,ДАНСССР 70, 601 (1950).
Е.С.Бо р о в и к,ДАНСССР 75, 639 (1950).
Е.С.Бо р о в и к,ДАНСССР 95, 485 (1954).
Е. С. Б о р о в и к,出ЗТ① 27, 355 (1954).
Е. С. Б о р о в и к, Изв. АН СССР, сер. физ. 19, 429 (1955).
Е. С. Боровик, 7КЗТ① 30, 262 (1956).
Н. Е. Алексеевский, Ю. П. Гайдуков,出ЗТ① 36, 497 (1959).
Н. Е. Алексе е в с к и й, Ю. П. Г а й д у к о в,出ЗТ① 38, 1720 (I960).
Ю. П. Гайдуков, ЖЭТФ 37, 1281 (1959).
М. П. Б ронштейн, Phys. Zs. UdSSR 2, 28 (1932).
R. G. Chambers, Proc. Phys. Soc. 65A, 458 (19 52).
F. Garcia-Moliner, S. Simons, Proc. Cambr. Phil. Soc. 53, 848 (195 7).
M. Tsuji, J； Phys. Soc. Japan 13, 133, 818, 979 (1958).
J.M. McClure, Phys. Rev. 101, 1642 (1956).
R. G, Chambers, Proc. Roy. Soc. A238, 344 (1956).
M. И. Каганов, В. Г. Песчанский,出ЗТ① 35, 10 52 (19 58).
Е. Fawcett, W. A. Reed, Phys. Rev. 131, 2463 (1963).
R. G. C h a m b e r s, В. K. J ones, Proc. Roy. Soc. A270, 417 (1962).
F. E. Rose, M. T. Taylor, R. Bowers, Phys. Rev. 12 7, 1122 (1962).
J.R.Klauder, J.E. Kunzler, веб. «Fermi-Surface», New. York, 1960, p. 125.
J. R. Klauder,. J. E. Kunzler, Phys. Rev. Lett. 6, 179 (1961); Phil. Mag.
1045 (1961)..
J. R. К 1 a u d e r, Bell Syst. Tech. J. 40, 1 (1961).
R. V. С о 1 e m a n, A. J. F u n e s, J. S. P 1 a s k e t t, С. M. T a p p, Phys. Rev.
A521 (1964).
H. E. Алексеевский, Ю. П. Гайдуков,出3T① 42, 69 (1962).
Н.Е.Алексеевский, В. С.Егоров, ЖЗТ①45, 388(1963).
W.A.R е е d, G. F. В г е n n е г t,Phys. Rev. 130, 565(1962).
R. W. Stark, T. G. E c k, W. L. Gordon, Phys. Rev. 133, A443 (1964).
Ю.П.Г а й д у к о в, E. С. И ц к eв и 4,出3T① 45, 71(1963).
M.G.P r i e s t 1 е у, L. M. F а 1 i со v, G. W е i s z, Phys. Rev.131,617 (1963).
H. E. Алексеевский, Ю. П. Гайдуков, ЖЭТФ 43, 2094 (1962).
В. Г. Волоцкая, ЖЭТФ 44, 80 (1963).
R. J.Balcombe, Proc. Roy. Soc. A275, 113 (1963).
W. A. R e e d, J. A. Marcus t, Phys. Rev. 126, 2398 (1962).
В. Г. Волоцкая,出3T① 45, 49 (1963).
A. R. Mackintosh, L. A. S p a n e 1, R. C. J о u n g, Phys. Rev. Lett. 10, 434 (19.63).
H.'E. Алексеевский, Ю. П. Гайдуков, И. M. Лифшиц, В. Г. Песчанский,出ЗТ① 39, 1201 (i960).
Н. Е. Алексеевский, Ю. П. Гайдуков,出ЗТ① 31, 354 (1961).
J.E.Schirber, Phys. Rev. 131, 2459 (19 63).
W. S. В о у 1 e, G. E. S m i t h, Progress in Semiconductors, vol. 7, Heywood, London, 1963, p. 1.
G. N. Rao, N. H. Zebouni, C. G. Grenier, J. M. Reynolds, Phys. Rev. 133, A141 (1964).
E. Budnik, E. F a w c e t t, W. A. R e e d (не опубликовано).
E. Fawcett, Phys. Rev. 128, 154 (1962).
E. Fawcett, W. A. Reed, Phys. Rev. 134, A723 (1964).
Н. Е. Алексеевский и др., ЖЭТФ 44, 1116 (1963).
W.A. R е е d, Е. F a w с е 11, Bull.Am.Phys. Soc. 7, 478 (1962).
H.E. А л e к с e e в с к и й, В. С. Eг о pо в, Г. E. К a p с т e н с,Б.H.К a-
3 ак,出3T① 43, 731 (1962)." ‘••
Hl. E. F awcett, Adv. Phys. 13, 139 (1964).
J12. В. H. К ачинский, ДАН СССР 135, 818 (I960); 7КЗТ① 41, 665 (1961).
Н. В. В олкенштейн, В. Н. Качинский, Л. С. Старостина, 出ЗТ① 45, 43 (1963).
В. Е. Старцев, Н. В. Волкенштейн, В. А. Новоселов, ЖЗТ① 51, 1311 (1966).
Н. В.Волкенштейн, В.А. Новоселов, В. Е. Стаппев,① ММ 22 175^(1966); 24, 677 (1967).F
L. Esaki, Phys. Rev. Lett. 8, 4 (1962).
С. Г. Калашников,①ТТ 6, 2435 (1964).
S. Т i t е i с a, Ann. der Phys. 22, 128 (1935).
Б. И. Давыдов, И. Я. Померанчук, ЖЗТ ① 10, 1294 (1940).
Р. N. A Eg i г е s, Е. N. A d a m s, Phys. Rev. 104, 900 (1956).
И. M. Лифшиц,出 ЗТ ① 30, 774 (1956).
R. К u b о, Canad. J. Phys. 34, 1279 (1956); Phys. Rev. Lett. 1, 279 (1958).
123* R. К u b o, et al. J. Phys. Soc. Japan. 14, 56 0959).
E. N. A d a m s, T. D. Нго 1 s t e 1 n, J. Phys. Chem. Solids 10, 254 (1956).
R. Kubo, S. Mayake, N. Hashitsume, Solid. State Physics, vol. 17, Acad, press New York, 1965, p. 270.
P. A r g i r e s, Phys. Rev. 117, 315 (I960).
R. S 1 a d e k, J. Phys. Chem. Solids 16, 1 (I960).
X. И. A'm и p x a h о в, P. И. Баширов, Ю. Э, Закиев, ЖЭТФ 41, 1699 (1961).
C. Herring, J. Appl. Phys. 31, 1939 (I960).
L. W. S h u b n i k о v, W. de Haas, Proc. Amst. Acad. 33, 418 (1930).
W. I. de Haas, L. W. Shubnikov, Leid. Comm. 207, 210 (1930).
Ю. A. E ы q к о в, ЖЗТ① 39, 1401 (I960).
H. R.Frederiks e, W. Hosier, Phys. Rev. 108, 1136 (1957); 110, 886 (1958).
. W. В e c k e r, T. Y e p, Bull. Am. Phys. Soc. 10, 106 (1965).
C< T. П а в л о в, P. В. Парфенъев, Ю. A.① и p с о в, С. C. Ill а л n т,
.出3T① 48, 1565 (1965).
Y. Eckstein, J. B. Ketterson, Phys. Rev. 137, A1777 (1965).
Ch. R. W h i f s e t t, Phys. Rev. 138, A829 (1965),
L. G. Hyman, L. Siklossy, Phys. Rev. 139, A271 (1965).
J. R. Burke, Jr., R. S. A 1 i g a i г, В. B. Houston, Jr., J. В abiskin,
P. G. Siebenmann, Phys. Rev. Lett. 14, 360 (1965).
T. O. Y e p, W. M. В e c k e r, Phys. Rev. 144, 741 (1966).
G. A. A u t d i f t e, R. A. S t r a d 1 i n g, Phys. Lett. 20, 119 (1966).
E. Braun, G. Landwehr, Zs. Naturforsch. 21a, 495 (1966).
H. R. Frederikse, W. R. Hosier, W. R. Thurber, J. В abiskin,
P. G. Siebenmann, Phys. Rev. 158, 775 (1967).
B. L. В о о t h, A. W. E w a 1 d, Phys. Rev. Lett. 1S, 491 (1967).
W. G i r i a t, Phys. Lett. 24A, 515 (1967).
P. Drath, G. Lavdweher, Phys. Lett. 24A, 504 (1967).
J. R. Sybert, H. J. Mackey, R. E. Miller, Phys. Lett. 24A, 655 (1967).
R. I. Б a s h i г о v, Phys. Lett. 25A, 593 (1967).
J. К о и о p'k a, Sol. State. Comm. 5, 809 (1967).
H. Miyazawa, H. Ikoma, H. Maeda, Sol. State Comm. 5, 847 (1967).
M.N akamura, J. Phys. Soc. Japan 22, 830 (1967).
Л. С. Д у б и н с к а я, Г. E. П и к у с, И. И. Ф a p 6 in т e й н, С. С. Ш а л ы t, 出3T① 54, 754 (1968).
Л. С. Д уЕб и н с к а я, В. А. Н о с к о в, II. 1\ Т a Fn е в, II. II.① а р 6 in т е й н, С. С. III а л ы т, Письма 出ЗТ① 8, 79(1968).
М. Yamamoto, J. Phys. Soc. Japan, 24, 73 (1968).
В. Л. Г у p e в и ч, Ю. А.① и р с о в, ЖЭТФ 40, 198 (1961); 47, 734 (1964).
М. И. К л и н г е р,①ТТ 3, 1342 (1961).
S. Р u г i, Т. G е b а 11 е, Bull. Am. Phys. Soc. 8, 309 (1963).
С. С. Ш а л ы т, Р. В. П а р ф е н ь е в, В. М. М у ж д а б а,①ТТ 6, 647 (1964);
出9T① 47, 444 (1964).
И. М. Цидильковск ий, М. М. А к с ель р од, В. И. С о к о л о в, ФТТ
316 (1965).-
М. М. Аксельрод, И. М. Цидильковский, В. И. Соколов, Phys. stat. sol. 8, К15 (1965).
И. М. Ц и д и”л ь к о в с к 1ьй и др., Phys. stat. sol. 9, К91 (1965).
И. М. Цидильковский, М. М. Аксельрод, Proc. Intern. Conf. Semi- cond. Phys. Kyoto, 1966, p. 362.
M. M. Аксельрод, И. M. Цидильковский, Письма 出ЗТ① 4, 205 (1966).
164.164.М. М. Аксельрод, В. И. С：о колов, И. М. Цидильковский,
164.
164.
165.166.167.168.165.166.167.168.Phys. stat. sol. 9, К163 (1965).
165.
166.
167.
168.
165.
166.
167.
168.
В. И. Соколов, И. М. Цидильковский, ФТП 1, 835 (1967).
Р.В. Поморцев и др, ЖЗТ① 54, 1348 (1968).
Д. В. Машовец и др., ЖЗТ ① 47, 20 07 (1964).
И. М. Цидильковский, М. М. Аксельрод, 3. И. У рицк ий, Phys. stat. sol. 12, 667 (1965).
169.169.Ю. А.① и р с о в, С. Т. 口 а в л о в, ЖЭТФ 49, 1664 (1965).
169.
169.
Т. К a s и у a, J. Phys. Soc. Japan 14, 410 (1959).
S. N a k a j i m a, Prog. Theor. Phys. 20, 948 (1958).
—С. В. Пелетминский, В. Г. Барьяхтар,①ТТ 7, 446 (1965).
П. С. Зырянов, В. П. Калашников, ФММ 18, 166 (1964).
В. И. О к у л о в, ФТТ 8, 2405 (1966).
М. С. S t е е 1 е, J. В a b i s k i п, Phys. Rev. 98, 359 (1955).
■ 一 ~ - . Н s u, W. S. В о у 1 е, Phys. Rev. 128, 1084 (1962).
172.173.174.175.176.177.178.179.180.181.182.183.184.185.186.187.188.189.190.191.172.173.174.175.176.177.178.179.180.181.182.183.184.185.186.187.188.189.190.191.I. Е. К u n z 1 е г, F. S.G. A. A n t с 1 i f f e, R.I. Е. К u n z 1 е г, F. S.G. A. A n t с 1 i f f e, R.Р u г i, Т. Н. G еР u г i, Т. Н. G еA. Stradling, Phys. Lett. A20, 119 (1966).
172.
173.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.
191.
172.
173.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.
191.
I. Е. К u n z 1 е г, F. S.
G. A. A n t с 1 i f f e, R.
I. Е. К u n z 1 е г, F. S.
G. A. A n t с 1 i f f e, R.
Р u г i, Т. Н. G е
Р u г i, Т. Н. G е
S. М.S. М.b a4 1 e, Phys. Rev. 136, A1767 (1964).
S. М.
S. М.
Г. И. Г у с е в а, П. С. 3Г. И. Г у с е в а, П. С. 3°ы p я н о в, Phys. stat. sol. 8, 759 (1965).
Г. И. Г у с е в а, П. С. 3
Г. И. Г у с е в а, П. С. 3
S. S iS. S i_. _ . m о n s, Proc. Phys. Soc. 83, 749 (1964).
S. S i
S. S i
П. С. Зырянов, Г. Г. Талуц,出 3T ① 49, 1942 (1965).
Н. Е. В о m m е 1, К. D r a n s f е 1 d, Phys. Rev. 117, 1245 (I960).
J. S. C i с с a r e 1 1 о, К. D. D r a n s f e 1 d, Phys. Rev. 134, A1517 (1964).
В. H. Луцкий, А. А Жирнов, M. И. E л и н с о н, ФТТ 7, 521 (1965)” В. С. Л ь в о в,①ТТ 7, 1680 (1965); 8, 1351 (1966).
В. А. Кудинов, Б. Я. М о й ж е с, ФТТ 7, 2309 (1965).
И. И. Фарбштейн и др.,① ТТ 7, 2383 (1965).
Р. Г. Т а р х а н я н,①ТТ 7, 2688 (1965)..
Л. С. Д у б и н с к а я, ОТТ 7, 2821 (1965).
ииА.И.Ансельм, Ю.Н.Образцов, Р. Г. Т арханян, ФТТ 7, 2837 (1965).
и
и
-™ж н ы х, И. Г. Ф а к и д о в, ФТТ 7,
Ю. Т. К о в рЮ. Т. К о в рЭ. А. Завадский, 3582 (1965).J. McKenna, H. L.К. Д. Ц э н д а л, А. Л. E. Г. Стрельченк С. И. П e к a p,①TT 8,Э. А. Завадский, 3582 (1965).J. McKenna, H. L.К. Д. Ц э н д а л, А. Л. E. Г. Стрельченк С. И. П e к a p,①TT 8,F r i s h, Ann. Эфрос,①TT о, ФТТ 8, 965 1115 (1966). 8, 1574 (1966).F r i s h, Ann. Эфрос,①TT о, ФТТ 8, 965 1115 (1966). 8, 1574 (1966).192.193.194.195.196.197.198.199.192.193.194.195.196.197.198.199.200.201.202.203.204.205.206.207.208.209.210.211.212.213.214.215.216.217.218.219.220.221.222.223.224.225.226.227.228.200.201.202.203.204.205.206.207.208.209.210.211.212.213.214.215.216.217.218.219.220.221.222.223.224.225.226.227.228.of Phys. 33, 156 (1965).
Ю. Т. К о в р
Ю. Т. К о в р
Э. А. Завадский, 3582 (1965).
J. McKenna, H. L.
К. Д. Ц э н д а л, А. Л. E. Г. Стрельченк С. И. П e к a p,①TT 8,
Э. А. Завадский, 3582 (1965).
J. McKenna, H. L.
К. Д. Ц э н д а л, А. Л. E. Г. Стрельченк С. И. П e к a p,①TT 8,
F r i s h, Ann. Эфрос,①TT о, ФТТ 8, 965 1115 (1966). 8, 1574 (1966).
F r i s h, Ann. Эфрос,①TT о, ФТТ 8, 965 1115 (1966). 8, 1574 (1966).
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
200.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
208.
209.
210.
211.
212.
213.
214.
215.
216.
217.
218.
219.
220.
221.
222.
223.
224.
225.
226.
227.
228.
200.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
208.
209.
210.
211.
212.
213.
214.
215.
216.
217.
218.
219.
220.
221.
222.
223.
224.
225.
226.
227.
228.
378 (1966).
(1966).
M. И. Д а у н о в, ФТТ.,
М. Е р е ж к о в,М. Е р е ж к о в,一①ТТ 8, 1807 (1966).
М. Е р е ж к о в,
М. Е р е ж к о в,
А. В. К а л ю in,А. В. К а л ю in, ФТТ 8, 1859 (1966).
А. В. К а л ю in,
А. В. К а л ю in,
Г. И. Г у с е в а, П. С. Зырянов,①ММ 24, 1124 (1967); Phys. stat. sol. 25,
775 (1968).775 (1968).с k m а пс k m а пО. В е L. М. I М. А. I К. Д「О. В е L. М. I М. А. I К. Д「et al., Phys. Rev. Lett. 18, 773 (1967).
775 (1968).
775 (1968).
с k m а п
с k m а п
О. В е L. М. I М. А. I К. Д「
О. В е L. М. I М. А. I К. Д「
ооt h, S. H. G г о v e s, P. W. W у a t t, Phys. Rev. Lett. 19, 576 (1967).
о
о
inch, Phys. Lett. 24A, 23 (1967).
овстюк, П. И. Вороню к, Phys. stat. sol. 23, 75 (1967).
А. Г. Самойлович и др., Phys. stat. sol. 23, 229 (1967).
C. N. P 1 a v i t u, Phys. stat. sol. 24, 361 (1967).
J. H. W i 1 s о n, W. F. L о v e, S. С. M i 1 1 e r, Phys. Rev. 165, 923 (1968).
В. П. К а л a in н и к о в, A. M. 3 л о б и h, Phys. stat. sol. 28, 105 (1968).
Б. М.М. С.D. J. JR. С.R. S.D. С.' Ch. С.Б. М.М. С.D. J. JR. С.R. S.D. С.' Ch. С..скеров,①.М.Гатпимзаде, Phys. stat. sol. 28, 783 (1968). ones, E. H. Sondheimer, Phys. Rev. 155, 567 (1967). e 1 1 m у e r, J. A h n, J. P. J a n, Phys. Rev. 161, 618 (1967). о u n g, Phys. Rev. 163, 676 (1967).
Б. М.
М. С.
D. J. J
R. С.
R. S.
D. С.' Ch. С.
Б. М.
М. С.
D. J. J
R. С.
R. S.
D. С.' Ch. С.
ewb о wer, J. E. Neighbor, Phys. Rev. 18, 538 (1967).
s u i, R. W. S t а г k, Phys. Rev. Lett. 19, 1317 (1967).
Chen, S. F u jChen, S. F u j'~ 一 ' a, J. Phys. Chem. Solids, 28, 607 (1967).
Chen, S. F u j
Chen, S. F u j
Phys. stat. sol. 19, 373 (1967).
K. Clausecker, Phys. stat. sol. 24, 721 (1967).
J. Kolodziejcza A. Seeger, E. Man H. E. Алексеевен Ю. А. Б о г о д, В. Б.'J. Kolodziejcza A. Seeger, E. Man H. E. Алексеевен Ю. А. Б о г о д, В. Б.'й и др., ЖЭТФ, 54, 350 (1968).
J. Kolodziejcza A. Seeger, E. Man H. E. Алексеевен Ю. А. Б о г о д, В. Б.'
J. Kolodziejcza A. Seeger, E. Man H. E. Алексеевен Ю. А. Б о г о д, В. Б.'
…расовицкий, Письма 出ЗТ① 7, 301 (1968).
Ю. А. Б о г о д, В. В. Е р е м е н к о,①ММ 25, 175 (1968).
A. M. Злобин, ФММ 25, 605 (1968).
J. W. McClure, W. J. S p r y, Phys. Rev. 165, 809 (1968).
J. M. Dishman, J. A. Rayne, Phys. Rev. 166, 728 (1968).
К. T a n a k o, S. K. S u r i, A. L. J a i n, Phys. Rev. 170, 664 (1968).
J. R. R e i t z, A. W. Overhauser, Phys. Rev. 171, 749 (1968).
R. В. T h о m a s, Jr., Phys. Rev. 171, 827 (1968).
H. F. В u d d, Phys. Rev. Lett. 20, 1099; 21, 425 (1968).
A. F. Clark, R. L. Powell, Phys. Rev. Lett. 21, 802 (1968).
Ю. А. Б о г о д и др., Phys. stat. sol. 28, Ki55 (1968).
Глава 15
МАГНЕТООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
Под магнетооптическими явлениями в широком смысле понимают эффекты, про исходящие при взаимодействии света ) с веществом обязательно в присутствии внешнего магнитного поля (не связанного с электромагнитным полем световой волны).
В гл. 2 уже рассматривалось одно важное магнетооптическое явление —— эффект Зеемана, заключающийся в изменении частоты света, излучаемого атомами, помещенными во внешнее магнитное поле. В гл. 13 было исследовано другое магнетооптическое явление ——циклотронный резонанс. Здесь будет кратко описано, что происходит со светом, проходящим через вещества, подвергнутые воздействию внешнего магнитного поля [при этом источник света находится вне действия этого магнитного поля, см. Хвольсон (1923),①ренкель (1935), ВАн-①лек (1932), М. Борн (1937), Волькенштейн (1951), Ландау и Лившиц (1957), Соколов (1961)].
Рассмотрим прежде всего два основных магнетооптических явления с распространением линейно поляризованного света через однородно намагниченное вещество, лишенное собственных атомных магнитных моментов: 1) вращение плоскости поляризации света, если луч света распространяется параллельно вектору магнитного поля,—— эффект Фарадея и 2) магнитное двойное лучепреломление, если луч света распространяется перпендикулярно к направлению магнитного поля,——эффект Коттона —— Мутона или Фохта. Прежде всего остановимся на элементарной макроскопической теории этих явлений.
Феноменологическая теория эффекта Фарадеяи эффекта Коттона — Мутона (Фохта)
Если вещество помещено во внешнее магнитное поле, то, даже будучи изотропным при Н = Q, оно становится анизотропным по отношению к внешним электромагнитным и другим воздействиям. Мы начнем с рассмотрения более общего случая веществ (кристаллов), когда благодаря их анизотропной внутренней структуре оптические свойства становятся ан изо тр о пным и и характеризуются тензорами диэлектрической (&沮)и магнитной (卩泣)проницаемости. Компоненты этих тензоров определяют связь между компонентами векторов электрической (D) и магнитной (5) индукции и слагающими векторов соответствующих напряженностей поля (_Е и JT) ):
Di = &ikEk,少=卩沮融 (г,右=1, 2, 3). (15.1)
Как обычно, если в одночленном выражении встречается по два одноименных индекса, это означает суммирование по всем их возможным значениям (в данном случае от 1 до 3). В наиболее общем случае формулы (15.1) могут быть записаны так:
^i = ^Qi + ^ikE^ Bt = Bg +卩 тНм (15.1а)
где О。芝 и BQi—— «спонтанные^ значения индукции в случае пироэлектрического или ферромагнитного кристалла.
Тензоры 卩：丸 и £f耳,естественно, зависят от термодинамических величин, характеризующих состояние вещества (температуры Т, давления р и т. п.), от его структуры и химического состава. Помимо этого, они также зависят от частоты внешнего электромагнитного поля ), а также и от напряженностей внешних статических полей Ее и Re, наложенных на вещество, через которое пропускается электромагнитная волна. Эта зависимость от магнитного поля, £：丸(女е)，卩w耳(JTe), и определяет характер
магнетооптических эффектов; ее конкретный вид можно получить лишь с помощью микроскопической теории вещества, взаимодействующего с электромагнитным полем. Однако из общих термодинамических соображений в статическом случае (со —> 0) или из обобщенного принципа симметрии кинетических коэффициентов (Онзагер [1], Каллен [2]) можно (при ①声 0) между компонентами тензоров е^左 и 卩艺瓦 установить некоторые универсальные соотношения симметрии ).
Для того чтобы вывести соотношения симметрии (сначала для случая ①=0), необходимо воспользоваться основным уравнением первого и второго начал термодинамики для диэлектрической среды. По аналогии с магнитной средой [см. формулы (5.2), (5.3)] будем иметь
1
dF= —S d? + g d^ + ^-EdD,(15.2)
где (1/4я) JE dD ——плотность «электрической работы», равной изменению свободной энергии dF при изотермическом процессе (dT = 0) и постоянной плотности вещества (dp‘ = °), g ——химический потенциал, S ——плотность энтропии. Часто бывает удобнее в качестве термодинамической «координаты» пользоваться полем Е, а не индукцией D. Для этого надо перейти от F к другому термодинамическому потенциалу Ff [см. (5.4)]:
(15.3)
Тогда (15.2) примет вид
1
dFf = —S 弘十已 dp，—矗 Л d丑，(15.4)
先)“(15.5)
Если от каждой г-й компоненты векторного равенства (15.5) взят производную по «координатам» 石丸 и использовать (15.1), то будем иметь
a "=支，У，办(15⑹
Так как d^-F^dEi дЕ^= д2Ге/дЕ^ дЕ^ из (15.6) сразу находим, что тензор 立左 симметричен, т. е.
^ik — ^ki'(15.7)
Интегрируя (15.4) и используя (15.1), находим для свободных энергий диэлектрика
尸‘=尸0(北p，)一丽Е氾吊匾，尸=尸о(北p‘)十肃囁54.(15.8)
Симметричный тензор второго ранга %丸 можно, как известно, привести к главным осям т. е. к диагональному виду: е措—&泣6淤
В зависимости от симметрии кристалла может быть три случая:
Все диагональные элементы тензора е12 равные — оптически двуосный кристалл (триклинная, моноклинная и ромбическая системы).
Два диагональных элемента тензора одинаковы, но не равны третьему. Это случай одноосного кристалла (ромбоэдрическая и гексагональная системы).
Изотропные кристаллы, в которых все три диагональных (главных) значения тензора 8指=ё6阻совпадают (кубические кристаллы, изотропные жидкости и газы).
Более сложным является случай переменного электромагнитного поля (со 声 0) когда одновременно включено внешнее статическое поле Не. Для установления и в этом случае свойств симметрии коэффициентов 齿左 необходимо воспользоваться обобщенным принципом симметрии кинетических коэффициентов [1, 2]. Не имея возможности остановиться на изложении этого принципа, отсылаем читателя к монографии Ландау и Лифшица (1957). Из этого принципа следует, что при Не = 0, но при ①声 0 тензор по-прежнему симметричен:
立左(①)=泳£ (①).(15.9)
Если же среда прозрачна (отсутствует поглощение), то
e沿(® =喷(①)，(15.9a)
откуда в силу (15.9) вытекает условие вещественности всех е^. Однако в присутствии постоянного магнитного поля Неч как это следует из обобщенного принципа Онзагера, тензор &£卜(со, Н^ уже несимметричен и должен удовлетворять условию
立左(①，Не)=г^1 (w, —Не).(15.10)
Тогда из (15.10) и (15.9) следует, что этот тензор для случая прозрачной среды не вещественный, а лишь эрмитовский, т. е. его вещественная часть 呪左 симметрична, а мнимая elfe антисимметрична (%左 = 8话 十毘絹)：
(15.11)(15.11)以左⑥，He) = E/(S, He) = E^(g —巨扪
(15.11)
(15.11)
曦(①，He) = -%(①, нё) =-喉(①，一h你.
Из (15,11) следует, что в прозрачной среде компоненты eife ——четные, a elfe ——нечетные функции поля Не. Наряду с тензором диэлектрической проницаемости &炳 удобна рассматривать также обратный тензор ей, обладающий теми же свойствами симметрии, который можно обозначить так:
玩^ = ni?t = nbt + »n 苏Ei = x\thD 近(15.12)
Заметим, что脸方(&£Т и脸手(唸尸•
Из тензорной алгебры известно, что антисимметричный тензор второго ранга эквивалентен аксиальному вектору. Антисимметричные тензоры е^ и 刀，左 обозначим соответственно через 。и G. Соотношения между &?左 и 。и 刀?左 и G можно записать с помощью совершенно антисимметрического тензора третьего ранга е：丸/ ):
嗫=ё沿间，项左=6m乌.(15.13)
Поэтому.
唠 у=—c/ = gz,eQ=—《z=gy， e%z=—c/ = gx，]t
П 為= — n* = Gz,n£=—展 z=%，J. a
С помощью векторов gr и G формулы (15.1) и (15.12) можно записать в виде
。£ =(*1 左 + ^eiklSl) ^k^^i^k + "田0k, I
% =(碓左十®左602)左二呜左_0左十4!>6lJ(15.14)
Связь между коэффициентами в первом и втором уравнении (15.14) дается следующими соотношениями ):
1
呜h=p^Jj【с笈 II 喩 II -gtghl,
% = Р^Я 嗫gh，
где || 8£卜 II и II eife II ——определители тензоров &ik и eife.
Вектор д носит название вектора гирации, а среду с зависимостью Е от D типа (15.14) именуют гиротропной средой.
Для того чтобы выяснить характер распространения света в гиротропной среде при произвольном значении поля Не, надо воспользоваться решением общей задачи распространения электромагнитных волн в анизотропном веществе (немагнитном, т. е. с 卩；丸(со) = 6；丸,и прозрачном), для которой зависимость индукции от времени дается фактором ехр (——iw?). Ограничимся случаем монохроматической плоской волны. Тогда уравнения Максвелла
.1 дВ .1 dD,. с . с.
rot , rot(15.15)
cc dt
примут вид
iwJT = с rot JB,i(oZ)=—c rot JT.(15.16)
Зависимость 石，D, JT и ^ плоской волны, распространяющейся в прозрачной среде, от г пропорциональна ехр [i (左?*)], где к — вещественный (нет затухания!) волновой
вектор. Произведя дифференцирование по координатам в правых частях (15.16), находим
^-Н=[кЕ},^-1)=—[кН].(15.17)
Введем вектор п по формуле
儿=?芻(15.18)
тогда уравнения (15.17) примут вид
Н=[检Е],D=—図Н].(15.19)
Подставляя Н = [п^] в выражение для Л, получим вместо (15.19)
D — \п[Е-п\\ — п2^—п (п-.^).(15.20)
В изотропном случае [仇丑)=0], используя (15.1) с 立卜=8山左，находим из (15.20)
娱=е,(15.21)
где п—показатель преломления ). В анизотропном случае (15.20) с учетом (15.1) дает )
娱М 一修小乃左=e沿后左，(15.22)
Если нас интересует вопрос о поляризации электромагнитной волны в анизотропной гиротропной среде, необходимо еще раз напомнить, что вектор п (или к) перпендикулярен не к J5J, а к D. Пусть одна из координатных осей, скажем Oz, направлена вдоль вектора 儿(или п). Две другие (поперечные) координатные оси обозначим через а, 8 = —/, у. Поперечные составляющие уравнения (15.20) будут тогда иметь вид Ьа = =г^Еа・ Подставляя сюда Еа = ПаВ°8, находим
(%6十"脸一"書必В)оВ Н 8(15.23)
примутпримутВыберем теперь оси к, у вдоль главных осей двумерного тензора 刀展卩,главные значения которого обозначим п^ и м/. Тогда в силу (15.13) уравнения (15.23) ®ид
примут
примут
(15.24)(15.24)(^ 春)Dx + iGz^y= &
(15.24)
(15.24)
Из условия совместимости этой системы однородных уравнении находим
(15.25)(15.25)
(15.25)
(15.25)
Если статическое поле JTe = 0, то антисимметричная часть тензоров е^^ и ntk отсутствует (е^ = П% 三 °) и, следовательно, равен нулю вектор гирации. 0 = GmO, и 汽=汽()8 или пОу. Однако при Не 方 0 汽。笈 и пОу в (15.24) отличаются от значений при Не = 0, ибо от Не зависит не только вектор G, но и тензор т]-fe.
Исключая м-2 в (15.24) с помощью (15.25), находим для отношения поперечных компонент индукции
⑶土;£{貝±胃)±信寇一刁"门• "
Чисто мнимое значение этого отношения означает, что волна в среде эллиптически поляризована и главные оси эллипса совпадают с осями к и у. Из (15.26) видим, что
т. е. еслитот. е. еслито
т. е. если
то
т. е. если
то
(0У)+ = ta (2)8)+,
(4)--=~^~ (4)-,
где а —— вещественное число. Это означает, что отношения главных осей эллипсов поляризации одинаковы, но эллипсы повернуты друг относительно друга на угол 90。, а направления вращения в них противоположны.
Выясним характер зависимости вектора G и тензора x\ik от статического поля Не. Поскольку G = 0 при Не — 0 и, кроме того, слагающие этого вектора (как и эквивалентный ему тензор п访)一 нечетные функции поля, то в слабых полях в первом приближении будем иметь
Gf = a/ (JT&)左，(15.27)
где тензор второго ранга а»丸,вообще говоря. несимметричный. Компоненты симметричного тензора 刀；力 должны быть четными функциями Неч т. е. в первом приближении имеем
唯左=唁* ^T^iklm {^e)l (-ffe)m^(15.28)
где ^ikim — тензор 4-го ранга. Не останавливаясь более на случае анизотропных гиро- тропных сред, рассмотрим более простой случай изотропной ^иротропной среды с x\ik = е『'6泣,где е0 — диэлектрическая постоянная среды при Не = 0. В рассматриваемом случае (15.14) дает
ео}(15.29)
D = eojE+i [Eg},J
где
G = —ё|~°*(15.30)
Формула (15.27) при этом принимает вид
0=аНе・(15.31)
Скалярный коэффициент а может быть как положительным, так и отрицательным. В уравнениях (15.24) теперь имеем nQX = поу = ^о = еУ2' Вместо (15.25) будем иметь
1 1*
или, в том же приближении,
咚=腸 士 腸Gz = w + gz・(15.32)
Из (15.26) в данном случае находим, что
Dx = ^=lDy.(15.33)
Следовательно, в изотропной гпротропной среде мы имеем дело с круговой поляризацией (j Dx I = I Z)y j) и с двумя, право- и левополяризованной^ волнами [два знака в (15.33)]. Различие показателей преломления для этих двух волн [п„ ^ п+ в (15.32)] означает, что при вхождении плоской волны в гиротропную среду возникают две поляризованных по кругу преломленных волны, то есть имеет место двойное круговое преломление.
Пусть линейно поляризованная плоская волна (Е ]| D \\ Ох) падает из вакуума нормально (вдоль оси Oz) на плоскопараллельную гиротропную пластинку толщиной 厶 Такую волну можно представить как сумму двух волн, поляризованных по кругу, с противоположными направлениями вращения, которые, после перехода в гпротроп- ную среду, будут в ней распространяться с различными скоростями (из-за различия 'волновых векторов: к土 =费汽士). Обозначив амплитуду волны через О。, имеем
。8 =将[exp (忆z) + exp (ikz)],、
iD(15.34)
0y =—^ [ — exp (ik+z) -P exp (ik_z)].
Введя обозначения
11
左=彳（左+十仁）и 乂=彳（&. - 仁）,
найдем
Dx = Dq exp (ikz) cos xz,Dy = D。exp (ikz) sin 乂幺，
где 0<；zW/. При выходе волны из гиротропной пластинки находим согласно (15.32)
если принять, что n+ + ^- е 2 汽。.Вещественность отношения (15.34а) указывает, что при выходе из пластинки в вакуум волна опять становится линейно поляризованной, но повернутой относительно первоначального направления поляризации на угол х/. Это явление поворота направления поляризации света после прохождения гиротропной среды носит название эффекта Фарадея. Угол поворота пропорционален пройденному волной пути. Угол удельного (на единице длины) вращения вдоль направления волнового вектора равен [в силу (15.34)]汽 / 、 cug cos О sacosO〃 осч 乂=广^^g石=丁緑一(15.35)если принять, что n+ + ^- е 2 汽。.Вещественность отношения (15.34а) указывает, что при выходе из пластинки в вакуум волна опять становится линейно поляризованной, но повернутой относительно первоначального направления поляризации на угол х/. Это явление поворота направления поляризации света после прохождения гиротропной среды носит название эффекта Фарадея. Угол поворота пропорционален пройденному волной пути. Угол удельного (на единице длины) вращения вдоль направления волнового вектора равен [в силу (15.34)]汽 / 、 cug cos О sacosO〃 осч 乂=广^^g石=丁緑一(15.35)где 仆一угол между векторами。(или Н^ и fc1 (или п). При заданном направлении магнитного поля Не при изменении знака к направление вращения в волне (по отношению к оси вдоль вектора к) меняется на обратное: правое 二 левое. Поэтому, если в гирот- роппой среде луч испытывает многократные внутренние отражения от поверхностей пластинки, то углы вращений будут аддитивно складываться. Связь х с напряженностью поля Не была установлена на опыте еще Фарадеем в 1846 г. и имела видгде 仆一угол между векторами。(или Н^ и fc1 (или п). При заданном направлении магнитного поля Не при изменении знака к направление вращения в волне (по отношению к оси вдоль вектора к) меняется на обратное: правое 二 левое. Поэтому, если в гирот- роппой среде луч испытывает многократные внутренние отражения от поверхностей пластинки, то углы вращений будут аддитивно складываться. Связь х с напряженностью поля Не была установлена на опыте еще Фарадеем в 1846 г. и имела видх = НуНе^х = НуНе^(15.35а)(15.35а)где 石『一так называемая постоянная Верде.等 Когда волновой вектор к перпендикулярен к полю Н^，т. е.仆=л/2, линейный эффект по полю, даваемый формулой (15.32), исчезает (поскольку gz = g cos® — 0). Поэтому при 仆 И я/2 следует учитывать высшие члены в разложениях вектора g и тензора 刀诘 по полю (начиная с квадратичных). В силу аксиальной симметрии вокруг направления магнитного поля ^едваглавныхзначения симметричного тензорат] г/г будут, как и в случае одноосного кристалла, одинаковыми. Направление луча по-прежнему совмещаем с осью Oz, а направление поля Не ——с осью Ок; главные значения x\ik вдоль и поперек магнитного поля обозначим через т]ц ит]^; их разность будет пропорциональнаЧисто квадратичный эффект при п 丄 g носит название эффекта Коттона—Мутона или Фохта *). В данном случае в уравнениях (15.24) и (15.25) следует положитьгде 石『一так называемая постоянная Верде.等 Когда волновой вектор к перпендикулярен к полю Н^，т. е.仆=л/2, линейный эффект по полю, даваемый формулой (15.32), исчезает (поскольку gz = g cos® — 0). Поэтому при 仆 И я/2 следует учитывать высшие члены в разложениях вектора g и тензора 刀诘 по полю (начиная с квадратичных). В силу аксиальной симметрии вокруг направления магнитного поля ^едваглавныхзначения симметричного тензорат] г/г будут, как и в случае одноосного кристалла, одинаковыми. Направление луча по-прежнему совмещаем с осью Oz, а направление поля Не ——с осью Ок; главные значения x\ik вдоль и поперек магнитного поля обозначим через т]ц ит]^; их разность будет пропорциональнаЧисто квадратичный эффект при п 丄 g носит название эффекта Коттона—Мутона или Фохта *). В данном случае в уравнениях (15.24) и (15.25) следует положитьGzGz0, п§х = п” и ngy = п丄.Одно10, п§х = п” и ngy = п丄.Одно1решение примет видрешение примет вид(15.36)(15.36)т. е. линейно поляризованной волны, с вектором D вдоль оси /, т. е. векторы D и Не параллельны друг другу. Это так называемый обыкновенный луч.Второе решение:т. е. линейно поляризованной волны, с вектором D вдоль оси /, т. е. векторы D и Не параллельны друг другу. Это так называемый обыкновенный луч.Второе решение:11(15.36а)(15.36а)т. e. линейно поляризованная волна, с вектором D вдоль оси у, т. е. векторы D и Не перпендикулярны друг другу. Это так называемый необыкновенный луч. Пусть на плоскопараллельную пластинку из гиротропного изотропного вещества, находящуюся в параллельном ее плоскости поле Не> падает нормально линейно поляризованная волна. В гиротропной среде будут распространяться две волны ——обыкновенная и необыкновенная с векторами D, соответственно лежащими в плоскостях xz и ух. По выходе из гиротропной пластинки свет оказывается эллиптически поляризованным. Это есть явление магнитного двойного лучепреломления. Разность фаз А двух лучей на на единице длины пластинки эмпирически может быть выражена формулойт. e. линейно поляризованная волна, с вектором D вдоль оси у, т. е. векторы D и Не перпендикулярны друг другу. Это так называемый необыкновенный луч. Пусть на плоскопараллельную пластинку из гиротропного изотропного вещества, находящуюся в параллельном ее плоскости поле Не> падает нормально линейно поляризованная волна. В гиротропной среде будут распространяться две волны ——обыкновенная и необыкновенная с векторами D, соответственно лежащими в плоскостях xz и ух. По выходе из гиротропной пластинки свет оказывается эллиптически поляризованным. Это есть явление магнитного двойного лучепреломления. Разность фаз А двух лучей на на единице длины пластинки эмпирически может быть выражена формулойa=（勺］一汽丄）誅-=/KMHe,a=（勺］一汽丄）誅-=/KMHe,(15.37)(15.37)
если принять, что n+ + ^- е 2 汽。.Вещественность отношения (15.34а) указывает, что при выходе из пластинки в вакуум волна опять становится линейно поляризованной, но повернутой относительно первоначального направления поляризации на угол х/. Это явление поворота направления поляризации света после прохождения гиротропной среды носит название эффекта Фарадея. Угол поворота пропорционален пройденному волной пути. Угол удельного (на единице длины) вращения вдоль направления волнового вектора равен [в силу (15.34)]
汽 / 、 cug cos О sacosO〃 осч 乂=广^^g石=丁緑一(15.35)
если принять, что n+ + ^- е 2 汽。.Вещественность отношения (15.34а) указывает, что при выходе из пластинки в вакуум волна опять становится линейно поляризованной, но повернутой относительно первоначального направления поляризации на угол х/. Это явление поворота направления поляризации света после прохождения гиротропной среды носит название эффекта Фарадея. Угол поворота пропорционален пройденному волной пути. Угол удельного (на единице длины) вращения вдоль направления волнового вектора равен [в силу (15.34)]
汽 / 、 cug cos О sacosO〃 осч 乂=广^^g石=丁緑一(15.35)
где 仆一угол между векторами。(или Н^ и fc1 (или п). При заданном направлении магнитного поля Не при изменении знака к направление вращения в волне (по отношению к оси вдоль вектора к) меняется на обратное: правое 二 левое. Поэтому, если в гирот- роппой среде луч испытывает многократные внутренние отражения от поверхностей пластинки, то углы вращений будут аддитивно складываться. Связь х с напряженностью поля Не была установлена на опыте еще Фарадеем в 1846 г. и имела вид
где 仆一угол между векторами。(или Н^ и fc1 (или п). При заданном направлении магнитного поля Не при изменении знака к направление вращения в волне (по отношению к оси вдоль вектора к) меняется на обратное: правое 二 левое. Поэтому, если в гирот- роппой среде луч испытывает многократные внутренние отражения от поверхностей пластинки, то углы вращений будут аддитивно складываться. Связь х с напряженностью поля Не была установлена на опыте еще Фарадеем в 1846 г. и имела вид
х = НуНе^
х = НуНе^
(15.35а)
(15.35а)
где 石『一так называемая постоянная Верде.
等 Когда волновой вектор к перпендикулярен к полю Н^，т. е.仆=л/2, линейный эффект по полю, даваемый формулой (15.32), исчезает (поскольку gz = g cos® — 0). Поэтому при 仆 И я/2 следует учитывать высшие члены в разложениях вектора g и тензора 刀诘 по полю (начиная с квадратичных). В силу аксиальной симметрии вокруг направления магнитного поля ^едваглавныхзначения симметричного тензорат] г/г будут, как и в случае одноосного кристалла, одинаковыми. Направление луча по-прежнему совмещаем с осью Oz, а направление поля Не ——с осью Ок; главные значения x\ik вдоль и поперек магнитного поля обозначим через т]ц ит]^; их разность будет пропорциональна
Чисто квадратичный эффект при п 丄 g носит название эффекта Коттона—Мутона или Фохта *). В данном случае в уравнениях (15.24) и (15.25) следует положить
где 石『一так называемая постоянная Верде.
等 Когда волновой вектор к перпендикулярен к полю Н^，т. е.仆=л/2, линейный эффект по полю, даваемый формулой (15.32), исчезает (поскольку gz = g cos® — 0). Поэтому при 仆 И я/2 следует учитывать высшие члены в разложениях вектора g и тензора 刀诘 по полю (начиная с квадратичных). В силу аксиальной симметрии вокруг направления магнитного поля ^едваглавныхзначения симметричного тензорат] г/г будут, как и в случае одноосного кристалла, одинаковыми. Направление луча по-прежнему совмещаем с осью Oz, а направление поля Не ——с осью Ок; главные значения x\ik вдоль и поперек магнитного поля обозначим через т]ц ит]^; их разность будет пропорциональна
Чисто квадратичный эффект при п 丄 g носит название эффекта Коттона—Мутона или Фохта *). В данном случае в уравнениях (15.24) и (15.25) следует положить
Gz
Gz
0, п§х = п” и ngy = п丄.Одно
1
0, п§х = п” и ngy = п丄.Одно
1
решение примет вид
решение примет вид
(15.36)
(15.36)
т. е. линейно поляризованной волны, с вектором D вдоль оси /, т. е. векторы D и Не параллельны друг другу. Это так называемый обыкновенный луч.
Второе решение:
т. е. линейно поляризованной волны, с вектором D вдоль оси /, т. е. векторы D и Не параллельны друг другу. Это так называемый обыкновенный луч.
Второе решение:
1
1
(15.36а)
(15.36а)
т. e. линейно поляризованная волна, с вектором D вдоль оси у, т. е. векторы D и Не перпендикулярны друг другу. Это так называемый необыкновенный луч. Пусть на плоскопараллельную пластинку из гиротропного изотропного вещества, находящуюся в параллельном ее плоскости поле Не> падает нормально линейно поляризованная волна. В гиротропной среде будут распространяться две волны ——обыкновенная и необыкновенная с векторами D, соответственно лежащими в плоскостях xz и ух. По выходе из гиротропной пластинки свет оказывается эллиптически поляризованным. Это есть явление магнитного двойного лучепреломления. Разность фаз А двух лучей на на единице длины пластинки эмпирически может быть выражена формулой
т. e. линейно поляризованная волна, с вектором D вдоль оси у, т. е. векторы D и Не перпендикулярны друг другу. Это так называемый необыкновенный луч. Пусть на плоскопараллельную пластинку из гиротропного изотропного вещества, находящуюся в параллельном ее плоскости поле Не> падает нормально линейно поляризованная волна. В гиротропной среде будут распространяться две волны ——обыкновенная и необыкновенная с векторами D, соответственно лежащими в плоскостях xz и ух. По выходе из гиротропной пластинки свет оказывается эллиптически поляризованным. Это есть явление магнитного двойного лучепреломления. Разность фаз А двух лучей на на единице длины пластинки эмпирически может быть выражена формулой
a=（勺］一汽丄）誅-=/KMHe,
a=（勺］一汽丄）誅-=/KMHe,
(15.37)
(15.37)
где со ——частота света, а Лкм ——постоянная Коттона ——Мутона; последняя зависит в общем случае от природы вещества, длины волны света и температуры.
Познакомившись достаточно подробно с общими чертами феноменологической теории магнетооптических явлений, обратимся к краткому изложению их микроскопической теории, учитывающей электронную структуру вещества.
Микроскопическая теория
Следует различать магнетооптику газообразных тел, т. е. систем практически не взаимодействующих друг с другом атомов или молекул, и магнетооптику конденсированных тел, в которых, наряду с системой ионных остовов (подвижной в жидкостях и плазме и слабо колеблющейся и упорядоченной в кристаллах), имеется система коллективизированных электронов (ферми-жидкость электронов проводимости в металлах и полупроводниках и «неподвижная» электронная система, осуществляющая химическую связь в кристаллах диэлектриков).
В последнее время (с 1956 г.) магнетооптическим явлениям в полупроводниках уделяется очень большое внимание (см. обзоры [5——7]), поскольку изучение этих явлений дает весьма ценную информацию об электронной (зонной) структуре этих веществ.
Классическая электронная теория магнетооптических эффектов, а. Общее рассмотрение. Остановимся на элементарной лоренцевской квазиклассической теории магнетооптических эффектов.
Пусть электрическое поле световой волны F частоты о)с учетом лоренцевской поправки можно записать в виде
F=E+~ Р=(4十等Ро) ехр (心才)=/ exp (心％
где JEq —амплитуда электрического ноля, Р и 凡 ——вектор поляризации и его амплитуда. Тело помещено во внешнее однородное постоянное магнитное поле Не~ =方2甌(比е — постоянный единичный вектор поля). Тогда уравнение движения связанного электрона под действием поля F примет вид
р + ^р + ур—~- [phe] =~--Fo exp (心小 (15.38) где & = ez — электрический момент электрона в атоме, у —постоянная затухания, у=где t—время релаксации, w0 — собственная частота электрона в атоме. Ищем решение (15.38) в виде
p=pQ exp (icui). (15.39)
Подставляя (15.39) в (15.38) и производя суммирование по всем N электронам в единице объема: 2 pq — I*q^ находим ед. об.
гдегдее0 - aро - ф [R也],(15.40)喘一①2+力①4n6 — ^ P— Nec '(15.41)3，е0 - aро - ф [R也],(15.40)喘一①2+力①4n6 — ^ P— Nec '(15.41)3，)})}翼仍翼仍Если электромагнитное поле имеет вид плоской световой волны *)Если электромагнитное поле имеет вид плоской световой волны *)K = Eq ехр「①《—^^)]，K = Eq ехр「①《—^^)]，Н=Но ехр 庙(才Н=Но ехр 庙(才
где
где
е0 - aро - ф [R也],
(15.40)
喘一①2+力①
4n
6 — ^ P— Nec '
(15.41)
3，
е0 - aро - ф [R也],
(15.40)
喘一①2+力①
4n
6 — ^ P— Nec '
(15.41)
3，
)}
)}
翼仍
翼仍
Если электромагнитное поле имеет вид плоской световой волны *)
Если электромагнитное поле имеет вид плоской световой волны *)
K = Eq ехр「①《—^^)]，
K = Eq ехр「①《—^^)]，
Н=Но ехр 庙(才
Н=Но ехр 庙(才
то уравнения поля после замены EQ по (15. 40) примут вид
>>(15.42)(15.42)—^- [п'0Не\ = сс^Ро - Ф [-Ро^е]， [rot JT = l(J04-4nP)j ,条[< (aR — 相 UVq])] =Не, [rot Е = -~Ну ,
>
>
(15.42)
(15.42)
^ (а^о-Ф [P0he})=0,[<Иу(^+4л.Р)=0],
где а' = а + 4л.
Уравнения (15.42) в рамках сделанных предположений описывают все магнетооп- тические эффекты. Рассмотрим два частных случая: Не || ^ (эффект Фарадея) и Не 丄 nJ (эффект Коттона — Мутона).
б. Эффект Фарадея. В этом случае he || 翼[и уравнения (15.42) примут вид
一号[%н8]=优Р0一承[R%],(15.43а)
—[Пд (ссРо一 用1尸0处]) = Не,(15.436)
(М ЗВ —期[R%])) = 0,(15.43в)
«JTe) = O.(15.43г)
Пусть световой луч распространяется вдоль оси Oz. Тогда 汽$8 =汽6^ = 0 и Hqz — 1, Из (15.43г) следует, что вектор Hq волны лежит в плоскости ху (волны поперечные), а из (15.43в) находим, что ^02=0. Введем обозначения：
4 = ~Ja — a',В = р(*—1)；(15.44)
тогда (15.43а) и (15.436) можно записать в виде
(15.45)(15.45)力尸08一切尸0У=0, I^ВРox ~h ^^Oy — 0. J
(15.45)
(15.45)
Однородная система уравнений (15.45) имеет нетривиальное решение при условии
42-62=0, T. e. / = 土氏42-62=0, T. e. / = 土氏(15.46)(15.46)
42-62=0, T. e. / = 土氏
42-62=0, T. e. / = 土氏
(15.46)
(15.46)
В случае А = В имеем из (15.45) Рд§=—力尸。^, или
尸8=尸08 exp (icoz), Py = PQy exp [Q-事)] •(15.47)
Такое соотношение составляющих Р отвечает левому вращению (если смотреть на конец вектора Р со стороны 十Oz). Обозначим, как и прежде, c/v+=n+. Тогда из (15.44) и (15.46) будем иметь
唠 а — а' = В 唸一3
или, в силу (15.41),
n^-i = inN\(15.48)
Если пренебре ib эффектом затухания (卞=0), то (15.48) примет вид
料6警 N^ [噺 Л*03]—”49)
При наличии нескольких собственных частот электронов ①。^ и при слабых внешних полях, т. е. при условии, что ларморовская частота
(15.50)(15.50)I г|61%々
(15.50)
(15.50)
будем иметь вместо (15.49) выражение
^ф|=鲁? Nt 鲁囱l(3_3l)21T.(15.51)
В случае А~ ——В аналогично находим для показателя преломления правого вращения выражение
尚修=鲁士呼房质13+3翁尸・(15・52)
Получим теперь формулу для вращения плоскости поляризации, возникающего при прохождении света через прозрачное тело, помещенное в однородное магнитное поле Не (параллельное оси Oz). Предположим, что тело имеет длину I вдоль оси Oz. Воспользуемся формулой (15.34). В силу условия (15.50) и формул (15.51) и (15.52) имеем
n_ - л+ = m (①十①0 一八(①一①l) ^ -3- 2sL.
Подставляя это выражение в (15.35) и принимая во внимание, что
dn dsdn ds大加й м=-大加й м=-
dn ds
dn ds
大加й м=-
大加й м=-
будем иметь для удельного фарадеевского вращения
仁五标一g^^/”53)
(формула Беккереля [8]). Вне линий поглощения dn/dk V 0 (нормальная дисперсия)т заряд электрона е = —— | е [, поэтому вращение совпадает с направлением поля (левое вращение 1). Внутри полос поглощения знак вращения обратный. Эффект Фарадея тесно связан с эффектом Зеемана, когда фарадеевское вращение плоскости поляризации происходит в том же внешнем поле Н&, которое одновременно действует на источник света
〃丿6)
Рис. 15.1. Дисперсия показателей преломления право- и левополяризованных волн п_ (з) и п+ ((о) для линий зеемановского дублета 2s]〃 f 2Pi/2- а) Схема энергетических уровней с указанием разрешенных переходов и поляризаций линий (верхний график), а также расположение линий дублета в спектре(нижний графин);①。一частота несмещенной линии (при Не = 0); б) кривые дисперсии показателей п-((о) и п+((о) и их разности п-((о) — п+ (з); верхний график — случай одинаковой интенсивности обоих зеемановских дублетов; нижний график — случай их резко различной интенсивности.
и приводит к зеемановскому расщеплению спектральных линий. Для иллюстрации этого рассмотрим простейший случай спектральной линии 2^1/2 f ?户 1/2, Дающий при Не 声 0 зеемановский дублет (дублет, поскольку наблюдение ведется вдоль направления вектора Н^. Схема уровней с указанием разрешенных переходов и поляризаций приведена на рис. 15.1, а. На рпс. 15.1, б показана дисперсия показателей преломления 汽+ и м_ и их разности 汽一 一 п+, т. е. согласно формуле (15.53), вращение 2хс/① для случая одинаковой и различной интенсивности обоих зеемановских дублетов.
в・ Эффект Коттона — Мутона (Фохта). В этом случае п2 = 1,八汽=Му = 0, hey = 1, hex = hey = 0, и поэтому после простых преобразований из (15.42) вместо (15.45) получим
(汴2a- а) р0м十刃(娱- 1) p0z = 0,
仇2仪一а')Роу = О,}(15.54〉
(м2a — а‘ 十 4л) Poz —承(娱 一 1)尸0不=0,,
где п = с/и・ Условие разрешимости системы (15.54) гласит:
(m2a - a')(汽2-1)(汽2a2—』a —俨娱十俨)=0.(15.55)
Множитель (氾2 — 1) в уравнении (15.55) не равен нулю (так как п 力 1), поэтому остаются две возможности для выполнения условия (15.55).
1) п2а — а' = 0. Тогда в силу (15.54)尸。宏=POz = 0, а 尸。^ = 0 и произвольно. Из (15.40) в этом случае ([Р0^е1 =0) имеем Еу 二 аРу, т. е. вектор Е параллелен вектору 比е・ И для показателя преломления обыкновенной волны получаем следующую формулу дисперсии:
а，
или по (15.41) при 卞=0 получаем обычный закон дисперсии (нет зависимости от Не)：
(15・56)
2)娱(々2—网―(act'—§2) = 0. Тогда в силу (15.54) имеем РОу = о и ₽^ох = =—iapQz- Поэтому согласно (15.40) получаем
£oy = £oz = ° и Eqx + &
Таким образом, мы снова видим, что в этом случае необыкновенного луча колебания электрического вектора происходят в направлении, перпендикулярном и к распространению волны, и к внешнему полю. Закон дисперсии для показателя 氾丄 прини- мает вид
“1 = a2—歌二a2—R2，
ИЛИ
легко видеть, что 1 吗_ =五(畸十汽三).(15.57)
Рис. 15.2. Дисперсия показателей преломления необыкновенной волны 九丄(①)и обыкновенной волны пц (<о) (сплошные кривые) и разности этих показателей nj_ (w) —пц (w) при эффекте Коттона ——Мутона (пунктирные кривые) вблизи зеемановского триплета. По оси абсцисс отложены частоты ы. Верхний график соответствует полю Н .меньшему, чем Hr2 на нижнем графике.ei А&(①)показывает полуширину зеемановского триплета по оси частот; п0 —— значение показателя преломления вдали от линии спектра.Рис. 15.2. Дисперсия показателей преломления необыкновенной волны 九丄(①)и обыкновенной волны пц (<о) (сплошные кривые) и разности этих показателей nj_ (w) —пц (w) при эффекте Коттона ——Мутона (пунктирные кривые) вблизи зеемановского триплета. По оси абсцисс отложены частоты ы. Верхний график соответствует полю Н .меньшему, чем Hr2 на нижнем графике.ei А&(①)показывает полуширину зеемановского триплета по оси частот; п0 —— значение показателя преломления вдали от линии спектра.Следовательно, (15.51) и (15.52) в совокупности с (15.57) дают нам закон дисперсии для второго, необыкновенного луча с показателем преломления 汽丄.Из этих формул можно в принципе определить постоянную Коттона — Мутона 4 KM из формулы (15.37)
Рис. 15.2. Дисперсия показателей преломления необыкновенной волны 九丄(①)и обыкновенной волны пц (<о) (сплошные кривые) и разности этих показателей nj_ (w) —пц (w) при эффекте Коттона ——Мутона (пунктирные кривые) вблизи зеемановского триплета. По оси абсцисс отложены частоты ы. Верхний график соответствует полю Н .меньшему, чем Hr2 на нижнем графике.ei А&(①)показывает полуширину зеемановского триплета по оси частот; п0 —— значение показателя преломления вдали от линии спектра.
Рис. 15.2. Дисперсия показателей преломления необыкновенной волны 九丄(①)и обыкновенной волны пц (<о) (сплошные кривые) и разности этих показателей nj_ (w) —пц (w) при эффекте Коттона ——Мутона (пунктирные кривые) вблизи зеемановского триплета. По оси абсцисс отложены частоты ы. Верхний график соответствует полю Н .меньшему, чем Hr2 на нижнем графике.ei А&(①)показывает полуширину зеемановского триплета по оси частот; п0 —— значение показателя преломления вдали от линии спектра.
Эффект Коттона — Мутона (Фохта), так же как эффект Фарадея, может находиться в связи с эффектом Зеемана. На рис. 15.2 показаны кривые дисперсии магнитного двойного лучепреломления в области зеемановского триплета (триплет— поскольку наблюдение ведется в перпендикулярном направлении к вектору 宜&) при двух значениях напряженности магнитного ПОЛЯ I Hei I и I Не2 I О I Hei I).
Основы квантовой теории магне- тооптических эффектов. Изложим кратко основные положения квантовой теории [Шютц (1936)] магнетооптпческих явлений в прозрачных средах (丫 = 0).
При квантовомеханическом расчете вращения плоскости поляризации следует
исходить из известной дисперсионной формулы Крамерса ——Гейзенберга [9] ), которая дает выражение для индуцированного электрического момента Р& атома (пли молекулы) в стационарном состоянии s как функцию электрического вектора падающей световой волны частоты w: Е «) = Regexp (£s£), а именно:
1 у Г Pq^s) (JE-Pn^s)) , P^^s) (E^PQ(sfs)) q
^s==Re— 2 [八(15.58)
где w0 (&'s)——собственные частоты атома (или молекулы), соответствующие переходам s' —> s;尸° (s's) — недиагональный матричный элемент электрического момента невозмущенного атома; Pf (s's) — соответствующая комплексно сопряженная величина; s — сокращенная запись совокупности четырех квантовых чисел njlm^}.
Выражение (15.58) остается справедливым и для атома (молекулы) во внешнем магнитном поле Не^ если величины wc (s's) и Р° (s's) заменить соответственно череа ①(s's) и P(s's), в которых учитывается изменение энергетических уровней атома под действием внешнего магнитного поля. Тогда для обеих поляризованных по кругу составляющих поля световой волны [см. (15.34)], распространяющейся вдоль оси z (параллельно внешнему полю), будет иметь место (15.58) для Ех — 1Еу (левое враще- щение)
и для Ех=——iEy (правое вращение)
Индексы плюс л минус у круглых скобок означают, что при суммировании по s' надо принимать во внимание соответственно только левые (т; = тп；十 1) или только правые (mj = mj — 1) составляющие поляризации. Для слагающих по оси у получим аналогичные формулы. '
Индуцированный момент в единице объема при статистическом равновесии будет выражаться формулой
尸(t) = NZT 2 旦⑺ ехр ( — 彰/АГ); Z=2 exp (—務s/W1),(15.61)
ss
где 務§ — энергия s-го состояния атома. Отсюда получаем показатели преломления 汽+ и п_. Общий закон дисперсии [см. (15.51) или (15.62)] имеет вид
汽 2—14я 7V Рх (г) 4я N Ру©
Для удельного фарадеевского вращения плоскости поляризации света находим в приближении м2十2;^3 и м=(汽+十汽一)/2
,2Nco2 р / 務|Px(s's)|2\/ |7\(s's)|2\ -1
1〃一_入)五—2 еХР \ -^Г)W2(S<S)_W2( W2(S<S)_W2•
(15.63)
Формула (15.63) является основой для теоретического исследования эффекта Фарадея. В области частот, далеких от зеемановских компонент линии поглощения, в (15.63) можно 方$,①(s's) и Р (s's) разложить в ряд по степеням Не и ограничиться линейными членами. Тогда, проведя суммирование по т^ и mj, получаем
% =宕』[a Ss) 回(s's) —叫2 + b(s，s) w弘s，s) —32卩・ +
+^广).画(s；'硝 J exp (一鲁)，(15.64)
где 方о$— не возмущенные полем энергии стационарных состояний атома, a a (s's) b(s's) и c(s's) —величины, зависящие от внутренней структуры электронной оболочки атома. Член с c(s's) дает в первом приближении температурную зависимость 乂 и носит название парамагнитного вращения, а первые два члена (15.64) практически не зависят от температуры, и их обычно называют диамагнитным вращением. Формула (15.64), так же как и (15.63), может быть конкретизирована для частных случаев. За подробностями отсылаем читателя к оригинальным работам (см., например, [11]). Квантовомеханическую теорию магнетооптических явлений (эффект Фарадея, Коттона — Мутона и т. п.) впервые рассмотрел Крониг [12] для двухатомных молекул. Розенфельд [13] решил эту задачу для атомов; Кроль [14] — для одноэлектронных систем в релятивистском приближении; Крамере [15] — для парамагнитных ионов; Сербер [16] — для произ вольных молекул и Карролл [17] уточнил расчет [12] для двухатомных. Позднее Гуссенс [18] развил более детальную квантовомеханическую теорию для молекул, Хуген [19] рассмотрел аномальную дисперсию в кислороде, Эбергардт и др. [20] исследовали магнитное вращение в С1 и Вг, Стефенс [21] и Стоун [22] рассчитали вращение для молекул тетраэдральной симметрии, Тобиас и Кауцманн [23] рассмотрели линейные молекулы и, наконец, Любченко [241 исследовал эффект Фарадея на примесных центрах в кристаллах. Случай многоатомных молекул низкой симметрии рассмотрел Грен- вег с [25].
Во всех перечисленных работах рассматривается, как правило, случай диамагнитных веществ. Парамагнитное вращение в рамках квазиклассической теории было рассмотрено Дорфманом [26] и Френкелем [27].
Квантовомеханическая теория эффекта Фарадея в парамагнитных конденсированных системах оказывается более сложной, чем для веществ с диамагнитными атомами или молекулами. Теория эффекта Фарадея для ферромагнетиков будет обсуждаться ниже (см. гл. 25). '
Еще Гольдгаммер в 1899 г. [28]. а позднее Дорфман в 1923 г. [26] подвергли критике классическую теорию магнетооптических явлений. В работах Ковадло [29] и Серовой [30] была разработана теория эффекта Фарадея для квантового электронного газа с учетом релятивистских поправок. В работах Шена [31], Шена и Блумбергена [32] дается теоретическое обобщение формул фарадеевского вращения для парамагнитных редкоземельных ионов и описываются опыты (на образцах CaF2 с примесями ионов Nd3+, Е】з+, Gd3+, Eu2+ и Еи+3), которые показали интересные особенности этого явления, связанные с особой электронной структурой редкоземельных ионов.
В связи с парамагнитным вращением заметим, что за последнее время магнето- оптические явления в области микроволн используются как весьма полезный источник информации при изучении парамагнитного резонанса. Не имея возможности остановиться на описании этих интересных исследований, укажем лишь на основные работы. Открытие эффекта вращения на радиоволнах принадлежит Вилсону и Хулу [33], а первые теоретические объяснения дали Кастлер [34] и Опеховский [35]. Экспериментально эти явления изучались в работах Непримерова [36], Курушина [37], Итпмутди- нова, Непримерова, Шекуна [38], теоретически в работах Цырульнпковой, Шапошникова [39] и Шекуна [40]. В работе Скроцкого, Зырянова и Изюмовой [41] развита изящная макроскопическая трактовка влияния ЭПР на эффект Фарадея в оптической области (обусловленного спин-орбитальным взаимодействием), допускающая простое сравнение с опытными данными. В работе Ройцина [42] теоретически исследованы микроволновые аналоги эффектов Фарадея и Коттона — Мутона в полупроводниках с учетом влияния электрической компоненты электромагнитной волны (в предположении, что парамагнитный центр обладает не только магнитным, но и электрическим дипольным моментом). Укажем также на более поздние работы из этой области [43, 44].
Магнетооптические свойства полупроводников
За последнее время большое внимание уделяется теоретическому н опытному изучению магнетооптических явлений в кристаллах полупроводников. Измерение этих эффектов может дать очень ценную информацию об электронной системе полупроводников, в частности об эффективных массах электронов и дырок. Вместе с тем возможные переходы электронов под влиянием электромагнитного поля в полупроводниках между квантовыми уровнями Ландау, возникающими во внешних магнитных полях, приводят к большой совокупности магнетооптических явлений, специфичных для полупроводникового электронного спектра. Некоторые из них наблюдаются при поглощении электромагнитного поля в полупроводнике, и их теперь называют магнетопоглощением (хотя эти явления могут проявляться и как свойства дисперсии《света» в среде в зависимости от частоты внешнего поля). Первым назовем циклотронный резонанс (ЦР), уже рассмотренный в гл. 13. Далее следует указать эффект магнетооптических осцилляций в области края собственного поглощения полупроводников, открытый в 1957 г. одновременно Гроссом, Захарченей и Павинским [45], Верстейном и Пикусом [46, 47], а также Звердлингом и Лаксом [48]. Этот эффект обусловлен прямыми переходами электронов с уровней Ландау валентной полосы на такие же уровни в полосе проводимости. После теоретических работ Рот и др. [49], Гуревича и Урицкого [50] и Урицкого [51] этот эффект используется как один из лучших способов исследования зонной структуры полупроводников (см., например, работу Аронова [52], в которой теория этого эффекта обобщается на случай скрещенных электрического и магнитного полей, а также работы [53—70]).
Упомянем еще магнитное поглощение при косвенных переходах электронов (с участием излученного или поглощенного фонона, необходимого для сохранения квазиимпульса при переходе), а также магнитное поглощение при запрещенных переходах, которые возникают при расщеплении валентных полос, благодаря спин-орбитальному взаимодействию, в Ge, GaAs и др. (см. [71. 72]). Большой интерес представляет эффект, Зеемана на примесных уровнях при переходах электронов или дырок на возбужденные уровни [75]. Помимо этого, переходы их с основного уровня на уровни Ландау полосы проводимости и валентной приводят к магнетооитическим осцилляциям на примесях (см. [5]). Не менее интересным является эффект Зеемана на экситонах, впервые исследованный экспериментально Гроссом и Захарченей [73] и теоретически — в работе Самойлович и др. [74] (см. также [5, 76, 77]). Большое внимание теперь уделяется эффектам Фарадея и Коттона — Мутона (Фохта) в полупроводниках (см. [5], а также Мосс [6]). В работах Митчелла [78], Клингера и Чабана [79] было впервые указано на возможность получения с помощью эффекта Фарадея ценной информации о зонной структуре полупроводников. Первые опыты по измерению эффекта Фарадея при микроволновых частотах в Ge провели Рау и Каспари [80] и в инфракрасной области — Ким- мел [81] и Смит и др. [82]. Подробную библиографию работ до 1962 г. можно найти в обзорах Лакса и Звердлинга [5], Мосса [6, 7]. Теорию явления впервые развили Стефенс и Лидьярд [83].
Рис. 15.3. Удельное фарадеевское вращение х в полупроводниковом соединении GaAs как функция квадрата длины волны света X2. Напряженность внешнего магнитного поля Не = =8100 а； толщина образца вдоль луча I = =0,795 мм [7].Рис. 15.3. Удельное фарадеевское вращение х в полупроводниковом соединении GaAs как функция квадрата длины волны света X2. Напряженность внешнего магнитного поля Не = =8100 а； толщина образца вдоль луча I = =0,795 мм [7].проницаемости при концентрации носителейпроницаемости при концентрации носителей(% 土一泳 ±)2 = €* 十 А^(% 土一泳 ±)2 = €* 十 А^=8* -4;—=8* -4;—11(—① ± (Он ± гт-1)，(—① ± (Он ± гт-1)，(15.67)(15.67)
Рис. 15.3. Удельное фарадеевское вращение х в полупроводниковом соединении GaAs как функция квадрата длины волны света X2. Напряженность внешнего магнитного поля Не = =8100 а； толщина образца вдоль луча I = =0,795 мм [7].
Рис. 15.3. Удельное фарадеевское вращение х в полупроводниковом соединении GaAs как функция квадрата длины волны света X2. Напряженность внешнего магнитного поля Не = =8100 а； толщина образца вдоль луча I = =0,795 мм [7].
проницаемости при концентрации носителей
проницаемости при концентрации носителей
(% 土一泳 ±)2 = €* 十 А^
(% 土一泳 ±)2 = €* 十 А^
=8* -4;—
=8* -4;—
1
1
(—① ± (Он ± гт-1)，
(—① ± (Он ± гт-1)，
(15.67)
(15.67)
Рассмотрим в качестве примера квазиклассическую теорию эффектов Фарадея и Коттона — Мутона в полупроводниках. По аналогии с (15.38) рассмотрим уравнение движения электрона проводимости с эффективной массой т* под влиянием внешнего
переменного Eexp (iwi) электрического поля частоты ① в присутствии внешнего постоянного магнитного поля Не вдоль оси Oz:
.1 ' ieHe еЕ , г .,.и нuи =exp (+ "①才),
(15.65)
где u=x-\-iy ——комплексная амплитуда отклонения носителей тока в плоскости /у, at — их время релаксации. Решение (15.65) имеет вид
7：~exp (士 WW)=
=u0 exp (士 iwi). (15.66)
Отсюда получаем хорошо известную формулу для комплексной диэлектрической тока N;
где 汽土 一 показатель преломления, /с土 一 коэффициент поглощения (индексы плюс и минус соответствуют двум противоположным круговым поляризациям света),①我= =еНе/т*с — циклотронная частота носителя тока и е* — диэлектрическая проница-где 汽土 一 показатель преломления, /с土 一 коэффициент поглощения (индексы плюс и минус соответствуют двум противоположным круговым поляризациям света),①我= =еНе/т*с — циклотронная частота носителя тока и е* — диэлектрическая проница-показательпоказатель外出产外出产Рис. 15.4. Эффэкт Коттона — Мутона в тголупроводниковом соединении inSb. Экспериментальные точки (кружки) и проведенные по ним прямые 2 H 2 дают сдвиг фаз Д как функцию квадрата напряженности внешнего магнитного поля Н2 в ки- лозретедах2. 1 — длина волны 入— =18,2 мкм, концентрация носителей тока ^ — 2-Ю17 сл1-3, эффективная масса носителя m*/m = 0,023; 2 — X — 22,6 мкм, ^ — 4 ■ 101в см~з, m*/m — 0,019-Рис. 15.4. Эффэкт Коттона — Мутона в тголупроводниковом соединении inSb. Экспериментальные точки (кружки) и проведенные по ним прямые 2 H 2 дают сдвиг фаз Д как функцию квадрата напряженности внешнего магнитного поля Н2 в ки- лозретедах2. 1 — длина волны 入— =18,2 мкм, концентрация носителей тока ^ — 2-Ю17 сл1-3, эффективная масса носителя m*/m = 0,023; 2 — X — 22,6 мкм, ^ — 4 ■ 101в см~з, m*/m — 0,019-
где 汽土 一 показатель преломления, /с土 一 коэффициент поглощения (индексы плюс и минус соответствуют двум противоположным круговым поляризациям света),①我= =еНе/т*с — циклотронная частота носителя тока и е* — диэлектрическая проница-
где 汽土 一 показатель преломления, /с土 一 коэффициент поглощения (индексы плюс и минус соответствуют двум противоположным круговым поляризациям света),①我= =еНе/т*с — циклотронная частота носителя тока и е* — диэлектрическая проница-
показатель
показатель
外出产
外出产
Рис. 15.4. Эффэкт Коттона — Мутона в тголупроводниковом соединении inSb. Экспериментальные точки (кружки) и проведенные по ним прямые 2 H 2 дают сдвиг фаз Д как функцию квадрата напряженности внешнего магнитного поля Н2 в ки- лозретедах2. 1 — длина волны 入— =18,2 мкм, концентрация носителей тока ^ — 2-Ю17 сл1-3, эффективная масса носителя m*/m = 0,023; 2 — X — 22,6 мкм, ^ — 4 ■ 101в см~з, m*/m — 0,019-
Рис. 15.4. Эффэкт Коттона — Мутона в тголупроводниковом соединении inSb. Экспериментальные точки (кружки) и проведенные по ним прямые 2 H 2 дают сдвиг фаз Д как функцию квадрата напряженности внешнего магнитного поля Н2 в ки- лозретедах2. 1 — длина волны 入— =18,2 мкм, концентрация носителей тока ^ — 2-Ю17 сл1-3, эффективная масса носителя m*/m = 0,023; 2 — X — 22,6 мкм, ^ — 4 ■ 101в см~з, m*/m — 0,019-
емость. Разложив (15.67) на вещественную и мнимую части, находим
2 _,2 _®±ФН)
汽士 土 — £ пг*со [® 士 о)н)2 士丁2]， (15.68а)
汽± ±一而王丽产王'
(15.686)
Из (15.686) видно, что возможно резонансное поглощение (при со =①我)для одной из циркулярно поляризованных компонент света, какой именно — это зависит от направления вращения, знака (ориентации) Не и от знака заряда носителя тока е. Из формул (15.68) можно в принципе получить все магне- тооптические эффекты в квазиклассическом приближении (см. обзор Мосса [7]). Мы остановимся только на эффектах Фарадея и Коттона— Мутона, которые в основном определяют дисперсию, связанную с циклотронным резонансным поглощением. По общей формуле (15.35) получаем, в силу (15.68а), для фарадеевского вращения в предельном случае слабого поглощения (сот》1,依《 紋)п слабых магнитных полей (①曜《со)
Ne2 а)н
—m* 2ncw2 —
(15.69)
Из (15.69) видно, что в этом приближении 尤 пропорционально Не и не зависит от т, т. е. от механизма рассеяния носителей тока в полупроводнике. На рис. 15.3 для GaAs приведена зависимость 尤(V) при Не = 8100 з, которая имеет строго линейный ход в интервале длин волн от 10 до 20 мкм (см. Мосс и Уалтон [84]). Из этой прямой находим, что для GaAs m* = 0,074 m0.
Для связанных электронов пользуемся формулой (15.53) (см. также [7]).
Для сдвига фаз в эффекте Коттона — Мутона, согласно (15.37) и (15.68а), находим
〃丄)(®7。)
Из (15.70) и (15.69) легко находим, что 尤 сон
Формула (15.71) дает еще один способ определения циклотронной частоты. На рис. 15.4 приведены для InSb зависимости А от Я2 при разных ^, Л" и т* по данным Палика и др. [85], которые имеют вид прямых в соответствии с (15.70). Значения эффективных масс т*, полученные из измерений обоих эффектов, находятся в хорошем согласии друг с другом.
При переходе к квантовой теории необходимо учитывать квантование уровней энергии в магнитном поле по Ландау. Поэтому континуум уровней полосы проводимости (при квадратичном законе дисперсии при Не=0) расщепляется на подполосы с полной энергией
%=("十2)亢時)+*，(15.72) для валентной полосы имеем
Рис. 15.5. Схема расположения уровней Ландау (сплошные горизонтальные линии, с указанием значения квантового числа п = 0, 1, 2, 3 слева от каждой линии), а также их зеемановские расщепления в том же магнитном поле. Справа от каждого уровня Ландау пунктирными горизонтальными линиями показана пара зеемановских линий с магнитными квантовыми числами ms = ± 1/2 в полосе проводимости (верхняя часть графика) и в валентной полосе (нижняя часть графика). Жирные параболы дают закон дисперсии £ (丸)：。——для электронов в полосе проводимости, б—для легких дырок и в — для.тяжелых дырок в валентной полосе.Рис. 15.5. Схема расположения уровней Ландау (сплошные горизонтальные линии, с указанием значения квантового числа п = 0, 1, 2, 3 слева от каждой линии), а также их зеемановские расщепления в том же магнитном поле. Справа от каждого уровня Ландау пунктирными горизонтальными линиями показана пара зеемановских линий с магнитными квантовыми числами ms = ± 1/2 в полосе проводимости (верхняя часть графика) и в валентной полосе (нижняя часть графика). Жирные параболы дают закон дисперсии £ (丸)：。——для электронов в полосе проводимости, б—для легких дырок и в — для.тяжелых дырок в валентной полосе.% =也_("+2)九3能一* , (15.73) где ①肾=eHJт枣、 ①普)=еЯс/т?с и 电—пш- рипа энергетической щелп.
Рис. 15.5. Схема расположения уровней Ландау (сплошные горизонтальные линии, с указанием значения квантового числа п = 0, 1, 2, 3 слева от каждой линии), а также их зеемановские расщепления в том же магнитном поле. Справа от каждого уровня Ландау пунктирными горизонтальными линиями показана пара зеемановских линий с магнитными квантовыми числами ms = ± 1/2 в полосе проводимости (верхняя часть графика) и в валентной полосе (нижняя часть графика). Жирные параболы дают закон дисперсии £ (丸)：。——для электронов в полосе проводимости, б—для легких дырок и в — для.тяжелых дырок в валентной полосе.
Рис. 15.5. Схема расположения уровней Ландау (сплошные горизонтальные линии, с указанием значения квантового числа п = 0, 1, 2, 3 слева от каждой линии), а также их зеемановские расщепления в том же магнитном поле. Справа от каждого уровня Ландау пунктирными горизонтальными линиями показана пара зеемановских линий с магнитными квантовыми числами ms = ± 1/2 в полосе проводимости (верхняя часть графика) и в валентной полосе (нижняя часть графика). Жирные параболы дают закон дисперсии £ (丸)：。——для электронов в полосе проводимости, б—для легких дырок и в — для.тяжелых дырок в валентной полосе.
На рис. 15.5 представлена схема магнитных уровней для валентной полосы и полосы проводимости в случае, когда имеются «тяжелые» и «легкие» дырки [7]. Приведенный результат справедлив для простых энергетических полос для квадратичного закона дисперсии и когда экстремум находится при fc —0. Здесь также не учитывается эффект электронного спина. Квантовые «поправки» к дисперсионным магнетооптическим эффектам имеют существенное значение, когда закон дисперсии отклоняется от квадратичного (см. работы [86, 87]), а также при учете осцилляций в об
ласти сильных магнитных полей. Донован и Вебстер [88] развили феноменологическую теорию эффекта Фарадея для анизотропных полупроводников (см. также [89]). Рот [90] дала более строгую квантовую теорию эффекта Фарадея для кристаллов, используя представления о переходах между валентной полосой и полосой проводимости, а также переходах внутри полос. Она применила их к полупроводникам типа Ge и соединений АщВу- Строгую квантовую трактовку эффектов Фарадея и Коттона — Мутона для межполосных переходов дали Халперн и др. [91]. Там же имеется достаточно подробная библиография других исследований (см. также [92—94]). Теорию эффекта Фарадея в полупро- водииках с электронами с анизотропной эффективной массой в сильном (квантующем) магнитном поле развили Гуревич и Ипатова [95]. В работе Ипатовой и Казаринова [96] рассмотрена теория эффекта Фарадея вблизи линий поглощения экситонов большого радиуса.
Средн магнетооптических эффектов в полупроводниках наблюдаются также ^агнетоплазменные эффекты (см. гл. 13). Спитцер и ①зн [97] наблюдали в большом числе полупроводников отражение инфракрасного света при частотах выше и ниже плазменной частоты свободных носителей тока. Эти измерения позволили им определить эффективную массу таких носителей. (Подробнее см. обзор Лакса и Звердлинга [5].) Вторым магнетоплазменным эффектом является вращательная дисперсия при отражении (аналог магнетооптического эффекта Керра в ферромагнетиках, см. гл. 25), по этому вопросу см. работы [98—103].
Следует упомянуть еще магнетооптический аналог эффекта де Гааза — ван Аль- фена. Этот эффект связан с квантованием уровней в сильно вырожденных полупроводниках при низких температурах (см. гл. 11 и [52, 104]).
Как указал Энгелер [105], результаты для Bi, полученные Ботлем и Роджерсом {106], вначале ошибочно считали экспериментальным доказательством существования таких осцилляций типа де Гааза — ван Альфена. Фактически они наблюдали осцилляции магнетопоглощеипя, обусловленные прямыми переходами между уровнями Ландау различных полос. Этот эффект в Bi исследовали также Броун и др. [107].
Для разработки количественной квантовой теории магнетооптических эффектов (включая и ЦР) начали применяться также квантовостатистические методы, в частности метод функций Грина (см., например, работы [108, 72]).
Магнетооптические свойства собственных и примесных полупроводников исследовались также в работах [109—129]. Рассматривались также специальные вопросы магнетооптических эффектов на горячих электронах [130, 131], при учете многофононных процессов переходов [132, 133], а. также магнетооптические явления в световых пучках высокой интенсивности, полученные с помощью лазеров [134, 135]. Среди неметаллических веществ, на которых проводились магнетооптические исследованият появились также и полимеры (см. [136]).
Магнето оптические свойства металлов
Более сложная ситуация наблюдается при попытках исследования магнетоопти- ческих явлений в металлах. Это прежде всего связано с тем, что металлы непрозрачны в видимом свете, за исключением тонких пленок. Поэтому методически легче измерять? например, эффект Фарадея не на просвет, а в отраженном свете. Это и есть упомянутый выше аналог магнетооптического эффекта Керра в ферромагнетиках *). Если наблюдать вращение плоскости поляризации и эллиптичность при отражении света от поверхности неферромагнитного металла при магнитном поле Н^, перпендикулярном к поверхности, то получаем полярный отражательный эффект Фарадея. Впервые этот эффект обнаружил Майорана [137] в Al, Ag, Au, Pt и Bi. Затем эти измерения были с большой точностью проведены в работах [138—140]. Несмотря на малость эффекта, эти измерения очень важны, так как они могут дать полезную информацию о свойствах поверхности Ферми металлов. За подробностями теории и эксперимента отсылаем читателя к работе Штерна и др. [141], в которой дается общая феноменологическая и полумикроскопическая теория эффекта и приведены результаты измерений для AI и Ag, а также к более поздним работам [142—149].
Геликоны
Твердые кристаллические тела — металлы и полупроводники — в известном смысле похожи на газообразную заряженную плазму, состоящую из свободных отрицательно заряженных электронов и положительно заряженных тяжелых ионов. Кристалл, как и газовая плазма, представляет собой квазинейтральную смесь носителей положительного и отрицательного заряда. Однако имеется существенное различие между этими физическими системами. В кристалле металла или полупроводника положительные ионы сильно связаны внутрикристаллическими силами и могут принимать участие лишь в малых звуковых (и в некоторых случаях в оптических) колебаниях около своих положении равновесия — узлов решетки. Подвижность легких электронов гораздо больше, но и на них оказывает сильное влияние поле кристалла. Это, естественно, делает задачу плазмы в твердом теле более сложной, нежели в газообразной плазме. Однако, несмотря на это различие, специфические для плазменного состояния типы электромагнитных колебаний могут возбуждаться и в электронной системе кристаллов. В свою очередь эти колебания могут быть использованы как источники информации о некоторых чертах структуры электронного энергетического спектра металлов и полупроводников. Следует напомнить еще об одном различии плазмы твердого тела и газообразной. Дело в том, что в газовой плазме обычно имеют дело с концентрацией носителей заряда 孔 порядка или даже менее 1014 ел-3. Поэтому к этим носителям можно применять классическую статистику Больцмана (слабое вырождение). В полупроводниках и в особенности в металлах эти концентрации гораздо выше — в пределах от 1017 до 1022 см~3. Поэтому здесь необходимо пользоваться статистикой Ферми — Дирака.
Нас здесь будут интересовать только те свойства электромагнитных волн, распространяющихся со слабым затуханием в заряженной плазме твердого тела, которые не зависят сколько-нибудь существенно от деталей структуры электронного энергетического спектра в нем. Плазму в кристалле можно определить заданием четырех параметров: концентраций электронов мэ и дырок пд, их эффективных масс т* и т^, времени релаксации t и, наконец, функции распределения по импульсам. Концентрации п и массы т* входят в формулы, описывающие распространение электромагнитных колебаний в плазме через плазменную частоту соплзм = (^пе2/^*)1/2 и циклотроннук> частоту сон = еНе/т^с. Предполагается, что кристаллы достаточно однородные по составу и структуре, поэтому выполняется условие слабого затухания волн ①我工》1.
Волны в плазме твердого тела можно условно разбить на два типа: 1) волны, похожие, на обычные поперечные электромагнитные волны, фазовая скорость которых в основном определяется скоростью света в вакууме, и 2) специфически плазменные волны (близкие к продольным звуковым), фазовая скорость которых определяется
二 *) В ферромагнитных металлах этот эффект, обусловленный спин-opбитальным взаимодействием, оказывается порядка 1°. В неферромагнитных металлах в магнит - ных полях порядка 103 а он составляет всего 0,001°.
людению геликонов. А ——цилиндрический образец чистого Na (длина 30 мм, диаметр 4 мм)\ BiBi — соленоид. (300 витков) первичной цепи С〔； В2В2 ——соленоид (1200 витков) вторичной цепи С2; D ——источник тока в цепи С,; Е ——устройство для размыкания и замыкания цепи Ci； Не —— внешнее магнитное поле； F —— осциллограф.Температура опыта 4,2° К. (Из работы [156].)людению геликонов. А ——цилиндрический образец чистого Na (длина 30 мм, диаметр 4 мм)\ BiBi — соленоид. (300 витков) первичной цепи С〔； В2В2 ——соленоид (1200 витков) вторичной цепи С2; D ——источник тока в цепи С,; Е ——устройство для размыкания и замыкания цепи Ci； Не —— внешнее магнитное поле； F —— осциллограф.Температура опыта 4,2° К. (Из работы [156].)①(±)①(±) k4He k4He口士口士tзhtзh
людению геликонов. А ——цилиндрический образец чистого Na (длина 30 мм, диаметр 4 мм)\ BiBi — соленоид. (300 витков) первичной цепи С〔； В2В2 ——соленоид (1200 витков) вторичной цепи С2; D ——источник тока в цепи С,; Е ——устройство для размыкания и замыкания цепи Ci； Не —— внешнее магнитное поле； F —— осциллограф.
Температура опыта 4,2° К. (Из работы [156].)
людению геликонов. А ——цилиндрический образец чистого Na (длина 30 мм, диаметр 4 мм)\ BiBi — соленоид. (300 витков) первичной цепи С〔； В2В2 ——соленоид (1200 витков) вторичной цепи С2; D ——источник тока в цепи С,; Е ——устройство для размыкания и замыкания цепи Ci； Не —— внешнее магнитное поле； F —— осциллограф.
Температура опыта 4,2° К. (Из работы [156].)
①(±)
①(±)
k4He
k4He
口士
口士
tзh
tзh
скоростью Ферми Рф [а в квазиклассическом случае средней тепловой скоростью1 ь (3ZcT/m)i/2]・
Здесь мы остановимся в виде примера на одном низкочастотном плазменном колебании (со《 ①н и ①《(оплзм), носящем название геликонов. Этот случай интересен хотя бы потому, что для него уже имеется много экспериментальных результатов и он прост для понимания физического механизма возбуждений плазменных колебаний.
Относительная простота этого случая заключается в том, что в случае замкнутых циклотронных орбит электронов (в отсутствие электромагнитного облучения кристалла) при выполнении условия(о《 движение носителей заряда относительно силовых линий магнитного поля будет адиабатическим, т. е. заряды будут следовать за силовыми линиями («прилипать» к ним). Поэтому амплитуды колебаний, индуцируемые электрическим полем Е электромагнитной волны в направлении, перпендикулярном к плоскости, в которой лежат век-
торы Е и Не> т. е. в холловском направлении (см. гл. 14), будут одинаковыми для всех носителей заряда (независимо от их эффективной массы). Если плазма скомпенсированная ,т. е.汽з = Мд, то электронный ток в холловском направлении будет исчезающе мал
(практически равен нулю), ибо ток электронов будет компенсироваться током дырок. Однако при этом в холловском направлении будет осуществляться движение массы. Кинетическая энергия этого движения определяет механизм магнетогидродинамиче- ских волн, или волн Алъфвена (последний открыл эти волны при изучении солнечных пятен, см. [150]).
Если плазма не скомпенсирована, т. е. если 汽？关 汽口, то компенсация холловских токов электронов и дырок нарушается и природа колебаний будет определяться этими токами. Эти колебания для металлов и полупроводников были впервые предсказаны Константиновым и Перелем [151] и независимо Эгрэном [152]. В этих работах указывалось, что при наличии сильного постоянного магнитного поля Не1 направленного- нормально к поверхности металла, последний становится «прозрачным» для радиоволн и при этом могут возникать возбуждения со слабым затуханием в виде плоских циркулярно поляризованных электромагнитных воли с волиовым вектором, параллельным полю Не. Эти возбуждения были названы агеликонами^ (helicon) ). Как уже отмечалось, условия для возникновения геликонов сводятся к требованиям, чтобы 1) их частота ① была меньше циклотронной частоты з^ = еН』тс、т. е. з《 ①氐，и 2)①氐七》1, где т — время релаксации свободных носителей тока в кристалле металла или полупроводника [72|.
Константинов и Перель [151] нашли, что спектр геликонов имеет вид
где индексы минус и плюс соответствуют правому и левому вращению в циркулярно- поляризованной (спиральной) геликонной волне. Эффективная диэлектрическая проницаемость для волны с поляризацией «плюс» отрицательна. Поэтому эта волна затухает резко (на расстоянии, равном длине волны). Для волны с поляризацией «минус» диэлектрическая проницаемость положительна, и эта волна затухает слабо. Относительное затухание этой геликонной волны равно (七①氐)-】，и оно уменьшается с ростом магнитного поля Не.
Экспериментально геликоны уже наблюдались в металлах (в Na [156], в In [157], в Си, Ag, Au, Pb, Zn, Sn, Cd и Hg [158]) и в полупроводниках [159].
Исследовалось также взаимодействие геликонов с фононами [160, 166]).
Приведем в качестве иллюстрации схему установки и результаты наблюдений геликонов в Na по работе Боуэрса и др. [156]. Схема установок показана на рис. 15.6: цилиндрический образец А из чистого монокристалла Na (длиной 30 мм и диаметром 4 лил, с отношением удельных электросопротивлений р300оК/р4 2оК «; 7500) помещался внутри двух коаксиальных соленоидов 区^ и 区2, включенных соответственно в первичную С, и вторичную С? цепи. При замыкании и размыкании первичной цепи в образце возбуждались вихревые токи, присутствие которых обнаруживалось во вторичной цепи. К образцу перпендикулярно к его оси могло прикладываться внешнее постоян-
ное магнитное поле Не, значительно большее переменного магнитного поля (не превышающего нескольких сот эрстед), создаваемого первичной обмоткой. На рис. 15.7
Время t, ми川шс臥Время t, ми川шс臥рис. 15.7. Осциллограммы, показывающие зависимость напряжения во вторичной обмотке (см. В2В2 на рис. 15.6) при различных значениях внешнего магнитного поля Не・ а. Не=()6 Не = §606 э. 8. Не — 7200 э. г. Не = —10 800). По оси абсцисс отложено время в миллисекундах, а по оси ординат — напряжение в милливольтах. Свойства образца: Рз(〃)。к/°4,2°К 弋 弋 7500, 3^七弋 40 ПРИ Не = 10’ 000 э.рис. 15.7. Осциллограммы, показывающие зависимость напряжения во вторичной обмотке (см. В2В2 на рис. 15.6) при различных значениях внешнего магнитного поля Не・ а. Не=()6 Не = §606 э. 8. Не — 7200 э. г. Не = —10 800). По оси абсцисс отложено время в миллисекундах, а по оси ординат — напряжение в милливольтах. Свойства образца: Рз(〃)。к/°4,2°К 弋 弋 7500, 3^七弋 40 ПРИ Не = 10’ 000 э..『nW 7Z^ 骂⑥.『nW 7Z^ 骂⑥показаны осциллограммы напряжения во вторичной обмотке как функции времени для различных значений поля Не (Яе = 3600, 7 200 и 10 800 э). В нулевом поле (Яе = 0, самая верхняя осциллограмма на рис. 15.7) происходит нормальное быстрое затухание вихревых токов. На остальных трех осциллограммах (при Не 声 0) наблюдались гораздо более медленно затухающие колебания с частотами, пропорциональными полю Не (например, в поле Не = IO' з частота равна 32 е办 Эти колебания и представляют собой результат распространения геликонов в электронной плазме исследуемого металлического образца.
Время t, ми川шс臥
Время t, ми川шс臥
рис. 15.7. Осциллограммы, показывающие зависимость напряжения во вторичной обмотке (см. В2В2 на рис. 15.6) при различных значениях внешнего магнитного поля Не・ а. Не=()6 Не = §606 э. 8. Не — 7200 э. г. Не = —10 800). По оси абсцисс отложено время в миллисекундах, а по оси ординат — напряжение в милливольтах. Свойства образца: Рз(〃)。к/°4,2°К 弋 弋 7500, 3^七弋 40 ПРИ Не = 10’ 000 э.
рис. 15.7. Осциллограммы, показывающие зависимость напряжения во вторичной обмотке (см. В2В2 на рис. 15.6) при различных значениях внешнего магнитного поля Не・ а. Не=()6 Не = §606 э. 8. Не — 7200 э. г. Не = —10 800). По оси абсцисс отложено время в миллисекундах, а по оси ординат — напряжение в милливольтах. Свойства образца: Рз(〃)。к/°4,2°К 弋 弋 7500, 3^七弋 40 ПРИ Не = 10’ 000 э.
.『nW 7Z^ 骂⑥
.『nW 7Z^ 骂⑥
Более подробные сведения о геликонах можно найти в обзорах [167—171, 253], а также в оригинальных статьях [172—198].
Фотомагнитный эффект(эффект Кикоина — Носкова)
Рассмотрим кратко еще один магнетооптиче- ский эффект, а именно фотомагнитный эффект ) (эффект Кикоина — Носкова) в полупроводниках (см. Кикоин, Носков [199]). Это явление заключается в возникновении э. д. с. в освещен-
ном однородном полупроводнике, помещенном в магнитное поле. На рис. 15.8 показана принципиальная схема опыта. На плоскость АА'ВВ1 прямоугольного кристалла полупроводника нормально падает свет. Фотон 无① пучка поглощаемого света создает в. полупроводнике вблизи этой поверхности пару электрон—дырка 停-> и е(+)). Таким образом, вдоль направления распространения света возникает градиент концентрации неравновесных носителей тока (электронов и дырок), а следовательно, и их диффузия внутрь об
Рис. 15.8. Принципиальная схема опыта по обнаружению фото- магнитного эффекта Кикоина— Носкова, Пучок монохроматиче- ского света частоты w падает нормально на поверхность полупроводникового образца A' ABBf Фотон hw рождает пару электрон (е(~>) — дырка (е(+)). Внешнее магнитное поле Н, приложенное нормально к поверхности образца CABD, «заворачивает» электроны кповерхности А'АС,а дырки —к B'Bd, что и создает электрическое поле, параллельное ребру АВ.Рис. 15.8. Принципиальная схема опыта по обнаружению фото- магнитного эффекта Кикоина— Носкова, Пучок монохроматиче- ского света частоты w падает нормально на поверхность полупроводникового образца A' ABBf Фотон hw рождает пару электрон (е(~>) — дырка (е(+)). Внешнее магнитное поле Н, приложенное нормально к поверхности образца CABD, «заворачивает» электроны кповерхности А'АС,а дырки —к B'Bd, что и создает электрическое поле, параллельное ребру АВ.Рис. 15.9. К объяснению квадратичного фотомагнитного эффекта. Пучок света падает на грань образца, параллельную координатной плоскости yz, внешнее постоянное магнитное поле Н лежит в плоскости з, составляя с осью Z угол ср. Компонента поля О А, равная Н cos ф, создает вдоль оси у э,д.с, и ток обычного (линейного) фотомагнитного эффекта. На этот ток будет действовать слагающая поля по оси ае, равная Н sin 屮，которая и создает вдоль оси Z квадратичный фотомагнитный эффект.Рис. 15.9. К объяснению квадратичного фотомагнитного эффекта. Пучок света падает на грань образца, параллельную координатной плоскости yz, внешнее постоянное магнитное поле Н лежит в плоскости з, составляя с осью Z угол ср. Компонента поля О А, равная Н cos ф, создает вдоль оси у э,д.с, и ток обычного (линейного) фотомагнитного эффекта. На этот ток будет действовать слагающая поля по оси ае, равная Н sin 屮，которая и создает вдоль оси Z квадратичный фотомагнитный эффект.разца. Магнитное поле Не, перпендикулярное к плоскости CABD (т. е. направлению света 1рдиффузионного тока), будет, благодаря силе Лоренца, отклонять электроны к
Рис. 15.8. Принципиальная схема опыта по обнаружению фото- магнитного эффекта Кикоина— Носкова, Пучок монохроматиче- ского света частоты w падает нормально на поверхность полупроводникового образца A' ABBf Фотон hw рождает пару электрон (е(~>) — дырка (е(+)). Внешнее магнитное поле Н, приложенное нормально к поверхности образца CABD, «заворачивает» электроны кповерхности А'АС,а дырки —к B'Bd, что и создает электрическое поле, параллельное ребру АВ.
Рис. 15.8. Принципиальная схема опыта по обнаружению фото- магнитного эффекта Кикоина— Носкова, Пучок монохроматиче- ского света частоты w падает нормально на поверхность полупроводникового образца A' ABBf Фотон hw рождает пару электрон (е(~>) — дырка (е(+)). Внешнее магнитное поле Н, приложенное нормально к поверхности образца CABD, «заворачивает» электроны кповерхности А'АС,а дырки —к B'Bd, что и создает электрическое поле, параллельное ребру АВ.
Рис. 15.9. К объяснению квадратичного фотомагнитного эффекта. Пучок света падает на грань образца, параллельную координатной плоскости yz, внешнее постоянное магнитное поле Н лежит в плоскости з, составляя с осью Z угол ср. Компонента поля О А, равная Н cos ф, создает вдоль оси у э,д.с, и ток обычного (линейного) фотомагнитного эффекта. На этот ток будет действовать слагающая поля по оси ае, равная Н sin 屮，которая и создает вдоль оси Z квадратичный фотомагнитный эффект.
Рис. 15.9. К объяснению квадратичного фотомагнитного эффекта. Пучок света падает на грань образца, параллельную координатной плоскости yz, внешнее постоянное магнитное поле Н лежит в плоскости з, составляя с осью Z угол ср. Компонента поля О А, равная Н cos ф, создает вдоль оси у э,д.с, и ток обычного (линейного) фотомагнитного эффекта. На этот ток будет действовать слагающая поля по оси ае, равная Н sin 屮，которая и создает вдоль оси Z квадратичный фотомагнитный эффект.
плоскости СААГ и дырки—к DBBr, на которых, таким образом, будут скапливаться заряды противоположных знаков. Это приведет к возникновению электрического поля
и э. д. с. параллельно ребру АВ. Накопление зарядов и рост э. д. с. будут происходить до тех пор, пока диффузионный ток, созданный светом в магнитном поле, не будет •скомпенсирован током проводимости, возникшим под действием э. д. с. Первые теоретические объяснения фотомагнитного эффекта дали Френкель [200] и Ландау и Лифшиц (201] (см. также Лифшиц [202]). Более полную теорию развил Ван-Росбрук [203].
Падающий сбвтПадающий сбвтРис. 15.10. периментально го устройства для наблюдения фотомагнетотермиче- ского эффекта. Градиент температуры измеряется в направлении АВ (между термопарами).Рис. 15.10. периментально го устройства для наблюдения фотомагнетотермиче- ского эффекта. Градиент температуры измеряется в направлении АВ (между термопарами).Этот эффект нечетный (линейный), поскольку знак э. д. с. изменяется при изменении знака магнитного поля. Если магнитное поле не перпендикулярно к диффузионному току, созданному поглощением света, то возникает «ще квадратичный фотомагнитныйэффект. Схематически физическое объяснение этого эффекта легко понять пз рис. 15.9. Пусть поле Не лежит в плоскости nz, составляя с осью z угол ср. Тогда составляющая поля Я2= Не cos <р (ОА), будет создавать вдоль оси обычную э. д. с. линейного фотомагнитного эффекта. Эта э. д. с. будет создавать ток вдоль оси у, пропорциональный Не cos ф. На этот ток действует слагающая поля Нх = Не sin 屮(。8), что приводит к появлению тока вдоль оси z, пропорционального HZ'Hx = Hl cosф-sin ф. Четный эффект также открыл Кикоин [204]. Он более подробно исследован позже (Кикоин и др. [205, 206]). Феноменологическую теорию этого эффекта дали Каган и Сморо- динскпй [207] (см. также [208]). Однако она неприменима в области низких температур (см. Кикоин и Лазарева [209], Николаев [210]).
Падающий сбвт
Падающий сбвт
Рис. 15.10. периментально го устройства для наблюдения фотомагнетотермиче- ского эффекта. Градиент температуры измеряется в направлении АВ (между термопарами).
Рис. 15.10. периментально го устройства для наблюдения фотомагнетотермиче- ского эффекта. Градиент температуры измеряется в направлении АВ (между термопарами).
Гросвалет [212], Тауц [213],Гросвалет [212], Тауц [213],В присутствии неоднородного магнитного поля фотомагнитный эффект приобретает новые черты (Тауц [211]). За более подробными сведениями по теории п экспериментальным результатам изучения фотомагнитного эффекта и разнообразных его разновидностей отсылаем читателей к обзорам и монографиям по полупроводникам (см. Мосс [6], Гаррета и Рывкин [214], Баркер [215] )),
Гросвалет [212], Тауц [213],
Гросвалет [212], Тауц [213],
Существует еще фотомагнетотермическпй эффект [230, 235], заключающийся в появлении в полупроводнике в присутствии поперечного магнитного поля градиента температуры, наличие которого вызывает при освещении диффузионный ток (рис. 15.10). Обнаружен также холловский фотоэффект (см., например, [228, 236]), который можно использовать как средство изучения кристаллов.
Рассеяние света на магнитном поле
В заключение укажем на возможность существования еще одного электродинамического магнетооптического эффекта (предсказанного Померанчуком [245], см. также [246]), когда фотон в присутствии магнитного поля создает электрон-позитронную пару. Этот эффект приводит к рассеянию света на магнитном поле. Этот эффект, очевидно, возможен, когда энергия фотона удовлетворяет условию 无① > 2т0с2, где т0 — масса покоя электрона и позитрона. Кроме того, расчет показал [245—251], что поперечник сечения для этого рассеяния будет заметным лишь в полях, близких к некоторому критическому полю Якр т^сЗ// 1013з. Поэтому пока не удалось наблюдать этот интересный эффект экспериментально. В указанных работах рассмотрен также другой квантово-электродинамический процесс более высокого порядка (см. [252]), когда электрон-позитронная пара образуется виртуально, но при этом под влиянием магнитного поля появляется добавочный фотон. Поперечное сечение этого процесса очень мало, но он не требует очень сильных полей. Однако пока такой процесс не рассчитан. В цитированной работе Ортеля [252] указаны также другие возможные процессы подобного рода.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 15
.к 2 3 z^ r^ ^780^.к 2 3 z^ r^ ^780^LHAWB РТТННLHAWB РТТНН,О n s a g е г, Phys. Rev. 37, 405 (1931); 38, 2265 (1931).
.к 2 3 z^ r^ ^780^
.к 2 3 z^ r^ ^780^
LHAWB РТТНН
LHAWB РТТНН
.В. С а 11 е n, Phys. Rev. 73, 1349 (1948).
.Cotton, H. Mouton, Comp. rend. 145, 229 (1907).
r. V о i g t, Lehrbuch der Magneto und Electrooptik, Leipzig —Berlin, 1908.
.Lax, S. Zwerdling, Progress in Semicoductors, vol. 5, London, 1960, 221.
.M о с с, Оптические свойства полупроводников, перев. с англ. ИЛ, М., 1961. .S. М о s s, Phys. stat. sol. 2, 601 (1962).
.Becquerel, Compt. rend. 125, 679 (1897).
.A. Kramers, W. Heisenberg, Zs. Phys. 31, 681 (1925).
М. В о rn, W. Heisenberg, Р. J о г d an, Zs. Phys. 35, 570 (1926)”
И. R.Ladenburg, Zs. Phys. 34, 898 (1925).
R. de L. К г о n i g, Zs. Phys. 45, 458, 508 (1927); 47, 702 (1928).
L. Rosenfeld, Zs. Phys. 57, 835 (1929).
W. К г о 1 1, Zs. Phys. 66, 69 (1930).
H. A. Kramers, Proc. Amster. Acad. 33, 959 (1930).
R. S e r b e r, Phys. Rev. 41, 489 (1932).
T. С a г г о 1 1, Phys. Rev. 5 2, 822 (1937).
W. J. A. Goossens, Dissertation, Leiden University, 1958.
J. T. H о u g e n, J. Chem. Phys. 32, 1122 (i960).
W. H. E b e r h a r d t, Ch. Ch. W u, H. R e n n e r, J. Mol. Spectrosc. 3, 664 (1959).
M. J.Stephens, Mol. Phys. 1, 301 (1958).
A. J. S t о n e, Mol. Phys. 4, 225 (1961).
I. Tobias, W. Kauzmann, J. Chem. Phys. 35, 538 (1961).
А. Ф. Любченко, Оптика и спектроскопия 10, 379, 477 (1961).
М. Р. Groeneweg е, Mol. Phys. 5, 541 (1962).
Я. Г. Д о р ф м а н, Zs. Phys. 17, 98 (1923),
Я. И. Ф р е н к е л ь, Zs. Phys. 36, 234, 621 (1926).
Д. А. Гольдгаммер, Уч. записки Казанск. ун-та, кн. 4, 109 (1899)，
Г. Г. К о в ад л о, ЖЭТФ 11, 312 (1941).
Ф.Г. С е р о в а, ЖЭТФ 18, 7 80 (1948).
Y.R. S h е n, Phys. Rev. 133, А511 (1964).
Y. R. Shen, N. Bloembergen, Phys. Rev. 133. A515 (1964).
M.C. W i 1 s о n, C. F. H u 11, Jr., Phys. Rev.74,711(1948).
A.К a s t 1 e r, Compt. rend. 288, 1640 (1949);J.phys.etrad. 11, 255 (1950); Phy-
sica, 17, 191 (1951).
W. Opechowski, Rev. Mod. Phys. 25, 264 (1953).
H. И. Непримеров, Изв. АН СССР, сер. физ. 18, 368 (1954); 20, 1236 (1956)_ 37. А. И. К у р у in и н, ЖЭТФ 37, 297 (1959).
Ф. С. Ишамутдинов, Н. И. Н е п р и м е р о в, Л. Я, Шек у н, ЖЭТФ 34y 1019 (1958).
Л. М. Цырульникова, И. Г. Шапошников, Изв. АН СССР, сер. физ. 20, 1251 (1956).
Л. Я. Ш е к у н, Изв. АН СССР, сер. физ. 20, 1262, 1265 (195 6).
Г. В.Скроцкий, П.С.Зырянов, Т. Г. Изюмова, ЖЭТФ 35,1471 (1958}
А. Б. Р о й ц и н, ФТТ 5, 2395 (1963).
В. Г. Показанье в, Г. В. Скроцкий, ЖЭТФ 49. 163 (1965).
Y. Н а у a s с h i, М. Fukui, Н. Yoshioka, J. Phys. Soc. Japan 23, 312 (1967).
Е.Ф.Гросс, Б.П.Захарченя, П. П. Павинск ii й, ЖТФ 27, 2177 (1957), 46.Е.В u гs t е i n, G. S. Рi с u s, Н. A. G е b b 1 е, Phys. Rev. 103,825, 826 (1956).
E.Burstein, G. S.P i c u s, Phys. Rev. 105, 1123 (1957).
S.Z w er d 1 i n g, B. La x, Phys. Rev. 106, 51 (1957).
L.M. Rо t h, B. L a x,S. Z w e r d 1 i n g, Phys. Rev. 114, 90 (1959).
Л. Э. Гуревич, 3. И. У p и ц к и й, ЖТФ 28, 932 (1958); ФТТ 1, 1188 (1960)_
3. И. У р и ц к и й, Изв. вузов, Физика, № 1, 143 (1959).
А.Г. А р о н о в, ФТТ 5,552 (1963).
Л.Э. Г у р е в и ч, И. П.И п а т о в а, 3. И. У риц к ий,Proc. Intern.Conf.
Semicond., Prague, 1960, p. 328.
Л.И. К о p о в и н, ФТТ3, 1790 (1961); Phys. stat.sol. 15,751 (1966).
Л.И. К о р о в и н, Е. В. Харитонов, ФТТ4,2813(1962); 5, 2035 (1963);
2162 (1965).
J. Kolodziejczak, В. L ах, Y. Nishina, Phys. Rev. 128, 2655 (1962).
Е. D. Р а 1 i k, R. F. W а 1 1 i s, Phys. Rev. 130, 41 (1963).
E. D. P a 1 i k, D. L. M i t c h e 1 1, Phys. Rev. 135, A763 (1964).
9. I. M. В о s w a b v a, Proc. Phys. Soc. 84, 389 (1964).
Б. M. Аске ров, Ф. M. Г ашимзаде,ФТТ 7, 3631 (1965).
D. L. М i t с h е 1 1, Е. D. Р а 1 i k, R. F. W а1 1 i s, Phys. Rev. Lett.14,827(1965).
M. V. H о b d e n, Phys. Lett. 16, 107 (1965).
JI. И. К о p о в и н, E. В. X a p и т о н о в,Phys. stat. sol. 14,445(1966);ФТТ
181 (1966).
Q. H. F. V r e h e n, Phys. Rev. 145, 675 (1966).
C.R.Pidgeon, R.N. Brown, Phys. Rev. 146, 575 (1966).
W. Zawadzki, Q. H. F. V r e h e n, B. Lax, Phys. Rev. 148, 849 (1966).
C. R. Pidgeon, D. L. Mitchell, R. N. Brown, Phys. Rev. 154, 737 (1967).
W. S. В a e r, J. Phys. Chem. Solids 28, 677 (1967).
O. Akimoto, H. Hasegawa, J. Phys. Soc. Japan 22, 181 (1967).
M. Z v a r a, Phys. Stat. Sol. 27, K159 (1968).
J. Halpern, B. Lax, J. Phys. Cnem. Solids 26, 911 (1965).
3. И. Урицкий, Г. В. Шустер, Phys. stat. sol. 11, 105 (1965); ФТТ 7» 3415 (1965).
Q^z^r^fi^7^0^Q^ol9^ 3477^7777^8^ £6Q^z^r^fi^7^0^Q^ol9^ 3477^7777^8^ £625.：86.37. 力8.89.90.91.92.■93.•94,*95* •96.97.•98,99, "100.101.402.403.104.105.106.107.408.109.110.111.112.113. W4.415.416, 417.118.119,120.121.122.423.■*124.125.126.127.428.<29.430.431.132.25.：86.37. 力8.89.90.91.92.■93.•94,*95* •96.97.•98,99, "100.101.402.403.104.105.106.107.408.109.110.111.112.113. W4.415.416, 417.118.119,120.121.122.423.■*124.125.126.127.428.<29.430.431.132.E. Ф. Гросс, Б. П. Захарченя, J. phys. et rad. 1, 68 (1957).
Q^z^r^fi^7^0^Q^ol9^ 3477^7777^8^ £6
Q^z^r^fi^7^0^Q^ol9^ 3477^7777^8^ £6
25.
：86.
37. 力8.
89.
90.
91.
92.
■93.
•94,
*95* •96.
97.
•98,
99, "100.
101.
402.
403.
104.
105.
106.
107.
408.
109.
110.
111.
112.
113. W4.
415.
416, 417.
118.
119,
120.
121.
122.
423.
■*124.
125.
126.
127.
428.
<29.
430.
431.
132.
25.
：86.
37. 力8.
89.
90.
91.
92.
■93.
•94,
*95* •96.
97.
•98,
99, "100.
101.
402.
403.
104.
105.
106.
107.
408.
109.
110.
111.
112.
113. W4.
415.
416, 417.
118.
119,
120.
121.
122.
423.
■*124.
125.
126.
127.
428.
<29.
430.
431.
132.
А. Г. Самойлович, Л. JI. Коренблит, ДАН СССР 100, 55 (1955).
R. F. W allis, H. J. R owlden, J. Phys. Chem. Solids 8, 318 (1959).
И. П. И п а т о в a, P. Ф. К a 3 a p и н о в, ЖЭТФ 41, 209 (1961).
E. Majernikova, Phys. stat. sol. 22, 113 (1967).
E. W. J.Mitchell, Proc. Phys. Soc. B68, 973 (1955).
M. И. К л и н г e p, M. M. Ч а б а н, ЖТФ 26, 938 (1956).
R. R. Rau, M. E. Caspari, Phys. Rev. 100, 632 (1955).
H. von Kimmel, Zs. Naturforsch. 18a, 1016 (1957).
D. Smith, T. S. Moss, K. W. Taylor, J. Phys. Chem. Solids 11, 131 (1959).
M. J. Step hen, A. B. L i d i a r d, J. Phys. Chem. Solids 9, 43 (1958).
S. M о s s, A. K. W a 1 t о n, Proc. Phys. Soc, 74, 13i (1959); Physica 25, 1142 (1959),
E. D. P alik, S. T e i 11 e r, R. F. W a 11 i s, J. App. Phys. 32, 2132 (1961)； Phys. Rev. 123, 1631 (1961).
E. О. К о n e, I. Phys. Chem. Solids 1, 249 (1957).
J. Kolodziejczak, Acta phys. Polon. 21, 637 (1962).
B. Donovan, J.Webster, Proc. Phys. Soc. 79, 46 (1962).
S. T e i t 1 e r, J. Phys, Chem. Solids 24, 1487 (1963).
L. M. R о t h, Phys. Rev. 133, A542 (1964).
J. Halpern, B. L a x, Y. Nishina, Phys. Rev. 134, A140 (1964).
H. S. Bennett, E. A. Stern, Phys. Rev, 137, A488 (1965).
А. И. К о с и н с к а я, 3. И. У p и ц к и й, Phys. stat. sol. 23, 57 (1967).
S. К i e 1 i c h, Acta phys. Polon. 31, 929 (1967),
Л. Э. Гуревич, И. П. Ипатова ЖЭТФ 37, 1324 (1959).
И, П. Ипатова, Р. Ф. Казаринов, ЖЭТФ 41, 209 (1961).
W. G, S р i t z е г, Н, Y. F a n, Phys. Rev. 106, 882 (1957).
Sniadower, J. Rautuszkiewicz, R. R. G at azk a, Phys. stat, sol. 6, 549 (1964).
E, В г о d w i n, R. J. V e r n о n, Phys. Rev. 140, A1390 (1965).
L. C. R о b i n s о n, Phys. Rev. 145, 91 (1966).
H. Groves, C. R. Pidgeon, L F e i n 1 e i b, Phys. Rev, Lett. 17, 643 (1966).
H. P i 1 1 e r, J. Appl. Phys. 37, 7 63 (1966).
L. Sniadower, Phys, stat. sol. 25, 233 (1968).
P. Byszewski, J. Holzman, J. Kolodziejczak, Phys. stat. sol.
K125 (1968).
W. E. E n g e 1 e r, Phys. Rev. 129, 1509 (19 63).
W. S, В о t 1 e, K. F. R о d g e r s, Phys. Rev, Lett. 2, 338 (1959).
R. N. Brown, J. G, Mavroides, B. Lax, Phys. Rev, 129, 2055 (1963).
G. C i о b a n u, L. В a n у a i, Phys. stat. sol. 3, 2299 (1963).
P. D a s, A. N. J e 11 e, R. G, К n о x, Phys. Rev. 134, A1079 (1964).
H. H e n r y, Phys. Rev. 140, A256 (1965).
IL Захарченя, И. Б. Русанов, И. И. Тахистова, ФТТ 8, 3602 (1966),
J. J о h n s о n, D. М, Larsen, Phys. Rev, Lett. 16, 655 (1966).
R. L. В ell, R.T. R ogers, Phys. Rev. 152, 746 (1966).
P. Byszewski, В. К a 1 inska, J. Kolodziejczak, Phys. stat, sol. 23, K53, (1967).
U, K. Mishra, A. K. Walton, Phys, stat, sol. 24, K87 (1967).
С. В г о w n, В. С. C a v e n e 11, W. H a у e s, Proc. Roy. Soc. A300, 78 (1967).
A. K. W a 1 t о n, U. K. Mishra, Proc. Phys. Soc. 90, 1111 (1967). ■
C. J. S u m m e r s, S. D. S m i t h, Proc, Phys. Soc. 92, 205 (1967).
P.C. Harper, Proc. Phys. Soc. 92, 793 (1967).
S. Kurita, J. Phys, Soc, Japan 22, 1150 (1967).
T. H, L e e, H. Y. F a n, Phys. Rev, 165, 927 (1968).
W. S h e p h e r d, Phys, Rev. 165, 985 (1968).
С. К e m p, W. M. Z i n i k e r, J. A. G 1 a z e, J. C. Cheng, Phys. Rev. 171, 1024 (1968).
P a u s, F. L ii t y, Phys. Rev, Lett. 20, 57 (1968).
Courtens, Phys. Rev, Lett. 21, 3 (1968).
P. R. W a 1 1 a c e, R. K. Chandies, J. H arn ad, Canad. J. Phys, 46, 243(19 68).
W. Thielemann, Phys. stat. soL 26, К 29 (1968).
G a г 1 e n, H. Seliger, Phys, stat, sol. 29, K27 (1968).
Nguyen Van Huong, Acta phys. Polon. 23, 635 (1968).
Ю. В. Г у л я e в, Письма ЖЭТФ 1, 11 (1965).
И. П. Ипатова, Р. Ф. Казаринов, А. В. Субатиев, ФТТ 7, 2129 (1965).
J. Button, В. L а х, М, Н. Weiler, М. R е i n е, Phys, Rev. Lett- 17. 1005 (1966),
М. II. W е i 1 е г, М. R е 1 п е, В. L а х, Phys. Rev, 171, 949 (1968),
4. S, К i e 1 i c h, Phys. Lett, 2 5A, 517 (19 67); Acta phys. Polon, 32, 405 (19 67).
N. V a n T r a n, J. H. M c F e e, С. K. N. P a t e 1, Phys. Rev. Lett. 21, 7 35 (19 68).
R. A. Harris, J. Chem. Phys. 46, 3398, 4481 (1967).
Q. Majorana, Nuovo cim. 2, 1 (1944).
E. A. S t e r n, Bull. Am, Phys. Soc. 5, 150 (I960).
E. A, S t e r n, R. D, Myers, Bull. Am. Phys. Soc, 3, 416 (1958).
J.C.McGroddy, E. A. S t e r n, Bull. Am, Phys, Soc, 8, 392 (1963).
E. A. S t e r n, J. С. M c G г о d d y, W. E. H a r t e, Phys, Rev. 135, A13 06 (1964" 142, J. L. C a 1 1 i e s, C. R i g a u x, J. Phys, Chem, Solids 25, 1363 (1964).
143,兀 А. Афанасьева, Г. А. Болотин, M. M. Носков, ФММ 19, 944 (1965),
J. С. М с G г о d d у, A. Jt М с А 1 i s t е s, Е. A. S t е г n, Phys. Rev, 4 3 9, Al844 (1965).
J4 С. Р h i 1 1 i р s, Phys. Rev, 140, A1254 (1965),
J. P. d'H a e n e n s, D. L, C a r t e s, Phys. Rev, 140, A1992 (1965).
7, P. v a n d e r Z i e 1, P. S. P e rs h a n, L. D. Malmestrom, Phys, Rev. Lett. 15, 190 (1965),
P, S, Pershan, J. P, vanderZiel, L. D. Malmestrom, Phys, Rev- 143, 574 (1966),
P. G г о s s e, K. W i n z e r, Phys, stat, sol, 26, 139 (1968).
H. A 1 f v e n, Cosmical Electrodynamics, Clarendon Press, Oxford, 1950, Ch. 4一
О, В, Константинов, В, И, Пе рель, ЖЭТФ 38, 161 (i960).
Р. A i g г a i n, Proc, Inter, Conf. Semicond. Phys” Prague, 1960, p. 224
L, R, S t о r e y, Phil. Trans. Roy, Soc. A246, 113 (1953).
H, В r e m m e r, Handbuch der Physik, Bd. 16, Berlin, 1958, S. 570.
В, Л. Гинзбург, Распространение электромагнитных волн в плазме, Физматгиз, М” 1960, гл. III*
R.Bowers, С. L е gе n dу, F. R о s е, Phys, Rev, Lett, 7, 339(1961),
Р,Cotti, Р, W у d ег, A.Quattropani, Phys, Lett. 1, 50(1962).
М.Т. Taylor, J, R,Merrill, R. В о w e r s, Phys. Rev. 129, 2525 (19 63"
A.L i b ch a b e r, R.V e i1 e x, Phys, Rev. 127, 774 (1962),
D. N, Langenberg, J. В о k, Phys, Rev, Lett, 11, 549 (1963).
J, L Quinn, S. Rodriguez, Phys, Rev. Lett, 11, 552 (1963).
J.J.Quinn, S.Rodriquez, Phys, Rev. 133, A1589 (1964).
С, C. Grimes, S. J. Buchsbaum, Phys, Rev, Lett, 12, 357 (1964).
R. E. P r a n g e, Phys. Lett, 12, 181 (1964),
С, C. G r i m e sT G. A d a m s, P. H. S c hm i d t, Phys.Rev. Lett.15,409 (1965)-
L L. Stanford, E. A. S t e r n, Phys.Rev, 444, 534(1966).
Proc. 7th Intern. Conf, Phys’ Semicond.,vol. 2 — Plasma EffectsinSolids, ed-
J, В ok, Dunad, Paris, 1964; статьи S. J. Buchbaum, p. 3,R, Bowers,p.19; N, Per
rin, B. Perrin, W, Mercouroff, p, 37; Y, Kanai, p. 45; L Maurer, A. Libchaberr J, Bok, p, 49; P, Aigrain, p, 83; С. C. Grimes, p,87,
А. А. В e д e н о в, УФН 84, 533 (1964).
Э. А. К а н e p, В. Г. С к о б о в, УФН 89, 367 (1966).
D. P. M о r g a n, Phys, state sol, 24, 9 (1967).
J.Mertsching, Phys, state sol. 26, 9,(1968).
J. F u r d у n a, Phys. Rev. Lett, 13, 426 (1964); 14, 635 (1965); 16, 646 (1966).
A, W, Overhauser, S, R о dri g u e z, Phys. Rev, 141, 431 (1966).
J,C.McGroddy, J,L.Stanford, E. A. Stern, Phys. Rev. 141, 437 (1966).
M. A. L a m p e r t, J. J. Q u i n n, S, T о s i m a, Phys. Rev. 152, 661 (1966).
6. C. Greebe,W. F, Druyvesteyn, Philips Res, Repts 21, 423 (1966).
P, В, M i 1 1 e г, P. С. К w о k, Phys, Rev, 166, 629 (1967).
A. L. McWhorter, J. N, Walpole, Phys. Rev, 163, 618 (1967).
W. A. R e e d, P. P. M e i n k e, Phys, Rev. 163, 664 (1967).
G. W e i s b u c h, A, Libchaber, Phys. Rev. Lett. 19, 498 (1967),
P. R. A n t о n i e w i c z, Phys. Lett. 24, A83 (1967).
S. W. H u i, Phys. Lett. 24, A265 (1967).
P. K. Larsen, K, Saermark, Phys. Lett. 24, A374 (1967).
K. Saermark, P. K. Larsen, Phys. Lett. 24A, 668 (1967).
Э. А. К а н e p, В. Г. С к о б о в, Phys. Lett. 25A, 105 (1967).
P. A, P e n z, J. Appl, Phys, 38, 4047 (1967).
W. S c h i 1 z, Sol. Stat. Comm. 5, 503 (1967).
H. Gobrecht, A. T ausen d, J. Danekwerts, Sol. Stat. Comm. 5* 551 (1967).
B, W. M a x f i e 1 d, Sol. Stat, Comm. 5, 585 (1967).
H. H a s e g a w a, A, Koyama, J. Phys. Soc. Japan. 23, 575 (1967).
В. С, Э д e л ь и а н, ЖЭТФ 54, 1726 (1968).
И. П. К p ы л о в, ЖЭТФ 54, 1738 (1968).
Е. П. Вольский, В. Т. Петрашов, Письма ЖЭТФ 7, 427 (1968).
Г. М. Н е д л п н, Р. X. Ш а п и р о, ФТТ 10, 2223 (1968).
R. С. А 1 i g, Phys. Rev. 165, 833 (1968),
J. R. Houck, R, Bowers, Phys. Rev. 166, 397 (1968).
7890123459990000001112222227890123459990000001112222226 7 8 9 0 12lx lx IX2 2 2 2 2 2 26 7 8 9 0 12lx lx IX2 2 2 2 2 2 2213.213.45-6-245-6-27 89-01-1 1 1 2 22 2 2 2 27 89-01-1 1 1 2 22 2 2 2 2!2-3-4-56 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 12 3 4567890123^9^9^9^9^222333 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 444444555522222222222 22222 2 22222 2222222222!2-3-4-56 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 12 3 4567890123^9^9^9^9^222333 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 444444555522222222222 22222 2 22222 2222222222J. R. M errill, Phys. Rev. 166, 716 (1968).
789012345
999000000
111222222
789012345
999000000
111222222
6 7 8 9 0 12
lx lx IX
2 2 2 2 2 2 2
6 7 8 9 0 12
lx lx IX
2 2 2 2 2 2 2
213.
213.
45-6-
2
45-6-
2
7 89-01-
1 1 1 2 2
2 2 2 2 2
7 89-01-
1 1 1 2 2
2 2 2 2 2
!2-3-4-56 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 12 3 4567890123^9^9^9^9^222333 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 444444555522222222222 22222 2 22222 2222222222
!2-3-4-56 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 12 3 4567890123^9^9^9^9^222333 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 444444555522222222222 22222 2 22222 2222222222
J. M. Goodman, Phys. Rev. 171, 641 (1968).
И. К. Кикоин, M. M. Носков, Phys. Zs. UdSSR 5, 586; 6, 478 (1934).
Я. И. Ф p e н к e л ь, Phys. Zs. UdSSR 5, 597 (1934); 8, 185 (1935).
Л. Д, Ландау, E. M. Лифшиц, Phys. Zs. UdSSR 9, 477 (1936).
M. Л и ф ш и ц, Phys. Zs. UdSSR 9, 641 (1936).
W. van Roosbroeck, Phys. Rev. 101, 1713 (1956).
И. К. К и к о и н, ДАН СССР 3, 418 (1934),
И. К. Кикоин, Ю. А. Быковский, ДАН СССР 109, 735 (1956); 116, 381 (1957).
И. К. Кикоин, С. Д. Лазарева, ДАН СССР 135, 1371 (i960).
Ю. М. Каган, Я. А. Смород и некий, ЖЭТФ 34, 137 6 (1958).
Г. И, X ару с, И. М. Цидильковский, ФММ 10, 341 (I960).
И. К. Кикоин, С. Д. Лазарева, ЖЭТФ 39, 1971 (I960).
И. Н. Н и к о л а е в, ЖЭТФ 45, 1678 (1963).
J. Т а и с, Czechoslov. J. Phys. 6, 421 (1956).
G а г г е t a, J. Grosvalet, Progress in Semiconductors, vol. 1, London, 1956, p. 165,
Я. T а у ц, Фото- и термоэлектрические свойства в полупроводниках, перев. с англ., ИЛ, М., 1962,
М, Рывкин, Фотоэлектрические явления в полупроводниках, Физматгиз. М,, 1963,
R. Е. Barker, Jr., Phys. Rev. 149, 663 (1966).~
А. П. Комар, H. M. P e й н о в, С. С. Ш а л ы т, Изв. АН СССР, сер. физ. 19, 444 (1955).
S. W. Kurnick, R.N.Zitter, J. Appl, Phys. 27, 278 (1956).
W. W. Gartner, Phys, Rev. 105, 823 (1957); 126, 1680 (1962).
T. В u c k, F. M с К i m, Phys. Rev. 106, 904 (1957).
J. Dixon, Phys. Rev. 107, 374 (1957).
R. N. Z i t t e r, Phys, Rev. 112, 852 (1958); 139, A2021 (1965); Phys. Rev. Lett. 14, 14 (1965).
M.Cardona, W. Paul, J. Phys. Chem. Sol. 7, 127 (1958).
A. A m i t h, Phys. Rev. 116, 330 (1959).
M. Bernard, J. Phys. Chem. Sol. 8, 332 (1959).
А. Г ри н 6 e p r,①TT 2, 153 (I960).
T. Y о u n g, Phys. Rev. 117, 1274 (i960).
A. R. Moore, J. O. Kessler, Phys. Rev. Lett. 4, 121 (I960).
R. H. В u b e, H. E. McDonald, Phys. Rev. 128, 2062, 2071 (1962).
K. Thiessen, H, Hornung, Phys. stat, sol, 2, 1158 (1962).
W.. W. Gartner, C. Loscoe, H. Mette, Phys. Rev. 126, 1680 (1962).
К, С у б а ш и e в, ФТТ 5, 556 (1963).
А, Завадский, Ю. T. Коврижных, И. Г. Ф а к идо в, ФТТ 6, 173 (1964).
В. П. С у ш к о в, М. И. И г л и ц и н, ФТТ 6, 3107 (1964).
Т. Sakurai, М. I s h i g a m е, Phys. Rev. 135, A1619 (1964).
T. J. Martin, J. C. Anderson, Phys. Lett. 11, 109 (1964).
J. Dresner, J. Phys. Chem. Sol. 25, 505 (1964); Phys. Rev. 143, 558 (1966). Ю. M. Каган, В. И. Собакин, ФТТ 7, 2565 (1965); Письма ЖЭТФ 2, 71 (1965).
И. К, К и к о и н, С. Д. Л а з а р е в а, ФТТ 7, 2564 (1965); Письма ЖЭТФ 2, 75 (1965); J. Phys. Chem. Sol. 28, 1237 (1967).
В. А. Г р и д и н, В.①.Е л е.с и н, ФТТ 7, 730 (1965).
Н. L. Mette, A. Boatright, Phys. Rev. 140, А919 (1965).
В. И. С о б а к и н, ДАН СССР 167, 318 (1966).
R. W. Т е а 1 е, D. W. Temple, Phys. Rev. Lett. 19, 904 (1967).
P. И. Л я г у щ e н к о, P. В. П a p ф e н о в, И. И. Ф a p б ni т e й н, С. С. ПIa- л ы т, И. M. Я с с и e в и ч, ФТТ 10, 2241 (1968).
U. Е n z, Н. van d е г Heide, Sol. Stat. Comm. 6, 347 (1968).
И. Я. Померанчук, ЖЭТФ 9, 915 (1939); J. Phys. USSR 2, 65 (1940).
Н. Y. Т z u, Proc. Roy. Soc. A192, 231 (1948).
J. S. T о 1 1, Dissertation, Princeton Univ., 1952.
H. П. К л e п и к о в, ЖЭТФ 26, 19 (1958).
H. В о e b 1, Acta phys. Austr. 6, 105 (1952).
T. E r b e r, Proc. Intern. Conf. High Magn. Fields, 1961, p. 706.
T. E r b e r, Discovery 24, № 2, 16 (1963).
G. К. О e r t e 1, Nature 202, 684 (19 64).
А. Максфилд, УФН 103, 233 (1971).
Глава 16
МАГНИТНОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ
Введение
За последнее время парамагнитные свойства вещества оказались весьма существенным фактором в важной физической проблеме получения сверхнизких температур (менее 1° К). Значение магнитного метода охлаждения обусловлено тем, что методы охлаждения, основанные на процессе сжижения газов, т. е. использующие изменения энтропии лри парообразовании, ло мере понижения давления газа становятся все менее эффективными, так что технически уже невозможно получить заметное изменение энтропии за конечное время. Наиболее низкая температура, полученная таким методом с помощью жидкого гелия, а именно откачкой паров над жидким наиболее распространенным изотопом Не4, составляет 0,71° К. За последние годы очень редкий изотоп Не3 стал довольно доступным в достаточно больших количествах. Этот изотоп гелия обладает относительно высоким значением скрытой теплоты испарения, поэтому достаточно небольшого количества жидкого Не3 (около 1 сл3), чтобы откачкой паров над ясидким Не3 охладить опытную аппаратуру от 1° К примерно до 0,3° К. Это и есть тот предел охлаждения, которого можно достичь таким способом. Для получения более низких температур (вплоть до 10-7 °К (необходимо иметь такую физическую систему, в которой 1) энтропия S при температурах вблизи 1° К была бы еще вполне заметной и при этом 2) сильно зависела от какого-то отличного от температуры физического параметра, легко варьируемого извне. Еще в 1926 г. независимо друг от друга Дебай [1] и Джиок [2] предложили использовать в качестве такой системы парамагнетики ). Они хорошо подходят для этой цели, поскольку в отсутствие магнитного поля их элементарные магнитные моменты направлены хаотически, что соответствует относительно большой энтропии S (магнитный беспорядок). Включая при гелиевых температурах сильные магнитные поля (103—104 з), парамагнетики (обычно это соли) можно намагнитить, т. е. перевести их в состояние магнитного порядка и тем самым уменьшить их энтропию S.
Магнитный метод охлаждения
Качественное рассмотрение. В основе магнитного метода охлаждения ) .лежит использование магнетокалорического эффекта, когда при адиабатическом (без теплообмена с окружающей средой) намагничивании парамагнетика мы имеем дело с двумя эффектами, связанными с действием магнитного поля на атомную магнитную систему: во-первых, энергия системы элементарных магнетиков уменьшается за счет появления добавочной отрицательной потенциальной энергии во внешнем магнитном поле —(卩^.〃), н, во-вторых, вырождение микросостояний системы снимается (зеемановское расщепление), т. е. уменьшаются статистические веса микросостояний [gn в формуле (5.21)]. Эти причины и приводят при низких температурах к уменьшению аддитивного члена в выражении для «магнитной части» энтропии системы, пропорционального R In g0, где go ——статистический вес основного состояния. В силу условия адиабатичности, т. е. постоянства, или неубывания, энтропии, это ее уменьшение должно компенсироваться за счет иных источников внутри самой системы. Последнего можно достичь путем увеличения интенсивности теплового движения, т. е. нагреванием
системы от начальной температуры 7» до конечной температуры Гу. Энтропия при этом возрастает на величину
Рис. 16,1. Схематическая иллюстрация магнитного метода охлаждения с помощью энтропийной диаграммы (Т — S) парамагнетика. 8^агн — энтропия магнитной подсистемы при Н = 0, S^^h —т° ®е при H—Hs (Н$ — поле, создающее в парамаг - нетике насыщение), брегц — энтропия решетки, 0кр— критическая температура, определяемая внутренним взаимодействием, АВ — изотермическое намагничивание, ВС — адиабатическое размагничивание. Пунктирная кривая АО' — температурная зависимость 8^гн + S при поле Н < Hs-Рис. 16,1. Схематическая иллюстрация магнитного метода охлаждения с помощью энтропийной диаграммы (Т — S) парамагнетика. 8^агн — энтропия магнитной подсистемы при Н = 0, S^^h —т° ®е при H—Hs (Н$ — поле, создающее в парамаг - нетике насыщение), брегц — энтропия решетки, 0кр— критическая температура, определяемая внутренним взаимодействием, АВ — изотермическое намагничивание, ВС — адиабатическое размагничивание. Пунктирная кривая АО' — температурная зависимость 8^гн + S при поле Н < Hs-размагнитить парамагнетик, выключив магнитное поле, не допуская притока тепла к системе извне, то это тепло будет черпаться изразмагнитить парамагнетик, выключив магнитное поле, не допуская притока тепла к системе извне, то это тепло будет черпаться из
Рис. 16,1. Схематическая иллюстрация магнитного метода охлаждения с помощью энтропийной диаграммы (Т — S) парамагнетика. 8^агн — энтропия магнитной подсистемы при Н = 0, S^^h —т° ®е при H—Hs (Н$ — поле, создающее в парамаг - нетике насыщение), брегц — энтропия решетки, 0кр— критическая температура, определяемая внутренним взаимодействием, АВ — изотермическое намагничивание, ВС — адиабатическое размагничивание. Пунктирная кривая АО' — температурная зависимость 8^гн + S при поле Н < Hs-
Рис. 16,1. Схематическая иллюстрация магнитного метода охлаждения с помощью энтропийной диаграммы (Т — S) парамагнетика. 8^агн — энтропия магнитной подсистемы при Н = 0, S^^h —т° ®е при H—Hs (Н$ — поле, создающее в парамаг - нетике насыщение), брегц — энтропия решетки, 0кр— критическая температура, определяемая внутренним взаимодействием, АВ — изотермическое намагничивание, ВС — адиабатическое размагничивание. Пунктирная кривая АО' — температурная зависимость 8^гн + S при поле Н < Hs-
размагнитить парамагнетик, выключив магнитное поле, не допуская притока тепла к системе извне, то это тепло будет черпаться из
размагнитить парамагнетик, выключив магнитное поле, не допуская притока тепла к системе извне, то это тепло будет черпаться из
где。卩一теплоемкость вещества. Напротив, при адиабатическом размагничивании парамагнетика энергия элементарных носителей магнитного момента возрастает, поэто
му растет и магнитная часть энтропии тела, интенсивность теплового движения при этом падает вместе с его энтропией, что и приводит к понижению температуры.
Такая наглядная интерпретация процесса магнитного охлаждения возможна лишь в том случае, когда элементарные магнитные вещества образуют идеальный газ. В противном случае взаимодействие между элементарными магнитными моментами усложняет все явление. В частности, например, взаимодействие не дает возможности,
используя магнитное охлаждение, точно достичь 0° К (тепловая теорема Нернста).
Приведем еще наглядную графическую иллюстрацию принципа магнитного метода охлаждения. На рис. 16.1 схематически изображена (Т —— 5)-диаграмма. Энтропия парамагнетика складывается из энтропии его кристаллической решетки Speui, связанной с тепловыми колебаниями атома, и магнитной части §магн, связанной с его спиновой (магнитной) системой. При обычных те пературах {Т 拄 100° К) змагн《 《Spem・ Однако при очень низких температурах (Т《1° К) ситуация существенно меняется. Энтропия решетки Spem уменьша
ется с понижением температуры пропорционально 丁3 и При Т《1° К становится уже еле заметной. Магнитная же часть энтропии 5^агн в отсутствие магнитного поля (Я = 0) при Г « 1° К слабо зависит от температуры. Только при еще более низких температурах (Т V ®кр) ^оагн начинает заметно уменьшаться. Здесь 0Кр ——некая критическая температура, величина которой определяется внутренними взаимодействиями между магнитными ионами, а также их взаимодействием с внутрикристаллическим (лигандным, см. гл. 10) полем ), всегда снижающими энтропию магнитной подсистемы кристалла. Кривая 5^агн + 5ретЦ S产Ни дает ход энтропии ниже 1 ° К. При наложении сильного магнитного поля Н в кристалле возникает магнитный порядок в пределе очень сильных полей Яя, стремящийся к магнитному насыщению (полному магнитному порядку), что и приводит к существенному снижению энтропии. Это и изображено кривой 5^н + 5ре1П на рис. 16.1. Таким образом, намагничивание парамагнетика, как и сжижение газа при условии изотермичности (Т = const), приводит к выделению тепла, которое необходимо убрать из системы. С другой стороны, если адиабатически, т. е. изоэнтропически,
внутренних ресурсов системы; и поэтому она охладится.
Несмотря на высокую современную технику в осуществлении тепловой изоляции, яикогда не удается избежать паразитного притока тепла. Однако вредное влияние этого паразитного притока тепла будет тем меньше, чем больше теплоемкость рабочего вещества. Большая теплоемкость также очень полезна, если требуется с помощью рабочего вещества охладить до низкой температуры какое-либо другое вещество, которое не может быть само эффективно адиабатически охлаждено размагничиванием, например, если оно диамагнитно. Из опыта известно, что все парамагнетики в области температур, близких к критической точке ®кр, имеют максимум теплоемкости, поэтому наиболее удобно использовать рабочее вещество именно в этой области температур. Поэтому, вообще говоря, следует располагать набором парамагнетиков с различными значениями 0КР.
На рис. 16.1 показан тепловой цикл, используемый для охлаждения. Он состоит из изотермы АВ и адиабаты ВС* Конечная температура цикла Т^ 〜0кр будет соответствовать той точке (S — 7)-диаграммы, в которой 5дагй (Тк) = S需11 (1° К). Из рис. 16.1 видно, во-первых, что при Г《®кр энтропия уже очень слабо зависит от величины внешнего магнитного поля; в этой области парамагнетик становится малоэффективным как агент цикла магнитного охлаждения. Во-вторых, возможный эффект охлаждения (прямая ВС) при заданном начальном изотермическом уменьшении энтропии (прямая АВ) сильно зависит от формы кривой SJ^ph (Т). Если эта кривая имеет крутой наклон (пунктирная кривая АС на рис. 16.1), то конечная температура Т^ = =Т' оказывается более высокой, чем 0кр, достигаемая в случае «плоской» кривой энтропии (сплопшая кривая S^arn (Г)). Поскольку теплоемкость парамагнетика равна Т (GS/dT)H，то чем более плоской будет кривая З^агн(丁), темменьше будет производная (@М/НТ)н，и, следовательно, для достижения более низкой температуры желательно, чтобы при Н = 0 теплоемкость была малой. Или иначе можно сказать, что относительное понижение температуры дается выражением АТ/Т = ^S/Cp, где Г и Ср — средние значения температуры и теплоемкости цикла.
Таким образом, парамагнетик может быть эффективным рабочим веществом для получения сверхнизких температур, если величина энергии взаимодействия его атомных магнитных моментов емагн ^ 4®кр будет мала по сравнению с их средней тепловой энергией при Т ^ 1° К, т. е. @кр《1° К, а энергия этих моментов в магнитном поле, наоборот, будет порядка или даже больше тепловой энергии, т. е. ^Н ^кТ (чтобы можно было достичь магнитного насыщения и тем самым заметно снизить энтропию S^arH).“
Термодинамическая теория. Используя выражение (5,21) для статистической суммы и (э.20) для свободной энергии, можно найти энтропию S = —(d尸"/小7)我 и намагниченность ТЙ = — (dFtt 1дН)т. Примем, что момент количества движения парамагнитного иона в основном состоянии равен 无 1/J (J + 1). При Н = 0 этот уровень (2J + 1)-кратно вырожден, если пренебречь внутренними взаимодействиями. Далее, если более высокие уровни считать незанятыми (низкие температуры), то статистическая сумма будет равна
Z = (2J + 1)N,(16.1)
откуда для энтропии и намагниченноети получаем
5 = 7? In (2/ + 1), М=0・(16.2)
Из (16.2) видно, что энтропия не зависит от температуры, и поэтому теплоемкость равна нулю. Эти формулы, конечно, приближенные и справедливы для Т》@кр (см. горизонтальный участок кривой Sj1al111 на рис. 16.1).“
В магнитном поле (2J + 1)-кратно вырожденный уровень расщепляется на 2J + 1 эквидистантных уровней с расстоянием между ними, равным ^цьЯ, где g — фактор Ланде. Поэтому при Т=1°КнН^ 104 а имеем 纟从^女 ^左Т и будут заняты лишь нижние уровни, что снижает энтропию. Действительно, если включить магнитное поле 国 то в этом случае статистическая сумма
Z(E, Г) = [ 2 exp(2g^)『.(16.3)
Ш J= — J
При малых полях 纟卩£我《而？ находим
Z = (2J+1)N(1+}^ 筈+…)，(16.4)
где С определяется по (9.7),浅 R = kN, N—число Авогадро, к—постоянная Больцмана. Из (16.4) находим
S = 7?m(2J+l) — 一M^—н.(16.5)
Таким образом, энтропия уменьшается с ростом поля и с понижением температуры (см. кривую для S芻j11 (Т) на рис. 16.1), а намагниченность подчиняется закону Кюри [см. (9.3)]. Из (16.5) можно также вычислить магнитную часть теплоемкости:
…尚h =零，侔6)
Первое условие пригодности парамагнетика для целей магнитного охлаждения, требующее, чтобы энергия ^цБЯ в поле Н е 104 з была порядка кТ (для Т « 1° К), выполняется для многих ионов группы железа и редких земель. Второе условие требу-
ет, чтобы расщепление и уширение основного уровня, вызываемые силами взаимодействия при 1° К, были малы по сравнению с кТ. Силы взаимодействия между ионами парамагнетика могут быть различного происхождения：
магнитное дипольное взаимодействие;
электростатическое обменное взаимодействие между магнитно активными ионами;
взаимодействие магнитного иона с электрическими полями его немагнитного окружения (лигандное ноле, см. гл. 10), приводящее к штарковскому расщеплению уровней；
взаимодействие магнитного момента электронной оболочки с магнитным моментом атомного ядра, приводящее к появлению СТС в спектрах.
Учет взаимодействий первого и второго типа представляет большие трудности, поскольку он требует решения в разках задачи многих тел. Так как обменное взаимодействие быстро спадает с расстоянием, а в методе адиабатического размагничивания используют парамагнитные соли, в которых магнитные ионы сильно разбавлены их немагнитным окружением (для понижения точки ®кр), то на первый взгляд можно было бы предположить, что обменное взаимодействие намного меньше магнитного дипольного. Однако это не так, поскольку в солях мы имеем дело не с прямым обменным взаимодействием магнитных ионов, а с косвенным обменом, осуществляющимся через： посредство возбужденных состояний промежуточных диамагнитных ионов (см. гл. 22). Ширина энергетической полосы около уровня основного состояния, возникающая из-за этих взаимодействий, имеет в интересующих нас полях порядок 10^2 сл^1 (напомним, что единица энергии 1 см"1 соответствует в температурной шкале 1,438° К). В общем случае энергию взаимодействия двух магнитных ионов г и у можно записать в виде ""=可[(1+/")因旧一3(胃)(口，")(")]，(16.7)
где (可力 力订一параметр обменного взаимодействия, а для изотропного парамагнетика 卩Е = gNpi Ван-Флек и Пенни [7] использовали разложение статистической суммы Z с энергией (16.7) в ряд по степеням Г"1 и вычислили несколько первых членов разложения, что справедливо при высоких температурах. К сожалению, ряд сходится очень медленно, и поэтому не удается получить хорошего решения для области температур, где величина кТ становится порядка ширины полосы энергий, обусловленной взаимодействием магнитных ионов (16.6). Ван-Флек [8] получил выражение для части теплоемкости, обусловленной взаимодействием (16.7); она, так же как и (16.6), зависит от Т~2;
^В3~~6~^(16.8)
ГД6*g2匾?屮=半，Q=(?) 一安哂2一吗)，侔9)
сумма берется по всем парам магнитных ионов *). Для магнитной восприимчивости относительно внешнего поля получаем
С
% 二Г71~\й~4^，(16/0)
Т—[ \~3^₽зм ) — ®ПМ j + -^- Я-угЧ- • • •
где “рзм ——усредненный размагничивающий фактор образца, @пм ——парамагнитная точка Кюри, а
]「31
n=72 L1 + Jv+iyj 0ПМ'
Если предположить, что обменный параметр /订 не зависит от ориентации моментов ионов относительно г；； и быстро спадает с расстоянием, то в приближении ближайших соседей для величины 0ПМ имеем
r^At^^S (S + 1) %м= —zi 域；(16.12)
S —— спиновое квантовое число иона, z, —— число ближайших соседей узла решетки.
В магнитных расчетах с парамагнитными солями необходимо различать внешнее поле (например, поле соленоида или электромагнита) Не, внутреннее поле (измеренное внутри узкой длинной полости, параллельной силовым линиям в образце) Н/ и, наконец, локальное поле, действующее на данный ион, £ГЛ0К, которое равно сумме Н/ и эффективного поля ионног/О окружения. Восприимчивость % можно также определять по отношению ко всем трем полям: %е = М/Не,左=M/Hf и %лок = М/Ялок. Как
мы видели, связь между Не и-ff/ при условии однородной намагниченности определяется с помощью размагничивающего фактора (в общем случае тензора N^. Определение Елок сопряжено с большими трудностями. Этот вопрос рассмотрел впервые Лорентц (1934), а затем Онзагер [9]. См. также Зейтц (1949) и Ван-Флек и Пенни [7].
Третий тип взаимодействия, приводящий к этффекту Штарка, оказывает влияние на энтропию и теплоемкость парамагнетика при Н = 0, а также на % и М в слабых и сильных магнитных полях. Этот эффект приводит к уменьшению энтропии, а его вклад в теплоемкость зависит от температуры по закону Г-2, т. е. тому же, что и эффект магнитного и обменного взаимодействия [см. (16.8)].
Расщепление, обусловленное эффектом Штарка, может быть порядка 104 си-1. Наинизший орбитальный подуровень (см. гл. 10) — основное состояние —— обладает спиновым вырождением, которое не может быть.снято прямым влиянием электрического поля лигандов. Возможен еще небольшой косвенный эффект спин-орбитального взаимодействия, приводящий к слабому расщеплению, порядка 0,1 сл4T. Если спиновое вырождение основного состояния четное, то по теореме Крамерса [10] оно может быть снято магнитным полем (см. гл. 10).
Наконец, четвертый тип взаимодействий может появиться, если ядро парамагнитного иона обладает отличным от пуля магнитным моментом или электрическим квадрупольным моментом (или тем и другим). Взаимодействие ядерного момента с электронной оболочкой иона приводит к слабому расщеплению основого уровня иона (расщепление СТС). Это расщепление состоит из двух частей, обусловленных: 1) магнитным взаимодействием между магнитными моментами электронной оболочки и ядра и 2) электростатическим взаимодействием между ядерным квадрупольным моментом и электрическим потенциалом (в месте расположения ядра), создаваемым электронами ионной оболочки. Первая составляющая порядка 10-2 сл^1, а вторая еще меньше. Поэтому при температуре выше 0кр можно пренебречь их влиянием на кривую намагничивания и энтропию. Вклад же в теплоемкость оказывается, как и в (16.8), пропорциональным Г~2. То обстоятельство, что все перечисленные вклады в теплоемкость оказываются пропорциональными Т-2, затрудняет их экспериментальное разделение. Здесь может помочь «разбавление» магнитных ионов парамагнетика путем замены их в кристалле эквивалентными немагнитными ионами (см. Бенци и Кук [11]), поскольку штарковское расщепление и СТС слабо зависят от разбавления (см. де Клерк и Полдер [12]), в то время как магнитные и особенно обменные взаимодействия зависят от него весьма существенно.
Количественное выражение магнетокалорического эффекта, т. е. изменение .температуры dT, вызванное адиабатическим изменением напряженности магнитного поля dH, можно получить из основного уравнения первого и второго начала термодинамики *), используя условие адиабатичности (dS = 0). Вводя термодинамический потенциал Uf [см. (5.1)]
■и，亠忘 Н2(16-13)
и считая, что плотность парамагнетика не изменяется (dp'=O), получаем
1
dS = ~r{dUf—HdI)^O.(16.14)
Выбирая в качестве независимых переменных температуру и магнитное поле (отвлекаясь от указанного выше различия между Не^ Hi и £ГЛ0К), из (16.14) получаем 我等Т备W号(需т爲)*。，
и, следовательно,
&Т =&Т =\ дН дН ~д1~5т “ If\ дН дН ~д1~5т “ IfdH.dH.(16.15)(16.15)
&Т =
&Т =
\ дН дН ~д1
~5т “ If
\ дН дН ~д1
~5т “ If
dH.
dH.
(16.15)
(16.15)
Используя известные термодинамические соотношения
d / @S \ д ( dS \丽e)=^ (肃)
и определение теплоемкости С^ при постоянном поле, находим
dUf ~днdUf ~днннд! — т д!次 ~dfд! — т д!次 ~dfии~дТ~н " —'н,~дТ~н " —'н,
dUf ~дн
dUf ~дн
н
н
д! — т д!
次 ~df
д! — т д!
次 ~df
и
и
~дТ~н " —'н,
~дТ~н " —'н,
поэтому вместо (16.15) будем иметь
&Т =&Т =(16.16)(16.16)
&Т =
&Т =
(16.16)
(16.16)
Поскольку в обычных парамагнетиках намагниченность уменьшается с повышением температуры и, следовательно, производная (дЦдТ}н отрицательна, то отрицательное dH (т. а уменьшение поля при размагничивании) влечет за собой по (16.16) отрицательное dT, т. е. охлаждение парамагнетика. Однако могут быть и такие случаи, когда производная (дЦдТ}н положительна, например в антиферромагнетиках (см. гл. 22), тогда адиабатическое размагничивание будет вызывать нагревание (см. Курти [14]) ). Поскольку dUf в (16.14) является полным дифференциалом, то
dS丿НdS丿НСцСц(16.17)(16.17)
dS丿Н
dS丿Н
Сц
Сц
(16.17)
(16.17)
и поэтому зависимость температуры от поля при изоэнтропическом процессе можно получить интегрированием (16.17) или (16.16):
Оценим порядок величины этого эффекта (см. Рихеман [17]). Как мы видели, при высоких температурах (кТ》卩е") в парамагнетиках приближенно имеет место закон Кюри (9.3); поэтому
д11дТ=—СН1П
и (16.16) примет вид
TdT =TdT =СИСИ°Н°НdH.dH.(16.19)(16.19)
TdT =
TdT =
СИ
СИ
°Н
°Н
dH.
dH.
(16.19)
(16.19)
Например, в случае кислородаНапример, в случае кислородаИнтегрируя (16.19) в пределах от какой-то начальной температуры Т^ до конечной Т/ и от ^f =/Г до Е/ = 0, получаем (считая А?=?/—直《Т» + А = 2Т)
Например, в случае кислорода
Например, в случае кислорода
Сд = 0,156-4,18-107 эрг/град-г^С = 0,0316
и при
.имеем
АТ= —0,83・10Т1・Н2.
Даже при
Я = 30 000 зЯ = 30 000 з
Я = 30 000 з
Я = 30 000 з
величина
I AT I ^ 0,007。,
т. е. эффект явно ничтожный. Однако при очень низких температурах теплоемкость тела резко уменьшается; можно считать, что при Г« 1° К практически играет роль лишь электронная часть теплоемкости, которая почти в 100 раз меньше теплоемкости кристалла при обычных температурах. Тогда (16.20) дает
при 7^1。К I ДГ | = 2,43-10-7Я2
при Н=3000 » I АТ| ^2,2°.
Этот результат количественно явно неправилен, однако он показывает, что при очень низких температурах магнетокалорический эффект может иметь относительно гораздо большее значение, чем при комнатных температурах. Количественная ошибка, допущенная в приведенном расчете, заключается в том, что мы без всякого основания допустили справедливость закона Кюри вплоть до самых низких температур. Как уже указывалось выше, при таких температурах намагниченность парамагнетиков уже не подчиняется закону Кюри (9.3). В данном случае он должен быть заменен более общим законом Кюри — Вейсса (9.47). При этом вместо (16.20) получаем
СН2
一 2cH (Т +А)'
Из формулы (16.21) видно, что даже при Т = 0°К АТ 声 0, так как Д ^ 0. Это означает, что благодаря наличию взаимодействия между элементарными носителями магнитного момента парамагнетика, обусловливающего появление константы А, абсолютный нуль точно недостижим. Вместе с тем из (16.21) следует, что для целей магнитного охлаждения наиболее подходящими являются те вещества, у которых постоянная А имеет минимальное значение..
Из (16.19) интегрированием получаем
JJ
ИЛ11
T^T^-^~ (召一H).(16.20a)
Пусть H/ = 0 и Гу «0, тогда TIH%^ CICh, и, следовательно, из (16.20а) находим
Tf^Hf-j-.(16.206)
Опытные результаты. В упомянутых вьппе первых опытах по магнитному охлаждению [4] в качестве рабочего вещества использовался сульфат гадолиния Gd2 (SO4)3,8H2O и была получена температура незначительно ниже 1° К. Де Гааз и др. [3], размагничивая такой же препарат от поля 27 600 а при начальной температуре 1,35° К до поля в 850 з, получили более низкую температуру, а именно 0,13° К.
Еще большего успеха добились, когда вместо упомянутого вещества стали пользоваться солями типа квасцов, в которые входят ионы переходных элементов группы железа. Хороший результат получили де Гааз и Вирсма [18] с помощью хромо-калие- вого сульфата K2SO4Cr2 (SO4)3-24H2O, растворенного в немагнитных квасцах К 2SO4A12(SO4)3 -24Н2О; была достигнута температура 0,0044° К. Объем образца при этом был равен 56 сл3 и процесс размагничивания велся от поля в 24 075 з при 1,174° К до поля в 1 э. Еще более низкая температура в 0,003° К была получена при аналогичных опытах с размагничиванием хромо-калиевых квасцов. В ряде работ по глубокому охлаждению были обнаружены новые интересные данные о характере магнитных свойств хромо-калиевых KCr(SO4)2'12H2O и железо-аммониевых квасцов NH4Fe(SO4)2 *12H2O (см. [19—21]). Прежде всего было установлено, что магнитная восприимчивость этих веществ растет с уменьшением температуры и при определенном значении Т = Тмакс достигает максимума. Кроме того, было найдено, что эти квасцы при очень низких температурах становятся ферромагнетиками или антиферромэгнетиками.
Хромо-калиевые квасцы имеют точку Кюри ®, равную 0,0040° К, а железоаммониевые —0,042° К; соответственно для Тмакс было найдено 0,0037° К и 0,03匕° К. Ниже температур Кюри квасцы обладали и остаточной намагниченностью Уд (порядка нескольких гс •сл^/моль) и, следовательно, гистерезисными петлями.
К настоящему времени исследовано уже довольно много парамагнитных веществ и в качестве рабочих материалов в методе адиабатического размагничивания, а также как объектов исследования физических свойств в области сверхнизких температур — от 1 до 10~3° К.
Подробную сводку экспериментальных данных по этим веществам можно найти в обстоятельном обзоре де Клерка [22], в обзоре Амблера и Хадсона [23] или в монографии Гарретта [24]. Исследования магнитных свойств при сверхнизких температурах проводятся в двух различных температурных интервалах, граница между которыми для (каждого парамагнитного вещества определяется температурой Гмакс, отвечающей максимуму восприимчивости *). В области Т > Тмакс ПРИ сравнительно высокой температуре вещества ведут себя как парамагнетики, подчиняющиеся закону Кюри — Вейсса (6.6). В области Т <с У'макс магнитные свойства оказываются более сложными, поскольку они в значительной степени определяются внутренними элект рическими и магнитными взаимодействиями. Здесь очень существенными становятся явления
релаксации и гистерезиса, столь характерные для ферро- и антиферромагнетизма. Более подробно эти вопросы будут рассмотрены в гл. 23. Магнитные свойства парамагнитных солей, исследованных по методу адиабатического размагничивания, описаны в обзорах [22—24].
Метод магнитного охлаждения для ядерных парамагнетиков
Описываемый выше метод адиабатического размагничивания с помощью парамагнитных солей дает возможность получить охлаждение до 10-2—10"3 °К. Этот предел {обозначим его через Гмин), как мы видели, определяется величиной внутренних взаимодействий. Минимальная температура, достигаемая с помощью адиабатического размагничивания таких веществ, может быть оценена по порядку величины из соотношения
4TMин ~ 卩е"вз，
где Нвз—эффективное магнитное поле внутренних взаимодействий. Для солей с сильным разведением магнитных ионов
% (Юа)з，
(16.22)(16.22)где а——порядка размера атома (〜10~8 см). Таким образом, Тмкн 〜т 〜10-3 °К.
(16.22)
(16.22)
Одним из способов понижения Тмин, как это видно из (16.22), могло быть дальнейшее увеличение разбавления парамагнитных ионов путем замещения их изолированными магнитно нейтральными ионами. Однако при этом в такое же число раз будет уменьшаться и максимально возможное изменение энтропии AS при заданном объеме веще- ■ства. Поскольку количество тепла, которое может быть поглощено системой после ее размагничивания, т. е. ее охлаждающая способность, по порядку величины пропорционально Тмин AS, то способы, вызывающие уменьшение AS, нецелесообразны.
Из формулы (16.22) вытекает еще одна возможность уменьшения Тмин，которая не приводит к уменьшению AS, а именно уменьшение числителя дроби в правой части равенства. Это можно сделать, если вместо электронного магнетона Бора |хБ в выражении для Нвз был бы в 1000 раз меньший ядерный магнетон цяд, т. е. если в качестве охладителя использовать «ядерный» парамагнетик, в котором носителями магнетизма являются атомные ядра.
Идею о возможности ядерного охлаждения впервые независимо высказали Гор- тер [25] и Кэрти и Симон [26]. Симон [27] подробно проанализировал необходимые экспериментальные условия осуществления ядерного охлаждения. Первый эксперимент по ядерному охлаждению выполнили Хаттон и Коллин [28]. Большую роль в развитии метода играли также работы Кэрти с сотрудниками [29—33],
Здесь возникают, однако, свои специфические трудности. Во-первых, для выполнения условия ^ядНяд^е е 而？2 для первоначального намагничивания ядерного парамагнетика из-за малости 卩日口 необходимы большие магнитные поля. Поэтому нужно, чтобы начальная температура была максимально низкой (Не ^ ^^/цЯд ^ ^ 107 Т" т. е. при Tg а 10-2°К требуются поля «105—104 з), а этого можно достичь, •если ядерному размагничиванию предпослать обычное адиабатическое размагничивание электронного парамагнетика. Второй трудностью является очень медленный теплообмен между системой ядерных магнитных моментов и кристаллической решеткой. Так, например, время установления теплового равновесия (время релаксации) в системе «ядерные спины + кристаллическая решетка》в диэлектриках при температурах 10-2° К может достигать недель. Более удобными в этом смысле являются металлы, в которых передача энергии от ядерных спинов к решетке осуществляется через электроны проводимости, что уменьшает времена релаксации до минут и даже секунд (при температурах 1—0,01° К) ).
Время релаксации при адиабатическом размагничивании
Электронные системы. В связи с изложенным можно сказать, что при использовании методов магнитного охлаждения возникает существенный вопрос о кинетике этого процесса, т. е. о времени установления теплового равновесия между элементарными носителями магнитного момента (например, электронными спинами в незаполненных слоях атомных оболочек или ядерными спинами) и кристаллической решеткой. Вообще, процесс намагничивания парамагнетиков существенно зависит от взаимодей-
ствия между атомными магнитиками. Теория показывает, что непосредственное действие магнитного поля на атомный магнитный момент сводится к прецессии этого момента вокруг направления магнитного поля, т. е. к диамагнитному эффекту. Однако, если учесть, например, для реальных газов, что атомы вещества испытывают столкновения, то необходимо принять во внимание, что при каждом акте удара направленпе магнитных моментов атомов, вообще говоря, должно изменяться. Методы статист1пе- ской механики (как было указано в гл. 9) автоматически и достаточно точно учитывают этот эффект теплового движения для процессов намагничивания макроскопических тел. Однако при этом мы узнаем лишь окончательный результат, который соответствует термодинамически равновесному состоянию.
Вопрос же о времени установления (времени релаксации) этого термодинамически равновесного состояния должет решаться методами физической кинетики. Для случая одно- и двухатомных парамагнитных газов этот вопрос был подробно исследован Гуревичем [351, который показал, что для одноатомных газов, атомы которых находятся в S-состоянии (пары щелочных металлов), времена релаксации порядка 10-5 сек. В случае двухатомных молекул в силу несферической симметрии их электронной оболочки и в S-состоянии возможно «намагничивание» (изменение ориентации) даже изолированной молекулы. Гуревич нашел, что магнитная восприимчивость, соответствующая этому процессу, составляет 2/3 от полной восприимчивости газа. Остальное намагничивание происходит вследствие столкновений; его время релаксации, как и в случае одноатомного газа, оказалось равным 10-5 сек. Такое разделение «процесса» намагничивания двухатомных парамагнитных газов должно приводить к своеобразной дисперсии магнитной восприимчивости.
Таким образом, для того чтобы при адиабатическом размагничивании магнитная энергия, равная 2卩£攵,могла перейти от кристаллической решетки к элементарным моментам, должно существовать взаимодействие между спинами и колебаниями решетки. Кинетику установления теплового равновесия между спинами и решеткой наиболее полно и последовательно исследовали Ахиезер и Померанчук [Зб], которые, вместо полученной ранее Гайт лером и Теллером [37] сильно завышенной величины, нашли, что время, по истечении которого температура спинов и кристаллической решетки будет отличаться менее чем на 1%, при начальной температуре спинов 0,0001° К и начальной температуре решетки много меньше 0,0001° К не превышает 1 сек. Для проведения кинетического расчета авторы прежде всего должны были сделать определенные предположения относительно энергетического спектра спиновой системы. Вид этого спектра определяется кристаллическим электрическим полем (см. гл. 10), магнитным и обменным взаимодействием между магнитными моментами отдельных ионов решетки. В результате этого взаимодействия с электрическим полем решетки происходш полное (если число электронов в системе четно) или частичное (для нечетного числа электронов) снятие вырождения. •
Кроме того, благодаря магнитному и обменному взаимодействию из каждого уровня изолированного иона создается энергетическая полоса, содержащая N тесно- расположенных уровней (^ — число ионов в кристалле). Ширина полосы по порядку величины равна энергии взаимодействия между двумя соседними моментами и составляет в типичных случаях около^О,02° К. Таким образом, в рассматриваемой системе возбужденный ионный уровень не локализуется в определенном месте решетки.
Слабовозбужденное состояние спиновой системы можно рассматривать как совокупность элементарных возбуждений, с которыми связаны распространяющиеся в кристалле волны. Каждое элементарное возбуждение является квазичастицей и характеризуется вектором квазиимпульса р, определяющим энергию 8 (р) этой квазичастицы («экситона»). Авторы предполагают, что экситоны подчиняются квантовой статистике Ферми—Дирака^*). Приняв это предположение, можно легко составить обычное кинетическое уравнение, если энергию взаимодействия между экситонами и фононами (тепловыми колебаниями решетки) представить в виде ряда по степеням составляющих тензора деформаций, соответствующего тепловым колебаниям. Решение кинетического уравнения дает возможность вычислить энергию, передаваемую решеткой спинам, а затем и время релаксации, т. е. время установления теплового равновесия между системой спинов и решеткой.
Ядерная система. Еще более сложными являются физические процессы, обусловливающие установление теплового равновесия при ядерном охлаждении. В упомянутых опытах Кэрти и др. на Си, а также на Pt и Na (см. работу [38]) была^достигнута температура 20"10~6°К. Из этих опытов можно было определить порядок величины характеристической температуры 0кр, обусловленной внутренними взаимодействиями. Для этого нужно обобщить формулу (16.206), с тем чтобы учесть внутренние взаимодействия, добавляя к внешнему полю эффективное магнитное поле Явз, а именно:
и при Яу « 0 имееми при Яу « 0 имеем
и при Яу « 0 имеем
и при Яу « 0 имеем
Т/=/з "^- •
Если положить 卩яд"вз^^кр>
находим для конкретного случая опытов Кэрти с
Hi = 27,8-103 э, Tf « 16-Ю^6 °К,А = 0,012° К, 1что
0кр А； 2.10-6 °К.
С другой стороны, механизм взаимодействия СТС с электронами проводимости [39,40J приводит к 0кр?^2 "10-6 °К, т. е. к температурам на порядок ниже наблюдаемой. Кит- тель[41]объясняет это тем, что более высокую температуру 0кр может обусловить наличие электрического квадрупольного момента ядер атомов меди, приводящее к более высокой энергии взаимодействия. Использование метода ядерного охлаждения сопряжено, вообще говоря, с большими техническими трудностями, и поэтому пока работы по этому методу не получили еще широкого распространения. Основная трудность заключается в том, чтобы охлажденная система ядерных спинов могла через электроны проводимости охладить кристаллическую решетку и чтобы во всей системе наступило тепловое равновесие при температуре Тяд, достигнутой в результате адиабатического размагничивания ядер. Дело в том, что электроны проводимости рабочего вещества (металла) при ядерном охлаждении получают тепло от внешних источников (через обычную теплопроводность, излучение, внутреннее трение, вихревые токи и т. п.), в противоположность ядрам, которые могут получить тепло только через электроны проводимости. Это внешнее тепло, получаемое электронами проводимости, и ограничивает возможности практической реализации метода ядерного охлаждения. Кэрти [33] показал, что при начальном магнитном поле Н^ = 50*103 з и начальной температуре Tg = Ю-2°К температура электронов проводимости может быть 7 + 3 •10^5°К.
§ 5. Типичная схема магнитных установокдля получения сверхнизких температур
Схема типичной экспериментальной установки для получения сверхнизких температур методом адиабатического размагничивания изображена на рис. 16.2. Образец парамагнитной соли А помещают внутри камеры Б, наполненной газообразным гелием, установленной в дьюар 8 с жидким гелием. При этом образец монтируется в камере
Рис. 16.2. Схема холодильной установки по методу адиабатического размагничивания парамагнитных солей. А — образец из парамагнитной соли; Б — камера, заполненная газообразным гелием; В—дьюар с жидким гелием; Г — трубка для откачки гелия из камеры Б; ^ и S — полюсы электромагнита.Рис. 16.2. Схема холодильной установки по методу адиабатического размагничивания парамагнитных солей. А — образец из парамагнитной соли; Б — камера, заполненная газообразным гелием; В—дьюар с жидким гелием; Г — трубка для откачки гелия из камеры Б; ^ и S — полюсы электромагнита.Рис. 16.3. Схема холодильной установки непрерывного (циклического) действия по методу адиабатического размагничивания. А — образец из парамагнитной соли (рабочее веществ©; В — камера, заполненная газообразным гелием; В — дьюар с жидким гелием; ^ и 8 — полюсы электромагнита; К» н Kg — тепловые ключи,叫 и тпл—намагничивающие устройства ключей; Г — образец исследуемого вещества.Рис. 16.3. Схема холодильной установки непрерывного (циклического) действия по методу адиабатического размагничивания. А — образец из парамагнитной соли (рабочее веществ©; В — камера, заполненная газообразным гелием; В — дьюар с жидким гелием; ^ и 8 — полюсы электромагнита; К» н Kg — тепловые ключи,叫 и тпл—намагничивающие устройства ключей; Г — образец исследуемого вещества.
Рис. 16.2. Схема холодильной установки по методу адиабатического размагничивания парамагнитных солей. А — образец из парамагнитной соли; Б — камера, заполненная газообразным гелием; В—дьюар с жидким гелием; Г — трубка для откачки гелия из камеры Б; ^ и S — полюсы электромагнита.
Рис. 16.2. Схема холодильной установки по методу адиабатического размагничивания парамагнитных солей. А — образец из парамагнитной соли; Б — камера, заполненная газообразным гелием; В—дьюар с жидким гелием; Г — трубка для откачки гелия из камеры Б; ^ и S — полюсы электромагнита.
Рис. 16.3. Схема холодильной установки непрерывного (циклического) действия по методу адиабатического размагничивания. А — образец из парамагнитной соли (рабочее веществ©; В — камера, заполненная газообразным гелием; В — дьюар с жидким гелием; ^ и 8 — полюсы электромагнита; К» н Kg — тепловые ключи,叫 и тпл—намагничивающие устройства ключей; Г — образец исследуемого вещества.
Рис. 16.3. Схема холодильной установки непрерывного (циклического) действия по методу адиабатического размагничивания. А — образец из парамагнитной соли (рабочее веществ©; В — камера, заполненная газообразным гелием; В — дьюар с жидким гелием; ^ и 8 — полюсы электромагнита; К» н Kg — тепловые ключи,叫 и тпл—намагничивающие устройства ключей; Г — образец исследуемого вещества.
Б с помощью креплений из материала с низкой теплопроводностью. Температура гелия в дьюаре В откачкой понижается примерно до 1° К. Тепло, выделяющееся в образце А при намагничивании, отводится с помощью газообразного гелия в камере Б к жидкому
гелию, налитому в дьюар В. Магнитное поле создается электромагнитом. Перед размагничиванием образца газ из камеры Б откачивается через трубку Г, и таким образом образец 4 практически теплоизолируют от внешней среды. Такая схема прибора позволяет получить температуры до Ю-3°К. Естественный отогрев соли происходит за время порядка нескольких десятков часов.
В настоящее время разработана непрерывно (циклически) действующая магнитная холодильная установка, работающая по методу адиабатического размагничивания (см. схему на рис. 16.3 и работы [42—45]). Здесь, так же как и в обычной схеме (рис. 16.2), парамагнитная соль А (рабочее вещество) последовательно соединяется через тепловые ключи ) К^ и К2- при намагничивании с гелиевым дьюаром 力，а при размагничивании с исследуемым веществом Г. Имея около тепловых ключей К, и К^ маленькие намагничивающие устройства mi и т2, можно легко переводить тепловые ключи из сверхпроводящего в нормальное состояние и обратно.
Если исследуемое вещество Г (рис. 16.3) также после первоначального охлаждения из-за теплового контакта с рабочим веществом А изотермически намагнитить, а затем, отключив ключ 度2, адиабатически размагнитить, то мы будем иметь холодильную установку для двухступенчатого каскадного охлаждения (см. Дарби и др. [46]). Преимущество этого типа установки заключается в том, что в ней требуются более слабые магнитные поля. Если в качестве вещества Л взять желеэо-аммониевые квасцы, а в качестве вещества Г — разбавленные хромо-калиевые квасцы, то в последних можно достичь температуру около 0,003 ° К с помощью магнитного поля, равного всего лишь 4000 з, зогда как при одноступенчатом намагничивании потребовалось бы поле в 15 000 з.
Сложнее схема экспериментальной установки, используемой при ядерном охлаждении (см. рис. 16.4. [31]). В этой установке различают четыре различных этапа
Рис. 16.4. Схема работы холодильной установки по^методу ядерного охлаждения. 3 —электронный парамагнитный образец (соль), Я —ядерный парамагнитный образец (металл), К — тепловой ключ; три параллельные линии, соединяющие прямоугольники Э и Я, символизируют тепловой контакт между ними [который открыт при вертикальном положении клю~ ча Я (t) и разорван при горизонтальном положении ключа Я (->)]. Вся система (Э — К — Я) помещена в дьюар с жидким гелием, не изображенный на чертеже. Этап а)： Образец 9 изотермически намагничен в поле 3-104 а, ключ К открыт, и образец находится в нулевом поле; оба образца охлаждены в гелии под откачкою до 1° К. Этап б): образец 9 адиабатически размагничивается, и температура образца падает до 10-2° К. Этап в): образец Н изотермически намагничивается в поле 5 • 104 s, и тепло поглощается образцом Э. Этап г): адиабатическое размагничивание образца Н при разомкнутом ключе.
а) —г). Установка содержит два рабочих вещества — электронный (3) и ядерный (Я) парамагнитные образцы (соль и металл). Вначале оба образца находятся в тепловом контакте (тепловой ключ К открыт!) при температуре около 1°К (образцы охлаждены в гелии под откачкой; предполагается, что все устройство находится внутри дьюа- ра с жидким гелием под откачкой )) и электронный парамагнетик намагничивается изотермически до полей Н ^ 3 *104 э (этап а). Когда тепло намагничивания поглощается окружающей средой (жидким гелием), магнитное поле адиабатически выключается (этап ^), при этом температура образца 5 понижается до 10-2оК, а вместе с ним и у образца Я, поскольку они находятся в тепловом контакте. Затем производят изотермическое намагничивание ядерного парамагнетика (Я) в поле /f^5* 104 а
(этап в). При этом тепло намагничивания поглощается образцом Э (во время этого этапа надо принять меры к тому, чтобы магнитные поля рассеяния в области образца 3 были по возможности слабыми, меньше 200 з, для предотвращения заметного повышения температуры образца 3). Наконец, этап г) заключается в адиабатическом размагничивании ядерного парамагнетика (Я) и получении в нем температуры Т а 30-5 °к.
Тепловой ключ К при этом должен быть закрыт. Обычно ядерный парамагнетик — это металл, и для уменьшения вредного влияния вихревых токов образец Я изготавливается в виде очень тонких проволочек, концы которых запрессовываются в электронный парамагнетик.
Использование сверхпроводящего фазового переходадля получения низких температур
Мендельсон и Мур [47], а также Кеезом и Кок [48] обратили внимание, что адиабатический переход между сверхпроводящим и нормальным состояниями может быть связан с магнетокалорическим эффектом, который может быть использован для получения низких температур. Они и экспериментально доказали существование этого эффекта. Принцип метода можно легко понять из следующих рассуждении. Из опыта известно, что сверхпроводник ниже его критической температуры 0СП можно перевести в нормальное состояние, помещая его в критическое магнитное поле Якм (см. гл. 8). При этом оказывается [см. (8.9)1, что разность энтропий нормального 5Н и сверхпроводящего состояния Sen
、Sh — Sen、Sh — Sen4л dT4л dT(16.23)(16.23)
、Sh — Sen
、Sh — Sen
4л dT
4л dT
(16.23)
(16.23)
Поскольку dH^ldT < 0, то 5H — 5СП > 0, и dH^dT = 0, т. е. когда Г = @сп и Г = 0°Поскольку dH^ldT < 0, то 5H — 5СП > 0, и dH^dT = 0, т. е. когда Г = @сп и Г = 0°исключая случаи, когда Якм = 0 К, где производная dHKJA/dT должнаисключая случаи, когда Якм = 0 К, где производная dHKJA/dT должна
Поскольку dH^ldT < 0, то 5H — 5СП > 0, и dH^dT = 0, т. е. когда Г = @сп и Г = 0°
Поскольку dH^ldT < 0, то 5H — 5СП > 0, и dH^dT = 0, т. е. когда Г = @сп и Г = 0°
исключая случаи, когда Якм = 0 К, где производная dHKJA/dT должна
исключая случаи, когда Якм = 0 К, где производная dHKJA/dT должна
Рис. 16.5. Диаграмма (Т— S) для сверхпроводника, иллюстрирующая метод получения сверхнизких температур, основанный на использовании [сверхпроводящего фазового перехода. 8Н и 8СП—кривые температурного хода энтропии для нормального и сверхпроводящего состояний. 5ре1Ц— энтропийная кривая решетки; пунктирная прямая — электронная энтропия нормального состояния (S^ — SpeIII= =уТ); 0Сп—температура сверхпроводящего фазового перехода (при Н=0); ТА — температура сверхпроводника, охлажденного в отсутствие магнитного поля; АВ—адиабатическое намагничивание образца, переводящее его в нормальное состояние при температуре Тв ts (Т^)=8 (Тв)].Рис. 16.5. Диаграмма (Т— S) для сверхпроводника, иллюстрирующая метод получения сверхнизких температур, основанный на использовании [сверхпроводящего фазового перехода. 8Н и 8СП—кривые температурного хода энтропии для нормального и сверхпроводящего состояний. 5ре1Ц— энтропийная кривая решетки; пунктирная прямая — электронная энтропия нормального состояния (S^ — SpeIII= =уТ); 0Сп—температура сверхпроводящего фазового перехода (при Н=0); ТА — температура сверхпроводника, охлажденного в отсутствие магнитного поля; АВ—адиабатическое намагничивание образца, переводящее его в нормальное состояние при температуре Тв ts (Т^)=8 (Тв)].
Рис. 16.5. Диаграмма (Т— S) для сверхпроводника, иллюстрирующая метод получения сверхнизких температур, основанный на использовании [сверхпроводящего фазового перехода. 8Н и 8СП—кривые температурного хода энтропии для нормального и сверхпроводящего состояний. 5ре1Ц— энтропийная кривая решетки; пунктирная прямая — электронная энтропия нормального состояния (S^ — SpeIII= =уТ); 0Сп—температура сверхпроводящего фазового перехода (при Н=0); ТА — температура сверхпроводника, охлажденного в отсутствие магнитного поля; АВ—адиабатическое намагничивание образца, переводящее его в нормальное состояние при температуре Тв ts (Т^)=8 (Тв)].
Рис. 16.5. Диаграмма (Т— S) для сверхпроводника, иллюстрирующая метод получения сверхнизких температур, основанный на использовании [сверхпроводящего фазового перехода. 8Н и 8СП—кривые температурного хода энтропии для нормального и сверхпроводящего состояний. 5ре1Ц— энтропийная кривая решетки; пунктирная прямая — электронная энтропия нормального состояния (S^ — SpeIII= =уТ); 0Сп—температура сверхпроводящего фазового перехода (при Н=0); ТА — температура сверхпроводника, охлажденного в отсутствие магнитного поля; АВ—адиабатическое намагничивание образца, переводящее его в нормальное состояние при температуре Тв ts (Т^)=8 (Тв)].
обращаться в нуль в согласии с третьим началом термодинамики. Таким образом, сверхпроводящее состояние, как упорядоченное состояние, обладает меньшей энтропией. На рис. 16.5 схематически приведена диаграмма (5 — Г) для сверхпроводника. Энтропия решетки уменьшается с температурой по закону Т3 и поэтому не играет существенной роли. Разность энтропий Sh — 5peui = уГ, как это следует для вырожденного электронного газа (см. гл. 11) (пунктирная прямая на рис. 16.5). Из (16.23) и диаграммы, приведенной на рис. 16.5, ясно, что при изотермическом разрушении сверхпроводимости магнитным полем тепло должно поглощаться образцом. Если же намагничивание производится адиабатически (пунктирная прямая %8 на рис. 16.5), то температура образца должна упасть от ТА до Тв. Таким образом, сверхпроводник, охлажденный в нулевом поле до температуры Та, затем, после адиабатического намагничи-
вания, охлаждается до температуры Т^, гДе его энтропия нормального состояния 5Н (2\в) равна энтропии 5СП (Гл). Как было найдено экспериментально на Sn (см. [49, 50]), такой метод адиабатического намагничивания сверхпроводника весьма полезен для получения температур в интервале от 0,3° до 1° К. Более подробные сведения можно найти в книге Мендельсона [50].
Использование адиабатического размагничивания металлови некоторые другие вопросы
Обычно в методе адиабатического размагничивания электронных парамагнетиков используются неметаллические вещества — соли. Однако было показано, что для этой цели могут быть использованы также и некоторые металлические сплавы редких земель. А именно в ряде сплавов системы Th — Er (с 0,82; 2,3; 5,2 и 0,6 ат.% Ег) при размагничивании от полейН ^ 8 *103 з и при 乃 弋 0,73° К удавалось снизить температуру до 0,07° К (см. Паркс и Литл [51]). Использовались сплавы Y с Gd (0,3 и 1,0 ат.% Gd), с Dy (1,0 ат.% Dy) и Но (0,6 и 1,0 ат.% Но). Эти сплавы парамагнитны в интервале от 1,2° до 4,2° К. Они адиабатически размагничивались от поля Я； = 11 «КРэ и 仆 =1,25° К. Наинизшая конечная температура Т/= 0,76° К была получена в монокристаллах Y — Но (с 1,0 ат.% Но) при намагничивании вдоль оси а гексагонального кристалла (см. также работу Нельсона и Легволда [52]).
Преимущества металлических сплавов перед парамагнитными солями — диэлектриками заключается в том, что при Z 匕 1° К их теплопроводность гораздо выше. В диэлектриках существует только теплопроводность решетки, которая изменяется пропорционально Г3 и очень мала в этой области температур. Поэтому при температурах ниже 0,1° К из-за исключительно низкой теплоемкости устанавливается очень низкая скорость теплообмена между парамагнитной сольго и образцом, подвергающимся охлаждению.
В металлах теплопроводность в основном определяется электронами проводимости и изменяется с температурой линейно. При Т^ 0,1° К она существенно выше, чем для диэлектриков.
Кроме того, металл более прочен, чем обычно используемые при методе адиабатического размагничивания охлаждающие соли, которые разлагаются при соприкосновении с воздухом или при нагревании. Неприятности, которые связаны с возбуждением вихревых токов в металлах при размагничивании, в этих сплавах не столь велики благодаря большому значению их остаточного удельного электросопротивления.
В качестве примера исследования, целью которого был выбор охлаждающих парамагнитных систем, можно указать на работу [52J.
Абрагам [53] и Джеффрис [54] указали, что при вращении анизотропного парамагнитного кристалла в магнитном поле при низких температурах должна возникать поляризация атомных ядер. Робинзон [55] наблюдал периодическое изменение температуры в кристалле La2Mg3(NO3)12-24H2O, в котором 2% диамагнитных ионов La замещены ионами С1, при его вращении в магнитных полях в интервале от 1 *103 до 4 "103 а с частотами от 0,75 до 6 гц.
Упомянем также идею адиабатического вращательного охлаждения в системе парамагнитных ионов, обладающих заметной анизотропией g-фактора [56, 57]. Слик- тер и Холтон [58] рассмотрели адиабатическое размагничивание во вращающейся системе отсчета.
Азбель [59] предложил идею нового способа получения низких температур с помощью эффекта де Гааза ——ван Альфена, в которой реализуется существенная зависимость от температуры осциллирующей части магнитного момента. Оценки показывают, что относительное изменение температуры АТ/Т при адиабатическом размагничивании или намагничивании может достигать 1 -г 10 % , и поэтому при повторном проведении циклов адиабатического намагничивания и изотермического размагничивания, можно достичь сколь угодно низкой температуры. Однако пока эта идея не была реализована на опыте.
Весьма существенным является также вопрос об установлении температурной шкалы в области ниже 1° К. В связи с этим в качестве примера можно указать на весьма обстоятельное исследование Блока и др. [60], в котором устанавливается температурная шкала с помощью этилсульфата неодима при Т < 1° К.
В заключение можно сказать, что метод магнитного охлаждения не только интересное и мощное средство изучения магнитных свойств веществ при сверхнизких температурах, но также дает богатейшую информацию о всей совокупности их физических свойств.
Интересно отметить, что Шелленг и Фридберг [61] исследовали явление адиабатического охлаждения антиферромагнетика при его намагничивании. См. также работу по установлению температурной шкалы от 2° до 0,002° К [62], а также работы [63, 64].
Альтшулер [65] (см. также [66]) предложил теоретически новый метод адиабатического размагничивания, промежуточный между описанными выше электронным
и ядерным методами. Он заключается в размагничивании ядеряых моментов в полях взаимодействия СТС, создаваемых внешними магнитными полями, путем поляризации 4/-электронов ионов редкоземельных элементов, находящихся в синглетном основном состоянии. Андрес и Бэчер [67] осуществили на опыте этот метод охлаждения в соединении PrBi от начальной (0,026° К) до конечной температуры 0,01° К. Подробности см. в цитированных выше работах, а также более поздних [68—72].
I2-工 Л^^А^7^0^о^п^.ъ
11
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 16
Р. D е b у е, Ann. der Phys. 81, 1154 (1926).
W F. G i a u q u e, J. Am. Chem. Soc. 49, 1864, 1870 (1927).
W. J. de H a a s, E. C. W i e г s m a, H. A. Kramers, Leiden Comm. № 229a, Physica, 1, 1 (1933).
W. F. Giauque, D. P. M c D о u g a 1 1, Phys. Rev. 43, 768 (1933).
N. К u г t i, F. S i m о n, Nature 133, 907 (1934).
Shepherd, G. F e h e r, Phys. Rev. Lett. 15, 194 (1965).
H. V a n V 1 e c k^ W. G. Penney, Phil. Mag. 17, 961 (1934).
J. V a n V 1 e c k, J. Chem. Phys. 5, 320 (1937).
L. Onsager, J. Am. Chem. Soc. 58, 1486 (1936).
A. Kramers, Proc. Amster. Acad. 32, 1176 (1929).
R. J. В e n z i e, A. H. С о о к e, Nature 164, 837 (1949); Proc. Phys. Soc. A63, 210, 213 (1950).
D. de К 1 e г k, D. P о 1 d e r, Physica 8, 508 (1941).
Kirschner, Acta Phys. Hung. 15, 325 (1963).
N. К u г t i, J. phys. et rad. 12, 282 (1951).
Ch. Kittel, Physica 25, 88S (1958).
W. P. W о 1 f, Phys. Rev. 115, 1196 (1959).
M. Reehemann, Low Temperature Physics, Oxford, 1937.
W. J. de Haas, E. C. Wiersma, Доклад на 7-м международном конгрессе холода, 1936.
D. de Klerk, М. J. Steenland, С. G. G о г t е г, Physica 15, 649 (1949).,
М. J. Steenland, D. de Klerk, C. G. G о г t e r, Physica 15, 711 (1949); M. J.Steenland, L. C. v an der M а г e 1, D. de К 1 e г k, C. G. G о г t er, Physica 15, 906 (1949).
H. С о о k e, Proc. Phys. Soc. A62, 269 (1949).
Д. де Клерк, в книге «Физика низких температур», ИЛ, М., 1959, гл. VII.
Амблер, Р. П. Хадсон, У①Н 67, 445 (1959).
G. В. Garrett, Magnetic Cooling, Harvard Univ. Press, Cambridg, Massachusetts 1954
G. G о г t e r, Phys. Zs. 35, 923 (1934).
N. К u г t i, F. S i m о n, Proc. Roy. Soc. A149, 152 (1935).
F. E. S i m о n, Le Magnetism, vol. 3, Strasbourg, 1940, p. 1.
J. Hatton, В. V. К о 1 1 i n, Proc. Roy. Soc. A199, 222 (1949).
N. К u г t i, F. N. H. R о b i n s о n, F. E. S i m о n, D. A. S p о h r, Nature 178, 450 (1956).
M. V. H о b d e n, N. К u г t i, Phil. Mag. 4, 1092 (1959).
N. К u г t i, Science Prog. № 179, 401 (1957).
N. К u г t i, Cryogenics 1, 2 (I960).
N. К u г t i, Adv. Cryogen Engineering 8, 1 (1963).
E. B. Osgood, J. M. Goodkind, Cryogenics 6, 54 (1966).
Л. Э. Гу ревич,出3T① 7, 544 (1937); 14, 318 (1944).
А. И. А хиез е р, И. Я. Померанчук, ЖЗТ ① 14, 342 (1944).
W. Н. Н е i t 1 е г, Е. Teller, Proc. Roy. Soc. A155, 629 (1936).
C. Froidevaux, E. L. Hahn, R. Walstedt, Proc. VII Int. Conf. Low Temperature Physics, Toronto, 1961, p. 118.
H. Frohlich, F. R. N. N a b а г г o, Proc. Roy. Soc. A175, 382 (1940).
M. A. Ruderman, Ch. Kittel, Phys. Rev. 96, 99 (1954).
Ch. Kittel, Phys. Rev. 104, 1807 (1956).
J. G. D о u n t, С. V. H e e r, Phys. Rev. 76, 985 (1949).
С. V. Heer, С. В. В arnes, J. C. D ount, Phys. Rev. 91, 412 (1953).
С. V. H e e г, С. В. В а г n e s, J. C. D о u n t, Phys. Rev. 93, 362 (1954); Rev. Sci, Instr. 25, 1088 (1954).
P. А. Ч e н ц о в, У①H 61, 303 (1957).
J. D а г b y, J. H a 11 о n, В. V. R о 1 1 i n, Proc. Phys. Soc. A63, 2 (1951); J. D a r- by, J. Hatton, В. V. Rollin, E. F. Seymour, N.S. Silsbee, Proc. Phys. Soc. A64, 861 (1951).
K. Mendelssohn, J. R. Moore, Nature 133, 413 (1934).
W. H. К e e s о m, J. А. К о k, Physica 1, 595 (1934).
M. Y a q u b, Cryogenics 1, 1 (I960).'
К. Мендельсон, в книге «Физика низких температур», ИЛ, М., 1959, гл. X.
R. D. Parks, W. A. Little, Proc. VII Int. Согй. Low Temperature Physics, Toronto, 1961, p. 114; Phys. Rev. Lett. 6, 539 (1961).
D. T. N e 1 s о n, S. L e g v о 1 d, Phys. Rev. 123, 80 (1961).
A. A b г a g a m, Cryogenics 3, 42 (1963).
C. D. J e f f г i c s, Cryogenics 3, 41 (1963).
F. N. H. R о b i n s о n, Phys. Lett. 4, 180 (1963).
G. S. Bogle, A. H. Cooke, S. Whitley, Proc. Phys. Soc. A64, 93 (1951).
T. L. E s 11 e, H. R. H а г t, J. C. Wheatley, Phys. Rev. 112, 1576 (1958).
С. P. S 1 i c h t e r, W. С. H о 1 t о n, Phys. Rev. 122, 1701 (1961).
M. Я. A 3 б e л ь,出3T① 45, 396 (1963).
J. В 1 о k, D. A. Shirley, N. J. Stone, Phys. Rev. 143, 78 (1966).
J. H. S c h e 1 1 e n g, S. A. Friedberg, J. Appl. Phys. 34, 1087 (1963).
R. P. H u d s о n/R. S. К a e s e r, Physics 3, 95 (1967).
S. J. Williamson, J. A. Cape, Phys. Rev. Lett. 21, 370 (1968).
W. R. Abel, J. C. Wheatley, Phys. Rev. Lett. 21, 597 (1968).
С. А. А л ь т ш у л e p. Письма 出3T① 3, 177 (1966).
С. А. Альтшулер, М. А. Т е пл о в, Письма 出 ЗТ ① 5, 209 (1967).
К. Andres, Е. Bucher, Phys. Rev. Lett. 21, 1221 (1968).
H. E. Алексеевский. Письма 出ЗТ① 4, 468 (1966).
А. Е. Clark, Е. Callen, Phys. Rev. Lett. 23, 307 (1969).
J. R. McColl, C. D. J ef fries, Phys. Rev. IB, 2917 (1970).
K. Anders, E. Bucher, Phys. Rev. Lett. 24, 1181 (1970).
A. E. Clark, R. S. A 1 b e n, J. Appl. Phys. 41, 1195 (1970).
ЧАСТЬ Ш
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВС АТОМНЫМ МАГНИТНЫМ ПОРЯДКОМСИЛЬНОМАГНИТНЫЕ ТЕЛА—ФЕРРОМАГНЕТИКИ,АНТИФЕРРОМАГНЕТИКИ,О)ЕРРИМАРНЕТИКИ
Ферромагнитных свойств ясна причина — Непарный электрон в них виноват： Все атомы, по направленью спина^ Глядящего вперед или назад^ Построены, как войско ма парад.
Во внешнем поле、 разрушая стены. Сливаются соседние домены^ Так создает гармонию Вселенной Ничтожных сил суммарный резулътап1\
(Джон Апдайк, Танцы твердых тел, ?Курнал «Химия и жнзнь» № 11, стр. 56, 1969 г.).
В третьей части излагаются основные физические представления о веществах, обладающих магнитным порядком, т. е. каким-то упорядоченным расположением атомных носителей магнитного момента,— ферромагнетиках, антиферромагнетиках ^ ферримагнетиках, которые принято называть сильномагнитными телами.
Изложение этой части книги начинается с подробного феноменологического анализа кривых намагничивания и специфических черт немагнитных свойств веществ с атомным магнитным порядком, что позволяет сформулировать основные задачи теории (гл. 17). Затем дается феноменологическое описание ферромагнетизма (теория молекулярного поля и статистико-термодинамическая трактовка ферромагнитных фазовых превращений) (гл. 18) и основы микроскопической (квантовомеханической) трактовки проблемы (гейзенберговская модель, теория спиновых волн и ее развитие) (гл. 19).
В последующих главах рассматриваются специфические особенности ферромагнитных свойств металлов (гл. 20) н мет а ллических сплавов (гл. 21). В гл. 22 рассмотрены проблемы антиферромагнетизма и ферримагнетизма. Гл. 23 посвящена изложению основных проблем физики магнитных материалов. В гл. 24 рассмотрено поведение ферро-, ферри- и антиферромагнетиков в переменных магнитных полях — дисперсия магнитной проницаемости и различные типы магнитного резонанса.
В двух заключительных главах описаны специфические особенности некоторых равновесных и кинетических свойств ферро- и антиферромагнетиков (гл. 25), а также применения методов ядерной физики и изучению магнитных свойств вещества: магнитная нейтронография, ядерный магнитный резонанс (ЯМР) и эффект Мессбауэра (гл. 26).
Раздел магнетизма, к которому относится третья часть книги, имеет большое теоретическое значение. Явление магнитного порядка весьма интересно само по себе и ценно как источник богатой информации о совокупности других, немагнитных свойств этих веществ. Все немагнитные свойства в той или иной степени зависят сами от магнитного порядка или влияют на него. Благодаря относительной простоте изучения магнитных свойств удается развить косвенные методы исследования немагнитных — механических, структурных, оптических и т. п.— свойств, непосредственное изучение которых представляет более трудную задачу. Не менее интересны вещества с магнитным порядком и в практическом аспекте. Из них изготовляются многочисленные технические магнитные материалы, находящие широкое распространение в ведущих отраслях современной техники, где во многих случаях эти материалы играют определяющую роль. Магнитные свойства ферромагнитных веществ используются также при различных методах промышленного контроля изготавливаемых из этих материалов изделий и для целей магнитной дефектоскопии.
Глава 17
САМОПРОИЗВОЛЬНАЯ НАМАГНИЧЕННОСТЬ
И ПРИРОДА АТОМНЫХ НОСИТЕЛЕЙ МАГНЕТИЗМА ВЕЩЕСТВ
Основные свойства ферромагнетиков
Поведение ферромагнетика во внешнем магнитном поле； магнитное насыщение Как уже указывалось (гл. 6) и как будет подробно рассмотрено ниже, ферромагнитным атомным порядком обычно называется параллельная ориентация магнитных моментов всех атомных носителей магнетизма в веществе *).
Среди кристаллов чистых элементов имеется только девять ферромагнетиков (около 10% всех элементов таблицы Менделеева): это три Зй-металла: Fe, Со и Ni — и шесть 4/-мета л лов: Gd, Dy, Tb, Но, Er, Tm (из них коллинеарным ферромагнитным порядком обладают Fe, Со, Ni, и, возможно, Gd). Практически необозримо число ферромагнитных сплавов и соединений. При этом в основном ферромагнитными материалами являются металлы, а также металлические сплавы и соединения. Число известных ферромагнетиков неметаллического класса пока весьма невелико ); это, например, ионные соединения типа Lai_xCaxMnO3(0,4 ＞ ＞况＞ 0,2), EuO (Маттиас и др. [1]), Eu2SiO4, EuS, EuSe, Eul2 (Мак-Гир и Шафер [2]), СгВг3 (Тсубокава [3], Диллон [4]), соединения типа халко- гепидов со структурой шпинели; CdCr2S4, CdCr2Se4, HgCr2S4, HgCr2Se4 (Бальтцер и др. [5]), соединения типа К2СиС14*2Н2О (см., например, Форд и Джеффрис [6]), Dy (С2Н5'SO4)3-9Н2О (Кук и др. [7]), модамит Fe3 (РО4)2'4Н2О(Абрахамс [8]), см. также [9—11, 61—63].
В основном неметаллические тела с атомным магнитным порядком относятся к антиферро- или ферримагнетикам.
Если подойти к описанию ферромагнетика с чисто феноменологической стороны, то можно сказать, что отличительной особенностью поведения ферромагнетиков во внешних магнитных полях Н является специфический вид их кривой намагничивания J (Н) (см. рис. 4.5), впервые (1870 г.) наиболее детально изученной Столетовым [12, 13]. Для выяснения физической природы магнитных свойств этих веществ необходимо прежде всего проанализировать вид кривой намагничивания и ее изменения, возникающие при внешних воздействиях (температуры, давления и т. п.). Из рис. 4.5 видно, что в отсутствие поля (JET = 0) отсутствует и намагниченность (工=0), т. е. в этом случае в исходном состоянии образец не обладает результирующей намагниченностью ). С увеличением поля намагниченность образца начинает расти сначала медленно, потом очень быстро,
и в полях порядка 102 з наступает насыщение /$, после достижения которого намагниченность испытывает лишь слабый и практически линейный рост (парапроцесс). Процесс намагничивания до насыщения принято называть техническим намагничиванием^ а соответствующий участок кривой I (JET) — технической кривой намагничивания. Область парапроцесса при / >/$ называют истинным намагничиванием ). Наиболее ярким внешним проявлением магнитных свойств ферромагнетика и является прежде всего существование магнитного насыщения 厶,достигаемого, как правило, в сравнительно слабых полях. В случае парамагнетиков также существует эффект магнитного насыщения (см. гл. 9). Однако, исключая область температур, близких к 0° К, его практически не наблюдают даже в самых сильных достижимых полях (^105 з). В случае же типичных ферромагнитных тел магнитные поля насыщения Нs даже при комнатной температуре могут не превышать нескольких единиц или
4,8c4,8cРис. 17.1. Изотермы намагниченности никеля (Вейсс и Форрер [14]).Рис. 17.1. Изотермы намагниченности никеля (Вейсс и Форрер [14]).ттРис. 17.2. Температурная зависимость магнитного насыщения никеля (Вейсс и Форрер [14]).Рис. 17.2. Температурная зависимость магнитного насыщения никеля (Вейсс и Форрер [14]).десятков эрстед. Как будет показано ниже, величина поля насыщения ферромагнетика определяется его магнитной анизотропией. Даже в наиболее совершенных монокристаллах ферромагнетиков насыщение достигается в очень слабых полях (порядка или даже меньше 1—10 з) лишь при намагничивании вдоль небольшого числа (одной или нескольких) главных осей симметрии кристалла — осей легчайшего намагничивания. Для остальной бесконечной совокупности направлений насыщение наступает в полях порядка сотен эрстед ).
4,8c
4,8c
Рис. 17.1. Изотермы намагниченности никеля (Вейсс и Форрер [14]).
Рис. 17.1. Изотермы намагниченности никеля (Вейсс и Форрер [14]).
т
т
Рис. 17.2. Температурная зависимость магнитного насыщения никеля (Вейсс и Форрер [14]).
Рис. 17.2. Температурная зависимость магнитного насыщения никеля (Вейсс и Форрер [14]).
Магнитное насыщение и самопроизвольная намагниченность. Опыт показывает, что величина насыщения Is сравнительно слабо зависит от упругих и пластических деформаций и других «дефектов» кристаллической решетки, если они затрагивают пе очень большую долю всего объема ферромагнетика. Но некоторые структурные изменения в веществе могут приводить к весьма резким изменениям величины Is и даже к ее полному
исчезновению или, наоборот, к возникновению. Например, в сплавах при изменении расположения по узлам кристаллической решетки атомов различных компонент (т. е. характера и степени атомного порядка) Is может резко менять величину. Можно, наконец, уничтожить насыщение, нагревая ферромагнетик. На рис. 17.1 приведено семейство магнитных изотерм никеля для разных температур Т (от 20° до 405,7° С). Из кривых видно, что с ростом Т насыщение Is сначала медленно, а потом довольно быстро падает и, начиная с некоторой температуры, практически отсутствует (рис. 17.2). Фер рома гнетик выше этой температуры лишается своих характерных магнитных свойств и превращается в парамагнетик с магнитной восприимчивостью, подчиняющейся во многих случаях обычному закону Кюри — Вейсса (6.6). Из кривых рис. 17.1 и 17.2, однако, трудно установить вполне определенную температуру, при которой происходит магнитное превращение — ферромагнетизм 之 парамагнетизм^ поскольку этот переход «размазывается» в присутствии внешнего поля благодаря увеличению удельного веса парапроцесса с ростом Т. Из приведенных данных можно лишь указать некоторую переходную температур^ ную область. На кривой рис. 17.2 для Is (7) это отмечено пунктирным «хвостом». Можно исключить этот хвост и проэкстраполировать кривую /$ (7) от более низких температур до пересечения с осью Т. Тогда для каждого ферромагнетика получим определенную критическую температуру 0, выше которой можно считать, что ферромагнетизма уже не существует. Температуру 0 принято называть точкой Кюри, по имени открывшего ее в 1896 г. французского физика Пьера Кюри [15].
Более прямые доказательства «точечного» характера магнитного превращения, т. е. существования критической температуры —«точки» Кюри, можно получить при косвенном изучении этого превращения, например измеряя температурный ход совокупности немагнитных свойств ферромагнетиков в интересующей нас области температур. Как упоминалось выше, на всех немагнитных физических свойствах ферромагнетиков лежит специфический отпечаток их особой магнитной природы. Все эти свойства обладают, как принято говорить, ферромагнитными аномалиями^ которые наглядно выявляются при их сравнении с аналогичными свойствами слабомагнитных веществ. Детальное изучение температурного хода этих аномалий показало, что они исчезают с потерей ферромагнетиком его характерных магнитных свойств (см. Герлах [16]) и практически не зависят от внешнего магнитного состояния тела, т. е. от того, намагничено оно или размагничено. Такая слабая чувствительность аномалий к магнитному состоянию ферромагнетика при условии относительной слабости парапроцесса позволяет сделать вывод, что насыщение Is есть проявление внутренних свойств ферромагнетиков, а не эффект внешнего поля, как это имеет место в парамагнетиках. Изучение температурной зависимости ферромагнитных аномалий позволило достаточно точно определить зависимость Is (7) в переходной области вблизи 0. [Подробнее см. гл. 18 и книгу Белова (1959).] В качестве примера на рис. 17.3а и 17.36 приведены кривые температурной зависимости теплоемкости и температурного коэффициента удельного электросопротивления для одного и того и；е материала — никеля; максимумы этих аномалий достаточно близки друг к другу и к точке Кюри 0 ).
На основании изложенного естественно высказать гипотезу, что основным внутренним свойством ферромагнитных тел является наличие в них в интервале температур от 0° К до точки Кюри 0 самопроизвольной (спонтанной) намагниченности, не зависящей от внешнего магнитного поля и по величине равной наблюдаемому магнитному насыщению /§‘
Самопроизвольная намагниченность Is существенно зависит от температуры и выше точки Кюри полностью исчезает. Гипотезу самопризвольной намаг
ниченности наиболее детально развил в 1907 г. И, Вейсс [17] и несколько
раньше (1892—1896 гг.), в менее разработанной форме, Б. Розинг [18]. Сразу возникает вопрос: почему в естественном равновесном состоя
нии ) при 8 = 0 ферромагнитные образцы не обладают результирующей намагниченностью? Как будет показано ниже, отсутствие суммарного
Рис. 17.36. Аномалия температурного коэффициента удельного электросопротивления никеля вблизи точки Кюри 0.Рис. 17.36. Аномалия температурного коэффициента удельного электросопротивления никеля вблизи точки Кюри 0.Рис. 17.3а. Аномалия теплоемкости никеля вблизи точки Кюри 0.Рис. 17.3а. Аномалия теплоемкости никеля вблизи точки Кюри 0.магнитного момента в образце является следствием требования термодинамического равновесия. Выше (гл. 5) указывалось, что в ферромагнетике возможно состоя-
Рис. 17.36. Аномалия температурного коэффициента удельного электросопротивления никеля вблизи точки Кюри 0.
Рис. 17.36. Аномалия температурного коэффициента удельного электросопротивления никеля вблизи точки Кюри 0.
Рис. 17.3а. Аномалия теплоемкости никеля вблизи точки Кюри 0.
Рис. 17.3а. Аномалия теплоемкости никеля вблизи точки Кюри 0.
ние, когда при нулевом поле (JET = 0) индукция и намагниченность отличны от нуля (В = 4лТ =/： 0), но при условии, что div 工=0 и Div J = 0, т. е. что при этом векторы J.(=/：0) так распределены по объему образца, что в нем не возникают магнитные заряды, которые создавали бы поле. Отсюда становится понятным второе предположение Вейсса —— гипотеза областей самопроизвольной намагниченности^ или доменов, согласно которой" ферромагнетик в термодинамически равновесном состоянии разбивается на отдельные малые, но макроскопические области (домены), намагниченные до насыщения Is (отвечающего данной температуре). Однако распределение направлений векторов Is по этим доменам таково, что средняя результирующая намагниченность по всему объему образца равна нулю; ^ISi^i = 0, где vt — относительный объем i-й области.
Действие магнитного поля на ферромагнетик по гипотезе доменов заключается в основном не в истинном увеличении намагниченности (т. е. в слабом парапроцессе), а лишь в преодолении влияния вторичных факторов, приводящих к стабилизации термодинамически равновесной (а иногда и неравновесной) доменной структуры, которое и составляет физическое содержание процессов намагничивания ферромагнетиков, ^определяющих характерный нелинейный вид их кривых намагничивания л петель гистерезиса.
В соответствии с упомянутыми выше двумя гипотезами теорию ферромагнетизма можно разделить на две части:
теория самопроизвольной намагниченности (в доменах), объясняющая самую природу ферромагнетизма, и
теория возникновения и изменения, ферромагнитных областей (доменов), или теория технической кривой намагничивания^ объясняющая доведение ферромагнитных тел во внешнем магнитном поле. ■
В такой последовательности ниже и будет вестись изложение теории ферромагнетизма.
Основные свойства антиферромагнетикови ферримагнетиков
勿勿Как отмечалось в гл. 6, кроме параллельного упорядоченного расположения атомных магнитных моментов, соответствующего ферромагнетизму, может иметь место и другой тип магнитного порядка, когда моменты атомов хотя и образуют упорядоченное распределение, но такое, что в каждой магнитной элементарной ячейке кристалла результирующий магнитный момент равен нулю. На рис. 17.4, а — в представлены примеры антиферромагнитного упорядоченного распределения спиновых магнитных моментов одинаковых магнитно активных атомов (ионов), образующих г.ц.к. кристаллическую решетку, при котором достигается полная компенсация магнитного момента в кристалле. Как известно, в кристаллогра-
勿
勿
Рис.Рис.8)17.4. Антиферромагнитное8)17.4. Антиферромагнитноерасположение атомных магнитных моментов в г i,.k. решетке. Положения магнитных атомов Показаны светлыми кружками; плюс — спин направлен вверх, минус — спин направлен вниз, а) Чередующиеся плоскости (100); 6) восемь магнитных подрешеток; в) «косые» плоскости.расположение атомных магнитных моментов в г i,.k. решетке. Положения магнитных атомов Показаны светлыми кружками; плюс — спин направлен вверх, минус — спин направлен вниз, а) Чередующиеся плоскости (100); 6) восемь магнитных подрешеток; в) «косые» плоскости.фическом смысле г.ц.к. решетку можно представить в виде совокупности четырех вставленных друг в друга простых кубических подрешеток (п.к.) с ребром куба d. На рис. 17.4 эти четыре подрешетки обозначены символами А, В, С, D. Каждый атом кристалла имеет по 12 ближайших соседей, например, атом типа А — по четыре соседа из каждой из трех подрешеток В, С, D. В следующей координационной зоне имеется шесть соседей из своей подрешетки. Знаками плюс и минус на рис. 17.4 обозначены две возможные антипараллельные ориентации магнитных моментов. На рис. 17.4, а показана антиферромагнитная структура в виде чередующихся плоских слоев, параллельных граням куба (100). Таким образом, одна из магнитных подрешеток (атомы со знаком плюс) совпадает с кристаллографическими подрешетками (п.к.) Л и С, а вторая (атомы со знаком минус) — с В п D. В случае, изображенном на рис. 17.4, 6, имеем восемь магнитных подрешеток, попарно образованных из четырех кристаллографических подрешеток А, В, С и D в виде вставленных друг в друга тетрагональных решеток Л+ и Л _, и 5 _, С+ и С _, D^ и Z) _ с удвоенной длиной ребра куба 2d вдоль оси [100] и с ребрами длиной d вдоль осей [010] и [ООН. На-
Рис.
Рис.
8)
17.4. Антиферромагнитное
8)
17.4. Антиферромагнитное
расположение атомных магнитных моментов в г i,.k. решетке. Положения магнитных атомов Показаны светлыми кружками; плюс — спин направлен вверх, минус — спин направлен вниз, а) Чередующиеся плоскости (100); 6) восемь магнитных подрешеток; в) «косые» плоскости.
расположение атомных магнитных моментов в г i,.k. решетке. Положения магнитных атомов Показаны светлыми кружками; плюс — спин направлен вверх, минус — спин направлен вниз, а) Чередующиеся плоскости (100); 6) восемь магнитных подрешеток; в) «косые» плоскости.
конец, на рис. 17.4, в изображен случай, когда параллельные спины заполняют «косые» плоскости и при этом намагниченности соседних плоскостей оказываются антипараллельными. Таким образом, весь кристалл разбивается на четное число магнитных подрешеток с параллельными атомными магнитными моментами в подрешетке данного типа, но с антипараллельной ориентацией магнитных моментов в подрешетках разного типа. Магнитная подрешетка кристалла обладает своей самопроизвольной намагниченностью. В случае двух подрешеток с парциальными намагниченностями 工虱 и Js2 эти векторы антипараллельны и равны по величине и весь кристалл в целом не намагничен:工$]+工$2 = 0 (при этом предполагается, что Н = 0). Вещества с подобными магнитными структурами называют антиферромагнетиками, а состояния с таким магнитным порядком ——антиферромагнетизмом. Теоретически такой тип магнитного порядка предсказали Ландау [19] и Неель [20].
В отличие от парамагнетиков такой кристалл будет обладать специфическими магнитными и другими физическими свойствами.
Рис. 17.5. Температурная зависимость магнитной восприимчивости типичного антиферромагнетика МпО (пол икри сталл ически й образец) при полях Н = 5000 и 24 000 э (Бизетт и др. [21]).Рис. 17.5. Температурная зависимость магнитной восприимчивости типичного антиферромагнетика МпО (пол икри сталл ически й образец) при полях Н = 5000 и 24 000 э (Бизетт и др. [21]).В области не очень сильных полей (менее 102 э) кривая намагничивания антиферромагнетика мало чем отличается от кривой намагничивания парамагнетика и, следовательно, его восприимчивость %а^м не зависит от внешнего поля, а по величине в типичных случаях заключена в интервале Ю~4—10~6 гс!э. Однако при более сильных полях кривые 7(H) могут перестать быть прямыми линиями — возникают нелинейные участки, а иногда и резкие скачки. В силу этого восприимчивость %а巾м становится сложной функцией поля. Магнитные и другие физические
Рис. 17.5. Температурная зависимость магнитной восприимчивости типичного антиферромагнетика МпО (пол икри сталл ически й образец) при полях Н = 5000 и 24 000 э (Бизетт и др. [21]).
Рис. 17.5. Температурная зависимость магнитной восприимчивости типичного антиферромагнетика МпО (пол икри сталл ически й образец) при полях Н = 5000 и 24 000 э (Бизетт и др. [21]).
Рис. 17.6. Температурная зависимость магнитной восприимчивости (на моль) антиферромагнитного монокристалла MnF2, измеренная вдоль тетрагональной оси (% ) и в перпендикулярной к ней плоскости (%丄)；®n — точка Нееля.
свойства антиферромагнетиков обладают также специфической температурной зависимостью. На рис. 17.5 приведена типичная кривая %афМ (7) для поликристаллического образца антиферромагнетика МпО. Вначале %а巾м растет с температурой и при Т = 120° К достигает максимума, а затем подчиняется обычному закону Кюри — Вейсса [см. формулу (6.6)]. Температура, соответствующая максимуму кривой %афМ (7), аналогична температуре Кюри ферромагнитных тел. Выше нее антиферромагнетик теряет свои специфические магнитные свойства и превращается в парамагнетик. Вблизи этой критической температуры, называемой антиферромагнитной точкой Кюри 0афм или точкой Нееля 0^ наблюдается максимум аномалий немагнитных свойств антиферромагнетиков (теплоемкости, коэффициента теплового расширения, температурного коэффициента электропроводности и т. п.). Таким образом, антиферромагнетизм наблюдается лишь в температурном интервале с верхним пределом в точке Нееля (7黯貰 = On). Нижний предел этого интервала может быть равен нулю, но может и отличаться от него (7虢 > 0° К). В области температур Т V 鑑盜 вещество обычно находится в ферромагнитном состоянии ).
В монокристаллах антиферромагнетиков наблюдается магнитная анизотропия в оспр иимчивости %афМ. Это видно, например, из рис. 17.6, где изображены кривые %афм(У) для монокристалла MnF2 &n = 72° К). Восприимчивость %афМи，измеренная параллельно тетрагональной оси кристалла, стремится к нулю при 7^-0° К, а ХаФм±)измеренная в направлениях, перпендикулярных к этой оси, практически не меняется с температурой, лишь слабо возрастая при 7 -> 0° К.
Из приведенных типичных свойств антиферромагнетиков можно
заключить, что самопроизвольная намагниченность магнитных подрешеток существенно зависит от температуры и в точке Нееля исчезает.Отметим еще одно важное обстоятельство. В некоторых случаях анти-заключить, что самопроизвольная намагниченность магнитных подрешеток существенно зависит от температуры и в точке Нееля исчезает.Отметим еще одно важное обстоятельство. В некоторых случаях анти-ферромагнитный порядок, подобный изображенному на рис. 17.4, аферромагнитный порядок, подобный изображенному на рис. 17.4, аможет быть не только между параллельными кристаллографическими плоскостями, заполненными одинаковыми магнитно активными атомами, но и между плоскостями с атомами с различными магнитными моментами или плоскостями, заполненными хотя и атомами с одинаковыми моментами, но с различным числом узлов в соседних плоскостях. В этих случаях, несмотря на антиферромагнитный характер обменного взаимодействия, в кристалле возможна неполная компенсация магнитного момента кристалла в упорядоченном состоянии. На рис. 17.7, а, 6 приведены схемы двух типов таких магнитных порядков в случае кристаллов с двумя магнитными подрешетками. Появляется отличная от нуля результирующая разностная намагниченность магнитных подрешеток: Is = 工貝 + 工$2 片 0. Такие вещества носят название нескомпенсированных антиферромгнетиков^ а соответствующее состояние называется неском- пенсированным антиферромагнетизмможет быть не только между параллельными кристаллографическими плоскостями, заполненными одинаковыми магнитно активными атомами, но и между плоскостями с атомами с различными магнитными моментами или плоскостями, заполненными хотя и атомами с одинаковыми моментами, но с различным числом узлов в соседних плоскостях. В этих случаях, несмотря на антиферромагнитный характер обменного взаимодействия, в кристалле возможна неполная компенсация магнитного момента кристалла в упорядоченном состоянии. На рис. 17.7, а, 6 приведены схемы двух типов таких магнитных порядков в случае кристаллов с двумя магнитными подрешетками. Появляется отличная от нуля результирующая разностная намагниченность магнитных подрешеток: Is = 工貝 + 工$2 片 0. Такие вещества носят название нескомпенсированных антиферромгнетиков^ а соответствующее состояние называется неском- пенсированным антиферромагнетизм一 6，一 6，XXXXххXXXXXXXXXXXXМОМ.МОМ.Типичными представителямиТипичными представителямиXXXXXXРис, ногоРис, ногоXXXXXX17.7. Два атомного17.7. Два атомногомагнитные величинумагнитные величинуXXXXXXо丿о丿XXXXXXб) основных порядка.б) основных порядка.узлы (длинаузлы (длинаXXXXXXXXооXXтипатипаферримагнит-ферримагнит-Стрелками указаны стрелки указываетСтрелками указаны стрелки указываетатомного момента, направлениеатомного момента, направлениестрелки 一 ориентацию намагниченности подрешетки) в левой половине рисунка для одной подрешетки, в правой ——для другой (узлы «чужой» подрешетки в обеих, половинах рисунка обозначены крестиками). Кружками обозначены узлы, занятые магнитно-нейтраль-стрелки 一 ориентацию намагниченности подрешетки) в левой половине рисунка для одной подрешетки, в правой ——для другой (узлы «чужой» подрешетки в обеих, половинах рисунка обозначены крестиками). Кружками обозначены узлы, занятые магнитно-нейтраль-ными атомами.ными атомами.Случай двух магнитныхСлучай двух магнитныхподрешеток с одинаковым числом узлов, но занятых ионами с различными по величине и направлению магнитными моментами (стрелки разной длины). 6) Случай двух магнитных подрешеток с разным числом узлов, занятых ионами с одинаковыми по величине, но анти- параллельными магнитными моментами.подрешеток с одинаковым числом узлов, но занятых ионами с различными по величине и направлению магнитными моментами (стрелки разной длины). 6) Случай двух магнитных подрешеток с разным числом узлов, занятых ионами с одинаковыми по величине, но анти- параллельными магнитными моментами.этих веществ являютсяэтих веществ являютсяпереходных d-металлов типа ферритов (например,переходных d-металлов типа ферритов (например,ОКИСЛЫ магнетитОКИСЛЫ магнетитFeO eFe2O3, см. гл. 6), и поэтому в этом случае начали пользоваться термином ферримагнетики (для веществ) и соответственно ферримагнетизм (для магнитного состояния). Существование отличной от нуля разностной спонтанной намагниченности Is делает ферримагнетики во многом похожими на обычные ферромагнетики. Особенности нескомпенсированного антиферромагнетизма, т. е. ферримагнетизма, будут рассмотрены в гл. 22.FeO eFe2O3, см. гл. 6), и поэтому в этом случае начали пользоваться термином ферримагнетики (для веществ) и соответственно ферримагнетизм (для магнитного состояния). Существование отличной от нуля разностной спонтанной намагниченности Is делает ферримагнетики во многом похожими на обычные ферромагнетики. Особенности нескомпенсированного антиферромагнетизма, т. е. ферримагнетизма, будут рассмотрены в гл. 22.
заключить, что самопроизвольная намагниченность магнитных подрешеток существенно зависит от температуры и в точке Нееля исчезает.
Отметим еще одно важное обстоятельство. В некоторых случаях анти-
заключить, что самопроизвольная намагниченность магнитных подрешеток существенно зависит от температуры и в точке Нееля исчезает.
Отметим еще одно важное обстоятельство. В некоторых случаях анти-
ферромагнитный порядок, подобный изображенному на рис. 17.4, а
ферромагнитный порядок, подобный изображенному на рис. 17.4, а
может быть не только между параллельными кристаллографическими плоскостями, заполненными одинаковыми магнитно активными атомами, но и между плоскостями с атомами с различными магнитными моментами или плоскостями, заполненными хотя и атомами с одинаковыми моментами, но с различным числом узлов в соседних плоскостях. В этих случаях, несмотря на антиферромагнитный характер обменного взаимодействия, в кристалле возможна неполная компенсация магнитного момента кристалла в упорядоченном состоянии. На рис. 17.7, а, 6 приведены схемы двух типов таких магнитных порядков в случае кристаллов с двумя магнитными подрешетками. Появляется отличная от нуля результирующая разностная намагниченность магнитных подрешеток: Is = 工貝 + 工$2 片 0. Такие вещества носят название нескомпенсированных антиферромгнетиков^ а соответствующее состояние называется неском- пенсированным антиферромагнетизм
может быть не только между параллельными кристаллографическими плоскостями, заполненными одинаковыми магнитно активными атомами, но и между плоскостями с атомами с различными магнитными моментами или плоскостями, заполненными хотя и атомами с одинаковыми моментами, но с различным числом узлов в соседних плоскостях. В этих случаях, несмотря на антиферромагнитный характер обменного взаимодействия, в кристалле возможна неполная компенсация магнитного момента кристалла в упорядоченном состоянии. На рис. 17.7, а, 6 приведены схемы двух типов таких магнитных порядков в случае кристаллов с двумя магнитными подрешетками. Появляется отличная от нуля результирующая разностная намагниченность магнитных подрешеток: Is = 工貝 + 工$2 片 0. Такие вещества носят название нескомпенсированных антиферромгнетиков^ а соответствующее состояние называется неском- пенсированным антиферромагнетизм
一 6，
一 6，
X
X
X
X
х
х
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
МОМ.
МОМ.
Типичными представителями
Типичными представителями
X
X
X
X
X
X
Рис, ного
Рис, ного
X
X
X
X
X
X
17.7. Два атомного
17.7. Два атомного
магнитные величину
магнитные величину
X
X
X
X
X
X
о丿
о丿
X
X
X
X
X
X
б) основных порядка.
б) основных порядка.
узлы (длина
узлы (длина
X
X
X
X
X
X
X
X
о
о
X
X
типа
типа
ферримагнит-
ферримагнит-
Стрелками указаны стрелки указывает
Стрелками указаны стрелки указывает
атомного момента, направление
атомного момента, направление
стрелки 一 ориентацию намагниченности подрешетки) в левой половине рисунка для одной подрешетки, в правой ——для другой (узлы «чужой» подрешетки в обеих, половинах рисунка обозначены крестиками). Кружками обозначены узлы, занятые магнитно-нейтраль-
стрелки 一 ориентацию намагниченности подрешетки) в левой половине рисунка для одной подрешетки, в правой ——для другой (узлы «чужой» подрешетки в обеих, половинах рисунка обозначены крестиками). Кружками обозначены узлы, занятые магнитно-нейтраль-
ными атомами.
ными атомами.
Случай двух магнитных
Случай двух магнитных
подрешеток с одинаковым числом узлов, но занятых ионами с различными по величине и направлению магнитными моментами (стрелки разной длины). 6) Случай двух магнитных подрешеток с разным числом узлов, занятых ионами с одинаковыми по величине, но анти- параллельными магнитными моментами.
подрешеток с одинаковым числом узлов, но занятых ионами с различными по величине и направлению магнитными моментами (стрелки разной длины). 6) Случай двух магнитных подрешеток с разным числом узлов, занятых ионами с одинаковыми по величине, но анти- параллельными магнитными моментами.
этих веществ являются
этих веществ являются
переходных d-металлов типа ферритов (например,
переходных d-металлов типа ферритов (например,
ОКИСЛЫ магнетит
ОКИСЛЫ магнетит
FeO eFe2O3, см. гл. 6), и поэтому в этом случае начали пользоваться термином ферримагнетики (для веществ) и соответственно ферримагнетизм (для магнитного состояния). Существование отличной от нуля разностной спонтанной намагниченности Is делает ферримагнетики во многом похожими на обычные ферромагнетики. Особенности нескомпенсированного антиферромагнетизма, т. е. ферримагнетизма, будут рассмотрены в гл. 22.
FeO eFe2O3, см. гл. 6), и поэтому в этом случае начали пользоваться термином ферримагнетики (для веществ) и соответственно ферримагнетизм (для магнитного состояния). Существование отличной от нуля разностной спонтанной намагниченности Is делает ферримагнетики во многом похожими на обычные ферромагнетики. Особенности нескомпенсированного антиферромагнетизма, т. е. ферримагнетизма, будут рассмотрены в гл. 22.
Молекулярное поле Вейсса
Общая идея метода. Вопрос о природе внутренних взаимодействий, обусловливающих появление самопроизвольной намагниченности в ферромагнетиках и антиферромагнетиках, был кратко рассмотрен в гл. 6. Здесь мы еще раз остановимся на этом вопросе в качественной форме.
Для объяснения спонтанного магнитного момента ферромагнетиков, как уже отмечалось выше, Розинг [18] и Вейсс [17] ) предложили гипотезу о существовании в них внутреннего эффективного молекулярного поля Нмол, которое, подобно внешнему магнитному полю Н в парамагнетиках, создает в кристалле ферромагнетиков параллельную ориентацию атомных магнитных моментов при 8 = 0. В качестве меры энергии этого гипотетического молекулярного поля можно рассматривать величину средней тепловой энергии, приходящейся на один атом в точке Кюри,
т. е. величину порядка 左в®, поскольку при этих температурах происходит разрушение магнитного порядка. Так как во многих ферромагнетиках точка Кюри достигает нескольких сотен и даже може^ превысить тысячу градусов Кельвина, то должно существовать взаимодействие, ответственное за ферромагнетизм, величина энергии которого, приходящаяся на один атом, будет порядка евз 紘日 Ю-16 -103 10-13 эрг (0,1 ее). В атомных электронных оболочках в основном мы встречаемся лишь с двумя типами взаимодействий ——электрическими и магнитными. Поэтому естественно сравнивать приведенную здесь величину евз с электрическим или магнитным атомным взаимодействием. Как отмечалось,
Без поля "Лв полеБез поля "Лв полеРис. 17.8. Схема опыта Дорфмана по исследованию природы молекулярного поля в ферромагнетиках [22]. Е — радиоактивный источник р-лучей; АВ ——просвечиваемый р-лучами образец (тонкая фольга никеля); ^ и S — полюсы электромагнита, намагничивающего образец, а) Вид схемы в направлении, перпендикулярном к намагниченности образца. 6) Вид вдоль направления намагниченности, в) Изображение пучка на фотопластинке, неотклоненное (без поля) и отклоненное при намагничивании образца)./Рис. 17.8. Схема опыта Дорфмана по исследованию природы молекулярного поля в ферромагнетиках [22]. Е — радиоактивный источник р-лучей; АВ ——просвечиваемый р-лучами образец (тонкая фольга никеля); ^ и S — полюсы электромагнита, намагничивающего образец, а) Вид схемы в направлении, перпендикулярном к намагниченности образца. 6) Вид вдоль направления намагниченности, в) Изображение пучка на фотопластинке, неотклоненное (без поля) и отклоненное при намагничивании образца)./6)6)
Без поля "Лв поле
Без поля "Лв поле
Рис. 17.8. Схема опыта Дорфмана по исследованию природы молекулярного поля в ферромагнетиках [22]. Е — радиоактивный источник р-лучей; АВ ——просвечиваемый р-лучами образец (тонкая фольга никеля); ^ и S — полюсы электромагнита, намагничивающего образец, а) Вид схемы в направлении, перпендикулярном к намагниченности образца. 6) Вид вдоль направления намагниченности, в) Изображение пучка на фотопластинке, неотклоненное (без поля) и отклоненное при намагничивании образца)./
Рис. 17.8. Схема опыта Дорфмана по исследованию природы молекулярного поля в ферромагнетиках [22]. Е — радиоактивный источник р-лучей; АВ ——просвечиваемый р-лучами образец (тонкая фольга никеля); ^ и S — полюсы электромагнита, намагничивающего образец, а) Вид схемы в направлении, перпендикулярном к намагниченности образца. 6) Вид вдоль направления намагниченности, в) Изображение пучка на фотопластинке, неотклоненное (без поля) и отклоненное при намагничивании образца)./
6)
6)
магнитные взаимодействия могут обеспечить точки Кюри не свыше 1 — 10° К ). Таким образом, единственный выход — это принять, что природа энергии, обусловливающая атомный магнитный порядок, по крайней мере в ферромагнетиках с точками Кюри, равными 1000° К, не магнитная, а электрическая. Объяснение этого парадоксального с точки зрения представлений классической физики результата может быть надежно получено лишь на основе квантовой механики. Как было уже сказано в гл. 6, ответственным за появление молекулярного поля в ферро- и антиферромагнетиках является обменное электрическое взаимодействие.
Опыты Дорфмана. Предположение о том, что молекулярное поле в обычных ферромагнетиках вызвано магнитным взаимодействием элементарных носителей магнетизма, которое высказывалось в классической физике, было еще до появления квантовой теории ферромагнетизма экспериментально опровергнуто Дорфманом [22]. Опыт Дорфмана, схема которого представлена в двух проекциях на рис. 17.8, состоит в том, что через тонкую никелевую фольгу, толщиной d 20 мкм, помещенную между полюсами электромагнита, нормально к ее поверхности пропускался узкий пучок быстрых электронов (Р-частиц от какого-нибудь радиоактивного препарата). После прохождения через фольгу пучок электронов попадал на фотопластинку, на которой отмечался их след. При постановке опыта предполагалось, что если никелевая фольга будет намагничена до насыщения параллельно ее поверхности и, следовательно, перпендикулярно к скорости электронов в пучке, то молекулярное поле /Гмол будет ориентировано во всем образце параллельно внешнему полю. Если это
поле магнитной природы, то пучок электронов после прохождения через фольгу должен отклоняться под действием суммарного поля — + Нмоп, что должно быть замечено по смещению следа электронов на фотопластинке. Ожидаемое отклонение 6^10 мм показано на рис. 17.8, 6 пунктирной стрелкой. Однако на опыте было обнаружено значительно меньшее отклонение пучка электронов (& 公；0,3 мм), которое соответствовало действию поля В ^; 104 э, то есть величине магнитной индукции в образце. На основании этого опытного результата и был сделан вывод о немагнитной природе молекулярного поля. Опыты по отклонению электронов и мезонов в образце железа толщиной в 15 сж и образце тонкой фольги железо-кобальтового сплава, толщиной 0,06 см, полностью подтвердили результат, полученный ранее Дорфманом (см. [23—27]). Теоретически этот вопрос подробно рассмотрел Ваннье [28].
Неудачи с попыткой «магнитной» интерпретации Ямол, естественно, привели к попыткам «электрического» объяснения. Но в рамках классической теории получить его для такого, казалось, чисто магнитного явления, как ферромагнетизм, не удалось. Только квантовая механика смогла разрешить эту трудность классической теории.
Определение природы атомных носителей магнитного моментапо гиромагнитному эффекту
Рис. 17.96. Схема установки по измерению эффекта Барнетта. А — вращаемый образец ферромагнетика (аа* — ось образца, стрелка указывает направление вращения). Намагниченность, возникающая в образце А при его вращении, индуцирует ток в цепи, измеряемой гальванометром G. В — неподвижный образец с компенсационной обмоткой.Рис. 17.96. Схема установки по измерению эффекта Барнетта. А — вращаемый образец ферромагнетика (аа* — ось образца, стрелка указывает направление вращения). Намагниченность, возникающая в образце А при его вращении, индуцирует ток в цепи, измеряемой гальванометром G. В — неподвижный образец с компенсационной обмоткой.Общее рассмотрение. Известно, что основными атомными носителями магнитного момента во многих ферромагнетиках являются электронные спины. Это было доказано в опытах по измерению магнетомеханиче- ского отношения в этих телах (см. гл. 10) с помощью эффекта Барнетта (см. [29——33]) или эффекта Эйнштейна——де Гааза (см. [34—38]). За подробностями отсылаем читателя к обзорам Барнетта [30] и Ауверса [32], к оригинальным работам Скотта [37, 38], а также к монографиям Беккера и Деринга (1939), Вонсовс- кого и Шура (1948), Дорфмана (1955), Бозорта (1956). Здесь лишь вкратце остановимся на общей термодинамической трактовке гиромагнитных явлений [см. Ландау и Лифшиц (1957)].
Рис. 17.96. Схема установки по измерению эффекта Барнетта. А — вращаемый образец ферромагнетика (аа* — ось образца, стрелка указывает направление вращения). Намагниченность, возникающая в образце А при его вращении, индуцирует ток в цепи, измеряемой гальванометром G. В — неподвижный образец с компенсационной обмоткой.
Рис. 17.96. Схема установки по измерению эффекта Барнетта. А — вращаемый образец ферромагнетика (аа* — ось образца, стрелка указывает направление вращения). Намагниченность, возникающая в образце А при его вращении, индуцирует ток в цепи, измеряемой гальванометром G. В — неподвижный образец с компенсационной обмоткой.
Рис， 17.9а. Схема установки по измерению эффекта Эйнштейна—де Гааза. А一 образец; В一упругая нить подвеса, стрелкой около нити показано направление закручивания, измеряемое углом а; С — зеркальце, жестко связанное с образцом; D — намагничивающий, соленоид, по которому проходит ток г-
В гир о магнитных опытах либо наблюдают возникновение вращения (механического момента) в результате изменения магнитного момента, вызванно говнешним магнитным полем (рис. 17.9а),——эффект Эйнштейна——
де Гааза либо, наоборот, вращая тело с помощью внешних механических сил, наблюдают изменение магнитного момента (рис. 17.96)— эффект Барнетта. В первом случае тело вращается только из-за возникновения в нем намагниченности без участия внешних механических сил. Во втором случае, наоборот, в теле создают намагниченность без участия внешнего магнитного поля, лишь приводя тело во вращение. Из этих опытов вытекает, что момент импульса тела L (отнесенный к единице объема) связан с намагниченностью I. Атак как момент Xпропорционален угловой скорости тела о, то и она должна быть связана с намагниченностью. Это согласуется с общими соображениями симметрии, поскольку величины о и Т обе являются аксиальными векторами и одинаково меняют свой знак при изменении знака времени. Далее, из классической механики известно [Ландау, Лифшиц (1965)], что момент N является обобщенным импульсом, сопряженным обобщенной координате о. Связь между ними дается известным соотношением
(17-1)(17-1)/7 =5
(17-1)
(17-1)
Здесь F1 — свободная энергия (см. гл. 5), являющаяся функцией о и Т. Гиромагнитные явления описываются в 加 добавочным слагаемым F^ . которое в первом приближении содержит лишь члены, пропорциональные произведениям первых степеней слагающих векторов о и Т:
(17.2)(17.2)Ffm^ki^k^I(冗 Z 况，у, z),
(17.2)
(17.2)
где 卩丸％ — постоянный тензор гиромагнитных отношений. Из (17.1) и (17.2) находим выражение для гиромагнитной части момента импульса тела:
(厶R =試/ = X Ba"'，(厶R =試/ = X Ba"'，(17.3)(17.3)
(厶R =試/ = X Ba"'，
(厶R =試/ = X Ba"'，
(17.3)
(17.3)
Как мы видели выше, вместо размерного тензора 限 чаще пользуются безразмерным тензором гиромагнитных отношений (в единицах тс/ё)
0 = 上圆(17.4)
SkiSkiили обратным ему тензором магнетомеханических отношений (в единицах е/2тс)
Ski
Ski
(17.5)
Из (17.2) можно найти эквивалентное магнитное поле, возникающее при вращении тела:
〃严(17.6)
Поэтому, если известна восприимчивость вещества %, то, зная поле (17.6), можно вычислить намагниченность, создаваемую в теле вращением с угловой скоростью со, равную
/产=%8严)(』瑞у, z).
Схема основных гиромагнитных опытов. Опишем теперь схему двух упомянутых выше основных гиромагнитных опытов: Барнетта — по определению намагниченности^ возникающей при вращении^ и Эйнштейна —— де Гааза —— по определению вращения^ возникающего при намагничивании, доказавших спиновую природу магнетизма в ряде ферромагнитных тел. Эти эксперименты аналогичны двум основным гироскопическим опытам с механическим волчком, которые заключаются в следующем.
Пусть волчок К вращается в поле тяготения вокруг своей оси АО, проходящей через его центр массы, и опирается без трения в точке О на горизонтальную плоскость BOD. Ось АО составляет угол 仆 с вертикалью СО. Если бы волчок не вращался вокруг своей оси АО, то под действием силы тяжести JP он упал бы на горизонтальную плоскость BOD. При вращении вокруг оси АО волчок
Рис. 17.10. Прецессионное движение тяжелого волчка К, вращающегося вокруг своей оси АО (составляющей угол 今 с вертикалью ОС) и опирающегося без трения на горизонтальную плоскость BOD. * — сила тяжести. В гиромагнитных опытах намагниченность направлена вдоль оси АО волчка, роль силы тяжести Р играет внешнее магнитное поле Н.Рис. 17.10. Прецессионное движение тяжелого волчка К, вращающегося вокруг своей оси АО (составляющей угол 今 с вертикалью ОС) и опирающегося без трения на горизонтальную плоскость BOD. * — сила тяжести. В гиромагнитных опытах намагниченность направлена вдоль оси АО волчка, роль силы тяжести Р играет внешнее магнитное поле Н.не падает, а совершает прецессионное движение при 仆 = const вокруг вертикали СО (рис. 17.10).
Рис. 17.10. Прецессионное движение тяжелого волчка К, вращающегося вокруг своей оси АО (составляющей угол 今 с вертикалью ОС) и опирающегося без трения на горизонтальную плоскость BOD. * — сила тяжести. В гиромагнитных опытах намагниченность направлена вдоль оси АО волчка, роль силы тяжести Р играет внешнее магнитное поле Н.
Рис. 17.10. Прецессионное движение тяжелого волчка К, вращающегося вокруг своей оси АО (составляющей угол 今 с вертикалью ОС) и опирающегося без трения на горизонтальную плоскость BOD. * — сила тяжести. В гиромагнитных опытах намагниченность направлена вдоль оси АО волчка, роль силы тяжести Р играет внешнее магнитное поле Н.
Если на тот же волчок К, вращающийся вокруг оси АО, подействовать внешней силой, приводящей его во вращение вокруг оси СО при О = const, т. е. искусственно создать прецессию, то возникает момент силы, который будет стремиться изменить угол 6 так, чтобы оси АО и СО совпадали.
Опыт Эйнштейна — де Гааза по обнаружению вращения магнетиков при их намагничивании является макроскопическим аналогом первого основного гироскопического опыта. В этом случае рол寸 волчка играет
элементарный атомный магнитик, обладающий механическим моментом —— спиновым или орбитальным, а роль поля тяготения играет внешнее магнитное поле. Обычно магнетик в виде цилиндрического образца намагничивается вдоль своей оси внешним полем Н и наблюдается возникающее при этом его вращение вдоль той же оси. В настоящее время разработано несколько экспериментальных методов по определению гиромагнитного
отношения путем измерения вращения магнетика при его намагничивании: баллистический [39, 40], резонансный [41] и нулевой [42] методы. Принципиальная схема опыта состоит в следующем (см. рис. 17.9а). Исследуемый образец цилиндрической формы А, подвешенный на тонкой упругой нити В, при изменении его магнитного момента вдоль оси образца поворачивается на небольшой угол а. Этот поворот измеряется по отклонению зеркальца С, жестко связанного с образцом. При баллистическом методе, коммутируя намагничивающий ток i в соленоиде, в который помещается исследуемый образец, изменяют его намагниченность от —I до +/, а затем наблюдают затухающие вращательные колебания образца. Для начального угла отклонения а0 в типичных случаях получают величины порядка 1 — 5 -10-4 град. Таким образом, при наблюдениях отражения светового зайчика от зеркала при расстоянии до шкалы около 5 ж эти отклонения составляют 1—5 мм. Из-за малости наблюдаемых величин эти опыты требуют высокой техники эксперимента. В табл. 17.1 приведены из обзора Скотта [33] некоторые результаты измерений величины g, полученные с помощью этих методов для различных ферромагнитных веществ. Видно, что почти во всех случаях магнетомеханическое отношение близко к 2 (наибольшее отклонение, порядка 7%, от этого числа наблюдается у сплава Co0j5Ni0,5)-
Опыт Барнетта аналогичен второму основному гироскопическому опыту в применении к атомным моментам. Вращая магнетик, измеряют его намагниченность вдоль оси вращения из-за ориентировки осей атомных волчков вдоль этого направления. Как и в случае опыта Эйнштейна —— де Гааза, необходимо допустить, что между элементарными носителями магнетизма и кристаллической решеткой магнетика имеется взаимодействие типа спин — решетка или орбита — решетка. Только при этом условии вращение тела как целого передается атомным моментам или,
Таблица 17.1
Значения магнетомеханического отношения g ряда ферромагнитных веществ, полученные при помощи измерений эффекта Эйнштейна——де Гааза (Скотт [33])
Вещество
g ■
Год исследования
Fe
1,919+0,002
1959
Со
l,850±0,004
1956
Ni
l,835±0,002
1951—1959
Feo,9oNio,io
l,915±0,004
1954
^0,75^10,25
1,914+0,004
1954
Feo,65^10,35
1,912+0,002
1955
Feo,5oNi(),5o
1,908+0,004
1954
Feo,35^1о,б5
1,904+0,004
1955
Feo,25^10,75
1,895+0,004
1955
上例」01>110,90
1,880+0,006
1955
Coo,9oNio,i0
1,850+0,002
1960
COo,5()Ni0,50
l,843±0,002
1960
Супермаллой
1,905+0,002
1960
NiO.Fe2O3
1,849+0,002
1961
Cu2MnAl
1,993+0,002
1960
MnSb
1,978+0,002
1960
Пирротит
1,9+15%
1960
наоборот, их намагниченность вызывает вращение тела как целого. На рис. 17.96 изображена схема, иллюстрирующая основную идею опыта Барнетта. Цилиндрический образец А магнетика приводится в быстрое вращение с угловой скоростью (о вокруг своей оси аа . Под влиянием эффективного магнитного поля %м (17.6), возникающего при этом вращении, появляется намагниченность. В изотропном магнетике величина магнитного поля Нгм =百(тс/е)(о. Задавая в опыте (о, зная отношение
Таблица 17.2
Значения магнетомеханического отношения g для ферромагнитныхметаллов, полученные при использовании эффекта Барнетта(Скотт [33])
Вещество
g
Год исследования
Источник
1,938+0,006
1944
Барнетт [43]
1,936±0,008
1951
Мейер [44]
1,927+0,004
1951
Скотт [37]
Fe
1,929±0,006
1952
Барнетт и Кенни [31]
1,919±0,006
1955
Скотт [45]
1,932+0,008
1957
Мейер и Броун [46]
1,917+0,002 *)
1960
Скотт [47]
1,919±0,002**)
1960
Скотт [47]
1,837+0,004
1952
Скотт [38]
Ni
1,831+0,004
1955
Скотт [45]
1,830+0,006
1955
Скотт [45]
1,837±0,002
1960
Скотт [47]
1,866+0,002
1944
Барнетт [43]
Co
1,859±0,004
1952
Барнетт и Кенни [31]
1,854+0,008
1952
Скотт [38]
1,850±0,004
1956
Скотт [48]
*) Цилиндрический образец.
**) Эллипсоидальный образец.
mde и измеряя %м, например, методом компенсации [29] или магнето- метрическим способом (см. [49—51]), можно определить отношение《. Легко видеть, что при 1000 об1сек, т. е. при(о = 2л. 1000 ^ 6000 и mde ^; ^ь 10-7, получаем для %此 ^; 6-10-4 з. В табл. 17.2 приведены экспериментальные данные, полученные в опытах типа Барнетта для Fe, Со и Ni. Здесь также для всех веществ значения g близки к 2 ).
Недавно был открыт новый, независимый способ определения гиромагнитных отношений в ферромагнетиках с помощью опытов по так называемому ферромагнитному резонансу. Подробно это явление будет рассмотрено в гл. 24.
§ 5. Обменное взаимодействие; метод магнитной нейтронографии
Из совокупности гиромагнитных и магниторезонансных опытов можно считать установленным, что самопроизвольная намагниченность во многих ферро- и ферримагнитных веществах (за исключением редкоземельных металлов, их сплавов и соединений) в основном обусловлена спиновым магнетизмом электронов. Участие орбитальных магнитных моментов в этих веществах носит лишь подчиненный характер и приводит к сравнительно небольшим отклонениям в факторах g от их значения для свободного электрона, равного 2 или, точнее, 2,0023. На примере парамагнетизма электронного газа (гл. 11) мы видели, что его энергия (в данном случае кинетическая, а при учете взаимодействия с решеткой и между электронами также и потенциальная) тесно связана с намагниченностью системы. Это непосредственное следствие принципа Паули. Любое изменение магнитного состояния электронного коллектива связано с существенным изменением его энергии. Минимуму энергии свободного электронного газа соответствует полная компенсация спинового магнитного момента системы.
Именно эта обнаруженная квантовая механикой своеобразная зависимость энергии систем электронов от величины их результирующего спинового магнитного момента открыла возможность теоретического объяснения явления ферромагнетизма как особого свойства системы электростатически взаимодействующих электронов. Эту важную задачу физики магнитных явлений впервые решили в 1928 г. Френкель [59] и несколько позже независимо Гейзенберг [60], показавшие, что указанное свойство газа свободных электронов отнюдь не является общим. При наличии сильного электростатического взаимодействия между электронами зависимость энергии от намагниченности может быть как раз обратной, т. е. делать намагниченное состояние энергетически более выгодным.
Детальный квантовомеханический анализ электрического взаимодействия электронов с учетом их спинового момента показал (см. гл. 18,19), что наряду с квазиклассической кулоновской энергией взаимодействия, в силу принципа Паули, появляется еще добавочный специфический квантовый вклад в энергию, существенно зависящий от взаимной ориентации электронных спинов. Для двух электронов эту энергию можно представить в таком виде:
зо6 - 一 4 (0广电)， (17.7) где А —— параметр (имеющий размерность энергии), зависящий от взаимного расстояния электронов, a Qj и (у2 — единичные векторы спинов. Эту энергию принято называть обменной. Если постоянная А положительна (Л > 0), то минимуму 宮об соответствует параллельная ориентация спинов: 5・仃2 = + 1. Если же 4 V 0, то минимуму ^0@ отвечает их
антипараллельпая ориентация, i. e. SS = — 1・ Отсюда мы приходим к упомянутой выше принципиальной возможности существования магнитно-упорядоченных коллективов взаимодействующих электронов, в которых этот «обменный» магнетизм с атомным магнитным порядком носит либо ферромагнитный характер (Л > 0), либо антиферромагнитный (Л V 0). Во втором случае, как мы видели, возможна либо полная компенсация результирующей намагниченности в объеме каждой магнитной элементарной ячейки кристалла, т. е. скомпенсированный антиферромагнетизм или просто антиферромагнетизм, либо неполная компенсация результирующей намагниченности в кристалле —— нескомпенсированный антиферромагнетизм или ферримагнетизм.
Собственно ферромагнитные вещества и ферримагнетики можно было бы объединить в одну группу магнетиков, поскольку они в общем обладают аналогичными магнитными свойствами (одинаковый характер кривых намагничивания, их температурной зависимости и т. п.). Однако между ферро- и ферримагнетиками могут иметь место и существенные различия в более тонких чертах их магнитных и других физических свойств.
Важно отметить, что в настоящее время имеется прямой экспериментальный метод для определения типа атомного магнитного порядка в ферро-, антиферро- и ферримагнетиках. Этот метод нейтронной магнитной дифракции [см. гл. 20 и 26, а также книгу Изюмова и Озерова (1966)1, который дает возможность определять величины и ориентации элементарных атомных моментов в различных узлах кристаллической решетки. Нейтроны, обладая спиновым магнитным моментом, при прохождении их монохроматических пучков через кристалл ферро- или антиферромагнетика испытывают селективные отражения при наличии в кристалле атомного магнитного порядка, подобные селективным отражениям рентгеновских лучей при их прохождении через кристалл. Определяя максимумы нейтронной магнитной дифракции, можно однозначно установить существование ферро- или антиферромагнитного атомного магнитного порядка. В случае собственно ферромагнитных кристаллов (при 4 > 0) атомная магнитная структура такова, что все атомные магнитики (при температурах, близких к 0° К) параллельны друг другу. При антиферромагнитной связи (А V 0), например в указанном выше простейшем случае, нейтронная дифракция подтверждает наличие шахматного порядка антипараллель- ных соседних спинов (см. рис. 17.4, а), когда кристалл разбивается на две (в общем случае па большее число) магнитные подрешетки с парциальными самопроизвольными намагниченностями Isi.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 17
1-2-3-4-5-1-2-3-4-5-ft^ 7^ 89-°'Lft^ 7^ 89-°'L9^ 0^ z^ r^ A^lx lx lx lx ^19^ 0^ z^ r^ A^lx lx lx lx ^1В. Т. Matthias, R. М. В о z о г t h, J. Н. V a n V 1 е с к, Phys. Rev. Lett.
1-2-3-4-5-
1-2-3-4-5-
ft^ 7^ 89-°'L
ft^ 7^ 89-°'L
9^ 0^ z^ r^ A^lx lx lx lx ^1
9^ 0^ z^ r^ A^lx lx lx lx ^1
160 (I960).
Т. R. М с G u i г е, М. W. Shafer, J. Appl. Phys. 35, 984 (1964).
I. Tsubokawa, J. Phys. Soc. Japan 15, 1664 (I960).
J. F. D i 1 1 о n, Jr., J. Appl. Phys. 33, S1191 (1962).
p. К. В a 1 t z e г, H. W. Lehmann, M. Robbins, Phys. Rev. Lett. 15, 493 (1965).
N. C. F о г d, Jr., C. D. J e f f г i e s. Phys. Rev. 141, 381 (1966).
A. H. С о о k, D. T. E d m о n d s, С. B. F i n n, W. P. W о 1 f, J. Phys. Soc. Japan
Suppl. B-l, 42 (1961).
S. C. A b г a h a in s, J. Chem. Phys. 44, 2230 (1966).
R. J. В i г g e n e a u. M. T. Hutchings, W. P. Wolf, J. Appl. Phys. 38, 957 (1967).
S. von Molnar, S. M e t h f e s s e 1, J. Appl. Phys. 38, 959 (1967).
R. C. Le С г aw, H. von Phillipsborn, M. D. S tuge, J. Appl. Phys*
965 (1967).
А. Г. С т о л e т о в. Pogg. Ann. 144, 439 (1873); Phil. Mag. (4) 45, 40 (1873).
А. Г. С т о л e т о в, Собрание сочинений, т. 1, Гостехиздат, М., 1939.
P.Weiss, R.Forrer, Ann. de phys. 5, 153 (1926).
P. C u г i e, Ann. chim. phys. (7) 5, 289 (1895).
В. Герлах, УФП, 23, 368 (1940).
P, W e i s s, J. phys. et rad. 6, 661 (1907).
Б. Л. P о 3 ин r,出P①XO, часть физ. 24, 105 (1892); 28, 59 (1896); 42, 71 (1910).
Л. Д. Л ан д а у, Phys. Zs. UdSSR 4, 675 (1933).
L. N ё е 1, Ann. de phys. 17, 61 (1932).
H. В i z e 11 e, C. Squire, B. Tsai, Compt. rend. 207, 449 (1938).
Я. Г. Д о p ф м a h, Nature 119, 353 (1927).
S. R о s s i, Atti Acad. Lincei 11, 478 (1930); Nature 128, 300 (1931).
N. F. M о 11, L. M. S m i t h, Phys. Rev. 39, 403 (1932).
W. F. G. S w a n n, Phys. Rev. 49, 574 (1936).
S. В e г к о, Phys. Rev. 86, 598 (1952).
S. В e г к о, F. L. H e г e f о г d, Phys. Rev. 91T 1128 (1953).
G. H. W a n n i e r, Phys. Rev. 72, 304 (1947).
S. J. В а г n e 11, Phys. Rev. 6, 171, 239 (1915).
S. J.Barnett, Rev. Mod. Phys. 7, 129 (1937) [см. перевод: У ①H 18, 392 (1937)].
S. J. В а г n e 11, A. S. Kenny, Phys. Rev. 87, 723 (1952).
0. von A u w e г s, Naturwiss. 23, 202 (1935).
G. G. S с о 11, Rev. Mod. Phys. 34, 102 (1962).
C. W. Richardson, Phys. Rev. 26, 248 (1908).
A. Einstein, W. J. de H a a s, Verch. deutsch. phys. Ges. 17, 152 (1915).
A. Einstein, Verch. deutsch. phys. Ges. 18, 173 (1916).
G. G. Scott, Phys. Rev. 82, 542 (1951).
G. G. S с о 11, Phys. Rev. 87, 697 (1952).
J. Q. S t e w а г t, Phys. Rev. 11, 100 (1918).
A. P. C h a 11 о c k, L. F. В a t e s, Phil. Trans. Roy. Soc. A283, 257 (1923).
W. Sucksmith, Proc. Roy. Soc. A128, 276; A133, 179 (4934); A435, 276 (1932); Helv. phys. Acta 8, 205 (1935).
W. S u с к s m i t h, L. F. В a t e s, Proc. Roy. Soc. A104, 499 (1923).
S. J.Barnett, Proc. Am. Acad. Arts. Sci. 75, 109 (1944).
A. J. P. M e у e r, Ann. de phys. 6, 171 (1951).
G. G. S с о 11, Phys. Rev. 99, 1241 (1955).
A. J. P. M e у e r, S. В г о w n, J. phys. et rad. 18, 161 (1957).
G. G. S с о 11, Phys. Rev. 119, 84 (I960).
G. G. S с о 11, Phys. Rev. 104, 1498 (1956).
S. J. В а г n e 11, Phys. Rev. 104, 7 (1917).
S. J.Barnett, J. Wach. Acad. 11, 162 (1921).
S. J. В arnett, L. J.В arnett, Phys. Rev. 17, 404 (1921); 20, 90 (1922); Proc. Acad. Am. 60, 126 (1925).
J. S. В а г n e t t, L. A. G i a m b о n i, Phys. Rev. 88, 28 (1952).
S. P. H e i m s, Physic a 29, 1430 (1963).
W. N. S h а г m a, J. Appl. Phys. 36, 1450 (1965).
В. M. Цукерни к, ЖЭТФ 50, 1631 (1966).
G. G. S с о t t, Phys. Rev.伍8, 525 (1966).
R. Huguenin, D. Baldock, Phys. Rev. Lett. 16, 795 (1966).
W. M. L о m e r, Proc. Phys. Soc. 91, 933 (1967).
Я. И. Френкель, Zs. Phys. 49, 31 (1928).
W. H e i s e n b e г g, Zs. Phys. 49, 619 (1928).
С. M. H о g a n, Phys. Rev. 188, 870 (1969).
J. T. Ho, J. D. Lister, Phys. Rev. Lett. 22, 603 (1969).
С. H. Cobb, V. J accarino, Phys. Rev- 3B, 1677 (1971).
G. G. Scott, H. W. Stumer, Phys. Rev. 184, 490 (1969).
F. M. Mueller, A. J. Freeman, D. D. Koelling, J. Appl. Phys. 41. 1229 (1970).
Глава 18
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ФЕРРОМАГНИТНОГОСОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
Феноменологическая теория молекулярного поля
Случай JET = 0,£= 1/2, самопроизвольная намагниченность и точка Кюри. При феноменологическом описании ферромагнетизма взаимодействие, приводящее к самопроизвольной намагниченности, учитывается введением молекулярного поля, связанного с намагниченностью. Для иллюстрации теории выберем простейшую модель ферромагнетика — свободный газ электронных спинов ) (см. Биттер [2]); из N электронов этого газа соответственно двум возможным проекциям спина выделим г «правых» и (N — г) = Z «левых». Относительная намагниченность газа правых спинов равна
У==~1Г' или
+Z=£(l-y).(18.1)
Для получения магнитного уравнения состояния необходимо определить, например, свободную энергию газа F как функцию у и найти ее минимум. Энтропия газа S ®) при пренебрежении взаимодействием между электронами равна (по Больцману) )
S(y) = 〃BhiW®) = 〃Bln 击；(18.2)
W (у)——термодинамическая вероятность состояния с данной величиной намагниченности у. Допустим, что в отсутствие внешнего поля энергия газа U не зависит от намагниченности (классический парамагнитный газ). Тогда, согласно (18.1), (18.2) и (5.2) получаем
尸伍)=TS ®) ^ ； Nk@ [(1 + у) In (1 + у) + (1 _ у) In (1 一 у)].(18.3)
Из условия минимума выражения (18.3)
находим, что у = 0, т. е. самопроизвольной намагниченности нет. Для возможности ее существования необходима зависимость энергии ферромагнетика U от у. Следуя Вейссу [3], постулируем эту зависимость в виде простейшей квадратичной формы ), используя четный характер
функции U (у):функции U (у):U (у)= — NN也2,U (у)= — NN也2,(18.4)(18.4)где 4丄——неизвестная пока по своей природе, отнесенная к одному электрону энергия молекулярного поля. При этом из условия минимума F находим
функции U (у):
функции U (у):
U (у)= — NN也2,
U (у)= — NN也2,
(18.4)
(18.4)
или y = (18.5)
где 0—величина, имеющая размерность температуры и равная
(18.6)(18.6)@ = _^_ ；
(18.6)
(18.6)
Рис. 18.1. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности, рассчитанная по формулам (18.5) и (18.9а) при Н=0 для случаев J = 1/2, J = 1 "и J=8 (сплошные кривые). 1 — экспериментальные точки для Ni (Вейсс и Форрер [4J); 2 — для Fe (Поттер [5]).Рис. 18.1. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности, рассчитанная по формулам (18.5) и (18.9а) при Н=0 для случаев J = 1/2, J = 1 "и J=8 (сплошные кривые). 1 — экспериментальные точки для Ni (Вейсс и Форрер [4J); 2 — для Fe (Поттер [5]).0 и есть определенная выше (см. гл. 17) точка Кюри.
Рис. 18.1. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности, рассчитанная по формулам (18.5) и (18.9а) при Н=0 для случаев J = 1/2, J = 1 "и J=8 (сплошные кривые). 1 — экспериментальные точки для Ni (Вейсс и Форрер [4J); 2 — для Fe (Поттер [5]).
Рис. 18.1. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности, рассчитанная по формулам (18.5) и (18.9а) при Н=0 для случаев J = 1/2, J = 1 "и J=8 (сплошные кривые). 1 — экспериментальные точки для Ni (Вейсс и Форрер [4J); 2 — для Fe (Поттер [5]).
Анализ формулы (18.5) показывает, что при температурах ниже критической (Т < 0) термодинамически устойчивому состоянию с d^FIdy2 > О соответствует отличная от нуля самопроизвольная намагниченность. Выше этой температуры в равновесии всегда у = 0. Таким образом, если энергия ферромагнетика зависит от намагниченности по (18.4), то он обладает спонтанным магнитным моментом. С ростом температуры от 0° К до 0 величина этого момента уменьшается по закону (18.5) от максимального значения у = 1 (у =八/厶，где Is — са- мопроизвольная намагниченность, зависящая от температуры по (18.5), а /()= Nre— абсолютное насыщение) до у=0. Физическое значение этого вывода можно установить, если выяснен порядок величины температуры Кюри 0, определяемой энергией Л t по формуле (18.6). Из опыта известно, что существует много ферромагнетиков с высокими точками Кю- ри 日〜1000° К, например Fe, Со и множество сплавов. Поэто
му для энергии 41 в этих случаях получаем из (18.6) величину порядка 10~13 эрг/атом. Такая величина энергии атома, как мы видели в гл. 6 и 17, может определяться лишь электрическими силами между электронами, так как максимальное значение магнитной энергии между двумя электронами на атомных расстояниях (в кристаллах, подобных Fe, Со и многим сплавам) не Превышает 10~16 эрг. Поэтому «магнитное» молекулярное поле может привести к ферромагнетизму лишь с точкой] Кюри около 1° К )
На рис. 18.1 приведены теоретические кривые у (Г/0) для значений квантового числа J = 1/2, 1 и сю, рассчитанные по (18.5). Там же приведены экспериментальные точки для Ni и Fe. Из сравнения кривой и опытных данных видна качественная справедливость теории. Для более деталь-
26 с. в. Вонсовский26 с. в. Вонсовский-401 一-401 一*) Сейчас известны многие ферро-, антиферро- и ферримагнитные вещества с^низ- кими точками Кюри и Нееля (менее 10° К и даже порядка 0,01° К). Однако здесь мы хотели подчеркнуть, что в реальных телах, где 0 порядка 1000° К, природа обменного взаимодействия уже обязательно электрическая.
26 с. в. Вонсовский
26 с. в. Вонсовский
-401 一
-401 一
ного сравнения приведем асимптотические зависимости у (7) соответственно при высоких (Т《®) и низких (7 ^ 0) температурах ):
Л^/О[А(0_Г)]1/2(T^Q),(18.7)
/s^/°[l — 2exp (—学)](7^0).(18.8)
Оказывается, что формула (18.7) качественно более или пенсе (см. ни;ке § 4) согласуется с опытом, а (18.8) явно противоречит ему (см. ниже § 3 и гл. 19).
Влияние внешнего магнитного поля. Полученный в п. 1 результат о существовании спонтанного момента при TV® ничего, однако, не говорит о направлении вектора Is в теле, т. е. имеет место бесконечная кратность вырождения по направлению. Это вырождение может быть снято
Рис. 18.2. И деали зир ова нные кривые намагничивания изотропного ферромагнетика при различных температурах.Рис. 18.2. И деали зир ова нные кривые намагничивания изотропного ферромагнетика при различных температурах.
Рис. 18.2. И деали зир ова нные кривые намагничивания изотропного ферромагнетика при различных температурах.
Рис. 18.2. И деали зир ова нные кривые намагничивания изотропного ферромагнетика при различных температурах.
внутренними магнитными взаимодействиями, приводящими к явлению магнитной анизотропии (см. гл. 19 и 23), а также внешним магнитным полем Н, стремящимся ориентировать вектор Is вдоль своего направления .Этот последний случай мы здесь и рассмотрим.
При наличии внешнего магнитного поля к энергии (18.4) надо прибавить член —(Zs -Н)т причем Is = Npey. Тогда условие минимума свободной энергии, вместо (18.5), дает
у = th (箝二 *) =th 著(書—а).(18.9)
Из формулы (18.9) видна формальная возможность уподобить величину 竽 У = Нм°“ =贝/,贝=縉，(18.10)
молекулярному полю, пропорциональному намагниченности /; коэффициент пропорциональности 31 носит название постоянной молеку△ нрноао по几兄.Кроме того, из (18.9) вытекает, что при Г = 0° К имеем у (0) = 1 или /о = N“e・ Таким образом, при 0° К любое слабое поле снимает вырождение по направлению и намагничивает ферромагнетик вдоль своего направления до насыщения. Кривая намагничивания при Т = 0° К имеет вид прямых (см. рис. 18.2). С повышением температуры, если Т
не очень близка к 0, в слабых полях (Н《 Нмз) намагниченность практически равна своему значению из (18<5), меньшему, чем насыщение /0. С ростом поля намагниченность монотонно возрастает и при 8 f 8 стремится к /0. Из (18.9) видно, что в широкой области значений Я и Г возрастание намагниченности с полем (истинное намагничивание) столь мало, что практически не играет никакой роли по сравнению с величиной самопроизвольной намагниченности, даваемой формулой (18.5). Таким образом, анализ (18.9) позволяет утверждать, что влияние《внутренних» сил на величину намагниченности можно уподобить влиянию молекулярного поля Нмол・ До тех пор пока у не очень мало по сравнению с единицей, что имеет место почти при всех температурах Т V 6, исключая непосредственную близость к точке Кюри, величина Нмоп оказывается порядка 107 з. Эту оценку можно получить, если воспользоваться равенством
卩енмол&@
Поскольку для ферромагнетиков, подобных железу,"^ 0 ^ 1000° К, то мы находим
гг〃Е® Ю^б.ЮЗ,П7
*m0n卩е ^ 一[0_20I。3.
Из этой оценки можно определить порядок： [вшшнины」и постоянной молекулярного поля 贝；при I ^ 103 гс имеем
况=£^_^ 104 a/況..
Из этой оценки видно, между прочим, что постоянная 91 значительно превышает постоянную 4п/3 в лоренцевской поправке в локальном магнитном поле 1"пок = (4я/3) Z], которую по этой причине в ферромагнетиках можно приближенно не учитывать. Величина эффективного поля Нмол значительно превосходит обычно используемые на практике внешние стационарные магнитные поля (порядка 104 з). Наибольшие поля, полученные по методу Капицы [6], в импульсном режиме не превышали 105—106 з. н лишь в самое последнее время получены импульсные магнитные поля до 107 з методом взрыва (Сахаров [7]),
/ (7) = Ng卩е」aJ ⑴=//j/ (7) = Ng卩е」aJ ⑴=//j[Н + ^ЦТ)] ^ .[Н + ^ЦТ)] ^ .Обобщение на случай произвольного снинового и орбитального моментов Вывод формулы (18.9) для самопроизвольной намагниченности был основан на использовании простейшей классической модели спинового газа (квантовая природа которого учитывалась существованием только двух возможных спиновых проекций). Формула (18.9) может быть обобщена с помощью метода, использованного в гл. 9, именно согласно (9.5), где Я следует заменить на сумму Я + Ямол, вместо формулы (18.9) будем иметь
/ (7) = Ng卩е」aJ ⑴=//j
/ (7) = Ng卩е」aJ ⑴=//j
[Н + ^ЦТ)] ^ .
[Н + ^ЦТ)] ^ .
(18.9а)
Можно, так же как и в г Л. 9, рассмотреть асимптотический случай малых х:
Bj (и) » —^j—аgj20j^炉+・..Q《l).(18.96)
При Т = ® (при Н = 0) 1(®) =。,' н, следовательно, находим связь точки Кюри с постоянной молекулярного поля
贝=Ng2喝J(J+1)>(1840a)
которая при J=l/2 и g = 2 переходит в (18.10).
Можно также получить обобщение асимптотических формул (18.7) и (18.8):
厶⑺。7。(器)"叩/2(® 信-I)，(®7a)
厶(Т)а/()[1—^ 呵(j/] ~^~) ](7^0。К).(18.8а)
—403 —26*
На рис.} 18.1 [приведены^ кривые (18.9а) для J=oo, J=lnJ = 1/2,我 также экспериментальные точкп для Fe и Ni. Из сравнения теории и опыта видно, что наилучшее совпадение в области не очень низких температур дает кривая с J = 1/2 и при g。2. Это указывает на то, что в Fe и Ni основными носителями магнетизма, по-видимому, являются электронные спины. Этот вопрос будет рассмотрен ниже более подробно (см. гл. 19—22). Там же будет разобран случай низких температур, где теория молекулярного поля дает грубо неверный результат.
Вблизи 力=6 влияние внешнего поля (парапроцесс) становится более активным и явление технического насыщения постепенно исчезает (см рис. 18.2). Выше точки Кюри ферромагнетик превращается в парамагнетик с линейной зависимостью / от 8 и с восприимчивостью, подчиняющейся закону Кюри ——Вейсса (6.6); действительно, если сохранить в разложении (18.96) лишь первый член, пропорциональный 厘，получим
% =% =Ng2 隆/(/+1)叽(7一岩)Ng2 隆/(/+1)叽(7一岩)С，7—0С，7—0(18.11)(18.11)
% =
% =
Ng2 隆/(/+1)
叽(7一岩)
Ng2 隆/(/+1)
叽(7一岩)
С，7—0
С，7—0
(18.11)
(18.11)
Ng2 匾 J(J+1)@24
一弧F-=m，
что качественно хорошо подтверждается опытом *).
Аномалии теплоемкости вблизи Т= @. Как уже отмечалось выше (гл. 17), существование самопроизвольной намагниченности проявляется ие только в своеобраз' ном магнитном поведении ферромагнетиков. Опыт показывает, что и немагнитные свойства ферромагнитных тел отличаются особенностями (аномалиями), наиболее резко проявляющимися вблизи точки Кюри. Так, например, теплоемкость фер^ ромагнетиков имеет аномальный температурный ход по сравнению с другими типа^ ми твердых тел. В самом общем виде эту аномалию можно объяснить тем, что у ферромагнетиков в свободной энергии появляется добавочный член типа (18.4), существенно зависящий от намагниченности. Этот член и дает добавочную (по сравнению с неферромагнитными телами) теплоемкость ДСМ, необходимую для разрушения самопроизвольной].намагниченности при нагревании ферромагнетика:
幽—N 遽 dT — 2n隱 dT —2幽 .(18，一)
Используя (18.7) или (18.7а), находим, что в точке Кюри атомная теплоемкость ферромагнитных тел должна испытывать скачок (пли разрыв) величиной
A% (叫j=]/2)=可厶en=万 E 11аоm(®)(J>l/2) = /2+|/1!1 ；)2 E (1843)
便—универсальная газовая постоянная, если N — число электронов в моле спиново' го газа). Ниже, на рис. 18.23, приведены кривые удельной теплоемкости Ni по данным ряда авторов. Из этих кривых видно, что скачок теплоемкости при Т = ® существует, однако, величина его не совпадает с теоретическим значением, даваемым формулой (18.13). Таким образом, лишь общая картина наблюддемой аномалии теплоемкости совпадает с предсказанием теории, основанной на модели молекулярного поля. Отметим наличие небольших остатков аномалии теплоемкости и выше точки Кюри (см. ниже). Скачок теплоемкости в Ni очень подробно проанализирован в работе Краусса и Варнке [10]. Скачок теплоемкости в F。исследовали Клинкхарт [И] и Цуитхоф [12], в Со — Умино [13]. Сплавы Ni — Fe исследовались в работах [9] и Кайя и Накайама |14J, сплавы Ni — Си — в [11] и работе Грю [15], сплавы Fe — Со — Ni и Со — Ni — в работе [14], сплав Ni3Mn — в работе Томпсона [16]. Проведены также подробные исследования скачка теплоемкости вблизи точек Кюри и Нееля в редкоземельных металлах: Gd [17], Tb [18], Dy [19], Но [20], Ег [21], Ти [22] и Sm [23]. Более подробно вопрос о теоретической интерпретации《максимумов» теплоемкости и других свойств вблизи точек Кюри и Нееля, который оказывается гораздо сложнее, чем это предсказывается теорией молекулярного поля, будет обсужден в § 4 (см. также [509, 510]).
Магнетокалорический эффект. В гл. 17 мы уже указывали на невозможность точного определения /$ (Т) и точки Кюри из чисто магнитных измерений и на то, что имеются экспериментальные возможности, позволяющие обойти эти затруднения, исключив влияние истинной намагниченности на функцию /§ (7). Это делается при помощи исследования температурного хода немагнитных свойств ферромагнетиков.
Одним пз наиболее точных косвенных методов определения /$ (Т) и 0 является измерение магнетокалорического эффекта (см. гл. 16). Исторически изучение именно
этого эффекта и явилось наиболее ярким экспериментальным доказательством суще-. ствования самопроизвольной намагниченности, а также позволило определить ее зави
симость от температуры.
Повышение температуры магнетика АТ при его адиабатическом намагничивании, как это следует из формул (16.15) и (16.18), имеет место лишь при истинном намагничивании (Я 中 0) *). Происходящее при этом увеличение числа параллельных спинов уменьшает энергию обменного взаимодействия и энергию по отношению к внешнему магнитному полю. Получающийся «выигрыш» в энергии не может «уйти» из системы при условии ее адиабатической тепловой изоляции, поэтому увеличивается тепловая энергия элементарных магнитиков, т. е. происходит нагревание тела. Наоборот, при выключении поля в адиабатически замкнутом магнетике разрушается упорядоченная
Рис. 18.3. Зависимость магнетокало* рического эффекта АТ от магнитного поля Н в Fe при разных температурах (Поттер [5]).Рис. 18.3. Зависимость магнетокало* рического эффекта АТ от магнитного поля Н в Fe при разных температурах (Поттер [5]).Величина (dIs/dT) отрицательная (см., например, рпс. 18.1), поэтому при адиабатическом увеличении поля ферромагнетик нагревается. Таким
Рис. 18.3. Зависимость магнетокало* рического эффекта АТ от магнитного поля Н в Fe при разных температурах (Поттер [5]).
Рис. 18.3. Зависимость магнетокало* рического эффекта АТ от магнитного поля Н в Fe при разных температурах (Поттер [5]).
по (18.16) происходит линейнопо (18.16) происходит линейнообразом, вдали от точки Кюри, где (dIJdT)
по (18.16) происходит линейно
по (18.16) происходит линейно
п Сн слабо зависят от Я, рост температуры по (18.16) происходит линейно с полем. Приведенные на рис. 18.3 графики АТ для Fe, полученные Поттером [5], подтверждают этот вывод. По наклону этих прямых при Н — 0 и по данным для (disldT)H=Q из (18.16) можно определить теплоемкость Сн (Т) из чисто магнитных измерений и сравнить ее со значениями, полученными из калориметрических измере- ний. Сравнение вычисленных таким образом значений Сн с калориметрическими данными [11] дает расхождение примерно в 15—25 %, что достаточно удовлетворительно для такого рода сравнений. Это расхождение связано с качественным описанием теплоемко
сти решетки (в рамках теории Дебая), что и сказывается на сравнении с калориметрически определяемым значением Сн, поскольку последнее получается после вычитания пз измеренной полной теплоемкости приближенно оцененной теплоемкости решетки.
На основании этих данных можно построить температурную зависимость магне- токалорического эффекта АТ (7). На рис. 18.4 изображены кривые АТ (Т) для трех различных значений поля. Все они имеют максимум в точке Кюрп, позволяя тем самым точно определить последнюю.
*备（雾）产•*备（雾）产•(18.17)(18.17)Весьма важным является вывод зависимости магнетокалорического эффекта от намагниченности. Чтобы найти явный вид этой зависимости воспользуемся соотношением для dT при dS = 0, полученным из выражения, аналогичного (18.14), в котором вместо независимой переменной Н выбрана индукция В. Это дает вместо (18.15)
*备（雾）产•
*备（雾）产•
(18.17)
(18.17)
При Н = 0, найдя (дН/дТ)в из (18.9), а именно:
\ дТ ) в 〃в(7—®)+ мол
(ибо [%/4nMiЕ(Т— 6)1《1)，полУчим
&Тн~^(Н + Нмох) при />/$,
dT = 0при / </$,
но так как при всех достижимых полях Н《8Moл =猊，,то в ферромагнитной области температур (Т < 0)
dT = Oпри I V /$,
пли, интегрируя, получаем
=(1848)
В парамагнитной области (18.18) принимает вид АТ = (1/2Св) [(1/Х)+贝1 也 Если имеет место закон Кюри — Вейсса (18.11), то, подставляя значение % и нспшгьзуя соотношение С'= 6/% находим
a7 =翥-?2.(18.19)
Итак, мы приходим к выводу, что АТ ниже и выше точки Кюри растет пропорционально квадрату истинной намагниченности. Различие между ферромагнитной и парамагнитной областями заключается в том, что в первом случае прямые AT (Z2) пересекают ось /2 в точках ^/|/2Сд, а во втором — выходят из начала координат. Кроме
Рис. 18.4. Зависимость магнетокалорического эффекта АТ от температуры Т для Fe при различных полях: I) н=800и э； Г 2) 5000 э； 3) 2000 э (Поттер [5]).Рис. 18.4. Зависимость магнетокалорического эффекта АТ от температуры Т для Fe при различных полях: I) н=800и э； Г 2) 5000 э； 3) 2000 э (Поттер [5]).того, эти прямые отличаются и угловыми коэффициентами. Для Т<® этот коэффициент практически не зависит от температуры и равен 猊/2Св， а для 7》& он равен ^Г/20СВ, т. е. линейно растет с температурой. Опытные данные для (18.18) и (18.19) приведены на рпс. 18.5 (Поттер [5]).
Рис. 18.4. Зависимость магнетокалорического эффекта АТ от температуры Т для Fe при различных полях: I) н=800и э； Г 2) 5000 э； 3) 2000 э (Поттер [5]).
Рис. 18.4. Зависимость магнетокалорического эффекта АТ от температуры Т для Fe при различных полях: I) н=800и э； Г 2) 5000 э； 3) 2000 э (Поттер [5]).
Наиболее интересной является возможность определения самопроизвольной намагниченности Is с помощью формулы (18.18). Как видно из рис. 18.5, ниже точки Кюри линейная зависимость АТ от /2 будет наблюдаться лишь при достаточно сильных полях, когда намагничивание становится истинным. Откло
нение от прямолинейностп обусловлено тем, что при выводе (18.18) не учтены процессы технического намагничивания, благодаря которым истинное намагничивание начинается еще до того, как достигнуто техническое насыщение во всем образце. Если продолжить прямолинейную часть экспериментальных изотерм до пересечения с осью /2, т0 точки пересечения дадут Z|T соответствующие температурам изотерм. Именно таким образом и определяется самопроизвольная намагниченность вблизи точки Кюри. На кривой /$ (Т) (рпс. 18.6) экспериментальные точки для температур вблизи точки Кюри получены путем экстраполяции кривых АТ (/2) магнетокалорического эффекта.
Измерения магнетокалорического эффекта были проведены на сравнительно небольшом числе ферромагнетиков. Кроме классических исследований Вейсса п Фор- рера [4] и Поттера [5], упомянем еще работы Сексмпта и др. [24, 25], в которых исследовался этот эффект в кобальте, а также в сплаве пз системы Си —— Ni (с 27,5 % Си)
и в магнии-цинковом смешанном феррите (MgO -ZnO -2Fe2O3). А. К. Кикоин [26] провели в магнии-цинковом смешанном феррите (MgO -ZnO -2Fe2O3). А. К. Кикоин [26] провел1г/^>'2,(гс/г)г1г/^>'2,(гс/г)гРис. 18.5. Зависимость магнетокалорического эффекта АТ от квадрата удельной намагниченности 1?/р，2 длЯ ре (р'——плотность). Пересечение экспериментальных кривых (каждая из которых соответствует определенной температуре) с осью абсцисс дает значение квадрата удельной самопроизвольной намагниченности 1|/р'2 (Поттер [5]).Рис. 18.5. Зависимость магнетокалорического эффекта АТ от квадрата удельной намагниченности 1?/р，2 длЯ ре (р'——плотность). Пересечение экспериментальных кривых (каждая из которых соответствует определенной температуре) с осью абсцисс дает значение квадрата удельной самопроизвольной намагниченности 1|/р'2 (Поттер [5]).Рис. 18.6. Температурная зависимость относительной самопроизвольной намагниченности Ш・ Сплошная кривая — теоретическая, построенная по формуле (18.5). На внутреннем графике показан участок кривой вблизи 亍=®. Точками показаны экспериментальные данные: 1 — монокристалл Fe [5]; 2—электротехническое железо [5]； 3—армко-железо; 4—Ni [4].Рис. 18.6. Температурная зависимость относительной самопроизвольной намагниченности Ш・ Сплошная кривая — теоретическая, построенная по формуле (18.5). На внутреннем графике показан участок кривой вблизи 亍=®. Точками показаны экспериментальные данные: 1 — монокристалл Fe [5]; 2—электротехническое железо [5]； 3—армко-железо; 4—Ni [4].
и в магнии-цинковом смешанном феррите (MgO -ZnO -2Fe2O3). А. К. Кикоин [26] провел
и в магнии-цинковом смешанном феррите (MgO -ZnO -2Fe2O3). А. К. Кикоин [26] провел
1г/^>'2,(гс/г)г
1г/^>'2,(гс/г)г
Рис. 18.5. Зависимость магнетокалорического эффекта АТ от квадрата удельной намагниченности 1?/р，2 длЯ ре (р'——плотность). Пересечение экспериментальных кривых (каждая из которых соответствует определенной температуре) с осью абсцисс дает значение квадрата удельной самопроизвольной намагниченности 1|/р'2 (Поттер [5]).
Рис. 18.5. Зависимость магнетокалорического эффекта АТ от квадрата удельной намагниченности 1?/р，2 длЯ ре (р'——плотность). Пересечение экспериментальных кривых (каждая из которых соответствует определенной температуре) с осью абсцисс дает значение квадрата удельной самопроизвольной намагниченности 1|/р'2 (Поттер [5]).
Рис. 18.6. Температурная зависимость относительной самопроизвольной намагниченности Ш・ Сплошная кривая — теоретическая, построенная по формуле (18.5). На внутреннем графике показан участок кривой вблизи 亍=®. Точками показаны экспериментальные данные: 1 — монокристалл Fe [5]; 2—электротехническое железо [5]； 3—армко-железо; 4—Ni [4].
Рис. 18.6. Температурная зависимость относительной самопроизвольной намагниченности Ш・ Сплошная кривая — теоретическая, построенная по формуле (18.5). На внутреннем графике показан участок кривой вблизи 亍=®. Точками показаны экспериментальные данные: 1 — монокристалл Fe [5]; 2—электротехническое железо [5]； 3—армко-железо; 4—Ni [4].
[29]; наконец, Карчевский [30] исследовал эффект в ферромагнитных соединениях урана, Гартон и др. [31]——в трихлориде гадолиния, Знаменский и Факидов ——в сплаве CuMn [32], Белов и др. [33] обнаружили аномальный знак магнетокалорического эффекта в ферритах вблизи точки компенсации (см. гл. 22) ).
Уточнение теории молекулярного поляв рамках квазиклассического метода
Общие замечания. В изложенной выше теории молекулярного поля взаимодействие между электронами учитывалось слишком грубо — введением добавочного члена (18.4) в энергию, зависящего от намагниченности тела. Это эквивалентно тому, что принимается во внимание лишь порядок в расположении спинов на далеких расстояниях (дальний магнитный порядок). С другой стороны, как будет показано ниже, энергия /丄 во многих случаях приводит к силам, действующим заметным образом именно
на близких расстояниях. Поэтому термодиналшчески равновесное состояние ферромагнетика должно определяться ближним порядком между спинами ). Однако, оставаясь в рамках классического статистического метода, есть опасность получить результаты, которые могут даже качественно не совпадать с опытом, ибо ферромагнетизм ——существенно квантовое явление. Тем не менее квазиклассическая теория молекулярного поля с учетом порядка на близких расстояниях в иллюстративно-качественном отношении безусловно полезна.
Впервые учет «магнитного порядка» на близких расстояниях в схеме Изинга [1] был сделан в работе Стильбанса [35], который, используя ква- зихимический метод, развитый в теории упор ядочив а ющихся сплавов, дал теоретическое объяснение «остаткам» аномалии теплоемкости при температурах выше точки Кюри. Эти «остатки» вызваны необходимостью разрушения порядка на близких расстояниях, который еще частично сохраняется и выше точки Кюри.
Разработка этого метода была продолжена Вонсовским [8, 9] [см. также Вонсовский и Шур (1948)], который дал теоретическое объяснение упомянутому выше опытному факту различия между ферромагнитной и парамагнитной точками Кюри и показал, что парамагнитная восприимчивость вблизи точки Кюри имеет конечное значение, а не стремится к бесконечности, как это следует из (18.11), где не учтен ближний порядок.
Канер [36], а также Тредголд [37] развили квазиклассическую статистическую теорию ферромагнетизма, используя метод моментов, применяемый также и в теории упорядочивающихся сплавов (см. Кирквуд [38])..
Квазиклассическая теория ферромагнетизма была также рассмотрена в работах [39—59]. Имеется обширная более поздняя литература (см., например, [60—80]) и обзоры Домба [81] и Браута [82] и, наконец, весьма интересная в связи с рассматриваемой проблемой монография о природе* критического состояния Фишера [83], в которой имеется подробная библиография, а также книга Стенли [511].
На первый взгляд может показаться, что такой большой интерес к грубой изинговской модели не оправдан физически. Однако принципиальные трудности, возникающие при теоретической трактовке фазовых переходов второго рода, к которым относятся и многие «магнитные превращения», заставляют обратиться к изинговской модели, рассмотрение- которой может помочь в решении этого принципиального вопроса (см. § 3).
В отличие от теории молекулярного поля, когда учитывается только- зависимость энергии U от степени дальнего порядка у, будем теперь учитывать зависимость U от ближнего порядка. Если ограничиться взаимодействием ближайших соседей (такое приближение допустимо в случае «короткодействующего» характера обменных сил, см. гл. 19), то энергию U можно представить в виде
U = 2p+4 (18.20)
где р+_ —— полное число ближайших антипараллельных соседств во всем кристалле, а 2А ——энергия, приходящаяся на пару ближайших соседей. При выбранной нормировке энергия обмена двух параллельных спинов считается равной нулю, а двух антипараллельных ——равной +2/.
Используя обозначения (18.1) для намагниченности системы (вправо), получим
/ = %“В 備—1) =%睜 (18.21)
Полная энергия системы в присутствии внешнего магнитного поля Я будет иметь вид
и®, Р+-, 〃)= -М1Е也+ 2р+_4 {18.22}
Термодинамические свойства системы будут определены, если известна статистическая сумма (5.21), которая в данном случае равна
z= W g(y，Р+-)ехр [—■^^^]・(18.23}
У, А
Эта общая формула переходит в формулу теории молекулярного поля, если считать, что число р+ _ пропорционально квадрату относительной намагниченности 疗[замена (18.20) на (18.4)], и принять, что статистиче- г ), т. е. зависит только от г/ = =(2r/7V) — 1. Оба эти условия означают, что в теории Вейсса учитывается лишь порядок на дальних расстояниях, который определяется разностью правых и левых спинов по всему домену, независимо от их детального взаимного расположения. Ближний же порядок считается при этом просто равным дальнему, т. е. числа ближайших соседей разной ориентации у любого спина предполагаются пропорциональными полным числам правых и левых спинов в домене. Это значит, что если из полного числа z ближайших соседств какого-то спина некоторая доля их У относится к правым, а 1 — г' к левым спинам, то считается, что г'」г/N. Таким образом, локальная намагниченность ближайших соседей у каждого спина равна намагниченности, рассчитанной по всему кристаллу, а число р+ _ равно,
?+~ =/(1-'^)券，(18.2好
В реальном кристалле это не имеет места, так как параллельные спины под действием обменных сил стремятся «слипаться» в отдельные рои, подобно атомам газа при его конденсации или образованию флуктуаций плотности в неидеальном газе. При низких температурах эти флуктуации очень велики. При высоких температурах (Т > 0) приближение, не учитывающее ближнего порядка, более законно. Однако и в этом случае имеются еще флуктуации параллельных спинов в малых объемах, вызываемые силами обмена и приводящие к отличной от нуля локальной намагниченности в отсутствие результирующего магнитного момента во всем объеме ферромагнетика, т. е* в отсутствие дальнего порядка (у = 0)・
В отличие от теории Вейсса, статистическая сумма (18.23) учитывает ближний порядок. Мерой этого порядка является число антипараллель- ных соседств р+ _, которое, вообще, связано с дальним порядком у, но уже не так просто, как в случае теории молекулярного поля. При каждом данном значении у может быть много р а спр ед ел ений с различными значениями р+ _ и энергиями U (у, р+_). Основная трудность в вычислении суммы (18.23) заключается в подсчете статистического веса g (у, р+_), который равен числу способов ра спр ед еления г правых и N ——г левых спинов по N узлам решетки при заданном числе р+_. Эта задача становится элементарно простой в случе очень высоких температур, когда энергия обмена не в состоянии поддержать корреляцию между спинами1 даже на близких расстояниях ввиду интенсивного действия теплового движения, разрушающего ближний порядок (к^Т》Mi).
Статистическая задача теории ферромагнетизма в изинговском приближении с учетом ближнего порядка решается точно в единственном случае одномерной цепочки спинов. Изящное математическое решение одномерной задачи Изинга принадлежит Беккеру и Дерингу (1939).
Переход к двух- и трехмерным кристаллам сильно усложняет расчет. Поэтому приходится идти путем приближений. Двухмерный случай подробно рассмотрели Монтролл [40], Крамере и Ваннье [41], Онзагер* [42, 43]. (См. также Домб [81], Дыхне и Румер [57] и ниже § 3.)
Наиболее простым приближенным решением трехмерной проблемы Изинга является квазихимический метод, развитый Фаулером и Гуген- хеймом [84〕. К теории ферромагнетизма этот метод применили Стильбанс [35〕и Вонсовский-[8, 9]. Остановимся на кратком изложении этого метода.
Квазихимический метод. Полное число ближайших соседств между N узлами решетки равно 1/2 zA\ Если через а обозначить долю антипараллельных ближайших соседств, то их полное число равно
1
p+.^ — zNx. (18.24а)
При полном порядке (ближнем и дальнем) при Т = 0°К величина 厘=0 и согласно (18.24а) р+- = 0 Обменная энергия кристалла согласно (18.20) равна
U^zNAx.(18.25)
Таким образом, для того чтобы описать магнитные свойства ферромагнетика, надо определить термодинамически равновесное значение а. При вычислении а и используется квазихимический метод. Изменение числа 厘 связано с процессом (реакцией) обмена между антипараллельными спинами. Каждая такая реакция изменяет число параллельных и антипараллельных соседств, а следовательно, по (18.25) связана с изменением величины обменной энер гии кристалла. Пусть участвующий в реакции обмена положительный спйн (+) имел вначале /+ параллельных п z【_ = z ——zi+ антипараллельных ближайших соседей, а отрицательный спин (—) имел z2+ антипараллельных и з2_ = z ——纟2+ параллельных соседей. Тогда процесс обмена для положительного спина можно о писать реакцией
21+ (+ +)+ (з — zi+) (Н)二 Zj+ (h)+(z —Z£+)()十2 (2zi+ — z) A
(последнее слагаемое в правой части дает возрастание энергии обмена при реакции), а для отрицательного——реакцией
Z2- () +(Z — Z2-) (h) ；Z2- (-j)+(Z—Z2_) (+ +)十2 (2名2-—z) A.
Складывая почленно эти равенства п перенося члены(+十)и () в одну
сторону, находим
(Z(++Z2- - z) (+ +)+出++3一一z)( ); 2(?1+ + Z2- - 2)( - +)+4(Z]++Z2— - Z)4 Поэтому, независимо от числа ближайших соседей z и способа разбиения его на z；+ положительных п z/_ отрицательных соседей, каждая реакция обмена имеет вид
(++) +(一一)；2(一+) + 44(18.26)
4/ дает работу, затраченную при эдотермической реакции замены двух параллельных соседств двумя антипараллельными. Согласно (18.24а) полное число ближайших соседств между положительными спинами равно
p++=$zN 卜 一^)(18.27)
и между отрицательными
p_.~zN ^-г'-^ ；p_.~zN ^-г'-^ ；(18.28)(18.28)
p_.~zN ^-г'-^ ；
p_.~zN ^-г'-^ ；
(18.28)
(18.28)
здесь использовано введенное выше обозначение г' = r/N. При равновесии «реакция» (18*26) требует, чтобы выполнялся «закон действующих масс»
(18.29)(18.29)Р++・Р—1/ 44
(18.29)
(18.29)
Если правую часть (18.29) заменить единицей (что законно при /сБ 7 ^> 4Л), а в (18.27), и (18*28) положить 厘/2 равным нулю, то мы снова приходим к приближению Вейсса, не учитывающему ближнего порядка 厘 = г' (1 ——г') [см. (18.24)]. Экспоненциальный фактор ехр (4%/吒？)делает более выгодным два параллельных соседства по сравнению с двумя антипараллельными. Соотношение (18.29), безусловно, точнее приближения Вейсса, однако строгого доказательства законности такого уточнения пока еще никем не дано.
Согласно (18.24а), (18.27) п (18.28) «закон действующих масс» (18.29) принимает впд
откуда, решая квадратное уравнение, находим термодинамически равновесное значение 厘 при заданном дальнем порядке г':
{! + 4г，(1 —г，)[ехр 卜君)1]}"2 —1
{поскольку 厘 > 0, то корень квадратный со знаком минус не дает физически допустимого решения) ). Вводя вместо г' = r/N относительную намагниченность у по (18.21), находим
а =а =(18.30)(18.30)ехp (台)一]ехp (台)一]1-(1-^) [exp (^L)-l]|1/2-l
а =
а =
(18.30)
(18.30)
ехp (台)一]
ехp (台)一]
Найденное равновесное значение 厘，учитывающее ближний порядок, позволяет дать в рамках данного приближения полное термодинамическое описание исследуемой системы. В частности, для равновесного значения энергии, согласно (18.25) л (18.30), имеем
и (У)43八
山+"一衿(中)
Если в (18.31) exp (4Л/^БГ) заменить единицей, то снова (с точностью до аддитивной постоянной) приходим к формуле Вейсса (18.4), если учесть, что 厶(=z厶/2. С помощью (18.31) можно вычислить свободную энергию по известной термодинамической формуле [см. (5.2) и (5.3)]
.鳴#『=и ⑺.(18.32)
Если интегрирование вести от определенного предела 1/Т = 0 (Т=8), то константа интегрирования для ^1 (y)jT равна—/сБ In g (?/) (т. е. энтропии идеального газа спинов при А：е7》4/), где g (у)——статистический вес, равный числу способов распределения спинов по узлам решетки при заданном у, т. е.
N!
g ⑺_(NN)1 [(1 — 产)何!,
В приближении Стирлинга
lug (у)七 N[21n2—&+у) ln(l+у) —(1 —у) 1口(1—у)].(18.33)
Итак, по (18.32), (18.31) и (18.33) имеем
~^^~ = «+ ?) In а+?) + (! —у) In (1 —у) —2 In 2 +
Б …(令
)М (毋)
Для удобства вычисления интеграла вводим обозначение
(18.34)(18.34)1 + (1—衿[exp ("^-j —1] j ” = а® Т) = а
(18.34)
(18.34)
и после интегрирования находим
• 4g =«+у) 1п(1 + у) + (1 —У)1п (1—У)—2 In2 +
+ | [(1 +у) in ^- + (1 —У) In ^—2 In 岑} (18.35)
Соотношение (18.35) дает зависимость свободной энергии ферромагнетика от температуры Т и намагниченности у. При 衣好》2Л (18.35) переходит в соответствующую формулу (18.3) теории Вейсса. Фактически при каждой температуре Т осуществляется намагниченность у, отвечающая минимуму 耳'(у), условием которого является ；
(18.36)(18.36)Nk^F ду21—у2сс — у
(18.36)
(18.36)
]*加(у)二z —2 ( z 0
А/А/Nk#參—一—1 — ^2 丁 a (1 — y2j 2 u・
А/
А/
(18.37)(18.37)Равновесные значения намагниченности являются, таким образом, корнями уравнения:
(18.37)
(18.37)
Исследование этого уравнения показывает, что оно всегда имеет корень у = 0. Выше- некоторой критической температуры 0 этот корень единственный и соответствует минимуму 耳【(у). Для 0 W Т W ®, кроме корня у = 0, который в этом интервале температур соответствует максимуму 尸(у), есть еще один корень у > 0 (еслп исключить симметричные значения у V°), соответствующий минимуму 尸【(у). Таким образом, ниже критической температуры ——точки Кюри 6 > 0,——имеется самопроизвольная намагниченность у > 0. Точка Кюри определяется из условия, что в ней должны удовлетворяться одновременно три равенства:
Последнее вытекает из того, что для Т > ®
соответствует минимуму 尸(у), а для Т < 9
соответствует максимуму 耳【(у). Таким образом, в самой критической точке Т = 0 вторая производная должна обращаться в нуль. В силу (18.36) находим для у=0, что ехр (2厶/&е®) =z/(z —2), и, следовательно,
002А2А纭1口 [z/z-2)]纭1口 [z/z-2)](18.38)(18.38)
0
0
2А
2А
纭1口 [z/z-2)]
纭1口 [z/z-2)]
(18.38)
(18.38)
Из (18*38), в согласии с точным решением задачи одномерной модели Изинга, следует, что при z = 2, т. е. в одномерном случае, 0 = 0. При z > 2 точка Кюри 0 > 0 и увеличивается с ростом z. Для плоской квадратной решетки (м = 4) при 力 > О
®一作1口 2・
Полученные результаты с количественной стороны весьма приближенные. Подробнее см. обзор Ньюэлла п Монтролла [55].
Сравнение с опытом. Первая проблема, которая может быть решена, хотя бы качественно, в теории, учитывающей ближний порядок,——это проблема различия между пара- и ферромагнитными точками Кюри [8, 9]. При выводе основных формул теории для парамагнитной области надо учесть внешнее магнитное поле, так же как это было сделано в § 1, п. 2. В правой части (18.37) появится при этом член 2^Н!к^Т. При Т》8 получаем снова закон Кюри — Вейсса (18.11):
и, следовательно, для 0ПМ согласно (18.11) имеем
0
пм
z2 化Е
(18.39>
Вещества
иПМ' А эксперимент
0； °К эксперимент
®пм-®' °К эксперимент
©пм—е，°к теория
Ni (z = 12)
650
631
19
108
Со (z = 12)
1428
'1403
25
238
Gd (z=12)
302,5
289
12,5
50
Fe (z = 8)
1101
1043
58
172
Плоская решетка (z = 4))
必/作
2,84/&е
—
1,2_4/&з
Линейная цепочка (z = 2) )
2А/кв
0
——
24&е
*) Согласно (18.38) и (18.39)
А /2\
(©им ❷)теор—&е V In [2/(2—2)]卜
что дает » А/кв при z = 8 и 七 2厶/纭 при z = 12. Отношение 厶/% определяется из сравнения (0Пм)эксп с формулой (18.39).
**) Две нижние строки относятся к гипотетическим системам—плоской решетке и линейной цепочке спинов; значения 0ПМ и @, помещенные во втором и третьем столбцах таблицы, для этих систем—теоретические.
Таблица 184
Парамагнитные и ферромагнитные точки Кюри
Из сравнения (18.39) и (18.38) видно, что 0Пм > ©. На рис. 18.7 .дана схематическая картина температурной зависимости самопроизвольной намагниченности Is (Т) и парамягнитной восприимчивости %7^
Рис. 18.7. Сравнение температурных зависимостей Is (левая часть графика до температур Т < © или ©пм) и %詰(правая часть графика для Т > © или ©пм) по теории молекулярного поля без учета ближнего порядка (сплошная кривая) и с его учетом (штриховая кривая).Рис. 18.7. Сравнение температурных зависимостей Is (левая часть графика до температур Т < © или ©пм) и %詰(правая часть графика для Т > © или ©пм) по теории молекулярного поля без учета ближнего порядка (сплошная кривая) и с его учетом (штриховая кривая).по теории Вейсса (сплошндя кривая) и по теории, учитывающей ближний порядок (пунктирная кривая). В табл. 18.1 приведены экспериментальные значения 0ПМ, 0 и разности 0ПМ — 0 для четырех ферромагнитных элементов и теоретические значения для плоской (z = 4) и одномерной (z = 2) решеток. Из данных табл. 18.1 видно, что теория качественно удовлетворительна, но количественно, как и следовало ожидать, очень несовершенна. Впрочем, надо указать, что экспериментальная точность в определении
Рис. 18.7. Сравнение температурных зависимостей Is (левая часть графика до температур Т < © или ©пм) и %詰(правая часть графика для Т > © или ©пм) по теории молекулярного поля без учета ближнего порядка (сплошная кривая) и с его учетом (штриховая кривая).
Рис. 18.7. Сравнение температурных зависимостей Is (левая часть графика до температур Т < © или ©пм) и %詰(правая часть графика для Т > © или ©пм) по теории молекулярного поля без учета ближнего порядка (сплошная кривая) и с его учетом (штриховая кривая).
А©эксп не очень велика. Этот вопрос более детально рассмотрен в работах Бердышева [85] и Зайцева [86] *).
Второй вопрос, получивший также качественное решение в теории, учитывающей ближний порядок, относится к объяснению «остатков»
ферромагнитных аномалий выше точки Кюри [см. [8, 9] и Вонсовский и Шур (1948)]. Как уже указывалось, все ферромагнитные аномалии имеют довольно резкий максимум при Г = 0, после которого они не сразу исчезают, как этого требует теория Вейсса (см. § 1) или термодинамическая теория (см. § 3), учитывающие лишь дальний порядок, а могут
ьсьсРис. 18.8. Температурная зависимость энергии ферромагнетика U (Т); ОаЬс( — без учета ближнего порядка [по формуле Ь =也 zNA (1 — У)] и Oade — с его учетом [см. формулы (18.31) и (18.40)].Рис. 18.8. Температурная зависимость энергии ферромагнетика U (Т); ОаЬс( — без учета ближнего порядка [по формуле Ь =也 zNA (1 — У)] и Oade — с его учетом [см. формулы (18.31) и (18.40)].сравнительно медленно убывать стремясь асимптотически к нулю при Т f оо. Подробное обсуждение этого вопроса можно найти, например,, в обзоре Герлаха [88].
ьс
ьс
Рис. 18.8. Температурная зависимость энергии ферромагнетика U (Т); ОаЬс( — без учета ближнего порядка [по формуле Ь =也 zNA (1 — У)] и Oade — с его учетом [см. формулы (18.31) и (18.40)].
Рис. 18.8. Температурная зависимость энергии ферромагнетика U (Т); ОаЬс( — без учета ближнего порядка [по формуле Ь =也 zNA (1 — У)] и Oade — с его учетом [см. формулы (18.31) и (18.40)].
Ландау [89] на примере рассеяния рентгеновских лучей вблизи точек Кюри в упорядочивающихся сплавах показал, что «остатки» аномалий выше точки Кюри хотя бы частично объясняются флуктуациями дальнего порядка при Г > 0. Флук
туации самопроизвольной намагниченности особенно резко должны сказываться вблизи точки Кюри, ибо в самой точке Кюри флуктуации Is стремятся к бесконечности (см. § 3). Как будет указано в § 3, вблизи точки Кюри имеются особенности тер
модинамических величин, характер которых еще до конца не выяснен.
Для того чтобы объяснить наличие «остатков» ферромагнитных аномалий выше точки Кюри в качественной теории ближнего порядка, рас
смотрим температурную зависимость энергии ферромагнетика (18.31). На рис. 18.8 приведены схематические графики этой зависимости. Кривая Oabc [U = %zM4 (1 — у，〕соответствует теории Вейсса [с точностью до постоянного слагаемого она совпадает с (18.4)]. При Г = 0, когда у f 0, кривая энергии имеет излом, и при Г > 0 энергия равна постоянному значению Н珞NA. Кривая Oade соответствует (18.31). Вблизи Т =⑶ она не достигает максимума и лишь медленно приближается к своему
Рис. 18.9. Температурная зависимость параметра ст ближнего магнитного порядка.Рис. 18.9. Температурная зависимость параметра ст ближнего магнитного порядка.предельному значению ^I^NA при Т f оо. Выражение энергии (18.31) при Г > 0 (где у = 0) имеет вид
Рис. 18.9. Температурная зависимость параметра ст ближнего магнитного порядка.
Рис. 18.9. Температурная зависимость параметра ст ближнего магнитного порядка.
U = zN4[exp (寻)+4「.
(18.40)
Кривая Oade не имеет резкого излома. Медленный рост U при Г > 0
соответствует постепенному разруше
казать, чтоказать, чтонию ближнего порядка, который исчезает лишь при Т f оо. Если ввести обычное определение параметра ближнего порядка о = (2!zN) (р + + 十 + р — Р+ ) то с помощью (18.30), (18.24а), (18.27) и (18.28) легко по
казать, что
казать, что
при Т v[@ о 〜炉,
при Г>0 о ~ th (Yt?)
На рис. 18.9 приведено схематическое изображение температурной зависимости параметра ближнего порядка; видно, что о резко уменьшается вблизи Г = 0 и при Г > 0 асимптотически стремится к нулю. Такая «нерезкость» температуры Кюри с точки зрения ближнего порядка приводит к тому, что все аномалии ферромагнетиков хотя и имеют крутой максимум при Г = 0, но при Г > 0 не должны сразу идти в нуль, а лишь постепенно убывать в соответствии с постепенным разрушением порядка
на близких расстояниях. Вна близких расстояниях. Вчастности, для теплоемкости получаем:
на близких расстояниях. В
на близких расстояниях. В
при Г <0при Г <0См =См =zNA d (齡)zNA d (齡)при Г > 0при Г > 0°м =°м =2 dT 'zNA42 dT 'zNA42/Т Н + ехр(22/%Т)] •2/Т Н + ехр(22/%Т)] •
при Г <0
при Г <0
См =
См =
zNA d (齡)
zNA d (齡)
при Г > 0
при Г > 0
°м =
°м =
2 dT '
zNA4
2 dT '
zNA4
2/Т Н + ехр(22/%Т)] •
2/Т Н + ехр(22/%Т)] •
Температурная зависимость См (Т) схематически изображена на рис. 18.10 ).
В работе Губанова [90] квазихимический метод распространен на случай аморфных ферромагнетиков, где координационные числа для ближайших соседей в кристаллах заменены на «функцию распределения
висимость См (Т) с учетомвисимость См (Т) с учетомсоседей» в аморфных телах. Однако этот расчет нельзя считать доказательством возможности существования магнитного атомного порядка в аморф!Гых телах (жидкостях) ввиду его квазиклассического характера )
висимость См (Т) с учетом
висимость См (Т) с учетом
ближнего порядка.атомами, находящимися внеближнего порядка.атомами, находящимися внеМетод Бете ——Пайерлса ——Вейсса. Способ учета блпжнего магнитного порядка в несколько отличной форме от изложенного выше квазихимического метода разработал П. Р. Вейсс [46] на основе работ Бете [95] и Пайерлса [39] (см. также Фир го [51], Браун и Латтпнд- жер [53]). При этом подходе рассматривается кластер (рой) магнитно активных атомов, состоящий из Z-ro центрального атома и его z ближайших соседей. Взаимодействие 2 соседних атомов друг с другом и с центральным рассматривается по обычной гейзенберговской схеме обменной связи. Связь же с магнитными
ближнего порядка.
атомами, находящимися вне
ближнего порядка.
атомами, находящимися вне
кластера, учитывается с помощью эффективного поля 鬲巾巾,которое определяется самосогласованным способом. Точка Кюри определяется как температура, ниже которой
поле Нз©巾 исчезает.
Например, в случае п. к. или о. ц. к. решетки гамильтониан кластера в изинговеком приближении можно записать в виде
眩=-24公£吃儿-^Б^ФФ £ %儿一g卩E瓜7i，(б. с)(б. с)
где $zt ——^-слагающая спина центрального атома;五^巾巾 ——эффективное поле, действующее на z соседних атомов (ближайших к атому i) с проекциями спинов s^^; Н — внешние поле, действующее только на центральный атом (оба поля ^Эфф и 8 в данном случае направлены вдоль оси z.). Суммирование ведется по всем ближайшим соседям (б. с.). В случае более сложных решеток, г. ц. к. или гекс. п. у.т в 認 необходимо еще явно учитывать добавочный член взаимодействия между ближайшими соседями — —— 2Л ^\szhszk'' В модели Изинга обычно предполагается, что szi = s^^ = 1/2. Тогда (б. с)
суммарная z-проекция спинов ближайших соседей равна $z = £ $7斤 При этом возмож- (б. с)
ные значения Sz равны —?/2, —(?/2—1), • . ., 0, . . ., "2. Статистический вес состояния с данной энергией, являющийся собственным значением гамильтониана 認，определяется числом возможных размещений спинов с положительной z-проекцией. (Sz + z/2) по z узлам ближайших соседей, т. е.
)(邑+导)1 (邑一分
Следовательно, статистическая сумма имеет вид
где〈叁〉——собственные значения оператора. Вычисления этой фазовой суммы, в частности, приводят к формуле (18.38) для точки Кюри. Кривая для температурной зависимости теплоемкости представлена на рис. 18.10.
Результаты расчеюв качественно такие же, как и в изложенном выше квазпхими- ческом методе учета ближнего порядка. Заметим, что в методе Вейсса учитывается локальный ближний порядок внутри кластеров и пренебрегается дальним порядком. Поэтому этот метод применим в области температур, близких к точке Кюри (см. также (96, 97, 520]).
Общее качественное описание ферромагнитного превращения. На основании изложенного можно дать общее качественное описание ферромагнитного превращения/ При очень высоких температурах (Т》0) тепловое движение столь интенсивно, что оно практически разрушает
всякую упорядоченную параллельную ориентацию спинов даже в очень малых объемах. При понижении температуры, но при Т》日 обменные
Рис. 18.11. Температурная зависимость относительной намагниченности 力几 монокристалла магнетика (FeO«РегОз). 1 — в отсутствие внешнего магнитного поля (Я = 0); 2 — при Я = 628 а. По оси абсцисс точка Кюри получена экстраполяцией (см. пунктирную часть кривой для Я = 0). Справа от пересечения пунктирной кривой на оси абсцисс показана точка, где уже обнаружено парамагнитное состояние. Эти экспериментальные данные служат доказательством точечного характера ферромагнитного превращения (Смит [98]).Рис. 18.11. Температурная зависимость относительной намагниченности 力几 монокристалла магнетика (FeO«РегОз). 1 — в отсутствие внешнего магнитного поля (Я = 0); 2 — при Я = 628 а. По оси абсцисс точка Кюри получена экстраполяцией (см. пунктирную часть кривой для Я = 0). Справа от пересечения пунктирной кривой на оси абсцисс показана точка, где уже обнаружено парамагнитное состояние. Эти экспериментальные данные служат доказательством точечного характера ферромагнитного превращения (Смит [98]).ромагнетика при Г < 0. Кроме того, приромагнетика при Г < 0. Кроме того, присилы становятся уже достаточными для установления порядка на близких расстояниях. Появляются кластеры параллельных спинов, т. е. флуктуации самопроизвольной намагниченности при Т》& Однако в среднем по всему объему домена число кластеров правой и левой ориентации одинаково, поэтому нет дальнего порядка, нет скачка симметрии, т. е. нет самопроизвольной намагниченности в обычном смысле этого слова. Ориентация локальной намагниченности кластеров сильно зависит от теплового движения, поэтому для их параллельной ориентации требуются гораздо большие магнитные поля, чем для намагничивания фер- Г > 0 магнитное поле вызы
Рис. 18.11. Температурная зависимость относительной намагниченности 力几 монокристалла магнетика (FeO«РегОз). 1 — в отсутствие внешнего магнитного поля (Я = 0); 2 — при Я = 628 а. По оси абсцисс точка Кюри получена экстраполяцией (см. пунктирную часть кривой для Я = 0). Справа от пересечения пунктирной кривой на оси абсцисс показана точка, где уже обнаружено парамагнитное состояние. Эти экспериментальные данные служат доказательством точечного характера ферромагнитного превращения (Смит [98]).
Рис. 18.11. Температурная зависимость относительной намагниченности 力几 монокристалла магнетика (FeO«РегОз). 1 — в отсутствие внешнего магнитного поля (Я = 0); 2 — при Я = 628 а. По оси абсцисс точка Кюри получена экстраполяцией (см. пунктирную часть кривой для Я = 0). Справа от пересечения пунктирной кривой на оси абсцисс показана точка, где уже обнаружено парамагнитное состояние. Эти экспериментальные данные служат доказательством точечного характера ферромагнитного превращения (Смит [98]).
ромагнетика при Г < 0. Кроме того, при
ромагнетика при Г < 0. Кроме того, при
вает одновременно сильное истинное намагничиваниет и поэтому в присутствии поля при Г > 0 вообще мало смысла говорить о самопроизвольной намагниченности. При приближении к точке Кюри энергия обмена, рассчитанная на спин, становится сравнимой с тепловой энергией, и при Г = 0 имеем z/ ^ к^Т. В этом случае обменное взаимодействие уже может установить не только ближний порядок в виде кластеров упорядоченных спинов с небольшими радиусами корреляции. При Т = ® радиус корреляции, а с ним и размер кластера растут настолько, что создается дальний порядок во всем объеме домена. Симметрия всего тела меняется при этом скачком. Дальний порядок начинает непрерывно расти, и уже очень скоро после охлаждения ниже точки Кюри самопроизвольная намагниченность в пределах домена делается столь большой, что даже в присутствии не очень сильного внешнего поля (Н《_Нмол), могущего создавать истинную намагниченность (и тем самым «снимать», по существу, магнитный фазовый переход), самопроизвольная намагниченность начинает играть основную роль, задавая тон всему магнитному поведению ферромагнетика.
При количественной оценке величины «остатков» аномалий различных свойств ферромагнетиков выше точки Кюри надо проявлять чрезвычайную осторожность. Дело в том, что величина этих «остатков» аномалий и размытость максимумов на кривых температурной зависимости вблизи точки Кюри в значительной степени определяются химической чистотой и однородностью данного ферромагнитного вещества, а также особенностями термодинамического потенциала вблизи точки Кюри (см. ниже).
В связи с обсуждаемым вопросом обращаем внимание на измерения намагниченности в монокристалле магнетита вблизи точки Кюри, которые провел Смит [98]. В этом исследовании с большой степенью точности (〜 0,05° К) показан точечный характер ферромагнитного превращения. На рис. 18.11 приведены кривые 厶⑺ в непосредственной близости к 0 при наличии и в отсутствие внешнего магнитного поля. Таким образом, если флуктуации ближнего порядка существуют и влияют на резкость фазового превращения для кривой 厶，то это влияние не приводит к размытию точечного характера превращения на величину, большую 0,05° К. (См. по этому вопросу также работы [99—102].)
Термодинамическая теория ферромагнитного превращения
Термодинамика фазовых переходов второго рода. Успех феноменологической теории молекулярного поля, несмотря на ее упрощенный характер, показывает, что ряд ее результатов, нашедших качественное подтверждение на опыте, можно получить из общей термодинамической теории.
Переход из ферромагнитного состояния в парамагнитное по классификации Эренфеста [103] является фазовым переходом второго рода ). В точке Кюри, где исчезает самопроизвольная намагниченность (дальний магнитный порядок), ферромагнетик сразу меняет свою симметрию. Это прерывное изменение касается только симметрии тела; его состояние при этом меняется непрерывным образом, т. е. остаются непрерывными термодинамический потенциал Ф и его первые производные (энтропия, объем и т. п.); поэтому, например, в точке Кюри нет скрытой теплоты превращения. Однако вторые производные потенциала Ф (теплоемкость, сжимаемость и т. п.) терпят разрыв (или скачок) при 7 = ®. Из общих термодинамических условий равновесия при фазовых переходах первого рода известно (см., например, Леонтович [104], Самойлович [105]), что прп равновесии в обеих фазах должны быть равны давление, температура и удельные термодинамические потенциалы ), а именно:
Р『Р2 = Р, 4 =厶=北 ① 1(Р，Т)=包(卩，？)•(18.41)
Третье условие (18.41) дает функциональную связь между р и Т, прп которых возможно равновесие фаз. Разрешая это уравнение относительно р, получаем
Р1/2 = 〃Т)・(1&42)
На плоскости (7\ р) соотношение (18.42) дает уравнение кривой равновесия двух фаз. Для фазовых превращений первого рода при переходе через кривую равновесия первые производные потенциала Ф (р, Т) терпят разрыв, т.е. имеет место скачок энтропии @①—/ ^ф12\
——дТ~ 丿
и удельного объема
Поэтому происходит поглощение или выделение тепла: AS/Т = g ——теплота перехода.
Фазовые переходы второго рода определяются следующими условиями ):
Термодинамический потенциал Ф (р, 7) и его первые производные непрерывны вдоль кривой равновесия (18.42); поэтому энтропия и удельный объем не имеют скачков
в точках перехода
(18.43)(18.43)AS = N = 0.
(18.43)
(18.43)
Вторые производные потенциала имеют разрыв непрерывности вдоль кривой (18.42), что приводит к скачку теплоемкости
(18.47)(18.47)АСр_ А " — А 財2 —( "2"2 卜(18・)
(18.47)
(18.47)
A9=——^ А -
@Р _1@2①
др丿厶0р2
1 / ^ф2
^2ф!、
(18.45)
V \办2
и коэффициента теплового
расширения
Да = — А
更_丄 @2① дТ V л дТ др
1/ 32①2
d^i \
(18.46)
V \ дТдр
дТ др ]'
сжимаемости
Эти скачки связаны общими термодинамическими соотношениями. Их можно найти, продифференцировав равенства (18.43) вдоль линии фазового перехода, что дает
^2ф^2ф^2ф^2ф
^^TdidPi2+^~dT^ Q，厶声如伍+厶而亍=°・
Поскольку d〃2 и dT — дифференциалы вдоль кривой равновесия (18.42), то dT можно записать как Й0, где 0 — точка Кюри — является функцией давления pi2； скачки же вторых производных Ф в (18.47) можно заменить по (18.44) — (18.46); в итоге находим
(18.48)(18.48)d® — TV Act Arcdpi2 ACp — Act
(18.48)
(18.48)
Уравнения (18.48) для фазовых переходов второго рода аналогичны уравнению Кла- пейррна — Клаузиуса для переходов первого рода: d@/dp，2 = ТАР/AS, которое получается дифференцированием третьего условия (18.41). Однородные уравнения (18.48) имеют нетривиальное решение относительно d&/dpi2, если их детерминант
…一А％1 _ 0
I -樹 Act 1一 5
откуда и находим искомую связь между скачками (18.44) — (18.46):
(18.49)(18.49)TV (Асс)2 = АСр • Ас.
(18.49)
(18.49)
Из (18.48) видно, что скачки термодинамических величин связаны не только между собой по (18.49), по п с величиной смещения точки Кюри, вызванного всесторонним давлением, т. е. dB/dp.
Сравнение с опытом. К сожалению, сравнение этих термодинамических соотношений с экспериментом не может быть проведено в полной мере из-за отсутствия достаточного числа необходимых опытных данных для одного и того же вещества ). Подробное экспериментальное исследование смещения точки Кюри с давлением в различных ферромагнетиках произвел Патрик [106]. Однако наиболее детальный анализ этого вопроса можно найти в работе Д. Блоха [107], где приведен также достаточно полный обзор и библиография важнейших экспериментальных исследований по влиянию высоких давлений на намагниченность и на точки Кюри и Нееля. В табл. 18.2а и 18.26, заимствованных из работы [107], приведены ваяшейшие работы по этим исследованиям, и в них указаны диапазоны давлений и температур и исследуемые вещества. Сам Блох провел исследования по влиянию давления на магнитные свойства редкоземельных металлов (Gd, Tb, Dy и Но), d-металлов (Ni и Со), твердых растворов (Ni — Си, Ni — Si), ряда ферритов со структурой шпинели и граната, интерметаллического соединения MnAu? и других веществ. В качества примера на рис. 18.12, а приведены данные его измерений по смещению точки Кюри в Gd и точек Нееля в Tb, Dy и Но, а на рис. 18.12, 6 показаны кривые зависимости изменения величины удельной намагниченности о = //рл (р，— плотность) от давления для Gd, ТЬ и Dy (при Т = 77° К и в поле Н = 29 000 з). Свои опытные результаты и результаты других
Таблица 18.2а
Важнейшие работы по исследованию изменения намагниченности ферромагнитных и антиферромагнитных веществ под высоким давлением с указанием значений максимальных давления и магнитного поля и области температур при измерениях
Вещество
Максимальное давление, бар
Область температур, °К
Максимальное магнитное поле, 9
Источники
Fe, Ni, Fe—Ni,
Fe—Co —Pt,Ni —Al,
Ni—Cr,Ni—Cu,
Ni—Mn
3000
комнатные
11000
[108]
Fe
2000
77—293
2000
[109]
Ni, Fe—Ni, Co
5000
комнатные
слабые поля
[110]
Ni, MnAu2
4500
комнатные
10000
[111]
Fe,Ni,Fe—Ni,Ni —Cu
1900
1,7—77
7000
[И2]
Fe, Ni, Fe—Ni, Co (монокристалл)
3000
комнатные
12000
[ИЗ, 114]
Fe, Ni
15000
200—373
5000
[115, 116]
MnAs
1000
273—373
100000
[И7]
Gd, Tb, Dy, Ni, Co, Ni—Cu, Ni —Si, ферриты, MnAu2
7000
77—420
30000
[Ю7]
Таблица 18.26
Важнейшие работы по исследованию влияния давления на точку Кюри и точку Нееля с указанием максимального давления и интервала температур при|измерениях
Вещества
Максимальное давление, бар
Область температур, К0
Источники
Fe, Ni, Fe2O3.FeO
3700
273—1300
[118]
Монели
3000
273—373
[119—121]
Fe —Ni, Ni—Cu, Ni —Al
3000
273—373
[122]
Fe2O3.(NiO)x(ZnO)1_x
6000
272—373
[123]
МпТе, CrTe, CrTe!_xSex
5000
273—373
[124, 125]
MnAs, Mn2Sbi_xCrx
16500
272—373
[126]
CoO'
6000
230—550
[127]
Fe, Ni, Co, Gd, Fe—Ni, FeSi, Fe2O3(NiO)x(ZnO)1_x
8000
273—1430
[106]
MnF2
100
4—77
[128, 129]
M11AU4, FeNi, CuMn1)2In0)8
3000
273—520
[130, 131]
Dy
8500
170—270
[132]
MnF2,CoF2, MnCO3, CoCO3
1900
10—300
[133, 134]
Gd, Tb, Dy, Ho, Ni, Co, Ni—Cu, Ni—Si, ферриты, M11AU2, Fe—Rh
10000
77—1200
[Ю7]
Fe — Ni (инвар и коллинвар)
25000
?
[135]
Fe, Fe—Ni (инвар)
60000
273—1050
[136]
Ni
60000
273—700
[137]
MnTe
10000
273—350
[138]
авторов. Д. Блох анализирует с точки зрения современных представлений о различных механизмах обменного взаимодействия в /- и d-металлах и ионных соединениях [косвенный обмен через электроны проводимости
М -4
У
-6 -
Но
%
ть
р、6ар
8000
■6
(гл. 20) и косвенный обмен через электронные оболочки немагнитных ионов (гл. 22)]. Во многих случаях ему удалось получить достаточно удовлетворительное качественное согласие теории и опыта. За всеми подробностями отсылаем читателей к оригинальной литературе (кроме упомянутых выше, см. также [139—164, 521—5231).
3. Роль симметрии кристалла. Термодинамическая теория фазовых переводов второго рола была детально разработана Ландау [165] и Е. Лифшицем [166] *). В основу кладется предположение, что для макроскопического описания свойства кристаллов необходимо предже всего знать скалярную функцию плотности вероятности распределения электронов (и ионов) в каждой точке тела р (г). Однако ферро- и антиферромагнетики обладают атомной магнитной структурой. Для определения макроскопических свойств кристаллов с магнитной структурой, кроме скалярной функции р(т), следует рассматривать еще векторную функцию $ (?) определяющую плотность вероятности распределения атомных магнитных моментов. Функции р (г) и s (г) — это усредненные статистические величины, зависящие не
только от координат г, но п от термодинамических параметров Т, р, и т. п. Таким образом, симметрия кристалла с атомной магнитной структурой определяется симметрией как скалярной р (г), так и векторной функции s (г) **).
Из кристаллографии известно (см. также гл. 10), что симметрия тела определяется заданием всех возможных преобразований координат, при которых каждый атом кристалла попадает в кристаллографически эквивалентное положение и поэтому все свойства кристалла остаются также инвариантными при любом пз таких преобразований {элементов симметрии). Так, например, в кристалле с кубической решеткой операция его поворота на угол, кратный 90°, вокруг оси типа {100} (оси четвертого порядка Q) или операция зеркального отражения в плоскости типа (100) переводит узлы решетки в эквивалентные места; поэтому такие преобразования для кубических кристаллов являются элементами симметрии. Каждому типу кристаллической решетки (кубической, гексагональной, ромбической п т. п.) можно сопоставить определенный набор таких преобразований симметрии, образующих точечную группу симметрии данного кристалла. К этим элементам симметрии еще следует добавить преобразования координат в виде параллельных переносов на определенные расстояния вдоль определенных направлений в кристалле, т. е. трансляции, которые также переводят все узлы решетки в эквивалентные положения. Добавляя трансляции к точечной группе и учитывая
См. также изложение этой теории в монографиях Ландау и Лифшица (1964) и Любарского [167]. Применение этой теории к магнитным фазовым переходам произвел в элементарной форме Вонсовский [8, 9] [см. также Вонсовский н Шур (1948) и Гинзбург [168]]. Более детальный теоретико-групповой анализ магнитных переходов дали Дзялошинский [169], Ковалев [170], Солиом [171]; см. также обзор [172] и оригинальные работы [173—190, 524—528].
) Если s (г) = 0, то кристалл не обладает магнитным порядком, т. е. он либо парамагнетик [когда равно нулю среднее по времени от $ (г)], либо диамагнетик [когда равны нулю и мгновенные значения функции 兮(г) в каждой точке тела].
еще элементы симметрии, являющиеся комбинацией трансляций с поворотами и отражениями (винтовые оси и плоскости зеркального скольжения), получаем пространственную группу симметрии кристалла.
Методы кристаллографии дают возможность определить полное число допустимых типов кристаллических решеток. Существует 32 кристаллических класса, каждому из которых соответствует определенная группа точечной симметрии. Эти 32 класса разбиваются на семь кристаллических систем, а именно:
Кристаллическая система (сингония)
Кристаллические классы (группы)
Триклинная Моноклинная ... Ромбическая .... Тетр агональная .. Ромбоэдрическая .. Гексагональная .. Кубическая ....
e 2V刀2°2九
64$4 C&h °2d ^4u°4 °4 九
R SqA Rd A 九
ТTh та оoh
Здесь использованы обозначения Шенфлиса [191] для точечных групп: Сг — операция инверсии относительно центра симметрии; Сп (п — 1, 2, 3, 4, 5, 6)——поворотная ось zt-ro порядка; Cnh —— ось n-го порядка и перпендикулярная к ней плоскость симметрии; Cs = С】九；CnV —— ось n-го порядка и плоскости симметрии, проходящие через нее; Sn ——зеркально-поворотная ось n-го порядка; Dn (汽=2, 3, 4, 6) 一 ось n-го порядка и семейство перпендикулярных к ней осей второго порядка; Рпд ——то же, что и Рп, с добавлением еще плоскостей симметрии, проходящих через оси второго порядка; Dn& — то же, что и Рп, с добавление^ вертикальных плоскостей симметрии, проходящих через ось n-го порядка посередине между каждыми двумя соседними горизонтальными осями второго порядка; группа Т получается добавлением к системе осей группы Dn четырех наклонных осей третьего порядка, повороты вокруг которых переводят оси второго порядка друг в друга; группа Та получается из Т добавлением1 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через одну ось второго и две оси третьего порядка; группа 力九 получается из Т добавлением трех взаимно перпендику^ лярных плоскостей симметрии, проходящих через каждые две оси второго порядка, а оси третьего порядка становятся зеркально-поворотными; О — система осей симметрии куба; в группе Од к О добавляются плоскости симметрии. В каждой из 32 точечных групп имеется определенное число элементов симметрии (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 и 48). Учет трансляций приводит к тому, что каждому из 32 кристаллических классов соответствует одна или более (до 28) пространственных групп, полное число которых равно 230, как это показал в 1891 г. Федоров [192] *).
Введенные выше функции плотности р (г) и $ (г) должны быть инвариантными по отношению к преобразованиям соответствующей группы симметрии, Тем самым в них учтется дискретная анизотропная структура кристалла в макроскопически усредненном смысле. В связи с тем, что в кристаллах, обладающих магнитной симметрией,, необходимо рассматривать две функции плотности, следует сделать некоторые дополнительные замечания. Дело в том, что не все элементы симметрии, допустимые в кристалле при s (г)三 0, т. е. в отсутствие магнитного порядка, будут таковыми при s (г)市 声 0. Действительно, рассмотрим случай о. ц. к, ферромагнитного кристалла (Fe), у которого вектор Is направлен вдоль оси [100]. Легко видеть (рис, 18,13), что, например, при преобразованиях симметрии ——поворотах вокруг оси [001] на угол 90° или 180° (операции С4 и С4'С4 — С2),—— оставляющих инвариантной функцию р (г), функция 兮(г) оказывается неинвариантной, так как спиновые магнитные моменты различных узлов при этих поворотах не попадают в эквивалентные положения. Таким образом, класс симметрии функции s (г) оказывается более низким (содержит меньше зле- ментов), чем класс симметрии скалярной функции р (г). Между функциями р и s имеется еще одно существенное различие, а именно их различное отношение к операции изменения знака (инверсии) времени (см. также гл, 10). Смысл введения такого преобразования связан с тем, что механические уравнения движения инвариантны к преобразованиям инверсии времени. Поэтому применение этой инверсии к любому термодинамически равновесному состоянию макросистемы должно приводить опять к ее равновесному состоянию. Здесь возможны два случая: либо оба этих состояния (до и после инверсии времени) одинаковы, либо различны. Легко сообразить, что скалярная плот- ность электронно-ионных зарядов р (г) остается при инверсии времени пнвариантнойг а векторная функция s (г) изменит знак на обратный ).
Инверсию времени можно обозначить оператором В. Легко видеть, что если в данном кристалле все свойства инвариантны по отношению к действию преобразования В, то отсюда следует, что для функции s (г) (если она существует) должно выполняться условие инвариантности, т. е. Rs (г) = s (г), но, с другой стороны, по самой природе s (г) мы имеем Rs (г)= —s (г)> Отсюда мы приходим к единственному выводу, что s (г) = =——$ (г) = 0, т. е> кристалл, инвариантный к преобразованию 自,не может обладать атомной магнитной структурой (s 三 0). В случае кристаллов, не имеющих атомной магнитной структуры, рассмотрение операции Б не представляет интереса, так как она
Рис. 18.13. Центрированная кубическая ячейка (о.ц.к.) со спинами в узлах (всего 9 узлов: сч, a2f a3, a4 ——на верхней грани, &—в центре- куба и J, С2, Сз, с《一 на нижней грани), а) Исходное положение; б) поворот на 90° (С4); в) поворот на 180° (С4«С4 = С2). Эволюция положений от а) к в) иллюстирует неинвариантность магнитной кубической решетки к поворотам вокруг осей типа
сводится к тождественному преобразованию. В случае же «магнитных» кристаллов учет операции R весьма существен. Свойства таких кристаллов не могут быть инвариантными по отношению к преобразованию 丘,но они могут оказаться инвариантными по отношению к некоторым комбинациям 月 с какими-либо из элементов симметрии из 32 обычных классов точечной симметрии. Так, в случае примера рис. 18.13, если одновременно с поворотом на угол я (операция С2) произвести операцию Я, то под действием сложной операции С?Е произойдет совмещение эквивалентных узлов и направлений спинов в них. Детальный вывод различных групп симметрии для кристаллов с магнитной атомной структурой был проведен в работе Тавгера и Зайцева [193], Тавгера [194] и в ряде других работ [195——207], а также цитированных выше [169——190]. Всего возможна 1651 магнитная пространственная группа ).
4・ Теория ферромагнитных превращений по Ландау. Вернемся к вопросу о природе фазового перехода второго рода. Функции р (г) и ^ (г) в точке фазового перехода могут претерпевать изменения как по величине, так и в свойствах симметрии. И величина может меняться либо непрерывно, либо скачком, симметрия же меняется всегда скачком (так как ее изменения сводятся к появлению или исчезновению каких-либо элементов симметрии). В случае фазового перехода первого рода функция р (г) всегда меняется в точке перехода прерывно. Это можно проиллюстрировать с помощью скачка удельного объема. Последний связан с изменением средних расстояний между атомами (переход кристалл — жидкость, жидкость — пар, переходы между различными модификациями кристаллов). Поэтому функция р (г), расстояние между максимумами которой и соответствует межатомным расстояниям, будет при этом изменяться скачком. Напротив, при фазовых переходах второго рода не наблюдается прерывных изменений величины функций р (竽)и s (г), а лишь прерывное изменение их симметрии. Так, например, в ферромагнетиках выше точки Кюри 0 нет магнитного порядка (^ = 0), а ниже точки Кюри он появляется (s =# 0). При этом функция s (г) в отсутствие внешнего
магнитного поля (Н — 0) начиная от 7 = 6 и при дальнейшем понижении температуры (Т V 0) растет непрерывно, без всяких скачков ).
При построении количественной термодинамической теории ферромагнетизма и антиферромагнетизма в большинстве случаев можно принять, что переход из ферро- или антиферромагнитного состояния в парамагнитное является фазовым переходом второго рода, и считать заданной магнитно-кристаллическую симметрию обоих этих состояний. Задача теории сводится к вычислению зависимости намагниченности тела от температуры, давления и внешнего поля. При другом подходе можно не делать никаких предположений о характере фазового перехода и на основе использования только общих свойств симметрии функций р (?•) и s (>) решать вопрос о возможности тех или иных магнитно-упорядоченных состояний и характере переходов между ними, затем уже определять зависимость намагниченности от различных термодинамических параметров. Второй путь более общий и последовательный, но и более трудный; поэтому, чтобы лучше уяснить себе конкретное содержание термодинамической теории, мы воспользуемся первым способом.
Напомним еще раз, что существование самопроизвольной намагниченности, по крайней мере в ферро- и антиферромагнетиках с высокими точками Кюри и Нееля (抹 100° К), связано не с магнитными (релятивистскими) анизотропными взаимодействиями между элементарными магнитными моментами, а с изотропным электростатическим обменным взаимодействием. Влияние магнитного взаимодействия, всегда существующего в кристаллах ферромагнитных тел, во многих ферромагнетиках является, как правило, очень слабым, и в первом приближении его можно рассматривать как малое возмущение. Тогда величину Is можно считать интегралом движения по отношению к главному обменному взаимодействию, и в термодинамической теории вектор Is допустимо трактовать как независимую переменную, равновесное значение которой можно найти из условия термодинамической устойчивости.
Исходя из приведенных соображений, поведение ферромагнитного тела вблизи точки Кюри удобно описывать с помощью термодинамического лотенциала 皆'типа свободной энергии (см. гл. 5), рассматривая его как функцию обычных термодинамических параметров, например плотности р‘ и температуры Т, и еще одного параметра магнитного порядка 刀(см. [8, 9], Вонсовский и Шур (1948) и [168]). Величина 刀 определяет степень отклонения симметрии тела в состоянии ниже точки Кюри 0 от симметрии состояний выше 0. Ниже предполагается, что два из этих параметров, например р‘ и 7, могут быть заданы произвольно, а третий, г], определяется из условий минимума потенциала 炉'.В случае ферромагнетизма состояния выше точки Кюри обладают более высокой степенью, симметрии, соответствующей беспорядочному распределению правых и левых спинов (/§ = 0); поэтому в данном случае (в пренебрежении магнитными силами) в качестве параметра 刀，определяющего степень «магнитного порядка», можно взять относительную величину самопроизвольной намагниченности 刀=I JI q.
Для определения термодинамического потенциала 炉 (Z, Т, р‘，Н) в присутствии магнитного поля И используем одно из равенств (5.5):
装=-%В=—%Н — 1.(18.50)
Интегрируя (18.50) при фиксированной намагниченности (d_T = O), находим 炉』先(Г Р，,/)-，・Н — ^・(18.51)
Выше точки Кюри минимуму 乡^‘ соответствует состояние с 刀=О (нет самопроизвольной намагниченности), а ниже — состояния ср 力 0 ).
Вблизи самой точки Кюри параметр 刀 мал, и поэтому там &，можно разложить в ряд по степеням 刀：
/‘(p'，?, Г]) =多:十①済+炉:唄+炉抨十步％4+...一，江一警，
(18.52) где 旣\ и все 炉！ являются функциями р' и Т.
Прежде чем проводить дальнейшие преобразования, необходимо сделать одно существенное замечание. Как отмечают сами Ландау и Лифшиц (1964) (см. также обзор Румера [56]) и как неоднократно указывалось выше, фазовый переход второго рода представляет собой особую точку термодинамического потенциала, который мы рассматриваем как функцию термодинамических параметров. В этом смысле имеется существенное различие между точками фазового перехода первого и второго рода. В первом случае никаких особенностей для 炉'нет. Действительно» в точке фазового перехода первого рода потенциалы обеих фаз равны I炉；(Р‘，Т)—炉;I(Р‘，Т)] и каждая из функций 炉; и 炉;【имеет смысл по обе стороны от линии фазового перехода, где они соответствуют либо абсолютному, либо метастабильному равновесному состоянию. Сама точка является случайным пересечением кривых для этих потенциалов. Во втором случае функции 炉;и 炉;【в «чужой» области температур не соответствуют никакому равновесному состоянию (даже метастабильному). Отсюда вытекает важный вывод о невозможности явлений перегрева и переохлаждения при фазовых переходах второго рода (возможны лишь временные явления, связанные с кинетикой установления равновесного распределения моментов, см. ниже). Из сказанного следует, что справедливость разложения (18.52) не очевидна, ибо из-за особенностей в точке фазового перехода второго рода разложение может оборваться на каком-то конечном члене, а коэффициенты разложения могут иметь особенности, как функции параметров р' и Т (подробнее см. обзор Кастелейна и ван Кранендонка [210]). Пока еще нельзя сказать, можно ли будет после выяснения особенностей сохранить полученные ниже результаты. В настоящее время проводятся упоминавшиеся уже исследования с моделью Изинга, а также Гейзенберга, которые ставят своей целью выяснить особенность в точке фазового перехода второго рода хотя бы для этой конкретной модели (см. [81, 82, 209—213, 511], а также § 4).
Имея в виду все эти замечания, выясним теперь, какие физические выводы можно получить из разложения (18.52), если оно справедливо.
Выше точки Кюри в более симметричной фазе (с 刀 = 0) и при Е = 0 имеем ①‘=炉о. Для того чтобы это соответствовало минимуму ①‘，необходимо выполнение условий
(欝)『 = °，田 (?>©)•”53)
Отсюда следует, что выше точки Кюри 芥；(р‘，Т) = 0. Ниже точки Кюри условие т] н 0 соответствует неравновесному состоянию. Но так как состояния с положительным значением степени магнитного порядка 刀 физически ничем не отличаются от состояния с отрицательным значением г], то кривые 少'(刀)(рис. 18.14) должны быть симметричны относительно оси г]. Поэтому ниже точки Кюри 刀=0 будет соответствовать максимуму .尹'，и, следовательно, 炉；(р‘，Г) = 0 по всей области температур ). ‘尹;(р‘，Г) > 0 выше точки Кюри в силу (18.53), а ниже точки
Кюри 芸(р‘，7) V。，так как там минимуму 厂，т. е. устойчивому состоянию, соответствуют значения 刀=# 0. В самой точке Кюри, очевидно,, имеем
笈。，6) = 0. (18.54)
Но для того, чтобы точка Кюри сама соответствовала устойчивому состоянию, т. е. чтобы в ней функция ^f (л) имела минимум при г] = 0, необходимо выполнение условий
火(р',©) = 0,火(Р‘，®)>Р (18.55)
Здесь возможны два случая: либо g7；。，Т) = 0J только при Т = н 0, тогда точка перехода второго рода определяется из двух уравнений (18.54) и (18.55) и, следовательно, является изолированной точкой; либо, в силу свойств симметрии кристалла,炉;(р‘，Т) = 0, тогда для точки
перехода имеется одно уравнение (18.54), которое дает линию точек Кюри на фазовой плоскости (Г, р‘).
Поскольку мы пренебрегаем магнитной анизотропией ферромагнетика, то векторы _Г и 2Г параллельны, а 夕｝=о является анизотропной функцией абсолютной величины намагниченности. Итак, разложение (18.52) в силу всего сказанного выше, примет вид
—5 —羲・"б)
Согласно (18.54) 〃 工炉；=0 при 7 =仇 а V 0 при Т V @ и а > 0 при Г > 0.
Разлагая а вблизи Т = ® по степеням малойРазлагая а вблизи Т = ® по степеням малойРис. 18.14> Зависимость термодинамического потенциала 妥；от степени магнитного порядка т] при различных температурах вблизи точки Кюри ®. Кривым ①'(п) для температур Тз V Т2 V Ti < 8 соответствуют отличные от нуля значения параметра n： I Лз I > 1 Лг I >> I Л1 I > 0>Рис. 18.14> Зависимость термодинамического потенциала 妥；от степени магнитного порядка т] при различных температурах вблизи точки Кюри ®. Кривым ①'(п) для температур Тз V Т2 V Ti < 8 соответствуют отличные от нуля значения параметра n： I Лз I > 1 Лг I >> I Л1 I > 0>разности Тразности Т——0 при——0 при〃=а (Т—®)十...，а>0.〃=а (Т—®)十...，а>0.(18.57)(18.57)постоянном давлении, находим
Разлагая а вблизи Т = ® по степеням малой
Разлагая а вблизи Т = ® по степеням малой
Рис. 18.14> Зависимость термодинамического потенциала 妥；от степени магнитного порядка т] при различных температурах вблизи точки Кюри ®. Кривым ①'(п) для температур Тз V Т2 V Ti < 8 соответствуют отличные от нуля значения параметра n： I Лз I > 1 Лг I >
> I Л1 I > 0>
Рис. 18.14> Зависимость термодинамического потенциала 妥；от степени магнитного порядка т] при различных температурах вблизи точки Кюри ®. Кривым ①'(п) для температур Тз V Т2 V Ti < 8 соответствуют отличные от нуля значения параметра n： I Лз I > 1 Лг I >
> I Л1 I > 0>
разности Т
разности Т
——0 при
——0 при
〃=а (Т—®)十...，а>0.
〃=а (Т—®)十...，а>0.
(18.57)
(18.57)
В силу (18.55) коэффициент ^ =発；>0 при Т = 6, а также в окрестности 0. Таким образом, для малых 刀(18.56) принимает вид
^z = X + ^(^-®) ^ + Ъ^-1-Н-^(а>0, Ь>0). (18.58)
Здесь величина b в первом приближении берется для точки 0, т. е. Ь = =Ъ (0). Выше точки Кюри (при JT = 0) равновесному состоянию соответствуют 疹‘=①；и 刀=0. Ниже точки Кюри равновесное значение 刀 (при Е = 0) находим из условия д^Чд^\ — 0, или в силу (18.58)
(18.59)(18.60)(18.59)(18.60)哦=去(®—?)•
(18.59)
(18.60)
(18.59)
(18.60)
Заменяя 刀2 через 71/7^, находим
八=/。(言")"2(®一?)"2・
С точностью до коэффициента (а/26)1/2 формула (18.60) совпадает с результатом теории Вейсса (18.7), но, в отличие от (18.7), полученный здесь температурный ход Is не зависит от частных предположений модельного характера. Этот вывод являлся бы совершенно строгим термодинамическим выводом, если бы термодинамический потенциал не имел особенностей при Т = ® Фактически, как показывают опыт и более точные расчеты,
ос — 3可=京ос — 3可=京здесь все обстоит гораздо сложнее (см. ниже § 4). Еще одним недостатком (18.60), как и всех термодинамических выводов, является невозможность определить численно величину коэффициентов а и & и их зависимость от давления. Из сравнения (18.60) и (18.7) находим
ос — 3可=京
ос — 3可=京
(18.61)
Выясним, что происходит с энтропией S и теплоемкостью Ср вблизи точки Кюри. Из (18.53), согласно результатам гл. 5, находим
s =—等= So — ar]2.(18.62)
Здесь So = —д^^/дТ — часть энтропии, не зависящая от % т. е. от самопроизвольной намагниченности. Член д^!д^\ • дх\!дТ выпадает в силу условия @/'/内=0. Отсюда видно, что энтропия изменяется в точке Кюри непрерывно, так как 刀 меняется там тоже непрерывно. Подставляя в (18.62) г] из (18.59), находим
S = So +罢(Т —@).(18.63)
Непрерывность S при Г = 0 означает отсутствие скрытой теплоты превращения. Теплоемкость равна (см. гл. 5)
= ?(削广出一以等
где СОр^Т (dS0/dT)p. Выше 0 имеем 刀=0 и, следовательно, Ср — CQP, ниже 0, согласно (18.59), Ср = Сор-^-~^-Т, и поэтому скачок теплоемкости при Г — 0 равен
АСр = ^@.(18.64)
Термодинамическая формула (18.64) обладает теми же преимуществами и теми же недостатками по сравнению с выражением для 厶已卩,получаемым из теории Вейсса, как и (18.60) по сравнению с (18.7).
Если 〃 =# 0, то вместо условия равновесия (18.59) будем иметь (заменив 刀=Z/Zo)
笋=2 言(?一@)/ + 4齐/3一〃 = 0,(18.65)
т. е. получаем уравнения парапроцесса при Г ^ 0; отсюда можно найти начальную восприимчивость % — (А//〃)н=о как выше, так и ниже точки Кюри. Из (18.65) находим
[2青(？一0) + 12%/2]務=1.(18.66)
Следовательно, при Т》®, где / = 0 при 8=0, имеем
好石生守(18•67)
Таким образом, мы опять получили знакомую формулу (18.11), из сравнения с которой находим
а 券(18.68)
Если еще произвести сравнение (18.64) и (18.13), то найдем
『赍.(18.69)
Легко видеть, что сравнение (18.68) и (18.69) приводит к формуле (18.61). Таким образом, термодинамическая теория в известном смысле подтверждает модельную теорию Вейсса для Т ®
При Т V © и при 8 = 0 намагниченность I дается формулой (18.60), поэтому из (18.66) находим в этом случае
4а(0—Т)4а(0—Т)(18.70)(18.70)
4а(0—Т)
4а(0—Т)
(18.70)
(18.70)
Рис. 18.15. Зависимость отношения Н/о от удельной намагниченности а £(а = =I/р', где р' — плотность) для электролитического никеля при разных температурах. Числа у кривых — температура опыта (в ° С).Рис. 18.15. Зависимость отношения Н/о от удельной намагниченности а £(а = =I/р', где р' — плотность) для электролитического никеля при разных температурах. Числа у кривых — температура опыта (в ° С).厶（т=®）厶（т=®）/о/о(40庐(40庐彦/3.彦/3.(18.72)(18.72)
Рис. 18.15. Зависимость отношения Н/о от удельной намагниченности а £(а = =I/р', где р' — плотность) для электролитического никеля при разных температурах. Числа у кривых — температура опыта (в ° С).
Рис. 18.15. Зависимость отношения Н/о от удельной намагниченности а £(а = =I/р', где р' — плотность) для электролитического никеля при разных температурах. Числа у кривых — температура опыта (в ° С).
厶（т=®）
厶（т=®）
/о
/о
(40庐
(40庐
彦/3.
彦/3.
(18.72)
(18.72)
Здесь % является начальной восприимчивостью парапроцесса, так как
I = /§ =# 0 при /Г н 0. К этому вопросу мы вернемся в § 4.
Из (18.67) и (18.70) следует, что при Т f 6 х f 8. В действительности это означает, что % может достигать больших значений лишь в узкой
области температур в непосредственной близости к 0. При Т заметно ниже 0 восприимчивость %《1 и можно в первом приближении считать,
что I практически не зависит от Н (насыщение!) ).
Развитую здесь термодинамическую теорию можно обобщить и на случай учета релятивистских взаимодействий, включающих явления магнитной анизотропии ) и магнитострикции [см., на- лример, Ландау и Лифшиц (1957), Гинзбург [168]]. Однако эти случаи целесообразно будет рассмотреть позднее, в гл. 19 и 23.
Сравнение с опытом. Белов с сотрудниками ) провели систематические исследования по проверке ряда количественных выводов изложенной выше термодинамической теории. В этих работах была детально проверена на опыте формула (18.65). Перепишем ее в несколько ином виде:
勿(厶+乙)+ £(厶 + 厶)3 = 〃； (18.71) здесь ai — 2a化，也=46//：, Is — ca-
мопроизвольная намагниченность при
температуре Т, /о — при Т = 0° К, 乙一истинная намагниченность (парапроцесса) и 乙十厶=工 На рис. 18.15 приведены кривые зависимости Е/о от ст3 (здесь о = % 十 е — измеряемые на опыте соответствующие удельные намагниченности, связанные с Z, Zs и 7\ формулой(у・р' = I, где р‘ 一 плотность ферромагнетика) для образца чистого Ni при различных температурах по данным Белова и Горяги [215]. Из кривых рис. 18.15
видно, что экспериментальные точки хорошо ложатся на прямые, предсказываемые теоретической формулой (18.71). Аналогичные опыты были проведены и для других ферромагнетиков (Fe, различные сплавы). Из (18.71) можно получить связь между 厶 и Е в самой точке Кюри, когда Is = =0 и % = 0, а именно:
Соотношение (18.72) также хорошо оправдывается на опыте. Весьма существенно, что эти опытные исследования позволяют определить температурный ход термодинамических коэффициентов ai и 也(или а и Ь, поскольку У。не зависит от Т). Значения коэффициента ai (точнее, зр') определяются по отрезкам на оси jS7o, отсекаемым прямыми на рис. 18.15, а значения 01 (или 01р‘з)находятся по углам наклона этих прямых к оси а2.
Рис. 18.16. а) Кривые температурной зависимости термодинамического коэффициента av Кривые; 1 — Fe; 2 — сплав 36% Ni, 64% Fe; 3 — Ni; 4 — сплав 15% Си, 85% Ni. 6) Кривые температурной зависимости термодинамического коэффициента В「Кривые: 1 — Fe; 2 — сплав 36% Ni, 64% Fe; 3 — Ni; 4 — сплав 15% Си, 85% Ni.
На рис. 18.16, а, 6 по данным Белова (1959) приведены зависимости а】(7) и 01 (Т) для ряда ферромагнетиков. Из этих кривых видно, что 必(0) = 0, а】<；0 при Т V ® и «1 > 0 при Г > 0, как этого требует теория [см. формулу (18.58)]. Коэффициент 也 оказывается всегда положительным, что также согласуется с требованием теории. Точно так же в непосредственной близости к 0 для ai (или а) выполняется соотношение (18.57). Однако в целом температурный ход at и ^ существенно зависит как от химической природы вещества, так и от его термической обработки.
В опытах Белова (1959) был также исследован парапроцесс в слабых полях при температурах, близких к точке Кюри, и качественно проверены формулы (18.67) и (18.70). Количественная их проверка затруднена тем, что в теоретической формуле (18.70) не учтено влияние процессов технического намагничивания.
Термодинамическая формула (18.71) может быть также использована для наиболее строгого определения температурного хода самопроизвольной намагниченности и точки Кюри [см. книгу Белова (1959), а также [216—218]]. Действительно, из (18.71) при 方=0 и： следовательно, при Z^ — 0 приходим к формуле (18.59), или
务=_笳二嚼(」/)• (®73)
На рис. 18.17 приведены опытные данные для зависимости квадрата относительной намагниченности (Zs/Z0)2 от 77❷ для некоторых ферромагнитных веществ. Эти данные очень хорошо подтверждают теоретическую формулу (18.73). Вместе с тем из этих кривых видно, что численное значение коэффициента a®/2b отличается от значения, предсказываемого по модельной теории Вейсса, которое, согласно (18.7), равно 3. Это
расхождение между опытом и теорией Вейсса вполне понятно, ибо коэффициент a®/2b в (18.73) зависит от структурного состояния данного ферромагнетика. Кроме того, в самой непосредственной близости от точки Кюри могут быть отклонения от линейной зависимости (18.73) и там необходимы более точные измерения (см. ниже § 4).
Температурный ход Zs (Т) можно определить также и другими методами, например измеряя в области парапроцесса магнетокалорический эффект (см. выше) или гальваномагнитный эффект (т. е. изменение удельного сопротивления ферромагнетика при его истинном намагничива
Рис. 18.17. Зависимость (Js/J0)2 от Т/8 вблизи точки Кюри. 1—Fe; 2—36 % Ni, 64% Fe; з—№; 4—£5% Cu, 85% Ni.Рис. 18.17. Зависимость (Js/J0)2 от Т/8 вблизи точки Кюри. 1—Fe; 2—36 % Ni, 64% Fe; з—№; 4—£5% Cu, 85% Ni.нии) или, наконец, используя метод «линий равной намагниченности», разработанный Вейссом и Форрером [4]. На рис. 18.18 приведены экспери-нии) или, наконец, используя метод «линий равной намагниченности», разработанный Вейссом и Форрером [4]. На рис. 18.18 приведены экспери-Рис. 18.18. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности сплава 97 ат. % Ni; 3 ат. % Si, определенная тремя различными методами. 1 — метод термодинамических коэффициентов; 2 — метод гальваномагнитного эффекта; з — метод, линий равной намагниченности.Рис. 18.18. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности сплава 97 ат. % Ni; 3 ат. % Si, определенная тремя различными методами. 1 — метод термодинамических коэффициентов; 2 — метод гальваномагнитного эффекта; з — метод, линий равной намагниченности.Ni— Si (3 ат. % Si), полученным по методу термодинамических коэффициентов, по методу линий равной намагниченности и из кривых гальваномагнитного эффекта. Из рис. 18.18 видно, что если исключить область, близкую к точке Кюри, то все три способа дают практически совпадающие результаты. Вблизи температуры Кюри между кривыми наблюдается .существенное расхождение. Кривая, построенная по методу термодинамических коэффициентов, в этой области резко спадает к оси Т. Две другие кривые асимптотически приближаются к оси Т, образуя так называемые «хвосты» самопроизвольной намагниченности. Эти 《хвосты» связаны либо с остатками ближнего магнитного порядка при температурах выше точки Кюри (см. § 2), либо с неоднородностями вещества ферромагнетика, размазывающими резкость фазового перехода ферромагнетизм — парамагнетизм. Таким образом, метод термодинамических коэффициентов дает возможность однозначного определения «хвостов» на экспериментальных кривых Is (Т), полученных другими методами, а также наиболее точно определять саму точку Кюри. Обычно принято было считать, что наиболее точным методом определения точки Кюри ферромагнетиков является определение положения максимумов аномалий их «немагнитных» свойств (см. Герлах [88]). Однако из-за влияния ближнего магнитного порядка, особенностей термодинамического потенциала в точке Кюри, а также различного рода структурных неоднородностей и примесей этот способ определения точки Кюри уступает в точности методу термодинамических коэффициентов. Можно утверждать, что упомянутые максимумы
Рис. 18.17. Зависимость (Js/J0)2 от Т/8 вблизи точки Кюри. 1—Fe; 2—36 % Ni, 64% Fe; з—№; 4—£5% Cu, 85% Ni.
Рис. 18.17. Зависимость (Js/J0)2 от Т/8 вблизи точки Кюри. 1—Fe; 2—36 % Ni, 64% Fe; з—№; 4—£5% Cu, 85% Ni.
нии) или, наконец, используя метод «линий равной намагниченности», разработанный Вейссом и Форрером [4]. На рис. 18.18 приведены экспери-
нии) или, наконец, используя метод «линий равной намагниченности», разработанный Вейссом и Форрером [4]. На рис. 18.18 приведены экспери-
Рис. 18.18. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности сплава 97 ат. % Ni; 3 ат. % Si, определенная тремя различными методами. 1 — метод термодинамических коэффициентов; 2 — метод гальваномагнитного эффекта; з — метод, линий равной намагниченности.
Рис. 18.18. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности сплава 97 ат. % Ni; 3 ат. % Si, определенная тремя различными методами. 1 — метод термодинамических коэффициентов; 2 — метод гальваномагнитного эффекта; з — метод, линий равной намагниченности.
