Введение

Как известно, локальные изменения электронного состояния в кристалле приводят к соответствующим локальным изменениям во взаимодействии между индивидуальными атомами в кристалле, и отсюда к возбуждению атомных колебаний, т. е. к возбуждению фононов. И, соответственно, наоборот — любое локальное изменение состояния ионов решётки изменяет локальное электронное состояние. Общепринято в такой ситуации говорить о «электрон — фононном взаимодействии». Это взаимодействие проявляет себя также и при нулевой температуре и является следствием ряда макроскопических и микроскопических явлений. Когда электрон движется через кристалл, он переносит вместе с собой область искажения решётки.

Электрон вместе с сопровождающим его самосогласованным полем поляризации можно рассматривать как квазичастицу, называемую поляроном. Её эффективная масса больше, чем эффективная масса блоховского электрона. Образование полярона — это следствие динамического электрон-решёточного взаимодействия, которое ответственно также за рассеяние заряженных носителей тока, перенормировку фононных частот и экранировку взаимодействия между носителями тока.

Концепция полярона была введена С. И. Пекаром [1], который рассмотрел предельный адиабатический случай, когда электрон-решёточ- ное взаимодействие столь сильно, что позволяет описать все наиболее существенные свойства стационарного полярона в созданном им поляризационном поле. Такие известные исследователи как Л. Д. Ландау, С. И. Пекар, Г. Фрёлих и Р. Фейнман внесли свой вклад в развитие теории полярона [1-5]. Несмотря на кажущуюся простоту модельной задачи о поляроне, она до сих пор не решена и продолжает привлекать внимание. Ей принадлежит важная роль в статистической механике и квантовой теории поля, поскольку она может рассматриваться как простейший пример задачи нерелятивистской квантовой частицы, взаимодействующей с квантовым полем.

Поэтому много сложной математической техники применялось для исследования модельной проблемы полярона. Удачный пример исследования методом функционального интеграла, применённым впервые Р. Фейнманом к проблеме полярона, стал возможным методом, используемым в статистической механике и квантовой теории поля. Тем не менее, теория полярона — широкая область исследований в физике твёрдого тела, поскольку поляроны — не только модельные теоретиче-

ские конструкции, но и практически наблюдаемые объекты (квазичастицы) [6].

Важным вкладом в теорию полярона было построение Боголюбовым последовательной адиабатической теории возмущений в 1950 г. [7], в которой кинетическая энергия фононного поля трактовалась как малое возмущение. Боголюбов вернулся к проблеме полярона в 1980 г., где он развил и применил хорошо известный метод хронологических упорядочений или Т-произведений [8]. Этот метод оказался эффективным для теории поляронов с большим радиусом для всех сил электрон- фононного взаимодействия (слабых, промежуточных и сильных), а также для нахождения высших членов ряда теории возмущений в пределе слабой связи. Подобно формализму, основанному на континуальном интеграле, метод Т-произведений имеет различные приложения во многих областях квантовой физики.

Интерес к проблеме полярона возрастает, если в дополнение к ранее известным областям исследования, когда рассматриваются пространственно однородные системы, исследуются системы, описывающие взаимодействие заряженной частицы с элементарными возбуждениями в пространственно неоднородных случаях с низкой размерностью, таких как квантовые точки и линии. Экспериментальная техника в создании таких систем достигла успеха при производстве систем с хорошо контролируемыми параметрами, позволила изготовить структуры с предсказываемыми характеристиками. Электрон-фононное взаимодействие играет важную роль для свойств низко-размерных квантовых систем. Так, много усилий было посвящено исследованию поверхностных поляронов [9, 10].

Конечно, невозможно рассмотреть все из многочисленных аспектов поляронной теории в небольшом введении или даже в большем объёме текста. Главная задача настоящей книги — познакомить читателя с методами современной математической физики, развитыми в связи с теорией полярона.

Книга построена следующим образом. Глава 1 — введение в подход к Т-произведениям в теории частицы, взаимодействующей с бозонным полем. В качестве примера предлагаемый метод применяется к линеаризованной модели полярона и осцилляторной модели двух тел, для которых все вычисления могут быть выполнены явно. Хорошо известное в теории полярона неравенство Фейнмана выводится как частный случай. Часть главы посвящена также виду теории возмущений при конечной температуре для функции распределения полярона и энергии основного состояния, развитой на основе формализма Т-произведений. Адиабатическая теория возмущений для энергии основного состояния полярона, пригодная для сильного взаимодействия, также рассматривается.

Во второй главе рассматривается равновесное состояние поляронной модели Фрёлиха. Основная цель этой главы — вывод неравенства Боголюбова для приведённой свободной энергии полярона. Это

неравенство позволяет получать различные оценки сверху для энергии основного состояния для различных значений силы взаимодействия частицы и поля.

Глава 3 включает рассмотрение некоторых проблем неравновесной поляронной теории, включая кинетику полярона. Одной из существенных проблем статистической механики является исследование динамического процесса в системе слабо взаимодействующей с «большой» системой (термостатом). Изучение этой проблемы положила работа Н.Н. Боголюбова и Н.М. Крылова [49]. В этой работе была исследована проблема возможности стохастического процесса в динамической системе, на которую оказывала влияние большая система. Поведение классической системы исследовалось на основе уравнения Лиувилля для распределения вероятности в фазовом пространстве, а квантовомеханической системы — на базе аналогичного уравнения для статистического оператора фон Неймана. В работе [49] был развит метод, позволивший уже в первом приближении получить уравнение Фоккера-Планка. В работе [50] была детально исследована некоторая конкретная модель, динамика поведения которой описывалась точно интегрируемыми уравнениями. Это позволило на строгой математической основе проанализировать ранее предложенные аппроксимации. Аналогичные результаты для квантовомеханических систем были получены в [51].

В лекциях, прочитанных Н.Н. Боголюбовым в 1974 году в Рокфеллеровском университете, была изложена модифицированная версия метода, развитого в [49], и обсуждена его связь с теорией двухвременных функций Грина [52].

Следует отметить, что понятие «малой» и «большой» систем следует понимать в том смысле, что число степеней свободы одной системы много меньше числа степеней свободы другой.

Развитие идей, заложенных в работах [49-52], позволило на примере модельной задачи теории полярона сформулировать метод получения точных иерархий уравнений для зависящих от времени средних [35].

В основе метода лежит исключение бозе-переменных из операторных уравнений движения при усреднении последних с матрицей плотности начального состояния. Существенное значение при этом имеют специальные леммы, установленные для случая адиабатического включения взаимодействия между «малой» и «большой» системами [35]. В случае, когда «большая» система находится в состоянии равновесия (является термостатом), этот метод позволяет описать приближение к равновесию для распределения вероятности в «малой» системе.

Указанный метод оказался весьма полезным при описании процессов сверхизлучательной генерации [53-55]. Явление сверхизлучения состоит в возникновении спонтанной когерентности электромагнитного излучения за счёт обмена фотонами между атомами рабочей среды при определённых условиях [56].

Предложен вывод точного уравнения, описывающего эволюцию для частицы, взаимодействующей с бозонным полем. Показано, что в случае слабого взаимодейтвия это уравнение приводится к уравнению Больцмана в теории полярона. Особое внимание уделяется исследованию неравновесных свойств линеаризованной модели полярона. Основные характеристики такой системы, импеданс и адмитанс, явно вычисляются. Также показано, что равновесная функция распределения по импульсам в пределе слабой связи может быть получена с помощью формализма Т-произведений без использования приближённого уравнения Больцмана.

Модель полярона: общее рассмотрение

Рассмотрим медленный электрон, находящийся в кристалле диэлектрика, взаимодействующий с ионами решётки через длиннодействующие электрические силы. Этот электрон будет постоянно окружён областью поляризации. Двигаясь через кристалл, электрон переносит вместе с собой область искажения решётки. Электрон вместе с сопровождающим его самосогласованным полем поляризации можно рассматривать как квазичастицу, называемую поляроном. Её эффективная масса больше, чем масса блоховского электрона. Образование полярона есть следствие динамического электрон-решёточного взаимодействия, которое ответственно также за рассеяние заряженных носителей тока, перенормировку фононных частот и экранировку взаимодействия между носителями тока.

Можно говорить об «облаке фононов», сопровождающих электрон. Таким образом, полярон можно рассматривать как сложную систему — «электрон + сопровождающие фононы». Проблема поляронов — это классическая проблема физики твёрдого тела, когда это понятие имеет непосредственные приложения [6, 11, 12]. С другой стороны, эта проблема имеет большой теоретический интерес, и не только в интерпретации теории твёрдого тела, поскольку эта проблема представляет пример частицы, взаимодействующей с квантовым полем и подходящую модель для применения методов квантовой теории поля и квантовой статстики и формулировки интуитивных идей о свойствах частицы, двигающейся во флуктуирующей квантовой среде. Подробное обсуждение физического происхождения и основных особенностей модели полярона можно найти также в работе [11].

Здесь мы хотели бы предложить введение в новый метод равновесной теории полярона, основанный на технике Т-произведений. Здесь и ниже мы будем следовать главным образом идеям, предложенным в наших лекциях [8].

Расмотрим подробнее гамильтониан полярона и его свойства. С общей точки зрения модель полярона может быть рассмотрена как частный случай «малой» системы 8, взаимодействующей с «большим» бозонным резервуаром S. Пусть 8 будет электрон, aS — фононное поле кристалла. Обозначим через Xs набор переменных электронной

волновой функции и обозначим через Х^ = (...пу...) набор чисел заполнения фононных мод.

Динамическое состояние полярона 8 + £ характеризуется волновой функцией Ф^^Л^), образуя пространство TYs+s = 'Hg^'H'a, где Ид — пространство состояний электрона, а Не — пространство фононов Фока. Мы будем использовать обозначения: А^8\ Д(£) и A(S, £) для операторов, действующих соответственно на переменные Хд, Хе и (Хд,Х^) волновой функции T(Xs,Xe). Заметим, что операторы А(8) и Д(^) всегда коммутируют друг с другом. Гамильтониан полярона может быть записан как

НР = Н(8) + Я(£) + Нм(8, £),(0.1)

где2

Я(5) = Т_,(0.1а)

Н^) = ^Е<ЖМ +ш/9/9-/)>(0-1&)

Я|п1(5\Е) = ^££т.Щ(0.1с)

V (/)

Три операторных члена соответствуют гамильтониану свободного электрона Н(8), гамильтониану фононного поля Я(Е) и гамильтониану электрон-фононного взаимодействия Н[п^8, £). Здесь г, р — положение и импульс электрона. Электрон-фононное взаимодействие характеризуется параметром Lj, который предполагается действительной и сферически симметричной функцией:

р = ц = ц\р,

г,р — квантовые операторы, удовлетворяющие обычным коммутационным соотношениям:

ТаРр - РрГа = Пгб^р (а,р = х,у,д.

Фононные амплитуды Pf,qf — квантовые операторы, удовлетворяющие аналогичным соотношениям:

qm- -ppqf = ^8р,р\=р-ь q^q-p

Суммирование по волновым векторам фонона f производится по множеству квазидискретных значений:

Р _ / 27ГП1 27ГП2 27ГПЗ \

_ I L ’ L ’ L ) ’

где L3 = V — объём системы, а П1,П2,пз — целые числа.

В большинстве статей рассматривается так называемый полярон Фрёлиха (известный также как полярон большого радиуса). Для по-

лярона Фрёлиха предполагается, что электрон взаимодействует с диэлектрическим континуумом посредством кулоновских сил, а не с кристаллической решёткой. Это приемлемое приближение, если полярон, состоящий из электрона и индуцированной им поляризационной ямы, простирается на расстояние, много большее постоянной решётки. Тогда поле поляризационных смещений Р(г) есть гладкая функция г и может быть выражено через макроскопические диэлектрические постоянные Sqq и во- Континуальное приближение для поляризационного поля, а следовательно гамильтониан Фрёлиха (0.1), теряет смысл, когда размер полярона становится сравним с постоянной решётки.

Параметр взаимодействия для модели полярона Фрёлиха определяется следующим образом:

=е (£ -1) -(0-2)

где е — заряд электрона, 0^, £q — высокочастоная и низкочастотная диэлектрические постоянные. В случае обычной модели Фрёлиха имеют дело с оптической фононной областью, для которой

uj и > 0 при /0,

и пренебрегают дисперсией, т. е. uj = и.

Общепринято считать, что сила взаимодействия в этой модели характеризуется безразмерным параметром константы связи

а = ^М—

2тг/гсс2

Обычно различают случаи сильного (а > 10), слабого (а С 1) и промежуточного (а £з 3 -У 6) значений параметра константы связи. Следует отметить, что исследуя проблемы полярона в общем случае, следует принять во внимание зависимость uj и Lf от f. В частности, можно рассмотреть одну или другую модификацию кулоновского случая (0.2). Имеются некоторые физические соображения, например, ввести некоторое затухание для взаимодействия при больших |f|. Простейший способ это сделать — дополнить условие (0.2) следующим ограничением

(0.2а)(0.2а)Lf = O,

(0.2а)

(0.2а)

для |f| > /о, сохраняя старое определение (0.2) для |f| < /о в то же время. Естественный путь — это обрезание вектора /о = 2тг/а, где а — обратный вектор решётки. Физическая мотивировка состоит в том, что модель Фрёлиха не учитывает структуры решётки, и вклад в гамильтониан от волновых векторов, больших чем 2тг/а, не точно представлен в формуле (0.1) и может быть опущен. Тем не менее, далее мы рассмотрим стандартную модель полярона Фрёлиха без обрезания, и все вычисления будут проводиться для произвольной функциональной зависимости параметра взаимодействия L^.

Симметрии и квантовые свойства

Следует подчеркнуть, что проблема полярона имеет существенно квантовый характер. Можно показать, например, что «классическое» электронное взаимодействие (0.1с) не существенно и сводится просто к добавлению аддитивной константы в соответствующем гамильтониане.

Введём в (0.1) вместо pf и qf операторы рождения и уничтожения фононов &1 и by

/ п \1/2

V 7 7(0.4)

удовлетворяющие коммутационным соотношениям

Ьу,-Ьрв = 5ы,, bfbr-brbf = O, ьЦ.-Ь^Ь} = 0. (0.4а)

Тогда гамильтониан (0.1) запишется как

2тJ у J J 2 /у1/22тJ у J J 2 /у1/2(0.5)(0.5)который можно записать в видекоторый можно записать в виде

2тJ у J J 2 /у1/2

2тJ у J J 2 /у1/2

(0.5)

(0.5)

который можно записать в виде

который можно записать в виде

2,1 \1Г2

нР = у + утшДв^ + Р -Lyy,(0.6)

2тJ у J J 2/ V

(/)(/) s

гдегдеS/ = bfe"^S/ = bfe"^1 Lf у'/2 fujj1 Lf у'/2 fujj1/21/2yV2 KuJfyV2 KuJf1/21/2(0.6a)(0.6a)

где

где

S/ = bfe"^

S/ = bfe"^

1 Lf у'/2 fujj

1 Lf у'/2 fujj

1/2

1/2

yV2 KuJf

yV2 KuJf

1/2

1/2

(0.6a)

(0.6a)

Новые операторы Bf и B^ удовлетворяют тем же стандартным коммутационным соотношениям, как и операторы Бозе (0.4а). Если мы предположим, что координата г и импульс р электрона коммутируют в классическом случае, тогда операторы Bf и В^ в (0.6) коммутируют с членом р2/2т. В этом случае соотношение (0.6а) можно интерпретировать как каноническое преобразование к новым операторам Бозе Bf и В^. Сравнивая (0.5) и (0.6), мы заключаем, что для классического электрона взаимодействие неэффективно и сводится к добавлению аддитивной постоянной в гамильтониан системы.

Напротив, в квантовом случае квазибозонные амплитуды Bf и В^ не коммутируют с р2/(2т) в связи с имеющимися множителями

exp (±zf • г), и отсюда электронные и квазибозонные члены в гамильтониане (0.6) не независимы друг от друга.

Различие между классической и квантовой ситуацией может быть пояснено также и при переходе к унитарному преобразованию в гамильтониане. В связи с этим введём оператор

U = ехр(гУ^тф>/)>(0.8)

(/)7

компенсирующий экспоненциальные фазовые факторы в Bf и В',: т / й \1/2~

UBfU^ = bf + ММ = bf,

7(0.8)

W = b\ + ^(^\= bp

JJ nwfJ

С другой стороны, оператор U преобразует импульс электрона как

сРсЛ = р - Е Mb^bj.(о. ю)

Второй член в правой части, очевидно, есть общий импульс фононов. Таким образом, после применения [/-преобразования 9 к гамильтониа

ну полярона получим

н-р = UHpW = ^ (р - Е Ш'ьД2 + Е- Е #

.111 "l°)(0.106).111 "l°)(0.106)+ у^ ^fb^fbf + УЩ+ у^ ^fb^fbf + УЩffU)U)U)U)v (П 7 (В(/)5

.111 "l°)

(0.106)

.111 "l°)

(0.106)

+ у^ ^fb^fbf + УЩ

+ у^ ^fb^fbf + УЩ

f

f

U)U)

U)U)

Сравнивая (0.5) и (0.106) и учитывая, что множители exp (±zf • г)

в (0.5) есть несущественные фазовые факторы, которыми пренебрегают

в классическом случае (в действительности, они могут быть включены в операторы bf и ^) мы видим, что квантовый эффект в теории полярона проявляет себя в замене импульса электрона р относитель

ным импульсом электрона относительно общего импульса фононов. Интересно заметить, что единственная важная особенность здесь — квантовая природа модели, но не сила взаимодействия.

Попутно можно получить некоторые следствия представления (0.10), рассматривая импульс р как интеграл движения для преобразованного гамильтониана

рН'Р - Н'Рр = 0.

9 Известно, что унитарное преобразование гамильтониана не изменяет спектр энергии и поэтому не влияет на термодинамические свойства, основное состояние энергии и т. д.

Совершая обратное преобразование, можно найти соответствующий интеграл движения для первоначального гамильтониана как сумму импульса электрона и импульсов фононов

Р = р + £Ш^/, РНР - НРР = 0. (0.11) (/)

Последнее тождество легко проверить непосредственным вычислением. Отметим, что общий импульс Р есть генератор группы трансляционной симметрии первоначального гамильтониана (0.5):

r^r + a (а = const),

Ь$^Ь$е"^, Ь^ . (0.12)

Унитарные преобразования (0.7)—(0.12) были впервые введены Боголюбовым [7] и Ли, Лоу, Пайнсом [13] для того, чтобы развить подходящие методы для проблемы полярона.

Проблемы и методы теории полярона

Можно различать два основных направления в поляронных исследованиях: первое направление занимается кинетическими и транспортными свойствами; второе исследует равновесные свойства, включая квантовомеханические явления при нулевой температуре.

В кинетической теории изучают явления, зависящие от времени, в неравновесной или квазиравновесной теории — релаксационные процессы (описываемые уравнением Больцмана) или движение электрона под действием внешних сил и т. д.

Равновесная теория занимается описанием свойств системы при заданной температуре. Существенный интерес представляет нахождение различных средних, относящихся к электрону или к полярону в целом, таких как средняя кинетическая энергия и средняя общая энергия, эффективная масса, эффективный радиус и т. д.

Интересную проблему представляет также изучение равновесной функции распределения импульса электрона и отклонения этой функции от максвелловского распределения.

Аналогичные проблемы могут быть сформулированы для основного состояния полярона, которое также может рассматриваться как предельное состояние в случае нулевой температуры (когда Т 0).

Основная равновесная функция есть функция свободной энергии (логарифм функции распределения), которая может быть рассмотрена как порождающий функционал для вычисления средней энергии и энергии основного состояния. И далее, после ввода соответствующих полей (некоторых дополнительных членов-источников) в гамильтониан системы, свободная энергия может быть использована для вычисления

одних или других средних, эффективной массы полярона и т.д. 9 Равновесная свободная энергия полярона будет основной величиной, рассматриваемой далее.

Много важных статей, посвящённых различным аспектам теории полярона, опубликовано. В качестве стандартных статей, исследования по проблемам полярона можно найти, например, в [11] и процитированных там ссылках. Дальнейшее развитие в этом направлении описано в работах [6, 15, 37, 38] и многочисленных ссылках там же.

Общее направление развития можно подчерпнуть из названия статей в списке ссылок, так что мы здесь не будем делать обзор всех аспектов поляронной проблемы, делая только некоторые специальные комментарии. Примеры основных обзоров по проблеме полярона можно найти в работах [6, 11, 17, 18].

Поскольку для гамильтониана поляронов нельзя получить точного решения, были предложены различные приближённые методы для получения численных результатов. Эти подходы обычно используют элементы теории возмущений, канонических преобразований и вариационных принципов.

При нулевой температуре проблема полярона — квантовомеханическая проблема (см., например, [11] и список ссылок). При слабой связи параметр взаимодействия а <^ 1, и можно применять стандартные методы теории возмущений. Некоторое улучшение схемы теории возмущений может быть получено выбором подходящего канонического преобразования гамильтониана и надлежащим выбором пробной (вариационной) волновой функции (см. [7, 11, 13, 19-24]). Специальный вид теории возмущений может быть развит также и в случае сильной связи [2, 7, 11, 20, 25-27].

Проблема исследования задачи о поляроне становится более сложной, когда исследуются свойства равновесного полярона при конечной температуре [5, 28].

Аналогичные исследования были выполнены также в неравновесном случае [29-32].

9 Для произвольной системы в равновесном состоянии при температуре ^ = кТ = /3—1 и гамильтониане Н свободная энергия задаётся как

ПН,3^ = -^1пТге-0Н

Здесь Тг е~^н — так называемая функция распределения. Произвольное среднее может быть вычислено, в частности, дифференцированием:

^3,н = -1-МН-хА^=0.

ОХ

Например, средняя энергия есть

Новый общий метод в теории полярона был предложен Н.Н. Боголюбовым и Н.Н. Боголюбовым (мл.) в [8, 33-35]. Он основывается на исключении фононных переменных методом средних от Т-произве- дений. Эта техника может рассматриваться как аналог приближения континуальных интегралов. Однако, она оказывается более прозрачной и более строгой с математической точки зрения и более удобной для практических вычислений.

Например, когда рассматриваются равновесные аспекты полярона (см. ниже), мы будем иметь дело с соответствующими квантовыми средними по Гиббсу, вычисляемыми по квадратичному бозонному гамильтониану вместо сложного анализа теории континуальных интегралов.

Обобщённая схема нахождения выражения для свободной энергии (функции распределения) была развита в работе [8] на основе линейной модели для аппроксимирующего гамильтониана. Линейная модель, с другой стороны, может рассматриваться как естественное обобщение приближения Фейнмана модели двух тел (0.13) в случае континуума тяжёлых частиц, взаимодействующих с электроном. Все характеристики для линейной модели гамильтониана могут быть вычислены точно с помощью применения спектральных представлений, функций Грина, корреляционных функций. В работе [36] была построена теория возмущений для свободной энергии (функции распределения) в рамках использования термодинамических средних, построенных с применением Т-произведений. Подход с применением термодинамических средних и Т-произведений был развит также и для неравновесного случая. В работах [33, 34] предложен вывод обобщённого кинетического уравнения с использованием исключения фононных амплитуд. Показано, что после ряда преобразований это уравнение приводится к стандартной форме уравнения Больцмана для полярона и может быть использовано для получения обобщённого уравнения. Ряд других приложений для обобщённого кинетического уравнения с использованием исключения фононных амплитуд можно найти в работе [35]. Можно отметить, что в [35] на основе анализа кинетического уравнения в линейном приближении получены выражения для импеданса и адмитанса полярона более простым и строгим способом, чем метод континуального интегрирования, которым они были получены ранее в работе [29].

В подготовке настоящего издания неоценимую помощь оказал А. В. Солдатов, которому выражается сердечная благодарность.

Глава 1

ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ПОЛЯРОНА

Настоящая глава носит педагогический характер и служит введением в современный математический метод исследования проблем термодинамически равновесной теории полярона при конечных температурах, основанный на формализме операторных Т-произведений. В качестве примера использования данного метода рассмотрены точно решаемая линейная модель полярона, введённая Н.Н. Боголюбовым, а также двухчастичная осцилляторная модель, предложенная Р. Фейнманом.

Введение линейной модели

Рассмотрим линейную модель полярона, характеризуемую гамильтонианом, состоящим из гамильтонианов осциллятора Hg, фононного поля Н^ и взаимодействия Hg^, т. е.

Hg^ = Hg + Hv + Hg^,(1.1)

ГДС222

Hs = fc + Hs = i ^pf + ^WqfY

Hsu = T^ESW'WV (/)

Здесь r, p — положение и импульс электрона; S^ = S'dfl) — вещественная радиально-симметричная функция:

Щ) = Ш/1) > О,q-f = q^ p-f = p*fСуммирование по / производится по множеству квазидискретных зна-чений._ /27ГП1 27ГП2 2тгпз\

J ~ I L ’ L ’ L ) ’

L^ = V — объём системы, где П1,П2,пз — целые числа. Общее число N осцилляторов предполагается конечным для конечного объёма V (далее, как обычно, N сю, при V сю).

Отметим тождество

2/ Г ^f • г £(/) 1 Г * , ^f • г $(/) 12/।

ш(7)

Ясно, что

где учтено свойство q_j = q^

Благодаря свойству радиальной симметрии

^рШМоЛр = 5оЛеПШ)Л

(7)(7)

ГДе|/| = (/12 + /22+/з)1/2./2 = I/I2.

Таким образом

v гш (г г\2 = eLv Гшг2V ^ Лт6V 2-^ ^^ ■

Отсюда видим, что потенциальную энергию можем записать в виде

u =+ 9 E UNqj + 77172 E 5(/)f ■ r9f = 1—9—^ +

V (7)

ш [ЯлЕ^Г <l2)

гдегде(7)(7)s\nfv\n 's\nfv\n '

где

где

(7)

(7)

s\nfv\n '

s\nfv\n '

Рассмотрим случай № = Kg. Если К = Kq, тогда U ^ 0, и U = О,

в случаев случае97 =97 =if г 8Щ v\n ^1/2 'if г 8Щ v\n ^1/2 '

в случае

в случае

97 =

97 =

if г 8Щ v\n ^1/2 '

if г 8Щ v\n ^1/2 '

Запишем кинетическую энергию, которая, очевидно, положительна:£;ЧЕЫ2.

(7)

Введём нормальные координаты Qx- Тогда г, q^ будут линейными комбинациями Qx- Заметим, что при К = Ко наша система (1.1) описывается гамильтонианом Н = Т + U, где обе квадратичные формы положительно определены. Линейным преобразованием координат, как показывается в линейной алгебре, можно привести обе эти формы одновременно к диагональному виду, и в новых нормальных координатах Qx гамильтониан будет

= 52 f^A + ^aQa) •

А Х7

При этом Q\ удовлетворяют уравнению

Qx + ^aQa = 0.

При К = Ко соотношение (1.2) показывает, что U становится равным нулю только если q^ принадлежат 3-мерному множеству:

9/ =9/ =^f r S^ v\n^f r S^ v\n

9/ =

9/ =

^f r S^ v\n

^f r S^ v\n

Другими словами, при К = Kq гамильтониан Н будет инвариантен по отношению к трёхмерной группе трансляций:

, „if • R S(/)

r^r + R, 9/9/+— —тЧ-

Поэтому точно три компоненты из Q2 будут нулями, все другие Q2 будут положительны. Мы, таким образом, имеем три моды

Qa =0,

соответствующие инерциальному движению. Таким образом, при К = = Ко траектория r(t) содержит равномерное инерциальное движение, на которое наложены гармонические колебания.

Отметим также, что, когда К < Ко, форма U не положительна, так что некоторые Q2 должны быть отрицательны, и движение будет неустойчивым и будет характеризоваться экспоненциально возрастающей функцией времени t.

Далее нас будет интересовать случай К = Ко- Но, с точки зрения вычислительных упрощений, будет удобнее взять

Д2 = Д02 + ^2. (1-3)

а затем совершить предельный переход ту 0 (перед обычным предельным переходом V сю).

Заметим, что, поскольку ту2 > 0, форма U положительно определена, и поэтому все Q2 будут положительны. Таким образом, в этом случае все r(t), p(t), qj(t) и pj(t) будут представлены суммами гармонических колебаний.

Уравнения движения

Введём бозе-амплитуды Ьг, by / ft Х1/2/ft

^(мТ)) ^f + b-ft р/ = ^-^)

Эти амплитуды удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям,,

И -ьу = х.

Отсюда видим, что

Q-f = qp P-f=Pp

а такжеа такжеto/.P/] = ^^ = i.to/.P/] = ^^ = i.

а также

а также

to/.P/] = ^^ = i.

to/.P/] = ^^ = i.

Наш гамильтониан примет вид

2 ,,/ ft \‘/2

Н= 2-+ Гк^ + nV + гУ “к^/) ТТл f-Hbf + bV + 2т 2 иу1/2\ 2v( f) IJ J

+ y^(.f)b}bf + ^ynV)- (1.4) (/)m

Запишем уравнения движения для этого гамильтониана: dr _ Мdp _ ЭН

dtdp ’dt dr ’

ih^ = bfH-Hbf,- Hb] f.

dt J 1dt

Раскрывая правые части этих уравнений, найдём:

dpdtdpdtdrт— = р, dt кТЕ$(лт>( + м,),(/) v 7drт— = р, dt кТЕ$(лт>( + м,),(/) v 7■/ ft \1/2•Г'^ - мя», - ^ (4у) smr.r.■/ ft \1/2•Г'^ - мя», - ^ (4у) smr.r.(1.5)(1.5)

dpdt

dpdt

dr

т— = р, dt к

ТЕ$(лт>( + м,),

(/) v 7

dr

т— = р, dt к

ТЕ$(лт>( + м,),

(/) v 7

■/ ft \1/2

•Г'^ - мя», - ^ (4у) smr.r.

■/ ft \1/2

•Г'^ - мя», - ^ (4у) smr.r.

(1.5)

(1.5)

dh^• / ft \‘/2

^ = -MM/ + ^(^7J) 5(/)f.r.

В дальнейшем эту систему уравнений (1.5) мы хотим переконструировать в систему уравнений для функций Грина, что даст нам возможность явно вычислить такие функции, как ^аЛр^ and ^Pa.Pp^V

спектральную функцию JPcxP3 , а поэтому и равновесные корреляционные функции (ра(£)р/з(т)), взятые по гамильтониану (1.4).

Напомним поэтому определения двухвременных корреляционных и гриновских функций [40, 41]. Для двух операторов в представлении Гейзенберга A(t) и В(т) составим корреляционные функции:

(А(ЦВ(т))еС1 = | JA.B^e-^-^ du,

(1-6)

(В(т)Л(£))ед = |М

здесь Кд — постоянная Больцмана, Т — температура. Запаздывающие и опережающие функции Грина определим как обычно [41]:

((^(Ц В(т)))ге1 = Xt - тХА^,В(т)К =

_ т) ^М^В(т) , B^A^t^eq (17)

Здесь под (...)eq понимается усреднение по гамильтониану (1.4):

''' eq Тге-НЯ ■

Введём функции комплексной переменной Q, ImQ ^ 0:

((Л,В))П = 1 [ Ja.bM 1 Г dv- (L8)

Тогда спектральные представления для опережающей и запаздывающей функций Грина записываются в виде

((Л(ДВ(т))и=[ ({А,В))ш_юе-^-А аШ,

Z(L9)

{(А(Н,В(тУ)и = 4- [ ((AB^oe-^-Adw.

Учитывая формулу

(МО)(МО), . = В (—-—) Т гтг5(ш — vY ш — v ±ге \ш — vд

(МО)

(МО)

имеем важное соотношение

^А, В))ш+г0 - ((А В))^ = Ja.bHO " е’^). (Ml)

Построим теперь систему уравнений для гриновских функций (1.7). Учитывая, что имеем

^dt^^^’-^^^ret, adv =

= Г^-т)(ЛВ-ВЛ) + /Л^^,В(т)\\. (1.12)

natre^ a(jv

Откуда в «Q-представлении» получим

(М3)(М3)ИЛИИЛИ^’8!» = Imb -в» + {^, в^.

(М3)

(М3)

ИЛИ

ИЛИ

-Ш((Л,В))п = 1(ЛВ-ВЛ) + //^,в\\ .