практически никогда (кроме, по-видимому, идеальных кристаллов) не совпадают точно с Т = 6. Белов (1959) с сотрудниками исследовали влияние структурных изменений и упругих напряжений на магнитные свойства ферромагнетиков вблизи точки Кюри и сравнили результаты с выводами термодинамической теории. ■
Кинетика ферромагнитного превращения. В случае фазовых переходов первого рода могут наблюдаться явления переохлаждения или перегрева. В случае же фазового перехода второго рода эти явления не имеют места. Для того чтобы это понять, рассмотрим изображенные на рис. 18.19 графики термодинамического потенциала 仔'⑺ ниже температуры фазового перехода первого 、рода ©I (кривая 7) и ниже точки Кюри 0ц (кривая 7/). При Т > 01 или Т > 0ц соответствующие кривые 皆'(刀)в обоих случаях имели бы абсолютный минимум при 刀 = 0. Если тело, испытывающее фазовый
Рис. 18.19. Кривые зависимости термодинамического потенциала 多，(”)от ^-параметра «порядка», иллюстрирующего отсутствие явления переохлаждения при фазовых переходах второго рода. I — кривая в случае фазового перехода первого рода; % — соответствующая температура превращения. При Ti<® j на кривой I для ①，(”)имеется два минимума: а — для высокотемпературной фазы (мета- стабильный) н b — для низкотемпературной фазы (устойчивый)； А — потенциальный барьер. II — кривая в случае фазового перехода второго рода; © jj—точка Кюри. При Т2<®11 на кривой 妥'(”)имеем один минимум Ь' для Т] > 0. ТочкеРис. 18.19. Кривые зависимости термодинамического потенциала 多，(”)от ^-параметра «порядка», иллюстрирующего отсутствие явления переохлаждения при фазовых переходах второго рода. I — кривая в случае фазового перехода первого рода; % — соответствующая температура превращения. При Ti<® j на кривой I для ①，(”)имеется два минимума: а — для высокотемпературной фазы (мета- стабильный) н b — для низкотемпературной фазы (устойчивый)； А — потенциальный барьер. II — кривая в случае фазового перехода второго рода; © jj—точка Кюри. При Т2<®11 на кривой 妥'(”)имеем один минимум Ь' для Т] > 0. Точкепереход первого рода, быстро охладить (закалка!) от какой-то температуры Т > 6工 до Tj v 01? то система «застрянет» в своего рода потенциальной яме относительного минимума а (рис. 18.19). При быстром нагреве она также может «застрять» в соответствующем метастабильном состоянии с 刀 > 0. В этих состояниях система может находиться иногда очень долго, поскольку для выхода из них требуется преодолеть потенциальный барьер А. Процесс перехода из мета- стабильного состояния в стабильное происходит путем роста зародышей, возникающих в результате тепловых флуктуаций и увеличивающихся в объеме, например, в твердых телах, как правило, путем процесса диффузии. Из-за малой скорости диффузии при низких температурах скорость роста новой фазы при сильном переохлаждении может быть очень малой. Зародыши новой фазы имеют критические минимальные размеры, определяемые величиной потенциального барьера А (рис. 18.19), который в кинетике химических реакций принято называть энергией активации,
Рис. 18.19. Кривые зависимости термодинамического потенциала 多，(”)от ^-параметра «порядка», иллюстрирующего отсутствие явления переохлаждения при фазовых переходах второго рода. I — кривая в случае фазового перехода первого рода; % — соответствующая температура превращения. При Ti<® j на кривой I для ①，(”)имеется два минимума: а — для высокотемпературной фазы (мета- стабильный) н b — для низкотемпературной фазы (устойчивый)； А — потенциальный барьер. II — кривая в случае фазового перехода второго рода; © jj—точка Кюри. При Т2<®11 на кривой 妥'(”)имеем один минимум Ь' для Т] > 0. Точке
Рис. 18.19. Кривые зависимости термодинамического потенциала 多，(”)от ^-параметра «порядка», иллюстрирующего отсутствие явления переохлаждения при фазовых переходах второго рода. I — кривая в случае фазового перехода первого рода; % — соответствующая температура превращения. При Ti<® j на кривой I для ①，(”)имеется два минимума: а — для высокотемпературной фазы (мета- стабильный) н b — для низкотемпературной фазы (устойчивый)； А — потенциальный барьер. II — кривая в случае фазового перехода второго рода; © jj—точка Кюри. При Т2<®11 на кривой 妥'(”)имеем один минимум Ь' для Т] > 0. Точке
П = 0 соответствует максимум а* (абсолютная неустойчивость).П = 0 соответствует максимум а* (абсолютная неустойчивость).В случае фазового перехода второго рода состояние с “ = 0, бывшее абсолютно устойчивым при Т > ©II, ниже точки Кюри становится абсолютно неустойчивым (оно соответствует максимуму З7' ⑺ в точке 优；см. рис. 18.19). Поэтому, сколь бы быстро мы ни охлаждали ферромагнетик через точку Кюри, переход из парамагнитного состояния в ферромагнитное будет практически происходить сразу по всему объему. Никаких зародышей и явления переохлаждения при этом не будет ). Наблюдаемый иногда температурный
П = 0 соответствует максимум а* (абсолютная неустойчивость).
П = 0 соответствует максимум а* (абсолютная неустойчивость).
гистерезис точки Кюри в ферромагнетиках, особенно в гетерогенных сплавах (например, в системе Ni — Fe прп содержании Ni около 36% или больше), связан не с ферромагнитным превращением, а чаще всего с одновре-
«ферромагнитного переохлаждения». Однако возможны«ферромагнитного переохлаждения». Однако возможныменно протекающими структурными фазовыми превращениями первого рода, которые происходят в сплаве вблизи ферромагнитной точки Кюри и создают лишь видимость
«ферромагнитного переохлаждения». Однако возможны
«ферромагнитного переохлаждения». Однако возможны
п магнитные фазовые пере
ходы первого рода (см. § 5).
Характер линий точек Кюри на плоскостях (р, Т) и (Н, Т). Рассмотрим теперь характер ферромагнитных линий точек Кюри на фазовых плоскостях с различным
выбором термодинамических параметров. На плоскости (р, Т) (рис. 18.20) линия точек Кюри начинается от оси Т при Т = 0<р^о). Она может идти или в сторону уменьшения 0 по сравнению с 0<J7^O), если давление снижает точку Кюри (кривая I с d®/dp V V 0), или в сторону увеличения 0, если давление повышает точку Кюри (кривая II с d&/dp > 0), или, наконец, она может пойти по вертикали, если давление не влияет на точку Кюри (кривая III с d0/dp а 0). Имеющиеся попытки теоретического определения хода кривой, основанные на рассмотрении зависимости интеграла обмена [219, 220] или постоянной молекулярного поля [221] от давления, из-за своей грубой модельности вряд ли заслуживают серьезного внимания. Примеры экспериментальных линий точек Кюри на плоскости (р, Т), построенные по опытным данным [см. [9], Вонсовский п Шур (1948) и [220]], приведены на рис. 18.12а (см. также табл. 18.26).
На плоскости (Я,力)(рис. 18.21) наблюдается совсем иная картина, В присутствии поля точка Кюри вообще исчезает как точка фазового перехода, ибо при h声0
исчезает скачок в симметрии, так как под влиянием поля намагниченность остается и при Т > 0* Поэтому на плоскости (Н, Т) точка Кюри является изолированной точкой, лежащей на оси Т при Т = ® (р)《н=о> [см. [9], Вонсовский н Шур (1948), [83, 222】】. “ “
Дальнейшее развитие термодинамической теории фазовых переходов второго рода. Изложенная термодинамическая теория хотя и дает ряд сведений о свойствах ферромагнитного превращения, однако, как и теория Вейсса, не может объяснить количественно ,а возможно и качественно, свойства ферромагнетиков вблизи точки Кюри, обусловленные ближним магнитным порядком и особенностями термодинамического потенциала вблизи 7 = 0.
Интересно отметить дальнейшее развитие термодинамической теории (фазового перехода второго рода в работах [223—225], в которых учитываются пространственнонеоднородные флуктуации характерного параметра перехода. Такое развитие теории существенно улучшает ее, по крайней мере для области температур ниже и выше 0,
Рис. 18,20. Линии фазового перехода точек Кюри второго рода на плоскости (р, Т). I — линия точек Кюри 0 (р) при d®/d@ < 0; II — при d®/dp > 0 и JJJ — при d®/dp ^ 0.Рис. 18,20. Линии фазового перехода точек Кюри второго рода на плоскости (р, Т). I — линия точек Кюри 0 (р) при d®/d@ < 0; II — при d®/dp > 0 и JJJ — при d®/dp ^ 0.рованная точка) фазовогорованная точка) фазовогоперехода второго рода на плоскости (Я, Т).перехода второго рода на плоскости (Я, Т).
Рис. 18,20. Линии фазового перехода точек Кюри второго рода на плоскости (р, Т). I — линия точек Кюри 0 (р) при d®/d@ < 0; II — при d®/dp > 0 и JJJ — при d®/dp ^ 0.
Рис. 18,20. Линии фазового перехода точек Кюри второго рода на плоскости (р, Т). I — линия точек Кюри 0 (р) при d®/d@ < 0; II — при d®/dp > 0 и JJJ — при d®/dp ^ 0.
рованная точка) фазового
рованная точка) фазового
перехода второго рода на плоскости (Я, Т).
перехода второго рода на плоскости (Я, Т).
но не в самой точке 0 (!). Для случая ферромагнитного превращения идея такого учета флуктуаций впервые была указана в работах Вонсовского [8, 9]. За подробностями отсылаем читателя к оригинальным работам. Самым существенным результатом этих работ является то, что в них при учете (в рамках теории Ландау) пространственнонеоднородных флуктуаций параметра магнитного порядка в системе для магнитной части теплоемкости получается особенность (厶。乂(Т->®)f По-видимому, эта особенность действительно существует. Во всяком случае опыт приводит не только к существенным количественным расхождениям между рассчитанной и наблюдавшейся на опыте величиной скачка ДСМ, но и к явному появлению зависимости типа In | Т — ——0 |. Заметим кстати, что по мере уточнения измерений и использования более чистых и однородных по структуре образцов указанное расхождение возрастает. Подробнее этот вопрос рассмотрен в следующем параграфе (см. также работы [226—248, 529]).
§ 4. О критических явлениях вблизи точки Кюри
Обзор основных опытных фактов. Из всего сказанного выше ясно, что теория молекулярного поля, приближенные статистические теории ближнего магнитного порядка, а также термодинамическая теория магнитных превращений (по Ландау) не могут количественно описать свойства магнитно-упорядоченных веществ при критической температуре (в окрестности точки Кюри или Нееля). Проанализируем сложившуюся ситуацию с экспериментальной и с теоретической точки зрения (см. также книги Фишера [83] и Стенли [511]).
Приведем краткую сводку результатов некоторых опытных исследований по измерению температурных зависимостей самопроизвольной намагниченности Is (Т) и парамагнитной восприимчивости %-1 (Т) ряда ферро- и ферримагнетиков (металлов и неметаллов) в непосредственной близости соответственно ниже и выше критических точек (Кюри или Нееля). Во всех исследованных случаях экспериментальные кривые достаточно хорошо описываются простыми формулами типа
где Тс = ® или ©ту, а а, Р，/ и п — постоянные для данного вещества. Численные значения для показателей степеней / и п из (18.74), определенные различными авторами, сведены в табл. 18.3, из которой видно, что эти значения лежат в интервалах
0,33 </эксп< 1,96;
。,91 V ^зксп V 1,37.
Из формул (18.7), (18.7а) и (18.60) по теории молекулярного поля и по термодинамической теории для показателя / имеем /теор = 0,5, а для показателя п из формул (18.11) и (18.70) по тем же теориям имеем tz^or = 1,0. Теоретические расчеты, проведенные по модели Изинга (см. Бейкер 1211], Эссам и Фишер [212]), дали для / значения от 0,3 до 5/16 = 0,31. Расчеты же по модели Гейзенберга для ферромагнитных изоляторов дают /Гзйз ^ 1/3 [266]; соответственно расчет показателя п по модели Изинга дал тгиз — 1,25 [212], а по модели Гейзенберга для п. к. и о. ц. к. ферромагнитных кристаллов дает соответственно тгГейз =1,31 и 1,33, а для г. ц. к. кристаллов тг^ейз = 1,50 [70, 267]. Наконец, более поздний расчет
Таблица 18.3
Опытные значения показателей степени / и п в зависимостях /5— а(0 ——Т)『, x-i = 6(T——0)n для некоторых ферромагнетиков и ферримагнетиков *)
Вещество
П
Источники
Fe
——
1,33+0,03
1,37+0,04 1,33
[249—251]
Со
—
1,32土0,02 1,21+0,04
[252, 253]
Ni
—
1,32+0,02
1,35+0,02 l,29±0,Q3
[249, 254, 255]
№ (пленка)
0,5
—
.[256]
Gd
——
1,16+0,02
1,17+0,01 1,33
[249]
[257]
Gd (пленка)
0,5
—
[256]
Примесь Fe в Ni
0,33+0,03 0,51+0,04
[258]
1 ат. % V в Fe
1,24
—
[259]
Fe(2,65%) Pd (97,35%)
0,33
—
[260]
GaFeO3
1,96+0,10
—
[261]
EuS
0,33+0,015
—
[262]
MnF2
0,335
—
[129]
KMnF3
0,37
1,33
[263]
^зРе5О12
0,63
0,91
[264]
Fe —Ni(4,5% Fe)
Fe—Ni(19% Fe)
Fe —Ni (23% Fe)
Fe —Ni (50% Fe)
—
1,30+0,03
1,29+0,02
1,28+0,02
1,28+0,02
[232]
CuK2C14.2H2O
—
1,36
[265]
Cu(NH4)2C12-2H2O
——
1,37
*)Значения / и n в выражениях для /§ и х-1 относятся к области вблизи точки Кюри 0 (или Нееля ©2 соответственно ниже (для /) или выше (для п) ее.
Бейкера [268] по модели Гейзенберга дал для всех трех типов кубических решеток (п. к., о. ц. к. и г. ц. к.) значение пГейз 4/3 (см. также работы [269-279]).
Рассмотрим теперь температурный ход магнитного вклада в удельную* теплоемкость ферромагнетиков вблизи точки Кюри. Однако прежде
20 县历^820 县历^8-"呦电夕 0 0,5 1,0 1,5 -4 -2 0 2 ^ 6 -20-10 О Ю 20 30\Т-Тл\,град \г~Т^\9Ю3ерад \г~Т^\ , Ю6ерад-"呦电夕 0 0,5 1,0 1,5 -4 -2 0 2 ^ 6 -20-10 О Ю 20 30\Т-Тл\,град \г~Т^\9Ю3ерад \г~Т^\ , Ю6ерадРис. 18.22а. Удельная теплоемкость жидкого гелия Ср как функция I Т — Т^ I (Букингем и Фэрбенк [280]). Одна и та же кривая в трех масштабах; вертикальные отрезки у точек крайней правой кривой показывают точность измерений.Рис. 18.22а. Удельная теплоемкость жидкого гелия Ср как функция I Т — Т^ I (Букингем и Фэрбенк [280]). Одна и та же кривая в трех масштабах; вертикальные отрезки у точек крайней правой кривой показывают точность измерений.5510~6 10~5% 7Ю'3 %-a 加"/2『-引，歹近10~6 10~5% 7Ю'3 %-a 加"/2『-引，歹近Рис. 18.226. Удельная теплоемкость жидкого гелия Ср как функция I 亍一Т入丨 в логарифмической шкале (см. рис. 18.22а) (Букингем и Фэрбенк [280]). Вертикальные прямые отрезки у точек показывают точность измерений. 1 — область температур I Т — Т^ I < 0,25 20ad; 2 — область температур J Т — Т^ | > А 0,25 град.Рис. 18.226. Удельная теплоемкость жидкого гелия Ср как функция I 亍一Т入丨 в логарифмической шкале (см. рис. 18.22а) (Букингем и Фэрбенк [280]). Вертикальные прямые отрезки у точек показывают точность измерений. 1 — область температур I Т — Т^ I < 0,25 20ad; 2 — область температур J Т — Т^ | > А 0,25 град.2525皂2,~宕Q①皂2,~宕Q①
20 县历
^8
20 县历
^8
-"呦电夕 0 0,5 1,0 1,5 -4 -2 0 2 ^ 6 -20-10 О Ю 20 30
\Т-Тл\,град \г~Т^\9Ю3ерад \г~Т^\ , Ю6ерад
-"呦电夕 0 0,5 1,0 1,5 -4 -2 0 2 ^ 6 -20-10 О Ю 20 30
\Т-Тл\,град \г~Т^\9Ю3ерад \г~Т^\ , Ю6ерад
Рис. 18.22а. Удельная теплоемкость жидкого гелия Ср как функция I Т — Т^ I (Букингем и Фэрбенк [280]). Одна и та же кривая в трех масштабах; вертикальные отрезки у точек крайней правой кривой показывают точность измерений.
Рис. 18.22а. Удельная теплоемкость жидкого гелия Ср как функция I Т — Т^ I (Букингем и Фэрбенк [280]). Одна и та же кривая в трех масштабах; вертикальные отрезки у точек крайней правой кривой показывают точность измерений.
5
5
10~6 10~5% 7Ю'3 %-a 加"/2
『-引，歹近
10~6 10~5% 7Ю'3 %-a 加"/2
『-引，歹近
Рис. 18.226. Удельная теплоемкость жидкого гелия Ср как функция I 亍一Т入丨 в логарифмической шкале (см. рис. 18.22а) (Букингем и Фэрбенк [280]). Вертикальные прямые отрезки у точек показывают точность измерений. 1 — область температур I Т — Т^ I < 0,25 20ad; 2 — область температур J Т — Т^ | > А 0,25 град.
Рис. 18.226. Удельная теплоемкость жидкого гелия Ср как функция I 亍一Т入丨 в логарифмической шкале (см. рис. 18.22а) (Букингем и Фэрбенк [280]). Вертикальные прямые отрезки у точек показывают точность измерений. 1 — область температур I Т — Т^ I < 0,25 20ad; 2 — область температур J Т — Т^ | > А 0,25 град.
25
25
皂2,~宕Q①
皂2,~宕Q①
приведем некоторые данные по измерениям теплоемкости вблизи точки фазового перехода второго рода в других, не магнитно-упорядоченных веществах, где оказалось легче исключить плохо контролируемые влияния различных несовершенств изучаемых образцов (примеси, искажения решетки и т. п.). Примером такого чистого материала может служить жидкий гелий. В обзоре Букингема и Фэрбенка [280] дана сводка опытных значений по измерениям теплоемкости жидкого гелия в интервале температур вблизи 九-точки. На рис. 18.22а приведена кривая Ср (Т — 7\) жидкого гелия, построенная по данным различных авторов для трех различных масштабов по оси абсцисс. На рис. 18.226 теплоемкость Ср также нанесена как функция разности | Т — 7\ | в °К, но в логарифмической шкале. Такой метод нанесения, кривых очень удобен для выяснения характера поведения кривых вблизи %-точки и сразу же наглядно показывает.
4%4%0,150,15/?/4/?/40J30J330032034〃360380 m30032034〃360380 m7； ℃7； ℃Рис. 18.23. Температурный ход удельной теплоемкости Ср (Т) никеля вблизи точки Кюри по данным разных авторов. 7—[284]; 2—[15]； 3—[28訂；4—ПО]； 5—[286】；6—[287].Рис. 18.23. Температурный ход удельной теплоемкости Ср (Т) никеля вблизи точки Кюри по данным разных авторов. 7—[284]; 2—[15]； 3—[28訂；4—ПО]； 5—[286】；6—[287].
4%
4%
0,15
0,15
/?/4
/?/4
0J3
0J3
30032034〃360380 m
30032034〃360380 m
7； ℃
7； ℃
Рис. 18.23. Температурный ход удельной теплоемкости Ср (Т) никеля вблизи точки Кюри по данным разных авторов. 7—[284]; 2—[15]； 3—[28訂；4—ПО]； 5—[286】；6—[287].
Рис. 18.23. Температурный ход удельной теплоемкости Ср (Т) никеля вблизи точки Кюри по данным разных авторов. 7—[284]; 2—[15]； 3—[28訂；4—ПО]； 5—[286】；6—[287].
как точно выполняется логарифмическая зависимость исследуемой;вели-
чины. Из кривых рис. 18.226 следует, что коэффициент при логарифма In I Т—7\ ] одинаков по обе стороны от точки перехода. Аналогичный логарифмический характер температурной зависимости теплоемкости обнаружен вблизи критической точки аргона [281] и кислорода [282].
В случае ферро- и антиферромагнетиков до последнего времени результаты по измерению аномалий теплоемкости вблизи точек Кюри
и Нееля были весьма разноречивы. Причиной этого, очевидно, было
плохо контролируемое влияние всевозможных искажений кристаллической решетки исследуемых образцов. В связи с этим следует упомянуть интересный анализ, проведенный Воронелем и др. [283], измерявшими скачок теплоемкости в Gd на двух образцах разной чистоты. Из этого
анализа следует, что несовершенства измеряемых образцов маскируют наличие «особенностей» в поведении
термодинамического потенциала и его- производных в критической точке. Кроме того, в этой работе отмеченоу что «максимум» аномалии и «вертикальная» часть скачка могут быть раз
делены по температуре также из-за структурных несовершенств образца. Этот вывод следует учитывать при
попытках точного количественного1 определения критических точек ио максимумам немагнитных свойств ферро- и антиферромагнетиков. В работе Крауса и Варнке [10] были проведены детальные исследования теплоемкости Ni в интервале 180—1100℃
На рис. 18.23 показан температурный ход Ср в Ni вблизи точки Кюри по данным различных авторов. Гофман и др. [288] измерили ферромагнитные аномалии теплоемкости Fe, Ni, Gd. В работе Балленсифена и Ваг
нера [289] проведено сравнение упомянутых опытных результатов с расчетными кривыми, полученными Кастлейном и ван Кранендонком [2101
по улучшенному варианту теории молекулярного поля в приближении постоянной связи ). Результаты приведены на рис. 18.24, а—в. Из сравнения видно, что опыт дает существенно иной ход аномальной части тепло
емкости AR (Т) вблизи точки Кюри, указывающий на то, что в модели молекулярного поля, так же как и в термодинамической теории Ландау и в теории ближнего магнитного порядка, не учитываются особенности термодинамического потенциала в критической точке. Из кривой рис. 18.24, 6 видно, что, например, в случае Fe особенность для АСр имеет симметричный характер по обе стороны от точки Кюри. В работе Крафтмахера и Ромашиной [290] была детально исследована температурная зависимость теплоемкости Fe вблизи точки Кюри и был обнаружен логарифмиче
ский характер этой зависимости в широком интервале температур, причем
коэффициент при логарифме, как и в случае Не (см. рис. 18.226), одинаков по обе стороны от точки Кюри. Эти результаты приведены на рис. 18.25, а, б ). Можно указать еще работу Брауна и Колхааса [291]
Рис. 18.24. Температурная зависимость аномальной (магнитной) части теплоемкости ДСр (Т). а) Никель [з = %, z = 12, €> = 630° К,(场点％®®%^!! = °'57 士。，巾 и (^^/Nk^)= 0,61]；6) железо [s = 1, z = 8, 8 = 1043° К,(^oo/^B®)9Kcn = 0,9^ 士 °，°6 и (场g/N电®)теор = 0,93]; в) гадолиний [s = 7/2, z = 12, 8 =292* К, (^оо/^Б®)Эксп = ^38 士 °，°7 и (场^/^Е^теор = "3]・ Сплошные кривые — теоретические, рассчитаны в приближении постоянной связи в [210]; пунктирные кривые — экспериментальные (по работе [288]). s — спиновое квантовое число, z — числоРис. 18.24. Температурная зависимость аномальной (магнитной) части теплоемкости ДСр (Т). а) Никель [з = %, z = 12, €> = 630° К,(场点％®®%^!! = °'57 士。，巾 и (^^/Nk^)= 0,61]；6) железо [s = 1, z = 8, 8 = 1043° К,(^oo/^B®)9Kcn = 0,9^ 士 °，°6 и (场g/N电®)теор = 0,93]; в) гадолиний [s = 7/2, z = 12, 8 =292* К, (^оо/^Б®)Эксп = ^38 士 °，°7 и (场^/^Е^теор = "3]・ Сплошные кривые — теоретические, рассчитаны в приближении постоянной связи в [210]; пунктирные кривые — экспериментальные (по работе [288]). s — спиновое квантовое число, z — числоближайших соседей, ^^ = J ACp(T)dT.ближайших соседей, ^^ = J ACp(T)dT.00Рис. 18—5. Удельная теплоемкость железа вблизи точки Кюри (Крафтмахер и Ромашина [290]).Рис. 18—5. Удельная теплоемкость железа вблизи точки Кюри (Крафтмахер и Ромашина [290]).
Рис. 18.24. Температурная зависимость аномальной (магнитной) части теплоемкости ДСр (Т). а) Никель [з = %, z = 12, €> = 630° К,(场点％®®%^!! = °'57 士。，巾 и (^^/Nk^)= 0,61]；
6) железо [s = 1, z = 8, 8 = 1043° К,(^oo/^B®)9Kcn = 0,9^ 士 °，°6 и (场g/N电®)теор = 0,93]; в) гадолиний [s = 7/2, z = 12, 8 =292* К, (^оо/^Б®)Эксп = ^38 士 °，°7 и (场^/^Е^теор = "3]・ Сплошные кривые — теоретические, рассчитаны в приближении постоянной связи в [210]; пунктирные кривые — экспериментальные (по работе [288]). s — спиновое квантовое число, z — число
Рис. 18.24. Температурная зависимость аномальной (магнитной) части теплоемкости ДСр (Т). а) Никель [з = %, z = 12, €> = 630° К,(场点％®®%^!! = °'57 士。，巾 и (^^/Nk^)= 0,61]；
6) железо [s = 1, z = 8, 8 = 1043° К,(^oo/^B®)9Kcn = 0,9^ 士 °，°6 и (场g/N电®)теор = 0,93]; в) гадолиний [s = 7/2, z = 12, 8 =292* К, (^оо/^Б®)Эксп = ^38 士 °，°7 и (场^/^Е^теор = "3]・ Сплошные кривые — теоретические, рассчитаны в приближении постоянной связи в [210]; пунктирные кривые — экспериментальные (по работе [288]). s — спиновое квантовое число, z — число
ближайших соседей, ^^ = J ACp(T)dT.
ближайших соседей, ^^ = J ACp(T)dT.
0
0
Рис. 18—5. Удельная теплоемкость железа вблизи точки Кюри (Крафтмахер и Ромашина [290]).
Рис. 18—5. Удельная теплоемкость железа вблизи точки Кюри (Крафтмахер и Ромашина [290]).
по прецизионному определению теплоемкости Fe вблизи точки Кюри. На рис. 18.26 приведены кривые, построенные на основе результатов этой работы и теоретического расчета с использованием данных измерений магнетокалорического эффекта, проведенных Колхаасом и др. [292]. Видно, что в самой точке перехода в присутствии внешнего магнитного поля характер аномалии Ср существенно меняется (аномалия как таковая исчезает при j0r 嗟 0), а при 方=0 имеет место логарифмический ход ).
Наконец, отметим, что Робинсон и Фридберг [293] обнаружили логариф
мическую особенность|теплоемкости вблизи точки Нееля для двух анти
ферромагнетиков :СоС12 -2Н2О чили аналогичные результатыферромагнетиков :СоС12 -2Н2О чили аналогичные результатыт,℃т,℃Рис. 18.26. Влияние магнитного поляна ^температурный ход теплоемкостижелеза вблизи точки Кюри ® (Брауни Колхаас [291]).Рис. 18.26. Влияние магнитного поляна ^температурный ход теплоемкостижелеза вблизи точки Кюри ® (Брауни Колхаас [291]).и NiCl2 -6Н2О. Мидема и др. [294] полу- для соли СаК2С14 2Н2О, которую можно считать гейзенберговским ферромагнетиком с о. ц. к. решеткой. Однако для солей C0CS3CI5 и CoK2(SO4)2 -6Н2О, которые можно считать изинговскими антиферромагнетиками, особенность для Ср не симметрична по обе стороны от точки Нееля ❷％ и для Т > ❷n величина Ср имеет не логарифмический ход, а изменяется пропорционально (1 — QN/T)~n с п 2/3, что не согласуется с теорией изинговских решеток; см. также работу [394].
ферромагнетиков :СоС12 -2Н2О чили аналогичные результаты
ферромагнетиков :СоС12 -2Н2О чили аналогичные результаты
т,℃
т,℃
Рис. 18.26. Влияние магнитного поляна ^температурный ход теплоемкостижелеза вблизи точки Кюри ® (Брауни Колхаас [291]).
Рис. 18.26. Влияние магнитного поляна ^температурный ход теплоемкостижелеза вблизи точки Кюри ® (Брауни Колхаас [291]).
Теория критических явлений. Обратимся теперь к теории критического поведения физических величин магнитных систем вблизи их точек фазовых магнитных превращений второго рода. Более подробную сводку по этому вопросу читатель может найти в обстоятельных обзорах Домба и Мидема [265], Домба [81], Браута [82], Фишера [83]^и Стенли [511]. Мы здесь остановимся лишь на очень кратком перечислении различных
методов теоретического расчета термодинамических функций магнитных систем для температур выше (и вблизи) их критической точки.
Во всех этих расчетах используются три основные модели для магнитных систем: 1) модель
Изинга *), 2) модель Гейзенберга, 3) зонная модель. В модели Изинга исходят из гамильтониана
(18.75)(18.75)^Из= _击 2 4/ziSzj—殳丄 2 Szi，
(18.75)
(18.75)
где Szi —с-числа (коммутирующие、между] собой), принимающие значения —S， —(S — 1), . . ., (S — 1), S, т. е. z-слагающие спина; 士力炉一параметры изотропного обменного взаимодействия для i- и /-узлов решетки; Н — внешнее магнитное поле; суммирование по i и / идет по ближайшим соседям, а по i — по всем узлам решетки; ms — максимальный магнитный момент спина 5. Эта модель имеет чисто классическую природу.
Гамильтониан гейзенберговской модели отличается от (18.75) тем, что Szi SZj заменены скалярным векторным произведением:
SlSj = SxiSx, + SyiSyl-\-SiiSz3< (18.76)
где 6厶瓦 — операторы вектора спина i и / узлов решетки. Эта модель широко применяется для описания неметаллических ферро-, антиферро- и ферримагнетиков и, возможно, /-металлов, в которых параметр 力订 описывает косвенное обменное взаимодействие через электроны проводимости.
Зонная модель применима для ферро- и антиферромагнитных d-металлов и сплавов. '
Если ограничиться высокотемпературными приближениями ), то основной расчетный метод заключается в использовании разложений функций распределения (статистических сумм или интегралов) в ряды по возрастающим степеням малого параметра 07T.
Точное решение удалось получить пока только Онзагеру [43] для одного частного случая изинговской плоской ) прямоугольной решетки. Особенности физических величин при Т = в сводятся к следующему: теплоемкость обладает логарифмической особенностью, а самопроизвольная намагниченность почти вплоть до точки Кюри слабо отличается от своего максимального значения (при 0° К), а в непосредственной
близости к точке Кюри быстро уменьшается по закону /$ «s Ia [1 — (Т/0)]1^8. Решение дает точное выражение для функции распределения и ее первой производной по полю Н (для Н = 0). Для второй производной по Н точного выражения не получено. Поэтому не получено и точного значения для критического поведения начальной восприимчивости при Т = 0. Однако Фишер [64], учитывая корреляции между атомными моментами, нашел, что вблизи Т = 0 % 〜(Т/О — 1)~7^1- В связи с термодинамикой плоской изинговской модели обращаем внимание на обзоры Румера [56, 300] и Дыхне и Румера [57], а также на работы [301 —314]. .
Статистическая сумма Z (Т, Я) вычисляется в указанном приближенном методе с помощью разложения экспоненты в ряд и последующего вычисления шпуров от членов с возрастающими степенями малого параметра А!къТг
Z (7, Н) =(eXp (- в%)〉= 1 - 8〈認〉+ 舒〈認2〉+…+ (:?Г(恥Г)+ …+ ； (18.77)
〈方〉означает шпур оператора Bt деленный на (2S + l)^^, где S — спиновое квантовое число, N число частиц в системе, а р = (к?尸.
Точка Кюри, которая будет появляться как особенность функции распределения или одной из ее производных, определяется свойствами степенного ряда (18.77), в котором практически достаточно учитывать не больше четырех или пяти членов. Идею этого метода предложил Крамере [315], а впервые использовал — Опеховский [316].
Браун и Латтинджер [53] (см. также [59, 317]) показали, что вблизи точки Кюри парамагнитную восприимчивость %пм ферромагнетика можно представить в виде ряда
(18.78)(18.78)_^W(5+1)”
(18.78)
(18.78)
%пм=咏-
n=0
где x = Alk^T. Если в (18.78) ограничиться нулевым членом (氾=0), то получим известный закон Кюри (6.5). При учете двух членов ряда (汽=0 и 汽=1) получаем закон Кюри ——Вейсса (6.6). Учет членов более высокого порядка (氾》2) дает отклонение от линейного хода в зависимости %"1 от Т, предсказываемые теорией молекулярного поля. Этот метод дает, по крайней мере качественное, описание наблюдаемого на опыте нелинейного характера кривых %，i (Т). Коэффициенты в (18.78) до а2 включительно зависят лишь от значения координационного числа (т. е. от чисел ближайших соседей в кристаллической решетке). Коэффициенты начиная с а^'и более высокого порядка зависят также и от типа решетки.
Бейкер [211] и Гаммель и др. [213] (см. также [318—321]) для описания фазового магнитного перехода использовали приближение Падэ соответственно в рамках модели Изинга и Гейзенберга *). Обычно во всех подобных расчетах, например для точки фазового перехода, особенность восприимчивости уже заранее ищут в виде
1
Т。〜可，曲79)
где з：с = ^1^^с- В этом случае логарифмическая производная %()будет иметь простой полюс в критической точке х=хс, а ее вычет будет давать степень
含(18-80)
*) Приближение Падэ [п, тп]-порядка к некоторой функции / (虞)переменной х имеет вид частного от деления двух полиномов 汽-血 и тп-血 степени:
пп(£、_.a0 +01/一卜02/2+一.+071/"_p(%)m1 + b]% + b/2 + * . • + &m%1nQ 依)
Если функция / (x) задана в виде степенного ряда
/(X)= 2 a用，z=o
то приближение Падэ [п, тп] определяется из уравнения
〃%)<?(%)—р 3) = о.
Приравнивая в этом уравнении нулю коэффициенты при одинаковых степенях х до степени 方九+m (более высокими степенями пренебрегаем), получаем п + тп + 1 уравнений: из первых n + 1 уравнений находим коэффициенты а0,内,...,an, а из остальных /л уравнений — коэффициенты 仇，b2, > > ., &т・ Заметим, что если степенной ряд содержит L членов, то приближения Падэ имеют смысл только для n + m V £. Дальнейшее развитие применений приближения Падэ см. в работах [70, 211, 212, 268, 318—323], а также в книгах Фишера [83] и Стенли [511].
Поскольку приближение Падэ сводится к вычислению отношения двух полиномов, то простой полюс возможно точно представить как нули полинома Q (х), и поэтому можно ожидать хорошей сходимости рядов. Именно поэтому Бейкер [211] и предложил приближение Падэ для вычисления логарифмической производной восприимчивости %.
В физической литературе непрерывно появляются работы, в которых производится дальнейшее уточнение или обобщение приближенных расчетов в рамках моделей Изинга и Гейзенберга различных термодинамических параметров магнитных систем вблизи их точки фазового перехода. Не имея возможности изложить содержание всех этих исследований, мы отсылаем читателя в первую очередь к обзору Браута [82], книгам Фишера [83]. Стенли [511] и последующим оригинальным публикациям [324—385].
Попытки построения строгой теории фазовыхпереходов второго рода
В добавление к п. 8§3ип. 2§4 здесь мы приведем результаты некоторых исследований статистико-термодинамического типа по теории фазовых переходов второго рода. В работе Паташинского и Покровского [386] хотя и не дается полного решения проблемы о поведении упорядочивающихся (в том числе и магнитных) систем вблизи точки фазового перехода второго рода, но указывается определенная связь в поведении различных термодинамических величин в области перехода с корреляционными функциями ,определяющими связь магнитных моментов в различных точках кристалла ). При Т > 0 и Н у= 0 свободная энергия системы ①(Я) ищется в виде ряда
8
①(Н)=①(0) +%7 2 ，陶——，(18.81)
где
P2n = £ Q2n (々，夕2''夕2几)・(18.82)
При Г < 0 имеем тогда
>н=笏(Н) — 尹(0) = кБТ 2 ' “1 貫3，(18.83)
n—i
% = £ Qb (n> 夕2,夕 J(18.84)
Можно ввести радиус корреляции гс, который при 0 и Н = 0 ведет себя как гс (т)〜т-а,(18.85)
где т = (Т — 0)/0 (т > 0 при Т > 0).
(18.86)(18.86)Для корреляционной функции получаем
(18.86)
(18.86)
<?2g，夕2)= Q e，夕)〜厂"；
корреля-корреля-здесь 1《г《г。м принято, что постоянная решетки d = 1.
корреля-
корреля-
В предпереходном состоянии в области с размерами порядка радиуса 一 一 ции гс магнитный момант 欢 отличен от нуля. Но между областями нет корреляции,
и поэтому〈欢〉=0.
Оценку величин Г2п из (18.82) можно получить, разбивая там суммирование по 夕丁 на области с радиусами гс (существенную роль играют лишь те области, в которых rj по величине не превышают гс). Суммирование по каждой такой области дает для момента величину 处2". Всего таких областей %г^ (а — размерность пространства). Следо-
(18.87)(18.87)вательно, оценка для Г2п дает ?2П 2~ , Г2-—
(18.87)
(18.87)
Из (18.86) находимИз (18.86) находимГ2 ^ 吋в.Г2 ^ 吋в.(18.88)(18.88)
Из (18.86) находим
Из (18.86) находим
Г2 ^ 吋в.
Г2 ^ 吋в.
(18.88)
(18.88)
Несколько иным путем этот результат получил ранее Фишер [64]. Из (18.87) и (18.88) 'находим
ЗД2 « г^-В,(18.89)
Г2П « уг(2а-₽)"-« « ут—а[(2а—В)”一а].(18.90)
Если Т V 0, то〈30?〉R 0 (или при Т > 0, но при〈30?〉R 0 из-за Н R 0), и мы имеем
(欢)2
lim К2 (0, г) = lim <ш (0)-ш (г)) = т2~—р—•(18.91)
Таким образом, в пределе в (18.91) получаем конечную величину. Ясно, что влияние внешнего поля Н становится существенным на расстояниях г《『с, где К?〜L^ и по порядку величины 〜 m?. Из этих условий можно определить магнитный корреля- дйонный радиус
Гс(Н)п：т-%：(18.92)
В случае сильных полей будем иметь
Гс(Н)《％(т), Г„ » Vm^ [гс (Я)]®^-1) » Vn^^n-iY^.(18.93)
Из (18.81) и (18.90) получаем
尹(н)=①(0)+磕® Y。/ (忑駐卜(18.93а)
読〜U読〜Uгде / (х)~ безразмерная функция (сходящаяся в круге конечного радиуса х0, как показали Ли и Янг [387]). Вторая производная от (18.92) по полю Н дает величину магнитной проницаемости
読〜U
読〜U
(18.94)
Для спонтанного момента получаем
% ~ т；аВ/2 卅 а для магнитной теплоемкости
се 〜t'， * = ? + 2.
Таким образом, поведение термодинамических величин вблизи Т = ® определяется двумя независимыми; параметрами. В качестве таковых t можно выбрать, например, аир.' '
Сравнение полученных выражений с оцытом или результатами модельных расчетов (по изинговской или гейзенберговской схеме) дает возможность определить показатели степени а, р и у.
Изложенный расчет имеет достаточную общность и очень полезен именно при сравнении его выводов с модельными теориями.
Метод самосогласованного поля при описании фазовых переходов второго рода рассмотрен также в работе Вакса, Ларкина и Пикина [388]. Авторы прежде всего указывают, что с микроскопической точки зрения феноменологическая теория фазовых переходов второго рода эквивалентна нулевому приближению для самосогласованного поля (приближение молекулярного поля). В этом случае поле, действующее на выделенную частицу со стороны остальных, заменяется средним его значением, независимым •от положения данной частицы и определяемым из условия самосогласования. Очевидно, что это приближение тем более законно, чем больше отношение радиуса взаимодействия гс к среднему расстоянию между частицами (d = 1). Поэтому поправки к нулевому приближению самосогласованного поля содержат обратные степени «объема взаимодействия» г* В указанной работе дается метод построения таких разложений. •
Следует иметь в виду, что с приближением температуры к критической точке 0 растет корреляция в положении частиц. Поэтому даже при большом объеме взаимодействия г^ приближение среднего поля становится непригодным. Формально это сказывается в том, что при малых значениях параметра т = ] Т — 0 |/0 параметром разложения становится величина Гс3т-1/2 (или гё3 In т). Феноменологическая теория исходит из разложения термодинамического потенциала в ряд по параметру т, т. е. применима она при малых т. Поэтому область применимости этой теории лежит только при достаточно больших радиусах взаимодействия гс в интервале температур「с^б《 《т « 1 [или ехр (—г?) « т《1]. Так, например, в модели Изинга с взаимодействи- •ем только для ближайших соседей, когда гс = 1, мы находимся вне области применимости термодинамической теории, что, например, явствует из точного решения, полу- чевного Онзагером [43]. Эффекты первого поправочного члена рассматривались уже в работах Леванюка [225, 389]. В работе [388], основанной на микротеории, указана область применимости используемых ранее приближений и дан метод построения более высоких приближений, чем первое. Конкретно в работе рассмотрены: модель Изинга
с произвольным дальнодействующим потенциалом, фазовые переходы с изменением симметрии кристаллов, влияние диполь-дипольных взаимодействий и исследован вопрос о фазовых переходах в одномерных системах.
Основные выводы рассматриваемой работы сводятся к следующему. При больших радиусах взаимодействия приближение самосогласованного поля хорошо описывает фазовые переходы в рамках модели Изинга всюду, кроме узкой области вблизи точки перехода. В широкой области температур 0 » ] 7 —❷]》0г~6 такие термодинамические величины, как теплоемкость, магнитная восприимчивость, самопроизвольная намагниченность, имеют температурные зависимости, которые следуют из феноменологической теории. Предположение о большом радиусе взаимодействия (г?》1), по-видимому, хорошо выполняется, поскольку отклонения от феноменологической теории наблюдаются обычно в очень узком интервале температур по сравнению с величиной в. К сожалению, пока еще нет достаточно надежных опытных данных, чтобы произвести их сравнение с температурной зависимостью поправочных членов. Можно лишь сравнивать знаки отклонений, которые совпадают с предсказаниями теории.
Обращаем внимание на интересную работу по феноменологической теории фазовых переходов Рязанова [390].
Как уже отмечалось неоднократно выше, главная трудность проблемы фазовых переходов второго рода связана с тем, что в окрестности точки фазового перехода]® термодинамический потенциал и его производные являются неаналитическими функциями от переменной (0 —— Т). В этом случае вопрос о малом параметре теории не является тривиальным. Во всяком случае величина (0 — Т)/❷ не может быть выбрана в качестве малого безразмерного параметра, как это предполагалось в теории Ландау. Обзор различных вариантов феноменологических трактовок фазовых переходов второго рода дан, например, в обзоре Покровского [391]. Многие микроскопические теории, выходящие за рамки метода самосогласованного поля, используют, как правило, для получения результатов в области (0 — Т) -> 0 метод аппроксимантов Падэ (см. выше п. 2 § 4).
Аналитический вывод выражения для термодинамического потенциала в критической темпер атурной области (0 — Т) (для сверхтекучего бозе-газа, гейзенберговской спиновой системы и системы сверхпроводящих куперовских пар) был впервые получен в работах Кобелева [233, 234, 392, 393].
С помощью методики так называемого континуального интегрирования ) в работе [392] была найдена термодинамическая одночастичная функция Грина (см., например, гл. 19) системы взаимодействующих частиц, содержащая точки неаналитичности по температуре. В работе [234] найденная функция Грина была применена для описания температурной зависимости намагниченности, магнитной восприимчивости и теплоемкости гейзенберговского ферромагнетика вблизи точки Кюрп. Эти результаты имеют вид
bln с (―—) ，
где величины а, 6 и с не зависят от (0 — Т); они согласуются с результатами Домба и Сайкса [267].
Магнитные переходы первого рода
Рассмотрим магнитные переходы первого рода. Мы видели, что основным признаком магнитного фазового перехода второго рода является постепенное (без скачка) исчезновение параметра магнитного порядка (самопроизвольной намагниченности) при 7 f ❷.Однако наблюдаются случаи, когда магнитное насыщение исчезает скачком при некоторой температуре при нагреве ферромагнетика, а при охлаждении его возникает тоже скачком, но, вообще говоря, при другой, более низкой температуре Т£ V < Тк (гистерезис превращения), как если бы имел место фазовый переход первого рода. Это наблюдал, например, Кюльвейн [395] в сплаве железо — кобальт (50% Fe, 50% Со). В данном случае такое поведение самопроизвольной намагниченности ферромагнетика объясняется тем [см. Вонсов- ский и Шур (1948)], что истинная температура перехода ферромагнитного состояния в парамагнитное фактически не успевает реализоваться, иби при более низкой температуре ❷《Еу происходит переход а-решетки сплава со структурой о. ц. к. в у-рететку со структурой г. ц. к. Последняя из-за своих структурных особенностей парамагнитна, благодаря чему и происходит скачкообразное исчезновение самопроизвольной намагниченности.
Таблица 18.4
Вещества, в которых обнаружены фазовые переходы первого рода
Вещество
Кристаллическая структура
Магнитный переход
Температура магнитного перехода, °К
Источники
MnAs
Гексагональная (типа NiAs) орторомбическая
Ф —П
313
400
[398—407] [464—466]
KMnF3
Моноклинная
АФ —> П
88,3
[408, 409]
Cr3As
Тетрагональная
Ф —> П
213
[410]
TiCl3
Ромбоэдрическая
АФ—>П
210
[411]
MnBr2
Гексагональная слоистая
АФ —> П
2,16
[412, 413]
NiO
7 V 6n, ромбоэдрическая
Т〉6n, кубическая
АФ—>П
647
523
[414, 415]
MnO
7 < 0^^ ромбоэдрическая
T〉6n, кубическая
АФ—> П
122
115,9
[414] [467—470]
UO2
г. ц. к.*
АФ—> П
30,8
[416, 417] [471, 492]
Eu
о. ц. к.
АФ—>П
90
[493, 494]
Cr
о. ц. к.
АФ > П
311,5
[418]
Mn2_xCrxSb
Тетрагональная
АФ—>П
200—350
[419—426] [472]
Mn2_xCrxSb 0,025 <x< 0,035
АФ—>С
4,2—150
[421, 425] [427]
Mn2_xCrxSb 0,025 0 <0,035
С—>Ф
50—150
[428]
Mn3Ge2
АФ—>Ф Ф—>П
148
283
[429—432] [473, 474]
MnP
Ромбоэдрическая
АФ—> Ф
50
[433]
FeRh
Кубическая (типа CsCl)
АФ—>Ф
350
[107, 423] [434—444] [475, 476]
МпзСаС
Кубическая (типа перовскита)
Аф—>ф
150
[445—447]
<z-Fe2O3
Ромбоэдрическая
АФ ~^ СФ
250
[448, 449]
CrSl,17
Гексагональная (типа NiAs)
АФ—>Ф
158
[423] [450—453]
MnSn2
Тетрагональная
АФ—>Ф
73
[454]
Mn&gLionSe
Кубическая (ттиа NaCl)
АФ—> Ф
71
[455, 456]
Dy
Гексагональная
Ф—>С
85
[457—459] [477, 478]
Mn3Pt
АФтр ~^ АФ
383
[459]
v2o3
АФ—>П
161
[460, 461]
Ti2O3
»
АФ—>П
473
[462]
NiS
АФ—>П
263
[463]
Таким образом, это лишь кажущийся магнитный переход первого рода. Однако наряду с этим были обнаружены довольно многочисленные случаи истинных магнитных фазовых переходов первого рода ).
В табл. 18.4 (заимствованной из обзора Гражданкиной [396], см. также работу Родбелла и Бина [397]) приведен список веществ, где наблюдаются такие переходы. Из приведенных данных видно, что в число
переходы первого рода, попадают вещества
магнетиков, испытывающихмагнетиков, испытывающихРис. 18.27. К объяснению магнитного фазового перехода первого рода типа порядок — беспорядок. а) Схематическое изображение зависимости точки Кюри 0j (т. е. обменного взаимодействия) от удельного объема V магнетика; б) обусловленный этой зависимостью температурный ход удельного объема V'(®I)； е) температурный ход самопроизвольной намагниченности Is (®i)・Рис. 18.27. К объяснению магнитного фазового перехода первого рода типа порядок — беспорядок. а) Схематическое изображение зависимости точки Кюри 0j (т. е. обменного взаимодействия) от удельного объема V магнетика; б) обусловленный этой зависимостью температурный ход удельного объема V'(®I)； е) температурный ход самопроизвольной намагниченности Is (®i)・qEOO至hn吾WUHqEOO至hn吾WUHсамых различных типов: металлы, сплавы, диэлектрики и сложные многокомпонентные соединения. В точке перехода изменения симметрии решетки обычно не очень существенны. Однако изменения удельного объема могут быть весьма заметными. Типы переходов между упорядоченными магнитными структурами: ферромагнитной и ферримагнитной (Ф), антиферромагнитной (АФ), спиральной (С) и неупорядоченной парамагнитной (П) — также весьма разнообразны. Поэтому, согласно [397], их можно разбить на две группы: а) порядок — порядок и б) порядок ——'беспорядок.
магнетиков, испытывающих
магнетиков, испытывающих
Рис. 18.27. К объяснению магнитного фазового перехода первого рода типа порядок — беспорядок. а) Схематическое изображение зависимости точки Кюри 0j (т. е. обменного взаимодействия) от удельного объема V магнетика; б) обусловленный этой зависимостью температурный ход удельного объема V'(®I)； е) температурный ход самопроизвольной намагниченности Is (®i)・
Рис. 18.27. К объяснению магнитного фазового перехода первого рода типа порядок — беспорядок. а) Схематическое изображение зависимости точки Кюри 0j (т. е. обменного взаимодействия) от удельного объема V магнетика; б) обусловленный этой зависимостью температурный ход удельного объема V'(®I)； е) температурный ход самопроизвольной намагниченности Is (®i)・
qEOO至hn吾WUH
qEOO至hn吾WUH
При изучении фазового перехода АФ т ① в соединении Mn2Sb с добавками Gr (Mn2 yCiiSb) Свобода и др. [419] назвали переходы типа порядок — порядок «обменной инверсией». Теорию такого перехода впервые дал Киттель [479]. Он предположил, что в выражении для свободной магнитной энергии следует учесть зависимость обменного слагаемого от деформации решетки. По Неелю [480] эта часть энергии называется обменной магнитострикцией. Она оказывает существенное влияние на характер магнитного фазового превращения и приводит к добавочному биквадратичному члену типа (8厂SQ2 в эффективном спин-гамильто- ииане магнетика (см. также [481]). Киттель показал, что если одна из обменных постоянных изменяется с температурой линейно и проходит через нуль при некотором критическом значении параметра решетки, то при соответствующей температуре может произойти фазовый переход первого рода. Идея Киттеля получила дальнейшее развитие в работах [422] и [482]. Детальная экспериментальная проверка этой теории для перехода типа АФ — Ф проводилась на сплавах Mn2 _xGrxSb (см. [419-421, 423-428, 472, 483 , 484]).
Другой вид фазового^перехода типа Ф -> С, наблюдаемый в редкозе
мельных металлах (например, в Dy), согласно расчету Иосиды и Мивы [484], при достаточно большой энергии магнитной анизотропии может также быть фазовым переходом первого рода. Появление этого типа перехода не связано с предположением о зависимости обменных парамет
ров от деформации.
Фазовый магнитный переход первого рода типа порядок — беспорядок рассмотрели Родбелл и Бин [397] (см. также [465, 466]). Они показали, что если параметр обменного взаимодействия (или точка Кюри) ферромагнетика достаточно резко зависит от межатомного расстояния и кристаллическая решетка обладает большой сжимаемостью, то переход Ф П может быть фазовым переходом первого рода со скрытой теплотой и прерывным изменением удельного объема и намагниченности. Это возможно, если предположить, что обменная энергия (и тем самым точка Кюри) существенно зависит от деформации решетки (рис. 18.27, а). При 0° К свободная энергия системы может быть уменьшена путем спонтанной деформации решетки, повышающей точку Кюри @ У (отрицательную обменную энергию). Однако одновременно будет расти положительная энергия упругих деформаций. В результате достигается некоторое равво- весное значение деформации『(рис. 18.27, а). На рис. 18.27, 6 показано сравнение температурного хода самопроизвольной намагниченности ферромагнетика, свободного от напряжений (свободный), и с фиксированным удельным объемом Fo (сжатый). При этом мы пренебрегаем тепловым расширением для того, чтобы сосредоточить внимание на магнитных эффектах. При низких температурах намагниченность свободного материала уменьшается с температурой медленнее, чем у сжатого, поскольку у первого точка Кюри выше (@{ > @i0)). Если это смещение точки Кюри достаточно велико, то при повышении температуры в свободной системе возможно сохранение намагниченности и при температурах выше точки ©^1 — температуры Кюри сжатой системы. Поскольку спонтанная деформация решетки связана с самопроизвольной намагниченностью, то при уменьшении последней будет уменьшаться и первая, как это изображено на рис. 18.27, 6. При некоторой критической температуре €)f (V ©J) равновесному состоянию будет соответствовать недеформированное состояние "И。, и поэтому намагниченность скачком обращается в нуль. При охлаждении в интервале температур @孩一@У возможны мета- стабильные состояния с нулевой намагниченностью (магнитное переохлаждение!), что приводит к явлению гистерезиса для температуры фазового перехода первого рода.
Зависимость энергии обмена или точки Кюри от деформации решетки в работе [466] бралась в простейшей линейной апроксимации:
5=@叫1+6与区］5=@叫1+6与区］(18.95)(18.95)
5=@叫1+6与区］
5=@叫1+6与区］
(18.95)
(18.95)
где @i — точка Кюри, a @i0) — точка Кюри, которой обладала бы система, если ее сжать до «нулевого» объема Fo (без спонтанной деформации), т. е. удельного объема при 0° К в отсутствие самопроизвольной намагниченности и внешних напряжений. Коэффициент § для не очень больших значений разности V — Fo можно считать постоянным; он, очевидно, определяется наклоном прямой ©i (F), т. е. § = 6 (日“日?)々(卩/兀)・ Далее Бин и Родбелл [466] записывают термодинамический потенциал в приближении молекулярного поля：
J +p—v^~ +J +p—v^~ +41
J +p—v^~ +
J +p—v^~ +
炉‘=-HI6r —2~ NkET eЛ2 + -2^
(18.96)(18.96)+ TNks [in 2 ——^ In (1 —哦)一т] arctg т] j ,
(18.96)
(18.96)
где n = HIs ——относительная намагниченность, К = —F"1 (дУ/др)т,н — изотермическая сжимаемость (предполагается, что она постоянная), р — давление; первый член в (18.96) дает энергию относительно внешнего поля Н, второй член — обменную энергию, третий — энергию спонтанной деформации, четвертый — энергию внешнего давления и последний — энтропию (см., например, Смарт [485]). В (18.96) мы пренебрегали рядом членов, например энтропией решетки. Кроме того, эта формула записана
для спинового квантового числа s = 1/2. В работе [466] рассматривается и более общий случай. Подставляя в (18.96) выражение (18.95) и минимизируя (18.96) относительно объема У, находим
^~^ = ^Nk^K^-pK. (18.97>
Отсюда видно, что изменение объема есть сумма деформаций, вызванных намагниченностью и внешним давлением. Подставляя (18.97) в (18.'96)г минимизируя полученное выражение относительно г| и приравнивая внешнее поле нулю, получаем уравнение для определения самопроизвольной намагниченности:
ТТ(^fer) (h-4-^2-w),(^fer) (h-4-^2-w),(18.98)'(18.98)'
Т
Т
(^fer) (h-4-^2-w),
(^fer) (h-4-^2-w),
(18.98)'
(18.98)'
Рис. 18.28. Относительная самопроизвольная намагниченность т] как функция приведенной температуры Т/0j0) для различных значений параметра а, рассчитанная по формуле (18.98) для спинового квантового числа S = %. Пунктирная кривая соответствует состояниям, отвечающим максимуму термодинамического потенциала 炉'(абсолютно неустойчивое состояние).Рис. 18.28. Относительная самопроизвольная намагниченность т] как функция приведенной температуры Т/0j0) для различных значений параметра а, рассчитанная по формуле (18.98) для спинового квантового числа S = %. Пунктирная кривая соответствует состояниям, отвечающим максимуму термодинамического потенциала 炉'(абсолютно неустойчивое состояние).
Рис. 18.28. Относительная самопроизвольная намагниченность т] как функция приведенной температуры Т/0j0) для различных значений параметра а, рассчитанная по формуле (18.98) для спинового квантового числа S = %. Пунктирная кривая соответствует состояниям, отвечающим максимуму термодинамического потенциала 炉'(абсолютно неустойчивое состояние).
Рис. 18.28. Относительная самопроизвольная намагниченность т] как функция приведенной температуры Т/0j0) для различных значений параметра а, рассчитанная по формуле (18.98) для спинового квантового числа S = %. Пунктирная кривая соответствует состояниям, отвечающим максимуму термодинамического потенциала 炉'(абсолютно неустойчивое состояние).
где введено обозначение а = (3/2) %小£日区§2・ На рис. 18.28 показана зависимость 刀(T/©i0)) при различных значениях параметра а. Из рис. 18.28 видно, что при значениях параметра а < 1 имеет место переход второго рода [при а = 0 получаем уже известную формулу (18.9а) для М 三 J = =1/2 или см. (18.9)]. При значениях же параметра а > 1 происходит-
разрывное изменение намагниченности и мы имеем переход первого рода. Банерджи [486] обратил внимание на то, что если разложить энтропийный член в (18.96) в ряд по степеням 刀(при малых т])г. то находим
—Ао + А^ + В^+
(18.99》
т. е. формулу, имеющую такую же структуру, как и (18.56) в теории фазовых, переходов второго рода по Ландау. Коэффициенты Л 0, А и В зависят от давления, температуры, сжимаемости, коэффициента § из (18.95) и т. д. При малых т], по Бину и Родбеллу [466], коэффициент
§ равен нулю [сравнить с формулой (18.57)], и если при этом коэффициент 笈 > 0, то переход будет второго рода, если же ^ < 0, то минимум достигается при г;抬 О, а это означает, что фазовый переход будет первого рода. Банерджи [4861 обращает внимание на то, что при помощи уравнения (18.71) можно определить тип фазового магнитного перехода из чисто магнитных измерений.
определяя знак наклона прямых Н!у\ (относительно оси i]2): для переходов
первого рода наклон отрицателен, а для второго рода — положителен.
Дальнейшее развитие теория Бина и Родбелла получила в работах де Блуа и Родбелла [406, 407], а также Фаррелла и Мейера [487]; в последней рассмотрен более общий случай фазовых диаграмм на плоскости (Н, Т) для магнитных фазовых переходов.
Для проверки теории Бин и Родбелл [466] выбрали арсенид марганца (MnAs). Это же вещество изучали де Блуа и Родбелл [406, 407]. В болеа ранних работах Гийо [400] и Серре [401] показали, что изменение магнитных свойств происходит при двух температурах: 313° К и 399° К. При температурах от 0° до 313° К MnAs находится в ферромагнитном состоянии. Точка ©in = 313° К является твердо установленной точкой магнитного фазового перехода первого рода с выделением скрытой теплоты.
м скачкообразным изменением удельного объема и намагниченности. В интервале температур от 313° до 399° К обнаружено возрастание восприимчивости с ростом температуры. И только выше температуры ©^J — =399° К магнитная восприимчивость ведет себя, как у типичных парамагнетиков, подчиняющихся при высоких температурах закону Кюри- Вейсса (6.5). В связи с этим Гийо [400] высказал предположение, что при @in = 313° К в MnAs происходит переход Ф f АФ, а при @i2) = 399° К— переход АФ f П. Это предположение подтвердили Мейер и Таглан [402], измерившие магнетокалорический эффект в MnAs и обнаружившие изменение знака этого эффекта при температурах ©il) и @]2). Однако нейтро- яографические исследования Бэкона и Стрита [403] не подтвердили наличия антиферромагнитной упорядоченной структуры в интервале температур между 日尹 и @^\ Поэтому Бин и Родбелл [466], а также де Блуа и Родбелл [406, 407] считают, что при ©in происходит переход типа Ф -> f П. Максимум же ьосприимчивости при ©i2) = 399° К вызван, по их мнению, эффектом Яна — Теллера (см. гл. 10) и связан со структурными изменениями в решетке MnAs.
В связи с этим Гражданкина и др. [404, 405] произвели детальное исследование упругих свойств и влияния внешнего давления на магнит^ нне превращения в MnAs. Был измерен температурный ход модуля Юнга я модуля сдвига, а также коэффициента теплового расширения MnAs в интервале температур от 300° до 460° К, т. е. включая и температуры магнитных превращений. По опытным данным для модулей упругости вычислен также температурный ход сжимаемости. В окрестности точки G『)наблюдались существенные изменения упругих модулей и сжимаемости, характерные именно для превращения АФ -> П (см., например, {488, 489]). В то же время в области температуры 日¥)никаких аномальных изменений упругих свойств не обнаружено. В связи с этими результатами нет оснований считать решенным вопрос о типе фазового перехода при ©il) = 313° К в MnAs (①И или Ф -> АФ). Яс耳о лишь, что 研】)— .это точка магнитного фазового перехода первого рода.
Магнитный фазовый переход первого рода наблюдался также в антиферромагнитном соединении урана UO? (см. [416, 471]) ). Теорию для этого случая развил Блюм [491]. Он предположил, что электронная структура парамагнитного иона U4+ имеет синглетный уровень энергии основного 'состояния и низко лежащий магнитный триплетный уровень. Учитывая лишь билинейное изотропное обменное взаимодействие в приближении молекулярного поля, он рассматривает расщепление триплетного уровня 石нутренним^машитным полем, величина которого пропорциональна намагниченности. При достаточно сильном молекулярном поле одна из компонент триплета может иметь уровень ниже синглетного уровня. Это будет соответствовать магнитному основному состоянию при Т = 0° К. С ростом температуры намагниченность будет падать, а энергия основного триплетного состояния будет, наоборот, повышаться. При критической температуре может произойти переход в основное синглетное состояние, и намагниченность скачком упадет до нуля. В зависимости от отношения разности энергии триплета (не расщепленного) и синглета к расщеплению триплета в молекулярном поле можно либо вообще не получить магнитноупорядоченного состояния, либо оно возникает и магнитный фазовый переход в парамагнитное состояние может быть или первого, или второго рода )*
На возможность ферромагнитного фазового перехода первого рода- в случае d-металлов (на основе модели коллективизированных электронов) указал Шимицу [494] (см. также [495—497] и гл. 20). Экспериментально этот переход в соединении Mn3Ge2 изучался в работах [429—432], Обращаем внимание также и на другие исследования (теоретические- и экспериментальные) магнитных фазовых переходов первого рода： [498-508, 530-532].
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 18
4Л 1л 1л 1л 1л 1л 1л 1л4Л 1л 1л 1л 1л 1л 1л 1л1^XQ^Z^t^A^7^0^a^ol9^Q^Z^5A^7^1^XQ^Z^t^A^7^0^a^ol9^Q^Z^5A^7^18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36,37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36,37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.I s i n g, Zs. Phys. 31, 253 (1925),
4Л 1л 1л 1л 1л 1л 1л 1л
4Л 1л 1л 1л 1л 1л 1л 1л
1^XQ^Z^t^A^7^0^a^ol9^Q^Z^5A^7^
1^XQ^Z^t^A^7^0^a^ol9^Q^Z^5A^7^
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36,
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36,
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
В i t t e r, Proc, Roy, Soc, A145, 629 (1934).
P, W e i s s, J. rhys. et rad. 6, 661 (1907).
P, Weiss, R. F о r r e r, Ann. de phys. 5, 153 (1926).
H, Potter, Proc. Roy, Soc. A146, 3 62 (1934),
П. Л, К а п и ц a, Proc. Roy, Soc. A131, 243 (1931),
А. Д. C a x a p о в, УФН 89, 3 (1966).
С. В. Вонсовский, ДАН СССР 27, 550 (1940).
С. В. Вонсовский, Изв. АН СССР, сер, физ, 11, 485 (1947).
F. Krauss, Н. W а г n с k е, Zs, Metallkunde 46, 61 (1955).
Н. Klinkhardt, Ann. der Phys.⑷ 84, 107 (1927).
A. J.Zuithoff, Proc. Acad. Sci. Amst. 41, 264 (1938).
S. Umino, Sci. Rep. Tohoku Univ. 16, 593 (1927).
S. К a у a, Z. N а к a у a m a, Zs. Phys. 112, 420 (1939).
К. E. G r e w, Proc. Roy. Soc. A145, 509 (1934).
N. Thompson, Proc. Phys. Soc. 52, 217 (1940).
M. Griff el, R・ E. Skochdapole, F. H. Spedding, Phys. Rev. 93, 657 (1954).
L, D. J e n n i g s, R. M. S t a u t о n, F. H, S p e d d i n g, J. Chem. Phys. 27, 909 (1957).
M? Griffel, R. E. Skochdapole, F. H, Spedding, J. Chem. Phys. 25, 75 (1956).&
В. C. Gerstein, M. Griffel, L・ D. J ennings, R. E. Miller, R, E. Skochdapole, F. H. Spedding, J. Chem, Phys. 27, 394 (1957), R. E. Skochdapole, M. Griffel, F・ H. Spedding, J. Chem. Phys. 23, 2258 (1955).
L. D. J e n n i n g s, E, H i 1 1, F. H. S p e d d i n g, J. Chem, Phys, 34, 2082 (1961). L. D, J e n n i n g s, E, H i 1 1, F, H, S p e d d i n g, J. Chem, Phys, 31, 1241 (1959), W. S u с к s m i t h, С. A. C 1 a r k, D. J. О 1 i v e r, J. E. T h о m p s о n, Rev,
Mod. Phys. 25, 34 (1953).
H. P. Myers, W. Sucksmith, Proc, Roy. Soc, A207, 427 (1951).
А. К. Кикоин, Tp, Ин-та физики металлов, Изд-во АН СССР, вып. 15, М・, 1954, стр, 70,
В, И. Ивановский, ФММ 7, 29 1959),
В, И, Ивановский, П, П. Денисов, ФММ 4, 550 (1957),
В, И. Ивановский, П, П. Денисов, Изв. вузов, Физика, № 6, 147 (1966).
А, Н. Карчевский, ЖЭТФ 3 6, 638 (19 59).
G, G а г t о n, М. J, М, L е a s k, W, Р. W о 1 f, A. F, G. W у a t t, J. Appl, Phys. 34, 1083 (1963).
Б, В. Знаменский, И, Г, Ф а к идо в, ФММ 13, 312 (1962),
К, П, Белов, Е, В, Талалаев а, Л, А, Черникова, В. И. Ивановок и й, Письма ЖЭТФ 7, 423 (1968); К. И. Белов, Helv, Phys. Acta 41, 679 (1968).
К. Z a v о t а, Чехослов. физ. журн, 8, 727 (1958),
Л. С. С ти л ь б а н с, ЖЭТФ 9, 432 (1939).
Э. К а н е р, ЖЭТФ 10, 67, 407 (1940).
R. Н. Tredgold, Proc. Phys. Soc. A66, 421 (1953).
J. G. К i r k w о о d, J. Chem. Phys. 6, 70 (1938).
R. P e i e r 1 s, Proc. Cambr. Phil. Soc. 32, 477 (1936).
E. W. Montroll, J. Chem. Phys. 9, 7 06 (1941); 10, 61 (1942).
H. A. Kramers, G. H. W a n n i e r, Phys. Rev. 60, 252, 263 (1941).
L. О n s a g e r, Phys. Rev. 62, 559 (1942).
L. О n s a g e r, Phys. Rev. 65, 117 (1944).
J. H. V a n V 1 e c k, Rev. Mod. Phys. 17, 27 (1945).
G. H. W a n n i e r, Rev. Mod. Phys. 17, 50 (1945).
P. R. W e i s s, Phys. Rev. 74, 1493 (1948).
T. Oguchi, Phys. Rev. 76, 1001 (1949).
B. Kaufmann, Phys. Rev. 76, 1232 (1949).
t e г H а а г, В. M a r t i n, Phys. Rev. 77, 721 (1950).
T r e f f t z, Zs. Phys. 127, 371 (1951).
U. F i i- g a u, Ann. der Phys.40, 295 (1951).
C. N.J a n g, Phys. Rev. 85,808 (1952).
H. A. Brown, J. M. Luttinger, Phys. Rev. 100, 685 (1955).
C. A.Hurst, H. S. G r e en, J. Chem. Phys.33,1059(19 61).
G. F.N e w e 1 1, E. W. M оn t г о 1 1, Rev.Mod.Phys.25,352 (1953).
Ю・ E・P у м e p, УФН 63, 245 (1954).
A. M.Д ы x н e, Ю. Б. P у м e p, УФН75, 101(1961).
C. D оm b, Adv. in Phys. 9, 149 (I960).
C. D оm b, M. F. S у к e s, Phys. Rev. 108, 1415(1957).
D. t e r Haar, Physica 19, 611 (1953).
E. Dempsoy, D. ter Haar, Physica 22, 1 (1956).
K. W. Stevens, Proc. Roy. Soc. 70, 537 (1957).
A. L e v i t a s, M. Lax, Phys. Rev. 110, 1016 (1958).
M・ E. Fisher, Phys. Rev. 113, 969 (1959); Physica 25, 521 (1959); J. Math. Phys. 4, 124 (1963).
M. F. Sykes, M. E. Fisher, Phys. Rev. 114, 45 (1959).
J. S e i d e n, Compt. rend. 248, 389 (1959); J. phys. et rad. 21, 141 (I960).
D. M. В u r 1 e y, Phil. Mag. 5, 909 (I9 60).
A. Danielian, Phys. Rev. Lett. 5, 570 (1961).
R. O. R о b i n s о n, Canad. J. Phys. 40, 992 (1962).
G. А. В a к e r, Jr., Phys. Rev. 129, 99 (1963).
M. E. Fisher, J. Stephenson, Phys. Rev. 132, 140, 1411 (1963).
B. G. D о m a n, Phys. Lett. 4, 156 (1963).
R. J. G 1 a u b e r, J. Math. Phys. 4, 294 (1963).
E. W. M о n t г о 1 1, P. В. Potts, I. C. W a r d, J. Math. Phys. 4, 308 (1963).
S. Sherman, J. Math. Phys. 4, 1213 (1963).
H. S. Green, Zs. Phys. 171, 129 (1963).
M. E. Fisher, D. S. Gaunt, Phys. Rev. 133, A224 (1964).
R. B. Griff i ths, Phys. Rev. 136, A437 (1964).
F. H. S t i 1 1 i n g e r, Jr., Phys. Rev. 135, A1646 (1964); 138, A1174 (1965); 146,
209 (1966).
A. S. E d e 1 s t e i n, J. Chem. Phys. 40, 488 (1964).
C. D о m b, в книге «Magnetism», vol. 2A (ed. G. T. Rado, H. Suhl, New York, 1965, p. 1).
R. В г о u t, в книге «Magnetism», vol. 2A (ed. G. T. Rado, H. Suhl, New York, 1965, p. 43)..
M. Ф и ш e p (M. E. Fisher), Природа критического состояния, перев. с англ, изд-во <сМир>>, М., 1968.
R. F о w 1 е г, Е. A. Gugenheim, Proc. Roy. Soc. A174, 189 (1940).
А. А. Б e p д ы ш e в, Изв. вузов, Физика, № 1, 63 (1959).
В. М. 3 айце в, ФММ, 11, 803 (1961).
L. N ё е 1, Ann. de phys. 18, 5 (1932); 8, 237 (1937); Le magnetisme, vol. II, Strass- bourg, 1940, p. 67.
88・ В. Г e p л a x, УФН 23, 3 68 (1940) (с добавлениями С. В. Вонсовского).
Л. Д. Л а н д а у, ЖЭТФ 7, 1232 (1937).
А. И. Г у б а н о в, ФТТ 2, 502 (I960).
C.W. B. Grigson, D. B. D о v e, G. R. Stilwell, Nature204,17 3(19 64).
S.Mader,A. S. N о w i c k, Appl. Phys・ Lett. 7, 57 (1965).
P.D u w e z,S. С. H. L i n, J. Appl. Phys. 38, 4096 (1967).
С.С. T s u ei, G. Longworth, S. С. H. L i n, Phys・ Rev.170,603(19 68).
H. В e t h e, Proc. Roy. Soc. Al54, 207 (1935).
B. R. H e a p, Proc. Phys. Soc. 80, 248 (1962).
H. А. В г о w n, J. Phys. Chem. Solids 26, 1369, 1378 (1965).
D. O. S m i t h, Phys. Rev. 102, 959 (1956).
J. К 1 a m u t, G. Kozlowski, Proc. Phys. Soc. 92, 517 (1967).
H. Kavakatsu, S. Tsukahara, J. Phys. Soc. Japan 21, 12 (1966).
J. К 1 a m u t, Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math, astr., phys. 16, 237 (1968).
G. Kozlowski, Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math., astr., phys. 16, 245 (19 68).
P. Erenfest, Proc. Kon. Akad. Amsterdam 36, 153 (1933).
M. А. Леонтович, Введение в термодинамику, Гостехиздат, М・一Л., 1951.
А. Г. Самойлович, Термодинамика и статистическая физика, Гостехизпат, М・，1955.
L. Patrick, Phys. Rev. 93, 384 (1954).
D. В 1 о с h, Ann. de phys. 1, 93 (1966).
H/E bert, A. Kussmann, Phys. Zs. 38, 437 (1937).
Ф. M. Г а л ь n e p и н, С. JI a p и н, А. Ш и ш к о в, ДАН СССР 78, 451 (1951)：
419 (1953).
t D. G u g а п, Диссертация, Лондон, 1956; Proc. Phys. Soc. 72, 1013 (1958).
К. H. von К 1 i t z i n g, J. G i e 1 e s s e n, Zs. Phys. 146, 59 (1956); 150, 409 (1958).
E. И. Кондорский, В. Л. Седов, J. phys. et rad. 20, 185 (1959): J. Appl. Phys. 31, 331S (I960); ЖЭТФ 38, 773 (i960).
J. S. К о u v e 1, R. H. Wilson, J. Appl. Phys. 32, 435 (1961).
J. S. К о u v e 1, С. C. Hartelius, Rep. 63-RL-3509 M. General Electric Co. (1963).
E. Tatsumoto, H. Fujiwara, H. Tange, Y. Kato, J. Phys. Soc. Japan 17, 592 (1962); Phys. Rev. 128, 2179 (1962).
И6. E. Tatsumoto, H. Fu j i w ar.a, H. Tange, T. Hiraoka, J. Phys.
Soc. Japan 18, 1348 (1963).-
R. W. de В 1 о i s, в сб.《High Magnetic Fields», New York, 1962, p. 658.
L. H. A d a m s, J. W. Green, Phil. Mag. 12, 361 (1931).
A. Michels, A. J a s p e r, J. S t r i j 1 a n d, Physica 4, 1007 (1937).
A. Michels, J. de В о e r, Physica 5, 7 7 5 (1938).
A. M i c h e 1 s, J. Strijland, Physica 8, 53 (1941).
H. Ebert, A. Kussmann, Phys. Zs. 34, 598 (1939).
K. W e r n e r, Ann. de phys. 2, 403 (1959).
H. П. Гражданкина, ЖЭТФ 33, 1524 (1957).
H. П. Гражданкина, Л. Г. Гайдуков, К. П. Родионов, ЖЭТФ 40, 433 (1961).
D. S. R о d b е 1 1, Progress in Very High Pressure research, New York, 1961.
T. P. J a n u s z, T?echn. Report 150, MIT (I960).
G. B. Benedek, T. Kushida, Phys. Rev. 118, 46 (I960).
P. Heller, G. B. Benedek, Phys. Rev. Lett. 8, 428 (1962).
T. К a n e k o, J. Phys. Soc. Japan 15, 2247 (I960).
T. Kaneko, T. H i г о n e, K. Kondo, J. Phys. Soc. Japan 18, 65 (1963).
P. Landry, R. Stevenson, Canad. L Phys. 41, 1273 (1963).
Д. H. А с т p о в, С. И. H о в и к о в a, M. П. О p л о в а, ЖЭТФ 40, 851 (I960).
Д. Н. А с т р о в, Г. Р. К у т и н е, М. П. О р л о в а, ФТТ 4, 7 7 7 (19 62).
Л. Д. Лифшиц, Ю. С. Г е н ш а ф т, ЖЭТФ 46, 821 (1964).
J. М. Leger, С. S u s s е, В. V о d а г, Solid State Comm. 4, 503 (1966).
J. М. Leger, C. S и s s e, R. E p a i n, В. V о d a r, Solid State Comm. 4, 197(1966).
К. О z aw a, S. Anzai, Y. Hamaguchi, Phys. Lett. 20, 132 (1966).
S・ N・ L i u, Phys. Rev. 127, 1891 (1962).
D. В 1 о c h, R. Pauthenet, Compt. rend. 254, 1222 (1962); J. Appl. Phys. 36,
1229 (1965).
К. П. Б e л о в, С. А. Никитин, А. В. П e д ь к о, ЖЭТФ 45, 26 (1963).
H. И. Сирота, Ю. М. Хачатурян, ФТТ 5, 3110 (1963).
Л. И. Винокурова, Е. И. Кондорский, ЖЭТФ 46, 1149 (1964).
J. S. К о u V е 1, С. С. Н а г t е 1 i u s, J. Appl. Phys. 35, 940 (1964); J. Phys. Chem. Solids 25, 1357 (1964).
T. Nakajima, J. Phys. Soc. Japan 19, 520 (1964).
Л. Д. Л и ф ш и ц, Ю. С. Г е н ш а ф т, ЖЭТФ 48, 1050 (1965).
D. В. М с Whan, A. L. Stevens, Phys. Rev. 139, А682 (1965).
Е. End о, S. Kume, М. Kuizumi, С. Okazaki, Е. Hirota, Phys. Lett, 18, 232 (1965).
L. B. Robinson, S. I. Tan, K. F. Sterrett, Phys. Rev. 141, 548 (19 66).
D. В. M c W h a n, P. C. S о u e r s, G. J u r a, Phys. Rev. 143, 385 (19 66).
C. J. Coston, R. Ingalls, H. G. Driekamer, Phys. Rev. 145, 409 (1966).
D. В. M c W h a n, E. Corenzwit, A. L. Stevens, J. Appl. Phys. 37, 1355 (1966).
D. В 1 о c n, F. C h：a i s s e, R. Pauthenet, J. Appl. Phys. 38, 1029 (19 67).
J. E. M i 1 t о n, T. A, Scott, Phys. Rev. 160, 387 (1967).
15 5. P. Schwob, О. V ogt, Phys. Lett. 24A, 242 (19 67).
J. M. L e g e r, C. S u s s e, В. V о d a r, Solid State Comm. 5, 7 55 (1967).
H. Bartholin, D. Bloch, R. Georges, Compt. rend. 264, B361 (1967).
T. Okamoto, H. Fujii, M. Tsurui, H. Fujiwara, E. Tatsumoto, J. Phys. Soc. Japan 22, 337 (1967).
А. С. П a x о м о в, ФММ 25, 595 (1968).
N. D. Lang, H. Ehrenreich, Phys. Rev. 168, 605 (19 68).
В. C. W a у n e, Phys. Rev. 170, 523 (1968).
H. В artholin, D. Bloch, J. Appl. Phys・ 39, 889 (19 68); Phys. Rev. 188, 845 (1969).
E. Tatsumoto, H. Fujiwara, H. Fujii, N. Iwata, T. Okamoto, J. Appl. Phys. 39, 894 (1968).
N・ Kawai, A. Sawaoka, J. Phys. Chem. Solids 29, 57 5 (19 68).
Л. Д. Л а н д а у, ЖЭТФ 7, 819 (1937).
E. M. Л и ф ш и ц, ЖЭТФ И, 253, 269 (1941); J. Phys. USSR 6, 61 (1942).
Г. Я. Любарский-, Теория групп и ее применения в физике, Физматгиз, М., 1957.
В. Л. Г и н з б у р'г, ЖЭТФ 17, 833 (1947).
И. Е. Дзялошинский, ЖЭТФ 32, 1547 (1957); 47, 336, 992 (1964).
О. В. К о в а л е в, ФТТ 5, 3156, 3164 (1963); 7, 919 (1965); Кристаллография 9, 783 (1964).
4 71. J. S б 1 у о m, Physica 32, 1243 (19 66).
W. Opechowski, R. Guccione, в книге «Magnetism», vol. 2A, (ed. G. T. Rado, H. Suhl, New York, 1965, p. 105). '
Б. A. T а в г e p, Кристаллография 3, 342 (1958).
S. Flodmark, Phys. Rev. 132, 1343 (19 63).
5. J. Z ak, Phys. Rev. 134, Al602, Al607 (1964).
S. Bhagavantam, P. V. P an tu 1 u, Proc. Ind. Acad. A59, 1 (1964).
И. H. Адаменко, О. В. Ковалев, ФММ 19, 286 (1965).
М. Lax, Phys. Rev. 138, А793 (1965).
N. A s h b у, S. С. М i 1 1 е г, Phys. Rev. 139, A428 (1965).
M. A t о j i, Am. J. Phys. 33, 212 (1965).
H. Thomas, Zs. angew. Phys. 18, 404 (1965).
A. P. Cracknell, Prog. Theor. Phys. 33, 812 (1965); 35, 196 (1966); 38, 1252 (1967); Austr. J. Phys. 19, 519 (1966); Adv. in Phys. 17, 367 (1968).
W. G. Tam, W. Opechowski, Phys. Lett. 23, 212 (1966).
A. К i t z, Phys. stat. sol. 10, 455 (1966).
M. V e r s c h n e r e k, Phys. stat. sol. 15, 299 (1966).
A. J a n n e r, Helv. phys. acta 39, 665 (1966).
E. F. В er t au t, Compt. rend. 252, 76, 252, 2078 (1964); 258, 3835 (1964); J. phys. et radium 23, 460 (1962); J. Appl. Phys. 33, S1138 (1962); 39, 631 (1968).
H. О v e r h о f, Phys. stat. sol. 26, 461 (1968).
A. P. Cracknell, S. J. Joshua, Proc. Phys. Soc. 1, 40 (1968).
G. E. В а с о n, Sci. Prog. (Oxford) 56, 59 (1968).
A. Schonflies, Krystallsysteme und Kristallstructur, Berlin, 1926.
E. С. Ф e д о p о в, Записки Минералогического общества, том 28, 1891 (эта работа перепечатана в сб. «Симметрия и структура кристаллов», Изд-во АН СССР, М., 1949).
Б. А. Т а в г е р, В. М. 3 а й ц е в, ЖЭТФ 30, 564 (1956).
Б. А. Т а в г е р, Кристаллография 3, 339 (19 58).
J. L е С о г г е, J. phys. et radium 19, 750 (1958).
М. Н. Неронова, Н. В. Белов, Кристаллография 4, 807 (1959).
Е. F. В е г t a u t, в сб. «Magnetism», vol. 1 (ed. G. T. Rado, H. Suhl, New York, 19 63, p. 149—209).
В. E. H айш, ФММ 14, 315 (1962); Изв. АН СССР, сер. физ. 27, 1496 (1963).
J. D i m m о k, Phys. Rev. 130, 1337 (1963).
J. D i msm о к, R. G. Wheeler, Phys・ Rev. 127, 390 (1962); J. Phys. Chem. Solids 23, 729 (1962).
S. Alexander, Phys. Rev. 127, 420 (1962).
R. R・ В i r s s, Proc. Phys. Soc. 79, 946 (1962); Am. J. Phys. 32, 142 (1964).
IO. И. С и p о т и н, Кристаллография & 259 (1963).
S. Strikman, D. T r e v e s, Phys. Lett. 4, 294 (1963).
R. Guccione, Phys. Lett. 5, 105 (1963).
V. V. R aghavacharyalu, С. B. Shvestha, Ind. J. Pure Appl. Phys. 130 (1963).
А. Г. X а ч а т у p я н, ФТТ 5, 2178 (1963); 6, 684 (1964).
А. В. Шубников, E. E. Флинт, Г. Б. Б о к и й, Основы кристаллографии, Гостехиздат, М.-Л., 1940.
В. А. К о и ц и к, Шубниковские группы (Справочник по симметрии и физическим свойствам кристаллических структур), Изд-во МГУ, М., 1966.
Р. W. Kasteleyn, J. van Kranendonk, Physica 22, 317 (1956).
G. А. В a k e r, Jr., Phys. Rev. 124, 768 (1961).
J. W. Essam, M. E. F i s h e г, J. Chem. Phys. 38, 802 (1963).
J. Gammel.W. Marshall, L. Morgan, Proc. Roy. Soc. A275, 257 (1963).
В. M. Зайцев, ФММ 7,-284 (1959).,
К. П. Б e л о в, Л. Н. Г о р я г а, ФММ 2, 441 (1956).
К. П. Б е л о в, И. К. П а н и н а, ДАН СССР 111, 985 (1956).
К. П. Б е л о в, Я. П ач е с, ФММ 4, 48 (1957).
Я. П а ч е с (J. Paces), Чехослов. физ. журн. 7, 729 (1957).
О. И. Л е й п у н с к и й, ЖЭТФ 8, 1026 (1937).
J. S 1 a t е г, Phys. Rev. 58, 54 (1940).
R.Smoluchowski, Phys. Rev. 93, 392 (1954).
P. J. W о j t о w i c z, M. R a у, Phys. Rev. Lett. 20, 1489 (1968).
В. Л. Г и и 3 б у p г, УФН 38, 490 (1949); ЖЭТФ 19, 36 (1949); ДАН СССР 105, 240 (1955); ФТТ 2, 2031 (I960).
В. Л. Г п н з б у р г, А. П. Л е в а н ю к, J. Phys. Chem. Solids 6, 51 (1958); Сб. памяти Г. С. Ландсберга, Изд-во АН СССР, М., 1959, стр. 104.
А. П. Л е в а н ю к, ФТТ 5, 1776 (1963).
В. Г. В а к с, А. И. Л а р к и н, ЖЭТФ 49, 975, 1180 (1965).
Ch. К i 11 е 1, Н. S h о г е, Phys. Rev. 138, А1165 (1965).
S. S t г a s s 1 е г, Ch・ Kittel, Phys. Rev. 139, A758 (1965).
C. G. W i n d s о r, Proc. Phys. Soc. 86, 236 (1965).
К. K. Geisler, R. Kohlhaas, Zs. angew. Phys. 18, 458 (1965).
В. Г. Вакс, В. M. Г а л и ц к и й, А. И. Ларкин, ЖЭТФ 51, 1592 (1966).
29 с. В. Вонсовский29 с. В. Вонсовский一 449 一一 449 一
29 с. В. Вонсовский
29 с. В. Вонсовский
一 449 一
一 449 一
J. Н. В а г г у, J. Chem. Phys. 45, 4172 (1966).
Л. Я. К о б е л е в, ФММ 24, 395 (1967).
Л. Я. К о б е л е в, ФММ 24, 401 (1967).
С. И. М аш а р о в, ФММ 24, 569 (1967).
R. В. Griffiths, Phys. Rev. 158, 176 (1967).
J. S. К о u v e 1, D. S. R о d b e ] 1, Phys. Rev, Lett. 18, 215 (1967).
M. E. F i s h e r, A. E. Ferdinand, Phys. Rev. Lett. 19, 169 (1967).
B. L Halperin, P. C. Hohenberg, Phys. Rev, Lett, 19, 700 (1967).
H. E. S t a n 1 e у, T. А. К a p 1 a n, J. Appl. Phys. 38, 975 (1967).
J.C. Slonczewski, J. Appl. Phys. 38, 1052 (1967).
M. Suzuki, Prog. Theor. Phys. 38, 1225, 1243 (1967); J. Phys. Soc, Japan 22,
757 (1967).
T. I z u у a m a, J. Phys. Soc. Japan 22, 58 (1967); J. Appl. Phys. 39, 478 (1968).
M. H. Coopersmith, Phys. Rev. 167, 478 (1968).
F. E. Goldrich, J. L. Birman, Phys. Rev. 167, 528 (1968).
D. T. T e a n 1 у, B. J. C. v a n d e r Hoeven, Jr., V. L. M о r u z z i, Phys,. Rev. Lett. 20, 722 (1968).
А. А г г о t t, Phys. Rev. Lett. 20, 1029 (1968).
R. D. M a t t u c k, Adv. in Phys. 17, 509 (1968).
G. D e v e 1 e y, Compt, rend. 260, 4951; 261, 4659 (1965).
J. E. N о a к e s, А. А г г о t t, J. Appl. Phys. 35, 931 (1964).
S. A r a j sf R. V. С о 1 v i n, J. Appl. Phys. 35, 2424 (1964).
G. D e v e 1 e y, Compt. rend. 262, B-103 (1966).
R. V. Colvin, S. Arajs, J. Phys. Chem. Solids 26, 435 (1965).
J. S. К о u v e 1, M. E. Fisher, Phys. Rev. 136, Al626 (1964).
S. A r a j s, L Appl. Phys. 36, 1136 (1965).
B. R・ L i v e s a y, L. K. Jordan, E. J. Scheibner, J. Appl. Phys. 37, 1266 (1966).
C. D. G r a h a mf Jr., J. Appl. Phys. 36, 1135 (1965).
D. G. H о w a r d, B. D. D u n 1 a p, J. G. D a s h, Phys. Rev. Lett. 15, 628 (1963).
H. E. Stanley, T. A. Kaplan, Phys. Rev. Lett. 16, 981; 17, 913 (1966).
T. A. Kitchens, P. P. Craig, J. Appl. Phys. 37, 1187 (1966).
С. H. N о w 1 i n, R. V. J ones, J. Appl. Phys. 34, 1262 (1963).
P. Heller, G. B. Benedek, Phys. Rev. Lett. 14, 71 (1965).
M. J. M. Cooper, R. N a t h a n s, J. Appl. Phys. 37, 1041 (1966).
E. E. Anderson, Phys. Rev. Lett. 17, 375 (1966).
C. D о m b, A. R. M i e d e m а, в книге《Progress in Low Temperature Physics», vol. 4, Amsterdam, 1964, p. 296.
266・ H. В. C a 1 1 e n, E. R. C a 1 1 e n, Phys. Rev. 139, A455 (1965); J. Appl. Phys. 36, 1140 (1965).
267・ C. D о m b, M. F. S у к e s, Phys. Rev. 128, 168 (1962).
G. A. В aker, Jr., Phys. Rev. 129, 99 (1963); 136, A1376 (1964).
P, J.Wojtowiez, Phys. Rev. 155, 492 (1967).
G. A. Baker, Jr., D. S. Gaunt, Phys. Rev. 155, 545 (1967).
M. H. Coopersmith, Phys. Lett. 25A, 66 (1967).
H.E.Stanley,T. A.Kaplan, J. Appl. Phys. 38, 977 (1967).
M.E.F i s h e r, J.Appl.Phys. 38, 981 (1967).
N・AIe n у u к, P.M* Rа с с a n, K. Dwight, Phys. Rev. 166,510(1968).
M.F.Collins,R. Nathans, L. P a s s e 1 1, G. Shirane.Phys.Rev.
Lett. 21, 99 (1968).
S. Freeman, P. J. Wojtowicz, J. Appl. Phys. 39, 622 (1968).
J.E.Noakes, A. Arrott, J. Appl. Phys. 39, 1235 (1968).
H. А* В т о w n, Phys. stat. sol. 25, Kll (1968).
G. D e v e 1 e y, J. Phys. 29, 74 (1968).
M. J. Buckingham, W. M. Fairbank, в книге «Progress in Low Temperature Physics», vol. 3, Amsterdam, 1961, p. 80.
M. И. Б а г а ц к и й, А. В. В о p о н e л ь, В. Г. Г у с а к, ЖЭТФ 43, 728 (1962).
А.В.Воронель, Ю. P. Ч а ш к и н, В. А. П о п о в, В. Г. С и м к и н, ЖЭТ<1) 45, 828 (1963).
А. В. В о р о н е л ь, С. Р. Г р а б е р, А. П. С и м к и н а, И. А. Ч а р к 11 н а, ЖЭТФ 49, 429 (1965).
284・ Е・ Ahrens, Ann. der Phys. 21, 169 (1934),
E. L a p p, Ann. de phys. (10) 12, 442 (1929).
C. Sykes, H. Wilkinson, Proc. Phys. Soc. 50, 834 (1938).
H* M о s e r, Phys. Zs. 37, 737 (1936).
J. A. H о f m a n, A. P о s k i n, K. J. T a n e r, R. J. W e i s s, J. Phys. Chem. Solids, 1, 45 (1956).
G. В allensifen, D. Wagner, Physica 30, 1543 (1964).
Я. А. К рафтмахер, T. Ю. Ромашина, ФТТ 7, 2532 (1965).
М. Braun, R. Kohlhaas, Phys, state sol. 12, 429 (1965).
В. Kohlhaas, W. Rocker, W. Hirchler, Zs. Naturforsch. 21a, 183-
3.4.35-36-37-38-39-^^^^Moa-oe-gos-og.lo-ll-els-^la-le-l7-^^^^^^ ^^^^^^ ^^^^^^^^^^ж^^ ^^^^^^49-5051-52-53-54-55-56- ^^ ^^^^^333333333333333 333333 3333333333333 333333 333333333.4.35-36-37-38-39-^^^^Moa-oe-gos-og.lo-ll-els-^la-le-l7-^^^^^^ ^^^^^^ ^^^^^^^^^^ж^^ ^^^^^^49-5051-52-53-54-55-56- ^^ ^^^^^333333333333333 333333 3333333333333 333333 33333333kV. К. Robinson, S. A. F г i e d b e r g, Phys. Rev. 117, 402 (I960).
3.4.35-36-37-38-39-^^^^Moa-oe-gos-og.lo-ll-els-^la-le-l7-^^^^^^ ^^^^^^ ^^^^^^^^^^ж^^ ^^^^^^49-5051-52-53-54-55-56- ^^ ^^^^^333333333333333 333333 3333333333333 333333 33333333
3.4.35-36-37-38-39-^^^^Moa-oe-gos-og.lo-ll-els-^la-le-l7-^^^^^^ ^^^^^^ ^^^^^^^^^^ж^^ ^^^^^^49-5051-52-53-54-55-56- ^^ ^^^^^333333333333333 333333 3333333333333 333333 33333333
V. R. M i e d e m a, R. F.Wielinga, W. J. H u i s k a m p, Phys. Lett. 17,
^.А.Крафтмахер, ФТТ 8, 1306 (1966).
R. А. Крафтмахер, T.. Ю. Ромашина, ФТТ 8, 1966 (1966).
k P. Wolf, Proc. Int. Conf, on Magnetism, Nottingham, 1964, p. 555.
D・ Ch. Mattis, W. P. W о 1 f, Phys. Rev. Lett. 16, 899 (1966).
E. К e e n, D. P. L a n d a u, W. P. W о 1 f, Phys. Lett. 23, 202 (1966); J. Appl.
Phys. 38, 967 (1967).
Q. E. P у м e p, ЖЭТФ 47, 278 (1964).
Г. D- S c h u 1 t z, D. С. M a t t i s, E. H. L i e b, Rev. Mod. Phys. 36, 856 (1964).
L. E.Ballentine, Physica 30, 1231 (1964).
H. В. Вдовиченко, ЖЭТФ 47, 715 (1964); 48, 526 (1965).
Г. T. W u, Phys. Rev. 149, 380 (1966).
A. H u r s t, J. Math. Phys. 6, 11 (1965); 7, 305 (1966).
J.Thompson, J. Math. Phys. 7, 531 (1966).
К. E. Fisher, J. Math. Phys. 7, 1776 (1966).
P. К a d a n о f f, Nuovo cim. 44, B276 (1966).
M. McCoy, T. T. W u, Phys. Rev. 155, 438; 162, 436 (1967).
R. Hecht, Phys. Rev. 158, 557 (1967).
C h e n gT T. T. W u, Phys. Rev. 164, 719 (1967).
M. E. L i n e s, Phys. Lett. 24, A591 (1967).
P. G. W a t s о n, Proc. Phys. Soc. 91, 940 (1967).
A- T. Allan, D. D. Betts, J. Appl. Phys. 39, 1351 (1968).
A. Kramers, Comm. Kamerlingh Onnes, Lab. Leiden, № 83 (1936).
W. О p e c h о w s k i, Physica 3, 181; 4, 715 (1937).
G.S. Rushbrook, P. J.Wood, Proc. Phys. Soc. A68, 1161 (1955); A70. 765 (1957); Mol. Phys. 1, 257 (1958).
A. В a k e r Jr., J. L. Gammel, J. Math, and Appl. 2, 21 (1961).
A. В aker Jr., J.L.G&mmel, J. G. W i 11 s, J. Math, and Appl. 2, 405 (1961).
M. Suzuki, C. Kawabata, J. Phys. Soc. Japan 21, 1063 (1966).
D. P a t t e г s о n, P. C. Y. C h e n, A. L. В г о z, j. Appl. Phys. 39, 1629 (1968).
A. V. Ferris-Prabhu, Phys. Lett. 15, 127 (1965).
G- А. В a k e r Jr., H. E. Gilbert, J. E v e, G. S. R u s h b г о о k e. Phys. Lett. 20, 146 (1966).
J. Stephenson, J. Math. Phys. 5, 1009 (1964); 7, 1123 (1966).
G. S. Rushbrook e, J. Math. Phys. 5, 1106 (1964).
E. Byckling, Physica 30, 1793 (1964).
R. A b e, Prog. Theor. Phys. 31, 412 (1964); 33, 600 (1965); 38, 72, 568 (1967).
A. M a m к о в, ЖЭТФ 49, 857 (1965).
И. H e с и с, ФТТ 7, 665 (1965); 8, 608 (1966); ФММ 20, 775 (1965); УФЖ 10, 340 (1965).
N. W. Dalton, D. W. Wood, Phys. Rev. 138, A779 (1965).
V. Thompson, Phys. Rev. 138, A1433 (1965).
R. B- Griffiths, Phys. Rev. Lett. 14, 623 (1965).
M. S u z u k i, Phys. Lett. 18, 233 (1965); Prog. Theor. Phys. 38, 289 (1967).
M. F. S у k e s,J. W. E s s a m, D. S. G a u n t,J.Math. Phys. 6, 283 (1965).
C. Y a n, G.H. W a n n i e r, J. Math. Phys.6,1833(1965).
В - J. H i 1 e y,G. S. J о у c e, Proc. Phys. Soc.85, 493(1965).
M. В u r 1 ey, Proc. Phys. Soc. 85, 1163 (1965).
D о m b, Proc. Phys. Soc. 86, 933 (1965); J. Appl. Phys. 39, 614, 620 (1968).
D о m b, D. L. Hunter, Proc. Phys. Soc. 86, 1147 (1965).
R. L. В e 1 1, Phys. Rev. 143, 215 (4966).
Ch. K. Majumdar, Phys. Rev. 145, 158 (1906).
K. Kawasaki, Phys. Rev. 145, 224; 148, 375; 150, 285, 291 (1966); Phys. Lett. 2 5A, 448 (19 67); J. Phys. Chem. Solids 28, 127 7 (1967); Solid State Comm. 6, 57 (1968).
J. S. M a r s h, Phys. Rev. 145, 251 (1966).
T. Morito, T. Tanaka, Phys. Rev. 145, 288 (1966).
N. Y a n g, С. P. Y a n g, Phys. Rev. 147, 303; 151, 258 (1966).
H. F a 1 k, Phys. Rev. 151, 304 (1966).
W. C a p e 1, Phys. Lett. 23, 327 (1966k
P h i 1 h о u r sT G. L. H a 1 1, Phys. Lett. 23, 653 (1966); Phys. Rev. 163, 460 (1967); 170, 496 (1968).
L.P. Kadanoff, Physics 2, 263 (1966).
N. W. Dalton, Proc. Phys. Soc- 88, 659 (1966).
В- H. T о r r i c, Proc. Phys. Soc. 89, 77 (1966).
Kocinski, Acta phys. Polon. 30, 591 (1966); Phys. Lett. 25A, 39, 92 (1967).
К- К a n o, Prog. Theor. Phys. 35, 1 (1966).
J, Kanamori, Prog. Theor. Phys. 35, 16 (1966).
M. Hattori, Prog. Theor. Phys. 35, 600 (1966).
T. О g u c h i, I. О n o, Prog. Theor. Phys. 35, 998 (1966).
С. В. Т я б л и к о в, В. К. Федянин,①ММ 23，193 (1967).
J. Z itt artz, Phys. Rev. 154, 529 (1967).
M. E. Fisher, R. J. Burford, Phys. Rev. 156, 583 (1967).
E.H e 1 f a n d, J.S. Langer, Phys. Rev. 160, 437 (1967).
G.A. В a k e r, Jr.,Phys. Rev. 161, 434 (1967); Phys. Rev. Lett.20,990 (1968):
J. Appl. Phys. 39, 616 (1968).
362・C.J. W e n g, R・ B・G r i f f i t h s, M・ E・ F i s h e r, Phys. Rev.162,47 5 (1967).
M.E. F i s h e r, Phys. Rev. 162, 480 (1967).
3 64. J. M. Conway, Phys. Lett. 24A, 59 7 (19 67).
P.Resibois, M. de L e e n e r, Phys. Lett. 25A,65(1967).
R.A. T a h i г - К h e 1 i, Phys. Lett. 25A, 641 (1967),
67.N.Matsudaira, Canad. J. Phys. 45, 2091 (19 67);J.Phys. Soc.Japan23,
M.F. S у k e s, J. L. M a r t i n, D. L. H u n t e r, Proc.Phys. Soc. 91, 671(1967).
D. S. Gaunt, Proc. Phys. Soc. 92, 150 (1967).
H. Hartmann, H. P. Neumann, Zs. Naturforschg. 22a, 604 (1967).
К. K. Geissler, K. Kohlhaas, H. Lange, Zs. Naturforschg. 22a, 830
I. В i a 1 у n i c k i-B i r u 1 a, J. P i a s e c k i, Bull. Acad. Polon. Sci. 15, 211
J. Piasecki, Bull. Acad. Polon. Sci. 15f 357 (1967).
В. Я. Кривнов, О. А. Ольхов, Б. H. Провотворов, ЖЭТФ 54,
Е. И. Ш а п о в а л, Письма ЖЭТФ 8，36 (1968).
37 6. В. М. Задвернюк, В. Я. Кривнов, ФТТ 10, 188 (19 68).
С. И. Кубарев, О. А. Пономарев, ФММ 25, 976 (1968).
G. L. J о n е s, Phys. Rev. 171, 243 (19 68).
J. D. G u n t о n, M. J. Buckigham, Phys. Rev. Lett. 20, 143 (1968).
D. D- Betts, R. V- D i t z i a n, Canad. J. Phys. 46, 971 (1968).
G. A. T. A 1 1 a n, D. D. В e t t s, Canad. J. Phys. 46, 15 (1968).
J.Villiain, Phys. State Sol. 26, 501 (1968).
W. Bitteriich, R. J. J e 1 i t t o, Phys. stat. sol. 28, 365 (1968).
M. Date, M. Motokawa, J. Phys. Soc. Japan 24, 41 (1968).
M. S u z u k i, R. К u b o, J. Phys* Soc. Japan 24, 51 (1968)*
A. 3. Паташинский, В. Л. Покровский, ЖЭТФ 50, 439 (1966).
Т*D・ Lее, С. N. Jа и g, Phys. Rev. 87, 410 (1952).
В.Г. Вак ст А. И.Л а р к и нт С. А. П и к и н, ЖЭТФ51, 361 (1966).
А.П. Лев а н ю к,Изв. АН СССР, сер. физ. 29, 879 (1965).
Г.В- Ряз а н о в,ЖЭТФ 52, 1688 (1967).
В. Л. Покровский, УФН 94, 127 (1968).
Л. Я. К обе л ев, ДАН СССР 180, 567 (1968).
Л. Я. К о б е л е в, Ю. И. С к р я б и н, Уч. записки УрГУ 62, вып. 3, 91 (1967).
D. L. Connelly, J. S. Loomis, D. Е. Mapother, Phys. Rev. ЗВ,
H. Kiihlewein, Wiss. Verof. Simens Konz. IL Hf. 1, 124 (1932).
H. 11. Гражданкина, УФН 96, 291 (1968).
P. S. R о d b e 1 1, С. P- В e a n, J. Appl. Phys. 33, SI037 (1962).
F. H e u s 1 e r, Zs. angew. Chem. 1, 260 (1904).
L. F. В a t e s, Phil. Mag. 8, 714 (1929).
Ch. Guillaud,!. phys. et rad. 12, 223 (1951).
A-S eг г e s, J. Phys, et rad. 8, 146 (1947).
A.J.Meyer, P. T a g 1 a n g, Compt. rend. 246, 1820(1958).
G.E.В aeon, R. S t r e e t, Nature 175, 518 (1955).
H.П.Гражданкина, A. M. Бурханов, ЖЭТФ50,2 519(1966).
H.П.Гражданкина, Ю. С. Берсенев, ЖЭТФ51,1052(1966).
R. W. D е В 1 о i s, D. S. R о d b е 1 1, Phys. Rev. 130, 1347 (1963).
R. W. D e Blois, D. S. R о d b e 1 1, J. Appl. Phys. 34, 1101 (1963).
A. J. H e e g e r, O. Beckman, A. M. Portis, Phys. Rev. 123, 1652 (1961).
A. О k a z a k i, Y. S u e m a n e, J. Phys. Soc. Japan 16, 67 (1961).
M. Y u z u r i, J. Phys* Soc. Japan 15, 2007 (I9 60).
S* О g a w a, J. Phys. Soc. Japan 15, 1901 (I960).
E. O. W о 1 1 an, W. C. Koehler, M. K. Wilkinson, Phys. Rev. 110,
W. С. К о e h 1 e r, J. phys. et rad. 20, 180 (1959).
P. L. Richards, J. Appl. Phys. 34, 1237 (1963).
M. T г о m b e, J. phys. et radium 12, 170 (1951).
В- C. Frazer, G. Shirane, D. E. Сох, С. E. Olsen, Phys. Rev. 140,
O. G. В r a n d, С. T. W a 1 k e r, Phys. Rev. Lett. 18, 11 (1967).
A.Arrott,S.A. W erner, H.Kendrick, Phys. Rev. Lett. 14, 1022 (1965).
T. J. S w о b о d aT W. H. С 1 о u d, T. A. В i t h e r, M. S. S a d 1 e r, H. S. J a r - r e t t, Phys. Rev. Lett. 4, 509 (I960).
123456722222224444444123456722222224444444428.429.430.431.432.433.434.435.436.437.438.428.429.430.431.432.433.434.435.436.437.438.9012343 4 4 4 4 44444449012343 4 4 4 4 4444444445.446.447.448.449.450.451.452.453.454.455.456.457.458.459.460.461.462.463.464.465.466.467.468.469.470.445.446.447.448.449.450.451.452.453.454.455.456.457.458.459.460.461.462.463.464.465.466.467.468.469.470.1 2 3 4 5 67 7 7 7 7 744 4 4 441 2 3 4 5 67 7 7 7 7 744 4 4 44W. H. С 1 о u d, Н. S. J a r r e t t, A. E. A u s t i n, E.Adelson, Phys. Rev. 120, 1969 (I960).
1234567
2222222
4444444
1234567
2222222
4444444
428.
429.
430.
431.
432.
433.
434.
435.
436.
437.
438.
428.
429.
430.
431.
432.
433.
434.
435.
436.
437.
438.
901234
3 4 4 4 4 4
444444
901234
3 4 4 4 4 4
444444
445.
446.
447.
448.
449.
450.
451.
452.
453.
454.
455.
456.
457.
458.
459.
460.
461.
462.
463.
464.
465.
466.
467.
468.
469.
470.
445.
446.
447.
448.
449.
450.
451.
452.
453.
454.
455.
456.
457.
458.
459.
460.
461.
462.
463.
464.
465.
466.
467.
468.
469.
470.
1 2 3 4 5 6
7 7 7 7 7 7
44 4 4 44
1 2 3 4 5 6
7 7 7 7 7 7
44 4 4 44
A. E. Austin, E. Adelson, W. H. Cloud, Phys. Rev. 131, 1511 (1963). W. A. D о e r n e r, R. B. F 1 i p p e n, Phys. Rev. 137, A927 (1965).
R. B. Flippen, F. J. Darnell, J. Appl. Phys. 34, 1094 (1963).
R. B- F 1 i p p e n, J. Appl. Phys. 34, 2026 (1963).
P. E.Bierstedt, Phys. Rev. 132, 669 (1963).
H. П. Гражданкина, ЖЭТФ 47, 2027 (1964).
P. Bierstedt, F. Darnell, W. Cloud, R. Flippen, H. Jarrett, Phys. Rev. Lett. 8, 15 (1962).
F. J. Darnell, W. H. С 1 о u d, H. S. J a r r e t t, Phys. Rev. 130, 647 (1963). И. Г. Ф а к идо в, H. П. Гражданкина, В. Н. Новогрудский, Изв. АН СССР, сер. физ. 20, 1509J1956).
С. Д. Марголин, И. Г. Ф а к и д о в, ФММ 7, 157 (1959).
R. Fontaine, R. Pauthenet, Com pt. rend. 254, 650 (1962).
Э. А. Завадский, И. Г. Ф а к ид о в, ЖЭТФ 51, 1317 (1966).
Е. Huber, D. Н. R i d g 1 а у, I. Appl. Phys. 34, 1099 (1963).
М. F а 1 1 о t, Compt. rend. 205, 558 (1937).
M. Fallot, Ann. de phys. 16, 231 (1938).
M. F a 1 1 о t, R. H о с a r t, Rev. Sci. 77, 498 (4939).
Bertaut, F. de В e r g e v i n, G. R о u 1 t, Compt. rend. 256, 1698 (1963). F. Bertaut, A. Delapalm, F. ForratTG. Roult, F. de Bergevin, R. Pauthenet, J. Appl. Phys. 33, SI 123 (1962).
de В e r g e v i n, L. M u 1 d a w e r, Compt. rend. 252, 1347 (1962).
S h i r a n e, C. W. C h e n, P. A. F 1 i n n, Phys. Rev. 131, 183 (1963).
E. M. Hofer, P. C u c k a, J. Phys. Chem. Solids 27, 1552 (1966).
J. S. К о u v e 1, J. Appl. Phys. 37, 625 (1966).
Э. А. Завадский, И. Г. Ф а к идо в, ФТТ 9, 139 (1967).
А. И. Захаров, А. М. Кадомцева, Р. 3・ Левитин, Е. Г. Понятовский, ЖЭТФ 49, 1348 (1964).
J. Р. Bouchaud, R. Fruchart, Compt. rend. 261, 458 (1965).
J. P. Bouchaud, R. Fruchart, R・ Pauthenet, M. Guillot, H. В artholin, F. Chaisse, J. Appl. Phys. 37, 971 (1966).
M. Guillot, R. Pauthenet, Compt. rend. 263, B-527 (1966).
P. А. В о с к а н я h, P. 3. Л e в и т и h, В. А. Ш у p о в, ЖЭТФ 53, 459 (1967).
T. К a n e k о, S. A b e, J. Phys. Soc. Japan 21, 451 (1966).
H. H a r a 1 d s e n, A. N e u b e r, Zs. anorg. allg. Chem. 234, 337 (1937).
П. Гражданкина, И. Г. Ф а к ид о в, Изв. АН СССР, сер. фпз. 21, 1116 (1957).
К. D w i с h t, R. W. G e r m a n n, N* M e n у u k, A. W о 1 f, J. Appl. Phys. 33, S1341 (1962).
T. Kamigaichi, T. Okamoto, N. Iwata, E.Tatsumoto, J. Phys. Soc. Japan 21, 2736 (1966).
J. S. К о u v e 1, С. C. Hartelius, Phys. Rev. 123, 124 (1961).
S. J. Pickart, R. N a t h a n s, G. Shirane, Phys. Rev. 121, 707 (1961). R. R. H e i k e s, T. R. M c G u i r e, R. J. H a p p e 1, Phys. Rev. 121, 703 (1961). D. R. Behrendt, S. Legvoid, F. H. Spedding, Phys. Rev. 109, 1544 (1958).
M. K. W i 1 k i n s о n, W. С. К о e h 1 e r, E. O. W о 1 1 a n, J. C a b 1 e, J. Appl. Phys. 32, 485 (1961).
E. К r 6 n, G. К a d a r, L. P a 1, J. S 6 1 у о m, P. S z a b о, Phys. Lett. 20, 331 (1966).
T. Shinjo, K. Kosuge, S. Kachi, H. Takaki,M.Shigo,Y. Nakamura, J. Phys* Soc. Japan 21, 193 (1966).
M. F о e x, M. P. L e b e a u, Compt. rend. 223, 1126 (1946).
M. F о e x, J. L о r i e r s, Compt. rend. 226, 901 (1948).
J. T. Sparks, T. Komoto, J. Appl. Phys. 34, 1191 (1963).
S m i t s, H. Gerding, F. Ver Mast, Zs. Phys. Chem. 157A, 335 (1931).
P. В e a n, D. S. R о d b e 11, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-I, 154 (1962).
P. В e a n, D. S. R о d b e 1 1, Phys. Rev. 126, 164 (1962)*
G. S h u 1, W. A. S t r a u s e rT E. O. W о 1 1 a nT Phys. Rev. 83, 333 (1951). M. F о e x, Compt. rend. 22 7, 193 (1948).
R. W. M i 1 1 ar, J- Am.Chem. Soc. 50, 187 5 (1928).
S. R о d b e 1 1, I. S.J а с о b s, J. О w e n, E. A. H а г г is,Phys.Rev. Lett.
11, 10 (1963).
T. W i 1 1 i s, R. I. Ta у 1 о r, Phys. Lett. 17, 188 (1965)..
H. S. J a r r e t t, P. E.В i e r s t e d t, F. J. D a r n e 1 1. M.Sar ks-J.Appl.
Phys. 32, 57S (1961).
И. Г. Ф а к и д о в, Ю. H. Ц и о в к и н, ФММ 7, 685 (1959).
С. Л е в и н а, Труды ИФМ АН СССР 22, 67 (1959).
S. К о u V е 1, С. С. Hartelius, J. Appl. Phys. 33, 1343 (1962).
Р. 3. Л е в ити нт Б. К. Пономарев, ЖЭТФ 50, 1478 (1966).
477.478.479.480.481.482.477.478.479.480.481.482.483.484.485.486.487.488.489.483.484.485.486.487.488.489.о I2-34567890 1 2 Q^ 4 t^ 6 7 89-°-L2-Q^ z^ r^ 0^ 7^ 0^ Q^о о о о о о ОО о444 44444445 55555 55 5555 5 5555555о I2-34567890 1 2 Q^ 4 t^ 6 7 89-°-L2-Q^ z^ r^ 0^ 7^ 0^ Q^о о о о о о ОО о444 44444445 55555 55 5555 5 5555555520.521.522.523.524.525.526*527.528.529.530.531.532.520.521.522.523.524.525.526*527.528.529.530.531.532.М. К. W i 1 к i n s о n, H. R. C h i 1 d, W. С. К о e h 1 e r, J. W. C a b 1 е, Е. О. W о 1 1 a n, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-III, 27 (1962).
477.
478.
479.
480.
481.
482.
477.
478.
479.
480.
481.
482.
483.
484.
485.
486.
487.
488.
489.
483.
484.
485.
486.
487.
488.
489.
о I2-34567890 1 2 Q^ 4 t^ 6 7 89-°-L2-Q^ z^ r^ 0^ 7^ 0^ Q^о о о о о о ОО о444 44444445 55555 55 5555 5 5555555
о I2-34567890 1 2 Q^ 4 t^ 6 7 89-°-L2-Q^ z^ r^ 0^ 7^ 0^ Q^о о о о о о ОО о444 44444445 55555 55 5555 5 5555555
520.
521.
522.
523.
524.
525.
526*
527.
528.
529.
530.
531.
532.
520.
521.
522.
523.
524.
525.
526*
527.
528.
529.
530.
531.
532.
W. C. Koehler, J. W. Cable, E. O. W о 1 1 an, M・ K. Wilkinson, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-III, 32 (1962).
Ch. K,i t t e 1, Phys. Rev. 120, 335 (I960).
L. Neel, Bull. soc. franc, mineral, crist. 77, 257 (1954).
H. S. J a r r e t t, Phys. Rev. 134, A942 (1964).
H. S. Jarrett, W. H. Cloud, F. J. Darnell, P. E. Bierstedt, T. A. В i t h e r, P. H. W a 1 t e r, T. J. Swoboda, J. Phys. Soc. Japan 17, Bl 261 (1962).
W. H. Cloud, T.A. Bither, T. J.Swoboda, J. Appl. Phys. 32, S55 (1961).
K. Y о s i d a, H. Miwa, J. Appl. Phys. 32, Suppl. № 3, 8S (1962).
J. S. S m a r t, Phys. Rev. 90, 55 (1953).-
S. К. В a n e r j e e, Phys. Lett. 12, 16 (1964).
R. A. F a r r e 1 1, P. H. E. Meijer, Physica 31, 725 (1965).-
M. E. F i n e, Phys. Rev. 87, 1143 (1952).
П. Б e л о в, P. 3. Л e в и т и н, Докл. на III Всесоюзн. совещ. по ферритам, Минск, 1960.
J. В. Goodenough, J. А. К a f а 1 a s, Phys. Rev. 157, 389 (1967).
М. В 1 u m е, Phys. Rev. 141, 517 (1966).
A. M. Бурханов, H. П. Г ражданкина, И. Г. Ф а к идо в, ФТТ 9, 748 (1967).
Н. П. Гражданкина, ЖЭТФ 52, 397 (1967).
М. Shimizu, J. Phys. Soc. Japan 15, 376, 1127 (I960).
M. Sh im iz u,A. Кa t s u k i, Phys. Lett. 8, 7 (1964).
M. Sh im izProc.Phys. Soc. 84, 397 (1964).
M. Sh im iz u,Proc.Phys. Soc. 86, 147 (1965).
Ф. Ан дp e e в, ЖЭТФ 45, 2064 (1963).
S. M u 1 1 e rt H. L a n g et Zs. angew. Phys. 17, 142 (1964).
E. Keen, D. Landau, B. Schneider, W. P. W о 1 f, J. Appl. Phys. 37, 1120 (1966).
Z. S. К о u v e 1, J. Appl. Phys. 37, 1257 (1966).
Milstein, L. B. Robinson, Phys. Rev. 159, 466 (1967).
E. O. W о 1 1 a n, Phys. Rev. 160, 369 (1967).
Y. S у о n o, Y. Ishikawa, Phys. Rev. Lett. 19, 747 (1967).
R. M. Rosenberg, W. H. Cloud, F. J. Darnell, R. B. Flippen, Phys. Lett. 25A, 723 (1967).
К г e n, G. К a d a r, L. P a 1, P. S z a b 6, J. Appl. Phys. 38, 1265 (1967).
К г ё n, P. S z a b 6, L. P a 1, T. T a r n о c z i, G. К a d а г, С. H a r g i t a i, J. Appl. Phys. 39, 469 (1968).
R. B. Flippen, Phys. Rev. Lett. 21, 1079 (1968).
P. Handler, D- E. Mapother, M. Ray, Phys. Rev. Lett. 19, 356 (1967).
R. B. Griffiths, Phys. Rev. 188, 942 (1969).
E. Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, Oxford Univ. Press, Oxford, 1971.
В. Бондарь, К. M. Горбунова, Ю. М・ Полукаров, ФММ 26, 568 (1968).
К. Tamura, Н- Endo, Phys. Lett. 29А, 52 (1969).
S. С. H. L i n, J. Appl. Phys. 4“ 2173, 2175 (1969).
K. Handrich, Phys. stat. sol. 32, K55 (1969).
S. С. H. L i n, P. D u w e z, Phys. stat. sol. 34, 469 (1969).
S. Kobe, Phys. stat. sol. 41, K13 (1970).
K. Handrich, S. Kobe, Acta Phys. Polon. A38, 819 (1970).
R. Hasegawa, Phys. Rev. 3B, 1631 (1971); Solid State Phys. (Japan) 5, 63 (1970); J. Appl. Phys. 41, 4096 (1970).
R. L. Peterson, Phys. Rev- 171, 586 (1968).
H. П. Гражданкина, A. M. Бурханов, Ю. С. Берсенев, ЖЭТФ 55, 2155 (1968).
Г. К. С о к о л о в а, А- А. С а м о x в а л о в, К. П. P о д и о н о в, А- Я- А ф a • н а с ь е в, Письма ЖЭТФ 8, 350 (1968).
Л. Винокурова. М- Пардаву-Х орв ат, Phys. stat. sol. 41, К5 (1970). О. В. Ковалев, А. Г. Горбаню к, J. Phys. Chem. Solids 31, 149 (1970). Е. F. Bertaut, Acta Cryst. A24, 217 (1968); J. Phys. Chem. Solids 30, 763 (1969).
T. S. G. Krishnamurty, P. Gopalakrishnanurty, Acta Cryst. A25, 329, 1333 (1969).
J. Sixardiera, Acta Cryst. A25, 658 (1969).
T. L u b e k, Acta Phys. Polon. A38, 71 (1970).
W. Czaja, Phys, kondens. Materie 10, 299 (1970).
S. J. A 1 1 e n, Phys. Rev. 167, 492 (1968).
R. L. Cohen, S. H u r n e r, K. W. West, Phys. Rev. 184, 263 (1969).
L. P a lf Acta Phys. Hung. 27, 47 (1969).
Глава 19
ТЕОРИЯ САМОПРОИЗВОЛЬНОЙ НАМАГНИЧЕННОСТИФЕРРОМАГНЕТИКА
§ 1. Обменная теория ферромагнетизма — методэнергетических центров тяжести
• Основные модели—коллективизированных и локализованных моментов и s — d-обменная. Из оценок порядков величины энергии в (18.6), полученных в теории молекулярного поля и опытов Дорфмана [1] вытекала полная несостоятельность «магнитной концепции» для объяснения самопроизвольной намагниченности в ферромагнетиках с высокой точкой Кюри.
Разрешение загадки ферромагнетизма могла дать лишь квантовая механика, предсказавшая зависимость электростатической энергии системы электронов от ее намагниченности, обусловленную принципом Паули.
В опытах по гиромагнитному эффекту было установлено, что носителями магнитного момента во многих ферромагнетиках являются электроны, обладающие спином. Отсюда следовало, что ферромагнетизм в них является своеобразной формой спинового парамагнетизма- Из сопоставления этого вывода с рассмотренными в гл. 11 магнитными свойствами парамагнетиков типа щелочных металлов сразу вытекало, что ферромагнетизм нельзя объяснить без учета электронного взаимодействия. В связи с этим Френкель [2] высказал идею, что предсказанные Дорфманом [3] и объясненные Паули [4] парамагнитные свойства газа свободных электронов отнюдь не являются общими и что при наличии электростатического взаимодействия между электронами зависимость их энергии ют намагниченности может носить противоположный характер, делая намагниченное состояние энергетически более выгодным.
В 1928 г. Френкель [2] и несколько позже Гейзенберг [5] дали первое математическое оформление этой идеи на основе приближенной обменной модели, в которой вся обусловленная принципом Паули зависимость электронной энергии кристалла от намагниченности проявляется через энергию обмена. Ясно, что учет только одних процессов обмена и отказ от точного вычисления энергетического спектра даже в этой упрощенной модели не могли дать сколько-нибудь точных количественных результатов. Однако качественно ферромагнетизм получил свое принципиальное объяснение. Основной успех при этом заключался в получении правильного порядка величины обменной энергии А^
В квантовой теории ферромагнетизма используются два основных подхода. Один из них, впервые предложенный Френкелем [2], основывается на модели фермиевского газа коллективизированных электронов проводимости металлов с учетом их обменного взаимодействия. В теории устанавливается условие, при котором эта связь делает выгодным самопроизвольно намагниченное состояние, несмотря на то, что кинетическая энергия электронов при этом увеличивается. Это направление развивалось в работах Блоха [6], Вигнера [7], Мотта [8] [см. также [9] и Мотт и Джонс
(1936)], Слэтера [10—12], Стонера [13], Вольфарта [14, 15] и многих других [16—81] ).
Естественно, что модель коллективизированных электронов ближе всего подходит для объяснения магнитных свойств d-металлов и сплавов со спонтанным моментом, обусловленным спинами электронов недостроенных d-слоев оболочки атома. Для описания ферромагнетизма в металлах редкоземельной группы и их сплавах с недостроенными 47-слоями и во всей совокупности неметаллических ферромагнетиков более естествен второй подход, основанный на работе Гейзенберга [5], в котором предполагается, что атомные моменты, образующие упорядоченную ферро- или антиферромагнитную структуру, локализованы около узлов кристаллической решетки. Это направление развивали Блох [84], [85] [см. также Блох (1934)], Слэтер [86], Бете [Бете и Зоммерфельд (1938)], Ван-Флек (1932), Шубин и Вонсовский [88] [см. также [89, 90] и монографию Вонсов- ского и Шура (1948)], Холстейн и Примаков [91], Боголюбов (1949), Боголюбов и Тябликов [92] и другие [93—156] ).
После работ Боголюбова и Тябликова [160] (см. также [161—166]) в квантовой теории ферромагнетизма стал пшроко применяться кванто- востатистический метод функций Грина (см. работы [167—205]). Несколько другой метод предложили Гинзбург и Файн [206].
Кроме указанных моделей — коллективизированных и локализованных электронов, была разработана еще одна промежуточная модель, учитывающая возможное сосуществование локализованной и делокализованной составляющих спиновой плотности электронной системы кристалла. Идея такой модели (полярной и s — d-обменной) и первая ее количественная разработка были даны в работе Шубина и Вонсовского [88], Дальнейшую разработку теории провели Вонсовский [207], Вонсовский и Туров [208] (см. также последующие работы [209—257]). Эта модель, по-видимому, имеет наибольшие преимущества для редкоземельных s — /-металлов, их сплавов и соединений.
Более подробно эти три модели рассматриваются ниже (в гл. 20—22).
Здесь же речь будет идти о простой форме обменной модели ферромагнитного кристалла с локализованными моментами в изложении, близком к первым работам Гейзенберга [5], Блоха [84, 85], Холстейна и Примакова [91]. Эта модель является обобщением простейших задач квантовой химии для молекулы водорода по Гайт леру и Лондону [258] или двухэлектронного атома гелия по Гейзенбергу [259]. Поэтому вначале напомним кратко основные результаты теории молекулы водорода [см., например, [26, 260] и Блохинцев (1961)].
Теория молекулы водорода и определение обменной энергии. Наиболее общее определение обменной энергии для двухэлектроиной системы (Н2, Не и т. п.) с гамильтонианом, не содержащим членов, описывающих магнитное (спинорбитальное) взаимодействие, связано с возможностью существования двух типов основного состояния — синглетного с нулевым спином S = 0 и энергией 丄卷 и триплетного со спином S = 1 и энергией з卷.Обменная энергия А определяется как полуразность этих энергий
曬-3窗). (19.1)
Из (19.1) видно, что при Л > 0 имеем 3S < ^ и в основном триплетном состоянии спины обоих электронов параллельны (точнее, проекции обоих
спинов на ось квантования имеют одинаковые знаки, случай ферромагнетизма), а при Л < 0 имеем 丄卷 V з卷，т. е. спины антипараллельны (точнее — их проекции имеют различные знаки, случай антиферромагнетизма). Определение (19.1) позволяет записать обменную часть электростатической энергии двухэлектронной системы в виде скалярного произведения векторов спинов по Дираку [см. Дирак [262] и Ван-Флек (1932)L Для этой цели представим энергию 卷 системы в виде
(19.2)(19.2)富=^（噌+3笏一^%（崎一3笏（% = 士1）；
(19.2)
(19.2)
при 乂=—1:卷=I卷 и при 乂=+1：宮=3卷.Квадрат вектора суммарного спина системы ^ = ^ + ^2 в единицах 无 равен
(19.3)(19.3)$2 = ^ + 2&・S2 = S(S + 1),
(19.3)
(19.3)
поскольку собственное значение оператора квадрата спина одного электрона равно 6月(§i + 1) = V2 (V2 + 1) = З/4, а собственное значение квадрата суммарного спина равно S (S + 1). Поэтому из (19.3) следует, что оператор
(19.4)(19.4)传 + 2sl•&)
(19.4)
(19.4)
имеет собственные значения [S (S + 1) — 1]; при S = 0 собственное значение равно —1, и при S = 1 оно равно +1; эти собственные значения совпадают с возможными значениями параметра 乂 в (19.2). Заменяя 乂 в (19.2) через (19.4), для оператора энергии системы находим
(19.5)(19.5)威=編—24^.62,
(19.5)
(19.5)
который имеет требуемые собственные функции по отношению к спину и точные собственные значения энергии. Здесь 卷° =(丄卷 + 33卷)/4 — средняя энергия всех четырех спиновых состояний ) с учетом их статистических весов. Формула (19.5) не зависит ни от каких предположений, принимаемых при обычной приближенной трактовке задачи [2581 (т. е. от использования пеортогональных одноэлектронных функций, неучета корреляции, «полярных» состояний, магнитных взаимодействий и т. п.), что очень удобно для обобщения (19.5) на случай кристалла. Получим теперь конкретные выражения для обменной энергии А ив (19.1). Для двухэлектронной системы гамильтониан (без учета магнитных взаимодействий) в обычном координатном представлении:
威=威0+威1 +威2 +虚12,威=威0+威1 +威2 +虚12,(19.6)(19.6)
威=威0+威1 +威2 +虚12,
威=威0+威1 +威2 +虚12,
(19.6)
(19.6)
где 矗 0 = zaZbe2/rab — энергия кулоновского отталкивания для ядер а и Ъ, S£ I = 11 + Vi — сумма кинетической Ti и потенциальной Vt энергии взаимодействия Z-ro электрона с ядрами Р» = Vai + Vbi =——
и i = 1,2 a 瓢+2 =迎/门2 — энергия кулоновского отталкивания электронов. Из (19.6) видно, что оператор перестановки частиц Р^ коммутирует с 認,т. е. является интегралом движения. Введем пробную нормированную функцию Ф = Ф (1, 2) пространственных координат электронов Ti и г2, обозначаемых для краткости через 1 и 2:
Ф(1, 2) = |[Ф(1, 2) + Ф(2, 1)] + 4[Ф(1, 2)-Ф(2, 1)] =
= |[1 + 尸屈 Ф (1,2) +4 [1 -尸屈 Ф (1, 2), (19.7>
равную сумме симметричной и антисимметричной частей ортогональных друг к другу. Из требования антисимметрии полной волновой функции (равной произведению декартовой части на спиновую) видно, что первое слагаемое в (19.7) соответствует синглетному, а второе — триплетному состоянию. После нормировки каждого из слагаемых в (19.7) находим
(19.8)элементов(19.9)(19.8)элементов(19.9)l,3g=(①II①〉士(①II①)
(19.8)
элементов
(19.9)
(19.8)
элементов
(19.9)
где приняты дираковские обозначения для матричных л (ф IФ) = 1. Подстановка (19.8) в (19.1) дает
(①I賜Az I①〉—(①I爲2 I①〉(①II①)—1-<Ф|Л2|Ф)2
Если Ф —«смесь» двух точных собственных функций задачи, то (19.9) является точным выражением для обменной энергии А, а также удобным исходным пунктом для обсуждения приближенных трактовок проблемы. Если же принять, что Ф либо симметрична, либо антисимметрична, то Ф не дает достаточной информации относительно другого состояния, и поэтому формула (19.9) для А лишается смысла. Рассмотрим теперь конкретную приближенную модель, когда два электрона занимают собственно два орбитальных (нормированных) состояния, описываемых одноэлектронными функциями а (1) и & (2), так что Ф (1, 2) = а (1) b (2). Введем для интеграла перекрытия обозначение
<ф IР I ф) = j а (1) 6* (2) а (2) 6(1) ^^2 =
=J J а* (1) 6 ⑴ dt J = I 凡& 冉(19.9a) тогда в силу (19.9) получим приближенное выражение для обменной энергии
j {ab\^\ba} — \S ab |2 <а& | ^ | ab}〃 q . m
Это выражение обычно называется обменным интегралом. Очень часто ради упрощения пренебрегают интегралом перекрытия *), и тогда для обменного интеграла получаем более простое выражение: A =〈ab |矗| Ьа). Подставляя (19.6) в (19.10), находим
4 = ［〈° I 规 11 ^) ^Ъа + Ф I 豌11。〉S.b +〈°" 1J b。〉一
一 I Sab 卩〈a I 威/a〉+ e I 威,I » +〈曲 I 号 W〉］仅 一 I Sab 卩］.(19.11)
Если пренебречь］ интегралом перекрытия (т. е. положить Sab — 0) или считать функции а и b ортогональными, то
/ =〈甸* W = е2 J 〃*.(£"?：⑵ Ь*(2).dq %.(19.12)
Интеграл дает выражение для ^собственного потенциала^ электронного облака с плотностью ea* (1) b (1) и является существенно положительной величиной, т. е. при 8аъ = 0
Л>0.(19.13)
Из (19.13) следует, что модель Гайтлера — Лондона — Гейзенберга (ГЛГ) при пренебрежении интегралом перекрытия или при ортогональных функциях а (1) и Ъ (2) не в состоянии объяснить антиферромагнетизм, поскольку обменный интеграл (19.13) не может изменять знак. Это связано с тем, что для ортогонализованных или неперекрывающихся функций а (1) и & (2) использование пробной функции в форме ф = а (1) Ь (2) всегда делает триплетное состояние основным (3卷＜ 丄卷)и, следовательно, синглетное состояние никогда не может осуществлять химическую связь (см. Слэтер [12]). Ортогонализованные функции можно использовать лишь при условии учета «полярных состояний» а (1) а (2) и 6 (1) Ъ (2), которые изменяют энергию синглетного состояния. В случае неортогональных функций а, Ъ обменный интеграл А содержит оператор 觊、= = 驾 + 亿 и, следовательно, кинетическую энергию Г. Пусть в рассматриваемой системе имеется два атома каждый с одним валентным электроном и с межъядерным расстоянием R. Ионные потенциалы в случае водородоподобного атома равны
где Zq и 2ь — атомные номера или «эффективные^ ядерные заряды. Функции а и b обычно считаются решениями уравнения Шредингера изолированных атомов:
忆 + 展/a(1) =亂 а(1), 僞 + 厶1]ь(1)=亂ь(1). (49.14)
Замечая, что V = Va + Vbi и используя (19.14), находим из (19.11)
/={『&(!) 6* ⑵[乙,丄几2 + /] b (1) a ⑵ dt, dt2 -
-I Sab |2 ja* ⑴ 6* (2)[几,+ 乙2十 ±] a (1) b (2) d^ &“} / [1 一 风小].(19.15)
Все слагаемые в числителе (19.15) одного порядка величины, т. е. порядка I Sab 12. Поэтому нет никаких оснований пренебрегать каким-либо из слагаемых *). Тем не менее обычно в (19,15) опускают члены с множителем I Sab |2, и выражение
Лгейз= ja*(1)0*(2间一^一言+总 6(l)a(2)dt1dt2 (19.16)
известно как гейзенберговский обменный интеграл. Лёвдин [260] считает, что использование приближения (19.16) столь же незаконно, как и (19.12). Для двухэлектронной задачи не представляет трудности учесть члены с I Sab |2 (#0) и произвести расчет по более точной формуле (19.15). Однако фактически при сближении атомов и образовании молекулы происходит деформация атомных электронных оболочек, поэтому функции 〃 и b уже не должны удовлетворять уравнениям (19.14) (см. [263]).
Обобщение на случай кристалла. Критерий ферромагнетизма. Херринг [263, 159] и др. [264—266] подвергли критике использование метода Гайтлер — Лондона для вычисления спиновой связи типа (19.5). Они показали его неточность даже в случае больших межатомных расстояний, где всегда считалось, что он вполне законен. Следует подчеркнуть, что в реальных задачах квантовой химии и физики твердого тела эти расстояния малы, и поэтому данный метод заведомо неприменим для количественных расчетов. Оставляя пока вопрос о методах вычисления параметра А в (19.5), обобщим это выражение па случай системы из N локализованных спинов. Следуя Дираку [267] и Ван-Флеку (1932)
(см. также [268]), этот гамильтониан обычно записывают в виде
威06 =亂一2 2 ^ik^i^k-(19.17)
Строго говоря, формула (19.17) была выведена для случая системы электронов [267], т. е. когда s^ в (19.17) — операторы вектора спина отдельного электрона со спиновым квантовым числом s = 1/2 ). Фактически же ее распространяют на случай, когда под векторами s； в (19.17) подразумевают полные спины незаполненных d- или /-слоев электронной оболочки атомов (с S》1/2) 8а = £2», т. е.
威06 =亂一2 £ 4aB&z$3・(19.18)
а, В
Законность перехода от (19.17) к (19.18) не столь очевидна и требует специального доказательства (см. ниже, а также работы [117, ИЗ, 114, 240]) ). Здесь же мы пока будем считать, что (19.18) дает достаточно хорошее приближение для рассматриваемой задачи. Если предположить, что обменный интеграл заметно отличен от нуля только для атомов а, р — ближайших соседей в кристаллической решетке, а для более далеких соседей Лар -> 0, то, обозначив его через
Аа^ — А (а и р — соседние узлы),(19.19)
вместо (19.18) будем иметь
盛об 之 §о-2Л 2 8а&в，(19.20).
где сумма берется по парам ближайших соседей.
Для квадрата суммарного спина всего кристалла [см. (19.3)] имеем
(3 &J= 3 醴+ 2 %8e = NS0 + l)+ 3 Sa8B = S'(S' + l), (19.-21} а—1 а— 1 а#Фа^З
где S'—спиновое квантовое число всей системы 7V атомов. Число членов, в двойной сумме в (19.21) равно N (N — 0 поэтому среднее от ее отдельного члена дается выражением
Число членов в сумме (19.18) равно Nz/2, где z—— число ближайших соседей у [узла решетки. Поэтому среднее значение〈鸵об〉 с точностью- до аддитивной постоянной 卷° равно
〈盛。6〉[S' {S' +1) — NS(S +1)1，
Результирующий спин S отдельного узла решетки — порядка единицы, а число Sf — порядка доли всех узлов кристалла, участвующих в намагниченности, которая равна т = Ny (здесь у = //7V卩^-относительная намагниченность). Поэтому в ферромагнетиках, с точностью до величины порядка N~r, имеем ”
亂6 =〈威。6〉^ —^-m2= -NzAy2. (19.23)
Замена истинного энергетического спектра (19.20) средними значениями (19.23) и является так называемым приближением энергетических центров тяжести (Гейзенберг [5]).
Из сравнения (19.23) и (18.4) сразу видна внешняя эквивалентность квантовой теории ферромагнетизма в рассматриваемом приближении и теории «молекулярного поля», если положить z4 = А^ поэтому все результаты последней можно использовать и в данной теории. Однако в квантовомеханической теории существование энергии А не просто постулируется, а является результатом расчета, который также показывает, что абсолютная величина А, например, по (19.15) достаточна для получения точки Кюри порядка 100—1000° К, как это и наблюдается на опыте во многих случаях.
Количественные результаты по «обменной» модели в приближении энергетических центров тяжести, конечно, являются весьма грубыми. Единственно правильным количественным выводом ее могла бы являться температурная зависимость парамагнитной восприимчивости при Т》® {закон Кюри — Вейсса (18.11)]. Однако величина численных коэффициентов в этих теоретических формулах заметно расходится с опытом. Для температур, близких к критическим (точке Кюри), результат оказывается неправильным (см. § 4 гл. 18), для низких температур (область вблизи абсолютного насыщения) рассматриваемая модель Также приводит к неправильному результату (18.8).
Из выражения для обменного интеграла (19.15) видно, что он может быть любого знака, ибо даже если функции а и b положительны, энергии V и £2/^2 входят под интеграл с разными знаками. С другой стороны, именно знак этого интеграла определяет, соответствует ли минимуму энергии §об из (19.23) намагниченное состояние с у = 士 1 или, наоборот, размагниченное с у = 0. Поэтому можно сказать, что положительный знак обменного интеграла (4 > 0) является необходимым условием для появления ферромагнетизма. Однако в силу приближенности обменной модели этот критерий не может носить характера достаточного условия (см. ниже).
Из формулы (19.16) следует, что обменный интеграл является функцией расстояния между узлами кристаллической решетки а к 0, а также зависит от вида волновых функций. Слэтер [271] и затем Бете и Зоммер- фельд (1938) дали качественный анализ этой зависимости. При этом утверждалось, что положительный знак будет иметь место, если: 1) волновые функции 口£ и ah малы вблизи ядер и 2) расстояние между узлами велико по сравнению с радиусами орбит, соответствующих этим волновым функциям. Выполнение этих условий хорошо удовлетворяется для волновых функций с большим азимутальным квантовым числом, то есть для электронов 3@- или 4/-слоя, что и имеет место в реальных ферромагнетиках. Следует, однако, отметить, что эти соображения носят грубо качественный характер, так как само выражение обменного интеграла (19.15) является результатом очень грубого приближения. [Подробнее см. Вонсовский и Шур (1948)]. Кроме того, более детальные расчеты величины 4aB [272, 261] на основе формулы (19.15) показали, что абсолютная величина 4aB оказывается слишком малой (а может иметь даже другой знак), чтобы, например, обеспечить ферромагнетизм в d-металлах (см. ниже, а также Херринг [82 и 263]).
Были попытки (см. Канер [273]) уточнить обменную модель в ее статистической части, то есть при вычислении статистической суммыг но точный энергетический спектр при этом заменялся снова грубой схемой энергетических центров тяжести.
Классическая теория спиновых волн
Постановка задачи. Первым шагом дальнейшего уточнения квантовой теории ферромагнетизма явился отказ от использования приближения энергетических центров тяжести (19.23) и более точный расчет- энергетического спектра системы взаимодействующих электронов. Эта задача может быть решена достаточно точно лишь в предельном случае низких температур, когда кристалл находится вблизи состояния абсолютного магнитного насыщения. При этом почти все атомные магнитные моменты имеют проекцию, направленную в одну сторону (например, «влево»), т. е. основному энергетически наинизшему состоянию ферромагнетика соответствует однородная самопроизвольная намагниченность То *)• При повышении температуры ферромагнетика его энергия будет возрастать за счет появления «перевернутых» электронных спинов. Благодаря обменному взаимодействию эти «перевернутые» («правые») спины не будут локализованы вблизи определенных узлов кристаллической решетки, а в виде «волн» магнитного возбуждения спиновых волн (ферромагнонов [274]) будут распространяться по кристаллу. Если ограничиться не очень сильным возбуждением, когда число ферромагнонов мало по сравнению с числом узлов решетки, то энергетический спектр системы можно с большой точностью представить как сумму энергий отдельных элементарных возбуждений (квазичастиц)—ферромагнонов. Для вычисления энергетического спектра и волновых функций в этом приближении обратимся снова к гамильтониану (19.18). Для точного решения задачи нужны детальные сведения об электронной структуре кристалла, отсутствующие в настоящее время. Поэтому приходится пользоваться приближенными микромоделями, в связи с чем появляется опасность, что полученные результаты не только не отражают изучаемые явления количественно, но могут приводить и к качественно неправильным выводам. Поэтому возникает тенденция по возможности избегать грубых модельных упрощений, используя лишь самые общие свойства симметрии ферро- и антиферромагнитных тел и опытные факты. Естественно, что при этом в теорию будут входить феноменологические постоянные, которые можно определить только из опыта или вычислить с привлечением микротделей. Такой подход является естественным развитием изложенной выше термодинамической теории.
3)-4~, где3)-4~, гдеОпределение обменного гамильтониана. В силу сделанных замечаний необходимо придать «модельному» гамильтониану (19.18) «феноменологическую» форму. Для этого заменим «дискретные» векторы спинов в узлах кристалла 6苫 непрерывной функцией координат: 62 fd (t*) =
3)
-4~, где
3)
-4~, где
*0ченностью*0ченностьювекторная функция J (г) является относительной намагни-
*0ченностью
*0ченностью
в точке г, а /0 — самопроизвольная намагниченность при 0° К.
Эта замена аналогична переходу от атомной теории кристаллических решеток к макроскопической теории упругости непрерывных сред. Очевидно, что все это имеет физический смысл лишь для тех движений в систе-
ме, которые нечувствительны к деталям атомной структуры. Движения в «упругих» средах носят колебательный характер. Поэтому каждому отдельному гармоническому обертону таких колебаний можно сопоставить некоторую длину волны X. Если через d обозначить среднее расстояние между ближайшими соседними ионами кристалла, то условием законности перехода к приближению непрерывной среды будет неравенство )
入》力入》力(19.24)
入》力
入》力
Допуская близкодействующий характер обменных взаимодействий ), можно с большой точностью заменить гамильтониан (19.18) оператором (19.20), учитывающим лишь взаимодействие ближайших соседей. Рассмотрим для простоты случай простой кубической (п. к.) решетки. Тогда каждый узел с радиусом-вектором г (第，у, z) будет иметь шесть ближайших соседей с координатами (х 土 @, у, z),(况，у 士 d, z) и (况，у, z 士 d). Пользуясь малостью отношения @/入(《1) для различных «движений», при которых намагниченность J (г) совершает «малые колебания» с «большой» длиной волны (九》й), значения J в узлах ближайших соседей с точностью до второго приближения можно записать в виде ряда по степеням малой величины @:
J (^ + d, у, 2)々^(?")±@寮+等崩，
勿"-&勿"-&^ ^ ^ ^^2^-2^ ^ ^ ^^2^-2521521
勿"-&
勿"-&
^ ^ ^ ^^2^-2
^ ^ ^ ^^2^-2
5
2
1
5
2
1
Таким образом, в сумме (19.20) каждая группа членов у одного узла,, равная
$х, у, z (S*+d, у, z + ^x-d, у, z + ^х, y+d, Z +,у-d, z 十 5光,у, z+d + S%, у, z-d)，
заменится на
外，•)[6J (r) + d2 (泉丄泉+悬)*⑺同⑴+**⑺],(19.26).
где z = 6 — число ближайших соседей у узла решетки.
Подставляя (19.26) в (19.20), трактуя полученное выражение как квазиклассическую функцию Гамильтона, а не как оператор и переходя от суммирования к интегрированию по всему объему ферромагнетика, умножая (19.26) на М!6, где d3 — объем элементарной ячейки кристалла,, находим
窝6 =一督 J产(尸)d，- v- j > (L)△/ (厂)力’=
=一祭j产⑺办‘一粤J仇修"十AM十7^^)如・(19.27)
Преобразуем второй интеграл в правой части (19.27) по формуле Грина:j jx\jxdr^ — j (V/jdr —§ 張岑^ de и т. д.,
где в правой части второй интеграл берется по поверхности всего ферромагнитного образца, а д]х/дп — производная /х по нормали к этой поверхности. Если вообще отвлечься от поверхностных эффектов или считать,
что нет магнитных поверхностных зарядов djjdn = 0 (см. гл. 5), то этот интеграл можно опустить. Тогда вместо (19.27) имеем
亂6 = —警 J 产协 + ^ j [(V/x)2+ (V%产 + (VA)2] dr. (19.28)
Таким образом, нарушение однородности намагниченности при условии (19.24) приводит к появлению добавки к обменной энергии, которая с точностью до поверхностных эффектов равна
А“ = * j [(V；x)2 +(У]^ +(УЬ?}Лт^
=詩 J [(V/sx)2 + (V/sy)2 + (V%)2] dr =
=等 j [(Vax)2 + (Vay)2 + (Va2)2] dr, (19.29) где ax, ay, a2 — направляющие косинусы вектора /$ соответственно относительно осей х, у и z.
Переход от квантового гейзенберговского гамильтониана (19.20) к классической энергии (19.29) можно осуществить и несколько иным путем. Операторы в (19.20) будем рассматривать как классические векторы. Тогда вместо (19.20) получим
亂6 —宮о =厶亂6 ~ — 24s2 2 COS 中i
б. с
где сумма косинусов в правой части берется по ближайшим соседям (б. с.), 屮订—угол уеж^у векторами 6^ и 6力 При малых отклонениях от однородной намагниченности углы 屮仃 очень малы и можно приближенно положить: cos 屮订 1 — q)ij /2. Тогда
△亂6 = /S2 £ 嗚.(19.29a)
б. с
Замечая, что углы (р^ связаны с направляющими косинусами векторов Т$ в узлах X и ] формулой
COS ф/y - ^xi^xj + a^£&j + 力
нетрудно показать [производя разложение типа (19.25) для косинусов a^t，a?f и а2J полную эквивалентность формул (19.29) и (19.29а).
Из (19.29) снова видно, что минимуму обменной энергии соответствует однородная намагниченность. Надо подчеркнуть, однако, что было бы преждевременным считать любое конечное ферромагнитное тело всегда намагниченным до насыщения однородно, ибо выражения (19.20) и (19.29) обладают высокой степенью вырождения по направлению. Наличие сколь угодно малого возмущения, снижающего это вырождение, будет весьма существенно сказываться на ориентации вектора Is в различных участках тела. Из полученных выражений можно сделать лишь вывод, что при всяком нарушении однородности намагниченности обменная энергия стремится сохранить эту однородность. Формулу (19.29) можно получить и непосредствепно из соображений симметрии (см. гл. 22). Однако здесь для начала дан полумикроскопический вывод, чтобы была ясна физическая связь между строгим квантовым подходом и феноменологической трактовкой ферромагнетика как «непрерывной» среды с «магнитной структурой».
Покажем теперь, как получить феноменологическое определение лараметра Л в (19.29). Это проще всего сделать с помощью следующих соображений (см. Ландау и Лифшиц [275]): энергия (19.29) достигает максимума, когда Is меняет свое направление на обратное на расстояниях порядка постоянной решетки d (V/s 弋 /о/@), т. е. когда
(Д§об)макс 4V7d3,
где V — объем тела, что имеет место при температурах Кюри 0, когда исчезает самопроизвольная намагниченность. Поэтому поправка (Д§об)макс должна быть порядка тепловой энергии k^VId^^ откуда, в согласии с (18.6), сразу следует
А ЛБ0. (19.30)
Определение спектра спиновых волн. а. Метод диагонализации гамильтониана. Обратимся теперь к расчету энергетического спектра ферромагнетика, описываемого формулой (19.28). Решим сначала эту
задачу в классическом приближении, опр еделив малые колебания самопроизвольной намагниченности I & ОКОЛО ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ Iq. Примем, что вектор Is отличается от То на малую величину у:
Js-J0+Y，(19.31)
где
lYKI-Tol-(19.32)
Используя условие (19.32), примем, что изменение вектора Is сводится
Рис. 19.1. К определению изменения у вектора 厶Рис. 19.1. К определению изменения у вектора 厶I 工$ I =丨『0 I = ОС = CM： I 丫 I =AC;I 工$ I =丨『0 I = ОС = CM： I 丫 I =AC;等[ Y I =DC=AZ); y： =BC;(片+Y)1/24工 B.等[ Y I =DC=AZ); y： =BC;(片+Y)1/24工 B.к изменению его ориентации в раз
Рис. 19.1. К определению изменения у вектора 厶
Рис. 19.1. К определению изменения у вектора 厶
I 工$ I =丨『0 I = ОС = CM： I 丫 I =AC;
I 工$ I =丨『0 I = ОС = CM： I 丫 I =AC;
等[ Y I =DC=AZ); y： =BC;(片+Y)1/24工 B.
等[ Y I =DC=AZ); y： =BC;(片+Y)1/24工 B.
личных точках ферромагнетика; абсолютная же величина вектора | Т$ | остается при этом неизменной ), т. е.
(19.33)(19.33)Il = I^ const.
(19.33)
(19.33)
Выберем направление однородной намагниченности Zo за ось z; тогда в принятых приближениях имеем
Isx — Yx? Уу?，z ='о — ¥z*(19.34)
Как легко видеть из рис. 19.1, величина у% будет в первом приближении квадратичной функцией у% и уу ), и поэтому вместо (19.34) можно написать
Isy = Yy，?sz 二厶- Y或'"• (19.35)
Подставляя (19.35) в (19.29) и пренебрегая \ISZ ^： VZ0 = 0, получим
(19.36)(19.36)八翁6^務 J t(VVx)2+(VTy)2]dr.
(19.36)
(19.36)
поскольку отброшенный член у幺2/° имеет более высокий порядок малости.поскольку отброшенный член у幺2/° имеет более высокий порядок малости.Поскольку обменное взаимодействие изотропно, оно не определяет ориентации вектора Jo в ферромагнетике. Эта ориентация определяется совокупным действием внутренних магнитных полей и внешних упругих сил и магнитных полей. Здесь мы ограничимся простейшим случаем изотропного ферромагнетика и для снятия; ориентационного вырождения, как уже отмечалось, включим вдоль оси z слабое внешнее однородное и постоянное магнитное поле Н (〃化=Ну = 0, Я2 = Я). Тогда для плотности энергии (зеемановской), связанной с действием этого поля,
поскольку отброшенный член у幺2/° имеет более высокий порядок малости.
поскольку отброшенный член у幺2/° имеет более высокий порядок малости.
при отклонении вектора Is от оси z? в силу (19.35), имеем
-(7sE) = - ЛгЯ = - /0Я + ^1 Я,
и увеличение энергии ферромагнетика в поле Я, обусловленное неоднородностью намагниченности (у 声 0), равно
备J (必+喲d儿(19.37)
Полная добавочная энергия неоднородно намагниченного кристалла в принятых приближениях будет равна сумме (19.36) и (19.37)
А亂6=J {啬[“Yh)2+(VYu)2] + (y"喲柒}协. (19.38)
Зная энергию (19.38) как функцию ?% и ^, можно решить классическую задачу о колебаниях намагниченности изотропной квазинепрерывной магнитной среды, свойства которой описываются «намагниченностями» ух (г, %) и уу (г, t) как функциями координат и времени ). Для решения этой задачи нужно записать энергию (19.38) в канонической форме [Ландау и Лифшиц (1965)]. В качестве обобщенных координат можно выбрать фурье-компоненты величин ух и 丫夕 Однако, прежде чем это делать, удобнее ввести вместо ух и уу две их независимые линейные комбинации
Y+= Ух ^Yy, Y-= Y% %Yy(19.39)
« = / — 1). Отсюда для (19.38) находим
△院6= J [啬(Vy+・Vy—)+ 备 Y+丫一]协.(19.40)
Произведя теперь разложение у+ и у_ в ряды Фурье, получим
» = a W д* ехр {г [® (乃)力十 кг]},
К(19.41)
Y+ = а L Й ехр { — г [со (fe) i + кг]},к
где со (加)— частота колебаний, 4 — мх волновой вектор, g儿 и дХ обобщенные координаты системы, а — нор мирово чный фактор, который будет определен ниже. Поскольку у+ и у _ являются функциями, определяемыми во всех точках пространства и времени, то их можно было бы разложить в интегралы Фурье. Следовательно, число обобщенных координат должно быть бесконечным [см. Гайтлер (1956)]. Можно, однако, выбрать дискретную счетную их совокупность, введя условия периодичности для намагниченностей у+ и у „, допустив, что их период равен ребру L некоторого куба. Поскольку мы отвлекаемся от граничных эффектов, то длина L может быть сравнима с линейными размерами образца, и поэтому мы примем, что 丫十 и ? _ периодичны с периодом, равным линейным размерам образца, и поэтому на противоположных поверхностях образца значения 丫十 и у _ равны между собой.
Подставляя (19.41) в (19.40) и учитывая, что
(\7Y+7Y一)=必 2 g届殊左廿eхp {X [①便)一①十"加一左’)吟，
k,在'
находим
ASo6 = «2 2 J [崙 kk' + 嘉]Mv exp {i [co 候)—co (fc,)] t 十
+ г (к —к') г} dr. (19.42)
В силу принятых условий периодичности интегралы по dr сразу берутся и равны
exp [i（加一W）网协=05儿届,={ 。'exp [i（加一W）网协=05儿届,={ 。'4 = /4 = /(19.43)(19.43)
exp [i（加一W）网协=05儿届,={ 。'
exp [i（加一W）网协=05儿届,={ 。'
4 = /
4 = /
(19.43)
(19.43)
Здесь 6?^» —символ Кронекера. Используя (19.43) в (19.42), находим
A窗。6 =器工(得渉+ Н)q^qi^(19.44)
к
Выберем теперь нормировочный фактор а так, чтобы член в (19.44) с внешним полем (a3V/2/0) Н имел вид (хЯ, где 卩=geh/2mc = g(xB есть z проекция спинового магнитного момента атомного носителя намагниченности с магнетомеханическим отношением g (см. гл. 17) и спиновым квантовым числом s ). Это дает
a=(平广(19.45)
Размерность а совпадает с размерностью Is или у, поэтому, согласно (19.41), координаты g届 и g力 безразмерны. Подставляя (19.45) в (19.44), получаем окончательно
А亂6 ={(岩/+m)"或.(19.46)
к
Из (19.46) видно, что энергия системы при выполнении условия (19.32) имеет вид аддитивной суммы энергии отдельных собственных колебаний. Возможные значения волновых векторов Е, нумерующие эти собственные колебания непрерывной среды, можно определить из условий периодичности. Действительно, при замене г на г + i величины у土 в (19.41) не должны меняться. Поэтому Е ("“, ку, Л2) может принимать только следующие дискретные значения:
2冗
底=万人 w =色九 z), (人=0, ± 1, 士 2,…).(19.47)
Формулу (19.46) естественно интерпретировать следующим образом. Величина
6(") =舞部+卩*,(19.48)
имеющая размерность энергии, может быть названа энергией собственного колебания системы с волновым вектором к. Первое слагаемое в (19.48) определяет «кинетическую» часть этой энергии, а 卩X ——потенциальную энергию магнитного момента ц, антипараллельного полю Н. В терминах волновой теории 8 (") является энергией плоской волны ——отдельной гармоники сложного движения ферромагнетика, которую, следуя Блоху [84, 85] и Слэтеру [86], принято называть спиновой волной. На корпускулярном языке величину & (А) можно рассматривать как энергию некоторой квазичастицы ——ферромагнона (Вонсовский [274]). Первое слагаемое в (19.48) можно записать в форме, обычной для кинетической энергии. Используя формулу де Бройля fc ^ plh, где р — вектор импульса, можно (19.48) представить в виде
6(田=京 +n瓦(19.49)
Здесь введена эффективная масса ферромагнона
方2
宀占(19-50)
если учесть, что 厶^忆卩/忆再 匸卩/@з. Поскольку обменный интеграл Л ло (19.30) можно выразить через точку Кюри 0, то
(19.50a)(19.50a)*%2
(19.50a)
(19.50a)
171 = 4/8屈'
где 归е — постоянная Больцмана. Таким образом, в обычных ферромагнетиках (где 0 порядка 103 °К) эффективная масса ферромагнона тп * ^ 10"26 г. Безразмерный множитель qk 成=孔届 в (19.46) имеет смысл числа спиновых волн или ферромагнонов с квазиимпульсом к. В этом можно убедиться, если, используя (19.41), (19.43) и (19.45), вычислить интеграл
J y_Y+ dr =心 2 j qhqk» exp (i [co (4)—co 便‘)]方 + X 便'—电竽} dr =
=2卩(2 g3.(19.51) к
С другой стороны, в силу (19.39) и (19.35) имеем
j Y-Y+协=j 侶 + 喲 &* = 27о j [I0 — ISz (r)]dr.(19.51a)
Из сравнения (19.51) и (19.51a) получаем
2 ^' = S ^ = у [ZoF - J Z«(r)dr} •(19-52)
кк
Из (19.52) видно, что величина (三孔届)卩 дает уменьшение ^-компоненты к
магнитного момента ферромагнитного образца объема V по сравнению с насыщением IqV. Следовательно, 三孔届 равно полному числу ферромаг- к
нонов (спиновых волн), а пк равно их числу в состояниях с волновым вектором Е・
Для вычисления равновесных термодинамических величин и кинетических коэффициентов ферромагнетика (например, их температурных зависимостей) необходимо уметь определять средние статистические значения чисел заполнения (nk), а для этого нужно знать функцию распределения ферромагнонов. В классической теории известна одна функция распределения — Максвелла — Больцмана. Однако ферромагноны это квантовые квазичастицы, и поэтому они должны подчиняться квантовой статистике. Вопрос о том, какой именно из квантовых статистик — Ферми — Дирака или Бозе —— Эйнштейна — должны следовать ферромагноны, может решить только квантовая теория спиновых волн, которая будет рассмотрена в следующем параграфе.
Среднее значение чисел заполнения можно определить по обычной статистической формуле
前r "庐(回
r 孔庐（左）r 孔庐（左）
r 孔庐（左）
r 孔庐（左）
где суммы берутся по всем разрешенным состояниям. Вводя обозначение
.г = е (к)/кБТ и используя формулу (1—у)т= £ уп (при у <1), находим п—0
(19.53)
т. е. мы получили для среднего числа заполнений спиновых волн хорошо известную функцию распределения Планка.
dL dtdL dtб. Решение динамических уравнений. Динамические свойства спиновой системы можно описывать, используя уравнения движения классической механики. Согласно последней уравнение движения твердого тела в «неподвижной» инерциальной системе координат имеет вид
dL dt
dL dt
(19.54)
где Z — момент импульса твердого тела, а 霏 一 вектор действующего на тело вращательного момента. Если твердое тело представляет собой «магнит» с магнитным моментом Т, то, согласно (17.3)—(17.5), для изотропного ферромагнетика имеем
L^I,(19.55)
где р — размерный тензор гиромагнитного отношения р —(2тс/е) [см. (17.4)J или ^~1 = g(e/2mc). Кроме того, для момента силы 能 в случае однородного внешнего магнитного поля Н имеем
能= [，Н]・(19.56)
Используя (19.55) и (19.56), уравнение (19.54) можно записать в форме
Г^И-Н] = ^-[1-Н].(19.57)
В общем случае под Н следует понимать некоторое эффективное «магнитное» поле Н?巾巾• Это поле можно определить, зная энергию системы [276L
Используя (19.28), (19.29) и (19.38) и переходя повсюду к /8, эту энергию можно записать в виде
亂6 =-儲 j & 协+ 得 j I(VZSx)2 + (VZsy)2 + ^Is2f] dr - J IszHdr,
°°(19.58)
Из условия, что 宮об должна быть минимальной в равновесном состоянии, вытекает требование равенства нулю первой вариации 6^Об = 0 при произвольных малых изменениях намагниченности 6ZS. Из вариационного исчисления известно, что
б^об = j 6/(，； Ws%, V/Sy, V/sz) dr =
{w-S^[^t5^)]}/(^ v&,…巫M (19.59)
где % (=瑞 У, z) и
〃厶；V%,…)=一蒜 d +侖[(V%)2 + (Wsu)2+(Wsz)2]—/sz# (19.60)
—плотность энергии ферромагнетика. Подставляя (19.60) в (19.59) и произведя дифференцирование, находим
J [(一希工一酱"s 一比)■通]协=0・(19.61)
Из-за произвольности вариации 6ZS интеграл в (19.61) равен нулю, если равно нулю подынтегральное выражение, которое имеет вид
(Кэфф.618)-0,(19.62)
где
Нэ1M =箭厶 +器 А，+ Н(19.63)
и представляет собой эффективное поле ). Подставляя в уравнение движения вместо I вектор Is и вместо Н эффективное поле из (19.63), получаем
(比十箱АL)}(19.64)
ибо [，，Is] = 0. Заменим теперь в (19.64)，по (19.31) на 戏十》это даст (если учесть, что ДJo = 0)
需=譬"{ WH1 -器[АY7。1}，(19.65)
так как Zo || H, а [уАу] — величина высшего порядка малости. Будем далее считать, что ^2,崂 и, следовательно, (丫^十丫力 не изменяются со временем. Изменяются со временем лишь слагающие у% и у«, то есть мы имеем дело с прецессией вектора Is вокруг оси z (см. рис. 17.10) с постоянным углом прецессии. В этом случае уравнение (19.65) в компонентах по осям 况 и у имеет вид
(19.66)(19.66)dyx g^E Г гт 4N а 1
(19.66)
(19.66)
dt Л L */0^'
Предполагая, что уравнения (19.66) имеют решения в виде плоских волн
'Н = R sin (3方+左外),Y" = E cos (3方+左戸), лосле подстановки (19.67) в (19.66) находимcocos (coi + кг) = -^Б (# + ^|■胪)©os(①力 + fcr),—(Dsin (cof + kr)=——^^- (#+^^"2)sin (coi + ^r).Отсюда находим дисперсионное соотношение五3 =後®+'Н = R sin (3方+左外),Y" = E cos (3方+左戸), лосле подстановки (19.67) в (19.66) находимcocos (coi + кг) = -^Б (# + ^|■胪)©os(①力 + fcr),—(Dsin (cof + kr)=——^^- (#+^^"2)sin (coi + ^r).Отсюда находим дисперсионное соотношение五3 =後®+(19.67)(19.67)(19.68)(19.68)(19.69)(19.69)
'Н = R sin (3方+左外),Y" = E cos (3方+左戸), лосле подстановки (19.67) в (19.66) находим
cocos (coi + кг) = -^Б (# + ^|■胪)©os(①力 + fcr),
—(Dsin (cof + kr)=——^^- (#+^^"2)sin (coi + ^r).
Отсюда находим дисперсионное соотношение
五3 =後®+
'Н = R sin (3方+左外),Y" = E cos (3方+左戸), лосле подстановки (19.67) в (19.66) находим
cocos (coi + кг) = -^Б (# + ^|■胪)©os(①力 + fcr),
—(Dsin (cof + kr)=——^^- (#+^^"2)sin (coi + ^r).
Отсюда находим дисперсионное соотношение
五3 =後®+
(19.67)
(19.67)
(19.68)
(19.68)
(19.69)
(19.69)
которое в точности совпадает с (19.48); здесь 卩=g卩匕.
Наглядная картина спиновых волн. Следуя Кефферу и др. [277], а также Киттелю [278], спиновой волне можно дать очень простую наглядную классическую интерпретацию. Рассмотрим цепочку из N атомов, расположенных в узлах 夕力 q?, • • 4n・ Пусть расстояния между соседними атомами равны а (рис. 19.2) и слабое внешнее поле Н направлено вдоль оси z. Если спиновое квантовое число атомов равно S, то модули их спиновых магнитных моментов равны gfiEpS (S 十 1), В основном состоянии, когда волновой вектор спиновой волны равен нулю (к — 0), все спины в цепочке прецессируют в фазе вокруг направления поля Н. Слагающая спиновых моментов вдоль оси z будет иметь максимальное значение Sz = S ). Как следует из (19.69), частота этой однородной
прецессии будет равна ларморовской частоте:
①厶①厶(19.70)(19.70)
①厶
①厶
(19.70)
(19.70)
В случае спиновых волн с отличными от нуля волновыми числами (左考 0) прецессии отдельных спинов уже не будут в одной фазе. Между каждой парой моментов, прецессирующих вокруг оси z, возникает сдвиг фазы, который обусловлен появлением фазовых факторов (Ат) в решениях (19.67) при 左耍 0. Легко видеть, что поскольку расстояние между соседними атомами равно а, то и сдвиг фаз прецессий для них будет равен (左•〃), или для линейной цепочки просто ка. На рис. 19.2, а приведен
Рис. 2 9.2. Полуклассическая наглядная картина спиновых волн, а) Прецессия N векторов спинов в линейной цепочке («моментальный снимок»); б) вид сверху на концы стрелок трех соседних векторов спинов I, 2, 3, приведенных в один узел; в) то же, вид сбоку (Кеффер, Каплан, Яфет [277]).Рис. 2 9.2. Полуклассическая наглядная картина спиновых волн, а) Прецессия N векторов спинов в линейной цепочке («моментальный снимок»); б) вид сверху на концы стрелок трех соседних векторов спинов I, 2, 3, приведенных в один узел; в) то же, вид сбоку (Кеффер, Каплан, Яфет [277]).
Рис. 2 9.2. Полуклассическая наглядная картина спиновых волн, а) Прецессия N векторов спинов в линейной цепочке («моментальный снимок»); б) вид сверху на концы стрелок трех соседних векторов спинов I, 2, 3, приведенных в один узел; в) то же, вид сбоку (Кеффер, Каплан, Яфет [277]).
Рис. 2 9.2. Полуклассическая наглядная картина спиновых волн, а) Прецессия N векторов спинов в линейной цепочке («моментальный снимок»); б) вид сверху на концы стрелок трех соседних векторов спинов I, 2, 3, приведенных в один узел; в) то же, вид сбоку (Кеффер, Каплан, Яфет [277]).
«моментальный снимок» картины прецессирующих спинов в цепочке атомов ферромагнетика согласно [277]. На рис. 19.2, 6 показан вид сверху на окружность, описываемую при прецессии концом вектора спинового магнитного момента в плоскости, параллельной плоскости (况,у). На этой одной окружности прецессии показаны мгновенные положения концов трех соседних векторов: ц1? ц2» Мз・ Расстояния между этими точками в углах равны ка. На рисунке эти углы значительно увеличены для наглядности. В действительности при слабых возбуждениях системы эти углы очень малы, что легко видеть из формулы (19.47), согласно которой ка = 2nna/Na (£ = Na, а тг — целые числа). При малых А (или малых п《N) угол ка = 2nn/N очень мал. Наоборот, длина спиновой волны 九 — 2л/А = Nin при этом очень велика. Например, при п = 1 к^ = Na = = £, то есть она порядка размеров образца. Величина радиуса окружности прецессии 凡 равная R = ]/厂区 + 脸 изменяется при появлении одной спиновой волны на величину 1/N (см. [280]).
Выясним, чему равен угол ф между соседними спиновыми магнитными моментами в пространстве (рис. 19.2, в). Длина дуги окружности пре- цессии между концами векторов ц соседних спинов равна kaR (рис. 19.2, 6) (при малых А стрела дуги 2ка приближенно равна (Аа)27?/2). Поэтому в тех же приближениях угол ср равен (Aa)2J?/2/S (S + 1). Отсюда сразу видно, что обусловленный обменным взаимодействием вращательный момент, действующий на данный спин со стороны его двух ближайших соседей, находящихся к нему под углом ф, пропорционален выражению
44 (|/Г^ + 1))2 sin 屮 24 ,S (S + l) (te)2 R.
Добавка к ларморовской частоте ①丄 оказывается пропорциональной А們 т. е, мы снова приходим к закону дисперсии для спиновой волны (19.69) или (19,48).
Выше мы получили чисто классическим путем динамическое описание поведения системы электронных спинов при учете обменного взаимодействия между ними в присутствии слабого внешнего магнитного поля. Для дальнейшего теоретического исследования как равновесных свойств этой системы, так и кинетических процессов с участием ферромагнонов нужно знать равновесную функцию рассределения этих квазичастиц, время их жизни и вероятность переходов, связанных с их «столкновениями» между собой и с другими элементарными возбуждениями системы (тепловыми колебаниями решетки — фононами, электронами проводимости и т. п.). Рассмотрение всей совокупности указанных вопросов требует более строгого микроскопического подхода на основе квантовой механики и квантовой статистики.
Кроме того, в приведенных выше в основном иллюстративных расчетах совершенно не учитываются магнитные анизотропные взаимодействия между спиновыми моментами. Однако все уточнения такого рода целесообразнее производить уже после перехода к квантовомеханической теории спиновых волн.
Квантовая теория спиновых волн )
Определение гамильтониана. При переходе от классической теории к квантовой вместо классической функции Гамильтона (энергии) вводится оператор Гамильтона как функция квантовых переменных, которые являются операторными величинами. В общем случае некоторые из этих операторов могут не коммутировать друг с другом и удовлетворять особым перестановочным соотношениям. Момент количества движения прямо пропорционален магнитному моменту. Такая же связь существует и между соответствующими операторами механического и магнитного моментов в квантовой механике.
В классической механике аксиальный вектор механического момента L определяется как векторное произведение L = [гр] (р — вектор импульса) или в составляющих
Lx — yPz — z&, Ly = zp* —况Pz, Lz = xpy — УРх'(19.71)
Если выбрать квантовомеханическое координатное представление [см. Блохинцев (1961)], то координаты 况,у, г сохраняют свой классический вид, а импульсы заменяются дифференциальными операторами (р% f®i)8[8工 и т. д.). Таким образом, вместо (19.71) для операторов слагающих момента будем иметь
Г 九Г 方 /0г 方
厶(y 孟一2丽)，% = 丁(2段一况 17)，Lz = h* 而- y 京)•
(19.72)
Для оператора вектора момента Z имеем
Z=?[K7J(19.73)
Перестановочные соотношения коммутации для операторов (19.72) имеют вид
LfLj — LjLi = iHLk (1 — 6fj)(A ^= i, j =工,у, z).(19.74)
Используем (19.74) для получения перестановочных соотношений для слагающих магнитного момента. Полный магнитный момент М ферромагнитного образца с намагниченностью I (г) равен
(19.75)(19.75)М = \ I (г) dr,
(19.75)
(19.75)
где интегрирование ведется по всему объему образца. Связь между М и L дается универсальным соотношением (19.55). Поэтому из (19.75) находим
MjMi-MiMj^in^Mk^l-dtj).(19.76)
С помощью (19.75) можно из (19.76) найти перестановочные соотношения для операторов слагающих вектора намагниченности 八⑺. Заменяя в (19.76) Mi интегралами по (19.75), получаем
j j [ij ⑺力(М) — ii(r') ij (r)] dr dr'=
=力方 рт([_ 6仃)f f Ik (rz) 6 (r — rz) dr dr\.
где 6 (r — rr) — дельта-функция Дирака, обладающая известным свойством, что j А (rz) 6 (г — г7) drf = Д (г). Полученное интегральное равенство не должно зависеть от вида функции /⑺，поэтому необходимо, чтобы подынтегральные функции от левой и правой частей этого равенства были равны, т. е.
Ij (夕)厶⑺')-Л (Н/Д г) = iH^ih (М) 6 (г - ?•') (1 -，力.(19.77)
Воспользуемся теперь формулами (19.31) — (19.34) и перейдем к переменным (19.39). Это дает
у_ (г) у+ (М) — ¥+ (М) Y- (г) — 2йр-1/06 (г — rz). (19.78)
Оператор Гамильтона (точнее его часть, связанная с возмущениями однородной намагниченности) квантованной системы по принципу соответствия^ согласно (19.40), имеет вид
A疯6 = J [侖(的+济一)十备泪一]dr. (19.79)
Перейдем теперь по аналогии с классической теорией от операторов у+ и Q_ к их фурье-компонентам — операторам Ък и 抵[аналогам классических фурье-компонент qk и 或 из (19.41)]:
ккY-= a S^ ехР [^ (^kt-[左竽)],у+= а2ВНехр[ —力(①幫+ 左＞)].(19.80)
к
к
Найдем перестановочные соотношения для новых операторов. Для этого подставим разложения (19.80) в формулу (19.78). Это даст
2 (九 抹—砍，旅)exp [i(kr — krrr)] = $ 2方р-%6 (г — “). к,
Умножим почленно обе части этого равенства на ехр [力冏М—历/)], где 也 1 и Е； — два допустимых произвольных постоянных значения векторов квазиимпульсов к и/, и затем произведем интегрирование по dr и drf по всему объему образца:
J j dr dr9 2 血捲一放屏)exp{Z[(4 — 4i" + (M—/^)a]} =
=专 2方MA j j 3 (夕―产)exp [i 附M— ®r)l &箏 dr'.
Используя свойства дельта-функции 6 (г — г'), а также соотношение (19.43), получаем после интегрирования
V 2 (5届抵，+ 3玄石届)3届届亦匕屮=5 2方рттобм硏.
Используя далее определение а2 по (19.45) и снимая суммирование в левой части с помощью символов Кронекера, находим
Ьк &tz —诚％届=6届届 j(19.81)
Операторы b^ и 方去，подчиняющиеся перестановочным соотношениям (19<81), носят название бозе-операторов вторичного квантования. Из квантовой механики также известно [см., например, Блохинцев (1961)], что в представлении чисел заполнения пк отличными от нуля матричными элементами операторов 瓦 и 放，являются следующие:
(пк \bk\nk 4-1) = (пк + 1)1/2 ехр ( —,
'〃/〉(19,81а)
(rik I bt I «fc — 1)=九證 ехр (学•)，
откуда видно, что оператор 及 соответствует увеличению； а 应一уменьшению числа бозе-частиц в состоянии к на единицу. В частности, через них выражается оператор Гамильтона системы частиц, которые подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна (т. е. волновая функция которых, в противоположность системам из ферми-частиц, например электронов, симметрична, а не антисимметрична относительно перестановок пары частиц). Как следует из классического варианта теории спиновых волн, оператор Гамильтона системы (19.79) после подстановки в него (19.80) и преобразований, аналогичных описанным выше, можно записать в виде
A蜿。6= X (若兴+"比"欣,.(19.82)
к
Как уже было показано в (19.53), оператор 刃去否届'= пк должен иметь смысл оператора числа бозе-частиц в состоянии с квазиимпульсом к. Возможные (собственные) значения этого оператора — числа заполнения могут быть любыми целыми положительными числами, включая и нуль (статистика Бозе). Энергия бозе-частицы в этом состоянии е (к) определяется формулой (19.48). Таким образом, возможные значения энергии всей системы, т. е. энергия длинноволновых колебаний самопроизвольной намагниченности при слабых возбуждениях в области низких температур имеет вид
S = 2 Пк^ (^)»孔届=0, 1, 2, 3, • •.(19.83)
к
Из приведенного расчета следует, что в системе взаимодействующих электронов (при учете электростатических обменных' сил!), основному состоянию которой соответствует однородная намагниченность (ферромагнетизм), элементарные спиновые возбуждения имеют характер независимых спиновых волн, образующих идеальный газ бозевских квазичастиц -ферромагнонов.
Очевидно, что развитая здесь теория является приближенной (см. замечание в начале § 2). Строгое рассмотрение проблемы спиновых волн представляет собой весьма сложную задачу, не нашедшую еще своего окончательного решения [см. Маттис (1967), Тябликов (1965), Кеффер [158]). Детальное рассмотрение квантовой механики спиновой волны провел Цукерник [281].
Во всех изложенных расчетах мы пользовались приближением идеального бозе-газа, в котором каждый «перевернутый» спин или, точнее, соответствующее коллективное возбуждение — спиновую волну или ферромагнон, можно было рассматривать индивидуально. Однако если мы захотим более строго рассмотреть случай не одного, а хотя бы двух перевернутых спинов, то возникло бы сразу по крайней мере два осложнения. Во-первых, две спиновые волны или два ферромагнона могут «встретиться» при своем распространении по кристаллу, что приведет к эффектам рассеяния. Во-вторых, энергетически не безразлично, на каком расстоянии друг от друга находятся перевернутые спины, С точки зрения обменной связи наиболее выгодно, чтобы они были ближайшими соседями в решетке, т. е< чтобы они образовали спиновый комплекс (Бете [87]). Распространение коллективных возбуждений, соответствующих таким комплексам, будет более сложным эффектом, чем распространение «одиночных» спиновых волн, С увеличением числа перевернутых спинов обе эти трудности усугубляются (см. ниже). Однако, как показывает опыт и более строгое теоретическое рассмотрение этой задачи (см< Дайсон [99]), область применимости этого приближения достаточно широка и в температурной шкале составляет примерно 1/5 часть интервала между 0° К и точкой Кюри, непосредственно примыкающего к 0° К.
Закон 2»2 Блоха для намагниченности. Как уже указывалось, преимущество квантовой трактовки заключается, во-первых, в том, что можно сразу определить среднее статистическое значение чисел заполнения ферромагнонов, т. е. их функцию распределения. В принятом приближении (идеальный бозе-газ) эта функция распределения имеет вид обычного распределения статистики Бозе — Эйнштейна
码=—/ G J(19・84)
exP
Зная функцию распределения, можно вычислить все равновесные термодинамические свойства рассматриваемой спин-системы.
Постараемся прежде всего оценить величину уменьшения намагниченности, связанную с возбуждением спиновых волн [278]. Из вида функции распределения (19.84) следует, что при низких температурах ферромагноны с £ (乃) > Ае7 заметным образом не возбуждаются (для них тг届 ^ 0). Ферромагноны с е (к) < к^Т возбуждаются и соответствующие числа заполнения будут отличны от нуля, по крайней мере с тг届=1, а при достаточно малых ки с тг届 > 1. Далее число состояний с квазиимпульсом в интервале от ^ до fc + dk, как известно из статистики идеального газа, пропорционально 依曲：(т. е. объему шарового слоя толщины dk в пространстве волновых чисел 初 а число состояний с квазиимпульсом, меньшим какого-то значения А, пропорционально А3 (то есть объему шара радиуса к в ^-пространстве). В среднем можно сказать, что при низких температурах возбуждаются ферромагноны с пк ^ 1 и £ ⑻ ^ 任冗 Поэтому для относительного изменения намагниченности имеем
收〜[£(k)]3/2 .
А) ^макс (емакс)3/2
Величина емакс, согласно оценке (19.30), пропорциональна ЛБ0, а £(4)^ "еТ・ Таким образом, мы имеем
訂生(19.85)
Формула (19.85) и есть знаменитый закон Тз/2, выведенный Ф. Блохом [84] для температурного хода самопроизвольной намагниченности ферромагнетика в области низких температур.
Поскольку средняя энергия ферромагнона пропорциональна крТ, а среднее их число пропорционально Г5 /2, то средняя энергия всей системы спиновых волн равна 自 ^ 口穴勺 а ЭНтропия и теплоемкость газа ферромагнонов пропорциональна Тз/2. Ниже все эти выводы будут получены в более строгой количественной формулировке.
Учет магнитных взаимодействий. Изложенный выше расчет может быть уточнен, если наряду с обменным электростатическим взаимодействием принять в» внимание также и магнитные взаимодействия между спиповыми магнитными моментами ферромагнетика. Хотя в гамильтониане (19.38) учтен эффект внешнего поля, а также получена зависимость- от поля и энергия спиновых волн в (19.46), однако это было сделано не совсем последовательно, так как при этом не учитывались спин-спи- новое и спин-орбитальное взаимодействия, обусловливающие магнитнуто анизотропию в ферромагнитных кристаллах, а также дальнодействующе^ (квазиклассическое) взаимодействие спинов с полем, которое создается самими магнитными неоднородностями (с div Т^=0), т. е. их собственной намагниченностью. Более детально вопрос об учете магнитных взаимодействий в ферромагнетиках будет рассмотрен ниже. Здесь мы постараемся учесть эти факторы простейшим путем (см. [282]), а именно постулируя некоторые эффективные поля: поле магнитной анизотропии Нк, и ноле самих неоднородностей распределения спинов Нсп. Так, например, в случае магнитно-одноосных кристаллов свободная энергия магнитной анизотропии при малых углах 8 между Is и осью легчайшего намагничивания равна *)
尸尸Ь+К仆2.(19.86>
С другой стороны, энергию FK можно представить как энергию относительно некоторого эффективного поля анизотропии _Н\ в обычной форме (см. гл. 23):
FK^-HKIS^ -Як78соз^«-Як78(1-^).(19.87)
Из сравнения (19.86) и (19.87) сразу находим
Нк^~.(19.88>
Отсюда видно, что при комнатных температурах, например, для Со (К ^ 4 *106 эрг!с^, /§ 飞：1,4 *103 гс) Нк 飞：6 ^Ю^, для Fe (К 4 *105 эрг!с^г Is ^ 1,7 >103 гс) Нк ^ 5 »102 з. Поэтому при внешних полях Н V 102 — —— 103 з учет влияния магнитной анизотропии весьма существен при расчете энергетического спектра спиновых волн. Собственное поле спиновых неоднородностей определяется из выражения
(?•)=-▽{,不二,？ dr' + § 悔券}.(19.89)
Первый член в правой части (19.89) дает поле плотности объемных «магнитных зарядов» (рп = —div J (г)), а второй — поле плотности поверхностных «магнитных зарядов» (пт = Div I (г)). Поле 及口 удовлетворяет дифференциальным уравнениям магнетостатики )
div Нсп = — 4л div J,rot jffcn = 0.(19.90)
Таким образом, в принятом здесь приближении все магнитные эффекты могут быть учтены, если к «обменной» части классической функции Гамильтона (19.40) или гамильтониана (19.79) добавить энергию (или соответственно оператор) суммарного поля Нк 十 Неи + -ff )
-(HK + HGn+H) Z・(19.91)
Как мы убедились, классический расчет собственных колебаний магнитного момента дает тот же результат, что и квантовомеханическое решение задачи. Поэтому, следуя Херрингу и Киттелю [282], мы приведем здесь классический расчет с помощью феноменологического уравнения движения (19.64), учтя в нем эффект полей Нк и Нсп. В итоге вместо (19.64) получим
赞=号4z，(以+比加+电+齡a，)]■(19.92)
Следует помнить, что для нахождения поля Нс^ необходимо учитывать уравнения Максвелла (19.90). Будем искать решение для Js = Jo-f у в виде, аналогичном (19.67):
Zs = “ + Yo exp [i (①力 + kr)](19.93)
Hen = Псп exp [i (з£ + kr)].(19.94)
Подставляя (19.94) и (19.93) в уравнения магнетостатики (19.90), находим связь между амплитудами 宜机 и у。после сокращения на общий множитель exp [i (coi + ^r)]:
(НУ^) = - 4冗(丫曲)，\kHU - 0.(19.95)
Умножая второе из уравнений (19.95) векторно на 4, получим
[k[kH^]=硏 Н^4) — 胪 Н^п = 0.(18.96)
Исключая из уравнений (19.95) и (19.96) скалярное произведение (五^口左), ■сразу находим
Ml -4水噌^.(1,9.97)
Далее, как и в п. 3 § 2, примем, что dyz/dt=^O, и учитывая, что поля Нк и Н направлены вдоль оси z, а также отбрасывая члены высших лорядков малости [уАу] и [уНсп\, получим обобщенное уравнение (19.65)
* ={[У*(Нк + Н)] — [(~^_Ау + Ес11) “]} '(19.98)
которое в составляющих примет вид
警=a空5[a(?)』+讃，
,,,(19.99)
Здесь введены сокращенные обозначения
а = ^То,『讐(Нк + Н), А 推讐.(19.100)
Решение системы (19.99) ищется в виде гармонических волн у%,у = =(Yo)x,yexp[i(co«H кг)]• Это дает'
(19.101)(19.101)[а "^ —血](у。)* + [卩十 а (?) + 占兴](у。％ = О,[₽ + « (标 J十‘讃](Уо)* + [а^а+ i®](Yo)y= 0.
(19.101)
(19.101)
Из условия разрешимости однородной системы (19.101) находим дисперсионное соотношение для собственных частот колебаний
炉=(讃十卩)2 [1 + /黑打,(19.102)
где 仆儿一угол между вектором к и осью z・
Отсюда видно, что полученный ранее энергетический спектр (19.69) получается из (19.102) в предельном случае: а^ 0, р — (^|Хб/^)Н, т. е. при Нсп = НК^ 0. Ясно, что и в квантовой теории мы получили бы для спектра тот же самый результат (см., например, Холстейн и Примаков [91]).
Наличие магнитных взаимодействий (полей!) приводит к появлению энергетической щели в спектре ферромагнонов, т. е.无①(0) * 0. Интуитивно очевидно, что для создания спиновой волны, т. е. волны обратной намагниченности, нужно всегда «перевернуть» в поле Н хотя бы один электронный спин, а это связано с затратой энергии 卩8, которая и играет роль энергии активации, создающей в спектре энергетическую щель для спиновых возбуждений. Наличие поля Неи делает величину этой щели различной для разных направлений распространения спиновых волн, т. е. для различных ориентаций 仆儿 волнового вектора к. «Закон анизотропии» энергетической щели легко получить из (19.102). А именно, из (19.102) при А 0 и с учетом (19.100) имеем
无①(0,仆儿)=& (0,仆儿)=gfiE (Нк + Н) [1 Т£+不 к ] •(19.103)
Таким образом, минимальная ширина щели будет при 仆儿=0, л, а максимальная —при 仆儿=л/2:
е(0; 0) = ^Б(Як + Я),(19.104)
е(0; ^-]=g^HK + H) (1 + ^^^广.(19.105)
При больших волновых векторах к разность между энергией ферромагнона с учетом и без учета магнитных взаимодействий приближенно равна
(无со—廷"2)^ 无(0 十 ^仪 sin?队)=g(xB [Як+ #十 2л/0 sin2^fe]. (19.106) При 仆儿= л/2 и 仆/с = 0, л получаем соответственно
(方3一运胪)(0九=Л/2;詳аagpb (#K + *+ 2n/0).(19.107)
(方3一廷"2)(0在=0；研2》a)gNE(*K + a)，(19.108)
Из точной формулы (19.102) [ср. также (19.104) и (19.105)] видно, что при 仆/с= 0 кривые 无①(к) при Нк 4 a 学：0 и при НК 十五=0 являются параболами, сдвинутыми друг относительно друга вдоль оси 无s на величину g(xB (Нк + Н) (см. рис. 19.3 — кривые 九讃 и || Js). Что касается кривых для 仆м то все они лежат выше кривой с 仆儿=0, но разность между кривыми не превышает величины (力①一九己依)из (19.107). Поэтому, если эта величина заметно меньше к^Т в интервале температур, где разумно ожидать справедливости сделанных выше приближений, то можно практически пренебречь эффектом магнитных взаимодействий. Если
Рис. 19.3. Схематическое изображение закона дисперсии для спектра спиновых волн Ло)(к) в присутствии внешнего магнитного поля Н и поля внутренней магнитной анизотропии Hr (при к\\ is имеем 0儿=0, а при к _]_ Is имеем 0儿=л/2). Пунктирная линия ——параболический закон дисперсии для приближений теории, в которой пренебрегают магнитным взаимодействием (Херринг и Киттель [282]).Рис. 19.3. Схематическое изображение закона дисперсии для спектра спиновых волн Ло)(к) в присутствии внешнего магнитного поля Н и поля внутренней магнитной анизотропии Hr (при к\\ is имеем 0儿=0, а при к _]_ Is имеем 0儿=л/2). Пунктирная линия ——параболический закон дисперсии для приближений теории, в которой пренебрегают магнитным взаимодействием (Херринг и Киттель [282]).fi = ^2ln[l- exp[-£M)j,fi = ^2ln[l- exp[-£M)j,(19.111)(19.111)
Рис. 19.3. Схематическое изображение закона дисперсии для спектра спиновых волн Ло)(к) в присутствии внешнего магнитного поля Н и поля внутренней магнитной анизотропии Hr (при к\\ is имеем 0儿=0, а при к _]_ Is имеем 0儿=л/2). Пунктирная линия ——параболический закон дисперсии для приближений теории, в которой пренебрегают магнитным взаимодействием (Херринг и Киттель [282]).
Рис. 19.3. Схематическое изображение закона дисперсии для спектра спиновых волн Ло)(к) в присутствии внешнего магнитного поля Н и поля внутренней магнитной анизотропии Hr (при к\\ is имеем 0儿=0, а при к _]_ Is имеем 0儿=л/2). Пунктирная линия ——параболический закон дисперсии для приближений теории, в которой пренебрегают магнитным взаимодействием (Херринг и Киттель [282]).
fi = ^2ln[l- exp[-£M)j,
fi = ^2ln[l- exp[-£M)j,
(19.111)
(19.111)
Нк + Н 《4л/0, то нижний предел применимости закона дисперсии 无① ^ Й^Л2 можно определить из условия
ЛБТ > 4л|хб70, т. е. Т》1,7°К(19.109)
(卩е ^ 0,9 ^Ю-20 эрг!гс^ 70 ^ 2 »103 ес и 屈=1,3 ^Ю-16 эрг/град). Однако следует заметить, что в веществах с низкой точкой Кюри и большой энер
гией магнитной анизотропии {Нк л； 弋：4л70) влияние «магнитных» членов в (19.102) может оказывать существенное влияние на температурный ход намагниченности и других термодинамических величин ферромагнетиков.
Термодинамические величины спиновой системы ферромагнетика ). Займемся теперь более подробным и количественным расчетом термодинамических величин спиновой системы ферромагнетика , энергетический спектр которой дается формулой (19.102) (см. [283, 284, 106, 108, 157, 158]). Перепишем эту формулу в несколько ином
виде:
Е(6)=无[(Е"2 十 б)? -卜(g"2 + 0) asin?仆/с]"?. (19.110)
Рассматриваемая система является бозе-газом с переменным числом частиц. Согласно известным формулам кванто-
вой статистики [см. Ландау и Лифшиц (1964)] термодинамический по
тенциал газа равен
химический потенциал не входит в (19.111), поскольку для газа ферромагнонов, как и в случае фононов и фотонов, он равен нулю. Ввиду того, что в макроскопических образцах спектр энергии (19.110) квазинепре- рывен, в (19.111) можно перейти от суммирования по ^ в пространстве волновых чисел к интегрированию. Для этой цели введем полярные координаты в этом пространстве с полярной осью вдоль оси z (считаем Oz||To) и полярным углом 仆м Число собственных колебаний с компонентами волнового вектора к в элементарном объеме dk равно
dk =sin 仆儿"2 dk d^j. d(pk,
где угол 屮儿 —— азимут, отсчитываемый в плоскости (况，у). Поскольку энергия ферромагнона (19.110) не зависит от 屮儿，то можно в (19.111) сразу проинтегрировать по 己屮儿(от 0 до 2п), что дает множитель 2л, и поэтому для Q получим
Q =j d^k In [1 —exp ( -吁;职)]sin 队.(19.112)
00Е
Интеграл по dk можно взять по частям; при этом внеинтегральный член равен нулю. В новом интеграле переходим к новой переменной
интегрирования de. Интеграл по d^^ в пределах от 0 до л можно заменить удвоенным интегралом от 0 до л/2. В итоге получим
◎=备 j sin^d” J + % — •(19.113)
оe(0；i»fe) exp (皆")一1
Находим из (19.110) 8 (0,仆儿)выражаем “з через & и 仆左 и вводим новую леременную * = &/府式 и новые обозначения
И，= 2кБТ й,P' = G亍也(19.114)
тогда (19.113) примет вид
a (区7)=黑(簣广t sin队也 J X
О(В'2+а，В，sin2 ®G
[(*2 Sin4 办 + 吟1/2一 (* sin2 以 + г)]3/2 dx
乂〔exp (%) — 1]・( *)
Из формулы (19.115) простым дифференцированием можно найти любую термодинамическую характеристику системы ферромагнонов. Так, например, для «магнитной» (слин-волновой) части теплоемокости (при V = = const) т. е. для Су (Т, Н) и для намагниченности I (Т, Н) находим CV(T, Н) = -Т^,1(Т, Н)=-$ 端也.(19.116)
В общем случае вычисление интеграла в (19.115) затруднительно, поэтому имеет смысл рассмотреть некоторые предельные ситуации.
Внешнее магнитное поле отсутствует (8 = 0) и исчезающе мала магнитная анизотропия {НК = 0), т. е. р = 0，^ 0. Здесь следует различать два случая, определяемые соотношением между средней тепловой энергией ЛБГ и энергией в «лоренцевом поле» 2ng(xB70.
Случай квТ》2п^(хБ^о (Т》1° К), т. е.從《1 (или а 飞；0). Легко видеть, что в этом случае (19.115) принимает вид
1吒7产2(5、6e2 (凭)3/2 g ( 2 八(19.117a)1吒7产2(5、6e2 (凭)3/2 g ( 2 八(19.117a)1彩7)5/2 *2F x3/2dx
1吒7产2(5、
6e2 (凭)3/2 g ( 2 八
(19.117a)
1吒7产2(5、
6e2 (凭)3/2 g ( 2 八
(19.117a)
где 4(g) — дзета-функция Римана *):
1С(У)= РУ1С(У)= РУiоiо砂т dxехр (х) — 1砂т dxехр (х) — 1
1
С(У)= РУ
1
С(У)= РУ
iо
iо
砂т dxехр (х) — 1
砂т dxехр (х) — 1
здесь Г (у) — гамма-функция. Отсюда для теплоемкости (спин-волновой) сразу находим, вводя новые обозначения 龙自=2/d?=右后日^? и учитывая, что Г(5/2)=ЗКп/4,
(19.1176)(19.1176)
(19.1176)
(19.1176)
Самопроизвольную намагниченность Is (Т, 0) вычислить сложнее, так как здесь следует сначала продифференцировать (19.115) по Н, а потом
*) Дзета = функцию можно вычислить, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем интегрируя почленно. Это дает 3(У)=』少一丄 В частности, имеем g (3/2) = 2,612,之(5/2) = 1,341,之(7/2) = 1,127.
—480 —
положить Н = 0. В первом приближении можно не учитывать зависимость нижнего предела интеграла от Н и дифференцировать только под знаком интеграла. Это дает
0Q 7/ &еГ \з/2 р хг/2 dx
丽=4n2 g^B 丿 J exp (z) —1，
0
и следовательно, по (19.116), переходя от ^ к 0 и замечая, что VgNE/d3 = /()и「(3/2) = ]/Si/2, имеем
人=/。U ・(^)3/> /。”(19-118)
Таким образом, мы снова пришли к «закону Блоха» Т%, Как и в (19.85). Только теперь более точно указана нижняя температурная граница области его применимости (Тмин ^ 2л|лб/о/^б ^ 1° К). При этих условиях ферромагнонная часть теплоемкости (19.1176) носит степенной характер и на ней не сказывается наличие щели в спектре энергии, обусловленной эффективным магнитным полем (Нк + Н).
Случай kBT《2ng|xB/0 (7 К 1° К), т. е. Н》1. Производя приближенную оценку интегралов находим вместо (19.117) и (19.118)
「3)仔w(7/2) V Кг /г、3/2 〜0,5 г /г\3/2
5 I 宀一-^-一送- 而五福小石丿〜丁石前而 旧,，
(19.119-)
В этом случае закон Т3/2 уже не имеет места ни для /§, ии для С^71', но зависимость от Т остается все еще степенной*
Сильное внешнее магнитное поле. Более существенное изменение температурных зависимостей Is и Су имеет место в сильных магнитных полях, когда в спектре энергии имеется щель; g|xB (Нк + Н)》任7, т. е.卩'》1. Здесь тоже можно рассматривать два случая.
Случай g«B (Нк + Н)》%Т и 》2ng|xB/0- Тогда получим
(19.121)(19.122)(19.121)(19.122)「(т)1 V [^Нб (нк + н)]2 г^Нб (нк + Щ п
(19.121)
(19.122)
(19.121)
(19.122)
У = &?/2 瀬 к^т1^ехр L 価J
Л = /о[1Л = /о[11/ Г \3/2 г gkE(HK + H)1
Л = /о[1
Л = /о[1
W expL皆一J
Случай к式《g«E (Hr + Н)《2冗纟卩七/()・ Аналогичным путем приходим к выражениям
U(m) 1 V ^Нб (Нк + ну =16几3/2 而—2M联-U(m) 1 V ^Нб (Нк + ну =16几3/2 而—2M联-/$ =厶｛1/$ =厶｛11"е‘/ Г 、[6em2 2冗g隹厶' 0 /1"е‘/ Г 、[6em2 2冗g隹厶' 0 // Г \ i/2「^Нб(як + ^) qу) ехр [J，(19.123)3/2 г gp-в(Нк+Н) V)，"八ех₽1-营(19-124)/ Г \ i/2「^Нб(як + ^) qу) ехр [J，(19.123)3/2 г gp-в(Нк+Н) V)，"八ех₽1-营(19-124)
U(m) 1 V ^Нб (Нк + ну =16几3/2 而—2M联-
U(m) 1 V ^Нб (Нк + ну =16几3/2 而—2M联-
/$ =厶｛1
/$ =厶｛1
1"е‘/ Г 、
[6em2 2冗g隹厶' 0 /
1"е‘/ Г 、
[6em2 2冗g隹厶' 0 /
/ Г \ i/2「^Нб(як + ^) q
у) ехр [J，
(19.123)
3/2 г gp-в(Нк+Н) V)，"八
ех₽1-营(19-124)
/ Г \ i/2「^Нб(як + ^) q
у) ехр [J，
(19.123)
3/2 г gp-в(Нк+Н) V)，"八
ех₽1-营(19-124)
В случае сильных магнитных полей, когда энергетическая щель в спектре спиновых волн больше средней тепловой энергии (拄 kBT), теплоемкость газа ферромагнонов экспоненциально мала.
481481Сравнение с опытом. Первая попытка проверить «закон 丁⑶我» для самопроизвольной намагниченности ферромагнетиков была предпринята в работе Фалло [285], который исследовал температурный ход намагниченности от комнатной температуры до температур жидкого водорода (〜20° К). В случае железа экспериментальные точки оказались
481
481
31 С. В. Вонсовский
в удовлетворительном согласии с теоретическим законом 穴/? во всем исследованном температурном интервале. Для никеля и некоторых металлических сплавов также наблюдалось согласие теории с опытом, только по сравнению с железом интервал «низких» температур (где наблюдается такое согласие) оказался несколько ниже ). Аналогичные результаты получил также П. Вейсс [287] для ферромагнитного сплава Fe3Al. Лишь 15 лет спустя появилась работа Кондорского и Федотова [288], которые ясно доказали выполнение закона Тз/2 дЛЯ сплавов Fe — Ni пермаллоевого класса (от водородных температур и выше). Затем начали регулярно появляться экспериментальные исследования подобного типа, в которых справедливость закона была убедительно подтверждена на широком классе ферромагнетиков. Кондорский, Роде и Гофман [289] на сплавах Fe — Си провели измерения, в которых нижняя температурная граница была впервые распространена до температур в области 4,2° К, и опять-таки обнаружили зависимость 穴戸 Исследование на чистом Ni провели Фонер и Томпсон [290], а для Fe, Со и Ni — Роде и Геррманн [291] и сплавов Gd — Арайс и Миллер [292].
Во всех упомянутых работах исследовались металлические ферромагнетики. Теория же спиновых волн Блоха скорее относится к ферромагнитным диэлектрикам. Впервые проверкой справедливости закона ?3/2 дЛЯ неметаллических ферромагнетиков — ферритов (точнее говоря ферримагнетиков) занялся Потне [293]. Он исследовал несколько поли- кристаллических образцов ферритов до азотных и водородных температур. Опыты с ферритами были распространены до более низких (гелиевых) температур в работах Белова и Никитина [294], Царева и Заварицкого [295], Волкенштейна и Зотова [296]. Однако ферриты — это нескомпенси- рованные антиферромагнетики с двумя или более магнитными подрешетками. Важно было исследовать ферромагнитные диэлектрики, поскольку именно для них, строго говоря, была построена теория ферромагнетизма Гейзенберга на основе модели локализованных магнитных моментов. Одной из первых работ на ферромагнитных диэлектриках было исследование Госсарда и др. [297] на ферромагнитном ионном кристалле (диэлектрике) СгВгз (0 ^ 37° К). В этой работе использовалась новая техника измерения Is (7), основанная на открытии ядерного магнитного резонанса (ЯМР) в ферромагнитных металлах (см. [298]). Частота ЯМР пропорциональна намагниченности: (орез (7) = %，Is (?)• Поэтому, если коэффициент Аг не зависит от температуры, что отнюдь не очевидно (см., например, [299]), то, определяя а)рез (7), можно найти и Is (7.) Эти опыты с СгВ】з хорошо подтвердили закон Тз/2, а также влияние следующих членов разложения в Is (7) до Т5^2 и др. ) Аналогичные опыты были проделаны и с другими ферромагнитными диэлектриками: ЕиО (Маттиас и др. [392], Лоу [303], Самохвалов и др. 1304]), EuS (Чарап и Бойд [305]); они та\же дали подтверждение выводов теории ферромагнетизма в рамках модрли Гейзенберга.
Наряду с измерением Is (7) экспериментально изучался также вклад спиновых волн в теплоемкость магнитно-упорядоченных веществ в интервале гелиевых температур. Впервые спин-волновой вклад в теплоемкость ферримагнитного полупроводника — магнетита (Fe3O4) обнаружил Кувель [306], который нашел, что температурный ход теплоемкости кристалла Fe3O4 можно с большой точностью представить в виде суммы двух слагаемых: С^ =仪”丝 十 ь?з, т 仇 суммы спин-волнового вклада
(〜？3/2)и фононного (〜穴). Аналогичные исследования на магнетите также провели Кенан и др [307], Диксон и др. [308]. В случае иттриевого гранита спин-волновой вклад в теплоемкость обнаружили Эдмондс и Петерсон [309], Мейер и Харрис [310], Кюнцлер и др. [311], Шинозаки [312], а для литиевого, кобальтового, магниевого и никелевого ферритов — Поллак и Аткинс [313]. Хотя все эти исследования уверенно показали само существование спин-волнового вклада в теплоемкость (Т3/2), однако численные значения коэффициента а из формулы (19.1176), рассчитанные теоретически и измеренные экспериментально, сильно расходятся. Это прежде всего связано с тем, что исследуемые в упомянутых работах вещества относятся не к ферро-, а к ферримагнетикам. Поэтому параметры, входящие в их спин-волновой спектр, несколько иные. Кроме того, возможны расхождения между низкотемпературными параметрами и величиной точки Кюри, которая введена в наши формулы так, как если бы этих расхождений не было. Подробный анализ этого расхождения имеется, например, в работе Кувеля [306] и Диксона и др. [308] (см. также гл. 22) *). Для ферромагнитного диэлектрика EuS спин-волновой вклад в теплоемкость определили Каллауэй и Мак Коллум [316]. Он находится в соответствии с данными Чарапа и Бойда [305] для Is (Т) в этом же веществе.
В случае ферромагнитных d-металлов выделить спин-волновой вклад в теплоемкость оказывается гораздо труднее, чем в случае неметаллических ферро- или ферримагнетиков, поскольку в металлах главную роль в области гелиевых температур начинает играть вклад от электронов проводимости, линейно зависящий от температуры. Тем не менее в работе Диксона и др. [317] удалось доказать существование члена, пропорционального Тз/z в случае Fe; для Ni и Со этого пока показать не удалось (подрбнее см. гл. 20).
За последнее время появились исследования температурного хода теплоемкости (в гелиевой области) и для редкоземельных металлов. Однако эти металлы имеют особый тип магнитных структур (геликоидальные и т. п.), а также заметную энергетическую щель в спин-волновом спектре, что может существенно сказываться на температурном ходе теплоемкости (этот вопрос будет рассмотрен подробнее в гл. 20).
Мы рассмотрели в элементарном изложении феноменологический аспект теории спиновых волн. Развитая трактовка может быть обобщена и уточнена в различных направлениях. Так, например, наряду с энергетической ветвью спиновых волн можно учесть энергетическую ветвь электронов проводимости, имеющихся в металлах и сплавах. Рассмотренный выше случай, строго говоря, применим лишь для ферромагнитных диэлектриков или полупроводников. Изложенную трактовку можно обобщить также на случай ферримагнетиков (в частности, антиферромагнетиков), если ввести представление о магнитных подрешетках. Наконец, остается еще достаточно открытым вопрос о физическом механизме обменного взаимодействия в кристаллах. Решение этой проблемы требует более точных сведений о распределении электронной и спиновой плотности в ферромагнитных кристаллах, а также использования более конкретных модельных микроскопических представлений. К последовательному изложению такого рода обобщений мы сейчас и перейдем).
§ 4. Уточнение теории ферромагнонов
Гамильтониан в представлении вторичного квантования. Изложенный в §§ 2 и 3 простейший вариант феноменологической теории спиновых волн может быть уточнен по нескольким линиям. Во-первых, путем построения более общей феноменологической теории ферромагнонов (с учетом антиферро- и ферримагнетизма, магнитных и магнитоупругих взаимодействий). Это будет сделано ниже (см. гл. 22). Во-вторых, путем учета фермиевских ветвей в электронном энергетическом спектре металлов и сплавов (см. гл. 20). Наконец, в третьих, возможно уточнение самого исходного обменного гамильтониана (19.18). На этом мы кратко здесь и остановимся. Прежде всего запишем строгое выражение для гамильтониана системы взаимодействующих электронов, находящихся в поле неподвижных ионов кристаллической решетки (адиабатическое приближение ). Хотя электроны между собой взаимодействуют, и поэтому полная волновая функция системы не распадается на произведения одноэлектронных функций [см. Блохинцев (1961)], но ее удобно искать в виде ряда по антисимметрированным произведениям некоторых произвольных одноэлектронных функций 屮％ (柒)，образующих полную ортонормированную систему; здесь аг — совокупность квантовых чисел, определяющих «номер» одноэлектронного состояния, а ^ (尸订 о0 — совокупность декартовых (г() и спиновой (п() координат частицы. Если бы частицы, описываемые этими функциями, не взаимодействовали, то, согласно квантовой теории тождественных ферми-частиц [см., например, Ландау и Лифшиц (1963) или Блохинцев (1961)], их волновая функция должна была бы иметь вид антисимметричной комбинации произведений из N волновых функций всех ^a{ (&) с каким-то набором чисел а〃 т. е.
业Cl (Si)中CC1 (e2)Wai (Cn)
Tai < < .aN (& • — Cn) = (N!)j“2Tai < < .aN (& • — Cn) = (N!)j“2屮(Z2 (G1)屮CC2 (甘2)• • •屮CC2 (Ю
Tai < < .aN (& • — Cn) = (N!)j“2
Tai < < .aN (& • — Cn) = (N!)j“2
, (19.125)
屮ccn(Cl)^a^(諸2)• • •屮a* (Cn)
где множитель (7V!)-1/2- введен для нормировки. Функции (19.125) называются «слэтеровскими детерминантами». Из антисимметрии функции (19.125) вытекает фундаментальный результат: если среди «номеров» % есть хотя бы одна пара одинаковых, то детерминант (19.125) тождественно обращается в нуль. Следовательно,屮％ • • • (装• • * Cw)，。 лишь при условии, что все g различны. Это и есть одна из общих формулировок принципа Паули для ферми-систем [Блохинцев, (1961)]. Если функции (19.125) действительно образуют полную систему, то разложение
▽(&••• Cn) = » 〃 (ai • • ■ a,N)屮a】…a* (?i? • • • ? Lv) (19.126) (%«««a^y)
(где суммирование ведется по всем возможным значениям чисел аг для каждого из них) является точным, а коэффициенты а (ои . . . aN)— точные волновые функции ) системы в новом квантовом представлении, где роль обобщенных координат играют числа а». Используя унитарное преобразование [см. Блохинцев (1961), Ландау и Лифшиц (1963)], опера-
тор энергии системы в обычном координатном представлении, имеющий вид (если учитывать только аддитивные и бинарные члены)
威釵=一崇х 0+》6(1方一助1) 十击》卩(1"方,1) (19.127) j—1г, ji=^3r
(Л2Ду/2т) — оператор кинетической энергии /-го электрона, G (| 乃一J?z |)— оператор потенциальной энергии электрона в точке rj в поле ионов в узлах 兄订 а V (рг^ —</，|) — энергия взаимодействия между электронами / и j‘)，можно записать в новом представлении, так называемом представлении вторичного квантования [Боголюбов (1949), Вонсовский [90, 207, 318]]:
威旣=2乙(a, а，)誌方"+ 2斤(аз; а；а,咸忌2恥忆■(19.128) a, a'产产2、"
Здесь L и F—матричные элементы отдельных слагаемых соотвественно аддитивной и бинарной частей (19.127), вычисленные при помощи одноэлектронных функций
z3%)= x崛©[-贵а+》6(1 一 阳)也，©协，)
агI
歹(оча?; а；а, = £ j J 屮訪(О 屮薪(У)卩(| 屮一* |)屮* 而隽)屮(°')dr dr'-, |
6丿.
(19.129)
^а и ла — ферми-операторы рождения и уничтожения вторичного квантования, действующие на функции от чисел заполнения 孔仪・ Произведение этих операторов дает оператор числа заполнения па, диагональный в данном представлении
й^а = па ( = 0 или 1);乙欧=1 —(19.130)
Перестановочные соотношения для ферми-операторов имеют вид
W〃o/+ 〃仪以^ = бссо/；(19.131)
они отличаются знаком в левой части от аналогичных соотношений для бозе~операторов [см. (19.81)]. Основная задача теории заключается в нахождении собственных значений и собственных функций оператора (19.128). Решить эту задачу в общем случае практически невозможно и в представлении вторичного квантования. Но здесь легче найти пути приближенного решения. Если гамильтониан (19.128) содержит только аддитивную часть (сумму с £), то его собственные значения можно определить сразу. Для квадратичной формы операторов а^ 〃仪’ в принципе всегда можно найти унитарное преобразование, которое диагонализирует аддитивную часть оператора (19.128). В этом случае энергия системы будет иметь вид аддитивной суммы энергий эффективных ^осцилляторов^f или квазичастиц, каждая из которых умножается на соответствующее число заполнения. Здесь нас интересует возможность вычисления энергетического спектра как раз с учетом бинарной части оператора (19.128) с матричными элементами F и именно той ее части, которая дает зависимость энергии от магнитного момента системы {обменное взаимодействие). Поскольку бинарная часть (19.128) биквадратична, ее нельзя диагонализировать в общем случае. Это оказывается возможным лишь в рамках теории возмущения, когда диагонализируется лишь часть оператора (19.128), представляющая собой малые колебания около какого-то основного состояния. Например, это могут быть малые нарушения магнитного насыщения в ферромагнетике и т. п. (см. § 2).
Вывод спинового гамильтониана модели Гейзенберга. Поскольку нас интересуют вопросы магнетизма, то возникает вопрос, при каких условиях точный гамильтониан электронной системы (19.128) может быть заменен обычным эффективным спиновым гамильтонианом (19.18). После того как этот гамильтониан предложили Гейзенберг [5] и Ван-Флек (1932), законность его неоднократно подвергалась сомнениям (см. Инглис [319], Слэтер [86, 271, 12]). Однако эта критика была связана не с рассматриваемым здесь вопросом, а скорее с процедурой вывода гамильтониана (19.18) по Гайтлеру — Лондону [258]. Наиболее отчетливо эти возражения были сформулированы в работе Слэтера [12], где отмечались две главные причины несостоятельности метода.
Во-первых^ использование в (19.129) неортогоналъных одноэлектронных волновых функций для вычисления обменных интегралов А^ приводит к расходимостям в матричных элементах, входящих в 4仃(так называемая «катастрофа неортогональности»). Причина этого состоит в появлении фактора N | 8аь |2 [см. формулу (19.10)], который приносит неприятности при TV f оо ).
Во-вторых, для ортогональных функций, как мы уже видели, обменный интеграл всегда положителен, и поэтому нельзя объяснить существование антиферромагнитной связи (или ковалентных химических связей в молекулах). Недавно вопрос о катастрофе неортогональности был еще раз рассмотрен в работах ряда авторов [320—322, 263, 159], где были сделаны дальнейщие попытки доказать ее отсутствие ). Вместе с тем, например, в работах Араи [ИЗ, 114] указаны границы применимости гейзенберговского спин-гамильтониана (19.18). Не останавливаясь больше на этом вопросе, обратимся к главному вопросу о том, как можно получить эффективный спин-гамильтониан (19.18) из точного гамильтониана (19.128). Этот вопрос рассмотрели Боголюбов (1949), Изюмов [323], а также Вонсовский и Свирский [240]. Естественно, что при этом приходится ограничиться конкретной системой.
Рассмотрим кристалл, в узлах /, /' решетки которого находятся атомы с незамкнутым и локализованным слоем электронной оболочки, с z электронами в каждом. Пусть между этими электронами действует слабая рессел-саундерсовская связь, поэтому атому в целом можно сопоставить суммарное спиновое квантовое число S. Орбитальные состояния указанных электронов обозначим индексами 入，Я/. Тогда гамильтониан (19.128) можно записать, используя ортогональность спиновых функций [см. Боголюбов (1949)] в виде
威= 2 上(力入；/‘,入‘)磕小尸+
十22尸(九，入1；/2，入2；厶，入L；/2，入2)a力£1。1a:2大2。2a/以仙'行九缶1；
(/1,九 1； /2,九2、
,；0102 )
/1,九1；『2,九2/
(19.132)
о — спиновое квантовое число. Если пренебречь переходами между различными орбитальными состояниями электронов ), а также образованием полярных состояний (когда в состоянии с данным 入 находится один электрон с и = +1/2 или —1/2), что выражается условием гомеополяр- ностич
2 〃九＜у〃『九。=1 о2 〃九＜у〃『九。=1 о（入—入］,入2, . ， ，,入z）.（入—入］,入2, . ， ，,入z）.(19.133)(19.133)
2 〃九＜у〃『九。=1 о
2 〃九＜у〃『九。=1 о
（入—入］,入2, . ， ，,入z）.
（入—入］,入2, . ， ，,入z）.
(19.133)
(19.133)
威=宮（）一"2（九儿1喳了2儿2）威=宮（）一"2（九儿1喳了2儿2）то (19.132) упрощается и принимает вид
威=宮（）一"2
（九儿1喳了2儿2）
威=宮（）一"2
（九儿1喳了2儿2）
/■ （/i*i； %入2）a扌1儿16a力大I。2a扌2大2。2al/2大2。1，（19.134）
где А (/Ai； %入2)=尸(/次 1；，2入2； %入2； /Ai) — обменный интеграл между состояниями (/Ai) и (，2厶2). Поскольку орбитальные переходы считаются запрещенными, то единственными динамическими переменными системы являются спиновые переменные, поэтому гамильтониан (19.134) можно выразить только через операторы спинов. По Боголюбову (1949) эти операторы связаны с операторами а*, а соотношениями
用森=4"(а拉-1/2扇九+】％+ £执,+】/2〃儿-1/2)，]
6%=讶⑷儿+1/2叭一"2-a执，-i/2a儿+1/2)，}(19.135)
6乳=^ (a办,-1彥儿-1/2 -a执,+1/2a协,+1/2)■J
После замены (19.135) гамильтониан (19.134) примет вид
励Нu0- 34 (九入 1；/2入2)瓦/$2大2，(19.136)
(方大1)#(/2大2)
где Uo — несущественная постоянная. Чтобы из (19.136) получить гай- зенберговский гамильтониан (19.18), разобьем сумму в (19.136) на две части: первая относится к взаимодействиям между атомами 九声 /2，а вторая внутри атомов (/i = /2):
威=%— 2/(厶儿；/2%2)自/仅財2人2—2(九；及2)自加氟2・(19.137) (力娱及)/
Введем еще два предположения:
Интегралы обмена между двумя :узлами слабо зависят от орбитальных состояний, т. е.
厶(/%； /2%2)厶(“2)(/1¥=/2).(19.138)
Обменная связь электронов внутри атомов (хундовская связь) заметно больше межатомной, т. е.
|4(办；及')|》1厶(力儿；/以2)1(九声")•(19.139)
В силу (19.139) можно пренебречь операторным характером последней суммы в (19.137) и считать ее постоянной величиной. Точно так же можно считать интегралы А (/Д1； /2^2) не зависящими от орбитальных индексов, т. е. A (/Ai； /2^2) = % (/1/2)• Тогда в силу (19.138) гамильтониан (19.137) можно выразить через операторы суммарного спина узлов
儿=1儿=1(19.140)
儿=1
儿=1
а именно
^ = WO- 3 Л(л,/2)ад2?(19.141)
/1=^/2
а это выражение с точностью до обозначений совпадает с гайзенбергов- ским гамильтонианом (19.18) (см. также [113]). Однако теперь виден характер приближения последнего. А именно (19.141) можно применять, если незамкнутому слою (d~ или /~) электронной оболочки атома, содержащей несколько электронов, можно приписать суммарный спин S (т. е. суммарное спиновое квантовое число атома является «хорошим») и если этот слой достаточно «жесткий», т. е. благодаря внутренним (хун~ довским) обменным взаимодействиям ведет себя как целое. В случае же, если электронная оболочка «рыхлая», нужно пользоваться выражением (19.137) или еще более общим гамильтонианом (19.132) ). Точно так же гамильтониан Гейзенберга (19.141) неприменим в том случае, когда суммарное спиновое квантовое число иона в решетке не является интегралом движения, а сохраняющимся квантовым числом является, например, квантовое число полного момента J. Это осуществляется у большинства редкоземельных ионов. Такой случай был рассмотрен в ряде работ [235, 240, 325—329]. К этому вопросу мы вернемся ниже (в гл. 22).
Формализм Холстейна ——Примакова. Здесь мы рассмотрим задачу ферромагнетизма для систем, описываемых гамильтонианом (19Л41), следуя известной работе Холстейна и Примакова [91]). При этом, как и в случае феноменологической трактовки (см. §§ 2 и 3), ограничимся случаем низких температур, т. е. состояний, близких к магнитному насыщению. Если учесть еще зеемановскую энергию, обусловленную наличием однородного внешнего магнитного поля Н (направленного вдоль оси z, т. е. Е = Нz》0), то в приближении ближайших соседей полный гамильтониан системы в силу (19.141) будет равен (без учета внутреннего магнитного взаимодействия)
威=w0 —4』屏岳+6 - 2n/2肾，(19.142)
где Л — обменный интеграл для ближайших соседей, вектор 6 соединяет атом/ с его ближайшими соседями в первой координационной зоне в решетке Браве;卩о = g«E/2 — магнитный момент атома. Ниже предполагается^ что N > 0 (положительный ферромагнитный обмен). Квадрат полного спина системы (』*у)2 и его z-слагающая 工5彳 являются интегралами дви- жения [коммутируют с гамильтонианом (19.142)]. В основном состоянии I 0 ) системы (решетка из N ионов) имеем
(3 5z)2-|0) = 7V5(NS + 1). I 0〉，(2 М» • 10〉= NS・ |0). (19.143)
Для вычисления спектра элементарных магнитных возбуждений — спиновых волн (ферромагнонов) Холстейн и Примаков вместо операторов
8* ввели бозевские операторы рождения Ь} и уничтожения bf
*方=*》+ 宕％=(2Sy/2 (1 —*) bf,
缶==醇一博= (2S)"2方(1 一笺$);(19.144)-
где [см. (19.81)] для операторов 6 имеют место перестановочные соотношения
b^bfr — bfrbf = М/，，bfbff — bffbf bfb^r — 6扌月扌 0.(19.145)
Из (19.144) и (19.145), используя (Sf)2 = S(S+ 1) ^~(够S^ + S君扌),. легко найти, что
S^ = S-b^bf^S-nf.(19.146}
Так же как в §§ 2 и 3 [см. (19.80)], здесь удобно перейти к фурье-компонентам операторов 岁，以 а именно
毋= N-i/2』ехр (加马)陶 &7 = N-lh 3 ехр ( - ikRf) Рл, (19.147) Ак
где к — волновые векторы в первой зоне Бриллюэна. Перестановочные соотношения для В%, $% в силу (19.145) имеют вид
Р fcpv—pfc^pfc = ^kkr} P fcpfcz — B%«% = 6亡赫一pfc^pt = 0.(19.148)
Здесь и ниже для символа Кронекера использовано выражение, аналогичное (19.43):
』ехр [i(k — kr) Bf]=忆踪薪.(19.149)
Условие слабости возмущения [см. (19.32)] в операторах 办,bf гласит *)
'举■ =(19.150)
Поэтому имеет смысл воспользоваться разложением квадратных корней в (19.144) в ряд
Sf = RS)】％ [竹—(bfbfbf/4：S) +♦•♦] =
=(攀)"2 { X exp (泳弓■)舐一(4NS)T x
X 2 ехр[""-"' — "")П/]6^%，В*Т「...}； (19.151> к, А，，М
方=(2S兴2 用一(片b^bfl^S) +•••] =
=(^-)1/2{2 exp (京元/)餞一(4NS尸 X к
X 2 exp[i(fc + fc,-fc,,)JR/]PiP^+ .
fc,匕 км
Для z-составляющей имеем точную формулу
^=S — Wg = S_N-' £ exp[i(k-k') Rf]^k'.(19.151а>
к, А，
-*) Здесь п,— оператор чисел заполнения бозонов в узле /, собственные значения которого —целые числа 孔广=0, 1, 2, 3, ... Однако, согласно (19.146), п^ может меняться не от 0 до оо, а от 0 до 2s. Здесь мы встречаемся с основной трудностью метода — появлением нефизических состояний с 孔；2s (см. ниже, а также [105, 357]).
—489 —
Оператор полного отклонения спина решетки точно равен
NS-^S^^b^bf^ 』exp [i(k-k') J?f]P^- = 3 Pt^. (19.152) /ffkkfk
Из (19.152) следует, что величину ^文®%‘ можно рассматривать как оператор числа заполнения состояний 乃 для ферромагнонов [см. (19.52) и (19.82)], собственные значения которого — положительные целые числа: пк = 0, 1, 2, 3, ... Используя (19.151) и (19.149), можно выразить гамильтониан (19.142) через бозе-операторы 臨 院
&в = %о — NzAS2 — 2固反№S 一zSA 2 [ул：标餞 +(V—л — 2)隈緜]+
+ 2阿女2赫旣+磁1, (19.153)
где
丫総=；2 exp (浓6) и』Ya = 0(19.154)
6к
z-число ближайших соседей. Если кристаллическая решетка обладает центром симметрии, то Ук = У-к^ и тогда (19.153) принимает вид
•△磁=» [2AzS(1 -丫必 + 2“о切 俅旣 + 磁],(19.155)
где △或=威一Жо + NzAS2 + 2]iQHNS, а в слагаемом 國】собраны все числа высшего порядка в операторах спиновых волн, которыми пренебрегают в обычном спин~волновом приближении (см. §§ 2 и 3). В этом приближении (19.155) принимает вид
△勘о = W 孔競 3瓦；h^u=2AzS (1 — уй) + 2|л0Я.(19.156)
Для малых волновых векторов спиновых волн, т. е. при условии
|£5|《1,(19.157)
величину ул можно разложить в ряд, а именно
2z(l-yfc) 3^ 3)2,(19.158)
и тогда получаем квадратичный закон дисперсии для спиновых волн
%3石^2阿丘+/52聞6)2.(19.159)
В случае кубической решетки с ребром элементарного куба d (19.159) принимает вид
方со% 2卩()〃+ 2Я5 (A:d)2,(19.160)
что точно совпадает с (19.69), если выразить |л0 через 因 взять 5 = 1/2, заменить Л на 2Л и учесть, что для простых кубических, о. ц. к. и г. ц. к. решеток имеем соответственно
爭=乙(0),扌八(0), }/s(0)■
Отсюда также легко находим для температурной зависимости самопроизвольной намагниченности
А，需(爲产(19/61)
4. Учет недиагональных членов и кинематического взаимодействия.
При выводе полученных выше формул спин-волновой теории [(19.155)—
—490 —
(19.161)] учитывались только диагональные члены в гамильтониане (19.153) и отбрасывались все члены, описывающие взаимодействие спиновых волн, входящих в недиагональную часть гамильтониана 威】.Главный член в 矗 1 биквадратичен в операторах 日瓦,и он приводит к связи между спиновыми волнами (описывает их столкновения). Первая последовательная трактовка членов, входящих в 威и их влияние на термодинамические свойства спин-системы даны в работе Дайсона [99]. Наглядное объяснение результатов этой работы приводят .Кеффер и Лоудон [330] (см. также 1331, 332]). Для низких температур поправки от спин-волновых столкновений малы. Это следует из того, что поперечник для столкновений двух ферромагнонов с волновыми векторами к и А/ оказывается порядка 1(友抠)(友2己)dP, где d л; 10~8 см — параметр решетки. Для спиновых волн из микроволновой области kd ^ 10~2 — 10~3; таким образом, для ■сечения рассеяния находим в среднем величину 10~26 cM2t которая очень мала для сечений атомных процессов (》10-11 см2). Выражение для не диагональной части гамильтониана 能】после подстановки разложений (19.151) и (19.151а) в (19.142) имеет вид
成1 =2硒■ 8%$烧%з6a厶(咼+施-"3-由J X
(电，2,及3，%)
X [2Y电 + 2Ya3-纤勺一灼]，(19.162) где
[1, / = 0,
Дm |左61《1 имеем
Y石^击X (硝％
6
Как мы видели в § 2, использование квадратичного закона дисперсии, т. е. приближения длинных волн, приводит к известной формуле Блоха для температурной зависимости намагниченности 〜(1 — аТз/2) [см [280, 182] и Абрикосов, Горьков, Дзялошинский (1962)]. Если в разложении (19.158) учесть члены более высоких степеней, то в формулах для /§ (7)появятся члены, содержащие более высокие степени Т : Т'『 Т?'? и т. д. Однако при этом при вычислении интегралов по dk в (19.112) следует учитывать, что пределы интегрирования распространяются не по всему бесконечному пространству, а по первой зоне Бриллюэна (см. § 2). Первый член в Is (7), возникающий от учета обменного взаимодействия ферромагнонов, пропорционален Т& (Дайсон [99]). Согласно Кефферу и Лоудону [330], это можно получить из элементарного рассмотрения. Исходя из динамических соображений, в формуле (19.161) вместо S следует подставить среднее статистическое значение 〈6〉проекции спина иона на спин его ближайшего соседа: 〈S〉= (SfSf^ )/5. Из (19.117) следует, что температурная зависимость средней энергии пропорциональна 7石/2, т.с. по (19.142) S—〈6〉〜75/2. Разлагая в ряд выражение <2 V豆>/) в (19.161), мы получаем для первого поправочного члена
/ &口7 \ 3/2 / & Г \ 5/2
Отсюда видно, что в области низких температур динамические поправки к закону Блоха очень малы. Они делаются существенными лишь при более высоких температурах (ближе к точке Кюри) *).
В работе Дайсона [99] учтены не только динамическое взаимодёйствие- спиновых воли, обязанное соответствующим членам «поправочного» гамильтониана 威％ но и кинематическое взаимодействие, появляющееся из-за ограничений на числа заполнений спиновых волн, связанное с тем, что спин в узле решетки может принимать только конечное число значений (2S). Было показано, что поправки от динамического и кинематического взаимодействия почти точно компенсируются и начинают давать вклад в разложение для А/(7), только начиная с членов с 7匕 В связи с работой Дайсона появилась большая литература. Еще до Дайсона делались попытки, используя метод Холстейна и Примакова [96, 334] или без него (см. [335, 103]), учесть «поправочные члены» к обычному спин-волновому приближению. Однако они приводили к результатам, не согласующимся ни между собой, ни с результатами Дайсона. Огучи [109] показал, что все эти расчеты были ошибочны и что гамильтониан Холстейна и Примакова [91] приводит к точному результату [99] (член с Т4) лишь в пределе S—>8. При конечных S метод [91] не дает правильного учета спии- волнового взаимодействия. Как показал Малеев [355], все результаты Дайсона получаются из обменного гамильтониана с помощью неэрмитов- ского преобразования операторов спина Sf к операторам Бозе bf и В”
酢=(2S产/;济=(25产(bf-^-后4办)；斫=S _ b^bf：
Возникающая при этом неэрмитовость гамильтониана [99] не вызывает трудностей при вычислении, наблюдаемых в низкотемпературной области. О методе Дайсона [99] см. в книге Ахиезера, Барьяхтара и Пелетмин- ского (1967), а также работы [130, 133, 140, 144]. О низкотемпературных разложениях в теории ферромагнетизма на основе расцепления функций Грина см. работы [100, 101, 122, 180, 182, 174].
Применение квантовостатистического метода функций Грина
Метод функций Грина. Выше уже отмечалось (§ 1), что в последнее время появилось много работ по применению квантовостатистических полевых методов для расчета энергетического спектра и термодинамических функций спиновой системы ферромагнетиков и антиферромагнетиков ).
Среди различных вариантов этих методов, используемых в теории твердого тела, наибольшее распространение в задачах магнетизма получил метод двухвременных температурных функций Грина, предложенный Боголюбовым и Тябликовым [160, 161].
В квантовой теории ферромагнетизма, как и в любой квантовостатистической теории, необходимо вычислять средние значения различных величин, усредненных по температурному ансамблю.
Среди такого рода средних величин, могущих изменяться во времени, важное место занимают корреляционные функции (корреляторы) двух величин A (t) и В (У), которые являются средними от их произведения, усредненного по статистическому ансамблю Гиббса. Такие корреляционные функции обозначаются в виде 〈4 (方)8 (%')〉. В дальнейшем будет показано, что в теории магнетизма многие наблюдаемые величины выражаются через спиновые корреляторы вида
〈S%⑴ S%(，)〉， а, В =①，д, z, (19.163)
где Sf (方)一 а-проекция спина в узле / в момент времени t. Таким образом, величина (19.163) описывает пространственно-временную корреляцию
„двух выбранных спинов в полной системе их. Если система находится в стационарных условиях, то, очевидно, корреляторы типа (19.163) должны зависеть лишь от разности времен т = ^ — tr, но не по отдельности от каждого из них. Аналогично, если система пространственно однородна (или имеет трансляционную симметрию), то корреляторы типа (19.163) зависят от разности координат /—
Таким образом, в общем случае в квантовой статистике интересуются корреляторами вида
〈4 ⑴笈(/)〉，(19.164)
где A (t) и В (，) 一 величины А и В, взятые в момент времени t и tf соответственно, Поскольку в квантовой механике физические величины выступают обычно как операторы, их временная зависимость формально определяется через гамильтониан системы 威，а именно, А (力)следует понимать как гайзенберговское представление оператора А:
4(Z) = exp (V 威力)А ехр ( —у 就/) •(19.165)
В определении коррелятора (19.164) символ〈…〉следует понимать как усреднение по ансамблю Гиббса с гамильтонианом 威：
〈...〉= Sp ®р ( — ^г) . .. )/ Spexp ( — ^г) ,(19.166)
где Sp означает операцию шпура.
Для вычисления корреляторов типа (19.164) оказывается весьма полезным ввести так называемые двухвременные функции Грина — запаздывающую Gr (^, f) и опережающую Ga (力 /), определив их следующим образом:
G「(f,，)三〈〈％ ⑴ |8(Q〉％= 一沁(力一，)〈[4(力 В(1Г)]^. (19.167)
Gq«,，)三〈〈4 ⑴ |8(，)〉〉q = 2『t)〈M() 8(，)1力，(19.168) где 0 (t) — функция включения:
”169)
а [А, 8卜 означает коммутатор или антикоммутатор:
[А, В]^ = АВ-х\ВА, т] = ±1・(19.170)
Знак т] в общем определяется в зависимости от статистики тех частиц, которые образуют исследуемую систему, причем 刀=+1 берется в случае статистики Бозе, а 刀 = —1 — в случае статистики Ферми.
В дальнейшем будет показано, каким образом находятся введенными соотношениям (19.167) и (19.168) функции Грина и как выражаются интересующие нас корреляторы (19.164) через функции Грина. Знание корреляционных двухвременных функций позволяет вычислить нам и обычные термодинамические средние величины, не зависящие от времени, ибо, согласно (19.164)—(19.166), такие величины можно рассматривать как корреляционные функции от операторов, взятых в один и тот же момент времени:
(AB) = (A(t)B(t)y(19.171)
Основные уравнения и методы их решения. Для нахождения функций Грина необходимо получить соответствующие уравнения. Это можно сделать, воспользовавшись уравнением движения для гейзенберговских операторов [см. Ландау и Лифшиц (1963)]
Z龙⑴= /(方)施一觉/⑴(19.172)
и соотношением
兴(т)=—条®⑴з ⑴，(19.173)
где 6 (^) — дельта-функция Дирака. В итоге получаем ), беря производную по времени от обеих частей равенств (19.167) и (19.168) и используя (19.172) и (19.173):
力%票匸6 " 一，)〈М ()月⑺]F〉+〈〈-秣 m в (у)〉〉=
= 3« —，)〈[/«), 3 (力7〉+〈〈{/«)虚—威力⑴} I 方(У)〉〉.(19.174)
Таким образом, видно, что в правую часть (19.174) входит функция Грина более высокого порядка, чем исходная (порядок функции Грина определяется числом сомножителей А, В и т. д., входящих в ее отдельные слагаемые). Для них можно также получить уравнения типа (19.174), которые опять будут содержать функции Грина еще более высокого порядка, и т. д. Так мы получаем бесконечную цепочку зацепляющихся уравнений для функций Грина возрастающего порядка ).
Решения уравнений (19.174) значительно упрощаются, если воспользоваться спектральным представлением ) функций Грина, которое можно получить в самом общем виде, не делая никаких конкретных предположений о характере взаимодействий между частицами в системе. Сначала найдем спектральное представление для временных корреляционных функций (19.164). Обозначим через О(з) фурье-образ или спектральную плотность корреляционной функции:
〈力(，)N«)〉= j J(co)exp[—ico(Z —^)]йю.(19.175>
С другой стороны, по определению имеем
〈夙，) a ⑴〉=QT X (中，分(，)R)(懿，/ ⑴以)exp (一鲁)=
-QT 2 (以，в(0)%)О，л (0)以)X
X ехр - ^7-) ехp [-十(备一龜)《 一尸)], Q = Spexp (一告)，(19.176>
где Cv и §v — собственные функции и собственные значения гамильтониана 威.Сравнивая (19.175) и (19.176), находим
J (З) = QT X g,力(0) R) ©, А (0) CJ ехр (—各)6 (%з —备一部).
(19.177)；
Для другой корреляционной функции находим также [это легко проверить, подставив (19.177) в (19.178) и преобразуя полученный результат
к виду, аналогичному (19.176)]
ОО
〈幺⑴，£(『)〉=J 彳(з) exp [普一ЙО «-/')] dco. (19.178)
Если теперь ввести фурье-образ〈〈2{⑴ | 力(，)% ^ для запаздывающей функции Грина с помощью разложений:
Gr« —О =〈〈4⑴ I月&)〉〉r= j〈〈/(川力(*)〉〉.，卷 exp [—粤(力―У)]蹈，
一8(19.179)
%(富)=〈&a)| 月(，)〉〉.,卷=击 f〈〈/(» 月(，)》 exp [学《—，)“《—，),
-OO
(19.180) то, подставляя в (19.180) Gr(t — tf) из (19.167) с использованием (19.171), а также (19.175) и (19.178), находим
& (宮)=j ©з"(з)[ехр(~^г) —/]壶 j 必 exp [善(宮一九со)%] ® ⑴.
(19.181)
Разрывную функцию 0 ⑴ можно представить в виде
@«) = ехр( —е£) (етО, е> 0) для £>0; 0 (/) = 0, t <0. (19.182) Из (19.181), (19.167) и (19.175) находим
(笏=击j出exp[？富十笳)"j 0(3)回p(箭)一川x
X exp[ — Zco (Z — /') d(o] = ^~工[exp (台)一小”器一无①一》(0 * (19.183) Для опережающей функции Грина имеем
叁⑹=£ [|^(号)-T外3)石』■(19.184)
Согласно своим аналитическим свойствам, функция G (宮卜 определяемая формулой
G(卷)=盡[[exp(^)—r!]〃3)』，(19-185)
выражении (19.135)G (方3+ 两)一G (方3 _=i J [exp (虑и, воспользовавшисьи (1У.164), находимZe) =)<]外笏鼠二+迎^，一J蝠(m侬)представлением б-функции в виде一 495 —выражении (19.135)G (方3+ 两)一G (方3 _=i J [exp (虑и, воспользовавшисьи (1У.164), находимZe) =)<]外笏鼠二+迎^，一J蝠(m侬)представлением б-функции в виде一 495 —
выражении (19.135)
G (方3+ 两)一G (方3 _
=i J [exp (虑
и, воспользовавшись
и (1У.164), находим
Ze) =
)<]外笏鼠二+迎^，一J蝠(m侬)
представлением б-функции в виде
一 495 —
выражении (19.135)
G (方3+ 两)一G (方3 _
=i J [exp (虑
и, воспользовавшись
и (1У.164), находим
Ze) =
)<]外笏鼠二+迎^，一J蝠(m侬)
представлением б-функции в виде
一 495 —
является аналитической функцией 6尸(宮)в верхней полуплоскости и
для комплексных 宮，которая равна Ga (^) — в нижней. Составляя разность
/находим
G(方з+ 氾)一G(方3 — 迎)=—Z ［exp (y-y) 一刀」О(з).(19.188)
Таким образом, если удалось определить фурье-образ функции Грина, то сразу же находим спектральную плотность 0(з) корреляционных функций..
Вернемся еще раз к уравнению движения (19.174) и произведем в нем преобразование Фурье, помня, что фурье-образ 6-функции равен 1/2л, а в фурье-образе производной по времени появляется множитель 七2卷. Таким образом, мы получаем вместо (19.174)
宮G他)二嘉〈［N ⑴，B(t)］^ + ((［A(i),威］;B(i)))^.(19.189)
Это уравнение и является основой во всех применениях метода запаздывающих и опережающих функций Грина.
Расчет намагниченности и спектра спиновых волн. Теперь применим этот метод для расчета намагниченности ферромагнетика и спектра спиновых волн ［160, 171］. Будем исходить из гамильтониана (19.142). в котором для S —1/2 перейдем к операторам Паули bf и 6f по формулам: 舒=片,*『=斤，醇_总序；犷席_蒙务手=0
片片，一讨，后=0伪夕')；方俯十计后=1;(19.190)
это дает：
威=次0 — N (阿〃+家)十(2阿〃十2z/) 2齿片-
—2 ^J Aff^bfbff — 2 ^J Af^Hfiif^ (19.190a) 九尸а Г
Из (19.190а) ясно, что метод следует применять для функции〈〈方｝| 犷» связанной с намагниченностью. Уравнение (19.189) для этой функции примет вид
з〈〈后，I后〉〉卷-盡〈历九后］〉+〈疵,威LI豆〉〉®(19.191)
Выбирая т］ ^ +1 и используя (19.190), находим
历户汽广］=6疗归广；［苏，??/•，］= -6f广坤.(19.192)
Заметим далее, что в силу трансляционной инвариантности и тождественности узлов решетки среднее число «левых» спинов у любого узла решетки 伪〉=孔 не зависит от /. Введем обозначение
£ Af exp (沐/) - К (加)；(19.192а)
тогда, используя (19.191) для 加=0, из (19.191) и (19.190) находим
怎〈赤 I 力〉〉=击 6", (1 - 2〃) + (2阿反+k (0)〈心,I 片〉〉君)一
-2 2"尸尸〈@戸I后〉〉卷+ 4 2%尸产,［〈⑺志"Ig扌〉〉卷一〈8产斤, I豆〉〉卷］.(19.193)
При решении уравнения (19.193), с которым «зацепляется» бесконечная цепочка уравнений для функций Грина все повышающегося порядка, мы ограничимся «расцеплением», эквивалентным первому приближению слу- •чайных фаз (см. ниже п. 4), положив
〈〈""I 殖〉〉卷-〈济〉〈伤，I B*〉2 = ^〈宓,I 〉》卷.(19.194)
Тогда из (19.193) находим
卷〈宏，I片〉〉卷=言(1 一 2切6У尸+■
+ [2卩0五+2 (1 一2也)k (0)]〈@产I苏〉〉卷-2 (1 — 2切2 4尸尸〈@川方〉〉& 尸(19.195)
Совершим теперь еще раз преобразование Фурье [см. (19.147)]. В силу трансляционной симметрии решетки функция (〈В"讨，〉〉卷 зависит только от относительного расстояния двух узлов /'—/. Поэтому можно записать
〈宓，I 力〉〉卷=%т 2 exp [i (尸一/)k]-Gk(^).(19.196)
Используем также формулу для фурье разложения 6-функции
丛，f = NT 2 ехр ["/'—/)財.(19.197)
Суммирование в (19.196) и (19.197) производится по всем разрешенным значениям Е, лежащим в первой зоне Бриллюэна. В силу (19.196) и (19.197) уравнение (19.194) примет вид
Gk (8) [8 — 2卩0〃 一 2(1 — 2тг) К (0)] +
+ 2 (1 - 2^) Gfc (g) 2 exp [i {f -/) k] Af，f = ^- (1 - 2n). (19.198)
С помощью (19.192) находим из (19.198)
醯⑹= l^f%r(19.199)
С
еЛ-2ИоЯ+ 2(1-2п) [К (0) -к (Е)]・(19.200)
Из (19.199), (19.188) и (19.187) находим для фурье-образа спектральной ПЛОТНОСТИ J/f (со):
0亦(3)=总片5(方 3 -E/t).(19.201)
exP
Поэтому, согласно (19.175) или (19.176), для корреляционной функции 〈疗(尸)后，«))получаем
（片"）片，⑴）
)ехр [ — дсо (i —*)"(oNT ^exp [X (尸一/) к])ехр [ — дсо (i —*)"(oNT ^exp [X (尸一/) к]一exp [i (尸—/) к] ехр=(1 _ 2?г) nге一exp [i (尸—/) к] ехр=(1 _ 2?г) nге1—2^eхpГ % " 'I -—(t1—2^eхpГ % " 'I -—(t）一）一6(无з -%)=6(无з -%)=kkexpexp(19.202)(19.202)
)ехр [ — дсо (i —*)"(oNT ^exp [X (尸一/) к]
)ехр [ — дсо (i —*)"(oNT ^exp [X (尸一/) к]
一exp [i (尸—/) к] ехр
=(1 _ 2?г) nге
一exp [i (尸—/) к] ехр
=(1 _ 2?г) nге
1—2^
eхp
Г % " 'I -—(t
1—2^
eхp
Г % " 'I -—(t
）一
）一
6(无з -%)=
6(无з -%)=
k
k
exp
exp
(19.202)
(19.202)
Если в (19.202) положить /' =/',力二，，то в левой части мы и, таким образом, получим уравнение для п:Если в (19.202) положить /' =/',力二，，то в левой части мы и, таким образом, получим уравнение для п:получим 相получим 相
Если в (19.202) положить /' =/',力二，，то в левой части мы и, таким образом, получим уравнение для п:
Если в (19.202) положить /' =/',力二，，то в левой части мы и, таким образом, получим уравнение для п:
получим 相
получим 相
MMVV办左办左l-2« — 3)3 J / efc \l-2« — 3)3 J / efc \(19.203)(19.203)
M
M
V
V
办左
办左
l-2« — 3)3 J / efc \
l-2« — 3)3 J / efc \
(19.203)
(19.203)
49749732 с. В* Вонсовский
497
497
где р — объем, приходящийся на один спин (р = VIN, а V —— полный объем системы). Заметим, что efc, согласно (19.200), зависит также от а Из (19.203) можно найти уравнение для относительной намагниченности^ равной
/ =厶靠也=噜=1-2^(S = 4").(19.204)
Вводя безразмерные величины: магнитное поле 勿，температуру т и обменный параметр а (к):
」У(0)К：0)，= % к[о；= “㈣,(19.205)
формулу (19.204) можно переписать в виде
Здесь использовано условие нормировки: [у/(2л)3] j(Рк~ 1. Заменяя в (19.236) Ек, определенное по (19.200), с помощью безразмерных величин (19.205) находим окончательно
尸=f cth 龙力口+"(砌.d3k. (19.207》
Температурная зависимость намагниченности, определяемая из уравнения (19.207), имеет интерполяционный характер: на краях температурного интервала она дает известные результаты теории спиновых волн (для. низких Т) и теории молекулярного поля (для высоких 7), а в промежуточной области дает лишь качественную картину, переходную от низких к высоким температурам. Приближенность уравнения (19.207) внесена использованным расцеплением гриновских функций, причем в развитой- схеме не представляется возможным сделать оценку, этого приближения. Однако в следующем пункте мы остановимся на результатах исследования гейзенберговской модели так называемым диаграммным методом, в котором показывается, какому физическому параметру соответствует приближение расцепления гриновских функций, приводящее к самосогласованному уравнению. (19.207).
Из (19.199) видно, что величины е^ являются полюсами рассматриваемых функций Грина и, следовательно, они непосредственно связаны со спектром элементарных возбуждений [см. Боцч-Бруевич и Тябликов (1961)1. Из (19.200) следует, что энергия спиновых волн е^. в отличие от обычной теории спиновых волн [см. (19.156)], зависит от температуры через п. В высших приближениях полюс на действительной оси исчезает и появляется затухание, определяющее конечность времени жизни элементарных возбуждений (этот вопрос будет рассмотрен более подробно в гл. 20).
В области низких температур, где j* 1, разложение (19.207) в ряд по степеням т дает
j = 1 — А3/2т3/2 — Аъ/^Ь/2 — А3т3 — А7/2т7/2_Л4т4 — . . ., (19.208)
где коэффициенты 4^ зависят от структуры кристалла. Этот результат (случай М = 1/2) отличается (членом с А3) от результата Дайсона [99], как уже упоминалось выше. Возможно, что это различие обусловлено принятым приближением, т, е. способом расцепления цепочки уравнений (19.194) (см. [122, 124, 134, 172, 174, 181, 182, 187, 189, 192, 194, 333J).
Применение метода функций Грина для случая S > 1/2 можно найти в оригинальных работах, например, Изюмова и Яковлева [165], Тахир^ Кели и тер Хаара [171] и других [170, 182].
Метод самосогласованного поля в задаче ферромагнетизма Прйг менение метода запаздывающей и опережающей функций Грина к проблеме гейзенберговского ферромагнетика позволило получить интерполяционную формулу [типа (19.207)], описывающую температурную зависимость самопроизвольной намагниченности в широком интервале температур. При этом было введено представление о существовании спиновыл волн при всех температурах, в которых имеется спонтанное упорядочение, вплоть до точки Кюри. Их энергия, однако, должна зависеть от температуры согласно формуле (19.200), которую удобнее здесь записать в несколько ином виде [см. (19.204)]:
观= gN°E + 2〈乱〉[К(())—К(7*. (19.209).
Таким образом, обменная часть энергии спиновой волны должна меняться с температурой как самопроизвольная намагниченность. Эти результаты были получены с помощью описанной выше процедуры расцепления в уравнениях для функций Грина. Однако в ней чрезвычайно трудно оценить допущенное приближение, а также вычислить затухание спин-вол- новых возбуждений с энергией (19.209). В последнее время в этой проблеме наметился значительный прогресс в связи с разработкой диаграммной техники *) для спиновых операторов (Вакс и др. [340, 341]) ).
Исходным пунктом построения любой диаграммной техники (теории возмущепий) является разложение гамильтониана системы 威 на дв^ части
(19.210)(19.210)血=施0 +或Bз
(19.210)
(19.210)
такие, чтобы оператор S6Q допускал точное решение задачи с одной стороны и давал при этом разумное описание основных свойств системы — с другой. Для гамильтониана Гейзенберга [типа (19.141)], описывающего ферромагнетик, в работе [340] предложено следующее разбиение:
巡+〈&〉＞"尸吟（邑）.（19.21!）
находимнаходим3 丿3 丿sh ( S -|^ уsh ( S -|^ у(19.214)(19.214)
находим
находим
3 丿
3 丿
sh ( S -|^ у
sh ( S -|^ у
(19.214)
(19.214)
(19.212)
Здесь 威о, очевидно, соответствует нулевому приближению самосогласованного (молекулярного) поля, в котором при пренебрежении 施в$, легко получить выражение для свободной энергии 尸(°), используя общую формулу
*。＞=—yinSpexp (一翁). (19.213)
Вычисляя шпур от статистического оператора ехр
где для краткости введено обозначение
(19.215)(19.215)gMa +〈Sz〉K(0)
(19.215)
(19.215)
Средний спин〈Sz〉находится из условия минимума свободной энергии OF/dy = 0:
〈S%〉=〈S%〉=k+y—gRqHk+y—gRqHК(0)К(0)= b(y)，= b(y)，(19.216)(19.216)
〈S%〉=
〈S%〉=
k+y—gRqH
k+y—gRqH
К(0)
К(0)
= b(y)，
= b(y)，
(19.216)
(19.216)
где b (у) — функция, просто связанная с известной функцией Бриллюэна в/у)：
Ь (у)三 SB& (Sy) = (S + 皆)c'h(S+ ~^) у —^ cth 告.(19.217)
Уравнение (19.217) — это обычное уравнение для намагниченности в теории молекулярного поля. Это вполне естественно, ибо приближение молекулярного поля есть нулевое приближение самосогласованного поля. При отсутствии магнитного поля (Н = 0) из уравнения (19.217) следует, что в системе происходит фазовый переход второго рода при температуре 0, равной
® = (19.218)
Вблизи 0 термодинамические величины, согласно (19.214) и (19.216), меняются в соответствии с феноменологической теорией, в частности (Sz} оказывается пропорциональным (0 — 丁尸汽.
Для того чтобы найти поправки к результатам нулевого приближения самосогласованного поля, т. е. учесть член 威вз, в работах [340, 341] была развита специальная диаграммная техника^ позволяющая найти вклад в свободную энергию или корреляционную функцию ферромагнетика в любом порядке по 威вз・ Для вычисления таких вкладов необходимо, в сущности, уметь вычислять средние значения от произведения любого числа спиновых операторов (точнее, их проекций S+, S~ и S%) со статистическим оператором нулевого приближения (зависящим только от 威°). В случае систем Ферми и Бозе такого рода средние вычисляются с помощью так называемой теоремы Вика ), позволяющей сводить среднее от определенного числа Ферми (или Бозе) — операторов через среднее от меньшего числа их. Эта возможность основана на последовательной коммутации какого-либо оператора под знаком среднего со всеми другими, а результат коммутации есть число (например, [а, а，+ — 1, [А,各+] 一 = 1) и, таким образом, число операторов под знаком среднего уменьшается.
В случае спиновых операторов результат коммутации двух проекций друг с другом дает не с-число, а третью проекцию оператора. Таким образом, при коммутации число операторов уменьшается не на два (как в случае ферми- или бозе-систем)； а на один. Однако это открывает возможность сводить среднее от произведения к среднему от меньшего числа спин-операторов. На основе этой идеи в работе [340] и была построена диаграммная техника для спиновых операторов. При этом оказалось возможным отби-
рать из бесконечного числа возникающих диаграмм лишь некоторые част、 ные совокупности их (бесконечные последовательности) и суммировать их. Именно в этой возможности — легко определить эти частные главные совокупности —и заключается все преимущество диаграммной техники. В основе такого отбора всегда должен быть какой-либо физический принцип, приводящий к малому параметру. В указанной работе были найдены поправки к результатам нулевого приближения самосогласованного поля* отвечающие разложению по обратному объему взаимодействия между частицами в системе (в случае ферромагнетика — обменного взаимодействия) и показано, что все результаты приближения самосогласованного поля, являются фактически результатом нулевого приближения по обратному объему взаимодействия.
Поправка первого порядка по обратному объему для свободной, энергии 尸⑴(она получается суммированием бесконечного числа членов в разложении свободной энергии по 应вз) равна
募Т金]屮一需"]+
+ 2 b[l-exp (^^-у)] -1п[1-ехр(-у)]. (19.219)
Здесь V означает производную по у, в дальнейшем Ь" — вторую производную по z/ и т. д.
Первое слагаемое в (19.219) описывает термодинамический вклад флуктуаций z-компоненты спинов. Второй член, с учетом условия (19*216), принимает вид свободной энергии идеального газа спиновых волн со спект： ром efc, зависящим от температуры. В самом деле, при условии (19.218) имеем
ik = K(k)b-施窃=g^H + 0〉[К (0)一К (砌.(19.220)
Намагниченность получается из условия минимума свободной энергии д/ду仍⑺+尸⑴) = 0：
珍…注NT 金 ^ё^ —%т 2 入(1 —普，)—囱.(19.221). k
Здесь пЛ —функция распределения спиновых волн:
пк= [ехр (-фг) — 1] , «г/ = [ехр(г/) —I]-1.(19.222)
В формуле (19.221) главный член (первое слагаемое) соответствует приближению молекулярного поля. Второй член описывает вклад флуктуации Sz компонент спинов и, наконец, третий соответствует спиновым волнам.' При большом радиусе взаимодействия г0 последние члены — малые поправки порядка，；？ к первому. При низких температурах, однако, вид температурной зависимости 〈Sz〉 определяется блоховским слагаемым в (19.221). Действительно, при Г —> 0, Ь\ Ь" и пу экспоненциально стре」 мятся к нулю, а Ъ ——к 5. В итоге (19.221) переходит в формулу
〈Sz〉= S-Nt2^,(19.223)
даваемую обычной спин-волновой теорией (хотя в последней не делалось предположения о большом радиусе взаимодействия). В работах [340, 3411 показано, что формула (19.221) дает все известные результаты для намагт ниченности при всех температурах, которые были получены различными специальными для каждого температурного интервала методами. •
Сравним выражение (19.221) для 〈Sz〉с выражением (19.207),- полу^ ченным Боголюбовым и Тябликовым и определяющим〈S?〉в случае спина
S — 1/2. Это уравнение в обозначениях, принятых здесь, можно записать в виде
1 tb У
(19.224)(19.224)0〉=
(19.224)
(19.224)
l + 2th^7VT 》 仇g一附)
При больших，о сумма по 乃,стоящая в знаменателе, пропорциональна，；* так что при 7\)-^8 формула (19.224) переходит в
〈&〉a4 th 专三[5瘓(Sy)]s=i/2， (19.225)
т； e. при r0 -> oo выражение, полученное Боголюбовым и Тябликовым, переходит в уравнение первого приближения самосогласованного поля, как и формула (19.221). Однако член, пропорциональный г"3, и более высокие в методе расцепления учитывались неправильно, как видно из сравнения выражений (19.224) и (19.221), за исключением лишь случая низких температур, где уравнение (19.224) дает результат (19.223) спин-вол- иового приближения. Таким образом, метод расцепления в действительности является разумной интерполяционной формой нулевого приближения самосогласованного поля.
Представление о температурно зависящих спиновых волнах с энергией (19.220), введенное в методе расцепления, снова появляется в теории 步же в первом приближении по обратному.объему взаимодействия, однако рассматриваемая теория позволяет вычислить и их затухание, чего никто не мог получить в методе расцепления. В работе [341] показано, что затухание спиновых волн с энергией еА определяется в широком интервале температур формулой
V^nb'N-^ 2 В⑨霖二Г 6 (/-£)• (19.226)
При низких температурах bf экспоненциально стремится к нулю и это определяет мамость затухания спиновых волн. В окрестности точки Кюри, оказывается, выражение (19.226) можно 'вычислить при малых 乃：отношение затухания к энергии спиновой волны зависит от параметров следующим образом:
r(fc) 1〜帚▼二 9)2
Хотя при приближении к точке Кюри затухание сильно возрастает с ростом температуры, при достаточно малых квазиимпульсах к отношение Г (fc)/eA может остаться малым. Таким образом, можно говорить о существовании длинноволновых спиновых волн в ферромагнетике вплоть до точки Кюри, однако область малых А, для которых это понятие имеет смысл, сужается при приближении к точке Кюри, С помощью неупругого рассеяния нейтронов в ряде ферро- и антиферромагнетиков были действительно обнаружены длинноволновые спиновые волны в окрестности магнитного фазового перехода (см. гл. 26).
В последнее время показанная в работах [340, 341] принципиальная возможность применения диаграммной техники к спин-гамильтонианам привлекла большое .внимание исследователей. Изюмов и Кассан-Оглы (3431 развили несколько иную форму диаграммного метода [340] и применили его к задаче о двухподрешеточном ферромагнетике. В частном случае антиферромагнетика они вычислили затухание спиновых волн и показали, что вблизи температуры Нееля в антиферромагнетике существуют слабозатухающие длинноволновые спиновые возбуждения. Ряд вопросов
теории двухподрешеточных магнетиков рассмотрен этим же методом в ра- *ботах [344, 354] (см. также [360—362, 365, 366, 368]) ).
Проблема спиновых комплексов. В заключение этого параграфа остановимся на вопросе о возможности существования так называемых спиновых комплексов по Бете [87] [см. также Бете и Зоммерфельд (1938)]. Блох еще в своей первой работе по спиновым волнам [84] решал систему уравнений Шредингера в представлении, где в качестве координат выбраны номера / узлов со спиновыми отклонениями /\，/3, •・•, fr- Эти уравнения (в приближении ближайших соседей) имеют вид
£。修…尸)=3 Лг [й(^ 1/1 •• ■ Л)(Л •.. Л)], (19.228)
где /4 . . . /г ——номера г узлов / с «левыми» спинами, а символ 丁疗，означает перестановку двух номеров / и /х; е — энергия спиновых волн. При，= 0 мы имеем основное состояние полного насыщения. При г = 1 уравнение (19.228) имеет точное решение в виде плоской волны [84]: 1a (J) = NT? exp @侏).При г = 2 уже возникают эффекты спин-волнового взаимодействия, которое не позволяет легко получить точное решение. Для одномерной цепочки и для спина S = 1/2 эта задача при 了 = 2 точно была решена Бете [87]. Он нашел, что в пределе бесконечной одномерной цепочки существует единственное связанное состояние для каждого значения полного квазиимпульса К = 4“ Т- fc2 спиновой пары (^спинового комплексам). Однако он не дал обобщения на двух- и трехмерные случаи.
Попытку решить эту задачу в общем виде сделал ван-Кранендонк [93]. Однако он не смог преодолеть математические трудности и решить задачу в приемлемых приближениях. Этот же вопрос рассмотрел Дай- *сон [99]. Он пришел к выводу, что связанные состояния типа спиновых комплексов Бете не могут возникать в двух и трехмерных случаях. Однако, в работе Уортиса [3451 с помощью метода функций Грина было показано, что предположение Дайсона, по-видимому, ошибочно. В двумерном случае, благодаря некоторым особенностям входящих в расчеты интегралов, при К = 0 связанные состояния существуют и при произвольно малых Д 7^=0. В трехмерном случае существует область малых 左,для которых связанные состояния отсутствуют. С ростом величины К достигается предел, выше которого такие состояния разрешены. В [345] выяснены условия, при которых энергия связанных состояний может лежать ниже «дна» непрерывной полосы (при заметной энергетической щели, обусловленной магнитной анизотропией), и поэтому эти состояния могут существенно сказаться на характере температурной зависимости термодинамических свойств ферромагнетика в области низких температур (см. также Ахиезер, Барьяхтар, Пелетминский (1967), Маттис (1967) л [346—349, 359]).
§ 6・ Оценка параметра обменного взаимодействия
Остановимся еще раз (см. § 1) несколько подробнее на оценке основного параметра (интеграла) обменного взаимодействия 4, существование которого (и его положительный знак) определяет возникновение ферромагнетизма. Раньше для параметра А использовали выражение (19.16) и пренебрегали членами порядка квадрата интеграла перекрытия | Sab | 2 мз (19.9а) и более высокими. Гейзенберг [5] предполагал, что хотя ЛГей3 из (19.16) отрицателен для молекулы водорода, но при значениях отноше- лия расстояния между соседними ядрами к «радиусу» электронных атом- ных «орбит», превышающих некоторое критическое значение, знак ЛГей3
может измениться. Принципиально это казалось возможным, поскольку выражение (19.16) равно сумме двух членов
/гейз= - J。(1)疗(2)(需+ 等)b(l)a(2)dqdT2 +
+ f «* (1) Ь* (2) Ь (1) а (2) d^ dr2 = Л^йз + Л^йз. (19.229)
Слагаемое Лгейз в (19.229), отвечающее чисто электронному обмену, в случае свободных электронов или при положительных функциях а и Ъ положительно, а слагаемое 力黑汪з, содержащее потенциалы взаимодействия электронов с ионами, может быть отрицательно. Для ферромагнетизма необходимо выполнение неравенства
|力褊31Vl力龍 йз|・(19.230>
Слэтер【86], а затем Бете [см. Бете и Зоммерфельд (1938)1 высказали приведенные в § 1 соображения о необходимых условиях, гарантирующих выполнение неравенства (19.230), а именно: 1) произведение волновых функций в 力咒из должно быть максимальным в малом объеме на середине- расстояния между ядрами, где одновременно максимален потенциал ^!г^ 2) произведение функций в %Кйз должно быть малым вблизи ядёрг где велик потенциал e\zjria 十 zblr2b\. Оба эти условия выполняются,, если максимумы функций а и b далеки от обоих ядер, а вблизи последних функции малы. Это в свою очередь возможно, если: 1) велико орбитальное квантовое число Z электронного состояния, когда радиальная часть волновой функции вблизи ядра пропорциональна г\ и 2) расстояние Rab между ядрами должно быть настолько велико, чтобы максимумы волновых функций перекрывались по возможности в какой-то более узкой области (т. е. с линейными размерами r0《Rab) вдали от ядер. Таким образом, критерий ферромагнетизма по Бете сводится к таким условиям: а) должна существовать незаполненная d- или/-оболочка с большим орбитальным числом Z; б) «лепестки» (см. гл. 10), определяемые угловой зависимостью волновых d- или /-функций, должны быть у соседних атомов направлены друг к ДРУГУ и перекрываться в узкой области между ядрами; в) радиальная протяженность (средний радиус оболочки по Слэтеру [86]) функций мала по сравнению с межъядерным расстоянием в решетке. Все эти условия удовлетворяются, например, в ферромагнитных d-металлах. На основа этих общих соображений Бете даже построил схематический график [«кривая Бете — Слзтера», см. Бете и Зоммерфельд (1938)] зависимости величины ЛГейз от отношения Rab/^n^ где гп — радиус магнитно активной (незамкнутой) электронной d- или /-оболочки иона в кристалле. Справедливость рассуждений Бете подвергалась уже давно серьезной критике в работах Шубина и Вонсовского [88, 90] [см. также Вонсовский и Шур (1948)], Боголюбова и Тябликова [92], Боголюбова (1949), Слэтера [11, 12], Ван-Флека [350] и Зинера [209]. В частности, было указано [Вонсовский и Шур (1948)], что даже в рамках самой модели Гейзенберга критерий Бете не вполне точен, ибо в кристалле выражения для интеграла обмена даются не формулой (19.16), а более сложной *). При переходе же к формуле (19.16) отбрасываются члены, которые могут радикально изменить- соотношения между слагаемыми, составляющими параметр ЛГей3- Использование «полярного» обобщения гейзенберговской модели ферромагнетизма, предложенное Шубиным и Вонсовским [88], привело к сужению обычного критерия ферромагнетизма ЛГейз > О-
В работах Зинера [209] особенно подчеркивалось, что параметр АГе^ никогда не может быть положительным, он лишь монотонно и экспоненциально изменяется от больших отрицательных значений при малых Rab
к незначительным отрицательным значениям при больших Rab. В последнее время был проведен ряд прямых вычислений интегралов типа ЛГей3- Вольфарт [15] провел упрощенный расчет Лгеез> заменив анизотропные Зй-функции сферически усредненными и нашел, что параметр ЛГей3 должен быть всегда отрицательным. Каплан [351] учел угловую зависимость волновых функций. Однако из-за трудности расчетов он провел вычисления только для аномально малого межъядерного расстояния (примерно в 3 раза меньше реально наблюдаемого) и получил для ЛГей3 положительную величину (0,60 зе)・ Для больших значений Rab Каплан расчетов не проводил, но предполагал, что при реальных значениях Rab интеграл ЛГейз, по-видимому, остается положительным. В расчетах Каплана и Вольфарта принималось, что 8аь = 0. В более поздней работе Стюарт и Маршалл [272] провели более точный расчет ) и нашли, что параметр ЛГейз> определяемый по формуле (19.15), положителен при всех межъядерных расстояниях Rab. Однако при реальных Rab в Fe, Ni и Со величина ЛГейз оказывается примерно в 70 раз меньше, чем определяемые из опыта параметры обмена в этих металлах. Фримен и Ватсон [261] отметили, что в расчете Стюарта и Маршалла [272] не были учтены все члены в выражении (19.15) для ЛГей3» и поэтому их результат нельзя считать убедительным. Фримен и Ватсон исходили из более точного выражения для параметра 4】е疝з по Лёвдину [260], а также рассчитали параметр прямого обмена для пар орбитальных состояний 3@冗(^ = 1} и 3〃6 (確z = 2). При этом они провели вычисления для двухэлектронной двухатомной системы как для водородных Зй-функций,так и для.Зй-фурк- ций атомов группы железа. Кроме того, они провели расчет более реального случая для двух атомов группы железа, находящихся в Зй9-конфигу- рации, отказавшись при этом от использования модели точечного заряда иона, т. е. провели учет влияния конечности размеров ионного остова. Й наиболее близких к реальности случаях расчет для параметров ЛГейз дал отрицательные и малые значения, что противоречит критерию ферромагнетизма ). Эти «неудачи» расчета параметра «прямого» обмена в модели локализованных спинов, конечно, указывают на неудовлетворительность этой модели. Действительно, современное состояние наших знаний о физической природе магнитно-упорядоченных состояний практически все больше сужает область возможной применимости концепции гейзенберговского прямого обмена. Для неметаллических соединений основной тип обмена — крамерсовский косвенный обмен (см. ниже гл. 22), а в случае 4/-металлов и разбавленных растворов d- и /-металлов в немагнитных матрицах господствует концепция косвенного обмена через электроны проводимости (см. гл. 20). Единственный случай, где, казалось бы, применима концепция прямого обмена по Гейзенбергу, это в ферромагнетизме ферми-жидкости, однако в этом случае неприменима модель локализованных спинов (см. также [363, 364, 367]).
К вопросу анализа обменных параметров мы будем обращаться еще- неоднократно (см. ниже. гл. 20——22)..
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 19
макeMzs. ф и ф J р е р-ь о po дфдаз l工макeMzs. ф и ф J р е р-ь о po дфдаз l工н, Nature 119, 353 (1927).
макeMzs. ф и ф J р е р-ь о po дфда
з l工
макeMzs. ф и ф J р е р-ь о po дфда
з l工
л ь, Zs. Phys. 49, 31 (1928).
н, Zs. Phys. 23, 286 (1924).
Phys. 41, 81 (1927).
^-^7^89012^-^7^8901213.13.14.14.15.16.17.18.19..20.21.22.23.24..25.26.27.28.29.-30.31・•32.•33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.-50.• 51.-52.53.54.55."56.57.-58.59.■60.出丄 62. /63.15.16.17.18.19..20.21.22.23.24..25.26.27.28.29.-30.31・•32.•33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.-50.• 51.-52.53.54.55."56.57.-58.59.■60.出丄 62. /63.W. Heisenberg, Zs. Phys. 49, 619 (1928).
^-^7^89012
^-^7^89012
13.
13.
14.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
.20.
21.
22.
23.
24.
.25.
26.
27.
28.
29.
-30.
31・
•32.
•33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
-50.
• 51.
-52.
53.
54.
55.
"56.
57.
-58.
59.
■60.
出丄 62. /63.
15.
16.
17.
18.
19.
.20.
21.
22.
23.
24.
.25.
26.
27.
28.
29.
-30.
31・
•32.
•33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
-50.
• 51.
-52.
53.
54.
55.
"56.
57.
-58.
59.
■60.
出丄 62. /63.
F. В 1 о c h, Zs. Phys. 57, 545 (1929).
E. Wigner, Phys. Rev. 46, 1002 (1934); Trans. Faraday Soc. 34, 678 (1938).
N. F. M о t t, Proc. Phys. Soc. 47, 571 (1935).
N. F. M о t t, Adv. Phys. 13, 325 (1964).
J. C. S 1 a t e r, Phys. Rev. 49, 537, 931 (1936).
J. C. S 1 a t e r, Phys. Rev. 52, 198 (1937)
J. C. S 1 a t e r, Rev. Mod. Phys. 25, 199 (1953); Phys. Rev. 165, 658 (1968)； J. Appl. Phys. 39, 761 (1968).
E. S t о n e r, Phil. Mag. (7) 15, 1018 (1933); Proc. Roy. Soc. A154, 656 (1936); A165, 372 (1938); A169, 339 (1939); Rept. Progr. Phys. 11, 43 (1948); J. phys. rad. 12, 372 (1951); Acta Met. 2, 259 (1954).
E. P. W о h 1 f а г t h, Proc. Roy. Soc. A195, 434 (1949); Phil. Mag. 40, 703, 1095 (1949); 42, 374 (1951); Proc. Phys. Soc. A65, 1053 (1952); Rev. Mod. Phys. 25, 211 (1953); Phys. Lett. 4, 83 (1963); 24A, 666 (1967); J. Appl. Phys. 39, 1061 (1968).
E. P・ Wohlfarth, Nature 163, 57 (1949).
G. C. Fletcher, E. P. Wohlfarth, Phil. Mag. 42, 1061 (1951).
A. B. L i d i а г d. Proc. Phys. Soc. A64, 814 (1951); A65, 885 (1952).
G. C. F 1 e t c h e r, Proc. Phys. Soc. A65, 192 (1952).
С. H e г г i n g, Phys. Rev. 85, 1003 (1952); 87, 60 (1952).
H e г г i n g, J. Appl. Phys. 31, 3s (1961).
Bader, Zs. Naturforschung 8a, 334 (1953).
F. Bader, K. Ganzhorn, U. Dehlinger, Zs. Phys. 137, 190 (1954).
F. К о s t e r, Phys. Rev. 98, 901 (1955).
J. C a 1 1 a w a y, Phys. Rev. 99, 500, 627 (1955); 115, 346 (1959); 140, A618 (1965). Г. С. Кринчик, ФММ 3, 422 (1956); 4, 36 (1957); Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 869 (1957).
I. В. Е h г m a n, Phil. Mag. 2, 404 (1957).
Т. М о г i t a, R. A b е, S. М i s a w a, Prog. Theor. Phys. 18, 326 (1957).
А. А. Абрикосов, И. E. Дзялошинский, ЖЭТФ 35, 771 (1958).
E. О. W о 1 1 a n, Phys. Rev. 110, 1205 (1958).
Watanabe, J. Phys. Soc. Japan 13, 187 (1958).
Hsiang! e n - s e n, Acta Phys. Sinica 14, 375 (1958).
M. Edwards, E. P. Wohlfarth, J. phys. rad. 20, 136 (1959).
J. B. Goodnough, A. Wold, R. А г n о t t, J. Appl. Phys. 31, 342S (i960).
M. S h i m i z u, J. Phys. Soc. Japan 15, 376, 1127 (I960); Proc. Phys. Soc. 84, 397 (1964); 86, 147 (1965); J. Appl. Phys. 39, 1101 (1968).
T. I z u у a m a, Prog. Theor. Phys. 23, 969 (i960); Phys. Rev. Lett. 12, 585 (1964); Phys. Lett. 9, 293 (1964).
С. В. Вонсовский, Л. Я. Кобелев, ФММ 11, 820 (1961).
W. I. С а г г, Jr., Phys. Rev. 122, 1437 (1961).
Е. Р. W о h 1 f а г t h, J. F. С о г n w е 1 1, Phys. Rev. Lett. 7, 343 (1961).
M. И. К у p к и н, ФММ 14, 327 (1962); 16, 80S (1963); 20, 494 (1965).
L i e b, D. M a t t i s, Phys. Rev. 125, 164 (1962).
T. Wolfram, J. Callaway, Phys. Rev. 127, 1605 (1962).
D. M a t t i s, W. S. D о n a t h, Phys. Rev. 128, 1618 (1962).
M. E d w a r d s, Proc. Roy. Soc. A269, 338 (1962).
P. Wohlfarth, F. Rhodes, Phil. Mag. 7, 1817 (1962).
J. F г i e d e 1, J. phys. rad. 23, 501 (1962).
R. Gersdorf, J. phys. rad. 23, 726 (1962).
Th. W. R u i j g г о k, Physica 28, 877 (1962).
J・ Kanamori, M. Tachiki, J. Phys. Soc. Japan 17, 1384 (1962).
L・ E g g e s, Phys. Rev. 130, 2218 (1963).
M a t t i s, Phys. Rev. 132, 2^2 (1963); 151, 278 (1966); Phys. Rev. Lett. 12, 561 (1964); J. Appl. Phys. 35, 1085 (1964).
M. C. Gutzwiller, Phys. Rev.r Lett. 10” 159 (1963);. Phys. Rev. 134, A923 (1964); 137, A1727 (1965).
D. T h о m p s о Ann. of Phys. 22, 309 (1963).
J. Hubbard, Proc. Roy. Soc. A276, 238 (1963); A277, 237 (1964); A281, 401 (1964); A285, 542 (1965); Proc. Phys. Soc. 84, 455 (1964).
J. Kanamori, Prog. Theor. Phys. 30, 275 (1963).
Englert, M.M.Antonoff, Physica 30, 429 (1964).
И, E. Дзялошинский/ ЖЭТФ 46, 1420, 1722 (1964).
П. С. Кондратенко, ЖЭТФ 46, 1438； 47, 1536 (1964); 50, 769 (1966); 54, 1844 (1968).
К. Kawasaki, Prog. Theor. Phys. 29, 156 (1963); Phys. Rev. 135, Al 371 (1964).
T. I z u у a m a, R. Kubo, J. Appl. Phys. 35, 1074 (1964).
J. B. Goodenaugh, J. Appl. Phys. 35, 1083 (1964); 37, 1415 (1966); 38, 1054 (1967); 39, 403 (1968).
M. Shimizu, A. Katsuki, Phys. Lett. 8, 7 (1964).
J. F. С о г n w e 1 1, Proc. Roy. Soc. A279, 346 (1964); A284, 423 (1965).
M. В a i 1 у n, Phys. Rev. 139, A1905 (1965).
/^ с^ -^ 7^ O_^ Q^ n^ L2-о^ /^ с^ -^ 7^8-9-°-L2-Q^ /^ с^ -^ 7^ O_^9-°-L2-Q^/^c^_^7^0^Q^n^1^9^Q^Z^C^6 ^^-66667 77 77777 77888 8008888 8999 99 9 9 § 99 о^1^1^1/^ с^ -^ 7^ O_^ Q^ n^ L2-о^ /^ с^ -^ 7^8-9-°-L2-Q^ /^ с^ -^ 7^ O_^9-°-L2-Q^/^c^_^7^0^Q^n^1^9^Q^Z^C^6 ^^-66667 77 77777 77888 8008888 8999 99 9 9 § 99 о^1^1^1S. M i s a w a, Phys. Rev. 140, Al645 (1965); Prog. Theor. Phys. 38, 1207 (1967).
/^ с^ -^ 7^ O_^ Q^ n^ L2-о^ /^ с^ -^ 7^8-9-°-L2-Q^ /^ с^ -^ 7^ O_^9-°-L2-Q^/^c^_^7^0^Q^n^1^9^Q^Z^C^6 ^^-66667 77 77777 77888 8008888 8999 99 9 9 § 99 о^1^1^1
/^ с^ -^ 7^ O_^ Q^ n^ L2-о^ /^ с^ -^ 7^8-9-°-L2-Q^ /^ с^ -^ 7^ O_^9-°-L2-Q^/^c^_^7^0^Q^n^1^9^Q^Z^C^6 ^^-66667 77 77777 77888 8008888 8999 99 9 9 § 99 о^1^1^1
L. Hodges, H. Ehrenreich, Phys. Lett. 16, 203 (1965).
T. M о г i у a, Prog. Theor. Pbys» 33, 157 (1965).
J. L. В e e b y, Phys. Rev. 141, 781 (1966); Proc. Phys, Soc. 90, 765, 779 (1967).
Y. N a g a о k a, Phys. Rev. 147, 392 (1966).
P. L e d e г e r, D. L. M i 1 1 s, Pbys. Rev. 148, 542 (1966).
L. M. R о t h, Phys. Rev. 149, 306 (1966); J. Appl. Phys. 38, 1065 (1967); 39, 474
L. Hodges, H. Ehrenreich, N. D. Lang, Phys. Rev. 152, 505 (1966).
D. M. E d w а г d s, Phys. Lett. 20, 362 (1966); 24, A350 (1967); Proc. Roy. Soc. A300, 373 (1967); J. Appl. Phys. 39, 481 (1968).
A. K. Rajagopal, S. D. M a h a n t i, Phys. Rev. 158, 353 (1967).
J. W. D. Connolly, Phys. Rev. 159, 415 (1967).
S. Alexander, G. Horwitz, Phys. Rev. 164, 642 (1967).
G. К e m e n y, Phys. Lett. 25A, 307 (1967).
A. K. Rojagopal, H. Brooks, N. R. Rauganathaus, Nuov. cim., Suppl. 5, № 3, 806 (1967).
M. B. Walker, Th. W. R u i j g г о k, Phys. Rev. 171, 513 (1968).
G. W. Pratt, Jr., L. G. Caron, J. Appl. Phys. 39, 485 (1968).
S.Doniach, J. Appl. Phys. 39, 751 (1968).
S. Szczeniowski, J. W о j t ez ak, J. Appl. Phys. 39, 1377 (1968).
C. Herring, «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. 4, Academic Press, New York, 1966.
E. D. T h о m p s о n, Adv. phys. 14, 213 (1965).
F. Bloch, Zs. Phys. 61, 206 (1930).
F. В 1 о c h, Zs. Phys. 74, 295 (1932).
J. C. S 1 a t e r, Phys. Rev. 35, 509 (1930).
H. В e t h e, Zs. Phys. 71, 205 (1931).
С. П. Ш у б и н, С. В. В о н с о в с к и й, Proc. Roy. Soc. A145. 159 (1934); Phys. Zs. UdSSR 7, 292 (1935); 10, 348 (1936).
С. В. Вонсовский, Труды ИФМ АН СССР, № 12, 9 (1950).
С. В. Вонсовский, УФН 48, 289 (1952).
Т. Holstein, Н. Primakoff, Phys. Rev. 58, 1098 (1940).
Н. Н. Боголюбов, С. В. Тябликов, ЖЭТФ 19, 257 (1949): Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 893 (1957).
J. van Kranendonk, Physica 21, 81, 749, 925 (1955).
Н. N a k а п о, Prog. Theor. Phys. 9, 403 (1953).
R.H. Tredgold, Proc. Phys. Soc. A67, 148 (1954).
M. R. Schafroth, Proc. Phys. Soc. A67, 33 (1954).
С. В. В о н с о в с к и й, К. Б. В л а с о в, E. A. T у p о в, ЖЭТФ 29, 37 (1955).
P. W. К as t e 1 e j n, J. van Kranendonk, Physica 22, 317 (1956).
F. J. D у s о n, Phys. Rev. 102, 1217, 1230 (1956).
С. В. T я б л и к о в,(DMM 3, 3 (1956); 15, 641, 801 (1963); 16, 321 (1963).
С. В. Тябликов, ПАН СССР 149, 573 (1963), ФММ 17, 883 (1964).
К. М е у е г, Zs. Naturforschung 12а, 797 (1957).
J. van Kranendonk, J.N. Van V 1 e c k, Rev. Mod. Phys. 30, 1 (1958).
E. A. T у p о в, Ю. П. И p x и н, Изв. АН СССР, сер. физ. 22, 1168 (1958).
Ю. А. И 3 ю м о-в, ФММ 7, 495, 669 (1959); ДАН СССР 125, 1227 (1959).
А. И. A x и e з e p, В. Г. Барьяхтар, M. И. Каганов, УФН 71, 533
А. И. Ax и e з e p, В. Г. Барьяхтар, M. И. Каганов, УФН 72, 3
08-408-4о 1 11 11- 11111111о 1 11 11- 11111111Q^ n^ 1^ 9^ Q^ /^ c^Q^ n^ 1^ 9^ Q^ /^ c^678901234IX 1- IX IX11111111J678901234IX 1- IX IX11111111J:ие зе р, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский, ЖЭТФ 1961).
08-
4
08-
4
о 1 11 11- 11111111
о 1 11 11- 11111111
Q^ n^ 1^ 9^ Q^ /^ c^
Q^ n^ 1^ 9^ Q^ /^ c^
678901234
IX 1- IX IX
11111111J
678901234
IX 1- IX IX
11111111J
:h i, Phys. Rev. 117, 117 (i960); Prog. Theor. Phys. 25, 721 (1961).
e г t, Phys. Rev. Lett. 5, 102 (I960).
? s b e t, Phys. Rev. 122, 1497 (1961).
! e m a n, R. K. N e s b e t, R. E. W a t s о n, Phys. Rev. 125, 1978 (19621.
,Phys. Rev. 126, 471 (1962).
,Phys. Rev. 134, A824 (19 64)./
i e c k i, Acta phys. Polon. 20, 983, 995 (1961); 21, 3, 125, 219, 376, 389, 504 (1962); 22, 3, 9 (1962); 25, 359 (1964); 34, 457 (1968); 26, 57 (1964); t. sol. 3, 630 (1963).
5 s e 1 h a u s, Phys. Rev. 127, 1136 (1962); 139, A855 (1965).
u 1 k n e r, Phys. Rev. 128, 202 (1962).
,D. M a t t i s, J. Math. Phys. 3, 749 (1962).
a 1 e w s k i, Acta phys. Polon. 21, 121 (1962); 24, 415, 583 (1963).
工 о w s k i, Prog. Tneor. Phys. 27, 1284 (1962).
t i s, Phys. Rev. 130, 76 (1963).
w s о n, D. ter H a a r, Phys. Lett. 6, 136 (1963).
e e n b e г у, J. Math. Phys. 4, 405 (1963).
a a s, H. S. J arret, Phys. Rev. 135, A1089 (1964).
G. A. Baker, Jr., G. S. Rushbrooks, H. E. Gilbert, Phys. Rev. 〔35. A1272 (1964).
S. P. H e i m s, Phys. Rev. Lett. 13, 50 (1964).
E. M. F i s h e r, Am. J. Phys. 32, 343 (1964).
S. Katsura, S. Inawashiro, J. Math. Phys. 5, 1091 (1964).
G. О b e г m a i r, Zs. Phys. 182, 5 (1964).
S. T. D e m b i n s к i, Physica 30, 1217 (1964).
A. Pawlikowski, Bull. Ac. Pol. 12, 275 (1964).
T. Fujishiro, F. Takano, T. Oguchi, J. Phys. Soc. Japan 19, 1666, (1964).
M. W о г t i s, Phys. Rev. 138, A1126 (1965).
S. H. L i u, Phys. Rev. 139, A1522 (1965).
S. Katsura, S. Inawashiro, J. Math. Phys. 6, 1916 (1965).
S. К a t s u г a, Ann. of Phys. 31, 325 (1965).
В. H. Кащеев, Phys. stat. sol. 8, 687 (1965); 9, 685 (1965).
J.Zittartz, Zs. Phys. 184, 506 (1965).
T. T a n a к a, K.Moorjani, T. M о г i t a, Phys. Rev. 141, 323 (1966).
P. D. L о 1 y, S. D о n i a c h, Phys. Rev. 144, 319 (1966).
R. B. Griff iths, Phys. Rev. 152, 240 (1966).
P. J. W о о d,G. S. Rushbrook e, Phys. Rev. Lett. 17,307(1966).
N. D. M e г m i n, H. W a g n e r, Phys. Rev. Lett. 17, 1133,1307(1966).
R. E. M i 1 1 s,R. P. К e n a n, Ann. of Phys. 37, 104 (1966).
К. T о m i t a,Proc. Phys. Soc. 88, 293 (1966).
С. В. Тябликов, E. M. Сорокина, ФММ 24, 200 (1967).
G. S. J о у c e, Phys. Rev. 155, 478 (1967).
S. H. L i n, D. B. S i a n o, Phys. Rev. 164, 697 (1967).
H. E. St an ley, Phys. Rev. 164, 709 (1967).
E. J a g e г, A.К ii h n e 1, Phys. Lett. 24A, 747 (1967).
L. M. R о t h,J. Appl. Phys. 38,1063 (1967).
D. L. M i 1 1 s,A. A. M а г a d u di n, J. Phys. Chem. Sol.28,1855 (1967).
G. A. T. A 1 1 a n, D. D. В e t t s,Proc. Phys. Soc. 91, 341(1967).
U. Lindner, R. Gruner, G. Heber, Zs. Naturforschg 22a, 856 (1967)-
K. Kawasaki, Prog. Theor. Phys. 38, 1052 (1967).
6. D. A. D u b i n, Nuov. cim. 53, B182 (1968).
S. Szczeniowski, J. Morkowski, J. Szaniecki, Phys, stat- sol. 3, 537 (1963).
F. Keffer, в книге «Handbuch der Physik», Bd. 18/2, Springer, Berlin, p. lr 1966.
С. H e г г i n g, в книге «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. 2B, Academic- Press, New York, 1966.
H. H. Боголюбов, С. В. Тябликов, ДАН СССР 126, 53 (1959).
С. В. T я б л и к о в, Укр. мат. журн. 11, 287 (1959).
С. В. Тябликов, ФММ 16, 321 (1963).
П у фу-чо, С. В. Тябликов, Т. Шиклош, Acta phys. Hung. 12, 323- (I960).
С. В. Т я б л и к о в, Т. Ш и к л о ш, Acta phys. Hung. 12, 35 (I960).
Ю. А. И з ю м о в, Е. Н. Я к о в л е в, ФММ 9, 667 (I960).
К. Kawasaki, Н. Mori, Prog. Theor. Phys. 25, 1043, 1045 (1961); 28, 690 (1962).
С. В. T я б л и к о в, E. H. Я к о в л e в, ДАН СССР 144, 303 (1962); ФТТ 5, 137 (1963).,
В. G. S. Doman, D. ter Haar, Phys. Lett. 2, 15 (1962).
J.Szaniecki, Phys. stat. sol. 2, 1354, 1364 (1962); Phys. Rev. 129, 1018 (1963)“
J.Czerwonko, Bui. Ac. Polon Sci. 10, 589 (1962); ДАН СССР 147, 88 (1962).
R. A. T a h i г - К h e 1 i, D. ter H а а г, Phys. Rev. 127, 88, 95 (1962).
R. A. T a h i г - К h e 1 i, Phys. Rev. 132, 689 (1963); Phys. Lett. 11, 275 (1964).
R. A. Tahir-Kheli, B. G. S. Doman, D. ter Haar, Phys. Lett. 4, 5 (1963).
H. В. C a 1 1 en, Phys. Rev. 130, 890 (1963)； Phys. Lett. 4, 161 (1963).
B. S t г i e b, H. B. Callen, G. Horwitz, Phys. Rev. 130, 1798 (1963).
W. Haubenreiser, Phys. Lett. 6, 613 (1963).
Ю. А. И 3 юм о в, ФТТ 5, 717 (1963).
А. Г. X ачату рян, ФТТ 5, 2178 (1963).
Т. О g и с h i, А. Н о n m а, I. Appl. Phys. 34, 1153 (1963).
E.Praveczki, Phys. Lett. 6, 147 (1963)； Phys. stat. sol. 5, 481 (1964); 18, K3；I (1966); ФММ 12, 296 (1961).
W. С. H a a s, Phys. Lett. 10, 23 (1964).
Г. А. Б p о c c, Phys. stat. sol. 4, 645, 661 (1964); ДАН СССР 158, 1299 (1964).
W. Haubenreiser, E. J age r, Phys. stat. sol. 5, 33 (1964).
R. A. T a h i г - К h e 1 i, H. В. C a 1 1 e n, Phys. Rev. 135, A679 (1964); J. Appl. Phys. 35, 948 (1964).
85. R.A. Tahir-Kheli, H. S. J а г г et tr Phys. Rev. 135, A1096 (1964).
186.187.188.189.190.191.192.193.194.195.196.197.198.199. :200.201.202.203.204.205.206.207.186.187.188.189.190.191.192.193.194.195.196.197.198.199. :200.201.202.203.204.205.206.207.0_^Q^n^1^9^xz^c^6о о 4А 1 1 4А 1 1 IX2 2 2 2 2 2 2 2 20_^Q^n^1^9^xz^c^6о о 4А 1 1 4А 1 1 IX2 2 2 2 2 2 2 2 2789012345611122222222 2 2 2 2 2 2 2 2 2789012345611122222222 2 2 2 2 2 2 2 2 27— ОО ом о IX о^2 2 2 3 3 32 2 2 2 2 27— ОО ом о IX о^2 2 2 3 3 32 2 2 2 2 2233.234.235.236.237.238.239.240.241.242.243.244.245.233.234.235.236.237.238.239.240.241.242.243.244.245.S. Sauter, D. Wagner, Ann. der Phys. 7, 156 (1964).
186.
187.
188.
189.
190.
191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199. :200.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
186.
187.
188.
189.
190.
191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199. :200.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
0_^Q^n^1^9^xz^c^6о о 4А 1 1 4А 1 1 IX
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0_^Q^n^1^9^xz^c^6о о 4А 1 1 4А 1 1 IX
2 2 2 2 2 2 2 2 2
7890123456
1112222222
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
7890123456
1112222222
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
7— ОО ом о IX о^
2 2 2 3 3 3
2 2 2 2 2 2
7— ОО ом о IX о^
2 2 2 3 3 3
2 2 2 2 2 2
233.
234.
235.
236.
237.
238.
239.
240.
241.
242.
243.
244.
245.
233.
234.
235.
236.
237.
238.
239.
240.
241.
242.
243.
244.
245.
T. Morita, T. Tanaka, Phys. Rev. 137, A648 (1965); 138, A1395, A1403 (1965).
T. M u s i e г о w i e z, Phys. Lett. 15, 20 (1965); Acta phys. Polon. 29, 363 (1966).
Corciovei. G. C i о b a n u, J. Phys. Chem. Sol. 26, 1939 (1965).
H. К а щ e e в, Phys. stat. sol. 11, 371 (1965).
А. И. M и ц e к, В. K. 3 в e 3 д и h, ФТТ 7,1057 (1965).
А. И. M и ц e к, ФТТ 8, 1498 (1966); ФММ 23,409 (1967).
J. A. Copeland, H. A. G e г s c h, Phys.Rev. 143, 236(1966).
R. E. M i 1 1 s, R. P. К e n a n, F. J. M i 1 f ог d, Phys. Rev.145,704 (1966).
R. A. T a h i г - К h e 1 i, H. B. Callen, H. S. Jarrett, J. Phys. Chem. Sol. 27, 23 (1966).
J. Ebina, Phys. Rev. 153, 561 (1967).
J. F. С о о к e, H. A. G e г s c h, Phys. Rev. 153, 641 (1967).
J. C. R a i c li, R. D. E t t e г s, Phys. Rev. 155, 457 (1967).
R. V. Lange, Phys. Rev. 156, 630 (1967).
W. Lewis, R. B. Stinchcombe, Proc. Phys. Soc. 92, 1002, 1010 (19 67).
Meissner, Zs. Phys. 205, 249 (1967).
G. Reiter, J. AppL Phys. 38, 1056 (1967); Phys. Rev. Lett. 20, 1170 (1968).
J. Spencer, Phys. Rev. 167, 434 (1968).
S. T. Dembinski, Canad* J. Phys. 16, 1021 (1968).
И. M иц e к, H. П. Колмакова, В. А. Фейгин, П. Ф. Г ойдан- с к и й, Phys. stat. sol. 28, 83 (1968).
JL〕и н з 6 у р г, В. М.① а й н, ЖЗТ① 39, 1323 (i960).
С. В. Вонсовский, ЖЭТФ 16, 981 (1946); Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 387 (1952); 19, 477 (1955); 21, 854 (1957), J. phys. rad. 20, 264 (1954); J. Phys. Soc. Japan 17, S854 (1957); Bd, 44 (1962).
С. В. Вонсовский, E. А. Туров, ЖЭТФ 24, 419 (1953).
C. Z e n e г, Phys. Rev. 81, 440 (1951); 82, 403 (1951); 83, 299 (1951).
R. R. Heikes, Phys. Rev. 84, 376 (1951).
C. Zener, R. R. Heikes, Rev. Mod. Phys. 25, 191 (1953).
A. Teviotdale, Proc. Phys. Soc. A65, 957 (1952).
С. В. В онсовский, К. Б. Власов, ЖЭТФ 25, 327 (1953).
Е. А. Туров, ДАН СССР 98, 945 (1954).
Е. Abrahams, Phys. Rev. 98, 387 (1955).
Т. К a s у a, Prog. Theor. Phys. 16, 45, 58 (1956); 22, 227 (1959); в книге «Magnetism», vol. 2В (ed. G. T. Rado, H. Suhl), Acad. Press, New York, p. 215, 1966.
А. А. Бердышев, Ю. А. Изюмов, ФММ 5, 552 (1957).
A. H. M i t c h e 11, Phys. Rev. 105, 1439 (1957).
J. P г a t t, Phys. Rev. 106, 53 (1957).，
K. Y о s i d a, Phys. Rev. 106, 893 (1957).
С. В. Вонсовский, M. С. Свирский, ЖЭТФ 35, 1447 (1958).
E. А. Туров, В. Г. Шавров, Труды ИФМ 20, 101 (1958).
Ю. А. Изюмов, ЖЭТФ 35, 1148 (1958).
Y. Y. L 1, Acta Phys. Sinica 14, 225 (1958).
Н. Hasegawa, Prog. Theor. Phys. 21, 483 (1959).
С. В. Вонсовский, А. А. Бердышев, IO. А. Изюмо в, Б. B, Kap- п e и к o, Ю. Я. Поляк, ДАН СССР 132, 797 (I960).
В. Вонсовский, 10. А. Изюмов, ФММ 10, 321 (I960).
Е. А. Туров, Ю. П. Ирхин, ФММ 9, 488 (I960).
L. Р a u 1, Phys. Rev. 118, 92 (I960); 120, 463 (I960).
А. J. F. В О g 1 е, D. S. Р. В u n b и г у, С. Е d w а г d s, Phys. Rev. Lett. 5. 553 (I960).
J. S e i d e n, Compt. rend. 251, 1062, 2311 (I960); 252, 249 (1961).
А. Туров, Ю. П. Ирхин, в книге «Ферриты», Изд. АН БССР, Минск, 1961, стр. 7.
А. Б е р д ы ш е в, Э. Д. К о р ж, ФММ 12, 476 (1961).
В. Вонсовский, Л. Я. Кобелев, ФММ 12, 814 (1961).
S. Н. L i u, Phys. Rev. 121, 451 (1961); 123, 470 (1961).
В. Вонсовский, Ю. А. Изюмов, УФН 77, 377 (1962); 78, 3 (1962).
A. Bassompierre, Compt. rend. 254, 1948 (19 62).
R. A. Tahir-Kheli, D. ter Haar, Phys. Rev. 130, 108 (1963).
С. В. Вонсовский, M. С. С в и p с к ий,加 3T ① 47, 182 (1964).
С. В. Вонсовский, М. С. Свирский, ЖЭТФ 47, 1354 (1964).
R. Е. W a t s о п, A. J- F г е е m а п, Phys. Rev. Lett. 14, 695 (1965); Phys. Rev. 152, 566 (1966).
J. M a t h о n, D. F г a i t о v *a, Phys. stat. sol. 9, 97 (1965).
T. К a s u у a, D. H. L у о n s, Techn. Rep. of ISSR, Ser. A, № 167 (1965); J. Phys. Soc. Japan 21, 287 (1966).
Ю. П. И p x и н, ЖЭТФ 50, 379 (1966).
Б. Кобылянский, А. Е. Глауберм ан, Изв. АН К аз. ССР, сер. физ. 4, 68 (1966).
67890123 45678901234567890
44445555 55555566666666667
22222222 22222222222222222
J. F e d г о, M. В a i 1 у n, Phys. Rev. 142, 337 (1966).
Smit, J. Appl. Phys. 37, 1445 (1966).
Furrer, T. Schneider, W. Haig, Sol. State Comm. 4, 99 (1966).
M a t h о n, C. S. J. Phys. 16, B869 (1966).
С. Кондратов к,о, ЖЭТФ 54, 1844 (1967).
В. Вонсовский, М. С. Свирский, ФММ 24, 793 (1967).
Heine, Phys. Rev. 153, 673 (1967).
Rys, J. S. Helman, W. Baltensperger, Phys. Kondens. Mateiie
105 (1967)...
Miwa, Prog. Theor. Phys. 34, 1040 (1.967).
R. P. S i 1 v a, Phys. Rev. 166, 679 (1968)..
\.. F e d d e г s, Phys. Rev. 168, 631 (1968).
▽ ertogen, Phys. stat. sol. 25, 729 (1968).,
Heitler, F. London, Zs. Phys. 44, 455 (1927).
H e i s e n b e г g, Zs. Phys. 38, 411 (1926); 39, 499 (1926); 41, 239 (1927).
).L 6 w d i n, Rev. Mod. Phys. 34, 80 (1962).
I. Freeman, R. E. Watson, Phys. Rev. 124, 1439 (1961).
M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A112, 661 (1926).
herring, Rev. Mod. Phys. 34, 631 (1962).
Herring, M. Flicker, Phys. Rev. 134, A362 (1964).
A.
H.
Горьков, Л. П. Пнтаевскпй, ДАН СССР 151, 822 (1963). с ▼ М. Ashkin, J. Chem. Phys. 42, 2796 (1965).
Proc. Roy. Soc. A123, 714 (1929).
Carr, Jr., Л. Dirac,
A.
S.
a n V 1 e c
arris, J.
123456789012345678 90123456 7
777777777888888888 89999999 9
222222222222222222 22222222 2
一— odbeil, 11, 10 (1963).
Phys. Rev. 45, 405 (1934).
w e n, Phys. Rev. Lett. 11, 9 (1963).
S. J а с о b s, J. Owen, E. A. Harris, Phys. Rev. Lett..
J. C. S 1 a t e r, Phys. Rev. 36, 57 (1930).
R. Stuart, W. Marshall, Phys. Rev. 120, 353 (I960).
Э. К an e p, ЖЭТФ 10, 67, 407 (1940).
С. В. Вонсовский, ЖЭТФ 18, 219 (1948).
Л. Д. Л а н д а у, E. M. Л и ф ш и ц, Phys. Zs. UdSSR 8, 153 (1935).
I. R. М а с Donald, Proc. Phys. Soc. 64, 968 (1951).
К e f f e г, H. К a p 1 a n, Y. Y a f e t, Am. J. Phys. 21, 250 (1953).
Ch. Kittel, Nuovo cim., Suppl. 6, № 3, 895 (1957).
M. I. Klein, R. S. Smith, Phys. Rev. 80, 1111 (1950).
Heller, H. A. Kramers, Proc. Roy. Acad. Amsterdam 37, 378 (1934)„
В. M. Цукерник, ФТТ 10, 1006 (1968).
C. Herring, Ch. Kittel, Phys. Rev. 81, 869 (1951).
M. И. Каганов, В. M. Ц у к e p н и к, ЖЭТФ 35, 474 (1958).
М. И. Каганов, В. М. Ц у к е р н и к. ФММ 5, 561 (1957).
М. F а 1 1 о t, Ann< de phys. 6, 305 (1936).
P. Weiss, R. F о г г e r, Ann. de phys. 12, 279 (1929).
P. W e i s s, Ext. Actes VII Congr. intern, froid, vol. 1, Paris, p. 508, 1937.
E. И. Кондорский, Л. H. Федотов, Изв. АН СССР, сер. физ. 16)432. (1952).
Е., И. Кондорский, В. Е. Роде, У. Гофман, ЖЭТФ 35, 54 9 (1958).
S. F о п е г, Е. D. Thompson, J. Appl. Phys. Suppl. 30, 229S (1959).
В. E. P о д e, P. Г e p p м а п н, ЖЭТФ 46, 1598 (1964).
S. А г a j sr D. S. M i 1 1 e г, J. Appl. Phys. 31, 213 (I960).
R. Pauthenet, Ann. de phys. 7, 716 (1952).
К. П. Б e л о в, С. A. H и к и т и п, ФММ 9, 470 (I960).
В. А. Царев, Н. В. 3 а в а р и ц к и й, ЖЭТФ 47, 2102 (1964).
В. В о л к е н ш т е й п, Т. Д. 3 о т о в, ФММ 21, 463 (1966); Изв. АН СССР., сер. фпз. 30, 979 (1966).
А. С. Gossard, V. J accarino, J. Р. R е m е i k a, Phys. Rev. Lett. 7,
8901 2 349 90 0 о о о2233333
122 (1961).
A. M. P о г t i s, A. C. Gossard, J. Appl. Phys. 31, 205S (I960).
B. Benedek, J. Armstrong, J. Appl. Phys, 32, 106S (1961).
L. D a v i s, A. N а г a t h, Phys. Rev. 134, A433 (1964).
H. M i e d e m a, II. V. К e in p e n, W. J. H u i s k a m p, Physica 29, 126d (1963).
T. Mattias, R. M. В о z о г t h, J. II. Van V 1 e c k, Phys. Rev. Lett.
160 (1961).
G. C. L о w, Proc. Phys. Soc. 82, 992 (1963).
А. А. С а м о x в а л о в, В. Г. Б а м б у p о в, H. В. В о л к e н ш т e й н> T. Д. Зотов, А. А. Ивакин, Ю.Н.Морозов, М.И.Симонов а, ФТТ 8, 245 仆
S. H. Char ар, Е. L. Boyd, Phys. Rev. 133, ASH (1964),
J. S. К о u v e Г, Phys. Rev. 102, 1489 (1956).
R. P. Kenan, M. L. Glasser, F. J. Milford, Phys. Rev. 132, 47 (1963).
M. D i x о n, F. E. H о а г e, T. M. H о 1 d e n, Phys. Lett. 14, 184 (1965).
309^ffi^318.320.321.323.325.327.329.331.333.335.337.339.341342.鹦346.醤勰飆•戮緻357_z z^ 繳需款309^ffi^318.320.321.323.325.327.329.331.333.335.337.339.341342.鹦346.醤勰飆•戮緻357_z z^ 繳需款
309^ffi^318.320.321.323.325.327.329.331.333.335.337.339.341342.鹦346.醤勰飆•戮緻357_z z^ 繳需款
309^ffi^318.320.321.323.325.327.329.331.333.335.337.339.341342.鹦346.醤勰飆•戮緻357_z z^ 繳需款
D. T. Edmonds, R. G. Peterson, Phys. Rev. Lett. 2, 499 (1959); 4, 9老 (I960).
H. M e у e г, А. В. H а г г i s, J. Appl. Phys. 31, 49S (i960).
J. E. К u n z 1 e r> L. R. Waiver, J. K. G a 1 t, Phys. Rev. 119, 1609 (i960)..
S. S. S h i n о z a к i, Phys. Rev. 122, 388 (1961).
S. R. Pollack, K. R. Atkins, Phys. Rev. 125, 1248 (1962).
H. Unruh, Jr., F. J. M i 1 f о г d, Phys. Rev. 123, 1619 (1961).
В. Вонсовский, E. А. Туров, J. Appl. Phys. 30, 9S (1959).
J. Callaway, D. C. Me С о 1 1 u m, Phys. Rev. 130, 1741 (1963).
M. D i x о n, F. E. H о a r e, T. M. Holden, D. E. M о о d y, Proc. Roy. Soc..
285, 561 (1965).
В. Вонсовский, Труды ИФМ АН СССР, № 20, 13 (1958).
R. I n g 1 i s, Phys. Rev. 46, 135 (1934).
T a k a n о, J. Phys. Soc. Japan 14, 348 (1959).
Y. Mizuno, T. I z u у a m a, Prog. Theor. Phys. 22, 344 (1959).
W. J. Mullin, Phys. Rev. 136, Al 126 (1964).
IO. А. Изюмов, ФММ 8, 3 (1959).
Ю. П. И рхин,出ST① 50, 379 (1966).
P. G. de G e n n e s, Com pt. rend. 247, 1836 (1958).
J. Chevallier, W. Baltensperger, Helv. Phys. Acta 34, 859 (1961)..
T. A. Kaplan, D. H. Lyons, Phys. Rev. 129, 2072 (1963).
В. Вонсовский, M. С. С в и p с к ий, ЖЭТФ 49, 682 (1965).
M a t t i s, Physics 1, 183 (1964).
Keffer, R. Loudon, J. Appl. Phys. 32, 2S (1961).
R. G. Boyd, J. Callaway, Phys. Rev. 138, Al621 (1965).
J. Szaniecki, Acta phys. Polon. 28, 599 (1965).
R. Weber, P. E. Tannenwald, Phys. Rev. 140, A498 (1965).
Heber, Fortschr. Phys. 1, 707 (1954).
W. О p e h о w s k i, Physica 4, 715 (1937).
Д. H. 3 у б a p e в, УФН 71, 71 (I960).
И. Алексеев, УФН 73, 41 (1961).
J. D. P a t t e г s о n, W. H. Southwell, Am. J. Phys. 36, 343 (1968).
M. R i s t i g, G. О b e г m a i r, Zs. Phys. 186, 114 (1965).
Г. В а к с, А. И. Л a p к и н, С. А. П и к и н, ЖЭТФ 53, 281 (1967); Препринг ИАЭ им. Курчатова, № 1312 (1967).
Г. В а к с, А. И. Л а р к п н, С. А. П и к и щ ЖЭТФ 53, 1089 (1967); Препринт ИАЭ им. Курчатова, № 1314 (1967).
Т. Matsubara, Prog. Theor. Phys. 13, 628 (1955).
IO. А. Изюмов, Ф. А. Кассан-Оглы, ФММ 26, 385 (1968).
M. А. Савченко, В. В. Т арасенко, ФТТ 9, 3284 (1967).
М. W о г t i s, Phys. Rev. 132, 85 (1963).
J. G. H a n u s, Quaterly Prog. Rep. Sol. State and Mol. Theor. Group (MIT) 43.
96 (1962); 44, 38 (1962); 46, 137 (1962); Phys. Rev. Lett. 11, 336 (1963).
N.Fukuda, M. Worti s, J. Phys. Chem. Sol. 24, 1675 (1963).
R.Silberglitt, A. B. Harris, Phys. Rev. Lett. 19, 30 (1967).
А. А. О в ч и н н и к о в, Письма ЖЭТФ 5, 48 (1967).
J. Н. Van Vleck, Rev. Mod. Phys. 25, 220 (1953).
H. Kaplan, Phys. Rev. 85, 1038 (1952).
J. H. W о о d, G. W. P г a t t, Jr., Phys. Rev. 107, 995 (1957).
E. O. W о 1 1 a n, Phys. Rev. 148, 517 (1966).
Э. M. Пикалев, M. А. Савченко, Й. Ш о й о м, ЖЭТФ 55, 1404 (1968)- С. В. М а л е е в, ЖЭТФ 33, 1010 (19 7).
А. Изюмов, Ф. А. Касса н- Оглы, ФММ 30, 22", 449 (1970).
Ю. А. Изюмов, Ф. А. К а с с а н - О г л ы, Ю. Н- Скрябин, J. de pbys.
Suppl. 2—3, С 1-86 (1971).
Ю. А. И з ю м о в, ф. А. Кассан-Оглы, М. В. Медведев, J. de phys.
suppl. 2-3, Cl-1076 (1971).,
I. L a 1 о v i с, B. S. T о s i с, J. В. V u j a k 1 i j a, R. B. Z a k u 1 a, Nuov. cim. 68, B7-)(1970).
И. M и пек, А. С. Носко в, И. П. Колмакова, Phys. stat. sol. 41, 861 (1970).
J. I. Davis, Ann. of Phys. 58, 129 (1970).
C. G- M о n t g о m e г y, J. I. К r u g 1 e r, R. M. S t u b b s, Phys. Rev. Lett. 25» 669 (1970).
G. M. Copland, P. M. Levy, Phys. Rev. IB, 3043 (1970).
Г. Репке, ФММ 30, 635 (1970).
I. H a 1 p e r i n, P. (:. Hohenbei'^, Phvs. Rev. 188, 898 (1969).
J. B. S о k о ] о f f, Phys. Rev. 173, 617 (1968).
В. Д p у ж и в и н, А. С. М о с к в и н, ФММ 26, 415 (1968).
М- Ц у к е р и и к, ФТТ 10, 1006 (1968).
ТЕОРИЯ ФЕРРОМАГНЕТИЗМА И АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМАПЕРЕХОДНЫХ МЕТАЛЛОВ
Предварительные замечания
Рассматривая в гл. 19 спиновую ветвь электронного энергетического спектра в ферромагнитном кристалле, мы не учитывали другие ветви этого ■спектра, интересуясь единственным типом элементарных возбуждений — ферромагнонами (нарушениями однородности самопроизвольной намагниченности). Такое упрощенное рассмотрение допустимо в случае ферромагнитных диэлектриков, у которых величина минимальной энергии активации (Деэл)мин для всех электронных элементарных возбуждений (кроме ферромагнонных) значительно превышает величину энергетической щели (19.103), отделяющую самый нижний уровень энергии спин-волновой ветви спектра от основного уровня системы, т. е.
(А&зл)мин》卩Е〃吸小， (20.1)
где Н^фф — суммам внешнего и внутренних магнитных полей. С другой ■стороны, для металлов и сплавов характерно существование возбуждений, у которых (Деэл)МИн = 0, т. е. энергетическая щель отсутствует и неравенство (20.1) нарушается. Это требует уточнения в трактовке ферромагнонных возбуждений в случае металлов, где необходимо учесть фермиевскую ветвь спектра электронов проводимости с (Аеэл)мин —0? играющую существенную роль в формировании магнитных свойств металлов.
Выше отмечалось, что необходимым условием возникновения ферро- лли антиферромагнетизма является наличие в кристалле атдмов (ионов) переходных элементов. Особенности физико-химических свойств таких кристаллов связаны с существованием в электронной оболочке атомов недостроенных внутренних d- или /-слоев. Изучение изолированных атомов d- или /-элементов указывает на то, что в формировании их свойств, наряду с валентными электронами наружных s- или p-слоев, принимают -активное участие также электроны внутренних недостроенных слоев. Естественно, что в конденсированных веществах (жидкостях и кристаллах), содержащих такие атомы, также следует ожидать активного участия ■электронов этих слоев в формировании физических свойств, в том числе и магнитных. Последнее обусловлено тем, что эти слои обладают песком- пенсированным электронным спином и орбитальным моментом и связанными с ними магнитными моментами (правило Хунда, см. гл. 2). Это и определяет заметный парамагнетизм в газообразном и жидком состоянии веществ, содержащих такие атомы. В твердом кристаллическом состоянии, кроме парамагнетизма (всегда наблюдаемого в области высоких температур), а также активного участия d-электронов в химических связях, при выполнении некоторых условий (см. ниже) могут возникать состояния с атомным магнитным порядком (ферро- или антиферромагнетизм). Естественно, конечно, что переход от изолированных атомов к конденсированным системам связан, как правило, с существенным изменением в пространственном распределении электронной плотности. Можно говорить о практическом сохранении электронной конфигурации изолированных
атомов лишь по отношению к пространственно наиболее глубоким и замкнутым слоям электронной оболочки ). Подтверждением этого является большое сходство соответствующих рентгеновских термов изолированных атомов и кристаллов. Что же касается валентных электронов и электронов недостроенных d- или /-слоев, то их конфигурация при переходе от изолированного атома к кристаллу обычно радикально изменяется. При конденсации атомы сближаются настолько, что расстояния между их центрами (порядка параметра кристаллической решетки d 10~8 см) становятся сравнимыми с их собственным диаметром. Поэтому внешние слои электронных оболочек перекрываются друг с другом и испытывают существенную перестройку. В зависимости от конкретной электронной структуры атомов эта перестройка может носить различный характер. Как уже отмечалось выше (см. гл. 11), здесь возможны следующие случаи.
Практически полная аеАокализами凡 внешних электронов, которые превращаются в ферми- жидко сть электронов проводимости, омывающую ионную кристаллическую ^решетку с локализованными «сгустками» электронной плотности у ядер из сохранившихся в практически неизменном виде замкнутых внутренних слоев оболочки отдельных атомов. Это случай металлических кристаллов (элементов или сплавов), в которых коллективизированные электроны проводимости обладают непрерывным спектром возбуждений фермиевского типа [(Деэл)МИн — 0].
Перестройка в системе внешних электронов в кристалле состоит в образовании локализованных «мостиков» между отдельными ионами (соответствующих спиннасыщениым химическим связям). Это случай диэлектрических (полупроводниковых), ионных, валентных и молекулярных кристаллов. Энергетический уровень основного состояния такой локализованной системы бывших валентных электронов отделен энергетической щелью от возбуждений [(Аеэл)мин > 0].
Распределение зарядовой и спиновой электронной плотностив 〃- и /-металлах
Поскольку здесь рассматриваются магнитно-упорядоченные металлы, то прежде всего следует выяснить вопрос, какие электроны атомной оболочки коллективизируются, а какие нет и как те и другие участвуют в формировании магнитных свойств. Как только что указывалось, в основном речьлтдет о бывших валентных з- и /^-электронах наружных слоев ) и внутренних недостроенных d- и /-слоев.
Из общих качественных соображений можно ожидать, что в тех случаях, когда недостроенный слой атомной оболочки целиком делокализуется (а это относится, как привило, к недостроенным наружным s- и р-слоям), в кристалле обычно не возникает атомное магнитное упорядочение. Система коллективизированных электронов в этом случае (например, в щелочных металлах) обладает обычным для ферми-газа парамагнетизмом Паули — Дорфмана (см. гл. 11). Это, по-видимому, и имеет место во всех без исключения непереходных металлах и сплавах, построенных из атомов, в оболочках которых имеется лишь наружный недостроенный з- и р-слоИ, испытывающий сильный эффект коллективизации. Количественной мерой последней может служить относительная величина интеграла перекрытия [см. (19.9а)] волновых функций изолированных атомов соответствующего элемента, расположенных в двух соседних узлах кристалла. Чем больше этот интеграл, тем больше эффект коллективизации.
Вопрос об основном состоянии системы электронов проводимости в кристаллах представляет собой весьма сложную и еще далеко не решенную проблему. В модели свободного ферми-газа, когда полностью пренебрегают динамическим взаимодействием между электронами и учитывают лишь их статистическую корреляцию, основному состоянию соответствует однородное распределение зарядовой и спиновой плотности. Включение взаимодействия нарушает эту однородность. При этом надо различать электронный газ с большой и малой плотностями.
В первом случае кинетическая энергия электронов гораздо больше энергии электростатического отталкивания, и последнюю можно рассматривать как малое возмущенпе
В случае очень низкой плотности, наоборот, кинетическая энергия становится ничтожно малой по сравнению с потенциальной. Тогда разумно предположить, что в пространственном распределенип электронной плотности устанавливается какой-то порядок, минимизирующий потенциальную энергию системь! (Вигнер [1]). Прп этом можно ожидать появления ферро- или антиферромагнитного порядка при учете обменной энергии взаимодействия. Этот вопрос детально рассмотрен в обзоре Херринга [2].
В принципе возможен еще один тип основного состояния электронного газа, когда зарядовая плотность однородна, или почти однородна, а спиновая плотность неоднородна. Говоря о таком состоянии, принято пользоваться термином《волны сш!новой плотности» (ВСП, см. гл. 11). Впервые это представление использовал Слэтер [3], затем Херринг [4] в связи с проблемой границ между доменами. К этой же проблеме относится вопрос об осцилляциях локальной спиновой поляризации в системе электронов проводимости при косвенном обменном взаимодействии 4/-оболочек в редкоземельных металлах, а также проблема антиферро- и ферромагнитных геликоидальных магнитных структур (см. ниже). Оверхаузер [5] считает, что синусоидальные спиновые структуры магнитных прпмесей в металле могут быть стабилизованы низколежащими возбужденными состояниями металла растворителя, обладающими синусоидальной спиновой плотностью, т. е. ВСП. Позже Оверхаузер [6] высказал предположение, что основное состояние электронного газа всегда носит характер ВСП. По-видимому, это реализуется в случае реальных металлов лишь в Сг [9—12] (см. гл. 22) *).
Заметим, что при решении вопроса о возникновении магнитного порядка в системе- электронов проводимости в кристалле существенно иметь в виду влияние периодического поля ионной решетки (см. ниже гл. 22, § 13, а также [131 и обзор Херринга [2]).
Металлы переходных элементов, их сплавы или соединения, содержащие хотя бы одну компоненту из таких элементов, можно разбить на две группы в зависимости от того, имеется ли недостроенный d- и /-слой. В соответствии с этпм говорят о d- и /- металлах и сплавах. Такое разделение обусловлено тем, что эффективные радиусы /- слоев значительно меньше половины расстояния между ближайшими узлами в кристалле (г/《 〃/2), в то время как для d-слоев оба эти расстояния соизмеримы (г(； 拄 d/2)* Поэтому /-функции ионов ближайших соседей практически не перекрываются, а для d- функций может иметь место заметное перекрытие. Электронные конфигурации, средние радиусы (по Слэтеру [14]) d-, /- и s-оболочек атомов переходных элементов п расстояния между ближайшими соседними ионамп в кристаллической решетке металлов приведены в табл. 20.1. Это различие в размерах d- п /-слоев дает право предполагать, что эффект коллективизации должен иметь большое значение для ^-металлов и практически не будет проявляться в /-металлах. Отсюда сразу следует, что ферро- и антиферромагнетизм гораздо чаще можно ожидать в d- металлах, чем в /-металлах, что в действительности и наблюдается. Ферро- или антиферромагнетизм обнаружен практически во всех 14 редкоземельных 4/-металлах. Из 24 d-металлов только в трех наблюдается ферромагнетизм (Fe, Со, Ni) и в двух 一 антиферромагнетизм (Сг, Мп).
Для количественного решения вопроса о поведении бывших «-. р- и d-, /-электронов в кристалле необходимо провести либо строгий теоретический расчет распределения электронных зарядовой р (г) и спиновой S (г) плотностей (точно сделать это пока невозможно из-за очень больших математических трудностей), либо определить их экспериментально с помощью рентгеновских илп нейтронных методов, что также представляет нелегкую задачу. Не останавливаясь на подробном обсуждении этого вопроса (см. также гл. 26), мы отметим лишь некоторые результаты рентгеновских и нейтронных исследований. (Подробнее см. Изюмов и Озеров (1966) и [15, 16]). Теоретически эти плотности можно найти, если известна волновая функция системы, ибо квадрат ее модуля п дает пространственную плотность электронов. Из общей теории волновая функция электрона в кристалле имеет вид (см. гл. 11)：
屮佛；？。)「ехр (ik^) u (7c; r) c0 (s),(20.2)
где модулирующий множитель и (fc, г) обладает периодичностью решетки, а вид его определяется потенциалом последней, са (s) — спиновая функция электрона с проекцией спина о, s — спиновая «координата». Из (20.2) видно, что зарядовая плотность электронов в кристалле р (夕)определяется модулирующим фактором и (乃；г) **):
p (尸)=]巫体：河口•(20.3)
Оверхаузер [7] считает, что основное состояние электронной системы в таком типичном нормальном металле, как К, является состоянием типа ВСП. Теория Оверхаузера позволяет предсказать, например, зависимость от направления магнитного поля относительно осей кристалла для угловой корреляции при аннигиляции позитронного излучения в металле. Густавсон и Барнес [8] на образце К экспериментально проверили (с еще не окопчательно доказанным результатом) это теоретическое предсказание.
) Строго говоря, пространственное распределение плотности электронов должно определяться с помощью точной многоэлектронной функции (屮(竽],竽？・• • •, ^^)； при этом плотность (20.3) определяется как интеграл от квадрата модуля этой функции. взятый по координатам всех остальных (N — 1) электронов*
p(r)= J ... , I 屮(，卜 r2п-1.叫，N)户沥 1 曲，2 ... drt^ dri+1 ... dry.
Таблица 20.1
Некоторые характеристики металлов переходных групп
Данные о межатомных расстояниях и типе решетки цитируются по книгеОрмонта (1950)
а. Группа железа (3d) (Внутренняя электронная оболочка Аг : Is22s22рбз$23рб)
Атомный номер Z
Символ элемента
Электронная конфигурация наружных оболочек
Радиусы электронных слоев, A
Расстояния между ионами в металле (А) и тип решетки
3d
4s
21
Sc
3d4s2
3,00
4,56
3,24 гекс. п. у. (ос) 3,204 г. ц. к. (В)
22
Ti
3&24s2
2,36
4,35
2,900 гекс. п. у. (а)
2,875 о. ц. к. (р)
23
V
3J34s2
2,09
4,15
2,6274 о. ц. к.
24
Сг
3d54s
1,96
4,98
2,493 о. ц. к. (а)
2,70 гекс. п. у. (р)
25
Мп
3d54s2
1,60
3,80
2,494 сложи, (а)
26
Fe
3d64s2
1,44
3,39
2,4778 о. ц. к. (а)
27
Со
財 74s2
1,30
3,51
2,507 гекс. п. у. (а)
28
Ni
3d84s2
1,19
3,40
2,4878 г. ц. к.
29
Си
4 s
1,14
3,70
2,5509 г. ц. к.
6. Группа палладия (4d)(Внутренняя электронная оболочка Кг : 4s22s22рб3$23рб3&1°4s24рб)
Атомн ый номер Z
Символ элемента
Электронная конфигурация наруж- ных оболочек
Радиусы электронных слоев, A
Расстояния между ионами в металле (А) и тип решетки
4d
5s
39
Y
4d5s2
4,56
5,33
3,59 гекс. п. у.
40
Zr
4d25$2
3,75
5,08
3,18 гекс. п. у. (а) 3,126 о. ц. к. (6)
41
Nb
4d45s
3,47
5,72
2,852 о. ц. к. (р)
42
Mo
4d55s
2,98
5,42
2,72 о. ц. к. (р)
43
Те
4d55s2
2,44
4,44
2,735 гекс. п. у.
44
Ru
4#5s
2,32
4,92
2,693 гекс. п. у.
45
Rh
4d85s
2,09
4,70
2,684 г. ц. к. (р)
46
Pd
4办0
4,75
2,7448 г. ц. к. (6)
47
Ag
4(/105s
3,29
4,32
2,883 г. ц. к. (р)
в. Группа редких земель—лантаниды (4/) (Внутренняя электронная оболочка Хе : Is22s22夕63$23夕63&1。4s區夕64di°5s25夕6)
Атомный номер Z
Символ элемента
Электронная конфигурация наружных оболочек
Радиусы электронных слоев, A
Расстояния между ионами в металле (А) и тип решетки
4/
.5d
6s
57
La
5d6s2
5,33
5,88
3,71 гекс, (а)
58
Се
4/5d6s2
1,14
5,33
5,88
3,634 г. ц. к. (р)
3,65 гекс. п. у. (а)
59
Рг
4/36s2
1,11
6,20
3,662 гекс, (а)
3,642 г. ц. к. (р)
60
Nd
4/46s2
1,05
—
6,20
3,657 гекс. п. у.
61
Pm
4/56S2
1,00
6,20
62
Sm
4*6s2
0,96
—
6,20
63
Eu
4产6S2
0,92
—
6,20
4,084 о. ц. к.
64
Gd
4尸5d6s2
0,85
5,33
9,80
3,622 гекс. п. у.
65
Tb
4/8526s2
0,83
5,33
9,80
3,585 гекс. п. у.
66
Dy
4尸0652
0,80
—
6,20
3,578 гекс. п. у.
67
Ho
4/U6S2
—
—
6,20
3,557 гекс. п. у.
68
Er
4/126s2
—
——
6,20
3,532 гекс. п. у.
69
Tm
4/136s2
0,78
—
6,20
3,523 гекс. п. у.
70
Yb
4/146s2
0,70
—
6,20
3,866 г. ц. к.
г. Группа платины (5с?)
(Внутренняя электронная оболочка Yb2+ : Is22s22p63S23p63d104s24P24办0好145S25p6
Атомный номер Z
Символ элемента
Электронная конфигурация наружных оболочек
Радиусы электронных слоев, A
Расстояния между ионами в металле (А) и тип решетки
5d
6s
71
5d6s2
5,33
9,80
3,509 гекс. п. у.
72
5a26s2
4,35
9,33
3,14 гекс. п. у. (а)
73
5(/3 6s2
3,72
8,40
2,854 о. ц. к.
74
5@46s2
3,25
7,90
2,735 о. ц. к. (а)
75
5@56s2
2,86
7,35
2,755 гекс. п. у.
76
5W66s2
2,56
6,88
2,725 гекс. п. у.
77
5d76s2
2,32
6,53
2,708 г. ц. к.
78
5W96s
2,22
7,51
2,769 г. ц. к.
79
5d106s
1,94
7,06
2,883 г, ц. к.
д. Группа актинидов (5/ и 6d)(Внутренняя электронная оболочка Rn : ls22s^2pQ3s23pQ3d1Q^ х
X4/Ai 现%产45S25p65d106s26р6)
Атомный номер Z
Символ элемента
Электронная конфигурация наружных оболочек
Радиусы электронных слоев, A
Расстояния между ионами в металле (А) и тип решетки
5/
6d
7s
89
Ас
Qd7s2
90
Th
6d27s2
5,80
〜10
3,59 г. ц. к.
91
Ra
5产6d7s2 (?)
—
4,8
〜9
3,25 тетрагон.
92
и
5/36&7 s2
4,1
&4
2,77 сложи.
2,97 о. ц. к.
93
Np
5/46d7s2 (?)
1,11
5,88
10
94
Pu
5 的 7s2
—
—
95
Am
5"7s2
1,11
6,2
96
97
Cm Bk
5产m 7s2(?) 5/86J7s2 (?)
1,07
6,2
98
Cf
5/1。7s2 (?)
К сожалению, пока еще неизвестна не только точная многоэлектронная функция электронов кристалла, но даже сколько-нибудь точная одноэлектронная функция (20.2), что не позволяет произвести корректный расчет плотности (20.3). В последнее время этому вопросу уделяется большое внимание и появились работы, в которых делаются попытки, используя метод Хартри — Фока, рассчитать возможно точно электронную плотность в переходных металлах (см. Ватсон и Фримен [17]). Однако наиболее надежные сведения пока получают из опыта по измерению атомных форм-факторов при определении сечений рассеяния в кристаллах рентгеновских лучей и нейтронов. Атомный форм-фактор рассеяния F(q} [Ландау и Лифшиц (1963), Компанеец (1957), Слэтер [18]] находится в прямой связи с плотностью р (г) электронной оболочки атома ):
戸(g)= j р (г) exp (irq) &竿, (20.4)
где q — изменение вектора импульса рассеиваемой атомом частицы (фотона или нейтрона), возникающее при столкновении. Поскольку, как это видно из (20.4), формфактор и плотность связаны фурье-преобразованием, в предельном случае однородной плотности (случай свободных электронов:屮(4; г) a exp (ikr) и p-const) для формфактора имеем F (q) — 6 (q), т. е. рассеяния нет： в противоположном предельном случае максимально неоднородного распределения электронов р (" = 6 (河)форм-фактор не зависит от угла рассеяния 尸(q) ~ const. Очевидно, что в наиболее интересных промежуточных случаях F (а) является какой-то функцией д, определяя которую на опыте, можно с помощью (20.4) найти и р (г).
Поскольку спиновая плотность связана в основном лишь с наружной частью оболочки атома, то максимум радиального распределения спиновой плотности лежит
дальше от центра ядра, чем максимум зарядовой плотности. Отсюда из (20.4) сразу следует, что магнитный форм-фактор нейтронов спадает с ростом q быстрее, чем рентгеновский форм-фактор, как это видно из рис. 20.1.
Из сказанного ясна важность измерений рентгеновских и нейтронных форм-факторов переходных металлов. Вейсс и де Марко [19] сделали первую попытку экспериментального определения рентгеновского форм-фактора в чистых металлах группы железа (Ti, V, Сг, Мп, Fe, Со, Ni и Си). Они
Рис. 20.1. Нейтронный N и рентгеновский X форм-факторы 尸(q) железа кан функции волнового числа q, определяемого изменением импульса рассеиваемой атомом частицы： q = 4л sine/九 (X—длина волны фотона или нейтрона, О — угол рассеяния) (Натане и Пикар [16])-Рис. 20.1. Нейтронный N и рентгеновский X форм-факторы 尸(q) железа кан функции волнового числа q, определяемого изменением импульса рассеиваемой атомом частицы： q = 4л sine/九 (X—длина волны фотона или нейтрона, О — угол рассеяния) (Натане и Пикар [16])-поставили задачу экспериментально разделить электронную плотность в кристалле на три части:
Рис. 20.1. Нейтронный N и рентгеновский X форм-факторы 尸(q) железа кан функции волнового числа q, определяемого изменением импульса рассеиваемой атомом частицы： q = 4л sine/九 (X—длина волны фотона или нейтрона, О — угол рассеяния) (Натане и Пикар [16])-
Рис. 20.1. Нейтронный N и рентгеновский X форм-факторы 尸(q) железа кан функции волнового числа q, определяемого изменением импульса рассеиваемой атомом частицы： q = 4л sine/九 (X—длина волны фотона или нейтрона, О — угол рассеяния) (Натане и Пикар [16])-
плотность заполненной оболочки типа атома аргона, содержащую во всех исследуемых металлах 18 электронов (см. табл. 20.1а):
плотность электронов, радиальное распределение которых у узлов решетки напоминает атомные Зс?-электроны;
коллективизированные электроны (4s, 4р) с плотностью, близкой к однородной.
Опыт заключается в измерении абсолютных форм-факторов и вычитании из них вкладов от замкнутой оболочки с конфигурацией Аг, которые рассчитываются по обычному методу самосогласованного поля для изолированного атома. При этом, также предполагается, что радиальное распределение 4s- и 4р-
определить эту радиальную плот- и де Марко получили в исследован- 3d-злектронов, приходящихсяопределить эту радиальную плот- и де Марко получили в исследован- 3d-злектронов, приходящихсяэлектронов в кристалле таково, что их форм-факторы исчезающе малы при всех углах Брэгга — Вульфа для кристаллов металлов группы железа с высокой симметрией. После вычитания вклада «замкнутой оболочки Аг» в форм-факторе остается лишь вклад от локализованной части плотности 3&-злектро・ нов. Используя далее формулу (20.4), можно ность. В результате обработки измерений Вейсс
определить эту радиальную плот- и де Марко получили в исследован- 3d-злектронов, приходящихся
определить эту радиальную плот- и де Марко получили в исследован- 3d-злектронов, приходящихся
ных кристаллах для среднего числа локализованных на один узел, следующие значения:
Сг Fe Со Ni Си0,2 2,3 8,4 9,7 9,8
с точностью в каждом случае порядка ±0,3 электрона на узел. Результаты этих экспериментов для случая Fe были подвергнуты серьезной критике как с экспериментальной [20—22], так и с теоретической [23] стороны. В частности, Баттермен и др. [21] произвели весьма детальное измерение рентгеновских форм-факторов для Fe, Си и Al и нашли, что для Fe, в отличие от результатов работы [19], число локализованных 3d электронов у узла решетки равно не 2,3, а ближе к значению для свободного атома (около 6)・ Пока нет оснований считать полученные результаты окончательными. Здесь требуется еще большая и кропотливая работа. Однако, сама постановка таких исследований весьма актуальна для всей проблемы переходных металлов. Работа Вейсса и де Марко [19], несмотря на ошибку для случая железа, послужила началом нового направления исследований по изучению рентгеновских и нейтронных форм-факторов и уточнению методов расчета электронной плотности в кристаллах.
Важную информацию об электронной плотности в кристалле дает изучение магнитных форм-факторов с помощью поляризованных пучков медленных нейтронов, В соответствии с общей формулой (20.4) нейтронный форм-фактор, нормированный на число электронов в ячейке Вигнера — Зейтца [см. Зейтц (1949)； Бете и Зоммер- фельд (1938)], связан с плотностью нескомпенсированных электронных спинов Ар (г) формулой (Вейсс и Фримен [24])
(20.5)(20.5)-^нейтр (。)= I {%+ I 屮+ ⑺ |2 —N- I 屮-⑺ I2} exp (切建 dr.
(20.5)
(20.5)
где I 屮+ (г) I2 и I屮—(г) I2 — плотности зарядов, нормированные на единицу объема и на один электрон, a 7V+ и N_ — число электронов соответственно для проекций спина 令 и —. Интегрирование в (20.5) ведется по объему т ячейки Вигнера — Зейтца. Формфактор рентгеновских лучей, очевидно, имеет вид
(20.6)(20.6)^рентг (а) = I {%+ I 屮+ (浦 12 + ^-1 屮一(н I2} exp (iqr) dr.
(20.6)
(20.6)
При g = 0 форм-фактор ^нейтр (0) ~ %+ ——N_、т. е. равен среднему атомному магнитному моменту в единицах цБ, a ■Fpefur (0) = %十十力一 =Z, т. е. равен атомному номеру элемента. При этом вклад 18 электронов оболочки Аг предполагается таким ?ке, как ив свободном атоме. Для ^нейтр оболочка Аг дает незначительный вклад, поскольку для нее выполняется во всех точках ячейки приближенное равенство N | 屮+ (г) |2、 а 屮一 (г) I2.
Для рентгеновского форм-фактора (20.6) вклад от оболочки Аг можно вычесть, предварительно рассчитав его для свободного атома по методу самосогласованного поля. Таким образом, формулы (20.5) и (20.6) дают нам форм-факторы, обусловленные рассеянием нейтронов и рентгеновских фотонов на 3d. и 4s4/?-электронах. Вейсс
Рис. 20.2. Радиальное распределение электронной плотности U (г) в кристалле Fe (в условных единицах) с не- скомпенсированным спином (кривая 3d) и с нулевым спином (кривая 4s, 4р). Пунктирная кривая — радиальное распределение плотности при однородном распределении заряда в кристалле (Вейсс и Фримен [24]).Рис. 20.2. Радиальное распределение электронной плотности U (г) в кристалле Fe (в условных единицах) с не- скомпенсированным спином (кривая 3d) и с нулевым спином (кривая 4s, 4р). Пунктирная кривая — радиальное распределение плотности при однородном распределении заряда в кристалле (Вейсс и Фримен [24]).ититРис. 20.3. Радиальное распределение плотности U (г) полного заряда у узла решетки Ni (сплошная кривая) и радиальное распределение спиновой плотности, нормированные на одно и то же число электронов (пунктирная кривая). Масштаб по оси ординат в условных единицах (Вейсс и Фримен [24]).Рис. 20.3. Радиальное распределение плотности U (г) полного заряда у узла решетки Ni (сплошная кривая) и радиальное распределение спиновой плотности, нормированные на одно и то же число электронов (пунктирная кривая). Масштаб по оси ординат в условных единицах (Вейсс и Фримен [24]).
Рис. 20.2. Радиальное распределение электронной плотности U (г) в кристалле Fe (в условных единицах) с не- скомпенсированным спином (кривая 3d) и с нулевым спином (кривая 4s, 4р). Пунктирная кривая — радиальное распределение плотности при однородном распределении заряда в кристалле (Вейсс и Фримен [24]).
Рис. 20.2. Радиальное распределение электронной плотности U (г) в кристалле Fe (в условных единицах) с не- скомпенсированным спином (кривая 3d) и с нулевым спином (кривая 4s, 4р). Пунктирная кривая — радиальное распределение плотности при однородном распределении заряда в кристалле (Вейсс и Фримен [24]).
ит
ит
Рис. 20.3. Радиальное распределение плотности U (г) полного заряда у узла решетки Ni (сплошная кривая) и радиальное распределение спиновой плотности, нормированные на одно и то же число электронов (пунктирная кривая). Масштаб по оси ординат в условных единицах (Вейсс и Фримен [24]).
Рис. 20.3. Радиальное распределение плотности U (г) полного заряда у узла решетки Ni (сплошная кривая) и радиальное распределение спиновой плотности, нормированные на одно и то же число электронов (пунктирная кривая). Масштаб по оси ординат в условных единицах (Вейсс и Фримен [24]).
н Фримен [24], используя новые методы расчета форм-факторов [171, а так?ке данные рентегеновских [19—22] и нейтронографических [25] исследований, вычислили плотность электронов для кристаллов Fe и Ni *). На рис. 20.2 приведены кривые зависимости от г (где г — расстояние от центра ядра) плотности U (г) электронов в кристалле Fe для слоя с нескомиенсированным спином (кривая 3d), а также для слоев со скомпенсированным спином (4s и Zp). Там ?ке нанесена пунктирная кривая для однородной плотности с нулевым форм-фактором для всех углов Вульфа — Брэгга. Из сравнения кривых для 3d- и 4з — 4р-электронов с пунктирной видно, что плотность 4s — 4р- электронов близка к однородной, тогда как плотность 3&-злектронов резко локализована. Таким образом, по данным работы [24] магнитный момент в кристалле Fe создается зарядом с плотностью 2,2 hp+ (3d) |2, локализованным у узлов кристалла, а все остальные Зс?-электроны (3,8 на узел) образуют вместе с двумя 4з-электронами близкую к однородному распределению систему коллективизированных электронов с плотностью
2,9 [1 屮+ (4s,效)|2+|h(专，4p)!2].
В случае кристаллов Ni картина оказывается иной. Здесь спиновая плотность получается от 3(7-электронов в количестве 5,0 ва узел с проекцией спина (十)и в количестве 4,4 на узел с проекцией спина (—). На рис. 20.3 приведена кривая для распределения плотностей локализованного заряда и спина у узла кристалла Ni. Различие кривых рис. 20.3 показывает небольшое смещение к центру узла спиновой плотности. Оно обусловлено обменным взаимодействием электронов 3&-слоя при наличии отличного от нуля суммарного спина слоя, что и приводит к разному распределению зарядовой плотности для электронов с различной ориентацией спина. Опыт позволил уста
повить, что в Ni 3^~электроны (5,0 на узел) имеют радиальную плотность U+ (г), несколько более сжатую к центру узла, чем плотность U_ (г) у 4,4 на узел 3(7-электронов с противоположной проекцией спина. На рис. 20.4 приведены кривые разности этих плотностей для Ni (пунктирная кривая) и для Fe (сплошная кривая). Для Fe различие U+ и U_ больше, чем у Ni; это связано с более сильным обменом в Fe и с большей величиной спина.
Важно учитывать анизотропию (асферичность) форм-факторов, определяемую симметрией кристалла. Форм-фактор для каждого из электронных состояний, на которые расщепляется вырожденный d- и /-уровень в кристаллическом поле данной симметрии (например, трехкратно вырожденный %g и двукратно вырожденный eg уровень,
Рис. 20.4. Разность плотностей- заряда U+ (г) — U~ (г) (на один электрон) для двух спиновых проекций (+и——)в изолированном атоме Fe (сплошная кривая) и в атоме Ni (пунктирная кривая) (Вейсс и Фримен [24]).Рис. 20.4. Разность плотностей- заряда U+ (г) — U~ (г) (на один электрон) для двух спиновых проекций (+и——)в изолированном атоме Fe (сплошная кривая) и в атоме Ni (пунктирная кривая) (Вейсс и Фримен [24]).尸仞尸仞Рис. 20.5. Нейтронный форм фактор 尸(q) (q — =4 л: sin О/九)нейтрального атома Fe. Теоретические кривые F+ и Е_ (Вуд и Пратт [31])； опытная кривая F сп для иона Fc3+ по данным Натанса и др. [25] и [32]. Экспериментальные точки получены на металлическом Fe (Шалл и Ямада [30]).Рис. 20.5. Нейтронный форм фактор 尸(q) (q — =4 л: sin О/九)нейтрального атома Fe. Теоретические кривые F+ и Е_ (Вуд и Пратт [31])； опытная кривая F сп для иона Fc3+ по данным Натанса и др. [25] и [32]. Экспериментальные точки получены на металлическом Fe (Шалл и Ямада [30]).
Рис. 20.4. Разность плотностей- заряда U+ (г) — U~ (г) (на один электрон) для двух спиновых проекций (+и——)в изолированном атоме Fe (сплошная кривая) и в атоме Ni (пунктирная кривая) (Вейсс и Фримен [24]).
Рис. 20.4. Разность плотностей- заряда U+ (г) — U~ (г) (на один электрон) для двух спиновых проекций (+и——)в изолированном атоме Fe (сплошная кривая) и в атоме Ni (пунктирная кривая) (Вейсс и Фримен [24]).
尸仞
尸仞
Рис. 20.5. Нейтронный форм фактор 尸(q) (q — =4 л: sin О/九)нейтрального атома Fe. Теоретические кривые F+ и Е_ (Вуд и Пратт [31])； опытная кривая F сп для иона Fc3+ по данным Натанса и др. [25] и [32]. Экспериментальные точки получены на металлическом Fe (Шалл и Ямада [30]).
Рис. 20.5. Нейтронный форм фактор 尸(q) (q — =4 л: sin О/九)нейтрального атома Fe. Теоретические кривые F+ и Е_ (Вуд и Пратт [31])； опытная кривая F сп для иона Fc3+ по данным Натанса и др. [25] и [32]. Экспериментальные точки получены на металлическом Fe (Шалл и Ямада [30]).
возникающие из пятикратно вырожденного З^-уровня в поле кубической симметрии) можно представить сумму сферической и асферической частей (см., например, [26]).
Приведенная выше теоретическая интерпетация опытов по нейтронной дифракции ограничена приближенностью используемого метода самосогласованного поля. Ватсон и Фримен [28] указали, что благодаря эффектам спиновой поляризации возникает измеримое различие в нейтронном и рентгеновском форм-факторах, что затрудняет получение прямой и детальной информации о распределении 3@-злектронов с помощью измеряемых нейтронных форм-факторов. Кроме того, эти авторы обратили внимание еще на одну трудность, возникающую при интерпретации результатов по измерению форм-факторов в опытах типа Вейсса и де Марко [19] и заключающуюся в том, что теоретическая интерпретация форм-факторов существенно зависит от степени «иони- зацпи^ атомов в кристалле, которая не может быть определена из этих опытов. В связи с этим интересен расчет Вуда [29], в котором показано, что одноэлектровные функции J-полосы в о. ц. к. решетке Fe уменьшают степень своей делокализации при переходе от «дна» полосы к ее «верху». При этом Вуд считает, что его расчеты находятся в противоречии с данными работы [19]. Херринг [23] из простых электростатических соображений показал, что ни число 3J-электронов, ни их пространственное распределение не могут существенно отличаться от соответствующих величин для изолированного атома. В основном, его доводы сводятся к тому, что при равномерном «размазыванип» заряда З^-злектронов по всей ячейке увеличивается их электростатическая энергия взаимодействия с положительно заряженным ионным остовом.
В качестве примера определения распределения спиновой плотности в кристаллах по нейтронным измерениям (с помощью полярпзованных пучков нейтронов) рассмо- рпм случай Fe. Этот металл был исследован в работах [25, 30]. На рис. 20.5 показаны эксперимент альные точки работы [30] в сравнении с теоретическими кривыми форм- факторов F+ и F_ для свободного атома Fe (для 3d* и 3厘£), вычисленными Вудом и Праттом [31]. а также экспериментальной кривой, полученной Натансом и др. [32] для иона Fe3+ в магнетите. Экспериментальные точки лежат выше теоретической кривой F+ и экспериментальной для Fe3+. Это показывает, что в кристалле Fe спиновая плотность несколько больше, чем в свободном атоме или в ионном соединении. Наличие пар
экспериментальных точек на рис. 20.5 при одном и том же абсолютном значении волнового вектора。，указывает на асферичность спиновой плотности. Точки в этих парах относятся к отражениям от плоскости с разными миллеровскими индексами n, т,厶 но с одинаковыми суммами их квадратов n2 + m2 -h ^2 (например, (511) и (333) в г. ц. к. решетке), т. е. к одному и тому же модулю вектора。, но к двум различным его направлениям. Этот вывод о несферичности нашел широкое подтверждение на множестве
спиновой плотности в плоскости типа (0 10) элементарной ячейки кристалла Fe (d—период решетки). Цифрыспиновой плотности в плоскости типа (0 10) элементарной ячейки кристалла Fe (d—период решетки). Цифрына кривых дают значения плотности магнитного момента в единицах ц^/АЗ； пон Fe3+ находится в левом верхнем углу чертежа (Шалл и Ямада [30]).на кривых дают значения плотности магнитного момента в единицах ц^/АЗ； пон Fe3+ находится в левом верхнем углу чертежа (Шалл и Ямада [30]).и Ямада [30]).и Ямада [30]).
спиновой плотности в плоскости типа (0 10) элементарной ячейки кристалла Fe (d—период решетки). Цифры
спиновой плотности в плоскости типа (0 10) элементарной ячейки кристалла Fe (d—период решетки). Цифры
на кривых дают значения плотности магнитного момента в единицах ц^/АЗ； пон Fe3+ находится в левом верхнем углу чертежа (Шалл и Ямада [30]).
на кривых дают значения плотности магнитного момента в единицах ц^/АЗ； пон Fe3+ находится в левом верхнем углу чертежа (Шалл и Ямада [30]).
и Ямада [30]).
и Ямада [30]).
исследованных кристаллов. На рис. 20.6 и 20.7 в качестве примера показаны ^топографические карты» распределения спиновой плотности соответственно для двух плоскостей (010) и (110) в элементарной ячейке кристалла Fe по данным [30]. Из этих данных (где отдельные линии соединяют точки с одинаковым значением спиновой плотности, а цифры около них означают величину плотности магнитного момента в единицах 也/重)， видна существенная асимметрия распределения спиновой плотности у узлов кристалла. Так, из рис. 20.6 видно, что линии постоянной плотности более сжаты в направлении оси [110], чем вдоль оси [100], а из рис. 20.7 видно, что картина линий вдоль оси [111] еще более сжата к центру атома Fe. Аналогичные карты были получены также для Со [33] и Ni [25, 34]. Весьма интересны измерения магнитного форм-фактора Ni, проведенные Мукой [35], для первых 27 брэгговских отражений с помощью поляризованных нейтронов. Он также обнаружил асферическое распределение спиновой плот-
ности. Анализ опытных данных позволил с достаточным основанием считать, что 81 ±1 % З^-магнитных электрона находятся на Z2g орбитах, а также, что намагниченность на атом в кристалле складывается из следующих трех компонент (на атом): 1) 0,656 “е — спиновый (положительный) вклад З^-электронов; 2) 0,055|д，Б — орбитальный (положительный) вклад З^-электронов; 3) —0,105|iB — отрицательный вклад. Последний был обнаружен также в работах Шалла и Ямада [30] и Муна и др. [33] соответственно для Fe и Со; он обусловлен либо отрицательной спиновой поляризацией 4з-электронов, либо таким же эффектом внутри 3^-системы.
Итак, по-видимому, необходимым, но еще недостаточным условием существования ферро- II антиферромагнетизма в металлах является сохранение (хотя бы частичное) недостроенного d- или /-слоя электронной оболочки с нескомпенсированными магнитными моментами, достаточно локализованного около узлов решетки. Можно высказать следующее соображение о распределении электронной плотности в ферро- и антиферромагнитных металлах. Вокруг положительно заряженных ионных остовов, с практически неискаженной и спин-насыщенной электронной оболочкой расположены частично сохранившиеся (по сравнению с оболочкой изолированных атомов) недостроенные d-слои, или почти полностью сохранившие свою атомную локализацию /-слои с не- скомпенсированными магнитными моментами. Эта квазилокализованная система омывается ферми-жидкостью электронов проводимости из бывших валгентных s- и р-эле- ктронов и в некоторых случаях частично также из ^-электронов.
Обменное взаимодействие в /- и d-металлах
В переходных d- и /-металлах приобретает особенно важное значение вопрос о происхождении атомного магнитного порядка. В редкоземельных кристаллах недостроенные 4/-слои практически не перекрываются (именно поэтому они сохраняют тот же локализованный характер, какой они имели в изолированном атоме). В связи с этим невозможно существование сильного прнмоео / ——/-обменного взаимодействия. Вместе с тем, например, в случае Gd точка Кюри 0 достаточно высока (^300° К), следовательно, порядок величины энергетического параметра 力万〜施®, характеризующего / — /-обменную связь, оказывается порядка 3 «10-14 эрг. Учитывая это обстоятельство, Зинер [36] высказал предположение, что в формировании положительного обменного взаимодействия активную роль должны играть электроны проводимости (см. работы [37—40]). Идея Зинера также приобрела интерес, когда было обнаружено, что в сильно разбавленном растворе Мп (《2%) в диамагнитном Си наблюдается антиферро- и ферромагнитное состояние с точками Кюри и Нееля порядка 25° К (см. [41—43]). В таких разбавленных растворах (как и в случае чистых редкоземельных металлов) прямое короткодействующее обменное взаимодействие между парамагнитными ионами Мп исчезающе мало из-за больших расстояний между этими ионами (более 10d). Приходится предположить, что антиферро- или ферромагнитное состояние в этих сплавах вызвано эффективной дальнодействующей обменной связью, обусловленной s — d- (или s — /-) обменом между электронами проводимости и парамагнитными ионами или косвенным обменом между этими ионами через возбужденные состояния электронов наружных слоев, лежащих между ними диамагнитных ионов Си или других элементов (см. гл. 21).
Еще труднее вопрос о возникновении ферро- и антиферромагнитного состояний в d-металлах. Заметное перекрытие с?-функций в кристалле как будто позволяет говорить о прямой d ——^-обменной связи. Однако, как мы видели в гл. 19, до сих пор нет ясности, может ли ьта связь обеспечить наблюдаемые величины точек Кюри и Нееля; не выяснено также влияние коллективизации ^-электронов на характер и величину обменной связи. Анализ электронных свойств d-металлов (их электронной теплоемкости, парамагнитной восприимчивости, рентгеновских спектров, электропроводности и т. п.) позволяет утверждать, что система электронов проводимости в них существенно отличается по своим характеристикам от таковой, например, для непереходных щелочных металлов или для Си, Ag и Au. Это отличие прежде всего заключается в заметно повышенной плотности электронных состояний вблизи поверхности Ферми (определяемой
по величине электронного вклада в теплоемкость металла в области низких температур порядка 1° К), что является непосредственным доказательством того факта, что d-злектроны входят в коллективизированную систему электронов проводимости. Вместе с тем описанные выше измерения нейтронных и рентгеновских форм-факторов в этих металлах указывают на практически почти неизмененную (по сравнению с изолированными атомами) локализацию вклада в электронную плотность от ^-электронов. Можно с известным правом сказать, что в ^-металлах у электронов имеет место своего рода «суперпозиция» кристаллической коллективизации и пространственной локализации, характерной для изолированных атомов. Эта суперпозиция отражена и в записи волновой функции электрона (20.2) в кристалле. Фактор плоской волны exp {Шт) характеризует тенденцию коллективизации, а модулирующий множитель 〃 (乃；г)——локализацию у узлов. Как мы видели выше, при рассмотрении атомных форм- факторов в d-металлах модулирующий множитель очень близок к атомным ^-функциям. В металлах нормальных групп в системе коллективизированных электронов обменные силы подавляются фермиевской энергией (см. гл. 11) и не могут привести к возникновению магнитного порядка. В переходных же металлах ситуация для обменных сил может оказаться более благоприятной. Поэтому в некоторых случаях в них и наблюдается ферро- или антиферромагнетизм, как результат преобладания обменной связи. Именно, как будет показано ниже, наличие узких энергетических полос бывших внутренних ^-электронов при сохранении заметной локализации зарядовой и спиновой плотности у узлов кристалла и делает возможным спиновое упорядочивание в системе коллективизированных s- и d-злектро- нов в d-металлах и сплавах.
Таким образом, происхождение обменной связи электронных магнитных моментов в металлах обусловлено активным влиянием электронов проводимости на систему нескомпенсированных магнитных моментов бывших d- и /-электронов.
Наряду с этим возникает другой важный вопрос об обратном влиянии системы ^-электронов (или /-электронов) и вообще атомного магнитного порядка на свойства системы электронов проводимости и через них на весь комплекс электронных свойств переходных металлов.
Так, например, в случае ферромагнетизма результирующая самопроизвольная намагниченность связана со снятием спинового вырождения в системе электронов проводимости. Это приводит к《сдвигу» энергетических уровней для электронов с + и — проекциями спина, а также к аналогичному расщеплению внутренних уровней ионных остовов. На рис. 20.8 показано, к чему приводит это расщепление уровней для фер- ми-газа электронов проводимости в металлах. На каждой из шести схем (а — ё) рис. 20.8 показаны графики зависимости от энергии £ плотностей состояний g+(£)Mg_ (е) для электронов проводимости соответственно с + и — проекциями спина. (Для упрощения предполагается, что функции g土(£)имеют квадратичную зависимость от е.) Заштрихованные участки полуокружностей соответствуют занятым уровням. Рис. 20.8, а и 20.8, е отвечают случаю, когда обменного расщепления уровней нет, поэтому заполнение полос для + и ——спинов совершенно одинаковое и разделение энергетической полосы на подполосы для электронов с + и ——спинами носит чисто формальный характер. На рис. 20.8, б, в, ^ и е показана картина этих подполос при наличии обменного расщепления (ДеОб 力 0). При этом на рис. 20.8, 6, в подполосы для + и — спинов оставлены несмещенными, и показано лишь изменение их заполнения электронами (на рис. 20.8, 6 для случая ДеОб V Со, где Со — энергия Ферми в нулевом приближении, т. е. при Деоб = 0, а на рис. 20.8, в — для случая А%6 > > Со) и введены обозначения уровней Ферми ^+ и ^ _ в каждой из подполос. На рис. 20.8, @, е показана картина со смещенными подполосами для тех же двух случаев. Из этих схем видно, что при таком смещении в обоих
подполосах имеется общий уровень Ферми & от которого обычно и ведется отсчет энергии.
Количественно эффект расщепления полос в общем виде может быть описан включением в гамильтониан системы электронов металла членов вида [44—48]
4d⑺"・s,
(20.7)
где М — намагниченность системы электронов кристалла, s — оператор вектора спина электрона проводимости, A sd (г) — энергетический параметр обменного взаимодействия между электронами и намагниченностью, в общем случае являющейся функцией координат. Более конкретный вид оператора (20.7) можно получить из общих соображений кристаллохимической и магнитной симметрии данного металла. Оператор типа (20.7) при этом будет, конечно, содержать параметры типа 4血 для определения которых необходимы более детальные микроскопические представления об электронной структуре кристалла (подробнее см. ниже). В частном случае, если систему электронов проводимости можно рассматривать как
газ ферми-частиц с произвольным законом дисперсии е (乃)，то общий вид последнего в «изотропном» по спиновым членам приближении дается формулой
6 (fc, ст) = 6q (7с>+ Asd (fc) Mzg,
(20.8) где к — вектор квазиимпульса электрона проводимости, а ——проекция его спина, а Mz — проекция намагниченности системы на ось квантования z, е0 (乃)一часть энергии ферми-частицы, не зависящая от спина, Asd (А*)— параметр обменной связи, вообще говоря, зависящий от к.
В случае антиферромагнетизма атомный магнитный порядок (наличие магнитных подрешеток) в кристалле также оказывает существен-
г)
Рис. 20.8. Сдвиг Деод энергетических полос коллективизированных электронов в металле под влиянием обменного взаимодействия | е。。I • Парамагнитное состояние (а) и (г); ферромагнитное состояние (б) и (6) — «слабое» (когда I %б I меньше некоторого критического значения I %6 I кр I)； ⑷ и (е) — «сильное» (когда |е об | больше некоторого другого критического значения I%。I Кр ц А !еоб кр I)- g土(е)—плотность электронных состояний соответственно с + н с — спинами; g。一 уровень Ферми при А%。= 0, a g+ н L — уровни Ферми в подполосах электронов с + и— спинами; g — общий уровень Ферми в «сдвинутых» подполосах при А%。密 °-
ное влияние на характер движения электронов проводимости. Это можно понять из того факта, что в антиферро- и ферримагнитных кристаллах электрон проводимости при переходе от узла одной магнитной подрешетки к узлу другой будет переходить от узла со спином одной какой-то величины и одного направления к узлу со спином другой величины и направления, т. е. движение электронов будет происходить в своего рода упорядоченном спиновом «сплаве». Поэтому состояние электронов проводимости в кристалле с несколькиим магнитными подрешетками должно существенно отличаться от их состояния в кристалле с одной подрешеткой или в парамагнитном кристалле. Отличие сводится к тому, что в антиферромагнитном кристалле у электронов проводимости происходит частичное снятие пространственного вырождения, поскольку наличие нескольких магнитных подрешеток приводит к изменению периодичности потенциального поля (т. е. к понижению его симметрии), в котором движутся электроны. В этом случае для электронов проводимости с различными проекциями спина сдвига, энергетических подполос не происходит (рис. 20.8),
Рис. 20.9. Появление запрещенного участка энергий Деаф j середине полосы проводимости (4s) под влиянием антиферромагнитного упорядочения локализованных спинов 3d-зпектронов в металле (показанных на чертеже стрелками).Рис. 20.9. Появление запрещенного участка энергий Деаф j середине полосы проводимости (4s) под влиянием антиферромагнитного упорядочения локализованных спинов 3d-зпектронов в металле (показанных на чертеже стрелками).Рис. 20.10. Схема, иллюстирующая связь четырех различных основных механизмов обмена в кристаллах с металлической (ее преобладание указано вертикальной стрелкой, направленной вверх) и неметаллической (см. вертикальную стрелку, направленную вниз) связью для локализованных (горизонтальная стрелка, направленная влево) и делокализованных (горизонтальная стрелка, направленная вправо) моментов. Каждый тип обмена представлен двумя концентриче- сними окружностями; из них внутренняя (сплошная линия) представляет основную область действия данного типа связи, а внешняя (пунктирная линия) возможную область (подчиненного) действия (Херринг) [2]).Рис. 20.10. Схема, иллюстирующая связь четырех различных основных механизмов обмена в кристаллах с металлической (ее преобладание указано вертикальной стрелкой, направленной вверх) и неметаллической (см. вертикальную стрелку, направленную вниз) связью для локализованных (горизонтальная стрелка, направленная влево) и делокализованных (горизонтальная стрелка, направленная вправо) моментов. Каждый тип обмена представлен двумя концентриче- сними окружностями; из них внутренняя (сплошная линия) представляет основную область действия данного типа связи, а внешняя (пунктирная линия) возможную область (подчиненного) действия (Херринг) [2]).
Рис. 20.9. Появление запрещенного участка энергий Деаф j середине полосы проводимости (4s) под влиянием антиферромагнитного упорядочения локализованных спинов 3d-зпектронов в металле (показанных на чертеже стрелками).
Рис. 20.9. Появление запрещенного участка энергий Деаф j середине полосы проводимости (4s) под влиянием антиферромагнитного упорядочения локализованных спинов 3d-зпектронов в металле (показанных на чертеже стрелками).
Рис. 20.10. Схема, иллюстирующая связь четырех различных основных механизмов обмена в кристаллах с металлической (ее преобладание указано вертикальной стрелкой, направленной вверх) и неметаллической (см. вертикальную стрелку, направленную вниз) связью для локализованных (горизонтальная стрелка, направленная влево) и делокализованных (горизонтальная стрелка, направленная вправо) моментов. Каждый тип обмена представлен двумя концентриче- сними окружностями; из них внутренняя (сплошная линия) представляет основную область действия данного типа связи, а внешняя (пунктирная линия) возможную область (подчиненного) действия (Херринг) [2]).
Рис. 20.10. Схема, иллюстирующая связь четырех различных основных механизмов обмена в кристаллах с металлической (ее преобладание указано вертикальной стрелкой, направленной вверх) и неметаллической (см. вертикальную стрелку, направленную вниз) связью для локализованных (горизонтальная стрелка, направленная влево) и делокализованных (горизонтальная стрелка, направленная вправо) моментов. Каждый тип обмена представлен двумя концентриче- сними окружностями; из них внутренняя (сплошная линия) представляет основную область действия данного типа связи, а внешняя (пунктирная линия) возможную область (подчиненного) действия (Херринг) [2]).
но тем не менее энергетический спектр может существенно измениться. Например, возможно появление в средней части энергетической 4^-полосы электронов проводимости запрещенного участка Деаф [49], подобно тому
как это происходит при атомном упорядочении в металлических сплавах (рис. 20.9) [50].
Итак, наличие магнитного порядка в кристалле переходного металла приводит к существенным изменениям энергетического спектра электронов проводимости. При этом здесь наблюдаются два ^основных эффекта: 1) снялше спинового зырожЗени贪(720 направлению) и 2) снятие пространственного зырожЗени 贪.
Естественно, что эти изменения
в энергетическом спектре электронов проводимости должны сказываться на равновесных физических свойствах металла и его кинетических эффектах, в которых участвуют электроны проводимости. В ферро- и антиферромагнетиках электроны проводимости, участвуя в электрическом или тепловом токе, рассеиваются не только
на тепловых колебаниях (фононах) или статических искажениях (дефектах) кристаллической решетки, но также и путем столкновений с различными неоднородностями. Механизм взаимодействия, определяющий эти последние столкновения, отличен от механизма рассеяния на фононах или дефектах решетки, поэтому соответствующие ему вклады в кинетические коэффициенты будут иметь специфическую температурную зависимость (ферро- и антиферромагнитные «аномалии»). Поскольку флуктуации маг-
нитного порядка резко возрастают вблизи точек Кюри и Нееля, то вблизи них следует ожидать максимального проявления указанных выше особенностей (подробнее см. гл. 25).
В рассматриваемой трактовке энергия s — d- (или s — /-) связи мала по сравнению с энергией Ферми * Действительно, в реальных случаях g 10-12 эрг, a Asd ^ IO-13—10-14 эрг, и следовательно 力久/之 ^ 0,01 — —0,1, т. е. это отношение можно считать малым безразмерным параметром и пользоваться для расчетов методами теории возмущений.
Приведенные качественные соображения в целом правильно предсказывают общий характер отличий в поведении электронно-спиновой системы в переходных металлах от ее поведения в нормальных.
На рис. 20.10 по Херрингу [2] показано в виде наглядной схемы соотношение между четырьмя конкурирующими типами обменной связи в металлах и неметаллах при наличии локализованных моментов. Граница области действия каждого типа связи несколько расплывчата — это показано пунктирными линиями. Поэтому в реальном кристалле мы, строго говоря, всегда имеем дело с суперпозицией почти всех типов связи. Обмен коллективизированных электронов относится в основном к металлам с делокализованными моментами. Поэтому его область действия почти не перекрывается с прямым обменом, который может иметь место в диэлектриках с локализованными моментами. Крамерсовский косвенный обмен (см. гл. 22) более характерен для диэлектриков, но он больше перекрывается с другими типами обмена, чем прямой обмен. Весьма существенно перекрытие между обменом коллективизированных электронов и косвенным обменом через электроны проводимости (по Рудерману — Киттелю [51]), поскольку обе эти разновидности обменной связи относятся к металлам.
При строгой постановке задачи о ферро- и антиферромагнетизме в металлических кристаллах необходимо было бы исходить из точного гамильтониана системы всех внешних и внутренних электронов в кристалле, в котором учтены все возможные взаимодействия и уже только в результате расчета получить выражения для эффективной обменной связи, установить критерий возникновения атомного магнитного порядка того или иного типа, а также объяснить все особенности свойств электронов проводимости обусловленные наличием магнитного порядка. Большие математические трудности, возникающие на пути решения строгой задачи для случая переходных металлов, заставили пойти по пути приближенных трактовок, среди которых отметим два основных направления: 1) зонную модель ферро- и антиферромагнетизма (модель коллективизированных электронов) и 2) s ——d- или s ——/-обменную модель ферро- и антиферромагнитных металлов. На кратком изложении содержания этих моделей и их критике мы остановимся ниже.
Было бы весьма заманчиво на основе теоретических соображений предсказать, какие из металлов ферромагнитны, а какие — нет. К сожалению, в настоящее время мы не в состоянии этого сделать. Можно однако попытаться на основании опытных фактов дать оценку энергии намагничивания, т, е. найти разность энергий между ферромагнитным (парамагнитным) основным состоянием при 0° К и гипотетическим немагнитным (ферромагнитным) состоянием. Если рассмотреть типичный парамагнитный металл с восприимчивостью % порядка 10-7 есь— то энергия намагничивания Дбмаг будет равна /2/2х (если % не зависит от /). В случае Na при намагниченности 卩^ на атом получаем рост энергии в 1 эв/атом. В случае парамигнитных металлов (например, W или сс-Мп), у которых % заметно больше, чем у Na, энергия намагничивания соответственно делается меньшей (0,3 эв/атом и соответственно 0,01 эв/атом). В ферромагнитном металле эта энергия будет отрицательной. Ее можно оценить по площади между кривой температурной зависимости удельной теплоемкости ферромагнитного металла и такой же кривой для гипотетического немагнитного
Рис. 20.11. Зависимость энергии электронного газа А^мат от его намагниченности (I в Кв/атом) для различных металлов (Гофман и др. [52], Херринг [2]).Рис. 20.11. Зависимость энергии электронного газа А^мат от его намагниченности (I в Кв/атом) для различных металлов (Гофман и др. [52], Херринг [2]).состояния. Расчеты Гофмана и др. [52] показали, что в случае Fe при намагниченности в 2,2|1е на атом выигрыш в энергии равен —0,08 эв/атом. Для Ni при намагниченности около 0,5(1е на атом получаем соответственно
Рис. 20.11. Зависимость энергии электронного газа А^мат от его намагниченности (I в Кв/атом) для различных металлов (Гофман и др. [52], Херринг [2]).
Рис. 20.11. Зависимость энергии электронного газа А^мат от его намагниченности (I в Кв/атом) для различных металлов (Гофман и др. [52], Херринг [2]).
—0,02 эв!атом. Эти результаты (см. [2, 52]) в виде кривых ЛеМаг (/) приведены на рис. 20.11.
Ферромагнетизм в моделиколлективизированных электронов
Общие замечания. Как отмечалось в § 2, состояние электрона в кристалле описывается волновой функцией (20.2), вид которой отражает две основные тенденции поведения электрона в самосогласованном периодическом поле: коллективизации и локализации. Очень трудно строго учесть влияние обеих этих тенденций. Поэтому приходится описывать их в искусственно «разорванном» виде. Отсюда и возникли две приближенные трактовки: зонная модель, фиксирующая внимание на первой тенденции, и s — d- или s — /-обменная модель, учитывающая наряду с первой важную роль второй.
В обеих этих моделях с самого начала предполагается, что в переходном металле можно, хотя бы условно, выделить две автономные группы электронов, которые можно назвать системой s-электронов или электронов проводимости и системой ^-электронов (/-электронов) или магнитных электронов; соответственно s- и ^-электронам приписываются разные волновые функции )：
巾$(左；у) = exp (浓¥)〃$(儿；г); 2d (左；y) = exp«k¥)〃d(^; г).(20.9)
Функция для s-электронов выбирается одинаковой в обоих моделях- функции же для d- или /-электронов аппроксимируются по-разному, Исторически первая (1928 г.) работа по «коллективной модели» ферромагнетизма металлов в рамках газовой модели принадлежит Френкелю [53], показавшему, что в ферми-газе электронов проводимости возможен ферромагнетизм, если абсолютная величина обменной энергии намагниченного газа находится в определенном соотношении с его кинетической энергией. Затем (1929 г.) этот вопрос детально рассмотрел Блох [54]. Работа Блоха была подвергнута критике со стороны Бете (см. Бете и Зом- мерфельд (1938) и Вигнер [1]). Было показано, что в нулевом приближении полностью свободных электронов ферромагнетизм возможен лишь, когда постоянная решетки превышает определенную минимальную величину (拄5厶).Кроме того, в расчете Блоха некорректно применялась теория возмущения (нет параметра малости) и не учитывались другие корреляционные эффекты, помимо обменного. Дальнейшее развитие коллективизированная модель ферромагнетизма нашла в работах Слэтера [55], Стонера [56—59], Мотта [60] (см. также работы [14—83], цитированные
Рис. 20.12. Схематическое изображение кривых для функций плотности уровней электронов g (е) в перекрывающихся энергетических nd- н (九 + 1)5-полосах. а) Переходный d-металл; б) нормальный металл. Заштрихованная часть — уровни, занятые электронами в основном состоянии;匕。一 уровень Ферми при Т — 0° К.Рис. 20.12. Схематическое изображение кривых для функций плотности уровней электронов g (е) в перекрывающихся энергетических nd- н (九 + 1)5-полосах. а) Переходный d-металл; б) нормальный металл. Заштрихованная часть — уровни, занятые электронами в основном состоянии;匕。一 уровень Ферми при Т — 0° К.в гл. 19), в которых делались попытки уточнения критерия ферромагнетизма Френкеля ——Блоха путем большей конкретизации зонной модели переходных d-металлов.
Рис. 20.12. Схематическое изображение кривых для функций плотности уровней электронов g (е) в перекрывающихся энергетических nd- н (九 + 1)5-полосах. а) Переходный d-металл; б) нормальный металл. Заштрихованная часть — уровни, занятые электронами в основном состоянии;匕。一 уровень Ферми при Т — 0° К.
Рис. 20.12. Схематическое изображение кривых для функций плотности уровней электронов g (е) в перекрывающихся энергетических nd- н (九 + 1)5-полосах. а) Переходный d-металл; б) нормальный металл. Заштрихованная часть — уровни, занятые электронами в основном состоянии;匕。一 уровень Ферми при Т — 0° К.
Как уже отмечалось, в зонной модели основное внимание в выражениях (20.9) уделялось фактору плоской волны («свободные», полностью делокализованные электроны с 〃(左⑺弋； const). Различие для s- и ^-электронов проявляется в различных законах дисперсии для них [см. (20.8)], а именно:
£($)("； es)^^(k) + As(k) М^£(d)(用⑦)二 )(А) + 4 (fr) М@・(20.10)
При этом предполагается, что функции 陪)，財％ As и Ad такие, что энергетическая полоса для s-электронов заметно шире d-полосы (поэтому в приближении эффективной массы [см. Бете и Зоммер фельд (1938); Мотт и Джонс (1936)1 последняя для s-электронов заметно больше, чем для ^-электронов, т. е. ^эфф^эфф》1)，ПРИ этом s-полоса и d-полоса накладываются друг на друга и имеют общую энергию Ферми (рис. 20.12). В рамках этих представлений удается получить качественные объяснения ряду физических свойств переходных металлов (электронная теплоемкость, парамагнитная восприимчивость). Ферромагнетизм в переход
ных металлах эта модель объясняет с помощью учета обменной энергии, которая осуществляет сдвиг полос для электронов проводимости со спинами разных проекций и тем самым делает минимальной энергию самопроизвольно намагниченного состояния электронного газа.
Критерий ферромагнетизма свободного ферми-газа *). Прежде всего проведем чисто качественную оценку критерия ферромагнетизма для свободного ферми-газа. Допустим, что в результате обменного взаимодействия произошел сдвиг ДеОб энергетических спиновых подполос (рис. 20.8, д). В результате такого сдвига v электронов на узел решетки перейдут из правой подполосы (спин +) в левую (спин —-) и тем самым увеличат кинетическую энергию системы (на величину 2vAe06))• Обменная энергия системы складывается из взаимодействий всех пар электронов с одинаковыми проекциями спинов (пары с антипараллельными спинами ничего не дают из-за ортогональности спиновых функций). Таким образом, можно приближенно считать, что обменная энергия пропорциональна квадрату числа электронов в каждой из спиновых подполос (汽+ м 汽 _ — соответствующие числа для единицы объема металла). В размагниченном (парамагнитном) состоянии п^ = п^ ^=汽/2. В намагниченном состоянии 孔+ =孔/2 + nv и 汽一 =п/2 ——w, и следовательно, n+ — n _ = 2nv.
Таким образом, по Стонеру, обменная энергия электронов проводимости равна
-}1 院6](%一九一)2=I 院615V)2,
где I 宮°。I обменный энергетический параметр, эквивалентный параметру молекулярного поля Л из гл. 18. Вообще говоря, параметр | go6 | зависит от волнового вектора электронов 瓦 Тогда ферромагнитное состояние будет более устойчивым, если изменение энергии при переходе из парамагнитного в ферромагнитное состояние будет положительным (т. е. энергия парамагнитного состояния будет больше энергии ферромагнитного состояния). Таким образом, это изменение энергии (на атом) положительно:
—2vAe06 ~2 ^21 ^об I > 0(20.11)
При более строгом расчете следует исходить из условия минимума энергии основного состояния системы:
窗=j eg+ ⑻ de + j eg_ (e) de — } I I (〃+ — n_f, 00
где
九+ = j g+ (e) de, n_= ^ g_ (e) de,00
g+(£)и g_(£)— соответственно функции плотности состояний в спиновых подполосах. Стонер [59] провел расчет для случая квадратичного закона дисперсии, когда g(£)~ /е. Вольфарт [62] обобщил этот расчет на более общий случай аналитической функции g (е). Шимицу [63] провел подобный вариационный расчет даже для случая неаналитических функций g(£), чтобы подчеркнуть возможность появления резких пиков функций плотности состояний (см. также Вольфарт и Корнуэлл [64]). Вариационный расчет приводит в принципе к трем различным случаям (рис. 20.8, а, б, в). Если обменная связь меньше некоторого критического значения | ёОб | ■< | 宮об |础【，то минимуму энергии отвечает парамагнитное состояние (汽+ =汽_, С^ = С； м 厶£。6 = 0). Когда молекулярное поле становится более сильным и | g06 | > | 宮об |кр i, то имеем 汽+ > 汽 _ и 鶴 > 冨.Однако если при этом молекулярное поле меньше, что соответствует некоторой другой критической энергии | g06 | кр п, т. е. | g06 | кр i < V I 宮об I кр iiv то минимум осуществляется еще при 汽-声 0. Такую систему обычно называют слабым ферромагнетиком *), поскольку внутреннее обменное поле не в состоянии еще осуществить полную поляризацию в его «борьбе» с размагничивающим эффектом фермиевской кинетической энергии, т. е. АеОб V Со* Наконец, если | g06 | > | 亂6 | кр п, то смещение ДеОб будет больше ширины 之。，занятой всеми наличными электронами левой подполосы, и мы будем иметь случай сильного ферромагнетика с 汽 = 0 (см. рис. 20.8, в или е)・
Если для безразмерной величины nv | g06 |/4厶£。6, ввести обозначение Е, то неравенство (20.11) примет вид
自=}盜1院6丨Qg储)丨院6|>1(20.12)
(здесь использовано, что 玄v/2A勿^ 飞；g (Co), где g (Co) — плотность состояний электронов у поверхности Ферми Со), тогда величина параметра 占 может служить критерием для реализации пара- или ферромагнитного
(20.13a)(20.136)(20.13a)(20.136)Рис. 20.13. Кривые зависимости энергии 務 намагниченного состояния в зависимости от относительной намагниченности у = (”+ ——п 一)加 для фермиевского газа с неэкранированным кулоновским взаимодействием в приближении Хартри — Фока. По оси ординат энергия отложена в относительных единицах： ^отп< ед -喝寻кИн二1'恥喝 дается формулой (20,16), а ^ин — средняя кинетическая энергия：岩^^^ =(9/10) (9л/4)2/3г^2. Отдельные кривые соответствуют различным плотностям электротшого газа, определяемым радиусами г.ч сферы, приходящейся на один электрон (выраженным в единицах боровских радиусов 。口)♦ (Херринг [2],)Рис. 20.13. Кривые зависимости энергии 務 намагниченного состояния в зависимости от относительной намагниченности у = (”+ ——п 一)加 для фермиевского газа с неэкранированным кулоновским взаимодействием в приближении Хартри — Фока. По оси ординат энергия отложена в относительных единицах： ^отп< ед -喝寻кИн二1'恥喝 дается формулой (20,16), а ^ин — средняя кинетическая энергия：岩^^^ =(9/10) (9л/4)2/3г^2. Отдельные кривые соответствуют различным плотностям электротшого газа, определяемым радиусами г.ч сферы, приходящейся на один электрон (выраженным в единицах боровских радиусов 。口)♦ (Херринг [2],)
(20.13a)
(20.136)
(20.13a)
(20.136)
Рис. 20.13. Кривые зависимости энергии 務 намагниченного состояния в зависимости от относительной намагниченности у = (”+ ——п 一)加 для фермиевского газа с неэкранированным кулоновским взаимодействием в приближении Хартри — Фока. По оси ординат энергия отложена в относительных единицах： ^отп< ед -喝寻кИн二1'恥喝 дается формулой (20,16), а ^ин — средняя кинетическая энергия：岩^^^ =(9/10) (9л/4)2/3г^2. Отдельные кривые соответствуют различным плотностям электротшого газа, определяемым радиусами г.ч сферы, приходящейся на один электрон (выраженным в единицах боровских радиусов 。口)♦ (Херринг [2],)
Рис. 20.13. Кривые зависимости энергии 務 намагниченного состояния в зависимости от относительной намагниченности у = (”+ ——п 一)加 для фермиевского газа с неэкранированным кулоновским взаимодействием в приближении Хартри — Фока. По оси ординат энергия отложена в относительных единицах： ^отп< ед -喝寻кИн二1'恥喝 дается формулой (20,16), а ^ин — средняя кинетическая энергия：岩^^^ =(9/10) (9л/4)2/3г^2. Отдельные кривые соответствуют различным плотностям электротшого газа, определяемым радиусами г.ч сферы, приходящейся на один электрон (выраженным в единицах боровских радиусов 。口)♦ (Херринг [2],)
состояния в электронном газе:
自 > 1 (ферромагнетизм), 自 V 1 (пара магне ти зм).
Из полученного критерия видно, что в зонной модели для реализации ферромагнетизма необходимо выполнение двух условий: 1) существование заметной по абсолютной величине отрицательной энергии обмена go6 < 0, 2) наличие высоких плотностей состояний у поверхности Ферми (что следует ожидать для узких полос энергий и высоких значений эффективной массы магнитных электронов в кристалле). Так, например, в случае 3d-
металлов группы железа для элементов начала этого периода (Sc, Ti, V) из-за большего радиуса Зс?-слоев электронной оболочки их атомов и, следовательно, из-за большей величины интегралов перекрытия (19.9а), Зс?-полосы в этих металлах достаточно широкие, они сильно смешиваются («гибридизируются») с 4s- и 4/)-полосами (Вуд, [29]). Это приводит к низким значениям плотности состояний g (Со)， а энергии | 宮°б | оказываются близкими к з начениям, соответствующим случаю «свободных» электронов. Наоборот, для более тяжелых 3d-элементов интегралы перекрытия (19.9а) малы, Зс?-полосы узки, менее гибридизируются с широкой полосой электронов проводимости. Поэтому в этих случаях плотность состояний велика и обменная энергия | §Об | также больше и ближе к своему значению в изолированных атомах. Следовательно, в этих металлах есть больше оснований ожидать выполнения критерия (20.13а) для ферромагнетизма.
Для выяснения более точного количественного критерия ферромагнетизма в свободном ферми-газе с неэкранированным кулоновским взаимодействием, воспользуемся выражениями (11.107) и (11.108) для обменной ёоб и кинетической ёкин энергии, внеся в них некоторые простые видо-
изменения. А именно, введем радиус г8сферы, объем которой равен объему,
приходящемуся на один электрон проводимости в металле:
# = %± = (2>产(等广 (20.14)
(здесь 方綜士 一импульс Ферми в спиновых подполосах, a N — полное число и 7V士一числа электронов с + и — спинами во всем объеме), и относи?- тельную (спиновую) намагниченность
(20.15)(20.15)N+ ——N — n+ - n
(20.15)
(20.15)
Если энергию выражать в атомных единицах (в ридбергах), а г$ в боровских радиусах ан, то для суммы ^кин 十乳° (на один электрон) находим
^ =爲（*靑［（宀产+（I一俨］買息）*； "］6）
Зависимость энергии намагничивания (20.16) (точнее отношения g/gKHH) от у приведена в виде семейства кривых на рис. 20.13 для различных
значений rJaH (см. цифры у кривых). Из рис. 20.13 видно, что когда г§ превышает 5,45 〃н, то ферроaiaгнетизм делается устойчивым. В интервале от rs — 5,45 ан до 6,03 ан немагнитное состояние (у — 0) может быть метастабильным, а ферромагнитное — метастабильно в интервале значений rs от 3,80 ан до 5,45 ан. Это приводит к возможности фазового перехода первого рода из ферромагнитного состояния в немагнитное и обратно (см. гл. 18). Можно также рассмотреть случай, когда силы взаимодействия между электронами имеют вид дельта-функции. В этом случае ферромагнетизм наблюдается для больших плотностей ферми-газа, а немагнитное состояние — для малых плотностей. Подробнее этот вопрос рассмотрен в обзоре Херринга [2]. Ивамото и Савада [65] рассмотрели также случай экранированного кулоновского потенциала.
Естественно, конечно? что все эти расчеты страдают существенным недостатком —в них игнорируется учет корреляционной энергии (см. ниже).
Критерий ферромагнетизма в ферми-газе с произвольным законом дисперсии. Если отказаться от рассмотрения модели ферми-газа с квадратичным законом дисперсии, ферромагнетизма с видом функции плотности состояний g (е) в энергетттаеской полосе при
произвольном законе дисперсии е (А), Этот вопрос детально рассмотрел Шимицу [63]. Прежде чем изложить основное содержание этой работы, сделаем следующее замечание.
Рис, 20,14. Схематическое изображение кривой плотности состояний g (е) в d-полосе при произвольном законе дисперсии е (k), go — уровеь Ферми в парамагнитном состоянии, емин и Емакс —соответственно энергии дна и потолка d-полосы, g】(е)— обозначение функции g (е) для энергий е > ^, a gz (е)—для энергий е < /,五一 уровень Ферми в намагниченном состоянии; в интервале энергий от е^нн 口。& все уровни заняты каждый двумя электронами с + и — спинами, а в интервале от & до 第 на каждом уровне находится толuto один зпектрон с + спином, ”〔(3)— число «лишних» электронов с + спином, а п2 匕2〉一 число «недостающих» электронов с ——спином в намагниченном состоянии по сравнению с парамагнитным (Шимицу [63」)，Рис, 20,14. Схематическое изображение кривой плотности состояний g (е) в d-полосе при произвольном законе дисперсии е (k), go — уровеь Ферми в парамагнитном состоянии, емин и Емакс —соответственно энергии дна и потолка d-полосы, g】(е)— обозначение функции g (е) для энергий е > ^, a gz (е)—для энергий е < /,五一 уровень Ферми в намагниченном состоянии; в интервале энергий от е^нн 口。& все уровни заняты каждый двумя электронами с + и — спинами, а в интервале от & до 第 на каждом уровне находится толuto один зпектрон с + спином, ”〔(3)— число «лишних» электронов с + спином, а п2 匕2〉一 число «недостающих» электронов с ——спином в намагниченном состоянии по сравнению с парамагнитным (Шимицу [63」)，Мы считаем целесообразпым уделить внимание этому расчету потому, что в нем делается удачная попытка установить некоторые общие черты энергетического спектра электронов проводимости, необходимые для возможности реализации спонтанно намагниченного состояния. Хотя при расчете и делается ряд грубых упрощений и полностью остается открытым вопрос о «происхождении» закона дисперсии е (А), тем не менее некоторые черты расчета носят общий характер и в пла- пе феноменологической трактовки проблемы он несомненно заслуживает внимания.
Рис, 20,14. Схематическое изображение кривой плотности состояний g (е) в d-полосе при произвольном законе дисперсии е (k), go — уровеь Ферми в парамагнитном состоянии, емин и Емакс —соответственно энергии дна и потолка d-полосы, g】(е)— обозначение функции g (е) для энергий е > ^, a gz (е)—для энергий е < /,五一 уровень Ферми в намагниченном состоянии; в интервале энергий от е^нн 口。& все уровни заняты каждый двумя электронами с + и — спинами, а в интервале от & до 第 на каждом уровне находится толuto один зпектрон с + спином, ”〔(3)— число «лишних» электронов с + спином, а п2 匕2〉一 число «недостающих» электронов с ——спином в намагниченном состоянии по сравнению с парамагнитным (Шимицу [63」)，
Рис, 20,14. Схематическое изображение кривой плотности состояний g (е) в d-полосе при произвольном законе дисперсии е (k), go — уровеь Ферми в парамагнитном состоянии, емин и Емакс —соответственно энергии дна и потолка d-полосы, g】(е)— обозначение функции g (е) для энергий е > ^, a gz (е)—для энергий е < /,五一 уровень Ферми в намагниченном состоянии; в интервале энергий от е^нн 口。& все уровни заняты каждый двумя электронами с + и — спинами, а в интервале от & до 第 на каждом уровне находится толuto один зпектрон с + спином, ”〔(3)— число «лишних» электронов с + спином, а п2 匕2〉一 число «недостающих» электронов с ——спином в намагниченном состоянии по сравнению с парамагнитным (Шимицу [63」)，
Введем, следуя работе [61], как это показано на рис. 20,14, схематическое изображение типичной «двугорбой» кривой для функции g (е) плотности состояний в d-полосе, соответствующей какому-то произвольному закону дисперсии е (Л). Далее обозначим через “ уровень Ферми в парамагнитном состоянии при 0° К, Введем также обозначения g (е) = а (е) для £ > С。и g (е) = g? (е) для £ V " Пусть в намагниченном состоянии уровни, занятые двумя электронами (с + и — спинами) занимают интервал энергий от дна полосы с энергией емин до уровня 之2,
а однократно занятые уровни электронами с 十 спинами занимают интервал энергий от Ci до 之2, таким образом, ^2 это уровень Ферми намагниченного состояния. Поэтому число «лишних» правых спинов щ (^) и число «недостающих» левых спинов п2 (已2) в намагниченном состоянии по сравнению с парамагнитным будут определяться фор^ мулами
勺(装)=[班他)"，(20.16a>
Wo
^2 匕2)= [ g2 ⑻ d£・(20,166)
(20,17)(20.18>(20,17)(20.18>Очевидно, в равновесном намагниченном состоянии 勺(圆)=n2 &2)=咒 и магнитный момент равен
(20,17)
(20.18>
(20,17)
(20.18>
М — 2(д，еУ 咒=2zi|i,
где 卩——средний магнитный момент на электрон (который может нс совпадать с у^， см гл. II). Для увеличения кинетической ЗЕергии в намагниченном состоянии (см. выше п. 2) имеемгде 卩——средний магнитный момент на электрон (который может нс совпадать с у^， см гл. II). Для увеличения кинетической ЗЕергии в намагниченном состоянии (см. выше п. 2) имеем編 ин= [ ££1(£) "£— j £g2 G)厶，編 ин= [ ££1(£) "£— j £g2 G)厶，(20.19)(20.19)Уменьшение обменной энергии в общем случае есть функция иеличппы магнитного момента (20,18): ^0()(М), Обычно эту фуикцкю раскладывают в ряд по степеням Л/2 и пренебрегают всеми членами, кроме первого, пропорционального М2 (приближение «молекулярного поля»). Полная энергия намагниченного состояния & равна сумме ^кин и 亂° т. е,喝 н %кИн 十亂6 ("). (20 20)Уменьшение обменной энергии в общем случае есть функция иеличппы магнитного момента (20,18): ^0()(М), Обычно эту фуикцкю раскладывают в ряд по степеням Л/2 и пренебрегают всеми членами, кроме первого, пропорционального М2 (приближение «молекулярного поля»). Полная энергия намагниченного состояния & равна сумме ^кин и 亂° т. е,喝 н %кИн 十亂6 ("). (20 20)Выясним зависимость мума функции 方(М):Выясним зависимость мума функции 方(М):岩 от М. Из (20,20) с учетом (20.19) находим условие зкетре-岩 от М. Из (20,20) с учетом (20.19) находим условие зкетре-d需 窗—J Id£行d需 窗—J Id£行(202)(202)Поскольку С〕п 之2, согласно (20,17) и (20.18), являются функциями М, то можно определить 岩 и Л/, решая совместно уравнения (20.20) и (20,21), Эти решения будут стабильными, если энергия будет минимальной, т. е. если б?^/。^? > 0. Используя (20.20) и (20.1), находимПоскольку С〕п 之2, согласно (20,17) и (20.18), являются функциями М, то можно определить 岩 и Л/, решая совместно уравнения (20.20) и (20,21), Эти решения будут стабильными, если энергия будет минимальной, т. е. если б?^/。^? > 0. Используя (20.20) и (20.1), находим*% Е1(П)Т + ^2(0)Т ,罂备 6*% Е1(П)Т + ^2(0)Т ,罂备 6Ж2Ж2>0.>0.(20.22)(20.22)-а〃2/2, то。亂"ЗМ= —а” и /%&/0〃2 = -а. Из (20,20) 0, поэтому возникновения ферромагне--а〃2/2, то。亂"ЗМ= —а” и /%&/0〃2 = -а. Из (20,20) 0, поэтому возникновения ферромагне-В случае, если 廃行
где 卩——средний магнитный момент на электрон (который может нс совпадать с у^， см гл. II). Для увеличения кинетической ЗЕергии в намагниченном состоянии (см. выше п. 2) имеем
где 卩——средний магнитный момент на электрон (который может нс совпадать с у^， см гл. II). Для увеличения кинетической ЗЕергии в намагниченном состоянии (см. выше п. 2) имеем
編 ин= [ ££1(£) "£— j £g2 G)厶，
編 ин= [ ££1(£) "£— j £g2 G)厶，
(20.19)
(20.19)
Уменьшение обменной энергии в общем случае есть функция иеличппы магнитного момента (20,18): ^0()(М), Обычно эту фуикцкю раскладывают в ряд по степеням Л/2 и пренебрегают всеми членами, кроме первого, пропорционального М2 (приближение «молекулярного поля»). Полная энергия намагниченного состояния & равна сумме ^кин и 亂° т. е,
喝 н %кИн 十亂6 ("). (20 20)
Уменьшение обменной энергии в общем случае есть функция иеличппы магнитного момента (20,18): ^0()(М), Обычно эту фуикцкю раскладывают в ряд по степеням Л/2 и пренебрегают всеми членами, кроме первого, пропорционального М2 (приближение «молекулярного поля»). Полная энергия намагниченного состояния & равна сумме ^кин и 亂° т. е,
喝 н %кИн 十亂6 ("). (20 20)
Выясним зависимость мума функции 方(М):
Выясним зависимость мума функции 方(М):
岩 от М. Из (20,20) с учетом (20.19) находим условие зкетре-
岩 от М. Из (20,20) с учетом (20.19) находим условие зкетре-
d需 窗—J Id£行
d需 窗—J Id£行
(202)
(202)
Поскольку С〕п 之2, согласно (20,17) и (20.18), являются функциями М, то можно определить 岩 и Л/, решая совместно уравнения (20.20) и (20,21), Эти решения будут стабильными, если энергия будет минимальной, т. е. если б?^/。^? > 0. Используя (20.20) и (20.1), находим
Поскольку С〕п 之2, согласно (20,17) и (20.18), являются функциями М, то можно определить 岩 и Л/, решая совместно уравнения (20.20) и (20,21), Эти решения будут стабильными, если энергия будет минимальной, т. е. если б?^/。^? > 0. Используя (20.20) и (20.1), находим
*% Е1(П)Т + ^2(0)Т ,罂备 6
*% Е1(П)Т + ^2(0)Т ,罂备 6
Ж2
Ж2
>0.
>0.
(20.22)
(20.22)
-а〃2/2, то。亂"ЗМ= —а” и /%&/0〃2 = -а. Из (20,20) 0, поэтому возникновения ферромагне-
-а〃2/2, то。亂"ЗМ= —а” и /%&/0〃2 = -а. Из (20,20) 0, поэтому возникновения ферромагне-
и (20.19) следует, что при М = 0 энергия % = тизма можно ожидать, если при М^^ есть область значений, где
^ <0,(20.23)
Неравенство (20.23) является наиболее важным условием существования ферромагнетизма в системе электронов проводимости при 0° К по зонной модели. Используя (20.16а), (20.166), (20.17) и (20.20) и произведя интегрирование по частям, находим
-f仰⑻血—[叱(£)d£+%06，
(20.24)
Для выяснения знака полной энергии 岩 представим себе некоторую связь между п и 以 и J, даваемую по (20.17), откуда можно однозначно ) получить кривую П как функцию разности А^ = & — 厶，соответствующую данному значению п. Эта зависимость изображена кривой OG3G2Gl 及吊耳2耳з耳4/ на рис. 20.15. Сумма 1-го, 2-го и 3-го членов в правой части формулы (20,24) точно равна площади области OG3G2GiKFiF2F3nfО между осью ординат и А" & — ：2 ).
Рис. 20.15. Чис,по однократно занятых электронных уровней в d- полосе 2” [см. формулу (20.17)] как функция энергетического :интервала одно!фатно занятого участка d- полосы 第一厶=AL а также связь между полной шириной полосы и магнитной энергией. Ког- 亚 А^акс = емакс — емин величина интервала энергий, соответствующего однократно занятому участку полосы совпадает с полной шириной полосы. Прямая ОА — касательная к кривой п (Ag) в точке А^=0 (Шимицу [63]).Рис. 20.15. Чис,по однократно занятых электронных уровней в d- полосе 2” [см. формулу (20.17)] как функция энергетического :интервала одно!фатно занятого участка d- полосы 第一厶=AL а также связь между полной шириной полосы и магнитной энергией. Ког- 亚 А^акс = емакс — емин величина интервала энергий, соответствующего однократно занятому участку полосы совпадает с полной шириной полосы. Прямая ОА — касательная к кривой п (Ag) в точке А^=0 (Шимицу [63]).иВ силу (20.18) условие (20.21) принимает видиВ силу (20.18) условие (20.21) принимает видкривой п (АС) на рпс, 20,15 при п = пдкривой п (АС) на рпс, 20,15 при п = пд
Рис. 20.15. Чис,по однократно занятых электронных уровней в d- полосе 2” [см. формулу (20.17)] как функция энергетического :интервала одно!фатно занятого участка d- полосы 第一厶=AL а также связь между полной шириной полосы и магнитной энергией. Ког- 亚 А^акс = емакс — емин величина интервала энергий, соответствующего однократно занятому участку полосы совпадает с полной шириной полосы. Прямая ОА — касательная к кривой п (Ag) в точке А^=0 (Шимицу [63]).
Рис. 20.15. Чис,по однократно занятых электронных уровней в d- полосе 2” [см. формулу (20.17)] как функция энергетического :интервала одно!фатно занятого участка d- полосы 第一厶=AL а также связь между полной шириной полосы и магнитной энергией. Ког- 亚 А^акс = емакс — емин величина интервала энергий, соответствующего однократно занятому участку полосы совпадает с полной шириной полосы. Прямая ОА — касательная к кривой п (Ag) в точке А^=0 (Шимицу [63]).
и
В силу (20.18) условие (20.21) принимает вид
и
В силу (20.18) условие (20.21) принимает вид
кривой п (АС) на рпс, 20,15 при п = пд
кривой п (АС) на рпс, 20,15 при п = пд
и связь между △工 и М или п, даваемая по (20.21), изобразится какой-то кривой, например OG3LF3N (см. рис. 20.15). Если 喝。6=—а皿& то (20.21) дает
a e =装一建=2мa",
т. е. кривая OG3LF3N является в данном случае прямой линией. Легко видеть, что площадь треугольника OG^LF^rO равна абсолютной величине энергии обмена. Действительно,
I院6 I ~~2 I击-白2|加=_!" 2股"一—=彳aм，
Кривая п (АС) п прямая ON пересекаются в точках О, G3 и 耳3. Очевидно, что решения в точках О и 方з, удовлетворяющие (20.17), (20.21) и (20.22), соответствуют минимумам энергии как функции М. Решение же, соответствующее пересечению в точке G3, удовлетворяющее (20,17) л (20.21), но не удовлетворяющее (20.22), соответствует максимуму энергии. Если площадь OG3G2GiKFiF2^3n，^ меньше площади треугольника OG^LF^O, то энергия в состоянии 耳3, соответствующему минимуму энергии, становится отрицательной, как это следует из (20,24). И тогда это состояние является наинизшим устойчивым ферромагнитным состоянием. На рис. 20.15 из точки О, кроме прямой OG3LF3, проведены еще прямые OK, OG】歹仆 OG^F^ OF4 и。耳5. Точки пересечения этих прямых с кривой п (А《) дают экстремальные значения энергии системы.
Уравнение касательной к кривой n (А С) при АС =。дается формулой п = (1/2) g (五)Ag (см. точечную прямую ОА на рис. 20.15). Уравнение же касательной к кривой (20.21) при А匕=0 имеет впд： п — (4g卩2己尸 А* Поэтому, поскольку
намагниченности, отвечающих шести случаям, при которых уравнение Ag = —6 岩об(")汨" изображается шестью кривыми (прямыми), изображенными на рис. 20.15 (OK, OG4 OG2M, OG3F3, OF^ О/). Кривые ? н 2 соответствуют парамагнитному, а 4—6 — ферромагнитному состоянию. Кривая з соответствует границе между пара- и ферромагнитными областями (Шимицу [63]).
Хпм（°）=讨
чивость Паули, то
2卩2g (Со) — парамагнитная восприим-
при a C as кривые AC
=—3 卷о"3汽 лежат выше касательной к кривой п (АС) при АС = 0. Следовательно, в этом случае мы можем иметь устойчивые ферромагнитные состояния электронов проводимости по зонной модели, если форма кривой (рис. 20.14) плотности состояний
g⑻，
положение уровня Ферми ^q имеют соответ-
ствеино подходящие вид и значение
,а кривая л (g)
имеет резкий подъем над касательной для точки Д^ — 0, как это показано на рис. 20.15 (участок кривой G3G2GiК). На рис. 20.16 приведено схематическое изображение в произвольном масштабе шести из семейства возможных кривых ^ (М), отвечающих случаям, когда уравнение А^= З%^ (м)/@м соответственно изображается шестью кривыми ОК, OGi耳[,OG2F2, OG3F3, OF& и。耳5 на рис. 20.15. На шести кривых 岩(М) рис. 20.16 показаны точки О, К, Gi, G2, G3,耳 1, &,耳з,爲 и 耳5, соответствующие экстремумам 名,т. е. точкам пересечения кривой п(А^) и шести кривых (прямых) “(Ag). Как видно, например, из кривой 4 рис. 20.16, можно ожидать, что при переходе из пара- в ферромагнитное состоя-
ние или наоборот (при охлаждении или нагревании металла в области точки Кюри) возможен фазовый переход первого рода в точке Кюри (см. гл. 18). Последнее обусловлено наличием «потенциального барьера» в точке G3 максимума кривой 4 для 备(М). Если обе упомянутые выше площади на рис. 20.15 равны (см. прямую OG2F3), то энергия состояния 耳2 хотя и соответствует минимуму на соответствующей кривой 3 рис. 20.16, но она не отрицательна, а равна нулю.
Если 喝об = — аМ2/2 и если мы обозначим через ас критическую величину коэффициента молекулярного поля а, соответствующую кривой OQ^F^ на рис. 20.15 и кривой 3 на рис. 20.16, то легко видеть, что ас V as. Из рис. 20.16 далее видно, что а V V ас для кривых 7 и ^, а — ас для кривой 3, ас С а < ач для кривой 4 к а > % для кривых 5 и 6. Устойчивые состояния на кривых 7 и 2 соответствуют парамагнетизму, а на кривых 4, 5 н 6 — ферромагнетизму. Зависимость 喝(М), которую получил Слэтер [55] при 0э К для Ni подобна кривой 5 рис. 20.16. Аналогичный анализ проводился и в более ранней работе Шимицу [66] (сравнить также с рис. 20.13).
Если кривая 穹(е) имеет более сложную форму, чем это изображено на рис. 20.14, то на кривых 彥(М) возможно появление нескольких максимумов н минимумов.
При малых значениях М приближение 喝历=—аМ212 хорошее, и 喝 из (20.20) можно записать в виде
爲=(1 二а/а$) м2.
(20.25)
Из (20.25) видно, что кривизна 守鳴 18M?、кривой 喝(М) при М ~ 0 положительна, если а V as, it отрицательна, если а > as. Условие а > а$ — уже известный из (20.12) стонеровский критерий ферромегнетизма [56, 57]. Ясно, что это достаточное условие ферромагнетизма для металла с несложной формой кривой для плотности состояний. Следует, однако, отметить, что даже если а ± as, то можно ожидать ферромагнетизма, если имеются резкие пики на кривой g (е) по обе стороны от уровня Ферми или с одной из двух его сторон (см. рис. 20.14).
В качестве примера Шпмлцу [63] рассмотрел два случая, когда уровень Ферми парамагнитного состояния при。° К лежит вблизи минимума пли максимума кривой g (е). В первом случае (рис. 20.14) можно ожидать, что температурная зависимость парамагнитной восприимчивости /пм (7) и коэффициент электропной темплоемкости достигают максимума при некоторой температуре [67]. В этом случае ферромагнетизм возможен не только при а > %, но даже п при а V % для не слишком малых а (см. кривую 4 на рис. 20.16)” Во втором случае ферромагнетизм возможен при выполнении условия Стонера: а > а$. Однако если ниже или выше или по обе стороны максимума на кривой g (е), вблизи которого лежит уровень Ферми 之°, имеются еще более резко выраженные пики, то металл может быть ферромагнитным даже если а V %.
Вольфарт [681 обратил внимание на то, что при трактовке ферромагнетизма металлов по модели коллективизированных электронов, в тех случаях, когда относительная намагниченность у0 <С 1, при 0° К в сильных внешних магнитных полях следует ожидать возрастания у0. Он также вывел качественно функциональную зависимость у。(Я). Позднее Огава и Сакамото [69] наблюдали этот эффект в ферромагнитном металлическом соединении ZrZn2 (см. также работы Пикара и др. [70] )). Вопрос о парамагнитной восприимчивости металлических ферромагнетиков рассмотрен также в обзоре Херринга [2], а также в работах [73, 74].
Естественно, возникает вопрос о физическом механизме возникновения обменного взаимодействия ^Об (или а). Обычно указывают на четыре таких механизма (иногда проводят еще более детальную классификацию). Все эти механизмы дают положительный знак 喝об，т. е. благоприятствуют ферромагнетизму. Эти четыре механизма следующие (см. обзор Томпсона [75]):
Внутриатомный обмен н одной полосе (Изуяма и др. [76]).
Междуатомный обмен в одной полосе (Томпсон [77]).
Ш) Внутриатомный обмен между полосами или хундовская связь (Слэттер [55]; Маттис [78]).
IV) Междуатомный обмен между полосами. ,
Есть все осиовапия считать, что многополосные эффекты играют существенную роль, в особенности в связи с внутриатомным обменом (см. Мотт [79]); хотя Канамори [80] и Хаббард [81] придерживаются другой точки зрения. Этот вопрос будет рассмотрен ниже.
Пути уточнения коллективизированной модели ферромагнетизма металлов. Естественно, конечно, что приведенные иллюстрации зонной модели весьма прибли- ягенны. Однако они все же ясно указывают на имеющуюся в газе электронов проводимости определенную тенденцию к установлению ферромагнетизма. Помимо грубо приближенного характера приведенного здесь оценочного расчета (этот недостаток можно устранить при более точных вычислениях в рамках той же зонной модели), здесь сразу же можно указать и на более существенные принципиальные недостатки модели, связанные с полным игнорированием пространственной неоднородности в зарядовой и спиновой плотностях электронов проводимости (исключая неоднородности, обусловленные учетом принципа Паули, т. е. антисимметричностью волновой функции электронного газа относительно перестановки координат двух электронов). Последнее не позволяет, например, в рамках такой модели объяснить антиферромагнетизм металлов (Фридель и др. [82]) наблюдаемый в Мп и Сг — в металлах, лежащих в средней части Зс?-периода. Для того чтобы объяснить этот антиферромагнетизм, необходимо учесть некоторые корреляционные поправки, связанные с кулоновским взаимодействием и его экранировкой в реальной системе коллективизированных электронов кристалла.
Уточнения зонной модели ферромагнетизма ^-металлов идут по двум основным направлениям. С одной стороны, делаются попытки уточнить картину энергетйческих полос в d-металлах и получить в каком-то приближении явное выражение для закона дисперсии е (к). Затем вычисляется плотность энергетических уровней g (е) (см. гл. И) с помощью формулы
g ⑻=急 j j ， (2"26)
где интегрирование ведется по изоэнергетическим поверхностям е (к) = const. И, наконец, учитывается «сдвиг» под полос для 十 и — спинов и для них находятся соответствующие поверхности Ферми.
С другой стороны, пытаются подойти к решению рассматриваемой задачи с помощью общих квантовостатистических методов (метод функции Грина и т. и.), не пользуясь по возможности грубыми модельными упрощениями.
Остановимся кратко на главных результатах обоих этих подходов.
Расчет энергетических полос 或- и «-состояний в перэходных металлах, а. Общая схема расчета. Расчет d-полосы впервые провел Круттер [83], позже их проводили другие авторы [55, 60—62, 80—86]. Обзор этих расчетов дан в статье Каллауэя [87]. Более поздние работы принадлежат ему же [88], см. также [89—91] и монографию Каллауэя [92]. Наиболее детальные расчеты энергетических полос для Зс?-металлов группы железа были проведены школой Слэтера. Некоторым итогом их может служить работа Маттхейсса [93] ). Существенно, что в этих работах автоматически учитывается гибридизация d- и s-состояний в кристалле.
Для иллюстрации всех этих расчетов по коллективизированной модели приведем общую схему вычислений, используя результаты работы Флетчера [86]. Известно, что задача опроделения энергетического спектра электрона в кристалле в одноэлектронном линеаризованном самосогласованном приближении сводится к решению уравнения Шредингера
威w⑺=[一需A十了⑺]"6 =繚2(Г).(20.27)
где А — оператор Лапласа,屮(г) ng — соответственно искомые волновые функции и энергия электрона, V (г) = V (г + -и)—периодическое самосогласованное потенциальное поле (п =汽1^1-—?12ct2一卜氾з«з —вектор решетки,氾八氾2 m 氾з — целые и полу- целые числа, «-j, а2. 〃з — основные векторы решетки). При решении (20.27) пользуются тем или иным приближением (см. Мотт и Джонс (1936); Бете и Зоммерфельд (1938); Зейтц (1949); Паперлс (1956); Рейтц [114]). Поскольку d-состоянин испытывают меньшее возмущение со стороны кристаллических «полей» (см. гл. 10), чем валентные электроны, то в данном случае целесообразно использовать приближение сильной связи ). В этом случае волновая функция ищется в виде ряда
屮("；')=§ exp (加生)ФШ n),(20.28)
где ①m (г — п) — одна пз пяти (/п = 1, 2, 3, 4, 5)(7-функций n-го узла решетки [см. (10.14), (10.15)]. Как уже отмечалось, разложение (20.28) следует, строго говоря, вести сразу по d-, s- и р-атомяымфункциям ), поскольку в кристалле имеются «гибридизированные» полосы энергий. Но здесь с целью иллюстрации мы излагаем более грубую схему перекрывающихся негибридпзированных d- и s-полос.
Из-за вырождения атомных ^-функций, правильной функцией нулевого приближения электрона в кристалле для уравнения (20.27) будет линейная комбинация решений (20.28) с неизвестными коэффициентами атт> (к):
^(Л;，) = ^财山(硏4兀，(A；)(20.29)
Подставляя (20.29) в (20.27), получаем для определения коэффициентов атт' (/с) однородную систему алгебраических уравнений. Условием ее разрешимости будет равенство нулю определителя системы. Отсюда мы и приходим к секулярному уравнению для определения энергии
I口mn，—繚6rtlm，11 = °⑺宀' = 1, 2, 3, 4, 5),(20.3。)
где
[ C(fc； ^)(fc；，)"，Iam电m，JI
啕1= f 屮秀個；r)(在；r) di-.I
между олижаишими соседями,между олижаишими соседями,Рис. 20.17. Схематическое изображение зависимости энергии 忍(幻 в 3 d-пол осах, возникающих из атомных Srf-уровней, соответствующих состояниям с d-функциями симметрии ху (Г2,6) и х2 —у2 (Г12) без учета их гибридизации (смешивания); пунктирная линия показывает s-полосу (Эветт [119]).Рис. 20.17. Схематическое изображение зависимости энергии 忍(幻 в 3 d-пол осах, возникающих из атомных Srf-уровней, соответствующих состояниям с d-функциями симметрии ху (Г2,6) и х2 —у2 (Г12) без учета их гибридизации (смешивания); пунктирная линия показывает s-полосу (Эветт [119]).тех же d-полос, что и натех же d-полос, что и на
между олижаишими соседями,
между олижаишими соседями,
Рис. 20.17. Схематическое изображение зависимости энергии 忍(幻 в 3 d-пол осах, возникающих из атомных Srf-уровней, соответствующих состояниям с d-функциями симметрии ху (Г2,6) и х2 —у2 (Г12) без учета их гибридизации (смешивания); пунктирная линия показывает s-полосу (Эветт [119]).
Рис. 20.17. Схематическое изображение зависимости энергии 忍(幻 в 3 d-пол осах, возникающих из атомных Srf-уровней, соответствующих состояниям с d-функциями симметрии ху (Г2,6) и х2 —у2 (Г12) без учета их гибридизации (смешивания); пунктирная линия показывает s-полосу (Эветт [119]).
тех же d-полос, что и на
тех же d-полос, что и на
Пользуясь малостью интеграла перекрытия для ^-функций [см. (10.14) и (10.15)] и сохраняя в интегралах ctm члены только с -и —0, получим для матрицы энергии
Hmm' = ^d + C} 6mm^+ 2 ©хр (^砌[ФЙг (r — п) [V (r) — U (г)] Фт，(г) dr, (20.32)
где 喝》一нулевой d-уровень, a U (г) — потенциал изолированного атома, e = f①秀⑺)卜(冷一U (,)] Фm①)d尸
—понижение атомного d-уровня, обусловленное взаимодействием(7-электрона данного узла с другими атомами решетки. За начало отсчета энергии в полосе выбирают обычно уровень 喝% + С и, кроме того, пользуются приближением ближайших соседей. Для вычисления матричных элементов (20,32) приходится делать конкретные предположения о виде радиальной волновой функции в (10.14) н (10,15), а также о потенциале V ^) — U (г) *). Волновые функции выбирают либо по Хартри, либо по Хартри — Фоку, а для потенциала используют, например, такую аппроксимацию: V (г) = U (г) внутри сферы радиуса, равного половине расстояния”"
п U (尸)=。вне этой сферы, где V (г) заменяется потенциалом атомов ближайших соседних узлов. При этих грубых упрощениях получают численные значения матричных элементов (20.32) и затем решают секулярное уравнение (20.30), Такой расчет (без учета гибридизации с s-полосой и между самими (7-полосами) приводит к пяти перекрывающимся ^-полосам с вырождением в некоторых точках.
Конкретнее примеры формы d-полос. Общий характер d-полос можно представить себе следующим образом (см. [79. 85, 86. 90, 119]). Как было показано в гл. 10, пять ^-функций изолированного атома разделяются на две группы: 1) три с симметрией /у, yz, zx ir 2) две с симметрией х2 — у?, у2 — я2. В случае о. ц. к. или г. ц. к. кристаллов в центре зоны Бриллюэпа (А — 0) будем иметь три вырожденные связующие волновые функции (у которых отсутствуют узлы между соседними атомами в кристалле), образованные из атомных функций с симметрией типа су, в две антисвязующие функции, образованные из атомных функций с симметрией 步？—— 一― 毋，с узлами между соседними атомами. На рис. 20.17 дается схематическая зависимость 喝(А) для какого-то направления в кристалле для всех полных решений уравнения (20.30).
Более сложной оказывается картина d- полос, если учесть гибридизацию между различными //-состояниями. На рис. 20.18 приведена схема рис. 20.17, но с учетом их гибридизации [119]. В данном случае две узкие наинизшие полосы образованы из функций симметрии ху в центрах зон и функций симметрии 步2 —— ——у2 на границах. Две узкие наивысшие полосы возникли пз антисвязующих функций № — У2 в центрах и антисвязующих функций ху на границах зон. Наконец, появляются широкие полосы связующего типа с симметрией ху в центрах зон и антисвязующие с той же симметрией на границах.
На основании схемы рис. 20.18 можно ожидать для кривой плотности состояний g (е) появления минимума в середине d-полосы. Это, конечно, зависит от энергетического расстояния Ае' между энергиями вырожденных состояний в центрах зон (см. рис. 20.17 и 20.18). На рис. 20.19 показаны кривые g ⑻ для пяти d-полос, рассчитанные Асденте и Фриделем [90] для о. ц. к. кристалла Сг, где наблюдается минимум в центральной части суммарной d-полосы. В случае г. ц. к. кристаллов такой минимум, по-видимому, отсутствует (Бэрдик [120]).
Более строгими, естественно, являются расчеты, в которых учитывается гибри~ дизация между всеми s- и d-состояниями. В этом случае мы уже имеем не 5, а 6 подполос. При этом наинизшая по энергиям полоса будет s-образная у своего «дна» и d-образная у «потолка» и с обратным порядком вклада s- и ^-состояний у полосы, наивысшей по энергиям .Четыре «внутренних» подполосы будут в основном d-образные. На рис. 20.20
дана схема s- и d-подполос при учете их взаимной гибридизации [119]. Учет гибридизации приводит к значительному усложнению картины s —(7-подполос. Для случая Си весьма подробные вычисления подполос провел Сегал [121, 122]. Как уже отмечалось,
Sd-полосах при учете гибридизации d-функций с симметрией ху и х2 —у2',Sd-полосах при учете гибридизации d-функций с симметрией ху и х2 —у2',пунктиром показана s-полоса (Эветт [119л).пунктиром показана s-полоса (Эветт [119л).Рис. 20.19. Функции плотности состояний g? (е> (г = 7, II, III, IV и V) для пяти Sd-подполос Сг (Асденте и Фридель [90]).Рис. 20.19. Функции плотности состояний g? (е> (г = 7, II, III, IV и V) для пяти Sd-подполос Сг (Асденте и Фридель [90]).
Sd-полосах при учете гибридизации d-функций с симметрией ху и х2 —у2',
Sd-полосах при учете гибридизации d-функций с симметрией ху и х2 —у2',
пунктиром показана s-полоса (Эветт [119л).
пунктиром показана s-полоса (Эветт [119л).
Рис. 20.19. Функции плотности состояний g? (е> (г = 7, II, III, IV и V) для пяти Sd-подполос Сг (Асденте и Фридель [90]).
Рис. 20.19. Функции плотности состояний g? (е> (г = 7, II, III, IV и V) для пяти Sd-подполос Сг (Асденте и Фридель [90]).
$ — ^-гибридизация может в ряде случаев приводить к тому, что часть поверхности Ферми в одной II той же зоне Бриллюэна для одних направлений в обратной решетке s-подобна, а для других — d-подобна. Это показали Ломер [10] для случая Сг Альтман и Бредли [123] для Мо.
Весьма сложную форму имеют кривые g (е), как это было уже видно из рис. 20.19.
На рис. 20.21 показана кривая g(£)для суммарной плотности состояний в пяти (i-подполосах о. ц. к. железа, вычисленная Вольфартом н Корнуэллом [64] (см. также
Рис. 20-20. Схематическая картина учета гибридизации 3d-полос и 45-полосы. (Эветт [119]).Рис. 20-20. Схематическая картина учета гибридизации 3d-полос и 45-полосы. (Эветт [119]).FeFeРис. 20.21- Функция плотности состоянийg (е> коллективизированных электронов в о-ц-к. кристалле Fe- На кривой видны резкие пики (особенности функции g (е) типа вап Хове [125]) (Вольфарт и Корнуэлл [64]).Рис. 20.21- Функция плотности состоянийg (е> коллективизированных электронов в о-ц-к. кристалле Fe- На кривой видны резкие пики (особенности функции g (е) типа вап Хове [125]) (Вольфарт и Корнуэлл [64]).
Рис. 20-20. Схематическая картина учета гибридизации 3d-полос и 45-полосы. (Эветт [119]).
Рис. 20-20. Схематическая картина учета гибридизации 3d-полос и 45-полосы. (Эветт [119]).
Fe
Fe
Рис. 20.21- Функция плотности состоянийg (е> коллективизированных электронов в о-ц-к. кристалле Fe- На кривой видны резкие пики (особенности функции g (е) типа вап Хове [125]) (Вольфарт и Корнуэлл [64]).
Рис. 20.21- Функция плотности состоянийg (е> коллективизированных электронов в о-ц-к. кристалле Fe- На кривой видны резкие пики (особенности функции g (е) типа вап Хове [125]) (Вольфарт и Корнуэлл [64]).
[124]). Наличие резких пиков на кривой g (е) (или в точках, где g'(£)f оо) связана с существованием сингулярных критических точек в законе дисперсии е (к) в зонах Бриллюэна для металлов ). В случае г. ц. к. кристаллов на кривой g (е), по-видимому, нет минимумов. На рис. 20.22 приведены результаты расчета g ⑻ из работы Бэрдика (120] для г. ц. к. кристалла Си. Такой ход кривой g (е) в какой-то мере подтвердили экспериментально Спайсер и Берглунд [127], наблюдавшие фотоэмпссию в Си, а также рентгеноспектральные исследования Немнонова и др. [128]. Весьма интересна уже упо-
минавшаяся работа Вуда [29], в которой подчеркивается, что волновые функции^ электронов в каждой цоловпне </-полосы связующего типа имеют разумно болыпук> амплитуду в междоузлиях. Функции же верхней половины, которые обычно имеют узлы
в междоузлиях и которые поэтому принадлежат к антисв язующему типу, больше напоминают волновые функции свободного атома. Графически эти результаты представлены на рис. 20.23.
Некоторые экспериментальные методы определения энергетического спектра d-металлов. В гл. 11 мы познакомились с экспериментальными методами изучения поверхностей Ферми в металлах. Однако эти методы не могут дать "нам информацию об электронных состояниях, лежащих заметно ниже или выше энергии Ферми ^0. С другой стороны, именно в случае d- и /-металлов приобретает особый интерес изучение всего распределения электронных состояний по их спектру. Исторнче-
ски первым таким методом явилось изучение рентгеновских £ спектров испускания и поглощения, которое открыло возможности получения сведений о плотности состояний в полосе проводимости и валентной полосе. Позднее для этих же целей начали использовать измерения оптических свойств кристаллов от инфракрасной до ультрафиолетовой области, а также измерения фотоэмиссии электронов из кристаллов.
К краткому изложению содержания этих методов мы сейчас обратимся.
а. Рентгеноспектральные методы. Изучение линейчатых оптических и рентгеновских спектров изолированных атомов дает картину их электронных спектров, В случае кристаллических тел изучение спектров испускания или поглощения
Рис. 20-22. Рассчитанная функция плотности состояний в d-и s-полосах (s-полоса показана не полностью); Со=—0,384Ry, Отсчет анергии ведется от дна ^-полосы (—0,939 Ry) (Бэрдик [120]).Рис. 20-22. Рассчитанная функция плотности состояний в d-и s-полосах (s-полоса показана не полностью); Со=—0,384Ry, Отсчет анергии ведется от дна ^-полосы (—0,939 Ry) (Бэрдик [120]).Рис- 20.23. Вид радиальных частей R (г) волновых функций электронов в d-полосе, (Расстояния г отсчитываются в атомных единицах от центра узла решетки.) Кривая а соответствует волновой функции- для уровней у верха d-полосы. Кривые бив соответствуют состояниям уровней, все более близких к дну d-полосы. Пунктирная кривая соответствует ходу функции R (г) для изолированного атома 3d-элемента (Вуд [29]).Рис- 20.23. Вид радиальных частей R (г) волновых функций электронов в d-полосе, (Расстояния г отсчитываются в атомных единицах от центра узла решетки.) Кривая а соответствует волновой функции- для уровней у верха d-полосы. Кривые бив соответствуют состояниям уровней, все более близких к дну d-полосы. Пунктирная кривая соответствует ходу функции R (г) для изолированного атома 3d-элемента (Вуд [29]).электромагнитных волн также дает важную информацию о структуре электронного сиект- ра этих веществ. В отличие от большинства других физических свойств кристаллов, которые определяются либо всем спектром в целом (силы связи, большинство магнитных параметров), либо характером распределения электронных уровней вблизи поверхности Ферми (теплоемкость, кинетические явления и др.), спектры испускания или
Рис. 20-22. Рассчитанная функция плотности состояний в d-и s-полосах (s-полоса показана не полностью); Со=—0,384Ry, Отсчет анергии ведется от дна ^-полосы (—0,939 Ry) (Бэрдик [120]).
Рис. 20-22. Рассчитанная функция плотности состояний в d-и s-полосах (s-полоса показана не полностью); Со=—0,384Ry, Отсчет анергии ведется от дна ^-полосы (—0,939 Ry) (Бэрдик [120]).
Рис- 20.23. Вид радиальных частей R (г) волновых функций электронов в d-полосе, (Расстояния г отсчитываются в атомных единицах от центра узла решетки.) Кривая а соответствует волновой функции- для уровней у верха d-полосы. Кривые бив соответствуют состояниям уровней, все более близких к дну d-полосы. Пунктирная кривая соответствует ходу функции R (г) для изолированного атома 3d-элемента (Вуд [29]).
Рис- 20.23. Вид радиальных частей R (г) волновых функций электронов в d-полосе, (Расстояния г отсчитываются в атомных единицах от центра узла решетки.) Кривая а соответствует волновой функции- для уровней у верха d-полосы. Кривые бив соответствуют состояниям уровней, все более близких к дну d-полосы. Пунктирная кривая соответствует ходу функции R (г) для изолированного атома 3d-элемента (Вуд [29]).
С5АС5А} Полоса уровней коллективу-
С
5
А
С
5
А
з叩口баннь®элентронобкристалла
Внутренний уровеньВнутренний уровеньРис. 20-24. Схема уровней рентгеновских спектров металлов, а) Спектр испу-скания; б) спектр поглощения (工° — уровень Ферми при 0° К, ВС — шириназаполненной части валентной полосы).
Внутренний уровень
Внутренний уровень
поглощения электромагнитных волн могут в принципе раскрыть всю структуру энергетического спектра электронов в кристалле. В качестве наиболее удобных методов изу- чения энергетического спектра электронов в кристаллах могут быть, например, использованы спектры испускания электромагнитных волн, которые получаются после того, как из кристалла выбиваются внутренние электроны (в рентгеновской трубке) и на
освобождающиеся места переходят наружные коллективизированные электроны (рис. 20.24) из какой-либо полосы энергий. Ширина (ЗС) этих полос может достигать величины порядка 10 зе, поэтому мы будем иметь непрерывный спектр испускания, который (с точностью до естественной ширины уровня начального состояния, когда ■имеется вакансия на внутреннем уровне) ) будет отражать в какой-то степени характеристики заполнений части спектра коллективизированных электронов, принимаю- щих участие в переходах. Длины волн этих спектров обычно оказываются порядка 100 А и больше, т. е. в области мяг-
Рис. 20-25- Сравнение рентгеновских Ljjj спектров испускания и поглощения для Ni и Си- Сплошные кривые — экспериментальные, пунктирные кривые построены с учетом поправок на ширину Ljjj уровня; ступенчатая кривая для С” 一 результат теоретического расчета функции плотности состояний g (е) по Бэрдику [120] . Отсчет энергии по осям абсцисс ведется в зе от уровня Ферми ^0 (точка О на осях). Функции I (е) и ц, (е) отложены по оси ординат в условных единицах. (Немнонов и др. [128, 130]).Рис. 20-25- Сравнение рентгеновских Ljjj спектров испускания и поглощения для Ni и Си- Сплошные кривые — экспериментальные, пунктирные кривые построены с учетом поправок на ширину Ljjj уровня; ступенчатая кривая для С” 一 результат теоретического расчета функции плотности состояний g (е) по Бэрдику [120] . Отсчет энергии по осям абсцисс ведется в зе от уровня Ферми ^0 (точка О на осях). Функции I (е) и ц, (е) отложены по оси ординат в условных единицах. (Немнонов и др. [128, 130]).ких рентгеновских лучей. Рентгеновские спектры поглощения, отражающие специфику электронных спектров кристалла, возникают при возбуждении какого-либо из внутренних электронов в свободные уровни энергетических полос коллективизированных состояний (рис. 20.24, б). Таким обра- зом, мы можем ожидать, что связанные с данным внутренним дискретным К~,厶-，М~^ ... уровнем рентгеновские спект- ры испускания будут иметь вид непрерывной полосы, ширина которой находится в прямой связи с шириной (ВС на рис. 20.24) заполненной части энергетической полосы электронного спектра при температурах, низких по сравнению с 0ЭП, полоса испускания должна иметь резко выраженный край со стороны коротких волн, что соответствует переходам (СА на рис. 20.24) электронов с уровня Ферми С。. Спектр поглощения также име- ет сплошной характер, одпако у него резкий край расположен со стороны длинных волн (что соответствует переходу АС на рис. 20.24, б), совпадающих с коротковолновым краем полосы испускания; со стороны же коротких волн спектр поглощения не ограничен.
Рис. 20-25- Сравнение рентгеновских Ljjj спектров испускания и поглощения для Ni и Си- Сплошные кривые — экспериментальные, пунктирные кривые построены с учетом поправок на ширину Ljjj уровня; ступенчатая кривая для С” 一 результат теоретического расчета функции плотности состояний g (е) по Бэрдику [120] . Отсчет энергии по осям абсцисс ведется в зе от уровня Ферми ^0 (точка О на осях). Функции I (е) и ц, (е) отложены по оси ординат в условных единицах. (Немнонов и др. [128, 130]).
Рис. 20-25- Сравнение рентгеновских Ljjj спектров испускания и поглощения для Ni и Си- Сплошные кривые — экспериментальные, пунктирные кривые построены с учетом поправок на ширину Ljjj уровня; ступенчатая кривая для С” 一 результат теоретического расчета функции плотности состояний g (е) по Бэрдику [120] . Отсчет энергии по осям абсцисс ведется в зе от уровня Ферми ^0 (точка О на осях). Функции I (е) и ц, (е) отложены по оси ординат в условных единицах. (Немнонов и др. [128, 130]).
На рис. 20.25 приведены результаты для 力口 спектров испускания и поглощения Ni II Си, которые полностью
подтверждают описанную выше
картпну; по оси ордипат для
спектра испускания отложена интенсивность I (е) как функция энергии е в электрон
а для спектра погло- коэффициент погло
вольтах, щения ——вольтах, щения ——щения 卩(£). Эти «оптические»щения 卩(£). Эти «оптические»характеристики спектров находятся в прямой связи с характеристиками электронного спектра. Действительно, из квантовой теории излучения (см. Блохин [129]) известно, что I (е) и 卩(е) определяются произведением двух факторов: плотности электронных состояний, g (е) в полосе
вольтах, щения ——
вольтах, щения ——
щения 卩(£). Эти «оптические»
щения 卩(£). Эти «оптические»
и вероятности соответствующего перехода Р (е) из начального в конечное состояние:
/(£)а о)з 尸⑻ g (g), е< J (20.33)
卩(£)^ 尸(е) g(F), е> “， (20.34)
где со——циклическая частота сЕета. Вероятность Р (е) в свою очередь определяется квадратом матричного элемента, соответствующего дипольному, квадрупольному л т. д. излучению, который имеет вид •
if* (г) /ч|)(/с; г) d% (20.35)
rfle^o(r)—электронная волновая функция атомного состояния (s, р, <7,.,.),屮(/% г)— волновая функция коллективизированного состояния (занятого для испускания и сво- бодпого прп поглощении), 4 — оператор взаимодействия с электромагнитным полем.
Естественно ожидать, что в случае переходных металлов пх особая электронная структура приведет и к специфическим особенностям в их спектрах испускания и поглощения мягкпх рентгеновских лучей. Однако ввиду того, что питенсивность в спектре испускания илп коэффициент поглощения пропорциональны произведению вероятности перехода па плотность состояний [см. (20.33) и (20.34)], мы не можем сказать ничего определенного о последней, пока не будут сделаны какие-нибудь предположения или оценки вероятности переходов. Из (20.35) видно, что вероятность перехода существенно зависит от вида волновой функцни электрона в решетке, которая нам точно не известна, тем более в случае переходных металлов.
Отметим, что из формулы (20.35) вытекает также прпблшкеппая справедливость обычных правил отбора для дипольного и квадрупольного излучения, если вспомнить, что волновая функция 屮(Zc;尸)в решетке аппроксимируется линейной комбинацией атомных функций s-, р-, или ^-состояний. В тех случаях, когда мы имеем дело с близко расположенными атомными уровнями и соответственно в кристалле с перекрывающимися энергетическими полосами, то в разложении ip (fc; г) по атомным функциям необходимо учитывать одновременно функции всех перекрывающихся состояний. Однако в образовании спектра будет участвовать пе вся плотность состояний g (£), а лишь часть ее (в соответствии с правилами отбора). Поэтому, напрпмер, в дппольных рент- .геновскпх К-сиектрах в случае металлов группы железа мы пе можем надеяться достаточно ясно выявить участие одной З^-иолосы (поскольку соответствующий дипольный атомный переход s 二 d запрещен правилами отбора). Более простую картину спектра можно ожидать в случае 厶-сиектров (атомный переход типа р 二 d). На рпс. 20.25 приведен пример сравнения £ш спектров испускания и поглощения мягких рентгеновских лучей для переходного металла Ni и нормального металла Си (Немнонов и др. [128, 130]), из которого видно, что в Ni вблизи края поглощения 卩(е) резко увеличивается по сравнению с Си.
Спектры испускания могут также дать информацию и о полной ширине энергетической полосы, участвующей в испускании. К сожалению, пока имеется большой разнобой в результатах, полученных в исследованиях различных авторов. Требуется еще очень большая и систематическая экспериментальная работа для получения надежных результатов по всей совокупности переходных металлов как 3d- 4d- и 5<7-групп, так и особенно для группы редких земель, которые еще практически совершенно не исследованы. В связи с этим обращаем внимание на теоретические [131 —135] и экспериментальные [136—155] работы.
Фотоэмиссионные измерения. Фотоэмпсспю электрона пз кристалла можно рассматривать как двухстадийный процесс: [) электрон оптически возбуждается из начального состояния в состояние с более высокой энергией и 2) затем он движется к поверхности кристалла, испытывая (или не испытывая) при этом упругие или неупругие столкновения с различными «препятствиями» и вылетают в вакуум. Измеряется спектральное распределение фотоэлектрического выхода и распределение энергии фотоэлектронов при различных энергиях фотонов, которые можно использовать для изучения и процессов оптического возбуждения и процессов рассеяния электронов в кристалле. В конечном итоге все это дает возможность определить зонную структуру электронного спектра металла и, в частности, плотность уровней в его энергетических полосах. Теория фотоэмисс ионно го излучения энергетического спектра металлов (в том числе и переходных d-металлов) была детально развита Берглундом и Спайсером [156] (см. также [158——161]). Измерения проводились для нормальных металлов Си и Ag [157] и для переходных металлов Ni [162], Fe [163] и Со [164]. Результаты для Си и Ag находятся в удовлетворительном согласил с результатами теоретических расчетов [120, 122] (за исключением обнаруженного у Си максимума на кривой плотности состояний g (е) при е = 6,2 зб, т. е. ниже энергии Ферми ^0). Что же касается результатов для переходных металлов Ni, Со и Fe, то они существенно отличаются как от результатов теоретических расчетов (см., например, [93]), так и от экспериментальных рентге- поспектральных исследований [130, 165]. В частности, фотоэмиссионные измерения в случае Ni обнаружили очень большой максимум на кривой g (е) при е = 4,6 эе, т. е. ниже ^0, в случае Fe такой максимум (значительно менее резкий) наблюдается при е = 5,5 3g. Экспериментальные результаты для Ni [162] согласуются с теоретической кривой g (е), которая может быть получена для Ni в рамках моделп жесткой полосы
(см. гл. 21) и соответствующей кривой для Си и подбора величины обменного расщепления А&с)б подполос для + II ——спинов. Результаты сравнения при ЛеОб = 0,6 эв ) приведены на рис. 20.26, из которого видно, что обе кривые расходятся во всем интервале эиерпш 8 V &. Этот результат указывает на то, что простая одноэлсктровная зонная теория недостаточна для правильного описания электронного энергетического спектра переходных "-металлов. Филлипс [158] указывает, что максимум на кривой g(8)в Ni при 五一£ = 4,5 as (и такие же максимумы в других d-металлах, а также в Си и Ag) можно объяснить с помощью многоэлектронных (корреляционных или резонансных) эффектов. Однако Мотт (см. дискуссию к статье Спайсера [ 160]) считает”
кой полосы (рассчитанные для подполос функции g (е) показаны пунктирными кривыми). Сдвиг подполос с + и — спинами принимают равным А%/』)» 36. Из графина видно, что никаким подбором величины Деоб кривые 1 и 2 нельзя совместить (Блоджетт и Спайсер [162]).
нто этот максимум в Ni может быть объяснен в рамках полярной модели d-металлсш； (Шубин и Вонсовский [44], Ван Флек [166]), присутствием заметной прпмеси в узлах решетки ионов с электронной конфигурацией 3d8.
В заключение укажем, что для окончательных выводов требуются дальнейшие- измерения фотоэмиссии и сравнение с результатами, полученными другими методами (рентгеноспектральными, оптическими и т. п.).
в. Оптические межполосные переходы. Принципиальная трудность использования оптических межполосных переходов для получения информации о структуре электронного спектра в кристалле связана с тем, что в обоих полосах уровни распределены непрерывно. Поэтому при заданной энергии Лео фотона возможно очень большое число переходов, что затрудняет четкую интерпретацию оптического спектра, если только мы не знаем начальное и конечное состояния электронов независимо от оптических переходов. Преимущество только что рассмотренного (в п. б) фотоэмиссионного метода заключается в том, что конечное состояние в нем является достаточно узким по энергиям. Тем не менее оптический метод привлекает к себе все возрастающее внимание. Укажем, что информацию о структуре энергетических полос в кристалле можно получить также с помощью магнетооптических эффектов Фарадея и Керра (см. гл. 15 и 25). Не имея возможности остановиться здесь более подробно на этом вопросе, отсылаем читателя к обзорам [167], [168] и оригинальным работам [169——172].
В связи с описанными методами определения структуры энергетического спектра системы валентных и магнитных электронов в металлических ферромагнетиках, можно сделать следующие замечания. Результаты измерений, как правило, стремятся сравнивать с количественными расчетами в первую очередь функции плотности состояний g (е) в полосе, хотя эти расчеты велись различными методами, но все они исходили из одноэлектронной зонной модели. Вместе с тем теперь хорошо известно (см. гл. 11), что количественные выводы зонной теории об электронном энергетическом спектре и сами представления о фермиевских квазичастицах — электронах проводимости — справедливы только для состояний, расположенных в узкой области энергий в непосредственной близости к поверхности Ферми. Поэтому само понятие, например, плотности одночастичных состояний при энергиях, лежащих достаточно далеко (более 1 эв) от уровня Ферми ^0, строго говоря, не имеет физического смысла. Речь может идти лишь о некоторых усредненных значениях, которые отнюдь не обязательно соответствуют теоретическим предсказаниям зонной схемы в одночастичном приближении. Также отнюдь не ясно, должны ли результаты определения этих усредненных характе-
рпстик электронного спектра, полученные различными экспериментальными методиками (например, рентгеноспектральными и фотоэмпсспонными), совпадать друг с другом (сравнить, например, данные для g (е) для Ni на рис. 20.25 и 20.26). Во всяком случае вся проблема экспериментального изучения электронного энергетического спектра в областях, удаленных от поверхности Ферми, еще весьма далека от завершения.
Учет энергии корреляции. Вопрос о расчете электронного энергетического спектра металлов и о критерии ферромагнетизма тесно связан с учетом энергии корреляции в системе s- и d-элеКтронов в кристалле. Эффекты корреляции в свободном электронном газе исследовались в работах Бома и Пайпса [173], Гелл-Манна п Бракнера [174], Савада и др. [175], Хаббарда [176], Пайнса и Нозьера [177]. Слэтер и др. [178] рассмотрели асимптотический случай двух взаимодействующих электронов или дырок в кристалле. Укажем сразу, что в рассматриваемой проблеме также еще не найдено сколько-нибудь законченного решения. Остановимся на качественном рассмотрении проблемы, следуя Мотту [79] ). Необходимость учета корреляций связана с тем, что в выражении для энергии электронной системы как отдельного атома, так и кристалла входит величина вида .
u =(憫(々)時，①2)^屮7L (7)屮紋"2)〃2. (20.36)
Здесь i|)n,屮從 一 атомные функции (или функции Ваннье [179]) для двух электронов it одном и том же атоме, находящихся либо на одной и топ же d-орбнте (м = ?г‘), либо иа разных d-орбитах (п 千 пг). В первом случае (20.36) дает энергию электростатического отталкивания двух электронов с антппараллельнымп спинами, а во втором — такую же энергию, но при любом соотношении двух возможных проекций спинов. Порядок величины энергии (20.36) оценивается в 10 эв (см. [80, 166, 4 80]). Поэтому энергия U больше «ширины»(7-полосы (около 4 jg) и заметно превышает внутриатомную обменную энергию
(屮以п)瞬，(小)丄 4，„ (r2) т|,(乃)dri dr2, (20.37)
которая по порядку величины составляет около 1 эв п дает разность энергий двух электронов в состояниях %% и ^п，в одном ii том же атоме, когда их стшны параллельны Ti антппараллельны (по правилу Хупда (см. гл. 2) энергия первого ниже, чем второго).
В литературе до сох пор идет оживленная дискуссия о роли энергии U в формировании магнитных свойств электронной системы переходных металлов. Хаббард [81, 181] в ряде работ показал, используя метод функций Грина, что если энергия U больше ширины d-полосы, то произойдет расщепление d-полосы, содержащей целое число ■d-электронов на атом, на некоторое число d-подпол ос, содержащих по одному электрону на атом. Поскольку эти полосы целиком заполнены, то отсутствует поверхность Ферми и вклад d-злектронов в электропроводность. По Мотту [79], это соответствует случаю диэлектрика, например окислов переходных металлов типа NiO и т. п. Однако из •опыта известно, что в переходных металлах наблюдается дробное число d-электронов на атом. Это возможно благодаря присутствию электронов, число которых на атом также может принимать дробные значения). Возможны также полярные флуктуации в d-полосе ). Металлический Ni. папример, может состоять из «смеси» ионов с конфигурациями: 3G8, 3dз и 3dl叫см. Мотт и Джонс (1936), Ван-Флек [166]]. Для возможности существования ионов с конфигурацией 3d8 в кристалле необходимо, чтобы невыгодное лри этом действие большой энергии U из (20.36) было эффективно снижено до значений, меньших 1 з% благодаря экранирующему влиянию s-электронов. Некоторые авторы утверждают, что такого ^эффективного снижения» не может быть (см. [80, 180]). Однако другие считают, что этот эффект вполне возможен и даже необходим (см. статьи Херринга /2, 23], а также примечание на стр. 233 в работе Ван Флека [166] и [79]). Хотя этот вопрос пока не получил окончательного разрешения, но есть основания считать более правильной вторую точку зрения, согласно которой допускается существенная роль экранировки d-электронов s-электронами металла ).
Таким образом, имеются две точки зрения на причину ферромагнетизма в d-металлах. Согласно первой, ведущей начало от работы Слэтера [55]. развитой Фриделем [184] и особенно подчеркиваемой Филлипсом [185], предполагается, что
эффективная энергия корреляции не столь велика, чтобы помешать двум d-электронам или дыркам попасть в один и тот же атом (узел решетки) и за счет внутриатомной (хундовской) обменной связи создать нескомпенсированный магнитный момент. Согласно второй точке зрения, особенно пропагандируемой в работах Канамори [80], Хаббарда [81, 181] и Гютцвиллера [186] ), причину ферромагнетизма видят в большой энергии отталкивания между электронами с антипараллельными спинами. Тенденция к ферромагнетизму возникает, согласно этому представлению, потому что электроны с антипараллельными спинами, так как они не могут двигаться в' одном и том же атоме, имеют меньший объем для движения, и поэтому их кинетическая энергия возрастает (по соотношению неопределенностей Az Ар 〜 丸). Для электронов же с параллельными спинамп (хотя они в силу свойств симметрии волновой функции и не могут находиться на одной орбите в данном атоме) такого роста кинетической энергии нет. Любопытно отметить, что обе эти точки зрения приводят примерно к одинаковой (около 0,5 эв) величине «смещения» подполос для《правых» и «левых» спинов для случая Ni. К этому вопросу мы вернемся еще в гл. 22.
Уточнение критерия магнитного порядка. Вернемся теперь еще раз к вопросу о том, является ли условие (20.13) «критерием') только для ферромагнетизма в зонной
Рис. 20.27. Изменение электронной плотности Др как функция расстояния г от центра локального возмущения (入(г) — длина волны осцилляций плотности). (Фридель и др. [82]).
модели пли же это есть вообще условие существования локализованных нескомпенсп- рованных спинов в каждом узле решетки, которые могут быть связаны как ферро-, так и антиферромагнитно. Это обстоятельство впервые подчеркнули Фридель и др. [82] (см. также [193]), рассмотревшие влияние внутриатомной обменной связи [备q из (20.12)] внутри одного иона на d-электроны с волновыми функциями (20.9). Если условие (20.13а) выполнено, то энергия 岩。行 будет создавать локальную поляризацию. Это означает, что функции (20.9)㈠(4) вблизи уровня Ферми (к 二 ^ф) будут иметь локально разные значения для《правых» и《левых» сштнов ). Излишек сшпювой плотности одного знака при этом будет осциллировать, так же как и в случае эффекта поляризации электронов проводимости локализованными моментами по Иосида [1941 (см. ниже гл. 21), с той лишь разницей, что здесь речь идет о d-полосе. Характер этой осцилляции показан на рис. 20.27. «Длина волньг)> осцилляций 九 будет порядка обратной величины фермиевского волнового числа (九弋 1/А：ф). Таким образом, между локализованными моментами возникает обменная связь типа Иосиды, которая переносится как самими d-электронами, так и s-электронами. Эта связь может быть как положительной, т. е. ферромагнитной, так и отрицательной, т. е. антиферромагнитной. В рамках этой модели в области низких температур можно различать три случая в зависимости от величины параметра 自 из (20.12) и X (см. рис. 20.27).
1)自 V 1： локализованные моменты отсутствуют. Это случай чисто паулевского, парамагнетизма.
2)自 > 1 п 九 > d (где d — межатомное расстояние). Это случай ферр ома г нет изма, ему благоприятствуют, очевидно, малые значения кф (см. также работу Маттиса [78]),
3)自 > 1 и 九 V & Случай коллинеарного или геликоидального антиферромагне- тизма. Здесь предполагается, что ближайшие соседи попадают в участки кристалла с плотностью электронных спинов обратного знака (см. рис. 20.27). Совмещение ближайших соседей со следующей областью осцилляций положительного знака мало вероятно, так как величина X не может быть много меньше d (см. [821).
При высоких температурах (т. е. выше точки Кюри илп Нееля) можно различат!» два случая в зависимости от наличия или отсутствия локализованных моментов:
Если 自 >1 н 九 V & (или X превышает d ненамного}, то локализованные моменты устойчивы при низких температурах и слабо связаны между собой. Выше точкл Кюри или Нееля можно ожидать парамагнетизма ланжевеновского типа, налагающегося на парамагнетизм Паули. Этот случай, по-впдимому, реализуется для Fe. Мп и Сг.
Если 自 V 1 илп £ > 1, но 九》d, то при высоких температурах это случай чистого парамагнетизма Паули. Это очевидно в случае gv 1, когде нет устойчивых
Таблица 20.2'
Некоторые характеристики состояний атомов З^-элементов в чистых металлах и сплавах (Вейсс [丄95])
(Стрелка вверх соответствует 十 спину, а вниз —спину)
Элемент
Вещество
Магнитная структура
Число неспаренных электронов
Приближенная конфигурация
Кристаллическая структура
Сг
Мп
Fe
Со
Ni
Pd
Чистый металл В сплаве СгМп
Чистый металл ВсплавеМпСг
»»Ni3Mn
»»MnFe
»»Cu2MnAl
Чистый металл »»
»»
В сплаве FeCo »»FeMn
»»FeNi3
Чистый металл »»
В сплаве CoFe »»CoNi
Чистый металл
В сплаве Ni3Mli »»Ni3Fe
»»NiCo
В сплаве PdNi
афм
»
»
» фм афм фм
巾м афм
■ фм
» афм 巾м
»
»
»
»
»
»
»
»
»
0,4 0,7
2,4 0,7
3,4
2,4 3,9
2,2 0,5
2,8
2,8 0,5
2,8
1,6
1,5
1,6
1,6
0,5 0,4 0,5
0,5
0,5
з 曲，9з 對％е，б 3谭"3 班，Qs。^
34,63d；,94s0'5 За；，叮心 64so$ 3d^43d^°4s0'6 34，°3dj，％s°，9
3d^03d^84s°>2 3沖。3心54』，5 3d^°3d^24s0'8 3d；，03dj，24s°，8 3d^°3d^54s°>5 З”，^：，24so,8
3说，03dy%s。，6 За?'% 毋 54s°，5 3d^°3d^44s0'6 3o!^03d^44s0'6 3d^°3d^54s0'5
3d^°3d^54s0'5 3 畤，03 典%0，5 4d^°4d^55s0,5
О. Ц. К.
г. ц. К.
О. ц. К.
г. ц. К.
»
Сплав Гейслера
о. ц- к. г. ц. к.
»
О. ц. к.
г. ц. к.
»
»
гекс. п. у.
О. ц. к. г. ц. к.
» »
»
»
локализованных моментов. При J > 1 локализованные моменты столь сильно связаны, что при разрушении этой связи разрушается и сама локализация.
В связи с уточнением критерия ферромагнетизма в d-металлах отметим еще одно обстоятельство, на которое обратил внимание Р. Вейсс [195]. Как мы уже видели, при выяснении основных причин ферро- или антиферромагнетизма в d-металлах возникают два вопроса: а) каковы причины появления отличных от нуля атомных магнитных моментов и б) каков характер обменного взаимодействия между ними (ферро- или антиферромагнитный). В первом вопросе речь идет по существу о «борьбе» в кристаллах 2-металлов между действием правила Хунда, т. е. стремлением реализовать состояния с максимальной мультиплетностью в отдельных ионах и тенденцией к образованию спин-насыщенных межатомных связующих орбит. Р. Вейсс обратил внимание на то, что ферромагнетизм в d-металлах и их сплавах реализуется, лишь когда все пять З^-уровней целиком заняты электронами со спином одного знака (т. е. имеется конфигурация 3dM или 3dB, а антиферромагнетизм — когда электроны для обоих знаков спина не занимают всех З^-уровней (т. е. имеется конфигурация 3d+ Sd^ с ?г п m <; 5). Например, ферромагнитный никель . имеет приближенную конфигурацию 3d^3d±^^,b, а антиферромагнитный хром——3d±，9 3&三，・ 4$°'б. В табл. 20.2 приведены данные, подтверждающие это заключение. Качественная картина хода кривых энергии связи 2 cB (孔仃3 хундовской 務х (^m)и полной энергий Z口笃^ (^m) в зависимости от числа неспаренньтх электронов на узел пт для типичных ферро-, антиферро- и парамагнетиков приведена на рис. 20.28. Из графиков видно, что в Со (рис. 20.28, а) энергия 岩х понижается более резко с ростом мт, чем энергия ^св, поэтому наименьшее значение ^ полн достигается при максимально возможном значении числа пт -- 7,8. В Мп обе энергии
卷св и 罟х изменяются более или менее одинаково, и поэтому минимум ^полн достигается при каком-то среднем (а не максимальном) значении nm = 2,4; в V более резко возрастает 卷св，и поэтому наименьшее значение ^пОЛН соответствует ненамагниченному состоянию с пт — 0.
Трактовка ферромагнетизма металлов в рамках полярной модели. Выше уже упоминалось, что для описания электронной системы металлов Шубин и Вопсовский [44, 45] (см. также [183, 196]) предложили полярную модель. Остановимся здесь кратко па качественном описании основ этой модели и ее выводов для ферромагнет изма.
Трудности, возникающие при попытках точного решения мпогоэлектронноп задачи кристалла, заставляют обращаться к приближенным трактовкам. В настоящее время
-/-5-/-5Q 弘勿ДО 3,5Q 弘勿ДО 3,56)6)
-/
-5
-/
-5
Q 弘勿ДО 3,5
Q 弘勿ДО 3,5
6)
6)
Рис. 20.28. Схематическая зависимость энергии связи (кривые 1), хундовской энер-гии (кривые 2) и полной энергии (сплошные кривые з) от числа песпарепных элект-ронов (乳加). а) Типичный ферромагнетик (Со); б) антиферромагнетик (y-Mn), g) па-рамагнетик (V) (Вейсс ([195]).
пользуются двумя приближениями, одно из которых исходит из обобщенной модели Гайтлера — Лондона — Гейзенберга (ОМГЛГ), а другое — из модели коллективизированных электронов. Обычно считается, что первая модель должна использоваться при изучении электронной системы диэлектрических (полупроводниковых) кристаллов, а вторая ——для металлических кристаллов.
Однако в работах [44,45] была указана возможность применения ОМГЛГ для трактовки свойств металлических кристаллов. В этой так называемой полярной модели, в отличие от обменной модели, учитываются и такие состояния, в которых, в соответствии с принципом Паули, у отдельных узлов решетки имеется не только по одному валентному электрону с любой из двух возможных ориентаций проекции спина (нейтральные, или простые узлы), но также имеются узлы с двумя валентными электронами с антипараллельными спинами (отрицательно ионизованные узлы, или двойки) и, наконец, узлы, вообще лишенные валентного электрона (положительно ионизованные узлы, или дырки}. Наличие в основном состоянии кристалла двоек и дырок и их свободное распространение по решетке позволяет объяснить его металлическую электропроводность и другие связанные с ней свойства.
В работах Шубина и Вонсовского [44, 45] было использовано квазиклассическое приближение, которое дало возможность строго определить зависимость взаимного расположения минимальных энергетических уровней электронной системы от числа ионизованных узлов 2$. Этот расчет был проведен в предположении, что число двоек s (равное числу дырок) является интегралом движения, и поэтому в энергетическом спектре можно провести классификацию полос по определенным значениям чисел $ ). В рассматриваемом расчете имеют дело с четырьмя основными энергиями взаимодействия： 1) энергией отталкивания U двух валентных электронов в двойке, 2) энергией отталкивания Bqq/ двух валентных электронов, расположенных в двух любых различных узлах q и д', 3) обменной энергией Лдд, двух электронов и, наконец, 4) энергией переноса 上^丁, соответствующей переходу электрона от узла q к узлу д'.
Легко понять физическую роль, которую играют эти энергии при изменении степени ионизации кристалла.
С ростом ионизации доля взаимодействия U в энергии системы электронов кристалла возрастает пропорционально числу $, т. е. она равна sU. Изменение доли взаимодействия В в полной энергии (в приближении ближайших соседей) определяете» при этом величиной
(а— В) 5, (20.38)
где а — сумма чисел пар соседей двойка ——двойка и соседей дырка — дырка, а Р —— число пар соседей двойка ——дырка. Из этих выражений следует, что взаимодействие U (порядка энергии ионизации) всегда препятствует ионизации узлов кристалла, в то время как взаимодействие В существенно зависит от взаимного распределения ионизованных узлов по кристаллу и поэтому в зависимости от соотношения абсолютных величин параметров а и Р может иметь как положительный, так н отрицательный знак п. следовательно, препятствовать или способствовать росту ионизации кристалла.
Наряду с этими квазикулоновскими энергиями существенное влияние на общий энергетический баланс системы могут оказывать и специфические квантовые энергии обмена Л и переноса L. Вклад первой из этих величин в полную энергию системы в приближении ближайших соседей равен
(м$ — а Ц- у) А,(20.39)
где V — число узлов решетки ближайших соседей к данному, а 丫 ——число пар соседних нейтральных узлов с антипараллельными спинами. В зависимости от знака интеграла Л и соотношения величин vs, а и у этот вклад, так же как и в случае (20.38), может способствовать или препятствовать росту числа ионизованных узлов. Интеграл переноса £, который в противоположность «потенциальным энергиям» U и 8 носит черты своего рода «кинетической энергии», связанной с трансляцией электронов по решетке, при заданном числе $ определяет ширину соответствующей энергетической полосы. При известном соотношении абсолютных величин энергий U, ] Л | u | L ] может оказаться, что наипизшпй уровень полосы, соответствующей какому-то значению 50 > 0, лежит ниже энергий гомеополярных состояний (с $ = 0). В частности (см. Ортель [197]), для случая п. к. решетки при выполнении условия
.。+6/-12]ё|V0(20.40)
наинизший из минимальных уровней энергетических полос соответствует полосе с _ —孔 0 + 64-12 Н|)
24|1|，(20.41)
где n = N/2 и N—-полное число узлов кристалла, а энергия этого уровня равна
(20.42)
Таким образом, видно, что только наивные классические представления, не учитывающие влияния распределения ионизованных узлов по кристаллу, а также существенно квантовых «энергий», могут привести к неправильному выводу об абсолютной энергетической невыгодности ионизованных состояний.
Мотт [198], исследуя природу ионизации электронных состояний в кристалле, сделал вывод о непригодности ОМГЛГ для объяснения явлений в кристалле, связанных с металлической проводимостью. В частности, он утверждал на основании чисто качественных соображений, что при малых значениях s энергия системы всегда только растет с увеличением степени ионизации в силу тривиального факта увеличенпя классической энергии sU< Лишь при очень больших значениях s, когда существенное влияние начинает оказывать эффект экранировки, автор допускает энергетическую выгодность ионизованных состояний.
На основании приведенного выше анализа. СвпрскиЙ и Вонсовский [199] показали, что выводы Мотта [198] об абсолютной неустойчивости слабо ионизованных состояний недостаточно обоснованы, прежде всего, потому, что в нем совершенно не учтена роль специфически квантовых членов (с 力⑪ £) в энергии системы. Вывод Мотта может иметь значение лишь в частном случае, когда энергия ионизации U значительно превосходит по абсолютной величине остальные «энергии». Как следует из полярной модели, это реализуется в случае диэлектрических и полупроводниковых кристаллов.
На основании результатов, полученных в работах [44, 45], можно легко построить кривые зависимости энергии 卷 электронной системы кристалла от степени его ионизации s/N. В работе [199] эта зависимость исследована для различных соотношений абсолютных величин интегралов U, | Л | 口 | £ |. Результаты этих квазиклассических расчетов схематически изображены на рис. 20.29. Поскольку в пих вместо дискретных квантовых операторов вторичного квантовашш вводятся непрерывные классические функции точки, то квазикулоновское взаимодействие, связанное с интегралами 8 в среднем исчезает. Можно исследовать влияние членов гамильтониана с интегралами В, не переходя к непрерывности. Это исследование показывает, что взаимодействие, описываемое интегралами В、может привести к спаду кривой 岩($) в области больших $, как это имело место и у Мотта [198]. но, кроме того, это взаимодействие может снижать энергию и в области малых $ (подробнее см. [45]). Таким образом, состояния со спонтанной ионизацией при малых значениях s. вопреки утверждению Мотта, в принципе возможны, как это показал учет квантовых эффектов.
Задача определения наипизшего энергетического состояния системы взаимодействующих электронов может быть рассмотрена в рамках более строгого варианта полярной модели, предложенного Боголюбовым и Тябликовым [200] (см. также Боголюбов (1949)). На первый взгляд может показаться, что в этих работах дается
количественное обоснование изложенных выше качественных соображений Мотта об энергетической невыгодности слабоионизованных состояний. Однако более детальный анализ вопроса, приведенный в работе [199], показал, что такой вывод не соответствует действительности.
В работах [44, 45] получено также условие, при котором энергия полностью ионизованного состояния ($ = п) ниже энергии неионизованного гомеополярного состояния ($ = 0). имеющего вид неравенства
(20.43)(20.43)U <26.
(20.43)
(20.43)
зависит только правая частьзависит только правая частьРис. 20.29. Зависимость энергии 岔 электронной К системы кристалла от степени ее поляризации s при различных соотношениях между абсолютными значениями энергетических параметров L7, I А I и I L I . По оси абсцисс отмечены точки для s = =п/2 и s = я, где n = N/2, а N ——полное число узлов кристалла) (Свирский и Вонсов- ский [199]).;Рис. 20.29. Зависимость энергии 岔 электронной К системы кристалла от степени ее поляризации s при различных соотношениях между абсолютными значениями энергетических параметров L7, I А I и I L I . По оси абсцисс отмечены точки для s = =п/2 и s = я, где n = N/2, а N ——полное число узлов кристалла) (Свирский и Вонсов- ский [199]).;Отметим, что при прочих равных условиях энергетическая выгодность (или невыгодность) ионизованных состояний зависит от межатомных расстояний в кристалле. Действительно, поскольку, например, в условии (20.43) от межатомных расстояний неравенства, можно думать, что существует критическое расстояние R。такое, что при 7?之瓦 энергетически выгоднее ионизованное состояние, а при R > R。— го- меополярное ). Это имеет место, например, в молекуле водорода [см. Бете, (1935)], когда при бесконечно удаленных атомах водорода уровень ионизованного состояния лежит выше основного уровня нейтрального атома на 12.83 血 При сближении атомов до равновесных размеров молекулы (порядка 1,4 А) энергия ионизованного состояния превышает энергию основного уровня всего лишь на 2 ав, т. е. разность уменьшается в 6 раз. К сожалению, подобный количественный расчет для кристалла пока невозможен из- за отсутствия точных сведений о волновых функциях в решетке.
зависит только правая часть
зависит только правая часть
Рис. 20.29. Зависимость энергии 岔 электронной К системы кристалла от степени ее поляризации s при различных соотношениях между абсолютными значениями энергетических параметров L7, I А I и I L I . По оси абсцисс отмечены точки для s = =п/2 и s = я, где n = N/2, а N ——полное число узлов кристалла) (Свирский и Вонсов- ский [199]).;
Рис. 20.29. Зависимость энергии 岔 электронной К системы кристалла от степени ее поляризации s при различных соотношениях между абсолютными значениями энергетических параметров L7, I А I и I L I . По оси абсцисс отмечены точки для s = =п/2 и s = я, где n = N/2, а N ——полное число узлов кристалла) (Свирский и Вонсов- ский [199]).;
Из сказанного следует, что расположение энергетических уровней гомеополярного и ионизованного состояний в кристалле не является чем-то раз и навсегда заданным, а находится в прямой и сложной зависимости от соотношения абсолютных величин различных типов атомных энергий в кристалле, обусловленных как квазиклассической, так и специфически квантовой частью электростатического взаимодействия электронов в кристалле. Поэтому в кристалле возможна как частичная, так и полная самопроизвольная ионизация электронных состояний.
Выясним теперь общие качественные выводы полярной модели для описания ферромагнетизма металлов.
Схема расчета в полярной модели строится так же, как и в теории Гейзенберга ——Блоха. Однако, кроме
процессов обмена, учитываются процессы переноса, при которых один валентный электрон переходит от узла к узлу независимо от того, имеется ли во втором узле свой валентный электрон (с противоположным спином). Эти процессы создают полярные состояния и обеспечивают перенос электронного заряда в металле. Таким образом, в полярной модели число независимых переменных, описывающих, состояние системы, значительно увеличивается. Кроме числа правых спинов г, необходимо задать еще число $ атомов с двумя валентными электронами (двойки), равное числу $ атомов, лишенных валентных электронов (дырки). Полное число атомов с левыми спинами у валентных электронов при этом равно N — $ — г. Полное число правых спинов равно 工卄-$ и, следовательно, результирующий магнитный момент вправо
2m = 2 (гЦ- з — п).
Отсюда видно, что при каждом заданном значении т (т. е. намагниченности системы)* число $ может изменяться в пределах
•0 < s <； п— I m |.(20.44)
В силу процессов переносатчисло $ не является постоянной движения, подобно числу m при'пренебрежении спиновыми силами, и поэтому, строго говоря, в каждом стационарном состоянии можно говорить лишь о среднем значении 〈$〉. Это среднее берется по всем значениям s, которые при заданном ш допускаются условием (20.44). Однако если исключить из рассмотрения процессы переноса, приводящие к рождению пар двойка ——дырка или к их аннигиляции, оставив лишь процессы переноса между двойками или дырками и атомами с одним электроном, которые не меняют числа s, то $ приближенно является постоянной движения, и поэтому энергетический спектр системы в этом случае будет состоять из полос, каждая из которых относится неопределенному значению $. В частности, при $ = 0 получается уже известная нам|иепо- лярная полоса, рассмотренная в гл. 19 теории Гейзенберга — Блоха. Величина энер-
гетических центров тяжести полос растет пропорционально $ и при данном m она равна sU. Из этого простого классического результата может показаться на первый взгляд, что минимум энергии всегда принадлежит состояниям с s = 0 и, следовательно, полярные состояния не играют никакой роли.
Однако это не так, ибо, как было упомянуто выше, каждому стационарному состоянию с заданным $ соответствует не изолированный энергетический уровень, совпадающий со средней энергией, а целая непрерывная полоса уровней. Энергетический центр тяжести этих полос действительно повышается с ростом $, но ширина их может быть такой, что в результате полосы с $ > 0 могут перекрыть частично или даже целиком полосу с $ = 0. При этом возможен такой случай, когда минимальный уровень полосы с $ > 0 ляжет ниже минимального уровня полосы с $ = 0, что и должно иметь место в металлах ).
Из-за математических трудностей не удалось решить квантовомеханическую задачу расчета электронного энергетического сцектра в полярной модели. Рассматривалось, однако, квазиклассическое приближение, позволившее определить наинизшие и наивысшие уровни для полос энергетического спектра системы для самого общего случая
Рис. 20.30. Зависимость энергетических минимумовт £мин (тп)二от намагниченности т по полярной модели (квазиклассическое приближение) ：при различных значениях энергетических параметров А и〈s〉=&. а) Случай А > 0, <s> = 0; б) случай А 乏 0, 0 ^ <з> п； в) случай А > 0,—(п—/s>) W m W ⑺一<s>)( 0 < <s> < n (n = N/2). (Шубин и Вонсовский [44]).
трехмерной решетки и любых соотношений между энергиями, входящими в теорию. Из этого рассмотрения видно, что энергетические минимумы полярной модели [44J (независимо от квазиклассического приближения) можно разбить на три класса: 1) при〈$〉= 0, 2) при 0 < <s> < п и 3) при〈$〉= п. Здесь среднее число «двоек» 〈$) является мерой полярности состояния кристалла; n = N/2 — максимально возможное число этих квазичастиц. Эти энергетические минимумы в зависимости от намагниченности m можно разбить на три группы:
Энергетические минимумы принадлежат всем значениям m от ——п до 4-п. При этом интеграл обмена положителен, % > 0 и〈$〉= 0 (рис. 20.30, а). В полярной модели он осуществляется лишь при условии, что |£|/О《1и |丫|/。《1, где 丫 一 величина, определяющая вероятность «рождения» пары двойка — дырка.
Энергетический минимум принадлежит полосе с m — 0 (рис. 20.30, 6). При этом интеграл обмена может быть как положительным, так и отрицательным. Это наиболее часто осуществляющийся случай парамагнетика. Если 4 V 0 и〈$〉= 0, то мы имеем случай гейзенберговского антиферромагнетизма полупроводников. При 4 > 0 и 〈$〉《 九 имеем парамагнетик, специфичный для полярной модели (металл).
При (s) = п и любом знаке 4 также имеем парамагнетизм. Этот случай, по-ви- димому, осуществляется в щелочных металлах (паулиевский парамагнетизм).
Энергетический минимум принадлежит полосе со значениями т, заключенными в пределах: —(п — <s>0) + (п — <s>0), где <s>0 не равно ни нулю, ни п (рис. 20.30, е). При этом 4 > 0. Это ферромагнетик с дробным значением атомного магнитного момента. Очевидно, именно этот случай встречается в реальных ферромагнитных металлах.
В теории, основанной на неполярной модели (см. гл. 19), необходимым и достаточным критерием ферромагнетизма является условие положительности интеграла обмена (Л > 0). В полярной модели это условие является лишь необходимым, но отнюдь не достаточным, оно должно дополняться условием для <s)0 (0《<s>0 V 九)и т・ п. Возможность появления ферромагнетизма сужается, так как могут быть парамагнитными и те кристаллы, у которых интеграл обмена положителен. В частности, в металлах, у которых 〈$〉()^j п (наиболее высокая степень поляризации), т. е. число квазичастиц 《двоек» (равное эффективному числу свободных электронов) порядка числа атомов в кристалле, мы никогда не получим ферромагнетизма независимо от знака интеграла обмена Л. Это осуществляется, по-видимому, в щелочных металлах.
Согласно полярной модели, как только что отмечалось, возможны ферромагнетики, магнитный момент которых при насыщении равен не максимально возможному
значению %卩后，а (% — 2<s>0) цБ, т. е,, иначе говоря, мы имеем дело с моделью ферромагнетика, обладающего дробным значением элементарного магнитного момента ц0 = =(1—2〈$〉(/М цБ，Из опыта известно, что фактически именно эта возможность всегда и осуществляется. Тем самым факт кажущейся дробности элементарных магнитных моментов ферромагнитных металлов получает теоретическое объяснение без каких-либо дополнительных гипотез.
В частности, как показал расчет Ортеля [197] по полярной модели, критерий ферромагнетизма сводится к одн ов ременн ому выполнению трех условий: 4 > О, Е > О, U + 64 — 12工 V °, а для <s>0 имеет место равенство (20.41). Если для энергий взять разумные порядки величин: U ^ 27 ов, £ ^ 10 ав и 4 ^ 0,1 зв, то получим: 〈$〉()/% ^0,2 и 卩0^0,6卩£，что имеет место, например, для чистого Ni. Конечно, в такой оценке имеется большой элемент произвола, тем не менее здесь полярная модель без всяких искусственных дополнений дает принципиальное объяснение факту дробности 卩° у чистых ферромагнитных металлов.
На основе полярной модели были проведены расчеты температурной зависимости самопроизвольной намагниченности Is (Т) (при низких температурах), В случае полупроводников (Арпама [202]), когда <s>0 f 0 при Т f 0 в выражении 7s (Г), наряду с блоховским членом 〜Т”？ появляется еще небольшой поправочный член 〜？з/2 еХр(一日‘/т) (@，一 постоянная, пропорциональная 。/左后)，пропорциональный среднему числу «двоек» 〈$〉°, которое растет с температурой по тому же закону, что и число электронов проводимости в обычной зонной теории полупроводника. Этот член может играть заметную роль лишь при более высоких температурах, где, однако, все приближение, па основе которого он получен, перестает быть достаточно точным. В случае металла такой поправочный член в выражение Is (Т) не входит и все изменение по сравнению с прежней неполярной теорией сводится к появлению дробности атомного момента (Ортель [197]). Укажем еще работы, в которых развиваются различные аспекты полярной модели (см. [203——213, 227, 228]). См. также гл. 22.
Спиновые волны и фермиевские возбуждения по коллективизированной модели. До сих пор все рассмотрение в рамках зонной модели проводилось для случая Т = 0° К. Возникает естественный вопрос: к каким выводам приводит зонная модель для Т > 0° К? Появляются ли здесь возбуждения, подобные спиновым волнам, рассмотренным в гл. 19?
Рассмотрим вопрос об элементарных магнитных возбуждениях прежде всего в рамках элементарной коллективизированной модели, следуя Томпсону [75]. Здесь обычно сначала рассматривают температурное изменение самопроизвольной намагниченности, обусловленное зависимостью от Т фермиевской функции распределения. Этот эффект имеет существенно различный вид в зависимости от того, имеем ли мы дело со слабым или сильным ферромагнетиком (см. рис. 20.8, б, ^ и 20.8, в, г). В случае слабого ферромагнетика для 7 «❷ намагниченность уменьшается пропорционально квадрату температуры
3/(Т)еерми а'?2. (20.45)
Коэффициент а' зависит от величины молекулярного поля, от функций плотности состояний и их производных вблизи уровней Ферми положительных и отрицательных спинов (Стонер [57], Вольфарт [62], Томпсон и др. [214]).
В случае же сильного ферромагнетика, когда одна из rf-подполос (с отрицательными спинами) пуста, т. е. когда ее нижний уровень лежит выше уровня Ферми, то
3/(Т)еерми^В'(Т)ехр (—善)， (20.46) где △富 ——энергия, необходимая для перевода электрона из этой полосы на свободные уровни в отрицательной подполосе выше уровня Ферми. Например, оценка для △宮 дает значение порядка 1 as. Предэкспоненци- альный фактор В，(Т) зависит от вида функции плотности состояний g(8) (см. Томпсон и др. [214]) и является медленно меняющейся функцией температуры по сравнению с экспонентой. В случае квадратичного закона дисперсии В' (7)〜Г3/2, а для g(8)= const, В' (Т)〜Т (см. [62, 214]) ).
Более сложен учет индивидуальныхт а не статистических возбуждений носителей магнитного момента. Здесь надо различать два типа возбуждений: во-первых, возбуждений, при которых спин носителя не меняется, т. е. электрон переходит в состояния с более высокой энергией в той же подполосе, где он был и до перехода, и, во-вторых, возбуждения
с изменением спина, т. е. с переходом в другую подполосу. В первом случае носитель магнитного момента переходит из занятого первоначально одночастичного состояния с волновым вектором к в другое первоначально свободное состояние с волновым вектором к V q (рис. 20.31, а). Поскольку при этом переходе число положительных и отрицательных спилов не меняется, то <(магнитная» энер гия системы в приближении молекулярного поля также не меняется. Энергия этого возбуждения равнаA声 (*左)=e (к + 0— ё (的，(20.47) и она ничего не вносит в магнитные свойства системы, но должна учитываться в теплоемкости и кинетических коэффициентах. Для заданного q энергия возбуждения зависит от начального состояния 盍,и поэтому энерс изменением спина, т. е. с переходом в другую подполосу. В первом случае носитель магнитного момента переходит из занятого первоначально одночастичного состояния с волновым вектором к в другое первоначально свободное состояние с волновым вектором к V q (рис. 20.31, а). Поскольку при этом переходе число положительных и отрицательных спилов не меняется, то <(магнитная» энер гия системы в приближении молекулярного поля также не меняется. Энергия этого возбуждения равнаA声 (*左)=e (к + 0— ё (的，(20.47) и она ничего не вносит в магнитные свойства системы, но должна учитываться в теплоемкости и кинетических коэффициентах. Для заданного q энергия возбуждения зависит от начального состояния 盍,и поэтому энера)6) 夕а)6) 夕Рис. 20.31. Спектр элементарных (спин-вол- новых) возбуждений без изменения направления спина, т. е. с переходами в одной подполосе по коллективизированной модели, а) Схематическое изображение части ^-пространства, соответствующего d-подполосе с положительными спинами (стрелка f указывает направление спина)： шестиугольник показывает границы зоны Бриллюэна, заштрихованная область —состояния, занятые электронами в подполосе, граница этой области — поверхность Фермй. 7 — начальное состояние электрона с волновым вектором к (после перехода остается дырка к), 2 — конечное состояние fc 4~ Q(Q — изменение волнового вектора); 6) схематическое изображение зависимости энергии элементарного (спин-волнового) возбуждения [см. формулу (20.47)] Aie (q, fc) (отложены по оси ординат) от волнового вектора q (отложен по оси абсцисс). Левая и правая сплошные кривые, ограничивающие заштрихованную область, соответствуют максимальными минимальным значениям Д^ (q,") при каждом данном q (соответственно интервалу возможных значений fc при фиксированной величине q) (Томпсон [75]).Рис. 20.31. Спектр элементарных (спин-вол- новых) возбуждений без изменения направления спина, т. е. с переходами в одной подполосе по коллективизированной модели, а) Схематическое изображение части ^-пространства, соответствующего d-подполосе с положительными спинами (стрелка f указывает направление спина)： шестиугольник показывает границы зоны Бриллюэна, заштрихованная область —состояния, занятые электронами в подполосе, граница этой области — поверхность Фермй. 7 — начальное состояние электрона с волновым вектором к (после перехода остается дырка к), 2 — конечное состояние fc 4~ Q(Q — изменение волнового вектора); 6) схематическое изображение зависимости энергии элементарного (спин-волнового) возбуждения [см. формулу (20.47)] Aie (q, fc) (отложены по оси ординат) от волнового вектора q (отложен по оси абсцисс). Левая и правая сплошные кривые, ограничивающие заштрихованную область, соответствуют максимальными минимальным значениям Д^ (q,") при каждом данном q (соответственно интервалу возможных значений fc при фиксированной величине q) (Томпсон [75]).
с изменением спина, т. е. с переходом в другую подполосу. В первом случае носитель магнитного момента переходит из занятого первоначально одночастичного состояния с волновым вектором к в другое первоначально свободное состояние с волновым вектором к V q (рис. 20.31, а). Поскольку при этом переходе число положительных и отрицательных спилов не меняется, то <(магнитная» энер гия системы в приближении молекулярного поля также не меняется. Энергия этого возбуждения равна
A声 (*左)=e (к + 0— ё (的，
(20.47) и она ничего не вносит в магнитные свойства системы, но должна учитываться в теплоемкости и кинетических коэффициентах. Для заданного q энергия возбуждения зависит от начального состояния 盍,и поэтому энер
с изменением спина, т. е. с переходом в другую подполосу. В первом случае носитель магнитного момента переходит из занятого первоначально одночастичного состояния с волновым вектором к в другое первоначально свободное состояние с волновым вектором к V q (рис. 20.31, а). Поскольку при этом переходе число положительных и отрицательных спилов не меняется, то <(магнитная» энер гия системы в приближении молекулярного поля также не меняется. Энергия этого возбуждения равна
A声 (*左)=e (к + 0— ё (的，
(20.47) и она ничего не вносит в магнитные свойства системы, но должна учитываться в теплоемкости и кинетических коэффициентах. Для заданного q энергия возбуждения зависит от начального состояния 盍,и поэтому энер
а)6) 夕
а)6) 夕
Рис. 20.31. Спектр элементарных (спин-вол- новых) возбуждений без изменения направления спина, т. е. с переходами в одной подполосе по коллективизированной модели, а) Схематическое изображение части ^-пространства, соответствующего d-подполосе с положительными спинами (стрелка f указывает направление спина)： шестиугольник показывает границы зоны Бриллюэна, заштрихованная область —состояния, занятые электронами в подполосе, граница этой области — поверхность Фермй. 7 — начальное состояние электрона с волновым вектором к (после перехода остается дырка к), 2 — конечное состояние fc 4~ Q(Q — изменение волнового вектора); 6) схематическое изображение зависимости энергии элементарного (спин-волнового) возбуждения [см. формулу (20.47)] Aie (q, fc) (отложены по оси ординат) от волнового вектора q (отложен по оси абсцисс). Левая и правая сплошные кривые, ограничивающие заштрихованную область, соответствуют максимальными минимальным значениям Д^ (q,") при каждом данном q (соответственно интервалу возможных значений fc при фиксированной величине q) (Томпсон [75]).
Рис. 20.31. Спектр элементарных (спин-вол- новых) возбуждений без изменения направления спина, т. е. с переходами в одной подполосе по коллективизированной модели, а) Схематическое изображение части ^-пространства, соответствующего d-подполосе с положительными спинами (стрелка f указывает направление спина)： шестиугольник показывает границы зоны Бриллюэна, заштрихованная область —состояния, занятые электронами в подполосе, граница этой области — поверхность Фермй. 7 — начальное состояние электрона с волновым вектором к (после перехода остается дырка к), 2 — конечное состояние fc 4~ Q(Q — изменение волнового вектора); 6) схематическое изображение зависимости энергии элементарного (спин-волнового) возбуждения [см. формулу (20.47)] Aie (q, fc) (отложены по оси ординат) от волнового вектора q (отложен по оси абсцисс). Левая и правая сплошные кривые, ограничивающие заштрихованную область, соответствуют максимальными минимальным значениям Д^ (q,") при каждом данном q (соответственно интервалу возможных значений fc при фиксированной величине q) (Томпсон [75]).
гия возбуждения А^е (q,九)как функция q будет иметь максимальное и минимальное значения (соответственно интервалу возможных значений А' при заданных ° и А^е). Это схематически изображено на рис. 20.31. 6 в виде полосы энергий возбуждений.
Возбуждение второго типа возникает при переходе магнитного носителя с положительным спином из занятого состояния к положительной подполосы в свободное состояние 7с 十 夕 в отрицательной подполосе. Обратный процесс этого типа может быть лишь в случае слабого ферромагнетизма. В результате число положительных спинов уменьшится, а отрицательных ——увеличится на единицу. Поэтому изменение магнитной энергии будет равно
彳(%+ 1 - к—I)2 宮。6 ^ (汽+ -汽-)亂6,
а для энергии возбуждения получим
△2e (0，大)= e(历+ 0 - e(历)十(力+一汽-)0亂6,(20.48)
где индекс 0 указывает, что значения 汽十 и 汽一 следует брать для основного состояния. На рис. 20.32, а——а даны схемы переходов и энергетического спектра второго типа возбуждений (с изменением спина). Здесь снова при заданных q и 厶2&(。，左)существуют максимальное и минимальное значения, соответствующие интервалу значений к. Специфическим для этого случая является то, что полоса энергии возбуждения при уменьшении волнового вектора 夕 сужается и стремится к нулю при 夕今 0.
В слабых ферромагнетиках минимальная энергия возбуждения при изменении знака спина равна нулю и реализуется при 夕方 0. Это соответствует переходу электрона с уровня Ферми в положительной подполосе на уровень Ферми в отрицательной подполосе. В случае сильных ферромагнетиков уровень Ферми находится вне отрицательной подполосы.
Поэтому имеется минимальная не нулевая энергия возбуждения △宮 для переворачивания спина при переходе носителя с уровня Ферми положительной подполосы на наинизший уровень отрицательной подполосы. Эта энергия А宮 определяется смещением подполос и входит в выражения для 61 (7)①ерми сильных ферромагнетиков.
Перечисленные возбуждения, однако, не включают коллективных магнитных возбуждений или спиновых волн. Вместе с тем существование спиновых волн в металлических ферромагнетиках было экспериментально
Рис- 20.32. Спектр элементарных (спин-вол- новых) возбуждений с изменением знака спина, т. е. с переходами из одной d-подполосы в другую по коллективизированной модели, а) и б) Случай слабого ферромагнетика； е) и г) случай сильного ферромагнетика. На схемах а и в стрелками f и ф обозначены направления спина электронов в соответствующих ri- подпол осах и соответствующие последним части fc-np остранства; шестиугольниками показаны границы зоны Бриллюэна, заштрихованные области — состояния, занятые электронами в подполосах, границы этих областей —поверхности Ферми. 7 一 начальное состояние электрона с волновым вектором к (после перехода остается дырка к); 2 — конечное состояние электрона с волновым вектором k + q (q — изменение волнового вектора); з — состояние электрона в подполосе со спином I, аналогичное его начальному состоянию в подполосе f. Д2е — величина энергетической щели для спин-волновых возбуждений с изменением знака спина сильного ферромагнетика. На схемах б и г изображены типичные зависимости энергии элементарных (спин-волновых) возбуждений Д2е (q, fc) [см. формулу (20.48)] (которые отложены на оси ординат) от волнового вектора q (отложены по оси абсцисс). Сплошные кривые, ограничивающие заштрихованную область, соответствуют максимальному (верхняя кривая) и минимальному (нижняя кривая) значениям Ав£(т,砌 при каждом данном(/ (соответственно интервалу возможных значений fc при фиксированной величине q) (Томпсон [75]).Рис- 20.32. Спектр элементарных (спин-вол- новых) возбуждений с изменением знака спина, т. е. с переходами из одной d-подполосы в другую по коллективизированной модели, а) и б) Случай слабого ферромагнетика； е) и г) случай сильного ферромагнетика. На схемах а и в стрелками f и ф обозначены направления спина электронов в соответствующих ri- подпол осах и соответствующие последним части fc-np остранства; шестиугольниками показаны границы зоны Бриллюэна, заштрихованные области — состояния, занятые электронами в подполосах, границы этих областей —поверхности Ферми. 7 一 начальное состояние электрона с волновым вектором к (после перехода остается дырка к); 2 — конечное состояние электрона с волновым вектором k + q (q — изменение волнового вектора); з — состояние электрона в подполосе со спином I, аналогичное его начальному состоянию в подполосе f. Д2е — величина энергетической щели для спин-волновых возбуждений с изменением знака спина сильного ферромагнетика. На схемах б и г изображены типичные зависимости энергии элементарных (спин-волновых) возбуждений Д2е (q, fc) [см. формулу (20.48)] (которые отложены на оси ординат) от волнового вектора q (отложены по оси абсцисс). Сплошные кривые, ограничивающие заштрихованную область, соответствуют максимальному (верхняя кривая) и минимальному (нижняя кривая) значениям Ав£(т,砌 при каждом данном(/ (соответственно интервалу возможных значений fc при фиксированной величине q) (Томпсон [75]).обменное взаимодействиеобменное взаимодействиедоказано в опытах по неупругому рассеянию нейтронов в работах Лауда [215] и Синклера и Брокхауза [216], в опытах по спин-волновому резонансу в работах Сив и и Танненвальда [217] (см, также [218]), а также по измерению температурного хода самопроизвольной намагниченности металлических ферромагнетиков в работах [219—224].
Рис- 20.32. Спектр элементарных (спин-вол- новых) возбуждений с изменением знака спина, т. е. с переходами из одной d-подполосы в другую по коллективизированной модели, а) и б) Случай слабого ферромагнетика； е) и г) случай сильного ферромагнетика. На схемах а и в стрелками f и ф обозначены направления спина электронов в соответствующих ri- подпол осах и соответствующие последним части fc-np остранства; шестиугольниками показаны границы зоны Бриллюэна, заштрихованные области — состояния, занятые электронами в подполосах, границы этих областей —поверхности Ферми. 7 一 начальное состояние электрона с волновым вектором к (после перехода остается дырка к); 2 — конечное состояние электрона с волновым вектором k + q (q — изменение волнового вектора); з — состояние электрона в подполосе со спином I, аналогичное его начальному состоянию в подполосе f. Д2е — величина энергетической щели для спин-волновых возбуждений с изменением знака спина сильного ферромагнетика. На схемах б и г изображены типичные зависимости энергии элементарных (спин-волновых) возбуждений Д2е (q, fc) [см. формулу (20.48)] (которые отложены на оси ординат) от волнового вектора q (отложены по оси абсцисс). Сплошные кривые, ограничивающие заштрихованную область, соответствуют максимальному (верхняя кривая) и минимальному (нижняя кривая) значениям Ав£(т,砌 при каждом данном(/ (соответственно интервалу возможных значений fc при фиксированной величине q) (Томпсон [75]).
Рис- 20.32. Спектр элементарных (спин-вол- новых) возбуждений с изменением знака спина, т. е. с переходами из одной d-подполосы в другую по коллективизированной модели, а) и б) Случай слабого ферромагнетика； е) и г) случай сильного ферромагнетика. На схемах а и в стрелками f и ф обозначены направления спина электронов в соответствующих ri- подпол осах и соответствующие последним части fc-np остранства; шестиугольниками показаны границы зоны Бриллюэна, заштрихованные области — состояния, занятые электронами в подполосах, границы этих областей —поверхности Ферми. 7 一 начальное состояние электрона с волновым вектором к (после перехода остается дырка к); 2 — конечное состояние электрона с волновым вектором k + q (q — изменение волнового вектора); з — состояние электрона в подполосе со спином I, аналогичное его начальному состоянию в подполосе f. Д2е — величина энергетической щели для спин-волновых возбуждений с изменением знака спина сильного ферромагнетика. На схемах б и г изображены типичные зависимости энергии элементарных (спин-волновых) возбуждений Д2е (q, fc) [см. формулу (20.48)] (которые отложены на оси ординат) от волнового вектора q (отложены по оси абсцисс). Сплошные кривые, ограничивающие заштрихованную область, соответствуют максимальному (верхняя кривая) и минимальному (нижняя кривая) значениям Ав£(т,砌 при каждом данном(/ (соответственно интервалу возможных значений fc при фиксированной величине q) (Томпсон [75]).
обменное взаимодействие
обменное взаимодействие
Вопрос о спиновых волнах в ферромагнитных металлах в феноменологическом аспекте был рассмотрен в работах Е. М. Лифшица [225], Херринга и Киттеля [226] и Херринга [227]. Более подробно в рамках коллективного описания взаимодействия электронов в металле по Бому一 Пайнсу [228, 229] эту проблему рассмотрел Шимицу [66], который получил более точный критерий существования ферромагнетизма в приближении эффективной массы (для случая больших масс) и одновременно рассмотрел вопрос о спиновых волнах. Однако при этом он искусственно постулировал локализованные состояния .Абрикосов и Д зялошинский [230] в рамках теории ферми-жидко- сти по Ландау [231,232] впервые рассмотрели вопрос о законе дисперсии спиновых волн и показали, что в первом приближении он квадратичен (так же, как и в неметаллах). При этом они использовали в энергии ферми-ча- стиц член типа (20.7), описывающий
спинов этих частиц с намагниченностью системыспинов этих частиц с намагниченностью системы(см. Вонсовский [46]). Изуяма [233] исследовал вопрос о спиновых вол
спинов этих частиц с намагниченностью системы
спинов этих частиц с намагниченностью системы
нах в рамках зонного приближения, рассматривая эти магнитные возбуж
дения как связанные состояния в системе ферми-частиц типа экситонов. Вонсовский и Кобелев [234] на основе метода температурных функций Грина произвели учет влияния флуктуаций плотности намагниченности в системе коллективизированных электронов ферромагнитного металла. При этом они показали, что при температурах 7《日 самопроизвольная намагниченность ферромагнитного металла уменьшается, во-первых, из-за рассмотренной выше температурной зависимости фермиевской функции распределения атомных носителей магнетизма (^-электронов) 61ферми (Т) [см. формулы (20.45) и (20.46)] и, во-вторых, благодаря возникновению спиновых неоднородностей ——спиновых волн 61Сп. волн (Т)・ В случае дробного значения атомных магнитных моментов и квадратичного закона
дисперсии ферми-частиц имеем для слабых ферромагнетиков
ЗТ0ерм£Т)^ — £『и ”сп.в°Лн(Т)^—ВТ". (20.49) К аналогичным результатам, хотя и иными путями, пришли и другие авторы (см. [75—78; 235—241], а также Маттис (1967)).
Наиболее детальное исследование ферромагнетизма металлов в рамках статистического метода квантовой теории поля проведено в работах Кондратенко [242—244] (см. также [245]). В первой из этих работ установлено условие возникновения ферромагнетизма, которое имеет вид обращения в бесконечность парамагнитной восприимчивости системы, вытекающее из определенного условия, накладываемого на двухчастичную вершинную часть, а также исследуются низкотемпературные свойства изотропной ферми-жидкости. Еще Ландау [232] показал, что в неферромагнитной ферми-жидкости могут возникать возбуждения типа колебаний спиновой плотности, подобные нулевому звуку при деформационных колебаниях поверхности Ферми с линейным законом дисперсии (е =力 | 盍 |). Кондратенко показал, что в ферромагнитной ферми-жидкости поперечных спиновых колебаний (типа нуль-звука) нет. Это связано с тем, что имеет место смещение поверхностей Ферми для спинов разных знаков (см.т например, рис. 20.8, 6), и следовательно, невозможны переходы квазичастиц с одной из них на другую без изменения энергии и импульса. Это и обусловливает качественное различие спиновых возбуждений в пара- и ферромагнитной ферми-жидкости. Далее, как и в работе [234], без привлечения модельных представлений показано, что спиновые волны в ферромагнитной ферми-жидкости имеют квадратичный закон дисперсии. Учет магнитного дипольного взаимодействия приводит к такому же изменению в спектре спиновых волн, которое было получено для ферромагнитного диэлектрика Холстейном и Примаковым [246]. Вклад в температурную зависимость от фермиевских возбуждений системы 6/фермп оказался таким же, как и в (20.49). Рассмотрены также вклады обоих типов возбуждений в теплоемкость системы при определенных условиях, пропорциональные соответственно Т и Тз/2 бЬ1Л0 установлено, что фермиевские и спиновые возбуждения в наинизшем по температуре порядке дают независимые вклады в теплоемкость и магнитный момент ферромагнитной ферми-жидкости. Во второй работе Кондратенко [243] показано, что все выводы, полученные им для изотропной ферромагнитной ферми-жидкости, могут быть перенесены на анизотропный случай ферромагнитного кристалла переходного металла с двумя перекрывающимися энергетическими полосами —— широкой s-полосой и узкой d-иоло- сой. В этой работе также получено условие возникновения ферромагнетизма (в виде некоторого соотношения для двухчастичной вершинной части), а также выражения для вкладов в намагниченность и теплоемкость от фермиевских и спин-волновых возбуждений (для случая слабого ферромагнетика).
В третьей работе Кондратенко [244] исследовал характер особенностей спектра спиновых волн ферромагнитного металла, обусловленных взаимодействием их с электронами проводимости. Спектр спиновых волн ферромагнитного металла остается квадратичным, пока квазиимпульс спиновой волны 夕 мал по отношению к разности фермиевских квазиимпульсов электронов проводимости с антипараллельными спинами на поверхности Ферми, т. е. I 夕 I V Аро = | Рф | 一 | Рф |. При этом условии для q распад спиновой волны на электрон и дырку невозможен, поскольку нельзя одновременно удовлетворить законам сохранения энергии и квазиимпульса. При значениях °, близких к Ар①》наступает порог распада спиновой волны на пару фермиевских возбуждений, что и приводит в этой области к появлению особенности (всплеска) в спектре спиновых волн металлического ферромагнетика. Исходя из самых общих соображений (см. ниже), можно ожидать, чтовесли взаимодействие между
s- и d-возбуждениями в металле не является аномально малым, то отношение разности Ар① к самому квазиимпульсу Ферми равно
А卩① (3^_)"2
%〜・
Вместе с так называемыми коновскими особенностями (см. Кон [2471. Уолл и Неттел [248], а также ниже), имеющими место при значениях ква~ зиимпульса спиновой волны, близком к экстремальной полусумме диаметров поверхностей Ферми s-полосы, найденная Кондратенко [244] особенность в спектре спиновых волн может служить добавочным источником информации для восстановления формы поверхности Ферми электронов проводимости в ферромагнитных металлах.
В теории спиновых волн ферромагнитных металлов по модели коллективизированных электронов, кроме акустической ветви ферромагнопов, [для которой при А = 0 имеем 8 (0) = 0] предсказывается существование еще оптической ветви [с 8 (0)方 0], для кристаллов, в элементарной ячейке которых имеется более одного атома [см., например, Киттель (1967), Маттис (1967)], и поэтому электронный спектр оказывается существенно многополосным. Расчет <(оптических» спин-волновых состояний был проведен в работах [78, 249]. Кроме того, Слэтер [250] еще в 1937 г. высказал предположение, что даже в случае одной полосы энергий, когда в элементарной ячейке кристалла имеется один атом, то при условии, что обменное взаимодействие между электронами имеет конечный радиус действия, также возможно существование оптической ветви в спин-волновом спектре, так называемые полярные спиновые волны. Более подробно об оптических и полярных спиновых волнах см. в книге Маттиса (1967), а также в работе Соколова [251].
Укажем еще некоторые работы7 в которых исследуются вопросы о спин-волновых возбуждениях по модели коллективизированных электронов [252—266]. Детальный обзор экспериментальных работ дан в статье Ширане и др. [264].
Подводя итоги краткому описанию зонной модели ферромагнетизма d-металлов, можно подчеркнуть ее сильные стороны в объяснении дробного характера атомных моментов, а также в учете того, что d-злектрсшн активно участвуют в формировании состояний общей ферми-системы з— и d-злектронов.
Вместе с тем эта модель имеет ряд принципиальных трудностей. Главной из них является постулирование резко автономного существования d- и s-полос в энергетическом спектре системы и искусственное ((Склеивание» их у общей поверхности Ферми. Кроме того, в обычной зонной трактовке практически игнорируется факт пространственной неоднородности электронной плотности в кристалле, вытекающей уже из статистической корреляции электронов в пространстве (из антисимметричного характера полной волновой функции ферми-системьт). Благодаря этому не учитывается индивидуальность спиновых состояний электронов в кристалле, что не дает возможности объяснить результаты измерений нейтронных и рентгеновских форм-факторов и количественные оценки кинетических коэффициентов, обусловленные различного рода ((Столкновениями» между электронами и нейтронами, с одной стороны, и спиновыми магнитными неоднородностями — с другой.
В целом можно сказать, что зонная модель, подчеркивая делокализацию с/-электронов в кристалле, затрудняет трактовку их магнитных свойств, которые существенно связаны с сохранением локализованного распределения плотности электронного заряда *) и в особенности плотно-
сти магнитных моментов бывших ^-электронов в кристалле. Поэтому эту модель с известным правом можно применять в случае d-металлов, но она мало пригодна для объяснения физических свойств /-металлов. Однако развитие применений статистических методов квантовой теории поля и расчетных методов вселяет надежду, что в ближайшем будущем будет достигнут прогресс в этой области теории магнитно-упорядоченных тел.
§ 5. Основы 醫——/-обменной модели
Общие замечания. Обратимся теперь к краткому описанию s ——/- обменной модели. В ней основное внимание в волновой функции (20.9) для /-электронов обращается на модулирующий днюжитель, который аппроксимируется локализованной атомной волновой функцией ). Для волновой же функции s-электрона сохраняется та же самая аппроксимация. что и в зонной модели. Поэтому закон дисперсии для s-электронов в нулевом приближении берется в обычной форме, как и для зонной модели: 碎s) (к), а энергия /-электрона ——в виде дискретной энергии атомного /-уровня 自;°〉. Таким образом, ширина энергетической полосы /-электро
нов, связанная с переносом заряда в кристалле, принимается равной нулю, а эффективная масса /-электрона ——бесконечно большой (^$9力/^$3巾 f 0). В следующих —— первом и втором приближении теории возмущения в системе s/-электронов учитывается энергия взаимодействия обменного электростатического типа как между /-электронами, так и между /- и s-электронами (s — /-обменная связь!).
Учитывая эти соображения, электронную систему переходного /- или d-металла с атомным магнитным порядком следует описывать скалярной функцией р (г), определяющей суммарную электронную (зарядовую) плотность в кристалле, и векторной функцией электронной спиновой плотности s (г). Симметрия первой совпадает с кристалло-химической симметрией металла, а симметрия второй 亠 с его магнитной симметрией. Кроме того, необходимо учитывать еще функцию 1У (/*) плотности импульса, описывающую нелокализованность электронов в кристалле. Эти функ
ции являются квантовомеханическими операторами, поэтому для нахождения статистико-термодинамических характеристик электронной системы кристалла необходимо определить средние статистические значения этих операторов по известным формулам квантовой статистики (Ландау, Лифшиц (1964)):
S(7*) —S(7*) —Sp [$ (г) W]'Sp 応~Sp [$ (г) W]'Sp 応~р (/•)=р (/•)=sp [户⑺例SpIVsp [户⑺例SpIV(20.50)(20.50)
S(7*) —
S(7*) —
Sp [$ (г) W]'Sp 応~
Sp [$ (г) W]'Sp 応~
р (/•)=
р (/•)=
sp [户⑺例SpIV
sp [户⑺例SpIV
(20.50)
(20.50)
где W — ехр (——威/4卫7)——оператор матрицы плотности, а 磁——оператор гамильтона системы ). Естественно, что строгое вычисление функций (20.50) наталкивается на большие математические трудности. Это заставляет пользоваться приближенными методами решения поставленной проблемы. Ниже будет рассмотрена приближенная трактовка задачи переходных металлов, обладающих атомным магнитным упорядочением. Главное внимание будет обращено на выяснение влияния магнитного упорядочения на электроны проводимости ).
Приближенная трактовка s——/-обменной связи. В элементарной форме в рамках приближения молекулярного поля расчет s ——/-взаимодействия провел Зинер [36]. Энергия прямого / — /- или d —— d-обмена (на один узел решетки) записывается в виде: —А打哂2 или —Addmd/24 где А// и Add ——энергетический параметр этого взаимодействия, а тп/ и md ——средние значения относительных намагниченностей соответственно /- и d-злектронов ). Энергия s ——/-обмена на узел решетки равна ——А^т,т$, где ms —— средняя относительная намагниченность s-электронов. Система s-электронов сама по себе считается парамагнитной, т. е. для нее Е V 1 [см. (20.13)]. Добавка к энергии Ферми, связанная с намагниченностью s-электронов, равна 4①欣/2, где энергетический параметр Аф = N^e/Xum (N — плотность s-электронов, а %口虱一обычная паулиев- ская парамагнитная восприимчивость ), определяемая плотностью состояний у поверхности Ферми (см. гл. 11)). Таким образом, полная энергия кристалла на узел, зависящая от т/ и т$, будет равна
宮(^力 g)= —-^AffTr^ — Asfmsmf +у Лф^.(20.51)
Поскольку энтропия сильно вырожденного газа s-электронов в металле ■очень мала, то равновесное значение намагниченностей ш/ и ms можно найти прямо из требования, чтобы выражение (20.51) имело наименьшее значение (при условии, что \mt\ ^.mf макс и | тп5 | < тп6 маке)- Одно из возможных решений имеет следующий вид:
=(20.52)
Поскольку в обычных условиях Asf ^ 10"14—10-13 эрг, Аф ^ 1022 X X 10"40/10-7 ^ 10"11—10~12 эрг, то отношение \А^/АФ \=\к^\^ 0,1—0,01, поэтому подмагничивание парамагнитной системы s-электронов составляет •от 1 до 10% намагниченности внутренних /-электронов. Подставляя (20.52) в (20.51), находим равновесное значение спиновой части энергии •системы s + / электронов как функции тп『：
^мин (^/) — —^ (""十尤^)啮.(20.53)
Величина в скобках в правой части (20.53) представляет собой эффективный энергетический параметр обмена /-электронов:
(4力吸中=4方十£-。(20.54)
Таким образом, s ——/-обменное взаимодействие приводит к эффективной обменной связи между внутренними электронами, определяемой косвенным интегралом обмена:
4Hосв尸•(20.55)
"喔Y2%им"喔Y2%им%nM = 2g (С。)哮т；%nM = 2g (С。)哮т；Поскольку Л ноев > 0 всегда, то s — /-связь всегда (в пределах данного приближения квадратичного закона дисперсии) способствует ферромаг-
"喔Y2%им
"喔Y2%им
%nM = 2g (С。)哮т；
%nM = 2g (С。)哮т；
нетизму. Прямая / — /-обменная связь может быть как ферро-, так и антиферромагнитной (Aff 三 0). Следовательно, критерий ферромагнетизма в рамках s ——/-обменной модели, в отличие от критерия по модели Гейзенберга имеет вид ):
厶">0.(20.56)
Сложнее расчеты, если главную роль играет не прямая / ——/-связь, а косвенная обменная связь через обменное взаимодействие /- и s-электронов. Если Aff ^； 0, то Лкосп из (20.55) целиком определяет магнитный порядок в металле, и тогда из (20.55) следует, что A^I^q ^ 届®. Следовательно, s — /-обменный параметр в этом случае по порядку величины равен
4f ^ (0^о)1/2-(20.57)
Полезно, следуя работе Касуйя [267], установить связь между выражением для энергии взаимодействия, предложенного в элементарном расчете Зинера (20.51) и микроскопическим гамильтонианом s ——/-обменной связи. В общем виде зинеровская трактовка s —— /-связи эквивалентна приближению молекулярного поля, в котором s ——/-взаимодействие записывается в виде
威8〃зинер)= 4/ (0) &〉〈6〉，(20.58)
где 4$『(0) — параметр s — /-обмена, (Sz) и (az) — средние спиновые поляризации соответственно /- и s-электронов на один атом или электрон. В микроскопической трактовке (см. ниже) это взаимодействие приближенно описывается гамильтонианом
磁—-Kn) 24『(夕)自貪0-*(20.59)
где
Asf (r; — Bn) = 24f (q) exp[iq(rj — Rn)],
s9 = N-1^ 3 exp [i (g • J?n)l Sn,(20.59a)
o9 = ^~I/22 ехр[г(д-г；)]ст;.
Из сравнения (20.58) и (20.59) видно, что для получения энергии s — /-обмена по модели Зин ер а необходимо использовать три весьма существенных приближения: 1) заменить средним статистическим значением спины /-оболочки 〈Sn〉； 2) ограничиться рассмотрением только ферромагнитного порядка для Sn и поэтому учитывать только z-компоненту и только член с q = 0; 3) в системе s-электронов не учитывать изменения, а рассматривать только среднее статистическое значение спиновой плотности. Эти приближения детально рассмотрены в обзоре Касуйя [267]. Ниже мы будем постепенно отказываться от этих приближений.
Трактовка Зин ер а аналогична рассмотрению Фр елиха и Набарро [268] поляризации ядер в металле, основанному на использовании фермиевского взаимодействия СТС:
(^Ферми ~W 力① ерми(Л/ —兄 n)7n"О_/,(20.60)
где 1п —— спиновый момент ядра в узле 汽；г； и О/ ——радиус-вектор и вектор спина /-го электрона. Параметр фермиевской связи ЛФерми пропорционален произведению 6-функции Дирака на квадрат модуля волновой
функции электрона на ядре
力①ерми = аЗ (& — г；) I 叭①)|2. (20.60а)
Аналогия с (20.58) будет полной при условии точечной локализации /-электронов на узлах решетки кристалла. Именно поэтому гамильтониан (20.58) лучше описывает s — /-, чем s — d-обмен, поскольку 4/-электроны гораздо более локализованы, чем 3d-, 4d- или 5б/-электроны.
Для количественного изучения проблемы s ——/-обмена можно воспользоваться либо феноменологической трактовкой, либо микроскопической моделью. Сначала остановимся на первом из указанных путей.
Феноменологическая трактовка s ——/-обменной связи в ферромагнитных металлах, а. Постановка задачи. При общей феноменологической трактовке ферромагнитного кристалла металла или полупроводника [[269—274, 48], Туров (1963), Ахиезер, Барьяхтар, Пелетминский (1967)] последний рассматривается как непрерывная среда, характеризуемая не только плотностью магнитного момента I (г), но также [см. (20.50)] функцией плотности импульса Р (г), учитывающей существование в кристалле коллективизированной системы электронов. Вспоминая все сказанное выше, можно ввести предположение о возможности приближенного разделения электронной системы в интересующих нас кристаллах на две подсистемы /- и s-электронов. Первую можно считать локализованной, и поэтому плотность импульса JP/ (г) для нее приближенно равна нулю. Гамильтониан всей s 十 /-системы можно записать в виде
威=威了十威5+威5力 . (20.61)
где гамильтониан /-системы 施/ зависит только от I (г), гамильтониан s-системы 處 $ — от I' (г) и JP (г) и, наконец, гамильтониан s — /-взаммо- действия ^5/ — от 7(f),工'(夕)и JP (г); Т'(г)— плотность намагниченности поляризованных s-электронов, а I (г) — локализованных /-электронов. Если учесть магнитные взаимодействия, то в 威 будут входить члены, зависящие от внешнего и внутренних магнитных полей обеих подсистем.
При такой общей постановке задачи можно с самого начала пе делать предположений о происхождении обменной связи в системе. Эта связь должна быть объяснена в ходе решения самой поставленной задачи.
Здесь мы пока не будем интересоваться происхождением обменной связи в /-системе и рассмотрим лишь подмагничивающее влияние каким-то образом возникшего самопроизвольного магнитного момента на спектр энергий внешних электронов проводимости. Тогда можно ограничиться решением более простой задачи. В этом случае в качестве гамильтониана нулевого приближения возьмем
威 0 =磁0/+威 05， (20.62) где 威 w ——гамильтониан спиновой системы /-электронов без учета влияний со стороны системы s-электронов, а 威оз —— обычный гамильтониан электронов проводимости металла без учета влияния на них /-электронов. Выбор именно такого «нулевого» приближения не может вызвать сомнений, например, в том случае, когда параметр s —— /-взаимодействия ASf мал по сравнению с параметром / — /-обмена А^ и с энергией Ферми ^0, т. е.
4『《/仍 *• (20.63)
Что касается второго неравенства (20.63), то оно практически всегда выполняется. Первое же неравенство часто не удовлетворяется из-за слабого перекрытия /- или d-слоев друг с другом. Поэтому выбор нулевого приближения (20.62) означает (при А^ q 0). что можно независимо рассматривать, с одной стороны, влияние s —— /-связи на возникновение сильной косвенной спиновой связи в /-системе за счет взаимодействия с s-системой и, с другой стороны, влияние результирующей самопроизвольной намаг-
ниченности s + /-системы на электроны проводимости (их поляризацию) и обратное влияние поляризованных s-электронов на /-систему.
В связи с обсуждением малых параметров в s ——/-модели, заметим, что она наиболее приемлема в случае редкоземельных 4/-металлов (РЗМ). Для РЗМ можно с большой точностью принять, что параметр прямого / — /-обмена очень мал (4『『^ 0). Однако внутри каждого иона РЗМ имеется очень сильная обменная связь (хундовская) Л/, которая и является характерным энергетическим параметром «магнитной» подсистемы 4/-электронов РЗМ. Величина этой энергии в температурной шкале может достигать значений 104 °К, т. е. она такого же порядка, что и энергия Ферми Со. Поэтому можно с полным правом принять, что в РЗМ существуют два безразмерных параметра малости
(20.64)
Итак, в качестве оператора энергии возмущения будем рассматривать гамильтониан(^sf. Такой путь решения впервые предложил С. П. Шубин (см. Шубин и Вонсовский [45]) и впервые реализовал Вонсовский [46, 196] и Вонсовский и Туров [47] (см. также работу Пратта [280j).
В качестве оператора 就讨 можно взять обычный гамильтониан теории ферромагнонов из гл. 19. Под оператором с^?os будем понимать оператор энергии системы электронов проводимости, которую можно рассматривать как ферми-газ или ферми-дадкость. Поправку от учета возмущения 磁 будем искать по отношению к нулевой энергии 磁()$, т. е. будем интересоваться лишь подмагничивающим влиянием /-системы на энергию электронов проводимости *).
Гамильтониан s — j-системы. Оператор плотности энергии такой квазичастицы (электрона проводимости) записывается в форме
融(r)=^os (尸)+鹿sf ⑺=軌s (г) — з (г).(20.65)
Здесь оператор 威()$ (г) ничем не отличается от аддитивного оператора для газа ферми-частиц и удовлетворяет требованиям инвариантности относительно трансляций на период "хим кристаллохимической решетки: 励os (尸 十"хим)；磁os (f). Этому же условию инвариантности удовлетворяет и коэффициент обменного взаимодействия В (г -卜 ^хим) = В (г). Однако весь оператор (20.65) может быть и неинвариантным относительно таких трансляций. Слагаемое В (г) J (，‘)•£//()в (20.65), описывающее изотропное s ——/-обменное взаимодействие ), инвариантно относительно трансляций на период "маш магнитной элементарной ячейки, которая в общем случае отличается от кристаллохимической, ибо, вообще говоря, Цг + ^хим)# / (*)•“
Оператор энергии всей системы s-электронов дается выражением
Здесь интегрирование ведется по всему объему кристалла, а суммирование —по двум значениям спиновой переменной (s = ± 1/2); @ (/*, s)— квантованная волновая функция s-электрона (ферми-частицы) **). Кванто-
*)《Обратное» влияние подмагниченных s-электронов на энергию rf-электронов рассмотрел Бешидзе [281]. «Смещение» уровней З^-йлектропов оказывается пропорциональным Л5у/^0, т. е. в силу (20.57) пропорционально (❷/工。)"？.
ванную волновую функцию можно^ представить, например, в виде ряда по обычным функциям электрона ^проводимости в периодическом поле кристалла (20.2)
®(厶 s)= Е £肌評(左；夕)&j(s)= S ^~I/2 exp (ikr) и (fc; r} akcCc (s). (20.67)
Функции 屮(盍；г) являются собственными функциями оператора энергии нулевого приближения, т. е.
磁os⑺w(fe；g)=加(fc)w(此f),(20.68)
где 80 (盍)一энергия электрона проводимости в кристалле без учета взаимодействия с системой /-электронов.
Величины Ока и 〃/^ в (20.67) и (20.68)——ферми-операторы вторичного квантования (см. гл. 19), удовлетворяющие перестановочным соотношениям (19.131). Произведение 〃丈仃 akG = 汽片仃 по (19.130) является оператором числа ферми-частиц в состоянии к, о.
Подставляя в (20.66) оператор энергии (20.65) и волновые функции (20.67) и учитывая (19.131), находим
威= £бо(期九材一Е ^^^^2^*^г)5(г)^^^';r)drC°(s)^Ca，^у fc, ок, к，；з
О, 0，
(2О'б9)
Входящие в (20.69) матричные элементы оператора спина W Си (s) sCj (s) могут быть определены через элементы так называемых спиновых матриц Паули [см. Блохинцев (1961)]. А именно, в представлении, в котором оператор $z диагоналей, имеем (в единицах Я/2)
2 G/2 ⑹鱼a/2 ($) = 1 ；
£ C(s) s£(s) = —1;
工 G/2 (s) S*C-l/2 (s) = 1；
§Ct2(s)£G/2(s)=1;(20.70)
W G/2 (s) $心-£/2 (s) = — %； s/
』C-U? (s) $庐1/2 (s) = %*
Все остальные матричные элементы равны нулю.
Заменяя матричные элементы оператора спина по (20.70), а также принимая, что система cZ-электронов близка к насыщению вдоль оси z (когда спиновое квантовое число равно —']》,и вводя обозначения (19.35) и (19.39), получим из (20.68) после некоторой перегруппировки членов 威=£ 80(fc) пка— £ 前,1/2放，，-“2 J 屮* (抬 r)B(r)-^-^(k'; r) dr — k ,a把，"'
-2技,г 2林,1/2 J屮* (后；簿58亲•屮(化'；簿dr -
-4 2 技,1/2部，1/2，W* (*；?.)笈⑴)-^1t 巾(左'；r)dr - к, Ze，
-4 2 ^ -ч^к', - V2 j ^* (fc； »•) 5 (r) [1 — ip.] T|； (fcz; r) dr. (20.71)
Перейдем от операторов 丫一，丫十 к их фурье-компонентам
у_ (г) = a W М ехр (%"), Y+ ⑴)=a £ 结 exp (igr)\
тогда, введя обозначения
]w*0丿"(*)2({器厶•，)忆然 (20•72方
j exp [i(g — g')r]^*(k; г) В (г) i|j (/г; r)dr = ^(k,左'；д — д'),
вместо (20.71), получим
威=N 8。㈣儿 &°-^ХМВ-i/2-y 2 m T此忆一5一
к, акк# к'
一*■ X （成,1/2〃忆 1”一碇,一1/2〃仁-1/2）娜,B（儿府‘；9一g'）一
2 砾 一i/ЕВ（"府’；"）一
2 &-1/2&鹏 1/2睬(А А"； —д)“(20.73)
Первые два слагаемых в (20.73) дают энергию всех электронов проводимости, подмагниченных благодаря обменному взаимодействию с полностью намагпиченной системой внутренних электронов. Небольшие отклонения от насыщения имеют вид ферромагнонов, энергия которых дается, напри- мер, гамильтонианом (19.82). Остальные члены в операторе (20.73) описывают взаимодействие между ферромагнонами и электронами проводимости, при этом «нулевой» энергетический спектр последних уже изменен взаимодействием с «нулевым фоном» («вакуумом») системы внутренних электронов, в о зб у ждениями которого и являются ферромагноны.
Таким образом, взаимодействие электронов проводимости с внутренними электронами в рассматриваемом приближении естественно разбивает- ся на две части: первая из них приводит к изменению энергии электронов проводимости, вторая, представляющая взаимодействие с ферромагнонами, может рассматриваться как малое возмущение, вызывающее переходы между нулевыми энергетическими уровнями системы. При этом члены с четверной суммой в (20.73) описывают «упругие» столкновения между электронами проводимости и ферромагнонами, а две последние тройные суммы ——«неупругие» соударения, сопровождаемые процессами рождения и поглощения ферромагнонов с одновременным изменением проекции спина у электронов проводимости. Учет этих членов возмущения суще- ствен при описании аномалий кинетических процессов в ферромагнетике.
8. Энергия тодмагнтенных^ электронов проводимости. В рамках термодинамической теории возмущений, в первом порядке по взаимодействию 〈赞s『〉получим энергию системы в виде
富=2或九庆传)十 2(20.74) кk
Здесь введены новые обозначения
彘=—(I 干 W)6 (А) + *0 (左)(20.75}
卩 использовано соотношение
я
где тп/ = I/Iq ——относительная намагниченность /-электронов, а двойка в знаменателе учитывает гиромагнитную аномалию электронного спина.
Формулу (20.75) можно записать более компактно, обозначив магнитный момент электрона проводимости через о$ (= 士1), а именно
或=財(左)一等(1 + a"2力6(〃)， (20.76)
где OsW，『 принимает значение +тп/ или ——т『в зависимости от того, совпадает или не совпадает направление спина электрона проводимости с век- тором намагниченности системы /-электронов. Формула (20.76) впервые была получена в работах [45, 46].
Формулу (20.76) в некотором приближении можно считать законной не только в области низких температур (где справедливо приближение спиновых волн, т. е.〈〈』b^bg) )/N《 1), но и в более широкой области, вплоть до точки Кюри. Основанием к такому обобщению может служить то обстоятельство, что в (20.76) член с тп/ является малой добавкой, ибо его отношение к первому слагаемому определяется величиной введенного выше параметра малости A s//^0« Из теории металлов, кроме того, известно, что вплоть до температур 103 °К электронный газ практически остается вырожденным (*》к^Т). Именно поэтому формулу (20.76) можно применять для электронов проводимости в ферромагнетиках вплоть до температур Кюри, понимая под тп『среднее статистическое значение намагтти- чепности как функцию температуры.
Формулу (20.76) можно наглядно толковать так: в результате s — /- обменного взаимодействия на спин .9-электрона действует мощное молекулярное поле. При этом важно подчеркнуть, что: во-первых, появление члена с asW/ связано не с грубо качественными модельными представлениями, а вытекает из общей теории и, во-вторых, действующее на s-элек- тропы эффективное поле существенно зависит от состояния s-электрона.
Физический смысл членов с о$?%『в (20.76) заключается в том, что величина намагниченности т扪 особенно вблизи точки Кюри, существенно зависит от температуры В результате в <(газе)> электронов проводимости ферромагнитного металла вблизи точки Кюри должно происходить заметное п ер ер ас пр ед ел ение этих электронов по импульсам (в области спада Ферми), а также изменение их эффективной массы. Последняя определяется по хорошо известной формуле
* 无2 —
где d — постоянная кристаллической решетки. Используя формулу (20.76), находим
h^(а)「方2 以(左)十 ， (公)仇我"尸dR (20.78)
Здесь а (〃) — величина порядка энергии Ферми ^0, а §'(加)—порядка энергетического параметра s — /-обменного взаимодействия. В приближении эффективной массы (т. е. если считать энергию электрона (20.76) квадратичной функцией модуля квазиимпульса | 府 |)
8& а0 — роа5шУ + у [«1 + Р1П5Ш/]依； (20.79) обе величины а и 0' будут просто постоянными, равными соответственно 0^ и Bi，и т* не будет зависеть от квазиимпульса
т* 二无2 [% Ц-Р^зЖ/]-1 dR (20.80) Если учесть анизотропное магнитное обменное взаимодействие [282, 283], то для тензора эффективной массы вместо (20.80) получим (см. Родионов и Шавров [284])
嘲丄=(^y{2g一伍(包+砂尸，叫=得)2{2[%._仇(也一2片)尸，
(20.81)
где 臓丄 и m$n — эффективные массы соответственно «продольная» и «поперечная» относительно направления намагниченности, a R — некоторая линейная комбинацйя квазикулоновских и обменных параметров магнитного взаимодействия (т/——1).
Термодинамические следствия. Для оценки влияния зависимости эффективной массы от намагниченности и перераспределения s-электронов по скоростям на термодинамические свойства ферромагнетика, следует рассмотреть какой-либо из его термодинамических потенциалов； например, свободную энергию ^\ Определение Fr значительно облегчается тем, что энергия взаимодействия (20.76)——одна и та же для всех состояний /-электронов с заданным магнитным моментом тп尸 Поэтому 尸'можно записать в виде'
ГT)+F[(mh 恨，Т),(20.82)
где 尸；(771/, Т)——термодинамический потенциал подсистемы /-электронов при данных nif и 7\ вычисленный без учета s — /-обмена, a W；⑺广 ms, Т) —— термодинамический потенциал подсистемы («газа») s-электронов с учетом влияния s — /-связи, поэтому при его вычислении каждому электрону проводимости приписывается энергия (20.76). Если вспомнить, что во всем интересующем нас интервале температур от 0° К до точки Кюри этот «газ» почти полностью вырожден, то вместо свободной энергии Fr можно взять просто полную энергию подмагниченного газа электронов проводимости.
Обозначим число s-электронов в единице объема с правым спином через п^, а число этих электронов с левым спином через п .. Тогда имеем
тг = тг+ + тг_, тг+ ——тг_ = т^(20.83)
где п ——концентрация s-электронов, a ms ——средняя намагниченность на один электрон (в магнетонах Бора). Как хорошо известно (см. гл. 11), плотность энергии вырожденного электронного газа равна
^(%% + *J)・(20.84)
Используя формулу (11.8), "'Но применяя ее по отдельности для электронов с правыми и левыми спинами, и формулу (20.79), находим
^ = До)2/3 Н j=募(*广 +伝吟 (20・85)
Здесь т* и //г* — эффективные массы (20.78) [или (20.80)] s-электронов соответственно с правыми и левыми спинами. В первом случае asm/ = ттг力 а во втором — asmf = — mf. Используя формулы (20.79), (20.80), (20.82) — (20.85), нетрудно вычислить, с точностью до постоянных слагаемых, свободную энергию (20.82)
歹(ттг力 ms, Т) = / (®, Т) +
十 тг [ — 6(3gm7 + 九 9i + 瓦砌0 (1 + g)5‘3 + 九(电一包加7)(' — m»"],(20*86)
где. введено сокращенное обозначение
九=缥嘗^ 3.(20.87)
Исходя из требований минимума для свободной энергии (20.86), можно в принципе найти равновесные величины намагниченностей т/ и mSJ т. е. определить равновесное магнитное состояние системы s + /-электронов. Можно также получить приближенную оценку ms без явного учета части свободной энергии W； в (20.86) из условия равенства предельных энергий Ферми в (20.85). Если воспользоваться малостью отношений 0"% и 包/勿(《1), то это дает
(20.88)(20.88)^5 =匕^力
(20.88)
(20.88)
где
^«4(>-4»«°^-°^- (2。・8办
Коэффициент 丫1 не зависит от температуры, и поэтому обе намагниченности //г? и ms вблизи точки Кюри имеют одинаковую температурную- зависимость.
д. Влияние s — f-связи на кинетические эффекты. Полученные выражения для эффективных масс и химического потенциала «подмагниченных» электронов проводимости позволяют в принципе поставить задачу определения вклада в ферромагнитные «аномалии» различных кинетических коэффициентов, оптических постоянных и т. п., обусловленных изменением спектра электронов проводимости в ферромагнитных металлах. Для этого мы должны определить (в случае «высоких» температур Т》0д, где 0д — температура Дебая металла) зависимость времени релаксации электронного газа т (т. е. среднего времени свободного пробега) от температуры, не только обусловленную процессами столкновения электронов проводимости с фононами (колебаниями решетки), но и с магнитными неоднородностями (см. работы [285—296])^ а также благодаря s — /~ столкновениями [61, 297, 298] (см. также Вильсон (1953)), но и зависимостью химического потенциала электронного газа от температуры через намагниченность системы. Время релаксации электронного газа, как известно [Бете и Зоммерфельд (1938), Зейтц (1949)], во-первых, обратно пропорционально среднему квадрату амплитуды тепловых колебаний кристаллической решетки, что дает в случае фононного механизма рассеяния обычную температурную зависимость (Т^) и, во-вторых, обратно пропорционально плотности состояний s-электронов вблизи граничной энергии, которая в свою очередь обратно пропорциональна градиенту энергии в пространстве квазиимпульсов IVkE^lZf. Наконец, 丁 также обратно пропорциональна квадрату квазиимпульса (при £ = ^0) ^2 (С)・ Окончательно получаем
。(厶)=岑蚀依±)「2(Va")s (20・90)
где в /" собраны все постоянные величины, не зависящие от Т и mf + ms^ Величину "(工士)можно определить по формуле (11.7), а именно:
加@) = М 礬)(20.91).
Для (Vk畦)в силу (20.79) и (20.91) находим
V论纬匚无(电 士 Pi^/) (-4^)•(20.92)
Подставляя (20*91) и (20.92) в (20.90), получаем окончательное выражение. для времени релаксации правых и левых s-электронов
н± @ =岑(电 士团％) (1 ± gg) ,(20.93)
где* в /' опять： собраны все постоянные величины, не зависящие от Т (при одном фононном механизме рассеяния),附,и ms. С помощью известной формулы Друде о土 =九±戌工±©/〃理 для s-электронов с различными проекциями спина можно, используя вышеприведенные формулы, получить выражение для ферромагнитной «аномалии» электросопротивления (точнее, его фононной части) ферромагнитных переходных металлов, обусловленной изменением энергетического спектра электронов проводимости.
Это добавочное сопротивление равно
1(20.94).
где через р0 обозначено «нормальное» фононное сопротивление, а С" + константа. Сравнение этой формулы с опытом имеет смысл производить в совокупности с вкладом в электросопротивление, который обусловлен дополнительным рассеянием носителей тока на магнитных неоднородностях (а также, вообще говоря, и при учете s—/-переходов). Подробнее этот вопрос будет рассмотрен в гл. 25.
Из этих же соображений удалось объяснить одну из причин ферромагнитных аномалий и других свойств металлов: оптических [300], фотоэлектрических [302—304], термоэлектронных [305], поглощения звука [306, 307], рентгеновских спектров [134, 135, 151], парамагнитной восприимчивости [308].
Феноменологическая трактовка s—/^обменной связи в ферромаг битных полупроводниках» Полученные результаты для вычисления эффектов «подмагниченных» электронов проводимости в ферромагнитных металлах можно обобщить и на случай ферромагнитных полупроводников [309, 272]. В этом случае формула (20.76) для закона дисперсии электронов проводимости означает, что энергия активации (щель А卷)и ширина- полосы проводимости или эффективная масса носителя тока зависят от намагниченности полупроводника, различно для разных проекгщй спина носителя. Например, если состояние с к = 0 соответствует наименьшей энергии («дну» полосы проводимости [272]), то энергия активации, согласно (20.79), равна'
А^ = А 亂十阮(20.95)
где Д^о — энергия активации парамагнитного состояния (т/ = 0). Из (20.95) видно, что независимо от знака параметра s — /-связи полоса проводимости расщепляется на две подполосы из-за снятия спинового вырождения носителей тока. Поэтому из самых общих соображений можно ожидать появления ферромагнитных аномалий при переходе через точку Кюри для тех свойств полупроводника, которые зависят от величины энергии активации элементарных возбуждений. Электропроводность ферромагнитного полупроводника в парамагнитной области зависит от Г по формуле (см. гл. 12)
Ор = & ехр (—筹)，(20.96)
где Ар — предэкспоненциальный множитель, слабо зависящий от Т. Ниже точки Кюри вместо (20.96), в силу (20.95), будем иметь
。,гехр (一誉)[q ехp (需)ехр (一-翳)卜(20.97)
где С[ и с? слабо зависят от Т и при ш^ = 0 с【=с? = 1/2. Асимптотическая формула для In р/ (р/ = о『一удельное электросопротивление) при температурах значительно ниже точки Кюри (mf -> 1 и 阮》36) имеет вид *)
1115f = In +(20.98)
где черта сверху над р означает асимптотическое значение при Г —>0, а в парамагнитной области (Т》0)
1прр=-1п4р +鍔.(20.99)
Таким образом, при переходе от (20.98) к (20.99) должно иметь место увеличение тангенса угла наклона прямой In р = / (彳/T). По величине этого
уменьшения А宮°= — 0° можно непосредственно определить параметр обменного взаимодействия. При достаточно большой его величине (0° > > А^о) может произойти даже изменение знака температурного коэффициента электросопротивления, т. е. переход к металлической проводимости. Можно произвести экстраполяцию прямолинейного участка зсри- вой In р/, даваемого формулой (20.98), до точки Кюри 0 и вычесть из полученной величины In рр для той же точки; эю даст
『In5f (4) -In Рр (-1-) = -[lnC1 + 矗卜 (20.100)
Таким образом, асимптотически на прямой (20.98), кроме излома в точке Кюри, будет наблюдаться скачок 6 при сравнении с прямой In р^. Направление этого скачка определяется знаком выражения, стоящего в правой части (20.100). Поскольку второй член в скобке всегда больше нуля, знак ■ 6 определяется величиной, q. Экспериментально эти эффекты отчетливо наблюдали Белов и др. [310] в ферритах марганца. Излом кривой 1пр вблизи точки Кюри в нескольких ферритах обнаружили ранее Комар и ■ Клюшин [311]. По-видимому, аномалию р, предсказанную в [272] в медно- цинковом феррите, наблюдал также Сучков [312], а в ферромагнитных соединениях марганца со структурой перовскита (манганатах) — Фоль- гер [313].
Полученные формулы для ферромагнитного металла и полупроводника с одной магнитной подрешеткой были обобщены на случай антиферромагнитных полупроводников атомных и полярных (см. Туров и Ирхин [272], Ирхин [314]), а также ферритов, в которых имеется две и- более магнитных подрешеток [314, 315]. Эти вопросы будут рассмотрены ниже в гл. 22 и 25. (См. также работы Нагаева [528]).
§ 6. Особенности магнитных и некоторых других физическихсвойств редкоземельных металлов
*1. Общие замечания ). Поскольку s ——/-обменная модель лучше всего
описывает свойства редкоземельных металлов (РЗМ)； то имеет смысл уделить некоторое внимание описанию результатов их экспериментальных исследований. В атомах РЗМ происходит последовательная застройка ранее пропущенного 4/-слоя электронной оболочки (от La? Z = 57, с конфигу- ‘ рацией 4/° до Yb, Z = 70, с конфигурацией 4/14). В большинстве химических соединений РЗМ входят в виде трехвалентных катионов, в которых число 4/~электронов последовательно увеличивается от 1 в Се до 14 в Lu. В табл. 20.3 приведены конфигурации 4厂 и некоторые другие величины, определяющие основное состояние трехвалентных ионов РЗМ (Эллиотт .и Стивенс [316]).
Долгое время считалось, что все РЗМ очень похожи по своим физикохимическим свойствам на лантан. В таблице Менделеева это подчеркивалось тем, что все 14 элементов лантанидов помещались в одну клетку. Однако, после того как научились выделять чистые элементы, оказалось, что различия в свойствах чистых РЗМ могут быть столь же велики, как и для металлов других групп таблицы Менделеева (Спеддинг [326]).
Электроны 4/-слоев расположены гораздо ближе к атомному ядру, чем, например, 6$-злектроны. В табл. 20.1 приведены значения эффективных радиусов 4/-, 5d- и 6$-слоев (рассчитанные по приближенному методу Слзтера [14]) (см. также [327, 328]). Из приведенных данных видно, что радиусы р4f почти на порядок величины меньше радиусов p6s и, кроме того, р4/ в несколько раз меньше наименьших расстояний между атомами в решетках кристаллов РЗМ (р4f《dMHH). На рис. 20.33 показаны ра
Таблица 20.3 ：
Некоторые характеристики основного состояния трехвалентных катионов редкоземельных металлов (по [3丄6])
Z
Ион
4尸
• L
S
J
gj
(力一1)2"j+1)
58
Сез+
3
1/2
5/2
6/7
0,18
59
РМ+
5
1
4
4/5
0,80
60
Nd3+
6
3/2
9/2
8/11
1,84
61
Ртз+
6
2
4
3/5
3,2
62
Sm3+
5
5/2
5/2
2/7
4,46
63
Eu3+
3
3
0
0
0
64
Gd3+
0
7/2
7/2
2
15,75
65
ТЬз+
3
3
6
3/2
10,5
66
Dy3+
5
5/2
15/2
4/3
7,08
67
Но3+
10
6
2
8
5/4
4,5
68
Ег3+
и
6
3/2
15/2
6/5
2,55
69
Ттз+
12
5
1
6
7/6
1,17
70
Yb3+
13
3
1/2
7/2
8/7
0,32
диальные плотности заряда 4/~, 5s-, 5р- и б^электронов иона Gd+ (из работы Фримена и Ватсона [329]); ясно видно, что 4/-слой действительно лежит
Рг(г}
Рис. 20.33. Радиальные плотности заряда Р2 (г) для /-, 5s-, 5р- и 6s-электронов в ионе Gd* как функции расстояния от центра ядра. Р (г)——радиальные части волновых функций, которые имеют вид, например, для Ду-слоя： Р” (г)=』С*4 ехр (—工广)，где С^ находятся из
г
условия нормировки, a Z« — эффективный заряд ядра; расчет ведется по методу Хартри — Фока (Фримен и Ватсон [329]).
глубоко не только по сравнению с валентным б^-слоем, но и по сравнению с замкнутым слоем 5s?5рб. Такое «глубокое» расположение 4/-с?юев исключает их перекрытие в решетке, и поэтому 4/-электроны практически не играют роли в химической связи в РЗМ. В первом приближении можно считать, что 4/-электроны в кристаллах РЗМ ведут себя, как и в свободных атомах или ионах, сохранили свои спиновые и орбитальные моменты, что и обусловливает их яркие магнитные свойства. Однако
на *' 4/^электроны в кристалле их окружение оказывает все же существенное влияние.
Во-первых, окружающие каждый 4/-слой в кристалле электрические заряды создают электрическое поле, действующее на каждый ион. Это врутрнкристалли^еское поле (поле лигандов, см. гл. 10) вызывает штар- 耳овское расщепление энергетических уровней свободных ионов. Этот эффект имеет особенно важное значение для случая парамагнитных солей редкоземельных элементов.
Во-вторых, в случае РЗМ имеет место сильное взаимодействие 4/- сПоев с электронами проводимости, приводящее к кооперативным магнитным явлениям — ферро- или антиферромагнетизму.
* 2. Кристаллическая структура РЗМ. Хотя прежняя концепция о тождественности свойств РЗМ теперь отвергнута, но можно указать на ряд общих черт этих веществ, позволяющие считать, что они образуют определенный класс переходных металлов, и построить теорию их магнитных и] других физических свойств.
Рассматривая кристаллические структуры РЗМ, находим, что почти rice они кристаллизуются в решетки с гексагональной плотной упаковкой
ввААРис. 20.34. пичная дляРис. 20.34. пичная дляТи-РЗМТи-РЗМкристаллическ а я структура—двой- ная гекс. п.у. А, В и С — обозначение для базисных плоскостей (слоев). Вектор G — начало отсчета углов в плоскостях базиса (см., например, табл. 20.5). 1кристаллическ а я структура—двой- ная гекс. п.у. А, В и С — обозначение для базисных плоскостей (слоев). Вектор G — начало отсчета углов в плоскостях базиса (см., например, табл. 20.5). 1(гекс. п. у.). Исключением являются Sm, имеющий ромбоэдрическую решетку, Ей и Yb, имеющие соответственно о. ц. к. и г. ц. к. решетки (по-видимому, это связано с их электронными конфигурациями 4/6 и 4/13, близкими к заполнению половины 4/7 и всего слоя 4产&), и, наконец, у Се, кроме фазы гекс. и. у. (P-Се), существуют еще две устойчивые г. ц. к. модификации (丫-Ce при комнатных температурах и с более плотной рететкой, а-Се— ниже 100° К). Элементы Се, Рг и Nd имеют структуру двойной гекс. и. у., когда период вдоль гексагональной оси с охватывает четыре атомных слоя АВАСАВАС..,, в противоположность обычной структуре гекс. п. у. с периодом в два слоя: АВ АВ... (рис. 20.34). Поэтому в этих РЗМ узлы в слоях типа В и С имеют гексагональную симметрию для ближайших соседей, а узлы в слоях А — кубическую. Это очень усложняет исследование кристаллов этих «легких» РЗМ. Элемент прометий (Pm) радиоак-
в
в
А
А
Рис. 20.34. пичная для
Рис. 20.34. пичная для
Ти-
РЗМ
Ти-
РЗМ
кристаллическ а я структура—двой- ная гекс. п.у. А, В и С — обозначение для базисных плоскостей (слоев). Вектор G — начало отсчета углов в плоскостях базиса (см., например, табл. 20.5). 1
кристаллическ а я структура—двой- ная гекс. п.у. А, В и С — обозначение для базисных плоскостей (слоев). Вектор G — начало отсчета углов в плоскостях базиса (см., например, табл. 20.5). 1
тивен и поэтому дотивен и поэтому досих пор почти не исследован.
тивен и поэтому до
тивен и поэтому до
приведены в расстояние вприведены в расстояние в«Тяжелые» РЗМ от Gd до Lu (исключая Yb) имеют обычную структуру гекс. и. у. с отношением осей с!а в пределах 1,57—1,59, близких к идеальному отношению 1,633. Плотность «тяжелых» РЗМ монотонно изменяется от 7,868 г!см3 для Gd до 9,849 г/см3 для Lu. Данные о параметрах и типах кристаллических решеток РЗМ табл. 20.1. Из нее видно, что минимальное межатомное кристаллах РЗМ приближенно постоянно; оно лишь мед-
приведены в расстояние в
приведены в расстояние в
ленно уменьшается от La к Lu (за исключением Sm, Ей и Yb). В качестве примера исследований кристаллической структуры РЗМ укажем на работы [330—332]. В работе 1333] исследованы фазовые диаграммы Рг, Eu, Gd и Yb.
Парамагнитные свойства РЗМ. Переходя к рассмотрению интересующих нас магнитных свойств РЗМ, можно убедиться, что картина оказывается еще более неоднородной, чем при рассмотрении их кристаллических структур. Только при повышенных температурах (выше их точек Кюри или Нееля, см. ниже) магнитные характеристики ведут себя аналогично друг другу. Действительно, из опыта известно, что все РЗМ от Се до Тт (кроме Yb) относятся к парамагнетикам ланжевеновского типа (см. гл. 9), В то же время известно, что подавляющее большинство других нормальных или переходных (d-) металлов обнаруживает паулиевский парамагнетизм. Магнитная восприимчивость РЗМ подчиняется закону
Кюри — Вейсса (см. гл. 6,9 и 18)
С7—®ш/
(20.101)
Атомный магнитный момент р,эфф, определяемый из константы Кюри С, хорошо согласуется с теоретическим значением, вычисленным по формуле (18.11): С = Ng唯 J (J亠 1)/ЗА：в = Л^м)/ЗА：в, т. e. р,эфф = gp,B К J (J + !)• Более детальное исследование парамагнитных свойств РЗМ показало, что восприимчивость Се [331], Ей [334, 335] и Sm [334—336] не подчиняется простому закону (20.101). Однако, как показал Ван-Флек (1932), эти
расхождения можно устранить, если учесть, что в указанных РЗМ основной терм мультиплета с различными значениями J (при заданных значениях спинового S и орбитального L моментов иона) удален от выше расположенных Термов на энергетические интервалы, которые не очень велики по сравнению со средней тепловой энергией 瓦工
3 (wr
200
150
?
+ *
о
Во всех 《 от Gd до Тт
«тяжелых»
РЗМ
парамагнитные
W
9
точки Кюри 0ПМ, дающие грубую оценку величины обменной связи, оказываются положительными, что указывает на ферромагнитную связь между атомными носителями магнитного момента. В «легких» же РЗМ, например Се, Nd и Sm, величина 0ПМ ＜； 0.
Если отложить значение 0ПМ в зависимости от атомного номера РЗМ (рис. 20.35), то мы видим, что 0ПМ сначала растет, достигает максимума для Gd и затем уменьшается до нуля
50
О
+
+о
古
ю—о
U Се Р「Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dq Ho Er Tm Yb Lu
(см. также ниже § 8,
п.
Рис. 20.35. Парамагнитная точка Кюри 0ПМ РЗМ, входящая в закон Кюри — Вейсса (20.101), как функция атомного номера РЗМ・ 1 — точка для Gd; для нее измеренное на опыте значение подставлено в теоретическую формулу (20.183): 2 — рассчитанные после такой подстановки по этой формуле значения 0ПМ; з — соответствующие экспериментальные значения 0ПМ (де Жен [337]).
к концу группы РЗМ (де Жен [337])
1). Аналогичная зависимость наблюдается и для
парамагнитной части электросопротивления рт (см. гл. 25).
Измерения парамагнитной восприимчивости в монокристаллах РЗМ обнаружили анизотропию парамагнитной точки Кюри 1338].
Атомные магнитные структуры РЗМ. Более ярко индивидуальные особенности магнитных свойств РЗМ начинают проявляться в области низких температур (ниже точек магнитных превращений 0 и @N). Отметим следующие основные опытные факты:
Все «тяжелые» РЗМ от Gd до Тт (исключая Yb) ферромагнитны в интервале температур от 0° К до 0.
Все «легкие» РЗМ от Се до Ей, по-видимому, антиферромагнитны или ферримагнитны от 0° К до @N.
В тяжелых РЗМ (исключая, по-видимому, Gd) ферромагнетизм при 7^0 сменяется не ланжевеновским парамагнетизмом, а антиферро- .магнетизмом, который существует в интервале температур ® & Т ^QN.
Иттербий (Yb) во всем интервале температур (от 0° К до точки плавления) относится к паулиевским парамагнетикам.
Эти опытные факты установлены на основе: 1) нейтрон-дифракцион- мых исследований, которые позволили обнаружить атомный магнитный
&4>也*всьсьсь忠忠НО,ЕГф ф ^А +0 丛由■ &ve' 0 6 /^/z^ &"J*0 ф о* 04^ & & & т〃&4>也*всьсьсь忠忠НО,ЕГф ф ^А +0 丛由■ &ve' 0 6 /^/z^ &"J*0 ф о* 04^ & & & т〃оОQООо0оОо。о。оОоОоTb,Dy,Ho6d,Tb,Dy，丿е丿оОQООо0оОо。о。оОоОоTb,Dy,Ho6d,Tb,Dy，丿е丿Рис."20.36. Схематическое и зоб ражение неколлинеарных атомных магнитных структур в тяжелых РЗМ. а) Антифазная структура； б) СПСВ; e) GG; г) ФС; 8) ПСС; е) Ф.Рис."20.36. Схематическое и зоб ражение неколлинеарных атомных магнитных структур в тяжелых РЗМ. а) Антифазная структура； б) СПСВ; e) GG; г) ФС; 8) ПСС; е) Ф.^псс^псс2nde2屮02nde2屮0(20.102)(20.102)
&4>也*всьсьсь忠忠НО,ЕГф ф ^А +0 丛由■ &ve' 0 6 /^/z^ &"
J
*0 ф о* 04^ & & & т〃
&4>也*всьсьсь忠忠НО,ЕГф ф ^А +0 丛由■ &ve' 0 6 /^/z^ &"
J
*0 ф о* 04^ & & & т〃
о
О
Q
О
О
о
0
о
О
о
。
о
。
о
О
о
О
о
Tb,Dy,Ho
6d,Tb,Dy
，丿
е丿
о
О
Q
О
О
о
0
о
О
о
。
о
。
о
О
о
О
о
Tb,Dy,Ho
6d,Tb,Dy
，丿
е丿
Рис."20.36. Схематическое и зоб ражение неколлинеарных атомных магнитных структур в тяжелых РЗМ. а) Антифазная структура； б) СПСВ; e) GG; г) ФС; 8) ПСС; е) Ф.
Рис."20.36. Схематическое и зоб ражение неколлинеарных атомных магнитных структур в тяжелых РЗМ. а) Антифазная структура； б) СПСВ; e) GG; г) ФС; 8) ПСС; е) Ф.
^псс
^псс
2nde2屮0
2nde2屮0
(20.102)
(20.102)
порядок; 2) определения максимумов (пиков) на крцвых температурной зависимости теплоемкости РЗМ, которые дали значения критических точек 0 и ®n； 3) магнитных измерений при различных температурах и магнитных полях (величины магнитного насыщения й критического поля при
изменении типа атомного магнитного порядка); 4) измерений температурного хода электросопротивления и эффекта Холла, также дающих величины критических температур и позволяющих установить эффект рассеяния электронов проводимости на магнитных неоднородностях.
При знакомстве с упорядоченными магнитными структурами в РЗМ сразу же поражает обилие различных типов таких структур по сравнению с другими магнитно-упорядоченными кристаллами.
Данные по нейтронной дифракции в РЗМ (см. также гл. 26). Магнитные- атомные структуры экспериментально были уста
новлены главным образом в нейтронографических работах исследователей в лаборатории в Ок Ридже ). На рис. 20.36, а—е схематически показаны основные атомные магнитные структуры тяжелых РЗМ. Обычная коллинеарная ферромагнитная (Ф) структура (рис. 20.36, е) наблюдается в Gd, ТЬ и Dy при температурах от 0° К до 0. Простая спиральная структура (ПСС) (рис. 20.36, д) соответствует антиферромагнитному состоянию в случае ТЬ, Dy и Но при температурах ® & 7 W ®n・ В этой структуре атомные магнитные моменты в каждой из гексагональной плоскостей (/ и 笈 на рис. 20.34) параллельны друг другу, образуя ферромагнитные атомные слои с магнитным моментом, перпендикулярным оси с. Магнитный момент каждого последующего слоя повернут на некоторый угол 屮。.При перехо
де от плоскости к плоскости вдоль оси с конец вектора магнитного момента занимает последовательно точки на круговой спирали (рис. 20.36, 0> с осью с и периодом
где dc — период кристаллической решетки РЗМ вдоль гексагональной оси. Поскольку для тяжелых РЗМ период dc в два раза больше расстояния между ближайшими гексагональными плоскостями, то угол между магнитными моментами в плоскостях, отстоящих друг от друга на период dc решетки, равен 2屮°. Если для структуры ПСС ввести волновой вектор ^ппс：
I 曲 сс 口蟲二嚳 decile),(20.103)
то
脸=Rn cos (^ncc-Kn)i(20.104^
M^ = NnSin(qiic(rZn),(20.105〉
牍=0,
где 卩几一среднее значение модуля магнитного момента иона РЗМ при данной температуре в узле с радиусом-вектором 兄冗.
В случае осциллирующей магнитной структуры типа «статической продольной спиновой волны» СПСВ (рис. 20.36, 6), упорядочна только- продольная (вдоль оси с) составляющая магнитного момента, а средние- по времени поперечные его компоненты равны нулю:
%=財=°，(20.106)
Н« —卩n sin (^спсв'-Кп)-(20.107)
Следовательно, структура СПСВ имеет вид ферромагнитных гексагональных плоскостей, намагниченных вдоль оси с и их магнитные моменты изменяют свою величину по закону (20.107). Такая структура обнаружена в Ег и Тт в антиферромагнитной области (日 W T《®n)・
Если наряду с осциллирующими поперечными компонентами момента структуры ПСС имеется еще постоянная продольная составляющая 陶—const 片 0, то возникает структура типа «ферромагнитной спирали» ФС (рис. 20.36, г), являющаяся наложением структур Ф и ПСС. Эта структура встречается в Но и Ег в температурном интервале, где имеет место ферромагнетизм (0 & ТС©).
Наложение структур ПСС и СПСВ, когда осциллируют как поперечные, так и продольные составляющие магнитного момента, приводит к образованию сложной спирали СС (рис. 20.36, е). Наконец, возможна еще- структура так называемых антифазных доменов (рис. 20.36, а). Первый из тяжелых РЗМ — гадолиний, имеет, по-видимому, простую ферромагнитную структуру с точкой Кюри 0 = 293,2° К [342, 350]. У Gd антиферромагнитная область либо вообще отсутствует [343, 351—354] и он является обычным ферромагнетиком, либо эта область очень узка, а антиферромагнетизм в ней разрушается очень слабым внешним магнитным полем [355—357], а также Белов и др. (1965)], переходя в ферромагнетизм. Нейтронные исследования [343] подтвердили сложную температурную зависимость магнитной анизотропии Gd, обнаруженную в магнитных измерениях [351, 358]. При температурах выше 248° К ферромагнитный момент Gd параллелен оси с. Ниже этой температуры он отклоняется от оси % достигая максимального отклонения, равного 75° при 195° К и снова приближаясь к с до 30° при 4,2° К (см. также работу по нейтронографическому исследованию монокристалла Gd160 [359]).
Как уже отмечалось, в антиферромагнитной области в Tb, Dy и Но имеем простую спиральную структуру (ПСС). Период этой спирали в каждом из этих РЗМ меняется с температурой (рис. 20.37). Волновые векторы ^псс отложены по левой оси ординат (в единицах 冗/或)，а периоды (в числах плоскостей базиса) по правой оси ——как функции приведенной температуры TI®n для пяти РЗМ. В случае ТЬ и Dy при значениях ®/Qn, соответствующих левым концам кривых рис. 20.37, имеет место переход в коллинеарную ферромагнитную структуру Ф (рис. 20.36, е) с моментом, перпендикулярным оси с. Атомные магнитные моменты, измеренные нейтронографически при 4,2° К, равны 9,0 卩е для Dy и 9,5 卩耳 для ТЬ. В случае ТЬ наблюдается прекрасное совпадение со значением момента для свободного иона ТЬ3+. Для Dy у свободного иона момент несколько больше и равен примерно 10,0卩е・
В гольмии (см. [346]) от 0° К до 0 — 20° К имеем структуру типа ФС (или даже несколько более сложную структуру, для которой угол
раствора конуса также слабо осциллирует). В интервале температур от 0 = 20° К до бдг 132° К наблюдается антиферромагнетизм со структурой ПСС. Спонтанный момент, параллельный оси с, равен 1,7卩后 на атом, а момент в плоскости базиса равен 9,7卩后 на атом. Если приложить внеш
нее поле вдоль оси b (в плоскости базиса), то суммарный момент равен
Рйс. 20.37. Величина и температурная зависимость волнового вектора 'q (левая ось) или периода (правая ось) магнитной структуры тяжелых РЗМ. Волновые векторы отложены в единицах л/de. а периоды — числом базисных плоскостей. В правом нижнем углу приведена увеличенная кривая для ТЬ. Значения точек Нееля ®n： ТЬ — 230° К, Dy — 179° К, Но — 133° К, Ег — 80° К, Тт
—56° К.
область Ег (от 0° К до 20° К) имеет структуру ФС, а от 20° К до 0 = =53,5° К реализуется структура типа СС. При 4'2° К ферромагнитный момент вдоль оси с равен 7,6р,Б на атом, а нормальная составляющая равна 4,1“е на атом. Период 屮。в Ег постоянен (51,4°) от точки ❷国 до 53° К. Затем уменьшается до 20° К и далее снова остается постоянным (см. рис. 20.37). В тулии (см. [346]) структура СПВС антиферромагнитной области между ©^ = 56° К и 0 = 40° К (?) переходит в ферромагнитную область, имеющую структуру антифазных доменов, представляющую собой чередование вида + 十 + jh + 4~ Нпараллельно (十)
и антипараллельно (——)оси с магнитных моментов (период этой структуры обнимает, таким образом, семь последовательных базисных плоскостей в решетке с гекс. п. у. Период 屮。= 51,4° в Тт постоянен во всем интервале температур от 0° К до ®дг (см. рис. 20.37). При 4,2° К момент каждого атома Тт равен 7,0卩е и направлен вдоль или против оси с. Разностный момент антифазной структуры равен 1^Б на атом вдоль оси с.
В «легких» РЗМ нейтронографические исследования пока не столь обширные, как в случае «тяжелых» РЗМ, установили все же существование магнитного порядка (кроме Pm и Sm). Уилкинсон и др. [340), [345] исследовали поликристаллические образцы Се. Как уже отмечалось, Се при комнатной температуре обладает двумя кристаллическими модификациями с г. ц. к. (丫-Ge) и гекс. п. у.(卩-Се) структурами. При низких температурах г. ц. к. структура у-Се, равновесная при комнатной температуре, превращается в более плотную г. ц. к. модификацию а-Се. В фазах г. ц. к. (у-Се) и гекс. п. у.(卩-Се) ионы решетки Се трехвалентны (Се3+) с одним 4/-электроном. Из них модификация гекс. п. у. обладает магнитным порядком, который имеет вид ферримагнитных плоскостей с перемежающимся положительным и отрицательным знаком намагниченности. Критическая температура ®дг ^ 12,5° К. В низкотемператур-
ной г. ц. к. фазе у-Се ионы находятся в состоянии Се4+; они лишены 4/- электрона и нескомпенсированных магнитных моментов. Поэтому эта фаза немагнитна. Магнитный момент Се на атом равен примерно 0,62р,Б.
Мун и др. [33] обнаружили в Nd переход из пара в антиферромагнитное состояние при ©^ = 19° К. При 0 = 7,5° К происходит переход в ферромагнитное или ферримагнитное состояние со сложной структурой.
Для Рг Кэбл и др. [341] в предварительном исследовании, по-види- мому, обнаружили точку Нееля при 25° К.
Нересон и др. [342] показали, что в Ей антиферромагнитный порядок возникает при 91° К и он имеет вид ПС с осью вдоль одной из кубических -осей типа [100].
В табл. 20.4 указаны области существования различных магнитных •структур (их периоды и значения углов 屮°), величины точек Кюри 0 и Нееля。川，парамагнитных точек Кюри 0ПМ в поликристаллических образцах и монокристаллах. (0ПМ)| соответствуют измерениям %пм вдоль оси % а ®цм丄一в плоскости базиса.) Там же указаны значения температур ©х, определенные по максимумам на измеренных кривых температурной зависимости теплоемкости соответствующего РЗМ, и, наконец, значения компонент средних атомных магнитных моментов вдоль гексагональной оси (卩и) и в плоскости базиса (卩丄).
Таблица 20.4
Некоторые магнитные свойства редкоземельных металлов
Металл
®N，°К
0, °К
°К
0пm II， °К
®nw-L* °К
%，оК
К Ае
以II，
以丄，
Се
12,5 [361,362]
—38
12,5 [360]
0,62
Рг
20 [361,362]
—
—
—
—
0,7— 1,0 2,3
—
—
Nd
7,5(361,362]
—15
—17
— И
19 [361, 362]
—
—
Sm
14,8(361,362]
—
—60
—
—
13,6 [363]
1,8
—
—
Eu
90 [370]
—
—
—
—
—
5,9
—
—
Gd
—
293,2, [349,
350]
317
—
—
291,8 [364]
7,55
—
Tb
229(371]
223
236
195
239
微]365]
9,34
0
9,0'
Dy
178,5 [372]
87
154
121
169
'鋸[366]
10,20
0
9,5
Ho
132 [373]
20
85
——
88
131 ,6 r nrjr^l 19:4[367]
84
10,34
2,0
9,8
Er
85 [374]
19,6
42
62
32
53,5 [368]
19,9
8,0
7,2
4,1
Tm
56 [375—377]
38
3,4
55[369]
7,0
7,0
0
Значения среднего магнитного момента на
ион (в ед.卩е) Для
легких
РЗМ
(Се, Pr, Nd, Sm и Eu) приведены
по данным нейтронной дифракции,
а для тяже-
ЛЫХ
РЗМ——из экстраполяции кривых магнитного насыщения
к 0° К,
и II и
"丄一
компоненты магнитного момента на ион с) в 此 при 0° К.
(параллельные и перпендикулярные
к оси
Данные。магнитной структуре РЗМ из других измерений. Как уже отмечалось выше, помимо нейтронных измерений, измерения магнитных, электрических, гальваномагнитных, тепловых и т. п. свойств РЗМ также дают нам полезную информацию о магнитной структуре этих веществ.
Остановимся на результатах измерения теплоемкости РЗМ. Сейчас уже накоплен достаточно большой экспериментальный материал в этой области. Теплоемкость почти всех РЗМ измерялась в широком интервале температур 0,4° К VT & ©^ и выше QN. На рис. 20.38 в качестве
Рис, 20,38. Температурная зависимость удельной теплоемкости Gd, Dy, Но и Ег“ Ось ординат для каждого РЗМ отдельная (Паркинсон [379]).Рис, 20,38. Температурная зависимость удельной теплоемкости Gd, Dy, Но и Ег“ Ось ординат для каждого РЗМ отдельная (Паркинсон [379]).
Рис, 20,38. Температурная зависимость удельной теплоемкости Gd, Dy, Но и Ег“ Ось ординат для каждого РЗМ отдельная (Паркинсон [379]).
Рис, 20,38. Температурная зависимость удельной теплоемкости Gd, Dy, Но и Ег“ Ось ординат для каждого РЗМ отдельная (Паркинсон [379]).
примера приведены данные по измерению удельных теплоемкостей Gd才 Dyr Но и Er ). Точки температурных максимумов ©х на подобных кривых приводятся в табл. 20.4.
Обширные исследования теплоемкости РЗМ в интервале 0,4—4° К провели Лунасмаа и др. [380—382] (см. также [383, 384]). Теплоемкость- измерялась в интервале от 3 до 25° К в Gd, Tb, Dy, Но и Тт. Эти исследования позволили разделить наблюдаемую теплоемкость РЗМ Ср на четыре части: решеточную — Среш, электронную — Сэл, ядерную Сяд и магнитную —Смаг 一 и определить температурный ход каждой из них. После изложения теории магнитных свойств РЗМ мы воспользуемся некоторыми из этих результатов.
О магнитных измерениях в монокристаллах РЗМ см., например, [385, 386], а также имеются ссылки на многие ранние работы.
Весьма интересны также исследования температурного хода электросопротивления и гальваномагнитных эффектов r РЗМ, которые будут рассмотрены в гл. 25.
Электронный энергетический спектр и поверхности Ферми РЗМ. Как уже неоднократно отмечалось, в изолированных атомах РЗМ электроны их оболочек можно разделить на четыре группы. Первая груп
па включает все электроны от 1s2 до 4d? образующие замкнутую оболочку ионного остова, подобную оболочке инертного газа Хе. Ко второй группе относятся 4/-электроны — главные носители магнетизма РЗМ. Третью группу образует замкнутый слой 5^р6. Этот слой следует отличать от первого замкнутого слоя ионного остова, поскольку его эффективный радиус больше радиуса 4/-слоя (см. рис. 20.33). Поэтому эта группа электронов существенным образом экранирует 4/-слой и дает заметный вклад в s — /-обменную связь (см. ниже, а также работу Вонсовского и Изюмова [387]). Четвертая группа состоит из самых внешних электронов оболочки: 6s, 6р и 5d. Как видно из табл. 20.1, средние радиусы слоев для электронов этой группы гораздо больше, чем расстояния между ближайшими соседними узлами в решетках РЗМ. Поэтому в металлах, за редким исключением, три внешних электрона (6s25Й1) образуют систему коллективизированных электронов проводимости.
Понимание магнитных свойств РЗМ, по-видимому, требует деталь- ного изучения структуры электронного энергетического спектра этих веществ. Наличие атомной магнитной структуры в редкоземельных элементах позволяет предполагать, что в них вблизи поверхности Ферми существуют довольно сильно локализованные электронные состояния (4/). Вместе с тем, как только что отмечалось, часть электронов (5d и особенно 6s) должна быть коллективизирована, чтобы обеспечить хорошую проводимость этих веществ. Таким образом, уже самые наивные рассуждения заставляют сделать вывод о большой сложности системы энергети-
веских полос в кристаллах РЗМ, а следовательно, и о большой трудности проблемы ее определения.
К сожалению, в настоящее время проблема теоретического определения электронного энергетического спектра РЗМ количественна почти не исследована. Мы не станем здесь подробно обсуждать состояние проблемы, так как имеющиеся данные не только весьма скудны, но и представляются нам довольно спорными, а дадим лишь краткий перечень имеющейся по данному вопросу литературы.
Простейшие качественные соображения относительно поверхностей Ферми и плотности состояний в РЗМ читатель может найти в обзоре Ка- суйя [267]. Укажем также серию работ Диммока, Фримена и Ватсона 1105, 388—390], в которых была предпринята попытка рассчитать спектр РЗМ с гекс. п. у. структурой, исходя из первых принципов. Работа [390] является обзором, дающим довольно полное представление о современном состоянии проблемы в целом. Наконец, нужно указать на недавно появившуюся работу Китона и Лукса [391], в которой рассчитаны спектр и плотность состояний Gd, Dy, Er и Lu, и на работу Флеминга, Лиу и Лукса 1392] в La, Nd и Рг (см. также [530]).
Имеющиеся в уже цитированных работах, а также в [393, 394] попытки сопоставить получающиеся расчетные данные с экспериментом не дают, однако, сколько-нибудь хорошего совпадения результатов.
Электроны 4/-оболочки и « ионная» модель РЗМ. В противоположность 6s- и 5d-электронам, 5$-, 5d- и 4/-электроны атомов РЗМ имеют волновые функции с эффективными радиусами, заметно меньшими расстояний между ближайшими соседями решетки (см. табл. 20.1 и рис. 20.33), и поэтому эти электроны можно в некоторых отношениях рассматривать так, как если бы они находились в изолированном атоме.
Из опытов по парамагнитному рассеянию нейтронов (см. гл. 26) 1395——397] оказалось возможным достаточно точно определить эффективный радиус магнитно-активного слоя электронной оболочки ионов в ре- гпетке РЗМ. В случае ионов Nd3+ и Ег3+ он оказался порядка 0,35 А. При этом р4/ весьма слабо зависит от числа 4/-электронов в оболочке иона. Можно было бы думать, что в металлах и ионных соединениях эффективный радиус р4/ различен. Однако из сравнения наблюдаемых величин взаимодействия СТС в металлах и солях, которое зависит от протяженности 4/-слоя, было найдено, что это различие не превышает 10 % (Кэрти и Шафрот [398]). .
Малость радиуса р4/ 00,35 А) по сравнению с наименьшими расстояниями между ионами ——ближайшими соседями в решетках РЗМ (々3,5 А) позволяет почти полностью пренебречь перекрытием волновых функций 4/-слоев оболочек соседних ионов. Это позволяет выбрать в качестве простейшей модели РЗМ «ионную» модель ), согласно которой кристалл РЗМ можно представить как решетку трехвалентных ионов, омываемых электронами проводимости. Именно малость радиуса 4/-слоев делает в известном смысле проблему /-металлов более простой, чем d-металлов и металлов группы актинидов, где мы сталкиваемся с большими трудностями (из-за коллективизации d-электронов).
Каждый ион РЗМ в первом приближении рассматривается изолированно: его квантовое состояние и уровни энергии описываются как в изолированном трехвалентном ионе с конфи гур ацией 4/п. Электроны проводимости рассматриваются по зонной теории как газ фермиевских частиц с волновыми функциями (20.9). Затем по теории возмущения учитывается обменная связь между 4/-электронами и электронами проводимости.
Квазикулоновское и обменное взаимодействие внутри 4/-слоя оказывается гораздо более сильным, чем s —— /-взаимодействие. Поэтому
сначала можно рассматривать энергетические уровни электронов изолированных ионов. Электроны 4/п-конфигурации взаимодействуют в основном с центрально-симметричным потенциалом, создаваемым внутренними замкнутыми оболочками ионного остова. Кулоновское и обменное взаимодействия внутри 4/-слоя снимают вырождение, и получающиеся уровни трехвалентного иона РЗМ можно классифицировать по квантовым числам JL и S (гл, 2) в соответствии с рессел-саундерсовской связью. Из-за спин- орбитальной связи, которая в этих ионах достаточно велика, энергия иона зависит не только от абсолютных величин векторов £ и >S, но и от их взаимной ориентации, т. е. они зависят и от квантового числа J суммарного момента иона: J = Z + S. Спин-орбитальное взаимодействие расщепляет уровни энергии с различными значениями J, образуя мультиплеты тонкой структуры терма с заданными значениями £ и S. Разность энергий между соседними уровнями мультиплета Д^со в ионах РЗМ оказывается достаточно большой (〜100б 已九一丄,см. гл. 10), Исключением являются элементы Sm и Ей, у которых это расщепление гораздо меньше из-за малости значений J = S — L ^ 0. -Поэтому при низких температурах, когда А卷со》квТ, заселен лишь основной уровень мультиплета.
Основные термы конфигураций 47n определяются согласно правилам Хунда (гл. 2) и приведены в табл. 20.3. При максимальном S реализуется максимально возможное L и J = \ L — S | или | 厶 + S | соответственнее для ионов С7г《7нтг>7. Например, для Gd (тг = 7) максимальное значение S =(7/2) получаем, когда все семь 4/-электронов имеют одинаковые проекции спина, например ms = +1/2. Но тогда по принципу Паули все- они должны находиться в разных орбитальных состояниях т^ = 士3尸 ±2, ±1,0. Поэтому в этом случае S = 7/2, £ =』底工=0, J = =I 厶一2 I = 7/2 и основной терм иона Gd3+ будет 2S +1Lj f 8s7/2*
При заданном значении 尸 состояние иона еще (2J + 1)-кратно вырождено по направлению вектора J. Это вырождение полностью снимается лишь внешним магнитным полем, а частично может быть снято и внутрикристаллическим полем лигандов (см. гл. 10). Благодаря хорошей экранировке 4/-слоя (замкнутой оболочкой 5$25рб и электронами проводимости) влияние поля лигандов в РЗМ заметно меньше (на порядок величины), чем, например, в d-металлах и соединениях РЗМ. Величина его оказывается порядка 100 см-1, т. е. на порядок меньше мультиплетного расщепления Д^со- Поэтому поле лигандов в РЗМ не приводит к явлению замораживания орбитальных моментов 4/-слоя. Как показали теоретические оценки (Уайт и Анделин [401]), расщепление в поле лигандов с ростом числа электронов в 4/-слое убывает от значения в 600 см~х для Се3+ до 100 с*-' для Yb3+. Важно заметить, что электрическое поле лигандов в РЗМ существенным образом влияет на магнитные свойства РЗМ, поскольку оно определяет магнитную анизотропию этих кристаллов (см. ниже).
§ 7. Микроскопическая s —/-обменная модель
Гамильтониан s—/-обмена. В § 5 были рассмотрены основы $ — /-обменной модели, в которой не рассматривался вопрос о происхождении магнитного порядка в кристаллах типа РЗМ, где перекрытие 4/-слоев электронной оболочки соседних ионов практически отсутствует, и поэтому отсутствует и прямой / — /-обмен. Более детальное выяснение вопроса о природе косвенного обмена между 4/-слоями через электроны проводимости [о которых уже шла речь выше, см., например, формулу (20.55)] требует уже разработки микроскопической теории s — /-обмена. К изложению ее основ мы здесь и приступим. Как и выше, выделяем две группы квазичастиц: в данном случае это электроны незаполненных /-слоев и электроны проводимости. Первые описываем локализованными (атомными) волновыми функциями, а вторые — блоховскими модулиро-
ванными плоскими волнами (20.2). Оператор s — /-обменного взаимодействия [см. (20.7), (20.10), (20.58) и (20.59)], согласно векторной модели Дирака, с точностью до постоянного члена можно записать в виде
磁5了=-2 Z 4/沁一方九)(物6?1),(20.108)
где Sf, Vi и 8n. Бп — соответственно операторы спина и радиусы-векторы электрона проводимости и суммарного спина парамагнитного иона в узле п кристалла. Спин 8п складывается из спинов z неспаренных электронов незаполненного /-слоя, так что максимальная проекция спина узла равна S = z/2, /“ (г； — J?n) — s — /-обменный интеграл. Как и в случае (20.66), запишем гамильтониан (20.108) в представлении вторичного квантования для электронов проводимости:
磁 “=—2』2 8п {ко I А^ (г — К^ s I к'^} йст ак^о^ (20.109} п к,
% О'
В силу мультипликативности спиновой и координатной частей функции (20.2), а также трансляционной инвариантности ее модулирующего фактора и (乃；г) = и (乃；竽十 J?几)(где I?n —любой вектор произвольного узла кристалла), матричный элемент в (20.109) примет вид
〈乃о I 4/ (т- J?n)| 乃'『〉=%т exp [% (А/ -乃)J?n] 4f (乃W)〈о IAI о'〉，(20Л10> где Asf 也к) — фурье-образ s — /-обменного интеграла (см., например, [45, 46]), N — число узлов решетки. Величины〈о | 羡 | о'〉一 матрицы Паули [а = %, у, z; см. (20.70)]. Подставляя (20.110) в (20.109) и используя (20.70), находим )
磁a=- Nt 2 4/(乃；加‘)exp["A/ -乃)J?n]{武一放，+欧 +
+0%+0k，-5^ + (放工廿一％%+/，+) *計，(20.111)
где S春 = S^ 士 S% и вместо индексов о = ±1/2 для краткости стоит просто индекс + или —. Гамильтониан s — /-обмена в формуле (20.111) впервые был получен, для s — d-обмена в работе Вонсовского и Турова [47], а затем независимо в работах [194, 290, 402, 403]. В гл. 19 уже отмечалось, в общем случае, что обменные гамильтонианы типа (20.108) не являются общими, поскольку при выводе их из общего гамильтониана (19.132) системы взаимодействующих электронов был введен ряд ограничений. Во-первых, вводится дополнительное условие гомеополярности, т. е. предположение о постоянстве числа /-электронов около узлов и величины их результирующего спина. Во-вторых, очень часто интегралом движения является не полный спин узла Sn, а полный момент Jn = Zn + 6П, где Zn — полный орбитальный момент.
Первое из этих ограничений было частично устранено в работе Вонсовского и Свирского [404], показавших, что обобщенный s — /-обменный гамильтониан без ограничения условием гомеополярности можно записать, в виде
威& =威犷 + * 歹，(20.112)
где
V
威济 = -XX A.^n-Rn) 8iSn,(20.113}
■ г, п入=1
磁終=—£ W~ 2 [4九九1 ⑴i — -^n) — 4九九2(?'i—J?n)] ^i^n,XiX2- (20.114) г, n Xi < 入2
Здесь Kk (Л ^ 1, 2, .'. ., V)— индексы v орбитальных состояний /-слоя иона в узле тг; v может принимать значения 2《 w《 2 ⑵ + 1), где I — орбитальное квантовое число слоя; /“，九(Г/ ——_Rn) —— s — /-обменный интеграл состояния 九；
@П= 2 8m ^п, ^2~ ^nki一 亂九2・ (20.115) 入=1
Из сравнения (20.113) и (20.108) видно, что 庞§)совпадает при замене / на d с обычным гамильтонианом s — rf-обменной связи (в приближении гомеополярности) при условии, что
4/ (f i — -Kn) = ”т 3 4/,九(夕i — -Kn),
-a 威1? это часть s — /-гамильтониана, учитывающая переходы в системе с изменением мультипЛетности ионов переходных элементов *). Это имеет общее значение. Действительно, обычно при рассмотрении обменного взаимодействия электронов применяют выражение Дирака [см. Дирак (I960)], выведенное для случая Sn = 1/2 к случаю Sn > 1/2. Такое «обобщение» не строго, поскольку при этом упускают из виду возможность изменения величины спина n-го иона S^ (предположение абсолютной《жестко- «ти)> спина). Гамильтониан (20.112) свободен от этих недостатков, и он позволяет уточнить понятие «жесткости» спина /-слоя. Эта жесткость определяется не столько энергией Хунда,т как это принято считать, сколько малостью разности обменных интегралов % и As/t %, ибо при As/t %
^ /§九九2 главнУю Роль играет оператор 及事?, куда входят суммарные сшшы ионов. Указанное обобщение может учесть влияние изменений мультиплетности на ряд физических свойств кристаллов (см. ниже)猿*).
Отказ от второго из упомянутых выше ограничений (не Считать, что J — хорошее квантовое число) был проведен впервые в работе де Жена {337], предложившего заменить в формуле (20.108) оператор вектора спина иона Sn его проекцией на вектор полного момента Jn, равной (gj ——1) Jn, где gj — фактор Ланде. Поэтому гамильтониан (20.108) принимает вид
<^sf = - 2 (gj -1) 2 Asj (п - 12n) «/Л* . (20.116)
Лиу [405] первый сделал попытку доказать гипотезу де Жена. Используя разложение волновых функций электрона проводимости по сферическим гармоникам, Лиу получил главный член в операторе s — /-взаимодействия в виде изотропной обменной связи (20.116). В своем расчете Лиу использовал условие кф ри《1 伯ф — волновое число электрона проводимости на уровне Ферми). Это условие означает, что дебройлевская длина волны электрона проводимости больше размеров 4/-слоя (т. е. можно пренебрегать зависимостью волновой функции этого слоя от направлений в кристалле — предположение изотропности взаимодействия). Каплан и Лайонс [409], отметив, что критерий применимости приближения Лиу выполняется в реальных РЗМ не очень хорошо (Аф ^ 1,5 -108 с*т, р4/ ^ 0,35 А, таким образом, Лфр4/ 弋；0,5), указали на необходимость учета следующих членов разложения. В итоге в операторе s — /-обмена, кроме изотропного первого члена типа (20.116), появились еще анизотропные добавки типа AnS? (Р，а = x,y,z), а также обменные члены, не зависящие от операторов
'*) В фономенологической трактовке обобщение работы Вонсовского и Свирского J404] сводится к тому, что оператор (20.7) заменяется оператором 礎“ =。「6 + a2sAt где обменный энергетический параметр ® и спиновый оператор 5 оба симметричны относительно орбитальных состояний, а параметр а? и оператор Л —— оба антисимметричны.
спинов s- и /-электронов ), которые могут иметь существенное значение для характера атомной магнитной структуры РЗМ. Дальнейшее обобщение (20.116) с учетом изменения мультиплетности по квантовому числу J, а не S, провели Вонсовский и Свирский [410].
Во всех расчетах в выражение оператора 威》входит фурье-образ s — /-обменного интеграла 厶§九九(乃,乃‘).В работе Вонсовского [46] для него было получено следующее выражение:
Asf (к, к')^ Т ф?(^; г^Цг^У ^ — ^^^^] r)^f(rf)drdrf, (20.117) где V(r — rr) ——потенциал электростатического взаимодействия пары s- и /-электронов,屮$ (к; т) — декартова часть волновой функции электрона проводимости. Из этого общего вида трудно выяснить зависимость ASf от квазиимпульсов к и к'. Однако это может быть и не очень существенно. Ниже будет показано, что в выражения для ряда физических величин 4” 依歳')входит при значениях 加и А/, близких к фермиевским кф и кф, из-за сильного вырождения электронов проводимости РЗМ. Если предположить, что в РЗМ при 左 ^ кф интеграл ASf 网 乃‘)меняется медленно, можно в этих случаях полагать, что ASf (乃,к) ASf (乃①，кф) Ав/ (0). По различным оценкам (см. Изюмов и Носкова [411]) абсолютная величина ASf (0) составляет 10"14—10~13 эрг. Поэтому условие для малого параметра теории ASf (0)/^《1 из (20.63) хорошо выполняется (^ = 10~п— —10-12 зре).
Касуйя [267] для случая Gd провел численные оценки обменного интеграла ASf 促,乃‘)=』InPn (®k，一к), где Pn(x) — полином Лежандра тг-го порядка, используя метод ортогонализованных плоских волн для описания s-электронов, а для функции 4/ использовал расчеты Фримена и Ватсона [329]. В результате расчета Касуйя получил
70 3?2-10~13 эрг;厶=8,5・10-14 зре; /2 = 0,3-10~14 эрг. (20.118) Случай других РЗМ обсуждается лишь качественно в работах Каплана и Лайонса [409] и Касуйя и Лайонса [412].
В рамках теории возмущения по этому параметру мы можем теперь рассмотреть вопрос о распределении спиновой плотности s-электронов и о косвенном взаимодействии /-электронов через электроны проводимости. Ради упрощения расчета будем, как правило, пользоваться приближенным оператором (20.108) или (20.111).
Влияние s—/-обмена на спиновую плотность s-электронов и косвенный / ——/-обмен через электроны проводимости. Для средней плотности электронов проводимости в металле с определенной проекцией спина о на расстоянии г от парамагнитного /-иона имеем
Ра (»') = S Ж ( *\ «) ^а (»% «)), (20.119) S
где символ〈…〉означает усреднение по статистическому ансамблю (19.164). Подставляя в формулу (20.119) разложение (20.67), получаем следующее выражение для плотности (20.119):
p0(于)=片1 2 exp(2qy)〈技+0,0放0〉； q = k - k'. (20.120)
37 с. в. Вонсовский37 с. в. Вонсовский—577—577a. Общее выражение для интеграла косвенного обмена. Эффективное косвенное взаимодействие парамагнитных ионов можно получить, преобразовывая гамильтониан (20.108) путем исключения из него электронных операторов. В первом приближении это может быть достигнуто
37 с. в. Вонсовский
37 с. в. Вонсовский
—577
—577
усреднением электронных операторов, а именно
Жфф = —^-2 2 4/(他再+ q)exp( —iql?”)8” £ (。| s| o')〈放+% 嬴。，〉. n kt qо, О'
(20.121)
Из (20.120) и (20.121) видно, что спиновая плотность и косвенный обмен выражаются через один и тот же недиагональный электронный коррелятор (ak + qt о^л, о0 [см. (19.166)], который удобнее всего вычислить с помощью метода двухвременных функций Грина по Боголюбову — Тябли- кову [413]. Используя спектральное представление и спектральную теорему (см. гл. 19 или Зубарев [414]), для искомого коррелятора получаем
(^+qt 0^Л, 00 - j [〈〈аk，Ia%十%。〉〉(方+毎)—
一《0纱 I 成+金,。〉〉(方_话)[exp(隘)+ 1], (20.122)
где 《a/со’I 0% + 金，о〉〉宮一двухвременные функции Грина в энергетическом представлении. В (20.122) следует взять пределы е—>0 при е>0. Уравнение для этих функций имеет вид (гл. 19)
(宮一£/с)〈〈O/cL I。£+% о〉〉= 2д бдобоо,一
~'"^" £ £ 4f (A*乃")exp [% 佈"一幫 ~Rn] (o' I s I o) Sn〈〈а/св |。玄 + 金,о〉〉，(20.123) /с"о" п
где Е/с — энергия электрона проводимости. Интегральное уравнение (20.123) можно решить с помощью итераций:
〈血。,体"〉〉=*架*一
一击备』exp (iq&)臨(о I s I g(窮甯仁? +…(20.124)
Такое разложение эквивалентно обычной теории возмущений. Подставляя разло?кение (20.124) в формулу (20.122), находим
〈。%+ 金，О。/со'〉^qQ^uu^k
一卡 S( 一 iq上”)4f (к, 4 + q) ?：：三:孔(。丨 2 I o'), (20.125)
где nk — фермиевская функция распределения (11.14) для электрона с квазиимпульсом 肛 Подставляя выражение (20.125) в (20.121), получаем эффективный гамильтониан в обычной дираковской форме:
威 з 巾巾=—2 -^косв (-Kn — -Km) (Sn'Sm).(20.126)
Косвенный интеграл обмена Лкосв (_Rn — _Rm) задается разложением в ряд Фурье
/косв (石п 一及m) = "T ' /rocb (① exP [^(^n 一 元m)],(20.127>
где фурье-компонента ^косв(^), определяющая амплитуду рассеяния электрона проводимости на 4/-слое, имеет вид
4℃B(q)= — NT% 弱(乂 再+ q) —(20.128)
В более общем случае (см. Касуйя [267], Ирхин [406]) вместо изотропного обмена (20.126) будем иметь сложную анизотропную обменную связь
/косв (%п—J®m； in? Z/n)*(20.129)
Кроме того, (20.126) можно легко обобщить на случай модели многих полос (Л —> V, Л) и на решетки, обладающие р атомами в единичной ячейке п п, t (t = 1, 2, . . ., р). Поэтому, например, исходя из работы [267], формулу (20.130) в более общей записи можно представить, например, в виде
厶甌*(4)= 一 * W 蜀')(％ v%')風？ (▽%',滋)X
X exp [Z (左一乃')(上九土 一上九"，)](汽“w - ^v;c) (^vfk — Cv;c)-1* (20.130)
Здесь естественно еще раз вернуться к вопросу о возможности рассмотрения s — /-обменного взаимодействия (20.108) как энергии возмущения. Прежде всего необходимо напомнить о наличии малого безразмерного параметра, по которому можно вычислять ряд теории возмущений. Как уже отмечалось выше, энергетический параметр в (20.108) по порядку величины определяется двумя характерными энергиями в случае, например, ферро- или антиферромагнитных РЗМ, а именно с точками Кюри 0 или Нееля ®n и энергией Ферми ^. Действительно, из (20.128) видно, что интеграл косвенного обмена, величина которого и определяет температуры 0 или ©дг, связан с параметром /$『(г — _Rn) из (20.108) или /$『(q) из (20.111) соотношением ЛКОСв 』3(4)& Таким образом, имеем Ajf (q)/之 ^ Аб® (или A：e®n) или ASf ^ ]/ Лб®^. Отсюда сразу следует, что безразмерный параметр 刀 равен
Т]=学10-210-1,
ибо в РЗМ 0 или ❷川 ^10-4- 100° К, а С = 104—105 °К. Таким образом, 刀 лежит в пределах 10~2—10-1 и, следовательно, может служить малым параметром теории возмущения. См. также работу [400].
Выражение (20.128) получено в предположении, что имеется только одна незаполненная энергетическая полоса для s-электронов. Суммирование по 7с в (20.128) проводится по всем волновым векторам первой зоны Бриллюэна. Из (20.128) видно, что характер зависимости косвенного обменного интеграла от расстояния между магнитными ионами определяется тремя факторами: 1) законом дисперсии электронов проводимости Ек； 2) степенью заполнения полосы и 3) зависимостью s — /-обменного интеграла ASf (Л*,乃+q) от изменения волнового вектора q при электронном переходе. Строгий учет этих факторов связан с большими принципиальными трудностями. Главная из них обусловлена тем, сто в выраже- нии (20.128) суммирование ведется не по узкому интервалу состояний вблизи поверхности Ферми (к^Т《Q, а по всей энергетической полосе. Таким образом, для (20.128) существен вклад электронов, лежащих глубоко под поверхностью Ферми, где их уже незаконно считать свободными ферми-частицами даже с произвольным законом дисперсии (см. гл. 11). Правда, некоторую надежду на успех можно получить, если обратиться к анализу результатов, полученных при изучении рентгеновских спектров электронов проводимости в металлах (см., например, [323] или § 4Г и. 6, а), которые показывают, что существует удовлетворительное качественное соответствие между наблюдаемой интенсивностью в полосах рентгеновских спектров и плотностью электронных энергетических уровней в полосе проводимости, рассмотренной в рамках обычной зоиной модели. Тем не менее, конечно, с указанной трудностью необходимо считаться, и она заслуяшвает специального подробного исследования (см. также ниже § 8, п. 3, б).
Представляет-трудности и третий из указанных выше факторов, ибо нам неизвестен конкретный вид зависимости интеграла ASf (乃，屈 + 夕)от 乃，左 +4 Поэтому обычно принимают указанную выше простейшую гипотезу, что ASf (к,左 + q) = ASf (q) ^ ASf (0), где ASf (0) — константа, не зависящая от q. Эта гипотеза соответствует предположению о локальном характере обменного взаимодействия электрона проводимости с локализованным электроном незаполненной оболочки *). Фактически замена 4『仞 на /$『(0) означает, что поперечник рассеяния электрона проводимости на 4/-слое не зависит от величины импульса и угла рассеяния. Для существенно анизотропного распределения электронной плотности в 4/-слоях это приближение кажется слишком грубым. В этом приближении интеграл косвенной связи (20.128) определяется выражением
Asf (0): £л+а —ел
("①)
=J【3=7+ 千匕I (20/31)
Обратимся теперь ко второму из указанных факторов. При слабом заполнении полосы, когда можно приближенно принять квадратичный закон дисперсии, сумма в (20.131) легко вычисляется (см. [267, 39 9]):
屮(4)=一1■丁4%? m 2ke—q ="4)，(20/32)
где Ns — число электронов проводимости. Подстановка выражения (20.132) в (20.127) приводит к осциллирующему характеру зависимости косвенного обмена от расстояния (впервые полученного в теории сверхтонкого взаимодействия в работе Рудермана и Киттеля [51])
аюев(马 -JM= 一粤名曲(冬)2ь(2氏,1马一事1), (20.133)
где
方⑺=方⑺=X cos X— sin ①X cos X— sin ①(20.134)(20.134)
方⑺=
方⑺=
X cos X— sin ①
X cos X— sin ①
(20.134)
(20.134)
и использовано соотношение
TV"4 £ 屮(q)exp(Z?J?)= — 12л -~- F (2кфН).
Такой дальнодействующий характер обменного взаимодействия существенно сказывается на свойствах кристаллов, например в сильно разбавленных растворах парамагнитных ионов в немагнитной матрице [194], а также в РЗМ, где наблюдаются геликоидальные магнитные структуры).
6・ Влитие заполненности энергетической полосы- на величину Акос^ Представляет существенный интерес исследовать косвенный обмен как функцию заполнения полосы проводимости (см. Вонсовский и Изюмов [418]). Прежде всего заметим, что для целиком заполненной полосы выражение (20.133). и косвенный обменный интеграл (20.127) обращаются в нуль. С математической стороны это является следствием периодичности
энергии электронов проводимости £左 в пространстве обратной решетки, а с физической он совершенно очевиден. Если обозначить заполненную область /^-пространства первой зоны Бриллюэна через I, а незаполненную —через II, то в силу только что высказанного утверждения, согласно (20.131), имеем
: L Б/с ел8Тс力+金」: L £k €无一金 以一%+金」
(20.135)
где 2： и 』"означают соответственно суммирование по заполненной и Л* к,
свободной частям /^-пространства.
Рассмотрим теперь случай почти заполненной полосы, соответствующей наличию дырок в области II, где энергию электрона можно представить в перенормированном виде
£k = Z7 — Е/с.(20.13())
Здесь Ел—положительная энергия дырки, a U—энергия максимального уровня полосы. Из (20.135) имеем теперь
ф(в) = УП —(20.137)
Это означает, что в почти заполненной полосе с квадратичным законом дисперсии для дырок характер косвенного обмена будет таким же, как и для слабо заполненной полосы. В обоих случаях косвенный обменный интеграл имеет осциллирующий характер (20.133) только для почти заполненной полосы. Под Ns следует понимать число дырок в полосе, а под 乃① радиус сферы, ограничивающей незанятые состояния ^-пространства.
В тех же случаях, когда уровень Ферми проходит где-то в середине полосы и приближение постоянной эффективной массы заведомо неприемлемо, ситуация усложняется, и без выяснения конкретного вида выражения (20.135) невозможно определить характер косвенного обмена. Однако из того факта, что для целиком заполненной полосы выражение ср (q) обращается в нуль, следует, что область 乃-пространства, соответствующая середине полосы, должна давать противоположный по знаку вклад в ф (Q)(при фиксированном q), чем те области, которые соответствуют дну или верху полосы.
Таким образом, мы приходим к выводу: когда полоса почти пуста или заполнена почти целиком, косвенный обмен имеет одинаковый характер, благоприятствующий появлению ферромагнетизма или геликоидального порядка атомных магнитных моментов (Иосида, Ватабе [419]). Если полоса заполнена примерно наполовину, характер косвенного обмена резко изменяется. Есть основание предполагать, что в этом случае возможен антиферромагнитный порядок атомных магнитных моментов. Конечно, точно очертить границы в полосе, разделяющие эти области, в общем виде невозможно.
в. Обменная поляризация электронов проводимости магнитными ионами. В тесном отношении к косвенному обмену стоит вопрос о характере обменной поляризации электронов проводимости, как собственными, так и примесными парамагнитными ионами (парамагнетизм которых обусловлен наличием нескомпенсированного момента внутренних /- или d-слоев). Как показал Иосида [194], вокруг парамагнитного иона будет возникать неоднородная поляризация электронов проводимости. Если в формулу (20.120) подставить выражение (20.125), в котором взять только один
член из суммы по п и положить Rn = 0, то получим
Р±(>)=争干屮^£ехр(5)｛土 £ 处耳｝,(20.138)
qк "+4"
где S — спин парамагнитного атома (иона).
Сравнивая выражение (20.138) с формулами (20.127) и (20.128), видим, что пространственное распределение спиновой поляризации электронов проводимости описывается по существу тем же выражением, что и энергия косвенного обмена. Следовательно, все выводы относительно характера этого распределения в зависимости от заполнения полосы, сделанные для последней, автоматически переносятся на спиновую поляризацию. В частности, когда полоса почти пуста или заполнена почти целиком, то должен быть один и тот же характер обменной поляризации электронов проводимости, и он должен существенно меняться при заполнении полосы, примерно на половину.
Экспериментально спиновая поляризация электронов проводимости парамагнитными ионами должна определяться на основании изучения нейтронного магнитного форм-фактора и эффективного магнитного момента примесных парамагнитных ионов (см. гл. 21), растворенных в немагнитной матрице нормального металла. Поскольку магнитный форм-фактор [см. (20.5)] определяется фурье-компонентой нескомпенсированной спиновой плотности, то из (20.138) легко получить выражение для эффективного форм-фактора F(q) парамагнитного иона в металле [420], которое имеет вид (см. также [399], Изюмов и Озеров (1966) и § 2)
戸(q) = 〃q)_；к手，(20.139)
где F(q) — форм-фактор изолированного парамагнитного иона. Второй член в (20.139) дает поправку к форм-фактору, обусловленному электронами проводимости. Обычно величина 歹(q) нормируется так, чтобы 歹(0) = S. Таким образом, полагая в (20.139) q = 0, получаем немедленно эффективную величину спина парамагнитного иона (см. Изюмов и Носкова [411]);
—当*彳舍｝(20.140)
Выражение (20.140) можно записать также и в таком виде:
S^SH + V^f^g^)],(20.141)
где g (U) — функция плотности состояний электронов проводимости у поверхности Ферми g на единицу объема, даваемая формулой (20.26), a Vo — объем элементарной ячейки кристалла. Формула (20.141) в комбинации с измерениями электронной части теплоемкости металла, определяемой, как известно (см. гл. И), плотностью электронных состояний у поверхности Ферми g (g), позволяет в принципе определить s — /-обменный интеграл (по крайней мере оценить порядок его величины). Из изложенного также следует, что изучение эффективного магнитного форм-фактора в разбавленных сплавах (типа Мп ——Си) позволит уяснить характер косвенного обменного взаимодействия между парамагнитными ионами в таких сплавах (см. гл. 21).
В принципе существует еще метод, с помощью которого можно было бы определить величину энергетического параметра s — /-обменного взаимодействия, используя неупругое рассеяние нейтронов в ферромагнитном кристалле (см. гл. 26).
П ос лед ов ательное квантовое рассмотрение s—/-обмена. Изложенные выше расчеты обладают известными недостатками. Во-первых, в них не учитывается возможность прямого обмена «магнитных» электронов и, во-вторых, они не совсем последовательны, поскольку теория возмущения в них строится лишь для состояний электронов проводимости, операторы же спина внутренних электронных оболочек рассматриваются как с-чпсла. Теперь мы откажемся от этого упрощения и будем учитывать операторный характер спина /-слоя.
Общие формулы. Если учесть прямой обмен, а также следуя методу Холстейна и Примакова [246], операторы спина Sn электронных /- или d-оболочек заменить операторами вторичного квантования Ьп и 州,которые в спин-волновом приближении удовлетворяют бозевским перестановочным соотношениям (см. гл. 19), то гамильтониан s — /-системы можно представить в виде [421, 387, 399]
威1二酬0+阂，(20.142)
胞2为囁林。"。+2%呼“，(20443)
成二 一卜彳厂)2 4/(*，)6 (廿一加+c)(a文+ak,也+
kkq
+ "力，k+£) T^r 2 4,(加加')6 (加'-k-\-qr -C)(硅一。献-。为+5+)窜务金,(20.144) kkr
где
E% = 8h-2S/5/ (加在)6g，一]/2 + o方①s,(20.145)
&g = /g2+ 无(0『(20.146)
— соответственно энергия электронов проводимости со спином о и спиновых волн с квазпимпульсом д, возникающих в системе внутренних /-электронов под действием прямого обмена; А — интеграл прямого обмена для узлов ближайших соседей;方％ = =^5цБЯ, ji(о『=gj^H — зеемановские энергии, g§, g『 ——факторы Ланде s- и /-электронов; II — внешнее магнитное поле.
Диагональная часть гамильтониана (20.143) равна сумме энергий элементарных возбу?кдений системы спиновых волн и электронов проводимости, причем последние подмагничены обменным взаимодействием с намагниченными до насыщения внутренними /-слоями. Спектр элементарных возбуждений системы содержит, таким образом, две ветви: фермиевскую (электроны проводимости) и бозевскую (спиновые волны). Оператор <^?8/ из (20.144) описывает взаимодействие этих двух типов возбуждений. Связь з- п /-электронов приводит в рассматриваемом приближении к двум эффектам: 1) изменению энергии электронов проводимости [см. член с Я5/ (在左)в (20.145)] и 2) взаимодействию их со спиновыми волнами, вызывающему переходы между нулевыми энергетическими уровнями системы и приводящему к затуханию элементарных возбуждений.
Используя, как и выше, метод функций Грина (см. гл. 19), можно найти средние статистические от чисел заполнений (ctfca аь^) и (6^6^), которые определяют равновесные функции распределения электронной п^ и спиновой nq систем. Производя расцепление системы уравнений для соответствующих функций Грина, эквивалентное второму порядку теории возмущений (см. [399] или гл, 19), можно найти функции распределения для электронов проводимости;
(20.147)(20.147)士 「 Г(8fc —С) 1 . .1-1 где〜
(20.147)
(20.147)
(20.148)(20.148)(20.149)(20.149)£^=&/с—S(1 干 р) Asf (fcfc), а у ——относительная намагниченность электронов;
(20.148)
(20.148)
(20.149)
(20.149)
(20.150)(20.150)Функция распределения спиновых волн имеет вид
(20.150)
(20.150)
% Г exp (各)n
где
A = WT £/a体砌5%-硅)，(20.151)
Р„ сё) У 風(丸,味(20.152)
Yq (雷=-r-2/& (丸，左—幻("%—4一吟)6 (卷-£%+ё%-4)，(20.153)
В рассматриваемом приближении (20.147) есть фермиевская функция распределения для электронов проводимости, энергия которых (20.148) изменена взаимодействием с /-электронами. Выражение же (20.150) представляет суперпозицию бозевскпх элементарных возбуждений с резонансной интенсивностью и затуханием у^ (卷)，даваемым формулой (20.153).
В случае малого затухания резонансная функция под знаком интеграла (20.150) имеет острый максимум в точке 卷=е^, определяемой из уравнения
% — % —乙(％)— А = 0,% — % —乙(％)— А = 0,(20.154〉(20.154〉
% — % —乙(％)— А = 0,
% — % —乙(％)— А = 0,
(20.154〉
(20.154〉
и приближенно может быть заменена 6 (卷一е^-функцией. Таким образом, пренебрегая затуханием, вместо (20.150) теперь имеем обычную бозевскую функцию распределения
(20.155)(20.155)%=[ехр (田
(20.155)
(20.155)
Следовательно, величины % и 噎 имеют смысл энергий элементарных возбуждений при заданной температуре. В приближении, принятом здесь для фермиевских гриновских функций, фермиевские возбуждения не затухают, затухание появится лишь в следующих порядках возмущения.
Намагниченности /- и s-подсистем. Полученные функции распределения позволяют вычислить многие равновесные термодинамические величины металла, например намагниченность. Оператор магнитного момента вдоль оси z имеет вид
Mz = g[ipSN(I 2 务^不金)十^卩в 2(畋“左-一噬+"/£+)• (20.156) а к
Усреднив (20.156) по статистическому ансамблю, выразим Мг через функции распределения:
Mz = <Мг) — gjxB5/V(IS na j Н^g“E 2 5% —硅)，(20.157)
Первый член дает намагниченность /-электронов ферромагнетика гейзенберговского типа (см. гл. 19) в спин-волновом приближении. Второй член дает вклад в намагниченность за счет электронов проводимости. Вычисляя последнюю сумму в (20,157) и используя (20.149), можно записать (20.157) в виде
(20.158)(20.158)
(20.158)
(20.158)
где
Mf = gfRESN
— абсолютная намагниченность /-электронов. Поскольку закон дисперсии для спиновых волн при учете s — /-обмена остается квадратичным (см. ниже), то для намагниченности ферромагнитного металла имеем обычный температурный «закон Т”?》(гл. 19).
/翁（初加一0）仇jq -孔%）%一吸一£%一金/翁（初加一0）仇jq -孔%）%一吸一£%一金(20.159)(20.159)Явный вид спектра спиновых волн. Две ветви спектра. Определим теперь явный вид спектра спиновых волн е^ из уравнения (20.154), используя (20.151) и (20.152):
/翁（初加一0）仇jq -孔%）%一吸一£%一金
/翁（初加一0）仇jq -孔%）%一吸一£%一金
(20.159)
(20.159)
弓=%十心12 4f（丸，码仇这一碇）+* 2 kk
Найдем решение (20Л59) при g = 0. В этомНайдем решение (20Л59) при g = 0. В этомслучае, согласно (20.146)случае, согласно (20.146)и (20.148),и (20.148),
Найдем решение (20Л59) при g = 0. В этом
Найдем решение (20Л59) при g = 0. В этом
случае, согласно (20.146)
случае, согласно (20.146)
и (20.148),
и (20.148),
80= Й0)/； £% 一E0=方a%—2/s/(左，儿)"•
Далее примем приближение, что Л5/ (fc, к) ^Asf (0); тогда уравнение (20.159) будет квадратным и его корни равны
&о = "^ [无(g +①拉 + 2S4『(0) (1 + p§) ] ±2 {伍(①s +①拉+
+ 2S4『(0) (1 + 强)]2一4 [^(0/ + 2SAsf (0)无(g +(o/)]}1/2, (20.160}
где ys — относительная намагниченность электронов проводимости：
力=£〉>%—昧)•(2°<6 分
В частном случае, когда g§ = g/, (os =(o/ =(o0, (20.160) принимает вид
林今=龙30； 8 <2 > = Лсо0 + 2SAsf (0) (1 + г/5).(20.162)
Из (20.162) видно, что в ферромагнитном металле имеется две ветви спиновых волн. В отсутствие магнитного поля (Н = 0) первая ветвь не отделена щелью от основного состояния £(|《1> = 0 來).Вторая «оптическая» ветвь спиновых волн связана с подмагничиванием электронов проводимости s — /-обменным взаимодействием. Система этих электронов имеет свой спонтанный магнитный момент, так что металл в целом становится эквивалентен ферриту с двумя магнитными подрешетками (см. гл, 22). Для феррита же характерно наличие в спектре возбуждений высокоэнергетической ветви с энергией порядка обменного взаимодействия различных подрешеток.
Вторая «оптическая» ветвь:，е0<2>= 254：； (1 + у§) (при 反=0) может быть возбуждена с помощью нейтронов, что позволяет сразу оценить порядок величтшы энергетического параметра s—/-обменного взаимодействия (Изюмов [423]).
Найдем теперь решение (20.159) или (20.154) для g 片 0. Поскольку е@ — четная функция q, то £金 тоже будет четной, поэтому решение (20.159), ответвляющееся от е\ =方со。, ищем в виде
芯金=方(00 + /d，(20.103)
где 力*— эффективный параметр обменной связи. Для квадратичного закона дисперсии s-электронов &兀=а А:2 [пренебрегая различием g-факторов для сумм, входящих в (20.159)], после перехода в нем от сумм к интегралам получим
3^s/(0) ^s 3ysAsf(0)H Д^
S典(0)
乙⑻=石既■世-(J，0一W+C+： C)}，(20.165)
где
С, 1 / 丄°cl \С斗+ 2аА洁
%(С±, д)=m —f ,(20Л66)
*±2agi 2 、 ①4a2g2 /C±_2a畴
C± =卷—£% + £% 土 ag2.(20.167)
Выражение (20.165) можно разложить в ряд по степеням д2； тогда, используя для《(> выражение (11.8) и считая Asf (0) <^ ^0, находим,
%隔)=一А +^2.(20.168)
Подставляя (20.168) в (20.154), видим, что величины А взаимно сокращаются, и для эффективного обменного интеграла Л* из (20.163) получим
i + "(3啜”/3 智.(20.169)
Зта формула была впервые получена в работах [421, 387, 422]. Второй член в (20.169) представляет собой параметр косвенного обменного взаимодействия, входящий в закон дисперсии спиновых волн. Его можно получить и из общей формулы для эффективного гамильтониана s —/-обмена (20.126), если в ней перейти от операторов спина к бозе- юператорам и продиагонализировать возникающую при этом квадратичную форму. Тогда для энергии спиновой волны получим
%=2S £/kocb(E?i) [1—ехр (以丘71)],(20.170)
где суммирование ведется по всем узлам. Учитывая формулу (20.127) для Лкосв (Rn), находим
% =j•今鸟”)[/(0)Т(。)]， (20.171)
тде f(q) определяется noj(20.132). Поскольку при малых q функция /(?)弋一^2/6^ то при этих условиях и % Я *' (dg2), где параметр Аг* точно равен второму слагаемому в (20.169).
Поскольку интеграл косвенного обмена всегда больше нуля, то он приводит к ферромагнетизму. Если имеется и прямой обмен (力 次 0), то ферромагнетизм может ■быть и при 力 V °, если выполняется более общее условие %* 旧 0.
г. Особые точки е спектре спиновых волн е металле. Из (20.171) ясно видно, что характер закона дисперсии спиновых волн в металле определяется поведением функции / (с). Уолл и Неттель [248] заметили, что производная / (?) в точке д=2/с① имеет логарифмическую расходимость. Если учесть, что вместо выражения (20.174) правиль- яее писать
3^^2[/(t)_/(t + ^b(20/73)
где t — вектор обратной решетки, то этот факт приводит к тому, что при значениях q, удовлетворяющих условию | t 十 g | = 2良①,функция % имеет резкое нарушение монотонности. Численные расчеты, проведенные в работе [248], показали, что величина таких «срывов» на кривой е^ составляет несколько процентов. Хотя этот эффект и трудно наблюдаем, он очень интересен, так как демонстрирует влияние вида поверхности Ферми электронов проводимости (в данном случае сферической) на спектр спиновых волн в ферромагнитном металле *). Этот же вопрос играет существенную роль при образовании геликоидальных магнитных структур в РЗМ (см. [419, 417J, а также ниже § 8).
Затухание спиновых волн. Из (20.128) видно, что s — /-обменная связь обусловливает взаимодействие спиновых волн с электронами проводимости, приводящее к дополнительному затуханию 丫金 спиновых волн по сравнению с тем, что наблюдается, например, в ферромагнитном диэлектрике. Энергия (частота) затухания определяется формулой (20.153); благодаря входящей в нее о-функции можно написать
"%Т —硅="(味一軍)一"(е%) •
Нас интересуют значения %, лежащие вблизи 8^, которые значительно меньше энергии Ферми ^0, поэтому п (时 一 卷)можно разложить в ряд по степеням 卷 и ограничиться первым членом разложения. Входящую при этом производную фермиевской функции распределения можно заменить d-функцией. Далее, переходя в (20.153) от суммирования по fc к интегрированию, находим, что
гдегдеТе(%)=WТе(%)=W2л2лS蜀(0)S蜀(0)d3d3[1, g〉go, I о, g < до,[1, g〉go, I о, g < до,(20.174)(20.174)1 I % — 2SAsf (0) I1 I % — 2SAsf (0) IWoWo(20.175)(20.175)*) На аналогичную^связь меяеду спектром фононов в металле и формой поверхности Ферми впервые обратил внимание Кон [247].*) На аналогичную^связь меяеду спектром фононов в металле и формой поверхности Ферми впервые обратил внимание Кон [247].
где
где
Те(%)=W
Те(%)=W
2л
2л
S蜀(0)
S蜀(0)
d3
d3
[1, g〉go, I о, g < до,
[1, g〉go, I о, g < до,
(20.174)
(20.174)
1 I % — 2SAsf (0) I
1 I % — 2SAsf (0) I
Wo
Wo
(20.175)
(20.175)
*) На аналогичную^связь меяеду спектром фононов в металле и формой поверхности Ферми впервые обратил внимание Кон [247].
*) На аналогичную^связь меяеду спектром фононов в металле и формой поверхности Ферми впервые обратил внимание Кон [247].
Здесь 丸①——некоторый «средний» квазиимпульс Ферми (^ 丸右 ^丸&)• Для электронов проводимости в частном случае квадратичного закона дисперсии соотношения (20.174) 网(20.175) примут вид
Ye (&)=%Ye (&)=%3nSNs3nSNs4d(。))2 丸① х J 1, g〉g(), ~~/ 才 I。，g<9o.4d(。))2 丸① х J 1, g〉g(), ~~/ 才 I。，g<9o.(20.176)(20.176)
Ye (&)=%
Ye (&)=%
3nSNs
3nSNs
4d(。))2 丸① х J 1, g〉g(), ~~/ 才 I。，g<9o.
4d(。))2 丸① х J 1, g〉g(), ~~/ 才 I。，g<9o.
(20.176)
(20.176)
(20.177)(20.177)(20.178)(20.178)1 |s — 25Л5/ (0) I r
(20.177)
(20.177)
(20.178)
(20.178)
,Для спиновых волн в £金《 2SAsf (0) имеем
S Asf (0) к①
Величина параметра Asf (0) равна IO-】3_[o-i4 ^卩％ поэтому q0 составляет 10-2—10-1 ■от граничного квазиимпульса Ферми, Следовательно, спиновые волны с малыми зна- ■чениями квазиимпульса не затухают ). Это связано с тем, что при малых квазиим- иульсах энергия спиновой волны не может удовлетворять закону сохранения энергии при столкновении с электроном проводимости. При таком столкновении должен менять •ориентацию спин электрона, а для этого требуется изменить его энергию на величину -энергии подмагничивания, т. е. на величину 2SAsf (0). Как только энергия спиновой волны становится достаточной для этого, она будет затухать. Энергия затухания, как видно из (20.176) и (20.177), по порядку величины составляет 5力$了 (0) е^/^0, т. е. мала по сравнению с собственной энергией спиновой волны. Этим и оправдывается применимость теории возмущения в данном случае. Отметим, что выражение (20.153) для 丫金, полученное с помощью метода функций Грина, совпадает с найденными ранее значения-мп с помощью техники кинетических уравнений (Туров [287], Митчелл [403], Абрахамс [402]). Однако в последних двух работах не учитывалось подмагничивание электронов проводимости, поэтому их результат формально совпадает с (20.153), где следует положить g = 0. Для малых g 声 0 результаты этих двух работ неправильны.
В этой связи Изюмов [423] рассмотрел неупругое рассеяние медленных нейтронов на спиновых волнах и показал, что благодаря конечному времени жизни спин-волновых возбуждений (из-за их взаимодействия с электронами проводимости), когерентный нейтронный пик связан с поглощением или испусканием нейтроном спиновой волны, ушпряется на величину yq (е^). Поэтому можно надеяться, что измерение уширения нейтронных пиков, соответствующее одномагнитному рассеянию в ферромагнитном металле, как функции квазиимпульса спиновой волны, позволит выявить скачок вели- ■чины затухания и оценить по формуле (20.178) величину 力§『(0). Следует иметь в виду, что фактически в ферромагнетике имеется много причин, приводящих к конечному времени жизни спиновых волн. Наиболее важными из них являются спин-спиновое и спин- ■фононное взаимодействия (см. Кащеев и Кривоглаз [424]), поэтому реальная ширина нейтронного пика обусловлена целым рядом причин. Однако рассматриваемое здесь s — /-обменное взаимодействие специфично лишь для металлов; более того, в металлах •оно является, по-видимому, определяющим в общем уширении линий.
е.《СЗеие» g-фактора f-электронов и «щелъ^ е спектре спиновых волн. Метод функций Грина, примененный в s — /-модели (Вонсовский и Изюмов [399]) позволил более последовательно выделить элементарные возбуждения в системе электронов ферромагнитного металла, учесть их затухание, определить влияние системы спинов на электроны проводимости (эффект подмагничивания) и обратное влияние электронов проводимости на систему спинов (эффективный косвенный обмен). Преимущества изложенного метода легко усмотреть, в частности, из анализа вопроса о сдвиге g-фактора для /-электронов, обусловленного s — /-обменом. В работах [194, 425, 426] был получен вывод о «перенормировке» g-фактора в ферромагнетике ):
謬)♦ (20/79)
1c другой стороны, метод функции Грина приводит к результату g = g. Это происходит потому, что зависящие от внешнего магнитного поля поправки в (20.159) взаимно сокращаются. Если пренебречь зависимостью「金(卷)от магнитного поля, то остающийся в (20.152) член приводит как раз к указанному выше сдвигу g-фактора. Таким образом, -фиктивность этого результата обусловлена тем, что в поправке второго приближения к энергии спиновой волны незаконно пренебрегали членом, зависящим от магнитного поля. «Сдвиг» g-фактора не наблюдается и на опыте. Полученное Лиу [427] якобы
качественное согласие опытных значений g-факторов для ряда РЗМ с рассчитаннымЕГ по формуле (20.179) является иллюзорным, поскольку при этом предполагается, что знак s — /-обменного интеграла для РЗМ (в частности, для Gd) противоположен томуг который получается из других опытов (см. Жакарино и др. [428]), тогда как по асбо- лютной величине результаты близки друг к другу, причем для Gd значение 力§『(0)七 弋 2 *10-13 зре [428, 292]. Отличие величины g-фактора для этих РЗМ от 2, по-видимомут должно объясняться другими причинами.
Метод запаздывающих и опережающих функций Грина в теории s — /-обмена был применен также в работах Потапкова и Тябликова [429], Тахир-Кели и тер Хаара [430]. Последние обобщили работу [387] на случай Т> 0° К и работу [429] на случай S > > 1/2. В работе [429] в спектре спиновых волн получена щель, пропорциональная- третьей степени s — /-обменного интеграла. Этот вывод, по-видимому, связан с тем,, что для получения поправки к энергии спиновой волны в третьем приближении по s ——/-обмену следовало бы учесть функции Грина более высокого порядка, чем использованные в работе [429]. Тогда дополнительно появляющиеся в энергии члены должны компенсировать «щель».
ж. Некоторые другие исследования. Вонсовский и Кобелев [431] сделали попытку в наиболее общем виде с помощью метода одночастичных функций Грина (в форме, данной Швингером [4321) рассмотреть спектр элементарных возбуждений двух или более подсистем взаимодействующих электронов (существование которых постулируется, но происхождение их не исследуется). При этом при изучении магнитной части спектра не используются предположения о преимущественной роли «магнетизма» какой-либо одной из подсистем. Из этой общей схемы можно как частные случаи получить результаты всех других модельных теорий (гейзенберговской, френкель-стонеров- ской, s — /-обменной).
Метод функций Грина был также применен в s — /-обменной теории антиферромагнитных металлов [433—436, 399] к расчету магнитной релаксации и резонанса в ферро- и антиферроматнитных металлах [436]. За подробностями отсылаем читателей к оригинальным работам.
Изменение состояния системы s-электронов под влиянием s——/-, s—s-обмена и корреляционных эффектов. Выше было показано, что обменное взаимодействие электронов проводимости с нескомпенсированными спиновыми моментами /-слоев электронной оболочки ионов металла приводит к снятию вырождения в энергии электронов проводимости по спиновому квантовому числу о. Были также вычислены равновесные функции распределения (20.147) s-электронов в первом порядке теории возмущения no s — /-взаимодействию, когда они имеют обычный вид, но с перенормированной энергией s — /-обменной связи [см. (20.148)]. Можно тем же методом учесть следующее- приближение. Используя расцепление, можно получить замкнутую систему уравнений для функций Грина 〈 6左仃|0｝仃〉(см. обзор [399]) и через их фурье-компоненты с помощью спектральной теоремы найти функцию распределения s-электронов во втором приближении:
± V ^1Г±(«)
П，С eхp (点)+1[軍一或一峡合窗+加叫"产硝，
где
9唉(寄£上(А。，处上%)(% + *必 (20/81》
—массовые операторы, а величины
吸=干等2&*e干q,码(%+時+/ « + % 一^Т"(紡一公羟"干百)(20.182) описывают затухание электронов под влиянием их столкновений со спиновыми волнами. При пренебрежении массовыми операторами (20.181) и затуханием (20.182), выражение (20.180) переходит в функцию распределения Ферми (20.147). Таким образом, s ——/-связь приводит не только к подмагничиванию s-электронов (эффект первого порядка), но и к их затуханию (эффект второго порядка). Иначе говоря, сдвиг энергетических подполос для противоположно направленных спинов оказывается пропорциональным Asf (0), а затухание — пропорционально 力务(0)/^0. С другой стороны, электроны проводимости действуют на спиновые волны так, что оба эффекта: сдвиг энергии (при наличии внешнего магнитного поля) и затухание оказываются пропорциональными 力百(0)/^0. Общая теория s — /-обмена позволяет также рассчитать эффективное- взаимодействие электронов проводимости через спиновые волны и влияние его на состояние сверхпроводимости, а также вычислить «аномальные» кинетические коэффициенты ферромагнитного металла (см. гл. 25).
В гл. 11 уже было показано [см. формулу (11.147)], что слабое обменное взаимодействие электронов проводимости, позволяющее сохранить приближение почти сво-
Годных электронов (но недостаточное для появления ферромагнетизма), способствует их парамагнетизму. Аналогичное явление должно, очевидно, иметь место и в том случае, когда ориентирующее действие на электроны проводимости обусловлено не внешним магнитным полем (как в случае парамагнетизма) т а их обменной связью с /- или ji-электронами. Обменная s—s-связь должна способствовать их подмагничиванию из-за з —/-обмена. Поскольку понижение энергии электронной системы кристалла, связанное с указанной поляризацией, ответственно за косвенный обмен между внутренними 7-электронами, то отсюда следует, что s ——s-обмен может способствовать не только поляризации собственных спинов s-электронов, но и ферромагнитной ориентации внутренних /- или cZ-электронов. Вонсовский и Свирский [437] исследовали указанное влияние s — s-обмена на подмагничивание s-электронов и на ферромагнитное упоря- мочение /-металлов. Расчет показал, что s —— s-обмен действительно способствует поляризации s-электронов, вызванной s — /-обменом, а также увеличивает интеграл 力ноев, р. е. повышает точку Кюри ферромагнитного /-металла ).
Объяснение магнитных свойств РЗМна основе s ——/-обменной модели
Дальнодействующий и осциллирующий характер косвенного обменного взаимодействия между 4/-ионами позволяет понять большую совокупность специфических магнитных свойств РЗМ, а также магнитных анома- .лий их немагнитных характеристик.
Парамагнитная точка Кюри РЗМ. Магнитные параметры, теоретическая интерпретация которых наиболее проста, это парамагнитные точки Кюри 0ПМ [320——322, 466, 467], входящие в выражение для магнитной восприимчивости Хпм п0 закону Кюри — Вейсса и определяемые путем линейной экстраполяции величины %£^ для поликристаллических образцов РЗМ при достаточно высоких температурах. Из теории парамагнетизма известно (см. гл. 9), что величина @пм пропорциональна средней энергии взаимодействия атомных магнитных моментов. В случае поликристаллов всеми анизотропными взаимодействиями (поле лигандов, магнитная анизотропия и т. п.) можно пренебречь, ограничиваясь учетом лишь анизотропной обменной связи. Используя гамильтониан (20.126) с заменой операторов S на (gj— 1) J и стандартный вывод теории молекулярного поля (гл. 18), находим
旺М =霊蜀⑼(gj — l)"(JT 1) 2 Г(2кФ\Ип-Ит\), (20.183)
где ns = NJN — число электронов проводимости на узел решетки, р0 — атомный объем, а функция F(x) дается формулой (20.134). Сумму в (20.183) можно вычислить (см. [337, 468, 469]). Из-за дальнодействую- щего характера s — /-обмена эта сумма сходится сравнительно медленно. Однако все же ее главная часть получается от суммирования по первой координационной сфере (приближение ближайших соседей). Если рассмотреть группу «тяжелых» РЗМ (от Gd до Yb) с ns = 3, то вклад от ближайших соседей (| Rn 一 Rm | ^ d) в сумму формулы (20.183) равен 92 «10~4. Можно получить результат с точностью до 3% (при сравнении •с опытными значениями 0ПМ). Для этого нужно учесть в сумме (20.183) расстояния до 7d. Для них вклад в сумму равен (68 士 2) -10~4. Эти значения наглядно количественно иллюстрируют дальнодействующий характер косвенного обмена. Расчет показывает, что сумма в (20.183) для РЗМ с решеткой гекс. п. у. и ns = 3 положительна. Это согласуется с опытными данными. На рис. 20.35 приведено сравнение опытных и теоретических значений 0ПМ. Для gj и J взяты данные для трехвалентных ионов (кроме Ей), сумма в (20.183) вычислена, как указывалось выше, а параметры ASf (0), z и С。 (или Аф) предполагаются одинаковыми для всех РЗМ. Из рис. 20.35 видно, что если отождествить опытную и теоретическую точ-
ки для Gd, выбрав для ASf (0) значение 5,7 эв • А3 и эффективную массу zn равной 3zn0 (см. Роше [466]), то получим очень хорошее согласие теории с опытом для всех «тяжелых» РЗМ. Можно привести еще одно интересное сравнение с опытом, если включить сплавы тяжелых РЗМ с Y. Колер и др. [344] изучили эти сплавы с помощью нейтронной дифракции. Металл Y немагнитен, а конфигурация валентных электронов у него такая жет. как и у атомов тяжелых РЗМ. Кроме того, Y также имеет структуру гекс. п. у. и параметр у него почти такой же, как у Gd. Со всеми тяжелыми РЗМ Y образует практически непрерывный ряд твердых растворов *).
Более сложная ситуация оказывается для легких РЗМ. Здесь возникают сложности из-за неясностей с кристаллическими структурами. Кроме того, некоторые металлы (Sm и Pm) еще плохо изучены в магнитном отношении. У Се структура гекс. п. у., в которой наблюдается магнитный порядок, существует в узком интервале температур и т. п. Особенно резкое несоответствие теории с опытом наблюдается как раз для Се. Теория： дает 0Пм = 4° К, а опыт — 0ПМ = —42° К. Этот парадокс специально рассматривал Роше [466]. Он считает, что в данном случае имеет место не механизм косвенного обмена по Руд ер ману — Киттелю [51], а механизм* образования виртуальных связанных 4/-состояний вблизи поверхности Ферми по Фриделю [470] (см. также [471—473]). В свободном атоме Се- состояния 4/-, 5d- и б^-электронов имеют очень близкие энергии. Поэтому можно предполагать, что в трехвалентном Се уровни 4/-электронов попадают в расщепившуюся гибридизированную полосу энергий коллективизированных 5d- и б^-электронов. Из-за взаимодействия между электронами 4/-уровни уширяются и превращаются в виртуальные фриделевские связанные состояния. Спиновая поляризация электронов проводимости^ обусловленная такими состояниями, также приводит к косвенной обменной связи между ионами РЗМ, но отличается по своей природе от связи Руд ер- мана —— Киттеля (20.127). Роше [466] на основе этих представлений сумел объяснить отрицательный знак 0ПМ для Се.
Объяснение существования спиральных магнитных структур в РЗМ (модельная теория). Осциллирующий характер косвенного обмена через- электроны проводимости в РЗМ см. (20.133) благоприятствует появленик> в них спиральных геликоидальных или синусоидальных атомных магнитных структур.
Простейшая модель спиральной структуры РЗМ. Как уже отмечалось в § 6, п. 4, во всех тяжелых РЗМ магнитные моменты ионов одной и той же базисной плоскости ниже 6n всегда образуют ферромагнитный порядок. Что же касается магнитного порядка между последовательными базисными плоскостями, то здесь было обнаружено пять типов структур (см. рис. 20.37). ，
В качестве простейшего примера рассмотрим случай простой спирали (тип ПС). Для этого используем выражение для гамильтониана косвенной связи (20.126) и для интеграла обмена ЛК0Св из (20.133), следуя работам Иосида и Ватабе [419] и де Жена [322]. Будем считать величины 8п классическими векторами (это допустимо при условии, что | 5冷 |》1), и примем, что их направления в кристалле изменяются по закону простой спирали типа (20.104), и, следовательно,
5м8тп = £ ¥ {exp HQuc (兄？г —五⑨]+ exp [ — iQnc (-Rn —五m)]}・ (20.184)
Поэтому в силу (20.184), (20.126) и (20.127) для энергии основного состояния будем иметь
(20.185)(20.185)§ПС(^ПС)= 一 NS2Abocb (^пс).
(20.185)
(20.185)
Из (20.185) видно, что состояние со структурой ПС с периодом dnc = 2л/^ будет устойчиво (выгоднее коллинеарного ферромагнетизма с q?1c = 0), если 4Hoeз (Qnc) имеет максимум в точке q&c 0.
Явное выражение для ЛК0Св(Q)можно найти, подставив в (20.127} выражение для ЛК0Св (G) из (20.133), что дает в приближении квадратичного закона дисперсии
4Kосв Sue) = "!"%■ * 晋 击' 2 Alf(k)f (fc) 2 exp [i (左十 g) (_Rn —五熊)],凡пфт
(20.186}
где функция f (fc) дана формулой (20.132); тогда, если принять, что ASf (7с) ^ ASf (0) ^ const, то из вида функции / (乃)следует, что максимум (20.186) будет лри Qnc =。，т. е. возможна только коллинеарная ферромагнитная структура. Сама функция / (к) имеет максимальное значение, равное 2 при q = 0 и с увеличением | q | монотонно убывает
Рис. 20.39. График функции / (д> [см. формулу (20.132)]. Точка q = 2 K① имеет особенность типа 产(2冗① = —— 8 (коновская особенность).Рис. 20.39. График функции / (д> [см. формулу (20.132)]. Точка q = 2 K① имеет особенность типа 产(2冗① = —— 8 (коновская особенность).(рис. 20.39). Поэтому, если бы в процессах рассеяния электронов проводимости на ионах не учитывались процессы «переброса», в которых вектор рассеяния к (или q) отличается от своего «резонансного значения》к на произвольный вектор обратной решетки 冗 то в рамках излагаемой теории минимуму энергии всегда соответствовал бы ферромагнетизм. Однако в сумме (20.186) имеются члены как возрастающие, так и убывающие с увеличением Que, что и обеспечивает возможность существования максимума Asf (Qnc) при QncW。. Однако в (20Л86) не учтена явно трансляционная симметрия решетки, из
Рис. 20.39. График функции / (д> [см. формулу (20.132)]. Точка q = 2 K① имеет особенность типа 产(2冗① = —— 8 (коновская особенность).
Рис. 20.39. График функции / (д> [см. формулу (20.132)]. Точка q = 2 K① имеет особенность типа 产(2冗① = —— 8 (коновская особенность).
которой вытекает, что квазиимпульс опре
делен с точностью до вектора обратной решетки К. Б связи с этим рассмотрим последнюю двойную сумму в (20.186), в ней снимем ограничение п 丰
声 т, учтем трансляционную симметрию кристалла и заменим радиус-вектор у узла Rn на сумму Hs+rv (_RS —— радиус-вектор элементарной ячейки, rv — радиусы-векторы отдельных узлов в ней). Кроме того, умножим каждый член суммы на единицу в виде exp (iK_Rs) и просуммируем результат по К по всей обратной решетке, В итоге всех операций получим
У exp [i (fc+ ^) (_Rn — _Rm)=
=N 2 exp[i(fc-f- q)rv] 2 NexpR(A；+q+JQ_Rs] —N = vК s
=№ ^1b(k+q+K)^iexp[iKrv]-~N = N2^1?>(k+q+K)F1(K)-N,
(20.187)
где Fi (К)=』exp [iKrv] — структурный фактор кристаллической решетки, и использовано соотношение
еехр[e(儿+ Q+ k)五/ = NB(乃+ q+ К).
Подставляя (20.187) в (20.186), находим
厶ноев (Qnc) =(2夕-^ X
х { 2 ^f (^К + toe) / (I К+ «пс I) Л (К) - ~Asf (fc) / (fc)} .(20.188)
Иосида и Ватабе [419] вычислили фурье-образ косвенного обменного интеграла (20.188) как функцию 夕皿 При этом они приняли, что da = 1,57Иосида и Ватабе [419] вычислили фурье-образ косвенного обменного интеграла (20.188) как функцию 夕皿 При этом они приняли, что da = 1,57(случай Но, Er и Tm; у ТЬ отношение ( =1,6152 (2冗/〃). Вычисление проводилось(случай Но, Er и Tm; у ТЬ отношение ( =1,6152 (2冗/〃). Вычисление проводилосьda = 1,58), ns = 3 и Афda = 1,58), ns = 3 и Аф4〃44〃40,080,08W徽£勿d7 〃W徽£勿d7 〃2勿/2勿/Рис. 20.4 . График выражения W【『(丨"+ а |>— к—/ ( I if I >]• Ft (К〉как функции q вдоль ОСИ С. Fi (К) — структурный фактор кристаллической решетки [см. формулу (20.189)]. Стрелка на оси абсцисс показывает точку, соотв етствующую коновской особенности.Рис. 20.4 . График выражения W【『(丨"+ а |>— к—/ ( I if I >]• Ft (К〉как функции q вдоль ОСИ С. Fi (К) — структурный фактор кристаллической решетки [см. формулу (20.189)]. Стрелка на оси абсцисс показывает точку, соотв етствующую коновской особенности.-4Носв (0),-4Носв (0),для разности ЛК0Свдля разности ЛК0Св(0 -(0 -т. е. по отношениют. е. по отношениюк простой ферромагнитной структуре. При ASf (Q)= Asf (0) фактически поэтому рассчитывалась суммак простой ферромагнитной структуре. При ASf (Q)= Asf (0) фактически поэтому рассчитывалась сумма£ [/ (I К + One I)— к£ [/ (I К + One I)— к-/(|К|)]-Л(К). (20.189)-/(|К|)]-Л(К). (20.189)В итоге была получена кривая (рис. 20.40), из которой видно, что максимуму выражения (20.189) отвечают ^/2Агф = 0,105. Это соответствует шагу спирали (р0 = 48° или периоду d вдоль оси с в 7,5 слоя.себе появление максимума на кри-В итоге была получена кривая (рис. 20.40), из которой видно, что максимуму выражения (20.189) отвечают ^/2Агф = 0,105. Это соответствует шагу спирали (р0 = 48° или периоду d вдоль оси с в 7,5 слоя.себе появление максимума на кри-Для того чтобы лучше представить_вой рис. 20.40, рассмотрим один член в (20.189) с каким-либо значением К. Всегда существует сопряженный ему член с —К. Объединяя эти членыДля того чтобы лучше представить_вой рис. 20.40, рассмотрим один член в (20.189) с каким-либо значением К. Всегда существует сопряженный ему член с —К. Объединяя эти члены(помня при этом, что /(q) =/(— Q)= / (I Q I), получим(помня при этом, что /(q) =/(— Q)= / (I Q I), получим
Иосида и Ватабе [419] вычислили фурье-образ косвенного обменного интеграла (20.188) как функцию 夕皿 При этом они приняли, что da = 1,57
Иосида и Ватабе [419] вычислили фурье-образ косвенного обменного интеграла (20.188) как функцию 夕皿 При этом они приняли, что da = 1,57
(случай Но, Er и Tm; у ТЬ отношение ( =1,6152 (2冗/〃). Вычисление проводилось
(случай Но, Er и Tm; у ТЬ отношение ( =1,6152 (2冗/〃). Вычисление проводилось
da = 1,58), ns = 3 и Аф
da = 1,58), ns = 3 и Аф
4〃4
4〃4
0,08
0,08
W徽
£勿d
7 〃
W徽
£勿d
7 〃
2勿/
2勿/
Рис. 20.4 . График выражения W【『(丨"+ а |>— к
—/ ( I if I >]• Ft (К〉как функции q вдоль ОСИ С. Fi (К) — структурный фактор кристаллической решетки [см. формулу (20.189)]. Стрелка на оси абсцисс показывает точку, соотв етствующую коновской особенности.
Рис. 20.4 . График выражения W【『(丨"+ а |>— к
—/ ( I if I >]• Ft (К〉как функции q вдоль ОСИ С. Fi (К) — структурный фактор кристаллической решетки [см. формулу (20.189)]. Стрелка на оси абсцисс показывает точку, соотв етствующую коновской особенности.
-4Носв (0),
-4Носв (0),
для разности ЛК0Св
для разности ЛК0Св
(0 -
(0 -
т. е. по отношению
т. е. по отношению
к простой ферромагнитной структуре. При ASf (Q)= Asf (0) фактически поэтому рассчитывалась сумма
к простой ферромагнитной структуре. При ASf (Q)= Asf (0) фактически поэтому рассчитывалась сумма
£ [/ (I К + One I)— к
£ [/ (I К + One I)— к
-/(|К|)]-Л(К). (20.189)
-/(|К|)]-Л(К). (20.189)
В итоге была получена кривая (рис. 20.40), из которой видно, что максимуму выражения (20.189) отвечают ^/2Агф = 0,105. Это соответствует шагу спирали (р0 = 48° или периоду d вдоль оси с в 7,5 слоя.
себе появление максимума на кри-
В итоге была получена кривая (рис. 20.40), из которой видно, что максимуму выражения (20.189) отвечают ^/2Агф = 0,105. Это соответствует шагу спирали (р0 = 48° или периоду d вдоль оси с в 7,5 слоя.
себе появление максимума на кри-
Для того чтобы лучше представить_
вой рис. 20.40, рассмотрим один член в (20.189) с каким-либо значением К. Всегда существует сопряженный ему член с —К. Объединяя эти члены
Для того чтобы лучше представить_
вой рис. 20.40, рассмотрим один член в (20.189) с каким-либо значением К. Всегда существует сопряженный ему член с —К. Объединяя эти члены
(помня при этом, что /(q) =/(— Q)= / (I Q I), получим
(помня при этом, что /(q) =/(— Q)= / (I Q I), получим
/(к+ ⑦ + /(К- q) — 2/(К) ^ /"(К)产
Здесь предполагается, что величина g мала и возможно разложение функции / в ряд по степеням q. Функция /(q) имеет особенность в точке q = =2儿①,где первая производная терпит разрыв: /，(2乃①)=—оо, а вторая ——меняет знак: /" (q) V 0 при q V 2"① и /"(Q)> 0 при q > 2"①.Следовательно, если I К I V 2Аф, так что вектор _К/2 попадает в область внутри поверхности Ферми, то рассматриваемые два члена будут давать вклад в (20.189), уменьшающийся с ростом q. Напротив, члены с вектором R/2, лежащим снаружи сферы Ферми, дают растущий с q вклад. Наличие тех и других членов и приводит к кривой с максимумом/ Мы видели, что в Ег и Тт угол(р0 = 51°, а теория Иосида и Ватабе [419] дает(р()= 48°. Согласие получается слишком хорошее для такой грубой модели (по-видимому оно случайно). Эта теория не учитывает влияния магнитной анизотропии, а также ничего не говорит о природе температурной зависимости ф0 (Г). Тем не менее даже эта грубая теория дает принципиальное объяснение существованию спиральных структур.
Влияние магнитной сверхструктуры на бриллюэновские зоны РЗМ, Во всех предыдущих рассмотрениях и, в частности, при выводе гамильтониана (20.126) не было учтено очень важное обстоятельство. Дело в том, что возникновение спиральной магнитной структуры с периодом d = = 2n/q (q|| с) изменяется длина вдоль оси z новой ячейки в ^-пространстве электронов проводимости РЗМ. Это означает, что в точках плоскостей 尼= ±1/2 (JC+ ^) (в том числе и на плоскостях 乃 = ± (1/2) q при К = = 0) должны появиться новые границы зон Бриллюэна, по которым происходит разрыв энергии электронов проводимости как функции 乃.При
упорядочении атомов в бинарных сплавах этот эффект впервые рассмотрел Смирнов [50], а в антиферромагнетиках — Ирхин [49].
Точки этих плоскостей попарно имеют одинаковые энергии и связаны условием, аналогичным условию Вульфа — Брегга
小一4/= К 土小
Например, в гексагональной решетке плоскость базиса является пло-
―/-обменное―/-обменное•0 /•0 /6)6)взаимодействие будет снимать это вырож- дение и приводить к расщеплению ранее сплошной энергетической полосы.В одномерном случае эта картина расщепления в спектре электронов проводи-взаимодействие будет снимать это вырож- дение и приводить к расщеплению ранее сплошной энергетической полосы.В одномерном случае эта картина расщепления в спектре электронов проводи-к (kxt "у, °/2) и к' (Ах, "р, —,/2) одинаковы. Заметим, что sк (kxt "у, °/2) и к' (Ах, "р, —,/2) одинаковы. Заметим, что sб)б)Рис, 20,41, Расщепление энергетической полосы электронов проводимости РЗМ при возникновении атомной магнитной структуры с периодом 2л/д вдоль оси с (параллельной координатной оси z), а) Пересечепие ветвей спектра в точках типа ах при kz = q/2, kz = ——q/2 и т. д.; б) снятие вырождения (расщепление спектра 2Д) s ——/-взаимодействием. Нулевые точки отсчета по оси hz смещены на графике б на о/2 по сравнению с графиком а. Горизонтальные липии о, б и в показывают на схеме б различное положение уровня Ферми относительно щели 2Д.Рис, 20,41, Расщепление энергетической полосы электронов проводимости РЗМ при возникновении атомной магнитной структуры с периодом 2л/д вдоль оси с (параллельной координатной оси z), а) Пересечепие ветвей спектра в точках типа ах при kz = q/2, kz = ——q/2 и т. д.; б) снятие вырождения (расщепление спектра 2Д) s ——/-взаимодействием. Нулевые точки отсчета по оси hz смещены на графике б на о/2 по сравнению с графиком а. Горизонтальные липии о, б и в показывают на схеме б различное положение уровня Ферми относительно щели 2Д.скостью симметрии, и поэтому невозмущенные энергии для точек
―/-обменное
―/-обменное
•0 /
•0 /
6)
6)
взаимодействие будет снимать это вырож- дение и приводить к расщеплению ранее сплошной энергетической полосы.
В одномерном случае эта картина расщепления в спектре электронов проводи-
взаимодействие будет снимать это вырож- дение и приводить к расщеплению ранее сплошной энергетической полосы.
В одномерном случае эта картина расщепления в спектре электронов проводи-
к (kxt "у, °/2) и к' (Ах, "р, —,/2) одинаковы. Заметим, что s
к (kxt "у, °/2) и к' (Ах, "р, —,/2) одинаковы. Заметим, что s
б)
б)
Рис, 20,41, Расщепление энергетической полосы электронов проводимости РЗМ при возникновении атомной магнитной структуры с периодом 2л/д вдоль оси с (параллельной координатной оси z), а) Пересечепие ветвей спектра в точках типа ах при kz = q/2, kz = ——q/2 и т. д.; б) снятие вырождения (расщепление спектра 2Д) s ——/-взаимодействием. Нулевые точки отсчета по оси hz смещены на графике б на о/2 по сравнению с графиком а. Горизонтальные липии о, б и в показывают на схеме б различное положение уровня Ферми относительно щели 2Д.
Рис, 20,41, Расщепление энергетической полосы электронов проводимости РЗМ при возникновении атомной магнитной структуры с периодом 2л/д вдоль оси с (параллельной координатной оси z), а) Пересечепие ветвей спектра в точках типа ах при kz = q/2, kz = ——q/2 и т. д.; б) снятие вырождения (расщепление спектра 2Д) s ——/-взаимодействием. Нулевые точки отсчета по оси hz смещены на графике б на о/2 по сравнению с графиком а. Горизонтальные липии о, б и в показывают на схеме б различное положение уровня Ферми относительно щели 2Д.
Рис. 20.42, Перестройка поверхности Ферми при се самопересечении, вызванном образованием атомной магнитной структуры с волновым вектором q、2冗①，а) Картина до возникновения магнитной структуры (д > 2九①)；б) та же ситуация, что и на схеме а, но при переносе начала отсчета по оси % на величину q/2； а) самопересечение поверхности Ферми при q < 2% а) устранение самопересечения поверхности Ферми под влиянием s ——/-взаимодействия. I (на схеме б), II и III (на схеме г)——различные типы поверхностей Ферми соответственно случаям а, б и в расположения уровня Ферми относительно щели 2Д (см. рис. 20.41, б).
мости вблизи точек А^ = 土 勿2 изображена па рис. 20.41. Сплошная кривая на рис. 20.41, а дает часть исходного невозмущенного спектра 宮侬z)・ После магнитного перехода к спиральной структуре с вектором q, параллельным оси с, период функции 宮(AJ должен стать равным q. В точках ±〃2 будут пересекаться две ветви спектра. Однако s — /-обменная связь устраняет это пересечение и приводит к расщеплению полосы знер】ии с энергетической щелью 2А (рис. 20.41, 6), которая, очевидно, по порядку величины определяется параметром s — /-обмена (па рис. 20.41, 6 начало отсчета для kz перенесено на 勿2 по сравнению с рис. 20.41, а).
Картина изоэпергетических поверхностей (в том числе и поверхности Ферми) при появлении магнитной сверхструктуры изменяются, если величина q близка, но несколько больше диаметра 2"① поверхности Ферми (произвольной формы) вдоль оси z (рис. 20.42, а). Перенося опять начало отсчета kz на q/2 (в точку О), получаем новые поверхности Ферми (см. рис. 20.42, 6), которые не касаются друг друга. Если q V 2"①,верхняя и нижпяя части поверхности будут пересекаться (рис. 20.42, е), s — /- взаимодействие устранит пересечение и возникнут две поверхности — открытая и закрытая (рис. 20.42, г). Здесь возможны три случая для уровня Ферми: либо он 1) лежит ниже щели, 2) попадает в щель и 3) лежит выше щели (см. рис. 20.41, б). Соответственно этим трем случаям
реализуются поверхности Ферми типа I (рис. 20.42, 6), типа II или? типа III (рис. 20.42, г). Переход от одного случая к другому может быть получен и при зафиксированном уровне Ферми *, но при изменении величины q，а следовательно, и энергии е (〃2)・
Приведенный качественный анализ показывает, какой существенной перестройке подвергается спектр энергий электронов проводимости при появлении магнитной сверхструктуры в РЗМ.
Расчет энергии электрона проводимости при наличии магнитной сверхструк- туры. Из п. а мы уже видели, что особые точки спектра электронов проводимости, попадая в область 忘-пространства, близкую к поверхности Ферми, оказывают решающее влияние на стабилизацию спиральной структуры. Существенная перестройка спектра вблизи особых точек не может быть, естественно, определена по теории возмущения, которой мы пользовались при расчете Л КОсв- Поэтому возникает законное сомнение в правильности учета вклада особых точек в косвенное обменное взаимодействие. На это обстоятельство одновременно обратили внимание Эллиот и Вод- жвуд [474] и Дзялошинский [417]. Авторы работ [474] отказались от теории возмущения, но остались в рамках модельной s ——/-теории, а Дзялошинский построил свои расчеты на более общих представлениях теории фазовых переходов и зонной теории с произвольным законом дисперсии.
Остановимся сначала на более простом подходе Эллиотта и Веджвуда [474]. который далее развил Мива [475], учтя рассмотренный де Женом [322, 476] эффект рассеяния электронов на тепловых флуктуациях магнитных моментов ионов РЗМ.
Рассмотрим снова гамильтониан s — /-обменной связи (20.111) и заменим в нем операторы спина Мп их средними при данной температуре значениями (приближение молекулярного поля!), т. е. положим〈5九〉= цлпт которые изменяются в пространстве в соответствии с формулой (20.104), (20.105) или (20.106), (20.107).
Рассмотрим структуру ПС. Для нее полный гамильтониан системы (20.142) (без учета / ——/-членов) примет вид
2 Iefca k^akn - М,n^s/ (0) £ (。k-。(左一)+("-(20.190) Л, а к
где У = 夕 + К (гармоники с n >> 1 в этой модели не учитываются). Член с |in?lsy (0) в (20.190) обусловлен рассеянием электронов на s — /-обменном потенциале. Благодаря этому рассеянию электронные состояния | 加+〉и ((左 一 /)-> перестают быть независимыми. Однако можно ввести некоторые суперпозиции этих состояний, которые уже будут независимыми.
Энергии новых состояний будут заметно отличаться от энергии невозмущенных состояний лишь вблизи особых точек к = 士/72, через которые проходят границы новых зон Бриллюэна. Если предположить, что вблизи каждой интересующей нас точки поверхности Ферми проходит только одна граница, то сумму по векторам К в (20.190) можно опустить, выбирая для каждого к такие К, чтобы вектор (К-卜？)/2 был близок к 4. Тогда новые значения энергии находим путем приведения к диагональному виду квадратичной формы
£ (加一丿)а(%т)-а(7с—/*)-+£ (聞咬+。左+ — Цп^в/ (0) {^^^—f^+'V^k—f^ fc-). (^0.190a)
Это достигается стандартным приемом с помощью унитарното линейного преобразования операторов а^ к новым операторам 方加.В работах Эллиотта и Веджвуда [474] и Дзялошинского [417] получено для новых энергий выражение
2(⑨=2 [s (fc) + e(fc-y)]±T{[e(fc)-е例一力卩 + [2^4〃0)]2}“2. (20.191)
Особыми точками спектра будут такие, для которых е (乃)=£ (左——/). Разность энергий 2А =玩(九)—q (左)в точке 左=//2 будет давать для данного к величину энергетической щели между двумя новыми полосами энергии. Из (20.191) легко находим, что
a=卩冷4/(0). (20.192)
т. е. щель по порядку величины определяется интегралом s ——/-обмена. Из (20.192) видно, что ширина щели зависит от температуры по тому же закону, что и самопроизвольный момент м〃 и обращается в нуль в точке Нееля.
Каждой точке нового 乃-пространства должно соответствовать не дват а четыре значения энергии (это видно и из рис. 20.41), ибо каждой из двух пересекающихся ветвей спектра соответствует еще два значения спина. Две ветви получены в (20.194)- При выписывании из общей суммы (20.190) энергий двух связанных условием Вульфа —Брегга состояний | А; > и | /с — /> в уравнении (20.190а) опущены члены вида Е (在)。玄一。论一 и е (Ac — /)。：北_方 +。(论_/)十.Эти слагаемые не перепутаны s ——f-взаимо-
действием (вблизи точки к = //2) и, следовательно, коэффициенты перед ними дают два других значения энергии с данным 乃，а именно
£3 = е (fc) и &4=&(/с—У).
Температурная зависимость периода магнитной структуры. Если теперь вычислить полную энергию системы
宮⑨口)= \ ―—，(20-193)
К exp (号*
то она будет зависеть, в силу (20.191), от волнового вектора q магнитной структуры и среднего магнитного момента цп на атом при данной температуре Т. Минимизируя (20.193) по q, мы найдем равновесный период магнитной структуры q()(卩注)，который будет функцией 卩…что и определит его температурную зависимость. При сильном вырождении электронов проводимости влиянием температуры на 蚤 через фермиевскую функцию распределения и через энтропийный член в свободной энергии можно с большой точностью пренебречь. Плотность состояний g (е) вычисляется для четырех ветвей спектра с учетом вклада от энергетических щелей. Энергия Ферми С。вычисляется из соотношения ^ — j ^ (е) de (при к^Т《 ^0),
о
где N — полное число электронов проводимости (3 на узел решетки). Эллиотт и Веджвуд 1474] произвели численные расчеты для температурной зависимости д。(Г) или для угла ф0 (Г) для ряда тяжелых РЗМ, используя данные для 卩冷(Г) из нейтронографических опытов. Результаты этих расчетов представлены сплошными кривыми на рис. 20.38. При построении кривых a。(77®n) Для ASf (0) взята величина в 0,55 as, что соответствует отношению ASf (0)/^0 ^ 0,07. Эта величина для ASf (0) оказывается больше той, которая получается из рассмотрения других эффектов в РЗМ. При таких значениях Л8/ (0)/^0 уже нельзя рассматривать независимыми каждую новую границу зон. Несмотря на явную грубость теории, она описывает правильную тенденцию к уменьшению(р0 при понижении температуры. Наибольшее расхождение теории и опыта наблюдаются вблизи 0N- Это и понятно, поскольку в расчете совершенно не учитываются флуктуации, магнитных моментов (спинов) S —〈6〉и, следовательно, рассеяние электронов проводимости на них.
В работах де Жена [322, 476] была учтена конечность значения величины свободного пробега I электронов проводимости в связи с их рассеянием на тепловых флуктуациях магнитных моментов электронов. Для I в точке 0JV для ТЬ и Dy имеем Z = 5—6 А. (что сравнимо с межатомными расстояниями а ^ 3,6 А и с ^ 5,6 А), в Tm Z увеличивается до 40 А. Де Жен считает, что косвенный обменный интеграл (20.128) при конечной длине свободного пробега электронов проводимости (2，оо) изменяет свою величину на фактор ехр (—7?/2). А зто в свою очередь должно ска* заться на величине и температурной зависимости 鄧(поскольку I зависит от Т) и в первую очередь в РЗМ типа Dy и ТЬ, где Z малы.
Мива [475] учел одновременно влияние на величину и температурный ход а。(Т) расщепления энергетических полос и рассеяния электронов проводимости на магнитных флуктуациях. В его расчет, кроме ^0, входят два параметра Д и Z, подбирая которые можно, казалось бы, получить лучшее согласие с опытом. Однако Мива, как и де Жен, полностью отказался от учета пространственной корреляции соседних спинов в решетках РЗМ. В результате такого пренебрежения велитана q。определяется хотя и двумя, но зависимыми параметрами: A/电=цпЛ8/ (0)/^0 и параметром
рассеяния на флуктуациях магнитных моментов:
Поэтому улучшить согласие теории с опытом ему не удалось.
В гл. 25 будет показано, что появление энергетических щелей (для направлений вдоль оси с) при переходе через точку Нееля позволяет получить принципиальное объяснение аномалий температурного хода удельного электросопротивления РЗМ (максимум вблизи ®).
Физическая природа и эффекты магнитной анизотропии в РЗМ. Прежде всего обратим внимание на связь магнитной анизотропии с полем лигандов. Факт наличия длишюпериодных спиральных магнитных структур в РЗМ обусловлен электростатической косвенной обменной связью. Однако разновидности этих структур и их взаимные превращения существенно определяются магнитной анизотропией. Выше неоднократно отмечалось, что снятие вырождения состояний с различными направлениями результирующего момента J у иона РЗМ обусловлено действием поля лигандов (см. гл. 10). Энергия иона РЗМ в поле лигандов будет зависеть от направления J в кристалле, а это есть не что иное, как его магнитная анизотропия. В силу этого можно сказать, что магнитная анизотропия РЗМ создается электрическим взаимодействием иона РЗМ с лигандами *). В этом смысле РЗМ существенно отличаются от d-металлов группы железа, в которых магнитная анизотропия возникает как следствие с пип-орбита л ьного, спин-спинового и других релятивистских взаимодействий.
В приближении точечных лигандных зарядов энергию иона РЗМ в кристаллическом электрическом поле можно представить в виде разложения по сферическим гармоникам (10.26). Если рассматривать гексагональные решетки и интересоваться только угловой зависимостью (введя полярный 办 и азимутальный ф угол вектора J, отсчитываемые соответственно от гексагональных осей с и а), то формула (10.32) дает )
ёаниз = DP2 (cos т^) -|-石夕《(cos 0)十歹尸 6(cos 办)+ G sin6 办 cos6(p, (20.194)
где Рп (n)——полином Лежандра. Мива и Иосида [479] и Нагамийя [321] оценили порядок величины и знаки амплитуд отдельных сферических гармоник в (20.194). Коэффициенты D, Е, F s G в (20.194) могут быть вычислены, если известно распределение электронного заряда у окружения иона РЗМ в гексагональном кристалле. Рассматривая, как обычно, ион в РЗМ как точечный заряд величины +3е и учитывая взаимодействие с ближайшими соседями (предполагая, что связь с более удаленными соседями экранируется электронами проводимости), можно качественно определить знаки и порядок величины коэффициентов в (20.194). В табл. 20.5 схематически приведены сведения об этих коэффициентах, указывающие, какой ориентации магнитного момента в кристалле они способствуют, а для G даны величины углов между направлением легкого намагничивания и вектором ti (см. рис. 20.34). Величины коэффициентов D, Е ^ F оказываются порядка 10 см^1, а для G имеем 1 см^1. Порядок величины энергии обмена (определяемый по точке Нееля 6*) лежит в интервале от 40 до 160 см^1. Поэтому энергию анизотропии нельзя рассматривать малой по сравнению с энергий обмена. К тому же, если решается вопрос о реализации того или иного типа магнитной структуры (ПС, ФС и т. д.), то 卷анмз надо сравнивать с величиной S? [ASf (q) — ASf (0)], а при малых q эти обе величины могут быть сравнимы.
Таблица 20.5
Свойства коэффициентов разложения энергии анизотропии тяжелых РЗМ в ряд по полиномам Лежандра (см. формулу (20.194)) (Эллиотт [319])
Перейдем теперь к выяснению роли магнитной анизотропии в формировании магнитных структур. Положительные знаки коэффициентов для Tb, Dy и Но указывают, что «легчайшей» плоскостью является плоскость базиса. Отрицательный знак коэффициента О у Ег и Tm, наоборот, указывает, что легкая ось совпадает с осью с. Появление структур с 8，0° или 90° обусловлено действием членов высшего порядка с коэффициентом 石 и 歹 из (20.194). Член с G обусловливает анизотропию в плоскости базиса.
Если энергию анизотропии (20.194) записать в обычной форме
§аниз = -^1 sin2 办 + & sin4 办十衣з sin6 办 cos 6ф + . . ., (20.195) то можно сказать, что магнитная анизотропия стабилизирует кристаллографическую плоскость, где происходит поворот спинов, обусловленный спиральным характером магнитной структуры. Можно отметить следующие общие закономерности:
К】V 0 и велико по абсолютному значению ——стабилизируется структура ПС (с малой анизотропией в плоскости базиса, определяемой константой Кз). Этот случай реализуется в Tb, Dy и Но.
К】＞ 0: при переходе через точку Нееля возникает структура с осцилляцией продольных к оси с компонент магнитного момента —— структура типа СПСВ, наблюдаемая в Ег и Tm. Упорядочение поперечных относительно с компонент магнитного момента происходит при более низких температурах — структуры СС в Ег и антифазная ферромагнитная структура в Tm.
Если ось легкого намагничивания находится под углом 办，0° или 90° к оси с, то могут стать устойчивыми структуры типа ФС или СС. Это реализуется при определенном соотношении величин и знаков констант £, К2 и т. д., когда константы анизотропии более высокого порядка становятся сравнимыми с первой константой К、. Поскольку роль констант высшего порядка обычно возрастает с понижением температуры, то структуры ФС и СС появляются лишь при достижении определенных низких температур (случай Но и Ег, см. табл. 20.4).
Большая анизотропия в плоскости базиса (при большой константе Кз) и при одновременно большой величине К〕V 0 способствует переходу к ферромагнетизму с моментом, лежащим в плоскости базиса. Когда угол поворота моментов между соседними плоскостями базиса в спиральной
структуре фо V 30°, то с возрастанием константы К3 (с понижением температуры) до такой величины, что [ASf (7) — ASf (0)]цй2 ^ К3, то моменты могут «застрять» в одной из шести потенциальных ям. Тогда произойдет переход к коллинеарному ферромагнетизму, как это и наблюдается в ТЬ и Dy, у которых перед переходом действительно (р0 < 30°.
Магнитные свойства Gd можно описать при учете двух констант £ и & при определенном соотношении их величин и знаков в зависимости от температуры.
Основы теории магнитных структур по Дзялошинскому. а. Общие соображения. В отличие от изложенных выше модельных теорий магнитных структур, наблюдаемых в РЗМ, Дзялошинский [416, 417] развил более общую полуфеноменологиче- скую теорию, основанную на теории фазовых переходов второго рода по Ландау. Вопрос об изменении трансляционной симметрии кристалла при фазовых переходах второго рода впервые изучил Е. Лифшиц [480]. Однако в применении к магнитным переходам эта теория потребовала существенных дополнений, которые и провел Дзялошинский. В его работах был поставлен вопрос о том, какие из магнитных атомных структур могут в принципе осуществляться в ферро- или антиферромагнитных кристаллах. Вначале были известны примеры простейших структур, когда их периоды совпадали с периодами кристалле химической решетки или находились с ними в простых кратных отношениях: 2, 3, 4. После того как опытные геликоидальные структуры были экспериментально обнаружены и было установлено, что для них столь простые отношения не имеют места, естественно возникла задача объяснения таких структур в рамках общей теории фазовых переходов второго рода.
Дзялошинский заметил, что возможность возникновения сложных магнитных структур вытекает из самых общих энергетических соображений. Это обусловлено тем, что энергия, ответственная за существование магнитной структуры, меньше энергии атомной кристаллической структуры. Действительно, первая при расчете на атом оказывается порядка 兀^8 (0 — точка Кюри или Нееля), т. е. порядка 10-1 эв или меньше, а вторая —卷ат порядка 1—10 эв. Поэтому возникновение магнитной структуры можно рассм атривать как эффект малого возмущения кристаллической решетки. Для построения теории магнитных структур поэтому можно воспользоваться теорией возмущения, введя безразмерный малый параметр А^®/軍ат ^ 0,1—0,01. Это означает, что как при температурах, близких к 0, так и далеких от них (вплоть до 0° К), свободную энергию решетки F можно рассматривать как функцию магнитного порядка.
Пусть магнитная структура характеризуется периодом d. Тогда, как мы уже видели, можно ввести волновой вектор q = 2ji/d, который и будет аргументом функции F (q). Рассмотрим, например, простую кубическую решетку с параметром а, состоящую из магнитных атомов; спиновый момент в квазиклассическом приближении определяется уравнением
9тт
S = So cos qz, ? = —. (20.196)
Если в элементарной ячейке имеется больше одного атома, например, есть еще атом в центре куба (о. ц. к. решетка!), то в принятом приближении надо указать еще один угол между спинами. Однако из свойств симметрии кристалла вытекает, что, кроме волнового вектора д, можно вводить лишь кратные ему векторы nq. Переход к ним дискретен, непрерывно изменяется лишь сам вектор q.
Свободная энергия F зависит, конечно, не только от углов между спинами, но и от ориентации последних в кристалле, т. е. от магнитной анизотропии.
Обычно считается, что функция 尸(д) полностью определяется симметрией парамагнитной фазы; это законно из-за существования малого параметра 兀^©/卷ат (поправки на магнитострикционные деформации учитываются лишь в высших приближениях).
Теория должна дать возможные значения q (векторы q заполняют всю обратную решетку парамагнитной фазы подобно квазиимпульсу в зонной теория, см. гл. 11). Функция F (q) должна быть инвариантной относительно преобразований симметрии парамагнитной фазы. Из этого условия появляется возможность определить вид функции F (с).
Естественно, что будут осуществляться только те магнитные структуры, для которых свободная энергия минимальна. Если предположить, что имеется некоторое определенное значение периода магнитной структуры с волновым вектором д。，то существование минимума 歹(？0)будет зависеть от того, существует или нет в разложении функции F (?) в ряд по степеням малой разности (д — gj линейный член
F (?) =尸(Co) + 4 1(С —Со) I 〃 + 力2 (。一Cd)2 或十・• • (20.197)
Введение константы а (порядка межатомного расстояния) обеспечивает одинаковую размерность коэффициентов 4，и А2. Если А^ ^ 0, то минимум отсутствует, если
/] = 0, то минимум есть. Функция F (q) должна быть инвариантной относительно малой: группы симметрии ) вектора q. Если этот вектор произвольный, то из свойств инвариантности следует, что лгшейный член в (20.197) всегда существует и минимум ■отсутствует. Чтобы линейных членов в разложении (20.197) не было, вектор ^0 должен занимать очень высоко симметричное положение. Пусть, например, с。параллелен оси z, но с произвольной длиной. Тогда элементами симметрии обратной решетки, сохраняющими д。неизменным, являются лишь оси н плоскости симметрии, проходящие через сам вектор q0. Но это означает, что в (20.197) во всяком случае имеется линейный член вида | qz — qQz | а, ибо оси и плоскости симметрии, параллельные оси z, оставляют этот член инвариантным, а других элементов симметрии при выбранном положении с。не имеется. Таким образом, в этом случае появление магнитной •структуры невозможно. Ситуация, однако, сразу же изменится, если конец вектора с。 совпадает с цевтром инверсии (есть центр симметрии). В этом случае разность | qz — ——0oz I уже не инвариантна и переход из парамагнитной фазы в фазу со структурой с таким с。оказывается возможным.
Е. Лифшиц показал, что в общем случае в зависимости от типа исходной кристаллической решетки возможны лишь переходы к сверхструктурам с такими。㈠ которые соответствуют увеличению периода решетки в строго целое число раз, равное лишь 1, 2, 3 или 4. Иными словами, переход к длиннопериодным магнитным структурам типа спиральных структур, для которых ^。имеет произвольную величину, критерием Лифшица совершенно исключен.
Дзялошинский [416] обнаружил исключение из правил, установленных Лифшицем. Дело в том, что наличие линейного члена в (20.197) исключает возможность существования минимума функции F (?) вблизи точки q = q、лишь при условии, что коэффициенты разложения 力】и 4? одного порядка величины.
Однако возможны случаи, когда по каким-либо физическим причинам коэффициент Д! при линейном члене аномально мал по сравнению с А2, т. е. | Xi | < | Я2 I- Это возможно, если член 力】обусловлен магнитными взаимодействиями, а А2 — электростатическими. Это неравенство может иметь место, и когда оба члена At и А2 имеют оба обменную электростатическую природу в силу особой структуры кристалла или в силу, например, упорядочения нелокализованной части плотности магнитного момента (в междоузлиях, см. Дзялошинский [417]). В этих случах F (?) имеет минимум при значении q^^ =(/20 十 厶笈，где
■т. е. не при значении ^0, а при близком к нему значении д(мин}. Конкретные примеры (см. [416]) показывают, что линейные члены в (20.197) появляются лишь при разложении вблизи векторов ^0 с весьма высокой симметрией, которые соответствуют переходам (из парамагнитной в у по рядоче иную фазу) с изменением периода решетки Браве в 4, 2, 3 или 4 раза (хотя эти векторы и не удовлетворяют первоначальному критерию Лифшица [480]).
Итак, кроме типов переходов, перечисленных Е. Лифшицем, возможны переходы, сопровождающиеся появлением длинно периодных сверхструктур. В первом приближении в мелком масштабе (на расстояниях порядка межатомных) эта структура совпадает с высокосимметричной структурой с волновым вектором ^0, период которой не отличается от допустимых по Лифшицу (т. е. в 1, 2, 3 или 4 раза больше периода парамагнитной решетки).
В следующем приближении на эту «грубую» структуру накладываются длинно- 1
периодные «биения» с волновым вектором Ад《% и, следовательно, с периодом, во .много раз превосходящим межатомные расстояния. С такими модулированными структурами мы встречались выше ).
Особые точки термодинамического потенциала и спиральные магнитные струк- туры в металле. Если бы мы захотели применить изложенную выше процедуру к РЗМ, то это оказывается возможным, если F (^) носит аналитический характер. А как раз в металле это условие может и не выполняться. Как мы видели (см. п. 2), взаимодействие магнитных ионов с электронами проводимости приводит к тому, что в зависимости свободной энергии 耳(？)от q появляются особенности и, как следствие этого, возникают минимумы 耳(？), лежащие вблизи особых точек.
Положение самих особых точек определяется не свойствами симметрии кристалла, а свойствами электронного энергетического спектра (формой соответствующих
поверхностей Ферми, амплитудами рассеяния электронов на магнитных ионах и т. п.). Поэтому теория магнитных структур в металлических кристаллах должна носить микроскопический характер. В п. 2 мы рассмотрели примеры таких теории [4(9, 474, 475]. Однако в них допускаются столь грубые приближения, что нет ясности, что же является адэкватиым физической природе самих явлений, а что вносится самими принятыми приближениями.
Дзялошинскпй [417] показал, что многие качественные представления о спиральных магнитных структурах в металлах (в том числе и РЗМ) можно получить без всяких грубых модельных приближений на основе общих представлении квантовой теории металлов с произвольным законом дисперсии электронов проводимости, а также с использованием некоторых общих соображений симметрии, изложенных в п. а.
Особенности в потенциале F возникают вблизи точек Qo = 2/^ф, в которых волновой вектор магнитной структуры становится равным какому-либо из экстремальных диаметров поверхности Ферми. С изменением q при переходе через точку ^е изменяется топология поверхности Ферми, как это видно из рис. 20.42. Заметная перестройка электронного спектра (см. рпс. 20.42) происходит в небольшой области ^-пространства, где I £(在)一е (А；ф) I 弋 А, следовательно, | к —在① | 〜| 在① | Д/еф. Это означает, что особенности в потенциале F связаны только с электронами, лежащими вблизи от поверхности Ферми в окрестности точки О (рис. 20.42). Вклад этих электронов в термодинамический потенциал можно вычислить отдельно. Обозначим его через 耳особ，
Электроны, расположенные глубоко под поверхностью Ферми, тоже дают вклад в функцию /\ но он является аналитическим (гладкая функция от д), и поэтому его можно разложить в ряд по | q — qQ |. Поскольку вектор q занимает произвольную несимметричную позицию в ячейке обратной решеткп парамагнитной фазы (из-за своей произвольной длины), то, согласно п. & это разложение начинается с линейного члена по 丨 С — Оо 1・
Следовательно, функция F вблизи точки q ~ q^ распадается на сумму трех слагаемых:
^(^)^^(^о) + -^особ ^—Q^ + Ai ^q — q^. (20.198)
尸(0о)一несущественная для рассматриваемого вопроса постоянная. Коэффициент 力〕 пропорционален квадрату s ——/-обменного интеграла А$/, поскольку третий член в (20.198) представляет собой среднее значение гамильтониана косвенной обменной связи локализованных спинов (20.126), возникающего во втором порядке теории возмущения по s ——/-обменному взаимодействию (20.108). Можно считать, что при усреднении учтены и флуктуации спинов (не считая их вклада в особую часть 尸℃。6),叮то важно для температур, близких к точке перехода. Коэффициент /] зависит от температуры. Эта зависимость имеет вид
Основная задача заключается в вычислении /\)со6 в (20.198)/ Вклад в эту величину дают электроны, близкие к поверхности Ферми, поэтому можно считать их невзаимодействующими квазпчастицами с произвольным законом дисперсии £(4). Однако следует иметь в виду, что при Т 弋 ® электроны, отстоящпе от поверхности Ферми на расстояния, при которых | £ (乃)一£ (左①)| * /сБ0, нельзя считать свободными. Это обусловлено рассеянием электронов на флуктуациях спинов ионов, сохраняющимся и в парамагнитной области (при А = 0), кото рое приводит к размытию электронного спектра на величину 兀^®. На такую же величину размывает спектр и тепловое движение. Поэтому последующие расчеты фавдически справедливы лишь для низких температур, где эти эффекты несущественны» -
Изменение спектра электронов вблизи экстремальных точек поверхности Ферми обусловлено их взаимодействием со спинами ионов. Влияние спинов в первом приближении можно учесть, вводя некоторое эффективное поле, действующее на электрои[.т со стороны среднего распределения спинов ионов вида (20.196). Как уже отмечалось, это поле в общем случае содеряшт не только гармоники вида exp (iq^z}, но и все кратные exp (inqyz) (п — произвольное нечетное целое число) с коэффициентами, вообще говоря, того же порядка величины, что н первые гармоники. Кроме того, в это поле могут входить и гармоники вида exp (ifr}y где fz = ngz + -^z и 玄z ——произвольный вектор обратной решетки. Эффнкт каждой гармоники можно учитывать независимо, если условию / ^ 2加①(для каждого конкретного экстремального диаметра поверхности Ферми) удовлетворяет только одна гармоника. Получающийся при этом спектр был уже найден в случае модельной теории [см. формулу (20.191)]. Следует помнить, что 8 (乃)теперь произвольная функция к.
Дальнейший расчет (см. Дзялошинский [416]) отличается от расчета Эллиотта — Веджвуда [474] и Мива [475], приведенного в п. 2, тем, что здесь предполагается выделить отдельно вклад в потенциал 尸,определяемый электронами, лежащими в блпжа^- шей окрестности к точкам +//2 и —//2, которые близки к концам экстремального
диаметра поверхности Фермп: / 弋 2/сф. Спектр (20.191) вблизи этих точек можно разложить в ряд по степеням разности (/с ——//2). Для осп 豈(рпс. 20.42) и для У ]| 之 это разложение вблизи точки 0 (0, 0, q/2) имеет вид
2 ㈣=е + 32P什 А2)1/2, (20.199)
где р» =灰面；kXi у — А】.2,儿z =儿Т-//2； т* и w — постоянные, имеющие соответственно порядок величины массы свободного электрона и фермиевской скорости. Изменения поверхности Ферми вблизи точки О с изменением / показань( на рис. 20.43.
Для вычисления Foco^ необходимо прежде всего найти изменение функции плотности состояний электронов 6g (е) вблизи точки О на рис. 20.42, а, связанное с появлением магнитной структуры:
m⑻=g厶⑻一勁(€),(20.200)
оо. После этого определяется изменение числа. После этого определяется изменение числа，丿6)в)，丿6)в)Рис. 20.43, Изменение поверхности Ферми в окрестности точки О (см. рис. 20,42) в зависимости от изменения вектора q в соответствии с тремя положениями уровня Ферми по отношению к щели в спектре 2Д (см. рис. 20.41,6): а) Случай ^0 < < е (д/2) — Д; б) случай % > £ (д/2) — Д; 8)случай Мо £ (д/2)十 А-Рис. 20.43, Изменение поверхности Ферми в окрестности точки О (см. рис. 20,42) в зависимости от изменения вектора q в соответствии с тремя положениями уровня Ферми по отношению к щели в спектре 2Д (см. рис. 20.41,6): а) Случай ^0 < < е (д/2) — Д; б) случай % > £ (д/2) — Д; 8)случай Мо £ (д/2)十 А-где ^д(£)и go (吕)вычисляются по формуле (20.26) с учетом вида спектра (20*199) соответственно прп А ^ 0 и А — 0 частиц как функция химического потенциала “：
о
о
. После этого определяется изменение числа
. После этого определяется изменение числа
，丿6)в)
，丿6)в)
Рис. 20.43, Изменение поверхности Ферми в окрестности точки О (см. рис. 20,42) в зависимости от изменения вектора q в соответствии с тремя положениями уровня Ферми по отношению к щели в спектре 2Д (см. рис. 20.41,6): а) Случай ^0 < < е (д/2) — Д; б) случай % > £ (д/2) — Д; 8)случай Мо £ (д/2)十 А-
Рис. 20.43, Изменение поверхности Ферми в окрестности точки О (см. рис. 20,42) в зависимости от изменения вектора q в соответствии с тремя положениями уровня Ферми по отношению к щели в спектре 2Д (см. рис. 20.41,6): а) Случай ^0 < < е (д/2) — Д; б) случай % > £ (д/2) — Д; 8)случай Мо £ (д/2)十 А-
3g ⑻源，(20.201)
здесь индекс / указывает, что определенная таким образом величина зависит от Наконец, особую часть термодинамического потенциала как функцию Г, V и “ находим по формуле
&c°6= —J d?【6gf(7)— 6g%(7)]・
Строго говоря, в (20.202), вместо старой энергии Ферми 它① должен входить новый xtimei- ческлй потенциал 工°. Однако приближение ^0 = £ф не сказывается на результате для 歹особ (с точностью до членов порядка А4), В (20.202) входит разность, потому что мы разлагаем потенциал вблизи точки q 2加ф.
Вычисления по указанной схеме приводят к следующему выражению для /,осо():
%соб=—g~ а，+2 aA也 In 耳跟 + 石 аА叫(X)，(20.203)
где а=^т/2л2и, а
y Н 8 (^) - 8 (4①)a 2 " (/ - 24①)，(20-204)
А—-постоянная порядка энергии Ферми гф и
屮⑺一2十2) (2 — ()1/2 — 3 I X I Arch. I I ] sign | x | > I.20 20"
Можно показать, что функция 尸особ(У) вблизи точек у()= 士 А имеет особенности вида
厶尸=士 а”克(|р|—А)5/2, |у|〉А.(20.205)
Особенности этого типа, связанные с изменением топологии поверхности Ферми при ее самопересечении, впервые получил (в связи с другой задачей) И. Лифшиц [481].
Согласно (20.198) к выражению (20.203) следует добавить линейный член вида Ai (/ — /0)弋 Aiy. Тогда полное изменение потенциала /\ связанное с магнитной сверхструктурой, вблизи точкп f = 2厶① примет вид
3歹 ®) = %соб 匂)十/小(20.207)
Волновой вектор магнитной структуры f ~nq К определяется из условия минимума выражения (20.207) по у. Исследование показывает (см. [416]), что (20.207) имеет минимум и максимум лишь при условии
1А
о〉4〉-у аА2 In 佘•(20.208)
В остальных случаях это монотонная функция у. Минимум и максимум F расположены в симметричных точках 干 Умин, как показано на рис. 20.44. Эти точки находим из трансцендентного уравнения
•^о—(力0)=九，(20.2[)9)
где ^—производная функции 叩 из (20.205), 1ro = умин/А и Х = 1п (Л/2Д) + 2AJa^ — ■безразмерный положительный параметр [см. формулу (20.208)].
Если теперь вспомнить, что для РЗМ А/&⑦ 弋 А^г^ 弋 0,1 (вдали от точки иерехо- хода 0), то, выяснив, что X — величина порядка единицы, получим у^ин 弋△•
Интересно исследовать случай, когда выполняется не только условие 8ф》А, но и более сильное условие, которое для РЗМ, по-видимому, не выполняется:
轩傅）轩傅）In (學)》1.(20.210)
轩傅）
轩傅）
Это условие может реализоваться, па- пример, вблизи точки перехода, где Ат0. Тогда в уравнении (20.209)九》1. и минимум может быть только в области | у |》А, т. с.
8 (备)一s (生①)》A, (20.211)
в которой, как можно показать из (20.203), Рис. 20.44. Максимум и минимум функции^особ приводится К виду
ЗЕ(U) (см. формулу (20.207)], где 期=.
=(乂)— 2%) [см. Формулу (20.204)].FoC^-L^y In 卢；(20.212)
эта особенность аналогична особенности, найденной Коном [247] для взаимодействия электронов с фононами, а также особенности, найденной в модельной теории для фурье- ■образа рудерман-киттелевского обменного интеграла [см. (20.132)].
Решение уравнения (20.209) для этого случая или непосредственная минимизация (20.207) с учетом (20.212), при 力】V 0 снова дает минимум и максимум, расположенные соответственно в точках — Умин и +Умин，где
Умнн = А ехр(—у), 7 = 1—-^・(20.213)
Надо иметь в виду, однако, что все это рассмотрение применимо лишь при условии Умин《Ar 8ф. Можно предполагать, хотя бы из соображений размерности, что по порядку величины 丨力i |、аД2, а следовательно, у = L Поэтому ?/мин из (20.213) может и не удовлетворять указанному условию или удовлетворять, но с очень малым «численным запасом» (типа е》1).
В модельных расчетах (см. п. 2) удалось для 5F (у) получить кривую с минимумом при учете одновременно нескольких новых границ зон Бриллюэна, соответствующих векторам ^2 — ^^^12 с различными К", такими, что //2 ^ кф. Соответственно этому в термодинамическом потенциале 尸(。)фактически учитывалось одновременно несколько особых точек типа 0к — 2乃①—笈.Однако то обстоятельство, что несколько новых зон с различными К оказались близкими к поверхности Ферми, связано с конкретным выбором этой поверхности в виде сферы, для которой все диаметры являются максимальными. Реальные поверхности Ферми в металле, как мы видели (см. гл. И), наверняка не обладают такими свойствами. Согласно теории Дзялошинского кривая 5F (о) может иметь минимум при наличии лишь одного вектора f ~ nq -\- К, близкого к экстремальному диаметру поверхности Ферми. Это связано с учетом в (20.207) линейного по /——2А：ф слагаемого, которое появилось в теории Дзялошинского из соображений симметрии (см. п. а). Оно феноменологически учитывает вклад электронов, расположенных глубоко под поверхностью Ферми. В модельных расчетах (п. 2) этот вклад учитывался по модели свободных электронов и в приближении ASf (к) ^ ASf (0), и поэтому такого линейного члена по q — 2在① не получилось.
Определяемые уравнениями (20.209) и (20.213) состояния, полученные с учетом лишь одной особой точки потенциала F (q), могут оказаться метастабильными; условия их реализации вида (20.208) могут вообще не выполняться. Тогда необходимо учитывать две или несколько различных границ, близких к экстремальным точкам поверхности Ферми. Этот вопрос обсуждается в работе Дзялошинского [416]. Получающиеся при этом структуры Дзялошинский назвал «случайными». От структур первого типа их должна отличать более сильная температурная зависимость периода, которая также рассмотрена качественно в его работе.
До сих пор рассматривался случай поверхности Ферми с максимальным диаметром, вдоль оси z. Дзялошинский рассмотрел также и другие поверхности Ферми типа «шейки» (см. рис. 11.16, а), которая вдоль оси z имеет минимальный диаметр. Расчет.
аналогичный приведенному выше [при этом получается несколько иной вид разложения -(20.199) для энергии 8 (к) около точки О], для этого случая дал совершенно другой тип особенности F (д) вблизи точки 乳=2宓①,чем в случае поверхности Ферми, с максимальным диаметром. В частности, оказалось, что для поверхности типа «шейки» всегда I Умин I 之 А・ Этот результат не может быть получен из обменного гамильтониана Рудермана ——Киттеля (20.128) с учетом (20.133) ни при каких соотношениях между 4 〜ASf и £ф. Этот пример весьма убедительно показывает, насколько важную роль для дальнейшего развития теории магнетизма РЗМ имеет изучение формы поверхности Ферми этих кристаллов. В связи с этим обращаем внимание читателей на обзор Касуйя [267], где делаются попытки обсудить различные физические свойства РЗМ и в первую очередь магнитные свойства с учетом конкретного вида поверхности Фермп (см. также Л 6, п. 5). Укажем еще некоторые работы по магнетизму РЗМ [482——514].
§ 9・ Заключительные замечания
Сравнение зонной и s ——/ обменной моделей. В заключение остановимся на сравнении этих двух основных микромоделей, используемых для объяснения атомного магнитного порядка в переходных d- и /-металлах. Кратко и вместе с тем наглядно это можно представить в виде схемы, изображенной в табл. 20.6.
Важнейшие проблемы, требующие своего разрешения. Приведенная табл. 20.6 позволяет сказать, что обе сравниваемые в ней модели предоставляют собой две стороны одной и той же медали, два различных асимптотических приближения в теории переходных металлов с атомным магнитным порядком. Задача дальнейшего развития теории заключается в сближении обеих этих приближенных трактовок. Попытки такого преодоления недостатков традиционных зонной и s ——/-обменной модели можно найти в работах [242—244, 404, 406, 410, 416, 417].
Можно сфор му лир ова ть те основные вопросы в области физики переходных металлов, их сплавов и соединений, которые в настоящее время требуют в первую очередь своего дальнейшего еще более глубокого и детального экспериментального и теоретического решения.
Во-первых^ необходимо продолжать все более прецизионное определение распределения зарядовой р (г) и спиновой s (г) электронной плотности в кристаллах изучаемых веществ. Для этой цели необходимо прежде всего усовершенствовать экспериментальные методы определения рентгеновских и нейтронных форм-факторов, а также вести дальнейшую разработку более точных методов их теоретического анализа (развитие метода Хартри ——Фока для кристаллов, более точные расчеты сечений рассеяния, например поляризованных пучков нейтронов и т. п.). Одновременно необходимо учитывать свойства симметрии кристаллов и влияние внутри- кристаллического поля (эффекты кристаллического штарковского и зеемановского расщепления внутренних электронных уровней и т. д.). Хотя за последнее время в этой области появились работы (см., например исследования по расчету форм-факторов Ватсона и Фримена [17]), но точность экспериментальных измерений и в особенности теоретическая трактовка опытных данных весьма далеки еще от совершенства (достаточно напомнить «дискуссию» в связи с результатами опытов Вейсса и де Марко [19], см. Вонсовский [269]). Вместе с тем получение правильной картины электронной плотности в кристалле является необходимейшей предпосылкой для построения последовательной теории переходных металлов и их сплавов, которая только и может до конца обнаружить все еще скрытые от нас потенциальные перспективы их практического использования.
Во-вторых^ решение вопроса о <(геометрическом» распределении электронов в изучаемых кристаллах должно быть тесно связано с вопросом определения их распределения в пространстве квазиимпульсов, т. е. с проблемами определения формы поверхности Ферми в кристаллах переходных металлов и сплавов при сложном законе дисперсии для электронов проводимости, определение аномально высоких значений электронной плотности вблизи фермиевской поверхности и т. п. Все эти вопросы пока
Сравнение зонной и s—/-обменной моделей
Таблица 20.6
Зонная модель
s—/-модель
Волновые функции s-состоянпй
w5 （Л:. r）〜exp （泳尸）； us （瓦 /*）〜const
R （左，?）〜exp （ike）; us （/c,夕）〜const
Энергия ^-электронов
^s（^^0）£s （^） + + 4 （在）Г"z0
Js （心 0） = £$ （允）+ 4 （砌忆0
Волновые функции /-состояний
w6 （生，r）〜，exp （ikr）; и/ [к, r）〜const
山(色川〜屮(尸一于冷)； uf (fc, г) ^ 6 (к) ф (г— rn)
Энергия /-электронов
£『（他 0-）^8/ （k）^- 十 /If （左）^z。
е/ （/с, о） = е/—атомный уровень
Распределение спиновой плотности в кристалле
Спиновая плотность размазана по кристаллу; средний атомный момент на атом может быть дробным и заметно отличается от момента лзолированыо- го атома или иона
Спиновая плотность полностью локализована у узлов кристалла； средний атомный момент на атом кратен иБ и по величине близок к его значению для изо- лированпого атома или иона с точностью до дробной добавки от подмагниченных электронов проводимости
Соотношения ширины （А§, A/） s- ri /- полос и их эффективных масс
А〃А$《（，
ms!mf С 1
A//As —0, "2〃772 s ―> СО
Достоинства модели
Объясняет аномалии электронной теплоемкости, парамагнитной восприимчивости, дробность （в ед.卩е） значений атомных магнитных моментов и носителей тока, качественно описывает рентгеновские спектры
Хорошо сзгласуетса с измеренными нейтронными и рентгеновскими форм-факторами, допускает простую сшш-волновую трактовку, объясняет природу косвенного обмена через электроны проводимости и эффекты рассеяния нейтронов и электронов на магнитных неоднородностях, описывает эффект подмагничивания s-электронов и его влияния на статические и ктшо- тическпе электронные свойства кристаллов, объясняет происхождение эффективных сильных магнитных по лей на ядрах
Недостатки модели
Игнорирует пространственную неоднородность в распределении электронной плотности, не может объяснить наблюдаемые рентгеновские и нейтронные форм-факторы и эффекты рассеяния электронов проводимости и нейтронов на магнитных неоднородностях
Постулирует две автономные подсистемы s- и /- электронов; не может объяснять все причины, обусловливающие дробности （в ед.卩е） средних атомных магнитных моментов и посителей тока; игнорирует эффекты коллективизации /-электронов
Области применимости модели
d-металлы и их сплавы （с высокой плотностью состояний металла-раст- ворлтеля у поверхности Ферми）
/-металлы, их сплавы и соединения, ферро- и антиферромагнитные полупроводники （ме- таллы-растворптслп в сплавах с низкой плотностью состояний у поверхности. Ферми）
находятся на самой начальной стадии исследования. Вместе с тем изучение свойств подсистемы электронов проводимости в переходных металлах и сплавах без решения этих фундаментальных вопросов нельзя считать сколько-нибудь закопченным. Особый интерес эта проблема определения поверхности Ферми будет представлять для d-металлов, пе обладающих атомным магнитным порядком (в первую очередь для начала ряда 3d- металлов и для 4办 и 5©-металпов).
В третьих, важнейшим вопросом теории является решение проблемы о природе обменной и металлической связей в переходных металлах, сплавах и соединениях. Здесь также пока известно очень мало. По сути говоря, мы только в принципе знаем, какова общая (электростатическая) природа обменного взаимодействия и что можно говорить о прямом и косвенном обменных взаимодействиях. До сих пор нет строгой количественной теории обменной связи в кристаллах. Весьма неясен, например, вопрос о происхождении этой связи в d-металлах. Имешю поэтому для пас остался открытым вопрос, почему большая часть cZ-металлов парамагнитна, а меньшая часть — ферро- или антиферромашитпа, а /-металлы, наоборот, все ферро- или антиферромагнитыы. Естественно, что этот третий основной вопрос о происхождении и величине обменного взаимодействия находится в тесной связи с первыми двумя, ибо только при точном знании распределения зарядовой и спиновой плотности можно поставить вопрос о вычислении энергетических обменных параметров. В частности, знание поверхностей Ферми позволит решить вопрос о конкуренции обменного взаимодействия и кинетической энергии в системе коллективизированных электронов..
С проблемой происхождения обменной связи тесно связан вопрос о природе сил связи в переходных металлах и сплавах, определяющих их выдающееся место в ряду прочих конструкционных материалов. Здесь опять-таки решение всех трех перечисленных вопросов должно быть необходимым этапом разработки последовательной теории.
Естественно, что решение поставленных основных проблем и всех 1П>1текающих из них частных конкретных задач объяснения известных и пр едска за иных свойств должно будет идти параллельно по пути как экспе- ])имеита, так и теории. В области эксперимента ведущую роль должны играть сознательно поставленные моделирующие опыты, а пе метод простого накопления фактов. Одним из таких важных методов должен явиться метод изучения сильно разбавленных твердых растворов переходных элементов, когда в решетке диамагнитного растворителя находится небольшое число практически между собой не взаимодействующих парамагнитных d~ или /-ионов (см. гл. 21). Детальные изучения распределения электронной зарядовой и спиновой плотности, величины среднего магнитного момента па атом, обменной связи, эффективных полей, действующих на электронную оболочку и на ядро, и т. п.— все это необходимые элементы, без которых нельзя решить поставленные выше основные вопросы теории. Важным элементом таких моделирующих экспериментов будут являться также исследования упорядочивающихся сплавов с участием переходных элементов, а также изучение влияния различных дефектов (по возможности единичных) структуры (например, вакансии атомов внедрения и замещения, дислокаций и т. п.) на магнитные и другие физические свойства переходных металлов и сплавов.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 20
Е・ Wigner, Phys. Rev. 46, 1002 (1934)； Trans. Faraday Soc. 34, 678 (1938).
C. Herring, Magnetism (ed. G. T. Rado, H. SuhL) vol. IV. N.Y. 1966.
J. C. S 1 a t e r, Phys. Rev. 82, 538 (1951).
C. Herring, Phys. Rev. 85, 1003 (1952).
A. W. Overhauser, J. Phys. Chem. Sol. 13, 71 (i960); Phys. Rev. Lett. 3, 414 (1959).
_и^70^9п^л^о^о^/^г^111111_и^70^9п^л^о^о^/^г^1111116-7-氏9-0-1-2-工4-5-ft^ 7^ 0^ о^ _Л^ 4^ 9^ О^а^567^0^о^о^Л^2-3-4-5-6-7-8-9-0-l2-工4-5-6-7-8-9-0-1'2'工4-5-6- 1 111 22 2 2 22 2 2 2 2 3 3 3 333333344 4444444455 5 555555566666666-7-氏9-0-1-2-工4-5-ft^ 7^ 0^ о^ _Л^ 4^ 9^ О^а^567^0^о^о^Л^2-3-4-5-6-7-8-9-0-l2-工4-5-6-7-8-9-0-1'2'工4-5-6- 1 111 22 2 2 22 2 2 2 2 3 3 3 333333344 4444444455 5 55555556666666A. W・ Overhauser, Phys. Rev. Lett. 4, 462 (i960).
_и^70^9п^л^о^о^/^г^111111
_и^70^9п^л^о^о^/^г^111111
6-7-氏9-0-1-2-工4-5-ft^ 7^ 0^ о^ _Л^ 4^ 9^ О^а^567^0^о^о^Л^2-3-4-5-6-7-8-9-0-l2-工4-5-6-7-8-9-0-1'2'工4-5-6- 1 111 22 2 2 22 2 2 2 2 3 3 3 333333344 4444444455 5 55555556666666
6-7-氏9-0-1-2-工4-5-ft^ 7^ 0^ о^ _Л^ 4^ 9^ О^а^567^0^о^о^Л^2-3-4-5-6-7-8-9-0-l2-工4-5-6-7-8-9-0-1'2'工4-5-6- 1 111 22 2 2 22 2 2 2 2 3 3 3 333333344 4444444455 5 55555556666666
A. W. Overhauser, Phys. Rev. Lett. 13, 190 (1964).
D. R. Gustafson, G. T. В a r n e s, Phys. Rev. Lett. 18, 3 (1967).
W. Overhauser, A. Arrott, Phys. Rev. Lett. 4, 226 (i960).
W. M. L о m e r, Proc. Phys. Soc. 80, 489 (1962).
A. W. Overhause r7. Phys. Rev. 128, 1437 (1962).
R. H a m a nn, A. W. Overhauser, Phys. Rev. 143, 183 (1966).
M. Я. А м у с ь я, Phys. Lett. 16, 254 (1965); 20, 596 (1966).
J. C. S 1 a t e r, Phys. Rev. 36, 57 (1930).
Bacon, Neutron Diffraction, 2 Ed., Oxford, Clarendon Press, 1962; {имеется' перевод 1-го изд. Дж. Бэкон, Дифракция нейтронов, ИЛ, 1957 и нескольких глав 2-го изд., УФН, 81, 335 (1963)].
R. N a t h a n s, S. P i c k a r t, Magnetism (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. Ill, N. Y., 1963.
R. E. Watson, A. J. Freeman, Acta Cryst. 14, 27 (1961).
J. C. S 1 a t e r. Phys. Rev. 35, 509 (1930).
R.J.Weiss, J.J.deMarco, Rev. Mod. Phys. 30, 59 (1958); Phys. Rev. Lett. 2, 148 (1959).
W. Batterman, Phys. Rev. Lett. 2, 47 (1959); Phys. Rev. 115, 81 (19 59).
W. В a t t e r m a n, D. R. C h i p m a n, J. J. de M a r c o, Phys. Rev. 122, 68
Y. Komura, J. Tomii e, R. N a t h a n s, Phys. Rev. Lett. 3, 268 (1959): J. Phys. Soc. Japan 15, 1434 (I960).
Herring, J. Appl. Phys. 31, 3S (i960); перевод в сб. «Теория ферромагнетизма металлов и сплавов» ИЛ, М・,1963, стр. 27.
R. J. Weiss, A. J. Freeman, J. Phys. Chem. Sol. 10, 147 (1959).
R・ Nathans, C. G. Shull, G. Shirane, A. Anderson, J. Phys. Chem.. SoL 10, 138 (1959).
С. Головкин, В. H. Быков, В. А. Л е в д и к, ЖЭТФ 49, 1083 (1965)
L. Hodges, Н. Ehrenreich, J. Appl. Phys. 39, 1280 (1968).
R. Е. W a t s о n, A. J. F г е е m a n, Phys. Rev. 120, 1125, 1134 (I960).
J. H. W о о d, Phys. Rev. 117, 714 (i960).
S h u 1 1, Y. Y a m a d a, J. Phys. Soc. Japan, 17, Suppl. B-III, 1 (1962).
J. H. Wood, G. W. Pratt, Jr., Phys. Rev. 107, 995 (1957).
Nathans, S. J. P 1 c k a r t, H. A. A 1 p e r 1 n, Bull. Am. Phys. Soc. 5„ 455 (I960).
R. Moon, J. Cable, W. Koehler, J. Appl. Phys. 35, 1041S (1964). H.A.Mook,C. G.Shu 11, J. Appl. Phys. 37, 1034 (1966).
H. A. M о о k, Phys. Rev. 148, 495 (1966).
Z ener, Phys. Rev. 81, 440; 82, 403; 83, 299 (1951).
R. R. H e i k e s, Phys. Rev. 84, 376 (1951).
Teviotdale, Proc. Phys. Soc. A65, 957 (1952).
Zener, R. R. Heikes, Rev. Mod. Phys. 25, 191 (1953).
A. T у p о в, ЖЭТФ 25, 352 (1953).
О w e n, M. В г о w n e, W. D. К n 1 g h t, Ch. Kittel, Phys. Rev. 102T 1501
О w e n, M. Browne, V.Arp, A. F. Kip, J. Phys. Chem. Sol. 2, 85 (1957)..
Sato, A. Arrott, R. Kikuchi, J. Appl. Phys. 30, 94 (1959).
C・ П. Ш у'б и н, С. В. В о н с о в с к и й, Proc. Roy. Soc. A143, 159 (1934).
П. Ш у б и н, С. В. В о н с о в с к и й, Sow. Phys. 7, 292 (1935); 10, 348 (1936)-
В. Вонсовский, ЖЭТФ 16, 981 (1946).
В. Вонсовскпй, Е. А. Туров, ЖЭТФ 24, 419 (1953).
А. Туров, В. Г. Шавров, Труды ИФМ 20, 101 (1958).
П. И р х и н, ФММ 6, 214, 586 (1958).
А. А. С м и р н о в, ЖЭТФ 17, 730 (1947).
М. A. Ruderman, Ch. Kittel, Phys. Rev. 96, 99 (1954).
J.A. Hofman, A. Poskin, K.J. Taner, R. J. Weiss, J. Phys. Chem.. Sol. 1, 45 (1956).
Я. И. Ф p e н к e л ь, Zs. Phys. 49, 31 (1928).
Bloch, Zs. Phys. 57, 545 (1929).
J.C. Slater, Phys. Rev. 49, 537, 931 (1936).
C. S t о n e r, Proc. Roy. Soc. A154, 656 (1936).
C. S t о n e r, Proc. Roy. Soc. A165, 372 (1938).
C. Stoner, Proc. Roy. Soc. A169, 339 (1939); J. phys. Rad. 12, 372 (1951),.
G, S t о n e r, Rept. Progr. Phys. 11T 43 (1948).
N F. M о t t, Proc. Phys. Soc. 47, 571 (1935).
N. F. M о t t, Proc. Roy. Soc. A153, 699; A156, 368 (1936).
P. Wohlfarth, Phil. Mag. 42, 374 (1951).
M. Shimizu, Proc. Phys. Soc. 84, 397 (1964); 86, 147 (1965).
P. W о h 1 f a r t h, J. F. С о r n w e 1 1, Phys. Rev. Lett. 7, 342 (1961).
F I w a m о t о, K. S a w a d a, Phys. Rev. 126, 887 (1962).
S h i m i z u, J. Phys. Soc. Japan, 15, 379 (i960); перевод в сб. «Теория ферро магнетизма металлов 呎 сплавов», М., £963, стр. 298.
M. S h i m i z u, Т. Т а к a li a s h i, A. К a t s u к i, J. Phys. Soc. Japan 18, 240' (1963).
E. P. Wohlfarth, Phys. Lett. 3, 17 (1962); J. Appl. Phys. 39, 1061 (1968).
S. Ogawa, N・ Sakamoto, Phys. Lett. 23, 199 (1966); J. Phys. Soc. Japan 22, 1214 (1967).
S. J. P i с к a r t , H. A. A 1 p e r i n, G. S h i r a n e, R. N a t h a n s, Phys. Rev. Lett. 12, 444 (1964).
В. T. Mattias, R. M. В о z о r t h, Phys. Rev. 109, 604 (1958).
В. T. M a 11 i a s, T. H. G e h a 1 1 e, Proc. Intern. Conf. Magnetism, Nottingham.
A. J. F r e e m a n, N. А. В 1 u m, S. F о n e r, R. B. F r a n к e 1, E. J. Me Niff Jr., J. Appl. Phys. 37, 1338 (1966)."
С. H e r r i n g, R. M. В о z о r t h, A. E. С 1 a г к, T. R. Me G u i r e, J. AppL Phys. 37, 1340 (1966).
E. D.Thompson, Adv. Phys. 14, 213 (1965).
T. I z u у a m a, D. J. Kim, R. Kubo, J. Phys. Soc. Japan 18, 1025 (1963)..
E. D. Thompson, Ann. of Phys., 22, 309 (1963).
D. M a t t i s, Phys. Rev. 132, 2521 (1963).
N. F. M о 11, Adv. Phys. 13, 352 (1964).
J. Kanamori, Prog. Theor. Phys. 30, 275 (1963).
J. Hubbard, Proc. Roy. Soc. A276, 238 (1963).
J. Friedel, G. Leman, S. Olszewski, J. Appl. Phys. 32, 325s (1961).^
H. M. К r u t t e r, Phys. Rev. 48, 66 (1935).
E. P. W о h 1 f a r t, Proc. Leeds. Phil. Soc. 5, 89 (1948); Proc. Roy. Soc. A195, 434 (1949); Phil. Mag. 40, 703, 1095 (1949); Rev. Mod. Phys. 25, 211 (1953).
G. G. Fletcher, E. P. Wohlfarth, Phil. Mag. 42, 1061 (1951).
G. C. F 1 e t c h e r, Proc. Phys. Soc. A65, 192 (1952).
J.Callaway, Solid State Physics Vol. 7, Acad, press, N.Y・ 1958, p. 100.
J. C a 1 1 a w a y, Phys. Rev. 115, 346 (1959); 120, 731 (I960); 121, 1351 (1961): 140, A618 (1965).
E. F. В e 1 d i n g, Phil. Mag. 4, 1145 (1959).
M. As dent e, J. F r i e d e 1, Phys. Rev. 124, 384 (1961); 126, 2262 (1962).
J. Y amashita, M. Fukuchi, S. Wakoh, J. Phys. Soc. Japan 18, 999 (1963)-
Д ж. Каллауэй, Теория энергетической зонной структуры, пер. с англ.,
L. F. М a 11 h е i s s, Phys. Rev. 134, A970 (1964).
G. S. Fleming, T. L. Loucks, Phys. Rev. 173, 685 (1968).
A. C. Switendick, J. Appl. Phys. 37, 1022 (1966).
E. A h a t e, M. A s d e n t e, Phys. Rev. 140, A1303 (1965).
S. W akoh, Y. Y amashita, J. Phys. Soc. Japan 21, 1712 (1966); 28, 1151 (1970)..
M. A s d e n t eT M. Delitala, Phys. Rev. 163, 497 (19 67).
A. V. G о 1 d, J. Appl. Phys. 39, 7 68 (19 68).
S. Wakoh, J. Y amashita, J. Phys. Soc. Japan 19, 1342 (1964).
L. Hodges, H. Ehrenreich, Phys. Lett. 16, 203 (1965).
L. Hodges, H. Ehrenreich, N. D. Lang, Phys. Rev. 152, 505 (1966)..
J. W. D. С о n n о 1 1 y, Phys. Rev. 159, 415 (1967).
L.H о d g e s, D. R. S t о n e, A. V. G о 1 d, Phys.Rev.Lett. 19, 655 (1967).
J.O. D i m m о c k, A. J. F r e e m a n, Phys. Rev.Lett.13, 750 (1964).
E.Corinaldesi, S. H am e, e d., Nuov. cim. 41,139 (1966).
P.Ф. E г о p о в, Б. И. P e 3 e p, В. П. Ш и p о к ов с ки й, ФММ 24, 49(1967),.
S. Alexander, G. Horwitz, Phys. Rev. 164, 642 (1967).
J. R. Schrieffer, Phys. Rev. Lett. 19, 644 (19 67).
A. K. Rajogopai, H. В г о о ks, N. R. Ranganathan, Nuov. Cim. Suppl. 5, № 3, 806 (1967).
L. M. F a 1 i с о v, J. R u v a 1 d s, Phys. Rev. 172, 498 (1968).
S.Doniach, J. Appl. Phys. 39, 751 (1968).
J. C. S 1 a t e r, Phys. Rev. 165, 658 (1968); J. Appl. Phys. 39, 761 (1968).
J. B. R e i t z, Solid State Physics, Vol. 1, Acad, press, N.Y. 1955, p. 1.
H. J о n e s, N. M о 11, Proc. Roy. Soc. A157, 400 (1937).
E. W i g n e r, F. S e i t z, Phys. Rev. 43, 804 (1933); 46, 509 (1934).
J. C. S 1 a t e r, Phys. Rev. 92, 603 (1953).
M. M. Saffren, J. C. Slater, Phys. Rev. 92, 1126 (1953).
J. E. E v e 11 s, Thesis, Cambridge (1962).
G. A. В u r d i c k, Phys. Rev. 129, 138 (1963).
B. S e g a 11, Phys. Rev. Lett. 7, 154 (1961).
B. S e g a 1 1, Phys. Rev. 125, 109 (1962).
S. L. A 1 t m a n n, C. J. Bradley, Proc. Phys. Soc, 86, 915 (1965).
J. F. Cornwell, E. P. Wohlfarth, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-Ir
L. van Hove, Phys. Rev. 89, 1189 (1953),
J. С. P h i 1 i p s, Phys. Rev. 104, 1263 (1956).
W. E. S p i с e r, C. N. В e r g 1 u n d, Phys. Rev. Lett* 12, 9 (1964).
С. А. Н е м п о н о в, В. Г. 3 ы р я н о в, В. Ф. В о л к о в, ФММ 22, 375 (1966).
М. А. Блох и н, Физика рентгеновских лучей, М, 1963.
С. А. Н е м н о н о в, В. Ф. Волков, В. С. С у э т и н, ФММ 21, 529- (1966).
А, В. С о к о л о в,出ЗТ① 28, 326 (1955).
И. В. Боровский, К. П. Гуров, ЖЭТФ 36. 1203 (1959).
В. В. Шмидт, ЖЭТФ 39, 1269 (i960).
Б. П. И р х и и, ФММ И, 10 (1961).
10. М. Шепелева, 10. П. И рхин,① ММ 11, 313 (1961).
В. В. Немош кален к о, ДАН СССР 148, 78 (1963).
В. А. Трапезников, ФММ 3, 561 (1956).
С. А. Н е м н о п о в, К. М. Колобов, ФММ 8, 478 (1959); 22, 680 (1966); 25, 267 (1968); 27, 1026 (1969).
В. Немошкаленко, ДАН СССР 143, 1328 (1962).
Э. 3. К у р м а е в, А. 3. М е и ь ш и к о в, Р. И. А н п щ е п к о, С. А. Н е м и о - нов, ФММ 2U, 38 (1965).
R. J.W е i s s, J. J. de Marco, Phys. Rev. 140, 1223(1965).
В. Г.3 ы p я нов, С. А. Н е м н о и о в, ФММ 27, 949(1969).
К. М.К о л о б о и. А. 3. М е и ь ш п к о в, С. А. Н е м но н о в,ФММ 21, 618
(1966).
Л. Д. Ф и н к е л ь ш т е й н, С. А. II е м п о н о в, ФММ 22, 49, 843 (1966); 25, 551 (1968), 26. 48( (1968).
5. Л. Д. Ф и н к е л ь ш т е ii п, С. А. Нс м л о п о в, ФММ 2 6, 481 (1968).
И. А. Б р ы т о в, С. А. Н е м н о и о в, С. А. Г р п б о в с к и й, ФММ 30, 315 (1970).
Ch. Bonnell е, Ann. de phys. 1, 4 39 (1966).
С. A. H e м н о н о в, М. Ф. Сорокина,①ММ 23, 7 32 (1967).
С.А.Н ем н о н о в, ФММ 24, 1016 (1967).
С.А.Н ем н о п о в, Э. 3. К у р м а е в, К.М. Колобова. А. 3. М е п ь -
ш.и к о в, а)ММ 25, 1064 (1968).
D.Ф.В ол к о в, Л. А. Р о с с о х а, ФММ 25, 1134 (1968).
С.А.Н ем н о н о в, И. А. Б р ьт т о в, ФММ26, 45 (1968).
В.Ф.В ол к о и, М. А. Б л о х и н, ФММ 26,376 (1968).
J. R. С u t h 11 1, A. J. Me Alister, М. L. W i 1 1 i a m s, Phys. Rev. 164, 10()0 (1968).
C. S. F о d 1 e у, D. A. S h i r 1 e у, Phys. Rev. Lett. 21, 980 (1968).
C. N. Berglund, W. E. Spicer, Phys. Rev. 136, A1030 (1964).
C, N. Berglund, W. E. Spicer, Phys. Rev. 136, Al044 (1964).
J. C. Phillips, Phys. Rev. 140, A1254 (1965).
C. N. Berglund, Optical Properties and Electronic Structure of Metals and Alloys, Amsterdam,彳966, p. 285.
W. E. S p i c e r, Optical Properties and Electronic Structure of Metals and Alloys, Amsterdam, 1966, p. 296.
W. E. S p i c e r, J. Appl. Phys. 37, 947 (1966).
A. J.Blodgett, Jr., W. E. S p i c e r, Phys. Rev. Lett. 15, 29 (1965).
A. J.Blodgett, Jr., W. E. S p i с e г (в печати) (см. ссылку в статье Спайсера в сб. Optical Properties and Electronic Structure of Metals and Alloys, Amsterdam, 1966, p. 296).
A. Y u, W, E. Spicer (в печати) (см. ссылку в статье Спайсера в сб. Optical Properties and Electronic Structure of Metals and Alloys, Amsterdam, 1966, p. 296).
Y. С a u c h о i s, C. Bonnell, Compt. rend. 245, 1230 (1957).
J. H. Van V 1 e c k, Rev. Mod. Phys. 25, 220 (1953).
H. Ehrenreich, Сб. Optical Properties and Electronic Structure of Metals and Alloys, Amsterdam, 1966, p. 109.
Г. С. Крин ч и к, Сб. Optical Properties and Electronic Structure of Metals and Alloys, Amsterdam, 1966, p. 484.
Г. С. К p и н ч и к, P. Д. Нуралиев, ЖЭТФ 36, 1022 (1959).
Г. С. К р и н ч и к, А. А. Горбачев, ФММ 11, 203 (1961).
Н. Е h г е n г е 1 с 11, Н. R. Р h i 1 i р р, Phys. Rev. 128, 1622 (1962).
Н. Ehrenreich, Н. R. Philipp, D. J. Olechn a, Phys. Rev. 131, 2469 (1963).
D. В о h m, D. P i n e s, Phys. Rev. 92, 609, 625 (1953).
M. Gell-Mann, K. A. Brueckner, Phys. Rev. 106, 364 (1957).
K. Sawada, K. A. Brueckner, N. Fucuda, R. В г о ut, Phys. Rev.
507 (1957).
J. H u h h ar d, Proc. Roy. Soc. A240, 539 (1957); A243, 336 (1958).
7. D. Pines, P. Nozieres, Phys. Rev. Ill, 442 (1958).
J. C. S 1 a t e r. H. S t a t z, G. F. К о s t e r, Phys. Rev. 91, 1323 (1953).
G. H. W a n n i e r, Phys. Rev. 52, 191 (1937).
P. W. Anderson, Phys. Rev. 124, 41 (1961).
J. Hubbard, Proc. Roy. Soc. A277, 237 (1964); A281, 401 (1964); Proc. Phys. Soc. 84, 445 (1964).
С. В. Вонсовскпй, К. Б. Власов, ЖЭТФ 25, 327 (1953).
183.184.185.186.187.188.189.183.184.185.186.187.188.189.徽192.193.194.195.196.197.198.199.200.201.202.203.204.205.206.207.208.209.210.211.212.213.214.215.216.217.翁220.221.222.223.224.225.226.227.228.229.230.231.232.233.234.235.236.237.238.239.240.241.242243.244徽192.193.194.195.196.197.198.199.200.201.202.203.204.205.206.207.208.209.210.211.212.213.214.215.216.217.翁220.221.222.223.224.225.226.227.228.229.230.231.232.233.234.235.236.237.238.239.240.241.242243.244С. В. Вонсовский, Труды ИФМ АН СССР, № 12, 9 (1949).
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
徽192.193.194.195.196.197.198.199.200.201.202.203.204.205.206.207.208.209.210.211.212.213.214.215.216.217.翁220.221.222.223.224.225.226.227.228.229.230.231.232.233.234.235.236.237.238.239.240.241.242243.244
徽192.193.194.195.196.197.198.199.200.201.202.203.204.205.206.207.208.209.210.211.212.213.214.215.216.217.翁220.221.222.223.224.225.226.227.228.229.230.231.232.233.234.235.236.237.238.239.240.241.242243.244
J. Friedel, J. phys. rad. 16, 829 (1955).
J. С. P h i 11 i ,p s, Phys. Rev. 133, A1020 (1964); Adv. Phys. 17, 79 (1968).
M・ G. G u t z w i i 1 e r, Phys. Rev. Lett. 10, 159 (1963); Phys. Rev. 134, A923 (1964); Phys. Rev. 137, A1727 (1965).
S. M i s a w a, Phys. Rev. 140, A1645 (1965).
Y. N a g a о k a, Phys. Rey. 147, 392 (1966).
L. M. Roth, Phys. Rev. 149, 306 (1966); 184, 451 (1969); J. Appl. Phys. 38, 1065 (1967).
A. B. Harris, R. V. Lange, Phys. Rev. 157, 295 (1967).
G. К e m e n y, Phys. Lett. 25A, 307 (1967).
G. W. Pratt, Jr., L. G. С a г о n, J. Appl. Phys. 39, 485 (1968).
G о u t i e r, J. Phys. Chem. Solids 24, 387 (1963).
K. Y о s i d a, Phys. Rev. 106, 893 (1957).
R. J. W e i s s, Phil. Mag. 9, 361 (1964).
В. Вонсовский, Изв. АН СССР, серия физ. 16, 387 (1952).
L. О е г t е 1, Zs. Phys. 107, 758 (1937).
N. F. М о t t, Proc. Phys. Soc. A62, 416 (1949).
M. С. Свирский, С. В. Вонсовский, ФММ 4, 392 (1957).
H. H. Боголюбов, С. В. Тябликов, ЖЭТФ 19, 251, 256 (1949).
N. F. М о 11, Canad. J. Phys. 34, 1356 (1956); Nuov. Cim. (10) 7, Suppl. 312 (1958).
K. Ariyama, ScL Pap. Inst. Phys. Chem. Res. 32, 103 (1937).
Л. Б о н ч - Б p у e в и 4, ЖЭТФ 25, 417 (1953).
A. E. Глауберман, Изв. АН СССР, сер. физ. 24, 101 (I960).
В. В о н с о в с к и й, Ю. П. И р х и н, А. Н. К у ш н и р е н к о, Е. А. Т у - ров, ФММ 3, 385 (1956).
В. Вонсовский, М. С. Свирский, ЖЭТФ 35, 1447 (1958).
А. Е. Глауберман, А. М. М у з ы ч у к, Укр. физ. журн. 9, 178 (1958).
А. Г. Самойлович, С. Л. К о р о л ю к, ФТТ 1, 1592 (1959).
А. Е. Г л а у б е р м а н, В. В. В л а д и м и р о в, И. В. С т а с ю к, ДАН СССР 126, 543 (1959); ФТТ 2, 133 (I960).-
А. Е. Глауберман, И. В. С т а с ю к, ФТТ 3, 2089 (1961); Укр. физ. журн. 9, 3 (1964).
J. Selden, Compt. rend. 25(, 1062, 2311 (i960); 252, 249 (1961).
L. Р a u 1, Phys. Rev. 118, 92 (I960); 120, 463 (I960).
Л. Д. Д и д у x, И. В. С т а с ю к, Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 915 (1966)； ФММ 26, 435 (1968).
D. Thompson, E. P. Wohlfarth, A. C. Bryan, Proc. Phys. Soc. 83, 59 (1964).
R. D. L о w d e, Proc. Roy. Soc. A235, 305 (1956).
R. N. Sinclair, B. N. Brockhause, Phys. Rev. 120, 1638 (i960).
M. S e a v e у, P. E. Tannenwald, J. Appl. Phys. 30, 227S (1959).
P.E.Tannenwald, J. Phys.Soc. Japan 17,Suppl. B-l, 592(1962).
S.F о n e r, E. D. Thompson,J.Appl. Phys.30, 229S (1959).
W. P u g h, В. E. A r g у 1 e, J. Appl. Phys. 33, 1178 (1962).
E.Argyle, S. H. C h a r a p,J.Appl. Phys.35, 802 (1964).
E.A r g у 1 e, S. H. C h a r a p,E.W. Pugh,Phys. Rev. 132,2051(1963),
H. В. Заварицкий, В. А. Царев, Proc. 8th Intern. Conf. Low. Temper., London, 1962, p. 260; ЖЭТФ 43,1638 (1962); Изв. АН СССР, сер. физ. 28, 533 (1964). В. А. Царев, Н. В. 3 а в а р и ц к и й, ЖЭТФ 48, 125 (1965).
Е. М. Лифшиц, ЖЭТФ 15, 97 (1945).
С. Н е г г i n g, С. К i t t е 1, Phys. Rev. 81, 869 (1951).
Herring. Phys. Rev. 87, 60 (1952).
В о h m, D. P i n e s, Phys. Rev. 82, 625 (1951); 85, 338 (1952).
P i n e s, Phys. Rev. 92, 626 (1952); Solid State Phys. 1, 368 (1955).
А. Абрикосов, И. E. Дзялошинский, ЖЭТФ 35, 771 (1958).
Л. Д. Л a H r а у, ЖЭТФ 30, 1056 (1956).
Л. Д. Л а н д а у, ЖЭТФ 32, 59 (1957); 35, 97 (1958).
Т. t z и у a m a, Prog. Theor. Phys. 23, 969 (I960).
В. Вонсовский, Л. Я. Кобелев, ФММ 11, 820 (1961).
Т. W. R u i j g г о k, Physica 28, 877 (1962).
М. Е d w а г d s, Proc. Roy. Soc. A269, 338 (1962).
Englert, M. M. Antonoff, Physica 30, 429 (1964).
J. F. Cornwell, Proc. Roy. Soc. A279, 346 (1964)'; A284, 423 (1965).
С. M a t t i s, J. Appl. Phys. 35, 1085 (1964); Physics 1, 183 (1964); Phys. Rev. 151, 278 (1966).
I z u у a m a, Phys. Rev. Lett. 12, 585 (1964); Phys. Lett. 9, 293 (1964).
T. I z u у a m a, R. К u h o, J. Appl. Phys. 35, 1074 (1964).
□ ♦С. Кондратенко, ЖЭТФ 46, 1438 (1964).
И. С. Кондратенко, ЖЭТФ 47, 1536 (1964).
П. С. Кондратенко, ЖЭТФ 50, 7 69 (196 6).
И. Е. Дзялошинский, ЖЭТФ 46, 1722 (1964).
T. Holstein, Н. Primakoff, Phys. Rev. 58, 1098 (1940).
W. К о h n, Phys. Rev. Lett. 3, 393 (1959).^
E. J. W о 1 1, S. J. N e t t e L Phys. Rev. 123, 796 (1961).
H. Yamada, M. Shimizu, J. Phys. Soc. Japan.纟2, 1404 (1967).
J. C. Slater, Phys. Rev. 52, 98 (1937).
J. B. Sokoloff, Phys. Rev. 173, 617 (1968).
M. И. К у p к н н, ФММ 14, 327 (1962); 16, 808 (1963); 20, 494 (1963).
К. К a w a s a k i, Phys. Rev. 135, A1371 (1964)：
G.Shirane,R.Nathans,O.Steinsvoll,H.A.AlperintS.J.Pi- c k a r t, Phys. Rev. Lett. 15, 146 (1965).
S. D о n i a c h, E. P. W о h 1 f a r t h, Phys. Lett. 18, 209 (1965).
J. Morkowski, Phys. Lett. 21, 146 (1966); Acta phys. polon. 29,499(1966); J. AppL Phys. 39, 476 (1968).
M. S h i m i z u, H. Yamada, J. Phys. Soc. Japan 21, 621 (1966).
E. A. Thompson, J. J. Myers, Phys. Rev. 153, 574 (1967).
S. J. P i ck art, H. A. Alperin, V. J. Minkiewicz, R. Nathans, G. Shirane, O. Steinsvoll, Phys. Rev. 156, 623 (1967).
D. M. E d w a r d s, Phys. Lett. 24A, 350 0 967); Proc. Roy. Soc. A360, 373 (1967).
M. M. A n t о n о f fT J. Appl. Phys. 38, 1059 (1967).
П. С. Кондратенко, ЖЭТФ 54, 1844 (1968).
J. Callaway, Phys. Rev. 170, 576 (1968).
G, Shirane, V. J. M i n k i e w i c z, R. Nathans, J. AppL Phys, 39, 383 (1968).
F. Menzinger, G. Caglioti,G. Shirane, R. Nathans, S. J. P i c- kart, H. A. A 1 p e r i n, J. AppL Phys. 39, 455 (1968).
L. M. R n t h, J. AppL Phys. 39, 474 (1968).
T. Кa s u у а, в сб. Magnetism, (ed. G. T. Rado, H. Suhl) vol.2B,1966,p. 215.
H, Frohlich, F. R. N. N a h a r r o, Proc. Roy. Soc. A175,382(1940).
69. С. В.В о н с о в с к и йт J. phys. rad. 20, 264 (1959).
С. В.В о н с о в с к и йт E. A. T у p о вт J. AppL Phys. 30, 9s(1959).
E. А. Туров, Сб. «Ферромагнитный резонанс», Физматгиз, М.т 196" гл. III.
Е. А. Т у р о в, Ю. П. И р х и н, ФММ 9, 488 (I960).
Е. А. Туров, Ю. П. Ирхин, Сб. «Ферриты» Изд. АН БССР, Минск, 1961, 274. А.%. Ахиезер, В. Г. БарьяхтартМ. И. Каганов, УФН 71, 533 (i960) 275. А. Й. А х и е з е р, В. Г. Б а р ь я х т а р, М. И. К а г а н о в, УФН 72, 3 (I960). 27 6. С. В. Вонсовский, Изв. АН СССР, сер. физ. 12, 337 (1948).
.277. С. В. В онсовскищ УФН 48, 289 (1952).
С. В. Вонсовский, Труды института физики металлов АН СССР, 20, 13 (1958).
С. В. Вонсовский, УФН 76, 467 (1962).
J. Pratt, Phys. Rev. 106т 53 (1957).
В. Л. Б е ш и д з е, ЖЭТФ 23, 55 (1952).
С. В. Вонсовский, К. Б. Власов, Е. А. Т у р о в, ЖЭТФ 29, 37 (1955).
Е. А. Т у р о в, ДАН СССР 98, 945 (1954).
К. П. Р о д и о н о в, В. Г. Ш а в р о в, ФММ 4, 385 (195 7).
С. В. Вонсовский, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 617 (1947).
С. В. Вонсовский, ЖЭТФ 18, 219 (1948).
Е. А. Т у р о в, Изв. АН ССР, сер. физ. 19, 462 (1955).
Е. А. Туров, ФММ 6, 203 (1958).
Ш. Ш. Абельский, Е. А. Туров, ФММ 10, 801 (I960).
Т. Kasuya, Prog. Theor. Phys. 16, 45, 58 (1956).
T. К a s u у a, Prog. Theor. Phys. 22, 227 (1959).
J. Friedel, P. G. de G e n n e s J. Phys. Chem. Solids 4, 71 (1958).
R. J. Weiss, A. S. M a г о t t o, J. Phys. Chem. Solids 9, 302 (1959).
B. R. С о 1 e s, Adv. Phys. 7, 40 (1958).
D. A. Goodings, Phys. Rev. 132, 542 (1963).
I. M a n n a r i, Prog. Theor. Phys. 22, 335 (1959).
W. G. В a h e r, Proc. Roy. Soc. A158, 383 (1937).
A. H. W i 1 1 s о n, Proc. Roy. Soc. A167, 580 (1938).
С. В. Вонсовский, Изв. АН СССР, сер. физ. 19, 477 (1955); 21, 854 (1957).
С.В.Вонсовский,А.В.Соколов,7КЗТ① 19, 615(彳949).
С.В.Вонсовский,А.В.Соколов,ЖЭТФ 19, 7 03(1949).
С.В.Вонсовский,А.В.Соколов,ДАН СССР 76,197 (1950).
С.В.Вонсовский,А.В.Соколов,А. 3. Векслер, УФН56, 477
.(1955).
А. 3. В е к с л е р, ЖЭТФ 29, 261 (1955).
А. В. Соколов, А. 3. Векслер, ЖЭТФ 25, 215 (1953).
А. И. Р е з а н о в, Сб. посвящен. 70-летию ак. А. Ф. Иоффе, М., 1950, стр. 474; Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 581 (1952); ДАН СССР 82, 885 (1952).
А. И. Резанов, В. И. Черепанов, ДАН СССР 93, 441 (1953).
К. Б. Власов, С. В. Вонсовский, ФММ 2, 403 (1956).
309.310.311.312.313.314.315.316.3i7.318.319.320.321.322.323.324.325.326.327.309.310.311.312.313.314.315.316.3i7.318.319.320.321.322.323.324.325.326.327.328.329.330.331.332,333,334.335.336.337.338.339.340.328.329.330.331.332,333,334.335.336.337.338.339.340.341.342.343.344.345.346.347.348.349.350.351.352.353.354.355.356.357.341.342.343.344.345.346.347.348.349.350.351.352.353.354.355.356.357.Ю. П. И p x и н, E. A. T у p о в, ФММ 4, 9 (1957).
309.
310.
311.
312.
313.
314.
315.
316.
3i7.
318.
319.
320.
321.
322.
323.
324.
325.
326.
327.
309.
310.
311.
312.
313.
314.
315.
316.
3i7.
318.
319.
320.
321.
322.
323.
324.
325.
326.
327.
328.
329.
330.
331.
332,
333,
334.
335.
336.
337.
338.
339.
340.
328.
329.
330.
331.
332,
333,
334.
335.
336.
337.
338.
339.
340.
341.
342.
343.
344.
345.
346.
347.
348.
349.
350.
351.
352.
353.
354.
355.
356.
357.
341.
342.
343.
344.
345.
346.
347.
348.
349.
350.
351.
352.
353.
354.
355.
356.
357.
К. П. Белов, А. А. Попова, Е. В. Талалаева, Кристаллография 3, 733 (1958).
П. Комар, В. В. К л ю ш и н, Изв. АН СССР, сер. фпз. 18, 400 (1954). А, И. С у ч к о в, ФММ 7, 317 (1959).
Дж. Ф о л ь г е р, Сб. «Полупроводниковые материалы» М・,1954, стр. 215.
Ю. П. Ирхин, ФММ 7, 3 (1959).
М. Ш. Гитерман, Ю. П. Ирхин, ФТТ 2, 144 (I960).
R. J. Е 1 1 i о 11, К. W. Н. S t е V е n s, Proc. Roy. Soc. А218, 553 (1953).
К. A. Geschneidner, The rare earths (eds F. H. Spedding and A. H. Daane) Chap. 14, Wiley, N.Y., 1961.
Y о s i d aT Prog. Low Temp. Phys., vol. IVT ch. V, Amsterdam, 1964, p. 265. R. J. Elliott в сб. Magnetism, (ed. G. T. Rado, H. S u h 1), vol. IIA, ch. 7, N. Y. 1965, p. 385.
Nagamiya, Recent development in the study of the magnetism of rare- earth metals and 3d-transition metals, 1963.
T. Nagamiya, Solid State Physics, vol. 20, Acad. Press, N.Y., 1967.
P. G. de G e n n e sT J. phys. rad. 23, 510, 630 (1962).
В. Вонсовский, Ю. А. Изюмов, УФН 77, 37 7 (1962).
Y. A. R о c h e rT Adv. Phys. 11. 232 (1962).
А. Туров, Магнетизм редкоземельных металлов (лекции в летней школе в Подграде, ЧССР, 13—25. IX. 1965). Свердловск, 1966.
Н. S р е d d i n g, Introduction to Collecting of Paperes of 2nd Conf, on Rare- Earth Metals and Compounds (September 1961, Colorado, USA).
H. Spedding, A. H. Daane, K. W. Hermann, Acta Cryst. 9, 559 (1956); F. H. Spedding, J. J. H a n a k, A. H. Daane, Trans. AIME 212, 379 (1958).
J. Me H a r g u e, H. L. Y a k e 1, Jr., L. H. J e 11 e r, Acta Cryst. 10, 832 (1957).
J. Freeman, R. E. Watson, Phys. Rev. 127, 2058 (1962).
В. Воробьев, Ю. H. Смирнов, В. А. Финкель, ЖЭТФ 49, 1774 (1965).
А. Ф и н к e л ьт Ю. Н. С м п р н о в, В. В. В о р о б ь е в, ЖЭТФ 51, 32 (1966) В. А. Финкель, В. В. Воробьев, ЖЭТФ 51, 786 (1966).
D. R. S t е р h е n s, J. Phys. Chem. Solids 26, 943 (1965).
R. V. Colvin, S. Arajs, J. M. P e c k, Phys. Rev. 122, 14 (1961).
R. M. В о z о r t h, J. H. Van V 1 e c k, Phys. Rev. 118, 1493 (I960).
S. A r a j s, Phys. Rev. 120, 756 (I960).
P. G. de G e n n e s, Compt. rend. 247, 1836 (1958).
P. M. Hall, S, L e g v о 1 d, F. H. Spedding, Phys. Rev. 117, 971 (I960); 122, 827 (1961).
W. C. Koehler, J. Appl. Phys. 36, 1080 (1965).
K. W i 1 k i n s о n, W. С. К о e h 1 e r, E. O. W о 1 1 a n, J. C a h 1 e, J. AppL Phys. 32, 48S (1961); M. K. Wilkinson, H. R. Child, W. Koehler, J. Cable, E. O. W о 1 1 a n, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl., B-III, 27 (1962). J. Cable, R. Moon, W. Koehler, E. W о 1 1 a n, Phys. Rev. Lett. 12. 553 (1964).
N e r e s о n, C. Olsen, G. Arnold, L Appl. Phys. 33, 1135S (1962); 35, 1031S (1964); Phys. Rev. 135, A176 (1964).
Will, R. N a t h a n s, H. A 1 p e r i n, J. Appl. Phys. 35, 1045S (1964). W. C. Koehler, H. K. Child, E. O. W о 1 1 a n, Jt W. Cable, J. Appl. Phys. 34, 1335 (1963).
Wilkinson, H. Child, W. Koehler, J, Cable, E. W о 1 1 an, Phys. Rev. 122, 1409 (1961).
W. C. Koehler, J. W. Cable, E. O. W о 1 1 an, M. K. Wilkinson, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-III, 32 (1962).
W. Cable, E. O. W о 1 1 an, W. C. Koehler, M. K. Wilkinson, J. Appl. Phys. 32, 49S (1961).
W. C. Koehler, J. W. Cable, E. O. W о 1 1 a n, M. K. Wilkinson, Phys. Rev. 126, 1672 (1962); J. Appl. Phys. 33, 1124s (1962).
J. Darnell, W. H. Cloud, J. Appl. Phys. 35, 935S (1964).
E. N i g h, S. L e g v о 1 d, F. H. S p e d d i n g, Phys. Rev. 132, 1092 (1963). C. D. Graham, J. Appl. Phys. 34, 1341S (1963).
R. V. С о 1 v i n, S. A r a j s, Phys. Stat. Sol. 4, 37 (1964).
В. Волкенштейн, Г. В. Федоров, В. Е. Старцев, Сб. «Проблемы теории и применения РЗМ», Москва, 1964.
В. Волкенштейн, Г. В. Федоров, ФММ 18, 26 (1964).
П. Б е л о в, Р. 3. Л е в и т и н, С. А. Н и к и т п н, А. В. П е д ь к о, ЖЭТФ 40, 1562 (1961).
П. Б е л о в, А. В. П е д ь к о, ЖЭТФ 42, 87 (1962).
И. Чечерникова, И・ Поп, И. В. Буров, Е. М. Савицкий, ЖЭТФ 45, 867 (1963).
358.
359.
360.
361.
362.
363.
364.
365.
366.
367.
368.
369.
370.
371.
372.
373.
374.
375.
376.
377.
378.
379.
380.
381.
382.
383.
384.
385.
386.
387.
388.
W. D. С о r n e r, W. C. R о e, К. N. R, T а у 1 о r, Proc. Phys, Soc. 80, 927 (1962). В. M. Кучин, В. А. С о м е н к от С. Ш. Шильштейн, Ю. Б. Патрикеев, ЖЭТФ 55, 1241 (1968).
D. Н. Parkinson, L.M. Roberts, Proc. Phys. Soc. B70, 471 (1957).
D. H. P a r k i n s о n, F. E. S i m о n, F. H. S p e d d i n g, Proc. Roy. Soe, A207, 137 (1951).
J. M. L о c kT Proc. Phys, Soc. B70, 566 (1957).
L. M. R о h e r t sT Proc. Phys. Soc. B70, 434 (1957).
M・ Griffel, R. E. Skochdopole, F. H. Spedding, Phys. Rev. 93, 675 (1954).