Отметим ещё одно полезное тождество *):

+ оо+оо

гдегде(В(т)Л№)еч = | ЛвлНе-"^ (1ш = | JB,A^KMt"T) Аш,

где

где

Jb,a(-^ = JA.B^e ^ (см. (1.6)),

Из (1.8) имеем,Из (1.8) имеем,Л В\В А)’Л В\В А)’

Из (1.8) имеем,

Из (1.8) имеем,

Л В\

В А)’

Л В\

В А)’

') Пояснение: запишем равенство

(Л(^)В(т))е, = | JA,BWMt-T^

Делая здесь замены

А В, t т, В А, т t,

имеем

(В(т)Л(())ед = j JbaAuK^^ АШ = | ЛвД-шК1"^ АШ.

"ТОО+оо

СВ, А})^ = С J^jB-X^ = 1 JB,а(~0 of du =

+ ОО+ ОО

1 г/i 3vh \1 г1 — З^й

= JA.B^e-^\dv = -1 JAiB(v)L_LdlA

п J\ и з-V 1П Jи V

Таким образом, имеем свойство

СВ.АУк^СА.ВУ)-^ Imfi^O.(1.14)

Двухвременные корреляционные и гриновскиефункции для рассматриваемой линейной модели

Исходя из (1.5) и (1.13), построим систему уравнений для функций

Грина в линейной модели 9:

-гтиСта.тр^п = ((pQ,^))fi,(1.15)

-iUCpa.rp^n = -5а-9 - (JC^ + р2)((га,г/з))п -

■/ д \1/2

^Сь^аЗЗ = МШЗаЗЗ yi/2 (2^)/)) TifiCb-f.r^k = ЫОСь^^гр))^ + ^1/2 (2z/(/) Из (1.17) имеемв(Л^ ^^з^З*1/2О-17)^Сь^аЗЗ = МШЗаЗЗ yi/2 (2^)/)) TifiCb-f.r^k = ЫОСь^^гр))^ + ^1/2 (2z/(/) Из (1.17) имеемв(Л^ ^^з^З*1/2О-17)^ьвт33 vi/2 n-v(f) (2м/)ЗЬ-^аЗЪ -п + нл (2м/)Итак, №j + Ь^-рТрУ)^ =1 ( 1 - 1 (Vv \^ + у(.Л ^~Hf)J\X 1/2J 5(/)((£.г,гД)п,\ 1/2J S(/)((f.r,ry))fi.26,!(.n) SUW-r.,*.^ьвт33 vi/2 n-v(f) (2м/)ЗЬ-^аЗЪ -п + нл (2м/)Итак, №j + Ь^-рТрУ)^ =1 ( 1 - 1 (Vv \^ + у(.Л ^~Hf)J\X 1/2J 5(/)((£.г,гД)п,\ 1/2J S(/)((f.r,ry))fi.26,!(.n) SUW-r.,*.9 Здесь: г = (п,г2,г3), р = (рьР2,Рз) и рату - тура = -ihda(3.9 Здесь: г = (п,г2,г3), р = (рьР2,Рз) и рату - тура = -ihda(3.-Л^зт\wd + l,~'-ri,Yla- (L16)

^Сь^аЗЗ = МШЗаЗЗ yi/2 (2^)/)) TifiCb-f.r^k = ЫОСь^^гр))^ + ^1/2 (2z/(/) Из (1.17) имеем

в(Л^ ^^з^З*

1/2О-17)

^Сь^аЗЗ = МШЗаЗЗ yi/2 (2^)/)) TifiCb-f.r^k = ЫОСь^^гр))^ + ^1/2 (2z/(/) Из (1.17) имеем

в(Л^ ^^з^З*

1/2О-17)

^ьвт33 vi/2 n-v(f) (2м/)

ЗЬ-^аЗЪ -п + нл (2м/)

Итак, №j + Ь^-рТрУ)^ =

1 ( 1 - 1 (

Vv \^ + у(.Л ^~Hf)J\

X 1/2

J 5(/)((£.г,гД)п,

\ 1/2

J S(/)((f.r,ry))fi.

26,!(.n) SUW-r.,*.

^ьвт33 vi/2 n-v(f) (2м/)

ЗЬ-^аЗЪ -п + нл (2м/)

Итак, №j + Ь^-рТрУ)^ =

1 ( 1 - 1 (

Vv \^ + у(.Л ^~Hf)J\

X 1/2

J 5(/)((£.г,гД)п,

\ 1/2

J S(/)((f.r,ry))fi.

26,!(.n) SUW-r.,*.

9 Здесь: г = (п,г2,г3), р = (рьР2,Рз) и рату - тура = -ihda(3.

9 Здесь: г = (п,г2,г3), р = (рьР2,Рз) и рату - тура = -ihda(3.

Подставляя эту формулу в (1.15) и (1.16), найдём= -(/Со + i]2'){{ra,rl3})^ -5а,р ++ vzL 2ДТ) \^ + ЛЛ " Q - ИЛ) ^ 'г’Подставляя эту формулу в (1.15) и (1.16), найдём= -(/Со + i]2'){{ra,rl3})^ -5а,р ++ vzL 2ДТ) \^ + ЛЛ " Q - ИЛ) ^ 'г’ПосколькуПосколькуии^2 _ 1 у^ ^(Л/2^2 _ 1 у^ ^(Л/2получаем уравнениеполучаем уравнение-тОрЧа-1’р')')п = -Т^^Та.Тр^п-тОрЧа-1’р')')п = -Т^^Та.Тр^п। 1^(J) /.2^11 А нг /1 1+ гА^МЛ^ (n + НЛ - Q - НЛ)п 8। 1^(J) /.2^11 А нг /1 1+ гА^МЛ^ (n + НЛ - Q - НЛ)п 8НоНо^ + нл нл нл - ^ нл^ + нл нл нл - ^ нл= -Q= -Q1111i/(/){fi +1/(/)}^-у(Л^(Л)"i/(/){fi +1/(/)}^-у(Л^(Л)"С учётом этого преобразования уравнение (1.18) принимает видС учётом этого преобразования уравнение (1.18) принимает вид5а,Р = ((^.ry^Q X5а,Р = ((^.ry^Q XmH2 — ifmH2 — if^v^uiVm6v4n^v^uiVm6v4n■2 (1\П + и(Л■2 (1\П + и(Л+ Q - и(Л+ Q - и(Л(1.19)(1.19)

Подставляя эту формулу в (1.15) и (1.16), найдём

= -(/Со + i]2'){{ra,rl3})^ -5а,р +

+ vzL 2ДТ) \^ + ЛЛ " Q - ИЛ) ^ 'г’

Подставляя эту формулу в (1.15) и (1.16), найдём

= -(/Со + i]2'){{ra,rl3})^ -5а,р +

+ vzL 2ДТ) \^ + ЛЛ " Q - ИЛ) ^ 'г’

Поскольку

Поскольку

и

и

^2 _ 1 у^ ^(Л/2

^2 _ 1 у^ ^(Л/2

получаем уравнение

получаем уравнение

-тОрЧа-1’р')')п = -Т^^Та.Тр^п

-тОрЧа-1’р')')п = -Т^^Та.Тр^п

। 1^(J) /.2^11 А нг /1 1

+ гА^МЛ^ (n + НЛ - Q - НЛ)п 8

। 1^(J) /.2^11 А нг /1 1

+ гА^МЛ^ (n + НЛ - Q - НЛ)п 8

Но

Но

^ + нл нл нл - ^ нл

^ + нл нл нл - ^ нл

= -Q

= -Q

1

1

1

1

i/(/){fi +1/(/)}^-у(Л^(Л)"

i/(/){fi +1/(/)}^-у(Л^(Л)"

С учётом этого преобразования уравнение (1.18) принимает вид

С учётом этого преобразования уравнение (1.18) принимает вид

5а,Р = ((^.ry^Q X

5а,Р = ((^.ry^Q X

mH2 — if

mH2 — if

^v^uiVm6v4n

^v^uiVm6v4n

■2 (1

\П + и(Л

■2 (1

\П + и(Л

+ Q - и(Л

+ Q - и(Л

(1.19)

(1.19)

Обозначим

д(°>=4ед(°>=4е8ЧЛ .2 (18ЧЛ .2 (111бЛ(л у^ + ^Ш ^-^(.ЛбЛ(л у^ + ^Ш ^-^(.Л(1.20)(1.20)

д(°>=4е

д(°>=4е

8ЧЛ .2 (1

8ЧЛ .2 (1

1

1

бЛ(л у^ + ^Ш ^-^(.Л

бЛ(л у^ + ^Ш ^-^(.Л

(1.20)

(1.20)

и отметим, что

(1.21)(1.21)Д(-Н) = -Д(Н).

(1.21)

(1.21)

Тогда уравнение (1.19) может быть записано в виде

(1.22)(1.22)

(1.22)

(1.22)

Учитывая уравнение (1.15), имеем также

CPa.T^b =CPa.T^b =—гтП6а,зтС? — р2 + QA(Q)—гтП6а,зтС? — р2 + QA(Q)(1.23)(1.23)

CPa.T^b =

CPa.T^b =

—гтП6а,зтС? — р2 + QA(Q)

—гтП6а,зтС? — р2 + QA(Q)

(1.23)

(1.23)

Вспоминая соотношение (1.14), получаем

Ар^РЛЪ =Ар^РЛЪ =гтП6а,зmU2 — р2 + QA(Q)гтП6а,зmU2 — р2 + QA(Q)(1.24)(1.24)

Ар^РЛЪ =

Ар^РЛЪ =

гтП6а,з

mU2 — р2 + QA(Q)

гтП6а,з

mU2 — р2 + QA(Q)

(1.24)

(1.24)

Используя далее (1.5) и (1.13), имеем

-i^lmCTp.p^ft = д^РРа ~ РсхТр) + Урр.РаУп,

И

С,Рр.РЛЪ = -тбар^т= -5 у т(ПАр) г/2)

XXPij р п^тП2-^2 + ПД(П)та2-р2 + Шх(а)

(1.25)

Для |ImQ| > 0 мы можем совершить в (1.22)-(1.25) предельный переход р 0, тогда получаем

Аа,ТрУп =Аа,ТрУп =5а,3mU2 + QA(Q)5а,3mU2 + QA(Q)

Аа,ТрУп =

Аа,ТрУп =

5а,3

mU2 + QA(Q)

5а,3

mU2 + QA(Q)

Ср«,гЛЪ = ^гр,рЛЪ = -Д^уСр«,гЛЪ = ^гр,рЛЪ = -Д^у(1.26)(1.26)СРа-РР^П =СРа-РР^П =. тЛ^)а’13 та Р-А(ау. тЛ^)а’13 та Р-А(ау

Ср«,гЛЪ = ^гр,рЛЪ = -Д^у

Ср«,гЛЪ = ^гр,рЛЪ = -Д^у

(1.26)

(1.26)

СРа-РР^П =

СРа-РР^П =

. тЛ^)

а’13 та Р-А(ау

. тЛ^)

а’13 та Р-А(ау

Следует подчеркнуть, что при вычислении спектральной интенсивности Ja,b(w\ например, 3РомРДш\ мы должны воспользоваться формулой (1.25), содержащей р > 0, а уже после этого можно полагать р 0.

Используя формулу (1.11), имеем

тС — р2 + QA(Q)тС — р2 + QA(Q)ш+гОш — гОш+гОш — гО

тС — р2 + QA(Q)

тС — р2 + QA(Q)

ш+гО

ш — гО

ш+гО

ш — гО

(1.27)(1.27)ггК / QA(Q)-n2 \ i^+iO

(1.27)

(1.27)

тоа в 5— .

2тг(1 -fc_J^j \то.2 - р2 + aA(a)J L-io

Здесь мы начинаем применять краткое обозначение:

F(Q) = F(b) - F(a).I a

Заметим, что деление на фактор (1 — е-^ш)-Х в формуле (1.27) может ввести дельта-функцию К5(ш) с некоторым неизвестным коэффициен-

том К. Но когда р2 > 0, выражение

cj+zO

ш — гО

в формуле (1.27) равно нулю в окрестности точки и = 0. С другой стороны, мы знаем, что в этом случае при р2 > 0 функция pa(t) представляется суммой гармонических колебаний с частотами, не равными нулю. Поэтому соответствующая спектральная интенсивность

в окрестности точки и = 0 (которая не содержит частот упоминавшихся гармонических колебаний). Итак, мы должны сначала вычис-

переходитьпереходить(1.28)(1.28)лить (1.27) при р2 > 0, и только после этого мы можем к пределу р 0.

переходить

переходить

(1.28)

(1.28)

Рассмотрим детально простейший пример, когда

^(/) = ^ = const > 0.

Тогда формула (1.20) с учётом

оо(/)может быть переписана в виде ЛК2. /1,(/)может быть переписана в виде ЛК2. /1,11Q — vQ — vfi2fi2-Л'-Л'(1.29)(1.29)Из формулы (1.27) имеем^М = ^,/з^(1-е-^)-1Из формулы (1.27) имеем^М = ^,/з^(1-е-^)-1(mQ)2(Q2 - z/2)(mQ)2(Q2 - z/2)ш+гОш+гОmQ4 — rf(Ko + р2 + mv2) + v2 р2mQ4 — rf(Ko + р2 + mv2) + v2 р2Здесь знаменатель имеет два корня относительно Q2:Здесь знаменатель имеет два корня относительно Q2:изо)изо)2 2ш1 = Л.11 2 + Г =2 2ш1 = Л.11 2 + Г =-2 .2-2 .2тт(1.31)(1.31)

о

о

(/)

может быть переписана в виде ЛК2. /1,

(/)

может быть переписана в виде ЛК2. /1,

1

1

Q — v

Q — v

fi2

fi2

-Л'

-Л'

(1.29)

(1.29)

Из формулы (1.27) имеем

^М = ^,/з^(1-е-^)-1

Из формулы (1.27) имеем

^М = ^,/з^(1-е-^)-1

(mQ)2(Q2 - z/2)

(mQ)2(Q2 - z/2)

ш+гО

ш+гО

mQ4 — rf(Ko + р2 + mv2) + v2 р2

mQ4 — rf(Ko + р2 + mv2) + v2 р2

Здесь знаменатель имеет два корня относительно Q2:

Здесь знаменатель имеет два корня относительно Q2:

изо)

изо)

2 2

ш1 = Л.11 2 + Г =

2 2

ш1 = Л.11 2 + Г =

-2 .2

-2 .2

т

т

(1.31)

(1.31)

Таким образом,mQ4 - П2(7Со + р2 + v2т) + v2p2Таким образом,mQ4 - П2(7Со + р2 + v2т) + v2p2= m(Q2 - cjf)(Q2 - щ^)-= m(Q2 - cjf)(Q2 - щ^)-

Таким образом,

mQ4 - П2(7Со + р2 + v2т) + v2p2

Таким образом,

mQ4 - П2(7Со + р2 + v2т) + v2p2

= m(Q2 - cjf)(Q2 - щ^)-

= m(Q2 - cjf)(Q2 - щ^)-

Поэтомуm2Q2(Q2 - v2)Поэтомуm2Q2(Q2 - v2)mQ4 — ^-2(Kq + р2 + v2m) + V2 р2_ тш2(сс2 — ^2)1—22 ГЛ 2Ш\ — СС2 U — CJ1mQ4 — ^-2(Kq + р2 + v2m) + V2 р2_ тш2(сс2 — ^2)1—22 ГЛ 2Ш\ — СС2 U — CJ1тсс2(сс2 — и2)1тсс2(сс2 — и2)122СС2 — (Щ22СС2 — (Щ/^22U — СС2/^22U — СС2

Поэтому

m2Q2(Q2 - v2)

Поэтому

m2Q2(Q2 - v2)

mQ4 — ^-2(Kq + р2 + v2m) + V2 р2

_ тш2(сс2 — ^2)1

—22 ГЛ 2

Ш\ — СС2 U — CJ1

mQ4 — ^-2(Kq + р2 + v2m) + V2 р2

_ тш2(сс2 — ^2)1

—22 ГЛ 2

Ш\ — СС2 U — CJ1

тсс2(сс2 — и2)1

тсс2(сс2 — и2)1

22

СС2 — (Щ

22

СС2 — (Щ

/^22

U — СС2

/^22

U — СС2

где выражение 8 регулярно и не содержит сингулярности на действительной оси. С другой стороны,

1=7 = 1,2,

£2 — сс j^о j у £2 Oj 81 Д- Oj J

И1 icj+zO „а

^2. = ГТ W - Ш3^ ~ б1Ш + X} ■

\1 — СсД Х-гО Wj

Таким образом, из формулы (1.30) найдём

^рар/з(^) =

.- ex) /ч , Кеду Л ,

- 2 5«.02Г" ( )=№^Г 5^Ш ~ X ++ X ) +

z сс2 — сс! \ 1 — е 1е1 — 1)

+ 2 ^,р V 27 1—- X + X+х .

сс2 - сС] у 1 - в А 2- 1/

(1.32)

С учётом (1.31) имеем ш\ —> 0, когда р ^ 0. Следовательно,

Совершая в (1.32) предельный переход р ^ 0, найдём

^РаРз\Ш) —2 ,2+

+ mv

+ X (»(Ш + /0) . (1 33)

Зная спектральную интенсивность, нетрудно вычислить двухвременные корреляционные функции:

WAPiXO1)^ = 0, а^ 0,

<Ра(Фа(т))еч =(1.34)

= т2^-9 +^Д й г-ЫЗ-т) ,^ ргц(1-тД

ИмеемИмеемL РЙИ = т8а д яв -№)\.L РЙИ = т8а д яв -№)\.(1.35)(1.35)Рассмотрим теперь более общий случай, когда д(/) обладает непрерывным спектром в пределе У ос. Возвратимся к формуле (1.27).

Имеем

Имеем

L РЙИ = т8а д яв -№)\.

L РЙИ = т8а д яв -№)\.

(1.35)

(1.35)

Видим, чтоВидим, что_ ПА(П) - ту2mQ2 — т,2 + QA(Q)

Видим, что

Видим, что

I c<j-|-iO

Л(0) = -1 и мЦ = 0

для достаточно малых и. Поэтому для достаточно малых и

1ica+zO/11\

о ДФ) = ЛИ (лтт - 7Г”Р) = -^ДМ^М = 2тп5И-

(1.36)

Заметим, что 1/Q имеет только одну сингулярную точку Q = 0. Поэтому для произвольных действительных ш

1icj+zO1icj+zO

^AW =2тгад + 1д(0)

м1са —г0О)1са —г0

или

1ica+zO1ila+zO

г^Н =-27гад + А/,(п)

ШIca —z0“Ica —z0

Таким образом, из (1.35) имеем

(1I ^ + z0 \

2тг(1 — е ) \Icj-zO /

Но функция^

- e-^Q

регулярна вблизи действительной оси, и по этой причине

Поэтому

ИИJpcPcH =т^6^-JpcPcH =т^6^-jp=,pA^=° если а^А

И

И

JpcPcH =т^6^-

JpcPcH =т^6^-

гКтQA(Q) - Т]2Г'+'°

2тг( 1 - е"3^ тП2 - Т]2 + fiA(fi) L-iO '

Мы, таким образом, имеем

^Pa^ppO^eq = 0 При а ^ 3,

/,.х, хХ q f ihme-^1"^ QZX^-TI2 \ш+Ю ,

Рассмотрим функцию

„ (q\ _ HA(Q) — ц2 _।mQ2_

mQ2 — ц2 + QA(Q)mQ2 — ц2 + QA(Q)

mQ + A(Q) — у2/^

для Q=^+whQ= —Ie + u; £ > 0. С учётом (1.20) имеем

-Im A(cc + s) =

= £ v^ ^Ш f! I !A > л

V £ e^tf)J l МЛ + Ш? + £ W) - сЛ2 + £■

Далее,Далее,ПоэтомуПоэтомуии22Im ——^ £ > 0, Q = u + %e.Im I mQ + A(Q) - ^ j > Em, Q = ш + AmQ + A(Q) - ^- > £m.22Im ——^ £ > 0, Q = u + %e.Im I mQ + A(Q) - ^ j > Em, Q = ш + AmQ + A(Q) - ^- > £m.(1.37)(1.37)

Далее,

Далее,

Поэтому

Поэтому

и

и

22

Im ——^ £ > 0, Q = u + %e.

Im I mQ + A(Q) - ^ j > Em, Q = ш + AmQ + A(Q) - ^- > £m.

22

Im ——^ £ > 0, Q = u + %e.

Im I mQ + A(Q) - ^ j > Em, Q = ш + AmQ + A(Q) - ^- > £m.

(1.37)

(1.37)

Аналогичным образом, и при £ = —ImQ > 0

mQ + A(Q)mQ + A(Q)QQ> £.> £.

mQ + A(Q)

mQ + A(Q)

Q

Q

> £.

> £.

Мы, таким образом, видим, что функция /^(П) комплексной переменной Q регулярна в двух полуплоскостях:

Im Q > 0 и Im Q < 0.Im Q > 0 и Im Q < 0.(1.38)(1.38)

Im Q > 0 и Im Q < 0.

Im Q > 0 и Im Q < 0.

(1.38)

(1.38)

Далее замечаем, что полюса функции

1

в области (1.38) вблизи действительной оси будут, соответственно,

2кг2кг

П = и U =.

TipTip

Отсюда мы имеем обычный замкнутый контур С в области

0 < ImQ <

или в областиили в области0 > ImQ > -|^.Tip0 > ImQ > -|^.Tip

или в области

или в области

0 > ImQ > -|^.

Tip

0 > ImQ > -|^.

Tip

ТогдаТогдаГ -zQ(t-r)*/^« = 0.J 1 — еГ -zQ(t-r)*/^« = 0.J 1 — еНапомним формулу (1.20):Напомним формулу (1.20):(Л(Л^Чл_ f2 ( 1+1^Чл \ч/л^-^)^Чл_ f2 ( 1+1^Чл \ч/л^-^)(1.39)(1.39)которая содержит только конечное число членов (Л» когда объём V фиксирован. Поэтому, для достаточно больших |Q|,которая содержит только конечное число членов (Л» когда объём V фиксирован. Поэтому, для достаточно больших |Q|,|QA(Q)| = const, |ImQ| > s > 0|QA(Q)| = const, |ImQ| > s > 0(1.40)(1.40)I A(Q)| < ^.I A(Q)| < ^.Мы, таким образом, можем выбрать в качестве £ бесконечный контур (см. рис. 1):Мы, таким образом, можем выбрать в качестве £ бесконечный контур (см. рис. 1):Ai — ОО < Ш < %Е\ + ОО, А — ОО < lT < А + ОО,Ai — ОО < Ш < %Е\ + ОО, А — ОО < lT < А + ОО,Рис. 1.1Рис. 1.1

Тогда

Тогда

Г -zQ(t-r)

*/^« = 0.

J 1 — е

Г -zQ(t-r)

*/^« = 0.

J 1 — е

Напомним формулу (1.20):

Напомним формулу (1.20):

(Л

(Л

^Чл_ f2 ( 1+1

^Чл \ч/л^-^)

^Чл_ f2 ( 1+1

^Чл \ч/л^-^)

(1.39)

(1.39)

которая содержит только конечное число членов (Л» когда объём V фиксирован. Поэтому, для достаточно больших |Q|,

которая содержит только конечное число членов (Л» когда объём V фиксирован. Поэтому, для достаточно больших |Q|,

|QA(Q)| = const, |ImQ| > s > 0

|QA(Q)| = const, |ImQ| > s > 0

(1.40)

(1.40)

I A(Q)| < ^.

I A(Q)| < ^.

Мы, таким образом, можем выбрать в качестве £ бесконечный контур (см. рис. 1):

Мы, таким образом, можем выбрать в качестве £ бесконечный контур (см. рис. 1):

Ai — ОО < Ш < %Е\ + ОО, А — ОО < lT < А + ОО,

Ai — ОО < Ш < %Е\ + ОО, А — ОО < lT < А + ОО,

Рис. 1.1

Рис. 1.1

и получить выражение

ZElH-OO ,

гтК Г е-г^^-Л QA(Q) — р2

——5 -ЛdU

2тг J 1 - е"3^ тП2 - р2 Г П/\^

гтГ2-гтГ2-1 - e-^Q1 - e-^Q^ЛЯЦ= о mQ2 - -п + QA(Q)

гтГ

2-

гтГ

2-

1 - e-^Q

1 - e-^Q

из которого следует, что интеграл

ZS-|-CXD

гтН fаЫт-т? лга

2тг J 1 - е"№п тП2 --q2 + ПЛ(П)

не зависит от величины е, когда £ принадлежит области

О <О <£ <£ <2тг2тг(1.41)(1.41)

О <

О <

£ <

£ <

2тг

2тг

(1.41)

(1.41)

Аналогичным способом убеждаемся, что тот же интеграл, взятый по контуру (—IE — ос, — IE + ос), лежащему в нижней полуплоскости, не зависит от величины е, когда £ принадлежит области (1.41). Мы можем теперь переписать выражение (1.36) в форме

(РоД)РаЦ))ед = ТпУ - ЛЕ(РоД)РаЦ))ед = ТпУ - ЛЕQA(Q) - т/2 l-e"^ mQ2 - ч2 + QA(Q)QA(Q) - т/2 l-e"^ mQ2 - ч2 + QA(Q)

(РоД)РаЦ))ед = ТпУ - ЛЕ

(РоД)РаЦ))ед = ТпУ - ЛЕ

QA(Q) - т/2 l-e"^ mQ2 - ч2 + QA(Q)

QA(Q) - т/2 l-e"^ mQ2 - ч2 + QA(Q)

imh Г е гП^ т-) QA(Q) — т,2 ,о

IT JтУ - т?2 + QA(Q)

— гг —оо

Здесь, благодаря (1.37), (1.40), мы можем перейти к пределу р 0 и записать

(Ра(Фа(т))еч = тд - СД Z7T(Ра(Фа(т))еч = тд - СД Z7TA(Q)1 _ е-Зш mQ + A(Q)A(Q)1 _ е-Зш mQ + A(Q)dQ +dQ +

(Ра(Фа(т))еч = тд - СД Z7T

(Ра(Фа(т))еч = тд - СД Z7T

A(Q)

1 _ е-Зш mQ + A(Q)

A(Q)

1 _ е-Зш mQ + A(Q)

dQ +

dQ +

(1.42)(1.42)imh ' е zQ^ Т^ A(Q) ,о+ J Т^^ тП + A(Q)

(1.42)

(1.42)

Рассмотрим теперь стандартный предельный переход У ^ ос. Из

формулы (1.20) имеем

A(Q) = -A(Q) = -

A(Q) = -

A(Q) = -

EvH = ^ Е ЙЙ ^^ + ^) + 5ИП " ^)}, V m 6^ (/)

Еу ^ 0, ЕуйЙ = Еу^ш\

Предположим, что эта обобщённая функция Еу(ш) стремится при V оо к предельному выражению

EvH - ЕП =[ 1^1 f {6(ЛО + ^) + 5ИП - ^)} df

(2тг) J 6v (/)

таким образом заключаем, что функция:

(1°) равномерна на любом конечном интервале

+А — ос < из < is + ос, е>0(1.43)

(в верхней полуплоскости) и

—is — ос < ш < — is + ос, о > О(1.44)

(в нижней полуплоскости): + ОО+ ОО

Ev^^- -Аоо(П) = [

J и - vJ и - и

(2°) для |Im Q| > s

|QA(Q)| ^К£)

где К£ — есть постоянная, не зависящая от объёма V.

В этом случае мы можем перейти в формуле (1.42) к пределу У оо и записать:

c/Q 4"c/Q 4"е-гП(4-т) Aoo(Q)

c/Q 4"

c/Q 4"

1 _е"№« тП+ А^П)

imh Г е ^^ т-* △OO(Q) ,о

+ J ЩД^АоТлТш)

гг+сю

(1.45)(1.45)imfi Г ^ЛЕ Ao°(Q) л Г+4е

(1.45)

(1.45)

2тг 1 - g-P^ mQ + Aoo(fi) ^L-is

ie — oQ

где

U — vU — vE^) = E(-u) >0,(1.46)E^) = E(-u) >0,(1.46)

U — v

U — v

E^) = E(-u) >0,(1.46)

E^) = E(-u) >0,(1.46)

и в связи с (2°)

|QAOO(Q)| < К£ для |ImQ|>s.(1.47)

Правая часть выражения (1.45)Правая часть выражения (1.45)не зависит от величины е, если е

Правая часть выражения (1.45)

Правая часть выражения (1.45)

положительно и достаточно мало. Мы, таким образом, можем совер-

шить в (1.45) предельный переход е 0, е > 0, и получить 9

(РаС)Ра(Ц)еЧ = mi) - ЛЛ(РаС)Ра(Ц)еЧ = mi) - ЛЛше v 71 - е"9^ше v 71 - е"9^1 Aqo^)1 Aqo^)Q mQ + Aoq(Q)Q mQ + Aoq(Q)I c<j-|-iO duA .I c<j-|-iO duA .

(РаС)Ра(Ц)еЧ = mi) - ЛЛ

(РаС)Ра(Ц)еЧ = mi) - ЛЛ

ше v 7

1 - е"9^

ше v 7

1 - е"9^

1 Aqo^)

1 Aqo^)

Q mQ + Aoq(Q)

Q mQ + Aoq(Q)

I c<j-|-iO duA .

I c<j-|-iO duA .

Поскольку

A^Q) _ _i

mQ + Aoq(Q)mQ + Ao^Q)

и

гЪт w 1 А+ги m\

мы, наконец, получаем

+oo

(1.48)(1.48)(PaC)Pa(T))eq = | J<Е),

(1.48)

(1.48)

iTvm2 ш1 р+гО

2тг 1 _ е-3Пш mQ + Aoq(Q) L-iO ‘

Из формулы (1.46) имеем

A^w ± гО) =A^w ± гО) =E(v)P ^ 1 ^) du ± гкЕ(ш).

A^w ± гО) =

A^w ± гО) =

Из этого следуетИз этого следует.1ZmQ + Aoq(Q).1ZmQ + Aoq(Q)cc+iOcc+iO> 0.> 0.

Из этого следует

Из этого следует

.1

ZmQ + Aoq(Q)

.1

ZmQ + Aoq(Q)

cc+iO

cc+iO

> 0.

> 0.

Поскольку выполняетсято легко видеть, чтоПоскольку выполняетсято легко видеть, чтоJH ^ 0.JH ^ 0.(1.49)(1.49)Заметим, что если в качестве Е(ш) выберемЗаметим, что если в качестве Е(ш) выберемто мы получим из формулы (1.48) нашу прежнюю формулу (1.34).то мы получим из формулы (1.48) нашу прежнюю формулу (1.34).

Поскольку выполняется

то легко видеть, что

Поскольку выполняется

то легко видеть, что

JH ^ 0.

JH ^ 0.

(1.49)

(1.49)

Заметим, что если в качестве Е(ш) выберем

Заметим, что если в качестве Е(ш) выберем

то мы получим из формулы (1.48) нашу прежнюю формулу (1.34).

то мы получим из формулы (1.48) нашу прежнюю формулу (1.34).

9 Отметим, что мы предполагаем, что разрывы выражения1 Aoq(Q) р+^°Q mQ + Aoo(^) L-гОпервого порядка, так что если F(Q) — аналитическая функция вблизи действительной оси, как, например,9 Отметим, что мы предполагаем, что разрывы выражения1 Aoq(Q) р+^°Q mQ + Aoo(^) L-гОпервого порядка, так что если F(Q) — аналитическая функция вблизи действительной оси, как, например,F№ =F№ =QQто (7(Q) - Р(<еД ^Д™. Г+г° = °- Q тС1 + Aqo(Q)—гОто (7(Q) - Р(<еД ^Д™. Г+г° = °- Q тС1 + Aqo(Q)—гО

9 Отметим, что мы предполагаем, что разрывы выражения

1 Aoq(Q) р+^°Q mQ + Aoo(^) L-гО

первого порядка, так что если F(Q) — аналитическая функция вблизи действительной оси, как, например,

9 Отметим, что мы предполагаем, что разрывы выражения

1 Aoq(Q) р+^°Q mQ + Aoo(^) L-гО

первого порядка, так что если F(Q) — аналитическая функция вблизи действительной оси, как, например,

F№ =

F№ =

Q

Q

то (7(Q) - Р(<еД ^Д™. Г+г° = °- Q тС1 + Aqo(Q)—гО

то (7(Q) - Р(<еД ^Д™. Г+г° = °- Q тС1 + Aqo(Q)—гО

4. Вычисление свободной энергии для линейноймодели

Перейдём теперь к вычислению свободной энергии рассматриваемой динамической системы:

F = Тг е^И, (Н = ЯИпеаг model).