L. D. J ennings, R. M. Stanton, F. H. S pedding, J. Chem. Phys. 27, 909(1957).
В. C. Gerstein, M. Gr iff e 1, L. D. J ennings, R. E. Miller, R. E- Skochdopole, F. H. S p e d d i n g, J. Chem. Phys. 27, 394 (1957). M. Griffel, R. E. Skochdopole, F. H. Spedding, J. Chem. Phys. 25, 75 (1956).
R. E. Skochdopole, M. Griffel, F. H. Spedding, J. Chem. Phys. 23, 2258 (1955).“
L. D.'J e n n i n g s, E. H i 1 1, F. H. S p e d d i n g, J. Chem. Phys. 34, 2082 (19 61).
R. M. В о z о r t h, J. H. Van V 1 e c kT Phys. Rev. 118, 1493 (I960).
D. E. H e у 1 a n d, S. L e g v о 1 d, F. H. Spedding, Phys. Rev. 131, 158
(1963).
D. R. В (1958).
D. L. S
ehrendt, S. Legvoid, F.
t r a n d h
2046 (1962).
R. W. Green, B. L. R>h odes, D. D. Davis, W. E. Henry, J. G. D a u n t,( D. H. Parkin
erg, S. Legvoid,
L e g v о 1 dT F. H. S
H.Spedding, Phys. Rev. 109, 1544
F. H. S p e d d i n g, Phys. Rev. 127,
_p e d d i n g, Phys. Rev. 122, 827 (1961).
.Legvol d, F. H. Spedding, Phys. Rev. 109, 1547 (1958). .M. В о z о r t h, Phys. Rev. 118, 1543 (I960).
.Appl. Phys. 31, 323S (I960).
.Prog. Low Temper. Phys., vol. 1, Amsterdam, 1955, p. 202. о nT Repts. Progr. Phys. (London) 21, 226 (1958).
O.V. Lounasmaa, Phys. Rev. 133, A2H, A213, A502 (1964); 134, Al620 (1964). О. V. L о u n a s'm a a, L. J. Sundstrom, Phys. Rev. 150, 399 (1966); 158,
s
591 (1967).
О. V. Lounasmaa, G. M. К a 1 v i u s, Phys, Lett. 26A, 21 (1967).
R. G. J о r d a n, E. W. Lee, Proc. Phys. Soc. 92, 1074 (1967).
S. N a k a j i m a, Prog. Theor. Phys. 38, 23 (1967).
J. J. Rhyne, S. F о n e г, E. J. Me Niff Jr., R. D о с 1 o, J. Appl. Phys. 39,
9 о 12 3
8 9 9 9 9
3 3 3 3 3
892 (1968).
M. Schieher, S. F о n e r, R. D о c 1 о, E. J. Me Niff Jr., J. Appl. Phys. 39, 885 (1968).
С. В. Вонсовский, Ю. А. Изюмов, ФММ 10, 321 (I960).
J. O. Dimmock, A. J. Freeman, R. E. Watson, Proc. Intern. Collog. Opt. Propert. a. Electr. Struct. Metals a. Alloys, Paris, 1965, North-Holland PuhL Co., Amsterdam, 1966.
A. J. F r e e m a n, J.O.Dimmock, R. E. Watson, Phys. Rev. Lett. 16, 94
4567890
9999990
3333334
(1966); Phys. Rev. 167, 497 (1968),
A. J. Freeman, J. O. Dimmock, R. E. W a t s о n, Quant. Theor. Atoms, Molec. a. Solid State, Acad. Press Inc., N.Y., 1966.
S. С. К e e t о n, T. L. Loucks, Phys. Rev. 168, 672 (1968).
G. S. F 1 e m i n g, S. H. L i u, T. L. L о u c k s, Phys. Rev. Lett. 21, 1524 (1968). A. J. Blodgett, Jr., W. E. S p i c e f, A.Y.-C. Y uf Proc. Intern. Collog. Opt. Propert. a. Electr. Struct. Metals a. Alloys, Paris, 1965, North-Holland PuhL Co., Amsterdam, 1966.
Rt W. Williams, A. R. M akintosh, Phys. Rev. 168, 679 (1968).
W. C. Koehler, E. O. W о 1 1 a n, Phys. Rev. 92, 1380 (1953).
G. J. Trammel, Phys. Rev. 92, 1387 (1953).
S. О d i о tr D. S a i n t - J a m e s, J. Phys. Chem. Solids 17, 117 (i960).
N. К u r t i, R. S. S h a f г о t a, Phil. Mag. 3, 780 (1958).
С. В. Вонсовский, Ю. А. Изюмов, УФН 78, 3 (1962).
L. R. Robinson, L. N. Ferguson, Jr. E. Milstein, Phys, Rev.
401.
402.
403.
404.
405.
406.
407.
3B, 1025 (1971).
R. L. White, J. P. A n d e 1 i n, Jr., Phys. Rev. 115, 1435 (I960).
E. Abrahams, Phys. Rev. 98, 387 (1955).
A. H. M i t c h e 1 1, Phys. Rev. 105, 1439 (1957).
С. В. Вонсовский, M. С. Свирский, ЖЭТФ 47, 1354 (1964).
S. H. L i u, Phys. Rev. 121, 451 (1961).
ЮЛП. Ирхин, ЖЭТФ 50, 379 (1966).
С. В. В о н с о в с к и й, Ю. П. И p x и н, M. С. С в и p с к и йг Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 906 (1966).，*
В. В. Дружинин, Ю. П. Ирхин, ЖЭТФ 51, 1856 (1966).
409.410.411.412.413.414.415.416.417.418.419,420.421.422.423.424.425.426.427.428.409.410.411.412.413.414.415.416.417.418.419,420.421.422.423.424.425.426.427.428.90123456789 0 12 34 56 7 8 9 0 12 3 4 5 6 7 8 9 01234567890123333333333 4 4 4 44 44 4445555555555 66666666667744444444444 444 44 44 7^/^/^4444444444 44444444444490123456789 0 12 34 56 7 8 9 0 12 3 4 5 6 7 8 9 01234567890123333333333 4 4 4 44 44 4445555555555 66666666667744444444444 444 44 44 7^/^/^4444444444 444444444444152, 566 (1966); 178, 725 (1969).H. P. van de В r a a k, W. J. Caspers, Phys. Lett. 16, 212 (1965).A. Furrer, T. Schneider, W. Haig, Sol. State Comm. 3, 339 (1965); 4,152, 566 (1966); 178, 725 (1969).H. P. van de В r a a k, W. J. Caspers, Phys. Lett. 16, 212 (1965).A. Furrer, T. Schneider, W. Haig, Sol. State Comm. 3, 339 (1965); 4,физ. № 4, 68 A. J. F е d г о, К. Y о s i d а, L. М. R о t h, A. J. Heer,физ. № 4, 68 A. J. F е d г о, К. Y о s i d а, L. М. R о t h, A. J. Heer,
409.
410.
411.
412.
413.
414.
415.
416.
417.
418.
419,
420.
421.
422.
423.
424.
425.
426.
427.
428.
409.
410.
411.
412.
413.
414.
415.
416.
417.
418.
419,
420.
421.
422.
423.
424.
425.
426.
427.
428.
90123456789 0 12 34 56 7 8 9 0 12 3 4 5 6 7 8 9 01234567890123333333333 4 4 4 44 44 4445555555555 66666666667744444444444 444 44 44 7^/^/^4444444444 444444444444
90123456789 0 12 34 56 7 8 9 0 12 3 4 5 6 7 8 9 01234567890123333333333 4 4 4 44 44 4445555555555 66666666667744444444444 444 44 44 7^/^/^4444444444 444444444444
152, 566 (1966); 178, 725 (1969).
H. P. van de В r a a k, W. J. Caspers, Phys. Lett. 16, 212 (1965).
A. Furrer, T. Schneider, W. Haig, Sol. State Comm. 3, 339 (1965); 4,
152, 566 (1966); 178, 725 (1969).
H. P. van de В r a a k, W. J. Caspers, Phys. Lett. 16, 212 (1965).
A. Furrer, T. Schneider, W. Haig, Sol. State Comm. 3, 339 (1965); 4,
физ. № 4, 68 A. J. F е d г о, К. Y о s i d а, L. М. R о t h, A. J. Heer,
физ. № 4, 68 A. J. F е d г о, К. Y о s i d а, L. М. R о t h, A. J. Heer,
Т. А. К a p 1 a n, D. H. Lyons, Phys. Rev. 129, 2072 (1963).
С. В. Вонсовский, M. С. Свирский, ЖЭТФ 49, 682 (1965).
Ю. А. Изюмов, Л. M. Носкова, ФТТ 4, 217 (1962).
T. К a s u у a, D. H. L у о n s, Techn. Rep. ISSP, Ser. A, № 167 (1965); Jt Phys. Soc. Japan 21, 287 (1966).
H. H. Боголюбов, С. В. Тябликов, ДАН СССР 126, 53 (1959).
Д. H. 3 у 6 a p e в, УФН 71, 71 (I960).
N. Bloemhergen, Т. J. R о w 1 an d, Phys. Rev. 97, 1649 (1954).
И. Е. Дзялошинский, ЖЭТФ 46, 1420 (1964).
И. Е. Дзялошинский, ЖЭТФ 47, 336, 992 (1964).
С.В.Вонсовский, Ю. А. Изюмов, Изв. АН СССР, сер. физ. 28, 406 (19 64).
К. Y о s i d a, A. Watabe, Prog. Theor. Phys. 28, 361 (1962).
Ю. А. И з ю м о в, ФТТ 4, 225 (1962).
В. Вонсовский, А. А. Бердышев, Ю. А. И з юмо в, Б. В. Карпе н к о, Ю. Я. П о л я к, ДАН СССР 132, 797 (I960).
А. А. Бердышев, Б. В. Карпенко, ФММ 8, 330 (1959); ЖЭТФ 36, 819 (1959).
Ю・ А. И з ю м о в, ФММ 12, 480 (1961).
В. Н. Кащеев, М. А. Кривоглаз, ФТТ 3, 1541 (1961).
Ch. Kittel, Н. Mitchell, Phys. Rev. 101, 1611 (1956).
E. A. T у p о в, ФММ 4,183 (1957).
S. Н. L i u, Phys. Rev. 123, 470 (1961).
V. J accarino, В. T. M atthias, M. Peter, H. Suhl, J. H. W er -
rick, Phys. Rev. Lett. 5, 251 (I960).
H. А. Потапков, С. В. Тябликов, ФТТ 2,2733 (I960).
R. A. T a h i r-K heli, D. ter Haar, Phys. Rev. 130, 108 (1963).
С. В. Вонсовский, Л. Я. Кобелев, ФММ 12, 814 (1961).
J. Schwinger, Proc. Nat. Acad. ScL USA 37, 452 (1951).
А. А. Бердышев, Б. В. Карпенко, ЖЭТФ 38т 925 (I960).
Р. Б. 3 а кс, Л. М. Носкова, ФММ 9, 481 (I960).
А. А. Бердышев, Э. Д. Корж, ФММ 12, 476 (1961).
Ю. А. И з ю м о в, ФММ 11т 650 (1961).
С. В. Вонсовский, М. С. Свирский, ФММ 17, 168 (1964).
Н. Hasegawa, Prog. Theor. Phys. 21, 483 (1959).
A. J. F. Boyle, D. St. P. Banbury, C. Edwards, Phys. Rev. Lett. 5, 553 (I960).
A. P askin, J. AppL Phys. 31, 318S (I960).
R. E.W atson, Phys. Rev. 139, A167 (1965).
R. E. W a t s о n, A. J. Freeman, Phys. Rev. Lett. 14, 695 (1965); Phys. Rev.
99 (1966).
S. Methfessel, Zs. angew. Phys. 18, 414 (1965).
В. Б. Кобылянский, A. E. Глауберман, Изв, АН Каз. ССР, сер.
(1966).
М. В a i 1 у n, Phys. Rev. 142, 337 (1966).
Н. Miwa, Phys. Rev. 144, 375 (1966).
H. J. Z e i g e г, T. A. К a p 1 a n, Phys. Rev. 149, 519 (1966).
A. P. Klein, P. T u, Phys. Rev. Lett. 17, 803 (1966).
M. I. Darby, K. N. R. Taylor, J. AppL Phys. 37, 1442 (1966).
J. Smit, J. AppL Phys. 37, 1445 (1966).
H. M i w a, Y. N a g a о k a, Phys. Lett. 22, 394 (1966).
J.MathonTCSJ. Phys. B16, 869 (1966).
С. В. Вонсовский, M. С. Свирский, ФММ 24, 793 (1967).
V. H e i n e, Phys. Rev. 153, 673 (1967).
F. Specht, Phys. Rev. 162, 389 (1967).
L. C. D a v i s, S. H. L i u, Phys. Rev. 163, 503 (1967).
Rys, J. S. Helman, W. Baltensperger, Phys. Kondens. Materie 6,
105 (1967).
H. M i w a, Prog. Theor. Phys. 34, 1040 (1967).
О. C. A x т я м о в, ЖЭТФ 55, 553 (1968),
P. R. P. S i 1 v a,・ Phys. Rev. 166, 679 (1968).
P. A. Fedders, Phys. Rev. 168, 681 (1968); 172, 530 (1968).
Vertogen, Phys. Stat. Sol. 25T 729 (1968).
A. J. F e d r oT T. A r a iT Phys. Rev. 170T 583 (1968).
Y. A. R о c h e r, J. Phys. Chem. Sol. 23, 1621 (1962).
Y. A. R о c h e r, Adv. Phys. 11, 233 (1962).
W. Baltensperger, A. M. Graaf, Helv. Phys. Acta 33, 507, 881 (I960).
Y. A. R о c h e r, These, Paris, 1962.
J.Friedel, Canad. J. Phys. 34, 1190 (1956).
А. В 1 a n d i n, J. F r i e d e 1, J. Phys. rad. 19, 573 (1958).
^ о^ /^ г^4 4 4 4^ о^ /^ г^4 4 4 4蠻478.S.-481.482.483.後486.獴489.490.491492.493.Хаг 1 £г^蠻478.S.-481.482.483.後486.獴489.490.491492.493.Хаг 1 £г^^012345 6 789012345678^111111 1 1112222222225555555 5 555555555555^012345 6 789012345678^111111 1 1112222222225555555 5 5555555555559 0 1 2 32 3 3 3 35 5 5 5 59 0 1 2 32 3 3 3 35 5 5 5 5landin, J. Friedel, J. Phys. rad. 20, 160 (1959).
^ о^ /^ г^
4 4 4 4
^ о^ /^ г^
4 4 4 4
蠻478.S.-481.482.483.後486.獴489.490.491492.493.Хаг 1 £г^
蠻478.S.-481.482.483.後486.獴489.490.491492.493.Хаг 1 £г^
^012345 6 789012345678
^111111 1 111222222222
5555555 5 555555555555
^012345 6 789012345678
^111111 1 111222222222
5555555 5 555555555555
9 0 1 2 3
2 3 3 3 3
5 5 5 5 5
9 0 1 2 3
2 3 3 3 3
5 5 5 5 5
a n d i n, J. Phys. rad. 22T 507 (1961).
Elliott, F. H. Wedgwood, Proc. Phys. Soc. 81, 846 (1963); 84, 63 (1964). i w a, Proc. Phys. Soc. 85, 1197 (1965); Techn. Rep. Inst. Sol. State Phys. to), Ser. A, № 166 (1965).
.de G e n n e s, D. S a i n t-J a m e s, SoL State Comm. 1, 62 (1963).
Kaplan, Phys. Rev. 124T 329 (1961).
Elliott, Phys. Rev. 124, 346 (1961).
[i w a, K. Y о s i d a, Prog. Theor. Phys. 26, 693 (1961). .Лифшиц, ЖЭТФ 11, 253, 269 (1941).
.Лифшиц, ЖЭТФ 38, 1569 (I960).
Graham, Jr., J. Appl. Phys. 38, 1375 (1967).
Cohen, N. Kaplan, S. Ofer, H. Z m о r a, Phys. Lett. 7, 91 (1963). 1 e a n e y, Proc. Roy. Soc. A276, 39 (1963).
Robinson et aL Phys. Rev. 134, A187 (1964), ayaraman, R. C. Sherwood, Phys. Rev. Lett. 12, 22 (1964). .声 lippen, J. AppL Phys. 35, 1047 (1964).
о n e g a w a, J. Phys. Soc. Japan 19, 1168 (1964).
.Винокурова, E. И. Кондорский, ЖЭТФ 48, 429 (1965).
.E p г и н, ЖЭТФ 48, 1062 (19 65).
Freeman, R. E. Watson, Phys. Rev. 139, A1606 (1965).
Cable, et al. Phys. Rev. 140, A1896 (1965).
.Xavier, X. A. da S i 1 v aT W. Baltensperger, Phys. Rev. Lett. 26 (1965).
Monfort, C. A. Swenson, J. Phys. Chem. Sol. 26, 623 (1965).
e r a k i sT F. Kern, Phys, kondens. Materie 4, 247 (1965).
u k u d a, T. Ogawa, T. Soda, Prog. Theor. Phys., Extr. numb. (1965). Белов, Ю. В. E p г и нт ЖЭТФ 50, 560 (1966).
Белов, P. 3. Левитин, Б. К. Пономарев, ЖЭТФ 51, 1634 (1966).
.Koehler, J. W. Cable, М. К. Wilkinson, Е. О. W о 1 1 а пт Rev. 151, 414 (1966).
Moller, J. С. G. Н о u m a n n, Phys. Rev. Lett. 16, 737 (1966).
Rhyne, S, Legvoid, E. T. R о d i n eT Phys. Rev. 154, 266 (1967). Landry, Phys. Rev. 156, 578 (1967), ,Koehler, J. W. Cable, H. R. Child, M. K. Wilkinson, W о 1 1 a n, Phys. Rev. 158, 450 (1967).
i 1 s t e i n, L. B. Robinson, Phys. Rev. Lett. 18, 308 (1967).
о s e n, Phys. Rev. Lett. 19T 695 (1967).
Rhyne, A. E. Clark, J, AppL Phys. 38, 1379 (1967).
,Stringfellow, C. G. Windsor, Proc. Phys. Soc. 92, 408 (1967).
Ирхин, В. В. Дружинин, А. А. Казаков, ЖЭТФ 54, 1183
Фартзинов, М. Е. Сагдаткиреева, ФММ 28, 208 (1969), Носкова, ФММ 25, 397 (1968).
Andersen, Т. L. Loucks, Phys. Rev. 167, 551 (1968).
White, R. L. White, Phys. Rev. Lett. 20, 62 (1968).
Van V 1 e c k, J. AppL Phys. 39, 365 (1968).
i g a m i у a, J. AppL Phys. 39, 373 (1968).
)n e r, E. J. M c N i f f, Jr., V. Sadogopan, Phys, Rev. Lett. 33 (1967).
Knapp, E. Corenzwit, C. W. C hu, Sol. St. Comm. 8, 639
Knapp, J. AppL Phys. 41, 1073 (1970).
J а с о h sT Proc. Phys. Soc. Cl, 492 (1968).
a n c a, G. M u h a, SoL St. Comm. 7, 849 (1969).
Snow, J* T* W a h e r, Acta Metallurg]ca 17T 623 (1969).
Duff, T・ P. Das, Phys. Rev. B3, 192 (1971).
i k u r a i, Prog. Theor, Phys. 39, 312 (1968).
Максимов, К. А. Кикоин, ФММ 28, 43 (1969).
j s h о r e, S. К. Joshi, Phys. Rev. 186, 484 (1969).
.Хомский, ФММ 29, 31 (1970).
Rajagopal, Nuov. cim. IB, 48 (1971).
Д и д у x, ФММ 27, 1109 (1969).•
Нагаев, ФТТ 9, 2469 (1967); 11, 2779; 3437 (1969); 12, 607, 1109, 2137; (1970)； ЖЭТФ 54, 317 (1968)； 56, 1013; 57, 469, 1274 (1969)； 58. 1269； 59, 1970)； ФММ 29, 905 (1970).
.S. Lewis, Phys. Rev. IB, 4368 (1970).
i c k s о n, Phys. Rev. 178, 949 (1969).
Туров, в сб. «Ферромагнитный резонанс», под ред. С. В. Вонсовского, тгиз, 1961.
Watson, A. L Freeman, S. Koide, Phys. Rev. 180, 625 (1969). amhanidis, J. Phys, Chem. Solids 31, 503 (1970).
Глава 21
АТОМНЫЙ МАГНИТНЫЙ ПОРЯДОК В МЕТАЛЛИЧЕСКИХСПЛАВАХ
Классификация магнитных сплавов
В главах 19 и 20 рассматривались вопросы теории ферро- и антиферромагнетизма в основном чистых элементов — металлов (гл. 20) и диэлектриков (гл. 19). Однако несравненно более многочисленную группу магнитноупорядоченных веществ составляют металлические сплавы и неметаллические соединения. Их изучение представляет двоякий интерес. В научном аспекте он связан с тем, что, изучая зависимость магнитных свойств от состава и кристаллической структуры сплавов и соединений, можно глубже подойти к решению проблемы возникновения магнитно-упорядо- ченного состояния вообще. В практическом же аспекте важность этой проблемы вполне очевидна, поскольку все технические ферро- и ферримагнитные материалы являются сплавами или соединениями. Здесь мы рассмотрим вопрос об атомном магнитном порядке металлических сплавов и интерметаллических соединений.
Классификация ферр ома гнитных сплавов может быть проведена по различным признакам. Одним из таких признаков является электронная структура атомов их компонент.
Сплавы пер сходных d- и /-элементов между собой.
Сплавы переходных фер р ома гни тн ых металлов (Fe — Ni, Fe — Co, Co 一 Ni, Fe - Co - Ni, Fe - Gd, Gd - Dy и т. д.).
Сплавы переходных ферромагнитных и антиферромагнитных или парамагнитных металлов (Fe — Cr, Fe — Mn, Fe — Pd, Ni — Ti, Co — V, Co 一 Pt, Gd - V, Eu - V, Gd - Sc и т. 口)
Сплавы пер сходных антиферромагнитных металлов с парамагнитными металлами (Сг — Pt, Мп — Pt и т. nJ
IL Сплавы переходных металлов с нормальными элементами.
Сплавы пер сходных ферромагнитных металлов с нормальными элементами (Ni — Си, Со — Ag, Ni — Al, Ni — Si, Fe — Si, Fe — Al, Ni — N и т. n.).
Сплавы переходных антиферромагнитных d-металлов (Мп и Сг) с нормальными элементами (гейслеровы сплавы ) Cu2MnM, где М = А1, Ge, Zn, Sn, As, In, Sb, Bi, Ga и др.; Mn4N, ZnCMn3, AlCMn3, CuCMn3, Mn — Au, Mn — P, Mn — As, Mn — Sb, Mn — Bi, Mn — S, Mn — Se, Mn — Те, Mn — C, Mn — Sn, Mn — H, Mn — В и т. п.
Сплавы переходных парамагнитных металлов с нормальными элементами: ZrZn2 (Маттиас и Бозорт [4]), Sc3In (точнее, в интервале составов
Sc。,7621no,238 — Sc0,758In0,242; Маттиас и др. [5]) и Au4V (точнее, в интервале составов 18,99—24,01 ат.% V; Кр ев ел ин г и др. [6] ).
Другой способ классификации связан с характером распределения атомов различных компонент по различным типам узлов кристаллической решетки: 1) неупорядоченные твердые растворы (Ni — Си, Ni - Со и т. п.), 2) упорядоченные сплавы (Ni3Fe, FeAl, MnAu3, ZnCMn3, CrPt3 и т. п.) и 3) интерметаллические соединения (Fe2B, Fe3C, Fe4N, FeBe3, MnAs, Mn2Sb, CrTe, MnP и т. 口.).
Наконец, можно провести классификацию по типам кристаллохимических структур и связей: 1) сплавы с о. ц. к. структурой [Fe — Ti, Fe — V, Fe — Co и т. п.; см., например, табл. XVII в книге Гудинафа (1969)]; 2) сплавы с кристаллической решеткой с плотной упаковкой (г. ц. к. и гекс. и. у.) [сплавы Ni (г. ц. к.) и Со (гекс. и. у.) с Си, Ag, Au, Zn, Cd, Al, Sc, Ga, In, Si, Ge, Sn, P, As, Sb (г. ц. к. и гекс. и. у.) и др」；3) ионные соединения с металлической проводимостью со структурой корунда (А12О3): Ti2O3, V2O3, со структурой каменной соли: TiN, ZrN, VN, NbN, CuN, TiO и VO и некоторые другие.
Ионные соединения нормальных элементов, как правило, являются диэлектриками (уровень Ферми лежит в запрещенной области энергий между целиком заполненной полосой энергии и пустой; см. гл. 12). Однако если в состав ионного соединения входят катионы переходных d-элементов, то появляется возможность электропроводности, обусловленной d-электронами. Здесь мыслимы два случая [подробнее см. гл. III в монографии Гудинафа (1969)]: Rtt > Ес 瓜 Rtt V Re (где Rc — некоторое критическое расстояние между соседними ионами в кристаллической решетке, а Е" минимальной расстояние между соседними ионами переходных элементов). В первом случае имеем ионное соединение, в котором при наличии ионов переходного элемента разной валентности в эквивалентных узлах решетки наблюдается очень низкая подвижность носителей тока, осуществляемая процессами перескока d-электронов от иона с более низкой валентностью к иону с более высокой валентностью. Во втором случае (Rtt V Ес) в кристалле возникает частично заполненная d-полоса, которая и приводит к металлической проводимости»
§ 2. Атомные магнитные моменты и точки Кюриферромагнитных сплавов
Остановимся теперь на анализе некоторых опытных фактов, касающихся основных магнитных параметров ферромагнитных сплавов: средних атомных магнитных моментах р (в единицах 卩е) и точках Кюри 6 и их качественных объяснениях.
Бинарные сплавы Fe — Ni, Fe —— Co и Ni —— Co. Прежде всего приведем данные о р и ❷ для трех бинарных систем сплавов ферромагнитных Зс/-металлов: Fe — Ni [Хансен (1941)], Fe — Со (Эллис и др. [7]) и Ni — Со [Бозорт (1956)], которые показаны на рис. 21.1—21.6. Отметим некоторые главные особенности этих кривых. Для сплавов Ni — Со зависимости точки Кюри и среднего момента от состава имеют вид монотонных кривых (рис. 21.3 и 21.6). В сплавах Fe — Со (рис. 21.2 и 21.5) картина более сложная. Кривые для р и ❷ носят не монотонный характер и в области составов 75—80% Со на кривой р имеется скачок, а на кривой 0 — излом. Это связано с наличием на диаграмме состояний области: а + у. При 17% Со кривая 0 пересекает границу а + у-области. В этом
случае (в интервале составов 20—75% Со) кривая Zs (Т) имеет резкий спад до нуля (рис. 21.7). Экстраполируя кривые //(Т) в область температур выше температуры а -> у-превращения, Форре [8] определил более высо-
5 м 〃 N勿破什虚" $穆息w自EHa拿^E^s弓睛吕5 м 〃 N勿破什虚" $穆息w自EHa拿^E^s弓睛吕加砲必勿加勿勿^(Яцентраци^ Fe;莎7’％加砲必勿加勿勿^(Яцентраци^ Fe;莎7’％Рис. 21.1- Значения среднего магнитного момента ц，Спл (на атом сплава) для неупорядоченных сплавов Ni 一 Fe. вычисленные по формулам (21.144), (21*148) (сплошная кривая), и экспериментальные точки.1 — Шалл и Уилкинсон [34]; 2 — Кон- дорский и Федотов [33]； 3 — Крэнгл и Халлам [29]; 4 — Коллинз и др. [35]； 5 — Бандо [326].Рис. 21.1- Значения среднего магнитного момента ц，Спл (на атом сплава) для неупорядоченных сплавов Ni 一 Fe. вычисленные по формулам (21.144), (21*148) (сплошная кривая), и экспериментальные точки.1 — Шалл и Уилкинсон [34]; 2 — Кон- дорский и Федотов [33]； 3 — Крэнгл и Халлам [29]; 4 — Коллинз и др. [35]； 5 — Бандо [326].Рис. 21.2. Зависимость среднего атомного магнитного момента насыщения р (в ц^) сплава Fe — Со от концентрации Со (в ат. %).Рис. 21.2. Зависимость среднего атомного магнитного момента насыщения р (в ц^) сплава Fe — Со от концентрации Со (в ат. %).
5 м 〃 N勿破什虚" $穆息w自EHa拿^E^s弓睛吕
5 м 〃 N勿破什虚" $穆息w自EHa拿^E^s弓睛吕
加砲必勿加勿勿
^(Яцентраци^ Fe;莎7’％
加砲必勿加勿勿
^(Яцентраци^ Fe;莎7’％
Рис. 21.1- Значения среднего магнитного момента ц，Спл (на атом сплава) для неупорядоченных сплавов Ni 一 Fe. вычисленные по формулам (21.144), (21*148) (сплошная кривая), и экспериментальные точки.
1 — Шалл и Уилкинсон [34]; 2 — Кон- дорский и Федотов [33]； 3 — Крэнгл и Халлам [29]; 4 — Коллинз и др. [35]； 5 — Бандо [326].
Рис. 21.1- Значения среднего магнитного момента ц，Спл (на атом сплава) для неупорядоченных сплавов Ni 一 Fe. вычисленные по формулам (21.144), (21*148) (сплошная кривая), и экспериментальные точки.
1 — Шалл и Уилкинсон [34]; 2 — Кон- дорский и Федотов [33]； 3 — Крэнгл и Халлам [29]; 4 — Коллинз и др. [35]； 5 — Бандо [326].
Рис. 21.2. Зависимость среднего атомного магнитного момента насыщения р (в ц^) сплава Fe — Со от концентрации Со (в ат. %).
Рис. 21.2. Зависимость среднего атомного магнитного момента насыщения р (в ц^) сплава Fe — Со от концентрации Со (в ат. %).
кие «виртуальные» точки Кюри как температуры, при которых сплав перешел бы в парамагнитное состояние, если бы о. ц. к. a-фаза не переходила в г. ц. к. у-фазу. Еще более сложной является зависимость ри®
РРКонцентрация Со, ат. %Концентрация Со, ат. %Рис. 21.3. Зависимость среднего атомного магнитного момента насыщения р (в gg) сплава Ni — Со от концентрации Со (в ат.%).Рис. 21.3. Зависимость среднего атомного магнитного момента насыщения р (в gg) сплава Ni — Со от концентрации Со (в ат.%).Содержание Ni, вес %Содержание Ni, вес %Рис. 21.4/ Диаграмма фазового равновесия сплавов Fe— Ni. Сплошные линии — границы фазовых (а-, а + ?- 1r V-) областей по данным Оуэна и Салли [327]. Штриховая линия — линия точен Кюри по данным Пешара [328] и (®Fe ®№—точки Кюри соответственно чистых Fe и Ni).Рис. 21.4/ Диаграмма фазового равновесия сплавов Fe— Ni. Сплошные линии — границы фазовых (а-, а + ?- 1r V-) областей по данным Оуэна и Салли [327]. Штриховая линия — линия точен Кюри по данным Пешара [328] и (®Fe ®№—точки Кюри соответственно чистых Fe и Ni).
Р
Р
Концентрация Со, ат. %
Концентрация Со, ат. %
Рис. 21.3. Зависимость среднего атомного магнитного момента насыщения р (в gg) сплава Ni — Со от концентрации Со (в ат.%).
Рис. 21.3. Зависимость среднего атомного магнитного момента насыщения р (в gg) сплава Ni — Со от концентрации Со (в ат.%).
Содержание Ni, вес %
Содержание Ni, вес %
Рис. 21.4/ Диаграмма фазового равновесия сплавов Fe— Ni. Сплошные линии — границы фазовых (а-, а + ?- 1r V-) областей по данным Оуэна и Салли [327]. Штриховая линия — линия точен Кюри по данным Пешара [328] и (®Fe ®№—точки Кюри соответственно чистых Fe и Ni).
Рис. 21.4/ Диаграмма фазового равновесия сплавов Fe— Ni. Сплошные линии — границы фазовых (а-, а + ?- 1r V-) областей по данным Оуэна и Салли [327]. Штриховая линия — линия точен Кюри по данным Пешара [328] и (®Fe ®№—точки Кюри соответственно чистых Fe и Ni).
от состава в сплавах системы Ni — Fe. Из рис. 21.4 видно, что для концентраций Ni более чем 30—36% кривая ферромагнитного превращения непрерывна и однозначна (но не монотонна). Сплавы же с содержанием Ni меньше чем 30—36 % необратимые из-за явлений переохлаждения или перегрева при структурных превращениях в этих сплавах.
2・ Сплавы никеля и железа с нормальными металлами, а. Эмпирические зависимости. При изучении бинарных сплавов Ni с непер сходными
нормальными металлами при малых концентрациях последних, когда сплав еще фер р ома гнитен, Садр он [9]нормальными металлами при малых концентрациях последних, когда сплав еще фер р ома гнитен, Садр он [9]обнаружил следующую эмпирическую закономерность: замена каждого атомаобнаружил следующую эмпирическую закономерность: замена каждого атомаNi атомом нормального элементаNi атомом нормального элементаI侬；㈱如爲 dnLuodauwI侬；㈱如爲 dnLuodauw2勿 о2勿 ою го 30 40 50 60 70 80 30 100 Содержание Со, вес.%ю го 30 40 50 60 70 80 30 100 Содержание Со, вес.%汶-DdEEDd2u注婚」汶-DdEEDd2u注婚」Рис. 21.6. Зависимость точек Кюри сплавов Со — Ni от состава сплава.Рис. 21.6. Зависимость точек Кюри сплавов Со — Ni от состава сплава.20 W 6080 ЮОСодержание Ni,师.％20 W 6080 ЮОСодержание Ni,师.％Рис. 21.5. Диаграмма фазового равновесия сплавов Fc — Со. Сплошная и толстая штриховая линии — границы фазовых (а-, а + у-, V-, у 斗 £- и е-) областей. Линия точек Кюри (тонкая штриховая) имеет три участка: ,а — внутри а-области, 6 — внутри у- области и в ——совпадает с границей а- и ^-областей. Штрих-пунктирная линия показывает фазовый переход между упорядоченным и неупорядоченным сплавами.Рис. 21.5. Диаграмма фазового равновесия сплавов Fc — Со. Сплошная и толстая штриховая линии — границы фазовых (а-, а + у-, V-, у 斗 £- и е-) областей. Линия точек Кюри (тонкая штриховая) имеет три участка: ,а — внутри а-области, 6 — внутри у- области и в ——совпадает с границей а- и ^-областей. Штрих-пунктирная линия показывает фазовый переход между упорядоченным и неупорядоченным сплавами.
нормальными металлами при малых концентрациях последних, когда сплав еще фер р ома гнитен, Садр он [9]
нормальными металлами при малых концентрациях последних, когда сплав еще фер р ома гнитен, Садр он [9]
обнаружил следующую эмпирическую закономерность: замена каждого атома
обнаружил следующую эмпирическую закономерность: замена каждого атома
Ni атомом нормального элемента
Ni атомом нормального элемента
I侬；㈱如爲 dnLuodauw
I侬；㈱如爲 dnLuodauw
2勿 о
2勿 о
ю го 30 40 50 60 70 80 30 100 Содержание Со, вес.%
ю го 30 40 50 60 70 80 30 100 Содержание Со, вес.%
汶-DdEEDd2u注婚」
汶-DdEEDd2u注婚」
Рис. 21.6. Зависимость точек Кюри сплавов Со — Ni от состава сплава.
Рис. 21.6. Зависимость точек Кюри сплавов Со — Ni от состава сплава.
20 W 6080 ЮО
Содержание Ni,师.％
20 W 6080 ЮО
Содержание Ni,师.％
Рис. 21.5. Диаграмма фазового равновесия сплавов Fc — Со. Сплошная и толстая штриховая линии — границы фазовых (а-, а + у-, V-, у 斗 £- и е-) областей. Линия точек Кюри (тонкая штриховая) имеет три участка: ,а — внутри а-области, 6 — внутри у- области и в ——совпадает с границей а- и ^-областей. Штрих-пунктирная линия показывает фазовый переход между упорядоченным и неупорядоченным сплавами.
Рис. 21.5. Диаграмма фазового равновесия сплавов Fc — Со. Сплошная и толстая штриховая линии — границы фазовых (а-, а + у-, V-, у 斗 £- и е-) областей. Линия точек Кюри (тонкая штриховая) имеет три участка: ,а — внутри а-области, 6 — внутри у- области и в ——совпадает с границей а- и ^-областей. Штрих-пунктирная линия показывает фазовый переход между упорядоченным и неупорядоченным сплавами.
валентности v уменьшает средний атомный момент сплава р(шп на ну (v/100) V(V —— ат. % примеси в сплаве), т, е.Penn = PNi —而5валентности v уменьшает средний атомный момент сплава р(шп на ну (v/100) V(V —— ат. % примеси в сплаве), т, е.Penn = PNi —而5величи-(21.1)величи-(21.1)В менее яркой форме это наблюдается и в сплавах на основе Со. Формула (21Л) лучше всего оправдывается для сплавов системы Ni — Си.В менее яркой форме это наблюдается и в сплавах на основе Со. Формула (21Л) лучше всего оправдывается для сплавов системы Ni — Си.
валентности v уменьшает средний атомный момент сплава р(шп на ну (v/100) V(V —— ат. % примеси в сплаве), т, е.
Penn = PNi —而5
валентности v уменьшает средний атомный момент сплава р(шп на ну (v/100) V(V —— ат. % примеси в сплаве), т, е.
Penn = PNi —而5
величи-
(21.1)
величи-
(21.1)
В менее яркой форме это наблюдается и в сплавах на основе Со. Формула (21Л) лучше всего оправдывается для сплавов системы Ni — Си.
В менее яркой форме это наблюдается и в сплавах на основе Со. Формула (21Л) лучше всего оправдывается для сплавов системы Ni — Си.
гого冬-5£冬-5£ОО15151010zoo w 600 soo юоо Температура, °Czoo w 600 soo юоо Температура, °CРис. 21.7. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности (индукции Bs ^ 4л7§) сплава Fe — Со состава 50 ат. % Fe и 50 ат. % Со, когда линия точек Кюри ■совпадает с границей а- и ^областей (см. участок в линий точек Кюри на рис. 21.5) (Кюльвейн [117]).Рис. 21.7. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности (индукции Bs ^ 4л7§) сплава Fe — Со состава 50 ат. % Fe и 50 ат. % Со, когда линия точек Кюри ■совпадает с границей а- и ^областей (см. участок в линий точек Кюри на рис. 21.5) (Кюльвейн [117]).一纱 勿％一纱 勿％OfiOfiооNl-CuNl-Cu勿 4^60勿 4^60Содержание Си, ат. /Содержание Си, ат. /Рис. 21.8. Зависимость среднего атомногомагнитного момента「сил ⑴ 卩Е)сплава в си-стеме Ni — Си от состава. 1 — данные Аэрнаи др. [101, 2 —— Оливера и Сэксмйта [11], з——Арротта [12].Рис. 21.8. Зависимость среднего атомногомагнитного момента「сил ⑴ 卩Е)сплава в си-стеме Ni — Си от состава. 1 — данные Аэрнаи др. [101, 2 —— Оливера и Сэксмйта [11], з——Арротта [12].
го
го
冬-5£
冬-5£
О
О
15
15
10
10
zoo w 600 soo юоо Температура, °C
zoo w 600 soo юоо Температура, °C
Рис. 21.7. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности (индукции Bs ^ 4л7§) сплава Fe — Со состава 50 ат. % Fe и 50 ат. % Со, когда линия точек Кюри ■совпадает с границей а- и ^областей (см. участок в линий точек Кюри на рис. 21.5) (Кюльвейн [117]).
Рис. 21.7. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности (индукции Bs ^ 4л7§) сплава Fe — Со состава 50 ат. % Fe и 50 ат. % Со, когда линия точек Кюри ■совпадает с границей а- и ^областей (см. участок в линий точек Кюри на рис. 21.5) (Кюльвейн [117]).
一纱 勿％
一纱 勿％
Ofi
Ofi
о
о
Nl-Cu
Nl-Cu
勿 4^60
勿 4^60
Содержание Си, ат. /
Содержание Си, ат. /
Рис. 21.8. Зависимость среднего атомногомагнитного момента「сил ⑴ 卩Е)сплава в си-стеме Ni — Си от состава. 1 — данные Аэрнаи др. [101, 2 —— Оливера и Сэксмйта [11], з——Арротта [12].
Рис. 21.8. Зависимость среднего атомногомагнитного момента「сил ⑴ 卩Е)сплава в си-стеме Ni — Си от состава. 1 — данные Аэрнаи др. [101, 2 —— Оливера и Сэксмйта [11], з——Арротта [12].
На рис. 21.8 приведены данные для Репп, а на рис. 21.9 —— для 0 в системе Ni ——Си по работам [10—13]. На рис. 21.10 и 21.11 приведены другие примеры для сплавов Ni — Al, Ni — Si, Ni — Ge, Ni — Sb, Ni — Sn, Ni — Zn по данным [14, 15, 9].
Для сплавов Fe с нормальными металлами наблюдается совершенно другая зависимость р от концентрации примеси. Это было( впервые показано в работах Фалло [16, 17] на сплавах Fe — Al, Fe — Si, Fe — Au, Fe ——Zn, Fe — Sn, Fe ——V. При малых концентрациях было найдено, что средний атомный момент сплава зависит от тасла атомов железа и не зависит от валентности атома примеси, т. е.
РсплРспл?Fe?Fe(21.2)(21.2)
Рспл
Рспл
?Fe
?Fe
(21.2)
(21.2)
Феноменологическая трактовка сплавов на основе Ni. Рассмотрим подробнее случай, описываемый формулой (21.1). Из нее следует [см. Дорфман (1955)], что если бы атомы примеси имели нулевую валентность (у = =0), то при концентрациях v в области ее применимости величина Рспл
Рис. 21.9. Зависимость точки Кюри в системе сплавов Ni ——Си от состава. 1 — данные Аэрна и др. [101; 2 — Оливера Сэксмита [И]; з — Мейера и Вольфа [13].Рис. 21.9. Зависимость точки Кюри в системе сплавов Ni ——Си от состава. 1 — данные Аэрна и др. [101; 2 — Оливера Сэксмита [И]; з — Мейера и Вольфа [13].Сйдвржание Al, Sb, Ge, Si, am. %Сйдвржание Al, Sb, Ge, Si, am. %Рис. 21.10. Зависимость точек Кюри сплавов Ni (с Al, Ge, Sb и Si) от содержания примеси (Крэигл и Мартин [15]).Рис. 21.10. Зависимость точек Кюри сплавов Ni (с Al, Ge, Sb и Si) от содержания примеси (Крэигл и Мартин [15]).
Рис. 21.9. Зависимость точки Кюри в системе сплавов Ni ——Си от состава. 1 — данные Аэрна и др. [101; 2 — Оливера Сэксмита [И]; з — Мейера и Вольфа [13].
Рис. 21.9. Зависимость точки Кюри в системе сплавов Ni ——Си от состава. 1 — данные Аэрна и др. [101; 2 — Оливера Сэксмита [И]; з — Мейера и Вольфа [13].
Сйдвржание Al, Sb, Ge, Si, am. %
Сйдвржание Al, Sb, Ge, Si, am. %
Рис. 21.10. Зависимость точек Кюри сплавов Ni (с Al, Ge, Sb и Si) от содержания примеси (Крэигл и Мартин [15]).
Рис. 21.10. Зависимость точек Кюри сплавов Ni (с Al, Ge, Sb и Si) от содержания примеси (Крэигл и Мартин [15]).
не зависела бы от концентрации немагнитных атомов примеси. Это означает, что средний атомный момент (магнитное насыщение) самого растворителя и его сплава является свойством всего кристалла в целом, а не аддитивным свойством отдельных его атомов. Второе слагаемое в (21.1) входит со знаком минус, поэтому оно дает вклад в намагниченность, анти- параллельный моменту растворителя. Следуя Крэнглю и Мартину [15], можно чисто феноменологически с помощью (21.1) описать перестройку в системе электронов в бинарных сплавах Ni с нормальными элементами (со стороны концентраций, богатых Ni). Обозначим через щ число незанятых мест на узел в Зй-полосе с данной проекцией спина (+). Тогда число таких мест в сплаве с концентрацией v будет: пСпл = ^о (1 —— 屮) —— vp. Экспериментально наблюдаемый средний момент связан с числом п соотношением р =(1/2) g", где g — фактор Ланде. Резонансные наблюдения Стендли и Рейха [18] показали, что в системах Ni —— Al и Ni —— Sb, а также в Ni — Си фактор g не зависит сколько-нибудь существенно от состава сплава, по крайней мере в интервале концентраций v, для которых справедлива формула (21.1). Поэтому можно принять, что
Рспл = 2?Е(1 —V)—VP],
или
樂 + 叫(21.3)
Для Ni по данным Стендли и Рейха [18], а также [19, 201 g = 2,20 士 0,03.
Если для ,Ni принять значение 0,606, то п0 = 0,55. В табл. 21.1 приведены опытные данные для &РсиК&% и вычисленные по (21.3) значения и для семи никелевых сплавов (при nQ = 0,55 и g = 2,20). Ни в одном случае V не равно валентности изолированного атома, и следовательно, не все внешние s- и /^-электроны переходят на незанятые состояния в《магнитной» энер гетической d-полосе никеля. Значения числа 6 в последнем столбце
Рис. 21.11. Зависимость среднего атомного магнитного момента РСпл сплавов Ni с Al, Ge, Si, Sb, Zn, Sn от содержания примеси (Крэнгл и Мартин [15]).Рис. 21.11. Зависимость среднего атомного магнитного момента РСпл сплавов Ni с Al, Ge, Si, Sb, Zn, Sn от содержания примеси (Крэнгл и Мартин [15]).
Рис. 21.11. Зависимость среднего атомного магнитного момента РСпл сплавов Ni с Al, Ge, Si, Sb, Zn, Sn от содержания примеси (Крэнгл и Мартин [15]).
Рис. 21.11. Зависимость среднего атомного магнитного момента РСпл сплавов Ni с Al, Ge, Si, Sb, Zn, Sn от содержания примеси (Крэнгл и Мартин [15]).
таблЛ 21.1 равны разности между валентностью изолированного атома примеси и рассчитанной величиной v. Это та доля «валентных» электронов примеси, которая не влияет на магнитные свойства сплава. По-видимому,
Таблица 21.1
Зависимость атомных магнитных моментов рСпл никелевых сплавовс нормальным элементом от состава (концентрации примеси v),а также значения валентности г атомов примеси в сплаве
Растворяемый элемент
Валентность изолирован ных атомов
叽口л
6 **)
1,14
2,11
0,48+0,02
С j
1,37+0,05
1,99±0,08
0,6
2,8
1,0
3,77
2,87+0,05
2,81+0,05
1,1
3,7
4,22
1,2
3,29±0,06
37
5,31
4,27+0,12
0,7
*) Значения вычисляются
по формуле
(21.3).
**) о ——разность между валентностью изолированного
атома и ее
значением, рассчитанным по формуле (21.3) для сплава.
эти электроны «уходят» в систему немагнитных коллективизированных электронов проводимости кристалла. Однако магнитные измерения сами по себе не могут дать нам точный ответ на этот вопрос.
Модель «жесткой» полот. При рассмотрении металлических сплавов весьма распространенной является модель «жесткой» полосы (rigid band). Для ферромагнитных сплавов ее впервые применил Мотт [21].
Содержание А I , ат. %Содержание А I , ат. %Рис. 21.12. редкие атомные магнитные моменты рспл (в магнетонах Бора 卩万)и точки Нюри 0СПЛ в системе сплавов Fe — Al как функции концентрации А1 (Фалло [161).Рис. 21.12. редкие атомные магнитные моменты рспл (в магнетонах Бора 卩万)и точки Нюри 0СПЛ в системе сплавов Fe — Al как функции концентрации А1 (Фалло [161).Рис. 21.13. Средние атомные магнитные моменты (на атом Fe) в магнетонах Бора |1Е и тонкнКюрп 0СПЛ в системе сплавов Fe — Si как функции ： концентрации^ Si (Парсонс и др. [23]).Рис. 21.13. Средние атомные магнитные моменты (на атом Fe) в магнетонах Бора |1Е и тонкнКюрп 0СПЛ в системе сплавов Fe — Si как функции ： концентрации^ Si (Парсонс и др. [23]).
Содержание А I , ат. %
Содержание А I , ат. %
Рис. 21.12. редкие атомные магнитные моменты рспл (в магнетонах Бора 卩万)и точки Нюри 0СПЛ в системе сплавов Fe — Al как функции концентрации А1 (Фалло [161).
Рис. 21.12. редкие атомные магнитные моменты рспл (в магнетонах Бора 卩万)и точки Нюри 0СПЛ в системе сплавов Fe — Al как функции концентрации А1 (Фалло [161).
Рис. 21.13. Средние атомные магнитные моменты (на атом Fe) в магнетонах Бора |1Е и тонкнКюрп 0СПЛ в системе сплавов Fe — Si как функции ： концентрации^ Si (Парсонс и др. [23]).
Рис. 21.13. Средние атомные магнитные моменты (на атом Fe) в магнетонах Бора |1Е и тонкнКюрп 0СПЛ в системе сплавов Fe — Si как функции ： концентрации^ Si (Парсонс и др. [23]).
Рис. 21.14. Коэффициент ТСпл электронного вклада в теплоемкость в сплавах Fe — .Al как функция содержания А1 (в ат. %) (Ченг и др. [24]).Рис. 21.14. Коэффициент ТСпл электронного вклада в теплоемкость в сплавах Fe — .Al как функция содержания А1 (в ат. %) (Ченг и др. [24]).Содержание Sb,Sn,Si,G8,z?Z7. %Содержание Sb,Sn,Si,G8,z?Z7. %Рис. 21.15. Коэффициент ТСпл электронного вклада в теплоемкость в сплавах. Fe — Sb, Fe — Sn, Fe — Si, Fe — Ge как функция содержания растворенного элемента (в ат. %) (Гупта и др. [25]).Рис. 21.15. Коэффициент ТСпл электронного вклада в теплоемкость в сплавах. Fe — Sb, Fe — Sn, Fe — Si, Fe — Ge как функция содержания растворенного элемента (в ат. %) (Гупта и др. [25]).
Рис. 21.14. Коэффициент ТСпл электронного вклада в теплоемкость в сплавах Fe — .Al как функция содержания А1 (в ат. %) (Ченг и др. [24]).
Рис. 21.14. Коэффициент ТСпл электронного вклада в теплоемкость в сплавах Fe — .Al как функция содержания А1 (в ат. %) (Ченг и др. [24]).
Содержание Sb,Sn,Si,G8,z?Z7. %
Содержание Sb,Sn,Si,G8,z?Z7. %
Рис. 21.15. Коэффициент ТСпл электронного вклада в теплоемкость в сплавах. Fe — Sb, Fe — Sn, Fe — Si, Fe — Ge как функция содержания растворенного элемента (в ат. %) (Гупта и др. [25]).
Рис. 21.15. Коэффициент ТСпл электронного вклада в теплоемкость в сплавах. Fe — Sb, Fe — Sn, Fe — Si, Fe — Ge как функция содержания растворенного элемента (в ат. %) (Гупта и др. [25]).
Согласно этой модели предполагается, что в сплавах, подобных № — Си, Ni — Zn и т. д., форма кривой для плотности электронных уровней g (е) в энергетической полосе не меняется в широком интервале концентраций.
Если меняется число электронов, приходящихся на узел решетки, то, конечно, меняется энергия Ферми 第. Поэтому модель «жесткой полосы» весьма приближенна, в особенности когда атомы сплавляемых элементов сильно различаются по своей электронной структуре. Тем*не менее эта модель
может быть использована как первое качественное описание при не очень больших концентрациях. Очевидно, что формула (21.1) будет находиться в полном соответствии с моделью «жесткой полосы», если предположить, что все лишние электроны атомов добавляемого к никелю элемента заполняют «дырки» в его единственной незаполненной Зй-подполосел
рис. 21.16. Средний атомный магнитный момент"рспл (в магнетонах Бора цБ) как функция числа 3d 十 4s・ электронов ng+(^Ha атом для г.ц.к. бинарных сплавов Fe, Со и Ni (кривая Слэтера ——Полинга) Крэнгл и Халлам [29]).рис. 21.16. Средний атомный магнитный момент"рспл (в магнетонах Бора цБ) как функция числа 3d 十 4s・ электронов ng+(^Ha атом для г.ц.к. бинарных сплавов Fe, Со и Ni (кривая Слэтера ——Полинга) Крэнгл и Халлам [29]).21.14 для Fe — Al и на рис. 21.15 для21.14 для Fe — Al и на рис. 21.15 длякое изменение величины 伙口口 в случае сплава Feкое изменение величины 伙口口 в случае сплава Fe—Al (рис. 21.14) при—Al (рис. 21.14) приРис. 21.17. Средний атомный магнитный момент рСпл (в магнетонах Бора цр) как функция числа 3d + 48-электронов %+d на атом для о. ц. к. бинарных сплавов железа (Крэнгл и Халлам [29]).Рис. 21.17. Средний атомный магнитный момент рСпл (в магнетонах Бора цр) как функция числа 3d + 48-электронов %+d на атом для о. ц. к. бинарных сплавов железа (Крэнгл и Халлам [29]).
рис. 21.16. Средний атомный магнитный момент"рспл (в магнетонах Бора цБ) как функция числа 3d 十 4s・ электронов ng+(^Ha атом для г.ц.к. бинарных сплавов Fe, Со и Ni (кривая Слэтера ——Полинга) Крэнгл и Халлам [29]).
рис. 21.16. Средний атомный магнитный момент"рспл (в магнетонах Бора цБ) как функция числа 3d 十 4s・ электронов ng+(^Ha атом для г.ц.к. бинарных сплавов Fe, Со и Ni (кривая Слэтера ——Полинга) Крэнгл и Халлам [29]).
21.14 для Fe — Al и на рис. 21.15 для
21.14 для Fe — Al и на рис. 21.15 для
кое изменение величины 伙口口 в случае сплава Fe
кое изменение величины 伙口口 в случае сплава Fe
—Al (рис. 21.14) при
—Al (рис. 21.14) при
Рис. 21.17. Средний атомный магнитный момент рСпл (в магнетонах Бора цр) как функция числа 3d + 48-электронов %+d на атом для о. ц. к. бинарных сплавов железа (Крэнгл и Халлам [29]).
Рис. 21.17. Средний атомный магнитный момент рСпл (в магнетонах Бора цр) как функция числа 3d + 48-электронов %+d на атом для о. ц. к. бинарных сплавов железа (Крэнгл и Халлам [29]).
а・ Феноменологическая трактовка сплавов на основе Fe. Обратимся теперь к формуле (21.2), справедливой для сплавов Fe с нормальными элементами. На рис. 21.12 приведены данные Фалло [16] для рспл и точек Кюри 0СПЛ для сплавов системы Fe — AL Аналогичные результаты были также получены в работе Арротта и Сато [22]. На рис. 21.13 приведены аналогичные результаты работы Парсонса и др. [23] для сплавов Fe — Si. Из начальных (прямолинейных) участков кривых для рСпл на рис. 21.12
и 21.13 видно, что в этих сплавах «лишние» электроны алюминия и кремния в основном переходят в s-полосу и уровень Ферми для спиновг антипараллельных спонтанному моменту, не смещается заметно «вправо» (в область более высоких энергий) с ростом концентрации Al, Si и т. д. Дополнительным п од тв ер жд ени ем этой гипотезы могут служить измерения электронной части теплоемкости (Сэл — 丫山？》 этих сплавов (Ченг и др. [24], Гупта и др. [25]). Данные для 7спл по ряду сплавов- железа приведены на рис. Fe — Sb, Fe — Sn, Fe — Si
и Fe — Ge. Из кривых рис. 21.15 видно, что 7СПЛ при концентрациях ниже 20—25% меняется весьма незначительно. Это и можно рассматривать как указание на то, что уровень Ферми слабо смещается. Рез-
содержании алюминия 25% согласуется с таким же резким (а также немонотонным!) спадом на кривых для Рспл И ©спл (рис. 21.12). Очевидно, что при этой концентрации и выше модель «жесткой полосы» уже неприменима. Сато и Арротт [26], например, считают, что с ростом содержания алюминия изменяется знак энергии обменного взаимодействия между атомами железа.
Кривая Слэтера——Полинга.
Магнитные моменты бинарных ферромагнитных сплавов Ni, Со и Fe между собой и с другими переходными Зй-металлами обычно принято представлять на кривой
Слэтера [27] — Полинга [28] 21.16, 21.17). Эта кривая
на атом (т. е. от концентрации сплава!). На рис. 21.17 приведены такие же- данные для сплавов с о. ц. к. решеткой. При этом основные данные дляна атом (т. е. от концентрации сплава!). На рис. 21.17 приведены такие же- данные для сплавов с о. ц. к. решеткой. При этом основные данные для
на атом (т. е. от концентрации сплава!). На рис. 21.17 приведены такие же- данные для сплавов с о. ц. к. решеткой. При этом основные данные для
на атом (т. е. от концентрации сплава!). На рис. 21.17 приведены такие же- данные для сплавов с о. ц. к. решеткой. При этом основные данные для
уточнена в последнее время в работах Крэнгла и Халлама [29]. для средних атомных магнитных с г. ц. к. решеткой в зависимости
На рис. 21.16 приведены данные моментов Репп (в Цб) для сплавов- от среднего числа электронов 几^+或
сплавов Ni — Си взяты из работы Аэрна и др. [10]. Изучались и другие сплавы Со — Fe, Со — Ni £30]; Ni — Gr, Ni — V, Ni — Mn, Fe — Mn [9]; Go - Gr, Go - Mn [31]; Fe - V, Fe - Gr [16], Fe - Ni [29] ). Из рис. 21.16 видно, что в сплавах, богатых Ni, с г. ц. к. решеткой, п меняется линейно со средним числом 3d + 4§-электронов на атом. Наклон прямой мало отличается от единицы и одинаков для сплавов различных
° го 40 60 30 100 Содержание Ml, am. %° го 40 60 30 100 Содержание Ml, am. %Рис. 21.18. Парциальные магнитные моменты, связанные с 3d-электронами в сплавах Fe — Ni как функции состава (Коллинз и Форсайт [36]). 1 — точки, полученные с помощью поляризованных нейтронов； 2 и з—для упорядоченных сплавов.Рис. 21.18. Парциальные магнитные моменты, связанные с 3d-электронами в сплавах Fe — Ni как функции состава (Коллинз и Форсайт [36]). 1 — точки, полученные с помощью поляризованных нейтронов； 2 и з—для упорядоченных сплавов.Содержание Ni, ат. %Содержание Ni, ат. %Рис. 21.19. Парциальные магнитные моменты, связанные с Sd-электронами в сплавах № — Со как функции состава (Коллинз и Уилер [118]).Рис. 21.19. Парциальные магнитные моменты, связанные с Sd-электронами в сплавах № — Со как функции состава (Коллинз и Уилер [118]).
° го 40 60 30 100 Содержание Ml, am. %
° го 40 60 30 100 Содержание Ml, am. %
Рис. 21.18. Парциальные магнитные моменты, связанные с 3d-электронами в сплавах Fe — Ni как функции состава (Коллинз и Форсайт [36]). 1 — точки, полученные с помощью поляризованных нейтронов； 2 и з—для упорядоченных сплавов.
Рис. 21.18. Парциальные магнитные моменты, связанные с 3d-электронами в сплавах Fe — Ni как функции состава (Коллинз и Форсайт [36]). 1 — точки, полученные с помощью поляризованных нейтронов； 2 и з—для упорядоченных сплавов.
Содержание Ni, ат. %
Содержание Ni, ат. %
Рис. 21.19. Парциальные магнитные моменты, связанные с Sd-электронами в сплавах № — Со как функции состава (Коллинз и Уилер [118]).
Рис. 21.19. Парциальные магнитные моменты, связанные с Sd-электронами в сплавах № — Со как функции состава (Коллинз и Уилер [118]).
Содержание Си, ат. %Содержание Си, ат. %Рис. 21.20. Парциальные магнит-ные моменты, связанные с 3d・зпект・ронами в сплавах Fe — Со какфункции состава (Коллинз и Фор-сайт [36]).Рис. 21.20. Парциальные магнит-ные моменты, связанные с 3d・зпект・ронами в сплавах Fe — Со какфункции состава (Коллинз и Фор-сайт [36]).
Содержание Си, ат. %
Содержание Си, ат. %
Рис. 21.20. Парциальные магнит-ные моменты, связанные с 3d・зпект・ронами в сплавах Fe — Со какфункции состава (Коллинз и Фор-сайт [36]).
Рис. 21.20. Парциальные магнит-ные моменты, связанные с 3d・зпект・ронами в сплавах Fe — Со какфункции состава (Коллинз и Фор-сайт [36]).
систем (Ni — Си, Ni — Со, Ni — Fe). Поведение среднего атомного момента п в этих системах хорошо описывается в рамках модели «жесткой полосы» (см. выше).
Парциальные атомные моменты компонент сплавов (по нейтронографическим измерениям). На первый взгляд может показаться, что эти
«магнитные» данные находятся в противоречии с пейтронографическими результатами Шалла и Уилкинсона [34] и других [35— $ 37] ), в которых была обнаружена прост- • ранственная локализация магнитных мо- | ментов, связанных с ионами Ni, Fe и Со. | При этом наблюдаемые парциальные магнит-弋 ные моменты ионов отдельных компонент сплавов Fe — Ni и особенно Ni — Со мало 思 отличались от их значений для чистых металлов (рис. 21.18 и 21.19). В случае же сплава Со — Fe момент атома Со не меняется, а момент атома Fe растет от 2,2р，в для чистого железа, до 2,9 Цв при 50% Со и выше (рис. 21.20). Однако фактически между нейтронографическими данными и зонной моделью нет противоречия, поскольку существование
локализованной зарядовой или спиновой
в металлическихв металлическихплотности для коллективизированных электронов
в металлических
в металлических
кристаллах отнюдь не «противопоказано» с точки зрения зонной модели (см., например, обзор Вонсовского и Изюмова [38] и работу Изу яма и др. [39]).
«Аномалии» на кривой Слэтера ——Полинга. Совершенно иное «аномальное» поведение наблюдается для магнитных моментов сплавов Ni, Со, и Fe с Сг, Мп и V, а также Fe с Со и Ni при больших концентрациях Fe (см. рис. 21.16 и 21.17). Одно из возможных объяснений этого состоит в том, что примесные атомы переходных элементов (V, Сг и Мп) входят в ферромагнитную матрицу (Ni, Со и Fe) с антипараллельными моментами (т. е. что существует антиферромагнитная связь между примесными атомами и атомами матрицы). Однако Фридель [40—42] указал еще на один, по-видимому, более важный механизм влияния примесных атомов на моменты соседних атомов матрицы. Он предположил, что уменьшение спонтанного момента, например, в сплаве Ne — V связано главным образом с уменьшением моментов атомов Ni, окружающих примесный центр. Экспериментальную проверку этого предположения для сплавов на основе Ni предприняли Лоу и Коллинз [37]. Они провели сравнительные нейтронографические измерения парциальных магнитных моментов в двух нормальных (следующих кривой Слэтера —— Полинга) сплавах (Ni —— Fe и Ni — Мп) и в двух аномальных (N1 — V и Ni — Сг) при концентрациях примесей Fe, Мп, V и Сг порядка 1,5%. Эти измерения действительно показали, что в сплавах Ni —Vh Ni— Сг имеют место заметные нарушения в распределении магнитных моментов вокруг атома примеси. В случае же •сплавов Ni — Fe и Ni — Мп (при 1,5 ат. % Fe и Мп) таких нарушений не наблюдалось и все изменения в атомных моментах ограничиваются самим атомом примеси. При этом нейтронные измерения показали, что в случае сплава Ni — Сг момент атома примеси (Сг) равен +0,6цб, а его •ближайших соседей атомов Ni составляет +0,23цв- В случае сплава Ni — V имеем соответственно — 1,2р，в и +0,32р，в. Эти значения согласуются с величиной начального наклона кривых dpcnJdv для этих сплавов [Бо- зорт (1956)]. Согласно Фриделю [40, 41], присутствие атома примеси в матрице типа Ni или Со приводит к возникновению связанного состояния, отщепляемого от каждого из двух Зс?-подполос (с противоположной ориентацией спинов). Эти состояния смещаются в область более высоких энергий. Расщепление между этими дискретными уровнями зависит от величины возмущения. Предполагается, что у Ni одна из Зй-подполос заполнена целиком, а вторая — частично. Фридель [40, 41] принимает, что в сила” вах, не «укладывающихся» на кривую Слэтера — Полинга, дискретный уровень примеси, отщепленный от заполненной Зй-подполосы, смещается вверх и оказывается выше уровня Ферми. Поэтому электрон с этого уровня переходит в частично заполненную Зй-подполосу. Если каждое состояние пятикратно вырождено, то это приводит к уменьшению момента на 10р，в на каждый атом примеси.
В добавление к этому эффекту наблюдаются явления, связанные с экранировкой заряда вокруг примесного атома. А именно, если AZ разность атомных номеров атомов матрицы и примеси, то следует ожидать, что вокруг атома примеси будет на AZ электронов меньше, чем у узла решетки невозмущенной матрицы. Поскольку эти «исчезнувшие» электроны почти все удаляются из состояний с высокой плотностью из незаполненной Зй-подполосы, то следует ожидать возрастания магнитного момента на величину AZ|_ie・ Поэтому в случае сплавов, не следующих кривой Слэтера — Полинга, модель Фриделя предсказывает, что полное изменение момента на каждый растворенный атом равно (AZ ——10) ^е, что находится в прекрасном согласии с опытом. С другой стороны, в сплавах, которые следуют кривой Слэтера — Полинга, дискретные уровни примеси, соответствующие целиком заполненной Зй-подполосе, остаются ниже уровня Ферми (поскольку возмущение в этих системах слабее), и поэтому следует учитывать лишь эффект экранировки.
Оба описанных механизма могут приводить к различным изменениям пространственного распределения магнитного момента вблизи растворенного атома примеси. Высокая плотность уровней в незаполненной 3d-
подполосе позволяет эффективно заэкранировать различие в заряде ядер AZ на самом примесном узле. Вместе с тем волновые функции примесных состояний относительно сильно размазаны по пространству, так как они построены из ограниченного числа Зй-волновых функций. Заряд, возникающий при освобождении этих состояний, будет поэтому размазан на большем объеме, чем тот, который связан с экранировкой.
Более сложную картину распределения плотности магнитных моментов обнаружили Коллинз и Лоу [43] в случае сплавов на основе железа (Fe — Мп, Fe — Сг и Fe — V с 1 ат. % примесей). В случае сплава Fe — Мп атом примеси Мп не вызывает изменения в моментах, окружающих его атомов Fe, а сам входит с нулевым моментом. В случае же сплавов Fe — Сг и Fe — V атомы примеси несут в себе моменты —0,7цв и —0,9цб соответственно. Атомы Fe, ближайшие соседи с атомом примеси, уменьшают свой момент (〜8% от +2,2р，в). Однако более удаленные (〜4 А) от примесного центра атомы Fe, по-видимому, несколько увеличивают свой момент (сверх нормального значения равного 十2,2词 ).
Весьма ценные сведения об электронной структуре металлических сплавов переходных металлов и их магнитных свойствах могут дать также исследования их электронной теплоемкости и эффекта Мессбауэра (см. ниже гл. 26). Наиболее детальные исследования электронной теплоемкости сплавов проведены в США школой Бека [24, 25, 46—51]. Мы не имеем возможности останавливаться на этом вопросе и отсылаем читателя к оригинальным статьям или обзорам [49, 521 и в особенности [129].
Сплавы и интерметаллические соединения редкоземельных металлов. Обращаем внимание на новую и бурно развивающуюся область изучения магнитных свойств сплавов и интерметаллических соединений РЗМ. Эти исследования касаются изучения сплавов РЗМ друг с другом [52—64], сплавов РЗМ с нормальными металлами (например, с Au, Ag, Al и т. п.) [65—72], с переходными d-металлами [73—85] и в особенности с Fe, Ni и Со [86—99], а также с актинидами [100]. Эти исследования представляют большой теоретический интерес, поскольку в таких кристаллах может в совершенно неожиданной форме проявиться взаимодействие недостроенных 4/-оболочек ионов РЗМ с ионами как нормальных, так в особенности, переходных d-элементов. Кроме того, именно среди этих сплавов и соединений есть реальная надежда обнаружить новые магнитные материалы с «рекордными» магнитными параметрами (высокими значениями магнитного насыщения, точками Кюри и Нееля, большой магнитной анизотропией, магнитострикцией и т. п.). Некоторые примеры таких материалов будут указаны в гл. 23 и 25.
§ 3. Сильно разбавленные растворы парамагнитных атомовв кристаллах
Основные опытные факты. В § 1 при классификации ферромагнитных сплавов мы не упомянули еще один тип весьма интересных веществ — сильно разбавленных ферро- и антиферромагнитных твердых растворов парамагнитных атомов в немагнитной матрице, о которых уже упоминалось выше (см. гл. 20). Оуэн и др. [101—103] обнаружили впервые антиферромагнетизм (или точнее, какое-то кооперативное магнитное превращение) в слабом растворе Мп в Си и Ag (〜0,1 % Мп); Бозорт и др. [1041 обнаружили ферромагнетизм в таких же слабых растворах Со и Fe в Pd ).
Затем были изучены аналогичные растворы Fe и Со в Си и Au. Растворы Ni, Go, Fe, Мп, Сг и Gd в Pt (0,5 ат. %) исследовали Циовкин и Волкенштейн [106, 107].
Все эти сплавы имеют следующие общие физические признаки.
Аномальная добавка к низкотемпературной теплоемкости АС『 сравнима по величине с теплоемкостью матрицы; она была обнаружена в сплавах (разбавленных с концентрацией примеси《5 ат.%) Мп, Fe, Со в Си, Аи и Ag в работах [108—110] (см. также [146, 151, 184, 199, 264— 269]).
Наличие максимума на кривой температурной зависимости магнитной восприимчивости (температура, со отв етств ующа я этому максимуму,
Рис. 21.21. Температурная зависимость полного магнитного момента цпо;,н на атом (измеренная в поле 17 範з), d-момента ц^ на атом (измеренного в поле 14 к») и отрицательного момента подмагниченных электронов проводимости —ц — ц^ — ц (Филлипс [130]).Рис. 21.21. Температурная зависимость полного магнитного момента цпо;,н на атом (измеренная в поле 17 範з), d-момента ц^ на атом (измеренного в поле 14 к») и отрицательного момента подмагниченных электронов проводимости —ц — ц^ — ц (Филлипс [130]).^ ^ ^ ^ 密〃 RCWOLUD/EH8W0W mqHEnHQDW^ ^ ^ ^ 密〃 RCWOLUD/EH8W0W mqHEnHQDWРис. 21.22. «Топографическая карта» распределения плотности магнитного момента в магнетонах Бора на кубический ангстрем (固二/储)на плоскости (100) образца сплава Fe — Pd (Fe 1 ,з ат.%). Цифры на графике дают значения 脑匕/箝 вдоль соответствующей «изолинии» карты, а — постоянная решетки (Филлипс Г130]).Рис. 21.22. «Топографическая карта» распределения плотности магнитного момента в магнетонах Бора на кубический ангстрем (固二/储)на плоскости (100) образца сплава Fe — Pd (Fe 1 ,з ат.%). Цифры на графике дают значения 脑匕/箝 вдоль соответствующей «изолинии» карты, а — постоянная решетки (Филлипс Г130]).
Рис. 21.21. Температурная зависимость полного магнитного момента цпо;,н на атом (измеренная в поле 17 範з), d-момента ц^ на атом (измеренного в поле 14 к») и отрицательного момента подмагниченных электронов проводимости —ц — ц^ — ц (Филлипс [130]).
Рис. 21.21. Температурная зависимость полного магнитного момента цпо;,н на атом (измеренная в поле 17 範з), d-момента ц^ на атом (измеренного в поле 14 к») и отрицательного момента подмагниченных электронов проводимости —ц — ц^ — ц (Филлипс [130]).
^ ^ ^ ^ 密〃 RCWOLUD/EH8W0W mqHEnHQDW
^ ^ ^ ^ 密〃 RCWOLUD/EH8W0W mqHEnHQDW
Рис. 21.22. «Топографическая карта» распределения плотности магнитного момента в магнетонах Бора на кубический ангстрем (固二/储)на плоскости (100) образца сплава Fe — Pd (Fe 1 ,з ат.%). Цифры на графике дают значения 脑匕/箝 вдоль соответствующей «изолинии» карты, а — постоянная решетки (Филлипс Г130]).
Рис. 21.22. «Топографическая карта» распределения плотности магнитного момента в магнетонах Бора на кубический ангстрем (固二/储)на плоскости (100) образца сплава Fe — Pd (Fe 1 ,з ат.%). Цифры на графике дают значения 脑匕/箝 вдоль соответствующей «изолинии» карты, а — постоянная решетки (Филлипс Г130]).
пропорциональна концентрации примеси). Это явление наблюдали в сплавах Си - Мп [102, 103, 119, 120], Ag - Мп [102], Си - Со [112, 113], Fe, Сг и Мп в Аи [121]. Температурный ход магнитной восприимчивости в сплавах Ni, Со, Fe, Мп, Сг и Gd в Pt исследовали Циовкип и ВолкеН' штейн [106].
Низкотемпературные аномалии электросопротивления (см. [122, 123]) Циовкин и Волкенштейн [107] наблюдали эти аномалии (при 〜0,5 ат. % примеси) в растворах Sc, Ti, V, Сг, Мп, Fe, Со, Ni, Y, Zr, Nb и Мо в Pt.
Характерная для ферромагнетиков температурная зависимость остаточной намагниченности [124].
Аномалия термо-э. д. с. (см. книгу Макдональда [125]).
Для таких сильно разбавленных систем наиболее характерном является то, что в них к немагнитной матрице добавляется лишь небольшое число парамагнитных атомов. Можно считать, что только эти атомтя и обладают магнитным моментом. Поэтому в случае парамагнитного состояния системы (при чисто диамагнитной матрице) с помощью измерения парамигнитной восприимчивости можно достаточно точно определить магнитные моменты этих атомов в растворе и их зависимость от концентрации сплава. Изучая характер перехода из парамагнитного состояния в ферро- или антиферромагнитное при изменении； концентрации сплава
и температуры, можно получить ценные сведения о природе взаимодействия, приводящего к установлению магнитного порядка.
Вполне естественно предположить (см. гл. 20), что магнитный порядок в таких металлических системах, где прямой обмен между удаленными парамагнитными атомами практически отсутствуют, обусловлен кос
венным обменным механизмом,
электроны проводимости матрицы. Особенно убедительно эта мысль подтверждается опытными фактами, полученными при исследовании сильно разбавленных растворов Со или Fe (〜0,1 ат. %) в Pd, которые оказались ферромагнитными (Бозорт и др. [104]) ). Опыты по нейтронной дифракции с этими сплавами [128, 129] показали, что вокруг атомов примеси (Fe) имеется сильно размазанное магнитное возмущение, а матрица (Pd) оказывается однородно намагниченной.
Весьма подробное исследование распределения плотности магнитного момента в одном из этих сплавов провел Филлипс [130] с помощью техники поляризованных нейтронных пучков ). Измерения магнитных форм-факторов позволили определить вклады от 3d- и 4s- электронов в средний магнитный момент на узел решетки: а именно, были получены значе-
ввкотором активное участие принимаюткотором активное участие принимаютРис. 21.23. «Топографическая карта» распределения плотности магнитного момента в магнетонах Бора на к-убический ангстрем ц^/Л3 на плоскости [(110) сплава Fe — Pd (Fe 1,3 ат.%). Цифры на графике дают значения 卩匕/士* вдоль соответствующей «изолинии». а—постоянная решетки (Филлипс [130]).Рис. 21.23. «Топографическая карта» распределения плотности магнитного момента в магнетонах Бора на к-убический ангстрем ц^/Л3 на плоскости [(110) сплава Fe — Pd (Fe 1,3 ат.%). Цифры на графике дают значения 卩匕/士* вдоль соответствующей «изолинии». а—постоянная решетки (Филлипс [130]).нин 卩3d = 0,050 士 0,006|1е и 卩與 =0,088 ± 0,008卩方.Измеренное среднее
в
в
котором активное участие принимают
котором активное участие принимают
Рис. 21.23. «Топографическая карта» распределения плотности магнитного момента в магнетонах Бора на к-убический ангстрем ц^/Л3 на плоскости [(110) сплава Fe — Pd (Fe 1,3 ат.%). Цифры на графике дают значения 卩匕/士* вдоль соответствующей «изолинии». а—постоянная решетки (Филлипс [130]).
Рис. 21.23. «Топографическая карта» распределения плотности магнитного момента в магнетонах Бора на к-убический ангстрем ц^/Л3 на плоскости [(110) сплава Fe — Pd (Fe 1,3 ат.%). Цифры на графике дают значения 卩匕/士* вдоль соответствующей «изолинии». а—постоянная решетки (Филлипс [130]).
значение магнитного момента насыщения в изучаемом сплаве равно 0,114 士 0,004р，Е (при 4,2° К) и оказалось заметно меньше, чем значение полного момента, определенного из нейтронных измерений и равного 0,138|1Б- Эта разница определяется отрицательной поляризацией электронов проводимости, которая давала —0,024 士 0,011цБ на атом. Из температурных зависимостей амплитуды магнитного рассеяния и намагниченности насыщения можно было определить темп ер а турный ход намагниченности, обусловленной отрицательной поляризацией электронов проводимости, которая исчезала вблизи точки Кюри (рис. 21.21). Нейтронные данные указывают также, что 3&-момент атома Fe и 4й-моменты окружающих его атомов Pd сильно связаны. Однако область поляризации атомов Pd (т. е. размеры кластеров) определить не удалось. Наконец, по измеренным амплитудам магнитного рассеяния была определена «топографическая карта» распределения магнитной плотности на различных плоскостях кристалла. На рис. 21.22 и 21.23 показано такое распределение для
средней плотности магнитного момента соответственно на плоскостях (100) и (НО) (на рисунке показана 1/4 часть грани элементарной ячейки г. ц. к. решетки).
Теоретические трактовки. Описанные выше представления качественно были изложены в работе Оуэна и др. [102]. Однако позднее Иосида [131] утверждал, что обменное взаимодействие между локализованными магнитными моментами атомов примеси и электронами проводимости не приводит к однородной поляризации электронных спинов (Шубин и Вонсовский [132], Вонсовский [133]). Спиновая поляризация по Иосида [131] носиг существенно неоднородный характер, сильно концентрируясь вблизи локализованных моментов. Кроме того, эта поляризация быстро осциллирует и спадает по амплитуде при удалении от примесного атома. Действительно, используя общую формулу (20.120) для плотности электронов, а также формулу (20.125) по s ——d~ обменной модели для входящего в (20.122) коррелятора и после суммирования по спиновому индексу, получаем
p土⑺=弟干鳥"2 ехp [沒ё一丘q4dg左+幻卓胃•S杀(21.4)
Полагая /虱(乃，乃+。)= /虱(0)и учитывая (20.131) и (20.132)вместо (21.4), находм p± (河=卷 ±4Tж e / ⑵ 4d ⑷ S cos 口 e一冗九)]■S*(21-5)
Как было показано еще Гудерманом и Киттелем [134].
万 X / ⑨)eхр (以区)=一12乳"(2倉①")，(21.6)
где функция 尸(£) дается формулой (20.134). Поэтому, если принять приближенно, что фурье-компопента обменного параметра As^ (q)~As^ (0), т. е. не зависит от q, то для спиновых плотностей получим окончательно выражение
Р± 6 =卷干書(岑)^^ ^r^F^\r-Rn\)-S^.(21.7)
Хотя спад спиновой плотности при удалении от атома примеси и имеет место, однако он не столь резкий [~г~3, см. (20.134)]. Поэтому, рассматривая спиновую поляризацию электронов проводимости в данной точке г, необходимо учитывать влияние всех атомов примеси, а не только самого ближайшего. Именно это обстоятельство было отмечено в работах Абрикосова и Горькова [135], Вонсовского и Изюмова [136], Вонсовского и Свирского [137] и Кима [138].
Легко видеть, что из формулы (21.5) сразу следует вывод об однородности поляризации электронов проводимости в чистом металле, в котором магнитные моменты ионов ферромагнитно упорядочены, т. е. все величины S^ одинаковы. Тогда сумма по п примет вид
2 [ехр (—叮兄力 ехр (iQr)+exp(iqRn) ехр ( — iqr)] = N6 (q) 2 cos (qr).
Следовательно, вместо (21.5) будем иметь
p± =嘉("母看"^)，(21-5a)
т. е. поляризация магнитно-активных ионов, например, переходного 4/-металла вызывает однородную поляризацию электронов проводимости.
Как показали Абрикосов и Горьков [135], этот вывод оказывается справедливым и для разбавленного раствора парамагнитных атомов, находящихся в состоянии ферромагнитного порядка. В этом случае атомы примеси имеют отличное от нуля среднее (по всем атомам) значение спина S^ 考 0. Для однородной поляризации в формуле (21.5а) важны лишь малые значения вектора о・ Если атомы примесп распределены по узлам решетки хаотически, то, заменяя в (21.5а) сумму по п интегралом по Яп. находим
Р± =參(l±^ci^2L&),(21.8)
где 々 ——число атомов примеси на одну ячейку кристалла. Таким образом, согласно формулам (21.8) и (21.5а), ферромагнитный порядок атомов примеси создает однородную поляризацию спинов. Следовательно, возражение Иосида [131] против s —— ^-обменного <<происхождения)> примесного ферромагнетизма лишено оснований. Абрикосов и Горь-
ков [135] далее, исходя из общего выражения для s ——d-обменной связи между электронами проводимости и атомами примеси [см., например, член 娜时 ⑺ в (20.65)], изучили термодинамические свойства такой модели. В частности, они нашли выражение для точки Кюри 9占
N£S(S+l)a2%o0С=一砾-
начиная с которой (и ниже) появляется спонтанный момент электронов проводимости. Здесь N弋 ——число атомов примеси в единице объема, S — спиновое квантовое число этих атомов, /0 — парамагнитная восприимчивость электронов проводимости в отсутствие примеси, константа а — ^1 (г) d'r. Интегрирование ведется по объему сплава. Из (21.9) видно, что точка Кюри пропорциональна концентрации примеси.
Более детальную микроскопическую теорию ферромагнетизма разбавленных растворов ионов d-металлов в немагнитной матрице развил Ким [168]. Он исходит из общего выражения для гамильтониана системы электронов проводимости
魂=(^КИн+ 豌 sd + 豌 куп,(21.10)
где 脳кин 一 оператор кинетической энергии, 跑^丫口 ——оператор кулоновского взаимодействия между электронами и 战$~ ——оператор обменной энергии между электронами проводимости и локализованными спинами атомов примеси ).
Далее Ким исключает s — ^-обменную связь 驗$а из (21.10) каноническим преобразованием, преобразуя ее в эффективное электрон-электронное взаимодействие (подобно тому как это делал Фрейд их [167] с электрон-фононным взаимодействием). Полученное здесь эффективное электрон-электронное взаимодействие, однако носит характер отталкивания, а не притяжения, как в случае теории сверхпроводимости.
Кроме того, Ким [168], в отличие от Абрикосова, Горькова [135], показал также возможность ферромагнетизма электронов проводимости даже в том случае, когда локализованные спины атомов примеси находятся в парамагнитном состоянии. Это обусловлено тем, что благодаря s —— d-обмену резко увеличивается взаимодействие между электронами проводимости, что и делает в некоторых случаях возможным появление ферромагнетизма при низких температурах ).
Выше (см. гл. 20, § 7, п. 1) уже упоминалось обобщение s — d-модели, предложенное Вонсовским и Свирским [147], в котором учитывается влияние мурьтиплетно- сти d-оболочек на взаимодействие электронов в кристалле. В этой работе, так же как и в работе Кима, показана возможность ферромагнетизма электронов проводимости несмотря на отсутствие ферромагнетизма спинов d-оболочек ионов примеси. При этом, преобладающая проекция спинов электронов проводимости совпадает с проекцией спина того орбитального состояния X [см. (20.115)], интеграл обмена которого с электронами проводимости имеет преобладающее значение. Чтобы совместить этот несколько необычный результат с обычным представлением о том, что «подмагничивание)> электронов проводимости возникает только при ферромагнитном порядке спинов d-оболочек, можно сказать, что в рассматриваемом случае как бы имеются две антипа- раллельные магнитные подрешетки, соответствующие двум орбитальным состояниям л，1 и 九2, каждая из которых «подмагничивает» электроны проводимости в своем направлении, в результате чего преобладает то «подмагничивание», которое вызывается преобладающим обменным взаимодействием. В этой связи можно говорить о своеобразном «субантиферромагнетизме», помня, однако, что здесь узлы ориентированных антипа- раллельных магнитных «подрешеток» находятся не в соседних, а в одних и тех же узлах кристаллической решетки.
Поскольку поляризация спинов электронов проводимости сопровождается понижением энергии системы, естественно, возникает вопрос, какое упорядочение спинов d-оболочек энергетически более выгодно — ферромагнитное или «субантиферромагнитное». В работе [147] получен соответствующий критерий. Выше уже отмечалось, что примесный ферромагнетизм появляется не во всех разведенных растворах парамагнитных ионов в немагнитных решетках. В случае раствора Мп в Си, по-видимому, наблюдается антиферромагнетизм (см. [103]).
Еще нет опытных доказательств, что здесь действительно имеется обычный антиферромагнетизм. Так, например, хотя в этих сплавах и наблюдается низкотемпературный максимум магнитной восприимчивости (при 13——40° К для сплавов 1,4 —5,6 ат.%
Мп), что характерно для антиферромагнетика, однако обратная величина восприимчивости, как функция температуры при экстраполяции «прямой» до оси температур, пересекает ее в области положительных значений, а это, как известно, характерно для ферромагнитного превращения. При этом среднее значение магнитного момента на ион Мп равно 〜5世后.Поэтому высказывались также предположения, что эта система может состоять из малых ферромагнитных доменов ориентированных антиферромагнитно.
Как уже отмечалось выше, измерения Циммермана п Хоара [108] показали, например, что в сплавах Мп —— Си наблюдается заметная добавочная по сравнению с чистой медью теплоемкость. Величина АСспп не зависит от концентрации Мп и растет линейно с температурой. То же наблюдается и в других подобных системах (см. [108—116]).
Оверхаузер [139] предложил гипотетический механизм антиферромагнитного упорядочения в сильно разведенных парамагнитных растворах типа систем Мп ——Си. Он считает, что такое упорядочение обусловлено статическими волнами спиновой плотности в электронном газе при учете его обменной s — d-связ口 с парамагнитными попами. Однако эта гипотеза не нашла широкого признания (см. гл. 20). Так, например, Маршалл [140] и Херринг [141] считают, что добавочная теплоемкость в сплавах Мп — Си целиком объясняется косвенным обменом по Рудерману — Киттелю [134]. К такому же выводу приходят Клейн и Броут [142]. Предполагая рудерман-кпттелевское взаимодействие между магнитными ионами и однородное ——хаотическое распределение ионов примеси по кристаллу, эти авторы нашли, что рассматриваемые системы состоят из групп ——кластеров сильно коррелированных магнитных примесных ионов. Размер кластера определяется длиной магнитного экранирования Яс. При Т = 0 длина Яс 0,51с-1/2&, где d — параметр решетки, с — концентрация примеси. В среднем в каждом кластере находится по три сшша. Это число не зависит от концентрации примеси. Спины внутри кластера сильно коррелированы друг с другом, но спины вне кластера можно приближенно считать ориентированными хаотически относительно центрального спина в кластере. Используя статистический метод Маргенау —— Ватсона [143], оказалось возможным найти распределение вероятностей Р (Яэфф) эффективного поля 日2巾巾, действующего иа примесь в точке 0. Это поле равно ЯэфФ =三^叮叱力 где ^叮一про- странственная часть взаимодействия Рудермана ——Киттеля [см., например, формулу (20.133)] между примесями в точке 0 и /; цу — соответствующий магнитный момент примеси в узле /. С помощью вероятности Р (Яэфф) Клейн и Броут [142] получили выражение для АСспп в Мп — Си и в хорошем согласии с опытом.
Разведенные растворы Fe и Со в Си ведут себя подобно системе Мп — Си. Только добавочная теплоемкость АСспл в этих двух системах ведет себя иначе. Так, по данным Крэна и Циммермана [111] ДСспЛ в системе Со ——Си изменяется линейно с температурой и пропорционально квадрату концентрации Со. А по данным Франка и др. [110] в сплавах Си, содержащих от 0,05 до 0,2% Fe величина АСспл изменяется с концентрацией приблизительно линейно в интервале температур от 0,4 до 1,5 °К или по более сложному закону. Клейн [144] показал, что механизм Рудермана——Киттеля одинаково хорошо объясняет все «различия» в поведении АСспл всех трех систем. Эти различия в разных системах обусловлены разными значениями параметра s — d-обмена в (20.133), а также различными величинами спинов примеси. Были исследованы также системы разбавленных растворов Fe в Au (см. папример, [145, 121]), которые по своим свойствам оказались похожи на слабые растворы парамагнитных ионов в Си. Клейн [114] объяснил эти свойства в системе в рамках модели Клейна ——Броута [142]. В своей более поздней заметке Клейн [146] приводит дополнительные выводы в пользу модели Маршалла [140] н Клейна — Броута [142]. Вопросы о природе добавочной теплоемкости разбавленных растворов рассмотрены также в работе Кондо [148]. Обратим внимание также на работы Берка н Шриффера [149], Дониаха и Энгельсберга [150] и Кима и Шварца [151], в которых также рассмотрен механизм возрастания электронной теплоемкости, вызванный спиновой флуктуацией вблизи магнитных примесей.
В заключение укажем, что не исключено также, что учет влияния мультиплетно- сти d- и /-состояний (Вонсовский и Свирский [147]) поможет в дальнейшем решить проблему объяснения примесного антиферромагнетизма.
Общая задача поведения атомов магнитной примесив металлических кристаллах
Вводные замечания. В связи с проблемой атомного магнитного порядка в металлических сплавах за последнее время большой интерес привлекла к себе общая задача о поведении магнитно-активных ионов в кристаллической решетке немагнитного металла. Проблема изучения поведения магнитно-активных примесей в кристалле в свою очередь является частным случаем более общей задачи о поведении любого примесного атома в кристаллической решетке, которая имеет очень большое значение,
J 67 8 9 10 11J 67 8 9 10 114/г至4/г至勿 6WOL二D D-一勿 6WOL二D D-一Числа электранав N (на атам)Числа электранав N (на атам)Рис. 21.25. Зависимость магнитного момента атома Fe, растворенного в различных ' сплавах 3d- и Ad-металлов V — Ru, Мо — Rh, Mo — Pd от числа электронов, приходящихся на узел решетки кристалла сверх заполненного 4р-слоя атома матрицы (4й-элемента). Кривая 1 взята из рис. 21.24. Кривая 2 для сплава Мо — Pd не совпадает с кривой 1 (Клогстон и др. [153]).Рис. 21.25. Зависимость магнитного момента атома Fe, растворенного в различных ' сплавах 3d- и Ad-металлов V — Ru, Мо — Rh, Mo — Pd от числа электронов, приходящихся на узел решетки кристалла сверх заполненного 4р-слоя атома матрицы (4й-элемента). Кривая 1 взята из рис. 21.24. Кривая 2 для сплава Мо — Pd не совпадает с кривой 1 (Клогстон и др. [153]).c-£'OLUD DH EH2g n-qHEn^DWc-£'OLUD DH EH2g n-qHEn^DW
J 67 8 9 10 11
J 67 8 9 10 11
4/г
至
4/г
至
勿 6
WOL二D D-一
勿 6
WOL二D D-一
Числа электранав N (на атам)
Числа электранав N (на атам)
Рис. 21.25. Зависимость магнитного момента атома Fe, растворенного в различных ' сплавах 3d- и Ad-металлов V — Ru, Мо — Rh, Mo — Pd от числа электронов, приходящихся на узел решетки кристалла сверх заполненного 4р-слоя атома матрицы (4й-элемента). Кривая 1 взята из рис. 21.24. Кривая 2 для сплава Мо — Pd не совпадает с кривой 1 (Клогстон и др. [153]).
Рис. 21.25. Зависимость магнитного момента атома Fe, растворенного в различных ' сплавах 3d- и Ad-металлов V — Ru, Мо — Rh, Mo — Pd от числа электронов, приходящихся на узел решетки кристалла сверх заполненного 4р-слоя атома матрицы (4й-элемента). Кривая 1 взята из рис. 21.24. Кривая 2 для сплава Мо — Pd не совпадает с кривой 1 (Клогстон и др. [153]).
c-£'OLUD DH EH2g n-qHEn^DW
c-£'OLUD DH EH2g n-qHEn^DW
например, для теории примесных полупроводников ) [см. например, книгу Ансельма (1962), гл. V, §§1 и 2].
Для нас особую важность представляет анализ поведения магнитно-активных атомов примесей, как в матрице-растворителе из немагнитного нормального металла, так и из переходного металла. В ряде экспериментальных работ [152——154] было показано, что при растворении ионов переходных З^-металлов, например Fe, почти во всех металлах и многих сплавах 4^-переходного ряда (группа палладия) от Zr до Ag могут возникать очень большие локальные магнитные моменты. На рис. 21.24 показано, как в ряду 4^-сплавов прп концентрации Fe около 1 ат. % появляется локальный
Nb Mo Re Ru Rh Pd AgЧисло электпанпв N атпм}
Рис. 21.24. Зависимость магнитного момента атома Fe, растворенного в различных 4d-металлах и сплавах, от числа электронов, приходящихся на узел решетки кристалла сверх заполненного 4р-слоя атомов матрицы (4d- элемента) (Клогстон и др. [153]).
по мент, величина которого зависит от числа электронов N на узел решетки сверх заполненного 4р-слоя атомов матрицы. Из рис. 21.24 видно, что локальный момент впервые появляется примерно при N 5,5 и быстро достигает значения 2,1 цБ на атом примеси, а при 7V — 7 снова падает до нуля. Вновь момент возникает при N, несколько большем 8, и достигает величины, равной 2,2 цБ при 7V = 9. Затем для сплавов и металлов с концентрацией электронов N, больших чем у Rh. локальный момент резко возрастает и достигает аномально большой величины (более 12 цБ) и затем опять спадает до ттуля прп ш)иближенип к Ag. На рис. 21.25 также нанесены данные для локальных моментов, наблюдавшихся в сплавах V ——Ru, Мо ——Rh и Мо ——Pd Клогстоном и др. [153]. Аномально большие моменты обнаружены в растворах Мл, Fe, Со и Ni в Pd [155], в растворах Fe в Pd [126] (см. также [127]); в растворах Со в Pd [104], а также в растворах Мп, Fe, Со и Ni в Pd, Pt, а также Си, Ag и Rh [156]. Цповкин и Волкеиштейн [106] определили магнитные моменты на атомах примеси в разбавленных (〜0,5 ат.%) растворах Ni, Со, Fe, Мп, Сг и Gd в Pt. Они нашли соответственно (из измерений парамагнитной восприимчивости) р^о — 5,8, рре = 6,7, 〃期п = 5,7, per = 5,6 и pGd = 6,8 (в ед. цБ). Для Ni локализованный момент, по-видимо му, отсутствует.
Виртуальные связанные уровни. Для случая металлов вопрос о примесных состояниях был подробно рассмотрен теоретически в ряде работ Фриделя [40——42, 157, 158] и его сотрудников [159, 160], которые использовали зонную модель в приближении свободных электронов. Фридель обратил внимание на то, что когда элементы группы З^-металлов растворяются в нормальных металлах (например, Al, Си, Ag, Аи), то зависимость остаточного удельного электросопротивления от разности Др «валентно- стей» атомов примеси и матрицы в ряду этих растворов имеет один или два хорошо выявленных максимума (см. Фридель [158], Вассель [161], Даниель [162] ). Наличие
этих максимумов с несомненностью указывает на то, что здесь имеет место резонансное явление, обусловленное наличием виртуальных связанных уровней [см., например, книгу Бома (1965), §§ 11. 19 и 11.20].
Рассмотрим свободный электрон с энергией 岔，упруго рассеиваемый на «потенциальной яме》(атоме) р (г). В случае сферически—симметричного потенциала энергия связанного состояния определяется двумя квантовыми числами пи/ (см. гл. 2), например для 3^-состояния тг = 9 口 Z = 2. Если потенциал f (г) достаточно велик, то может возникнуть истинное связанное состояние с отрицательной энергией 軍 j ⑺，八 (рис. 21.26). Если же потенциал будет уменьшаться, то уровень 軍j ⑺，力 будет повышаться и перейдет в область положительных энергий непрерывного спектра. Однако и в этом случае иногда можно считать т что возникает связанное метаст.абилъное, или виртуальное состояние с энергией 軍° ⑺，/)♦ Естественно, что это состояние, налагаясь
Рис. 21.26. Связанный ^ 0 и виртуальный уровень 軍 ° (n, Z) электрона с энергией ^, рассеиваемого на изолированном атоме с потенциалом и (г).軍° средняя энергия виртуального уровня,工一ширина этого уровня Фридель [40]).Рис. 21.26. Связанный ^ 0 и виртуальный уровень 軍 ° (n, Z) электрона с энергией ^, рассеиваемого на изолированном атоме с потенциалом и (г).軍° средняя энергия виртуального уровня,工一ширина этого уровня Фридель [40]).Рис. 21.27. Расщепление (е) уровня энергии 軍 о виртуального состояния, обусловленное его резонансным взаимодействием с состояниями сплошного спектра свободных электронов (Фридель [40])Рис. 21.27. Расщепление (е) уровня энергии 軍 о виртуального состояния, обусловленное его резонансным взаимодействием с состояниями сплошного спектра свободных электронов (Фридель [40])на состояния непрерывного спектра, комбинирует (резонирует) с ними. В результате появляются два состояния с близкими энергиями 軍о 士 е (рис. 21.27) Оба эти
Рис. 21.26. Связанный ^ 0 и виртуальный уровень 軍 ° (n, Z) электрона с энергией ^, рассеиваемого на изолированном атоме с потенциалом и (г).軍° средняя энергия виртуального уровня,工一ширина этого уровня Фридель [40]).
Рис. 21.26. Связанный ^ 0 и виртуальный уровень 軍 ° (n, Z) электрона с энергией ^, рассеиваемого на изолированном атоме с потенциалом и (г).軍° средняя энергия виртуального уровня,工一ширина этого уровня Фридель [40]).
Рис. 21.27. Расщепление (е) уровня энергии 軍 о виртуального состояния, обусловленное его резонансным взаимодействием с состояниями сплошного спектра свободных электронов (Фридель [40])
Рис. 21.27. Расщепление (е) уровня энергии 軍 о виртуального состояния, обусловленное его резонансным взаимодействием с состояниями сплошного спектра свободных электронов (Фридель [40])
состояния опять резонируют с двумя совпадающими с ними состояниями непрерывного спектра и вповь каждое из них расщепляется на два новых и т. д. Такой процесс в конце концов приводит к некоторой ширине Деррз уровня виртуального связанного состояния со средней положительной энергией 电。⑺，》 Этот виртуальный уровень будет сильно рассеивать электроны с энергиями, близкими к ^0 切，?>• Можно даже считать, что эти электроны захватываются на некоторое время на эти уровни. Из соотношения неопределенности энергия — время А軍 厶力 q 无[см., например, книгу Ландау и Лифшица [1963], § 44 или книгу Бома (196 5), гл. 5] следует, что это время 厶力 обратно пропорционально ширине уровня Де рез : А%。^/Де рез. Ширина уровня в свою очередь тем больше, чем меньше квантовое число и больше энергия 軍°(п, ；>. Например, для 2=2 (^-состояние) Де рез а 軍°/3.
Если атом примеси подобен атому К с пустым нестабильным З^-слоем, то в этом случае d-уровень лежит выше уровня Ферми 軍① металла-растворителя. У Си З^-слой стабилен и целиком заполнен, поэтому d-уровень такой примеси лежит ниже 岔①.Следовательно, в ряду примесей З^-элементов d-уровень обязательно должен пересечь уровень Ферми [40——42r При этом следует ожидать максимальных эффектов рассеяния. В сплавах З^-металлов на основе А1 (Вассель [161]) наблюдается один широкий максимум на кривой зависимости остаточного удельного сопротивления Др, обусловленного примесями переходных элементов от разности «валентности» примеси и матрицы. Это означает, что в этих системах возникает одно виртуальное состояние 3d10, могущее включить все электроны d-слоя, последовательно заполняемого вдоль ряда. Максимум Др наблюдается у Сг, когда слой заполнен наполовину (3d5; ^0 Q ^ф). Уровни d~ слоя (для противоположных спинов) заполняются одновременно, поэтому атомы примеси не обладают в этих сплавах постоянным магнитным моментом. Наблюдается лишь увеличение парамагнетизма Паули и диамагнетизма Ландау, первое — из-за роста плотности состояний у поверхности Ферми, а второе ——из-за пространственного «раз- мазмвания》локальных состояний.
Следует учитывать также ряд факторов, стремящихся расщепить виртуальное 3^-состояниет созданное атомом примеси в кристалле.
Во-первых, это кристаллическое поле решетки (см. гл. 10), в зависимости от симметрии которого происходит частичное снятие вырождения З^-уровней с расщеплением ДЕКрИСТ, во-вторых, это расщепление 厶€^叩口, обусловленное энергией корреляции, возникающей пз-за кулоновского взаимодействия между электронами одного и того же слоя, стремящегося расщепить З^-уровень на уровни 3d°, 3d，3d2...
В-третьи% это расщепление Аехун^，обусловленное энергией обменной корреляции, т. е. энергией Хунда, расщепляющей уровень З^10 на два уровня с противоположными проекциями спинов электронов: 3d5 (т) и 3d(°j), с величиной расщепления рА^хунп，где р ——число пар ^-электронов.
Существование единственного максимума на кривой Др (Др) в сплавах З^-метал- лов на основе А1 можно понять, если принять, что резонансная ширина виртуального.
для газа функция связан- б — для—шири-для газа функция связан- б — для—шири-Рис. 21.28. Сдвиг фаз 6,(寓) свободных электронов как энергии 軍：Кривая а — для ного уровняло < 0; кривая виртуального уровня 軍(>.LРис. 21.28. Сдвиг фаз 6,(寓) свободных электронов как энергии 軍：Кривая а — для ного уровняло < 0; кривая виртуального уровня 軍(>.LЗ^-уровня ДЕрез существенно больше величины всех трех указанных расщеплений. Именно этого и следует ожидать в таком многовалентном металле, как А1 с большой энергией Ферми (軍患 ^ 13 as), а следовательно, большой резонансной шириной d-уровня: (ДЕРез (1/3)軍①拄 4 as). В то же время ДеКрпст 1 »§，А^корр °，5 空 и Дехунд ^ 0,6—0,8 эв. Поэтому в сплавах З^-элементов на основе А1 условия Аез W & Декрист! А^корр, рА^Хунд не выполняются и З^-уровень не расщепляется. Наоборот, в металлах типа Си, где энергия Ферми меньше (^ 7 эв), и поэтому меньше ширина ДЕрез (^ 2 эв), может иметь место хундовское расщепление, н，следовательноt в сплаве возможно появление локализованных магнитных моментов. Это и наблюдается в действительности (см. выше § 3).
для газа функция связан- б — для
—шири-
для газа функция связан- б — для
—шири-
Рис. 21.28. Сдвиг фаз 6,(寓) свободных электронов как энергии 軍：Кривая а — для ного уровняло < 0; кривая виртуального уровня 軍(>.L
Рис. 21.28. Сдвиг фаз 6,(寓) свободных электронов как энергии 軍：Кривая а — для ного уровняло < 0; кривая виртуального уровня 軍(>.L
на уровня е0; е =0 — энергия днаполосы проводимости (Фридель [41]).на уровня е0; е =0 — энергия днаполосы проводимости (Фридель [41]).Количественно расчеты Фриделя [41] сводятся к тому, что он раскладывает электронную волну, рассеянную на примеси, на составляю щиет соответствующие моментам количества движения с квантовыми числами I [см. например, книгу Ландау и Лифшица (1963), § 123], при этом каждое слагаемое имеет сдвиг фазы * по сравнению с ее фазой в отсутствие примеси. Если имеется истинное связанное состояние I с энергией 岩 1 V 0, то * = зт для нижнего уровня полосы проводимости с энергией 軍=0 и М f 0 при больших энергиях (см. кривую а рис. 21.28). Если связанного уровня нет, то М f 0. Однако если возмущение способно создать виртуальное состояние I (с энергией 岔°, то для электронов большой энергии ход изменения сдвига фаз В/ должен мало отличаться от случая, когда имеется истинный уровень. Следовательнот кривая
на уровня е0; е =0 — энергия днаполосы проводимости (Фридель [41]).
на уровня е0; е =0 — энергия днаполосы проводимости (Фридель [41]).
М (軍)для виртуального случая, совпадающая с осью абсцисс при малых 軍,должна иметь подъем и соединяться с кривой а рис. 21.28 при больших энергиях (кривая 6). Подъем кривой б происходит в интервале энергий шириной ДЕрез — L вблизи средней энергии 軍°, которая и является виртуальным уровнем. Очевидно, что плотность уровней би (出 будет пропорциональна производной d^i/d% *).
Квантовомеханическое решение задачи. Проблема поведения атома примеси в металле была рассмотрена другим методом в работах Костера и Слэтера [163, 164]. Клогстон и др. [165,153] показали эквивалентность методов Фриделя и Костера — Слэтера. В этом методе возмущенная волновая функция электрона в кристалле 屮(г) ищется в виде линейной комбинации функций Ванье [166]
。“ (г —冗力=N-1/2 £ ехр ( — ikr) 2n此，к
здесь 2nze ——блоховская функция (20.2):
2(幻=2 ^(玛”空3一无力(21」。
n, R.
где n — номер энергетической полосы, Rj — радиус-вектор узла /, ип (冗力一неизвестные коэффициенты и энергия 軍 кристалла с примесью ищется как решение уравнения Шредингера
(舫0+認])26=塩2⑺，(21/2)
где 認° ——одноэлектронный гамильтониан невозмущенного кристалла, а 恥]——оператор энергии возмущения примесью.
Подставляя (21.11) 球(21.12) и используя ортонормпровку функций Ванье
j ^п (r^Rj) ат ^ — Ri) dx^dnmdji，(21.13)
находим систему разностных уравнений
2 [^n(Ri-Rj)6nm + Vmn(Rh В；)] ип (К}} = %ит(К^ (21.14> п,勺
где
^тп (^h -Rj) - f 唠2 ①一冗2)炭\年1 0一Rj) df
—матрица энергии возмущения, a ^n(R/ — фурье-компоненты нулевой энергии 券门(к) (к — квазиимпульс):
晶㈣=2%(国)exp (一/国).吃
Слэтер и Костер в упомянутых работах предложили решать эту систему разностных уравнений с помощью метода функций Грина [см., например, книгу Шиффа (19 57), §26 или Морса и Фешбаха (19 58), гл. 7]. А именно, совокушюсть функций Грина уравнений (21.14) для идеального кристалла имеет вид:
6皿軍(Л； —Ло) = ^~1 2 ехр [冰 CRj—国)]注加㈣一軍]т.(21.15)
ибо легко показать, что
у оm軍(五，"一五。)^m (无2-无力一^^m^(区2 -丘。)—6 (к£ - -Ro),(21.15a)
Если ограничиться приближением одной полосы и считать возмущение 岳]локализованным внутри одного узла и поэтому
^Пт (丘厶兄/)Н%)6 (无0 一国)6 (无0 -无力，
где VQ — Vnrn (Rq, Ro), то уравнения (21.14) и (21.15) примут вид
^u{Rj)%(Ri-Rj)-%u (Вг) = - и (Во) Vo6 (Bz - Во) -(21.16)
勺
rV exp [说(r/ 一r0)]
G軍(Лг-Ло) = ^ 1 2 —竇@)_軍'(21/7)
Можно показать, разлагая exp UkRj) по сферическим гармоникам, чтс сферически- симметричное решение при 軍=宙(儿)имеет вид [если учесть (21.15а)]:
九侬同一不唸西牋^-R^®.18)
где /о ——радиальная функция для 2 = 0. Другие элементарные решения для квантовых чисел I，0 остаются неизменными, поскольку /г (0) = 0 при I R 0. Используя формулу (33.18) из книги Ландау и Лифшица (1963) и асимптотическое выражение для функции (21.17), полученное Костером [164], найдем асимптотическое выражение для (21.18) при больших Ri в виде
k Ri s2[+%% (0)-
где Q — атомный объем, a g (軍)一плотность электронных состояний (на единицу объема). Выражение (21.19) можно упростить. Действительно, формулу (21.17) для R[—红о = 0 можно записать в виде интеграла по всем состояниям в полосе
G够(°)= Q f* EQg 出,(21.20)
где 7 (軍)一главное значение интеграла. Используя (21.20), записываем функцию (21.19) в виде
■胃*1cosm 国一 ^ + 6(砌，(21.2i)
где сдвиг фазы 6 (軍)определяется выражением
6 (軍)=arctg Г 7詔•(21-22)
Исследование выражения (21.22) позволяет выяснить природу виртуальных и связанных состояний. Представление относительно общего характера кривой 7 (岔)можно получить, задавшись какой-либо простой формой для кривой g (給)в полосе. На рис. 21.29 схематически показан возможный вид типичных кривых g (軍)，I (窮) и 6 (軍).При этом принято, что потенциал Vq V 0 и значение | Vo | достаточно велико, чтобы прямая V~J пересекала кривую / (名)в двух точках:軍° и 軍「Тогда кривая 6 (軍)по (21.22) будет иметь вид, показанный сплошной линией на рис. 21.29 Начиная с левой стороны графика, 6 隗)возрастает, пока в точке ^0 не достигает значения зт/2. Затем она продолжает расти, достигая значения зт и вновь уменьшается до зт/2 в точке 軍[• Затем 6 (軍)т 0. Эта кривая полностью аналогична кривой, приведенной
на рис. 21.28, полученной Фриделем [40—42]. Полученный ход кривой 6 (軍)интерпретируется так: в области сразу справа от ^0 величина 6 достигает значений, близких к зт. Это означает, что возмущение создает ниже этой энергии приблизительно одно состояние, т. е. при 窑，где d6/d^ велико, образуется виртуальный уровень. Ширина виртуального уровня А^рез определяется величиной плотности состояний g (^0). Если VQ растет, то точка пересечения 軍о будет
смещаться влево. Это соответствует верхней пунктирной кривой на рис. 21.29, 6. Если точка пересечения 軍о окажется ниже края полосы, то g (軍°) станет очень малой, а уровень виртуального состояния——бесконечно узким (т. е. мы будем иметь истинное связанное состояние). Наоборот, если VQ будет уменьшаться, то виртуальное состояние 軍 о будет смещаться в полосу вправо и его ширина будет расти. Даже если прямая V~J вообще не будет пересекать кривой I (軍)，кривая б(^) будет существовать (см. нижнюю штриховую кривую в рис. 21.29, 6); при этом будет происходить накопление состояний в широком энергетическом интервале.
Изложенные расчеты Фриделя и Слэ
〃丿
夕同
6丿
л/?
О
雜）
Рис. 21.29. Функция плотности состояний и сдвиг фаз. а) Кривые зависимости от энергии ^плотности состояний g (軍)и главного значения I (軍)функции Грина, определяемой выражением (21.20)； б) кривые зависимости от энергии 軍 сдвига фазы, определяемого по формуле (21.22) для трех различных значений потенциала V. Сплошная кривая 6 (诿)соответствует V = Vо (приведенному на графике а), верхняя пунктирная кривая для V < У。, нижняя — для V > Vo, когда пря- маяу-1 нс пересекает кривую 工(^) (Клогстон и др. [153]).
тера —Костера развили позже в работах Клочстон и др., Андерсон "53, 165, 169—180].
Андерсон [169] рассматривает
своихи др.
лока
лизованный энергетический уровень, на-
пример растворенного атома
Fe, погру-
женного в ферми——жидкость электронов проводимости《"-металла или сплава. Гамильтониан задачи имеет вид
爲1 =認08 + <^0d 十展 корр + <^sd'
(21.23)
где 戾os = £ 窮此u^ku и 茲0壮=2 軍do汽do — соответственно невозмущенные гамильто- к, ado
нианы электрона проводимости и ^-состояния атома примеси (оно может считаться также вырожденным);軍『笛，軍du и nka> ndo — соответственно энергии и числа заполнения этих электронов, к — волновой вектор, о — спиновый индекс. Для оператора энергии отталкивания d-электронов с антипараллельными спинами Жкорр имеем
恥 корр = U%产dj，
а соответствующая энергия
u= J 丨屮d (n) I2 I 屮d ⑴2)|2 I^f 吃「dq 办2,(21.24)
где q?d (r)——собственная функция невозмущенного локализованного ^-состояния, a nd| и nd^ — числа d-электронов на локальном уровне со спинами, направленными соответственно «вверх》и «вниз^ (см. гл. 20). Величина U, как мы видели, может достигать 10 эй (в то время как аналогичная энергия для электронов проводимости порядка 1 эв). Последний член в (21.23) имеет вид оператора «одноэлектронного^ s — d-взаимо- действия (отличного от рассмотренного в гл. 20)
^sd н 2 ^dk(ckacda + cdacA-a),(21.25)
где с* и с ——операторы рождения и поглощения электрона проводимости и ^-электрона (т. е. например,孔此^ = с^оско). Поэтому оператор (21.25) описывает процессы перехода электронов проводимости на d-уровни и наоборот. Этот член гамильтониана приводит к упоминавшемуся уже выше уширению локального (виртуального) уровня в металле.
Далее Андерсон [169] в приближении Хартри — Фока с помощью метода функций Грина находит условия возникновения локального магнитного момента примеси. Это условие имеет вид
ugd (滋)>1，^(^0)=4-^~(2326)
(专6 一 ( А£рез)
Здесь 軍①一軍 о — энергетическая разность между уровнем Ферми и виртуальным уровнем. Если ^0 弋 軍①，то условие (21.26) принимает вид: U > зт ДЕрез, т. е. локальный магнитный момент возникает при условии, что электростатическое расщепление виртуального уровня, равное величине Z7, больше, чем ширина этого уровня AEpe3. Последняя тем больше, чем сильнее взаимодействие (21.25) и чем выше плотность состояний в полосе проводимости в месте, где лежит виртуальный уровень, а именно, по Андерсону
А^рез =冗〈。与Q g (軍о)・ (21.27)
Фактически условие (21.26) имеет весьма приближенный характер и вовсе не является достаточным. Для исследования условия появления локализованного магнитного момента на примеси важно учесть корреляционную энергию электронов с разными проекциями спинов на d-уровне атома примеси не в хартри-фоковском приближении (как это было сделано в рассматриваемой теории Андерсона), а в более точном, учитывающем так называемые корреляции электрического потенциала. Этот учет существенно изменяет критерий (21.26) и другие аналогичные критерии, основанные на приближении Хартри ——Фока. Исследованию этого вопроса посвящены работы [181——183].
Рассмотрим подробнее условие (21, 26). Величина gj (軍 °) имеет смысл плотности состояний для d-электронов в окрестности резонансного уровня. Критерий (21.26) находится в полном формальном соответствии с критерием возникновения ферромагнитного состояния в зонной модели в приближении Хартри ——Фока, который [см., например, формулу (20.12)] имеет вид
Ug (軍①)〉1， (21.26а)
где g (軍①)一плотность состояний электронов проводимости вблизи поверхности Ферми.
Учет корреляции приводит к изменению критерия (21.26а), который видоизменяется таким образом:
и3中谴(程①)〉1, (21.266)
1'де °з巾巾——перенормированный эффективный потенциал. В случае малой электронной плотности, согласно Канамори [185], этот потенциал дается выражением
где а ——положительная константа, порядка обратной величины ширины энергетической полосы.
Поскольку 。3巾@ V U, то критерий (21.266) удовлетворяется хуже, чем менее точный критерий (21.26а). Следовательно, можно сказать, что в зонной теории ферромагнетизма хартри-фоковское приближение переоценивает тенденцию обменного взаимодействия электронов к их спиновому упорядочению.
Аналогичное замечание можно сделать и по отношению к критерию появления локализованного момента. Как показал расчет Шриффера и Маттиса [182], в случае низкой электронной плотности, вместо неравенства (21.26) имеет место более жесткий критерий
4巾巾gd (寓0)〉l, (21.26b)
где Ug巾巾—Z7 (1 + bU)-i. Оказалось при этом, что константа b такова, что ни при каких значениях параметра U невозможно выполнение неравенства (21.26в) в модели Андерсона. Следует отметить, что последний критерий получен в предположении, что состояние d-электрона в котором появляется локальный момент, не вырождено. Наличие вырождения расширяет возможности для появления локализованного момента на примеси.
Возможно, что с этим обстоятельством связан тот-- факт, что локализованные моменты никогда не появляются в металлах на примесях нормального металла, в котором s-состояние внепших электронов не вырождено.
Конечно, критерий (21,26в) является также приближенным и вытекает из модельной теории. Однако несомненным является тот факт, что хартри-фоковское приближение переоценивает возможность появления локализованного момента на примеси.
Тем не менее, используя (21.26), можно легко получить качественное объяснение части кривой рис. 21.24, а именно для 7V от 5 до 7 и от 8 до 9 (см. Клогстон и др. [153]), если принять, что функция g (軍)в случае 4^-металлов и сплавов имеет вид, подобный функции, рассчитанной Штерном [400] и Вудом [401] для о. ц. к. решетки железа. За подробностями этого объяснения отсылаем читателей к оригинальным работам [153]. В них же дается качественное объяснение «гигантским» моментам, наблюдаемым вблизи значений N, соответствующим Pd на кривой рис. 21.24 и 21.25. Они связаны с эффектом поляризации соседних узлов матрицы магнитно-активным ионом примеси (подробнее см. [153]).
Работа Вольфа [171] по своему методу отличается от работы Андерсона [169] и ближе к первоначальным работам Фриделя [40, 41]. Вольф рассмотрел задачу рассеяния электронов проводимости 4^-металла или сплава на возмущающем потенциале
единичного атома примеси, и определил максимум на кривой зависимости поперечного сечения рассеяния от энергии эдектрона, взаимодействующего с примесью. Результаты обоих методов (Вольфа и Андерсона) физически полностью совпадают, как это особенно ясно показано в работах Клогстона и др. [153], а также в работе [154].
В работах Александера и Андерсона [176] и Готлиба и Сула [177] теория локализованных магнитных состояний примесных атомов обобщается на случай, когда соседние примесные ионы испытывают прямую d ——d-связь или косвенную s ——d-связь. Ким и Нагаока [175] и Байлин [178J учли влияние обычного s ——^-взаимодействия в рассматриваемом приближении. Работу Александера и Андерсона [176] обобщил Морийа [402] ), который рассмотрел случай взаимодействия пар атомов разного сорта, каждый из которых обладает пятикратно вырожденными орбитами, а также учел примесь ковалентной связи. Он применил это обобщение для объяснения различных магнитных свойств переходных металлов и неразбавленных сплавов. Ему удалось объяснить, почему пары атомов с почти наполовину заполненным З^-слоем (Сг и Мп) дают антиферромагнитную связь, а атомы с большим числом электронов в З^-слое (Fe, Со и Ni) связываются ферромагнитно. Он объяснил также правило Слэтера ——Полинга для атомных моментов сплавов.
Качественное описание поведения атомов магнитно-активной примеси в металлическом кристалле. С точки зрения изложенных выше теоретических соображений относительно поведения магнитно-активных атомов примеси в кристаллической решетке металла, разбавленные системы, согласно Ломеру [187], можно условно разделить на четыре группы:
Сплавы на основе немагнитной матрицы с низкой плотностью электронных состояний у поверхности Ферми (например, сплавы на основе Си);
сплавы на основе растворителя с высокой плотностью электронных состояний у поверхности Ферми (например, сплавы на основе Мп или V);
сплавы на основе Сг;
сплавы на основе ферромагнитных металлов (Fe, Со, Ni).
Мы уже видели, что в типичных сплавах группы а) (Си — Мп, Аи — Мп и т. п.) магнитная восприимчивость следует закону Кюри ——Вейсса вплоть до низких температур. При дальнейшем охлаждении в них возникает антиферромагнитный порядок (хотя магнитно-активные атомы примеси распределены по узлам кристаллической решетки хаотически). Переход в это состояние происходит при температурах порядка 1——10° К. Это соответствует знечениям энергии взаимодействия пары магнитных момен-' тов порядка 10-4——10~3 эв. Таким образом, при температурах выше температуры упорядочения, согласно соотношению неопределенности энергия — время, А軍 А土 〜 方, находим, что период «обмена》между спинами будет составлять %7△軍，т. е. l。-"— 10~12 сек. Поэтому выше точки Кюри локализованные моменты нельзя обнаружить с помощью опытов, в которых наблюдаемые эффекты усредняются по большим интервалам времени. Например, невозможно обнаружить эффективные магнитные поля на ядрах примеси с помощью эффекта Мессбауэра для радиоактивного изотопа/7Fe в Си, поскольку эмиссия у-кванта требует времени порядка 10~7 сек.
Близко к группе а) примыкают сплавы группы в) на основе Сг, у которого плотность электронных состояний у поверхности Ферми также мала, хотя он и антиферро- магнитен при низких температурах. Эти сплавы теоретически исследовал Ломер [188] который показал, что магнитные свойства Сг——Fe и Сг——Со можно объяснить, если допустить, что атомы Fe и Со являются носителями магнитных моментов, которые очень слабо взаимодействуют с антиферромагнитной решеткой матрицы Сг. Для температур ниже температуры Т^р = ^В3/&Б (где ^Bs — энергия взаимодействия атомов Fe и Со с электронами проводимости) магнитные моменты как и в сплаве на основе немагнитных металлов, будут испытывать частые столкновения с периодом, значительно меньшим длительности процессов мессбауеровского излучения при ЯМР.
В сплаве группы б) с матрицей, обладающей высокой плотностью электронных состояний на поверхности Ферми, обычно имеют дело с типичными паулевскими парамагнетиками (см. гл. 11). В этом случае взаимодействие с электронной системой матрицы будет сильным и время жизни «локализованных» состояний оказывается меньше h/kB Г, т. е. ширина соответствующих уровней будет больше области размытия поверхности Ферми. Хотя такой способ рассуждения, строго говоря, неправилен (так как при сильной связи невозможно рассматривать две подсистемы в отдельности ——атом примеси и электроны проводимости), тем не менее качественно вывод о том, что система в целом должна вести себя как электронный газ (ферми-жидкость), вполне правдоподобен. Конечно, мы при этом не можем определить, каков будет вид электронной плотности в сплаве.
Гораздо сложнее объснить свойства сплавов группы г). Обращаем внимание на работы Готье [191] и Чена [192], в которых исследовано увеличение остаточного удельного сопротивления в сплавах ряда переходных элементов (от Ti до Со) в Ni,
Fe—Ni3, Fe—Co, Co—Ni и Ni0,e Co0,4- Было обнаружено, что при переходе от Мп к Сг величина Др4>2°к (остаточное электросопротивление, обусловленное примесью) вырастает примерно на два порядка. Это связано с тем, что структура З^-оболочки Сг в кристаллах на основе Ni, Fe и Со резко отличается от структуры системы d-электронов этих металлов.
В заключение еще раз подчеркнем важность экспериментальных и теоретических исследований магнитных примесных состояний для всей проблемы магнитных металлов и сплавов, поскольку изучение этой проблемы открывает большой источник полезной информации о происхождении упорядоченных магнитных состояний электронной системы металлического кристалла. Укажем еще работы по изучению магнитных примесей [193—246].
Теория бинарных ферромагнитных сплавовпо модели Гейзенберга
Вводные замечания. Остановимся па методе трактовки ферромагнитных сплавов, который исходит из первоначальной модели Гейзенберга [247] и Блоха [248] (см. гл. 19). Первая такая попытка была сделана Виттером [249], который дал квазиклассическое обобщение теории ферромагнетизма на случай бинарных сплавов по схеме Изинга — Вейсса. Рудницкий [250] указал на возможность построения квантовой теории ферромагнетизма для бинарных сплавов путем простого введения «среднего» значения параметра обменного взаимодействия. Комар [251, 252] детально изучил влияние концентрации и степени упорядочения атомов в кристаллической решетке па точки Кюри ферромагнитных бинарных сплавов, исходя из представлений Рудницкого о «среднем» обменном интеграле. Вонсовский [253, 254], провел обобщение теории Гейзенберга ——Блоха на случай бинарных сплавов ). В работе Войцеховского [255] дается обобщение результатов работ [253, 254] на случай многокомпонентных сплавов. Ян Ши [256] произвел расчет самопроизвольной намагниченности и констант магнитной анизотропии многокомпонентных ферромагнитных сплавов для температур, близких к точке Кюри, на основе схемы расчета Боголюбова — Тябликова [257] [см. также Боголюбов (1949)].
Сато [258] ), а также Муто и др. [259] в ряде статей развивали представления, аналогичные работе [253]. Акулов [261] рассмотрел зависимость самопроизвольной намагниченности и точки Кюри от состава и порядка, предполагая аддитивность действий соседних атомов на данный атом сплава. Сато и Арротт [26], Сато и др. [262] детально рассмотрели сплавы системы Fe — Al. Вонсовский и Власов [263] учли влияние s — d- обмена на свойства ферромагнитных сплавов. Более последовательную статистическую теорию одновременного учета атомного и магнитного упорядочения в сплавах развили в своих работах А. А. Смирнов с сотрудниками [270—275]. Эту проблему также решали Белл 1276, 277] и Белл и Лэвис [278].
Приближение молекулярного поля. Остановимся прежде всего на изложении результатов работ [253, 254] с учетом более поздних работ [270—275], а затем сравним теорию с опытом.
Начнем с рассмотрения области температур, близких к точке Кюри. В этом случае воспользуемся приближением молекулярного поля (см. гл. 19). Ограничимся рассмотрением бинарного сплава с полным числом атомов N, из которых Na сорта А и Nb сорта В (Na 十 N& = N).
Используем формулу (19.18) для обменной энергии системы локализованных ^/-электронов:
威об= -y 2 4心50g. (21,28)
Индексы а, а' пробегают номера всех N узлов кристаллической решетки. В отличие от случая чистого металла, в сплаве интегралы 力仪從，зависят не только от номеров узлов а и а' (от расстояний между узлами), но также и от сортов атомов, занимающих эти узлы. Поэтому сумму £ целесообразно разбить на две части, в первой из которых первый индекс относится к узлам, занимаемым ионами Л, а во второй — к узлам с ионами В. Если законно воспользоваться тем, что интегралы А^> можно учитывать только для ближайших соседей (в случае короткодействующих обменных сил), то вместо (21.28) получим
ZZ
Об — ^~["а 2^Ъ 2 4asOq/] •(21.29)
Здесь суммы берутся лишь по z узлам ), являющимся ближайшими соседями узла, занятого ионом типа А (или соответственно 5), но так что а' пробегает все ближайшие соседние узлы, как у узлов A:aaf, так и у узлов В:аЬ.
Случай неупорядоченных сплавов, В полностью неупорядоченном сплаве каждый ион А имеет ближайшими соседями zNJN ионов А и zNb/N — ионов В, а каждый ион В имеет ближайшими соседями zNJN ионов А и zNi/N — ионов В, Тогда формула (21.29) примет вид
况^6—F [z "дf/a。瑞+ z華-/比例+2z -w一4力%/」•(21.30)
Собственное значение квадрата результирующего вектора спина всего кристалла [см. (19.21)], если разбить сумму подобно формуле (21.29), равно (2 ”)2 二二 N«а(Оа+ 1)+ N&Ob (仇十 1)十"а (А'а— 1)〈％*&，〉丄 а
+ Nb(Nb—l)&&,〉+ 2NJVb〈Ga・d〉= d(d + l),(21.31)
где o' — спиновое квантовое число всего кристалла, а о〃 и 5,―спины ионов сорта А и В, Собственные значения квадрата результирующего вектора спина соответственно для узлов, занятых ионами Л и В, имеют вид (2 % ) =/VaOa(Оа+1)十 N。(ТУ。一1) ^a*Gaf)= a(=a).
ТУ¥。J)’ а・з2>
(2 %) = N8Ob зЬ 十 1)+-1)〈自，仇，〉= a( =b)
T。'(学0'+1)■(2L33) При этом предполагается, что магнитный момент сплава создается локализованным распределением спиновой плотности недостроенных с/-слоев, и поэтому результирующие моменты отдельных ионов с достаточным приближением можно считать интегралами движения.
Сравнивая формулы (21.31), (21.32) и (21.33) и используя тот факт, что ионные спиновые числа о。，①《о' ~ 加(加 一 намагниченность сплава в магнетонах Бора цб), получаем
л е八 人(j'2 m2
Ba • %〉~ Ba ' %" ~〈％ '仇"~ 天彳 ,
% следовательно, из (21.30) имеем
〈磁Об〉= —Ny2 2 [畸力aa + 滋力bb 卜 2TZa"b4b], (21.34)
где па = N(JNi пь = Nb/N (na + nb = 1) —— концентрации атомов А и 5 а у = m/N — относительная намагниченность кристалла.
Случай упорядоченных сплавов (при заданных параметрах атомного порядка). Если учесть ближний и дальний порядок между атомами, то (21.34) примет иной вид [см., например, книгу Кривоглаза и Смирнова (1958)]. Ограничимся случаем бинарного сплава типа замещения, состоящего из N& атомов А и N» атомов В, кристаллическая решетка которого состоит из двух типов узлов а и Ь. Узлы а и b образуют соответственно две подрешетки; при этом W® узлов первой <(законны» для атомов Л, а №“、узлов второй — для атомов В, В общем случае Na * №&、w N^f 尤 №“、. Относительная концентрация узлов типа a NSN = 1 —— — N^/N = v в общем случае отлична от относительной концентрации na = NJN атомов А. Обозначим через N严，N^，N产 и N尹 соответственно числа атомов Л и 5 на узлах типа а и Ь, а через
д^(а)N(b)7V(°)N〈b)
Р 产= 必” ="^7，Р^)= "^Т，凤" =(21.35)
априорные вероятности встретить в узлах а и b атомы А и 8. Поскольку
N^ + ^ = Na, N/+ №&)= №； N甲十 N")= N⑷，36
М° 十 ％黑=№ ⑸，Na+Nb = N^ + Nw = N,■
TO
(21.37)(21.37)P产+ P护=1，碎)+凤》=1， vp^ + (l—v)p^ = na.
(21.37)
(21.37)
ВеличинуВеличину一成G% р^—^一成G% р^—^(21.38)(21.38)
Величину
Величину
一成G% р^—^
一成G% р^—^
(21.38)
(21.38)
будем называть степенью дальнего порядка. Она равна нулю для полностью неупорядоченного сплава любого состава, ибо в этом случае pia> = =па. При полном порядке и стехиометрическом составе (v = па = 1 —— —加)имеем т] = 1, так как рГ> = 1, р^> = 0. Для нестихиометриче- ского состава при %&、имеем т]макс = na/v, а соответственно при na > V Т]макс = (1 —几а)/(1 — V). Из (21.36) и (21.38) следует, что вероятности (21.35) можно выразить через концентрации na, v и степень дальнего порядка п； действительно,
р^)= % + (1 —旷)刀；Р『)= 1—% —(4—w)n = ^b — (l — ”)n； 乩办二友一屮； Р^ = 1 —na + vr] = Пь + vt]. (21.39)
Далее нужно ввестит1еще степень ближнего порядка, которая характеризует среднее число атомов разного типа, окружающих атом данного сорта. Степень ближнего порядка определяется не по отношению к разным типам узлов решетки, а по отношению к атомам разного типа. В общем случае ближний порядок можно описывать так называемыми параметрами корреляции для различных координационных сфер (узлов, ближайших к данному узлу, узлов, следующих за ближайшими, и т. д.). В случае бинарного сплава эти параметры имеют вид
喘')(PG =嘘')(PQ —砂Р「 仏 1' =。，Ь), (21.40)
здесь 國')(р在)—вероятность того, что узел типа I (а или Ь) занят атомом 4, а узел типа / (а или Ь), находящийся от узла I на расстоянии р在(к — —номер координационной сферы), занят атомом В. В частном случае неупорядоченных сплавов, когда р^ = па и р,〉=加， параметры
корреляции не зависят от типа узлов Z и Z' и (21.40) принимает более простой вид
(Р在)=，ab(Р在)一孔小b；(21.41)
в этом случае иногда вводят еще один параметр корреляции
義=賢終(21.41а)
В случае упорядочивающихся бинарных сплавов, исходя из формулы (21.28) мы приходим не к формуле (21.30), а к более общему соотношению
〈威 об〉= — {NaaAaa + Nbb^bb + Л^аъ^аъ) • у2,(21.42)
где Ng, Nbb и Nab —числа пар атомсв //, ВВ и АВ в кристалле в приближении ближайших соседей (р。. Общее число ближайших пар для атомов А равно zNa\ если из него вычесть число пар Nab различных атомов, то получим число пар Naa^ т. е.
Naa = ^(zNa — Ng)(21.43)
и аналогично
Nbb = ~2 (么Nь — М^ь).(21.44)
Подставляя (21.43) и (21.44) в (21.42), находим
〈威о6〉= 1~ [Z(Na/aa + Nb/bb) +Nab(2/ab — Ааа 一 人匕)卜产 (21.45)
Выразим теперь Nat Nb и Nab через концентрации па, пь, степень дальнего порядка 口 и параметры корреляции е七铮* е爲)и £^匕)・
Введем теперь величины №“* (числа пар соседних узлов сорта Л) и N(b" (сорта В) и N^ (числа пар соседних узлов сорта А и 5), а также N^, N蹴)и N需)(числа таких пар, в которых один узел занят атомом Л, а другой ——атомом В). Тогда для Na^ получим
Nab = n£)+ N鸞)+ N將)=2№吟彊 * 2Mg 力翳)+ N9bMp 儲)+ p療)).
(21.46)
Используя формулы (21.40) и принимая во внимание, что
N(aa)= 2嗒L, n(加)=一唠少，N(ab) = ^W^ 血图)
где zaa и zab — числа узлов / и 5, соседних с узлом А, находим вместо (21.46)
Nab = Za”⑷(р^Р^ + ё既)+ Zg (N - N⑷)(Р黑Р黑)—ё倉))十
+2曲n⑷(成0需)+叁Ь)+ p^p^ +廳。)).(21.48)
Поскольку 沙吟 + ”砧)+ %(bb)= zN/2 — общее число соседей, то в силу (21.47) имеем
HaaV + Zbb (1 —旷)+ 2zabv = Z•(21.49)
Используя далее (21.39) для априорных вероятностей и учитывая равенство (21.49) и очевидное соотношение z~zaa + zab, получаем для (21.45) окончательно
〈威об) = ? {Z (孔a/aa + 孔b4b) +
十[Znanb +V(1—V)(Z — Zaa—纟力哦 + 2vZab^ +
+ vzaa^ + (1 - V)zbb^] [2Aab - Aaa- Abb]}. (21.50)
Легко видеть, что в неупорядоченном сплаве без учета ближнего порядкаг когда т] = &伤= 0, формула (21.50) переходит в полученное ранее выражение (21.34).
Степень дальнего порядка 刀 и параметры корреляции могут быть приближенно определены из условий квазихимического равновесия для чисел различных типов соседств в сплаве или каким-либо более строгим путем. Они являются довольно сложными функциями температуры, концентрации и дальнего порядка в сплаве.
Используя любой из известных способов вычисления фазовой суммы (гл. 19), можно определить в приближении Гейзенберга зависимость самопроизвольной намагниченности от температуры, концентрации и степени ближнего порядка сплава ), В результате получаем
Is = N廿 th-■ {z (паАаа 十 тг^/ьь)十
+ [znanb + v(l—V)(Z — Zau —分匕)哦 + 2vzab^ +
(21.51а)полного(21.51а)полного(21.516}(21.516}+ ^。膈療)+ 1V ( 1 - V)ZgE爲)][24Ь一Aaa - /ЬЬ]}, где 卩一средний магнитный момент на атом сплава. В случае беспорядка (21.51а) при любом составе принимает вид
(21.51а)
полного
(21.51а)
полного
(21.516}
(21.516}
7s = TVr th eз二：e (就+ 就4Ь + 2%кЬ4Ь).
Из сравнения (21.516) с аналогичным выражением (18.5) для чистого металла явствует, что вид температурной зависимости самопроизвольной намагниченности не меняется при переходе от чистого металла к однородно неупорядоченному бинарному сплаву, и все различие сводится к иному выражению для точек Кюри (в зависимости от обменных интегралов и концентрации сплава), а также к иным значениям атомных магнитных моментов.
Наиболее интересным выводом из формул (21.51а) и (21.516) является зависимость точек Кюри 0 от состава сплава. В частности, для полностью неупорядоченного бинарного сплава (при любом составе) имеем
(21.52а)-(21.52а)-ану - -^~ (孔^/<ш +碇/bb + 2孔0孔Ь/。Ь)
(21.52а)-
(21.52а)-
или в силу очевидного соотношения па~\-пъ= 1
©ну = *^|~ [4а — 2 (4а —4加 Ль + (4а + 4b — ^^ab)碇],(21.526 У'
т. е. зависимость 0ну от концентрации имеет квадратичный вид.
Последовательное решение задач, атомного и магнитного порядка 6 сплаве Только что указывалось, что главным недостатком полученных формул (21.51а) и (21.516) является то, что в них параметры порядка не вычисляются, а задаются заранее.
Последовательное решение статистической задачи, в котором процессы упорядочения атомов и спинов рассматриваются совместно, было впервые дано в работе Даниленко и Смирнова [270] и далее развито в работах [271——276]. Это рассмотрение, как и в работах [253, 254], ведется на основе модели локализованных атомных магнитных моментов ферромагнетика, а расчет атомного упорядочения производится в приближении Горского — Брэгга ——Вильямса [см. [279, 280], а также Кривоглаза и Смирнова (1958)], не учитывающем корреляцию в расположении атомов и магнитных моментов на узлах решетки. Предполагается, что сплавы образуют непрерывный ряд твердых растворов с идеальной решеткой, постоянные которой не меняются с температурой и составом сплава. Вычисления ведутся с применением метода многомерной дифференциальной геометрии [281].
В качестве примера рассмотрим случай упорядочешгя ферро- и антиферромагнит' ного бинарного сплава из двух ферромагнитных компонент с одинаковыми магнитными моментами ионов с о. ц. к. решеткой типа р-латуни в приближении ближайших соседей. Введем новые обозначения для магнитной подрешетки сплава: гх — число ионов с «правыми», a Z『=N[2 — r^ с《левыми» магнитными моментами в атомах первой магнитной под решетки, г2 и Z2 — N]2 — г2 一 соответствующие числа во второй подрешетке. Предполагается, что вероятности замещения атомами с нескомпенсированной оболочкой с «правым» и «левым» моментом узлов первой и второй подрешеток не зависят от сорта атомов, занимающих эти узлы. Конфигурационная свободная энергия 4r сплава берется в виде суммы двух слагаемых 4rl и 4r2：
屮= ЧЧ + % = (&_/Т1п 巾 D +(卷2—%Т1п%2), (21.53}
где 宮I — энергия взаимодействия атомов (без учета обменной связи), 卷2 — энергия обменной связи (21.34), (21.45) или (21.50),
(4)!传)！
% =天汐而■•事硬Г(21-5分
——число различных перестановок атомов на узлах решетки и
(21.55)(21.55)
(21.55)
(21.55)
——число различных перестановок магнитных моментов. Используя (21.35) и (21.38)' и формулу (16.7) из книги Кривоглаза и Смирнова (1958), получаем
гдегде~2~ [^ паУ А А + nl^ ВВ + 冗 卜 а孔b+2~) ] +
где
где
+[ (%+g) In (%+Т) + (“Т) In 卜а-g) +
(21.56)(21.57) энергии(21.58)(21.56)(21.57) энергии(21.58)+ (»ь+у) In («Ь+ у) + (пь-у) In («ь—у)]
(21.56)
(21.57) энергии
(21.58)
(21.56)
(21.57) энергии
(21.58)
比=2UАВ 一 U44 — VBS
一энергия упорядочения, а 丫从厶,Vpp и ^厶七一взятые со знаком минус взаимодействия ближайших атомов ЛЛ, ВВ и АВ.
Введем относительные намагниченности подрешеток：
2 卜i—刃2 (г?—?)
— N ，°2 - 河 ，
а также априорные вероятности замещения узлов первого и второго типов ионами с《правым» и《левым» моментом:'
* = 2儲нb)= 2 号，Р产=2拿，理)=2 等， (21.59)
р^+р^^ 1, 唄+р{ь)=1.
Из (21.58) и (21.59) находим
Р甲=^+01,不)=}+02,斤)= ^-6, ^Ь) = y—<т2.(21.60)
Из (21.34) с помощью (21.60), по аналогии с (21.50), при v —1/2,成g‘)=0, ^аа = z&b = ° получаем,
卷2=—Nz(4)+} arp) og,(21.61〉
где
(21.62a)(21.62a)4 = naAaa + ^Abb + 2nanbAab,a = 24ь — Aaa — Аьь •
(21.62a)
(21.62a)
—643 —
Энтропийное слагаемое в ^ находим из (21.55), применяя формулу Стирлинга (гл. 18): 也=一Nz(Лo+^TI2)。@+^^ [信+。，In (扌+q) +
+ (^-6)М^-о' + ^ + З In 传+%) +
+ ("^О2) М ^~2"(21.63)
Введем новые переменные
£=毋，Z/ = 2O], g = 2(J2,方=”(21.64)
Тогда из (21.53), (21.56) и (21.63), приравняв нулю производные @屮/照，dW/dx и д^/ду, находим уравнения равновесия
In (几a+力｝(几Ь+£) (па — х) (ПЬ—х)In (几a+力｝(几Ь+£) (па — х) (ПЬ—х)(21.65)(21.65)(2比一a?/S)泣=0,(4+3)1 = 0,(4)+ ax2)★=0.
In (几a+力｝(几Ь+£) (па — х) (ПЬ—х)
In (几a+力｝(几Ь+£) (па — х) (ПЬ—х)
(21.65)
(21.65)
Из двух последних уравнений системы (21,65) следует, что 甘= 士 у. Знак плюс соответствует ферромагнетизму (4。+ ах2 >> 0), а знак минус — антиферромагнетизму (Л0 + ax2 V 0). Поэтому исследование формулы (21.65) для ферро- и антиферромагнетиков можно проводить независимо. Для этих случаев вместо (21.65) будем иметь
Нтn 譽写],:：+：；—(2”-必)以=。,
乂(+》=In -%±У—(Ло -|- ax2)夕=0 I 1一УJ
宀1i督产—加十I
х<~> = In +^ -]-(ло-|-ax2) yt^O I
(21.66)
(21.67)
Уравнения (21.65) или (21.66) и (21.67) образуют сложную систему трансцендентных уравнений, не позволяющую найти явное аналитическое выражение равновесных функций т| (Т) и а (Г). Поэтому приходится ограничиться качественным исследованием решений уравнений (21.65). Дело в том, что эти уравнения определяют кривую равновесия в пространстве параметров /, у, j н 九 При температурах фазовых переходов или вблизи них на кривой равновесия появляются особые точки ветвления ). Пользуясь методами дифференциальной геометрии можнс^ найти ход и форму кривой именно вблизи точек ветвления. Если выбрать в качестве параметра длину дуги кривой равновесия s [для систем (21.66) или (21.67)], отсчитываемую от начала координат, то ее уравнение в параметрической форме будет: х = х (s), у = у (s),方=方(s). Составляющие единичных векторов касательной и нормали в каждой точке кривой будут равны соответственно
； 11=g2+圆+e2尸,/哀+了2十e2尸，K技+& +输
где точкой обозначено дифференцирование по s. Составляющие вектора касательной определяются из системы уравнений
ф(±)x-|_фy(i)^^(-ф(±)^-0,必士)£ +x产)У+X卢)方=0； £2+g2+；2 = 1,(21.68)
где индексы у ф(士)и х(士)означают дифференцирование по соответствующей переменной» Уравнениям (21.66) и (21.67) удовлетворяют значения а = у =方=0. Физически это означает, что при Т т 8 порядок и намагниченность в сплаве отсутствуют. И при Е R 0 имеем решение с а = у = 0, т. е. неупорядоченное размагниченное состояние. Оно будет единственным, пока на оси £ не обратятся в нуль производные
2
папъ(21.69)
■(Ку)х=у=о=2—/。力=0.
илиили⑵.70)⑵.70)Из первого условия (21.69) находим г — г^пор — tivnon^1
или
или
⑵.70)
⑵.70)
‘5产Р=豈з。,
а из второго условия (21.69) t = г^агн = ± 2/Л0 или
? = 7,агн = 士翳，(21.71)
где Т?п°Р — температура фазового перехода порядок ——беспорядок (точка Курнако- ва) ) в ненамагниченном состоянии сплава, а Т，агн — ТОчка Кюри (4。> 0) или Нееля (4 о < 0) неупорядоченного сплава. В обоих случаях особая точка (точка 4^ на рис. 21.30) соответствует ветвлению кривой равновесия. Одна ветвь — это продолжение оси i, а вторая лежит в плоскости у == 0. В зависимости от соотношения параметров ^ из (21.57) и Ао (21.62а) и состава сплава (па и пь) возможны два случая,
Рис. 21.30. Схематический вид кривых равновесия, оп- р едел яемыхур а внениями(21.66) и (21.67) для случая, когда упорядочение появляется при более высоких температурах (точка А/ чем намагниченность (точка А2) (Даниленко и Смирнов [270]).Рис. 21.30. Схематический вид кривых равновесия, оп- р едел яемыхур а внениями(21.66) и (21.67) для случая, когда упорядочение появляется при более высоких температурах (точка А/ чем намагниченность (точка А2) (Даниленко и Смирнов [270]).Рис. 21.31. Схематический вид кривых равновесия определяемых уравнениями (21.66) и (21.67), когда намагниченность устанавливается при более высоких температурах (точка ВО, чем упорядочение (точка В2) (Даниленко и Смирнов [270]).Рис. 21.31. Схематический вид кривых равновесия определяемых уравнениями (21.66) и (21.67), когда намагниченность устанавливается при более высоких температурах (точка ВО, чем упорядочение (точка В2) (Даниленко и Смирнов [270]).
Рис. 21.30. Схематический вид кривых равновесия, оп- р едел яемыхур а внениями
(21.66) и (21.67) для случая, когда упорядочение появляется при более высоких температурах (точка А/ чем намагниченность (точка А2) (Даниленко и Смирнов [270]).
Рис. 21.30. Схематический вид кривых равновесия, оп- р едел яемыхур а внениями
(21.66) и (21.67) для случая, когда упорядочение появляется при более высоких температурах (точка А/ чем намагниченность (точка А2) (Даниленко и Смирнов [270]).
Рис. 21.31. Схематический вид кривых равновесия определяемых уравнениями (21.66) и (21.67), когда намагниченность устанавливается при более высоких температурах (точка ВО, чем упорядочение (точка В2) (Даниленко и Смирнов [270]).
Рис. 21.31. Схематический вид кривых равновесия определяемых уравнениями (21.66) и (21.67), когда намагниченность устанавливается при более высоких температурах (точка ВО, чем упорядочение (точка В2) (Даниленко и Смирнов [270]).
отличающиеся тем, в каком порядке при охлаждении сплава происходит магнитный и структурный фазовый переход. Если выполняется неравенство
2nanbw > 士 4,(21.72)
то сначала при Т^пор [см. (21.70)] происходит фазовый переход второго рода В упорядоченное состояние парамагнитного сплава. При более низкой температуре (точка Л2 на рис. 21.30)
噂 ^ = 士凳/(4)+/2)(21.73)
или вблизи нее происходит соответственно фазовый переход второго или первого рода в ферро- или антиферромагнитное состояние. Значение параметра х — х при температуре Т聲гн из (21.73) (в точке А2 на рис. 21.30), как показано в работе Даниленко и Смирнова [2701, определяется из первых уравнений (21.66) и (21.67), когда у = 0. При выполнении неравенства
2nanbw < + Aq(21.74)
при охлаждении сплава сначала появляемся магнитное упорядочение (ферро- или антиферромагнитное) при температуре『髀口 [см. (21.71) и точку 々 на рис. 21.31] в неупорядоченном сплаве. Только при более низкой температуре (точка 8? на рис. 21.31)
(2第士 есу2)(21.75)
или вблизи нее происходит соответственно фазовый переход второго или первого рода в упорядоченное состояние. Значение параметра у = 7 при температуре (21.75) (точка 石2 на рис. 21.31) определяется из вторых уравнений (21.66) и (21.67) (при и = 0).
Исследования свободной энергии 4r из (21.53) на минимум (Ряздвинецкий f275j) показало, что на отрезках кривой равновесия AtA2 (рис. (21,30) и Т?1Т?2 (рис. 21.31),
Рис. 21.33. Диаграммы состояний ферро- и антиферромагнитных упорядочивающихся сплавов, построенных для случая Аъ>)= ——Ааа = =А > 0, Aab = —А/2, а — А V 0 н 加=4A. Обозначения те же, что и на рис. 21.32. В отличие от случая а > 0, упорядочение понижает точки Кюри и повышает точки Нееля (сравнить положение штриховых кривых 2 и з по отношению к кривым 4 и 5 на рис. 21.3 2 и 21.33) (Даниленко и др. ■ [272]).Рис. 21.33. Диаграммы состояний ферро- и антиферромагнитных упорядочивающихся сплавов, построенных для случая Аъ>)= ——Ааа = =А > 0, Aab = —А/2, а — А V 0 н 加=4A. Обозначения те же, что и на рис. 21.32. В отличие от случая а > 0, упорядочение понижает точки Кюри и повышает точки Нееля (сравнить положение штриховых кривых 2 и з по отношению к кривым 4 и 5 на рис. 21.3 2 и 21.33) (Даниленко и др. ■ [272]).
Рис. 21.33. Диаграммы состояний ферро- и антиферромагнитных упорядочивающихся сплавов, построенных для случая Аъ>)= ——Ааа = =А > 0, Aab = —А/2, а — А V 0 н 加=4A. Обозначения те же, что и на рис. 21.32. В отличие от случая а > 0, упорядочение понижает точки Кюри и повышает точки Нееля (сравнить положение штриховых кривых 2 и з по отношению к кривым 4 и 5 на рис. 21.3 2 и 21.33) (Даниленко и др. ■ [272]).
Рис. 21.33. Диаграммы состояний ферро- и антиферромагнитных упорядочивающихся сплавов, построенных для случая Аъ>)= ——Ааа = =А > 0, Aab = —А/2, а — А V 0 н 加=4A. Обозначения те же, что и на рис. 21.32. В отличие от случая а > 0, упорядочение понижает точки Кюри и повышает точки Нееля (сравнить положение штриховых кривых 2 и з по отношению к кривым 4 и 5 на рис. 21.3 2 и 21.33) (Даниленко и др. ■ [272]).
а также на ветвлениях, выходящих из точек Л2 и 82, функция 4r минимальна, если ветвление кривой равновесия соответствует фазовым переходам второго рода. Для переходов первого рода в окрестностях точек А2 В2 функция 4r не минимальна, она становится минимальной на некотором удалении от точек Л2 и ^2 вдоль этих ветвлений.
Наличие в формуле (21.73) слагаемого 士2加扫忘纟,а в формуле (21.75) слагаемого 士(z/2加е) п&пьау2 и указывает на упоминавшуюся выше взаимосвязь между структурными и магнитными превращениями в сплавах. Отсюда видна существенная роль параметра а в этой взаимосвязи. Последняя отсутствует при а = 0. При а > 0 упорядочение атомов повышает точку Кюри, т, е, способствует ферромагнитному порядку и понижает точку Нееля, т. е, препятствует антиферромагнитному порядку. Самопроизвольная намагниченность при а > 0 повышает точку Курникова, т. е. способствует атомному порядку, а антиферромагнитное упорядочение, наоборот, понижает эту
Рис. 21.32. Диаграммы состояний ферро- и антиферромагнитных упорядочивающихся сплавов построенные для случая： Abb — —Ааа = =А > 0, Aab = А/2, а = А > О, 加=4А (Даниленко и др. [272]). По оси ординат отложена температура в относительных единицах Т/(ГУпор)макС5 где(тУпор)макс 一 максимальное значение точек Кур- накова при па — пь = 1/2 [см. формулу (21.70)]. По оси абсцисс отложена концентрация па. Штриховые участки фазовых кривых соответствуют случаю а = 0, а сплошные — а 中 0. Кривые 1, 6 и 7 — линии точек Курнакова; кривые 2, 4 — линии точек Кюри, а 3, 5 — точек Нееля.
точку, т. е. препятствует атомному порядку. При а V 0 имеется обратная взаимосвязь процессов - магнитного и атомного упорядочения. Из (21.75) следует также, что даже в сплавах с отрицательной энергией упорядочения (w? V 0) при появлении самопроизвольной намагниченности могут создаться условия, когда 2w? 土 ay2 ^>0. Это означает, что магнитный порядок может и при s V 0 инициировать атомное упорядочение в сплаве (при определенной величине и знаке параметра а).
Величины Ао, хну зависят от состава сплава, и температуры Т/агн из(21.73) при определенных концентрациях могут обращаться в нуль. Таким образом, при таком составе, когда 4。+ ах2 = 0 сплав переходит из ферро- в антиферромагнитное состоя-, ыие (или наоборот). Точно так же из формулы (21.75) для температуры Т*н°Р следует, что при составе, соответствующем 2w 士 az/2 = 0, упорядоченные сплавы благодаря наличию магнитного порядка переходят в неупорядоченное состояние.
Используя формулы (21.70), (21.71), (21.73), (21.75) и уравнения для определения any, можно построить диаграммы состояний сплавов в случае фазовых переходов второго рода (или выяснить их приближенный вид для переходов первого рода). Вид этих диаграмм существенно зависит от параметра а из (21.626). Из (21.62а) имеем, что 40 —孔a^aa + пь^ьь 十 мапъ^ Поэтому при a = 0, т. е. когда нет взаимодействия между процессами атомного и магнитного упорядочения, линии магнитного превращения на диаграмме состояния являются прямыми [см. формулы (21.71) и (21.73) при a = 0], а линии атомного упорядочения — параболами, симметричными относительно прямой па = 1/2 [см. формулы (21.70) и (21.75)]. Если a R 0, то диаграммы состояний (кроме кривой для ^УП°Р) имеют более сложный вид. На рис. 21.32, 21.33 в качестве примера приведены диаграммы состояний с произвольно выбранными параметрами 4bb = —^4aa = 4 > 0, a = 土4 и w? = 44. Кривая 1 на этих рисунках — линия превращения порядок — беспорядок в ненамагниченном состоянии. Штрихами показан участок этой кривой для ферромагнитных сплавов,
ио при условии, что намагниченность не влияет на атомный порядок (а = 0). Кривые 2 II 3 — это линии магнитных превращений в неупорядоченном состоянии. Штриховые участки кривых 2 н 3 соответствуют случаю, когда сплав, закалкой от температур Т > Т^пор приведен в неравновесное неупорядоченное состояние. Точка nai соответствует концентрации компоненты 4, меньше которой сплавы в неупо рядочен- ном состоянии ферромагнитны, а больше которой они антиферромагнитны. При упорядочении точки Кюри повышаются (кривая 4), а точки Нееля понижаются (кривая 5). Концентрация па^ разделяет области составов, соответствующие упорядоченным ферро- и антиферромагнитным сплавам. Намагниченность ферромагнетика
Рис. 21.34. Решетка типа Fe3Al, имеющая о.ц.к. структуру. 1, 2, 3 — узлы соответственно первого, второго и третьего типов.Рис. 21.34. Решетка типа Fe3Al, имеющая о.ц.к. структуру. 1, 2, 3 — узлы соответственно первого, второго и третьего типов.повышает точки нурнакова (кривая о), а антиферромагнитный порядок их понижает (кривая 7). Подобные диаграммы можно построить для случая 〃？ > 0 и а С 0 или w? <： 0 н а 乏 0 (см. Даниленко и др. [272]).
Рис. 21.34. Решетка типа Fe3Al, имеющая о.ц.к. структуру. 1, 2, 3 — узлы соответственно первого, второго и третьего типов.
Рис. 21.34. Решетка типа Fe3Al, имеющая о.ц.к. структуру. 1, 2, 3 — узлы соответственно первого, второго и третьего типов.
Аналогичные исследования взаимосвязи процессов магнитного и структурного упорядочения были проведены для сплавов с г. ц. к. решеткой типа Cu3Au (см. Даниленко и др. [271]), с гекс. п. у. решеткой (Рязд- винецкий [274])т а также для бинарных сплавов с решеткой типа Fe3AL в которых один из металлов является непереходным [273, 275]. В этом случае при расчетах учитывалось взаимодействие атомов в двух первых координационных сферах кристаллической решетки с тремя типами узлов. На рис. 21.34 изображена элементарная ячейка о. ц. к. решетки этого сплава с указанием трех типов узлов. Оказалось, что взаимодействие атомов в первой и второй координационной сферах по- разпому влияет на температуру фазовых
переходов. Кроме того, учитывается возможность двух сверхструктур — по типу р-латуни и по типу NaCl.
Этот тип сплавов (система Fe — Al) детально исследовался в теоретической работе Сато и Арротта [26]. В этой работе предполагается, что в сплаве существуют два типа взаимодействия: прямая обменная ферромагнитная связь между ближайшими соседями Fe — Fe и косвенная антиферромагнитная связь между ионами Fe в парах, разделенных ионом алюминия Fe —— Al — Fe. За подробностями отсылаем читателя к оригинальным работам [273, 27 5, 26]. Этот же тип бинарных сплавов с одной магнитной компонентой, по схеме, близкой к изложенной выше, был рассмотрен в работе Белла и Лэвиса [278].
Сравнение с опытом. При сравнении полученных теоретических результатов с опытом необходимо помнить о принятых упрощающих предположениях. Во-первых, всюду предполагалось, что тип кристаллической решетки и ее постоянные не зависят от состава сплава, степени атомного порядка и от температуры. Во-вторых, предполагалось, что в силу указанных ограничений не зависит от состава и степени упорядочения сплава энергия взаимодействия атомов (21.57) и обменные параметры в (21.62а) и (21.626). Далее, в общей статистической теории не учитываются также параметры корреляции в расположении атомов и спинов [в формуле (21.50) они учитываются]. При столь грубых аппроксимациях можно надеяться лишь на качественное согласие теории и опыта.
Как мы уже видели, в развитой теории основную роль играет параметр а из формулы (21.626), определяемый соотношением величин и знаков обменных параметров Ааа, Аъъ и Ааъ. Поэтому следует прежде всего по известным из опыта точкам Кюри и Нееля для чистых компонент сплавов и для самих сплавов вычислить параметры обменной связи, приняв, что они не зависят от состава и степени дальнего порядка (и корреляций) в сплаве. А затем определить величину и знак параметра а. Знак а можно сразу же определить из вида опытной кривой зависимости точек Кюри и Нееля от состава сплава. Если, например, для ферромагнитных сплавов в неупорядоченном состоянии эта кривая обращена выпуклостью от юси абсцисс, то а > 0, т. е. при упорядочении точка Кюри таких сплавов растет. Если же эта кривая обращена выпуклостью к оси абсцисс, то а V 0 и упорядочение в этом случае снижает точки Кюри.
Рассмотрим, например, ферромагнитные сплавы Fe — Ni, имеющие в 7-фазе г. ц. к. решетку типа Cu3Au. Зависимость точек Кюри этих сплавов от их состава по опытным данным показана на рис. 21.35. [Хансен и Андерко (1962).] Интеграл』Ni—Ni определяем по формуле (21.52а) при 孔 а = 孔 Ni = 1 (пъ = 孔Fe = 0)：
』№—№ = ❷Ni = -^-631.
Далее воспользуемся тем, что дляДалее воспользуемся тем, что длясплавов Fe — Ni с атомными концен-
Далее воспользуемся тем, что для
Далее воспользуемся тем, что для
Рис. 21.35. Зависимость точки Кюри неупорядоченных сплавов системы Fe—Ni от концентрации Ni. Сплошная кривая—теоретическая; черными кружками показаны экс- периментальные точки; штриховые кривые получены экспериментально для точек перехода порядок — беспорядок.Рис. 21.35. Зависимость точки Кюри неупорядоченных сплавов системы Fe—Ni от концентрации Ni. Сплошная кривая—теоретическая; черными кружками показаны экс- периментальные точки; штриховые кривые получены экспериментально для точек перехода порядок — беспорядок.точки Кюри равны соответственно 673° К и 873° К, с помощью формулы, аналогичной (21.71) для о. ц. к. решеток, которая для случая г. ц. к. решетки также имеет вид
Рис. 21.35. Зависимость точки Кюри неупорядоченных сплавов системы Fe—Ni от концентрации Ni. Сплошная кривая—теоретическая; черными кружками показаны экс- периментальные точки; штриховые кривые получены экспериментально для точек перехода порядок — беспорядок.
Рис. 21.35. Зависимость точки Кюри неупорядоченных сплавов системы Fe—Ni от концентрации Ni. Сплошная кривая—теоретическая; черными кружками показаны экс- периментальные точки; штриховые кривые получены экспериментально для точек перехода порядок — беспорядок.
т聲гн = ~^—(成/м -Г т^Аъъ + 2папъАа^.
(21.76)
т. е. совпадает с формулой (21.52а), и подставляя в нее найденное значение Zzi-Ni и опытные значения точек Кюри, получаем два уравнения, из которых находим обменные параметры: Лре-ре= —2施618,7/z
(отсюда видно, что в ^-фазе спины атомов Fe ближайших соседей взаимодействуют антиферромагнитно) и』Ni-Fe = 2/сб734,6/з. Таким образом, а — 2ЛБ219/г > 0. Зная численные значения обменных параметров, легко построить по формуле (21.76) теоретическую кривую зависимости точек Кюри
от концентраций (см. сплошную кривую на рис. 21.35) для неупоря'
доченных сплавов; видно, что экспериментальные точки хорошо ложатся на теоретическую кривую. Штриховые кривые на рис. 21.35 определяют зависимость точек Курникова от состава в намагниченном состоянии. Поскольку в данной системе сплавов а > 0, то из теории следует, что кривая этих точек при наличии самопроизвольной намагниченности должна несколько сместиться вверх по сравнению с аналогичной кривой для парамагнитных сплавов. Для этих сплавов заданного состава смещение можно оценить, используя формулы
Т严Р =Т^ = ^-Папь^ + ^)
и уравнение равновесия
1п^|■ — (4 十 а%')勿=0, аналогичное третьему уравнению (21.65) для сплавов с о. ц. к. решеткой (см. Даниленко и др. [271]). Для сплава, содержащего Ni с концентрацией в 75 ат.%, это смещение составляет около 10%. К сожалению, опытных данных, дающих такое смещение, нет.
На рис. 21.36 и 21.37 приведены теоретические кривые и экспериментальные данные для точек Кюри ферромагнитных неупорядоченных сплавов систем Со — Pd и Со — Ni. Обменные параметры, вычисленные по опытным данным [Хансен и Андерко (1962)] и теоретическим формулам, соответственно равны
仆 6312 餐 55
力№ — Ni =~, /pd—Pd =~, /со—Pd =
2%2462%14002左e488
；, /со-Со =；, /со-Ni ；“
В системе Со — Ni вблизи состава CoNi3 существует упорядоченная фаза.. Так как для сплавов этой системы а > 0, то можно ожидать, что атомное- упорядочение будет повышать точки Кюри в этих сплавах по сравненито с их значениями в неупорядоченном состоянии.
Рис. 21.36. Зависимость точки Кюри © неупорядоченных сплавов Со — Pd от концентрации pd. Сплошная кривая—теоретическая. Экспериментальные данные показаны черными кружками.Рис. 21.36. Зависимость точки Кюри © неупорядоченных сплавов Со — Pd от концентрации pd. Сплошная кривая—теоретическая. Экспериментальные данные показаны черными кружками.концентрация 不，必?；・%концентрация 不，必?；・%Рис. 21.37. Зависимость точки Кюри 0 неупорядоченных сплавов Со — Ni от концентрации Ni. Сплошная кривая—теоретическая. Экспериментальные данные показаны черными кружками.Рис. 21.37. Зависимость точки Кюри 0 неупорядоченных сплавов Со — Ni от концентрации Ni. Сплошная кривая—теоретическая. Экспериментальные данные показаны черными кружками.
Рис. 21.36. Зависимость точки Кюри © неупорядоченных сплавов Со — Pd от концентрации pd. Сплошная кривая—теоретическая. Экспериментальные данные показаны черными кружками.
Рис. 21.36. Зависимость точки Кюри © неупорядоченных сплавов Со — Pd от концентрации pd. Сплошная кривая—теоретическая. Экспериментальные данные показаны черными кружками.
концентрация 不，必?；・%
концентрация 不，必?；・%
Рис. 21.37. Зависимость точки Кюри 0 неупорядоченных сплавов Со — Ni от концентрации Ni. Сплошная кривая—теоретическая. Экспериментальные данные показаны черными кружками.
Рис. 21.37. Зависимость точки Кюри 0 неупорядоченных сплавов Со — Ni от концентрации Ni. Сплошная кривая—теоретическая. Экспериментальные данные показаны черными кружками.
На рис. 21.38 приведены аналогичные графики с экспериментальными данными для неупорядоченных сплавов систем Ni ——Rh [283] и Ni —— Pd [Хансен и Анд ер ко (1962)].
Влияние атомного упорядочения на точки Кюри при больших по абсолютной величине значениях а можно рассмотреть на сплавах Fe —— Pt.
Кбнценгпр叫ин Rh и Рс1л am, XКбнценгпр叫ин Rh и Рс1л am, XРис. 21.38，Зависимость точки Кюри 0 неупорядоченных сплавов Ni — Rh и Ni— Pd от концентрации Rh и соответственно Pd. Сплошные кривые — теоретические. 1 и 2 — экспериментальные данные соответственно для Ni—Rh и Ni—Pd.Рис. 21.38，Зависимость точки Кюри 0 неупорядоченных сплавов Ni — Rh и Ni— Pd от концентрации Rh и соответственно Pd. Сплошные кривые — теоретические. 1 и 2 — экспериментальные данные соответственно для Ni—Rh и Ni—Pd.Рис. 21，39, Зависимость точки Кюри 0 сплавов Fe — Pt от концентрации Pt. 1 — неупорядоченные сплавы; 2 — упорядоченные сплавы. Сплошная и пунктирная кривые — теоретические. Крестиками и кружками показаны экспериментальные данные.Рис. 21，39, Зависимость точки Кюри 0 сплавов Fe — Pt от концентрации Pt. 1 — неупорядоченные сплавы; 2 — упорядоченные сплавы. Сплошная и пунктирная кривые — теоретические. Крестиками и кружками показаны экспериментальные данные.
Кбнценгпр叫ин Rh и Рс1л am, X
Кбнценгпр叫ин Rh и Рс1л am, X
Рис. 21.38，Зависимость точки Кюри 0 неупорядоченных сплавов Ni — Rh и Ni— Pd от концентрации Rh и соответственно Pd. Сплошные кривые — теоретические. 1 и 2 — экспериментальные данные соответственно для Ni—Rh и Ni—Pd.
Рис. 21.38，Зависимость точки Кюри 0 неупорядоченных сплавов Ni — Rh и Ni— Pd от концентрации Rh и соответственно Pd. Сплошные кривые — теоретические. 1 и 2 — экспериментальные данные соответственно для Ni—Rh и Ni—Pd.
Рис. 21，39, Зависимость точки Кюри 0 сплавов Fe — Pt от концентрации Pt. 1 — неупорядоченные сплавы; 2 — упорядоченные сплавы. Сплошная и пунктирная кривые — теоретические. Крестиками и кружками показаны экспериментальные данные.
Рис. 21，39, Зависимость точки Кюри 0 сплавов Fe — Pt от концентрации Pt. 1 — неупорядоченные сплавы; 2 — упорядоченные сплавы. Сплошная и пунктирная кривые — теоретические. Крестиками и кружками показаны экспериментальные данные.
Для этой системы с г. ц. к. решеткой можно показать, что
2A：B16292&753
^Fc—Ге : , /pt—pt= ,
2/6192倉Г
』Fe_Pt =——^—, a = 4254 T > 0・
Поэтому, согласно теории, атомный порядок должен повышать точку Кюри. На рис. 21.39 приведена теоретическая кривая (штрихами) дл邦
зависимости точек Кюри в неупорядоченном состоянии, вычисленная по формуле (21.76). Кривую точек Кюри для упорядоченных сплавов можно рассчитывать, используя формулу (21.73), где х находим из уравнения, аналогичного (21.66) [см. уравнение (30) в работе Даниленко и др. [271]], а также учитывая, что w = 896. Рассчитанная таким образом кривая изображена на рис. 21.39 (сплошная линия). Экспериментальные данные для этой системы сплавов взяты из книги Хансена и Андерко (1962). Согласие теории и опыта вполне удовлетворительное. Некоторое смещение теоретической кривой вверх относительно опытных точек для упорядоченных сплавов можно объяснить медленностью процессов диффузии. В результате этого максимальное упорядочение атомов, возможное при данной температуре (а именно это предположение и используется в теоретических формулах), фактически не успевает установиться.
В системе сплавов Ni — Pt параметры
2加e・6312仆・367,52械・136,5
/Ni—Ni =» /pt-Pt =, 』Ni-Pt =
а параметр а = 27施/纟 > 0 сравнительно мал. Поэтому в этих сплавах •следует ожидать, что повышение точки Кюри при упорядочении будет незначительным. На рис. 21.40 сплошная прямая соответствует точкам
.Рис. 21-40, Зависимость точки Кюри 0 сплавов Ni — Pt от концентрации Pt. 1— неупорядоченные сплавы; 2——упорядоченные сплавы. Сплошная и штрих-пунктир - ная прямые—теоретические. Кружками и крестиками показаны экспериментальные данные..Рис. 21-40, Зависимость точки Кюри 0 сплавов Ni — Pt от концентрации Pt. 1— неупорядоченные сплавы; 2——упорядоченные сплавы. Сплошная и штрих-пунктир - ная прямые—теоретические. Кружками и крестиками показаны экспериментальные данные.Концентрация О, ат. %Концентрация О, ат. %Рис. 21*41. Зависимость 1—точки Кюри (слева) и 2 — точки Нееля (справа) сплавов системы Fe — Gr в неравновесной a-фазе от концентрации Сг. Точками показаны экспериментальные данные.Рис. 21*41. Зависимость 1—точки Кюри (слева) и 2 — точки Нееля (справа) сплавов системы Fe — Gr в неравновесной a-фазе от концентрации Сг. Точками показаны экспериментальные данные.
.Рис. 21-40, Зависимость точки Кюри 0 сплавов Ni — Pt от концентрации Pt. 1— неупорядоченные сплавы; 2——упорядоченные сплавы. Сплошная и штрих-пунктир - ная прямые—теоретические. Кружками и крестиками показаны экспериментальные данные.
.Рис. 21-40, Зависимость точки Кюри 0 сплавов Ni — Pt от концентрации Pt. 1— неупорядоченные сплавы; 2——упорядоченные сплавы. Сплошная и штрих-пунктир - ная прямые—теоретические. Кружками и крестиками показаны экспериментальные данные.
Концентрация О, ат. %
Концентрация О, ат. %
Рис. 21*41. Зависимость 1—точки Кюри (слева) и 2 — точки Нееля (справа) сплавов системы Fe — Gr в неравновесной a-фазе от концентрации Сг. Точками показаны экспериментальные данные.
Рис. 21*41. Зависимость 1—точки Кюри (слева) и 2 — точки Нееля (справа) сплавов системы Fe — Gr в неравновесной a-фазе от концентрации Сг. Точками показаны экспериментальные данные.
Кюри для неупорядоченных сплавов. Учитывая, что w = 1032/сБ ), можно построить теоретическую кривую для точек Кюри в упорядоченном состоянии (штрих-пунктирная линия на рис. 21.40). Экспериментальные точки лежат несколько выше этой прямой.
Зависимость точек Кюри и Нееля от состава сплавов со структурой типа р-латуни можно проиллюстрировать на системе сплавов Fe — Cr в неупорядоченной a-фазе. В области концентраций от 0 до 80 ат. % Сг эти сплавы обладают ферромагнитными свойствами [см. Хансен и Андерко (1962), Бозорт (1956)]. При составах от 80 до 100 ат. % Сг эти сплавы лнтиферромагнитны [284]. Используя опытные данные и формулы (21.71), можно рассчитать концентрационную зависимость точек Кюри и Нееля (см. рис. 21.41). Экспериментальная линия точек Кюри [Хансен и Андерко (1962), Бозорт (1956)] изображена штрихами; показаны также экспери
ментальные данные для точек Нееля 1285]. Кривые на рис. 21.41 очень похожи на приведенные ранее на рис. 21.32 и 21.33 чисто ил л юс тра тивные кривые для неупорядоченных сплавов этого типа.
Хотя приведенное выше сравнение теории с опытом из-за грубых приближений носит в достаточной мере условный характер, оно все же показывает качественное согласие между теорией и экспериментом, которое наиболее точно в случае неупорядоченных сплавов. В случае упорядоченных сплавов совпадение хуже, что может быть обусловлено неполный! упорядочением и выделением добавочных фаз, а также, по-видимому, зависимостью самих обменных интегралов от степени порядка.
Нужно заметить еще, что все полученные выше формулы справедливы, вообще говоря, только при условии законности усреднения суммы обменных интегралов в (21.29) по всем узлам кристаллической решетки. Ян Ши [256] показал, что если не делать такого усреднения, то для самопроизвольной намагниченности бинарного сплава получается выражение, отличное от (21.51) или (21.52). Оно имеет вид
/§ N甘 ^па th -^-,
где 九£ и 九g — величины, сложным образом зависящие от суммы параметров обмена 2 /аа'・ Таким образом, кривая Is (7) для сплава в общем а,а'
случае складывается из двух кривых, соответствующих, вообще говоря, разным точкам Кюри. Поэтому в некоторых случаях можно ожидать, что между этими <(парциальными» точками Кюри на кривой Is (Т) существует некоторое <(плато». Однако, как отмечается в работе [256], картина значительно усложняется из-за того, что точка Курнакова (температура упорядочения) может лежать между этими точками Кюри, и в этом интервале температур появляется новая фаза (упорядоченная), что также обусловливает «плато》на кривой /§ (7). Возможность такого «перепутывания» ферромагнитного превращения и превращения порядок ——беспорядок необходимо учитывать.
В работе Войцеховского [255] показано, что полученные выше результаты для двухкомпонентных сплавов сравнительно легко обобщаются на случай многокомпонентных сплавов. За подробностями отсылаем читателя к этой работе.
6. Спин-волновая теориямагнитно-упорядоченных кристаллов с примесями
Постановка задачи. Обратимся теперь к случаю низких температур ,когда справедливо приближение спиновых волн (гл. 19). Первую попытку обобщить эту теорию на случай бинарных ферромагнитных сплавов предпринял Вонсовский [254]. Однако в этой работе не учитывались те существенные изменения в энергетическом спектре лшгнетика, которые возникают при внесении в кристаллическую решетку «чужого» атома. Здесь мы изложим более строгую спин-волновую теорию ферромагнитных сплавов. Правда, пока такая теория развита лишь для случая сплавов с очень малой концентрацией примесных атомов, когда справедливо так называемое однопримесное приближение, т. е. когда взаимодействие между атомами примеси можно не учитывать или когда рассматривается случай атомных пар.
Задача построения спин-волновой теории ферромагнитных кристаллов, содержащих некоторое количество магнитных атомов другого сорта, встречается с большими трудностями, поскольку она относится к сложной проблеме расчета энергетического спектра элементарных возбуждений в не упоряд оченных кристаллах. Эти трудности связаны в первую очередь- с тем, что в таких системах отсутствует трансляционная инвариантность.
Поэтому энергетические уровни не могут нумероваться значениями квазиимпульса. Однако при хаотическом распределении примесей, наблюдаемые на опыте величины представляют собой средние по всем возможным распределениям примесей в кристалле. Это позволяет описывать нерегулярный кристалл в термийах идеального кристалла, нумеруя собственные значения энергии в нем значениями квазиимпульса. Отвечающие им состояния при этом уже не являются стационарными и должны характеризоваться конечным временем жизни.
В случае гейзенберговской модели ферромагнетика в приближении ближайших соседей по обменному взаимодействию однопримесную задачу решили Вольфрам и Каллауэй [286] и Изюмов и Медведев [287]. Они изучили спин-волновой спектр идеального ферромагнитного кристалла с атомными спинами S и обменным параметром между ближайшими соседями Л > 0, когда в кристалле один из атомов матрицы заменен атомом другого сорта со спином S' и обменным интегралом с соседями /'.
Если Аг > 0, то спин примесного атома ориентируется параллельно спонтанному магнитному моменту кристалла, а в случае /' V 0 антипараллельно. Оба эти случая требуют отдельного рассмотрения.
Случай ферромагнитной связи примеси и матрицы (/' > 0). По аналогии с (19.20) обменный гамильтониан кристалла с примесью можно записать в приближении ближайших соседей в следующем виде:
恥°6=—4 2'Sn£+A —2/'2@0&+а， (21.77) п, Л А
где штрих у суммы означает, что индексы суммирования п ^ 0 и 孔+厶 W 0; ив- деке А относится ко всем узлам, являющимся ближайшими соседями узла м = 0.
阮=(25产2篇,•^ = (2S，#2 话，〉阮=(25产2篇,•^ = (2S，#2 话，〉(21.78)(21.78)Для получения спектра слабо возбужденных состояний кристалла, описываемого гамильтонианом (21.77), следует перейти к бозе-операторам спиновых отклонений по формулам (19.144) и (19.146), которые в принятых обозначениях п при сохранении первых членов в разложениях (19.151) примут вид
阮=(25产2篇,•
^ = (2S，#2 话，〉
阮=(25产2篇,•
^ = (2S，#2 话，〉
(21.78)
(21.78)
翫= (2S#2 院，、
S^ = (2S)1/4^,0；
舐=S一砒K,.
Произведя указанную замену, получаем обмепный гамильтониан (21.77) в виде ква-- дратичной формы по бозе-операторам:
+ 2S/ 2 ［战瓦+ p而串赢+人一Y@疯十a+丛十A瓦)1=据。丁忆(21・79； А
где е, р и у ——безразмерные параметры, характеризующие возмущение, вносимое в кристалл примесным атомом:
ееAfAf1,1,A,S,A,S,1,1,(21.80；(21.80；
е
е
Af
Af
1,
1,
A,S,
A,S,
1,
1,
(21.80；
(21.80；
Первый член в (21.79)鹼° представляет собой гамильтониан идеального ферромагнитного кристалла, а второй V — оператор возмущения. Как известно (см. гл. 19). оператор 瑜° диагонализуется с помощью фурье-преобразования операторов спинового отклонения [см. формулы (19.147)]. Собственными значениями 觎q являются энергии спиновых волн 宮(А;). При наличии возмущающего потенциала V гампльтонпан (21.79) невозможно диагонализировать путем фурье-преобразования, поскольку оператор 施об не является трансляционно-инвариантным в кристалле.
В связи с этим рассмотрим уравнение Шредингера для кристалла с примесью
(矗>o + R)巾=普巾.(21.81)
Будем искать решение уравнения (21.81) в виде
屮=£ ф (тг) I 孔〉，(21.821
где I п)——волновая функция кристалла с одним перевернутым спином на узле п, а именно:
I 力=敬①0.(21.83)
Здесь Фо—функция основного состояния, отвечающая полному магнитному порядку. Коэффициенты ф (п) удовлетворяют уравнению
[^пт~<п I 彫о|ти〉] ф(ти) = 2 5 I V I ⑺ ф(?и).(21.84)
Выражение, стоящее в квадратных скобках в левой части (21.84),
G^i 三宮6717n — (n I S6о I m)(21.85)
представляет собой обратную функцию Грина для спиновых волн идеального кристалла. Из формулы (21.85), переходя от функций | м〉 к собственным функциям идеального кристалла, легко получить выражение для самой функции Грина
е 0 exp [ifc (Bn- Вт)1„
唸m2 普一普俄)一如•(2(86)
к
Заметим, что G^m имеет ту же структуру, что и функция Грина из задачи об одном примесном центре [см. § 4, п. 3, формула (21.17)].
Теперь уравнение (21.84) можно переписать в виде
Ф 仇)=Фо 仇)+ g G&《"U I иг〉tp (ти).(21.87)
Придадим уравнению (21.87) операторную форму. Для этого набор значений ip (п) и соответственно ф0 (п) будем изображать столбцом и обозначать их через ф и ф0. Величины Gnl н〈2 |R |m) представляют собой матрицы размерности 7Vx 7V. В символической форме будем их обозначать как G° и V. Тогда решение уравнения (21.87) также в символической форме запишется так:
Ф =《_%『Фо・(21.88)
Ото решение связывает состояние с одним спиновым возбуждением в идеальном кристалле с соответствующим состоянием в кристалле с примесью. Величина
£>(宮)三 det [1—СОИ I(21.89)
является важнейшей характеристикой кристалла, содержащего примесь. В частности, плотность состояний в спин-волновом спектре п (宙)выражается через ее значение Ai。(卷)для идеального кристалла с помощью известной из теории примесей формулы (см., например, Изюмов [180])
孔他)=孔0他)+ 丽后曲lnD(宮).(21,90)
Матрица U, хотя формально и имеет размерность N X N、фактически же равна 便十1)义(z + 1), где z — число ближайших соседей, поскольку все остальные элементы матрицы тождественно' равны нулю. Для решетки кубической симметрии, как это видно из определения V [см. (21,79)], матрица имеет такой вид:
ez --Y 一 Y…--?
— у р0 .. .0
V = 2SA
— у 0 р0
.(21.91)
一Y 00 …p
В частном случае п. к. решетки ее размерность равна 7x7. Такую же размерность имеет и детерминант (21.89).
Учитывая симметрию п. к. решетки, можно показать, что Л (宮)в этом случае распадается на произведение следующих сомножителей:
0他)=А他)。么⑸璇険)，(21.92)
отвечающих симметрии так называемого s-, р- и rf-типа. Или более точно, отвечающие неприводимым представлениям Г1Т Г15 и Г12 точечной группы (см. гл. 10). Эти множители выражаются через параметры возмущения (21.80) и несколько элементов функции Грина идеального кристалла (21.86) для узлов, включающих примесный атом и 二 его ближайших соседей. Узлу, занятому примесью, приписан индекс 0. Узлы
ближайшие соседи к нему, связанные инверсией, нумеруются парами 1 п 2, 3 п 4,. 5 и 6- Таким образом,“
A険)=1十ё +=n^ 一 [(e -①普丁2总裁]G8。他)，(21.93)
% 他)=1 一 24sp R。(⑸一雋(⑸],(21.94)
仇(窗=1 一 24sp H。⑸ + G«2 他)一ZG% 传)].(21.95)
Функция плотности состояний п (^) (21.90) с учетом (21.92) разбивается на сумму членов, отвечающих состояниям различной симметрии:
，，偌)=也。偌)+ 鳥m^|^ +鳥+鳥(2J.96)
где штрих обозначает производную по 富.
Рассмотрим по отдельности вклады в (21.96); обозначим их через 厶从氾(宮),где- p = s, р, d. Отделяя в D从(卷)вещественную и мнимую части
4 紡)=Re % (⑸ + "m d从(卷)，(21.97)
находим
Это выражение имеет максимум, когда 宮=宮& удовлетворяет уравнению
Re 刀从(卷) = 0.(21.99》
Если Re Du 他)разложить в ряд в окрестности точки 卷厶，то вблизи максимума величину Д^п (^) можно приближенно представить в виде
他)=^而訝Л『(29
где
(21.101)(21.101)г 一 С Im 4(巡
(21.101)
(21.101)
"I Re D厶儲)|
—ширина пика.
Здесь могут возникнуть две существенно различные ситуации: 1) когда 宮力 лежит внутри спин-волновой энергетической полосы идеального кристалла и 2) когда 卷^ лежит вне этой полосы.
В первом случае величина Г^ отлична от нуля, и вблизи 宮& при условии, что Г^《宮二,функция п (宮)имеет резкий пик в случае возбуждения для квазинепрерыв- ного спектра. Это значение энергии называется виртуальным уровнем (см. § 4, п. 2). Во втором случае Гр,:三 О, поскольку, как видно из (21.93) — (21.95), Im Dg (М) = О для значений 卷，лежащих вне полосы квазинепрерывного спектра. В результате выражение (21.100) для добавки Дип (宮)после предельного перехода Г^ —> 0 принимает вид
АМ 紡)=6 他一靦). (21.102)
Это означает, что в системе появляется дискретный (локальный) уровень, лежащий выше спин-волновой энергетической полосы *).
Такие локальные уровни имеют ту же природу, что и исследованные И. Лифшицем [288, 289] дри анализе фононного и электронного спектра кристалла, содержащего примесный атом. Этим уровням соответствуют локальные возбуждения, захватывающие примесный атом и его ближайшую окрестность.
В противоположность этому, состояния, отвечающие виртуальному уровню, представляют собой искажения делокализованного состояния идеального кристалла с той же энергией, причем это искажение возрастает при приближении к примесному атому. Такие состояния являются квазилокальными. Состояния, соответствующие другим областям спектра, представляют собой слабое искажение состояний идеального кристалла (плоских волн).
Исследование системы уравнений (21.99) [291] с величинами, даваемыми формулами (21.93) — (21.95), показало, что:
) Энергии виртуальных р- и d-колебаний лежат только вблизи верхнего края полосы, причем для их появления необходима достаточно сильная обменная связь примеси с матрицей.
2) Виртуальные s-уровни могут лежать как у верхнего края полосы, так и вблизи ее дна, причем при некоторых значениях параметров возможны оба уровня: виртуальный и локальный (рис. 21.42).Чтобы объяснить эту ситуацию, рассмотрим комплекс спинов, связанных с примесным узлом п его шестью соседями. В р-колебании возникают одинаковые спиновые отклонения на паре противоположных узлов. Всего таких пар три, поэтому р-состояннь трехкратно вырождено. Каждый из двух атомов, участвующих в колебании, окружен пятью атомами матрицы и одним атомом примеси. Для появления локализованного2) Виртуальные s-уровни могут лежать как у верхнего края полосы, так и вблизи ее дна, причем при некоторых значениях параметров возможны оба уровня: виртуальный и локальный (рис. 21.42).Чтобы объяснить эту ситуацию, рассмотрим комплекс спинов, связанных с примесным узлом п его шестью соседями. В р-колебании возникают одинаковые спиновые отклонения на паре противоположных узлов. Всего таких пар три, поэтому р-состояннь трехкратно вырождено. Каждый из двух атомов, участвующих в колебании, окружен пятью атомами матрицы и одним атомом примеси. Для появления локализованноговозмущения на одном атоме требуется энергия порядкавозмущения на одном атоме требуется энергия порядка^р^ SA{z~i) + SlA\^р^ SA{z~i) + SlA\(21.103)(21.103)а для локализованного возбуждения на примесиа для локализованного возбуждения на примеси卷s 公^ SzAr.卷s 公^ SzAr.(21.104)(21.104)Если 4’ V4, то 宮р по порядку величины близко к ширине полосы, а 君$ мало. Таким образом, виртуальные уровни р-тниа лежат вверху полосы, а уровни s-типа могут быть расположены внизу при малой величине интеграла 4'. При возрастании интеграла 4’ обе энергии смещаются к верхне-Если 4’ V4, то 宮р по порядку величины близко к ширине полосы, а 君$ мало. Таким образом, виртуальные уровни р-тниа лежат вверху полосы, а уровни s-типа могут быть расположены внизу при малой величине интеграла 4'. При возрастании интеграла 4’ обе энергии смещаются к верхне-му краю полосы и могут выйти из нее.Существует еще другое s-состояние, связано с возбуждением не примесного его z ближайших соседей. Для негому краю полосы и могут выйти из нее.Существует еще другое s-состояние, связано с возбуждением не примесного его z ближайших соседей. Для негокотороеатома, акотороеатома, а(21.105) °(21.105) °поэтому энергетический уровень, соответствующий этому состоянию, всегда лежит в полосе и вблизи ее верхнего края.Мы рассмотрели только атомы выделенного комплекса, однако в колебаниях s-, р- и rf-типа участвуют и другие атомы матрицы, но амплитуда колебаний должна быстро затухать по мере удаления качественные выводы остаются в силе.поэтому энергетический уровень, соответствующий этому состоянию, всегда лежит в полосе и вблизи ее верхнего края.Мы рассмотрели только атомы выделенного комплекса, однако в колебаниях s-, р- и rf-типа участвуют и другие атомы матрицы, но амплитуда колебаний должна быстро затухать по мере удаления качественные выводы остаются в силе.7733Рис.Рис.6=勿 6№ 6=2 6=/ 6=0,256=勿 6№ 6=2 6=/ 6=0,25однопримесного ферромагнетика (в единицах 4AS) для состояния s-типа от параметра А'/А при различных значениях параметра(j=S'/S.однопримесного ферромагнетика (в единицах 4AS) для состояния s-типа от параметра А'/А при различных значениях параметра(j=S'/S.^5 3^5 321.42, Зависимость энергии 卷21.42, Зависимость энергии 卷ZfiUU нрай полосыZfiUU нрай полосы人/人/от примесного центра, так чтоот примесного центра, так чтоРассмотрим детальнее структуру спин-волновой энергетической полосы, когда- вблизи ее дна имеется виртуальный уровень s-типа, который юявляется в случае слабо связанной примеси при выполнении условия “Рассмотрим детальнее структуру спин-волновой энергетической полосы, когда- вблизи ее дна имеется виртуальный уровень s-типа, который юявляется в случае слабо связанной примеси при выполнении условия “SfAfSfAfSASA《】♦《】♦(21.106}(21.106}
2) Виртуальные s-уровни могут лежать как у верхнего края полосы, так и вблизи ее дна, причем при некоторых значениях параметров возможны оба уровня: виртуальный и локальный (рис. 21.42).
Чтобы объяснить эту ситуацию, рассмотрим комплекс спинов, связанных с примесным узлом п его шестью соседями. В р-колебании возникают одинаковые спиновые отклонения на паре противоположных узлов. Всего таких пар три, поэтому р-состояннь трехкратно вырождено. Каждый из двух атомов, участвующих в колебании, окружен пятью атомами матрицы и одним атомом примеси. Для появления локализованного
2) Виртуальные s-уровни могут лежать как у верхнего края полосы, так и вблизи ее дна, причем при некоторых значениях параметров возможны оба уровня: виртуальный и локальный (рис. 21.42).
Чтобы объяснить эту ситуацию, рассмотрим комплекс спинов, связанных с примесным узлом п его шестью соседями. В р-колебании возникают одинаковые спиновые отклонения на паре противоположных узлов. Всего таких пар три, поэтому р-состояннь трехкратно вырождено. Каждый из двух атомов, участвующих в колебании, окружен пятью атомами матрицы и одним атомом примеси. Для появления локализованного
возмущения на одном атоме требуется энергия порядка
возмущения на одном атоме требуется энергия порядка
^р^ SA{z~i) + SlA\
^р^ SA{z~i) + SlA\
(21.103)
(21.103)
а для локализованного возбуждения на примеси
а для локализованного возбуждения на примеси
卷s 公^ SzAr.
卷s 公^ SzAr.
(21.104)
(21.104)
Если 4’ V4, то 宮р по порядку величины близко к ширине полосы, а 君$ мало. Таким образом, виртуальные уровни р-тниа лежат вверху полосы, а уровни s-типа могут быть расположены внизу при малой величине интеграла 4'. При возрастании интеграла 4’ обе энергии смещаются к верхне-
Если 4’ V4, то 宮р по порядку величины близко к ширине полосы, а 君$ мало. Таким образом, виртуальные уровни р-тниа лежат вверху полосы, а уровни s-типа могут быть расположены внизу при малой величине интеграла 4'. При возрастании интеграла 4’ обе энергии смещаются к верхне-
му краю полосы и могут выйти из нее.
Существует еще другое s-состояние, связано с возбуждением не примесного его z ближайших соседей. Для него
му краю полосы и могут выйти из нее.
Существует еще другое s-состояние, связано с возбуждением не примесного его z ближайших соседей. Для него
котороеатома, а
котороеатома, а
(21.105) °
(21.105) °
поэтому энергетический уровень, соответствующий этому состоянию, всегда лежит в полосе и вблизи ее верхнего края.
Мы рассмотрели только атомы выделенного комплекса, однако в колебаниях s-, р- и rf-типа участвуют и другие атомы матрицы, но амплитуда колебаний должна быстро затухать по мере удаления качественные выводы остаются в силе.
поэтому энергетический уровень, соответствующий этому состоянию, всегда лежит в полосе и вблизи ее верхнего края.
Мы рассмотрели только атомы выделенного комплекса, однако в колебаниях s-, р- и rf-типа участвуют и другие атомы матрицы, но амплитуда колебаний должна быстро затухать по мере удаления качественные выводы остаются в силе.
7
7
3
3
Рис.
Рис.
6=勿 6№ 6=2 6=/ 6=0,25
6=勿 6№ 6=2 6=/ 6=0,25
однопримесного ферромагнетика (в единицах 4AS) для состояния s-типа от параметра А'/А при различных значениях параметра(j=S'/S.
однопримесного ферромагнетика (в единицах 4AS) для состояния s-типа от параметра А'/А при различных значениях параметра(j=S'/S.
^5 3
^5 3
21.42, Зависимость энергии 卷
21.42, Зависимость энергии 卷
ZfiUU нрай полосы
ZfiUU нрай полосы
人/
人/
от примесного центра, так что
от примесного центра, так что
Рассмотрим детальнее структуру спин-волновой энергетической полосы, когда- вблизи ее дна имеется виртуальный уровень s-типа, который юявляется в случае слабо связанной примеси при выполнении условия “
Рассмотрим детальнее структуру спин-волновой энергетической полосы, когда- вблизи ее дна имеется виртуальный уровень s-типа, который юявляется в случае слабо связанной примеси при выполнении условия “
SfAf
SfAf
SA
SA
《】♦
《】♦
(21.106}
(21.106}
Можно показать, что решения уравнения (21,99) в этом случае приближенна имеют вид
^s^2zSA\(21.107).
Соответствующие этому уровню значения ширины Г$ [см. (21.101)] равны
「S= П* 窗м (卷S).(21.108}
Отсюда в силу условия (21.106) и того факта, что вблизи дна полосы 孔。(卷J 2,4Sn《1, приходим к неравенству
= (' ле") япо (務s) 2/Sz《1.(21.109)>
Таким образом, мы действительно имеем узкий резонансный всплеск в распределении плотности состояний вблизи дна полосы при наличии слабо связанной примеси. Этому всплеску соответствует квазилокальное возбуждение s-типа. На рис. 21.43 представлена кривая для плотности состояний ферромагнитного кристалла с п. к. решеткой при концентрации примеси с ^ 0,01 для трех случаев, соответствующих различным значениям параметров.
Наличие низколежащего виртуального уровня определяет особенности термодинамических свойств ферромагнетика с малыми примесями. Действительно, температурная зависимость термодинамических параметров ферромагнетика при низких температурах определяется плотностью состояний в спектре одночастичных спиновых возбуждений при низких энергиях. Если для значений 宮 вблизи дна полосы указанного уровня s-типа нет (или если он все-таки существует, но для энергий 宮,меньших 宮§), то можно показать, что добавка к плотности состояний за счет примеси пропорциональна плотности состояний идеального кристалла. Отсюда сразу следует известный
закон ?з/2 Блоха(См. гл. 19) для намагниченности кристалла с примесями. Расчет [291] приводит к следующему выражению для самопроизвольной намагниченности:
^^ = (1—с) "S'—{1 + <4 (4!—т|^г)} Ув 信)"，⑵，11。)
где Л — численная постоянная (для п. к. решетки Л л; 0,21), 丫七—коэффициент, определяющий температурную зависимость намагниченности в идеальном кристалле. Опытное определение температурного хода намагниченности кристалла с некоторой концентрацией примеси в интервале температур, где справедлив закон Т^”，позволяет при сравнении с результатами измерений для идеального кристалла определить обменный интеграл примесь — матрица Л \
Тис. 21.43. Функция плотности состояний g (^/4AS) •ферромагнитного кристалла при концентрации примеси с = 0,01 для разных значений А^А и ст. 7 — А7А = 0,2； О = 0,25;2 — А'/А = 0,2； 0 = 4;3 — А'/А = 0,5; ст = 0,25. Сплошная кривая изоб- -ражает плотность состояний идеального ферромагнитного кристалла g° (卷/4А8).Тис. 21.43. Функция плотности состояний g (^/4AS) •ферромагнитного кристалла при концентрации примеси с = 0,01 для разных значений А^А и ст. 7 — А7А = 0,2； О = 0,25;2 — А'/А = 0,2； 0 = 4;3 — А'/А = 0,5; ст = 0,25. Сплошная кривая изоб- -ражает плотность состояний идеального ферромагнитного кристалла g° (卷/4А8).Такое поведение намагниченности ожидается, когда квТ V 宮^ Если квТ > 窮纟， то должен интенсивно заполняться виртуальный уровень. Однако соответствующие ему состояния заметно локализованы на примесном атоме. Это означает, что при температуре Т。такой, что квТ0 ^ 宮纟, происходит сильное уменьшение магнитного момента примесного атома, тогда как намагниченность матрицы еще близка к насыщению. Такое аномальное поведение примесного атома приводит к аномальному температурному ходу самопроизвольной намагниченности всего кристалла, содержащего небольшую концентрацию примеси. Этот эффект аналогичен по своей природе аномальному температурному изменению теплоемкости кристалла, содержащего малую концентрацию тяжелых примесных атомов, предсказанную Каганом и Иосилевским [292].
Тис. 21.43. Функция плотности состояний g (^/4AS) •ферромагнитного кристалла при концентрации примеси с = 0,01 для разных значений А^А и ст. 7 — А7А = 0,2； О = 0,25;2 — А'/А = 0,2； 0 = 4;
3 — А'/А = 0,5; ст = 0,25. Сплошная кривая изоб- -ражает плотность состояний идеального ферромагнитного кристалла g° (卷/4А8).
Тис. 21.43. Функция плотности состояний g (^/4AS) •ферромагнитного кристалла при концентрации примеси с = 0,01 для разных значений А^А и ст. 7 — А7А = 0,2； О = 0,25;2 — А'/А = 0,2； 0 = 4;
3 — А'/А = 0,5; ст = 0,25. Сплошная кривая изоб- -ражает плотность состояний идеального ферромагнитного кристалла g° (卷/4А8).
сного атома — малость среднего спиновогосного атома — малость среднего спиновогоОднако при 疋£?^ 宮纟 нарушается условие применимости спин- волнового приближения для приме- —клонения. Применение к примесной
сного атома — малость среднего спинового
сного атома — малость среднего спинового
Рис. 21.44. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности o/S' сплава Fe — Мп (при содержании Мп около 1,5 ат.%). Кривая построена по формуле (21.111). Кружками показаны экспериментальные данные. Кривая для чистого Fe приведена для сравнения.Рис. 21.44. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности o/S' сплава Fe — Мп (при содержании Мп около 1,5 ат.%). Кривая построена по формуле (21.111). Кружками показаны экспериментальные данные. Кривая для чистого Fe приведена для сравнения.задаче техники температурных функций Грина, использованной Тябликовым (1965) для описания поведения идеального ферромагнитного кристалла в широком интервале температур, приводит [293—295J к следующей формуле для т емпературной зависимости примесного спина <5^);
Рис. 21.44. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности o/S' сплава Fe — Мп (при содержании Мп около 1,5 ат.%). Кривая построена по формуле (21.111). Кружками показаны экспериментальные данные. Кривая для чистого Fe приведена для сравнения.
Рис. 21.44. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности o/S' сплава Fe — Мп (при содержании Мп около 1,5 ат.%). Кривая построена по формуле (21.111). Кружками показаны экспериментальные данные. Кривая для чистого Fe приведена для сравнения.
唸〉= 6，&(^^。)，(21.111)
где Bs (х) — функция Бриллюэна (см. гл. 9), а о ——намагниченность матрицы при данной температуре (точнее, среднее значение z-проекции атомного спина в матрице). Таким образом, в •случае слабой связи поведение магнитного момента примесного атома описывается в приближении молекулярного поля матрицы.
Формула (21.111) предсказывает значительно более быстрый спад намагниченности примесного атома с температурой, чем намагниченно- ■сти матрицы, при условии, что SrAr《 SA.
Эти выводы о специфической температурной зависимости примесного спина прекрасно подтверждаются недавними опытами с ЯМР на атомах Md, растворенных в Fe (при концентрациях Md около 1,5 ат.%). Поскольку в результате взаимодействия СТС, частота ЯМР в ферромагнетике получает сдвиг, пропорциональный намагниченности атома матрицы, то, наблюдая температурную зависимость частотного сдвига резонанса на примесном атоме, можно измерять температурный ход намагниченности этого атома.
На рис. 21.44 приведены результаты измерения средней намагниченности cr/S' атомов Мп в Fe. Кривая, проходящая через экспериментальные точки, построена по
формуле (21.111) при подходящем подборе параметра Л \ который как раз соответствует случаю слабо связанной примеси.
Для сплава Fe — Мп при малой концентрации Мп существование виртуального пика на кривой плотности состояний спиновых возбуждений непосредственно доказано методом неупругого рассеяния. Дело в том, что если на кривой плотности состояний одночастичных возбуждений существует пик, соответствующий виртуальному уровню, то он должен существовать и в спектральной интенсивности любого одноча- стпчного коррелятора. В частности, сечение одномагнонного рассеяния нейтронов в таком кристалле, как функция энергии перехода, должно иметь пик при энергиях виртуального уровня, как это было предсказано в работе Изюмова и Медведева [287]. Кро и Бата [296] измеряли неупругое рассеяние нейтронов в сплаве Fe — Мп с 3% Мп (в котором ранее было обнаружено аномальное поведение намагниченности примесных атомов).
Случай антиферромагнитной связи примеси и матрицы (Аг < 0). Рассмотрим теперь случай А' < 0, когда примесный спин располагается антипараллельно самопроизвольной намагниченности кристалла. Однако его проекция на эту намагниченность не равна —S', как это было бы при классическом рассмотрении векторов спина, а меньше (по модулю) своего максимального значения. Соответственно этому уменьшаются спиновые проекции атомов матрицы, причем это уменьшение проекции примесного спина равно сумме уменьшений в матрице. Это правило сумм является следствием того, что полный спин системы коммутирует с обменным гамильтонианом и поэтому является интегралом движения. Таким образом, основное состояние кристалла с антиферромагнитно связанной примесью является пространственно^неодно- родным. Указанные уменьшения ) спиновых проекций являются чисто квантовым следствием существования нулевых колебаний в спин-системе, которые всегда существуют, когда имеется антипараллельная ориентация спинов (в антиферро- и ферримагнетиках).
Исследования Изюмова и Медведева [2971 показали, что в таком кристалле существует два типа спиновых возбуждений: один из них связан с уменьшением суммарного сшша кристалла на 1, как в случае 4’ > 0, другой — с увеличением суммарного спина на 1, обусловленным переворотом примесного спина. Возбуждения первого типа образуют квазинепрерывный спектр, в котором могут возникнуть резонансные уровни, а также дискретные уровни, соответствующие локальным состояниям. Возбуждения второго типа являются локальными, причем оии в значительной степени локализованы на самом атоме примеси.
Возбуждения кристалла с примесью с антиферромагнитной связью могут быть классифицированы по неприводимым представлениям точечной группы кристалла (см. гл. 10), как и в случае примеси с ферромагнитной связью.
Возбуждения первого типа могут быть s-, р- и (/-состояниями, причем ни при каких значениях параметров возмущения не возникает резонансных уровней у дна полосы.
Возбуждения второго типа являются только ^-состояниями. Они представляют собой локальные возбуждения с энергетическими уровнями, которые могут находиться в любом участке спектра в зависимости от значений параметров возмущения. Однако даже если этот уровень попадает в полосу квазинепрерывного спектра, он остается дискретным, поскольку в приближении невзаимодействующих элементарных возбуждений это состояние не может переходить в состояние первого типа. Запрет на такие переходы является прямым следствием того, что суммарный спин системы остается интегралом движения.
В случае слабосвязанной примеси Sf |4‘ |《SA энергия локального возбуждения второго типа дается приближенной формулой
(21.112)(21.112)%6 = 2zS\Af I ,
(21.112)
(21.112)
очень похожей на формулу (21.107) для энергии резонансного уровня для слабосвязанного примесного спина при ферромагнитной связи.
Термодинамическое поведение ферромагнетика, содержащего примесь с антиферромагнитной связью, при низких температурах определяется тем, насколько близко к дну полосы квазинепрерывного спектра возбуждений лежит уровень локального возбуждения второго типа 卷$• Если этот уровень лежит высоко, самопроизвольная намагниченность кристалла изменяется с температурой по закону ?因2 вЛОха, по формуле (21.110). Если же уровень ^s при температурах, для которых квТ ^ 卷§, лежит вблизи дна полосы, то локальные возбуждения второго типа начинают интенсивно заполняться, что приводит к быстрому уменьшению средней намагниченности примесного атома. Поскольку переориентация примесного спина приводит к увеличению суммарного магнитного момента кристалла, то в рассматриваемом случае спонтанный магнитный момент кристалла ферромагнетика уменьшается с температурой медленнее, чем по закону Г’/?, при подходящей концентрации примеси возможно даже увеличение самопроизвольной намагниченности при нагревании в области низких температур.
Некоторые физические свойства однопримесных систем. В пп. 2' и 3 были рассмотрены некоторые низкотемпературные термодинамические свойства ферромагнетиков с примесями, которые зависят от виртуальных уровней, лежащих вблизи дна энергетической полосы. Локальные уровни спиновых возбуждений, лежащих выше верхнего края полосы, проявляются в кинетических свойствах ферромагнетика. Рассеяние медленных нейтронов, а также ФМР теоретически исследовали Изюмов и Медведев [298, 299] и Изюмов [300]. Они также исследовали случаи атомов примеси типа внедрения и вакансий (или немагнитные атомы примеси типа замещения), случаи разных типов решеток кристалла растворителя, случаи, когда примесный атом находится в магнитном кристалле со сложной магнитной структурой (две магнитные подрешетки), а также исследовано поведение примесного атома во внешнем постоянном магнитном поле.
Теорию длинноволновых ферромагнонов для ферромагнетика, состоящего из двух сортов хаотически распределенных магнитных атомов со спинами S] и S? и обменными интегралами Ли, /⑵ 人2，при произвольных концентрациях компонент развила Мерри [301]. В случае слабо отличающихся обменных параметров для атомов различных компонент, когда разности S/u — S2/12 и 52^22 — S]/i2 малы, спектр спин-волновых возбуждений имеет вид
卷的=卷的=cZS^A] + 2с (1 — с) S1S2&2+ (1 —匕2)必/《22S]C + §2 (1 — C)cZS^A] + 2с (1 — с) S1S2&2+ (1 —匕2)必/《22S]C + §2 (1 — C).242归2..242归2.(21.113)(21.113)
卷的=
卷的=
cZS^A] + 2с (1 — с) S1S2&2+ (1 —匕2)必/《22S]C + §2 (1 — C)
cZS^A] + 2с (1 — с) S1S2&2+ (1 —匕2)必/《22S]C + §2 (1 — C)
.242归2.
.242归2.
(21.113)
(21.113)
Как мы видели выше, примеси в кристалле приводят к весьма существенным изменениям свойств идеальных кристаллов. Появляющиеся эффекты интересны сами по себе. Однако некоторые из них можно эффективно использовать для извлечения информации о структуре состояний в самом идеальном кристалле. К числу таких эффектов относится, в частности, неупругое рассеяние нейтронов в ферромагнетиках, содержащих немагнитные примеси. Наличие примесей в кристалле приводит к некогерентному рассеянию нейтронов. Известно, что сечение неупругого некогерентного рассеяния нейтронов с участием одного фонона кристалла пропорционально плотности состояний в фононном спектре. Источником некоге- рентности в этом случае является изотопический состав элементов и наличие хаотически ориентированных ядерных спинов. Таким образом, даже идеальный в кристаллохимическом отношении кристалл приводит к пеко- герентному неупругому рассеянию нейтронов, позволяющему определить плотность состояний в фононном спектре.
Для получения аналогичной возможности в случае магнойного спектра ферромагнетиков в кристалл нужно внести примесные атомы, приводящие к некогерентному рассеянию. Наиболее простая связь сечения °неког (△宮)с плотностью состояний в магнонном спектре идеального кристалла п^ (宮)возникает в случае немагнитной примеси, так как при этом не входят параметры S' и 4‘. Можно показать (Изюмов, Медведев [299]), что в случае малой концентрации примеси с для п. к. решетки рассматриваемое соотношение имеет вид
Оценог (А宮)=或(q)Оценог (А宮)=或(q)(21.114)(21.114)及0 （A容）
Оценог (А宮)=或(q)
Оценог (А宮)=或(q)
(21.114)
(21.114)
卩一 А需g及嚟崂'T + 3富及。（A电卩
LJ A百一© J
где g (q) зависит от импульса перехода q и определяется параметрами,, относящимися только к идеальному кристаллу. Это соотношение открывает уникальную возможность непосредственного определения плотности состояний в магнонном спектре.
Обращаем внимание еще на ряд оригинальных теоретических и экспериментальных исследований по магнитным примесям [302——322], а также на обзор Абрикосова [323] и работы Изюмова и Медведева |206].
Эффекты, обусловленные взаимодействием примесей
Изложенная в § 6 одно примесная проблема может лечь в основу теории магнитных свойств сплавов с очень малой концентрацией второй компоненты. При повышении концентрации атомы примеси начинают взаимодействовать друг с другом, и это взаимодействие может приводить к принципиально новым эффектам в магнетизме сплавов. Один из ярких случаев проявления такого рода взаимодействия дают уже упоминавшиеся сплавы переходных металлов типа Ni ——Мп, Ni — Fe, Pt — Mn, Pd — Fe и другие.
Рис. 21-^5- Нумерация атомов примесной пары (1 и 2—черные кружки) и их ближайших соседей атомов матрицы (5—12 — белые кружки) в п. к. решетке.Рис. 21-^5- Нумерация атомов примесной пары (1 и 2—черные кружки) и их ближайших соседей атомов матрицы (5—12 — белые кружки) в п. к. решетке.Все эти сплавы являются ферромагнитными в широком интервале концентраций с второй компоненты от 0 до некоторой концентрации с0, за пределами которой спонтанный момент в системе исчезает (рис. 21.49).
Рис. 21-^5- Нумерация атомов примесной пары (1 и 2—черные кружки) и их ближайших соседей атомов матрицы (5—12 — белые кружки) в п. к. решетке.
Рис. 21-^5- Нумерация атомов примесной пары (1 и 2—черные кружки) и их ближайших соседей атомов матрицы (5—12 — белые кружки) в п. к. решетке.
Такой ход концентрационной зависимости среднего момента объясняется не концентрационным изменением величин атомных магнитных моментов в сплаве, а связан, по-видпмому, с особенностями его магнитной структуры, например, в силу необычного сочетания знаков параметров обменной связи (21.140).
В силу условия 4a匕 > 0 при малых концентрациях компоненты b ее атомные спины направлены вдоль намагниченности / матрицы а. При больших концентрациях атомы сорта b окружены не только атомами -^матрицы а, но и своими атомами типа Ь и, таким образом, возникает конкуренция ферромагнитных взаимодействий 4。加 стремящихся выстроить их спины вдоль направления I в матри
це, и взаимодействий 4.匕,стремящихся ориентировать спины антипараллельно к соседям сорта Ь.
Изюмов и Медведев [324] сделали попытку построения квантовой теории основного состояния системы двух сортов спинов в гейзенберговской модели при условии (21.140). Не имея возможности провести расчет для произвольной концентрации с второй компоненты, они рассмотрели один простейший элемент сплава: пару атомов сорта Ь, являющихся ближайшими соседями в ферромагнитной матрице (рис. 21.45). Оказывается проблему основного состояния такой системы можно решить точно, а затем, используя полученные результаты, высказать качественные соображения о структуре указанных сплавов.
Спиновый гамильтониан кубического ферромагнитного кристалла, содержащего два примесных атома b замещения (в узлах 2 и 2), запишется в виде
認=-Ааа 2' 2' (6n&+A)—g“M (2‘ 舐 + 融+ 例z)_
n An
-2АЪЬ (S[-S^~2Aab 2』'(阳♦瓦+a)，(21.115)
2 A
(А дает суммирование по ближайшим соседям). Здесь первый член описывает обмен внутри матрицы за вычетом двух примесных атомов (штрихи у суммы означают, что узлы 7 и 2 изъяты из суммирования), второй член дает зеемановскую энергию системы в поле, а два последних учитывают обменное взаимодействие примесных атомов друг с другом и с атомами матрицы.
Задача состоит в нахождении основного состояния системы, описываемой гамильтонианом (21.115). Известно, что оператор полного спина коммутирует с гамильтонианом (21.115), следовательно, основное состояние системы должно характеризоваться помимо энергии еще и величиной z-проекции полного спина 5°. Спектр возможных значений S° пробегает значения (N — 2) S + 2S，三 ^макс, ^макс — 1, ^макс — 2 и т. д. Соответственно спектр собственных значений системы можно классифицировать по собственным значениям 5°. Энергию состояния с S° = ^макс (когда все спины системы «параллельны») обозначим 宮°, а энергии состояний с S° = ^макс — 1, ^макс — 2 н т. д. обозначим соответственно 宮「宮2, • • ■，彰
В принципе, чтобы определить энергию основного состояния, мы должны найти собственные значения энергии 宮°,宮八 卷2,…• и сопоставить их друг с другом. Состоянию с полным спином sSranc соответствует один уровень энергии 宮°, тогда как состояниям с меиьптим полным спином — целые энергетические полосы (например, в идеальном ферромагнетике — спиновые волны). Если один из уровней 宮i будет ниже 宮° и всех прочих уровней 卷2,卷з, • ■ ■, то именно он и будет соответствовать основному состоянию системы. Мы ограничимся тем, что вычислим энергии 協。и ^ь и покажем, что при некоторых значениях параметров обменного гамильтониана один из уровней 宮】 может обладать энергией, меньшей чем ^0. Следовательно, в некоторой области параметров основное состояние может быть с S° = s3kc*— 1.
Обозначим волновые функции системы, соответствующие собственным значениям 宮о,卷 1, • • ., через То, Yj, . . . Легко видеть, что функции То, отвечающей состоянию с параллельными спинами, соответствует энергия
^-Ааа [№-4(S-l)-2] S2 —44如(g-l)SS' —
— 2/bb(S，)2 — gREH[(W — 2)S + 2Sl(21.116)
Для нахождения 卷]необходимо решить уравнение Шредингера
賜匕=备%.(21-117)
Для чего разложим Yj в ряд по волновым функциям | /) одночастичных спиновых отклонений, локализованных на узлах кристалла:
▼1=2叮1》・(21.118)
Функция I /) получается действием оператора Sj на волновую функцию Yg：
l/) = (2Sj)~^S-^0.(21.118а)
Поскольку I /) образуют полный набор функций, описывающих состояния системы с S° = SJ1aHe — 1，разложение (21.118) для 4rl является точным.
Уравнению (21.117) соответствует эквивалентная система уравнений для Cj：
(21.119)(21.119)Z〈"看Z I /〉С尸卷传e，
(21.119)
(21.119)
где матричные элементы гамильтониана (21.115) могут быть вычислены с использованием определения (21.118а) для функции | 力，а также определения То：
/%=о, s^Q=s^/%=о, s^Q=s^(21.120)(21.120)
/%=о, s^Q=s^
/%=о, s^Q=s^
(21.120)
(21.120)
где Sj=S для узлов матрицы н Sj=Sf для узлов, занятых примесными атомами. Таким образом, получаем, что уравнение (21.119) есть
工[(АМ — g^E-2^aaS) Si;+2AaaS 2 决+ A,力 cj一 2 %用=0,(21.121)
где Vq—симметричная матрица возмущения с размерностью 12x12 с отличными от нуля элементами:
Уц = У22 = 28Ааа^-1)г + ^ Vi2^~2AaaS^']
匕3=%4=…=匕2"2=24aSp,> (21.122)
卩13=匕4=厂15 =匕6 =卩3 ii = V27 — V2s^V2Q = V2t 10 = ^2, 12= — 2/aaSy.丿
Здесь величины е, р, у и являются параметрами возмущения
e = 1，P=-j~— 1，Y = i—/1，⑵/23)
三=纪^T(21.124)
Характерно, что параметры e, p и у характеризуют взаимодействие одного из примесных атомов с матрицей и совпадают с теми, которые фигурируют в теории изолированных примесей в ферромагнетиках (см. § 6) тогда как новый параметр 三 характеризует взаимодействие между двумя примесными спинами.
В уравнении (21.121) введено еще одно обозначение:
(21.125)(21.125)A卷=卷i -卷0.
(21.125)
(21.125)
Легко видеть, что выражение, стоящее в квадратных скобках уравнения (21.121) есть обратная функция Грина [G°]7j одночастичных возбуждений идеального ферромагнетика. Учитывая это, запишем уравнение (21.121) в компактной форме:
3 [%/—』G% (稅％j] CJ = O,(21.126)
где G?n (宮)一гриновская функция одночастичных возбуждений идеального ферромагнетика, определяемая выражением (21.86).
Спектр возможных значений энергии 宮 в системе, находящейся в состоянии 4r匕 определяется нулями детерминанта системы уравнений (21.126):
刀⑹三 det 0仃一 £ G% ⑹匕г».(21.127)
Поскольку матрица Vny имеет размерность 12 х 12, легко видеть, что D (岩)есть детерминант 12-го порядка. Для факторизации детерминанта следует использовать теорию симметрии. Легко видеть, что двухатомная «молекула» в п. к. решетке понижает точечную симметрию кристалла до группы D电(с центром симметрии посередине отрезка, соединяющего атомы 1 и 2). Используя теорию симметрии, можно показать, что D (岩) разбивается на произведение множителей, отвечающих различным неприводимым представлениям группы Z)4九.Оказывается, что лишь один из этих множителей (принадлежащих представлению %2後)включает в себя параметр 自,зависящий от отрицательного обменного интеграла 24bb• Остальные множители зависят лишь от параметров е, р и у, так же как в случае одного примесного атома в кристалле, и дают решения для 岩 > 6. И только множитель 力厶弊(岩)，зависящий от Яьь <； 0, может в принципе дать решение с А岩 V 0, т. е. с 岩丄 V 岩о・ В этом случае состояние с 5° = 5^анс — 1 было бы энергетически выгодным по сравнению с состоянием с 5° = 5манс.
Итак, изучим детальнее состояние У&, принадлежащее неприводимому представлению 力2弘・ Оно характеризуется следующей симметрией коэффициентов cj в разложении волновой функции 屮丄[324]：
С1=—勺；С”= —С12； Сз = С4=% = Сб= —”= —%=—% =—с10,(21.128)
таким образом, из 12 коэффициентов cj, определяемых на 12 узлах, включающих два примесных атома и их ближайших соседей, независимыми в состоянии Я2и являются только три, например q, с3 и с“. Они определяются из следующей системы уравнений, получаемой комбинацией систем уравнений (21.126) и условий симметрии (21.128):
0
/7(⑸ R (^) X (^)\ /(г - 1) e + 2§ -•2Y -?、//\
= 2AaaS B(^)Y^)一2丫 p 0% !, (21.129)
窃 У (窃 ZGS)一丫 О р/ \ciJ
при дополнительном условии нормировки на с；
* |cj|2 = l.(21.130)
Здесь величины 7(岩)， 冗(岩) и т. д. представляют комбинации гриновских функций G^m (^) для 12 узлов, входящих в выделенный комплекс (рис. 21.45):
(21.131)(21.131)7(卷) = G?】(岩)一G%(岩)；R^^^^-G^^ X(^) = G£(^)—Gg&(^); У (務) = 2(G&2(務)一G$8(務))； Z^) = G^ («)-С?1112 («);>
(21.131)
(21.131)
нуляминулямиW («)=6^ («)+G§4 (卷) + 2G% (⑸一G£ (⑸一G% (卷)一2G% (窃 J
нулями
нулями
(21.132)(21.132)Возможные значения энергии % кристалла в состоянии Л2и определяются детерминанта системы (21.129)
(21.132)
(21.132)
•% (⑸=0，
(а 少&2乳(岩)есть как раз один из множителей общего детерминанта системы
D (岩)，принадлежащий неприводимому представлению Я2и)* Мы видим из (21.129), что ^a2u(^) действительно зависит от параметра 自，который может быть отрицательным и дать отрицательное решение уравнения (21.132). Прежде всего получим условие, при котором один из корней 岩 уравнения (21.132) переходит через нуль и становится отрицательным, т. е. когда в системе только что появляется дискретный уровень, лежащий ниже полосы. Для этого в выражение D (岩)подставим Т,公，...при значении 岩=0, взяв рассчетные значения величин 2AaaSG^m (0) [324]. Тогда уравнение (21.132) будет давать связь между всеми параметрами, определяющими решение 岩=0. На рис. 21.46 представлены результаты численного решения этого уравнения. На плоскости Ааъ/Ааа и 4ь“力аа Для трех значений S'/S = 4,1, 1/4 и проведены кривые, отделяющие области значений параметров обмена АаЬ/Ааа и AbblAg при которых устойчиво состояние Yo с 5° — 5^акс (эта область оказывается внизу под соответствующей кривой). В остальной области состояние 42а с полным спином 5° = 5^анс — 1 лежит ниже по энергиям состояния с параллельными спинами. Как видно из рис. 21.46, области устойчивости состояний с 5° = 5^акс очень существенно зависят от отношения спинов S'/S. Чем меньше это отношение, тем более устойчивым (при прочих равных условиях) является это состояние.
В общем случае решение уравнения (21.132) можно найти лишь численно. На рис. 21.47 представлены результаты таких расчетов для случая S' = S = 1/2. Сплошные кривые показывают зависимость энергии основного состояния от параметра А ^А аа при фиксированных значениях А^Ааа. Каждая кривая состоит из восходящей и нисходящей ветвей. Восходящая ветвь (вместе с пунктирным продолжением) дает энергию состояния с максимальным спином 5^анс, рассчитываемую по формуле (21.116). Нисходящая ветвь дает энергию 岩丄 состояния со спином 5манс — 1,
рассчитанную на основе решения уравнения (21.132). Видно, что при увеличении | А^ | состояние системы с S° = 5^анс ——1 лежит ниже состояния с параллельными спинами, причем разница в энергии возрастает с ростом 14 bb 丨・ Таким образом, точки излома соответствуют потере устойчивости состояния с S° = 5^анс・ Положение этих точек
Рис. 21*46. Области устойчивости на плоскости параметров 4а"Ааа и I Abb/Aaa | состояния 4roe максимальным спином системы 8^акС для различных отношений спинов примеси и матрицы S'/S = =4, 1, 1/4.Рис. 21*46. Области устойчивости на плоскости параметров 4а"Ааа и I Abb/Aaa | состояния 4roe максимальным спином системы 8^акС для различных отношений спинов примеси и матрицы S'/S = =4, 1, 1/4.g/43g/43Рис. 21.47. Энергия основного состояния кристалла (в относительных единицах ^/4AaaS), содержащего примесную и двухатомную «молекулу», кан функция параметра Аьь/Aaa для случая S' =S = 1/2 и четырех значений параметра Aab/Aaa = 0,5; 1,0; 1,5； 2,0, соответствующих четырем кривым 2, 2, 3 и 4.Рис. 21.47. Энергия основного состояния кристалла (в относительных единицах ^/4AaaS), содержащего примесную и двухатомную «молекулу», кан функция параметра Аьь/Aaa для случая S' =S = 1/2 и четырех значений параметра Aab/Aaa = 0,5; 1,0; 1,5； 2,0, соответствующих четырем кривым 2, 2, 3 и 4.
Рис. 21*46. Области устойчивости на плоскости параметров 4а"Ааа и I Abb/Aaa | состояния 4roe максимальным спином системы 8^акС для различных отношений спинов примеси и матрицы S'/S = =4, 1, 1/4.
Рис. 21*46. Области устойчивости на плоскости параметров 4а"Ааа и I Abb/Aaa | состояния 4roe максимальным спином системы 8^акС для различных отношений спинов примеси и матрицы S'/S = =4, 1, 1/4.
g/43
g/43
Рис. 21.47. Энергия основного состояния кристалла (в относительных единицах ^/4AaaS), содержащего примесную и двухатомную «молекулу», кан функция параметра Аьь/Aaa для случая S' =S = 1/2 и четырех значений параметра Aab/Aaa = 0,5; 1,0; 1,5； 2,0, соответствующих четырем кривым 2, 2, 3 и 4.
Рис. 21.47. Энергия основного состояния кристалла (в относительных единицах ^/4AaaS), содержащего примесную и двухатомную «молекулу», кан функция параметра Аьь/Aaa для случая S' =S = 1/2 и четырех значений параметра Aab/Aaa = 0,5; 1,0; 1,5； 2,0, соответствующих четырем кривым 2, 2, 3 и 4.
на плоскости перемеипых Аа^/Ааа и | Аьь/Ааа 1 изображалось нами на рис. 21.46 (начало отсчета энергии на рис. 21.46 соответствует величине 滉=—NAaazS2 — энергии основного состояния идеального кристалла).
Пунктирная линия а, пересекающая продолжение прямых для энергий ^0 (рис. 21.47), соответствует классической конфигурации, при которой спины примесных атомов антипараллельны. Энергия такого классического состояния дается формулой
君класс = —4ш [Nz — 4 (z — 1) — 2] S2十 2Аъъ (5')丄 (21.133)
Пунктирная линия а на рис. 21.47 соответствует как раз этой формуле при S' = S = =1/2. Заметим, что энергия истинного квантово-механического состояния с полным спином 5манс — 1 лежит существенно ниже энергии классического состояния с тем же значением полного спина и строго антипараллельной ориентацией спинов примесной пары. Этот результат показывает, что в данной задаче рассмотрение спинов как классических векторов не дает сколько-нибудь удовлетворительного решения проблемы основного состояния.
Фактически мы исследовали условия, накладываемые на обменные параметры, при которых состояние 田纟 энергетически более выгодно, чем состояние ^ с полностью параллельными спинами. Встает вопрос теперь, каким образом в состоянии 屮丄 распределено по кристаллу изменение суммарного спина системы на 1 по отношению к состоянию 4f°, или, другими словами, каковы средние значения z-проекций спинов отдельных узлов / в состоянии У- Легко получить, исходя из выражения (21.117), что указанное среднее выражается через коэффициенты с#
w|典1照〉=*一13卷)艮 (21/34)
где 邑=S' для j = 1, 2 и Sj = S для / 1, 2.
Анализ решений уравнений (21.126), проведенный Изюмовым .и Медведевым [324], показывает, что в состоянии 电丄 сокращения z-проекций атомных спинов (по отношению к состоянию У。с полной параллельностью спинов) лока.гизовано вблизи примесной пары. В пределе【自 | -> оо, т. е. при 4bb -> —— 8, оказывается, что | 勺 卩 = — I * 产=1/2, тогда как на других узлах | 勺 产=q Таким образом, в этом асимптотическом случае состояние системы с суммарным спином S^anc — 1 целиком локализовано на обоих примесных атомах. В частности, из (21.134) следует, что при S = 1/2 среднее значение спиновой проекции на примесном атоме равно нулю, что в точности соответствует спиновому состоянию изолированной пары. При конечных 自 спиновое состояние на примеси меньше 1/2, так что при S'= 1/2 среднее значение z-проекции примесного спина имеет небольшую составляющую на направление спонтанного момента кристалла, в то же время имеется небольшое отклонение спиновых проекций на ближайших к примесной паре узлах. Состояние А2и является, таким образом, сильно локализованным; при уменьшении | 自 | степень локализации его уменьшается.
В другом предельном случае, когда значение 自 соответствует границе появления отрицательного дискретного уровня Л2и* например, для частного случая S' = S
и 4ab = 力аа， имеется следующее распределение сшшовых сокращений:
I ci |2 = 0,33; I сз |2 —0,01; I си |2=0,02.
Суммарное сокращение на комплексе, состоящем из примесной пары и ее десяти соседей, равно 0,78; таким образом, и в этом случае состояние А2и оказывается в значительной степени локализованным.
Полученные выше результаты исследования ферромагнитного кристалла, содержащего двухатомную примесную «молекулу», можно кратко резюмировать так: при не слишком больших значениях обменной связи между примесными атомами | Аъъ I основное состояние кристалла соответствует максимальному значению суммарного спина 5манс, т. е. полной «параллельности спинов примеси и матрицы. При некотором критическом значении параметра 14 bb 丨(при прочих фиксированных параметрах) такое состояние становится неустойчивым, и основное состояние системы соответствует спину 5макс — 1. Это состояние является локализованным и характеризуется сокращениями z-проекцпй спипов на примесных атомах и атомах матрицы вблизи примесной смолекулы», причем суммарное сокращение спиновых проекций по кристаллу должно равняться 1. С увеличением | А^ъ I степень локализации сокращения возрастает; однако при некотором | А^ь I система в принципе может перейти в состояния с меньшим значением спина, чем S^anc ——1. Состояние с $2акс ~1, по-видимому, будет оставаться основным при неограниченном росте [ Лъъ | лишь для М'=4/2. Можно предполагать, что принципиальные черты основного состояния с 5^анс——1 (неоднородное распределение сокращений спиновых проекций по кристаллу и локализация их вблизи примесной «молекулы») будут сохраняться и в состояниях с S° V S^anc —— 1.
Аналогичным образом можно было бы рассмотреть и другие многоатомные «молекулы» в кристалле: стройки», «четверки» и т. д. Результаты исследования некоторых из такого рода дефектов в частной модели (S' = S, 4ab ~ Лад) приведены в табл. 21.2,
Таблица 21.2
Значения параметра (Л^ь/Лаа)кр, определяющие потерю устойчивости основногосостояния системы с максимальным спином для различной конфигурациипримесных комплексов (Изюмов, Медведев [324])
Конфигурация комплекса
•——•
•--0—-•
Q--•
• м •—-•
•--•
•—-•
（警）
—2
— 1,19
— 1,13
—0,6
-0,1
где указаны критические значения Я^Маа, при которых состояние с параллельными спинами является неустойчивым. Эти результаты носят чисто и ллюст р атив ный характер, однако в таблице просматривается тенденция: чем больше атомов в прпмесном комплексе, тем менее устойчивым является состояние с параллельными спинами.
Поскольку в кристалле Аъъ (как п другие параметры) фиксированы, это означает, что при наличии разного рода изолированных «молекул》, часть из них (молекулы с меньшим числом атомов) могут быть с параллельной ориентацией спинов, тогда как другие соответствуют уже меньшему значению суммарного спина. Это позволяет высказать некоторые соображения о структуре сплавов типа Ni ——Мп.
Когда концентрации настолько малы, что атомы второй компоненты можно считать изолированными друг от друга, их спины расположены параллельно спиновому порядку в матрице и имеет место простой закон смешения для среднего магнитного момента сплава, так что при S'〉S средний момент сплава линейно растет с ростом концентрации. При повышении концентрации возникает некоторое количество сдвоек», «троек» п т. д. и если в одной из таких бмолекул» условие «параллельности» спинов уже нарушено, она будет давать меньший вклад в суммарный сппн кристалла (по сравнению со случаем полной ^параллельности» спинов). Таким образом, при концентрациях, когда таких «молекул» в сплаве будет много, начнется резкое уменьшение спонтанного магнитного момента сплава. При дальнейшем увеличении концентрации число «молекул» с большим количеством атомов сильно возрастает, п это обеспечивает быстрый спад среднего момента с концентрацией.
Таким образом, удается качественно объяснить характер кривой рис. 21.49 в рамках гейзенберговской модели ферромагнетизма, не предполагая концентрационного изменения атомных магнитных моментов, а учитывая лишь уменьшение квантавоме- канических средних проекций атомных спинов на направление спонтанного момента кристалла. Величина проекции атомного спина в сплаве меняется от атома к атому it зависит от окружения, в которое попадает данный атом (т. е. от того, входит ли он в состав «двойки», «тройки» и т. д.). Средние квантовомеханические от перпендикулярных
проекций атомных спинов при этом обращаются в нуль. Конечно, при высоких концентрациях второй компоненты изолированных «молекул» в сплаве выделить нельзя и наилучшим описанием спинового состояния такого сплава являлось бы статистическое. Именно такой подход осуществлен в работах Сидорова и Дорошенко [325] (см. § 10 этой главы), что позволило им выразить^концентрационную зависимость среднего момента сплава указанного типа через феноменологический параметр—концентрацию с0. Таким образом, указанные сплавы обладают коллинеарной магнитной структурой, но с неоднородным распределением z-проекций атомных спинов по кристаллу, зависящим от концентрации. Спонтанный момент кристалла задает единственную для всех атомных спинов сплава ось квантования в системе.
Случай линейных и плоских дефектов
В § 6 было показано, что наличие примеси в ферромагнитном кристалле приводит к тому, что в спиновой ветви энергетического спектра появляются отдельные локальные уровни. Предположим теперь, что в ферромагнетике имеется одномерная или даже двумерная совокупность из N примесных атомов.
Если эти примесные атомы находятся столь далеко друг от друга, что их взаимодействием можно пренебречь, то любой волновой функции, описывающей отклонение спина на каждом из примесных узлов, будет соответствовать одно и то же дискретное значение энергии. Таким образом, имеется TV-кратное вырождение. При сближении примесных атомов, взаимодействие между ними приводит к тому, что вырождение снимается (см. § 7) и вместо отдельного локального уровня возникает квазинепре- рывная полоса локальных состояний. Энергия и волновые функции этих состояний будут зависеть от волнового вектора А^-одномерного (в случаег если примеси образуют прямую линию) или двумерного (в случае, если примеси образуют плоскую совокупность). Это связано с тем, что переход к представлению волновых векторов можно осуществить, если прямая решетка обладает трансляционной инвариантностью. При наличии прямолинейной или плоской совокупности примесных атомов трансляционная инвариантность не нарушается лишь вдоль указанной лилии и вдоль плоскостей, параллельных плоскости, образованной примесными узлами. В связи с этим можно осуществить переход лишь к одномерному или двумерному обратным пространствам, в которых задан одномерный^ или двумерный волновой вектор к соответственно.
Рассмотренные совокупности ферромагнитных примесей можно трактовать как частный случай линейного и плоского дефекта. Приведенные соображения позволяют считать, что при наличии в ферромагнетиках любых других линейных и плоских дефектов также должны возникать целые полосы локализованных спиновых возбуждений. Эти возбуждения носят характер плоских волн в плоскости, параллельной поверхности дефекта (плоский дефект) или вдоль линии дефекта, и амплитуда их убывает при удалении от дефекта.
В качестве линейного дефекта можно рассматривать, например, дислокацию, а в качестве плоского — поверхность кристалла, дефекты упаковки, границы блоков и т. д.
Изучению локальных и квазилокальных состояний спиновой системы ферромагнитного кристалла, содержащего дислокации, посвящены работы Пикалева и Савченко [329] и Пушкарова и др. [330]. В работе [330] был рассчитан спектр локальных и квазилокальных колебаний и дифференциальное сечение рассеяния нейтронов на этих колебаниях.
Спиновые возбуячдения при наличии плоских дефектов теоретически были изучены в работах Филиппова [331], Уоллиса и др. [332], Миллса [333], Миллса и Марадудина [334].
Ограничимся далее рассмотрением спиновых возбуждений вблизи поверхности ферромагнитного кристалла. Аналогичная задача, но для колебательного спектра решетки решалась Лифшицем и Розенцвейгом [335]. В работах Филиппова [331] эта задача решалась, как и в случае-
локализованных примесей см. (§§ 6 и 7), в рамках теории локальных возмущений. Здесь, однако, имеется своя специфика, поскольку плоский дефект может считаться локализованным лишь в одной! направлении.
Предположим, что обменное взаимодействие между атомами, лежащими на поверхности кристалла, характеризуется обменным интегралом /* а внутри кристалла — интегралом Л. Для энергии 宮 спиновых возбуждений, локализованных вблизи поверхности кристалла (010) п. к. решетки, совпадающей с координатной плоскостью cz, в гармоническом приближении имеем
g 2AS (2 — cos кх — cos 偿)+ AS &二不,где ради краткости введены обозначения
8 二二—2m (2 — cos kx — cos 力z), g ——-1 — / //,
名例S名例SРис. 21,48. Зависимость энергии (в относи - тельных единицах 岩/2AS) спиновых возбуждений, локализованных вблизи поверхности кристалла (010) с п.н. решетной от проекции волнового вектора 丸寸(в единицах параметра решетки а и при hz = 0) для различных значений параметра g = 1— А7А, g = 0 — верхняя кривая соответствует идеальному ферромагнетику.Рис. 21,48. Зависимость энергии (в относи - тельных единицах 岩/2AS) спиновых возбуждений, локализованных вблизи поверхности кристалла (010) с п.н. решетной от проекции волнового вектора 丸寸(в единицах параметра решетки а и при hz = 0) для различных значений параметра g = 1— А7А, g = 0 — верхняя кривая соответствует идеальному ферромагнетику.кх и kz — компоненты безразмерного двумерного волнового вектора к (измеряемого в единицах параметра решетки а). Выражение для энергии 宮 справедливо при е W 0 и при £》2. Величина 三 служит мерой отклонения обменного взаимодействия вблизи поверхности кристалла от такового же в объеме кристалла. Видно, что если А' = Л, то второе слагаемое в выражении для 宮 выпадает и 宮 будет совпадать с частным видом энергии спиновых волн идеального ферромагнетика с кубической решеткой. Таким образом, все отличие найденного спектра спиновых волн от спектра идеального безграничного кристалла связано со вторым слагаемым или в конечном счете с различием обменного взаимодействия внутри и па поверхности ферромагнетика.
名例S
名例S
Рис. 21,48. Зависимость энергии (в относи - тельных единицах 岩/2AS) спиновых возбуждений, локализованных вблизи поверхности кристалла (010) с п.н. решетной от проекции волнового вектора 丸寸(в единицах параметра решетки а и при hz = 0) для различных значений параметра g = 1— А7А, g = 0 — верхняя кривая соответствует идеальному ферромагнетику.
Рис. 21,48. Зависимость энергии (в относи - тельных единицах 岩/2AS) спиновых возбуждений, локализованных вблизи поверхности кристалла (010) с п.н. решетной от проекции волнового вектора 丸寸(в единицах параметра решетки а и при hz = 0) для различных значений параметра g = 1— А7А, g = 0 — верхняя кривая соответствует идеальному ферромагнетику.
На рис. 21.48 представлена зависимость 宮/2/S от кх (при kz = 0) при разных значениях параметра g. Видно, что при каждом данном кх
энергия найденных возбуждений всегда меньше соответствующей энергии спиновых волн идеального ферромагнитного кристалла (верхняя кривая при Е = 0).
Волновая функция найденных возбуждений, например при е V 0, имеет вид
фп, у =(р()ехр(?%%)・ехр (—Ю , у》0,(21.135)
где 6 = 1/ln I 1 — е I имеет смысл глубины проникновения волн внутрь от поверхности кристалла, п — радиус-вектор (в единицах постоянной решетки а), опр ед ел яющий положение спина в плоскости, параллельной поверхности кристалла, у — координата (дискретная) спина вдоль нормали к поверхности,(р0 — постоянный нормирующий фактор. Из (21.135) видно, что при увеличении у, т. е. при удалении от поверхности кристалла волновая функция 屮龍，《 убывает, в то же время она имеет вид плоской волны в плоскости, параллельной поверхности кристалла, т. е. найденные возбуждения представляют собой поверхностные спиновые волны. В случае антиферромагнетиков поверхностные спиновые волны исследованы в работе [381].
В связи с вопросом о влиянии дислокаций на ферромагнитные свойства кристаллов упомянем исследования Шарпа и др. [397, 398], которые наблюдали в чистых монокристаллах NaCl при гелиевых температурах ферромагнитные свойства. С целью объяснения своих экспериментальных результатов авторы высказали предположение, что щелочпо-галоидные кристаллы типа NaCl могут обладать ферромагнетизмом, целиком обусловленным на ход ящимися в реальных кристаллах дислокациями. По этой гипотезе в каждой элементарной ячейке, находящейся на дислокации, имеется нескомпенсированный электронный спин, обменная связь которого со своими «соседями по дислокации» описывается положительным интегралом обмена, оценка которого дает для точки Кюри сотни градусов. Теоретический анализ простейшей модели, построенной по гипотезе Шарпа и Эвери, а именно периодической плоской сетки, состоящей из линейных цепочек спинов, провели Косевич и Шкловский [399]. За подробяо- стями отсылаем читателей к цитированным оригинальным работам.
Зависимость среднего атомного магнитного момента сплаваот состава и степени порядка по ^ — d-модели
Рассмотрим теперь зависимость среднего атомного магнитного момента ферромагнитных бинарных сплавов от состава и степени дальнего порядка в рамках приводимых выше представлений, но с учетом влияния системы электронов проводимости, по схеме, принятой в работе Вонсовского и Власова [263] [см. также Дорфман (1955)]. Используя s — d-обменную модель (Вонсовский [133]), приводящую к выводу о «подмагничивании» электронов проводимости в переходных ферромагнитных металлах, можно, как мы видели (см. гл. 20), объяснить дробные значения средних атомных магнитных моментов даже в чистых ферромагнитных металлах. Свободная энергия ферромагнетика рассчитывается в предположении, что энергия s — й-связи мала (по сравнению с энергией Ферми и прямым d — d-обменом). Тогда из условий минимума полной свободной энергии относительно парциальных намагниченностей внутренних и внешних электронов можно найти равновесное значение намагниченностей и, следовательно, средний атомный магнитный момент.
Для определения обменной энергии взаимодействия электрона проводимости с внутренними применялся метод Смирнова [336], согласно которому при вычислении волновых функций и энергии электрона проводимости сплав заменяется чистым металлом, состоящим из эффективных атомов со средней потенциальной энергией электрона, а частично упорядоченный сплав заменяется полностью упорядоченным сплавом из соответственно подобранных атомов. В результате расчета для среднего магнитного момента в случае неупорядоченного сплава была получена формула
Цспл = N& 十 乂Ns, (21.136)
где 卩壮 и N$ — средние атомные моменты соответственно внутренних и внешних электронов, вычисленные в первом приближении по правилу смешения, а х — отношение двух квадратичных функций концентраций одной из компонент сплава п^
где величины а, а', р, 0' и у, у в рассматриваемом приближении не зависят от состава. По порядку величины 乂 определяется соотношением интеграла s—й-обмена ASd к энергии Ферми g:
LM.^ 0,01—0,1. (21.138)
Знак % определяется знаком параметра Asd. Из (21Л37) вытекает общий физический вывод о неприменимости правила простого смешения к ц спл, что согласуется с опытом (см. начало настоящей главы).
Для упорядоченных сплавов с о. ц. к. решеткой и стехиометрического состава типа р-латуни параметр х квадратично зависит от степени дальнего порядка п [см. (21.38)]:
乂 = 4+5炉■ (21.139)
В связи с изложенным здесь и выше заметим, что дробность атомных магнитных моментов как чистых металлов, так и сплавов и отклонение их концентрационной зависимости от линейной (соответствующей правилу смешения) могут быть связаны не только с s — &обменной связью, но и с другими причинами (см. выше §§ 2 и 3). Из реальных оценок величины 乂 по (21.138) следует, что s — d-обмен не может приводить к очень большим изменениям Ад^М величин атомных магнитных моментов. По-ви- димому, как правило, A$dN W 0,1цб-
Средний магнитный момент сплава с обменнымивзаимодействиями разных знаков
Одна из причин, приводящих к дробности цспл и нарушению правила смешения, была рассмотрена в интересных работах Сидорова и Дорошенко [325, 337—341]. Эти авторы обратили внимание на то, что если рассматривать спины атомов компонент и соответствующие им магнитные моменты Na и мь как классические векторы, то при энергетических параметрах обменного взаимодействия для пар ближайших соседей [см. (21.30)], удовлетворяющих условиям
Ла>0, АаЬ>0 И Л№<0, (21.140) в сплаве возможно неколлинеарное расположение атомных магнитных моментов, которое и приводит к нарушению простого правила смешения.
Физически этот вывод можно понять из следующих простых рассуждений. Следуя Сидорову и Дорошенко, рассмотрим совершенно неупорядоченный бинарный сплав. Атомы сорта Ъ (например, атомы Мп в сплаве системы Ni — Мп) в количестве Nnb (на 1 см3) образуют (1/2) Nznl пар b — b ближайших соседей (孔匕一концентрация атомов сорта b, N —— число атомов обоих сортов в единице объема, z — первое координационное число). Поскольку по условию (21.140) 4bb < 0, то моменты |х& в каждой такой паре должны взаимодействовать антиферромагнитно, т. е. стремиться ориентироваться антипараллельно. Однако каждый из атомов b в среднем окружен 2 (1 — nh) атомами сорта а, которые [по условию (21.140) Л а& > 0] будут стремиться ориентировать векторы Ць параллельно самопроизвольной намагниченности сплава, ибо их собственные магнитные моменты Na испытывают такое же ориентирующее влияние (Лаа > > 0) со стороны ближайших 2 (1 — пъ) соседних атомов того же сорта а. В итоге этих двух противоположных тенденций — антиферро- и ферромагнитной ориентации — магнитные моменты атомов сорта Ь, входящих в каждую из (1/2) Nzn^ пар Ъ — b, не полностью скомпенсируются, поскольку угол между ними будет меньше л. Таким образом, для вклада атомов сорта Ь в намагниченность сплава имеем
Ц& (w&) = [Nnb— Nzr^Kb (n&)] n> (21.141)
где коэффициент Аь (孔匕)，зависящий от состава сплава, очевидно, удовлетворяет условиям
0<Л&Ы<1. (21.142)
Если I Аъъ I 》I АаЬ I и I Aaa | , то Л& (n&) f 1, поскольку неколлинеар- ность антипараллельных моментов в парах Ъ — b будет очень мала. При произвольных конечных параметрах | АЪъ | , | ЛаЬ | и | Ааа | величина 入ь (孔ь) <； 1 и стремится к нулю при | Аъь | f 0. Векторная сумма магнитных моментов Nzn^kb (孔ь) атомов b равна нулю. Поскольку каждый из них вследствие условия Ааъ > 0 стремится ориентировать магнитные моменты ближайших атомов сорта а, количество которых в среднем равно 2 (1 —孔6), параллельно собственному моменту, то Nzi^b (孔ь) z (1 — n^) X 入虱电)атомов сорта а также скомпенсируют свои моменты. Здесь 2 (1 — 电)統 (电)имеет смысл среднего эффективного числа атомов сорта а, ориентирующих свои магнитные моменты параллельно магнитному моменту каждого из Nz孔訊ь (孔^) атомов b. Поэтому для вклада атомов сорта а в намагниченность сплава получим
ма (“) = [N (1 —陶一N/啕(1 —陶 統(电)^a (孔b)] Na,(21.143)
где 入а(〃ь)>0・ Складывая (21.141) и (21.143) и деля сумму на N, находим для среднего атомного магнитного момента неупорядоченного бинарного ферромагнитного сплава следующее выражение:
Мспл (电)[l-nb — Z2nl(i—nb)統(孔 b)入b (孔b)] Na +
+ [nb — znlXb (n&)] Mb.(21.144)
Поскольку Na > ° 口 Nb > 0 no определению, то отрицательные значения коэффициентов при ца и ц& в (21.144) не имеют физического смысла. Поэтому цспл (孔6)может равняться нулю, если эти коэффициенты по отдельности равны нулю. Отсюда следует, что
統(成)説(成)=Z-2侬)-2；%b (成)—zT (成尸；觴(嘘)=靓(成)，(21.145)
где 孔£—концентрация атомов сорта b, при которой цСПл (^&) = 0. Из (21.145) и (21.142) находим, что
4<«ь<1-(21.146)
Величина 孔£ не зависит от ца и ц^ и определяется соотношением модулей параметров из (21.140). Сидоров и Дорошенко [325] рассмотрели приближенно реальный неупорядоченный сплав, заменив его моделью с эффективными вероятностями окружения атомов:1
Ръь (孔b) = w&+6 (孔b), Pba (“) = 1 — “一 6 (冷ь).(21.147)
Если учесть (21.147), то для хаотического распределения атомов компонент неупорядоченного сплава находим выражение
統5b) = 口一谭•口。,統(%二口 +響"рь,(21.148)
где
統=m.(21.149)
。1 —ng —d (ng)， ° 1 —ng')
Можно показать, что параметр 6 (电)может быть положительным, отрицательным и равным нулю. При пъ = ^ и 孔6=孔扌
6(0) = 0; 6(或)=一生吗产二.(21.150)
Если 6(пь) = 0, то из (21.150) получаем
„о(4z + l#2 i
Если 6(孔5)«0, т. е. равно нулю или принимает только отрицательные значения, то
6(陶=-4 2 Pz(v,陶 V,(21.151)
v==0
где параметр х = 1, 2, . . ., z, Рz (v, 也)一 вероятность того, что атом сорта Ъ имеет среди z ближайших соседей v атомов того же сорта Ъ. Вероятность Рz(V, пь) подчиняется биномиальному распределению
Pz(v，%= у]二у»•碗(I—"-).(21.152)
Таким образом, из (21.151), (21.148) и (21.144) видно, что теоретически зависимость среднего атомного магнитного момента неупорядоченного бинарного сплава из компонент с магнитно активными атомами может быть определена с помощью одного-единственного параметра, а именно концентрации 孔£ компоненты Ь, при которой сплав переходит в парамагнитное (антиферромагнитное) состояние. Как эта концентрация зависит от параметров Ааа1 Аъъ и Ааъ^ рассматриваемая феноменологическая теория, конечно, не может предсказать.
Для сравнения теории с опытом Сидоров и Дорошенко [325] воспользовались случаем подробно изученной системы неупорядоченных сплавов Ni — Мп, дополнив их своими измерениями (см. также работы [9, 342— 345]). В этих сплавах 孔％ 公；27 ат. % Мп, z = 12 (решетка г. ц. к.) и поэтому 6 (孔ь) V 0. Из (21.148) и (21.144) находим в этом случае
Мспл (孔Мп) = |1N1 + (Цмп ——卩№)孔Мп ——Z汽Мп [^Мп+ 6 (^Мп)] X
X {z [1 —孔Мп — 6(Пмп)]入N仇Mn^Ni 十 ^МпЦМп}•(21.153)
Первые два слагаемых дают изменение среднего атомного момента за счет простого замещения атомов Ni атомами Мп, т. е. по правилу смешения. Третий член в (21.153) дает уменьшение момента сплава за счет появления пар Мп — Мп. В (21.153), кроме 卩由 и цмп, входит только один неизвестный параметр х, который определяет функцию 6 (п^) по (21.151) и коэффициенты 入Ni и 入мп ло (21.149). Значение 圖，необходимое для их вычисления, находим после подстановки (21.150) в (21.151):
42 Pz(v,圖)v = J(砾)士础— I .(21.154)
Графическое решение уравнений (21.154) позволяет вычислить значение 嘘 для всех х(х = 1, 2,..., 2 — 12). В частности, для случая х — 3 получаем 嘘=27 ат.%. Для неупорядоченных Ni — Мп сплавов значение Пмп по данным Кайи и Куссмана [342] равно 26,8 ат.%, а по данным Хана и Кнеллера [344] равно 27,2 ат.%, что хорошо согласуется со значением 孔£, рассчитанным для х = 3. Для # = 3 находим
(21.155)(21.155)6 (?，ь)——孔b (1 —电)"2)[1 +(Z — 2)『Zb],
(21.155)
(21.155)
4-0,27, 6(ng)= -0,043,統=0,294, X&-0,367.
Предполагая, что 卩印 и цмп с достаточной точностью не зависят от состава сплава (как мы видели выше в ряде случаев нейтронные измерения это подтверждают *), естественно принять 卩№ = 0,6цб (т. е. значение для
Рис. 21.49. Значения среднего магнитного момента цспл (на а】ом сплава) для неупорядоченных сплавов Ni — Мп, вычисленные по формуле (21.153) (сплошная кривая) и энспериментальные точки: I — Кайя и Куссман [342]; 2 — Садрон [9]; 3 — Пирси и Морган [343]; 4 — Хан и Кнеллер [344]; 5 — ван Эльст и др. [345]; 6 — Сидоров и Дорошенко [325].Рис. 21.49. Значения среднего магнитного момента цспл (на а】ом сплава) для неупорядоченных сплавов Ni — Мп, вычисленные по формуле (21.153) (сплошная кривая) и энспериментальные точки: I — Кайя и Куссман [342]; 2 — Садрон [9]; 3 — Пирси и Морган [343]; 4 — Хан и Кнеллер [344]; 5 — ван Эльст и др. [345]; 6 — Сидоров и Дорошенко [325]._^i SEO пн Ен受呈 wq'UJ-_^i SEO пн Ен受呈 wq'UJ-чистого никеля) и цмп = 3,2цб (по данным Шалла и Уилкинсона [34] для упорядоченного сплава Ni3Mn). На рис. 21.49 сплошной кривой изображена зависимость цспл (п^), вычисленная для указанных значений MNi и цмп по формуле (21.153) с использованием (21.155) при х = 3. На рис. 21.49 также приведены экспериментальные значения, проэкстра- полированные к 7 = 0° К мз работ [9, 325, 342—345]. Пунктирная прямая на рис. 21.49 соответствует правилу простого смешения, не учитывающему влияния пар Мп — Мп.
Рис. 21.49. Значения среднего магнитного момента цспл (на а】ом сплава) для неупорядоченных сплавов Ni — Мп, вычисленные по формуле (21.153) (сплошная кривая) и энспериментальные точки: I — Кайя и Куссман [342]; 2 — Садрон [9]; 3 — Пирси и Морган [343]; 4 — Хан и Кнеллер [344]; 5 — ван Эльст и др. [345]; 6 — Сидоров и Дорошенко [325].
Рис. 21.49. Значения среднего магнитного момента цспл (на а】ом сплава) для неупорядоченных сплавов Ni — Мп, вычисленные по формуле (21.153) (сплошная кривая) и энспериментальные точки: I — Кайя и Куссман [342]; 2 — Садрон [9]; 3 — Пирси и Морган [343]; 4 — Хан и Кнеллер [344]; 5 — ван Эльст и др. [345]; 6 — Сидоров и Дорошенко [325].
_^i SEO пн Ен受呈 wq'UJ-
_^i SEO пн Ен受呈 wq'UJ-
Из рис. 21.49 видно, что теория хорошо описывает опыт. Небольшие отклонения при 孔мп > 20 ат. % можно объяснить ошибками при экстраполяции магнитных измерений на 7 = 0° К или зависимостью 卩由 и цмп от состава сплава. Например, по нейтронографическим данным Шалла и Уилкинсона [34] в упорядоченном сплаве Ni3Mn момент 卩印 = 0,Зцб.
В другой работе Сидоров и Дорошенко [337] провели подобное же сравнение теории с опытом для неупорядоченных сплавов системы Ni — Fe с г. ц. к. решеткой (от 0 до 70 ат. % Fe). Экстраполяция ^Ni-Fe (孔Fe) на ось концентраций по данным Ковдорского и Федотова [33], Крэнгла и Халлама [29] показывает, что |iNi—Ее = 0 при 嘘е ^74ат.%. Есть основания полагать) (см. Кондорский [347], Хатерли и др. [348]), что в этих сплавах также выполняется уСЛОВИе (21.140) С <Ni-Ni > 0. ^Ni-Fe > 0 И Лре-Fe < 0. В ДЭННОМ случае расчет дает, что при пре = 0,744 параметр х = 12. На рис. 21.1 при- в едена теоретическая кривая для MNi-Fe (孔Fe) и результаты измерений из работ [29, 33—35]. По данным работ [34—36] момент цре в сплавах Fe—Ni практически постоянен, а 卩印 несколь
ко возрастает с ростом пре- Для расчета принято |iNi = 0,604цб и р/ре 二 =2,8цб- Согласие теории с опытом и в данном случае очень хорошее. Из сравнения рис. 21.49 и 21.1 видно, что «загиб» кривой, обусловленный «неколлинеарностью» из-за взаимодействия пар Fe — Fe, в случае сплавов Fe — Ni происходит при заметно больших концентрациях Fe, чем для Мп в случае сплавов Ni—Мп. Это, по-видимому, связано с тем, что параметр | /ве-Fe I значительно меньше двух других (см. выше).
В итоге можно сказать, что в неупорядоченных сплавах, где выполняется условие (21.140) и магнитные моменты атомов компонент не очень существенно зависят от состава сплава, наличие антиферромагнитно взаимодействующих пар атомов одной из компонент приводит к своеобразному ферримагнетизму для концентраций, меньших 或，и к особому типу «неупорядоченного» антиферромагнетизма при 孔^ _> 孔£; характерной осо- бенн.остью его является то, что компенсация магнитного момента происходит не в пределах элементарной ячейки, а по всему объему неупорядоченного сплава.
Сидоров и Дорошенко [338, 340] обобщили свои расчеты и для случая упорядочивающихся сплавов. При этом характер формул (21.144), (21.148)
и (21.151) остается прежним, но вместо концентрации пъ в качестве аргумента функций цсил (孔ь),入& (孔ь), 航(孔ь), 6 (孔匕)，характеризующих для совершенно неупорядоченного сплава вероятность ближайшего соседства b — b, во все формулы войдет вероятность “山，которая определяет ближайшее окружение атома бив общем случае зависит от 孔匕,степени дальнего порядка п и корреляции в сплаве %匕.Рассуждая аналогично тому, как это сделано при выводе формулы (21.144), и приняв во внимание, что число пар b — Ъ равно (V2) NzrtbPbb^ а среднее число атомов а, ближайших к каждому атому Ь, равно zpba, получим для среднего магнитного момента на атом сплава с любым состоянием упорядочения выражение
Цспл (Pbb) = [1 —汽匕一W^bpbbPbRa (夕bb)入b(Pbb)l Na 斗-
+ [пь — zjibpbbkb(pbb)]卩力 (21.156)
где рьь 一 функция трех переменных 孔匕,刀，％力・ Значение параметра х для конкретного сплава может быть определено, если известно 脏 для определенного состояния упорядочения. Сравнение экспериментальных и расчетных значений цСпл Для максимально упорядоченных сплавов (Ni — Мп) (см. работы Сидорова и Дорошенко [338—341]) позволило предсказать ряд структурных особенностей упорядоченных сплавов Ni — Мп. Дальнейшие нейтронографические исследования упорядоченных сплавов Ni — Мп подтвердили эти выводы (см. [338—340]).
На основе представлений, развитых в этом параграфе, удалось количественно описать концентрационные зависимости цсил упорядоченных сплавов Pt — Мп (Сидоров и Дубинин [349]; см. также [353]) и тройных сплавов Fe (PdxPtj-Js (Сидоров и др. [350], а также [351, 352]) и объяснить особенности перехода от ферро- к антиферромагнитному состоянию, имеющему место при изменении концентрации этих сплавов.
Успех изложенной здесь феноменологической теории, оперирующей с атомными моментами как с классическими векторами, связан с тем, что в конечные формулы для цСПл входят средние значения проекций атомных моментов на направление самопроизвольной намагниченности. По мере увеличения в сплаве отрицательных обменных взаимодействий, связанных с ростом числа пар Ь — b, средние проекции ца и 卩匕 убывают, обращаясь в нуль при п?.
На кваптовомеханическом языке этому процессу соответствует «сокращение» 2-проекции суммарного спина ферромагнитного кристалла, содержащего примесь в виде пары антиферромагнитно взаимодействующих между собой атомов. Решение задачи об основном состоянии такого кристалла и вытекающие из него качественные следствия для намагниченности сплава, удовлетворяющего условиям (21.140), описано выше в § 7.
§ И. Заключительные замечания
Вопрос об атомных магнитных моментах в металлах и сплавах металлов детально рассмотрен также в ряде работ Гудинафа [382, 383] [см. также Гудинаф (1969)J. Он исходит из следующего основного предположения: для внепхних электронов атома, характеризующихся квантовыми числами п,厶 можно указать некоторое критическое межъядерное расстояние двух таких атомов Rc (п, 2), Если фактическое расстояние между атомами ближайшими соседями Rqc v Rc (孔，Z), то соответствующие электроны можно описывать в кристалле по коллективизированной модели; если же R^c > *с (孔， 2), то применима модель локализованных электронов. Далее Гудинаф считает, что для внешних s- и р-электронов всегда R^c V Rc (孔,0, а для 4/-электронов всегда R/c > > Rc (4/), Поэтому s- и р-электроны хорошо описываются коллективизированной моделью, а 4/-электропы —— локализованной (см. выше гл, 20), В случае же 3d-злектро- нов могут осуществляться оба неравенства: R^c 妄 Rc (n, Z), и поэтому в кристалле могут одновременно присутствовать как коллективизированные, так и локализованные 3d- электроны. Эта возможность, по-видимому, связана с резкой анизотропией пространственного распределения электронной плотности в cZ-состояниях. В случае 4dl и 5d- электронов в металлах практически всегда R^c < Rc (4d), Rc (5d), т, e, имеет место
коллективизация d-злектронов. Используя теорию кристаллического поля (поля лиган дов, см. гл. 10). Гудинаф [383] [см, также Гудинаф (1969)] проводит конкретный модельный анализ зонной структуры (энергетический спектр и кривые плотности состояний в подполосах ит. п.) на основании которого делает оценки атомных магнитных моментов в металлах и сплавах. За подробностями отсылаем читателя к цитированным выше ори- гинальным работам [382, 383] и монографии Гудинафа (1969),
Хотя современная теория ферромагнетизма и позволяет качественно понять мно~ гие свойства металлических сплавов, количественная сторона теории еще очень далека от^завершения. В связи с этим представляет интерес работа Биби [384], в которой делается попытка строго статистического подхода к квантовой трактовке электронной структуры сплавов вообще и сплавов с участием d-металлов в частности. См, также работы [385—396],
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 21
2 3
/^5-
6 7 8 9 0 1 23Z^5A^^89O1234К^А^Т^О^Л^П^^О^З45A^7^0^n^n^d^o^n^4^A^7^0^ 1 111 111112222 2 222223333 33 3333444444444
F. Heusler, Verhandl. Deut, Phys. Ges. 5, 219 (1903).
J. Bradley, J. W. Rodgers, Proc. Roy. Soc. A144, 340 (1934).
D. P. Oxley, R. S. T e b b 1 e, К. C. Williams, J. Appl. Phys. 34, 1362 (1963).
T. Mattias, R. M. В о z о r t h, Phys. Rev. 109, 604 (1958).
T. Matthias, A. M. С 1 о gs t о nT H. J. Wi 1 1 i am s, E. Coren- z w i t, R.D.Sherwood, Phys. Rev. Lett. 7, 7 (1961).
L. C r e v e 1 i n g, H. L. L u o, G. S. К n a p p, Phys. Rev. Lett. 18, 851 (1967).
W. C. Ellis, E. S. G e i n e r, Trans. Am. Soc. Metals, 29, 415 (1941).
F. F о r r e r, J. phys. rad. 1, 49 (1930).
S a d г о n, Ann. de phys. 17, 371 (1932).
S. A. Ahern, M. J. Martin, W. Sucksmith, Proc. Roy. Soc. A248, 145
(1958).
J. Oliver, W. Sucksm
i t h, Proc. Roy. Soc.
Arrott, Carnegy Inst. Thech. Rep. (1954). J. P. Meyer, C. Wolff, Compt. rend. 246, 576
(1958).
Marian, Ann. de phys
С r a n g 1 e, M. J. С. M Fallot, Ann. de
.7
a r
305 (1936).
459 (1937).
tin, Phil. Mag. 4, 1006
A219,
(1958);
(1959).
1 (1953).
J. phys. rad. 19,
Fallot, Ann. de J. Standley, К. H.
420 (1937); 10, 29 (1938).
e i c h, Proc. Phys. Soc. 68,
J. P. M e у e r, Compt. rend. 235, 1382 (1952).
F. В a g g 1 e y, Proc. Roy. Soc. A221, 549 (1955).
F. M о t t, Proc. Phys. Soc., 47, 571 (4 935).
Arrott, H. S a t o, Phys. Rev. 114, 1420 (1959).
Parsons, W. Sucksmith, J. E. Thompson,
713 (1955).
Phil. Mag. 3, 1174
(1958).
С. H. C h e n g, К. P. G u p t a, С. T. W e i, P. А. В e c k, J. Phys. Chem. Sol.
25, 759 (1964).
К. P. G up t a,С. H. C h e n g, P. А. В e c kTPhys.Rev.133, A203(1964).
H. S a t о, A. Aг г о t t, Phys. Rev. 114, 1427(1959).
J. C. S 1 a t e r, J. Appl. Phys. 8, 385 (1937).
L. P a u 1i n g,Phys. Rev. 54, 899 (1938).
J. С г a ng 1 e,G. C. Hallam, Proc. Roy. Soc.A272,119 (1963).
P. Weiss, R. F о r r e r, Ann. de phys. 12, 297 (1929).
J.Crangle, Phil. Mag. 2, 659 (1957).
M. P e s c h a r d, Rev. Met. 22, 490, 581, 663 (1925).
E. И. Кондорский, Л. H. Федотов, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 432 (1952).
С. G. Shull, М. К. Wilkinson, Phys. Rev. 97, 304 (1955).
М. F. С о 1 1 i n s, R. V. J о n е s, R. D. L a u d е, J. Phys. Soc. Japan 17, В-Ш,
(1962).
Collins, J. B. Forsyth, Phil. Mag. 8, 401 (1963).
E. L о w, M. F. Collins, J. Appl. Phys. 34, 1195 (1963).
В. В о и с о в с к и й, Ю. А. Изюмов, УФН 77, 377 (1962).
I z и у a m a, D. J. Kim, R. Kubo, J. Phys. Soc. Japan 18, 1025 (1963).
Friedel, J. Phys. Rad. 19, 573 (1958).
Friedel, Nuov. cim., Suppl. № 2, 7, 287 (1958).
Friedel, J. phys. rad. 23, 692 (1962).
F. С о 1 1 i n s, G. G. L о w, J. de phys. 25, 596 (1964).
Shirane, R. N a t h a u s, C. W. Chen, Phys. Rev. 134, Al547 (1964).
W. C a b 1 e, E. O. W о 1 1 a n, W. С. К о e h 1 e r, Phys. Rev. 138, A7 55 (1965).
C h e n g, С. T. W e i, P. А. В e c k, Phys. Rev. 120, 426 (I960).
T. W e i, С. H. C h e n g, Phys. Rev. 124, 722 (1961).
P. G u p t a, С. H. C h e n g, P. А. В e c k, J. phys. rad. 23, 721 (1962).
П. А. Б е к (ред.), Сб. «Электронная структура переходных металлов и химия их сплавов», Изд-во «Металлургия», М., 1966.
К.Р. G и р t а, С. Н. С h е n g, Р. А. В е с k, J.Phys. Chem. Sol. 25, 1147(1964).
К.Р. Gupta, С. Н. С h е n g, Р. А. В е с к,J. Phys. Chem. Sol. 25, 73(1964).
N.F. М о t t, Adv. Phys. 13, 3 52 (1964).
J.W. G a b 1 e, W. G. К о e h 1 e r, E. 0. W о 11a n, Phys. Rev.(36, A240(4964).
R. M. В о z о r t h, J. C. Suits, J. Appl. Phys. 35, 1039 (1964).
R. M. В о z о r t h, R. J. Gambino, Phys. Rev. 147, 487 (1966).
A. J ayaraman, R. C. Sherwood, H. J. Williams, E. Coren- z w i t, Phys. Rev. 148, 502 (1966).
D. B. Me Whan, A. L. Stevens, Phys. Rev. 154, 438 (1967).
R. M. Bozorth, J. Appl. Phys. 38, 1366 (1967).
E. 0. W о 1 1 a n, J. Appl. Phys. 38, 1371 (1967).
G.В u s c h, J. Appl. Phys. 38, 1386 (1967).
С.E. Olsen, G. Arnold, N. N e r e s о n, J. Appl.Phys. 38, 1395 (1967).
R.M. В о z о r t h, R. J. Gambino, A. E. Clark,J. Appl. Phys. 39,883
(1968).
B.L e b e c h, Sol. State Comm. 6, 761 (1968).
H.W. de W i j n, К. H. J. В u s c h о e r, A. M. van D ie p e n, Phys. stat.sol.
7 59 (1968).
K. Sekizawa, K. Y asukochi, Phys. Lett. 11, 216 (1964); J. Phys. Soc. Japan 21, 684 (1966).
J. В i j v о e t, B. de H о n, J. A. D e к к e r, F. van Beek, Sol. State Comm. 3,
289 (1965).
J. Pierre, R. Pauthenet, Compt. rend. 260, 2739 (1965).
H. R. Kirchmayer, К. H. S c h i n d 1, Zs. angew. Phys. 19, 517 (1965).
D. G a i n о n, P. D о n z e, J. S i e r r o, Sol. State Comm. 5, 151 (1967).
В. В arbara, C. Becle, R. Lemaire, R. Pauthenet, J. Appl. Phys.
1084 (1968).
R. E. В о dn as, H. Steinfink, K. S. V. L. N arasimhan, J. Appl. Phys. 39, 1485 (1968).
M. A t о j i, J. Chem. Phys. 48, 560 (1968).
W. С. T h о b u r n, S. L e g v о 1 d, F. H. Spedding, Phys. Rev. 110, 1298 (1958).
S. A r a j s, D. S. M i 11 e rT J. Appl. Phys. 31, 213 (I960).
E. A. Nesbitt, H. J. Williams, J. H. Wernik, R. C. Sherwood,
J. Appl. Phys. 33, 1674 (1962).
S. Weinstein, R. S. Craig, W. E. Wallace, J. Appl. Phys. 34, 1354 (1963).
D. Shaltiel, J. H. W er n i с к, V. J accarino, J. Appl. Phys. 35, 978 (1964).
H. E. Nigh, S. L e gv о 1 d, F. H. Spedding, B. J. В e an d г у, J. Chem. Phys. 41, 3799 (1964).
В. И. Чечернпков, И. Поп, И. А. Маркова, ЖЭТФ 47, 1257 (1964); ФММ 19, 290 (1965).
И. Поп, В. И. Чечерников, О. П. Наумкин, Е. М. Савицкий, ФММ 19, 467 (1965).
J. Popplwell, А. М. Harris, R. S. Т е b b 1 s, Proc. Phys. Soc. 85, 347 ■ (1965).
Y. Allain, J. Bannerot, В. С u г о 1 i, В. С о g b 1 i n, R. J e cs er, G. R a p h а ё 1, J. de phys. 28, 98 (1967).
К. П. Белов, P. 3. Левитин, С. A. H и кптпн, Л. И. Солнцева, ЖЭТФ 54, 384 (1968).
Н. R. Child, W. С. Koehler, Phys. Rev. 174, 562 (1968).
R. V i j а у а г a g h a v a n, S. К. М а 1 i k, V. U. S. R а о, Phys. Rev. Lett. 20,
106 (1968).
L. V. Cherry, W. E. W a 1 1 a c e, J. Appl. Phys. 33, 1515 (1962).
E. A. S k r a b e k, W. E. Wallace, J. Appl. Phys. 34, 1356 (1963).
J. W. Ross, J. C r a n g 1 e, Phys. Rev. 133, A509 (1964).
S. C. Abrahams, J. L. В erk s t e i n, R. C. Sherwood, J. H. W e r - nick, H. J. Williams, J. Phys. Chem. Sol. 25, 1069 (1964).
M. Mansmann, W. E. Wallace, J. Chem. Phys. 40, 1167 (1964).
В. И. Чечерников, H. M. Сперанский, В. Ф. Терехова, Р. С. Р о ж к о в а,①ММ 20, 157 (1965).
В. И. Ч е ч е р и и к о в, Н. М. С п е р а н с к п п, Э. В. М а с л о в а, В. Ф. Te- p е х о в а, ФММ 20, 299 (1965).
Н. В artholin, В. van Laar, R. Lemaire, J. Schweizer, J. Phys. Chem. Sol. 27, 1287 (1966).
R. Lemaire, R. Pauthenet, J. Schweizer, I. S. S i 1 w er a, J. Phys. Chem. Sol. 28, 2471 (1967).
R. Lemaire, D. P a с c a r d, R. Pauthenet, Compt. rend. 263, B1280 (1967).
J. Laforest, R. Lemaire, D. P a с car dT R. Pauthenet, Compt. rend. 264, B677 (1967).
D. P a с c a r d, R. Pauthenet, Compt. rend. 264, B1056 (1967).
R. Lemaire, D. P a с card, R.Pauthenet, J. Schweizer, J. Appl. Phys. 39, 1092 (1968).
H. Katsuraki, S. Y oshii, J. Phys. Soc. Japan 24, 1171 (1968).
H. R. C h i 1 d, W. С. К о e h 1 e r, A. H. M i 1 1 h о u s e, J. Appl. Phys. 39, 1329 (1968).
J. Owen, M. Browne, A. F. Kip, Phys. Rev. 100, 965 (1955).
J. Owen, M. Browne, W. D. Knight, Ch. Kittel, Phys. Rev. 102, 1501 (1956).
J. О w e n, M. В г о w n e, V. A r pT A. F. К i p, J. Phys. Chem. Sol. 3, 324 (19 57).
R. M. В о z о r t h, P. A. W о 1 f f, D. D. Davis, V. B. Compton, J. H. Wernick, Phys. Rev. 122, 1157 (1961).
A. R. К a u f m a n n, S. T. P a n, J. R. С 1 a r k, Rev. Mod. Phys. 17, 87 (1945).
Ю. H. Ци о в к ин, Н. В. Волкенштейн, ФММ 19, 133, 367 (1965).
Ю. Н. Ц и о в к и н, Н. В. Волкенштейн, ФТТ 7, 543 (1965); ЖЭТФ 48 796 (1965); Л. А. Угодников а, Ю. Н. Ц и о в к и н, ФММ 28, 223 (1969).
J. Е. Zimmerman, F. Е. Hoare, J. Phys. Chem. Sol. 17, 52 (I960).
L. T. C r a n e, J. E. Zimmerman, J. Phys. Chem. Sol. 21, 310 (1961).
J. P. F r a n c k, F. D. M a n c h e s t e r, D. L. M a r t i n, Proc. Roy. Soc. A263, 494 (1961).
L. T. Crane, J. E. Zimmerman, Phys. Rev. 123, 113 (1961).
R. Tournier, L. Weil, J. phys. rad. 23, 522 (1962).
R. Tournier, J. J.V eyssie, L.W eil, J. phys. rad. 23, 672 (1962).
M. W. Klein, Phys. Rev. 136, A1156 (1964); J. Appl. Phys. 35, 944 (1964).
L. T. C r a n e, Phys. Rev. 125, 1902 (1962).
J. de Nobel, F. J. du Chatenier, Physica 25, 969 (1959).
H. Kiihlewein, Wiss. Verof. Simens Konz. II, Hf. 1, 124 (1932).
M. F. Collins, D. A. Wheeler, Proc. Phys. Soc. 82, 633 (1963).
I. S. Jacobs, R. W. Schmitt, Phys. Rev. 113, 459 (1959).
R. W. Schmitt, I. S. J а с о b s, Canad. J. Phys. 34, 1285 (1956); J. Phys. Chem. Sol. 3, 324 (1957).
O. S. Lutes, I. L. Schmitt, Phys. Rev. 134, A676 (1964).
T. Van P e s k i-T inbergen, A. J. Dekker, Physica 29, 917 (1963).
G. J. Van den Berg, J. de Nobel, J. phys. rad. 23, 665 (1962).
J.S. KouvelTJ. Phys. Chem. Sol. 24, 795 (1963).
D. К. M a c Donald, Thermoelectricity, Wiley, N. Y., 1962.
J. Crangle, Phil. Mag. 5, 335 (i960).
J. C r a n g 1 e, W. R. Scott, Phys. Rev. Lett. 12, 126 (1964); J. Appl. Phys. 36, 921 (1965).
J. Cable, E. W о 1 1 a n, W. Koehler, J. Appl. Phys. 34, 1189 (1963).
F. Heiniger, E. Bucher, J. Muller, Phys, kondens. Materie, 5, 243 (1966).
W. C. Phillips, Phys. Rev. 138, A1649 (1965).
K. Y о s i d a, Phys. Rev. 106, 893 (1957).
С. П. Шубин, С. В. Вонсовский, Phys. Zs. UdSSR 7, 292 (1935).
С. В. Вонсовский, ЖЭТФ 16, 981 (1946).
M. A. Ruderman, Ch. Kittel, Phys. Rev. 96, 99 (1954).
А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, ЖЭТФ 43, 2230 (1962).
С. В. Вонсовский, 10. А. Изюмов, УФН 78, 3 (1962).
С. В. Вонсовский, М. С. С в и р с к и й, ФММ 15, 316 (1963).
D. J. К i m, Prog. Theor. Phys. 31, 921 (1964).
A. W. Overhauser, Phys. Rev. Lett. 3, 414 (1959); J. Phys. Chem. SoL 13, 71 (i960).
W. Marshall, Phys. Rev. И8, 1520 (i960).
C. Herring, Частное сообщение.
M. W. К 1 e i n, R. В г о u t, Phys. Rev. 132, 2412 (1963).
H. Margenau, W. Watson, Rev. Mod. Phys. 8, 22 (1936).
M. W. К 1 e i n, Phys. Rev. Lett. 11, 408 (1963).
R. J. В о r g, R. В о о t hT С. E. V i о 1 e t, Phys. Rev. Lett. 11, 464 (1963).
M. W. Klein, Phys. Rev. Lett. 16, 127 (1966).
С. В. Вонсовский, M. С. С в и p с к и й, ЖЭТФ 47, 1354 (1964).
J. К о n d о, Prog. Theor. Phys. 33, 575 (1965); Phys. Rev. 154, 644 (1967).
N. F. Berk, J. R. Schrieffer, Phys. Rev. Lett. 17, 433 (1966).
S. D о ni ac hT S. Engelsberg, Phys. Rev. Lett. 17, 7 50 (1966).
D. J. Kim, В. B. Schwartz, Phys. Lett. 24A, 77 (1967).
В. T. Matthias, M. Peter, H. J. Williams, A. M. С 1 о gst о n, E. Corenzwit, R. C. Sherwood, Phys. Rev. Lett. 5, 542 (i960).
A.M.ClogstonTB.T.MatthiasTM.Peter,H.Williams,E.Co- r e n z w i t, R. Sherwood, Phys. Rev. 125, 541 (1962); J. Phys. Soc. Japan, Suppl. B-I, 17, 115 (1962).
Н. К e i t e r, J. С. К i m b a 1 1, I и tern. J. Magnetism 1, 233 (1971).
D. Gerstenberg, Ann. de phys. 2, 236 (1958).
R. M. В о z о r t h, D. D. Davis, J. H. W e r n i.c k, J. Phys. Soc JaDan Suppl., 17, 112 (1962)." T
J. Friedel, Adv. Phys. 3, 446 (1954).
J. Friedel, Canad. J. Phys. 34, 1190 (1956).
P. de F a g e t, de C a s t e 1 j a uT J. Friedel, J. phys. rad. 17, 27 (1956)
А. В 1 a n d i n, J.Friedel, J. phys. rad. 19, 27 3 (19 58).'
C. R. V a s s e 1, J. Phys. Chem. Sol. 7, 90 (1958).
E. Daniel, J. Phys. Chem. Sol. 23, 97 5 (1962).
G. F. Koster, J. C. Slater, Phys. Rev. 95, 1167 (1954); 96, 1208 (1954、
G. F. К os t er, Phys. Rev. 95, 1436 (1954).'“
A. M. C 1 о gs t о n, Phys. Rev. 125, 439 (1962).
G. H. W a n n i e r, Phys. Rev. 52, 191 (1937).
H. Frohlich, Proc. Roy. Soc. A215, 291 (1952).
D. J. К i m, Phys. Rev. 149, 434 (1966); J. Appl. Phys. 39, 702 (1968).
P. W. Anderson, Phys. Rev. 124, 41 (1961).
P. W. Anderson, Prog. Intern. Conf. Magnetism, Nottingham 1965
P. A. W о 1 f f, Phys. Rev. 124, 1030 (1961).^
P. W. Anderson, A. M. Clogston, Bull. Am. Phys. Soc. 6, 124 (1961)
J. A. White, A. M. Clogston, J. Appl. Phys. 34, 1187 (1963).'
H. S u h 1, D. R. F r e d к i n, Phys. Rev. 131, 1063 (1963).
5. D. J. Kim, Y. N a g а о к a, Prog. Theor. Phys. 30, 743 (1963).
S. Alexander, P. W. Anderson, Phys. Rev. 133, A1594 (1964)
P. Gottlieb, H. S u h 1, Phys. Rev. 134, A1586 (1964).
M. В a i 1 у n, Phys. Rev. 137, A1914 (1965); Adv. Phys. 15, 179 (i960).
K. Y о s i d a, Proc. Intern. Conf. Magnetism, Nottingham, 1965.
Ю. А. И 3 ю м о в, Adv. Phys. 14, 569 (1965).
A. C. Hewson, Phys. Rev. 144, 420 (1966).
J. R. Schrieffer, D. C. Mattis, Phys. Rev. 140, A1412 (1965)
D. J. К i m, Phys. Rev. 146, 455 (1966).
B. Kjollerstrom, D. J. Scalapino, J. R. Schrieffer Phvs Rev. 148, 66 5 (1966).'
J.Kanamori, Prog. Theor. Phys. 30, 27 5 (1963); J. Appl. Phys. 36, 929 (1965).
K.S.Viswanathan, Phys, kondens. Materie6,1(1967).
W.M.L о m e r, Brit. J. Appl. Phys. 12, 535 (1961).
W.M.L о m e r, Austr. J. Phys. 13, 451 (i960).
W.M.L о m e r, Proc. Phys. Soc. 80, 489 (1962); J.phys.rad. 23, 716 (1962).
G.B.Brandt, J.A.R ayne, Phys. Rev. 132, 1945 (1963).
F. G о u t i e r, J. Phys. Chem. Sol. 24, 387 (1963); Ann. de phys. 10, 275 (1965)
C. W. C h e n, Phys. Lett. 7, 16 (1963).
A. M. С 1 о g s t о n, Phys. Rev. 136, A1417 (1964); Phys. Rev. Lett. 19, 583 (1967).
S. Alexander, Phys. Lett. 13, 6 (1964).
В. H. К а щ e e в, Acta phys. polon. 26, 257, 271 (1964).
И. Г. Ратишвили, ФТТ 7, 2933 (1965); 8, 311, 3062 (1966); ФММ 25, 390 (1968).
Ю. Г. P у д о й, ФММ 20, 812 (1965).
F. Gautier, P. Longlart, Phys. Rev. 139, A705 (1965).
E. Engelsberg, Phys. Rev. 139, A1194 (1965).
J. des Cloizeaux, Phys. Rev. 139, A1531 (4965).
S. D. Silverstein, Phys. Rev. Lett. 14, 140 (1965).
A. P. К 1 e i n, A. J. H e e g e r, Phys. Rev. Lett. 15, 786 (1965); Phys. Rev. 144.
458 (1966); J. Appl. Phys. 37, 1346 (1966).
M. F. Collins, G. G. Low, Proc. Phys. Soc. 86, 535 (1965).
H. S u h 1, Physics 2, 39 (1965); Phys. Rev. Lett. 17, 1140 (1966); 19, 442 (1967)* J. Appl. Phys. 39, 1294 (1968).
I. S у о z i, Prog. Theor. Phys. 34, 189 (1965).
Ю. А. И 3 ю м о в, M. В. M e д в e д e в, ФТТ 8, 2117 (1966); ФММ 22, 506, 64L 801 (1966).
J. R. Schrieffer, P. A. Wolff, Phys. Rev. 149, 491 (1966).
G. К emeny, Phys. Lett. 21, 137 (1966); Phys. Rev. 150, 459 (1966); 156. 740 (1967).
D. C. Langreth, Phys. Rev. 150, 516 (1966).
D. J. Scalapino, Phys. Rev. Lett. 16, 937 (1966).
L. D w о r i n, Phys. Rev. Lett. 16, 1042 (1966); Phys. Rev. 164, 818, 841 (1967).
P. W. A n d e r s о nT Phys. Rev. Lett. 17, 95 (1966); Phys. Rev. 164, 352 (1967).
T. H. Geballe, В. T. Matthias, A. M. Clogeston, H. J. William s, R. C. S h e r w о о d, J. P, M a i t e r, J. Appl. Phys. 37, 1181 (1966).
A. C. Hewson, M. J. Zuckermann, Phys. Lett. 20, 211 (1966).
A. E. K. D о w s о n, Phys. Lett. 21, 374 (1966).
B. Giovaunini, R. Paulson, J. R. Schrieffer, Phys. Lett. 23, 517 (1966).
S. D о n i a c h, A. P. M u r a n i, Sol. State Comm. 4, 525 (1966).
Ю. А. И 3 ю м о в, Proc. Phys. Soc. 87, 505 (1966).
P. Lederer, А. В 1 a n d i n, Phil. Mag. 14, 363 (1966).
С. В. Тябликов, В. К. Федянин, ФММ 23,999 (1967).
М. S. Fullenbaum, D. S. Falk, Phys. Rev. 157, 452 (1967).
С. P. Flynn, G. W. S t u p i a n, Phys. Rev. Lett. 19, 572 (1967).
Sang Boo Nam, J. Wing F a i Woo, Phys. Rev. Lett. 19, 649 (1967).
J. A. Appelbaum, J. Kondo, Phys. Rev. Lett. 19, 906 (1967).
D. С. M a t t i sT Phys. Rev. Lett. 19, 1478 (1967).
N. Kumar, К. P. Sinha, Phys. Lett. 24A, 161 (1967); Proc. Phys. Soc. 92, 426 (1967).
К. К u m e, Phys. Lett. 24A, 743 (1967); J. Phys. Soc. Japan 23, 1226 (1967).
T. Lukes, M. R о b e r t s, Phys. Lett. 25A, 508 (1967).
D.J. W. G e 1 da rt, Phys. Lett. 26A, 31 (1967).
G.Horwitz,M.F ib i c h, Sol. State Comm. 5,859(1967).
S. D о n i a c h, E. P. Wohlfarth, Proc. Roy. Soc. A296, 442 (1967).
В. V. Thompson, D. A. Lavis, Proc. Phys. Soc. 91, 645 (1967).
M.I n о u e, T. Mо ri уa, Prog. Theor. Phys. 38, 41 (1967).
В.E. H а й ш,О.Б.Соколов, ФММ 25, 193;26,224(1968).
К. Y о s i d a, Phys. Rev. 164, 879 (1968).
J.A.Appelbaum, Phys. Rev. 165, 632 (1968).
R. M. W h i t e, С. M. H о g a n, Phys. Rev. 167, 480 (1968).
M. L e v i n e, H. S u h 1, Phys. Rev. 171, 567 (1968).
A. J. H e e g er, L. B. Welch, M. A. J e ns en, G. Gladstone, Phys. Rev. 172, 302 (1968).
M. E. R e 口 s i n k, Phys. Rev. 174, 744 (1968).
D. J. К i m, B. Schwartz, Phys. Rev. Lett. 20, 201 (1968); 21, 1744 (1968).
V. J accarino, J. A ppi. Phys. 39, 1166 (1968).
A. Blandin, J. Appl. Phys. 39, 1285 (1968).
В. С о q b 1 i n, G. T о n 1 о u s e, J. Phys. Chem. Sol. 29, 463 (1968).
H. A. Brown, W. F. P а г u s, Phys. Stat. Sol. 27, K17 (1968).
B. Coqblin,A. Blandin? Adv. Phys. 17f 281 (1968).
W. H e i s e n b e r g, Zs. Phys. 49, 619 (1928).
F. В 1 о c h? Zs. Phys. 61, 206 (1930).
F. В i t t e r, Phys. Rev. 54, 79 (1938).
В. E. Рудницкий, ЖЭТФ 10, 63 (1940).
А. П. К о м a p, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 497 (1947).
А. П. К о м a p, Труды ИФМ УФАН 12, 50 (1949).
С. В. В о н с о в с к и й, ДАН СССР 26, 364 (1940).
С. В. Вонсовский, ЖТФ 18, 131 (1948).
К. Ф. Войцеховский,①ММ 7, 445 (1959).
Я н Ш и, ФММ 7, 161 (1959).
Н. Н. Боголюбов, С. В. Тябликов, ЖЭТФ 19, 257 (1949).
Н. Sato, Proc. Phys. Soc. Japan 3, 1, 8, 16 (1948); Section Repts Japan Inst. Mat. ГГ, 1 (1949); Japan Inst. Met. Sendai 13, 3 (1949); Sci. Repts. Res. Inst. To~ hoku Univ. 1, 71 (1949); A3, 13 (1951); A4, 1, 160 (1952); J. Phys. Soc. Japan 6, 65 (1951).
T. M u t о, T. E g u c h i, M. S h i b u у a, J. Phys. Soc. Japan 3, 277, 284 (1948).
T. M u t o, Y. Takagi, Solid State Physics, vol. 1, Acad, press, N. Y., 1955, p. 193 (пер. «Теория явлений упорядочения в сплавах», ИЛ, М., 1959).
Н. С. А кулов, ДАН СССР 66, 361 (1949).
Н. Sato, A. Arrott, R. К i k u с h i, J. Phys. Chem. Sol. 10, 19 (1959).
С. В. Вонсовский, К. Б. Власов, ЖЭТФ 25, 327 (1953).
F. J. du Chatenier, J. de N о b e 1, Physica 28, 181 (1962).
H. J о n e s, Phys. Rev. 134, A958 (1964); Proc. Roy. Soc. A285, 461 (1965).
A. D. Boardman, N. H. March, J. Phys. Chem. Sol. 25, 1435 (1964).
P. E. В 1 о о n f i e 1 d, D. R. Hamann, Phys. Rev. 164, 856 (1967).
G. Chouteau, R. Fourneaux, R. Gobrecht, R. T о urni e r, Phys. Rev. Lett. 20, 193 (1968).
J. S 6 1 у о m, A. Zawadowski, Phys. State Sol. 25, 473 (1968).
В. M. Даниленко, А. А. Смирнов, ФММ 14, 337 (1962).
В. M. Даниленко, Д. Р. Ряздвинецкий, А. А. Смирнов,①ММ 15, 194 (1963).
В. М. Даниленко, Д. Р. Ряздвинецкий, А. А. Смирнов,① ММ 16, 3 (1963).
Д. Р. Ряздвпнецкпй, УФЖ 9, 218 (1964).
Д. Р. Р я з д в и н е ц к и й, УФЖ 9, 309 (1964).
Д. Р. Ряздвинецкий, С6.《Вопросы физ. металлов и металловедения», № 19, стр. 102 (1964).
G. М. В е 1 1, Proc. Phys. Soc. 72, 649 (1958).
27 7. G. М. В е 11, Trans. Farad. Soc. 49, 122 (19 53).
G. M. В e 1 1, D. A. L a vi s, Phih Mag.色，937 (1965).
9 о 1 27 8 8 82 2 2 29 о 1 27 8 8 82 2 2 234567890123456789012345678901234 567890 12345678988888889999999999000000000011111 111112 22222222222222222222222222333333333333333 333333 33333333334567890123456789012345678901234 567890 12345678988888889999999999000000000011111 111112 22222222222222222222222222333333333333333 333333 3333333330-1-3 33 30-1-3 33 3345678903333333433333333345678903333333433333333Горский, Phys. Zs. UdSSR 8, 443 (1935).
9 о 1 2
7 8 8 8
2 2 2 2
9 о 1 2
7 8 8 8
2 2 2 2
34567890123456789012345678901234 567890 123456789
88888889999999999000000000011111 111112 222222222
22222222222222222333333333333333 333333 333333333
34567890123456789012345678901234 567890 123456789
88888889999999999000000000011111 111112 222222222
22222222222222222333333333333333 333333 333333333
0-1-
3 3
3 3
0-1-
3 3
3 3
34567890
33333334
33333333
34567890
33333334
33333333
Bragg, E. J. Williams, Proc. Roy. Soc. A145, 699 (1934).
Гейченко, В. M. Даниленко, А. А. Смирнов, ФММ (3, 321
.Курнаков, С. Ф. Жемчужный, М. И. Заседателе в, Изв. политехнич. ин~та, 22, 487 (1914); ЖРХО 47, 871 (1915)； J. Inst. Metals 15,
1 g 1 е, D. Parson, Proc. Roy. Soc. A25 5, 509 (I960), p идн e в, А. К. Бутыленко, ФММ 19, 205 (1965). i 11 i a m s, Trans. Met. Soc. AIME 212, 457 (1958).
f r a m, J. Callaway, Phys. Rev. 130, 2007 (1963).
I 3 юм о в, M. В. Медведев, ЖЭТФ 48, 574 (1965). и ф ш и ц, Nuov. cim. 3, 716S (1956).
и ф ш и ц, УФН 83,.617 (1964).
о н ч ~ Б р у е в и ч, ФММ 2, 215 (1956).
[з ю м о в, М. В. Медведев, ЖЭТФ 49, 1887 (1965). < а г ан, Я. Иосилевский, ЖЭТФ 45, 819 (1963).
} ю м о в, М. В. Медведев, ФТТ 8, 2117 (1966).
:ram, W. Hall, Phys. Rev. 143, 284 (1966).
e, H. Callen, L. W a 1 k e r, Phys. Rev. 144, 283 (1966).
э, L. В a t a, Physics Lett. 24A, 22 (1967).
3 ю м о в, M. В. Медведев, ЖЭТФ 51, 517 (1966).
з ю м о в, М. В. Медведев, ЖЭТФ 48, 1723 (1965).
з ю м о в, М. В. Медведев, ЖЭТФ 51, 1423 (1966).
з ю м о в, Proc. Phys. Soc. 87, 521 (1966).
1 г г а у, Proc. Phys. Soc. 89, 87, ill (1966).
e e m a n, Phys. Rev. 130, 888 (1963).
о о d i n g s, В. M о z e r, Phys. Rev. 136, A1093 (1964).
L g 1 e, Phys. Rev. Lett. 13, 569 (1964).
t c h e n s, W. A. S t e у e r t, R. D. Taylor, Phys. Rev. 138, A467 (1965).
i n, C. Majumdar, Phys. Rev. 138, A1617 (1965).
s, Phys. Stat. Sol. 41, 121 (1965).
l о 1 e t, R. J. Borg, Phys. Rev. 149, 540 (1966).
о m, Phys. Lett. 23, 305 (1966).
stow, Proc. Phys. Soc. 88, 935 (1966).i n 1 a p, J. G. D a c h, Phys. Rev. 155, 460 (1967).u, Phys. Rev. 157, 411 (1967); 163, 472 (1967).n s e n, Phys. Rev. Lett. 18, 997 (1967).a 1 e y, R. D. Taylor, J. L. Thompson, J. Appl. Phys. 38, 1249stow, Proc. Phys. Soc. 88, 935 (1966).i n 1 a p, J. G. D a c h, Phys. Rev. 155, 460 (1967).u, Phys. Rev. 157, 411 (1967); 163, 472 (1967).n s e n, Phys. Rev. Lett. 18, 997 (1967).a 1 e y, R. D. Taylor, J. L. Thompson, J. Appl. Phys. 38, 1249A. D. C a p 1 i n, Phys. Lett. 26A, 46 (1967); Proc. Phys. Soc. 92, 731 (1967).
stow, Proc. Phys. Soc. 88, 935 (1966).
i n 1 a p, J. G. D a c h, Phys. Rev. 155, 460 (1967).
u, Phys. Rev. 157, 411 (1967); 163, 472 (1967).
n s e n, Phys. Rev. Lett. 18, 997 (1967).
a 1 e y, R. D. Taylor, J. L. Thompson, J. Appl. Phys. 38, 1249
stow, Proc. Phys. Soc. 88, 935 (1966).
i n 1 a p, J. G. D a c h, Phys. Rev. 155, 460 (1967).
u, Phys. Rev. 157, 411 (1967); 163, 472 (1967).
n s e n, Phys. Rev. Lett. 18, 997 (1967).
a 1 e y, R. D. Taylor, J. L. Thompson, J. Appl. Phys. 38, 1249
Horwitz, S. Alexander, M. Fi bi ch, Phys. Rev. 168, 49 5 (19 68).
M. F i b i c h, G. Horwitz, Phys. Rev. 168, 508 (1968).
U. Everts, B. N. Ganguly, Phys. Rev. 174, 594 (1968).
T. A. Kitchens, W. L. Trousdale, Phys. Rev. 174, 606 (1968).
S. Engelsberg, W. F. Brinkman, S. D ani ach, Phys. Rev. Lett. 20, 1040 (1968).
A. D. Caplin, C. L. F о i 1 e s, J. Penfold, J. Appl. Phys. 39, 842 (1968).
I. A. Campbell, J. Phys. C (Proc. Phys. Soc.) 1, 687 (1968).
A. A. A 6 p и к о с о в, УФН 97, 403 (1969).
Ю. А. Изюмов, М. В. Медведев, ЖЭТФ 55, 1123 (1968).
С. К. Сидоров, А. В. Дорошенко, ФММ 18, 811 (1964).
Y. Bando, J. Phys. Soc. Japan 19, 273 (1964).
E. A. Owen, A. H. S u 1 1 e y, Phil. Mag. (7) 31, 314 (1941).
M. Peschard, Compt. rend. 180, 1475, 1836; 181, 99, 854 (1925).
Э. M. Пикалев, M. А. Савченко, Тезисы докладов 14-го Всесоюзного совещания по физике низких температур, IV—8, стр. 80, Харьков, 1967.
X. И. Пушкаров, М. А. Савченко, В. В. Тарасенко, ЖЭТФ 54, 571 (19 68); X. И. Пушкаров,①ММ 27, 1031 (1969).
Б. Н. Ф и л и ппо в, ФТТ 9, 1339 (1967); ФММ 24, ИЗ (1967); ЖЭТФ 55, 208 (1968);①ММ 29, 1131 (1970), Б. Н. Филиппов, Л. Б. Партенскийг ФММ 28, 761 (1969).
R. F. Wallis, A. A. Maradudin, I. Р. Ipatova, A. A. Klochik- h i n, Sol. State Comm. 5, 89 (1967).
L. M i 1 1 s, J. Phys. Chem. Sol. 28, 2245 (1967).
D. L. M i 11 s, A. A. M a r a d u d i n, J. Phys. Chem. Sol. 22, 1855 (1967).
И. M. Лифшиц, Л. H. Розенцвейг, ЖЭТФ 18, 1012 (1948).
А. А. С м и p н о в, ЖЭТФ 17, 730 (1947).
С. К. Сидоров, А. В. Дорошенко, ФММ 19, 786 (1965).
С. К. Сидоров, А. В. Дорошенко, ФММ 20, 44, 850 (1965).
С. К. Сидоров, А. В. Дорошенко, Phys. Stat. Sol. 16, 737 (1966).
А. В. Дорошенко, Кандидатская диссертация, Свердловск, 1965.
12345678333333331234567833333333QM o-4 5 53 3 3QM o-4 5 53 3 32 3 4 5 6 7 85 5555553 3333332 3 4 5 6 7 85 5555553 333333901234567890123456566666666667777777333333333333333333901234567890123456566666666667777777333333333333333333789 012345678901 23456789012777 888888888899 99999999000333 333333333333 33333333444789 012345678901 23456789012777 888888888899 99999999000333 333333333333 33333333444
12345678
33333333
12345678
33333333
QM o-
4 5 5
3 3 3
QM o-
4 5 5
3 3 3
2 3 4 5 6 7 8
5 555555
3 333333
2 3 4 5 6 7 8
5 555555
3 333333
901234567890123456
566666666667777777
333333333333333333
901234567890123456
566666666667777777
333333333333333333
789 012345678901 23456789012
777 888888888899 99999999000
333 333333333333 33333333444
789 012345678901 23456789012
777 888888888899 99999999000
333 333333333333 33333333444
А. В. Дорошенко, С. К. Сидоров, ФММ 21, 156 (1966).
S. К а у а, А. К u s s m a n, Zs. Phys. 72, 293 (1931).
G. R. Piercy, E. R. Morgan, Canad. J. Phys. 31, 529 (1953).
R. Hahn, E. К n e 1 1 e r, Zs. Metallkunde, 49, 8, 426, 480 (1958).
H. C. van E 1 s t et al, Physica 28, 1297 (1962).
S. C. A b r a g a m s et al., Phys. Rev. 127, 2054 (1962).
И. К о н д о и с к и й, ЖЭТФ 37, 1819 (1959).
Hatherly, К. Hirakawa, R. D. L о wde, I. F. M a 1 1 о tt, M. W. Strigfellow, Proc. Phys. Soc. 84, 55 (1964).
К. Сидоров, С. Ф. Дубинин, ФММ 24, 859 (1967).
К. Сидоров, В. В. К е л а р е в, А. Г. Козлов, ФММ 26, 776 (1968).
В. К л ю ш и н, В. В. К е л а р е в, И. Я. Гетман, В. Е. Архи пто в, С. К. С и д о р о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 968 (1966).
В. К е л а р е в, С. К. Сидоров, В. В.Клюшин, Р. 3. Абдулов, Phys. stat. sol. 24, 385 (1967).
Дубинин, С. Сидоров, А. В охмянин, ФММ 27, 360 (1969).
R. G. Butters, Н. Р. Myers, Phil. Mag. 46, 895 (1955).
A. J. Р. М е у е г, Compt. rend. 242, 2315 (1956).
J. Р. Meyer, Р. Т a g 1 a n g, J. phys. rad. 17, 457 (1956).
L. Howe/ H. Myers, Phil. Mag. 2, 554 (1957).
3. M и p я с о в, А. П. Парсанов, Изв. АН СССР, сер. физ. 23, 285 (1959); Вести. МГУ, № 1, 43 (1959).
Morris, R. Preston, J. Williams, Proc. Phys. Soc. 73, 520 (19 59).
О. H a 1 1, Phil. Mag. 4, 730 (1959).
S. Tezuka, S. Sakai, Y. Nakagawa, J. Phys. Soc. Japan 15, 931 (I960).
K. Y asukochi, K. Kanamatsu, J. Phys. Soc. Japan 15, 932 (I960).
J. P. Meyer, M. J. В e s n u s, Compt, rend. 253, 2651 (1961).
R. К i m u г a, T. О h о у a m а, К. E n d o, J. Phys. Soc. Japan 16, 1266 (1961).
Morris, G. Davies, С. P r i c e, J. Phys. Chem. Sol. 23, 109 (1962).
P. Morris, C. D. Price, J. L. Hughes, Acta Cryst. 16, 839 (1963).
P. Morris, C. D. Price, Proc. Phys. Soc. 81, 1074 (1963).
T. H i г о n e, T. Kaneko, K. Kondo, J. Phys. Soc. Japan 18, 65 (1963).
W. С о 1 1 i n g s et al. Phil. Mag. 10, 159 (1964).
K. S a t o, Japan J. Appl. Phys. 5, 851 (1966).
J. Webster, R. S. T e b b 1 e, Phil. Mag. 16, 347 (1967).
B. van Laar, Phys. Rev. 156, 654 (1967).
S. Ogawa, Phys. Lett. 25A, 516 (1967).
P. J. Webster, R. S. T e b b 1 e, J. Appl. Phys. 39, 471 (1968).
А. А. Г а л к и h и др. Письма ЖЭТФ 9, 646 (1968).
К г ё n, G. К a d а г, L. Pal, J. S 6 1 у о m, Р. Szabo, Т. Tarnoczi, Phys. Rev. 171, 579 (1968).
L. Creveling, Jr., H. L. Luo, Phys. Rev. 176, 614 (1968).
B. J ohnston, E. O. Hall, J. Phys. Chem. Sol. 29, 193 (1968).
R. H. Forster, G. B. J о h n s t о n, D. A. Wheeler, J. Phys. Chem. Sol.
855 (1968).、
E. Нестеренко, И. Осипенко, С. Фирстов, ФММ 27, 135 (1969).
R. Е. De Warnes, Т. Wolfram, Phys. Rev. Lett. 22, 137 (1969).
J.B.Goodenaugh, J. Appl. Phys. 29, 513 (1958).
J. B. Goodenaugh, Phys. Rev. 120, 67 (I960).
J. L. В e e b y, Phys. Rev. 135, A130 (1964); Proc. Phys. Soc. 90, 779 (1967).
P. P. C r a i g, В. M о z e r, Phys. Rev. Lett. 14, 895 (1965).
J. Y amashita, Sh. W a k о h, S. A s a n o, J. Phys. Soc. Japan 21, 53 (1966).
Kimura et al. J. Phys. Soc. Japan 21, 307 (1966).
K. Y о s i d a, Phys. Rev. 147, 223 (1966).
W. M. Breen, F. Wooten, T. H u e n, Phys. Rev” 159, 47 5 (1967).
R. S e g n a n, Phys. Rev. 160, 404 (1967).
E. Балабанов, H. П. Делягин, А. Л. Ерзнанян, В. П. Парфе н о в a, В. С. Шпинель, ЖЭТФ 55, 2136 (1968).
Л. Д. Д и д у х, И. В. С т а с ю к, ФММ 26, 582 (1968).
В. Тябликов, В. К. Федянин, ФММ 26, 589 (1968).
L е о n i, С. N a t о 1 i, Nuov. cim. 55, В21 (1968).
A. A. Gomes, I. А. С a m р b е 1 1, J. Phys. С. (Proc. Phys. Soc.) 1, 253 (1968).
R. E. Walstedt, J. H. W e r n i c k, Phys. Rev. Lett. 20, 856 (1968).
T. Adair, E. Sharp, C. Squire, J. Chem. Phys. 44, 3650 (1966).
I. S h a r p, D. A. A v e r y, Phys. Rev. 158, 511 (1967).
A. M. К о с e в и 4, В. А. Шкловский, ЖЭТФ 55, 1131 (1968).
S t е г n, Phys. Rev. 116, 1399 (1959).
J. H. W о о d, Phys. Rev. 126, 517 (1962).
T. Moriya, Prog. Theor. Phys. 33, 157 (1965); 34, 329 (1965); Tech. Rep. ISSPT ser. A, № 153 (1965).
Глава 22
ТЕОРИЯ АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМА И ФЕРРИМАГНЕТИЗМА )
§ 1・ Вводные замечания
При описании различных типов ферромагнитных веществ (см. гл. 17 и 19) уже отмечалось, что, кроме классических типов ферромагнетиков Зй-металлов и их сплавов, имеется еще больший класс ферро- и антиферромагнитных соединений ), во многих случаях обладающих одновременно и полупроводниковыми свойствами. Наиболее типичными представителями этого класса веществ являются металлические о кислы, так называемые ферриты с кристаллографической структурой типа шпинели, граната, перовскита и т. п. Для них общепринят термин ферримагнетики^ а особый характер их ферромагнитного состояния называют ферримагнетизмом.
В ферримагнетиках обменное взаимодействие между магнитно активными ионами отрицательно (в противоположность ферромагнитным 3d- металлам и сплавам, в которых оно имеет положительный знак). В области температур от 0° К до некоторой критической точки 0^ (точка Нееля) эта отрицательная обменная связь способствует антипараллельному атомному магнитному порядку. Если при этом результирующий магнитный момент кристалла (или магнитной элементарной ячейки) равен нулю, то имеет место скомпенсированный ферримагнетизм, или антиферромагнетизм. Если компенсация отсутствует и в кристалле при Т & 0^ существует самопроизвольная намагниченность, то имеет место нескомпенсиро- ванный антиферромагнетизм, или ферримагнетизм,
В антиферро- и ферримагнитных кристаллах (как и в ферромагнитных металлах и сплавах) для возникновения атомного магнитного порядка необходимо выполнение ряда условий: наличие незаполненных 3d- или 4/-слоев в электронных оболочках ионов, определенные значения отношений араметра решетки к радиусу этих слоев. Кроме того, ферри- и антиферромагнитные состояния обладают следующими важными специфическими особенностями (см., например, [4]).
Между ближайшими соседними магнитно активными ионами имеется отрицателъная обменная связь, приводящая к «антипараллельному» магнитному порядку ). Это упорядочение сводится к появлению системы магнитных подрешеток (Ландау [5], Неель [6, 7]), число и симметрия
которых находятся в определенной связи с кристаллохимическои природой соединения ).
Обменная связь в ферримагнетиках (как отрицательная, так и положительная) носит косвенный характер. В этом типе связи существенное участие принимают наружные электроны магнитно нейтральных ионов кислорода, серы и т. п., расположенных между магнитно активными ионами (не являющимися ближайшими соседями в кристаллической решетке ферримагнетиков).
Кристаллы антиферро- и ферримагнетиков, как правило, относятся к ионным кристаллам, в которых среди анионов обязательно присутствуют ионы элементов переходных групп. В основном состоянии (0° К) эти тела (исключая случаи металлов, сплавов и некоторых ионных соединений) не имеют электронов проводимости и являются полупроводниками или изоляторами. Однако наличие ионов с недостроенной оболочкой и возможность так называемого электронного упорядочения (см. ниже и [8— 11]) ионов различной валентности приводят к ряду особенностей в электрических и диэлектрических свойствах этих тел.
Наличие в антиферро- и ферримагнетиках наряду с электростатической обменной связью релятивистских (магнитных) взаимодействий приводит к появлению определенных направлений в таких кристаллах — направлений антиферромагнетизма^ играющих роль осей квантования, вдоль которых ориентируются самопроизвольные намагниченности подрешеток в отсутствие внешнего магнитного поля и напряжений. Магнитные силы могут в некоторых случаях приводить также к неколлинеарно- сти намагниченностей подрешеток (см. Яфет и Киттель [12]). В случае антиферромагнетизма индуцированная магнитным взаимодействием некол- линеарность ) приводит к явлению так называемого слабого ферромагнетизма (см. Дзялошинский [13, 14] и ниже).
Проблема основного состояния
Вводные замечания. В квантовомеханической теории ферри- и антиферромагнетиков возникает большая трудность в связи с определением энергии их основного состояния. В случае обычных ферромагнетиков (с одной магнитной подрешеткой) такой трудности нет, ибо в них основно- му состоянию отвечает максимально возможное значение магнитного насыщения, т. е. полный параллельный порядок атомных магнитных моментов (если пренебречь малым возмущающим влиянием магнитного взаимодействия между электронами). Трудность определений основного состояния ферри- и антиферромагнетизма заключается в том, что состояние с антипараллельным (типа шахматного) упорядоченным расположением спинов по узлам кристаллической решетки, обычно принимаемое за основное состояние (Неель [7]), не только не соответствует минимуму энергии системы взаимодействующих спинов, но вообще не может быть строго реализовано, согласно законам квантовой механики, если система описывается гейзенберговским гамильтонианом. Действительно, если рассматривать, например, антиферромагнетик с двумя подрешетками, то оператор обменной энергии по Гейзенбергу имеет вид (см.,
например, гл. 19)
國об 二二 3 14丘 I Sj-Sk M I 3 Sj£左，(22.1)
где |/j左 I — модуль обменного интеграла между узлами ——ближайшими соседями для двух различных магнитных подрешеток, и сумма берется по всем парам номеров / и Л соседних узлов. С другой стороны, полная z-я проекция спина подрешетки / равна 2 (s/)z = (51")полн・ Легко видеть, что операторы 痂版 и £?))полн не коммутируют и, следовательно, полный спин (или магнитный момент) подрешетки не является интегралом движения ). Точно так же в синглетном состоянии молекулы водорода (см. гл. 19) нельзя говорить, что один из атомов молекулы имеет «правый», а другой — «левый» спин. Можно говорить лишь о среднем значении правого или левого спина. В случае молекулы «обмен» правого и левого спинов происходит со столь большой частотой (//无 〜 1014 сек-1), что говорить о спиновых подрешетках в молекуле не имеет никакого смысла. В случае же кристалла, как показал Андерсон [18, 191, среднее значение полного спина подрешетки очень мало отличается от полного спина подрешетки, рассчитанного в предположении шахматного антипараллель- ного порядка ).
Андерсон [18], исходя из простых соображений, показал также, что истинная энергия основного состояния анти ферромагнетика g0 заключена в сравнительно узком интервале значений энергий, нижний и верхний пределы которого могут быть точно определены. Действительно, если принять модель магнитных подрешеток, то из вида оператора (22.1) следует, что энергия основного состояния в этой модели равна
*^о(мп> ——彳 Nz I I $2,(22.2)
где N — полное число узлов, z — координационное число и s — спиновое квантовое число иона в узле кристаллической решетки антиферромагнетика. Поскольку (22.2) можно получить из оператора (22.1), взяв от него диагональный матричный элемент с помощью «неелевских волновых функций»
屮h 口屯( + S) 口以(一S),(22.3)
которые соответствуют идеальному шахматному порядку в двух подрешетках с узлами / и А и антипараллельными z-проекциями их результирующих спинов +S и —5 (т. е. не истинным собственным волновым функциям системы), то по известной вариационной теореме, согласно которой диагональные матричные элементы оператора меньше или равны его собственным значениям, энергия (22.2) дает верхний предел для g0. Нижний предел можно найти, если представить оператор (22.1) в виде такой суммы:
阮об=1 威— M I 3 sjsk'(22.4)
3
Сумма по А в (22.4) охватывает все атомы подрешетки 鼠 являющиеся соседями /-го атома подрешетки у, а сумма по / — все N/2 узлов подрешетки /. Предположим теперь, что мы знаем квантовомеханическое представление, которое делает оператор 威°6 диагональным
(處Об)а%= 3 (威/)а£ = ЕсДссс，・
Таким образом, матрица (或об)ааг диагональна, но матрицы (威『)аа， недиагональны. Опять-таки, согласно общей вариационной теореме для эрмитовых матриц, при этом даже наименьший матричный элемент оператора 駐『,больше, чем его наименьшее собственное значение. Последние известны, например, из работы Вейсса [20] и равны —|/|s(zs+l). Таким образом,(座力аа‘ > — I / |s(zs + 1) (для всех а, а') и, следовательно
X (或/)аа = (磁об)аа> —争川s(zsT-l) (для всех а).(22.5)
Но в нашем случае (赞об)аа суть собственные значения оператора (22.4), и поэтому все они, включая и наинизшие, меньше чем — (7V/2) \A\s (zs+ 1). Сравнивая (22.2) и (22.5), находим окончательно
—岑|/|s2>“>_学⑷ s2« + ±).(22.6)
Из (22.6) видно, что ошибка в определении энергии основного состояния в модели магнитных подрешеток не столь уж велика. Например, в частном случае антиферромагнитного кристалла типа MnF2 с z = 8 и s = 5/2 она не превышает 5% [как видно из формулы (22.6)1.
При спин-волновой трактовке Андерсон [191 показал, что в случае двух- и трехмерных спиновых решеток ) волновые функции истинного основного состояния напоминают неелевские функции (22.3), которым соответствует дальний магнитный порядок. При этом в одной из подрешеток среднее значение z-сларающей спина равно〈5?〉= +aS, а в другой 〈5?〉= — aS, где a ^ (1—1/2 zs). Фишер [231 несколько уточнил оценки Андерсона, аппроксимируя волновую функцию основного состояния антиферромагнетика, со отв етствующую гамильтониану (22.1), простой линейной комбинацией функций, которые получаются из волновой функции неелевского идеализированного состояния при переходах небольшого числа спиновых возбуждений между соседними узлами решетки. Получающаяся волновая функция очень близка к собственной функции оператора (22.1); соответствующее ей собственное значение равно —[1 + + (2zs — I)-1] I Л I zs27v72 и близко к тому, которое получено в спин-вол- новой теории, а для коэффициента у среднего спина подрешетки лежит почти наполовину между значениями, даваемыми спин-волновой теорией и единицей.
Введение стабилизирующих факторов. Трудность квантовомеханической трактовки основного состояния антиферромагнетика связана с тем, что, например, неелев- ская волновая функция (22.3) не является собственной функцией гейзенберговского гамильтониана (22.1) (см. [18]). Поэтому обычно считается, что хотя основное состояние антиферромагнетика не совпадает с состоянием, описываемым функцией (22.3), тем не менее оно отличается от последнего не очень сильно (см. выше), и (22.3) может служить исходным пунктом для применения метода спиновых волн ([19], [24]) или других [23] при приближенной трактовке антиферромагнетизма. Это основное предположение не было доказано, и о его законости судили лишь по его самосогласованности. Однако последняя наверняка отсутствует, если ограничиться рассмотрением гамильтониана (22.1). Это обусловлено тем, что функции, незначительно отличающиеся от (22.3), предполагают наличие большой з-проекции результирующего спина каждой подрешетки, в то время как оператор (22.1) приводит к «вращению» спинов подрешеток в пространстве (формально это выражается в расходимости амплитуд движения поперечных Sx и Sy составляющих результирующего спина подрешеток, см. [19]). Указанное обстоятельство заставило вводить в рассмотрение вместе с оператором (22.1) добавочные (стабилизирующие!) гамильтонианы 威九 обычно связываемые с энергией магнитной анизотропии кристалла. Так, в работе [19] (см. также [25, 26]) полагалось, что оператор
風к = £ 12 (陶+ %)+ 2 (鷗汕(22.7)
соответствует энергии магнитной анизотропии с аксиальной симметрией. Оказалось, что уже при малых значениях параметра К по сравнению с интегралом обмена А из
(22.1) расходимость амплитуд движения поперечных слагающих спина Sx и Sy устраняется. Поэтому параметр 左，казалось бы, можно рассматривать как фактор сходимости, обеспечивающий устойчивость основного антиферромагнитного состояния (а не только снимающего вырождение по направлению намагниченностей подрешеток в кристалле).
Такой же результат был получен в работе Займана [24], в которой оператор энергии (Й1! вводился в другой форме:
威丄а =—工 ^б^>2Яа exp (iwR^,(22.8)
э
где множитель exp (iwRj) меняет знак при переходе от одного узла решетки к соседнему (из другой магнитной подрешетки), так что эффективное внутреннее магнитное поле На направлено в каждом узле параллельно проекции спина в состоянии (22.3).
Связь основного состояния с неопределенностью мультиплетности. Может, сложиться впечатление, что введение энергии магнитной анизотропии позволяет получить самосогласованность теории, использующей предположение о близости волновой функции основного состояния антиферромагнетика к виду (22.3). Однако такой вывод оказывается неверным. Дело в том, что в работе Вонсовского и Свирского [27] было показано, что появление антиферромагнетизма в системе из четного числа атомных носителей магнитного момента с одинаковыми спинами предполагает неопределенность ее мультиплетности. С точки зрения этого критерия недостаточность гейзенберговского гамильтониана (22.1) для описания антиферромагнитного состояния обусловлена тем, что его собственные функции описывают состояния с определенной мультиплетностью. Кроме того, в работе [27] было установлено, что гамильтонианы (22.7) и (22.8) имеют различное значение для стабилизации антиферромагнетизма. А именно, поскольку гамильтониан (22.7) коммутирует с оператором обращения знака времени, то его добавление к оператору (22.1) с невырожденным основным состоянием не может привести к антиферромагнетизму. Противоположный вывод работы [19] связан с использованием в ней предположения
1
szi Q Sc2^-(S旣+ S沁
Szj^ 一贵(63+6%)，‘(22・9)
Sc = [S(S + l)]"2.
Условие (22.9) эквивалентно постулированию малости отклонения антиферромагнитного состояния от состояния, описываемого неелевской волновой функцией (22.3). Указанные выводы работы [19] являются простым следствием предположения (22.9). принимаемого без доказательства.
Гамильтониан (22.8) не коммутирует с оператором обращения знака времени, и поэтому, независимо от предположения (22,9), он может привести к стабилизации основного антиферромагнитного состояния. При этом, однако, неправильно считать [см. [24] или Киттель (1967)], что оператор (22.8) играет лишь вспомогательную роль и при Яд f 0 магнитные подрешетки сохраняются. В работе [27] доказано, что при На f ° антиферромагнетизм исчезает.
Для установления связи между антиферромагнетизмом и неопределенностью мультиплетности рассмотрим, следуя [27], кристалл с двумя подрешетками I и II, оператор вектора полного спина которого S определяется суммой операторов спинов подрешеток Sj и *8ц：
6 =备 + 瓦「(22.10)
В антиферромагнитном состоянии (при Н = Q) результирующая самопроизвольная намагниченность равна нулю, но намагниченности подрешеток, определенные средними значениями з-проекций спинов подрешеток 〈«”〉и〈百1”〉，отличны от нуля. Таким образом, антиферромагнитное состояние требует одновременного выполнения условии:
〈&〉=а(22.il)
〈瓦丿中 0, <SIl2> R 0.(22.12)
Из (22.10) — (22.12) следует, что
6iz〉= -〈，iz〉・(22.13)
Введем в рассмотрение антисимметричный оператор (см. [28, 29])
2 = 8^Su.(22.14)
Из (22.10) и (22.14) следует
(22/5>(22/5>& = («+/), 5口=停(《— %)， а из (22.11), (22.13) и (22.15) следует, что в антиферромагнитном состоянии
(22/5>
(22/5>
(負2〉= ^"〈&〉，<^Il2>= —^(£〉・(22.16)
Таким образом, в антиферромагнитном состоянии должно выполняться неравенство 〈4〉/ 0,(22.17}
которое и представляет собой необходимое условие реализации антиферромагнетизма, определенного соотношениями (22.11) и (22.12).
Для выяснения физического смысла условия (22.17) заметим, что оператор А переводит состояние кристалла со спином S только в состояния С)спинами
S』S±1(22.18>
или
Sf = S.(22,19〉
При этом в случае (22.19) имеет место равенство [см. Ландау и Лифшиц (1963)]
〈6,邑 |£| £,%〉=/^邑，(22.20)
где коэффициент ^| не зависит от Sz. Равенство (22.20) можно применить к рассмотрению тех состояний, в которых S и S? имеют определенные значения.
Предположим сначала, что в антиферромагнитном состоянии это имеет место- (нет неопределенности мультиплетности). В этом случае из (22.11) следует, что
$z=Q,(22.21}
Подставляя (22.21) в (22.20), получаем (Л2> = 0, что нарушает необходимое условие (22.17). Отсюда следует, что в состояниях с определенной мультиплетностью и ее значением Sz = 0 антиферромагнетизм не может реализоваться.
Этот результат указывает на несостоятельность обычного утверждения, что антиферромагнетизм есть состояние с определенным спином и Sz = 0, например синглетное состояние.
Допустим теперь, что в кристалле Sz не имеет определенного значения. Тогда из (22.11) формула (22.21) не вытекает. Если, однако, спин S имеет определенное значение, то имеет место равенство
〈S I £ I S〉= 2 I〈S, Sz I S〉I 2《s, Sz I £ I S, Sz〉，(22,22)
где〈S, Sz I S} —— коэффициенты в разложении волновой функции | S} по состояниям I S, Sz〉，Можно показать (см. [271), что в системах с любым четным числом центров с одинаковыми спинами или в системах из пар центров с одинаковыми по величине спинами матричные элементы в правой части (22.22) исчезают длярсех возможных значений Sz (для двух центров это было показано в работах [28, 29]). Но тогда из (22,22) следует, что
〈S|£|S〉=S(22.23}
Этим самым доказано, что если система состоит из четного числа центров или из пар центров с одинаковыми спинами, то, независимо от определенности проекции спина Sz，условие (22.19) исключается, так что оператор Л 2 является оператором возбуждения мультиплетности такой системы. Из сравнения (22.23) и (23.17) следует, что в системе из четного числа узлов с одинаковыми спинами антиферромагнетизм возможен лишь в состояниях с неопределенной мультиплетностью.
Этот вывод можно теперь использовать для анализа гейзенберговского оператора (22.1). Последний коммутирует с оператором S2 и поэтому описывает состояние с определенной мультиплетностью и, следовательно, непригоден для описания антиферромагнетизма. В работе [27] показано, что если при 厶 > 0 основное состояние еще к тому же и синглетное, то можно получить другое более общее доказательство отсутствия антиферромагнетизма ,не связанное с формулой (22.20). Синглетное состояние с целочисленным спином невырожденное. А тогда можно показать, что если гамильтониан системы коммутирует с оператором обращения знака времени, то в любом невырожденном состоянии с целочисленным значением спина (Л2> = 0, а потому антиферромагнетизм невозможен [см. (22.17)]).
Далее можно показать (см. [27]), что оператор (22,7) не может стабилизировать ■антиферромагнитное состояние. Действительно, если этот оператор является малым возмущением, то энергия основного состояния гамильтониана (22.1) лишь сместится и состояние останется невырожденным. А поскольку гамильтониан 礎° + 就仃：коммутирует с оператором обращения знака времени, то, согласно сказанному выше, в основном состоянии этого гамильтониана имеет место равенство (Л2> = 0 и по условию (22.17) антиферромагнетизм реализоваться не может. Противоположный вывод, полученный, например, в работе [19], является прямым следствием постулирования о выполнении равенств (22.9).
Рассмотрим теперь гамильтониан спиновой системы в виде
威=威0 +院1b4 = 1 I 2 sjs在+ p4,(22.24)
где р = I g卩£五九 ехр (г, u)RQ |. Гамильтониан (22.24) содержит нечетный относительно обращения знака времени оператор Az> Отсюда можно полагать, что лишь при р у= О в системе возможен антиферромагнетизм. Действительно, оператор (22.24) удовлетворяет соотношению коммутации
S+S0-SVS+ = — pA+,(22.25)
где S ± = SX±2 iSy, /± = /优 士％/夕 С другой стороны,
6+笛一Л-5+ = 2Л2.(22,26)
Из (22,25) получаем
〈▼n I I 呼п〉笛“一務т) = Р〈％ I 幺+ I %必(22.27)
где Тд и 4rm ——собственные функции гамильтониана (22,24), а 重〃 口 ^m —соответствующие энергии. Вместе с тем из (22.26) следует
〈％ I 4 I 中兀〉=彳工 К% I S+ I 1pm〉Нт I А-\ Yn)-<Yn| А-\ Ym) <Ym | S+ | 屮前.(22.28)
Из (22.27) и (22.28) находим
〈咻 I Л I =<Л) = -4-工 JI4fm I 笛 L纟32+ ^屮少 I 'r WQ |2 .(22.29)
Полагая в(22,29) p = U и замечая, что в силу (22.27) члены с 卷小=常九 не дают вклада в〈4，, а при 寫小片寫九 знаменатели в правой части (22.29) определяются в случае р -> 0 не равным нулю обменным интегралом А , получаем (Л2> = 0, что означает отсутствие антиферромагнетизма. Таким образом, на коэффициент р (связанный с полем На) нельзя смотреть как на фактор сходимости в пределе, стремящемся к нулю. Только конечные значения р могут привести к конечной намагниченности каждой из подрешеток и соответственно к антиферромагнетизму.
В основном состоянии (沦=0) для энергии ^0 имеет место при всех /п ^ 0 неравенство 包小一魏 > 0, Поэтому из (22.29) следует
sign〈4〉oo= —sign (р),
это означает, что при р > 0 намагниченность подрешетки I направлена против оси z, а подрешетки II — по оси z. При р V 0 эти намагниченности имеют противоположные направления.
Представляет интерес выяснить возможные причины появления в гамильтониане спиновой системы члена типа pAz. Одной из таких причин является например спин- орбитальная связь. Действительно, гамильтониан этой связи для двух частиц со спинами Sj и <S2 и орбитальными моментами ij и Z? может быть представлена в виде
С (Z1-S1+z2s2) = у (А+г2) -S +-| (Л- Z2) %,(22.30)
где 工 ——параметр спин-орбитальной связи, *8 = 5i + >S2 и Л = Si — S2. Появление в (22.30) оператора Л, связанного с изменением мультиплетности, и показывает, что спин-орбитальное взаимодействие может играть существенную роль в стабилизации антиферромагнитного состояния. Следует, однако, учесть, что в случае оператора (22.30) векторный параметр р == ^^i — А) оказывается функцией орбитальных моментов, и поэтому произведение рА в целом инвариантно относительно обращения знака времени. Последнее означает, что условие (22.17) может выполняться только для вырожденного состояния. Таким образом, стабилизированное антиферромагнитное состояние, к которому может привести спин-орбитальная связь, вырождено. Это понятно, так как в случае р 2 = -|-(冨一Z2z) при заданной ориентации оси z нельзя
говорить об определенном знаке р2, и, следовательно, оба возможных направления намагниченности подрешеток связаны с одинаковой энергией. Снять это вырождение по направлению может (так же как и в случае ферромагнетизма) магнитное поле. Такие локальные магнитные поля могут возникать и не только из-за спин-орбитальной связи. Например, в случае реальных кристаллов, построенных с участием ионов d- или /-металлов, это может быть разделение роли различных d- и /-электронов в установлении атомного магнитного порядка (см., например, работу [32]).
3・ Нейтронографические исследования антиферромагнетиков )
Теоретические представления о магнитных атомных структурах в антиферро- и ферримагнетиках получили свое прямое опытное подтверждение после того, как были проведены нейтронографические исследования в работах Шалла и др. [33, 34]. Изучая картину дифракции медленных нейтронов на антиферро- и ферримагнитных кристаллах, при температурах ниже точек Нееля, соответствующих каждому из исследованных
〃 加 ，勿 30 紡 50Угол рассеяния, град〃 加 ，勿 30 紡 50Угол рассеяния, градРис. 22.1. Нейтронограммы МпО. а) При 80° К; 6) при 293° К. На нейтронограмме а видны четыре магнитных пика, соответствующие отражению от плоскостей (111), (311), (331) и (511). По оси ординат отложены значения интенсивности нейтронного пучка в единицах: число нейтронов/сл^мин.Рис. 22.1. Нейтронограммы МпО. а) При 80° К; 6) при 293° К. На нейтронограмме а видны четыре магнитных пика, соответствующие отражению от плоскостей (111), (311), (331) и (511). По оси ординат отложены значения интенсивности нейтронного пучка в единицах: число нейтронов/сл^мин.W ^ ^ ^ ^ ^ 匆紡..^ gQHQdE里 в^90匸匸9W ^ ^ ^ ^ ^ 匆紡..^ gQHQdE里 в^90匸匸9
〃 加 ，勿 30 紡 50
Угол рассеяния, град
〃 加 ，勿 30 紡 50
Угол рассеяния, град
Рис. 22.1. Нейтронограммы МпО. а) При 80° К; 6) при 293° К. На нейтронограмме а видны четыре магнитных пика, соответствующие отражению от плоскостей (111), (311), (331) и (511). По оси ординат отложены значения интенсивности нейтронного пучка в единицах: число нейтронов/сл^мин.
Рис. 22.1. Нейтронограммы МпО. а) При 80° К; 6) при 293° К. На нейтронограмме а видны четыре магнитных пика, соответствующие отражению от плоскостей (111), (311), (331) и (511). По оси ординат отложены значения интенсивности нейтронного пучка в единицах: число нейтронов/сл^мин.
W ^ ^ ^ ^ ^ 匆紡..^ gQHQdE里 в^90匸匸9
W ^ ^ ^ ^ ^ 匆紡..^ gQHQdE里 в^90匸匸9
веществ, эти авторы обнаружили, помимо «ядерных» дифракционных максимумов, обусловленных когерентным рассеянием нейтронов на периодически расположенных в пространстве атомных ядрах веществ, появление также дополнительных «магнитных» максимумов, возникающих из-за периодического распределения магнитных моментов. На рис. 22,1, а, 6 приведены нейтронограммы, полученные для образцов МпО в работе [331, иллюстрирующие только что сказанное.
Нейтронограмма, снятая при 293° К (рис. 22.1, б), показывает магнитное диффузное рассеяние и дифракционные пики ядерного рассеяния для отражений от плоскостей (111) и (311) решетки МпО (типа NaCl). На нейтронограмме, снятой при 80° К (рис. 22,1, а), появляются, кроме упомянутых пиков, еще дополнительные магнитные пики, не индицируемые для элементарной химической ячейки кристалла с длиной ребра d()= 4,43А. Эти пики легко индицируются, если за элементарную кубическую ячейку принять ячейку, длина ребра которой вдвое больше, т. е. равна "маг = 8,85 А. Для нее все магнитные пики индицируются для
плоскостей (111), (311), (331) и (511). Магнитный пик (311) накладывается на ядерный пик (111), как видно из асимметрии этого отражения.
На рис. 22.2 и 22.3 показана температурная зависимость высоты магнитного пика типа (111), которая воспроизводит температурный ход самопроизвольной намагниченности магнитных подрешеток. Помимо соединения МпО, магнитная сверхструктура была обнаружена в работах Шалла и др. [33] для соединений FeO, СоО, NiO и a-Fe2O3 и Эриксона [35] для серии фторидов MnF2> FeF2, CoF2 и NiF2.
В настоящее время имеется уже обширный опытный материал по использованию метода нейтронной дифракции для определения атомных магнитных структур в различных веществах.
Обычно принято считать, что результаты упругого дифракционного рассеяния нейтронов однозначно доказывают реальное существование
Рис. 22.2. Антиферромагнитный пик на нейтронограмме типа (111) для кристалла МпО, снятый при различных температурах ниже точки Нееля ®n* w — полуширина пика. Вблизи ©^ видно заметное увеличениеРис. 22.2. Антиферромагнитный пик на нейтронограмме типа (111) для кристалла МпО, снятый при различных температурах ниже точки Нееля ®n* w — полуширина пика. Вблизи ©^ видно заметное увеличение%序 加/2 加左Угол рассеяния, град%序 加/2 加左Угол рассеяния, град罩E單в^罩E單в^伤伤12841284紡 80120160 ЖТемпература,力Рис. 22.3. Температурная зависимость высоты магнитного пика на нейтронограмме МпО. Стрелками 2 H 2 указаны температуры Т§ и ТХ, соответствующие максимумам на кривых температурного хода теплоемкости С и магнитной восприимчивости %.紡 80120160 ЖТемпература,力Рис. 22.3. Температурная зависимость высоты магнитного пика на нейтронограмме МпО. Стрелками 2 H 2 указаны температуры Т§ и ТХ, соответствующие максимумам на кривых температурного хода теплоемкости С и магнитной восприимчивости %.Ти-9 竺q-olr-SAW DEOZqgТи-9 竺q-olr-SAW DEOZqg
Рис. 22.2. Антиферромагнитный пик на нейтронограмме типа (111) для кристалла МпО, снятый при различных температурах ниже точки Нееля ®n* w — полуширина пика. Вблизи ©^ видно заметное увеличение
Рис. 22.2. Антиферромагнитный пик на нейтронограмме типа (111) для кристалла МпО, снятый при различных температурах ниже точки Нееля ®n* w — полуширина пика. Вблизи ©^ видно заметное увеличение
%序 加/2 加左
Угол рассеяния, град
%序 加/2 加左
Угол рассеяния, град
罩E單в^
罩E單в^
伤
伤
12
8
4
12
8
4
紡 80120160 Ж
Температура,力
Рис. 22.3. Температурная зависимость высоты магнитного пика на нейтронограмме МпО. Стрелками 2 H 2 указаны температуры Т§ и ТХ, соответствующие максимумам на кривых температурного хода теплоемкости С и магнитной восприимчивости %.
紡 80120160 Ж
Температура,力
Рис. 22.3. Температурная зависимость высоты магнитного пика на нейтронограмме МпО. Стрелками 2 H 2 указаны температуры Т§ и ТХ, соответствующие максимумам на кривых температурного хода теплоемкости С и магнитной восприимчивости %.
Ти-9 竺q-olr-SAW DEOZqg
Ти-9 竺q-olr-SAW DEOZqg
неелевских магнитных подрешеток. В связи с этим обращаем внимание на работу Пратта [301, который показал, что если основное состояние кристалла невырожденное и гамильтониан инвариантен относительно операции обращения знака времени (см. выше § 2), поперечное сечение упругого рассеяния нейтронов при дифракции оказывается таким же, как и для неелевского состояния с магнитными подрешетками. В связи с этим Пратт делает вывод, что «нет необходимости и неверно утверждать на основании результатов упругого рассеяния нейтронов, что в основном состоянии антиферромагнетика существует дальний порядок)>. Фактически такой порядок существует, и его устойчивость связана с неопределенностью мультиплетности, как это показано в работе [27] (см. § 2).
4. Косвенная обменная связь в неметаллических соединениях
Схема Крамерса — Андерсона. Остановимся теперь на проблеме косвенного обмена. В подавляющем большинстве ферри- и антиферромагнетиков (МпО, NiO, Ре20з, Fe3O4j FeF2, MnF2 и т. д.) магнитно активные катионы переходных металлов не являются ближайшими соседями. Между ними расположены магнитно нейтральные анионы О2-, F2-, S2" и т. п (рис. 22,4 и 22、5)、Поэтому расстояние между соседними катионами в антиферро- и ферримагнетиках значительно больше, чем в ферромагнитных металлах. Например, в FeO расстояние между соседними ионами Fe2+ равно 4,28 А, а в чистом a-железе оно составляет всего 2,86 А, т. е. 67% от первого. Тем не менее обменная связь (величина которой
определяется точкой Нееля, т. е. | Л | ^ ^Б®^) в этих соединениях почти такого же порядка величины, как и в металлических ферромагнетиках, где магнитные ионы — ближайшие соседи. С другой стороны, если в ионных соединениях в выражении (22.1) под величиной /)左 подразумевать обычный интеграл обмена между магнитными ионами, то величина его должна быть по крайней мере на 2—3 порядка меньше. Отсюда с неизбежностью вытекает, что в обменной связи ионных кристаллов существеную роль играют электроны немагнитных анионов. В общем случае в ионных кристаллах следует различать два типа обменной связи: катион-катионную и катион-анион-катионную (или даже катион-анион-анион-катионную) [см. книгу Гудинафа (1969)1.
Первый расчет косвенного обменного взаимодействия для случая солей Туттона и квасцов был, по предложению Ф. Блоха, проведен Кра- мерсом [36], который пытался объяснить результаты известных опытов по
О М产Q产О М产Q产Рис* 22*4* Магнитная структура МпО (стрелки указывают направление спинов), Подобную магнитную структуру имеют окислы и других d-металлов.Рис* 22*4* Магнитная структура МпО (стрелки указывают направление спинов), Подобную магнитную структуру имеют окислы и других d-металлов.Рис* 22.5. Магнитная структура фторидов переходных элементов: MnF2, FeF2, CoF2- М— магнитный ион d-элемента, F ——ион фтора, а, с и d — параметры решетки; кристаллохимическая и магнитная решетки совпадают.Рис* 22.5. Магнитная структура фторидов переходных элементов: MnF2, FeF2, CoF2- М— магнитный ион d-элемента, F ——ион фтора, а, с и d — параметры решетки; кристаллохимическая и магнитная решетки совпадают.
О М产Q产
О М产Q产
Рис* 22*4* Магнитная структура МпО (стрелки указывают направление спинов), Подобную магнитную структуру имеют окислы и других d-металлов.
Рис* 22*4* Магнитная структура МпО (стрелки указывают направление спинов), Подобную магнитную структуру имеют окислы и других d-металлов.
Рис* 22.5. Магнитная структура фторидов переходных элементов: MnF2, FeF2, CoF2- М— магнитный ион d-элемента, F ——ион фтора, а, с и d — параметры решетки; кристаллохимическая и магнитная решетки совпадают.
Рис* 22.5. Магнитная структура фторидов переходных элементов: MnF2, FeF2, CoF2- М— магнитный ион d-элемента, F ——ион фтора, а, с и d — параметры решетки; кристаллохимическая и магнитная решетки совпадают.
адиабатическому размагничиванию (см. гл. 16). Эти опыты указывали на существование обменной связи между магнитными ионами, разделенными одной или несколькими диамагнитными группами (ионы галоидов, кристаллизационная вода и т. п.). Затем Бисетт [371 и Неель [38] указали на возможность косвенного обмена и для антиферромагнетиков типа окислов МпО, NiO, FeO, ферритов и т. п. Андерсон [39—41] и другие [42—551 распространили и детальнее развили первоначальный расчет Крамерса на эти случаи. Были также предложены и отличные от крамерсовского механизмы косвенного обмена в работах [41, 56—63]. См. также обзоры по теории косвенного обмена в неметаллах Андерсона [64, 65], Вонсов- ского и Карпенко [66] и работы [67—91].
Крамере [361 предположил, что в косвенной обменной связи существенную роль играют «виртуальные» возбужденные парамагнитные состояния анионов. В качестве простейшего примера можно рассмотреть антиферромагнитный ионный кристалл Мп2+О2- с кристаллической решеткой типа NaCl. Следуя Андерсону [391, для анализа косвенной связи выделим один ион кислорода и два соседних магнитных катиона марганца. Катионы Мп2+ имеют в незаполненном 3^-слое пять электронов, их спины по правилу Хунда параллельны друг другу, а анион О2- — шесть 2р-злек- тронов с нулевым суммарным спином. Для упрощения качественного рассмотрения примем, что у катионов в нормальном состоянии имеется по одному d-злектрону, а у аниона по два р-злектрона с противоположными проекциями спинов (синглетное состояние). Кроме такого чисто ионного состояния Mn(t)d О(2)р Mn(i)壶 в этой четырехэлектронной системе с тремя центрами необходимо учитывать примесь состояния, в котором один из
р-электронов аниона О2~ переходит в 3d- или ^-состояние катиона Мп2+. Последний изменяет свою валентность (на Мп+), а анион О- становится одновалентным и парамагнитным: Мп(|)d О" jpMn^j %$ и может уже участвовать в «магнитных)> (обменных) взаимодействиях с другим своим соседом Мп2+.
Это основное предположение крамерсов- ской теории косвенного обмена получило свое опытное подтверждение в измерениях ЯМР в MnF2, проведенных Тинкхэмом [92] (на связь этой работы с проблемой крамер- совского обмена указал Блини [931), Шульманом и Жаккарино [94, 95]. В этих опытах было обнаружено и измерено сверхтонкое взаимодействие ядерного спина диамагнитных лигандов (см. гл. 10), окружающих магнитный ион в кристалле, с их возникающими в процессе обмена «магнитными» элект^ ронами. Это взаимодействие и доказывает наглядно, что в электронных состояниях диамагнитных лигандных ионов имеется заметная «примесь» магнитных состояний. Так Шульман и Жаккарино [94] оценили, что р- электроны иона F2- около 2,5% времени
а)
Рис* 22*6* Основные типы катионанионных соседств в МпО и других окислов d-металлов, а) Соседство 180°-типа; б) соседство 90°-типа.
Существуют два возможных расположения аниона кислорода и двух
соседних с ним
катионов
марганца:
при первом все три иона лежат на
м产
02-
м产
Мп+
о-
Мп2+
GXD
*
♦ t
Р' Р
4 4’
Р
Мп2+, поэтому на ядро F и действует сильное магнитное поле собственного
неспаренного ставшего «магнитным» /^-электрона.
Основное состояниеВозбужденное состояние
проводят на d-уровне иона
Мп+ О' Мп2*
♦ i CXD ♦
%%'Р d2
Возбужденное состояние
Мп2+ О2- Мп2+ t GXD I d； Р' Р <
Ocftodfioe состояние
Рис. 22*7. Схема, иллюстрирующая косвенную обменную связь типаКрамерса.
одной прямой (рис. 22.6, а; взаимодействие 180°-типа), а при втором — прямые линии, соединяющие два иона марганца с ионом О2-, составляют прямой угол (рис. 22.6, 6; взаимодействие 90°-типа). Хотя ближайшее соседство между ионами Мп2+ (友。。=аУ2) соответствует второму расположению (90°-связи), тем не менее, как будет показано ниже, основной косвенный обмен осуществляется не между этими ближайшими соседями Мп2+, а между более удаленными (Z18o° = 2а) ионами при расположении первого типа, т. е. при 180°-связи. Как следует из «аномалии)> гиромагнитных отношений, орбитальные моменты в кристаллах рассматриваемого типа «заморожены)>. Можно предполагать, что в нормальном состоянии в ионе О2- два электрона образуют замкнутую /^-оболочку с гантелевидным распределением электронной плотности (рис. 22.7, а) вдоль 180°-связи всех трех ионов. Андерсон [39J, используя обобщение векторной модели
состояниях d； и 或состояниях d； и 或Дирака, данное Сербером [96], рассмотрел задачу теории возмущения для подобной четырехэлектронной задачи с тремя силовыми центрами (ионами: Мп2+ — О2- — Мп2+) ). Как только что отмечалось, наряду с основным состоянием (рис. 22.7, а), в котором имеется два ^-электрона иона О2" и два электрона 必 и d2 y катионов марганца на d-орбите, Андерсон учел еще одно возбужденное состояние. Из-за большой удаленности ионов Мц2+ в 180°-расположении волновые функции их d广 и й2-состояний практически не перекрываются. Однако в силу взаимного перекрытия гантелевидного облака р-электронов с ^1,2~°рбитами ионов марганца возможна сильная связь между ионом О2- и ионами Мп2+. А именно, возможен, например, переход одного из /^-электронов (") иона О2~ в ион Мп2+ в состояние d； (рис. 22.7, 6). При этом необходимо предположить, что этот р'-злектрон, перешедший в ^-состояние, будет сильно связан с б/рэлектроном, уже имеющимся в ионе Мп2+. Эта связь зависит от спина, поскольку^она обменная, и приводит к расщеплению энергетического уровня, а именно, энергии пары электронов d, и d； в синглетном и триплетном состояниях оказываются различными:宮；? (^, %)声宮将(d「 d；). Таким образом, в «основному — чисто ионном состоянии в приближении ортогональных орбит нет расщепления между синглетным и триплетным состояниями, поскольку анион О2- имеет замкнутую оболочку, а катионы Мп2+ из-за удаленности ве взаимодействуют. Напротив, в возбужденном состоянии четырехэлектронной системы имеет место расп!,епле~ ние между синглетной и триплетной конфигурациями спинов, ибо в этом случае может быть заметное обменное взаимодействие между оставшимся нескомпенсированным /^-электроном в ионе О" и。2~3以ектроном во втором ионе Мп2+ (рис. 22.7, в), а также между электронами d〕 и d； в первом ионе Мп+, как только что отмечалось. Окончательно, в основном состоя-
состояниях d； и 或
состояниях d； и 或
нии (рис. 22.7, з) спины (^-электронов в ионах Мп2+ (в
(рис. 22.7, «).(рис. 22.7, «).оказываются обратными по сравнению с исходным состоянием
(рис. 22.7, «).
(рис. 22.7, «).
Волновая функция системы в основной ^0CH и возбужденной 少возб конфигурациях имеет вид
(22.31)(22.31)屮осн ~ 屮di (1)必* (2)屮p (3)屮s (4),,фвозб —中鱼⑴必j⑶屮N (3)2d2 (4).
(22.31)
(22.31)
Оператор энергии возмущения, который связывает эти состояния, удобно представить в виде суммы двух частей
V=Vt + Vef(22.32)
где Vt ——одноэлектронная часть возмущения, состоящая из кинетической энергии и энергии взаимодействия с ионным остовом, не зависящая от спинов, a Fe —— кулоновское взаимодействие. Очевидног что зависящая от спинов обменная поправка к энергии рассматриваемой системы четырех электроновТот возмущения (22.32) будет отлична от нуля только в третьем приближении, если еще при этом считать, что одноэлектронные функции (22.31) точно ортогональны. Этот расчет провел Андерсон [39], а в несколько иной форме он£6ыл проделан также в работах Ван-Флека [421 и Нагамийя и др. [1]. Мы не будем на нем останавливаться, а приведем ЛИШь окончательный результат. Обменная энергия, зависящая от спинов 必 и d2 электронов, имеет вид
Ч^косв. об н —2/rocb (Sdr 8必)，
где],(
4осв = Т (%■ —匾")^А'
Здесь 宮fj и 宮ft—соответственно разности энергии при переходе из чисто ионного состояния в синглетное и триплетное состояния двух электронов d] вс d； в ионе Мп2+. Для величины Ъ имеем
Ь = J中出⑴)匕屮Р⑺)d九
Это интеграл переноса электрона из аниона О2*- в первый катион Мп2+, а 4= j ^d2 (^1) ^р (^2)^е^рр (Г{) X[ld2 (r2) drt dt-2
—— обычный интеграл обмена между электронами аниона О~ и второго катиона Мп2+.
В частном случае, если триплетное состояние в возбужденном ионе Мп|ф исключено принципом Паули, можно считать, что g^->oo, и знак Лк|св определяется знаком обычного интеграла обмена А. В противоположном случае сильной хундовской связи в ионе Мп2+ спины электронов 厶 и d； будут параллельны, и поэтому 宮~-> оо； тогда знак 4忠窝 будет обратным знаку Л. Поскольку можно ожидать заметного перекрытия электронных облаков ионов О2- и Мп3+, то знак обменного интеграла Л будет отрицательным. Если в магнитном ионе З^-слой заполнен больше чем наполовину (пять или более Зй-электронов), то спин d； электрона, перешедшего из аниона, согласно принципу Паули, должен быть антипараллелен спину катиона (при этом можно считать, что 卷付一> оо). В этом случае следует ожидать антиферромагнетизм. Наоборот, если 3^-слой магнитного иона заполнен меньше чем наполовину (менее пяти 3tZ-9лектронов), то по правилу Хунда спин d； электрона должен быть параллелен спину катиона (при этом можно положить 宮〔* —> оо) и, следовательно, по (22.33) связь должна быть ферромагнитной. Действительно, из опыта известно, что, например, сульфиды, хлориды, фториды и окислы Зй-металлов Ni, Go, Fe и Мп антиферромагнитны. Весьма показательными также являются теллуриды марганца и хрома: первый антиферромагни- тен, а второй — ферромагнитен. Соединения VC12, СгС12 и СгО2 ферромагнитны, а МпС12 и FeCl2 антиферромагнитны. Однако, как указал Шимицу [431, ряд соединений (Са2+Мп4+Оз~, Sr2+Mn4+O|~, Ва2+Мп4+О|~, Cr2+S2-, Ci^+Sb?，Сгз+Оз" и Мп4+Оз-), у которых 3^-слой магнитных ионов заполнен менее чем наполовину, антиферромагнитны, а не ферромагнитны, как это казалось бы должно вытекать из только что приведенного рассуждения. Это расхождение между теорией Крамерса ——Андерсона и опытом указывает на грубость количественного расчета, который используется при выводе формулы (22.33).
Уточнение схемы Крамерса — Андерсона, а. Поляризационный механизм. Были предложены различные усовершенствования этого расчета. Слэтер [56] обратил внимание на то, что косвенная антиферромагнитная связь между электронными спинами катионов может быть стабилизирована деформацией (поляризацией) зарядового облака внешнего слоя электронной оболочки немагнитного иона. Согласно Слэтеру, благодаря эффекту обмена (по правилу Хунда) потенциальная энергия электрона с положительным спином понижается, когда он расположен в области пространства, где имеется плотность заряда других электронов также с положительными спинами,, по сравнению с тем состоянием, когда такой электрон находится в таком же распределении заряда электронов с отрицательными спинами. Поэтому, когда, например, в группе Мп — О — Мп спин электрона одного иона Мп2+ антипараллелен спину другого, то каждый из двух электронов иона О2- смещается к тому из ионов Мп2+, у которого d-злектрон имеет ту же ориентацию спина. Таким образом, ион О2~ поляризуется II этим стабилизирует антиферромагнитную связь ионов Мп2+. При ферромагнитной связи подобная стабилизация отсутствует. /
氏 Учет анизотропии распределения плотности d-электронов. Гудинаф и Леб [60] обратили внимание на то, что в работах Крамерса [36] и Андерсона [39—41] не учитывался анизотропный характер 3&-ор6ит магнитно активных ионов (см. гл. 10). Учитывая условия симметрии и принимая явно во внимание расщепление уровней анизотропных Зс/-орбитальных состоянии в поле лигандов, Гудинаф [58] сформулировал полуэмпирические правила связи между магнитно активными катионами [см. также- Гудинаф (1969)], а также подчеркнул (см. [59]) важность 90°-катион-катионного
косвенного обмена. Правила Гудинафа [58] были также обсуждены в работе Кана- мори [50].Правила Гудинафа ——Канамори учитывают степень заполнения ^-уровней и требовании теории лигандов. В изложении Андерсона [64] эти правила формулируются следующим образом.
Когда у двух ионов «лепестки» электронных волновых функций магнитных орбитальных состояний направлены навстречу друг другу, так что интеграл перекрытия велик, то обмен будет антиферромагнитным. Здесь возможны три подслучая:
Когда «лепестки» состоянии с^^^-типа (см. гл. 10) катионов в ортоэдрических узлах образуют «180°-расположение», при котором эти «лепестки» направлены прямо на лигандный ион п друг к другу, возникает особо сильный косвенный обмен.
Когда состояния d《冲广рша магнитных катионов находятся в «180°-располо~ женин», то они могут взаимодействовать с р^-орбитами лигандного иона, и, следовательно, снова возникает антиферромагнетизм.
Если реализуется «90°-расположение» относительно лигандного иона, .когда у одного иона занято &(严)，а у другого ——dgy)-cocTOHinie и орбита лигандного иона 卩孔 для одного катиона является орбитой ра для другого, то можно также ожидать сильного перекрытия и поэтому осуществления антиферромагнитной связи ).
II. Когда орбиты ионов расположены так, что они находятся в контакте, но не дают отличного от нуля интеграла перекрытия (d(z2)и d(ху)-функции при «180°-распо~ ложении», когда перекрытие отсутствует по соображениям симметрии), правило пред' сказывает ферромагнитную связь (однако обычно не столь сильную, как антиферромагнитная).
Проиллюстрируем эти правила, следуя Канамори [50], на примере антиферро^ магнитного соединения СаМпО3 с кубической структурой перовскита (рис. 22.8), анализируя свойства симметрии орбитальных волновых функций катионов Мп4+
Рис- 22.8. Структура перовскита АВО3 или ABF3, А, В — катионы. 1—катионы, занимающие узлы типа В в вершинах куба; 2—катионы, занимающие узлы типа А в центре куба； з — анионы, занимающие узлы в середине ребер куба*Рис- 22.8. Структура перовскита АВО3 или ABF3, А, В — катионы. 1—катионы, занимающие узлы типа В в вершинах куба; 2—катионы, занимающие узлы типа А в центре куба； з — анионы, занимающие узлы в середине ребер куба*Рис* 22*9* Характер симметрии d- и p-орбит, а) 1 — d-орбита симметрии %g，2 — %-орбита； б) 1 — d-орбита симметрии е^ , 2 — р丸-орбита.Рис* 22*9* Характер симметрии d- и p-орбит, а) 1 — d-орбита симметрии %g，2 — %-орбита； б) 1 — d-орбита симметрии е^ , 2 — р丸-орбита.
Рис- 22.8. Структура перовскита АВО3 или ABF3, А, В — катионы. 1—катионы, занимающие узлы типа В в вершинах куба; 2—катионы, занимающие узлы типа А в центре куба； з — анионы, занимающие узлы в середине ребер куба*
Рис- 22.8. Структура перовскита АВО3 или ABF3, А, В — катионы. 1—катионы, занимающие узлы типа В в вершинах куба; 2—катионы, занимающие узлы типа А в центре куба； з — анионы, занимающие узлы в середине ребер куба*
Рис* 22*9* Характер симметрии d- и p-орбит, а) 1 — d-орбита симметрии %g，2 — %-орбита； б) 1 — d-орбита симметрии е^ , 2 — р丸-орбита.
Рис* 22*9* Характер симметрии d- и p-орбит, а) 1 — d-орбита симметрии %g，2 — %-орбита； б) 1 — d-орбита симметрии е^ , 2 — р丸-орбита.
и анионов О2- (см. Уоллен и Кёллер [97]). Каждый ион Мп4+ окружен октаэдрически ионамп О2~; каждый ион О2~ находится в середине прямой, соединяющей два соседних иона Мп4+. Последний находится под воздействием кристаллического поля кубтпе- ской симметрии, в котором наинизшее состояние ‘尸 свободного иона Мп’： расщепляется на три подуровня. Наинизший из них не вырожден с конфигурацией, при которой Каждое из Зс/-состояний (d《冲)，d{yz} и d{zx}) занято одним электроном. Известно (см. гл. 10), что в октаэдрическом окружении кубического поля ^2^-уровень (с волновыми функциями d《xy),或")и d《zG)лежит ниже, чем ^-уровень (с волновыми функциями @(&2_严),d{2z2^+y^ Внешние электроны иона О2~ занимают/^-уровень, ^<х)(7-орбита которого имеет гантелевидную форму и направлена «лепестками» к иону Мп4+. Из рис. 22.9 видно, что р(х)а-орбита не меняет знака при вращении вокруг оси 気 на 180°, тогда как занятая 3d-op百ита 12g иона Мп4+ меняет при этом свой знак. Отсюда следует, что орбитальная функция р。ортогональна 3d функции ^zg* Незанятое состоя- ние eg иона Мп4+, так же как и 卩⑺⑦ не меняет своего знака при повороте вокруг осп ж на 180°. Поэтому парциальная ковалентная связь, включающая Р<х)о-орбиту может образовываться с ^-орбитой. В силу этого электрон из ра-состояния может переходить только в ^-состояние, но не в ^g-состояние. Кроме того, обменные интегралы между состоянием р。и занятым состоянием 方2g (из-за их взаимной ортогональности) положительны, т. е. ферромагнитны. Поэтому электрон, переходящий в ион Мц4+
из ро-состояния, будет иметь спин, параллельный спину электрона в этом ионе. А р- электрон с неспаренным спином, оставшийся на ионе О~, будет также ферромагнитно связан со спином второго соседнего иона Мп4+. Результирующее косвенное взаимодействие будет антиферромагнитным.
Механизм двойного обмена. В случае соединений типа манганптов со смешанной валентностью и структурой перовскита (Laj.^Caa；) (Mn^tg Мп^) О3, исследованных экспериментально Йонкером и Ван Сантеном [98] для объяснения косвенного обмена Зинер [61] предложил механизм «двойного обмена». Эти окислы прп предельных составах (% = 0 и % = 1) — типичные изоляторы и антиферромагнетики. Прп промежуточных составах, когда 比 лежит в интервале 0,2——0,2, электропроводность возрастает на несколько порядков величины, вещество становится ферромагнитным и наблюдается какая-то корреляция между точкой Кюри и удельной электропроводностью.
Механизм Андерсона — Хасегавы. Андерсон и Хасегава [62] произвели количественный расчет для этого случая, который был уточнен в работе Де Жена [63] (см. также обзор Андерсона [64]). Механизм двойного обмена между ионами МцЗ+ и Мп4+ заключается качественно в следующем. Рассмотрим, как и прежде, систему трех ионов
МпЗ+(办,%)— О2-(р, р‘)一Мц4+@2)(конфигурация I),
причем предположим, что анион О2~ имеет два спаренных р-электрона, катион МцЗ+ имеет два d-электрона (心，禺)с параллельными спинами (по правилу Хунда), а катион Мц4+ обладает одним d-электроном (&2)со спином, параллельным спинам 电 и d；。 Из конфигурации I получается
МцЗ+磔工，％)— О~ (р)—Mn3+ (d2, с^2)(конфигурация II)
при переходе p-электрона из О2- к катиону Мп4+ с одним электроном d?. Затем из конфигурации II получается
Мп4+(办)一О?-(р, //) — МцЗ+(&, d^) (конфигурация III)
при переходе электрона d； от МцЗ+ к пону О~. Существенно заметить, что двойной обмен тесно связан с переносом электронного заряда (от МцЗ+ к Мп4+) и тем самым с явлением электропроводности.
Некоторые критические замечания. Все перечисленные выше механизмы косвенного обмена имеют весьма приближенный модельный характер. Остается необходимость в более строгой теории. За последнее время наметились две линии развития теории. “
Во-первых^ оставляя в силе основную идею работы Крамерса [36], пытаются подойти к проблеме косвенного обмена с позиций более последовательной многоэлектронной трактовки кристалла, которая была уже намечена в этой работе Крамерса. Такой подход был уже частично использован в работах Шимицу [43], Ямашпта [44], Ямашита и Кондо [46], Кеффера и Огучи [51]： Вонсовский и Сеидов [45] и Сеидов [55], используя полярную многоэлектронную модель кристалла Шубина ——Вонсовского [99] и Боголюбова ——Тябликова [100] [см. также Боголюбов (1949)], показали в общем случае, что в системе взаимодействующих электронов ионного кристалла между магнитными ионами возникает косвенное обменное взаимодействие. В отличие от трехионной модели Андерсона [39] это взаимодействие возникает не в третьем, а в четвертом приближении теории возмущений. Безразмерным параметром малости, по которому ведется разложение гамильтониана кристалла, является интеграл неортогональности атомных волновых функций соседних узлов кристаллической решетки. Для эффективного интеграла обмена получается весьма сложное выражение, которое лишь при специальных частных пред по ло жениях переходит в выражение (22.33). Аналогичные расчеты по многоэлектронной схеме (в конфигурационном представлении) были проведены Ямашита и Кондо [46].