Свободная энергия одной частицы с массой т, не взаимодействующей с фононами, есть

Fs = —Tr exp flim In Tr exp I f r2>).

\2m ) n^O1 V2m2/ I

Свободная энергия фононного поля S:

F^ = -i?In Tr е"Нв3, H^ = 1 £{pf//f + vUfqfQjY

(/)

Поскольку эти энергии хорошо известны, нам нужно вычислить ту часть общей энергии, которая соответствует взаимодействию частицы с фононным полем:

^nt = F Fs F^.

Для удобства вычислений введём параметр А (0 ^ А ^ 1) в общий гамильтониан Н = Яппеаг modei:

HW = 4 + 4г + ^ у ^P-fr2 + 4/2 F^fSf f ■ г + Hs. v 7 2m 2 V ^бЛп К/2 J J

№ VJ) (/)

H0) = H.H0) = H.Видим, что

H0) = H.

H0) = H.

Я(0) =HS + Hv,

Таким образом,

11

^П1 = f dx 44- = [ dX 4 In Tr =

J ол J oX

00

Tr e-3H(X) 0Tr e-3H(X) 0dXоdXо(1.50)(1.50)

Tr e-3H(X) 0

Tr e-3H(X) 0

dX

о

dX

о

(1.50)

(1.50)

t. e.

-^int — d-X0-^int — d-X0A,eqA,eq

-^int — d-X

0

-^int — d-X

0

A,eq

A,eq

В этой формуле индекс А указывает, что усреднение совершается с помощью статистического оператора Гиббса, соответствующего гамильтониану Н(Х);

p(HW) = e-^W/^e"1311^.

НоНо9Я(А) _ А у^ ЭХ “ 3V 2^ (/)9Я(А) _ А у^ ЭХ “ 3V 2^ (/)8ЧЛ f2 2 , г с , f8ЧЛ f2 2 , г с , fГ.Г.

Но

Но

9Я(А) _ А у^ ЭХ “ 3V 2^ (/)

9Я(А) _ А у^ ЭХ “ 3V 2^ (/)

8ЧЛ f2 2 , г с , f

8ЧЛ f2 2 , г с , f

Г.

Г.

С другой стороны, мы можем записать уравнение движения (1.5) для гамильтониана Н(Х);

(/) ш v (/)

Поэтому

. /энт\ // <гг , 2 А \/, гох

А ( а, )=-( m-r + p -г).(1.52)

\ оХ /.\\ dr\

\/ A,eq\ уд

Учитывая формулы (1.6), (1.11) и (1.22), имеем

(га(#)г,д(т))Л,ед = 0 если а Ф 0,

1icj+zO

(гаШга(т))\eq = —999 du .

(1.53)

Мы учли, что, заменяя гамильтониан Н на ШХ). мы вводим фактор А в Sj, и тогда Л(О) заменяется на A2A(Q). Поэтому

гН Г Г — if -^(t-T)1|ш+»0

2тг J 1 - e-№uтП2 -р2 + А2ПЛ(П) L-iO

_ ih 'т^12-т)2А+’°

“ 2^ J^ГЩУ+5Л2Л(О) L-iO

когда П —> ш, и с учётом (1.51) имеем

Аш.Аш.л /ЭЯ(А) \_ 3ih +Г 1тО2 -А+’°

Аш.

Аш.

\ ЭХ /A eq- 2тг J 1 - е-^ mrf - п2 + A2QA(Q) L-iO

Заметим, что

mQ2 - р2QA2A(Q)

mQ2 — р2 + A2QA(Q) mQ2 — р2 + A2QA(Q)

mQ2 - p2_ QA2A(Q) p+i0

mQ2 — p2 + A2QA(Q) L-iO mQ2 — p2 + A2QA(Q) L-iO

Поэтому (1.51) даёт

+ oo

ЭН^\ _ лл Г 1QAA(Q) |ш+й ,

\ дА /A eq “ 2тг J 1 - е~^ тЛ - т?2 + А2ПЛ(П) L-iO ^

+ оо

dw.dw.(1.54)(1.54)Г QАА(П) |ш+й2тг J 1 — е"рпп тЯ2 - rj2 + A2QA(Q) L-iO

dw.

dw.

(1.54)

(1.54)

Используя аналогичные соображения для вычисления корреляционной

функции

(P«G)Pa(T))eq.

найдём в пределе Т] —> О, V —> оо:

+оо

ЭЩХД _ЗА Г Q 1 AAoo(fi) |^°

\ dA /Aeq 2тг JQ тП + А2Доо(пЛ-«> U

Правая часть здесь не зависит от е, когда 0 < е < 2тг/7?,/3. Таким образом, полагая е > 0, е 0, получим из (1.50)

1 +оо

„ 3ih Г Г Q 1 AAoo(fi) |ш+" ,,, „х

^int = dX du. (1.56)

2^ J J 1 -e"MQ И mQ +A2Aoo(Q) L-гОV 7

0 -оо

Рассмотрим специальный «одночастотный» случай:

ЕН = ^№-^0) + ^ + ^)}.(1.57)

Тогда9

00-v2E

ИААоо(П) _АКр2

^ mQ + A2Aoo(Q) О mQ2 — (mi/g + A2Kg)

Это выражение имеет три полюса:

Q = 0, Q = р,(АУ ю = -р-ОЛ

гдегдеД<(А) = ( Д + А2—)\тД<(А) = ( Д + А2—)\тОтметим, чтоОтметим, что1_ 1 / 11 А

где

где

Д<(А) = ( Д + А2—)\т

Д<(А) = ( Д + А2—)\т

Отметим, что

Отметим, что

tf-ДХ) - W) V^-MA) ^^pW J ’

Видим, таким образом, что

7 AA^Q) p+i0 _

П mQ + AAoo(Q) L-iO

mvo H- A Kq 2p

3ifi 7 QAAOO(Q) p'+'° , _

=9 xk^ зхкЛ / i=

m^ + ATx6 2W(A) ^ 1 _ ^W + j _ e-№W )

= Д (-^ ln(mz/Q + A2^2) + Aln(l - e ^W^ _|_ A ^(e^^^) - 1)Y dX \ 222/

Поэтому 9

f(m + Kp^V/2 3h , A1 - e,

Fint = -3^1n + -уЫ-^о) -3^1n-^-, (1.58)

3/= - ^ In2 V3/= - ^ In2 V1 _ е-/3^1 _ е-з^01 _ е-/3^1 _ е-з^0+ In+ Ine/3^e-/3^0(i _еe/3^e-/3^0(i _е1 _ e-3Tiv01 _ e-3Tiv09 При этом мы учли, что

3/

= - ^ In

2 V

3/

= - ^ In

2 V

1 _ е-/3^

1 _ е-з^0

1 _ е-/3^

1 _ е-з^0

+ In

+ In

e/3^e-/3^0(i _е

e/3^e-/3^0(i _е

1 _ e-3Tiv0

1 _ e-3Tiv0

= -3^1nL-^- + ^(^-,o).

гдегде^=Щ + ^= ЦА=1).^=Щ + ^= ЦА=1).

где

где

^=Щ + ^= ЦА=1).

^=Щ + ^= ЦА=1).

Как мы видели, все рассмотренные функции Грина и корреляционные функции, относящиеся к частице S, так же, как и F^,, определяются функцией E(v). Влияние фононного поля на эти величины зависит лишь от спектральной интенсивности Е(и\

Так, если мы имеем две различные системы осцилляторов, взаимодействующих с нашей частицей S (рассматриваемым образом), для которых функция Е(и) будет одной и той же, то все упомянутые величины останутся неизменными.

Рассмотрим, например, задачу двух тел:

(1.59)(1.59)

(1.59)

(1.59)

и соответствующие гамильтонианы одного тела:

Вычислим выражение для свободной энергии:

Тг в"911Тг

Fint = -^1пЯр= -3^ inЯЛ

Tr(s) е’^ Тг(Е) е"№Tr(s) е"^3 Tr(s) е"^

где одномерные гамильтонианы И, Ед и Ее соответственно будут

21

%L Д_0 (_ j^\2 ,р2

П 2m + 2 U А) +’

Р2, ко

Hs=W ^=2М + ^Х

Диагонализируем одномерный гамильтониан Е, вводя нормальные координаты q, Q и соответствующие импульсы р, ¥:

(1.58а)(1.58а)mx + MXq =

(1.58а)

(1.58а)

Замечая, чтоЗамечая, чтот + М

Замечая, что

Замечая, что

а _ м аа

ах - ш + м aq асу

положимд ,

р = т у^у, р = _Л_у-у.(1.58с)

m3- Мm3- Мv

Имеем

Н =Н =(1.61)(1.61)12 , £ М + т у2

Н =

Н =

(1.61)

(1.61)

2(m + М) У 2 Мт

гдегден = y2m 2(m + Myн = y2m 2(m + MyHoseHoseМ + тМтМ + тМт

где

где

н = y2

m 2(m + My

н = y2

m 2(m + My

Hose

Hose

М + т

Мт

М + т

Мт

Итак,Итак,

Итак,

Итак,

Fint = -ЗУ In lre вн - ЗУ In lre йн .

Tr e"0HsTr

Как хорошо известно, свободная энергия осциллятора Ну с частотой vq = ^КЦМ^2 в одномерном случае будет 9

21 _ е~^о ’

а поскольку осциллятор Hosc имеет частоту

(К^М + тЗ^Л , M\v/2

У = —Чд= ^0 О + —.

\ Мт )\ т)

то Fosc имеет вид+1

osc- 2

Итак,

Fint = -Зт» In _- Зт» In =^г + - Му- " ^о).

Поскольку х — координата в интервале —L/2 < х < L/2, значение соответствующего импульса р будет

п = 0,±1,±2,...,

9 Примечание. Для гамильтониана

ы _ Р2 тш2Х2

свободная энергия будет равна

Е= ^ — ^1п(1 -е-0^), д = К3Т.

так чтотак что

так что

так что

v^ J / 2тг \ Р 1

> ехр < - —пп, -гт-г^г >

|\ L ) 2(М + т) |

Tr e-SHsTr e-SHsL^ooL^ooИ v>

Tr e-SHs

Tr e-SHs

L^oo

L^oo

ТОО /9\

ГРр\Д

—— I exp I ,г I ар

m + MV/2m /m + MV/2m /2тг/г J у 2(М + ш) у

m + MV/2

m /

m + MV/2

m /

IfРр\ Л

ехР- 75—Ф

2тт J \ 2m у

Теперь имеем

JL М\1/21 _ p-SKvQ о

Fint = -з^1п ()- з^in-—- V^Y

\ m /1 — е р ц

Это выражение совпадает с формулой (1.56), если положить

Vo

Замечание. Нетрудно также получить формулу (1.34) для корреляционного среднего, исходя из гамильтониана задачи двух тел (1.57). Положим

¥ = г^-аГ^Л'\ Q = ^+a)(_±_\l t (1.62) где а, а^ — бозе-амплитуды,

. . Мт

М =

М + т а р определяется формулой (1.59):

м2

_ к20 М'

Далее имеем

Hose =

^Л + Нца^а,

и

da + га—- = пиа, dtр

г1г^Р— = —Кцар dtр

a(t) = е-гр'1а,

apt) = е^а\

так как

dt

у = const.

Из (1.58а) имеем

+.(1.63)

Отсюда

К(фа(Ц)еЧ = (т™м^ (y2)eq + ^7+ (ра)ег^-ТР

(1.64)

Но, поскольку

(У2)е4 = (m + M)^,

/ t\1/ t \1

каач = , Ura) = —, Ми = —— = —,

то в результате опять получаем формулу (1.34).

Таким образом, видим, что двухвременные равновесные корреляционные средние, соответствующие частице 8 для гамильтониана (1.1) в «одночастотном» случае, то есть когда v(f) = vq или

К2

Е(ш) =[5(щ — vq) + 5(ш + що)]>

те же самые, что и в случае рассмотрения гамильтониана проблемы двух тел (1.57).

Возвратимся теперь к выражению для свободной энергии F^t в этом случае и рассмотрим переход к классической механике. Полагая в формуле (1.56) И 0, найдём классическое значение

^int = 0.

Легко видеть, что нулевое значение для свободной энергии, ответственной за взаимодействие, всегда реализуется в классической механике для динамических систем, характеризуемых гамильтонианом (1.1) со значением (1.3). Этот факт можно установить, исходя из формулы (1.53), которую мы перепишем в виде

ЗгП 7 QAA(Q) Г'+/0 ,

A,eqA,eq2тг 1 - е~0пп тГ - т? + A2QA(Q) L-iO

A,eq

A,eq

(1.65)

гдегде0 <0 <£ <£ <2тгК/Г2тгК/Г

где

где

0 <

0 <

£ <

£ <

2тг

К/Г

2тг

К/Г

В классическом пределе

г Ш 1 Q

hm.,. = — = и.

h^Q 1 - е”рк Р

Следовательно, для классической механики мы можем записать:

i дЫрГ \ ЭХ /

/ ге+оо—ге+оо\

\ =-тУF^dn-F^dn ,(1.66)

' х2тг \ JJ/

A’eq\ге—оо-ге-оо/

где

тП2 — ц2 + A2QA(Q)

Мы видим, что F(Q) регулярная аналитическая функция в полуплоскости

Im (Q) > е > 0.

Поэтому

^F^dQ = 0(1.68)

для любого замкнутого контура, лежащего в этой полуплоскости. Возьмём в качестве £ контур, составленный из интервала (А — L, is + L) и полукруга С с центром в А и радиусом L (см. рис. 2). На контуре

F(Q) = О (-1Y

\L )

И мы видим, что

|F(Q)dQ = C>Q) ^0.

с

Поэтому

гг+оо

j F(^ d£l = 0.

ZE —ОО

Вполне аналогичные рассуждения могут быть применены к интегралу

| F(Q) an.

Действительно, F(Q) — регулярная аналитическая функция в нижней полуплоскости

Рис. 1.2Рис. 1.2Im Q < —е < 0.

Рис. 1.2

Рис. 1.2

Рис. 1.3

Поэтому достаточно выбрать контур (см. рис. 3) и повторить сходные рассуждения.

Таким образом, учитывая формулы (1.50) и (1.64), имеем

^int = 0.

Подчеркнём, что этот результат полностью обусловлен рассмотрением системы в рамках классической механики.

В квантовомеханическом подходе формула (1.63) показывает, что функция

=™АД(П)

V }1 - е-^ т^ Х2^^

имеет полюса на мнимой оси:

Q = п — целое,(1.69)

пр

и по этой причине интегралы вида (1.66) не будут равны нулю (они будут равны сумме вычетов в полюсах (1.67)).

1.5. Средние от Т-произведений

Рассмотрим теперь равновесные средние от форм

Ц {[rQ(t) -Га(т)][гаД) -Га,(т)]})еЧ,

где Т обозначает «Т-произведение» (упорядоченное по времени произведение операторов). По определению,

tx^’ (1.70)

Поскольку

[ra(t) - га(т)][гаД) - га/(т)] =

= Га^Га,^ - ГаОУа-^ -ГаУУа'(р + Га (т)га, (т), имеем

т {Ы<) -гДт)][гаД) -га,(т)]} =

= fra(t)ra,(t)-ra,(t)ra(T)-ra(t)ra,(T) + ra(T)ra,(T), t>T, [ т<х УУа' У) - Та РУ а' Р) - Та- УУа Р + Та рУа- р\t< Т.

Поэтому из (1.52), полагая А = 1, получаем

(T{[ra(f)-ra(r)][ra/(f)-го,(т)]})еч = 0 если а ^ а'

и

(T{[rQ(t) — rQ(r)]2})eq =

если t > t,если t > t,i/i +f°2(l-e"Mt“T))1|ш+<0

если t > t,

если t > t,

№(t)-ra(r)]2})cq =

iH +f°2(l -e"MTM 11ш+<02^ J ЩД7^ ^а^Д/ТолшУ L-гоiH +f°2(l -e"MTM 11ш+<02^ J ЩД7^ ^а^Д/ТолшУ L-гоdu)du)еслиеслиt < T.t < T.Таким образом,Таким образом,(T{[rQ(t) — rQ(r)]2})eq =(T{[rQ(t) — rQ(r)]2})eq =ih "TAl — e-^l*-^l)1 iw+iO2^ J [Т^Ж mQ2 _ ^2 + fiA(Q) L-гОih "TAl — e-^l*-^l)1 iw+iO2^ J [Т^Ж mQ2 _ ^2 + fiA(Q) L-гОdu.du.(1.71)(1.71)Для некоторых приложений полезно уметь вычислять упорядоченные произведения операторов, зависящих от «мнимого времени». Положив t = —is и выбрав действительное s как упорядочивающий параметр, определим Т-произведение какДля некоторых приложений полезно уметь вычислять упорядоченные произведения операторов, зависящих от «мнимого времени». Положив t = —is и выбрав действительное s как упорядочивающий параметр, определим Т-произведение какТ{га(-г8)гЩ-г(т)} =Т{га(-г8)гЩ-г(т)} =Щ-ДгЩ-гст) га,(-г<т)га(-гз)Щ-ДгЩ-гст) га,(-г<т)га(-гз)если s > а, если а > s.если s > а, если а > s.Учитывая формулу (1.52) при А = 1, мы получимУчитывая формулу (1.52) при А = 1, мы получим(T{[ra(-zs) - Щ-ЩПтЩ-гз) -rQ,(-i(r)]})eq =0(1.72)(T{[ra(-zs) - Щ-ЩПтЩ-гз) -rQ,(-i(r)]})eq =0(1.72)если а ф а\ и, в противном случае,если а ф а\ и, в противном случае,Л^Л-гз") ~ ra(-H]2})eq =Л^Л-гз") ~ ra(-H]2})eq =in Т2Щ-е2^ДД!T+i02тг J 1-е_/3^ rn.fi2 - г)2 + QA(Q) L-iOin Т2Щ-е2^ДД!T+i02тг J 1-е_/3^ rn.fi2 - г)2 + QA(Q) L-iO(1.73)(1.73)Рассмотрим одночастотный случай:ЕМ = ^ {<5(^ " ^о) + §(ш + г/о)}-Рассмотрим одночастотный случай:ЕМ = ^ {<5(^ " ^о) + §(ш + г/о)}-

iH +f°2(l -e"MTM 11ш+<0

2^ J ЩД7^ ^а^Д/ТолшУ L-го

iH +f°2(l -e"MTM 11ш+<0

2^ J ЩД7^ ^а^Д/ТолшУ L-го

du)

du)

если

если

t < T.

t < T.

Таким образом,

Таким образом,

(T{[rQ(t) — rQ(r)]2})eq =

(T{[rQ(t) — rQ(r)]2})eq =

ih "TAl — e-^l*-^l)1 iw+iO

2^ J [Т^Ж mQ2 _ ^2 + fiA(Q) L-гО

ih "TAl — e-^l*-^l)1 iw+iO

2^ J [Т^Ж mQ2 _ ^2 + fiA(Q) L-гО

du.

du.

(1.71)

(1.71)

Для некоторых приложений полезно уметь вычислять упорядоченные произведения операторов, зависящих от «мнимого времени». Положив t = —is и выбрав действительное s как упорядочивающий параметр, определим Т-произведение как

Для некоторых приложений полезно уметь вычислять упорядоченные произведения операторов, зависящих от «мнимого времени». Положив t = —is и выбрав действительное s как упорядочивающий параметр, определим Т-произведение как

Т{га(-г8)гЩ-г(т)} =

Т{га(-г8)гЩ-г(т)} =

Щ-ДгЩ-гст) га,(-г<т)га(-гз)

Щ-ДгЩ-гст) га,(-г<т)га(-гз)

если s > а, если а > s.

если s > а, если а > s.

Учитывая формулу (1.52) при А = 1, мы получим

Учитывая формулу (1.52) при А = 1, мы получим

(T{[ra(-zs) - Щ-ЩПтЩ-гз) -rQ,(-i(r)]})eq =0(1.72)

(T{[ra(-zs) - Щ-ЩПтЩ-гз) -rQ,(-i(r)]})eq =0(1.72)

если а ф а\ и, в противном случае,

если а ф а\ и, в противном случае,

Л^Л-гз") ~ ra(-H]2})eq =

Л^Л-гз") ~ ra(-H]2})eq =

in Т2Щ-е2^ДД!T+i0

2тг J 1-е_/3^ rn.fi2 - г)2 + QA(Q) L-iO

in Т2Щ-е2^ДД!T+i0

2тг J 1-е_/3^ rn.fi2 - г)2 + QA(Q) L-iO

(1.73)

(1.73)

Рассмотрим одночастотный случай:

ЕМ = ^ {<5(^ " ^о) + §(ш + г/о)}-

Рассмотрим одночастотный случай:

ЕМ = ^ {<5(^ " ^о) + §(ш + г/о)}-

В этом случае мы можем не использовать прямо формулы (1.69) и (1.71), а заметим, что результат будет тот же, что и в случае модели двух тел (1.57). Мы имеем

(ra(£)ra(r))eq = (ж(^)ж(т))еЧ.

Из (1.58)

, М ~х = а +— О.

Поскольку эволюция q(t) и Q(t) описывается независимыми гамильтонианами Нхп и Hosc соответственно, см. (1.59), мы тождественно имеем

(ж(£)ж(т))ед = (q^qO^eq + JQ^Q^eq- + М)

Отсюда

№Н«) - ra(-za)]2})eq = XM-N - gH^Teq +

+ , ^2m2m(Q(-^)-Q(-M)2})eq (174)

Заметим, что благодаря (1.59)

V = const,

(y2)eq = (M + m^.

Таким образом,

=(175)

Имеем также

Q^qM - qMq(.t) = |{дДМт) - qkOq'X^dt =

= —У— [{уд(т) — qVrAyVdt = У—— (yq _ qy\ =——(1.76)

M^m\va4v y vv ,y) M + mvy4 4y' M + m v ’

Так что

XM-i-s) - g(-ia)]2})eq = ^(-is) - ^q^-is^q^-io^ + g2(-ia))eq =

= M-ts) - g(-icr)]2)eq +

+ (— q(~^sHk-2°") + g( — ioHk-*s))eq если s > а.

и благодаря (1.73), (1.74) (T{[9HS)-9(-H2})eq =

Заменяя s^cp легко находим

= -^ '> + J7^ I» - "I-0.77)

Теперь, чтобы вычислить левую часть (1.72), нам требуется найти выражение для

- Q( —^cr)]2}>eq-

Заметим, что / я \1/2

Отсюда следует

№44 - <3(-^)]2})eq =

= Лг {(eMSat + 'ГЧкЛ' + е^а) + 2Мр

+ (е^ + е-^аХе^аЧе-^а) - ЭТ^аЧ е"^а^ЧстаЧ е^а)}.

Поэтому

(ГШНз) - Q(-^)]2})eq =

= ^^ (2(аЧ) + 2(ааЧ - ге^5"^ (аЧ) - ге-^-^ (««Ч). (1.78)

Здесь

(аЧ) = —Jr, (ааЧ = 1 Н—.

\/ езпц _ । ’\1 езпц _ 1

Замечая, что

= 1 м = ч = (М 1

т + М Мт р2Мт \ Г / т

(напомним, что М = тМ/(т + М)) и

М2 1= УИ2 1= М = Ко2 = р2 - ^о2

(т + М)2 Мр т2 Мр т2рт2р3тр3

найдём из (1.72), (1.75) и (1.76):

Л^Л-гз1) -ra(-icr)]2})eq =

/ \2 Q.2

= -М ^-^Л/ДТ) |5-а| +

\1 тт \т/

+ К f(1 - e-A'I^-^l) -*(eM|s-<r| _ Щ (1 79)

Интересно отметить, что

(T^\ra(—is) — ra(-za)]2})eq > 0 если |s - сг| < [ЗН = Ть/$, (1.80) где /3 = 1 /^ и ^ = К3Т.

Вычисление средних от Т-произведенийдля некоторых модельных систем осцилляторного вида

Пусть гамильтониан Г является квадратичной, положительно определённой формой из бозе-операторов Ьа, Ь^а. Обозначим статистическую сумму через

Z = Тг

и рассмотрим линейные формы, построенные на основе бозе-операторов Ьс, ьр

аьа2,...,а8,

и статистические средние, состоящие из произведения таких форм:

ДЫз... Л3)г = Z-p-^^AiAs ■ ■ ■ As\ (1.81)

Применим к (1.79) известную теорему Блоха и Де Доминициса, обобщающую теорему Вика. Вводя спаривания

AjAi = ^ЛРЧг*

видим, что выражение (1.79) равно сумме произведений всех возможных спариваний. Например,

(Л^Лз^Г = (^Мг^зА^Г + (^Мг^зА^Г + (^М2^3^4)г =

= (А^М^З^Т + (АДз)г(А2Л)г + (А^М^Дз)]-- (1.82)

Конечно, выражение (1.79) равно нулю, если s нечётно, поскольку в такой ситуации один из операторов Аь A^s ...,AS остаётся неспаренным и при этом

№ = о,

поскольку Aj — линейная форма из Ьа и Уа а Г — квадратичная форма.

Применим теперь эту хорошо известную технику к вычислению выражения

(е /г,

где А — линейная форма в рассматриваемых бозе-операторах. Имеем

- I >)r = Е ^«< = 1 + Е ^г. < 1 S3)

Благодаря теореме Блоха и Де-Доминициса

= G^k^A2^,

где G^ — число всех возможных спариваний в выражении

(Л1 • • • ДДг-

Видим, что

G(l) = 1, G^ = 3, G(k + 1) = (2к + \)G(k).

Итак,

— i . з . . . (2к — 1) G(k) _ 1 • 3 • • • (2к — 1) _ 1

W((2А;!)1 - 2 • 3 - 4 • - - (2А;) 2kkV

Отсюда

ЯАЯ=Х + Е^Ш = е^АА.(1.84)

к=\ ‘

Рассмотрим Т-произведения операторов, упорядоченные по параметру з, определив

S|>S2'

) A(s2)A(si) если 82 > 31, и, соответственно,

TA(sx)A(s2) • • • A(sn) = A(s\) • • • АШ,

где §^,...,8^ есть тот же набор si,...,sn, только упорядоченный по времени следующим образом:

з2 зп.

Интересно заметить, что благодаря самому определению Т-произведения, операторы A^s^ коммутируют под знаком Т-произведения. Например,

T{A(S1)A(S2)} = T{A(S2)A(S1)}.

Теперь постараемся упростить выражение вида

J ds A(s)

(Т{е‘°})г,80 <81,

где усреднение происходит по квадратичному по операторам Бозе гамильтониану Г, тому же, что и в (2.1), а А(з) — линейные формы из этих бозе-операторов с коэффициентами, зависящими от параметра упорядочения s. Имеем

J dsA(s) es°J dsA(s) es°ТТ)П X \J /Г)П X \J /Г

J dsA(s) es°

J dsA(s) es°

Т

Т

)П X \

J /Г

)П X \

J /Г

Замечая, что теорему К. Блоха можно применять не только к упорядоченным произведениям, но также и к Т-произведениям, мы буквально повторим наши прежние соображения и запишем

SiSiС другой стороны,С другой стороны,81ds^ da A(s)A(a)So81ds^ da A(s)A(a)SoSoSoSids^ daT^A(s)A(a)YSoSids^ daT^A(s)A(a)YSo

Si

Si

С другой стороны,

С другой стороны,

81

ds^ da A(s)A(a)

So

81

ds^ da A(s)A(a)

So

So

So

Si

ds^ daT^A(s)A(a)Y

So

Si

ds^ daT^A(s)A(a)Y

So

Si.ds da(T{A(s)A(a)})rSo'Si.ds da(T{A(s)A(a)})rSo'ПоложимПоложим222m 2 4222m 2 4Q(s) = е^ rqe гQ(s) = е^ rqe г(1.86)(1.87)(1.86)(1.87)

Si.

ds da(T{A(s)A(a)})r

So'

Si.

ds da(T{A(s)A(a)})r

So'

Положим

Положим

22

2m 2 4

22

2m 2 4

Q(s) = е^ rqe г

Q(s) = е^ rqe г

(1.86)

(1.87)

(1.86)

(1.87)

Поэтому

(1.85)

Рассмотрим применение полученных результатов в случае осцилля- торного гамильтониана

и пусть A(s) будет с — числовой функцией, зависящей от s. Мы хотим вычислить выражение

/37г/37гJ A(s)Q(s) ds е 0J A(s)Q(s) ds е 0(1.88)(1.88)Заметим, что уравнение Гейзенберга для временной эволюции q(t)Заметим, что уравнение Гейзенберга для временной эволюции q(t)будетбудетЧ^ = q№ - Pq^’ qW = q'Ч^ = q№ - Pq^’ qW = q'из чего следует, чтоиз чего следует, что/ х^ Р ^ Рq^ = qe ./ х^ Р ^ Рq^ = qe .

/37г

/37г

J A(s)Q(s) ds е 0

J A(s)Q(s) ds е 0

(1.88)

(1.88)

Заметим, что уравнение Гейзенберга для временной эволюции q(t)

Заметим, что уравнение Гейзенберга для временной эволюции q(t)

будет

будет

Ч^ = q№ - Pq^’ qW = q'

Ч^ = q№ - Pq^’ qW = q'

из чего следует, что

из чего следует, что

/ х^ Р ^ Р

q^ = qe .

/ х^ Р ^ Р

q^ = qe .

С помощью (1.84) заметим, что

(1.89)(1.89)Q(s) = q(—is).

(1.89)

(1.89)

так что s можно рассматривать как «мнимое время». Вводя бозе- амплитуды, имеем

q =+-Ь)(1.90)

\2тш д\ П )

Г = йЛ+у.

Здесь Г представляется квадратичной формой ТиЛМ плюс постоянный член Гш)2. Ясно, что постоянный член не влияет на вычисление средних:

/ X =1гив^)=/ \ +v-'/r_/зг V • •/ПшЫЪ*

Ire

Поэтому мы можем применить для вычисления выражения (1.85) нашу полученную выше формулу (1.82) и записать

' r f A(s)Q(s) ds-. .^ТГ }/г=еХР 2' r f A(s)Q(s) ds-. .^ТГ }/г=еХР 2Замечая, чтоЗамечая, чтопр прds da A(s)A(cr)(T{Q(s)Q(cr)})rYо о(1.91)пр прds da A(s)A(cr)(T{Q(s)Q(cr)})rYо о(1.91)b^ = e-iutb, b4n=eiuJtb\b^ = e-iutb, b4n=eiuJtb\

' r f A(s)Q(s) ds-. .^

ТГ }/г=еХР 2

' r f A(s)Q(s) ds-. .^

ТГ }/г=еХР 2

Замечая, что

Замечая, что

пр пр

ds da A(s)A(cr)(T{Q(s)Q(cr)})rY

о о

(1.91)

пр пр

ds da A(s)A(cr)(T{Q(s)Q(cr)})rY

о о

(1.91)

b^ = e-iutb, b4n=eiuJtb\

b^ = e-iutb, b4n=eiuJtb\

из формул (1.86), (1.87) имеем

/ К А1/2+

(е-ш^ + еш^Э

и

(T{Q(S)Q(a)})r = (e^^Wr + е^ 1(^)г) =

= ^(1-е"^) *(е 2тш= ^(1-е"^) *(е 2тш-ШРМ-Ш\8-(У\^ Q 92)-ШРМ-Ш\8-(У\^ Q 92)

= ^(1-е"^) *(е 2тш

= ^(1-е"^) *(е 2тш

-ШРМ-Ш\8-(У\^ Q 92)

-ШРМ-Ш\8-(У\^ Q 92)

Отсюда и из (1.88) следует, что

’ Г J 4s)Q(s) ds> х

пр пр

= exp as da— q. (1.93)

kJ J4mcd(l-е"^))

о о

Рассмотрим выражение

К(s, ст) = е"^""1 + e-^ft+^ls-CTl(1.94)

для

0 < s </37г, 0 < ст </37г(1.95)

как функции от s. Имеем

К(0,а) = е"ша + е~ш13М"ша,

КфК.ст) =,

Отсюда

К(0,ст) = КфТс.ст).(1.96)

Поскольку

Д(8-Сг) = 1, A(cr_s) = _i> dsds

видим, что

^|s-<t| =ф-<т),

где

— 1, s < a.