Во-вторых, Андерсон [41, 64,.65] предложил новый подход к проблеме косвенного обмена; он отметил следующие трудности трактовки Крамерса.
Обменные эффекты появляются в 3-м и даже 4-м приближении теории возмущения, и их относительно большая величина указывает на то, что в используемом расчете ряды теории возмущения сходятся медленно и «немагнитные» члены более низкого порядка оказываются достаточно большими.
В работах Вонсовского и Сеидова [45], Ямашита и Кондо [46], Кеффера и Огучи [51] указан ряд других вполне отличных (от крамерсовского) эффектов возмущения, которые нет оснований не учитывать, поскольку все они того же знака и близки между собой по порядку величины. Вместе с тем небольшие изменения волновых функций часто переводят один из этих эффектов в другой. Все это указывает на то, что сам физический эффект фактически гораздо проще, чем предсказывает изложенная выше теоретическая схема крамерсовского обмена.
Проблема ортогональности и выбора волновых функций решается неудовлетворительно, поскольку обычно используют волновые функции свободных ионов. Однако при нормальных плотностях эти волновые функции соседних ионов заведомо перекрываются. Последнее необходимо, чтобы вообще получить антиферромагнитную связь.
Неортогональность очень сильно усложняет все расчеты, а кроме того, использование волновых функций свободных ионов, строго говоря, некорректно, так как они испытывают в кристалле существенные изменения.
Новый метод Андерсона, а. Общие положения. Андерсон [41, 64, 65] предложил обойти все эти трудности, рассмотрев проблему косвенного обмена в изоляторах с совершенно иной точки зрения, а именно выделить в решении проблемы следующие два этапа.
Первый этап. В рамках теории поля лигандов (см. гл. 10) определяется локализованная волновая функция магнитного иона, окруженного диамагнитной кристаллической средой с решеткой, без учета обменных взаимодействий с другими магнитными ионами. Экспериментальное определение взаимодействий СТС в одних и тех же солях в разбавленном и концентрированном состояниях (Клогстон и др. [101J) как в парамагнитной, так и в антиферромагнитной температурных областях (см. [94, 95]) показали, что обменные эффекты действительно не влияют на волновые функции поля лигандов. В последнем нас убеждает также согласие в величинах параметров поля лигандов и обменных интегралов в концентрированных и разбавленных системах [102, 103]. Поэтому, по крайней мере на основе экспериментальных данных, можно утверждать, что каждый магнитный ион обладает вполне определенной волновой функцией, которая не изменяется заметным образом его магнитным окружением. Следовательно, есть основания считать, что расчет энергетических уровней и волновых функций отдельных магнитных ионов можно вести на основе теории поля лигандов.
Второй этап. Рассчитать взаимодействие двух магнитных ионов, состояния которых определены в первом этапе. Это более сложная задача, поскольку здесь вновь всплывает проблема ортогональности и т. п. Однако принятое в первом этапе представление о диамагнитной решетке облегчает вычислительную часть второго этапа. Расчет взаимодействия ведется между самими магнитными ионами без участия промежуточных анионов (их влияние учтено в первом этапе расчета). Поскольку возмущение здесь действительно малое, то можно использовать теорию возмущении, причем сходимость рядов будет хорошей. Рассмотрение непосредственного перекрытия волновых функций только магнитных ионов снимает различие между тем, что принято называть《прямым» и «косвенным» обменом ).
Остановимся несколько подробнее на количественной стороне определения состояния изолированной спиновой d-квазичастицы в диамагнитной среде. Будем считать ради упрощения, что на каждый магнитный ион кристалла приходится один ^-электрон и что каждый такой ион окружен такими же ионами, но лишенными d-злектронов. Поэтому «магнитный» электрон может свободно распространяться по решетке в виде блоховской волны. Все «немагнитные» электроны находятся в замкнутых магнитно нейтральных оболочках ионных остовов^ волновые функции которых считаются заданными и не испытывают заметных изменений при магнитных возбуждениях. Тем не менее эти функции играют важную (хотя и пассивную) роль. 1) волновые функции магнитного электрона весьма существенны для расчета самосогласованного поля в кристалле и 2) они должны быть ортогональны ко всем волновым функциям ионного остова. В связи с последним Андерсон [64] указывает, что волновые функции d-электрона нельзя считать блоховскими волнами в приближении сильной связи, построенными из атомных функций, ортогональных к р-функциям. Волновые функции остовов, например, у таких ярко выраженных ковалентных лигандных ионов, как О2-, имеют такой вид, что способствуют образованию частично ковалентной связи с магнитными ионами. Поэтому магнитные электроны лишь номинально описываются ^-функциями. Фактически эти волновые функции, оставаясь ортогональными ко всем функциям ионных остовов, образуют так называемую антисвязующую (см. гл. 10) смесь ^-функций с волновыми функциями ионов типа О2~ (Ван-Флек [104]; Оуэн [105]). Эта примесь р-функции в магнитной волновой функции и имеет определяющее значение для механизма косвенного обмена через намагниченные ионы (т. е. механизма Крамерса!). Таким образом, мы видим, что косвенный обмен может иметь относительно большую величину даже прп сильном разведении магнитных ионов прежде всего потому, что реальные волновые функции магнитных электронов в кристалле «размазаны» на достаточно большие расстояния и это размазывание является следствием ковалентной связи магнитных электронов с электронами ионных остовов.
Яоличественный расчет. Задача об изолированной спиновой квазичастице. Математически задача с изолированной спиновой квазичастицей сводится к вычислению возмущенной многоэлектронной функции кристалла и ее преобразованию к представлению локализованных функций ).
В качестве базисной системы одноэлектронных функций возьмем полную систему ортопормированных блоховских волн (см. гл. 11)屮片〉(г), где /•——радиус-вектор, к ——
квазиимпульс, п — номер полосы. Тогда вторично квантованная (операторная) функция электронного поля 屮° (г) (о ——спиновый индекс) запишется в виде
®。(，) = Е {Е 2 Кч4(，) + 2 薪腸(，)+ 2 2 %吸 Н- (22.34)
Здесь (cfc(j)+ и cfco (汽=/, d, е) —фермиевские операторы соответственно рождения и уничтожения отдельных электронов в одноэлектронном состоянии 屮儿(г). При этом операторы 2 действуют на функции целиком заполненных полос /, се ——на фикции целиком пустых полос е, а оператор £d На функции одной d-полосы (хотя фактически их пять).
Невозмущенная волновая функция изолированной спиновой d-квазичастицы ■имеет вид по определению
屮ko=(cfco)+(cfco)+ ［ П (cfcoz)+］屮вак»(22.35)
'Здесь ^вак — волновая ^функция вакуумного состояния, 4ro——функция чисто диамагнитной решетки. Возмущенная функция
1r =У+3 呼.(22.36)
где
6w=［现—認0尸 Иt,(22.37)
名о ti 施о—энергия и гамильтониан певозмущенного состояния, а
Р = }『dr dN®展(г) е2 I г一 М |Т 0% (М) «о〃(к) "фа (г)(22.38)
оператор энергии взаимодействия (кулоновское отталкивание) в'представлении вторичного квантования. В рассматриваемой задаче нас интересует только та часть возмущения, которая приводит к спиновой поляризации, когда электрон т' переходит из d-no- лосы в пустую е-полосу, а электрон т переходит из заполненной /-полосы в d-полосу。 Для этого в формуле (22.38) следует. оставить члены с операторами / в ipa, cd в 油， & в «£ и / в ④°,. Тогда интересующая нас часть оператора (22.38) будет иметь вид '^СП —2 (с Зо )+ (с 2"о)+ С 猊 С {р, X
%
论"，
х，协切‘叫夕一" 「1 ［魄〃")］+ ［中设(广)］+ ф!⑴)區，(m)=
=^^ (с ^"о，)+(с %"(j)+с 農，攵р,а (Zc, А/, Zc", Zc% % /)•(22.39)
к，，к", к"，
Используя перестановочные соотношения для ферми-операторов
c%(jCk'cf，+ c『"cf，c%cf = 3 在к，6оо，； ckock,o,Jrck,o,ckG — ^
с помощью формул (22.39) и (22.35) легко найти, что
w= _2。(仁 ％ 林，М，％ /)(2沙о)+ С Ко)+ * 厶О，К・(22.40)
к", few
Подействуем теперь на сумму (22.40) оператором (^0 —磁о)-】，учитывая, что ^0 — =8^, а оператор 跄о «выбрасывает» также в знаменателе энергии е£ соответствующие ферми-операторам, Стоящим в формуле (22.40). В итоге получаем
，(寫0—施0尸0▽=
=一 2。(也 % 4",左縦,* /)［味勿+ 碇"-e 工一唸］(""О)+ e 攵p' (c KJ ^о,
к", к初
(22.41) Поскольку функции 屮论 в (22.34) имеют блоховский вид фл (г) — exp (ikr) икп (г) для <z (Zc, Zc\ …)получим
。便，А/,林，fcw, e, f) = 6(kw + k,f — kf—k)Jk(e, /,忆 左").(22.42)
Поэтому, согласно (22.37), (22.41) и (22.42), имеем
6中=- 2 厶(e"7e'，林)[嗫卄一，，十
+吸，一眩一或尸(С院,)+ с厶О, (с %+к,一方，)+▽0.(22.43>
Выражение (22.43) и дает основную часть возмущения для спиновой поляризацип.|Это возмущение заключается в виртуальном переходе d-злектрона с неизменным спином в пустую ^-полосу, с заменой его не зависящим от спина возбуждением из /-полосы в d~ полосу. Подставляя в (22.36) выражения (22.35) и (22.43) для многоэлектронной функции отдельной спиновой d-квазичастицы с квазиимпульсом к и спином о (с учетом спиновой поляризации), окончательно получаем
屮(他0)=(月幺)+咻，(22.44>
где (М^о)+ ——эффективный ферми-оператор рождения, связанный, согласно (22.43) и (22.35), с обычными ферми-операторами формулой
(纟心* Q+- 2 厶(/九%及")[嗫+k-k" + e^"一味'一呐Т X
X (c k"cr)+ С (С к_!_k，— k"，0)+ = (е /со) + 2 屮kk，(C，% /)(。弘О)+ c 么p，(c
(22/5) где
中k儿，(0' * /) =，к(ё, /，к 4")[嗫+论，—k"+吸，-或，—£^]-1?4"-左’=0.
Для того чтобы подчеркнуть квазилокализованный характер с/-квазичастиц (узкие полосы), целесообразно ввести функции Ванье [106]
包兄，o)=N-i/2 £ехр( —法兄)終°.
Такой переход в (22.45) дает
[自(к，0)]+= N-1/2 2 exp (历氏)(駅。)+ =
К
=曲(冗，0)]+ 一厂"2 2/(％ /；廿，左")[眼卄-
+ e玄一£1 -或，]T exp (tZcJi) (e 頁(,)+с зо, (e }十k，一先"，0巾 (22.46}
Можно сделать некоторые заключения относительно зависимости интеграла Jк(е, /, Ze', /с") от векторов к, Zc* /с". Для этого введем также преобразования Ванье и для блоховских функций
區(于)=NT 工 exp (一泳兄)/d (г —В).(22.47}
Подставляя (22.47) в Jк (% /, к', /с") [см. также (22.39)] и производя там замену т/т' (и оставляя члены с 上'=上"——приближение локализованности), находим
Jk(e, /; к', kl') = N-i 2 j dr dr'e2 \r — r' I"1 exp [i (k"R"— k'R')] x
X[* ①一 _R")]+* (M-_R)[暇,_»先,，6)]+m,(r)
NT ^ J dr dr1 ©2 I r一M |T exp [i (Zcw一к) Rf] X
X[i4r-R'^fd(r'-R'}[^k,^k_k„(r^^, (r) = J(e, /; k'-k, k').(22.48>
Для квазилокализованных частиц также имеем
終,,一染 ^ 0.(22.49>
Подставляя (22.48) и (22.49) в (22.46), находим
[质(Ry)]+= 3 (_Ro)] + +2/(/ /；左"一弘 ^ )[味，+了一无"一或/T X
k',允"一允
X exp [ - t (左"一左)同例(Л,。')]+ (我 3+» 仁。)+ 2 G。，.(22.50
Операторы S из (22.45) или (22.50) определяют кинетическую энергию спиновых с/-квазичастиц
«Zc=2 ^k)SiiaSk a.(22.5今
о
Строго говоря, сумма в (22.51) должна браться для всех пяти d-полос.
Если е (应)л; const, то подходящей совокупностью исходных квантованных одноэлектронных функций являются локализованные функции Ванье, образованные с помощью операторов (22.46). Даже если зависимость 8 от Zc слаба по сравнению с таковой для других энергий, входящих в расчет (очень узкая с/-полоса), что фактически имеет место, то локализованные функции могут служить хорошим исходным приближением. Зависимость £ от к можно при этом трактовать как малое возмущение. Оно мало, так как происходит не из-за перехода электрона от диамагнитного иона к парамагнитному, а от эффектов более высокого порядка малости —— переходов разнообразных типов от катиона к катиону. Здесь, как уже отмечалось, проявляется одно из преимуществ рассматриваемой трактовки. В этих локализованных функциях уже включены все взаимодействия d-злектронов с электронами диамагнитных остовов, которые априори могут быть сильными. В качестве возмущения используется лишь перекрытие волновых функций катионов, которое всегда мало в рассматриваемых соединениях.
Другое удобство локализованных d-квазичастиц заключается в том, что, пренебрегая членами gd (宓)в большом энергетическом знаменателе [см., например, (22.49)], входящем в рассматриваемые многоэлектронные функции, можно сильно упростить выражение для спиновой поляризации [см.. (22.50)]. Последняя принимает вид почти такой же, как и при расчете спиновой поляризации около парамагнитных атомных ядер (Рудерман — Киттель [107]).
Для получения полного ряда пяти локализованных d-функций, суммы в (22.46) должны фактически распространяться по пяти полосам. Эти пять локализованных функций образуют в общем случае приводимое представление точечной группы ионного кристалла (см. гл. 10). В случае кубических кристаллов функции можно сгруппировать в виде двух неприводимых совокупностей: 土2g ——с симметрией типа 比у, yz, zx и eg- типа у2 ——％2, 2з2 ——z?——у2. Введем новый индекс п для этих двух неприводимых представлений §п (Ко). Бегущую волну спиновой d-квазичастицы /-й ветви d-полосы можно тогда записать в виде
(以宀产空^ 2exp(-ikR) [5п(Ва)]+.(22.52)
n Н
Подставляя выражение (22.52) в (22.51), находим
黑 k = N-'2e 便，7)1。几#[?九(冗，(j)]+ Sn (В, 0) +
П, R, к, о, э
+ ”т 2е(/с,/)ехр[ — ik (R — К)] а九)”勺醜(_Во)'九(兄⑴*
n\R=^R,)
Если ввести обозначения
寫= (砌 |。团2,(22.53)
嚟4，= NT 3 e (砌 exp [一/(r一兄')]ап}a+,},(22.54》
то для энергии квазичастицы находим
飢= 3 «сп^ (Ло)5п(^)+ Е 6記砂配 СВ。)鎧,(*。)・(22.55) п, о, Вп, п'
Здесь 岩си из (22.53) — уровни энергии в кристаллическом поле, несколько большие по величине, чем постоянные bR^R^ играющие роль интегралов переноса зонной теории в приближении сильной связи. В принципе обе эти величины можно получить фурье- преобразованием из коэффициентов。九了 и спектра 8 (Zc) Практически же их вычисляют или измеряют по свойствам локализованных функций и рассматривают как основные параметры теории. Тогда итогом всего изложенного рассмотрения является следующее.
Совокупность многоэлектронных функций (22.44) описывает локализованные спиш на катионах с единственными отличными от нуля недиагоналъними матричными элементами полного гамильтониана задачи、равными интегралам переноса (22.54). Таким образом, за исключением этих интегралов переноса, все остальные величины характеризующие свойства спинов катионов должны определяться истинно многоэлектронными эффектами взаимодействия.
е. Взаимодействие магнитных квазичастиц. Перейдем теперь ко второй части проблемы, т. е. рассмотрим взаимодействие между магнитными электронами. Наибольшее взаимодействие испытывают магнитные электроны, находящиеся в одном узле решетки. Здесь можно указать два типа связи:
Квазикулоновское электростатическое отталкивание двух электронов в одном и том же ионе. Его легко найти из выражения (22.38), подставляя туда вместо квантованных функций (22.34) функции Ванье
$(')N/n(r炉)/„ 少一氏)+...
В итоге находим
^отталк — ~22 %"，即(氏，。')既(冗，0)以(兄，0)自"(r，。')，(22.56)
北：n, n
где
Unn，= J dr drf J fa W I21 /n^ (^z) I2 ^21 r — rz |~i;(22.57)
здесь U^九,——энергия кулоновского отталкивания электронов в одном ионе (в случае свободного иона эта энергия порядка 15 зе). В кристалле эта величина несколько меньше из-за диэлектрической поляризации. В грубом приближении можно пренебречь зависимостью энергии (22.57) от индексов 汽 и 汽‘,положив Unn, a U. Зависимость U от 沦 и 沦'определяется так называемыми интегралами Слэтера, характеризующими в свободном ионе взаимную ориентацию орбитальных моментов. Они имеют существенное значение при расчете параметров кристаллического поля. Энергия U способствует локализации электронов в решетке. Действительно, если в каждом ионе имеется т электронов, то полная энергия отталкивания в N узлах равна (N/2) т (т ——1) U. Если же в одном из узлов будет т + 1, а в другом т ——1 электронов, то полная энергия равна
^-т (m 一 1) U+ [}m(门叶1)+ 扌(m一1) (/n- 2)一m (m 一1)] U = ^ m (m一1) 0十忆
Поэтому в нулевом приближении можно считать, что все электроны локализованы 'в своих узлах и всякое нарушение локализации связано с затратой большой энергии U. Учет энергии (22.56) не дает расщепления по спину. Это сразу видно, если записать .выражение(22.56) в несколько иной форме, используя перестановочные соотношения для ферми-операторов
5„ (ЛО)鎧，(Ro') = - Sn, (_Во‘)5„ (Ro), 5+ (No) *“，(兄0，)==Waa—Sn< ^ 寸(兄0)，
-а также произведя замену
2 5+ (Ro)Sn (Ro)^nn (Л),
【де 孔几(兄)一 оператор числа квазичастиц. В итоге находим
^отталк ~ —у 2 /Мп(д)+у 2 %〃％，(兄)儿п (В).(22.58)
ЛпЛпп^
Обменная энергия d-злектронов внутри иона по аналогии с (22.56) имеет вид
方讚=^ 2 〃〃即(R，°')1П(氏，。)詳(氏，°)以(r，°')， R; пфп,
где
J7m'= j 切 dM 為①)茂，(к)/； e)3(W)e2 丨于一” |T(22.59)
—обычный интеграл обмена.
Эта энергия возникает только для параллельных спинов и имеет характер притяжения', два электрона в состояниях с подобными волновыми функциями имеют тенденцию избегать друг друга благодаря образованию «фермиевской дырки», которая возникает, когда спины параллельны и они испытывают меньшее электростатическое отталкивание. Поэтому всегда, когда это возможно, спины внутри ионов параллельны （правило Хунда, см. гл. 2）.
Теперь рассмотрим взаимодействия между электронами соседних ионов. Во-первых, это квазикулоновское отталкивание
!2S（冗一*）配，（*，b）舐（冗，0）5„（冗，0）鋒,冲，
R-"R‘ nt n* ОО'
ипп，（Л-^）= j drd^\ fn （»—Л） |2| 加，5 —理）|2е2|，_" |-1.（22.60）
Выражение （22.60） слабо зависит от 沦 и 沦'.Поскольку в состояниях нулевого порядка распределение электронов однородно, то энергия （22.60） лишь несколько снижает -энергию, необходимую для перехода электрона из узла R в узел 兄'.Для типичных расстояний между катионами （〜4 А） эта энергия порядка 6 эв （что меньше энергии U 15 ас）.
Наибольший интерес для нас представляет обменная связь между электронами различных ионов. Будем решать эту задачу в рамках теории возмущений в операторной 质орме, предложенной Боголюбовым и Тябликовым [100] [см. также Боголюбов （1949） и [108]）. В качестве малого безразмерного параметра £ выбирается интеграл перекрытия волновых функций магнитных электронов. Тогда оператор энергии системы ищется в виде ряда по степеням 8, а именно.
認=磁0十（；据1+ …
-Здесь оператор ^0 по （22.55） и （22.58） имеет вид
認。 = 2 （窝”一М U ）孔（左）+彳2 U孔（丘"（兄），вв
[см. формулу （7.26） в обзоре Вонсовского [108]], а оператор 叁〕в силу （22.55） имеет вид （индексы п и 汽'опускаем）
跄 1=3 bBB,S^R, o）S（If, а）.
几步г‘,0
■Задача сводится к приближенному решению уравнения Шредингера:
（施0 + е施 1—寫）e = 0,
где С — искомая волновая функция. Пусть ^0—наинизший уровень нулевого при- ^лиясения ^qCq= ^qCq, где С。一волновая функция нулевого приближения. Введем •оператор проекции Р, определяемый равенством
PC — С。.
Тогда уравнения теории возмущения для определения энергии системы в первом, втором и третьем приближении соответствевно будут иметь вид
（卷一卷о） Со = еА^1АСо,（22.61）
（卷—卷0） с0 =力[e战i—e2（跄i—R磁am岳10一卷0）t （战1—户認/）]此0,（22.62）
（卷—卷0） с0 = / [e成%—e2（威^一力就a）（磁0—卷0）t （成%一力战戶）+
+ е3 （叁1-/施1力）（礎0一卷0尸（威1]一力威Ч—А0）（豌1（）一卷0尸（威4一AЙ1m）]/a,
（22.63） где
Из （22.61） для первого приближения имеем
А寫 1 = е户宛]Р = е 2 ■ Ьпп，АМ+ （R, о） S （兄‘，о） Р = 0,
Л^Л*, о
поскольку [см. (7.53) в обзоре [108]] всегда выполняется условие
PS+(R, a)S(R', о)Р = 0(Л ф R'}.(22.60
Таким образом, первая поправка к энергии равна нулю: А卷]=0. Для вычисления второй поправки из (22.62) с учетом (22.64) находим
А卷2=一e2/認1 (战0—卷о)т 题＞В= —e2Y Y & В,6 X
□R1片丘1, 01R2:#r2,02
X 》月 + (冗1,。1) 5 (鸟，O0 (战0—税尸 6+ (冗2,02)5 (冗金 %) A (22.65)
Для упрощения (22.65) используем соотношения теории возмущений
(恥0一寫0)t е+(冗2,02)W (冗；，02)户=A(冗2 _RJ W + (K$，O2)W(K，，02)户，
[см., например, формулу (7.60) обзора [108]], а также равенство
PS+ (R^ 口)S, (Яp а) *+(冗2,02)& (-b202)/=
^^^RyS^RiRz^ ^^^ ^1)^ (-®!» ^1) 3+(_R；, O2) S (兄力必)'
Полагая далее в (22.65) е=1 и опуская оператор Р, находим окончательно для поправки энергии во втором приближении
А卷2=— 2 厶彼凜'产(兄，o)M(R, o)*+(“，d)6(_B, b).(22.66》
Нам осталось найти смысл энергии А (兄, 兄‘)[и перейти к спиновым операторам* в узлах R и 兄'・ Согласно Боголюбову (1949), величина А =宛。一^0 имеет смысл прироста энергии, когда в узле R появляется дырка, т. е.汽(兄) = 0, а в узле R1 ——двойка,, т. е.汽(兄')=2・ Как было показано выше, эта энергия равна U, Таким образом,
А СВ, R^ q U. -(22.67)
Используя далее условие квазигомеополярности (т. е. условие того, что каждое состояние п всегда занято одним электроном)
配(r+) Sn (砂)+ S+ (冗一)5П (氏一)=nП («+) + n„ (冗一)=1, легко находим связь между ферми-операторами и операторами спиновых проекций
ПП (к+) -/"(冗一)=2月？(冗)，'
5+ (Л+) Sn(R-)=S^R) = S^ (Л) + iS^ (Л),(22.68)
旣(Л-) 5„ («+)= S2(R) = S2(R)-iS^(R).-
Подставляя (22.67) в (22.66) и переходя от ферми-операторов к операторам спина по (22.68), находим вместо (22.66) окончательное выражение для косвенного обменного взаимодействия (по Андерсону [41])
Д«?б= 2 I.(22.69〉
Роль эффективного косвенного интеграла обмена играет величина
力醞= %^・WO)
Из (22.69) сразу же видно, что если спины в узлах 兄 и 兄'параллельны, то энергия А寫^6 равна нулю (при этом нет уменьшения, т. е. выигрыша энергии системы в этом приближении). Наоборот, при антипараллельных спинах имеем выигрыш в энергии: А寫?6 =——2] Ь Е/U. Поэтому при наполовину заполненных орбитальных состояниях в узлах R и R1 мы всегда имеем дело с отрицательной антиферромагнитной связью. Антиферромагнитный характер этого косвенного обменного эффекта следует из того факта, что интеграл переноса Ьв_в, связан с переходом электрона без изменения спина. В силу того, что перекрывающиеся орбитальные состояния заполнены наполовину, а принцип Паули позволяет в каждом орбитальном состоянии находиться только одному электрону с данной ориентацией спина, переход может осуществляться, только если электроны в узлах К и А' антипараллельны. По приближенным оценкам интеграл
q b I порядка 0,2—0,5 ав. Поскольку энергия U порядка 5—10 зе, то для косвенного обменного интеграла имеем: 1/10—1/150 эв или 1000—200° К для соответствующих точек Нееля, например во фторидах и оксидах. Подчеркнем (см. Андерсон [64, 65]), что теория возмущений при выводе формулы (22.69) хорошо оправдывается, поскольку величина I 6 |/U а 1/10. Кроме того, в данном случае хорошим приближением является и гейзенберговский гамильтониан с учетом только члена, пропорционального скалярному произведению SRSB,t Член следующего (четвертого) порядка, пропорциональный 《*几底,)2, будет порядка 64/U3, т. е. составляет всего лишь 10~2 от (22.70), и поэтому им можно пренебрегать, хотя такие эффекты высшего порядка теперь наблюдаются в микроволновых спектрах растворенных пар магнитных ионов (см. Статс и др. [109]).
Проведенный выше расчет для случая одной tZ-полосы можно легко обобщить на более сложный случай пяти d-полос, когда появляется много эффективных обменных интегралов данного типа между каждой парой занятых орйттйльных состояний. По аналогии с выводом (22.69) получаем во втором приближении теории возмущений
Р Р1 АI I2
A卷2= 2 2 [一彳 + 2%—.
Можно также вычислить поправку к энергии в третьем приближении, используя уравнение (22.63). Проводя здесь вычисления, аналогичные тем, которые делались при выводе (22.70), но гораздо более трудоемкие, мы приходим в итоге к выражению
品3 = —2』22 I * 厶“，，E+2Wn (R) 5n„ (兄，)],
n, пл тг'(#тг') Л^ЛЛ
где Jnn, дается формулой (22.59). Следовательно, в третьем приближении возникает положительное ферромагнитное косвенное обменное взаимодействие с эффективным обменным интегралом
^эфф 小3 к0св^эфф 小3 к0св2[*，"师'
^эфф 小3 к0св
^эфф 小3 к0св
Интеграл (22.71) меньше интеграла (22.70) в JnnJU раз и составляет от него 1/5—1/10 』олю. Поэтому этот ферромагнитный эффект возникает лишь в том случае, если отсутствует антиферромагнитный эффект (22.69) или при условии больших b или малых U. Этот эффект, кроме того, может осуществляться лишь при условии, что взаимодействуют узлы, в одном из которых орбитальное состояние занято наполовину, а в другом “оно пустое или целиком заполненное. Действительно [см. Гудинаф (1969)], предположим, что состояние п в ионе 丘 заполнено наполовину, дс nf и Rf полностью свободно. Простой, не зависящий от спина переход в этом случае возможен, если в ионе Rf имеется неперекрывающееся (или ортогональное) частично занятое состояние м". Если в ионе R имеется частично занятое состояние м", то интеграл переноса будет больше, если спин переносимого электрона параллелен спину в состоянии пл, благодаря обменной связи внутри иона в 丘‘,пропорциональной внутреннему обменному интегралу Jn,n„ = /внутр. Это и приводит к записанному выше ферромагнитному эффекту третьего порядка (22.71). Если орбитальное состояние пв R заполнено наполовину, а состояние 孔‘ в 冗‘ заполнено целиком, возможен лишь переход из .В7 в -В и обратно. Спин переносимого электрона должен быть антипараллелен спину в R. Если состояние м" в R занято частично, обменная связь внутри иона в R благоприятствует переходу электрона п\ который имеет антипар аллельный спин пн. Поэтому, переносимый электрон имеет спин, антипараллельный полному спину в обоих ионах 丘 и 应'，а атомные моменты связаны ферромагнитно. Это тот же эффект третьего порядка, даваемый в (22.71). Имеются еще другие обменные эффекты. Среди них наиболее заметным явля- “ется истинный прямой обмен. Энергия этого обмена имеет вид
«пр.обм=-У 2 j肥"，[%+ 23П(r)/‘(r)],
где по аналогип^с интегралом внутреннего обмена Jnn, из (22.59)
&%，= J加3/nь一斤)筋(吁氏’)族("一兄')九6 一项ё2 [夕一"|Т.(22.72)
Интеграл (22.72)^всегда^положителен. Поскольку функции /п (г—R) в (22.72) имеют ?вид
интеграл (22.72) из-за малости перекрытия функций 2d может быть взят только с функциями лигандных ионов. Поэтому по порядку величины 丿胆几，«J ^Jnn^ где Jnn, а (1/10) Ry. С другой стороны, [ Ь [ — е2 • 1 Ry и U л; 1 Ry, следовательно,
I 6 |2 UT IRy > 礙Jnn,弋 a G Ry-
Все остальные обменные взаимодействия оказываются еще меньше. Более подроби но об этом можно прочесть в оригинальной статье Андерсона [41] и его обзорах [64, 65]. Там же можно найти обсуждение результатов сравнения теории с опытом [см. также обзор Вонсовского и Карпенко [66]]. Вопрос о косвенном взаимодействии в ферро- и антиферромагнитных ■ полупроводниках, где возможно участие не только локализованных электронов немагнитных анионов, но и «свободных» носителей заряда в толще проводимости (электроны и дырки), детально рассмотрен в фундаментальном обзоре Метфесселя и Маттиса [110] (см. также работы Карпенко и Бердышева [180] и Нагаева (см. ссылку [528] к гл. 20), к которым мы и отсылаем читателей.
Отметим здесь также, что Андерсон [64, 65] показал, что энергия косвенной обменной связи, определяющая магнитный порядок в диэлектриках, непосредственно связана с параметрами перекрытия и ковалентности, которые измеряются в опытах по ЯМР (см., например, [111, 112]). В работе Петрова и Смоленского [113] показано, что в случае диэлектрического антиферромагнетика NaNiF3 имеется хорошее качественное согласие с теорией косвенного обмена по Андерсону [41]. Дальнейшее развитие теории косвенного обмена см. в работах [7 0—91, 114—118, 566—569], а также в обзорах [64, 65, 66, 110].
§ 5. Квазиклассическая теорияантиферромагнетизма (приближениемолекулярного поля)
1. Общие замечания. Перейдем теперь- к рассмотрению общей теоретической трактовки явления антиферромагнетизма. Здесь, как и в случае ферромагнетизма (гл. 19), целесообразно начать с квази- классической трактовки по методу, эквивалентному теории вейссовского молекулярного поля *). Ограничимся при этом рассмотрением простейшего случая колинеарного расположения магнитных моментов атомов в узлах кристаллической решетки.
В гл. 17 уже были указаны типичные- магнитные характеристики антиферромагнетиков (см. рис. 17.5 и 17.6) **). Фактически первые опытные исследования магнитной восприимчивости антиферромагнитных 1911—1915 гг. Вейсс и Фуа [134], Ишивара
б)
рис. 22.10. Антиферромагнитный порядок в о. ц. к. решетке, а) Порядок первого типа с узлами решетки сорта А и В; 6) порядок второго типа с узлами решетки сорта 4, 4, Bi, В2- Кружки означают узлы кристаллической решетки, занятые магнитно активными ионами. Знаки + и — в кружках показывают соответственно две ан- типараллельные ориентации проекций атомных магнитных моментов ионов.
выполнили
в
[135], Хонда и Соне [136], Х^)нда и Ишивара [137], однако первое исследование, в котором было по существу экспериментально открыто явление антиферромагнетизма, относится к 1938 г. и принадлежит Бисетту и др. [138]. Один из результатов их исследований для МпО для образца из прессованного порошка приведен на рис. 17.5. В более поздней работе Бисетта и Тсаи [139] был исследован монокристалл антиферромагнитного
*) Первые работы в этом направлении принадлежат Ландау [5], Неелю [6, 7, 38], Ван-Флеку [119], Дресснандту [120], Рудницкому [121] и Канеру [122]. См. также более поздние работы [40, 123—133], а также обзоры Боровика-Романова [3], Андерсона [64, 65] и монографии Смита и Вейна (1962), Гудинафа (1969), Турова (1963) и Смарта (1968).
**) Полная сводка (на начало 1970 г.) точек Кюри и Нееля практически всех (до 3500 веществ) упорядоченных магнетиков и библиография даны в таблицах Конолли и Копенхавера [565].
Т аб л ица 22.1
Некоторые свойства антиферромагнитных (неметаллических) соединений (Гудинаф (1969), Нагамия и др. [1])
Соединение
Тип структуры'
Симметрия при
Структура решетки магнитных катионов
Значения Е，从Е
®N，°K
8 пм
Тип атомного магнитного порядка
Значения В ЦБ в магнитно- упорядоченном состоянии
Литература
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
МпО
NaCl
Кубическая
г. ц. к.
5,95
122
5,0
Рис. 22.11, в
5,0
[33,143/ 144]
FeO
NaCl
То же
» » 》
4,6
198
1,0
То же
3,3
[33, 145—
147]
СоО
NaCl
» 》
» 》 》
5,1
291
1,1
» 》
3,8
[33, 145,： 148]
NiO
NaCl
》 》
》 》 »
4,6
520
5,0
»》
2,0
[145, 149- 153]
a-MnS
NaCl
»/>
》》 》
5,6
130
3,1
》»
5,0
[33,143, 144]'
P-MnS
ZnS
》 》
» » »
5,82
160
6,1
Рис. 22,11,6
5,0
[33,143, 144]
MnS2
FeS2
»»
》》 》
6,30
77
8
То же
5,0
[154]
MnF2
TiO2 (рутил)
Тетрагональная (с/У 1)
о. ц. тетрагональная
5,7
72
1,6
Рис. 22,12, а
5,0
[145, 35]:
FeF2
TiO2
То же
То же
5,6
79
1,5
То же
4,64
[145, 35]
CoF2
TiO2
» »
» »
5,13
37
1,4
»»
3,0
[35,155]
NiF?
TiO2
»》
》 》
3,5
78,5- 83
2,0
》 》
2,0
[35,155, 158]
MnO2
TiO2
»»
» »
84
АФС
[145, 35, 159]
FeS
NiAs
Гексагональная
Простая гексагональная
5,25
600
1,9
Рис. 22.13, 2 (I)
4,0
[160- 164]
FeCl2
CdCl2
Тригональная
Слоистая из йло- скостей [111]
5,36
24
—2,0
То же
4,5
[165,： 166]
C0CI2
CdCl2
То же
То же
5,26
25
一1,5
»》
3,1
[165, 166]
NiCl2
CdCl2
»》
3,3
50
-1,4
»》
[165, 167]
a-Fe2O3
AI2U3
» 》
Сложная слоистая
5,92
953
2,1
Рис. 22.13, 6
5,0
[33, 168— 173j
a-Cr2O3
AI2U3
»》
То же
3,73
307
1,6
Рис. 22,13, а
[174— 177]
FeCO3
CaCO3
»»
о. ц. тригональная
5,3
20—35
0,4— 0,7
*)
5,0
[145, 178, 179]
CuF2
TiO2 (искаженный рутил)
Моноклинная
о. ц. моноклинная
78
—
—
—
[156, 157]
*) Соседние магнитные моменты ионов вдоль оси [0001] последовательно антипаралле льны.
соединения MnF2 и обнаружена резкая анизотропия магнитной восприимчивости (см. рис. 17.6).
В работах Стоута и Адамса [140] и Миллара [141] были обнаружены характерные аномалии удельной теплоемкости в MnF2 и МпО с максимумами вблизи точек Нееля @n (см. также гл. 18). Аномалии вблизи 0^ наблюдаются и для других физических свойств антиферромагнетиков. В качестве примера можно указать, что рентгеноструктурные измерения показали, что кристаллическая решетка некоторых антиферромагнетиков испытывает небольшую деформацию при переходе через точку Нееля в ходе их охлаждения. Например, окислы МпО, FeO и NiO, имеющие г.ц.к. решетку ниже ❷川,испытывают сжатие или расширение вдоль нормали к ферромагнитным плоскостям (111), становясь слабо ромбоэдрическими (см., например, Уиллис и Руксби [142]).
В табл. 22.1 приведены некоторые характеристики типичных антиферромагнитных соединений.
д)е)д)е)Рис. 22.12. То же,.о. ц. к. решетка—первый тип; б) о. ц. к.— второй тип; в) о. ц. к. — третий тип; г) решетки Мп2sb I и II с катионами Q), имеющими тетраэдрическую и катионами (2) — октаэдрическую координацию [Гудинаф (1969)].Рис. 22.12. То же,.о. ц. к. решетка—первый тип; б) о. ц. к.— второй тип; в) о. ц. к. — третий тип; г) решетки Мп2sb I и II с катионами Q), имеющими тетраэдрическую и катионами (2) — октаэдрическую координацию [Гудинаф (1969)].
д)е)
д)е)
Рис. 22.12. То же,.
о. ц. к. решетка—первый тип; б) о. ц. к.— второй тип; в) о. ц. к. — третий тип; г) решетки Мп2sb I и II с катионами Q), имеющими тетраэдрическую и катионами (2) — октаэдрическую координацию [Гудинаф (1969)].
Рис. 22.12. То же,.
о. ц. к. решетка—первый тип; б) о. ц. к.— второй тип; в) о. ц. к. — третий тип; г) решетки Мп2sb I и II с катионами Q), имеющими тетраэдрическую и катионами (2) — октаэдрическую координацию [Гудинаф (1969)].
Рис. 22.11. Различные типы коллинеарных антиферромагнитных атомных структур. 1 — узлы с проекциями магнитных моментов ионов одного направления(+)и 2 — узлы с проекциями магнитных моментов ионов противоположного направления (—).а) г. ц. к. решетка — первый тип; б) г. ц. к. — третий тип; а) г. ц. к.— второй тип I; г) г. ц. к.——второй тип II; 9) г. ц. к.—четвертый тип I и е) г. ц. к. — четвертый тип II. На схемах д и е показан вид сверху на две соседние плоскости типа (100)—сплошные белые и черные кружки соответствуют узлам, лежащим на верхних гранях кубов, а пунктирные (белые и штрихованные) — узлам, лежащим на соседней плоскости, проходящей через центры боковых граней куба [Гудинаф (1969)].
В антиферромагнитном кристалле с п.к. или о.ц.к. решеткой можно без труда выделить две коллинеарные, антипараллельные намагниченные магнитные подрешетки (рис. 22.10, а) А и Bt причем каждый узел подре- шетки Л будет иметь ближайшими соседями только узлы второй подрешетки (В) и наоборот. Но может быть и другой случай, когда антиферромагнитный порядок устанавливается в самих этих подрешетках (рис. 22.10, б). В г.ц.к. решетке нельзя произвести такое простое разбиение на подрешетки [40], ибо среди узлов ближайших соседей к данному
имеются также ближайшие соседи между собой. В этом более сложном случае вводят не две простые кубические подрешетки, а целых четыре, и возможно антиферромагнитное упорядочение двух типов (см. рис. 17.4).
о丿о丿Тип 6Тип 6Тип IТип IРис. 22.14. То же, что и на рис. 22.11. а) Решетка с гекс п. у. — третий тип магнитного порядка (см. рис. 22.13, г)； б) структура ильменита, три типа магнитного порядка I, II и III. Буквами В, А и С обозначены соседние в решетке базисные плоскости различного типа [Гудииаф (1969)].Рис. 22.14. То же, что и на рис. 22.11. а) Решетка с гекс п. у. — третий тип магнитного порядка (см. рис. 22.13, г)； б) структура ильменита, три типа магнитного порядка I, II и III. Буквами В, А и С обозначены соседние в решетке базисные плоскости различного типа [Гудииаф (1969)].рис. 22.13. То же, что и на рис. 22.11. а) Решетка корунда с магнитной структурой типа I； 6) с магнитной структурой типа II; в) п. к. решетка с различными типами магнитных структур — А, С, Е, G и смешенная структура СЕ — с шахматным расположением цепочек элементарных кубов со структурами С и Е вдоль оси [010]; 2)гексагональная решетка со структурами типа I и типа II [Гудинаф (1969)].рис. 22.13. То же, что и на рис. 22.11. а) Решетка корунда с магнитной структурой типа I； 6) с магнитной структурой типа II; в) п. к. решетка с различными типами магнитных структур — А, С, Е, G и смешенная структура СЕ — с шахматным расположением цепочек элементарных кубов со структурами С и Е вдоль оси [010]; 2)гексагональная решетка со структурами типа I и типа II [Гудинаф (1969)].На рис. 22.11—22.14 приведены [Гудинаф (1969)] различные типы коллинеарных антиферромагнитных структур, найденных с помощью нейтронной дифракции.2. Случай двух подрешеток. Рассмотрим подробнее случай антиферромагнитного монокристалла с двумя подрешетками, являющегося системой кристаллохимически эквивалентных ионов. В гамильтониан системы входит изотропное электростатическое обменное взаимодействие магнитных ионов, их энергия во внешнем постоянном магнитном поле Н, направленном вдоль оси z (Нх = Ну — 0, Нг — 0), и внутренние магнитные взаимодействия, снимающие вырождения по направлению (в кристалле) намагниченностей подрешеток. Учет магнитного анизотропного взаимодействия в антиферромагнетиках не является тривиальным. Как и в случае ферромагнетиков, это более слабое, чем изотропный обмен, взаимодействие в значительной степени определяет магнитное поведение антиферромагнетиков во внешних полях, т. е. вид их кривых намагничивания. Кроме того, магнитные взаимодействия могут влиять и на взаимную ориентацию и величину атомных магнитных моментов, например привести к слабой неколлинеарности магнитных моментов подрешеток, к нарушению компенсации их магнитных моментов (см. ниже). Вопрос о происхождении и учете магнитной анизотропии в антиферромагнетиках рассматривался многими авторами (см., например, [7,1, 123, 124, 129, 130, 181]).На рис. 22.11—22.14 приведены [Гудинаф (1969)] различные типы коллинеарных антиферромагнитных структур, найденных с помощью нейтронной дифракции.2. Случай двух подрешеток. Рассмотрим подробнее случай антиферромагнитного монокристалла с двумя подрешетками, являющегося системой кристаллохимически эквивалентных ионов. В гамильтониан системы входит изотропное электростатическое обменное взаимодействие магнитных ионов, их энергия во внешнем постоянном магнитном поле Н, направленном вдоль оси z (Нх = Ну — 0, Нг — 0), и внутренние магнитные взаимодействия, снимающие вырождения по направлению (в кристалле) намагниченностей подрешеток. Учет магнитного анизотропного взаимодействия в антиферромагнетиках не является тривиальным. Как и в случае ферромагнетиков, это более слабое, чем изотропный обмен, взаимодействие в значительной степени определяет магнитное поведение антиферромагнетиков во внешних полях, т. е. вид их кривых намагничивания. Кроме того, магнитные взаимодействия могут влиять и на взаимную ориентацию и величину атомных магнитных моментов, например привести к слабой неколлинеарности магнитных моментов подрешеток, к нарушению компенсации их магнитных моментов (см. ниже). Вопрос о происхождении и учете магнитной анизотропии в антиферромагнетиках рассматривался многими авторами (см., например, [7,1, 123, 124, 129, 130, 181]).
о丿
о丿
Тип 6
Тип 6
Тип I
Тип I
Рис. 22.14. То же, что и на рис. 22.11. а) Решетка с гекс п. у. — третий тип магнитного порядка (см. рис. 22.13, г)； б) структура ильменита, три типа магнитного порядка I, II и III. Буквами В, А и С обозначены соседние в решетке базисные плоскости различного типа [Гудииаф (1969)].
Рис. 22.14. То же, что и на рис. 22.11. а) Решетка с гекс п. у. — третий тип магнитного порядка (см. рис. 22.13, г)； б) структура ильменита, три типа магнитного порядка I, II и III. Буквами В, А и С обозначены соседние в решетке базисные плоскости различного типа [Гудииаф (1969)].
рис. 22.13. То же, что и на рис. 22.11. а) Решетка корунда с магнитной структурой типа I； 6) с магнитной структурой типа II; в) п. к. решетка с различными типами магнитных структур — А, С, Е, G и смешенная структура СЕ — с шахматным расположением цепочек элементарных кубов со структурами С и Е вдоль оси [010]; 2)гексагональная решетка со структурами типа I и типа II [Гудинаф (1969)].
рис. 22.13. То же, что и на рис. 22.11. а) Решетка корунда с магнитной структурой типа I； 6) с магнитной структурой типа II; в) п. к. решетка с различными типами магнитных структур — А, С, Е, G и смешенная структура СЕ — с шахматным расположением цепочек элементарных кубов со структурами С и Е вдоль оси [010]; 2)гексагональная решетка со структурами типа I и типа II [Гудинаф (1969)].
На рис. 22.11—22.14 приведены [Гудинаф (1969)] различные типы коллинеарных антиферромагнитных структур, найденных с помощью нейтронной дифракции.
2. Случай двух подрешеток. Рассмотрим подробнее случай антиферромагнитного монокристалла с двумя подрешетками, являющегося системой кристаллохимически эквивалентных ионов. В гамильтониан системы входит изотропное электростатическое обменное взаимодействие магнитных ионов, их энергия во внешнем постоянном магнитном поле Н, направленном вдоль оси z (Нх = Ну — 0, Нг — 0), и внутренние магнитные взаимодействия, снимающие вырождения по направлению (в кристалле) намагниченностей подрешеток. Учет магнитного анизотропного взаимодействия в антиферромагнетиках не является тривиальным. Как и в случае ферромагнетиков, это более слабое, чем изотропный обмен, взаимодействие в значительной степени определяет магнитное поведение антиферромагнетиков во внешних полях, т. е. вид их кривых намагничивания. Кроме того, магнитные взаимодействия могут влиять и на взаимную ориентацию и величину атомных магнитных моментов, например привести к слабой неколлинеарности магнитных моментов подрешеток, к нарушению компенсации их магнитных моментов (см. ниже). Вопрос о происхождении и учете магнитной анизотропии в антиферромагнетиках рассматривался многими авторами (см., например, [7,1, 123, 124, 129, 130, 181]).
На рис. 22.11—22.14 приведены [Гудинаф (1969)] различные типы коллинеарных антиферромагнитных структур, найденных с помощью нейтронной дифракции.
2. Случай двух подрешеток. Рассмотрим подробнее случай антиферромагнитного монокристалла с двумя подрешетками, являющегося системой кристаллохимически эквивалентных ионов. В гамильтониан системы входит изотропное электростатическое обменное взаимодействие магнитных ионов, их энергия во внешнем постоянном магнитном поле Н, направленном вдоль оси z (Нх = Ну — 0, Нг — 0), и внутренние магнитные взаимодействия, снимающие вырождения по направлению (в кристалле) намагниченностей подрешеток. Учет магнитного анизотропного взаимодействия в антиферромагнетиках не является тривиальным. Как и в случае ферромагнетиков, это более слабое, чем изотропный обмен, взаимодействие в значительной степени определяет магнитное поведение антиферромагнетиков во внешних полях, т. е. вид их кривых намагничивания. Кроме того, магнитные взаимодействия могут влиять и на взаимную ориентацию и величину атомных магнитных моментов, например привести к слабой неколлинеарности магнитных моментов подрешеток, к нарушению компенсации их магнитных моментов (см. ниже). Вопрос о происхождении и учете магнитной анизотропии в антиферромагнетиках рассматривался многими авторами (см., например, [7,1, 123, 124, 129, 130, 181]).
Оставляя пока рассмотрение вопроса о происхождении анизотропии, примем лишь сам факт ее существования ): Введем в выражение для гамильтониана, согласно методу Боголюбова — Тябликова [100] )т вместо изотропного параметра (интеграла) обменного взаимодействия /?а‘ (а, а' — номера магнитных ионов) анизотропный параметр А^ (у =力,у, z). Тогда обменный гамильтониан [см., например, (22.1)] в «анизотропном обобщении» и с учетом энергии во внешнем поле Н, примет вид
舷о6. аниз=-2в1a/風L } 2m2a网2唸-
j, ai^aj.J, a2^«2
-2/几2°^1°/-2切点%- 2卩J必反力(22.73)
b ai, a23, aiь аг
Здесь ai, а； и a2, a； — номера магнитных ионов соответственно для первой и второй магнитных подрешеток,仃仪(о^, о^, а^)——оператор единичного вектора спина,出(卩卩^,卩工)—вектор магнитного момента иона. Определим вначале основное состояние антиферромагнетика (при Т = 0° К) в классическом приближении в зависимости от величины и направления внешнего магнитного поля. Операторы спинов в (22.73) заменим классическими векторами с условиями нормировки:
3 (^a)2 ~ 1(7 = %, У，z)・(22.74)
Ограничимся простейшим случаем одноосной магнитной анизотропии. Единственную ось анизотропии направим вдоль оси z. Тогда, следуя Аматуни [181], будем иметь
/<хо/=/説，=/«ха，，/«ха，=/«ха/+ А/(ха，，Нх ^ Ну ~ Hl =^ Hz- (22.75) Если пренебречь поверхностными эффектами, то можно ввести следующие обозначения:
y 2 4产厂才工4产:=./工；y X /%% = /出；
%# 叫a；(/%)a2/%
N ^aia2~ 2Л12-^о；aia2
4(22.76)
Здесь для удобства введены безразмерные параметры обмена At — А2 — =А и А12 и безразмерные константы анизотропии & = В^ = В 瓜 Bi2 соответственно «внутри» каждой из двух эквивалентных подрешеток (1 и 2) и «между подрешетками» (А12 и 5^2)；，о — намагниченность насыщения подрешетки.
(22.77)(22.77)Ради упрощения выкладок предположим, что векторы намагниченностей подрешеток (70ffa) и внешнего поля компланарны и лежат в плоско- сти yz (ЯЛ = о^ = 0). Далее введем углы 9a между векторами 1^а и осью z и обозначения
(22.77)
(22.77)
ga ~ COS 9a = П^, T]a ~ 亙口 今а = ^а (а = 1, 2).
Тогда гамильтониан (22.73) в классическом приближении примет вид 能об. аниз =^ const — All (Й + Й + Л1 + Лг) — 2Л127о(Л1Л2 + 甘1甘2)—
-ВЦ (?! + й) - 2Bi2I^2 - Zo (П1 + П2)Ну - 70 (^ + ?2) Яг. (22.78)
Изотропный случай (явления опрокидывания магнитных подрешеток и разрушения антиферромагнитного порядка). Рассмотрим сначала самый простой случай практически изотропного антиферромагнетика, когда можно считать, что 8//, З12//12 ^ 0, и направим поле Н вдоль оси z (Яу = О, = Е)・ Тогда (22.78) примет вид
能?)6 = const - //: (g： 十魏十喑+頂)-24/： (%П2 + 装备)-
/0 (自1 + %)瓦 (22.79)
При 8 = 0 минимуму ^об будет соответствовать антипараллельная ориентация намагниченностей подрешеток:窗=—爱，П1= — П2, если
412 Vo и Л>0.(22.80)
Таким образом, в данном случае критерием антиферромагнетизма является условие отрицательности параметра обмена 412Vo между ионами разных подрешеток и положительность этого параметра (Л > 0) внутри каждой подрешетки. Легко видеть, что условие Л > 0 не является необходимым для энергетической выгодности антиферромагнитного состояния ). Следует также помнить, что в силу короткодействующего характера обменных сил и, как правило, заметно больших расстояний между ионами ближайшими соседями внутри одной подрешетки, чем между ионами двух разных подрешеток, мы имеем |Л12|》|/|. Равновесно© значение 磁?>& и соответствующие ориентации векторов намагниченности подрешеток при заданной величине поля Н находим из обычных условий минимума (22.79) при добавочных условиях (22.74), которые принимают вид: й + Л1 — й + Лз — 1- Вводя лагранжевы множители 儿 и Х2, получаем следующие условия экстремума функции (22.79)(。能^百/@工》= =0; дМд^ = О, Z = 1, 2):
(2AII + “ Q + 2人2续2 = - АН,]2А121^ + (2АЦ+^2= -10Н,
(2//：十尢)2%2/加2= °,)
242刷1十(2//廿匹)恥=0-
Решения уравнений (22.81) в предельном случае очень слабых полей
2| Л12|/0《1(22*82)
имеют вид
П1+П2=°，Ct =白2 = С = % I j , Xt — Z2 = 2 (Л12—4) 7^.(22.83)
Таким образом, в случае слабых полей (X《4|Л12|70)1 т.е. когда энергия магнитных моментов относительно внешнего поля гораздо меньше, чем обменная связь между соседними ионами разных подрешеток, и когда магнитная анизотропия исчезающе мала, намагниченности подрешеток поворачиваются в поле Н так, что вектор их разности Zo (at — a2) ) ориентируется перпендикулярно вектору Н (см. рис. 22.15). Это явление
поворота намагниченности подрешеток в магнитном поле принято называть опрокидыванием подрешеток антиферромагнетика в магнитном поле (spin-flopping).
С ростом поля векторы намагниченностей подрешеток начинают поворачиваться в направлении поля *). Это явление называют разрушением антиферромагнитного порядка или схлопыванием магнитных подрешеток. Резуль
DWEEB百置agfinEHD 30
夕
тирующая намагниченность вдоль оси z растет с полем линейно:
厶=^0(^1 + ?2)= 2/0? — 2 I 112 I “
(22.84)
с восприимчивостью, равной
近=可石工・
Рис. 22.15. Явление опрокидывания магнитных подре-теток в анизотропном антиферромагнетике. Внешнееполе Н: а) меньше поля опрокидывания Нс； 6) большеполя Нс-
Порядок величины %丄 легко определить, если вспомнить обычную оценку обменной
энергии через температуру Нееля: | ：Л12 | I^N k^&N ^； 10-15э^г, /о ^ 102 гс, N ^ 1023, M12I ^ Ю4 и, следовательно,近 ^ Ю-4, что
качественно согласуется с данными опыта (см. измерение X丄 на монокристалле MnF2 [139], а также рис. 17.6).
В предельном случае очень сильных полей (при Т № К)
—гт->] или Н >= Не,
41力121/0卩38中
(22.85)
где НЕ—эффективное поле обменного взаимодействия, а цЭфф ^ Iq/N ——величина порядка атомного магнитного момента, имеем
% =恥=°，& =g2 = 1,九 1H 九2= —IqH — 2(42+/)/：.
Таким образом, в очень сильных полях (Н》|Л12|/0 ^ 106 з)все магнитные моменты ионов антиферромагнетика могут быть направлены вдоль внешнего поля (намагниченности подрешеток «схлопнулись»), и кристалл будет
T；N
Рис. 22.16. Фазовая диаграмма %(T) для МпВг2-4Н2О.
подобен ферромагнитному домену, намагниченному до насыщения. Эффективное поле обменной связи НЕ ^ A：b0n/^(j)является вторым **) критическим полем, разрушающим антиферромагнетизм (т. е. самопроизвольную намагниченность подрешеток), оно определяется из условия равенства &e8n ^ 从❷力力Н^, Очевидно, что с ростом температуры величина НЕ будет уменьшаться, стремясь к нулю при Т f 0N. Экспериментально эта зависимость была исследована в работах Генри [183, 184], Гийсмана и др. [185]. На рис. 22.16 для MnBr2 e4H2O (по данным Генри [184]) приведена фазовая диаграмма с кривой НЕ (Г), которая выделяет из плоскости Н, Т область антиферромагнетизма (Я V Не (Т), Т V On)
*) Наглядно это можно представить себе как закрывающийся《зонтик», ручка которого лежит вдоль оси z.
**) Первое критическое поле Нс соответствует опрокидыванию подрешеток. В отсутствие магнитной анизотропии оно равно нулю (Яс = 0).
от парамагнитной области (при Н = 0). Теоретически эта фазовая диаграмма антиферромагнетизма была рассмотрена в работах Власова [123], Гортера и ван Пески-Тинбергена [186] и Нееля [187] (см. ниже).
Влияние анизотропии ). а. Случай Н = 0. Выясним теперь, как изменится формула (22.78) при учете магнитной анизотропии (В, 512 #= 声 0). Рассмотрим сначала случай _ff = 0 и определим равновесную естественную ориентацию намагниченностей подрешеток, обусловленную внутренними магнитными силами. Принимая условие (22.80) и решая задачу по определению экстремума (22.78) при Я = 0 и добавочных связях (22.74), находим два возможных антиферромагнитных ссостояния. Первое состояние:
喑> =暗> =0,萨=一g" I 毕> I I 旷 I = i, Mn =大黑=
=2 (<i2 — /) /： + 2 (5^ — 5) /：,
礎皺 аниз = 2 (4? — / — 512 — 5)(22.86)
и второе состояние:
孑=野=0,展』一喉，|瞰| = |暗)| = 1,九f> =麼= 2(4 一⑷心，
礎器?аниз = 2(42 —/)•(22.87)
Решение (22.86) реализуется, если соответствующее ему значение энергии меньше, чем для решения (22.87), т. е. при условии
512 — 5V0 или B>Bi2.(22.88)
При этом предполагается, что всегда | Л121》|В | и |512丨,поскольку электростатические силы больше магнитных. Решению (22.86) отвечает такое расположение намагниченностей подрешеток, когда они коллинеарны и вектор их разности L = (и, — а2) параллелен оси г (Хо|| Oz). Направление вектора Хо, определяемое силами магнитной анизотропии антиферромагнитного кристалла, называют направлением (осью) антиферромагнетизма ) или естественной кристаллографической осью. Решение (22.87) отличается от решения (22.86) тем, что для него ось антиферромагнетизма не параллельна, а перпендикулярна оси г, т. е. Lq 丄 О^. В этом случае вместо (22.88) имеем другое условие
5—512 Vo или В]2> В.
Направление оси L^ в плоскости ху не может быть определено, поскольку мы не учитываем анизотропии в этой плоскости ). Соотношения знаков и абсолютных величин В и Bi2 могут быть самыми различными, поскольку они определяются конкретными кристаллохимическими и магнитными свойствами антиферромагнетика.
Детальное исследование различных частных случаев расчета основного состояния антиферромагнитного одноосного кристалла при учете анизотропии и в присутствии внешнего поля {Н 声 0) провели Неель [187], Туров и Ирхин [188], Каганов и Цукерник [189, 190] (см. также обзор Вонсовского [191]).
Случай Н 三 0. 5 случае Н #= 0 надо различать ориентацию Н относительно Zo, а также тип «нулевого» решения — (22.86) или (22.87). Следуя Турову и Ирхину [188], целесообразно ввести в выражение (22.78) вместо величины ^а и 刀仪(а = 1, 2) [см. (22.77)] новые переменные
(рис. 22.17): угол 屮 между вектором Z = at — а2 и осью z и угол ф, на который векторы и, и а2 отклоняются от оси антиферромагнетизма L.
Прежние углы 9a связаны с новыми углами соотношениями
^1 = ^ -Ф， %=w+中十冗.^1 = ^ -Ф， %=w+中十冗.(22.89)(22.89)
^1 = ^ -Ф， %=w+中十冗.
^1 = ^ -Ф， %=w+中十冗.
(22.89)
(22.89)
Угол ф определяет также величину суммарной намагниченности антиферромагнетика (при Т = 0°К и /Г声0), т. е.
/o|Ui + 5| = 2/()sin(p./o|Ui + 5| = 2/()sin(p.(22.90)(22.90)
/o|Ui + 5| = 2/()sin(p.
/o|Ui + 5| = 2/()sin(p.
(22.90)
(22.90)
(22.91)(22.91)Рис. 22.17. Переход от углов 仇 玄仇，определяющих направление осей квантования 5 и а2 для намагниченностей подрешеток 厶 и т2 K углам 2 и(р( определяющих направление оси антиферромагнетизма 工 и величину результирующей намагниченности 工=Но sin ф.Рис. 22.17. Переход от углов 仇 玄仇，определяющих направление осей квантования 5 и а2 для намагниченностей подрешеток 厶 и т2 K углам 2 и(р( определяющих направление оси антиферромагнетизма 工 и величину результирующей намагниченности 工=Но sin ф.
(22.91)
(22.91)
Рис. 22.17. Переход от углов 仇 玄仇，определяющих направление осей квантования 5 и а2 для намагниченностей подрешеток 厶 и т2 K углам 2 и(р( определяющих направление оси антиферромагнетизма 工 и величину результирующей намагниченности 工=Но sin ф.
Рис. 22.17. Переход от углов 仇 玄仇，определяющих направление осей квантования 5 и а2 для намагниченностей подрешеток 厶 и т2 K углам 2 и(р( определяющих направление оси антиферромагнетизма 工 и величину результирующей намагниченности 工=Но sin ф.
Для проекции намагниченности на ось z имеем /z=2/()sin(р・ sin 屮.
Из (22.77) и (22.89) получаем & и 蛋：
& = cos 也=cos 屮 cos 屮 + sin 屮 sin ф； % = sin 爲 =sin 屮 cos ф — cos 屮 sin ф,
g2 = cos 92 =--COS 屮 cos ф + sin 屮 sin ф；n2 = sin 92 = = —sinip- cosq)—cosi|)-sinq).
Подставляя (22.91) в (22.78), вынося за скобки величину 2Л127д, обозначая
члены, не зависящие от 屮 и 屮 через const, а также вводя новые обозначения:
8,2 _ 力 В _, 比— Н
《12⑵《12，2Л127о '
вместо (22.78) получим
Жб. аниз = const — 24出{sin2 屮［1 +
+ (几2+少E2叨一
—COS2 ф ［1+ (fe12 — b) cos2 屮］十
十 2兀 sin 屮 sin ф — 2耳4 cos 屮 sin ф}=
=const — 242/沙(屮，中).(22.92)
Исследование задачи об отыскании минимума выражения (22.92), подобное проведенному выше для более простого случая Н = 0, дает возможность определить равновесные ориентации намагниченностей двух подрешеток ан
тиферромагнетика при любых направлениях и величинах внешнего магнитного поля. При равновесном антиферромагнитном состоянии с Lq II Oz по-прежнему должны выполняться равенства (22.88). Зависимость (22.92) от внешнего поля Н оказывается существенно различной для различных ориентаций последнего по отношению к Z°. В связи с этим целесообразно рассмотреть два крайних случая: Н ^О^ || Zo и Н 丄 O^^Lq.
Различные ориентации поля в кристалле, а) Случай Н || О^. Если ввести обозначения
и = sinip и u = sin(p,
то в этом случае (Лу = 0,自=耳)величина ①(屮，ф) из (22.92) примет вид ①(况，р) = 2bu2v2(bi2 — b)筋十(2十 &2 — 6) у2 + 2huv — (1 + bi2 — b). (22.93)
Значения переменных 况 и и заключены в пределах
(22.94)(22.94)0W 况，и<Л.
(22.94)
(22.94)
Таким образом, задача по отысканию минимума (22.92) сводится к решению следующей системы уравнений:
-^ = ibuv2 + 2 (几2 — 6) 〃 十 2hv — 0,'
~^ = 46况2D+ 2 (2+ 仇2 - 6)u+ 2/ш = 0, при условии
(侬)/^Ф\_/^^\>0 \ <?и2 / \ <?р2 /\ ди ди /
Кроме того, всякий раз надо исследовать наименьшее значение функции Ф на границах области дозволенных значений переменных 况 и и, определяемой неравенствами (22.94). Не излагая деталей элементарных, но громозд-- ких вычислений, приведем лишь некоторые их результаты. При решении задачи на минимум (22.93) естественным образом определяются величины двух характерных для антиферромагнетика «критических» полей, в интервалах между которыми имеет место особый тип зависимости энергии и ориентаций намагниченностей подрешеток от величины и направления магнитного поля ):
Щ = 21о[\В-В12\(2\А1?\ + В-吕 J 出；8 丄丁 ^芻工^芸：/；
HE= 2Iq (2 IЛ121 -4- В —当2)・(22.95)
Физический смысл критических полей Яц и Н丄 выяснится ниже. Можно еще ввести эффективное поле магнитной анизотропии
НА ^ IQ (5 —512),(22.95а)
и тогда будем иметь
Я|1 = V2HaHe.. (22.956)
Относительно знаков констант анизотропии необходимо различать две возможности 5Vo и 5 > 0.
Первая возможность: 5 V 0, т. е. Н丄 > Нц. Здесь в свою очередь следует отдельно рассмотреть различные интервалы полей.
Первый интервал полей
0<Я<Я||； региение:
屮=(p = 0, /屮=0,x计> =0.
В этом интервале полей (слабые поля) ось антиферромагнетизма L = LQ, т. е. она сохраняет свое естественное направление (屮=0), и намагниченности подрешеток сохраняют свою связь са этим направлением Z。, обусловленную магнитной анизотропией. Такое состояние удобно обозначать символом (z, II), где первый индекс указывает ориентацию поля Я, а второй — взаимное расположение Н и L. Магнитное поле при Н <^-ff|| еще слишком слабо, чтобы начать поворачивать эти намагниченности в более выгодное направление по отношению к направлению поля, как это было в рассмотренном выше случае В = 512 = 0 [см. решение (22.83)].
Второй интервал полей
Яц<я<я±； решение:
sin2屮=[(Я—Яц)/(Я± — Я||)], sin2 屮=(Н、/Н%) sin?屮.
В этом интервале полей (средние поля) мы имеем состояние типа (z,屮)， в котором ось антиферромагнетизма 丄 уже не совпадает со своей «нулевой» ориентацией Хо (屮声 0), и намагниченности подрешеток также отклоняются от направления Z (屮声 0). При этом ось Z на протяжении данного интервала полей от Яц до Н^ испытывает быстрый *), но непрерывный (без скачка) поворот от начального направления (Хо || °力)屮=0 при Н = =Н_у до 屮=зт/2 (X 丄 Lo, Ое) при Н = Н丄.При этом становятся понятными обозначения характерных полей: при Н^Н\\ поле И и Z параллельны, при достижении полем значения Н丄 ось антиферромагнетизма Z поворачивается в направление, перпендикулярное к полю Н. При критическом поле Н丄 происходит упоминавшееся уже так называемое «опрокидывание»
намагниченностей подрешеток в магнитном поле (см., например, обзор Боровика-Романова [3]), поле Н丄 обозначают также через Н「Это явление впервые предсказал Неель [7]. На опыте его впервые наблюдали Пулис и Хардеман [192] с помощью ЯМР, и ван ден Хандель и др. [193] путем измерения магнитной восприимчивости на антиферромагнитных монокристаллах СиС12*2Н2О. Намагниченности подрешеток поворачиваются как вместе с осью 刀，так и по отношению к ней (ф ^= 0) от ф = 0 при Н = =Яц до sin(p = Н^НЕ при Я = Н^ (согласно вышеприведенной оценке этот угол ф ^ Н^/НЕ также, как правило, очень мал). Намагниченность
антиферромагнитного кристалла, вдоль оси z (7z) будет
изменяться в этом
по формуле
и
°)
интервале линейно с полем, согласно (22.84),
Я, Н-H..
2初丄
1
К丄— Н||)Не 一 2§
g Ю"1).
Рис. 22.18. Кривые намагничивания одноосного антиферромагнетика при 0° К. а) Намагничивание вдоль естественной оси антиферромагнетизма (ось z) при В V 0; б) намагничивание вдоль оси z при В > 0.Рис. 22.18. Кривые намагничивания одноосного антиферромагнетика при 0° К. а) Намагничивание вдоль естественной оси антиферромагнетизма (ось z) при В V 0; б) намагничивание вдоль оси z при В > 0.厶(a丄)2；о ~厶(a丄)2；о ~/ ^—^12 「2|42|/ ^—^12 「2|42|广^ 2-Ю-2,广^ 2-Ю-2,х俨=嘉^х俨=嘉^12ЬМ12ЬМ
Рис. 22.18. Кривые намагничивания одноосного антиферромагнетика при 0° К. а) Намагничивание вдоль естественной оси антиферромагнетизма (ось z) при В V 0; б) намагничивание вдоль оси z при В > 0.
Рис. 22.18. Кривые намагничивания одноосного антиферромагнетика при 0° К. а) Намагничивание вдоль естественной оси антиферромагнетизма (ось z) при В V 0; б) намагничивание вдоль оси z при В > 0.
厶(a丄)
2；о ~
厶(a丄)
2；о ~
/ ^—^12 「2|42|
/ ^—^12 「2|42|
广^ 2-Ю-2,
广^ 2-Ю-2,
х俨=嘉^
х俨=嘉^
1
2ЬМ
1
2ЬМ
Намагниченность Iz изменяется от 0 при Н = Н|| до Iz {Ну) = 270 ~^~. Отношение
т. е. намагниченность на границе интервала может достигать нескольких процентов от величины насыщения.
Треший интервал полейЯЛ<Я<ЯЕ;
решение:
屮=冗/2, sinф = Н/НЕ (njnrQ = g2=g = H/H砂 ％ =—恥=« — ㈢丄勻.
В этом интервале полей ось антиферромагнетизма все время перпендикулярна полю: 工丄 _ЙГ; осуществляется состояние (z,丄). Намагниченность меняется с полем линейно (как и во втором интервале полей)
/У = 2/° sin<ph2/。备，
но с другим (меньшим) значением восприимчивости
По порядку величины х[|3> ~ Ю-4. На границе этого интервала полей при Н = НЕ намагниченность антиферромагнетика достигает насыщения 八з> (Не) = 2/。.
Четвертый интервал полей
Н>НЕ;
решение:
& =白2=1,%="2=。，/产=2厶.
Это состояние насыщения. На рис. 22.18 приведена кривая намагничивания Iz (Я) для рассмотренного случая.
Вторая возможность 月 > 0, т. е. Н丄 V Н\\. В интервале полей Н^^Н К Яц возможны метастабильные состояния. Поэтому при намаг-
ничивании антиферромагнитного одноосного монокристалла должен наблюдаться гистерезис, аналогичный гистерезису процессов вращения в ферромагнетике (см. га. 23). Неель [187], а также Туров и Ирхин [188] показали, что если осуществляются лишь устойчивые состояния, то при увеличении поля от Н = 0 до Н = НЕ будут проходиться следующие состояния (см. рис. 22.18, б):
Состояние типа (z, ||): 0 ^Н ^Нс = =К2ЯЖ；
н ,
Jy
4
Рис. 22.19. Кривая намагничивания одноосного антиферромагнетика при 0° К для поля перпендикулярного естественной оси антиферромагнетизма ъ.
Состояние типа (z, 丄)：HcWHCH^;
Состояние насыщения вдоль оси z : Н》НЕ.
Следовательно, в данном случае (8 > 0) при пороговом значении поля Нс происходит скачкообразное изменение ориентации оси антиферро-
Рис. 22.20. Зависимость намагниченности 工 от поля Н для СиС12-2Н2О. 2 — Т = 4,1。К, Н II 0。(у/ 2 — Т = 4,1。К, Н И с0 (%丄)；З—Т = 3,02° К, Н || а0 (% );
4 — Т = 3,02。К, Н|[со(% 丄)；5 — Т = 1,57° К, 比11 &。(%ц)； 6 — Т = 1,57° К, Н || f0 (%丄)，где а° и с0 — единичные векторы вдоль кристаллографиче - ских осей а и с. Ось антиферромагнетизма направлена вдоль оси а.
магнетизма
=зт/2)
(от屮
и проекции
0 до Q = магнитного
момента /%• Благодаря существованию метастабильных состояний может наблюдаться гистерезис; а именно, при увеличении магнитного поля переход из начального состояния (z, ||) в состояние (z,丄)(абсолютный минимум для которого наступает при Н = Нс V Н||), может задержаться до большего поля Н\\. Наоборот, при убывании поля от НЕ переход из состояния (z,丄)в состояние (z, ||) может произойти не при равновесном значении порогового поля Нс, а задержаться до более слабого поля Н丄 V Н「 Следует однако напомнить, что интервал полей (Н 丄—Яц) относительно очень узок 刃Н丄一斗但丄W|&2 |/| &2 I) X хЮ-3. Поэтому наблюдать явление гистерезиса при намагничивании антиферромагнитного кри” сталла весьма затруднительно.
р) Случай Н 丄 О«. В этом случае \hy — h,坛=0, см. (22.92)]
поведение системы не зависит от знака константы анизотропии В. Здесь имеется всего лишь одно характерное поле
ag=.27о (2 I Л12 I +8一812),
(22.96)
поскольку ось антиферромагнетизма 厶 сохраняет свою ориентацию при всех значениях поля, когда Н 丄 Lo.
В интервале полей О W Н С Н金，用=刀2 =刀=HlHj 备=—Q = (1 —if产2, это состояние (% 丄)и
Т н11
(2|&2| + В —々2)2|4z| •
В интервале полей Н > Не,用=т]2 = 1,备=& = О, 1У = 2/()(рис. 22.19).
Все приведенные расчеты относились к случаю 7 = 0° К. При 7 > 6° К необходимо учесть влияние теплового движения* В первом приближении это можно сделать, если принять во внимание температурную зависимость констант анизотропии В (Г) и 812 (，)，а также намагниченности насыщения Zo (7). Для области высоких температур зависимость от Т можно учесть в рамках термодинамического метода молекулярного ноля, а при низких температурах методом спиновых волн. На рис. 22.20 приведены кривые зависимости намагниченности антиферромагнитного монокристалла СиС12*2Н2О по данным Ван ден Хан де ля и др. [193] для двух ориентаций поля Н II Lo и Н 丄厶.Из кривых видно, что опыт хорошо подтверждает теорию. Для данного случая Н丄 а 6 碎
Термодинамическая теория антиферромагнетизма
Термодинамическая теория молекулярного поля для антиферромагнетиков была развита в работах Нееля [6], Ландау [5], Виттера [17], Дреснандта [120], Ван-Флека [119] и др. [40, 123, 127, 188—190]. Остановимся весьма кратко на изложении схемы этой теории, следуя в основном работам [119] и [1]. Ограничимся рассмотрением случая двух подрешеток, когда у каждого узла в первой координационной зоне ближайших соседей имеются лишь узлы из другой подрешетки. Назовем одну подрешетку положительной (спины «+»), а вторую — отрицательной (спины «—») с антипараллельными намагниченностями соответственно ，+ и /_. Тогда для «молекулярных полей», действующих на спины в этих подрешетках со стороны их намагниченностей, будем иметь
Hhn= —а 匚一Н+,(22.97)
-а!+-р1_,(22.98)
где а =7^= Р — постоянные молекулярного поля. Если а>0 и |а|》|0|, то, как мы видели выше, в отсутствие внешнего поля _Н" = 0 намагниченности J+ и J_ будут антипараллельны, т. е.
До + -Г-о=О.(22.99)
В отсутствие внешнего поля Н или без учета магнитной анизотропии их общее направление, т. е. вектор антиферромагнетизма 丄口 =工+ — J_ не определен в кристалле. Допустим вначале, что направление 丄。закреплено в кристалле силами магнитной анизотропии, эффектом которых на величину полей пока пренебрежем, и рассмотрим опять два простейших случая, когда внешнее поле Н параллельно или перпендикулярно 丄。・
1. Случай Н II Хо- Здесь на спины будут действовать соответственно поля I .Н^мол + -ff I и I Н^ол + -ff I. Для средних статистических намагни-
ченностей
подрешеток, согласно (18.9) или (9.5), имеем
等 g以ESBs®±)，
(22.100)
где
У± =
1 毋on + H|Sg 也
(22.101)
и
Вв(у) = ^-
Cth 2s У 2s 皿 2s
(22.102)
—функции Бриллюэна. Если спиновое квантовое число S = 1/2, то 51/2 (у) = thy, в классическом же случае (при S f 8)имеем Bg (у) = =Lg (у) = cthy — 1/у, т. е. функцию Ланжевена. При Н = 0 формулы (22.100) дают температурную зависимость самопроизвольной намагниченности каждой из подрешеток, если использовать формулы (22.97 — 22.99):
/V
Iq = ~2 ^He^^s (Уо) и Уо=(а — B)/oSgp<B/施兀 (22.103)
Легко видеть, что (22.103) дает такое же уменьшение 70 с температурой, как и в случае ферромагнетика. Из (22.103) следует, что /0 = 0 при температуре Нееля, равной '
0产d飞(22.104)
где С = Ng2囁s(S+1)/3施一константа Кюри *).
При Н = 0 также можно определить магнитную восприимчивость выше точки Нееля (Т > 0N), т. е. в парамагнитной области, где 1+ и 1~ параллельны Н и малы и где поэтому, используя разложение Bs (у), опять имеем
7± = ^г[Я-(а-Р)7±].(22.105)
Из уравнения (22.105) находим
-一 2[Т—CQ + 6)/2]'
и для парамагнитной восприимчивости %пм ='(7++ 7_)/Я получаем
Хпм =二 ；©пм = "a•(22.106)
Из (22.106) видно, что как и в случае ферромагнетизма (см. гл. 18), парамагнитные точки Кюри 0ПМ и точки Нееля не равны между собой [если учесть добавку в молекулярных полях (22.97) — (22.99) от второй координационной зоны, т. е. при § 声 0]. Начальная восприимчивость хп ниже точки Нееля (Т V @n) может быть получена из общей формулы (22.100), если функцию Bs (у土) разложить в ряд по степеням Н и ограничиться членом первой степени, а также считать, что поля "孟口 соответственно параллельны и антипараллельны полю Н. Находим
/+ — /-3S8& (у。)С1
徇= я = ―S + 1… а + 6 3sB6 ®о) •
2(6 十 1)
Величина %ц +0 при Т т 0, она растет с повышением температуры и при Т > @n стремится к парамагнитной восприимчивости (22.106).
СлучайН 丄 Lo. В этом случае векторы!■士 имеют одинаковую величину и наклонены симметрично к Н («зонтик»). При каждом значении внешнего поля момент вращения, действующий на намагниченности подрешеток со стороны полного поля Н^ол + Н, должен быть равен
нулю. Таким образом, например для 1+ имеем
I [1\ (^мол + Н)]丨丨[工+, Н]-а [工+,厂]I = I0H cos 屮-a/+2 sin 2(p = 0, откуда
2/+sin(p = ^7 m(22.108)
где ф —угол между 1+ и Z。. Согласно (22.90) правая часть (22.108) дает величину суммарной намагниченности вдоль поля, и, следовательно, для восприимчивости получаем
(22.109)(22.109)1.
(22.109)
(22.109)
Хл = — = const.
Таким образом, X丄 не зависит от температуры и при Т = ❷改 совпадает с парамагнитной восприимчивостью %пм (0N) =' 1/а. Измерения %ц и %丄
Рис. 22.21. Температурная зависимость молярной магнитной восприимчивости монокристалла MnF2. Кривая с экспериментальными точками по данным работы [139], кривая без точек по данным работы [194].Рис. 22.21. Температурная зависимость молярной магнитной восприимчивости монокристалла MnF2. Кривая с экспериментальными точками по данным работы [139], кривая без точек по данным работы [194].на одноосных антиферромагнитных монокристаллах (например, в MnF2) по данным Гриф- феля и Стоута [194], Стоута и Матарессе [195] и Бисетт и Тоаи [139] качественно хорошо согласуются с выводами изложенной теории, как это видно из кривых рис. 22.21 (см. также рис. 17.6).
Рис. 22.21. Температурная зависимость молярной магнитной восприимчивости монокристалла MnF2. Кривая с экспериментальными точками по данным работы [139], кривая без точек по данным работы [194].
Рис. 22.21. Температурная зависимость молярной магнитной восприимчивости монокристалла MnF2. Кривая с экспериментальными точками по данным работы [139], кривая без точек по данным работы [194].
®пм = а + 6 ®n - a—р®пм = а + 6 ®n - a—р(22.110)(22.110)Сравнение с опытом. Интересно также провести сравнение теоретических и опытных значений для отношения парамагнитной точки Кюри и точки Нееля
®пм = а + 6 ®n - a—р
®пм = а + 6 ®n - a—р
(22.110)
(22.110)
при § = 0 ©пм/Qn = 1, при р > 0 Опм/^n > 1, что и дает опыт (см. табл. 22.1). Из (22.109) следует, что отношение 0nM/0N может стремиться к бесконечности (Оцм/^мт оо), если § f а. Однако, как показал Андерсон [40] (см. также Ван-Флек [42]), необходимо учесть, что модель двух подрешеток законна лишь для ограниченной области относительных величин параметров молекулярного поля а и §. Мы не будем задерживаться на более подробном анализе этого вопроса, отсылая читателя к оригинальным работам и обзорам по антиферромагнетизму. Заметим только, что, например, в случае о.ц.к. решетки при §〉а/2 энергетически выгодно другое разбиение на подрешетки (см. рис. 12.10, 6). В случае же кристалла с г. ц. к. решеткой, как показал Андерсон [40], в зависимости от выполнения неравенства § 至 За/4, могут быть два типа упорядочения, изображенные на рис. 17,4, а, б.
Учет магнитной анизотропии, а также анизотропии g-фактора позволяет уточнить выводы теории молекулярного поля. Наиболее подробное изложение такого уточненного расчета дано в работах Власова [123, 124] (см. также обзор Нагамийя и др. [1]).
Общая термодинамическая трактовка антиферромагнетизма. В случае антиферромагнетизма, как и для ферромагнетизма, можно развить общую термодинамическую трактовку [см. Боровик-Романов [3], Туров (1963)]. Если мы ограничимся коллинеарной магнитной структурой, то можно ввести две магнитные подрешетки (два магнитных иона в элементарной магнитной ячейке) с суммарными моментами соответственно М、 и Л/?. Вектор антиферромагнетизма определяется равенством
(22Л11)(22Л11)ъ=мх—м2.
(22Л11)
(22Л11)
Его относительная величина
% =哀(22.112)
является мерой дальнего магнитного порядка,厶。一величина вектора L при 0° К, равная удвоенной величине магнитного насыщения Мо каждой из подрешеток:厶。=2MQ.
Суммарный магнитный момент кристалла будет равен
М = М^М2.(22.113)
Если коллинеарный антиферромагнетизм допускается симметрией кристалла, то вектор L при всех операциях симметрии соответствующей пространственной группы должен преобразовываться сам через себя. При этом, если при данной операции симметрии происходит перестановка атомов внутри одной и той же магнитной подрешетки, то вектор L преобразуется, как обычный аксиальный вектор. Если же происходит перестановка атомов между двумя магнитными подрешетками, то вектор L будет испытывать дополнительное изменение знака соответственно формуле (22.111), в которой при этом произойдет перестановка индексов 1 и 2. Очевидно, что суммарный магнитный момент М всегда преобразуется, как аксиальный вектор.
Строго скомпенсированным антиферромагнетиком будем называть такой, у которого М = 0 при Н = 0. (Могут, однако, быть случаи, когда из свойств симметрии кристалла при £，0иН = 0с неизбежностью следует, что и Jf 声 0. Этот случай мы рассмотрим ниже, см. § 11.)
Ограничимся рассмотрением одноосного (гексагонального, тетрагонального или ромбоэдрического) с локализованными атомными магнитными моментами антиферромагнитного кристалла с осью симметрии z. Тогда плотность энергии такого кристалла при 0° К с точностью до квадратичных членов по намагниченностям подрешеток (при условии их однородности во всем объеме кристалла) будет иметь вид
^0= -^.n^ + ^-m^^il-mh,(22.114)
где первый член — обменная энергия, второй и третий — энергии магнитной анизотропии, а четвертый—энергия во внешнем магнитном поле,
»г = 6(ЛЛ + "2), Z = *(", — "2), h = HM0. (22.115) Из условия
М： = М：=(等)2,(22.116)
справедливого при 0°К, имеем
7n2+伊=1.(22.117)
Минимизация выражения (22.114) при 九=0 и при условиях (22.117) показывает, что антиферромагнетизм (т. = 0, 2 = 1) имеет место при Л V V 0 (отрицательная обменная энергия!). Ось антиферромагнетизма (определяемая вектором Z) будет параллельна оси симметрии z при 6 > 0 и перпендикулярна к ней при 6Vo• Далее можно провести тот же анализ всех частных случаев, который был проведен выше в модельной теории.
Как и в модельной теории здесь при определении основного состояния мы совершенно не учитывали квантовых поправок, связанных с энергией нулевых колебаний (см. ниже § 7).
Проведенный здесь расчет можно также обобщить и на случай температур, отличных от нуля. При этом придется отказаться от условий (22.116) и (22.117). Более детально с расчетами для этого случая можно ознакомиться по обзору Боровика-Романова [3].
Обращаем внимание еще на интересную работу Дзялошинского и Манько [196]. В ней в рамках общей термодинамической трактовки рассмотрены нелинейные эффекты в антиферромагнетиках. Дело в том, что в разложении М (Н) по Н появляются (в отличие от парамагнетиков) квадратичные и другие четные степени Н, поскольку группа магнитной симметрии антиферромагнитного кристалла может не содержать элемента R (обращение времени), если он входит в комбинации с другими элементами:
М t = Х/Нк + bthtH^H i + CthtmHhH {Н 1n + • • •
На основании общих физических соображений авторы оценивают коэффициенты btki и ctkim в выражении для зависимости момента М от поля Н и рассматривают конкретные примеры антиферромагнетиков (UO2, FeCO3 и a-Fe2O3). В этой же работе доказана возможность существования ферромагнетиков, обладающих своеобразным «скрытым» антиферромагнетизмом. В таких кристаллах средние магнитные моменты ионов различаются как по величине, так и по направлению, хотя, в отличие от обычных ферримагнетиков, все магнитные ионы в нем одинаковы и расположены в эквивалентных кристаллографических позициях. Наличие скрытого антиферромагнетизма проявляется в иной температурной зависимости самопроизвольной намагниченности вблизи точки Кюри (подробнее см. оригинальную работу [196]).
Теория спиновых волн в антиферромагнетиках
Наглядное квазиклассическое описание. Одной из важнейших проблем антиферромагнетизма является расчет и экспериментальное определение магнитной ветви элементарных возбуждений кристалла антиферромагнетика в области низких температур (Т《0Л-). В связи с этим рассмотрим микроскопическую теорию спиновых волн для антиферромагнетиков. Как и в гл. 19, начнем с квазиклассического описания спиновых волн в антиферромагнетике.
Следуя Кефферу и др. [197] (см. гл. 19), рассмотрим цепочку из атомов, расположенных в узлах 7, 2, 3, 4, 5, 6, . . . с расстоянием а между соседними атомами (рис. 22.22). Пусть внешнее слабое поле HQ направлено вдоль оси z. Если спиновое квантовое число атомов равно S, то спиновый магнитный момент равен gp^ J^S (S + 1). В основном состоянии, когда нет спиновых волн (к = 0), все спины в цепочке прецессируют в фазе вокруг направления поля Но с максимальным значением слагающей Sz = S и частотой | со。| = g^HJIi. В отличие от случая ферромагнетиков (когда все спины параллельны), здесь будут две возможные прецессии по часовой стрелке и против с частотами з。= ± ^цБЯ0/Й.
В случае спиновых волн с fc ^ 0 прецессия отдельных спинов будет совершаться уже в разных фазах. Однако для нормальных типов движений ) сдвиг фаз должен быть постоянным и между соседними спинами для линейной цепочки он равен (te). На рис. 22.22, а приведен «моментальный снимок» картины прецессирующих спинов в цепочке атомов антиферромагнетика. На рис. 22.22, 6 представлен вид сверху на окружность прецессии, описываемую в пространстве концами векторов спиновых моментов в плоскости xz/. На кружках вдоль окружности точками показаны фазовые положения спинов 7, 2, 3, 4 и их положения при обратном движении： —2, —2, —3, —4. «Нечетные» спины прецессируют по большой окружности радиуса R (для спинов, направленных вверх на рис. 22.22, а), а «четные» спины — по меньшей окружности радиуса Р. Вид сбоку приведен на рис. 22.22, е:屮！——угол между направлением четного спина 2
и соседних нечетных 7 и 3, а 屮2 — угол между нечетным спином 3 и четными соседями 2 и 4, причем ф2 > 屮 1・ Для наглядности разности фаз на рисунках, как и в случае рис. 19.2, значительно увеличены. Движение второго нормального типа можно изобразить теми же рис. 22.22, г — в, если их повернуть на 180° вокруг горизонтальной оси и не учитывать, что
Рис. 22.22. Полуклассическая картина движений спиновых моментов нормального типа для спиновых волн в антиферромагнетике. Спины, направленные вверх, прецессируют по окружности радиуса 五，а вниз— по окружности радиуса Р (Р < Я), а) «Мгновенный снимок» спиновых волн для шести узлов (2, 2, 3, 4, 5 и 6) в линейной цепочке с параметром а; б) вид сверху, показывающий фазовые соотношения для соседних спинов; е) вид «сбоку». Фазы 屮^ и ф2 определяются из соотношенийРис. 22.22. Полуклассическая картина движений спиновых моментов нормального типа для спиновых волн в антиферромагнетике. Спины, направленные вверх, прецессируют по окружности радиуса 五，а вниз— по окружности радиуса Р (Р < Я), а) «Мгновенный снимок» спиновых волн для шести узлов (2, 2, 3, 4, 5 и 6) в линейной цепочке с параметром а; б) вид сверху, показывающий фазовые соотношения для соседних спинов; е) вид «сбоку». Фазы 屮^ и ф2 определяются из соотношений
Рис. 22.22. Полуклассическая картина движений спиновых моментов нормального типа для спиновых волн в антиферромагнетике. Спины, направленные вверх, прецессируют по окружности радиуса 五，а вниз— по окружности радиуса Р (Р < Я), а) «Мгновенный снимок» спиновых волн для шести узлов (2, 2, 3, 4, 5 и 6) в линейной цепочке с параметром а; б) вид сверху, показывающий фазовые соотношения для соседних спинов; е) вид «сбоку». Фазы 屮^ и ф2 определяются из соотношений
Рис. 22.22. Полуклассическая картина движений спиновых моментов нормального типа для спиновых волн в антиферромагнетике. Спины, направленные вверх, прецессируют по окружности радиуса 五，а вниз— по окружности радиуса Р (Р < Я), а) «Мгновенный снимок» спиновых волн для шести узлов (2, 2, 3, 4, 5 и 6) в линейной цепочке с параметром а; б) вид сверху, показывающий фазовые соотношения для соседних спинов; е) вид «сбоку». Фазы 屮^ и ф2 определяются из соотношений
sin б = в [S (S + 1)]~1/2； sin 屮2 = р [[S (S + 1)]—V2-
Отрезки эс и у показаны на схеме 6, a S — спиновое квантовое числомагнитного иона. Н。一 внешнее магнитное поле.
при Н 声 0 оба эти типа движений становятся несколько иными, чем при Н = 0. При Н ~ 0 оба нормальных типа оказываются вырожденными. Для нормального типа движений необходимо, чтобы угловые скорости прецессии спинов обоих магнитных подрешеток были одинаковы. Уравнение движения в виде (19.54) или (19.57) для спинов примет вид
= [оа, Нафф]. (22.118)
Поле Нз^т можно определить из гамильтониана отдельного спина [см., например, (22.66)] при 2Г = 0
能а, об = — “с 3 4хаУа，= — ^НБаа *-Н^эфф，
суммирование по о/ производится по z ближайшим соседям (в случае цепочки z=2) и, следовательно,
五^ =計2%(22.119)
а，
По уравнению вращательногоПо уравнению вращательноговеличину вниз (Т_)：величину вниз (Т_)：(22.118) и выражению (22.119) легко найти
По уравнению вращательного
По уравнению вращательного
величину вниз (Т_)：
величину вниз (Т_)：
момента для спинов, направленных вверх (Г+) и
% = g^E，S(S 卜1)二-2 Ms (S+ 1) sin 屮2 = 2/S(S+ 1) sin q)2?
T_ = 2/S(S + 1) sin фР
Из схемы на рис. 22.22,8 видно, что sin^i = x/[S(S +1)]1/2, sin(p2 = = 〃[S(S+1)『色поэтому
Т+ = 2Ау /5(5+1),Т_ = 2Ах/5(5+1).Т+ = 2Ау /5(5+1),Т_ = 2Ах/5(5+1).Из той же схемы следует, чтоИз той же схемы следует, чтоx = R—Px = R—Pk^Rk^Rи у=К—Ри у=К—Р而202尸而202尸(22.120)(22.121)(22.120)(22.121)
Т+ = 2Ау /5(5+1),Т_ = 2Ах/5(5+1).
Т+ = 2Ау /5(5+1),Т_ = 2Ах/5(5+1).
Из той же схемы следует, что
Из той же схемы следует, что
x = R—P
x = R—P
k^R
k^R
и у=К—Р
и у=К—Р
而202尸
而202尸
(22.120)
(22.121)
(22.120)
(22.121)
Далее, поскольку уравнение движения для момента (22.118) можно записать через угловую скорость з:
噌=®, ЙО],
то для вращательного момента имеем
Т+ = Й(о+ R, Т一 = %з一Р.(22.122)
Поскольку для нормальных движений 3斗=3一，то, подставляя в (22.122) выражения (22.120) и используя равенство угловых скоростей, находим 工=方(22.123)
Из (22.121) и (22.123) получаем
R-P = ka [^±^jy2(22.124)
=.(22.125)
р 兄2Д/2(2?2+尸 2)'丿
Ограничиваясь случаем малых ка ( <^ 1), т. е. длинных волн, можно в (22.125) положить Е^Р, и, следовательно, вместо (22.125) будем иметь
■р-ка .(22.126)
Поэтому для закона дисперсии спиновых волн в антиферромагнетике при Н = 0 получаем не квадратичный, как у ферромагнетиков, а линейный закон
方з士 =А [S (5 4-1)] V2 枚.(22.127)
Более строгий расчет. Рассмотрим эту же задачу в более общей квазиклас- сической трактовке. Будем исходить снова из уравнения движения (22.118)
唸=一及 2 儿а，％1(22-128)
Из (22.128) видно, что движение спинов определяется системой нелинейных уравнений. Если существует устойчивое равновесное распределение, в котором все вращательные моменты равны нулю, то, линеаризуя уравнения для состояний, близких к этому основному, можно определить малые колебания системы. Рассмотрим модель двух подрешеток а и 6 и ограничимся учетом взаимодействий л»шь ближайших соседей. При антиферромагнитном упорядочении, когда Sa — Sa в подрешетке а и 5а = 5ь в подрешетке 6, вращательные моменты равны нулю. Если | >Stt | — | >8& | (антиферромагнетик), то 鳥 + 5匕=0； в случае | 5。| 力 | S匕 | имеем более общий случай ферримагнетика. Для слабо возбужденных состояний полагаем
% =負 + 6 %%=觇 + 6 %;
подставляя эти выражения в (22.128) и, сохраняя лишь линейные по 6s члены, получим
我£= —2Aza，｛l6j，%】十国，6%】｝，а'
•「(22.129)
Йб«а-=-3^аа-Я6«а-, Sa] + [Sb, 6取]｝・
а
Решение ищем в виде
66а=(~7^)2 ехр [ — i (化,a7)] Bfc,)
х；(22/3。)
6$廿=(亓) 2j expt —i(fc, а)] Ck.
Из (22-130) и (22/29) получаем
кВк=-^А0\Вк,冬]+ 24exp[i(E,p)HC, SJ QQ
力△= — £/(![以，«J + 3-4eexp[-i(fc, p)] [Bk,当],(22.131)
где p — радиусы-векторы между данным узлом решетки и его ближайшими соседями. Выберем ось z в направлении вектора Sa и будем рассматривать спиновые отклонения 66 как х- и ^-слагающие векторов спинов. Как и в гл. 19, введем новые иеремен- ные
理=欧士倒，e丰=e^± iC%
тогда (22.131) можно записать в виде
现=9(5泸 £一y内狂力；h-^(^C+-7kSlB^(22.132)
氏=一》% 国В% —、kS^Cq； @%= —co。(S^-^^ykS^B-^,(22.133)
где введены сокращенные обозначения
方聞=2 Л0> 丫询=2 Ло ехр [± "论・р)]/ 2 &.(22.134)
QQQ
Рассмотрим два случая.
Антиферромагнетизм-. S^=-—5三=5・ В этом случае имеем *)
8а=8о§(1—у»%.(22.135)
При Н = 0 имеем двукратное вырождение. При малых Кр величину у询 из (22.134) можно разложить в ряд по степеням /ср; это дает
Уа Q 1—■^仪2左2и i — yk ^а2^2,(22.136)
где
«25
(22.137)(22.137)-£«2^-0
(22.137)
(22.137)
2 • 24 •
Таким образом, для дисперсионного соотношения получаем, как и в (22.127), линейный закон )
龙① А = —2— Sak.(22.138)
Ферримагнетизм-. S& 力 S&. В этом случае S^ = Sa, S^ = — S^ Подставляя это в (22.133), получаем вместо (22.135) другой дисперсионный закон
龙3^= - 2° {[(*Sa + ^b)2 — 4SaSby%『/2 士 岱《 — S&)}.(22.139)
Здесь вырождение снимается, и при Н = 0 имеем две ветви спектра спиновых волн. При малых *р формула (22.139) дает
九З/с а (р砌2,
т. е. квадратичный закон дисперсии, как и в случае ферромагнетиков ). Только в исключительном случае в ферритах может быть линейный закон дисперсии типа (22.138), а именно, когда Sa = S&, т. е. имеет место равенство спиновых (механических) моментов ионов под решеток, но различны их g-факторы: ga 关 gb, и поэтому нет компенсации магнитного момента ). Более строгая теория ферримагнетиков будет изложена в § 10.
Результаты модельной теории спиновых волн и ее сравнение с опытом. Модельная теория спиновых волн в антиферромагнетиках развивалась многими авторами ).
Во всех работах получены более или менее аналогичные результаты: для спектра спиновых волн в антиферромагнетиках имеет место линейный закон дисперсии. При учете магнитной анизотропии возникает относительно большая энергетическая щель. Спин-волновой спектр имеет в антиферромагнетике две ветви. В присутствии внешнего магнитного поля эти ветви оказываются различными в зависимости от направления магнитного поля в кристалле.
Рассмотрим одноосный антиферромагнетик с направлением анти-
магнитными подрешетками. При этой оси, в основном состояниимагнитными подрешетками. При этой оси, в основном состоянииферромагнетизма вдоль оси z и с двумя наличии внешнего поля, параллельного будем иметь
магнитными подрешетками. При этой оси, в основном состоянии
магнитными подрешетками. При этой оси, в основном состоянии
/?н=/?н = /；? = /$? = 0, Zlz=—以=厶，
где Zo — намагниченность насыщения подрешеток при 0°К. Для энергетического спектра получаем (см., например, [188]) следующее дисперсионное соотношение:
%, 2 =[陷瓦1/ + (3观)2 (叫2//2 士阳z.
Здесь е — энергия спиновых волн, к — квазиимпульс,卩一атомный магнитный момент (〜卩е), НА — эффективное поле энергии магнитной анизотропии (см. 22.95а), НЕ — эффективное поле обменной связи [см. (22.85)], 0С — величина порядка температуры Нееля 0^ 〃 — постоянная решетки. Упоминавшееся выше поле опрокидывания магнитных подрешеток [см. [22.956)] равно
поэтому формула для спектра справедлива при Hz < Нс.
Если внешнее магнитное поле перпендикулярно оси z и направлена вдоль оси 化,то в основном состоянии имеем
小=& = £%丄瓦 & = /% = 0,/?Z= -以—]/ /о —/lx /().
Спектр спиновых волн в этом случае имеет тоже две, но уже несимметричные ветви:
Ё1 = [2^НАНЕ+(к^<^ (аА:)2]1/2,
82= [2 卢Ё厶/+ (卩瓜)2 + (*Б0C)2 (叫2『2.
Зная закон дисперсии спиновых волн можно определить часть термо- динамического потенциала, определяемого этими возбуждениями кристалла, т. е. бозе-газом спиновых волн (антиферромагнонов), как это было уже проделано в гл. 19 для ферромагнетиков, а затем определить все
интересующие нас термодинамические величины （магнитный вклад в теплоемкость Смагн, температурную зависимость намагниченности подрешеток I （7）, магнитные восприимчивости %” и %丄 и т. п.）.
Как и в случае ферромагнетиков, спин-волновое приближение справедливо в области низких температур, т. е. при
7《®с ®N・
Кроме того, здесь оказывается, что температурные зависимости физических величин будут существенно различными в зависимости от того, находимся ли мы ниже некоторой температуры ТЛЕ или выше нее. Эта температура ТАЕ определяется величиной поля опрокидывания подрешеток:
^б^ае = [^Нс.
Так, например, для магнитной теплоемкости получаем （см. Боровик- Романов [3]）
=品（後了 （翠，exp （-赛）（7《77，
Смагн =黑^ （专）з（Пе《？《©n）；
для магнитной восприимчивости
（Т《Пе）,（Т《Пе）,"辞^总（聲广（力&Р（一华），
（Т《Пе）,
（Т《Пе）,
-a "五。3/凤I灰丿\©c/? \ r /
4"=近 ПРИ ? = 0°К;
（ТАЕ《Т《0С）,（ТАЕ《Т《0С）,
（ТАЕ《Т《0С）,
（ТАЕ《Т《0С）,
и, наконец, для самопроизвольных намагниченностей подрешеток
/⑺=/。｛1 - 3）T2事譬儲产（畳广exp （一争）｝（T《ТАЕ）,
/ ⑺=厶｛1 -^<6Г 譬（М）2｝（%《？《Ос）-
Эти формулы для Смагн Хц, %丄 s / （7） и должны служить предметом опытной проверки. В них входят три постоянные 0С, ТЛЕ и а-1 = %工・ Величина критической температуры ТАЕ определяет величину энергетической щели в спектре спиновых волн. Легко видеть, что величину этой щели и ее зависимость от Н можно экспериментально определить с помощью антиферромагнитного резонанса:
Ширину щели в поле Нс определили резонансным методом Пулис и др. [243] и Уббинк и др. [244] на монокристалле СиС12-2Н2О, оказалось что поле опрокидывания Нс ^ 6——8 кэ. Так же были исследованы антиферромагнетики СиВг2 -2Н2О [245] и МпВг2 '2Н2О [246]. Эти антиферромагнетики «удобны» для резонансных опытов, поскольку у них очень низка точка Нееля и поэтому не очень велики резонансные частоты. Фонеру [247] удалось определить поле Нс и для одноосных антиферромагнетиков MnF2 （0^ = 67,5° К） и Сг2О3 （日n — 307° К）, где эти поля соответственно равны HciMnFz） = 97 кэ и Нс（сг20з） ~ 60 кэ.
Гораздо сложнее обстоит дело с проверкой формул, описывающих температурную зависимость теплоемкости, восприимчивости и намагниченности подрешеток. Из приведенных выше формул мы видели, что при условии Т《Тае все термодинамические величины должны изменяться с температурой экспоненциально (сильное влияние энергетической щели в спектре спиновых волн). Однако в большинстве известных антиферромагнетиков Тае не превышает 10—20° К. Поэтому гелиевая область температур (2—4° К) не обеспечивает выполнения условия Т《Тае, где только и выполняется экспоненциальная зависимость. Кроме того, изменения, например, магнитных восприимчивостей могут сильно затрудняться из-за наличия диамагнетизма и парамагнитных примесей.
Во второй области температур Тае《7《“ теория предсказывает квадратичную зависимость восприимчивостей от температуры для CoSO&, NiSO4 и MnF2. Это фактически и наблюдали Стоут и Гриффель [248], Боровик-Романов и др. [249] и Крейнес [250]. Однако в более точных опытах по определению температурной зависимости намагниченноетей подрешеток методом ЯМР во фторидах переходных металлов Жаккарино и др. [95, 251, 252] получили результаты, не согласующиеся с выводами существующей теории спиновых волн. Кроме того, остается неясным вопрос, можно ли сравнивать полученные экспериментальные результаты для Т W 0,2 ©дг с выводами спинволновой теории, поскольку для антиферромагнетиков отсутствует пока анализ, подобный тому, который дал Дайсон [253] для ферромагнетиков (см. гл. 19). (Впрочем, см. работы [268, 269].)
В связи с только что изложенным Боровик-Романов [254] указал, что все отмеченные трудности можно исключить? если исследовать одноосные антиферромагнетики, в которых намагниченности подрешеток направлены не вдоль главной оси кристалла, а перпендикулярно к ней. Он и Туров [255] независимо произвели расчет энергетического спектра спиновых волн для этого случая. Результаты их расчета изложены ниже в § И.
Укажем еще дополнительную литературу по теории спиновых волн в антиферромагнетиках [270—282, 570—572].
§ 8. Квазиклассическая теория ферримагнетизма
Выше неоднократно отмечалось, что явление ферримагнетизма относится к случаю нескомпенсированного антиферромагнетизма. Поэтому, так же как и в случае скомпенсированного антиферромагнетизма, можно считать, что ферримагнетики состоят из магнитных подрешеток. Неель [38] предложил трактовку ферримагнетизма с помощью дальнейшего обобщения метода молекулярного поля, с успехом применяемого ранее в случае ферро- и антиферромагнетизма. Здесь будут изложены основные результаты этой трактовки, а также ее дальнейшее развитие.
Кристалло-химическая структура типичных ферримагнитных соединений. Прежде всего остановимся кратко на описании кристаллической структуры наиболее типичных ферримагнетиков. Выше уже отмечалось, что они, как правило, являются довольно сложными неметаллическими соединениями — окислами, сульфидами ит. п.— переходных элементов. ₽ Из них наиболее изучены ферриты, в которых магнитный порядок сочетается с высоким значением удельного электросопротивления (от 10-3 до 1013 ом -елг), т. е. с полупроводниковыми и диэлектрическими свойствами. Поэтому эти материалы широко используются в СВЧ-технике. Наиболее известны семь типов ферритов: (см. обзор Пахомова и Смолькова [256]):
ферриты со структурой шпинели (MgAk。/；
ферриты со структурой гаусманита (МП3О4)；
ферриты редких земель и иттрия со структурой граната (Ca3Al2(SiO4)3);
ферриты с искаженной структурой перовскита (CaTiO3) — ортоферриты;
ферриты щелочноземельных элементов со структурой магнетоплумбита <PbFe13Oig);
литиевые ферриты со структурой NaCl;
ферриты Са и В с орторомбической структурой.
〃.Структура шпинели. Наиболее характерной и изученной является первая из этих структур (структура шпинели), на кратком описании которой мы и остановимся.
Кристалл шпинели имеет г. ц. к. решетку, в узлах которой расположены большие
анионы О2", а в междоузлиях между ними меньшие — двух-, трех- и четырехвалентные катионы переходных металлов： ; ,Fe2+, Fe3+, Fe4+ и т. п. На рис. 22.23 и 22.24 изображена элементарная ячейка г. ц. к. решетки шпинели. В вершинах куба и в
О Онглаэдричесние меж^одзлияО Онглаэдричесние меж^одзлияО Тегпраз^ические междоузлияО Тегпраз^ические междоузлияС АТетраэдрические 耨езкб口дзти盅О 8 Онгпаэдричвсние мезюОодзт展 ◎ Ионы 02+С АТетраэдрические 耨езкб口дзти盅О 8 Онгпаэдричвсние мезюОодзт展 ◎ Ионы 02+©) Ионы 02~
О Онглаэдричесние меж^одзлия
О Онглаэдричесние меж^одзлия
О Тегпраз^ические междоузлия
О Тегпраз^ические междоузлия
С АТетраэдрические 耨езкб口дзти盅
О 8 Онгпаэдричвсние мезюОодзт展 ◎ Ионы 02+
С АТетраэдрические 耨езкб口дзти盅
О 8 Онгпаэдричвсние мезюОодзт展 ◎ Ионы 02+
Рис. 22.23. Элементарная ячейка г. ц. к. решет-ки шпинели.
Рис. 22.24. Элементарная ячейка г. ц. к.решетки шпинели с показанным окруже-нием тетраэдрических и октаэдрическихмеждоузлий.Рис. 22.24. Элементарная ячейка г. ц. к.решетки шпинели с показанным окруже-нием тетраэдрических и октаэдрическихмеждоузлий.центрах граней расположены анионы О2". Октаэдрические междоузлия В находятся в центре ребер и центре куба, их приходится ло четыре на ячейку и каждое из них окружено шестью анионами О2*. Тетраэдрические междоузлия А находятся в центре октантов куба, их приходится по восемь на ячейку и каждое из них окружено че
Рис. 22.24. Элементарная ячейка г. ц. к.решетки шпинели с показанным окруже-нием тетраэдрических и октаэдрическихмеждоузлий.
Рис. 22.24. Элементарная ячейка г. ц. к.решетки шпинели с показанным окруже-нием тетраэдрических и октаэдрическихмеждоузлий.
тырьмя анионами О3". Поскольку в решетке шпинели катионами заняты не все междоузлия (рис. 22.25), то элементарная ячейка имеет вид куба с удвоенным ребром. Поэтому кратность позиций в ней увеличена в 8 раз по сравнению с ячейкой рис. 22.24, т. е. число узлов равно 32 (вместо 4), октаэдрических междоузлий 32 (вместо 4) и тетраэдрических междоузлий —64 (вместо 8). Из 32 октаэдрических междоузлий В занято катионами лишь 16, а из 64 тетраэдрических междоузлий 4 всего 8 мест. Таким образом, элементарная ячейка шпинели содержит восемь молекул XY2O4, где X и Y — химические символы катионов металлов, по крайней мере один из которых принадлежит к группе переходных элементов. В зависимости от валентности кати
онов и занимаемых ими междоузлий шпинели делятся на
Х2+уз+О^" (2—3) шпинели, X&+Y萨О?"* (4—2) шпинели.
Кроме того, рентгенографические исследования Вервея и Хайльманна [10] показали, что, например, в шпи-
ф Окггш卿 in 比кие междоузлия $ Тетраэдрические междоузлия 6 Ионы О"ф Окггш卿 in 比кие междоузлия $ Тетраэдрические междоузлия 6 Ионы О"Рис. 22.25. Элементарная ячейка пшкнели с заня-тыми междоузлиями.Рис. 22.25. Элементарная ячейка пшкнели с заня-тыми междоузлиями.нелях (2——3) возможны три типа распределения катионов по междоузлиям В н 4:
ф Окггш卿 in 比кие междоузлия $ Тетраэдрические междоузлия 6 Ионы О"
ф Окггш卿 in 比кие междоузлия $ Тетраэдрические междоузлия 6 Ионы О"
Рис. 22.25. Элементарная ячейка пшкнели с заня-тыми междоузлиями.
Рис. 22.25. Элементарная ячейка пшкнели с заня-тыми междоузлиями.
нормальные шпинели： катионы Х3+ в тетраэдрических междоузлиях 4 и катионы Y3+ в октаэдрических В Х3+ [Y^+] О汇(например, ZnFe2O4, GdFe2O4);
обращенные шпинели: все катионы Ха+ в октаэдрических междоузлиях 8, одна половина катионов Y3+ з тетраэдрических Л, а вторая в октаэдрических В уз+[х2+У3+]О|- (например, Fe3O4, MgFe2O4, CoFe2O4, NiFe2O4, СиРе2О4, LigFez^Oj.
Между этими двумя модификациями существует непрерывный ряд промежу^ точных структур.
Шпинели (4—2) практически всегда обращенные. Более подробные сведения ■о структуре шпинелей можно найти в обзорах Пахомова и Смолькова [256], Гортера [257], Сироты [258] и монографиях Ормонта (1950) и Бокия (I960).
Структура граната. Теория молекулярного поля может быть распространена и на другие типы ферримагнетиков, имеющих структуру, отличную от структуры шпинели. Среди них следует указать уже упоминавшиеся выше ферриты со структурой гаусманита^ граната^ перовскита^ магнетоплумбита, некоторые кристаллы со структурой никель-арсенидной решетки и др. В основном схема расчета сохраняется такой же, как и в случае шпинельных структур. Весьма детальное экспериментальное исследование ферритов иттрия и редких земель со структурной формулой (граната) 5Fe2O3 х 义 ЗМе2О3 ), где Me = Y, Cd, Tb, Dy, Ho, Er, Tm, Yb и Lu произвел Потене [262, 263]. Во всех случаях, кроме иттриевого граната, магнитно активными ионами являются ионы Fe3+ и Ме3+, которые расположены в трех подрешетках (16 октаэдрических узлов а с Fe3+, 24 тетраэдрических узла d с Fe3+ и 24 узла в двеиадцатигранниках «с» с ионами Ме3+). По схеме Нееля — Потене при полном замораживании орбитальных моментов магнитный момент на «молекулу» 5Ре2Оз-ЗМе2О3 будет равен в случае иттриевого феррита 2[Зт0Ре3+ — 2т0Рез+] = 2т0Рез+ — 10^Б и в случае редкоземельного 2・3/?10Мез+ 2[3/т1дpg3+ 2/7i0Fe3+] ~^ 6^0Ме"+ — 10ц^» В табл. 22.2 耳ано сравнение теоретических и опытных данных для атомных магнитных моментов. Полное согласие наблюдается только в случае систем с Me —Y, Gd, Lu (для которых орбитальное квантовое число £ = 0) и Тт (с £ = 5). Расхождение, наблюдаемое для Me = Tb, Dy, Но, Ег и Yb, по мнению Потене, можно объяснить сильной сштн-орбитальной связью. Возможно также, что имеет место какая-либо другая не коллинеарная магнитная структура.
Таблица 22.2
Теоретические и экспериментальные значения моментов
насыщения р ферритов со структурой граната
Рассмотрим в качестве примера феррит типа МеО ^6203 с обращенной структурой (2—3):
F嗨.Me龍2m [Fe史2如мe图]0：-；
81632
здесь Ме2+ ——немагнитные ионы металла, а ха ——относительные числа магнитных ионов железа Fe3+ в тетраэдрических междоузлиях А и хь ~
=1 — xa ——их относительные числа в октаэдрических междоузлиях 3, соответственно рассчитанные на одну《молекулу». Между ионами Fe3+, находящимися в узлах типа Л и Б и не являющихся ближайшими соседями, возникает сильная косвенная отрицательная обменная связь при активном участии немагнитных анионов О2-, находящихся между ними.
Согласно Неелю [38], суммарную намагниченность ферримагнетика (на грамм-ион) с двумя неэквивалентными подрешетками а и & можно записать в виде
I = xaIa+xbIb. (22.140)
где 1а и Jb — намагниченности (на грамм-ион) соответственно для подрешеток а и Ь. Молекулярные поля, действующие на ионы этих подрешеток, по аналогии с (22.97) и (22.98), равны
на = п (см；аТа + ££匕几)， (22.141)
Нь = п (ВзТь + £片аТа), (22.142) где & = ±1, п, а и 卩——положительные постоянные; величины п, па и п^ связаны линейно с обменными интегралами типа Лаа, ЛаЬ и Аъъ.
Отметим, что картина косвенного обмена между магнитными ионами железа и других металлов в решетке типа шпинели, граната, перовскита
您 Онтаэдричесние катионы您 Онтаэдричесние катионыО Тетраэдрические натионы 1\ Ионы 02~О Тетраэдрические натионы 1\ Ионы 02~
您 Онтаэдричесние катионы
您 Онтаэдричесние катионы
О Тетраэдрические натионы 1\ Ионы 02~
О Тетраэдрические натионы 1\ Ионы 02~
Рис. 22.26. Некоторые «треугольные» конфигурации Me — О — Me, встречающиеся в кристаллической решетке шпинели. Кратчайшие расстояния Me — О распадаются на группу ближайших соседств, обозначенных р и qt и группу более далеких расстояний, обозначенных г, s и t (все остальные расстояния еще больше). На рисунке приведены конфигурации, для которых расстояние Me — О равно р или q, а второе расстояние Me — О равно р, q, г, s или К Десять показанных конфигураций имеют пять различных расстояний Me — Me: b, c, d, e и /. Цифры над каждым треугольником (или полное число начерченных там ионов кислорода) указывают, сколько раз данный тип треугольника встречается между двумя отдельными катионами. Числа в круглых скобках у каждого катиона указывают количество соседних катионов, с которыми первый образует треугольник данного типа. Плоскость кристалла, в которой или вблизи которой лежат треугольники, ^указаны ниже их.
и др. конечно, гораздо сложнее, чем в приведенном выше случае антиферромагнитного соединения типа МпО (§ 4). Так, например, на рис. 22.26 изображены треугольные конфигурации Me—О—Me, встречающиеся в решетке шпинели (см. Гор тер [257]), по крайней мере с одним кратчайшим расстоянием Me — О (р или q) и другими расстояниями не длиннее, чем г, s и、£. При косвенном обмене расстояния Me — Me (b, с, d, е, /) не играют существенной роли, поскольку эта связь определяется расстоянием Me — О (т. е. р, q, г, s,方)и углами ф для треугольной конфигурации Me — О — Me. Связь АВ между подрешетками наиболее сильная для соседств типа pqc (рис. 22.26). Косвенные связи внутри подрешеток АА
и ВВ, как правило, должны быть слабее связи АВ либо из-за «неблагоприятной» величины угла ф, сильнее отличающегося от л, чем в конфигурации pqc (например, в конфигурации ppb), либо из-за больших расстояний Me — О (например, в конфигурациях ptb, psb, ps/). Если связи АА и ВВ становятся сравнимыми с АВ, то картина усложняется и может произойти дальнейшее разбиение подрешетки и нарушение коллинеарности их парциальных намагниченностей (см. ниже).
Рис. 22.27. Температурная зависимость обратной восприимчивости %-1 (Т) двухподрешеточного ферримагнетика по Неелю [38].Рис. 22.27. Температурная зависимость обратной восприимчивости %-1 (Т) двухподрешеточного ферримагнетика по Неелю [38].При вычислении парциальных намагниченностей предположим, что на каждый магнитный ион действует эффективное поле, равное сумме внешнего поля Н и молекулярного поля ±?аили Нь. Если сначала рассмотреть парамагнитную область, то по аналогии с (22.105) получим' /а=^(Н+На), 1
Рис. 22.27. Температурная зависимость обратной восприимчивости %-1 (Т) двухподрешеточного ферримагнетика по Неелю [38].
Рис. 22.27. Температурная зависимость обратной восприимчивости %-1 (Т) двухподрешеточного ферримагнетика по Неелю [38].
С}(22.143)
Ib = ^{H + H^. J
р, характеризующих об-р, характеризующих об-Из (22.140)—(22.143) можно получить выражение для J при различных значениях концентрации ионов железа в подрешетках (ха или хь — 1 —力&)，а также при различных значениях параметров п, е, а и
р, характеризующих об-
р, характеризующих об-
менную связь между подрешетками и внутри них. Прежде всего рассмотрим случай е = —1, т. е. отрицательной (антиферромагнитной) связи между двумя подрешетками а и Ь.
а. Случай е = — 1,力& ¥=力ь・ Исключая из пяти уравнений (22.140) — (22.143) четыре величины Ja, Ih, На и Н&, найдем связь между результирующей намагниченностью I и внешним полем Н:
(22.144)(22.144)—0 [7 — ст：акь (2 + a + 6)]h
(22.144)
(22.144)
—?2—Сп da—хьр)Т -|- С2п2хахь (ар — 1)'
Отсюда для обратной величины атомной парамагнитной восприимчивости получаем
L=分 + 犷一 ^ёёР(22.145)
где приняты следующие сокращенные обозначения:
(22.146)(22.147)(22.148)(22.146)(22.147)(22.148)%о^ =冷 ^^a^bа£&В3),
(22.146)
(22.147)
(22.148)
(22.146)
(22.147)
(22.148)
О" =。2<2片аЬ [片а (1 + а) £匕(1 + В)К,
& = Спха^ъ (2 + а + §)•
Формула (22.148) отличается от обычной формулы для закона Кюри — Вейсса в ферромагнетиках [см., например, (6,6) или (18.11)] благодаря последнему слагаемому о7(7 — ©!), из-за которого зависимость х"1 (7) становится не прямолинейной, а гиперболической (рис. 22.27). Это достаточно хорошо согласуется с опытом по данным Серр [264], Фалло и Морони [265] *). Асимптота гиперболы (22.145) дается уравнением
孤= }+%Л (22.149)
Рис. 22.28. Диаграмма, показывающая различные области на фазовой плоскости параметров аире различными видами температурного хода результирующей самопроизвольной намагниченности двухпод- решеточных ферритов при отрица - тельном взаимодействии между подрешетками е = —1) и при отношении концентраций ха/хь = 2/3 (Неель [38]).Рис. 22.28. Диаграмма, показывающая различные области на фазовой плоскости параметров аире различными видами температурного хода результирующей самопроизвольной намагниченности двухпод- решеточных ферритов при отрица - тельном взаимодействии между подрешетками е = —1) и при отношении концентраций ха/хь = 2/3 (Неель [38]).
Рис. 22.28. Диаграмма, показывающая различные области на фазовой плоскости параметров аире различными видами температурного хода результирующей самопроизвольной намагниченности двухпод- решеточных ферритов при отрица - тельном взаимодействии между подрешетками е = —1) и при отношении концентраций ха/хь = 2/3 (Неель [38]).
Рис. 22.28. Диаграмма, показывающая различные области на фазовой плоскости параметров аире различными видами температурного хода результирующей самопроизвольной намагниченности двухпод- решеточных ферритов при отрица - тельном взаимодействии между подрешетками е = —1) и при отношении концентраций ха/хь = 2/3 (Неель [38]).
Из экстраполяции этой кривой до оси Т находим так называемую асимптотическую точку Кюри феррита (см. рис. 22.27)
(22.150)
Точку пересечения гиперболы (22.145) с осью Т находим из условия %"1 = 0
Qn=^- {«а»+«ь₽ — [{Xga — x^f + 4«^6]1/2}.(22.151)
В тех случаях, когда 0改〉0, это будет ферримагнитная точка Нееля, ниже которой в кристалле имеется самопроизвольна я намагниченность в подрешетках. Если 0改 < 0, то кристалл остается парамагнитным вплоть до 0° К. Из (22.151) видно, что ❷改=0, если выполняется равенство сф = 1・(22.152)
Таким образом, на «фазовой плоскости» величин обменных параметров (— оо < а, § V + оо), определяющих связь магнитных моментов в одной и той же подрешетке, можно выделить две области для @抖至 0, которые разделяются отрицательной ветвью гиперболы (22.152) (ACSB) (рис. 22.28): область ®n〉0 в части плоскости а, р, включающая начало координат О (область ферримагнетизма) и область V0 с другой стороны от гиперболы (область парамагнетизма). В частном случае а = § = 0 (начало координат) ®n = 2СпхаХъ, и поэтому вторым условием ферримагнетизма является принятое выше условие тг > 0 и (е = —1), т. е. отрицательная обменная связь между разными подрешетками.
Перейдем к рассмотрению ферримагнитной области. В этом случае (при Я = 0) для
самопроизвольных парциальных намагниченностей подрешеток (22.443), по аналогии с (22.100), получаются уравнения
/as = Ng^SBs，学)=Ng^SBs (^1 (az Jas + ez Jbs)) , (22.153) Ibs = Ng^SBs (即當“s ) = Ng^SBs (^|^(B2/s + ezJas)) , (22.154)
где Has и Hbs отличаются от соответствующих величин из (22.141)- и (22.142) заменой Ja> 匕 на Jas)bs. Абсолютная величина результирующей самопроизвольной налгагниченности при условии коллинеарности векторов Jas и 1bs равна
/§ — j xaIas % 1)工6§ I * (22.155)
Из (22.153), (22.154) можно вычислить темпер а турный ход самопроизвольной намагниченности феррита. Кривые /§ (Т) для ферритов при разных значениях параметров a, р, а также концентраций ха и хь обнаруживают очень большое разнообразие форм. Неель [38] указал путь для установления классификации этих форм. Эта классификация была усовершенство - вана и подвергнута экспериментальной проверке в работах Яфета и Китте- ля [12], Лотгеринга [266] и Джекобса [267]. Неель использовал при этой классификации, во-первых, значение при 0° К,
(/as)o =支 aNg“ES = £&/(), ^ bs)Q — ^Ъ^ ^Нб1^ = *^6-^0 (22.156)，
и, во-вторых, сравнение значений Jo при 0° К с их значениями вблизи ❷改, и, наконец, температурную зависимость /§ (7) вблизи 0° К.
Значения самопроизвольных намагниченностей при 0° К определяются по минимуму энергии молекулярного поля 宮мол：
宮мол =2" (“a7as ' Н- а-\-宽匕7匕§ • Н^.
Учитывая (22.141) и (22.142) и антипараллельность векторов Jas, Jbs, имеем
宮мол н ^ (^a^as ~Г 2xaXbIaSIbs -|- ^pZ&s).(22.157)
Существуют четыре решения для ZaS и Zbs, дающих минимум выражения (22.157), а именно:
(/з)0= (/68)0 = 0,(富моП)1 = 0.2
(Zas)o = ^0) (/匕8)0 = ^0» (^мол)п = 2^ (^а + 2хаХь + §啕.
(7as)о =厶，a (Z6s)0 определяется из условия ^^мол/^ (^bs)o^O» что дает
(/加)0=罐^厶，(змоп)гл=/龙(a 一 вг).
(IV) (/bs)o = /o, a (Zas)o определяется из условия d宮мол/d (，as)o = 0, что дает
(/аз)и= 諸~/。，(富MOJI)TV=g 龙"6 - aт)・
Простой анализ дает возможность определить решения для данного значения %&, которое соответствует минимуму ^мол как функции параметров а и р. Обратимся к рис. 22.28, на котором ветвь гиперболы ACSB, отделяет область G, которой соответствует решение (I), т. е. парамагнитное состояние. Далее мы видим, что условием «смыкания» решений (III) и (IV) с решением (II) являются соответственно уравнения 1= — хъ!аха и 1 = =—%&/卩力匕,которые на плоскости рис. 22.28, например при условии ха V 力ь ), дают две прямые CF (а = —%/力а) и СЕ(卩 = — 力丿力ь)・ Легко проверить, что гипербола AC SB и прямые CF, СЕ делят плоскость а, § рис. 22.28 на четыре области: GASB, FCE, ECSB и ACF соответственно четырем полученным выше решениям. Существенную роль играет также условие § = —1 (ибо при этом /§ может обращаться в нуль), которое на плоскости а, § рис. 22.28 дает прямую SH, выходящую из вершины гиперболы ACSB.
Рассмотрим температурный ход самопроизвольных намагниченностей вблизи точки Нееля. В этом случае Ias и 7bs — малы, и поэтому выражения (22.153) и (22.154) можно разложить в ряд
& ⑸,Ь)=法1 z。, ь-时也匕謠：唸ь 十• •.，(22.158) где
Za = [IQn (ga/as 十死/bs)] (KT)T, Zb = [7> (例財乩 + ^as)](笈7尸(22.159) и J? = k^N.
Подставляя (22.158) и (22.159) в (22.153) и (22.154) и вводя сокращенные обозначения
" =// (/aa/3 + ^b^bs} j 。~ ? 汽(*粛/Ь3 + *a/as),(22.160)
получаем два уравнения
у — В〃 хаСи
― xaDu3 .
u — ay/b6ь化bDv3
(22.161)
1 —сфТ
?3，
1 —aPT?з '
где
S + l . n_ '3S，〃
也"[($ + 1产 +SI (6 +()
R90S3'
(22.162)
1 — р/с j х^Ск^ с.场—а 1—ар @7~и； 1-ар1 — р/с j х^Ск^ с.场—а 1—ар @7~и； 1-ар3。而3。而0;0;(22.163)(22.163)Если Т —> ®n，то отношение ulv стремится к некоторому пределу 閱， который является решением двух уравнений (22Л01) без правых частей
1 — р/с j х^Ск^ с.场—а 1—ар @7~и； 1-ар
1 — р/с j х^Ск^ с.场—а 1—ар @7~и； 1-ар
3。而
3。而
0;
0;
(22.163)
(22.163)
乃1 будет положительным корнем уравнения, получаемого путем исключения 日改 из (22.163)
XJ^ + (Р^& — ^а) к^ — хъ^=0.(22.164)
При температуре Т ниже точки Нееля @改,но близкой к ней, можно положить
Т = &n — А7，?=自+ А&,Т = &n — А7，?=自+ А&,(22.165)(22.165)
Т = &n — А7，?=自+ А&,
Т = &n — А7，?=自+ А&,
(22.165)
(22.165)
где А7 и ДА：! — малые величины. Подставляя (22.165) в уравнения (22.161) и пренебрегая членами высшего порядка относительно А7, получаем два линейных однородных уравнения относительно Д71, №工 и t?2. Исключая из них А& и принимая во внимание (22.164), находим
^ + ^^KFk^ + ^-(22」66)
Если пренебречь величиной (АТ)"?, то из (22.160), (22.163) и (22.164) получаем
halL"探請(Za /瓦一^^) .(22.167)
Исключая v из (22.167) и (22.166), окончательно имеем
空V"（踪г"М瓦空V"（踪г"М瓦廿展蒲丿廿展蒲丿(22.168)(22.168)
空V"（踪г"М瓦
空V"（踪г"М瓦
廿展蒲丿
廿展蒲丿
(22.168)
(22.168)
Из (22.168) видно, что р езу льтир ующа я намагниченность совпадает по знаку с Zas, если разность 5 = (& V瓦一glVk)〉0. При 6 V 0 величина /§ совпадает по знаку с Zbs. При к^ 三 xjxb разность 6 меняет знак. Внося это значение & в (22.164), находим, что изменение знака 6 происходит при условии
片а 9+ 1) —£匕(В + 1) = 0.片а 9+ 1) —£匕(В + 1) = 0.(22.169)(22.169)
片а 9+ 1) —£匕(В + 1) = 0.
片а 9+ 1) —£匕(В + 1) = 0.
(22.169)
(22.169)
При постоянных ха и хь уравнение (22.169) на плоскости а, § дает прямую DS (см. рис. 22.28), проходящую через вершину гиперболы AC SB с наклоном 力 J 力 ь・ Следовательно, в верхней области AC SB величина 6〉0, а в нижней области DSB имеем 6 < 0. Сравнивая это со значениями Is при 0° К, находим, что в области ASD (рис. 22.28) намагниченность /§ всегда (от 0° К до ❷改)параллельна Zbs; в области BSH, наоборот, намагниченность /§ всегда параллельна 7as. В треугольной области HSD наблюдается очень интересное явление: при 0° К Is совпадает по направлению с /bs, а вблизи ®n — с /as. На рис. 22.29 схематически показан температурный ход xaIas. Xtlbs и /§ = xaIas — Хъ1ы для этого случая. Легко видеть, что существует такая температура О互,лежащая в интервале
/о вблизи 0° К (см. рис. 22.32). Здесь когда намагничена до насыщения %)/о вблизи 0° К (см. рис. 22.32). Здесь когда намагничена до насыщения %)Рис. 22.30. Самопроизвольная намагниченность Is в зависимости от температуры для трех ферритов со структурой граната (Берто, Потене [290]). Пунктирная кривая — теоретическая (по Алеонарду [564]). % — точка компенсации.Рис. 22.30. Самопроизвольная намагниченность Is в зависимости от температуры для трех ферритов со структурой граната (Берто, Потене [290]). Пунктирная кривая — теоретическая (по Алеонарду [564]). % — точка компенсации.Рис. 22.29. Температурная зависимость парциальных xaIas, xblbs и результирующей (Is = xalaa^-xblbs) самопроизвольных намагниченностей ферриРис. 22.29. Температурная зависимость парциальных xaIas, xblbs и результирующей (Is = xalaa^-xblbs) самопроизвольных намагниченностей ферримагнетиков с двумя подрешетками,магнетиков с двумя подрешетками,
/о вблизи 0° К (см. рис. 22.32). Здесь когда намагничена до насыщения %)
/о вблизи 0° К (см. рис. 22.32). Здесь когда намагничена до насыщения %)
Рис. 22.30. Самопроизвольная намагниченность Is в зависимости от температуры для трех ферритов со структурой граната (Берто, Потене [290]). Пунктирная кривая — теоретическая (по Алеонарду [564]). % — точка компенсации.
Рис. 22.30. Самопроизвольная намагниченность Is в зависимости от температуры для трех ферритов со структурой граната (Берто, Потене [290]). Пунктирная кривая — теоретическая (по Алеонарду [564]). % — точка компенсации.
Рис. 22.29. Температурная зависимость парциальных xaIas, xblbs и результирующей (Is = xalaa^-xblbs) самопроизвольных намагниченностей ферри
Рис. 22.29. Температурная зависимость парциальных xaIas, xblbs и результирующей (Is = xalaa^-xblbs) самопроизвольных намагниченностей ферри
магнетиков с двумя подрешетками,
магнетиков с двумя подрешетками,
О V @互 V ®n, при которой парциальные намагниченности ха1а& и xbIbs： подрешеток феррита точно компенсируются и результирующая намагниченность Is равна нулю. Температуру ❷互 принято называть точкой компенсации. Точка компенсации была обнаружена на опыте при исследовании намагниченности твердых растворов шпинельных систем Li0,5Fe2t5O4 — Li0t5Fe0j5Gr2O4 [257, 286—288], NiFe2_xAlxO4 [289], а также в ферритах-гранатах Er3Fe5O12, Gd3Fe5O12, Tb3Fe5O12, Dy3Fe5O12, Ho3FedO12 и т. д. [290, 263] (см. рис. 22.30 и 22.31).
Выясним температурный ход следует различать два случая: 1) одна подрешетка [решения типа (III) и (IV)] или 2) намагничены обе
подрешетки. В первом случае начальный ход кривой Is (7) зависит
когда существует точка компенсации %•
от соотношения величин парциальных намагниченностей xa(Ia^Q и 力匕(Z&s)0. при 0° К. Естественно, что температурные изменения самопроизвольной намагниченности подрешетки, намагниченной до насыщения при 0° К [например, (Z6s)0 = Zo] будут значительно слабее, чем у подрешеткиг намагниченной не до насыщения при 0° К (например, (1а^о = — ^ь/а^а)1о)- Поэтому и температурный ход /§ будет определяться температурным ходом намагниченности второй подрешетки ((Zas)o<-^o)- Отсюда следует, что в областях ACF и BSH, т. е. в областях М рис. 22.28, где парциальная самопроизвольная намагниченность не намагниченной до насыщения подрешетки ниже абсолютного значения парциальной намагниченности подрешетки, намагниченной до насыщения, результирующая намагниченность /$ начинает расти с температурой (ибо растет величина разности I ха1а& — ^ь1ь& |)5 см. кривую М на рис. 22.32. Наоборот, в области ECSH (области V и Н, рис. 22.28), где парциальная самопроизвольная намагниченность намагниченной до насыщения подрешетки выше по абсолютному значению, чем намагниченность подрешетки, намагниченной до насыщения, /§ начинает резко падать с температурой, ибо уменьшается величина разности | xaIas —— x^Ibs | (см. ■ кривые У и /? на рис. 22.32).
Во втором случае, когда обе подрешетки намагничены до насыщения при 0° К, можно воспользоваться разложением Bs (z) =-1 —S^1 exp (—z/S), справедливым вблизи 0° К. Если не учитывать зависимость от Т молекулярных полей (взяв их значения для 7 = 0° К), то имеем
八=/。｛g -% +贵exp [一叫嚼十啦]一事exp [一叫(端一叫｝.
- (22.170)
Аргументы у экспонент в (22,170) равны, если/аa+g —/ь6+кa.
Уравнение (22.171) на плоскости а, § (см, рис. 22.28) дает прямую СК (проходящую через точку а = § = 1Уравнение (22.171) на плоскости а, § (см, рис. 22.28) дает прямую СК (проходящую через точку а = § = 1Легко видеть, что в области FCK (т. с температурой вблизи 0° К (см. кривую Р на рис. 22.32), а в области КСЕ (т. е. областях Q и N рис. 22.28) Is (7) падает, но в обоих областях касательная к кривой /$ (7) при 0° К горизонтальна *). См. кривые Q м N на рис. 22.32.Теперь мы можем свести в ■одну схему различные типы кривых /§(7) для рассмотренного вида ферритов с двумя подрешетками. На рис, 22.32厶仞/6Легко видеть, что в области FCK (т. с температурой вблизи 0° К (см. кривую Р на рис. 22.32), а в области КСЕ (т. е. областях Q и N рис. 22.28) Is (7) падает, но в обоих областях касательная к кривой /$ (7) при 0° К горизонтальна *). См. кривые Q м N на рис. 22.32.Теперь мы можем свести в ■одну схему различные типы кривых /§(7) для рассмотренного вида ферритов с двумя подрешетками. На рис, 22.32厶仞/6и параллельную прямой SD).и параллельную прямой SD).области Робласти Р22.28) /§ растет22.28) /§ растетрис.рис.Рис.Рис.22.32. Схематическая картина основных22.32. Схематическая картина основныхРис. 22.31. Самопроизвольная намагниченность как функция температуры в ферримагнетиках Li0 5Fe2 5_хСгхО4 (Гортер L286J, Ван Виринген 1287]).Рис. 22.31. Самопроизвольная намагниченность как функция температуры в ферримагнетиках Li0 5Fe2 5_хСгхО4 (Гортер L286J, Ван Виринген 1287]).возможных типов — М, V, Q, R, Р, N, L (см. рис. 22.28) температурной зависимости самопроизвольной (результирующей) намагниченности Js и обратной восприимчивости %-' в двухподреше- точных ферритах (Неель [з8Б-возможных типов — М, V, Q, R, Р, N, L (см. рис. 22.28) температурной зависимости самопроизвольной (результирующей) намагниченности Js и обратной восприимчивости %-' в двухподреше- точных ферритах (Неель [з8Б-
Уравнение (22.171) на плоскости а, § (см, рис. 22.28) дает прямую СК (проходящую через точку а = § = 1
Уравнение (22.171) на плоскости а, § (см, рис. 22.28) дает прямую СК (проходящую через точку а = § = 1
Легко видеть, что в области FCK (т. с температурой вблизи 0° К (см. кривую Р на рис. 22.32), а в области КСЕ (т. е. областях Q и N рис. 22.28) Is (7) падает, но в обоих областях касательная к кривой /$ (7) при 0° К горизонтальна *). См. кривые Q м N на рис. 22.32.
Теперь мы можем свести в ■одну схему различные типы кривых /§(7) для рассмотренного вида ферритов с двумя подрешетками. На рис, 22.32
厶仞/6
Легко видеть, что в области FCK (т. с температурой вблизи 0° К (см. кривую Р на рис. 22.32), а в области КСЕ (т. е. областях Q и N рис. 22.28) Is (7) падает, но в обоих областях касательная к кривой /$ (7) при 0° К горизонтальна *). См. кривые Q м N на рис. 22.32.
Теперь мы можем свести в ■одну схему различные типы кривых /§(7) для рассмотренного вида ферритов с двумя подрешетками. На рис, 22.32
厶仞/6
и параллельную прямой SD).
и параллельную прямой SD).
области Р
области Р
22.28) /§ растет
22.28) /§ растет
рис.
рис.
Рис.
Рис.
22.32. Схематическая картина основных
22.32. Схематическая картина основных
Рис. 22.31. Самопроизвольная намагниченность как функция температуры в ферримагнетиках Li0 5Fe2 5_хСгхО4 (Гортер L286J, Ван Виринген 1287]).
Рис. 22.31. Самопроизвольная намагниченность как функция температуры в ферримагнетиках Li0 5Fe2 5_хСгхО4 (Гортер L286J, Ван Виринген 1287]).
возможных типов — М, V, Q, R, Р, N, L (см. рис. 22.28) температурной зависимости самопроизвольной (результирующей) намагниченности Js и обратной восприимчивости %-' в двухподреше- точных ферритах (Неель [з8Б-
возможных типов — М, V, Q, R, Р, N, L (см. рис. 22.28) температурной зависимости самопроизвольной (результирующей) намагниченности Js и обратной восприимчивости %-' в двухподреше- точных ферритах (Неель [з8Б-
и 22.33 схематически показаны кривые /§ для различных соотношений между 力&，伤，а и р. Из (22.155) видно, что при 0° К, когда (Zas)0 = =(As)о = 'о /$ изменяет знак при ха1хъ = 1. При 71 > 0° К Zas = Ibs, только если На = Н& а это имеет место лишь при а = р, и тогда /§ = 0 во всей области температур от 0° К до @改,т. е. получаем случай антиферромагнетизма (скомпенсированного). При а # В /as (Т)方，bs (Т) (за исключением 7 = 0° К) и /§ (7) имеет вид кривой L на рис. 22.32. Из (22.169) мы видели, что вблизи ❷因 наклон кривой Is (Т) (т. е. dlJdT) меняет знак при xjxb = (1 + Р)/(1 + а). Но при таком значении xjxb намагниченность Is не равна нулю при 0° К, поэтому Is вблизи 0Х имеет другой знак, чем при 0° К (существует точка компенсации). Такого рода кривые, лежащие в области V и ^ (см. рис. 22.28), ограниченной
пределами 1 <： (ха!хъ) •< (1 + P)/(1 + а), изображены кривыми У и 7V на рис. 22.32. Из (22.171) мы находим условие ха1хъ = (1 — §)/(1 — а), при котором производная diJdT меняет знак при 0° К *). Таким образом, при ха1хъ в пределах от 1 до (1 —P)/(1—а) (область Р на рис. 22.28) Is (7, имеет вид, изображенный кривой Р на рис. 22.32. Для отношений ха!хъ^ более далеких от их значений для кривых Q и N (рис. 22.32), получаются кривые Is (7) с более быстрым температурным спадом (при низких темпера турах)г чем у нормальных ферромагнетиков (см. кривые У и /? на рис. 22.32).
В случае положительного взаимодействия между подрешетками (е =十 1) в парамагнитной области результаты качественно сохраняются те же, что и в случае е = —1, только изменятся выражения для коэффициентов (22.146) — (22.148). В ферромагнитной области сохраняются только кривые Is ⑺ типа Q и R (см. рис. 22.32).
Сравнение с опытом. Напомним здесь еще раз, что главными предсказаниями феноменологической теории ферримагнетизма с двумя коллинеарными магнитными подрешетками (Неель [38]) являются: а) нелинейная зависимость обратной восприимчивости ^-1 в парамагнитной области (выше точки Нееля) от температуры; б) то, что величина намагниченности насыщения при 7 = 0。К, равна Zs0 — /農一/?§, где =NjgjNsSу — насыщение /-й подрешетки, TV； — число узлов, g『一 фактор Ланде и 5； — спин магнитного иона в ней (если таких ионов в ней несколько, то следует писать сумму £ Nm/Sm/)； в) особый вид температурного хода /$ (7) с возможностью точки компенсации.
Эти выводы теории Нееля в области ее применимости качественно хорошо согласуются с опытом для ряда ферритов. Согласие наблюдается как для величины атомного магнитного момента (см., например, табл. 22.3), так и для формы температурных кривых /§ (7) и %пм (7), вплоть до значений точек компенсации 0卧 Самое непосредственное доказательство качественной спр ав ед лив ости модели подрешетки Нееля было получено с помощью нейтронной дифракции. Эти опыты провели для Fe3O4 [33, 291], NiFe2O4 [292], MgFe2O4 [293], Zn0j5Nio(5Fe204 [294], GoFe2O4 [295], Y3Fe50i2 [296], LaFeO3 [297], MnFe2O4 [298]. Теоретически вопрос о рассеянии медленных нейтронов в ферримагнетиках был рассмотрен в работах Барьяхтара и Малеева [300], Кочинского [301], Изюмова и Меня [302].
Таблица 22.3
Опытные и теоретические значения молекулярных магнитных моментов некоторых ферритов со структурой шпинели
Феррит
Подрешетки
方，AE (P= £ 2S)
Опытные значения
Р АЕ
Литература
厶
в
FeFe2O4
Fe3+
Fe2+ + Fe3+
(4+5) —5 = 4
4,03—4,08
[309]
MnFe2O4
Fe3+
Mn2+ + Fe3+
(5+5) - 5 = 5
4,40—5,00
[ЗЮ]
COF62O4
Fe3+
Co2+ + Fe3+
(3 + 5) —5=3
3,30-3,94
[307, 308]
NiFe2O4
Fe3+
Ni2+ + Fe3+
(2+5) -5=2
2,22—2,40
[257, 303]
CuFe2O4
Fe3+
Cu2++Fe3+
(1+5) — 5 = 1
1,30—1,70
[311, 312]
MgFe2O4
Fe3+
Mg2+ + Fe3+
(0 + 5) - 5 = 0
0,86—2,20
[311, 312]
Lio,5Fe2,504
Fe3+
0,5Li++l,5Fe3+
0 + 7,5—5 = 2,5
2,47—2,60
[304]
ZnFe2O4
Zn2+
Fe3+ + Fe3+
(5—5) -0=0
0
[305, 306]
CdFe2O4
Cd2+
Fe3+ + Fe3+
(5—5) - 0 = 0
0
[313]
*) Как указал Неель [38], в этом случае кривая 厶(？)для феррита с двумя подрешетками по виду совпадает с кривыми /§(?) для обычных ферромагнетиков.
〃 密 〃40,6〃6 勿 2п%№Концентрации“〃 密 〃40,6〃6 勿 2п%№Концентрации“Рис. 22.33. Магнитные моменты насыщения п (на молекулу в ае) твердых растворов МеРегО4 — ZnFe2O4 в зависимости от концентрации компонент MeFe2O4 и ZnFe2O4 для различных Me (= Мп, Fe, Go, Li0 5Fe0 5，Ni, Gu, Mg). По данным работ ''[257, 303—306].Рис. 22.33. Магнитные моменты насыщения п (на молекулу в ае) твердых растворов МеРегО4 — ZnFe2O4 в зависимости от концентрации компонент MeFe2O4 и ZnFe2O4 для различных Me (= Мп, Fe, Go, Li0 5Fe0 5，Ni, Gu, Mg). По данным работ ''[257, 303—306].Рис. 22.34. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности никелевого феррита. Сплошные кривые — теория [381, белые кружки — эксперименталь* ные данные по работам [307—309].Рис. 22.34. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности никелевого феррита. Сплошные кривые — теория [381, белые кружки — эксперименталь* ные данные по работам [307—309].
〃 密 〃40,6〃6 勿 2п%№
Концентрации“
〃 密 〃40,6〃6 勿 2п%№
Концентрации“
Рис. 22.33. Магнитные моменты насыщения п (на молекулу в ае) твердых растворов МеРегО4 — ZnFe2O4 в зависимости от концентрации компонент MeFe2O4 и ZnFe2O4 для различных Me (= Мп, Fe, Go, Li0 5Fe0 5，Ni, Gu, Mg). По данным работ ''[257, 303—306].
Рис. 22.33. Магнитные моменты насыщения п (на молекулу в ае) твердых растворов МеРегО4 — ZnFe2O4 в зависимости от концентрации компонент MeFe2O4 и ZnFe2O4 для различных Me (= Мп, Fe, Go, Li0 5Fe0 5，Ni, Gu, Mg). По данным работ ''[257, 303—306].
Рис. 22.34. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности никелевого феррита. Сплошные кривые — теория [381, белые кружки — эксперименталь* ные данные по работам [307—309].
Рис. 22.34. Температурная зависимость самопроизвольной намагниченности никелевого феррита. Сплошные кривые — теория [381, белые кружки — эксперименталь* ные данные по работам [307—309].
См. также монографию Изюмова и Озерова (1966). Для наглядного срав
нения теории Нееля с опытом рассмотрим данные измерения намагниченностей смешанных ферритов Zn^Mei^Fe^O^ с Me = Мп, Fe, Go, Ni, Си,
Mg и комплекс (Li+Fe3 +). Эти шпинели имеют частично обращенную структуру
Z唠Fe：，[MellxFe^] О；.
При 力=0 магнитные моменты ионов железа Fe3+ (5词 компенсируют друг друга и Zo= =N'gMe 卩eSmc, где M — число «молекул» в единице объема.
4/4
При а > 0 немагнитный ион Zn2+, замещая магнитный ион Ме2+, нарушает эту компенсацию ионов железа в подрешетках Л и Б и намагниченность насыщения возрастает
/0 =： Nf [(1 — /) gMe“ESMe+ 2力(5^е)] = N’Ne [^Me^Me + / (Ю — gMe^Me)]*
(22.172)
Например, на рис. 22.33, по данным работ [257, 303—306], приведены кривые магнитных моментов насыщения для ряда твердых растворов указанных ферритов от их состава. Пунктирные прямые, касательные к начальным участкам опытных кривых рис. 22.33, точно соответствуют теоретической формуле (22.172) и дают для п~ Iq/N'^ при 力=1 теоретически предсказанную величину п(ж=1)= 10. Опытные кривые отклоняются от пунктирных прямых, достигают максимума при х ^ 4——5 и затем показывают спад п с дальнейшим ростом х. Это объясняется тем, что при больших концентрациях ионов Zn2+ начинают играть роль взаимодействия внутри подрешеток В и А, которые не учитывались при выводе формулы (22.172). Из пересечения кривых п (力)при 力=0 с осью ординат можно определить фактор спектроскопического расщепления gMe- Однако следует иметь в виду, что величина п(ж=0)весьма чувствительна к способу приготовления образцов этих ферритов (зависит от способа закалки, отжига и окружающей атмосферы при термообработке и т. п.).
Так, например, п для MnFe2O4 по данным Гортера [257], равен 5,0 по данным [305—306]—4,60, Потене и др. [307, 309]—4,40 и Викхема и др. [3伍]-4,5.
В качестве второго примера на рис. 22.34 и 22.35 приведено сравнение температурной зависимости самопроизвольной намагниченности ферритов Ni, Со и Fe, измеренной в работах Потене [307——309] и рассчитанной по теории Нееля [38]. Совпадение теории и опыта достаточно удовлетворительное.
7%7%Рис. 22.35. Температурная зависимость самэпроизвольной намагниченности магнетита (?) и кобальтового феррита (2). Сплошные кривые — теория [38], белые кружки — эксперитдентальные данные по работам [307—309].Рис. 22.35. Температурная зависимость самэпроизвольной намагниченности магнетита (?) и кобальтового феррита (2). Сплошные кривые — теория [38], белые кружки — эксперитдентальные данные по работам [307—309].Обобщение теории Нееля, а. Учет неколлинеарных структур. Однако в ряде случаев (см. ниже) атомные магнитные моменты ферритов со структурой шпинели имеют заметно более низкое значение, чем предсказывает модель Нееля с двумя коллинеарными подрешетками *). В связи с этим Яфет и Киттель [12] допустили возможность неколлинеарности намагниченностей подрешеток в тех случаях, когда антиферромагнитная обменная связь Л —Л и В — В внутри подрешеток сравнима с взаимодействием Л — В между подрешетками или даже больше него. При этих условиях подрешетка Л или В разбивается на две или более подрешеток с неколлинеарными намагниченностями, но их суммарный момент при
7%
7%
Рис. 22.35. Температурная зависимость самэпроизвольной намагниченности магнетита (?) и кобальтового феррита (2). Сплошные кривые — теория [38], белые кружки — эксперитдентальные данные по работам [307—309].
Рис. 22.35. Температурная зависимость самэпроизвольной намагниченности магнетита (?) и кобальтового феррита (2). Сплошные кривые — теория [38], белые кружки — эксперитдентальные данные по работам [307—309].
этом антипараллелен результирующей намагниченности другой основной подрешетки (В или Л). С помощью модели Яфета и Киттеля [12], Гор тер [257] и Лотгеринг [266] пытались объяснить магнитные свойства ферритов со структурой нормальных шпинелей (МпСг2О4, ГеСг2О4). Были проведены также нейтронографические исследования на СиСг2О4 [315], которые согласуются с треугольным ра спр ед ел ением намагниченностей подрешеток. Эти результаты подтвердили Натане и др. [316]. Магнитные и рентгенографические исследования соединений МпСг?-囂А1 比О& [317] как будто бы согласуются с выводами теории Яфета ——Киттеля — Лотгеринга. Трудности в расшифровке опытных данных, косвенный характер и неоднозначность в их теоретической трактовке с позиций треугольного р а спр ед еления привели к попыткам иного объяснения наблюдаемых низких значений самопроизвольной намагниченности в ряде ферритов по сравнению с выводами простой неелевской модели. Так, например, Балт- зер и Войтович [318] высказали идею, что причиной низких атомных моментов в хромитах является эффект замораживания спина у ионов Сг3*, вызванный нарушением правильной октаэдрической симметрии кристаллического поля, действующего на эти ионы со стороны соседних ионов (эффект типа Яна ——Теллера, см. гл. 10). В связи с трудностями опытной проверки теории Яфета ——Киттеля [12], Джекобс [267] указал на одно прямое следствие неколлинеарности магнитной структуры, которое может быть непосредственно проверено на опыте. В феррите, например, с «треугольным» распределением по Яфету — Киттелю [12] намагниченности подрешеток в области очень сильных внешних магнитных полей (при которых уже исчезает доменная структура) должно наблюдаться линейное возрастание суммарной намагниченности, которое должно отсутствовать при коллинеарном распределении. Джекобс [267, 319] экспери-
г *) Отметим еще, что при расистах по модели Нееля [38]тв ряде случаев возникает противоречие с теоремой Нернста: например, {dIs!dT)T^ ок ^= 0.
Рис. 22.36. Зависимость самопроизвольной намагниченности от внешнего поля для различных ферритов. Насыщение достигается при И = 20 кэ для образца с коллинеарной структурой подрешеток (при Т = 77° К) (верхняя кривая). В случае неколлинеарных структур (средняя и нижняя кривые) насыщение не достигается при 4,2° К и при 140 кз (Джекобс [3191).Рис. 22.36. Зависимость самопроизвольной намагниченности от внешнего поля для различных ферритов. Насыщение достигается при И = 20 кэ для образца с коллинеарной структурой подрешеток (при Т = 77° К) (верхняя кривая). В случае неколлинеарных структур (средняя и нижняя кривые) насыщение не достигается при 4,2° К и при 140 кз (Джекобс [3191).ментально наблюдал в импульсных полях до 140 кэ при 4,2° К такой линейный рост /§ в ряде манганитов (Ме^-Мп^^МигО^ (где Me = Мп, Со, Zn или Mg, а также в Мп [Сг2]О4 и Мп [FeCr]O4, см. рис. 22.36). ®
Рис. 22.36. Зависимость самопроизвольной намагниченности от внешнего поля для различных ферритов. Насыщение достигается при И = 20 кэ для образца с коллинеарной структурой подрешеток (при Т = 77° К) (верхняя кривая). В случае неколлинеарных структур (средняя и нижняя кривые) насыщение не достигается при 4,2° К и при 140 кз (Джекобс [3191).
Рис. 22.36. Зависимость самопроизвольной намагниченности от внешнего поля для различных ферритов. Насыщение достигается при И = 20 кэ для образца с коллинеарной структурой подрешеток (при Т = 77° К) (верхняя кривая). В случае неколлинеарных структур (средняя и нижняя кривые) насыщение не достигается при 4,2° К и при 140 кз (Джекобс [3191).
Модель Нееля [38], а также модель Яфета ——Киттеля [12] основываются на предположении о некоторой заданной конфигурации подрешеток (коллинеарной или неколлинеарной). При строгой постановке задачи необходимо методами вариационного исчисления определить распределение магнитных моментов ионов, отвечающее истинному минимуму энергии. Метод решения такой задачи с квазиклассическим гамильтонианом гейзенберговского типа (22.1) был предложен в работах Латтинджера и др. [127, 320]. Затем этот метод был обобщен в ряде работ Каплана и др. [321-328].•
6. Обобщение на случай трех магнит-, ных подрешеток. Для объяснения особенностей температурной зависимости самопроизвольной намагниченности редкоземельных ферритов со структурой граната Неель [329] и Потене [262, 263] произвели простое обобщение неелевской теории ферримагнетизма на случай трех магнитных подрешеток.
Более строгую квантовомеханическую теорию ферритов с тремя подрешетками развили Гусев и Пахомов [330—332]. Исходя из общего гейзенберговского обменного гамильтониана, для локализованных спинов получена система уравнений, которые определяют температурный ход намаг
ниченностей подрешеток. Получен также обобщенный закон Кюри ——Нееля для темп ер а тур ной зависимости парамагнитной восприимчивости трехподрешеточного феррита. Помимо этого, были найдены термодинамически равновесные конфигурации намагниченностей подрешеток магнитно-изотропного феррита, зависимость этих конфигураций и результирующего магнитного момента от величины внешнего магнитного поля. В качестве параметров теории входят обменные интегралы, определяющие связь между подрешетками (при этом делаются различные предположения о величинах и знаках этих интегралов). В итоге были найдены критические значения магнитных полей, при которых происходит изменение магнитной структуры феррита. В работе Роде и Ведяева [333] была начата проверка результатов теории Гусева — Пахомова.
Общий вариационный метод. Изложим кратко общую схему расчета по обобщенному методу Латтинджера ——Тисса [320], развитому Лайонсом, Капланом и др. [324—326], а также Гудинафом (1969).
Пусть V означает номер одного из р неэквивалентных узлов « = 1, 2, . . ., р) в n-й примитивной элементарной ячейке кристалла (п = 1, 2, . . ., N). Общее число узлов, занятых локализованными спинами Snv, очевидно, равно Np、а их радиусы- векторы
兄Ziv = Rr ~bPv>(22.173)
где 丘孔一вектор решетки. В этом случае гамильтониан обменной энергии (22.1) примет вид
^^об — 一 2 ^ziV)(22.174)
nv, my,
его минимумкаждого из рего минимумкаждого из р47 с. В. Вонсовский47 с. В. Вонсовский一 737 一一 737 一Рассматривая выражение (22.174) квазиклассически, будем искать при дополнительных «жестких» условиях фиксированных величин
его минимумкаждого из р
его минимумкаждого из р
47 с. В. Вонсовский
47 с. В. Вонсовский
一 737 一
一 737 一
векторов спинов в ячейке
斗"，斗"=3.(22.175)
Вместо этих «жестких» условий можно сформулировать более «мягкие» условия постоянства суммы
2吟”风” ，斗夕唠(22.176)
n, Vn,V
где anv — вещественные числа, не равные нулю. Можно доказать следующую обобщенную теорему Латтинджера——Тисса (см. [324]). Если решение вариационной задачи для выражения (22.174) с «мягкими» условиями (22.176) удовлетворяет также и «жестким» условиям (22.175), то это решение является строгим решением с условиями (22.175).
Для того чтобы использовать преимущества трансляционной симметрии кристалла, переменные Snv и а^* представим в виде
^nv= £ exp(ik-Rnv)。“(22.177)
к.,
а威=2 exp(ik>Rnv) av (fc),(22.178)
把
где к — приведенные векторы обратной решетки в первой зоне Бриллюэна. Далее имеем
/?г” тпц —^vM< (Km —兄71)= /卩v (^n —丘m).
Поэтому при заданных периодических граничных условиях энергия на одну примитивную единичную ячейку равна
8 =与=XX""(砌0设0祉，(22.179)
где
£"卩(生)=- 2 exp [£4(丘ma一五71V)1/*卩(五m-无71)= [£卩V (砌 1*.(22,180)
•Rm-北九
«Мягкие» условия (22.175) имеют теперь вид
2 2/v(E-^)Q%vQk，v=2 4(0)爲(22.181)
k, k' vv
Используя метод неопределенных множителей Лагранжа, можно показать, что 8 будет минимальным при выполнении условий (22.181), если для всех Е имеет место соотношение
y 入卩㈣0ka=% 2('-'')。把，w(22.182)
где X—параметр, не зависящий от к. Подставляя (22.182) и (22.181) в (22.179), находим
е = Х 2 -4v(0)5v.(22.183)
V
Из выражения (22,183) видно, что минимуму е соответствует значение 入，которое удовлетворяет уравнению (22.182).
Во всех применениях обычно принимается, что anv = avi т. е. можно считать,, что anv не зависит от номера ячейки, В этом случае /* (儿——论‘)=а^6把把“ и уравнения (22,181) — (22.183) примут вид
(22.181а｝
y 入У,(生)尸№.1Н入Р加V,(22.182a)
е = Х 2 а^;(22.183а).
V
здесь Pkv 三 «vQ^, £”卩(儿)=6”阮£”卩(儿)；В” = %1. Таким образом, задача свелась к отысканию наименьшего собственного значения 入 матрицы £”卩(fc). Пусть kQ — значение Ас, соответствующее минимуму энергии с решениями 屮=｛屮八 屮2, • • •,屮卩｝
и 屮. Тогда для декартовых компонент P3kv (7 — х, у, z) имеем
. j。 (生手士伝))
%* =〈 с/Ф* (儿=勺)〉.(22.184)
(力崎(fc= —kQ) J
Коэффициенты с/ удовлетворяют условию (22.181a)
2 21c#=』оф^,(22.185)
jV
а в остальном они произвольны. Из (22.177), (22.184) и определения Р/1V находим
^nv^Pv 2 力/心屮” exp (ifc0JZnv) + c^* exp ( —/丘71VH.(22.186)
Если выбрать cx= c/2i, @ = c/2 и q = 0, a 屮* = | 屮寸 | exp (Х(р*), то «мягкие» условия удовлетворяются и выражение (22.186) принимает вид
^nv = cPv I ^v I [з： sin (kQRn + <Pv) + У cos (kQRn + ^v)].(22.187)
Таким образом, мы получаем в общем случае р спиралей с «тагом» (] Л:。])-】в каждой из V подрешеток со своей фазой(pv. Необходимо затем проверить, что найденные решения удовлетворяют «жестким» условиям (22,175), Однако не удалось получить доказательств, что такое решение всегда существует.
Далее можно рассмотреть частные случаи. Если р = 1 (решетка Браве), то все спины эквивалентны. В этом случае, согласно (22,187), магнитные структуры всегда спиральные. Как частный случай здесь возможен обычный коллинеарный ферромагнетизм при Л：о = О, т. е. когда все спины параллельны друг другу. Антиферромагнетизм возможен как со спиралью (к0 * 0), так и коллинеарный при условии, что ак0 = л, где 口 ——вектор трансляции между ближайшими соседями. Ферримагнетизм в этом случае невозможен *). К этому случаю относится, по-видимому, МпО2 ) и MnAu2 ).
Возможно также, что к этому классу магнитных структур можно отнести антиферромагнитные металлы Сг и Мп, а также антиферро- и ферромагнитные структуры редкоземельных металлов (см, ниже).
В случае ферритов со структурой шпинели (кубическая решетка) коллинеарная модель Нееля была бы всегда справедливой, если бы существовала лишь одна отрицательная обменная связь 4 ABMежду тетраэдрической Л и октаэдрической В подрешетками. Однако фактически присутствуют также связи А^а и Авв, которые значительно усложняют всю задачу. В качестве примера рассмотрим случай кубической симметрии с двумя типами антиферромагнитной связи Л ——В л В ——В. Здесь можно ввести (см. [324]) один обменный параметр и = 44вв§в/34 ABs厶.Тогда гамильтониан (22.1) примет вид
第о6 = 〃в ｛』S^+^J u』S概｝ ,(22.188)
где 4A方=—/as Sa$b> О, а У н 倉石——единичные векторы спинов соответственно в междоузлиях А и В^ суммирование в (22.188) ведется по парам ближайших АВ и ВВ соседей. При коллинеарной структуре Нееля [38] 6^6^= ——1, что дает минимум первой суммы, a S?・S^ =十1 приводит к максимуму для второй суммы в (22.188). Поэтому при 〃 > 0 вопрос о конфигурации спинов в основном состоянии остается неясным. Для неелевской конфигурации гамильтониан (22,188) в случае ферритов со структурой шпинели дает
岩(Неепа=^^^-= 48 ("|" и —1).(22,189)
Здесь N — число примитивных единичных ячеек, каждая из которых содержит два междоузлия типа 4 и четыре типа В (рис, 22,37), Из (22.189) видно, что неелевская коллинеарная структура не может быть устойчивой при и》8/3.
Яфет и Киттель [12] (далее сокращенно ЯК) предложили структуру из шести магнитных подрешеток по числу междоузлий катионов А и 6, Каждый спин в подрешетках В составляет угол ср с осью спинов подрешетки 4, поэтому вместо (22.189) будем иметь
窮(ЯК) = 48 [子 cos 2屮 + ~|cos cpj —6u,(22.190)
ибо cos(p=〃T минимизирует 紡(£). Для 〃》0, 紡制兴 V 紡(Неель), если 〃 > 1, как видно из рис. 22.38. При и 乏 1 конфигурация ЯК совпадает с неелевской. Андерсон [336] показал, что в случае Аав = 0 между спинами в октаэдрических узлах В не может быть дальнего порядка при наличии только одних обменных сил. При Аав 壬 ° возникает ближний «треугольный» порядок, но без дальнего порядка для слагающих спинов, перпендикулярных результирующему моменту. Затем Каплан [322, 323] выяснил, что лри /厶^ > 0 конфигурация ЯК вообще не дает минимума энергии (22.188) при любых значениях параметра и. Он также показал, что неелевская структура локально стабильна при и
Рис. 22.38。Зависимость энергии ^.^^qq/NA^ в °т параметра u = ^^_^BSB^AABSA для трбх типов магнитных структур в кубических кристаллах шпинели. 1 — структура Нееля; 2 — структура Яфета — Киттеля; 3 — спиральная структура, По осям отложены относительные (безразмерные) единицы; и0 = 8/9, Ui = 1,298.Рис. 22.38。Зависимость энергии ^.^^qq/NA^ в °т параметра u = ^^_^BSB^AABSA для трбх типов магнитных структур в кубических кристаллах шпинели. 1 — структура Нееля; 2 — структура Яфета — Киттеля; 3 — спиральная структура, По осям отложены относительные (безразмерные) единицы; и0 = 8/9, Ui = 1,298.Рис. 22.37. Расположение катионных узлов в примитивной ячейке шпинели с кубической структурой (с = а). 1 ——октаэдрические узлы А и 2 — тетраэдрические узлы В. Анионы О2- не показаны (см. рис. 22.25).Рис. 22.37. Расположение катионных узлов в примитивной ячейке шпинели с кубической структурой (с = а). 1 ——октаэдрические узлы А и 2 — тетраэдрические узлы В. Анионы О2- не показаны (см. рис. 22.25).〃&〃о = 8/9 и неустойчива при и > и0. Лайонс и Каплан [325] показали, что неелевская структура является
Рис. 22.38。Зависимость энергии ^.^^qq/NA^ в °т параметра u = ^^_^BSB^AABSA для трбх типов магнитных структур в кубических кристаллах шпинели. 1 — структура Нееля; 2 — структура Яфета — Киттеля; 3 — спиральная структура, По осям отложены относительные (безразмерные) единицы; и0 = 8/9, Ui = 1,298.
Рис. 22.38。Зависимость энергии ^.^^qq/NA^ в °т параметра u = ^^_^BSB^AABSA для трбх типов магнитных структур в кубических кристаллах шпинели. 1 — структура Нееля; 2 — структура Яфета — Киттеля; 3 — спиральная структура, По осям отложены относительные (безразмерные) единицы; и0 = 8/9, Ui = 1,298.
Рис. 22.37. Расположение катионных узлов в примитивной ячейке шпинели с кубической структурой (с = а). 1 ——октаэдрические узлы А и 2 — тетраэдрические узлы В. Анионы О2- не показаны (см. рис. 22.25).
Рис. 22.37. Расположение катионных узлов в примитивной ячейке шпинели с кубической структурой (с = а). 1 ——октаэдрические узлы А и 2 — тетраэдрические узлы В. Анионы О2- не показаны (см. рис. 22.25).
истинным основным состоянием, когда она локально устойчива. Хотя сходимость рядов теории возмущений в работе Каплана [323] при и > и。вызывает сомнения, было строго показано [325], что в основном состоянии все компоненты спинов обладают определенным дальним порядком, по крайней мере для малых и — и0. В рамках обобщенного метода Латтинджера — Тиссы было показано [325, 324], что существует класс структур ——магнитных спиралей *), даваемых формулой типа (22.187)
671V = sin ф" {x sin (4•■B7iv + yv) +/ cos (生.丘ПV + ?")} +(；05 中V云(22.191)
где ж, 2/, s ——единичные векторы в декартовой системе координат, к = к0 — волновой вектор,(pv ——половинный угол раствора конуса спирали, а у” 一 фазовый угол. В работе Лайонса и др. [326] показано, что
屮]=Ф2， У1 = ?2 = 0?
屮 3 =中4，Y3=一У4,
ф5 = Фe» ?5 = ?6=n・
Из рис. 22.38 видно, что конфигурации (22.191) совпадают с неелевской при и《и0. Энергия магнитной спирали заметно меньше энергии конфигурации ЯК (см. рис. 22.38). Нет еще строгого доказательства, что магнитная спираль при u > и0 соответствует истинному основному состоянию. Можно лишь показать, что эта конфигурация локально устойчива при и0《〃《щ, где щ = 1,298... и неустойчива при и > щ. К сожалению, пока нет достаточно убедительных опытных доказательств существования именно таких магнитных спиральных структур. Опыты по нейтронной дифракции на кристаллах MnCr2Oi [337] как будто бы подтверждают выводы изложенной теории. Однако в исследуемом соединении и (=1,6) > щ. Надо думать, что фактически основное состояние в МпСг2О4 может иметь и более сложную неколлинеарную магнитную структуру. Лайонс и др. [326] рассмотрели не только основное состояние, но также и область, близкую к точке Кюри (Нееля). В приближении молекулярного поля для энергии ферримагнетика (см. гл. 18) имеем
窮—-£ % £ /九”，тц^цnv my,
вместо (22.174). Эффективное молекулярное поле
^Эфф ~ У /几電,?тгц.6ц,・
Поэтому при Н = 0 н высоких температурах
入冬匚2 /几電加乩6乩，
где параметр 卜 ~ Sn・ Используя (22.177), находим
入Q初=2 "也(乃)0 ?сд,-
В случае кубических шпинелей наинизшее собственное значение 入 этого уравнения соответствует неелевской структуре при и v 2,2 и простой АФС при и > 2,2 [324, 326]. Это означает, что даже если при Т = 0° К основное состояние обладает сложной магнитной структурой, то вблизи точки Кюри (Нееля) она становится коллинеарной при и V 2,2. Это, например, было установлено для МпСг2О4 (с 1,4 < и < 1,7) [337]. Каплан и др. [324] рассмотрели также ферриты со структурой шпинели с тетрагональными искажениями. Для описания взаимодействия ближайших соседей в этом случае необходимо ввести пять магнитных параметров 力厶厶，/厶в,力в, Авв и Лвв* Если ограничиться случаем 力厶厶 笈 0 и считать, что в среднем 力一В связь отрицательна *) (т. е. антиферромагнптна), то можно ввести три основных параметра
м= 2 (/вв+/%в)8в/(2/ав + /}в) S&, ' v=abb/(abb+abb^(22.192)
w = Л^в/(2Лав + ^авУ,
Дальше задача сводится к установлению границ различных областей в трехмерном пространстве параметров и, v и w, подобно тому как это делалось для плоскости а, р в коллинеарной модели Нееля (см. выше). За подробностями отсылаем читателя к оригинальной работе [см. также гл. II монографии Гудинафа (1969) и экспериментальные работы по нейтронной дифракции в СиСг2О4 [315, 316]].
Теория магнитных структур в антиферромагнетикахнеметаллах по Дзялошинскому )
Изложенный выше метод расчета равновесных магнитных структур, основанный на отыскании наименьшего собственного значения квадратичной формы (22.174), был подвергнут серьезной критике в работе Дзялошинского [338]. Дело в том, что квадратичная форма (22.174) есть классический предел квантового гейзенберговского гамильтониана, справедливый лишь при очень больших спинах (S》1). Однако при S * 1/2 квантовый спиновый гамильтониан не является квадратичным по спинам (в него будут входить степени скалярных произведений ^ • S2, которые в классическом пределе могут быть сколь угодно большими). Коэффициенты при этих членах разной степени (обменные интегралы!) будут априори одного порядка величины. Поскольку в рассмотренной выше теории (Каплана и др.) обменные параметры для 1-й, 2-й и 3-й координационных сфер считаются величинами одного порядка, то нет оснований пренебрегать тройными, четверными и т. д. взаимодействиями вида (Sj *S2) (6「6з) и т. п.
Таким образом, вместо весьма упрощенного и поэтому, вероятно, далекого от действительности модельного подхода с квадратичной формой (22.174) задача отыскания магнитных структур основного состояния (Т = 0° К) сводится к исследованию общего вида функционала от спиновой плотности £(夕)=工 Sb (r — rj) ) (7 — номер ыагнит- ного иона). Решение вопроса о возможности данной плотности спина (т. е. данного типа магнитной структуры) в качестве основного состояния системы можно найти лишь из соображений симметрии. Такой подход к теории фазовых переходов второго рода в упорядочивающихся сплавах предложил Ландау [340] и развил Лифшиц [341] [см. также Ландау и Лифшиц (1964)]. К магнитным переходам он был применен Вонсовским [342] и Гинзбургом [343] ), а в наиболее развитой форме Дзялошинским [13, 14, 338, 344].
Общий феноменологический подход с использованием свойств симметрии развили также Вонсовский и Туров [205, 203, 188, 345, 346] [см. также Туров (1963)]. Этой проблеме посвящен также цикл работ Берто [328, 347, 348], который применяет общий теоретико-групповой метод Ландау — Лифшица, но использует при этом конкретный гейзенберговский гамильтониан. Вопрос о связи магнитных структур со свойствами симметрии кристаллов рассмотрен также в работе Диммока [349]. Ошибочность сомнений, высказанных в этой работе относительно правильности некоторых выводов Лифшица [341], была ясно показана в работе Дзялошинского [338].
Как неоднократно отмечалось, основная идея теории Ландау и Лифшица заключается в том, что если в магнитном кристалле в точке Кюри или Нееля происходит фазовый переход второго рода, то магнитная структура упорядоченной фазы должна преобразовываться как базисная функция одного какого-то неприводимого представления (см. гл. 10) кристаллографической группы симметрии парамагнитной фазы. Это накладывает определенные ограничения на возможные в каждом типе кристаллов магнитные структуры без всяких предположений относительно вида обменных взаимодействий, ответственных за сам магнитный порядок. Число возможных структур для каждого вещества фактически оказывается очень небольшим, что связано со своеобразной неустойчивостью большинства фазовых переходов [341]. Фазовые переходы оказываются возможными с изменением периодов решетки Бравэ только в 1, 2, 3, 4 раза. Однако, как убедительно показал Дзялошинский [338] [см. также примечание на стр. 521 в монографии Ландау и Лифшица (1964)], помимо этих типов переходов, в случае магнитных структур в неметаллических кристаллах возможны фазовые переходы, сопровождающиеся появлением структур с периодом, во много раз превосходящим период исходной решетки. При этом в болыпинстве случаев (нет доказательства, что всегда) кристалл в атомных масштабах имеет магнитную структуру, допустимую по Лифшицу [341], т. е. с изменением решетки Бравэ в 1, 2, 3, 4 раза (например, коллинеарные антиферромагнитные под решетки). На эту «грубую» структуру налагается сверхструктура, представляющая собой своего рода биения в основной структуре с периодом всегда во много раз превосходящим межатомные расстояния.
Мы не имеем возможности остановиться на более подробном изложении этой интересной проблемы и отсылаем читателя к оригинальным работам [341, 33] (см. также гл. 20, § 8).
Хотя теоретико-групповой подход, строго говоря, применим лишь для узкого интервала температур в непосредственной близости к точке фазового перехода, его можно в известном смысле распространить и на область температур вдали от точки перехода [338]. В этом случае можно поставить вопрос об устойчивости магнитной структуры, которая предсказывается каким-либо микроскопическим расчетом или согласуется приближенно с нейтронографическими данными. Для этой цели на основании соображений симметрии надо выяснить, не существует ли какой-нибудь другой магнитной структуры, которая соответствовала бы меньшему значению термодинамического потенциала Ф. Последний можно рассматривать как функционал плотности магнитного момента ш (г) и считать, что вид функционала и его явная температурная зависимость определяются свойствами парамагнитной фазы. Это предположение оправдано малостью обменного («магнитного^) взаимодействия (характеризуемого величиной ЛА；Б@ или k-^N на атом) по сравнению с энергией сцепления атомов в кристалле
т. е.簣《1,т. е.簣《1,0日ил0日илилиили(измеряемой величиной А^ @пл на атом ),
т. е.
簣《1,
т. е.
簣《1,
0
日ил
0
日ил
или
или
где 0ПЛ ——точка плавления.
Феноменологическая трактовка ферримагнетизма
Изложим теперь наиболее общую феноменологическую трактовку проблемы ферримагнетизма ).
Общие соображения. Состояние ферримагнетика определяется заданием функции точки г плотностей Ij (г) магнитного момента каждой магнитной подрешетки /. Поэтому каждая точка ферримагнитной среды при ее феноменологической трактовке в квазинепрерывном приближении характеризуется столькими магнитными плотностями, сколько имеется магнитных подрешеток. Число последних определяется числом неэквивалентных магнитных ионов в элементарной ячейке кристалла. Неэквива-
лентными мы будем считать не только химически различные магнитные ионы или ионы, расположенные в разных узлах кристаллической решетки, но также и магнитные ионы, имеющие различные величины или направления магнитных моментов (различные g-факторы, подрешетки с неколлинеарным расположением моментов и т. п.).
Принимается, что в основном состоянии функции Ij (г) однородны (пе зависят от г) ), т. е.工乳 ⑴)=工沁 Такое однородное распределение магнитных моментов по объему образца соответствует полностью упорядоченному распределению атомных моментов по узлам решетки, занятым магнитными ионами.
Слабым возбуждениям системы будут соответствовать малые колебания плотностей векторов магнитного момента подрешетки около их равновесных значений: AZ； (r) = Ij (г)—Z；o. Малость этих колебаний, как и в формулах (19.32), (19.33), определяется условиями
\Mj(r)\^Ij0 и 乃^七。・ (22.193)
Для решения конкретных задач теории нужно знать уравнения движения (классические или квантовые) для плотностей магнитного момента. Прежде всего требуется найти гамильтониан 能(Tj) (в случае высоких температур термодинамический потенциал) системы как функцию этих плотностей. При его определении следует использовать общие результаты квантовой теории магнетизма (существование обменного взаимодействия и т. п.) и опытные данные о кристаллохимической и атомной магнитной структуре изучаемых веществ, которые можно почерпнуть из результатов рентгенографических и нейтронографических исследований.
Как неоднократно указывалось, в этом гамильтониане есть два типа членов: во-первых, члены, обусловленные изотропным электростатическим обменным взаимодействием, которые определяют само существование упорядоченной магнитной структуры, а также температурной интервал ее существования (величина точек Кюри или Нееля); во-вторых, члены, обусловленные анизотропными магнитными (релятивистскими) взаимодействиями. Эти взаимодействия на 2—4 порядка слабее электростатических, поэтому их почти всегда можно рассматривать как малые возмущения. Они определяют ориентации намагниченностей J； в кристалле, а также поведение магнетика под влиянием различных внешних воздействий (внешние магнитные и упругие поля и т. п.), и, наконец, могут служить причиной слабой неколлинеарности намагниченностей подрешеток, обусловливающей явление слабого ферромагнетизма (см. ниже § 11).
Условия осуществления магнитного порядка. При установлении конкретного вида феноменологического гамильтониана необходимо использовать свойства симметрии магнитных кристаллов (см. гл. 18). Напомним, что если известна атомная симметрия кристаллической решетки, то можно теоретически найти все упорядоченные магнитные состояния, допускаемые этой симметрией [350, 351]. Элементы симметрии кристаллической решетки должны содержать элементы симметрии каждого такого состояния. Число элементов магнитной симметрии не может превышать числа элементов атомной симметрии. Зная явный вид гамильтониана 變(J；) и его минимум, можно определить условия, при*которых осуществляется то или иное упорядоченное магнитное состояние.
а) Функция 變(工力 должна оставаться инвариантной при всех преобразованиях симметрии кристаллической решетки. В этом случае магнитная структура не должна приниматься в расчет; ибо： при всех операциях симметрии (включая и R) парамагнитного состояния все узлы и оси решетки переходят в эквивалентные. Поэтому и каждый магнитный момент
переходит в эквивалентный узел и ориентируется вдоль эквивалентной оси. Таким образом, нет никаких причин для изменения энергии 變 кристалла.Трансляция на расстояния, кратные периоду магнитной элементарной ячейки, оставляют все Ij инвариантными. Поэтому такие операции можно вообще исключить из рассмотрения, так как они ничего не да ют для определения вида функции 務(J；). Таким образом, следует рассматривать инвариантность 舷(J；) лишь по отношению к поворотным и винтовым осям, зеркальным плоскостям скольжения и 7?-операции.Необходимо знать правила преобразования различных Ij как аксиальных векторов (число которых v определяется структурной магнитной элементарной ячейки) при всех операциях симметрии. Также необходимо знать правила перестановки Р (1, 2, . . ., v), производимой каждой операцией симметрии среди индексов / = 1, 2, 3, . . ., v различных плотностей 厶*).Функция S£ (.Г；) должна быть четной функцией парциальных намагниченностей Ij (г), т. е. не должна изменяться при одновременной замене всех 为 на —Ij (операция 斤!).При наличии неоднородностей магнитных плотностей Ij (父)функция 能(工力 будет зависеть также и от пространственных производных V J； (г). Следует различать два типа связей, увеличивающих энергию магнетика из-за неоднородностей плотностей Ij (г). Во-первых, это близкодействующие (обменные) связи, для которых плотность энергии неоднородностей в данной точке пространства определяется значениями производных V_Tj только в этой же самой точке. Во-вторых, это дальнодействую- щие связи (типа квазиклассических дипольных, квадрупольных и т. и. взаимодействий), для которых увеличение плотности энергии в каждой точке обусловлено действием распределения неоднородностей J； (г) по всему объему образца.3. Общее выражение для гамильтониана задачи. В наиболее общей форме, безпереходит в эквивалентный узел и ориентируется вдоль эквивалентной оси. Таким образом, нет никаких причин для изменения энергии 變 кристалла.Трансляция на расстояния, кратные периоду магнитной элементарной ячейки, оставляют все Ij инвариантными. Поэтому такие операции можно вообще исключить из рассмотрения, так как они ничего не да ют для определения вида функции 務(J；). Таким образом, следует рассматривать инвариантность 舷(J；) лишь по отношению к поворотным и винтовым осям, зеркальным плоскостям скольжения и 7?-операции.Необходимо знать правила преобразования различных Ij как аксиальных векторов (число которых v определяется структурной магнитной элементарной ячейки) при всех операциях симметрии. Также необходимо знать правила перестановки Р (1, 2, . . ., v), производимой каждой операцией симметрии среди индексов / = 1, 2, 3, . . ., v различных плотностей 厶*).Функция S£ (.Г；) должна быть четной функцией парциальных намагниченностей Ij (г), т. е. не должна изменяться при одновременной замене всех 为 на —Ij (операция 斤!).При наличии неоднородностей магнитных плотностей Ij (父)функция 能(工力 будет зависеть также и от пространственных производных V J； (г). Следует различать два типа связей, увеличивающих энергию магнетика из-за неоднородностей плотностей Ij (г). Во-первых, это близкодействующие (обменные) связи, для которых плотность энергии неоднородностей в данной точке пространства определяется значениями производных V_Tj только в этой же самой точке. Во-вторых, это дальнодействую- щие связи (типа квазиклассических дипольных, квадрупольных и т. и. взаимодействий), для которых увеличение плотности энергии в каждой точке обусловлено действием распределения неоднородностей J； (г) по всему объему образца.3. Общее выражение для гамильтониана задачи. В наиболее общей форме, безконкретизации типа кристаллической структуры магнетика, плотность энергииконкретизации типа кристаллической структуры магнетика, плотность энергиикак функциявсех 石и их пространственных!Е•尸产2厶а,十^аВуб7Т'/jo /尸 о“"О勺，"Окак функциявсех 石и их пространственных!Е•尸产2厶а,十^аВуб7Т'/jo /尸 о“"О勺，"Опроизводных имеет вид"『В丄производных имеет вид"『В丄參也）參也）(22.194)(22.194)
переходит в эквивалентный узел и ориентируется вдоль эквивалентной оси. Таким образом, нет никаких причин для изменения энергии 變 кристалла.
Трансляция на расстояния, кратные периоду магнитной элементарной ячейки, оставляют все Ij инвариантными. Поэтому такие операции можно вообще исключить из рассмотрения, так как они ничего не да ют для определения вида функции 務(J；). Таким образом, следует рассматривать инвариантность 舷(J；) лишь по отношению к поворотным и винтовым осям, зеркальным плоскостям скольжения и 7?-операции.
Необходимо знать правила преобразования различных Ij как аксиальных векторов (число которых v определяется структурной магнитной элементарной ячейки) при всех операциях симметрии. Также необходимо знать правила перестановки Р (1, 2, . . ., v), производимой каждой операцией симметрии среди индексов / = 1, 2, 3, . . ., v различных плотностей 厶*).
Функция S£ (.Г；) должна быть четной функцией парциальных намагниченностей Ij (г), т. е. не должна изменяться при одновременной замене всех 为 на —Ij (операция 斤!).
При наличии неоднородностей магнитных плотностей Ij (父)функция 能(工力 будет зависеть также и от пространственных производных V J； (г). Следует различать два типа связей, увеличивающих энергию магнетика из-за неоднородностей плотностей Ij (г). Во-первых, это близкодействующие (обменные) связи, для которых плотность энергии неоднородностей в данной точке пространства определяется значениями производных V_Tj только в этой же самой точке. Во-вторых, это дальнодействую- щие связи (типа квазиклассических дипольных, квадрупольных и т. и. взаимодействий), для которых увеличение плотности энергии в каждой точке обусловлено действием распределения неоднородностей J； (г) по всему объему образца.
3. Общее выражение для гамильтониана задачи. В наиболее общей форме, без
переходит в эквивалентный узел и ориентируется вдоль эквивалентной оси. Таким образом, нет никаких причин для изменения энергии 變 кристалла.
Трансляция на расстояния, кратные периоду магнитной элементарной ячейки, оставляют все Ij инвариантными. Поэтому такие операции можно вообще исключить из рассмотрения, так как они ничего не да ют для определения вида функции 務(J；). Таким образом, следует рассматривать инвариантность 舷(J；) лишь по отношению к поворотным и винтовым осям, зеркальным плоскостям скольжения и 7?-операции.
Необходимо знать правила преобразования различных Ij как аксиальных векторов (число которых v определяется структурной магнитной элементарной ячейки) при всех операциях симметрии. Также необходимо знать правила перестановки Р (1, 2, . . ., v), производимой каждой операцией симметрии среди индексов / = 1, 2, 3, . . ., v различных плотностей 厶*).
Функция S£ (.Г；) должна быть четной функцией парциальных намагниченностей Ij (г), т. е. не должна изменяться при одновременной замене всех 为 на —Ij (операция 斤!).
При наличии неоднородностей магнитных плотностей Ij (父)функция 能(工力 будет зависеть также и от пространственных производных V J； (г). Следует различать два типа связей, увеличивающих энергию магнетика из-за неоднородностей плотностей Ij (г). Во-первых, это близкодействующие (обменные) связи, для которых плотность энергии неоднородностей в данной точке пространства определяется значениями производных V_Tj только в этой же самой точке. Во-вторых, это дальнодействую- щие связи (типа квазиклассических дипольных, квадрупольных и т. и. взаимодействий), для которых увеличение плотности энергии в каждой точке обусловлено действием распределения неоднородностей J； (г) по всему объему образца.
3. Общее выражение для гамильтониана задачи. В наиболее общей форме, без
конкретизации типа кристаллической структуры магнетика, плотность энергии
конкретизации типа кристаллической структуры магнетика, плотность энергии
как функциявсех 石и их пространственных
!Е•尸产2厶а,
十^аВуб7Т'
/jo /尸 о“"О勺，"О
как функциявсех 石и их пространственных
!Е•尸产2厶а,
十^аВуб7Т'
/jo /尸 о“"О勺，"О
производных имеет вид
"『В丄
производных имеет вид
"『В丄
參也）
參也）
(22.194)
(22.194)
По всем индексам а, В, у, S, /, /\ . . ., встречающимся дважды в различных членах (22.194), предполагается суммирование. Здесь 力笫， В^?6, C^j^ ', - - . — тензоры размерности плотности энергии, обусловленные их изотропным электростатическим или анизотропным магнитным взаимодействиями; число независимых компонент этих тензоров определяется симметрией кристалла [см. условие а)]. В качестве иллюстрации выделим изотропные члены из первых двух слагаемых в (22.194):
в狞，aV 。6 dlja 91 i'a
Лaa 6 И' t- Д-
Отсюда видно, что изотропные члены представляют собой попарные скалярные произведения векторов намагниченности 厶 и их градиентов VZ力 ибо изотропное взаимодействие не зависит от ориентации этих векторов по отношению к кристаллографическим осям. Анизотропные члены в (22.194) не сворачиваются в скалярные произведения, и их вид существенно зависит от симметрии кристаллической решетки. Эти члены малы
по Сравнению с изотропными (релятивистские поправки!). Порядок их малости определяется числом пар слагающих /ja, не сворачивающихся в скалярные произведения; 〃у ——постоянные размерности длины, равные по порядку величины постоянной решетки, а, р, у, 6, . . . =х, у, z; ], f, . . . =1, 2, . . ., v; v ——число магнитных подрешеток; //а——a-слагающая вектора 工户 Члены с пространственными производными в (22.194) описывают эффект отклонений от однородной намагниченности в системе. В случае длинноволновых отклонений можно ограничиться учетом только члена второго порядка в этих производных. Отношения /；а//;0 для каждой подрешетки дают направляющие косинусы вектора Ij относительно оси а. Вблизи температур Кюри или Нееля разложение (22.194) ведется фактически по малым параметрам IjaII^. При низких температурах эти отношения могут быть немалыми (—1). В этом случае возникают две добавочные задачи: определение основного состояния системы (ее «вакуума») и выбор элементарных возбуждений системы, отношение числа которых, например, к числу узлов решетки играет роль малого параметра в теории.
Магнитное поле Hj описывает эффект дальнодействующей части магнитных взаимодействий, которые не включены в тензоры А, В, С, ... В общем случае поля Н『 могут быть найдены из уравнений Максвелла (Херринг и Киттель [352]). Однако в пренебрежении токами смещения, поля Hj являются решениями уравнений магнитостатики (в отсутствие токов проводимости, см. гл. 5).-
rot ZT； = O и div ZT；=—4л div _Г；.(22.195)
Если в первом приближении учесть только дипольное взаимодействие, то для поля Hj, согласно (4.18) и (4.19), получаем
•" = Y ｛严;货'-§ 竿界竹(22496)
Здесь первый член описывает внутреннее размагничивающее поле объемных магнитных «зарядов», а второй —— размагничивающее поле поверхностных магнитных «зарядов» (п0 ——единичный вектор нормали к поверхности разрыва).
Последний член в (22.194) равен сумме магнитных энергий подрешеток относительно внешнего поля Н.
Выражение (22.194) в принципе позволяет решить поставленную задачу определения спектра собственных и вынужденных колебаний намагниченности кристаллов с магнитным атомным упорядочением любой кристаллохимической и магнитной симметрии. Для иллюстрации метода применим (22.194) к конкретному типу симметрии. С этой целью рассмотрим здесь простейший случай магнитно-упорядоченного кристалла с двумя магнитными подрешетками (v = 2) и одноосной симметрией, т. е. кристалл с одной гексагональной или тетр агональной осью. Будем также считать, что ни при одном из допустимых преобразований симметрии не происходит перестановки индексов у намагниченности подрешеток. Противоположный случай будет рассмотрен в § 11. Тогда из (22.194) находим
十告匣『峭 胃^写至一告 2 "0 (也用,)一工畑(明・反)，(22.197) где
~(22.198)
——относительная намагниченность подрешетки /. Раскрывая суммы в (22.197) и учитывая, что А^т^ =А^ [в силу (22.193)] не зависит от распределения намагниченности, для случая низких температур получаем
11
^ = А(!2>(Ш!• ш2) + — B(u》a2 (Vmla-Vmla) + y В^>а^ (Vm2a.Vm2a) +
+ BQ2》a2 (師1a. Vm2a)+y /竺硏z +y /欽嘔 +^^2>mj2m22 十
十2 z力 dz十2 z%• dz十空°&
2
—■^ 2 Z°J(mJ'H3^^(h^i + -^20^2)H. (22.199)
Члены c 力"и Я(12> описывают обменное (изотропное) взаимодействие внутри и между подрешетками. Члены В”" и В(】2》описывают эффект неоднородностей намагничен-
ности (Vmya * 0). Члены 4y力 и 力多幻 определяют магнитную анизотропию. Члены В,П и 5р2> описывают вклад релятивистских взаимодействий, связанный с неоднородностями намагниченности.
В области высоких температур, т. е. вблизи точек Кюри или Нееля, (22.197) дает разложение термодинамического потенциала 觇{т力 в ряд по степеням малых параметров тпуа. Используя метод Ландау для приближенной трактовки фазовых переходов второго рода (см. гл. 18), можно получить феноменологическое описание магнитных свойств кристалла вблизи температуры фазового перехода. Это уже было сделано в гл. 18.
Спинволновое приближение. Случай низких температур рассматривался в гл. 19. Приведем здесь общую схему расчета дисперсионных соотношений для собственных и вынужденных колебаний намагниченности в магнитно-упорядоченных кристаллах в области слабых возбуждений, когда выполняются условия (22.193).
Рис. 22.39. К переходу от системы координат каждой j-й магнитной подрешетки 吁 у^, z • (жирная стрелка — ось z 了)к общей системе координат х, у, z, связанной с осями кристалла.Рис. 22.39. К переходу от системы координат каждой j-й магнитной подрешетки 吁 у^, z • (жирная стрелка — ось z 了)к общей системе координат х, у, z, связанной с осями кристалла.Основное состояние и энергетический спектр слабовозбужденных состояний системы, описываемой гамильтонианом (22.194), или в частном случае выражением (22.199), могут быть получены либо с помощью уравнений движения (19.57), либо из определения собственных значений оператора (22.194). Равновесные положения векторов Ij0 можно найти из условий 。刀/@% = 0 или из минимума гамильтониана (22.194). Затем, полагая, что Ij = AJ}, и линеаризуя систему уравнений (19.57) по отношению к малым отклонениям N工卜 ищем их решение в виде АХj — exp [t (w^ + fcr)], где (о ——частота, а к —— вектор квазиимпульса собственных колебаний. Дисперсионный закон со (fc) находим из условия равенства пулю определителя однородной системы алгебраических уравнений для амплитуд отклонений А_Г, к которым сводится система уравнений (19.57).
Рис. 22.39. К переходу от системы координат каждой j-й магнитной подрешетки 吁 у^, z • (жирная стрелка — ось z 了)к общей системе координат х, у, z, связанной с осями кристалла.
Рис. 22.39. К переходу от системы координат каждой j-й магнитной подрешетки 吁 у^, z • (жирная стрелка — ось z 了)к общей системе координат х, у, z, связанной с осями кристалла.
Более удобным методом (особенно в квантовомеханическом случае) является метод вторичного квантования (см. гл. 19). Записывая оператор (22.194) через бозе-операторы вторичного квантования [см., например, (19.80)] и далее, линеаризуя его относительно квадратичных членов в этих опе
раторах и, наконец, приводя эти квадратичные члены к диагональной форме, мы приближенно представляем оператор (22.194) в виде суммы операторов элементарных осцилляторов некоторого эффективного «квантованного» поля бозевских элементарных возбуждений с известными собственными значениями энергии [см., например, (19.82) и (19.83)].
Остановимся подробнее на схеме этого расчета для случая кристалла с несколькими магнитными подрешетками. В данном случае вместо трех перестановочных соотношений (19.77) для одной подрешетки будем иметь 3v таких соотношений:
『必6)厶，式吟一1「优5”凉吟=访匡1”5也『6(尸一吟и т. д. (22.200)
Вместо операторов проекций намагниченностей подрешеток /；а (г) вводятся операторы вторичного квантования (闹了 и (3j [353]:
f叫=("^ в力0 )[力》(%力+ (为协办J
f爲广i传0"的)[右/■爆j 一(不"j(22.201)
•*(^t)j (Ь^); 口〃2
/巧=4o —那j (峭J(")•；小=[J号心 一 %。勺 ，j = l,2,…,、
В (22.201) для каждой подрешетки введена своя собственная координатная система 忆力 沙力纟力 ось zj которой параллельна оси квантования вектора Ij (т. е. равновесному направлению классического вектора 2}0)* Средние значения отклонений намагниченности малы
〈龙办(4)乂 Bj〉=〈aBzJ《〃o по условию слабости возбуждения системы (22.193). Поэтому можно приближенно считать, что £•» ^ 1. Подставляя (22.201) в (22.200), легко показать, что операторы (6^)j и (br)j при выполнении соотношений (22.200) подчиняются бозевским перестановочным соотношениям
(22.202)(22.202)成)j向，)『一(为力，图))=6/6з一犷)， 6% (導)『一(计，)『0分=。,(2* 3，)厂6*(幻尸О.
(22.202)
(22.202)
Для того чтобы выразить гамильтониан (22.194) через бозе-операторы (br)j и (b「)j, необходимо прежде всего найти связь между компонентами векторов _Г/ в одной общей ■системе координат xyz (связанной с осями кристалла) и компонентами этих же векторов в системах координат каждой подрешетки ху, у，z广 Этот переход можно совершить, пользуясь таблицей направляющих косинусов @口旧(а = х, у, z; 6了= 土у, g「z#
/%=$%6/汨/ (22.203)
В развернутом виде преобразование (22.203) можно представить так: переход от си- -стемы xyz к системе x^yjZj можно совершить сначала поворотом вокруг оси у на угол 仆力 а затем поворотом вокруг оси z на угол ①力 где % м 畛一соответственно полярный и азимутальный (отсчитываемый от оси х в плоскости ху) углы оси z： в системе xyz «рис. 22.39). Следовательно,
/ = /jXj cos 1b cos q>j — /叫 sin q>；十厶弓 sin ®j cos q>>, j
Z^ = Zjx; cos ^j sin Ф； + In] cos Ф； + hzj sin ^J sin 4>j'〉(22.204)
/"=一/放产11*十7%e05储•.I
В частном случае, когда все векторы Х；о и ZT лежат в одной плоскости (например, az), sin ср； =0, cos Фу = 1 (для всех у) и формулы (22.204) принимают более простой вид
(22.205)(22.205)小=厶立j +『叫』力Jiy = '弘•； "z = /jz/j一/叫n力
(22.205)
(22.205)
巾=sin 仆立 ^j = cos ^j.
Используя (22.201) и (22.204) или (22.205), а также вводя компоненты Фурье @%)j и (В* операторов (石》и 向)『[см. (19.80)], полный гамильтониан кристалла 一埶= J 协(夕)dr может быть представлен в виде ряда по степеням операторов (bX)y
礎=認0+酬[十愿2+鹼3+…，(22.206)
где 身冷一член м-ro порядка относительно величин (方力丁 и (方论)户
Основное состояние системы определяется равновесными значениями направляющих косинусов «ар из выражения (22.203) или углов仆？ и ф? из (22.204) при Т = 0° К. Оно находится минимизацией по этим величинам члена нулевого порядка <^0 в (22.206), который не зависит от операторов (b J)y и @). При ^j =們 м 屮二=ср； член первого порядка в (22.206) тождественно обращается в нуль (險i (行?，屮?)= 0)*)・ Поэтому основное состояние можно также найти из условия S^i = 0. Квадратичный по (6 初 и (bk)^ член 勘2 в (22.206), как отмечалось выше, после приведения его к диагональной форме имеет вид суммы энергий отдельных осцилляторов — элементарных возбуждений, т. е. сливовых волн.
В общем случае до диагонализации оператор 礎2 после всех указанных операций принимает вид
<^2=> 施 к，'
А(22.207)
威\ = ^%〃方沛十^a力，猫，十自向嘉，J
гдеа л
加=(以屮)/2 ЩШ 才=1, 3, 5,…，(2—1), I(22 208)
瓦—(b—先)/,2up® 力=2, 4, 6, ..., 2七 )• J
a a”，，p/r —матрицы порядка 2v, удовлетворяющие условию а〃，= а「£ и prz = p*r {в силу эрмитовости оператора 据在)• Приведение к диагональному виду
осуществляется с помошью линейного унитарного преобразования к новым операторам )：
务f 』(§sм^s + 财碼)，廿=』(京"力 + §s^8)-(22.209}
88
Коэффициенты преобразования (22.209)乜心 и vts являются решениями системы однородных уравнений
“「！(22.210》
g a*t,utfs~^~ 2(6力常由一)乙飞=6 I
Эти уравнения получаются из квантовых уравнений движения для операторов 务力 и 6^ [см. Блохинцев (1961)], которые имеют вид
汤学瓦展彫譌 и -w龙万L =/疡%-炭^讨.(22.211}
Используя для bt и 方扌 бозевские перестановочные соотношения типа (22.202), вместо (22.211) находим
访(a"，今十瓦，3)； 一花*=工 (暗电，+限啥.(22.212>
Заменяя 友 и 斤 по (22.209) через gs и g+ и учитывая, что в силу (22.212)
вместо (22.212) получаем (22.210). У равнения (22.210) удовлетворяют следующим условиям ортонормировки:
2(%碌，一%啧)=矇，，]
'У(22.213)
£ (味％ — %%s)=0・I
f丿
Эти условия находим из уравнений(22.210),умножаяпочленно первое уравнениена
〃露、и второе на и%，，беря от произведений сумму по 方 и складывая эти суммы. Затем берем комплексно сопряженные уравнения (22.210), в которых индекс s заменен на s', умножаем их соответственно на щ3 и 以$, суммируем опять по ^ и складываем. Из разности полученных выражений получаем первое из условий ортонормировкп (22.213). Аналогичным образом можно получить и второе из этих условий.
Энергия 常& определяется из требования существования нетривиальных (ненулевых) решений системы однородных уравнений (22.210), т. е. из условия равенства нулю детерминанта этой системы. В результате преобразования (22.209) квадратичная форма (22.207) принимает вид
威庆=- 2卷S㈣I %产十2汝(砌雜S.(22.214)
iss
Используя (22.202), переход к фурье-компонентам (注)и (方先)了，(22.209) и (22.213), можно показать, что операторы |j и &§ также являются бозе-операторами, т. е.
£敖，一飲£ = к，и т- д-(22.215),
Поэтому числа заполнений n? (fc) = gfg5 могут иметь значения 0, 1, 2, 3, ... и соб* ственное значение оператора %2 примет вид
常=△常0+ 2常5㈣%(砌(22.216)
где
小编=一2汝(砌|%|2,(22.217)
— энергия квантовых «нулевых» колебаний системы, %s (fc) — энергия элементарного возбуждения сорта s с квазиимпульсом 乃，а м$ (乃)一 число таких возбуждений.
Энергия %$ (在)п определяет в первом приближении интересующие нас собственные частоты нормальных типов связанных колебаний намагниченностей /户 Члены
более высокого порядка в сумме (22.206)(咏з и т. д.) по аналогии с ангармоническими членами, появляющимися в теории упругих колебаний кристаллических решеток (фоно- нов), можно рассматривать как члены, описывающие процессы взаимодействия между спиновыми волнами (или столкновения между квазичастицами—ферромагнонами и т. п.). Это открывает возможность для последовательной квантовомеханической трактовки различных кинетических и релаксационных процессов в кристаллах с магнитным атомным упорядочением (см. ниже гл. 24, 25).
Для более подробного ознакомления с результатами конкретных расчетов отсылаем читателей к работам [203, 205, 206, 207] и монографиям Турова (1963) и Ахиезера и др. (1967), в которых также приведено сравнение теории спиновых волн в ферримагнетиках с данными эксперимента (см. также ниже § 11).
Легко видеть, что все результаты, полученные выше (см. гл. 19 — 21), могут быть без труда получены с помощью только что изложенной общей схемы расчета.
Теория спиновых волн и расчет температурной зависимости самопроизвольной намагниченности ферримагнетика в модельной теории рассматривалась рядом авторов. Каплан [198] впервые рассмотрел квазиклассическую теорию спиновых волн по схеме, предложенной Херрингом и Киттелем [352]. Вонсовский и Сеидов [208] использовали для решения этой задачи метод Холстейна и Примакова [353], развитый в работах Андерсона [19] и Кубо [210]. Аналогичный подход был использован в работах Шикло- ша [201], Кондорского и др. [199, 200], Каплана [3 21]. Наиболее строгое и общее решение проведено в двух работах Тябликова [202] [см. также Тябликов (1965)].
В упомянутых работах [198—201, 321] для температурного хода спонтанной намагниченности ферритов получен, как и для ферромагнетиков, «закон Г3^2». В работе Вонсовского и Сеидова [208] получен другой результат A/丁 〜а Г2. Тябликов [202] объяснил различие этих результатов тем, что указанные авторы исходили из различных предпосылок. В работе [208] предполагалось, что обе магнитные подрешетки эквивалентны, а магнитные моменты узлов подрешеток различны (т. е. A^Sj — N2s& и gi 片 gz, см. также Вонсовский и Туров [205]). В других работах считалось, что магнитные моменты узлов различных подрешеток равны, но подрешетки не эквивалентны
Слабый ферромагнетизм
Общие замечания. Рассмотрим теперь случай ^шорядоченной атомной структуры с магнитными подрешетками, намагниченности которых неколлинеарны благодаря релятивистским взаимодействиям.
Как отмечалось выше, в кристаллах cc-Fe2O3, MnGO3, GoGO3, MnF2, а также в орторомбических кристаллах со структурой р едко земельных ортоферритов состава MeFeO3 ) наблюдается слабый ферромагнетизм, величина самопроизвольной намагниченности которого составляет лишь весьма малую часть (10~2——10~5) от максимальных намагниченностей с номинальным спиновым моментом магнитных ионов в этих соединениях. Впервые слабый ферромагнетизм в природном монокристалле гематита (a-Fe2O3) обнаружил Смит [356]. Вначале слабый ферромагнетизм пытались связать с какой-либо неидеальностью в кристаллической решетке соответствующих веществ (примеси, нарушения стехиометрического состава, намагниченность в граничных слоях антиферромагнитных доменов, см., например, работу Ли [357] и т. п.). Однако магнитные исследования Нееля и Потене [173, 358], нейтронографические исследования [33, 175, 169], исследования магнитного резонанса на кристаллах a-Fe2O3 [359], измерения магнитострикции [360], а также исследования Боровика-Романова и Орловой [361] магнитных свойств в весьма чистых образцах карбонатов МпСО3 и СоСО3 показали, что эти вещества, наряду с основной антиферромагнитной структурой, обладают слабым ферромагнетизмом, присущим самим кристаллам и не являющимся следствием каких-либо «нарушений правильности» их решеток. Впервые такая мысль была высказана Шевалье [362], однако она не была подкреплена достаточно ясными экспериментальными результатами и теоретическими расчетами. Более -отчетливо это было сформулировано в работе Матареса и Стаута [363] и особенно Боровиком-Романовым и Орловой [361]. Для объяснения слабого ферромагнетизма, обнаруженного ими в этих веществах, эти авторы
предложили модель антиферромагнетика, в котором имеется небольшая степень неколлинеарности намагниченностей подрешеток.
Последовательное теоретическое обоснование этой идеи впервые дал Дзялошинский [13, 14, 344]. Используя строгий теоретико-групповой термодинамический подход, он показал, что слабый ферромагнетизм является внутренним свойством идеальных антиферромагнитных структур определенного класса симметрии, в которых действительно возникает небольшая неколлинеарностъ намагниченностей подрешеток основной антиферромагнитной структуры под влиянием слабых релятивистских (магнитных) взаимодействий.
Наиболее полные нейтронографические исследования, доказавшие* особый характер атомной магнитной структуры в слабых ферромагнетиках- карбонатах и фторидах переходных 3^-металлов, были проведены в работах Алиханова [158, 178, 364]. Развитию теории и детальному исследованию различных физических свойств слабого ферромагнетизма посвящено большое число работ, укажем некоторые из них [3, 347, 351, 111, 365—377]. В особенности отмечаем теоретические исследования Турова с сотрудниками [345, 346, 378—383] (см. также Туров (1963)). Все эти исследования позволили сделать вывод, что слабый ферромагнетизм представляет собой весьма распространенное явление (см. табл. 22.4). Оказалось, что оно возникает во многих кристаллах с антиферромагнитной структурой с той же необходимостью, как, например, кубическая магнитная анизотропия в ферромагнитных кубических кристаллах и т. и. Детальное описание теоретикогрупповой трактовки этого вопроса читатель может найти в монографии Турова (1963). Ниже будет дано лишь краткое описание. К настоящему времени, кроме «классического» вещества гематита a-Fe2O3, существование слабого ферромагнетизма твердо установлено в большом числе соединений, часть из которых приведена в табл. 22.4, где указана и литература. Во всех случаях спонтанный магнитный момент составляет
Таблица 22.4
Вещества, в которых обнаружен слабый ферромагнетизм
Вещество
Литература
Вещество
Литература
a-Fe2O3
[173, 356,
BiFe03-Pb(Feo,5Nbo,5)03
[403]
358]
Mn(NH4)2(SO4)2-6H2O
[404, 405]
MnCO3
[361, 384— 386]
Co(NH4)2(SO4)2.6H2O
[404, 405]
CrF3
[387]
РеТЮз— Ре20з
[406]
NiF2
[363, 384,
NiTiO3 —Fe2O3
[407]
388, 389]
С0Ю3
[408]
Ортоферриты Me—Y и РЗМ
]
BiFeO3—LaCrO3
[409]
MeFeO3
1 [370, 355,
Mn3Ge
[410, 411]
MeCrO3
j 390-396]
BiFeO3
图2]
MeVO3
J
a-M^+Fel+F 啜一)Оз
[413]
B-NaFeOz
[397]
Cr-Rh
[414]
Мп(С2НзО2)2*^Н2О
[398]
GdPO4
[415]
KMnFe3
[374, 399]
uo2
[416]
Fe3(PO4)2-4H2O
[391]
Fe2TiO4
[417]
Ni(IO3)2-2H2O
[400]
NaNiFe3
[418]
MnTe
[401]
Mn(HCOO)2-2H2O
[419]
CaMnO3
[402]
Ca2Fe2O5
[420]
тысячные или сотые доли от номинального. Например, в a-Fe2O3 получено
1,4・10一3, в МпСо3 и СоСО3 от 2-10"3 до 6*10~3, в GrF3— 1 40~2 и т. п.
Термодинамическая теория. Прежде всего выясним условия суще
ствования слабого ферромагнетизма.
а. Случай магнетита. В качестве конкретного примера выберем полуторную окись железа Fe2O3. Это соединение обладает полиморфизмом. Нас будет интересовать низкотемпературная a-фаза cc-Fe2O3, называемая
Рис. 22.40. труктура ромбоэдрических окислов. а) Кристаллографическая структура; 6) магнитная структура a-Fe2O3; в) магнитная структура Сг2О3. Малые кружки — катионы Fe?+ или Сг3+, большие кружки — анионы О2-.Рис. 22.40. труктура ромбоэдрических окислов. а) Кристаллографическая структура; 6) магнитная структура a-Fe2O3; в) магнитная структура Сг2О3. Малые кружки — катионы Fe?+ или Сг3+, большие кружки — анионы О2-.гематитом, обладающая ромбоэдрической решеткой. Каждый ион Fe3+ окружен шестью ионами О2- (нерегулярный октаэдр, поскольку из шести соседей три более близкие и три более удаленные). Каждый ион О3- окружен четырьмя ионами Fe3+ (нерегулярный тетраэдр). Ионы Fe3+ и О2~ расположены в плоскостях, перпендикулярных к ромбической оси [111]. На рис. 22.40 изображена элементарная ячейка кристалла cc-Fe2O3 и изоморфного с ним кристалла Сг2О3, в которой расположено четыре магнитных катиона Fe3+ или Сг3+ вдоль оси [111]. Из опыта известны [33,421] два магнитных превращения в cc-Fe2O3 при 250° К и 950° К. При этом в интервале 0° К 0 Т & 250° К имеет место
Рис. 22.40. труктура ромбоэдрических окислов. а) Кристаллографическая структура; 6) магнитная структура a-Fe2O3; в) магнитная структура Сг2О3. Малые кружки — катионы Fe?+ или Сг3+, большие кружки — анионы О2-.
Рис. 22.40. труктура ромбоэдрических окислов. а) Кристаллографическая структура; 6) магнитная структура a-Fe2O3; в) магнитная структура Сг2О3. Малые кружки — катионы Fe?+ или Сг3+, большие кружки — анионы О2-.
коллинеарный антиферромагне
тизм, а в интервале 250° К & 7 W 950° К ——неколлинеарный антиферромагнетизм, т. е. слабый- ферромагнетизм. При Т》950° К кристалл
парамагнитен. Для выяснения возможных магнитных упорядоченных
—®и )(一®，и ®~ J5>— 財d с d g以Рис. 22.41. Ромбоэдрический кристалл <z-Fe2O3 (илиСг2О3)- а) Схема элементарной ячейки, 6) элементысимметрии; с ——точки пересечения осей симметриигц с осью [И1], d ——точки инверсии и пересеченияплоскости отражения для осей 8в с осью [111].—®и )(一®，и ®~ J5>— 財d с d g以Рис. 22.41. Ромбоэдрический кристалл <z-Fe2O3 (илиСг2О3)- а) Схема элементарной ячейки, 6) элементысимметрии; с ——точки пересечения осей симметриигц с осью [И1], d ——точки инверсии и пересеченияплоскости отражения для осей 8в с осью [111].структур необходимо принять во внимание, что этим кристаллам соответствует пространственная группа Did (см. гл. 18),
—®и )(一®，и ®~ J5>— 財
d с d g
以
Рис. 22.41. Ромбоэдрический кристалл <z-Fe2O3 (илиСг2О3)- а) Схема элементарной ячейки, 6) элементысимметрии; с ——точки пересечения осей симметриигц с осью [И1], d ——точки инверсии и пересеченияплоскости отражения для осей 8в с осью [111].
—®и )(一®，и ®~ J5>— 財
d с d g
以
Рис. 22.41. Ромбоэдрический кристалл <z-Fe2O3 (илиСг2О3)- а) Схема элементарной ячейки, 6) элементысимметрии; с ——точки пересечения осей симметриигц с осью [И1], d ——точки инверсии и пересеченияплоскости отражения для осей 8в с осью [111].
и поэтому парамагнитному состоянию отвечают следующие операции симметрии:
2&, 3〃2, /, 2s6, 3(Jd, К.
(22.218) Здесь С3 — оси третьего порядка, параллельные [111], zz2 一 оси второго порядка, перпендикулярные [111] и пересекающие эту ось в точках с; / и §6 — соответственно инверсии и зер
кально-поворотная ось шестого порядка по отношению к точкам d на оси [111];公一плоскости скольжения с трансляцией на половину периода вдоль оси [111] и перпендикулярные оси и? (рис. 22.41).
Нейтронографические исследования [33, 175, 421] показали, что магнитная элементарная ячейка в данном случае совпадает с кристаллохимической, а также установили существование двух антиферромагнитных (АФМ) структур соответственно для Сг2О3 (рис. 22.4), в} и a-Fe2O3 (рис. 22.40, 6). На рис. 22.42, а, 6 в показаны различные типы АФМ структур.
Совокупность элементов симметрии для данного типа ма гнитной структуры должна тождественно преобразовывать распределение магнитных моментов в элементарной ячейке. Например, если в ячейке имеется результирующий момент т =工〈Sy%, то он должен оставаться инвари- антным при всех этих преобразованиях. Для всех АФМ структур типа а и b (рис. 22.42) среди допустимых преобразований имеется одна составная операция IR. Применяя ее к т, мы получим — m; в силу требований
к условию т= — ?〃, откуда однозначно следует, что ш 三 0. Следовательно, в АФМ
инвариантности это приводит
Рис. 22.42. Возможные типы антиферромагнитных структур. а) Сг2О3 б) a-Fe2O3, в) не обнаружена.
структурах типа а и b ферромагнетизм невозможен. Это согласуется с наблюдаемыми свойствами Сг2О3, в которых слабый ферромагнетизм не обнаружен. Требования симметрии допускают три возможных модификации в АФМ структуре типа 6 (рис. 22.43):
Ось АФМ совпадает с [111].
Ось АФМ лежит в плоскости симметрии 5/ (ориентация оси в о(^ определяется из условий минимума гамильтониана).
Ось АФМ совпадает с одной из осей и2, нормальных к [111] (рис. 22.43).
В случае (1) элементы симметрии (за исключением 7?) даются выражениями
(22.218). Предположим, что в элементарной ячейке имеется результирующий момент 箝，耍 0. Вектор т можно разложить на две составляющие: Шц — параллельную оси [111] и т^ — нормальную к ней;外土丄 и шц соответственно не инвариантны по отношению к преобразованиям С3 и и2.
Поэтому инвариантность т =夕冷“十 箝宮丄 (по отношению к С3 и 〃2)возможна лишь при /п = 0. Итак, в АФМ структуре (1) ферромагнетизм невозможен (рис. 22.43). Этот случай как уже отмечалось, наблюдается в действительности в cc-Fe2O3 в области температур 0° KWT<250° К.
В случае (2) элементы симметрии суть
Z, Od и и2 (22.219) (ось и2 здесь направлена перпендикулярно к плоскости рис. 22.43). Эти операции допускают повороты пар моментов Si, S& и S2, S3 навстречу друг другу из плоскости рис. 22.43. Этот поворот приводит к результирующему моменту пг，0 вдоль оси 口2 в плоскости (111). Следовательно, для
[〃/]
/о
[〃/][///]
4 о^*"4»-
а) 6) в)
Рис. 22.43. Три возможных типа ориентаций оси антиферр омагнетизма в структуре a-Fe2O3 (см. рис. 22.42, б).
такой АФМ структуры (рис. 22.43, 6) возможен слабый ферромагнетизм
и, как мы видели, он наблюдается в a-Fe2O3 в интервале температур 250° К W 7 4 950° К.
Структура (3) обладает элементами симметрии
〃2e，Л
(22.220)
Эти элементы допускают повороты моментов 邑 (на одинаковые углы), что приводит к появлению результирующего момента ш 方 0 в плоскости о^. В a 'Fe2O3 эта структура не осуществляется (рис. 22.43,召).
6) Случай карбонатов. Изоморфные кристаллы карбонатов FeCO3? МпСО3 и СоСО3 обладают также ромбоэдрической симметрией, но в эле-
ОСЬОСЬ〃2〃2ментарной ячейке находится всего лишь два магнитных иона: Мп2+ и Fe2+ (или Со2+) (рис. 22.44). Операции симметрии для парамагнитного состояния вновь даются выражением"
ОСЬ
ОСЬ
〃2
〃2
2d2dУУaw川 daw川 dРис. 22.44. Расположение магнитных ионов (1, 2) вдоль оси [111] в кристалле МпСОз (или FeCO3, СоСОз). Здесь буквой с обозначены точки пересечения осей симметрии и2 с осью [111], а буквой d —— точки инверсии и пересечения плоскостей отражения для осей 宙и с осью [111].Рис. 22.44. Расположение магнитных ионов (1, 2) вдоль оси [111] в кристалле МпСОз (или FeCO3, СоСОз). Здесь буквой с обозначены точки пересечения осей симметрии и2 с осью [111], а буквой d —— точки инверсии и пересечения плоскостей отражения для осей 宙и с осью [111].в точках с (рис. 22.44). Операции I и S6 должны выполняться по отношению к точкам d. Трансляция на половину периода вдоль оси [111] соответствует плоскости скольжения — Od (от узла 1 к узлу 2). В данном случае возможна лишь одна АФМ структура с тремя возможными типами ориентации АФМ осей (рис, 22.45, I — III). По анало
2
d
2
d
У
У
aw川 d
aw川 d
Рис. 22.44. Расположение магнитных ионов (1, 2) вдоль оси [111] в кристалле МпСОз (или FeCO3, СоСОз). Здесь буквой с обозначены точки пересечения осей симметрии и2 с осью [111], а буквой d —— точки инверсии и пересечения плоскостей отражения для осей 宙и с осью [111].
Рис. 22.44. Расположение магнитных ионов (1, 2) вдоль оси [111] в кристалле МпСОз (или FeCO3, СоСОз). Здесь буквой с обозначены точки пересечения осей симметрии и2 с осью [111], а буквой d —— точки инверсии и пересечения плоскостей отражения для осей 宙и с осью [111].
гии с рассмотренным выше случаем cc-Fe2O3 можно доказать, что для структуры рис. 22.45, I ферромагнетизм невозможен, а для АФМ структуры рис. 22.45, II и III он возможен. Первая стрктура реализуется в FeCO3, а вторая наблюдается как слабый ферромагнетизм в МпСО3 и СоСО3 [361].
[///][///][«лe "C 什马 一一et1一农〃丿例(Щ)Рис. 22.45. Три возможных типа J,II, IIZ ориентации оси антиферромаг-нетизма в антиферромагнитных струк-турах МпСОз и СоСОз.[///][///][«лe "C 什马 一一et1一农〃丿例(Щ)Рис. 22.45. Три возможных типа J,II, IIZ ориентации оси антиферромаг-нетизма в антиферромагнитных струк-турах МпСОз и СоСОз.Таким образом, мы видим, что теоретико-групповой анализ позволяет весьма просто определить возможность осуществления того или иного типа неколлинеарной АФМ структуры в веществе с данной кристаллохимической структурой.
[///][///][«л
e "C 什马 一一et1一农
〃丿例(Щ)
Рис. 22.45. Три возможных типа J,II, IIZ ориентации оси антиферромаг-нетизма в антиферромагнитных струк-турах МпСОз и СоСОз.
[///][///][«л
e "C 什马 一一et1一农
〃丿例(Щ)
Рис. 22.45. Три возможных типа J,II, IIZ ориентации оси антиферромаг-нетизма в антиферромагнитных струк-турах МпСОз и СоСОз.
Вопрос о том； когда реализуется фак* тически та или иная конкретная магнитная структура, может быть ретен уже с при^ влечением вариационного метода на основе гамильтониана (22.194).
Рассмотрим снова случай одноосных ромбоэдрических кристаллов FeCO3, МпСОз и СоСО3 (это справедливо и для сс-ЕвзОз).
До сих пор мы рассматривали кристаллы с магнитным атомным упорядочением, в которых все операции симметрии переводили намагниченности каждой из подрешеток Ij саму в себя. В рассматриваемом случае это уже не так. Здесь необходимо принимать во внимание перестановку индексов Р (1, 2, ... V)номеров V магнитных подрешеток /, которую производят эти операции симметрии. Учет этого обстоятельства и позволил Дзялошинско- му [13] дать количественное объяснение явлению слабого ферромагнетизма.
в) Общий расчет. Магнитные свойства кристаллов карбонатов могут быть в самом общем виде описаны на языке двух магнитных подрешеток (два магнитных иона в элементарной ячейке). Некоторые из элементов симметрии, даваемые формулой (22.218), будут переставлять местами магнитные подрешетки, а некоторые нет, а именно:
c3: 1 - 1, 2f 2;裁 2： 1 / 2; 86，了： If 1, 2f 2;号歩 1/2.(22.221)
Используя (22.221), мы видим, что к гамильтониану (22.199) следует добавить дополнительный инвариантный член вида
О (miXm2y^m2xmiy).(22.222)
Этот член магнитный (релятивистский) по своей природе. Он, как мы увидим, и будет определять собой все свойства слабого ферромагнетизма. В случае высоких температур (22.199) вместе с (22.222) дает разложение термодинамического потенциала Ф в ряд по степеням малых параметров тпуа вблизи точки фазового перехода из парамагнитного в упорядоченное магнитное состояние.
Следуя Дзялошинскому [13], вместо 厶 и 工2 целесообразно ввести два новых вектора
^ =工1 +工 2, ^ - Ii —工2・(22.223)
Вектор ш характеризует ферромагнитное состояние, а 土 ——антиферромагнитное
состояние, а также ось антиферромагнетизма Л. Используя (22.223), а также опуская члены с V/ja и div /, и пренебрегая размагничивающим эффектом поверхностей образца (Div 厶=0), из (22.199) и (22.222) получаем )
①="Т "2 + ~^~ т2 4^ 得+ ~^~7n^ + 壮(1хту — /严賓)4^ 徃4^"m4一 (ш* Л). (22.224)
Коэффициенты а, &, d просто связаны с коэффициентами А, В из (22.199) и Z)из (22.222). Члены с е и / дают обменные инварианты четвертого порядка по отношению к Z и ти. В «главных» обменных членах в (22.224) в парамагнитном состоянии а и а^ ^> 0. Поэтому там нет магнитного порядка и минимуму Ф соответствует ш = Z = 0. Мы получим чисто антиферромагнитную структуру (ш — 0, % *0 при Н = 0), если коэффициент а изменит знак, а а〔 останется равным нулю в точке фазового перехода (и ниже) и если пренебрежем членом с d. Если этот член принять во внимание, то минимуму ①, кроме чисто антиферромагнитной структуры, может соответствовать и структура с ш 5^ 0, т. е. слабый ферромагнетизм релятивистской природы. Действительног минимум Ф при заданном I (и при Н = 0ие = / = 0) определяется уравнениями
I(22.225〉(22.226}Zx-(22.227>I(22.225〉(22.226}Zx-(22.227>dirty = XZx, —dmx — blz =a^mx - dly = 0,- dlx — 0,(仰 + 儿)加2 = 0；
I(22.225〉
(22.226}
Zx-(22.227>
I(22.225〉
(22.226}
Zx-(22.227>
4+陽屮磅=22,
где 入——лагранжев множитель. Система (22.225) имеет решения:
(1)?п = 0,2^ = %=°；
% = °, ^z = 0> %=峭 =
В состоянии (1) спины ионов направлены по оси [111] и ферромагнетизм отсутствует (侬=0). В состоянии (2) спины лежат в плоскости (111) (ибо lz = mz = 0) и в этой плоскости возникает самопроизвольная намагниченность ш, перпендикулярная оси антиферромагнетизма %, величины т ^ {\ d 1/а» 2 (а^ > 0)； I d | ——релятивистская энергия, а 询 ——обменная (электростатическая), поэтому mil л; | d |/а^ л; 10-2 —10~5; это подтверждается на опыте. Для определения ориентации г и ш в плоскости (111) необходимо принять во внимание инварианты более высокого порядка в 1Х и Zy, которые определяют магнитную анизотропию в плоскости (111).
Наоборот, если в точке фазового перехода коэффициент а{ меняет знак, а а〉О в обоих фазах, то минимуму Ф соответствует ферромагнитное состояние (ш ^ 0, г = 0) обычного обменного типа, если не учитывать член с d. Если же его учитывать, то можно ожидать примесь слабого антиферромагнетизма релятивистского типа. Действительног в этом случае вместо (22.226) и (22.227) будем иметь решения：
2 = 0； тпх =/Пу = 0;(22*226а)
friz —/^ ~~ 0, 2% —~^^д，^у —~^^^,(22*227а}
если определять минимум (22.224) при данном ш и при Н = е = j ~ 0. В состоянии (1) мы имеем ферромагнетизм с осью легкого намагничивания вдоль [111] без примеси слабого антиферромагнетизма. В состоянии (2) ось легкого намагничивания лежит в плоскости (111) (ее ориентация в этой плоскости может быть определена при учете членов высокого порядка относительно тх и тпу), но намагниченности подрешеток Ц и /2 несколько неколлинеарны. Практически этот эффект сводится лишь к тому, что он может служить одной из причин неравенства самопроизвольной намагниченности своему номинальному значению.
Фактически из двух структур (1) и (2) реализуется та, для которой Ф имеет наименьшее значение. Подставляя решение (22.226) и (22.227) в (22.224), получаем
①⑴=р2十寸2十%居①⑵=寸2 一去?2+彳儿 (22.228)
Определяя минимум этих выражений по Z2, находим
/ N2 \2
_(a+b)2 m)72 〜。/99 990V
Ф(1)-^1 ①⑵一^, ^2 ^- ■(22.22у)
Поскольку b^sd《a, аь. то в первом приближении имеем
-T- • (22.230)
Таким образом, реализация того или иного состояния определяется знаком «константы» анизотропии b (в данном случае а V 0). Сравнивая этот вывод с данными опыта, можно сказать, что в интервале 250° К《 Т《 950° К b > 0 и имеет место решение (2) со слабым ферромагнетизмом, а при 0° К《Т W 250° К Ь <_ 0 и имеет место случай чистого антиферромагнетизма.
Вблизи точки Нееля 0дг температурная зависимость а имеет вид а ^ а (Т ——0^-) (см. гл. 18) и, следовательно,
?=(勺"%N-7产，(勺"2(®n-7)"2. (22.231)
Дзялошинский [13] исследовал также температурную зависимость Z и m во всем интервале от 950° К до 250° К, а также и фазовый переход из состояния слабого ферромагнетизма в состояние чистого антиферромагнетизма при 250° К, который оказывается фазовым переходом первого рода.
Учитывая член с Н в (22.224), Дзялошинский исследовал поведение a-Fe2O3 в магнитном поле.
Дополнительный член (22.222) в гамильтониане был введен чисто феноменологически. Было определено два возможных физических механизма, лежащих в основе взаимодействия, описываемого этим оператором энергии. Первый из них предполагает наличие в кристалле двух неэквив а лентных узлов, занятых магнитными ионами. Поле лигандов для них будет различным. Тогда это поле вместе со спин-орбитальной связью создаст, как правило, две непараллельные оси кристаллической анизотропии для ионов в этих двух узлах.. Согласно Мориа [368, 369], этот случай реализуется, например, в кристалле NiF2.
Второй механизм возникает из комбинации эффектов спин-орбитальной и косвенной обменной связи. Расчет для кристаллов с низкой симметрией [368, 369, 422] приводит к появлению анизотропной связи спинов типа
DlSi-S^ (22.222а)
совпадающего с (22.222), где D ——векторный энергетический параметр. По мнению Тревеса [423] это антисимметричное косвенное взаимодействие, по-видимому, ответственно за слабый ферромагнетизм в a-Fe2O3 и в некоторых ортоферритах. Обоим этим типам связи благоприятствует существование высокой точки Нееля, т. е. сильно электростатической обменной связи.
Вонсовский и Свирский [28] обратили внимание на то, что косвенное обменное взаимодействие типа (22.222) связано с изменением мультиплетности магнитно активных ионов (см. также работы Эрдёша [424] и Цинадера [425]).
Имеется ряд работ по переходу из антиферромагнитного в слабоферромагнитное состояние (см., например, Цинадер и Штрикман [426]) ).
Спиновые волны в слабых ферромагнетиках. Боровик-Романов [365J и Туров [255] обобщили теорию спиновых волн (гл. 19) на случай слабого ферромагнетизма. В работе Боровика-Романова и Орловой [361] была также отмечена возможность другого типа слабого ферромагнетизма, обусловленного слабой неполной компенсацией коллинеарных намагниченностей подрешеток основной антиферромагнитной структуры. Это может иметь место в ферримагнитных соединениях с магнитными подрешетками, построенными из магнитных ионов различной природы таким образом, что N& = TV2s2, но gi 声 g2 (здесь Nj — число ионов, 5；— спин и gj — g-фактор иона подрешетки / = 1, 2), То же может иметь место и при одинаковых ионах, g-факторы которых тем не менее различны, если эти ионы в разных подрешетках занимают неэквивалентные узлы с различным «окружением». Этот случай слабого ферромагнетизма можно назвать ^продольными слабым ферромагнетизмом (Туров [255]), поскольку здесь ж II Z II Д, . в отличие от рассмотренного ранее «поперечного» слабого ферромагнетизма, возникающего из-за неколлинеарности намагниченностей подрешеток (ж 丄 I || А).
Теорию спиновых волн для одноосного «поперечного» слабого ферромагнетизма можно построить по общей схеме (см. § 10), используя
гамильтониан (22.199) с добавлением члена (22.222). Выберем ось z вдоль оси симметрии кристалла, подрешетки будем считать эквивалентными (g(u> = g(22> =в； ^^ ~ ^2> =^ А^' и опустим члены с Я； и 3产) &,右=1, 2); тогда при выполнении условий
4。2)>0, 4一4尸)>о и 刀>0
и при поле Н, лежащем в базисной плоскости (磔/), основному состоянию системы, которое находим из условия минимума 做о, соответствуют однородные намагниченности подрешеток Z10 и Z2o- Они лежат в той же плоскости почти антипараллельно друг другу и лишь немного отклоняются от оси антиферромагнетизма А = J10 — J2o- Это отклонение характеризуется углом А, определяемым соотношением
sin® 弋与謬. (22.232)
В числителе (22.232) стоят малые магнитные энергии D и IQH, а в знаменателе —большая обменная энергия Л(12)； поэтому угол 仆 действительно мал. Поскольку в гамильтониане (22.199) не учтены «магнитные» члены, описывающие магнитную анизотропию в плоскости базиса, то положение оси антиферромагнетизма А определяется внешним полем Н, которое параллельно вектору m и перпендикулярно 11| А. Из (22.232) следует, что величина вектора ж равна (при Т = 0。К)
m (0, Я) = 2 sin 心=2 五露", (22.233) где НЕ = 2А(12>/10 — эффективное поле обменного взаимодействия (^106— —107 а) Яд = DUq — эффективное поле (Дзялошинского) внутренних магнитных взаимодействий (^ЛО?—Ю4 э), которое и определяет в данном случае существование самопроизвольной намагниченности (при Я = 0 и 7 = 0° К), равной
浓(0) = 2祭 (22.234)
и составляющей 0,01——1 % от величины намагниченности Zo подрешеток основной антиферромагнитной структуры.
Рассматривая слабые колебания намагниченностей подрешеток AJ； — Ij~ Ij0 (/ = 1, 2) около своих равновесных положений, можно по общей схеме получить [255, 365] энергии для двух ветвей спиновых волн:
目(1)(乃)={“2 (Яд +Я)Я + 厶2胪} 1/2, (22.235)
目⑶俾)=飙2 [纥十 д (Яд + Я)]+^}1/2, (22.236)
где *) N = gpiB,厶2 = 248> 仍一312>)戌//：, Я0=[2Л<12> (Az-А^>)]^/1
Любопытно отметить, что между этими двумя ветвями имеется отличие, а именно в отсутствие внешнего поля (方 = 0) в ветви (22.235) нет энергетической щели (А宮$Ун=о)^ 0) ), а во второй ветви щель есть (A富長分п0)ц (% +hП))，
Используя законы дисперсии (22.235) и (22.236), можно определить термодинамический потенциал спиновых волн Q [см., например (19.111)] и вычислить термодинамические величины спин-системы слабых ферромагнетиков поперечного типа. Стандартный расчет для области температур цЯ0《к3Т《^Б0^ дает
ЦТ, H) =『s(T)+%(7)〃， (22.237)
где для самопроизвольной намагниченности Is (7) имеем
厶(Т) = 2/。蟲(1 — аТ2), а = ~^^,(22.238)
а для магнитной восприимчивости % (7)：
%(7)=曾(1一以2).(22.239)
Если поле HQ велико: цЯ0》"е?》цЯ,卩Яд, то в формуле (22.238) коэффициент а заменяется на а/2.
Из (22.238) мы видим, что /$ (Т) в случае слабого ферромагнетизма «поперечного» типа в области низких температур подчиняется закону 普, а не 73/2. ^ем же путем можно получить формулу для магнитной теплоемкости [см. (19.116)], которая в данном случае подчиняется закону Т3. Боровик-Романов и Орлова [361] для поликристаллов МпСО3 и СоСО3 и Боровик-Романов [365] для монокристаллов МпСО3 измерили температурную зависимость /§ (7) и % (7). Эти опыты подтвердили справедливость теоретического закона 7? для Is (7) по (22.238). Однако для % (Т) пока еще не было получено согласия с теоретическим предсказанием (22.239) ). При более детальной проверке теории необходимо распространить измерения на область более низких температур для совместного измерения /§, %, % и резонансных частот на одном и том же образце ). Теория процессов намагничивания в слабых феромагнетиках ромбической симметрии рассмотрели Мицек и Колмакова [439].
4・ «Продольный слабый ферромагнетизм». Рассмотрим еще случай «продольного» слабого ферромагнетизма. Следуя работе Турова [255], рассмотрим сначала общий случай ферромагнетика с двумя магнитными подрешетками (Z10 声 Z2o) с коллинеарным расположением намагниченностей /j。. Гамильтониан такой системы без учета магнитных членов, согласно (22.199), имеют вид
能=厶(12)(明.m2)+ у В^1^ (V/Wia • Vmla) + у В(22)&2 (V/n2a -V^a) +
+ B^^a? (Vw^ia • VSa) — ('10從 1 +，20切2)• H・(22.240)
Результирующая намагниченность ш = Jlo — J2o направлена вдоль поля Н при Т = 0° К, если Л{12) > 0 и 九。> 厶。.Спектр спиновых волн ферримагнетика с двумя подрешетками, рассчитанный стандартным способом [см. Туров (1963), а также (22.139)] имеет вид
容12)㈣=["必—唸『2 土型专型，(22.241)
где
e12 = ("2 (厶(12)十 B(12)/).
\ / W 20 /
(22.242)
，10 —，20同一"2，10 —，20同一"2Легко видеть, что линейный закон дисперсии (宮 〜 А) для спиновых волн (при Н=0) будет иметь место при выполнении условия
，10 —，20同一"2
，10 —，20同一"2
(22.243)
характерного для обычного антиферромагнетика. Это равенство допускает наличие самопроизвольной намагниченности
厶(0)=乙。一/2。=学 Лh(22.244)
где Ар, = (1/2)(山一卩2),卩=0/2)(F4十卩2)и Z0 = (l/2) (/ю+^о)- Таким образом, с одной стороны, мы имеем дело со скомпенсированным антиферромагнетизмом, ибо Z；0/pi； = N；S； и, следовательно, согласно (22.243), N& = N2s2. С другой стороны, имеет место слабый «продольный)> ферромагнетизм, обусловленный неравенством g-факторов магнитных ионов разных подрешеток 闻 声 g2). Если ограничиться для простоты случаев! В^ = В{2^. то закон дисперсии (22.241) примет вид
目。2)(©={n2 [普/8+()2于]十/2胪}"2 士財.(22.245)
Как следует из теории обычного антиферромагнетизма, рассмотренное выше состояние с _ff И А устойчиво лишь в полях Яс(Дц/ц)Я£. Это условие изменится, если учесть энергию магнитной анизотропии ^[lHa.
Стандартный расчет температурной зависимости намагниченности при к^т》[nаn/8卩/2 дает
ЦТ, Я) = Л(П+Х(ПЯ?(22.246)
где
/е)=普/山_(4Й^)賣]”247)
и восприимчивость % (аналогичная 为〔в обычных антиферромагнетиках) равна
个卩2出7)2
%(7)—•(22.248)
Следовательно, в случае продольного слабого ферромагнетизма, как и для поперечного ч случая, Zs (Т) подчиняется закону Т2, а не закону Т”？. Заметим, что часть вамагниченности (22.247), зависящая от Т,
должна изменять знак при поле Н = (Api/4卩)〃石・
Пьезомагнетизм и магнетоэлектрический эффект в антиферромаг- не тиках. Возможность существования или отсутствия слабого ферромагнетизма в антиферромагнетиках одного и того же кристаллографического класса зависит от магнитной симметрии. Поэтому упругая деформация антиферромагнитного кристалла (не обладавшего ранее слабым ферромагнетизмом), приводящая к изменению его магнитной симметрии, может в принципе привести к появлению самопроизвольного магнитного момента, т. е. будет наблюдаться пьезомагнетизм. Возможность существования пьезомагнетизма и магнетоэлектрического эффекта (т. е. возникновение намагниченности под влиянием электрического поля) в некоторых кристаллах, обладающих атомной магнитной структурой и поэтому не имеющих среди элементов симметрии элемента R (т. е. изменения знака времени) *), отмечали Ландау и Лифшиц (1957) и Тавгер и Зайцев [350]. Дзялошин- ский [441, 442] рассмотрел несколько конкретных примеров антиферромагнитных веществ, в которых может возникнуть пьезо магнетизм или магнетоэлектрический эффект. Тавгер [443] и Ле Корре [444] нашли тензоры пьезомагнетизма для всех классов магнитной симметрии антиферромагнетиков.
Пьезомагнетизм впервые был экспериментально обнаружен Боровиком-Романовым [445] в кристаллах CoF2 и MnF2. В этих работах была развита также термодинамическая теория пьезомагнетизма, подобная теории Дзялошинского для слабого ферромагнетизма. Расчет пьезомагнитного коэффициента для CoF2 провел Мориа [446]. Андрацкий и Боровик- Романов [4471 наблюдали пьезомагнетизм также в cc-Fe2O3, Филлипс и др. [448] в CoF2 и в cc-Fe2O3, Грейфер в ферритах [449].
Ландау и Лифшиц (1957) указали, что если магнитная симметрия кристалла допускает в термодинамическом потенциале смешанные члены порядка Н ・Е, где Н и 石一соответственно векторы магнитного и электрического поля, то при помещении такого кристалла в электрическое или магнитное поле в нем соответственно должен возникнуть пропорциональный полю магнитный или электрический момент. Дзялошинский [442] нашел, что такими свойствами из известных пока антиферромагнетиков обладает лишь кристалл Сг2О3. Действительно, Астров [450], Фолен и др. [451, 452] обнаружили магнетоэлектрический эффект в Сг2О3.
Несколько позднее Альшин и Астров [453] нашли этот эффект также в антиферромагнетике Ti2O3> Фонер и Ханабуса [454] — в Сг2О3 — А12О3, Радо [455] — в ферромагнитных соединениях системы Ga2-xFexO5. Штрик- ман и Тревес [456] нашли магнетоэлектрический эффект в поликри- сталлических образцах Сг2О3, охлаждая образец через точку Нееля в присутствии параллельных магнитного и электрического полей. Эффект был также обнаружен в LiMnPO4 [457], ТЬАЮ3 [458]. О'Делл [459], используя технику магнитных импульсов для измерения этого эффекта в керамических дисках из окиси хрома, показал возможность использования магнетоэлектрических материалов как элементов памяти в электронных вычислительных машинах. Вопросы теории магнетоэлектрического эффекта рассмотрены также в работах [460—467].
Самохвалов [468], Фанг и Броуэр [469] наблюдали аномалию в температурном ходе диэлектрической проницаемости Сг2О3 вблизи точки Нееля. По мнению Лала и др. [470], эта аномалия вызвана магнето электрическим эффектом. Атомный механизм этого эффекта рассмотрен в работах Радо [471], а также в работе Дате и др. [472]. За подробностями отсылаем читателя к цитированным выше оригинальным работам (см. также [473, 474]).
Антиферромагнетики со слоистой структуройи метамагнетизм
Кристаллы со слоистой структурой. Среди антиферромагнитных веществ можно выделить особый класс соединений, в первую очередь безводные галогениды переходных ^-металлов. Эти вещества обладают слоистой кристаллографической структурой, которая имеет вид последовательно чередующихся двумерных слоев ионов d-металлов и галлон- дов. При этом между двумя ближайшими слоями металлических ионов расположены по два слоя галоидов. Обменная d — d-свнзь в плоскости металлического слоя носит ферромагнитный характер, поэтому слои ионов d-металлов представляют собой двумерные ферромагнетики. Между собой соседние слои связаны гораздо более слабыми магнитными дипольными или обменными силами антиферромагнитного типа или и теми и другими. Связь между двумя соседними слоями галоидов заметно слабее связи соседних галоидного и металлического слоев, а также связей внутри слоев (Пинскер [475]). В бромидах и иодидах нормально к плоскости слоев направлена ось шестого порядка, а в хлоридах — ось третьего порядка.
Ландау [5] впервые высказал идею о существовании такой магнитной структуры и развил термодинамическую теорию подобных антиферромагнетиков. Позднее нейтронографические исследования подтвердили сущест-
вование таких магнитных структур: например, в МпВг2 [476], в Мп12 [477], в FeBr2, FeCl2, СоВг2 и СоС12 [16 6], в МпС12 [478], в СоС13 и FeCl3 [470].
В FeCl3, FeBr2 и СоС12, СоВг2 имеется самая простая структура — магнитные моменты соседних металлических слоев антипараллельны. В других соединениях наблюдаются более сложные структуры. В FeCl2 и FeBr2 магнитные моменты ионов направлены вдоль гексагональной оси кристалла, а в СоС12 и СоВг2 моменты лежат в плоскости слоя.
Рис. 22.46. Фазовая диаграмма для критических полей антиферромагнетика на плоскости а 三 На/Не， а，Н三Н/Не при 0° К. АФМ — область антиферромагнитной фазы; Фм — ферромагнитной и ОР — опрокидывания подрешеток.Рис. 22.46. Фазовая диаграмма для критических полей антиферромагнетика на плоскости а 三 На/Не， а，Н三Н/Не при 0° К. АФМ — область антиферромагнитной фазы; Фм — ферромагнитной и ОР — опрокидывания подрешеток.Физические свойства слоистых антиферромагнетиков на поликристал- лических образцах впервые исследовали Трапезникова и Шубников [480, 481] и Шалыт [482]. Они обнаружили аномалии теплоемкости и максимум восприимчивости при переходе- в антиферромагнитное состояние. Затем были начаты исследования на монокристаллах, позволяющие выяснить многие тонкие черты в магнитных свойствах этих веществ (см., например, работы [483, 484]).
Рис. 22.46. Фазовая диаграмма для критических полей антиферромагнетика на плоскости а 三 На/Не， а，Н三Н/Не при 0° К. АФМ — область антиферромагнитной фазы; Фм — ферромагнитной и ОР — опрокидывания подрешеток.
Рис. 22.46. Фазовая диаграмма для критических полей антиферромагнетика на плоскости а 三 На/Не， а，Н三Н/Не при 0° К. АФМ — область антиферромагнитной фазы; Фм — ферромагнитной и ОР — опрокидывания подрешеток.
родно нагманиченный ферромагнетик.родно нагманиченный ферромагнетик.Благодаря слабой связи между слоями и не очень большой магнитной анизотропии в плоскости самих слоев, относительно малые внешние магнитные поля могут легко превратить слоистый антиферромагнитный «сэндвич» в одно- Благодаря этой особенности эти
родно нагманиченный ферромагнетик.
родно нагманиченный ферромагнетик.
вещества (не совсем обоснованно) иногда называют метамагнетиками. Детальную теорию для слоистых антиферромагнетиков СоС12 и NiCl2 с использованием техники функций Грина развил Лайнес [227, 485J (см. также работу [486]).
Метамагнетизм. В настоящее время термин матамагнетизм применяется к веществам, магнитные свойства которых удовлетворяют более жестким условиям, чем просто принадлежность к группе слоистых антиферромагнетиков . Метамагнетиками называют такие вещества, в которых выполняется условие
На^Не*(22.249)
Это условие означает, что эффективное поле магнитной анизотропии равно или больше эффективного поля обменного взаимодействия. Благодаря этому условию в тех веществах, где оно выполняется, отсутствует явление опрокидывания магнитных подрешеток. На рис. 22.46 представлена фазовая диаграмма в координатах (а = НА/НЕ и ан = Н/Не) при 0° К (см. Неель [487], Канамори [488] и Кеффер [206]). Из графика видно, дтв при а < 1 (т. е. при На《 ％) всегда существует фаза с опрокинутыми подрешетками — ОР (между фазовыми линиями 1 и 3). Переход из антиферромагнитной фазы АФМ в ОР-巾азу может задержаться. Это явление аналогично перегреву при фазовом переходе первого рода, например при плавлении. Также может задержаться и переход из ОР в АФМ, На рис. 22.46 это показано соответственно линиями 2 и 4. При а > 1, т. е. когда выполнено условие (22.249), фаза ОР отсутствует. С ростом внешнего поля при ан》1 АФМ-фэ^з^ превращается в ⑦М-巾азу, т. е. в ферромагнетик (во внешнем поле). Таким образом, на фазовой диаграмме- рис. 22.46 область с а》1 является областью существования метамагнит- ного состояния.
Типичное поведение для метамагнетиков во внешнем магнитном поле иллюстрируется кривыми намагничивания, приведенными на рис. 22.47 для метамагнетика FeBr2 по данным работы Джекобса и Лауренса [489].
Рис. 22.47. Кривые намагничивания FeBr2. 2 — в метамагнитном состоянии (при 4,2° К) и 2 — в парамагнитном состоянии (при 20,4。К).Рис. 22.47. Кривые намагничивания FeBr2. 2 — в метамагнитном состоянии (при 4,2° К) и 2 — в парамагнитном состоянии (при 20,4。К).Видно, что при внешнем поле Н ^ 統 кэ (при 4,2° К) в FeBr2 быстро, но без скачка достигается ферромагнитное состояние. Кривая, снятая при 20,4° К (выше точки Нееля 0Я = 11° К), имеет вид, типичный для парамагнетика. Быстрый рост намагниченности на кривой для Т = 4,2° К, очевидно, наступает при ан = 1, когда фазовая кривая 5 на рис. 22.46 пересекается с кривой 2. В этом случае магнитный гистерезис не наблюдается.
Рис. 22.47. Кривые намагничивания FeBr2. 2 — в метамагнитном состоянии (при 4,2° К) и 2 — в парамагнитном состоянии (при 20,4。К).
Рис. 22.47. Кривые намагничивания FeBr2. 2 — в метамагнитном состоянии (при 4,2° К) и 2 — в парамагнитном состоянии (при 20,4。К).
Метамагнетизм твердо установлен в FeCl2 [165, 490, 491], в FeBr2 [489], в FeCO3 [492]. Возможно, что к этому классу магнетиков принадлежат соединения СоС12, NiCl2 и Ni(NO3)2 -2Н2О [493], а также СоС122Н2О, СоВг2*2Н2О [494, 495] и NaNiO2 [496]. Наконец, к этому классу можно отнести некоторые редкоземельные соединения, например GdN, TbN, DyN, HoN, ErN, TbAs, DyAs, HoAs, ErAs, DyP, HoP, DySb, HoSb [497-499],
а также MnP [500, 501], MnAu2 [502—504] и магнетит [505]. Самохвалов и др. [506] (см. также 1507]) установили метамагнитные свойства в Еи3О4 (с Qn = 5,3° К). Кристалл Ёи3О4 имеет ромбическую ячейку (пространственная группа D^Pnam)\ вдоль оси с линейные цепочки спинов ионов Еи2+ связаны ферромагнитно (по-видимому имеет место прямой d — d-обмен между 5й-слоями). Эти цепочки связаны между собой антиферромагнитно либо диполь-дипольной связью, либо косвенным обменным взаимодействием через анионы кислорода. Метамагнетизм обнаружен также в ЕгО3 [508], RbFeF3 [509], AgCi^Sg [510], ТЬА1О3 [511].
Теорию метамагнетизма развивали Неель [187, 487, 512], Канамори [488] и Хип [513] (см. также работы [584 — 587] и обзор Фогта [5141).
Антиферромагнитные металлы
Среди антиферромагнитных веществ особую группу занимают антиферромагнетики с маталлической проводимостью. В гл. 20 и 21 мы уже касались этого вопроса. Здесь будет дана краткая сводка важнейших сведений об этой группе антиферромагнетиков. Ее в свою очередь можно разбить на следующие подгруппы:
Чистые антиферромагнитные d-металлы (например, Gr, a-Mn, y-Fe).
Чистые антиферромагнитные /-металлы (например, Се, Nd, Рг).
Интерметаллические соединения (например, MnAu2).
Сильно разбавленные сплавы d~ и /-металлов в диамагнитных матрицах (Си, Ag, Аи и т. п.).
Магнитные свойства редкоземельных 4/-металлов рассмотрены в гл. 20, а разбавленных растворов d- и /-ионов в диамагнитных матрицах —в гл. 21, поэтому мы не будем на них останавливаться. Затронем лишь вопрос о чистых антиферромагнитных d-металлах.
В группе d-металлов антиферромагнетизм определенно обнаружен только в двух случаях — в Сг и а-Мп.
При изучении Сг обнаружено [515], что его парамагнитная восприимчивость имеет небольшой положительный температурный коэффициент до достаточно высоких температур (см. гл. 11), что как будто бы указывала на наличие антиферромагнетизма. Затем были найдены аномалии различных физических величин Сг *) (теплоемкость, электросопротивление, теп-
ловое расширение, термо-э.д.с., затухание механических колебаний и др.) вблизи Т = 312° К. Эту температуру и следует считать точкой Нееля для чистого кристалла Сг. Сначала некоторое время в этом не было уверенности, и различные, например нейтронографические, исследования приводили к разным результатам. Это, как потом оказалось, было связано с резкой чувствительностью магнитных свойств Сг ко всяким нарушениям идеальности его кристаллической структуры (примеси, дислокации, внутренние напряжения и т. п.).
Нейтронографические исследования на монокристаллах, проведенные Быковым и др. [518], а также Корлиссом и др. [519], дали независимо согласующиеся результаты, а именно величину 0N = 312° К и очень малую намагниченность подрешеток (^0,5 цв/атом), примерно в 10 раз меньшую номинальной. Б этих работах также наблюдались расщепления магнитных пиков на нейтронограммах. Это указывало на то, что магнитная структура хрома имеет геликоидальный вид (см. гл. 20). Согласно Оверхаузеру [520] (см. также [521——524] в Сг реализуются статические волны спиновой плотности, о которых речь уже шла выше (см. гл. 11,20,21). К сожалению, пока еще нет полной ясности в вопросе об истинной природе магнитной структуры Сг.
Не менее сложным является вопрос о магнитной структуре антиферромагнитного а-Мп (см. обзор Арротта [516]).
Кондорский и Седов [525] измеряли температурный ход %пм аустенитной стали со структурой y-Fe и нашли максимум %пм при Т ^ 40° К, который свидетельствует об антиферромагнитном переходе. На основании этого результата авторы пришли к заключению, что если бы можно было переохладить у-фазу Fe до весьма низких температур, то в ней также был бы обнаружен антиферромагнетизм. Еще одним подтверждением этого вывода может служить работа Абрагамса и др. [526], в которой с помощью нейтронной дифракции при температуре жидкого гелия исследовались когерентные выделения y-Fe в монокристалле сплава Си — Fe. Было найдено два магнитных пика и по их температурной зависимости в интервале 1,3 —4,6° К экстраполяцией была определена точка Нееля Q^v = 8° К, для атомного магнитного момента получено значение порядка 0,7 pig.
В заключение укажем, что, помимо гипотезы Оверхаузера о существовании волн спиновой плотности в антиферромагнитных d-металлах, Дзялошинский [527] отметил возможность иной природы неколлинеарной магнитной структуры. В этой работе рассмотрен механизм образования длиннопериодных винтовых магнитных сверхструктур в антиферромагне- таках, связанный с тем, что средняя плотность спинового магнитного момента может благодаря каким-то физическим причинам оказаться «нелокализованной», т. е. иметь максимумы не только в узлах, занятых магнитными ионами. Большая величина периода сверхструктуры обусловлена тем, что в реальных антиферромагнитных d-металлах «нелокали- зованпая» часть плотности магнитного момента всегда мала по сравнению с ее «локализованной» частью.
Дзялошинский [339] также указывает, что электронный магнетизм типа волн спиновой плотности, если бы он возник за счет обменных взаимодействий, то точка Нееля для него определялась бы энергией порядка энергии вырождения ^0* Поскольку наблюдаемые 0^ 0 ^0/Аб» то, по мнению Дзялошинского, этот механизм не реализуется в реальных d-металлах.
Ферромагнетизм и антиферромагнетизмсоединений элементов группы урана
В гл. 20 рассматривались магнитные свойства 4/-металлов, в гл. 21 — их сплавов, а в гл. 22— их соединений. За последнее время внимание исследователей привлекают также магнитные свойства соединений актинидов и в первую очередь соединений U. Особые магнитные свойства этих
веществ обусловлены наличием в атомах группы актинидов недостроенных -5/- и 6й-слоев электронной оболочки. Здесь, однако, нельзя ожидать полной аналогии с 4/-металлами, поскольку 5/-слой, особенно для атомов •элементов начала семейства актинидов, гораздо слабее экранирован наружными электронными слоями оболочки, чем 4/-слой в РЗМ.
Наиболее полный обзор исследований магнитных свойств урановых соединений дал Тржебьятовский [528] (см. также [529]), где приведена также библиография оригинальных работ до начала 1957 г.
Из опыта известно, что чистый металлический U является типичным паулиевским парамагнетиком с %口乂 1,7 *10~6 и с d%№/dT > 0 [530].
Ферромагнетизм в соединениях U впервые наблюдали в a-UH3, 0-U3H3 и в p-UD3 со структурами типа BiF3 и §-W (Тржебьятовский и др. [531—534, 536]). Ферромагнетизм был также обнаружен в гидридах и дейтеридах Ри [535]. 、
В качестве примера приведем некоторые данные для соединений U < элементами V4 группы и УЫ группы, которые имеют структуру решетки типа NaCl и являются соответственно антиферро- и ферромагнитными -(см. табл. 22.5).
Таблица 22.5
Магнитные свойства соединений урана (структура типа NaCl)
Соединение
U—и расстояние, А
Эффективный магнитный момент,从£
е, °к
®n、0K
Литература
UC *)
4,16
[536 , 537]
|3,45
2,95
—2,35
—
52±1
[538]
UN
2,96
—205
[539]
〔4,8835
3,00
— 310
—
53 土 2
[540]
UP
3,94
3,31
4-36
130
[541]
3,56
+3
—
123
[542]
и As
4,08
3,54
4-32
—
182
[543, 544]
USb
4,38
3;85
+95
—
213
[543]
UBi
4,55
4,06
+115
290
[545]
[3,88
2,46
180
[540]
1 -
2,25
+173
178
—
[541]
US
2,22
+185
182
(547]
|-
—
—
178
(548]
1 -
—
—
180
—
[549]
USe
4,06
2,51
+188
183
—
[550]
UTe
4,35
2,87
+105
105
—
[551]
*) В соединении UC обнаружен лишь паулиевский парамагнетизм.
Кроме соединений урана и плутония, исследовались также магнитные свойства соединений тория [552—555], нептуния [556].
За всеми подробностями о магнитных и других физических свойствах отсылаем читателей к цитированной оригинальной литературе (см. также [557-561]).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 22
Т. Nagamiya, R. Ku b о, К. Y о s i d a, Adv. Phys. 4, 1 (1955).
H. L a b h а г t, Zs. angew. Math. Phys. 4, 1 (1953); перевод в сб. «Антиферромагнетизм», ИЛ, 1956, под ред. С. В. Вонсовского.
-3. А. С. Боровик-Романов, «Антиферромагнетизм», С6.《Итоги науки», вып. 4, стр. 7, Изд-во АН СССР, 1962.
456789О19^Q^/^K^6789o^1^9^Q^/^K^^7^0^ 9012345* 7 8 9 о 1 2 3 4 5 67&9o l23 4 56789°L234511 11111111222222222 2 333333333344444 44444555555555 566666 6456789О19^Q^/^K^6789o^1^9^Q^/^K^^7^0^ 9012345* 7 8 9 о 1 2 3 4 5 67&9o l23 4 56789°L234511 11111111222222222 2 333333333344444 44444555555555 566666 61 онсовский, Изв. АН СССР, сер. физ. 18, 312 (1954).
456789О19^Q^/^K^6789o^1^9^Q^/^K^^7^0^ 9012345* 7 8 9 о 1 2 3 4 5 67&9o l23 4 56789°L2345
11 11111111222222222 2 333333333344444 44444555555555 566666 6
456789О19^Q^/^K^6789o^1^9^Q^/^K^^7^0^ 9012345* 7 8 9 о 1 2 3 4 5 67&9o l23 4 56789°L2345
11 11111111222222222 2 333333333344444 44444555555555 566666 6
[а н д а у, Phys. Zs. UdSSR 4, 675 (1933).
Ann. de phys. 17, 61 (1932).
Ann. de phys. 5, 232 (1936).
.V e г w e y, Nature 144, 327 (1939).
.V e г w e y, J. H. de В о e г, Rec. trav. Chim. Pays. Bas. 55, 531 (1936)^ V e г we у, E. L. Heilmann, J. Chem. Phys. 15, 174 (1947).
г. V e г w e у, P. W. H a a i j m a n, E. C. R о m e i j n, J. Chem. Phys” (1947); Phillips Techn. Runds. 9, 239 (1947).
i e t, Ch. Kittel, Phys. Rev. 87, 290 (1952).
1^зяло1пинский, ЖЭТФ 32, 1547 (1957).
[зялотпинский, ЖЭТФ 33, 1454 (1957).
онсовский, ДАН СССР 26, 364 (1940).
удницкий, ЖЭТФ 10, 63 (1940).
ter, Phys. Rev. 54, 79 (1938).
.n d е г s о n, Phys. Rev. 83, 1260 (1951).
l n d e г s о n, Phys. Rev. 86, 694 (1952).
l s s, Phys. Rev. 74, 1493 (1948).
;he, Zs. Phys. 71, 205 (1931).
then, Ark. Mat. Astr. Fys. 26A, № 1 (1938).
i s h e r, J. Phys. Chem. Sol. 10, 44 (1952).
i m a n, Proc. Phys. Soc. 65, 540, 548 (1952).
г s h a 11, Proc. Roy. Soc. A232, 48, 69 (1955).
s m a n, Phys. Rev. 88, 1132 (1952).
В онсовский, M. С. Свирский, ЖЭТФ 57, 251 (1969). онсовский, M. С. С в и р с к и й, ЖЭТФ 4 7, 13 54 (1964); Письма? 6, 697 (1967); J de phys. 32, Cl-83 (1971).
；онсовский, М. С. Свирский, ФММ 24, 793 (1967), J. AppL ),649 (1968).
5 г a t t, Jr., Phys. Rev. 122, 489 (1961).
h о u 1 e s s, Proc. Phys. Soc. 90, 243 (1967).
J о 11 a n, Phys. Rev. 117, 387 (I960).
h u 1 1, W. A. S t г a u s e г, E. O. W о 11 a n, Phys. Rev. 83, 333 (1951). hull, E. O. W о 11 a n, W. C. Koehler, Phys. Rev. 84, 912 (1951), ；г i c k s о n, Phys. Rev. 90, 779 (1953).
г a m e г s, Physica 1, 182 (1934).
e t t e, Ann. de phys. 1, 87 (1946).
Ann. de phys. 3, 137 (1948).
l n d e г s о n, Phys. Rev. 79, 350 (1950).
Lnderson, Phys. Rev. 79, 705 (1950).
Vnderson, Phys. Rev. 115, 2 (1959).
an V 1 e c k, J. phys. rad. 12, 262 (1951).
l m i z u, Prog. Theor. Phys. 8, 416 (1952).
n a s h i t a, J. Phys. Soc. Japan 9, 339 (1954); Prog. Theor. Phys. 12, 80&
5онсовский, IO. M. Сеидов, ДАН СССР 107, 37 (1956).
n a s h i t a, J. Kondo, Phys. Rev. 109, 730 (1958).
i d o, Prog. Theor. Phys. 18, 541 (1957).
d o, Prog. Theor. Phys. 22, 41, 819 (1959).
i a m о г i, Prog. Theor. Phys. 17, 177, 197 (1957).
l a m о г i, J. Phys. Chem. Sol. 10, 87 (1959).
f e г, T. О g u c h i, Phys. Rev. 115, 1428 (1959).
d e, К. P. Sinha, Y. Tanabe, Prog. Theor. Phys. 22, 647 (1959V e s b e t, Ann. of Phys. 4, 87 (1958)..
I e s b e t, Phys. Rev. 119, 658 (I960).
：еид OB, ДАН СССР 160, 803 (1965).
a t e г, Quart. Prog. Rept. Res. Lab. Electronics, MIT, July 15, 1953, p. i_
* г a t t, Jr., Phys. Rev. 97, 926 (1955).
roodenaugh, Phys. Rev. 100, 564 (1955); J. Phys. Chem. Sol. 6”
oodenaugh, Phys. Rev. 117, 1442 (i960).
roodenaugh, A. L. Loeb, Phys. Rev. 98, 391 (1955).
e r, Phys. Rev. 82, 403 (1951).
Anderson, H. Hasegawa, Phys. Rev. 100, 67 5 (1955).
G e n n e s, Phys. Rev. 118, 141 (I960).
\nderson, Exchange in Insulators, C6. «Magnetism» (ed. by G. T. Rado,
I vol I, N.Y., 1963, p. 25.
inderson, C6. Solid State Physics vol. 14, Acad, press, N.Y. 1963r
С. В. Вонсовский, Б. В. Карпенко, Handbuch der Phys. Bd. 18/1 „ Springer, Berlin, 1968, S. 265.
V. H a 1 p e г n, Proc. Roy. Soc. A291, 113 (1966).
重8.69.70.71.72.73.74.75.76.77.78.79. ：80.81.•82. S3.34. S5.•86. .87.■88.89.90.91.§2.•93.•94.95.96.97.98.99.400.101.102.103.104.105..106.407.108.109.410.111.112.113.114.115.116.417.118.119.120.121.122.423.124.125.•126.重8.69.70.71.72.73.74.75.76.77.78.79. ：80.81.•82. S3.34. S5.•86. .87.■88.89.90.91.§2.•93.•94.95.96.97.98.99.400.101.102.103.104.105..106.407.108.109.410.111.112.113.114.115.116.417.118.119.120.121.122.423.124.125.•126.R. N. Stuart, W. Marshall, Proc. Phys, Soc. 8 7, 749 (1966).
重8.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79. ：80.
81.
•82. S3.
34. S5.
•86. .87.
■88.
89.
90.
91.
§2.
•93.
•94.
95.
96.
97.
98.
99.
400.
101.
102.
103.
104.
105.
.106.
407.
108.
109.
410.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
417.
118.
119.
120.
121.
122.
423.
124.
125.
•126.
重8.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79. ：80.
81.
•82. S3.
34. S5.
•86. .87.
■88.
89.
90.
91.
§2.
•93.
•94.
95.
96.
97.
98.
99.
400.
101.
102.
103.
104.
105.
.106.
407.
108.
109.
410.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
417.
118.
119.
120.
121.
122.
423.
124.
125.
•126.
К. I. Gondaira, Y. Tanabe, J. phys. Soc. Japan, 21, 1527 (1966).
K. W. В 1 a z e y, G. Burns, Phys. Rev. Lett. 15, 117 (1965).
D. Treves, M. Eibschiitz, P. С о p p e n s, Phys. Lett. 18, 216 (1965).
M. de Graaf, R. M. Xavier, Phys. Lett. 18, 225 (1965).
P. M. Levy, Phys. Rev. 147, 311 (1966).
J. F. J a n ak, J. Phys, Chem. Sol. 27, 1571 (1966).
N о v i k, S. Ofer, Phys. Rev. 153, 409 (1967).
N. L. Huang, R. О г b a c h, Phys. Rev. 154, 487 (1967); J. Appl. Phys. 39, 426 (1968).
E. D. J ones, J. E. Hesse, Phys. Rev. 154, 527 (1967).
N. L. Hu an g, Phys. Rev. 157, 378 (1967); 164, 636 (1967).
K. Dwight, N. M e n у u k, Phys. Rev. 163, 435 (1967).
J. Pearson, G. F. Herrmann, J. Appl. Phys. 38, 1067 (1967).
S. K. D a y, Phil. Mag. 16, 1097 (1967).
G. Busch, Helv. Phys. Acta 40, 812 (1967).
Г. А. С м о л e н с к и й, M. П. П e т p о в, P. В. M о с к а л e в, В. С. Л ь в о в,
С. Касперович, Е. В. Жиркова, ФТТ 10, 1305 (1968).
Л. Д. Д п д у х, И. В. С т а с ю к, ФММ 26, 435 (1968).
Ф. И. Муфтахова, И. Г. Каплан, А. Н. Мень, ДАН СССР 178, 815 (1968).
G. М. В е 11, D. A. L а V i s, Phys. Rev. 168, 543 (1968).
J. R. Cullen, E. Callen, A. H. Luther, Phys. Rev. 170, 733 (1968):
J. Appl. Phys. 39, 1105 (1968).
J. M. Baker, R. J. Birgenean, M. T. Hutchings, J. D. Riley, Phys. Rev. Lett. 21, 620 (1968).
M. B. Allenson, K. N. R. Taylor, J. Appl. Phys. 39, 1094 (1968).
R. Fatehall y, N. P. Sastry, R. N agarajan, Phys. stat. sol. 26, 91 (1968).
F. Hartmann-B о ut г о n, J. Phys. 29, 212 (1968).
M.Tinkham, Proc. Roy. Soc. A236, 535, 549 (1956).
В. В. В 1 e a n y, Phys. Rev. 104, 1190 (1956).
R. G. Shulman, V. J accarino, Phys. Rev. 103, 1126 (1956); 108, 1219 (1957)
V. J accarino, R. G. Shulman, Phys. Rev. 107, 1196 (1957).
R. S e г b e r, Phys. Rev. 45, 461 (1934).
O. W о 1 1 a n, W. C. Koehler, Phys. Rev. 100, 544 (1955).
H. J о n k e r, J. H. van S a n t e n, Physica 16, 337, 559 (1950); 19, 120 (1953).
С. П. Ш у б и н, С. В. Вонсовский, Proc. Roy. Soc. A145, 159 (1934); Phys. Zs. UdSSR 7, 292 (1935); 10, 348 (1936).
H. Боголюбов, С. В. Тябликов, ЖЭТФ 19, 251, 256 (1949).
A. M. Clogston, J. P. Gordon, V. J accarino, M. Peter, L. R. W alker, Phys. Rev. 117, 1222 (I960).
J. H. E. Griffiths, J. Owen, J. G. Park, M. E. Partridge, Proc. Roy. Soc. A250, 84 (1959).
J. W. Stout, J. Chem. Phys. 31, 709 (1959).
J. H. Van V 1 e c k, J. Chem. Phys. 3, 843 (1935).
J. О w e n, Proc. Roy. Soc. A227, 183 (1955).
H. W a n n i e r, Phys. Rev. 52, 191 (1937).
M. A. Ruderman, Ch. Kittel, Phys. Rev. 96, 99 (1954).
С. В. Вонсовский, УФН 48, 289 (1952).
S t a t z, L. R i m a i, M. J. W e b e г, G. A. dQ M а г s, G. F. К о s t e г, J.
Appl. Phys. 32, Suppl. 218S (1961).
S. Methfessel, D, С. M a t t i s, Handb. d. Phys. Bd. 18, т. 1, Springer, Berlin, 1968, S. 389.
R. G. Shulman, Phys. Rev. 121, 125 (196.1).
R. G. Shulman, S. Sugano, Phys. Rev. 130, 517, 506 (1963).
M. П. Петров, Г. А. Смоленский, ЖЭТФ 50, 871 (1966).
A d a w i, Phys. Rev. 146, 3 79 (1966).
E. Simanek, M. Tachiki, Phys. Letts 21, 625 (1966).
D. Bloch, J. Phys. Chem. Sol. 27, 881 (1966).
F. J an ak, J. Phys. Chem. Sol. 27, 1571 (1966).
Z. S г о u b e k, Phys. stat. sol. 16, 405 (1966).
H. V a n V 1 e c k, J. Chem. Phys. 9, 85 (1941).
H. Dressnandt, Zs. Phys. 115, 369 (1940).
В. E. Рудницкий, ЖЭТФ 12, 542 (1942).
Э. К а н e p, ЖЭТФ 10, 67, 407 (1940).
Б. В л а с о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 18, 339 (1954).
К. Б. Власов, Изв. АН СССР, сер. физ. 19, 481 (1955).
Н. W anni er, Phys. Rev. 79, 357 (1950).
Yin-Yuan L i, Phys. Rev. 80, 457 (1950); 84, 721 (1951).
J. M. L u t t i n g e г, Phys. Rev. 81, 1015 (1951)..
C. J. G о г t e r, J. H a a n t j e s, Physica 18, 285 (1952).
T. N agamiya, Prog. Theor. Phys. 6, 342 (1952).
K. Y о s i d a, Prog. Theor. Phys. 6, 691 (1951).
C. G. G arrett, J. Chem. Phys. 19, 1154 (1951).
J. M. Z i m a n, Proc. Phys. Soc. A64, 1108 (1951).
J. S. Smart, Phys. Rev. 86, 968 (1952); 90, 55 (1953); Rev. Mod. Phys. 25, 327 (1953); J. Chem. Phys. 11, 97 (1959).
P. W e i s s, G. F о ё x, J. Phys. 1, 2 74, 744, 805 (1911).
T. Ishiwara, Sci. Rept. Tohoku Univ. 3, 303 (1914).
K. Honda, T. Sone, Sci. Rept. Tohoku Univ. 3, 223 (1914).
K. Honda, T. Ishiwara, Sci. Rept. Tohoku Univ. 4, 215 (1915).
H. В i z e t t e, C. Squire, B. Tsai, Compt. rend. 207, 449 (1938).
H. В i z e t t e, B. Tsai, Compt. rend. 238, 1575 (1954).
J, W. Stout, H. S. Adams, J. Am. Chem. Soc. 64, 1535 (1942).
R. W. M i 11 a r, J. Am. Chem. Soc. 50, 1875 (1928).
В. T. Willis, H. P. R о о к s b y, Acta Cryst. 6, 827 (1953).
J. J. Benewicz, R. F. Heidelberg, Phys. Rev. 117, 736 (I960).
L.M.Corliss, N. Elliott, J. M. Hastings, Phys. Rev. 104, 924 (1956)
H. В i z e t t e, J. phys. rad. 12, 161 (1951).
Y. Mashiyama, E. Uchida, H. К о n d о h, Busseiron Kenkyu (Res. on?
L. W： R Ft'h, Phys. Rev.'110, 1333 (1958); 111, 772 (1958).
J. R. Singer, Phys. Rev. 104, 929 (1956).
С. H. LaBlanchetais, J. phys. rad. 12, 765 (1951).
N. P e г a к i s (частное сообщение) (1963).
Y. Shimomura, I. Tsubokawa, J. Phys. Soc. Japan, 9, 19 (1954).
M. K. Wilkinson, H. R. Child, J. W. Cable, W. C. Koehler, E. O. W о 11 a n, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-III, 27 (1962).
M. K. Wilkinson, H. R. Child, J, W. Cable, E. O. W о 11 a n, W. С. К о e h 1 e r, J. Appl. Phys. 31, 358S (I960).
J. M. Hastings, N. Elliott, L. M. С о г 1 i s s, Phys. Rev. 115, 13 (1959).
H. В i z e t t e, Ann. de phys. 1, 306 (1946).
C. Billy, H. M. Haendler, J. Am. Chem. Soc. 79, 1049 (1957).
С. Г. Салихов, ЖЭТФ 34, 39 (1958).
P. А. Алиханов, ЖЭТФ 37, 1145 (1959).
A. Yoshimori, J. Phys. Soc. Japan 14, 807 (1959).
A. F. Andersen, Acta Chem. Scand. 14, 919 (I960).
R. В e n о i t, J. chim. phys. 52, 119 (1955).
S. S. Sidhu, D. Meneghetti, Phys. Rev. 91, 435 (1953).
S. S. S i d h u, L. H e a t о n, M. H. M u e 11 e r, J- Appl. Phys. 30, 1323 (1959).
J. T. S p а г к s, W. M e a d, A. J. К i г s c h b a u m, W. M а г s h a 1 1, J. AppL Phys. 31, 356S (I960).
C. Starr, F. Bitter, A. R. К a u f m a n n, Phys. Rev, 58, 977 (1940).
M. K. Wilkinson, E. O. W о 11 an, W. C. Koehler, J, W. Cable,. Phys. Rev. 113, 497 (1959).
I. Tsubokawa, J. Phys. Soc. Japan 15, 2109 (I960).
H. В i z e t t e, R. Chevallier, B. Tsai, Compt. rend. 236, 2043 (1953)*
L. M. Corliss, J, M. Hastings, J. E. Goldman, Phys. Rev. 93, 893 (1954).
K. Endo, Sci. Repts. Tohoku Univ. 25, 879 (1937).
C. Guillaud, J. phys. rad. 12, 489 (1951).
F. J. M or i n, Phys. Rev. 78, 819 (1950).
L. Neel, R. Pauthenet, Compt. rend. 234, 2172 (1952).
S. S. Bhatnagar, A. Cameron, E. H. H а г b a n d, P. L. R a p a rv B. Prakash, J. Chem. Soc. № 9, 1433 (1939).
B. N. Brockhause, J. Chem, Phys. 21, 961 (1953).
J. J affray, J. Viloteau, Compt. rend. 226, 1701 (1948).
T. R. Me G u i г e, E. I. S с о t t, F. H. G г a n n i s,Phys.Rev.102, 1000 (1956)〜
P. А, А л и x а н о в, ЖЭТФ 36, 1690 (1959).
S. J. P i с к а г t, Bull. Am. Phys. Soc. 5, 59(I960).
Б. В. Карпенко, А. А. Бердышев,ФТТ 5,3397(1963).
А. Ц. Аматуни ФММ 6, 395 (1958).
J. Kanamori, C6. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. 1, N. Y. 1963p. 127.
W. E. H e n г y, Phys. Rev. 90, 492 (1953); 92, 844 (1953).
W. E. Henry, Phys. Rev. 94, 1946 (1954).
H. M. G i j s m a n, N. J. P о u 1 i s, J. van den Handel, Physica 25, 954 (1959).
C. J. G о г t e г, T. van Peski-Tinbergen, Physica 22, 273 (1956).
L. Neel, Nuov. cim. 6, Suppl. № 3, 942 (1957); Изв. АН СССР, сер. физ. 21A
890 (1957)..
8 9 о 1^ 9^ 3 z^ K^ R^ 7^ 0^ Q^°- 889999 999999 о
lx lx lx lx lx lx lx lx lx li lx lx 2
у р о в, Ю. П. И < а г а н о в, В. Наганов, В. онсовский, о u 1 i s, G. Е. den Handel,
хин, Изв. АН СССР, сер. физ. 22, 1168 (1958). .Цукерник, ЖЭТФ 34, 524 (1958).
.Ц у к e
.га(
p н и к, ЖЭТФ 35, 474 (1958). id. 20, 264 (1959).
а г de man, Physica 18, 201, 3(5 (1952).
.М. G i j s m a n, N. J. P о u 1 i s, Physica 18, 862
f e 1, J. W. Stout, J. Chem. Phys. 18, 1455 (1950).
out, L. M. Mataresse, Rev. Mod. Phys. 25, 338 (1953).
ялошинский, В. И. M а н ь к о, ЖЭТФ 46, 1352 (1964).
er, H. К apian, Y. Y af et, Am. J. Phys. 2(, 250 (1953).
a n, Phys. Rev. 86, 121 (1952).
ндорский, А. С. Пахомов, T. Ш и к л ош, ДАН СССР 109,.
1 234567 8о о о о о о о о
2 222222 2
Е. И. Кондорский, А. С. Пахомов, Т. Ш и к л ош, Радиотехника и электроника 2, 334 (1957).
Т. Shiklosh, Кандидатская диссертация, МГУ, 1955; Acta phys. Hung. 7,
0^0^1^23456 ^и 4Х IX ^х ^х IX IX 4Х
22222222
78901234 56 7 8 9 0 1 23456789012
41422222 22 22233 33333333444
22222222 22 2 2 2 2 2 22222222222
243.必
245.246.
Тябликов, ФММ 2, 193 (1956); 3, 3 (1956).
Туров, Сб. «Ферромагнитный резонанс», гл. III, М.т 1961. inKranendonk, J*H. Van V 1 е с k, Rev. Mod. Phys. 30, 1 (1958). .Вонсовский, E. А. Туров, J. A ppi. Phys. 30, 9S (1959).
e f f e r, Handbuch d, Phys., Bd. 18/2, Springer, Berlin, 1966, S. 1.
A x и e 3 e p, В. Г. Барьяхтар, M. И. Каганов, УФН 71, 533;
J (I960).
.Вонсовский, Ю. M. Сеидов, Изв. АН СССР, сер. физ, 18, 319*
.u b о, Phys. Rev, 86, 929 (1952); Rev. Mod. Phys. 25, 344 (1953).
.u b о, Phys. Rev. 87, 568 (1952), a k a m u г a, Prog. Theor. Phys. 7, 539 (1952).
.Тябликов, ФММ 8, 154 (1959).
.Тябликов, А. Ц, А м а т у н и, ДАН СССР, 108, 69 (1956).
.А м а т у н и, ФММ 3, 411 (1956).
А м а т у н и, ФММ 4, 17 (1957), ：о f t a, Acta Phys. Polon. 15, 481 (1957); 23, 333 (1963); Phys, Lett. 1, (23
rbach,P. Pincus, Phys. Rev. 113, 1213 (1959).
)у-ч о, ДАН СССР 130, 1244 (I960); 131, 536 (i960).
L Изюмов, ФММ 11, ,650 (1961).
incus, J. Winter, Phys. Rev. Lett. 7, 269 (1961).
о г г i n g a, Phys. Rev. 125, 1972 (1962).
г H а а г, M. E. Lines, Phil. Trans. Roy. Soc. 225, № 1049, 1 (1962).
es Cloizeaux, J, J. Pearson, Phys. Rev. 128, 2131 (1962). zerwonko, Acta phys. Polon. 22, 445 (1962); 23, 23 (1963); ФТТ 5, 214f
oshimori, Phys. Rev. 130, 1312 (1963).
:.Lines, Proc. Roy. Soc. A271, 105 (1963); Phys. Rev. 135, A1336 (1964); A1304 (1965).
* L i n e s, Phys. Rev. 131, 540 (1963).
о n d о n, P. Pincus, Phys. Rev. 132, 673 (1963).
a n i, Prog. Theor. Phys. 30, 580 (1963).
rooks, J. Appl. Phys. 35, 798 (1964).
,W a n g, H. В. C a 1 1 e n, L Phys. Chem. Sol. 25, 1459 (1964); Phys, Rev~ 433 (1966).
.Hewson, D. ter Haar, Physica 30, 890 (1964).
1 a n a k a, K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 32, 968 (1964).
.Hewson, D. ter H а а г, M. E. Lines, Phys. Rev. 137, A1465 (1965)” .Ожогин, ЖЭТФ 48, 1307 (1965).
.Liu, Phys. Rev. 141, 267 (1966),
.Lines, E. D. J ones, Phys. Rev. 141, 525 (1966).
.Wang, S. Shtrikman, H. Callen, Phys. Rev. 148, 419 (1966)^ о ne g aw a, J. Kanamori, Phys. Lett. 21, 130 (1966).
.Windsor, R. W. H. Stevenson, Proc. Phys. Soc. 87, 501 (1966).
.Pink, W. О pechowski, Physica 32, 1019 (1966)*
.Cowley, P. M о г te 1, R. W. H. Stevenson, Phys. Rev. Lett» 62 (1967).
P о u 1 i s, J. van den Handel, J. U b b i n k, J. A. P о u 1 i s, G о r t e r, Phys. Rev. 82, 552 (1951).
b b i nk, N. J. P о u 1 i s, H. J. Gerritsen, C. J. G о г t er, Physica 61 仕952); 19, 928 (1953).
a t e, Phys. Rev. 104, 623 (1956).
о 1 g e r, Conf. phys. bases temp., Paris, 1965, p. 146.
S. F о n е г, J. phys. rad. 20, 336 (1959).
J, W. Stout, M. Griffel, Phys. Rev. 76, 144 (1949).
А, С. Боровик-Романов, В. P, Карасик, H. M. К рейнес, ЖЭТФ 31, 18 (1956).
Н. М. К р е й н е с, ЖЭТФ 35, 1391 (1958).
V. J а с с а г i п о, R. G. S h u 1 m a n, J. L. D е V i s, J. W. S t о u t, Bull, Am. Phys. Soc. 3, 41 (1958).
V, J accarino, L. R. Walker, J, phys. rad, 20, 341 (1959).
F. Dyson, Phys. Rev. 102, 1217 (1956).
А. С. Б о p о в и к-Р о м а н о в, ЖЭТФ 36, 75 (1959),
Е. А. Т у р о в, ЖЭТФ 36, 1254 (1959).
А. С. Пахомов, Н. А. С м о л ь к о в, Сб. «Антиферромагнетизм и ферриты», т. 4 из серии «Итоги науки», Физико-математические науки, Изд-во АН СССР, М., 1962.
Е. W. G о г t е г, Philips Res, Rep. 9, 295, 321 403 (1954); перевод УФН 57 279, 435 (1955).
Н. Н. Сирота, С6. докладов III Всесоюзного совещания по ферритам,июнь 1959 г. Минск, 1960, стр. 50.
Е. F. В е г t a u t, F. F о г г a, Compt. rend. 242, 382 (1956).
260；S. Geller M. A. G i 11 e о, Acta Cryst. 10, 239 (1957).
261，K. П, Белов, M. А. Зайцева, Дополнение к переводу монографии Смита и Вейна (1959), 1962, стр, 457—498.
R. Р authenet, Compt. rend. 242, 1859 (1956); 243, 1499, 1737 (1956).
R, Pauthenet, Ann, de phys. 3, 424 (1958).
A. Serres, Ann. de phys, 17, 53 (1932),
M, Fallot, P, M о г о n i, J, phys. rad, 12, 256 (1951).
F. K. L о t g e ri n g, Philips Res. Rep. 11, 190, 337 (1956).
I. S, J а с о b s, J, Phys. Chem, Sol. 11, 1 (1959).
R. P. К en an, Phys. Rev. 159, 430 (1967).
J, Szaniecki, Acta phys. Polon, 32, 271 (1967),
A. W. R e v a n Jr., A. C. D a n i e 1, R. J. Mahler, Phys. Lett. 25A, 555 (1967).
Г, А. Смоленский, M. П, П e т p о в, Р» В. Писарев,!. Appl, Phys. 38, 1269 (1967).
R. D e В a t i s t, R. G e v e г s, M, V ershneren, Phys. Stat, Sol. 19, 77 (1967).
B. I\ Барьяхтар, E. В. Зарочинцев, В. А. Попов, ФММ 25, 1 (1968).
R, А. С о w 1 e у, G. D о 11 i n g, Phys. Rev. 167, 464 (1968).
J, Sakurai, W. J. L. Buyers, R. A. Cowley, G. Dolling, Phys. Rev. 167, 510 (1968).
H. Umebayshi, В. C. Frazer, D. E. Cox, G. Shirane, Phys. Rev. 167, 519 (1968).
J. Feder, E. P у t t e, Phys. Rev. 168, 640 (1968).
78. D. L. M i 11 s, W. M. S a s 1 о w, Phys. Rev. 171, 488 (1968).
D. B. A br ah am, Phys. Rev. 171, 572 (1968).
R. J, Elliott, M. F. Thorpe, G. F. I n b u s h, R, Loudon, J. Parkinson, Phys. Rev. Lett. 21, 147 (1968).
А. В. H arris, Phys. Rev. Lett. 21, 602 (1968).
S. T. D e m b i n s k i, Canad, J, Phys. 46, 1435 (1968).
D. E. Ellis, A. J. Freeman, J, AppL Phys. 39, 424 (1968).
J.Czaniecki, Acta phys. Polon, 33, 499 (1969).
J, Czerwonko, Bull. Acad. Polon., Serie de phys. 16, 421 (1968).
286» E. W. G о r t e r, J. A. Schulkes, Phys. Rev. 90, 487 (1953).
J. S. v a n Wieringen, Phys. Rev. 90, 488 (1953),
К. П. Белов, К. M. Большова, Т. А. Елкина, М. А. Зайцева, Изв. АН СССР, сер.巾из. 22, 1282 (1958).
Т. R. Me G u i г, Phys. Rev. 93, 682 (1954).
Е. F. Bertaut, R. Pauthenet, Proc. Inst. Elec. Engrs., Suppl. B104, 261 (1957).
A. M, Me Reynolds, T. R i s t e, Phys. Rev. 95, 1161 (1954).
J. M. Hastings, L. M. Corliss, Rev. Mod, Phys. 25, 114 (1953).
G. E. В а с о n, F. F. R о b e г t s, Acta Cryst. 6, 57 (1953).
V. C. Wilson, J. S. Kasper, Phys. Rev. 95, 1408 (1954).
E. Prince, Phys. Rev. 102, 674 (1956).
F. Bertaut, F. F о г г a t, A. H e г p i n, P. M e г с e 1, Compt. rend. 243, 898 (1956).
W. С. К oehler, E. O. W о 11 a n, J. Phys. Chem. Sol. 2, 100 (1957).
J. M. Hastings, L. Corliss, Phys, Rev. 104, 328 (1956).
Ю. 3. H о 3 и к, И. H. Я м з и н, Кристаллография, 6, 923 (1961).
В. Р. Барьяхтар, С. В. Малеев, ЖЭТФ 39, 1430 (I960).
J. Kocinski, Acta phys. Polon. 19, 691 (I960),
需・304.305.306.307.308.309.310.311.鹼314.袭狐魏盜323-324-纖327-328-329.330.332.333.335.336.337.338.340.342.343.345.347.348.349.350.352.353.354.355.356.357.359.360.361362.363.需・304.305.306.307.308.309.310.311.鹼314.袭狐魏盜323-324-纖327-328-329.330.332.333.335.336.337.338.340.342.343.345.347.348.349.350.352.353.354.355.356.357.359.360.361362.363.Изюмов, А. Н. Мень, Кристаллография 7, 358 (1962).
需・304.305.306.307.308.309.310.311.鹼314.袭狐魏盜323-324-纖327-328-329.330.332.333.335.336.337.338.340.342.343.345.347.348.349.350.352.353.354.355.356.357.359.360.361362.363.
需・304.305.306.307.308.309.310.311.鹼314.袭狐魏盜323-324-纖327-328-329.330.332.333.335.336.337.338.340.342.343.345.347.348.349.350.352.353.354.355.356.357.359.360.361362.363.
u i 1 1 a u d, М. Roux, Compt. rend. 229, 1133 (1949). •
i 11 a u d, H. Creveaux, Compt. rend. 230, 1256, 1458 (1950),
i i 11 a u d, J. phys. rad. 12, 239 (1951).
lillaud, M. Sage, Compt. rend. 232, 944 (1951).
u t h e n e t, Compt. rend. 230, 1842 (1950),
u t h e n e t, Ann. de phys. 7, 710 (1952).
u t h e n e tT L. Bochirol, J. phys. rad. 12, 249 (1951).
G о г t e r, Compt. rend. 230, 192 (1950); Nature 165, 798 (1950).
i s s, R. F о г г e r, Ann. de phys. 12, 279 (1929).
G о г t e r, Adv. Phys. 6, 336 (1957).
J ones, F. F. Roberts, Proc. Phys. Soc. 65B, 390 (1952).В
Vic к ham, E.R. Whippl e, E.G, Larson, J. Inorg. NuclearChem.
『(I960).
i n c e, Acta Cryst. 10, 554 (1957).
t h a n s, S. J. P i с к а г t, A. Miller, Bull. Am, Phys. Soc. (11) 6, 54
d w а г d s, Bull. Am. Phys. Soc. 3, 43 (1958).
a 1 t z e г, P. J. Wojtowicz, J. Appl. Phys. 30, 27S (1959).
i с о b s, J. Phys. Chem. Sol. 15, 54 (I960)..
Luttinger, L. Tisza, Phys. Rev. 70, 954 (1946).
apian, Phys. Rev. 109, 782 (1958).
Caplan, Phys. Rev. 116, 888 (1959).
a p 1 a n, Phys. Rev. 119, 1460 (I960); 124, 329 (1961); J. Phys. Soc. Ja- ,Suppl. Bd, 3 (1962); J. Appl. Phys. 34, 1339 (1963).
apian, K. Dwight, D. H. Lyons, N. Menyuk, J. Appl, Phvs.
(1961).'
Lyons, T. A. Kaplan, Phys. Rev. 120, 1580 (I960).
Lyons, T. A・ Kaplan, K. Dwight, N. M e n у u k, Phys. Rev. )(1962), lain, J. Phys. Chem. Sol. 11, 303 (1959).
；e r t a u t, в сб. «Magnetism», (ed, by E. T. Rado, H. Suhl) voL III 1963, p. 149.''
в 1, Compt, rend. 239, 8 (1954),
у с e в, А. С. П a x о м о в, Изв. АН СССР, сер, физ, 25, 1327 (1961).
'у с e в, А. С. Пахомов, Кристаллография 8, 63 (1963).
a x о м о в, А, А. Гусев, ФММ 18, 156 (1964).
оде, В. Е. В е д я е в, ЖЭТФ 45, 414 (1963),
Erickson, Phys. Rev. 85, 745 (1952).
г р i n, Р. М ё г i е 1, Bull. Am. Phys. Soc. (11) 5, 457 (I960).
Lnderson, Phys. Rev. 102, 1008 (1956).
a s t i n g s, L. M. С о r 1 i s s, Phys. Rev. 126, 556 (1962); J. Apnl. Phvs
1 S (1962),pn …
Дзялошинский, ЖЭТФ 46, 1420 (1964).
Дзялошинский, ЖЭТФ 46, 172 2 (1964).
Ландау, ЖЭТФ 7, 19 (1937).
Лифшиц, ЖЭТФ 11, 253, 269 (1941).
Вонсовский, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 485 (1947)
Гинзбург, ЖЭТФ 17, 833 (1947).
Дзялошинский, J. Phys. Chem. Sol. 4, 241 (1958),
Туров, Compt. rend, 252, 3420 (1961),
Туров, ЖЭТФ 42, 1582 (1962),
Bertaut, J. Phys. Chem. Sol. 21, 256 (1961).
Bertaut, J. Phys. Chem. SoL 21, 295 (1961).
m m о c k, Phys, Rev. 130, 1337 (1963),
T а в г e p, В. M. 3 а й ц e в, ЖЭТФ 30, 564 (1956).
Г а в г e p, Кристаллография 3, 339 (1958).
string, Ch. Kittel, Phys. Rev. 81, 869 (1951).
о 1 s t e i n, H. Primakoff, Phys. Rev. 58, 1098 (1940).
Iler, E. A. Wood, Acta Cryst. 9, 563 (1956).
В о z о r t h, H. J. Williams, D. W a 1 s c h, Phys. Rev. 103, 572
(1956)
T. Smith, Phys. Rev. 8, 721 (1916). Yin-Yuan L i, Phys. Rev< 101, 1450 (1956).
L. N ё e 1, Rev. Mod. Phys. 25, 58 (1953),
P. W. Anderson, F. R. Merritt, J. P. R e mei k a, W. A. Y affe г
Phys. Rev. 93, 717 (1954).目 '
H. M, A. U г q u h а г t, J. E. Goldman, Phys. Rev. 101, 1443 (1956).
A.C. Боровик-Романов, M. П, Орлова, ЖЭТФ 31, 579 (1956).
R, Chevallier, J. phys. rad. 12, 171 (1951).
L. M. Mataresse, L W. Stout, Phys. Rev. 94, 1792 (1954).
P. А. Алиханов, ЖЭТФ 39, 1481 (I960).
А. С. Боровик-Романов, ЖЭТФ 36, 766 (1959).
А. С. Боровик-Романов, В. И, Ожогин, ЖЭТФ 39, 27 (I960).
Т. М о г Ly a, Phys. Rev. 117, 635 (I960).
Т. М о г i у a, Phys. Rev. 120, 91 (I960).
Т. Moriya, сб. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. 1, N. Y., 1963. p. 86.
R. M. В о z о г t h, Phys, Rev. Lett. 1, 362 (1958).
H. M, К p e й и e с, ЖЭТФ 40, 702 (1961).
A. Tasaki, Sh. J i d a, J. Phys. Soc. Japan 15, 1535 (1961); 16, 1697 (1961).
К. П. Б e л о в, P, 3, Л e в и т и н, С. A< H П к и т и н, А. В, П e д ь к о, ЖЭТФ 40, 1562 (1961).
A. J. H e e g e r, 0. Beckman, A. M. Portis, Phys. Rev. 123, 1652 (1961).
C, Kuroda, T, M i у a d a i, A. N a e m u r a, N. N i i r e k i, H. T a k a t a, Phys. Rev. 122, 446 (1961).
R. О г b a c h, Phys. Rev. 115, 1189 (1959).
P. Pincus, Phys. Rev. Lett. 5, 13 (I960).
E. A. T у p о в, Изв, АН СССР, сер. физ. 25, 1315 (1961).
E. А. Туров, H. Г. Гусейнов, ЖЭТФ 38, 1326 (I960).
E. A. T у p о в, В, E< H а й ш, ФММ 9, 10 (I960).
Н. Г. Г у с е й н о в, Е. А. Т у р о в, Изв, АН Азерб. ССР, сер., физ.-мат, и техн, наук, № 4, 85 (I960),，
В. Е. Н а йш, Е. А. Т у р о в, ФММ 11, 161, 321 (1961).
Н. Г. Г у с е й н о в, ФТТ 6, 852 (1964).
Н. J. Fink, Phys. Rev. 130, 177 (1963).
Н. Fink, D. Shalt i el, Phys. Rev. 136, A218 (1964); 139, 627 (1965).
D. Shalt i el, Phys. Rev. 142, 300 (1966).
W. N. Hansen, M. G г i f f e 1, J. Chem. Phys. 30, 913 (1959).
A. H. Cooke, K. A. G e h г i.n g, R. L a z e n b y, Proc. Phys. Soc. 85, 967 (1965).
H. J. F i n k, Phys. Rev. 133, A1322 (1964).
M. A. G i 1 1 e o, J. Chem. Phys. 24, 1239 (1956).
R. M. В о z о г t h, V. Kramer, J. phys. rad. 20, 393 (1959).
R. M. В о z о г t h, V. Kramer, J. P. R e m e i k a, Phys. Rev. Lett. 1,3 (1958).
R. W о 1 f e, R. D. Pierce, S. E. H a s z k o, J. P. R e m e i k a, Appl. Phys. Lett. 11, 245 (1967).
D. Treves, S. Alexander, J. Appl. Phys. 33, 1133S (1962).
G. Gorodetsky, D. Treves, Phys. Rev. 135, A97 (1964).
F.F. Wang, M.Kertigian, Phys. Stat.Sol. 25, 119 (1968).
H.Watanabe,M. Fukase, J. Phys. Soc.Japan 16,1181(1961)..
R.B. F 1 i p p e n,S. A. Friedberg, Phys.Rev. 121,1591(1961).
V.Minkiewiez, A. N akamura, Phys.Rev. 143,356(1966).
J. С. В u г gi e 1, V. J accarino, A. L. Schawlow, Phys. Rev. 122, 429 (1961).
J. D. W a s s c h e r, Sol. State Comm. 3, 169 (1965).
В. M. Ю д и н, А. И. Г а в p и л и ш и н a, M. В. A p т e м ь e в a, M. Ф. Б p ьь ж и н а, ФТТ 7, 2292 (1965).
Г. А. Смоленский, В. М. Юдин, ФТТ 6, 3668 (1964).
N. U г у u, J. Phys. Soc. Japan 16, 2139 (1961).
Т. N akamura, N. Uryu, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-l, 493 (1962).
J. Ishikawa, S, A n i m о t o, J. Phys. Soc. Japan 12, 1083 (1957).
J. Ishikawa, J. Phys. Soc. Japan 12, 1165 (1957).
H. С. M e j e r, J. van den Handel, Physica 30, 1633 (1964).
IO. E. Рогинская, Ю. H. Венейцев, ФТТ 7, 400 (1965).
В. H. Новогрудский, И. Г. Ф а к идо в, В. В. Семенов, ФТТ 7,
2863 (1965).
Э. А. Завадский, И. Г. Ф а к и д о в, ЖЭТФ 51, 1317 (1966).
В. М. Ю д и н,①ТТ 8, 267 (1966).
С.W.Searle, А. Н. М о г г i s hT J. Appl. Pliys. 37,1141(1966).
J.G. В о о t h, J. Appl. Phys. 37, 1332 (1966).
F. F. J. W a n g, Phys. stat. sol. 14, 193 (1966).
P.D.Hambourger, J. A. Marcus, Phys. Rev.157,438 (1967).
P.W.R e a d m a n, W. O' Reilly, S. K. Banerjee,Phys. Lett. 25A,
466 (1967).
В. И. Юдин, А. Б. Шерман, Phys, state sol. 20, 759 (1967).
K. Yamagato, J. Phys. Soc. Japan 22, 582 (1967).
T. Takeda, Y. Y amaguchi, S. Tomiyoshi, M. Fukase, M. Sugimoto, H. Watanabe, J. Phys. Soc. Japan 24, 446 (1968).
L. M. Corliss, J. M. Hastings, J. R. Goldman, Phys. Rev. 83, 843 (1951).
F. Keffer, Phys. Rev. 126, 896 (1962).
D. T г e v e sf Phys. Rev. 125, 1843 (1962).
務4264274284294304314324334344354374384394404414424434444g447448449450451452453454456457458459460461462464465466467468469470471472473474476^ ^ ^ 铝務4264274284294304314324334344354374384394404414424434444g447448449450451452453454456457458459460461462464465466467468469470471472473474476^ ^ ^ 铝оо).Erdos, J. Phys. Chem. Sol. 27, 1705 (1966).
務4264274284294304314324334344354374384394404414424434444g447448449450451452453454456457458459460461462464465466467468469470471472473474476^ ^ ^ 铝
務4264274284294304314324334344354374384394404414424434444g447448449450451452453454456457458459460461462464465466467468469470471472473474476^ ^ ^ 铝
о
о
C i n a d e rT Phys. Rev. 155, 453 (4967).
1. C i n a d e r, S. Shtrikman, Sol. State Comm. 4, 459 (1966).
К a c z e г, T. Shalnikova, Proc. Int. Con. on Magnetism, Nottingham, 965, p. 589.
).J. Flanders, S, Shtrikman, Sol. State Comm. 3, 285 (1965).
}. H ai gh, Phil. Mag. 2, 877 (1957).
L H. M о r r i s h, G. B. J о h n s t о n, N. A. C u r r y, Phys. Lett. 7, 147 (1963).
M. I s e г e nt an t, G. G. Robbrecht, R. J. Dodo, Phys. Lett. 11, 14
?. К a n e к o, S. A b e, J. Phys. Soc. Japan 20, 2001 (1965); 21, 451 (1966).
\ N о v о t n y, J. К a c z ё г, Тезисы докладов 10-й Международной конфер. ю физике низких температур, LT — 10, Москва, 1966, стр. 365.
5. А. В о с к о п я нт Р. 3. Л е в и т и н, В. А. Ш у р о в,出ЗТ① 53, 459 (1967). t. С. Wayne, D. Н. Anderson, Phys. Rev. 155, 496 (1967).
S с h г а е е г, R. С. N i n i n g е г, Jr., Phys. Rev. Lett. 19, 632 (1967).
Г. G. W о r 11 о n, R. B. Bennion, В. M. Brugger, Phys. Lett. 24A, 653
5 Kawai, F. Ono, K. Hirooka, J. Appl. Phys. 39, 712 (1968).
L И. M иц e к, H. И. Колмакова,① MM 22, 161 (1966); Phys. stat, sol 25, 787 (1968).
M. Voigt, Lehrbuch der Magneto- und Electrooptik, Leipzig — Berlin, 1908.
L E. Дзялошинский, ЖЭТФ 33, 807 (1957).
乙.E. Дзялошинский, ЖЭТФ 37, 881 (1959).
工 А. Т а в г е р, Кристаллография 3, 342 (4958).
Le С о г г е, J. phys. rad. 19, 750 (1958).
h. С. Боровик-Романов, ЖЭТФ 38, 1088 (I960); 36, 1954, (1959).
Г. М о г i у a, J. Phys. Chem. Sol. 11, 73 (1959).
3. П. Андрацкий, А. С. Боровик-Романов, ЖЭТФ 51, 1030 (1966).
Г. G. Phillips, R. L. Townsend, Jr., R. L. W h i t e, Phys. Rev. Lett： L8, 646 (1967); Phys. Rev. 162, 382 (1967).
\. P. G г e i f e r, J. Appl. Phys. 35, 1065 (1964).
Ц. H. А с т p о в, ЖЭТФ38, 984 (I960); 40, 1035 (1961).
^. J. Foie n, G. T. R ad о, E. W. S t a 1 d e r, Phys. Rev. Lett.6,607(1961).
G. T. Rado, V. J. F о 1 e n, Phys. Rev. Lett. 7, 310 (1961);J.Appl.Phys.
^ и! А^ь^и н, Д. H.А с т p о в, ЖЭТФ 44, 1195 (1963).
S. F о n e r, M. Hanabusa, J. Appl. Phys. 34, 1246 (1963).
T. R a d o, Phys. Rev. Lett. 13, 335 (1964).
工 Shtrikman, D. Treves, Phys. Rev. 130, 986 (1963).
M. Mercier, J. G a г e g t e, Sol. State Comm. 5, 139 (1967).
M. Mercier, В. C u г s a u x, Sol. State Comm. 6, 207 (1968).
T. H. O'D ell, Phil. Mag. 10, 899 (1964).
Г. I z u у a m a, G* W. Pratt, Jr., J. Appl. Phys. 34, 1226 (1963).
И. M и ц e к, В. Г. Ш а в p о в, ФТТ 6, 210 (1964).
Г. Ш а в p о в, ЖЭТФ 48, 1419 (1965).
S. Alexander, S. Shtrieman, Sol. State Comm. 4, 115 (1966).
R. Hornreich, S. Shtrikman, Phys. Rev. 161, 506 (1967).
W. F. Brown, Jr., R. M.Hornreich, S. Shtrikman, Phys. Rev. 168,
T. H. 6'D *e 11, Phil. Mag. 16, 487 (1967).
E. Ascher, Phil. Mag. 17, 149 (1968).
А. Самохвалов, ФТТ 3, 3593 (1961),
P. H. F a n g, W. S. В г о w e r, Phys. Rev. 129, 1561 (1963).
H. B. Lal, R. SrivastavM K. G. Srivastava, Phys. Rev. 154, 505
G. T. R a d o, Phys. Rev. Lett. 6, 609 (1961); Phys. Rev. 128, 2546 (1962).
M.D ate, J.К anamori, M.Tachiki, J. Phys. Soc. Japan 16, 2589 (1961). Д. H. Астров, Б. И. Альшин, P. В. Зорин, Л. А. Дробышев. ЖЭТФ 55, 2122 (1968).
Н. Любимов, ФТТ 4 0, 3502 (1968).
Г. П и н с к е р, Изв. АН СССР, сер. хим. 6, 415 (1943).
О. W о 11 а и, W. С. Koehler, М. К. Wilkinson, Phys. Rev. 110,
W. Cable, M. K. Wilkinson, E. O. W о 1 1 a n, W. C. Koehler, Bull. Am. Phys. Soc. 3, 194 (1958).
W. C. Koehler, M. K. Wilkinson, J. W. Cable, E. O. W о 11 a n, J. phys. rad. 20, 180 (1959).
W. Cable, M. K. Wilkinson, E. 0. W о 11 a n, Bull. Am. Phys. Soc. 4, 184 (4959).
О. H. Трапезникова, Л. В. Шубников, Phys. Zs. UdSSR 6, 66 255 (1935).，
2 3 4 5 68 8 8 8 844 4 4 42 3 4 5 68 8 8 8 844 4 4 4789012345678901888999999999900444444444444455789012345678901888999999999900444444444444455502.503.504.505.506.507.508.509.510.511.512, 513.514.515.516.517.518.519.520.502.503.504.505.506.507.508.509.510.511.512, 513.514.515.516.517.518.519.520.521.522,523,524.525.526,527.528.529.530,531.521.522,523,524.525.526,527.528.529.530,531.2 3 4 5 63 3 3 3 35 5 5 5 52 3 4 5 63 3 3 3 35 5 5 5 5О. Н. Трапезникова, Л. В. Шубников, Г. Н. М и лютин, Phvs. Zs. UdSSR 7, 237 (1936).
2 3 4 5 6
8 8 8 8 8
44 4 4 4
2 3 4 5 6
8 8 8 8 8
44 4 4 4
789012345678901
888999999999900
444444444444455
789012345678901
888999999999900
444444444444455
502.
503.
504.
505.
506.
507.
508.
509.
510.
511.
512, 513.
514.
515.
516.
517.
518.
519.
520.
502.
503.
504.
505.
506.
507.
508.
509.
510.
511.
512, 513.
514.
515.
516.
517.
518.
519.
520.
521.
522,
523,
524.
525.
526,
527.
528.
529.
530,
531.
521.
522,
523,
524.
525.
526,
527.
528.
529.
530,
531.
2 3 4 5 6
3 3 3 3 3
5 5 5 5 5
2 3 4 5 6
3 3 3 3 3
5 5 5 5 5
С. С. Ш а л ы т, ЖЭТФ 8, 515 (1938); 9, 1071 (1939).
R. В. М е г г а у, L. D. Roberts, Phys. Rev. 100, 1067 (1955).
В i z е t t е, Т, Т е г г i е г, В. Т s a i, Compt. rend. 243, 1295 (1956); 245, 507 (1957); J. phys. rad. 20, 421 (1959).
M. E. Lines, Phys. Rev. 131, 546 (1963); 133, A841 (1964).
K. Wertheim, H. J. Guggenheim, H. J. Levinstein, D. N, E. Buchanan, R. C. Sherwood, Phys. Rev, 173, 614 (1968).
L. Neel, Inst. Intern. Phys. Solvay, Conseil, Phys. 10% Brussels, 1955, p. 251.
J. К a n a m о г i. Prog. Theor. Phys. 20, 890 (1958).
I. S. J а с о b s, P. E. Lawrence, J. Appl. Phys. 35, 996 (1964).
I. S, J а с о b s, P. E. Lawrence, Phys. Rev. 164, 866 (1967)..
В i z e t t e, C. Terrier, B. Tsai, Compt. rend. 243, 895 (1956).
Sf J а с о b s, J. Appl. Phys. 34, 1106 (1963).
L. Berger, S. A. Friedberg, Phys. Rev. 136, A158 (1964).
A. N а г a t h, Phys. Lett. 13, 12 (1964).
A. N a r a t h, J. E. Schirber, J. Appl. Phys. 37, 1124 (1966).
F, В о n g e г s, U. E n z, Sol. State Comm. 4, 153 (1966).
Busch, P. J u n о d, O. Vogt, F. H u 11 i g e r, Phys. Lett. 6, 79 (1963).
Busch, O. Vogt, F. Hulliger, Phys. Lett. 15, 301 (1965).
Busch, P, Schwob, O, Vogt, Phys. Lett. 23, 636 (1966).
J. Forsyth, S. Piekart, P. Brown, Proc. Phys. Soc. 88, 333 (1966).
Hirahara, T. Suzuki, Y. Matsumura, J. Appl. Phys. 39, 713 (1968).
L. N ё e 1, Compt. rend. 242, 1549 (1956).
A. J. P. M e у e r, Compt. rend. 244, 2028 (1957).
J. H, Smith, J. Appl. Phys. 39, 675 (1968).
P. J. Flanders, Pnil. Mag. 14, 1 (1966).
А. А. Самохвалов, Н.В.Волкенштейн, T. Д. Зотов, IO.H. Морозов, M. И. Симонова, А. Л. Афанасьев, ЖЭТФ 54, 1341 (1968). L. Holmes, M. Schieber, Phys. Rev. 167, 449 (1968).
J. M. Moreau, J.Mareschal, E. F. В e r t a u t, Sol. State Comm. 6, 751 (1968).
L. R, Test ardi, H. J. Levinstein, H. J. Guggenheim, Phys. Rev. Lett. 19, 503 (1967).
J, M. Hastings, L. M. Corliss, J. Phys. Chem, Sol, 29, 9 (1967),
L. Holmes, R, Sherwood, L, G. Van U i t e г t, J, Appl. Phys. 39, 1373 (1968).
L. N e e 1, Nuov. cim, 6, № 3, Suppl, 942 (1957).
R. Heap, Proc. Phys. Soc. 80, 248 (1962),
E. Vogt, Zs. ang. Phys. 14, 177 (1962),
T. R, Me G u i г e, C, J. Kriessman, Phys, Rev, 85, 452 (1952),
A. Arrott, C6. «Magnetism», (ed. G. T, Rado, H. Suhl) vol. IIB, N.Y. 1966, p. 296.
H, Sully, 《Chromium», Ch. 3, London, 1954.
H. Быков, В, С. Головкин, Н. В. А г е ев, В. А. Л ев ди к, С. И. Виноградов, ДАН СССР 128, 1153 (1959).
С о г 1 i s s, J. Hastings, R, W е i s s, Phys. Rev, Lett. 3, 211 (1959).
A. W. Overhauser, Phys, Rev, Lett. 3, 414 (1959); 4, 462 (I960); 13, 190 (1964); J, Phys. Chem. >ol. 13, 71 (I960); Phys, Rev. 128, 1437 (1962); J. Appl. Phys. 34, 1437 (1963),
A, W. Overhauser, A. Arrott, Phys, Rev. Lett. 4, 226 (I960).
R, Hamann. A. W. Overhauser, Phys. Rev. 143, 183 (1966).
P. A. F e d d e г s, P. C. Martin, Phys. Rev. 143, 245 (1966).
R. P e nn, M. H. С о h en, Phys. Rev. 155, 468 (1967).
И. Кондорский, В. Л, Седов, ЖЭТФ 35, 1579 (1958).
S, С. Abragams, L, Guttman, J. S, Kasper, Phys. Rev, 127, 2052 (1962).
И. E, Дзялошинский, ЖЭТФ 47, 992 (1964).
W. Trzebiatowski, Magnetismus, Struktur und Eigenschaften magnetic scher Festkorper, VEB Deutschen Verlag, Leipzig, 1967, p, 88.
Grunzweig, M. К u z n i e t z, J. Appl. Phys. 39, 905 (1968).
L. F, Bates, D. Hughes, Proc. Phys. Soc, B67, 28 (1954),
W. Trzebiatowski, A. S 1 iwa, B.StaliAski, Rocznini Chem. 26, 110 (1952); 28, 12 (1954).
M. G г u e n, J, Chem. Phys. 23, 1708 (1955).
W. H e n г y, D. M. G г u e n, Phys. Rev. 98, 1200 (1955).
S. T. L i u, A. R. К a u f m a n, Phys. Rev. 102, 640 (1956).
О 1 s e n, T. Sandauer, В. M a t t h i a s, J. Appl. Phys. 34, 1358 (1963).
W. Trzebiatowski, R. Tro 6, J. Leeiejewicz, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser, sci. chim. 10, 395 (1962).
537.538.537.538.903 45 5903 45 5541.542.543.544.545.546.547.548.549.550.551.552.553.554.555.556.557.558.559.560.561.562.563.564.565.541.542.543.544.545.546.547.548.549.550.551.552.553.554.555.556.557.558.559.560.561.562.563.564.565.566.567.568.569.570.571.572.573.574.575.576.577.578.579.580.581.582.583.584.585.586.587.566.567.568.569.570.571.572.573.574.575.576.577.578.579.580.581.582.583.584.585.586.587.
537.
538.
537.
538.
90
3 4
5 5
90
3 4
5 5
541.
542.
543.
544.
545.
546.
547.
548.
549.
550.
551.
552.
553.
554.
555.
556.
557.
558.
559.
560.
561.
562.
563.
564.
565.
541.
542.
543.
544.
545.
546.
547.
548.
549.
550.
551.
552.
553.
554.
555.
556.
557.
558.
559.
560.
561.
562.
563.
564.
565.
566.
567.
568.
569.
570.
571.
572.
573.
574.
575.
576.
577.
578.
579.
580.
581.
582.
583.
584.
585.
586.
587.
566.
567.
568.
569.
570.
571.
572.
573.
574.
575.
576.
577.
578.
579.
580.
581.
582.
583.
584.
585.
586.
587.
F. Bates, R, P. U n s t a e d, Brit. J. Appl. Phys. 15, 543 (1964),
C. DeN о vi о n, P. C osta, R.Lallement, F. Asellin,N.Loreen- z e 11 i, Colloque Int. «Derive Semimetalliques» Orsay, 1965.
R. T г о c, W. Trzebiatowski, не опубликовано.
M. A 11 b u t t, A. R. J u n г i s о n, R. M. D e 11, Proc. Int. Symp, on Comp, of Interes in Nucl. Res. Techn.,* Boulder, Colorado, 1964, pp, 65—81.
M. A 11 b u t t, A. R. J unkison, R. M. Dell, Met. Soc. Am. Inst. Mining, Met. Petrol, Engrs, Inst. Metals, Div. Spec. Rept., Ser. 10, 63 (1964).
W. T г z e b i a t о w s k i, R. T г о c, Bull. Acad. Polon, Sci., Ser. sci. chim, 11, 661 (1963); 12, 258 (1964).
W. Trzebiatowski, A. Sepichowski, A. Zygmunt, Bull. Acad. Polon., Sci., Ser. sci. chim. 12, 687 (1964).
R. T г о с, A. M о г asik, A. Zygmunt, J. Lecieiewicz, Phys. Stat. Sol. 23, K123 (1967).
W. Trzebiatowski, A. Zygmunt, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. chim. 14, 495 (1966).
A. Ditchenko, F. C. Gortsewa, Inorg. chem. 2, 1079 (1963).
W. Trzebiatowski, W. S uski, Rocznini Chem. 37, 117 (1963).
A. К an t e г, C. W. Kazmierowicz, Bull. Am. Phys. Soc. Ser. 11, 7; 566 (1962).
E. С о x, G. S h i г a n e, В, C. F г a z e г, С. E. О 1 s e n, Bull. Am. Phys. Soc., Ser. II, 11, 255 (1966).
W. Trzebiatowski, W. S u s k i, Bull. Acad. Polon. Sci,, Ser. sci. chem. 10, 395 (1962).
W. Trzebiatowski, W. S u s k i, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser, sci. chem. 8, 457 (I960).
H. We г nick, H. J. Williams, D. Shaltiel, R. C. Sherwood, J. Appl. Phys. 36, 982 (1965).
И. Чечерников, T. M. Шавишвили, В. А. П л e тюшк ин, В. К. Славянских, Г. В. Э л л е р т, ЖЭТФ 54, 1715 (1968).
И. Чечерников, Т. М. Шавишвили, В. А. Плетюшкин, В. К. Славянских, ЖЭТФ 55, 151 (1968).
J. В. С о m 1 у, J. Appl, Phys. 39, 716 (1968).
J. W. R о s s, D. J. L a m. J. Appl, Phys. 38, 1451 (1967).
S. S. Sidhu et al., J. Phys. Chem. Sol. 27, 1197 (1966).
H. U. Rahman, W. A. Runciman, J. Phys. Chem. Sol. 2 7, 1833 (1966).
J. Przystawa, W. S u s k i, Phys. Stat. Sol. 20, 451 (1967).
J. Przystawa, Phys. Stat. Sol. 24, 313 (1967).
A. P. Cracknell, M. R. Daniel, Proc. Phys. Soc. 92, 705 (1967). J.Lecieijewicz, A. Murasik, R. T г о c, Phys. stat. sol. 30, 157 (1968).
O. N о g a i, J. Phys. Soc. Japan 22, 947 (1967)..
R.Aleonard, J. Phys. Chem. Sol. 15, 167 (I960).
T. F. С о n n о 1 у, E. D. Copenhaver, Bibliography of Magnetic Materials and Tabulation of Magnetic Transition Temperatures, 6RNL—RMiC (Rev. 2) Oak Ridge National Lab., Oak Ridge, Tennessee, USA, July 1970.
А. Бердышев, Б. M. Летфулов, ФММ 28, 582 (1969).
P. M. Levy, Sol. St. Comm. 7, 1813 (1969).
К. П. Белов, Л. И. Королева, ФММ 29, 180 (1970).
N. Fuchikami, J. Phys. Soc. Japan 28, 871 (1970).
Г. Барьяхтар, В. А. Попов, ФТТ 10, 773 (1968).
J. P. T i m b i e, R. M. White, Sol. State Comm. 8, 513 (1970).
P. D. L о 1 у, P. M i k u s i k, Phys. Rev. IB, 3204 (1970).
G. Gorodetsky et al., Phys. Rev. 187, 637 (1969).
G. Gorodetsky, J. Phys. Chem. Sol. 30, 1745 (1969).
M. Robbins, G. K. Wertbeim, A. Menth, R. C, Sherwood, J. Phys. Chem. Sol. 30, 1823 (1969).
J. D. C a s h i о k, A. H. Cooke, D. M. M а г t i k, M. R. Wells, J. Appl. Phys. 41, 1193 (1970).
L. G. van U i t e г t, R. C. Sherwood, E. M. G у а г ge y, W. V. G i - rodikiewicz, Appl. Phys. Lett. 10, 84 (1970).
S. Mori, J. Phys. Soc. Japan 28, 44 (1970).
Ю. M. Г у ф а н, Письма ЖЭТФ 8, 271 (1968).
R. L. Townsend, T. G. Phillips, R. L. White Sol. State Comm. 6, 603 (1968)：
T. S. G, Krishnamurty, P. Gopalakrishnamurty, Acta Cryst. A25, 332 (1969).
Л. H. Булаевский, В. M. Файн, Письма ЖЭТФ 8, 208 (1968).
R. М. Hornzeich, J. Appl. Phys. 41, 950 (1970).
D. J. Simkin, Phys. Rev. 177, 1008 (1969).
M. T i n k h a m, Phys. Rev. 188, 967 (1969).
M. A t о j i, J. Phys. Soc, Japan 26, 1321 (1969).
V. A. Shmidt, S. A. Fridberg, Phys. Rev. IB, 2250 (1970).
Глава 23
ТЕОРИЯ КРИВЫХ НАМАГНИЧИВАНИЯ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ
Введение
П. Вейсс [1] на основе высказанной им гипотезы областей самопроизвольной намагниченности ——доменов (см. гл. 17) пытался построить теорию кривых намагничивания ферромагнетиков. Однако его попытки носили чисто качественный характер. Построение современной теории этих кривых стало возможным после накопления достаточного количества опытных данных о свойствах анизотропии ферромагнитных монокристаллов и их теоретического объяснения. Исторически первые эксперименты, установившие магнитную анизотропию ферромагнитных монокристаллов, были проведены еще в 1904——1905 гг. Вейссом [2] на естественных кристаллах магнетита и пирротина. Изучение этого явления на искусственно приготовленных монокристаллах Fe—Si впервые (в 1918 г.) провел Бек [3]. Анизотропию монокристаллов Fe изучали Вебстер [4], Хонда и Кайя [5], Хонда и Мази яма [6], Герлах [7]; Ni исследовали Сексмит и Поттер [8], Сексмит и др. [9], Кайя [10], а Со — Кайя [11]. Теоретическая интерпретация этих кривых была впервые дана в известных работах Акулова [12— 16] (см. также книгу Акулова (1939) и работы Махаяни [17], Беккера [18] и Гейзенберга [19]). Установленное на основании соображений симметрии и классических микроскопических расчетов универсальное соотношение для энергии магнитной анизотропии позволило создать общую феноменологическую теорию кривых намагничивания ферромагнитных монокристаллов в области процессов вращения (см. ниже § 11).
Важнейшим этапом в развитии теории кривой намагничивания явилась работа Ландау и Лифшица [20], в которой было дано теоретическое обоснование вейссовской гипотезе доменов, а также процессам смещения границ между ними, обнаруженным в опытах Сикстуса и Тонкса [21—23].
В этой главе будет дана краткая сводка современного состояния теории кривой намагничивания ферромагнетиков ).
Основные типы взаимодействий в ферромагнитном кристалле
Основная задача теории кривой намагничивания ферромагнетиков заключается в расчете этой кривой и определении ее зависимости от различных внешних воздействий и внутренних свойств ферромагнитного материала. Прежде всего теория должна дать обоснование гипотезе доменов, являющихся причиной самого, существования кривой. Для решения этого вопроса требуется знать взаимодействия между элементарными носителями магнитных моментов, управляющие процессами намагничивания.
Полный термодинамический потенциал F ферромагнитного кристалла во внешнем магнитном поле можно приближенно представить в виде суммы
F ^=Fg^-\- Fаниз Fупр + FM. уПр -\-FG-\- Fразм + Fн,
где отдельные слагаемые имеют следующее значение: F06 — энергия обменного взаимодействия, FaHH3 — энергия кристаллографической ммгнитной анизотропии, Fynp — внутренняя упругая энергия кристалла, FM> упр — энергия магнито упругого взаимодействия, F«— энергия внешних напряжений, связанная с магнитострикцией, Fpa3M — энергия размагничивающего поля образца и FH — энергия намагниченного образца во внешнем магнитном поле.
Обменное взаимодействие. Выше уже подробно описывались обменные силы, приводящие в известных условиях к существованию самопроизвольной намагниченности (гл. 18—22). Здесь нас будут интересовать лишь отклонения от равновесного значения энергии этих сил, даваемые формулой (19.29) и возникающие при нарушении однородности самопроизвольной намагниченности. Эта добавка к энергии существенно положительна (Л >0), поэтому обменные силы противятся всякому нарушению однородности намагниченности.
Из формулы (19.29) для плотности обменной энергии находим (см. [20]) для п.к. решетки
А凡6 =审[(Vax)2 + (Va,)2 + (VaJ2], (23.1) где J = A/2S2 — перенормированный обменный параметр, S — спиновое квантовое число атома, Vc^ (X = 优,у, z) — градиенты направляющих косинусов вектора самопроизвольной намагниченности относительно координатных осей. Следует еще раз подчеркнуть, что выражение (23.1) имеет гораздо большую общность, чем гейзенберговская модель локализованных спинов [26], как это показано в работе Ландау и Лифшица [20], Лифшица [27, 28] и Херринга и Киттеля [29]. Для оценок очень полезна квазиклассическая формула для обменной энергии пары соседних спинов в решетке [см. (17.7) или (19.29а)], когда угол 屮 между ними очень мал (cos ф 1 —屮2⑵：
宮об = — 2JS2 cos 屮 const +/5洵2. (23.2) Связь параметра J с экспериментальными величинами может быть получена, например, при помощи статистических расчетов по теории молекулярного поля ) (см. гл. 18 и 19, а также работы [30—33]). Для Fe при 5 = 1 это дает (см. Киттель [24]).
/=1603. (23.3)
Более корректное определение параметра J предложил Лифшиц [27, 28], используя связь J с экспериментально наблюдаемой константой в бло- ховском законе Тз/2 (19.Ц8). Если воспользоваться формулой Мёллера [34] для коэффициента С перед 户/2 в этом законе.
(23.4)(23.4)0,0587 / 加е \3/2
(23.4)
(23.4)
то для Fe из опытов Фалло [35] находим С = 3,5-10~6 и при S=1 получаем
/=205%(23.5)
что находится в хорошем согласии с первой оценкой (23.3). Таким образом, можно принять с достаточной точностью, что коэффициент
в (23.1) по порядку величины равен (в случае железа при 5 = 1) 410/сб
2,86-10~8 2 ■ 10 эрг/см. (23.6)
В случае Ni и Со соответствующие величины равны 0,07 -10~6 и 1,5 х X 10~6 эрг -ел'1. Сиви и Танненвальд [36] предложили метод определения обменного параметра путем использования данных по измерению спин- волнового резонанса (см. гл. 24). При наложении сильного постоянного внешнего магнитного поля, перпендикулярного ферромагнитной пленке, и радиочастотного поля в ее плоскости в пленке возникает неоднородная прецессия спинов по толще образца в виде стоячих спиновых волн. Поскольку при этом происходит некоторое нарушение параллельности соседних спинов, то это приводит к увеличению обменной энергии. Поэтому параметр Л (или J) будет входить в дисперсионное соотношение для спиновых волн:
Задавая частоту ①。внешнего поля постоянной, добиваются резонансаг варьируя поле Я. Параметр Л определяют из приведенного выше уравнения. Величина волнового вектора | к | при этом равна: к = пл/L, где L —— толщина пленки, а п — номер резонансного пика (см. гл. 24). Для Ni Кимура и Нозе [37] нашли, что Л = 0,75 -10~6 эрг/см; Фрайт и Ондрис [38] дают Л = 0,9 -10~6 эрг/см; для Со по данным Танненвальда и Вебера [39] имеем 1,3 -10~6 эрг/см; для Fe Фрайт и Ондрис [38] дают 2,0 х X 10~6 эрг/см. Для ряда сплавов данные для Л приведены в обзорах Фрайта [40] и Дёринга [41]. Оба указанных метода определения параметра Л основаны на использовании дисперсионного соотношения со (А): первый для термически возбуждаемых спиновых волн, а второй для спиновых волн, возбуждаемых микроволновым полем. Метфессель и др. [42] предложили еще один метод, в котором параметр Л определяется сравнением характерной длины 6гр = (4/К)"2 (см. ниже § 4, п. 2), где К — энергия магнитной анизотропии, с геометрическими размерами тонкого ферромагнитного образца. Этот метод основан на влиянии неоднородного магнитного поля, создаваемого электрическим током, протекающим по образцу, на его намагниченность. Для пленки пермаллоевого сплава 80% Ni — 20% Fe эксперимент дал Л = 0,55 -10'6 эрг/см. Наконец, параметр Л можно определить по толщине граничного слоя между доменами или по размерам доменов (см. ниже § 4, п. 2). Так, например, Кацер и др. [43] определили параметр Л для тонкой пленки бариевого феррита и нашли, что Л = 0,61 10~6 эрг/см при 20° С и уменьшается до 4 = =0,24•10-6 9рг/еm при 300° g.
Энергия магнитной кристаллографической анизотропии. Из анализа кривых нам а гничив ани я ферромагнитных монокристаллов вытекает, что они обладают резко выраженной магнитной кристаллографической анизотропией (гл. 7), в основном сводящейся к тому, что в ферромагнитном монокристалле имеются оси легкого и трудного намагничивания (см.,, например, рис. 23.1—23.3).
Физическую причину этой анизотропии впервые выяснил Акулов [12], который показал, что ответственным за нее является магнитное взаимодействие между элементарными магнитиками. Минимум свободной энергии магнитной кристаллографической анизотропии *) FaHH3 (ссх,仪勿 а)
ферромагнитного кристалла, как функции направляющих косинусов углов вектора Is относительно осей кристалла, достигается, когда намагниченность направлена вдоль осей легчайшего намагничивания ). Опыт показывает, что всегда необходимо затрачивать работу внешних сил, чтобы вывести векторы Is из этих легчайших осей. Эта работа равна^раз— ности свободной энергии Аланиз начального и конечного состояния ферромагнитного кристалла.
Поскольку релятивистские — магнитные взаимодействия малы (ибо их энергия пропорциональна отношению г2/с2), то свободная энергия
Рис. 23.1. Кривые намагничивания кубических монокристаллов Fe для трех главных кристаллографических осей [100], [110] и [111];' К2 > 0 (Хонда и Кайя [5]).Рис. 23.1. Кривые намагничивания кубических монокристаллов Fe для трех главных кристаллографических осей [100], [110] и [111];' К2 > 0 (Хонда и Кайя [5]).Рис. 23・2. Кривые намагничивания кубических монокристаллов Ni для трех главных кр исталл огр а фиче- ских осей [100], [110] и [111]; К2Vo (Кайя [10]).Рис. 23・2. Кривые намагничивания кубических монокристаллов Ni для трех главных кр исталл огр а фиче- ских осей [100], [110] и [111]; К2Vo (Кайя [10]).
Рис. 23.1. Кривые намагничивания кубических монокристаллов Fe для трех главных кристаллографических осей [100], [110] и [111];' К2 > 0 (Хонда и Кайя [5]).
Рис. 23.1. Кривые намагничивания кубических монокристаллов Fe для трех главных кристаллографических осей [100], [110] и [111];' К2 > 0 (Хонда и Кайя [5]).
Рис. 23・2. Кривые намагничивания кубических монокристаллов Ni для трех главных кр исталл огр а фиче- ских осей [100], [110] и [111]; К2Vo (Кайя [10]).
Рис. 23・2. Кривые намагничивания кубических монокристаллов Ni для трех главных кр исталл огр а фиче- ских осей [100], [110] и [111]; К2Vo (Кайя [10]).
Рис. 23.3. Кривые намагничивания гексагональных монокристаллов Со для двух главных кристаллографических осей [0001], [1010] (Кайя [И]).Рис. 23.3. Кривые намагничивания гексагональных монокристаллов Со для двух главных кристаллографических осей [0001], [1010] (Кайя [И]).
Рис. 23.3. Кривые намагничивания гексагональных монокристаллов Со для двух главных кристаллографических осей [0001], [1010] (Кайя [И]).
Рис. 23.3. Кривые намагничивания гексагональных монокристаллов Со для двух главных кристаллографических осей [0001], [1010] (Кайя [И]).
/'аниз, получаемая по теории возмущений, будет в общем случае^иметь вид ряда по возрастающим степеням этого взаимодействия, содержащего спин (спин-спиновая и спин-орбитальная связи). Поэтому Раниз записывается в форме ряда по возрастающим степеням компонент спинаДт. е. вектора намагниченности Is или его направляющих косинусов а]
/нн产 Кпх, пу, "?аУ齊吟.(23.7)
Здесь показатели степени пх, пу, п2 —— целые числа такие, что пх +— 2п — чет
ное число (поскольку энергия не должна меняться при изменении знака времени, а слагающие вектора Is при этом меняют знак); по дважды встречающимся индексам производится суммирование. Набор отличных от нуля (тензоров) констант анизотропии Кпх, пу, п2 порядка П = у (пх + Пу + п2) оп- редел яется симметрией ферромагнитного кристалла, а их величина, знак, температурный ход и т. п. зависят от природы кристалла.
Так, например, в случае кубических кристаллов ^aHH3 равна линейной комбинации инвариантов преобразования симметрии кубического кристалла г каждый из которых есть однородная функция степени 2п. Этот случай детально проанализирован в работе Виглина [44], который показал что
в FaHH3 входит по одному независимому инварианту от п = 2 до тг = 5 )・ Обычно F^i3 записывается в виде
"龈=k (*% + %* 4- *磴)+ ^3a2a2a2 + K4 (a2 a2 + %a* + 若磴)2 + ...
(23.8)
Однако, как показали Туров и Мицек [45] [см., также Туров (1963)], такая запись не всегда удобна (см. ниже), выгоднее вести разложение Ьаниз по гармоническим инвариантам /п, удовлетворяющим уравнению Лапласа
Л/п — 0.(23.9)
Для кубического кристалла получаем [45]
隽溫(гарм) = К? [а£+ % 十 а； — 3 (aj% + Wa^ 十 ％吟)]+
十员[礫+哈卜玻十苧(礫咛十磴% + a汶+ a沌+啥;+"吟十
+ 90с堂号a" +左4 [若+呼+喈一 14 (吸芍+哄％ + a胧+咤述+
十%* +若若)十35 (а&a汐^ +^^ 十 W%a；)]. (23.10) Обычная запись 尸атшз для одноосных (гексагональных с осью z) кристаллов имеет вид (без учета анизотропии в базисной плоскости):
居器？ = Kj (述 + aj) + k2(*十 a吃)2 十.. .(23.11)
а через гармонические инварианты (с учетом анизотропии в базисной плоскости)
"靠(гарм) = К] (W + а吃一2吗)+ К? [(W + а£)2 — 8 (W+ 嗎)W 十可嗎]+
+ К必护§(W —^~ Wag + ag ) .(23.12)
Подробная сводка опытных данных до 1962 г. дана в монографии Кнел- лера (1962) (см. также п. 7)..
Упругая и магнитоупругая энергии. Исходя из общих соображений симметрии, можно определить общую форму зависймости энергии магнитного (релятивистского) взаимодействия от ориентации намагниченности в кристалле, от компонент тензора упругих деформаций решетки и от внешних упругих напряжений (Акулов [13], Махаяни [17], Гейзенберг [19], Ганс [46], Ганс и Черлинский [47]).
При возможных изменениях ориентации самопроизвольной намагниченности в кристалле изменяются равновесные расстояния между узлами решетки. Поэтому возникают самопроизвольные магнитострикционные деформации. В частном случае кубического кристалла в отсутствие внешних напряжений свободная энергия магнитного и упругого взаимодействия (с точностью до шестых степеней в направляющих косинусах вектора Is и вторых степеней тензора магнитострикционных напряжений 〃%) будет складываться из трех выражений, а именно:
свободной энергии естественной магнитной анизотропии недефор- мированного кристалла (23.8);
свободной энергии упругих напряжений кристалла (без учета магнитных эффектов), которая для кубических кристаллов имеет вид
夕упр ~~2 Сц (成:久 + 吗у + ^22)+&2(幺貳句2/ + ^yyUzz + 〃zz以ex) +
+ ^~a4(成 u +吗 z+u厶)，(23.13)
где С]】,С]2 и。44)——модули упругости кристаллов кубической системы, а 11泳 (г, к = х, у, z)——тензор упругих деформаций;
свободной энергии магнитострикционных напряжений, которая для кубических кристаллов имеет следующий вид ):
Fм：упр = а。(Цхх 十 ％/у + Uzz) +
+a1 [(w一号) ^Xx + (呜T) иУУ + (а2^ ) &z] +
十 2a2 (仪先仪招笈少十 ^y^z^yz + ^x^z^-xz) + 仪3 (^xx 十 〃yy + 〃zz) S +
十创[(吗+ 4s—4)Uxx+ (ау+4s—uyy +侬 +4s-4) %]+
十 2(^5 {^x^y^z^- xy ~|~ ^x^y^z^yz ~l~ C^X^yO-Z^Zx)? (23.14) где s = а^а；-卜 а；а^ + а^а乳 а^ (i — 1, 2, 3, 4, 5)—константы магнитоупругой связи.
При неизменной ориентации само произвольной намагниченности (а» = const) компоненты тензора магнитострикционных деформаций 〃济 находим из условий минимума суммарной свободной энергии (23.8), (23.13) и (23.14)
一8屁个('аниз 十'Упор 十尸м. упр) =。 (Z," = N,y,Z).
Подставляя найденные компоненты 〃晶с- в выражение для суммарной свободной энергии, получим
戶彌3 = k； (W嗎+嗎废+WW)十k； Wa沁"K： (*嗎十嗝吗十吗渡)2，(23.15)
где )
硏硏C]] — C12C]] — C122磕I 4С44 十 32磕I 4С44 十 3* I 7(С-ц— С12)3* I 7(С-ц— С12)3а]。4(С]2—■ ^12)а]。4(С]2—■ ^12)К；=КзК；=Кз6。]a4С]] —С]26。]a4С]] —С]23〃0口3(4012'—^ii).(冗12+^11)2，2Я!4。2。52%С]] —C]2，44C44，3〃0口3(4012'—^ii).(冗12+^11)2，2Я!4。2。52%С]] —C]2，44C44，(23.16)(23.16)
硏
硏
C]] — C12
C]] — C12
2磕I 4
С44 十 3
2磕I 4
С44 十 3
* I 7
(С-ц— С12)3
* I 7
(С-ц— С12)3
а]。4
(С]2—■ ^12)
а]。4
(С]2—■ ^12)
К；=Кз
К；=Кз
6。]a4
С]] —С]2
6。]a4
С]] —С]2
3〃0口3(4012'—^ii).
(冗12+^11)2，
2Я!4。2。52%
С]] —C]2，44C44，
3〃0口3(4012'—^ii).
(冗12+^11)2，
2Я!4。2。52%
С]] —C]2，44C44，
(23.16)
(23.16)
K；=3K；=3С]] —C]2С]] —C]23 (4C12 — Cjj) a|
K；=3
K；=3
С]] —C]2
С]] —C]2
1(2% +。]炉*
В зависимости от соотношения величин и знаков результирующих констант магнитной анизотропии К；, К； и К； в монокристалле возникают те или иные оси легчайшего намагничивания, для которых (23.15) имеет минимальное значение; так, например, в Fe или пермаллое 宜;и 宜；＞ О, поэтому осями легчайшего намагничивания являются оси типа [100], а в Ni имеем К； V 0, поэтому эти оси суть направления типа [111].
Зная равновесные магнитострикционные деформации uuc, можно получить, как впервые показал Акулов [12], выражение для относительного
удлинения ферромагнетика:
(半а =金嘛以9。团饱(i, k = x,y, z).
Здесь px, By, p2 — направляющие косинусы направления удлинения а а抖卩z — направляющие косинусы вектора Zs.
В результате элементарных вычислений, с точностью до членов квадратичных относительно 仪订 например для кристаллов кубической симметрии, получаем
(半)а. = 储0。(ахРх + С^уРу + C^zPz^) +
十3儿]g(%:%/也8g十0^%也也十也)，(23.17) где
> 一 2 Й1…2“2
%00_3^н_с^) и 仙汽=
— константы магнитострикции соответственно для осей [100] и [111] при переходе от размагниченного состояния кристалла к его насыщению вдоль этих осей *).
Энергия внешних напряжений. В присутствии внешних напряжений, описываемых тензором ⑦左，к энергиям (23.8), (23.13) и (23.14) надо добавить еще член
2j ^ik^tk (», к = х, у, z),(23.18)
ik
где uik — тензор упругих деформаций, вызванных и магнитострикцией и внешними напряжениями. Определяя опять равновесные значения uik и подставляя их в выражение полной свободной энергии, найдем добавочную к свободной энергии (23.15) часть, вызванную внешними напряжениями. При однородных напряжениях в случае кубического кристалла имеем
. Oik=^oyi"fh (t, к==х,у, z),
где о — величина внешнего однородного напряжения, а у； — его направляющие косинусы относительно осей кристалла. Эта добавка к свободной энергии, с точностью до членов, квадратичных относительно с^, выражается формулой
尸。= 一 -2~ [^100 (ax?x + <4竹 + 吗喷)+ 2кш(ахауухуу + a/订唄 z + 也仪工也丫工)]・ (23.19}
Энергия (23.19) имеет особенно существенное значение при сильных напряжениях (Xsa》К) или при незначительной естественной магнитной анизотропии. В этом случае результирующая магнитная анизотропия практически целиком обусловливается внешними напряжениями. В частности, при слабой анизотропии магнитострикции, когда Xi00 Хщ ^ А§, выражение (23.19) приобретает весьма простой вид:
凡=—-Xsa cos2q),(23.20)
где cos ф = а^х + ^ууу + сс2у2, 屮 一 угол между вектором Is и направлением однородного напряжения.
Физическая природа естественной магнитной анизотропии. Хотя магнитное взаимодействие является малой поправкой к электрическим обменным силам, обусловливающим самопроизвольную намагниченность, тем не менее они играют решающую роль во всем сложном комплексе явлений технического намагничивания. Поэтому выяснение физической природы магнитного взаимодействия в ферромагнетиках имеет не только теоретическое значение, но необходимо и для ясного понимания механизма тех физических процессов, которые обусловливают всю практическую ценность явления ферромагнетизма.
В первых работах Акулова [12, 13] магнитное взаимодействие в ферромагнитных кристаллах с микроскопической точки зрения трактовалось чисто классическим путем. Квантовомеханическая трактовка была дана в работах Блоха и Джентиля [51], Вонсовского [52], Ван-Флека [53], Ван Пайпа [54], Брукса [55], Карра [56] и Тессмана [57]. Классическую теорию температурной зависимости констант магнитной анизотропии развили Акулов [58] и Зин ер [59], исходя из представления о том, что около каждого узла решетки можно выделить области ближнего магнитного порядка с не зависящими от температуры локальными константами анизотропии. Локальные мгновенные намагниченности этих областей из-за теплового движения распределены хаотически и образуют среднюю намагниченность всего кристалла. Отсюда удается определить связь между температурным ходом констант анизотропии и намагниченности в виде
Кв(Т) Г_М11П(2п+1) /94 9八
где п ——порядок константы (см. выше). Таким образом, мы приходим к универсальной зависимости К】 〜方 и 衣2 〜/孔 В работе Карра [56] было показано, что результат (23.21) получается в приближении теории молекулярного поля (см. гл. 18). Микроскопические трактовки этой проблемы даны в работах Ван-Флека [53], Тябликова [60], Тябликова и Гусева [61], Пала [62], Кеффера [63], Касуйя [64], Бреннера [65], Кеффера и Огучи [66], Потапкова [67], Каллена [68], Тер Хаара и Лайнеса [69], Рыбарска [70], обзорах Ван-Флека [31, 71] и Канамори [72].
В основе всех расчетов по микроскопической теории магнитной анизотропии лежит учет магнитного взаимодействия между спиновыми и орбитальными магнитными моментами электронов, принимающих участие в ферромагнетизме. В общем случае оператор магнитной энергии складывается из трех членов.
威m3如+ &"3=金春守。-X蔡^^■% +
у 上(0现，)啥,一3(0打,)(%"",)
где 炉]——оператор, соответствующий движению электронов относительно ионов решетки,— спин~орбитальная энергия; 力2 — оператор магнитной энергии, возникающей вследствие относительного движения самих электронов,——орбитальная энергия; U 3 ——оператор энергии магнитного взаимодействия спиновых магнитных моментов электронов —— спиновая энергия (в первом приближении имеет вид дипольного взаимодействия). Эту часть энергии называют иногда псевдодипольной *) или анизотропной обменной. Индекс пробегает номера всех ионов заряда Ze; / и у" —— номера всех электронов; vj — оператор вектора скорости; а； — спин
электрона j. В общем случае коэффициенты е2/2тс2 в суммах (23.22) заменяются некоторыми неизвестными параметрами ).
Эффект орбитального взаимодействия ^ и U^ проявляющийся в случае изолированных атомов в образовании тонкой структуры спектральных линий приводит к появлению «внутренних магнитных полей» порядка 105 з. С другой стороны, «эквивалентное магнитное поле» анизотропии ферромагнетиков, определяемое величиной поля, при котором достигается насыщение в монокристалле вдоль труднейших направлений намагничивания (см. рис. 23.1), оказывается порядка 102 э и лишь в редких случаях (Со, пирротин) достигает 103——104э. Объяснение этого несоответствия заключается в том, что в отличие от атомов, где орбитальные моменты отличны от нуля (за исключением 5-состояний), в ферромагнитных кристаллах (например, в d-метаппах и сплавах), как показывают измерения гиромагнитного эффекта, средний орбитальный магнитный момент по кристаллу почти всегда практически равен нулю. Поэтому в первом приближении эффект спин-орбитальных энергий U^ и U2 также равен нулю. Отличный от нуля эффект получается лишь во втором и более высоких приближениях.
Что же касается спиновой части магнитного взаимодействия 〃з, которая хотя и дает отличный от нуля эффект в первом приближении, но тем не менее не обеспечивает наблюдаемый на опыте порядок величины эффективных «полей» благодаря своей малости ).
Несмотря на отсутствие законченной квантовой трактовки магнитного взаимодействия в ферромагнетиках, в этой области имеются известные успехи. Так, например, удалось объяснить правильный порядок величины констант магнитной анизотропии. В частности, без всяких дополнительных соображений из теории следует, что в кубических кристаллах (Fe, Ni) константы анизотропии должны быть меньше по абсолютной величине, чем в случае гексагональных кристаллов (Со, пирротин). Это вытекает из свойств симметрии кубических кристаллов, в которых первое приближение для дипольной энергии 〃з и второе приближение для орбитальных энергий U& и 〃2 не приводит к зависимости свободной энергии кристалла от ориентации его намагниченности относительно кристаллографических осей. Для получения этой зависимости надо рассматривать следующие приближения, в то время как в гексагональных решетках анизотропия получается и в первом приближении для 〃з, и во втором для 〃i и U2-
Остановимся несколько подробнее на микромеханизме явления естественной кристаллографической магнитной анизотропии. Поскольку в создании самопроизвольной намагниченности ферро- и антиферромагнетиков основную роль играют электронные спины, то микроскопическая энергия, ответственная за магнитную анизотропию, должна зависеть от состояния этих спинов в кристалле, а также отражать симметрию распределения спиновой и зарядовой (орбитальной) плотности в кристалле.
Наиболее простым является механизм магнитного дипольного взаимодействия спинов (см., например, [73]).
К сожалению, однако, учет лишь дипольного межэлектронного взаимодействия не может, как правило, объяснить наблюдаемую на опыте величину энергии магнитной анизотропии.
Другой из упомянутых выше механизмов заключается в связи между спином и орбитальным движением электронов [например, описываемой членами ^ и U2 гамильтониана (23.22)].
Киттель и Галт [25] дают следующее наглядное объяснение физического механизма магнитной анизотропии из-за спин-орбитальной связи. В основу своего объяснения они кладут общепризнанное положение, что само появление этой анизотропии обусловлено совместным действием спин-орбитальной связи, частичного замораживания орбитальных моментов неоднородными кристаллическими полями и орбитальным обменным взаимодействием соседних атомов (см. гл. 10). Таким образом, самопроизвольная намагниченность кристалла «чувствует» ионную решетку через орбитальное движение магнитных электронов. Спины, участвующие в намагниченности, взаимодействуют с орбитальным движением с помощью спин-орбитальной связи, а орбитальное движение связано с решеткой полем лигандов ).
Микроскопическая энергия, возникающая благодаря этому механизму, может быть в свою очередь двух типов:
спин-орбитальная связь, которая зависит от спиновых состояний двух или более ионов-носителей магнитного момента (парная модель магнитной анизотопии);
связь, зависящая от спинового состояния только отдельных ионов (одноионная модель магнитной анизотропии; см(, например, работы Вольфа [75], Войтовича [76], а также [77, 78]). Последний механизм оказывается наиболее близким к реальной ситуации, которая имеет место в неметаллических антиферро- и ферримагнетиках, в которых магнитноактивные ионы находятся в окружении магнитно нейтральных анионов. Под действием поля лигандов, симметрия которого определяется типом кристалла, происходит расщепление уровней магнитного иона. В результате основному состоянию в зависимости от структуры кристаллической решетки будут соответствовать различные типы уровней, что приводит к магнитной анизотропии кристалла с магнитным порядком.
Температурная зависимость магнитной анизотропии. Вопрос о температурной зависимости магнитной анизотропии в области низких температур в рамках наиболее последовательной феноменологической трактовки спиновых волн дали Туров и Мицек [45] (см. также Киттель и ВанФлек [79], Е. Каллен и Г. Каллен [80], Пикин [81]). Они показали, что при обычных формах записи ^анИз [например (23.8), (23.11) и т. п.] температурное изменение констант анизотропии порядка п может существенно зависеть от величины отношения последующих констант к данной при 0° К. Общее выражение для 储皿 ⑺ имеет вид [45]
尸анП3(?) = ? {1—^-^譽曲(2九十1) + %]}%(0)；(23.23) где
Аа = д/д (ах)2 + д/д &产十 д/д (а2)2,
fn(о)—£Кпxnynz (0"警吟召，(23.23a)
(nx-}-ny-}-nz=2n)
здесь fn (0)——однородный полином степени 2汽， A/s (Т) = /so — IS(T)— температурное изменение самопроизвольной намагниченности.
Если энергия FaHH3 записана в форме
簿焉=二解(？)3"+鳄+ a界)，(23.24)
то в случае кубических кристаллов для констант имеем место соотношение
解(Т) =解(0) {1—^£L(2九+ 1)[九一5 + 1)^^]}.(23.25)
Из (23.23) видно, что константы анизотропии различных порядков в'формулах типа (23.25) не будут перепутываться лишь в том случае, если энергию ^аннз представить в виде разложения по однородным гармоническим полиномам — решениям уравнения Лапласа (Aa/孔 ~ 0). В этом случае для кубических кристаллов вместо (23.25) находим
(23.26)(23.26)А/$⑺
(23.26)
(23.26)
7so
Соотношение приближенно (при A7S (Т)《7s0) совпадает с формулой Акулова — Зин ер а (23.21), но лишь при условии использования разложения Ьаниз по гармоническим инвариантам. Прецизионные экспериментальные исследования температурной зависимости констант анизотропии с одновременным определением A7S (Т) в свете формулы (23.23) имеют
Таблица 23.1
Константы анизотропии некоторых ферромагнитных монокристалловКонстанты К2 и К3
Вещество
Тип решетки
К2, 105 эрг/см^
Кз, 105 эрг/см^
Температура измерения,
^аниз*
9
Литература
Fe
0. ц. к.
4,8
293
560
[94]
—
0,714
293
560
[95]
Ni
г. ц. к.
—0,049
0,041
293
205
[96, 97]
Со•
г. ц. к.
—9
—2
4,2
—
[96, 97]
Fe3O4
кубич.
—0,0i35
—
293
—
[983]
e)0,8fe2,2。4
39
—
293
—
[102]
Co111Fe1)9O4
18
—
293
—
[102]
Coo53Zn0)2Fe2,204
»
15
—
293
—
[102]
Со0|зМпо14Ге204
»
И
—
293
—
[102]
Mn(),45Zn0,55Fe2°4
—0,038
—
293
—
[ЮЗ]
MnFeO4
»
—0,28
—
293
—
[102]
Mn0198Fei,86O4
—0,34
—
293
—
[102]
№()/e2,204
»
—0,39
—
293
—
[102]
Ni。,7coo,002Fe2,2°4
—0,8
—
293
—
[102]
Ni(),7co0,00Je2,2。4
»
-0,Ю
—
293
—
[102]
Константы К】и К2
Вещество
Тип решетки
105 зре/смЗ
К 2, 105 эрг/см3
Температура измерения, °К
/низ' э
Литература
Со
гекс.и.у.
43
12
293
9500
[98]
Gd
» » »
—8,5
25
4,2
—
【99]
СгВг3
» » »
9,4
—
1,5
6850
[100]
MnBi
» » »
91
26.
293
—
[101]
ТЬ
》 》»
270+Ю
——
105
—
[984]
• Dy
» » »
190±80
—
116
—
[984]
принципиальное значение, ибо они позволяют проверить основы современной теории ферромагнетизма ). Мицек [93] также учел влияние теплового расширения на температурную зависимость констант магнитной кристаллографической анизотропии ферромагнетиков (см. также Карр [56]).
Туров и Мицек [501 на основе той же феноменологической теории спиновых волн исследовали температурную зависимость линейной (анизотропной) и объемной (изотропной) магнитострикции (см. обзор [25], а также работы Киттель и Ван-Флек [79], Е. Каллен и Г. Каллен [80]).
Опытные значения констант магнитной анизотропии. Константы магнитной анизотропии играют существенную роль во всех процессах технического намагничивания ферромагнетиков. Поэтому естественен интерес, который проявляется к измерениям этих констант в различных материалах. Основные экспериментальные методы определения этих констант следующие: измерение работы намагничивания для главных кристаллографических направлений, сравнение опытных и теоретических кривых
Рис. 23.4. Температурная зависимость констант магнитной анизотропии К? и Кз монокристаллов Fe. Для сравнения приведена кривая 2$(Т) (Киренский [107], Возорт [108]).Рис. 23.4. Температурная зависимость констант магнитной анизотропии К? и Кз монокристаллов Fe. Для сравнения приведена кривая 2$(Т) (Киренский [107], Возорт [108]).Рис. 23.5. Температурная зависимость констант анизотропии К = ki + К? монокристалла сплава Мп — Bi (Гийо [1381).Рис. 23.5. Температурная зависимость констант анизотропии К = ki + К? монокристалла сплава Мп — Bi (Гийо [1381).
Рис. 23.4. Температурная зависимость констант магнитной анизотропии К? и Кз монокристаллов Fe. Для сравнения приведена кривая 2$(Т) (Киренский [107], Возорт [108]).
Рис. 23.4. Температурная зависимость констант магнитной анизотропии К? и Кз монокристаллов Fe. Для сравнения приведена кривая 2$(Т) (Киренский [107], Возорт [108]).
Рис. 23.5. Температурная зависимость констант анизотропии К = ki + К? монокристалла сплава Мп — Bi (Гийо [1381).
Рис. 23.5. Температурная зависимость констант анизотропии К = ki + К? монокристалла сплава Мп — Bi (Гийо [1381).
намагничивания монокристаллов, определение нормальной слагающей намагниченности в монокристаллах, определение констант из измерений кривых намагничивания поликристаллов в области очень сильных полей и из измерений частот ферромагнитного резонанса [см. гл. 24; подробнее см. книгу Кнеллера (1962)]. В табл. 23.1 приведены числовые данные для & (Ki) и Кз (К2)типичных материалов. Знак константы может быть различным. Как уже отмечалось выше, важно знать температурную зависимость констант анизотропии, так как она в значительной степени определяет температурный ход всей совокупности «технических» свойств ферромагнетиков. Опыт и теория показывают, что эта зависимость более резкая, чем температурная зависимость самопроизвольой намагниченности Is (Т). На рис. 23.4 приведены данные Киренского [107] и Бозорта [108] для 左2 (7) и Кз (Т) монокристалла Fe в сравнении с кривой Is (Т). Температурную зависимость К2 для Fe подробно исследовали Титов [109], Киренский [107] и Грэхэм [94, 110, 111]; для Ni измерения провели Брюхатов и Киренский [112], Вильямс и Бозорт [ИЗ], Рейх [114], Пузей
[115]; для Со — Хонда и Мазумото [116], Сексмит и Томпсон [117], Родбелл [96, 97]. В случае Со при температуре около 500° К константа меняет знак. Это находит свое теоретическое объяснение в работе Вонсовского [52]. Тарасов [118], Холл [119], Арайс и др. [120] измерили константу анизотропии важных технических сплавов Fe — Si (трансформаторное железо), а Шубина [121] — ее температурную зависимость, которая оказалась похожей на температурную зависимость констант анизотропии Fe
Рис. 23.6 • Температурная зависимость константы анизотропии иттриевого граната. Сплошная кривая — теоретическая, кружками показаны экспериментальные точки (Родриге и др. [154]).Рис. 23.6 • Температурная зависимость константы анизотропии иттриевого граната. Сплошная кривая — теоретическая, кружками показаны экспериментальные точки (Родриге и др. [154]).(см. также Грэхэм [94]). Подробное исследование констант анизотропии различных ферромагнитных металлов и сплавов произвели Займовский [122], Альтгаузен [123], Акулов и Пузей [124], Киренский [125], Пузей [126, 127], Холл [119] см. также [128— 137]. Весьма своеобразным оказался ход температурной зависимости константы анизотропии сплава Мп — Bi (рис. 23.5) по измерениям Гийо [138] и Вильямса и др. [101]. Эта константа отрицательна при очень низких температурах (—2106 叩卜威 при 0° К), при 80° К проходит через нуль и затем монотонно круто возрастает, достигая при 20° С величины 1,2 -107 3Pzic威.За
Рис. 23.6 • Температурная зависимость константы анизотропии иттриевого граната. Сплошная кривая — теоретическая, кружками показаны экспериментальные точки (Родриге и др. [154]).
Рис. 23.6 • Температурная зависимость константы анизотропии иттриевого граната. Сплошная кривая — теоретическая, кружками показаны экспериментальные точки (Родриге и др. [154]).
последнее время появились многочисленные исследования констант анизотропии ферромагнетиков со структурой шпинели и граната [139—148], а также редкоземельных металлов [149] и их
соединений [150—153] *). Обращаем внимание на работу Ирхина и др. [269], в которой развивается квантовая теория анизотропии редкоземель
ных металлов.
Что касается проверки теоретической температурной зависимости (23.21), то для типичных кубических металлов Fe и Ni хорошего согласия между теорией и опытом не получается. Например, в случае Fe Грэхэм [НО] для 宜2 (?) получил 8-ю степень, для Ni согласие еще хуже. Возможно, это объясняется тем, что формула (23.21), строго говоря, справедлива для ферромагнитных диэлектриков (с локализованными моментами), хотя например, измерения Родбелла [96, 97] для Со с г.ц.к. решеткой показали, что в интервале температур от 4,2° К до 800° К этот ферромагнетик подчиняется «закону 10-й степени». Вместе с тем для неметаллических ферро- и ферримагнетиков, а также для редкоземельных металлов согласие между теорией и опытом, как правило, очень хорошее. В качестве примера на рис. 23.6 приведена кривая К2 (Т) для иттриевого граната по данным 'Родриге и др. [154].
азм =азм =11Hol\Hol\(23.27)(23.27)Энергия размагничивающего поля. Для определения равновесного распределения самопроизвольной намагниченности важно знать также энергию размагничивающего поля поверхностных (am = Div Zs) и объемных (pm = div 7§) «магнитных зарядов». Плотность этой энергии равна
азм =
азм =
1
1
Hol\
Hol\
(23.27)
(23.27)
В случае образца из однородного материала в форме эллипсоида, когда можно ввести постоянный размагничивающий фактор 7V，т. е・ Н。=——NI,
то энергия (23.27) принимает вид
&азм=4"%6；(23.28)
для эллипсоидов с полуосями а, Ь, с при произвольной ориентации вектора I (а。, аь, ссс) имеем
^разм = —/2 (Na威 + Nb嚇 + 忆戒)，(23.29)
где a； (t = a, 6, c) — направляющие косинусы вектора J, Ng №力 Nc — размагничивающие факторы вдоль осей; при этом Na + 7Vb +М = 4л.