Поэтому дифференцирование выражения (1.91) даёт

^ К(з, ст) = е(з — а)(—ше~ш^~^ + ше-шР^ш\8

Замечая, что

£2(s-ct) = 1,de(-s= 25(8 - <t),

ds

где 5(s — а) — обычная 5-функция Дирака, получаем, принимая во внимание (1.91):

Ш2К^, ст) = _2и,(1 _ e-^)5(s _ а).(1.97)

ds

Отсюда для а, принадлежащего интервалу (0,/37г), функция К(з,сг\ как функция s, удовлетворяет дифференциальному уравнению

^y(s) = -2w( 1 - е"^)5(8 - а)(1.98)

ds

с граничными условиями

y(0) = уфТг), у» = у№).(1.99)

Первое условие следует из (1.93). Второе условие следует из тождества К'(0, ст) = е"ша + е-^^+шст,

К'М о) = -^е~^-^ += ^(0, о),(1.100)

0 < ст < ph.

Легко видеть, что уравнение (1.95) с граничными условиями (1.96) не может иметь двух различных решений. Действительно, если это утверждение неверно, мы можем найти два различных решения p\(s), ^(sY и, полагая

У1(б) -У2(з) = Z(g\

мы получаем нетривиальное решение Z(s) уравнения

^fi — PZ(s) = 0,(1.101)

Z(0) = Z(M ^(0) = Z'(M).(1.102)

Но тогда из (1.99) следует

^(5) = Ле-Ш5-ВеШ5,

и из (1.99) мы должны иметь

4(1 _ е-рш^ + в(^ _ р =0

(1.103) шЛ(1 -- 1) = 0.

Детерминант этих двух линейных однородных уравнений

det = 2си(1 _е-^)(е^_ 1)

отличен от нуля. Отсюда (1.100) может иметь только тривиальное решение:

А = 0, В = 0.

Итак,

Z^ = 0.

Таким образом, мы доказали, что дифференциальное уравнение (1.95) с граничными условиями (1.96) не может иметь двух различных решений. Принимая во внимание, что 0 < ст < ph, мы можем написать (1.95) в виде

=(1104)

dsрп

А)

Для того, чтобы удовлетворить граничным условиям, положим

(п)

и, подставляя это в (1.101), найдём

211<7

W 1сп =2Ц1 -е-^Те”^2".

Ph

Поскольку нет других решений уравнения (1.95) с условиями (1.96), мы видим, что

е^п^27Ге^п^27Г(1.105)

е^п^27Г

е^п^27Г

Итак, благодаря формуле (1.90) имеем

/ЗП

e*nW27r р2лт) php + w2e*nW27r р2лт) php + w2A(s)A(cr)A(s)A(cr)■ Г J A(s)Q(s) Hs jjeo

e*nW27r р2лт) php + w2

e*nW27r р2лт) php + w2

A(s)A(cr)

A(s)A(cr)

(1.106)

Заметим, что (1.102) было установлено только для

0 < s < ph, 0 < а < ph.

Но, поскольку ядро K(s,a) непрерывно и ряд Фурье правой части (1.102) равномерно и абсолютно сходится, мы видим, что выражение (1.102) справедливо, когда

0 < s < ph, 0 < а < ph.

После этого замечания рассмотрим случай, когда вместо интеграла

| A(s)Q(s) dsо

мы рассматриваем конечную сумму

Е wjQ(sj), 1<J<7V+1

где Vj действительны и

81 = О, S^+1 = ph, 0 < 82 < S3 << Sn < ph. (1.107)

Повторяя буквально уже проделанные выше рассуждения, получим

2тггп8^ 2

52

1<7<л^+!

(2тт//37г)2 + и?

Рассмотрим квадратичную форму в переменных Vj :

Q(... VjQ(... Vj2T?znSj 2

Q(... Vj

Q(... Vj

52 e № Vj

1 V^ l^j^+1

m^ ^^ ^TmlPKf + a?

С учётом (1.104)

27TZnSj 27TZnSj

52 vje № =(^1 + ^+1)+ 52 ^е №

К^ЛЧ-!2^XJV+1

Поэтому

и отсюдаи отсюда^...Vj...)^...Vj...)27rznsj 2

и отсюда

и отсюда

^...Vj...)

^...Vj...)

(^i + ^+1) + y^ ^-e 3h

2<j<A^+l

(2тт//37г)2 + w2

^(...^...)>0.

Мы теперь покажем, что

^(...^...)=0

(1.108)(1.108)(1.109)(1.109)(1.110)(1.110)(1.111)(1.111)(1.112)(1.112)только если все переменные гц + ^tv+i, ^2, ---^n равны нулю:

(1.108)

(1.108)

(1.109)

(1.109)

(1.110)

(1.110)

(1.111)

(1.111)

(1.112)

(1.112)

гц + zvjv+i = О, V2 = О, из = 0, vn = 0.(1.113)

Действительно, как вытекает непосредственно из (1.108), соотношение (1.109) справедливо только если для любого целого п (положительного, нуля или отрицательного)

27ггп83

(^1+^дг+1) + У^ VjC Зп = 0.(1.114)

2<J<A^+1

Просуммируем эти соотношения для п = 0,1,..., Л и разделим результат на Л + 1. Имеем

27tz(A+1)sj

।।1 е Зп - 1 п

^i + ^+i + X л+т ^' —^и;= °-

2<j<7V+lе М _ 1

Заметим, что благодаря (1.104)

-1^0.

Отсюда, используя предельный переход Л ею, получим

V\ + vn^x = 0.

2тггЗк

Далее, умножая (1.111) на фактор е ^к (где к = 2,..., N\ выполняя суммирование по n = 1, ...,Л+ 1 и деля полученный результат на Л + 1, имеем

27гг(Л+1)8/с

—у (z/[ + ^N+l)^— +Vk +

е №

2тгг(Л+1)(а5 -sfc) .1е^- 1 _

Л + 1V3 2туг(83-8к)—*

е 0К _ 1

В нашей сумме

2Tvps3-sk^ е SK -i^o, если j ^ к.

Переходя здесь к пределу Л сю, мы получим

^ = 0, к = 2,N.

Мы теперь видим, что Q(... ^ ...) есть положительно определённая квадратичная форма по переменным гд + ^+1, v^ из,..., un. Вводя обозначения

Ц = V\ + VN^X, V^V^, z/3=z/3, ..., v'n=vn,(1.115)

мы можем записать (1.105) в виде

/ N N= expf — £ £ Aj,J1 = U2=1/ N N= expf — £ £ Aj,J1 = U2=1(1.116)(1.116)

/ N N

= expf — £ £ Aj,

J1 = U2=1

/ N N

= expf — £ £ Aj,

J1 = U2=1

(1.116)

(1.116)

(1.117)

есть положительно определённая квадратичная форма из z/j,..., 17N. Заметим, что эти формулы могут быть использованы для того, чтобы установить связь между средними от Т-произведений (...)h(l) и интегрированием в функциональном пространстве.

Имея в виду ситуацию, которую будем далее изучать, рассмотрим теперь трёхмерный гамильтониан:

Г =Г =223^ + !Lr2 = у 2m 22-223^ + !Lr2 = у 2m 22-22Ра । тШ Т22т 2 а22Ра । тШ Т22т 2 а^ = 4^. (1.118)т '^ = 4^. (1.118)т '

Г =

Г =

223

^ + !Lr2 = у 2m 22-

223

^ + !Lr2 = у 2m 22-

22

Ра । тШ Т2

2т 2 а

22

Ра । тШ Т2

2т 2 а

^ = 4^. (1.118)т '

^ = 4^. (1.118)т '

ПоложимПоложимГа _Га R(s) = те ^ ,Га _Га R(s) = те ^ ,(1.119)(1.119)

Положим

Положим

Га _Га R(s) = те ^ ,

Га _Га R(s) = те ^ ,

(1.119)

(1.119)

и заметим, что

Га а Га а Га ГаRa^ = е к гае~ к = ек тае~ к .

Поскольку Га — операторы, действующие на функции различных переменных, Га и 1^, коммутируют, а также Ra^ коммутирует с Ra'(s) при а ф а'. Отметим, что

(T^^s)^/^')}^ = О при а ^ а'.

Поэтому легко видеть, что средние

Т < exp ( г П N3 ■ КЩ)

где Sj, как и ранее, подчиняются (1.104), равны 3 / г/■

Ц(ТЦхрИ У2 Vj.aR^S^«=1 \ I\ 1^^дг+1/ ) / га

Учитывая (1.113), мы, таким образом, можем записать

Г /\ 1 \/3 N N

ТЦхрМ У2=ехР(-Е Е Е

1<j<7V+1/J/Г\ d=lji = lj2 = l

(1.120)

где

VVa — VLa + ^+l,d,^2 а ” ^2,^,^3 а ~^N,a ~ vN,a-

(1.121)

Рассмотрим выражение

/т|е®Г1«,«лг+1 ^ Rts^lX g-iEi^^N+1 ^ R) dN\ - ■ ■ dvN dvN+[, Г(1.122)

где R' действительные векторы и где интегрирование по каждой переменной VjiCX совершается по всей действительной оси. Обозначим

vi — V^+l //

2 =^+ь vi -v^+l =vb

и заметим, что

£ vrR' =v'.^+^v±L + £ v^R'+v^.^R'.-R^J, 1<J<A^+12<j<N

(...)dvi • • ■ dvjv+i = (..Odvj ■ ■ ■ dVN+x.

С другой стороны, (1.117) показывает, что величина (...)г, входящая в левую часть (1.119), не зависит от v^+1, так что интеграция по переменной vw+i может быть выполнена независимо:

j^(ri-r^,) ^+] = (2^)35(r, _

Поэтому

где {Dat+iv} = dvi • • • dvNdvN^x, {DNv'} = dViadV2a • • • dVN a, a {D7x} = dx\ dx2 • • • dxN.Обычное вычисление интеграла Гаусса даёт

'/ N NNх

expl — ^ УТ ^3i02х3ix32 — УТ x3^ia ) ^Xx ^Х2 * * * dxN =

JJ1 = 1J2 = 1з=х/

N/2/.NN\

= —-—гтуехр!V V (A-X)jxj аК'л a ).

\ J1 = 1J2=1/

Заметим, что, поскольку матрица А положительно определена:

Det Л > О,

обратная матрица А-1 также положительно определена. Мы теперь имеем

! Iт J A TLv3 I \г г) =

(2тг) v 7 J \ IJ / г

= y(R/1,R',...,R^v+1), (М23)

где {Р^^} = dvi • • • d\N dvN^x и

P(KVK^P(KVK^\ _1 ^(Ri — R^+i)

P(KVK^

P(KVK^

■’^+^"23^/2(Ое1Л)3/2

XeXpf“|E Е(Л Г^Я^а^.сХ (1124> 5J1 = U2 = 1'

Легко видеть, что

p(Ri, R2,R^+l) > О,

г(1.125)

/?(Ri , R2,..., R^+1) dRi dR2 • • • d"R,N-\-1 = 1 •

Заметим, что эти формулы могут быть использованы для того, чтобы «распутать» выражение типа

(Т{Ж(51),..Ж(5^+1)})Г.

Итак, рассмотрим функцию

/(Ri,Rtv+i),

зависящую от N + 1 действительных векторов, и её фурье-представление:

/(...R,-...) =

1 Г Ч (з) ^3 — 52 (j) ^3^) )

= Щ^ТТ, ] е V7/(...^.){ЩЖ'}{ЖЩ

где j = 1, ...,7V+ 1 и {D^R'} = dR^dR^ • • • dR^+1. Поскольку операторы R(sj) коммутируют под знаком Т — произведения, мы можем записать:

ТЧДЖЦ ...,R(s^+l)} = —3^+1) х

где {Dn+1R'} = dRjdR^ ■ ■ ■ dR^+1. Поэтому, благодаря (1.120),

(T{/(R(S1),...,R(5w+1)})r =

= |/(...R'...)p(...R'...) cZR^R^.-dR^!, (1.126)

и, принимая во внимание (1.122), видим, что

M^(T{/(...R(Sj)...)})r^0,

если

Рассмотрим теперь функционалы ^(R) от вещественных функций R(s), определённых на интервале

О < s < pH,

и используем обозначение континуального интеграла

| ^(R) dp.

Для подмножества «специальных функционалов» вида

F(R) = $(...R(Sj-)-).

зависящих от конечного числа N векторов R(sj), определим этот интеграл следующим образом:

p(R) dp = ^(...R(sj)...)X...Rr.Jn dRr

Тогда, благодаря формулам (1.123), (1.124),

(T{/(R)})r=

J(1.128)

(T{/(R)})r>0 при F(R) 0

для произвольных действительных векторов R(s). Эти соотношения могут быть расширены на общие функционалы ^(R) подходящим приближением «специальными функционалами» с применением предельного перехода N ос. Например, мы можем рассмотреть последовательность функций

Rw(s) = R^-), Sj < s <(1.129)

si = 0, s;v+i = ph,

|sj+i — Sj\ < As 0, N oo

и аппроксимировать ^(R) формой F(R,n\ которая, очевидно, принадлежит к классу «специальных функционалов». Мы хотим здесь отметить, что техника континуальных интегралов для квантовой механики была впервые развита Р. Фейнманом. Его метод («path integration method» был также применён им к проблемам квантовой статистической механики [5, 39].

В нашем подходе мы предпочтём непосредственно работать со средними от Т-произведений:

(ТЩ(^})г.

при этом единственное свойство из рассмотренных здесь, которое нам требуется, это то, что такие средние положительны, когда функционалы ^(R) положительны:

когда ^(R) > 0 для произвольных действительных векторов R(s). Выберем теперь вместо гамильтониана Г, заданного выражением (1.83),

н^ = ^^PfPf^ + ^9/9/).(1.131)

(/)

Р/=р-/> q^ = q-f-

Как уже упоминалось, мы можем ввести бозе-амплитуды следующим образом:

=^ + Ь-Г р< = \к)(1.132)

Это приведёт Я(Е) к виду

j У^МП-(1.133)

Ш(/)

Рассмотрим

/И ^s Е A/(s)Q/(s) >. хТг е~(ЗН^Т{е °^}

ГТИн^=iTlF^™ ’

(1.134)

Q/(s) = expgzexp(1.135)

Мы здесь хотим рассмотреть ситуацию, когда все Л(/) коммутируют как между собой, так и со всеми Q/(s), Н(Е), так что при вычислении выражения (1.131) можем рассматривать Ay(s) как обычные С-функции. Поэтому, используя формулу (1.82), получим

/ r J ds £ Xf(s)Qf(sV х

С другой стороны, исходя из формул (1.89), (1.129) и (1.130), будем иметь

- 52^/(s)A_y(cr)(T{Qy(s)Q_/(a)})H(S) -

= ^л/(5)л_/(<т)^- (1 - е-^^)-1(е-^1®-^1 + ^m^v-p

е 0е 0d^A/^)(/)d^A/^)(/)Н^Н^= exp= expИтак,

е 0

е 0

d^A/^)

(/)

d^A/^)

(/)

Н^

Н^

= exp

= exp

ТгЛ/^Л-Дст)

4ссу1 — е~РшА

(1.136)

Предположим теперь, что ..Aj... операторы, коммутирующие с каждым ...Q... и H(JA), но не сами с собой. Тогда, конечно, формула (1.133) вообще неверна. Рассмотрим, однако, случай, когда левая часть формулы (1.133) стоит под действием другого символа Т-произведения, который не действует на Qp Н^), а упорядочивает только операторы, содержащиеся в ..Ар... Конкретно займёмся рассмотрением выражения

Г Т^^НЕЛ^)^)] 'I

ТрТ^е0}W)k (1137)

где A, ..Ар.. операторы только тех переменных волновой функции, на которые операторы H(J2?), ...Qp.. не действуют, и наоборот. Здесь символ Т включает только упорядочение операторов

Тогда формулу (1.134) мы можем записать с помощью прямого использования формулы (1.133), как если бы А, ..Ар.. были обычными С-функциями. Следовательно,

Гф\ Л

х (e-w/|S-<7|+e-w/m^i«-^i) + j rfs>i(s)j L (1.138)

О/ )

1.7. Вспомогательные операторные равенства

Рассмотрим операторное уравнение:

= -<Яо + Я1(8)}С7(5),(1.139)

где [7(0) = 1 — единичный оператор, а Н\^ — оператор, который может явно зависеть от s. Легко видеть, что:

U(s) =Tle оI

Далее, положим в (1.136)

нозU(s) = e-^C(s).

Тогдано8но8

Т^^ = -е” Hi(s)e-”C(s), С(0) = 1,

откуда следует

. SHqCTHqCT

( — Г da е н Нх(а)е н )C(s)=T<e ^L

Поэтому

/ЗП

( J dsVMsHHx(s)}A

WK^ = т е 6«1 v; f =

pn HQsHqs

= e-ff^Th R -I (i.uo)

(1.136) даёт(1.136) даётU(s) = е"(Яо+Я1)^U(s) = е"(Яо+Я1)^В частном случае, когда H\(s) = Н\ не зависит явно от s, формула

(1.136) даёт

(1.136) даёт

U(s) = е"(Яо+Я1)^

U(s) = е"(Яо+Я1)^

и из формулы (1.137) видим, что

(1.141)(1.141)е-/3(Я0 + Я1) = е-ЗНоТ I е А

(1.141)

(1.141)

Глава 2СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕВ ТЕОРИИ ПОЛЯРОНА

Цель данной главы состоит в выводе неравенства Н.Н. Боголюбова для редуцированной свободной энергии полярона алгебраическим методом Т-произведений. Это неравенство служит источником разнообразных оценок сверху для энергии основного состояния полярона. Показано, что известное неравенство Р. Фейнмана представляет собой частный случай неравенства Н. Н. Боголюбова.

Вычисление свободной энергии и энергииосновного состояния

Рассмотрим стандартный гамильтониан полярона:

Нр = H(S) + Я(£) + JMS, £),(2.1)

ГД62

H(S) = 2m

Шр = |Е^/ +ш2(/)9/9/}’ 9-7=9/, P-f=Pp (2.2)

Hinl(S, S) = -L 'pppqp^, Цр = Ц-р = I^P- v (/)

Здесь, как и в гл. 1,

. _ /2тгп1 Sim^ 2тгпз\

- V L ’ L ’ L ) ’

где (п1,П2,пз) произвольные целые числа в£3 = К

Видим, что H(S) представляет гамильтониан свободной частицы с массой т, (электрон в теории полярона); Я(£) — гамильтониан фононного поля и — Hynt(S, £) гамильтониан взаимодействия между системами £ и Я В случае обычной модели Фрёлиха

L^) = if|’ g=const’(2-3)

cj(/) = CJ = const.

Для того, чтобы (до формального предельного перехода V —> ос) выражение Н^(8, £) содержало только конечное число членов, положим:

ип =ип =л1/1ол1/1опри |/| /шах при |/| /шахпри |/| /шах при |/| /шах(2.4)(2.4)

ип =

ип =

л1/1о

л1/1о

при |/| /шах при |/| /шах

при |/| /шах при |/| /шах

(2.4)

(2.4)

модели Фрёлиха, мы должны при-модели Фрёлиха, мы должны при-когда У ос.когда У ос.Оставаясь в рамках обычной нять, что

модели Фрёлиха, мы должны при-

модели Фрёлиха, мы должны при-

когда У ос.

когда У ос.

/шах > ОО

Мы можем, однако, рассмотреть случай, когда /тах остаётся фиксированным в процессе предельного перехода статистической механики. Физическая мотивировка состоит в том, что модель Фрёлиха не учитывает структуры решётки и вклад в гамильтониан взаимодействия Н^(8, £) от волнового вектора /, большего, чем 2тг/а, где а постоянная решётки, не точно представлен в формуле (2.2) и может быть опущен.

Обратим теперь наше внимание на свободную энергию, которая для рассматриваемого гамильтониана Нр будет

In Trs,s ЦНр.

Вычитая из этого выражения свободные энергии частицы S и фононного поля £, получим выражение для свободной энергии, соответствующей гамильтониану взаимодействия Н^(8, £):

In Тг^ е^Нр - In Tr,g е^н^ - In Тг^

= -^1пзнт- (25)

Trs Тг^

Именно это выражение мы собираемся изучать ниже.

Заметим, что в обычной трактовке таких проблем предполагается, что положение г частицы 8 удерживается внутри объёма V. С технической точки зрения для нас будет более удобно принять, что г может занимать любое положение во всём пространстве, но ввести в гамильтониан свободной частицы дополнительный член т?2г2/2:

22 2

Н^=Г = Ь + Ч--(2-6)

Эффект этого дополнительного члена как раз состоит в обеспечении практического ограничения величин р в конечном объёме V, который будет тем больше, чем меньше будет величина р. Конечно, при переходе к пределу статистической механики мы положим

Поступая таким путём, видим, что свободная энергия взаимодействия полярона задаётся следующим выражением:

М = lim lim F^ty А

V—>oo

ln T -0H(S) T -/3H(E) '(2-8)

J- 1 О tvJ_ 1 > , tv

Воспользуемся теперь формулой (1.138), в которой выберем

Яо = Я(5) + Я(£) = Г + Я(Е),(2.9)

HX=HM(S,^.

Обозначим

HqS ЯоаHqSHqS

R(s) = e Tt re- ^ , Qf(s) = e ъ q^e- к .

Тогда формула (2.2) даёт

е^Ям(5,К)е-^ = Л^^иПОМе™^v (/)

1TiV1TiVе дНр = е рн^е M(S)j^lexpе дНр = е рн^е M(S)j^lexpа из формулы (1.138) найдём

1

TiV

1

TiV

е дНр = е рн^е M(S)j^lexp

е дНр = е рн^е M(S)j^lexp

ds^UnQfkS¥Y'K^ о (/)

С

Заметим, что H(S) = Г и H(JL) действуют на различные переменные, соответствующие системам S и £. Поэтому легко видеть, что

г гМТ) МТ)

R(s) = eMre М, Qj(s) = e sq^e к s. (2.11)

Поскольку R(s) действует только на переменные S, a Q/(s) — только на переменные £, операция Т-упорядочения в формуле (2.10) может быть произведена в два приёма — сначала мы упорядочиваем операторы Q/(s), а затем операторы R(s). Из формулы (2.10) получаем

е-[ЗНр = е-/зге-/зн(£)^ fj^—1 ds^L^Q^sy^"^^

Kv Jo (7)

(2.12)

Заметим далее, что е^н^ можно поставить под знак операции Tr, поскольку этот оператор не действует на R(s). Отсюда и из формулы (2.8) имеем

Ftat4v-^ = -^ InFtat4v-^ = -^ In(2.13)(2.13)

Ftat4v-^ = -^ In

Ftat4v-^ = -^ In

(2.13)

(2.13)

гдегдет) =т) =ТЫ expТЫ exp1/iVl/21/iVl/2КЗds^L^Qf^^C . о шЛ/н^КЗds^L^Qf^^C . о шЛ/н^

где

где

т) =

т) =

ТЫ exp

ТЫ exp

1

/iVl/2

1

/iVl/2

КЗ

ds^L^Qf^^C . о шЛ/н^

КЗ

ds^L^Qf^^C . о шЛ/н^

Чтобы раскрыть правую часть этого выражения, мы используем формулу (1.134), в которой заменим

Т' -л TR,Т' -л TR,T^TQT^TQ

Т' -л TR,

Т' -л TR,

T^TQ

T^TQ

и положимA(s) = О,Замечая, чтои положимA(s) = О,Замечая, что(2.14)(2.14)получимполучимЦЛЦ-Л = Ш/)12.ЦЛЦ-Л = Ш/)12.

и положим

A(s) = О,

Замечая, что

и положим

A(s) = О,

Замечая, что

(2.14)

(2.14)

получим

получим

ЦЛЦ-Л = Ш/)12.

ЦЛЦ-Л = Ш/)12.

7н{еф} = TR7н{еф} = TRTq ^ expTq ^ exp1KV1/21KV1/2прdS^L(nQf(s^eif-R(sA\\ ), о тЛ/н^)(2.15)прdS^L(nQf(s^eif-R(sA\\ ), о тЛ/н^)(2.15)

7н{еф} = TR

7н{еф} = TR

Tq ^ exp

Tq ^ exp

1

KV1/2

1

KV1/2

пр

dS^L(nQf(s^eif-R(sA\\ ), о тЛ/н^)

(2.15)

пр

dS^L(nQf(s^eif-R(sA\\ ), о тЛ/н^)

(2.15)

где

^^EMOi^i'-^r'x

(/)

КЗ кз

(2.16)(2.16)j dsj dcr^e-^8-^ +e-^M+^|S-<7|)eif.{R(s)-RW}

(2.16)

(2.16)

О о

Поскольку еф в правой части формулы (2.15) есть функционал только от R(s), в который все Q/(s) не входят, нет необходимости вводить специальное обозначение TR, и мы можем записывать правую часть просто как

Т{еф}.

Таким образом, из формулы (2.13) имеем

■Г^Ц-Т)^ МТ{еФ})г.■Г^Ц-Т)^ МТ{еФ})г.(2.17)(2.17)

■Г^Ц-Т)^ МТ{еФ})г.

■Г^Ц-Т)^ МТ{еФ})г.

(2.17)

(2.17)

Вернёмся теперь к квадратичному гамильтониану главы 1 и представим его в форме

гдегденЛ = Я(5) + Я<£1(Е) + Я^(5,Е),(2.18)

где

где

H(S) = Г

задаётся, как и раньше, формулой (2.6) и где

(7)

н^Чз, ^ = ^ + 4^ ESUW f ■ г =(2.19)

V (7)

Повторим с гамильтонианом Н^ наши предыдущие рассуждения, развитые для гамильтониана Н^р\ и положим в формуле (1.135)

л(8) = -^И,= -^ ^sm f • ад.

Тогда вместо формулы (2.17) получим

F^HV,^ = -^ In^-^57 = "^ МТДЩЬ (2.20)

Trs X Тгв е0н №

где

2 мзу у

XX*« = -§) *R2W + ^ *J ^^с/)^

X

X

0о о V)

^длЩДТ^Д1 _^длЩДТ^Д1 _эд-^ | dsR2(s) +оэд-^ | dsR2(s) +о

^длЩДТ^Д

1 _

^длЩДТ^Д

1 _

эд

-^ | dsR2(s) +о

эд

-^ | dsR2(s) +о

и гдеи где12K2V12K2Vпр прds do-^S^O^о о (7)пр прds do-^S^O^о о (7)ы26^(/)ы26^(/)^(/)(s,<r)R(s) -R(<t)t _ е-рпиШ^(/)(s,<r)R(s) -R(<t)t _ е-рпиШKvU^ss(j^ = 0-^^-^ + e~vWMv^>~^KvU^ss(j^ = 0-^^-^ + e~vWMv^>~^(2.21)(2.22)(2.21)(2.22)

и где

и где

1

2K2V

1

2K2V

пр пр

ds do-^S^O^

о о (7)

пр пр

ds do-^S^O^

о о (7)

ы26^(/)

ы26^(/)

^(/)(s,<r)R(s) -R(<t)t _ е-рпиШ

^(/)(s,<r)R(s) -R(<t)t _ е-рпиШ

KvU^ss(j^ = 0-^^-^ + e~vWMv^>~^

KvU^ss(j^ = 0-^^-^ + e~vWMv^>~^

(2.21)

(2.22)

(2.21)

(2.22)

Заметим, что ввиду формул (1.91) и (1.102)

^(/)(5,а) = 2Щ)^Е_£^(/)(5,а) = 2Щ)^Е_£e2Kinpf-(2тт//ЗП)2 + z/2(/)e2Kinpf-(2тт//ЗП)2 + z/2(/)

^(/)(5,а) = 2Щ)^Е_£

^(/)(5,а) = 2Щ)^Е_£

e2Kinpf-

(2тт//ЗП)2 + z/2(/)

e2Kinpf-

(2тт//ЗП)2 + z/2(/)

Поэтому

пр

О

3 Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.)

пр

о

Таким образом,

14 Л214 Л2пр прds daо опр прds daо оИЛИЛ(1 _е-£МЛ)-1^(лМ[^^=(1 _е-£МЛ)-1^(лМ[^^=ПосколькуПоскольку^2 _ 1 vs'4n |/|2^2 _ 1 vs'4n |/|2

1

4 Л2

1

4 Л2

пр пр

ds da

о о

пр пр

ds da

о о

ИЛ

ИЛ

(1 _е-£МЛ)-1^(лМ[^^=

(1 _е-£МЛ)-1^(лМ[^^=

Поскольку

Поскольку

^2 _ 1 vs'4n |/|2

^2 _ 1 vs'4n |/|2

МЫ видим, что

ТЛоТЛо14П2У14П2Упр прds da^P о о V)пр прds da^P о о V)s\nfМУ)s\nfМУ)^„^(s.tTXR^s) +R2(<t)]1 _ е-РПгУШ^„^(s.tTXR^s) +R2(<t)]1 _ е-РПгУШ

ТЛ

о

ТЛ

о

1

4П2У

1

4П2У

пр пр

ds da^P о о V)

пр пр

ds da^P о о V)

s\nfМУ)

s\nfМУ)

^„^(s.tTXR^s) +R2(<t)]

1 _ е-РПгУШ

^„^(s.tTXR^s) +R2(<t)]

1 _ е-РПгУШ

Обозначим

(2.23)(2.23)пк1 VSW [e-^-i+e-^n/m,^-!]

(2.23)

(2.23)

U U HV2^ б^Л

Тогда из формулы (2.21) следует пр пр

Фо = -| dsj cZ<tL(|s-<t|)[R(s) -R(a)]2. (2.24) О о

Попытаемся теперь рассматривать такой функционал как возможное приближение к функционалу Ф, который можно было бы использовать, чтобы получить приближённое выражение для свободной энергии взаимодействия полярона (2.17).

Заметим вообще, что если р есть величина первого порядка малости, то с точностью до членов второго порядка малости (которыми мы пренебрегаем) будем иметь

ж+т/

In (ж + р) — In (ж)

ж

Поэтому, формально рассматривая разность Ф — Фо как выражение первого порядка малости, мы можем записать в «первом приближении»

In (Т{еф})г = 1П (т{еф°})г +

\ 1\ 1//1(Т{еф»})г

Интересно заметить, что соответствующее приближение

app^fV, ^) = In (Т{еФ"})г - ^ ЛтгЛ^(2-25)

(Ле °})г

даёт верхнюю оценку для свободной энергии, построенной на основе гамильтониана взаимодействия полярона (арр — аппроксимация для точной линейной модели):

арР^Щ^) ^ Ftat4v^Y

(2.26)

Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим функцию

Щ) =1п(Т{еф«+5(ф-ф«)})г.

(2.27)

Имеем

. = (т{еФо+^<ф-Фо)(ф-фо)})г

^{еФо+^Ф-Фо)^г’

(2.28)

и отсюда

ШеУУУУУФ^ФоЩОГг = о

^^Фо+^Ф-Фо^^г*

(2.29)

Далее, с помощью уравнения (2.28) получаем

^'^^ефо+€(Ф-Фо)^г

_ (т{еФ°н<ф-фо)(Ф - Фо)})г(Т{еФ°н<ф-фо)(Ф - Ф0)})г (Т{еФ°+^Ф-Фо') })г2’

из которого получаем

J \S7^^фо+^(ф_фо)^^\J \S//

= (т^+^-^КФ - Фо)2 - uWw

С другой стороны, принимая во внимание формулу (2.29), можем написать

^{еФ0+€(Ф-Ф0)[(ф _ фо)2 _ ^у)^ =

= (т{еФ0+$(Ф-Ф0)[(ф _ фо)2 _ (Ле))2 _ 2Г(е)(ф _ фо _ fOW =

= №Фо+$(ф-Фо)(ф _ Фо _ у'(е))2})г,

и поэтому

=(9 зт

7(Т{еФо+^(Ф-Фо)^г•

Видим, что выражения

еФо+С(Ф-Фо)5 еФо+£(Ф-Фо)(ф _ фо _ у'^))2

как функционалы от R(s), (0 < s < [ЗИ) положительны для произвольных действительных R(s). Итак, используя свойство рассмотренных Г-средних от Т-произведений (формула (1.127)), видим, что

ГЮ^О.(2.31)

Из этого следует

если е^О

и

1f(i)-f(o) = |/W<> Ло),о

или

/(0) + /'(0)</(1).

Умножая это неравенство на —^, получим

-ад-<(0)>-^(1).