Таблица 23.2
Размагничивающие факторы для эллипсоидов вращения с полярной полуосью a и экваториальной полуосью ft; g = a/b (Стонер [157])
q
£^- 104 4兀
q
”•104
q
”105 4Л
q
4 л
0,01
9845
1,0
3333
8965
16
9692
0,02
9694
1J
3083
7541
18
8013
0,05
9262
1,2
2861
6445
20
6749
ол
8608
14
2488
5582
25
4671
0,2
7505
1,6
2187
4889
30
3444
0,3
6614
1941
4323
35
2655
0,4
5882
1736
3461
40
2116
0,5
5272
1563
2842
45
1730
0,6
4758
1417
2382
50
1443
0,7
4321
1291
2029
60
1053
0,8
3944
1182
1530
80
637
0,9
3618
1087
1200
100
430
Формула (23.28) или (23.29) дает выражение для энергии анизотропии формы. Рассмотрим случай эллипсоида вращения (a > b：= с, Nb = =Nc, Na + 27vb = 4л). Тогда (23.29) примет вид )
%азм =；北(％a COS2 ф + TVЬ Sin2 ф)=
=const + ~Ц (Nb — A^a)sin2 ф.(23.30)
В табл. 23.2 приведены по Стонеру [157] размагничивающие факторы Nа]4к для различных отношений осей q = a]b эллипсоидов вращения. Из (23.30) видно, что эффективная константа анизотропии формы равна
к驟=4■北(Nb—Na).(23.31)
В зависимости от выполнения условия Nb 宗 Na имеем К翡眾 至 0. Максимальная величина Kl^1 получается для сильно вытянутого (Na《 Nb) или сильно сплющенного (Na》％匕)эллипсоида, когда Na или Nb
2л и, следовательно, | К器後 I ^ 冗/；• Например, для Fe (/§ 〜1700 гс) находим, что | К号蟲"| Q 9 -106 эрг!с^. т. е. величину, заметно превышающую как естественную кристаллографическую анизотропию (1/3 К2 ^ ^ 1,5405 3Pzic硝,так и анизотропию напряжений [по (23.20) 3/2 Za ^
3 «104 зрак* при 入 ^ 2 -10~5 и а ^ 10э дин/cj^].
Стонер и Вольфарт [158] рассмотрели задачу намагничивания эллипсоида произвольной формы. Браун и Морриш [159] показали, что частицы
произвольной формы (когда обменные силы способствуют их однородной намагниченности) ведут себя подобно эллипсоидам, если их размеры достаточно малы. Однако когда форма частиц сильно отличается от эллипсоида, приходится прибегать к специальным расчетам (см., например, [160]).
При расчетах доменных структур очень важно знать энергию магнитных полюсов на поверхности кристалла и, в частности, образцов, разбитых на домены. Например, Киттель [24, 161] и Неель [162, 163] (см. также Кацер и Гемперле [164]) рассчитали энергию магнитного лоля системы
Рис. 23.7. Распределение магнитных полюсов (на плоскости Ь, с) в образце из однородно намагниченных (вдоль и против оси а) плоскопараллельных пластинок.Рис. 23.7. Распределение магнитных полюсов (на плоскости Ь, с) в образце из однородно намагниченных (вдоль и против оси а) плоскопараллельных пластинок.Рис. 23.8. Схема к расчету эффективной проницаемости ц,*, обусловленной магнитной анизотропией и размагничивающим действием поверхности ферромагнитного монокристалла с доменной структурой (Шокли [165]).Рис. 23.8. Схема к расчету эффективной проницаемости ц,*, обусловленной магнитной анизотропией и размагничивающим действием поверхности ферромагнитного монокристалла с доменной структурой (Шокли [165]).
Рис. 23.7. Распределение магнитных полюсов (на плоскости Ь, с) в образце из однородно намагниченных (вдоль и против оси а) плоскопараллельных пластинок.
Рис. 23.7. Распределение магнитных полюсов (на плоскости Ь, с) в образце из однородно намагниченных (вдоль и против оси а) плоскопараллельных пластинок.
Рис. 23.8. Схема к расчету эффективной проницаемости ц,*, обусловленной магнитной анизотропией и размагничивающим действием поверхности ферромагнитного монокристалла с доменной структурой (Шокли [165]).
Рис. 23.8. Схема к расчету эффективной проницаемости ц,*, обусловленной магнитной анизотропией и размагничивающим действием поверхности ферромагнитного монокристалла с доменной структурой (Шокли [165]).
плоскопараллельных однородно намагниченных пластинок с антипарал- лельными моментами у соседних пластинок (рис. 23.7), заполняющих прямоугольный параллелепипед со сторонами а, b и с (число пластинок п, их толщина вдоль оси b равна D = Ып). Эта энергия равна
&азм^2・0,8525/2,2c. ； = 2・0,8525ADS,(23.32)
где S = be—поверхность с полюсами. Если заменить пластины прямоугольными призмами, то
&азм 2.0,53/203(23.33)
При определении энергии магнитных полюсов на поверхности анизотропного ферромагнитного кристалла необходимо учитывать конкуренцию двух энергий Ьаниз и 耳разм・ На рис. 23.8 показана модель плоскопараллельных слоев для подобного расчета (по Шокли [165]). Если считать, что 戶анлз》耳разм, и принять, что векторы I лежат вдоль легких осей ([100] для железа), и если О — угол между осью [100] и ребром образца у (см. рис. 23.8), то плотность энергии полюсов, согласно (23.32), будет
/разм 3)=符= 0,8525/2。sin?%(23.34)
Если же Ьразм ^аниз, то, как показал расчет Шокли [165],
/разм = 0,8525AD sin?”』，(23.35)
где 卩*—эффективная проницаемость домена для направления, нормального к легкой оси, обусловленная анизотропией и при малых углах О
равная
卩*=1+ 矍(23.36)
В железе при комнатных температурах К2 а 4,6《О' эрг1с^^ I 比 1700 гс и, следовательно,卩* ^ 41. Таким образом, из-за «|1*-поправки» энергия /разы оказывается примерно в 20 раз меньше, чем это дает формула (23.35).
Плотность энергии ферромагнетика относительно внешнего поля равна FH=— (HI) - - Я/ cos а,*(23.37)
где О — угол между векторами Н и I.
Иногда производят перенормировку энергии (23.37), начиная ее отсчет от состояния 0 = 0, т. е. берут свободную энергию в виде
Fh =砌1 一 cos^).(23.37a)
Свободная энергия взаимодействующих магнитных диполей. Таким образом, из магнетостатики следует, что свободная энергия магнитного образца во внешнем магнитном поле будет зависеть от его формы. Микроскопической причиной этой зависимости является дальнодействующая диполь-дипольная связь между элементарными носителями магнитного момента. При расчетах часто пренебрегают этой релятивистской энергией, поскольку она мала, например, по сравнению с обменной энергией. Но вместе с тем она приводит, как это уже отмечалось, к таким важным эффектам в реальных ферромагнетиках, как доменная структура. В некоторых же материалах дипольная энергия оказывается сравнимой или даже больше, чем обменная энергия, и поэтому оказывается весьма существенной при низкотемпературных магнитных фазовых переходах. Это имеет место, например, в некоторых солях редкоземельных элементов (этилсульфат Dy [487], GdCl3 [488], DyAl — гранат [489], редкоземельные гидроокиси Re (ОН)з, где Re-Nd, Gd, Tb, Dy, Но и Er [490]). Теоретически этот вопрос рассматривался в ряде работ [49ф—496]. Наиболее полно он рассмотрен в работе Гриффитса [497], который показал в строгой форме, что система спинов в кристаллической решетке с магнитным диполь-дипольным взаимодействием, обменными силами и силами магнитной анизотропии обладает определенной суммарной свободной энергией, не зависящей от формы образца в термодинамическом пределе (т. е. с точностью до статистических флуктуаций) при условии, что внешнее магнитное поле равно нулю. Доказательство проведено для классической и квантовой систем с произвольным тензором g-фактора и не зависит от каких-либо предположений о наличии или отсутствии магнитного порядка в магнитной фазе, сходимости рядов теории возмущений и т. п. За подробностями отсылаем к оригинальной работе [497].
Другие типы магнитной анизотропии
Естественная кристаллографическая магнитная анизотропия и анизотропия напряжений не являются единственными типами анизотропии в ферромагнитных кристаллах. Имеется еще ряд источников, приводящих к магнитной анизотропии, связанных с внутренними процессами в кристалле (диффузия, процессы упорядочения атомов в сплавах, влияние поверхности и т. п.), так и с внешними воздействиями (термическая и механические обработки, внешние магнитные поля и т. п.). Ниже кратко рассматриваются наиболее важные из этих типов анизотропии.
Диффузионная анизотропия. Прежде всего, этот тип анизотропии возникает в ферромагнитных сплавах в связи с особенностями явления упорядочения атомов (направленное упорядочение). Для того чтобы представить себе яснее физический механизм этого явления, рассмотрим энергию взаимодействия w отдельной пары соседних атомов в кристаллической решетке ферромагнитного сплава. Естественно предположить, что w зависит от угла между локальной намагниченностью и осью, соединяющей атомы. При температурах ниже точки Кюри, но еще достаточно высоких, чтобы шла интенсивная диффузия атомов, благодаря тепловому движению магнитные моменты пары одинаковых соседних атомов будут стремиться ориентироваться так, чтобы
энергия w была минимальной (например, чтобы их моменты были направлены вдоль локальной намагниченности). Тепловые флуктуации противодействуют этому направленному упорядочению. С помощью внешнего однородного магнитного поля можно ориентировать все локальные намагниченности вдоль одной оси по всему кристаллу и, следовательно, в нем моменты всех соседних пар атомов будут ориентированы взаимно параллельно. Охлаждением образца можно 《заморозить» эту упорядоченную ориентацию и таким образом создать в веществе одноосную магнитную анизотропию. Теорию этой наведенной диффузионной анизотропии ферромагнитных веществ независимо развили Неель [166 — 169], Танигучи и Ямамото [170] [см. также работы [171 — 173], обзоры Грэхэма [111], Слончевского [174] и монографии Кнеллера (1962) и Чикацуми (1964)].
Связь между термомагнитной обработкой (ТМО) и процессами упорядочения в сплавах магнитно-мягких материалов детально исследовалась в работах Шура и Глазера [175, 176]. Эти работы показали, что благодаря отжигу в магнитном поле в ферромагнитных мягких материалах возникает особое структурное состояние, отличное как от обычного упорядоченного состояния, так и от неупорядоченного состояния. Можно полагать, что в образовании такого структурного состояния принимает участие небольшое число атомов, поскольку при ТМО разупорядоченных сплавов намагниченность насыщения не изменяется и образование магнитной одно- осности при ТМО происходит быстрее (т. е. с меньшим временем релаксации), чем обычное атомное упорядочение в сплавах. Это особое структурное состояние и является, по-видимому, наведенной диффузионной анизотропией Нееля — Танпгучи — Ямамото.
Представляют интерес также работы Шура и др. [177, 178] по исследованию влияния ТМО на доменную структуру монокристаллов кремнистого железа.
Термомагнитная обработка приводит к одноосной магнитной анизотропии и в высококоэрцитивных сплавах типа альни и альнико, как впервые показано в работе Оливера и Шеддена [179]. В работах Нееля [180], Шубиной и Шура [181], Киттеля и др. [182] было дано объяснение этого эффекта: в результате ТМО анизотропные по форме выделения магнитной фазы выстраиваются по направлению магнитного поля, приложенного при ТМО. Электронно-микроскопические исследования (см., например, [183]) подтвердили эти представления. В работе Нееля [180] и Зийлстра [184] высказывалось, кроме того, предположение, что анизотропия формы выделений сильномагнитной фазы сплава есть результат стремления к минимуму суммы магнитостатической энергии и энергии поверхностного натяжения выделения. Однако при этом не учитывается энергия упругой деформации выделений, а также анизотропия свойств кристалла. Детальные исследования Ермоленко, Шура п др. [185, 186] показали, что, механизм ТМО высококоэрцитивных сплавов сложнее, чем это следует по теории Нееля [180].
Кроме создания магнитной анизотропии методом ТМО, известен еще метод тер- мамеханической обработки, заключающийся в охлаждении ферромагнетика при наложении .внешних односторонних напряжений. Такую обработку впервые независимо произвели Нишина [187] и Шур и Хохлов [188]. Не имея возможности подробнее останавливаться на описании этого явления, укажем работы Шура и др. [189—193], в которых оно детально изучено.
Магнитная анизотропия, наведенная холодной механической обработкой (прокаткой). Сикс п др. [194] обнаружили, что при холодной прокатке образцов сплава Fe — Ni возникает сильная одноосная магнитная анизотропия. При этом ось легчайшего намагничивания всегда ориентируется под определенным углом (для данного сплава) к направлению прокатки. В частности, в случае сплава Fe (50 ат.%) — Ni (50 ат.%) ось легчайшего намагничивания направлена перпендикулярно направлению прокатки. Это явление подробно исследовали Конрадт и др. [195] и Ратенау и Снук [196], Неель [167, 168] и Танпгучи и Ямамото [170] высказали предположение, что механизм возникновения магнитной анизотропии при холодной прокатке такой же, как при диффузионной анизотропии (см. выше). Дальнейшие исследования проводились в работах [197—207].
Обменная (односторонняя) анизотропия. Важным типом анизотропии является так называемая обменная или односторонняя анизотропия, открытая Майклджо- ном и Бином [208—213] в малых (размером порядка 200 А) ферромагнитных частицах Со, покрытых с поверхности антиферромагнитной окисью (СоО). Выше точки Нееля (0^ = 293O К) окиси эта система ведет себя как обычный ферромагнитный Со (поскольку точка Кюри Со 0 > @川)・ При Т 之 0^ между чистой сердцевиной частиц Со и пленкой СоО вблизи поверхности их соприкосновения возникает сильное обменное взаимодействие (рис. 23.9, а), которое препятствует изменению направления вектора Ts в ферромагнитной фазе системы и приводит к явлению односторонней анизотропии, проявляющемуся в первую очередь в смещении кривых намагничивания и петель гистерезиса относительно оси I (рис. 23.9, 6).
Если антиферромагнетик обладает незначительной кристаллографической анизотропией, то его магнитная структура будет «поворачиваться» вслед за намагниченностью ферромагнитной фазы при ее перемагничивании в обратном поле. Поэтому смещения ферромагнитной петли гистерезиса при этом не произойдет. Однако Майклджон (213] показал, что вещество будет обладать ненулевым вращательным гистерезисом
в сильных магнитных полях. Возможно, что система NiO ——Ni может служить примером такого явления.Таким образом, обменная анизотропия ——это эффект, вызванный существованием поверхности соприкосновения между двумя магнитными веществами, находящимися в антиферромагнитном и ферромагнитном состояниях. В общем случае магнитная анизотропия монокристаллов определяется трансформационными свойствами псевдовектора намагниченности ,меняющего знак при инверсии времени. Поэтому термодииампче - скип потенциал ферромагнетиков, не обладающих магнитной структурой, должен быть четной функцией намагниченности Т. Вследствие этого свойства ферромагнетиков не зависят от того, как направлен вектор 7 — вдоль данного кристаллографического направления пли против.Однако в некоторых веществах при определенных условиях (как, например, в упомянутых выше чав сильных магнитных полях. Возможно, что система NiO ——Ni может служить примером такого явления.Таким образом, обменная анизотропия ——это эффект, вызванный существованием поверхности соприкосновения между двумя магнитными веществами, находящимися в антиферромагнитном и ферромагнитном состояниях. В общем случае магнитная анизотропия монокристаллов определяется трансформационными свойствами псевдовектора намагниченности ,меняющего знак при инверсии времени. Поэтому термодииампче - скип потенциал ферромагнетиков, не обладающих магнитной структурой, должен быть четной функцией намагниченности Т. Вследствие этого свойства ферромагнетиков не зависят от того, как направлен вектор 7 — вдоль данного кристаллографического направления пли против.Однако в некоторых веществах при определенных условиях (как, например, в упомянутых выше чаа)а)б)б)Рие. 23-9- К вопросу о возникновении обменной (однонаправленной) анизотропии, а) Соседство ферро- и антиферромагнитной фаз; б) смещение гистерезисной петли вследствие обменной анизотропии.Рие. 23-9- К вопросу о возникновении обменной (однонаправленной) анизотропии, а) Соседство ферро- и антиферромагнитной фаз; б) смещение гистерезисной петли вследствие обменной анизотропии.
в сильных магнитных полях. Возможно, что система NiO ——Ni может служить примером такого явления.
Таким образом, обменная анизотропия ——это эффект, вызванный существованием поверхности соприкосновения между двумя магнитными веществами, находящимися в антиферромагнитном и ферромагнитном состояниях. В общем случае магнитная анизотропия монокристаллов определяется трансформационными свойствами псевдовектора намагниченности ,меняющего знак при инверсии времени. Поэтому термодииампче - скип потенциал ферромагнетиков, не обладающих магнитной структурой, должен быть четной функцией намагниченности Т. Вследствие этого свойства ферромагнетиков не зависят от того, как направлен вектор 7 — вдоль данного кристаллографического направления пли против.
Однако в некоторых веществах при определенных условиях (как, например, в упомянутых выше ча
в сильных магнитных полях. Возможно, что система NiO ——Ni может служить примером такого явления.
Таким образом, обменная анизотропия ——это эффект, вызванный существованием поверхности соприкосновения между двумя магнитными веществами, находящимися в антиферромагнитном и ферромагнитном состояниях. В общем случае магнитная анизотропия монокристаллов определяется трансформационными свойствами псевдовектора намагниченности ,меняющего знак при инверсии времени. Поэтому термодииампче - скип потенциал ферромагнетиков, не обладающих магнитной структурой, должен быть четной функцией намагниченности Т. Вследствие этого свойства ферромагнетиков не зависят от того, как направлен вектор 7 — вдоль данного кристаллографического направления пли против.
Однако в некоторых веществах при определенных условиях (как, например, в упомянутых выше ча
а)
а)
б)
б)
Рие. 23-9- К вопросу о возникновении обменной (однонаправленной) анизотропии, а) Соседство ферро- и антиферромагнитной фаз; б) смещение гистерезисной петли вследствие обменной анизотропии.
Рие. 23-9- К вопросу о возникновении обменной (однонаправленной) анизотропии, а) Соседство ферро- и антиферромагнитной фаз; б) смещение гистерезисной петли вследствие обменной анизотропии.
стицах Со ——СоО) два направления одной и той же кристаллографической оси могут стать неэквивалентными в магнитном отношении. В этом случае можно говорить, что в этих веществах в данных условиях реализуется состояние односторонней анизотропии. К проявлениям односторонней анизотропии следует отнести явления слабого ферромагнетизма антпферромагнетиков и, в частности, пьезомагнптный эффект (см. гл. 22, § 11).
Односторонняя анизотропия может возникнуть и в ферромагнетиках сложного состава, в структуре которых можно выделить две слабо взаимодействующие с осталь* ными подрешетки, которые можно было бы рассматривать как антиферромагнитную подсистему. В этом случае наличие двух магнитных фаз не обязательно, и можно предполагать, что магнитные векторы ферро- и антиферромагнитной подсистемы распределены в пространстве непрерывно.
Система, обладающая односторонней анизотропией, может находиться в состояниях, когда магнитный момент антипараллелен намагничивающему полю. Естественно, что такое состояние метастабильно, оно отделено от термодинамически равновесного состояния потенциальным барьером, ширина и высота которого определяются энергией магнитной анизотропии антиферромагнитной подсистемы, а также, вообще говоря, энергией, ответственной за внутреннее поле однонаправленной анизотропии, в частности слабого ферромагнетизма.
Первоначальную теорию этого явления дали Майклджон и Бин [208, 209] и разви* ли Майклджон [213] и Кувел [214]. Наиболее общую феноменологическую теорию гетерогенных веществ с сосуществующими ферро- п антиферромагнитными фазами разработали Власов и Мицек [215], (см. также работы [216, 217]).
Предположим, что в нулевом приближении магнитную систему вещества, обладающего односторонней анизотропией, можно разбить на две магнитные подсистемы — ферромагнитную или ферримагнитную с намагниченностью 7 и антиферромагнитную, которая характеризуется векторами антиферромагнетизма I и намагниченности ш. Взаимодействие между подсистемами, рассматриваемое как возмущение, может опре* делиться как обменными силами (в металлах, возможно, дальнодействующим s — d- обмеиным взаимодействием), так и дальнодействующими магнитными силами. В наиболее общем виде энергия взаимодействия будет иметь вид разложения по степеням векторов £ I и ш, инвариантного относительно общих элементов симметрии, принадлежащих парамагнитным группам обеих подсистем. В первом приближении энергия взаимодействия в случае произвольной симметрии подсистем имеет вид
1
宮вз= 万~哈).
Ограничимся рассмотрением кубического ферро-антифферромагнетика, предполагая, что симметрия обеих подсистем одинакова. Термодинамический потенциал Ф равен сумме энергий магнитной анизотропии подсистем
Фаниз=^фМ 3 学戶т + Ка0M 3 從 〃т
и энергии системы относительно внешнего магнитного поля Я:
ФН = - /я - А [Х±Я2 -(х± - X н ) (/Я)]. /-2,
где %丄 и у” 一 компоненты тензора магнитной восприимчивости в системе координат, связанной с вектором антиферромагнетизма, и энергии взаимодействия ^вз, в которой
следует положить С订=С6订.Ниже для простоты пренебрегаем вторым членом в выражении ^вз. Поведение системы зависит от знака 及厶①м・
Критерием односторонней анизотропии будет неравенство q v 1, где величина g определяется соотношениями
q = ^АФМ ^АФМ〉①； 9=Z "р^А①м I За①М < °)-
Физический смысл условия q V 1 состоит в том, что связь вектора I с кристаллической решеткой сильнее, чем взаимодействие между ферро- и антиферромагнитной подсистемами.
Процессы вращения вектора I можно описать эффективной энергией магнитной анизотропии
Ф： =一瑞 COS 0+等 Ka COS20，
где Ku = C/(l —衿—константа односторонней анизотропии. Эффективное поле односторонней анизотропии Ни = Ки/1.
Угол 仆 отсчитывается от направления вектора %, поэтому в случае 及厶①м > & направлением легкого намагничивания будет направление типа [100], а в случае Кд①м V 0 — направление типа [111].
Доменная структура в веществах с односторонней анизотропией стабилизируется энергией ^вз, которая в случае непрерывного распределения векторов 2 и 2 ио объему уже не носит характер поверхностной энергии, а является объемной. Доменная струк- тура в таких веществах должна быть весьма устойчивой, вследствие чего возрастает роль процессов вращения в области малых Н.
Так как односторонняя анизотропия определяется магнитной структурой, то она, в общем случае, является метастабильной и под влиянием внешних воздействий (достаточно сильных магнитных полей, температуры, упругих напряжений и т. п.) может изменяться с изменением магнитной структуры. Односторонняя анизотропия зависит от магнитной группы, описывающей антиферромагнитную подсистему, в частности от направления вектора %, и может изменяться при изменении его направления.
В ферро-антиферромагнетике, обладающем односторонней анизотропией (q V 1) в полях, больших пороговых полей антиферромагнитной подсистемы, может изменяться магнитная симметрия антиферромагнитной подсистемы.
Поведение одноосного ферро-антиферромагнетика в сильных магнитных полях существенно отличается от поведения магнитно-многоосных, в частности, кубических ферро-антиферромагнетиков, где ситуация гораздо сложнее. За дальнейшими подробностями отсылаем к цитированным выше работам [215, 216].
В настоящее время известен широкий класс веществ, в которых наблюдалось явление обменной анизотропии. К нему относится, например, система Fe — FeO (Майкл- джон [210]), сплавы системы Ni — Мп [218—221а], сплавы Си — Мп и Ag — Мп [222, 222а, 223], соединения Mn!_xCrxSb [224]; сплавы Со — Мп [225], сплавы (NiFe)3Mn< [226], смешанные манганиты [227]; мелкие частицы г. ц. к. Со в матрице гекс. п. у. Со [228], различные смешанные ферриты [229—232], сплавы (Мп, Fe)3Sn [233], система Ni — NiO [234], тонкие двухслойные пленки ) [236—241] (см. также работы [243—251])
В качестве иллюстрации приведем результаты исследования упорядочивающегося- сплава Ni3Mn из работы Турчпнской и Фридман [221]. На рис. 23.10 приведены петли гистерезиса образцов этого сплава с различными степенями атомного порядка S, охлажденные до 1,3 °К в магнитном поле (пунктирные кривые) и без поля (сплошные- кривые). Из этих петель видно, что обменная анизотропия в этом сплаве максимальна в неупорядоченном сплаве и отсутствует в полностью упорядоченном.
Поверхностная магнитная анизотропия. Необходимо еще упомянуть о поверхностной анизотропии, связанной с особым состоянием атомных магнитных моментов на поверхности ферромагнитного тела по сравнению с атомами его внутренних частей (из-за изменения симметрии связей с соседями). Этот вопрос подробно исследовал Неель [167, 169] [см. книгу Кнеллера (1962)].
По Неелю эта энергия в первом приближении для кристаллов г. ц. к. симметрии для поверхностей типа (111) и (100) имеет вид
ys = Kscos2 仆， (23.38)-
где 合—угол между направлениями самопроизвольной намагниченности и внешней нормали к поверхности. Константы анизотропии Ks имеют величины от 0,1 до 1,0 зрз/с泊.Эти оценки показывают, что энергия (23.38) имеет существенное значение при расчете магнитного состояния частиц мелких ферромагнитных порошков (с диаметром не более 100 А) и в мелкодисперсных ферромагнитных фазах высококоэрцитпвных сплавов (см. ниже).
Поверхностная магнитная анизотропия играет существенную роль при наблюдении спин-волнового резонанса в тонких ферромагнитных пленках. Еще Киттель [252} предсказал возможность возбуждения однородным высокочастотным полем спиновых волн с волновым вектором 比三 0. Это обусловлено тем, что из-за поверхностной магнитной анизотропии спины на поверхности пленки, будучи в совершенно иных условиях, чем в толще материала, могут быть закреплены. Вопрос о закреплении спиновой
Рис. 23.10. Петли гистерезиса монокристаллов сплава Ni3Mn с различными степенями атомного порядка (S). Образцы охлаждались до 1,3° К в магнитном поле (пунктирные кривые) и без поля (сплошные кривые) (Турчинская и Фридман [221]).Рис. 23.10. Петли гистерезиса монокристаллов сплава Ni3Mn с различными степенями атомного порядка (S). Образцы охлаждались до 1,3° К в магнитном поле (пунктирные кривые) и без поля (сплошные кривые) (Турчинская и Фридман [221]).
Рис. 23.10. Петли гистерезиса монокристаллов сплава Ni3Mn с различными степенями атомного порядка (S). Образцы охлаждались до 1,3° К в магнитном поле (пунктирные кривые) и без поля (сплошные кривые) (Турчинская и Фридман [221]).
Рис. 23.10. Петли гистерезиса монокристаллов сплава Ni3Mn с различными степенями атомного порядка (S). Образцы охлаждались до 1,3° К в магнитном поле (пунктирные кривые) и без поля (сплошные кривые) (Турчинская и Фридман [221]).
системы рассматривался в работах Киттеля [252], Суху [253, 254] и наиболее подробно Филипповым [255] (см. также гл. 21, § 8). За подробностями отсылаем читателя к этим работам. Помимо указанной выше, по-видимому, существует еще одна физическая причина поверхностной анизотропии, связанная с иной симметрией окружения спинов на поверхности (Неель [169]), а именно образование антиферромагнитного поверхностного слоя, приводящего к односторонней поверхностной анизотропии (см. Суху [254]).
Распределение самопроизвольной намагниченности в кристалле
Общие положения. Определив основные типы взаимодействий в ферромагнитном кристалле, можно поставить вопрос о характере распределения в нем самопроизвольной намагниченности Если бы действовали одни обменные силы и ферромагнетик был бы однородным по структуре, то на первый взгляд кажется, что он должен намагнититься до насыщения, соответствующего данной температуре, в направлении, отвечающем минимальному размагничивающему фактору. Этот вопрос, однако, не столь прост, поскольку из-за анизотропии кристалла могут возникнуть периодическое (например, спиральное) изменение ориентаций векторов 13 (см. гл. 22). Такое распределение соответствовало бы минимуму энергии обмена (23.1). Однако можно представить себе энергетически более выгодное распределение Is, при котором размагничивающее поле вообще отсутствует и оказывается минимальной энергией (23.27). Это будет в том случае, если весь объем ферромагнитного образца разобьется на отдельные малые области с таким распределением ориентаций векторов Is в них, что результирующая намагниченность всего образца в целом равна нулю, т. е.
N ，也=0,(23.39)
(по образцу)
где Vi — объем i-й области.
Общим термодинамическим критерием для отыскания равновесного распределения самопроизвольной намагниченности Is в ферромагнетике (как при Н = 0, так и при Н =^= 0) является требование минимума его полного термодинамического потенциала. Последний весьма сложно зависит от внешних условий —— температуры Т, упругих напряжений и внешних электромагнитных полей (определяющих величину основных магнитных параметров Zs, К,入 и т. п.), а также от структурного состояния образца,
-его формы и размеров. Современная теория ферромагнетизма не дает возможности определить термодинамический потенциал в общем случае. Она лишь может предсказать общий характер доменной структуры равновесного квазиразмагниченного состояния. Сложность решения общей задачи частично преодолевается с помощью последовательного решения частных задач по расчету отдельных «элементов» доменной структуры (г])аничных слоев между доменами, замыкающих областей вблизи дефектов и т. п.).
Тот факт, что в естественном термодинамическом равновесном состоянии ферромагнитный образец конечных размеров при Н = 0 практически всегда лишен результирующей намагниченности, объясняется тем, что, помимо обменного взаимодействия, стремящегося намагнитить тело, существуют магнитные силы, для которых наличие результирующего момента образца термодинамически невыгодно. Дело в том, что, как правило, при отличной от нуля результирующей намагниченности в конечном образце на его наружной поверхности возникают поверхностные магнитные заряды (Div Is，0), связанные со скачком нормальной слагающей намагниченности. Эти заряды создают размагничивающее поле Нс положительной энергией (23.28). Поэтому намагниченное состояние при ЛГ = 0 оказывается неравновесным и возникает тенденция к процессу саморазмаг- ничивания ферромагнитного образца, переводящего его из состояния максимальной результирующей намагниченности Z, которой можно достичь лишь в сильном магнитном внешнем поле, в квазиразмагниченное состояние с минимумом термодинамического потенциала. В ходе этого процесса саморазмагпичивания действия обменного и магнитного взаимодействия противоположны. В результате «борьбы» этих противоположных тенденций устанавливается некоторое равновесное (компромиссное) состояние. Природа его определяется особенностями двух борющихся сил. Обменное взаимодействие оказывается более близкодействующим, чем магнитное. Именно поэтому в образце конечных размеров возникает такое равновесное пространственное распределение самопроизвольной намагниченности Is, когда во всем объеме тела, за исключением небольшой его части, практически сохраняется параллельность атомных магнитных моментов и вместе с тем удовлетворяется требование минимума магнитных взаимодействий (Div Is 公；0, div Is e; 0). Интуитивно это и предсказал в 1907 г. в гипотезе доменов Вейсс [1]. Теоретическое обоснование эта гипотеза получила в работах Дорфмана [256], Френкеля и Дорфмана [257], Блоха [258] и, наконец, в фундаментальном исследовании Ландау и Лифшица [20].
Итак, мы видим, что любые нарушения однородности ферромагнитного образца (к ним относятся как внешняя граница, так и любые внутренние дефекты — чужеродные включения, неоднородности состава, дислокации, трещинки и пустоты, границы зерен в поликристаллах, блоки мозаики в монокристаллах, неоднородности внутренних напряжений и т. п.) вызывают тенденцию к образованию местных замыканий магнитного потока внутри образца, при котором на любой «поверхности» нормальная слагающая намагниченности в идеале должна исчезать (Isn = 0). В этом случае в подавляющей части объема выполнено требование минимума энергии обмена (однородность /$), а также отсутствуют магнитные заряды (Div Is = 0, div Is = 0). Однако при возникновении локальных замкнутых магнитных потоков, неизбежно появляются границы раздела между доменами. При этом появляется положительная энергия, связанная с существованием этих границ. Поскольку опыт показывает, что, несмотря на это обстоятельство, именно такое квазиразмагниченное состояние естественно для ферромагнитного образца, то отсюда напрашивается вывод, что поверхностная энергия границ между доменами меньше, чем объемная энергия размагничивающего поля (23.27). Лишь при намагничивании образца вдоль направления с нулевым размагничивающим фактором (однородный тор, намагниченный вдоль оси) можно ожидать
отсутствия доменов. В реальных кристаллах картина усложняется из-за наличия магнитной анизотропии, структурных и химических неоднородностей.
i^Vl.i^Vl.Френкель и Дорфман [257] рассчитали размеры доменов с учетом лишь конкуренции между обменными силами и размагничивающим действием поверхности. Было установлено, что линейные размеры доменов I зависят от размеров образца L по формуле
i^Vl.
i^Vl.
(23.40)
В частности, для тел средних размеров (Л ^ 1 см) I 公；10-2 см, т. е. вполне макроскопические размеры. Последнее оправдывает «классический» термодинамический подход к решению задачи об областях самопроизвольной намагниченности.
Строгую количественную теорию ферромагнитных доменов построили Ландау и Лифшиц [20, 27, 28], которые учли влияние энергии магнитной
Рис. 23-11- Структура гплоскопарал- лельных домепов в магнитном одноосном кристалле с трехгранными призматическими замыкающими областями у поверхности образца.Рис. 23-11- Структура гплоскопарал- лельных домепов в магнитном одноосном кристалле с трехгранными призматическими замыкающими областями у поверхности образца.анизотропии. Намагниченность в доменах ориентируется вдоль осей легчайшего намагничивания. В случае однородного одноосного ферромагнитного кристалла (кобальт или любой материал, подвергнутый сильный! односторонним напряжены- § ям) домены, как правило, должны иметь § форму плоскопараллельных слоев с по- .| верхностями, параллельными оси легчай- шего намагничивания. Равновесную тол- ^ щину доменов d можно найти по формуле типа (23.40) и с коэффициентом, который определяется отношением энергии обмена
Рис. 23-11- Структура гплоскопарал- лельных домепов в магнитном одноосном кристалле с трехгранными призматическими замыкающими областями у поверхности образца.
Рис. 23-11- Структура гплоскопарал- лельных домепов в магнитном одноосном кристалле с трехгранными призматическими замыкающими областями у поверхности образца.
к энергии магнитной анизотропии (〜⑷Ka)"), Вблизи поверхности форма доменов становится такой, чтобы уменьшить эффект размагничивания (рис.
23.11) даже ценой увеличения энергии
анизотропии в поверхностных замыкающих областях, которые имеют фор
му трехгранных призм и где намагниченность направлена перпендикулярно оси легчайшего намагничивания, но параллельно поверхности образца. При плоской, но наклонной к легчайшей оси поверхности образца форма граничных замыкающих областей несколько усложняется. Таким образом, распределение самопроизвольной намагниченности? отвечающее минимуму свободной энергии, имеет характер распределения с замкнутым магнитным потоком. На рис. 23.12 приведена микрофотография, полученная с помощью так называемых полос Биттера ——Акулова (см. ниже, § 8). которая наглядно доказывает существование подобной структуры доменов для случая монокристалла Fe — Si, поверхность которого совпадает с кристаллографической плоскостью (100). Одна из осей легкого намагни
чивания совпадает с нормалью к поверхности монокристалла, перпендикулярной к плоскости рисунка, а две другие ле;кат в плоскости рисунка (одна совпадает с направлением 7s в основных доменах, а другая — с направлением Is в замыкающих областях). Если отказаться от трех- гранных областей, замыкающих магнитный поток (рис. 23.11) (в одноосных кристаллах в этих областях вектор Is совпадает с направлением труднейшего намагничивания), то на поверхности монокристалла появляются магнитные полюсы с переменным знаком: DivZ = 士 Is. Эти полюсы будут создавать магнитное поле, обладающее энергией (23.33). Отношение энергии структуры с замкнутым потоком к энергии структуры
с разомкнутым потоком будет в основном определяться отношением константы магнитной анизотропии 衣 к квадрату насыщения Ц (К определяет энергию замыкающих областей, а 公，согласно (23.28), энергию размагничивающего поля). Таким образом, в случае, например, Со отношение КН｝拄 1,
Рис. 23.12. Микрофотография полос Биттера—Акулова на поверхности монокристалла сплава Fe ——Si. Наблюдаемая доменная структура находится в полном соответствии с теоретической схемой Ландау — Лифшица, показанной на рис. 23.11 (Вилльямс, см. обзорРис. 23.12. Микрофотография полос Биттера—Акулова на поверхности монокристалла сплава Fe ——Si. Наблюдаемая доменная структура находится в полном соответствии с теоретической схемой Ландау — Лифшица, показанной на рис. 23.11 (Вилльямс, см. обзори поэтому энергия подобной структуры хотя и с замкнутым потоком больше, чем с разомкнутым. В материалах же с Я/Л<1 имеет место обратное соотношение. Более детальный; расчет Лифшица [27, 28]? показал, что по мере роста поверхностных трехгранных замыкающих областей энергетически выгодным становится их расщепление с появлением клинообразных областей (рис. 23.13) и «магнитных»- зарядов на поверхностях соприкосновения замыка- к>щих областей между собой и с основными доменами (последнее нарушает условие полного исчезновения размагничивающего поля /Г。= 0). По-
Рис. 23.12. Микрофотография полос Биттера—Акулова на поверхности монокристалла сплава Fe ——Si. Наблюдаемая доменная структура находится в полном соответствии с теоретической схемой Ландау — Лифшица, показанной на рис. 23.11 (Вилльямс, см. обзор
Рис. 23.12. Микрофотография полос Биттера—Акулова на поверхности монокристалла сплава Fe ——Si. Наблюдаемая доменная структура находится в полном соответствии с теоретической схемой Ландау — Лифшица, показанной на рис. 23.11 (Вилльямс, см. обзор
видимому, именно такая
структура реализуется в монокристаллах (см, ниже) (см. также [260]).
Проблема граничного слоя между доменами. Ландау и Лифшиц [20] определили также закон изменения ориентации намагниченности в бло-
ховской границе ), т. е. в граничном слое между доменами, эффективную толщину этого слоя 6гр и зависимость плотности поверхностной энергии Y「p этого слоя от различных магнитных параметров. А именно, для толщины получена общая формула
J32冗2「/2 ^эффд 丿J32冗2「/2 ^эффд 丿(23.41а)
J32冗2「/2 ^эффд 丿
J32冗2「/2 ^эффд 丿
где Л (или J) — параметр обмена, Кз巾巾一эффективная константа магнитной анизотропии. В случае Fe численная оценка при комнатной температуре дает для 6гр величину порядка 300 А.
Рис. 23.13. Образование «клинообразных» замыкающих областей у поверхности магнитно-одноосного монокристалла (Лифшиц「27, 28]).Рис. 23.13. Образование «клинообразных» замыкающих областей у поверхности магнитно-одноосного монокристалла (Лифшиц「27, 28]).Из (23.41а) видно, что чем менее анизотропен материал, т. е. чем меньше К吸巾，тем толще граничный слой, а значит, менее резко оформлены отдельные домены. Кроме того, как указывалось выше, по мере роста температуры Кз巾巾 сильно падает; это также приводит к тому, что граница теряет свою резкость по мере приближения к точке Кюри, где домены
Рис. 23.13. Образование «клинообразных» замыкающих областей у поверхности магнитно-одноосного монокристалла (Лифшиц「27, 28]).
Рис. 23.13. Образование «клинообразных» замыкающих областей у поверхности магнитно-одноосного монокристалла (Лифшиц「27, 28]).
вообще исчезают. Плотность свободной поверхностной энергии оказывается равной
Yе2 (屮户=2"号^广(23.416)
•Формулы (23.41а) и (23.416) можно получить из простых энергетических-оценок. Из выражения (23.2) видно, что энергия обмена соседних спинов•Формулы (23.41а) и (23.416) можно получить из простых энергетических-оценок. Из выражения (23.2) видно, что энергия обмена соседних спиновв двух соседних плоскостях кристалла, самопроизвольные намагниченности которых «повернуты» на угол ф, пропорциональна Л ф2. Если черезв двух соседних плоскостях кристалла, самопроизвольные намагниченности которых «повернуты» на угол ф, пропорциональна Л ф2. Если черезО обозначить угол между Is в атомной плоскости переходного -слоя и легчайшей осью, то ^ad'&ldx (а — величина порядка параметра решетки, ось х направлена перпендикулярно гр а- % нице). Если полный (на 180°) поворот вектора Is происходит на полной толщине слоя 6гр вдоль оси © то d^/dx 公；л/6гр.Число спинов на единицу пло-а)О обозначить угол между Is в атомной плоскости переходного -слоя и легчайшей осью, то ^ad'&ldx (а — величина порядка параметра решетки, ось х направлена перпендикулярно гр а- % нице). Если полный (на 180°) поворот вектора Is происходит на полной толщине слоя 6гр вдоль оси © то d^/dx 公；л/6гр.Число спинов на единицу пло-а)々и-34ffhntw-々и-34ffhntw-6)6)
•Формулы (23.41а) и (23.416) можно получить из простых энергетических
-оценок. Из выражения (23.2) видно, что энергия обмена соседних спинов
•Формулы (23.41а) и (23.416) можно получить из простых энергетических
-оценок. Из выражения (23.2) видно, что энергия обмена соседних спинов
в двух соседних плоскостях кристалла, самопроизвольные намагниченности которых «повернуты» на угол ф, пропорциональна Л ф2. Если через
в двух соседних плоскостях кристалла, самопроизвольные намагниченности которых «повернуты» на угол ф, пропорциональна Л ф2. Если через
О обозначить угол между Is в атомной плоскости переходного -слоя и легчайшей осью, то ^ad'&ldx (а — величина порядка параметра решетки, ось х направлена перпендикулярно гр а- % нице). Если полный (на 180°) поворот вектора Is происходит на полной толщине слоя 6гр вдоль оси © то d^/dx 公；л/6гр.
Число спинов на единицу пло-а)
О обозначить угол между Is в атомной плоскости переходного -слоя и легчайшей осью, то ^ad'&ldx (а — величина порядка параметра решетки, ось х направлена перпендикулярно гр а- % нице). Если полный (на 180°) поворот вектора Is происходит на полной толщине слоя 6гр вдоль оси © то d^/dx 公；л/6гр.
Число спинов на единицу пло-а)
々и-34ffhntw-
々и-34ffhntw-
6)
6)
Рис. 23.14. Два типа «90°-соседств» доменов в магнитно-многоосных кристаллах, а) Первый тип 90°- соседства — вращение вектора 7s в граничном слое происходит -в плоскостях, параллельных плоскости, в которой лежат векторы 2$ в соседних доменах; б) второй тип 90°-соседства — вращение вектора в граничном слое происходит по поверхности конуса с образующей, составляющей угол 45° с направлениями векторов Т$ соседних доменов.Рис. 23.14. Два типа «90°-соседств» доменов в магнитно-многоосных кристаллах, а) Первый тип 90°- соседства — вращение вектора 7s в граничном слое происходит -в плоскостях, параллельных плоскости, в которой лежат векторы 2$ в соседних доменах; б) второй тип 90°-соседства — вращение вектора в граничном слое происходит по поверхности конуса с образующей, составляющей угол 45° с направлениями векторов Т$ соседних доменов.полная плотность энергии 7гр равнаполная плотность энергии 7гр равнаY「p = Yo6 + Тан изY「p = Yo6 + Тан из肃+陇Р,肃+陇Р,(23.42)(23.42)
Рис. 23.14. Два типа «90°-соседств» доменов в магнитно-многоосных кристаллах, а) Первый тип 90°- соседства — вращение вектора 7s в граничном слое происходит -в плоскостях, параллельных плоскости, в которой лежат векторы 2$ в соседних доменах; б) второй тип 90°-соседства — вращение вектора в граничном слое происходит по поверхности конуса с образующей, составляющей угол 45° с направлениями векторов Т$ соседних доменов.
Рис. 23.14. Два типа «90°-соседств» доменов в магнитно-многоосных кристаллах, а) Первый тип 90°- соседства — вращение вектора 7s в граничном слое происходит -в плоскостях, параллельных плоскости, в которой лежат векторы 2$ в соседних доменах; б) второй тип 90°-соседства — вращение вектора в граничном слое происходит по поверхности конуса с образующей, составляющей угол 45° с направлениями векторов Т$ соседних доменов.
полная плотность энергии 7гр равна
полная плотность энергии 7гр равна
Y「p = Yo6 + Тан из
Y「p = Yo6 + Тан из
肃+陇Р,
肃+陇Р,
(23.42)
(23.42)
щади граничного слоя, участвующих в нарушении однородности намагниченности, пропорционально 6гр, а энергия 〜§2, приходящаяся на каждую пару спинов, будет обратно пропорциональна 6гр. Поэтому
полная положительня энергия
обмена на единицу поверхности границы (в которой находится 仪一？ штук пар) пропорциональна 4/а6「р, т. е в 6гр/а раз меньше, чем при резком повороте направления Is на длине а на 180°, когда эта энергия была бы： пропорциональна Л/а2. Отсюда видно, что обменные силы стремятся -сделать граничный слой между доменами по возможности более плавным, увеличивая его толщину 6гр. Однако последнее невыгодно для энергии магнитной анизотропии, которая растет пропорционально толщине слоя •6Гр, ибо векторы Is в слое направлены не по легчайшей оси. Таким образом,
где а и р—постоянные, не зависящие от 6гр и соответственно пропорциональные параметру обмена А и эффективной константе анизотропии ^Эфф. Из условия минимума выражения (23.42)
^Vrp — 々IRC
-легко находим оценочные формулы (23.41а) и (23.416).
Из формулы (23.416) видно, что чем менее анизотропен материал, тем меньше величина 丫「卩.Численные оценки показывают, что, например,
® случае ге при комнатной температуре (К? Q 4,6 «105 эрг/сж3, Л
^ 0,3 ЛО"13 эра, S = 1, 〃 = 2,9 «Ю"8 «) величина плотности энергии — порядка 4,0 эрг/см2 и 6гр 0,5 «Ю"5 см. Ниже мы увидим, что характер и величина неоднородностей энергии 7гр в материале в основном и определяет процессы намагничивания в области слабых магнитных полей.
Расчет Ландау и Лифшица [20] обобщили Широбоков [259] и Холоденко [261], которые учли присутствие внешнего магнитного поля (см. также Неель [162]). Последняя задача была рассмотрена также
в работах Дёринга [262], Гемперле и Зелени [263] и Мицека [264]. Обобщение этого расчета на случай кристалла с несколькими осями легчайшего намагничивания произвели Широбоков [259], Лифшиц [27, 28], Неель [265],
Рис, 23.15. Двт основных типа граничных слоев между доменами в тонких пленках： а) блоховский, б) неелевский. бгр ——толщина слоя, D ——толщина пленки.Рис, 23.15. Двт основных типа граничных слоев между доменами в тонких пленках： а) блоховский, б) неелевский. бгр ——толщина слоя, D ——толщина пленки.
Рис, 23.15. Двт основных типа граничных слоев между доменами в тонких пленках： а) блоховский, б) неелевский. бгр ——толщина слоя, D ——толщина пленки.
Рис, 23.15. Двт основных типа граничных слоев между доменами в тонких пленках： а) блоховский, б) неелевский. бгр ——толщина слоя, D ——толщина пленки.
Рис. 23.16. Порошковые осадки типа «цепочки» (верхняя часть фотографии) и типа «тире» (нижняя часть) (Мун [291]).Рис. 23.16. Порошковые осадки типа «цепочки» (верхняя часть фотографии) и типа «тире» (нижняя часть) (Мун [291]).
Рис. 23.16. Порошковые осадки типа «цепочки» (верхняя часть фотографии) и типа «тире» (нижняя часть) (Мун [291]).
Рис. 23.16. Порошковые осадки типа «цепочки» (верхняя часть фотографии) и типа «тире» (нижняя часть) (Мун [291]).
Вонсовский [266] [см. также монографию Вонсовского и Шура (1948)], Киттель [24] и особенно Лилли [267] (см. также монографию Кнеллера (1962) и обзор Дёринга [41] и Кронмюллера [268]). В этом случае при некоторых условиях возникает возможность не только существования антипараллельпых или 180°-соседств между доменами (рис. 23.12), но и два типа соседств со взаимно перпендикулярной ориентацией намагниченности (90°-соседства) (рис. 23.14). Как указал Лифшиц [27, 28], здесь необходимо учитывать не только эн ер гию магнитной анизотропии, ио и магнитоупругую энергию, так как из-за явления магнитострикции равновесное распределение самопроизвольной намагниченности суще- ственно зависит от упругих напряжений.
Более сложны соседства в случае кристаллов Ni, где оси легкого намагничивания совпадают с тригональными осями типа [111] и возможны три типа соседств с углами между Zsb соседних доменах: 180°, 109,47° и 70,53°. Как было уже ясно из работы Ландау и Лифшица [20] и как это было установлено Неелем [265] и Вонсовским [266], характер изменения ориентации Is в граничном слое различных типов должен удовлетворять условию div 1\ = 0 (или условию Div Zs = 0 или nlsi = nZs2, где п — единичный вектор нормали к плоской границе, a Zsi и Is2 —— самопроизвольные намагниченности соседних доменов). Однако возможны случаи, когда это условие нарушается, например в тонких ферромагнитных пленках (см. [284—287]), и, тогда мы имеем дело не с блоховским граничным слоем, а с неелевским слоем, в котором вращение вектора Is происходит не в плоскостях, параллельных плоскости граничного слоя, а в перпендикулярной ему плоскости (рис. 23.15). При такой структуре слоя на участках поверхности кристалла, где выходят слои, магнитные заряды не образуются (ср. рис. 23.15, а и 23.15, 6; см. также работы [360—303]).
Исследования порошковых осадков на тонких пленках (толщиной 100—300 А) проводили Вильямс и Шервуд [288], Гар до и Унатогава [289],.
Рис. 23.17. Схема границ тина «цепочки» (а) и типа «тире» (б). Стрелки показывают направление намагниченности, а плюсы и минусы — знаки магнитных полюсов. Эта схема поясняет происхождение порошковых осадков, показанных на фотографиях рис. 23.16 (Метфессель и др. [293]).Рис. 23.17. Схема границ тина «цепочки» (а) и типа «тире» (б). Стрелки показывают направление намагниченности, а плюсы и минусы — знаки магнитных полюсов. Эта схема поясняет происхождение порошковых осадков, показанных на фотографиях рис. 23.16 (Метфессель и др. [293]).Миддельхук [290]. На пленках с толщинами от 300 А до 1000 А наблюдались (см., например, работу Муна [2911) весьма своеобразные типы граничных слоев между доменами, изображенные на рис. 23.16,— типа цепочки («chain») и типа тире («cross-line»). Хубер и др. [292] и Метфессель и др. [293] предложили специальную модель для объяснения этих типов осадков, которая изображена в виде схем на рис. 23.17 ).
Рис. 23.17. Схема границ тина «цепочки» (а) и типа «тире» (б). Стрелки показывают направление намагниченности, а плюсы и минусы — знаки магнитных полюсов. Эта схема поясняет происхождение порошковых осадков, показанных на фотографиях рис. 23.16 (Метфессель и др. [293]).
Рис. 23.17. Схема границ тина «цепочки» (а) и типа «тире» (б). Стрелки показывают направление намагниченности, а плюсы и минусы — знаки магнитных полюсов. Эта схема поясняет происхождение порошковых осадков, показанных на фотографиях рис. 23.16 (Метфессель и др. [293]).
Квантовомеханическая трактовка проблемы граничного слоя рас- смотрена в работах Херринга [294], Огучи [295] и др. [296—299].
В реальных кристаллах из-за неизбежных структурных неоднородностей картина, конечно, значительно усложняется. Но во всяком случае можно сказать, что граница между доменами располагается так, чтобы вызванное ею увеличение свободной энергии ферромагнитного кристалла было минимальным. Поэтому в общем случае граница не обязательно будет плоской. В случае
антипар аллельных соседств границы располагаются, как правило, по местам с минимумом остаточных внутренних напряжений, где величина К瞰巾 ~ аК + Р九о минимальна, а следовательно, по (23.416) минимальна и энергия угр. В случае же 90°-
соседств граница располагается в местах изменения знака внутренних напряжений (так как именно из-за изменения знака о оси легчайшего намагничивания соседних областей различны ).
Микромагнетизм (общая постановка проблемы). В работе Ландау и Лифшица [20] была впервые сформулирована общая программа теории ферромагнитных доменов и проведен расчет для частного случая одномерной задачи с простейшими граничными условиями. Уравнения этой задачи в наиболее общей постановке получил Броун [361, 362] (см. также его книги [156, 360], а также обзоры [365, 366] и обзоры Штрикмана и Тревеса [363] и Деринга [41])； в развитой им теории микромагнетизма (micromagnetics). В трактовке Броуна намагниченность определяется выражением Z =厶& (厶一постоянная величина вектора _Г, а его направление определяется вектором р — &%%%+ 十 ％% + 沙z%z, где “, %, lz 一 единичные векторы вдоль осей х, у и z, а vx 俨)， Ру (г) и р2 (”)——направляющие косинусы вектора v (относительно этих осей) изменяется непрерывно от точки к точке (в связи с этой задачей см. также [260]).
В статической задаче микромагнетизма домены вначале не должны постулироваться. Функция V (%, у, z) ищется как решение вариационной задачи путем минимизации суммарной потенциальной энергии системы W, равной сумме:
обменной энергии
где С—параметр обмена;
尸ан из =尸ан из =①a (%0)肌,①a (%0)肌,энергии эффективной магнитной анизотропии
尸ан из =
尸ан из =
①a (%0)肌,
①a (%0)肌,
где функция о)а обладает симметрией кристалла;
собственной магнитной энергии (размагничивающих полей)
尸разм=2"，/$&®о М= §冗 f НЗ dt,
где Но определяется из уравнения магнитостатики div Н^ ==—4л div (-Tsv);
энергии взаимодействия с внешними полями 尸Н= — J IsvH dx.
Кроме того, необходимо еще добавить граничные условия (в общем случае следует учесть также поверхностную анизотропию). При обобщении задачи на динамический ■случай [364] необходимо также еще учесть инерционный член (кинетическую энергию) та диссипативные члены (затухание, релаксация границ и т. п.).
Вариационная процедура приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (см. [361, 367, 156, 360, 41]), которые в векторной записи имеют вид
« [2C^V-^-^Is(H + H^=0,(23.43)
и к граничным условиям
["券]=°，(23.44)
где
dv + dvx % 十 1^7 У 十 dvz 2, а д/дН означает дифференцирование вдоль внешней нормали к поверхности образца. Поскольку уравнения Броуна (23.43) нелинейны, то их можно проинтегрировать лишь численно, либо если ставить задачу найти аналитическое решение, следует применить какую-нибудь процедуру линеаризации. Аналитическое решение можно получить также в случае идеального эллипсоида в однородном внешнем поле (Броун [367]), бесконечного кругового цилиндра (Аарони и Штрикман [368], Аарони [369], Штрикман и Тревес [370]). Эти задачи представляют особый интерес при расчете магнитного состояния малых ферромагнитных частиц, к рассмотрению которых мы и переходим.
§ 5. Малые (однодоменные) ферромагнитные частицы )
В связи с проблемой доменов получила большое развитие и проблема магнитных свойств малых ферромагнитных частиц и тонких пленок. Для того чтобы ясно представить себе значение этого вопроса, нужно уточнить, что мы должны понимать под малыми ферромагнитными частицами и тонкими пленками. Массивные ферромагнитные образцы, с которыми обычно имеют делона практике, содержат очень большое число доменов ). Если уменьшать размеры образца, например, дробя его в мелкий порошок, то размеры его частиц постепенно могут стать соизмеримыми с равновесными размерами домена. Основной причиной этого является то, что при уменьшении размеров частицы удельный вес поверхностной энергии граничных слоев между доменами возрастает, и она становится сравнимой или даже большей, чем объемная энергия собственного магнитного поля образца, лишенного структуры областей с замкнутым потоком. Таким образом, в результате дробления материала наступает такой момент, когда весь объем образца занимает один домен, а это означает, что возникает однодоменное состояние, т. е. частица превращается в миниатюрный постоянный магнит. На возможность этого явления впервые было указано в работе Френкеля и Дорфмана [257]. В настоящее время изучение этого явления приобрело актуальный интерес в связи с проблемой высококоэрцитивных сплавов (см. ниже).
zzРис. 23.18. Один из возможных типов распределения самопроизвольной намагниченности в малой «однодоменной» ферромагнитной частице эллипсоидальной формы. На схеме а) показано вращение компоненты 工丄 в плоскостях, перпендикулярных оси z. ОА — направление легчайшей оси (О',(р‘). На схеме б) то же для вектора Is и его компонент Zz и 丄丄(Кондорский [376]).Рис. 23.18. Один из возможных типов распределения самопроизвольной намагниченности в малой «однодоменной» ферромагнитной частице эллипсоидальной формы. На схеме а) показано вращение компоненты 工丄 в плоскостях, перпендикулярных оси z. ОА — направление легчайшей оси (О',(р‘). На схеме б) то же для вектора Is и его компонент Zz и 丄丄(Кондорский [376]).В работе Френкеля и Дорфмана энергия граничного слоя была переоценена почти на два порядка величины, что, естественно, завысило и величину критического размера частиц, ниже которого наступает однодоменное состояние. Более точные расчеты были проделаны Киттелем [161], Неелем [372, 373], Стонером и Вольфартом [374, 158]. Строгое решение этой проблемы дано в работах Кондорского [375, 376], Броуна [367], а также Фрея и др. [377]. Кондорский установил «критерий абсолютной однодоменности» ) и дал теорию магнитных свойств мелкодисперсных ферромагнетиков. Он указал, что в предшествующих работах при расчете критических размеров ферромагнитных частиц не рассматривались состояния, соответствующие минимуму энергии, и не определялось влияние магнитного поля на распределение намагниченности внутрй частицы, из-за чего не учитывалась возможность нарушения «однодоменности» в процессе перемагцичива- ния.
z
z
Рис. 23.18. Один из возможных типов распределения самопроизвольной намагниченности в малой «однодоменной» ферромагнитной частице эллипсоидальной формы. На схеме а) показано вращение компоненты 工丄 в плоскостях, перпендикулярных оси z. ОА — направление легчайшей оси (О',(р‘). На схеме б) то же для вектора Is и его компонент Zz и 丄丄(Кондорский [376]).
Рис. 23.18. Один из возможных типов распределения самопроизвольной намагниченности в малой «однодоменной» ферромагнитной частице эллипсоидальной формы. На схеме а) показано вращение компоненты 工丄 в плоскостях, перпендикулярных оси z. ОА — направление легчайшей оси (О',(р‘). На схеме б) то же для вектора Is и его компонент Zz и 丄丄(Кондорский [376]).
Условие однородности нама гниченн о сти в частице сводится к требованию, чтобы приращение свободной энергии AF при любом нарушении однородности оказывалось положительным
、F = AF об + А%низ+
+ АЬразм +、F0.
Здесь А歹об, Аланиз, ^Рразм и NFh — соответственно приращения обменной энергии, энергии магнитной анизотропии, энергии собственного
поля магнитных зарядов частицы и энергии относительно внешнего магнитного поля, возникающие при нарушении распределения самопроизвольной намагниченности в частице с замкнутым магнитным полем. Например, для частиц в форме вытянутых цилиндров или эллипсоидов вращения, согласно Кондорскому, осуществляется такое распределение намагниченности, при котором слагающая /2 вдоль большой оси образца z остается однородной, а поперечная слагающая /丄 вращается в плоскости, перпендикулярной оси z (рис. 23.18). (Возможны, конечно, и иные способы распределения намагниченности.) В плоскости, проходящей через ось z (рис. 28.18, б), направление Js определяется постоянным углом -&, который образует Is с осью z, а само положение?этой плоскости определяется азимутом ср, отсчитываемым от оси х, который является функцией только z и меняется в пределах от ——(р0 до +(р0 ). .
Расчет критических размеров частицы, при котором она становится абсолютно «о дно доменной», заключается в определении компонент вектора намагниченности /х (/, у, z), Zy (^, у, z), /z (力,У, z), соответствующих минимуму полной свободной энергии F частицы.
Задача определения распределения намагниченности, удовлетворяющего минимуму F, решается при условии постоянства величины самопроизвольной намагниченности 7s (исключается парапроцесс), постоянства константы магнитной анизотропии К и параметра обменной энергии /. Если задачу о распределении I (力，弘 z) удастся решить, то следует попытаться также найти критический размер частицы.
Пусть частица имеет форму эллипсоида с большой полуосью L и малой полуосью R; пусть ось L совпадает с единственной осью легкого намагничивания (случай одноосного кристалла) и вдоль нее направлено внешнее поле Н. Тогда, по Кондорскому, частица будет абсолютно однодомеп- ной, если
…黑’ (23.45)
где Nr ——размагничивающий фактор вдоль малой оси частицы, а。—— параметр решетки, с = 1/2; 1, 2 соответственно для п. к., о. ц. к и г. ц. к. решетки.
Следует различать случай слабой и сильной анизотропии. В первом случае ширина граничного слоя 6гр, согласно (23.41а), велика и может значительно превосходить критические размеры частицы (6гр》7?о). Расчеты Броуна [367], Фрея и др. [377] приводят к формуле, подобной (23.45):
% = %/託. (2346)
Постоянная с меняется от 2,60 (для цилиндра с Nr — 2л) до 2,95 (для сферы с Nr = 4л/3). Например, в случае сферической частицы Fe (Л
0,8 -Ю"6 эрг!см, Is — 1 700 гс) имеем Ro — 0,78 *10-6 см, а 3「р = = 5・10~б CMt в случае больших энергий анизотропии имеем обратное неравенство: &》З^р, и тогда расчет дает
(23.47)
и & ^и & ^мелкихмелкихНапример, в случае MnBi имеем угр ^ 12 зре]с諸,Is = 600 гс 2,5 -Ю"5 см, в то время как 6гр ^ 10"6 см, т. е. 7?0》也俨
и & ^
и & ^
мелких
мелких
Опытное доказательство однородности намагниченности в
ферромагнитных порошинках дали впервые Антик и Кубышкина [378] в связи с изучением ферромагнитных амальгам ртути. Хауль и Шоон [379], Бейшер и Винкель [380], Винкель и Хауль [381] обнаружили однородности намагниченности в аэрозолях 6 = Fe2O3 и Ni при средних размерах порядка 100——200 А, что хорошо согласуется с теоретическими оценками. Элмор [382] и Хипс [383] обнаружили подобное явление на ферромагнитных коллоидах. Неель [384] исследовал вопрос о влиянии тепловых флуктуаций на намагниченность очень мелких ферромагнитных частиц и показал, что устойчивость намагниченности обеспечивается при размерах частиц не меньше чем 50 А.
Киттель и др. [385] произвели весьма наглядный опыт, который показывает, что магнитные свойства тонких ферромагнитных порошков определяются свойствами одного домена. Можно рассчитать магнитные поля HS1 требуемые для насыщения ферромагнитного образца, состоящего из суспензии магнитных частиц, вкрапленных в немагнитную матрицу (когда степень растворения велика и магнитным взаимодействием между частицами можно пренебречь). Киттель установил, что в случае однодоменных частиц значение поля Hs будет значительно меньше, чем в случае много- доменных частиц. Наблюдения на никелевом порошке (размеры частиц порядка 200 土 50 А) показали, что для однодоменных частиц Нs ^ ^ 550 土 50 а, а для многодоменных Нs ^ 2100 ± 100 а. Теория дает соот-
ветственно Нs = 2КИs ^ 150 а (при слипании однодомеиных частиц это значение может быть заниженным) и Нs = 4北/$/3 ^ 2100 э.
Может возникнуть вопрос о том, что произойдет со свойствами малых ферромагнитных частиц, если мы будем продолжать уменьшать размеры частиц значительно ниже критических размеров, определяемых формулой типа (23.46) или (23.47). Как показал Вонсовский [386] (см. также Вон- совский (1953)), в случае металлов или сплавов необходимо считаться с квантовым характером кооперативного явления ферромагнетизма. Если линейные размеры ферромагнитного образца будут равны некоторой величине 60, то, согласно соотношению неопределенностей квантовой механики, импульс р электрона (который свободно распространяется в этом объеме) обладает неопределенностью, определяемой из соотношений неопределенности Гейзенберга:
Ар^ 告.(23.48)
Тогда энергия Де0 электрона, обусловленная тем, что электрон как бы «чувствует» границы того объема, в который он заключен, станет равной
曲。^ 嚼(2349)
Если в формулу (23.49) подставить 方2 ^ 1,2-10"54, т^ 9,1 • 10~28, то получим
Ае。^ ・(23.50)
Приравнивая эту «нулевую энергию» (23.50) энергии обмена Л ^ 任❷， которая является энергией магнитного упорядочения, можно легко определить критический линейный размер 8。ферромагнитного образца, при котором в силу разупорядочивающего действия нулевой энергии (аналогичного действию теплового движения) ферромагнетизм исчезает при всех Температурах. Из этого сравнения мы видим, что для обычных ферромагнетиков с высокой точкой Кюри (порядка 500——1000° К) эти критические размеры составляют
6。« 10А,(23.51)
т. е. порядка нескольких межатомных расстояний. Упомянутые выше опыты с аэрозолями, а также наблюдения Кёнига [387], который с помощью эффекта Фарадея показал, что ферромагнетизм в железе исчезает, когда размеры частиц пр о св ечив аемо й пленки не превышают 10——12 А, подтверждают вышеприведенную теоретическую оценку. Более подробно с теорией магнитной структуры мелких частиц можно познакомиться в обзорах Пейна [388], Штрикмана и Тревеса [363], Кнеллера [371].
Шур и его сотрудники *) методом порошковых фигур изучили доменную структуру малых частиц сплава Мп —— Bi и обнаружили, что переход из многодоменного состояния (в сравнительно крупных частицах с диаметром 100 А) в однодоменное состояние (в очень мелких частицах W 50 А) происходит через состояние с переходной магнитной структурой, которая наблюдается в частицах с размерами несколько больше критических. В состоянии с переходной магнитной структурой в пределах частицы есть только один основной домен и вблизи поверхности сохраняются лишь замыкающие области (рис. 23.19).
Весьма интересен вопрос о поведении отдельной однодоменной частицы, а также их совокупностей во внешнем магнитном поле. Нет оснований считать, что однодоменность не может быть нарушена в присутствии внешнего поля. Если же такого нарушения нет, то перемагничивание одно-
Рис. 23.19. Связь диаметра частиц сплава Мп — Bi с коэрцитивной силой и схемы доменных структур, А — многодоменная структура, Б — многодоменная без поверхностных замыкающих областей, В — переходная структура, Г — однодоменное состояние (Шур [389]) ♦Рис. 23.19. Связь диаметра частиц сплава Мп — Bi с коэрцитивной силой и схемы доменных структур, А — многодоменная структура, Б — многодоменная без поверхностных замыкающих областей, В — переходная структура, Г — однодоменное состояние (Шур [389]) ♦ность становится неоднородной,ность становится неоднородной,
Рис. 23.19. Связь диаметра частиц сплава Мп — Bi с коэрцитивной силой и схемы доменных структур, А — многодоменная структура, Б — многодоменная без поверхностных замыкающих областей, В — переходная структура, Г — однодоменное состояние (Шур [389]) ♦
Рис. 23.19. Связь диаметра частиц сплава Мп — Bi с коэрцитивной силой и схемы доменных структур, А — многодоменная структура, Б — многодоменная без поверхностных замыкающих областей, В — переходная структура, Г — однодоменное состояние (Шур [389]) ♦
ность становится неоднородной,
ность становится неоднородной,
доменной частицы происходит путем только одного процесса вращения ) (подробнее см. ниже § 11 и 13). В общем случае процесс перемагничивания будет определяться анизотропией формы частиц, кристаллографической и магнитной анизотропией (по этому вопросу см. работы [409——414]).
В случае совокупности однодоменных частиц, рассматривая процесс
перемагничивания, весьма важно учитывать их магнитное взаимодействие.
Этот учет представляет собой очень сложную задачу. Расчеты обычно проводятся для упрощенных моделей (см. работы [373, 24, 369, 412—416]).
Влияние межчастично го взаимодействия учитывается введением коэффициента упаковки, определяемого средним расстоянием между центрами частиц и их средними размерами и формой. Следует иметь в виду, что взаимодействие в порошках однодоменных частиц может также изменить и условия для их критических размеров (23.45). На это впервые указал Ковдорский [376] (см. также Аарони [369J и Уэрринг [418]). Опытное доказательство этого факта дано в работе Морриша и Уатта [417]).
При рассмотрении процесса вращения в однодоменной частице мы предполагали выше, что ее намагниченность остается однородной и после начала этого процесса во внешнем поле. Однако, как это следует из работ Ковдорского [375, 376], а также Броуна, Морриша и др. [159, 366, 367, 377, 369, 371], при некотором поле, которое иногда называют полем зарождения (nucleation-fieId), намагничен- а вращение некогерентным. Однако пока
еще нет достаточно убедительного и непосредственного сравнения теории с опытом. Дело в том что все теоретические расчеты проводятся для тел правильной формы (эллипсоид, цилиндр и т. п.), а опыты ведутся на частицах неправильной формы, например на «усах» и т. п. (см. работу Люборского и Морелока [419]).
Джекобс и Бин [212], Джекобс и Люборский [4201 указали, что неко
герентного вращения можно ожидать также в системе связанных в цепочки однодоменных частиц. Каждая из частиц намагничена однородно, а между частицами действуют дипольные магнитные силы, что и приводит к неоднородному вращению по цепочке в целом. На рис. 23.20 показаны различные типы процессов перемагничивания в отдельных частицах цилиндрической формы и их цепочек.
Достаточно убедительным опытным доказательством существования однодоменного состояния в ферромагнитных порошках может служить, например, наблюдаемая зависимость коэрцитивной силы Нс от средних размеров частиц порошка ). На рис. 23.21 приведены данные [419] для этой зависимости для порошков Fe, Со, Мп — Bi и некоторых ферритов
(см. также рис. 23.19). Вначале с уменьшением средних размеров частиц порошка Нс начинает возрастать, достигает максимума (при размерах 扭 100 А), а затем падает, стремясь к нулю в области суперпарамагнитного состояния (см. ниже § 6). Заметим, что наблюдаемый максимум Нс заметно ниже предсказываемого теорией. Это расхождение, по-видимому,
。丿。丿Рис. 23・20. Различные типы процессов перемагничивания в однодоменных частицах (а) однородное вращение, б) изгибание, в) завихрение) и в их цепочках (г) параллельное, 0) веерообразное вращение).Рис. 23・20. Различные типы процессов перемагничивания в однодоменных частицах (а) однородное вращение, б) изгибание, в) завихрение) и в их цепочках (г) параллельное, 0) веерообразное вращение).
。丿
。丿
Рис. 23・20. Различные типы процессов перемагничивания в однодоменных частицах (а) однородное вращение, б) изгибание, в) завихрение) и в их цепочках (г) параллельное, 0) веерообразное вращение).
Рис. 23・20. Различные типы процессов перемагничивания в однодоменных частицах (а) однородное вращение, б) изгибание, в) завихрение) и в их цепочках (г) параллельное, 0) веерообразное вращение).
связано с влиянием взаимодействия между частицами, а также с некогерентными процессами перемагничивания, обусловленными неоднородностью намагниченности частиц. Это же расхождение можно, наоборот,
Рис. 23.21. ров частицРис. 23.21. ров частицЗависимость коэрцитивной силы Нс от средних разме- различных ферромагнитных порошков (в логарифмическом масштабе) (Люборский и Морелок [4191).Зависимость коэрцитивной силы Нс от средних разме- различных ферромагнитных порошков (в логарифмическом масштабе) (Люборский и Морелок [4191).二 Dqns BD-nlun-eox二 Dqns BD-nlun-eox
Рис. 23.21. ров частиц
Рис. 23.21. ров частиц
Зависимость коэрцитивной силы Нс от средних разме- различных ферромагнитных порошков (в логарифмическом масштабе) (Люборский и Морелок [4191).
Зависимость коэрцитивной силы Нс от средних разме- различных ферромагнитных порошков (в логарифмическом масштабе) (Люборский и Морелок [4191).
二 Dqns BD-nlun-eox
二 Dqns BD-nlun-eox
рассматривать как косвенное доказательство существования некогерентных процессов перемагничивания в ферромагнитных мелких частицах. Укажем еще некоторые работы по однодоменным частицам^ [433—455].
Суперпарамагнетизм
Мелкие ферромагнитные частицы. При уменьшении размеров однодоменных частиц и при сохранении в них самопроизвольной намагниченности (если температура остается ниже точки Кюри) начинает расти вероятность тепловых флуктуаций в напрявлениях магнитного момента М частицы； на этот тип броуновского вращения момента впервые указал Неель [384], а для состояния таких частиц Бин [426] ввел термин супер- парамагнетизм. Момент М стремится ориентироваться вдоль направления легчайшего намагничивания, определяемого суммарной магнитной анизотропией частицы. Для поворота вектора М из этого направления необходимо преодолеть энергетический барьер величиной K^^V, где КЭфф —— константа суммарной анизотропии, а V — объем частицы.
Энергия одноосной однородно намагниченной частицы равна
宮=РКэ巾巾 sin2 ф — VMH cos (О —屮)，
где 屮 и 令一углы между осью легчайшего намагничивания и соответствующими векторами М и Н. В полях, меньших критического: Hk = 2KB①①『I§ существуют две равновесные ориентации вектора М в частице: с ср】=О и ф2 — л. Оба эти состояния разделяет энергетический барьер с ёмакс- Вероятность перехода из состояния с cpi в состояние с ср2 дается формулой (см. работу Броуна [456])
侬 12 = /12 exp [ — (ёМакс —宮 1)/任А ,
521 =%1 exp [-(富мане 一卷2)/任图 "
Здесь ftj (Z, / — 1, 2) — слабо зависящий от Т частотный фактор, который в первом приближении равен частоте прецессии магнитного момента частицы в эффективном внешнем поле
fij ^ 费 Нэ巾ф = /о，
где у/2л = 2,8-10s сек-1 э^1 (при g=2,00). Отсюда для времени релаксации т0 находим
T0 =(52+"21尸・
Для того чтобы частица вела себя как суперпарамагнитная, необходимо, чтобы отношение времени, необходимого для наблюдения У, ко времени релаксации удовлетворяло условию ^7т0 > 1. Из вышеприведенных формул этому условию можно придать форму;
VW%)佚好
Отсюда видно, что если частица при данном объеме 7, температуре Т и времени У (или частоте измерительного поля 2л/^) находится в суперпарамагнитном состоянии, то при другой измерительной частоте (с меньшим %') она может вести себя как обычная однодоменная частица с моментом, не испытавшим термических флуктуаций ориентаций. Поэтому можно ввести критический объем для супер пар амагнитно го состояния
2比Е? In (2Г/0)
(см. Шуэле и др. [457]).
Тепловые флуктуации направлений момента М становятся весьма вероятными, когда средняя тепловая энергия kgT делается сравнимой или большей энергии анизотропии K^^V (к^Г》K^^V). В типичных ферро- или ферримагнитных веществах 冗①ф ^ Ю7 —103 3Pde启,поэтому при Т ^ 100° К (任 ^ 10-16 эрг/град), когда к^Т 10~14 ”？，тепловые флуктуации становятся заметными в частицах, объем которых меньше чем 10~21—10~17 еж3 или линейные размеры меньше чем 10—100 А. При этих условиях совокупности таких частиц ведут себя по отношению к воздействию внешнего магнитного поля Н и температуры подобно парамагнитному газу молекул с той лишь разницей, что в газе в результате тепловых флуктуаций (столкновений) изменяют ориентацию сами молекулы вместе со своими магнитными моментами, а однодоменпые частицы остаются неподвижными, меняется лишь ориентация их магнитного момента М под действием тепловых флуктуаций. Несмотря на это различие, качественно эффект оказывается в обоих случаях одинаковым. Это и дало Бину [426] основание ввести особый термин суперпарамагнетизм для поведения систем однодоменных частиц в поле (при выполнении условия к^Т 扭
》ЛГэфф7) ). В суперпарамагнетиках элементарными носителями магнетизма являются не отдельные молекулы, а их совокупности — макрочастицы, содержащие до 103—10б атомов ). Зависимость намагниченности суперпарамагнетика I от температуры описывается формулой Ланжевеиа (см. гл. 9) (при условии K^^V《к^Т)
7=%M〔cth (普)一品]' (23-52)
где п — число суперпарамагнитных частиц в единице объема. Из (23.52) можно получить две приближенные формулы
7 пМ^Н7 пМ^НI d пМ (1I d пМ (1м1Г)м1Г)/ мн/ мн》4》4(23.53)(23.54)(23.53)(23.54)
7 пМ^Н
7 пМ^Н
I d пМ (1
I d пМ (1
м1Г)
м1Г)
/ мн
/ мн
》4
》4
(23.53)
(23.54)
(23.53)
(23.54)
Из (23.52) — (23.54) следует, что ИМ однозначная функция MHIT. Если принять, что объем суперпарамагнитных частиц V практически не зависит от температуры Т, и поскольку магнитный момент частицы М зависит от Т через самопроизвольную намагниченность Is (Т) вещества частиц: М (Т) — VIs (Т), то для температурной зависимости намагниченности суперпарамагнетика имеем, например, из (23.53)
G惠笨h.G惠笨h.(23.55)(23.55)
G惠笨h.
G惠笨h.
(23.55)
(23.55)
Из-за больших значений М в суперпарамагнетике весь ход функции (23.52) можно найти в легко достижимых полях (^103 э) и не при очень низких температурах (〜50—200° К). Из измеренного начального наклона кривой (23.52), равного М/ЗА*е7, определяют М, а следовательно, и средний размер частиц. Можно также экспериментально найти времена релаксации результирующего магнитного момента системы.
Типичными примерами систем с супермагнетизмом являются малые частицы кобальта, выделяющиеся при распаде твердого раствора Си — Со (〜2ат.%Со) (см. Беккер [461]), мелкие выделения железа в р-латуни (с примесью 0,1 ат. % Fe) (см. Берковитц и Шуэле [462]), суспензия тонких частиц Fe в ртути (Бин и Джекобс [463]) и др. Более подробные сведения можно почерпнуть из обзоров Бина и Ливингстона [464], Джекобса и Бина [212] и в особенности Кнеллера [371], где имеется большая библиография (см. также работы [465—472]). В работах [473—477] для исследования суперпарамагнетизма использовано измерение эффекта Мессбауэра.
Мелкие антиферромагнитные частицы. Неель [478—480] показал, что очень мелкие частицы антиферромагнетиков (〜50 А) также обладают особыми магнитными свойствами, похожими на суперпарамагнетизм, поскольку в них происходит нарушение полной компенсации моментов магнитных подрешеток и они ведут себя при этом как ферримагнитные частицы в состоянии суперпарамагнетизма. Кроме того, Неель указал еще на одно явление в не слишком мелких антиферромагнитных частицах (^100 А), отличное от суперпарамагнетизма, которое проявляется
в заметном увеличении их магнитной в о спр иимчив о сти. В этих частицах еще не возникает нарушения полной компенсации моментов подрешеток, и их поверхность имеет вид хорошо развитых кристаллографических плоскостей. Если частица имеет поверхностные грани, у которых все узлы принадлежат к одной из подрешеток (ферромагнитная плоскость), то возникает любопытное свойство, зависящее от числа этих плоскостей в частице, пар аллельных этой грани. Если это число нечетное, то такие частицы будут суперпарамагнитными, как и очень мелкие частицы, упомянутые выше. Если же это число четное, то начальная антиферромагнитная восприимчивость (при Н f 0) возрастает вдвое по сравнению с ее значением для массивного образца и стремится к нормальному значению с ростом внешнего поля. Это явление Неель назвал суперантиферромагнетизмом. Теоретические предсказания Нееля были подтверждены в опытах Коэна и др. [481] (для частиц антиферромагнетика NiO, имеющих размеры от 20 до 600 А).
Практические применения суперпарамагнетизма. Суперпарамагнетизм интересен не только как специфическое магнитное явление и как способ независимых измерений магнитных параметров, например температурной зависимости самопроизвольной намагниченности Is (Т) (Бин и Джекобс [482]) или точки Кюри (Томас [483]), но он открывает новые возможности для тонких структурных исследований, например в диспер- сионно-твердеющих сплавах, поскольку исследования суперпарамагнитных свойств позволяют разработать весьма чувствительные неразрушающие методы определения размеров, распределения размеров, формы, количества и состава частиц выпадающей магнитной фазы в начальных стадиях ее зарождения и роста ). Суперпарамагнетизм находит также применение при изучении магнетизма горных пород (см. обзор [371]).
Тонкие ферромагнитные пленки
Общие замечания. Наряду с исследованием мелких ферромагнитных частиц в последнее время уделяется очень большое внимание изучению тонких ферромагнитных пленок (ТФП) ). Этот интерес вызван двумя причинами. Во-первых, чисто научный, поскольку тонкая пленка — весьма любопытный объект физического исследования: самопроизвольная намагниченность и точка Кюри ТФП зависят от толщины; весьма специфична структура доменов в ТФП, граничные слои которых пронизывают всю толщу пленки, и характер их магнитной структуры отличен от такового в массивных образцах. Не менее интересна своеобразная магнитная (одноосная) анизотропия ТФП, и влияние на свойства ферромагнитной пленки ее неферромагнитной подложки (эпитаксиальные пленки). В последнее время большой интерес вызывает изучение свойств многослойных ТФП (см., например, [498]), и т. п. Во-вторых, повышенный интерес к ТФП вызывается большими и многообещающими перспективами их практического применения в качестве наиболее совершенных элементов памяти в вычислительных счетнорешающих устройствах, поскольку скорость перемагничивания, например, пермаллоевых ТФП на два-три порядка выше, чем в аналогичных элементах из ферритов, применяемых в настоящее время. Поэтому применение ТФП в счетно-решающих устройствах (электронных вычислительных машинах ЭВМ), возможно, приведет к значительному увеличению быстродействия математических машин.
Пока широкому внедрению ТФП мешает нестабильность их свойств во времени. По всей вероятности, они найдут свое применение в каких-то определенных типах ЭВМ наряду с ЭВМ, работающими на ферритах.
Имеются различные способы получения ТФП. Наиболее распространенным является метод напыления в - вакууме. Изучению подвергались пленки чистых ферромагнитных элементов Fe, Со и Ni, а также различных двойных, тройных и более сложных сплавов. Пожалуй, наибольшее внимание было уделено бинарным сплавам Fe — Ni типа пермаллой (с 79— 82% Ni). В этих сплавах очень мала магнитострикция, что делает их магнитные свойства мало чувствительными к внешним и внутренним напряжениям. Это имеет важное значение для технических применений пленок.
Здесь будут кратко перечислены лишь некоторые основные результаты теоретических и экспериментальных исследований ТФП. Детальную' информацию по этому вопросу читатель может найти, например, в коллективных монографиях Нейгебауера и др. [499], в книгах Суху (1967) и Праттона (1967), сборнике указанном в [505], а также в обзорах Гудинафа и Смита [500], Джекобса и Бина [212] и Д. Смита [501].
Основные положения теории. Тонкую плоскую пленку можно рассматривать как трехмерное тело, у которого размер вдоль одного из измерений G% (по нормали х к плоскости пленки) существенно меньше размеров по двум другим измерениям (лежащим в плоскости пленки) Gz и G“ , т. е. G* « G2, Gy. Клейн и Смит [5021 обобщили теорию спиновых волн Холстейна ——Примакова [503] на этот случай для простой кубической решетки, а для о. ц. к. и г. ц. к. решеток этот расчет проведен в работе Гласса и Клейна [504]. Конечные размеры пленки вдоль нормали к плоскости учитываются условием периодичности Борна — Кармана, а изменение числа соседних атомов на поверхности пленки не принималось в расчет. Характер кривой температурной зависимости намагниченности отличается от закона Тз/? дЛЯ массивных образцов и носит характер линейной зависимости, по крайней мере в наиболее тонких пленках. Можно ожидать также падения точки Кюри с уменьшением толщины пленки. Для области высоких температур (вблизи точки Кюри) Валента [505] обобщил теорию молекулярного поля на случай ТФП, используя идею о магнитных подрешетках (см. гл. 22). Этот расчет дает зависимость 7S и 0 от толщины пленки. Расчеты Клейна и Смита [502] уточнил Дёринг [506], который учел реальные граничные условия на поверхностях пленки (уменьшение числа соседей у краевых атомов). Его результаты близки к результатам Валенты. Дальнейшее развитие расчетов произвели Корчиовей [507] и Корчиовей и Гика [508], которые использовали метод Кирквуда [509].
Хотя^вначале и казалось, что результаты теории, по крайней мере качественно, подтверждаются опытом, однако более тщательные эксперименты Нейгебауера [510} и Гофмана [511] показали, что намагниченность ТФП существенно зависит, например, от их окисления воздухом. Было установлено, что если изготовление пленок и измерение на；йих производятся в сверхвысоком вакууме (〜10~9 мм ртутного столба и ниже), то в области температур до 77° К пленки толщиной до 20 А ведут себя в магнитном отношении как массивные материалы. Поэтому, если отличие' этих свойств в ТФП от свойств массивных материалов и существует, то оно должно проявиться при еще меньших толщинах, что находится в противоречии с теорией Клейна и Смита [502], но согласуется с выводами Валенты [505] и Корчиовея [507]. Гелленталь [512] сделал попытку обобщить теорию на более реальный случай зернистых пленок (в предыдущих работах авторы рассматривали модель идеально однородных и геометрически правильных пленок). В его теории отдельные зерна трактуются как малые частицы в случае суперпарамагнетизма (см. выше § 6).
Большой интерес представляет проблема магнитной анизотропии в ТФП. Прежде всего в них возникает резкая анизотропия формы, обусловленная большой энергией размагничивания (23.28) ~4п/； при намагничивании в направлении, нормальном к плоскости пленки. Благодаря этому намагниченность в ТФП имеет тенденцию лежать в ее плоскости, ибо в таком случае магнитостатическая энергия равна нулю. Если еще при этом пленка находится в однодоменном состоянии, то отсутствует и обменная энергия, связанная с неоднородностями намагниченности. Вместе с тем в самой плоскости ТФП может существовать также большая магнитная анизотропия. Прежде всего —— это естественная магнитная кристаллографическая анизотропия. Ее можно наблюдать в монокристаллических ТФП, когда они отделены от подложек. Опыт показывает (подробнее см. Малек и Шюппель [513]), что, как правило, константы магнитной анизотропии ТФП практически не отличаются от значений для массивных образцов и не зависят от толщины пленки. Для пленок, скрепленных с подложкой, из-за сильных внутренних напряжений возникает связанная с ними наведенная магнитная анизотропия. Кроме того, в ТФП может быть создана наведенная магнитная анизотропия, если
в процессе их изготовления прикладывать в их плоскости внешнее магнитное поле. Однако одноосная анизотропия в ТФП наводится, по-видимому, не полем, а связана с самопроизвольной намагниченностью отдельных доменов в пленке (см. Андре и др. [514] илп Смит [515]). Приложенное внешнее поле лишь образует и сохраняет однодоменную структуру во время роста пленкп и создает, таким образом, одинаковую ориентацию легкой оси во всем объеме пленки. Наконец, следует еще упомянуть о специфической для ТФП анизотропии, обусловленной наклонным напылением пленки на подложку. Причина этой анизотропии при наклонном напылении пленки под малыми углами,
намагничивания (см. рис. 23・22) (Гуди- наф и Смит [500]).намагничивания (см. рис. 23・22) (Гуди- наф и Смит [500]).как функция продольного поля hz=Hz/HK (приложенного вдоль той же оси) при различных значениях поперечного поля hx = =Нх1Н，к (по осям координат отложены относительные величины Iz/Is 瓜九@ = H^IH^ (а = х, z), где H^~2K/Is — поле анизотропии) (Гудинаф и Смит [500]).как функция продольного поля hz=Hz/HK (приложенного вдоль той же оси) при различных значениях поперечного поля hx = =Нх1Н，к (по осям координат отложены относительные величины Iz/Is 瓜九@ = H^IH^ (а = х, z), где H^~2K/Is — поле анизотропии) (Гудинаф и Смит [500]).за ними пространство (подробнее см. Смит и др. [515, 516], Кнорр и Гоффман [517]). Вторым механизмом анизотропии ТФП при больших углах напыления может быть образование удлиненных в плоскости падения игл или пор (подробнее см. Камбер- ский и др. [518]). Вопрос о природе одноосной анизотропии ТФП рассмотрен также в интересных работах Шура и др. [519, 520] ).
намагничивания (см. рис. 23・22) (Гуди- наф и Смит [500]).
намагничивания (см. рис. 23・22) (Гуди- наф и Смит [500]).
как функция продольного поля hz=Hz/HK (приложенного вдоль той же оси) при различных значениях поперечного поля hx = =Нх1Н，к (по осям координат отложены относительные величины Iz/Is 瓜九@ = H^IH^ (а = х, z), где H^~2K/Is — поле анизотропии) (Гудинаф и Смит [500]).
как функция продольного поля hz=Hz/HK (приложенного вдоль той же оси) при различных значениях поперечного поля hx = =Нх1Н，к (по осям координат отложены относительные величины Iz/Is 瓜九@ = H^IH^ (а = х, z), где H^~2K/Is — поле анизотропии) (Гудинаф и Смит [500]).
Для энергии одноосной магнитной анизотропии ТФП имеем
耳 аниз = К$Ь1 仇
где 行 一 угол между вектором намагниченности I и легчайшей осью z, лежащей в плоскости пленки. В общем случае к пленке прикладывают два независимых поля. Одно из нпх (продольное) направлено вдоль легкой оси Hz, а другое (поперечное)——вдоль нормали к плоскости пленкп Ях. Энергия, связанная с этими полями,
尸н = —&зс / sin 仔一Hz cos 仇
Минимум полной энергии /'аниз + ^н — ^ находим из условий @方7@心■ = 0 и @2耳/@心>2 > о. Из первого условия имеем
■^ sin 2仔一hx cos 仔十期 sin ^ = 0.
Здесь введены обозначения
7 Ях ,%〃 2K
Из этой формулы видно, что в случае пленки, когда поле Нх обычно поддерживается постоянным, а поле Hz изменяется, угол 屮 между вектором результирующего поля Н = Нх 十 Hz (Я = [Нх + Яг]1^2) п легчайшей осью меняется при намагничивании. При этих условиях, как показали Гудппаф и Смит [500], семейство петель гистерезиса для I (九z) при различных значениях Ах приведено на рис. 23.22. Заметим, что критическое поле, при котором происходит необратимое (когерентное!) вращение намагниченности пленки, определено из условий 8F]d® = 8?FIд®? = 0, которое имеет вид
成/3+可3 = 1.
Кривая в трудном направлении I (Ях) при Н? = 0 имеет вид безгистерезисной прямой (рис. 23.23). В реальных пленках наблюдаемая коэрцитивная -сила обычно меньше теоретического значения для критического поля необратимого вращения (в большинстве пленок поле Hr порядка нескольких эрстед) Нс V Hr. Это, по-видимому, может быть связано с наличием зародышей перемагничивания и их необратимым ростом при полях Н V Я/<. Наблюдаются также случаи, когда Нс > Н^. Это, по всей вероятности, связано с тем, что в пленке направление легкой оси меняется от точки к точке и при перемагнггчивании возникает неоднородное необратимое вращение, требующее более высоких полей, чем Нк (критическое поле когерентного вращения).
Для практического использования пленок важно, чтобы время их перемагничи^ вания было очень малым. Это возможно, если перемагничивание осуществляется путем необратимого вращения. Опыт показывает, что времена перемагничивания в реальных случаях порядка 10-9 сек.
Интересная информация может быть получена при изучении структуры доменов и граничных слоев между доменами в ТФП (см. монографию Крейка и Теббла (1965), а также статью Шюппеля и Камберского [521]. См. также работы [523——553] и отчеты конференций [554—556]).
§ 8. Экспериментальные доказательства существования доменов
Основными опытными доказательствами существования доменов являются: 1) скачкообразный характер кривых намагничивания в области слабых полей (вблизи наиболее крутого подъема кривой), так называемый эффект Баркгаузена и 2) непосредственное определение неоднородности распределения намагниченности на поверхности и внутри ферромагнитного кристалла.
Эффект Баркгаузена. Как показали детальные исследования, кривые намагничивания ферромагнетика имеют ступенчатый характер
Рис. 23.24. Ступенчатый характер кривой намагничивания ферромагнетика (Хауворт [985]).Рис. 23.24. Ступенчатый характер кривой намагничивания ферромагнетика (Хауворт [985]).(рис. 23.24). Вертикальные участки кривой соответствуют скачкообразному изменению намагниченности, которое происходит при постоянном внешнем магнитном поле из-за быстрого изменения ориентации намагниченности в части отдельных доменов, намагниченных первоначально не в направлении внешнего магнитного поля. Этот эффект открыл Баркгаузен [557]. Аркадьев [558] разработал очень простой акустический метод ре-
Рис. 23.24. Ступенчатый характер кривой намагничивания ферромагнетика (Хауворт [985]).
Рис. 23.24. Ступенчатый характер кривой намагничивания ферромагнетика (Хауворт [985]).
гистрации этих скачкообразных изменений намагниченности. Изучать скачки можно также с помощью осциллографа и определить при этом средний объем области, перемагничивающейся за один скачок [559—563]. Определенный таким способом объем согласуется с теоретической оценкой средних размеров домена. С помощью воздействий па материал (упругое растяжение и т. п.) можно произвольно увеличивать величину скачков, придавая петле гистерезиса в пределе резко выраженную прямоугольную форму (см. ниже). Не следует думать, что каждый отдельный скачок соответствует всегда перемагничиванию одного целого домена. Как правило, отдельные скачки соответствуют перемагничиванию лишь отдельных участков нескольких доменов. Из более поздних исследований эффекта Баркгаузена
можно указать работы [564—577, 580—596] и книгу Кнеллера (1962). Вильямс и Шокли [597] наблюдали скачки Баркгаузена при внезапных смещениях границы между доменами в монокристальной рамке. Скачкообразные изменения намагниченности возможны также и при необратимом вращении в однодомениых частицах.
Визуальные наблюдения доменной структуры. а. Общие замечания. Для теории магнитной доменной структуры ферромагнетиков, наряду с изучением эффекта Баркгаузена, большое значение приобретают разнообразные методы непосредственного наблюдения этой структуры при различных внешних условиях.
В настоящее время известно несколько Таких методов. Конечной целью всех их является определение топографии пространственного распределения намагниченности Is в ферромагнитном образце. В качестве активного агента в этих опытах используют магнитное поле, создаваемое самой доменной структурой. Различают два типа таких полей.
Во-первых, в силу существования самопроизвольной намагниченности Т$ в ферромагнетике в каждом домене всегда существует сильное усредненное магнитное поле, равное магнитной индукции: В (г)= =Н (г) + 4лГ8 (г) (здесь Н (г) = Не (竽)+ 〃。(г) — результирующая напряженность магнитного поля, равная сумме внешнего Не и размагничивающего Н。полей). Даже в том случае, когда магнитное поле Н (г) = 0, индукция в доменах при Т V ® отлична от нуля: В (г) = 4冗7$ (г) 方 0. В различных доменах ориентация 7s (г) может существенно различаться, что и может быть определено экспериментально с помощью подходящего индикатора.
Во-вторых, в ферромагнетике всегда существуют магнитные поля рассеяния, возникающие из-за несовершенства в замкнутости локальных магнитных потоков доменной структуры. Эти поля очень неоднородны и максимум их находится в местах «стыков» доменов друг с другом и с замыкающими областями вблизи поверхностей разрывов и других дефектовг а также на наружной поверхности образца. Определив с помощью какого- нибудь индикатора эти места, можно наглядно «окантовать» отдельные домены и замыкающие области и получить всю картину доменной структуры. Различные методы ее определения сводятся к различному выбору индикаторов, определяющих либо ориентации магнитного поля внутри областей, либо неоднородные поля рассеяния.
Известно, что магнитное поле оказывает пондермоторное действие на магнитный момент магнетика или на движущийся электрический заряд, а также может взаимодействовать с внешним электромагнитным полем (например, световым или радиочастотным). Эти взаимодействия и лежат в основе всех экспериментальных методов непосредственного определения магнитной доменной структуры. Остановимся кратко на перечислении таких методов, известных в настоящее время ).
Метод порошковых фигур. Этот метод достаточно хорошо разработан и нашел уже широкое применение. Исторически первая работа, в которой он был применен, принадлежит Гамосу и Тиссену [602]. Однако фактически первое наблюдение доменной структуры произвел Биттер [603] и несколько позже независимо Акулов и Дехтяр [604], которые показали, что мелкий ферромагнитный порошок (например, магнетит), взвешенный в жидкости, при оседании на хорошо отполированную поверхность ферромагнитных кристаллов образует характерные фигуры (полосы). Была также показана зависимость расположения этих полос от магнитного состояния образца. После открытия метода порошковые фигуры на монокристаллах исследовали Акулов и Дехтяр [604] (Fe), Акулов и Раевский
[605] (Ni), Миллер и Штейнберг [606] (Fe3O4), Акулов и Базурина [607] (Со). Исследования порошковых осадков, проведенные позже Элмором [608, 458, 382, 609], показали не только качественное, но и количественное согласие с теоретическими оценками размеров доменов. На рис.. 23.25 приведены примеры типичных порошковых фигур на поверхностях отдельных кристаллитов крупнозернистого образца кремнистого железа, в плоскости поверхности которых лежит тетрагональная ось. У границ зерен
Рис. 23.25. Выявление доменной структуры в отдельных зернах поликристалла сплава Fe—Si (Вилльямс — см. обзор Киттеля^[24]).Рис. 23.25. Выявление доменной структуры в отдельных зернах поликристалла сплава Fe—Si (Вилльямс — см. обзор Киттеля^[24]).
Рис. 23.25. Выявление доменной структуры в отдельных зернах поликристалла сплава Fe—Si (Вилльямс — см. обзор Киттеля^[24]).
Рис. 23.25. Выявление доменной структуры в отдельных зернах поликристалла сплава Fe—Si (Вилльямс — см. обзор Киттеля^[24]).
jPhc. 23.26. Порошковые фигуры, выявляющие вторичную структуру типа «елочек».jPhc. 23.26. Порошковые фигуры, выявляющие вторичную структуру типа «елочек».Рис. 23.27. К объяснению образования вторичной доменной структуры в виде «елочек» (см. рис. 23.26) (Вилльямс и др. [610]).Рис. 23.27. К объяснению образования вторичной доменной структуры в виде «елочек» (см. рис. 23.26) (Вилльямс и др. [610]).
jPhc. 23.26. Порошковые фигуры, выявляющие вторичную структуру типа «елочек».
jPhc. 23.26. Порошковые фигуры, выявляющие вторичную структуру типа «елочек».
Рис. 23.27. К объяснению образования вторичной доменной структуры в виде «елочек» (см. рис. 23.26) (Вилльямс и др. [610]).
Рис. 23.27. К объяснению образования вторичной доменной структуры в виде «елочек» (см. рис. 23.26) (Вилльямс и др. [610]).
видна вторичная структура осадка (рис. 23.25), связанная с возникновением' клинообразных областей, предсказанных Лифшицем [28].
Наиболее детальный анализ порошковых фигур был произведен 田 экспериментальных исследованиях Вильямса и др. [610], Бейтса и др.
[611,612], Бозорта [613], Ямамото и
Ивата [614], Шура и др. [389, 390, 615—617]. На рис. 23.26—23.33 приведено несколько типичных
картин порошковых фигур, полученных в различных работах. Если поверхность ферромагнитного кристалла, например сплава Fe—Si, слегка наклонена к плоскости (100), в которой лежат оси легчайшего намагничивания, то простая картина порошковых фигур (рис. 23.12 или рис. 23.25) усложняется. В этом случае около полос, разделяющих домены, начинают расти клинообразные отростки, и вся картина напоминает «елочки» (рис. 23.26). На рис. 23.27 показана схема распределения самопроизвольпой намагниченности в основных доменах и в ветвях таких елочек. Как показали
расчеты Вильямса и др. [610], появление такой сложной структуры ведет
к частичному замыканию магнитного потока и, следовательно, к уменьшению свободной энергии кристалла. С ростом угла наклона картина осадка еще заметно усложняется (явление «перекрытия» елочек).
На рис. 23.28 показано (по “аниьш Шура и др. [615]) смещение 180°- границ между доменами монокристалла Fe —— Si при его намагничивании вдоль направления [100] в плоскости рисунка при взаимодействии границы со встречающимися на ее пути смещения дефектами. Из рисунков
рис. 23.28. Задержка дефектом структуры смещения границы доменов в ферромагнитном кристалле (стрелки указывают направление намагниченности).рис. 23.28. Задержка дефектом структуры смещения границы доменов в ферромагнитном кристалле (стрелки указывают направление намагниченности).видно, что граница «зацепляется» за дефект через вторичную магнитную структуру. На рис. 23.29 показаны порошковые фигуры по данным Ямамото и Ивата [614] на поверхности, параллельной плоскости (011) монокристалла сплава Со —— Ni (60 ат. % Со), в котором лежат четыре из восьми направлений легкого намагничивания [111]. Здесь же приведена схема расшифровки этих плос и показаны углы между осями.
рис. 23.28. Задержка дефектом структуры смещения границы доменов в ферромагнитном кристалле (стрелки указывают направление намагниченности).
рис. 23.28. Задержка дефектом структуры смещения границы доменов в ферромагнитном кристалле (стрелки указывают направление намагниченности).
В работе Вильямса и др. [610] был предло- 川си простой и наглядный метод определения направления намагниченности в доменах на поверх-
Рис. 23.29. Порошковые фигуры на поверхности [011] кубического монокристалла сплава Со — Ni (60 ат. % Со) с осями легкого намагничивания типа [111] и схема соответствующих доменов.Рис. 23.29. Порошковые фигуры на поверхности [011] кубического монокристалла сплава Со — Ni (60 ат. % Со) с осями легкого намагничивания типа [111] и схема соответствующих доменов.ности ферромагнетика: метод царапин (рис. 23.30—23.31). Суть метода заключается в том, что если царапина на поверхности проведена параллельно направлению намагниченности в кристалле, то из-за отсутствия нормальных слагающих намагниченности на поверхностях канавки царапины вблизи нее не возникает магнитных полей рассеяния и коллоидный осадок не собирается у ее краев. Если же царапина проведена под углом, отличным от 0° или 180° к направлению намагниченности, то на ее краях возникают магнитные заряды, что приводит к появлению полос коллоидальных осадков. На рис. 23.31 показаны порошковые фигуры типа елочек (см. рис. 23.26), причем на поверхности кристалла в вертикальном (относительно рисунка) напрявлении делительной машиной были нанесены
Рис. 23.29. Порошковые фигуры на поверхности [011] кубического монокристалла сплава Со — Ni (60 ат. % Со) с осями легкого намагничивания типа [111] и схема соответствующих доменов.
Рис. 23.29. Порошковые фигуры на поверхности [011] кубического монокристалла сплава Со — Ni (60 ат. % Со) с осями легкого намагничивания типа [111] и схема соответствующих доменов.
параллельные царапины. Внутри ветвей елочек эти царапины перпендику
лярны к намагниченности, и поэтому они ясно проявляются коллоидаль
ным осадком. На поверхности образца вне этих ветвей царапины параллельны намагниченности, а поэтому там нет продолжения полос с осадком. Очень важным является также опыт Вильямса и Шокли [597], который позволяет установить непосредственную связь между из
менением намагниченности и перемещением границ между доменами (рис. 23.32). В этих же опытах была обнаружена тонкая структура доменов, возникающая вокруг пустот или включений в ферромагнитном материале (см. рис. 23.33, а также 23.28), предсказанная Неелем [619а] и Ковдорским [619].
Дальнейшее развитие методики порошковых фигур (замена воды маслом в суспензиях, использование сухих порошков, наблюдение осадков с помощью электронного микроскопа и т. д.) связано с работами Андре [620], Крейка и др. [621—623].
Несмотря на большую наглядность и простоту метода порошковых фигур, ему присущ и ряд недостатков. Во-первых, с его помощью можно изучать доменную структуру лишь с по- верхности образца, поэтому судить о доменной структуре всего объема образца можно лишь в случае достаточно тонких образцов, когда основ-
иые домены распространяются на всю их толщу. Во-вторых^ этот метод имеет ограниченную
6)6)Рис. 23-30. Иллюстрация метода «царапин» для определения направления намагниченности в доменах с помощью порошковых фигур. Направление «царапины» перпендикулярно плоскости рисунка. а) Схематическое изображение магнитных силовых линий, когда намагниченность перпендикулярна царапине； б) то же в случае, когда намагниченность параллельна царапине (магнитные силовые линии перпендикулярны плоскости рисунка).Рис. 23-30. Иллюстрация метода «царапин» для определения направления намагниченности в доменах с помощью порошковых фигур. Направление «царапины» перпендикулярно плоскости рисунка. а) Схематическое изображение магнитных силовых линий, когда намагниченность перпендикулярна царапине； б) то же в случае, когда намагниченность параллельна царапине (магнитные силовые линии перпендикулярны плоскости рисунка).разрешающую способразрешающую способРис. 23.31. Иллюстрация метода «царапин»'— порошковые фигуры на поверхности монокристалла со структурой областей типа «елочка». Видны нанесенные делительной машиной царапины (вертикальные черточки на «ветвях» елочки).Рис. 23.31. Иллюстрация метода «царапин»'— порошковые фигуры на поверхности монокристалла со структурой областей типа «елочка». Видны нанесенные делительной машиной царапины (вертикальные черточки на «ветвях» елочки).ность, определяемую размерами частиц порошка, а также механизмом образования самих порошковых фигур в местах полей рассеяния у поверхности образца. Теорию образования порошковых фигур разработал Киттель [24, 624] (см. также статью Бергмана [625]). Мы не всегда, например,.
6)
6)
Рис. 23-30. Иллюстрация метода «царапин» для определения направления намагниченности в доменах с помощью порошковых фигур. Направление «царапины» перпендикулярно плоскости рисунка. а) Схематическое изображение магнитных силовых линий, когда намагниченность перпендикулярна царапине； б) то же в случае, когда намагниченность параллельна царапине (магнитные силовые линии перпендикулярны плоскости рисунка).
Рис. 23-30. Иллюстрация метода «царапин» для определения направления намагниченности в доменах с помощью порошковых фигур. Направление «царапины» перпендикулярно плоскости рисунка. а) Схематическое изображение магнитных силовых линий, когда намагниченность перпендикулярна царапине； б) то же в случае, когда намагниченность параллельна царапине (магнитные силовые линии перпендикулярны плоскости рисунка).
разрешающую способ
разрешающую способ
Рис. 23.31. Иллюстрация метода «царапин»'— порошковые фигуры на поверхности монокристалла со структурой областей типа «елочка». Видны нанесенные делительной машиной царапины (вертикальные черточки на «ветвях» елочки).
Рис. 23.31. Иллюстрация метода «царапин»'— порошковые фигуры на поверхности монокристалла со структурой областей типа «елочка». Видны нанесенные делительной машиной царапины (вертикальные черточки на «ветвях» елочки).
можем установить связь между шириной порошкового осадка и эффективной шириной граничного слоя между доменами и т. п. Вообще с помощью порошковых фигур можно наблюдать доменные структуры лишь масштабов, заметно превышающих размеры частиц порошка. Наконец, в-третьих^ этот метод применим лишь в сравнительно узком температурном интервале с нижней границей, определяемой температурой затвердевания суспензии, а верхней ——температурой ее кипения. В связи с этим
весьма полезна техника сухих порошков и масляных суспензий (с более высокой точкой кипения, чем у воды). При наблюдении с помощью порошковых фигур динамики процессов перестройки доменной структуры 岀 переменных магнитных полях, серьезным препятствием служит инерция порошка. Упомянем также о необходимости сложной специальной
Рис. 23.32. Вычисление намагниченности (4л1 = В — Я) монокристальной рамки (см. рис, 23.43) при различных (а, 6, в) положениях 180°-границы между доменами (Вилльямс и Шокли [597]).
Рис» 23.33. Опытное обнаружение (Вилльямс и Шокли [597]) тонкой структуры ферромагнитных областей около пустот и включений (Неель [619а] и Ковдорский [619]).
подготовки поверхности образцов перед получением порошковых фигур. Необходимо исключить появление всевозможных структурных искажений поверхности, могущих привести к искажению естественной доменной структуры.
б・ Магнетоопттеские методы. Указанные недостатки метода порошковых фигур привели к разработке других методов наблюдения доменной структуры. В первую очередь упомянем о магнетооптических методах,
получивших уже заметное распространение. В основе этих методов лежит известное физическое явление вращения плоскости поляризации света при отражении от намагниченного ферромагнетика (эффект Керра) или при прохождении через толщу образца (эффект Фарадея) в прозрачном ферромагнетике (см. гл. 15 и 25). Поскольку в различных доменах направления 7s различны, углы вращения тоже будут различны, и поэтому,
Рис. 23.34. Формирование доменной структуры. Порошковые фигуры на монокристаллах сплава Fej— Si, поверхности которых совпадают (серия фотографий а = 0°) или близки (серии а = 2° и а = 6°) кристаллографической плоскости (100), при уменьшении внешнего магнитного поля (направленного вдоль оси [010] вправо) от своего максимального значения в 180 э (верхние фотографии а) через промежуточные значения (фотографии б с Н = 120 э, фотографии в с Н = 80 э и фотография г с Н = 40 э) до полного выключения (Н = 0 — фотография 9). Стрелки указывают направление намагниченности в отдельных областях. Снизу показаны ориентации осей [001] и [010] кристалла, магнитного поля _Й и указан масштаб (Драгошанский и Шур [684]).
анализируя отраженный от ферромагнетика или прошедший через него поляризованный свет, можно получить «снимок» доменной структуры. Впервые эту технику (с использованием эффекта Керра) применили Вильямс и др. [626] на кристаллах Со. Методика эффекта Керра удобна
потому, что она применима в широкой области температур и внешних полей и может использоваться в динамических опытах. Недостатком этого метода является малая величина угла вращения Керра в большинстве ферромагнетиков. Однако здесь наметились пути искусственного усиления эффекта путем нанесения диэлектрического покрытия на ферромагнитное зеркало (эффект усиления открыл Носков [627], а практически использовал Кранц [628]).
Эффект Фарадея используется для изучения доменной структуры в прозрачных ферромагнитных диэлектриках (ферриты-гранаты и т. п.} или в очень тонких металлических пленках (см. Фаулер и Фрир [629], а также [659, 6941). Кроме того, Диллон [630] предложил матод наблюдения доменной структуры в проходящем свете с помощью двойного лучепреломления.
е. Другие методы. Для изучения доменной структуры используется также электронномикроскопическая техника, как на просвет (см. Фуллер и Халле [631]), так и на отражение от образца (Майер [632]). Спивак с сотрудниками [633——637] разработали оригинальный метод исследования доменной структуры с помощью вторичной электронной эмиссии. Еще в 1942 г. П. И. Лукирский высказал предположение [см. Вонсовский и Шур (1948)], что с помощью скользящих электронных пучков можно изучать магнитные поля рассеяния доменной структуры. Независимо эту идею реализовали Джермер [638] и Блэкман и Грюнбаум [639].
Кацер [640] предложил метод пермаллоевых зондов для измерения магнитных полей рассеяния доменной структуры у поверхности ферромагнитных образцов. Костышин и др. [641] разработали метод измерения этих полей с помощью холловского датчика. Мерц [642] наблюдал ферромагнитные домены в монокристалле феррита Co(),23Zno,o4F暇zoFe^^CU с аномально большой магнитострикцией с помощью рентгеновской двухкристальной дифрактометрической техники, поскольку из-за магнитострикции в доменах с разной ориентаций намагниченности существенно меняли параметр решетки. Используя более совершенную экспериментальную технику, Полкарова и Ланг [643] провели аналогичные измерения па материале с нормальной магнитострикцией (монокристалл сплава Fe ——Si с 3,5 ат. % Si). Диллон и Ремейка [644] наблюдали дифракцию света на доменной структуре ионного ферромагнитного соединения CrBr3. Наконец, Шур и Ширяева [645, 646а] установили связь между ф ер р ома гни тным резонансом и доменной структурой. Теоретически этот вопрос рассмотрен в работах Власова и Оноприенко [646] и Оноприенко, Ширяевой и Шура [647].
д. Заключение. В табл. 23.3 перечислены все известные методы изучения доменной структуры с указанием их преимуществ и ограничений (см. Диллон [601]).
Опытные исследования доменной структуры можно систематизировать по типам изучаемых магнитных веществ, а именно: 1) магнитноодноосные материалы, 2) железо и железоподобные кристаллы, 3) никель и никелеподобные кристаллы, 4) сплавы и высококоэрцитивные материалы, 5) ферриты'шпинели и ферриты-гранаты, 6) тонкие пленки. Остановимся в качестве примера на кратком описании некоторых из них.
Магнитно-одноосные материалы. Одноосные материалы имеют простую доменную структуру, состоящую из двух магнитных фаз, намагниченных антипараллельно, и 180°-граничных слоев. Более сложна структура замыкающих областей у поверхности образца или отдельных кристаллитов (в поликристаллах). Из одноосных материалов： изучались бариевый феррит [659, 663], магнетоплюмбит [656—658, 660— 662, 664] и ортоферриты — материалы с низким значением магнитного насыщения, а также кобальт [611, 665—681] — материал с высоким значением насыщения. В ортоферритах и других ферримагнетиках был обнаружен новый тип доменов: цилиндрические (см. например [578, 579])О.
Метод
Наблюдаемая физическая величина*)
Исследуемые ферромагнитные вещества
Образцы **)
Интервал температур
Литература
《.Порошковые фигуры:
водный раствор
коллоидный раствор в целаколе (celacol)
коллоидный раствор в лаке
Все, кроме веществ с малой магнитной анизотропией
Плоская поверхность
»»
Допустимы отклонения от пло-
0—50℃
0—юо℃
0—100℃
[25] [291] [621], [622]
[623]
1
ОО 7
г) коллоидный раствор в масле д) сухой порошок
2. Керр-эффект:
»
Все
ской поверхности
Плоская поверхность
Отклонение от плоской поверхности нежелательно
Плоская поверхность
до 400° С
Без ограничений
То же
'[620]
[648]
[626], [649]
9
а) уменьшение помех при фото-
»
»»
» »
[650]
1
графировании
б) усиление эффекта диэлектри-
»
»
Плоская поверхность, покрытая
До температур
[628], [651]
ческой пленкой
в) детектирование с помощью мо-
Движущаяся
Все простые до-
пленкой из ZnS
Без специальной обработки
начала помутнения пленки ZnS
Без ограниче-
[652]
дуляции света
Эффект ①арамея (магнитное вращение):
а) видимый свет
граница
仆
менные структуры
Прозрачные
Две полированные параллельные
НИИ
То же
» »
[629], [653]
б) инфракрасное излучение
(включая металлические пленки)
Некоторые образ-
поверхности
»»»
» »
[654], [655]
4. Магнитное двойное преломление
/丄
цы толщиной в несколько мм
Прозрачные
То же
» »
[630]
Экспериментальные методы наблюдения доменной структуры ферромагнетиков (Диллон [601])
Таблица 23.3
Продолжение табл. 23.
Метод
Наблюдаемая физическая величина *)
Исследуемые ферромагнитные вещества
Образцы **)
Интервал температур
Литература
Электронный микроскоп на просвет:
без объектива
слабый объектив
острие ножа в фокальной плоскости
электростатическое усиление
Электронный микроскоп на отражение
Эмиссионный электронный микроскоп
Электронный пучок
Пермаллоевый датчик
Холловский датчик
И. Двойной кристаллический рентгеновский дифрактометр
Дифракция света
Ферромагнитный резонанс
Н'—поле рассеяния; / — намагв пучку света.
) Все методы для надежных наблюл
v/丄 »
/丄
V/丄 Hf
» 》 》
》
Постоянная решетки
Периодичность в / II
Радиочастотная магнитная проницаемость
гиченность; I ц ений требуют не
Все
С большой магнитострикцией
СгВгз
Fe, Ni
и /丄一компоненты не наклепанных полирова
Пленки, толщиной 100 — 1000 А
То же
» »
» »
Гладкая, проводящая поверхность
Образец—катод
Острие ножа
Плоская поверхность
»»
Без специальной обработки
Толщина порядка 250 А
Без специальной обработки
шагниченности соответственно пара иных поверхностей. Фигуры травление
Температура, допускаемая для электронного микроскопа
То же
» »
» »
» »
» »
Без ограничений
То же
» »
» »
» »
» »
ллельная и перпен всегда должны бы
[631а]
[631а]
[6316]
[6316]
[632]
[633]
[638], [639]
[640]
[641]
[642]
[644]
[645]
дикулярная
гь четкими.
В качестве примера укажем на работу [668], в которой исследовалась зависимость магнитной структуры монокристалла кобальта от его размера и было показано, что теоретическая формула, предсказывающая пропорциональность ширины домена корню квадратному из толщины кристалла, выполняется для образцов малых толщин (《200 ц). При больших толщинах обнаружены некоторые отклонения от этой закономерности из-за сложной картины порошковых осадков на поверхности образца. Особый интерес представляют исследования поведения доменной структуры магнетоплюмбита и кобальта во внешнем магнитном поле и, в частности, возникновение и рост зародышей перемагничивания при различных ориентациях магнитного поля относительно гексагональной оси кристалла (см. [661, 669, 674, 675, 678, 682]). Шур и Глазер [683] с помощью магнето- оптического эффекта Керра исследовали температурную зависимость доменной структуры монокристаллов Со в интервале температур +20—— + 250° С и сплава MnBi в интервале от +20 до ——180° С. В обоих случаях намагниченность насыщения практически не меняется, а постоянная магнитной кристаллографической анизотропии резко уменьшается вплоть до нуля. Опыты показали, что равновесные размеры доменов увеличиваются (в Со при нагреве, в сплаве MnBi при охлаждении). Это объясняется тем, что с уменьшением константы анизотропии гораздо легче осуществляется замыкание магнитного потока на базисной плоскости магнитноодноосных кристаллов, не требующее образования очень тонких доменов. О доменной структуре в кристалле Со см. также работы [697——699].
Железо и железоподобные кристаллы. Остановимся здесь на некоторых работах по изучению доменной структуры в кристаллах сплава Fe ——Si (с 3 ат. % Fi) и на сверхчистых монокристаллах железа («усах» и пленках).
Драгошанский и Шур [684] детально исследовали с помощью порошковых осадков формирование доменной структуры в кристаллах Fe — Si при уменьшении напряженности внешнего магнитного поля, предварительно доводящего кристалл до магнитного насыщения. Опыты показали, что образованию доменов, намагниченность которых ориентирована обратно исходной магнитной фазе, всегда предшествует появление доменов с поперечной (к полю) ориентацией намагниченности (рис. 23.34), что соответствует требованию минимума энергии размагничивающего поля и энергии относительно внешнего поля. В другой работе (Шур, Драгошанский [685]) был детально изучен вид замыкающих областей монокристаллов Fe ——Si, поверхности которых близки к поверхности типа (110). Изучение таких образцов, обладающих сквозной доменной структурой, позволило предложить обоснованную модель замыкающих областей для многоосного ферромагнетика. В работе Старцевой, Глазера и Шура [686] на образцах Fe — Si (3 ат. % Si) с помощью продольного магнето- оптического эффекта Керра была исследована температурная зависимость доменной структуры. В экспериментальных работах Андре [687] и Кацера [688] эта зависимость оказалась гораздо меньше, чем предсказывала теория, а в работе Киренского и Дегтярева [689] она вообще не наблюдалась. Однако, Шур и Старцева [690] (см. также [696]) при циклическом изменении температуры обнаружили в кристаллах Fe ——Si температурный гистерезис (см. ниже) доменной структуры. Поэтому можно было ожидать при исключении этого гистерезиса (приводя образец при каждой температуре в равновесное состояние), лучшего согласия теории с опытом. Это и было фактически показано в упомянутой работе [686].
Весьма интересным объектом для исследования простейших доменных структур являются наиболее чистые и совершенные по кристаллографической структуре монокристаллы железа, так называемые «усы», получаемые путем восстановления из некоторых галлоидных соединений Fe в атмосфере водорода при 700——800° С. Таким способом можно получить монокристаллы длиной до 1 сж и в поперечнике до нескольких сот микрон.
Рис. 23.35. Порошковые^фигуры на поверхности, параллельной плоскости (100) монокристалла (типа «усов») Fe. а) Размагниченное состояние (Н = 0); б) с помощью приложения и затем выключения внешнего поля, нормального к оси кристалла, вблизи его центра создан домен кубической формы, образующий замкнутый магнитный поток. При приложении к этой структуре продольного внешнего магнитного поля вдоль оси кристалла в этой центральной его части происходят очень простые смещения границ доменов, поскольку они не связаны с граничными условиями на концах кристалла. В продольном поле 200 а (см. фотографию 喲 в центральной области кристалла достигается насыщение. Фотографии с, d и е показывают промежуточные структуры при значениях продольного поля 0 < < Н < 2no з (Скотт и Колеман [692]).Рис. 23.35. Порошковые^фигуры на поверхности, параллельной плоскости (100) монокристалла (типа «усов») Fe. а) Размагниченное состояние (Н = 0); б) с помощью приложения и затем выключения внешнего поля, нормального к оси кристалла, вблизи его центра создан домен кубической формы, образующий замкнутый магнитный поток. При приложении к этой структуре продольного внешнего магнитного поля вдоль оси кристалла в этой центральной его части происходят очень простые смещения границ доменов, поскольку они не связаны с граничными условиями на концах кристалла. В продольном поле 200 а (см. фотографию 喲 в центральной области кристалла достигается насыщение. Фотографии с, d и е показывают промежуточные структуры при значениях продольного поля 0 < < Н < 2no з (Скотт и Колеман [692]).образца, процесса насыщения и зарождения в «углах» образцов и т. п.образца, процесса насыщения и зарождения в «углах» образцов и т. п.Особенно удобными для исследования оказались пластинки сплава Ni ——Со (с составом от 4 до 18 ат.% Со), поскольку они имеют положитель-Особенно удобными для исследования оказались пластинки сплава Ni ——Со (с составом от 4 до 18 ат.% Со), поскольку они имеют положитель-
Рис. 23.35. Порошковые^фигуры на поверхности, параллельной плоскости (100) монокристалла (типа «усов») Fe. а) Размагниченное состояние (Н = 0); б) с помощью приложения и затем выключения внешнего поля, нормального к оси кристалла, вблизи его центра создан домен кубической формы, образующий замкнутый магнитный поток. При приложении к этой структуре продольного внешнего магнитного поля вдоль оси кристалла в этой центральной его части происходят очень простые смещения границ доменов, поскольку они не связаны с граничными условиями на концах кристалла. В продольном поле 200 а (см. фотографию 喲 в центральной области кристалла достигается насыщение. Фотографии с, d и е показывают промежуточные структуры при значениях продольного поля 0 < < Н < 2no з (Скотт и Колеман [692]).
Рис. 23.35. Порошковые^фигуры на поверхности, параллельной плоскости (100) монокристалла (типа «усов») Fe. а) Размагниченное состояние (Н = 0); б) с помощью приложения и затем выключения внешнего поля, нормального к оси кристалла, вблизи его центра создан домен кубической формы, образующий замкнутый магнитный поток. При приложении к этой структуре продольного внешнего магнитного поля вдоль оси кристалла в этой центральной его части происходят очень простые смещения границ доменов, поскольку они не связаны с граничными условиями на концах кристалла. В продольном поле 200 а (см. фотографию 喲 в центральной области кристалла достигается насыщение. Фотографии с, d и е показывают промежуточные структуры при значениях продольного поля 0 < < Н < 2no з (Скотт и Колеман [692]).
образца, процесса насыщения и зарождения в «углах» образцов и т. п.
образца, процесса насыщения и зарождения в «углах» образцов и т. п.
Особенно удобными для исследования оказались пластинки сплава Ni ——Со (с составом от 4 до 18 ат.% Со), поскольку они имеют положитель-
Особенно удобными для исследования оказались пластинки сплава Ni ——Со (с составом от 4 до 18 ат.% Со), поскольку они имеют положитель-
Эти кристаллы имеют также совершенную поверхность, которая обычно совпадает с одной из главных кристаллографических плоскостей, например (100). В размагниченном состоянии в таком монокристалле квадратного сечения с четырьмя боковыми поверхностями типа (100) обычно наблюдают (Колеман и Скотт [691, 692]) два антипараллельно намагниченных домена, разделенные одной 180°-границей и с
двумя замыкающими доменами на торцах (рис. 23.35, а). При приложении и снятии магнитного поля, перпендикулярного оси кристалла возникает структура, показанная на рис. 23.35, 6. При включении продольного поля с ростом его напряженности объем поперечно намагниченного домена уменьшается, а 180°- граница смещается, как это показано на рис. 23.35, в —— е. А при поле Н ^ 200 а доменная структура вообще исчезает (рис. 23.35, ж). На конце кристалла доменная структура более сложная. Схема такой структуры показана на рис. 23.36 (см. работу Фаулера и др. [693]). Исследования доменной структуры «усов» проводились также в работе [700].
Де Блуа провел весьма тонкие исследования по изучению доменной структуры не только «усов», но также и тонких монокристаль- ных пленок чистейшего Ni и его сплавов (№ — Со, № — Fe) с почти совершенной кристаллической структурой [701——706]. Эти пленочки получались восстановлением в водороде из бромидов, хлоридов и т. п. и имели толщины в интервале от 500 А до 10 ц (105 А). Они имели обычно форму прямоугольников или прямоугольных треугольников (по двум другим измерениям), плоскости которых совпадали с плоскостями типа (001), ребра — с направлениями типа [100], а по линейным размерам
эти ребра лежали в интервале от нескольких 卩 до 3 жж. Совершенство их внутренней структуры, как и «усов», гладкость их поверхности и резкость их ребер и простота их геометрической формы делают эти пластинки идеальными образцами для изучения доменной структуры и процессов смещения граничных слоев в самых тонких деталях, а следовательно, и для почти количественной проверки теории ферромагнитных доменов и ее дальнейшего развития. Совершенство структуры этих образцов позволяет замечать обратимые смещения граничных слоев между доменами в полях, меньших 10-3 а. Опыты с пленками позволили изучить структуру граничных слоев блоховского, неелевского и промежуточного типа, двойных граничных слоев, тонкую структуру областей на краях образцов (например, в их «углах»), взаимодействие граничных 180°-слоев с ребрами
Рис. 23.36. Схемы доменной структуры в железных «усах» на поверхности, параллельной плоскости (100) и на торце кристалла (Фаулер и др. [693]).Рис. 23.36. Схемы доменной структуры в железных «усах» на поверхности, параллельной плоскости (100) и на торце кристалла (Фаулер и др. [693]).Рис. 23.37. Простая картина порошковых фигур на монокристальной прямоугольной пленке сплава Ni — Со (размеры 150 х 120 ц2 и 3000 А) с^К2> 0. Ребра пленки параллельны осям кристалла [100] и [010]. а) и б) Две альтернативные доменные структуры с замкнутым магнитным потоком в нулевом поле; в) изменение порошковых фигур структуры а после приложения внешнего магнитного поля Н = 36 з, ориентированного вдоль горизонтальных ребер вправо (между вершинами двух треугольных областей с основаниями на вертикальных ребрах имеется очень бледный осадок, разделяющий два антипараллельно намагниченных (вдоль горизонтальных ребер) домена); г) изменение порошковых фигур структуры а после приложения внешнего поля Н = 3,9 а вдоль вертикальных ребер вверх (де Блуа [703]).Рис. 23.37. Простая картина порошковых фигур на монокристальной прямоугольной пленке сплава Ni — Со (размеры 150 х 120 ц2 и 3000 А) с^К2> 0. Ребра пленки параллельны осям кристалла [100] и [010]. а) и б) Две альтернативные доменные структуры с замкнутым магнитным потоком в нулевом поле; в) изменение порошковых фигур структуры а после приложения внешнего магнитного поля Н = 36 з, ориентированного вдоль горизонтальных ребер вправо (между вершинами двух треугольных областей с основаниями на вертикальных ребрах имеется очень бледный осадок, разделяющий два антипараллельно намагниченных (вдоль горизонтальных ребер) домена); г) изменение порошковых фигур структуры а после приложения внешнего поля Н = 3,9 а вдоль вертикальных ребер вверх (де Блуа [703]).
Рис. 23.36. Схемы доменной структуры в железных «усах» на поверхности, параллельной плоскости (100) и на торце кристалла (Фаулер и др. [693]).
Рис. 23.36. Схемы доменной структуры в железных «усах» на поверхности, параллельной плоскости (100) и на торце кристалла (Фаулер и др. [693]).
Рис. 23.37. Простая картина порошковых фигур на монокристальной прямоугольной пленке сплава Ni — Со (размеры 150 х 120 ц2 и 3000 А) с^К2> 0. Ребра пленки параллельны осям кристалла [100] и [010]. а) и б) Две альтернативные доменные структуры с замкнутым магнитным потоком в нулевом поле; в) изменение порошковых фигур структуры а после приложения внешнего магнитного поля Н = 36 з, ориентированного вдоль горизонтальных ребер вправо (между вершинами двух треугольных областей с основаниями на вертикальных ребрах имеется очень бледный осадок, разделяющий два антипараллельно намагниченных (вдоль горизонтальных ребер) домена); г) изменение порошковых фигур структуры а после приложения внешнего поля Н = 3,9 а вдоль вертикальных ребер вверх (де Блуа [703]).
Рис. 23.37. Простая картина порошковых фигур на монокристальной прямоугольной пленке сплава Ni — Со (размеры 150 х 120 ц2 и 3000 А) с^К2> 0. Ребра пленки параллельны осям кристалла [100] и [010]. а) и б) Две альтернативные доменные структуры с замкнутым магнитным потоком в нулевом поле; в) изменение порошковых фигур структуры а после приложения внешнего магнитного поля Н = 36 з, ориентированного вдоль горизонтальных ребер вправо (между вершинами двух треугольных областей с основаниями на вертикальных ребрах имеется очень бледный осадок, разделяющий два антипараллельно намагниченных (вдоль горизонтальных ребер) домена); г) изменение порошковых фигур структуры а после приложения внешнего поля Н = 3,9 а вдоль вертикальных ребер вверх (де Блуа [703]).
ную константу магнитной анизотропии (К2 > 0) и поэтому более простую доменную структуру (подобную кристаллам Fe и Fe ——Si), чем в чистом Ni. Очень интересными являются исследования доменной структуры в пермаллоевых пленках (см. [703]) (с 81 ат. % Ni) с нулевой магнитострикцией. Все эти исследования имеют большой принципиальный интерес
для проблемы ТФП, поскольку такое детальное изучение доменной структуры в обычных пленках невозможно из-за их структурных несовершенств, а вместе с тем простота наблюдаемых доменных структур в монокристальных пленках может дать очень многое для понимания структуры и поведения ТФП.
В качестве иллюстрации на рис. 23.37——23.39 показаны фотографии порошковых фигур [703] простейшей возможной доменной структуры с замкнутым магнитным потоком и ее изменения при наложении внешнего магнитного поля в прямоугольной пластинке (150 X 120 卩?) толщиной 3000 А сплава Ni — Со с & > 0 ). Рис. 23.37, а,б дают две возможные структуры при 8 = 0. Эти структуры имеют минимум суммарной энергии 歹аниз + Fh, поскольку векторы Is лежат вдоль легчайших осей [100] и [010] и отсутствуют магнитные полюсы по краям образца, кроме мест
выхода на поверхность граничных слоев, где на расстояние порядка 1000 А вектор Is поворачивается из одного направления в другое (в соседних доменах). Несколько большая длина граничных •слоев у структуры рис. 23.37, 6 по сравнению с рис. 23.37, а, по-видимому, в какой-то сте-
пени компенсируется соответствующим уменьшением магнитострикционной энергии. Появление той или иной из этих структур зависит от предварительной магнитной истории образца. В слабых внешних полях границы
смещаются обратимо. На рис. 23.37, е показано изменение структуры рис. 23.37, а при приложении поля Н = 3,6 а вправо, а на рис. 23.37, г — поля Н = 3,9 а вверх. Отметим при этом две особенности： доменные гра-
ницы выходят на ребра только в «углах» пластинки и границы искривляются, образуя дуги окружностей (см. ниже). В поле Н = 4,1 а происходит необратимая перестройка доменной структуры (рис. 23.38). Любопытно,
что в еще больптем поле (Ячто в еще больптем поле (ЯРис. 23.38. Изменение порошковых фигур рис. 23,37,8 после увеличения внешнего магнитного поля Н до 4,1 э. Между вершинами треугольных областей имеется почти невидимый осадок на 180°-границе между антипараллельно намагниченными доменами (де Блуа [703]).Рис. 23.38. Изменение порошковых фигур рис. 23,37,8 после увеличения внешнего магнитного поля Н до 4,1 э. Между вершинами треугольных областей имеется почти невидимый осадок на 180°-границе между антипараллельно намагниченными доменами (де Блуа [703]).5,2 а, рис. 23.39) происходит прижимание 180°-граничного слоя к краю образца. При снижении поля граничный слой «отлипает» от ребра и возвращается в прежнее положение внутри образца. Этот процесс имеет важное значение для понимания явления поверхностной анизотропии и зародышеобразования. На рис. 23.40 приведена фотография порошковых фигур [703] у «угла» пленочки Ni в поле W = 10 з, направленном вправо. А на рис. 23.41 и 23.42 показаны порошковые фигуры [702] еще одного образца пленки сплава Ni — Со, толщиной 5500 А прямоугольной формы
что в еще больптем поле (Я
что в еще больптем поле (Я
Рис. 23.38. Изменение порошковых фигур рис. 23,37,8 после увеличения внешнего магнитного поля Н до 4,1 э. Между вершинами треугольных областей имеется почти невидимый осадок на 180°-границе между антипараллельно намагниченными доменами (де Блуа [703]).
Рис. 23.38. Изменение порошковых фигур рис. 23,37,8 после увеличения внешнего магнитного поля Н до 4,1 э. Между вершинами треугольных областей имеется почти невидимый осадок на 180°-границе между антипараллельно намагниченными доменами (де Блуа [703]).
(112 х 35 卩2).
Из этих иллюстраций видно, какой прогресс уже достигнут в визуальных наблюдениях доменной структуры в совершенных по структуре ферромагнит
ных монокристаллах и в открывающихся в связи с этим возможностях для количественной разработки доменной структуры.
Высококоэрцитивные материалы. ^Начиная с 1950 г. в ряде работ [389, 708—718] было показано, что в высококоэр- пдтивных сплавах (ВКС) типа альнико, а также в порошковых материалах для постоянных магнитов (с удлиненными однодоменными частицами, запрессованными в немагнитной матрице, см., например, Люборский и др. [719], а также ниже § 13) могут наблюдаться макроскопические домены,
Рис. 23.39. Верхняя часть фотографии порошковых осадков на поверхности пленки (фотографии с которой приведены па рис. 23.37 и 23.38) в еще большем (чем на рис. 23.38) внешнем магнитном поле Н= 5,2 з, ориентированном вправо. Здесь 180 -граница между вершинами треугольных доменов из прямолинейной превратилась в дугу окружности и в средней части «придралась» к ребру образца (де Блуа [703]).Рис. 23.39. Верхняя часть фотографии порошковых осадков на поверхности пленки (фотографии с которой приведены па рис. 23.37 и 23.38) в еще большем (чем на рис. 23.38) внешнем магнитном поле Н= 5,2 з, ориентированном вправо. Здесь 180 -граница между вершинами треугольных доменов из прямолинейной превратилась в дугу окружности и в средней части «придралась» к ребру образца (де Блуа [703]).размер которых во много раз превышает размер структурных составляющих этих материалов, являющихся однодсменными. Эти однодомениые
Рис. 23.39. Верхняя часть фотографии порошковых осадков на поверхности пленки (фотографии с которой приведены па рис. 23.37 и 23.38) в еще большем (чем на рис. 23.38) внешнем магнитном поле Н= 5,2 з, ориентированном вправо. Здесь 180 -граница между вершинами треугольных доменов из прямолинейной превратилась в дугу окружности и в средней части «придралась» к ребру образца (де Блуа [703]).
Рис. 23.39. Верхняя часть фотографии порошковых осадков на поверхности пленки (фотографии с которой приведены па рис. 23.37 и 23.38) в еще большем (чем на рис. 23.38) внешнем магнитном поле Н= 5,2 з, ориентированном вправо. Здесь 180 -граница между вершинами треугольных доменов из прямолинейной превратилась в дугу окружности и в средней части «придралась» к ребру образца (де Блуа [703]).
образования вследствие анизотропии формы обладают магнитпой^одно- осностью и разделены немагнитными прослойками. После термомагнитной обработки (охлаждение в присутствии внешнего однородного магнитного поля) в этих материалах может возникнуть магнитная текстура — длинные оси однодоменных образований частиц выстраиваются вдоль действую-
щего при охлаждении поля. Крейк и Исаак [714] высказали предположение, что наблюдаемые с помощью метода порошковых фигур крупные домены представляют собой области в объеме ВКС, в которых вследствие магнитного взаимодействия оказываются одинаково ориентированными
Рис. 23.40. Возможная структура замыкающих областей и зародышей в «углу» никелевой пленки во внешнем поле й = 10 э, направленном по диагонали. Намагниченность в двух доменах в самом углу образца направлена влево, антипар алл ел ьно полю (де Блуа [703]).Рис. 23.40. Возможная структура замыкающих областей и зародышей в «углу» никелевой пленки во внешнем поле й = 10 э, направленном по диагонали. Намагниченность в двух доменах в самом углу образца направлена влево, антипар алл ел ьно полю (де Блуа [703]).Рис. 23.41. Порошковые фигуры па поверхности прямоугольной (112 х 35 ц2) пленки сплава Ni — Со толщиной 5500 А. а) Замкнутый магнитный поток при магнитном поле Л — 0; б) фигуры при поле И = 5,1 э, направленном вправо. 180°-гра- ница имеет форму дуги окружности ； в) фигуры после необратимого изменения структуры при поле Н = 6,0 э (де Блуа [702]).Рис. 23.41. Порошковые фигуры па поверхности прямоугольной (112 х 35 ц2) пленки сплава Ni — Со толщиной 5500 А. а) Замкнутый магнитный поток при магнитном поле Л — 0; б) фигуры при поле И = 5,1 э, направленном вправо. 180°-гра- ница имеет форму дуги окружности ； в) фигуры после необратимого изменения структуры при поле Н = 6,0 э (де Блуа [702]).Рис. 23.42. Порошковые фигуры на поверхности прямоугольной (112 х 35 у) пленки сплава Ni—Со толщиной 5500А • а) Фигуры (см. рис. 23-41) в поле, уменьшенном до значения И — 1,8 э; б) то же со вторичными иглообразными областями в поле Н = 1,4 э; в) в поле Н = 1,4 а после «прорастания» игл; г) метастабильная картина порошковых фигур в нулевом поле (де Блуа [702]).Рис. 23.42. Порошковые фигуры на поверхности прямоугольной (112 х 35 у) пленки сплава Ni—Со толщиной 5500А • а) Фигуры (см. рис. 23-41) в поле, уменьшенном до значения И — 1,8 э; б) то же со вторичными иглообразными областями в поле Н = 1,4 э; в) в поле Н = 1,4 а после «прорастания» игл; г) метастабильная картина порошковых фигур в нулевом поле (де Блуа [702]).
Рис. 23.40. Возможная структура замыкающих областей и зародышей в «углу» никелевой пленки во внешнем поле й = 10 э, направленном по диагонали. Намагниченность в двух доменах в самом углу образца направлена влево, антипар алл ел ьно полю (де Блуа [703]).
Рис. 23.40. Возможная структура замыкающих областей и зародышей в «углу» никелевой пленки во внешнем поле й = 10 э, направленном по диагонали. Намагниченность в двух доменах в самом углу образца направлена влево, антипар алл ел ьно полю (де Блуа [703]).
Рис. 23.41. Порошковые фигуры па поверхности прямоугольной (112 х 35 ц2) пленки сплава Ni — Со толщиной 5500 А. а) Замкнутый магнитный поток при магнитном поле Л — 0; б) фигуры при поле И = 5,1 э, направленном вправо. 180°-гра- ница имеет форму дуги окружности ； в) фигуры после необратимого изменения структуры при поле Н = 6,0 э (де Блуа [702]).
Рис. 23.41. Порошковые фигуры па поверхности прямоугольной (112 х 35 ц2) пленки сплава Ni — Со толщиной 5500 А. а) Замкнутый магнитный поток при магнитном поле Л — 0; б) фигуры при поле И = 5,1 э, направленном вправо. 180°-гра- ница имеет форму дуги окружности ； в) фигуры после необратимого изменения структуры при поле Н = 6,0 э (де Блуа [702]).
Рис. 23.42. Порошковые фигуры на поверхности прямоугольной (112 х 35 у) пленки сплава Ni—Со толщиной 5500А • а) Фигуры (см. рис. 23-41) в поле, уменьшенном до значения И — 1,8 э; б) то же со вторичными иглообразными областями в поле Н = 1,4 э; в) в поле Н = 1,4 а после «прорастания» игл; г) метастабильная картина порошковых фигур в нулевом поле (де Блуа [702]).
Рис. 23.42. Порошковые фигуры на поверхности прямоугольной (112 х 35 у) пленки сплава Ni—Со толщиной 5500А • а) Фигуры (см. рис. 23-41) в поле, уменьшенном до значения И — 1,8 э; б) то же со вторичными иглообразными областями в поле Н = 1,4 э; в) в поле Н = 1,4 а после «прорастания» игл; г) метастабильная картина порошковых фигур в нулевом поле (де Блуа [702]).
магнитные моменты одподоменных частиц ). Граница между этими доменами ВКС, в отличие от обычной доменной границы в мягких материалах,, резкая, поскольку в ее образовании не участвуют обменные силы. Эти
домены принято называть доменами магнитного взаимодействия. Наиболее детальное исследование этих доменов в сплавах альнико и викалой проведено в работах Шура, Лужинскои и др. [721—724], Ивата [725], а в сплаве Мп — Al в работе Шура, Кандауровой и Гусельниковой 1726], к которым мы и отсылаем читателя.
§ 9・ Процессы намагничив ания
Сам факт существования доменов позволяет установить типы процессов намагничивания в ферромагнетиках. Как уже упоминалось, ферромагнитный образец в естественном состоянии, в отсутствие внешнего магнитного поля, не имеет результирующей намагниченности. Поэтому
2A^cosdf = 0,г
где Pj— объем f-ro домена, 0力一угол между вектором намагниченности »-го домена и любым зафиксированным направлением в образце. Если включить внешнее магнитное поле Н, то образец начинает намагничиваться и вдоль направления Н появляется отличный от нуля результирующий магнитный момент 5/н тела. Этот момент в общем случае складывается мз двух частей:
5"=厶 3 cos 也处 +乙 £ и疝(cos 鶴). (23.56) i i
Первое слагаемое обусловлено ростом объемов доменов, векторы Т3 которых направлены относительно Н энергетически более выгодно, за ■счет доменов, намагниченных энергетически менее выгодно. Эти процессы идут путем смещения границ между доменами и поэтому называются процессами смещения. Второе слагаемое правой части (23.56) обусловлено изменением направления вектора Is в доменах. Эти процессы принято называть процессами вращения. Впервые эти представления сформулировали Акулов [12—16], Беккер [18, 727, 728], Гейзенберг [19], Блох [258], Сикстус и Тонкс [21, 22]. Идеи о существовании процессов смещения высказал в устной беседе Лангмюр в 1930 г. (см. замечание об этом в первой работе Сикстуса и Тонкса [21]). Таким образом, восприимчивость ферромагнетика можно представить в виде суммы восприимчивостеи двух типов процессов — смещения и вращения:
Х = Хсм + Хвр=(^)см+(^)вр. ：23.57)
Анализ кривых намагничивания реальных материалов показывает, что в области слабых полей основную роль играют процессы смещения {%%м》Хвр)- В полях больших, чем поле, соответствующее максимуму на кривой % (Z?), наоборот, основную роль играют процессы враще- ЯИЯ (%вр》Хсм).
Оба эти типа процессов в свою очередь могут быть обратимыми и необратимыми. Последний тип процессов определяет собой все явления магнитного гистерезиса (см. ниже § 13).
Обратимые процессы смещения
Общая теория. Рассмотрим сначала обратимые процессы намагничивания и в первую очередь обратимые процессы смещения. Эти процессы обусловливают важные магнитные параметры — начальную и обратимую магнитную восприимчивость ферромагнетиков. Количественную теорию этих процессов впервые дал Блох [258] и в более развернутом виде Кон- дорскии [729, 730] и Браун [731].
Вопрос о реальном существовании процессов смещения в настоящее время не вызывает сомнений. Однако при попытках построения количественной теории возникают существенные трудности. Строение граничных слоев между доменами и процессы их смещения зависят сложным образом от структурного состояния ферромагнитного кристалла. Отсутствие достаточных сведении об этом состоянии и его резко «индивидуальный» характер для каждого данного образца делают затруднительным построение количественной теории кривой намагничивания в слабых полях. Именно поэтому установление общих закономерностей, не зависящих от случайных свойств отдельного образца, представляет интерес для развития количественной теории.
Каждому стационарному (или метастабильному) состоянию ферромагнетика соответствует определенное распределение доменов. Расположение границ между ними определяется из условия минимума поверхностей энергии ?гр [см. (23.416)] этих границ, магнито упругой энергии доменов и энергии внутренних магнитных полей рассеяния.
Смещение граничной зоны Ski между соседними доменами или магнитными «фазами» ки I может произойти, если по разные стороны от границы плотность свободной энергии внешних сил Fe будет различна. Если на данном элементе dSki граничной поверхности смещение равно 谷染儿厶 то полная работа внешнего давления по всей границе равна
([(尸e)z — (^e)k] 8nkidSkb(23.58)
(疝)
Часть работы идет на покрытие увеличения внутренней свободной энергии F” связанной с силами магнитоупругои анизотропии; это увеличение равно
j [(砲儿一(^£)z] bn^idShb(23.59)
(时)
Другая часть работы (23.58) идет на компенсацию изменения поверхностной энергии между фазами
6 j ykidSki>(23.60)
(風)
В общем случае изменение (23.60) может происходить в силу следующих трех причин:
локальные изменения поверхностной энергии 丫儿八 вызванные смещением граничного слоя в новые места кристалла
，架以^d母2；(23.60а)
(風)
изменения величины площади поверхности 网卜 вызванные изменением ее кривизны при смещении
j ?人"(靑+贵)鼠"儿2"母厶(23.606)
(时)1 2
где R] и R2—главные радиусы кривизны;
изменение величины площади поверхности, вызванное деформацией ограничивающего ее контура Гд；:
§ (yki)rkl (^ki)rkldrkb(23.60в)
При обратимом смещении границ должно выполняться условие минимума полной свободной энергии тела F. Суммарное изменение 8F при смещениях границ между всеми соседними магнитными фазами должно быть равно нулю (при произвольных бп^г). Решение этой вариационной задачи смешанного типа в общем виде весьма сложно. Однако ее можно значительно упростить, допустив, что структура доменов имеет такую «геометрию», при которой величина площади границ не меняется заметно в процессе смещения. В реальных условиях это может о существл ятьс я, например, если домены имеют форму, близкую к плоскопараллельным слоям (см. рис. 23.37—23.42). В этом случае материал должен быть гомогенным по своей структуре и по возможности лишенным включений. При наличии включений границы между магнитными фазами при смещении принуждены «обтекать» включения и могут при этом заметно изменять величину своих поверхностей. Таким образом, в случае гомогенного материала процесс смещения границ между фазами практически полностью регулируется локальными изменениями плотности свободной энергии (23.59) и граничной энергии (23.60а) и (23.606). Величиной (23.60в) при этом можно пренебречь. Наоборот, для гетерогенных материалов при наличии большого числа включении процесс смещения границ между магнитными фазами почти целиком определяется формулой (23.60в). Приближение для «гомогенного» случая можно назвать «теорией напряжений» (Кондорский [730], а для «гетерогенного» случая —«теорией включений» (Керстен [732]).
В случае гомогенных материалов по схеме теории напряжений [при последовательном пренебрежении величиной (23.60в)] минимум полной свободной энергии F достигается при условии
(%)l(几)产(此尢一(/)1+争+加(靑+贵)/(2361)
Равновесие границы будет устойчивым, если правая часть (23.61) возрастает с ростом внешних сил, в противном случаем мы переходим в область необратимых смещений. Из (23.61) для полного изменения объема 乃-й магнитной фазы находим
^nh= 2 J ^[{F^-^F^dSM,(23.62)
2(我月)(8在()
где величина, обратная 。力厶 означает градиент внутренней энергии, т. е.
%‘ = +[(%)А -(尸力+芻+加(*+靑U・(23・62a)
Формула (23.62) дает принципиалное решение всей задачи обратимого смещения границ в рамках теории напряжений и в пренебрежении магнитными полями рассеяния. Основная трудность применения формулы (23.62) к конкретным случаям заключается в определении градиентов (23.62а), которые зависят от структурного состояния образца. Если смещение границ между магнитными фазами вызвано внешним магнитным полем Н^ то б [(凡)z —(凡词=厶(3 -加)6Я,(23.63)
где hk и hi — косинусы углов векторов Js в фазах 乃 и 2 с направлением вектора изменения магнитного поля 5Н (которое в общем случае может и не совпадать с направлением вектора Н)・
При смещении границ между магнитными фазами, вызванном изменением однородного напряжения 6а, имеем
{
3
2 九口0°](價——6?)5о для оси легчайшего нама-
3гничивания типа [100], 啰弘)
-у Х[Ш] (pi —pz) 6а для оси легчайшего намагничивания типа [111].
Здесь Ва и В% ——косинусы углов между направлением напряжения 6а и намагниченностями фаз Л: и 2. При одновременном действии магнитного поля и напряжений обратимое изменение объема 力-й магнитной фазы равно
Ма=』 J См [л (hk-ht) 6Я+ I Xs (^ -Pf) 6о] dSkl, (23.65) 2(方幻(8儿2)
где 九$ ==九[ioo] в случае Fe,九$ =九[ш] в случае Ni.
Из (23.65) видно, что при малых обратимых смещениях границ эффекты магнитного поля и напряжений аддитивны. Однако, как только начинают играть роль необратимые смещения, эта аддитивность исчезает. В частности, величины Ьпк будут зависеть от поеледовательности включений поля и напряжений, от способа их включении и изменения и т. п. (см. ниже).
В настоящее время имеется очень большой опытный материал по визуальному и косвенному наблюдению смещения граничных слоев между доменами. В качестве иллюстрации непосредственного наблюдения можно указать результаты исследований порошковых фигур на моно- кристальных пленочках Де Блуа [702, 703], представленные на рис. 23.37 — 23.39, 23.41 и 23.42. В частности отметим, что на рис. 23.37, в, г наблюдается искривление смещенных под действием внешнего поля границ. Согласно (23.606) для результирующего поля, действующего на границу (принимаем, что эта граница часть окружности радиуса 2?), имеем
订 V90° т … 订 V180°
Л' ИЛИ Л =―
$His
соответственно для 90°- или 180°-граничного слоя. Для R = 275 тр, (рис. 23.37, е) и в пренебрежении свободными магнитными полюсами на кривой границе, возникающими в силу нарушения условия div Is = 0, получаем для полей соответственно Н = 3,6 и 600 з, 790° ^ 0,2 зре・с%-2 и 7180° ^ 0,09 эрг^слГ2. Укажем некоторые работы по определению скорости смещения доменных границ в различных ферромагнитных веществах (в том числе и в таких пленках) [733—7411.
Обратимая восприимчивость. На основе общего соотношения (23.65) Кондорскии [730] получил формулы для обратимой восприимчивости %「, обусловленной обратимыми процессами смещения границ между доменами. Эта величина складывается аддитивно из обратимых смещений 180°-гра- ниц 加]г и 90°-границ %丄г )； при этом
= %十欣)2 碌(23.66)
丁 LJ
Если анти параллельно намагни ченные области группируются в блоки, то (23.66) примет несколько иной вид:
= %2口— (^^)[(" +加)砾(23.67)
Для Xj_r имеем
%丄，=%2 2 [(次 + %)(加 + 陶(无? + 碌)一2(" 一陶(^+加)无也],(23.68)
где множители Xi и х2 определяются через градиенты внутренних сил (23.62а) и, следовательно, зависят от структурных свойств материала, ni концентрация 方-立 магнитной фазы с положительным направлением намагниченности, a nt — то же для фазы с отрицательным направлением
вектора Is. Из (23.67) и (23.68) видно, что обратимая восприимчивость зависит 1) от структурных свойств решетки через постоянные 乂〕и х2; 2) от магнитной структуры, т. е. от соотношения концентрации п^ различных магнитных фаз ); 3) от ориентации намагниченности в кристалле. Эта последняя зависимость приводит к анизотропии %「, поскольку она становится зависимой от направляющих косинусов h^
делении магнитных фаз (все п*делении магнитных фаз (все п*а)б)а)б)Рис. 23.43". Доменная структура при Щ— 0 ферромагнитной монокристальной рамки, стороны которой параллельны осям легчайшего намагничивания типа [100].Рис. 23.43". Доменная структура при Щ— 0 ферромагнитной монокристальной рамки, стороны которой параллельны осям легчайшего намагничивания типа [100].Из теории Кондорского [730] следует, что при равномерном распре- одинаковы) анизотропия %「отсутствует.
делении магнитных фаз (все п*
делении магнитных фаз (все п*
а)б)
а)б)
Рис. 23.43". Доменная структура при Щ— 0 ферромагнитной монокристальной рамки, стороны которой параллельны осям легчайшего намагничивания типа [100].
Рис. 23.43". Доменная структура при Щ— 0 ферромагнитной монокристальной рамки, стороны которой параллельны осям легчайшего намагничивания типа [100].
В случае же резко выраженной магнитной текстуры (концентрации п» сильно отличаются друг от друга) можно ожидать значительной анизотропии %「. В частности, Ковдорский [730] па этой основе объяснил результаты опытов Вильямса [742], который нашел, что начальные магнитные восприимчивости в монокристаллах Fe — Si, имеющих форму замкнутых плоских рамок со сторонами, параллельными главным кристаллографическим осям [100], [110] и [111], относятся соответствен- н0 как Хаг [100] : Хаг [110] : Хаг[Ш]= = 6:3:2. При этом надо лишь предположить, что в образцах в силу их плоской формы имеется резкая анизотропия размагничивающего фактора, которая приводит к ярко выраженной магнитной текстуре. Изучение процессов смещения границ в образцах в форме рамок представляет принципиальный интерес, так как в данном случае эти процессы можно наблюдать непосредственно с помощью метода порошковых осадков. Дело в том, что в этих образцах размеры доменов соизмеримы с размерами образца (рис. 23.43) и границы между ними имеют прямолинейную форму. На рис. 23.32 показана картина осадка коллоидов на прямолинейной границе между доменами при различных ее положениях (а, б, е) в процессе намагничивания рамки. Опыты Вильямса и Шокли [743] показали, что измеренная намагниченность рамки при различных расположениях линий осадка в точности соответствует намагниченности, рассчитанной из соотношения объемов доменов, намагниченных вдоль и против поля (см. рис. 23.32). В связи с этими опытами обращаем внимание на работу Гольдмана, Дружинина и Януса [744], получивших иные результаты для анизотропии начальной восприимчивости, по-видимому, из-за иной магнитной текстуры в образцах.
Обобщая расчет Кондорского [730], Вонсовский [745] получил зависимость магнитной восприимчивости от внешних упругих напряжений, которая качественно подверждается опытами Шура и Мишина [746], Мишина и Кудрявцева [747] и Морковского 748].
Из-за резкой структурной зависимости начальной проницаемости (卩аг = 4лхаг) теория в ее настоящем состоянии не может дать численных значении %аг. В реальных материалах эти значения изменяются в широких пределах от нескольких единиц или десятков (например, у никеля 卩аг ^ 30) до десятков тысяч (например, сплав альсифер А1 — Si — Fe имеет 卩аг ^ 35 000, Мазумото [749]). Из теории, однако, следует общее качественное утверждение, что чем материал менее магни то анизотропен, чем он чище, и чем менее искажена его кристаллическая решетка, тем выше его начальная проницаемость. Далее из теории следует, что структурно чувствительные величины 乂〕и х2, которые входят в выражения
(23,66)——(23,68), изменяются соответственно обратно пропорционально- неоднородностям граничной энергии 丫 [т. е, %口]〜(V^rp)'1] или произведению константы магнитострикции на среднюю амплитуду внутренних напряжений [х2 〜(Xsa)~г]. Поэтому при прочих равных условиях для? получения материала с максимальным значением р,аг необходимо добиваться уменьшения магнитострикционных деформаций. Например, этого- можно добиться присадками к металлу или сплаву каких-либо добавочных
Температура, ℃Температура, ℃рис. 23.44. Температурная зависимость начальной восприимчивости (эффект Гопкинсона).рис. 23.44. Температурная зависимость начальной восприимчивости (эффект Гопкинсона).Рис. 23.45. Температурная зависимость обратимой восприимчивости по Гансу [763] для мягкого железа (сравнение теории с опытом).Рис. 23.45. Температурная зависимость обратимой восприимчивости по Гансу [763] для мягкого железа (сравнение теории с опытом).
Температура, ℃
Температура, ℃
рис. 23.44. Температурная зависимость начальной восприимчивости (эффект Гопкинсона).
рис. 23.44. Температурная зависимость начальной восприимчивости (эффект Гопкинсона).
Рис. 23.45. Температурная зависимость обратимой восприимчивости по Гансу [763] для мягкого железа (сравнение теории с опытом).
Рис. 23.45. Температурная зависимость обратимой восприимчивости по Гансу [763] для мягкого железа (сравнение теории с опытом).
элементов. Опыт показывает, что, действительно, такими свойствами обладают сплавы с малой магнитострикцией, например сплав 1040 из： системы Fe — Ni — Си — Мо (Ауверс и Нейман [750]) и сплав альсифер. Подробные исследования по влиянию величины магнитострикции на величину начальной восприимчивости производил Займовский [751]; см. также монографию Сноека (1949).
Весьма своеобразна температурная зависимость начальной восприимчивости. Вблизи точки Кюри кривая %。имеет резкий максимум (рис. 23.44) — эффект Гопкинсона. Это явление тщательно исследовали многие авторы: Займовский [751], Хонда и Нишина [753], Дехтяр и Андрюшин [754], Киркхэм [755], Кахан [756], Тиссен [757], Дрожжина и Шур [758], Шур и Баранова [759]. Однако современное состояние теории технической кривой намагничивания не позволяет еще дать количественного объяснение этой зависимости. Дёрингу [760] удалось, используя теорию спиновых волн, дать качественное объяснение теоретически непонятному до сих пор температурному ходу начальной восприимчивости растянутого Ni [см. ниже формулу (23.75)].
Керстен [732], развивая упомянутую выше «теорию включений», также получил формулу для начальной восприимчивости, которая имеет вид
Хаг (Т) = СХаг (Т) = С[^Эфф (П11/2[^Эфф (П11/2(23.69)(23.69)
Хаг (Т) = С
Хаг (Т) = С
[^Эфф (П11/2
[^Эфф (П11/2
(23.69)
(23.69)
Таким образом, темп ер а турн а я зависимость %аг определяется лишь температурной зависимостью самопроизвольной намагниченности .； Is и константы анизотропии 衣哪巾• Однако зависимость множителя с от температуры и его величина остаются в рамках этой теории пока совершенно неопределенными. Кондорский [619] подверг критике эту теорию Керстена [732]. Детальный теоретический и опытный анализ кривых хаг (Т)； дали Кнеллер [761] и Керстен [762].
Как показал еще в начале века Ганс [763], обратимая восприимчивость %「ферромагнетиков (которая определяется как предел отношения изменения намагниченности образца Д/ к изменению магнитного поля АН
при его уменьшении (АХ V 0) и при | А8| f 0) во многих случаях оказывается универсальной функцией намагниченности ). В параметрической форме эта зависимость имеет вид
d = 33 = cthz-2. (23.70) Хаг 力2 SIM 力'/$ 力 ' /
На рис. 23.45 приведены теоретическая кривая (23.70) для мягкого железа и данные измерений. Однако были обнаружены и резкие отклонения от закона (23.70). Это наблюдали, например, Самуэль 1764] для Со, Гольдшмит [76 5] и Шубина [см. цит. Вонсовский и Шур (1948), стр. 398] в Fe —— Si. Общая теория Ковдорского [766] позволяет понять природу этих отклонений, связанную с явлением магнитной текстуры. Броун [731] на основе выводов из теории Кондорского показал, что эмпирическое соотношение (23.70) может быть принципиально оправдано лишь при весьма специальных предположениях о характере внутренних напряжений в материале и его мегнитной текстуре. Морковский [748] исследовал влияние внешних напряжений на обратимую восприимчивость.
Ковдорский [767] впервые отметил, что начальная восприимчивость может не совпадать, как это считается обычно, с начальной обратимой восприимчивостью (%а > %")• Уже в сколь угодно слабом поле может наступать необратимое смещение границ. Исследуя намагничивание ферромагнетиков (сплав Fe — Ni с 15 ат.% Ni), подвергнутых натяжению, в зависимости от характера возрастания магнитного поля, Кондорский [767, 768] нашел, что неравенство %а > %аг имеет место в образцах, размагниченных без нагрузки, а затем подвергнутых натяжению и намагничиваемых при плавном увеличении поля. Это происходит потому, что здесь границы в исходном состоянии находятся в неустойчивом равновесии, и поэтому необратимое намагничивание начинается в более слабых полях, чем при размагничивании образца под нагрузкой, когда образуются домены, устойчивые при данных условиях.
Изменения начального участка кривой намагничивания можно ожидать во всех случаях, когда почему-либо произошло изменение исходного, например, размагниченного распределения магнитных фаз.
В частности, как показал Дехтяр [769], начальная восприимчивость монокристаллов метеоритного железа существенным образом зависит от последовательности наложения упругих напряжений и включения магнитного поля, а также от условия размагничивания кристаллов. Дрожжина и Шур [770] провели всесторонннее изучение влияния условий размагничивания, последовательности наложения и снятия упругой нагрузки и включения магнитного поля на начальный участок кривых намагничивания поликристаллических образцов Fe, Ni и сплава Fe — Si. Они отметили, что возрастание восприимчивости, вызванное «упругой волной» при нагрузке или разгрузке образца, имеет своим верхним пределом восприимчивость так называемой безгистерезисной (идеальной) кривой намагничивания.
Величина намагниченности в слабых магнитных полях существенно зависит от температурное предыстории образца и от способа включения магнитного поля Этот эффект объясняется: 1) температурным гистерезисом структурных превращений в кристаллической решетке гетерогенных ферромагнитных материалов и 2) темпер атурным магнитным гистерезисом ^ присущим самим процессам технического намагничивания.
Явление неоднозначной темп ер а турной зависимости намагниченности при заданной величине магнитного поля в начальном участке кривой I (Я) уже давно используется, например, для так называемого температурного остаривания постоянных магнитов (по с л ед о в а тельное нагревание и охлаждение остаточно намагниченных образцов) или при получении безгисте-
резисных (идеальных) кривых намагничивания. Однако начало современному изучению температурного магнитного гистерезиса положили работы Дрожжиной и Шура [758, 771], которые в качественной форме установили связь температурного магнитного гистерезиса с процессами технического намагничивания.
Дальнейшее развитие этих исследований в магнитно-мягких материалах дано в работах Шура и Барановой [759], Киренского, Лаптея, Дрокина и Смолина [772]. Шур, Баранова и Зайкова [773] обнаружили температурный магнитный гистерезис (ТМГ) в высококоэрцитивных сплавах альнико. В работе Барановой и Шура [774] было доказано на примере Ni, подвергаемого упругому растяжению, что ТМГ имеет место только при наличии процессов смещения. На примере сплава Fe ——Si Шур и Старцева [690] показали, что ТМГ возникает вследствие происходящей при изменении температуры ферромагнетика перестройке доменной структуры. Шур и др. [775] обнаружили ТМГ в высококоэрцитивном сплаве Со — Pt. Авторы считают, что причиной ТМГ в этом случае являются необратимые процессы перестройки магнитной структуры этого сплава, происходящие при изменении температуры. В упорядоченном состоянии этот сплав имеет большую константу анизотропии и в нем атомные магнитные моменты ориентируются вдоль легких осей. В неупорядоченной фазе с малой анизотропией магнитные моменты будут отклоняться от легких осей, располагаясь таким образом, чтобы уменьшить плотность магнитных зарядов в ферромагнетике. При изменении температуры из-за сильной темпер атурной зависимости постоянной анизотропии упорядоченной фазы и происходят необратимые изменения магнитной структуры, приводящие к ТМГ. См. также работы [776, 777].
Обратимые процессы вращения )
Общий расчет. Завершение процессов смещения в ферромагнитных кристаллах должно приводить к техническому насыщению последних вдоль одной из осей легчайшего намагничивания, ближайших к направлению намагничивающего поля. Дальнейшее увеличение поля вызывает процесс вращения вектора 工$, который заканчивается, когда векторы 18 и Н становятся параллельными друг другу. Такое резкое разбиение кривой намагничивания на два различных участка, отличающихся по своей природе, конечно, носит лишь относительный характер. Можно только утверждать, что, как уже указывалось, в области слабых полей %см》％вр，а в средних полях (от поля максимума на кривой % (Я) и до насыщения) %вр》хсм. В наиболее резком виде такое разграничение процессов намагничивания наблюдается на кривых намагничивания ферромагнитных монокристаллов (см. рис. 23.1—23.3).
Закон магнитной анизотропии Акулова [12] позволяет рассчитать теоретически кривую намагничивания для любого монокристалла и для любого направления в нем в области полей, где %вр》хсм. Расчет этих кривых (Акулов [15, 16], Гейзенберг [19], Беккер [727, 728], Ганс и Чер- лииский [47]) сводится к определению минимума суммарной свободной энергии монокристалла, складывающейся из энергии магнитной анизотропии (23.15) и энергии относительно внешнего поля (23.37) )• В качестве примера приведем расчет кривой намагничивания для монокристалла кубической симметрии, имеющего форму проволоки, ось которой совпадает с направлением [110] (диагональ грани куба), как показано
на рис. 23.46. Согласно (23.15) и (23.37) плотность свободной энергии кристалла равна
F=K^(^-HIS^^.
(23.71)
В состоянии, соответствующем излому на кривой намагничиваният существуют всего лишь две магнитные фазы с намагниченностями Is. параллельными осям [100] и [010], которые составляют одинаковый угол в 45° с осью проволоки и направлением поля И. Так как расположение 7з
в
относительно Н
процесса вращения в монокристаллической проволоке с осью вдоль направления [110].
обеих фазах совершенно одинаково, то весь расчет можно провести с одной фазой, положив условно, что вся намагниченность направлена вдоль оси [100]. Обозначим через О угол между Is и Н (см. рис. 23.46); тогда
% = cos (45° — О) = 2~1/2(cos О + sin О), а2 = cos (45°+ О) = 2~1/2(cos О — sin О), % = 0,
и, вводя относительную намагниченность / = cos ^ = =IЩ получаем из (23.71)
歹⑺=十%(2产一1)2 — 8〃
Условие термодинамического равновесия dF/dj — =0 дает
H =
2K2
（2产一1）人
(23.72)
Формула (23.72) и является уравнением кривой намагничивания, обусловленной процессами вращения
векторов Is в кубическом кристалле для оси ЦЮ]. Эта кривая изображена на рис. 23.47. При 8 = 0 /если полностью исключить процессы смещения) / = 1/2, т. е. в точке излома на экспериментальной кривой намагниченность I должна равняться IJV 2, что и наблюдается в действительности (см. рис. 23.1). Поле насыщения Hs [ио] н 2KJIs・ Например, в случае железа (К2 4 «105,11,7 *103) Hs [ц0] 470
а, что также соответствует опытным данным.
Аналогичное соответствие между теорией и опытом наблюдается и в других случаях. Дальнейшее развитие методов расчета кривых намагничивания в монокристаллах дано в работах Нееля [162], Лаутона и Стюарта [779], Лаутона [780] (см. также работы [790]
Рис. 23.47. Теоретическая кривая намагничивания ферромагнитного кубического кристалла вдоль оси [110], рассчитанная в предположении, что все намагничивание идет путем процесса [вращения (Акулов [15]).
[791]), Туров и Ирхин [781], используя общую феноменологическую трактовку в теории спиновых волн произвели расчет зависимости намагниченности одноосного ферромагнитного кристалла от поля и температуры, когда вектор Н лежит в плоскости, перпен-
дикулярной легкой оси и при условии 左е@》к^Т》卩后反,Нв^аниз? 4лр，б/8о- При этом они нашли, что
/丄(％ 切=/“ 爲 U + °-06 ^ (¥)3/2J，Н V 成(a),
/丄(T, 8) = /os [1 一 0,06 ^ (容户｝ Я> 成(б),
Я£ = Яаниз[1-0,12^ (-^) / ]‘
(23.73)
где IQs — намагниченность насыщения при 0° К, / 〜 力в® — параметр обменной связи, Яаниз — эффективное поле магнитной анизотропии (при 0° К). Поле анизотропии Як? разделяющее случаи (а) и (б) в (23.73), зависит от Т. Эта зависимость описывает изменение с температурой равновесного положения оси квантования вектора Т, связанное с аналогичным изменением константы анизотропии. Подробнее об этом расчете см. работу [781], а также обзор [782] и книги Турова (1963) и Ахиезера, Барьяхта- ра и Пелетминского (1967).
Акулов [783] произвел расчет кривых намагничивания поликристаллов (для полей, где %вр》％см), усредняя данные для монокристаллов при определенном распределении направлений осей отдельных кристаллитов поликристаллического образца. Теоретические расчеты Акулова были подтверждены опытами Жигадло и Сидельникова [784]. Однако эти расчеты не учитывают магнитное взаимодействие между отдельными кристаллитами (см. ниже), которое прежде всего «смазывает» резкий переход между участками кривой для процессов вращения и смещения (задержка завершения процессов смещения и одновременное «развязывание» интенсивного вращения векторов Js). Поэтому использование результатов расчета кривых / (Н) для монокристаллов в случае поликри- сталлических образцов допустимо лишь при достаточно высоких полях, где процессы смещения практически отсутствуют (см. ниже, а также работу [792]).
констант магнитнойконстант магнитнойРис.Рис.23.48. :К23.48. :Ккристаллического диска.кристаллического диска.расчету нормальной слагающей намагниченности моно-расчету нормальной слагающей намагниченности моно-Измерение нормальной к полю компоненты намагниченности. Для изучения ферромагнитных монокристаллов в области интенсивных процессов вращения удобно использовать нормальную (к полю) компоненту намагниченности /丄. Измерения /丄, проводимые обычно на монокристаллических дисках, в гораздо меньшей степени зависят от размагничивающего фактора образца, чем измерения кривых 厶। (Я). Поэтому эти измерения можно с успехом использовать для
констант магнитной
констант магнитной
Рис.
Рис.
23.48. :К
23.48. :К
кристаллического диска.
кристаллического диска.
расчету нормальной слагающей намагниченности моно-
расчету нормальной слагающей намагниченности моно-
точного определения анизотропии.
монокристаллического однородное поле Нмонокристаллического однородное поле НПри помещении
монокристаллического однородное поле Н
монокристаллического однородное поле Н
диска во внешнее
(рис. 23.48), параллельное его поверхности, на вектор намагниченности Is (при закрепленном диске) со стороны внешнего поля будет действовать вращательный момент
tH= — E/sSinO,
а в силу магнитной анизотропии возникает также вращательный момент
/аниз
В состоянии равновесия tH~ ^к и，следовательно, при ориентации диска, показанной на рис. 23.48, для нормальной компоненты намагниченности (в плоскости диска) будем иметь
/丄—/s sin (epi — ср) н 告 sin 4(p.
Акулов [15, 16] впервые рассчитал кривые /丄(Я,屮0. Метод измерения /丄 или для определения магнитной анизотропии нашел широкое практическое применение. Акулов и Брюхатов [785] разработали вращательный магнетометр для определения I丄,а также для определения по кривым %н (屮,Н) кристаллографической текстуры в дисках, вырезанных из поликристаллических образцов. Эти исследования привели к созданию особого практического метода магнитного контроля текстуры изделий (главным образом из листовых материалов), так называемого магнитного
текстурного анализа. Развитие этого метода дано, например, в работах [785—789].
Более детальное исследование кривых /丄(Я, ф) обнаружило наличие ряда отклонений от первоначально полученных формул. Однако, как показали анализ и измерения Тарасова [118], Бозорта и Вильямса [793], Киренского [794] и Шубиной [121], эти отклонения могут быть объяснены той же теорией Акулова 115, 16], если только принять во внимание влияние размагничивающего фактора диска и более точно учесть энергию магнитной анизотропии. Поэтому изучение кривых /丄 и их практическое использование являются блестящим доказательством правильности теории магнитной анизотропии.
Влияние напряжений. Как уже указывалось, анизотропия ферромагнитных кристаллов зависит от внешних и внутренних напряжений. В частности, при очень сильных напряжениях (几§& 少衣2) последние практически и определяют всю анизотропию кристалла. Поэтому кривые намагничивания в области процесса вращения также весьма чувствительны к напряжениям. Акулов [795], Ганс [796] и другие (см. [797]) произвели расчет кривых для монокристаллов с учетом внешних напряжений. Акулов и Киренский [798] рассчитали кривые намагничивания поликристаллов вблизи насыщения для диффузного распределения напряжений при одноосной упругой деформации. Эти расчеты дают возможность определить константы магни то стрикции и магнитной анизотропии, а также величину внутренних напряжений из измерений над поликристаллами. Аналогичную работу проделал Яншин [799].
В качестве иллюстрации рассмотрим на основе работы Беккера и Керстена [797] расчет кривых намагничивания в области процесса вращения при очень сильных напряжениях (九《》衣2)・ В этом случае свободная энергия кристалла в силу (23.20) и (23.37) равна
-у V cos2 ЯЛ cos д, (23.74)
где д — угол между векторами Н и 7s. Напряжения при этом односторонние и параллельны вектору Н. Из условия термодинамического равновесия 0F]d® = 4 находим по (23.74)
/ = cos О = —— Н и, следовательно )?
(23.75)
Из (23.75) следует, что при очень сильных растяжениях (а > 0) в материалах с отрицательной (九$ < 0) магнитострикцией (например, Ni) кривые намагничивания имеют вид прямых, наклон которых зависит от /$, Xs и а и определяется по (23.75). Соответствующие измерения на Ni производили Беккер и Керстен [797]. Эти измерения (рис. 23.49) показали полную справедливость формулы (23.75). Грабовский [800] исследовал кривые намагничивания растянутого Ni при низких температурах с целью определения хода этих кривых при резком возрастании констант кристаллографической магнитной анизотропии. При этом оказалось, что в отличие от комнатных температур при ——183° С прямолинейные кривые намагничивания сильно растянутого Ni (о ^ 17 кг)м^) имеют в начальном участке заметный излом. Это соответствует тому, что при низких температурах условие %so》К2 нарушается и в слабых полях наряду с процессами вращения начинают играть заметную роль процессы смещения.
Горелик и др. [801, 802] и Любина [803] исследовали влияние напряжений на кривые намагничивания в области процесса вращения при наложении двух взаимно перпендикулярных магнитных полей. Эти исследо
для практического применениядля практического примененияРис. 23.49. Влияние одностороннего упругого растяжения о на кривые намагничивания поликристаллического Ni (Век- кер и Керстен [797]).Рис. 23.49. Влияние одностороннего упругого растяжения о на кривые намагничивания поликристаллического Ni (Век- кер и Керстен [797]).вания имеют существенное значение (при конструировании высокочувствительных магнетометров).
для практического применения
для практического применения
Рис. 23.49. Влияние одностороннего упругого растяжения о на кривые намагничивания поликристаллического Ni (Век- кер и Керстен [797]).
Рис. 23.49. Влияние одностороннего упругого растяжения о на кривые намагничивания поликристаллического Ni (Век- кер и Керстен [797]).
Помимо рассмотренных случаев намагничивания ферромагнетиков путем процесса вращения, упомянем еще один случай такого процесса, который может иметь место в материалах, обладающих сильными внутренними напряжениями аг с беспорядочным распределением их ориентаций (например, стали, закаленные на мартенсит). Можно допустить, что в небольших объемах внутри образца напряжения аг однородны, но по границам этих объемов (где может происходить изменение ориентации д») имеются «пики» напряжений или «сетка» включений, что, по-видимому, имеет место в высокоэр-
цитивных сплавах (см. ниже). Эти нару
шения однородности создают очень высокий потенциальный барьер, задерживающий процессы смещения при намагничивании материала. Если средние размеры отдельных объемов с однородными напряжениями соизмеримы с равновесными размерами доменов, то естественно предположить, что в каждом таком объеме поместится один домен. В силу этого, заметного
развития достигают только процессы вращения, а процессы смещения и в области слабых полей практически полностью з аторм а жив аютс я. Поэтому в таких материалах начальная восприимчивость будет целиком определяться процессами вращения, а не смещения, как это имеет место в мягких материалах. Как уже упоминалось выше, общее решение задачи вычисления кривой намагничивания при таких условиях дали Беккер [727] и Акулов и Киренский [798]. В настоящее время сведения о величине и распределении внутренних напряжений в реальных материалах достаточно скудны. Поэтому магнитные измерения на материалах с сильными внутренними напряжениями могут принести некоторую пользу для определения величины и дисперсности внутренних напряжений. Наиболее удобной величиной для этого определения является начальная восприимчивость, которая связана с af формулой
(23.76)(23.76)3合卧
(23.76)
(23.76)
где а — численный фактор порядка единицы, а (а?1) — среднее значение обратной величины амплитуды внутренних напряжений в поликристал- лическом материале. Формула (23.76) и лежит в основе магнитного метода определения внутренних напряжений. Экспериментальное определение аг по магнитным измерениям было предметом ряда работ [804, 805, 757] (см. также книгу Акулова (1939)).
Теоретическое обоснование этого практически важного метода требует дальнейшего уточнения путем учета магнитного взаимодействия между доменами, неизбежной «примеси» процессов смещения и влияния магнитной текстуры. Обращаем внимание на работу Кестера [806], в которой дается анализ величины «внутренних напряжений», входящей в теорию ферромагнетизма (см. также работы [761, 807, 808] и обзоры [268, 809]).
§ 12. Приближение к насыщению )
При построении теории технической кривой намагничивания очень трудно учесть существенное влияние структуры материала на процессы намагничивания, заключающееся в том, что это влияние носит индивидуальный характер от образца к образцу, тогда как теория стремится прежде всего установить некоторые универсальные закономерности явления. С этой точки зрения интересно исследовать ход кривой намагничивания ферромагнетиков в предельном случае очень сильных полей ), где намагниченность можно представить в универсальной форме («закон приближения к насыщению») :
/ = —嚳—箫一鵠(23.77)
Работа Акулова [16] дает начало современной теории закона приближения к насыщению. Если допустить, что в области очень высоких полей намагничивание осуществляется лишь с помощью процесса вращения, то член с а? в (23.77) целиком определяется энергией кристаллографической анизотропии /низ 11 энергией упругих напряжений Как показано в работе [16],
= [V (%низ + %)]к°， (23.78)
где черта означает среднее значение квадрата градиента энергии /низ + % по объему образца, а индекс 8fo указывает, что расчет ведется в сильных полях, когда угол между векторами II и Is по всему объему образца можно считать малой величиной. Из (23.78) можно получить связь между величиной а2? определяемой из опыта, и константами магнитной анизотропии и магнитострикции. Эта связь лежит в основе упомянутого выше метода определения констант магнитной анизотропии. Многочисленные экспериментальные исследования [см., например, Вонсовский и Шур (1948)] показали справедливость теории Акулова, так как определенные таким образом (из измерений над поликристаллами) константы анизотропии совпадают с константами, измеренными в опытах с монокристаллами. Холстейн и Примаков [810], а также Неель [811, 812] уточнили формулу для а?, учтя в общем виде магнитное взаимодействие между кр【£ сталлитами поликристалла. Это еще добавочно улучшило совпадение между теорией и опытом.
Член с а1 ) в (23.77), как показано в работе Беккера и Полли [8161, определяется пластическими деформациями кристалла. Браун [361, 362, 817] развил теорию для этого случая. Он показал, что нарушения идеальности кристалла типа дислокаций вносят возмущение в однородное распределение электронных спинов в гораздо большем объеме, чем занимают сами эти искажения, что и позволяет заметить отклонения намагниченности от насыщения, вызванные этой причиной. Формула Брауна, в отличие от (23.77), имеет вид
? $-一五一-——^—^_一(23.79) L 反1/2 H 反3/2 反2 反3 」
где член с а{ соответствует точечной локализации напряжений, а；—— линейной, af —— поверхностной. Парфенов и др. [818——822] исследовали закон приближения к насыщению в большом числе магнитных материалов как мягких, так и жестких и обнаружили, что закон (23.79) и, в частности, члены с а； и а? имеют смысл. Дальнейшие уточнения теории получила в работах Зеегера и Кронмюллера [808, 823, 268] (см. также обзор [809]). Акулов и Мирясов [825] исследовали закон приближения к насыщению в поли- кристаллическом Ni и указали способ определения знака констант магнитной анизотропии. Киренский и Слободской [826] произвели расчет величин а2 и 々з в формуле (23.79) с учетом второй константы анизотропии в выражении для свободной энергии (23.8) и показали, что выбор ограничений в числе членов ряда формулы (23.79) существенно зависит не только от величины магнитного поля Я, но и от значения констант анизотропии, величина которых зависит от температуры. Поэтому, например, в случае Ni член а3/Я3 должен играть существенную роль в области низких температур из-за сильного роста постоянной К2 в (23.8). Киренский и Слободской [827] исследовали также влияние упругих диффузных напряжений на закон приближения к насыщению (23.79) при учете члена а^Н3. Эти же авторы в работе [828] учли влияние направленных напряжений на ход кривой намагничивания в сильных полях. Акулов и Большова [829] исследовали закон приближения к насыщению в мартенсите, а Большова [830]——в ряде сплавов на основе Fe.
Неель [811] считает, что одной из возможных причин появления члена а；/Е в (23.79) является наличие в реальных ферромагнитных материалах пустот или немагнитных включений. В связи с законом приближения к насыщению обращаем внимание также на работы [832—844].
Магнитный гистерезис
Общие замечания. Необратимые изменения намагниченности ферромагнетиков при их намагничивании и перемагничивании приводит к явлению магнитного гистерезиса, т. е. к неоднозначной зависимости (отставанию) намагниченности ферромагнетиков от внешнего поля.
В самом общем случае физические причины этого явления можно объяснить следующим образом. Характер магнитной доменной структуры ферромагнетика зависит как от внутренних его свойств, так и от внешних условий и в первую очередь от внешнего магнитного поля. В очень сильных полях ) любой ферромагнитный образец стремится перейти в абсолютно устойчивое термодинамически равновесное состояние с минимумом соответствующего термодинамического потенциала. В этом состоянии образец ферромагнетика обладает однородной намагниченностью, направленной вдоль внешнего магнитного поля. В отсутствие же внешнего поля или в случае слабых и средних полей существует, как правило, много равновесных (метастабильных) состояний, обладающих различными значениями термодинамического потенциала (соответствующего его относительным минимумам). Переход между состояниями условных минимумов затруднен наличием энергетических барьеров (т. е. максимумов термодинамического потенциала, разделяющих относительные минимумы между собой). Высота этих потенциальных барьеров при не очень высоких температурах обычно заметно больше средней тепловой энергии атомных масштабов, т. е. 〜к^Т. Поэтому тепловые флуктуации не могут вызвать спонтанных переходов системы между различными метастабильными состояниями и перевести систему в состояние абсолютного равновесия. Такие переходы становятся сколько-нибудь вероятными, когда в силу изменения внешних условий начальное распределение намагниченности становится абсолютно неустойчивым (т. е. система попадает на максимум термодинамического потенциала). Тогда о существ л яетс я переход в другие равновесные состояния (не обязательно абсолютно равновесные), которым соответствует меньшая энергия. Эти переходы, как правило, являются необратимыми, ибо при восстановлении исходных внешних условий система не возвращается в свое первоначальное состояние. В этом и заключается основная общая: причина магнитного гистерезиса ферромагнитных веществ.
Можно указать три основных механизма гистерезиса ):
гистерезис, обусловленный необратимыми процессами вращения (в отсутствие зародышей перемагничивания);
гистерезис, обусловленный задержкой роста зародышей перемагничивания;
гистерезис, обусловленный задержкой смещения границ между доменами.
Рассмотрим подробнее эти три механизма гистерезиса с теоретической и экспериментальной точек зрения.
Необратимые процессы вращения. Если в ферромагнитном материале исключена возможность возникновения зародышей перемагничивания (т. е. объемов с самопроизвольной намагниченностью обратного направления по отношению к основной ориентации намагниченности насыщения образца), то в нем вообще исключены про-
цессы смещения и перемагничивание может осуществляться лишь с помощью процесса вращения векторов Ts ). Такое перемагничивание ферромагнетика впервые теоретически рассмотрел Акулов [783, 845]. Его теория может быть наглядно проиллюстрирована уже рассмотренным выше случаем намагничивания монокристаллической проволоки с осью, параллельной кристаллографической оси [110]. Уравнение кривой намагничивания дается формулой (23.72). На рис. 23.47, на котором дан график этой кривой, видно, что участок EOF термодинамически неустойчив д2 (耳аниз +^Н)/^72 V V 0； участки EDC и HGF устойчивы и соответствуют двум минимумам свободной энергии (耳аниз+耳Н), разделенным потенциальным барьером. Поля, соответствующие границам этого двузначного участка, при котором энергетический барьер исчезает вместе с одним из минимумов (耳анив+耳Н)， определяются из условия dH/dj = 0. В силу (23.72) это дает для коэрцитивной силы выражение
Яс[1Ю]Яс[1Ю],4 &士 1/6 万.,4 &士 1/6 万.
Яс[1Ю]
Яс[1Ю]
,4 &
士 1/6 万.
,4 &
士 1/6 万.
В общем случае при произвольной ориентации поля для поликристаллических образцов и при наложении внешних напряжений К^©巾〜长2十仪九$0 выражение для Нс дается по порядку величины формулой
нe〜нe〜^эфф^эфф(23.80>(23.80>
нe〜
нe〜
^эфф
^эфф
(23.80>
(23.80>
Если анизотропия напряжений мала по сравнению с естественной кр ист алл о гр афиче- ской анизотропией (сй$и《К^, то, например, для чистого железа (笈2~5*105 Эрг/С^^ 厶 〜1,7 -103 гс) Ес ^ 500 з, для Ni (^2 〜4 -104 эрг/см3,厶〜500 ес) Нс 150 з, а для Со (Ki 〜4 ЛО6 эрг/см3, Zs 〜103 ес) Нс Q 6000 协 Уже из этой оценки видно, что коэрцитивные силы реальных мягких материалов, для которых опыт дает величины, не превышающие 10 з, не связаны с этим механизмом гистерезиса.
Коэрцитивная сила за счет одной лишь анизотропии напряжений равна по порядку величины
(23.81)
где численный коэффициент а ^ 3. Если напряжения малы (и《 К), то коэрцитивная сила тоже мала. Однако в ферромагнитных веществах, имеющих доменную структуру, процессы перемагничивания осуществляются гораздо легче (см. ниже) путем процессов смещения границ между доменами и роста зародышей перемагничивания. В случае же высококоэрцитивных сплавов с Яс ^ 500 з, согласно (23.81), необходимо допустить очень большие внутренние напряжения о 绘 200 кг/мм1.
Если в образце магнитная анизотропия исчезающе мала (К + aXsa ^ 0) и в то же время исключена возможность появления зародышей перемагничивания, то процесс вращения будет определяться анизотропией размагничивающего фактора. Например, в случае образца в форме удлиненного эллипсоида вращения, у которого вдоль оси вращения размагничивающий фактор равен N匕 а вдоль любого направления в плоскости, перпендикулярной этой оси, равен ^2 (причем 7Vl《N2), коэрцитивная сила оказывается равной ).
Нс=|%2—"丄丨厶 (23.82>
В случае очень длинного образца ^1 ~ 0, %2 ~ 2л, и, следовательно, для Fe, Со и Ni соответственно получаем Нс = 10 700, 8800 и 3150 з (см. ниже). Реальные случаи, в которых гистерезис может быть обусловлен необратимым вращением векторов 工§, суть следующие: 1) высококоэрцитивные гетерофазные ферромагнитные сплавы, 2) тонкие ферромагнитные пленки и порошки, 3) коллоидные ферромагнитные микропримеси внутри неферромагнитной матрицы. Во всех такого рода материалах коэрцитивная сила действительно имеет аномально большие значения (сотни, а иногда и тысячи эрстед). Опытные данные и теоретические исследования последних лет дают уже много доказательств того, что в этих материалах перемагничивание осуществляется, по-видимому, с помощью процесса вращения.
Гистерезис, обусловленный необратимыми процессами вращения вектора Is в последнее время начал усиленно изучаться в связи с проблемой создания высококоэрцитивных порошковых ферромагнитных материалов [см. Вольфарт [847, 848], Пейн [388] и книгу Кнеллера (1962)]. Как уже отмечалось выше, процесс перемагничивания частиц в однодоменном состоянии может происходить не только путем когерентного вращения векторов Is во всем объеме частицы (Стонер и Вольфарт [158, 374]), но также и с помощью более сложного процесса некогерентного вращения (см. работы Джекобса и Бина [212], Брауна [367], Кондорского [376], Фрея и др. [377] и обзоры Вольфарта [430, 847, 848] и Пейна [388]). Необходимо также учитывать возможность: 1) переходной
доменной структуры (Шур [389]), т. е. возникновение замыкающих доменов у поверхности частицы, 2) поверхностной анизотропии (Неель [166, 169], см. также обзор Джекобса и Бина [212]) и, наконец, 3) обменной анизотропии (Майклджон и Бин [208]). Зависимость коэрцитивной силы частиц сплава Мп—Bi от размеров и доменной структуры частиц наглядно иллюстрируется кривой рис. 23.19 (по Шуру [389]). В случае большой совокупности однодоменных ферромагнитных частиц магнитные свойства зависят не только от свойств отдельных частиц, но также от их взаимных расстояний и расположения (см. Неель [373], Кондорский [849, 376], а также книгу Кнеллера (1962); см. также работы [852, 853]). Создание магйитной текстуры в конгломерате однодоменных частиц, когда оси легчайшего намагничивания частиц выстроены вдоль одного направления (оси текстуры) приводит к резкому возрастанию коэрцитивной силы и остаточной намагниченности материала (см., например, работы Шура и др. [850, 393— 396, 400, 403, 404, 851]).
Задержка роста зародышей перемагничивания Второй механизм гистерезиса, обусловленный задержкой роста зародышей, имеет место
в той или иной степени во всех ферромагнетиках, и реальность его существования с несомненностью доказана опытом. В чистом виде этот механизм гистерезиса легко исследовать (и сознательно управлять им) в образцах с так называемой прямоугольной петлей гистерезиса. Такие образцы можно искусственно приготовить, например, из поликристаллического материала (обычно в форме проволоки) с высоким пределом текучести, подвергая его очень сильным односторонним внешним растяжениям а (Прейзах [854]). В этом случае (Xsa > К) вся магнитная анизотропия образца практически определяется напряжениями и ось растягиваемой проволоки становится (при Xs > 0) единственной осью легчайшего намагничивания. На рис. 23.50 в качестве примера приведены петли гистерезиса для проволоки из сплава Fe — Ni при отсутствии растяжения и при
ной петли гистерезиса при растяжении проволоки из сплава Fe — Ni (14% Ni) (Прейзах [854])ной петли гистерезиса при растяжении проволоки из сплава Fe — Ni (14% Ni) (Прейзах [854])<j = 92 кг/жж2, иллюстрирующие процесс ^образования прямоугольной
ной петли гистерезиса при растяжении проволоки из сплава Fe — Ni (14% Ni) (Прейзах [854])
ной петли гистерезиса при растяжении проволоки из сплава Fe — Ni (14% Ni) (Прейзах [854])
петли гистерезиса.
Кроме того, прямоугольную петлю можно получить с помощью термомагнитной обработки некоторых сплавов (например, в пермаллое-65 [855] или в кольце из перминвара (43 ат. % Ni, 34 ат. % Fe, 23 ат. % Со) [856]). Бозорт и Диллинджер [8571 наблюдали также прямоугольные петли в тонкой проволоке из чистого железа, в которой одноосность определялась формой образца. В монокристальных рамках большой скачок Баркгаузена наблюдали Стюарт [858], Вильямс и др. [859] (в Fe ——Si), Бозорт [108] в Fe, Галт и др. [860, 861] в ферритах.
При прямоугольной форме петли процесс перемагничивания осуществляется одним-единственным скачком *), механизм которого заключается в том, что в каком-то месте образца создается зародыш перемагничивания, который при некоторой величине магнитного поля (поле старта Н начинает с конечной скоростью расти и в конце концов поглощает весь объем образца. Механизм этих больших скачков перемагничивания тщательно изучен многими исследователями [854, 21, 22, 863, 864—870]. Важность этих исследований заключается в том, что они, во-первых, дали
непосредственное доказательство реального существования процессов смещения границ между доменами (в особенности необратимых смещений) и, во-вторых, позволили проследить в деталях кинетику процесса перемагничивания. В этих опытах было обнаружено существование двух
характерных значении магнитного поля, определяющих кинетику перемагничивания. Одно из этих значений—«поле старта» Нs — определяет собой начало процесса перемагничивания; оно нужно для создания в какой-то небольшой области образца зародыша перемагничивания в размерах, которые делают его дальнейший рост энергетически более выгодным, чем его исчезновение («испарение»!). Однако после того, как однажды поле старта Нs было достигнуто и зародыш начал расти с конечной скоростью, этот рост может продолжаться при более слабом критическом поле Hq (<ZTs). Это поле нужно поддерживать для того, чтобы граница перемагничивающейся области при своем движении преодолевала все потенциальные барьеры, возникающие из-за неоднородностей материала образца.
Теорию поля старта подробно разработал Дёринг [866, 871], который, исходя из общих представлений о процессах технического намагничивания, получил теоретически условия роста зародышей перемагничивания. В частности, он получил формулу для поля старта
Hs 二 Н—а 喂％, (23.83)
где а — численная постоянная порядка единицы, угр — плотность свободной энергии граничного слоя, окружающего зародыш перемагничивания, d — диаметр поперечного сечения зародыша в сантиметрах (предполагается, что зародыш имеет форму удлиненного эллипсоида вращения). В опытах с большими скачками перемагничивания удалось «замораживать» зародыши в процессе их роста и затем с помощью травления проволок извлекать их из толщи материала и определять магнетометрически направление их магнитного момента, получая тем самым непосредственное доказательство их реального существования и возможность количественной проверки теории. Формула (23.83) имеет особенно существенное значение потому, что она дает способ наиболее простого определения величины граничной энергии угр. Действительно, величины Hs, HQ, /$ и d определяются из опыта, поэтому величина угр и может быть найдена с точностью до численного множителя а порядка единицы и сравнена с теоретической формулой (23.416) по теории Ландау и Лифшица [20]. Так, например, из (23.83) для проволоки сплава Fe — Ni получаем Yrp 2,7 эрг/сл^, а из формулы (23.416) угр 弋 2,1 эрг/см^. Принимая во внимание оценочный характер этих соотношений, совпадание получается очень хорошее.
Кинетику роста зародышей в деталях исследовали Мирошниченко [864], Хааке [868] и Грейнер [870], и опыт полностью подтвердил предсказания теории.
Во всей теории поля старта остается неясным один весьма важный вопрос — как происходит само зарождение области перемагничивания до начала ее роста. Здесь, во-первых, может оказаться, что в ферромагнетике даже при насыщении остаются небольшие участки прежних доменов с направлением Is, противоположным направлению магнитного поля, вызывающего перемагничивание. При этом надо предположить, что критическое поле Но таких участков превышает величину поля, доводящего предварительно образец до насыщения ). Во-вторых^ на процесс образования зародышей может оказать существенное влияние размагничивающее поле, создаваемое внутренними неоднородностями образца, посторонними включениями в металле или пустотами и, наконец, его внешней поверхностью. Эти поля могут сделать внутреннее поле в небольших объемах образца вблизи таких искажений обратным по отношению к внешнему полю ). Наконец, в-третьих, причиной возникновения зародышей
перемагничивания могут явиться тепловые флуктуации. Однако расчет вероятности этого процесса для создания зародыша критического размера (обладающего способностью к дальнейшему росту) показывает, что эта причина вряд ли может играть очень существенную роль ) (см. Экштейн и Джильберт [873], Аарони [874], Дёринг [41], а также Дикстра [875]).
Теория образования зародышей еще весьма несовершенна. Для своего возникновения зародыш требует затраты определенной энергии NFз идущей на создание граничного слоя между зародышем и окружающей его средой, в котором намагниченность изменяет свое направление на обратное. Эта энергия пропорциональна квадрату линейного размера зародыша: AJ\ ^；(%吟,константа а определяется свойствами ферромагнетика и формой зародыша. Энергия NF$ должна компенсироваться уменьшением магнитной объемной энергии относительно внешнего поля NF% благодаря чему и возникают зародыши перемагничивания. Эта энергия пропорциональна кубу линейного размера: NFh ^ §球； § — постоянная, определяемая также свойствами образца и формой зародыша. При выполнении неравенства | NFh | > | АЬ§ | появляется возможность роста зародыша, т. е. процесса перемагничивания, путем смещения границ между зародышем и его окружением. Из неравенства следует, что рост возможен при г0》а/р・ Следовательно, отношение сс/р и определяет минимальные размеры зародыша (а также поле старта НJ, очень чувствительные к ничтожным вариациям внутренних свойств образца и формы зародыша. Поэтому размеры зародышей меняются в больших пределах от долей микрона до нескольких миллиметров. Кроме Сикстуса и Тонкса [21], изучавших большие скачки Баркгаузена, процесс зарождения и роста зародышей перемагничивания в материалах с многодоменной магнитной структурой, наблюдали с помощью метода порошковых фигур Бозорт [613], Вильямс и Гертц [856], Бейтс и Мартин [876], Шур и Абельс [616], Грейнер [877], де Блуа [878], Шур и Кандоурова [660], Шур и Драго- шанский [674] и др. [879—881]. См., например, рис. 23.34, где показано образование зародышей перемагничивания у поверхности образца (монокристалл Fe — Si). Проблему возникновения зародышей теоретически рассматривал Гудинаф [882], который пришел к выводу, что местами возникновения зародышей являются главным образом границы зерен и всякие «пластинчатые» выделения в кристалле [см. также книгу Вонсовского и Шура (1948)]. Этот вопрос в более точной математической, но более упрощенной физически модели рассматривали Штрикман и Тревес [883], Браун [884], Аарони [874, 836], Кэрри и Исаак [885], Аарони и Нееман [886], Абрагам [887], Мицек [888]. Ратенау и др. [889] [см. также Вонсовский и Шур (1948)] высказали мысль, что зародыши могут возникать в тех местах ферромагнитного образца, где понижена энергия анизотропии. Эту идею количественно разработал (для упрощенной модели) Аарони [369, 890, 874] (см. также [891]). Однако в этих расчетах поле для образования способного к росту зародыша перемагничивания хотя и меньше поля начала необратимого вращения (〜0,092К//§), но все еще на один- два порядка выше наблюдаемых значений коэрцитивных сил в типичных ферромагнетиках. Это указывает на грубость модели, положенной в основу теоретического расчета.
Как уже отмечалось выше, вблизи неферромагнитных включений и пустот возникает вторичная тонкая структура замыкающих областей (см., например, рис. 23.33), которые впервые наблюдал с помощью порошковых фигур Вильямс [892]. Поэтому можно говорить о двух различных критических полях образования зародышей: первое (меньшее) критическое поле, при достижении которого возникают замыкающие области вблизи «дефекта», снижающие энергию локального размагничивающего поля, существующего при однородной намагниченности вокруг дефекта (поскольку нарушается условие Div Is = 0); второе критическое поле
Рис, 23,51. Порошковые фигуры однодоменной прямоугольной пленки Ni (толщиной 1100 Л и размерами 106 х 117 ц2). а) Состояние насыщения (стрелка М) в обратном поле Н = —15 з, направленном по диагонали образца влево вниз; б) картина фигур после перемагничивания (стрелка М) в поле Н = —22 э (де Блуа [703]).
соответствует дальнейшему росту одной из замыкающих областей и превращению ее в зародыш нового домена.
Различные варианты расчета рассмотрены в работах Гудинафа [882} [см. также работы Филиппова [894] и Мюллера [895]].
Ввиду важности проблемы зародышеобразования остановимся более подробно на описании очень тонких экспериментов де Блуа [704], в которых с помощью порошковых фигур наблюдался процесс зародышеобразования на углах и ребрах прямоугольных пленок Ni и Ni — Со, N1 — Fe сплавов. Основным предположением существующей теории ферромагнитных зародышей является предположение о полном магнитном насыщении образца в исходном состоянии [872, 874]. Однако остается интригующим вопрос, все ли зародыши обратной намагниченности уничтожаются в каждом из экспериментов. Так, нацример, Фоулер и др. [693} наблюдали сохранившимися в усах с резкими углами в намагничивающих полях до 6000 э, т. е. в поле, заметно превышающем то значение, при котором обычно считается, что образец намагничен до насыщения. Точно так же в ряде других работ были обнаружены такие изменения в доменной структуре после приложения сильных намагничивающих полей, которые дают косвенные указания на то, что при этом не все зародыши были уничтожены (см., например, работы [398, 675, 699, 716, 879—881]). На рис. 23.51, а приведена фотография прямоугольной пленки Ni (с размерами 106 X 117 |12 и толщиной 1100 А) в поле Я = 15 э, направленном по диагонали пленки влево вниз. Предварительно образец намагничивался в поле Н = 240 э по диагонали вправо вверх, а затем поле уменьшалось до нуля и увеличивалось в обратном направлении до Н =——15 з. Намагниченность при этом сохраняла свое направление вдоль диагонали вверх вправо. Осадок порошка на углах указывает на сильное изменение направления намагниченности, которая стремится повернуться так, чтобы быть параллельной ребрам в углах, оставаясь антипар аллельной полю внутри образца. При поле Н = —22 а
(рис. 23.51, 6) возникают зародыши (возможно, в правом нижнем углу, поскольку видны остатки доменной структуры в противоположном верхнем левом углу) и образец перемагничивается. На рис. 23.52 показано увеличенное изображение угла этой же пленки с образованным у угла
Рис, 23.52. Порошковые фигуры доменной структуры у угла прямоугольной пленки Ni толщиной 1100 А в поле Н = 3 з. направленного вправо. Пленочка насыщалась полем в 240 э, поле образования зародышей перемагничивания Н =——22 а (де Блуа [703]).
зародышем обратной намагниченности, окруженным структурой, которая образовалась после возникновения зародыша. Рис. 23.53 дает некоторую информацию о процессе зарождения доменов на ребре пленки Ni, з также влияние зародышей, возникших у ребра, на уменьшение магнитостатической энергии поверхностных зарядов. На рис. 23.53, а поле
Рис. 23.53. Порошковые фигуры у ребра пленки Ni. а) В уменьшенном поле Н = 30 з, направленном вдоль легкой оси [110]; б) картина фигур при дальнейшем уменьшении поля до Н = 12 a. Виден рост зародышей (от ребра вниз в виде «кинжалов», а также <(вмятины» в осадке порошка на ребре образца у оснований «кинжалов» (де Блуа [703]).
А = 30 з направлено по легкой оси [110] под углом 45° к ребру вдоль оси [100]. Предварительно поле доводилось до значения 反=60 з, когда зародыши у ребра не наблюдались (или были невидимы). На рис. 23.53, а видно, что у оснований зародышей на ребре имеются утоньшения в жирной полосе осадка. На рис. 23.53, 6 видны порошковые фигуры при поле,
уменьшенном до ZT — 12 з, когда картина фигур зародышей становится очень четкой и более ясным становится уменьшение интенсивности магнитных полюсов на ребре образца.
Кондорский [768] показал, что площадь петли гистерезиса и величина коэрцитивной силы могут зависеть от формы образца, если гистерезис частично обусловлен задержкой в росте зародышей или необратимым вращением. Если этой зависимости нет, то прямоугольная петля обусловлена в основном задержкой процессов смещения границ. Независимость коэрцитивной силы от формы у большинства поликристаллических ферромагнетиков Кондорский объясняет либо только что упомянутой причиной, либо тем, что вследствие структурных неоднородностей и различия направления осей легкого намагничивания в отдельных участках образца коэрцитивная сила зависит уже не от формы ферромагнетика, а от формы отдельных участков, достаточно однородных и с одним направлением легчайшего намагничивания.
Теория напряжений и включений. Общая формула для критического поля Hq может быть получена из условий максимума разности свободных энергий (23.61). В случае 180°-смещений (储)女一(储)в ^ О и если учесть, что кривизна границ между доменами мала (R； * 身^4) ^ ^ 0, то, согласно Ковдорскому [729], Яо по порядку величины, в силу (23.61) и (23.63), равно
"=去"=去/грдп/грдп)макс)макс(23.84)(23.84)
"=去
"=去
/грдп
/грдп
)макс
)макс
(23.84)
(23.84)
где черта означает среднее значение (<9уГр/<9тг)макс по граничной поверхности. Если, кроме локальных изменений энергии угр, при смещении границ имеет место заметное увеличение площади их поверхности (например, при росте зародышей или при обтекании препятствий), то в (23.84) вместо угр надо подставить произведение Y^pS, где S ——средняя величина площади граничной поверхности, и все выражение поделить на S. Таким образом, критическое поле по теории включений (при относительно слабых локальных неоднородностях ду^/дп) дается формулой (Керстен [732])
(23.85)(23.85)(吟)макс
(23.85)
(23.85)
Кондорский [729] показал, что в случаях, когда (dS/dn)Mavc《 《 (@Yrp/d汽)макс, величина 反。 определяется в основном градиентами внутренних напряжений. Действительно, из формулы (23.416) для угр следует, что
办ГР а с do
))максмакси поэтому
)
)
макс
макс
(23.86>
В более общем случае [893] записана в формеВ более общем случае [893] записана в формеформула (23.86) может быть по Керстену
В более общем случае [893] записана в форме
В более общем случае [893] записана в форме
= (23.87)
где Да —— среднее значение флуктуаций внутренних напряжений, а множитель pQ зависит от отношения толщины 6гр граничного слоя между ферромагнитными областями к средней длине «волны» внутренних напряжений 〃；в случае Za》6гр имеем р0 6Гр/^о, а при 4y《6гр соответственно ро ^ Za/6rp, поэтому наибольшего значения 反。надо ожидать при 2(j Зрр*
Таким образом, из теории напряжений Кондорского для критического поля мягких материалов, лишенных заметных включений, следует два важных вывода: 1) критическое поле растет пропорционально увеличению средней амплитуды внутренних напряжений Да и 2) HQ имеет наибольшее значение, когда дисперсность этих напряжений сравнима с толщиной граничных слоев между доменами (厶 ^ 6гр). Огромное количество опытного материала целиком подтверждает эти два основных качественных вывода теории. Количественное сравнение теории с опытом, к сожалению, невозможно из-за резкой структурной чувствитель
ности явления магнитного гистерезиса.ности явления магнитного гистерезиса.Для материалов с большим числом включений справедлива формуДля материалов с большим числом включений справедлива формула (23.85). Эта формула для частного шарообразных включений примерно одинакового размера (например, для зернистого цементита в углеродистой стали) принимает вид (Керстен [893])ла (23.85). Эта формула для частного шарообразных включений примерно одинакового размера (например, для зернистого цементита в углеродистой стали) принимает вид (Керстен [893])случая правильного распределенияслучая правильного распределения% = Р1% = Р1к3+力к3+力Рп,Рп,(23.88)(23.88)где КЭфф —— эффективная постоянная магнитной анизотропии, § ——концентрация примесей, п ——показатель степени, равный 1, 2/3, 4/3 и т. п., множитель pi зависит от отношения толщины граничного слоя 6гр и диаметра включений d: при 6гр《d имеем pi 弋 6rp/cZ, а при 6гр》d имеем Pi ^ с?/6гр. Таким образом, 瓦)растет с ростом концентрации включений и имеет наибольшее значение пригде КЭфф —— эффективная постоянная магнитной анизотропии, § ——концентрация примесей, п ——показатель степени, равный 1, 2/3, 4/3 и т. п., множитель pi зависит от отношения толщины граничного слоя 6гр и диаметра включений d: при 6гр《d имеем pi 弋 6rp/cZ, а при 6гр》d имеем Pi ^ с?/6гр. Таким образом, 瓦)растет с ростом концентрации включений и имеет наибольшее значение приРис. 23.54. Возникновение магнитных зарядов на поверхности ^немагнитных включений или пустот, а) Сферическое включение диаметра d не цасается граничного слоя 6「р между доменами; б) включение пересекается граничным слоем.Рис. 23.54. Возникновение магнитных зарядов на поверхности ^немагнитных включений или пустот, а) Сферическое включение диаметра d не цасается граничного слоя 6「р между доменами; б) включение пересекается граничным слоем.определенной их дисперсности (когда 6гр ^ d). Из (23.88) следует, что температурная зависимость Н° определяется в основном зависимостью- для ^Эфф и Is (в pi анизотропия КЭфф входит через 6гр), что может быть использовано при проверке теории с помощью измерений температурной зависимости коэрцитивной силы в таких материалах. Детальные расчеты по теории включений проведены в работах Дикстра и Верта [894а].Несмотря на простоту изложенных выше теорий напряжений и включений и некоторую согласованность их с опытом, обе эти теории, осо- беннд вторая, обладают тем существенным недостатком, что в них совершенно не учитывается магнитное взаимодействие. При всех расчетахопределенной их дисперсности (когда 6гр ^ d). Из (23.88) следует, что температурная зависимость Н° определяется в основном зависимостью- для ^Эфф и Is (в pi анизотропия КЭфф входит через 6гр), что может быть использовано при проверке теории с помощью измерений температурной зависимости коэрцитивной силы в таких материалах. Детальные расчеты по теории включений проведены в работах Дикстра и Верта [894а].Несмотря на простоту изложенных выше теорий напряжений и включений и некоторую согласованность их с опытом, обе эти теории, осо- беннд вторая, обладают тем существенным недостатком, что в них совершенно не учитывается магнитное взаимодействие. При всех расчетах
ности явления магнитного гистерезиса.
ности явления магнитного гистерезиса.
Для материалов с большим числом включений справедлива форму
Для материалов с большим числом включений справедлива форму
ла (23.85). Эта формула для частного шарообразных включений примерно одинакового размера (например, для зернистого цементита в углеродистой стали) принимает вид (Керстен [893])
ла (23.85). Эта формула для частного шарообразных включений примерно одинакового размера (например, для зернистого цементита в углеродистой стали) принимает вид (Керстен [893])
случая правильного распределения
случая правильного распределения
% = Р1
% = Р1
к3+力
к3+力
Рп,
Рп,
(23.88)
(23.88)
где КЭфф —— эффективная постоянная магнитной анизотропии, § ——концентрация примесей, п ——показатель степени, равный 1, 2/3, 4/3 и т. п., множитель pi зависит от отношения толщины граничного слоя 6гр и диаметра включений d: при 6гр《d имеем pi 弋 6rp/cZ, а при 6гр》d имеем Pi ^ с?/6гр. Таким образом, 瓦)растет с ростом концентрации включений и имеет наибольшее значение при
где КЭфф —— эффективная постоянная магнитной анизотропии, § ——концентрация примесей, п ——показатель степени, равный 1, 2/3, 4/3 и т. п., множитель pi зависит от отношения толщины граничного слоя 6гр и диаметра включений d: при 6гр《d имеем pi 弋 6rp/cZ, а при 6гр》d имеем Pi ^ с?/6гр. Таким образом, 瓦)растет с ростом концентрации включений и имеет наибольшее значение при
Рис. 23.54. Возникновение магнитных зарядов на поверхности ^немагнитных включений или пустот, а) Сферическое включение диаметра d не цасается граничного слоя 6「р между доменами; б) включение пересекается граничным слоем.
Рис. 23.54. Возникновение магнитных зарядов на поверхности ^немагнитных включений или пустот, а) Сферическое включение диаметра d не цасается граничного слоя 6「р между доменами; б) включение пересекается граничным слоем.
определенной их дисперсности (когда 6гр ^ d). Из (23.88) следует, что температурная зависимость Н° определяется в основном зависимостью- для ^Эфф и Is (в pi анизотропия КЭфф входит через 6гр), что может быть использовано при проверке теории с помощью измерений температурной зависимости коэрцитивной силы в таких материалах. Детальные расчеты по теории включений проведены в работах Дикстра и Верта [894а].
Несмотря на простоту изложенных выше теорий напряжений и включений и некоторую согласованность их с опытом, обе эти теории, осо- беннд вторая, обладают тем существенным недостатком, что в них совершенно не учитывается магнитное взаимодействие. При всех расчетах
определенной их дисперсности (когда 6гр ^ d). Из (23.88) следует, что температурная зависимость Н° определяется в основном зависимостью- для ^Эфф и Is (в pi анизотропия КЭфф входит через 6гр), что может быть использовано при проверке теории с помощью измерений температурной зависимости коэрцитивной силы в таких материалах. Детальные расчеты по теории включений проведены в работах Дикстра и Верта [894а].
Несмотря на простоту изложенных выше теорий напряжений и включений и некоторую согласованность их с опытом, обе эти теории, осо- беннд вторая, обладают тем существенным недостатком, что в них совершенно не учитывается магнитное взаимодействие. При всех расчетах
молчаливо предполагается, что магнитные заряды полностью отсутствуют (div I = Div I = 0). Вместе с тем из расчетов Керстена [893] прямо следует, что на поверхности включений должны появиться магнитные заряды (Div 工 = 0) и связанное с ними магнитное поле рассеяния (рис. 23.54). Это обстоятельство отметил Неель [265, 619а] и независимо от него Кон- дорский [619, 413] и Вонсовский [см. в книге Вонсовского и Шура (1948), стр. 396].
Ковдорский [619] дал более точное решение этой задачи, на котором мы сейчас и остановимся. Прежде всего он отметил, что формулы, полученные Керстеном [893], строго говоря, справедливы лишь для ограни
ченного числа специальных случаев, когда включения имеют вид «игл», вытянутых вдоль направления поля, или когда линейные размеры включений d < Зрр, где 6гр ширина граничного слоя между ферромагнитными фазами. В большинстве же случаев необходимо учитывать энергию размагничивающего поля, вызванного существованием включений произвольной формы и величины. Еще в своих прежних работах по теории гистерезиса Кондорский [768] считал, что наиболее вероятными местами нахождения зародышей новых магнитных фаз при перемагничивании
являются места пустот и включений в ферромагнитном материале (см. выше). При полях больше поля старта зародыш может прекратить
свой рост, если его граница наткнется на включения, линейные размеры d которых меньше критических размеров ds зародыша. При «прохождении» через включение должно произойти изменение свободной энергии,
во-первых, для увеличения поверхности граничной зоны на величину AS ^ 冗&2/4 и, во-вторых, для перераспределения магнитных зарядов на поверхности включения. Эти свободные энергии, согласно оценке Ковдорского [619], соответственно равны
§2 -у Л^Л ~f-^3 (при d》6pp),
N — размагничи- [см., например,(23.89)N — размагничи- [см., например,(23.89)*2^0 (npn d《6гр), где с — численные коэффициенты порядка единицы, а вающий фактор включения. Таким образом, при 6^6гр выражение для угр в формуле (23.416)] имеем
N — размагничи- [см., например,
(23.89)
N — размагничи- [см., например,
(23.89)
紡] угрк喚巾 8rp
"¥Г Ni^d ^ ёГ •
Из (23.89) следует, что при d》6гр имеем 宮2》宮1， и лишь при 6гр 弋 d значения 宮]и ^2 могут быть одного порядка величины. Таким образом, из (23.89) видно, что при d > 6гр главной причиной задержки граничного слоя на включениях является не уменьшение величины поверхности границы, а уменьшение энергии магнитного поля самого включения.
Сравнение свободной энергии g2 с энергией относительно внешнего поля позволяет определить порядок величины критического поля, вызванного магнитным действием включения при условии 6гр < d < ds, т. е. при условии, что на пути растущего зародыша встречаются лишь включения с размерами, меньшими критических размеров зародышей (ds), способных к росту. Величина этого критического поля
4pi "j ( 〃)％, (23.90)
где г/ —— объемная концентрация включений при 6гр <Z d <Z ds.
Сравнение формулы (23.90) с опытом показывает, что в мягких сталях достаточно малыми размерами обладает лишь незначительная часть примесей, т. е. что г/《и (где и ——полная объемная концентрация примесей). Так, например, в случае сплава Fe — Si (4 ат. % Si), содержащего углерод (1 ат. % С) в виде графита (и ^ 0,036), из (23.90), принимая N 4, /§ ^ 弋 1600, получаем
Якр1 180 (占『/зз . (23.91)
Следовательно, при vr ^ v поле 反式卩，]должно было бы равняться 180 з. Но при этом размеры почти всех включений должны быть меньше ds (^ ^ и). Величину ds можно оценить: при Н ^ 180 э имеем ds ^ 0,2 -10-5 см.
В действительности опыт дает в несколько раз большую величину, соответствующую Нs ^ 10 з. Таким образом, в рассматриваемом случае уже при полях порядка 10 э большинство включений является центрами роста зародышей и, следовательно, объемная концентрация включений с d V d§ будет мала, т. е. v'《и. Полагая в (23.91) Якр1 10 з, получаем z//u ^ 10-2. Таким образом, вопрос о дисперсности примесей в этой теории играет весьма существенную роль. •
Далее Ковдорский приводит выражения для критического поля: 1) в ферромагнетике с мелкими примесями и 2) для мягких сталей с круп-
якр1 券 e)2/3 < %(力 ^旨,якр1 券 e)2/3 < %(力 ^旨,(23.92)(23.92)ными включениями. В первом случае (дисперсная структура, г/ ^ и)
якр1 券 e)2/3 < %(力 ^旨,
якр1 券 e)2/3 < %(力 ^旨,
(23.92)
(23.92)
где d —— средний диаметр основной массы включений. Величина Н^ i в этом случае может быть весьма значительной (максимум достигается' при d ^ Згр и может превосходить критическое поле чистого вращения, т. е. величину ^NIJ). Температурная зависимость коэрцитивной силы
Рис. 23.55. Вторичная структура ферромагнитных доменов вблизи включения (заштрихованная область), а) Включение пересекается 180°-граничным слоем АВ между доменами； б) включение вне граничного слоя АВ; в) «прилипание» граничного слоя %ВРис. 23.55. Вторичная структура ферромагнитных доменов вблизи включения (заштрихованная область), а) Включение пересекается 180°-граничным слоем АВ между доменами； б) включение вне граничного слоя АВ; в) «прилипание» граничного слоя %Вв этом случае такая же, как и температурная зависимость намагниченности насыщения. Во втором случае Нs (d)《 NIsv2^3/i и v‘《 и. При Н < Нs (d) включения задерживают рост зародышей, возникших на включениях с d > d. Если поле достигает величины Нs (d) —卜 Н° (о) (здесь Hq (о) — часть критического поля, зависящая от неоднородностей материнской ферромагнитной фазы), то начинается рост зародышей от большинства включений и происходит перемагничивание. Таким образом,
Рис. 23.55. Вторичная структура ферромагнитных доменов вблизи включения (заштрихованная область), а) Включение пересекается 180°-граничным слоем АВ между доменами； б) включение вне граничного слоя АВ; в) «прилипание» граничного слоя %В
Рис. 23.55. Вторичная структура ферромагнитных доменов вблизи включения (заштрихованная область), а) Включение пересекается 180°-граничным слоем АВ между доменами； б) включение вне граничного слоя АВ; в) «прилипание» граничного слоя %В
%Р2 M 值)+ %(。4
^里 + 反0(0). (23.93)
Температурная зависимость коэрцитивной силы в этом случае обусловлена магнитной анизотропией и пропорциональна К縊(см., например, [896]).
В связи с расчетом Ковдорского [619] возникает задача более детального исследования распределения намагниченности Is вблизи включений.
В частности, при d > d§ можно представить себе такое распределе-
ние намагниченности у поверхности включения, при котором достаточно точно выполняются условия Div Is = 0, т. е. практически нет магнитных зарядов.
Эта задача, как указывалось выше, была решена в работах Нееля [619а] и Ковдорского [413]. Как следует из опытов Вильямса и Шокли [597] (см. рис. 23.28, 23.33), в кристаллах с тремя осями легкого намагничивания вокруг включений образуется структура «кинжалообразных» доменов. Граница между доменами, перемещаясь в процессе намагничивания образца, может переходить через включения и вызывать образование вторичных структур доменов типа «шлейфа» (см. рис. 23.23). Если граница не может перейти через включение, то перемагничивание осуществляется путем роста зародышей внутри домена, ограниченного такими включениями, и, следовательно, коэрцитивная сила определяется в основном полем старта Нs [см. формулу (23.83)]. В том случае, когда граница может перейти через включения, коэрцитивная сила определяется критическим полем HQ. Ковдорский [413] рассматривает два типичных случая: 1) ферромагнетик с одной осью легчайшего намагничивания и 2) ферромагнетик с тремя осями легчайшего намагничивания, причем в обоих случаях существуют относительно крупные включения. В случае 1) (одна легчайшая ось) вокруг включений возникают структуры, изображенные на рис. 23.55. При переходе от структуры а) к структуре б) критическое поле 凤^ равно
畔 f*' (23-94)
где Z и d ——полудлина и диаметр поперечного сечения области со вторичной структурой доменов типа б), а и — объемная концентрация включений. При переходе от структуры а) к структуре в) имеем
8^Q》^讲/3. (23.95>
Значение поля старта находим по формуле (23.83). В случае Со (7ГЭфф ^ ^ 8 -106 эрг/см?) или в случае магнитно-одноосных образцов Ni или сплавов Fe ——Ni (когда величина энергии внешних напряжений, создающих эту магнитную анизотропию, порядка энергии естественной кристаллографической анизотропии, т. е. 3Xsa/2 ^ 衣導巾巾) при у「р ^ 1 эрг!с^ и f > ^о Ю-4, имеем
H^>H^>HS.
Рис. 23.56. Образование структуры ft шлейфа при смещении границ между доменами (по Неелю — Кондорскому).Рис. 23.56. Образование структуры ft шлейфа при смещении границ между доменами (по Неелю — Кондорскому).одноосных материалах включения задерживают смещения границ и величина коэрцитивной силы определяется суммой поля старта и критического поля, созданного н апр яжени ями [см. (23.86)]. Неель [619а] показал, что в случае очень малых включений (d < 6гр) переход граничных слоев через эти включения возможен, и тогда критическое поле убывает с уменьшением размеров включений.
Рис. 23.56. Образование структуры ft шлейфа при смещении границ между доменами (по Неелю — Кондорскому).
Рис. 23.56. Образование структуры ft шлейфа при смещении границ между доменами (по Неелю — Кондорскому).
В случае 2) (три легчайших оси) при переходе границы через включение образуются кинжалообразные домены (рис. 23.28 и 23.56). Перемещение граничного слоя на Дх увеличивает магнитную энергию на величину
Мразм=-2厶亙铝2.
Увеличение поверхностной энергии Д^пов=Тгр^'Дж-
скачок)скачок)(23.96)(23.96)Самопроизвольное перемещение границы (т. е. необратимый начинается еще до ее отрыва от шлейфа при поле
скачок)
скачок)
(23.96)
(23.96)
Н>% =毙圈з
Формула (23.96) совпадает с формулой теории «включений» (23.88), полученной без учета структуры шлейфа у включений. Из сравнени兄(23.96〉 и (23.83) находим, что при и V и。^ 0,5 имеем Нк V Нs. В случае мягких сталей V《 0,5, поэтому их коэрцитивная сила определяется по (23.96) и, следовательно, результаты теории включений, полученные даже в пренебрежении магнитными полями рассеяния, сохраняют свое значение.
В ряде работ Висена [896а] развил эти расчеты, учтя эффект упругих и пластических напряжений. Этот вопрос также рассмотрен в работах [897—907]. Укажем также на работы Гудинафа [882], Керстена [908] и Пфеффера [909], в которых теоретически исследуется вопрос о коэрцитивной силе.
Кондорский [910] построил также теорию кривых намагничивания и петель гистерезиса для поликристаллических материалов. Основная трудность при построении такой теории св兄зана с учетом магнитного взаимодействия внутри ферромагнитного образца. Тем не менее рассматривая предельные случаи, поддающиеся расчету (поликристалл с вытянутыми зернами и поликристалл с плоскопараллельными зернами), он дал теоретические асимптотические формулы для нулевых кривых намагничивания, для максимальных петель гистерезиса и для петель частных циклов в случае идеальных кривых намагничивания. Он же впервые получил формулу зависимости потерь от акшлитуды поля и формулу^
ев язывающую кривые намагничивания и перемагничивания поликри-
сталла;
ем. также работу Шура и др. [522] по домеьшой структуре
в переменном поле в связи с проблемой электромагнитных потерь.
5. Гистерезис в слабых полях (релеевская область). Теория Кондорского [910] углубила и значительно развила более ранние теоретические трактовки кривых намагничивания и петель гистерезиса изотропных ферромагнитных веществ. Общую теорию этих явлений для случая слабых намагничивающих полей впервые еще в 1887 г. предложил Релей [911]. Он установил следующие универсальные формулы для начального участка кривой намагничивания О А (рис. 23.57):
/=%аН 士 ЬН2
(знак плюс соответствует Я > 0, а минус — Я < 0), для нисходящей ветви петли гистерезиса (/В/' на рис. 23.57);
/ = (Ха + ЬНт) Н — (№ — Н^}
и для восходящей ветви (AfBfA рис. 23.57):
/ = (%а + Е + g (反2 — 〃緒，
где Нт — максимальное значение поля, соответствующее насыщению. Для остаточной намагничен-
ности
имеем
и для
Элвуд
гистерезисных потерь (за цикл)
[912] показал, что эти «законы Релея» удо
Рис. 23.57. Кривая намагничивания и петля гистерезиса в области слабых полей (по Релею).
влетворяются для большого числа материалов, а Кахан [756]——что для Fe, Ni, Со и сплава Fe ——Al эти
законы справедливы при всех
температурах вплоть до точки Кюри. Упомянем также и другие экспериментальные работы по изучению релеевской области [913—918].
Первая попытка теоретически объяснить формулы Релея на основании современных представлений о механизме технического намагничивания принадлежит Прейзаху [919]. Для объяснения квадратичного члена 6Я2 в формулах Релея он предполо жил, что каждый /-й домен ферромагнетика в необратимой части своего намагничивания характеризуется прямоугольной петлей гистерезиса, которая определяется значением критического поля HOj и поля смещения Я^ (рис. 23.58)* Это смещение вызвано неоднородностями внутреннего поля в ферромагнетике, что в свою очередь является следствием магнитного взаимодействия между доменами. Система доменов, т. е. магнитная структура ферромагнетика
Рис. 23.58. К теоретическому объяснению закона Релея (Прейзах [919]).
определяется распределением значений параметров Н{
it Нър Расчеты, основанные на такой модели Кондорскому [920] (а также Неелю [921])
о?
',позволили вывести за
чается в положительном или
коны Релея. См. также работы [922—925].
Неель [926] предложил в развитие этих расчетов модель двух взаимодействующих доменов с прямоугольными петлями. При этом он предсказал два новых явления. Одно из них назвали «качанием» *). Оно заклю- отрицательном изменении намагниченности в поле Н&,
вызванном многократным периодическим изменением поля в интервале от На до Нв и обратно. Второе явление называется «ползучестью» **). Оно заключается в постепенном смещении петли гистерезиса при возрастании числа циклов перемагничивания (в интервале от На Д° *в)・ В работе Нгуэ Ван Данга [926а] эти эффекты были обнаружены на опыте (см. также гл. 24).
6. Анизотропия магнитного гистерезиса. Явление магнитного гистерезиса обнаруживает сильную анизотропию [см. Вонсовский и Шур (1948), Кнеллер (1962)]. Тщательное опытное исследование этого вопроса
*) По английски tilting, по французски bascule.
**) По английски creep, по французски reptation.
на монокристаллических дисках кремнистого железа, проведенное Шуром [927], показало, что величина коэрцитивной силы монокристалла зависит от кристаллографических направлений. Минимальные значения Нс получаются для тех направлений в плоскости диска, для которых значение энергии магнитной анизотропии минимально. Теоретический анализ этих опытов, данный Вонсовским [928], показал, что наблюдаемая анизотропия Нс в монокристаллах ферромагнетиков определяется в основном влиянием формы образца (размагничивающим действием поверхностей основания дисков). Учет влияния процессов вращения в доменах на угловую зависимость коэрцитивной силы в магнитно-одноосных ферромагнитных монокристаллах проведен в работе Шура, Кандауровой, Оноприенко [929]. См. также работы [930—935] и особенно Дунаева и Иванченко [931].
Температурная зависимость гистерезиса. Магнитный гистерезис ферромагнитных тел существенно зависит от температуры. С ростом температуры коэрцитивная сила, как правило, уменьшается. Потери на гистерезис также уменьшаются с температурой. Современная теория может дать лишь качественное объяснение этому уменьшению с ростом температуры значений магнитных параметров, характеризующих гистерезис ферромагнетиков ).
В гл. 5 и 18 мы рассмотрели обратимые процессы выделения и поглощения тепла, связанные с процессами намагничивания веществ. В области слабых полей, когда в ферромагнетиках протекают необратимые процессы смещения границ между доменами, на обратимый магнетокалорический эффект накладываются необратимое выделение тепла. Границы доменов, смещаясь с конечной скоростью, создают вихревые токи, которые ведут к выделению необратимого джоулева тепла в ферромагнитном металле.
Этот эффект впервые в 1881 г. наблюдал Варбург [936], который установил, что количество выделенного тепла за цикл перемагничивания равно магнитной работе Q〃r= ——§ Н di. Затем, начиная с работы Адельсбергера [937], было проведено множество опытных исследований по определению Qt", главным образом Бейтса с сотрудниками (см., например, [938-942]).
Остаточная намагниченность. Теория весьма интересного метаста- бильного состояния остаточной намагниченности ферромагнетиков находится еще в далеко неразработанном виде. Ганс [46] впервые вычислил для идеально изотропных поликристаллических материалов величину относительной остаточной намагниченности jR = IrU s^ предполагая, что участок ветви петли гистерезиса от насыщения Is до IR определяется исключительно процессами вращения. Для кубических кристаллов с легчайшими осями типа [100] (Fe) величина /r = 0,83; в случае, если легчайшими являются оси типа [111] (Ni), то /r = 0,86; в случае одноосных кристаллов (Со): jR = 0,50. Однако фактически наблюдаемые значения /в могут заметно отличаться от этих теоретических предсказаний. Причиной этих расхождений может быть не только анизотропия (текстура) реальных поликристаллов, но также магнитное взаимодействие между кристаллитами, а также процессами смещения границ между доменами, возникновением структуры замыкающих областей у поверхности кристаллитов, около дефектов и т. п. Обращаем внимание на работу Гримеса [960] и в особенности на исследования устойчивости остаточной намагниченности и непосредственного наблюдения в этом состоянии доменной структуры, проведенные Шуром и Старцевой [961, 962], см. также работы [399, 966—972].
§ 14. Магнитные материалы
Остановимся кратко на описании технических ферромагнитных материалов. Эти материалы играют в современной технике необычайно важную роль. Они составляют существенный элемент в конструкциях множества машин и приборов, используемых в промышленности, на транспорте и в бытовых целях. Магнитные материалы обеспечили современное широчайшее развитие электротехники, радиоэлектроники, измерительных приборов, счетно-решающих машин и т. п. Ежегодно во всем мире производится много миллионов тонн электротехнической стали и других магнитных материалов. Наибольшего развития производство магнитных материалов достигло за последние 20—30 лет. Над проблемами производства высококачественных магнитных материалов работают металлурги, металловеды и физики во всем мире.
При классификации магнитных материалов следует исходить из двух основных требований, которые предъявляются к ним со стороны техники. Необходимо иметь материалы, с помощью которых можно создавать максимальный магнитный поток при минимальном внешнем магнитном поле и при минимальных потерях энергии (это возможно при условии, что намагниченность в материале «легко следует» за всеми изменениями внешнего поля), а также материалы, которые без участия внешних подмагничивающих источников сами являются источниками сильного и стабильного (по отношению к внешним полям, температуре и т. п.) магнитного потока. Такие материалы предварительно намагничиваются с помощью внешних источников поля, а затем используются в состоянии остаточной намагниченности, т. е. в качестве постоянных магнитов.
Первому требованию удовлетворяют мягкие магнитные материалы, а второму — жесткие, или высококоэрцитивные.
Мягкие магнитные материалы* Мягкий магнитный материал должен иметь кривую намагничивания с большой проницаемостью (характеризующую крутизну подъема кривой), достигаемой в очень слабых полях, и очень узкую петлю гистерезиса с ничтожно малой коэрцитивной силой. Желательно также, чтобы эти материалы обладали высоким насыщением, высокой точкой Кюри и были плохими проводниками электрического тока, что обеспечивает малость потерь на токи Фуко при перемагничивании. В качестве примера предельного по «мягкости» материала может служить сплав супермаллой (сплав Fe — Ni с добавками Мо с начальной порницаемостью 卩。^ 105 zc/m, максимальной проницаемостью 卩макс Ю6 гс!э и коэрцитивной силой Нс 0,002 э.
Важнейшее значение мягких магнитных материалов в экономике страны видно, например, из той роли, которую играют в ней трансформаторное и динамное листовое железо. Количество этих материалов и их качество определяют возможности энерговооружения страны, а следовательно, и ее экономическую мощь в целом. Годовое производство этих материалов во всем мире исчисляется многими миллионами тонн. Отсюда вытекает огромная важность задачи создания электротехнических магнитных материалов самого высокого качества. Чтобы подчеркнуть государственное значение проблемы улучшения свойств этих магнитных материалов, достаточно вспомнить, что при многокаскадной передаче электроэнергии от электростанций к потребителю в генераторах, моторах, электродвигателях и трансформаторах теряется много энергии на перемагничивание и токи Фуко. Следует помнить, что эта передача связана с многокаскадным трансформированием. Повышение качества электротехнического материала не только дает экономию за счет снижения потерь, но также позволяет значительно уменьшить габариты машин и трансформаторов, что влечет за собой большую экономию цветных металлов и других дефицитных материалов. Таким образом, проблема улучшения качества даже только трансформаторного и динамного листового железа,
особенно в связи с планами стремительного роста энергетики, будет приобретать все большую актуальность. Не случайно, что над этой проблемой работают весьма интенсивно в сотнях лабораторий мира.
Кроме листовых электротехнических магнитных материалов, промышленность всех стран с каждым годом потребляет все больше других высококачественных мягких магнитных материалов, в основном железоникелевых сплавов типа пермаллоя. Следует особо отметить важнейшие мягкие магнитные материалы полупроводникового класса — ферриты, которые благодаря своему высокому электрическому сопротивлению являются незаменимыми материалами для СВЧ техники. Ферриты играют также важнейшую роль в технике электронных вычислительных машин (ЭВМ), поскольку из ферритов делают магнитные запоминающие устройства. Последнее время большое внимание уделяется разработке новых магнитных материалов — тонких ферромагнитных пленок (толщиной порядка 1000 А), в основном из пермаллоя, которые сулят большие перспективы для дальнейшего улучшения работы ЭВМ, поскольку скорости их перемагничивания на 2—3 порядка больше, чем у ферритовых тороидов. Это в принципе делает возможным настолько же увеличить быстродействие ЭВМ (при условии достижения таких же скоростей в других немагнитных узлах машины).
По своему химическому составу, технологическим методам изготовления и областям применения мягкие магнитные материалы разделяются на группы.
Технически чистое Fe (армко-железо) — самый простой и дешевый материал, к нему же можно присоединить его заменители — низкоуглеродистые стали (содержащие не более 0,04 вес. % С). Основные магнитные характеристики технического Fe такие [Бозорт (1956)] .(при 20° С): Is = =1714 ее, Bs = 4n7\ — 21 580 ес; типичные значения максимальной проницаемости р,макс = 5000, наивысшее значение 卩макс = 350 000 ес/з, коэрцитивная сила рядовых образцов Нс = 0,9 э, наименьшее значение Нс = 0,01 э. Области применения: в магнитопроводах электромагнитных приборов и аппаратов постоянного тока (реле, электромагниты, полюсные накЪнечники и т. п.). В переменноточной аппаратуре не используется из-за высокой электропроводности (большие потери на вихревые токи). Из термообработок, резко улучшающих свойства технического Fe, упомянем рафинирующий отжиг при Т 1500° С в атмосфере Н [Бозорт 1956)]. При нагреве образцов технического Fe до температур порядка 150° С наблюдается явление магнитного старения, приводящего к уменьшению проницаемости. Это явление связано с выпадением небольших количеств карбидов и нитридов при нагреве (см., например, [973]).
Листовое электротехническое кремнистое железо с добавками Si от 0,5 до 5% обладает повышенным значением электросопротивления по сравнению с Fe, что значительно снижает потери на вихревые токи, правда при некотором небольшом снижении величины насыщения (Is — =1590 гс при 3% Si). Эти сплавы используются как материал для изготовления статоров и роторов электрических машин, сердечников трансформаторов, мембран телефонов, деталей реле и т. п. Их можно использовать и в переменноточной технике не только обычных промышленных частот (порядка 50 ?“), но и для частот порядка нескольких десятков кгц. За последнее время горячекатаное кремнистое железо начинает вытесняться холоднокатаным и, в частности, текстурованным листовым материалом [см. Бозорт (1956)].
Сплавы высокой проницаемости (Fe — Ni — пермаллои от 36 до 85% Ni; Fe — Ni — Co — перминвары). Наиболее высокие значения проницаемости имеют пермаллои состава с 50—85% Ni (пермаллои с 36— 50% Ni уступают высоконикелевым пермаллоям по величине 卩，но имеют большие значения I^. Они относятся к классу упорядочивающихся сплавов и имеют наилучшие характеристики как мягкие магнитные мате
риалы после закалки от 600° С (пермаллоевая обработка), приводящей к разупорядоченному состоянию. В чистых Fe — Ni сплавах наилучшим по магнитным свойствам является сплав с 78,5% Ni (78,5-пермаллой); у него начальная проницаемость 卩& ^ 8000 ес/з, максимальная проницаемость “макс = 100 000 zc/з и козрцитивна兄 сила Нс = 0,0 5 з. Недостатком чистых пермаллоев является низкое значение их удельного электросопротивления р, что ограничивает область их применения только для постоян^ поточных приборов. Повышения р добиваются легированием пермаллоев добавками Мо, Сг, Си и т. п. Среди них особенно выдающимися ■свойствами обладает супермаллой (см. табл. 23.4). Пермаллои широко
Таблица 23.4
Некоторые свойства типичных мягких магнитных материалов
Материал
Химический состав, вес.%
%, 2C/3
^макс
4叫， ас
pT06, ом-см
0, ℃
Fe техническое
0,2 (примеси)
200
6 000
0,9
21 600
10
770
Fe чистое
0,05 (примеси)
25 000
350 000
0,01
21600
10
770
Кремнистое железо
96Fe; 4Si
650
7 000
0,5
19 700
60
690
Кремнистое железо (текстурованное)
96,7Fe; 3,3Si
1500
40 000
0,1
20 000
47
740
■ 45-пермаллой
55Fe; 45Ni
2 500
25 000
0,3
16 000
45
440
Гайперник
50Fe; 50Ni
4 000
100 000
0,05
16 000
35
500
78-пермаллой
21,5Fe; 78,5Ni
8 000
100 000
0,05
10 800
16
580
Мо-пермаллой
17Fe; 79Ni; 4Mo
20 000
100 000
0,05
8 700
55
420
Сг-пермаллой
18Fe; 78,2Ni;3,8Cr
12 000
62 000
0,05
8 000
65
420
Муметалл
17Fe;76Ni;5Cu;2Cr
20 000
100 000
0,05
8 000
62
430
Сплав 1040
llFe; 72Ni; 14Cu; 3Mo
40 000
100 000
0,02
6 000
56
290
Супермаллой
16Fe; 79Ni; 5Mo
100 000
1 000 000
0,002
7 900
60
400
Пермендюр
50Fe; 50Co
800
5 000
0,2
24 600
7
980
Пермендюр ванадиевый
49Fe; 49Ni; 2V
800
4 500
1,6— 2,0
24 000
26
950
Перминвар (ТМО)
34Fe; 43Ni; 23Co
2 500
427 000
0,03
15 500
19
715
Альсифер
85Fe; lOSi; 5A1
30 000
120 000
0,05
10 000
60
500
Ni — Zn-феррит
48,5Fe2O3; 35,5ZnO; 16NiO
5 000
7 560
0,05
1965
108
130
Mg-Mn-феррит
37,8Fe2O3;28,lMgO; 34ДМпО
4,8
500
1,4
1 900
1012
130
используются в магнитных усилителях, в слаботочных трансформаторах и катушках инду ктивности в различной аппаратуре техники связи и автоматики, в трансформаторах тока и т. п.
Перминвары (после длительного отжига при Т ^ 450° С с последующим медленным охлаждением) обладают постоянной (не зависящей от поля) магнитной проницаемостью в слабых полях и петлей гистерезиса, стянутой у начала координат. Их магнитная проницаемость возрастает и тгетл兄 гистерезиса становится прямоугольной (с отношением BRIBs f —>*1) после охлаждения в присутствии магнитного поля (термомагнитной
обработки) (см. рис. 23.59). Так например, перминвар состава 34% Fe, 43% Ni, 23% Со имеет такие свойства: Нс = 0,03 з, р,макс = 427 000 гс!э и BR/B s = 0,995. Перминвары используются в радиоэлектронике и технике связи для изготовления магнитопроводов. Ленточные сердечники
из тонкого листового перминвара (с толщиной ленты менее 10 р,), прошедшие термомагнитную обработку, используются как элементы памяти ЭВМ.
Сплавы Fe — Со (с 35—50% Со) с высоким магнитным насыщени
сплавы обладают самым большим значением
ем —перминдюры. Этием —перминдюры. Этиполя) —«перетянутая» петля; б) пополя) —«перетянутая» петля; б) после отжига в магнитном поле — прямоугольная петля с Br/B$ f 1 (Вильямс и Гертц [856]).сле отжига в магнитном поле — прямоугольная петля с Br/B$ f 1 (Вильямс и Гертц [856]).намагниченности (индукции) насыщения Is среди всех мягких магнитных материалов. Чистые перминдюры очень мало пластичны, поэтому их используют почти исключительно в магнитных цепях электромагнитов. Небольшие добавки (порядка 2%) V, Mo, W и Ti улучшают пластические свойства пер- миндюра. Эти легированные сплавы используются для магнитопроводов электрических машин и приборов, работающих при высоких значениях индукции, а также для телефонных мембран.
ем —перминдюры. Эти
ем —перминдюры. Эти
поля) —«перетянутая» петля; б) по
поля) —«перетянутая» петля; б) по
сле отжига в магнитном поле — прямоугольная петля с Br/B$ f 1 (Вильямс и Гертц [856]).
сле отжига в магнитном поле — прямоугольная петля с Br/B$ f 1 (Вильямс и Гертц [856]).
Порошковые магнитно-мягкие материалы — из карбонильного железа, молибдени- стого пермаллоя и сплава альсифер (5% А1Т 10% Si и 85% Fe) с успехом используются в технике СВЧ (о их свойствах см. табл. 23.4).
Полупроводниковые мягкие ферромагнитные материалы — ферриты — нашли пш「 рочайшее применение в современной ВЧ и СВЧ-технике. (О их составах и свойствах см. табл. 23.4, а также обзор [974].)
Магнитно-мягкие материалы со специальными свойствами — к их
числу относятся магнитострикционные материалы (см. обзор [975]), тер
момагнитные сплавы и т. п.
Подробные сведения о химическом составе, способах обработки и свойствах магнитно-мягких материалов можно найти, например, в книгах Кнеллера (1962), Чикацуми (1964), Бозорта (1956), Вонсовского и Шура (1948), Займовского и Чудновской (1957), Поливанова (1957), Рабкина (I960).
В табл. 23.4 в качестве иллюстрации приведены основные характеристики некоторых важнейших магнитно-мягких материалов.
Высококоэрцитивные материалы. Жесткий магнитный материал для выполнения своего назначения стабильного источника сильного магнитного поля должен обладать максимально широкой петлей гистерезиса, т. е. максимальными коэрцитивной силой и остаточной индукцией. Основное применение этих материалов —— постоянные магниты. Они широко используются в самых разнообразных областях техники и особенно в приборостроении: в электроизмерительных приборах, репродукторах, звукозаписи, телефонах, электрических генераторах, магнитных линзах электронных микроскопов, электронных осциллографах, магнитных компасах и т. д. Основные магнитные свойства, определяющие качество
постоянного магнита, характеризуются размагничивающим участком петли гистерезиса (рис. 23.60), описывающим ход индукции в размагничивающем поле от состояния остаточной индукции BR до нулевой (В = 0) при обратном поле, равном коэрцитивной силе Н ———Нс. Фактически остаточная индукция формы 3d (так называемая рабочая точка открытой магнитной цепи) меньше, чем Br； ее величина определяется точкой пересечения кривой размагничивания с прямой сдвига В = (1 — 4л^*1) Н, тангенс угла наклона которой по отношению к оси 3 (tg а на рис. 23.60}
равен размагничивающему фактору N/in магнита. При заданном N, очевидно, тот материал будет наилучшим, который будет иметь не только наибольшие значения Вп и ВНС, но и наиболее близкую к прямоугольной
форму размагничивающей петли (кривая 3 на рис. 23.60).
Качество материала для постоянного магнита лучше всего характеризуется кривой магнитной энергии В *Н = f (3), вычисляемой для различных точек размагничивающей кривой (см. рис. 23.60). Из этих кривых магнитной энергии видно, что наилучшие условия работы будут достигнуты в том случае, если прямая «сдвига» пересечет кривую 3(Н) в точке, которая одновременно соответствует (ЗН)макс*
Магниты служат обычно для создания поляв воздушном зазоре между полюсами. При этом надо иметь в виду, что поле, созданное постоянным магнитом внутри него самого, направлено противоположно вектору его намагниченности и поэтому размагничивает его, снижая остаточную индукцию до Bd величины, определяемой пересечением размагничивающей ветви с пр ямой сдвига. Чем больше зазор, тем сильнее этот эффект размагничивания и, следовательно, меньше индукция магнита. Этот эффект иллюстрируется рис. 23.61 (см. [982]) для магнитов из сплава альнико5
Рис. 23.60. Типичные кривые «размагничивания» жестких магнитных материалов (слева от оси в вдоль отрицательной оси абсцисе отложены значения магнитного поля Я) ■ и иривые магнитной энергии (справа от оси В вдоль положительной оси абсцисс отложены значения магнитной энергии ВН). Кривые (I) относятся к материалу с большой остаточной индукцией В*) и малой коэрцитивной силой вН?)・ Кривые (2) — к материалам с меньшей В%, но большей вН£2). Кривые (з)относятся к материалу с «промежуточными» значениями b貸>и вн婵по отношению к материалам (1> и(2), но с более «выгодной» формой кривой В (Я), что приводит к росту энергии (ВЯ)макс^ Прямая сдвига ОА, идущая под углом а к оси В, определяет эффект размагничивания в открытой магнитной цепи. Ее пересечение с кривыми В (Н) дает «рабочие точки» магнита：Рис. 23.60. Типичные кривые «размагничивания» жестких магнитных материалов (слева от оси в вдоль отрицательной оси абсцисе отложены значения магнитного поля Я) ■ и иривые магнитной энергии (справа от оси В вдоль положительной оси абсцисс отложены значения магнитной энергии ВН). Кривые (I) относятся к материалу с большой остаточной индукцией В*) и малой коэрцитивной силой вН?)・ Кривые (2) — к материалам с меньшей В%, но большей вН£2). Кривые (з)относятся к материалу с «промежуточными» значениями b貸>и вн婵по отношению к материалам (1> и(2), но с более «выгодной» формой кривой В (Я), что приводит к росту энергии (ВЯ)макс^ Прямая сдвига ОА, идущая под углом а к оси В, определяет эффект размагничивания в открытой магнитной цепи. Ее пересечение с кривыми В (Н) дает «рабочие точки» магнита：для разных отношений длины магнита к диаметру его поперечного сечения 2/d. Рабочая точка открытой цепи (3d) уменьшается почти от значения
Рис. 23.60. Типичные кривые «размагничивания» жестких магнитных материалов (слева от оси в вдоль отрицательной оси абсцисе отложены значения магнитного поля Я) ■ и иривые магнитной энергии (справа от оси В вдоль положительной оси абсцисс отложены значения магнитной энергии ВН). Кривые (I) относятся к материалу с большой остаточной индукцией В*) и малой коэрцитивной силой вН?)・ Кривые (2) — к материалам с меньшей В%, но большей вН£2). Кривые (з)относятся к материалу с «промежуточными» значениями b貸>и вн婵по отношению к материалам (1> и(2), но с более «выгодной» формой кривой В (Я), что приводит к росту энергии (ВЯ)макс^ Прямая сдвига ОА, идущая под углом а к оси В, определяет эффект размагничивания в открытой магнитной цепи. Ее пересечение с кривыми В (Н) дает «рабочие точки» магнита：
Рис. 23.60. Типичные кривые «размагничивания» жестких магнитных материалов (слева от оси в вдоль отрицательной оси абсцисе отложены значения магнитного поля Я) ■ и иривые магнитной энергии (справа от оси В вдоль положительной оси абсцисс отложены значения магнитной энергии ВН). Кривые (I) относятся к материалу с большой остаточной индукцией В*) и малой коэрцитивной силой вН?)・ Кривые (2) — к материалам с меньшей В%, но большей вН£2). Кривые (з)относятся к материалу с «промежуточными» значениями b貸>и вн婵по отношению к материалам (1> и(2), но с более «выгодной» формой кривой В (Я), что приводит к росту энергии (ВЯ)макс^ Прямая сдвига ОА, идущая под углом а к оси В, определяет эффект размагничивания в открытой магнитной цепи. Ее пересечение с кривыми В (Н) дает «рабочие точки» магнита：
Br для очень длинного магнитаBr для очень длинного магнита〃43〃43Рис. 23.61. К нахождению рабочих точек (определяемых точками пересечения кривой В(Н) с прямыми сдвига) магнитов из альнико 5. Прямые соответствуют трем различным значениям отношения длины магнита Z к диаметру его поперечного сечения d: Z/d = 2; 5; 8, которым отвечают размагничивающие факторы №/4冗=0,143; 0,041; 0,013 (см. табл. 23.2) (Беккер и др. [982]).Рис. 23.61. К нахождению рабочих точек (определяемых точками пересечения кривой В(Н) с прямыми сдвига) магнитов из альнико 5. Прямые соответствуют трем различным значениям отношения длины магнита Z к диаметру его поперечного сечения d: Z/d = 2; 5; 8, которым отвечают размагничивающие факторы №/4冗=0,143; 0,041; 0,013 (см. табл. 23.2) (Беккер и др. [982]).Если, например, сравнить сплавЕсли, например, сравнить сплавпочти до нулевого значения для очень коротких магнитов. Поэтому выбор магнита должен быть строго согласован с его формой. На рис. 23.62 приведены размагничивающие участки нисходящей ветви петель гистерезиса некоторых ВКС; там же приведены кривые энергии размагничивания ВН = / (В). На рис. 23.63 показаны эквивалентные объемы постоянных магнитов из пяти разных ВКС при их работе в точках с максимальной энергией. Из этого сравнения видно, как можно уменьшить- габариты аппаратуры за счет уменьшения объема магнитной цепи, используя ВКС материалы с большим значением (ЗН)макс・ Такое сравнение размеров постоянных магнитов станет еще разительнее, если они используются в виде дисков (т. е. для наименее выгодной в смысле размагничивания формы).
Br для очень длинного магнита
Br для очень длинного магнита
〃43
〃43
Рис. 23.61. К нахождению рабочих точек (определяемых точками пересечения кривой В(Н) с прямыми сдвига) магнитов из альнико 5. Прямые соответствуют трем различным значениям отношения длины магнита Z к диаметру его поперечного сечения d: Z/d = 2; 5; 8, которым отвечают размагничивающие факторы №/4冗=0,143; 0,041; 0,013 (см. табл. 23.2) (Беккер и др. [982]).
Рис. 23.61. К нахождению рабочих точек (определяемых точками пересечения кривой В(Н) с прямыми сдвига) магнитов из альнико 5. Прямые соответствуют трем различным значениям отношения длины магнита Z к диаметру его поперечного сечения d: Z/d = 2; 5; 8, которым отвечают размагничивающие факторы №/4冗=0,143; 0,041; 0,013 (см. табл. 23.2) (Беккер и др. [982]).
Если, например, сравнить сплав
Если, например, сравнить сплав
Со ——Pt и кобальтовую сталь, то из-за
высокой коэрцитивной силы сплава Со ——Pt диск из этого материала
диаметром 2 мм и толщиной 0,05 фект, что и диск из кобальтовой
В,к加
/4
жж производит тот же магнитный эф- стали диаметром 16 мм и толщиной
%
%
2
О
600 МО 200 0/
Н, з
2345
(НВ)-106,гсэ
Рис. 23.62. Кривые намагничивания В (Я) и магнитной энергии НВ = / (И) некоторых типичных высококоэрцитив.ных материалов.
0,4 мм. Таким образом, различие в объемах достигает 550. Отсюда видно,
что улучшение качества высококоэрцитивных материалов в ряде случаев люжет резко способствовать прогрессу тех-
Рис. 23.63. Размагничивающие участки петель гистерезиса некоторых высококоэрцитивных сплавов, максимальные магнитные энергии этих сплавов (а), их эквивалентные объемы (б) при работе в точке (ЕН)макс：(1)Кобальтовая сталь, (ВН)макс = 0,65・1()б гс.э;⑶ бариевый феррит (текстурованный), (ЕН)макс = 3,5・1。6 гс.э；⑶ альнико (тенстурованные), (вя)макс = —8,6 ■ 10е гс-э； (4) тиконал 20 {текстурованный), (ВН)макс =11,0 X 10е гс-э； (5) сплав Pt —
Со,(вН)макс 11,7-10в гс-э.
ники, когда необходимо создавать миниатюрные технические устройства, например при использовании магнитов в радиоэлектронных устройствах, в космической технике и т. п. Перед физикой высококоэрцитивных материалов стоят большие и трудные задачи по созданию новых материалов с энергией р азмагничив ания (БЯ)макс > 107 2c ・з и с 瓦 > 5000 з, в состав которых не входили бы дефицитные материалы, подобные Pt *).
Развитие производства ВКС определялось созданием материалов со все большим значением коэрцитивной силы. И если первый материал для постоянных магнитов (из которых изготовлялись, например, магнитные компасы)——высокоуглеродистая сталь обладала весьма скромными магнитными характеристиками: ВНС = 40 з, BR = 9000 гс и (ЗН)макс = 0,15 406 况・з, то один из лучших современных ВКС — сплав альнико 5—7 имеет BR = 13 000 ес, сплав Go Pt имеет ВНС = 4500 з, сплав Со5sm — ВНС = 5130 э и монокристалл сплава альнико 8 имеет (^)макс -13-Ю6 ес 咱.Отсюда видно, что остаточная индукция возросла примерно в 1,5 раза, а магнитная энергия и коэрцитивная сила ——больше чем в 100 раз.
Основной причиной, определяющей столь высокие значения ВНС, как мы видели
выше, является задержка процессов смещения, однодоменное состояние, высокая кристаллографическая магнитная анизотропия и анизотропия формы (анизотропия размагничивающего
в сплаве Со5sm получено рекордное значение [963—965]).
■фактора). Две последние причины дают следующие оценочные формулы Для коэрцитивной силы (Языч)аниз и (Я®ыч)форм:
(Я™)(Я™)ак9巾巾 аниз ~ ~J^ак9巾巾 аниз ~ ~J^(23.97)(23.97)
(Я™)
(Я™)
ак9巾巾 аниз ~ ~J^
ак9巾巾 аниз ~ ~J^
(23.97)
(23.97)
неоднородного вращения имеет местонеоднородного вращения имеет местоРис. 23.64. Сравнение рассчитанных значений коэрцитивных сил Я^ыч по формуле (23.97) с максимальными наблюдаемыми значениями (Я^а^л) различных материалов (в виде однодоменных частиц). Черные точки соответствуют измеренным и рассчитанным значениям для нетекстурованных частиц, а белые кружки — для текстурованных частиц. Прямая линия соответствует точному совпадению Я®ыч = /^набл (Беккер и др. [982]).Рис. 23.64. Сравнение рассчитанных значений коэрцитивных сил Я^ыч по формуле (23.97) с максимальными наблюдаемыми значениями (Я^а^л) различных материалов (в виде однодоменных частиц). Черные точки соответствуют измеренным и рассчитанным значениям для нетекстурованных частиц, а белые кружки — для текстурованных частиц. Прямая линия соответствует точному совпадению Я®ыч = /^набл (Беккер и др. [982]).
неоднородного вращения имеет место
неоднородного вращения имеет место
Рис. 23.64. Сравнение рассчитанных значений коэрцитивных сил Я^ыч по формуле (23.97) с максимальными наблюдаемыми значениями (Я^а^л) различных материалов (в виде однодоменных частиц). Черные точки соответствуют измеренным и рассчитанным значениям для нетекстурованных частиц, а белые кружки — для текстурованных частиц. Прямая линия соответствует точному совпадению Я®ыч = /^набл (Беккер и др. [982]).
Рис. 23.64. Сравнение рассчитанных значений коэрцитивных сил Я^ыч по формуле (23.97) с максимальными наблюдаемыми значениями (Я^а^л) различных материалов (в виде однодоменных частиц). Черные точки соответствуют измеренным и рассчитанным значениям для нетекстурованных частиц, а белые кружки — для текстурованных частиц. Прямая линия соответствует точному совпадению Я®ыч = /^набл (Беккер и др. [982]).
(ос ——численный коэффициент порядка от 0,5 до 2, зависящий от структуры кристалла и формы частиц),
(23.98)(23.98)(凡:占)巾 Орм Нв打/5,
(23.98)
(23.98)
где р — тоже численный коэффициент порядка от 0,5 до 1,0. Последняя формула справедлива, если в частице перемагничивание осуществляется
путем однородного вращения. Для более сложная формула (см. Штрикман и Тревес [363], Люборский и Морелок [419]). На рис. 23.64 сравниваются рассчитанные по формуле (23.97) и обнаруженные экспериментально максимальные значения коэрцитивной силы (предполагается, что основной причиной высоких значений последней является кристаллографическая анизотропия). Хотя точного соответствия между расчетом и экспериментом нет, но качественное соответствие безусловно наблюдается. Имеется ряд причин, которые приводят к тому, что наблюдаемые значения Нс меньше вычисленных по формуле (23.97). Это могут быть различные неоднородности материала, приводящие к некогерентному вращению векторов Is в частицах. Наличие отрицательных вкладов
в величину от анизотропии другой
природы, флуктуации состава, приводящие к флуктуациям величин К^巾巾 и /$, дефекты кристаллической структуры, вызывающие местные изменения величины константы анизотропии. Наконец, это может объясняться
различием в структуре или химическом составе вещества мелких частиц и массивного материала. '
Жесткие магнитные материалы можно условно разбить на семь групп:
стали, закаливаемые на мартенсит (углеродистые легированные стали);
диффузно твердеющие жесткие магнитные сплавы (упорядочивающиеся сплавы со смешанной структурой) на основе тройной системы Fe ——Ni ——Al с добавкой Со, Си, Ti и др. Среди этой группы особо выделяется подгруппа анизотропных сплавов, подвергающихся термомагнитной обработке;
дисперсионно твердеющие жесткие магнитные сплавы, подвергающиеся холодной или горячей механической обработке давлением (системы Fe - Со - Mo, Fe - Ni - Си, Fe - Со - V);
прессованные магниты из порошков, металлокерамические и спеченные сплавы;
жесткие магнитные сплавы с участием благородных металлов типа Со — Pt, Fe — Pt, Ag — Mn — Al, MnBi;
высококоэрцитивные ферриты (кобальтовые, бариевые);
высококоэрцитивные сплавы d- и /-металлов (например, Co5Re- и т. п.).
В табл. 23.5 приведены основные характеристики некоторых важнейших магнитно-жестких материалов.
Таблица 235
Некоторые свойства типичных высококоэрцитивных материалов
А. Сплавы
Материал
Химический состав, вес.% (остальное Fe)
Br, ac
X106, гс- э
Углеродистая сталь
0,65С; 0,85Мп и др.
10 000
42
0,18
»»
1,00С; 0,50Мп и др.
9 500
51
0,20
Вольфрамовая сталь
0,7С; 6W; 0,ЗСг; 0,ЗМп и др.
10 500
65
0,30
Хромистая сталь
0,9С; 3,5Сг; 0,4Мп и др.
9 800
70
0,285
Кобальтовая сталь
35Со; 0,9С; 5 — 6W; 6 —ЗСг
10 000
250
1,0
Альни
12А1； 25Ni
7 000
500
1,40
Альнико 2
12А1; 18Ni; 13Со; 6Cu
7 300
560
1,70
Магнико
8А1; 13,5Ni; 24Со; 3Cu
13 300
580
4,50
Альнико 5
8А1; 14Ni; 24Co; 3Cu; 0,3Ti
12 700
650
5,50
Тиконал 20
7A1； 15Ni; 34Co; 3Cu; 5Ti
11800
1315
11,0
Кунифе 1
20Ni; 60Cu
5 400
550
1,5
Кунико 2
24Ni; 41Co; 35Cu
5 300
450
1,0
Викаллой 2
52Co; 13V
10 400
570
4,2
Железо — платина
77,8Pt
5 830
1570
3,07
»»
40 Pt
6 000
1900
3,3
Кобальт——платина
23,3Co; 76,7Pt
4 500
2700
4,0
Платинакс 2
50Co; 50Pt
6 400
4800
9,2
MnBi
4 300
3400
4,3
SmCo5
5 780
5130
20,0
Б. Ферриты и прессованные
порошки
Материал
Химический состав
Вr , sc
吸’
(ВНАакс Х106, гс- э
Кобальтовый феррит
CoFe2O4
4 000
500
0,95
Бариевый феррит (изотропный)
BaO-6Fe2O3
2 200
1850
1,00
Стронциевый феррит текстурованный
SrO-6Fe2O3
4 000
2 200
3,70
Порошок железа
Fe
5 700
770
1,60
Порошокжеле
зо—кобальт
70Fe; 30Co
10 800
980
6,50
Более подробно с изготовлением, свойствами и применениями мягких и жестких магнитных материалов читатель может познакомиться в сие- циальных монографиях и обзорах *).
В современной технике используются самые разнообразные магнитные материалы с различными физическими свойствами. Это вполне естественно, так как весьма разнообразны и задачи, которые решаются в технике с помощью магнитных материалов. В качестве иллюстрации этого разнообразия можно, во-первых, указать на то, что диапазон коэрцитивных сил в уже используемых техникой магнитных материалах распространяется от IO* до 104 з, а максимальных проницаемостей ——от 1 до 5 -106 гс/э. Вторым ярким примером может служить сравнение миниатюрных магнитных узлов ЭВМ и гигантского магнитопровода ускорителя элементарных частиц на энергии в 1000 Мзв.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 23
Р. Weiss, J. phys. rad. 6, 661 (1907).
Р. W е i s s, J・ phys. rad. 3, 194 (1904); 4, 469, 829 (1905); Arch. Sci. Phys. Nat. 19 213, 937 (1905).
К. В e k, Zurich Natur-Forsch. Ges. 63, 116 (1918).
W. L. W e b s t e r, Proc. Roy. Soc. A107, 496 (1925); A109, 250, 570 (1925).
K. Honda, S. Kaya, Sci. Rep. T6hoku Univ. 15, 721 (1926).
K. Honda, Y. Masiyama, Sci. Rep. Tohoku Univ. 15, 755 (1926).
W. Gerlach, Zs. Phys. 38, 828 (1926); 39, 327 (1926); 64, 502 (1930).
W. Sucksmith, H. H. Potter, X&ture 118, 730 (1926).
W. Sucksmith, H. H. Potter, L. Broadway, Proc. Roy. Soc. A117, 471 (1928).
4 0. S. Kaya, Sci. Rep. Tohoku. Univ. 17, 639 (1928).
S. К a у a, Sci. Rep. Tohoku Univ. 17, 1157 (1928).
H.С.А ку ло в,Zs. Phys.52, 389(1928).
H.С.А ку ло в,Zs. Phys.54, 582(1929).
H.С.Аку ло в,Zs. Phys.59, 254(1930).
Н.С.А ку ло в,Zs. Phys.67, 794(1931).
Н. С. А к у л о в, Zs. Phys. 69, 278, 822 (1931).
G. М a h a j a n i, Trans. Roy. Soc. A228, 63 (1929).
R. Becker, Zs. Phys. 62, 253 (1930).
W. H e i s e n b e r g5 Zs. Phys. 69, 287 (1931).
Л. Д. Л а н д а у, E. M. Лифшиц, Phys. Zs. UdSSR 8, 153 (1935).
K. J. S i x t u s, L. T о n k s, Phys. Rev. 37, 930 (1931).
K. J. Sixtus, L. Tonks, Phys. Rev. 42, 419 (1932).
K. J. S i x t u s, Phys. Rev. 44, 46 (1933).
Ch. Kittel, Rev. Mod. Phys. 21, 541 (1949) (перевод см. сб. [618]).
Ch. Kittel, J. Galt, Solid State Phys., vol. 3, N.Y. 4 956, p. 437 (перевод части статьи см. сб. [618а]).
W. Heisenberg, Zs. Phys. 49, 619 (1928).
Е. М. Лифшиц, J. Phys. USSR 8, 337 (1944).
Е. М. Л и ф ш и ц, ЖЭТФ 15, 97 (1945).
С. Н е г г i n g, Ch. К i t t е 1, Phys. Rev. 81, 869 (1951).
J. H. V a n V 1 e c k, Rev. Mod. Phys. 17, 27 (1945).
J. H. Van V 1 e c k, Ann. de Inst. H. Poincare 10, 57 (1947).
P. W e i s s, Phys. Rev. 74, 1493 (1948).
H. A. Brown, J. M. Luttinger, Phys. Rev. 100, 685 (1955).
С. M d 11 e r, Zs. Phys. 82, 559 (1933).
M. F a 1 1 о t, Ann. de phys. 6, 305 (1936).
M. S e a v а у, P. E. Tannenwald, J. Appl. Phys. 30, 227S (1959).
R. Kimura, H. Nose, J. Phys. Soc. Japan 17, B-l, 604 (1962).
Z. Frail, M. О n d r i s, Phys. stat. sol. 2, 185 (1962).
P. E. Tannenwald, R. Weber, Phys. Rev. 121, 715 (1961).
Z. F r a i t, Phys. stat. sol. 2, 1417 (1962).
W. D о r i n g, Hand. d. Phys., B. XVIII/2, Springer-Verlag, Berlin, 1966, p. 341.
S. Methfessel, S. Middelhoek, H. Thomas, J. Phys. Soc. Japan 17, B-l, 607 (1962).■、
J. К a c z er, R. Gemperl e, M. Z e 1 e n y, J. Paces, P. Suda, Z. Fra- i t, M. О n d r i s, J. Phys. Soc. Japan 17, B-l, 530 (1962).
А. С. В иг л и н, ФТТ 2, 331 (i960).
Е. А. Т у р о в, А- И. М и ц е к, ЖЭТФ 37, 1127 (1959).
R. Gans, Ann. der Phys. 15, 28 (1932)； Phys. Zs. 33, 929 (1932).
R. Gans, E. Czerlinsky, Ann. der Phys. 16, 625 (1933).
R. Kimura, K. Ohno, Sci. Rep. Tohoku Univ. 23, 359 (1934).
R. M・ Bozorth, W. P. Mason, H. J. M c S k i m i n, J. G. W a 1 n e r, Phys. Rev. 75, 1954 (1949).
Е. А. Т у р о в, А. И. М и ц е к, ЖЭТФ 38, 1847 (I960).
F. В 1 о с h, G. G е n t i 1 е, Zs. Phys. 70, 395 (1931).
С. В. Вонсовский, ЖЭТФ 8, 1104 (1938).
J. Н. V a n V 1 е с k, Phys. Rev. 52, 1178 (1937).
W. F. V a n P e у p e, Physica 5, 465 (1938).
H. Brooks, Phys. Rev. 58, 909 (1940).
W. J. C arr, Phys. Rev. 108, 1158 (1957); 109, 1971 (1958).
J. R. T e s s m a n, Phys. Rev. 96, 1192 (1954).
H. С. А к у л о в, Zs. Phys. 100, 197 (1936).
C. Zener, Phys. Rev. 96, 1335 (1954).
С. В. T я 6 л и к о в, ЖЭТФ 20, 661 (1950).
С. В. Т я б л и к о в, А. А. Г у с е в, ФММ 2, 385 (1956).
L. Р а 1, Acta Phys. Ac. Hung. Sci. 3, 287 (1954).
F. Keffer, Phys. Rev. 100, 1692 (1955).
T. Kasuya, J. Phys. Soc. Japan 11, 944 (1956).
R. Brenner, Phys. Rev. 107, 1539 (1957); Zs. angew. Phvs. 12, 107 (I960): Zs. Naturforsch. 17a, 150 (1962).”
F. Keffer, T. Oguchi, Phys. Rev. 117, 718 (I960).
H. А. П о т а п к о в, ДАН СССР 118, 269 (1958).
E. R. Callen, J. Appl. Phys. 31, 149S (i960).
P. t e r Haar, M. E. Lines, Phil. Trans. Roy Soc. A254, № 1046, 1 (1962).
В. P ы 6 a p с к а, ДАН СССР 166, 333 (1966).
J.H. Van V 1 e c k, J. phys. rad. 20, 124 (1959).
J. Kanamori, C6. «Magnetism», (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. I, Acad. Press, N.Y.1963, p. 127.
С. В. Вонсовский, ЖЭТФ 10, 762 (1940); С. В. Вонсовский, К.Б. В л а с ов, Е. А. Т у р ов,出ЭТ① 29,37(1955).
К.Y о s i d a,J. Appl. Phys. 39, 511 (1968).
W.Р. W о 1 f,Phys. Rev. 108,1152 (1957).
P.J. W о j t оw i c z, L Appl.Phys. 33, 1121S(1962).
K. Adachi, J. Phys. Soc. Japan 16, 2187 (1961); J. phys. rad. 24, 72S
K. A d a c h i, K. S a t o, J. Appl. Phys. 39, 1343 (1968).
C h. К i t t e 1, J. H. V an V 1 e c k, Phys. Rev. 118, 1231 (I960).
H・ B・ C a 1 1 e n, E. R. Callen, J. Phys. Chern. Sol. 27, 1271 (1966).
С. А. П икин, ФТТ 10, 1735 (1968).
W. J. C ar r, J. Appl. Phys. 29, 436 (1958); 31, 69 (I960).
E. R. C a 1 1 e n, H. В. C a 1 1 e n, J. Phys. Chem. Sol. 16, 310 (I960).
H. В. C a 1 1 e n, E. R. C a 1 1 e n, Phys. Rev. 129, 578 (1963); 132, 99 (1963).
S. H. C h a r a p, J. Phys. Chem. Sol. 20, 315 (1961).
А. И. Д p о к ин, Л. И. Слободской, ЖЭТФ 51, 1023 (1966).
Н. Р. К 1 е i n, Е. К n е 1 1 е г, Phys. Rev. 144, 372 (1966).
И. М. П у з е й, В. И. Гоманьков, ФММ 23, 636 (1967).
А. И. Беляева, В. Н. Павлов, А. В. Антонов, ФТТ 10, 683 (1968)^
Б. Е. Рубинштейн, ФТТ 10, 1715 (1968).
R. R. В i г s s, Р. М. W а 1 1 i s, J. Appl. Phys. 39, 1347 (1968).
Н. Gengnagel, U. Hofmann, Phys. stat. sol. 29, 91 (1968).
А. И. M 虱口 e к, ФТТ 5, 1800 (1963).
C. D. Graham, Jr., J. Appl. Phys. 31, 150S (I960).
H. Sato, B. S. Chandrasekhar, J. Phys. Chem. Sol. 1, 228 (1957).
D. S. R о d b e 1 1, J. Phys. Soc. Japan 17, B-l, 313S (1962).
D. S. R о d b e 1 1, J. Appl. Phys. 33, 1126 (1962); Physics 1, 279 (1965).
R. M. Bozorth, Phys. Rev. 96, 311 (1954).
C. D. Graham, Jr., J. Appl. Phys. 34, 1341S (1963).
J. F. D i 1 1 о n, Jr., J. Appl. Phys. 33, 1191S (1962).
H. J. Williams, R. C. Sherwood, O. L. Boothby, J. Appl. Phys..
S445 (1957).
R. M. В о z о r t h, E. F. Tilden, H. J. Williams, I^ys. Rev. 99, 1788’
J. K. Galt, W. A. Y a g e r, J. P. R e m e i k a, F. R. Merrit, Phys. Rev., 81, 470 (1951).
W. A. Y a g e r, J. K. Galt, F. R. M e r r i t, E. A. W о о d, Phys. Rev. 79, 391
T. О k a m u r a, Y. К о j i m a, Phys. Rev. 86, 1040 (1952).
G. T. Rado, V. J. F о 1 e n, W. H. Emerson, Proc. IEE, № 2188S (1956)..
Л. В. Киренский, ЖЭТФ 7, 879 (1937).
R. M. В о z о r t h, J. Appl. Phys. 8, 575 (1937).
E. Ф. T и т о в, Phys. Zs. Ud. SSR 10, 337 (1936).
C. D. Graham, Jr., Phys. Rev. 112, 1117 (1958).
C. D. Graham, Jr., J. Appl. Phys. 30, 317, 391 (1959); Сб. <(Магнитные свойства металлов и сплавов» (перевод с англ., ред. С. В. Вонсовский), ИЛ, М.т 1961.
Н. А. Брюхато в, Л. В. Киренский, ЖЭТФ 8, 198 (1938).
из.114.115.116.117.118.119.120.121.122.123.124.125.126.127.из.114.115.116.117.118.119.120.121.122.123.124.125.126.127.a m s, R. М. В о z о г t h, Phys. Rev. 56, 837i, Phys. Rev. 101, 1647 (1956).i, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1088 (1957).EI. Masumoto, Sci. Rep. Tohoku Univ. 20,a m s, R. М. В о z о г t h, Phys. Rev. 56, 837i, Phys. Rev. 101, 1647 (1956).i, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1088 (1957).EI. Masumoto, Sci. Rep. Tohoku Univ. 20,Н. J. Willi К. Н. R ei cl И. М. П у з е ] К. Honda,Н. J. Willi К. Н. R ei cl И. М. П у з е ] К. Honda,(1939).323 '(1931).(1939).323 '(1931).W. Sucksmith, J. E. Thompson, Proc. Roy. Soc. A225, 362 (1954).
из.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
из.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
a m s, R. М. В о z о г t h, Phys. Rev. 56, 837
i, Phys. Rev. 101, 1647 (1956).
i, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1088 (1957).
EI. Masumoto, Sci. Rep. Tohoku Univ. 20,
a m s, R. М. В о z о г t h, Phys. Rev. 56, 837
i, Phys. Rev. 101, 1647 (1956).
i, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1088 (1957).
EI. Masumoto, Sci. Rep. Tohoku Univ. 20,
Н. J. Willi К. Н. R ei cl И. М. П у з е ] К. Honda,
Н. J. Willi К. Н. R ei cl И. М. П у з е ] К. Honda,
(1939).
323 '(1931).
(1939).
323 '(1931).
L. P. T a r a s о v, Phys. Rev. 56, 1245 (1939).
R. C. Hall, J. Appl. Phys. 30, 816 (1959); 31, 157S (I960).
S. A r a i s, H. Chessin, D.S. Miller, J. Appl. Phys. 32, 857 (1961).
Л. А. Ш у б и н а, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 527 (1947); ДАН СССР 57, 45&
(1947).
А. С. Займовский, Качественная сталь, № 6, 35 (1935).
О. Н. Аньтгаузен, ЖЭТФ 8, 1014 (1938).
Н. С. А к у л о в, И. М. П у з е й, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 533 (1947).
Л. В. Киренский, ДАН СССР 64, 53, 191 (1949): 74, 209 (1950).
И. М. 口 у з е й, L Phys. Soc. Japan 17, В-1, 317S (1962); ЖТФ 19, 653 (1949).
И. М. П у з е й, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 549 (1952); 21, 1094 (1957);. ФММ 9, 279 (I960); И, 525, 686; 12, 453 (1961); 15, 29; 16, 179 (1963); Изв. АН СССР, сер. физ. 27, 1469 (1963).
J. J. Becker, Е. М. Symes, J. Appl. Phys. 36, 1000 (1965).
A. Blanchard, V. Т u г a v a n, Com pt. rend. 2 61, 2852 (1965).
К. A о g a g i, Japan J. Appl. Phys. %, 551 (1965).
Y. Tawara, J. Phys. Soc. Japan 21, 237 (1966).
А. Д. С к о к о в, ФММ 24, 240 (1967).
К. A. Blom, О. Beckman, М. Richardson, Sol. State Comm. 5, 977 (1967).
U. Hofmann, Zs. angew, Phys. 22, 106 (1967).
А. Д. Скоков, Г. В. П ш еченкова, ФММ 26, 560 (1968).
G. A u b е г t, J. Appl. Phys. 39, 504 (1968).
О. V ogt^B.R.Cooper, J. Appl. Phys. 39, 1202 (1968).
Ch. Guillaud, Diss. Strassburg (1943); Ann. de phys. 4, 671 (1949).
P. N о v a k, Czech. J. Phys. 16, 723 (1966).
T. I i z u k a, Sh. I i d a, J. Phys. Soc. Japan 21, 222 (1966).
Elbinger, Phys. stat. sol. 21, 303 (1967).
J. A. White, Proc. Phys. Soc. 90, 1095 (1967).
128.129.130.131.132.133.134.135.136.137.138.139.140.141.142.143.144.145.146.128.129.130.131.132.133.134.135.136.137.138.139.140.141.142.143.144.145.146.Л. Брюхато в, H. Л. (1968).
128.
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
128.
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
Ю. A. M а м а л у й, Ю. A. T. Tsushima, Y. Kino, G. A. S a w a t s k y, F. v a n 39, 1204 (1968).
Пахомова, В. А. Козлов,①TT 10, 187& Николенко, ФММ 2 5, 449 (1968).S. Funahashi, J. Appl. Phys. 39, 626 (1968).. d е г W о n d е, А. Н. М о г г i s h, J. Appl. Phys.Пахомова, В. А. Козлов,①TT 10, 187& Николенко, ФММ 2 5, 449 (1968).S. Funahashi, J. Appl. Phys. 39, 626 (1968).. d е г W о n d е, А. Н. М о г г i s h, J. Appl. Phys.R. F. Pearson, A. D. Annis, J. Appl. Phys. 39, 1338 (1968).
Пахомова, В. А. Козлов,①TT 10, 187& Николенко, ФММ 2 5, 449 (1968).
S. Funahashi, J. Appl. Phys. 39, 626 (1968).. d е г W о n d е, А. Н. М о г г i s h, J. Appl. Phys.
Пахомова, В. А. Козлов,①TT 10, 187& Николенко, ФММ 2 5, 449 (1968).
S. Funahashi, J. Appl. Phys. 39, 626 (1968).. d е г W о n d е, А. Н. М о г г i s h, J. Appl. Phys.
R. E. Michel, F. W. Chapman, R. P. P oplawsky, J. Appl. Phys. 39,
1603 (1968).
P. H. Bly, W. D. Corner, K. N. Taylor, M. I. D a r 1 y, J. Appl. Phys. 39, 1336 (1968).
N. M i у a t а, В. E. A r g у 1 e, Phys. Rev. 157, 448 (1967).
M. C. Franzblau, G. E. Everett, A. W. Lawson, Phys. Rev. 164, 716 (1967).
R. F. В г о w n, A. W. L a w s о nf G. E. E v e r e t t, Phys. Rev. 172, 559 (1968).
L. Holms, M. Schieber, J. Appl. Phys. 39, 1200 (1968).
G. P. R о d r i g u e, H. M e у e r, R. V. J ones, J. Appl. Phys. 31, 376S (I960).
P. R о h d e s, G. Rowlands, Proc. Leeds Phil. Lit. Soc. 6, 191 (1954).
W. F. Brown, Jr., Magnetostatic Principles in Ferromagnetism, North-Holland Publ. Comp., Amsterdam, 1963.
E. C. Stoner, Phil. Mag. 36, 803 (1945).
E. C. Stoner, E. P. Wohlfarth, Phil. Trans. Roy. Soc. A240, 599 (1948).
W. F. Brown, Jr., A. H. M о r r i s h, Phys. Rev. 105, 1198 (1957).
F. E. Luborsky, J. Appl. Phys. 32, 171S (1961).
Ch* Kittel, Phys. Rev. 70, 965 (1946).
L. N e e 1, J. phys. rad. 5, 241 (1944).
L. N ё e 1, J. phys. rad. 5, 265 (1944).
J. К a c z e r, R. Gemperl e, Czech. J. Phys. Bll, 510 (1961).
W. Shockley, Phys. Rev. 73, 1246 (1948).
L. Neel, Compt. rend. 237, 1468 (1953).
L. Neel, Compt. rend. 237, 1613 (1953).
L. Neel, Compt. rend. 238, 305 (1954).
L. N eel, J. phys. rad. 15, 225 (1954).
S. Taniguchi, Y. Y amamoto, Sci. Rep. Tohoku Univ. A6, 330 (1954).
S. Taniguchi, Sci. Rep. Tohoku Univ. A7, 269 (1955).
S. Taniguchi, Sci. Rep. Tohoku Univ. A8, 173 (1956).
S. Chikazumi, T. Oomura, J. Phys. Soc. Japan 10, 842 (1955).
J. C. S 1 о n c z e w s к i, Сб. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. III. Acad. Press, N. Y.T 1963, p. 205.
Я. С. Ш у p, А. А. Г л a 3 e p, ФММ 5, 355 (1957).
А. А. Г л a 3 e p, Я. С. Ш у p, ФММ 6, 52 (1958).
B. A. 3 а й к о в а, Я. С. Ш у p, ФММ 23, 642 (1967).
И. E. С т a p ц e в а, Я. С. Ш у p, ФММ 23, 849 (1967).
D. A. Oliver, J. W. S h е d d е n, Nature 142, 209 (1938).
L. N ё е 1, Com pt. rend. 225, 109 (1947).
Л. А. Шубин а, Я. С. Ш у p, ЖТФ 19, 88 (1949).
Ch. Kittel, E. A. Nesbitt, W. Shockley, Phys. Rev. 77, 839 (1950).
H. Fahlenbrach, Naturwiss. 42, 64 (1955).
H. J.Zijlstra, Zs. angew. Phys. 14, 251 (1962).
A. С. E p м о л e н к о, Я. С. Ш у p, ФММ 14, 348 (1962).
А. С. Ермоленко,Э.Н. Мелкишева, Я. С. Шу р, ФММ 18, 540 (1964).
Т. Nishina, Sci. Rep. Tohoku Univ. 28, 225 (1939).
Я.С. Ш у p, А. С. X о x л о в,出ЭТ① 10, ШЗ (1940); 16,1011(1946).
Я.С. Ш у р, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 57 0 (1947).
Я.С. Ш у р, Ф. Н. Д у н а е в, ДАН СССР 72, 293 (1950); Изв, АН СССР,сер.
физ. 16, 640 (1952); Труды Ин-та физики металлов АН СССР,вып.15, 29 (1954).
Я.С. Ш у р, М.Г. Лу ж и н с к а я, Л. А. Ш у б и н а,①ММ 4, 60 (1957).
М.Г. Л у ж и нс к ая, Я. С. Ш у р, ФММ 4, 239 (1957).
М.Г. Л у ж и нс к ая, Я. С. Ш у р, Н. Н. Я г о в к и н а, ФММ8, 531 (1959).
W.Six, J. L.S п ое k, W. G. Burgers, Ingenieur 49, Е195(1934).
Н. W. С о n г a d t, О. Dahl, К. I. Sixtus, Zs. Metallkde 32, 231 (1940).
G. W. R athenau, J. L. S n о e k, Physica 8, 555 (1941).
S. Chikazumi, J. Appl. Phys. 29, 346 (1958); 31, 158S (I960).
S. Chikazuini, K. Suzuki, Phys. Rev. 98, 113 0 (1955).
S. Chikazumi, K. Suzuki, H. Iwata, J. Phys. Soc. Japan 12, 1259 (1957); 15, 250 (i960).
H. J. Bunge, H. G. M u 1 1 e r, Wiss. Z. Hochshule Vert. Dresden 5, 327 (1957).
H. J. В u n g e, Zs. Metallkde 49, 40 (1958).
.202. T..M i t u i, J. Phys. Soc. Japan 15, 929 (I960).
T. M i t u i, M. Sato, T. Sambongi, J. Phys. Soc. Japan 17, 639 (1962).
N. Tamagawa, Y. N akagawa, S. Chikaz, umi, J. Phys. Soc. Japan 17, 1256 (1962).
R. D. Enoch, Brit. J. Appl. Phys. 16, 1519 (1965).
T. M i t u i, M. S a fd, J. Phys. Soc. Japan 18, 740 (1963).
A. R. v о n N e i d a, G. Y. Chin, A. T. English, J. Appl. Phys. 38, 997 (1967); 39, 610 (1968).
W.H.Meikelejohn,С.P. Bean,Phys. Rev. 102, 1413(1956).
W.H.Meikelejohn,С.P. Bean,Phys. Rev. 105,904(1957).
W.H.M e i к e 1 e j о h n,J.Appl. Phys.29, 454S (1958).
W.H.M e i к e 1 e j о h n,J.Appl. Phys.32, 274S (1961).
I. S. J а с о b s, С. P. Bean, Сб. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. Ill, Acad. Press, N. Y., 1963, p. 271; Phys. Rev. 100, 1060 (1955).
W. H. Meikelejohn, J. Appl. Phys. 33, 1328S (1962).
J.S. Kouvel,J. Phys. Chem. Sol. 24, 795 (1963).
К. Б. В л а с о в, А. И. M и ц e к, ФММ 14, 487, 998 (1962).
К. Б. Власов, Н.В.Волкенштейн, C.B. Вонсовский, А. И. Ми- ii; e k, M. И. Турчинская, Изв. АН СССР, сер. физ. 28, 423 (1964).
-217. А. И. М и ц е к, В. К. 3 в е з д и н, ФТТ 7, 1057 (1965).
J.S. Kouvel,C.D. Graham, J. Appl. Phys. 28, 340 (1957); 30, 312S (1959); J. Phys. Chem. Sol. 11, 220 (1959).
H. В. Волкенштейн, M. И. Турчинская, Изв. АН СССР, сер. физ. 27, 1505 (1963).
Н. В. Волкенштейн, Э. В. Галошина, М. И. Турчинская, Г. В. Федоров, Ю. Н. Ц и о в к и н, Укр. физ. журн. 8, 306 (1963).
М. И. Турчинская, С. Л. <1>рид;ман, Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 994 (1966).
221а.А. С. Ермоленко, М. И. Турчинская,①ММ 21, 305 (1966).
J. S. К о u V е 1, J. Appl. Phys. 30, 313S (1959); 31, 142S (I960); J. Phys. Chem.
Sol. 21, 57 (1961).
222a. J. S. Kouvel, C. D. Graham, I. S. J acobs, J. phys. rad. 20, 198 (1959).
Б. В. Знаменский, И. Г. Ф а к ид о в, ФММ 21 281 (1966).
R.Н. Рг у, J. S.Ко u V е 1, E.Mikseh, J. Appl. Phys. 31,162S (I960).
J.S.Ко u v e 1,J.Phys. Chem.Sol. 16,107 (i960).
J.S.Ко u v e 1,J.Phys. Chem.Sol. 16,152 (I960).
I.S.Jа с о b s,J.S. К о u v e1, Phys.Rev. 122, 412(1961).
C. W. Berghout, J. Phys. Chem. Sol. 24, 507 (1963).
L. W. Roth, F. E. Luborsky, J. Appl. Phys. 35, 966 (1964).
S. К. В a n e r j e e, W. OT R e 1 1 y, Phys. Lett. 15, 25 (1965).
T. Iizuka, S h. Iida, J. Phys. Soc. Japan 21, 810 (1966),
H. S e n n о, Y. T a w a r a, Japan J. Appl. Phys. 6, 509 (1967).
J. S. К о u v e 1, J. Appl. Phys. 36, 980 (1965).
A. E. Berkowitz, L H. Greiner, J. Appl. Phys. 36, 3330 (1965)..
А. А. Глазер, А. П. Потапов, P. И. Тагиров, Л. Д. У p я ш e в a, Я. С. Ш у p, Изв. АН СССР, сер. физ. 31, 735 (1967).
W. D. D о у 1 е, J. Е. Rudisill, S. Shtrikman, J. AppL Phys. 33, 1162S (1962).
О. Massenet, R. M о n t m о r y, Compt. rend. 258, 1752 (1964).
А. А. Г л a 3 e p, А. П. П о т а п о в, P. И. T а г и n о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 1059 (1966).
А. А. Г л а з е р, А. П. П о т а п о в, Р. И. Т а г и р о в, Я. С. Ш у р, ФТТ 8, 3022 (1966). Phys. stat. sol. 16, 745 (1966).
R. W. Sharp, P. C. Archibald, J. Appl. Phys. 37, 1462 (1966).
J. H. Greiner, J. Appl. Phys. 37, 1474 (1966).
А. А. Г л a 3 e p, P. И. T а г и p о в, А. П. П о т а п о в, Я. С. Ш у p,①MM 26, 289 (1968).
N. Sakamoto, J. Phys. Soc. Japan 17, 99 (1962).
R. F. S о о h о o, J. Appl. Phys. 35, 927 (1964).
J. C. Met thews, N. Morton, Proc. Phys. Soc. 85, 343 (1965).
D. Paccard, C. Schlenker,O. Massenet, R.Montmory, A. Ye-
о n, Phys. stat. sol. 16, 307 (1966).
F. B. Hagedorn, J. Appl. Phys. 38, 3641 (1967).
C. Schlenker, D. P a с c a r d, J. de phys. 28, 611 (1967).
Y. Nakamura, N. Miyata, J. Phys. Soc. Japan 23, 223 (1967).
P. W. В e 1 1 a r b y, J. C r a n g 1 e, J. Appl. Phys. 39, 463 (1968).
C. Schlenker, Phys. stat. sol. 20, 507 (1968).
Ch. Kittel, Phys. Rev. 110, 1295 (1958).
R. F. S о о h о о, J. Appl. Phys. 32, 148S (1961).
R. F. S о о h о o, Phys. Rev. 131, 594 (1963); J. Appl. Phys. 34, 1149 (1963).
Б. H. (Филиппов,①MM 21, 809 (1966).
Я. Г. Д о p ф м а н, Nature, 119, 353 (1927).
Я. И. Френкель, Я. Г. Дорфман, Nature, 126, 274 (1930).
F. Bloch, Zs. Phys. 74, 295 (1932).
M. Я. Широбоков, ДАН СССР 24, 426 (1939); ЖЭТФ 15, 57 (1945); 16, 61 (1946).
И. А. Привороцкий, ЖЭТФ 56, 2129 (1969).
Л. П. X о л о д е н к о, ЖЭТФ 17, 698 (1947).
W. D о г i n g, Zs. Naturforsch. За, 37 3 (1948).
R. Gemperl е, M. Z е 1 е п у, Phys. stat. sol. 6, 839 (1964).
А. И.М и ц e к, ФТТ 7, 1979 (1965); ФММ 20, 653 (1965); Изв. АН СССР, сер. физ.
947 (1966).
L. N ё е 1, Cahiers phys. № 25, 1 (1944).
С. В. Вонсовский, УФН 2 6, 64 (1944).
В. A. Lill е у, Phil. Mag. 41, 792 (1950).
Н. Kronmtiller, «Modern Probleme der Metallphysik», Bd. 2, Chemische Bindung in Kristallen und Ferromagnetismus, Springer-Verlag, Berlin, 1966, p. 24.
Ю. П. Ирхин, В. В. Дружинин, А. А. Казаков, ЖЭТ① 54, 1183 (1968).
Р. М. L е V у, Phys. Rev. 147, 320 (1966).
В. R. Cooper, Phys. Lett. 22, 244 (1966).
W. D. Corner, W. C. Roe, K. N. R. Taylor, Proc. Phys. Soc. 80, 927 (1962).
К. П. Белов, IO. В. E p г и н, P. 3. Левитин, А. В. П e д ь к о, ЖЭТФ 47, 2080 (1964).
К. П. Б e л о в, Ю. В. E p ги н, ЖЭТФ 50, 560 (1966).
С. D. G г a h a m, Jr., J. Appl. Phys. 38, 1375 (1967).
J. J. Rhyne A. E. Clark, J. Appl. Phys. 38, 1379 (1967).
7. R. M. В о z о r t h, R. J. Gambino, A. E. Clark, J. Appl. Phys. 39, 883 (1968).
M. Schieber, S. F oner, R. Doclo, E. J. Me Niff, Jr., J. Appl. Phys. 39, 885 (1968).
J. J. Rhyne, S. Foner, E.J.Mc Niff, Jr., J. Appl. Phys. 39, 892 (1968).
R. Lemaire, D. P a с c ard, R. P authenet, J. Schweizer, J. Appl. Phys. 39, 1092 (1968).
G. Busch, P. Schwob, O. Vogt, Phys. Lett. 23, 636 (1966),
G. H of f er, K. St.r anat, J. Appl. Phys. 38, 1377 (1967).
H. Katsuraki, S. Yoshii, J. Phys. Soc. Japan 24, 1171 (1968).
L. Neel, Compt. rend. 241, 533 (1955).
J. К a z e r, Czech. J. Phys. 7, 557 (1957).
H. S t.e P h a n i, Wiss. Zs. Schiller Univ. Jena 7, 373 (1957/1958).
H. D. D i e t z e, H. T h о m a s, Zs. Phys. 163, 523 (1961).
H. Williams, R. Sherwood, J. Appl. Phys. 28, 548 (1957) (cm. [618a]).
Y. G a r d o, Z. F. Unatogawa, J. Phys. Soc. Japan 15, 112 6 (I960).
S. Middelhoek, Thesis, Univ. Amsterdam, 1961.
R. M. M о о n, J. Appl. Phys. 30, 82S (1959).
E. E. Huber, D. 6. S m i t h, J. B. Goodenough, J. Appl. Phys. 29, 294 (1958).
S, Methfessel, S. Middelhoek, H. Thomas, IBM J. Res. Develop 4, 96 (I960); J. Appl. Phys. 31, 302s (I960).
C. Herring, Phys. Rev. 85, 1003 (1952); 87, 60 (1952).
T. Oguchi, Prog. Theor. Phys. 9, 7 (1953).
M. W. Muller, S. D a w s о n, J. Math. Phys. 3, 800 (1962).
W. Z i © t e k, Acta phys. Polon. 21, 175 (1962); 22, 37, 127 (1962); 25, 117 (1964)- Bull. Acad. Polon. (Phys.) 11, 27, 187 (1963); 10, 451 (1962); Postgpy fiz. 14, 407 (1963).
J. F. J a n a k, Phys. Rev. 134, A411 (1964); Appl. Phys. Lett. 9, 225 (1966)7 Appl. Phys. 38, 1789 (1967).
A. Pawlikowski, Acta phys. Polon. 2 7, 545 (1965).
H. Weik, P. M. Hemenger, Phys. Lett. 13, 210 (1964).
E. T о г о k, A. L. Olson, H* N. О г e d s о n, J. Appl. Phys. 36, 1394 (4 965).
A. L. О 1 s о n, H. N. О r e d s о n, E. J. T о г о k, J. Appl. Phys. 38, 1349 (1967).
R. Kirchner, W. D о r i n g, J. Appl. Phys. 39, 855 (1968).
J. К a c z e r, J. Appl. Phys. 29, 569 (1958),
R. E. В ehringer, J. Appl. Phys. 29, 1380 (1958).
H. Rubinstein, R. J. Spain, J. Appl. Phys. 31, 306S (I960).
M. P r u t t о n, Phil. Mag. 5, 625 (I960).
Y. Gomi, Y. Odani, J. Phys. Soc. Japan, 15, 535 (I960).
Y. Gondo, Z. Funatogawa, J. Phys. Soc. Japan 15, 1126 (i960).
S. M i d d e 1 h о e k, IBNJ 6, 140 (1962); 10, 351 (1966); J. Appl. Phys. 37, 1276’ (1966).
J. В. P u c h a 1 s к a, R. J. Spain, Com pt. rend. 254, 2937 (1962).
M. P r u t t о n, K. D. Leaver, Phys. Lett. 6, 15 (1963).
E. Feldtkeller, E. Fuchs, Zs. angew. Phys. 18, 1 (1964).
В. A. E у p а в и x и н, В. И. Попов, ДАН СССР 164, 1028 (1965).
W. F. Brown, Jr., А. Е. L а В о n t е, J. Appl. Phys. 36, 1380 (1965).
L. Reimer, Zs. angew. Phys. 18, 373 (1965).
А. Г. Ш и ш к о в, В. А. Б у p а в и x и н, В. Г. К a 3 а к о в, ФММ 22, 361 (4 966).
J. C. Sloczewski, J. Appl. Phys. 37, 1268 (1966).
R. P. Hunt, A. A. J aecklin, J. Appl. Phys. 37, 1272 (1966).
A. A h а г о n i, J. Appl. Phys. 37, 3271 (1966).
P. В. T e л e с н и н, E. H. И л ь и ч e в a, H. Г. К а н а в и h а, А. Г. Ш и Ш* к о вт Phys. stat. sol. 14, 363 (1966).
F. Biragnet, J. Devenyi et al., Phys. stat. sol. 16, 569 (1966).
S. Middelhoek, D. W i 1 d, Nature 211, 1169 (1966).
J. C. Slonczewski, IBM J. Res, Developm. 10, 377 (1967).
N. P i s u t о v a, Zs. angew. Phys. 24, 86 (1967).
Г. M. P о дич e в, П. Д. Ким, Л. А. Богатырева, ФММ 25, 240, 767 (1968).
L. Dobrosaklevic, Com pt. rend. 266, B-42 (1968).
С. P. В e a n, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1183 (1957).
C. D. Graham, Jr,, J. Appl. Phys. 29, 1451 (1958).
J. К a c z e г, Чехосл. физ. журн. 8, 278 (1958).
Л. В. Киренский, В. В. В е т е р, ДАН СССР 125, 526 (1959); Изв. вузов, физика, № 4, 183 (I960).
L. Т. Bates, Р. F. Davis, Proc. Phys. Soc. 74, 170 (1959).
G. Rieder, Zs. Naturforschg 14a, 96 (1959).
T. Harada, E. T a t s u m о t o, J. Sci. Hiroshima Univ., Ser. A, 23, 195 (1959).
M. P a u 1 u s, Compt. rend. 250, 1213 (i960).
L. Spacek, Ann. der Phys. 5, 217 (i960).
J. К a c z 6 r, M. Z e b n у, ЧС Физ. журн. 10, 561 (I960).
J. К a c z e r, R. Gemperl e, Чехосл. физ. журн. 11, 157 (1961).
W. F. Brown, Jr., S. Shtrikman, Phys. Rev. 125, 825 (1962).
R. Aleonard, P. Brissonneau, Compt. rend. 254, 2933 (1962).
Л. H. Булаевский, В. Л. Гинзбург, ЖЭТФ 45, 772 (1963).
М. К. Савченко, В. И. Синегубо в, ФММ 15, 339 (1963).
Б. В. Молотило в, Изв. АН СССР, сер. физ. 27, 1464 (1963).
R. Aleonard, Р. Brissonneau, L. Neel, J. Appl. Phys. 34, 1321 (1963).
E. Kratochvilova, Phys. stat. sol. 3, K397. (1963).
А. И. Д p о к и и, В. И. С и негубо в, ЖЭТФ 49, 713 (1965).
J. К 1 a m u t, W. Z i © t е k, Proc. Phys. Soc. 82, 264 (1963).
R. Carry, E. D. Isaac, Brit. J. Appl. Phys. 16, 1513 (1965); 17, 279 (1966)”
J. К 1 a m u t, Bull. Acad. Polon. Sci., ser. phys. 14, 563 (1966)..
A. Wachniewski, Acta phys. Polon. 29, 437 (1966); 30, 647 /1966); 33, 923：
351.352.353.354.355.356.357.358.359.360.361.362.363.364.365.366.367.368.369.370.371.372.373.374.375.376.377.378.379.380.381.382.383.384.385.386.387.388.389.390.391.392.393.394.395.396.397.398.351.352.353.354.355.356.357.358.359.360.361.362.363.364.365.366.367.368.369.370.371.372.373.374.375.376.377.378.379.380.381.382.383.384.385.386.387.388.389.390.391.392.393.394.395.396.397.398.9 0 12 3 49 0 0 0 о о3 4 4 4 4 49 0 12 3 49 0 0 0 о о3 4 4 4 4 45 6 7о о о4 4 45 6 7о о о4 4 4J. A. Baldwin, Jr., J. Appl. Phys. 38, 501 (1S67).
351.
352.
353.
354.
355.
356.
357.
358.
359.
360.
361.
362.
363.
364.
365.
366.
367.
368.
369.
370.
371.
372.
373.
374.
375.
376.
377.
378.
379.
380.
381.
382.
383.
384.
385.
386.
387.
388.
389.
390.
391.
392.
393.
394.
395.
396.
397.
398.
351.
352.
353.
354.
355.
356.
357.
358.
359.
360.
361.
362.
363.
364.
365.
366.
367.
368.
369.
370.
371.
372.
373.
374.
375.
376.
377.
378.
379.
380.
381.
382.
383.
384.
385.
386.
387.
388.
389.
390.
391.
392.
393.
394.
395.
396.
397.
398.
9 0 12 3 4
9 0 0 0 о о
3 4 4 4 4 4
9 0 12 3 4
9 0 0 0 о о
3 4 4 4 4 4
5 6 7о о о
4 4 4
5 6 7о о о
4 4 4
0. Schuber, Du Bois, J. Appl. Phys. 38, 2948 (1967).
A. A h a г о n i, J. Appl. Phys. 38, 3196 (1967); 39, 861 (1968).
G. Bonnet, J. de phys. 28, 919 (1967).
M. M a f 1 a k, A. W achniewski, Acta phys. Polon. 32, 959 (1967).
F. Y. W a n g, J. Appl. Phys. 39, 864 (1968).
В. А. Игнатченко, Ю.В. Сахаров, J. Appl. Phys. 39, 867 (1968).
L. H о u z e, Jr., J. Appl. Phys. 39, 1089 (1968).
A. WachniewskL W. J.Zigtek, Acta phys. Polon. 33, 581 (1968).
W. F. Brown, Jr., «Micromagnetics», cd. R. E. Marshak, J. Wiley et Sons, N. Y., 1963.
W. F. Brown, Jr., Phys. Rev. 58, 736 (1940).
W. F. Brown, Jr., Phys. Rev. 60, 139 (1941).
S. Shtrikman, D. Treves, C6. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. Ill, Acad. Press, N. Y., 1963, p. 395.
W. F. Brown, Jr., Phys. Rev. 75, 1959 (1949).
W. F. В г о w n, Jr., J. phys. rad. 20, 101 (1949).
W. F. В г о w n, Jr., J. Appl. Phys. 30, 62S (1959).
W. F. Brown, Jr., Phys. Rev. 105, 1479 (1957).
A. A h a г о n i, S. S h t r I k m a n, Phys. Rev. 109, 1522 (1958).
A h a г о n I, J. Appl. Phys. 30, 70S (1959).
S. Shtrikman, D. Treves, J. phys. rad. 20, 286 (1959); J. Appl. Phys. 31, 58S (I960).
К n e 11 e r, Hand. d. Phys. B. XVIII/2, Springer, Berlin, 1966, p. 438.
L. Neel, Compt. rend, 224, 1488 (1947).
L. Neel, Compt. rend. 224, 1550 (1947).
C. Stoner, E. P. Wohlfarth, Nature 160, 650 (1947).
E. А. Кондорский, ДАН СССР 70, 215 (1950); 74, 213 (1950).
E. И. Кондорский, ДАН СССР 80, 197 (1951); 82, 365 (1952); Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 398 (1952).
Н. Frei, S. S h t г i k m a n, D. Treves, Phys. Rev. 10 6, 446 (1957); J, Appl. Phys. 30, 443 (1959).
И. Антик, T. Кубышкина, Уч. записки МГУ 2, 143 (1934).
R. Haul, Th. S c h о о n, Zs. Elektrochem. 45, 663 (1939).
В e i s c h e r, A. Winkel, Naturwiss. 25, 420 (1937).
A. Winkel, R. Haul, Zs. Elektrochem. 44, 823 (1938).
W. C. Elmore, Phys. Rev. 54, 1092 (1938).
C. W. Heaps, Phys. Rev. 57, 528 (1940).
L. Neel, Compt. rend. 228, 664 (1949); Ann. geophys 5, 99 (1949).
Ch. Kittel, J. K. Galt, W. E. Campbell, Phys. Rev. 77 725 (1950).
С. В. Вонсовский, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 387 (1952).
Н. К о n i g, Naturwiss. 33, 71 (1946).
Т. Пейн, Сб. «Магнитные свойства металлов и сплав о перевод с англ., ИЛ М., 1961, стр. 198.'
Я. С. Ш у р, Труды Ин-та физики металлов, АН СССР, вып. 20, 111 (1958).
Я. С. Ш у р, J. phys. rad. 20, 113 (1959).
Я. С. Шур, Г. С. Кандаурова, Е. В. Штольц. Л. В. Булатова, ФММ 3, 191 (1956).
Я. С. Ш у р, Е. В. Ш т о л ь ц, Г. С. К а н д а у р о в а, Л. В. Б у л а т о в а, ФММ 5, 234 (1957).
Я. С. Шур, Е. В. Штольц, Г. С. Кандаурова, Изв. АН СССР, сер. физ- 21, 1215 (1957).
Я.С.Шур,Е.В.Штольц,Г.С.Кандаурова,ФММ 5,421 (1957).
Я.С.Шур,Е.В.Штольц,Г.С.Кандаурова,ФММ 6,420 (1958).
Я.С.Шур,Е.В.Штольц,Г.С.Кандаурова,Л. В. Реднев а.
ФММ 8, 678 (1959).
Я. С. Ш у р, Е. В. Штольц, А. А. Глазер, ФММ 8, 685 (1959).
Я. С. Шур, Е. В. Штольц, В. И. Марголина,出ЭТ① 38, 46 (I960).
Я. С. Шур, А. А. Глазер, Е. В. Штольц, ФММ 14, 523 (1962).
Г. С. Кандаурова, Я. С. Шур, Е. В. Штольц,①ММ 6, 229 (1958)-
Г. С. Кандаурова, Я. С. Шур, ФММ 10, 37 (i960).
А. А. Г л а з е р, Е. В. Ш т о л ь ц, Я. С. Ш у р, Изв. АН СССР, сер. физ. 26,. 266 (1962).
Е. В. Штольц, Я. С. Шур, Г. С. Кандаурова,①ММ 5, 412 (1957)- Е・ В. Штольц, Я. С. Шур, Г. С. Кандаурова, Изв. АН СССР, сер，， физ. 22, 1269 (1958).
В. Ш т о л ь ц, А. А. Г л а з е р, Я. С. Ш у р, Изв. АН СССР, сер. физ. 25,. 1445 (1961).
Е. В. Ш т о л ь ц, Я. С. Ш у р, ФММ 13, 359 (1962).
Я. С. Ш у р, Г. С. К а н д а у р о в а, Л. М. М а г а т, Н. Н. Б ы х а н 欣в,.①ММ 22, 39 (1966).
[т о л ь ц, M. Я. Ген, И. В. Е р е м и н а, Е. А. (Федорова, е р я г и н, ФММ 24, 22 0 (196 7).
Wohlfarth, D. G. Tonge, Phil. Mag. 2, 1333 (1957).
о h n s о n, W. F. Brown, Jr., J. Appl. Phys. 30, 320 (1959).
о h n s о n, J. Appl. Phys. 33, 2515 (1962).
1, Appl. Sci. Res. B-4, 13 (1954).
Гондорский, ДАН СССР 68, 37 (1949). ohlf art, Proc. Roy. Soc. A232, 208 (1955). a r m a n, Brit. J. Appl. Phys. 6, 426 (1955). ub о rs к y, L. I. Mendelsohn, T. O. Paine, J. Appl. Phys. (1957).
I о r r i s h, L. A. Watt, Phys. Rev. 105, 1476 (1957).
8-90123/^^^ 7 lx lx lx lx lx lx lx 4 44444444 4
R. K. W a r r I n g, Jr., J. Appl. Phys. 38, 1005 (1967).
F. E. Luborsky, C. R. Morelock, J. Appl. Phys. 35, 2055 (1964).
I. S. J а с о b s, F. E. Luborsky, J. Appl. Phys. 28, 467 (1957).
Ch. Kittel, J. K. Galt, W. E. Campbell, Phys. Rev. 25, 302 (1950). 422. L. Wei 1, J. phys. rad. 12, 437 (1951).
A. H. M о r r i s h, S. P. Y u, J. Appl. Phys. 26, 1049 (1955); Phys. Rev. 102, 670
45 6789 01234 56789012342 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 333334444/^
44 4444 44444 4444444444
L Meiklejohn, Rev. Mod. Phys. 25, 302 (1953).
.Paine, L. I. Mendelsohn, F. E. Luborsky, Phys. Rev. 100, (1955).
В e a n, J. Appl. Phys. 26, 1381 (1955).
Кандаурова, ФММ 4, 548 (1957).
.M о r r i s h, L. A. Watt, J. Appl. Phys. 29, 1029 (1958).
о г к a r, 0. S c h e i к 1, H. E g g h a r t, Arch. Eisenhiittenwes. 29, 139
hlf arth, J. Appl. Phys. 30, 1465 (1959).
i b о r s к у, T. O. a n e r, 0. R u c z h n s о n, W. F. В i b о r s к у, E. F.
a i n e, J. Appl. Phys. 31, 68S (I960).
a, Zs. angew. own, Jr., J.
・ 21, 18 (1966). Phys. 29, 313 (1958).
u 1 1 a m, D. S. Hallgren, J. Appl. Phys. 29,
56 7 8 9 0 12 345 67 89012345678 44 444555 555 55 55666666666
44 444444 4 4-4 44 44444444444
nappwost, Naturwiss. 46, 65 (1965); Zs. Elektrochem. 69, 965 (1965).
Luborsky, T. 0. Paine, J. Appl. Phys. 31, 66S (i960).
K. Watt, A. H. M о r r i s h, J. Appl. Phys. 31, 71S (I960).
titrikman, D. Treves, J. Appl. Phys. 31, 72S (I960).
.Brown, Jr,, Am. J. Phys. 28, 542 (I960).
Flanders, S. Shtrikman, J. Appl. Phys. 33, 216 (1962).
Luborsky, J. Appl. Phys. 33, 1909 (1962).
M ее, J. C. J es chke, J. Appl. Phys. 34, 1271 (1963).
h a г о n I, Phys. Rev. 135, A447 (1964).
.Дерюгин, M. А. Сигал, ФММ 21, 510 (1966); 22, 335, 529 (1966);
55 (1968).
N euringer, Phys. Rev. 145, 64 (1966).
ne 1 1 er, F. J. Friedlaender, W. Puschert, J. Appl. Phys. 37,
.Lee, J. E. L. Bishop, Proc. Phys. Soc. 89, 661 (1966).
Craik, R. Lane, Brit. J. Appl. Phys. 18, 1269 (1967).
b 1 e 1, Zs. angew. Phys. 22, 296 (1967).
n a к a, N. Tamagawa, Japan J. Appl. Phys. 6, 1096 (1967).
Baldwin, Jr., J. Appl. Phys. 39, 217 (1968).
Towner, D.M. Pavlovic, K. Detert, A. S. Bufferd, J. Appl.
39, 601 (1968).
Craik, D. A. Me I n t у r e, J. Appl. Phys. 39, 871 (1968).
Brown, Jr., J. Appl. Phys. 39, 993 (1968).
Berkowitz, W. J. S ch u e 1 e, P. J. F 1 a n d e r s, J. Appl. Phys. 39,
(1968). ■
Brown, Jr., Trans. Soc. Rheology 9 (1), 357 (1965).
Schuele, S. Shtrikman, D. Treves, J. Appl. Phys. 36, 1010
m о r e, Phys. Rev. 54, 982 (1938).
Rev. Mod. Phys. 25, 324 (1953); J. Chem. Phys. 51, 715 (1954).
I 1 1 e r, F. E. Luborsky, J. Appl. Phys. 34 656 (1963).
с к e r, Trans. Am. Inst. Mining. Met. Petrol. Enghs. 209, 59 (1957).
erkowitz, W. S c h u e 1 e, J. Appl. Phys. 30, 134S (1959).
e a n, I. S. J а с о b s, J. Appl. Phys. 2 7, 1448 (1956).
san, J. D. Livingston, J. Appl. Phys. 30, 120S (1959).
n, Phys. Kondens. Materie 4, 20, 25 (1965).
Iler, Zs. angew. Phys. 21, 16 (1966).
Iler, G. T r i p p e 1, J. Appl. Phys. 38, 993 (1967).
г о w n, Jr., J. Appl. Phys. 38, 1017 (1967).
469.470,471.472.473.474.475.476.477.478.479.480.481.482.483.484.485.486.487.488.489.490.491.492.493.494.495.496.497.498.499.500.501.502.503.504.505.469.470,471.472.473.474.475.476.477.478.479.480.481.482.483.484.485.486.487.488.489.490.491.492.493.494.495.496.497.498.499.500.501.502.503.504.505.0^ о^ П^ 12-工 о^ IX IX IX 4А 5 5 5 5 5 50^ о^ П^ 12-工 о^ IX IX IX 4А 5 5 5 5 5 55-&7-&9-IX IX IX IX IX5 5 5 5 55-&7-&9-IX IX IX IX IX5 5 5 5 5
469.
470,
471.
472.
473.
474.
475.
476.
477.
478.
479.
480.
481.
482.
483.
484.
485.
486.
487.
488.
489.
490.
491.
492.
493.
494.
495.
496.
497.
498.
499.
500.
501.
502.
503.
504.
505.
469.
470,
471.
472.
473.
474.
475.
476.
477.
478.
479.
480.
481.
482.
483.
484.
485.
486.
487.
488.
489.
490.
491.
492.
493.
494.
495.
496.
497.
498.
499.
500.
501.
502.
503.
504.
505.
0^ о^ П^ 12-工 о^ IX IX IX 4А 5 5 5 5 5 5
0^ о^ П^ 12-工 о^ IX IX IX 4А 5 5 5 5 5 5
5-&7-&9-
IX IX IX IX IX
5 5 5 5 5
5-&7-&9-
IX IX IX IX IX
5 5 5 5 5
P. W i r t z, M. E. F i n e, J. Appl. Phys. 38, 3729 (1967).
A. A. von den Giessen, J. Phys. Chem. Sol. 28, 343 (1967).
D a n a n, H. Gengnagel, J. Appl. Phys. 39, 678 (1968).
К. К г о p, J. M i z i a, Acta phys. Polon. 34, 347 (1968).
W. К undi g, H. В 6 mme 1, G. Constabaris, R. H. Lindquist, Phys. Rev. 142, 327 (1966).
J. F. Boas, B.Window, Austr. J. Phys. 19, 573 (1966).
M. Eibschiitz, S. Shtrikman, J. Appl. Phys. 39, 997 (1968).
R. H. Lindquist, G. Constabaris, W. К undis, A. M. Portis, J. Appl. Phys. 39, 1001 (1968).
U. G о ns er, H. Wiedersich, R. W. Grant, J. Appl. Phys. 39, 1004 (1968).
L. Neel, Compt. rend. 252, 4045 (1961); 253, 9, 203, 1286 (1961).
L. N ё e 1, Compt. rend. 254, 598 (1962).
L. Neel, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-l, 672 (1962).
J. Cohen, К. M. С reer, R. Pauthenet, K. Srivastava, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-l, 685 (1962).
С. P. Bean, I. S. J а с о b s, J. Appl. Phys. 30, 127S (1959).
H. Thomas, Zs. angew. Phys. 15, 201 (1966).
Б.В.Знаменский, И. Г. (Накидов,①ММ 14, 391 (1962); 23, 767 (1967).
Б. В. Знаменский, И. Г. Ф а к идо в, Укр. физ. журн. 8, 320 (1963). Л. Д. Ворончихин, Э. А. Завадский, И. Г.① икидов,① ММ 20, 792 (1965).
Н. С о о k е, D. Т. Е d m о n d s, С. В. Р. F i n n, W. Р. W о 1 f, J, Phys. Soc. J арап 17, Suppl. В-1, 481 (1962).
W. P. W о 1 I, M. J. M. L e a s к, В. M a n g u m, A. F. W у a t t, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-l, 487 (1962).
P. M. Levy, D. P. L a n a u, J. Appl. Phys. 39, 1128 (1968).
W. P. Wolf, H. Meissner, C. A. Catanese, J. Appl. Phys. 39, 1134 (1968).
J. A. Sauer, Phys. Rev. 57, 142 (1940).
J. M. L u t t i n g e r, L. T i s z a, Phys. Rev. 70, 954 (1946)； 72, 257 (1947).
Ch. Kittel, Phys. Rev. 82, 965 (1951).
J. H i 1 e y, G. S. J о у c e, Proc. Phys. Soc. 85, 493 (1965).
P. M. Lev y, Phys. Rev. 170, 595 (1968).
H. Horner, Phys. Rev, 172, 535 (1968).
R. B. Griffiths, Phys. Rev. 176, 655 (1968).
J.C. Bruyere, J.Devenyi,O.Massenet, R.Montmory, L. Neel, Proc. Intern. Conf. Magnetism, Nottingham (1964), 1965, p. 789.
A. Neugebauer, J. B. Newkirk, D. A. Vermilyca, Structure and properties of thin films, N. Y., 1959.
Дж. Г у д и h а ф, Д. Смит, Сб. «Магнитные свойства металлов и сплавов», перевод с англ., ИЛ, М., 1961, стр. 153.
О. S m i t h, Сб. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. Ill, Acad. Press, N. Y., 1963, p. 485.
M. J. К 1 e i n, R. S. S m i t h, Phys. Rev. 81, 378 (1951).
T. Holstein, H. Primakoff, Phys. Rev. 58, 1098 (1940).
S. J. Glass, M. J. Klein, Phys. Rev. 109, 288 (1958).
L. V a 1 e n t a, Czech. J. Phys. 7, 127, 136 (1957); Phys. stat. sol. 2, 112 (1962); Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 879 (1957); Сб. «Тонкие ферромагнитные пленки», перевод с нем. под ред. Р. В. Телеснина, изд-во «Мир», М., 1964, стр. 27.
W. D б г i n g, Zs. Naturforsch. 16а, 566 (1961).
Corciovei, Czech. J. Phys. B10, 568, 917 (I960); Acta phys. Polon. 24, 91 (1963); Phys. Rev. 130, 2223 (1963).
A. Corciovei, G. G h i k a, Czech. J. Phys. B12, 278 (1962).
J. C. Kirkwood, J. Chem. Phys. 6, 70 (1938).
A. Neugebauer, Phys. Rev. 116, 1441 (1959); J. Appl. Phys. 31, 152S (I960); Zs. angew. Phys. 14, 182 (1962).
H. Hoffmann, Zs. angew. Phys. 13, 149 (1961).
W. H e 1 1 e n t h a 1, Zs. angew. Phys. 13, 147 (1961).
3. Малек, В. Ш ю п п e л ь, Сб. «Тонкие ферромагнитные пленки», перевод с нем. под ред. Р. В. Телеснина, изд-во «Мир», М., 1964, стр. 61.
W. Andra, Z. Malek, W. Schiippel, О. S t e m m e, J. Appl. Phys. 31, 442 (I960).
D. O. S m i t h, J. Appl. Phys. 32, 70S (1961).
O. S m i t h, M. S. С о h e n, J. Appl. Phys. 31, 1755 (I960).
I. G. Knorr, K. W. Hoffman, Phys. Rev. 113, 1039 (1959).
Kambersky, Z. Malek, Z. F г о i t, M. О n d r i s, Czech. J. Phys. BH, 171 (1961).
Я. С. Шур, А. А. Глазер, P. И. Тагиров, А. П. Потапов, Изв. АН СССР, сер. физ. 29, 706 (1965).
о25о25215215325325z^r^^7^8Q^o.b9^Q^z^r^^22222233333335555555555555z^r^^7^8Q^o.b9^Q^z^r^^22222233333335555555555555537.538.539.540.537.538.539.540.123456789044444444455555555555123456789044444444455555555555551.552.553.554.555.556.551.552.553.554.555.556.789012345555666666555555555789012345555666666555555555566.567.568.569.570.571.572.573.574.575.576.566.567.568.569.570.571.572.573.574.575.576.Я. С. Шур, Р. И. Тагиров, А. А. Глазер, А. П. Потапов, Изв. АН СССР, сер. физ. 31, 729 (1967).
о
2
5
о
2
5
21
5
21
5
3
2
5
3
2
5
z^r^^7^8Q^o.b9^Q^z^r^^2222223333333
5555555555555
z^r^^7^8Q^o.b9^Q^z^r^^2222223333333
5555555555555
537.
538.
539.
540.
537.
538.
539.
540.
1234567890
4444444445
5555555555
1234567890
4444444445
5555555555
551.
552.
553.
554.
555.
556.
551.
552.
553.
554.
555.
556.
789012345
555666666
555555555
789012345
555666666
555555555
566.
567.
568.
569.
570.
571.
572.
573.
574.
575.
576.
566.
567.
568.
569.
570.
571.
572.
573.
574.
575.
576.
Ш ю п п е л ь, В. Камберский, Сб. «Тонкие ферромагнитные пленки», перевод с нем. под ред. Р. В. Телеснина, изд-во《Мир», М., 1964, стр. 105.
Я. С. Шур, В. А. Зайкова, Е. Б. X а н,① ММ 29, 770 (1970); 31, 286, 538 (1971).
В. Г. Казаков, П. И. Круковер, Л. В. Ущановский,①ММ 23, 953 (1967).
Ю. М. Солнцева, ФММ 24, 234 (1967).
Р. В. Телеснин, ФММ 24, 882 (1967).
R е а 1 е, Phys. Lett. 25, А358 (1967).
A. Corciovei, G. Costache, Phys. Lett. 25, A458 (1967).
T. S usuki, С. H. Wilts, J. Appl. Phys. 38, 1356 (1967); 39, 1151 (1968).
F. E. L u b о r s k y, J. Appl. Phys. 38, 1445 (1967); IEEE, Mag-4, № 1, 19 (1968).
L. N 6 e 1, Ann. de phys. 2, 61 (1967); Compt. rend. 264, 1002 (1967).
Л. Фрумкин, ФММ 25, 1021 (1968).
Л. С. П а л а тн и к, Л. И. Лукашенко, ФММ 26, 55 (1968).
Ю. М. Солнцева, В. Э. Осуховский,①ММ 26, 257 (1968).
Ф. Удалов, А. И. Игнатов, Ю. М. Суслов, ФММ 26, 473 (1968).
Г. Р у с о в а, В. Г. П ы н ь к о, А. А. П о ц е л у й к о, ФММ 26, 562 (1968).
П. Дзекановская, Н. А. Ерохов, Г. В. Давыдов,①ММ 26. 729 (1968).
В. Г. Клепарскпй, В.П. Дзекановская,Н. А. Ерохов, ФММ 26, 737 (1968).
Л. В. К и р е н с к и й, Г. П. П ы н ь к о, В. Г. П ы н ь к о, J. Apnl. Phys. 39, 745 (1968).
F. Е. Luborsky, W. D. В u r b e r, J. Appl. Phys. 39, 746 (1968).
K. J. Harte, D. O. Smith, R. M. A n d e r s о n, R. C. J о h n s t о n, J. Appl. Phys. 39, 749 (1968).
E. К n e 1 1 e r, J. Appl. Phys. 39, 945 (1968).
M. Pratton,J. Appl. Phys. 39, 1153 (1968).
E. Feldtkeller, J. Appl. Phys. 39, 1181 (1968).
H. Wilts, F. B. Humphrey, J. Appl. Phys. 39, 1191 (1968).
A. Corciovei, D. V a m a n u, J. Appl. Phys. 39, 1381 (1968).
K. J. Harte, J. Appl. Phys. 39, 1503 (1968).
A, Corciovei, IEEE, Mag-4, № 1, 6 (1968).
J. C. Slonczewski, IEEE, Mag-4, № 1, 15 (1968).
H. Hoffmann, IEEE, Mag-4, № 1, 32 (1968).
L. V a 1 ent a, W. Hanbenreisser, W. Brodkorb, Phys. stat. sol.
26, 191 (1968).
L. Wojtczak, Bull. Acad. Polon Sci, ser. math., astr., phys. 16, 535 (1968).
Y. Murayama, J. Phys. Soc. Japan, 23, 510 (1968).
N. L i e b e r m a n n, D. R. F r e d k i n, H. B. S h о r e, Phys. Rev. Lett. 22, 539 (1969).
Отчет конференции по тонким ферромагнитным пленкам. Иена, ГДР, 25—28.04, 1966, Phys. stat. sol. 16, № 2 (1966).
Отчет конференции Intermag —1967, IEEE, Mag-3, № 3, 1967.
Тезисы международной конференции по тонким ферромагнитным пленкам, Иркутск, 1968.
Н. В arkhausen, Phys. Zs. 20, 401 (1919).
В. К. Аркадьев, Электричество, 8, 255 (1927); ДАН СССР, стр. 277 (1927).
Е. Р. Т. Tyndall, Phys. Rev. 24, 439 (1924).
R. M. Bozorth, Phys. Rev. 34, 7 7 2 (1929).
R. M. В о z о rt h, J. F. Dillinger, Phys. Rev. 35, 733 (1930).
K. Murakawa, Proc. Phys. Math. Soc. Japan 19, 715 (1937).
Forster, H. Wetzel, Zs. Metallkde 33, 115 (1941).
Б. Ф. Цомакион, В. Ф. Ивлев, ДАН СССР 76, 205 (1951).
В.①.Н в л е в, В. Л. И л ь ю m е н к о, Л. И. А с е е в а, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1250 (1957).
D. Bush, R. S. Т е b b 1 е, Proc. Phys. Soc. 60, 3 70 (1948).
R. S. T e b b 1 e, I. C. Skidmore, W. D. Corner, Proc. Phys. Soc. A63, 739 (1950).
R. S. T e b b 1 e, Proc. Phys. Soc. В68, 1017 (1955).
Th. Hofbauer, К. M. Koch, Zs. Phys. 130, 409 (1951).
H. Sawada, J. Phys. Soc. Japan 7, 564, 571, 575 (1952).
D. I. Gordon, Rev. Mod. Phys. 25, 56 (1953).
K. W о t r u b а, Чехосл. физ. журн. 4, 375, 377 (1954); 6, 468 (1956); Изв.
АН СССР, сер. физ. 21, 1246 (1957).
Ф. Д. Б у н к и н, ЖТФ 26, 1782, 1790 (1956); Рад. Электрон. 4, 1913 (1959).
К. Y о s i d a, Phys. Rev. 106, 893 (1957).
А. М. Р о дич е в, В. А. Игнатченко, ФММ 9, 903 (I960).
Р. Mazzetti, G. Montalent i, J. Appl. Phys. 34, 3223 (1963).
L. S t о r m, C. Heiden, Zs. angew. Phys. 17, 161 (1964).
A. H. В о b e c k, Bell Syst. Tech. J. 46, 1901 (1967).
79. A. A. T h i e 1 e, J. A ppi. Phys. 41, 1139 (1970); Bell Syst. Teehn. J. 48, 3287 (1969).
E. П. Дзагания, ФММ 20, 204 (1965).
А. Л. Л о г у т к о, A. M. P о д и ч e в, H. M. С а л а н с к и й, P. П. С м о л и н, ФММ 20, 306 (1965).
В. М. Р у д я к, ДАН СССР 164, 782 (1965).
A. Ferro, R. Mazzetti, G. Montalent i, Appl. Phys. Lett. 7, 118' (1965); Nuov. cim. 56, Bill (1968).
K. Stierstadt, W. В о e c k h, Zs. Phys. 186, 154 (1965).
E. Pfrenger, K. Stierstadt, Zs. Naturforsch. 20a, 492 (1965); Zs. angew. Phys. 23, 20 (1967).
S. K. Srinivasan, Nuov. cim. 41, 101 (1966).
А. А. Г p ач e в, ДАН СССР 85, 741 (1952).
Y. Tawara, H. S e n n 6, Japan. J. Appl. Phys. 5, 747 (1966).
A. M a r a i s, M. P о r t e, Compt. rend. 265, B12 (1967).
K. Stierstadt, E. P r e n s s, Zs. Phys. 199, 456 (1967).
K. Stierstadt, J. G. Kohl, Zs. angew. Phys. 22, 486 (1967).
A. Koller, Zs. angew. Phys. 24, 164 (1968).
Б. В. Васильев, А. П. Горелов, Письма ЖЭТФ 4, 412 (1966).
В. М. Рудяк, Ю. Н. Харитонов, ДАН СССР 178, 331 (1968).
Р. Y. Argues, J. phys. 29, 369 (1968).
A. Z е n t к о, V. Н a j к о, Czech. J. Phys. 18, 1026 (1968).
Н. J. Williams, W. Shockley, Phys. Rev. 75, 178 (1949) (cm. [618]).
К. H. S t e wart, Forromagnetic domain, Cambridge Univ. Press, London, 1954.
H. J. Williams, R. C. Sherwood, Сб. переводов «Магнитные свойства металлов и сплавов» ИЛ, М., 1961, стр. 61.
D. J. Craik, R. S. Т е b b 1 е, Repts. Prog. Phys. 24, 116 (1961).
J. F. Dillon, Jr., «Magnetism», (ed. G. T. Rado, H. Suhl) vol. III. Acad. Press, N.Y., 1963, p. 413.
L. Hamos, P. A. Thiessen, Zs. Phys. 71, 442 (1931).
F. Bitter, Phys. Rev. 38, 1903 (1931).
H. С. Акулов, M. В. Д e x т я p, Ann. der Phys. 15, 750 (1932).
H. С. Акулов, С. Раевский, Ann. der Phys. 20, 113 (1934).
H. И.M и л л e p, Д. С. Штейнберг, Tech.Phys.USSR 1, 205 (1934).
H. С.А к у л о в, И. А.Б a 3 у p и h а, ЖЭТФ8,745(1935).
W. С.E 1 m о r e, Phys.Rev. 51, 982 (1937).
W. С.E 1 m о r e, Phys.Rev. 62, 486 (1942).
H. J.Williams, R.Bozorth, W. Shockley, Phys. Rev. 75, 155 (1949).
L. F. Bates, J. phys. rad. 12, 322 (1951).
L. F. В a t e s, F. E. N e a 1, Physica 15, 220 (1949); Proc. Phys. Soc. 63, 374 (1950).
R. M. В о z о r t h, J. phys. rad. 12, 308 (1951).
M.Ja m a mо t о, T. Iwata, Phys. Rev. 81, 807 (1951).
Я.С.Ш у p,В. P. A 6 e л в с, ДАН СССР 102, 499; 104,209;105,469(1955);
①ММ 6, 556 (1958).
Я.С.Ш у р,В. Р. А б е л ь с, ФММ 1, 11 (1955).
Я.С.Ш у р,В. Р. А б е л ь с, В. А. 3 а й к о в а, Изв. АНСССР.сер.физ.21,
1162 (1957).
Сб. переводов «Физика ферромагнитных областей», переводы с англ, и франц, под ред. С. В. Вонсовского, ИЛ, М., 1951.
618а.Сб. переводов «Магнитная структура ферромагнетиков», перевод с англ, и нем., под ред. С. В. Вонсовского, ИЛ, М.т 1959.
Е.И. Кондорский, ДАН СССР 63, 507 (1948).
619а.L. Neel, Cahiers phys. № 25, 21 (1944); Ann. Univ. Grenoble, Sect. Sci. Math. Phys. 22, 299 (1946); J. phys. rad. 12, 437 (1951).
W. A n d r a, Ann. der Phys. 3, 334 (1959).
D. J. Craik, Proc. Phys. Soc. B6§, 647 (1956).
D. J. Craik, P. M. Griffiths, Brit, J. Appl. Phys. 9, 279 (1958),
W. Schwartz e, Ann. der Phys. 19, 322 (1957).
Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 70, 1527 (1949).
W. Bergmann, Zs. angew. Phys. 8, 559 (1956).
H. J. Williams, F. G. Foster, E. A. Wood, Phys. Rev. 82, 119 (1951).
M. M. H о с к о в, ЖЭТФ 17, 964 (1947).
J. Kranz, Naturwissenschaft. 43, 370 (1956).
C. A. F о w 1 e r, E. M. F г у e r, Phys. Rev. 104, 552 (1956).
J. F. D i 1 1 о n, J. Appl. Phys. 29, 1286 (1958).
H. W. Fuller, M. E. Hale, J. Appl. Phys,. 31, 238, 1699 (I960).
L. M ay er, J. Appl. Phys. 28, 975 (1957).
Г. В. Спивак, H. Г. Канавина, H. С. Сбитникова, T. H. Домбровская, ДАН СССР 105, 706 (1955).
Г. В. Спивак, И. Н. Прилежаева, В. К. А з о в ц е в, ДАН СССР 105, 965 (1955).
Г. В. Спивак, Н. Г. Канавина, И. С. Сбиты и ков а, И. Н. Прилежаева, Т. Н. Домбровская, В. К. Аз о в цев, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1177 (1957).
Г. В. Спивак, И. А. Прямкова, Э. И т р и с, Изв. АН СССР. сер. физ. 23, 729 (1959).
И. С. Сбитникова, Г. В. Спивак, И. М. Сараева, Изв. АН СССР, сер. физ. 23, 734 (1959).
L. Н. G е г m е г, Phys. Rev. 62, 295 (1942).
М. Blackman, Е. Grunbaum, Proc. Roy. Soc. A241, 508 (1957); A245, 408 (1958).
J. К a c z e r, Czech. J. Phys. 5, 239 (1955).
В. К о s t у s h у n, J. E. Brophy, I. О i, D. D. Roshon, Jr., J. Appl. Phys. 31, 772 (I960).
К. M. M e r z, J. Appl. Phys. 31, 147 (I960).
M. Polcarova, A. R. Lang, Appl. Phys. Lett. 1, 13 (1962).
J. F. Dillon, Jr., J. P. R e m e i k a, J. Appl. Phys. 34, 637 (1963).
Я. С. Шур, О. И. Ill и p я e в а, ЖЭТФ 39, 1596 (I960).
К. Б. Власов, Л. Г. Оноприенко,①ММ 15, 45 (1963).
646а.Я. С. Ш у р, О. И. Ш и р я е в а, Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 1012 (1966); ЯЮТ① 51, 1001 (1966).
Л. Г. О н о п р и е н к о, О. И. Ш и р я е в а, Я. С. Ш у р, Изв. АН СССР. сер. физ. 28, 504 (1964).
W. Andra, Е. Schwabe, Ann. der Phys. 17, 55 (1955).
C. A. F о w 1 e r, Jr.,E. M. Fryer, Phys. Rev. 86,426 (1952).
C. A. F о w 1 e r, Jr.,E. M. F г у e r, Phys. Rev. 94, 52 (1954); J.Opt.Soc.Am,
256 (1954)..
M.P r u t t о n, Phil.Mag. 4, 1063 (1959).
E.W. Lee, D. R. Ca 1 1 a b у, A. C. Lynch, Proc.Phys. Soc.72,233(1958).
J. F. Dillon, Jr., Bull. Am. Phys. Soc. 2, 238 (1957).
С. К о о y, Philips Tech. Rev. 19, 286 (1958).
H. J. Williams, В. C. S h erw о о d, J.P. Remeika, J. Appl. Phys. 29, 1772 (1958).
L. F. Bates, D. I. Craik, P. M. Griffiths, E. D. Isaac, Proc. Roy,
E. D. I s a a c, Proc. Phys. Soc. 74, 786 (1959).
M. Paulus, Compt. rend. 250, 2332 (i960).
H. Kojima, K. Goto, J. Phys. Soc. Japan 16, 1483 (1961); 17, 584 (1962).
Я. С. Ш у p, Г. С. Кандаурова, ФММ 16, 158 (1963).
Г. С. К a h д a у p о в а, Я. С. Ш у p, ФММ 16, 310 (1963).
R. Gemperl e, E. V. S h t о 1 t z, M・ Z e 1 e n y, Phys. stat. sol. 3, 2015 (1963).
M・ Rosenberg, C. Tanasoiu, Phys. stat. sol. 3, 1790 (1963); 10, 613 (1965).
Г. С. Кандаурова, ФТТ 10, 2311 (1968).
W. Andra, Ann. der Phys. 15, 135 (1954); 17, 233 (1956).
E. О. H a 1 1, Proc. Phys. Soc. B70, 254 (1957).
К. H. v о n Klitzing, A. Pietzcker, Ann. der Phys. 4, 50 (1959); Zs. angew. Phys. 17, 164 (1964).
668・ Г. G. Кандаурова, Я. G. Шур, Ф. В. Масленникова,於ЭТ① 38, 60 (I960).
Г. С. Кандаурова, Я. С. Шур, ФММ 15, 839 (1963).
R. Gemperl е, A. Gemperl е, I. В u г su с, Phys. Stat. Sol. 3, 2101 (1963).
В. Wystocki, Phys. stat. sol. 3, 1333 (1963); Acta phys. Polon. 34, 327 (1968).
P. J. Grundy, R. S. T e b b 1 e, J. Appl. Phys. 35, 923 (1964).
J. К 1 a m и t, Acta Phys. Polon. 25, 711 (1964).
Я. С. Ш у p, Ю. H. Драгошанский, ФММ 19, 536 (1965).
675・ Г. G. Кандаурова, Я. С. Ш у р, ФММ 20, 673 (1965); Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 1030 (1966).
J. Р. J akubovics, Phil. Mag. 14, 881 (1966).
Р. J. Grundy, Phil. Mag. 14, 901 (1966).
Я. С. Шур, Г. С. Кандаурова, ФММ 23, 627 (1967).
Ю. Н. Драгошанский, В. А. Зайкова, Я. С. Шур,①ММ 2 5, 289 (1968).
A. Hubert, J. Appl. Phys. 39, 444 (1968).
С. A. F о w 1 е г, Jr., Е. М. Fryer, Phys. Rev. 95, 564 (1954).
Г. С. Кандаурова, Я. С. Шур, Н. И. Гусельникова,① ММ 18 530 (1964).
Я. С. Ш у р, А. А. Г л а з е р, ФММ 14, 632 (1962).
Ю. Н. Драгошанский, Я. С. Шур, ФММ 21, 678 (1966).
Я. С. Шур, Ю. Н. Драгошанский, ФММ 22, 702 (1966).
И. Е. Старцева, А. А. Глазер, Я. С. Шур, Изв. АН СССР, сер. физ. 26, 262 (1962).
7 O^Q^ n^L8 8 8 9 96 6 6 6 67 O^Q^ n^L8 8 8 9 96 6 6 6 6692.693.694.695.696.697.698.699.700.701.702.703.704.705.706.707.708.709.710.711.712.713.714.715.716.717.718.719.720.721.692.693.694.695.696.697.698.699.700.701.702.703.704.705.706.707.708.709.710.711.712.713.714.715.716.717.718.719.720.721.9^ Q^ 5-6-7-8-9-0-1-2-3-4-5-6-7-8--^ 0 12-з4-5 6222 22 2223333333333444444477777777777777777777777779^ Q^ 5-6-7-8-9-0-1-2-3-4-5-6-7-8--^ 0 12-з4-5 6222 22 222333333333344444447777777777777777777777777W. Andra, Ann. der Phys. 17, 78 (1956).
7 O^Q^ n^L8 8 8 9 9
6 6 6 6 6
7 O^Q^ n^L8 8 8 9 9
6 6 6 6 6
692.
693.
694.
695.
696.
697.
698.
699.
700.
701.
702.
703.
704.
705.
706.
707.
708.
709.
710.
711.
712.
713.
714.
715.
716.
717.
718.
719.
720.
721.
692.
693.
694.
695.
696.
697.
698.
699.
700.
701.
702.
703.
704.
705.
706.
707.
708.
709.
710.
711.
712.
713.
714.
715.
716.
717.
718.
719.
720.
721.
9^ Q^ 5-6-7-8-9-0-1-2-3-4-5-6-7-8--^ 0 12-з4-5 6222 22 222333333333344444447777777777777777777777777
9^ Q^ 5-6-7-8-9-0-1-2-3-4-5-6-7-8--^ 0 12-з4-5 6222 22 222333333333344444447777777777777777777777777
Я. К а ц e p, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1170 (1957).
Л. В. Киренский, И.①.Дегтярев, ЖЭТ① 35, 584 (1958).
Я. С. Ш у р, И. Е. С т а р ц е в а, ЖЭТФ 39, 566 (I960).
R. Coleman, G. S с о t t, Phys. Rev. 107, 1276 (1957); J. Appl. Phys. 29, 526 (1958).
G. G. Scott, R. V. Coleman, J. Appl. Phys. 28, 1512 (1957).
A. Fowler, E. M. Fryer, D. Treves, J. Appl. Phys. 31, 2267 (I960); 32, 296S (1961).
C. S h e r w о о d, J. P. R e m e i k a, H. J. Williams, J. Appl. Phys. 30, 217 (1959).
M. L a m b e c k, Zs. Phys. 179, 161 (1964).
И. E. С т a p ц e в а, Я. С. Ш у p, ФММ 25, 298 (1968).
Wyslocki, W. J. Z i ^ t e n, Acta phys. Polon. 35, 117 (1969).
B. Wyslocki, Acta phys. Polon, 35, 179 (1969).
Z. J i r a k, M. Z e 1 e n y, Czech. J. Phys. 19, B44 (1969).
R.W.deBlois,C. D. Graham, J. Appl. Phys. 29, 528, 931 (1958).
R.W.deВ 1 о i s,J. Appl. Phys. 36, 1647 (1965).
R. W. de Blois, J. Vac. Sci. Tech. 3, 146 (1966).
R.W.deBlois, Final report. AFCRL-67-0107,Bedford,Mass., March1967.
R.W.deBlois,Techn. Iniorm. Series, GeneralElectric,Schenectady,N.Y.
67-C-326, August 1967.
R. W. de В 1 о i s, Final report AFCRL-68-0414, Bedford, Mass. Sept. i968.
R. W. de В 1 о i s, J. Appl. Phys. 39, 442 (1968).
R. Gemperl e, Phys. stat. sol. 14, 121 (1966); Czech. J. Phys B2, 89 (1971).
A. Nesbitt, H. J. Williams, Phys. Rev. 80, 112 (1950).
L. F. Bates, D. H. Martin, Proc. Phys. Soc. В68, 537 (1955).
A. Kussmann, J. H. Wollenberger, Zs. angew. Phys. 8, 213 (1956).
W. Andra, Ann. der Phys. 19, 10 (1956).
Y. Kimura, R. R. Hasiguti, Metal. Phys. 3, 36 (1957).
K. J. Kronenberg, R. T e n z e r, J. Appl. Phys. 29, 299 (1958).
B. J. ;C r a i k, E. D. Isaac, Proc. Phys. Soc. 76, 100 (I960).
L. F. Bates, D. J. Craik, E. D. Isaak, Proc. Phys. Soc. 79, 970 (1962).
Я. С. Ш у p, Proc. Intern. Conf. Magnetism, Nottingham, 1964, p. 776.
M. Г. Л у ж и H с к а я, Я. С. Ш у p, ЖЭТ① 48, 814 (1965).
К. J. Kronenberg, J. Appl. Phys. 33, 1326S (1962).
E. Luborsky, T. O. Paine, L. I. Mendelsohn, Powder Metallurgy
4, 57 (1959)...
J. A. E w i n g, Magnetic Induction in Iron and other Metalls, Electrician, 3d ed., London, 1900.
Я. C. Ill у p, M. Г. Лужинская, Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 1022 (1966).
Н. Н. Я г о в к и н а, М. Г. Л у ж и н с к а я, Я. С. Ш у р,①ММ 23, 487 (1967);
5, 439 (1968).
М. Г. Л у ж и н с к а я, Т. 3. П у з а н о в а, Я. С. Шур,① ММ 23, 495 (1967);
, 191 (1968).
М. Г. Луж и пека я, Т. 3. П уз ан о в а, А. А. К р а л ин а, Я. С. Шур, ФММ 25, 278 (1968).
Y. Iwata, Trans. Japan Inst. Metal 9, 273 (1968).
Я. С. Шур, Г. С. Кандаурова, Н. И. Гусельникова, ФММ 22, 132 (1966).
R. Becker, Phys. Zs. 33, 905 (1932); Wiss, Veroff. Simenswerke 11, 10 (1932).
R. Becker, Magnetismus, Leipzig, 1933, p. 82.
И. Кондорский,出3T① 7, 1117 (1937).
И. Кондорский, ДАН СССР 19, 397, 401 (1938).
W. F. Brown, Jr., Phys. Rev. 55, 568 (1939).
M. Kersten, Phys. Zs. 44, 63 (1943).
R. W. de В 1 о i s, J. Appl. Phys. 29, 459 (1958).
N. C. F о r d, J. Appl. Phys. 31, 300S (I960).
U. E n z, Helv. Phys. Acta 37, 245 (1964).
W. B. Hatfield, J. Appl. Phys. 37, 1934 (1966).
J. Craik, M. J. W о о d, Phys. stat. sol. 16, 321 (1966).
П. Д. К и м, Г. M. P о д и ч e в, ФММ 23, 935 (1967).
D i Chen, J. Appl. Phys. 38, 1309 (1967).
A s t i, M. С о 1 о m b о, M. G i u d i c i, J. Appl. Phys. 38, 2195 (1967).
E. Feldtkeller, Phys. stat. sol. 27, 161 (1968).
J. Williams, Phys. Rev. 52, 747, 1004 (1937).
H. J. Williams, W. Shockley, Phys. Rev. 78, 341 (1950).
Л. Гольдман, В. В. Д р у ж ин и н, Р. И. Янус, ЖТФ 20, 571 (1950).
В. В онсовский, ЖЭТФ 17, 1094 (1947).
Я. С. Шур, Д. Д. Мишин, ДАН СССР 87, 543 (1952); Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 634 (1952).
燈749.750.751752.753.754.755.756.757.758.鵰・761.762.763.764.765.766.767.768.769.770.772:燈749.750.751752.753.754.755.756.757.758.鵰・761.762.763.764.765.766.767.768.769.770.772:773.774.775.776.777.778.779.780.781.782.773.774.775.776.777.778.779.780.781.782.3 4 5 68 8 8 87 7 7 73 4 5 68 8 8 87 7 7 7787.788.789.790.791.792.793.794.795.787.788.789.790.791.792.793.794.795.6-7-8-9-o JJ7 7 7 7 86-7-8-9-o JJ7 7 7 7 8801.802.803.804.805.806.801.802.803.804.805.806.Д. Д. Мишин, И. П. Кудрявцев, ФММ 3, 439 (1956).
燈749.750.751752.753.754.755.756.757.758.鵰・761.762.763.764.765.766.767.768.769.770.772:
燈749.750.751752.753.754.755.756.757.758.鵰・761.762.763.764.765.766.767.768.769.770.772:
773.
774.
775.
776.
777.
778.
779.
780.
781.
782.
773.
774.
775.
776.
777.
778.
779.
780.
781.
782.
3 4 5 6
8 8 8 8
7 7 7 7
3 4 5 6
8 8 8 8
7 7 7 7
787.
788.
789.
790.
791.
792.
793.
794.
795.
787.
788.
789.
790.
791.
792.
793.
794.
795.
6-7-8-9-o JJ
7 7 7 7 8
6-7-8-9-o JJ
7 7 7 7 8
801.
802.
803.
804.
805.
806.
801.
802.
803.
804.
805.
806.
J.Morkowski, Acta phys. Polon. 17, 435 (1958).
H. Masumoto, Sci. Rep. Tohoku Univ. K. Honda Annivers vol., 1936, p. 388.
О. V. A u w e r s, H. Neumann, Wiss. Ver off. Siemenswerke, 14, 93 (1935).
А. С. Займовский, Бюлл. ВЭИ, № 2, 1 (1941).
J. Hopkinson, Trans. Roy. Soc. A176, 455 (1885).
K. Honda, H. Nishina, Zs. Phys. 103, 728 (1936).
M. В. Д ex тя p, H. Андрюшин, ЖЭТФ 10, 1402 (1940).
К i r k h a m, Phys. Rev. 52, 1162 (1937).
T. Kahan, Ann. de phys. 9, 105 (1938).
G. Thiessen, Ann. der Phys. 38, 153 (1940).
В. И. Дрожжина, Я. С. Шур, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 539 (1947).
Я. С. III у р, Н. А. Б а р а н о в а, ЖЭТФ 20, 183 (1950).
W. D 6 г i n g, Zs. Phys. 124, 501 (1947).
К n е 1 1 е г, В сб. «Beitrage zur Theory des Ferromagnetismus und des Magne- tisierungskurve», Berlin, 1956, p. 82,
M. Kersten, Zs. angew. Phys. 8, 382 (1956).
R. Gans, Ann. der Phys. 27, 1 (1908); 29, 301 (1909); Phys. Zs. 11, 988 (1910);
, 1053 (1910).
M. Samuel, Ann. der Phys. 8 6, 798 (1928).
R. Goldschmidt, Phys. Zs. 31, 1059 (1930).
E. И. Кондорский, ДАН СССР 18, 325 (1938).
E. И. Кондорский, ДАН СССР 20, 117 (1938).
Е. И. Кондорский, ЖЭТФ 10, 420 (1940).
М. В. Д е х т я р,出ЗТ① 9, 438 (1939); 8, 1124 (1938).
В. И. Дрожжина, Я. С. Шур, ЖЭТФ 11, 116 (1941).
Я. С. Ш у р, В. И. Др о ж ж и н а, ЖЭТФ 17, 607 (1947).
Л. В. Киренский, Д. А. Лаптей, А. И. Д р о к ин, Р. П. Смолин, ФММ 5, 337 (I960).
Я. С. ПГ у р, Н. А. Б а р а н о в а, В. А. 3 а й к о в а, ДАН СССР 81, 557 (1951).
Н. А. Баранова, Я. С. Шур, ДАН СССР 94, 825 (1954).
Я. С. Шур, Д. Д. Мишин,①.Н. Дунаев, В. Г. Плещеев,①ММ 20, 939 (1965).
О. Y a m a d a, Compt. rend. 251, 662 (I960).
N. Andreescu, E. L a b u s c a, Rev. Roman Phys. 10, 297 (1965).
H. Schlechtweg, Ann. der Phys., 2 7, 573 (1936).
H. L a w t о n, R. H. Stewart, Proc. Roy. Soc. A193, 72 (1948).
H. L a w t о n, Proc. Cambr. Phil. Soc. 45, 145 (1949).
E. A. T у p о в, Ю. П. И p x и н, Изв. АН СССР, сер. физ. 22, 1168 (1958).
А. И. A x и e 3 ep, В. Г. Барьяхтар, M・ И. Каганов, У ①H 71, 533;
з (I960).
H. С. А к у л о в, Zs. Phys. 64, 817 (1930).
А. Ж и г ад л of С. Сидельников, Уч. записки МГУ, вып. 2 (1934).
Н. С. Акулов, Н. Л. Брюхато в, Ann. der Phys. 15, 741 (1932).
Г. М. Аксенов, К. В. Григоров, Качественная сталь, № 2, 19 (1938):
№ 10, 44 (1935).
Е. Т и т о в, ЖТФ 7, 2084 (1937); ЖЭТФ 5, 817 (1935).
Д. И. В о л к о в, ЖЭТФ 5, 952 (1935).
Н. Kussmann, Н. Schlechtweg, Ann. der Phys. 32, 290 (1938).
Л. Г. Оноприенко, ФММ 13, 149 (1962).
Neel, R. Р authenet, G. R i m е t, V. S. Giron, J. AppL Phys. 31, 27S (I960).
J. Pospiech, Acta phys. Polon. 33, 171 (1968).
R. M・ В о z о r t h, H. J. Williams, Phys. Rev. 59, 827 (1941).
Л. В. Киренский, Изв. АН СССР, сер. физ, 12, 327 (1948).
Н. С. Акулов, А. Гельфенбейн, Н. Бычков, Zs. Phys. 78, 808 (1932).
R. Gans, Ann. der Phys. 24,. 680 (1935).
R. В e с k e г, M. К e r s t e n, Zs. Phys. 69, 660 (1930).
H. С. Акулов, Л. В. Киренский, ЖЭТ① 9, 1145 (1939).
И. Яншин, ЖЭТФ 10, 786 (1940).
А. Грабовский, ЖЭТ① 9, 180 (1939); Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 553 (1947).
Г. С. Г о р е л и к, Изв. АН СССР, сер. физ. 8, 172 (1944).
Г. С. Горелик, К. А. Горонина, И. С. Жукова, ДАН СССР, 44, 257 (1944).
А. Г. Любина, Кондидатская диссертация, Горький, 1946.
М. Kersten, Zs. Phys. 71, 553 (1931); 76, 505 (1932); 82, 723 (1933); 85, 708 (1933); Zs. Metallkde 27, 100 (1935).
F. Forster, K. S t a m b k e, Zs. Metallkde 33, 97 (1941).
W. К 6 s t e r, Zs. Phys. 124, 455 (1948).
7-&9-°-1-2-3-4-5678
0^0 11111 1111
888 008888 8888
L. R e i m e r, Zs. angew. Phys. 7, 282, 332 (1955).
A. Seeger, H. Kronmiiller, J. Phys. Chem. Sol. 12, 298 (I960).
H. T r a u b 1 e, Modern Probleme der Metallphysik, «Bd. II, Chemische Bindung in Kristallen und Ferromagnetismus, Spinger, Berlin, 1966, p. 157.
T. Holstein, H. Primakoff, Phys. Rev. 59, 388 (1941).-
L. Neel, J. phys. rad. 9, 184 (1948).
L. Neel, J. phys. rad. 9, 193 (1948).
P. Weiss, J. phys. rad. 9, 373 (1910).
W. S t e i n h 271 (1915).
P. W e i s s, В R. Becker W. F. В г о w
a u s, E. G u m 1 i c h, Verhand. deutsch
physik. Geselschaft, 17,
819.
820.
821.
822.
823.
824.
-825.
826.
827.
828.
-829.
В. В. П a435 (1953);
.F о r r e r, Ann. de phys. 12, 279 (1929).
(H. Polley, Ann. der Phys. 37, 534 n, Jr., Phys. Rev. 82, 94 (1951).
р ф е н о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 601 121, 1327 (1957); ФММ 16, 827 (1963).
(1940).
(1952); ДАН СССР, 93,
В. В. П a p ф e н о в, H. В. Ш у м к о в, ФММ 1, 427 (1955).
В. В. П a p ф e н о в, В. П. В о p о ш и л о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 21. 1334 (1957); ФММ 13, 340, 502 (1961).
В. В. Парфенов, В. В. Парфенов, (1962).
Ю.
Ю.
А. Лобастов, ФММ 14, 503 (1962); 16, 334 (1963).
А. Лобастов, Л. В. Шимо л ин, ФММ …
14, 503
H. H. H. Л. Л. Л. H.
Kronmuller, Kronmiiller, С. Акулов, Н.
А.
Zs.
3.
Seeger, J. Phys. Chem. Sol. 18, 93 (1961). Phys. 157, 574 (1959).
Мир
№
о 1234563 3 3 3 3 3 3
8 8 8 8 8 8 8
К.
В. Киренский, Л. И.
В. Киренский, Л. И.
В. Киренский, Л. B.
С. А к у л о в, К. M. Б о л ь i 9, 79 (1950).
M. Большова, Изв. АН
(1952).
с о л о л о л о о в
СССР,
ДАН СССР 66, 28 (1949).о д с к о й, ДАН СССР 69,
639
о д с к о й, ДАН СССР 70, 809
о д с к о й, ДАН СССР 74,
457
(1949).
(1950).
(1950).
ДАН СССР 丸 633 (1950); Вестник МГУ
сер. физ. 16, 590 (1952); ЖЭТФ 23, 349
■837.
■838.
839.
-840.
841.
842.
843.
844.
845.
■846.
847.
848.
■849.
S. T. P a n, Acta Sci. Sinica 1, 133 (1952).
S. T. Pan, Acta Sci. Sinica 9, 15 (1953).
H. D a n a n, Compt. rend. 246, 73, 401, 1822 (1958).
W. Andra, H. D a n a n, Compt. rend. 254, 1225 (1962).
H. 3. M и p я с о в, ФММ 16, 146 (1963).
A. Ah ar on i, Phys. Rev. 131, 1478; 132, 105 (1963); J. Appl. Phys. 34, 2434;
35, 913 (1964).
L. Pal, T. Tarnoczi, Acta Phys. Hung. 6, 225 (1956); Изв. АН СССР, cep. физ. 21, 1055 (1957).
G. F о ё x, Compt. rend. 242, 748 (1956).
G. H. Dietrich, E. К n e 11 e r, Zs. Metallkde 47, 672 (1956).
R： P e r t h e 1, Monatsberichte deut. Acad. Wiss. Berlin, 7, 348 (1965).
Б. П. X p о м о в, ФММ 22, 833 (1966).
R. Vergne, Phys. stat. sol. 14, 143 (1966); H. Gessinger, E. Koster, H. Kron (1968).
A. Holz, H. Kronmiiller, Phys. stat.
H. С. А к у л о в, Zs. Phys. 81, 790 (1933).
R. H. d e W a a r d, Phil. Mag. 4, 641 (1927).
J. phys. 27, 309 (1966). muller, J. Appl. Phys. 39, 986
sol. 28, 755 (1968).
E. P. Wohlfarth, C6. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl), vol. Ill, Acad. Press, N.Y., 1963, p. 351.
Э. П. Вольфарт, M агнитно-твердые материалы, Перевод с англ., Госэнерго- издат, М.— Л., 1963.
Е. И. Кондорский, Сб. «Проблемы ферромагнетизма и магнетодинамики», Изд. АН СССР, М., 1946.
012345
5 5 5 5 5 5
8 8 8 8 8 8
Е.
О.
М・ R. F.
В. Ш т о л ь ц, Я. С. Ш у р, ДАН СССР 45, 781 (1954).
А. Иванов, Я. С. Шур, Е. В. Штольц, ФТТ 9, 1098
S a t о, Т. М i t u i, J. Phys. Soc. Japan 19, 5 (1964).
К. T e n z e r, J. Appl. Phys. 34, 1267 (1963).
Preisach, Ann. der Phys. 3, 739 (1929); Phys. Zs. 33, 913
(1967).
67890 123
55556 666
88888 888
R・ М・ В о z о г 111, J. F. Dillinger, G. А. К е 1 s а 1 1, Phys. (1934).
(1932).
Rev. 45, 742
Н. J. Williams, М. G о е г t z, J. Appl. Phys. 23, 316 (1952).
R. M. В о z о r t h, J. F. Dillinger, Nature 127, 777 (1931).
К. H. S t e w a r t, Proc. Phys. Soc. A63, 761 (1950); J. phys. rad. 12, 325 (1951).
H. J. William s,W. Shockley, Ch. Kittel, Phys. Rev. 80, 1090 (1950). J. K. Galt, Phys. Rev. 83, 208 (1951); 85, 664 (1952); Bell Syst. Techn. J. 33, 1023 (1954); 34, 439 (1955).
J. K. Galt, J. Andrus, H. G. Hopper, Rev. Mod. Phys. 25, 93 (1953).
R. F о r r e r, J. phvs. rad. 7, 109 (1926).
Д. С. Штейнберг, Phys. Zs. UdSSR 2, 227 (1932); 7, 155 (1935).
864.①, 865. К.b.WH.S.ChWW, 873. H.A.L.L.ChR.ChЯ.H.J.S.WR.'A.C.A.G.A.C.H.M.Б.894a.L.M.Б.896a.F.Z.K.И.И.901f E.Z.B.Д.Д.B.R.M,K.E.J.W0.L.W0.0.A.F.'E.L.G.J.R.925・ D.864.①, 865. К.b.WH.S.ChWW, 873. H.A.L.L.ChR.ChЯ.H.J.S.WR.'A.C.A.G.A.C.H.M.Б.894a.L.M.Б.896a.F.Z.K.И.И.901f E.Z.B.Д.Д.B.R.M,K.E.J.W0.L.W0.0.A.F.'E.L.G.J.R.925・ D.
864.①, 865. К.
b.
W
H.
S.
Ch
W
W, 873. H.
A.
L.
L.
Ch
R.
Ch
Я.
H.
J.
S.
W
R.'
A.
C.
A.
G.
A.
C.
H.
M.
Б.
894a.L.
M.
Б.
896a.F.
Z.
K.
И.
И.
901f E.
Z.
B.
Д.
Д.
B.
R.
M,
K.
E.
J.
W
0.
L.
W
0.
0.
A.
F.'
E.
L.
G.
J.
R.
925・ D.
864.①, 865. К.
b.
W
H.
S.
Ch
W
W, 873. H.
A.
L.
L.
Ch
R.
Ch
Я.
H.
J.
S.
W
R.'
A.
C.
A.
G.
A.
C.
H.
M.
Б.
894a.L.
M.
Б.
896a.F.
Z.
K.
И.
И.
901f E.
Z.
B.
Д.
Д.
B.
R.
M,
K.
E.
J.
W
0.
L.
W
0.
0.
A.
F.'
E.
L.
G.
J.
R.
925・ D.
Д. Мирошниченко, Phys. Zs. UdSSR 10, 540 (1940).
：и к с т у с, У①H 22, 631 (1939).
；e p и н г, УФН 22, 78 (1939).
)6ring, H. Haake, Phys. Zs. 39, 865 (1938).
I a a k e, Zs・ Phys. 113, 218 (1939).
g a w a, Sci. Rep. Tohoku Univ. Al, 53 (1949).
Greiner, Ann. der Phys. 12, 89 (1953).
)6 r i n g, Zs. Phys. 108, 137 (1938).
t. Brown, Jr., Rev. Mod. Phys. 17, 15 (1945).
]k s t e i n, T. Gilbert, Phys. Rev. 79, 214 (1950).
h a г о n i, Rev. Mod. Phys. 34, 227 (1962); J. Appl. Phys. 33, 1324S (1962).
.Dijkstra, Thermodynamics in Physical Metallurgy, Cleveland, 1950r
.Bates, D. H. Martin, Proc. Phys. Soc. A66, 162 (1953).
Greiner, Ann. der Phys. 16, 176 (1955).
『・ de В 1 о i s, J・ Appl. Phys. 32, 1561 (1961).
Guillaud, J. phys. rad. 12, 492 (1951).
.Шу p, А. А. Г л a 3 e p, Ю. H. Драгошанский, В. А. Зайков ar .Кандаурова, Изв. АН СССР, сер. физ. 28, 553 (1964).
Kojima, К. Goto, Proc. Intern. Conf. Magnetism, Nottingham, Sept.,.
：,Inst. Phys, and Phys. Soc., London (1965), p. 727.
oodenough, Phys. Rev. 95, 917 (1954) (перевод в сб. «Магнитная струк- ферромагнетиков», ИЛ, М., 1959, стр. 19).
htrikman, D. Treves, J. Appl. Phys. 31, 147S (I960).
J В г о w n, Jr. Phys. Rev. 124, 1348 (1961); J. Appl. Phys. 33, 3022, 302作
2); 35, 2102 (1964)..
larry, E. D. Isaac, Brit. J. Appl. Phys. 15, 551 (1964).
l h a г о n i, E. N e e m a n, Phys. Lett. 6, 241 (1963).
l b r a h a m, Phys. Rev. 135, A1269 (1964); 140, A144, A48 0 (1965).
[.Мицек, ФММ 22, 481 (1966).
V. Rathenau, J. Smit, A. L. S t u у t s, Zs. Phys. 133, 250 (1952).
：h a г о n i, Phys. Rev. 119, 127 (I960); J. Appl. Phys. 32, 245S (1961).
b r a h a m, A. A h a г о n i, Phys. Rev. 120, 1576 (i960); Rev. Mod. Phys.
227 (1962).
.Williams, Phys. Rev. 71, 646 (1947).
K. e r s t e n, Grundlagen einer Theorie der ferromagnetischen Hysterese und Koerzituvkraft, Leipzig, 1944; Zs. Phys. 124, 714 (1948).
I. Филиппов, ФММ, 22, 343 (1966).
.Dijkstra, C. Wert, Phys. Rev. 79, 979 (1950); 81, 312 (1951).
V. M u 1 1 e r, J. Appl. Phys. 38, 2413 (1967).
t В айнштейн, Б. Г. Лифшиц, ЖТФ 19, 871 (1949).
「i с е п а, Чехосл. физ. журн. 4, НО, 419 (1954); 5, 11, 480 (1955).
[а 1 е к, Чехосл. физ. журн. 7, 335 (1957).
о t г u b а, Чехосл. физ. журн. 7, 568 (1957).
[.Д е х т я р, Э. Г. М а д а т о в а, УФЖ 3, 659 (1958).
I. Д е х т я р, Д. А. Л е в и н а, ФММ 12, 30 (1961).
，Кривоносова, Б. Г. Лифшиц, ФММ 15, 497 (1963).
i g u t, Чехосл. физ. журн. 14, 717 (1964).,
).Новиков, Д. Д. Мишин, ФММ 19, 796 (1965).
I；. М и ш и н, Р. М. Г р е ч и ш к и н, В. Г. П л е щ е в, ФММ 22, 140 (1966).
I；. М и ш и н, В. Ф. Н о в и к о в, В. Г. К у р д ю м о в, ФММ 24, 175 (1967).
8. Новиков, ФММ 26, 732 (1968).
L G е i s s, J. Silcox, J. Appl. Phys. 39, 982 (1968).
К. e r s t e n, Zs. angew. Phys. 7, 397 (1955); 8, 496 (1956).
L Pfeffer, Phys. stat. sol. 21, 857 (1967).
I. Кондорский, ДАН СССР 30, 598 (1941).
/.Rayleigh, Phil. Mag. (5) 23, 225 (1887).
B. Ellwood, Physics 6, 295 (1935).
f a m a d a, Compt. rend. 250, 4313 (I960); 253, 403 (1961); 255, 70 (1962).
r u g e 1, Compt. rend. 255, 3135 (1962).
H a m p e, Zs. angew. Phys. 14, 498 (1962).
Famada, T. N agashima, Compt. rend. 257, 2423 (1963).
У a m a d a, T. Katayama, Compt. rend. 2 63, 889B (1966).
工 oiler, E. Pfrenger, K. Stierstadt, J. Appl. Phys. 39, 869
r e i s a c h, Zs. Phys. 94, 277 (1935).
I. Кондорский, J. Phys. USSR 6, 93 (1942).
I ё e 1, Cahiers Phys. 12, 1 (1942); 13, 18 (1943).
i о r c i, D. Peschetti, Nuov. cim. 7, 829 (1958).
；ounefous, Compt. rend. 256, 5069 (1963).
5traubel, D. Robaschik, Phys. stat. sol. 16, 237 (1966).
M i d m a n n, Zs. angew. Phys. 20, 516 (1966).
*926. L. Neel, Compt. rend. 246, 2313 (1958); J. phys. rad. 20, 215 (1959).
926a.N g u g e n van D a n g, J. phys. rad. 20, 222 (1959).
Я. С. Шур, ЖТ① 8, 1817 (1938).
С. В. Вонсовскпй, ЖТФ 8, 1805 (1938); 9, 1151 (1939).
Я. С. Шур, Г. С. Кандаурова, Л. Г. Онопрпенко, ЖЭТФ 48, 442
В. В. Дружинин, Р. И. Янус, ЖТФ 22, 848 (1952).
Ф. Н. Дунаев, С. Н. Иванченко,①而М 31, 836 (1971).
В. Р. А б е л ь с, ФММ 10, 305 (I960).
В. Р. А 6 ел ь с, Е. Л. Николаева, ФММ 11, 851 (1961).
Е. Г. Кривоносова, Б. Г. Лифшиц, ФММ 14, .930 (1962).
'935. J. Pospiech, Acta phys. Polon. 34, 111 (1968).
К. Warburg, Ann. der Phys. 13, 141 (1881).
U. Adelsberger, Ann. der Phys. 83, 184 (1927).
L. F. В a t e s, J. C. W e s t о n, Proc. Phys. Soc. 53, 5 (1941).
L.F.Bates,D.R. Healey, Proc. Phys. Soc. 55, 188(1943).
L.F.Bates,G.Marshall, Rev. Mod. Phys. 25, 17(1953).
L.F.Bates,N・P. R. Sherry, Proc. Phys. Soc. B68,642 (1955).
L. F. Б a t e s, H. С 1 о w, J. phys. rad. 20, 93 (1959).
Я. С. Шур, В. Я. Барановский, А. И. Попов, 7КЭТ① 9, 1512 (1939).
Я. С. Ш у р, ЖЭТФ 17, 238 (1947).
Я. С. Ш у р, К. Б. В л а с о в, ДАН СССР 69, 551, 647 (1949).
К. Б. В л а с о в, Я. С. Ш у р, ДАН СССР 66, 1081 (1949); ЖЭТФ 21, 39 (1951).
К. Б. Власов, В. А. Коршунов, }КТ① 23, 441 (1953).
М・ Rosenberg, Studi si Cercetari de Fizica 8, 321 (1957).
C. W. C h e n, J. Appl. Phys. 29, 1337 (1958).
A. v о n К i e n 1 i n, Arh. Eisenhiittenwes. 29, 661 (1958).
В. H. Z i t k а, Чехосл. физ. журн. 8, 375 (1958).
W. H e 1 1 e n t h a 1, Zs. Naturforschg. 14a, 722 (1959); Zs. Phys. 177, 215 (1964).
В. В. Дружинин, H. И. Мокрушина, ФММ 9, 498 (I960).
D. Krause, Zs. Phys. 168, 239 (1962).
■955. L. F. Bates, A. J. Pacey, Brit. J. Appl. Phys. 15, 1391 (1964).
•956. J. P. H a n t о nt A. H. M о r r i s h, J. Appl. Phys. 36, 1007 (1965).
957. H. Bilger, H. T r a u b 1 e, Phys. stat. s(51. 10, 755 (1965).
■958. H. Bilger, Phys. stat. sol. 18, 207 (1966).
959・ A. T. E n g 1 i s h, Acta Metal. 15, 1573 (1967).
D. M. Grimes, J. Phys. Chem. Sol. 3, 141 (1957).
961・ Я. С. Шур, И. E. Старцева, ФММ 2, 568 (1956); 6, 614 (1958); Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1240 (1957).
И. Е. Старцева, Я. G. Шур, Труды ИФМ АН СССР, вып. 20, 125 (1958); Изв. АН СССР, сер. физ. 22, 1189 (1958).
Е. Tatsumoto et aL, J. phys. 32, С—1, 550 (1971).
K. S t r n a t et aL, J. phys. 32, С—1, 552 (1971).
A. E. Ray et al. J. phys. 32, С—1, 554 (1971).
966・ A. Ah ar on i, Phys. Rev. 123, 732 (1961).
R. M. В о z о r t h, Zs. Phys. 124, 519 (1948).
M. Kornetzki, Zs. angew. Phys. 14, 164 (1962).
969・ O. Henkel, Phys. stat. sol. 6, 365 (1964).
И. С. Любутин, ФТТ 7, 1397 (1965).
D. P a v 1 о v i с, K. Foster, J. Appl. Phys. 36, 1237 (1965).
R. S. Carmichael, Japan J. Appl. Phys. 7, 1247 (1968).
M. Asanuma, S. Ogawa, J. Phys. Soc. Japan 12, 955 (1957).
F. R. S о о h о o, IEEE. Mag.-4,H8 (1968).
•975. Y. К i k u c h i, IEEE, Mag.-4,107 (1968).
D. K. Das, Intermag. Conf., Amsterdam, 15—18, April 1968.
H. Reinboth, Technologic und Anwendung Magn. Werkstoffe, Berlin, 1958.
А. Л. Микаэлян, Теория и применение ферритов на СВЧ, ГЭИ, М. 1963.
R. J・ Parker, R. J.Studdere, Permanent Magnets and their Applications, Wiley, N.Y. 1962.
D. Hadfield, Permanent Magnets and Magnetism, Wiley, N.Y., 1962.
F. E. Luborsky, J. Appl. Phys. 37, 1091 (1966).
J. J. В e c k e r, F. E. L u b о r s k y, D. L. M a r t i n, IEEE, Mag.-4, 84 (1968).
H. Williams, M. Goertz, R. Bozorth, Phys. Rev. 91, 1107 (1953).
К. П. Белов, P. 3. Левитин, Б. К. Пономарев, J. Appl. Phys. 39,
H. Haworth, Bell Labor. Record 9, 167 (1930).
G. Hoffer, K. S t r n a t, IEEE Trans. Magnetics, Mag-2, 487 (1966).
K. J. S t r n a t, Cobalt, 36, 133, Sept. 1967.
W. A. J. J. V e 1 g e, К. H. R u s c h о v, Conf. Magn. Materials and Their Applications, London, Sept. 26—28, 1967..
K. Strnat, G. Hoffer, J. Olson, W. Ostertgard, J. Becker, J. Appl. Phys, 38, 1001 (1967).
Глава 24
МАГНИТНО-УПОРЯДОЧЕННЫЕ ВЕЩЕСТВАВ ПЕРЕМЕННЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХИ ВРЕМЕННЫЕ ЭФФЕКТЫ
Магнитные свойства ферромагнетиков существенно зависят от времени .Эта зависимость проявляется как при квази статическом намагничивании, так и при. намагничивании с конечной скоростью в переменных полях. Исследование временной зависимости магнитных свойств имеет большое практическое значение в связи с широким применением ферромагнитных материалов. Важна также стабильность магнитных свойств во времени. Теоретическое изучение временной зависимости магнитных характеристик имеет и принципиальный интерес, позволяя глубже раскрыть физический механизм процессов намагничивания.
Среди разнообразных временных явлений в ферромагнетиках можно выделить в качестве основных следующие: а) дисперсия магнитной проницаемости, б) ферромагнитный резонанс и в) магнитное последействие и старение, возникающие в ферромагнетиках в переменных полях различной частоты и связанные с изменениями их магнитной и кристаллической структуры в результате структурных и химических превращений. Все эти эффекты в той или иной степени наблюдаются также в ферри- и антиферромагнетиках.
Дисперсия магнитной проницаемости(феноменологическая трактовка)
Учет магнитной вязкости и скин-эффекта. Необратимые процессы намагничивания в ферромагнетиках вызывают отставание изменений намагниченности от изменений магнитного поля (магнитный гистерезис)т. даже если эти изменения бесконечно медленные (квазистатическиек С увеличением скорости изменений поля (периодических и апериодических) сдвиг фаз между намагниченностью I и магнитным полем Н возрастает, и запаздывание намагниченности I обусловливается не только «статическим» гистерезисом, но и конечностью скорости изменения поля Н. Это добавочное запаздывание называют магнитной вязкостью. В релеев- ской области очень слабых полей (см. гл. 23, § 13, п. 5) при их квазиста- тическом изменении ферромагнитную среду можно феноменологически описывать с помощью обычной электродинамики с постоянными магнитной (卩) и диэлектрической (е) проницаемостями. Однако с увеличением скорости изменений поля Н такое описание делается слишком грубым, и обычная система уравнений электродинамики требует обобщений, учитывающих магнитную вязкость.
Такое обобщение для вязких ферромагнитных сред впервые дал Аркадьев [1, 2] ), предложивший обобщенный закон электромагнитной индукции. В дифференциальной форме (для синусоидально изменяющихся величин) это обобщение имеет вид
—" = рн +若醬， (24.1)
где р — магнитная проводимость, характеризующая влияние магнитной вязкости на э. д. с. индукции в ферромагнетике. Если векторы В и Н записать в комплексной форме
Е* = Eq exp [力(з方+ 山)]и Н* = Но exp [t((o^ + 62)](
TO
* i дН* . T dH*
где (o — циклическая частота, а Т =2л/з ——период электромагнитных колебаний. Подстановка (24.2) в (24.1) дает
.е 卩一2ipT дН*z9/ о\
—(24.3)
Введем сокращенные обозначения：
2рГ — р\(24.4)
ц — Хр‘ = р/,(24.5)
где р/——комплексная проницаемость. Если 卩 и р‘ не зависят от времени, то (24.3) можно записать в виде
—rot鼻~-(24.6)
4л dt'‘
и определить комплексную магнитную индукцию
В* = ц\ЕГ\(24.7)
где
В* = Во ехр [八研 + 63)].(24.8)
Из сравнения (24.5), (24.8) и (24.7) находим выражение для сдвига фаз между полем и индукцией и связь между амплитудами индукции и поля
tg(63 — &) = ^,瓦)=/炉十 р'2%.(24.9)
Аркадьев (1936) величину ц называет упругой проницаемостью'^ она определяет запас обратимой магнитной энергии ферромагнетика
% 案，(24.10)
которая возвращается при его размагничивании; величина - рЛ именуется вязкой ироницаемостъю и определяет величину необратимых потерь на гистерезис,
忆 ист =Р号；(24.11)
наконец, величину
Гт = ^=(“2+р'2 产(24.12)
называют полной или амплитудной проницаемостью. Эта феноменологическая теория получила дальнейшее развитие в работах Аркадьева (1936), Розовского [6], Тихонова [7], Беккера [8], Хинце [9] и др. Была учтена зависимость проницаемостей ц, р‘ от напряженности магнитного поля. Например, в случае слабых изменений поля можно по Релею (см. гл. 23) ввести
N=Na+£‘H и р' = ЬН.(24.13)
Введенский [10], учитывая эффект вихревых токов, но не рассматривая магнитной вязкости, решил задачу о намагничивании ферромагнитного цилиндра в периодическом и апериодическом магнитном поле.
Эффект вихревых токов в проводящих ферромагнитных веществах представляет собой одну из основных причин, обусловливающих сдвиг @аз между намагниченностью и внешним переменным магнитным полем. По закону индукции Фарадея всякое изменение магнитного потока в проводящей среде создает в ней э. д. с., которая в свою очередь создает электрические вихревые токи (токи Фуко). По правилу Ленца магнитное поле этих токов направлено против вызвавшего их внешнего поля. Поэтому токи Фуко оказывают экранирующее действие и амплитуда внешнего переменного поля (и соответствующая намагниченность) быстро затухает с удалением от поверхности внутрь металлического образца (скин-эффект). Можно ввести некоторую характерную длину, так называемую глубину скин-слоя 6скин* на которой амплитуда поля уменьшается в е раз. В случае бесконечной плоскопараллельной пластины при частоте поля з и постоянной проницаемости вещества 卩 для глубины скин-слоя получаем
Зскин= (1^г)"2.
В предельном случае низких частот (6СКИН ^ 1, d — толщина пластинки) лотери на токи Фуко можно вычислить интегрированием величины pj2 по объему пластины (/ — плотность тока):
We— а 筑 з, где а = л@2/3р и BQ^ цЯ0.
Если учесть формулы (24.13) и (24.11), то для полных потерь 1УПОЛН находим
здесь с — не зависящая от BQ и з величина. Это полуфеноменологиче- ское уравнение довольно хорошо описывает потери в проводящих ферромагнетиках (см., например, [11]).
Исследования Введенского [10] дополнил Тихонов [7], который учел влияние магнитной вязкости. Дивильковский и Филиппов [12, 13] произвели расчет эффекта вихревых токов для ферромагнитного шара. Они дали также новый метод определения проницаемости в переменных полях с помощью измерения нагревания ферромагнитного шарика под действием вихревых токов (и отчасти гистерезиса), возникающих при помещении шарика в переменное поле. Рытов [14] разработал новый способ приближенного расчета поверхностного эффекта по методу малых возмущений, Маш и Енушков [15] и Маш [16] использовали метод Дивильковского для измерений проницаемости железа в переменных полях с длиной волны % от 4 до 20 九 и обнаружили монотонный рост 卩 с увеличением %. Снук [17] учел влияние размагничивающего действия поверхности ферромагнитного образца на возникающие в нем при намагничивании вихревые токи.
Частотная зависимость магнитной проницаемости. Опыт показывает, что проницаемость ферромагнетиков падает с увеличением частоты намагничивающего поля. В области частот видимого и инфракрасного света (для длин волн 九 ^ 30 卩 или частот v = 107 Мгц = 1013 сек^), как показали Хаген и Рубенс [18], ферромагнетики теряют свои характерные магнитные свойства и их восприимчивость оказывается при этих частотах такой же, как и у обычных металлов, т. е. ц ^ 1. Из опыта также известно, что в области низких частот (до v ^ 102 Мгц = 108 сек^ проницаемость ферромагнетиков меняется сравнительно мало. Таким образом, основной спад проницаемости происходит в интервале частот от 102 до 107 Мгц. На неизбежность существо в ани я такого спада впервые указал Аркадьев [19]. Опыты Аркадьева и его школы [20—23], а также работы [24—27] по измерению магнитной проницаемости большого числа ферро-
Рис. 24.1. Общая схема магнитного спектра ферромагнетика: на частотных кривых «упругой» (в) и «вязкой» (р‘)проницаемостей показано распределение полос магнитной дисперсии (Аркадьев [5]).Рис. 24.1. Общая схема магнитного спектра ферромагнетика: на частотных кривых «упругой» (в) и «вязкой» (р‘)проницаемостей показано распределение полос магнитной дисперсии (Аркадьев [5]).56 с. В Вонсовский56 с. В Вонсовский一 881一 881
Рис. 24.1. Общая схема магнитного спектра ферромагнетика: на частотных кривых «упругой» (в) и «вязкой» (р‘)проницаемостей показано распределение полос магнитной дисперсии (Аркадьев [5]).
Рис. 24.1. Общая схема магнитного спектра ферромагнетика: на частотных кривых «упругой» (в) и «вязкой» (р‘)проницаемостей показано распределение полос магнитной дисперсии (Аркадьев [5]).
56 с. В Вонсовский
56 с. В Вонсовский
一 881
一 881
магнетиков в широком интервале частот внешнего поля полностью подтвердили теоретические предположения Аркадьева о дисперсии магнитной проницаемости ). На рис. 24.1 приведена общая схематическая
картина магнитного спектра ферромагнетиков по Аркадьеву [5]. Из этой схемы видно, что со стороны длинных волн (низких частот) на кривой упругой проницаемости 卩(”)имеются «ступеньки» и со о тв етств ующи е им размытые максимумы на кривой вязкой проницаемости р'(”), отвечающие полосам поглощения. Согласно Аркадьеву [5], причиной этого поглощения могут являться вихревые токи и магнитная вязкость. Со сто-
роны коротких волн (высоких частот) наблюдается магнитный резонанс: аномальная дисперсия на кривой 卩(v) и резкий максимум на кривой Р，(V). Аркадьев [5] дал феноменологическое описание наблюдаемых на опыте магнитных спектров. Эти работы получили дальнейшее развитие в исследованиях Кир ко [28], Каткова и Поливанова [29], Фоменко [30].
Влияние доменной структуры на дисперсиюмагнитной проницаемости
Случай идеального кристалла (без учета потерь на гистерезис). Аркадьев [31] первый указал, что причиной дисперсии магнитной проницаемости могут явиться «микроскопические» вихревые токи, вызванные перемагничиванием доменов. Позже [32] он качественно разработал эту идею.
Ландау и Лифшиц [33] впервые дали количественный расчет дисперсии магнитной проницаемости на основе современных представлений о механизме процессов намагничивания, для простейшего случая магнитно-одноосного идеального кристалла (лишенного гистерезиса). Б случае изолированного элементарного магнитного момента его поведение при намагничивании определяется только внешним магнитным полем. В ферромагнетике имеется сильная связь между атомными магнитными моментами. Приближенно эту связь можно описать «эффективным полем»:
加* 崇 券 4z%+% (24.14)
где А —— интеграл обмена, а а — постоянная кристаллической решетки, Js — вторая производная намагниченности насыщения, Zsz — z-компо- нента намагниченности (внешнее поле Н || О^), К ——константа магнитной анизотропии, п — единичный вектор в направлении оси z. Поле / не может вызвать поворота вектора Is, вызывая лишь его прецессию вокруг направления/согласно уравнению
где g‘ = elmc [см. (2.6)]. Поворот вектора Is к направлению /может быть вызван лишь магнитным взаимодействием. Последнее мало по сравнению с электрической обменной связью, поэтому в первом приближении урав- нение движения для. Is будет иметь вид
-jrls = [fla] +em {f~^ ^) - (24.15)
Второй член в правой части (24.15) является вектором, направленным, от 7*s к Г Коэффициент ет — малый параметр, определяющий величину слабых (релятивистских) магнитных сил, имеет размерность намагниченности (£т：《 /$)・ Решение уравнения (24.15) для случая граничного слоя двух плоскопараллельных доменов (180°-соседство) дает [33] для скорости смещения слоя v выражение
U= g'(?#)偿广瓦(24.16)
При этом для комплексной проницаемости при намагничивании вдоль легкой оси найдено
=(24.17)
где 6rp — эффективная толщина граничного слоя между доменами, d — средний линейный размер образца, (о — круговая частота внешнего магнитного поля. При такой ориентации намагничивающего поля резонанса нет, и мы имеем чистое затухание. Из (24.17) и (24.5) находим, что ц — 1 и р‘ 〜о)-" тогда при (о -> 0 р‘-> оо. Это безграничное возрастание вязкой проницаемости объясняется тем, что при выводе (24.17) не учтен магнитный гистерезис и вихревые токи.
Когда поле перпендикулярно оси легчайшего намагничивания, теория [33] дает
卩丄一丄十 4冗 P(0)2-J-(02—21(07)， где
3o = g，击(24.19>
—«собственная» круговая частота смещающихся границ между доменами, у = g'K&m/Il — декремент затухания этих смещений. Если принять К 5 -105 叩?/с九з, a Zs ^ 103 гс и gf = \ е \ !тс ^ 5 <107, то получим v0 = 3()/2冗 = 1,5 -104 Мгц и Ло — 2лс/зо ^ 12,6 ем; вблизи частоты ①《 наблюдается аномальная дисперсия (резонанс) на кривой ц' (со), как это ранее показал Аркадьев (1934). При малых частотах (з «(оо) формула (24.18) в пределе дает статическую проницаемость 卩丄=1 + ^1УК (см. гл. 23), а при очень больших частотах (з》①。)проницаемость 卩丄!•
Учет магнитных неоднородностей и потерь. Р. Беккер [34, 35]' (см. также [36—40]), используя идею Аркадьева, рассчитал зависимость проницаемости от частоты по той же схеме, что и Ландау и Лифшиц [331, но для более простой модели (без учета деталей распределения спонтанной намагниченности Is в граничном слое). Однако Беккер учитывал неоднородности в материале (конечность 血 при з = 0) и необратимые смещения границ. Этот учет приводит к тому, что в выражении для 卩厶 появляется собственная частота
3。产瀛， (24.20)
где о — удельная электропроводность, d — линейные размеры домеиов, с — скорость света, %& — статическая начальная восприимчивость, которая у Ландау и Лифшица принимается равной бесконечности. Эта частота (oojl определяет собой начало заметного спада проницаемости с частотой. Оценка з()]]/2л; по формуле (24.20) дает величину 2 -109 гц (Хоц ^ 15 см), т. е. такого же порядка, как и для ①。в (24.19). Величины ①。и ①。“ зависят от размеров доменов (@), а следовательно, в силу (23.40) могут зависеть и от размеров образцов.
Беккер определил также вторую критическую частоту ①工卜 связанную с (оО|| соотношением
й)ОЦ ^ 0,01й)о||-
—882 —
Частота з'он обусловлена необратимыми смещениями и связана с началом интенсивного «исключения» необратимых процессов смещений. Таким образом, надо ожидать, что необратимые процессы начинают затухать при более низких частотах. Этот вывод теории находится в хорошем согласии с опытом.
Дёринг [41] в несколько иной форме повторил вычисления [33—35] и ввел понятие эффективной массы тгр граничного слоя:
故 (24.21)
гр 2 л \ е / Аа^п sm2 О' ' ' где га — число элементарных магнитных моментов в единице объема, у。一 плотность энергии неподвижного граничного слоя между доменами, а 仆 —— угол половинного раствора конуса, образованного векторами 7s граничного слоя. Численная оценка дает тгр ^ 6 • 101n г/см2. Для резонансной частоты(ооц смещения границ Дёринг получил несколько иное выражение, чем Беккер, а именно:
з°|| = /弘 Xa^rpd 厂 ％, (24.22)
которое дает значение(оО]]/2л = 3,5 -109 гц. Существенное отличие (24.22) от (24.20) заключается в том, что в формулу (24.22) не входит удельная электропроводность. Эти же результаты более простым и наглядным способом получил Беккер [36, 37] ).
Радо и др. [45, 46], производя измерения на магниевом феррите, сумели выделить проницаемость, обусловленную одними процессами смещения [%См, см. формулу (23.57)]. Благодаря малости эффектов затухания в этом материале им удалось наблюдать инерциальный член в %см, обусловленный эффективной массой. Вопросы динамики смещения доменных границ детально рассмотрены в обзоре Киттеля и Галта [47], Там же можно найти более полную библиографию до 1956 г.
Поливанов [48, 49, 5] показал, что наблюдаемые изменения магнитной проницаемости не всегда являются истинными характеристиками вещества. Макроскопическая неоднородность намагниченности или магнитная вязкость могут привести к кажущейся зависимости проницаемости от частоты внешнего поля. Истинная зависимость ц (з) может быть вызвана лишь существованием доменов. Поливанов подробно исследовал простую модель ферромагнетика с плоскопараллельными доменами и получил кривые ц (з) и р'(з), качественно полностью согласующиеся с опытными данными ). Он также указал, что при расчете кривой ц (з) надо принимать во внимание не только «микроскопические» вихревые токи (которые учитывал Беккер), но и обычные макроскопические.
Аналогичные расчеты провел также Киттель [55]. При частотах выше 100 Мгц глубины проникновения переменного поля в толщу ферромагнитного металла в общем случае меньше, чем равновесные линейные размеры доменов (10-3 — 10~4 см). Поэтому при таких частотах обычные представления о квазистатическом механизме намагничивания неприменимы, так как приложенное переменное магнитное поле не в состоянии действовать на весь объем домена. В связи с этим Киттель [55], следуя
Аркадьеву (1936) и повторяя более упрощенный расчет Поливанова [48], вычислил эффективную магнитную проницаемость. Обычное определение пр о ницаемо сти как отношения индукции к полю не соответствует при высоких частотах величинам, наблюдаемым на опыте. В области магнитной дисперсии это отношение может изменяться от точки к точке внутри образца как по амплитуде, так и по фазе. Детальное определение этого своеобразного «поля проницаемости», даже если бы это было возможно, практически было бы менее полезно, чем введение эффективной проницаемости. Один из приемов введения эффективной проницаемости заключается в том, что с помощью уравнений электромагнитного поля вычисляется комплексная величина полного сопротивления образца переменному току (импеданс)
Zgop (卩，3)= Атеор (卩，3)+»Хтеор (卩，①)(24.23)
при заданных значениях частоты внешнего поля со и проницаемости 卩. Предположим, что опыт дает
^эксп(3)= Азксп (з) + ^Хзксп (з).(24.24)
Тогда эффективная проницаемость ^Эфф определяется из условия
^теор (Цэфф?①)=Zancn(3).(24.25)
Частота- р,МгцЧастота- р,МгцРис* 24.2. Сравнение теоретических кривых для иронии аемостей Mr(v) и 必工(*) (соответственно определяемых через омическую и индуктивные слагаемые импеданса) с опытными данными для Fe, z—[56], 2—[57], 3—158】，4—[59】，5—(60], 6—[61], 7—[62] (Киттель [55]).Рис* 24.2. Сравнение теоретических кривых для иронии аемостей Mr(v) и 必工(*) (соответственно определяемых через омическую и индуктивные слагаемые импеданса) с опытными данными для Fe, z—[56], 2—[57], 3—158】，4—[59】，5—(60], 6—[61], 7—[62] (Киттель [55]).Из (24.25) находим цЭфф в виде комплексной функции частоты з. Таким образом, для определения цэфф требуется измерить как омическую (А), так и индуктивную (X) часть импеданса. Вещественную эффективную проницаемость 卩五 можно также определить из уравнения
Частота- р,Мгц
Частота- р,Мгц
Рис* 24.2. Сравнение теоретических кривых для иронии аемостей Mr(v) и 必工(*) (соответственно определяемых через омическую и индуктивные слагаемые импеданса) с опытными данными для Fe, z—[56], 2—[57], 3—158】，4—[59】，5—(60], 6—[61], 7—[62] (Киттель [55]).
Рис* 24.2. Сравнение теоретических кривых для иронии аемостей Mr(v) и 必工(*) (соответственно определяемых через омическую и индуктивные слагаемые импеданса) с опытными данными для Fe, z—[56], 2—[57], 3—158】，4—[59】，5—(60], 6—[61], 7—[62] (Киттель [55]).
Атеор (3R,①)=&ксп(3) (24.26)
и аналогично проницаемость 卩工(3)из уравнения
Хтеор (卩3)= Хзксп (з) • (24.27) Отсюда видно, что между цЭфф н Nr с Nl не существует простой связи. Киттель [55] провел расчет для простой модели доменов в тонком ферромагнитном образце и получил удовлетворительное качественное согласие между своими вычислениями и общим ходом опытных кривых
для 卩衣(з) и 卩工(з) по данным различных авторов [56—62]. Результаты этого сравнения для случая образцов Fe приведены на рис. 24.2. Существенно, что теория предсказывает, что кривая 卩工(3)должна идти ниже кривой цл (з). Такой же ход кривых теоретически впервые предсказал Аркадьев (1, 2] и обнаружил его на опыте [см. также Аркадьев (1936)].
На дисперсию проницаемости, кроме вихревых токов, оказывает заметное влияние форма образцов (размагничивающий фактор) и энергия магнитной анизотропии, а также форма доменов.
Случай ферромагнитных полупроводников. Частотную зависимость начальной проницаемости проще всего изучать в ферромагнитных полупроводниках — ферритах, ибо в них из-за малости удельной электропроводности можно пренебречь влиянием вихревых токов даже в микроскопическом смысле. Согласно (23.57) полная восприимчивость складывается из восприимчивости, обусловленной процессами вращения (%вр) и процессами смещения (%См)- В общем случае для квазистатического
намагничивания поликристаллического материала
(24.28)
где К — константа магнитной анизотропии. Частотная зависимость может быть получена из формулы Ландау и Лифшица [33] (24.15). Согласно Киттелю [63], если пренебречь эффектом размагничивания поверхности образца, то решение уравнения (24.15) имеет вид
и резонансная частотаи резонансная частота%bP@）變+悬（心+急）%bP@）變+悬（心+急）«о+ 1^4«о+ 1^4УУ(24.29)(24.29)，2K 2g7s，2K 2g7s(24.30)(24.30)определяется по формуле (24.19). В предельном случае ^《乙 имеет место резонансопределяется по формуле (24.19). В предельном случае ^《乙 имеет место резонансХвр (з)Хвр (з)11а при em》/$ релаксацияХвр (з)а при em》/$ релаксацияХвр (з)11^ —'Й.г , Хвр 1+z——7-① eg^ —'Й.г , Хвр 1+z——7-① egСнук [64] исследовал дисперсию проницаемости и поглощения в ферритах в той же области частот. Результаты своих опытов он объясняет по теории Ландау и Лифшица как особый тип резонанса при процессах намагничивания в виде чистого вращения. Он получил также формулу для величины критической частоты з。, совпадающую с (24.30).Для вычисления восприимчивости смещения %См заметим, что в ква- зистатическом режиме при намагничивании магнитно-одноосного кристалла вдоль легкой оси смещение граничного слоя А/, вызванное изменением поля АН, равноСнук [64] исследовал дисперсию проницаемости и поглощения в ферритах в той же области частот. Результаты своих опытов он объясняет по теории Ландау и Лифшица как особый тип резонанса при процессах намагничивания в виде чистого вращения. Он получил также формулу для величины критической частоты з。, совпадающую с (24.30).Для вычисления восприимчивости смещения %См заметим, что в ква- зистатическом режиме при намагничивании магнитно-одноосного кристалла вдоль легкой оси смещение граничного слоя А/, вызванное изменением поля АН, равногде см.где см.A第=必дЯ,丫2 — «квазиупругий коэффициент» граничной энергии слоя [подробнее Вонсовский и Шур (1948)] и, следовательно,A第=必дЯ,丫2 — «квазиупругий коэффициент» граничной энергии слоя [подробнее Вонсовский и Шур (1948)] и, следовательно,4尸噥 M = h，4尸噥 M = h，(24.31)(24.31)гдегдеS — величина поверхности границ между доменами в единице объемаS — величина поверхности границ между доменами в единице объемаферромагнетика. Используя формулу (24.16), можно получить результи^ рующее уравнение для смещения границы в переменном полеферромагнетика. Используя формулу (24.16), можно получить результи^ рующее уравнение для смещения границы в переменном поле3*十受.Отсюда по аналогии с (24.31) получаем3*十受.Отсюда по аналогии с (24.31) получаем(24.32)(24.32)Хем у0 ACMХем у0 ACM14 丄■ 屮8豆而14 丄■ 屮8豆而(24.33)(24.33)
и резонансная частота
и резонансная частота
%bP@）變+悬（心+急）
%bP@）變+悬（心+急）
«о+ 1^4
«о+ 1^4
У
У
(24.29)
(24.29)
，2K 2g7s
，2K 2g7s
(24.30)
(24.30)
определяется по формуле (24.19). В предельном случае ^《乙 имеет место резонанс
определяется по формуле (24.19). В предельном случае ^《乙 имеет место резонанс
Хвр (з)
Хвр (з)
1
1
а при em》/$ релаксация
Хвр (з)
а при em》/$ релаксация
Хвр (з)
1
1
^ —'Й
.г , Хвр 1+z——7-① eg
^ —'Й
.г , Хвр 1+z——7-① eg
Снук [64] исследовал дисперсию проницаемости и поглощения в ферритах в той же области частот. Результаты своих опытов он объясняет по теории Ландау и Лифшица как особый тип резонанса при процессах намагничивания в виде чистого вращения. Он получил также формулу для величины критической частоты з。, совпадающую с (24.30).
Для вычисления восприимчивости смещения %См заметим, что в ква- зистатическом режиме при намагничивании магнитно-одноосного кристалла вдоль легкой оси смещение граничного слоя А/, вызванное изменением поля АН, равно
Снук [64] исследовал дисперсию проницаемости и поглощения в ферритах в той же области частот. Результаты своих опытов он объясняет по теории Ландау и Лифшица как особый тип резонанса при процессах намагничивания в виде чистого вращения. Он получил также формулу для величины критической частоты з。, совпадающую с (24.30).
Для вычисления восприимчивости смещения %См заметим, что в ква- зистатическом режиме при намагничивании магнитно-одноосного кристалла вдоль легкой оси смещение граничного слоя А/, вызванное изменением поля АН, равно
где см.
где см.
A第=必дЯ,
丫2 — «квазиупругий коэффициент» граничной энергии слоя [подробнее Вонсовский и Шур (1948)] и, следовательно,
A第=必дЯ,
丫2 — «квазиупругий коэффициент» граничной энергии слоя [подробнее Вонсовский и Шур (1948)] и, следовательно,
4尸
噥 M = h，
4尸
噥 M = h，
(24.31)
(24.31)
где
где
S — величина поверхности границ между доменами в единице объема
S — величина поверхности границ между доменами в единице объема
ферромагнетика. Используя формулу (24.16), можно получить результи^ рующее уравнение для смещения границы в переменном поле
ферромагнетика. Используя формулу (24.16), можно получить результи^ рующее уравнение для смещения границы в переменном поле
3*十受.
Отсюда по аналогии с (24.31) получаем
3*十受.
Отсюда по аналогии с (24.31) получаем
(24.32)
(24.32)
Хем у0 ACM
Хем у0 ACM
1
4 丄■ 屮8豆而
1
4 丄■ 屮8豆而
(24.33)
(24.33)
Таким образом, зависимость восприимчивости процессов смещения от частоты (для одноосного кристалла!) носит релаксационный характер
с частотой релаксации
(24.34)(24.34)_ 2IsSvЗрел = «о 立；
(24.34)
(24.34)
В материалах с очень высокой проницаемостью %?м частота релаксацииВ материалах с очень высокой проницаемостью %?м частота релаксациичисленная оценка (орел по Киттелю [63] (при Is 〜103 2% S 〜103 c九2, %см ~ 102 гс-э"1 и 血т ~ 103 см^сек^) дает величину з/2л ^ 107 гц.
В материалах с очень высокой проницаемостью %?м частота релаксации
В материалах с очень высокой проницаемостью %?м частота релаксации
(ОреЛ может быть и меньше 106 ?“・ Измерение частотной зависимости
Рис. 24.3. Зависимость магнитной проницаемости ц, (вещественной части) от частоты v внешнего магнитного поля для магниевого феррита (Уелч и др. [65]).Рис. 24.3. Зависимость магнитной проницаемости ц, (вещественной части) от частоты v внешнего магнитного поля для магниевого феррита (Уелч и др. [65]).восприимчивости в ферритах произвели, например, Уелч и др. [65] (см. рис. 24.3). Обзор работ по магнитным спектрам ферритов до 1958 г. дан в работе Фоменко [30] [см. также книгу Кнеллера (1962) и работу Ахиезера и Пелетминского [86]].
Рис. 24.3. Зависимость магнитной проницаемости ц, (вещественной части) от частоты v внешнего магнитного поля для магниевого феррита (Уелч и др. [65]).
Рис. 24.3. Зависимость магнитной проницаемости ц, (вещественной части) от частоты v внешнего магнитного поля для магниевого феррита (Уелч и др. [65]).
§ 3. Ферромагнитный резонанс, однородные магнетостатические колебания )
Общие замечания. В начале гл. 13 уже отмечалась возможность избирательного (резо
нансного) поглощения энергии
электромагнитного поля электронной системы веществ, связанного с квантовыми переходами в этой системе между дискретными зеемановскими уровнями энергии, возникающими в присутствии магнитного поля. Там же был рассмотрен случай электронного парамагнитного резонанса (ЭПР). Здесь мы рассмотрим аналогичное явление в ферро- и антиферромагнетиках: электронный ферромагнитный резонанс (ЭФР) и электронный антиферромагнитный резонанс (ЭАФР).
При изучении ЭФР, так же как и в случае ЭПР, используется следующая методика: с помощью постоянного магнитного поля ферромагнитный образец намагничивается до насыщения и исследуется намагниченность,
создаваемая наложенным радиочастотным микроволновым переменным полем, обычно с небольшой амплитудой. Впервые идею о ферромагнитном резонансе высказал в 1911 г. Аркадьев (см. [1, 2} 3]), развивший классическую теорию ^того явления. Теоретическому и опытному исследованию ЭФР посвящены последующие работы Аркадьева [74, 75], а также работа Дорфмана [76]. Акулов [77] впервые рассмотрел вопрос о влиянии параллельного и пер пендик у л яр но го подмагничив ающего полей на магнитные спектры ферромагнетиков. Начало современной теории явления ферромагнитного резонанса с учетом структуры доменов было положено работой Ландау и Лифшица [33]. В настоящее время ферромагнитный резонанс является предметом детальных теоретических и экспериментальных исследований. Завойский [78] получил резонансные кривые на Ni, сплавах Fe — Si и альни. На рис. 24.4 приведена типичная кривая резонанса, снятая для Ni. По оси ординат отложена производная dQ/dH^ поглощения (наблюдаемого на опыте) по переменному полю (с длиной волны % = 8}62 см), а по оси абсцисс — величина постоянного поляризующего магнитного поля Н, Аналогичные резонансные пики наблюдал также Гриффитс [79]. Снук [64] обнаружил ферромагнитный резонанс в ферритах.
Особенности резонансных явлений в ферро- и антиферромагнетике определяются прежде всего тем, что в этих веществах имеют дело не с изолированными атомами или со сравнительно слабо взаимодействующими ионными моментами обычных парамагнитных тел, а со сложной системой сильно взаимодействующих электронов. Обменный характер этой связи приводит к возникновению в кристаллической решетке ферро- или антиферромагнитного атомного порядка. Хотя само обменное (электростатическое) взаимодействие при условии однородной намагниченности кристалла и не оказывает непосредственного влияния на резонанс, но оно
Рис. 24.4. Резонансная кривая для Ni зависимости QQ/дН^ — производной поглощения Q по переменному полю Н~ от веРис. 24.4. Резонансная кривая для Ni зависимости QQ/дН^ — производной поглощения Q по переменному полю Н~ от величины постоянного поляризующего ПОЛЯН (Завойский [78]).личины постоянного поляризующего ПОЛЯН (Завойский [78]).создает большую результирующую намагниченность (или намагниченность подрешеток), а с ней и большое внутреннее магнитное поле. При изменениях величины и ориентации намагниченности I всего кристалла или в подрешетках могут возникнуть такие ситуации, которые способны существенно изменить условия резонанса (13.57). В простейшем случае учет влияния внутренних взаимодействий сводится к замене в формуле (13.57) внешнего поля JT0 некоторым эффективным полем Нз力力[см. (13.57а)]. При этом уже нельзя определить фактор у по формуле (13.57) через внешнее поле Н()и частоту зРез, поскольку величина эффективного поля Н^^ заранее может быть неизвестна (в тех случаях, когда вообще можно ввести Н^фф).
Рис. 24.4. Резонансная кривая для Ni зависимости QQ/дН^ — производной поглощения Q по переменному полю Н~ от ве
Рис. 24.4. Резонансная кривая для Ni зависимости QQ/дН^ — производной поглощения Q по переменному полю Н~ от ве
личины постоянного поляризующего ПОЛЯН (Завойский [78]).
личины постоянного поляризующего ПОЛЯН (Завойский [78]).
Классическая теория ферромагнитного резонанса). Формула(13.57)
носит классический характер, поэтому и задачу магнитного спинового резонанса в первом приближении можно рассматривать классически, как задачу об «опрокидывании» магнитного волчка, для которого магнитный и механический моменты связаны классическим уравнением движения
4^= -у[1-Н] (Н = Н^ + Но) (24.35)
под действием высокочастотного магнитного поля Н~, перпендикулярного оси прецессии (т. е. к постоянному полю Н°). Это опрокидывание происходит, когда частота з поля совпадает с частотой ларморовской прецессии (оо, определяемой формулой (13.57). Вблизи этой частоты магнитная восприимчивость магнетика должна зависеть от частоты переменного поля (дисперсия), а также должен наблюдаться максимум поглощения энергии. Если ограничиться случаем слабых переменных полей Н~《Но, то легко показать, что намагниченность, созданная переменным полем, будет линейно расти с увеличением амплитуды этого поля (линейное приближение).
Считая эффект переменного поля слабым, можно принять
I = I0 + m(t), |m(Z)|<J0.
Статическая намагниченность Jo параллельна подмагничивающему полю Но, а вектор высокочастотной (ВЧ) намагниченности m — малая гармонически изменяющаяся величина. Тогда из (24.35) в первом приближении 《по т и Н~) находим
Решение этого уравнения относительно ш имеет вид
ш = ^Н^ 一 X [GH J,(24.35а)
или
^h = %(H-)x + ZG(Hl)⑦ q =招(Н-)х+%(Н~)&, mz = 0, (24.356) где динамическая восприимчивость % и вектор гирации G (см. гл. 15) определяются соотношениями
% = !^^； 6 =咄爲第；笈=备；g = Y%, . (24.36)
где %о — восприимчивость в постоянном поле Н。(при Н^ = 0). Следова
тельно ,в скрещенных постоянном Но и переменном Н~ магнитных полях
изотропный ферромагнетик становится гиротропным. Из (24.356) видно,
Рис. [24.5. Прецессия вектора намагниченности 7 =儿 十 ”± в статическом магнитном поле н0 и высокочастотном магнитном поле НРис. [24.5. Прецессия вектора намагниченности 7 =儿 十 ”± в статическом магнитном поле н0 и высокочастотном магнитном поле Нчто вектор ВЧ намагниченности m вращается в плоскости ху, нормальной к полю Н^ (рис. 24.5). Опытное доказательство этого вывода впервые получил Бельжерс [80]. Обращение % в бесконечность при резонансе (з = з。) означает лишь, что не учтены процессы затухания (релаксации), связанные с внутренними взаимодействиями магнитной системы. Учет затухания в уравнении (24.35) приводит к тому, что в линейном приближении восприимчивость % будет комплексной величиной
Рис. [24.5. Прецессия вектора намагниченности 7 =儿 十 ”± в статическом магнитном поле н0 и высокочастотном магнитном поле Н
Рис. [24.5. Прецессия вектора намагниченности 7 =儿 十 ”± в статическом магнитном поле н0 и высокочастотном магнитном поле Н
(24.37)
Мнимая составляющая восприимчивости Хг пропорциональна синусу разности фазовых углов переменного поля и намагниченности, она характеризует скорость поглощения [см. (24.5)1 переменного поля магнитной системой, т. е. мощность поглощения (Р = 3%2〃±). Учет затухания обусловливает не только конечную
ширину резонансной линии, но также приводит'к некоторому смеще
нию максимума этой линии, т. е. к смещению резонансной частоты.
Типичные ферромагнетики обладают большой самопроизвольной намагниченностью (порядка 103 гс), поэтому магнитное резонансное поглощение в них особенно велико. Действительно, оно пропорционально восприимчивости и поэтому по крайней мере на три порядка величины больше, чем в парамагнетиках. Важным влияющим на ЭФР фактором является существование в ферромагнетиках сильных внутренних полей магнитной анизотропии. Благодаря этому эффективное поле Н^фф зависит от симметрии кристалла, от формы образца, от намагниченности J, от ее направления и направления внешнего магнитного поля Н()по отношению к кристаллографическим осям и к поверхностям, ограничивающим образец.
Нар яду с анизотропией ЭФР, связанной с кристаллографической анизотропией ферромагнетиков, возникает еще анизотропия, связанная с формой образца. Конечность размеров образца, как правило, приводит
к неоднородностям намагниченности и, следовательно, к неоднородностям условий резонанса в разных участках объема образца. Первый тип этих неоднородностей связан с наличием доменов в ненасыщенном образце. Доменная структура может оказать существенное влияние на условия резонанса (см. § 8).
Обычно ферромагнитный резонанс исследуется в состоянии магнитного насыщения, когда внешнее поле разрушает доменную структуру и весь образец обращается в один домен. Однако такое однодоменное
состояние образца не может еще означать, что достигнута полная однородность намагниченности по всему объему. При произвольной форме образца размагничивающее поле поверхности может быть неоднородным, что и приводит ко второму типу неоднородности намагниченности в ферромагнетике. Лишь в частных случаях, когда образец ограничен поверхностями второго порядка (эллипсоид, сфера, бесконечный круговой цилиндр и т. п.)л размагничивающее поле, а вместе с ним намагниченность
ферромагнетика в однодоменном состоянии при однородном внешнем поле Н^ также однородна.
Заметим, что внутреннее магнитное поле в ферромагнетике может быть обусловлено не только кристаллографической магнитной анизотропией и размагничивающим действием поверхностей, но также упругими напряжениями, поскольку из-за явления магнитострикции ориентация самопроизвольной намагниченности в ферромагнитном кристалле может сильно зависеть от величины и ориентации внешних и внутренних упругих напря- жений.
Особенности резонанса в металлических образцах. Существенное влияние на условия резонанса в металлических ферромагнетиках может оказать скин-эффект, который, так же как и размагничивающий эффект поверхности образца, будет приводить к неоднородности ВЧ поля. В случае полей сантиметрового диапазона (СВЧ) в металлах глубина проникновения поля равна всего лишь 10-4—10-5 см^ Поэтому переменное магнитное поле может быть однородным по объему ферромагнитного металла, только если образец состоит из очень мелких частиц. В связи с этим проводились измерения ЭФР на металлических коллоидальных суспензиях (Баггли [81]). Однако большинство измерений ЭФР в метал-
Рис. 24.6. Резонансная кривая зависимости эффективной магнитной проницаемости |лг супермаллоя от напряженности постоянного магнитного поля Н при фиксированной частоте переменного поля (v=23,9 Мгц) (Ягер [82]).Рис. 24.6. Резонансная кривая зависимости эффективной магнитной проницаемости |лг супермаллоя от напряженности постоянного магнитного поля Н при фиксированной частоте переменного поля (v=23,9 Мгц) (Ягер [82]).лах проводилось на образцах в виде пластин или дисков, которые, как правило, представляют собой часть стенки резонансной полости. На рис. 24.6 приведена типичная резонансная кривая (по измерениям Ягера [82]) для металлического образца (супермаллоя) для «кажущейся» проницаемости р「(Н), связанной с обычной комплексной проницаемостью 卩* =卩 + Хр' (24.5) формулой
Рис. 24.6. Резонансная кривая зависимости эффективной магнитной проницаемости |лг супермаллоя от напряженности постоянного магнитного поля Н при фиксированной частоте переменного поля (v
=23,9 Мгц) (Ягер [82]).
Рис. 24.6. Резонансная кривая зависимости эффективной магнитной проницаемости |лг супермаллоя от напряженности постоянного магнитного поля Н при фиксированной частоте переменного поля (v
=23,9 Мгц) (Ягер [82]).
|Xr = M+p，2#2+p，.(24.38>
Именно эта величина |лг и интересует нас, поскольку поглощаемая мощность пропорциональна |1Г.
Действительно, из электродинамики известно, что энергия поглощения в плоском металлическом образце пропорциональна вещественной части входного импеданса Z, который определяется для плоской волны, распространяющейся по нормали z к плоскости образца, как Z = —Еу/Нх. Импеданс вычисляется из уравнений Максвелла- В случае металлов с большой удельной электропроводностью о можно пренебречь током смещения s (dE/dt). Тогда, применяя операцию rot к уравнению rot Н = lUjicf® и используя уравнение rot Е =—(卩/c) (d切@才),находим:
если принять, что зависимость от времени имеет вид ехр «①Z). Решение этого уравнения имеет вид волны, магнитное поле в которой затухает по закону ехр (—Аг). Тогда для ^/-компоненты векторного уравнения rot Н = с^^па^Е имеем
дНх4ло к …
-^-=~Е^-кНх.
Отсюда для импеданса получаем
(上芷_、 1/2
\ 4тш /
Подставляя сюда комплексную проницаемость из (24.5), находим для поверхностного импеданса
z=(击)"2К 丨 НЯ+И^ + Ч! WI—Р，)1/2],
откуда и следует формула (24.38) для |ЛГ.
Из рис. 24.6 видно, что кривая поглощения имеет не только максимум, но и минимум. Последнему соответствуют условия так называемого антирезонанса. В идеальном случае антирезонанс возникает, когда высокочастотный магнитный поток вдоль осей £ и z равен нулю, т. е. равны нулю компоненты проницаемости в плоскости ху. Проблема ЭФР в металлах рассмотрена в работах Амента и Радо [83], Турова [84], Вонсовского и Изюмова [85] и в обзоре Кеффера [71]. Отметим еще некоторые работы по ЭФР в металлах [87—99] и, в частности, в тонких металлических пленках [100—112], мелких частицах и усах [113—115].
Более простой являлась бы задача исследования резонансных явлений в ферромагнитных диэлектриках. Однако известно лишь небольшое число таких веществ. Резонансные исследования были проведены, например на ионном соединении СгВг3 (Диллон [116]). Более многочисленны исследования на ферритах со структурой шпинели и гранатах, но в этих случаях мы имеем дело не с ферро-, а с ферримагнитным резонансом (см. ниже § 9).
Учет формы и магнитной анизотропии. Расчеты Ландау и Лифшица [33] детально развил применительно к новым опытным фактам Киттель [117—119] и Полдер [120]. Киттель подчеркнул, что в ферромагнетике необходимо учесть магнитную анизотропию и размагничивающее влияние поверхностей образца, т. е. размагничивающего поля Но = —NT. Если учесть эти эффекты в уравнении (24.35), то для монокристалла при резонансной частоте соо вместо (13.57) получим
8о= g2 {[Hz+ (№ + 忆)厶 + 叫[瓦 + (%—忆)厶十 ф2]尸，(24.39а)
где ф! и 中2——сокращенные обозначения для выражений, которые учитывают поправки от эффекта энергии магнитной анизотропии *). Если плоскость xz совпадает с плоскостью кристалла (001), то
Ф1— ^1 cos 4^, <р2 — "^- (3+ cos 4^),(24.396)
где 仆一угол между осями z и [100]. Эти поправки на анизотропию точны, лишь когда подмагничивающее поле достаточно велико, так что можно приближенно считать, что намагниченность совпадает с направлением Hz, следовательно, необходимо, чтобы выполнялось неравенство Hz》K/Is. Формула (24.39а) для поликристаллических образцов (ф! ^ 中2 ^ 0) различной формы была проверена в ряде экспериментальных работ (см., например, библиографию в статье Скроцкого и Курбатова [121]. Большим успехом теории является не только то, что она правильно предсказывает положение резонансных максимумов, но и то, что она дает очень точно совпадающий с опытом ход дисперсионных кривых для проницаемости. Для определения формы этих кривых необходимо развить теорию не для свободных, а для вынужденных колебаний, когда в уравнении (24.35) наряду с внутренними силами учитывается и внешнее возбуждающее переменное поле 8~=怨 exp (Хсо力).Решение в этом случае, по Киттелю [117], имеет вид'
%,(24.40)
“ 1 —(со/(д0)2，' 丿
где
"。Hz—Qx — "z"z
Сравнение теоретической формулы (24.40) с опытом предполагает использование анализа измерений с волноводами, которые широко применяются в радиочастотной измерительной технике.
Как указывалось выше, в случае монокристаллов резонансная частота должна быть анизотропной [см. (24.39а)]. Опыты Кипа и Арнольда [122] полностью подтвердили теоретические формулы для монокристаллов Fe — Si. Это дает новый способ определения константы магнитной анизотропии по измерениям резонансной частоты. В частности, таким способом Бикфорд [123] определил температурную зависимость константы магнитной анизотропии К± для магнетита (рис. 24.7); Рейх [124] определил константу анизотропии для никеля К] = —4,6 *104 эрг/сл^ в хорошем согласии со статическими наблюдениями (см. гл. 23). Для монокристаллов Fe ——Si также получено хорошее согласие резонансных и статических измерений (см., например, [122, 125]).
9”一 оператор 2-компоненты спинового9”一 оператор 2-компоненты спиновогоРис. 24.7. Температурная зависимость константы магнитной анизотропии К, магнетита, определенная из изьгерений ферромагнитного резонанса. 1 — данные для выращенных кристаллов, 2 — для естественных кристаллов (Бикфорд [123]).Рис. 24.7. Температурная зависимость константы магнитной анизотропии К, магнетита, определенная из изьгерений ферромагнитного резонанса. 1 — данные для выращенных кристаллов, 2 — для естественных кристаллов (Бикфорд [123]).do dtdo dt方方(能маги0" — °"(能маги0" — °"агн)，агн)，(24.44)(24.44)
9”一 оператор 2-компоненты спинового
9”一 оператор 2-компоненты спинового
Рис. 24.7. Температурная зависимость константы магнитной анизотропии К, магнетита, определенная из изьгерений ферромагнитного резонанса. 1 — данные для выращенных кристаллов, 2 — для естественных кристаллов (Бикфорд [123]).
Рис. 24.7. Температурная зависимость константы магнитной анизотропии К, магнетита, определенная из изьгерений ферромагнитного резонанса. 1 — данные для выращенных кристаллов, 2 — для естественных кристаллов (Бикфорд [123]).
do dt
do dt
方
方
(能маги0" — °"
(能маги0" — °"
агн)，
агн)，
(24.44)
(24.44)
Квантовая теория ферромагнитного резонанса. Наряду с классическими расчетами Киттеля [117—119], Ван-Флек [126], Латтинджер и Киттель [127], Ричардсон [428], Полдер [120] произвели квантовомеханические расчеты, которые подтвердили и тем самым обосновали классические вычисления. Вместо оператора энергии обменного взаимодействия (19.20) в данном случае исходят из оператора энергии магнитных сил, который складывается из двух частей: оператора энергии относительно внешнего магнитного поля
(24.41)(24.41)認 внеш = g^H 3 Gq)z，
(24.41)
(24.41)
а
где g——магнетомеханическое отношение, а момента атома q (в единицах 用)и оператора внутреннего магнитного взаимодействия дипольных сил
'^дип — Е 2qq"%%，一3五&3 X
X(%q'Gq)(/«，％，)], (24.42) и спиы-орбитальыьгх (квадрупольных) сил ■^СП- орб— 2 幽qq，R&»X
Х(^Адд，)2()д，Ад,，)2, (24.43) тде ②"=g2唾/露q,, д л 鼠—номера узлов кристаллической решетки, Rqqt — расстоя- ние между узлами д и д', aq—оператор вектора спинового момента атома q (в единицах
用)，常旧 一 постоянная спин-орбитального
взаимодействия. Квантвомеханическое уравнение движения для полного спинового момента в единице объема а =三仃^ имеет вид
злесь (Й^агн—сумма выражений (24.41), (24.42) и (24.43). Как показал Ван-Флек [126], решение уравнения (24.44) при некоторых упрощающих предположениях ) приводит к уже известному классическому результату (24.38). Оператор (24.42) учитывает влияние размагничивающих полей, а (24.43) — магнитной анизотропии. Следует, впрочем, заметить, что оператор спин-орбитальной энергии в виде (24.43) является весьма грубым приближением к действительности. В этом смысле феноменологический учет влияния магнитной анизотропии, сделанный Киттелем [117] при выводе (24.38), обладает значительным преимуществом благодаря своей «термодинамической универсальности». Вместе с тем для выяснения детальных черт явления ферромагнитного резонанса, конечно, необходимо развить микроскопическую теорию, которая более точно учитывала бы магнитное взаимодействие ферромагнитных электронов. Дальнейшее развитие квантовой теории ЭФР см. в работах [129—140].
Неоднородные магнетостатические колебания *)
До сих пор рассматривался простейший случай однородного ВЧ поля (длина волны которого велика по сравнению с линейными размерами образца). Такое поле может возбуждать лишь спиновые волны с нулевым волновым вектором (квазиимпульсом), т. е. с бесконечной длиной волны. В данном случае резонансная частота будет равна классической частоте однородной прецессии магнитного момента, определяемой по формуле (13.57). Для возбуждения неоднородных типов колебаний магнитного
Рис. 24.8. Спектр уокеровских мод иттриевого граната (образец в форме диска) в однородном радиочастотном поле и в постоянном поле, нормальном к плоскости диска (Диллон [148])Рис. 24.8. Спектр уокеровских мод иттриевого граната (образец в форме диска) в однородном радиочастотном поле и в постоянном поле, нормальном к плоскости диска (Диллон [148])момента, т. е., например, спиновых волн с ненулевыми квазиимпульсамиг следует в каком-то смысле нарушить однородность ВЧ поля. Это можно реализовать, либо просто используя неоднородное ВЧ поле, либо учитывая граничные условия для полей и намагниченности на поверхности образцов. В последнем случае имеем дискретный спектр соб- ственныхчастот так называемых ^магнитостатических^ или уо- керовских (Уокер [143], см. также обзоры [142, 67]) неоднородных колебаний («мод») аналогичных собственным колебаниям упругих стержней или. мембран. Экспериментально такие неоднородные моды в ферритовых сферических образцах обнаружили Уайт и др. [144г 145], а в ферритовых дисках — Диллон [146]. Он также обнаружил эти моды в сферических образцах и дисках и стержнях иттриевого гр аната [147, 148]. Пример спектра для иттриевого граната по
Рис. 24.8. Спектр уокеровских мод иттриевого граната (образец в форме диска) в однородном радиочастотном поле и в постоянном поле, нормальном к плоскости диска (Диллон [148])
Рис. 24.8. Спектр уокеровских мод иттриевого граната (образец в форме диска) в однородном радиочастотном поле и в постоянном поле, нормальном к плоскости диска (Диллон [148])
данным измерений Диллона [148] приведен на рис. 24.8.
Для того чтобы теоретически понять появление уокеровских мод» рассмотрим простейшую задачу для образца в форме эллипсоида вращения; пусть постоянное поле направлено вдоль оси вращения (влиянием энергии анизотропии будем пренебрегать). Из магнетостатических уравнений Максвелла тогда следует
九=VPмагн； VWмагн + 4л div "2 = О, где 卩магн ——магнитный потенциал. Используя (24.356) для объема внутри эллипсоида, получаем уокеровское уравнение
(中砍)(爲+詛小+ * = 0
и для пространства вне эллипсоида
Граничные условия на поверхности образца сводятся к требованию непрерывности потенциала Умагн и нормальной слагающей индукции 九+4лпг. Кроме того, если эллипсоид расположен далеко от стенок резонансной- полости, то можно считать, что на бесконечности Рмагн 0. Таким образом, задача сводится к проблеме определения собственных значений с решениями для Умагн, которые имеют вид произведений присоединенных полиномов Лежандра первого (Р^ (刀))и второго (Q£ (%三)) рода на показательную функцию ехр (tmVMarH), где 三,刀 и 屮一эллипсоидальные координаты *). Обычно модам придают три целочисленных индекса п. т, г, где пит указывают на периодичность переменной состав-
ляющей намагниченности соответственно вдоль координатных осей z и ф, а г — корень характеристического уравнения, определяющего резонансную частоту. В этих обозначениях однородная прецессия имеет индексы (110). При более точном расчете необходимо учесть эффекты магнитной анизотропии и пространственную дисперсию (см. [149—151]). Измерения Флетчера и др. [152] показали хорошее согласие с теорией И43, 153]. Диллон и др. [154], пропуская свет через прозрачный ферродиэлектрик СгВг3, наблюдали уокеровские моды визуально. Любопытно заметить, что магнетостатические моды наблюдаются в парамагнетиках, например в CuSO4 в5Н2О и СиК2(ЗО4)2 в6Н2О [155].
Спин-волновой резонанс
Важное значение приобрело за последнее время изучение закономерностей ферромагнитного резонанса в области низких температур, близких к 0° К. Основному состоянию ферромагнетика соответствует максимальное значение самопроизвольной намагниченности и при этом однородное (с точностью до эффектов, связанных с размагничивающими полями образца). Возбужденным состояниям будет уже соответствовать меньшее значение н ам а гни ченно сти за счет появления некоторых «естественных» неоднородностей. При достаточно низких температурах возбуждения малы, также малы и соответствующие им неоднородности намагниченности. С большой точностью, как было показано в гл. 19, последние можно представить как совокупность плоских волн спиновых возбуждений —спиновых волн (ферромагнонов). Спиновые волны могут возбуждаться и внешним высокочастотным полем. Последнее и приводит к связи явления ферромагнитного резонанса с проблемой спиновых волн (спин- волновой резонанс) (см. обзор Турова [84]).
Так же как и в случае атомных спектров, для переходов в спектре спиновых волн' должны выполняться определенные правила отбора: последние существенно зависят от соотношения амплитуд переменного л постоянного магнитного поля при резонансе, а также от соотношения длины волны ВЧ поля и. геометрических размеров образца, от степени однородности полей и т. п.
Рассмотрим кратко в рамках феноменологической теории спиновых волн возбуждение ферромагнонов ВЧ магнитным полем ). Энергия взаимодействия поля Н~ = Н2 ехр (ш^) с намагниченностью I (г) образца, согласно (23.37), имеет вид
富h〜=-j "〜(>)•/6d丸 (24.45)
При малых амплитудах ВЧ поля (HL《Н°) энергию (24.45) можно считать малым возмущением, инициирующим переходы между энергетическими уровнями в спин-волновом спектре. В случае образца ферромагнитного диэлектрика, когда длина волны ВЧ поля велика по сравнению с размерами образца (九》£), можно считать, что № не зависит от координат. Тогда после введения операторов рождения Ък и уничтожения St (если Н~ направлено вдоль оси х) вместо (24.45) находим
舐~ = 一 (屮)"2 (Л~)х 2 血 + 故)3 (fc, 0), (24.46)
следовательно, однородное ВЧ поле, как видно из (24.46) и (19.81а), может возбуждать или поглощать ферромагноны с нулейым квазиимпульсом 友=0, т. е, правила отбора имеют вид
Nn д；— о 士 1, А孔 /с# о °, (24.47)
мание на то, что при радиочастотныхмание на то, что при радиочастотныхРис. 24.9. Резонанс спиновых волн в пленке пермаллоя толщиной Ln 3900 А. Числа вверху — порядковые номера возбужденных спиновых волн (п) (Сиви и Танненвальд [161]).Рис. 24.9. Резонанс спиновых волн в пленке пермаллоя толщиной Ln 3900 А. Числа вверху — порядковые номера возбужденных спиновых волн (п) (Сиви и Танненвальд [161]).откуда следует (как уже отмечалось), что без учета граничных условий однородное ВЧ поле может вызвать только однородную прецессию магнитного момента образца. Из (24.45) видно, что возбуждения неоднородных типов колебаний, т. е. спиновых волн с Е 0 могут возникнуть 1) под действием неоднородного ВЧ поля или 2) при учете конечности образца и граничных условий на поверхности. Первая возможность реализуется в металлических ферромагнетиках, в которых из-за скин-эффекта ВЧ поле неоднородно по объему. Киттель и Херринг [157] обратили вни- измерениях в силу скин-эффекта, вызывающего неоднородность намагниченности ,оператор энергии обменного взаимодействия не коммутирует с неоднородной намагниченностью. Это приводит к релаксационным явлениям при резонансе.
мание на то, что при радиочастотных
мание на то, что при радиочастотных
Рис. 24.9. Резонанс спиновых волн в пленке пермаллоя толщиной Ln 3900 А. Числа вверху — порядковые номера возбужденных спиновых волн (п) (Сиви и Танненвальд [161]).
Рис. 24.9. Резонанс спиновых волн в пленке пермаллоя толщиной Ln 3900 А. Числа вверху — порядковые номера возбужденных спиновых волн (п) (Сиви и Танненвальд [161]).
Этот вопрос рассмотрели затем Амент и Радо [83], Ахиезер и др. [158]. Подробно он освещен в обзоре Турова [141].
Возможность возбуждения спиновых волн с fc =/= 0 однородным ВЧ полем рассмотрел Киттель [159] *), который предположил, что в поверхностном слое образца на намагниченность дей
ствуют столь большие силы поверхностной анизотропии (см. гл. 23), что на поверхности образуются узлы спиновых волн. Если образец имеет вид тонкой пленки толщиной L и поле Но перпендикулярно его поверхности, то при этих граничных условиях для нормальных типов колебаний намагниченности в толщине пленки L должно укладываться целое число полуволн, т. е. L — тг (%z/2) — nnlkz или kz — пл/L, где п — целые числа. Значения кх и ку при однородном ВЧ поле должны подчиняться прежним правилам отбора (24.47), т. е. кх — ку = 0, a kz должно быть- таким, чтобы мгновенный магнитный момент образца не был равен нулю. Для этого п должны быть нечетными целыми числами. Полагая в (19.69) кх = =及己=Ои kz = пл/L, для резонансных частот получим
岩(子(2448) где у — g\e\!2mc, тг = 0 для главного пика —однородной прецессии, п — =1, 3, 5, . . . для резонанса спиновых волн. Теоретическая формула (24.48) в пленках пермаллоя проверялась экспериментально Сиви и Тан- ненвальдом [161] (рис. 24.9). Более подробное изложение этого вопроса читатель может найти в цитированных выше обзорах [84, 142, 71], а также книгах Морриша (1965) и Ахиезера и др. (1967).
Изучение спин-волнового спектра в тонких ферромагнитных пленках представляет существенный интерес по следующим причинам:
Это случай наиболее непо ср ед ственно го наблюдения спиновых волн.
Измерения на пленках позволяют наиболее точно получить численные значения энергетического обменного параметра (см. гл. 23, а также работу Сирла и Морриша [162]).
Как показали Вебер и Танненвальд [163], измерения на пленках дают возможность определить изменения обменного параметра и намагниченности с температурой (и, в частности, установить интервал температур, в котором выполняется закон Т3/2).
Данные измерения позволяют исследовать взаимодействие между ферромагнонами и фононами (см., например, Куи [164]). Эти вопросы также детально рассмотрены в работах Суху [165] [см. также Суху (1967)]. Укажем еще работы по магнетостатическим модам, спин-волново- му резонансу (в том числе и в пленках) [166—182].
Связи ферромагнитного резонансас магнетомеханическими эффектами
В связи с проблемой ферромагнитного резонанса совершенно по-новому встал вопрос о магнетомеханическом отношении g (фактор Ланде) для ферромагнетиков. Важность этого вопроса в теории ферромагнетизма связана с тем, что решение его позволяет сделать определенные высказывания о природе элементарных носителей магнитного момента в ферромагнетиках. Одним из способов определения магнетомеханического отношения являются гиромагнитные опыты (см. гл. 17), в которых отношение g определяется из уравнения
grHpo-^T = -^'(24.49}
где I — намагниченность, а ЭЛ ~ механический момент количества движения единицы объема. В силу закона сохранения момента количества движение полное изменение Д$№ — 0, т. е.
Д5Шполн = Д(5Шреш + 5Шспин + Я)^орб) = о на опыте наблюдается
Д5Шреш--Д(5Шспин + 5Шорб),
где 5Шсиин и ^орб 一 соответственно спиновый и орбитальный механические моменты. Точно так же
АЕполн = А (工реш + 工спин + 工орб),
но в этом случае AZpeuI ^ 0. Как известно, для случая свободных спинов g黑гю = 2 и для свободных «орбит» grnpo = !• В ферромагнетиках в намагниченности наряду со спиновыми магнитными моментами участвуют в небольшой доле и орбитальные моменты. Поэтому можно приближенна считать
-О^орб = Ксо»1с!1ин,
где Ke。一 малый параметр (хСо <С !)• Таким образом, из (24.49) получаем в первом приближении с точностью до членов порядка хсо
ё^гиро 2 — хсо.(24.50}
В опытах по ферромагнитному резонансу, определяя экспериментально резонансную частоту з。, можно также определить магнето-механическое отношение с помощью формул типа
Лй)о ~ ^резЦз-^эфф»(24.51}
где Езфф ——эффективное поле, действующее на прецессирующие моменты, а магнетомеханическое отношение gpe3, в отличие от grHpo, называется фактором спектроскопического расщепления. В данном случае также получается
Только в этом случае, как указал впервые Полдер [120] и показали Кит- тель [119] и Ван-Флек [126], gpe3 ^ ^гиро- А именно, из общих законов квантовой механики имеем Д5ШПолн = %, с помощью волновых функций
Из сравнения (24.50) и (24.52) находим теоретическое отношение между фактором спектроскопического расщепления и магнетомеханическимИз сравнения (24.50) и (24.52) находим теоретическое отношение между фактором спектроскопического расщепления и магнетомеханическимТаблица 24.1Сравнение фактораспектроскопического расщепленияgpe3 с магнетомеханическимотношением grHpo 4ЛЯ различныхферромагнетиков(из обзора Скотта [184])Таблица 24.1Сравнение фактораспектроскопического расщепленияgpe3 с магнетомеханическимотношением grHpo 4ЛЯ различныхферромагнетиков(из обзора Скотта [184])Ферромагнетикgpe?^гироNi2,211,84Со2,251,85Fe2,101,92FeNi2,121,91CoNi2,18 '1,84Сплав Гейс-2,011,99лера (Си2МпА1)Пермаллой-782,07—2,141,91Супермаллой2,091,91MnSb2,101,98NiFe2O42,191,85Ферромагнетикgpe?^гироNi2,211,84Со2,251,85Fe2,101,92FeNi2,121,91CoNi2,18 '1,84Сплав Гейс-2,011,99лера (Си2МпА1)Пермаллой-782,07—2,141,91Супермаллой2,091,91MnSb2,101,98NiFe2O42,191,85имеемимеем
Из сравнения (24.50) и (24.52) находим теоретическое отношение между фактором спектроскопического расщепления и магнетомеханическим
Из сравнения (24.50) и (24.52) находим теоретическое отношение между фактором спектроскопического расщепления и магнетомеханическим
Таблица 24.1
Сравнение фактораспектроскопического расщепленияgpe3 с магнетомеханическимотношением grHpo 4ЛЯ различныхферромагнетиков(из обзора Скотта [184])
Таблица 24.1
Сравнение фактораспектроскопического расщепленияgpe3 с магнетомеханическимотношением grHpo 4ЛЯ различныхферромагнетиков(из обзора Скотта [184])
Ферромагнетик
gpe?
^гиро
Ni
2,21
1,84
Со
2,25
1,85
Fe
2,10
1,92
FeNi
2,12
1,91
CoNi
2,18 '
1,84
Сплав Гейс-
2,01
1,99
лера (Си2МпА1)
Пермаллой-78
2,07—2,14
1,91
Супермаллой
2,09
1,91
MnSb
2,10
1,98
NiFe2O4
2,19
1,85
Ферромагнетик
gpe?
^гиро
Ni
2,21
1,84
Со
2,25
1,85
Fe
2,10
1,92
FeNi
2,12
1,91
CoNi
2,18 '
1,84
Сплав Гейс-
2,01
1,99
лера (Си2МпА1)
Пермаллой-78
2,07—2,14
1,91
Супермаллой
2,09
1,91
MnSb
2,10
1,98
NiFe2O4
2,19
1,85
имеем
имеем
первого приближения с учетом спин-орбитального взаимодействия как возмущения можно найти A50^hhh=% и А5Ш^}6= к。。方， поэтому А5Шдалн^ДЗЛспин и, следовательно,
е А (/спин+人r6)
gpe3 2^―АЖспин —'
а так как /орб = Ксо/сиин, т。
gpea 2 + хсо.(24.52)
отношением
gpea 一 2^2 — grHpo* (24.53)
Опыты качественно подтверждают это соотношение. В табл. 24.1 приведены опытные данные по измерению grHp0 и gpea для различных ферромагнитных веществ.
Детальное ср авнение данных табл. 24.1 с формулой (24.53) показывает, ЧТО обычно (gpea — 2) > (2 — —grnpo). Величинахс0?которая, согласно [119], [126] определяет долю орбитального момента в полной намагниченности ферромагнетика, может быть выражена формулой
“с°=—с^, (24.54)
где С — численная постоянная порядка 1, %с0 — постоянная спин-op биталь- ной связи и Д — расщепление энергетических уровней иона. Постоянная %с0 может иметь как положительный, так
и отрицательный знаки. Киттель считает, что %Со > 0 для тех ионов переходных металлов, у которых Зй-полоса заполнена меньше чем наполовину, и %Со < 0, если она заполнена больше чем наполовину. Следовательно, по этой гипотезе %с0 V 0 для всех веществ, которые приведены в табл. 24.1. В случае сплава Гейслера CusMnAl значения gpe3 и ^ГИро очень близки друг к другу. Если считать, что о тветственными за ферромагнетизм являются ионы Мп, то отсюда следует, что они имеют наполовину заполненную электронную Зй-полосу. Используя s — d-обменную модель ферромагнетика (см. гл. 20 и [183]), учитывающую обменное взаимодействие между электронами проводимости и ферромагнетизма, можно качественно объяснить нарушение теоретической формулы (24.53) в сплавах Гейслера. Вместо (24.52)
gpea*^ 2 + ХСо2~
и вместо (24.50)
^гиро ^2 — Кео + Ь J
где & — величина, зависящая от обменного интеграла s — d-модели (см. гл. 20) и самопроизвольной намагниченности. Если хСо> 0,匕>。 И |&|<|ХСО|, ТО .
(gpea— 2) > (2 —grnpo)*
Таким образом, сравнение gpe3 и grHp0 может дать дополнительную ценную информацию о внутренних взаимодействиях в системе электронов ферромагнитных кристаллов (см. также [591]).
Ферромагнитные релаксационные процессыи проблема ширины резонансной линии )
Важной физической проблемой является вопрос о ширине и форме линий резонансного поглощения. Здесь теория ферромагнитного резонанса встретилась с большими трудностями. Под шириной спектральной линии следует понимать расстояние Av по шкале частот при Hz = const или по шкале полей \Н при v 工 const между ветвями резонансного пика на половине его высоты. Эта ширина оказывается весьма значительной
Рис. 24.10. Резонансные кривые (в полулогарифмическом масштабе) эффективной магнитной проницаемости 財 суиермалпоя в зависимости от напряженности постоянного магнитного поля Но при постоянной частоте микроволнового ПОЛЯ (V = =24 000 Мгц) и различных температурах. Значения температур в ℃ указаны цифрами у каждой кривой) (Блумбержен [187]).Рис. 24.10. Резонансные кривые (в полулогарифмическом масштабе) эффективной магнитной проницаемости 財 суиермалпоя в зависимости от напряженности постоянного магнитного поля Но при постоянной частоте микроволнового ПОЛЯ (V = =24 000 Мгц) и различных температурах. Значения температур в ℃ указаны цифрами у каждой кривой) (Блумбержен [187]).Рис. 24.11. Температурная зависимость ширины резонансных линий Av в № и супермаллое (Блумбержен [187]).Рис. 24.11. Температурная зависимость ширины резонансных линий Av в № и супермаллое (Блумбержен [187]).
Рис. 24.10. Резонансные кривые (в полулогарифмическом масштабе) эффективной магнитной проницаемости 財 суиермалпоя в зависимости от напряженности постоянного магнитного поля Но при постоянной частоте микроволнового ПОЛЯ (V = =24 000 Мгц) и различных температурах. Значения температур в ℃ указаны цифрами у каждой кривой) (Блумбержен [187]).
Рис. 24.10. Резонансные кривые (в полулогарифмическом масштабе) эффективной магнитной проницаемости 財 суиермалпоя в зависимости от напряженности постоянного магнитного поля Но при постоянной частоте микроволнового ПОЛЯ (V = =24 000 Мгц) и различных температурах. Значения температур в ℃ указаны цифрами у каждой кривой) (Блумбержен [187]).
Рис. 24.11. Температурная зависимость ширины резонансных линий Av в № и супермаллое (Блумбержен [187]).
Рис. 24.11. Температурная зависимость ширины резонансных линий Av в № и супермаллое (Блумбержен [187]).
(Aw ^ 109 — 1010 гц\ AHz ^ 102 — 103 з). Блумбержен [187] экспериментально исследовал температурную зависимость фактора g^ea и ширину резонансной линии для никеля и супермаллоя от 28° С до точки Кюри (358° С в Ni и 400° С в супермаллое). Вид резонансных кривых для супер- маллоя приведен на рис. 24.10, а кривые температурной зависимости ширины линий Ni и супермаллоя — на рис. 24.11. В точке Кюри никаких аномалий не наблюдалось, и кривые Av (Т) лишь монотонно возрастали с повышением температуры. Весьма существенно, что из кривых рис. 24.11 видно стремление ширины линий к постоянному «остаточному» значению при 0° К. Фактор gpea практически не зависит от температуры с точностью до 2%. Расчет Ахиезера [188] спин-спиновой и спин-решеточной релаксации, основанный на учете магнитного дипольного взаимодействия (24.42) между ферромагнитными электронами, дает релаксационные часто- ты (величина, обратная времени релаксации), значительно меньше наблюдаемых, и температурную зависимость ширины резонансных линий другую, чем дает опыт.
За ферромагнитную релаксацию могут быть ответственны как взаимоЗа ферромагнитную релаксацию могут быть ответственны как взаимоатомными носителями магнетизма (например t
За ферромагнитную релаксацию могут быть ответственны как взаимо
За ферромагнитную релаксацию могут быть ответственны как взаимо
действия между самимидействия между самимиРис. 24.12. Схематическое изображение затухания прецессии вектора намагниченности в отсутствие ВЧ поля.Рис. 24.12. Схематическое изображение затухания прецессии вектора намагниченности в отсутствие ВЧ поля.магнитное дипольное взаимодействие в спин-си- стеме), так и взаимодействия между спин-систе- мой и другими подсистемами ферромагнетика (фононами, электронами проводимости, диэлектрической поляризацией в ионных соединениях и т. п.). Формально все эти эффекты можно учесть, вводя в правую часть уравнения движения (24.35) релаксационный член, описывающий затухание
действия между самими
действия между самими
Рис. 24.12. Схематическое изображение затухания прецессии вектора намагниченности в отсутствие ВЧ поля.
Рис. 24.12. Схематическое изображение затухания прецессии вектора намагниченности в отсутствие ВЧ поля.
穿-y[IH]+[R [/Я]],
причем 兄/(—у) — суммарный момент неких «сил трения». Таким образом, конец вектора намагниченности под действием вращательных мо-
ментов поля и сил трения, движется по спирали, приближаясь к своему равновесному положению (рис. 24.12).
Конкретный вид феноменологического учета
затухания, т. е. релаксации, а следовательно, конечности ширины линии ЭФР может быть проведен так же, как в случае ЭПР это предложил Блох [189] (см. гл. 13). Впервые это сделано в работе Блумбержена [187]. Однако гораздо раньше несколько иначе учет релаксации провели Ландау и Лифшиц [33] [см., например, формулу (24.15)]. И, наконец, Джильберт [190] предложил третью форму для учета ферромагнитной релаксации, аналогичную релеевской диссипативной функции в классической механике, а именно
-汁制・
Для слабых высокочастотных полей, когда можно принять, что lz ^ 1 s уравнения Блоха — Блумбержена, Ландау — Лифшица и Джильберта эквивалентны. Форма линий поглощения во всех случаях лорентцевская. Исключением является случай феррита с точкой компенсации, где, как показано в работах Вангнесса [191, 192], применение разных форм уравнений приводит к различным результатам. В сильных высокочастотных нолях, где уже сказываются нелинейные эффекты (см. ниже § 8)，лишь на основании опыта можно отдать предпочтение тому или иному из перечисленных уравнений. Следует также указать, что во всех этих уравнениях не учитывается взаимодействие намагниченности ферромагнетика с полем излучения. Учет этого эффекта, как показал Файн [193], приводит к сдвигу резонансной частоты, а кроме того, увеличивает радиационную ширину линии поглощения (Скроцкий и Кокин [194]).
Мы не имеем возможности детально рассматривать микроскопический механизм ферромагнитной релаксации и отсылаем читателей к цитированным выше обзорам, а также к оригинальным работам [195-228].
Нелинейные эффекты и некоторые другие эффекты
Нелинейные эффекты. Выше уже отмечалось, что при условии малости амплитуды высокочастотного поля по сравнению с величиной напряженности постоянного поля комплексная магнитная восприимчивость определяет линейную связь между переменными составляющими поля и намагниченности. Для полного поля и намагниченности ферромагнетика всегда имеет место существенно нелинейная связь (кривая намагничивания!). В линейном приложении по ВЧ полю это сказывается на том, что тензор магнитной восприимчивости зависит от величины постоянного подмагни-
Рис. 24.13. Зависимость воспримчиво- сти у (отношения у〃(Н\~)/у〃(0)) и относительной намагниченности насыщения (Iz/Io) в пике основного резонанса как функции 丑〜в монокристалле никелевого феррита (NlFe2O4) (Блумбержеи [187]).Рис. 24.13. Зависимость воспримчиво- сти у (отношения у〃(Н\~)/у〃(0)) и относительной намагниченности насыщения (Iz/Io) в пике основного резонанса как функции 丑〜в монокристалле никелевого феррита (NlFe2O4) (Блумбержеи [187]).чивающего поля Яо. Линейность по отношению к ВЧ полю сама по себе приближенная. При больших амплитудах ВЧ поля возникает нелинейность и между переменными составляющими намагниченности и поля. Это, конечно, ведет к существенному усложнению как самого явления ферромагнитного резонанса, так и его теоретической интерпретации.
Рис. 24.13. Зависимость воспримчиво- сти у (отношения у〃(Н\~)/у〃(0)) и относительной намагниченности насыщения (Iz/Io) в пике основного резонанса как функции 丑〜в монокристалле никелевого феррита (NlFe2O4) (Блумбержеи [187]).
Рис. 24.13. Зависимость воспримчиво- сти у (отношения у〃(Н\~)/у〃(0)) и относительной намагниченности насыщения (Iz/Io) в пике основного резонанса как функции 丑〜в монокристалле никелевого феррита (NlFe2O4) (Блумбержеи [187]).
До сих пор мы пользовались линейным приближением для зависящих от времени компонент намагниченности тх и ту (в 24.35а) и предполагали, что mz = б и 1270. Если те
% （方 ~）二.% （方 ~）二./о/о^^-=[1 + т2^тсртсс]-1.^^-=[1 + т2^тсртсс]-1.перь предположить, что поперечное ВЧ поле Н〜 велико, то для 7Z и %" для резонанса из соответствующих формул для ЭПР (13.66) и (13.68) находим
% （方 ~）二.
% （方 ~）二.
/о
/о
^^-=[1 + т2^тсртсс]-1.
^^-=[1 + т2^тсртсс]-1.
величина у* начинает, резко уменьвеличина у* начинает, резко уменьИз этого уравнения следует, что 厶 и %" должны уменьшаться, когда величина произведения ^Н\_ становится сравнимой с величиной [тср 工(；/一丄 Поскольку тср、тсс 弋 у^АЯ, где АН — ширина резонансной линии, то этот спад должен наблюдаться, когда Н~ ^ АН・ Измерения на никелевом феррите [229, 230] показали совсем иное поведение величин 厶(行〜)и %" (Н」(рис. 24.13);
величина у* начинает, резко умень
величина у* начинает, резко умень
шаться, когда Н〜《АН, а величина Zz при этом остается практически неизменной и близкой к /()(т. е. угол прецессии не возрастает заметным образом с ростом Н ) Кроме того, при больших ВЧ полях при более низкой частоте, чем частота ЭФР, появляется добавочное поглощение с очень широкой линией. Видно, что здесь обычная теория релаксации неприменима и что необходимо какое-то новое приближение. Это и было проведено впервые в работах Сула [231, 232].
Весьма важным нелинейным эффектом при ЭФР является автопараметрическое возбуждение колебаний магнитного момента при больших амплитудах ВЧ поля. Слин- волновые колебания можно считать квазинезависимыми лишь в линейном приближении. Нелинейность движения намагниченности делает эти колебания взаимодействующими ——возникает обмен энергии между ними. Интересно, что в этих условиях нелинейности спин-волновые колебания не всегда затухают. Если присутствует какое- нибудь внешнее переменное во времени воздействие с достаточно большой амплитудой (выше определенного порогового значения) и частотой ①，то может возникнуть неустойчивость спиновых волн с частотами ①^ и ①？ (связанными в простейшем случае с со соотношением ①,+ ①纟=①).Их амплитуды будут расти во времени, пока не войдут в игру какие-нибудь другие нелинейные эффекты более высоких порядков и система не перейдет в новое равновесное состояние (предельный цикл).
Как показал Сул [231], при наличии однородной прецессии магнитного момента при ЭФР в нелинейном режиме одна из спиновых волн изменяет характер этой прецессии, создавая эффективное поле, действующее на другую спиновую волну. Однородная прецессия осуществляет тем самым косвенное взаимодействие между спин- волновыми колебаниями. Если при этом выполняются определенные соотношения фаз между однородной прецессией намагниченности и спин-волновыми модами, то указанное взаимодействие может усиливать и возбуждать спин-волновые колебания за счет энергии однородной прецессии, созданной в свою очередь внешним ВЧ полем. Этот эффект представляет собой типичный пример автопараметрического резонанса, являющегося следствием нелинейности спин-системы ферро- или ферримагнетика ).
Однородная прецессия, представляя собой колебание подкачки, модулирует на своей частоте параметры ферромагнитной среды, в которой возбуждаются спин-волновые колебания. Естественно, что подкачка может осуществляться не только однородной прецессией магнитного момента, но и непосредственно внешним электромагнитным полем, упругими колебаниями (фононами) и самими же спин-волновыми колебаниями. Более детальное микроскопическое рассмотрение суловской неустойчивости основывается на 3- и 4- фононных процессах распада ферромагнонов (по Ахиезеру [188]). Подробнее всего они рассмотрены в обзоре Хааса и Каллена [70].
Можно также рассмотреть нелинейные эффекты в продольном ВЧ поле (параллельная накачка). Идею и разработку такой постановки проблемы независимо и одно-
временно предложили Моргенталер [234] й Щлеман и др. [235], а также Каганов и Цукерник [236] ).
Нелинейные параметрические эффекты при ЭФР открыли большие возможности для изучения магнитно -у по рядоченных сред и в чисто практическом аспекте. В частности, метод возбуждения монохроматических когерентных спин-волновых колебаний большой амплитуды позволяет изучить природу взаимодействий как внутри самой спин-системы, так и спин-фононное взаимодействие. Связь нелинейных эффектов с процессами релаксации при ЭФР дает новый источник информации о параметрах релаксации спиновых волн, например, через измерения пороговых значений подкачки (что является более удобным, чем оценка параметров релаксации по ширине резонансных пиков).
Нелинейные эффекты, присущие ЭФР, открывают богатые возможности для практического использования этого явления в современной радиоэлектронике, а именно в технике СВЧ. Главное внимание при этом, конечно, уделяется использованию явлений ЭФР в полупроводниковых ферромагнетиках — ферритах, в которых малы потери на вихревые токи, весьма интенсивные в полях СВЧ в мет а ллических ферромагнетиках. Среди возможностей (далеко еще не исчерпанных) использования нелинейных эффектов при ЭФР в полях СВЧ упомянем следующие: детекторы, умножители и преобразователи частоты, ограничители мощности, усилители и генераторы СВЧ колебаний и т. п. Подробности этих интересных вопросов читатель может найти б обзорах Гуревича [244], Моносова и Вашковского [24 5], Даймона [69], Кеффера [71], в книге Морриша (1965), в диссертации Старобинца [246] (см. также [247—276]) и, в особенности в монографии Моносова [589].
Ферромагнитный резонанс в ненасыщенных образцах. Резонансное поглощение ВЧ магнитного поля довольно детально исследовалось в ферромагнитных диэлектриках, обладающих доменной структурой. При этом наблюдаются две области магнитной дисперсии. Одна из них, обусловленная однородной прецессией намагниченности доменов, о которой шла речь выше, и которая изучалась, например, в работах [277—281]. Другая была обнаружена в области радиочастот [42, 45, 282, 283] и связана с колебаниями доменных границ (см. § 2).
менах именах иНаиболее полно эту задачу решили Власов и Оноприенко [284], которые, используя динамические свойства граничных слоев, путем введения эффективной массы единицы площади границы по Дёрингу [41], произвели расчет собственных частот связанных колебаний, обусловленных прецессионным движением намагниченности в до-
менах и
менах и
ских эллипсоидальныхских эллипсоидальныхРис. 24.14. «Перепутывание» энергетических спектров спиновых волн и фоно- нов /обусловленное магнитоупругим вза- "имодействием.Рис. 24.14. «Перепутывание» энергетических спектров спиновых волн и фоно- нов /обусловленное магнитоупругим вза- "имодействием.колебаниями границ между доменами, в магнитно-одноосных монокристалличе- образцах ферромагнетиков. Они показали для этого случая существование трех собственных частот и нашли
ских эллипсоидальных
ских эллипсоидальных
Рис. 24.14. «Перепутывание» энергетических спектров спиновых волн и фоно- нов /обусловленное магнитоупругим вза- "имодействием.
Рис. 24.14. «Перепутывание» энергетических спектров спиновых волн и фоно- нов /обусловленное магнитоупругим вза- "имодействием.
их зависимость от величины и направления постоянного подмагничивающего поля относительно кристаллографических осей. Теоретическое (по методу Власова — Оноприенко) и экспериментальное исследование связанных колебаний намагниченности в доменах и доменных границах в кубических монокристаллах ферритов с отрицательной константой магнитной анизотропии произвели Дудкин и Пильщиков [285], Теоретические и экспериментальные исследования резонанса доменных границ и независимо резонанса намагниченности в доменах проводилось многими авторами [42, 9 0, 106, 2 83, 286—295].
модуляция этого расстояния при колебаниях, решетки приводит, как впервые показал Ахиезер [188], к ферромагнон-фононному взаимодействию. В случае], антиферромагнетиков этот вопрос рассмотрели Пинкус и Винтер [296]. 。модуляция этого расстояния при колебаниях, решетки приводит, как впервые показал Ахиезер [188], к ферромагнон-фононному взаимодействию. В случае], антиферромагнетиков этот вопрос рассмотрели Пинкус и Винтер [296]. 。Спин-фононное взаимодействие. В связи с проблемой ЭФР большой интерес вызывает вопрос о спин-фоноином взаимодействии и о вызываемых им связанных магнитоупругих волнах. Поскольку обменное и магнитное взаимодействия зависят от межатомного расстояния, то
модуляция этого расстояния при колебаниях, решетки приводит, как впервые показал Ахиезер [188], к ферромагнон-фононному взаимодействию. В случае], антиферромагнетиков этот вопрос рассмотрели Пинкус и Винтер [296]. 。
модуляция этого расстояния при колебаниях, решетки приводит, как впервые показал Ахиезер [188], к ферромагнон-фононному взаимодействию. В случае], антиферромагнетиков этот вопрос рассмотрели Пинкус и Винтер [296]. 。
Благодаря магнитоупругому взаимодействию [см. (23.14)] появляется связь между магнитными колебаниями электронной системы и акустическими колебаниями кристаллической решетки. Это впервые установили Туров и Ирхин [297] и затем развили Ахиезер и др. [298], Киттель [299], Шлеман [300], Шлеман и Джозеф [301], Ишмухаме- тов [302]. На рис. 24.14 показано, как «перепутывается» энергетический спектр спи-
новых волн и фононов из-за магнетоупругои связи, которая и приводит к появлению участка спектра со связанными магнитоупругими волнами. В настоящее время начали усиленно экспериментально изучать эти колебания (см., например, [303—316]).
§ 9. Ферримагнитный и антиферромагнитный резонанс
Резонанс в ферримагнетиках. Особенности магнитного резонанса в ферримагнетиках обусловлены наличием двух или более магнитных подрешеток. Для определения влияния этой структуры на резонансные частоты собственных колебаний необходимо совместное решение уравнений (24.35) для каждой подрешетки
где Hi — эффективное поле в j-й подрешетке. Оно складывается из внешнего поля Н — Hq~\~ Н^, эффективного поля анизотропии НА и внутреннего молекулярного доля НЕ [см. (22.141) и (22.142)], обусловленного обменной связью подрешеток (при конечных размерах образцов, строго говоря, необходим учет размагничивающих полей поверхностных полюсов). В простейшем случае двухподрешеточного ферримагнетика (/ = 1, 2) получаем четыре однородных уравнения типа (24.35а) для поперечных компонент намагниченностей подрешеток mix,附2%,附切，附2y. Отсюда получаем секулярную задачу для определения резонансных частот. Впервые эту проблему рассмотрели Каплан и Киттель [317], затем Вангснесс [318] и Броун и Парк [319]. Предположим для упрощения, что поля анизотропии НА и ——HAl действующие на антипараллельные намагниченности двух подрешеток, совпадают по направлению с осью z. Тогда решение секулярного уравнения будет иметь вид
31, 2 = ?+^0 + Y.Ha 十三 N12 (Y2/1 + Y1厶)士
士 {(Y+瓦1 + Y-^o) [?+^a+ Y-^О — N«2 (丫2『＜ —Yi‘2)] +
十}阴2(也/1十Y1厶)2}"2,
где 丫± = (丫！ 土 丫2)/2, a Nl2 — постоянная молекулярного поля НЕ (обозначенная в (22.141) и (22.142) через пхь и пх(^. Поскольку НЕ》Но и На, то выражение для о)12 можно разложить в ряд по параметрам малости fl"N»式》и HA/Nl2l j. Пренебрегая членами разложения, малыми относительно NR、мы сильно упрощаем задачу. Из уравнения для со12 тогда получаем частоты двух типов колебаний — низкочастотных и высокочастотных.
Низкочастотный тип колебаний, В этом случае при НА = 0 получаем обычную для ферромагнитного резонанса частоту (см. 24.36)
31 — Тз 巾巾")•
Отличие от обычного ферромагнитного случая заключается в том, что параметр 丫 заменяется эффективным магнето механическим отношением
_ ♦|工2十工2|I y151十?2»2 I
丫谦巾一匹%马--iQi+S；1 '
где Si и &2 — моменты количества движения подрешеток.
Связанные сильным обменным взаимодействием прецессирующие намагниченности подрешеток при этом типе колебаний остаются строго антипараллельными ([^^] = 0), как это видно из рис. 24.15, а. Из формулы для узфф следует, что эффективный фактор спектроскопического расщепления ^Эфф = уЭфф2тс/1 е | зависит от температуры и состава образца. Поэтому его измерение в ферримагнетике вместе с результирующей намагниченностью I — 1^12 дает информацию о распределении
ионов по подрешеткам (см. Гортер [320], Смарт [321]).
Высокочастотнwй (или ^обменный») тип колебаний. Этот тип колебаний, для которого [工江2】 耍 0 (см. рис. 24.15, 6) определяется молекулярным полем Не・ На принципиальную возможность резонансного
поглощения, связанного с внутренним обменным полем, впервые указал
Рис. 24.15. Прецессия векторов намагниченностей подрешеток в феррите, а) Низкочастотный тип колебаний; б) высокочастотный тип колебаний.Рис. 24.15. Прецессия векторов намагниченностей подрешеток в феррите, а) Низкочастотный тип колебаний; б) высокочастотный тип колебаний.еще Дорфман [322]. Если НЕ Э> HQ, На, то резонансная частота со2 этого типа становится равной
Рис. 24.15. Прецессия векторов намагниченностей подрешеток в феррите, а) Низкочастотный тип колебаний; б) высокочастотный тип колебаний.
Рис. 24.15. Прецессия векторов намагниченностей подрешеток в феррите, а) Низкочастотный тип колебаний; б) высокочастотный тип колебаний.
吗—Зе = %121 丫2工1 + Yi<2 I = N12Y1Y21S I，
где S = % 十 S2. Частота мЕ》必. Каплан и Киттель [317] отмечали, что типичные значения соЕ должны лежать в инфракрасной области частот. А именно, для ферримагнетиков с 9^》100° К частота 婚后=弊 1011 — 1012 ?年，т. е. она находится в миллиметровой или субмиллиметровой области.
Приведенная выше схема расчета для двух подрешеток была обобщена на произвольное их число (Вангнесс [323]), а также для неколлинеарных магнитных структур (см., например, Вангнесс [324]).
Вангнесс [325] первый обратил внимание на важность точек компенсации при ферримагнитном резонансе, когда обращается в нуль либо результирующая намагниченность Jj — J2 = 0 (магнитная компенсация), либо механический момент Si — S2 = 0 (компенсация момента количества движения). Обе эти области близки к предельному случаю антиферромагнетизма. Вангнесс показал, что в областях компенсации величина
обменной резонансной частоты резко падает и она может попасть в ту же микроволновую область, где лежит частота обычного резонанса д.
Экспериментально обменный тип ферримагнитного резонанса наблюдали в литиевом феррите-хромите [326], в феррите-гранате гадолиния [327——330]. Эти измерения позволяют определить константу молекулярного поля. Укажем еще ряд работ по изучению ЭФР в ферритах [331 — 367] и, в частности, в ферритах со структурой граната [368—399]. Интерес именно к этому типу ферритов обусловлен исключительной узостью резонансного пика, что имеет большой интерес для практических применений.
Резонанс в антиферромагнетиках. Теория электронного антиферромагнитного резонанса (ЭАФР) была развита в работах Киттеля [400], Нагамийя [401—403] (см. также [404—407]). Детальное изложение этого явления можно найти в обзорах Нагамийя и др. [408], Фонера [68], Кеффера 171] в книге Морриша (1965), к которым мы и отсылаем читателей. Здесь мы дадим лишь самое краткое изложение сути теории этого
явления.
Теоретическое рассмотрение ЭАФР было начато раньше, чем ферримагнитного резонанса. Но для нас удобнее рассмотреть ЭАФР как предельный случай последнего. Ограничиваясь опять случаем двух одинаковых подрешеток у{ = у2 = 丫，НА1 = НА2 = На и считая, что при 0° К /1 = /2 = /$ (когда поле приложено вдоль направления антиферромагнетизма) для собственных частот находим
3倩二干 丫8 士 Y [#А (На + 2М/)]"2;
два типа корня со辐 и со储 соответствуют внешнему полю Н^ направленному вдоль и против ТР Поскольку подрешетки физически эквивалентны, следует рассматривать лишь один корень, например(0^3 = сорез- В отсут-
ствие внешнего поля имеем
Зрез = 士 Y [瓦1 (На 十 27Vi2?s)]
Поэтому для антиферромагнетика при Н = Q имеет место вырождение резонансных частот. При Н 耍 0 это вырождение снимается ), но прецессия, как и при Н = 0, происходит в противоположных направлениях вокруг направления поля, пока один из корней не обращается в нуль при
Я=[ЯА {Ha+2N12I^ ^ (2HaNJ产= (2НаНе产.
Из (22.956) следует, что при этом поле происходит опрокидывание подрешетки. Естественно, что при этом значении поля и выше него условия для резонансных частот ЭАФР меняются — имеет место ориентационный резонанс (см. Нагамийя [402]).
Далее можно рассмотреть различные случаи взаимной ориентации подмагничивающего поля Но и оси антиферромагнетизма z и т. и. За подробностями отсылаем читателя, например, к обзору Фонера [68].
Имеется уже большая литература по экспериментальному определе* нию резонансных частот в антиферромагнетиках, а также в слабых ферромагнетиках [409—418]. Численные данные можно найти в обзорах Фонера 168] и Кеффера [71]. См. также оригинальные работы [419—503].
§ 10. Магнитная вязкость
Уже очень давно при изучении ферромагнитных явлений было обна
ружено явление магнитного последействия или магнитной вязкости (Юинг [504]; Релей [505]). На первый взгляд казалось, что причиной маг
О 163248648096 112 128О 163248648096 112 128Время, 1П” genВремя, 1П” genРис. 24.16. Временной спад намагниченности (AJ в условных единицах) в сплаве Fe — Ni. а — кривая, полученная для случая наличия обоих механизмов 一 вихревых токов и вязкости; 6 — кривая для случая, когда спад целиком определяется действием вихревых токов (Телеснин и др. [513]).Рис. 24.16. Временной спад намагниченности (AJ в условных единицах) в сплаве Fe — Ni. а — кривая, полученная для случая наличия обоих механизмов 一 вихревых токов и вязкости; 6 — кривая для случая, когда спад целиком определяется действием вихревых токов (Телеснин и др. [513]).нитного последействия являются вихревые токи. Действительно, начальная стадия временного спада намагниченности, как показали тщательные исследования Введенского [506], в основном определяется вихревыми токами. Телеснин и др. [507—514] исследовали явление магнитного последействия на участках кривой намагничивания железа, со-
О 163248648096 112 128
О 163248648096 112 128
Время, 1П” gen
Время, 1П” gen
Рис. 24.16. Временной спад намагниченности (AJ в условных единицах) в сплаве Fe — Ni. а — кривая, полученная для случая наличия обоих механизмов 一 вихревых токов и вязкости; 6 — кривая для случая, когда спад целиком определяется действием вихревых токов (Телеснин и др. [513]).
Рис. 24.16. Временной спад намагниченности (AJ в условных единицах) в сплаве Fe — Ni. а — кривая, полученная для случая наличия обоих механизмов 一 вихревых токов и вязкости; 6 — кривая для случая, когда спад целиком определяется действием вихревых токов (Телеснин и др. [513]).
ютветствующих максимальной
проницаемости. В этих исследованиях! была разработана методика, гарантировавшая возможность наблюдения изменений намагниченности в течение промежутков времени порядка 10~6 сек. Миткевич [515] в ряде работ показала, что эффекты последействия нельзя целиком объяснить одним задерживающим действием вихревых токов. Наряду с этим играет существенную роль своеобразная «магнитная вязкость», природа которой связана с процессами технического намагничивания. К этим же выводам привели и указанные работы Телеснина. На рис. 24.16 показана кривая временного спада намагниченности (в условных единицах) в сплаве Fe — Ni по измерениям Телеснина и др. [513]. Кривая 6 на рис. 24.16 соответствует случаю, когда изменение намагниченности вызывается лишь задерживающим действием вихревых токов. Эта кривая рассчитывалась по теории Введенского [506]. Исследуя магнитную вязкость в растянутых проволоках из двух Fe — Ni-сплавов (с 43 и 78,5 ат. % Ni), Телеснин и др. [513] обнаружили новое явление —
запаздывающие скачки намагниченности, которые могут происходить
через интервалы времени до 5 минут после окончания основного спада намагниченности. Это явление связано с тем, что под действием наложенных внешних упругих натяжений в материале возникают неустойчивые (метастабильные) состояния граничных слоев между доменами, которые начинают смещаться после того, как исчезнет небольшой потенциальный барьер, задерживающий границу в положении, соответствующем относительному минимуму свободной энергии.
Рихтер [516] обнаружил очень резкую зависимость магнитного последействия от температуры. Исследуя магнитные временные свойства мягкого магнитного материала (карбонильное железо), он обнаружил, что при температуре —12° С спад намагниченности продолжается в течение десятка минут, а при +Ю0° С весь эффект магнитного последействия завершается за 10~2 сек.
Резкая температурная зависимость магнитной вязкости с такими же временами релаксации, как и для механического последействия в том же материале, позволяет высказать предположение, что оба эти явления тесно связаны между собой. При намагничивании ферромагнетика в области слабых полей (где, как правило, и наблюдается магнитная вязкость) мы имеем в основном процессы смещения границ между доменами. При смещении границ из-за магнитострикции возникают внутренние напряжения. Их равновесное распределение устанавливается не сразу, а благодаря механическому последействию, с конечной скоростью. В более пластичных материалах с большим временем релаксации для механического последействия следует ожидать и более развитого явления магнитного последействия. При этом на условия равновесия границ между доменами могут оказывать влияние такие процессы, как диффузия примесей, распад твердых растворов, явление упорядочения атомов в кристаллической решетке сплавов и т. п. Температурная зависимость магнитного- последействия исследована также в работах [517, 518].
Магнитное последействие может приводить не только к изменению величины намагниченности «вязкого» ферромагнетика со временем, но и к изменению характера процессов намагничивания. Наиболее ярко- это проявляется в так называемом спаде магнитной проницаемости или дезаккомодации.
Снук [519] развил феноменологическую теорию временного спада проницаемости, в которой он постулирует существование времени релаксации, не связывая его с магнитными и механическими параметрами кристалла. Он основывался на предположении о связи этого явления с упругим последействием. Границы между доменами после размагничивания попадают в какие-то «свежие» места кристаллической решетки металла. Из-за неоднородности намагниченности в этих граничных слоях возникают заметные градиенты магнитострикционных напряжений. Как показал Горский [520], в такие места кристалла с большими градиентами напряжений должна идти заметная диффузия примесей в кристалле. Эта диффузия вызывает заметное перераспределение внутренних напряжений, и можно ожидать, чтд граница между доменами «продавит» себе со временем более глубокую «потенциальную яму». Для смещения границы из этой «ямы» требуются большие поля, что приводит к уменьшению проницаемости со временем.
Снук [521] предложил общую теорию магнитного последействия, которая дает возможность в единой схеме учесть и временное изменение намагниченности и временной спад проницаемости. Согласно Снуку, временные эффекты в ферромагнетике можно условно разделить на ионные и электронные. Первые связаны со структурными изменениями в кристаллической решетке, а вторые — с перераспределением электронной плотности 3d- и 45-электронов.
Янус и Дрожжина [522] исследовали временной спад проницаемости в Fe — Si и обнаружили, что его рафинирующая термообработка не ослаб-
ляет временного спада проницаемости, в противоположность теории и опытам Снука [519, 521] с карбонильным железом, где аналогичная обработка (отжиг в водороде и затем в вакууме) полностью уничтожила временной спад. Кроме того, кривые, полученные в опытах Януса и Дрож- жиной, не всегда совпадают с теоретическими кривыми Снука. Это указывает, что существующая теория временного спада проницаемости требует дальнейшего уточнения.
По экспериментальному изучению спада магнитной проницаемости имеется довольно обширная литература; упомянем, например, [523—536]. Теория этого явления рассмотрена в работе Дитца [537].
Сильный эффект временного спада проницаемости наблюдается в магнетите. Этот случай, как показали опыты Януса и др. [538], в общем охватывается теорией Снука. Снук [521] для временного спада проницаемости наблюдал очень большие времена релаксации в смешанных марганцовоцинковых ферритах. Существование большого эффекта при низких температурах, когда процессы диффузии ионов практически не происходят, наводят на мысль, что этот эффект магнитного последействия обусловлен перестройкой электронной плотности. Однако до сих пор нет еще достаточной ясности в теории магнитной вязкости в ферритах. Упомянем лишь ряд экспериментальных исследований явления магнитной' вязкости в ферримагнетиках-ферритах, а именно Крупичка и др. [539—542], Пли- кетта [543], Брагинского [544], Акаши и Окада [545], Телеснина и Макарова [546], Мерсерона [547], Розенбаума [548], Большовой и Андреевой [549].
Стритт и Уолли [550] и Стритт и др. [551] развили формальную теорию магнитной вязкости, предположив, что она связана с активационно-энергетическими процессами. На некоторой стадии намагничивания ферромагнетиков, следующей за внезапным изменением величины намагничивающего поля, векторы самопроизвольной намагниченности некоторого числа доменов находятся в «метастабильном» состоянии. Под влиянием тепловых флуктуаций эти домены переходят из метаста- бильного состояния в термодинамически устойчивое, что и приводит к временному изменению результирующей намагниченности. Нарастание намагниченности А/ со временем 力 происходит при этом по закону
Д/(力)=До^/о (宮)"в? Ь 力(24.55)
где Дот — среднее изменение намагниченности при отдельной флуктуации в одном домене, а /0 (宮) —— функция распределения (для начального момента времени) числа доменов по величине энергии активации 宮，необходимой для изменения их намагниченности. Для скорости изменения намагниченности получается формула
Z =[1 — exp (— ct)].(24.56)
Эту формальную схему авторы применили для объяснения явлений магнитной вязкости в высококоэрцитивпом сплаве альнико ) и в ферритах. Их теория носит чисто формальный характер, как и упомянутая выше теория Снука, и не объясняет физического механизма явления.
Телеснин [556] показал, что из (24.55) и (24.56) следует обнаруженное им ранее на опыте соотношение (см. [507—509, 512]) между временем релаксации магнитной вязкости т и величиной дифференциальной восприимчивости %必 которое имеет вид
Т = 4 孥，(24.57)
тде Т — абсолютная температура, а А — постоянная. Таким образом, согласно (24.57), время релаксации прямо пропорционально %d и обратно пропорционально температуре. Это соотношение Телеснин назвал первым правилом магнитной вязкости.
Измерения Телеснина [556] на образцах Ni с резко различными значениями Xd и при Т = const показали, что коэффициент А (коэффициент магнитной вязкости) остается приблизительно постоянным. Но если изменить величину упругих натяжений, то, величина А изменяется, что связано, по-видимому, с изменением функции распределения /0 (宮) из (24.56), которая входит в выражение для 4.
Кроме того, Телеснин обнаружил, что т не зависит от величины изменения магнитного поля АН, которое производится перед измерением, а целиком определяется конечным состоянием ферромагнетика. Этот опытный факт Телеснин назвал вторым правилом магнитной вязкости. Отклонения от этого правила наблюдаются лишь при малых значениях т.
Телеснин [510, 511], а также Таока [557], исследуя магнитную вязкость ферромагнитного сплава Ni3Mn, а также ряда высококоэрцитивных сплавов (викаллой, альнико и магнико), обнаружили для нисходящей ветви петли гистерезиса (между 厶 и / = 0) очень большие значения времен релаксации, например до 180 сек в частично упорядоченном сплаве Ni3Mn. Эту аномально большую вязкость он назвал «сверхвязкостью» и предположил, что это явление обусловлено кинетикой процессов упорядочения в этих сплавах. См. также по этому поводу работы Телеснина и Курицыной [558—560], Ремизова [561], Вайля [562].
Влияние диффузионных процессов на магнитную вязкость исследовано в работах Бриссоно [563], Клейна [564]. См. также работы Биорчи и др. [565].
Неель [566] (см. также Бриссоно [567]) развили теорию магнитного последействия для случая очень слабых долей (область Релея), меньших чем величина коэрцитивной силы. В основу теории положено предположение, что тепловые флуктуации позволяют граничным слоям между доменами преодолевать препятствия, характеризуемые критическим полем Н^^ под действием внешнего поля Н, меньшего Н^, Действие тепловых флуктуаций оказывается в общем эквивалентным действию затухающего переменного магнитного поля. На основе этих предположений получены •формулы для ряда магнитных величин (зависимость начальной проницаемости и остаточной намагниченности от внешнего поля Н, времени и нагрева образца). Выводятся выражения для обратимой восприимчивости, потерь в слабых переменных магнитных полях и т. п. Измерения Барбье (568], Пескетти и Барбье [569], Либурти [570] и Лейнхоса [571] качественно подтвердили основные выводы теории Нееля.
Влияние упругих и пластических деформаций высокого давления на магнитную вязкость исследовано соответственно в работах Б осман а и Броммера [572], Крингса [573] (см. также [574]), Босмана и др. [575].
Связь магнитного последействия с дислокационной структурой исследована в работах Биорчи и др. [565, 576], со скачками Баркгаузена — в работе Биттела и Вестербура [577], а влияние облучения нейтронами на магнитное последействие изучалось в работах Мозера и До- треппа [578] и быстрыми электронами — в работе Перетто и др. [581], Зеегера и др. [579] и Вальца [580]. Белов и др. [582] исследовали магнитную вязкость редкоземельных металлов, а Ламбек [583] — тонких пленок.
О дальнейшем развитии исследований по магнитной вязкости см. обзоры Ратенау [528, 584], книгу Кнеллера (1962), а также работы Крато- хвиловой [585], Ноулса [586], Кронмюллера и др. [587] и, наконец, еще обзорную работу Кронмюллера [588].
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 24
В. К. А р к а д ь е в, ЖРФХО, часть физ. 45, 103 (1913).
В. К. Аркадьев, ЖРФХО, часть физ. 45, 312 (1913).
Сборник «Проблемы электротехнического металла», ОТН АН СССР, ред.
В. К. Аркадьев, Изд. АН СССР, М., 1938.
Сборник «Практические проблемы электромагнетизма», ред. В. К. Аркадьев, Изд. АН СССР, М・一Л・，1939.
Сборник «Проблемы ферромагнетизма и магнетодинамики», ред. В. К. Аркадьев, Изд. АН СССР, М,— Л.,1946."
М. Розовский, ЖЭТФ 14, 402 (1944).
Н. Тихонов, ЖЭТФ 7, 138 (1937).
R. Becker, Ann. der Phys. 27, 123 (1936).
H i n z e, Ann. der Phys. 19, 143 (1934).
Б. А. Введенский, ЖРФХО, часть физ. 58, 241 (1926).
W. В. Ellwood, V. E. Legg, J. Appl. Phys. 8, 351 (1937).
M. А. Дивильковский, M. И. Филиппов, ЖЭТФ 5, 508 (1935): 6,
2 (1936).
M.A. Дивильковский, ЖТФ 8, 433 (1939).
M. P ы т ов, ЖЭТФ 10, 180 (1940).
Д. И. М а ш, П. Е н у ш к о в, ЖТФ 8, 1986 (1938).
Д. И. М а т, ЖТФ 9, 339 (1939).
S п о е k, Physica 8, 426 (1941).
Е. Hagen, Н. Rubens, Ann. der Phys. 1, 352 (1900); 8, 1 (1902); 11, 873 (1903).
В. К. A p к ад ь ев, ЖРФХО, часть физ. 58, 159 (1926).
О. И. В е л е ц к а я, ЖЭТФ 5, 322 (1935); 6} 5 (1936)..
К. А. Волкова, Zs. Phys. 74, 388 (1932).
О. И. Белецкая, В. М. Гойтанников, Сб. «Практические проблемы электромагнетизма», Изд. АН СССР, М., 1939, стр. 73.
Н. Н. М а л о в, Ж урн. прикл. физ. 6, 26 (1929); Zs. Phys. 74, 431 (1932).
Р. Hermann, Zs. Phys. 84, 565 (1933).
R. Goldschmidt, Helv. Phys. Acta 9, 40 (1935).
K. Kreischeimer, Ann. der Phys. 17, 203 (1933).
S t г u t t, К. К n о 1 1, Physica 7, 635 (1940).
И. M. К и p к о, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 561 (1952).
Н. Г. Катков, К. М. Поливанов, Изв. АН СССР, сер. физ. 18, 419 (1954).
Л. А. Фоменко, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1310 (1957); УФН 64, 669 (1958); ФММ 8, 150 (1959).
В. К. Аркадьев, Ann. der Phys. 58, 105 (1919).
В. К. Аркадьев, ДАН СССР 8, 204 (1935).
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Phys. Zs. UdSSR 8, 153 (1935).
R. Becker, Phys. Zs. 3 9, 856 (1938).
R. Becker, Ann. der Phys. 36, 340 (1939).
R. Becker, J. phys. rad. 12, 332 (1951).
R. Becker, Zs. Phys. 133, 134 (1952)..
G. T. R a d o, Phys. Rev. 83, 82 (1951).
T. R a d o, Rev. Mod. Phys. 25, 81 (1953).
С. Акулов, Г. С. К p и н ч и к, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 523 (1952).
W. D б г i n g, Zs. Naturforsch. За, 373 (1948).
Т.М.Перекалина, А.А.Аскочинский, Д. Г. Санников, ЖЭТФ 40, 441 (1961).
Н. W i n t е г, Phys. Rev. 124, 452 (1961).
Л・ Г. Оноприенко, Кандидатская диссертация, Свердловск, 1965.
Т. R a d о, R. W. W г i g h t, W. Н. Е m е г s о п, Phys. Rev. 80, 273 (1950).
Т. R ad о, R. W. Wright, W. H. Emerson, A. Teppic, Phys. Rev. 88, 909 (1952).
Ch. Kittel, J. K. Galt, Solid State Physics, vol. 3, Acad. Press Inc., N.Y., 1956, p. 439.
M. П о л и в а н о в, ДАН СССР 32, 3, 181 (1941).
К. М. Поливанов, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 449 (1952).
Neel, Ann. Inst. Fourier 3, 301 (1951).
G. Brouwer, J. Appl. Phys. 26, 1297 (1955).
R. В о 1 1, Zs. angew. rtiys. 12, 212 (I960).
Benoit, E. N a s c h k e, Compt. rend. 23 8, 2292, 2404 (1954).
E. Naschke, J. phys. rad. 17, 330 (1956).
Ch. Kittel, Phys. Rev. 70, 281 (1946).
F. L i n d m a n, Zs. techn. Phys. 19, 159 (1938).
В. К. Аркадьев, J. Phys. USSR 9, 373 (1945).
В. К. Аркадьев, Ann. der Phys. 58, 105 (1919).
J. В. H о a g, H. J о n e s, Phys. Rev. 42, 571 (1932).
G. Potapenko, R. S an g e г, Naturwiss. 21, 818 (1933).
G. Potapenko, R. Sanger, Zs. Phys. 104, 779 (1937).
J. В. H о a g, N. Gottlieb, Phys. Rev. 55, 410 (L) (1939).
Ch. Kittel, Phys. Rev. 80, 918 (1950); J. phys. rad. 12, 291 (1951).
L. S n о e k, Physica 14, 207 (1948).
A. J. E. Welch, P. F. Nicks, A. Fairweather, F. F. Roberts» Phys. Rev. 77, 403 (1950).
G. T. R a d o, Advances in Electronics, vol. II, Acad. Press N.Y., 1950.
L. R. W a 1 к e г, C6. «Magnetisms, (ed. G. T. Rado, H. Suhl) vol. I, Acad. Press, N.Y., 1963, p. 299.
S. F о n e г, C6. «Magnetisms (ed. G. T. Rado, H. Suhl) vol. I, Acad. Press, N. Y.» 1963, p. 384.
R. W. Damon, C6. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl) vol. I, Acad. Press, N.Y., 1963, p. 552.
C. W. H a a s, H. В. C a 1 1 e n, C6.《Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl) vol. I,. Acad. Press, N.Y., 1963, p. 450.
F. Keffer, Hand, der Phys., Bd. XVIII/2, hsg H. P. J. Wijn, Springer-Verlagy Berlin, 1966, p. 1.
Сборник «Ферромагнитный резонанс», под ред. С. В. Вонсовского, ГИФМЛ, М. 1961.
В. К. Аркадьев, ЖРФХО, часть физ. 44, 165 (1912).
В. К. А р к ад ь е в, ДАН СССР 1, 12 (1927).
Сборник «Современные проблемы электромагнетизма», под ред. В. К. Аркадьеват М., 1931.
Я. Г. Д о р ф м а н, Zs. Phys. 17, 98 (1923).
Н. С. А к у л о в, ЖРФХО, часть физ. 5 8, 577 (1926).
Е. К. 3 а в о й с к и й, ЖЭТФ 17, 883 (1947)..
I. Н. Е. Griffiths, Nature 15 8, 670 (1946).
Н. G. В е 1 j е г s, Physica 17, 269 (1951).
D. М. S. В a g g u 1 е у, Proc. Phys. Soc. А66, 765 (1953); Proc. Roy. Soc. A22 8,
549 (1955).
W. A. J a g e r, Phys. Rev. 78, 316 (1949).
W. S. A m e n t, G. T. R a d o, Phys. Rev. 97, 1558 (1955).
E. А. Туров, Сб. «Ферромагнитный резонанс», под ред. С. В. Вонсовского, ГИФМЛ, М., 1961, стр. 170.
С. В. Вонсовский, Ю. А. Изюмов, УФН 78, 3 (1962).
А. И. Ахиез ер, С. В. Пелетминский, ФТТ 10, 3301 (1968).
К. Sugihara, J. Phys. Soc. Japan 15, 1712 (I960).
Z. F г a i t, B. Heinrich, M. О n d г i s, Phys. Lett. 3, 276 (1963).
Z. F г a i t, H. M a c F a d e n, Phys. Rev. 13 9, A1173 (1965).
Я. С. Ш у p, О. И. Ш и p я e в а, ЖЭТФ 51, 1001 (1966).
J. I. К a pl a n, Phys. Rev. 143, 351 (1966).
D. M. S. В a g g u 1 e у, J. Liesegang, J. Appl. Phys. 3 7, 1220 (1966).
F. C. R о s s о 1, B. R. С о о p e r, R. V. J о n e s, J. Appl. Phys. 36, 1209 (1965);
3 7, 1227 (1966).
H. W. de W i j n, J. J. H. F г a n s e, Phys. Lett. 21, 9 (1966).
J.L.Stanford,R.C. J о u n g,Phys. Rev.157,245 (1967).
R.L.Cooper, E.A.Uehling,Phys. Rev.164,662 (1967).
D.M.S. В agguley,M. Heath,Proc. Phys.Soc.90, 1029 (1967).
S.M.Bhagat, L.L.Hirst, Phys. Rev. 151,401(1966). ■
S. M. В h a g a t, J. R. Anderson, L. L. Hirst, Phys. Rev. Lett. 16, 1099 (1966).
A. vanItterbeek, G. F о г г ez, J.Smits, J.Witters, J. phys. rad. 21,
81 (I960).
Z. F г a i t, Чехосл., Физ. Ж урн. 11, 360 (1961).
М. О n d г i s, Z. F г a i t, Чехосл. Физ. Журн. 11, 883 (1961).
Н. N о s ё, J. Phys. Soc. Japan 16, 342, 838 (1961).
Е. Biller, С. S с h w i n k, Zs. angew. Phys. 14, 219 (1962).
T. G. Phillips, H. M. Rosenberg, Phys. Rev. Lett. 11, 198 (1963).
E. T. H a s t у, J. Appl. Phys. 35, 1434, 1486 (1964).
К. G о s e г, Zs. angew. Phys. 18, 511 (1965).
А. Л. Фрумкин, ФММ 23, 234 (1967).•
L. W о j t e z a k, Acta phys. Polon. 34, 441 (1968).
S. Matsuyama, Y. Nakayaw a, J. Phys. Soc. Japan 24, 207 (1968).
В. E. Ш апи po, ФТТ 10, 1265 (1968).
В. А. Игнатченко, ЖЭТФ 54, 3 03 (1968).
J. C. Anderson, Proc. Phys. Soc. 75, 33 (I960).
Ю. И. Петров, Б. А. Русин, Ю. И. Федоров, ФММ 23, 504 (1967).
Z. F г a i t, Чехосл. Физ. Журн. 10, 546 (I960).
J. F. D i 1 1 о n, J. Appl. Phys. 33, 1191 (1962).
Ch. Kittel, Phys. Rev. 71, 270 (1947).
Ch. Kittel, Phys. Rev. 73, 155 (1948).
Ch. Kittel, Phys. Rev. 76, 743 (1949).
D. Polder, Phil. Mag. 40, 99 (1949).
Г. В. Скроцкий, Л. В. Курбатов, Сб. «Ферромагнитный резонанс», под ред. С. В. Вонсовского, ГИФМЛ, М., 1961, стр. 25.
A. F. К i р, R. D. А г п о 1 d, Phys. Rev. 75, 1556 (1949).
L. R. Bickford, Phys. Rev. 7 8, 449 (1950).
К. H. R e i c h, Phys. Rev. 101, 1647 (1956).
G. S. Barlow, K. J. Stendley, Proc. Phys. Soc. B69, 1052 (1956).
J. H. V an V 1 e c k, Phys. Rev. 78, 266 (1950).
J. M. Luttinger, Ch. Kittel, Helv. Phys. Acta 21, 480 (1948).
J. M. Richardson, Phys. Rev. 75, 1630 (1949).
E. И. Я к о в л e в, ФММ 8, 165 (1959).
Ю. А. И з ю м о в, ФММ 8, 807 (1959); 9, 662 (I960); 12, 20 (1961).
С. В. Тябликов, ФТТ 2, 361 (I960); ФММ 20, 293 (1965).
Ю. А. И з ю м о в, Ю. Я. П о л я к, ФММ 10, 641 (I960).
Т. Oguchi, A. Honma, I. Phys. Soc. Japan 16, 79 (1961).
A. R. Ferchmin, Phys. Lett. 1, 281 (1962).
С. В. Тябликов, T. Ш и к л о ш, Acta Phys. Hung. 14, 331 (1962).
О. А. О л ь x о в, Б. H. Провотворов, ЖЭТФ 44, 514 (1963); Phys. Rev.
А1296 (1965).•
О. А. О л ь х о в, ФТТ 5, 2448 (1963).
В. R. Cooper, R. J. Elliott, Phys. Rev. 131, 1043 (1963).
W. Haubenreiser, Phys. Lett. 6, 43 (1963).
А. И. M и ц e к, ФММ 24, 998 (1967).
E. А. Туров, Сб. «Ферромагнитный резонанс», под ред. С. В. Вонсовского, ГИФМЛ, М., 1961, стр. 98.
В. Г. Барьяхтар, М. И. Каганов, Сб. «Ферромагнитный резонанс», под ред. С. В. Вонсовского, ГИФМЛ, М., 1961, стр. 266.
L. R. Walker, Phys. Rev. 105, 390 (1957).
R. L. White, I. H. S о 1 t, J. E. Mercereau, Bull. Am. Phys. Soc. 1, 12 (1956).
4 45. R. L. W h i t e, I. H. S о 1 t, Phys. Rev. 104, 56 (1956).
J. F. D i 1 1 о n, Bull. Am. Phys. Soc. 1, 125 (1956).
J. F. D i 1 1 о n, Phys. Rev. 112, 59 (1958).
J. F. Dillon, J. Appl. Phys. 31, 160S (I960).
R. L. W h i t e, J. App. Phys. 31, 86S (I960).
I. H. S о 1 t, Jr., P. C. Fletcher, J. Appl. Phys. 31, 100S (I960).
P. Pincus, J. Appl. Phys. 33, 553 (1962).
52. P. C. Fletcher, I. H. S о 11, R. O. Bell, Phys. Rev. 114, 739 (1959).
L. R. W a 1 k e г, J. Appl. Phys. 29, 318 (1958).
J. F. D i 1 1 о n, H. Kamimura, J. R. R e m e i k a, J. Appl. Phys. 34, 1240 (1963)..
G. Seidel, I. S v а г e, Paramagnetic Resonance, ed. W. Low., vol. II, N. Y.
p. 408.
С. В. Вонсовский, E. А. Туров, J. Appl. Phys. 30, 9S (1959).
Ch. Kittel, C. Herring, Phys. Rev. 77, 572 (1950).
58. А. И. A x и e 3 e p, В. Г. Б a p ь я x т a p, M. И. К а г а н о в, ФММ 6, 932 (1958).
Ch. Kittel, Phys. Rev. 110, 1295 (1958).
C. W. Searle, A. H. M о г г i s h, R. J. Prosen, Physica 29, 1219 (1963).
M. H. S e a v e у, P. E.Tannenwald, Phys. Rev. Lett. 1, 168 (1958).
C. W. Searle, A. H. M о г г i s h, Phys. Lett. 7, 229 (1963).
R. W e b e г, P. E. Tannenwald, J. Phys. Chem. Sol. 24, 1357 (1963).
C. F. К о о i, Phys. Rev. 131, 1070 (1963).
R. F. S о о h о о, J. Appl. Phys. 32, 148S (1961); 34, 1149 (1963); Phys. Rev. 131, 594 (1963).
M. Sparks, Phys. Rev. IB, 3831, 3856, 3869 (1970).
H. Puszkarski, Acta Phys. Polon, A38, 297, 899 (1970).
M. И. К а г ан о в, ЖЭТФ 3 9,158 (i960).
J. R. E s h b a c h, R. W. Damon, Phys. Rev. 118, 1208 (I960).
В. Д. Кривченко в, А. И. Пильщиков, ЖЭТФ 43, 573 (1962).
W. В. R i bbens, J. Appl. Phys. 34, 2639 (1963).
A. M. Portis, Appl. Phys. Lett. 2, 69 (1963).
P. W i g e n, M. Shanabarger, С. К о о i, Phys. Lett. 7, 109 (1963).
Z. F г a i t, Чехосл. Физ. Журн. 13, 535 (1963).
J. Loos, Чехосл. Физ. Журн. 14, 501 (1964).
Е. Н i г о t о, J. Phys. Soc. Japan 19, 1 (1964).
R. Weber, P. E. Tannenwald, Phys. Rev. 140, A498 (1965).
D. E. Kaplan, Phys. Rev. Lett. 14, 254 (1965).
E.Schlomann, J. Appl. Phys. 36, 1193 (1965).
T. G. Philips, Phys. Lett. 17, 11 (1965); Proc. Roy. Soc. A2 92, 224 (1966)
С. А. П и к и н, ЖЭТФ 54, 1851 (1968).
В. К. Cooper, Phys. Rev. 169, 281 (1968).
и 2 ^ /а^ ^ й^ 7^ 0^ о^ sl2-^4-5'6'7'8-9-0-1'2-工4-5-6-7-&9-°-L2-工4-5-6-7-8-9-0-1-2020202020202020202121212121212121212122222222222222222222232323иймадй23^^^и 2 ^ /а^ ^ й^ 7^ 0^ о^ sl2-^4-5'6'7'8-9-0-1'2-工4-5-6-7-&9-°-L2-工4-5-6-7-8-9-0-1-2020202020202020202121212121212121212122222222222222222222232323иймадй23^^^
и 2 ^ /а^ ^ й^ 7^ 0^ о^ sl2-^4-5'6'7'8-9-0-1'2-工4-5-6-7-&9-°-L2-工4-5-6-7-8-9-0-1-
2020202020202020202121212121212121212122222222222222222222232323иймадй23^^^
и 2 ^ /а^ ^ й^ 7^ 0^ о^ sl2-^4-5'6'7'8-9-0-1'2-工4-5-6-7-&9-°-L2-工4-5-6-7-8-9-0-1-
2020202020202020202121212121212121212122222222222222222222232323иймадй23^^^
В. Л. Б e ш и д 3 e, ЖЭТФ 23, 55 (1952).
G. G. Scott, Rev. Mod. Phys. 34, 102 (1962).
M. И. К а г а и о в, Сб. «Ферромагнитный резонанс», под ред. С. В. Вонсовского, ГИФМЛ, М., 1961, стр. 152.
Е. А. Туров, Сб. «Ферромагнитный резонанс», под ред. С. В. Вонсовского» ГИФМЛ, М., 1961, стр. 215.
N. Bloembergen, Phys. Rev. 7 8, 572 (1950).
А. И. А х и е з е р, J. Phys. USSR 10, 217 (1946).
F. Bloch, Phys. Rev. 70, 460 (1946).
T. L. Gilbert, Phys. Rev. 100, 1243 (1955).
R. K. W a n g s n e s s, Phys. Rev. Ill, 813 (1958).
R. K. W a n g s n e s s, Phys. Rev. 113, 771 (1959).
В. M.① а й н, ЖЭТФ 36, 798 (1959).
Г. В. С к p о ц к и й, А. А. К о к и н, ЖЭТФ 37, 802 (1959); Изв. вузов, Радиофизика 3, 650 (I960).
Ch. Kittel, Е. Abrahams, Rev. Mod. Phys. 25, 233 (1953).
R. W. Damon, Rev. Mod. Phys. 25, 239 (1953).
E. A. T у p о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 19, 462 (1955).
Г. В. Скроцкий, В. Т. Шматов, ЖЭТФ 34, 742 (1958).
Г. В. С к р о ц к и й, Л. В. К у р б а т о в, ЖЭТФ 35, 216 (1958); ФММ 10, 335
А. И. А х и е з е р, В. Г. Барьяхтар, М. И. Каганов, ФММ 6, 932
арьяхтар, ЖЭТФ 37, 690 (1959).
>аръяхтар, Г. И. У рушадзе, ЖЭТФ 3 8, 1253 (I960).
I з ю м о в, ФММ 10, 140 (I960).
1 е t с h е г, R. С. Le Craw, Е. G. Spencer, Phys. Rev. 117, 955 J. Appl. Phys. 31, 95S (I960).
1 6 m a n n, Phys. Rev. 121, 1312 (1961).
arks, R. London, Ch. Kittel, Phys. Rev. 122, 791 (1961).
c u s, M. S p а г к s, Phys. Rev. 124, 1015 (1961).
.1 e n, J. Appl. Phys. 32, 738 (1961).
г к о w s к i, Acta phys. Polon. 22, 173 (1962); 23, 469 (1963); J. Phys, bl. 25, 1183 (1964).
3 я н ь-ч ж e н ь, ФТТ 5, 1988 (1963).
Сян ъ-ч ж e н ъ, Л. А. Давыдов,①ТТ 5, 2627 (1963).
White, М. Sparks, Phys. Rev. 130, 632 (1963).
пака, К. Tomita, Prog. Theor. Phys. 29, 651 (1963); 33, 1 (1965).
i a к a, Prog. Theor. Phys. 31, 177 (1964).
e н к и н, H. Г. Г о л у б e в а, ФТТ 7, 989 (1965).
л ь х о в, ФТТ 7, 2282 (1965).
Э к о в л е в, ФММ 23, 420 (1967).
Кондратьев, Е. И. Черненко, ФММ 24, 1131 (1967).
h a g a t, J.R.Anderson, N. W u, Phys. Rev. 155, 510 (1967).
а г г e t t. R. L. С о о p e г, E. A. U e h 1 i n g, Phys. Rev. 159, 382 (1967). irks, Phys. Rev. 160, 364 (1967); 161, 497 (1967); Ferromagnetic Relaxa- jory, Me Grow-Hill Book Comp. Inc., N.Y., 1964.
a t t о n, С. H. Wilts,!. Appl. Phys. 3 8, 3537 (1967).
арьяхтар, M. А. Савченко, В. В. Тарасенко, ЖЭТФ 54,
у р о в, Ю. Н. Скрябин, ФТТ 10, 3271 (1968).
ми н о в, Б. 3. М а л к и н, ФММ 26, 426 (1968).
ащеев, Изв. АН Латв. ССР, № 3, 32 (1968).
1 h a g a t, Е. О. Stevens, J. Appl. Phys. 39, 1067 (1968).
lain, J. de phys. 29, 321 (1968).
jembergen, R. W. Damon, Phys. Rev. 85, 699 (1952). embergen, S. Wang, Phys. Rev. 93, 72 (1954).
hl, Proc. IRE 44, 1270 (1956); Phys. Rev. 101, 1437 (1956).
1 1, J. Phys. Chem. Sol. 1, 209 (1957); 4, 278 (1957); J. Appl. Phys. 28, 1225 29, 416 (1958).
андельштам, Поли. собр. трудов, том IV, Изд. АН СССР, М., 1955. orgenthaler, J. Appl. Phys. 31, 95S (I960); 36, 3102 (1965).
1 б m а п п, J. J. G г е е п, U. М i 1 а п о, J. Appl. Phys. 31, 386S (i960). Наганов, В. М. Цу керник, ЖЭТФ 37, 587 (I960); 38, 952 (I960), а г t w i g, J. J. Green, R. I. J о s e ph, E.Schlomann, J. Appl. 6, 1265 (1965).
1 6 m a n n, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-l, 406 (1962); J. Appl. Phys. (1962); 35, 1998 (1964).
в м a h, Изв. АН СССР, сер. физ. 28, 454 (1964).
lane, E. Schlomann, J. Appl. Phys. 34, 1544 (1963).
о s e p h, E. Schlomann, R. M. White, J. Appl. Phys. 34, 2686
W. Haubenreisser, Zs. angew. Phys. 18, 432 (1965).
Л. В. К и т a e в, ФТТ 10, 3385 (1968).
А. Г. Г у p e в и 4, Сб. «Ферромагнитный резонанс», под ред. С. В. Вонсовского,, ГИФМЛ, М., 1961, стр. 285.
245.246.247.248.249.250.251.252.253.254.255.256・257.258.259.260.261.262.263.264.265.266.267.268.269.270.271.272.273.274.275.276.277.278.279.280.281.282.283.284.285.286.287.，288.289.290.291.292. 1293.294.295.296.：245.246.247.248.249.250.251.252.253.254.255.256・257.258.259.260.261.262.263.264.265.266.267.268.269.270.271.272.273.274.275.276.277.278.279.280.281.282.283.284.285.286.287.，288.289.290.291.292. 1293.294.295.296.：Я. А. Моносов, А. В. Вашковский, Сб. «Ферромагнитный резонанс» под ред. С. В. Вонсовского, ГИФМЛ, М., 1961, стр. 318.
245.
246.
247.
248.
249.
250.
251.
252.
253.
254.
255.
256・
257.
258.
259.
260.
261.
262.
263.
264.
265.
266.
267.
268.
269.
270.
271.
272.
273.
274.
275.
276.
277.
278.
279.
280.
281.
282.
283.
284.
285.
286.
287.，
288.
289.
290.
291.
292. 1
293.
294.
295.
296.：
245.
246.
247.
248.
249.
250.
251.
252.
253.
254.
255.
256・
257.
258.
259.
260.
261.
262.
263.
264.
265.
266.
267.
268.
269.
270.
271.
272.
273.
274.
275.
276.
277.
278.
279.
280.
281.
282.
283.
284.
285.
286.
287.，
288.
289.
290.
291.
292. 1
293.
294.
295.
296.：
С. С. Старобинец, Диссертация, Л., 1966.
А. Г. Гуревич, С. С. Старобинец, ФТТ 3, 1995 (1961); Изв. АН СССР, сер. физ. 25, 1357 (1961).
С. С. Старобинец, ФТТ 5, 2707 (1963).
С. С. Старобинец, Б. М. Лебедь, А. Г. Гуревич, Phys. stat. sol. 17, К7 (1966).
R. С. Le С г a w, Е. G. S р е п с е г, С. S. Р о г t е г, J. Appl. Phys. 2 9. 326 (1958).
Е. Schlomann, Phys. Rev. 116, 828 (1959).
E. Schlomann, J. J. Green, Phys. Rev. (L) 3, 129 (1959).
P. E. S e i d e n, H. J. Shaw, J. Appl. Phys. 31, 432, 225S (I960).
J. I. Masters, J. Appl. Phys. 31, 41S (I960).
M. J. W e i s s, J- Appl. Phys. 31, 103S, 778 (I960).
T. S. Pettersen, J. Appl. Phys. 31, 382S (I960).
H. S u h 1, Phys. Rev. Lett. 6, 174 (1961).
J. Loos, Чехосл. Физ. Ж урн. 11, 490 (1961).
А. П. Александров, Г. М. Генкин, Г. Л. Гуревич, В. И. Дубини н, ФТТ 5, 2766 (1963).
E.Schlomann, R.I.J о s е р h, J. Appl. Phys. 34, 672 (1963), 38,1238 (1967) Я. А. М о н о с о в, ЖЭТФ 51, 222 (1966).
М. А. Савченко, В. В. Тарасенко, ЖЭТФ 51, 482 (1966).
И. А. Д е р ю г д н, Г. А. М е л к о в, ФТТ 8, 3079 (1966).
А. Тулайкова, Я. А. Моносов, ФТТ 8, 3377 (1966).
М. Генкин, Г. М. Генкин, В. М. Файн, ФТТ 8, 3662 (1966).
И. А. Де рюгин, В. В. 3 апо рожец, Г. А. М елков, Письма ЖЭТФ 5 352 (1967).'
А. Б. Петровский, ФММ 24, 59 5 (1967).
Р. Н art wig, J- Appl. Phys. 38, 1220 (1967).
H. Le G a 1 1, В. L e m a i г e, J. Appl. Phys. 38, 1236 (19 67).
P. H. Cole, W. E. Courtney, J. Appl. Phys. 38, 1278 (1967).
Я. А. Моносов, В. В. Сурин, В. И. Щеглов, Письма ЖЭТФ 7 315 (1968).'
И. А. Дерюгин, В. В. Запорожец, Письма ЖЭТФ 8, 145 (1968).
Л. В. Китаев, И. Г. Федосеева, ФТТ 10, 1198 (1968).
Ю. М. Я к о в л е в, ФТТ 10, 243 (1968).
S. Dixon, Jr., Е. G. Spencer, J. Appl. Phys. 39, 722 (1968).
Я. A. M о н о с о в, P. В. Л и 3 о в с к и й, В. В. С у p и н, J. Apnl. Phvs 39 1081 (1968).J •，
J. Smit, H. G. В e 1 j e г s, Philips Res. Rept. 10, 113 (1955).
J. O. Artmann, Phys. Rev. 102, 1008 (1957); 105, 62, 74 (1957).
T. N agamiya, Prog. Theor. Phys. 10, 72 (1953).
Л. Г. Оноприенко, ФММ 13, 151 (1962).
J. D. Holm, A. H. M о г г i s h, J. Appl. Phys. 35, 894 (1964).
P. A. M i 1 e s, W. B. W e s t p h a 1, A. von Hippel, Rev. Mod. Phvs. 29 279 (1957).'
В. И. Шахов, E. И. К. Б. Власов, Л. Г.В. И. Д у д к и н, А. И. Я. С. Ш у р, О. И. Ш и р Л. Г. Оноприенко, физ. 28, 505 (1964).В. И. Шахов, E. И. К. Б. Власов, Л. Г.В. И. Д у д к и н, А. И. Я. С. Ш у р, О. И. Ш и р Л. Г. Оноприенко, физ. 28, 505 (1964).ондорский, ФТТ 4, 29 (1962). ноприенко, ФММ 15, 45 (1963). ильщиков, ЖЭТФ 52, 677 (1967); 53, 56 (1967). е в а, ЖЭТФ 39, 1596 (I960).'
В. И. Шахов, E. И. К. Б. Власов, Л. Г.
В. И. Д у д к и н, А. И. Я. С. Ш у р, О. И. Ш и р Л. Г. Оноприенко, физ. 28, 505 (1964).
В. И. Шахов, E. И. К. Б. Власов, Л. Г.
В. И. Д у д к и н, А. И. Я. С. Ш у р, О. И. Ш и р Л. Г. Оноприенко, физ. 28, 505 (1964).
.И. Ш и р я е в а, Я. С. Ш у р, Изв. АН СССР, сер.
В. И. Дудкин, А. И. Пильщиков, А. И. Пильщиков, В. И. Дудкин, А. А. Мануйлова, Изв. АН СССР, сер. (1963).
ФТТ 8, 2182 (1966).ФТТ 8, 3626 (1966).физ. 2 7, 1460 (1963); ФТТ 5, 2847ФТТ 8, 2182 (1966).ФТТ 8, 3626 (1966).физ. 2 7, 1460 (1963); ФТТ 5, 2847А. Мануйлова, Л. П. Богданова, ФТТ 6, 2703 (1964).
ФТТ 8, 2182 (1966).
ФТТ 8, 3626 (1966).
физ. 2 7, 1460 (1963); ФТТ 5, 2847
ФТТ 8, 2182 (1966).
ФТТ 8, 3626 (1966).
физ. 2 7, 1460 (1963); ФТТ 5, 2847
W. М о о г е, D. S. R о d b е 1 1, J. Appl. Phys. 35, 906 (1964).
С. Le Craw, Е. G. Spencer, J. Appl. Phys. 28, 399 (1957).'
M. Л e б e д ь, Л. Я. M у x а, ФТТ 5, 2963 (1963).
H a m p e, Zs. angew. Phys. 20, 201 (1966).
Pincus, J. Winter, Phys. Rev. Lett. 7, 269 (1961).
A. T у p о в, Ю. П. И p x и н, ФММ 3, 15 (1956).
Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 110, 836 (1958).E.Schlomann, J. Appl. Phys. 31, 1647 (I960).E. Schldmann, R. I. J о s e p h, J. Appl. Phys. 35, 2382 (1964).Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 110, 836 (1958).E.Schlomann, J. Appl. Phys. 31, 1647 (I960).E. Schldmann, R. I. J о s e p h, J. Appl. Phys. 35, 2382 (1964).И. Ax и e 3 ep, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский, ЖЭТФ 228 (1958).
Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 110, 836 (1958).
E.Schlomann, J. Appl. Phys. 31, 1647 (I960).
E. Schldmann, R. I. J о s e p h, J. Appl. Phys. 35, 2382 (1964).
Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 110, 836 (1958).
E.Schlomann, J. Appl. Phys. 31, 1647 (I960).
E. Schldmann, R. I. J о s e p h, J. Appl. Phys. 35, 2382 (1964).
Б. X. Ишмухаметов, ФММ 17, 323 (1964).
Н. В о m m е 1, К. Drasfeld, Phys. Rev. Lett. 3, 83 (1959).
H. В 6 m m e 1, К. Drasfeld, Bull. Am. Phys. Soc. (11), 5, 58 (I960).
А. Г. Г у p e в и 4, ФТТ 6, 2376 (1964).
-306. R. W. Damon, H. van der V а а г t, Proc. IEEE 53, 349 (1965).
Г. А. Смоленский, А. Насыров, Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 998
-308. А. Г. Гуревич, Б. М. Лебедь, С. А. Миронов, С. С. Староби- н е ц, А. Г. Титова, К. В. Шевелягин, Изв. АН СССР, сер. физ. 30,
А. Г. Г у р е в и ч, Б. М. Л е б е д ь, С. А. М и р о н о в, С. С. С т а р о б и н е ц, К. В. Ш е в е л я г и н, ФТТ 8, 2958 (1966).
А. Г. Г у р е в и ч, Б. М. Л е б е д ь, С. А. М и р о н о в, К. В. Ш е в е л я г и н. ФТТ 9, 1209 (1967).
А. Г. Г у р е в и ч, Б. М. Л е б е д ь, С. А. М и р о н о в, С. С. С т а п о б и н е ц, К. В. Шевелягин, ФТТ 9, 661 (1967).
J. Mielnicki, J. AppL Phys. 39, 487 (1968).
-313. Е. К. Kirchner, F. A. Olson, G. E. Bennett, J. AppL Phys. 39, 489
R. Weber, J. AppL Phys. 39, 491 (1968).
J. W. Shaner, E. B. Royce, J. AppL Phys. 39, 49 2 (1968).
В. А. Игнатченко, E. В. Кузьмин, ЖЭТФ 49, 787 (1965): ФММ 22, 623 (1966); J. AppL Phys. 39, 494 (1968).
J. К a p 1 a n, Ch. Kittel, J. Chem. Phys. 21, 160 (1953).
R. K. W angsnese, Phys. Rev. 91, 1085 (1953); 93, 68 (1954).
E. Brown, D. Park, Phys. Rev. 93, 68 (1954).
E. W. G о г t e r, Nature 173, 123 (1954).
J. S. S m art, Phys. Rev. 94, 847 (1954).
Я.Г.Д о p ф м a h, Zs. UdSSR 3, 366(1933).
R.K.,W a n g s n e s s,Phys. Rev. 9 7,831 (1955)..
R.K.W a n g s n e s s,Phys. Rev. 121,472 (1961).
R.K.W angsness,Phys. Rev. 98,1200 (1955); Am. J. Phys. 24, 60 (1956).
T. R. McG u i г e, Phys. Rev. 9 7, 831 (1955).
S. Geschwind, N. R. W a 1 k e r, D. F. Linn, J. phys. rad. 20, 344 (1959).
S. Ges ch wind, N. R. Walker, J. AppL Phys. 30, 163 (1959).
J. P a u 1 e v ё, B. D г e у f u s, J. phys. rad. 20, 355 (1959).
A. J. Sievers, M. T i n k h a m, Phys. Rev. 129, 1995 (1963).
H. S u h 1, Phys. Rev. 9 7, 555 (1955).
M. T. Weiss, P. W. Anderson, Phys. Rev. 98, 925 (1955).
P. E. Tannenwald, Phys. Rev. 99, 463 (1955); 100, 1713 (1955).
R. K. W angsness, Phys. Rev. 119, 1496 (i960).
S. Krupicka, Чехосл. Физ. Ж урн. 6, 458 (1956); 7, 344 (1957).
R. V a u t i е г, W. Kagan, Com pt. rend. 244, 3040 (1957).
H. И. К ри в к о, ЖТФ 28, 1703 (1958).
Т. М. ГГерекалина, А. А. Аскоченский, ЖТФ 28, 511 (1958).
J. F. D i 1 1 о п, Phys. Rev. Ill, 1476 (1958).
М. J.Pauleve, J. A ppi. Phys. 29, 259 (1958); J. phys. rad. 19, 51S (1958).
E.Schlomann,J.R. Z e e n d о г, J. Appl. Phys. 29,341(1958).
E.Schlomann,J.Phys. Chem. Sol. 6, 242, 253 (1958).
Я.А. Моносов,А.В. Вашковский, Рад. электрон.4,1632 (1959).
P.C. Fletcher,R.О. Bell, J. Appl. Phys. 30, 687(1959).
S. L. Blum, M. H. S i г v e t z, J. Appl. Phys. 30, 795 (1959).
46. H. Y onemitsu, J. Phys. Soc. Japan 14, 23, 688 (1959).
К. П. Б e л о в, В. Ф. Б e л о в, А. А. П о п о в а, ЖЭТФ 38, 1908 (i960).
J. C. Anderson, В. Donovan, Proc. Phys. Soc. 75, 149 (i960).
Y. Torizuka, Y. Kojima, T. Okamura, Physica 26, 175 (I960).
P. A. M i 1 e s, Phys. Rev. 124, 1143 (1961).
P. C. Fletcher, N. Silence, J. Appl. Phys. 32, 706 (1961).
Z. F г a i t, Чехосл. Физ. Журн. 11, 1 (1961).
W. В. Nash, К. J. Standley, Proc. Phys. Soc. 79, 981 (1962).
K. A. Hempel, Zs. angew. Phys. 14, 488 (1962).
В. И. Чечерников, А. И. Кашлинский, Вести. МГУ, 5, 49 (1963).
H. 3. М и р я с о в, В. А. Семкина, ФТТ 6, 313 (1964).
7. В. Н. G 1 а г е е, R. W. Teale, J. Appl. Phys. 35, 892 (1964).
S. Miyamoto, N. T a n a v a, S. Iida, J. Phys. Soc. Japan 20, 753 (1965).
T. M i у a d a i, S. Miyahara, J. Phys. Soc. Japan 20, 980 (1965).
D.A.L e p о г e, R. F. Вe 1 t, J.W. N i e 1 s e n,J. Appl.Phys. 38,1421(1967).
L.M.Silber, E. T s an t e s,P. Angelo, J. Appl.Phys. 38,5315(1967).
Ю. M. Яковлев, Ю. P. Шильников, H. H. Агапова, ФТТ 10, 942
Л.В.Курбатов, В.К. Г урыл е в, ФТТ10, 519(1968).
Т.П.В е л и ч к о, М. А.С и г ал,①ТТ 10, 2528(1968).
A. J. Kerecman, M. Tauber, T. R. A u c a n, R. O. S~a v a g e, J. A ppi. Phys. 39, 726 (1968).*
A. K. Goswami, M. Rosenbloom, R. W. Teale, J. Appl. Phys. 39, 828 (1968).
J. J. Stickler, H. J. Z e i g e г, J. Appl. Phys. 39, 1021 (1968).
J. F. Dillon, Jr., Phys. Rev. 105, 759 (1957); 127, 1495 (1962).
J. P a u 1 e v e, Compt. rend. 244, 1908 (1957); 245, 408, 1604 (1957).
E.G. S p e n с e r, R. C.Le С г a w, C. S. P о г t e г, J. Appl. Phys. 29, 429(1958).
R.V. J ones, G. P. Rо d г i g u e, W. P. W о 1 f, J. Appl. Phys. 29, 434(1958).
Л.А. Малевская,Г. M. Нурмухамедов, ЖЭТФ 36, 1600(1959).
К.П. Белов, М. А.Зайцева, Л. А. Малевская, ЖЭТФ 36, 1602
(1959).
А. Г. Г у р е в и ч, И. Е. Г у б л е р, ФТТ 1, 1847 (1959).
Ch. Kittel, Phys. Rev. 115, 1587 (1959); 117, 681 (I960); J. Appl. Phys. 31, 11S(196O).
P. G. de G e n n e s, Ch. Kittel, A. M. Portis, Phys. Rev. Lett. 3, 449 (1959); Phys. Rev. 116, 323 (1959).
77. J. F. D i 11 о n, J. W. Nielsen, Phys. Rev. Lett. 3, 31 (1959); Phys. Rev. 120,
105 (I960); J. Appl. Phys. 31, 43S (I960).
S. G e 1 1 e г, M. A. G i 1 1 e о, J. Phys. Chem. Sol. 9, 235 (1959).
M. R. Stiglitz, F. R. Morgenthales, J. Appl. Phys. 31, 37S (i960).
T. M i у a d a i, H. T a k a t a, Y. S h i c h i j о, J. Phys. Soc. Japan 15, 1354 (I960).
J. H. V a n V 1 e c k, Phys. Rev. 123, 58 (1961); J. Appl. Phys. 35, 882 (1964).
A. J. Sievers III, M. T i n k h a m, Phys. Rev. 124, 321 (1961).
J. F. Dillon, Jr., L. R. W a 1 k e r, Phys. Rev. 124, 1401 (1961).
T. M i у a d a i, J. Phys. Soc. Japan 17, 870, 1829 (1962).
C. W. Haas, T. J. M a t с о v i c h, H. S. В e 1 s о n, N. Goldberg, Phys. Rev. 132, 1980 (1963).
J. H. Van Vleck, R. Orbach, Phys. Rev. Lett. 11, 65 (1963).
T. Okada, H. Sekizawa, Sh. Iida, J. Phys. Soc. Japan 18, 981 (1963).
Б. E. Рубинштейн, А. Г. Титова, Б. Л. Л ап о в о к, ФТТ 6, 3538 (1964).
F. Hartman-Boutron, J. Appl. Phys. 35, 889 (1964); Cs. Cas. Fys. 17, 387 (1967).
J. D. Holm, A. H. M о г г i s h, J. Appl. Phys. 35, 894 (1964).
H о Y u-ping, Meng Xian-zhen, Sci. Sinica 13, 1057, 1075 (1964).
В. И. Соловьев, А. Г. Гуревич, ФТТ 7, 1761 (1965).
В. L u t h i, Appl. Phys. Lett. 6, 234 (1965).
Б. M. Л e б e д ь, Л. Я. M у x а, В. И. M о с e л ь, А. Г. T и т о в а, ФТТ 8, 1533 (1966)：*
J. H. Judy, J. Appl. Phys. 37, 1328 (1966).
R. C. Le С г a w, E. M. G у a r g y, L. G. V a n U i t e г t, Appl. Phys. Lett. 9, 90 (1966).
J. F. D i 1 1 о n, Jr., J. P. R e m e i k a, L. R. W a 1 k e г, J. Appl. Phys. 38, 2235 (1967).
D. J. Epstein, L. Tocci, Appl. Phys. Lett. 11, 55 (1967).
В. H. Cl arke, Brit. J. Appl. Phys. 18, 727 (1967).
Ch. Kittel, Phys. Rev. 82, 565 (1951).
T.N agamiya, Prog. Theor. Phys. 6, 342 (1951).
T.N a g a m i у a, Prog. Theor. Phys. 11, 309 (1954).
T. Nagamiya, Prog. Theor. Phys. 15, 306 (1956).
F.К e f f e r, Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. 85, 329 (1952).
K.Y о s i d a, Prog. Theor. Phys. 7, 25, 425 (1952).
J.U b b i n k, Phys. Rev. 86, 567 (1952); Physica 19,9,919(1953).
T.N a k a m u г a, Prog. Theor. Phys. 7, 539 (1952).
T.N agamiya, R. Kubo, K. Y о s i d a, Adv. Phys.4,1(1955).
P. W. Anderson, F. R. Merritt, J. P. R e m e i k a, W. A. Y a g e r, Phys. Rev. 93, 717 (1954).
H. К um agai, H. A be, К. О n о, I. Hayashi, J. Shimoda, K. Iwanaga, Phys. Rev. 99, 1116 (1955).
E. А. Туров, H. Г. Гусейнов, ЖЭТФ 38, 1326 (I960).
P. Pincus, Phys. Rev. Lett. 5, 13 (I960).
H. J. F i nk, Phys. Rev. 130, 177 (1963); 133, A1322 (1964).
S. J. Williamson, S. F о n er, Phys. Rev. 136, Al 102 (1964).
41<5. H. J. Fink, D. Shaltiel, Phys. Rev. 139, 627 (1965).
С. В.Миронов, В.И. Ожогин, Е.Г. Рудашевский,В. Г. Шапи- p о, Письма ЖЭТФ 7, 417 (1967).
С. N. Searle, S. Т. Wang, J. Appl. Phys. 39, 1025 (1968).
Р. R. Elliston, G. J. Troup, Proc. Phys. Soc. 1, 169 (1968).
E. Trounson, D. В 1 e i 1, R. W angsness, L. Maxwell, Phys. Rev. 79, 542 (1950).
К. W. H. S t e v e n s, Phys. Rev. 81, 1058 (1951).
T. Okamura, Y. T о г i z u к u, Y. Kojima, Phys. Rev. 82, 285 (1951).
N. Tsuya, Y. Ichikawa, Phys. Rev. 83, 1065 (1950).
J.Ubbink, N. J.Poulis, H. J. Gerritsen, С. J. G о г ter. Phvsica 18, 361 (1952); 19, 928 (1953).
R. K. W a n g s n e s s, Phys. Rev. 89, 142 (1953).
С. J. G о г t e r, Rev. Mod. Phys. 25, 277 (1953).
L. R. Maxwell, T. R. Me G u i г e, Rev. Mod. Phys. 25, 279 (1953).
G. E. G. Hardeman, N. J. P о u 1 i s, Physica 21, 728 (1955).
M. Date, Phys. Rev. 104, 623 (1956); J. Phys. Soc. Japan 12, 1168 (1957); 14, 1244 (1959).
F. M. J о h n s о n, A. H. N e t h e г 1 о t, Phys. Rev. 104, 847 (1956); 114, 705 (1959).
M. Garber, H. J. Gerritsen, Physica 22, 189, 197, 213 (1956).
H. J. Gerrits e n, M. G а г b e r, Physica 22, 481 (1956).
E. D a у h о f f, Phys. Rev. 10 7, 84 (1957).
S. F о n e r, Phys. Rev. 107, 683 (1957); 130, 183 (1963).
E. S. D a у h о f f, J. Appl. Phys. 29, 344 (1958).
Ю. M.C e 口 д о в, A.A. E e p д ы m e в,ФММ7, 298 (1959); 8,147(1959).
Ю. M.С e и д о в, ФММ 7, 443 (1959).
R. С.О h 1 m a n n,M. T i n к h a m,Phys.Rev. 123, 425(1961).
D. H.D о u g 1 a s s,Jr., M. W. P. S t гa w d b e г y, Physica 27, 1(1961).
R. J. J о e n k, Phys. Rev. 126, 565 (1962).
D. T. T e a n e у, M. J. F г e i s e s, R. W. H. S t e v e n s о n, Phys. Rev. Lett 9, 212 (1962).
H. Mori, K. Kawasaki, Prog. Theor. Phys. 28, 971 (1962).
А. С. Боровик-Романов, H. M. К pe йн e с, Л. А. Прозорова ЖЭТФ 45, 64 (1963).
M. А. Савченко, В. Г. Барьяхтар, ФТТ 5, 2747 (1963).
М.J.F г еi s е г, Р. Е. S е i d е n, J. J е а п е у, Phys. Rev. Lett. 10, 293 (1963).
М.Da t е,К. N a g a t а, J. Appl. Phys. 34, 1038(1963).
G.F.H e гг m a n n, J. Phys. Chem. Sol. 24, 597(1963).
H.Mori,Prog, Theor. Phys. 30, 578 (1963).
E. Г. Рудашевский, ЖЭТФ 46, 134 (1964).
И. E. Ч у п и с, ЖЭТФ 46, 307 (1964).
В. И. Ожогин, ЖЭТФ 46, 531 (1964).
А. С. Б о р о в и к-Романов, Л. А. Прозорова, ЖЭТФ 46, 1151 (1964).
Е. Г. Рудашевский, Т. А. Шальникова, ЖЭТФ 47, 886 (1964); Письма ЖЭТФ 4, 57 (1966).
В. Г. Барьяхтар, М. А. Савченко, В. В. Ганн, П. В. Ря б к о ЖЭТФ 47, 1989 (1964).
М. О. Кострюкова, И. Л, Скворцова, ЖЭТФ 47, 2069 (1964).
А. С. Боровик-Романов, Е. Г. Рудашевский, ЖЭТФ 47, 2095 (1964).
Г. М・ Генкин, Н. Голубева, В. М. Цукерни к, ФТТ 6, 818 (1964).
Е. В. Зароченцев, В. А. Попов, ФТТ 6, 2489 (1964).
Л. Л. Б у и ш в и л и, Н. П. Гирогадзе, Г. А. X а р ад з е, ФТТ 6, 2921 (1964).
М.И.К а г а н о в, И. Е. Ч у п и с, Изв, АН СССР,сер.физ.28,741 (1964).
М.А.С а в ч е н к о, ФТТ 6, 864 (1964).
М.А.С а в ч е н к о, В. В. Г а н н, П. В. Ря б к о,УФЖ9,283(1964).
R.Е.Nettleton, Phys. Rev. 135, Al023(1964).
M. A b k о w i t z, A. Honig, Phys. Rev. 136, A1003 (1964).
H. Kamimura, J. Appl. Phys. 35，844 (1964).
P. L. R i c h а г d s, J. Appl. Phys. 35, 850 (1964).
J. С. В u г g i e 1, A. Strandberg, J. Appl. Phys. 35, 852 (1964).
В. Г. Барьяхтар, M. А. Савченко, В. В. Тарасенко, ЖЭТФ 49, 944 (1965).
А. С. Боровик-Романов, В. А. Тулин, Письма ЖЭТФ 1, 18 (1965).
Р. L. R i с h а г d s, Phys. Rev. 138, А1769 (1965).
М. И. Каганов, Р. П. Янкелевич, ЖЭТФ 51, 1703 (1966).
И. М. Ф а р з т д и н о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 938 (1966).
D. Е. D е е m a n, Н. J. F i n k, D. S h а 1 t i е 1, Phys. Rev. 147, 454 (1966).
Р. Н. С о 1 е, W. J. I n с е, Phys. Rev. 150, 377 (1966).
D. E. Eastman, R. J. J о e n k, D. T. T e a n e y, Phys. Rev. Lett. 17, 300
(1966).•
B. L u e t h i, J. Appl. Phys. 37, 999 (1966).
476 W. J. I n с e, J. Appl. Phys. 37, 1132 (1966).
477： J. R. Shane, R. W. К e d z i e, M. К e s t i g i a n, J. Appl. Phys. 37, 1132 (1966).'
D. E. В e e m a n, J. Appl. Phys. 3 7, 1136 (1966).
M. R. D a n i e 1, Phys. Lett. 22, 131 (1966).
о 1 2345678 90 12345678 9 0 12 3 4 5 6 7 8 9 0 12 3 45 67 89^и^^м^^^^8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 99999999 9 oooooooooollll 11吃吃4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 44444444 4 55555555555555 55 55 5555555555
В. И. О ж о г и н, В. Г. Ш а п и p о, Письма ЖЭТФ 6, 467 (1967); ЖЭТФ 54, 9б (1968); 55, 1737 (1968).
J. J. Stickler, S. Kern, A. Wold, G. S. Heller, Phys. Rev. 164 765 (1967).'
D. E. Eastman, M. W. Shafer, J. Appl, Phys. 38, 4 274 (1967).
J. R. S h a n e, D. H. L у о n s, M. К e s t i g i a, J. Appl. Phys. 38, 1280 (1967)
P. H. С о 1 e, Appl. Phys. Lett. 10, 272 (1967).
P. R. Elliston, G. J. Troup, Proc. Phys. Soc. 92, 1040 (1967).
H. Y amazaki, M. Date, J. Phys. Soc. Japan 23, 737 (1967).
M. Motokawa, M. Date, J. Phys. Soc. Japan 23, 1216 (1967).
Д. Богомолов, Ю.Ф. Игонин, Л. А. Прозорова, Ф. С. Русин ЖЭТФ 54, 1069 (1968).'
Л. А. Прозорова, А. С. Боровик-Романов, ЖЭТФ 55, 1727 (1968).
А. С. Боровик-Романов, В. Ф. Мещеряков, Письма ЖЭТФ 8 425 (1968).
А. Я. Бланк, П. С. Кондратенко, Письма ЖЭТФ 8, 103 (1968) Ю. М. Я к о в л е в, ФТТ 10, 1214 (1968).
Ю. М. Яковлев, Ю. Н. Бурдин, ФТТ 10, 1622 В. М. Г е н к и н, Г. М. Г е н к и н, ФТТ 10, 2187 (1968).
Ю. М. Сеидов, М. С. Гасанов, Изв. АН АзССР, I. Н. В а г г у, Phys. Rev. 174, 531 (1968).
F. В. Hagedorn, Е. М. Gyorgy, Phys. Rev. 174,
(1968).
№ 1, 3 (1968).
540 (1968).
I. S. J а с о bs, S. Roberts, S. D. Silverstein, J. Appl. Phys 39 816 (1968).'
А. Г. Гуревич, E. И. Головенчич, В. А. Санина, J. Anni Phvs 3 9, 1023 (1968).''
J. R. Shane, M. Kestigian, J. Appl. Phys. 3 9, 1027 (1968).
J. W. Battles, G. E. Everett, Sol. State Comm. 6, 569 .,(1968).
M. Date, M. Motokano, J. Phys. Soc. Japan, 22, 165 (1968).
K. Katsumoto, M. Date, J. Phys. Soc. Japan 22, 751 (1968).
J. A. E w i n g, Proc. Roy. Soc. A46, 269 (1889).
J. W. R а у 1 e i g h, Phil. Mag. (5), 23, 225 (1887).
Б.
P.
P.
P.
A.
B.
B.
B.
P. В.
P. В. P.-В. P. в.
Введенский, ЖРФХО, часть физ. 55, 1 (1923). Телеснин, ЖЭТФ 7, 117 (1937).
Телеснин, Телеснин, Телеснин, Телеснин, Телеснин, Телеснин,
ДАН СССР 20, 649 (1938).
J. Phys. USSR 5, 213 (1941).
ДАН СССР 59, 887 (1948).
Вестник МГУ № 11, 111 (1948).
ЖЭТФ 19, 970 (1949).
Л. О. Р у д а я, М. И. Ч у л к о в а, Вестник МГУ 1, 117
(1947).
P. В. Телеснин, E.①.Курицына, ДАН СССР 75, 797 (1950).
А. В. Миткевич, Электричество, № 10 (1933); ДАН СССР 1 53 H934V 3 36, 426 (1934); 2, 25 (1935).‘
G. Richter, Ann. der Phys. 29, 605 (1937).
J. H. Philips, J. C. Woolley, R. Street, Proc. Phys. Soc. B68. 345 (1955).
L. Alber ts, W.-P. van R у ne veld, P. E. Vi 1 j oen, Nuov. cim. 32, 64 (1964) J. L. S n о e k, Physica 5, 663 (1938); 6, 161 (1939). ' -С. Горский, Phys. Zs. UdSSR 8, 457 (1935).
L. S n о e k, Physica 15, 214 (1949).
J.
528.
529.
530.
531.
532.
533.
534.
535.
В.
Р.
S.亠
J. Kranz, Zs. Phys. 139, 619 (1954).
О. Y a m a d a, Zs. Phys. 142, 225 (1955).
О. Y a m a d a, H. D. Hahlbohm, Zs. angew. Phys. 8, 205 (1956).
A. J. В о s m a n, P. E. В г о m m e г, H. J. van D a a 1, G. W. R a t h e n я n Physica 23, 989, 1001 (1957).'
G. W. R athenau, J. Appl. Phys. 2 9, 239 (1958).
K. Tsushima, M. A s о n a m o, S. Miyahara, J. Phys. Soc. Janan 14 1253 (1959).p '
И. Янус, В. И. Дрожжина, ЖТФ 9, 1960 (1939).
Maeda, J. Phys. Soc. J apan 7, 369 (1952).
Kranz, Zs. Phys.
C. Kuroda, J. Phys. Soc. Japan 15, 1898 (I960).
E. В althesen, Phys. stat. sol. 3, 2321 (1963).
~w i t a 1 s к i, Acta phys. Polon. 25, 155 (1964).
i, 249 (1965).
E. Klugmann, Z. Roz
E. A d 1 e r, Zs. Metallkde !
E. Adler, Ch. R a d e 1 о
Ю. В. П и г у з о в, В. Д.]
6 7 8
3 3 3
5 5 5
f, Zs. angew. Phys. 18, 482 (1965).
一ернер, В. Г. Оленичева, ФММ 24, 1136
(1967).
J. W. Moron, J. R a s е k, Acta phys. Polon. 33, 899 (1968).
Н. D. D i е t z е, Phys. Stat. Sol. 3, 2309 (1963).
P. И. Я н у с, Я. С. Ш у p, В. В. Д p у ж и н и н, A- M. В ь ю x и н а, ЖТФ 17
901234567890 1 23456789 о и 2 345 6 7 8 9012345 6 7 89.0 12 3 4 5 67 8344444444445 5 55555555 6而6666 666 6777777 777788888 888 8555555555555 5 55555555 555555 5 5 5 5555555 555555555 555 5901234567890 1 23456789 о и 2 345 6 7 8 9012345 6 7 89.0 12 3 4 5 67 8344444444445 5 55555555 6而6666 666 6777777 777788888 888 8555555555555 5 55555555 555555 5 5 5 5555555 555555555 555 5985985
901234567890 1 23456789 о и 2 345 6 7 8 9012345 6 7 89.0 12 3 4 5 67 8
344444444445 5 55555555 6而6666 666 6777777 777788888 888 8
555555555555 5 55555555 555555 5 5 5 5555555 555555555 555 5
901234567890 1 23456789 о и 2 345 6 7 8 9012345 6 7 89.0 12 3 4 5 67 8
344444444445 5 55555555 6而6666 666 6777777 777788888 888 8
555555555555 5 55555555 555555 5 5 5 5555555 555555555 555 5
9
8
5
9
8
5
S. Krupicka, Чехосл. Физ. Журн. 7, 769 (1957).
S. Krupicka, Чехосл. Физ. Ж урн. 11, 457 (1961).
S. Krupicka, F. V i 1 i m, Чехосл. Физ. Журн. 7, 723 (1957).
S. К г и р i с а, К. Z а V ё t a, J. Appl. Phys. 3 9, 930 (1968).
F. Pliquett, Ann. de phys. 7, 211 (1961).
A. Braginski, Phys. stat. sol. 11, 603 (1965).
T. Akashi, T. Okada, J. Phys. Soc. Japan 16, 1641 (1961).
P. В. Телеснин, К. T. Макаров, ФММ 20, 349 (1965).
Th. Мегсегоп, Ann. de phys. 10, 121 (1965).
Л. Б. Розенбаум, ФТТ 8, 2197 (1966).
К. М. Большова, Т. Б. Андреева, ФТТ 8, 2313 (1966).
R. Street, I. С. Woolley, Proc. Phys. Soc. A62, 562, 743 (1949); A63, 509 (1950).
R. Street, J. C. Woolley, P. B. Smith, Proc. Phys. Soc. B65, 461, 679 (1952).
H. Булгаков, E. И. Кондорский, ДАН СССР 6 9, 325 (1949).
H. Булгаков, ДАН СССР 69, 627 (1949).
J. Н. Phillips, R. Street, I. С. Woolley, Phil. Mag. 45, 505 (1954).
Я. С. Шур, Н. А. Баранова, ДАН СССР 74, 225 (1950).
Р. В. Т е л е с н и н, Вестник МГУ № 10, 33 (1950).
Т. Т а о k a, J. Phys. Soc. Japan 11, 537 (1956).
Р. В. Телеснин, Е. Ф. Курицына, ДАН СССР 84, 477 (1952).
Е. Ф. К у р и ц ы н а, ДАН СССР 弘,％5, 687 (1952); Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 471 (1952).
Р. В. Телеснин, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 465 (1952).
А. Н. Р е м и з о в, ДАН СССР 104, 389 (1955).
Ю. С. В а й л ь, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1281 (1957).
Р. Brissonneau, Compt. rend. 244, 868, 1174, 1341 (1957).
М. V. К 1 е i n, Phys. stat. sol. 2, 881 (1952).
В i о г c i, A. Ferro, G. Montalent i, J. Appl. Phys. 31, 212 (I960); 32, 630 (1961); Phys. Rev. 119, 653 (I960).
L. N 6 e 1、Ann. geophys. 5, 99 (1949); Compt. rend. 228, 1210 (1949); 224, 2441 (1957); J. phys. rad. 11, 49 (1950); 12, 339 (1951).
P. Brissonneau, J. Appl. Phys. 29, 249 (1958); J. Phys. Chem. Sol. 7, 22 (1958); J. phys. rad. 19, 490 (1958).
J. С. В ar bi er, Compt. rend. 230, 1040 (1950); 234, 415 (1952); 252, 79 (1961);
J. phys. rad. 12, 352 (1951); Ann. de phys. 9, 84 (1954).
D. Pescetti, J. С. В а г b i e г, Compt. rend. 243, 1740 (1966).
L. Lliboutry, Compt. rend. 230, 1042 (1950); Ann. de phys. 6, 731 (1951).
L e i n h о s, Phys. stat. sol. 7, 905 (1964).
J. Bosman, P. E. В г о m m e r, Physica 23, 1001 (1957).
J. К г i n g s, Phys. stat. sol. 24, 163 (1967).
R. M. Rusnak, B. D. C u 1 1 i t у, J. Appl. Phys. 3 9, 984 (1968).
A.J.Bosman,P.E.Brommer, L. С. H. Eijkelenboom, C. J.Schin- k e 1, G. W. R a t h e n a u, Physica 26, 553 (I960).
В i о г c i, A. Ferro, G. Montalent i, J. Appl. Phys. 30, 1732 (1959).
В i t t e 1, J. Westerboer, Ann. der Phys. 4, 201 (1959).
P. Moser, D. Dautreppe, J. de phys. 24, 516 (1963)
A. Seeger, F. Walz, H. Kronmiiller, J. Appl. Phys. 38, 1312 (1967).
W a 1 z, Phys. Stat. Sol. 29, 245 (1968).
P. P e г e t t о, P. Moser, D. Dautreppe, Compt. rend. 258, 499 (1964).
К. П. Белов, С. А. Никитин, К. Г. Гуртовой, ЖЭТФ 55, 157 (1968).
М. L a m b е с k, J. Appl. Phys. 39, 741 (1968).
W. R a t h e n a u, Сб. «Магнитные свойства металлов и сплавов», перевод с англ., ИЛ, М.} 1961, стр. 226.
Е. Kratochvilova, Чехосл. Физ,出урн. 15, 901 (1965).
J.E. Knowles, А. В г о е s е, van G i а е п о n, Phys. stat. sol. 14, 91 (1966).
Kronmiiller, Н. Е. Schaefer, Н. Rieger, Phys. stat. sol. 9, 863 (1965).
Kronmiiller, C6. «Modern Probleme der Metallphysik», Bd. 2, hsg. A. Seeger, Springer-Verlag, 1966, S. 24.
Я. А. Моносов, Нелинейный ферромагнитный резонанс, изд. «Наука», М., 1971.
М. М. Фарзтдинов, Е. А. Туров, ФММ 29, 458 (1970); Е. А. Туров, М. М. Фарзтдинов, ФММ 30, 1064 (1970).
S. Р. Н е i m s, Е. Т. J о у n е s, Rev. Mod. Phys. 34, 143 (1962).
Глава 25
ВЛИЯНИЕ АТОМНОГО МАГНИТНОГО ПОРЯДКАНА НЕМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА )
Существование самопроизвольной намагниченности Is в ферромагнетиках проявляется, как уже отмечалось выше, не только в их своеобразном магнитном поведении. Вообще все их свойства благодаря наличию 18 в той или иной степени отличаются от свойств неферромагнитных тел. Существенно, что все эти особенности проявляются независимо от внешнего магнитного состояния ферромагнетика (т. е. имеют место как в размагниченном, так и в намагниченном состояниях). Здесь будут рассмотрены ферромагнитные аномалии тепловых, механических, электрических, гальваномагнитных и оптических свойств.
§ 1. Тепловые свойства
Изменения тепловой энергии, сопровождающие процессы намагничивания и перемагничивания ферромагнетиков, могут быть обратимыми и необратимыми.
Магнетокалорический эффект. Из общих термодинамических соображений следует, что в ферромагнетике при адиабатическом намагничивании имеет место обратимое изменение температуры — магнетокалорический эффект (см. гл. 18). Этот эффект открыли Вейсс и Пиккар [3] (см. также [4]). Формулу (18.15) можно обобщить, если учесть эффект магнитной анизотропии. Свободная энергия последней для кубических кристаллов, согласно (23.15), дает для энтропии выражение
&ннз=—(^^)н= —(嶽)н£*峨(i,k = X, у, Z).(25.1)
С другой стороны, изменение энтропии определяется равенством
=(25.2)
Поэтому, выбирая за независимые переменные Я, р, аг для сильных полей (где I Д) из (25.1) и (25.2) находим
А7 = -* 傷)Н S+ 费(甞)н А X 威峨=Д^ + ДТ'аниз.
(25.3)
О величине АТо, речь уже шла в гл. 18. Величину же АТаниз предсказали и обнаружили Акулов и Киренский [5]. Они исследовали изменение температуры монокристаллического диска ферромагнетика при его вращении в сильном постоянном магнитном поле в области* низких температур (где практически отсутствует парапроцесс). На рис. 25.1 приведены результаты их измерений АТаниз на монокристалле никеля. Вонсов- ский [6] предсказал возможность наблюдения изменения величины теплоемкости при различных ориентациях намагниченности в ферромагнитных
Рис. 25.1. Кривая, характеризующая анизотропию магнетокалорического эффекта А「аниз в монокристалле Ni. Угол ср, определяющий направление постоянного магнитного поля отсчитываемый в плоскости (110) (Акулов и Киренский [5]).Рис. 25.1. Кривая, характеризующая анизотропию магнетокалорического эффекта А「аниз в монокристалле Ni. Угол ср, определяющий направление постоянного магнитного поля отсчитываемый в плоскости (110) (Акулов и Киренский [5]).монокристаллах из-за слагаемого типа (25.1) в энтропии. В области температур порядка 100° К оценка разности теплоемкостей, измеренных в монокристаллах при его намагничивании до насыщения вдоль гексагональной оси и в плоскости базиса дает
Рис. 25.1. Кривая, характеризующая анизотропию магнетокалорического эффекта А「аниз в монокристалле Ni. Угол ср, определяющий направление постоянного магнитного поля отсчитываемый в плоскости (110) (Акулов и Киренский [5]).
Рис. 25.1. Кривая, характеризующая анизотропию магнетокалорического эффекта А「аниз в монокристалле Ni. Угол ср, определяющий направление постоянного магнитного поля отсчитываемый в плоскости (110) (Акулов и Киренский [5]).
(AG, н)аниз Ю4 —105 эрг/г-град.
Полное значение удельной теплоемкости Со при этой температуре равно 106—107 зра/з град. Таким образом, речь идет об отклонениях порядка 10%, что вполне возможно заметить на опыте. Однако до сих пор подобные измерения не проводились.
Необратимое выделение тепла при перемагничивании ферромагнетика. Большое количество исследований, начиная с работы Варбурга [7], посвящено изучению необратимых изменений тепла Qtm вызванных гистерезисом при перемагничивании ферромагнетиков *). Ве
личина 0订丁 (в эргах) определяется площадью петли гистерезиса
QiTT = ^HdI.(25.4)
Опыты позволили разделить наблюдаемый суммарный тепловой эффект на две части: 1) необратимую — связанную с необратимыми процессами смещения, и 2) обратимую —— связанную с обратимыми процессами вращения.
Магни т острикци я и магни то упруги е свойства ферромагнетиков
Эффекты Виллари и Джоуля. Из опыта известно, что кривые намагничивания могут очень резко изменять свою форму, если ферромагнетик подвергнут действию внешних напряжений (эффект Виллари [9]).
В 68-пермаллое (рис. 25.2) одностороннее растяжение увеличивает проницаемость в слабых полях и приводит к более быстрому достижению магнитного насыщения, чем в нерастянутом образце. В Ni (рис. 25.3) такое растяжение производит обратное действие. В Fe растяжение увеличивает проницаемость в слабых полях и уменьшает ее в более сильных (рис. 25.4). Такая зависимость формы кривых намагничивания ферромагнетиков от внешних напряжений есть следствие магнитострикции (эффекта Джоуля [10]). Общее термодинамическое описание явления магнитострикции уже было дано выше [см. формулы (23.14) — (23.20)]. Здесь лишь заметим, что магнитострикция в ферро- и антиферромагнетике может быть обусловлена как обменным взаимодействием, так и магнитными силами. Изотропное обменное взаимодействие зависит только от абсолютной величины намагниченности. Поэтому «обменная» магнитострикция может быть связана лишь с изменением величины /5-во внешнем магнитном поле при парапроцессе. Хотя этот эффект и слабый, но поскольку обменная энергия велика по сравнению с энергией анизотропии, то оба эффекта магнитострикции ——обменный и магнитный —— могут быть одного порядка. В частности, в одноосных (гексагональных) кристаллах (с &ф巾 ~ Ю7 эрг/сл^) заметный магнитный эффект возникает в полях Н (玄зфф/71) I (107/106) I 10/, а парапроцесс становится существенным в полях ^4л/, т. е. обе области полей совпадают. В куби-
Рис. 25.2. Влияние одностороннего упругого расстяжения о на кривую намагничивания 68-перемаллоя-[см. Бозорт (1956)].Рис. 25.2. Влияние одностороннего упругого расстяжения о на кривую намагничивания 68-перемаллоя-[см. Бозорт (1956)].В, касВ, кас4^4^Рис. 25.4. Влияние одностороннего упругого растяжения (о>0) на кривую намагничивания Fe (магнитострикция меняет знак с ростом поля) [см. Бозорт (1956)].Рис. 25.4. Влияние одностороннего упругого растяжения (о>0) на кривую намагничивания Fe (магнитострикция меняет знак с ростом поля) [см. Бозорт (1956)].[14] разработали схему[14] разработали схему
Рис. 25.2. Влияние одностороннего упругого расстяжения о на кривую намагничивания 68-перемаллоя-[см. Бозорт (1956)].
Рис. 25.2. Влияние одностороннего упругого расстяжения о на кривую намагничивания 68-перемаллоя-[см. Бозорт (1956)].
В, кас
В, кас
4^
4^
Рис. 25.4. Влияние одностороннего упругого растяжения (о>0) на кривую намагничивания Fe (магнитострикция меняет знак с ростом поля) [см. Бозорт (1956)].
Рис. 25.4. Влияние одностороннего упругого растяжения (о>0) на кривую намагничивания Fe (магнитострикция меняет знак с ростом поля) [см. Бозорт (1956)].
[14] разработали схему
[14] разработали схему
ческих кристаллах, где анизотропия на 1—2 порядка меньше, магнитострикция играет заметную роль в более слабых полях, где изменением абсолютной величины Is с полем можно практически пренебречь.
Н、з
Рис. 25.3. Влияние одностороннего упругого растяжения (о=2 кг/мм2) и сжатия (ст — —0,65 кг/мм2) на кривую намагничивания никеля [см. Бозорт (1956)].
Кривые линейной самопроизвольной магнитострикции. Акулов [11] первый дал микроскопическое квазиклассическое объяснение явлению магнитострикции. При охлаждении ферромагнетика ниже точки Кюри в нем возникают самопроизвольные деформации (самопроизвольная магнитострикция)^ связанные с появлением самопроизвольной намагниченности ,изменяющей условия равновесия между узлами кристаллической решетки [12]. Магнитострикционные деформации происходят в каждом домене. Они анизотропны и, например, в кубических кристаллах характеризуются в первом приближении двумя постоянными 九io。и Хш [см. (23.17)]. В ненамагничен- ном ферромагнитном кристалле самопроизвольная магнитострикция обнаруживается лишь при процессах технического намагничивания.
Кривые магнитострикции (рис. 25.5) дают изменение длины ферромагнетика вдоль направления намагничивающего поля при изменении в нем распределения самопроизвольной намагниченности. В области процесса вращения закон анизотропии Акулова (23.17), позволяет рассчитать эти кривые.
В области слабых полей, где основную роль играют процессы смещения границ доменов, расчет кривых магнитострикции представляет большие трудности. Акулов [13] и Гейзенберг
статистического расчета (статистику доменов) изменений концентраций различных магнитных фаз, которую они применили к расчету кривых магнитострикции. Этот метод развили далее Акулов и Ковдорский [151, учтя влияние внешних упругих напряжений ), а также объяснили ано-
малии упругих свойств ферромагнитных кристаллов *): явление меха- нострикции **) и \Е-эффект.
Акулов, Мазин и Фельдштейн [19] развили теорию магнитной анизотропии модуля Юнга в ферромагнитных монокристаллах, вызванную
Рис. 25.5. Кривые линейной магнитострикции поликристаллических образцов 68-пермаллоя, Fe и Ni [см. Вонсовский (1953)].
механострикциеи.
Владимирский [20] на основе статистического метода произвел более точный математический расчет кривых магнитострикции поликристаллов. (См. также работы [21-27].)
Для магнитострикции ферромагнетиков имеет место также явление гистерезиса. На рис. 25.6 приведена типичная петля гистерезиса для магнитострикции никеля [27]. Это явление впервые обнаружил Розинг [28].
3. Анизотропия магнитострикции на-
сыщения. Наряду с кривыми
стрикции представляет мость магнитострикции направления вектора Zs На рис. 25.7 приведено тической кривой Xs (ф),
интерес
магнито- зависи-
насыщения Xs от в монокристалле, сравнение теоре- рассчитанной по
Дёринг (1939) или Вонсовский
формуле (23.17) с двумя постоянными (Хюо и Хш), а также и по более точной формуле с четырьмя постоянными [см. Беккер и и Шур (1948)], с опытными данными для
монокристалла Ni при намагничивании в плоскости (100), по данным
Машияма [29]. Для исключения самопроизвольной намагниченности данные приведены для разности одновременно измеренных продольной и поперечной магнитострикции. Совпадение получается очень хорошим. Титов [30] произвел аналогичное сравнение для монокристаллов Fe. Расчет шести констант магнитострикции Fe проведен в работе [31], см. также работы [32, 119—125].
4. Зависимость от температуры и химического состава. Константы магнитострикции, так же как и константы магнитной анизотропии, весьма сильно зависят от температуры. Согласно квазиклассическому
влияния начального распределения
Рис. 25.6. Петля гистерезиса магнитострикции N (Шур (27]).
расчету Акулова [11]и Беккера [33] константы магнитострикции должны зависеть от температуры как Л. Однако в ряде случаев (см. [34—50]) опыт не подтверждает такой простой зависимости. Квантовый расчет Вонсовского [12] для области средних и относительно высоких температур дает более сложную зависимость Xs (7), качественно подтверждаемую опытом. Этот вопрос был рассмотрен и в работах Зинера [51], Турова и Мицека [52]. Квантовая теория магнитострикции для области низких температур была
*) Экспериментально проверку дал Бычков [см. Акулов (1939)].
**) Под механострикцией понимается дополнительная упругая деформация, возникающая в ферро- и ферримагнитных телах при наложении механических напряжений. Д.Е'-эффект — изменение модуля упругости этих тел при помещении их в маг-
нитное поле.
вая, вычисленная по формуле с четырьвая, вычисленная по формуле с четырьмя постоянными; з — то же с двумя постоянными (入〔о。и 入т); 4 — то же с одной константой A1s (анизотропия отсутствует) [Беккер и Дёринг (1939)].мя постоянными; з — то же с двумя постоянными (入〔о。и 入т); 4 — то же с одной константой A1s (анизотропия отсутствует) [Беккер и Дёринг (1939)].Содержание M,&wZСодержание M,&wZРис. 25.8. Зависимость констант маг-нитострикции Хюо и Xin от составасплава в системе Fe — Ni [Беккери Дёринг (1939)].Рис. 25.8. Зависимость констант маг-нитострикции Хюо и Xin от составасплава в системе Fe — Ni [Беккери Дёринг (1939)].
вая, вычисленная по формуле с четырь
вая, вычисленная по формуле с четырь
мя постоянными; з — то же с двумя постоянными (入〔о。и 入т); 4 — то же с одной константой A1s (анизотропия отсутствует) [Беккер и Дёринг (1939)].
мя постоянными; з — то же с двумя постоянными (入〔о。и 入т); 4 — то же с одной константой A1s (анизотропия отсутствует) [Беккер и Дёринг (1939)].
Содержание M,&wZ
Содержание M,&wZ
Рис. 25.8. Зависимость констант маг-нитострикции Хюо и Xin от составасплава в системе Fe — Ni [Беккери Дёринг (1939)].
Рис. 25.8. Зависимость констант маг-нитострикции Хюо и Xin от составасплава в системе Fe — Ni [Беккери Дёринг (1939)].
предложена в работах Гусева [53] (см. также работы [54—58] и обзор Канамори [59]). В работе Г. Каллена и Э. Каллена [56] делается попытка
объяснить наблюдаемый на опыте максимум постоянной Xi оо У Fe ниже точки Кюри путем учета эллиптичности в законе дисперсии ферромагнонов, приводящей к уменьшению свободной энергии ферромагнитного кристалла при его деформации.
Константы магнитострикции ферромагнитных сплавов весьма сложно зависят от состава. (См. работу Карра [60], а также работы [61—72].) На рис. 25.8 приведена такая зависимость от состава для констант 九io。 и 4m в сплавах системы Fe ——Ni. Из рис.г25.8 видно, что правило простой аддитивности в этом случае не выполняется. Квантовый расчет [12] позволяет в принципе получить зависимость констант 九$ от состава и степени порядка сплава. В первом приближении для неупорядоченных сплавов получается квадратичная зависимость от концентрации компонент. Теорию магнитострикции в сплавах Ni в рамках зонной теории й-ме- таллов развил Бергер [73]. Зависимость констант магнитострикции от степени порядка в бинарных ферромагнитных сплавах системы Fe ——Со (45 и 50% Со) экспериментально определили Гольдман и Смолуховский [74], давшие и
классическую теорию наблюдаемого эффекта (см. также [75—77]).
Влияние упорядочения на константы магнитострикции обнаружено также в сплавах системы Fe — Si при составах 11 ат. % Si и в сплавах Fe — Ni
и Fe — Al (составов FeNi3 и Fe3Al) [78, 79], а также в сплавах Ni — Мп [80]. Однако эти исследования носили весьма пр ед в арител ьный и неполный характер. В них измеряются константы 九$ лишь для закаленных и отожженных образцов, т. е. для неупорядоченного и полностью упорядоченного состояний; состояния частичного упорядочения не исследовались.
Акулов, Ализаде и Белов [81] (см. также [82, 83]) исследовали магнитострикцию в бинарных системах Fe ——Pt, Fe ——Pd, Ni — Pd, Ni — Mn, Ni — Sb в зависимости от состава сплавов. Было обнаружено [64], что при 54% Pt и 46% Fe магнитострикция насыщения достигает весьма больших значений (Xs 5 «10-5). Рост степени порядка в сплаве еще больше увеличивает значения Xs. Кривые зависимости Xs от состава сплава качественно описываются
формулами работы [12].
Связь с магнитной текстурой# Шур и Хохлов [84] (см. также Вон- совский и Шур (1948)) впервые указали на важность исследования кривых магнитострикции для определения магнитной текстуры ферромагнетиков.
Эти кривые являются одним из наиболее чувствительных индикаторов распределения концентрации магнитных фаз в ферромагнетике. Действительно, например, если материал полностью магнитно текстурован, т. е. в нем имеются всего лишь две магнитные фазы (антипараллельно намагниченные), то магнитострикция отсутствует [кривая X (_ff), снятая вдоль направления /, совпадает с осью абсцисс]. Наоборот, для перпендикуляркого направления магнитострикция максимальна и равна Xs. Таким образом, величина Xs, в отличие от /$, существенно зависит от распределения намагниченности в исходном состоянии ферромагнитного образца. Исследование этого вопроса проведено в работе Шура и Дунаева [85]. Связь кривых магнитострикции с доменной структурой для монокристаллов Fe ——Si детально исследовалась в работе Зайковой и Шура [86]. В работах Булычевой и др. [87—89] показана возможность получения высокой магнитострикции за счет создания в сплаве системы Fe ——Al соответствующей кристаллографической текстуры.
Приближение к насыщению кривых магнитострикции в ферромагнитных моно- и поликристаллах исследовал Дьяков [90, 91]. Он учел также влияние диффузных напряжений^ См. также работы [92, 93].
Расчет кривых магнитострикции труднее, чем кривых намагничивания по той причине, что сама магнитострикция насыщения Xs ——структурно чувствительная величина. Этот вопрос рассмотрен Ли [94], и особенно Зайковой и Шуром [95]; они выяснили физический механизм зависимости кривых магнитострикции от состояния кристаллической структуры на примере кристаллов Fe — Si (3% Si).
Объемная магнитострикция. Кроме линейной магнитострикции в ферромагнетиках наблюдается также объемная магнитострикция (изменение объема при намагничивании). Как и линейная магнитострикция, этот эффект имеет место и при истинном и при техническом намагничивании ферромагнетиков. Как показал теоретически Беккер [96] и подтвердил на опыте Корнецкий [97], объемная магнитострикция зависит от формы намагничиваемого ферромагнитного образца. Подробное теоретическое исследование объемной магнитострикции дал Симоненко [98], который, используя формулу Акулова (23.17), без добавочных предположений, вводимых в [96], определил ход объемной магнитострикции для всей кривой намагничивания. Объемную магнитострикцию Fe и Fe — Si исследовали Дунаев й Калинин [99], см. также [100—112]. Спонтанную магнитострикцию-термострикцию при низких температурах рассчитали Туров и Мицек [52]; [см. также Туров (1963)].
Магнитострикция парапроцесса. В области больших полей, когда становится заметной истинная намагниченность (парапроцесс), возникает истинная магнитострикция, обусловленная тем, что под действием внешнего магнитного поля устанавливается параллельная ориентация атомных магнитных моментов, изменяющая условия равновесия между узлами кристаллической решетки и тем самым приводящая к магнитострикционным деформациям. Более подробно этот вопрос рассмотрен в обзоре Карра [60], а также в работах [113—118].
В ряде ферромагнитных сплавов истинная магнитострикция парапроцесса имеет аномально большое значение даже при низких температурах (вдали от точки Кюри) [126]. Эти ферромагнитные сплавы относятся к группе так называемых инварных сплавов. Подробное изучение магнитострикции этих сплавов в области парапроцесса произвел Белов [127] [см. также Белов (1957)]. Из термодинамических соображений легко показать [см. Вонсовский и Шур (1948)], что
迫 (25 5)
)p, £ \ др /Н, T S \ df ) 3 Hdp ，•
Из (25.5) видно, что магнитострикция парапроцесса определяется вели-
чиной dlJdT, а также зависимостью точки Кюри 0 от давления р или, иными словами, в силу формулы (18.6), зависимостью интеграла обмена от межатомных расстояний. Белов (1957), анализируя опытные данные для сплавов системы Fe ——Ni и Fe ——Ni ——Со, а также результаты собственных измерений для сплавов системы Fe — Pt и Fe — Ni — Cr, пришел к выводу, что причиной высокой магнитострикции ©тих сплавов является аномально большая величина dQIdp, т. е. резкая зависимость интеграла обмена от постоянной решетки. То, что величина (。/丿。？)^, н в (25.5) не играет существенной роли, подтверждается опытами Белова по измерению магнитострикции парапроцесса в сплавах Fe — Си с низкой точкой Кюри. В этих сплавах была найдена нормальная небольшая магнитострикция парапроцесса, несмотря на то, что точка Кюри у них лежит в области 100° С. Наоборот, сплавы Fe — Ni (40—55 ат. % Ni) имеют точки Кюри более высокие, чем у Ni, и тем не менее они обладают большой магнитострикцией парапроцесса, тогда как у чистого Ni она ничтожная. Неясно, почему в инварных сплавах величина д®!др оказывается аномально большой. В связи с этим Белов (1957) обращает внимание на то, что составы этих сплавов всегда расположены на диаграмме состояний вблизи границы между а- и у-фазами (а 甘 丫), протекающих с большим температурным гистерезисом и имеющим у-решетку.
Магнитострикция редкоземельных металлов и ферритов. В последнее время начали уделять внимание изучению магнитострикции редкоземельных металлов (РЗМ). В них магнитострикция может достигать больших величин (AZ/Z ^ 10"3), а ее анизотропия и температурный ход имеют сложный характер, обусловленный большой спин-орбитальной связью, неколлинеарной магнитной структурой и анизотропией магнитного и обменного взаимодействия. Наиболее подробно изучена магнитострикция Dy и Gd. Поликристаллы Dy исследовались в работах [128—— 131], а монокристаллы —— в работах [132—134], поликристаллы Gd — в работах [135, 128], а монокристаллы — в работах [135—139]. Магнитострикция других РЗМ изучена менее подробно: поликристаллы ТЬ исследованы в работах [128, 140], а монокристаллы ——в работе [141]; поликристаллы Но исследовал Никитин [140], а монокристаллы ——Лег- волд и др. [132]. Более подробно см. Белов и др. (1965), а также работы [142, 143]. Сильная связь магнитных моментов 4/-слоя с решеткой обусловливает резкую зависимость упругих констант и скорости звука РЗМ от намагниченности [739].
Не меньшее внимание начинают уделять исследованию магнитострикции ферритов, как со структурой шпинели, так и граната. Сведения по этому вопросу читатель может найти в монографиях Белова (1957) и Белова и др. (1965), а также в работах [144—149] по шпинелям и [ISO- 161] по гранатам.
Теория магнитострикции ферритов и РЗМ также развивалась в целом ряде исследований (см. обзор Канамори [59]). Выше в гл. 10 и 23 при обсуждении вопроса об энергии магнитной анизотропии речь шла как о парных спин-орбитальных и спин-спиновых анизотропных (и обменных) взаимодействиях, так и об одноионной энергии. Для учета магнето упругих явлений в том числе и магнитострикции, необходимо вычислить первые производные различных энергий по компонентам тензора упругих деформаций 分『：д/дехх = хд/дх и т. д. и д/деху = (1/2) (уд/дх — хд/ду) и т. д., где /, у, z означают компоненты расстояния между заданной парой (ближайших) ионов. Как уже упоминалось выше, в классическом варианте этот расчет провели Акулов [И] и Беккер [33], а в квантовом ——Вонсовский [12] и другие. Для ферритов этот расчет провели Тцуя [162] и Слонщевский [163]. Теория магнито упругой связи была разработана Э. Калленом и Г. Калленом в общем случае для кубических кристаллов [56], а также для Fe и иттриевого граната (УIG), они же обобщили эту теорию и на случай кристаллов произвольной симметрии.
Представляют интерес также исследования магнитострикции тонких пленок [178—180].
Влияние растяжения на точку Кюри и намагниченность насыщения. Систематическое изучение смещения точки Кюри и влияния растяжения на намагниченность насыщения ферромагнитных сплавов предпринял Белов (1957). Он впервые обнаружил изменение намагниченности насы
щения при упругом одноосном растяжении, а также нашел в соответствии с термодинамической формулой (25.5), что величина {dis/dp)H, т
Рис. 25.9. Температурная зависимость отношения изменения самопроизвольной намагниченности Ais к величине вызвавшего это изменение одностороннего напряжения р в Ni, сплаве Fe — Ni (инвар), Ni — Си и Fe — Pt [Белов (1957)]. Содержание компонентов дано в ат.%.Рис. 25.9. Температурная зависимость отношения изменения самопроизвольной намагниченности Ais к величине вызвавшего это изменение одностороннего напряжения р в Ni, сплаве Fe — Ni (инвар), Ni — Си и Fe — Pt [Белов (1957)]. Содержание компонентов дано в ат.%.имеет аномально большое значение как раз в тех ферромагнитных сплавах, которые обладают большой магнитострикцией парапроцесса. На рис. 25.9 приведены данные измерений Белова (1957) для двух сплавов инварной группы (Fe — Pt, 44% Fe; Fe — Ni, 36% Ni), а также для сплавов системы Ni — Си (80% Ni) и для чистого Ni. В последних двух случаях, как видно из кривых рис. 25.9, изменение /§ с растяжением исчезающе мало и может быть обнаружено лишь в непосредственной близости к точке Кюри, где достаточно велика производная dIJdT [см. (25.5)].
Рис. 25.9. Температурная зависимость отношения изменения самопроизвольной намагниченности Ais к величине вызвавшего это изменение одностороннего напряжения р в Ni, сплаве Fe — Ni (инвар), Ni — Си и Fe — Pt [Белов (1957)]. Содержание компонентов дано в ат.%.
Рис. 25.9. Температурная зависимость отношения изменения самопроизвольной намагниченности Ais к величине вызвавшего это изменение одностороннего напряжения р в Ni, сплаве Fe — Ni (инвар), Ni — Си и Fe — Pt [Белов (1957)]. Содержание компонентов дано в ат.%.
Белов (1957) (см. также [164]) впервые отчетливо показал, что все
имевшиеся попытки определить на опыте смещение точки Кюри под влиянием всестороннего давления или одностороннего растяжения [165] не дали достоверных результатов из-за неудачного выбора объектов исследования. Обычно исследовались Ni и сплавы системы Ni ——Си, обладающие ничтожной магнитострикцией парапроцесса. Белов [164] показал, что только в сплавах инварного типа можно ожидать большие на порядок величины значения для д@/др. Так, например, если в Ni эта величина составляет 1,47 *10-4 град *сж2/кг2, то в инварном сплаве системы Fe — Со — Ni (31 % Ni, 5% Со) она равна + 16,8 ИО-4 град *сж2/кг2. Опыт показал, что в РЗМ эффект всестороннего
давления на точку Кюри имеет большое значение, что, по-видимому, связано с резкой зависимостью обменного взаимодействия от межатомных расстояний в этих кристаллах вдоль гексагональной оси [подробнее см. работу Лиу [166] и книгу Белова и др. (1965)]. Имеются также исследования по влиянию упругих и пластических напряжений на магнитострикцию ферромагнетиков (см. работы [167—169], а также гл. 18, § 3, п. 1 и 2).
Аномалия теплового расширения. Существование самопроизволь
ной магнитострикции проявляется также в аномалиях теплового расширения ферромагнетиков. Ферромагнетики с отрицательной магнитострикцией имеют несколько меньпше размеры ниже точки Кюри, а с положительной ——большие, чем это соответствует обычному тепловому расширению. Вблизи точки Кюри, где исчезает самопроизвольная намагниченность и сопровождающая ее самопроизвольная деформация, с повышением
температуры уменьшение результирующего расширения уменьшается (при 九 > 0) или увеличивается (при X < 0) по сравнению с ферромагнитными кристаллами. По этой же причине в точке Кюри наблюдается острый минимум (X > 0) или максимум (X V 0) термического коэффициента расширения а (7). На рис. 25.10 для иллюстрации приведены опытные кривые температурной зависимости коэффициента а (7) для Fe ——Ni-сплавов с различными знаками магнитострикции (Шева-
рис. 25.10. Температурная зависимость коэффициента теплового расширения a(f) в сплавах системы Fe — Ni при различном содержании Ni (в ат.%) (Шевенар [1701)..рис. 25.10. Температурная зависимость коэффициента теплового расширения a(f) в сплавах системы Fe — Ni при различном содержании Ni (в ат.%) (Шевенар [1701)..нар [170]). Аномалии теплового расширения наблюдаются также в ферритах [см. Белов (1957)] и в РЗМ [см. [133, 136, 141] и Белов и др. (1965)], см. также работы [171—173].
рис. 25.10. Температурная зависимость коэффициента теплового расширения a(f) в сплавах системы Fe — Ni при различном содержании Ni (в ат.%) (Шевенар [1701)..
рис. 25.10. Температурная зависимость коэффициента теплового расширения a(f) в сплавах системы Fe — Ni при различном содержании Ni (в ат.%) (Шевенар [1701)..
Аномалия коэффициента теплового расширения нашла техническое применение при разработке магнитных материалов с заданным температурным ходом а (7). Так, например, в инварах «аномальная часть» коэффициента а в некотором интервале температур точно компенсирует обычную «немагнитную» часть. Такой сплав впервые обнаружил Гийом [174] в системе Fe — Ni (35% Ni). Акулов (1939) на основе своей теории четных эффектов связал величину ферромагнитной части коэффициента термического расширения с ферромагнитной частью теплоемкости. Развитие теории и экспериментальное исследование ферромагнитных сплавов типа инвар принадлежит Белову (1957) [175, 176] (см. также [177]).
Магнитострикционные колебания. В ферромагнетиках при их периодическом н амагничив ании из-за магнитострикции возникают механические колебания. С другой стороны, при наложении на ферромагнетик периодически меняющихся со временем внешних напряжений в нем, опять-таки в силу на магнитострикции, происходят обратимые и необра
тимые смещения границ доменов и процесс вращения намагниченности. Поэтому величина декремента затухания в размагниченном или не доведенном до насыщения ферромагнитном образце оказывается во много раз больше, чем в неферромагнитных телах. Этот рост затухания связан с возникновением вихревых токов, обусловленных местными изменениями намагниченности за счет процессов вращения и смещения границ доменов. В состоянии магнитного насыщения или при температурах выше точки Кюри эта магнетомеханическая аномалия исчезает и декремент затухания механических колебаний оказывается таким же, как и в неферромагнитных телах. Магнитострикционные колебания широко применяются в технике (ультраакустические магнитострикционные вибраторы и т. п.) см. Беккер и Дёринг (1939), Белов (1957), Бозорт (1956), а также работы [181—185].
§ 3. Электрические свойства ферромагнетиков
Общие замечания. Электрические, гальваномагнитные, термоэлектрические и другие кинетические свойства ферро- и антиферромагнитных металлов имеют ряд специфических особенностей. Во-первых, все они имеют аномальный температурный ход. Во многих случаях в точке Кюри или Нееля наблюдается резкий максимум или минимум температурного коэффициента соответствующего кинетического явления (электропроводности, теплопроводности и т. п.), что и указывает на определенную связь этих явлений с самопроизвольной намагниченностью. Во-вторых, величина этих эффектов зависит от ориентации намагниченности в кристалле и от распределения концентраций различных магнитных фаз по объему ферромагнетика, т. е. от результирующей намагниченности.
В качестве первого примера рассмотрим типичное кинетическое явление — электропроводность, В табл. 25.1 приведены значения удельного
Т а б л иц а 25.1
Удельное электросопротивление р переходных (d- и /-) и некоторыхнормальных металлов при комнатной температуре
Тип метал-
Элемент и его атомный номер Z
p, 10-6 ом - см
Литература
Тип металла
Элемент и его атомный номер Z
р, 10~6 ом - см
Литература
3d
4Z
Г 口. y・， приве;
Са 20
Sc 21 *
Ti 22*
V 23
Сг 24
Мп 25
Fe 26
Со 27 *
Ni 28
Си 29
Sr 38
Y 39*
Zr 40 *
Nb 41
Mo 42
Те 43
Ru 44
Rh 45
Pd 46
Ag 47
Ba 56
[p и м e ч а н монокристал ценные здесь
4,3
73,0
45,7
22,9
12,9
144,0
10,2
5,86 7,04
1,55
24,8
64,6
47,4
14,9
5,55
18,4
7,40
7,79
10,6
1,47 24,2
и е. Звездоч лы которых с значения р
[186]
[187]
[188]
[188]
[188]
[189] [188]
[188] [188]
[188] [190]
[191] [188]
[188]
[188] [192|
[188] 【188] [188]
[188] [193]
кой отме， бладают ] относятся
4/
5d
1ены м(
)езкой а к поли
La 57
Се 58
Рг 59
Nd 60
Sm 62
Eu 63
Gd 64
Tb 65
Dy 66
Ho 67
Er 68
Tm 69
Yb 70
Lu 71 *
Hf 72*
Ta 73
W 74
Re 75
Os 76
Ir 77
Pt 78
Au 79
зталлы, имет низотропией кристалличе
82,0 93,0 68,0 81,0 92,0 83,0
132,0 122,0
96,0 80,0 86,0
77,0 33,0
62,0 33,6
13,1
5,38
18,9
9,22 5,Ю
10,32
2,01
ощие решет р (см. табл, в :жим образца
[194] [195] [196]
[197]
[198]
[197] [199] [197] [217] [200]
I [196]
J и[200] [199] [479]
【188]
ку гекс, тексте);
м.
сопротивления переходных d- и /-металлов при комнатной температуре. Из приведенных данных можно сделать определенные выводы об особых свойствах переходных металлов. Прежде всего бросаются в глаза большие значения р у редкоземельных металлов, на 1—2 порядка превышающих значения р одновалентных нормальных металлов Си, Ag и Au. Далее р скачком уменьшается после заполнения й-слоя. Примером может служить переход от Ni к Си (7,04 f 1,55), от Pd к Ag (10,6fl,47), от Pt к Аи (10,32 f 2,01). Аналогичный «скачок» наблюдается и вначале й-рядов, например при переходе от Са к Sc (4,3 f 73,0), Sr к Y (24,8 f 64,6), Ba к La (60,0 f 82,0), от Yb к Lu (33,0 f 62,0).
Заметим, что металлы с решеткой гекс. п. у. обладают значительной анизотропией р; ниже в качестве примера приведены данные измерений р на монокристаллах вдоль гексагональной оси (рц) и в плоскости базиса (Р丄)для пяти металлических кристаллов с такой структурой. Значения р в табл. 25.1 для этих металлов (отмеченных звездочкой) соответствуют результатам измерений на поликристаллических образцах. Эта анизотропия р связана с анизотропией рассеяния носителей тока в кристалле d- и /-металлов (см. ниже).
Элемент и его атомный номер
R]|， 10~*6ом- см
P丄， 10~6ojh*cjh
Литература
Со 27
10,28
5,544
f20f]
Y 39
36,5
74,6
[202]
ТЬ 65
94,0
122,0
[203j
Dy 66
80,0
108,0
|204|
Er 68
60,0
95,0
[205]
Переходные металлы с атомным магнитным порядком отличаются специфическим (по сравнению с нормальными металлами или переходными, но лишенными магнитного порядка) температурным ходом р(Т) в интервале температур 0° К V 7 & ® (или ®n)・ Это иллюстрируется кривыми рис. 25.11—25.26. На рис. 25.12 для сравнения нанесена кривая
рис. 25.11, Температурная зависимость полного удельного электросопротивления Рполн для Ni; приведены также магнитная рмагн и фононная рф0Н части для чистого Ni (Вейсс и Маротта [285]).рис. 25.11, Температурная зависимость полного удельного электросопротивления Рполн для Ni; приведены также магнитная рмагн и фононная рф0Н части для чистого Ni (Вейсс и Маротта [285]).Рис. 25.12. Сравнение температурной зависимости относительного удельного сопротивление Ni и Pd [Беккер и Дёринг (1939)].Рис. 25.12. Сравнение температурной зависимости относительного удельного сопротивление Ni и Pd [Беккер и Дёринг (1939)].
рис. 25.11, Температурная зависимость полного удельного электросопротивления Рполн для Ni; приведены также магнитная рмагн и фононная рф0Н части для чистого Ni (Вейсс и Маротта [285]).
рис. 25.11, Температурная зависимость полного удельного электросопротивления Рполн для Ni; приведены также магнитная рмагн и фононная рф0Н части для чистого Ni (Вейсс и Маротта [285]).
Рис. 25.12. Сравнение температурной зависимости относительного удельного сопротивление Ni и Pd [Беккер и Дёринг (1939)].
Рис. 25.12. Сравнение температурной зависимости относительного удельного сопротивление Ni и Pd [Беккер и Дёринг (1939)].
р (T)/pNi (®) неферромагнитного палладия, совмещенная с такой же кривой для никеля при температурах выше точки Кюри (7 > 0). Из этого рисунка видно, что в ферромагнетике при Г < 0 происходит более резкий
Рис. 25.13. Температурная зависимость полного удельного электросопротивления Рполн для Fe； приведены также магнитная рмагн и фононная р. н части (Вейсс и Маротта [384]),Рис. 25.13. Температурная зависимость полного удельного электросопротивления Рполн для Fe； приведены также магнитная рмагн и фононная р. н части (Вейсс и Маротта [384]),^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 〃 皆盲，saan@qn£oduodluxgue ^wy^f^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 〃 皆盲，saan@qn£oduodluxgue ^wy^f，DD 200却ОТемпература Л 力，DD 200却ОТемпература Л 力Рис, 25.14. Температурный ход удельного сопротивления Сг (Арайс и Дюн- майер [219]).Рис, 25.14. Температурный ход удельного сопротивления Сг (Арайс и Дюн- майер [219]).
Рис. 25.13. Температурная зависимость полного удельного электросопротивления Рполн для Fe； приведены также магнитная рмагн и фононная р. н части (Вейсс и Маротта [384]),
Рис. 25.13. Температурная зависимость полного удельного электросопротивления Рполн для Fe； приведены также магнитная рмагн и фононная р. н части (Вейсс и Маротта [384]),
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 〃 皆盲，saan@qn£oduodluxgue ^wy^f
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 〃 皆盲，saan@qn£oduodluxgue ^wy^f
，DD 200却О
Температура Л 力
，DD 200却О
Температура Л 力
Рис, 25.14. Температурный ход удельного сопротивления Сг (Арайс и Дюн- майер [219]).
Рис, 25.14. Температурный ход удельного сопротивления Сг (Арайс и Дюн- майер [219]).
спад р при охлаждении, чем у переходных металлов без магнитного атомного порядка. То же можно увидеть из сравнения кривой р (7) для парамагнитного металла Yb (рис. 25.26) с аналогичными кривыми для большинства редкоземельных металлов (см., например, рис. 25.18—25.24). В точках Кюри или Нееля наблюдается более или менее ярко выраженный излом кривой р (7) с максимумом производной д^1дТ,
На графиках рис. 25.11 и 25.13 суммарное удельное электросопротивление рполн приводится вместе с фононным вкладом в него рф0Н, а также магнитным сопротивлением рмагн. Фононное сопротивление рассчитывается по интерполяционной формуле Грюнайзена [см. Бете и Зом- мерфельд (1938) или Вильсон (1953)]
日Д/т
Рв)он = 4(蟲У § z5 ^-iy^i-e^y^dz
Рис. 25.16. Температурный ход удельного электросопротивления Рг (Волкен- штейн и Носкова [196]).
ЮО 200300
Температура Т, ТГ
切^紡 切
N驾'-SS^Ea^so^E^^ uzww^
ЮО 200300
Температура Т, °К
Рис. 25.15. Температурный ход удельного сопротивления Мп (Уайт и By [218]).
爲言9—08nH3nE0du0dE曾e goHqlfa
勿 兜^^ 步 / 工3,00「」3nH3nEoduogdEX3lfe aoHqlfg勿 兜^^ 步 / 工3,00「」3nH3nEoduogdEX3lfe aoHqlfgЮО W 300Температура Т,力ЮО W 300Температура Т,力жж各.wofdnH£QQEOduodENg06 30Hq莒a各.wofdnH£QQEOduodENg06 30Hq莒aи ЮО ^003004勿и ЮО ^003004勿
勿 兜^^ 步 / 工3,00「」3nH3nEoduogdEX3lfe aoHqlfg
勿 兜^^ 步 / 工3,00「」3nH3nEoduogdEX3lfe aoHqlfg
ЮО W 300
Температура Т,力
ЮО W 300
Температура Т,力
ж
ж
各.wofdnH£QQEOduodENg06 30Hq莒a
各.wofdnH£QQEOduodENg06 30Hq莒a
и ЮО ^003004勿
и ЮО ^003004勿
Рис. 25.17. Температурный ход удель-ного электросопротивления Nd (Вол-кенштейн и др. [197].)
Температура Л 力
Рис. 25.18. Температурный ход удель-ного электросопротивления Sm (Арайси Дюнмайер [198]).
100200300 W0Температура Л,»100200300 W0Температура Л,»Рис. 25.21. Температурный ход удельРис. 25.21. Температурный ход удель^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ /^声』「d9П曹gmnoduowdumc 3工盲-^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ /^声』「d9П曹gmnoduowdumc 3工盲-
100200300 W0
Температура Л,»
100200300 W0
Температура Л,»
Рис. 25.21. Температурный ход удель
Рис. 25.21. Температурный ход удель
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ /^声』「d9П曹gmnoduowdumc 3工盲-
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ /^声』「d9П曹gmnoduowdumc 3工盲-
%、M 切 WO.EO Q—Q-sgnHgEQnEQduQQOdEH婚F内 90Hq超К%、M 切 WO.EO Q—Q-sgnHgEQnEQduQQOdEH婚F内 90Hq超КЮО 200300Температура Л °ЛЮО 200300Температура Л °ЛРис. 25.19. Температурный ход удельного электросопротивления Ей (Вол- кенщтейн и др. [197]).Рис. 25.19. Температурный ход удельного электросопротивления Ей (Вол- кенщтейн и др. [197]).ОО匆 初^死 吻 纺 步R 3n3『9nE0du喝官ye 30百3匆 初^死 吻 纺 步R 3n3『9nE0du喝官ye 30百3/00200300 WТемпература Т,宵/00200300 WТемпература Т,宵Pi с. 25.20. Температурный ход улелв-bi го электросопротивления Gd (Вол-кенштейн и др. [199]).Pi с. 25.20. Температурный ход улелв-bi го электросопротивления Gd (Вол-кенштейн и др. [199]).ного электросопротивления Th (Вол-кенштейн и др. [197]).
%、M 切 WO.EO Q—Q-sgnHgEQnEQduQQOdEH婚F内 90Hq超К
%、M 切 WO.EO Q—Q-sgnHgEQnEQduQQOdEH婚F内 90Hq超К
ЮО 200300
Температура Л °Л
ЮО 200300
Температура Л °Л
Рис. 25.19. Температурный ход удельного электросопротивления Ей (Вол- кенщтейн и др. [197]).
Рис. 25.19. Температурный ход удельного электросопротивления Ей (Вол- кенщтейн и др. [197]).
О
О
匆 初^死 吻 纺 步
R 3n3『9nE0du喝官ye 30百3
匆 初^死 吻 纺 步
R 3n3『9nE0du喝官ye 30百3
/00200300 W
Температура Т,宵
/00200300 W
Температура Т,宵
Pi с. 25.20. Температурный ход улелв-bi го электросопротивления Gd (Вол-кенштейн и др. [199]).
Pi с. 25.20. Температурный ход улелв-bi го электросопротивления Gd (Вол-кенштейн и др. [199]).
0 ЮО 200300
Температура 7； °Л
Рис. 25.22. Температурный ход удель-ного электросопротивления Dy (Вол-кенштейн и др. [217]).
“ Ж . Ж 3Q0
Температура 乙 7f
Рис. 25.23. Температурный ход удель-ного электросопротивления Но (Кол-вин и др. [200]'.
/勿 200300
Температура Г,十
Рис. 25.24. Температурный ход удель-ного электросопротивления Ег (Вол-кенштейн и Носкова [196]).
100 Ж 300
$ 40
О
Yb
200
юо
財
Температура 7；力
Рис. 25.25. Температурный ход удель-ного электросопротивления Тт (Вол-кенштейн и Носкова [196]).
Тскпература 7^ 7f
Рис. 25.26. Температурный ход удельногоэлектросопротивления Yb (Волкенштейни пр. [199】).
где @д — характеристическая температура Дебая, а Л— постоянная для данного металла, очень слабо зависящая от Т при Т《0Ц. Магнитное электросопротивление рассчитывается по формуле
Рмагн — Рполн — Рфон — Ро,где ро — остаточное сопротивление, определяемое рассеянием на приме-сях (предполагается, что оно практически не зависит от температуры).
Рис. 25.27. Температурная зависимость удельного электросопротивления Со при температурах ниже; 7° К Ро生 87,13- 10-9 (Радхакришна и Нильсен [212]).Рис. 25.27. Температурная зависимость удельного электросопротивления Со при температурах ниже; 7° К Ро生 87,13- 10-9 (Радхакришна и Нильсен [212]).Из табл. 25.1 видно, что по мере заполнения d—состояний р более или менее плавно уменьшается с ростом атомного номера в каждом ряду переходных 3九 4d- и 5й-металлов. Из этого правила выпадает только Мп, сопротивление которого на порядок больше, чем у соседних элементов (Сг и Fe). Однако из кривой р(7) для Мп (рис. 25.15) видно, что его точка Нееля (@n100° К) много ниже ком
Рис. 25.27. Температурная зависимость удельного электросопротивления Со при температурах ниже; 7° К Ро生 87,13- 10-9 (Радхакришна и Нильсен [212]).
Рис. 25.27. Температурная зависимость удельного электросопротивления Со при температурах ниже; 7° К Ро生 87,13- 10-9 (Радхакришна и Нильсен [212]).
натной температуры, и поэтому если из рполн вычесть значение рмагн )，то для сопротивления р — рмагн У Мп получим величи
ну, близкую к значениям р (300° К) для Сг и Fe, приведенным в табл. 25.1. Точно так же, аномально большие значения р (300° К) почти у всех РЗМ, как и в случае Мп, объясняется тем, что их точки Кюри и Нееля лежат много ниже комнатной температуры. Из рис. 25.16—25.26 видно также, что по характеру зависимости РЗМ можно разбить на три группы.
К первой группе относятся: Се, Pr, Nd и Yb, для которых во всем исследованном интервале температур не наблюдается линейной зависимости р 〜аТ, характерной для нормальных металлов. Ко второй группе относятся: металлы от Sm до Тш (исключая Ей), для которых ярко выражен излом при переходе из парамагнитного в антиферро- или ферромагнитное состояние и линейный ход р (7) в парамагнитной области (если экстраполировать этот участок кривой в область низких температур, то пересечение ее с осью ординат дает аномально высокое значение «магнитного остаточного» сопротивления рмаГн)*
Особое место в ряду РЗМ занимает Ей (рис. 25.19), у которого в точке Т =❷％ наблюдается не только излом, но и максимум, кроме того, при 7 > @n обнаружен нелинейный ход р(7). Это, по-видимому, связано либо с изменением энергетического спектра носителей тока с температурой, либо с малостью энергетического интервала между основным и первым возбужденным уровнями иона Ей по сравнению с к^Т. Поэтому этот возбужденный уровень принимает «активное участие» в формировании энергетической зонной структуры электронов кристалла Ей. Следует здесь также напомнить, что у Ей «рыхлая» о. ц. к. решетки (а не гекс. п. у.) и, кроме того, изолированные атомы и ионы Ей имеют в основном состоянии нулевой суммарный магнитный момент (J = 0).
Температурный ход р(7) в ферромагнитных переходных металлах детально исследовался также в области низких (до гелиевых) температур [188, 206—217, 730]. В отличие от нормальных металлов, температурный ход р(7) у переходных металлов в этой области следует не «закону Г5», а зависимости типа а\Т + 仪？？" В качестве примера на рис. 25.27 приведена кривая р (7) для Со при Т V 10° К.
Аномалии температурного хода р (7) обнаружены также у антиферромагнитных металлов [188, 189, 218, 219] и антиферро- и ферромагнитных полупроводников ——ферритов [220—231] (см. также гл. 20).
Элементарная теория электросопротивления переходных металлов. Теория должна объяснить 1) более высокие значения р по сравнению с нормальными металлами, 2) температурные аномалии р (Г). На первый вопрос качественный ответ можно получить из элементарной формулы электропроводности Друде — Зинера (см. гл. 20), предположив, что в переходном металле имеется два типа носителей тока: s- и й-электроны.
Тогда проводимость nde4dnse4s
—mgm ?
где nd и ns ——концентрации, т^ и ts — времена релаксации и тп* и тп* —— эффективные массы соответственно d- и s-электронов. На первый взгляд кажется, что электропроводность переходного металла больше, чем нормального, поскольку в первом больше носителей тока: nd》ws. Но это не так, поскольку у й-электронов из-за узости й-полосы может быть велика эффективная масса тп$》тп*. Кроме того, заметно меньшими оказываются средние времена свободного пробега т^ и 七§, поскольку в переходном металле гораздо больше возможностей для рассеяния электронов проводимости. Эти дополнительные механизмы рассеяния и обусловливают в основном наблюдаемые «аномалии» электросопротивления в ферро- и антиферромагнетиках, а также и парамагнитных переходных d- и /-металлах *). Частично этот вопрос был уже рассмотрен в гл. 20. Кроме того, в ферромагнитных металлах и сплавах даже в отсутствие внешнего магнитного поля в объеме каждого домена при 7 V ❷ всегда существует магнитная индукция В — 4冗7$, достигающая при комнатных температурах, например, в железе 22 кгс. Как показали эксперименты по де Гааз—ван Альфен эффекту в Ni [237, 238] и Fe [242] и теоретическое рассмотрение [243], эффективное поле, действующее на носителей тока в ферромагнетике, равно имеющемуся в нем полю магнитной индукции 石. Поэтому фактически в ферромагнетиках при 7 V 6 мы всегда имеем дело с измерением не удельного сопротивления, а магнетосопротивления во внутреннем магнитном поле В = 4л13 [215, 244].
Электронные s — d-переходы. Специфика электропроводности d- и /-металлов заключается, таким образом, в том, что у них на поверхности Ферми имеются tZ-no- добные участки (см. гл. 20) с высокими значениями плотности электронных состояний. Если эффективная масса cZ-электронов велика, то пх вкладом в электропроводность можно приближенно пренебречь. Однако большая плотность свободных уровней в tZ-поло- се может оказать существенное влияние и на вклад s-электронов, которые при столкновениях с фононами переходят не только на уровни s-полосы (s ——s-переходы), но главным образом в более многочисленные свободные уровни d-полосы (s ——d-переходы). Описанный механизм впервые предложил Мотт [245] (см. также Мотт и Джонс (1936) и [1]. Этот механизм, по-видимому, дает основной вклад р$& в сопротивление парамагнитных переходных d-метаннов. Как показал Вильсон [246, 247] [см. также Вильсон (1953) и Зейтц (1949)] при низких температурах ) р$& ~ Г3, а при температурах выше дебаевской (力 >©д) Psd ~ Г, поэтому трудно разделить суммарное р на слагаемые р&& и р$$ (последнее также линейно растет с Т). Можно лишь предполагать, что отношение Psd/P$$ равно отношению плотности свободных уровней у поверхности Ферми для d~
и s-полосы: p$d/ps$ ^= nd (%s (D [см. Займан (1962[) При низких температурах могут играть роль и столкновения s-электронов с коллективизированными cZ-электронами. Этот механизм впервые исследовал Бабер [248], показавший, что вклад в р$& от этих Столкновений изменяется пропорционально Т2. Однако оценить его абсолютное значение пока не удалось.
В ферромагнитных переходных d-металлах эффект s —— tZ-рассеяния можно качественно определить для температур, близких к точке Кюри [см. Фрёлих (1936); Займан (1962)]. Обменная связь в ферромагнитном d-металле смещает tZ-полосы для электронов с противоположными проекциями спинов (см. рис. 20.8). Поэтому для d-злектронов одной из двух спиновых ориентаций число свободных мест в соответствующей подполосе может значительно уменьшиться или даже стать равным нулю (если уровень Ферми лежит выше потолка данной подполосы). В силу этого s-электроны с такой же ориентацией спина будут рассеиваться слабее или даже совсем не рассеиваться в cZ-полосу и, таким образом, сопротивление р§& ферромагнитного металла будет меньше, чем у неферромагнитного. Если закон дисперсии tZ-электронов имеет квадратичную форму, то зависимость плотности уровней от средней намагниченности / в первом приближении описывается фактором [1 干(///q)]1/3, где /0 — намагниченность при 0° К. Следовательно,
P = Pss + Psd (1干£)"
Можно было бы предполагать, что результирующая проводимость и = а+ + ^-- Однако это не так, поскольку ферромагнетик в размагниченном состоянии разбивается на домены, в каждом из которых намагниченность имеет определенное направление. Поэтому s-электрон с данной проекцией спина при своем движении в кристалле находится то в окружении cZ-электронов того же спина, то противоположного. В итоге появится среднее удельное электросопротивление
6=Pss + ；Psd h1-房广十收击)"} (25-6)
Если вблизи точки Кюри разложить выражение (25.6) в ряд по малому параметру ///0, то для относительного уменьшения электросопротивления ферромагнитного переходного металла Дрмагн/р0 по сравнению с неферромагнитным (см. рис. 25.12) получим
(25.7)(25.7)Армагн 〜1 / / \ 2
(25.7)
(25.7)
Зависимость ДрмаГн от / оказывается такой же, как и в случае (20.94), где оценивался эффект зависимости эффективной массы s-электрона от магнитного момента ферромагнетика.
Рассеяние на магнитных неоднородностях. Как впервые отметил Шубин *), кроме s ——d-переходов в ферромагнитных переходных d- и /-металлах необходимо учитывать еще один важный механизм рассеяния электронов проводимости на неоднородностях магнитной подсистемы (спиновых волнах прп низких температурах и флуктуациях магнитного момента при высоких). Дальнейшее развитие эта теория получила в работах Турова [255—257] и других [258—270]; см. также обзоры [1, 195].
Низкие температуры. В этой области справедливо спин-волновое приближение (гл. 19). Как показал Туров [256, 257], добавочное электросопротивление ферромагнитного металла, вызванное взаимодействием носителей тока со спиновой магнитной подсистемой, может быть представлено в виде суммы двух слагаемых
Рмагн—。/十02r2， (25.8)
где постоянные а^ и а? не зависят от Т. Линейный по Т член в (25.8) возникает при учете процессов рассеяния, обусловленных электромагнитным взаимодействием тока электронов проводимости с магнитным полем спиновых волн, т. е. спин-орбитальной связью s- и cZ-электронов ). Линейный член в рмаГн был обнаружен в опытах Кондорского и др. [211]. Однако оценка значения коэффициента 仰 в (25.8), полученная Туровым [257], показала, что спин-орбитальное взаимодействие дает для 仰 величину в 1000 раз меньшую, чем дает опыт. Второй член в (25.8) обусловлен электростатической s —— d- обменной связью ). Эта зависимость должна наблюдаться в интервале температур, ограниченном не только сверху: Т《6, но и снизу: Т》Г。. Здесь 7。— критическая температура, ниже которой процессы рассеяния, обусловленные механизмом s —— d-
обмена, становятся неэффективными вследствие невозможности одновременного выполнения законов сохранения энергии и квазиимпульса при столкновениях электронов проводимости и спиновых волн. В приближении эффективной массы (Туров [257]) для первых имеем
То — 0 (я^ф)2 ("^") ， (25.9) где кф ——граничный волновой вектор при энергии Ферми & Asd ——интеграл s ——d- обмена, а — постоянная решетки ). При Т v 7。соответствующая часть электросопротивления стремится к нулю, как ехр (—TJT).
Абельский и Туров [259] развили теорию Рмагн，использовав для энергии электронов проводимости изотропный, но произвольный (т. е. неквадратичный) закон дисперсии с учетом обменного подмагничивания электронов проводимости ферромагнетика |см. (20.76)]. В качестве энергии возмущения берется недиагональная часть s — d- обмениого взаимодействия — первые два слагаемых формулы (20.111). Это и означает, что за нулевое приближение выбрано состояние подмагниченных электронов проводимости и электронов незаполненных слоев с учетом их обменного взаимодействия. Прп этом учитываются лишь неупругпе (одномагнонные) процессы рассеяния, связанные с флуктуациями «поперечных» слагающих намагниченности (S刃.Эффект «упругих» двумагнонных процессов рассеяния, связанных с флуктуациями продольной составляющей намагниченности (S^) см. третье слагаемое в формуле (20.111), независимо рассмотрен в работах Хартмана-Бутрона [271] и Рёслера [268] ), которые нашли, что соответствующий вклад в рмагн изменяется пропорционально Г7/2 п по величине очень мал по сравнению с квадратичным членом пз (25.8) (обусловленным одномагнонными цроцессамп), и поэтому им можно пренебречь.
Расчет рмаг11 в работе [259] проведен по методу Кубо [273] в приближении Накано [274]. Этот метод предполагает существование одного-единственного времени релаксации для всех электронов проводимости. Только при этом условии он дает правильный результат, совпадающий с результатом, полученным любым другим корректным методом. Однако рассеяние электронов проводимости на магнонах неупругое и различно для носителей тока с разными знаками проекции сппна. Поэтому заведомо не существует одного-единственного времени релаксации, и метод Накано может привести даже к качественно неправильным результатам. С помощью этого метода опасно делать какие-либо заключения о коэффициентах 例 и а2 в формуле (25.8).
Детальный анализ вопроса о магнитной части электросопротивления ферромагнетиков прп низких температурах далп Туров и Волошинский [272]. Онп обсуждали три возможных механизма появления линейного члена в формуле (25,8), Одной из возможных причин является, как уже указывалось, рассеяние подмагниченных электронов проводимости на спиновых волнах. При этом знак коэффициента ах зависит от вида закона дисперсии электронов проводимости и может быть любым (>0 плп <0). Если этот механизм фактически осуществляется в ферромагнитных 3d- металлах, то можно определить знаки первой и второй производных энергии электронов проводимости по волновому числу на поверхности Фермп. Второй возможной причиной появления члена а^Г может быть рассеяние электронов проводимости спиновыми волнами, но ие за счет 尸一tZ-обмениой связи, а благодаря спип-орбптальному взаимодействию сппна «магнитных» электронов с «орбитой» электронов проводимости. Впервые на эту возможность указал Туров [256], который без учета анизотропии получил линейный член а±Т. В работе [272] учтена анизотропия матричных элементов сппн- орбптального взаимодействия и вычислен тензор электросопротивления ). Зависимость р от угла 8 между вектором памагнпченности и током в образце имеет впд
Р；фф 2) = Р忌[1十(醬一1) cos2"] , (25.10)
прп 6=0, Рэфф = ргг = Ри п прп 6 = л/2, Рэфф = рхх = р丄.По оценке в [272] (Pj - Pn)/Pii 〜ОД и р in ри 〜Т.
Эта анизотропия может быть использована для разделения указанных двух механизмов опытным путем, поскольку вклад в р, обусловленный s ——d-обмен- пой связью, изотропен. Измерять анизотропию линейного члена в р желательно при условиях, когда кристаллографическая анизотропия р не проявляется, например в случае кубической симметрии либо в базисной плоскости гексагонального
кристалла.
Тг,勿2(»尸Тг,勿2(»尸25,28, Температурный ход удельного электросопротивления Ni [р (Г) — р (1,4° К)]/Г2. 1 — при нулевом поле (Н = 0); 2 — при нулевой индукции (В = 0) Шверер и Силкокс [215]),25,28, Температурный ход удельного электросопротивления Ni [р (Г) — р (1,4° К)]/Г2. 1 — при нулевом поле (Н = 0); 2 — при нулевой индукции (В = 0) Шверер и Силкокс [215]),Имеется еще один «магнитный» механизм рассеяния электронов проводимости в ненасыщенных ферромагнетиках, связанный с существованием в нем доменных границ. Впнтер [276], рассматривая в качестве основного состояния ферромагнитный, кристалл со 180°-доменной границей, показал, что в нем существуют возбуждения двух типов. В толще домена возникают обычные «трехмерные» спиновые волны. Внутри же граничного слоя также имеются спиновые волны, но «двумерного» типа. Туров и Волошинский [272] рассмотрели рассеяние электронов проводимости как иа самих границах, так п на этих «двумерных» спиновых волнах. Для соответствующего вклада в р (при хаотическом распределении границ )) было получено выражение
Тг,勿2(»尸
Тг,勿2(»尸
25,28, Температурный ход удельного электросопротивления Ni [р (Г) — р (1,4° К)]/Г2. 1 — при нулевом поле (Н = 0); 2 — при нулевой индукции (В = 0) Шверер и Силкокс [215]),
25,28, Температурный ход удельного электросопротивления Ni [р (Г) — р (1,4° К)]/Г2. 1 — при нулевом поле (Н = 0); 2 — при нулевой индукции (В = 0) Шверер и Силкокс [215]),
рГр= 方p [0о ехp ( 一 /①6)十。3/2严2],
(25.11)
Рис.Рис.где 6 — эффективная толщина граничного слоя между доменами, и^р — относительный объем границ,衣①—фермиевское волновое число, а。п а3/2 — постоянные. Первый член в (25.11) отвечает рассеянию на статических доменных границах. Он очень мал,
Рис.
Рис.
и им можно пренебречь, поскольку величина л/сфд порядка 102—103. Второй член возникает от рассеяния носителей тока на «двумерных» спиновых волнах. Поскольку он зависит
от числа доменных границ, то он должен сильно уменьшаться с ростом поля при намагничивании образца (когда происходит изменение числа и объема различных доменов) и быть анизотропным при ориентации тока вдоль и поперек намагниченности. Приближенно член 铀八于办？ можно аппроксимировать также двучленной формулой типа (25.8).
Сравнение с опытом. Опытная проверка теоретических соотношений (25,8), (25.10) и (25.11) в случае ферромагнитных d- п /-металлов представляет значительные трудности. Во-первых, это было связано с отсутствием достаточно чистых кристаллов этих веществ. Только в последнее время появились образцы Ni [214, 215] и Fe [213] с отношением р300 ок/р4 2 °к》2000. Во-вторых, поскольку на электроны проводимости действует поле магнитной индукции В = Н 4nTs, а не приложенное поле Н [242], электросопротивление, измеряемое обычно при Я = 0, включает вклад, обусловленный обычным эффектом магнетосопротпвленпя [244, 277], связанным с самопроизвольной памагииченностью 4лTs (в Ni это 6400 ас). Поэтому при сравнении опытных данных с теорией возникает необходимость найтп р (В = 0, Т). Шверер и Силкокс [215] предложили метод нахождения р (В = 0) (используя правило Колера, см. гл. 14) и показали, что кривые р (В = 0, Г) п р (Н = 0, Г) заметно отличаются (рис. 25.28). Зависимость р от Г дается формулой аТ2 + ЬТ&. Уайт и Таниш [214] для чистого Ni получили кривые типа р (Т) = const -т- аТ2, причем в интервале от 5 до 20° К значение а = 26 -10-12 ом -см/град2, а ниже 4° К соответственно а = 34 -10-12 ом -см!град2. В фундаментальной работе Тейлора п др. [213] определено р (Г) в монокристаллах Fe (усах). В интервале температур от 1 до 4,2° К уверенно наблюдена линейная зависимость, причем величина коэффициента а】 [см. (25.8)] оказалась на порядок больше, чем в других работах [206——208]. В ходе измерений тщательно контролировалось постоянство магнитного состояния образца во всем исследованном интервале температур. При нарушении этого контроля появлялась кажущаяся квадратичная зависимость. Авторы считают, что их результаты дают хорошее подтверждение теории Вонсовского [250, 258] и Турова [255—257].
Данные по Со были получены в работах [209, 212]. На рпс. 25.27 приведена кривая из работы Радхакрпшна и Нильсена [212], в которой измерялось электросопротивление полпкрпсталлпческого Со при температурах от 1,2° К до 6° К п были получены
следующие результаты:
P = Po + aiT + 仪2T2,
р0 = 87,130410~9 ом .см^ 〃] V 3,13・10~12 ол -см! град *)и g = 0,9892 -Ю-11 ом -см/град2.
Оценка коэффициента а2 по теоретической формуле работы [264] дает: а2 = =1,45-Ю-12 ом •см/град2^ т. е. величину, меньшую экспериментального значения для а2. Используя результаты работ [248, 27 8], находим 做=16,7 6-Ю"12 ол -см/град2. Учитывая приближенность этих оценок, можно сказать, что, вероятно, вклад в р от рмаг составляет примерно около 10% от вклада, вносимого электрон-электронным рассеянием. Большой интерес представляет работа Дякиной и Волкенштейна [279], проведенная на изотропном образце поликристаллического Ni с Р293。к/р& 2° к 七 300 в магнитных полях до 7,4 кэ (поле насыщения было 2 кэ) и в интервале температур от 1,77 до 4,2° К. В этой работе было показано, что опытные данные хорошо описываются формулой
p(T)=aiT + aaj2T3^ + a2T^ (25.12) где коэффициенты а】и а2 не зависят от ноля,的 обладает анизотропией, предсказываемой формулой (25.10), по величине равной (。[丄 一 а〕ц )/а^ 口 = 0,13, что хорошо согласуется с теоретической оценкой 272. Коэффициент а3у2〉0 анизотропен, сильно уменьшается с ростом магнитного поля и стремится к нулю при насыщении образца.
Зависимость члена ai от поля видимо обусловлена влиянием упомянутого выше внутреннего поля. Его учет на основе правила Колера и определения р (5 = 0, Г) (см. [215, 732]) показали, что член а^ в основном связан с магнетосопротивлением. Поэтому теорию [256, 272] следует сравнивать не с p(_ff = 0, Г), а с р(5 = 0, Г).
Вопрос об интерпретации наблюдаемого члена а2Т2 вызывает большие трудности, поскольку в него может входить и магнитный вклад от s — d-обмена, а также от s — d- переходов и межэлектронных столкновений. В связи с этим необходимо учесть замечание Гудингса [267], о том, что во многих работах рассматриваются процессы рассеяния электронов проводимости в пре диол ож ении, что имеется одна s-полоса проводимости, внутри которой и происходит рассеяние (s ——s-переходы). Однако можно предполагать, следуя Мотту [280], что процессы рассеяния носителей тока в ферромагнитных d-металлах, инициируемые s — ^-обменом, могут происходить не только в s-нолосе, но и в d-полосе (учитывая участие в проводимости tZ-электронов), а также возможны переходы из s- в d-нолосу. Двузонную модель с квадратичными законами дисперсии для s- и d-злектронов и предложил Гудинге [267]. В качестве параметров теории входят эффективные массы s- и cZ-электрона: (mJ》m*) и вместо одного параметра s — d-обмена 4sd (")входят три параметра Gss, Gdd и G$d・ Температурная зависимость рмагн определяется отношением эффективных масс m*/mg и «параметром щели»- а\ k^s —— Zc①壮丨，r^c 儿①$ и Zc①壮 — соответственно радиусы ферми-сфер для s- и tZ-полосы и а — параметр решетки. При достаточно низких температурах (》20° К) рассеяние происходит в основном внутри s-полосы и для Рмагн получаются результаты, совпадающие с рассмотренными выше (〜Т?). в некоторой области температур, ширина и положение которой сильно зависят от параметра а |/сф8 —— kфd |, становится заметным число спиновых волн с величинами волновых векторов, достаточными для перекрытия щелп между s- и tZ-полосой. Тогда s — d-переходы, которые при более низких температурах были неэффективны пз-за невозможности удовлетворения закона сохранения кв азинмпульса, начинают быстро становиться существенными и эффекты от этих переходов доминируют над эффектами рассеяния в одной полосе. Температурная зависимость рмаГ11 по-прежнему остается квадратичной, только величина Рмагн становится на порядок величины больше, чем в низкотемпературной области, где эффективны только s — s-переходы ).
В работе Хасегава п др. [281] была предложена гибридизированная зонная модель; авторы специально рассмотрели Ni, для которого поверхность Ферми в ферромагнитном состоянии можно считать состоящей из трех частей [282, 283]: поверхность s-электрона с отрицательными спинами, поверхность s-электрона с иоложптельнымв спинами и поверхность tZ-электроиов с положительными спинами. Первая пз этих поверхностей весьма напоминает поверхность Ферми меди. Для втор ой — волновые функции близки к tZ-функциям. А третья — типичная cZ-полоса. При низких температурах, рассматривая обменный механизм рассеяния электронов проводимости d- полосы с цротивоположной проекцией спина, было найдено, что р ~ Г2. Оценка
абсолютной величины теоретического значения р показывает, что она лишь примерно в 4 раза превышает опытное значение Уайта и Вудса [188].
Вопрос о зависимости р (Т) в области низких температур (Т《 0) еще далеко не решен (по причинам недостаточной прецизионности измерений и отсутствия точной теорип). Вместе с тем он продолжает привлекать к себе большое внимание. Это обусловлено тем, что прецизионное экспериментальное определение р (Г) при Г《6 и сравнение этой зависимости с предсказаниями теории может быть, однако, одним из весьма строгих способов контроля правильности (или по крайней мере степени приближенности) квантовой теории ферромагнетизма металлов (см. [738]).
Высокие температуры. В области вблизи точки Кюри вопрос об аномалиях электропроводности ферромагнетиков теоретически рассматривали Касуйя [261], де Жен и Фридель [263] (см. также [265, 270, 284]). В приближении молекулярнога поля для магнитной части электросопротивления вблизи @ имеем
Рмагн= ；n二笳& 吕〈(s+Sz)(s_Szr)〉专卜хр (专)一1) %
+ ^〈(s—Sz)(s+sz + i)〉奇(i — exp (言))],(25.13)
где s — максимальная проекция сппна узла кристаллической решетки, V — объем кристалла, ^ — число узлов в нем,况一постоянная молекулярного поля. Выше точки Кюри (Г〉О) постоянная 况 f 0 乳,следовательно, последние множители в обоих слагаемых в фигурных скобках в (25.13) равны единице. Кроме того, в парамагнитной области〈Sz〉= 0 и
Р%产&爲Г s 8+) (25」4)
т. е. р黑「л постоянно и не зависит от температуры. В ферромагнитной области вдалит. е. р黑「л постоянно и не зависит от температуры. В ферромагнитной области вдали100100」2 3 4 5 6 7 8g」2 3 4 5 6 7 8g9090?3 %?3 %S-SO g or工俘 wS-SO g or工俘 wоо77от точки Кюри, когда〈5“〉〜s формула (25.13) дает очень малую добавку к сопротивлению ферромагнетика, обращающуюся в нуль при Т f 0, хотя в этой^области температурот точки Кюри, когда〈5“〉〜s формула (25.13) дает очень малую добавку к сопротивлению ферромагнетика, обращающуюся в нуль при Т f 0, хотя в этой^области температурООGd64Gd64Tb65Tb65北北Ho67Ho67Er66Er66..Атомнь 山.^омев..Атомнь 山.^омевTm 69Tm 69Yb70Yb70
т. е. р黑「л постоянно и не зависит от температуры. В ферромагнитной области вдали
т. е. р黑「л постоянно и не зависит от температуры. В ферромагнитной области вдали
100
100
」2 3 4 5 6 7 8g
」2 3 4 5 6 7 8g
90
90
?3 %
?3 %
S-SO g or工俘 w
S-SO g or工俘 w
о
о
7
7
от точки Кюри, когда〈5“〉〜s формула (25.13) дает очень малую добавку к сопротивлению ферромагнетика, обращающуюся в нуль при Т f 0, хотя в этой^области температур
от точки Кюри, когда〈5“〉〜s формула (25.13) дает очень малую добавку к сопротивлению ферромагнетика, обращающуюся в нуль при Т f 0, хотя в этой^области температур
О
О
Gd
64
Gd
64
Tb
65
Tb
65
北
北
Ho
67
Ho
67
Er
66
Er
66
..Атомнь 山.^омев
..Атомнь 山.^омев
Tm 69
Tm 69
Yb
70
Yb
70
Рис. 25.30. Магнитный вклад в удельное электросопротивление «тяжелых» РЗМ в парамагнитной области (при Г > 0). 1 — экспериментальные точки; 2 ——вклад от рассеяния электронов проводимости на квадрупольных моментах 4/-ионов; з — вклад от обменного рассеяния (Кондо [286]).Рис. 25.30. Магнитный вклад в удельное электросопротивление «тяжелых» РЗМ в парамагнитной области (при Г > 0). 1 — экспериментальные точки; 2 ——вклад от рассеяния электронов проводимости на квадрупольных моментах 4/-ионов; з — вклад от обменного рассеяния (Кондо [286]).
Рис. 25.30. Магнитный вклад в удельное электросопротивление «тяжелых» РЗМ в парамагнитной области (при Г > 0). 1 — экспериментальные точки; 2 ——вклад от рассеяния электронов проводимости на квадрупольных моментах 4/-ионов; з — вклад от обменного рассеяния (Кондо [286]).
Рис. 25.30. Магнитный вклад в удельное электросопротивление «тяжелых» РЗМ в парамагнитной области (при Г > 0). 1 — экспериментальные точки; 2 ——вклад от рассеяния электронов проводимости на квадрупольных моментах 4/-ионов; з — вклад от обменного рассеяния (Кондо [286]).
Рис. 25.29. Высокотемпературная магнитная часть удельного электросопротивления d-металлов, некоторых их сплавов и РЗМ в зависимости от величины n = £pjSj (Sj 十 1) (pj—концентрация атомов сорта ;со спинами Sу в сплаве). Стрелки указывают расположение осей координат графика для той прямой, вблизи которой они показаны (Вейсс и Маротта [285]).
эта формула уже неприменима. В области же температур, близких к @, она дает правильное качественное описание рмагн (Г). Оценка численного значения Рмагн по (25.13) также удовлетворительно согласуется с опытными данными. Полагая m 弋 Ю~27 力工弋 Ю~12 эрг, NIV 1022 см~3 п Asd ,卩？，口з (25.14) в парамагнитной области (при s》1) имеем рмагн ^ 10~5 ом • см, т. е. как раз ту величину, которая наблюдается на опыте (см. работу [285]). Из формулы (25.13) также следует, что рмагн с ростом спина незаполненной электронной оболочки атома растет квадратично, т. е. пропорционально s (s 十 1), что также согласуется с опытом (см. [195, 285]), как зто видно из рис. 25.29. В работе Кондо [286], наряду с s — /-взаимодействием учтена
также рассеяние на электрических квадрупольных моментах 4/-ионов. Это дает поправочный член к (25.14). На рпс. 25.30 приведено сравнение теории с опытом, из которого видно, что согласие хорошее и что за исключением Yb и Тт квадрупольное рассеяние относительно очень мало.
Влияние ближнего магнитного порядка. В работах [261, 263, 265, 287, 288] изучалось влияние на рмаш ферромагнитных металлов ближнего магнитного порядка, сохраняющегося п в парамагнитной области при Г > О. Прп этом в [263, 265, 288] были рассмотрены ферромагнетики с короткодействующей обменной связью (в приближении ближайших соседей), а в работах [261, 287] — с дальнодействующим косвенным обменом через электроны проводимости. Эти исследования показали, что ближний магнитный порядок приводит к заметной температурной зависимости, в отличие от формулы (25.14), в которой учитывался только дальний магнитный порядок. В частности, может наблюдаться некоторый спад сопротивления прп Т ? ®. Это, по-видимо- му, и происходит в случае монокристалла Gd (см. [287]) для гексагональной осп [0001] в интервале температур от О = ^93,2土0,2。К до 力=340° К.
{(.Магнитное остаточное» сопротивление. Мотт и Стпвенс [290] указали на различную природу температурной завпспмостп р (Г) в ферромагнитных металлах Ni и Fe, которое проявляется в том, что если проэкстраполпровать участок кривой р (Т) для Т>®к Т = О3 К, то для Ni получается «остаточное» сопротивление значительно меньшее, чем для Fe (см. рис. 25.11 п 25.13). Причина этого заключается в том, что в Ni практически отсутствует эффект от рассеяния электронов проводимости на неупорядоченных магнитных моментах d-электронов, а в Fe он значителен. Аномалия электропроводности в Ni но моттовской двузонной модели объясняется изменением характера поверхности Ферми с повышением температуры. Прп нпзкпх температурах (Т《0) для электронов проводимости с проекцией сппна, параллельной самопроизвольной намагниченности, переходы в d-полосу запрещены, поскольку все уровни с такими проекциями спина в этой полосе Ni заняты (см. гл. 20). Поэтому для электронов проводимости с такой проекцией сппиа средняя длина свободного пробега заметно больше, чем у носителей тока с противоположной проекцией сппна. Однако прп Т ? ® пз-за появления свободных мест в d-полосе для положительных сппнов в силу тепловых возбуждении все s — d-переходы разрешаются, п поэтому в рамках этой модели Ni но своим электрическим свойствам в этой области температур должен быть подобен неферро- магнптному Pd (его гомологу в таблице Менделеева). Это полностью подтверждается (шытом (см. рпс. 25.12). Таким образом, в Ni рассеяние электронов проводимости на сппновых неоднородностях, по-видпмому, не является заметным эффектом по сравнению с механизмом Мотта — Бабера. Наоборот, в Fe главную роль играет механизм рассеяния на этих неоднородностях, что и приводит к большому «магнитному остаточному» сопротивлению (см. рпс. 25.13). Мотт п Стивенс [290] предложили незавпсп- Mbiii метод проверки изложенной точки зрения. Приближенно суммарное электросопротивление ферромагнитного металла можно представить как сумму магнитной рмагн и фононной рф0П частей, каждую пз которых можно представить как произведение двух сомножителей:
Р ⑺=Рмагн (') + рфон (Г)=(尸$ + 尸丁)F, (25.15)
где Ps и Рт — факторы, обусловленные свойствами соответственно спиновой и фононной систем, a F — фактор, зависящий от свойств электронов проводимости (их концентрации и эффективной массы, плотности уровней в электронном спектре п т. п.). В Fe при TV® основной вклад в температурную зависимость дает фактор Р$, фактор F прп этом практически постоянен. В Ni, наоборот, фактор Ps ^ 0 и температурная зависимость рмагп обусловлена в основном фактором F пз-за изменения поверхности Ферми с температурой. Представим теперь себе, что мы включили еще один механизм рассеяния, например, вводя в металл малые прпмесп. Тогда в (25.15) добавится новое слагаемое, которое запишем в виде РAF. В случае Fe нп РА, нп F не зависят от Т, поэтому эта добавка будет одинаковой п прп низких и прп высоких температурах. В случае же Ni, у которого РА тоже не зависит от Т. sl F сильно меняется с ростом Т, добавочное сопротивление сплава будет расти с ростом Т. Опыты Колса [195] с твердыми растворами Ru — Fe (1% Ru) ii Pd — Ni (1% Pd) полностью подтвердили предсказание Мотта и Стивенса [290] (такие добавки были выбраны, чтобы минимально изменять зонную структуру матрицы сплава).
Особенности магнитного сопротивления РЗМ, На первый взгляд прп сравнении опытных кривых для d-металлов п РЗМ (см, рис. 25,11—25,26) может показаться, что природа аномального электросопротивления у нпх одинакова н все различие носит лишь чисто количественный характер. Однако фактически это на так. Различная природа s — ^-электронной системы d-металлов us — /-системы /-металлов приводит к качественным различиям н в аномалиях их кинетических коэффициентов т в том числе и электросопротивления. Можно указать на три особенности в механизмах рассеяния электронов проводимости в РЗМ по сравнению с d-металламп. Одна пз нпх связана с резко локализованным состоянием 4/-слоев в РЗМ. Вторая определяется особенностями пх атомной магнитной структуры (неколлпнеарные структуры). И, наконец, третья связана с большой магнитной анизотропией РЗМ.
Первую особенность рассмотрел Эллиотт [291], по которому добавочное электросопротивление в РЗМ обусловлено двумя причинами, каждая пз которых дает эффект
одного и того же порядка и с той же температурной зависимостью. Во-первых, электроны проводимости могут неупруго рассеиваться на 4/-ионах, изменяющих при этом -свою энергию между их штарковскыми уровнями, возникающими в поле лигандов (см, гл. 10). Во-вторых, при конечных температурах 4/-ионы в этих различных энергетических состояниях будут распределяться случайным образом по узлам кристаллической рететкп, с числами заполнения, определяемыми распределением Больцмана. Поскольку 4/-ПОНЫ в этих состояниях имеют различные поперечные сеченпя для рассеяния электронов проводимости, то электросопротивление будет меняться с изменением заселенности, т. е. с изменением температуры. Для добавочного сопротивления от этих двух механизмов Эллиотт получил выражение Ар 〜sch (Д/З^Т), где А —— штарковское расщепление между основным состоянием и первым в озбужденным шт ярковским уровнем 4/чюна. При разумных оценках величины А (А/"е ^ 150。К для Рг и А/加е ^ 15° К для Nd) теоретическая формула хорошо описывает экспериментальные кривые [196, 197, 292] для Рг и Nd ).
Вторая особенность РЗМ рассматривалась в работах [294—296]. Как уже отмечалось выше (гл. 20), тяжелые РЗМ от ТЬ до Тт имеют сложную неколлпнеарную магнитную структуру. В точках Нееля ®“ при охлаждении они испытывают переход из парамагнитного в антифер ромагнптное состояние с неколлинеарной магнитной структурой. Прп более нпзкпх точках Кюрп О наблюдается переход в ферромагнптное состояние. Эллпотт [297], Каплан [298], Иоспда и Мива [299] п в особенности Дзяло- пшнский [300] показали, что периоды магнитных структур в РЗМ определяются взаимодействием электронов проводимости с магнитными ионами (см. гл. 20), а также большой анизотропией, вызванной кристаллическим нолем. Опыты Легвольда и др. |200, 204, 205] показали, что эти сложные магнитные структуры очень резко могут сказаться на виде температурной зависимости электросопротивления РЗМ. В точках Нееля наблюдается подъем кривых р (7), затем прп поншкенхш температуры достигается максимум, а в точках Кюрл происходит резкий спад. Эти эффекты обладают резко выраженной анизотропией. Они наблюдаются заметным образом только при трке, текущем вдоль гексагональной осп. В плоскостях базиса, перпендикулярных :)той осп, температурный ход р (Т) в РЗМ такой Же, как и в случае d-металлов Fe п Ni. Последнее связано с тем, что в плоскостях базиса пмеет место ферромагнитное упорядочение магнитных моментов 4/-ионов. Все периодические изменения в магнитной структуре происходят при переходе от одной базисной плоскости к соседней. Перподпч- ностп магнитных структур отличаются от периодичности ионных решеток РЗМ, поскольку первые определяются велпчпной диаметров экстремальных сеченпй поверхностей Фермы для электронов проводимости в штх. Благодаря этому различию в перпо- дпч ностп в кристалле РЗМ возникают новые границы зон Бриллюэна (перпендикулярных гексагональной осп), что приводит к искажению поверхностей Фермп. Последнее сказывается на сечениях рассеяния п, следовательно, на электросопротивлении и других ктшетпческпх свойствах. Поскольку магнитная структура в интервале от точки Нееля до точки Кюри меняется с температурой, то прп этом будут меняться п времена релаксации электронов проводимости, что л приводит к специфическому температурному ходу электросопротивления в этом интервале. Сравнение теоретических кривых, рассчитанных Эллиоттом п Веджвудом [296], с опытными кривыми [200, 204, 205, 301] показывает неплохое качественное согласие теории с опытом. Отклонения связаны с недостатком данных об электронной л магнитной подсистемах в РЗМ.
Переходим к третьей особенности р (7) в РЗМ. При наличии в спектре спиновых волн заметной энергетической щели А, обусловленной, например, большими значениями знерпш магнитной анпзотроппп в магнптноодноосных (гексагональных) ферромагнитных РЗМ кристаллах, во всех термодинамически равновесных величинах и кинетических коэффициентах появляется экспоненциальный фактор ехр (—А/^е?) (см, [302]). Маклптош [303] на основе формулы для р = Рмагн Н~ Рфош поправленной на влияние- щели А, получил
р = ЛП ехр (一厶/吒口 + ВТЗ (25.16) и используя значение А/ кБ ^ 20° К, получил хорошее согласие для Tb, Dy п Но* В случае Dy измерения Волкенштейна н др. [217] на гораздо более чистом образце также подтвердили, что в области нпзкпх температур р(Т) достаточно хорошо подчиняется завпспмости (25.16).
В Gd, как показано в [302], закон дпеперепп для спиновых волн ноепт линейный характер. Последнее приводит к тому, что вместо закона Т1'/? намагниченность подчиняется закону ?2, а электросопротивление, вместо Т? будет меняться по закону Т4. Для намагниченности такой ход был найден прп Т W 50° К в работе [289], а для электросопротивления в [304] найдено, что в интервале от 3 до 15° К р (Т) = А Тп, где п ^ 、3,73 土 0,03, что близко к значению м = 4, предсказанному Макинтошем [303]. Уменьшение п по сравнению с м = 4 может быть объяснено вкладом в р от электрон-
электронного рассеяния, пропорциональным Г2, или фононного. Однако в работе Вол- кенштейна и Старцева [216] при температурах от 1,5 до 4,2° К р (Т) имеет вид (25.8> с надежно определяемым линейным членом
71a+(25.17).
где А ^ 21,8 10~6 град~11 85,1 Л0~6 град~2. При температурах 拄20° К результаты
работ [216] и [304] полностью согласуются *).”
Случай ферромагнитных сплавов. Машаров [308] в рамках s ——d-обменной модели в области низких температур, где справедливо спин-волновое приближение, рассчитал электросопротивление бинарных ферромагнитных сплавов (для случая близких по свойствам атомов обоих компонент). Согласно этим расчетам процессы неупругого рассеяния электронов проводимости на спиновых волнах без сохранения квазиимпульса дают вклад в p^JH, пропорциональный ТМ2. Часть электросопротив- ления сплава, зависящая от температуры, связанная с упругим рассеянием электронов проводимости, растет с понижением температуры по закону р0 (1 — аТ1'/?), где а > 0，m достигает наибольшего значения р0 при Г 0° К. В работе [309] Машаров обобщил свои расчеты на случай антиферромагнитных сплавов, а в работе [310] учел эффект магнитного увлечения. К сожалению, пока нет прецизионных измерений р (Т) на ферромагнитных сплавах, которые можно было бы сравнить с полученной Машаровым формулой. Обращаем внимание на работы [311——315], в которых исследуется р (Г)- в сплавах РЗМ.
Теплопроводность
Другим примером кинетического эффекта может служить теплопроводность. Этот вопрос исследовался теоретически в работах Касуйя [262], Абельского и Турова [259] и Колкуитта [316]. Во второй из них рассчитано теплосопротивление ферромагнитного металла, связанное с рассеянием электронов проводимости на спиновых волнах для области температур 0 ^> Г ^> Го в приближении квадратичного закона дисперсии для электронов, когда в формуле (25.8) для электросопротивления рмагн основную роль играет член, пропорциональный Т2. Расчет проводился в обычной схеме кинетического уравнения с использованием метода Кролля [317]. В результате было получено, что магнитный вклад в теплопроводность не зависит от температуры. Это получено другим методом и в работе Касуйя [262]. Кроме того, примечательно, что величина теплосопротивления Й^магн фактически определяется тем же самым коэффициентом а2, который входит в формулу для электросопротивления. Поэтому появляется возможность двух независимых экспериментальных способов определения константы а? по измерению р и Ж. Если коэффициент а2 оценить по опытным данным для р [212}' (做弋 Ю~12 ом -см/град2 ^ 10-24 сек/см) и подставить в формулу Жмагн пз [259], то получим ТУмаГН ^ 10~7 град «см *сек -эрг"1. Это значение сравнимо по порядку величины с экспериментальными данными для Fe при Т ^ 4,2 °К [318]. Данные этой работы показывают, что теплосопротивление многих металлов обычно хорошо аппроксимируется формулой
17 = а/2+贤.(25.18)
Первое слагаемое обусловлено рассеянием электронов на фононах, второе — на примесях. При низких температурах основную роль играет второе слагаемое в (25.18). В случае ферромагнетика в правую часть (25.18) следует добавить еще не зависящее от Т слагаемое Жмагн. Поэтому можно надеяться обнаружить ЖмаГН в очень чистых ферромагнетиках, когда примесный член будет сравним или меньше 勿магн。В опытах Уайта и Вудса [188] показано, что температурная зависимость W (Г) для ферромагнитных переходных d-металлов аналогична такой же зависимости для парамагнитных d-металлов в интервале температур от 20° К до 6д/2, возрастая при нагревании пропорционально Т2. Однако выше Од/2 кривая Ж (Т) для парамагнитных металлов изменяет наклон и И7 становится практически постоянной, достигая максимального значения при @д. С другой стороны, Ж (Г) для Fe, Со и Ni хотя и испытывают изменение наклона вблизи Т ®д/2, но потом W устойчиво сохраняет прежнюю температурную зависи- мость вплоть до 0д. Для более высоких температур пока нет достаточно точных данных. Как отмечено в [316], это различие в поведении PF (Т) для ферромагнитных и парамагнитных d-металлов может быть объяснено наличием в первых добавочных механизмах рассеяния электронов проводимости на спинов ой системе. Для рассмотрения вопроса о сохранении характера температурной зависимости в интервале от @д/2 до 6д можно взять величину ДЖ — [W (@д) — W (@д/2)]/Ж (0д/2). Опыт показывает, что в пара-
магнитных металлах ДЖ л; 0,05, а в ферромагнитных А Ж « 0,3. Как мы уже видели при учете рассеяния электронов проводимости на спиновых неоднородностях в однозонной модели по [259], Жмагн не зависит от температуры, поэтому такой механизм не может объяснить упомянутую выше аномалию в интервале температур 0 д/2 V Т V V 0д. В связи с этим Колкуитт [316], используя схему, аналогичную схеме Гудингса {267]лри расчете рмагн (см. выше) показал, что индуцированные магнонами межзонные s — d-переходы дают удовлетворительное описание указанной выше аномалии. За подробностями отсылаем читателя к работе [316]. По вопросу теплопроводности ферромагнетиков см. также работы [319—333].
Гальваномагнитные и термомагнитные четные эффекты
Магнетосопротивление. Впервые наиболее подробно магнетосо-
противление и термомагнитные явления в ферромагнетиках исследовали в 1888 г. Гольдгаммер [334] и в 1891 г. Бахметьев [335]. Гольдгаммер установил в ряде ферромагнетиков, что вблизи точки Кюри имеет место простая связь между Арн/ро и намагничен
ностью I ферромагнетика:ностью I ферромагнетика:(2549)(2549)где а — постоянная, а Аря изменение р под действием внешнего поля Н, создающего в ■образце намагниченность I. Позднее эти опыты повторили Герлах [336], Шпейдерхан и Герлах [337], Энглерт [338] и Поттер [339], которые указали способ определения величины и температурной зависимости самопро
ностью I ферромагнетика:
ностью I ферромагнетика:
(2549)
(2549)
извольной намагниченности с помощью изме-
рения величины Аря- При температурах, близких к точке Кюри и выше нее, появляется истинное намагничивание, которое и вызывает, согласно (25.6), уменьшение сопротивления, пропорциональное Z2. Однако тип кривых Дря = / (Z2) выше и ниже точки Кюри, как это видно из рис. 25.31, существенно различный. При Т > @, т. е. в парамагнитной области кривые Арн=/(Г) (изотермы) проходят через начало координат с уг-
Рнс. 25.31. Схематическая зависи-Рнс. 25.31. Схематическая зависи-мость относительного магнетосопротивления др д7ро ферромагнетика при 77= const от квадрата его намагниченности 0 при температурах выше точки Кюри @ (Т > @), в самой точке Кюри (Т = @) и при температурах ниже точки Кюри (Тг < V Ti V в). Пересечение последних Двух кривых с осью абсцисс дает значения ^квадратов самопроизвольной ^намагниченности при соответствующих температурах:忌(ТО имость относительного магнетосопротивления др д7ро ферромагнетика при 77= const от квадрата его намагниченности 0 при температурах выше точки Кюри @ (Т > @), в самой точке Кюри (Т = @) и при температурах ниже точки Кюри (Тг < V Ti V в). Пересечение последних Двух кривых с осью абсцисс дает значения ^квадратов самопроизвольной ^намагниченности при соответствующих температурах:忌(ТО иIs (Т2).Is (Т2).ловьш коэффициентом, возрастающим с температурой. Для 7<0 кривые пересекают ось Z2 при Z2 片 0. Таким образом, при 7 V ❷ изотермическое
Рнс. 25.31. Схематическая зависи-
Рнс. 25.31. Схематическая зависи-
мость относительного магнетосопротивления др д7ро ферромагнетика при 77= const от квадрата его намагниченности 0 при температурах выше точки Кюри @ (Т > @), в самой точке Кюри (Т = @) и при температурах ниже точки Кюри (Тг < V Ti V в). Пересечение последних Двух кривых с осью абсцисс дает значения ^квадратов самопроизвольной ^намагниченности при соответствующих температурах:忌(ТО и
мость относительного магнетосопротивления др д7ро ферромагнетика при 77= const от квадрата его намагниченности 0 при температурах выше точки Кюри @ (Т > @), в самой точке Кюри (Т = @) и при температурах ниже точки Кюри (Тг < V Ti V в). Пересечение последних Двух кривых с осью абсцисс дает значения ^квадратов самопроизвольной ^намагниченности при соответствующих температурах:忌(ТО и
Is (Т2).
Is (Т2).
уменьшение электросопротивления в силу истинного намагничивания оказывается пропорциональным разности между квадратом результирующей намагниченности Z2 и некоторым начальным значением, величина которого растет с уменьшением температуры. Это начальное значение, согласно Герлаху [336], и будет пропорционально квадрату самопроизвольной намагниченности
(25.19а)(25.19а)警=а(/2 j).
(25.19а)
(25.19а)
Этот вывод полностью подтверждается совпадением значений Is (Т), полученных из кривых рис. 25.31, со значениями /$ (7), полученными из измерений магнетокалорического эффекта (см. гл. 18).
Итак, опыт показал, что при намагничивании ферромагнетика во внешнем магнитном поле его электросопротивление меняет свою величину. При этом можно интересоваться или изменением сопротивления, когда ток и поле параллельны Продольный эффект Арц), или изменением сопротивления при взаимно перпендикулярной ориентации тока и поля (поперечный эффект Ар丄). На рис. 25.32 приведены типичные кривые Дрц (Н)
и Ар丄(Н) по данным работы [340], из которых видно, что продольный эффект в области технического намагничивания имеет положительный знак, а поперечный — отрицательный. В области сильных полей, где
тосопротивления от величины магнитного поля в Ni (продольный (Др/р)ц и поперечный (Ар/р)丄 эффекты) (Факидов и Гражданкина (3403).тосопротивления от величины магнитного поля в Ni (продольный (Др/р)ц и поперечный (Ар/р)丄 эффекты) (Факидов и Гражданкина (3403).существует парапроцесс, обе кривые практически одинаково спадают с ростом истинной намагниченности (см. рис. 25.32), как и следует ожидать по формуле (25.14).
тосопротивления от величины магнитного поля в Ni (продольный (Др/р)ц и поперечный (Ар/р)丄 эффекты) (Факидов и Гражданкина (3403).
тосопротивления от величины магнитного поля в Ni (продольный (Др/р)ц и поперечный (Ар/р)丄 эффекты) (Факидов и Гражданкина (3403).
Правила четных эффектов. Связь магне- тосопротивления с теорией намагничивания установил Акулов [341], который показал, что полученная им формула (23.17) для расчета магнитострикции ферромагнитных кристаллов в области процесса вращения может быть применима для расчета любых так называемых четных эффектов (не зависящих от знака поля или намагниченности) — гальваномагнитных, галь- ваноупругих, термомагнитных, термоупругих и т. п. В области слабых полей, где намагничивание осуществляется с помощью процессов смещения, Акулов применил разработанный им упоминавшийся в § 2, п. 2 статистический метод [13]. Если в законе анизотропии ограничиться членами разложения не выше биквадратичных (относительно направляющих косинусов вектора самопроизвольной намагниченности) и не при
нимать во внимание парапроцесс, то можно, как показал Акулов (1939), сформулировать два общихправила четных эффектов:
В области процессов смещения изменение величины четных эффектов при слабых деформациях пропорционально, в первом приближении, первой степени внешних напряжений, а при намагничивании ——пропорционально квадрату намагниченности. Отношение постоянной каждого упругого эффекта к постоянной соответствующего магнитного эффекта есть величина приближенно постоянная для всех эффектов. Она равна произведению начальной восприимчивости материала на константу маг-
нитострикции насыщения, измеренную вдоль оси легкого намагничивания.
Сумма результатов измерений любого четного эффекта по трем произвольным взаимно перпендикулярным направлениям (в отсутствие парапроцесса) равна нулю. Если же имеет место парапроцесс, то эта сумма растет пр оп орцион ально квадрату изменения результирующей намагниченности (〜3/2) ).
Штейнберг и Мирошниченко [343] исследовали влияние ориентации самопроизвольной намагниченности на сопротивление Ni, Fe и сплавов Fe — Ni. Одновременно они исследовали, как на этот эффект влияет растяжение и кручение, и показали, что смещения 180°-границ не влияют на изменение электросопротивления ферромагнетиков. Проведенное Храмовым и Львовой [344] исследование термомагнитного и термоупругого эффектов и Феденева [345] по изучению изменения электросопротивления в Fe и Ni под действием магнитного поля и слабых упругих напряжений, подтвердили правила четных эффектов. Белов [346] проверил теорию при одновременном действии поля и напряжений на термоэлектродвижущую силу в ферромагнетиках. Акулов и Аннаев [347, 348] исследовали анизотропию термо-э. д. с. в кристаллах Fe и другие аномалии термо-э. д. с. в ферромагнетиках. Аннаев исследовал влияние процессов упорядочения
в ферромагнитных сплавах системы Ni — Мп и термомагнитные эффекты Томсона — Нернста [348], а также эффект Гольдгаммера [349]. Кроме того, он установил влияние распределения теплового потока на термомагнитный эффект [350]. Феденев и Усков [351] нашли, что линейная связь между изменением электросопротивления и квадратом намагниченности имеет место при всех температурах. Волков [352], изучая термоупругие и термомагнитные эффекты, обнаружил новую возможность исследования внутренних напряжений по их влиянию на эти эффекты. Белов и Волков [353] произвели дальнейшие исследования в этом направлении для гальваноупругого эффекта. Феденев и Вампилов [354] и Белов [355] исследовали влияние упругих напряжений на четные эффекты и на гистерезис этих эффектов. Акулов, Волков и Белов [356] обнаружили, что при растяжении железной проволоки, по которой предварительно был пропущен электрический ток, на концах ее возникает электрическая разность потенциалов. Появление этой разности потенциалов происходит в результате изменения остаточной циркулярной намагниченности (созданной током) под влиянием растяжения. Капица [357] исследовал магнетосопротивление в ферромагнетиках в очень сильных магнитных полях.
Феноменологическая теория анизотропии четных эффектов. Анизотропия четных эффектов в ферромагнитных кристаллах феноменологически описывается формулой, аналогичной формуле (23.17) для магнитострикции. Обозначая величину любого четного эффекта через а, а направляющие косинусы углов вектора Is и вектора плотности электрического тока J и т. п. с тетрагональными осями кристалла {100} соответственно через ав а2» «з и pi, р2, рз, будем иметь для кристаллов кубической симметрии
а = % (а；р； + 嗎代 + а!Рз 一4") + 2& 910^也十 а2а3р2р3 + 备仪力з“)，
(25,20
где 7tl и х2 — постоянные анизотропии четных эффектов, определяемые из соотношений
22
a]|[100] = §х1 и и [ill] — у Х2,
где а\\ [юо] и ац [Ш] — соответственно продольные четные эффекты, измеренные вдоль осей [100] и [111]. Формула (25.20) позволяет рассчитать при известных % и х2 зависимость а от ориентации поля (или намагниченности при насыщении) в кристалле. При этом направление тока и направление измерения совпадают и не меняются. Опыты на монокристаллах Fe и Ni, проведенные для гальваномагнитного эффекта Вебстером [358] и Кайя [359] и для термомагнитного эффекта Аннаевым [348], находятся в хорошем согласии с формулой (25.20). Последнюю в некоторых случаях можно использовать (после усреднения) и для описания четных эффектов в поликристалле (при условии, что у них нет магнитной и кристаллографической текстуры). Усреднение по направлениям кристаллитов дает:
а = ® 十出 cos2 О, cos О =仪1自 + а2р2 ~г азбз,(25.21)
где
2[23
ai =-元 %-^"*2,a2~х2-(25.22)
Отсюда для продольного (0 = 0) и поперечного(0=冗/2) эффектов получаем соответственно
a" =% +的=—g- (■!"% +*2)； a丄=ga = a _a丄 sin2 0
(25.23)
или &|[ = —2口丄,т. е, удовлетворяется второе правило четных эффектов.
Однако в ряде случаев наблюдалось отклонение от второго правила четных эффектов для магнето сопротивления. Например, измерения на сплавах Гейслера (Поттер [360]), высококоэрцитивных сплавах и кремнистом железе (Шур и Дрожжина [361], Комар и Портнягин [362] и Бейтс [363]) показали, что Ар丄 и Арц имеют одинаковый знак в области технического намагничивания. Эти отклонения, как указал Вонсовский [364], определяются в исследованных веществах членами более высокого порядка относительно направляющих косинусов в формуле (25.20), которые обычно не учитывались при выводе второго правила четных эффектов. Действительно, например, формула для изменения электросопротивления в магнитном поле, с учетом членов не только второго, но и четвертого порядка относительно направляющих косинусов а1? а2, а3 1см. Ганс и Харлём[[365], Дёринг [366], Вонсовский и Шур (1948)], имеет вид ■^■二乂！ aJPi + «2^2 + азРз — у) —2х?(0clec281P2+ а?ссзР2卩з + ^зос103Pl) +
+ & (臂况 + а效:+ а>? — у) +
+ 乂4 [а；0； + «2^2 + а：卩:+ -|- (а；а； + а；а； + а：а；) — £] +
+ 2х5 (ад2a第良 + а2а3а2р2рз + 则仪似以包).(25.24)
-Формула (25.24) справедлива для монокристаллов Ni; в случае Fe в скобке при х3 следует опустить слагаемое «—1/3». Для идеального поликристалла, лишенного кристаллографической и магнитной текстуры, после усреднения по углам получаем снова (25.21), но вместо (25.23) имеем
〃，〃，1 \11 \1-7-7-3-3a2 = 犬=Отсюда для продольного и поперечного эффектов опять получаем (25.23).a2 = 犬=Отсюда для продольного и поперечного эффектов опять получаем (25.23).+2 -3/и\1 -5+2 -3/и\1 -512_7+12_7+3 -7+3 -7+к3 -5к3 -52 -32 -3441 -71 -7
〃，
〃，
1 \1
1 \1
-7
-7
-3
-3
a2 = 犬=
Отсюда для продольного и поперечного эффектов опять получаем (25.23).
a2 = 犬=
Отсюда для продольного и поперечного эффектов опять получаем (25.23).
+2 -3/и\1 -5
+2 -3/и\1 -5
12_7+
12_7+
3 -7+
3 -7+
к
3 -5
к
3 -5
2 -3
2 -3
4
4
1 -7
1 -7
Если Хз = °, то второе правило четных эффектов выполняется. Если же 乂3片0 и, например, х3 > 0, то при условии
Хз>ЗК‘>0 (25.26)
продольный и поперечный эффекты будут иметь одинаковый знак. Возможные типы кривых для Ар丄 и Арц в зависимости от соотношения величин и знаков констант х3 и Кг приведены в работе ван Эльста [367].
Полученное Вонсовским [364] неравенство (25.26) для констант анизотропии магнетосопротивления, которое должно осуществляться при появлении одинаковых знаков Ар丄 и Арц подтвердили на опыте Зотов и Шур [368]. Факидов, Гражданкина и А. Кикоин [369] исследовали продольный и поперечный эффект Гольдгаммера в сплаве Сг — Те, а Факидов и Гражданкина [370] — в сплаве Мп — Sb и обнаружили, что оба эффекта имеют одинаковый знак и не подчиняются второму правилу четных эффектов. Точка Кюри ферромагнитного сплава Сг — Те очень низкая (+60° С), и поэтому парапроцесс играет большую роль уже при комнатных температурах. Белов [371] показал, что если учесть парапроцесс, то можно количественно объяснить результаты вышеупомянутых опытов для сплава Сг — Те. Белов и Панина [372] приводят данные измерений эффекта Гольдгаммера в Ni вблизи точки Кюри, которые также объясняются с учетом парапроцесса. Аналогичные отклонения от второго правила четных эффектов, имеющие место и для продольной и поперечной магнитострикции в ферромагнетиках с сильно выраженным парапроцессом, наблюдались для сплава инварной группы. (30% Ni, 70% Fe)
Беловым [371], а для сплава Ni — Мп (при составе Ni3Mn, при котором и имеет место большой парапроцесс) Волковым и Зубовым [373].
В сплаве Мп — Sb измерения Факидова и Гражданкиной [340] показали, что продольный и поперечный эффекты имеют не только одинаковый знак, но в области парапроцесса оказываются положительными. Хотя в других случаях в рбласти парапроцесса всегда, как правило, наблюдалось уменьшение сопротивления. Детальные исследования анизотропии магнето сопротивления на сплавах Ni с неферромагнитными металлами в интервале температур от 300° К до 14° К провел ван Эльст [367]. Халилеев [374] исследовал изменение электросопротивления естественного магнетита в магнитном поле при низких температурах (от 80 до 120° К). Он показал, что электросопротивление магнетита в магнитном поле убывает. Относительное уменьшение электросопротивления Ар/р0 имеет резко выраженный максимум при Т = 111,4° К, достигая (в поле 9000 з) 8% от исходной величины. Этот результат, как уже указывалось, связан с тем, что при Т = 111,4° К магнетит претерпевает своеобразное фазовое превращение второго рода.
До сих пор речь шла в основном о четных эффектах в ферромагнитных образцах, намагниченных до насыщения, и рассматривалась зависимость эффекта от ориентации намагниченности насыщения Is в кристалле. Рассмотрим теперь кратко случай слабых полей, когда результирующая намагниченность образца меньше насыщения: I V /§, т. е. зависимость четных эффектов от процессов технического намагничивания. По первому правилу четных эффектов Акулова (1939) в области процессов смещения любой четный эффект а должен быть пропорциональным квадрату намагниченности образца. Впервые это было установлено в опытах Гольдгам- мера [334], а затем Герлаха [336]. Измерения термомагнитного эффекта в поликристаллическом Ni (Волков [352]) показали, что четный эффект линейно зависит от квадрата намагниченности при I V /§. При некотором значении намагниченности на прямой а (/?) наблюдается довольно резкий излом, который соответствует книку на кривой намагничивания, т. е. тому 'значению намагничивающего поля, когда завершаются процессы смещения границ доменов и начинаются процессы вращения вектора Is относительно направления внешнего поля (см. гл. 23). Такой резкий излом наблюдается лишь в образцах, в которых нет заметных структурных искажений и внутренних напряжений. Если это условие не выполнено, то переход на кривых а (/2) от области процессов смещения к области процессов вращения «размазывается». Наклон прямой a (Z3) в области процессов смещения заметно ниже, чем в области процессов вращения. Это объясняется тем, что для четных эффектов имеют значение лишь смещения границ между областями с соседствами, отличными от соседств 180° типа. Угол наклона начального участка кривой а (/纟)будет тем меньше, чем больше доля 180°-соседств, т. е. угол будет зависеть от магнитной текстуры образца.
Эту зависимость можно очень наглядно наблюдать, если изменять магнитную текстуру, например, с помощью внешних напряжений. Так в случае Ni, обладающего отрицательной магнитострикцией, достаточно сильное растяжение образца ориентирует Is во всех доменах в плоскости, перпендикулярной к направлению растяжения. Поэтому процессы смещения при намагничивании вдоль направления растяжения вообще будут практически исключены. При возрастании растяжения участок кривых, соответствующий процессам смещения, практически исчезает. При растяжении образцов ферромагнетика с положительной магнитострикцией, наоборот, можно создать совершенную магнитную текстуру только € 180°-соседствами, и тогда четный эффект при намагниченностях, меньпшх насыщения (обусловленный процессами перераспределения самопроизвольной намагниченности в образце), вообще будет отсутствовать. Для термомагиитного эффекта это, например, показал Белов [355], а для
гальваномагнитного — Штейнберг и Мирошниченко [343]. Влияние напряжений на четный гальваномагнитный эффект исследовался также в работах Мак Кихана [375], Энглерта [338], см. также Беккер и Дёринг (1939). Влияние магнитной текстуры на четные эффекты исследовал Зайцев [376]. Шур и Дрожжина [361] (см. также Дрожжина и др. [377]) впервые указали на то, что исследование кривых магнето сопротивления Др/р0 = / (Я) является одним из удобных и чу вствительных способов определения магнитной текстуры ферромагнетиков.
Производились также исследования температурной зависимости четных эффектов. В качестве примера упомянем исследования температурной зависимости магнето сопротивления в нитевидных кристаллах Fe (усах), проведенные Ишином и Колеманом [378] в интервале температур от 4,2 до 300° К. При 300° К авторы наблюдали обычный положительный эффект, связанный с процессами намагничивания, и при более сильных полях также обычное понижение электросопротивления (см., например, рис. 25.32). При низких температурах в начальном участке полей, наоборот, наблюдался спад электросопротивления, а после достижения минимума (при 4,2° К для продольного и поперечного эффектов этот минимум лежал соответственно при 400—1000 з и 1—6 кэ) быстрое возрастание электросопротивления. Этот рост, по-видимому, не специфичен для ферромагнетиков и может быть связан с действием лоренцевой силы на носители тока, когда средняя длина свободного пробега достаточно велика, так что ^н^》1； 3反 — циклотронная частота, а т — время релаксации (см. гл. 14). Однако окончательного объяснения этому эффекту еще не дано. Исследуемые образцы были очень совершенны по своей структуре и чистоте (отношение сопротивлений при 300° К и 4,2° К рзоо。к/р&,2° к колебалось в пределах от 200 до 2000), и поэтому условие 3K》1 хорошо выполнялось в полях 〃步 5 的 (см. также работы [397, 403]). Такое поведение магнетосопротивления в сильных полях при низких температурах было типичным для компенсированных металлов, что детально обсуждалось в работ еЛифшица и др. [379] и Фосетта и Рида [380] (см. также [4011 и гл. 14). В последней работе была сделана попытка использовать измерения магнетосопротивлепия с целью получения информации о виде поверхности Ферми в ферромагнитных металлах.
Весьма интересны также темп ер а турные иссдедования магнетосопротивления в РЗМ — Dy, Tb и Gd, проведенные Беловым и др. [223, 381], а также Макинтошем и Спейном [382] в Но —— Бабушкиной [395], в Gd —— Волкенштейном и Дякиной [396] и в тонких пленках Gd, Dy и Tb —— в работе Шюлера [402]. Температурный ход Ар/р0 в этих металлах оказы- вается не монотонным, что связано со сложными неколлинеарными маг- нитными структурами этих ферромагнетиков. Теорию гальваномагнитных эффектов дали Абельский и Ирхин [400].
Характерным для всех четных эффектов в ферромагнетиках, исключая область парапроцесса, является то, что они практически не зависят от величины внешнего намагничивающего поля, а целиком определяются результирующей намагниченностью образца; коэффициенты, которые входят в закон анизотропии четного эффекта, и зависят от самопроизвольной намагниченности. Это уже иллюстрировалось выше на примере магнитострикции. Четные эффекты в области парапроцесса обусловлены обменными силами между электронами проводимости и спиновой системой ферромагнетика. Наиболее детально эти явления исследовал Белов (1957), в монографии которого читатель может найти подробное описание и ссылки па литературу.
И. К. Кикоин и Игошева [383] произвели анализ своих опытных данных по измерению магнето сопротивления в сплавах Ni — Си, Мп — Sb, Сг — Те [384] и данных других авторов для Fe и Ni [см. Белов (1957), Вейсс и Форрер [4], Поттер [360, 38511 и пришли к выводу, что магнето- сопротивление ферромагнетиков определяется изменением «магнитной»
части его электросопротивления рмагн во внешнем магнитном поле, то есть Ар = (рмагн)н 一 (рмагн)о, где (рмагн)н — значение магнитной части электросопротивления в магнитном поле. Далее они предположили, что (Рмагн)н и (рмагн)о определяются соответственно полной / и самопроизвольной Zs намагниченностями (при данной температуре 7), т. е. (рмагн) н = =а (&о — /2) и (рмагн)о = а (Цо — Л), где Zs0 — значение /$ при 0° К, а — постоянная, не зависящая от 7 и Н. В итоге для магнетосопротивления находим
△Рн — (/2—力) / 9 冃,7、 А (Рмагн)0 Go —玛•
Формула (25.27) в принятых предположениях не зависит от вещества ферромагнетика. На рис. 25.33 приведена зависимость (25.27) для перечисленных выше ферромагнетиков, построенная на основании указанных
〃y 〃俏 2
Рис. 25.33. Зависимость Дря/( Дрмагн)0 от ⑴.—或)/(1* — 玲 длянекоторых ферромагнетиков. Сплавы системы Ni—— Си с концентрациейСи (в а*г. %): 2 — 23,4; 2 — 28; 3—31,6; 4—36,8; 5 — 42,4; 6 — соедине-ние Мп — Sb; 7 — Сг — Те; 8 — чистое железо (по данным работыКикоина и Игошевой [383]).
экспериментальных величин Лрн-/А(рмагн)о; и (Z2 — 6)/(6。— 6)・ Из рис. 25.33 видно, что линейный ход выполняется достаточно хорошо, однако угловой коэффициент оказался равным не единице [как следует из формулы (25.271,) а примерно 0,5, следовательно, формула (25.27) принимает вид
厶 ^0,5 ±0,1. (25.28).
Возможно, что отличие коэффициента А от единицы связано с тем, что принятая гипотеза о том, что магнетосопротивление образца безразлично к тому, меняется ли самопроизвольная намагниченность под действием темп ер атур ы или внешнего поля, слишком груба. Этот вопрос остается открытым.
В работе Клейнера [386] по теории пространственно-временной симметрии кинетических коэффициентов показано, что обычные соотношения взаимности Онзагера, вообще говоря, неприменимы к случаю магнитных кристаллов. Клейнер дает со о тв етств ующее обобщение онзагеровских соотношений. Он показал, что все существующие в количестве 1651 трехмерные пространственные группы (с учетом обращения времени, т. е. вклк> чая и магнитные группы) распадаются на три категории: а) 230 групп, содержащих обращение времени какг элемент симметрии (случай немагнитных кристаллов), б) 230 групп, не содержащих среди элементов симметрии обращения времени и в) 1191, содержащая обращение времени в комбинации с пространственными преобразованиями симметрии. Категории б) и в) относятся к магнитным кристаллам. Соотношения Онзагера в своей обычной форме применимы к кристаллам, относящимся к категории а), вообще неприменимы к кристаллам категории б) и в модифицированной форме применимы к категории в). За подробностями отсылаем к работе Клейнера, где приведены таблицы для обобщенных соотношений взаимности для случая термогальваномагнитных коэффициентов.
Микроскопическая теория магнетосоппотивления. Первая попытка построения квантовой теории магнетосопротивления в ферромагнетиках была сделана в работе Вонсовского и Родионова [387] (см. также Вонсовский, Кобелев, Родионов [388], Вонсовский, Родионов [389], Родионов [390], Родионов, Шавров [391]). В этих расчетах на основе s —— J-обменной модели переходных металлов (Вонсовский [232]) учитывалось спин-спиновое взаимодействие между электронами и спиновой d-системой. При этом принимался во внимание эффект, о б ус л о в ленный только изменением энергетического спектра носителей тока, вызываемым тепловыми или полевыми изменениями намагниченности ферромагнетика. В результате расчета была получена теоретическая формула (25.24) для кубических кристаллов и соответствующая формула для кристаллов гексагональной симметрии (см. Родионов [390]). Постоянные %； (/ = 1, 2, 3, 4, 5) в первом приближении в области температур, близких к точке Кюри, изменяются с температурой как /2, и теоретическая оценка дает для них величину порядка 10-2—10-3, что находится в достаточно удовлетворительном согласии с опытом (Дёринг [366], Зотов и Шур [368]). В работе Вонсовского, Кобелева и Родионова [388] был дан полуфеноменологи- ческий вывод обобщенного закона Ома из кинетического уравнения при наличии магнитного спин-спинов о го и спин-орбитального взаимодействия (в приближении эффективного внутреннего поля). Получены также формулы для анизотропии четных эффектов.
Независимо квантовомеханическую теорию магнетосопротивления в ферромагнетиках развивал Смит [392]. Его рассмотрение основывалось на моттовском объяснении электросопротивления переходных металлов (Мотт [245]) и на предположении, что только спин-орбитальная связь ответственна за магнетосопротивление. В связи с учетом спин-орбитального взаимодействия необходимо принимать во внимание отмеченное Вонсовским обстоятельство [6] (см. также Латтинджер [393]), что в силу чисто мнимого характера оператора спин-орбитальной связи линейные поправки к энергии электронов проводимости исчезают. Поэтому расчет следует проводить до второго приближения для энергии и до первого для волновых функций. Расчет Смита [392] не дал правильного описания анизотропии магнетосопротивления. Последнее удалось получить Марсоччи [394], который обобщил расчет Смита. Однако достаточно разработанной квантовомеханической теории магнетосопротивленпя в ферромагйетиках пока еще не существует. По этому вопросу см. также работы [404—413].
Нечетные кинетические эффекты
Рассмотрим теперь нечетные эффекты в ферромагнетиках ).
Эффект Холла, а. Общие замечания и экспериментальные факты. Совершенно особый характер носит поперечный нечетный гальваномагнитный эффект Холла (см. гл. 14) в ферромагнетиках. Уже в первой работе по изучению холл-эффекта в Fe, Со и Ni Кундт [414] обнаружил, что эффект Холла определяется не внешним магнитным полем, а скорее намагниченностью. Он установил, что э. д.' с. Холла в ферромагнетиках пропорциональна углу вращения в эффекте Фарадея, а последний в свою очередь пропорционален намагниченности образца. Эти исследования затем были продолжены в работах А. Смита [415]. Вебстер [358] на монокристаллах
железа обнаружил анизотропию эффекта. Смит и Сирс [416], Пью [417], Пью и Липерт [418], и наконец, в весьма детальном исследовании Кикоин [419], см. также Дорфман и И. К. Кикоин (1933) ) установили, что зависимость холловского сопротивления рХОл (гл. 14) от величины магнитной индукции В в образце может быть представлена общей формулой
Рхоп = К°3 + &/•(25.29)
Иногда используются другие варианты этой формулы:
Рхол-Л0Я + Л1/>(25.29а)
где коэффициенты К。，Rs и RT связаны соотношением
4лЛ0 + Rs=-Ri>(25.296)
Рис. 25.34. К экспериментальному определению коэффициентов эффекта Холла： обыкновенного Во и спонтанного Rs (или К/ Абсцисса OL соответствует значению В Hs + + 4冗厶； ордината OG приближенно дает величину RSIS, а ОК — величину Bjls; Hs и 厶一соответственно поле и намагниченность насыщения.Рис. 25.34. К экспериментальному определению коэффициентов эффекта Холла： обыкновенного Во и спонтанного Rs (или К/ Абсцисса OL соответствует значению В Hs + + 4冗厶； ордината OG приближенно дает величину RSIS, а ОК — величину Bjls; Hs и 厶一соответственно поле и намагниченность насыщения.На рис. 25.34 показано, как экспериментально определяются эффективный обычный коэффициент Холла К。и необычный или спонтанный коэффициент Холла Rs. Первое слагаемое в правой части формулы (25.29) также называется обычным, а второе ——спонтанным или необычным эффектом Холла. Из формулы (25.29) видно, что с точностью до парапроцесса, который обычно очень слабый, при достижении магнитного насыщения (/ = /s) второй член в правой части (25.29) приближенно постоянен и равен RSIs. Графически его можно определить, экстраполируя ветвь DF кривой Рхоп (3) до оси ординат (см. рис. 25.34).
Рис. 25.34. К экспериментальному определению коэффициентов эффекта Холла： обыкновенного Во и спонтанного Rs (или К/ Абсцисса OL соответствует значению В Hs + + 4冗厶； ордината OG приближенно дает величину RSIS, а ОК — величину Bjls; Hs и 厶一соответственно поле и намагниченность насыщения.
Рис. 25.34. К экспериментальному определению коэффициентов эффекта Холла： обыкновенного Во и спонтанного Rs (или К/ Абсцисса OL соответствует значению В Hs + + 4冗厶； ордината OG приближенно дает величину RSIS, а ОК — величину Bjls; Hs и 厶一соответственно поле и намагниченность насыщения.
Тогда ордината OG приближенно дает величину RSIs. Экстраполяция начального участка кривой ОС до пересечения в точке Е с прямой GEDF дает для этой точки абсциссу со значением В = Нs + 4冗/§ (Нs ——поле насыщения, которое обычно не очень велико, Hs < 4л/s) и ординату ОК, равную R^Hs + + (4冗丛 + &) Пренебрегая Нs по сравнению с получаем для ординаты ОК
величину Кт/§. Таким образом, из графика рис. 25.34 и формулы (25.296) видно, как можно по экспериментальным данным определить коэффициенты К。и Rs (или К/ Так, например, в работе [423] по данным измерений Смита [415] для Ni найдена величина (типичная для немагнитных d-металлов)
К俨"二一6,1 • 10-13 ом*см/э.(25.30)
Для коэффициента 兄№)в Ni находим (при комнатных температурах) T?^N1) = — 7,49-10-11 ом'см/гс.(25.30а)
а в Fe
T?^Fe) = 4~ 10,11-10-11 ом*см/гс.(25.306)
Таким образом, постоянные Rs при комнатных температурах оказываются на один-два порядка больше К。. Весьма интересна температурная зависимость К。и Rs. Кикоин [424] показал, что в парамагнитной области при 7 > ® холловская разность потенциалов в основном также определяется по формуле (25.29). Используя данные Камерлинг-Оннеса и др. [425]
по измерениям магнитной восприимчивости и эффекта Холла на Pd, а также свои измерения для сплавов Си — Ni и Pd — Ni при 7 > 0, он показал, что коэффициент Холла
圖m = * = %+凡备二国十凡務•需=&十天需/,
(25.31)
где для восприимчийости дИдН использована формула Кюри — Вейсса (6.5).
Дальнейшие опытные исследования эффекта Холла в ферромагнитных d-металлах при различных температурах были проведены, например, в работах [378, 384, 426—445]. Наиболее
Рис. 25.35. Температурная зависимость обыкновенного (R。)и спонтанного (R?) коэффициентов Холла Gd (Волкеп- пггейн и Федоров [451]).Рис. 25.35. Температурная зависимость обыкновенного (R。)и спонтанного (R?) коэффициентов Холла Gd (Волкеп- пггейн и Федоров [451]).детальные исследования в Fe, Со и Ni в интервале температур от 4,2° К до ^300° К с одновременным измерением на тех же образцах электросопротивления провели Волкенштейн и Федоров [444]. Для Fe результаты этого исследования позже повторил и в основном подтвердил Дир [397] на очень чистых монокристаллах (усах). В Fe коэффициенты 7?о и -Rs положительны во всем интервале температур, причем Rs резко уменьшается с понижением температуры. При водородных температурах оба коэффициента становятся одинаковой величины и Rs при 40° К имеют минимум. В Ni коэффициенты Rq и Rs отрицательны и Rs имеет экстремум при 30° К. В Со при
Рис. 25.35. Температурная зависимость обыкновенного (R。)и спонтанного (R?) коэффициентов Холла Gd (Волкеп- пггейн и Федоров [451]).
Рис. 25.35. Температурная зависимость обыкновенного (R。)и спонтанного (R?) коэффициентов Холла Gd (Волкеп- пггейн и Федоров [451]).
комнатной температуре 7?s > 0, а 7?0 < 0 и I % I > I & |. При Т < 200° К коэффициент Rs становится отрицательным и по величине сравнимым с RQ. Экстремум Rs
АнизотропиюАнизотропиюлежит при Т & 80° К.
Анизотропию
Анизотропию
эффекта Холла в монокристаллах Ni и Со впервые
наблюдали Волкенштейн, Федоров и Широковский [446], а на усах Fe — Дир [397]. Для г. ц. к. кристалла Ni анизотропия наблюдалась только для К。, которая при 7 f 0° К исчезает. В кристалле Со с гекс. п. у. решеткой оба коэффициента 凡 и & анизотропны вплоть до 4,2° К. Опыт
ные результаты качественно объясняются из общих соображений симметрии (см. [446]).
За последнее время были начаты систематические исследования эффекта Холла в РЗМ. Первые работы [447, 448] были в основном проведены в парамагнитной области и без одновременного измерения электросопротивления. Только в исследованиях Волкенпгтейна с сотрудниками [196, 197, 449——457] были проведены исследования в широком интервале температур (от 4,2° К до 7 > 300° К) и в ряде случаев на монокристаллах Gd [455] и Dy [457] (см. также работы [458—460].)
В качестве примера приведем некоторые результаты измерений К。 и Rs для Gd [451]. Из рис. 25.35 видно, что с повышением температуры Rs (Т) непрерывно растет до точки Кюри. Выше 310—315° К постоянная К^м равна —384 '10-12 ом.см/гс; она не меняется с температурой, но меньше величины К§ при точке Кюри, полученной из области низких температур (рис. 25.35) и равной —515 '10-12 ом*см!гс. При уменьшении температуры ниже 310° К и приближении к точке Кюри (^289° К) К；м резко возрастает, но расчеты дают большой разброс величин, и поэтому этот участок на кривой рис. 25.35 показан пунктиром. Из рис. 25.36 видно, что в интервале температур 60——275° К имеется линейная связь между Rs
и квадратом самопроизвольной намагниченности
Rs^aUl(0)-Il(T)].Rs^aUl(0)-Il(T)].(25.32)(25.32)
Rs^aUl(0)-Il(T)].
Rs^aUl(0)-Il(T)].
(25.32)
(25.32)
凡二 В(Р —Р°)2,凡二 В(Р —Р°)2,(25.32а)(25.32а)g勿"zg勿"zРис. 25.36. Зависимость спонтанного коэффициента Холла I Rs I в Gd от квадрата самопроизвольной на ма гниченности Is (Волкенпггейн и Федоров [451]).Рис. 25.36. Зависимость спонтанного коэффициента Холла I Rs I в Gd от квадрата самопроизвольной на ма гниченности Is (Волкенпггейн и Федоров [451]).Рис, 25.37. Связь между спонтанным коэффициентом Холла Rs и идеальным удельпым электросопротивлением (р — ро) в Gd. п — показатель степени в выражении Rs—А (р—pQ” (Волкенштейн и Федоров [451]).Рис, 25.37. Связь между спонтанным коэффициентом Холла Rs и идеальным удельпым электросопротивлением (р — ро) в Gd. п — показатель степени в выражении Rs—А (р—pQ” (Волкенштейн и Федоров [451]).
凡二 В(Р —Р°)2,
凡二 В(Р —Р°)2,
(25.32а)
(25.32а)
g勿"z
g勿"z
Рис. 25.36. Зависимость спонтанного коэффициента Холла I Rs I в Gd от квадрата самопроизвольной на ма гниченности Is (Волкенпггейн и Федоров [451]).
Рис. 25.36. Зависимость спонтанного коэффициента Холла I Rs I в Gd от квадрата самопроизвольной на ма гниченности Is (Волкенпггейн и Федоров [451]).
Рис, 25.37. Связь между спонтанным коэффициентом Холла Rs и идеальным удельпым электросопротивлением (р — ро) в Gd. п — показатель степени в выражении Rs—А (р—pQ” (Волкенштейн и Федоров [451]).
Рис, 25.37. Связь между спонтанным коэффициентом Холла Rs и идеальным удельпым электросопротивлением (р — ро) в Gd. п — показатель степени в выражении Rs—А (р—pQ” (Волкенштейн и Федоров [451]).
Из рис. 25.37 видно, что примерно в том же интервале температур
зависимость Rs (Z) можно представить в виде
где р — полное удельное электросопротивление, а ро 一 остаточное электросопротивление. Сравнение этих данных с теорией будет проведено ниже.
Теория. Общие замечания ). Аномалия эффекта Холла в ферро- и антиферромагнетиках с точки зрения классических представлений остается совершенно непонятной. На первый взгляд кажется, что в ферромагнетиках общее выражение для поля Холла должно иметь вид (см. гл. 14)
^0 = Rl&vByj& (а, В，Y = z, у, z), (25.33)
где K^gy — обычный тензор коэффициентов Холла, т. е. все отличие заключается в том, что в выражении для силы Лоренца вектор напряженности магнитного поля Н заменяется вектором индукции А Вместе с тем вся сово-
купность экспериментальных фактов показывает, что коэффициенты у Я и 4冗/ в (25,33) существенно различаются (во многих случаях отношение коэффициентов RS!RQ из формулы (25.29) порядка 102) и имеют
резкую темпер а тур ную зависимость и при этом совершенно иную, чем в немагнитных веществах. Феноменологическую
теорию анизотропии «нечетных» кинетических эффектов в ферромагнетиках развил Акулов [462] (см. также работу [388]). Наиболее общее выражение для э. д. с. Холла в магнитно-упорядоченных кристаллах имеет вид
% (8, L Z) = R^B^U + +
+ 成謬 М)厶 ％, (25.34) где L — вектор антиферромагнетизма (см. гл. 22), аЛХ，^м)и^фм)— соответственно коэффициенты (тензоры) обычного спонтанного 巾ер二 ромагнитного и антиферромагнитного эффекта Холла [формула (25.29) есть частный случай общего выражения (25.34)].
Таким образом, задача микроскопической теории заключается в выяснении физической природы параметров К展怫")и 成挪。Коэффициент К?伊j имеет обычное лоренцевское про
исхождение, но и он имеет некоторые особенности, связанные со спецификой электронной системы в магнитно-упорядоченных кристаллах.
В работе [388] на основании общих полуфеноменологических соображений для температур, близких к точке Кюри, было получено
理晓-^(ОД +病S爛)；凡X)= 7 (S扱+/2s曲)4森盹，(25.34a) где S热(i = 1, 2, 3, 4) — тензоры, зависящие от 7 и от А①，а^ — пара-
метр внутреннего магнитного (спин-орбитального) в з аимодействи я г т — средняя относительная величина самопроизвольной намагниченности. Опять-таки из общих соображений в рамках s ——d-обменной модели (см. гл. 20) можно считать, что по порядку величины
дз(фм)дз(фм)0ЭЛЮ50103'0ЭЛЮ50103'
дз(фм)
дз(фм)
0ЭЛЮ5
0103'
0ЭЛЮ5
0103'
где 0ЭЛ — температура вырождения электронов проводимости. Из сравнения с ходом электросопротивления р (7)ферромагнетиков ниже точки Кюри [см., например, (25.13)1, можно предполагать, что знаки S^j и S^「 с одной стороны, и S觀 и 5^ — с другой, противоположны. Поэтому по крайней мере вблизи точки Кюри (7 W ©), где т2 сильно растет с понижением 7, величины К% и К識")должны уменьшаться.
Впервые Шубин (устное сообщение) в 1936 г. высказал предположение, что особенности эффекта Холла в ферромагнетиках обусловлены спин-орбитальной связью магнитных электронов и электронов проводимости. Рудницкий [463] сделал попытку объяснить аномалию эффекта, исходя из простейшего предположения об отклонении нама гниченных электронов проводимости в магнитном поле самого тока. Однако в следующей своей работе Рудницкий [464] показал, что этот эффект в 103 раз меньше наблюдаемого. В этой работе Рудницкий сделал вывод о возможности объяснить эффект механизмом спин-орбитальной связи магнитных d-электронов в поле ионов решетки (по аналогии с ранее предложенным Хулмом [465] механизмом для объяснения эффекта Фарадея в ферромагнетиках). Величина эффективного магнитного поля, необходимого для объяснения эффекта (порядка 107 а) соответствует энергии спин-орбитальной связи:卩е〃試巾 10-13 эрг (при Н^ 107 а).
Существенным моментом в работе [464], как показало дальнейшее развитие теории, было указание на важность вопроса об усреднении спин- орбитальной силы по объему кристалла и на возможность обращения в нуль ее среднего значения. Однако в работе [464] не было дано объяснения зависимости Rs типа (25.31), обнаруженной на опыте [419, 421, 424]. Кроме того, в [464] поле ^эфф вводилось на основании чисто классических представлений без учета квантовой природы ферромагнетизма. Более строгое решение в рамках s — d-обменной модели [249, 232] проведено в работах Самойловича и Конькова [466] и Патрахина [467]. Однако в этих исследованиях не учитывались свойства симметрии матричных элементов оператора спин-орбитального взаимодействия, как это выяснилось в последующих работах; из-за чистой мнимости этого оператора линейные поправки к нему и к электронной функции р аспр ед ел ени я наинизшего порядка по рассеянию отсутствуют ). Фактически это означает, что результаты работ [466, 467] тождественно обращаются в нуль.
Несмотря на эту трудность, в настоящее время уже ни у кого не вызывает сомнения, что физическая природа нечетных аномальных эффектов в ферромагнитных металлах связана именно со спин-орбитальной связыа носителей тока в них. Обменное взаимодействие, приводящее к магнитному порядку, независимо от того, вызвано оно прямой или косвенной обменной связью элементарных магнитных моментов в кристалле, благодаря своей электростатической природе не может привести к «искривлению траектории носителей тока》(ларморовскому или холловскому «закручиванию»).
Наличие трансляционной симметрии идеальных кристаллов приводит к специфическим особенностям полосчатого энергетического спектра носителей тока в металлах. Боккарт, Смолуховский и Вигнер [4681
с помощью теории групп показали, что в произвольных общих направлениях в пространстве волновых векторов электронов проводимости энергетические полосы не вырождены. Вырождение наблюдается только в некоторых, особых направлениях, совпадающих, например, с осями симметрии кристалла. Если предположить, что различные направления волновых векторов электронов проводимости играют в кинетических явлениях примерно одинаковую роль, то можно пренебречь эффектами от осевых направлений и считать энергетические полосы в металлах невырожденными. На основе такого предположения Карплус и Латтинджер [469] показали, что для ферромагнитных кристаллов с центрами инверсии и невырожденной структурой энергетических полос не возникает линейных поправок от спин-орбитальной связи к энергии электронов проводимости. Поэтому все нечетные эффекты, которые можно считать линейными по спин-орбитальной связи, должны быть обусловлены соответствующими изменениями волновых функций электронов проводимости.
Этот результат работы [469] является исходным для всей современной микроскопической трактовки нечетных аномальных явлений в ферромагнитных металлах. В самой этой работе были рассмотрены поправки к энергии электрона во внешнем электрическом поле (т. е. к полевому члену), возникающие при учете межполосных матричных элементов спин- орбитального взаимодействия. Этот результат чисто динамический, вызванный изменением действия электрического поля на магнитные носители тока из-за спин-орбитальной связи. Поэтому возникающая недиагональная компонента проводимости (см. гл. 14) ожу не зависит от механизма рассеяния. Направляя ток по оси 力，а намагниченность вдоль оси 2, по определению имеем
% . (25.35).
Обычно Оху《oL； тогда, учитывая, что ожу 〜/$, находим
Rs 工 а'рА, (25.36)'
где сс‘ 一 коэффициент, не зависящий от температуры.
Однако работа [469] весьма неполная и носит, кроме того, искусственный характер. Поправки к полевому члену кинетического уравнения имеют весьма высокий (нулевой) порядок по амплитуде рассеяния носителей тока. В то же время вклады от членов столкновений в ток обратно пропорциональны квадрату этой амплитуды. Поэтому следующие порядки после борновского приближения в теории рассеяния могут дать вклады в эффект Холла большие, чем полученный в работе [469] ).
Механизм рассеяния на примесях (немагнитных). Дальнейший прогресс был достигнут Коном и Латтинджером [472], предложившими методику вывода кинетических уравнений из уравнения движения матрицы плотности ). Используя разложение по амплитуде рассеяния и итерационную процедуру, впервые был дан строгий вывод кинетического уравнения для случая рассеяния на примесях, включая члены второго порядка по амплитуде рассеяния. В работе Латтинджера [393] этот метод был применен для расчета Rs при рассеянии подмагниченных носителей тока на примесях с малой концентрацией. При этом появились члены столкновения и для Rs была получена формула
где р0 — примесное остаточное электросопротивление. В формуле (25.37) второе слагаемое оказывается много меньше первого. Поэтому в первом приближении Rs линейно зависит от ро，Линейный член в (25.37) в более детальной записи имеет следующий вид:
(25.38)(25.38)НбРэФФ^^Ф Рохх
(25.38)
(25.38)
где к① ——фермиевский волновой вектор, (р ——средняя величина примесного потенциала (т. е. отклонение от периодичности, вызванное примесным атомом), △ — величина щели между электронными энергетическими полосами в кристалле, р；巾巾 一 эффективная плотность энергетического заряда, обусловливающая спин-орбнтальное взаимодействие носителей тока [461]. Все эти величины усреднены по всей совокупности энергетических полос, участвующих в переносе тока. Знак Е；'1™ зависит не только от знака носителей и от знака сппн-орбитального взапмодействпя, но и от знака примесного потенциала. Поэтому из (25.38) следует возможность изменения знака 冗产”” при изменении знака заряда ионов примеси. Кроме того, влияние примесей на 7?^рпм сильнее, чем на электросопротивление ро, поскольку /?^рим содержит амплитуду рассеяния в 3-й степени, а не во 2-й, как в р0. Величина /?урим также очень чувствительна к фермиевскому радиусу А①.Заметим также, что механизм рассеяния на немагнитных примесях может давать значительный вклад в спонтанный эффект Холла только из-за сппн-орбитальной связи носителей тока, которая в свою очередь пропорциональна после усреднения самопроизвольной намагниченности самих носителей. В ^-металлах этот механизм может играть существенную роль для заметно коллективизированных rf-электронов, дающих существенный вклад в эффекты переноса. См. также [733].
Механизмы рассеяния на фононах. Рассеяние на примесях ——весьма специальный частный случай. Более важную роль в формировании величины и температурного хода /?о и Rs могут играть другие механизмы рассеяния 口 в первую очередь фононный механизм. Ирхин н Шавров [475] исследовали этот механизм и показали, что в связи с неупругим характером рассеяния, в отличие от рассеяния на примесях, основную роль играет квадратичная зависимость Rs от удельного электросопротивления. Гуревич и Яссиевпч [476] использовали фейнмановскую диаграммную технику и получили ту же зависимость; см. также работу [477]. В случае фононов, как п в случае примесей, кинетическое уравнение в борновском приближении не содержит линейных по спин-орбитальному взаимодействию членов (кроме членов, соответствующих некоторым симметричным точкам ^-пространства, в которых имеется вырождение). Поэтому необходимо решать кинетическое уравнение в более высоких порядках по амплитуде рассеяния. Рассмотрение асимметрии электроп-фоноппого взаимодействия УЭф [в 475——477] непоследовательно, ибо там использован одпофопоп- ный гамильтониан. В [734] (см. также [735]) в операторе УЭф учитывались и двуфо- нопные члены. При учете однофонопных членов 7?^0H появится в 4-м порядке по VQ^- При учете еще и двуфононных процессов рассеяния эффект появится уже в 3-м порядке. На основе интерполяции грюнейзеповского типа (для р) для /?^он патпли:
❷д/т ❷д/т
s \ вд / J J [ехр (а：)—1][ехр ((/)—1]
X I一 expQ^j)—l + ехр (/—；)」]• р(26^Z； ^S^ ^) ' (25*39) где Р (а：, у) — (1 —а:2) (1 — у2) (1 Ц- За:2-(- Зу2 — 7修吟. Из (25,39) следует, что при Т》0д дф°в (7'/0д)2, а при 7《0д Л*он (Т,/0Д)Ю. Кривая & (7) по (25.39) хорошо описывает опытные данные для Fe, Ni и Gd для 0,256д < Т < €). Если это рассматривать как указание па «фононное» происхождение Rs, то для объяснения постоянства Rs при 7 > ❷ надо считать, что аномальный эффект Холла имеет различную природу выше и ниже точки Кюри.
Механизм рассеяния на магнитных неоднородностях. Как и в случае электросопротивления магнитно-упорядоченных металлов (см. § 3, п. 4), в спонтанном эффекте Холла важную роль может играть механизм рассеяния носителей тока на магнитных неоднородностях и магнитных примесях. Первый расчет этой задачи провели Абельский и Ирхин [478]. Они считали, что носители тока не подмагничены, а аномальная холловская э. д. с. возникает за счет анизотропного рассеяния при взаимодействии орбитальных моментов носителей со спинами магнитно-активных электронов. Однако в работе [478] не был получен основной линейный по магнитному сопротивлению член в /?^аГН ~ рМаГн из-за неточности использованного приближения (преждевременного
расцепления корреляторов). Кондо [286] решал такую же задачу в рамках s ——(/-модели [232], но с учетом лишь собственной спин-орбитальной связи локализованных магнитно-активных электронов. Эта работа скорее относится к эффекту Холла в РЗМ. Однако он не учитывал неупругой части рассеяния и оперировал с незамороженными орбитальными моментами, произвольно предполагая существование невырожденного основного орбитального состояния магнитно -активных электронов в переходных d-металлах..
Результаты Кондо [286] были пересмотрены в другой работе Ирхина и Абельского [480], решивших эту задачу в рамках s — rf-модели с учетом двух основных типов спин- орбитальной связи: собственного сппн-орбптального взаимодействия и взаимодействия орбитального движения носителей тока со спинами магнитных электронов. Последние при этом считались коллективизированными (но с очень узкой энергетической полосой, чтобы их вкладом в проводимость можно было пренебречь), что автоматически прпво- дпло к замораживанию их орбитальных моментов (на это впервые указал Брукс [481]). Эта задача также рассматривалась Каганом п Максимовым [473], а эффект от рассеяния на парамагнитных примесях исследовали Гуревич и Яссиевич [482].
Особый интерес представляет исследование механизма рассеяния на магнитных неоднородностях в области низких температур, где нельзя пользоваться приближением с одним временем релаксации и где справедливо приближение спиновых волн. Первая попытка расчета 7?siarn в этом приближении принадлежит Волошинскому [483], который учитывал липть взаимодействие орбитальных моментов носителей тока со спинами магнитно-активных электронов. Затем этот расчет был улучшен в работе Кагана п Максимова [473]. В этих работах были получены различные результаты. В работе [483] Е^агн ~ ?2, а в [473] Е?агн 〜 呎 в работе Ирхина и Постовалова [487], в рамках работы [483], было рассмотрено рассеяние на спиновых волнах с учетом собственной спин-орблтальной связи магнитно-активных электронов н снова был получен другой результат: /?^агн ~ 73. Наиболее последовательно задачу решили Ирхин, Волошинский и Абельскпй [474], которые выяснили причины расхождения между результатами работ [483] и [473] (из-за ошибки в знаке в одном из членов кинетического уравнения в работе [483]), а также обнаружили еще один вклад в К^агн, связанный с учетом зависящих от энергии поправок к линейной по полю функции распределения. Окончательный результат работы [474] дает:冗彎门】 〜〃丁3 + 匕片，где а и & пропорциональны соответственно несобственной (между «магнитными» электронами и электронами проводимости) л собственной (внутри системы «магнитных» электронов) спин-орбитальной связи. Из этой формулы следует возможность немонотонного температурного хода Е^агн при низких температурах, что наблюдалось и на опыте [444, 488] в Ni, Со и Fe и некоторых их сплавах (Ni ——Fe, Ni ——Co п Ni ——Си). Делались попытки одновременного рассмотрения нескольких механизмов с учетом их возможной интерпретации [476, 489, 490].
Для области температур, близких к точке Кюри (Т《0), выражение для спонтанного коэффициента Холла имеет вид [474]
磴 агн = ±2^1 盥楷(Т《@),(25.40)
где Х°ФФ ——эффективный параметр спин-орбитальной связи, С ——энергия Ферми. В (25.40) знак плюс соответствует электронной, а минус ——дырочной проводимости. Формула (25.40) может быть представлена также в виде (25.31). Это согласуется с (25,27), (25.28) и (25.14), (25.15) плп в более общей форме
К*н = а(『2 — У2),(25.41)
где 7 — средняя намагниченность, а 72 — среднее от ее квадрата.
В случае низких температур (сппн-волновое приближение) в работе [474] для К*" получена следующая формула：
…4d \2 1,1/(善)'+。”(善)"
s 512 е^kф '死d& (k)/dk )卜=h①(倉"(份似明j①/§ (0)，(…)
где 九 и 九'——соответственно параметры собственного спин-орбптального взаимодействия магнитно-активных электронов п взаимодействия орбиты электронов проводимости со спинами магнптно-актпвных электронов, 4 6d— интеграл s— ^-обменного взапмодепствия.
Роль различных механизмов рассеяния и сравнение с опытом. Теоретический анализ различных механизмов рассеяния в спонтанном эффекте Холла и его температурной зависимости открыли прпнцппиальную возможность выяснить относительный вклад каждого из этих механизмов. Кроме того, появилась добавочная возможность также выяснить степень делокализации магнитно -активных электронов в кристаллах d-металлов. Механизм рассеяния на немагнитных примесях (см. п. 3) или фононах (п. 4) дает существенный вклад в спонтанный эффект Холла лишь из-за собственной
спин-орбитальной связи носителей тока. Поэтому эти механизмы могут играть заметнукх роль лишь у ферромагнетиков с сильно коллективизированными магнитными электро- вами. Наоборот, рассеяние на спиновых неоднородностях и магнитных примесях (п. 5} в основном определяет эффект при локализованных магнитных электронах, например и рамках s — d~ или s — /-модели.
Ковдорский [491] теоретически исследовал спонтанные эффекты Холла и Нернста —Эттингсгаузена с добавочным учетом спин-орбитального взаимодействия носителей? тока с локализованными магнитными моментами ионов (аналогично работам [478] и [480]). При этом автор полагает, что знак эффекта Нернста — Эттингсгаузена зависит от того, какой из типов спин-орбитальной связи является главенствующим. В экспериментальной работе [492] делается вывод, что магнитные электроны Fe, Со и Ni принимают в токе активное участие. Однако не следует упускать из внимания и то обстоятельство, что знак эффекта зависит также от знака заряда носителей тока (дырки илш электроны), что вносит трудности в однозначность выводов о степени локализации магнитных электронов ).
В общем случае (в пренебрежении интерференцией различных механизмов) спонтанный коэффициент Холла можно записать в виде такой суммы:
Rs = дприм _|_ йфон дмагн,(25.43)
где отдельные слагаемые даются соответственно формулами (25.38), (25.39) и (25.40) (для Г《®), или (25.42) (для Т < 0).
Можно получить оценку порядков величины слагаемых в (25.43), если подставить в перечисленные выше формулы значения универсальных постоянных, а для других величин принять следующие разумные оценки:
А, эра
<р, эрг - сжЗ
п, слг~з
啮
г
?,9ФФ' эрг
2
108
5-10-!2
10-12
10-12.10-23^10-35
1022
10
5
10-13
10-1
衅。Зз.ЮТбр；1M 爲. (25.44>
где р0, р и рмагн в ом-см, /$ в ас; тогда Rs будет иметь размерность ом -см/гс； заметим, что размерность множителя [10~26 рэфф] =ом~1*см~1. По данным работы [440} в случае чистого никеля р0 0,07-10~6 ом-см и Д^РИМ 0,4-Ю"12 ом-см/гс. Для согласия теоретической оценки (25.44) с этими данными требуется принять, что рэфф
6 ЛО26 см~3. Если теперь эту величину подставить в 7?f0H в (25.44) и использовать опытные значения /$ (0) ^ 103 гс и р (300° К) ^ 7 -10-6 ом - ел для никеля, то получив /?$°н 10-12 ом *см!гс при экспериментальном значении Rs (300° К) ^ —6 ЛО-12 ом-см/гс. Хотя теоретическое значение /??он почти на порядок величины меньше опытного, но это еще нельзя рассматривать как доказательство малости фононного вклада в Rs из-за грубости проведенных выше оценок.
Оценка Е^агн ПрИ высоких температурах в случае Ni, если пргшять, что рмагн в этой области температур составляет примерно 30% от полного сопротивления р, дает у^магн ^ 1О-з,2.Ю-бД0з ^ 2,10-12 оМ -см/гс, что также меньше опытного значения. Таким образом, приведенные оценку не дают возможности выделить главный для спонтанного эффекта Холла механизм рассеяния при Т ^ 0.
Более уверенное разделение вкладов различных механизмов может дать сравнение предсказываемого теорией температурного хода /??он и Е^агн с опытными данными для Rs (Т). Хугьенан и Ривье [488] нашли, что на чистом Ni и его разбавленных сплавах с Fe и Со хорошо выполняется закон линейной связи между Rs и р2, что как-будто говорит за преобладание фононного механизма. Однако Волков и Козлова [494] в области высоких температур определили Rs (Г) для сплавов Ni ——Мо и нашли, что зависимость (25.31) или (25.41) имеет место в большем интервале температур, чем зависимость (25.39). Последняя была также найдена в работах И. К. Кикоина с сотрудниками [383, 384]. Это указывает, что механизм спинового рассеянпя играет существенную роль.
Как уже отмечалось выше (п. 1), в случае Gd по данным работы [451], зависимости 《25.31) или (25.41) и (25.32) или (25.39) трудно различимы.
Более надёжное разделение вклада фононного и магнитного рассеяния можно ■получить из измерений Rs (Г) в парамагнитной области, поскольку рмагн = const при Г > ®, а полное сопротивление пропорционально Г, и поэтому Е，°н ~ Т2. Попытки такого исследования для Ni имеются еще в работе И. К. Кикоина [424], а также в ра- -боте [495] и для Gd в работе [451]. Однако для окончательного доказательства постоянства Rs при Т > @ необходимо произвести измерения в более широком интервале температур (Т》0), чтобы исключить влияние аномалий Rs (Г) вблизи точки Кюри.
В области низких температур (Г《0) теория [см. (25.42)] предсказывает возможность немонотонной зависимости RS(T) и даже изменение знака эффекта. Это наблюдается и на опыте, например, для чистых металлов Ni, Со, Fe [440, 444] и для разбавленных растворов Ni с Fe и Со [488] Rs (Г) имеет экстремум, в то время как р (Т) изменяется монотонно. Поэтому можно предполагать, что по крайней мере при Т < 0, фононный механизм не является определяющим, ибо формула (25.39) качественно справедлива и в этой области температур ). Формула (25.42) при разных знаках постоянных собственной и несобственной спин-орбитальной связи X и V, действительно, дает кривую R^arH (Г) с экстремумом. Температура, отвечающая этому экстремуму, может быть использована для количественных оценок этих связей, i
Весьма перспективным является дальнейшее развитие теории и экспериментальных исследований г альв ано магнитных явлений в РЗМ (см. работы [484——486]).
Спонтанный эффект Холла в ферромагнитных полупроводниках. В работах Абельского и Ирхина [499] развита теория спонтанного эффекта Холла для ферромагнитных полупроводников* Как и в случае металлов, рассмотрены примесный, фононный л спиновый (магнитный) механизмы рассеяния для невырожденных полупроводников. При расчетах предполагается применимость кинетического уравнения (большая длина свободного пробега), наличие носителей лишь одного типа и отсутствие вырождения* Основным результатом является вывод, что температурный ход Rs (Т) в полупроводниковых ферромагнетиках в основном определяется экспоненциальной зависимостью с той же энергией активации, что и удельное электросопротивление (т. е. 7?gPI1M 〜 〜р0, У?*11 ~ р и 瑋агн 〜рмагн, а не & ⑺ 〜卩2, как в случае металлов и как это ошибочно предполагалось в работе [500]). Теория предсказывает также соотношения для определения подвижности по опытным данным для Rs (Т), Ro (Г) и р (Г). Детальная проверка этих соотношений была бы весьма полезна не только для подтверждения самой теории аномального эффекта Холла, но также для выяснения механизма проводимости в ферромагнитных полупроводниках и о существовании поляронного механизма в эффектах переноса в них. Теория удовлетворительно согласуется с опытными данными, полученными в работах [500—502] и отчасти в [503] для некоторых ферритов, в тех случаях, когда выполняются указанные вьппе условия.
Туров, Шавров и Ирхин [504] исследовали температурную зависимость спонтанного эффекта Холла в ферритах с точкой компенсации (см. гл. 22). Обращаем внимание также на работу Лемана [505], в которой исследовался эффект Холла в ферромагнитных примесных полупроводниках CdCrzSe^ р- и n-типа и наблюдался ряд необычных аномалий* Об исследовании эффекта Холла в ферритах см. также работы [506—510].
О коэффициенте обычного эффекта Холла Rq в ферромагнетиках. В п. 2 указывалось, что хотя коэффициент Е^з? из (25.33) и (25.34) обычного эффекта Холла в ферромагнетиках и имеет простое лоренцевское происхождение (см. :гл. 14), но в ферромагнетиках он может обладать некоторыми о со бенно стями, связанными со спецификой электронной системы в магнетоупорядоченных твердых телах. Это обстоятельство било отмечено еще в работе [388], а также в [440, 511]. Качественно его можно понять, например, если воспользоваться простыми соображениями полярной модели Шубина и Вонсовского [249] (см. гл. 20) [см. также [233, 234, 512] и Вонсовский (1953)] об изменении числа электронов проводимости в зависимости от самопроизвольной намагниченности.
Полярные состояния характеризуются числом квазичастиц «двоек»; среднее значение числа этих двоек s и играет роль добавочного эффективного числа электронов проводимости в этой модели. Свободная энергия ферромагнетика в полярной теории зависит от числа двоек, от числа ферромагнонов и от температуры. Равновесные значения эффективного числа электронов проводимости и самопроизвольной намагниченности находится из условий минимума полной свободной энергии. Приближенно свободную энергию можно представить в виде суммы двух членов — Oj (s) свободной энергии электронов проводимости, зависящего от их числа s, и члена ①2 瓦 М ——свободной энергии ферромагнетизма, зависящей от самопроизвольной намагниченности w = = Г$/Г$о, числа электронов проводимости и обычных термодинамических параметров (температура, давление), от которых, конечно, зависит и Oj. Вьппе точки Кюри второй
член равен нулю, а равновесное значение числа электронов проводимости определяется из условий минимума первогс> слагаемого
ф； Ы=0, 典 6о)〉О.(25.45)
Ниже точки Кюри минимум свободной энергии имеет место при условии
Ф；(可 + 叱(Г, m) = 0.(25.46)
Для температур, близких к точке Кюри, можно считать, что число электронов проводимости мало отличается от своего равновесного значения выше точки Кюри, и поэтому условие минимума (25.45) можно разложить по степеням разности As = s —— ——s0, а тогда, если воспользоваться известным выражением Ф2 (см. гл. 18) для температур. близких к точке Кюри, легко получить, что
As =示尸;—г т2 = Ат2,(25.47)
где a > 0 — постояннйя, определяемая из (18.57), к® — постоянная Больцмана. Таким образом, с понижением температуры и с ростом самопроизвольной намагниченности растет и число электронов проводимости As > 0.
Из элементарной теории металлов или соображений размерности легко показать (см. гл. 14), что коэффициент Холла
(25.48) где и ——эффективное число электронов проводимости* Заменяя в (25.48) и* на п0 十 + As, где п0 — число электронов проводимости в ферромагнетике выше точки Кюри, a As ——изменение этого числа ниже точки Кюри (но близко к ней), в силу (25.47) для постоянней Ro находим
1 _ ■.(25.49)
Таким образом, величина /?0 должна убывать с ростом самопроизвольной намагниченности, т. е. с понижением температуры, что и наблюдается на опыте [постоянная 4 > 0, см. (25.47)].
Более строгую количественную теорию обычного коэффициента Холла для о.ц.к. решетки железа при температурах ниже 100° К на основе двухполосной зонной модели развили Коттам и Стинчкомб [513]. Им удалось достаточно хорошо объяснить опытные данные, полученные Волкенштейном и Федоровым [444], Диром [397], также Фпва- цем [514] по резкой и немонотонной зависимости коэффициента 7?^^ от температуры и концентрации примесей< За подробностями отсылаем читателя к оригинальной работе. Хотя в этой работе все расчеты проделаны для случая Fe, в принципе эта двухполосная трактовка может быть с успехом использована для всех переходных d-металлов, а возможно и для 4/-металлов (РЗМ). В этом расчете используется конкретный вид поверхностей Ферми переходных металлов. В частности, в работе [513] используется структура полосы и поверхность Фермы, рассчитанная для о. ц. к. Fe Вако и Яма- шита [515]. Связь нечетных эффектов Холла, Нернста —— Эттингсгаузена с формой поверхности Ферми в d-металлах исследовал Ковдорский [516]. Особенности кинетических эффектов в антиферро- и ферримагнетиках рассмотрены в работах [408, 504, 593, 736].
Обращаем внимание также на работы Ву-динь Кы [517], в которых исследован случай так называемого плоского эффекта Холла.
Оптические, магнетооптические *) и некоторыедругие свойства ферромагнетиков
Общие замечания. При изучении оптических свойств ферромагнитных металлов, обусловленных взаимодействием их электронных систем со светом, был также обнаружен ряд характерных аномалий. В частности, в случае Fe [521] и Ni [522] температурный коэффициент отражательной (или испускательной) способности в инфракрасной области спектра имеет характерную для ферромагнетика аномалию с максимумом в точке Кюри
Из аномалий магнетооптических эффектов в ферромагнетиках следует упомянуть об эффекте Фарадея (вращение плоскости поляризации света при прохождении его через вещество) й магнетооптическом эффекте Керра (вращение плоскости поляризации света при отражении его от поверхности намагниченного ферромагнетика).
Классическая электронная теория магнетооптических эффектов (Гольдгаммер [525], Друде [526], Лорентц [527]) не дала возможности понять механизм этих эффектов. Попытка построения квантовомеханической теории этих эффектов Хулмом [465] на основе обменной теории ферромагнетизма страдает существенным недостатком, так как в ней не учитывается важное обстоятельство — поглощение света, без учета которого нет уверенности в правильности результата всего расчета. '
Оптические свойства ферромагнетиков в длинноволновой области спектра. Первая попытка построения квантовой теории оптических постоянных ферромагнетиков была сделана Вонсовским и Соколовым [528]. Из общей макроскопической оптики известно, что основные оптические характеристики — показатели преломления и поглощения, отражательная и излучательная способности ——определяются через диэлектрическую проницаемость и удельную электропроводность ). Поэтому первой задачей микроскопической теории оптических свойств вещества является вычисление диэлектрической проницаемости и удельной электропроводности для случая переменных полей. Этот расчет естественнее всего начать для случая далекой инфракрасной области спектра по методу Друде —— Зинера [см., например, Вильсон (1953)], но с учетом s ——d-обменной модели [232], т. е. рассматривая систему внешних (оптически наиболее активных) электронов в ферромагнетике как смесь двух ферми-газовг квазичастицы которых отличаются направлением своего спина и имеют различную эффективную массу, зависящую от намагниченности внутренних d-злектронов. Пусть число s-электронов с «правой» ориентацией спинов равно N十，их эффективная масса тп十 и среднее время свободного пробега т+ и соответственно для s-электронов с «левыми» спинами (N_, тп_ и т_). Тогда, согласно [232], для расчета диэлектрической проницаемости е и удельной электропроводности о, как функций частоты света з (так называемой световой проводимости), в рассматриваемом случае длинных волн (инфракрасная область спектра), где можно учитывать лишь «ускоряющий» эффект переменного поля на электроны проводимости в металле (сот < 1 и /га» V 冲7) m с учетом s — d-обмена будут справедливы обобщенные формулы Друде — Зинера
8 1 ' (25・50)
0〔3)=言[m+^*済)亠 m-^工?2) J' (25.51) где введено обозначение
涯=理， (25.52)
мало отличается от единицы.мало отличается от единицы.Величины тп±, N± и т± даются соответственно формулами (20.80), (20.83) и (20.93). Если ограничиться областью температур, близких к точке Кюри, то можно считать самопроизвольную намагниченность у ферромагнетика малой у — ISHsq《 1 (для относительной подмагниченности s-злектро- нов у' — к^ будем иметь у'《1) и во всех расчетах пренебрегать степенями у и у' выше второй. Если воспользоваться известной связью между
мало отличается от единицы.
мало отличается от единицы.
оптическими постоянными
a="=(需)"'=1-2 (费)
где п — показатель преломления, к — коэффициент поглощения, R — отражательная и 宮一излучательная способности; з,宮 и о — величины, характерные для инфракрасной области спектра, где выполняется неравенство з《？± =立 и для хорошо проводящих металлов, у которых о/а»》1 и а/а»》宮，то в итоге получаем )
и = А=[(^-)(1 + ^2)]1/2> (25.53)
宮=1—Е = 2[兽磊『2, (25.54) где /' и g2 — постоянные, не зависящие от температуры и намагниченности.
В области температур, где проявляется ферромагнитная аномалия 仅 * 0), для длинноволнового излучения опытные результаты [521] качественно согласуются с полученными теоретическими формулами.
Дальнейшее развитие квантовая теория оптических свойств ферро-- магнетиков получила в работах Волошинского и Болотина [529] и Воло- 1ПИПСКОГО [530]. В этих работах с учетом влияния спин-орбитального взаимодействия на механизм электрон-фононного и электрон-магнонного рассеяния вычислен тензор комплексной световой проводимости ферромагнитного металла. Эти расчеты показали, что, напримерt при рассмотрении процессов рассеяния электронов проводимости ферромагнонами при не слишком низких температурах возможно ввести универсальное время релаксации и поэтому сохранить формулы Друде — Зинера [типа (25.50) и (25.51)], только под частотой затухания у± нужно понимать суммарную частоту затухания, зависящую от намагниченности. Через эту зависимость и определяются «аномалии» оптических постоянных ферромагнетиков в инфракрасной области.
Оптические свойства ферромагнетиков в видимой и ультрафиолетовой области спектра. В области видимого и ультрафиолетового света основную роль начинают играть эффекты, связанные не с ускорением электронов проводимости в поле, а с квантовыми переходами. Вонсовский и Соколов [см. § 23 в монографии Соколова (1961)] сделали первую попытку обобщения формул дисперсии света для оптических частот, полученных в наиболее строгой форме для случая неферромагнитных металлов Сергеевым и Черняховским [531], Шубиным [532] и Сергеевым [533].
Точно так же как в случае изолированных атомов и молекул, оптические спектры могут раскрыть нам структуру энергетических уровней; так, оптические спектры металлических и полупроводниковых кристаллов могут дать ценную информацию о структуре энергетических полос системы коллективизированных электронов. В отличие от случая изолированных -атомов, здесь возникает ряд дополни тел ьных существенных трудностей. Например, все оптические исследования оказываются весьма чувствительными к качеству поверхности исследуемых образцов (из-за сильно развитого скин-эффекта в области частот видимого света) и т. д. Эти трудности пока не дали возможности получить для всех наблюдаемых свойств однозначного объяснения. Однако в связи с общим прогрессом теории металлов и новым переосмысливанием зонной теории (см. гл. 11), оптические эксперименты в совокупности с другими (такими, например, как эффект де Гааза—ван Альфена, циклотронный резонанс, магнетосопротивление и т. п.) могут быть в принципе весьма ценным источником информации о структуре электронного энергетического спектра в кристалле,
Квантовые междуполосные оптические переходы в металлах наступают при достаточно больших частотах, когда энергия кванта света становится сравнимой с шириной энергетических щелей А旨 между полосами в области разрешенных правилами отбора переходов (Л(о 拄 А宮 при(от > 1 и й(о > к^Т). Поглощая энергию кванта электромагнитного поля, коллективизированные электроны переходят на свободные уровни энергетических полос, расположенных выше уровня Ферми, т. е. имеет место внутренний фотоэффект. На опыте такие межполосные переходы обнаруживаются по резкому возрастанию высокочастотной проводимости. При обычном ускоряющем «внутриполосном» эффекте эта проводимость [см., например, формулу (25.51)] монотонно убывает с ростом з. Коэффициент поглощения, отражательные и излучательные способности также обнаруживают соответствующие особенности в своей зависимости частоты. Несмотря на указанные выше технические трудности в оптических экспериментах с металлами, они получают широкое развитие отчасти в связи с появлением теоретических работ по расчету энергетического спектра металлов, а главным образом в связи с открытием прозрачных ферромагнитных диэлектриков, прозрачных ие только в радио- и СВЧ-диапазонах, но и для инфракрасного и видимого света ). В связи с этим появилась возможность сопоставления наблюдаемых особенностей оптических спектров поглощения со структурой энергетических полос. Начало такому оживлению дали работы Эренрайха и др. [534, 535], в которых измерялись оптические свойства благородных металлов Си, Ag и Au и проводилось сравнение результатов измерения с теоретическими расчетами энергетических полос [536]. В этих работах, кроме внутри- и межполосных переходов, учитывалось также возможное влияние от возбуждения плазменных колебаний в электронной системе металла. Оптические свойства ферромагнитных металлов в указанном плане были вперые исследованы в работе Эренрайха и др. [537] (см. также обзор Эренрайха [538]). Филлипс [539] детально обсудил вид поверхности Ферми ферромагнитного Ni на основе оптических данных. Ланхэм и Треерне (см. стр. 196 в работе [518]) провели измерение вещественной и мнимой частей комплексной диэлектрической проницаемости в ряду переходных d-металлов (Ti, V, Сг, Мп, Fe, Со, Ni, Zr, Nb, Mo, Pd, Hf, Ta W, Pt) в интервале длин волн от 0,35, до 12,0 мкм. Наиболее подробное исследование оптических свойств переходных 3d- и 4г/-металлов (Ti, Zr, V, Nb, Cr, Mo, Fe, Co, Rh, Pd) проведено в работах Кирилловой и др. [541—548]. В этих работах была изучена частотная дисперсия диэлектрической проницаемости металлов в инфракрасной, видимой и ультрафилетовой области спектра с энергиями фотонов от 0,06 до 12 зе. Было обнаружено, что при знергиях, больших 0,3—0,7 зб, оптические свойства переходных металлов, в том числе и ферромагнитных, в основном обусловлены межполосными переходами. По особенностям частотной дисперсии высокочастотной проводимости в инфракрасной области спектра при 力з ^ 0,05 ——0,5 зе обнаружены низкоэнергетические квантовые переходы, свидетельствующие о наличии узких энергетических щелей между полосами электронного спектра.
Из-за интенсивных межполосных переходов возбуждение плазмонов в электронной системе переходных ^-металлов происходит не на плазменной частоте свободных электронов, а при энергиях 九з ^ 5——12 эв. В последнее время при оптических исследованиях ферромагнитных d-металлов начали испльзовать некоторые специальные экспериментальные методики, сводящиеся, напримерt к измерениям изменения коэффициента отражения металла при наложении периодически изменяющихся электрических по- лейг упругих напряжений или температуры. Эти эффекты в известном смыс- ле аналогичны магнетооптическим явлениям и дают дополнительно ценную информацию об электронном энергетическом спектре ферромагнитных
металлов. Например, в работе Хануса и др. [549] при исследовании спектра термоотражения ферромагнитного никеля при температуре жидкого азота обнаружен ряд резонансных пиков в длинноволновой области спектра, что позволило прецизировать модель поверхности Ферми никеля. Начато также исследование оптических свойств РЗМ (см., напримерt статьи Шюлера [550], Блоджетта и др. [551]).
Остановимся очень кратко на проблеме прозрачных ферромагнетиков (см. обзор [519]). Синтезирование достаточно совершенных кристаллов ферромагнитных диэлектриков (ферритов с различными кристаллографическими структурами, типа шпинели, граната и т. д.) и их широкое практическое применение привели к интенсивному развитию и физических исследований этих веществ, что позволило обнаружить их особые оптические свойства, в частности их прозрачность и для видимого света (см. одну из первых работ по этому вопросу [552]). К числу ферромагнитных соединений, имеющих так называемые окна прозрачности (для области частот, для которых глубина проникновения равна или более соответствующих длин волн электромагнитного излучения), можно отнести такие ферромагнитные диэлектрики: EuO, EuSe, CrBr2, CrCk, Crl3, а также ферримагнетики: иттриевый феррит-гранат Y3Fe5O12j редкоземельные ферриты-гранаты R3Fe50i2 (R — символ трехвалентного иона РЗМ), ферромагнетики с магнитно активными З^-ионами RbNiF3, RbFeF3r OdCrzSn, CdCr2Se4 и, наконец, слабые ферромагнетики редкоземельные орто ферриты RFeO3. Например, наиболее совершенный кристалл 丫3现5。丄2 в интервале длин волн 1,2—5 мкм (ближняя инфракрасная область) коэффициент поглощения не превышает 0,07 с%~丄[553, 554].
В ходе исследований прозрачных ферро- и ферримагнетиков было обнаружено и изучено много интересных физических явлений: анизотропия обменного расщепления и существование неэквивалентных мест ионов РЗМ в кристаллах ферритов со структурой граната, бигиротроп- ность ) прозрачных ферродиэлектриков [558], возможность магнетоопти- ческого определения ориентаций намагниченностей магнитных подрешеток [559], смещение края собственного поглощения ферродиэлектриков под влиянием изменений температуры и внешнего магнитного поля [560], изменение частоты ЭФР под действием инфракрасного излучения [561], изучение характера обменной связи для отдельных соседств в кристалле ферродиэлектрика (путем введения небольшого количества ионов РЗМ и изучения тонкой структуры их спектра поглощения) [562].
Прозрачные ферродиэлектрики должны найти широкое применение в технике, например, в управляющих устройстах типа гираторов, модуляторов, оптических вентилей, модуляторов лазерного излучения и т. п.
Магнето оптические явления (эффекты Фарадея и Керра). В гл. 15 уже были подробно рассмотрены магнетооптические явления в магнитнонеупорядоченных средах. Подробное описание магнетооптических явлений в ферромагнетиках и их феноменологической теории читатель найдет в монографии Соколова (1961); там же изложены элементы квантовой теории (см. также его обзор [563]). Кроме того, обращаем внимание на более ранние обзоры Шютца [564] и Лауэ [565]. Наиболее последовательная феноменологическая теория магнетооптических эффектов в ферромагнетиках развита в работах Соколова [563, 566], Болотина и Соколова [567, 568], Кринчика с сотрудниками [569, 570].
Феноменологическое описание магнетооптических эффектов в магнитно-упорядоченных телах производится в рамках электромагнитной теории Максвелла. Особенностью этой задачи является то, что векторы 刀 и _В связаны с 无 и /Г тензорными уравнениями
_D=||「|E и 刃=||叫比， (25.55)
где [I ez II и II [IК — тензоры соответственно диэлектрической и магнитной проницаемости, которые имеют вид
/ ez — ig'Qi 0 \/卩一小Q? О \
II sz II = i^'Qi е' О I， М1=力闻2 М О I , (25.56)
\ 0 о 8；/\ 0 о Ио/
где е' = £ —— 方 4ло/з ——комплексная диэлектрическая проницаемость, Qt — первый магнето оптически й параметр (комплексная величина), зависящий от намагниченности / (при Qi — 0 недиагопальные элементы тензора || £，|| обращаются в нуль: е^2 = —— е& = 0 и е' = е；＞ т. е. тело становится изотропным);卩 = р/ 十 2卩"——комплексная магнитная проницаемость, Q2 ——второй магнетооптический параметр (комплексная величина), также зависящий от / (при g? =。тело изотропно). Неравенство нулю недиагональных элементов 叱=——$；i 舌 0 приводит к гироэлек- трическим магнетооптическим эффектам, а 卩;？=—卩;i *0 ——к гиромагнитным *магнетооптическим эффектам. Можно в самом общем виде показать, что оптические и магнетооптические эффекты зависят от параметров Qi и Q2， от которых также зависят величины е' (Q。и 卩(02). Последняя зависимость, а также частотная и температурная зависимость могут быть определены лишь из микроскопической теории.
Вонсовский и Соколов [571] на основе s ——^-обменной модели впервые сделали попытку дать квантовомеханическое объяснение магнетооптических явлений в ферромагнитных металлах. Они показали, что магнетооптические характеристики ——фарадеевское и керровское вращение плоскости поляризации света, а также эллиптичность отраженного и проходящего света, во-первых, пропорциональны результирующей намагниченности, а во-вторых, коэффициенты пропорциональности, помимо того, что они зависят от частоты света и температуры, являются функциями самопроизвольной намагниченности. Теория также приводила к ряду конкретных выводов о температурной зависимости и дисперсии магнетооптических явлений в ферромагнетиках.
Магнетооптические эффекты Фарадея и Керра в ферромагнетиках являются частотными аналогами эффекта Холла (на это впервые в отчетливой форме указал еще Дарвин [572]). Для частот видимого и ультрафиолетового диапазона, при которых механизм внутриполосного ускорения носителей тока в кристалле не играет заметной роли, наиболее последовательный квантовый расчет в рамках зонной модели предложил Аргирес [573]. Учитывая влияние собственного спин-орбитального взаимодействия на волновые функции электронов, Аргирес получил замкнутые выражения недиагональной компоненты тензора комплексной световой проводимости. Эти выражения вполне аналогичны вкладам от межполосных переходов в обычную световую проводимость. Поэтому без знания законов дисперсии электронов различных энергетических полос и структуры последних, а также не имея информации о вероятностях соответствующих переходов, не удается вычислить в явном виде дисперсию эффектов Фарадея и Керра. Теория лишь указывала на немонотонную зависимость этих эффектов от частоты, дала правильную оценку порядка их величины и объяснила пропорциональность намагниченности. Купер [574] приняв квадратичный закон дисперсии для электронов в энергетических полосах и введя некоторые упрощающие предположения о вероятностях межполосных переходов, получил явный вид для дисперсии эффектов Керра. Структура энергетических полос при этом была взята для случая Ni из работ [537 и 575]. При этом оказалось, что в соответствии с измерениями Кринчика с сотрудниками [576—580] и Мартина и др. [581], лучшее согласие получается с моделью Филлипса. По этому вопросу см. также работы Доньяха [582, 583].
Для инфракрасной области спектра, где, с одной стороны, еще нет квантовых переходов, а с другой стороны, несущественна анизотропия магнитной проницаемости, теория магнетооптических эффектов была рассмотрена в работах Волошинского и Болотина f584], Волошинского [585], Волошинского и Гусева [586], Гуревича и Яссиевич [587]. В этих работах, используя представления, изложенные в § 6 о природе аномального эффекта Холла, были получены в явном виде дисперсии эффектов Фарадея и Керра, а также их температурная зависимость для всех основных типов рассеивателей (фононы, примеси, магнитные неоднородности). Дальнейшее уточнение теории с распространением на область больших частот, проведено в работах Ведяева и Ковдорского [588] (см. также [589]). Эксперименты Афанасьевой и др. [590] (см., также [591, 592]) по изучению дисперсии эффекта Керра в Ni в далекой инфракрасной области спектра (до 20 мкм), по-видимому, указывает на преобладание вклада от электрон- фононного взаимодействия. В работе [585] было также показано, что поскольку спин-орбитальное взаимодействие обладает трансляционной симметрией, то оно не может вызвать нарушения трансляционной инвариантности, т. е. привести к циклотронному резонансу.
В заключение можно сказать, что магнетооптические явления магнитно-упорядоченных сред представляют собой весьма важный раздел оптики твердых тел, в которых остается еще много нерешенных проблем ).
Поглощение и рассеяние света магнитными возбуждениями кристаллов. За последние годы появились интересные исследования новых оптических процессов в магнитных кристаллах, связанные с магнонами (магнонные, магнон-фононные и магнон- экситонные процессы ). Здесь можно упомянуть следующие оптические процессы в антиферромагнетиках: двухфононное поглощение света (см., например, [614, 615]); маг- ионные побочные полосы (или полосы спутники — side bands) [616, 617]; магнон-фонон- ное поглощение [618—620]; рассеяние света с рождением одного или двух магнонов [621, 622]. В настоящее время исследовано около тридцати побочных полос примерно в десяти различных веществах: MnF2 [616, 617, 623—629], FeF2 [617, 630]; NiF2 [620, 631]; CoFe2, CoO [617, 632—636]; FeCO3 [637]; MnCO3 [638]; KMnF3 [639—642]; RbMnF3 [640-642]; GsMnF3 [643]; KNiF3 [644]; Cr2O3 [64 5].
Типичные магнонные побочные полосы (спин-волновые или экситон-магнонные переходы) наблюдаются в кристаллах, в которых ионы расположены в центрах симметрии. В этом случае, как известно, чисто электронные электрические дипольные переходу запрещены в силу симметрии и часто наблюдаются магнитные дипольные переходы с относительно слабой интенсивностью. Упомянутые 'выше побочные полосы соответ- с гвуют электрическим дипольным переходам. Это обстоятельство совершенно анало- ihuho обычным фононным побочным полосам. Известно (см., например, [646]), что нечетные колебания решетки могут нарушить симметрию инверсии для распределения плотности электронного заряда в кристалле и поэтому вызвать возможность электрических дипольных фононных побочных полос. В рассматриваемом случае можно несколько упрощенно сказать, что магноны нарушают симметрию инверсии, и поэтому снимается запрет на электрические дипольные переходы, интенсивность которых гораздо больше, чем у чисто электронных магнитных дипольных переходов.
С появлением мощных лазерных источников света возникла реальная возможность наблюдать рассеяние света на магнитных возбуждениях. Теория спин-волновых побочных полос также получила уже некоторое развитие. Она основывается на двух главных предположениях: 1) элементарные возбуждения в магнитно-упорядоченных кристаллах имеют нелокальный характер (спиновые волны, экситоны Френкеля и т. п.). и 2) побочные полосы возникают благодаря взаимодействию между двумя магнитными ионами.
Теория оптических спектров в магнитно-упорядоченных диэлектриках была также рассмотрена Поповым [647]. Одновременно была также развита теория рассеяния света спиновыми волнами. Басс и Каганов [648] первые рассмотрели задачу рассеяния света спиновыми волнами, учитывая прямую связь магнона с магнитным полем фотона. Однако этот механизм дает меньший поперечник рассеяния и иные правила отбора, чем наблюдаемые на опыте. Эллиотт и Лоудон [649] предпол о жили, что фотоны косвенным образом взаимодействуют с магнонами через спин-орбитальную связь. Этот механизм был более подробно развит в работе Сена и Бломбержена [650]. Такой рамановский механизм рассеяния связывает электрические дипольные переходы для поглощения падающего фотона и испускания рассеянного фотона с необходимостью смешивания волновых функций q разными спиновыми квантовыми числами, обусловленного спин-орбитальной связью. Более подробно с теорией и экспериментальными результатами можно ознакомиться в упомянутых обзорах (см. также обзор Лаудона [651]) и цитированных оригинальных работах.. Здесь только отметим, что магнонные побочные полосы обычно идентифицируются с помощью следующих четырех способов: 1) изучения формы линий поглощения и их поляризации; 2) изучения поведения этих полос во внешних магнитных полях; 3) изучения поведения полос под влиянием внешних напряжений; 4) исследования температурной зависимости.
Фотоэффект в ферромагнетиках. Кардуэлл [652] впервые провел исследования фотоэлектрических и термоионных свойств ферромагнитного Ni и Fe. Он установил, что: 1) вблизи точки Кюри наблюдается аномальный ход фотоэлектрического тока с температурой (излом кривой фототок — температура); эта аномалия не может быть объяснена существующей теорией; 2) работа фотоэлектрического выхода растет с температурой.
Вонсовский и Соколов [653] показали, используя s — d-обменную модель, что фотоэлектртпеский ток ферромагнетиков должен зависеть от величины их самопроизвольной намагниченности. Вблизи температуры ферромагнитного превращения эта зависимость носит простой квадратичный характер. Кроме того, они получили зависимость эффективной работы выхода фототока от величины самопроизвольной намагниченности и ее ферромагнитную аномалию.
Дальнейшее развитие эта теория получила в работе Векслера [654] [см. также [655] и монографию Соколова, (1961)]. Исследования фотоэффекта в ферромагнетиках были проведены также в работах [656—659].