Учитывая формулы (2.17), (2.25), (2.27) и (2.28), получаем

И, следовательно, наше основное неравенство (2.26) доказано. Отметим теперь, что ввиду формул (2.20) и (2.25) можем написать:

аррР^УМ = арр•(2-32)

Следует заметить, что величина F^(V, р) была уже вычислена в гл. 1 (см. формулы (1.50)-(1.54)), также как и предельное соотношение

ИГ = lim

V —>оо

(см. формулу (1.54)). Для специального случая, когда H^fJL) — одночастотный гамильтониан, v(f) = и = const, мы получим для F^ простую замкнутую формулу (1.56) из главы 1.

Приступим теперь к раскрытию второго члена правой части формулы (2.32). Учитывая формулы (2.16) и (2.24), получаем

(Т{еф(Ф - Фр)})г =1 Х^т2( (А _

(Т{еф°})г^^ Ш J 2ш

dsо оdsо оda (еda (еdsо оdsо оda L(\s — ст |)da L(\s — ст |)(T{e^[R(s)-R(q)]2})r(T{e^[R(s)-R(q)]2})r(Т{ефо})г(Т{ефо})г—шрКА-Цз — а| \ У Iе (Т{еФ°})г

ds

о о

ds

о о

da (е

da (е

ds

о о

ds

о о

da L(\s — ст |)

da L(\s — ст |)

(T{e^[R(s)-R(q)]2})r

(T{e^[R(s)-R(q)]2})r

(Т{ефо})г

(Т{ефо})г

(2.33)(2.34)(2.33)(2.34)Таким образом, нам требуется только раскрыть выражения

(2.33)

(2.34)

(2.33)

(2.34)

(T{e*«[R(S)-R(<7)]2})r№Ф°})г

Чтобы выполнить эту программу, исследуем вспомогательную задачу вычисления выражения

(2.35)(2.35)Фо+J ds A(s) f-R(s)(Г{е 0})г,

(2.35)

(2.35)

где, например, можем положить

A(s) = i[5(s — si) — 5(s — sq)],(2.36)

О < sq < ph, 0 < si < ph.

Рассмотрим операторное уравнение:

П^р =_ ^A(s) f . r]77(s) =

= -[Я(5) + H^) + H^(S, 5) - 7iA(s) f ■ AU(S\ (2.37)

C7(0) = 1.

Это уравнение соответствует формуле (1.136), в которой положено Яо = Я(5) + ТУЧУ Я[(5) = H^\s, S) - ПЛ(«) f ■ г.

Повторим наши предыдущие рассуждения для вычисления величиныTrs,s U^

Tr^e-^Tr^

и заметим, что в этом случае при использовании формулы (1.135) следует выбрать

A(S) = ^^ + A(S)f.R(S).

Мы тогда найдём

Trss U^= , f»o+pSA(s)f.R(s)

Но вследствие (2.20)

= (Т{еф”})г. Tr^e-^T^e"^

ПоэтомуПоэтомуф0+; dsx(s)f. е 0(ЛДДкф0+; dsx(s)f. е 0(ЛДДкTrss e"0HW 'Trss e"0HW '(2.38)(2.38)

Поэтому

Поэтому

ф0+; dsx(s)f. е 0

(ЛДДк

ф0+; dsx(s)f. е 0

(ЛДДк

Trss e"0HW '

Trss e"0HW '

(2.38)

(2.38)

ds X(S)eH п f re н бds X(S)eH п f re н бr(t) = е п геr(t) = е п геи поэтомуи поэтомуепп те пепп те п= r(—is).= r(—is).

ds X(S)eH п f re н б

ds X(S)eH п f re н б

r(t) = е п ге

r(t) = е п ге

и поэтому

и поэтому

епп те п

епп те п

= r(—is).

= r(—is).

Вернёмся теперь к формулам (1.136) и (2.37) и выберем H^hW, H^s) = -hX(s)f г.

Тогда ввиду (1.137) найдём

пр

(2.39)(2.39)U(7i3) = е-^я(Ь)Т<!ехр(

(2.39)

(2.39)

Заметим, что в представлении Гейзенберга оператор r(t), определяе-

мый линейным уравнением движения, соответствующим гамильтониану H^L\ будет

Из формулы (2.39) теперь вытекает

Г Г dsX(s) f r( — is)и^ = е"9н№Т^

Поэтому

кр

(2.40)(2.40)= /т1е« ds4s)t'rbtsh\

(2.40)

(2.40)

Tr р-0н''Ь')\ IИ

Поскольку Н^ также положительно определённая форма, построенная из бозе — операторов, мы можем использовать формулу (1.82) и написать:

Но формула (1.52) даёт тождественно

(rQ(t)rQ,(T))fl(L) = 0 если(^(^^(т))^^ = (ri(t)ri(T))H(D, а = 1,2,3,

откуда следует

ТТнрds X(s)ra(—is) онрds X(s)ra(—is) оupds X(s)ra'(—is) оupds X(s)ra'(—is) о= 0,= 0,a ф ot ,a ф ot ,ии

Т

Т

нр

ds X(s)ra(—is) о

нр

ds X(s)ra(—is) о

up

ds X(s)ra'(—is) о

up

ds X(s)ra'(—is) о

= 0,

= 0,

a ф ot ,

a ф ot ,

и

и

Из формул (2.38) и (2.40) получаемИз формул (2.38) и (2.40) получаемП/ЗФ J dsX(s) f-R(s)A Кеф°е 0Н,2 /П/ЗФ J dsX(s) f-R(s)A Кеф°е 0Н,2 /(Т{еФ°})гР 6 \(Т{еФ°})гР 6 \\2ч \dsX(s) r(—is) ).о(2.41)\2ч \dsX(s) r(—is) ).о(2.41)В частности, для функции A(s), определённой формулой (2.36),В частности, для функции A(s), определённой формулой (2.36),

Из формул (2.38) и (2.40) получаем

Из формул (2.38) и (2.40) получаем

П/З

Ф J dsX(s) f-R(s)A К

еф°е 0Н,2 /

П/З

Ф J dsX(s) f-R(s)A К

еф°е 0Н,2 /

(Т{еФ°})гР 6 \

(Т{еФ°})гР 6 \

\2ч \

dsX(s) r(—is) ).

о

(2.41)

\2ч \

dsX(s) r(—is) ).

о

(2.41)

В частности, для функции A(s), определённой формулой (2.36),

В частности, для функции A(s), определённой формулой (2.36),

/74,,,f'o + if [R(sl)-R(s2)h\/2 . ,. . . ., . ,12ч,

V Iеi/Г = --L-(T{[r(-$si)-r(-ts2)] })Я(Ь)

(Т{еФ«})г

или, заменяя переменные,

№Вг = е-^т[г(-^)-г(-^)]2})я(ь)

(Т(еФ"})г'

Приложим к обеим частям этого соотношения оператор

3 а2

и затем положим f = 0. Получим

№!№_R(e)M = тоно -Г(-И)2})Н(Ь).

№ °})г

Из формул (2.23), (2.42) и (2.43) следует, что

(2.42)(2.42)(2.43)(2.43)арр <>7,^ = арр F^M - ^-^ ^Up ^ " ^'Т' х

(2.42)

(2.42)

(2.43)

(2.43)

пр прх ds da (е—пр прх ds da (е—00ООл 1 у$ЧпАл 1 у$ЧпА(i _e-pnvmy\(i _e-pnvmy\XXe-cj^7z+cj|s-a|)e-4-(r{[r(-is)-r(-ia)]2})H(L) _

пр пр

х ds da (е—

пр пр

х ds da (е—

0

0

О

О

л 1 у$ЧпА

л 1 у$ЧпА

(i _e-pnvmy\

(i _e-pnvmy\

X

X

пр пр

Xpsj ^(e-^^l'-^l+e-^^+^^-^^^X-is) -r(-icr)]2})H(D.

О о

Заметим, чтоЗаметим, что(2.44)

Заметим, что

Заметим, что

(Т{[г(-гз) -г(-го-)]2})Я(£)

уже рассматривалось в гл. 1. С учётом формул (1.71) и (1.72)

(T{[r(4s) - г(-го-)]2})Я(ц =

ЗгЙ+[°2(11Г+Йл /Олеа

= ~т——9 dv, (2.45)

где (см. формулу (1.20))

11(2 46)

Рассмотрим сейчас, во что перейдёт выражение (2.44) в случае классической механики. Для перехода к классической механике вы-

полним предельный переход: И 0. Будет удобнее ввести в выражение (2.44) новые переменные интеграции:

8 = Tbs', О" = Тит'.

Тогда из формул (2.44) и (2.45) имеем

appF^Hv,^ = аррР^У.тЙ - ^Л^ТТТС^

(7)16

/ — cuh,| s' — о11 । —шТъРЭ-ш^з' — сгЗ'е'б"<ТПг(-гКз')-г(-гйсг')]2})н(Ь)

± y^W2 ft

W^G^f) 2^1-е"№^)

= ^0 - е"ф "ст Ъ5 div, (2.48)

Заметим, что при фиксированных V, р выражение A(Q) содержит только конечное число членов. Таким образом, мы видим, что

(T{[r(-zW) - r(-iWy\2y)H(L) —> 0 при И 0.

Замечая, что суммы (2.47) также содержат только конечное число членов, мы получаем в классическом пределе

appF^4v,-n) = --^^L4n,(2-49)

(7)

поскольку было уже показано, что для классической механики

арР-^Ц,??) = °-

Покажем, что формула (2.49) даёт точное значение appF^P в классическом случае. Действительно, гамильтониан Н^р>> есть сумма потенциальной и кинетической энергии. Поэтому в классической механике

F^ = kin F^ + pot F^p\ kin = kin Fg + kin F^

F^ = F^ - Fs - F^ = pot F^ - pot Fs - pot F^.

Итак, мы имеем

<4v,^ =

[ ехрС/З^Е - у/3^9/9/ - -EjPTWHf^'A dr Dq

г /2 2 \p2\

exp II dr expl 2^/q} ) D(1

(2.50)

Здесь ^ = ^ + 2^, q_f=xf-%ph

т. e.

M = M M = M

и

Dq = n'dxfdyf.

Здесь символ П означает, что сюда входят только различные dx^, dpj так, что если / ^ 0 входит в произведение, то —/ не входит. Совершим в формуле (2.50) замену переменных qj;

и заметим, что выражение

у PTLh^ + 7^2(/)(/)

переходит в следующее выражение:

— BVata^ - — BVril рФйГПяС +

2 ^Z^F1/ 2 P2_^vMi+

(/)(/)

(/)(/)

Поэтому формула (2.50) приводится к виду

[exp ( -+ й^у^А dr Dq

= inJ v /=

r /2 2\ p2\

exp II dr exp IY^qfql I DQ

= -^Е^(П (2-51) 2Уш (/)

Мы, таким образом, видим, что в классической механике рассмотренная аппроксимация, даваемая формулой (2.49), точная.

Возвратимся теперь к изучению выражения (2.44) в квантовом случае. Будет удобно использовать функцию

(2.52)(2.52)ЕуИ = V ЕЙл Е5^ + ^ + 5ИЛ - ^)] ш6" (/)

(2.52)

(2.52)

введённую в гл. 1. Тогда (2.44) можно переписать следующим образом:

аррЕ^У,-^ = Fp\v,ri) -

4Vh24Vh2Y^L2(/)— ^s d-aШ00Y^L2(/)— ^s d-aШ00'^-ips-cp । б-ЗПш-\-ш\з-ст\'^-ips-cp । б-ЗПш-\-ш\з-ст\f2 e-^Dv<vS^f2 e-^Dv<vS^47г247г2du Ey(u) оdu Ey(u) оhuhuHP np ds da(e о оHP np ds da(e о оt-^+^-^ZMs,^),t-^+^-^ZMs,^),

4Vh2

4Vh2

Y^L2(/)— ^s d-a

Ш00

Y^L2(/)— ^s d-a

Ш00

'^-ips-cp । б-ЗПш-\-ш\з-ст\

'^-ips-cp । б-ЗПш-\-ш\з-ст\

f2 e-^Dv<vS^

f2 e-^Dv<vS^

47г2

47г2

du Ey(u) о

du Ey(u) о

hu

hu

HP np ds da(e о о

HP np ds da(e о о

t-^+^-^ZMs,^),

t-^+^-^ZMs,^),

(2.53)

где (см. (2.45), (2.46) и (2.52))

Зг/гЗг/г1 - e"u's"°1 - e"^1 - e"u's"°1 - e"^11mQ2 — г/2 + QA(Q)mQ2 — г/2 + QA(Q)I c<j-|-iO du,I ш — i0I c<j-|-iO du,I ш — i0(2.54)(2.54)△ (Q) =△ (Q) =Q — ссQ — сс(2.55)(2.55)

Зг/г

Зг/г

1 - e"u's"°

1 - e"^

1 - e"u's"°

1 - e"^

1

1

mQ2 — г/2 + QA(Q)

mQ2 — г/2 + QA(Q)

I c<j-|-iO du,

I ш — i0

I c<j-|-iO du,

I ш — i0

(2.54)

(2.54)

△ (Q) =

△ (Q) =

Q — сс

Q — сс

(2.55)

(2.55)

Заметим, что ввиду (2.52)

Еу (—и) = Еу(и\Еу (—и) = Еу(и\(2.56)(2.56)Еу(и) 0,

Еу (—и) = Еу(и\

Еу (—и) = Еу(и\

(2.56)

(2.56)

Отсюда и из (2.55) следует

A(-Q) = -A(-Q) = -' ЕН—Q — ш' ЕН—Q — ш(2.57)(2.57)

A(-Q) = -

A(-Q) = -

' ЕН

—Q — ш

' ЕН

—Q — ш

(2.57)

(2.57)

Введём для сокращения обозначения:

11тГ? — р2 + QA(Q)тГ? — р2 + QA(Q)ЗгГ / 1 — е'

1

1

тГ? — р2 + QA(Q)

тГ? — р2 + QA(Q)

= Ф№),— т—т

V 77Г \

Тогда правая часть (2.54) может быть записана в форме

| ^>(сс;){Ф(с(; + Ю) — Ф(с<; — гО)}.

Но из (2.57) видим, что

Ф(Q) = Ф(-И),

и, в частности,

Ф(с<; + гО) — Ф(с<; — гО) = Ф( и — гО) — Ф( и + гО).

Отсюда

+ оо+оо

| (Дсс;){Ф(сс; + гО) - Ф(и - iO)^du = j^(-сс;){Ф(сс; - гО) - Ф(и + iO)^du,

что даёт

| ^>(сс;){Ф(с(; + гО) — Ф(с<; — гО)} dec =

= ^ | ^ф(и) — ф(—сс;)}{Ф(сс; + гО) — Ф(с<; — гО)} du.

С другой стороны,

I _ e-^|s-<r|| _ e^|s-<r|| e-Hw3 _ e-^|s-<r| _ е-ЗПш-\-ш\з-(т\

i _ P-Tiw3i _ ПшЗi _ -ТгшЗ

Поэтому из формулы (2.54) получаем

\_ -w\s-ct\ _ -3KwJrw\s-(y\ ilj+zO

Dv(s,<j') = ^—^r9г (2-58)

Заметим, что формулы (1.91) и (1.102) дают

-w|s-<r| .-^/3+w|s-<r|_1гт^тг^

2ш(1-e"^)~(2тгп//3/г)2 + w2

(2.59)(2.59)1 V^ COS {27rn(s — ст)/ph\

(2.59)

(2.59)

Р н (2тт/М)2 + ^2

и, таким образом,

ф+е-^/з _e-^k-<7| _ e-/3^+^|s-<r|) _ ,\_e™^s0£_

2^(1 - е"^)/3 (^ (2тгп/М)2 + ш

_ 1 V^ 1 — cos {2тт(б — ст)//З/z} /ост

Эти формулы действительны в интервале

0 < s </ЗП, 0<а</ЗП,(2.61)

но их правые части определены для всех действительных s, а и будут периодическими функциями s — а с периодом (ЗК Из (2.58) видим, что

Dy (s, ст) = Dy (s — ст),(2.62)

где

Г i ।_ -/3Ms| ilj+zO

Dy(s) = ^1 + e dw, (2.63)

’ 2тг J (1-е-^)(тП2-г?2 + ПД(П)) L-iOv ’

и эта функция может быть расширена на всю действительную ось:

\ Зг f 1 — cosI2ims/31i\шi^+гО

J (2тгп//37г)2 + сс2 тП2 — ц2 + QA(Q)

"(2.64)

так что она будет обладать свойством периодичности и симметрии:

Dy(-s) = Dy^sY Dv(s + /ЗП) = Dy^sY (2.65) Рассмотрим функции

тгр48^ = (е-^ + e-ph^sy-^ Dvy о < s ^ЗК,K^Hs) = (е“^ + e-^+^Dv^.

Учитывая формулы (2.59), (2.64), мы видим, что эти функции могут быть расширены на всю действительную ось s так, что они будут обладать свойствами периодичности и симметрии вида (2.65). Таким образом, мы можем записать равенства

ИИTCpl4s - ст) =TCpl4s - ст) =

И

И

TCpl4s - ст) =

TCpl4s - ст) =

из которых следуют

прпр

| da1^p’L4s-^ =-R^P’LpTi= j da1^p’L4o\

(2.66)(2.66)Оо

(2.66)

(2.66)

пр прпр

| ds | daTt^^^s - ст) = ^Ti j da П(Р'Ь\аУ ooо

Благодаря соотношениям (2.65), которым удовлетворяет также мы имеем

ПРРП/2рп

j da^p’L\a) = | ^^^(ст) + | da^p’L\a) =

00pn/2

РП/2ст) = 2 | da Tt^p,L\a).оРП/2ст) = 2 | da Tt^p,L\a).оРП/2РП/2

РП/2

ст) = 2 | da Tt^p,L\a).о

РП/2

ст) = 2 | da Tt^p,L\a).о

= | da Tt^^Xa) + | da ^р,L\3Ti оо

(2.67)

Поэтому формула (2.53) может быть переписана в форме

арР-Г^Ц,??) = арр^Д^У,??) -

пр

- -L Vl^Hf d<7 П"ша + е-ЗТ1ш+шЛе4 DvW

4V/^Л1~е~^ ) J

и)0

44(1шЕуИv \/1— ршПJ1 - е ро(1шЕуИv \/1— ршПJ1 - е роdo- Л"ша + е-^+шст)Ру(сг), оdo- Л"ша + е-^+шст)Ру(сг), о(2.68)(2.68)

4

4

(1шЕуИ

v \/1— ршП

J1 - е р

о

(1шЕуИ

v \/1— ршП

J1 - е р

о

do- Л"ша + е-^+шст)Ру(сг), о

do- Л"ша + е-^+шст)Ру(сг), о

(2.68)

(2.68)

или

ЗРР ГпТ ’ М Л) = арр F^ (V, т?) -

(/)(/)Р1г/21 ГОР1г/21 ГОda (е шаda (е шаI е-РИшЭ-шст\е-Dv(cr)I е-РИшЭ-шст\е-Dv(cr)1212ооPN2dwEvH Х_^-ЗшпооооPN2dwEvH Х_^-ЗшпооdCT (е"ш<7dCT (е"ш<7+ е"^+шст')Пу(<т\+ е"^+шст')Пу(<т\(2.69)(2.69)

(/)

(/)

Р1г/2

1 Г

О

Р1г/2

1 Г

О

da (е ша

da (е ша

I е-РИшЭ-шст\е-Dv(cr)

I е-РИшЭ-шст\е-Dv(cr)

1

2

1

2

ооPN2

dwEvH Х_^-Зшпоо

ооPN2

dwEvH Х_^-Зшпоо

dCT (е"ш<7

dCT (е"ш<7

+ е"^+шст')Пу(<т\

+ е"^+шст')Пу(<т\

(2.69)

(2.69)

Совершим теперь предельный переход:

lim lim .(2.70)

^0 V^oo

Тогда, используя неравенство (2.26), мы должны иметь

арр^У^Р,(2.71)

арР^пР = 1™ Jim appP^Hv^y(2-72)

Заметим, что функции 8(Л» ^(Л^ характеризующие вспомогательный гамильтониан нЧ\ могут быть выбраны произвольно.

Для вычисления (2.72) будет удобно выбрать в качестве S^\ и(Л некоторые непрерывные функции на действительной оси, такие, что

цл>о, 7 У У-f °>

7 V ^ ЛИГ ^R

|/|>д

где 5(1/Д) не зависит от V. Тогда, если ф(ш) — любая произвольная непрерывная и ограниченная функция на действительной оси, мы имеем

[ фиеуН = ^ £^$ АФИН) +

= тЛ [ ^/ЯД/Ум/)) + Ф^О)^ когда V^oo. (2.73) (2тг) J bi/ (/)

О

Таким образом, видим, что обобщённый предел

ЕН = Jim ЕуИ(2 74)

существует, и мы можем написать:

du ф(и)Еу(и)du ф(и)Еу(и)du ф(и)Еу(и\du ф(и)Еу(и\(275)(275)

du ф(и)Еу(и)

du ф(и)Еу(и)

du ф(и)Еу(и\

du ф(и)Еу(и\

(275)

(275)

Эта функция Е(и) имеет следующие очевидные свойства:Е(и) 0, Е( — и) = Е(и),Эта функция Е(и) имеет следующие очевидные свойства:Е(и) 0, Е( — и) = Е(и),(2.76)(2.76)[ duE(u) = —2^/Jбтг J-оооИз формулы (2.75), в частности, следует[ duE(u) = —2^/Jбтг J-оооИз формулы (2.75), в частности, следует^ш и^ш и

Эта функция Е(и) имеет следующие очевидные свойства:

Е(и) 0, Е( — и) = Е(и),

Эта функция Е(и) имеет следующие очевидные свойства:

Е(и) 0, Е( — и) = Е(и),

(2.76)

(2.76)

[ duE(u) = —2^/

Jбтг J

-ооо

Из формулы (2.75), в частности, следует

[ duE(u) = —2^/

Jбтг J

-ооо

Из формулы (2.75), в частности, следует

^ш и

^ш и

A(Q) AOO(Q) = -A(Q) AOO(Q) = -[\1 — и[\1 — икогда Im Q ф 0,когда Im Q ф 0,(2.77)(2.77)

A(Q) AOO(Q) = -

A(Q) AOO(Q) = -

[

\1 — и

[

\1 — и

когда Im Q ф 0,

когда Im Q ф 0,

(2.77)

(2.77)

и

Отсюда

= ^{ДоЦу + ЮНДоЦ-у + Ю)}. (2.78)

Для вычисления (2.72) удобно начать с адекватного выбора AOO(Q). Выберем аналитическую функцию A+(Q), регулярную в верхней полуплоскости со следующими свойствами:

для достаточно большого R,

|Д+(^)1<|т|т, С = const, |П|^Д, ImQ>0;

обобщённая функция

lim A+(cj + zs) = A+(cj + zO) Ще>0

существует на действительной оси и, и выражение

2^{Д+Ц + гО) + Д+(-ш + г0)} 0.

Интеграл от этого выражения, взятый по всей действительной оси, сходится. Выберем теперь

Д(П) = Д+(О), ImQ>0,

(2.79)

Д(П) = -SU-O), ImQ>0.

Учитывая условия (1) и (2), легко видеть, что такая функция (2.79) и соответствующая функция Е(ш) удовлетворяют всем упомянутым условиям.

Полагая А^ фиксированной, выберем S(f) и v(f) так, чтобы предельные свойства (2.74)-(2.76) удовлетворялись. Для анализа выражения

lim lim Dv(sY

начнём с определения (2.63) и заметим, что выражение

। — Тъ0О.— Qs—/3^,Q+Qs

Q) =, 0 < s < М (2.80)

есть аналитическая функция Q во всей комплексной плоскости с полюсами_.

U —, п — целое,рп,

и не имеет других сингулярностей. Покажем, что Q = 0 не является полюсом, так что функция от (2.80) регулярна в окрестности этой точки. Действительно, разложение по степеням Q даёт

+ е-к^ - e~^s - e-№^s = ^(phs - s2) + Q3

что приводит к разложению

= s (1 -+ Q(2.81)

Поэтому единственными сингулярностями £(s, Q) как функции от Q будут простые полюса:

Q =п = ±1,±2,±3,...

рп,

Это даёт нам возможность переписать (2.63) с ядром (2.80) в форме

+оо

ГОiw+iO

Dv^ = ^ Ps,^.^ dw, (2.82)

0 < 8 < pK.

Это выражение может быть рассмотрено по способу, развитому в гл. 1. Заметим, что выражение

ц8,и)—.—г

mQ2 - гр + QA(Q)

представляет собой аналитическую функцию переменной Q, регулярную в полосах:

0<ImQ<^,0>ImQ>-^,

pHpH

и что она имеет порядок 1/|Q|2 при Q сю. Поэтому из (2.82) следует, что

= duo, (2.83)

где s произвольная величина в интервале

<2-84>

и (2.83) не зависит от величины е в указанном выше интервале. Зафиксировав е, мы можем перейти к пределу

lim lim

в формуле (2.83) и получить

+ оо

Г1iw+iO

lim lim Dy(s) = —£(s,Q) —-—x——-duo =

v 7 2тг J v 7mQ + Aoo^L-iO

Гiiw+iO

=£(s,w)—- dec. (2.85)

2тг J v 7 mQ + Aoq(Q)

Чтобы получить

аРРГпГ = и™ lim ^Р-ТпГУ’У

V —>оо

1(2^)31(2^)31/2|1/2|= ^4 [ e-^Dv^df == ^4 [ e-^Dv^df =(2тг)3 J(2тг)3 Jоо4тг£2 7Г1/2 / 6 А*/2 ДДз -у- ^орр4тг£2 7Г1/2 / 6 А*/2 ДДз -у- ^орр(2.86)(2.86)рассмотрим случай истинной модели Фрёлиха с £(/), задаваемой формулой (2.3). Тогда

1

(2^)3

1

(2^)3

1/2|

1/2|

= ^4 [ e-^Dv^df =

= ^4 [ e-^Dv^df =

(2тг)3 J

(2тг)3 J

о

о

4тг£2 7Г1/2 / 6 А*/2 ДДз -у- ^орр

4тг£2 7Г1/2 / 6 А*/2 ДДз -у- ^орр

(2.86)

(2.86)

арР^пГ = appF^арР^пГ = appF^dec Е(сс)Ш а хV /|_е-ЗшПdec Е(сс)Ш а хV /|_е-ЗшПgV^(2тг)3gV^(2тг)3ооМ/2^(е-^ + в-^+^)Р(а). оМ/2^(е-^ + в-^+^)Р(а). о1212ducE^—-J1-е'ОducE^—-J1-е'О(2.88)(2.88)

арР^пГ = appF^

арР^пГ = appF^

dec Е(сс)Ш а хV /|_е-ЗшП

dec Е(сс)Ш а хV /|_е-ЗшП

gV^(2тг)3

gV^(2тг)3

о

о

М/2

^(е-^ + в-^+^)Р(а). о

М/2

^(е-^ + в-^+^)Р(а). о

1

2

1

2

ducE^—-

J1-е'

О

ducE^—-

J1-е'

О

(2.88)

(2.88)

Поэтому из (2.68) и (2.69) получим

^ 7Г ТГ^21

(2^7цГ^^)

х j da (е-Ш(Т + е-шК^ш^П^а\ (2.87) о

или

аРР -^inf} = аРР^м’ -

Эта формула даёт выражение, удовлетворяющее неравенству

аоо Е^Р^ > Е^Р^rint rint ’

так что мы можем попытаться построить эффективное приближение, рассматривая адекватные AOO(Q), содержащие некоторые параметры, которые должны определяться из условия минимизации аррТ^Г^^ т?)- Рассмотрим сначала простейший выбор

^°°№ = ""Й?0’E^^^W-^+S^ + ^y (2.89)

как было указано в гл.1, такой выбор эквивалентен модели Фрёлиха, в которой Н^ есть гамильтониан двух тел, соответствующий частице 8, которая эластично связана с другой частицей £ 9. Из (2.89) имеем

1_ up - Q2^о2 - Q2 1/11\

mQ + Aoo(H) т^(ур - Q2) тпП 2ц0+ ц0 Q - Цо / ’

(2.90)

гДе2

d = ^- + Иь ко = тЫ1 - ^о)-

9 См. также разд. 4 гл. 8 в книге Р. Фейнмана [5].

Поэтому

।I cj-|-iO

тП + Аоо(П) L-iO

(1/\22 _2

= -2тгг ^ - ^ М- м) + 8(ш + мо)]

1 т \ро J2тро

Воспользуемся теперь (2.85), заметив, что ввиду (2.80)

£(s, и) = £(s, —ш).

Отсюда2

D^ = — (^ Цз, 0) + —№).

7 т ур0/т Ро

из чего следует, благодаря формулам (2.80), (2.81):

ОД = — ( ^ ) 8 ( 1 - Л- ) +

т \ро )\ ph 1

З/i ^ - ^ / 1 + е"пм - е"5**0 - e-0nw+sw \(

где 0 < s < /371. Это выражение было уже получено в гл. 1 с помощью рассмотрения модели Фейнмана двух тел. Заметим, что для (2.89) выражение appF^^ также было вычислено там:

арр^ = -3^ In ^ + ^ р0 - z^o) - 3^ In ^^Хо-(2.92)

Мы теперь подставим (2.91) и (2.92) в формулу (2.88). Будет полезно ввести безразмерные параметры

11 = !^.,17 = ^-(2.93)

и безразмерные константы

О/2

Pd = /3^, а =.(2.94)

Тогда, полагая в интеграле

Z = шсг,Z = шсг,da = — dz, 0da = — dz, 0

Z = шсг,

Z = шсг,

da = — dz, 0

da = — dz, 0

получимполучимЗРР ГГЗРР ГГ3 л р3— — In — — —3dVPd3 л р3— — In — — —3dVPdX_e-9av ^ТТЩ^ + г^-^-X_e-9av ^ТТЩ^ + г^-^-

получим

получим

ЗРР ГГ

ЗРР ГГ

3 л р3

— — In — — —

3dVPd

3 л р3

— — In — — —

3dVPd

X_e-9av ^

ТТЩ^ + г^-^-

X_e-9av ^

ТТЩ^ + г^-^-

а(l-e-^)V/2а(l-e-^)V/2dz (е 2 + е dd+z^dz (е 2 + е dd+z^хх

а

(l-e-^)V/2

а

(l-e-^)V/2

dz (е 2 + е dd+z^

dz (е 2 + е dd+z^

х

х

tA Л _ Щ p-v2 1 + е"9^ - е"^ - е"9^^ I

М /\ Pd)1 _ e"0dl1 J

-^(^-y^O-e"3^)"1 dz (e"vz + e-04V^ x

0

(2.95)(2.95)I _y e-0d4 __ e~Pd4 + z^

(2.95)

(2.95)

1 - e”3d^

Здесь p, и, могут быть рассматриваемы как положительные параметры, выбираемые так, чтобы минимизировать выражение (2.95), таким образом обеспечивая по возможности наиболее точную аппроксимацию к истинному значению

(2.96)

Следуют подчеркнуть, что с учётом формул (2.90), (2.95)

/г _ ^2 = Ко_ ^ о(2.97)

Поэтому область возможных значений р, и задаётся неравенством

р ^ и > 0.(2.98)

Рассмотрим сначала простейший, но не лучший выбор

р = и.

Тогда приближение, задаваемое формулой (2.95), будет

qв + в ddz/^ gqx

о

Легко понять, что (2.99) представляет точно первый член в разложении величины F^ по степеням а (т. е. ^\ Действительно, благодаря формуле (2.97) равенство р = и соответствует отсутствию члена взаимодействия в гамильтониане Н^ и в этом случае Фо, определяемый формулами (2.23) и (2.24), — тождественный нуль.

Мы также видим из формулы (2.16), что Ф пропорционален а. Поэтому приближение, определяемое формулой (2.26), содержит два члена разложения ^^ 7 по степеням а — член нулевого порядка и член первого порядка.

Член нулевого порядка теперь равен нулю, член первого порядка выражается формулой (2.99). Конечно, такое приближение может быть применимо в случае достаточно малых значений а. Однако в такой ситуации легко сделать следующий шаг и перейти к вычислению

члена, пропорционального а. Это может быть выполнено с помощью регулярного разложения

арр^Р = МТ{еф})г = Л + Л2 +

= -^(Т{Ф})Г,(2.100)

Л2 = -^(Т{Ф2}-Л2)Г,...