Термо-э. д. с. в ферромагнетиках. Термоэлектрические явления в ферромагнетиках исследовали Дорфман. Янус и Кикоин [661], а также Дорфман, Янус, Григоров и Черниховский [660]. Квантовомеханическую теорию этих явлений на основе s — d-модели для случая температур, близких к точке Кюри, дал Резанов [236]. В работах [662] была развита теория термо-з. д. с. в ферромагнетиках, связанная с рассеянием электронов проводимости на равновесных магнонах, а в работе [663] учтен эффект увлечения электронов магнонами и взаимного увлечения электронов и магнонов.
Сверхпроводимость в металлах с магнитными ионамии влияние на нее магнитного порядка
Общие замечания. В гл. 21 подробно рассмотрен вопрос о влиянии магнитно активных примесей в кристаллах на магнитные свойства. Здесь же будет выяснено их влияние на сверхпроводимость и обычную электропроводность нормальных металлов. Магнитно активные ионы переходных d- и /-металлов могут влиять на сверхпроводимость металлов, во-первых, своим магнитным полем и, во-вторых, в результате обменного взаимодействия с электронами проводимости.
Влияние внутреннего магнитного поля впервые рассмотрел Гинзбург [664] при обсуждении возможности сосуществования сверхпроводимости и ферромагнетизма. Согласно [664] появление сверхпроводимости в ферромагнетике можно ожидать только при условии 4nZs V Hrm, где Нкм — критическое магнитное поле массивного образца (см. гл. 8). Большая самопроизвольная намагниченность Fe, Со, Ni и Gd препятствует обнаружению в них сверхпроводимости. Поэтому в ферромагнетиках со значительной величиной Zs (см. гл. 23), появления сверхпроводимости можно ожидать только в тонких образцах, у которых Hh》Якм.
Важность учета s — d- и s — /-обменного взаимодействия При рассмотрении сверхпроводимости в металлах, содержащих ионы переходных или редкоземельных элементов, была указана Вонсовским и Свирским [665]. В о зникно вению сверхпроводимости в Fe, Со и Ni, согласно [665], препятствует также и s — d-обменное подмагничивание электронов проводимости, которое затрудняет образование синглетных куперовских пар (см. гл. 8) из электронов проводимости с антипараллельными проекциями спина. Поэтому сосуществования сверхпроводимости и ферромагнетизма можно ожидать только при выполнении неравенства 』sd《&3д ), где』sd — энергетический параметр s — d-обмена, а сод — частота Дебая.
决 乙36 D官8-=s8-応0П1一邑尝-nEDdguwgl决 乙36 D官8-=s8-応0П1一邑尝-nEDdguwgl配创 p形 晚例 u^配创 p形 晚例 u^6 5 4 3 z / 〃6 5 4 3 z / 〃La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Th Dy Ho Er Tm Yb 57 58 59 60 61 6Z 63 6k 65 66 67 68 69 7。Атомный номер ZLa Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Th Dy Ho Er Tm Yb 57 58 59 60 61 6Z 63 6k 65 66 67 68 69 7。Атомный номер ZРис. 25.39. Рассчитанные эффективные магнитные моменты цэфф (кривая 工)и спины S (кривая II) редкоземельных элементов.Рис. 25.39. Рассчитанные эффективные магнитные моменты цэфф (кривая 工)и спины S (кривая II) редкоземельных элементов.干名д-干名д-/4/г//7ь 6 4/4/г//7ь 6 4Опытные факты. Экспериментально влияние s — /-обмена на сверхпроводимость было впервые обнаружено в работе [668] при изучении влияния примеси редкоземельного металла (1 ат. %) на критическую температуру 0С11 сверхпроводящего лантана (рис. 25.38). Авторы предполагали обнаружить понижение 0СП, обусловленное влиянием магнитного поля редкоземельных ионов. Однако наблюдаемое понижение
决 乙36 D官8-=s8-応0П1一邑尝-nEDdguwgl
决 乙36 D官8-=s8-応0П1一邑尝-nEDdguwgl
配创 p形 晚例 u^
配创 p形 晚例 u^
6 5 4 3 z / 〃
6 5 4 3 z / 〃
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Th Dy Ho Er Tm Yb 57 58 59 60 61 6Z 63 6k 65 66 67 68 69 7。
Атомный номер Z
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Th Dy Ho Er Tm Yb 57 58 59 60 61 6Z 63 6k 65 66 67 68 69 7。
Атомный номер Z
Рис. 25.39. Рассчитанные эффективные магнитные моменты цэфф (кривая 工)и спины S (кривая II) редкоземельных элементов.
Рис. 25.39. Рассчитанные эффективные магнитные моменты цэфф (кривая 工)и спины S (кривая II) редкоземельных элементов.
干名д-
干名д-
/4/г//7ь 6 4
/4/г//7ь 6 4
Pm Sm Eu Gd Th By Ho Er Tm Yb Lu
61 62 63 64 65 66 67 6B 69 况 71
Атомный номер Z
Рис. 25.38. Изменение критической температуры сверхпроводящего перехода ©сп у La при введении в кристалл 1 ат% примеси РЗМ (Маттиас и др. [668])“
0Сп коррелирует с величиной спина 4/-оболочкп (кривая II рис. 25.39), а не с величиной ее эффективного магнитного момента 卩зфф・ Это привело к выводу, что в данном случае главным фактором, вызывающим понижение 0СП, является s — d-обменное взаимодействие между электронами проводимости лантана и электронами недостроенных 4/-оболочек растворенных редко-
Рис. 25.40. Температуры сверхпроводящего перехода ©Сп (кривая I) и точки Кюри 0 (кривая II) твердых растворов Gd в La (Маттиас и др. [668》Рис. 25.40. Температуры сверхпроводящего перехода ©Сп (кривая I) и точки Кюри 0 (кривая II) твердых растворов Gd в La (Маттиас и др. [668》земельных ионов.
Рис. 25.40. Температуры сверхпроводящего перехода ©Сп (кривая I) и точки Кюри 0 (кривая II) твердых растворов Gd в La (Маттиас и др. [668》
Рис. 25.40. Температуры сверхпроводящего перехода ©Сп (кривая I) и точки Кюри 0 (кривая II) твердых растворов Gd в La (Маттиас и др. [668》
В работе [668] было также рассмотрено влияние на 0СП лантана концентрации примеси Gd. При увеличении этой концентрации от 0 до 1 ат.% 0СП раствора уменьшается линейно вплоть до температуры 1° К (рис. 25.40). Начиная с 2,5 а^.% Gd был обнаружен ферромагнетизм раствора ) La — Gd, точка Кюри которого 0 повышается с ростом концентрации Gd (рис. 25.40). Магнитный порядок в этом растворе обусловлен, очевидно, s ——/-обменом, так как волновые функции различных 4/-оболочек практически не перекрываются.
.С другой стороны, имеются
факты, показывающие, что в системах, электронная конфигурация которых благо
приятна для возникновения сверхпроводящего состояния, в то же время имеются условия, благоприятные для появления магнитного порядка, обусловленного s ——/-обменом. И наоборот, в системах, не обладающих сверхпроводимостью, оказывается затрудненным и возникновение магнитного порядка. Так, например, согласно [668], добавление 10 ат.% Gd к Y, не являющемуся сверхпроводником, не приводит к ферромагнетизму. Однако добавление Gd к сверхпроводнику Th приводит к возникновению ферромагнетизма. Германиды и рутениды редких земель оказываются либо ферромагнетиками, либо сверхпроводниками. С другой стороны, в силицидах редких земель (за исключением PrSi2) не обнаруживается ни то ни другое явление (см. табл. 25.2). Таким образом, хотя в германидах и рутенидах РЗМ оба явления и не
реализуются одновременно, тем не менее ясно, что в одних и тех же соединениях имеются условия, благоприятные для возникновения или того или другого явления, или их обопх.
Сосуществование сверхпроводимости и ферромагнетизма было обнаружено в работе [671] в системе (CeRu2 — GdRu2). Из рлс. 25.41 видно, например, что в сплаве с 8% CdRu2 при температуре 5° К возникает ферромагнетизм, а при понижении температуры, вблизи 3е К наблюдается переход в сверхпроводящее состояние при налиичии ферромагнетизма. Пересечение кривых 0СП и 0 и соответственно область сосуществования
■обоих состояний были обнаружены также в системе 丫卜紀 Cdx Os2 [671].
Несмотря на экспериментальное обнару- женне области составов сплавов, в которой одновременно реализуются сверхпроводимость и ферромагнетизм, результаты работы [671 ] не позволяют решить вопрос, реализуются ли эти состояния в одних и тех же элементах объема образца или, наоборот, в различных соседних элементах объема (что соответствовало бы. например, «криптоферромагнитной» структуре [673] со спиральной волной спиновой плотно- •сти с периодом порядка 50 А [674, 675]). Более ■определенную информацию дают калориметрические и магнитные [676] исследования, согласно которым в сверхпроводящих ферромагнетиках сверхпроводимость не связана с отдельными мелкими участками, а охватывает,
Таблица 25.2Температуры сверхпроводящегоперехода 0СП и точки Кюри 0 СКрутенидов редкоземельных металлов,Sc и Y(из работ Маттиаса и др. [668])Таблица 25.2Температуры сверхпроводящегоперехода 0СП и точки Кюри 0 СКрутенидов редкоземельных металлов,Sc и Y(из работ Маттиаса и др. [668])Сверхпроводники®cnФерромагнетики©ScRu21,67PrRu240YRu21,52NdRu235LaRu21,63ErRu213CeRu24,9Сверхпроводники®cnФерромагнетики©ScRu21,67PrRu240YRu21,52NdRu235LaRu21,63ErRu213CeRu24,9по-видимому, весь образец.
Таблица 25.2
Температуры сверхпроводящегоперехода 0СП и точки Кюри 0 СКрутенидов редкоземельных металлов,Sc и Y
(из работ Маттиаса и др. [668])
Таблица 25.2
Температуры сверхпроводящегоперехода 0СП и точки Кюри 0 СКрутенидов редкоземельных металлов,Sc и Y
(из работ Маттиаса и др. [668])
Сверхпроводники
®cn
Ферромагнетики
©
ScRu2
1,67
PrRu2
40
YRu2
1,52
NdRu2
35
LaRu2
1,63
ErRu2
13
CeRu2
4,9
Сверхпроводники
®cn
Ферромагнетики
©
ScRu2
1,67
PrRu2
40
YRu2
1,52
NdRu2
35
LaRu2
1,63
ErRu2
13
CeRu2
4,9
Рис. 25.41. Зависимость температуры сверхпроводящего перехода (кривая I) и точки Кюри 0 (кривая II) твердых растворов (Се, Gd) Ru2 от концентрации GdRih (в ат. %) (Маттиас и др. [671]).Рис. 25.41. Зависимость температуры сверхпроводящего перехода (кривая I) и точки Кюри 0 (кривая II) твердых растворов (Се, Gd) Ru2 от концентрации GdRih (в ат. %) (Маттиас и др. [671]).7 ГУ 5- 4 J 夕 М с 若 пр吕券匚s8mHP0q0du*d^07 ГУ 5- 4 J 夕 М с 若 пр吕券匚s8mHP0q0du*d^0Атомный номер примеси ZАтомный номер примеси ZРис. 25.42. Значение производной d©Cn/dc (0Сп — температура сверхпроводящего перехода) для V при добавлении к нему примесей (с концентрацией в 1 ат. %) других переходных 3d-металлов (Мюллер [679]).Рис. 25.42. Значение производной d©Cn/dc (0Сп — температура сверхпроводящего перехода) для V при добавлении к нему примесей (с концентрацией в 1 ат. %) других переходных 3d-металлов (Мюллер [679]).Влияние s— d-обмена на сверхпроводимость исследовано, например, в работах J677—680]. В работе [677] рассмотрено влияние примесей Cr, Мп, Fe, Со и Ni на 0СП титана. Предполагалось, что добавление атомов с недостроенными 3(7-оболочками приведет, по аналогии со случаем атомов с недостроенными 4/-ободочками, к понижению 0СП растворителя. Однако в действительности было обнаружено значительное повышение 0СП. Аналогичный рост 0СП был обнаружен также в работе [678] при растворении Fe, Со и Ni в кристалле Zr. Одно из возможных объяснений этого явления
Рис. 25.41. Зависимость температуры сверхпроводящего перехода (кривая I) и точки Кюри 0 (кривая II) твердых растворов (Се, Gd) Ru2 от концентрации GdRih (в ат. %) (Маттиас и др. [671]).
Рис. 25.41. Зависимость температуры сверхпроводящего перехода (кривая I) и точки Кюри 0 (кривая II) твердых растворов (Се, Gd) Ru2 от концентрации GdRih (в ат. %) (Маттиас и др. [671]).
7 ГУ 5- 4 J 夕 М с 若 пр吕券匚s8mHP0q0du*d^0
7 ГУ 5- 4 J 夕 М с 若 пр吕券匚s8mHP0q0du*d^0
Атомный номер примеси Z
Атомный номер примеси Z
Рис. 25.42. Значение производной d©Cn/dc (0Сп — температура сверхпроводящего перехода) для V при добавлении к нему примесей (с концентрацией в 1 ат. %) других переходных 3d-металлов (Мюллер [679]).
Рис. 25.42. Значение производной d©Cn/dc (0Сп — температура сверхпроводящего перехода) для V при добавлении к нему примесей (с концентрацией в 1 ат. %) других переходных 3d-металлов (Мюллер [679]).
заключается в предположении об увеличении числа валентных электронов при растворении парамагнитных или ферромагнитных примесей. Однако примеси Re, Ru и Rh, обладающие таким же количеством валентных электронов, как и Мп, Fe и Со. но не имеющие заметного магнитного момента, дают меньшее увеличение 0СП, чем Мп, Fe и Со. Поэтому в работе Маттиаса [677] было высказано мнение, что дополнительное повышение 0СП обусловлено особым, отличным от индуцированного фононами взаимодействием электроиов проводимости, специфическим для систем, содержащих магнитные ионы.
При добавлении Fe, а также других переходных 3(7-элементов к V было обнаружено [679] линейное уменьшение 0СП с ростом концентрации примеси. Значения производной d®cn/dc (с ——концентрация) при добавлении Ti, Cr, Мп, Fe, Со, Ni и Си к V изображены на рис. 25.42. Поскольку экспериментальные точки ложатся на кривую с минимумом, напоминающую кривую рис. 25.38 для случая s — /-связи, можно было предположить, что причиной понижения й0сп/йс (дополнительного по сравнению с пунктирной прямой рис. 25.42) является s — d-обменная связь между электронами проводимости V и локализованными 3(7-электронами. Однако это предположение было ■отвергнуто в работе [681] в связи с тем, что даже при больших концентрациях Fe в V, Ti или Nb не была обнаружена температурная зависимость магнитной восприимчиво- <ти, которая указывала бы на наличие локализованных магнитных моментов.
Теоретическая интерпретация. Первое качественное объяснение обнаруя;енно- го в [668] понижения 0СП у сверхпроводящего La при добавлении примесей редкоземельных элементов предложил Херринг [682], который считал, что s — /-обменная связь приводит к «подмагничиванию» электронов проводимости вблизи ионов магпитной примеси и соответственно к понижению свободной энергии системы. Это понижение оказывается более значительным для нормального, чем для сверхпроводящего состояния, так как последнее более устойчиво (благодаря наличию энергетической щели) по отношению к переходам электронов проводимости под влиянием внешнего возмущения. Поэтому разность свободных энергий нормального и сверхпроводящего состояний уменьшается с ростом концентрации магнитных примесей, что должно привести к уменьшению 0СП.
Количественно гипотеза Херринга [682] была рассмотрена в работах [683, 684], где выяснилось, что, несмотря на простоту этого объяснения, оно связано с рядом трудностей. В частности, Сул и Маттиас [683] получили квадратичную зависимость для спада 0СП с ростом концентрации примеси с (при малых с), что противоречит, например, результатам экспериментов работы [668], где, как указывалось выше, наблюдалось линейное уменьшение ®сц вплоть до 10 К. Линейную зависимость уменьшения 0СП от с получил при малых с Бальтеншпергер [684]. Однако его рассмотрение, так же как и в [683], приводило к выводу, что переход из нормального в сверхпроводящее состояние должен быть первого рода при наличии магнитных примесей, что находится в противоречии с результатами опыта [674].
Другой подход к проблеме влияния магнитных примесей на 0СП, основанный на учете времени релаксации т, обусловленного обменным рассеянием электронов проводимости спинами d- (или /-) оболочек, дали Абрикосов и Горьков [685]. Они считают, что s ——(7-обменное или s ——/-обменное взаимодействие приводит к конечной величине времени жизни куперовских пар из электронов проводимости с а нтипа р а л ле ль ными проекциями спина, что ослабляет сверхпроводящую корреляцию и соответственна уменьшает 0СП. С ростом концентрации магнитных примесей происходит уменьшение величины т, что приводит к уменьшению 0Сп с увеличением с. При малых значениях с уменьшение 0СП происходит, согласно [685] и в соответствии с экспериментами [668], линейно; для больших с падение 0СП происходит быстрее, и когда время релаксации т достигает некоторого критического значения ткр, при котором величина /1/ткр становится равной половине ширины энергетической щели чистого сверхпроводника (экстраполированной на 7 = 0° К), то величина 0СП обращается в нуль ).
Важным следствием работы [685] является вывод о возможности «безщелевой» сверхпроводимости, т. е. сверхпроводимости при нулевой щели в энергетическом спектре возбуждений, но при отличном от нуля параметре сверпроводящего порядка. Согласно [685] «безщелевая» сверхпроводимость появляется при концентрации с0 ^ 弋 0,91 скр, где скр — концентрация парамагнитной примеси, при которой ширина щели обращается в нуль. Такой сверхпроводник может поглощать кванты любой энергии и его теплоемкость должна линейно зависеть от Т. Этот вывод был качественно подтвержден в работе [686], где было обнаружено, что энергетическая щель In уменьшается с ростом концентрации Fe значительно быстрее, чем критическая температура (рис. 25.43). При этом, как видно из рисунка, эксперименты по методу тунельной константы [686] указывают на исчезновение энергетической щели при с0 ^ 0,8 ат.% Fe, в то время как измерения электрического сопротивления указывают на обращение 0СП в нуль при большей концентрации скр 2 ат.% Fe. Хотя отношение с0/скр оказывается при этом меньше значения 0,91, вытекающего из теории [685], тем не менее, учитывая экстраполяционный характер оценок работы [686], согласие теории с экспериментом следует считать вполне удовлетворительным также и в количественном отношении. Кроме того, Фульде и Маки [687] считают, что это расхождение объясняется, по-ви- димому, магнитным упорядочением моментов примесных атомов (см. также [737]).
Теории [68 2—68 5] не дают объяснения обнаруженному в [67 7] росту ”□ титана при добавлении к нему примеси переходных элементов. Как указано выше, для интерпретации результатов опыта [677] оказалось необходимым допустить существование дополнительного взаимодействия электронов проводимости, специфического для металлов, содержащих парамагнитные ионы. Дополнительное взаимодействие может возникать, например, при наличии ферро- или антиферромагнитного упорядочения спинов d- илп /-оболочек путем испускания и поглощения электронами проводимости виртуальных спиновых волн. В случае синглетных куперовских пар электронов про-
Рис. 25.43. Температура сверхпроводящего, перехода ©Сп (прямая 1) и энергетическая щель Д (прямая 2) пленок In при различных концентрациях примеси Fe (Рейф- и Вольф [686]).Рис. 25.43. Температура сверхпроводящего, перехода ©Сп (прямая 1) и энергетическая щель Д (прямая 2) пленок In при различных концентрациях примеси Fe (Рейф- и Вольф [686]).водимости взаимодействие, индуцированное виртуальными спиновыми волнами,, имеет как для ферромагнетика [688], так и для антиферромагнетика [689] характер отталкивания и, следовательно, препятствует сверхпроводимости. В случае триплетных пар электронов проводимости взаимодействие, индуцируемое виртуальными спиновыми волнами может, согласно [690] носить характер притяжения и, следовательно, способствовать сверхпроводимости. В этой связи в [691] было высказано предположение, что рост 0СП титана может быть обусловлен притяжением триплетных пар электронов проводимости, индуцированным виртуальными спиновыми волнами. Однако в условиях опыта [677] при концентрации 3d- ионов, достигающей 30%, ферромагнитное
Рис. 25.43. Температура сверхпроводящего, перехода ©Сп (прямая 1) и энергетическая щель Д (прямая 2) пленок In при различных концентрациях примеси Fe (Рейф- и Вольф [686]).
Рис. 25.43. Температура сверхпроводящего, перехода ©Сп (прямая 1) и энергетическая щель Д (прямая 2) пленок In при различных концентрациях примеси Fe (Рейф- и Вольф [686]).
упорядочение не возникало. Поэтому в опыте [677], ио-видимому, отсутствовала возможность взаимодействия электронов проводимости посредством спиновых волн.
Другой механизм взаимодействия электронов проводимости, не связанный с наличием дальнего ферро- или антиферромагнитного порядка, предложили Вонсовский и Свирский [692]. Согласно [692, 693] виртуальные возбуждения мультиплетности (т. е. величины спина или полного момента количества движения) d- или /-оболочек индуцируют отталкивание синглетных пар электронов проводимости и тем самым способствуют понижению 0СП. Этим можно, в частности, объяснить, каким образом примесь Ей, у которого в основном
состоянии полный момент количества движения равен нулю, понижает 0СП лантана наравне с другими редкоземельными примесями (рис. 25.39), в которых в основном состоянии этот момент отличен от нуля. В случае
триплетных пар электронов проводимости возбуждения мультиплетности d- или /-оболочек могут, согласно [692, 693], индуцировать их притяжение и тем самым способствовать росту 0СП.
Следует, однако, учесть, что образование триплетных пар электронов проводимости может в ряде случаев оказаться энергетически менее выгодным, чем образование синглетных пар электронов проводимости (так как переходы синглетных пар определя
ются четными, в то время как переходы триплетных пар определяются нечетными матричными элементами). В этих случаях дополнительное притяжение синглетных пар электронов проводимости может индуцироваться виртуальными возбуждениями уровней d- или /-оболочек, расщепленных кристаллическим полем [694]. По рассмотренной здесь проблеме см. также обстоятельный обзор Абрикосова [695].
Эффект Кондо
Р = Р1+ Рг МР = Р1+ Рг МОпытные данные. В ряде экспериментальных исследований начала 30-х годов [696——699] было обнаружено, что в нормальных и благородных металлах Au, Ag, Си, Mg, Zn удельное электросопротивление как функция температуры р (7) довольно qacTO имеет ясно выраженный минимум в области достаточно низких температур (4,2——20° К) ниже которого иногда наблюдается максимум. Достаточно подробное описание экспериментальных данных можно найти в специальных обзорах по этому вопросу Ван де在 Берга [700], к которым мы и отсылаем читателей. Зависимость р (7) и магнитосопротивления Ар/ро — / (力 измерялись в разбавленных растворах переходных 3d-(Cr, Мп, Fe, Со и Ni), 4d- (Mo, Ru, Rh, Pd) и 5d-(Ta, Ir, Os, Re) металлов в Cu, Ag и Au. Алексеевский и Гайдуков [701] на основе своих измерений на образцах Au с исключительно малой примесью Fe установили для большого интервала температур эмпирическую формулу
Р = Р1+ Рг М
Р = Р1+ Рг М
(25-57}
где pi ⑺一нормальная зависимость d р0 + 仪片 十 bQ), а р2 一 некоторая постоянная. При более низких температурах р приближается к конечному пределу р0 (может такя;е проходить через максимум).
Теоретическая интерпретация. Повышение величины р с понижением температуры указывало на существование какого-то специфического механизма рассеяния, интенсивность которого растет с понижением Т. Вначале поиски этого механизма были безуспешны. Только в 1964 г. Кондо [702] впервые высказал мысль, что указанная низкотемпературная аномалия [минимум на кривой р (Т)] в нормальных металлах обусловлена наличием в их кристаллической решетке парамагнитных примесей. Позднее эта идея была проверена экспериментально измерениями электросопротивления;
металлов с контролируемыми добавками магнитно активных примесных атомов <см. [700], а также [703, 704]).
Предположение Кондо было основано на результатах расчета затухания электронов проводимости у, вызванного рассеянием их на примеси в высших приближениях no s ——d-обмену. Если s ——d-взаимодействие рассматривать по теории возмущения (с параметром малости As^^《1), то в первом неисчезающем порядке для у (е) получается выражение -у0, не зависящее от энергии электрона 8：
Y0 = /^g&)S(S+l),(25.58)
где 4$d ——интеграл s ——d-обмена, g (已)——функция плотности состояний у поверхности Ферми, S ——спин примеси. Затухание у。определяет вклад в электросопротивление металла, не зависящий от температуры — p&d, который был давно известен (см., например, обзор [270]); при этом казалось вполне естественным, что учет более высоких приближений (относительно параметра 4sd/W) не может дать сколько-нибудь существенной «аномальной» температурной зависимости для s ——d-обменного вклада в сопротивление psd ⑺"
Однако Кондо [702] провел вычисления для у в следующем порядке теории возмущения и получил неожиданный результат:
Y = Yo[l-44ag&)ln^].(25.59)
В формуле (25.59) энергия электрона 8 отсчитывается от уровня Ферми 之,поэтому поправочный член в (25.59) неограниченно возрастает при 8^-0, иначе говоря, электроны в состояниях у поверхности Ферми испытывают очень сильное рассеяние на парамагнитной примеси. Результат (25.59) сразу же приводит к следующей формуле для удельного электросопротивления:
Psd (?) = Р馭[1 —Ssdg &) In 各].(25.60)
Из (25.60) видно, что при 4d V 0 (т. е. при антиферромагнитной s — d-связи) с уменьшением Т величины ps(^ логарифмически возрастает. Это возрастание электросопротивления является одним из наблюдаемых проявлений сильного s ——d-обменного рассеяния электронов проводимости на парамагнитных примесных ионах, которое, собственно, и носит название эффекта Кондо. Из сравнения формул (25.60) и (25.57) видно, что теория Кондо находится в известном качественном согласии с экспериментом.
Расходимость поправки, полученной Кондо для у в (25,59) при 8^-0 указывала на то, что могут расходиться также и поправки в следующих приближениях. Это, по-видимому, указывало на резонансный характер эффекта вблизи поверхности Ферми. Абрикосов [705], используя особую диаграммную технику квантовой теории поля для спиновых операторов, просуммировал бесконечный ряд расходящихся членов, содержащих все степени In (^/е), и получил следующий результат:
丫(е)= U + 24dg (Sin 也/|8丨)]•(25'61)
Если второе слагаемое в знаменателе правой части формулы (25.61) меньше единицы, то все выражение можно разложить в ряд, и тогда первые два члена ряда совпадают с формулой (25.59), полученной Кондо [702].
Характерным теперь является существенная зависимость затухания у (е) от знака интеграла s ——d-обмена. Если Z$d > 0, то никакой особенности в выражении (25.61) не будет, но при Л s^ < 0 величина ?(8)расходится при некоторой энергии 8 = 8支, где
之 ехр [【I Jg&)] •(25.62)
Величину 8H принято называть энергией Кондо, а соответствующую ей температуру
—температурой Кондо. Таким образом, при температурах порядка или ниже Т^ или энергиях порядка или ниже 8K приближение, лежащее в основе вывода формулы (25.60), уже недостаточно, Таким образом, условием ее применимости являются
I е I > ек, пли Т > 77K. (25.64)
В связи с этим возникает вопрос, как себя ведут электроны, энергия которых лежит вблизи самой поверхности Ферми, т. е. при | £ | W £支,иначе, каковы же осо- бености поведения электросопротивления и других кинетических коэффициентов при Т W %?
Для ответа на этот вопрос были предприняты многочисленные исследования, состоящие главным образом в попытках найти адэкватный математический аппарат.
Можно указать два направления в этих исследованиях. Одно из них было начато Сулом [706, 707], Малеевым [708] и Гинзбургом [709]. В нем используется аппарат формальной теории рассеяния и решение приводится с помощью соотношений аналитичности и унитарности амплитуды рассеяния. Используя только эти общие свойства, авторы этого «унитарного» направления получили формулы для амплитуды рассеяния (затухания) и для электросопротивления, пригодные (даже при As^ v 0) при температурах ниже Tr. При этом оказалось, что сечение рассеяния о электронов проводимости на примеси [тесно связанное с затуханием у (е)] плавно возрастает с приближением к поверхности ⑪ерми и достигает (при Asd V 0) на поверхности Ферми своего максимального значения, #так называемого унитарного предела: .
等， (25.65)
где кф — импульс на поверхности Фермп. Это означает, что при понижении темпера
туры сопротивление перестает увеличиваться и подходит к конечному пределу при 7 fo. Измерения сопротивления, проведенные Дайбеллом и Стейертом [703] в сплавах Си ——Fe и Си ——Сг дают при экстраполяции 力 f 0° К результаты, подтверждающие соотношение (25.65). Таким образом, теория «унитарного» направления дает, что резонансное рассеяние электронов проводимости на парамагнитной примеси, как оно понимается обычно, отсутствует.
Поэтому, согласно Малееву [710], наиболее последовательно развивающему концепцию унитарного подхода, особенность в рассеянии электронов проводимости на парамагнитной примеси соответствует так называемым «пороговым» особенностям, которые хорошо известны в теории рассеяния и возникают при упругом рассеянии вблизи порога неупругого канала. Отсюда следует вывод, что физический механизм эффекта Кондо нельзя интерпретировать в обычных терминах притяжения или отталкивания рассеиваемых частиц.
Второе направление в теории эффекта Кондо связано с работой Нагаока [711] и развивалось далее в работах [712—718]. Идея этого направления состоит в том, что поведение амплитуды рассеяния при 4d V 0 похоже на поведение амплитуды рассеяния электронов друг на друге в случае, когда их взаимодействие является притяжением. Однако хорошо известно, что для электронов это является признаком неустойчиво- •сти основного состояния и соответствует сверхпроводимости. Естественно и в случае эффекта Кондо предположить возникновение квазисвязанного состояния электрона с локализованным сштном, причем речь идет не о связи самого заряда электрона с примесным сшшом, а о связи спиновой плотности электронов проводимости вблизи атома примеси с его локализованным спином. Поскольку такое явление может возникнуть при 4 $& V °, т. е. при антиферромагнитном взаимодействии электронного и примесного спинов, эффективный момент локализованного спина ниже 7氏 должен уменьшаться. В ряде работ (см., например, [719]) показано, что при S = 1/2 локализованный momqht полностью компенсируется ниже Т^. В связи с этим [Приффер [720] высказал идею, что все примеси переходных металлов в немагнитных металлах имеют локализованный спин, но у некоторых металлов температура Кондо выше точки плавления, а при более низких температурах электронное облако полностью экранирует спин примеси. В этом вопросе о связанном магнитном состоянии, возникающем ниже Т^ нет еще полной ясности и он находится в стадии интенсивного исследования (см., например, обзор [695]).
Эффект Кондо и магнитный порядок. Эффект Кондо экспериментально наблюдается в разбавленных растворах при малых концентрациях парамагнитной компоненты в отсутствие атомного магнитного порядка. Известно, однако, что даже при низких концентрациях такие сплавы могут быть ферро- или антиферромагнитными. Возникает •естественный вопрос, как изменится эффект Кондо, если концентрация примесей будет увеличена настолько, что температура Кюри 0 окажется выше температуры Кондо 丁支? Этот вопрос исследовался в работах Абрикосова [721], Изюмова и Кассан-Оглы [722], в которых показано, что магнитный порядок подавляет эффект Кондо.
Действительно, в отсутствие упорядочения локализованный спин имеет дискретный вырожденный уровень в металле и может быть ориентирован в кристалле любым ■образом. При магнитном порядке все парамагнитные примеси связаны косвенным обменным взаимодействием через электроны проводимости, отдельному спину соответствует тогда не один дискретный уровень, а целая (спин-волновая) полоса уровней шириной порядка А：в 0. Это должно приводить к «размазыванию» эффекта Кондо. Однако следы его будут наблюдаться, если ширина спин-волновой полосы достаточно мала (она пропорциональна концентрации раствора). Если для спиновых волн и для электронов проводимости принять квадратичный закон дисперсии, то Изюмов и Кас- сан-Оглы [722] показали, что эффект Кондо не исчезает с повышением концентрации парамагнитной примеси до тех пор, пока не возникает ферромагнитное упорядочение, если только эффективная масса спиновой волны «4溫* волн) и электрона 7n не удовлетворяют неравенству
2 I 4d I g (С)2 I 4d I g (С))•)•(25.66)(25.66)™(сп. волн)
2 I 4d I g (С)
2 I 4d I g (С)
)•
)•
(25.66)
(25.66)
垄圆排In
m
Условие (25.66) одновременно является условием и для концентрации. Действительно, температура Кюри 0 (следовательно, и ширина спин-волновой полосы энергий) пропорциональна концентрация примеси % причем
® ж cA^dg 也)，
откуда имеем
宀(си. волн)宀(си. волн)а£4統2 ©，а£4統2 ©，(25.67>(25.67>
宀(си. волн)
宀(си. волн)
а
£4統2 ©，
а
£4統2 ©，
(25.67>
(25.67>
где а ——некоторый численный параметр, зависящий от величины локализованного- спина. Подставляем выражение (25.67) в (25.66), получаем условие для концентрации
а ехра ехр112|4d[g(ORsdg@122|4d[g(ORsdg@12(25.68)(25.68)
а ехр
а ехр
1
1
2|4d[g(O
Rsdg@12
2|4d[g(O
Rsdg@12
(25.68)
(25.68)
Рис. 25.44. Температурная зависимость удельного электросопротивления монокристалла Мо вблизи температуры сверхпроводящего перехода (Волкенштейн и Старцев [726]).Рис. 25.44. Температурная зависимость удельного электросопротивления монокристалла Мо вблизи температуры сверхпроводящего перехода (Волкенштейн и Старцев [726]).шой примесью Fe (порядкашой примесью Fe (порядка
Рис. 25.44. Температурная зависимость удельного электросопротивления монокристалла Мо вблизи температуры сверхпроводящего перехода (Волкенштейн и Старцев [726]).
Рис. 25.44. Температурная зависимость удельного электросопротивления монокристалла Мо вблизи температуры сверхпроводящего перехода (Волкенштейн и Старцев [726]).
шой примесью Fe (порядка
шой примесью Fe (порядка
при которых эффект Кондо не исчезает в ферромагнитных разбавленных сплавах (если он имел место при более низких концентрациях пар амагнитных примесей в отсутствие магнитного порядка). При самых больших значениях параметра 14d I g (С), еще совместимых с условием； I 4d 丨 g (Е)《1 (это вообще условие применимости- теории эффекта Кондо), % оказывается весьма малой величиной (《1%). Практически, по-видимому, концентрация Cr оказывается меньше той, при которой в разбавленном сплаве 0 > 77H. Из приведенного рассмотрения ясно, что эффект Кондо не может наблюдаться в обычных ферромагнитных переходных металлах и их сплавах друг с другом.
Эффект Кондо и сверхпроводимость. В § 8 достаточно подробно рассмотрен вопрос о влиянии парамагнитных примесей на сверхпроводимость. Здесь мы кратко, отметим, что имеется интересная связь между эффектом Кондо, обусловленным s — d-связъю электронов проводимости с парамагнитными ионами и сверхпроводимостью таких систем. Среди работ, посвященных этой проблеме, укажем на исследование Фаулера и Маки [723]. Абрикосова [724] и Гинзбурга [725]. В первых двух работах показано, что если 77K v 0си (где 0СП относится к чистому сверхпроводнику), то связанные состояния не могут возикнуть. Если же盘Т^ > ®сш то в присутствии эффекта Кондо 0СП снижается. В работе же Гинзбурга [725], основанной на унитарном подходе, получено, что в случае если 77H《❷сн, то 0СП растет при наличии примесей. Экспериментально сосуществование эффекта Кондо и сверхпроводимости наблюдали Волкенштейн и Старцев [726], измерявшие электросопротивление монокристалла Мо с очень неболь- 2 • 16一4%)в области температур от 0,38 до 2,3° К.
На рис. 25.44 показан график зависимости электросопротивления от температуры,, из которого видно, что электросопротивление Мо возрастает с уменьшением температуры вплоть до перехода в сверхпроводящее состояние (при 0СП ^ 0,7° К). Интересно- провести также исследования о зависимости функции р (Т) при сосуществовании эффекта Кондо и сверхпроводимости от концентрации примеси, величины внепшего магнитного поля, а также выяснить влияние возбуждений мультиплетности (см. ниже и. 5> парамагнитной примеси на рассматриваемое явление.
Возбуждение мультиплетности парамагнитных ионов и эффект Кондо. Еще до появления работы Кондо [702] в работе ван Пески-Тинбергена [727] была высказана гипотеза, что низкотемпературный минимум в разбавленных растворах ^-металлов в нормальных металлах вызван возбуждением мультиплетности пар соседних парамагнитных ионов, связанных обменным взаимодействием. Однако Лиу [728] установил, что для этих пар температура TQl при которой наблюдается минимум на кривой р (Т), пропорциональна с^ (с —— концентрация парамагнитной примеси). Этот теоретические вывод находился в резком противоречии с результатами эксперимента, согласно которым 7\)〜с"，Однако в работе Вонсовского и Свирского [693] было показано, что если рассматривать возбуждения мультиплетности отдельных парамагнитных ионов (а не их обменно связанные пары), то для 70 теория дает правильную зависимость от концентрации примеси: 7\)〜 с"б. Вонсовский и Свирский, используя введенный ими обобщенный (с учетом возбуждений мультиплетности) гамильтониан, получали для вклада
ют s —— d-обмена в электросопротивление p$d следующее выражение [692, 693]:
—^кф Гехр(А/%7)
dd = 2吟亢з с [ I /sd (?ф)1 i + зехр (А/З) +
〜ехр (A/crT)1
+ 2^Asd(’8)|2 [1 + 3 ехр (Д/^бЛ] [1 + ехр (A/^Z)] J' (25,69)
■где тп, % п, кф ——масса, заряд, концентрация, волновой вектор электронов проводимости на поверхности Ферми, А — энергия возбуждения мультиплетности ) | q① | — | 兀& — —兀① I — модуль изменения волнового вектора электрона проводимости у поверхности @ермн, рассеиваемого на парамагнитной примеси, ASd(0①)и 左d (^①)——соответственно симметричные и антисимметричные (по отношению к орбитальным состояниям) @урье-о6разы интеграла s ——d-обмена на поверхности Ферми.
В области «высоких» температур по отношению к энергии А, когда А/% 7《1, из (25.69) следует, что
з?n2加①〜
Psd = 8лпе2ЛЗ © {I 4d (?ф) |2 + I 4d(0①)卩十
+ [ I 4d (%)卩一1 4d S①)卩]0/4綜T)}，(25.70)
Из (25.70) видно, что при условии
I /sd (дф) I〉14d (?ф)|(25.71)
?Psd уменьшается с ростом Т. Добавляя к выражению (25.70) обычный фононный вклад в электросопротивление рф0Н 〜 75 (для Т《0д), получаем для полного электросопротивления р
Р= Р巾он + Psd =аГ' + 6+ 步，(25.72)
；тде а, р и -у — некоторые постоянные. Выражение (25.72) имеет минимум при 70 = —(у/5а)1/б. Из (25.70) следует, что ?〜％ поэтому 70 〜с1^6, что согласуется с результатами эксперимента. Таким образом, проведенный расчет устраняет трудность, имеющуюся в работе [727], а также отличается и от модели типа Кондо (см. выше), в которой .минимум р должен быть только для Z$d V 0・ В модели, основанной на учете возбуждений мультиплетности парамагнитных примесей, минимум р возможен при любом знаке *sd，поскольку в формулу (25.69) входит квадрат модуля этого параметра.
В области температур, которые ниже А, т. е. когда 卜依炉》1, электросопротив- .ление имеет максимум. Согласно (25.69) последний наблюдается, если выполняется неравенство
I 4d (?ф) I > 61/2| 4d (?ф)|.(25.73)
■ Это неравенство предполагает, что неравенство (25.71) тем более выполняется. Поэтому при понижении температуры на кривой р (7) сперва наблюдается минимум, а затем максимум. Далее при Т т 0° К выражение (25.69) преобразуется в обычную формулу для s —— d-модели без учета возбуждений мультиплетности типа (25.57), а именно
Р然=靠弄c|24d(%)|2Sf + l)・(25.74)
Мы видим, таким образом, что предсказанное теорией [693] поведение электросо" •противления полностью согласуется с экспериментальными результатами для разбав" ленных сплавов парамагнитных ионов в нормальных металлах. Однако следует заме" тить, что если А означает внутри атомную обменную энергию изолированного атома, то условие «высоких» температур \!къТ《 1 дает 7》10 000° К. Это, конечно, не имеет отношения к объяснению низкотемпературного минимума электросопротивления сплавов, наблюдаемого при 70 ^ 10° К. Но если учесть, что ионы переходного элемента находятся в поле кристаллической решетки, то для А получаем совершенно другую оценку. Расщепление мультиплета в лигандном поле кубической симметрии, с одной -стороны, дает расщепления больших масштабов (10 000° К для(7-элементов и 100° К для /-элементов). С другой стороны, отклонения от кубической симметрии, обусловленные сшш-орбитальной или с пин-с пинов ой связью, приводит к добавочному смещению и расщеплению энергетических уровней обычно гораздо меньших. Например, для иона Сг3+ в кристалле рутила по экспериментальным данным (см., например, книгу [729] находим для величины расщепления 0,5 сж*1, т. е. 7 ^ 0,5° К и для иона Fe3+
12 3 412 3 46 7 8 Q^ л^ lo^Q^-z^r^o^T^O^Q^ л^ Jb 9^ -л^ 1 111111111 222226 7 8 Q^ л^ lo^Q^-z^r^o^T^O^Q^ л^ Jb 9^ -л^ 1 111111111 2222225.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.51.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.51.
12 3 4
12 3 4
6 7 8 Q^ л^ lo^Q^-z^r^o^T^O^Q^ л^ Jb 9^ -л^ 1 111111111 22222
6 7 8 Q^ л^ lo^Q^-z^r^o^T^O^Q^ л^ Jb 9^ -л^ 1 111111111 22222
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
расщепление 1,5 см-'/г. e. 7 1,5° К. Поэтому, если принять, что величина расщепления в лигандном поле А порядка 1° К, то температура То будет порядка 10° К. Кроме того, можно такой анализ распространить и на систему, состоящую из d-сло珏 и ядра. В случае атома величина А будет уже порядка расщепления СТС, т. е. А/加е〜0,01° К. В этом случае при ^о 弋 1。°К условие Д//сБZo《1 заведомо выполняется.
Для окончательного решения вопроса о влиянии возбуждений мульти плетносттг на электросопротивление сшшов при низких температурах необходимы более детальные экспериментальные определения величин А с привлечением различных — резонансных, рентгеноспектральных, оптических и т. п. методов.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 25
N. F. М о 11, Adv. Phys. 13, 325 (1964).
W. J. Carr, Jr” Hand. Phys., Bd. 18/2, Springer-Verl. Berlin (1966).
P. Weiss, H. Piccard, Compt. rend. 166, 352 (1918).
P. Weiss, R. F о r r e r, Compt. rend. 178, 1347 (1924); Ann. de phys. 5, 15$ (1926).
С. А к у л о в, Л. В. Киренский, J. Phys. USSR 9, 31 (1940).
В. Вонсовский, ЖЭТФ 8, 1104 (1938).
Е. W а г b u г g, Ann. der Phys. 13, 141 (1881).
L. F. В a t e s, J. phys. rad. 12, 459 (1951).
V i 1 1 a r i, Ann. phys. chem. 126, 87 (1865).
P. J о u 1 e, Ann. Electr. Magn. Chem. 8, 219 (1842); Phil. Mag. 30, 7 6, 22 5 (1847).
H. C・ А к у л о в, Zs・ Phys. 52, 389 (1928).
С. В. В о H с о в с к и й, ЖЭТФ 10, 762 (1940).
Н. С. А к у л о в, Zs. Phys. 67, 794; 69, 278, 822 (1931).
W. Heisenberg, Zs. Phys. 69, 287 (1931).
H. С. Акулов, E. И. Кондорскии, ЖЭТФ 3, 109 (4933).
Б. К. Джиренчин, Phys. Zs. UdSSR 10, 689 (1936).
Б. А. Введенский, С. Симонов, Zs. Phys. 38, 202 (1926).
Н. Kirchner, Ann. der Phys. 27, 49 (1936).
H. С. А к у л о в, И. П. М азин, Я. И. Фельдштейн, ДАН СССР 71, 85f (1950).
К. В. Владимирский, ЖЭТФ 11, 313 (1941); ДАН СССР 41, 11 (1943). W. Р. М a s о n, Rhys. Rev. 82, 715 (1951).
Е. W. Lee, Иер. Prog. Phys. 18, 184 (1955).
Е. W. Lee, Proc. Phys. Soc. 72A, 249 (1958).
R. R. В r i s s, Adv. Phys. 8, 252 (1959); Proc. Phys. Soc. 7 5, 8 (I960); 70B, 109s (1957).
H. B. Callen, N. Goldbery, J. Appl. Phys. 36, 976 (1965).
C. Holt, J. E. Thompson, Proc. Phys. Soc. 81, 148 (1963).
Я. С. Ш у p, Докторская диссертация, Казань, 1942.
Б. Л. P о з и н г, ЖРФХО 2 6, 253 (1894).
L. Masiyama, Sci. Rep. Tohoku Univ. 17, 1945 (1928).
E. T и т о в, ЖЭТФ 8, 1132 (1938).
R a d e 1 of f, Zs. angew. Phys. 17, 247 (1964).
W. D 6 r i n g, G. S i m о n, Ann. d,er Phys. 5, 373 (I960).
R. Becker, Zs. Phys. 62, 253 (1930).
Д. А. Ш т у p к и и, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 661 (1947).
S. К а у а, Н. Т a k a k i, J. Hokkaido Univ. 1, 227 (1935).
Kirkham, Phys. Rev. 52, 1162 (1937).
H. T а к a к i, Zs. Phys. 105, 92 (1937).
Г. П. Д ь я к о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 667 (1947).
Д. И. Волков, В. И. Чечерников, ЖЭТФ 2 7, 208 (1954).
W. D. Corner, G. Н. Hunt, Proc. Phys. Soc. 68A, 133 (1955).
L. R. В i с к f о r d, Jr., J. P a p p i s, J. L. S t u 1 e, Phys. Rev. 99, 1210 (1955). А. Я. В л а с о в, В. А. С а ф о н о в, И. Я. С а ф о н о в, Изв. Сиб, отд. АН СССР, № 2, 15, (1959).
А. Я. Власов, И. Л. Гуськова, Изв. Сиб. отд. АН СССР № 3, 3 (1959).
А. Я. Власов, И. Л. Г у с ь к о в а, ФММ 11, 207 (1961).
Ф. Н. Дунаев, М. К. Кузнецова, ФММ 12, 652 (1961).
N. Miyata, Z. Funatogawa, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-l, 279 (1962).
Tatsumoto, T. Okamoto, J. Phys..Soc. Japan 14, 1588 (1959).
R. Gersdorf, J. H. M. Stoelinga, G. W. Rathenau, J. Phys. Soc. Japan 17, Supl. B-l, 342 (1962); Physica 27, 381 (1961).
H. von К e m p e nt K. Kohlhaas, H. Lange, Zs. Naturforsch, 21a, 1512 (1966).
Г. А. Петриковский, Э. M. Смокотин, Письма ЖЭТФ 5, 231 (1967). C. Zener, Phys. Rev. 96, 1335 (1954).
Е. А. Т у р о в, А- И. М и ц е к, ЖЭТФ 3 8, 1847 (I960).
А. А. Гусев, ДАН СССР 98, 749 (1954); ЖЭТФ 29, 81, 895 (1955).
G. С. F 1 е t с h е г, Proc. Phys. Soc. 68А, 1066 (1955).
Ch. Kittel, J. H. Van V I e c k, Phys. Rev. 118, 1231 (I960).
H.В.C a 1 1 e n, E. R. C a 1 1 en, Phys. Rev. 12 9, 578；132,991(1963);139,A455
W.F.В г о w n, Jr., J. AppL Phys. 3 9, 994 (1965).
И.В.C a 1 1 e n, J. Appl. Phys. 39, 519 (1968).
J. Kanamori в сб. «Magnetism», (ed. G. T. Rado, H.Suhl), vol. I,Acad,press,
N. Y. 1963, p. 127.
B・ К a p p, в сб. «Магнитные свойства металлов и сплавов», перевод с англ, под ред. С. В. Вонсовского, ИЛ, М., 1961, стр. 267.
Д. И. Волков, Д. И. Леонтьев, ДАН СССР 97, 995 (1954).
Н. Т a k a k i, Y. Nakamura, J. Phys. Soc. Japan 9, 507, 748 (1954).
E. W. Lee, Proc. Phys. Soc. A68, 65 (1955).
В. В. Дружинин, IO. А. Лазарев, ФММ 5, 164 (1957).
H. Gengnagel, Naturwiss. 45, 81 (1958).
E. J. Langham, Brit. J. Appl. Phys. 14, 16 (1963).
В. И. Николаев, А, И. Карчевский, В. Г. Цино e в, Б. В. Васильев, ЖЭТФ 45, 480 (1963).
Ф. Н. Д у н а е в, В. М. К а л и н и н, ФММ 12, 619 (1961); 15, 170 (1963).
Ф. Н. Дунаев, В. М. Калинин, В. В. Дружинин, ФММ 15, 652
К. Н. von Klitzing, Zs. Naturforschg. 18a, 1011 (1963).
H. S. В a 1 s о n, J. Appl. Phys. 38, 1327 (1967).
2. J. Kranz, К. E. W e d e m a n n, Zs. Metallkde 58, 188 (1967).
L. В e r g e r, Phys. Rev. 138, A1083 (1965).
J. E. Goldman, R. Smoluchowski, Phys. Rev. 75, 140 (1949).
Г. П. Д ь я к о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 22, 1254 (1958).
И. М. П у з е й, Б. Молотило в, Изв. АН СССР, сер. физ. 22, 1244 (1958).
С. И. Воскобойников, ФММ 6, 1011 (1958).
W. J. Carr, R. Smoluchowski, Phys. Rev. 83, 1236 (1951).
R.Smoluchowski,!. phys. rad. 12, 389 (1951).
M. Y amamoto, T. Nakanichi, J. Phys. Soc. Japan 13, 228 (1958); 17,
H. С. А к у л о в, 3. И. А л и-3 а д е, К. П. Б е л о в, ДАН СССР 65, 815 (1949).
A. Kussmann, G. Rittenberg, Ann. der Phys. 7, 173 (1950).
Д. И. В о лк о в, ДАН СССР 97, 809 (1954).
Я. С. 1П у р, А- С. X о х л о в, J. Phys. USSR 10, 540 (1946); 11, 7 7 (1947).
Я. С. Ш у р, Ф. Н. Д у н а е в, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 640 (1952).
В. А. 3 а й к о в а, Я. С. Ш у р, ФММ 14, 785 (1962).
3. Н. Булычева, Н. Н. Бородкина, Я. П. С е л и с к и й, ФММ 9, 3,
3. Н. Булычев а, М.М. Бородкина. В. Л. Сандомирская, ФММ 19, 152 (1965).
3. Н. Булычева, М. М. Бородкина, Сб. трудов УНИИЧМ, вып. 25,
Г. П. Д ь я к о в, ДАН СССР 68, 33 (1949), 76, 201 (1951); 82, 867 (1952); ЖЭТФ 23, 525 (1952); Вестник МГУ № 9, 43 (1949); № 5, 31, № 6, 45 (1951); № 3, 235 (1958); Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1133 (1957); ФММ 6, 168 (1958).
Г. П. Дьяков, А. А. Козлов, ФММ 6, 576 (1958).
Н. S a t о, J- Appl. Phys. 2 9, 4 56 (1958).
Д. И. В о л к о в, Вестник МГУ № 3, 52 (i960).
Е. W. L е е, Proc. Phys. Soc. 67А, 381 (1954).
В. А. 3 а й к о в а, Я. С. Ш у р, ФММ 16, 614 (1963).
R. Becker, Zs. Phys. 87, 547 (1933).
М. К о г n е t z k i, Zs. Phys. 87,560 (1933).
Д. Л. С и м о н e н к о, ЖЭТФ 7,170 (1937).
Ф. H. Д у н a e в, В. M. К а л и н и н, ФММ15,170 (1963).
К. A z u m i, J. Е. G о 1 d m a n,Phys. Rev.93,630 (1954).
И. Пузе й, Б. Молотило в, А. Р о д ь к о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 22.
Н. S a t о, Phys. Rev. 109, 802 (1958).
Т. К a n е к о, J. Phys. Soc. Japan 15, 463 (I960).
Ф. H. Дунаев, Ю. Н. Ярошенко, ФММ 12, 620 (1961).
J. Nakamura, J. N a k a j i m а, Н. Т а к а к i, J. Phys. Soc. Japan 16, 840
①.H. Дунаев, В. М. Калинин, ФММ 13, 153; 14, 462 (1962),
Ф.Н.Д у наев, В. М. Калинин, В. В. С е р и к о в, ФММ 14, 781(1962).
J.Н.М. Stoelinga, G.de Vries, J. du Chatenier,Phys.Lett. 14,
W.Dd r i n g, P. К r a n s e,Zs. angew. Phys. 22, 309 (1967).
R.R.В r i s s, S. R. A d a ms о n, Brit. J. Appl. Phys. (J. Phys.D) 1,63(1968).
111. 112. ИЗ. 114. 115.116. 117. 118. 119. 120. 121.122. 123.124. 125. 126. 127.111. 112. ИЗ. 114. 115.116. 117. 118. 119. 120. 121.122. 123.124. 125. 126. 127.R. R. В r i s s, В，C. Hegarty, Brit. J. AppL Phys. (J. Phys. D) 1,. 789 (1968).
111. 112. ИЗ. 114. 115.
116. 117. 118. 119. 120. 121.
122. 123.
124. 125. 126. 127.
111. 112. ИЗ. 114. 115.
116. 117. 118. 119. 120. 121.
122. 123.
124. 125. 126. 127.
Y. T i n о, T. M a e d o, J. Phys. Soc. Japan 24, 729 (1968).
T. T s u j i, J. Phys. Soc. Japan 13, 1310 (1958).
R. С. H a 1 1, J. AppL Phys. 30, 1459 (1959).,
И. Я. Д e x т я p, Д. А. Левина, Укр. физ. жури. 8, 315 (1963).
J. A. J. Lourens, L. Alberts, Sol. State Comm. 2, 141 (1964).
J. H. M. S t о e 1 i n g a, R. Gersdorf, G. de V r i e s, Physica 31, 349 (1965).
E. Fawcett, G. K. White, J. Appl. Phys. 3 8, 1320 (1967).
Y. N akamura, J. Phys. Soc. Japan 10, 937 (1955).
H. С. Акулов, ДАН СССР 106, 31 (1956).
L. Alberts, H. L. Alberts, Phil. Mag. 8, 2101 (1963); Physica 31, 1063 (1965).
J. A. J. Lourens, P. E. Viljoen, Physica 32, 1177 (1966).
G. N. В e n n i n g e r, A. S. P a v 1 о v i c, J. Appl. Phys. 3 8, 1325 (1967).
G. M. Williams, A. S. Pavlovic, J. Appl. Phys. 39, 571 (1968).
E. К d s t e r, Phys, Stat. Sol. 30, 455 (1968)..
H. E b e r t, A. Kussmann, Phys. Zs. 38, 437 (1937).
К. П. Б e л о в, ДАН СССР 61, 807 (1948); ЖТФ 19, 661, 1032 (1949); ЖЭТФ 20,
К. П. Б е л о в, Р. 3. Л е в и т и н, С. А. Н и к и т и н, А, В. П е д ь к о, ЖЭТФ 40, 1562 (1961).
К. П. Белов, Е. П. С в и р и н а, О. А. Маликова, ФТТ 4, 2829 (1962).
Р. 3. Левитин, С. А. Никитин, ФММ 11, 848 (1961).
Е. Lee, L. Alberts, Proc. Phys. Soc. 79a, 997 (1962).
S. Legvoid, J. Alsted, J. Rhyne, Phys. Rev. Lett. 10, 509 (1963).
A. E. С 1 a r k, R. M. В о z о r t h, B. F. de S a v a g e, Phys. Lett. 5, 100 (1963).
A. E. Clark, B. F. de Savage, R. M. В о z о r t h, Phys. Rev. 138, A216
W. D. Corner, F. Hutchinson, Proc. Phys. Soc. 75, 781 (I960).
R.M.В о z о r t h, T. Wakiyama, J. Phys. Soc. Japan18, 97(1963.).
J.К.A 1 s t e d, S. L e g v о 1 d, J. Appl. Phys. 35, 1752(1964).
К.П.Б e л о в, Ю. В. E p г и н, А. В. П e д ь к о, ЖЭТФ 49, 414(1965).
W. Coleman, A. Pavlovic, J. Phys. Chem. Sol. 2 6, 691 (1965).
С.A.H и к и т и н, ЖЭТФ 43, 31 (1962).
J.J.Rhyne, S. L e g v о 1 d, Phys. Rev. 138, A507; 140,A2143(1965).
К. П. Белов, P. 3. Левитин, Б. К. Пономарев, ЖЭТФ 49, 1733
Р.de V. du Р 1 е ss i s, L. Alberts, Sol.StateComm. 3, 251 (1965).
N.Goldberg,W. McC a nn, J. Appl.Phys.35, 1026 (19 64).
Б. Я. П и н e с, H. M. Гумен, Phys. State Sol. 8, 751 (1965).
A.B. S m i t h, R.V. J о n e s,J. Appl. Phys. 37, 1001 (1966).
P.А. В и с к а н ян, P. 3. Л eв и т и н, В.А. Шу p о в, ЖЭТФ 54,790 (1968).
Г. А. Петраковский, Э. M. С мо к отин, ЖЭТФ 55, 2083 (1968).
С. П. Кунцевич, Ю. А. М а м а л у й, А. С. Мильнер, ФТТ 10, 3495 (1968)； ФММ 26, 610 (1968).
А. Е. С 1 а г к, В. F. de S а V a g е? W. Coleman, Е. R. С а 1 1 е n, Н. В. С а 1 - 1 е n, J. Appl. Phys. 34, 1296 (1963).
А.Е.С 1 а г к, В. F.de S a v a g е, Е. R. С а 1 1 е n, J. Appl. Phys. 35, 1028
В.П.Кирюхин,В. И. Соколов, ЖЭТФ 51, 428 (1966).
К.П.Белов, В. П.Кирюхин, В. И. Соколов, Письма Ж.ЭТФ 3, 329
К.П.Б е л о в, В. И.Соколов, Письма ЖЭТФ 4, 186 (1966)； 6, 586 (1967).
D. Е. Eastman, Phys. Rev. 148, 530 (1966).
Т. G. Phillips, R. L. White, Phys. Rev. Lett. 16, 650 (I960); J. Appl. Phys. 38, 1222 (1967).
A. E. Clark, B. F. de Savage, N. Tsuya, S. Kawakami, J. Appl. Phys. 37, 1324 (1966).
P. J. F 1 a n d e r s, R. F. P e a r s о n, J. L. P a g e, Brit. J. Appl. Phys. 17, 839
R. Comstock, J. J. Raymond, J. Appl. Phys. 38, 3737 (1967).
S. I i d a, J. Phys. Soc. Japan 22, 120 (1967).
A. E. Clark, J. J. Rhyne, E. R. Callen, J. Appl. Phys. 39, 573 (1968).
N. Tsuya, Sci. Rep. Res. Inst. Tohoku Univ. 8, 161 (1957); J. Appl. Phys. 29,
J.C. Slonczwski, J. Appl. Phys. 30, 310S (1959); J. Phys. Chem. Sol. 15, 335 (I960); Phys. Rev. 122, 1367 (1961).
К. П. Б e л о в, ЖЭТФ 19,346 (1949).
A. Michels, A. J a s p ere, J, de В о e rt J. Strepland, Physica 4, 1007
S. H. L i u, Phys. Rev. 127, 1889 (1962); J. Appl. Phys. 35, 1087 (1964).
4 67. H. T a k a k i, J. Hayashi, J. Phys. Soc. Japan 13, 703 (1958).
168. Н. Е. S t a u s s, J. Appl. Phys. 30, 1648 (1959).
169.
170.
171.
172.
173.
174.
475.
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.
184.
485.
186.
187.
188.
189.
190.
191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
J. P a c e s, P. Suda, Чехосл. Физ. Журн. 11, 439, 602 (1961). P.Chevenard, Rev. met. Mem. 14, 610 (1917).
К. П. Белов, А. В. Залесский, Кристаллография 3, 388 (1958).
К. A n d r e s, Phys. Rev. 168, 708 (1968).
L. Alberts, P. de V. du Plessis, J. Appl. Phys. 39, 581 (1968).
С. E. Guillaume, Compt. rend. 125, 235 (1897).
К. П. Б e л о в, Изв. АН СССР сер. физ. 11, 649 (1947).
К. П. Белов, О. И. А г о с я н, Изв. АН СССР сер. физ. 11, 654 (1947).
Е. И. К о н д о р с к и й, В. Л. Седов, J. Appl. Phys. 31, 331S (I960).
R. Contarz, H. Ratajczak, P. Suda, Phys. stat. sol. 6, 909 (1964). J. P. R e e k s t i n, J. Appl. Phys. 38, 1449 (1967).
T. С. P a n n, F. G. W e s t, J. Appl. Phys. 3 8, 2060 (1967).
Я. С. Шур, M. Г. Лужинская, К. Б. Власов, О. И. Ширяева, В. А. Зайкова, Изв. АН СССР сер. физ. 22, 1259 (1958); Труды ИФМ АН СССР, № 20, 131 (1958).
Л. Г. И п а т о в, ЖТФ 29, 602 (1959).
В. Е. Кузнецов, ФММ 20, 4 99 (4965).
Л. В. Киренский, В. Е. Кузнецов, В. У. У с ато в, ФММ 20, 221 (1965).
И. Я. К о р н б л и т, ФТТ 8, 2579 (1966).
Н. А. Доронин, Металлургия кальция, Металлургиздат, М., 1959.
Н. В. Волкенштейн, Э. В. Галошина, ФММ 16, 298 (1963).
G. К. W h i t е, S. В. W о о d s, Phil. Trans. Roy. Soc. A251, 273 (1958).
G. T. M e a d e n, P. P e 1 1 о u x-G e r v a i s, Cryogenics 5, 227 (1965).
Б. В. С и н и ц и н, Стронций (Обзор литературы), Металлургиздат, М., 1962. J. К. А 1 s t е d, R. V. Colvin, S. L е g v о 1 d, Phys. Rev. 123, 418 (1961). S. T. S e k u 1 a, R. H. К e r n о h a n, G. R. L о v e, Phys. Rev. 155, 364 (1967). M. П. Славинский, Физико-химические свойства элементов, Химиздат, М. 1952.
200.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
208.
209.
210.
211.
212.
213.
214.
215.
216.
217.
218.
219.
220.
221.
222.
J. К. Alsted, S. Legvol d,F. Spedding, Phys. Rev. 121, 1637 (1961). B. R. С о 1 e s, Adv. Phys. 7, 40 (1958).
H. В. Волкенштейн, Л. M. Носкова, Труды ИФМ АН СССР, вып. 27, Свердловск 1968, стр. 130.
Н. В. В олкенштейн, Г. В. Федоров, В. Е. Старцев, Изв. АН СССР, сер. физ. 2 8 , 540 (1964).
S. Arajs, G. R. D u ,n ш у г е, Zs. Naturforsh. 21а, 1856 (1966).
Н. В. В олкенштейн, Г. В. Федоров, Э. В. Галошина, В. Е. Старцев, Вопросы теории и применения редкоземельных металлов. Изд.《Наука», М., 1964.
R. V. Colvin, S. L е g V о 1 d, F. S р е d d 1 n g, Phys. Rev. 120, 741 (I960). H. Masumoto, H. Saito, M. Kikuchi, Sci. Rept. Res. Inst. Tohoku Univ. Al 8, Suppl. 84 (1966).
P. M. Hall, S. L e g v о 1 d, F. S p e d d i n g, Phys. Rev. 116, 1446 (1959). D. E. H e g 1 an d, S. Legvoid, F.Spedding, Phys. Rev. 131, 158 (1963). P. M. Hall, S. L e g v о 1 d, F. S p e d d i n g, Phys. Rev. 117, 971 (i960). R. W. G r e e n, S. L e g v о 1 d, F. S p e d d i n g, Phys. Rev. 122, 827 (1961). А. И. Судовцев, E. E. Семененко, ЖЭТФ 31, 525 (1956).
E. E. Семененко, А. И. Судовцев, ЖЭТФ 42, 1022 (1962).
E. E. Семененко, А. И. Судовцев, А. Д. Швец, ЖЭТФ 42, 1488 (1962).
E. E.Семененко, А. И.Судовцев, H. В. Волкенштейн, ЖЭТФ 45, 1387 (1963).
Е. И. Кондорский, О. С. Галкина, Л. А. Черникова, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1123 (1957).
Е. И. Кондорский,О. С. Галкина,Л. А. Черникова, ЖЭТФ 34, 1070 (1958).
Р. Radhakrishna, М. Nielsen, Phys. stat. sol. 11, 111 (1965).
G. R. T а у 1 о г, С. I s i n, R. V. С о 1 e m a n, Phys. Rev. 165, 621 (1968).
G. K. White, R. J. T a i n s h, Phys. Rev. Lett. 19, 165 (1967).
F. C. S c h w e r e r, J. S i 1 с о x, Phys. Rev. Lett. 20, 101 (1968); J, Appl. Phys
39, 2047 (1968).'
H. В. Волкенштейн, В. Е. Старце
Н. В. Волк
В. Е.С т а
G.
Р Ц е
К. White,
S. Arajs, G. А. П. К о м а р,
К.
П. Белов,
733 (1958).
К. П. Б е л о в,
е н ш т е й н, В. П.
в, ЖЭТФ 46, 457 (1964).
в
Дякина, В. А. Новоселов,
ФММ 21, 674 (1966).
.В. W о о d s, Canad. J. Phys. 33, 58 (1955); 35, 346 (1957).
.D u n m у r e, J. Appl. Phys. 36, 3555 (1965).
.В. Илюшин, Изв. АН СССР, сер. физ. 18, 400 (1954).
.А. Попова, Е. В. Т алалаева, Кристаллография 3 ,
С. А. Никитин, ЖЭТФ 42, 403 (1962).
К« П.Белов, С. А. Н и к и т и н, ФММ 13, 43 (4962).
К. П.Б е л о в, А. Н. Г о р я г а, Н. В. В о л к о в а, ФТТ 7, 474 (1965).
К.П.Б е л о в, М. А. 3 а й ц е в, А. М. К а д о м и е в а, Т. Л. О в ч и нн и -
к о в а, ФТТ 7, 477 (1965).
Е. U с h i d a, J. Phys. Soc. Japan 11, 27 (1956).
А. И. С уч к о в, ФММ 7, 317 (1959).
И. Г. Ф а к ид о в, А. Я. Афанасьев, ФММ 6, 176 (1958).
Y・ Shimomura, I. J. Tsubokawa, J. Phys. Soc. Japan 9, 19 (1954).
M. Rosenberg, P. Nicolau, J. В u nge t, Phys. stat. sol. 4, K125- (1964).
J. V о 1 g e r, Semiconducting materials, Butterworths, London, 1951, p. 162.
С. В. Вонсовский, ЖЭТФ 16, 981 (1946).
С. В. Вонсовский, Изв. АН СССР, сер. физ. 11, 617 (1947).
С. В. Вонсовский, Изв. АН СССР, сер. физ. 12, 337 (1948).
С. В. Вонсовский, УФН 4 8, 289 (1952).
А.И. Р е з а н ов, ДАН СССР 82, 885 (1952).
A.S. J о s е р h,А. С.Thorsen, Phys. Rev.Lett.11,554 (1963).
D. С. T s u i, Phys. Rev. 164, 669 (1967).
J.R u v a 1 d s,L. M.F a 1 i с о v, Phys. Rev.172,508(1968).
R.W. S t ar k,D. С.T su i, J. Appl. Phys. 39, 1056 (1968).
E. I. Zornbery, Sol. State Comm. 6, 729 (1968).
J. R. Anderson, A. V. Gold, Phys. Rev. Lett. 10, 227 (1963).
Ch. К i t t e 1, Phys. Rev. Lett. 10, 339 (1963).
L. Berge, A. R. de V г о о m e n, J. Appl. Phys. 36, 2777 (1965).
N. F. M о t t, Proc. Roy. Soc. A153, 699; A156, 368 (1936).
A. H. W i 1 1 s о n, Proc. Roy. Soc. A167, 580 (1938).
A. H. W i 1 1 s onT Proc. Cambr. Phil. Soc. 49, 292 (1953).'
W. G. В a b e r, Proc. Roy. Soc. Al 58, 383 (1937).
С. П. Шубин, С. В. Вонсовский, Phys. Zs. UdSSR 7, 292 (1935).
С. В. Вонсовский, ЖЭТФ 18, 219 (1948).
А. И. P e з а н о в, ДАН СССР 92, 935 (1953).
А. И. Резанов, В. И. Черепанов, ДАН СССР 93, 441 (1953).
А. А. Бердышев, Кандидатская диссертация, Свердловск, 1954.
А. А. Бердышев, С. В. Вонсовский, Изв. АН СССР, сер. физ. 1&『 328 (1954).
Е.А.Ту р о в,Изв. АН СССР, сер.физ.19,462 (1955).
Е.А.Ту р о в,Изв. АН СССР, сер.физ.19,474 (1955).
Е.А.Ту р о в,ФММ 6, 203 (1958).
С. В. Вонсовский, Изв. АН СССР, сер. физ. 19, 447 (1955).
1П. Ш. Абельский, Е. А. Туров, ФММ 10, 801 (I960).
А. А. Юдин, Вестник МГУ, сер. мат., мех., астр., физ. № 3, 81; № 4, 89 (1958).
Т. Kasuya, Prog. Theor. Phys. 16, 58 (1956).
T. Kasuya, Prog. Theor. Phys. 22, 227 (1959).
P. G. de G e n n e s, J. Friedel, J. Phys. Chem. Sol. 4, 71 (1957).
I.M a n n ari, Prog. Theor. Phys. 22, 335 (19 59).
I. M a n n ari, Prog. Theor. Phys. 26, 51 (1961).
266・T・van P e sk i-T inbergen, A. J. Dekker,Physica29,917(1963).
D.A. G о оdi n g s, Phys. Rev. 132, 542 (1963); J.Appl.Phys.34,137 0 (1963)_
M. Rosier, Phys. stat. sol. 5, 583 (1964); 9, K27, K31 (1965).
С. В. Вонсовский, Ю. А. Изюмов, УФН 77, 377 (1962).
С. В. Вонсовский, IO. А. Изюмов, УФН 7 8, 3 (1962).
F. Hartman п-В о u t г о п, Phys, konden. Materie 4, 114 (1965),
Е. А. Т у р о в, Н. А. В о л о ш и н с к и й, Труды 10 Международной конференции по физике низких температур (LT-10) т. IV, А 16, ВИНИТИ, М., 1967, стр. 105.
R. К u b о, J. Phys. Soc. Japan 12, 570 (1957).
274« Н. N a k а п о, Prog. Theor. Phys. 17, 145 (1957).
В у- д и н ь К ы, ЖЭТФ 51, 476 (1966).
7 6. J. М. W 1 n t е г, Phys. Rev. 124, 452 (1961).
A. I. Schindler, В. С. La Roy, J. Appl. Phys. 37, 3610 (1966).
J. A p p e 1, Phil. Mag. 8, 1071 (1963).
В. П. Дякина, H. В. Волкенштейн, ФММ 26, 628 (1968).
N. F. M о 11, Proc. Phys. Soc. 4 7, 571 (1935).
H. Hasegawa, S. W a k о h, J. Y amashita, J. Phys. Soc. Japan 20, 1865 (1965).
J. Y amashita, M. Makuchi, S. Wakoh, J. Phys. Soc. Japan 18, 999> (1963).
S. W a k о c h, J. Y anashita, J, Phys. Soc. Japan 19, 1342 (1964).
Ш. Ш. А б e л ь с к и й, Кандидатская диссертация, Свердловск, 1964.
R. J. Weiss, A. S. Marotta, J. Phys. Chem. Sol. 9, 302 (1959).
J. К о n d o, Prog. Theor. Phys. 27, 772 (1962). J
7^ О^ Q^ п^ 1^ 9^ 0^ z^^^7^0^Q^n^<b9^0^z^^^7^0^Q^n^1^9^0^4-5-A^T^O^Q^O^I^O^O^Z^^ А^^о^о^^и^^ ^ ^^^W^^^Hn^o^ ^^ ^^ ^282828292929292929292929293030303030303030303031313131313131313131323232323232^^^^^^^м33з33333333334343434мм^мм ^7^ О^ Q^ п^ 1^ 9^ 0^ z^^^7^0^Q^n^<b9^0^z^^^7^0^Q^n^1^9^0^4-5-A^T^O^Q^O^I^O^O^Z^^ А^^о^о^^и^^ ^ ^^^W^^^Hn^o^ ^^ ^^ ^282828292929292929292929293030303030303030303031313131313131313131323232323232^^^^^^^м33з33333333334343434мм^мм ^D. J. К i mt Prog. Theor. Phys. 31, 921 (1964).
7^ О^ Q^ п^ 1^ 9^ 0^ z^^^7^0^Q^n^<b9^0^z^^^7^0^Q^n^1^9^0^4-5-A^T^O^Q^O^I^O^O^Z^^ А^^о^о^^и^^ ^ ^^^W^^^Hn^o^ ^^ ^^ ^282828292929292929292929293030303030303030303031313131313131313131323232323232^^^^^^^м33з33333333334343434мм^мм ^
7^ О^ Q^ п^ 1^ 9^ 0^ z^^^7^0^Q^n^<b9^0^z^^^7^0^Q^n^1^9^0^4-5-A^T^O^Q^O^I^O^O^Z^^ А^^о^о^^и^^ ^ ^^^W^^^Hn^o^ ^^ ^^ ^282828292929292929292929293030303030303030303031313131313131313131323232323232^^^^^^^м33з33333333334343434мм^мм ^
H. К ащее в, ФММ 21, 296 (1966).
H. E. N i g h, S. L e g v о 1 d, F. H. S p e d d i n g, Phys. Rev. 132, 1092 (1963).
N・ F. Mott, K・ W・ H. Stevens, Phil. Mag. 2, 1364 (1957).
R. J. E 1 1 i о 11, Phys. Rev. 94, 564 (1954).
R. N. J e m e s, S. L e g v о 1 d, F. H. S p e d d i n g, Phys. Rev. 88, 1092 (1952).
В. В онсовский, M. С. Свирский, ЖЭТФ 47, 1354 (1964); 49, 682 (1966); J. Appl. Phys. 39, 649 (1968).
A. R. Mackintosh, Phys. Rev. let. 9, 90 (1962).
H. M i w a, Prog. Theor. Phys. 2& 208 (1962).
R. J. Elliott, F. H. Wedgwood, Proc. Phys. Soc. 81, 846 (1963).
R. J. Elliott, Phys. Rev. 124, 346 (1961).
T. A. Kaplan, Phys. Rev. 124, 329 (1961).
K. Y о s i d a, H. M i w a, Prog. Theor. Phys. 26, 693 (1961).
И. E. Дзялошинский, ЖЭТФ 47, 992 (1964).
S. L e g v о 1 d, F. H. S p e d d i n g, H. J. В о r n, J. Appl. Phys. 32, 2543 (1961)^ K. N i i r a, Phys. Rev. 117, 129 (I960).
R. Mackintosh, Phys. Lett. 4, 140 (1963).
R. V. С о 1 v i n, S. A r a j s, Phys. stat. sol. 4, 37 (1964).
M. A. C u r r y, S. L e g v о 1 d, F. H. S p e d d i n g, Phys. Rev. 117, 953 (I960), J. S e i d e n, Compt. rend. 2 52, 1922, 3550; 2 53, 812 (1961).
L u th i,H. Rohrer, Sol. State Comm.3,257 (1965).
И. Mа шa p о в, ФММ 21, 481(1966).
И. Mа шa p о в, Phys. stat. sol.21, 747(1967).
И. Mа шa p о в, ФММ 26, 577(1968).
W. Chen, Sol. State Cpmm. 3, 231 (1965); J. Appl. Phys. 37, 1026 (1966).
.C. C h a o, J. Appl. Phys. 3 7, 2081 (1966).
D' T. P e t e r s о n, D. F. P a g e, R. B. R u m p, D. K. F i n n e m о r e, Phys. Rev. 153, 701 (1967).
A. M у d о s h, M. P. К a w a t г a, J. I. В u d n i c k, Phys. Lett. 24A, 421 (1967).
J. Popplewell, P. G. A r n о 1 d, P. M. Davies, Proc. Rhys. Soc.‘92, 177 (1967).一
L. С о 1 q u i 11, Jr., Phys. Rev. 139, A1857 (1965).
W. К г о 11, Zs. Phys. 80, 50 (1933); 81, 425 (19 33).
M. Rosenberg, Phil. Trans. Roy. Soc. A247, 441 (1955).
N. G. В a c k b u n d, J. Phys. Chem. Sol. 20, 1 (1961).
K. Kawasaki, Prog. Theor. Phys. 29, 801 (1963).
P. И. Г у p ж и, ЖЭТФ 46, 719 (1964).
S. H. S h a r a p, Phys. Rev. Lett. 13, 237 (1964).
F. Richter, R. Kohlhaas, Zs. Naturforschg. 19a, 1632 (1964).
Я. M. Б e к к e p, ФТТ 7, 1545 (1965).
H. Г. Алиев, H. В. Волкенштейн, ФТТ 7, 2560 (1965), ФММ 19 793 (1965).
Л.Э.Гуревич, Г. А.Роман, ФТТ & 525 (1966).
W. J о s k i, К. Р. Sinha, Proc. Phys. Soc. 88, 985 (1966).
M. S. R. C h a r i, Phys. Stat. Sol. 19, 169 (1967).
J. T. Schriempf, Phys. Rev. Lett. 20, 1034 (1968).
А. Царев, Письма ЖЭТФ 8, 656 (1968).
В. T a p а с e н к о, ФТТ 10, 1486 (196*).
Е. Зиновьев, Р. П. Кренцис, П. В. Гельд, ФММ 25, 1137 (1968). В. Е. Зиновьев, Р. П. К р енци с, Л. Н. Петрова, П. В. Ге льд, ФММ 26, 60 (1968).
Д. А. Гольдгаммер, Учен, записки МГУ, № 8 (1889); Учен, записки Каз. ун-та, кн. 4, 109 (1899).
П. И. Бахметьев, Wied. Ann. 43, 723 (1891).
W. Gerlach, Ann. der Phys. 8, 649 (1931); 12, 849 (1932).
W. Gerlach, H. Schneiderchan, Ann. der Phys. 6, 772 (1930).
Englert, Ann. der Phys. 14, 589 (1932); Zs. Phys. 74, 748 (1932).
H.H.Potter, Proc. Phys. Soc. 49, 671 (1937).
И. Г. Ф и к ад о в, H. П. Гражданкина, ДАН СССР 76, 847 (1950).
С. А к у л о в, Zs. Phys. 59, 254 (1930); 80, 693 (1933).
J.-P. Jan, Solid State Physics, vol. 5, Acad, press, N. Y., 1957, p. 1.
Д- С. Штейнберг, Ф. Мирошниченко, Phys. Zs. UdSSR 3, 92, 602 (1933); 5, 241 (1934).
П. X p а м о в, Л. Л ь в о в a, Zs. Phys. 89, 443 (1934).
Д. Феденев, ЖЭТФ 5, 886 (1935); 23, 828 (1953).
К. П. Б e л о в, ЖЭТФ 5, 396 (1935); 8, 453 (1938).
С. А к у л о в, Р. Г. А н н а е в, ЖЭТФ 8, 334 (1938).
Г. А н н а е в, J. Phys. USSR 2, 289 (1945); ЖЭТФ 15, 529 (1945); ДАН СССР, 60, 639; 61, 1009 (1948); 67, 41 (1949).
Г. А нн а е в, ДАН СССР 64, 45 (1949); 66, 107 (1949).
Р. Г. А и н a e в, Изв. туркм. фил. АН СССР № 4, 86 (1950).
Д. Феденев, А. Усков, Techn. Phys. USSR 5, 309 (1938).
Д. И. В о л к о в, ЖЭТФ 9, 444, 798 (1939).
К. П. Б е л о в, Д. М. Волков, ЖТФ 9, 1529 (1939).
354* Д. Феденев, И. Вампилов, ЖЭТФ 9, 994 (1939).
К. П. Б е л о в, ЖЭТФ 9, 685, 695 (1939)..
Н. С. А к у л о в, Д. И. В о л к о в, К. П. Б е л о в, ЖЭТФ 5, 946 (1935).
357* П. Л. Капица, Proc. Roy. Soc. Al 19, 358 (1928); A123, 292 (1929).
W. L. W e b s t e r, Proc. Roy. Soc. A109, 250, 570 (1925); Proc. Camb. Phil. Soc.
800 (1925).
S. К a у a, Sci. Rep. Tohoku Univ. 17, 1027 (1928).
H. H. P о 11 e r, Phil. Mag. 13, 233 (1931); Proc. Roy. Soc. A132, 560 (1932).
Я. С. Ш у p, В. И. Д p о ж ж и н а, ЖТФ 18, 149 (1948).
А. П. Комар, И. И. Портнягин, ДАН СССР 60 , 569 (1948).
L. Bates, Proc. Phys. Soc. 5& 153 (1946).
С. В. Вонсовский, ЖТФ 1 & 145 (1948).
R. Gans, J. Harlem, Ann. der Phys. 15, 516 (1932).
W. Doping, Ann. der Phys. 32, 259 (1938).
H. С. V a n E 1 s t, Physica 24, 173 (1958); 25, 708 (1959).
T. Д. 3 о т о в, Я. С. Ш у p, ДАН СССР 86, 267 (1952).
И. Г. Факидов, Н. П. Гражданкина, А. К. Кикоин, ДАН СССР 68, 491 (1949).
И. Г. Ф и к ад о в, Н. П. Гражданкина, ДАН СССР 75, 19 (1950).
X.П.Б е л о в, ДАН СССР 71, 261 (1950).
К.П.Б е л о в, П. К. П а н и н а, ЖЭТФ 21,809 (1951).
7 3. Д. И. Волков, В. В. Зубов, ДАН СССР 71, 863 (1950).
П.А.X а л и л е е в, Phys. Zs. UdSSR 7, 108(1935).
L.W.M с К e e h a n, Phys. Rev. 36, 948 (1930).
37 6.В.И.3 а йц e в, ЖЭТФ 19, 95 (1949).
В. И. Д p о ж ж и н a, M. Г. Л у ж и н с к а я, В. M. M о p о 3 о в а, Я. С. Ш у p, Труды Ин-та физики металлов АН СССР № 15, 42 (1954).
A. I s i n, R. V. Colleman, Phys. Rev, 137, Al 609 (1965); 142, 372 (1966);
J. Appl. Phys. 3 7, 1028 (1966).
И. M. Лифшиц, M. Я. А з б e л ь, M. И. К а г а н о в, ЖЭТФ 30, 220 (1955).
Е. Fawcett, W. A. Reed, Phys. Rev. Lett. 9, 336 (1962); Phys. Rev. 131, 2463 (1963).
К. П. Б e л о в, И. В. Б у p о в, Ю. В. E p г и н, А. В. П е д ь к о, Е.М.Са- в и ц к и й, ЖЭТФ 47, 860 (1964).
A. R. Mackintosh, L. Е. S р a n е, Sol. State Comm. 2, 383 (1964).
И. К. Кикоин, Т. Н. И г о ш е в а, ЖЭТФ 46, 67, 1923 (1964).
И. К. Кикоин, Н. А. Бабушкина, Т. И. И г о ше в а, ФММ 10, 4, 488 (I960).
Н. Potter, Proc. Rog. Soc. Al46, 362 (1934).
W. H. Kleiner, Phys. Rev. 142, 318 (1966).
С. В. Вонсовский, К. П. P оди оно в, ДАН СССР 75, 643 (1950).
С. В. Вонсовский, Л. Я. Кобелев, К. П. Родионов, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 569 (1952).
С. В. Вонсовскпй, К. П. Родионов, Труды Ин-та физики металлов, АН СССР № 15, 3 (1954).
К. П. Родионов, Труды Ин-та физики металлов АН СССР № 15, 10 (1954).
К. П. Р о д и о н о в, В. Г. Шавров, ФММ 4, 385 (1957).
J. S m i t, Physica 16, 612 (1951); 21, 877 (1955); 24, 39 (1958); Thesis, University of Leiden (1956).
J. Luttinger, Phys. Rev. 112, 739 (1958).
V. A. M a r s о с c i, Phys. Rev. 13 7, Al842 (196 5).
H. А. Бабушкина, ФТТ 7, 2540 (1965).
H. В. Волкенштейн, В. П. Д я к и н а, Письма ЖЭТФ 4, 396 (1966).
Р. N. D h е е г, Phys. Rev. 156, 637 (1967).
J. Е. Christophe n, A. Is i n, R. V. Colieman, J. Appl. Phys. 38, [322 (1967).
R. H. Walden, R. F. С о t e 1 1 e s a, J. Appl. Phys. 3 8, 1335 (1967).
Ш. 1П. Абельский, Ю. П. Ирхин, ФТТ 10, 2245 (1968).
W. A. Reed, E. Fawcett, J. Appl. Phys. 35, 754 (1964).
C. Schuler, Zs. angew. Phys. 15, 218 (1963).
Ч. Б a 3 a h, Acta phys. Polon. 2& 777 (1965).
В. Г. Ш а в p о в, ФММ 13, 663 (1962),
H. И. Давиденко, ФТТ 4, 3396 (1962).
F. Dannhauser, Zs. Phys. 166, 519 (1962).
Y. Toyozawa, Techn. Rep. ISSP, Ser. A, № 37 (1962).
E. A. T у p о в, В. Г. Ш а в p о в, Изв. АН СССР, сер. физ. 2 7, 1487 (1963).
А. А. Абдурахманов, Изв. АН АзССР 1, 79 (1964).
а • • • • 012345678901123452 2 2 2 2 2 2 44444444444444444а • • • • 012345678901123452 2 2 2 2 2 2 444444444444444446 789012345 6 7 8 9 о 1 22 222333333 3 3 3 34 4 44 444444444 4 4 4 44 4 46 789012345 6 7 8 9 о 1 22 222333333 3 3 3 34 4 44 444444444 4 4 4 44 4 4г g е г, Physica 30, 1141 (1964).
а • • • • 01234567890112345
2 2 2 2 2 2 2 44444444444444444
а • • • • 01234567890112345
2 2 2 2 2 2 2 44444444444444444
6 789012345 6 7 8 9 о 1 2
2 222333333 3 3 3 34 4 4
4 444444444 4 4 4 44 4 4
6 789012345 6 7 8 9 о 1 2
2 222333333 3 3 3 34 4 4
4 444444444 4 4 4 44 4 4
инь К ы, Phys. stat. sol. 15, 739 (1966);①ММ 23, 400 (1967).
Петрова,①ТТ If), 12 (1968).
Шишкин,①ММ 26, 399 (1968).
i n d t, Wied. Ann. 49, 257 (1893).
Smith, Phys. Rev. 30, 1 (1910).
Smith, R. W. S e а г s, Phys. Rev. 34, 1466 (1929).
Pugh, Phys. Rev. 36, 1503 (1930).
P u g h, T. W. L i p p e г t, Phys. Rev. 42, 709 (1932).
Кикоин, Phys. Zs. UdSSR 9, 1 (1936).
Pugh, Phys. Rev. 32, 824 (1928),
Волкенштейн, Г. В.① едоров,① ММ 2, 377 (1956).
Комар, Н. В. Волкенштейн, ДАН СССР 60, 785 (1948).
Волкенштейн, М. И. Турчинская, ПТЭ № 4, 159 (1959).
Pugh, N. R о s t о к ег, A. L Schindler, Phys. Rev. 80, 688 (1950). Кикоин, ЖЭТФ 10, 1242 (1940).
ammerling h-0 nn е s, E. Osterhuis, Leid. Comm., № 139e
Тарфенов, B.P. Абель с, ДАН СССР 82, 877 (1952); Изв. АН СССР, из. 16, 597 (1952).
Pugh, N. Rostoker,A. I. Schindler, Phys. Rev. 83, 208 (1951). a n, H. M. G i j s m a n, Physica 18, 339 (1952).
Schindler, E. M. Pugh, Phys. Rev. 89, 295 (1953).
n e r, E. M. P u g h, Phys. Rev. 91, 20 (1953).
Pugh, N. R о s t о k e r, Rev. Mod. Phys. 25, 151 (1953).
a n, Helv. Phys. Acta 25, 677 (1955).
о i, Phys. Rev. 95, 843 (1954).
Schindler, E. I. Salkovitz, Phys. Rev. 99, 1251 (1955).
n er, Phys. Rev. 88, 955 (1952); 99, 1079 (1955); 101, 1648 (1956); 107, 1543
I s c h e r, Helv. Phys. Acta 28, 667 (1955).
A 1 1 i s о n, E. M. P u g h, Phys. Rev. 102, 1281 (1956); 107, 103 (1957). Черемушкина,①MM 6, 268 (1958); Вести. МГУ, сер. мат., мех., @ 1, 121 (1958).
i V i е г, Helv. Phys. Acta 30, 474 (1957); 35, 262 (1962).
Волкенштейн, Г. В.① едоров, С. В. Вонсовский, ЖЭТФ (1958).
Акулов, А. В. Ч е р е м у ш к и н а, ДАН СССР 98, 35 (1954); 102, ；5); ЖЗТ① 31, 152 (1956); 35, 518 (1958).
Кикоин, Е. М. Б у р я к, Ю. А. М у р о м к и н, ДАН СССР 125, 1011
443. А. И. Карчевский, В. И. Николаев,①ММ 11, 519 (1961); 12, 372
45 6 7 8 9 0 12 3 4 5 67 8901234544 4 4 4 4 555 555 55 5566666644 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 4444444445 6 7 8 9 0 12 3 4 5 67 8901234544 4 4 4 4 555 555 55 5566666644 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 44444444олкенштейн, Г. В.① едоров, ЖЭТФ 38, 64 (I960).
45 6 7 8 9 0 12 3 4 5 67 8901234544 4 4 4 4 555 555 55 55666666
44 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 44444444
45 6 7 8 9 0 12 3 4 5 67 8901234544 4 4 4 4 555 555 55 55666666
44 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 44444444
олкенште 疝 н, F.B.① едоров,血.К. Григорова,① ММ 19,
► олкенштейн, Г. В.① едоров, В. П. Широковский, ,152 (1961).
a n е, S. L е g V о 1 d, F. S р е d d i n g, Phys. Rev. 91, 1372 (1953).
e г s о n, S. Legvoid, F. S p e d d i n g, Phys. Rev. Ill, 1257 (1958).
олкенште 疝 h，I\B.① едоров, Изв. АН СССР сер. физ. 25, 1379
олкенштейн, Г. В.① едоров, ЖЗТ ① 44, 825 (1963).
олкенштейн, Г. В.① едоров, ФММ 18, 26 (1964).
злкентте 疝 н, F.B.① едоров, В.Е,Стари,ев, З’В.Еало- Сб. «Вопросы теории н применения редкоземельных металлов», Изд. М., 1964, стр. 79.
олкенштейн, Г. В.① едоров,① ММ 20, 508 (1965).
о л к е н ш т е й н, Г. В.① е д о р о в,①ТТ 7, 3215 (1965).
олкенштейн, И. К. Григорова, Г. В.① едоров, ЖЭТФ (1966).
олкенштейн, Г. В.① едоров,① ТТ 8, 1895 (1966).
олкепштейн, И. К. Григорова, Г. В.① едоров, ЖЗТ<Ь (1966).
! е, S, L е g V о 1 d, Phys. Rev. 162, 431 (1967).
абушкина,①ТТ 7, 3026 (1965).
1 у n е, Phys. Rev. 172, 523 (1968).
Ирхин, Докторская диссертация, Свердловск. 1968.
кулов, Zs. Phys. 87, 788 (1934).
у д н и ц к п й, ЖЭТФ 9, 262 (1939).
у д н и ц к и й, ЖЭТФ 10, 744 (1940).
m е, Proc. Roy. Soc. А135, 237 (1932).
466.467.468.469.470.471.472.473.474.475.476.477.478.479.466.467.468.469.470.471.472.473.474.475.476.477.478.479.0123458 8 8 8 8 84 4 4 4 4 40123458 8 8 8 8 84 4 4 4 4 46846847890123456 8889999999444孕4444447890123456 8889999999444孕444444^ ^ Q^ ^ ^ ^^ ^ Q^ ^ ^ ^500.501.502.503.504.505.506.507.508.509.510.511.500.501.502.503.504.505.506.507.508.509.510.511.512.513.512.513.к^ 6 7^ ^ ^ 5к^ 6 7^ ^ ^ 5518.519.520.521.518.519.520.521.
466.
467.
468.
469.
470.
471.
472.
473.
474.
475.
476.
477.
478.
479.
466.
467.
468.
469.
470.
471.
472.
473.
474.
475.
476.
477.
478.
479.
012345
8 8 8 8 8 8
4 4 4 4 4 4
012345
8 8 8 8 8 8
4 4 4 4 4 4
6
8
4
6
8
4
7890123456 8889999999
444孕444444
7890123456 8889999999
444孕444444
^ ^ Q^ ^ ^ ^
^ ^ Q^ ^ ^ ^
500.
501.
502.
503.
504.
505.
506.
507.
508.
509.
510.
511.
500.
501.
502.
503.
504.
505.
506.
507.
508.
509.
510.
511.
512.
513.
512.
513.
к^ 6 7
^ ^ ^ 5
к^ 6 7
^ ^ ^ 5
518.
519.
520.
521.
518.
519.
520.
521.
А. Г. Самойлович, Б. Л. Коньков, ЖЭТ① 20，783 (1950).
Н. П. Патрахин, Изв. АН СССР, сер. физ. 16, 604 (1952).
L. Bouckaert, М. Smoluchowski, Е. Wigner, Phys. Rev. 50, 58 (1936).
R. К a г p 1 u s, J. M. Luttinger, Phys. Rev. 95, 1154 (1954).
N. Adams, E. I. В 1 о u n d, J. Phys. Chem. Sol. 10, 286 (1959),
C. Strachan, A. M. Murray, Proc. Phys. Soc. 73, 435 (1959).
W. Kohn, J. M. Luttinger, Phys. Rev. 10 8, 590 (1957).
IO. M. К а г а н, Л. A. M а к с и м о в,①TT 7, 530 (1965).
Ю・ П. Ирхин, A. H. Волошинский, Ш. Ш. Абельский, Phys, stat. sol. 22, 309 (1967).
Ю. П. И p x и н, В. Г. Ш а в p о в,出3T① 42, 1233 (1962).
Л. Э. Гуревич, И. Н. Яссиевич,①ТТ 4, 2854 (1962); 5, 2622 (1963).
Н. R. L е г i b а и х, Phys. Rev. 150, 384 (1966).
Ш. Ш. Абельский, Ю. П. Ирхин,①ММ 14, 641 (1962).
Н. В. Волкенштейн, В. А. Новоселов, В. Е. Старцева, JK3T① 60, 1078 (1971).
Ю. П. Ирхин, Ш. Ш. Абельский,①ТТ 6, 1635 (1964).
Н. Brooks, Phys. Rev. 58, 909 (1940).
Л. Э. Гуревич, И. Н. Яссиевич,①ТТ 7, 582 (1965).
А. Н. Волошинский,① ММ 18, 492 (1964).
J. Kondo, Thechn. Rept. ISSP, ser. A, № 45 (1962)..
Д. И. Волков, T. M. Козлова, Г. А. Шафигуллин a,① MM 26, 1101 (1968).
Д. И. Волков, T. M. Козлова, Г. А. Шафигуллин a,① MM 27, 67 (1969).
Ю. П. И p x и н, В. Г. П о с т о в а л о в,①ТТ 8, 437 (1966); 9, 1262 (1967).
R. Н u g u е n a n, D. R i V i е г, Helv. Phys. Acta 34, 770 (1961); 38, 900 (1965).
А. А. Абдурахманов, Вести. МГУ, сер. физ., астр., № 2, 67 (1964).
М. Р е t е г et al., Helv. Phys Acta 44, 345 (1971).
E. И. Кондорский, ЖЗТ ① 45, 511 (1963).
E. И. Кондорский, P. П. Васильева, ЖЗТ① 45, 401 (1963).
Е. И. Кондорский, ЖЗТ① 48, 506 (1965).
Д. И. В о л к о в, Г. М. К о з л о в а, ЖЗТ① 48, 65 (1965);①ММ 20, 355 (1965).
Г. М. К о з л о в а, Вести. МГУ 20, сер. III, № 5, 24 (1965).
А. С. Ehrlich, R. Н u g n е n i n, D. R i v i е г, J. Phys. Chem. Sol. 28, 253 (1967).
E. M a r a n z a n a, Phys. Rev. 160, 421 (1967).
V. Christoph, Phys. stat. sol. 26, K17 (1968)； Ann. der Phys. 22, 219 (1969). Ш. Ш. Абельский, Ю. П. Ирхин, 7K3T① 44, 230 (1963);①ММ 19, 282 (1965).
J. Lavine, Phys. Rev. 114, 482 (1959); 122, 1273 (1961).
К. П. Белов, E. П. Свирина, ЖЗТ① 37, 1212 (1959).
E. П. С в и p и н a,①ТТ 6, 3378 (1964).
Т. Okamura, J. Т о г i z u k a, Sci. Rep. Res. Inst. Tohoku Univ. A3, 352 (1950).
E. A. T у p о в, В. Г. Ш а в p о в, Ю. П. Ирхин, ЖЗТ① 47, 298 (19 64).
H. W. Lehmann, Phys. Rev. 163, 488 (1967); J. Appl. Phys. 39, 666 (1968).
А. Самохвалов, И. Г.① акидов,① ММ 4, 249 (1957).
W. M a n n, Ann. der Phys. 2, 122 (1959).
П. С в и p и н a, M. A. M а л и к о в a,①ТТ 6, 3626 (1964), Вести. МГУ, 20, сер. III, № 4, 94 (1965).
П. Свирина, О. А. Маликова, М. А. Маликова,①ТТ 8, 1599 (1966).”
W a n g, R. Gravel, М. R е s t i g i a n, J. Appl. Phys. 38, 1131 (1967).
В. Вонсовский, Ю. П. И px ин, E. А. Туров, В. Г. Шавров, Тезисы доклада на VI Всесоюзном совещании по физике низких температур, Свердловск, 1959, стр. 9.
С. В. Вонсовский, Труды Ин-та физики металлов, № 12, 9 (1949).
М. G. Cottam, R. В. S t i n с h с о m b е, J. Phys. С (Proc. Phys. Soc.) 1. 1052 (1968).
R. С. F i v a z, J. Appl. Phys. 39, 1278 (1968).
S. W ak о h, J. Yamashita, J. Phys. Soc. Japan 21, 1712 (1966).
E. И. Кондорский,①MM 22, 168 (1966); ЖЗТ① 55, 558, 2367 (1968).
В у~д и н ь К ы, ЖЗТ① 50, 1218 (1966); 54, 762 (1968); Phys. stat. sol. 26, 565 (1968).,
Сб. «Optical properties an electronic structure of metals and alloys», ed. F. Abeles, North.-Holl. PudL Comp. Amsterdam, 1966.
Г. С. К p и н ч и к, M. В. Ч e т к и н, У①H 98, 3 (1969).
В. В. Еременко, А. И. Беляева, У①Н 98, 27 (1969).
W. Gerlach, Ann. der Phys. 25, 209 (1936).
■1524525526527528529530531532533534535536537538^^^^545546547548.549550551.552553554555556557558559.560161563564565566567568569570.|71.5735745755761;7■1524525526527528529530531532533534535536537538^^^^545546547548.549550551.552553554555556557558559.560161563564565566567568569570.|71.5735745755761;7
■1524525526527528529530531532533534535536537538^^^^545546547548.549550551.552553554555556557558559.560161563564565566567568569570.|71.5735745755761;7
■1524525526527528529530531532533534535536537538^^^^545546547548.549550551.552553554555556557558559.560161563564565566567568569570.|71.5735745755761;7
L. Ornstein, J. van der Veen, Physica 3, 289 (1936); 6, 439 (1939).
H. К 6 n i g, J. Opt. Soc. Amer. 3, 101 (1948).
L. G. S c h u 1 z, Adv. Phys. 6, 102 (1957).
Л. А. Гольдгаммер, Wied. Ann. 45, 71 (1892).
P. D г u d e, Wied. Ann. 46, 353 (1892); 48, 122; 49, 690 (1893).
Г. Л о p e н т ц, Теория электронов, Гостехиздат, M., перевод с англ., 1965.
С, В. Вонсовский, А. В. Соколов,承3宁① 16, 615 (1949).
А. И. Волошинский, Г. А. Болотин,①ММ 17, 481 (1964).
И. Волошинский, ФММ 18, 10 (1964).
М. И. Сергеев, М. Г. Черниховский, ЖЭТ① 4, 235 (1934).
С. П. Ш у б и н, ДАН СССР 3, 15 (1935).
М. И. С е р г е е в, ЖЗТ① 18, 948 (1938).
Н. Ehrenreich, Н. R. Philipp, Phys. Rev. 12 8, 1622 (1962).
R. Cooper, H. Ehrenreich, H. R. P h i 1 i p p, Phys. Rev. 138, A494
B. Segall, Phys. Rev. 125, 109 (1962).
E h г e n r e i c h, H. R. P h i 1 i p p, D. J. О 1 e c h n a, Phys. Rev. 131, 2469
Ehrenreich, C6. «Optical properties and electronic structure of metals and alloys》，ed. F. Abeles, North-Holl. PubL Comp., Amsterdam, 1966, p. 109.
J. С. P h i 1 1 i p s, Phys. Rev. 133, A1020 (1964); J. Appl. Phys. 39, 755 (1968). G. А. В u г d i c k, Phys. Rev. 129, 138 (1963).
M. M. Кириллова, Кандидатская диссертация, Свердловск, 1968.
М. М. Кириллова, Б. А. Ч ари к о в, ФММ 15, 315 (1963); 19, 495 (1965).
Л. А. Афанасьева, М. М. Кириллова,①ММ 23, 472 (1967).
Л. А. Афанасьева, М. М. К и ри л л о в а, М. М. Носков,① ММ 24,
Г. А. Болотин, М. М. Кириллова, Л. В. Номерованная, М. М. Н о с к о в,①ММ 24, 617 (1967).
М. М. Кириллова, Г. А. Болотин, В. М. Маевский,①ММ 24, 95
М. М. Кириллова, М. М. Носков,①ММ 26, 952 (1968).
М. М. Кириллова, Л. В. Номерованная, Г. А. Болотин, В. М. Маевский, М. М. Носков, М* С. Болотина,①ММ 25, 459
J. Н a n u s, J. F е i n 1 е i b, W. J. Scouler, J. Appl. Phys. 39, 1273 (1968); Phys. Rev. Lett. 19, 16 (1967).
C. S c h ti 1 e г, C6. «Optical properties and electronic structure of metals and alloys», ed. F. Abeles, North-Holl. PubL Comp., Amsterdam, 1966, p* 221.
A. J. Blodgett Jr., W. E. S p i с e r, A. Y. Y u, C6. «Optical properties and electronic structure of metals and alloys», ed. F. Abeles, North-Holl. PubL Comp. Amsterdam, 1966, p. 246.
S. Porter, E. G. Spenser, R. C. L e Crow, J. Appl. Phys. 29, 495
R. C. Le С г о w, D. L. W о о d, J. F. D i 1 1 о n, J. P. R e m e i k a, Appl. Phys. Lett. 7, 27 (1965).
L. Wood, J. P. R e m e i k a, J. Appl. Phys. 3 8, 1038 (1967).
M. T i n k h a m, Phys. Rev. 124, 311 (1961); J. Appl. Phys. 33, 1248S (1962).
A. J. Sievers, M. T i n k h a m, Phys. Rev. 124, 321 (1961).
K. A； Wickersheim, R. L. White, Phys. Rev. Lett. 4, 123 (I960).
Г. С. К p и н ч и к, M. В. Четкий, ЖЗТ① 41, 673 (1961).
Г. С. К p и н ч и к, M. В. Ч e т к и н, ЖЭТФ 40, 729 (1961).
G. Busch, В. Magyar, Р. Wachter, Phys. Lett. 23, 438 (1966).
R. W. Teale, D. W. Temple, Phys. Rev. Lett. 19, 904 (1967).
K. A. W i e k e г s h e i m, R. A. Buchanan, J. Appl. Phys. 3 8, 1048 (19 67).
А. В. Соколов, У①H 50, 161 (1953).
W. Schutz, Hand. Experim. Phys. 16, 1 (1936).
M. von Laue, Hand. Experim. Phys. 18, 189 (1928).
А. В. С о к о л о в,①ММ 3, 208 (1956).
Г. А. Болотин, А. В. Соколов,①ММ 12, 493, 625, 785 (1961).
Г. А. Болотин, Диссертация, Свердловск, 1968.
Г. С. К р и н ч и к, Вестник МГУ 12, 61 (1955).
Г. С. К р и н ч и к, М. В. Ч е т к и н, ЖЭТ① 36, 1924 (1959); Оптика и спектро- скопия 6, 703 (1959).
С. В. Вонсовский, А. В. Соколов, ЖЗТ① 19, 705 (1949).
С. G. Darwin, Proc. Roy. Soc. A 151, 512 (1935).
P. N. А г g у г e s, Phys. Rev. 97, 334 (1955).
B. R. Cooper, Phys. Rev. 139, Al504 (1965).
J. C. Phillips, L. F. Mattheiss, Phys. Rev. Lett. 11, 556 (1963).
Г. С. К p и н ч и к, P. Д. H у p а л и e в a,出3T① 36, 1022 (1959); 42, 1442 (1962).
Г. С. К р и н ч и к, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1293 (1957); 28, 481 (1964).
Г. С. К ринчи к, Г. М. Нурмухамедов, ЖЗТ ① 48, 34 (1965).
579.580.581.582.583.584.585.586.587.588.589.596591.592.579.580.581.582.583.584.585.586.587.588.589.596591.592.^ ^ ^^ ^ ^596.597.598.599.600.601.602.603.604.605.606.607.608.609.610.611.612.613.614.615.616.617.618.619.620.621.622.623.624.625.626.627.628.629.596.597.598.599.600.601.602.603.604.605.606.607.608.609.610.611.612.613.614.615.616.617.618.619.620.621.622.623.624.625.626.627.628.629.Г. С. К р и н ч и к, В. А. Артемьев, J. Appl. Phys. 39, 1276 (1968).
579.
580.
581.
582.
583.
584.
585.
586.
587.
588.
589.
596
591.
592.
579.
580.
581.
582.
583.
584.
585.
586.
587.
588.
589.
596
591.
592.
^ ^ ^
^ ^ ^
596.
597.
598.
599.
600.
601.
602.
603.
604.
605.
606.
607.
608.
609.
610.
611.
612.
613.
614.
615.
616.
617.
618.
619.
620.
621.
622.
623.
624.
625.
626.
627.
628.
629.
596.
597.
598.
599.
600.
601.
602.
603.
604.
605.
606.
607.
608.
609.
610.
611.
612.
613.
614.
615.
616.
617.
618.
619.
620.
621.
622.
623.
624.
625.
626.
627.
628.
629.
Г* С. К р и н ч п к, Сб. «Optical properties and electronic structure of metals and alloys», ed. F. Abeles, North-Holl. Publ. Comp., Amsterdam, 1966, p. 484. D. H. M а г t i n, S. D о n i a c h, K. J. N e a 1, Phys. Lett. 9, 224 (1964).
S. D о n i a c h, J. Appl. Phys. 39, 751 (1968).
S. D о n i a c h, Сб. «Optical properties and electronic structure of metals and alloys», ed. F. Abeles, North-Holl. Publ. Comp., Amsterdam, 1966, p. 471.
A. H. Волошинский, Г. А. Болотин,①ММ 17, 481 (1964).
А. Н. Волошинский,①ММ 18, 10 (1964).
А. Н. Волошинский, В. С. Гусев, ФММ 19, 660 (1965).
Л. Э. Гуревич, И. Н. Я с с и е в и ч,①ТТ 6, 3341 (1964).
В. В е д я е в, Е. И. Кондорский, Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 9201 (1966); ФММ 24, 193 (1967).
Е. И. Кондорский, А. В. В е д я е в, J. Appl. Phys. 39, 559 (1968).
Л. А. Афанасьева, А. Н. Волошинский, М. М. Носков,①ММ 21, 288 (1966).
Л. А. Афанасьева, М. М. Носков,①ММ 22, 787 (1966).
Л. А. Афанасьева, Г. А. Болотин, М・ М. Носков,①ММ 22, 828 (1966).
Г. Ш а в р о в, Е. А. Туров,出ЗТ① 45, 349 (1962).
Н. П. Непримеров, Йзв. АН СССР, сер. физ. 21, 1288 (1957).
Г. В. Скроцкий, В. Ф. Захарченко, Изв. АН СССР, сер. физ. 21, 1297 (1957).
М. J. М. L е a s k, J. Appl. Phys. 39, 908 (1968).
Schuchert, S. Н uf пег, R. Fanlhaber, J. Appl. Phys. 39, 1137 (1968).
M. В. Ч e т к и н, А. н. Ш а л ы т, ЖЭТ① 52, 882 (1967); J. Appl. Phys. 39, 561 (1968).
M. S t о f f e 1, J. Appl. Phys. 39, 563 (1968).
Г. С. К p и н ч и к, M. В. Четкий, ЖЭТФ 3 8, 1643 (I960).
М. В. Четкин,①ТТ 6, 3753 (1964).
G. Wheeler, F. М. R е a m е s, Е. J. W а с h t е 1, J. Appl. Phys. 39, 915 (1968).
F. D i 1 1 о n, Jr., J. Appl. Phys. 39, 922 (1968).
A. H. Л e в к о в, M. M. Носков, Изв. вузов,①лзика, № 3, 76 (1958).
G. Y. F a n, J. H. Greiner, J. Appl. Phys. 39, 1216 (1968).
Г. А. С м о л e н с к и й, P. В. П и c a p e в, M. П. П e т p о в, В. В. M о с к a - лев, И. Г. Синий, Р. М. Юдин, J. Appl. Phys. 39, 568 (1968).
J. F. D i 1 1 о n, J. Appl. Phys. 29, 539 (1958).
W. С о о p e r, W. А. С г о s s 1 e y, J. L. P a g e, R. F. P e a r s о n, J. AppL Phys. 39, 565 (1968),
E. Muller-Hartman, J. Z i t t а г d, Phys Rev. Lett. 26 , 428 (1971), D. D. S e 1 1, J. Appl. Phys. 39, 1030 (1968).
P. A. F 1 e u г y, S. P. S. P о г t o, J. Appl. Phys. 39, 1035 (1968); см. перевод У①H 98, 71 (1969).
T. M о г i a, J. Appl. Phys. 39, 1042 (1968); см. перевод У①H 98, 81 (1969).
Сб. «Спектроскопия и магпетооптика магнитоупорядоченных кристаллов», ч. 1Т Антиферромагнетики; ч. II, Ферриты и ферромагнетики, Харьков, 1966.
J. W. Halley, I. Silvera, Phys. Rev. Lett. 15, 654 (1965).
J. A 1 1 e n, Jr., R. Loudon, F. L. Richards, Phys. Rev. Lett. 16, 463 (1966).
L. G г e e n et D. D. S e 1 1, W. M. Y e n, A, L. S c h a w 1 о w, R. M. W h i - t e, Phys. Rev. Lett. 15, 656 (1965); J. Appl. Phys. 37, 1229 (1966).
P* Russell, D. McClure, J. Stout, Phys. Rev. Lett. 16, 176 (1966)” R. Newman, R. M. Cherenno, Phys. Rev. 114, 1507 (1959).
A. T a u c h i d a, J. Phys. Soc. Japan 21, 2497 (1966).
И. Беляева, В. В. Еременко, Н. Н. Михайлов, В. Н. Павлов, С. В. Петров, ЖЗТ① 50, 1472 (1966).
A. F 1 е и г у, S. Р. S. Р о г t о, L. Е. С h е е s m a n, Н. J. G u g g е n h е i m, Phys. Rev. Lett. 17, 84 (1966),
A. F 1 e u г y, S. P. S. Porto, R. Loudon, Phys. Rev. Lett. 18, 658 (1967).
И. Беляева, В. В. Еременко, ЖЗТ① 44, 469 (1963).
В. Еременко, А. И. Беляева,①ТТ 5, 2877 (1963).
В. Еременко, 10. А. Попков, Ю. Г. Литвиненко, Л{ЭТФ 47, 1733 (1964).
В. В. Еременко, Ю. А. Попков, Phys. Stat. Sol. 12, 627 (1965).
В. Е р е м е н к о, Ю. А. П о п к о в, Л. Т. X а р ч е н к о, Письма 7КЭТ① Зг 233 (1966).
В. Е ременк о, Э. В. Матюши н, Укр. физ. журнал 11, 902 (1966). L. F. J о hn s о n, R. Е. D i е t z, Н. J. Guggenheim, Phys. Rev. Lett. 17* 13 (1966).
J. T у 1 i c k i, F. L. Scarpace, M. W. P a s s о w, W. M. Yen, Bull. Am.. Phys. Soc. 12, 285 (1967).
M. В alkanski, P. M о c h, R. G, Shulman, J. Chem. Phys. 40, 1897
2345 6 7 890 12 3456789012345 67 890 1 234K^67^8Q^ ol2-3-4-5-67-8'9°'1 234'53 3 3 3 3 3 3 3 4 44 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 55 556 6 66666666 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 86 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6666666666666 66 6 6 6 6 66666666 6 6 6 6 6 6 666&6 6 6 6 62345 6 7 890 12 3456789012345 67 890 1 234K^67^8Q^ ol2-3-4-5-67-8'9°'1 234'53 3 3 3 3 3 3 3 4 44 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 55 556 6 66666666 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 86 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6666666666666 66 6 6 6 6 66666666 6 6 6 6 6 6 666&6 6 6 6 6；.Еременко, А. И. Звягин,①ТТ 6, 1013 (1964).
2345 6 7 890 12 3456789012345 67 890 1 234K^67^8Q^ ol2-3-4-5-67-8'9°'1 234'53 3 3 3 3 3 3 3 4 44 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 55 556 6 66666666 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 86 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6666666666666 66 6 6 6 6 66666666 6 6 6 6 6 6 666&6 6 6 6 6
2345 6 7 890 12 3456789012345 67 890 1 234K^67^8Q^ ol2-3-4-5-67-8'9°'1 234'53 3 3 3 3 3 3 3 4 44 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 55 556 6 66666666 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 86 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6666666666666 66 6 6 6 6 66666666 6 6 6 6 6 6 666&6 6 6 6 6
Еременко, А. И. Беляева,①ТТ 6, 3646 (1964).
Звягин, В. В. Е ременк о, Укр. физ. журн. 10, 523, 636 (1965).
.Беляева, В. В. Еременко, Н. Н. Михайлов,浓ЗТ① 49, 47
.Звягин, В. В. Еременко, В. И. К уть к о,① ТТ 7, 3102:
.McClure, R. Meltzer, S. Reed, P. Russell, J. W. Stout, Conf. Оptical Properties of Ions in Crystals, John Hopkins Univ. (1966)..
». Еременко, А. И. Беляева,①TT, 6, 1967 (1964). oyagi, J. Phys. Soc. Japan 22, 1516 (1967).
e г gu s о n, H. J. Guggenheim, Y. Tanabe, J. Appl. Phys. 36,. (1965); J. Phys. Soc. Japan 21, 692 (1966).
tevenson, Phys. Rev. 152, 531 (1966).
.E ременк о, Ю・ А. Попков, В. П. H и в к о в, А. И. Беляева,. ① 52, 454 (1967).
tevenson, Canad. J. Phys. 44, 3269 (1966).
n о x, R. G. Shulman, S. Sugano, Phys. Rev. 130, 512 (1963).
van der Z i e 1, Phys. Rev. 161, 483 (1967).
[.Silsbee, D. B. F i t c h e n, Rev. Mod. Phys. 36, 432 (1964). .Попов, Изв. АН СССР, сер. физ. 30, 927 (1966).
.Б а с с, М. И. К а г а н о в, ЖЗТ① 37, 1390 (1959).
.Elliott, R. Loudon, Phys. Lett. 3, 189 (1963).
L Shen, N. Bloembergen, Phys. Rev. 143, 372 (1966).
о u d о n. Adv. Phys. 17, 243 (1968).
.Cardwell, Phys. Rev. 76, 125 (1949); 92, 554 (1953).
.Вонсовский, А. В. Соколов, ДАН СССР 76, 197 (1951). .Векслер, ЖЗТ① 29, 201 (1955).
.Вонсовский, А. В. Соколов, А. 3. Векслер, У①Н 56, 471'
m е s, R. L. Christensen, IBM, J. Res. Developm. 7, 34 (1963).
Long, Jr., V. W. H u g 1 u s, J. S. Creenbery, I. Ames,. .Christensen, Phys. Rev. 138, A1630 (1965).
.Ваганов, Д. Б. Диатроптов, ЖЭТФ 54, 1333 (1968).
.C. Y u, W. E. Spicer, Phys. Rev. 167, 674 (1968).
.Дорфман, P. И. Янус, К. В. Григоров, М. Г. Чернихов- й,出ЗТ① 1, 155 (1931).
.Дорфман, Р. И. Янус, И. К. Кикоин, Zs. Phys. 54, 277, 9891
.Г у р е в и ч, Г. М. Н е д л и н, ЖЗТ① 45, 576 (1963); 46, 1056 (1964).
.Гуревич, И. Я. Коренблит,①ТТ 6, 2471 (1964).
.Гинзбург, ЖЭТФ 31, 202 (1956).
.Вонсовскпй, М. С. С в и р с к и й, ДАН СССР 122, 204 (1958).
.Вонсовский, М. С. С в и р с к и й, ЖЭТФ 39, 384 (i960).
а г m a, J. Phys. Chem. Sol. 24, 1029 (1963).
Matthias, H. S u h 1, E. Corenzwit, Phys. Rev. Lett. 1, 92 (1958).
i n n e m о г e, D. Hopkins, P. Palmer, Phys. Rev. Lett. 13, 891
г. К 1 e i n, Phys. Rev. Lett. 16, 90 (1966).
Matthias, H； Suh 1, E.Corenzwit, Phys. Rev. Lett. 1, 449 (1958). k a 1 s k i, О. В e t h e d e г-M a t i b e t, P. R. Weiss, Phys. Rev. 136. 0 (1964).
二 Anderson,. H. S u h 1, Phys. Rev. 116, 898 (1959).
ii 1 1 e r, M. R i c i, Helv. Phys. Acta 33, 459 (I960).
.Phillips, В. T. Matthias, Phys. Rev. 121, 105 (1961).
.В о z о г t h, D. D. Davis, A. J. Williams, Phys. Rev. 119, 1570
.Matthias, V, B, Compton, H. S uh 1, E. Corenzwit, Phys._ 115, 1597 (1959).
.Matthias, E. Corenzwit, Phys. Rev. 100, 626 (1955).
u 1 1 e r, Helv. Phys. Acta, 32, 141 (1959).
.Волкенштейн, Э. В. Галошина, ЖЗТ① 47, 812 (1964).
.Matthias, M. Peter, H. J. Williams, A. M. С 1 о g s t о nv о r e n z w i t, R. C. S. Scherwood, Phys. Rev. Lett. 5, 542 (I960), erring, Physica, Suppl. 24, 184 (1958).
u h 1, В. T. Matthias, Phys. Rev. 114, 977 (1959). altensperger, Helv. Phys. Acta 32, 197 (1959).
.Абрикосов, Л. П. Горьков,京3T① 39, 1781 (I960).
6-7-8-9-0-1-2-工 z^ e^ -^ 7^ 0^ Q^o^ 1 9^0^ z^k^.^7^0^^o^19^q^z^k^67^^w^^ ^^^ии^^6969^^9м ^^ то те^707070707070717171717171717171717272726-7-8-9-0-1-2-工 z^ e^ -^ 7^ 0^ Q^o^ 1 9^0^ z^k^.^7^0^^o^19^q^z^k^67^^w^^ ^^^ии^^6969^^9м ^^ то те^70707070707071717171717171717171727272R e i f, M. W о 1 f, Phys. Rev. Lett. 9, 315 (1962); Rev. Mod. Phys. 36, 238 (1964); Phys. Rev. 137, A557 (1965).
6-7-8-9-0-1-2-工 z^ e^ -^ 7^ 0^ Q^o^ 1 9^0^ z^k^.^7^0^^o^19^q^z^k^67^^w^^ ^^^ии^^6969^^9м ^^ то те^70707070707071717171717171717171727272
6-7-8-9-0-1-2-工 z^ e^ -^ 7^ 0^ Q^o^ 1 9^0^ z^k^.^7^0^^o^19^q^z^k^67^^w^^ ^^^ии^^6969^^9м ^^ то те^70707070707071717171717171717171727272
P. F u 1 d e, K. Maki, Phys. Rev. 141, 275 (1966).
В. Вонсовский, M. С. Свирский, ЖЗТ① 40, 1677 (1961).
Б. В. Карпенко,①ММ 9, 794 (I960).
А. И. А х и е з е р, И. Я. Померанчук, ЖЗТ ① 36, 859 (1959).
А. И. А х и е з е р, И. А. А х и е з е р, ЖЗТ① 43, 2208 (1962).
В. Вонсовский, М. С. Свирский, ЖЗТ① 47, 182 (1964).
В. Вонсовский, М. С. Свирский, ЖЭТ① 49. 682 (1965); J. Appl. Phys. 39, 649 (1968).
Б. Т. Гейликман, ЖЗТ① 48, 1194 (1965).
А. А. А б р и к о с о в, У①Н 9 7, 403 (19 69).
J. О. L i n d е, Ann. der Phys. 10, 52 (1931)： 14, 353; 15, 219 (1932).
W. J. de H a a s, J. de В о e r, G. J. van den Berg, Physica 1, 1115 (1933/34) Comm., Leiden № 233b.
W. J. de H a a s, G. J. van den Berg, Physica 3, 440 (1936); 4, 603 (1937); Comm. Leiden № 241d, 249d.
J. van den Berg, Thesis, Leiden Univ., 1938.
J. van den Berg, Low Temp. Phys., vol. 4, ed. C. J. Gorter, North-Holl. Publ. Comp., Amsterdam, 1964, p. 194; Proc. 9 Int. Conf. Low Temp. Phys., Plenum Press, N.Y., 1965, p. 955.
E. Алексеевский, Ю. IL Гайдуков, ЖЗТ① 31, 947 (1956); 32,
J. К о n d о, Progr. Theor. Phys. 32, 37 (1964).
M. D. D a у b e 1 1, W. A. S t e у e г t, Phys. Rev. Lett. 18, 398 (1967); 20, 195
К. К u m e, J. Phys. Soc. Japan 22, 1116, 1309 (1967); 23, 1226 (1967).
А. А. Абрикосов, ЖЗТ① 48, 992 (1965); Physics 2, 21 (1965).
H. S u h 1, Phys. Rev. 138, A515 (1965), Physics 2, 39 (1965).
H. S u h 1, D. W о n g, Physics 3. 17 (1967).
В. M а л e e в, ЖЗТ① 51, 1940 (1966); 53, 1038 (1967).
С. Л. Г и н 3 б у p г, Письма ЖЭТ① 6, 766 (1967); ЖЭТ① 54, 1455 (1968).
С. В. Малеев,①ММ 29, 1121 (1970).
Y. N a g а о k a, Phys. Rev. 138, А1112 (1965); Progr. Theor. Phys. 37, 13 (1967).
R. H a m a n щ Phys. Rev. 158, 570 (1967).
R. Bloomfield, D. R. Hamann, Phys. Rev. 164, 856 (1967).
K. Yosida, Phys. Rev. 147, 223 (1966); Progr. Theor. Phys. 36, 875 (1966).
A. A. A 6 p и к о с о в, ЖЗТ① 53, 1078, 2105 (1967).
P. W. A n d е г s о n, Phys. Rev. 164, 352 (1967).
J. Kondo, Progr. Theor. Phys. 36, 429 (1966); Phys. Rev. 154, 644 (1967).
J. A. Appelbaum, J. Kondo, Phys. Rev. Lett. 19, 906 (1967).
И. Ishii, K. Y о s i d a, Progr. Theor. Phys. 38, 61 (1967).
J. R. Schriffer, J. Appl. Phys. 38, 1143 (1967).
A. A. A 6 p и к о с о в, Physics 2, 71 (1965).
Ю. А. И 3 ю м о в,①・ А. Касса н-0 г л ы, Препринт ОИЯИ, Р4-4359, Дубна,
M. Fowler, К. М а к i, Phys. Rev. 164, 484 (1967).
А.А.А б р и к о с о в, ЖЭТ① 55, 380 (1968).
С.Л.Г и н з б у р г,①ТТ 54, 380 (1968).
Н. В. Волкенштейн, В. Е. Старцев, Письма 7КЗТ① 7, 426 (1968).
Т.van Р е s к i-T i n b е г g е n, A. J. Dekker, Physica 29, 917 71963).
S.Н.L i % Phys. Rev. 132, 589 (19 63).'
В. H.① а й h,兌.Д. X а н и н, Квантовая радиофизика, «Наука», 1965, стр. 579.
С. W. Т г u ss е 1, Jr. Е. Christopher, R. V. Coleman, J. Appl. Phys.
A. H. В о л оши нс кий, Е. А. Туров, Л・①.Савицкая,① ТТ 22, 3141
Н. В. Волкенштейн, В. П. Дякина,①ММ 31, 773 (1971).
А. Н. Волошинский, А. Д. Коваленко,①Ml\i 31, 13 (1971).
A. Luther, W. J. Emery, Phys. Rev. Lett. 27, 142 (1971).
E. А. Туров, A. H* Волошинский, Явления переноса в ферромагнитных металлах, Препринт ИФМ АН СССР, Свердловск 1971. См. также Summer School on the Theory of Magnetism of Metals, vol. II, Warszawa, 1970.
E. А. Туров, В. Г. Шавров, ЖЭТ① 43, 2273 (1962).
А. И. Русинов, ЖЗТ① 56, 2047 (1969).
Р. W. Shumate, Jr., R. W. Coleman, R. C. F i v a z, Phys. Rev. IB,
Глава 26
ЯДЕРНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ^ МАГНЕТИЗМЕ
Введение
Ядерные методы исследований в физике конденсированных веществ вообще и в физике твердого тела, в частности, имеют два различных аспекта.
Во-первых, при взаимодействии атомных ядер твердого тела с электронами (в том числе и с электронами — носителями магнетизма кристаллов) они проявляют специфические свойства, отличные от свойств изолированных ядер. Здесь речь идет прежде всего о взаимодействиях СТС (см. гл. 3). Изучая эти свойства, можно получить добавочную ценную информацию о физическом состоянии электронной системы твердого тела и, в частности, о его магнитных свойствах. Наиболее ярко эта специфика свойств самих атомных ядер в твердом теле проявляется в двух явлениях: ядерном магнитном резонансе (ЯМР) и эффекте Мессбауера.
Во-вторых, экспериментальные методы ядерной физики и особые свойства атомных ядер в кристаллах могут быть непосредственно использованы как средства очень тонкой информации для изучения электронных свойств твердого тела. Конечно, при этом опять используется взаимодействие СТС между ядрами самого твердого тела или пучками нуклонов (например, нейтронов), с одной стороны, и электронами кристалла, с другой. Наиболее типичными и богатыми по своим результатам являются методы структурной и магнитной нейтронографии (дифракция нейтронов в кристалле), а также измерения, связанные с ЯМР и эффектом Мессбауера.
Оба эти аспекта применений методов ядерной физики в физике твердого тела удобнее всего проследить при конкретном описании и обсулчде- нии следующих трех явлений: а) нейтронной дифракции^ б) ядерного магнитного резонанса (ЯМР) и в) эффекта Мессбауера.
Ниже эти явления будут рассмотрены лишь как методы исследования свойств магнитно-упорядоченных веществ или веществ без магнитного порядка, но с магнитно активными (парамагнитными) примесями. При рассмотрении нейтронной дифракции мы также ограничимся только случаем магнитного рассеяния нейтронов магнитно активными электронами кристаллов (магнитная нейтронография).
Магнитная нейтронография
Общие замечания ). Явление дифракции нейтронов тесно связано с их волновой природой. Успех применения метода нейтронной дифракции для изучения атомной и в особенности магнитной структуры кристаллов обусловлен по крайней мере четырьмя «счастливыми» обстоя- тгельствами.
Во-первыхдлина волны ^.всякого излучения, которое можно использовать для исследования расположения атомов в кристаллах, должна
быть порядка минимального межатомного расстояния в них. т. е. постоянной решетки @. Так, например, широкое использование в рентгенографии характеристического рентгеновского излучения Си с длиной волны 九си = 1,54 А объясняется как раз хорошим выполнением условия Аси
@. Для нейтронов с массой mn и импульсом р = mnv (и ——скорость) длина волны А九 по формуле де Бройля равна
хп = —.(26.1)
Достаточно интенсивные пучки нейтронов, с которыми практически возможны дифракционные исследования кристаллов, получаются в ядерных реакторах. Нейтроны перед выходом из реактора проходят через замедлитель —тяжелую воду (или графит), находящуюся в изотермических условиях при температуре Т. В результате многочисленных столкновений с атомами замедлителя скорость нейтронов пучка снижается до некоторого значения и. Поэтому при тепловом равновесии будем иметь
嘿=张7.(26.21
Из (26.1) и (26.2) следует, что
^=3^-(26・3}
Обычно температура реактора и замедлителя лежит в интервале от 0° С до 100° С. Поэтому длины волн “，соответствующие средним скоростям нейтронов, находящихся в тепловом равновесии в этом интервале температур, согласно (26.3), лежат в интервале 1,55——1,33 А, т. е близки к типичным значениям параметров кристаллических решеток @. Таких нейтронов на выходе из реактора оказывается больше всего. Это и является первым «счастливым» обстоятельством, обеспечивающим успех практического применения нейтронной дифракции в физике твердого тела.
Во-вторых^ у нейтрона отсутствует электрический заряд. Это обеспечивает (из-за отсутствия потерь энергии на ионизацию электронных оболочек и т. п.) большую (по сравнению с параметром решетки &) среднюю длину свободного пробега нейтрона в кристаллах.
В-третьих, у нейтронов имеется магнитный момент [см. формулу (3.3)]. Это делает нейтроны незаменимыми в дифракционных исследованиях, магнитной электронной структуры кристаллов.
Нейтроны, попадая в кристалл, испытывают не только магнитное рассеяние на электронах: они также испытывают рассеяние на атомных ядрах, благодаря ядерному взаимодействию между нейтроном пучка и нуклонами ядер. Амплитуда этого яд ер но го рассеяния изменяется весьма нерегулярно с изменением атомного номера Z (в противоположность рентгеновским лучам, амплитуда рассеяния которых растет пропорционально Z), поэтому амплитуды нейтронного ядерного рассеяния для соседних элементов в таблице Менделеева могут сильно различаться. Это позволяет с успехом применять структурную нейтронографию для изучения атомной структуры упорядочивающихся сплавов, например из системы типа Fe — Ni, Fe — Co и т. п. ).
И, наконец, ъ-четвертых, сечение ядерного рассеяния нейтронов оказалось того же порядка (10~24 см2), что и магнитного. Это обстоятельство весьма существенно, так как позволяет одновременно с одинаковой, точностью снимать магнитные и структурные нейтронограммы.
Пучки нейтронов формируются в реакторе с помощью коллиматора. В выходящем из реактора пучке нейтроны имеют максвелловское распре-
(например, Co, Си и % п.), поставленного на пути пуч-(например, Co, Си и % п.), поставленного на пути пуч-Рдс. 26.1. Схема получения монохроматического отраженного пучка нейтронов, а — падающий пучок, выходящий из ядерного реактора А (максвелловское распределение скоростей); Ь — монохроматический пучок нейтронов после отражения от кристалла монохроматора ВС с параметром решетки d. Длина волны нейтрона в пучке равна 九=2d sin О, где О — угол падения и отражения пучка относительно поверхности кристалла; DE — коллиматор-Рдс. 26.1. Схема получения монохроматического отраженного пучка нейтронов, а — падающий пучок, выходящий из ядерного реактора А (максвелловское распределение скоростей); Ь — монохроматический пучок нейтронов после отражения от кристалла монохроматора ВС с параметром решетки d. Длина волны нейтрона в пучке равна 九=2d sin О, где О — угол падения и отражения пучка относительно поверхности кристалла; DE — коллиматор-отражению нейтронной волны ототражению нейтронной волны отплоскости с Миллеровскими индексами 仆(匕以)，определяемым условием Вульфа —Брэгга 1 в общем случае имеет видплоскости с Миллеровскими индексами 仆(匕以)，определяемым условием Вульфа —Брэгга 1 в общем случае имеет вид(Ш)(Ш)Рис. 26.2 К выводу формулы Вульфа —Брэгга (26.8), 〃，к'——волновые векторы падающего и отраженного пучка нейтронов; т/2л—вектор обратной решетки; 0(»内八—угол падения и отражения по отношению к плоскости кристалла (万左/): а — угол между векторами К “ kJние углов 仆(九丸)совместно с атомную структуру вещества.Рис. 26.2 К выводу формулы Вульфа —Брэгга (26.8), 〃，к'——волновые векторы падающего и отраженного пучка нейтронов; т/2л—вектор обратной решетки; 0(»内八—угол падения и отражения по отношению к плоскости кристалла (万左/): а — угол между векторами К “ kJние углов 仆(九丸)совместно с атомную структуру вещества.
(например, Co, Си и % п.), поставленного на пути пуч-
(например, Co, Си и % п.), поставленного на пути пуч-
Рдс. 26.1. Схема получения монохроматического отраженного пучка нейтронов, а — падающий пучок, выходящий из ядерного реактора А (максвелловское распределение скоростей); Ь — монохроматический пучок нейтронов после отражения от кристалла монохроматора ВС с параметром решетки d. Длина волны нейтрона в пучке равна 九=2d sin О, где О — угол падения и отражения пучка относительно поверхности кристалла; DE — коллиматор-
Рдс. 26.1. Схема получения монохроматического отраженного пучка нейтронов, а — падающий пучок, выходящий из ядерного реактора А (максвелловское распределение скоростей); Ь — монохроматический пучок нейтронов после отражения от кристалла монохроматора ВС с параметром решетки d. Длина волны нейтрона в пучке равна 九=2d sin О, где О — угол падения и отражения пучка относительно поверхности кристалла; DE — коллиматор-
отражению нейтронной волны от
отражению нейтронной волны от
плоскости с Миллеровскими индексами 仆(匕以)，определяемым условием Вульфа —Брэгга 1 в общем случае имеет вид
плоскости с Миллеровскими индексами 仆(匕以)，определяемым условием Вульфа —Брэгга 1 в общем случае имеет вид
(Ш)
(Ш)
Рис. 26.2 К выводу формулы Вульфа —Брэгга (26.8), 〃，к'——волновые векторы падающего и отраженного пучка нейтронов; т/2л—вектор обратной решетки; 0(»内八—угол падения и отражения по отношению к плоскости кристалла (万左/): а — угол между векторами К “ kJ
ние углов 仆(九丸)совместно с атомную структуру вещества.
Рис. 26.2 К выводу формулы Вульфа —Брэгга (26.8), 〃，к'——волновые векторы падающего и отраженного пучка нейтронов; т/2л—вектор обратной решетки; 0(»内八—угол падения и отражения по отношению к плоскости кристалла (万左/): а — угол между векторами К “ kJ
ние углов 仆(九丸)совместно с атомную структуру вещества.
.деление по скоростям, т. е. пучок оказывается не монохроматическим. Его можно искусственно сделать таким, если отразить его под брэгговским углом 仆，удовлетворяющим условию
孔厶九= 2@cos仆 (n= 1, 2, 3, ...), (26.4)
ют монокристалла ка (рис. 26.1) ).
В общем случае информация о структуре кристалла (ядерной и магнитной) содержится как в угловом, так и в энергетическом распределении нейтронов. Рассеяние может быть упругое и неупругое. Оба эти случая мы сейчас кратко и рассмотрим.
Упругое ядерное и магнитное рассеяние, а. Определение магнитных структур ). Заметим прежде всего, что при упругом рассеянии информация о кристалле получается из углового р аспр ед ел ени я нейтронов.
Интенсивность упругого рассеянного монохроматического пучка нейтронов от атомных ядер кристалла, как функция угла рассеяния, имеет вид кривой с рядом острых пиков (см. рис. 22.1, а). Каждый из таких пиков соответствует некоторой кристаллической (hkl) под углом Брэгга (26.4), которое для п
(26.5)(26.5)^« ~ 2d(hhl> sin 仆S木力，
(26.5)
(26.5)
плоскостями с Миллеровскими индексами (hkl) [см., например, Китайгородский (1950)]. Равенство (26.5) можно записать в векторной форме
kJ — к = у при \кг \ ^=\к\,(26.6)
где 乃 и Л/ — соответственно волновые векторы падающего и рассеянного нейтрона (т. е. \к \ = \кг \ = 2л/Хп), направление вектора fc совпадает с направлением распространения волн, т. е. с направлением импульсападающего нейтрона
р,х/2л ——векторобратнойрешетки
(рис. 26.2). Экспериментальное определе- формулой (26.5) позволяет определить
Если кристалл имеет упорядоченную магнитную структуру, то возникает дополнительные брэгговские отражения от плоскостей, занятых атомами с одинаковой ориентацией магнитных моментов (образующих одну магнитную подретпетку, см. гл. 22). В случае ферромагнетика, состоящего из атомов одного сорта (и образующих, следовательно, одну подрешетку), магнитные брэгговские отражения совпадают с ядерными. В случае более сложной магнитной структуры могут возникать новые (магнитные) пики при упругом рассеянии нейтронов. Их положение определяется теми же условиями (26,5) или (26.6), что и для пиков ядерного рассеяния. Только под т нужно подразумевать вектор обратной магнитной решетки. Например, в случае антиферромагнетика с двумя коллинеарными антипар алл ел ьно н ама гни ченными подрешетками магнитная электронная ячейка может оказаться вдвое больше кристаллохимической (гл. 22). Это приводит, очевидно, к тому, что любой из векторов обратной магнитной подрешетки вдвое меньше соответствующего вектора обратной кристаллохимической решетки. Как видно из соотношения (26.5), это приведет к появлению магнитного отражения в области малых углов. В качестве примера можно привести ан тиферр ома гни тн о е соединение МпО, в котором происходит удвоение элементарной магнитной ячейки по всем трем основным векторам (рис 22.2, а).
Дальнейшие сведения, результаты конкретных исследований и ссылки на литературу см. гл. 22, § 3, а также обзоры [1—6].
Определение магнитных форм-факторов. В гл. 20, § 2 уже рассматривался вопрос о магнитном (нейтронном) форм-факторе в связи с проблемой определения распределения зарядовой и спиновой электронной плотностей в кристалле. Для s-состояния, когда у атома нет орбитального момента, амплитуда магнитного рассеяния нейтрона на атоме /т дается формулой *)
fm^rQySF(q). (26.7)
где г0 — 巒/2/n巒 一 электромагнитный радиус электрона, у — —1,913— величина нейтронного магнитного момента в единицах 卩Яд [см. (3.3)], S ——атомное спиновое квантовое число, F (q)——нейтронный магнитный форм-фактор [см. (20.5)]. Здесь
q = @，_ &
вектор изменения импульса ——нейтрона при рассеянии. В случае сферически-симметричного распределения спиновой плотности величина F (q) зависит лишь от модуля вектора q, т. е. от g = (4л/Х) sin (а/2). Об определении форм-факторов и через них распределения спиновой плотности и индивидуальных атомных магнитных моментов см. гл. 20, § 2,. книгу Изюмова и Озерова (1966), а также работы [12—14].
Определение магнитных моментов атомов в сплавах из диффузного магнитного рассеяния нейтронов. Магнитное рассеяние нейтронов открыло интересную возможность определения индивидуальных магнитных моментов атомов различных компонент в ферромагнитных сплавах по диффузному магнитному рассеянию нейтронов [см. §§ 43, 44 в книге Изюмова и Озерова (1966)]. Этот метод особенно интересен в случае полностью неупорядоченных или частично упорядоченных сплавов ). Именно в этом случае используются результаты измерений упругого некогерентного диффузного рассеяния нейтронов. Не имея возможности подробно
остановиться на этом вопросе, напомним, что некоторые результаты уже* были приведены выше в гл. 21, § 2, п. 4, а также укажем некоторые оригинальные работы [15—22]. Этот метод представляет также интерес для определения распределения магнитного момента вокруг атомов примесей в разбавленных растворах (см. работы [23—25] и обзор Лоу [26]).
Неупругое рассеяние нейтронов *). При неупругом рассеянии нейтрона в кристалле энергия рассеянного нейтрона 卷(目‘)может быть меньше или больше энергии падающего нейтрона 卷(р) соответственно из-за потери энергии на рождение или возбуждение, например, фонона или магнона в кристалле с энергией ёвозб (Рвозб) или из-за приобретения этой энергии при ее поглощении нейтроном от кристалла. Для этих энергий, а также для соответствующих импульсов нейтрона #' и # и и квазиимпульса возбужденной решетки j?B036 должны выполняться законы сохранения
卷(勿)一卷'(») = 土卷возб(0ВО36), (26.8)
#一#' +七=±#в0з6， (26.9)
q“2冗q“2冗Рис. 2б-3. Дисперсионные кривые е (q> ферромагнонов (g — энергия, q — волновой вектор ферромагнона), полученные с помощью неупругого рассеяния нейтронов Для q [I [001], при 24° С. А, В — оптическая, С — акустическая ветви спектра. Белые кружки — экспериментальные данные (Брокхауз и Ватанабе) [27]). Кривые были также рассчитаны теоретически (Каплан [28]).Рис. 2б-3. Дисперсионные кривые е (q> ферромагнонов (g — энергия, q — волновой вектор ферромагнона), полученные с помощью неупругого рассеяния нейтронов Для q [I [001], при 24° С. А, В — оптическая, С — акустическая ветви спектра. Белые кружки — экспериментальные данные (Брокхауз и Ватанабе) [27]). Кривые были также рассчитаны теоретически (Каплан [28]).Неупругое рассеяние нейтронов интересно именно тем, что при его изучении открывается возможность экспериментального определения законов дисперсии тех возбуждений решетки, которые участвуют в этом рассеянии. Эта возможность связана с тем, что в энергетическом распределении неупруго когерентно рассеянных нейтронов в любом направлении появляются пики, положение которых в силу законов сохранения (26.8) и (26.9) однозначно связано с энергией одного испущенного или поглощенного кванта возбуждения кристалла (фонона или магнона) при этом процессе рассеяния. Не вдаваясь в детали этого метода, приведем лишь в качестве иллюстрации несколько результатов по определению спин-волнового спектра ферро- и антиферромагнетиков.
q“2冗
q“2冗
Рис. 2б-3. Дисперсионные кривые е (q> ферромагнонов (g — энергия, q — волновой вектор ферромагнона), полученные с помощью неупругого рассеяния нейтронов Для q [I [001], при 24° С. А, В — оптическая, С — акустическая ветви спектра. Белые кружки — экспериментальные данные (Брокхауз и Ватанабе) [27]). Кривые были также рассчитаны теоретически (Каплан [28]).
Рис. 2б-3. Дисперсионные кривые е (q> ферромагнонов (g — энергия, q — волновой вектор ферромагнона), полученные с помощью неупругого рассеяния нейтронов Для q [I [001], при 24° С. А, В — оптическая, С — акустическая ветви спектра. Белые кружки — экспериментальные данные (Брокхауз и Ватанабе) [27]). Кривые были также рассчитаны теоретически (Каплан [28]).
На рис. 26.3 приведена дисперсионная кривая для типичного ферримагнетика —магнетита, полученная в работе Брокхауза и Ватанабе [27] из исследований неупругого рассеяния нейтронов. Там же приведены теоретические кривые, рассчитанные Капланом [28] для акустической
ветви спектра и одной из оптических ветвей (см. гл. 22). Закон дисперсии для спиновых волн типичного антиферромагнетика MnF2, полученный по данным нейтронографической работы Лоу и др. [29] для двух направлений квазиимпульса, показан на рис. 26.4. Там же приведены теоретические кривые из работы Займана [30]. При разумных значениях обменных энергетических параметров получается весьма хорошее совпадение между теорией и экспериментом.
*).. См. гл. 4 в книге*).. См. гл. 4 в книгеНаконец, упомянем еще, что неупругое рассеяние нейтронов позволяет определить важную для теории ферромагнетизма температурную зависимость энергии спиновых волн (см. гл, 19) через температурную зависимость ширины пиков диффузионного рассеяния. На рис. 26.5
*).. См. гл. 4 в книге
*).. См. гл. 4 в книге
приведены результаты для магнетита [27]. Следует упомянуть также еще некоторые работы [31—39] по неупругому рассеянию нейтронов в магнитно-упорядоченных кристаллах.
Магнитное критическое рассеяние нейтронов. Опыт показал (см. [40—44]), что магнитное рассеяние нейтронов в ферро- и антиферромагне- пках резко увеличивается при углах рассеяния, лежащих вблизи углов брэгговских магнитных отражений при температурах, близких к точкам Кюри или Нееля (ниже и выше их). Это явление полностью аналогично рассеянию света в жидкости вблизи критического состояния (критическая юпалесценция). Отсылая читателей за подробностями к специальной литературе [см., например, §§ 20 и 48 в книге Изюмова и Озерова (1966)],
Рис. 26.4. Дисперсионные кривые е (а) ферромагнонов в антиферромагнитном кристалле (е — энергия, q — волновой вектор ферромагнонов), определенные по неупругому рассеянию нейтронов для двух направлений вектора q. 1—[001] и 2—[100] при 4,2° К (Лоу и др. [29]). Кривые бы ；и рассчитаны также теоретически (Займан [30]).Рис. 26.4. Дисперсионные кривые е (а) ферромагнонов в антиферромагнитном кристалле (е — энергия, q — волновой вектор ферромагнонов), определенные по неупругому рассеянию нейтронов для двух направлений вектора q. 1—[001] и 2—[100] при 4,2° К (Лоу и др. [29]). Кривые бы ；и рассчитаны также теоретически (Займан [30]).//4& 廉//4& 廉Рис, 26.5. Температурная зависимость относительной намагниченности (1/2о) магнетита FeaO4- ■ б%—точка Нееля. На шкале справа показаны пропорциональные намагниченности значения величины а (Т) = e/q2 (где е — энергия ферромагнона, q——его волновой вектор; а — в единицах А?)・ Белые кружки и вертикальные отрезки линий (показывающие разброс измеренных значений) — экспериментальные данные (Брокхауз и Ватанабе [27]).Рис, 26.5. Температурная зависимость относительной намагниченности (1/2о) магнетита FeaO4- ■ б%—точка Нееля. На шкале справа показаны пропорциональные намагниченности значения величины а (Т) = e/q2 (где е — энергия ферромагнона, q——его волновой вектор; а — в единицах А?)・ Белые кружки и вертикальные отрезки линий (показывающие разброс измеренных значений) — экспериментальные данные (Брокхауз и Ватанабе [27]).
Рис. 26.4. Дисперсионные кривые е (а) ферромагнонов в антиферромагнитном кристалле (е — энергия, q — волновой вектор ферромагнонов), определенные по неупругому рассеянию нейтронов для двух направлений вектора q. 1—[001] и 2—[100] при 4,2° К (Лоу и др. [29]). Кривые бы ；и рассчитаны также теоретически (Займан [30]).
Рис. 26.4. Дисперсионные кривые е (а) ферромагнонов в антиферромагнитном кристалле (е — энергия, q — волновой вектор ферромагнонов), определенные по неупругому рассеянию нейтронов для двух направлений вектора q. 1—[001] и 2—[100] при 4,2° К (Лоу и др. [29]). Кривые бы ；и рассчитаны также теоретически (Займан [30]).
//4& 廉
//4& 廉
Рис, 26.5. Температурная зависимость относительной намагниченности (1/2о) магнетита FeaO4- ■ б%—точка Нееля. На шкале справа показаны пропорциональные намагниченности значения величины а (Т) = e/q2 (где е — энергия ферромагнона, q——его волновой вектор; а — в единицах А?)・ Белые кружки и вертикальные отрезки линий (показывающие разброс измеренных значений) — экспериментальные данные (Брокхауз и Ватанабе [27]).
Рис, 26.5. Температурная зависимость относительной намагниченности (1/2о) магнетита FeaO4- ■ б%—точка Нееля. На шкале справа показаны пропорциональные намагниченности значения величины а (Т) = e/q2 (где е — энергия ферромагнона, q——его волновой вектор; а — в единицах А?)・ Белые кружки и вертикальные отрезки линий (показывающие разброс измеренных значений) — экспериментальные данные (Брокхауз и Ватанабе [27]).
-отметим, что из нейтронных измерений можно при критическом рассеянии определить радиусы корреляции спиновых моментов в кристалле, которые находятся в пр ямой связи с его магнитными характеристиками. Так, например, в приближении молекулярного поля обратные значения радиусов корреляций в парамагнитной области к、и эти значения для поперечной А:丄 и продольной A:〔I спиновой слагающей по отношению к внешнему полю связаны с соответствующими магнитными восприимчивостями следующими соотношениями:
储 .階———,Ли = —v—.(26.10)
Отсюда видно, что магнитное критическое рассеяние представляет большой интерес для теории магнитных переходов, поскольку, измеряя на опыте температурную зависимость параметров корреляции, можно найти температурный ход восприимчивости и сравнить его с теорией (см. гл, 19). На рис. 26.6 показана температурная зависимость параметра 磕 определенная экспериментально по данным работ [45, 46]; там же приведена теоретическая кривая, рассчитанная в [45, 46]. Дальнейшим исследованиям в этой области посвящены работы [47——58].
5. Парамагнитное рассеяние. Как мы видели в п. 4, в ферро- и антиферромагнетиках в парамагнитной области выше точек Кюри или Нееля5. Парамагнитное рассеяние. Как мы видели в п. 4, в ферро- и антиферромагнетиках в парамагнитной области выше точек Кюри или Нееляимеет место критическое рассеяние нейтронов на «остатках» магнитного порядка. Однако, помимо этого, в парамагнетиках будет еще один эффект чисто парамагнитного рассеяния (при практическом отсутствии даже остатков магнитного порядка), обусловленного обменным взаимодействием между атомными спинами, которое приводит к некоторой неупругости рассеяния. Теорию этого рассеяния дали Ван-Флек [59] и де Жен [60]. Их расчет предсказал зависимость ширины линии рассеянных нейтронов от парамагнитной точки Кюри @пм , входящей в закон Кюри — Вейсса, и сечения от коэффициента диффузии спинов. Первые опыты провел Брок- хауз [61] на соединениях MnSO4 и Мп2О3; более детальное исследование принадлежит Крибье и Жакро [62] в MnF2, Дени цу и др. [63] в МпО. Дальнейшим исследованиям металлах,
5. Парамагнитное рассеяние. Как мы видели в п. 4, в ферро- и антиферромагнетиках в парамагнитной области выше точек Кюри или Нееля
5. Парамагнитное рассеяние. Как мы видели в п. 4, в ферро- и антиферромагнетиках в парамагнитной области выше точек Кюри или Нееля
(T-3JC(T-3JCРис. 26.6. Температурная зависимость обратных значений квадрата радиуса корреляции 號 для Fe. Радиус корреляции — величина, пропорциональная обратному значению парамагнитной восприимчивости fef ~ %£^ [см. формулу (26.12)]. Температура отсчитывается от точки Кюри 0 (Жакро и др. [45], Пас- сель и др. [46]),Рис. 26.6. Температурная зависимость обратных значений квадрата радиуса корреляции 號 для Fe. Радиус корреляции — величина, пропорциональная обратному значению парамагнитной восприимчивости fef ~ %£^ [см. формулу (26.12)]. Температура отсчитывается от точки Кюри 0 (Жакро и др. [45], Пас- сель и др. [46]),парамагнитного рассеяния в различных сплавах и соединениях посвящены работы [64—76].парамагнитного рассеяния в различных сплавах и соединениях посвящены работы [64—76].Ядерный магнитный резонанс (ЯМР)в магнитно-упорядоченных веществах
(T-3JC
(T-3JC
Рис. 26.6. Температурная зависимость обратных значений квадрата радиуса корреляции 號 для Fe. Радиус корреляции — величина, пропорциональная обратному значению парамагнитной восприимчивости fef ~ %£^ [см. формулу (26.12)]. Температура отсчитывается от точки Кюри 0 (Жакро и др. [45], Пас- сель и др. [46]),
Рис. 26.6. Температурная зависимость обратных значений квадрата радиуса корреляции 號 для Fe. Радиус корреляции — величина, пропорциональная обратному значению парамагнитной восприимчивости fef ~ %£^ [см. формулу (26.12)]. Температура отсчитывается от точки Кюри 0 (Жакро и др. [45], Пас- сель и др. [46]),
парамагнитного рассеяния в различных сплавах и соединениях посвящены работы [64—76].
парамагнитного рассеяния в различных сплавах и соединениях посвящены работы [64—76].
Общие замечания. Ядерный магнитный резонанс — резонансное поглощение энергии электромагнитного поля в веществе, обусловленное магнетизмом ядер (см. гл. 3), представляет собой один из самых тонких методов получения информации о локальном пространственном распределении зарядовой и спиновой плотностей в электронной системе твердого тела. Это прежде всего обусловлено тем, что магнитноактивное атомное ядро представляет собой практически точечный зонд в электронной системе кристалла. Здесь мы ограничимся лишь кратким изложением важнейших особенностей ЯМР в ферро-, ферри- и антиферромагнетиках ), В качестве источников соответствующих сигналов при резонансных опытах могут служить магнитноактивные ядра как диамагнитных ионов, так и ионов элементов переходных d-групп и РЗМ.
Развитию методики ЯМР для исследования магнитно-упорядоченных сред было положено начало в 1953 г. работой Пулиса и Хардемана [79], в которой был открыт протонный резонанс в антиферромагнитном веществе СиС12 '2Н2О. На ядрах переходных элементов ЯМР наблюдался Госсардом и Портисом [80] в кристалле кобальта на ядрах Со59.
Локальные магнитные поля на ядрах. С помощью ЯМР в магнитно- упорядоченных кристаллах прежде всего оказывается возможным измерить локальные магнитные поля, создаваемые на я др ах кристалла его электронной системой.
Магнитная связь между отдельным ядром и электронной оболочкой иона в твердом теле осуществляется взаимодействием типа сверхтонкой структуры (СТС), описываемой гамильтонианом (3.13). Последнему можно придать вид [см. Абрагам (1963)] скалярного произведения оператора
локального магнитного поля 题зл на оператор спинового магнитного момента ядра ^Яд 阿口 -Г. Согласно (3.13), имеем
Жл= —g#B [-^ 6 (г)« + г-3 (Z- «) + Зг-6 г («г)] .(26.11)
Как и в (3.13), первый член называется фермиевским контактным полем, а второй и третий дают поля, создаваемые точечным магнитным диполем gj卩е« и круговым током электронов ионной оболочки с угловым моментом Z. Расчет квантовомеханического среднего от оператора (26.11) требует знания распределения электронных зарядовой и спиновой плотности в кристалле. Обычно такие расчеты проводятся методом Хартри — Фока с использованием электронных вычислительных машин (ЭВМ). Подробности о способах вычисления и о природе локальных магнитных полей на ядрах можно найти, например, в обзорах [81,82]. Здесь мы ограничимся лишь кратким перечнем основных результатов.
В кристаллах локальные поля на ядре иона элемента группы железа с недостроенным магнитно активным Зй-слоем в основном определяются фермиевским контактным взаимодействием. Последнее отлично от нуля только для s-электронов, волновая функция которых не имеет узлов на ядре. Напротив, для s-электронов два последних дипольных члена в (26.11) равны нулю. Таким образом, фермиевскому контактному взаимодействию можно сопоставить эффективное магнитное поле, которое [см. (3.14)] равно
/Гэфф = -^№«|^(0)|2,(26.12)
где |屮$ (0) 12 = ps (0) — плотность s-электронов в точке, занятой ядром. Опыт показывает, что во многих магнитных веществах знак %巾巾 оказывается отрицательным по отношению к электронной намагниченности кристалла. Анализ данных по измерению %巾巾 для Зй-металлов, ферритов- шпинелей, редкоземельных ферритов со структурой граната, а также ряда солей, позволил Ватсону и Фримену [81], в противоположность прежним высказываниям, например в известной работе Маршалла [83], утверждать, что основной вклад в %巾巾 почти всегда дает обменная поляризация s-электронов ионных остовов кристаллической решетки со спиновой плотностью неспаренных @- или /-электронов. Как впервые было указано в работе [83], кроме вклада %巾巾 из (26.12), в эффективное поле входит еще локальное магнитное поле ^УЛок» которое состоит из внешнего поля, размагничивающего поля поверхности образца и поля Лорентца (4л/3)Т, и поправки к нему для случая некубических кристаллов (поправка составляет не более 10~3 части от поля Лорентца). Помимо этих полей, следует еще учитывать: 1) поле от контактного взаимодействия с электронами проводимости, поляризованными их обменной связью с d- или /-электронами; 2) поле от контактного взаимодействия с электронами проводимости, частично гибридизированными с d-электронами; 3) поле, обусловленное магнитным дипольным взаимодействием d-электронов; 4) поле от незамороженной части орбитальных моментов @- или /-электронов. Могут быть также еще и другие вклады в %巾巾(см. [81]).
Рассмотрим в качестве примера эффективное поле на ядрах в металлическом Fe. Основной отрицательный вклад здесь дают подмагниченные 2s- и Ss-слои ионного остова (^400 к:з). Положительный вклад (порядка 100 砌 дают подмагниченные электроны проводимости, как это и предполагалось в [83]. Но вместе с тем, как показали Андерсон и Клогстон [84], может возникнуть отрицательное эффективное поле, возникающее из-за ковалентной связи электронов проводимости с электронами незаполненной Зй-полосы.
В ферромагнитных сплавах 3@-металлов могут быть добавочные источники внутреннего поля на ядрах растворенных веществ. Электроны про
водимости (в основном бывшие 45-электроны) могут подмагничиваться Зй-электронами ионов матрицы и примеси. Переходы Зй-электронов между ионами матрицы и примеси могут также вызывать поляризацию замкнутых 2s- и З^-слоев. Резонансные измерения величины внутренних полей на ядрах как ди а-, так и парамагнитных ионов примесей указывают на существенный вклад в поле поляризации электронов проводимости [85—87]. В случае редкоземельных элементов недостроенный 4/-слой электронной оболочки имеет гораздо меньший радиус, чем 3@-слой в элементах группы железа. Кроме того, орбитальный момент у них не заморожен. Есть основания считать, что локальное поле на ядрах в РЗМ в основном определяется орбитальными и дипольными полями электронов 4/-слоя. Поля на ядрах могут достигать 106—107 з.
Металлическая связь в совокупности с примесью ковалентной связи переходных d-металлов обусловливает появление сильных локальных полей (до 104—105 з) также на ядрах примесных немагнитных ионов в магнитно-упорядоченной матрице. Химическая связь, например ковалентная связь и перекрытие электронных оболочек, также приводит к магнитной поляризации оболочек немагнитных ионов в химических соединениях с участием магнитно активных ионов, а это в свою очередь может приводить к появлению локальных магнитных полей (порядка 104 э) на ядрах немагнитных ионов в таких соединениях. Впервые такие поля были обнаружены в работах Самойлова, Скляревского и Степанова [366, 367].
Обычно все перечисленные выше локальные магнитные поля, связанные с взаимодействием магнитного момента ядра с электронной оболочкой «своего» иона (даже если он «подмагничен» соседними магнитно активными ионами), и называют сверхтонкими полями (или полями взаимодействия СТС). Их следует отличать от локальных магнитных полей на ядрах, созданных прямым взаимодействием моментов ядер с электронными оболочками «чужих» магнитных ионов и обычно обусловленных в основном диполь-дипольной магнитной связью. Величина соответствующих дипольных полей не превышает нескольких сот тысяч эрстед. Конкретные данные по измерениям полей на ядрах см. ниже в табл. 26.2.
Оператор энергии взаимодействия СТС ядерного I и электронного S спина магнитного иона имеет вид
威 стс=4стс&£ (26.13)
где Лете ——константа взаимодействия- СТС, S — суммарный спин иона, который в случае ионов РЗМ надо заменить полным моментом } =М + £. Постоянная 4стс в кристаллах некубической симметрии в общем случае является тензором, отражающим симметрию данного кристалла.
В случае ядер немагнитных ионов оператор (26.13) для взаимодействия СТС, вызванного поляризацией внутренних заполненных слоев (в основном s-слоев) по аналогии с (26.13), имеет вид
威стс= 3 ^стс(-Ку) Sjt, (26.14)
где суммирование проводится по узлам / ближайших магнитных ионов> Если ввести электронную и ядерную намагниченности магнитных подрешеток It (г) и mt (/•), то формулы (26.13) и (26.14) можно записать в обычном виде для макроскопической трактовки. Тогда выражение для плотности энергии взаимодействия СТС в l-й подрешетке примет следующий вид:
<^стс (^)^AcTCIi (г) mi (г), (26.15)
где 4&тс = 4cTc/Ngjgnn五％ N ——число магнитных ионов данной подрешетки в единице объема.
Таким образом, для части локального поля на ядрах от взаимодействия СТС получим
宜偏(f) = - 0誓刃?-=-*TC力①).(26.16)
Формула (26.16) справедлива как для ферромагнетиков (одна подрешетка), так и для антиферро- и ферримагнетиков (две или более подрешетки).
Экспериментальные исследования показали, что в большинстве случаев векторы 査 лок (戸)и J (г) антипар ал л ел ьны, т. е. Лете > 0 (и поэтому ^4стс>0)-*Тепловое движение создает разброс магнитных моментов атомов, а обменные и другие взаимодействия между ними приводят к усреднению момента каждого отдельного атома. В итоге на ядерный момент действует среднее статическое поле (26.16):
〈宜 лок〉= —4^TC〈f〉・(26.17)
Частота ЯМРа равна частоте ларморовской прецессии в суммарном статическом магнитном поле, действующем на ядерный магнитный момент:
Зямр =8нп|Н + Мтс〈/〉|,(26.18)
где Н — сумма [внешнего поля и всех дипольных добавок (см. выше).
В парамагнитной области (при температурах выше точки Кюри или Нееля)〈/〉= %1шЕ・ Следовательно, по (26.18) имеем
Знмр = ^яд (1 — 4^тс%1ш)8.(26.19)
В этом случае локальные поля {Нп^ на ядрах приводят лишь к небольшому сдвигу резонансной частоты
(26.20)
Этот сдвиг аналогичен сдвигу Найта [88] (обусловленному взаимодействи- эм электронов проводимости металлов с ядерными магнитными моментами), но больше последнего для диамагнетиков. Кроме того, следует помнить, что в общем случае Лете и %пм — тензоры.
В случае магнитно-упорядоченных веществ модуль средней намагниченности по порядку совпадает с намагниченностью насыщения соответствующей подрешетки (〈7〉| ^ /$. Таким образом, в силу (26.17) имеем
СЙлоЗ^/Ь/,(26.21)
т. е. величина локального поля при 7, близких к 0° К, будет близка к своему мгновенному (т. е. среднему квантовомеханическому) значению.
Особенности ЯМР магнитно-упорядоченных веществ, а. Усиление ЯМР. Резонансная частота и сигнал ЯМР в магнитно-упорядоченных веществах оказываются очень большими. Например, измерения частот ЯМР показывают, что они на два-три порядка больше, чем в этих же кристаллах в парамагнитной области во внешних полях порядка 103— Ю4 з. Точно так же измерения насыщения резонансной линии в кобальте с г. ц. к. решеткой показали, что эффективное радиочастотное поле на ддрах в 103 раз больше, чем приложенное переменное поле [89]. Можно указать две наиболее очевидные причины этих «усилений» ЯМР в ферромагнетиках.
Первая из них связана с продольной статической составляющей локального поля
〈宜染тс，，(26.22)
где z — направление оси квантования электронных моментов в том месте, где расположено ядро. Согласно (26.17) для циклической частоты ЯМР
в этом поле имеем
Зямр = | gun 泣лок% |.(26.23)
В противоположность парамагнитной области, основной вклад в Зямр будет давать член (26.22) от взаимодействия СТС. В случае ферри- и антиферромагнетиков с противоположно намагниченными подрешетками поле (26.21) будет векторной суммой полей всех подрешеток.
Вторая причина связана с поперечной динамической составляющей 〈五лок〉丄.Резонансные квантовые переходы ядерных спинов индуцируются не внешним радиочастотным полем hx с частотой з ^ зямр, а переменной слагающей внутреннего поля (Длок )_l» создаваемой этим внешним полем 九 ％. Действительно, поперечная переменная состав л яющая поля равна по (26.17)
〈貪 лок〉丄=—染 TC〈f〉L(26.24)
Рассмотрим однодоменную ферромагнитную частицу, намагниченную до насыщения вдоль легкой оси, в которой под действием внешнего радиочастотного поля намагниченность вращается когерентно. Тогда
〈£〉丄=Is sin ■& а 厶心 а 万一 = ХврЛх,(26.25)
где 仆 一 максимальный угол, который составляет вектор Is с легчайшей осью 2 в результате процесса вращения (предполагается, что этот угол мал: sin 仆 ^ 仆)， %вр — IJ(H + Наннз) магнитная восприимчивость процесса вращения по отношению к радиочастотному полю hx <^i Н + Наипз, где Н — внешнее статическое поле, a jyaHII3 — эффективное магнитное поле анизотропии (см. гл. 23). Если размагничивающий фактор образца вдоль оси 2 равен N%、то он также вносит вклад в поле анизотропии Наниз величиной NZIs (см. гл. 23). Подставляя (26.25) в (26.24), находим, что на ядерный спин, кроме поля hx, действует внутреннее переменное поле
〈Нлок〉丄 — 4стс%вр九％ = Лдом^х*(26.26)
Величину
Ппом = - /Ьс%вр =-瓷旷 _ (旣)J(26.27)
々анпз
принято называть коэффициентом усиления ЯМР в однодоменном образце. Его величина при полях〈Нл()к〉丄^ 105 — 106 m и Я+Яаниз ^103— 104 з лежит в интервале
%ом ^ 10 + 1000.(26.28)
Усиление ЯМР на ядрах, расположенных внутри доменов, наблюдается, например, в чистых ферромагнитных металлах Fe, Со и Ni [90], в магнетите Fe3O4 [91] и антиферромагнетиках [92].
Еще большее усиление ЯМР происходит в том случае, когда ядро расположено в граничном слое между доменами ферромагнетика. Это объясняется тем, что в многодоменном ферромагнетике намагничивание в слабом переменном поле идет в основном путем обратимых смещений граничных слоев между доменами. При этих смещениях особенно сильное вращение испытывает локальная намагниченность внутри граничного слоя. Угол вращения 仆 намагниченности в центре слоя при его смещении р.ч. полем hx на расстоянии Az равен д —Аз/6, где 26 — эффективная толщина слоя. Az можно выразить через изменение намагниченности А7Ж = %СМЛЖ = =2IsAz/L, где L — толщина домена, Хсм восприимчивость смещения. В результате процессы смещения дают для усиления
Пгр ~ ：W = 一备 ЛстсХсм(26.29)
в граничном слое и нуль вне его.
Величина т]гр обычно столь большая, что интегральный сигнал ЯМР от ядер граничных слоев значительно превосходит таковой от ядер в доменах, несмотря на то, что объем слоев мал по сравнению с объемом доменов. Действительно, поглощаемая при ЯМР мощность пропорциональна квадрату амплитуды р. ч. поля, действующего на ядерные моменты, так что интегральная мощность равна
Рдом (Пдом九к)2,(26.30)
Prpg (Пгр砧2^ .(26.31)
Следовательно, коэффициенты усиления по мощности равны
%ом (Р) = Лдом— (-4стсХвр)2»(26.32)
ОХ г
Пгр (，)二二喘р -£-=而(АстсХем)2(26.33)
Поскольку %см>%вр И £》6, то обычно Пгр (，)》Пдом (，)• Это подтверждается тем, что в сильных полях, разрушающих доменную структуру, интенсивность сигнала ЯМР резко спадает (см. [80, 93 — 95]). При выводе формулы (26.33) пренебрегалось зависимостью резонансной частоты (и ширины линии) от координаты по толщине граничного слоя, учет этого несколько усложнит картину явления (см. [394, 395).
По вопросу о ЯМР в доменных границах см. также [96—109, 394, 395].
6. Косвенное взаимодействие ядерных спинов через спиновые волны. Спиновые волны благодаря взаимодействию СТС тоже связаны с ядерны- ми моментами. Через эту связь осуществляется косвенное взаимодействие между ядерными спинами, обусловленное виртуальными процессами испускания (поглощения) спиновой волны магнона одним ядром с последующим поглощением ее другим ядром. Оператор этого косвенного взаимодействия ядерных моментов имеет вид
4cH (®2)/；&,(26.34)
где 1± = 1% 士 ily — поперечные компоненты ядерных спинов, 4cH (&2)— параметр взаимодействия, зависящий от расстояния _Ki2 между ядерными спинами *). Продольные компоненты спинов Iz также взаимодействуют между собой. Однако при температурах, не очень близких к точкам Кюри или Нееля, оно заметно слабее взаимодействия (26.34). Последнее, таким образом, анизотропно, т. е. зависит от ориентации ядерных спинов относительно физически выделенного направления 2, определяемого направлением намагниченности или осью антиферромагнетизма. Эта особенность отличает связь (26.34) от изотропной косвенной обменной связи, например типа Рудермана — Киттеля (см. гл. 20), имеющую вид ЛРк (Е12)，i，2・
Взаимодействие (26.34) приводит в силу своего нескалярного характера к отличному от нуля второму моменту линии ЯМР (см. гл. 13) и, следовательно, вносит вклад в ширину линии. При заметной концентрации магнитноактивных ядер этот механизм уширения может быть одним из главных.
Более тонким является эффект, связанный с корреляцией движения ядерных спинов на расстояниях порядка эффективного радиуса взаимодействия (26.34). Он заключается в сдвиге частоты ЯМР при очень низких температурах по сравнению с ее значением (26.23) при средних температурах. Этот динамический сдвиг частоты пропорционален средней ядерной намагниченности W〉при данной температуре и его величина растет с понижением температуры, поскольку (т〉〜 禽；，где Т^ — температура ядерной спин-системы [ИЗ].
С этим же связан и обратный эффект сдвига электронной резонансной частоты, обусловленный эффективным полем
吗噜 тс〉=_/}с 曲〉, (26.35)
определяющим действие ядерной подсистемы на электронную [114].
Эти низкотемпературные сдвиги резонансных частот особенно заметны в антиферромагнетиках с анизотропией типа «легкая плоскость» (см. гл. 22), например в MnCO3, CrMnF3 и в слабоанизотропных (кубических) антиферромагнетиках типа RbMnF3 и KMnF3. В них при температурах порядка 1° К связь колебаний ядерных и электронных моментов становится столь сильной, что необходимо рассматривать единые колебания в целом всей ядерно-электронной спин-системы (см. [113, 115—1171). Здесь можно наблюдать ряд нелинейных интересных эффектов типа зависимости частоты и формы линий ЯМР и ЭПР от мощности радиочастотного поля, двойной электронноядерный резонанс и т. п. (см. [114, 118, 119]).
仇 Зависимость от температуры ЯМР 〃 релаксация. Во многих опытах определялась температурная зависимость частоты Зямр, а следовательно, и поля〈力лок〉・ Поскольку, согласно (26.17), это поле пропорцио^- нально (I ) и можно считать, что постоянная Лете в (26.17) не зависит от 71, то измерения температурного хода (оямр могут дать информацию о температурной зависимости средней намагниченности отдельных ионов. Подобные измерения были проведены на Fe [931, на некоторых сплавах [85, 87], на ионах Мп2+ в подрешетке шпинели MnFe2O4 [120], на ионах Fe2+ в обоих подрешетках железо иттриевого граната [121] (см. также работу [122]). Интересно отметить, что опыты по измерению ЯМР в Fe при различных внешних давлениях [123] показали, что величина Лете в (26.17) все же зависит от температуры (〜7?), что может быть связано с возбуждением электронов в Зй-полосу.
Времена спин-спиновой и спин-решеточной релаксаций были измерены во многих магнитно-упорядоченных веществах. При этом была обнаружена диффузия спинов, подобная наблюдаемой в жидкостях [124]. Механизм спин-решеточной релаксации связан, по-видимому, с взаимодействием с электронами проводимости [89, 90]. В процессах релаксации при ЯМР большое значение имеет уже упомянутое выше сул-накамуров- ское взаимодействие, которое, например, ответственно за ширину линий ЯМР, наблюдаемых в антиферромагнетиках с неколлинеарной магнитной структурой, подобных KMnF3 [125]. Этот механизм, по-видимомуприводит также к смещению резонансной частоты [ИЗ, 126, 127]. По вопросу о ядерной релаксации в ферро- и антиферромагнетиках см. также работы [128—144].
Основная информация о свойствах ферро- и антиферромагнетиков, получаемая с помощью ЯМР. Как мы видели выше, из измерений частот ЯМР можно определить величину и знак локального магнитного поля на магнитно активных ядрах. По распределению этого поля в решетке можно судить о распределении спиновой плотности, т. е. локальной намагниченности электронной подсистемы кристалла. Знание последней имеет первостепенное значение для создания детальной теории манитно- упорядоченных веществ.
В некоторых случаях ЯМР позволил выяснить тот или иной вид магнитной структуры. Так, например, был открыт слабый ферромагнетизм в антиферромагнетике NiF2 [92, 94]. В ферримагнитном хромите марганца МпСг2О4 со сложной магнитной структурой изучение ЯМР позволило определить угол конуса, по которому располагаются векторы магнитных моментов этого кристалла [145].
В различных магнитно-упорядоченных соединениях измерение локальных магнитных полей на ядрах как магнитно активных, так
в особенности немагнитных ионов позволяет получить ценную информацию об участии в химической связи различных групп электронов [146—148].
В металлических сплавах, изучая с помощью ЯМР изменение распределения спиновой плотности в зависимости от состава сплава, можно проследить, как возникают магнитно-упорядоченные состояния. В случае сильно разбавленных сплавов ЯМР имеет интереснейшую область применения для исследования характера локализации магнитных моментов примесных атомов и, в частности, природы гигантских магнитных моментов некоторых примесей (см. гл. 21, а также [149, 150]).
Выше уже отмечалось, что измерения частот ЯМР можно использовать для прецизионного измерения температурной зависимости намагниченности ферромагнетика или намагниченностей подрешеток ферри- или антиферромагнетика. Более того, если в кристалле имеется несколько различных ядер, то по соответствующей резонансной частоте зямр можно найти температурный ход среднего магнитного момента каждого сорта ионов, на ядрах которых наблюдается ЯМР. Частоты могут различаться не только для разных ядер, но и для одинаковых ядер, находящихся в различных (в кристаллохимическом смысле) узлах кристаллической решетки. В случае примесных ядер было, например, обнаружено, что температурная зависимость магнитного момента, локализованного около этих ядер, может быть совсем иной, чем такая зависимость у самопроизвольной намагниченности матрицы (см. измерения в работе Жаккарино и др. [151], а также теоретический расчет Изюмова и Медведева [152]).
В области низких температур указанные измерения температурной зависимости намагниченности с помощью ЯМР имеют важное значение для проверки теории спиновых волн (см. гл. 19, а также [78]). Здесь подразумевается не только проверка предсказываемого теорией температурного хода I (7), но также и выяснение существования такого чисто квантового эффекта, обусловленного нулевыми квантовыми колебаниями спинов, и заключающегося в том, что в ферритах и антиферромагнетиках 〈§z〉— s / 0 даже при 7 f 0° К.
Форма и ширина линий ЯМР, как мы видели выше, может существенно зависеть от свойств системы спиновых волн. Поэтому измерения ЯМР в этих случаях дают ценные сведения о свойствах спин-волновой системы (см. Туров и др. [153, 154]).
Для высоких температур наибольший интерес представляют измерения в непосредственной окрестности у точек Кюри или Нееля, поскольку они имеют большое значение для развития теории фазовых переходов второго рода (см. [155—158]).
Очень важным применением ЯМР в исследовании ферро-и антиферромагнетиков является изучение с его помощью доменной структуры и особенно, как уже отмечалось выше, граничных слоев между доменами (см. гл. 23, 24, а также [96—109, 159—192]).
Эффект Мессбауера и его применениев исследованиях магнетизма
В 1958 г. Мессбауер [193] открыл явление резонансного поглощения и испускания у-квантов без отдачи атомными ядрами твердого тела, получившее название эффекта Мессбауера или ядерного гамма-резонанса (ЯГР) ). Этот эффект нашел широчайшее применение в ядерной и общей физике. Особенно много ценных и важных результатов было получено в физике твердого тела и, в частности, в изучении магнитных свойств
кристаллов. Метод ЯГР также находит большое применение в химииу биологии и технике (см. обзор Гонзера [199] и Гольданского [198], а также монографию последнего [202]). Мы здесь лишь очень кратко изложим принцип метода ЯГР и его основные применения для изучения магнитно^ упорядоченных веществ.
Основные черты эффекта Мессбауера. Рассмотрим прежде всего характер излучения 7-кванта энергии 冒丫 =五 3V свободным ядром атома массы М. Если ядро до излучения покоилось, то после излучения по закону сохранения импульса суммарный импульс ядра Мии кванта 宮"с должен равняться нулю:宮丫/c 十 Mv = 0, где v — скорость отдачи ядра, равная по величине
Следовательно, энергия отдачи 卷五 равна
省区=省区=222Мс2 *2Мс2 *(26.36>(26.36>
省区=
省区=
2
2
2Мс2 *
2Мс2 *
(26.36>
(26.36>
Для характеристики излучения необходимо также знать время жизни возбужденного состояния т и связанную с ним соотношением неопределенности энергия ——время ширину уровня Г?=方/т. Отношение ширины спектральной линии Г? к энергии излученного кванта rv/gv называют остротой резонанса. Очень важными характеристиками также являются отношения энергии отдачи 宮冗 к энергии кванта 宮五/宮у и к ширине уровня 宮R /Г?.
Таблица 26.1
Сравнение основных параметров излучения оптического фотона (Z)-линия Na) и у-кванта (возбужденного ядра 119Sn)
Основные параметры
Атом (В- линия Na)
Ядро n0Sn
Энергия кванта 君=龙0), за
Время жизни возбужденного состояния т, сек
Естественная ширина уровня Г, эв
Острота резонанса Г/^
Энергия отдачи излучателя 君五，эв
Отношение энергии отдачи к энергии кванта:君五/君
Отношение энергии отдачи к ширине уровня 浸区/Г
2,1
4,4-10~8
2,310-8 10~1°
5-10-и
2,3・10-з
23 800
27g
2,4*10-8 [0—12
2,5-10-з
IO-7
105
В табл. 26.1 сравниваются эти основные параметры излучения для? оптического фотона, возникающего при квантовом переходе в электронной оболочке атома (D-линия оптического линейчатого спектра Na) и для 7-кванта, излучаемого возбужденным ядром119 Sn. Из таблицы видно, что поскольку ширина линий Г7 для излучения оптического фотона и 7-кванта одинаковы, а энергия последнего на 4 порядка больше, избирательность ядерного резонанса в десятки тысяч раз больше атомного. Достаточно изменить энергию излучаемого или поглощаемого кванта на 10~12 (одну триллионную) часть, чтобы полностью нарушить условия резонанса. Отсюда и следует необычайная заманчивость перспективы использования такой исключительной избирательности. Однако именно по этой причине и большой энергии отдачи долгое время ЯГР не был обнаружен. Действительно, линии испускания и поглощения смещаются от своего положения, которое определялось бы разностью А宮 между энергией возбуж-
денного (宮i) и основного (宮°) состояния излучателя. По закону сохранения энергии имеем
A富二富1 -富。 = ^УЗл +富五или富л = А富一富五，
•а поглощаемый у-квант, который возбуждает ядро, должен также сообщить ему энергию отдачи, т. е.
驾3=A富十富*
Таким образом, линия излучения смещена относительно линии поглощения на величину удвоенной энергии отдачи (рис. 26.7)
Рис. 26.7. Смещение линии излучения ^^У4^ 厶卷—卷以 относительно линии поглощения 関。г"= =А 卷 + 卷五 при отдаче ядра с энергией 岩？厶岩一разность между энергией возбуждения и основного состояния ядра; Г — естественная ширина линии. Ес-пи энергия 2名r заметно больше ширины линии Г, то резонансное поглощение невозможно.Рис. 26.7. Смещение линии излучения ^^У4^ 厶卷—卷以 относительно линии поглощения 関。г"= =А 卷 + 卷五 при отдаче ядра с энергией 岩？厶岩一разность между энергией возбуждения и основного состояния ядра; Г — естественная ширина линии. Ес-пи энергия 2名r заметно больше ширины линии Г, то резонансное поглощение невозможно.
Рис. 26.7. Смещение линии излучения ^^У4^ 厶卷—卷以 относительно линии поглощения 関。г"= =А 卷 + 卷五 при отдаче ядра с энергией 岩？厶岩一разность между энергией возбуждения и основного состояния ядра; Г — естественная ширина линии. Ес-пи энергия 2名r заметно больше ширины линии Г, то резонансное поглощение невозможно.
Рис. 26.7. Смещение линии излучения ^^У4^ 厶卷—卷以 относительно линии поглощения 関。г"= =А 卷 + 卷五 при отдаче ядра с энергией 岩？厶岩一разность между энергией возбуждения и основного состояния ядра; Г — естественная ширина линии. Ес-пи энергия 2名r заметно больше ширины линии Г, то резонансное поглощение невозможно.
Поскольку ширина линий Г? на пять порядков меньше энергии отдачи (см. последнюю строку в табл. 26.1), то ЯГР на свободных ядрах практи-
чески наблюдать нельзя. Только в 1951 г. был предложен и осуществлен первый эксперимент [204] по резонансному поглощению 7-квантов путем компенсации потери энергии на отдачу допплеровским сдвигом энергии испускаемых квантов.
Однако настоящий расцвет ЯГР стал возможен после открытия в 1958 г. Мессбауером [193] ядерного 7-резонанса вообще без отдачи. В своем опыте этот автор на примере изотопа 191 1г (для 7-лучей с энергией квантов в 129 кэв) осуществил такие условия, когда ядра излучатели и поглотители были сильно связаны химическими силами со своими соседями в кристалле. Энергии отдачи (10~3 эв) недостаточно для разрушения химической связи. Если при этом еще не оказывается возможным возбудить колебания решетки (т. е. излучать фононы, если
энергия 7-кванта меньше дебаевской энергии /сб0д)» то отдачу будет испытывать вся
решетка *). А поскольку в выражение энергии отдачи [см. (26.36)] масса М
тела, испытывающего отдачу, входит в знаменатель, то энергия 宮五 будет в этом случае исчезающе малой и будет иметь место неравенство 宮以《Г， Поэтому при этих условиях отдача уже не мешает наблюдению резонанс
ных явлений с 7-квантами ).
Одним из наиболее удобных для мессбауеровских опытов является
ядерный переход изотопа 57Fe с энергией 7-квантов в 14,4 кэв. Изотоп Fe57 является удобным объектом экспериментов в силу того, что энергия 7-кванта сравнительно мала, время жизни возбужденного состояния этого перехода (т = 1,45 -10~7 сек) относительно велико, также велик полупериод распада (270 дней) материнского изотопа 57Со. Для магнитных исследований изотоп 57Fe обладает преимуществами в силу того, что Fe
является ферромагнетиком и входит во многие ферро-, ферри- и антиферромагнитные вещества. Естественное распространение изотопа 57Fe составляет 2,14%. Однако можно получить образцы, обогащенные этим изотопом. Вообще же уже изучено несколько десятков изотопов, для которых наблюдался эффект Мессбауера (см., например, список изотопов в обзорах [194, 213]).
Для наблюдения и применений эффекта Мессбауера, кроме изотопа 57 Fe, использовалось уже свыше 30 изотопов. Среди них упомяняем изотоп 119Sn, впервые использованный в работах [210, 211] (方 со? = 23,8 кэв, т 1,8 *10-8 сек, ''Zn (力Зу^92 кэв, т^9,4 •10~6сек и с минимальным отношением
IV九Зу)Р 5.10-16,
[212]), а также изотопы
см. работу
197Аи,
161Dy, 187Re и т. д.
Естественно, возникает вопрос: как же проще всего осуществить на практике наблюдение и измерение ЯГР. Для этого необходимо иметь излучатель с возбужденными ядрами и резонансный поглотитель ^-квантов со стабильными ядра-
(ПОД
ВИЖНЫЙ)； С — детектор (у-счетчик);
±0 ——скорость
V-квантов (неподвижный); В — поглотитель
поглотителя относительно источника.
Рис. 26.8. Принципиальная схема установки для измерения Я ГР (эффекта Мессбауера).厶一источник
ми того же самого изотопа. Кроме того, необходимо регулируемым способом варьировать величину энергии излучаемого ^-кванта. Для это-
го проще всего
воспользоваться эффектом Допплера, т. е. зависи-
мостью частоты излучаемого кванта от скорости движения источ-
Рис. 26.9. Типичная кривая скорости счета прошедших через поглотитель у-квантов в зависимости от скорости и поглотителя относительно источника (см. рис. 26.8). б — изомерный сдвиг линии (Фримен и Ватсон [82]).
DE3Z qLUOQOQW 无工号二三。°二е0
ника. Благодаря чрезвычайной остроте ^-резонанса (см. табл. 26.1) необходимы очень малые скорости движения поглотителя относительно источника. А именно, для этой скорости и имеем
Например, для 119Sn отношение 1\/宮10~12 и, следовательно (с—3-1010 см/сек),
V ^ 3-10~2 см/сек.
На рис. 26.8 приведена схема измерительной установки, а на рис. 26.9 — кривая скорости счета 7-квантов (т. е. спектр ЯГР) от скорости движения поглотителя (или источника). Пик на кривой рис. 26.9 отвечает минимуму чис
ла отсчетов ^-квантов в секунду, т. е. максимуму поглощения в окрестности определенной скорости движения *). Таким образом, при измерении спектра ЯГР энергия испускаемого 7-кванта смещается благодаря эффекту Допплера. Когда эта энергия 7-кванта совпадает с одним из возможных переходов в ядре поглотителе, то происходит резонансное поглощение, которое и обнаруживается каким-либо подходящим детектором (например, сцинтилляционным или пропорциональным счетчиком).
*) На рис. 26.9 указан также изомерный сдвиг линии ЯГР, который обусловлен изменением конечного радиуса ядра при ядерном у-переходе из возбужденного состояния в основное. Этот сдвиг равен 6 =力[р。(0) — р】(0)], где А —константа, определяемая свойствами ядра, а р0 (0) и р】(0) — соответственно значения электронной плотности у ядра излучателя и ядра поглотителя (см., например, 213]).
Детальная квантовая теория эффекта Мессбауера и в первую очередь величины вероятности эффекта и его зависимости от температуры, связь этой зависимости со спектром частот колебаний кристалла, влияние примесей и т. п. была развита в работах Кагана с сотрудниками [214—217]. Некоторые другие вопросы теории эффекта рассмотрены в работах [218-222].
Применение эффекта Мессбауера для изучения магнитных свойств кристаллов. Энергетические уровни ядра расщепляются под действием магнитного поля (эффект Зеемана см. гл. 3). Обычные внешние магнитные поля, с которыми имеют дело в лабораториях (порядка 104 з), слишком слабы, чтобы дать хорошо разрешимые спектры ЯГР. Но здесь приходят
幻幻佇
幻
幻
，士施
力/Z
Рис. 26.10. Расщепления и смещения энергетических уровней СТС ядра 67Fe(^ о—основной, ^ i—возбужденный уровни) и у-переходы между этими уровнями (пока-заны вертикальными стрелками), т^ — магнитное квантовое число, а) В магнитномполе; б) под влиянием градиента электрического поля (квадрупольное расщеп-ление); а) изомерный сдвиг (для случая, когда радиус ядра в основном состояниибольше радиуса ядра в возбужденном состоянии, т. е.冗彳爲 > H^^g).
«на помощь» сильные локальные магнитные поля на ядрах, о которых речь шла уже выше в § 2 (см. также детальный обзор Фримена и Ватсона [82]).
Сразу после открытия эффекта Мессбауера многие авторы независимо предложили использовать этот эффект для исследования СТС и ядер- ного эффекта Зеемана (см., например, работы [223—226]). Помещая ядра со спином / и магнитным моментом ji в магнитное поле Е, мы получаем расщепление вырожденного по спину энергетического уровня ядра на 2/ + 1 компоненту, с энергиями (отсчитывнемыми от центра мультиплета)
Л^магн =—皿卩区(26.37)
где тх—одно из 2/斗~1 магнитных квантовых чисел, определяющих проекцию спина на направление поля
mi - — 1, - (/ — 1), •…，(/- 1), /•
Расщепление ядерных уровней может быть следствием не только действия магнитных, но и электрических полей. В ядрах со спином / > > 1/2 распределение плотности заряда не является сферически-симмет- ричным и в силу этого возникают квадрупольные электрические моменты. Поэтому энергия ядра во внешнем электрическом поле может зависеть от ориентации ядра относительно поля, что в свою очередь вызывает расщепление энергетических уровней для разных квантовых чисел иг工 (при наличии градиента электрического поля). На рис. 26.10 показаны схемы расщепления СТС энергетических уровней в ядре изотопа 57Fe: а) в магнитном поле, 6) под влиянием градиента электрического поля и в) под влиянием изомерного сдвига. Из схемы расщеплений на рис. 26.10, а видно, что для дипольного излучения правила отбора разрешают шесть мессбауеровских переходов. На рис. 26.11 приведены в качестве иллюстрации данные Кистнера и Саньяра [227] для линии 14,4 кэв 57 Fe в поглотителе из Fe2O3 (излучатель ——радиоактивные ядра 57Со вводились путем диффузии в образец нержавеющей стали). Линии на
рис. 26.11 имеют неодинаковые интенсивности, поскольку последние зависят от угла между направлением магнитного поля и направлением испускания, а также и от других факторов, например толщины образца
爲欣7爲欣7135135JC Ю~7эбJC Ю~7эбРис. 26.11. Зеемановское расщепление в спектре ЯГР для линии 14,4 кэв ядра 67Fe, входящего в состав кристалла Fe2O3, при облучении последнего у-квантами излучения от нерасщепленной линии в 14,4 кэв. По оси ординат отложена относительная скорость счета, по оси абсцисс — скорость источника (относительно поглотителя) и и соответствующее этой скорости изменение энергии А岩=ha (v/c) (Кист- нер и Саньяр [227]).Рис. 26.11. Зеемановское расщепление в спектре ЯГР для линии 14,4 кэв ядра 67Fe, входящего в состав кристалла Fe2O3, при облучении последнего у-квантами излучения от нерасщепленной линии в 14,4 кэв. По оси ординат отложена относительная скорость счета, по оси абсцисс — скорость источника (относительно поглотителя) и и соответствующее этой скорости изменение энергии А岩=ha (v/c) (Кист- нер и Саньяр [227]).
爲欣7
爲欣7
135
135
JC Ю~7эб
JC Ю~7эб
Рис. 26.11. Зеемановское расщепление в спектре ЯГР для линии 14,4 кэв ядра 67Fe, входящего в состав кристалла Fe2O3, при облучении последнего у-квантами излучения от нерасщепленной линии в 14,4 кэв. По оси ординат отложена относительная скорость счета, по оси абсцисс — скорость источника (относительно поглотителя) и и соответствующее этой скорости изменение энергии А岩=ha (v/c) (Кист- нер и Саньяр [227]).
Рис. 26.11. Зеемановское расщепление в спектре ЯГР для линии 14,4 кэв ядра 67Fe, входящего в состав кристалла Fe2O3, при облучении последнего у-квантами излучения от нерасщепленной линии в 14,4 кэв. По оси ординат отложена относительная скорость счета, по оси абсцисс — скорость источника (относительно поглотителя) и и соответствующее этой скорости изменение энергии А岩=ha (v/c) (Кист- нер и Саньяр [227]).
0,8华窗0,8华窗〃0,20,4 Q£ 0,8 勿7/9〃0,20,4 Q£ 0,8 勿7/9Рис. 26.12. Температурная зависимость эффективного магнитного поля НЭфф (Г) на ядрах 67Fe BFe (в относительных единицах HQ^(T)/ /НЭфф (0) от Т/0, где 0 — точка Кюри Fe). Точки — экспериментальные данные из работы Престона и др. [2291 Сплошная кривая ——температурная зависимость намагниченности Fe (I (Т)〃 (0), см. [391]). Верхняя пунктирная кривая — температурный ход частоты ЯМР в этом же материале (со (Т)/со (0), см. [392,393]). Нижняя пунктирнаякривая показывает температурную зависимость Ндфф (Т)/НЭфф (0) вблизи точки Кюри (масштаб для этой кривой по оси абсцисс увеличен в 10 раз).Рис. 26.12. Температурная зависимость эффективного магнитного поля НЭфф (Г) на ядрах 67Fe BFe (в относительных единицах HQ^(T)/ /НЭфф (0) от Т/0, где 0 — точка Кюри Fe). Точки — экспериментальные данные из работы Престона и др. [2291 Сплошная кривая ——температурная зависимость намагниченности Fe (I (Т)〃 (0), см. [391]). Верхняя пунктирная кривая — температурный ход частоты ЯМР в этом же материале (со (Т)/со (0), см. [392,393]). Нижняя пунктирнаякривая показывает температурную зависимость Ндфф (Т)/НЭфф (0) вблизи точки Кюри (масштаб для этой кривой по оси абсцисс увеличен в 10 раз).очень широкого класса магнитныхочень широкого класса магнитных
0,8
华
窗
0,8
华
窗
〃0,20,4 Q£ 0,8 勿
7/9
〃0,20,4 Q£ 0,8 勿
7/9
Рис. 26.12. Температурная зависимость эффективного магнитного поля НЭфф (Г) на ядрах 67Fe BFe (в относительных единицах HQ^(T)/ /НЭфф (0) от Т/0, где 0 — точка Кюри Fe). Точки — экспериментальные данные из работы Престона и др. [2291 Сплошная кривая ——температурная зависимость намагниченности Fe (I (Т)〃 (0), см. [391]). Верхняя пунктирная кривая — температурный ход частоты ЯМР в этом же материале (со (Т)/со (0), см. [392,393]). Нижняя пунктирная
кривая показывает температурную зависимость Ндфф (Т)/НЭфф (0) вблизи точки Кюри (масштаб для этой кривой по оси абсцисс увеличен в 10 раз).
Рис. 26.12. Температурная зависимость эффективного магнитного поля НЭфф (Г) на ядрах 67Fe BFe (в относительных единицах HQ^(T)/ /НЭфф (0) от Т/0, где 0 — точка Кюри Fe). Точки — экспериментальные данные из работы Престона и др. [2291 Сплошная кривая ——температурная зависимость намагниченности Fe (I (Т)〃 (0), см. [391]). Верхняя пунктирная кривая — температурный ход частоты ЯМР в этом же материале (со (Т)/со (0), см. [392,393]). Нижняя пунктирная
кривая показывает температурную зависимость Ндфф (Т)/НЭфф (0) вблизи точки Кюри (масштаб для этой кривой по оси абсцисс увеличен в 10 раз).
очень широкого класса магнитных
очень широкого класса магнитных
поглотителя и т. п. Получающиеся спектры ЯГР показывают сильную -температурную зависимость. Впервые это наблюдал Нэгль и др. [228]. На рис. 26.12 показана температурная зависимость относительного поля СТС Яэфф ⑺/&фф (0), полученная в более поздней работе [229]. Из графика видно, что эффективное по-
.ле на ядре равно нулю выше точки
Кюри 0. При 7＜；€)наблюдается пропорциональность между Е^фф и /. Однако даже в простом случае Fe, как показало сравнение с данными по измерению ЯМР [230—232], коэффициент пропорциональности Л между 方зфф и / зависит от температуры
/=4(1-0,77・10一7方).
Выше температуры Кюри (773° С) спектр Fe сливается в одну линию. Направление эффективного поля определяют, исследуя величину внешнего магнитного поля (около 20 кэ) и положение линий в спектре ЯГР [234]. Во многих случаях эти исследования обнаружили, что эффективное поле антипар алл ел ьно намагниченности (т. е. %фф V 0).
Эффект Мессбауера весьма интен-
сивно используется для определения эффективных полей на ядрах для
материалов — как в магнитно-упорядоченном, так и в парамагнитном состояниях. В табл. 26.2 (частично взятой из обзора [82] с добавлением результатов более поздних работ) приведены некоторые данные и указаны литературные источники. Можно указать еще некоторые работы, в которых
Эффективные магнитные поля Нзфф на атомных ядрах в различных магнитноупорядоченных веществах, полученные по измерениям мессбауеровских спектров г)
Ядро
Матрица
T, °K
/фф，
Литература
57Fe
Fe
0 2)
—342
[229, 234, 235]
57Fe
Fe
300 3)
330
[229, 234, 235]
57Fe
Go
0
312
[236]
57Fe
Go
300
—310
[237, 238]
57Fe
Go (монокристалл)
77
323,2+2,5
[239]
57Fe
Go
300
316,6+2,5
[239]
57Fe
Ni
0
283
[236, 240]
57Fe
Ni
0
280+5
[241]
57Fe
F%,3CO0,7
0
365
[242]
57Fe
Fe°,5Pd0,5 (упорядоченный)
300
267,9±1
[243]
叩
Fe°,5Pd0,5 (неупорядоченный)
300
320±l
[243]
57Fe
Feo,27Pd°,73
300
285,5±1
[243]
57Fe
FeCr2s4
61
203
[244]
57Fe
Rb2FeF4
4,2
364±2
[245]
57Fe (в вершинах куба)
(Fe3,6Ni0,4)N
300
363±15
[246]
57Fe (в вершинах куба)
Fe4N
300
345+10
[246]
57Fe (в центрах граней)
(Fe3,eNi0,4)N
300
220±15
[246]
57Fe (в центрах граней)
Fe4N
300
215+10
[246]
57Fe (в центрах граней)
(Fe3Ni)N
300
205+15
[246]
57Fe
FeSn
77
160
[247]
57Fe
Fe2Ti
78
92
[248]
57Fe
Fe2Ti
300
5士3
[249]
57Fe
Fe2Zr
300
190+10
[248—250]
57Fe
y-FeMn
4,2—20
20—40
[251]
57Fe
Fe°,5Rho,5
300
267
[252]
57Fe
Zro,9Ti()」Fe2
300
194
[248]
57Fe
^г0,5^0,5Ре2
300
191
[248]
57Fe
^rO,8Uo,2Fe2
85
185±4
[250]
57Fe
ZrO,6Uo,4^e2
85
17+4
[250]
57Fe
Zro,4Uo,6F^2
85
85士4
[250]
57Fe
Zro,2Uo,sFe2
85
49+4
[250]
57Fe
UFe2
85
37+4
[250]
57Fe
SmFe2, DyFe2, HoFe2, ErFe2, TmFe2
78
230+5
[253]
57Fe
GeFe2
78
312+4
[248, 253]
57Fe
YFw
300
188
[248]
57Fe
y回1F2
£=0,25; 0,50; 0,75
300
200
[248]
Ядро
Матрица
T, °K
нэфф- K°
Литература
咏
FeF2
78,2
330,5
[254]
57Fe
FetMeZno&Fz
78,2
326,5
[254]
57Fe
^0,762^00,238^2
58,4
316
[254]
57Fe
РеО,515^По,485^2
39,7
302
[254]
57Fe
Рео,259^По,741Р2
19,3
290
[254]
哂
LaFeO3
0
564
[255]
57Fe
PrFeO3
0
559
[255]
57Fe
NdFeO3
0
557
[255]
57Fe j
SmFeO3
0
552
[255]
8?Fe :
EuFeO3
0
552
[255]
57Fe
GdFeO3
0
551
[255]
57Fe
TbFeO3
0
550
[255]
57Fe
DyFeO3
0
548
[255]
5?Fe
YFeO3
0
549
[255]
57Fe
HoFeO3
0
548
[255]
57Fe
ErFeO3
0
546
[255]
57Fe
TmFeO3
0
545
[255]
57Fe
YbFeO3
0
546,5
[255]
嗅
LuFeO3
0
543,5
1255]
57Fe
Co0,03Pdo,97
4,2
—310+9
[237]
57现
CO0,08Pd°,92
4,2
-315±4
[237]
57现
Co。,08Pd 仇92
88
330
[228]
57Fe
CO0,15Pd°,85
4,2
一296士 8
[237]
57Fe
Coo,30Pd0,70
80
—305+10
[237]
57Fe
Cuo,05Ni(),95
0
276士 3
[240]
57Fe
Cu0tlNi0,9
0
280±3
[240]
57Fe
Guo,2Nio,8
О
273士 3
[240]
57Fe
Guot3Nio,7
0
266±3
[240]
57Fe
Cu0,45Nio,55
0
246±4
[240]
57Fe
Feo^P。,125co,075 (аморфный)
4,2
281±1
[297]
57F2+(II) 4)
琨304
30, 85, 300
470 士 20
[256—259]
57F3+(II)
Fe3O4
300
470 士 20
[256—259]
37Fe3+(H)
Fe3O4
30,85
510+20
[256—259]
57Fe(I) 4)
Fe3Al (упорядоченный)
300
229士(0
[260, 261]
57Fe(I)
Fe3Al»
30
246 士 40
[260]
57Fe(I)
Fe3Al»
4,2
242
[261]
57Fe(II)
Fe3Al»
300
299+10
[260, 261]
57Fe(II)
Fe3Al»
30
336+10
[260]
57Fe(II)
Fe3Al»
4,2
334
[261]
57Fe(I),
Fe3Si
85
320
[262]
57Fe(I)
Fe3Si
300
305±10
[262]
57Fe(II)
Fe3Si
85
205
[262]
57Fe(II)
Fe3Si
300
195 士 40
[262]
Ядро
Матрица
T, °K
нэфф- ^
Литература
57Fe(I)
Fe5Si3
85
230
[262]
57Fe(II)
Fe6Si3
85
130
[262],
57Fe(I)
Feo,52Rh(),48
300
277
[263]
57Fe(II)
Fe°,52R%,48
300
384 *
[263]
57ре3+
NiFe2O4
300
510 士 20
[256]
57pe3+
(й0,5现2,5)04 (упорядоченный)
300
508土 20
[264]
57pe3+
(u0,5住2,5)04 (неупоря- доченный)
300
510 士 20
[264]
57fe3+
a-Fe2O3
0
535
[265]
57F№+
cc-Fe2O3
78
525 士 5
[266]
57fe3+
a-Fe2O3
300
520
[227, 258, 265, 266]
57pe3+
y-Fe2O3
85
515+20
[256]
57pe3+
y-Fe2O3
300
496 士 20
[256, 264]
57Fe3+
GoO
298
0
[266]
57fe3+
GoO
243
426 士 5
[266]
57F©3+
GoO
169
544 士 6
[266]
57Fe3+
GoO
78
557士 6
[266]
57Fe2+
CoO
298
0
[266]
57Fe2+
GoO
243
169±3
[266]
57Fe2+
GoO
169
200±3
[266]
57Fe2+
GoO
78
180±10
[266]
57Fe2+
FeF2
0
340
[236, 267]
57住3+
FeF3
4,2
622士 6
[268]
57Fe3+
FeTiO3
300
520
[269]
57函2+
FeTiO3
20
70
[269]
57Fe2+
NiO
300
471±5
[270]
5?Fe3+
NiO
300
221±4
[270]
57Fe2+
(Рео,77А10>2з)20з
0
520
[265]
57Fe2+
(Feo,77-A-lo,23)2^3
300
495
[265]
57F©2+
(^еО,5СГ0,5)2О3
0
540
[265]
57Fe2+
(Fe0,5Cr0,5)2()3
300
435
[265]
57Fe2+
(现0,5%,5)2。3
0
540
[265]
5?Fe2+
(现0,5V0,5)203
300
430
[265]
57Fe2+
NiO
4,2
55
[271]
57Fe2+
NiO
300
216
[271]
5?Fe2+
MnO
4,2
97
[271]•
57F©2+
MnO
90
170
[271]
57Fe3+ (тетраэдр)
YFeG 5)
85
460+15
[272]
57рез+ (тетраэдр)
YFeG 5)
300
392±5
[236, 273]
57рез+ (октаэдр)
YFeG 5)
85
535±15
[272]
57Fe3+ (октаэдр)
YFeG 5)
300
485+15
[272]
Ядро
Матрица
T, °K
нэфф- кэ
Литература
57Fe3+ (окта-
YFeG 5)
300
474±7
[236, 273]
ЭДР)
57F№+ (тетра-
DyFeG 6)
85
460+2
[272]
ЭДР)
57Fe3+ (тетра-
DyFeG 6)
300
395+15
[272]
ЭДР)
57Fe3+ (окта-
DyFeG 6)
85
540+2
[272]
ЭДР)
57рез+ (окта-
DyFeG 6)
300
485 士 2()
[272]
ЭДР)
57co
Fe
£5
—300±2
[274, 275]
6】Ni
Ni
300
—75
[276]
119Sn
Mn2Sn
0
—200
[277—280]
119Sn
Mn4Sn
0
—45
[277—279]
119Sn
РеО,99^По?О1
0
—8J±4
[281, 282]
119Sn
COo,99Sn0j01
()
一20士1,5
li9Sn
Nio^Snoei
0
18,5
121sh
MnSb
4,2
97
148Nd
Fe
300
1680+290
148Nd
Go
300
1100±190
148Nd
Ni
300
107 士 J8
150sm
Fe
300
1400
[285]
150sm
Co
300
UI 9土 64
[285]
150Sm
Ni
300
352+13
[285]
i5（）Sm
Gd
300
-295+30
[285]
153sm
Eu
20
600
[286]
151EU
Eu
О
265+5
[287]
151Eu
Euo/Yboa
0
258+5
[287]
151Eu
EU0,08Ybo,92
0
160+9
[287]
151Eu
Euo^Ba。,]
0
249+6
[287]
Su
Euo,5Bao,5
0
206±6
[287]
151Eu
Eu
4,2
264+8
[288, 289]
151Eu
EuO
4,2
296
[288]
151Eu
EuS
'4,2
328
[288]
155Gd
Gd
4,2
1000
[290]
155Gd
Gd
80
1()
[291]
i6（）Dy
DyFe2
"2
6500
[292]
i6iDy
DyFeG 6)
85
350()
[293, 294]
i6iDy
DyFeG 6)
300
750
[293—295]
166Ho
Er (монокристалл)
4,2
778()
[296]
169Tm
TmFe2
0
7222
[307]
184W
Fe
300
一438 士 53
[284]
184W
Go
300
一320 土 38
[284]
184W
Ni
300
一57 士 7
[284]
186W
Fe
300
-473+56
[284]
186W
Go
300
—341+41
[284]
1/2 64 С. В. Врнсовский
—1009 一—1009 一
—1009 一
—1009 一
Ядро
Матрица
T, °K
Литература
186W
Ni
300
—64+8
[284]
1890s
Fe
4,2
1100±2
[297]
195Pt
Fe0,7Pt0,3
4,2
4300
[298]
195Pt
FeomPtom
4,2
1190+40
[299]
195Pt
CO0,97Pt°,03
4,2
860+40
[299]
195Pt
Nio,97Pt0,03
4,2
360+40
[299]
195Pt
Feo,97Pto,03
4,2
1260+100
[300]
195Pt
Feo,9oPto,io
4,2
1260+100
[300]
195Pt
Fe°,75Pt0,25
4,2
1240+100
[300]
195Pt
Feo,7()Pt0,3O
4,2
1380+120
[300]
195Pt
现0,50p",50
4,2
1100
[300]
197AU
Fe
4,2
1280
[301]
197AU
Fe
4,2
—1420+180
[302, 303]
197AU
Ni
4,2
—340+60
[302—304]
197Au
Go (r. q. к.)
4,2
-990+120
[303]
197AU
Co (гекс. n. y.)
4,2
—980+120
[302—304]
197AU
F%,995AU0,0O5
4,2
1460+160
[305, 306]
197AU
Со0,эИ-ио,о1
4,2
1180+120
[306]
197Au
Nio,99^uO,Ol
4,2
530+160
[306]
197AU
Ni°,9 必№0
4,2
420±120
[306]
Примечания:
Настояшая таблица составлена в основном по данным обзора [82] с добавлением результатов более поздних работ.
В этом столбце 0 повсюду означает, что приведенные данные получены экстраполяцией на 0° К.
з)В этом столбце цифра 300 означает, что приведенные данные получены при комнатной температуре, т. е. в интервале 295—300° К.
4)Символы (I) и (II) повсюду соответствуют тому, что радиоактивное ядро занимает различные типы узлов в кристаллической г. ц. к. решетке сплава типа А3В."
Иттриевый железный грапат.
Диспрозиевый железпый гранат.
также определялось Яэфф с помощью различных изотопов в кристаллах Fe [289, 309-315], Ni [241, 284, 311, 316, 317], Со [284, 318], металлических сплавах [243, 300, 319—326], интерметаллических соединениях [327—330], гейслеровых сплавах [243, 331—333], редкоземельных металлах, их сплавах и соединениях [285, 292, 334—340], сильно разбавленных металлических сплавах d-металлов [341—345], антиферро- и ферромагнитных соединениях со структурой шпинели [346—351], граната [352—356] и других [357—360] высококоэрцитивных материалах [361], текстурованных образцах [362], на /'-центрах в ионных кристаллах [363].
В работе [364] обсуждается новый метод прямого наблюдения создаваемых на ядрах дырками в 7Г-оболочке атома, а в работе [365] исследуется мессбауеровский эффект Фарадея.
Как видно из табл. 26.2, большие эффективные поля наблюдаются не только на ядрах атомов переходных ^-элементов, но также и немагнитных атомов, например Sn и Au. Впервые эти ноля были обнаружены в работах Самойлова и др. [366—369] по анизотропии у-излучения по ля ризо ванных ядер, Любопытно, что спектры ЯГР наблюдались и в парамагнитной матрице (см., например, работу Обеншайна и др. [370] по наблюдению спектра ЯГР на ядрах Fe в парамагнитной соли FeNH4(SO4)2 *12Н2О в полях от 12 до
24 左а; (см. также [371, 372, 373]). Объяснение этому эффекту дали Ван дер Уоуд и Деккер [374], которые связали появление спектра ЯГР в этом случае с флуктуациями магнитного поля на ядрах с частотой, сравнимой с частотой прецессии ядра. В работе [373] в парамагнитной соли NH4(Fe, Al) (SO4)2 -12Н2О найдено Н^фф = ——572 士 7 кз.
Интересны также исследования ЯГР в ферромагнитных сплавах (см., например, работы [240, 319, 375, 376]). В этих работах исследовалась зависимость величины Нз巾巾 от концентрации сплава. Было найдено, что Н^巾巾 в основном следует изменению величины среднего атомного магнитного момента сплава (см. кривую Слэтера — Полинга в гл. 21).
Спектры ЯГР применяются также для изучения влияния высоких давлений на свойства ферро- и антиферромагнетиков (см. [377—379]).
Представляет также интерес исследование изомерного сдвига в спектрах ЯГР, поскольку это дает добавочную информацию о деталях распределения электронной плотности в кристаллах (см., например, работы [380, 381]). Измерения ЯГР позволяют определить параметры внутрикристаллического электрического поля (поля лигандов) (см. [382, 383]).
Косвенное обменное взаимодействие между d-ионами через электроны проводимости в разбавленных растворах с немагнитной матрицей также исследуется с помощью ЯГР (см. [368—370, 384—386]). В иттриевых ферритах-грана- тах на введенных в них ядрах диамагнитного олова {Y3_xGax} {SnxFe2_x} Fe3OJ2 были обнаружены поля Л"эфф, индуцированные косвенным магнитным взаимодействием. Оказалось, что неспаренный d-злектрсн иона Fe через две химические связи Fe—О и О—Sn поляризует за счет этой косвенной обменной связи внутренние s-электроны иона Sn, что и объясняет обнаруженное поле ЯЭфф на ядре Sn (см* [387, 388]).
Из приведенного хотя и весьма краткого описание применений ЯГР в физике магнитных явлений уже становится очевидной вся «мощь» этого метода для получения очень ценной и детальной количественной информации о микроскопическом состоянии как электронной, так и ядерно-ионной подсистем в конденсированных телах.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 26
L 2L 24-4-6-7-&9-0-6-7-&9-0-11.11.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.Р. П. О з е р о в, УФН 45, 481 (1951); 47, 445 (1952).Г. С. Ж д а н о в, Р. П. О з е р о в, УФН 76, 239 (1962).С. Shull, Е. W о 1 1 а п, Сб. Solid State Physics, vol. 2, Acad. Press. N.Y., 1956, p. 138.Ю. А. Изюмов, УФН 80, 31 (1963).P. de G e n n e s, G6. «Magnetism» (ed. H. Suhl, T. Rado), vol. Ill Acad. Press, N.Y., 1963, p. 115.R. N a t h a n s, S. P i с к а г t, G6. «Magnetism» (ed. H. Suhl, T. Rado), vol. Ill Acad. Press, N. Y., 1963, p. 211.А. А. Смирнов, G. В. Вонсовский, J. Phys. USSR, № 5, 263 (1941).G. Trammell, Phys. Rev. 92, 1387 (1953).S. О d i о t, D. S a i n t - J a m e s, J. Phys. Chem. Sol., 17, 117 (I960).M. Blume, A. Freeman, R. Watson, J. Chem. Phys. 37, 1345 (1962).O. Steinsvoll, G. Shirane, R. Nathans, M. В lume, H.A. Alpe- rin, S. J.Pickart, Phys. Rev. 161, 499 (1967).R. M. M о о n, W. G. К о e h 1 e r, A. L. T г e g o, J. Appl. Phys. 37, 1036 (1966).Hodges, N. D. Lang, H. Ehrenreich, A. J. Freeman, J. Appl. Phys. 37, 1449 (1966).P. D. De C i с с о, A. К i t z, Phys. Rev. 162, 486 (1967).M. Collins, J. Forsyth, Phil. Mag. 8, 401 (1963).Collins, R. J ones, R. L о w d e, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-lll, 19 (1962).А. А. Л о ш м а н о в, ФММ 18, 178 (1964); Кристаллография 9, 377 (1964).P а о 1 e t t i, F. R i с c i, J. Appl. Phys. 34, 1571 (1963).G. L о w, M. G о 1 1 i n s. J. Appl. Phys. 34, 1195S (1963).И. Гоманьков, А. А. Лошманов, Изв. АН СССР, сер. физ. 28, 444 (1964).И. М. Пуз ей, В. И. Гоманьков, А. А. Лошманов, Изв. АН СССР сер. физ. 2 8, 440 (19 64).М. Collins, D. Wheeler, Proc. Phys. Soc. 82, 633 (1963).M. Collins, G. Low, J. de phys. 25, 596 (1964); Proc. Phys. Soc. 86, 535 (1965).I. A. G a m p b e 1 1, Proc. Phys. Soc. 89, 71 (1966).W. Marshall, Proc. Phys. Soc. 1, G 88 (1968).G. Low, J. Appl. Phys. 39, 1174 (1968); Zs. angew. Phys. 24, 254 (1968).Р. П. О з е р о в, УФН 45, 481 (1951); 47, 445 (1952).Г. С. Ж д а н о в, Р. П. О з е р о в, УФН 76, 239 (1962).С. Shull, Е. W о 1 1 а п, Сб. Solid State Physics, vol. 2, Acad. Press. N.Y., 1956, p. 138.Ю. А. Изюмов, УФН 80, 31 (1963).P. de G e n n e s, G6. «Magnetism» (ed. H. Suhl, T. Rado), vol. Ill Acad. Press, N.Y., 1963, p. 115.R. N a t h a n s, S. P i с к а г t, G6. «Magnetism» (ed. H. Suhl, T. Rado), vol. Ill Acad. Press, N. Y., 1963, p. 211.А. А. Смирнов, G. В. Вонсовский, J. Phys. USSR, № 5, 263 (1941).G. Trammell, Phys. Rev. 92, 1387 (1953).S. О d i о t, D. S a i n t - J a m e s, J. Phys. Chem. Sol., 17, 117 (I960).M. Blume, A. Freeman, R. Watson, J. Chem. Phys. 37, 1345 (1962).O. Steinsvoll, G. Shirane, R. Nathans, M. В lume, H.A. Alpe- rin, S. J.Pickart, Phys. Rev. 161, 499 (1967).R. M. M о о n, W. G. К о e h 1 e r, A. L. T г e g o, J. Appl. Phys. 37, 1036 (1966).Hodges, N. D. Lang, H. Ehrenreich, A. J. Freeman, J. Appl. Phys. 37, 1449 (1966).P. D. De C i с с о, A. К i t z, Phys. Rev. 162, 486 (1967).M. Collins, J. Forsyth, Phil. Mag. 8, 401 (1963).Collins, R. J ones, R. L о w d e, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-lll, 19 (1962).А. А. Л о ш м а н о в, ФММ 18, 178 (1964); Кристаллография 9, 377 (1964).P а о 1 e t t i, F. R i с c i, J. Appl. Phys. 34, 1571 (1963).G. L о w, M. G о 1 1 i n s. J. Appl. Phys. 34, 1195S (1963).И. Гоманьков, А. А. Лошманов, Изв. АН СССР, сер. физ. 28, 444 (1964).И. М. Пуз ей, В. И. Гоманьков, А. А. Лошманов, Изв. АН СССР сер. физ. 2 8, 440 (19 64).М. Collins, D. Wheeler, Proc. Phys. Soc. 82, 633 (1963).M. Collins, G. Low, J. de phys. 25, 596 (1964); Proc. Phys. Soc. 86, 535 (1965).I. A. G a m p b e 1 1, Proc. Phys. Soc. 89, 71 (1966).W. Marshall, Proc. Phys. Soc. 1, G 88 (1968).G. Low, J. Appl. Phys. 39, 1174 (1968); Zs. angew. Phys. 24, 254 (1968).
L 2
L 2
4-
4-
6-7-&9-0-
6-7-&9-0-
11.
11.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Р. П. О з е р о в, УФН 45, 481 (1951); 47, 445 (1952).
Г. С. Ж д а н о в, Р. П. О з е р о в, УФН 76, 239 (1962).
С. Shull, Е. W о 1 1 а п, Сб. Solid State Physics, vol. 2, Acad. Press. N.Y., 1956, p. 138.
Ю. А. Изюмов, УФН 80, 31 (1963).
P. de G e n n e s, G6. «Magnetism» (ed. H. Suhl, T. Rado), vol. Ill Acad. Press, N.Y., 1963, p. 115.
R. N a t h a n s, S. P i с к а г t, G6. «Magnetism» (ed. H. Suhl, T. Rado), vol. Ill Acad. Press, N. Y., 1963, p. 211.
А. А. Смирнов, G. В. Вонсовский, J. Phys. USSR, № 5, 263 (1941).
G. Trammell, Phys. Rev. 92, 1387 (1953).
S. О d i о t, D. S a i n t - J a m e s, J. Phys. Chem. Sol., 17, 117 (I960).
M. Blume, A. Freeman, R. Watson, J. Chem. Phys. 37, 1345 (1962).
O. Steinsvoll, G. Shirane, R. Nathans, M. В lume, H.A. Alpe- rin, S. J.Pickart, Phys. Rev. 161, 499 (1967).
R. M. M о о n, W. G. К о e h 1 e r, A. L. T г e g o, J. Appl. Phys. 37, 1036 (1966).
Hodges, N. D. Lang, H. Ehrenreich, A. J. Freeman, J. Appl. Phys. 37, 1449 (1966).
P. D. De C i с с о, A. К i t z, Phys. Rev. 162, 486 (1967).
M. Collins, J. Forsyth, Phil. Mag. 8, 401 (1963).
Collins, R. J ones, R. L о w d e, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-lll, 19 (1962).
А. А. Л о ш м а н о в, ФММ 18, 178 (1964); Кристаллография 9, 377 (1964).
P а о 1 e t t i, F. R i с c i, J. Appl. Phys. 34, 1571 (1963).
G. L о w, M. G о 1 1 i n s. J. Appl. Phys. 34, 1195S (1963).
И. Гоманьков, А. А. Лошманов, Изв. АН СССР, сер. физ. 28, 444 (1964).
И. М. Пуз ей, В. И. Гоманьков, А. А. Лошманов, Изв. АН СССР сер. физ. 2 8, 440 (19 64).
М. Collins, D. Wheeler, Proc. Phys. Soc. 82, 633 (1963).
M. Collins, G. Low, J. de phys. 25, 596 (1964); Proc. Phys. Soc. 86, 535 (1965).
I. A. G a m p b e 1 1, Proc. Phys. Soc. 89, 71 (1966).
W. Marshall, Proc. Phys. Soc. 1, G 88 (1968).
G. Low, J. Appl. Phys. 39, 1174 (1968); Zs. angew. Phys. 24, 254 (1968).
Р. П. О з е р о в, УФН 45, 481 (1951); 47, 445 (1952).
Г. С. Ж д а н о в, Р. П. О з е р о в, УФН 76, 239 (1962).
С. Shull, Е. W о 1 1 а п, Сб. Solid State Physics, vol. 2, Acad. Press. N.Y., 1956, p. 138.
Ю. А. Изюмов, УФН 80, 31 (1963).
P. de G e n n e s, G6. «Magnetism» (ed. H. Suhl, T. Rado), vol. Ill Acad. Press, N.Y., 1963, p. 115.
R. N a t h a n s, S. P i с к а г t, G6. «Magnetism» (ed. H. Suhl, T. Rado), vol. Ill Acad. Press, N. Y., 1963, p. 211.
А. А. Смирнов, G. В. Вонсовский, J. Phys. USSR, № 5, 263 (1941).
G. Trammell, Phys. Rev. 92, 1387 (1953).
S. О d i о t, D. S a i n t - J a m e s, J. Phys. Chem. Sol., 17, 117 (I960).
M. Blume, A. Freeman, R. Watson, J. Chem. Phys. 37, 1345 (1962).
O. Steinsvoll, G. Shirane, R. Nathans, M. В lume, H.A. Alpe- rin, S. J.Pickart, Phys. Rev. 161, 499 (1967).
R. M. M о о n, W. G. К о e h 1 e r, A. L. T г e g o, J. Appl. Phys. 37, 1036 (1966).
Hodges, N. D. Lang, H. Ehrenreich, A. J. Freeman, J. Appl. Phys. 37, 1449 (1966).
P. D. De C i с с о, A. К i t z, Phys. Rev. 162, 486 (1967).
M. Collins, J. Forsyth, Phil. Mag. 8, 401 (1963).
Collins, R. J ones, R. L о w d e, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-lll, 19 (1962).
А. А. Л о ш м а н о в, ФММ 18, 178 (1964); Кристаллография 9, 377 (1964).
P а о 1 e t t i, F. R i с c i, J. Appl. Phys. 34, 1571 (1963).
G. L о w, M. G о 1 1 i n s. J. Appl. Phys. 34, 1195S (1963).
И. Гоманьков, А. А. Лошманов, Изв. АН СССР, сер. физ. 28, 444 (1964).
И. М. Пуз ей, В. И. Гоманьков, А. А. Лошманов, Изв. АН СССР сер. физ. 2 8, 440 (19 64).
М. Collins, D. Wheeler, Proc. Phys. Soc. 82, 633 (1963).
M. Collins, G. Low, J. de phys. 25, 596 (1964); Proc. Phys. Soc. 86, 535 (1965).
I. A. G a m p b e 1 1, Proc. Phys. Soc. 89, 71 (1966).
W. Marshall, Proc. Phys. Soc. 1, G 88 (1968).
G. Low, J. Appl. Phys. 39, 1174 (1968); Zs. angew. Phys. 24, 254 (1968).
27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.53.54.55.56.57.58.59.60.61.62.63.53.54.55.56.57.58.59.60.61.62.63.Brockhouse, Н. Watanabe, Inelastic Scattering of Neutrons in Solids and Liquids, IAEA, Chalk River, 1962.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
T. К a p 1 a n, Phys. Rev. 109, 782 (1958).
Low, A. Okazaki, R. Stevenson, K. Turberfield, J. Add1・ Phys. 35, 998 (1964).
J. M. Z i m a n, Proc. Phys. Soc. 65, 540 (195 2).
H a t h e г 1 у, К. H i г a к a av a, R. L о w d e, F. Mallett, Phys. Rev. 86, 318 (1952).
A. Ferguson, Jr., A. W. S a e n z, S. P о d g e r, J. Appl. Phys. 37, 1050 (1966).
B. Moller, J. G. Gylden — Houman, A. A. Mackintosh, Phys. Rev. Lett. 19, 312 (1967); J. Appl. Phys. 39, 807 (1968).
D. Thompson, Phys. Rev. Lett. 19, 635 (1967).
R i s t e, R. M. Moon, W. G. Koehler, Phys. Rev. Lett. 20, 997 (1968).
N. К г о d, L. P a 1, J. Appl. Phys, 39, 4 53 (1968).
J* Guggenheim, M. T. Hutchings, B. D. R ainf о г d, J. Appl. Phys. 39, 1120 (1968).
A. T. Allan, D. D* Betts, Canad. J. Pliys. 4 6, 7 99 (1968).
P. Martel, R. A. G о we 1 y, R. Stevenson, Canad. J. Phys. 46, 1355 (1968).
Palevsky, D. Huges, Phys. Rev. 92, 202 (1953).
S q u i r e s, Proc. Phys. Soc. A67, 248 (1954).-
Me Reynolds, T* R i s t e, Phys. Rev. 95, 1161 (1934).
R. L о w d e, Rev. Mod. Phys. 30, 69 (1958).
M. Wilkinson, S. Shull, Phys. Rev. 103, 516 (1956).
J а с г о t, J. Konstantinovic, G. P ar ett e, D. С г i bi er, Inelastic Scattering of Neutrons in Solids and Liquids, IAEA, Chalk River, 1962.
L. Passel lTK.Blinowski, T. Brun, P. Nielsen, Proc. Intern. Conf. Magnetism, Nottingham, 1964, p. 99.
D о m. b, M. Sykes, Phys. Rev. 428, 168 (1962).
J. G a m m e 1, W. Marshall, L. Morgan, Proc. Roy. Soc. A275, 257 (1962).
M. J. Cooper, R. Nathans, J. Appl. Phys. 37, 1041 (1966).
Bally, B. G г ab cev, M. Popovici, M. T о ti a, A. M. Lungu, J. Appl. Phys. 39, 459 (1968).
T. R i s t e, J. Appl. Phys. 39, 528 (1968).
L. P a 1, E. К г en, G. К a d a rf R. Szabo, T. Tarnoczi, J. Appl. Phys. 39, 538 (1968).
Y. Hamaguchi, Y. Tsunoda, N. Kunitomi, J. Appl. Phys. 39, 1227 (1968).
J.Als-Nielsen, O. W. Dietrich, W. Marshall, P. A. Lindgard, J. Appl. Phys. 39, 1229 (1968).
G. P а г e t t e, K. Deniz, J. Appl. Phys. 39, 1232 (1968).
R. Nathans, F. Menzinger, S. J. Pi с к а г t, J. Appl. Phys. 39. 1237 (1968).
J.Kocinski, Acta phys. Polon. 33, 13 (1968).
J. Kocinski, L. Wojtczak, Acta phys. Polon. 35, 61 (1969).
J. H. V a n V 1 e c k, Phys. Rev. 5 5, 924 (1939).
.de G e n n e sT J. Phys. Chern. Sol. 4, 223 (1958).
.Brockhouse, Phys. Rev. 99, 601 (1955).
.Cribier, B. J а с г о tf Inelastic Scattering of N eutrons in Solids and Liqu- Is, IAEA, Chalk River, 1962.
.U. D e n i zT G. V enkatar a man, N. S. S atyanuerthy, B. A. D a s a-
PBPidKPBPidK64.65.66*67.68.69.70.71.72.73.74.64.65.66*67.68.69.70.71.72.73.74.unacharya, P. K. Iyengar, Proc. Intern. Conf. Magnetism, Nottingham, 1964, p. 322.
PBPidK
PBPidK
64.
65.
66*
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
64.
65.
66*
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
J. W. Gable, E. O. W о 1 1 a nf Phys. Rev. 140, 2003 A (1965).
K・ Dwight, N・ M e n у u к, T. A. Kaplan, J. Appl. Phys. 36, 1090 (4965).；
M. F. Collins, R. Nathans, J. Appl. Phys. 3 6, 1092 (1965).
M. F. G о 1 1 i n sT Proc. Phys. Soc. 86, 973 (1965); J. Appl. Phys. 39, 533 (1968).
E. A. Friedman, A. N. G о 1 an df Phys. Rev. 147, 457 (1966).
Gaglioti, M. J. Cooper, V. J. Minkiewicz, J. Appl. Phys. 38, 1245 (1967).
J. W. G a b 1 e, R. D. L о w d e, G. G. W i n d s о r, A. D. B. W о о d sT J. AppL Phys* 38, 1247 (1967).
R. Child, R. M. Moon, L. J. R aubenheimer, W. G. К о eh 1 e. J. Appl. Phys. 38, 1381 (1967).
F. S e а г s, Canad. J. Phys. 45, 2923 (1967).
T. H. Kwon, H. A. G e г s c h, Phys. Rev. 167, 458 (1968).
T. M. Holden, В. M. Powell, A. D. B. Woods, J. Appl. Phys. 39, 457 (1968).
75. 76.77.78.79.80.81.82.83.84.85.86・87.88.89.90.91.92.93.94.95.96.97.98.99.100.101.102. 103.104.105.106.107.108.109.110. Ш.112. 113.114.115.116.117.118.119.120.121.122.123.124.125.126.127.128.129.130.131.132.75. 76.77.78.79.80.81.82.83.84.85.86・87.88.89.90.91.92.93.94.95.96.97.98.99.100.101.102. 103.104.105.106.107.108.109.110. Ш.112. 113.114.115.116.117.118.119.120.121.122.123.124.125.126.127.128.129.130.131.132.
75. 76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86・
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102. 103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110. Ш.
112. 113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
131.
132.
75. 76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86・
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102. 103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110. Ш.
112. 113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
131.
132.
A. D. B. W о о d s, Ganad. J. Phys. 4 6, 1499 (1968).
G. G. Windsor, G. A. Brigg sfM.KestigianT J. Phys. C (Proc. Phys. Soc.) 1, 940 (1968).
A. M. Portis, R. H. Lindquist, G6. «Magnetism», vol. 2A, ed. T. Rado, H. Suhl, Acad. Press, N.Y” 1965, p. 357.
V. J accarino, G6. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl) vol. IIA, Acad. Press, N.Y., 1965, p. 307.
N. J. P о u 1 i sT G. E. G. Hardeman, Physica 19, 391 (1953).
A. G. Gossard, A. M. Portis, Phys. Rev. Lett. 3, 164. (1959).
R. E. Watson, A. J. Freeman, Phys. Rev. 123, 2027 (1961).
A. J. Freeman, R. E. W a t s о n, G6. «Magnetism» (ed. G. T. Rado, H. Suhl) vol. IIA, Acad. Press, N.Y., 1965, p. 167.
W. M а г s h a 1 1, Phys. Rev. 110, 1280 (1958).
P. W. Anderson, A. M. Glogston, Bull. Am. Phys. Soc. 6, 124 (1961). T. Kushida, A. H. Silver, Y. Koi, A. Tsujimura, J. Appl. Phys. 33, 1079 (1962).、
V. J accarino, J. Appl. Phys. 32, 1023 (1961); Proc. Intern. Conf. Magnetism； Nottingham, 1964, p. 377.
H. Bennett, R. L. Streever, J. Appl. Phys. 33, 1093 (1962).
W. D. Knight, Phys. Rev. 76, 1259 (1949).
A. M. Portis, A. G. Gossard, J. AppL Phys. 31, 205S (I960).
W e g e г, E. L. Hahn, A. M. Portis, J. Appl. Phys. 32, 124S (1961).
E. L. Boyd, J. G. Slonczewski, J. Appl. Phys. 33, 1077 (1962).
R. G. Shulman, Phys. Rev. 121, 125 (1961).
J. I. В u d n i ck, L. J. Bruner, R. J. Blume. E. L. Boyd, J. Appl. Ph vs. 32, 120S (1961).
R. G. Shulman, J. Appl. Phys. 32, 126S (1961).
R. L. S t г e e v e rT L. H. В e n n e 1 t, R. G. L a F о r c eT G. F. D a v, J. Appl. Phys. 34, 1050 (1963).
J. M. Winter, Phys. Rev. 124, 453 (1961).
P. de G e n n e sf F. H ar t m a n п-В о u t г о nf Compt. rend. 253, 1662 (1961).
Z. S г о u b e к, Чехосл. Физ. Журн. 11, 764 (1961).
M. W. М u 1 1 е г, A. S h е гт Phys. Rev. Lett. 8, 85 (1962).
A.G. Gossard, V. J accarino, J. P. Reineika, J. Appl. Phys. 33, 1187 S (1962).
J. S e i d e n, Compt. rend. 254, 1774 (1962).
I. P a u 1, Phys. Rev. 131, 178 (1963).
S i m a n e k, GS J. Phys. B13, 732 (1963).
J. H e r v eT Le D a n g К h о i, Phys. Lett. 13, 208 (1964).
M. Rubinstein, G. H. S t a u s sT Phys. Lett. 14, 277 (1965).
You-Hing Tchao, LeDang К h о i, Compt. rend. 260, 3886 (1965).
Le D a n g Khoi, Compt. rend, 261, 1807, 2848 (1965).
В. А. Игнатченко, Ю. А. Куденко, ФТТ 8, 3677 (1966).
M. В. Stearns, Phys. Rev. 162, 486 (1967).
H. S u h 1, Phys. Rev. 109, 606 (1958); J. phys. rad. 20, 333 (1959).
T. Nakamura, Prog. Theor. Phys. 20, 542 (1958).
P. G. de G e n n e sf J. phys. rad. 23, 510 (1962).
P. G. de G e n n e s, P. A. P i n c u s, F. H а г t m a n n - В о u t г о iiT J. M. W i n - ter, Phys. Rev. 129, 1105 (1963).
A. J. H e e g e r, A. M. Portis, D. T. T e a n e y, G. L. Witt, Phys. Rev. Lett. 7, 308 (1961).
E. A. T у p о в, В. Г. К у л e e в, ЖЭТФ 49, 248 (1965).
Л. Г. Оноприенко, ФММ 19, 481 (1965).
T. G. В 1 о c k e rT Phys. Rev. 154, 446 (1967).
K. Lee, A. M. Portis, L. G. W i t t, Phys. Rev. 132, 144 (1963).
A. G. Боровик-Романов, В. А. Тулин, Письма ЖЭТФ 1, 18 (1965).
J. II е е g е гт Т. Houston, J. Appl. Phys. 35, 836 (1964); Proc Intern. Conf. Magnetism, Nottingham, 1964, p. 395.
Robert, Compt. rend. 25t, 2685 (i960).
D. Jones, J. E. Hesse, J. Appl. Phys. 38, 1159 (1967).
B. Benedek, J. Armstrong, J. Appl. Phys. 32, 106S (1961).
A. M. Portis, J. Phys. Soc. Japan 17, Suppl. B-l, 81 (1962).
A. N a k a m u г a, V. M i n k i e w c z, A. M. Portis, J. Appl. Phys. 35, 842 (1964).
A. M. Portis, G. Witt, A. J. H e e g e r, J. Appl. Phys. 34, 1052 (1963).
A. J. H e e g e r, D. T. T e a n e y, J. Appl. Phys. 35, 846 (1964).
A. Honma, Phys. Rev. 142, 306 (1966).
M. A b k о w i t z, I. J. Lowe, Phys. Rev. 142, 333 (1966).
P. Pincus, Phys. Rev. Lett. 16, 398 (1966).
A. N а г a t h, A. T. К г о m h о 1 d, Jr., Phys. Rev. Lett. 17, 354 (1966丿.
N. Kaplan, R. Loudon, V. J accarino, H. J. Guggenheim, D. В e e m a d, P. Pincus, Phys. Rev. Lett. 17, 357 (1966).
T. Mizoguchi, М. Inoue, J. Phys. Soc. Japan 21, 1310 (1966).
J. A. Gowen, G. E. Taylor, Phys. Lett. 24A, 373 (1967).
Л. А. Буишвили, M. Д. Цвиададзе, Phys. Lett. 24A, 634 (1967).
D. В e e m a n, J. Appl. Phys. 38, 1276 (1967).
R. H. Tancrell, R. V. J oner, J. Appl. Phys. 38, 1283 (1967).
D. В e e m a n, P. Pincus, Phys. Rev. 166, 359 (1968).
E. Fukushima, E. A. Uehling, Phys. Rev. 173, 366 (1968).
P. M. Richards, Phys. Rev. 173, 58彳(1968).
A. G. Daniel, A. W. Bevan, Jr.T R. J. Mahler, J. Appl. Phys. 39, 49&
G.E. Taylor, J.A.Gowen, J. Appl. Phys. 39, 498(1968).
N.К apian, V. Jaccarino, R. T. Lewis, J. Appl.Phys. 39, 500 (1968).
D.Sherrington, J. Appl. Phys. 39, 502 (1968); J. Pnys. C (Proc. Phys. Soc.)
T.W. Houston,A.J. H e e g e r, Phys. Lett. 10, 29(1964).
R.G. Shulman,S.Sugano, Phys. Rev. 130, 506(1963).
К. К n о x, R. G. Shulman, S. Sugano, Pbys. Rev. 130, 512 (1963).
S. Sugano, R. G. Shulman, Phys. Rev. 130, 517 (1963).
Sh. E h а г a, J. Phys. Soc. Japan 19, 1313 (1964).
S. Kobayashi, J. I. Itoh, J. Phys. Soc. Japan 20, 1741 (1965).
V. J accarino, L. R. W a 1 к er, G. K. W e г tn e i m. Phys. Rev. Lett. 13,
Ю. А. Изюмов, M. В. Медведев, ФТТ 8, 2117 (1966).
E. A. T у p о в, M. И. Куркин, О. Б. G о к о л о в, ФММ 23, 786 (1967).
Е. А. Т у р о в, М. И. К у р к н и, ФММ, 24, 27 (1967).
Р. Heller, G. В. Benedek, Phys. Rev. Lett. 8, 428 (1962); 14, 71 (1965);
Proc. Intern. Conf. Magnetism, Nottingham, 1964, p. 97.
J. J. v an Loef, Sol. State. Comm. 4, 625 (1966).
S. D. Senturia, G. B. Benedek, Phys. Rev. Lett. 17, 475 (1966).
M. Ebschitz, S.Strikman, D. T г ev e s, Sol. State Comm. 4, 141 (1966).
T. Muto, S. Kobayashi, H. Hayakawa, J. Phys. Soc. Japan 20, 388
Я. G. Ш у p, В. B. G e p и к о в, ФММ 21, 298 (1966).
Л.Л.Буишвили, Л.В.Ватова, Н.Гиоргадзе,① ТТ 8, 1309 (1966)..
М.И.Куркин, Н. Г. Парфенова,ФТТ 8, 1839 (1966).
R.Е.G е g е wа г t h, J. I. В ud ni c k,S. S k a 1 s k i,J. H. W e r n i c k,
J. Appl. Phys. 37. 1244 (1966).
E.A.T у p о в,H. И. T им о ф ee в,ФММ24, 769 (1967).
J.M.В г e t t e1 1, H. J. H e e ge r,Phys.Rev. 153, 319(1967).
N. K. apian, P. Pincus, V. J accarino, J. Appl. Phys. 37, 1239 (1966).
I.A m i t y, D. S h a 1 t i e 1, Phys. Rev.159, 473 (1967).
168*D.S.W о 1 1 a n, H. J. Stapleton,Phys. Rev.163,207(1967).
O.J.Lumpkin, Phys. Rev. 164, 324(1967).
J.E.Templeton, D. A. S h i г 1 y,Phys. Rev.Lett.18,240(1967).
E. F. M e 口 A i s, L. W. Anderson, Phys. Rev. Lett. 19, 1434 (1967).
D. Gill, D. S h a 1 t a 1, J. Appl. Phys. 38, 765 (1967).
M. B. Stearns, J. Appl. Phys. 38, 1141 (1967).
К. G. В г о g, W. H. J о n e s, Jr., J. G. В о о t h, J. Appl. Phys. 38, 1151 (1967).
T. W. Houston, A. J. H e e g e r, J. Appl. Phys. 38, 1285 (1967).
J. P. Kopp, D. S. Schreiber, J. Appl. Phys. 38, 1373 (1967).
R. Hirakawa, S. Kadota, J. Phys. Soc. Japan 23, 756 (1967).
В. Г. Барьяхтар, G. В. Пелетминский, Э. Г. Петров, ФТТ 10,
В. Б. У стинов, С. П. Репников, Э. О. Сааков, В. А. Ге р я е е, ФТТ 10, 1589 (1968).
Е. А. Т у р о в, М. И. К у р к и н, ФТТ 10, 3222 (1968).
R. L. Streever, Phys. Rev. 173, 591 (1968).
R. L. Melcher, D. I. В о 1 e f, R. W. H. Stevenson, Phys. Rev. Lett.
H. В e n о i t, J.-M. D г о с о u г t, J. P. L e g г a n d, J. P. R e n а г d, J. App上一 Phys. 39, 1015 (1968).
N. M. W a 1 с о t t, R. L. F a 1 g e, Jr., L. H. Bennett, R. E. Watson” Phys. Rev. Lett. 21, 546 (1968).
J. P. R e n а г d, J. de phys. 29, 767 (1968).
R. E. Wabstedt, R. G. Sherwood, J. H. W e г nick, J. Appl. Phys.
S. В. В e r g e r, J. I. В u d 口 i c k, T. J. В u r c h, J. Appl. Phys. 39, 658 (1968j.
J.E. Schriber,D.H. Anderson, J. Appl. Phys.39,1010(1968).
S.Wittekoek,N.J. P о u 1i s,J. Appl. Phys. 39,1017(1968).
0.J.Itoh, S. Kobayashi, N.S an o, J. Appl. Phys.39,1325(1968).
T.W. Houston,A.J. H e e ge r,J. Phys. Ghem. Sol.29,1085(1968).
R. D. S p e n с e, P. A. von D a 1 e n, Acta Gryst. A24, 494 (1968).
H. L. М 6 s s b a u е г, Zs. Phys. 151, 124 (1958): Natunviss. 45： 538 (1958); Zs. Naturfor-schg. 14a, 211 (1959).
Г. H. Белозерский, IO. A. H e ми л о в, УФН 72, 433 (I960).
Р. М е с с 6 а у е р. УФН 72, 658 (I960).
Р. Паунд, УФН 72, 673 (I960).
Ф. Л. Ш а п и р о, УФН 72, 685 (i960).
В. И. Гольда некий, УФН 89, 333 (1966).
U. G о n s е г, Zs. Met al Ik tin de 57, 85 (1966).
Г. Фрауен фельдер, Эффект Мессбауера перевод с нем., Атомиздат, М.т 1964.
Г. В е р т г е й мт Эффект Мессбауера — принципы и применения, перевод с англ,, «Мир», 1966.■
В. И. Г о л ь д а н с к и йт Эффект Мессбауера и его применения в химии, Изд. АН СССР, М., 1963.
Сборник переводов «Эффект Мессбауера», под ред. Ю. М. Кагана, ИЛ, М.. 1962.
Р. В. М о о n, Proc. Phys. Soc. 64, 76 (1951).
W. Е. L a m b, Jr.T Phys. Rev. 55, 190 (1939).
W. M. V i s s c h e rT Ami. of Phys. 9, 194 (i960).
H. J. L i p k i n, Ann. of Phys. 9, 332 (i960); 18, 182 (1962); Phys. Rev. 123, 63 (1961).
K. S. S i n g av i, A. S j б 1 a u d e rT Phys. Rev. 120, 1093 (I960).
G. T z а г a, J. phys. rad. 22, 303 (1961).
А. И. Алиханов, В. А. Любимов, Изв. АН СССР, сер. физ. 24, 1076 (I960).
R. Barloutaud, Е. Cotton, J.-L. Picon, J. Q ui d о г t, Comp. rend.
319 (I960).
P. P. С и a i g, D. E. N a g 1 e, D. R. F. С о c h r a n, Phys. Rev. Lett. 4, 561
213.
(I960).
M. А. Кривоглаз, Эффект Мессбауера и его применение в физике твердого
214.
215.
216.
217.
218.
219.
220.
221.
тела, Сб. «Итоги науки», Фпзика твердого тела (теория твердого тела), Институт научной информации, М., 1965, стр. 5.
10. М. Каган,拼ЗТ① 40, 312; 41, 659 (1961).
Ю. М. К а г а н, В. А. М а с л о в, ЖЭТФ 41, 1296 (1961).
Ю. М. Каган, Я. А. Иосилевский,出ЗТ① 42, 259 (1962); 44, 284 (1963).
А. М. А ф а н а с ь е в, 10. М. Каган, ЖЭТФ 45, 1660 (1963); 47, 1108 (1.964);
48, 327 (1965); 50, 271 (1966); Письма ЖЭТФ 2, 130 (1965); 8, 620 (1968).
М. И. Подгорецкий, А. В. Степанов, ЖЭТФ 40, 561 (1961).
М. А. К р и в о г л а з, ЖЭТФ 40, 1812 (1961).
222.
223.
224.
225・
M. В. Казарновский, А. В. Степанов, ЖЭТФ 42, 489 (1962).
И. П. Д з ю б, Л. Ф. Л у б ч e н к о, ФТТ 3, 2275 (1961); Изв. АН СССР, сер. физ. 25, 901 (1961); ДАН СССР 136, 66 (1961).
й, ЖЭТФ 38, 1652 (I960).
е b k a. Phys. Rev. Lett. 3, 554
ч е н
M.
R. J.
B. V. P・
Казарновск
Pound, G. A.Schiffer, W.
226・
227.
228.
И. Я. Барит, M・ И.] (I960).
В. А. Любимов, A.
а г s h а 1 1Т Phys. Rev. Lett. 3,
о д г о р е ц к и й,
Ф. Л. Ш а п и
(1959).
556 (1959).
p о, ЖЭТФ 38, 301
, И. Алиханов, ЖЭТФ 38, 1912 (I960).
О. С. К i s t и е г, A. W. S а п у а г, Phys. Rev. Lett. 4,
229.
230.
231.
232.
233.
D. E. Nagle, H. Frauenfelder, R. D. Tayler, B.T. Matthias, Phys. Rev. Lett. 5, 364 (I960).
R. S. Preston, S. S. Hanna, J. H о b e г 1 e, Phys.
G. Robert, J. M. Winter, Gompt. rend. 250, 3831
412 (I960).
D. R. F. С о c h г a n,
Rev. 128, 2207 (1962). (I960).
J. S. К о u,v e 1, R. H. Wilson, J. Appl. Phys. 32, 435 (1961).
Ф. Гальперин, С. Ларин, А. Ш ишк о в, ДАН СССР 89, 419 (1963). F. van der W о u d е, G. A. S a w a t z k у, A. H. Morris hT Phys. Rev. 167,
234.
235・
533 (1968).
S.S. Hanna, J. Heberle, G. J. Perlow, R.S. Preston, D. H. V i n- c e n t, Phys. Rev. Lett. 4, 513 (i960).
S. S. Н a n п
236.
237.
238.
239.
s t G. D. В.
G.
G.
о n, D. H. У К. W e г t h Nagle, F T. M a t t h K. W e г 11 J. P e г 1 о
J. Н е b е г 1 е, С. L i t t 1 е j о h n, G. J. Р е г 1 о w, R. S. Р rein с е n t, Phys. Rev. Lett. 4. 177 (i960).
e i m, J. Appl. Phys. 32, 110S (1961).
• Frauenfelder, R. D. Taylor, D. R. F. Cochran,
240.
241.
(1965).
i a s, Phys. Rev. 125, 490 (1962). ',Phys. Rev. Lett. 4, 403 (I960).
w, С. E. J о h n s о n, W. Marshall, Phys. Rev. 140, A875
е〕ш,
242.
G. K. W ertheim, J. H. W e г n i c k, Phys. Rev. 123, 755 (1961).
J. G, Dash, B. D. Dunlap, D. G. Howard, Phys, Rev. 141, 376 (1966);
Phys. Rev. Lett. 15, 624 (1965).
G. E. J о h n s о n, M. S. R i d о u t, T. E. G г a n s h a w, Proc. 2nd Intern. Moss-
bauer Conf., 1961, Wiley, New York, 1962, p. 142.
G. Longworth, Phys. Rev. 172, 572 (1968).
G. R. Hoy, К. P. Singh, Phys. Rev. 172, 514 (1968).
G. K. Wertheim, H. J. Guggenheim, H. J. L e vi ns t ei л_ D. N. E. Buchanan, R. C. Sherwood, Phys. Rev. 173, 614 (1968).
G. Shirane, W. J. Take i, S. L. Rub y, Phys. Rev. 126, 49 (1962).
E. A. Friedman, D. Nicholson, Bull. Am. Phys. Soc. (2) 7, 402 (1962).
W. E. W a 1 1 a c e, L. M. Epstein, J. Chem. Phys. 35, 2238 (1961).
C. W. Kocher, P. J. Brown, J. Appl. Phys. 33, 1091S (1962).
S. Komura, N. Shikazono, J. Phys. Soc. Japan 18, 323 (1963).
C. Kimball, W. D. Gerber, A. Arrott, Bull. Am. Phys. Soc. (2) 7. 27S (1962).
F. E. О b e n s b a i n, L. D. R о b e г t sf H. H. F. W e g e n e rT Bull. Am. Phys. Soc. (2) 8, 43 (1963).
G. K. Wertheim, J. H. W e r n i c k, Phys. Rev. 125, 1937 (1962).
G. K. Wertheim, D. N. E. Buchanan, H. J. Guggenheim, Phvs. Rev. 152, 527 (1966).*
M. Eibscbiitz, S. Shtrikmdn, D. Treves, Phys. Rev. 156, 562 (1967).
R.Bauminger, S.G.Cohen, A. Marino vTS. Ofer, E.Segal, Phys. Rev. 122, 1447 (1961).
A.I t о, K. Ono, Y. Ishikawa,J.Phys. Soc. Japan 18, 1465 (1963).
K.Ono, Y. Ishikawa, A. Ito,J.Phys. Soc. Japan 17, 125S (1962).
I. Solomon, Compt. rend. 251, 2675 (I960).
О.К a z u s, Y. I s h i к a w a, A I to,J. Pbys. Soc. Japan 17, 1747 (1962).
G.E. J о h n s о n, M.S. R i d о u t,T.E. Granshaw, Proc. Phys. Soc. 81.
1079 (1963).
S. Teruya, Y. N a о m о t o, N. Shi к azono, J. Phys. Soc. Japan 18, 797 (1963).
G. S h i г a n e, C. W. Chen, P. A. E 1 i n n, R. N a t h a n s, Phys. Rev. 131. 183 (1963).
W. H. К e 11 у, V. J. F о 1 e n? M. H a s”s, W. N. S c h e i n e r, G. В. В e а г d s, Phys. Rev. 124, 80 (1961).
G. Shirane, D. E. Cox, S. L. Ruby, Phys. Rev. 125, 1158 (1962).
G. K. Wertheim, Phys. Rev. 124, 765 (1961).
G. K. W e г t h e i mT Phys. Rev. 121, 63 (1961).
D. N. E. Buchanan, G. K. Wertheim, Bull. Am. Phys. Soc. (2) 7, 227 (1962).
G. Shirane, D. E. Cox, W. J. Takei, S. L. R u b v, J. Phys. Soc. Japan 17, 1598 (1962).”
V. G. В h i d e, G. K. Shenoy, Phys. Rev. 143, 309 (1966).
J. D. Siegwartd, Phys. Rev. 155, 285 (1967).
R. В а и m i n g e r, S. G. Cohen, A. M а г i n о v, S. Ofer, Phys. Rev. 122.
743 (1961).
G. Aiff, G. K. Wertheim, Phys. Rev. 122, 1414 (1961).
J. G. D a s h, R. D. T а у 1 о r, D. E. N a g 1 e, P. P. G г a i g, W. M. V i s s c h e r. Pbys. Rev. 122, 1116 (1961).
J. G. D ash, R. D. T а у 1 о г, P. P. Cr a i g, D. E. N a g 1 e, D. R. F. С о c h г a n, W. E. V e 1 1 e r. Phys. Rev. Lett. 5, 152 (I960).
6. F. E. Obenshain, H. H. F. Wegener, Phys. Rev. 121, 1344 (1961); Zs. Phys. 163, 17 (1962).
L. Meyer-Schiitzmeister, R. S. Preston, S. S. Hanna, Phys. Rev. 122, 1717 (1961).
S. S. H a n n a, L. M e у e r - S c h u t z m e i s t e r, R. S. P r e s t о n, D. H. V i n - cent, Phys. Rev. 120, 2211 (i960).
S. S. Hann a, J. H e b e г 1 e, J. Diaz, R. W. Ren o, Rev. Mod. Phys. 36. № 1, Part II, 407 (1964).
A. J. Boyle, D. St. Bunbury, G. Edwards, Proc. Phys. Soc. 77, 1062 (1961).
О.G.К i s t n e r,A. W. S u n у a r, J. B. Sivan, Phys. Rev. 123, 179 (1961).
A.J.F. Boule,D. St. Bunbury, C. Edwards, Phys. Rev. Lett. 5, 553
(I960).
S.L.Ruby, G.M. К a 1 v i u s, Phys. Rev. 155, 353 (1967).
P.Gilad, G. Со 1 d г i n g, R. Kalish, R. H. H e г b e r, Phys. Rev. 151.
281 (1966).
D. E. M u г n i c k, L. G г о d z i n s, J. D. Bronson, В. H e г s к i n d. R. R. Borchers, Phys. Rev. 163, 254 (1967).
U. A t z m о и у, A. M u a 1 m, S. Ofer, Phys. Rev. 136, B1237 (1964).
S. H u f n e r, J. H. W e г n i c k, Phys. Rev. 173, 448 (1968).
D. A. Shirley, R. B. Frankel, H. H. Wickman, Rov. Mod. Phys. 36, № 1, Part. II, 392 (1964).
P. H. В а г г e t t, D. A. Shirley, Phys. Rev. 131, 123 (19 63).
290.291.292.293.294.295.290.291.292.293.294.295.6 7 8 99 9 9 92 2 2 26 7 8 99 9 9 92 2 2 2о 12 3о ООО3 333о 12 3о ООО3 333304.305.306.307.308.309.310.311.312.313.314.315.316.317.318.319.320.321.322.323.324. 325・326.327.328.329.330.331.332.333.334.304.305.306.307.308.309.310.311.312.313.314.315.316.317.318.319.320.321.322.323.324. 325・326.327.328.329.330.331.332.333.334.C. Littlejohn, L. Herzenberg, L. Meyer-Schutzmeister, L. L. L e e, Jr., S. S. Hanna, Bull. Am. Phys. Soc. (2) 7, 39 (1962).
290.
291.
292.
293.
294.
295.
290.
291.
292.
293.
294.
295.
6 7 8 9
9 9 9 9
2 2 2 2
6 7 8 9
9 9 9 9
2 2 2 2
о 12 3о ООО
3 333
о 12 3о ООО
3 333
304.
305.
306.
307.
308.
309.
310.
311.
312.
313.
314.
315.
316.
317.
318.
319.
320.
321.
322.
323.
324. 325・
326.
327.
328.
329.
330.
331.
332.
333.
334.
304.
305.
306.
307.
308.
309.
310.
311.
312.
313.
314.
315.
316.
317.
318.
319.
320.
321.
322.
323.
324. 325・
326.
327.
328.
329.
330.
331.
332.
333.
334.
L. Meyer-Schutzmeister. Proc. 2nd Intern. Conf. Mossbauer Effect, 1961, Wiley, New York, 1962, p. 190.
R. L. Cohen, Phys. Rev. 137, A1809 (1965).
R. В auminger, S. G. Cohen, A. Marinov, S. Ofer, Phys. Rev. Lett. 6, 467 (1961).
R.Bauminger, S. G. Cohen, A. Marinov, S. Ofer, Proc. 2nd Intern. Conf. Mossbauer Effect, 1961, Wiley, New York, 1962, p. 177.
S. Ofer, P. Avivi, R. Bauminger, A. Marinov, S. G. Cohen, Phys. Rev. 120, 406 (i960).
R. A. Reese, R. G. В а г n e s, Phys. Rev. 163, 465 (1967).
B. Persson, H. В 1 u m b e г g, M. В e n t, Phys. Rev. 174, 1509 (1968).
G. W. Rothbery, N. Benczer-Koller, J. K. Harris, Proc. 3d Intern. Conf. Mossbauer Effect, Rev. Mod. Phys. 36, № 1, Part П, 1964, p. 357.
D. Ag г est i, E. Kankeleit, B. Persson, Phys. Rev. 155, 1339 (1967).
А. В u у г n, L. G г о d z i n s, N. А. В 1 u m, J. Wulff, Phys. Rev. 163, 286
R. L. Cohen, Phys. Rev. 171, 343 (1968).
D. A. Shirley, M. К apian, P. Axel, Phys. Rev. 123, 816 (1961).
R. W. Grant, M. Kaplan, D. A. Keller, D. A. Shirley, Bull. Am. Phys. Soc. (2), 7, 601 (1962); Rev. Mod. Phys. 36, № 1, Part II, 352 (1964); Phys. Rev. 133, A1062 (1964).
L. D. R о b e г t s, J. O. Thompson, Bull. Am. Phys. Soc. (2) 6, 230 (1961).
L. D. Roberts, J. O. Thompson, Bull. Am. Phys. Soc. 7, 350, 351 (1962).
L. D. Roberts, J. O. Thompson, Phys. Rev. 12 9, 664 (1963).
R. L. Cohen, Rev. Mod. Phys. 36, № 1, Part II, 393 (1964); Phys. Rev. 134, A94 (1964).
G. T s u e i, G. Longworth, S. G. H. Lin, Phys. Rev. 170, 603 (1968).
А. В. К о г а н, E. И. H и к у л и h,①ТТ 8, 3410 (1966).
А. В. Коган, В. Д. Кульков, Л. П. Никитин, ФТТ 8, 3555 (1966).
R. J. Holliday, D. A. Shirley, N. J. Stone, Phys. Rev. 143, 130 (1966).
de W а а г d, S. A. D г e n t j e, Phys. Lett. 20, 38 (1966).
G. P г a m i 1 a, S. G. Cohen, L. Grodzins, Phys. Lett. 24A, 7 (1967).
I. Campbell, A. A. Comes, Sol. State Comm. 6, 395 (1968).
K. Johansson, E. Karlsson, L. O. Norlin, P. N， Tandon, H. G. J a i n, Ark. Fys. 37, 453 (1968).
G. В h i d e, G. K. Shenoy, J. Phys. Soc. Japan 21, 625 (1966).
A. Shirley, S. S. Rosenblum, Phys. Rev. 170, 363 (1968).
P. J a i n, T. E. Cranshaw, Phys. Lett. 25A, 421 (1967).
В e m s k i, X. A. La S i 1 v a, J. Appl. Phys. 35, 1081 (1964).
E. Алексеевский, В. H. Анищенко, А. Л. Ерзнакян, В. П. Парфенова, В. С. Шпинель, Письма ЖЭТФ 3, 318 (1966).
М. Rubinstein, G. Н. Strauss, М・ В. Stearns, J. Appl. Phys. 37, 1334 (1966).
I. В u d n i c k, J. Lechaton, S. S k a 1 s k i, Phys. Lett. 22, 405 (1966).
W. D. Woodhams, R. E. Meads, J, S. С а г 1 a w, Phys. Lett. 23, 419 (1966).
P. Jain, T. E. Cranshaw. Phys. Lett. 25A, 425 (1967).
E. Балабанов, H. H. Делягин, А. Л. Ерзнакян, В. П. П арфе н о в a, В. С. Шпинель, ЖЭТФ 55, 2136 (1968).
Л.И.Винокуров а, В.И.Николае в, Е.В.Мельников, ФММ 26, 317 (1968).
R. F. J а с k s о и, R. G. S с h u г 1 о с k, D. В. U t t о и, Е. М. W г а у, Ргос. Phys. Soc. 85, 127 (1965).
А. Б. А н ф и с о в, В. И. Николаев, Письма ЖЭТФ 4, 315 (1966).
Dreyfus, Р. Stetenko, D. Thoulouze, Phys. Lett. 24A, 454 (1967).
D. D u n 1 a p. J. B. D u r b y, Jr., C. W. К i m b a 11, Phys. Lett. 25A, 431 (1967).
P. H. Кузьмин, H. G. Ибрагимов, Г. С. Жданов, ЖЭТФ 50, 330 (1966).
В. Ч е к и н, Л. Е. Д а н и л е н к о, А. И. К о п л и е н к о, ЖЭТФ 51, 711 (1966).
Caroli, А. В 1 a n d i n, J. Phys. Chem. Sol. 27, 503 (1966).
S. Hiifne г, P. Kienle, W. Wiedemann, H. Eicher, Zs. Phys. 182, 499 (1965).
Н. Н. Делягин, Хуссейн Эль С а и с, В. С. Шпинель, ЖЭТФ 51, 95 (1966).
И. И. Лукашевич, В.В.Скляревский, К. П.Алешин, Б. Н. Само й л о в, Е. П. Степанов, Н. И. Филиппов, Письма ЖЭТФ 3, 81 (1966).
Н. Н. Wickman, I. Nowik, J. Н. W е г n i с k, D. A. Shirley, R. B. Frankel, J. Appl. Phys. 37, 1246 (1966).
D. Bosch, F. P о b e 1 1, P. Kienle, Phys. Lett. 22, 262 (1966).
R. E. Geguwarth, J. I. В u d ni ck, S. S k a 1 sk i, J. H. W e г ni c kr Phys. Rev. Lett. 18, 9 (1967).
E. R. S ei de 1, G. К aind 1, M. J. G 1 auser, R. L. Mossbauer, Phys. Lett. 25A, 328 (1967).
N. В 1 u m, L. Grodzins, Phys. Rev. 136, A133 (1964).
D. T. Edmonds, G. V. H. Wilson, Phys. Lett. 23, 431 (1966).
M. F. С г a c k n e 1 1, J. C. G a 11 о p, G. V. H. W i 1 s о n, Phys. Lett. 24A, 719’ (1967).
R. J, В о г g, R. В о о t h, L. H i m m e 1, D. N. P i p k о г k, С. E. V i о 1 e t, Phys. Lett. 25A, 141 (1967).
I. R. Williams, G. V. H. Wilson, B. Window. Phys. Lett. 25A, 144 (1967).
В. И. Гольданский, M. H. Д e в иш e в a, E. Ф. M а к a p о в, Г. В. H q- в и к о в, В. А. Трухтанов, Письма ЖЭТФ 4, 63 (1966).
D. К е d е m, Т. R о t h е m, Phys. Rev. Lett. 18, 165 (1967).
J. F. Ullrich, D. H. Vincent, Phys. Lett. 25A, 731 (1967).
E. Ф. M а к a p о в, A. С. M a p фунин, A. P. Мкртьян, В. А. Новицкий, P. А. С т у к а н, ФТТ 10, 913 (1968).
В. А. Б о к о в, Г. В. Но в и к о в, О. Б.Проскуряков, Ю. Г. С а к с о- нов, В. А. Трухтанов, С. И. Ю сцу к, ФТТ 10, 1080 (1968).
G. A. F a t s е а г, R. Krishnan, J. Appl. Phys. 39, 1256 (1968).
К. П. Б е л о в, И- С. Л ю б у т и н,於ЗТ① 49, 747 (1965).
И. С. Л юбутин,①ТТ 8, 643 (1966).
И. С. Любутин, В. А. М а к а р о в, Е. Ф. Макаров, В. А. Новицкий, Письма ЖЭТФ 7, 370 (1968).
И. С. Любутин, Е. Ф. Макаров, В. А. Новицкий, ФТТ 10, 534 (1968).
J. J. van Loef, J. Appl. Phys. 39, 1258 (1968).
П. H. Стеценко, Ю. И. Авксентьев,出3T① 47, 806 (1964).
М. П. Петров, Г. А. Смоленский, ЖЭТФ 50, 871 (1966).
S. S. Hafner, В. J. Evans, G. М. Kolvions, Sol. State Comm. 5, 17' (1967).
U. Be/telsen, J. M. Knudsen, H. Krogh, Phys, stat sol. 22, 59 (1967).
J. S. van Wieringen, J. G. R e n s e n, Sol. State Comm. 4, 1 (1966).
E. E. Ю рчиков, A. 3. Меньшиков, В. А. Цурин, А. В. Калашникова, ФММ 26, 487 (1968).
Н. П. Баран, М. Ф. Д е й г е н, С. С. Ищенко, М. А. Рубан, В. В. У д о д, ФТТ 10, 1250 (1968).
В. И. Гольданский, Письма ЖЭТФ 7, 357 (1968).
R. М. Housley, U. G о n s е г, Phys. Rev. 171, 480 (1968).
Б. Н. Самойлов, В. В. Скляревский, Е. П. Степанов, ЖЭТФ- 36, 644, 1944 (1959); 38, 359 (I960).
Б.Н. Самойлов, В.В.Скляревский, В.Д.Горбоченко, ЖЭТФ 41, 1783 (1961).
А. В. Коган, В. Д. Кульков, Л. П. Никитин, Н. М. Рейнов, И. А. Соколов, М.①.Стельмах,出ЗТ① 40, 109 (1961).
N. J.Stone, В.G.Turrell. Phys. Lett. 1, 39 (1962).
F. E. Obenshain, L. D. Roberts, C. F. Coleman, D. W. F о г s t e r, J. O. Thomson, Phys. Rev. Lett. 14, 365 (1965).
H. H. Wickman, M. P. Klein, D. A. Shirley, Phys. Rev. 152, 345 (1966).
S. H u f n e г, H. H. Wickman, G. E. Wagner, Phys. Rev. 169, 247 (1968).
L. E. Campbell, S. de Benedetti, Phys. Rev. 167, 556 (1968).
F. V a n der W о u d e, A. J. Dekker, Phys. stat. sol. 9, 775 (1965); Sol.. State Comm. 3, 319 (1965).
E. A. F г i d m a n, W. J. Nicholson, J. Appl. Phys. 34, 1048 (1963).
A. I. В о у 1 e, H. E. H a 1 1, Rep. Prog. Phys. 25, 441 (1962).
С. K. Edge, R. Ingalls, P. Debrunner, H. G. Drickamer, H.Frauenfelder, Phys. Rev. 138, A729 (1965).
D. L. Raimondi, G. Jura, J. Appl Phys. 38, 2133 (1967).
W. H. Southwell, D. L. Decker, H. В. V anfleet, Phys. Rev. 171 >
354 (1968).
0 12 38 8 8 83 3 3 30 12 38 8 8 83 3 3 3384. 385・ 386.387.388.389.390.391.392.393.394.395.384. 385・ 386.387.388.389.390.391.392.393.394.395.S. Alexander, D. Treves, Phys. Lett. 20, 134 (1966).
0 12 3
8 8 8 8
3 3 3 3
0 12 3
8 8 8 8
3 3 3 3
384. 385・ 386.
387.
388.
389.
390.
391.
392.
393.
394.
395.
384. 385・ 386.
387.
388.
389.
390.
391.
392.
393.
394.
395.
R. S. Preston, Phys. Rev. Lett. 19, 75 (1967).
D. L. U h г i c h, R. G. В а г n e s, Phys. Rev. 164, 428 (1967).
D. L. Uhrich, D. J. Genin, R. G. Barnes, Phys. Lett. 24A, 338 (1964).
R. J. В о r g, R. В о о t h, G. E. V i о 1 e t, Phys. Rev. Lett. 11, 463 (1963).
P. P. Graig, W. A. S t e у e г t, Phys. Rev. Lett. 13, 802 (1964).
M. B. Stearns, S. S. Wilson, Phys. Rev. Lett. 13, 313 (1964).
В. И. Гольданский, В. А. Трухтанов, M. H. Д ев ише в а, В. Фл Б е л о в, Письма ЖЭТФ 1, 31 (1965).
К. П. Белов, И. С. Любутин, Письма ЖЭТФ 1, 26 (1965).
К. Wertheim, Science 144, 253 (1964).
J. S. van Wieringen, Philips Techn. Rev. 28, 33 (1967).
H. P о t t e r, Proc. Roy. Soc. A146, 362 (1934).
Robert, J. M. Winter, Compt. rend. 250, 3831 (i960).
Y. К о i, A. T s u j i m u г a, T. H i h а г a, T. К u s h i d a, J. Phys. Soc. Japan 16, 1040 (1961).
E. А. Туров, А. П. T а н к e e в, M. И. Куркин, Изв. АН СССР, сер. физ. 34, 382 (1970).
Е. А.^ Т j^p о в, А. П. Т анкее в, М. И. Куркин, ФММ 28, 385 (1969);
ЛИТЕРАТУРА
ОБЩАЯ ЛИТЕРАТУРА
р р р у ьббб к лА А А А Ар р р у ьббб к лА А А А Аагам (1963) (A. Abragam), Ядерный магнетизм, перев. с англ., ИЛ. икосов А. А., X алатников И. М. (1958), УФН 66, 177.
р р р у ьббб к лА А А А А
р р р у ьббб к лА А А А А
и к о с о в, А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е. (1962), Методы квантовой теории поля в статистической физике, Физматгиз, М. лов Н. С. (1939), Ферромагнетизм, ГИТТЛ, М.— Л.
т ш у л е р С. А., Козырев Б. М. (1961), Электронный парамагнитный резонанс, Физматгиз, М.
Ансельм А. И. (1962), Введение в теорию полупроводников, Физматгиз, М.—Л. Аркадьев В. К. (1934), Электромагнитные процессы в металлах, т. I, ОНТИ, М.—Л.
Аркадьев В. К. (1936), Электромагнитные процессы в металлах, т. П, ОНТИ, М.—Л.
А х и е з е р А. И., Берестецкий В. Б. (1959), Квантовая электродинамика, изд. 2-е, Физматгиз, М.
А хие з ер А. И., Барьяхтар В. Г., Пелетминский С. В. (1967), Спиновые волны, «Наука», М.
Бальхаузен (1964) (С. J. Ballhausen), Введение в теорию поля лигандов, перев. с англ.,《Мир», М.
Бардин, Шриффер (1962) (J. Bardeen, J. Schriffer), Новое в изучении сверхпро- ■ водимости, перев. с англ., Физматгиз, М.
Беккер, Деринг (1939) (R. Becker, W. Doring), Ferromagnetismus, Springer Venag, Berlin.
Белов* К. П. (1957), Упругие, тепловые и электрические явления в ферромагнетиках, Гостехиздат, М.
Белов К. П. (1959), Магнитные превращения. Физматгиз, М.
Белов К. П., Белянчикова М. А., Левитин Р. 3., Никитин С. А. (1965), Редкоземельные ферро- и антиферромагнетики, «Наука», М.
Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. (1968), Релятивистская квантовая теория, часть 1 (из серии Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, том IV), изд-во «Наука», М.
Бете (1935) (Н. Bethe) Квантовая механика простейших систем, перев. с нем., ОНТИ, М.
Бете, Зоммерфельд (1938) (Н. A. Bethe, A. Sommerfeld), Электронная теория металлов, перев. с нем., ОНТИ, М.
Бете, Моррисон (1958) (Н. A. Bethe, Ph. Morrison), Элементарная теория ядра, перев. с англ., ИЛ, М.
Бете, Солпитер (I960) (Н. A. Bethe, Е. Е. Salpeter), Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами, перев. с англ., Физматгиз, М.
Бир (1963) (А. С. Beer), Galvanomagnetic Effects in Semiconductors, Acad. Press, London.
Б л а т т, В а й с к о п ф (1954) (J. M. Blatt, V. F. Weisskopf), Теоретическая ядерная физика, перев. с англ., ИЛ, М.
Блатт (1963) (J. М. Blatt), Теория подвижности электронов в твердых телах, перев. с англ., Физматгиз, М.— Л.
Блатт (1964) (J. Blatt), Theory of Superconductivity, Acad. Press, New York, London.
Б л e к м о p (1964) (J. S. Blackmore), Статистика электронов в полупроводниках, перев. с англ., изд-во «Мир», М.
Блин-Стойл (1967) (R. J. Blin-Stoyle), Theories of nuclear moments, Oxford Univ. Press, Oxford.
Блох (1934) (F. Bloch), Молекулярная теория магнетизма, перевод с немецкого- научно-технич. изд-во Украины, Харьков — Киев.
Б
лохинцев
Б
г
школа», М. о л ю б о в
Д. И. (1961), Основы квантовой механики, 3-е изд., изд-во «Высшая
Н. Н. (1949), Лекцп з квантово! статистики, «Радянська школа»,
Б
г
Кихв.
о лю б о в Н. Н., Толмачев В. В., Ширков Д. В. (1958), Новый
метод в теории сверхпроводимости, Изд-во АН СССР, М.
орт (1956) (R. М. Bozorth), Ферромагнетизм, перев. с англ., ИЛ, М.
кий Г. Б. (I960), Введение в кристаллохимию, Изд-во МГУ, М.
м (1965) (D. Bohm), Квантовая теория, 2-е изд., Физматгиз, М.
м (1964) (D. Bohm), Общая теория коллективных переменных, перев. с англ..
3
Б
о н
0p э к а н
В
«Мир», М.
ч-Б руевич В. Л., Т я б лик ов С. В. (1961), Метод функций Грина в статистической физике, Физматгиз, М..
и (1937) (М. Born), Оптика, перев. с нем., ОНТИ, Харьков — Киев.
о н (1957) (J. Bacon), Диффракция нейтронов, перев. с англ. ИЛ, М.
-Ф лек (1932) (J. Н. Van Vleck), Theory of electric and magnetic susceptibilities. Oxford Univ, Press, Oxford.
a
В
в
В
В
н-Ф л е к (1940), Le Magnetism, vol. Ill, Proceedings Magnetism, 1939, pp. 103—151.
еденский Б. А., Ландсберг Г. С. (1929), нетизме, ОГИЗ, М.
on the Strasburg Congress on
Современное учение о маг-
и и
англ.
ИЛ, М.
г н е р (1961) (Е. Wigner), Теория групп, перев. с ь с о н (1953) (А. Н. Wilson), Theory of metals, 2d一 .
Cambridge [см. перевод 1-го издания: А. В и л ь с о н, Квантовая теория металлов, перев. с англ., Гостехиздат, 1941].
ькейнштейн М. В. (1951), Молекулярная оптика, Гостехиздат, М.
л
ed. Cambridge, Univ. Press.
л н н
с о в с к и й С. В. (1953), Современное учение о магнетизме, Гостехиздат, М.
с о в с к и й С. В., Шур Я. С. (1948), Ферромагнетизм, Гостехиздат, М.
а йт л е р (1956) (W. Hei tier), Квантовая теория излучения, перев. с англ., ИЛ, М. е р ц б е р г (1948) (G. Herzberg), Атомные спектры и строение атомов 2-е изд..
с англ., ИЛ, М.
перев.
Гинзбург В. Л. (1946), Сверхпроводимость. Изд-во АН СССР, М.
Г о м б а ш (1952) (Р. Gombas), Проблема многих частиц в квантовой механике, перев. с нем., ИЛ, М.
Г о р т е р (1949) (С. J. Gorter), Парамагнитная релаксация, перев. с англ., ИЛ, М.
Гугенгольц (1967) (N. М. Hugenholtz), Квантовая теория систем многих тел.
дерев, с англ.,《Мир», М.
Г у д и н а ф (1969) (J. В. Goodenough), Магнетизм и химическая связь, перев. с англ., «Металлургия», М.
Давыдов А. С. (1958), Теория атомного ядра, Физматгиз, М.
Да н л э п (1959) (W. С. Dunlap), Введение в физику полупроводников, с англ., ИЛ, М.
Джонс (1968) (Н. Jones), Теория зон Бриллюэна и электронные состояния сталлах, перев. с англ.,《Мир», М.
Дирак (I960) (Р. А. М. Dirac), Принципы квантовой механики, 4-е изд., с англ., Физматгиз, М.
перев.
в кри-
перев,
о о о о л а а а
ф м а н ф м а н ф м а н ф м а н я ш ,е в
Я. Г. (1948), Магнитные свойства атомного ядра, Гостехиздат, М.
Я. Г. (1955), Магнитные свойства и строение вещества, Гостехиздат, М.
Я. Г. (1961), Диамагнетизм и химическая связь, Физматгиз, М.
г Г., Кикоин И. К. (1934), Физика металлов, ГТТИ, М.— Л.
Я. и ч
М. А. (1953), Спектры редких земель, Гостехиздат, М.—Л. (1962) (J. М. Ziman), Электроны и фононы, перев. с англ., ИЛ, М. (1966) (J. М. Ziman), Принципы твердого тела, перев. с англ., 《Мир», М. м о в с к и й А. С., Чудновская Л. А. (1957), Магнитные материалы.
м а н м а н
3 е
Госэнергоиздат, М.
й т ц (1949) (F. Seitz), Современная теория твердого тела, перев. с англ., Гостех-
издат.
Зоммерфельд (1956) (A. Sommerfeld), Строение атома и спектры, тт. I, II, перев. с нем. Гостехиздат, М.
Изюмов Ю. А., Озеров Р. П. (1966), Магнитная нейтронография,《Наука», М. Инграм (1958) (D. J. Е. Ingram), Free Radicals as Studied by Electron Resonance, London.
Инграм (1961) (D. J. E. Ingram), Электронный парамагнитный резонанс в свободных радикалах перев. с англ., ИЛ, М.
Иоффе А. Ф. (1957), Физика полупроводников, Изд-во АН СССР, М.— Л.
Каспере (1964) (W. J. Caspers), Theory of spin relaxation, Interscience, New York.
Каллауэй (1970), (J. Callaway), Теория зонной энергетической структуры, пер. с англ., изд. «Мир», М.
Китайгородский А. И. (1950), Рентгеноструктурный анализ, Гостехиздат, М. К п р ж н и ц А. А. (1963), Полевые методы теории многих частиц, Атомиздат, М. Киттель (1963) (Ch. Kittel), Введение в физику твердого тела, 2-е изд,, перев, с англ., Физматгиз, М.
Киттель (1967) (Ch. Kittel), Квантовая теория твердых тел, перев. с англ.» «Наука», М.
К н е л л е р (1962) (Е. К n е 1 1 е г), Ferromagnetismus, Springer Verlag, Berlin.
К о з м а н (I960) (W. Kausmann), Введение в квантовую химию, перев. с англ., ИЛ, М.
Компанеец А. С.- (1957), Теоретическая физика, 2-е изд. Гостехиздат, М.
Кондон и Ш о р т л и (1949) (Е. V. Condon, G. Shortley) Теория атомных спектров, перев. с англ., ИЛ, М.
Копферман (I960) (Н. Kopfermann), Ядерные моменты, перев. с нем., ИЛ, М.
Коулсон (1965) (Ch. A. Coulson), Валентность, перев. с англ.,《Мир», М.
Кракнелл (1968) (А. Р. Cracknell), Applied Group Theory, Pergamon Press Ltd, Oxford.
Крейк, Теббл (1965) (D. J. Craik, R. S. Tebble), Ferromagnetism and ferromagnetic domains, North Holland Publ. Co., Amsterdam.
Кривоглаз M. А., Смирнов A. A. (1958), Теория упорядочивающихся сплавов, Физматгиз, М.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. (1957), Электродинамика сплошных сред, Гос- техиздат, М.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. (1958), Механика, Физматгиз, М.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. (I960), Теория поля, 3-е изд., Физматгиз, М.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. (1963), Квантовая механика (нерелятивистская теория), 2-е изд., Физматгиз, М.
Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е. М. (1964), Статистическая физика,《Наука», М.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. (1965), Теория упругости, «Наука», М.
Ландау Л. Д., Смородивский Я. А. (1955), Лекции по теории атомного ядра, Гостехиздат, М.
Лившиц Б. Г. (1946), Физические свойства металлов и сплавов7 Машгиз, М.
Лифшиц И. М., А з б е л ь М. Я., Каганов М. И. (1971), Электронная теория металлов, «Наука», М.
Л о р е н т ц (1934) (Н. Lorentz), Теория электронов, перев. с англ. Гостехиздат, М. Л оу (1962) (W. Low), Парамагнитный резонанс в твердых телах, перев. с англ., ИЛ, М. Любарский Г. Я. (1957), Теория групп п ее применение в физике, Гостехиздат, М. Маделунг (I960) (Е. Madelung), М атематический аппарат физики, перев. с англ.. Физматгиз, М.
Маттис (1967) (D. С. Mattis), Теория магнетизма (Введение в изучение кооперативных явлений), перев. с англ.,《Мир», М.
Мендельсон К. (1963) (Mendelson), Физика низких температур, перев. с англ., ИЛ, М.
М и г д а л А. Б. (1965), Теория конечных ферми-систем и свойства атомных ядер, «Наука», М.
М о р р и ш (1965) (А. Н. Morrish), The Physical Principles of Magnetism, John Wiely et Sons, Inc., N. Ym.
Mope,① етбах (1958) (P. M. Morse, H. Feshbach), Методы теоретической физики, т. I, перев. с англ., ИЛ, М.
Морс,Фешбах (I960) (Р. М. Morse, Н. Feshbach), Методы теоретической физики, т. II, перев. с англ., ИЛ, М.，
Мотт, Джонс (1936) (N. F. Mott, Н. Jones), The theory of the properties of Metals and Alloys, Oxford univ. press, Oxford.
Нокс, Голд (1970) (R. S. Knox, A. Gold), Симметрия в твердом теле, перев. с англ., «Наука», М.
О р м о н т Б. Ф. (1950), Структура неорганических веществ, Гостехиздат, М.
П а й е р л с (1956) (R. Peierls), Квантовая теория твердых тел, перев. с англ., ИЛ, М.
Пайне (1955) (D. Pines), Solid State Physics, Vol. I, Acad. Press, N.Y.
Пайне (1963) (D. Pines), Проблема многих тел, перев. с англ., ИЛ, М.
Пайне, Н о з ь е р (1967) (D. Pines, Ph. Nozieres), Теория квантовых жидкостей. Нормальные ферми-жидкости, перев. с англ.,《Мир》,М.
П е й it (1965) (G. Е. Раке), Парамагнитный резонанс, перев. с англ.,《Мир», М.
Поливанов К. М. (1957), Ферромагнетики, Госэнергоиздат, М.— Л., Л1.
П р а т т о н (1967), (М. Prutton), Тонкие ферромагнитные пленки, перев. с англ., изд-во «Судостроение», Л.
Р а б к и н Л. И. (I960), Высокочастотные ферромагнетики, Физматгиз, М.
Рамзей (1953) (N. F. Ramsey), Nuclear Moments, Wiley, New York.
P а м 3 e й (I960) (N. F. Ramsey), Молекулярные пучки, перев. с англ., ИЛ, М.
Реймс (1963) (S. Raimes), The wave mechanics of electrons in metals, North-Holland Publish. Comp., Amsterdam.
Селвуд (1958) (P. Seiwood), Магнетохимия, перев. с англ., ИЛ, М.
С и т а д з е, Сато (1964) Ферриты, перев. с япон., «Мир», М.
Смарт (1968) (J. S. Smart), Эффективное поле в теории магнетизма, перев. с англ., 《Мир», М.
Смит (1957) (К. F. Smith), статья из сб.《Progress Nuclear Physics» 6, 52—107.
Смит, Вейн (1962) (J. Smit, Н. Р. J. Wijn), (ферриты (физические свойства и практические применения), перев. с англ., ИЛ, М.
Снеддон (1955) (I. Sneddon), Преобразования Фурье, ИЛ, М.
С н о е к (Снук) (1949) (J. L. Snoek), Исследования в области новых магнитных материалов, перев. с англ., ред. и дополнения С. В. Вонсовского, ИЛ, М.
Соколов А. В. (1961), Оптические свойства металлов, Физматгиз, М.
Собельман И. И. (1963), Введение в теорию атомных спектров, Физматгиз, М.
Стонер (1964) (Е. Stoner), Magnetism and matter, Methuen a. Co., London.
С у x у (1967) (R. F. Soohoo), Магнитные тонкие пленки, перев. с англ., «Мир», М.
Тамм И. Е. (1956), Основы теории электричества, изд. 6-е, Гостехиздат, М.
Т а у л е с (1963) (D. Thouless), Квантовая механика систем многих частиц, перев. с англ., ИЛ, М.
Т е р-Х а а р (1961) (D. Тег Нааг), Введение в физику систем многих частиц, перев. с англ., ИЛ, М.
Туров Е. А. (1963), Физические свойства магнитоупорядоченных кристаллов, Изд-во АН СССР, М.
Туров Е. А., Петров М. П. (1969), Ядерный магнитный резонанс в ферро- и антиферромагнетиках, «Наука», М.
Турчин В.①.(1963), Медленные нейтроны, Госатомиздат, М.
Тябликов С. В. (1965), Методы квантовой теории магнетизма, изд-во «Наука» М.
Фрезер (1931) (R. G. S. Fraser), Molecular Rays, Cambridge Univ. Press, Cambridge. Фрёлих (1936) (H. Frohlich), Elektronentheorie der Met all, Springer Verlag, Berlin. Френкель Я. И. (1956), Собрание избранных трудов, т. I, Электродинамика, (Общая теория электричества), Изд-во АН СССР, М.— Л.
Френкель Я. И. (1935), Электродинамика, Т. II, ОНТИ, М・一Л.
X а м е р м е ш (1966) (М. Hamermesh), Теория групп и ее применений к физическим проблемам, перев. с англ., «Мир»,. М.
X ансен (1941) (М. Hansen), Структура бинарных сплавов, тт. I и II, перев. с англ., Металлургиздат, М.
Хансе н,Андерко (1962) (М. Hansen, К. Anderko), Структура двойных сплавов, перев. с англ., Металлургиздат, М.
Харрисон (1968) (W. A. Harrison), Псевдопотенциалы в теории металлов, перев. с англ., «Мир», М.
X а р т р п (I960) (D. R. Hartree), Расчеты атомных структур, перев. с англ., ИЛ. Хвольсон О. Д. (1923), Курс физики, т, 5, Госиздат РСФСР, Берлин.
Хейне (1963) (V. Heine), Теория групп в квантовой механике, перев.'с англ., ИЛ.
X у н д (1927) (F. Hund) Linienspektren und periodishen Sistem der Elemente, Springer Verlag, Berlin.
Цидильковский И. M. (I960), Термомагнитные явления в полупроводниках Физматгиз, М.
Чикацуми (1964) (S. Chikazumi), Physics of magnetism, Wiley, New York.
Шенберг (1955) (D. Shoenberg), Сверхпроводимость, перев. с англ., ИЛ, М. Шифф (1957) (L. I. Schiff), Квантовая механика, 2-е изд., перев. с англ., ИЛ, М. Шокли (1953) (W. Shockley), Теория электронных полупроводников, перев. с англ.. ИЛ, М.
Шпольский Э. В. (1963), Атомная физика, изд. 5-е, т. I, Физматгиз, М.
Шпольский Э. В. (1950), Атомная физика, изд. 3-е, т. II, Гостехиздат, М.
Шютц (1936) (S. W. Schutz), Magnetooptik (ohne Zeeman-effekt), Handb. Experimental Physik, Bd. 16/1, Springer Verlag, Berlin.
Ю ц и с А. П., Левинсон И. Б., В а к а г а с В. В. (I960), Математический аппарат теории момента количества движения, Госполитнаучиздат, Литовской ССР, Вильнюс.
Ю ц и с А. П., Бандзайтис А. А. (1965), Теория момента количества движения в квантовой механике, изд-во «Минтис», Вильнюс.
СБОРНИКИ ПО РАЗЛИЧНЫМ ВОПРОСАМ МАГНЕТИЗМА
ОТДЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ МАГНЕТИЗМА
Современные проблемы электромагнетизма, ред. В. К. Аркадьев, Изд-во АН СССР, М., 1931.
Проблемы электротехнического металла, ОТН АН СССР, ред. В. К. Аркадьев, Изд-во АН СССР., М, 1938.
Практические проблемы электромагнетизма, ред. В. К. Аркадьев, изд-во АН СССР, М.— Л., 1939.
Le Magnetism, Vol. 2, Vol. 3, Strassbourg, 1940.
Проблемы ферромагнетизма и магнетодинамики, ред. В. К. Аркадьев, Изд-во АН СССР, М・一Л., 1946.
Проблемы современной физики, серия 3, вып. 5, «Ферромагнетизм», ИЛ, М., 1951.
Проблемы современной физики, 4-й год изд., вып. 5, «Ферромагнетизм I», ИЛ, 1952.
Проблемы современной физики, 5-й год изд., вып. 2, «Ферромагнетизм», ИЛ, 1953.
Проблемы современной физики, 6-й год изд., вып. 6, «Ферромагнетизм», ИЛ, 1954.
Проблемы современной физики, вып. 8, ИЛ, 1958.
Beitrage zur Theory des Ferromagnetismus und des Magnetisierungs kurve, Springer Verlag, Berlin, 1956.
High Magnetic Fields, New York, 1962.
Парамагнитный резонанс, ред. С. А. Альтшулер и Б. М. Козырев, изд. Казанского ун-та, Казань, 1960.
Ферромагнитный резонанс, ред. С. В. Вонсовский, Физматгиз, 1961.
Антиферромагнетизм и ферриты, вып. 4 из серии «Итоги науки», Физико-математические науки, Изд-во АН СССР, М. 1962.
Micromagnetics, Ed. Р. Е. Marshak, Interscience publ. (J. Wiley et sons, Inc.), New York, 1962.
Magnetic and electric resonance and relaxation (Proc, of the 10th. colloque Amperee, Einethven, July 2—7, 1962), ed. J. Smidt, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1963.
Paramagnetic Resonance, ed. W. Low, vol. II, Acad. Press, New York, 1963.
Paramagnetische Elektronenresonans in Halbleitern, Festkorper Probleme II. Braunschweig, 1963.
Magnetism, vol. I, Magnetic Ions In Insulators, their Interactions, Resonances and Optical Properties, ed. G. T. Rado, H. Suhl, Acad. Press, New York, 1963.
Magnetism, vol. IIA, Statistical Modele, Magnetic Symmetry, Hyperfine Interactions and Metals, ed. G. T. Rado, H. Suhl, Acad. Press, New York, 1965.
Magnetism, vol. IIB, Interactions and Metals, ed. G. T. Rado, H. Suhl, Acad. Press, New York, 1966.
Magnetism, vol. Ill, Spin Arrangements and Crystal Structure, Domains and Micromag- netics, ed. G. T. Rado, H. Suhl, Acad. Press, New York, 1963.
Magnetism, vol. IV, C. Herring, Exchange Interactions among I tinerent Electrons, ed. G. T. Rado, H. Suh.1, Acad. Press, New York, 1966.
Тонкие ферромагнитные пленки, перев. с нем., ред. Р. В. Телеснин, «Мир», 1964.
Парамагнитный резонанс, изд. Казанского Гос. ун-та, Казань, 1964.
Спектроскопия и магнетооптика магнитоупорядоченных кристаллов, ч. I, Антиферромагнетики; ч. II, Ферриты и ферромагнетики, Харьков, 1966.
Magnetismus, Structur and Eigenshaften magnetischen Festkorpers, VEB Deutsch, Verlag fiir Grundstoffindustrie, Leipzig, 1967.
Б. СБОРНИКИ ПЕРЕВОДОВ
Физика ферромагнитных областей, под ред. С. В. Вонсовского, ИЛ, 1951.
Ферромагнитный резонанс и поведение ферромагнетиков в переменных магнитных полях, под ред. С. В. Вонсовского, ИЛ, 1952.
Антиферромагнетизм, под ред. С. В. Вонсовского, ИЛ, 1956.
Магнитная структура ферромагнетиков, под ред. С. В. Вонсовского, ИЛ, 1959.
Магнитные свойства металлов и сплавов, под ред. С. В. Вонсовского, ИЛ, 1961.
Теория ферромагнетизма металлов и сплавов, под ред. С. В. Вонсовского, ИЛ, 1963.
Электронная структура переходных металлов и химия их сплавов, под ред. Я. С. Уманского, Р. А. Суриса, «Металлургия», 1966.
СБОРНИКИ ПО РАЗЛИЧНЫМ ПРОБЛЕМАМ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА,СОДЕРЖАЩИЕ ОТДЕЛЬНЫЕ ОБЗОРЫ ПО ВОПРОСАМ МАГНЕТИЗМА
Труды Института физики металлов, АН СССР, вып. 12, Изд-во АН СССР, М., 1949.
Труды Института физики металлов АН СССР, вып. 15, Изд-во АН СССР, М., 1954.
Труды Института физики металлов АН СССР, вып. 20, изд-во РИСО УФАН, Свердловск, 1958.
Труды Института физики металлов АН СССР, вып. 22, изд-во ИФМ АН СССР, Свердловск, 1959.
Труды Института физики металлов АН СССР, вып. 27 (некоторые вопросы магнетизма и прочности твердых тел), изд-во ИФМ АН СССР, Свердловск, 1968.
Симметрия и структура кристаллов Изд-во АН СССР, 1949.
Thermodynamics in Physical Metallurgy, Cleveland, 1950.
Сборник, посвященный 70-летию акад. А. Ф. Иоффе, Изд-во АН СССР, 1950.
Сборник памяти С. И. Вавилова, Изд-во АН СССР, 1952.
Сборник памяти Г. С. Ландсберга, Изд-во АН СССР, 1959.
Вопросы теории и применения редкоземельных металлов, «Наука», 1964.
Итоги науки, Физика твердого тела (теория твердого тела), Изд-во АН СССР, Институт научной информации, 1965.
Справочник по симметрии и физическим свойствам кристаллических структур, изд. МГУ, 1966.
Спектроскопия кристаллов,《Наука», 1966.
Г. СБОРНИКИ ПЕРЕВОДОВ ПО РАЗЛИЧНЫМ ПРОБЛЕМАМФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА,СОДЕРЖАЩИЕ ОТДЕЛЬНЫЕ СТАТЬИ И ОБЗОРЫПО ВОПРОСАМ МАГНЕТИЗМА
Сдвиг уровней атомных электронов, под ред. Д. Д. Иваненко, ИЛ, 1950.
Полупроводниковые материалы, под ред. В. М. Тучкевича, ИЛ, 1954.
Новейшее развитие квантовой электродинамики, под ред. Д. Д. Иваненко, ИЛ, 1954.
Электрофизические свойства германия и кремния, под ред. А. В. Реканова, «Советское радио», 1956.
Проблемы физики полупроводников, под ред. В. Л. Бонч-Бруевича ИЛ, 1957.
Вопросы квантовой теории многих тел, под ред. В. Л. Бонч-Бруевича, ИЛ, 1959.
Физика низких температур, под ред. А. И. Шальникова, ИЛ, 1959.
Теория сверхпроводимости, под. ред. Н. Н. Боголюбова, ИЛ, 1960.
Эффект Мессбауера, под ред. Ю. М. Каган, ИЛ, 1962.
Лазеры, оптические когерентные квантовые генераторы и усилители, под ред. И. Е. Жаботинского, Т. Н. Шмаонова, ИЛ, 1963.
Д. ЗАРУБЕЖНЫЕ СБОРНИКИ, СОДЕРЖАЩИЕ ОТДЕЛЬНЫЕ СТАТЬИИ ОБЗОРЫ ПО РАЗЛИЧНЫМ ВОПРОСАМ МАГНЕТИЗМА,
А ТАКЖЕ ОТДЕЛЬНЫЕ ТОМА ПРОДОЛЖАЮЩИХСЯ ИЗДАНИЙ
Semiconducting materials, Butterworths Sci. Publ. Ltd, London, 1951.
Defects in Crystalline Solids, Bristol, 1954.
Adv. in Electronics, vol. 2, Acad. Press, New York, 1950.
Advances in Electronics and Electron Physics, vol. 6, Acad. Press, New York, 1954. Reports on ProgressinPhysics,vol.15, Publ.Inst.Phys,and Phys.Soc.,London,1952.
Reports on ProgressinPhysics,vol.16, Publ.Inst.Phys,and Phys.Soc.,London,1953,
Reports on ProgressinPhysics,vol.18, Publ.Inst.Phys,and Phys.Soc.,London,1955.
Reports on ProgressinPhysics,vol.21, Publ.Inst.Phys,and Phys.Soc.,London,1958.
Reports on ProgressinPhysics,vol.23, Publ.Inst.Phys,and Phys.Soc.,London,1960.
Reports on ProgressinPhysics,vol.28, Publ.Inst.Phys,and Phys.Soc.,London,1965.
Reports on Progress in Physics, vol. 29, p. I, II, Publ. Inst. Phys, and Phys. Soc., London, 1966.
Reports on Progress in Physics, vol. 30, don, 1967.
Solid State Physics, Bd. I, ed. F. Seitz,
p. I, II, Publ. Inst. Phys, and Phys. Soc., Lon-
D. Turnbull, Acad. Press, New York, 1955.
Solid State Physics, Bd. 2, Bd. 3, ed. F. Seitz, D. Turnbull, Acad. Press New York, 1956.
Solid Solid Solid Solid Solid
State State State State State
Physics, Physics, Physics, Physics, Physics,
Bd.
Bd.
Bd.
Bd.
Bd.
5, ed. F. Seitz, D. Turnbull,
11,
ed. F. Seitz, D. Turnbull,
ed. F. Seitz, D. Turnbull,
ed. F. Seitz, D. Turnbull,
17,
ed. F. Seitz, D. Turnbull,
Acad. Acad. Acad. Acad. Acad.
Press, Press, Press, Press, Press,
New York, New York, New York, New York, New York,
Solid State Physics, Bd. 20, ed. F. Seitz, D. Turnbull, H. Ehenreich, York, 1967.
Solid State Physics, Bd. 21, ed. F. Seitz, D. Turnbull, H. Ehrenreich, York, 1968.
Solid State Physics, Bd. 22, ed. F. Seitz, D. Turnbull, H. Ehrenreich,
Acad.
Acad.
Acad.
Press,
1957.
1960.
1962.
1963.
1965.,New
Press,
New
Press,
New
York, 1968.
Solid State Physics, Supplement 4, ed. F. Seitz, D. Turnbull, A. C. Beer, Galvanomagnetic Effects on semiconductors, Acad. Press, New York, 1963.
Progress in Low Temperature Physics, vol. 1, ed. C. Gorter, North Holland Publ. Comp., Amsterdam, 1955.
Progress in Low Temperature Physics, vol. 2, ed. C. Gorter, North Holland Publ. Comp., Amsterdam, 1957.
Progress in Low Temperature Physics, vol. 3, ed. C. Gorter, North Holland Publ. Comp.; Amsterdam, 1961.
Progress in Low Temperature Physics, vol. 4, ed. C. Gorter, North Holland Publ. Comp., Amsterdam, 1964.
Progress in Low Temperature Physics, vol. 5, ed. C. Gorter, North Holland Publ. Comp., Amsterdam, 1967.
Handbuch der Physik, ed. S. Fltigge, Bd. 16, Springer Verlag, Berlin, 1958.
Handbuch der Physik, ed. S. Fliigge, Bd. 18/2, Springer Veilag, Berlin, 1966.
Handbuch der Physik, ed. S. Fliigge, Bd. 18/1 Springer Verlag, Berlin, 1968.
Progress in Semiconductors, ed. A. F. Gibson, F. A. Kroger, R. E. Burgness, vol. 1, Heywood Sci. Book, London, 1956.
Progress in Semiconductors, ed. A. F. Gibson, F. A. Kroger, R. E. Burgness, vol. 4, Heywood Sci. Book, London, 1959.
Progress in Semiconductors, ed. A. F. Gibson, F. A. Kroger, R. E. Burgness, vol. 5. Heywood Sci. Book, London, 1960.
Progress in Semiconductors, ed. A. F. Gibson, F. A. Kroger, R. E. Burgness, vol. 6, Heywood Sci. Book, London, 1962.
The Fermi Surface, ed. W. A. Harrison, M. B. Webb, J. Wiley a. Sons, Inc., New York, London, 1960.
Progress in very high pressure research, Acad. Press, New York, 1961.
The Rare Earths, ed. F. H. Spedding, A. H. Daane, Wiley, New York, 1961.
Inelastik Scattering of Neutrons in Solids and Liquids, IAEA, Chalk River, 1962.
Modern Probleme der Metallphysik, Herausgegeben von A. Seeger, Bd. 1 und 2, Springer Verlag, Berlin, 1966.
ВСЕСОЮЗНЫЕ И МЕЖДУНАРОДНЫЕ КОНФЕРЕНЦИИПО РАЗЛИЧНЫМ ВОПРОСАМ МАГНЕТИЗМА
Свердловск (1946), Изв. АН СССР, сер. физ. И, № 5, 463—579; № 6, 593—700 (1947).
Гренобль (1950), J. phys. rad. 12 № 11 (1951).
Свердловск (1951), Изв. АН СССР, сер. физ. 16, № 4, 387—520; № 5, 523—620 (1952).
Вашингтон (1952), Rev. Mod. Phys. 25, № 1, 1—351 (1953).
Ленинград (1954), Изв. АН СССР, сер. физ. 18, № 3, 307—416; № 4, 419—520 (1954).
Харьков (1954), Изв. АН СССР, сер. физ. 19, № 4, 387—488 (1955).
Казань (1955), Изв. АН СССР, сер. физ. 20, № 11, 1199—1356 (1956).
Москва (1956), Изв. АН СССР, сер. физ. 21, № 6, 787—904; № 8, 1038—1212; № 9, 1215-1336 (1957).
Ленинград (1957), Изв. АН СССР, сер. физ. 22, № 10, 1159—1292 (1958).
Вашингтон (1957), J. Appl. Phys. 29, 237—545 (1957).
Гренобль (1958), J. phys. rad. 20, 70—442 (1959).
Филадельфия (1958), J. Appl. Phys. 30, № 2, Suppl. 1 S — 323 S (1959).
Кливленд (1958), Сб. «Магнитные свойства металлов и сплавов», перев. с англ., ИЛ,
М. (1961),
Детройт (1959), J. Appl. Phys. 31, № 2, SuppL, IS— 419 S (i960).
Казань (1-959), Сб. «Парамагнитный резонанс», Изд-во Казанского ун-та, Казань (I960).
Минск (1959), Сб. «Ферриты», Изд-во АН БССР, Минск (i960).
Нью-Йорк (I960), J. Appl. Phys. 32, № 3, Suppl. IS— 399 S (19 61).
Ленинград (1961), Изв. АН СССР, сер. физ. 25, № 11, 1314—1432; № 12, 1434—1536 (1961).
Феникс (19 61), J。Appl. Phys. 33, № 3, 1019—1387 (19 62).
Киото (1961), J. Phys. Soc. Japan 17, BI, 1—718; В III, 1—71 (1962).
Орсей (1962), J. phys. rad. 23, 449—577 (1962).
Питтсбург (1962), J. Appl. Phys. 34, 1005—1390 (1963).
Атлантик-Сити (1962), J. Appl. Phys. 35, 737—1106 (1964).
Ноттингем (1964), Proc. Int. Conf. Magnetism. Inst. Phys, and Phys. Soc., London (1965).
Миннеаполис (19 64), J. Appl. Phys. 3 6, 877—1280 (19 65).
Свердловск (1965), Изв. АН СССР, сер. физ. 30, № 6, 906—1084 (1966).
Нью Йорк (1965), J. Appl. Phys. 37, 939—1490 (1966).
Вашингтон (1966), J. Appl. Phys. 38, 913—1530 (1967).
Бостон (1967), J. Appl. Phys. 39, 363—1390 (1968).
Иркутск (1968), Сб. «Физика магнитных пленок», Иркутск, 1968.
Нью-Йорк (1968), J. Appl. Phys. 40, 915—1608 (1969).
Филадельфия (1967), J. Appl. Phys. 41, 847—1442 (1970).
Гренобль (1970), J. phys. rad. 32, № 2—3, CI, 1—1189 (1971).
Красноярск (1971), Изв. АН СССР, сер. физ. 36, № 5— 6 (1972).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адиабатическое размагничив ание 374, 375, 688
Азбеля — Канера резонанс 21, 266, 267
———на наклонных орбитах 275, 276
Акцепторы 229, 230
Альфвена гидродинамические волны 361
Ампера гипотеза 18, 43
—закон 43
—теорема 18
——обобщенная 48
Аномалия спина электрона 24, 32, 39, 157
Антиферромагнетизм 10, 389, 398, 679
—нескомпенсиров анный 391, 398
—скомпенсированный 398
—,теория квазиклассическая 702—714
—, — термодинамическая 714—718
Антиферромагнетизма направления 680 Антиферромагнетики 17, 61, 64, 389, 680 и д.
—,магнитоэлектрический эффект 758, 759
—,оптические процессы 964
—,пьезомагнетизм 758, 759
——,слабый ферромагнетизм 680, 749— 759
一，一продольный 757, 758
—, — —,спиновые волны 755—757
—слоистые 759, 760
——,метамагнетизм 760, 761
—,теория спиновых волн 718—724
Антиферромагнитные металлы 761, 762
Антиферромагнитный порядок 61, 65, 391, 398, 679
——нескомпенсированный 61, 391, 398
——скомпенсированный 61, 398
—резонанс 902, 903
Аптиферромагноны 722
Атомное ядро, магнетомеханическое отношение 38
——,магнитные моменты 36, 37, 38
Барнета опыт 394—396
—эффект 393—396
Бина опыты 99
Био и С авара закон 41
Блоха закон ТЗ/2 дЛЯ намагниченности 475, 655
—уравнение 296
—функция 189
Бозе — Эйнштейна статистика 468, 475
Больцмана кинетическое уравнение 257, 263, 320, 336
— статистика 360
Бора магнетон 24, 32, 58, 375
Бора магнетон эффективный 212
— правила квантования 197
——ядерный магнетон 36, 58, 375
Браве решетка 190
Бриллюэна зона 190, 192, 206, 214, 229
——первая (приведенная) 190, 193, 489
—функция 109, 123, 500, 686
Ван-Леевен — Терлецкого теорема 20, 54, 70, 170
Вейсса молекулярное поле 391, 400, 409
———,постоянная 402
Вещества сильномагнитные 60
—слабомагнитные 60
Вигнера интерполяционная формула 202
—теорема 140
Вика теорема 500
Водорода молекулы теория 456
Восприимчивость диамагнитная металлов 206
——электронного газа 177, 178
—динамическая 278, 280
—измеренная 166
—парамагнитная 107, НО, 216, 220
——ионов редких земель 121
——молекул 128
——一переходных металлов 217
——полупров одника 246
——щелочных металлов 203
——электронного газа 171
—полупроводника 235, 247, 251
—постоянная 166
—чистого парамагнитного металла 166
Вульфа — Брегга условие 594, 989
Гайтлера —— Лондона —— Гейзенберга модель 459, 544
Гальваномагнитные явления 313, 316 “
Гаусманит 724, 726
Гаусса теорема 42, 44
Гейзенберговский обменный интеграл 459
Гейслеровы сплавы 615, 1011
Геликоны 360—362
Гиперзвук 301
Ги рации вектор 348
Гиромагнитное отношение 24
——в парамагнетике 162, 163
———一переходных металлах 222, 223
———сверхпроводнике 103
Гиромагнитный эффект в диамагнетиках 76, 103
———парамагнетиках 163
———сверхпроводниках 102
———ферромагнетиках 393, 455
Гиротропная среда 348, 350
Гранат 64, 418, 679, 724, 726 и д.
Грина функций метод 492—498, 578, 587, 588
Группы, непересекающиеся классы сопря- я^енных элементов 138
—— представлений 134
——,базис 134
— —неприводимые 135—140, 151
— — приводимые 135
——,размерность 134
——,характер 138
——сопряженный элемент 138
Движение инфинитное 195, 196 — финитное 195, 197 Двухзонная модель 325 Дебаевская длина волны 188 —температура 326, 931 —частота колебания решетки 93 Де Бройля длина волны 194 Де Гааза — ван Альфена эффект 63, 183, 198, 199, 207—215, 274, 302, 359
—————в переходных металлах 214, 223
———и диамагнетизм 209
—「一，теория 181, 182, 207 Дейтерон 36
—,магнитный момент 37
Диаграммная техника 215, 499—503 Диамагнетизм 16, 69 —атомов 77 —газов 62
——жидкостей и кристаллов 63
—ионных остовов 62, 187
—ионов 78—80, 161
——молекул 80—82
——переходных металлов 219
—поляризационный 71'
一 прецессионный 71, 75, 111 —сверхпроводников 63
——электронов проводимости металлов и полупроводников 63
Диамагнетики 45, 58, 71
—,кривая намагничивания 46 Диамагнитные металлы 103, 104 Диамагнитный эффект 16, 35, 58, 69 ———ядерный 69 Дирака монополь 33, 41 ——,масса покоя 33 Дислокации 246 Диссипативные силы 466 Домены 19, 388, 774 и д.
—,блоховская граница 796
—,гипотеза Вейсса 20, 774
——,границы раздела 794
—,граничный слой 796—799
—,микромагнетизм 799
Доноры 229, 230
Дорфмана опыт 392
Дрессельхауза опыт 201, 259
Друде ——Зинера формулы 959, 960 ДрУДе ——Лорентца электронная теория 9, 254
Дырки в металлах 332
Есаки эффект 335
Зеемана эффект 84, 283, 355, 1004 ——аномальный 24
——на примесных уровнях 357
———экситонах 357
— — ядерный 1004
Зеемановские уровни 254, 281, 285, 292, 300
Зеемановский сдвиг энергии 157
Зеемановское расщепление уровней 29 — 32, 57, 280, 292
Зонная структура 672
—теория 189—201, 220, 223, 229
————одноэлектронная 187
Изотопический спин 94
Интерметаллические соединения 1011
Капицы линейный закон 324, 327, 333
Квантовая жидкость 92
——,заряженная ферми-жидкость 92
——,незаряженная бозе-жидкость 92
Квантовое число главное 25
——магнитное орбитальное 25
———спиновое 24, 25
——орбитальное 25
Кварков гипотеза 10, 15, 36
Керра магнетооптический эффект в ферромагнетиках 359, 360, 817. 9§9, 962—964
Кинетические эффекты 313, 562, 563
Колера правило 325, 326
———,диаграмма Юсти — Колера 326
Компенсация в металлах 332
Кондо температура 970
—эффект 969—974
——и магнитный порядок 971, 972
— — — сверхпроводимость 972
— —,теория 969—971
К онтинуа л ьно е интегрирование 440
Косвенная обменная связь в ферри- и антиферромагнетиках 687—702
———,схема Крамерса — Андерсона 687-691
Коэрцитивная сила 46, 840
Коэффициент размагничивания 47
Крамерса — Гейзенберга дисперсионная формула 355
Крамерса — Кронига соотношение 278-
Крамерса теорема 152, 153
Криомагнитные аномалии 125
Кронекера символ 157, 467
Кубо метод 120
— —в теории парамагнитного резонанса
Куперовские пары 93, 95. 99. 102. 440. 965
Кюри — Вейсса закон 62, 124, 373, 404 и д.
Кюри закон 19, 62, 117, 120, 124, 174, 373 и д.
—постоянная 62
—точка 19, 4 6, 60—64, 387, 401 и д.
——антиферромагнитная 390
—— 一,влияние давления 419, 420
——,критические явления 431—438
— —парамагнитная 62, 371, 412, 413
—— 一 一 редкоземельных металлов 567» 589
——ферромагнитная 412, 413
Лазер 293, 360 .
Ландау диамагнетизм 10, 175 и д.
—критерий 92, 93
—теория ферромагнитных превращений 422—427
—уровни 175—177, 180 и д.
—формула 186
Ланде фактор 27 и д. 576
——一для ферромагнетиков 895
Ланжевена функция 108, 122, 178
——обобщенная 109
Ланжевена —— Дебая формула 111
Лапласа уравнение 155
— преобразования 182
Ларморова частота 32, 39, 70, 107, 289
Лемб-ризерфордовское смещение 32
Ленца правило 16
Лигандное поле 131, 132, 133, 143, 148, 283, 672
——в редкоземельных металлах 574
— —,гамильтониан 132
Лорентцевская поправка 162
Лоренца сила 65, 176, 215, 390
— уравнение 195, 196
Магнетики 16, 58, 59, 166
—с обменной анизотропией 64
Магнетоакустические явления в металлах 302“
———一一,акустический циклотронный резонанс 302
————,магнетоакустические осцилляции 302
————,пространственный магне- тоакустический резонанс 302
——————,спин-акустический резо
нанс в парамагнитных металлах 303
Магнетокалорический эффект 368, 372, 378, 404—407
— — в ферромагнетиках 917, 918
Магнетомеханическое отношение 24, 895
———орбитальное 25
Магнетооптические явления 346—363
— — в металлах 360
—— ——一полупроводниках 357—360
— —,эффект Коттона — Мутона (Фох- та) 346, 351—359
——,—Фарадея 346, 351—359
———,———полярный отражательный 360
— —, — —,постоянная Верде 351
Магнетоплазменные явления 278, 359
Магнетоплумбит 724, 726
Магнетосопротивление 43, 258, 316, 318,
320, 323, 941
Магнитная восприимчивость 45, 47
——атомная 45
——диамагнитная 70, 71
———,анизотропия 73, 76
———атомов 74
———инертных газов 78, 79
—一 —ионов 75
———一молекул 76
———ртути 78
— — дифференциальная 46
———,кривая Столетова 46
——максимальная 46
——一молекулярная 45
——начальная 46
——тела. 47
—вязкость 878—881, 903—906
——,дезаккомодация 904
——,сверхвязкость 906
— индукция 45—48
—нейтронография 10, 21, 397, 398, 686, 987—993
——антиферромагнетиков 686, 687
——в редкоземельных металлах 568— 571
——,рассеяние нейтронов критическое 992
Магнитная нейтронография, рассеяние нейтронов неупругое 991, 992
——,——парамагнитное 993
— —, — — упругое 989—991
—проницаемость 47
——тела 47
Магнитное насыщение 386
—охлаждение 368—380
——,магнетокалорический эффект 368, 372, 378
——,метод адиабатического размагничивания 374, 375
— —, — — —, время релаксации 375
——ядерноё 374—376
—поле 16, 18
——эффективное 60
—экранирование 83
Магнитной проницаемости дисперсия 878—881
— — —,влияние доменной структуры 881-886
Магнитные материалы 853—861
——высококоэрцитивные 823,853,
856—861
——мягкие 853—856
——примеси в кристаллах 630—638
————,взаимодействие примесей 659—664
————,спин-волновая теория 651 — 658
—фазовые переходы второго рода -417— 430, 438—440
— — — —теория 438, 439
— — — —термодинамика 417
Магнитный диполь 43, 44
—заряд 43
—момент 16, 43, 44, 48
——атома 115
——一орбитальный оболочки многоэлектронного атома 25
——————一результирующий 27
———одноэлектронного атома 25
——парамагнитный 16
—потенциал 44
—пробой 214, 215
——и геликоны 215
———магнетоакустическое затухание 245
———циклотронный резонанс 215
.—резонанс 254
——плазмы 259 .
Магнитострикции константы 780. 919, 920
—кривые 919
—^―, связь с магнитной текстурой Магнитострикционные деформации 773,
—колебания 925
Магнитострикция парапроцесса 922, 933
Магноны 964, 965
М агнитофононный резонанс 338, 339
Мазер 293
Максвелла — Больцмана статистика 169,
337, 340, 341
——функция распределения 232, 46.9
Малые электронные группы 207
Мейсснера эффект 63, 91, 94—97, 101
Мессбауэра эффект 10, 21. 637. 987.
1000—1011
——,спектры 1004—1010
Металлические сплавы слабые 166
Металлы переходные, характеристики *516, 516
—слабомагнитные 166
——нормальные 166, 206
——переходные 166, 204, 216
———,диамагнетизм 219
— — —,эффект де Гааза — ван Аль- фена 214
Метамагнетики 7 60
АТеханострикция 920
Молекулярное поле, метод Бете — IIай- ерлса —— Вейсса 415
——,феноменологическая теория 400—
Мотта двухзонная модель 218
Найта смещение 175, 996
Намагниченность 44, 45, 107
—остаточная 46
—самопроизвольная 386, 387
Намагничиватше истинное 386
—техническое 386
Напряженность магнитного поля 17
———токов 48
Нееля точка 63, 64, 390 и д., 7 29
——,влияние давления 419, 420
Нейтрон 36
——,длина волны де Бройля 988
—,магнитный момент 36
—,сечение ядерного рассеяния 988
Неопределенности соотношения 189
Нернста теорема 369, 736
—эффект 316
Нернста — Эттингсгаузена эффект 317
— — спонтанный эффект 956, 958
Нулевые колебания 93
Обменная энергия 397, 456—458
Обменное электростатическое взаимодействие 61, 65, 187, 203, 289, 392, 434, 463
Обменной энергии оператор по Гейзенбергу 460, 680
Обменносвязанные пары в диамагнетике 162
Обменный интеграл 458
Обратная решетка 195
Обратной решетки вектор 189
——пространство 190
Онзагера соотношения 314, 315, 339, 340, 948'
Орбитальные моменты, з амо ражив ани е
124, 130, 148—150, 157, 222, 574
— —,размораживание 149, 156, 157
Ортоферриты 724
Осциллятор линейный гармонический 176
Осцилляций магнетооптических эффект
Осцилляционные эффекты 10, 21, 197 — 199, 215, 338
——термомагнитные 340, 341
Пайерлса формула 204
Парамагнетизм 107
— ванфлековский 35, 71, 75, 83, 111
——в переходных металлах 222, 223
— — индуцированный 85, 161
——собственный 86
—газов 62
—ионный в конденсированной фазе 62
— ионных остовов в кристаллах 63
—кислорода 72
Парамагнетизм молекул 126
— ориентационный 35, 71, 111
—паулиевский электронов проводимости 170—174, 206, 314
— — в переходных металлах 222
—,теория Ланжевена 107
—, — квантовомеханическая (Ван-Фле' ка) 110
—электронов проводимости 63
Парамагнетики 17, 45, 58, 71 и д.
—,кривая намагничивания 46
Парамагнитное насыщение 122
Парамагнитные газы 121, 130
——кристаллы 130
Парамагнитный эффект 17. 19. 34. 58,
59, 69, 107
Паскаля правило 82
Паули матрицы 153
—принцип 29, 169 и д., 484
Пашен — Бака эффект 117
Перовскит 679, 724, 726, 727
Пиппарда случай 95
— уравнение 95
Плазмоны 188，
—,плазменная частота 188, 259, 360
П оверхностный ток 313
Полуметаллы 230, 231
Полупроводник атомный 231
—,восприимчивость 235, 247, 253
—вырожденный 230
—,дырки 229, 230, 235, 2 61—2 65
—,закон действующих масс носителей тока 234
—примесный п-типа 230, 231, 234
р-типа 230, 231, 234
——сметпанного типа 231
—,примесные уровни 229
—с валентной связью 231
——ионной связью 231
—,электронная структура 229
—,электроны проводимости 229, 235, 261, 263, 265
—,энергетический спектр 229, 230
一,一 —,валентная полоса 229
——，————,полоса проводимости 229
Полупроводника проводимость собственная 229
Полупроводников примесных теория 630
Полярон 253, 254, 300
Порядок антиферромагнитный нескомпенсированный 61, 391, 398
——скомпенсированный 61, 398
——атомный магнитный 61, 65, 398
—ферримагнитный 391
—ферромагнитный 61, 65, 385, 392, 398
Постоянная тонкой структуры 32, 33
Протон, магнитный момент 36
—,спин 36
Пуассона распределение 245
— уравнение 201
——формула 208
Рассеяние света на магнитном поле 363
Редкоземельные металлы 564—566
———,атомные магнитные структуры 567-572'
— ——,гальваномагнитные эффекты 572
—— ионная модель 573, 574
— —,парамагнитная точка Кюри 589, 590
——,парамагнитные свойства 566, 567
——,поверхность Ферми 572, 573, 600-603
Редкоземельные металлы, s — /-модель 564, 574—589
——,спиральная магнитная структура 590—592, 599, 600
——,силявы 625
——,фазовые переходы второго рода 598“
——,электронныйэнергетический
спектр 572, 573
Релаксации время 278, 287, 291, 313
Релаксация парамагнитная 279, 280
——спин-решеточная 279, 286, 288, 290, 430
——спин-спиновая 279, 286, 430
——,физический механизм 287—291
Риги — Ледюка эффект 317
Ридберг 203
Сверхди амагнетик 63, 91
Сверхпроводимость 89, 92, 93
——в металлах с магнитными ионами 965—969
— — — — — —,теория 968, 969
—и ферромагнетизм 965, 966
—,разрушение током 101
亠，теория Абрикосова 99
—,—Бардина, Купера, Шриффера 93— 95, 98
—,—Гинзбурга — Ландау 98, 99
Сверхпроводник 89
—второго рода (жесткий) 91, 98—101
———,петли гистерезиса 100
—,гиромагнитное отношение 103
—,гиромагнитный эффект 102, 103
—,доменная структура 96
—,кривая индукции 91, 95, 96
—,—намагничивания 91, 95，96, 100
—,критическая температура 89, 93
—,критическое магнитное поле 89
—первого рода (мягкий) 91, 98, 99, 101
Сверхтекучесть 92
Сверхтонкая структура спектральных линий 39, 132, 161, 372, 380, 993—99 6, 1004, 1005.
————,гамильтониан взаимодействия 39
————,эффективное магнитное поле 40, 994
——,фермиевское контактное поле 40, 994
Связь химическая ван-дер-ваальсовская ，55
— —ионная 81, 82, 85, 115
— — ковалентная 81, 82, 85, 145, 146
Сексмита гиромагнитные опыты 164
Секулярное уравнение 158
Силсби гипотеза 101
Симметрия кристалла 420
— -—,пространственная группа 421
— —,точечная группа 420
Слабомагнитные тела 90
Специальный принцип относительности 45
Спин-гамильтониана метод 159
Спин-магнитофононный резонанс 339
Спин-слой 256 и д.
——,глубина 266, 880
Спин-эффект 293 и д., 878, 880
———аномальный 266 и д.
Спиновая волна 467
Спиновые волны полярные 552
— комплексы 503
Спиновых волн теория квантовая в ферромагнетике 472—483
—— 一 一 一,гамильтониан Гейзенберга 486—488
————, Холстейна — Примакова формализм 488—490
Сплавов классификация 615, 616, 625
Сплавы гейслеровы 615
—ферромагнитные 615
——,кривая Слэтера — Полинга 622, 624
— —,теория бинарных сплавов 638—651
——,точки Кюри 616—621
Стоячие волны спиновой плотности 222
Тензор обратной эффективной массы фермиона 192
——эффективного фактора спектроскопического расщепления 159, 160
Теплового магнетосопротивления эффект
Тепловой ключ 377, 378
Термодинамики необратимых процессов соотношения 314
Термодинамический потенциал фермионов 178, 179
Термомагнитные явления 313, 317 Ток проводимости 314 , Тонкая структура спектра 27, 39
Фактор спектроскопического расщепления 31, 131, 158, 164, 895
Фарадея закон индукции 16, 18, 91, 880 —эффект 300, 817, 819； 959, 962—964 Ферми-газ 168, 174, 188, 200, 207 ——,магнитная восприимчивость 182 Ферми — Дирака статистика 169 и д. ——一функция распределения 172 и д. Ферми-жидкости теория 188 Ферми-поверхность 168—171 и д.
— — в металле 537
——一一переходных металлах 223
— —,топологические свойства 192, 204 Ферми-энергия 169, 170 и д.
Ферримагнетизм 10, 21, 391, 398, 679 Ферримагнетики 46, 61, 64, 391, 679 —,кристалло-химическая структура 724—726
— с двумя подрешетками 727—736
——тремя подрешетками 737 Ферримагнитный резонанс 890, 901 Ферриты 391, 418, 678, 724, 884 Ферромагнетизм 20, 21, 314, 408 —переходных металлов 512—562 ———,зонная модель 533, 552, 603 ———一,обменная модель 544——548
———,полярная модель553——564,
603, 604, 629
—соединений урана 763
Ферромагнетизма критерий 221, 459, 527, 542
—теория 388, 455
———,модель Гейзенберга 459, 486, 638, 659
——,—коллективизированных электронов 455, 456, 525, 526
———,—локализованных электронов 456
——,формализм Холстейна — Прима кова 488
Ферромагнетик, анизотропия 774, 833
—,—,закон Акулова 833
Ферромагнетик, магнетооптические явления 962—964
一,магнитная текстура 832, 837
—,магнитный гистерезис 839—850
—,—текстурный анализ 836
—,магнитострикция 919—925
—,—истинная 922
—,—объемная 922
—,—редкоземельных металлов и ферритов 923
—,—самопроизвольная 919
—, —,эффект Виллари 918
—,—,—Джоуля 918
—,начальная восприимчивость 826, 830, 831
—, — —,эффект Гопкинсона 831
—,нечетные кинетические эффекты 948
—,обратимаявосприимчивость 826,
829—833
—,оптические свойства 958—962
—,основные свойства 385, 388
—прозрачный 962
—,теплопроводность 940, 941
—,термоэлектрические явления 965
—,фотоэффект 965
—,электрические свойства 925—940
Ферромагнетика магнетосопротивление 932, 941
——,микроскопическая теория 948
— —,правила четных эффектов 942
——,теория анизотропии четных эффектов 943—948
—намагничивание, закон приближения к насыщению 838, 839
——,процессы вращения 826
——,——обратимые 833—837
——,—смещения 826
——,——обратимые 833—837
Ферромагнетики 17, 46, 58, 61, 64, 385, 680
—,кривая намагничивания 46, 385, 774
—,магнитный гистерезис 826 и д.
—,наблюдение доменной структуры 812—826
——,———一,магнетооптические методы 816—818
—,———,метод порошковых фигур 795, 812—825
—,петля гистерезиса 46
—,эффект Баркгаузена 811, 812
Ферромагнитные пленки тонкие 808—811, 854, 894
———,анизотропия 809
一 превращения 416
一 —,теория Ландау 422—427
—частицы малые 800
———,однодоменное состояние 800— 805
Ферромагнитные частицы малые, суперантиферромагнетизм 808
— — —,суперпарамагнетизм 805—808 Ферромагнитный резонанс 397, 886—891 ——,квантовая теория 891
———,классическая теория 887—889
— —,релаксация 898
Ферромагноны 462, 512, 893
Флюксоид 102
Фононы 93, 188, 257 и д.
Фотомагнитный эффект (Кикоина — Носкова) 279, 362, 363
Холла эффект 196 и д., 948—958, 963
——спонтанный 949 и д. Холла — Кикоина эффект 949 Хунда правила 28 и д.
Циклотронная частота 175, 194 и д.
Циклотронный резонанс 215, 250, 255— 265 и д.
——в металлах 265—278
————полупроводниках 256——265
—— ——,магнетоплазменные явления 278
Черенкова эффект 335
Шенфлиса обозначения 139, 421
Шмидта диаграммы 38
Шпинель 64 и д., 7 24—7 27 и д.
Штарка эффект 84, 130, 148, 150, 265, 372
Штерна — Герлаха опыт 20, 120
Шубникова — де Гааза эффект 21, 198, 274, 338, 339
Эйнштейна соотношение 314, 340
Эйнштейна — де Гааза опыт 103, 394, 395
——эффект 393—396
Экситон 253, 300, 9 64
Электрический метод охлаждения 368
— —— ——,пьезокалорический эффект 368 一,электрокалорическийэффект
Электронный акустический парамагнитный резонанс 300, 301
——антиферромагнитный резонанс 254
—магнетизм 58
—парамагнитный резонанс 10, 21, 32, 162 и д.
Энергетическая зона 190, 229
—полоса 190, 229
Эттингсхаузена эффект 316
Ядерный магнетизм 36, 58, 62
—магнитный резонанс 10, 21, 38, 82 и д.
Яна—Теллера эффект 131 и д.
**) Число 2S + 1 определяет, как и в атоме, мульти плетность терма (кратность вырождения по направлению спина) и обозначается индексом слева вверху у орбиталь* ного символа терма; например, 5A означает терм сА = 2и8 = 2.
*) Ниже для краткости так будем называть ионы и атомы переходных элементов с недостроенными d- и /-оболочками.
*) Мы не рассматриваем здесь редкоземельные металлы, поскольку они всв обладают атомным магнитным порядком, а также актиниды и трансурановые элементы, магнитные свойства которых мало исследованы. Наиболее исследованы некоторые урановые соединения с атомным магнитным порядком (см. обзор Тжебьятовского [183) и гл. 22; см. также [292—295]).
*) Подробную библиографию работ можно найти в обзорах [8, 15].
*****) А также для веществ, обладающих ядерным парамагнетизмом.
**) Эта формула получается в теории возмущений; кроме того, поле электромагнитной волны рассматривается приближенно как чисто классическая величина (т. е. пренебрегается эффектами квантования поля).
***) Выражение (20.66), согласно принципу соответствия квантовой механики, является квантовым обобщением энергии некоторого классического поля с плотностью гамильтоновой функции ^?кл (г).
**) Наиболее полное обобщение гамильтониана / — /-, d — d~ и s — /-, s — d- обменной связи на случай нескольких электронов в /- (или d-) оболочке провел Ирхин 1406] (см. также [407, 408]).
*) С изменением пар значений ха и хь прямые, ограничивающие различные области на плоскости а, 0 рис. 22.28, занимают различное положение (кроме прямой В =——1 : SH), и поэтому распределение различных областей изменяется.
*) Дзялошинский [13] первый указал, что эти перестановки есть результат перестановки магнитных ионов между узлами решетки при соответствующей операции симметрии. Прежде ошибочно считалось, что различные _Г^ преобразуются только независимо друг от друга при всех операциях симметрии. Поэтому принималась во внимание лишь тождественная перестановка. Все другие перестановки (при которых 工广 f где у */') не рассматривались, что могло приводить к потере существенных членов в 困(_Г» (см. ниже § 11).
*) В работе [976] указано, что 《58)макс = 20 -106 гс -э (см. также
**) См. Туров [141], Барьяхтар и Каганов [142], Уокер [67], Кеффер [71], Ахиезер л др. (1967).
**) В работах [521, 522] лишь качественно показано существование этих анома- лий, поскольку в этих работах не обращалось должного внимания на подготовку поверхностей исследуемых образцов (см. [523, 524]).
с. в. вонсовскии
МАГНЕТИЗМ
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ДИА-, ПАРА-,ФЕРРО-, АНТИФЕРРО-,И ФЕРРИМАГНЕТИКОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА》ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19 7 1
531.9
В 73
УДК 538.0
Магнетизм. С. В. Вонсовский, монография, Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1971.
Цель книги ——изложить современное состояние физических представлений о магнитных свойствах различных твердых тел. ，
В первой части изложены основные сведения об электродинамике, термодинамике и статистической механике магнитных сред; дана также общая классификация магнитных веществ.
Вторая часть книги посвящена физике магнетизма слабомагнитных веществ, не обладающих атомным магнитным порядком, т. е. диа- и парамагнетиков. Здесь рассмотрен диамагнетизм неметаллических тел, магнитные свойства сверхпроводников, парамагнетизм атомов, молекул и кристаллов, магнитные свойства слабомагнитных металлов и полупроводников; рассмотрен электронный парамагнитный резонанс (ЭПР), гальвано- и термомагнитные свойства, магнетооптические явления и методы магнитного охлаждения тел.
Третья часть посвящена описанию сильномагнитных веществ, обладающих атомным магнитным порядком, т. е. ферро-, ферри- и антиферромагнетиков. Здесь дано качественное описание ферро- и антиферромагнетиков, теория молекулярного поля, квантовая теория ферро- и антиферромагнетиков — d- и /-металлов и сплавов; приводятся основные положения современной теории технической кривой намагничивания, проблемы магнетодинамики ферромагнетиков, немагнитные свойства магнитно-упорядоченных веществ. В конце книги описаны ядерные эффекты в веществах с атомным магнитным порядком.
Табл. 57. Рис. 446. Библ. 7000 назв.
Сергей Васильевич ВонсовскийМагнетизм
М., 1971 г., 1032 стр. с илл.
Редактор А. 4. Гусев
Техн, редактор К. Ф. БрудноКорректоры Т. С. Плетнева, Н. Д. Дорохова
Сдано в набор 16/Ш 1971 г. Подписано к печати 1/IX 1971 г. Бумага 70x1081/16 Физ. печ. л. 64,5. Условн. печ. л. 90,30. Уч,-изд. л. 103,5. Тираж 12 000 экз.
Т-14341. Цена книги 6 р. 73 к. Заказ 847.
Издательство «Наука»Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Московская типография №16 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Москва, Трехпрудный пер., 9
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
ЧАСТЬ I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАГНЕТИЗМА
Глава 1. Введение 15
Общие замечания (15). § 2. Краткие исторические сведения о развитии учения о магнетизме веществ (17). Литература к главе 1 (22).
Глава 2. Краткие сведения о магнитных свойствах электрона и электронной оболочки атома 24
Спин и спиновый магнитный момент электрона (24). § 2. Орбитальный магнетизм одноэлектронного атома (25). § 3. Орбитальный магнитный момент оболочки многоэлектронного атома (25). § 4. Зеемановское расщепление атомных энергетических уровней (29). § 5. Аномальный магнитный момент электрона (32). § 6. Магнитный монополь Дирака (33). § 7. Атом во внешнем магнитном поле: парамагнитный и диамагнитный эффекты (33). Литература к главе 2 (35).
Глава 3. Краткие сведения о магнитных свойствах нуклонов и атомных ядер 36
Магнитные моменты протона и нейтрона (36). § 2. Магнитные моменты атомных ядер (36). § 3. Ядерный магнитный резонанс (ЯМР)
аимодействие сверхтонкой структуры (СТС) (38). Литература к главе 3 (40).
Глава 4. Основы электродинамики магнетиков 41
Магнитные действия постоянного электрического тока (41).
Магнитные действия магнетиков, намагниченность (43). § 3. Основные типы магнетиков (45). § 4. Кривая намагничивания, петля гистерезиса и магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость (46). § 5. Теорема Ампера (48). § 6. Общее микроскопическое определение магнитного момента (48). Литература к главе 4 (49).
Глава 5. Основы термодинамики и статистической механики магнетиков 50
Уравнения 1-го и 2-го начала термодинамики (50). § 2. Термодинамические условия равновесия (52). § 3. Основные дифференциальные соотношения термодинамики (52)・ § 4. Статистическая механика (53). § 5. Общее квантовомеханическое определение энергии и среднего магнитного момента электрона в магнитном поле (56). Литература к главе 5 (58).
5959Глава 6. Классификация магнетиков по основным опытным данным ...
59
59
§ 1. Феноменологическая классификация (59). § 2. Физическая классификация (59). § 3. Основные типы магнитных состояний вещества (62). § 4. Детальная физическая классификация магнитных состоя* ний вещества (63). Литература к главе 6 (66).
ЧАСТЬ II
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ, НЕ ОБЛАДАЮЩИХАТОМНЫМ МАГНИТНЫМ ПОРЯДКОМ. СЛАБОМАГНИТНЫЕТЕЛА — ДИАМАГНЕТИКИ И ПАРАМАГНЕТИКИ
Глава 7. Диамагнетизм систем с лабовзаимодействующих атомов, молекул и неметаллических кристаллов 69
Теория диамагнитной восприимчивости атомов, ионов и молекул (69). § 2. Основные опытные данные (77). § 3. Метод молекулярных орбит (82). § 4. Магнитное экранирование ядер (83). § 5. Диамагнетизм неметаллических кристаллов (84).. Литература к главе 7 (86)
Глава 8. Магнитные свойства сверхпроводников 89
Критическая температура и критическое магнитное поле (89).
Магнитные свойства сверхпроводников (91). § 3. Основы микроскопической теории Сверхпроводимости. Куперовские пары (92). § 4. Объяснение магнитных свойств" ,(94). § 5. Природа «промежуточного^ состояния по Ландау (доменная структура) (96). § 6. Природа поверхностной энергии на границе сверхпроводящей фазы. Сверхпроводники I и II рода (97)・ § 7 Феноменологическая теория Гинзбурга — Ландау и ее обобщение по Абрикосову — Горькову (98). § 8. «Накачка» магнитного потока с помощью сверхпроводника (101). § 9. Разрушение сверхпроводимости током (101), § 10. Квантование магнитного потока (102). § И. Гиромагнитный эффект (102). Литература к главе 8 (104).
Глава 9. Парамагнетизм систем слабовзаимодействующих атомов и молекул 107
Теория^ парамагнетизма атомов и ионов (107), § 2. Основные опытные данные (120). § 3. Парамагнетизм молекул (126). Литература к главе 9 (129). ,
Глава 10. Парамагнетизм кристаллов — твердых солей и других неметаллических соединений 130
Типы неметаллических парамагнитных кристаллов (130). § 2. Влияние на магнитные ионы внутрикристаллического окружения (поле лигандов) (130). § 3. Гамильтониан магнитного иона в кристалле (131). § 4. Частные случаи, различающиеся величиной лигандного поля (132). § 5・ Теоретико-групповая трактовка внутрикристалличе- ских расщеплений уровней магнитных ионов (133). § 6. Физическая интерпретация расщепления атомных уровней в кристаллах (143). § 7. Влияние спина и «замораживание» орбитальных моментов (147). § 8. Теоретико-групповая трактовка спин-орбитального расщепления (151). § 9. Теорема Крамерса (153). § 10. Эффект Яна — Теллера (154).
Оценки величин расщеплений (155). § 12. Эффект «размораживания» орбитальных моментов (156). § 13. Метод спин-гамильтониана
166166216229216229254254313313346346
166
166
216
229
216
229
254
254
313
313
346
346
. § 14. Учет магнитного взаимодействия ионов (161). § 15. Гиромагнитное отношение ионов в парамагнитных кристаллах (162). Литература к главе 10 (164).
Глава 11. Магнитные свойства металлов, не обладающих атомной магнитной структурой
А. Металлы нормальных групп
Введение (166). § 2. Основные свойства идеального ферми-газа. Поверхность Ферми (168). § 3. Паулиевский парамагнетизм электронов проводимости (170). § 4. Диамагнетизм электронов проводимости (175). § 5. Основы электронной теории (слабого) магнетизма металлов с произвольным законом дисперсии (187). § 6. Эффект де Гааза — ван Альфена при произвольном законе дисцерсии (207).
Б. Металлы переходных групп '
Магнитные свойства переходных металлов (216). Литература, к главе 11 (224).
Глава 12. Магнитные свойства полупроводников
-§ 1. Электронная структура полупроводников (229). § 2. Условие нейтральности, химический потенциал (231). § 3. Различные составляющие магнитной восприимчивости (235). § 4. Сравнение с опытом (247). § 5. Связь магнитных свойств полупроводников с природой химических связей в них (251). § 6. Заключение (251). Литература к главе 12 (252).
Глава 13. Магнитный (электронный) резонанс в веществах, не обладающих атомным магнитным порядком
Циклотронный резонанс (254). § 2. Электронный парамагнитный резонанс (278). § 3. Резонансное поглощение звука в парамагнетиках (магнетоакустический парамагнитный резонанс) (300). Литература к главе 13 (303).
Глава 14. Гальвано- и термомагнитные явления в металлах и полупроводниках, не обладающих магнитным порядком
.§ 1. Феноменологическая теория гальвано- и термомагнитных эффектов (313). § 2. Магнетосопротивление и эффект Холла (318). § 3. Микроскопическая теория магнетосопротивления и эффекта Холла по модели свободных электронов (320). § 4. Трудности модели свободных электронов (323). § 5. Модель двух полос (двухзонная модель) и правило Колера (325). § 6. Теория гальваномагнитных явлений в металлах при произвольном законе дисперсии (327). §.7. Гальваномагнитные явления в квантующем магнитном поле (335). § 8. Термомагнитные явления в квантующем магнитном поле (339). Литература к главе 14 (342).
Глава 15. Магнетооптические явления
Феноменологическая теория эффекта Фарадея и эффекта Коттона—— Мутона (Фохта) (346). § 2. Микроскопическая теория (352). § 3. Магнетооптические свойства полупроводников (357). § 4. Магнетооптические свойства металлов (360). § 5. Геликоны (360). § 6. Фотомагнит ный эффект (эффект Кикоина — Носкова) (362). § 7. Рассеяние света на магнитном поле (363). Литература к главе 15 (363).
368368Глава 16. Магнитное охлаждение
368
368
Введение (368). § 2. Магнитный метод охлаждения (368). § 3. Метод магнитного охлаждения для ядерных парамагнетиков (375).
Время релаксации при адиабатическом размагничивании (375).
Типичная схема магнитных установок для получения сверхнизких температур (377). § 6. Использование сверхпроводящего фазового перехода для получения низких температур (379). § 7. Использование адиабатического размагничивания металлов и некоторые другие вопросы (380). Литература к главе 16 (381).
часть ш
МАГНИТНЫЕТВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ С АТОМНЫМ МАГНИТНЫМПОРЯДКОМ. СЙЛЬНОМАГНИТНЫЕ ТЕЛА — ФЕРРОМАГНЕТИКИ,АНТИФЕРРОМАГНЕТИКИ, ФЕРРИМАГНЕТИКИ
Глава 17. Самопроизвольная намагниченность и природа атомных носителей магнетизма веществ 385
Основные свойства ферромагнетиков (385). § 2. Основные свойства антиферромагнетиков и ферримагнетиков (389). § 3. Молекулярное поле Вейсса (391). § 4. Определение природы атомных носителей магнитного момента по парамагнитному эффекту (393). § 5. Обменное взаимодействие: метод магнитной нейтронографии (397). Литература к главе 17 (398).
Р[л а в а 18. Феноменологическое описание ферромагнитного состояния вещества 400
Феноменологическая теория молекулярного йоля (400). § 2. Уточнение теории молекулярного поля в рамках квазиклассического метода (407). § 3. Термодинамическая теория ферромагнитного^ превращения (417). § 4. О критических явлениях вблизи точки Кюри (431). § 5. Попытки построения строгой теории фазовых переходов второго рода (438). § 6. Магнитные переходы первого рода (440). Литература к главе 18 (446).
Глава 49. Теория самопроизвольной намагниченности ферромагнетика . .455
Обменная теория ферромагнетизма — метод энергетических центров тяжести (455). § 2. Классическая теория спиновых волн (462)
Квантовая теория спиновых волн (472). § 4. Уточнение теории ферромагнонов (484). § 5. Применение квантовостатистического мето да функций Грина (492). § 6. Оценка параметра обменного взаимодействия (503)・ Литература к главе 19 (505).
Глава 20. Теория ферромагнетизма и антиферромагнетизма переходных металлов 512
Предварительные замечания (512). § 2. Распределение зарядовой и спиновой электронной плотности в d- и] /-металлах (513). § 3 Обменное взаимодействие в /- и J-металлах (521). § 4. Ферромагне тизм в модели коллективизированных электронов (526). § 5. Основы s — /-обменной модели (553). § 6. Особенности магнитных и некоторых других физических свойств редкоземельных металлов (564). § 7. Микроскопическая s—/-обменная модель (574). § 8. Объяснение магнитных
679679774774878878
679
679
774
774
878
878
свойств РЗМ на основе s — /-обменной модели (589). § 9. Заключительные замечания (603). Литература к главе 20 (605).
Глава 21. Атомный магнитный порядок в металлических сплавах
Классификация магнитных сплавов (615). § 2. Атомные магнитные моменты и точки Кюри ферромагнитных сплавов (616). § 3. Сильно разбавленные растворы парамагнитных атомов в кристаллах (625). § 4. Общая задача поведения атомов магнитной примеси в металлических кристаллах (630). § 5. Теория бинарных ферромагнитных сплавов по модели Гейзенберга (638). § 6. Спин-волновая теория магнитно-упорядоченных кристаллов с примесями (651). § 7. Эффекты, обусловленные взаимодействием примесей (659). § 8. Случай линейных и плоских дефектов (664). § 9. Зависимость среднего атомного магнитного момента сплава от состава и степени порядка по s •— d-моделн (666). § 10. Средний магнитный момент сплава с обменными взаимодействиями разных знаков (667). § 11. 3аключительные замечания (671). Литература к главе 21 (672).
Глава 22. Теория антиферромагнетизма и ферримагнетизма
Вводные замечания (679). § 2. Проблема основного состояния (680). § 3. Нейтронографические исследования антиферромагнетиков (686). § 4. Косвенная обменная связь в неметаллических соединениях (687). § 5. Квазиклассическая теория антиферромагнетизма (приближение молекулярного поля) (702). § 6. Термодинамическая теория антиферромагнетизма (714). § 7. Теория спиновых волн в антиферромагнетиках (718). § 8. Квазиклассическая теория ферримагнетизма (724). § 9. Теория магнитных структур в антиферромагнетиках неметаллах по Дзялошинскому (741). § 10. Феноменологическая трактовка ферримагнетизма (742). § 11. Слабый ферромагнетизм (749). § 12. Антиферромагнетики со слоистой структурой и метамагнетизм (759). § 13. Антиферромагнитные металлы (761). § 14. Ферромагнетизм и антиферромагнетизм соединений элементов группы」урана (762). Литература к главе 22 (763).
Глава 23. Теория кривых намагничивания ферромагнетиков
Введение (774). § 2. Основные типы взаимодействий в ферромагнитном кристалле (774). § 3. Другие типы магнитной анизотропии (789). § 4. Распределение самопроизвольной намагниченности в кристалле (793). § 5. Малые (однодоменные) ферромагнитные частицы (800). § 6. Суперпарамагнетизм (805). § 7. Тонкие ферромагнитные пленки (808). § 8. Экспериментальные доказательства существования доменов (811). § 9. Процессы намагничивания (826). § 10. Обратимые процессы смещения (826). § 11. Обратимые процессы вращения (833). § 12. Приближение к насыщению (838). § 13. Магнитный гистерезис (839). § 14. Магнитные материалы (853). Литература к главе 23 (861).
Глава 24. Магнитно-упорядоченные вещества в переменных магнитных
полях и временные эффекты
Дисперсия магнитной проницаемости (феноменологическая трактовка) (878). § 2. Влияние доменной структуры на дисперсию магнитной проницаемости (881). § 3. Ферромагнитный резонанс, однородные магнетостатические колебания (886). § 4. Неоднородные магнето- статические колебания (891). § 5. Спин-волновой резонанс (893).
9179179879871020102010271027
917
917
987
987
1020
1020
1027
1027
Связи ферромагнитного резонанса с магнетомеханическими эффектами (895). § 7. Ферромагнитные релаксационные процессы и проблема ширины резонансной линии (897). § 8. Нелинейные эффекты и некоторые другие эффекты (898). § 9. Ферримагнитный и антиферромагнитный резонанс (901). § 10. Магнитная вязкость (903). Литература к главе 24 (907).
Глава 25. Влияние атомного магнитного порядка на немагнитные свойства вещества
Тепловые свойства (917). § 2. Магнитострикция и магнитоупругие свойства ферромагнетиков (918). § 3. Электрические свойства ферромагнетиков (925). § 4. Теплопроводность (940). § 5. Гальваномагнитные и термомагнитные четные эффекты (941). § 6. Нечетные кинетические эффекты (948). § 7. Оптические, магнетооптические и некоторые другие свойства ферромагнетиков (958). § 8. Сверхпроводимость в металлах с магнитными ионами и влияние на нее магнитного порядка (965). § 9. Эффект Кондо (969). Литература к главе 25 (974).
Глава 26. Ядерные методы исследований в магнетизме .§ 1. Введение (987). § 2. Магнитная нейтронография (987). § 3.
Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) в магнитно-упорядоченных веществах (993). § 4. Эффект Мессбауера и его применение в исследованиях магнетизма (1000). Литература к главе 26 (1011).
Литература
I. Общая литература (1020). II. Сборники по различным вопросам магнетизма (1023). III. Всесоюзные и международные конференции по различным вопросам магнетизма (1026).
Предметный указатель
Светлой памяти;
Семена Петровича ШУБИНАг учителя и друга
ПРЕДИСЛОВИЕ
В современной физике учение о магнетизме ——обширный раздел г органически связанный с большинством ведущих областей физической науки. Это вытекает, прежде всего, из того факта, что у всех элементарных частиц одним из основных первичных свойств являются их магнитные характеристики. Все эти частицы, даже электрически нейтральные^ (например, нейтрон), суть носители элементарных магнитных моментов. Электромагнитное поле также «наполовину» относится к магнетизму. Все это делает магнетизм универсальным явлением природы. С магнитными свойствами и процессами мы встречаемся повсюду — от микромира до безграничных просторов космоса.
Автор еще в 1952 г. сделал попытку дать обзор состояния физики магнитных явлений частиц и веществ (см. книгу 《Современное учение о магнетизме», Гостехиздат, М., 1952). Однако после выхода этой книги в этой области физики произошли весьма заметные изменения, вызванные все возрастающим потоком информации со стороны эксперимента и развитием теории. На наших глазах происходит процесс непрерывного обновления и омоложения этой весьма почтенной по возрасту (более 2000 лет!) физической дисциплины. Как и во всех областях естествознания, здесь- блестяще оправдывается гениальное предвидение В. И. Ленина о вечном прогрессе науки: «Электрон так же неисчерпаем^ как и атом, природа бесконечна...» ). В данном случае можно сказать: магнетизм материи неисчерпаем в своих проявлениях!
Действительно, каждый новый шаг в физике, связанный с дальнейшими, более детальными сведениями о свойствах микрочастиц, одновременно раскрывает перед нами все новые и новые черты и их больших коллективов —макроскопических тел. «Передний край науки», там, где- познают принципиально новые, ранее совершенно неизвестные нам свойства материи, тесно связан со всем, что было открыто ранее; в этой диалектической связи и заключена вечная молодость всех «старых» разделов науки.
Для иллюстрации достаточно напомнить о том перевороте, который произошел в физике конденсированных сред, в том числе и в физике их магнитных свойств, 35—40 лет назад после появления квантовой механики, являвшей собой новый этап в физике микромира. Тогда была создана зонная теория твердых тел (кристаллов), в которой были преодолены, казалось бы неразрешимые трудности («катастрофы») классической электронной теории Друде — Лорентца. Зонная теория в свою очередь привела к фундамент а льным открытиям в физике металлов и полупроводников. В области магнетизма квантовая механика позволила впервые дать теоретическое объяснение равновесных магнитных свойств веществ, которые не могли быть поняты в рамках классической статистической
механики. Квантовая теория магнетизма вещества шаг за шагом снимала трудности, имевшиеся в классической теории (парамагнетизм щелочных металлов, природа ферромагнетизма и т. п.), а также указала путь для новых открытий (диамагнетизм Ландау, осцилляционные эффекты в магнитном поле, антиферромагнетизм, ферримагнетизм и т. п.).
Успехи в физике микромира, связанные с изучением атомного ядра, также сказались и на дальнейшем развитии учения о магнетизме.
Здесь прежде всего следует упомянуть, во-первых, о широком применении ядерных методов к исследованию свойств и структуры магнетиков, а именно о магнитной нейтронографии, ядерном магнитном резонансе (ЯМР), магнитном аспекте резонансного поглощения гамма-лучей (эффект Мессбауэра) и т. п., и, во-вторых, об открытии специфических магнитных свойств нуклонов (магнитные форм-факторы), атомных ядер и их совокупностей.
Наконец, существенное значение приобрели эффекты, связанные с магнитным взаимодействием ядерной и электронной систем вещества (сверхтонкая структура спектров — оптических ЯМР, ЭПР и т. ш). В самое последнее время передний край фронта исследований в физике переместился в область изучения внутренней структуры элементарных частиц, установления связи между ними (систематика элементарных частиц по их основным характеристикам, в известной мере аналогичная тому, что было сделано в прошлом веке Д. И. Менделеевым для атомов химических элементов). Следует ожидать, что успехи в этой области физики приведут к новым открытиям и в области магнетизма. Первой ласточкой этого является использование гипотезы кварков для объяснения аномальных магнитных моментов нуклонов.
Главная цель автора при написании этой книги состояла в том, чтобы изложить, по возможности в доступной форме, ту ситуацию, которая сложилась в магнетизме вещества к настоящему времени. Естественно, что охватить одинаково подробно все многочисленные аспекты физики магнитных явлений в одной книге — практически невыполнимая задача. Поэтому в настоящей монографии затронут лишь круг вопросов, связанных с наиболее важными магнитными явлениями, протекающими в макроскопических веществах.
Книга состоит из трех частей: первая часть — основные понятия и представления магнетизма (гл. 1—6); вторая часть — магнитные свойства веществ, не обладающих атомным магнитным порядком (гл. 7—16); третья часть — магнитные свойства веществ с атомным магнитным порядком (гл. 17—26).
В начале первой части дается общее введение (гл. 1), затем приводятся краткие сведения об электронном и ядерном магнетизме в атомных масштабах (гл. 2 и 3). В следующих разделах дана краткая сводка по феноменологической электродинамике, термодинамике и статистической механике магнитных сред (гл. 4 и 5). Гл. 6 посвящена общей классификации магнитных веществ.
Последующие десять глав (7 —16), составляющие вторую часть книги, посвящены отдельным проблемам магнетизма слабомагнитных веществ, не обладающих атомным магнитным порядком (диа- и парамагнетики). Последовательно рассмотрены диамагнетизм неметаллических тел (гл. 7), магнитные свойства сверхпроводников (гл. 8), парамагнетизм систем слабовзаимодействующих атомов и молекул (гл. 9), парамагнетизм кристаллов—твердых солей и других неметаллических тел (гл. 10), магнитные свойства слабомагнитных металлов (гл. 11), полупроводников (гл. 12). В гл. 13 рассмотрены различные типы электронного резонанса (циклотронный резонанс, ЭПР и др.) в веществах, лишенных атомного магнитного порядка, а в гл. 14 и 15 — соответственно гальвано- и термомагнитные свойства и" магнетооптические явления в этих телах. Наконец, в гл. 16 описаны методы магнитного глубокого охлаждения тел.
Третья наибольшая по объему часть монографии посвящена магнитным свойствам веществ, обладающих атомным магнитным порядком,— ферро-, антиферро- и ферримагнетиков. Вводная гл. 17 содержит феноменологическое описание ферро- и антиферромагнетиков. Далее изложены: теория молекулярного поля (гл. 18), основы квантовой теории самопроизвольной намагниченности ферро- и антиферромагнетиков (гл. 19). Квантовой теории ферромагнитных металлов d- и /-типа посвящена гл. 20. Состояние теории ферромагнитных сплавов изложено в гл. 21. Общая теория антиферро- и ферримагнетизма дана в гл. 22. В гл.23 приводятся основные положения современной теории кривых намагничивания и перемагничивания ферромагнитных веществ. Магнетодинамике ферромагнетиков, т. е. их поведению в переменных магнитных полях (и другим временным эффектам), отведена гл. 24. Специфическое поведение некоторых типичных немагнитных свойств в магнитно-упорядоченных веществах рассмотрено в гл. 25. Наконец, в последней гл. 26 описаны ядерные эффекты в веществах с атомным магнитным порядком.
В монографии автор ограничился в основном рассмотрением физической стороны магнитных свойств макроскопических веществ. Проблемы прикладного магнетизма ——магнитные материалы, магнитные измерения, магнитные методы контроля, магнитная дефектоскопия и т. п.—— почти не рассматриваются; о них лишь упоминается в связи с теми или иными физическими проблемами (см., например, гл. 23). Эти практические вопросы требуют специального подробного рассмотрения в отдельных книгах. По тем же причинам не рассмотрен земной и космический магнетизм, магнитная гидродинамика, магнитные свойства плазмы и т. д.
Книга не преследует энциклопедических целей. В ее задачу входит лишь ввести читателя в самую гущу современных идей и трактовок, а также новых результатов в различных разделах учения о магнетизме веществ — этой живой и быстро развивающейся отрасли физической науки.
Важную часть настоящей книги составляет библиография. Работы, цитируемые в каждой главе, даются в конце ее под номерами, ссылки на них в тексте главы даются в квадратные скобках (например: см. работу Турова [46]). Монографии, учебники и обзоры, часто упоминаемые в тексте (во всех главах), приведены в конце книги в разделе I «Общая литература» в алфавитном порядке по авторам. Ссылки на них в тексте даются по фамилии автора и году издания (в скобках), например: Белов (1957). В дополнение к общей литературе приведен также список (см. II «Сборники по различным вопросам магнетизма») сборников статей, коллективных монографий и некоторых томов продолжающихся изданий (типа «Solid State Physics»), целиком или частично посвященных вопросам магнетизма. Эти сборники, как таковые, не упоминаются в тексте, за исключением случаев, когда из них цитируются отдельные статьи (тогда ссылки даются обычным путем в конце глав). Наконец, дан список проходивших за последние 20 лет конференций по магнетизму (IIL «Всесоюзные и международные конференции по различным вопросам магнетизма»); в этом списке указан город и год проведения конференции, а также приводятся данные о публикации трудов соответствующей конференции. Таким образом, эта литература, приведенная в конце книги, имеет самостоятельное значение и может быть использована для справок.
Списки статей, цитированных в каждой главе, составляют свыше 7000 названий и, как надеется автор, отражают основные работы на период написания книги, но при этом никак не претендуют на энциклопедическую полноту. Работы по различным аспектам магнетизма появляются непрерывно и в очень большом числе, и поэтому работы самого последнего времени, появившиеся в период подготовки книги к печати (со второй половины 1969 г.), упомянуты лишь в отдельных довольно редких случаях.
По своему содержанию, уровню и форме изложения книга рассчитана на широкий круг читателей. В первую очередь это физики-магнитологи
а также все физики и физико-химики, работающие в различных областях физики твердого тела. Книга может представлять интерес для металловедов и металлургов, занимающихся изготовлением и обработкой магнит^ ных материалов и использующих магнетизм как метод исследования и кон* троля качества промышленной продукции. Книга принесет также известную пользу инженерам электрикам, радиотехникам и специалистам до радиоэлектронике, интересующимся применениями магнитных материалов. Кроме того, читателями книги могут быть аспиранты и студенты старших курсов физических и физико-технических факультетов универ- ситетов и вузов.
Автор посвятил эту книгу памяти С. П. Шубина. Это посвящение —— дань глубочайшей признательности своему учителю. С самых первых шагов в науке.автор из лекций С. П. Шубина на теоретическом семинаре впервые познакомился с основами квантовой теории магнетизма; особенно ценным был оригинальный подход С. П. Шубина к оценке различных физических концепций в этой области. В дальнейшей совместной научной работе с С. П. Шубиным определился интерес автора к магнетизму и был выработан метод анализа магнитных явлений и их теоретической интерпретации. Поэтому и в настоящей книге в трактовке многих проблем, естественно, получили отражение научные идеи большого ученого С. П. Шубина.
Хотя эта книга, имеет одного автора, но в ходе работы над ней автор получал большую помощь от своих коллег по работе, своих друзей и учеников. Невозможно перечислить имена всех, кому автор в той или иной степени обязан за эту помощь. Однако некоторых из них автор считает себя обязанным упомянуть и поблагодарить. Это прежде всего мои ближайшие коллеги: К. Б. Власов, Н. В. Волкенштейн, А. Н. Волошинский, П. С. Зырянов, Ю. А. Изюмов, Б. В. Карпенко, Л. Я. Кобелев, А. Н. Мень, А. И. Мицек, С. А. Немнонов, М. С. Свирский, С. К. Сидоров, Е・ А. Туров, В. И. Черепанов, В, П. Широковский, Я. С. Шур.
Особенно мне хочется поблагодарить А. А. Гусева, который уделил много времени и труда работе над рукописью всей книги. Его. строгая и вместе с тем доброжелательная критика во многом способствовала улучшению изложения во всех главах книги.
Приношу также благодарность моим бывшим аспирантам В. В. Дякину и Р. Ф. Егорову за их работу по корректировке многих глав книги.
Выражаю свою благодарность также моим зарубежным коллегам: К. Херрингу, Дж. Гудинафу, Р. В. де Блуа, В. Жаккарино, X. П. Вейну, Г. Бушу за присланные ими препринты, обзоры, отдельные работы и фотографии.
Неоценимую помощь в многолетней работе над книгой мне оказывала моя жена и друг Л. А. Шубина. Эта помощь проявлялась не только в систематическом и большом труде по корректировке текста и по многократному перепечатыванию рукописи книги, но и в постоянном внимании и воодушевлении автора для его работы над книгой. За это творческое участие в работе над книгой я приношу ей свою глубочайшую благодарность.
Автор надеется, что, несмотря на неизбежные недостатки, эта книга будет благосклонно принята читателем, принесет ему пользу и послужит важному делу ——прогрессу науки и техники нашей Родины.
С. В. Вонсовский