Здесь А\ уже известно, а Л2 может быть легко построено с помощью ранее обсуждённого метода.

После этих замечаний обратимся к формуле (2.95) и рассмотрим её с помощью принципа минимакса, позволяющего определить параметры р и и, удовлетворяющие неравенствам (2.98). Для упрощения вычислений мы будем интересоваться здесь только случаем, когда

1 АГиз1 АГиз(2.101)(2.101)

1 А

Гиз

1 А

Гиз

(2.101)

(2.101)

Полагая, Рд = ос в (2.95), мы получим формулу при нулевой температуре

ЯГ|П ГпГ _ 3(/z - О 3v(p - z/2)арр ~4ЯГ|П ГпГ _ 3(/z - О 3v(p - z/2)арр ~4(2.102)(2.102)

ЯГ|П ГпГ _ 3(/z - О 3v(p - z/2)

арр ~4

ЯГ|П ГпГ _ 3(/z - О 3v(p - z/2)

арр ~4

(2.102)

(2.102)

Мы имеемМы имеем22/i1\12211р — и / 11\_ 1 р — V _1р — и _ 122/i1\12211р — и / 11\_ 1 р — V _1р — и _ 1

Мы имеем

Мы имеем

22/i1\12211

р — и / 11\_ 1 р — V _1р — и _ 1

22/i1\12211

р — и / 11\_ 1 р — V _1р — и _ 1

р VM + ^J рvpp + p*1рvp

Итак, первые два члена в правой части формулы (2.102) дают

I~= г; ^2д2 _ 2/ш^2 + = т; _ ^2-

Поэтому (2.102) даёт

г(Р) о

ЗРР 7“ = Т7. ^ - ^ ”

Эта формула была впервые получена Р. Фейнманом.

Исследуем применимость этой формулы для случая малых а и попытаемся найти параметры v, р из принципа минимума так, чтобы 9 учесть члены, пропорциональные а .

Как мы видели (формула (2.99)), член appF^P, пропорциональный а, в рассматриваемом случае /3 = ос будет

472 =е ™

7Г 7.2 77Г 7

оо

и, таким образом, он соответствует выбору v = ц. Поэтому, теперь мы положим

/1 = р(1+^)(2.104)

Г22V0= 2 г ,r dx - — .А0Замечая, что8 Те-^Ц! -е"^) , — A dx др JЖ20получим2X/2Л ?e"z(l -е"Н , ,2у- ^-775 dz + а ... =2 Jг3/20-X- -—У-у^^ dx + X... (2.105)IV JX0= | е-0+м)®2 дж = ZL_ (1 -|- Х)-хе> 0- dx = тг1/,2{( 1 + р,у^ - 1}.Г22V0= 2 г ,r dx - — .А0Замечая, что8 Те-^Ц! -е"^) , — A dx др JЖ20получим2X/2Л ?e"z(l -е"Н , ,2у- ^-775 dz + а ... =2 Jг3/20-X- -—У-у^^ dx + X... (2.105)IV JX0= | е-0+м)®2 дж = ZL_ (1 -|- Х)-хе> 0- dx = тг1/,2{( 1 + р,у^ - 1}.и оценим правую часть формулы (2.103) до членов порядка а2. Имееми оценим правую часть формулы (2.103) до членов порядка а2. Имеем

Г22V

0

= 2 г ,r dx - — .А

0

Замечая, что

8 Те-^Ц! -е"^) , — A dx др JЖ2

0

получим

2

X

/2

Л ?e"z(l -е"Н , ,2

у- ^-775 dz + а ... =

2 Jг3/2

0

-X- -—У-у^^ dx + X... (2.105)

IV JX

0

= | е-0+м)®2 дж = ZL_ (1 -|- Х)-хе> 0

- dx = тг1/,2{( 1 + р,у^ - 1}.

Г22V

0

= 2 г ,r dx - — .А

0

Замечая, что

8 Те-^Ц! -е"^) , — A dx др JЖ2

0

получим

2

X

/2

Л ?e"z(l -е"Н , ,2

у- ^-775 dz + а ... =

2 Jг3/2

0

-X- -—У-у^^ dx + X... (2.105)

IV JX

0

= | е-0+м)®2 дж = ZL_ (1 -|- Х)-хе> 0

- dx = тг1/,2{( 1 + р,у^ - 1}.

и оценим правую часть формулы (2.103) до членов порядка а2. Имеем

и оценим правую часть формулы (2.103) до членов порядка а2. Имеем

Соотношение (2.105) теперь приводит к формуле

Г 2 _ 2) '/2

Поэтому, благодаря формуле (2.104) правая часть этого выражения может быть записана в форме

7г1^2( 1 — a^D) + а2...,

D = |((1+z/)1/2-1).(2.106)

Мы, таким образом, получаем из формул (2.103) и (2.104)

арр ^2" аП++ “3-

Пренебрегая членами порядка а3, имеем следующий приближённый результат^

арр ^ =+ а2 (| ^2 - ^ + ^ .(2.107)

есть величины, которые определяются посредством принципа минимума выражения

арр = min.Тиа

Сначала определим £. Имеем

так что9

(2.108)

Подставляя это значение в формулу (2.107), получим

арр^- = —а - — (1 - D^ = -о - — (1{(1 + О*/2- 1}) ■Тиа317'3v \ V'3

(2.109)

Теперь и должно быть определено так, чтобы обеспечить минимальность выражения (2.109) или, что тоже самое, обеспечить максимум выражения2

+ -0-2{(l+Z7)1/2_lp .

17 \17)

Видим, что требуемое значение будет

z/ = 3.(2.110)

Подставляя его в формулу (2.109), придём к приближению

арр^- = -а-^ = -а-1.23(-^ .(2.111)

ПШо 1у 1 и /

Заметим, что обычное разложение теории возмущений по степеням а, которое было проведено до членов второго порядка, даёт вместо формулы (2.111) следующее разложение

/ а \2

-а- 1-26.(2.112)

Мы, таким образом, видим, что вариационное приближение с простейшим выбором E^vY соответствующее модели Фейнмана двух тел, очень точное для малых значений а.

Обратимся теперь к изучению другого экстремального случая, когда а >> 1. Как хорошо известно, теория сильной связи приводит к главному члену

-0.109а2.(2.113)

Поэтому, чтобы раскрыть соотношение (2.103), мы применим следующую схему: р предполагается величиной порядка а , а и — порядка а0. Из (2.103) имеем

333 ^2

арр -у— = -rM<-7,v+- — Ьш 424 ^

■1/2 V■1/2 Vрр7/2\-1/2

■1/2 V

■1/2 V

р

р

1-е-^ + ^^г dz. (2.114)

о

Замечая, чтоЗамечая, что2“22Р — V2“22Р — V= С(1)=0(ф= С(1)=0(ф

Замечая, что

Замечая, что

2

“22

Р — V

2

“22

Р — V

= С(1)=0(ф

= С(1)=0(ф

можем использовать разложениеможем использовать разложение7 /2v1/2°?I 1 -+ 7 ^ 2 ) d^ =/07 /2v1/2°?I 1 -+ 7 ^ 2 ) d^ =/0_ е Н^ 1/2 ^ __ е Н^ 1/2 ^ _

можем использовать разложение

можем использовать разложение

7 /2v1/2°?

I 1 -+ 7 ^ 2 ) d^ =

/0

7 /2v1/2°?

I 1 -+ 7 ^ 2 ) d^ =

/0

_ е Н^ 1/2 ^ _

_ е Н^ 1/2 ^ _

222(М2 " ^2) J о2(М2 " ^2) J ое"Щ1 -е-^У%Сд2^о ( ^ ) (2.115)е"Щ1 -е-^У%Сд2^о ( ^ ) (2.115)

2

2

2(М2 " ^2) J о

2(М2 " ^2) J о

е"Щ1 -е-^У%Сд2^о ( ^ ) (2.115)

е"Щ1 -е-^У%Сд2^о ( ^ ) (2.115)

и оценить интегралы в правой части (2.115) посредством асимптотической формулы 9:

| е г(1 - е dz = | е z dz + j е г{(1 - е х^ - 1} dz = ооо

М .оМ .ое ^{(1 — е ж) ^2—1}М.х =е ^{(1 — е ж) ^2—1}М.х == 1 + - {(1-ео= 1 + - {(1-еоЦ1/2 -1} йх^О\\Ц1/2 -1} йх^О\\2 In 2 , ^ / 1М уц22 In 2 , ^ / 1М уц2

М .

о

М .

о

е ^{(1 — е ж) ^2—1}М.х =

е ^{(1 — е ж) ^2—1}М.х =

= 1 + - {(1-е

о

= 1 + - {(1-е

о

Ц1/2 -1} йх^О\\

Ц1/2 -1} йх^О\\

2 In 2 , ^ / 1

М уц2

2 In 2 , ^ / 1

М уц2

|е Zz{\ - е 3/2 dz = о

= |е Zzdz + |е Zz{(l - е ^z)- l}dz =

оо

= 1 + ^2 е-^ж{(1 - е-ж)-3/2 -l}dx=l+of-^

ум ,

о

Выражение (2.115) теперь даёт

Г (л -uz I^2МА л 1 , 2 In 2 — i? 12/ 19

е г 1 - е ^z + 22 z\ dz = \ А— + О ,

J ур — v )Му р )

О

9 Первый интеграл можно легко выразить с помощью Г-функции

Г еГ(1/2+1/м) •

о

Вводя переменную е-ж = U, получим

|{(1 -е”ж)-1/2- Y^dx =

011

= [{(1 - С7)“1/2 - 1}— = [ — (ь1”^”^'^ ~ln ^1 dU =

J15 и J du { I-KI-LT)1^ J

Оо

,1-(1-C/)V2 |11

= In ,= — In - = 2 In 2.

C7{1 + (1 - C7)'/2} Io4

33 , 3 7арр -^— = --v + - —Ьш 424 д33 , 3 7арр -^— = --v + - —Ьш 424 ди поэтому из формулы (2.114) следует

33 , 3 7

арр -^— = --v + - —

Ьш 424 д

33 , 3 7

арр -^— = --v + - —

Ьш 424 д

а 1/2 Л 2 1п2-и2/2\/ J_\

тг1/2^ V м 7U2/

33 а 1/2.2 In 2 — z/2/2\„/ 1 \ /о ис\

л^- й V" Tpz д'1 + +^ —. (2.116)

4 z тг 7 ур J \а )

Чтобы минимизировать это выражение, рассмотрим уравнения

где

о о-1/2-1/2

£ =~ср_ (2л17)

Эти уравнения дают

з тг|/2 1/21/2 _ 2а ад-*4 In 2 ад-V

2 аЗтг'/2 Зл1/2 Зтг1/2 '

Откуда следует

1/2 2а Зтг /2 In 2 , Зтг /2 , „ ( 1 \ д = —гт?+ —л—Ь °■Зтг/2«4а \а3/1/2 2а Зтг /2 In 2 , Зтг /2 , „ ( 1 \ д = —гт?+ —л—Ь °■Зтг/2«4а \а3/

1/2 2а Зтг /2 In 2 , Зтг /2 , „ ( 1 \ д = —гт?+ —л—Ь °■

Зтг/2«4а \а3/

1/2 2а Зтг /2 In 2 , Зтг /2 , „ ( 1 \ д = —гт?+ —л—Ь °■

Зтг/2«4а \а3/

Поэтому, пренебрегая членами порядка 1/а2, мы получим

/i = ^-41n2+l,z/=l,(2.118)

и асимптотическое выражение для фейнмановского приближения будет 2о

£ = -^-31п2- у = —0.106а2 -2.83 если а»1. (2.119) Зтг4

Определение параметров и, р и соответствующей энергии исходя из минимизации выражения (2.103) для промежуточных значений а требует численных расчётов. Такие численные расчёты были проведены (см. Р. Фейнман [5], стр. 273). Результаты аппроксимаций в рамках модели Фейнмана представляются вполне удовлетворительными при изучении статистического равновесия.

Но, как было указано Дж. Т. Дефризом и другими авторами, такая модель приводит к трудностям при исследовании кинетических процессов. Действительно, в рассматриваемой модели имеется два параметра: и и р. Как следует из предыдущего рассмотрения, частота ivq = иш соответствует фононному полю, а частота ро = рш соответствует ис-

тинной поляронной частоте, которая обусловлена связью между электроном и фононным полем.

Мы, таким образом, видим, что полагая и 7^ 1, мы искажаем действительную частоту фононного поля, которая равна ио, а не vuo, и ясно, что это искажение существенно, когда рассматривается столкновение между фононами и поляронами. Поэтому гамильтониан Н^ не может быть использован для изучения кинетических процессов, когда и 7^ 1. Одна из возможностей состоит в том, чтобы удовлетвориться более грубым приближением, полагая и = 1 и минимизируя (2.103) только по отношению к параметру р. Для малых значений а тогда найдём вместо формулы (2.111)

только слегка отличающийся результат

/ а \2

—а — 0.98.

Мы полагаем, что рассмотрение одночастотной модели может быть существенно улучшено подходящим введением затухания.

2.2. Определение равновесной функции распределения по импульсам в теории полярона Рассмотрим функцию равновесного распределения по импульсам частицы S (электрона):

= iw^y^Mp-po)

VТг5Ее"'зй(р)

удовлетворяющую обычному условию нормировки jw(po)dpo = 1.

Используя представление Фурье для трёхмерной 5-функции Дирака 5(р — ро), получим

Щр(0)) = —Ц [ Щ( A)c-/Ap° d\,(2.121)

(2тг) J

Тг‘

Следует отметить, что мы опустили здесь знак lim lim т/^О V-^оо

поскольку в дальнейшем всегда будет ясно, на каком шаге наших преобразований производится этот предельный переход. Обозначим

Тг Р”0Н(Р) РгХ'Р

(2.122)(2.122)(2.123)(2.123)EL! = ИГА)

(2.122)

(2.122)

(2.123)

(2.123)

ТогдаТогдаTr.e-^Tr^e-™ k h

Тогда

Тогда

WM = ^^

V ’W(0)

Применим теперь к выражению (2.122) процедуру, аналогичную той, котора была использована в предыдущем параграфе для преобразования (2.5) в (2.17). Тогда получим

ЩА) = Ц{еф}еа-р)г.

Заметим, что под знаком Т-произведения операторы упорядочены так, что параметр упорядочения, скажем s, возрастает справа налево: в правом конце s = 0 и в левом конце s = /37l Отметим также тождество

Р = р(0).

Отсюда

Т{еф}е®Ар = Т{еф}е’А’р(°) = Т{ефе’А-р(0)}.

Таким образом,

ЩА) =

Поэтому формула (2.123) даёт

= { {^еФ})/ ■(2.124)

Чтобы получить аппроксимацию для выражения (2.124), поступим так же, как и в разделе 2.1, в случае F^\

Другими словами, будем формально рассматривать разность Ф — Фо, появляющуюся в разложении

Т{еф...} = Т{еф°...} + Т{еф°(Ф - Фо)...} +

как величину «первого порядка малости». Тогда, пренебрегая в выражении (2.124) членами высшего порядка малости, получим аппроксимацию

? m = (TjpV^Ok ШеУ(Ф—ФоК^УОг арР(Т{еф°})г(Т{еф°})г

(7(6*06^ р<°>})г (г{еФ0(ф _ ф(2125)

(Т{еФ"})г2

Используя вспомогательный гамильтониан HW, легко видим, что

eiAPeiAP(Т{еф°е<Л'р(0)})г(Т{еФ"})г

eiAP

eiAP

Поскольку Н^ — положительная квадратичная форма по бозе-операторам, мы можем записать

a2<p2)h(l)6a2<p2)h(l)6(а,0= 1,2,3),(а,0= 1,2,3),_— 5 52 (Р«Рр)я(ь) Аа А^

a2<p2)h(l)

6

a2<p2)h(l)

6

(а,0= 1,2,3),

(а,0= 1,2,3),

(егЛ’р)я(ь) = е °13=е

и отсюдаи отсюда(Т{еф°е®А'р(0)})г(Т{еФ"})г(Т{еф°е®А'р(0)})г(Т{еФ"})г= ехр= ехр(р )h(l)6(р )h(l)6(2.126)(2.126)

и отсюда

и отсюда

(Т{еф°е®А'р(0)})г(Т{еФ"})г

(Т{еф°е®А'р(0)})г(Т{еФ"})г

= ехр

= ехр

(р )h(l)6

(р )h(l)6

(2.126)

(2.126)

Заметим, что из формулы (1.48) следует

гГт2ш12тг 1 _+ Aoq(Q) L-iOгГт2ш12тг 1 _+ Aoq(Q) L-iO(2.127)(2.127)В частном ях (2.89)В частном ях (2.89)случае одночастотной S-системы, когда в обозначени-случае одночастотной S-системы, когда в обозначени-Л^) = -Л^) = -KqQ 2 \l — VqKqQ 2 \l — Vqмы имееммы имеем1 / 2\3 \Р /№ —1 / 2\3 \Р /№ —трр 1<Л /1т + (Ко/ро)2 2№ V - е"^0трр 1<Л /1т + (Ко/ро)2 2№ V - е"^01-1 + е-/Э^°1-1 + е-/Э^°(2.128)(2.128)

гГт2ш1

2тг 1 _+ Aoq(Q) L-iO

гГт2ш1

2тг 1 _+ Aoq(Q) L-iO

(2.127)

(2.127)

В частном ях (2.89)

В частном ях (2.89)

случае одночастотной S-системы, когда в обозначени-

случае одночастотной S-системы, когда в обозначени-

Л^) = -

Л^) = -

KqQ 2 \l — Vq

KqQ 2 \l — Vq

мы имеем

мы имеем

1 / 2\

3 \Р /№ —

1 / 2\

3 \Р /№ —

трр 1<Л /1

т + (Ко/ро)2 2№ V - е"^0

трр 1<Л /1

т + (Ко/ро)2 2№ V - е"^0

1

-1 + е-/Э^°

1

-1 + е-/Э^°

(2.128)

(2.128)

Займёмся теперь вычислением выражения

(ТЧеФо^Фо^уру}^(Т(ефо})г '

Принимая во внимание определения для Ф и Фо (см. формулы (2.16),

(2.23), (2.24)) и формулу (2.52), получим в полной аналогии с (2.33)

(т(еф°})г4tlVm ш

оо1гР пр

(2.129)(2.129)+ Д f dw' [ ds [ daEv^—(e-^l«-^l + e-^^W|s-<7|)x 4/г2 Jоо1

(2.129)

(2.129)

(Т{еФ»})г

Заметим, что

(Т{еф°[К(в) - R(cr)]2eiA p(0)})r _ (Т{еФ»})г“

(2.130)(2.130)Г 3 d2 p7{e$°+zf3RC53-RM]+^-p(0)^r )"<(Т{еФ»})гJ f=0

(2.130)

(2.130)

(2.42),(2.42),ИИОбобщая процедуру, которая приводит к формулам (2.40) можем получить №гФоЩ^)-НИ1ЦА-р(О)и

(2.42),

(2.42),

И

И

ДД-у-1Д = (T{e^-[r(-ts)-r(-ta)]+tA.p(0)}^(L) =

= exp ^(Т{е’Ж-гз)-г(-га)]+гА.р(°)}2^^.(2.131)

Далее имеем

СИД ■ [Щ^) - ЩЩ] + гХ ■ р(0)}2})Я(ы =

= <Т{{1.[г(-М)-г(-Н}2})н<Ц +

+ 2(T{{f ■ МД - г(-Щ]}А ■ р(0)})я(Ц + у (р2)Н(ь). (2.132)

здесь 0 < s < /37ц 0 < ст < /37и Как было показано в разделе 2.1,

(T{{f. [r(-is) - r(-ia)]}2})H(D = ^D(s- ст). (2.133)

Здесь в правой части взято предельное выражение. Отметим важное свойство Р:

P(s) = P(-s),D(7i^ -s) = P(s).(2.134)

Напомним сейчас выражение (1.52) главы 1 для усреднения по Н^\

^а^УзИк(ь) = 5ав—-55 dec

ap27v JmQ2 _+ QA(Q)

и заметим, что функция

F^ = "F^ = "11тГ? — у2 + QA(Q)тГ? — у2 + QA(Q)

F^ = "

F^ = "

1

1

тГ? — у2 + QA(Q)

тГ? — у2 + QA(Q)

инвариантна по отношению к замене Q —Q:

^(Q) = F(-Q).

Поэтому

+ zO) - F^—ш - г^ = -\F> + zO) - F(u - zO)],

и мы можем записать

Г / p-^(t-T)iw(t-T) \ ~iw + ZO

MtWT^HW =—5a9z^--—hw M

J —ee / Icj-zO

0

или равенство

КДЪОДжь) =

” 5qI3 2^mQ2 - j?2 + QA(Q) L-iO АШ’

0

из которого следует

кРаЧУзО"Чн№ =т^ТаЧУрО^Н№ =

_ А hm 7е-муу2-£^й+^ шIш+«° ,

” “Р 2тг JmQ2 - ??2 + QA(fi) L-iO

О

С^ШУЧниа =

” “Р 2тг J_ ^2 + QA(Q) L-W

о

Совершая здесь наш обычный предельный переход, получим

УаЧ)г0ОЧн№ =

= 5а0^ л(2.135)

2тг J 1 —еmQ + Aoo(Q) L-jo

О

^С^)РЛТУ)Н№ =

2тг1 _тП + ДосЮ) L-гО Ш'

о

Рассмотрим функции

F(s) = -F(s) = -Пгт2тгПгт2тг' e-^s _ ^-phwP-ws।iw+iOГДТ^ mQ + Д^Ю) L-й ^ 0' e-^s _ ^-phwP-ws।iw+iOГДТ^ mQ + Д^Ю) L-й ^ 0(2.136)(2.136)

F(s) = -

F(s) = -

Пгт2тг

Пгт2тг

' e-^s _ ^-phwP-ws।iw+iO

ГДТ^ mQ + Д^Ю) L-й ^ 0

' e-^s _ ^-phwP-ws।iw+iO

ГДТ^ mQ + Д^Ю) L-й ^ 0

(2.136)

(2.136)

для 0 < s < 3Ti и

x ПгтFM = ЭГx ПгтFM = ЭГООe — ee — e— 3Kw — ws— 3Kw — ws11Y_e-@^H mQ + Д^П)Y_e-@^H mQ + Д^П)I c<j-|-iOduI ш — iOI c<j-|-iOduI ш — iO

x Пгт

FM = ЭГ

x Пгт

FM = ЭГ

О

О

e — e

e — e

— 3Kw — ws

— 3Kw — ws

1

1

Y_e-@^H mQ + Д^П)

Y_e-@^H mQ + Д^П)

I c<j-|-iO

du

I ш — iO

I c<j-|-iO

du

I ш — iO

для —ph < s < О с очевидными свойствами

F(-s) = -F(s), -ph <s<ph,

(2.137)(2.137)F(s + ph) = F(s), -ph<s<0,

(2.137)

(2.137)

F(s-ph) = F(s), 0<s<ph.

Положим теперь в первом соотношении (2.135) t = —iu, т = —is, а в следующем соотношении t = —is, т = —iu. Получим

(.рЛ-г^Уз^-г^н^ = i8a9F(u - s) = -i5a9F(s - и),(2.138)

ргЛ-г^Ррк-ги))HW = -5apF(s - и).

Поэтому, в частности,

([ra(-ts) - га(-г<т)]р/з(О))я(ь) = -i5aP\F(s) - F(ct)],(2.139)

откуда следует

({f • [г(—гз) - г(-гсг)]}А • p(0))h(d = -it ■ A[F(s) - F(cr)].

Благодаря формулам (2.132), (2.133) и (2.139), имеем

^{^o+^-W^-RMI+^-pCO) }^г

\2\y(p%(L>).(2.140)\2\y(p%(L>).(2.140)(Т{ефо})г=

\2\

y(p%(L>).(2.140)

\2\

y(p%(L>).(2.140)

= exp ( -L p(|s - a|) + я ■ A[F(s) - F(<t)]

4 Боголюбов H.H., Боголюбов H.H. (мл.)

Отсюда и из (2.130) имеем

(Т{еф°[К(8) - R(cr)]2eiA'p*07)r №*°})г

= {p(|s - <т|) + A2[F(s) - F(a)]2} c-T^hW . (2.141)

Поэтому для (2.129) имеем

пр пр

| е-РшП-\-ш\б-(7\\ х| е-РшП-\-ш\б-(7\\ х= dfL2(f)ds da(e~

| е-РшП-\-ш\б-(7\\ х

| е-РшП-\-ш\б-(7\\ х

о о

7^-73 6ХР ( A ^l5 - ^l) + ^f * XW(S) - F(^ - ^(P2)hW

оопрпр

e-y'\s-a\ । е-0ш'1г+ш'\8-с7\e-y'\s-a\ । е-0ш'1г+ш'\8-с7\Нdw' ds da EGaO—Г t

e-y'\s-a\ । е-0ш'1г+ш'\8-с7\

e-y'\s-a\ । е-0ш'1г+ш'\8-с7\

4/i2 JJJ1 -e"^

000

x |p(|s - <t|) + A2[F(s) - F(a)]2]. e-T<P2>y(L). (2.142)

Но, ввиду (2.125), (2.126) и (2.129),

тТарр(А) = e-T<P%(L) + /(А) - /(О)е-1Г<Р2>И(Ь).(2.143)

Таким образом, получаем

1 4(2тг)31 4(2тг)3dtdtьЧПЫХ - е-^)ьЧПЫХ - е-^)XX

1 4(2тг)3

1 4(2тг)3

dt

dt

ьЧП

ЫХ - е-^)

ьЧП

ЫХ - е-^)

X

X

пр пр

х ds da^e-^8"^ + g-^+^ls-^l^-^ р(|«-<7|)

о о

х [exp {if • A[F(s) - F(cr)]} - 1] +

ооПРПР

+ dw' ds da E(w'}—^^ , x

4/i2 JJJ1 - e"^

000

x^'ls-^l +e-^'ftW|s-<7|)[F(s)_F(cr^2 je-Ar<p2>//(L). (2.U4)

Возвратимся к рассмотрению (2.144) для случая стандартной модели Фрёлиха (2.3):

ьЧП = у

Заметим, что здесь можно выполнить интегрирование типа

Будет удобно выбрать А как ^-ось в f-пространстве. Тогда

pfF(/2,f-А) = 2тг| df ddfF(f.Xfcos'd) sin^ =

О о

= 2ttJdf j dtF^JXt)f = 2. j df\ dtfF^fjXt).

0-1-oo 0

Поэтому (2.144) даёт

W^ppW —W^ppW —ph ph1 + d§\ ds2о 0ph ph1 + d§\ ds2о 0djdje-^|S1-s2|e-/3^+^|S1-s2|

W^ppW —

W^ppW —

ph ph

1 + d§\ ds2

о 0

ph ph

1 + d§\ ds2

о 0

dj

dj

22ph phph phS2) [expr/At[^(si) - F(s2)]} - 1] +S2) [expr/At[^(si) - F(s2)]} - 1] ++ —у ds\ d§2 du'E^u^Ttu1+ —у ds\ d§2 du'E^u^Ttu100о оо оe-w/|si-s2| ^ e-3hw,W\si-s2\1 -e”^x[Mi) - F(s2)]2 )e-^e-w/|si-s2| ^ e-3hw,W\si-s2\1 -e”^x[Mi) - F(s2)]2 )e-^С другой стороны,С другой стороны,/ f2 d/exp I -y/ f2 d/exp I -yWi-s2) + iJXtVF(sv)-F(s2))Wi-s2) + iJXtVF(sv)-F(s2))\ 1 /23.2.2 [FfsiWWT2ZEe"2®(s,-s2) y(si - 82) )\ 1 /23.2.2 [FfsiWWT2ZEe"2®(s,-s2) y(si - 82) )и мы имееми мы имеемЛ'арр(А) —Л'арр(А) —1 phph1 H— dt dst ds24(2тг)2ш/г J JJ0001 phph1 H— dt dst ds24(2тг)2ш/г J JJ000/КA1/2/OTf\^©(s, - s2))/КA1/2/OTf\^©(s, - s2))e-^|si-s2|e-/3^+(^|si-s2|e-^|si-s2|e-/3^+(^|si-s2|_ 3 ,2 x2 [f’(s1)-F(s2)]2\e 21 Л P(31-S2)- 1+_ 3 ,2 x2 [f’(s1)-F(s2)]2\e 21 Л P(31-S2)- 1+dt Ml - e-13^)

2

2

ph ph

ph ph

S2) [expr/At[^(si) - F(s2)]} - 1] +

S2) [expr/At[^(si) - F(s2)]} - 1] +

+ —у ds\ d§2 du'E^u^Ttu1

+ —у ds\ d§2 du'E^u^Ttu1

0

0

о о

о о

e-w/|si-s2| ^ e-3hw,W\si-s2\1 -e”^

x[Mi) - F(s2)]2 )e-^

e-w/|si-s2| ^ e-3hw,W\si-s2\1 -e”^

x[Mi) - F(s2)]2 )e-^

С другой стороны,

С другой стороны,

/ f2 d/exp I -y

/ f2 d/exp I -y

Wi-s2) + iJXtVF(sv)-F(s2))

Wi-s2) + iJXtVF(sv)-F(s2))

\ 1 /23.2.2 [FfsiWWT

2ZEe"2®(s,-s2) y(si - 82) )

\ 1 /23.2.2 [FfsiWWT

2ZEe"2®(s,-s2) y(si - 82) )

и мы имеем

и мы имеем

Л'арр(А) —

Л'арр(А) —

1 phph

1 H— dt dst ds24(2тг)2ш/г J JJ

000

1 phph

1 H— dt dst ds24(2тг)2ш/г J JJ

000

/КA1/2

/OTf\

^©(s, - s2))

/КA1/2

/OTf\

^©(s, - s2))

e-^|si-s2|e-/3^+(^|si-s2|

e-^|si-s2|e-/3^+(^|si-s2|

_ 3 ,2 x2 [f’(s1)-F(s2)]2\

e 21 Л P(31-S2)- 1+

_ 3 ,2 x2 [f’(s1)-F(s2)]2\

e 21 Л P(31-S2)- 1+

x[F(si)-F(s2)]2 Л^Хго. (2.145)

Рассмотрим теперь случай обсуждавшейся в разделе 2.1 одночастотной системы ^L\ когда справедливо описание (2.89) и

-г^ + ^ш' + Ц))], Kq = т(ро - ^).(2.146)

Тогда (2.145) даёт

Wapp(A)= 1 +Wapp(A)= 1 +g24(2тг)2сс7гg24(2тг)2сс7г/ бтг \ yP(si - s2) у/ бтг \ yP(si - s2) у1/2X1/2X

Wapp(A)= 1 +

Wapp(A)= 1 +

g24(2тг)2сс7г

g24(2тг)2сс7г

/ бтг \ yP(si - s2) у

/ бтг \ yP(si - s2) у

1/2

X

1/2

X

-w|si-s2| I -Mw+w|si-s2| /3 .2x2 (^(si)-^(s2))2\

A , e Л Wx-^ - 1+

1-e"^)

pn pn

, \W-vXе-"о1^-21 +e-/3^o + -o|Sl-S2l

4^r———as\ ds2^

00

x [F(si) -F(s2)]2 e-V^Hw. (2.147)

Напомним, что (см. (1.34) и (2.91))

P(s) = — тP(s) = — т^ 1 - м^^ 1 - м^22Мо - ^о3Мо22Мо - ^о3Мо1 + е~пРчо _ e-|s|^o _ e-/3^^o+^o|s|1 + е~пРчо _ e-|s|^o _ e-/3^^o+^o|s|1 _ e~Ph4Q1 _ e~Ph4Q—РЪ, < s < ph, 1 /__2\ _ ^0 | Мо - ^0 3m'Р 'HW 0ро 2/z0—РЪ, < s < ph, 1 /__2\ _ ^0 | Мо - ^0 3m'Р 'HW 0ро 2/z01 + е-№№1 _ е~Р^Ч0 ’1 + е-№№1 _ е~Р^Ч0 ’и что в рассмотренном случае из (2.136) следует:и что в рассмотренном случае из (2.136) следует:F(s) = ПF(s) = П2/2р01 - e"*3^02/2р01 - e"*3^0(2.148)(2.148)(2.149)(2.149)(2.150)(2.150)

P(s) = — т

P(s) = — т

^ 1 - м^

^ 1 - м^

22

Мо - ^о

3

Мо

22

Мо - ^о

3

Мо

1 + е~пРчо _ e-|s|^o _ e-/3^^o+^o|s|

1 + е~пРчо _ e-|s|^o _ e-/3^^o+^o|s|

1 _ e~Ph4Q

1 _ e~Ph4Q

—РЪ, < s < ph, 1 /__2\ _ ^0 | Мо - ^0 3m'Р 'HW 0ро 2/z0

—РЪ, < s < ph, 1 /__2\ _ ^0 | Мо - ^0 3m'Р 'HW 0ро 2/z0

1 + е-№№

1 _ е~Р^Ч0 ’

1 + е-№№

1 _ е~Р^Ч0 ’

и что в рассмотренном случае из (2.136) следует:

и что в рассмотренном случае из (2.136) следует:

F(s) = П

F(s) = П

2/2р01 - e"*3^0

2/2р01 - e"*3^0

(2.148)

(2.148)

(2.149)

(2.149)

(2.150)

(2.150)

О < s < 0Ti.

Введём здесь безразмерные параметры и переменные:

^ = и, ^ = v, ЗТш = 3<ь а =-^—(23_\V\(2.151)

(71 = UOSy, Ор = ^^2

Fd^ = 7 hr \ Р / \ PdFd^ = 7 hr \ Р / \ Pd-За < а < 3d,(2.152)

Fd^ = 7 hr \ Р / \ Pd

Fd^ = 7 hr \ Р / \ Pd

(P2)h<l) = ЗтшК(P2)h<l) = ЗтшК0 <а < За,1 Y v У р — z/2 1 +

(P2)h<l) = ЗтшК

(P2)h<l) = ЗтшК

3d \р) ^Р 1 -'

В этих обозначениях (2.147) примет вид

^4рр(^) —^4рр(^) —1 3d 3d1/2

^4рр(^) —

^4рр(^) —

dt d(j\ do^ I —г ) х

ТV JJJ \ ^(<71 - <т2) )

00о

kl-^l _|_ p-/3d + kl-CT2l / t2A2 „ ]fi [^(о-р-^Саг)]2

I g“ 2 тшп- -D^ai-a^ _ J

х№(а|)-^(<72)]21е-т(Р!>и(Ц. (2.153)

Рассмотрим простейший выбор параметров v, р;

и = р = 1,и = р = 1,(2.154)

и = р = 1,

и = р = 1,

который соответствует случаю, когда мы полагаем

и поэтомуи поэтомуяУ^о, н^ЧР = н^уяУ^о, н^ЧР = н^у(2.155)(2.155)r(-zs) = R(s), Фо = 0.r(-zs) = R(s), Фо = 0.(2.156)(2.156)

и поэтому

и поэтому

яУ^о, н^ЧР = н^у

яУ^о, н^ЧР = н^у

(2.155)

(2.155)

r(-zs) = R(s), Фо = 0.

r(-zs) = R(s), Фо = 0.

(2.156)

(2.156)

В такой ситуации функционал Ф, который фигурирует в формуле (2.124), пропорционален g2, т. е. а. Мы можем поэтому использовать формальное разложение правой части (2.124) по степеням а. Легко видеть, что если пренебрежём членами второго (и выше) порядка по степеням а, то получим нашу формулу (2.153). Таким образом, члены в формуле (2.153) точно равны членам нулевого и первого порядка по а этого разложения. В рассматриваемом случае (2.154) формула (2.152) даёт:

^(у) = И (1 - Ш ), -3d <<j < За,у Pd )

FdCP - Fdp2) = 4 (<П - <72),0 < од < 3d, о < (72 </3<j, (2.157)

Pd

, 2\ЗтшГ Q Q

Т )hw =

из которой следует

'1\1/2е-1^-^1 +6-^+1^-^! / _^тш^("1)-^(^)12

) I gсг2)

Т?д(о1 - о2Нi-e”^I

гдегде= Ф(|(7] - (72|),

где

где

Ф(г) = zfi-zA уPd j

—1/2г

1 — e-/3d1

0 < z < 3d-

0 < (71 < 3d, 0 < (72 < 3d,

Поскольку Ф(|(7] — (72|) симметричная функция оу, ст2, имеем

/3d/3d

| d(71 | (3(72Ф(|(7] ~ (72|) =

00

/3d ai/3d Pd-z

= 2 | day | da2 Ф(к1 - <^"21) = 2 j dz j Ф(^) da^ = oooo

/3d/3d/2pd

= 2 | (Pd - ^)Ф(^) dz = 2 | Ф(^) dz + 2 | (Pd - ^)Ф(^) dz =

о0/3d/2

/3d/2/3d/2

= 2 | (Pd - ^)Ф(^) dz + 2 | zФ(Pd - z) dz.

о0

Поэтому (2.153) даётПоэтому (2.153) даётт(Л) = е-— + ^е 7Г 'т(Л) = е-— + ^е 7Г '23d23ddtdtООЛ/2ZX 1 /2dzpd fLzz/зЛJ\ z /оЛ/2ZX 1 /2dzpd fLzz/зЛJ\ z /о1 - e-,3d1 - e-,3dе Vd i-^/0d _ jе Vd i-^/0d _ jооPd/2 dtоPd/2 dtо/ гP-Z p-3a+^ / Px2 tl-z/0d

Поэтому (2.153) даёт

Поэтому (2.153) даёт

т(Л) = е-— + ^е 7Г '

т(Л) = е-— + ^е 7Г '

23d

23d

dt

dt

О

О

Л/2ZX 1 /2

dzpd fLzz/зЛ

J\ z /

о

Л/2ZX 1 /2

dzpd fLzz/зЛ

J\ z /

о

1 - e-,3d

1 - e-,3d

е Vd i-^/0d _ j

е Vd i-^/0d _ j

о

о

Pd/2 dt

о

Pd/2 dt

о

dz ^ттг+3 e" —_ 1

- z(Pa)1 - e \

(2.158)

A IlbUJIb^W^X^e 23dA IlbUJIb^W^X^e 23d23d23d13d/2dtо о13d/2dtо оdz ( -dz ( -i V/2ъ- ) e z0dX Pd /i V/2ъ- ) e z0dX Pd /e 2/32 тшК\-гМ)а _ je 2/32 тшК\-гМ)а _ jаЛ?2аЛ?223d23dооXW2 dtоXW2 dtо_\ V2 / px2\-—e"z e" 2 тшТ10"3a> - \\ dz. (2.159)1 - zlPd I \1_\ V2 / px2\-—e"z e" 2 тшТ10"3a> - \\ dz. (2.159)1 - zlPd I \1Замечая, чтоЗамечая, чтоГ1н-Ф.А(,А=рУ/-у л>0>Г1н-Ф.А(,А=рУ/-у л>0>(2.160)(2.160)легко получить ближении:легко получить ближении:Для простотыДля простотыфункцию распределения по импульсам в первом при- Ю(р) = ^з|Ю(А)е"^Р^.ограничимся случаем нулевой температуры, когдафункцию распределения по импульсам в первом при- Ю(р) = ^з|Ю(А)е"^Р^.ограничимся случаем нулевой температуры, когда3d 0. Тогда формула (2.159) даёт:3d 0. Тогда формула (2.159) даёт:Wi^ = 1 + ^7Г ' JОWi^ = 1 + ^7Г ' JОх /о / tA mwrtdt dzC'^e-2 Ie- 2z — 1х /о / tA mwrtdt dzC'^e-2 Ie- 2z — 1ооol а2 +?Т2ol а2 +?Т2dt dzz^vо оdt dzz^vо о, __ t2X2mwKе ге 2z, __ t2X2mwKе ге 2z(2.161)(2.161)Когда 3d Л> 1, так что членами е-^/2 e-^d можно пренебречь, формула (2.158) принимает вид

A IlbUJIb^

W^X^e 23d

A IlbUJIb^

W^X^e 23d

23d

23d

13d/2

dt

о о

13d/2

dt

о о

dz ( -

dz ( -

i V/2

ъ- ) e z0dX Pd /

i V/2

ъ- ) e z0dX Pd /

e 2/32 тшК\-гМ)а _ j

e 2/32 тшК\-гМ)а _ j

а

Л?2

а

Л?2

23d

23d

о

о

XW2 dt

о

XW2 dt

о

_\ V2 / px2\

-—e"z e" 2 тшТ10"3a> - \\ dz. (2.159)

1 - zlPd I \1

_\ V2 / px2\

-—e"z e" 2 тшТ10"3a> - \\ dz. (2.159)

1 - zlPd I \1

Замечая, что

Замечая, что

Г1н-Ф.А(,А=рУ/-у л>0>

Г1н-Ф.А(,А=рУ/-у л>0>

(2.160)

(2.160)

легко получить ближении:

легко получить ближении:

Для простоты

Для простоты

функцию распределения по импульсам в первом при- Ю(р) = ^з|Ю(А)е"^Р^.

ограничимся случаем нулевой температуры, когда

функцию распределения по импульсам в первом при- Ю(р) = ^з|Ю(А)е"^Р^.

ограничимся случаем нулевой температуры, когда

3d 0. Тогда формула (2.159) даёт:

3d 0. Тогда формула (2.159) даёт:

Wi^ = 1 + ^

7Г ' J

О

Wi^ = 1 + ^

7Г ' J

О

х /о / tA mwrt

dt dzC'^e-2 Ie- 2z — 1

х /о / tA mwrt

dt dzC'^e-2 Ie- 2z — 1

о

о

ol а

2 +?Т2

ol а

2 +?Т2

dt dzz^v

о о

dt dzz^v

о о

, __ t2X2mwK

е ге 2z

, __ t2X2mwK

е ге 2z

(2.161)

(2.161)

и поэтомуи поэтомуШр) = (1-^) 5(р) +Шр) = (1-^) 5(р) +2t2mwTt2t2mwTt2кгt2 тшК2кгt2 тшК12а dt1тг (2тшГ) * t ^ р2 / (2t2 тшК)^12а dt1тг (2тшГ) * t ^ р2 / (2t2 тшК)^ак2 ^2тшКу^2ак2 ^2тшКу^2(2.162)(2.162)

и поэтому

и поэтому

Шр) = (1-^) 5(р) +

Шр) = (1-^) 5(р) +

2t2mwTt

2t2mwTt

2кг

t2 тшК

2кг

t2 тшК

1

2а dt1

тг (2тшГ) * t ^ р2 / (2t2 тшК)^

1

2а dt1

тг (2тшГ) * t ^ р2 / (2t2 тшК)^

а

к2 ^2тшКу^2

а

к2 ^2тшКу^2

(2.162)

(2.162)

Ю(р)=(1-^5(р) +Ю(р)=(1-^5(р) +Таким образом, находим

Ю(р)=(1-^5(р) +

Ю(р)=(1-^5(р) +

_1 (2.163)

(2тг) (2тшК) 1 ^ ^ р2 Д2тшГ)^

Можно заметить теперь, что один только рассматривавшийся выше аппроксимирующий гамильтониан Н^ не даёт корректной аппроксимации для функции распределения W(p) при любом возможном выборе спектральной функции Е(ш\ Действительно, мы всегда имеем

(егЛ'р }H(L) = е-"С^р^н(ь).

Поэтому соответствующая функция распределения по импульсам всегда «почти максвелловская»:

WL(p) =WL(p) =1(2^1(2^е 6 h(l) iA р ^де 6 h(l) iA р ^д1(2^1(2^Выбор Е(ш) может влиять только на значениеВыбор Е(ш) может влиять только на значение3/2 Зр2 g 2^р2^ н(ь) .(2.164)(р2)^- (см. (2.127)).3/2 Зр2 g 2^р2^ н(ь) .(2.164)(р2)^- (см. (2.127)).бтг(Р )я(^)бтг(Р )я(^)Например, если Е(ш) выбирается в виде (2.146), то из (2.148) вытекаетНапример, если Е(ш) выбирается в виде (2.146), то из (2.148) вытекает(рУнГО = з р - ЛтшК 2 р(рУнГО = з р - ЛтшК 2 р(2.165)(2.165)

WL(p) =

WL(p) =

1(2^

1(2^

е 6 h(l) iA р ^д

е 6 h(l) iA р ^д

1(2^

1(2^

Выбор Е(ш) может влиять только на значение

Выбор Е(ш) может влиять только на значение

3/2 Зр2 g 2^р2^ н(ь) .

(2.164)

(р2)^- (см. (2.127)).

3/2 Зр2 g 2^р2^ н(ь) .

(2.164)

(р2)^- (см. (2.127)).

бтг

(Р )я(^)

бтг

(Р )я(^)

Например, если Е(ш) выбирается в виде (2.146), то из (2.148) вытекает

Например, если Е(ш) выбирается в виде (2.146), то из (2.148) вытекает

(рУнГО = з р - ЛтшК 2 р

(рУнГО = з р - ЛтшК 2 р

(2.165)

(2.165)

Рассматривая первое приближение (3.153), видим, что Wl(p) не учитывает даже членов первого порядка по а. Возвратимся к нашей

формуле (2.153). Как будет показано ниже в «Замечании», мы имеем

№(Г) + J(appFint) = | Wint(p)T(p) dp5С

т. е.р

(Ф(р))г^ + 5(appFint) = I T4nt(p)»(p) dp5C(2.166)

^(рЖ-2т 2т v 7массы:^(рЖ-2т 2т v 7массы:где вариация соответствует 22

^(рЖ-

2т 2т v 7

массы:

^(рЖ-

2т 2т v 7

массы:

Рассмотрим вариацию

2(т + 6т) 2т 2т2(т + 6т) 2т 2т2т

2(т + 6т) 2т 2т

2(т + 6т) 2т 2т

Поэтому

_ / ^ \ + 5(appFmt) _ _ f jy / \ р 1(2 167)

В частности, для случая нулевой температуры (^ = 0) имеем

|P2Wapp(p) dp =

Но, как было показано в разделе 2.1, при ^ = 0

appFmt

есть функция только от а и, с другой стороны, а пропорционально т1/2 Отсюда

о _ а о

тдт 2 да

и

~[/Л1'аррдля d = 0.(2.168)

тип Jда \ пш д

Имеем также

~Ц; [рТ1^для d = 0.(2.169)

тип Jда \ шп д

Поскольку (appFint) есть хорошая аппроксимация к выражению Fint, мы можем заключить, что и

] р2Жрр(р) dp

даёт достаточно корректную аппроксимацию к выражению

|р21У(р) dp.

Но, что касается качества аппроксимации функции W(p) функцией Wapp(p), то в некоторых случаях ситуация становится менее удовлетворительной. Например, можно показать, что для малых значений а и ^ = 0 функция Wapp(p) даже становится отрицательной для некоторой области значений p2/(ma)Ti) (порядка а).

Замечание. Мы хотим здесь заметить, что формула (2.143) для W(A) может быть получена другим способом, исходя непосредственно из выражения для свободной энергии. Рассмотрим гамильтониан

н^ + 5Г = Н^ + Ф(р) 5С(2.170)

где dx — инфинитезимальный параметр. Соответствующая свободная энергия будет

и, таким образом,

5F = ЦН^ + 5Г) - F(H^) = "^С= (5Г)я(р) =

= (Ф(р))ж^)^ = jWP - Ро))ж₽)Ф(Ро) Фо 6С

Из формулы (2.120) теперь следует

№ = |1У(ро)Ф(ро)Фо^-№ = |1У(ро)Ф(ро)Фо^-(2.171)(2.171)

№ = |1У(ро)Ф(ро)Фо^-

№ = |1У(ро)Ф(ро)Фо^-

(2.171)

(2.171)

Скажем теперь здесь несколько слов о свободной энергии, соответствующей гамильтониану Н', который получен из Н^ заменой р2/(2т) — кинетической энергии S — частицы более общей функцией импульса Г'(р\

Вспоминая наш способ, разъяснённый в разделе 2.1, который привёл нас к формуле (2.17), мы видим, что он не зависит от специального вида кинетической энергии S, так что мы можем записать

ЛЦФ) = -^1п Ц{еф})Г',ЛЦФ) = -^1п Ц{еф})Г',(2.172)(2.172)

ЛЦФ) = -^1п Ц{еф})Г',

ЛЦФ) = -^1п Ц{еф})Г',

(2.172)

(2.172)

F(H') = F4H') + FX) + F(H^Y

Здесь Ф имеет тот же самый вид, что и в разделе 2.1, только R(s), задаваемый формулой (2.11), заменяется на

R(s) = е к те к .R(s) = е к те к .(2.173)(2.173)

R(s) = е к те к .

R(s) = е к те к .

(2.173)

(2.173)

Полезно также заметить, что в полной аналогии с (2.38)

кв

exp f Фо + г Г ds A(s) f • R(s) ) > \

Trs,Ee-^'<b)

Здесь Н^ есть гамильтониан HW, в котором р2/2т заменено на гамильтониан Г'(р), Фо имеет тот же вид, что и в разделе 2.1 с R(s) из формулы (2.173), и определяется уравнением, обобщающим формулу (2.37):,~

= -[Н^ - ПгХ(з) f ■ г]У'(з),(2.175)

С7'(0) = 1.

После этих предварительных замечаний возвратимся к выражению (2.172) для свободной энергии и введём аппроксимационное выражение

аррЯЦЯ') = -^1п Ц{еф«Гг' -(2Л76)

аррЯ(Я') = аррЯДЯ') + Я(Г') + F(H^)).(2.177)

Рассмотрим вариацию первого порядка

5 appF = appF(H^ + 5Г) - appF(H^) =

= appF(H^ + Ф(рЦ£) - арр^Н^У (2.178)

Поскольку 5^ инфинитезимально, эта вариация будет пропорциональна 5^. Соответствующий коэффициент есть, очевидно, линейный функционал Ф(р). Мы, таким образом, запишем

5(аррЯ) = | /(р(0))Ф(р(0)) dp(0) 5^

Исходя из (2.171), будем рассматривать /(р(0)) как приближение к выражению РК(р(0)):

5(appF) = | ЖРр(р(0))Ф(р(0)) ф(0) 5<.(2.179)

Мы хотим показать, что преобразование Фурье

ЩА) = | Wapp(p(0))ea'p(°) dp(0)(2.180)

точно равно ранее полученному выражению (2.143).

Приступим теперь к оценке (2.178). Здесь следует указать, что HW, от которого зависит appF(HW\ содержит некоторые параметры, появляющиеся в выражении Н^\ HW(JL) и определяющиеся из принципа минимума

appFvnt(Hp) = min.(2.181)

Например, в гл. 2 мы специально рассмотрели случай зависимости левой части (2.181) от двух параметров: и and р.

В общем случае некоторые другие параметры могут быть включены в appFmt(Hp) через Н^ и H^tjF). Обозначим их через Ср В этом случае левая часть формулы (2.181) была бы функцией от Ср

аррЯт(Яр) = /(...СД.),

и благодаря принципу минимума эти параметры должны удовлетворять уравнениям

Кроме того, как следует из формулы (2.177), разность

арр^(Я<р)) - арр^п1(Я(р)) = F(r) +

не зависит от параметров (...Су...). Поэтому вариация первого порядка5(арр^(Др))) = £ Э-Г^иА 5Cj,

относящаяся к инфинитезимальным вариациям Су, есть нуль. Это обстоятельство позволяет нам при вычислении вариации первого порядка (2.178) считать ...Cj... фиксированными.

Рассмотрим форму

F(h'w) = —Мп+ F(r'H F^W^

и заметим, что благодаря описанному свойству вариации по параметрам мы имеем

ЦН^ + 5Г) - ЦН^) = [-Мп Ц{еф»Гг+гг + ^(Г + Л1)] -

-[-^1пЦ{еф»})г + ^(Г)],

или, в краткой записи,

5F(H'W) = -Mln (Т{еф°})г' + SF^VY (2.182)

С другой стороны, аргументы, которые были использованы при выводе (2.171), приводят к

5F(H'W) = j ТЩро)Ф(ро) Фо 5C(2.183)

где Wl(po) — функция распределения по импульсам частицы S динамической системы, характеризуемой гамильтонианом Н^.

Благодаря (2.176), (2.177) и (2.179) имеем

I ТЩМЖро) Фо 5^ = 05 In Ц{еф»})г' + W') -

_ М№*-(Ф -ФО)})Г, =^ЩеЖ^Ж

(Т{еФ"})Г'<Т{еФ»})г'

и, учитывая формулу (2.183), получим

5Царр) = | И/арр(ро)Ф(ро) Фо ^ = j ЮфоЖРо) Фо^ -

(2.184)

Определения Ф, Фо (см. (2.16), (2.23), (2.24)) делают ясным, что

д (Т{еф°(ф - Фр)})г' =1 V^ г 2 / f \ Ь

(Т{еф»})Г'4/'ЧШ ^l1 ~е~^

рн рнds\рн рнds\ООds2 (е оds2 (е о. . . , I ЛгТгфо+*ОН(*1)-Н(*2)]т\ РшН-\-ш\8х -S2h J v Iе J/ Г(Т{еФ»})г'. . . , I ЛгТгфо+*ОН(*1)-Н(*2)]т\ РшН-\-ш\8х -S2h J v Iе J/ Г(Т{еФ»})г'

рн рнds\

рн рнds\

О

О

ds2 (е о

ds2 (е о

. . . , I ЛгТгфо+*ОН(*1)-Н(*2)]т\ РшН-\-ш\8х -S2h J v Iе J/ Г

(Т{еФ»})г'

. . . , I ЛгТгфо+*ОН(*1)-Н(*2)]т\ РшН-\-ш\8х -S2h J v Iе J/ Г

(Т{еФ»})г'

14^ .О14^ .Оph phda/Ey(w') ds\ ds2о оph phda/Ey(w') ds\ ds2о оКо'1 -е"^Ко'1 -е"^Pw'lHwpSx-Ss^ хPw'lHwpSx-Ss^ х3 д2 (г{еФ0+<МК(51)-К(52)]})г/ 3-уй №ф°Ьг- Jf=o'3 д2 (г{еФ0+<МК(51)-К(52)]})г/ 3-уй №ф°Ьг- Jf=o'Введём функцию _A(s) = 5(s - si) - 5(s - зг),Тогда из (2.174) следуетВведём функцию _A(s) = 5(s - si) - 5(s - зг),Тогда из (2.174) следует^{e$0+^f'[R(S1)-R(S2)]})5^{e$0+^f'[R(S1)-R(S2)]})5

1

4^ .

О

1

4^ .

О

ph ph

da/Ey(w') ds\ ds2

о о

ph ph

da/Ey(w') ds\ ds2

о о

Ко'

1 -е"^

Ко'

1 -е"^

Pw'lHwpSx-Ss^ х

Pw'lHwpSx-Ss^ х

3 д2 (г{еФ0+<МК(51)-К(52)]})г/ 3

-уй №ф°Ьг- Jf=o'

3 д2 (г{еФ0+<МК(51)-К(52)]})г/ 3

-уй №ф°Ьг- Jf=o'

Введём функцию _

A(s) = 5(s - si) - 5(s - зг),

Тогда из (2.174) следует

Введём функцию _

A(s) = 5(s - si) - 5(s - зг),

Тогда из (2.174) следует

^{e$0+^f'[R(S1)-R(S2)]})

5

^{e$0+^f'[R(S1)-R(S2)]})

5

Tr e-'3H'<L'1Tr e-'3H'<L'1(2.186)(2.186)

Tr e-'3H'<L'1

Tr e-'3H'<L'1

(2.186)

(2.186)

Здесь;

R^^ = -VH^ _ iKXy f • г + Ф(р)^][7'(8),

Z7'(0) = 1,

и поэтомуи поэтомуи'^ = C7(s) +5C7(s),и'^ = C7(s) +5C7(s),(2.187)(2.187)

и поэтому

и поэтому

и'^ = C7(s) +5C7(s),

и'^ = C7(s) +5C7(s),

(2.187)

(2.187)

h^Tl = -H^U^s) FiliX^i -rU^,(2.188)

и (0) = 1,(2.189)

й^^ = V-Hw + inX(s) f ■ r] 5U^ - Ф(р)С7(5)^,(2.190)

Ш(0) = 0.

Заметим, что также благодаря (2.183)

6!—— = 5eF(-H'<L^ = pe9H'W6F(H4Lh =

= pe131^1^ | ИТ(ро)Ф(ро) dp0 55 == pe131^1^ | ИТ(ро)Ф(ро) dp0 55 =/?| ^(ро)Ф(р(О)) dpod^/?| ^(ро)Ф(р(О)) dpod^e-f3H<L>e-f3H<L>

= pe131^1^ | ИТ(ро)Ф(ро) dp0 55 =

= pe131^1^ | ИТ(ро)Ф(ро) dp0 55 =

/?| ^(ро)Ф(р(О)) dpod^

/?| ^(ро)Ф(р(О)) dpod^

e-f3H<L>

e-f3H<L>

С помощью формулы (2.186) имеем^^e$o+^f-[R(si)-R(s2)]^r/5(Т{еФ«})г'"Tr^e’^ 'TrС помощью формулы (2.186) имеем^^e$o+^f-[R(si)-R(s2)]^r/5(Т{еФ«})г'"Tr^e’^ 'Tr11ee

С помощью формулы (2.186) имеем

^^e$o+^f-[R(si)-R(s2)]^r/

5(Т{еФ«})г'"

Tr^e’^ 'Tr

С помощью формулы (2.186) имеем

^^e$o+^f-[R(si)-R(s2)]^r/

5(Т{еФ«})г'"

Tr^e’^ 'Tr

1

1

e

e

_ Trss6U(Tip) , д TrSEU(M_ Trss6U(Tip) , д TrSEU(MTr p"№W Tr p-№WTr p"№W Tr p-№WJmMpoMpo) dp05C (2.191)JmMpoMpo) dp05C (2.191)

_ Trss6U(Tip) , д TrSEU(M

_ Trss6U(Tip) , д TrSEU(M

Tr p"№W Tr p-№W

Tr p"№W Tr p-№W

JmMpoMpo) dp05C (2.191)

JmMpoMpo) dp05C (2.191)

Из формул (2.188) и (2.189) следует

U(s) = е s ft Т< expl гU(s) = е s ft Т< expl гХ(а) f • г(-га) daо’Х(а) f • г(-га) daо’(2.192)(2.192)

U(s) = е s ft Т< expl г

U(s) = е s ft Т< expl г

Х(а) f • г(-га) da

о’

Х(а) f • г(-га) da

о’

(2.192)

(2.192)

Для того, чтобы решить уравнение (2.190), рассмотрим такое решение U = [7(s,n) уравнения (2.188), что оно становится равным единичному оператору при s = и:

h^f^ = V-HW+iKX(s)f •^(s.u'), [7(u,u) = l. (2.193)

Положим здесь

U(s,u) = e 8 ^ A(s,u)eu ft

Тогда

И—^’ ' = iTt\(s)es ft f re-s ft A(s,u) = iTtX(s)f • r(—is)A(s,u),

A(u, n) = 1.

Откуда имеем

A^s, и) = Т<^ехр ^г Х(а) f • г(—га) da^ |,и

И

(2.194)(2.194)(2.195)(2.195)U(s,u) = e s Техр< I г Х(а) £ • г(—га) da \ >еи

(2.194)

(2.194)

(2.195)

(2.195)

и

Теперь легко подтвердить, что

5C(s) = -|

о

Действительно, (2.195) даёт

^^WWH du5C о

или, благодаря (2.193),

d5[/(s)Эв

= -Ф(р)У(8) 5^ - фн^ + ihX(s) f ■ г) | j W, и)Ф(р)(/(и) du 5^.

О

Видим, таким образом, что выражение (2.195) действительно удовлетворяет уравнению (2.190) вместе с начальным условием

5U(0) = 0.

Из (2.195) следует

гисзп) = -| j U^h.u^^U^duSC (2.196) о

daX^a) f • у^-га)daX^a) f • у^-га)Но, благодаря (2.194) и (2.192),

daX^a) f • у^-га)

daX^a) f • у^-га)

и([ЗТь, иУФ(p)U(и) = е ^я( ^JexpH

hWhW ( /с

х еи Tt Ф(р)е и к Т<ехрН

Х о

рп

>Ф(р(-ш))х>Ф(р(-ш))х= е-Рн( ^^ехр^г А(а) f • г(-га)

>Ф(р(-ш))х

>Ф(р(-ш))х

и

da Х(а) f • г(—га)da Х(а) f • г(—га)

da Х(а) f • г(—га)

da Х(а) f • г(—га)

Обращая внимание на структуру упорядочения в Т-произведениях, мы можем записать это уравнение в более компактной форме

пр

U(3h,u)^(p)UQu) = е ^я(Ь)Т<ехрU(3h,u)^(p)UQu) = е ^я(Ь)Т<ехр(г da Х(а) f • г(-гсг)^ Ф(р(-ш))1. х о

U(3h,u)^(p)UQu) = е ^я(Ь)Т<ехр

U(3h,u)^(p)UQu) = е ^я(Ь)Т<ехр

(2.197)

помним, чтопомним, чтоПодставим теперь формулы (2.192), (2.196) и (2.197) в (2.191) и на

помним, что

помним, что

Х(а) = 5(а - si) - 5(а - s2).

(Т{еФ°+я'[к^1^-к^2^})г/

5№фо})г/=

рп

О

+ P№4rHsiW^^^ | ЮфоЖРо) Фо 5С (2.198)

До сих пор мы не контролировали функцию Ф(р). Положим теперь

ф(р) = е1Лр.

Благодаря определению ИД(р) очевидно, что

| Юфо)6^ Ро Фо = (егЛ'р ,

И поэтому2

| W(po)e’Xpo фо = е"^^н№.(2.199)

Мы далее имеем в (2.198)

(T{ef<r(-^-)-r(-^N(P(-№))})H(L) =

= (T{ef‘^-is^-r^-iS2^^=

= exp (Д (T{{f • [r(—<si) - r(-is2)] + A • р(-гм)}2})я(ь)) ■ (2.200)

Обычным путём мы можем написать (сравни с (2.132))

(Т{{£ ■ [r(-isi) - г(-гз2)] + А ■ p(-ra)}2})Hw =

+ 2(Т{{£ ■ [r(-isi) - г(-гз2)]}Л ■ р(-ш)})я<ь) + у <Р2)яш-

Но из (2.138) вытекает

= -ЩдТ^з-и),

что даёт

(Т{{£ ■ [r(4si) - г(—гз2)]}Л ■ р(-ш)})я<ь) =

= -zf • A [^(si - и) - F(s2 - и)].

Вспоминая также нашу предыдущую формулу (2.133), мы сведём (2.200) к виду

= ехр (-^-Р(в] - з2) + г£ -A^si - и) - F(s2 - u)] - y(p2)ffw ) •

(2.201)

Разделим теперь обе части соотношений (2.2) на dx с использованием формул (2.198), (2.199) и (2.201). Тогда можно получить следующую формулу:

Wapp(A) = е"х —е— + J(A) - J(0)e“V<p,(2.202)

где

147г2147г2'dfb\f) 1(2тг)3 №'dfb\f) 1(2тг)3 №рпрпduduоорп рп. ds\ ds2о орп рп. ds\ ds2о о7z(e7z(e— ВшКХш | si — S2 |— ВшКХш | si — S2 |

147г2

147г2

'dfb\f) 1

(2тг)3 №

'dfb\f) 1

(2тг)3 №

рп

рп

du

du

о

о

рп рп

. ds\ ds2

о о

рп рп

. ds\ ds2

о о

7z(e

7z(e

— ВшКХш | si — S2 |

— ВшКХш | si — S2 |

/х2

х exp (Х§\ - s2) + zf • Л [^(si - и) - F(s2 - и)] - — (р2)я(ь)

14^14^ооpTipTiрп рпduо орп рпduо орпds\ d§2орпds\ d§2оТтш' Е^ш'^1 - е"^'Ттш' Е^ш'^1 - е"^'

1

4^

1

4^

о

о

pTi

pTi

рп рпdu

о о

рп рпdu

о о

рп

ds\ d§2

о

рп

ds\ d§2

о

Ттш' Е^ш'^1 - е"^'

Ттш' Е^ш'^1 - е"^'

х lSi — 521е-Рш'п^ш'\8\-8<2\j х

х exp {^(si - s2) + A2[F(si - u) — F(s2 - u)]2} e-“6“^p ^h(l) . (2.203)

Из (2.143) следует, что требуется только показать, что

J(A) = 1(A)(2.204)

(где 1(A) определяется формулой (2.142)) для доказательства равенства между выражениями (2.203) и (2.143). Сравнивая эти выражения, мы можем написать:

ph ph ph

J(X) = -^ | du I ds\ I d§2 Ф(51 - и, §2 - u|A),(2.205)

000

ph ph

1(A) = I ^1 I ^2Ф(51,52|А).(2.206)

о 0

Но, как было показано в разделе 2.1, функции

D(s), e~Fs\ e~^Ph^\s\^e-w'\s\ e~w'PM-w\s\

входящие в Ф(51,52) и определённые только на интервале (—/37г, /37г), могут быть продолжены на всю действительную ось таким образом, чтобы они были бы периодическими функциями s с периодом /37г.

Из формулы (2.136) мы замечаем, что 9

F(sf) = F(sff) когда |s' - s"| = /37г, -/37г < s', s" < /37г.

Так что можно продолжить F(s) из соответствующего интервала (—/37г, /37г) на (—ос, +оо), при этом она будет периодической функцией s с периодом /37г. Мы можем положить, например,

F(s) = F(s - /37г) для /37г < s < 2/37г,

F(s) = F(s + /37г) для - 2/37г < s < -^Ti, и так далее.

Мы, таким образом, видим, что Ф(з1,з2|А) может быть рассматриваема как периодическая функция si и s2 с периодом /37г. В этой ситуации мы воспользуемся разложением Фурье:

Ф(81,82|А)= ^

(пЬП2)

9 Заметим, что для 0 < Sj < P?i (j = 1,2), 0 < и < /37г, мы имеем —/37г < Sj — и < /37г.

Ф(8]-u,s2-u|A)= ^ ЛП1,„2(Л)егж("-$-+^^)егЖ ("-+"=)"

(ni,n2)

что даёт

рп рпрп рп

| ds\ | d§2 Ф(<§1 — и, 82 — u|A) = (PTi)2Ло,о(А) = j ds\ j d§2 Ф(зь S2,A), oooo

и

pnpnpnpnpn

— c/n ds\ d§2 ф(<§1 — и, 82 — u|A) = ds\ (/52Ф(8ь S2IA).

pri JJJJJ

00000

Поэтому оба выражения (2.205) и (2.206) одинаковы, так что соотношение (2.204) правильно. Это завершает доказательство равенства между выражениями (2.202) и (2.143).

Глава 3

КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯВ ТЕОРИИ ПОЛЯРОНА

В написании этой главы существенно использованы идеи и методы Н.Н. Боголюбова [49-51]. Основная цель, которая была поставлена, состоит в том, чтобы вместо феноменологического подхода исходить непосредственно из уравнений механики. В работе Н.М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [49] рассматривался вопрос о возникновении стохастического процесса в динамической системе, находящейся под слабым воздействием «большой» системы.

Для классических систем этот вопрос изучался на основе уравнений Лиувилля для функций распределения вероятностей во всём фазовом пространстве, а для квантовых систем на основе аналогичного уравнения для статистического оператора фон-Неймана [51].

В отмеченной работе был сформулирован метод, с помощью которого в первом приближении получались уравнения типа Фоккера- Планка. В монографии [50], опубликованной в 1945 г., были найдены методы для изучения статистической механики «больших» динамических систем, в частности для построения кинетических уравнений. В лекциях, прочитанных Н.Н. Боголюбовым в 1974 г. на семинаре по статистической механике, была изложена модифицированная версия метода, развитого в [49], и обсуждена его связь с теорией двухвременных функций Грина [52].

Следует заметить, что понятие «малой» и «большой» систем следует понимать в том смысле, что число степеней свободы одной системы много меньше числа степеней свободы другой.

Развитие идей, заложенных в работах [49-52], позволило на примере модельной задачи теории полярона сформулировать метод получения точных иерархий уравнений для зависящих от времени средних [35].

В основе метода лежит исключение бозе-переменных из операторных уравнений движения при усреднении последних с матрицей плотности начального состояния. Существенное значение при этом имеют специальные леммы, установленные для случая адиабатического включения взаимодействия между «малой» и «большой» системами [35]. В случае, когда «большая» система находится в состоянии равновесия (является термостатом), этот метод позволяет описать приближение к равновесию для распределения вероятности в «малой» системе. Указанный метод оказался весьма полезным при описании процессов свер-

хизлучательной генерации [53-55], рассматриваемых в нелинейной оптике. Отметим, что эта глава обобщает работу Н. Н. Боголюбова [33] и формулирует методы изучения электронно-фононной системы и исключения из соответствующих кинетических уравнений фононных операторов.

В частности, для взаимодействия электрона с фононным полем получено кинетическое уравнение для полярона, при этом, если ограничиться надлежащей аппроксимацией, из него следует, например, точное уравнение Больцмана для полярона.

Предложены также методы вычисления «функции отклика» (импеданса и адмитанса), основанные на введении «аппроксимирующего» гамильтониана с линейным взаимодействием. Проводится вычисление функции плотности вероятности распределения частицы в термодинамически равновесном случае.

Обобщённое кинетическое уравнение

Рассмотрим динамическую систему 8, взаимодействующую с фононным полем £. Обозначим через Xg совокупность аргументов волновых функций для одной изолированной системы S и аналогичным образом обозначим через Х^ = (...п^...) совокупность чисел заполнения поля X. Тогда динамические состояния системы (8, X) можно характеризовать волновыми функциями типа

Ф = Ф(И).(3.1)

Условимся обозначать символами вида

F(t,S), f(S)(3.2)

операторы, вообще говоря, могущие явно зависеть от времени t, действующие на Ф^^Х^) только как функции от Xg. Символами вида

G(t,E), g^)(3.3)

будем обозначать операторы, действующие на Ф как функции от Х^. Такими операторами являются, например, бозе-амплитуды ...^...^.... Существенно подчеркнуть, что, поскольку F(t, S), G(t, S) действуют на различные переменные в волновой функции, они коммутируют между собой. В частности, F(t,S) коммутирует со всеми bk(t) и bk(t\ Примером оператора типа (3.3) может служить и собственный гамильтониан фононного поля

Н^ = ^MMW>1M ш^ > 0.(3.4)

Символами типаСимволами типа

Символами типа

Символами типа

будем обозначать операторы, действующие как на переменные Хд, так и на переменные Х^ волновых функций ^(Х^Х^). Подчеркнём, что рассматриваемые сейчас операторы соответствуют обычному шредин- геровскому представлению динамических величин. Возьмём случай, когда в принятых обозначениях полный гамильтониан системы (S, £) имеет вид

Ht = mt, s, К) = гч, s) + £[сщ S)bk4) + c^t, s)bUt^ + Н^,

(3.5) где r(t, S) — собственный гамильтониан системы S, а следующий член в (3.5) с суммой по к — гамильтониан взаимодействия систем S и £. Рассмотрим два примера подобных систем.

Теория полярона. Простейшая модель полярона описывает движение электрона в ионном кристалле. Система S состоит из одного электрона, находящегос во внешнем электрическом поле 8;

2

й X‘/2

скЧ,8) = ^Цк)^^ в-,

где е — заряд электрона,

С*^ = Цк\

г, р — положение и импульс электрона, £(к\ ш(к) — радиально симметричные функции волнового вектора к. Суммирование по к проводится по обычному квазидискретному спектру:

7 _ /27ГП1 27ГП2 27ГПз\ гЗ _

где пц П2, пз — целые числа (положительные и отрицательные); фактор e£t (е > 0) как обычно вводится для реализации представления об адиабатическом включении взаимодействия. В данном случае операторы типа f(S) будут функциями от операторов р, например:

/(р), e®kr, /(p)eik'r,

и т. п. Заметим, наконец, что в ряде случаев вместо выражения р2/2т необходимо использовать более общую форму энергии электрона Т(р\ Тогда вместо (3.7) будем иметь

Г(с S) = Т(р) + e£tE(t) • г.(3.7)

Фермионная система. Система S является системой свободных фермионов, характеризуемых ферми-амплитудами Op ар, причём

(3.8)(3.8)T(t,S) — ^N(f)a^aj, Ck(t,S) —^2 Ьк^а^+кар,

(3.8)

(3.8)

Ск^1,8^ = —фЬк^а^а^к = —Lk^a^_kaf,

Lk, Lk — «с-величины». Поскольку фермионы обладают спином, здесь / = (f, ст), причём вектор f принадлежит к квазидискретному спектру, а — спиновый индекс. Символ / + к раскрывается как / + к = (f + + к, а). Мы можем также рассматривать и случай взаимодействующих между собой фермионов. Надо тогда лишь включить в V(t,S) члены взаимодействия между фермионами, а также их взаимодействия с внешними полями.

Для динамических систем типа II операторами типа f(S) будут любые комбинации из ферми-амплитуд ...ар...а,р.., не содержащие бозе- амплитуд, например a^aj2. Заметим, что к динамическим системам типа II приводятся задачи определения электропроводности металлов, теории сверхпроводимости и т. п.

Возвратимся к рассмотрению гамильтониана (3.5) и воспользуемся уравнением Лиувилля для статистического оператора Dt системы (S, £):

iTi^ = H4,S,^Dt- DtH4,S,^ (3.9) при начальном условии

D(Z) = Z-le-pH^, Z = TrE е^Щ (3.10)

Trsp(S) = l, TYEL>(S) = 1. (3.11)

Как видно, принятое начальное условие соответствует тому положению, когда в момент времени to фононное поле £ находится в состоянии статистического равновесия и в этот момент «включено» взаимодействие его с динамической системой S, характеризуемой статистическим оператором p(S\

Так как из (3.9) следует, что

T^ssiDt = Tr(ss)A0,

ТО

TW)Dt = Trs p(S)TrED(S) = l.

и мы имеем обычную нормировку для статистического оператора Dt динамической системы (S, £).

Введём оператор U(t,to) = U(t, to, S, S), определяемый уравнением

iKdU^M = H^S ^u^t доу С7(Ыо) = 1.

Так как гамильтониан эрмитов, то

_^^TN = иу^но^;^, иЧчлО = 1-

Мы видим, что U является унитарным:

иЧШ = и-хчм

С помощью операторов U из уравнения (3.9) имеем

Dt = U4,to)DtoU~l4,to).

Рассмотрим некоторую динамическую величину в шредингеровском представлении U(t, S, £). Её среднее значение в момент времени t будет:

(ZV)t = Тг(звДД S.^Dt = Тг(5ВДД S.^UlM^DtJJ-^tO =

= щ5,в)яг1Ч,S, ^ич,W- (3.12)

Как видно, выражение

и-ЧмО1Ж8,УЛЖЧ)(3.13)

является представлением Гейзенберга для рассматриваемой динамической величины U(t, S, S), которое при t = to совпадает со шре- дингеровским представлением этой величины. Такое гейзенберговское представление будем обозначать символом U(t, St,^);

УЧАЛЧ^ = и-хЧЧ0МЧ.8,^иЧЛ0- (3.14)

В частности, если мы рассмотрим динамическую переменную в шредингеровском представлении, данную оператором типа F(t,S\ то

F4,St) = U~l4,t0)F4, St)U4,to) = иЧШгч, st)U4,t0). (3.15)

Из (3.12) получим

Tr^FO, St)Dt0 = Тг^РЧ, S)Dt = Tr(s) F4, S)(Tr(B) Dt).

Введём далее приведённый статистический оператор

pAS) = Щв) Dt.

Тогда 9

T^FyAW = Tr(s) F^APt^.(3.16)

9 По определению среднее значение в момент времени t

= SyDM А

След вычисляется по полному набору состояний системы S + Е. Выбирая в качестве базисных состояний |s,a) системы 5 + Е тензорные произведения |S) 0 |сг) базисного состояния |S) системы S на базисные состояния |сг),

Рассмотрим динамическую систему с гамильтонианом (3.5) и начальным условием (3.10) для статистического оператора. Исходя из формулы (3.14) для гейзенберговского представления, имеем

Ш, st, ^tW. st, st)] = u-\t, 10)Ш, s, ^)Mt, s, ^u(t. 4), где \U,B\ обозначает коммутатор:

[ZV, S] = UB - BU.

Отсюда видим, что если коммутатор двух динамических переменных в представлении Шрёдингера есть с-число, то такое же значение будет иметь коммутатор этих динамических переменных в гейзенберговском представлении.

Обозначим гейзенберговское представление для бозе-амплитуд соответственно ...&&(£), ...^(t). Тогда по определению (3.14)

ЬкЧО = Ьь ь\Ч0 = ь\.

Поскольку 6^., bk коммутируют с ГД, 5), Ck(t, S), СЩ,8\ видим, что =0, уьЩу,гч,8^ =0,

Ы^; Ck(t, St)] = 0, \bUty, СкЧ, St)] = 0,(3.17)

Mty,cUt.st)W. ybUt>,cUt,StY = o.

На этом же основании

№tyj(stY\ = о.(3.18)

Ясно, что bk(t), b^(t) имеют те же обычные перестановочные соотношения, что и Ьк, Ь^. Имея в виду (3.5) и (3.17), уравнения для бозе- амплитуд приводятся к виду

i/i^l = [bfc(t),ff(Z,St,St)],

= МкШС + сЩ St),

Т"е"^ = -^k)bk(t)^cUt,st),

Сопряжённое уравнение будет

^ = ^к)ьЩ) + |cfc(t,st).

запишем (F^ в виде

^F)t = Trs F(t, S) • Tr^ D^S, E) = Tr(s) F(t, S) • p^S), где pt = Tri: Dt(S, E) является матрицей плотности S'-системы.

Принимая во внимание начальные условия, получим

ЬкЧ) =ЬкЧ) - гВкЧ\

Ък^=е"^к^-^(3.19)

Bk(t) = 11 ате-^к^-ЧсУт,8Т\

to

а также,,

ЬШ=ЬШ+гВШ,

Ь^ = СШ^"^(3.20)

В^) = | j dTe^^CkO-SO.

to

Рассмотрим динамическую величину, которая в шредингеровском представлении изображается оператором типа / (S), явно не зависящим от времени. Ввиду (3.5) и (3.17) уравнения движения для f(St)

ih^y = [f{st),H4,st^t)]

могут быть написаны в виде

^^ = [/(st),r(t,st)] +

+сш ^)] + EbkWtY st)].

(к)

Подставим сюда (3.19), (3.20) и, взяв операцию Tr<SB)...Dto, получим

i^t K(SS)f(St)Dto + TY(SB) [ГД St), /(St)]Dt0 =

= -i£Tr(s.E)Bfc(Z)[/(St),Cfc(Z,St)]A0 +

+ i^Ti(S By3^^^ cUt, St)]Dt0 +

+ £Tr(s.E)Kfc(t)[/(St),Cfc(t,St)]Dt0 +

+cyt, St)]Dt0. (3.21)

Для того, чтобы избавиться от входящих в правую часть уравнения (3.21) бозе-амплитуд bk, Ь^к, сформулируем лемму:

Лемма. Для средних от произведения оператора b^(t) на оператор U^S, £) справедливы соотношения

^(ss^U{S^Dt= OvNk)^(s^bk4WS,Y-)-U^S^)bk^Dto,

к | _ е-ЗПш(к) ’

T\s^SX)bk(t)Dto = 7VfeTY(SB){bfe(t)ZY(S,S) -M(S,^^^^ Доказательство см. в приложении I.

Выбирая в качестве U^S, £) = [/(St\ C^^t, St)Y имеем соотношения

TY<s^bk(t^(St\Ck(t,St^Dta =

= (1 + Nk)TY(SS) [bk(t), V(StYCk(t, St^Dt0,

TT<SS)bU^KSt\CUt,St^Dt0 =

= NkTr(ss) \WtY Ф St)],b^t)]Dto. (3.22)

Так как ...bk...Ck... коммутируют c [/(St), Ck(t, StY, [/(St), C^(t, St)], TO

ЫП, WtYcct, St)]] = o, [[/(St), ф, st)\ г>1 (t)] = o.

Подставив сюда (3.19) и (3.20), найдём:

Ф), WtY ck(t, St)]] = iVBk(tY V(st), ck(t, st)]] =

= iSfc(t)[/(St),Cfc(t,St)] -?[/(St),Cfc(t,St)]Sfc(t), [[/(St), сЩ, StY.b^tY = -i\Wtb ф, StY.BUtY =(3.23)

= iBUtYKStY Ф, St)] - iWCY Ф, stYBl(tY Используя (3.22) и (3.23), из (3.21) получим гй^ Tr(SE)/(St)A0 + Tr(SE) [T(t, St), /(St)] Dt0 +

+ фщкТг(8,ЩЗкШК8Л СЖ StYDtti +

vO^Nk^^C^StYfkStYB^Dt^ +

+ ^{(l+7Vfc)^(SE)Bt(Z)[/(St),Ct(t,5t)]Z)t0 +

+ ЖТг(3.в) ф, St), f(StYBUt)Dtoy (3.23«)

Заметим, что благодаря равенству (3.16) имеют место формулы

Tr(gB)/(St)A0 = Tr(s) /(S>(S),

Tr(SE) [ГД St), /(St)]Ao = Tr(S){r(t, S)/(S) - /(5)ГД S^SY Затем подставим вместо b^tY b^t) в (3.23a) их выражения (3.19), (3.20) и разделим обе части на гТь. Тогда найдём:

/ ( . aPt(s) r(r sms) - s) ( Л _

Tr(s)дMS)j -

= Те [ dTTi(s^e-^t-T4N^^+

(k)t0

+ O+NkYCl(t,St)J(StYCk(T,SMDto +

+ Те [ dTTi<ss/^-Ty; + N№+

n (k)t0

+ NkPyt,st)}a0. (3.23')

Итак, мы построили обобщённое кинетическое уравнение. Перейдём к рассмотрению модели полярона. Для этого подставим в правую часть этого уравнения формулы (3.6), т. е.

Г(т S) = Т(р) + e£tE(t) • г, E(t) = -eE(t),

MS)\ =MS)\ =тогда найдём

MS)\ =

MS)\ =

Tr(sJ/(S)Tr(sJ/(S)ММ ЕЖгМЕЩЕЖТМЕЩЩТМ dtгГ

Tr(sJ/(S)

Tr(sJ/(S)

t

= ^е2е^ГЖ [ dT e-^t-T^Nke-cu(kKt-T) + (1 +Nk^(kKt-T^ x

x Tr(SBye-^M(StMk-r* - е-гк'г-е^+

+ ^е2г1уГУМ f ате"£Э-т^(\ + NkKyW(t"TM Nke^k^^ x (fc)to

x Tr(S E){e’k-r‘/(St)e-ik-^ - /(St)eik-r‘e-’k-r4A0, (3.24)

Интересно отметить, что в этом уравнении фононные операторы не входят явно. Правая часть зависит только от траектории электрона.

Подчеркнём, что операторы электрона г (г) и р(т), (to ^ т < t) зависят сложным образом от начальных значений г,р, ...,5^, Ь^.. Поэтому, чтобы получить из этого уравнения явное выражение, нам следует ограничиться надлежащей аппроксимацией, например, полагая f(S) = /(р) и заменяя сложную зависимость гт в «нулевом приближении» равномерным движением

г(т) = r(t) - (t — т),m

в рамках модели Фрёлиха, с учётом явного малого параметра, характеризующего интенсивность электрон-фононного взаимодействия, можно построить явное уравнение Больцмана для полярона с интегральным членом, соответствующим однофононному поглощению и испусканию квантов фононного поля.

Рассмотрим случай пространственной однородности, т. е. когда /(S) = Др) И отсюда /(St) = /(pt). Имеем

г/(р) - /(р)г =

Очевидно, что

Tr(s) НрШ^ = I /(рЖ(р) dp,

где

Wt(p) = Tr(sy(p-p0)pt(S).(3.25)

Пусть р/ — оператор импульса в представлении Гейзенберга. Тогда с учётом (3.16)

= | F(p)wt(p) dp.

Из формул (3.11) и (3.25) следует, что

jlVt(p)dp= 1.

Ясно, что Ж(р) можно интерпретировать как плотность вероятности в момент времени t. Левую часть (3.24) запишем как

^(S) (/(^+е£‘Е^ ■ ^pt^=

=(3.26)

Легко видеть, что

e®k'r/(p) = /(р - Tikyk'r, /(p)eik'r = е^Др + Лк), (3.27)

а также

С^ЧЫ = KPt - ЛкЩ^ f(ptVk'^ = e^lpt + Лк).

Учитывая инвариантность в обоих членах правой части (24) относительно замены к на —к и сделанные выше замечания, найдём

'dpKP^^-e^tC^y

= jdp Др) (^^ + e£tE(t). № wt(p^ =

= 1dr е-^-Т\Ике~ш^-^ + (1 + Нкуш^"^ x

(fc)to

xTr(s ^e^e-ik'r‘[/(pt - Лк) - /(p)]A0} x

xTr(SE){[/(Pt - Лк) - ,Hp)]^kr'e-lkr^(0}, (3.28)

где Dto = p(S)D(H). Это точное соотношение будет рассмотрено в следующем параграфе как источник для получения приближённых уравнений.

В заключение заметим, что обобщённое уравнение (3.23х) может быть использовано в разнообразных приложениях. Например, с его помощью можно получить кинетические уравнения, описывающие движение электронов в металлах. Для этого следует положить в (3.23х) f(S) = a^aj, Г = ^ Тра^ар.

(/)

Тогда

Tr(S) HS)pt(S) = Tr(s) a^afpt(S) = (ayt)a/(t))to = nf(t)

И V^4n^ а выражение

фигурирует в качестве оператора Ck(t,S). Определим операторы ^у+А;(^) и aj(t), входящие в это выражение, предполагая, что они

удовлетворяют следующему приближённому (т. е. взаимодействие отстуствует) уравнению движения:

= T$ayt\

Отсюда,

а/(т) = ехр (—г^- (т — t)^ cif(t), а^(т) = ехР (^^ (т — ^ a^(t).

Тогда

СМ so = ^^ У2ехр (^^т^" ^т^ анк№аА^-

Принимая во внимание предшествующее обсуждение и подставляя приближённое выражение для С^(т,8т) в обобщённое кинетическое уравнение (3.23х), после простых преобразований и стандартного предельного перехода to —сю, о О, получим хорошо известное квантовое кинетическое уравнение Блоха, основное уравнение в теории электро- и термопроводности в металлах и полупроводниках [48].

Кинетические уравнения в первом приближениидля случая малых взаимодействий

1/21/2Рассмотрим здесь случай малых взаимодействий. Удобно характеризовать константу связи малым параметром, который будем обозначать через а, предполагая, что £2(к) пропорционально а. Например, в рамках модели полярона Фрёлиха стандартным безразмерным параметром, характеризующим интенсивность электрон-фононного взаимодействия в наших обозначениях, принимается величина

1/2

1/2

(3.29)(3.29)m

(3.29)

(3.29)

Мы также будем считать, что внешняя сила Е формально пропорциональна малому параметру.

В «нулевом приближении», когда мы полностью пренебрегаем взаимодействием, можем составить следующее уравнение:

Л^ = гТ(р) - Т(р)г,(3.30)

ат

из которого следует

гт = ^к г^(т-т°)гТое-^ г^^т-т°\

Пусть то = t; тогда

rt = e^T^p^T ^гТое пт^р^т

и

е«к'^ =ехр(1т(Ра(т-г)рк'г‘^(3.31)

С помощью формул (3.27), передвигая ezkrt вправо в формуле (3.31), найдём

^k-rT = e^Tlpt^T-t^e-^Tlpt-^= е| [T(pt)-T(pt-7ik)](T-t)ezk.r^

(3.32 а) а также.

е^к-Гт = eik-rte| [T(pt + 7zk)-T(pt)](r-t),(3.32 Ь)

заменяя здесь к —к, имеем

e-^k rT = e-ik-rte^ VT(pt-Hk)-T(ptXT-t).

Это «приближение» будет использовано в (3.28) только для членов, пропорциональных а.

X именно, подставим (3.32а,Ь) под знак шпура, используя «приближение нулевого порядка» следующим образом:

Орр = {цЩГ^‘к'Г:1ЛР( - йк) - Нр№Д =

IJ арр

= Tr(SE)eS 1ты-т(Р1-нкКг-1)№ _ дк) _ /(pt)]jDto> (з.зз)

^рР = {Тг(5 Е) [Ж - йк) - Ж)]Же"^ }арр =

= Щ3.в)[/(р4 -Ьк) - f(pt)]ernPt-^-T(pMT-t)D^

Следует указать, что эти выражения умножаются на £(&)-величину, пропорциональную малому параметру а.

Мы, таким образом, полагаем, что члены первого порядка в правой части (3.28) оцениваются правильно. Это приближение как раз то, которое мы хотели получить. Далее будем переходить к пределу V —> ос, to —оо, а в конечном результате положим е 0. Но сначала раскроем выражения, задаваемые формулами (3.33) для £*рр and £арр. Вернёмся к соотношению

= Д(р)Шр) dp, справедливому для произвольной функции импульса F(p). В качестве F(p) выберем

F(p) = ei mPt)-T(Pt-nk)(r-t)[Ept _ дк) _ /(pt)]>

тогда имеем

£appe = dp е^ PXpbiXp-ftkMr-t)[др _ дк) _ др)]wt(р) =

=dpe-^ [T^p+^-T^^T-ty(p)IVt(p + Лк) -

(р^р+Лк)

- dp ей \.T(p)-T(p-^kHT-t) j(р)И^(p).

Легко видеть, что £*рр будет комплексно сопряжённым к £арр:

^арр = [ФеЧ mp+hk)-T(pWT-^ + йк) _

- dpei4(p-nk)-T(PWT-t)j^^^

Подставим теперь эти соотношения в уравнение (3.28). Переходя к пределу У ос, заменим суммы У-1^(...) соответствующими интегра

лами (2тг)—3 J oZk. В дальнейшем удобно также сделать преобразование к ^ —к в интегралах, содержащих Ж(р)« Введём также новую переменную интегрирования t — т = £, так что

tt-t0

jdr(...) = | d^...).

°oo

В пределе to —> —oo эти интегралы станут j d^ (...). Таким путём о

можем записать уравнение первого приближения в форме

=Щ,,рЩ'7к£1л-(р’к)’

где

Ле(р, к) = рД-Д(1+МД^Ж + л^е-МЖ] х о

х^Арл^Др + Tik) - е’^^^Др)] +

/^е"£^ШКЦ^Ше^ х

О

х^А^ИДр + Лк) - e-^Ap^W^p)]

5 Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.)

"л _ Т(р + №)-Т(р)

В связи с тем, что / (р) — произвольная функция импульса р, это уравнение сводится к

Щр> _ ,,.Е((). Щр> =А11р. к).(3.34)

diу J др (2тг)3 J 2Пш(к) J v 7

Собирая члены в выражении Л£(р, к), найдём

Л(р,к) = [(1 Г Nk)Wt(p Г Tik) — NkWt(p)] х

е-^е~^Р,к-Цк^^+е-^е~^Р,к-Цк^^+е-^ег^Р,к-шЦГД дЛе-^ег^Р,к-шЦГД дЛ

е-^е~^Р,к-Цк^^+

е-^е~^Р,к-Цк^^+

е-^ег^Р,к-шЦГД дЛ

е-^ег^Р,к-шЦГД дЛ

оо

+ WkWt(p + hk) - (1 + Ж)Ж(р)] х

е-^е-^Р,кГш(к^ ^ +Ое-^е-^Р,кГш(к^ ^ +О

е-^е-^Р,кГш(к^ ^ +

О

е-^е-^Р,кГш(к^ ^ +

О

ЗдесьЗдесь^к _ е-ЗПш(к) *^к _ е-ЗПш(к) *или, короче,или, короче,Л(р,к) =Л(р,к) =Wt(p + Йк) - e'^^^W^p)1 _ е-0Тгш(к)Wt(p + Йк) - e'^^^W^p)1 _ е-0Тгш(к)De^^p,k ш(к^ +De^^p,k ш(к^ +

Здесь

Здесь

^к _ е-ЗПш(к) *

^к _ е-ЗПш(к) *

или, короче,

или, короче,

Л(р,к) =

Л(р,к) =

Wt(p + Йк) - e'^^^W^p)

1 _ е-0Тгш(к)

Wt(p + Йк) - e'^^^W^p)

1 _ е-0Тгш(к)

De^^p,k ш(к^ +

De^^p,k ш(к^ +

И^р^ИгкК^УУ^1 _ е-3кш(к)И^р^ИгкК^УУ^1 _ е-3кш(к)^MDs^pk+^k)^^MDs^pk+^k)^

И^р^ИгкК^УУ^

1 _ е-3кш(к)

И^р^ИгкК^УУ^

1 _ е-3кш(к)

^MDs^pk+^k)^

^MDs^pk+^k)^

Ds3) = | e-£l^e^z at

Заметим также, что

lim De^p,k т Цк^ = 2тг5(ДрЛ Т 4^3 = 2тг5 ( ^^ ^ М^

Е^О\ Ц

= 2irTi5(Ti/\Pik =f Tiu(k)\

Поэтому

lim Ле(р, k) =^[^(р + йк) - e"^WWt(p)] х

е^и1 — е ' '

х 5Л(р + йк) - Т(р) - кш^кЗ +

+ ^w) №(Р +- W)] X

X 5(Т(р + hk) - Т(р) + КЦк)).

Сделаем теперь последний шаг, полагая е 0 в уравнении (3.34). В результате получим уравнение первого приближения в окончательной форме:

Жф) _ F/.x dWt(p) _1di U' dp (2^2.Жф) _ F/.x dWt(p) _1di U' dp (2^2.dkdk£2№£2№ЫМ\-е-9ИЧЫМ\-е-9ИЧ

Жф) _ F/.x dWt(p) _1

di U' dp (2^2.

Жф) _ F/.x dWt(p) _1

di U' dp (2^2.

dk

dk

£2№

£2№

ЫМ\-е-9ИЧ

ЫМ\-е-9ИЧ

х [ИЦр + Йк) - e-^(fc)Wt(p)]5(T(p + Йк) - Т(р) - Ъш^ +

11dkdk2Ц/г)(1 -e-^®)2Ц/г)(1 -e-^®)

1

1

dk

dk

2Ц/г)(1 -e-^®)

2Ц/г)(1 -e-^®)

х [Wt(p + Кку-^к - Wt(p)]5(T(p + Лк) - Т(р) + Ъш^\ (3.35)

Итак, мы получили обобщённые уравнения Больцмана. Остановимся теперь на рассмотрении важного частного случая

Тогда под знаком 5-функций войдут выражения

5 ((р t ± М^А ■у 2т 2ту

Тогда очевидно, что уравнение (3.35) будет обычным уравнением Больцмана, интегральные члены в правой части которого соответствуют однофононному испусканию и поглощению. Такое уравнение Больцмана интенсивно изучалось при исследовании транспортных свойств.

(2тг) JX [ТУ(р + Лк) - e-9K^kW(.p^5 ((р 2^к)2I 1 f^2(^)(2тг) JX [ТУ(р + Лк) - e-9K^kW(.p^5 ((р 2^к)2I 1 f^2(^)Для изучения стационарного состояния, когда электрическое поле не зависит от времени, из (3.35) имеем:

(2тг) J

X [ТУ(р + Лк) - e-9K^kW(.p^5 ((р 2^к)2

I 1 f^2(^)

(2тг) J

X [ТУ(р + Лк) - e-9K^kW(.p^5 ((р 2^к)2

I 1 f^2(^)

- тКш^кА +2т у

1 (2Ц2 JХ

х [ТУ(р + ЛкК^^ - Щр)]5 ((Р ^ ^ - ^ + Ык)\ ■ (3.36)

При рассмотрении специального случая низких температур множителем е-^Пш^ можно пренебречь в (3.36). Полученное таким путём

5*

уравнение рассматривалось в работе [6] Дефризом и Эвардом для поляронной модели Фрёлиха. Они обнаружили весьма сложное поведение функции распределения W(p), указывающее, по-видимому, на появление существенной особенности при Е = 0.

В заключение скажем несколько слов об упрощённом способе приближения к определению зависимости между приложенным электрическим полем и средней равновесной скоростью V электрона.

Умножим обе части уравнения (3.36) на р и проинтегрируем по всему пространству импульсов. После простых преобразований найдём

1 [ль

(2тг)2 J 2c(fc)(l-e-^W)

1(2тг)\1(2тг)\dkdk- 1) .- 1) .\ Д11Ь11 ь/\ Д11Ь11 ь/

1

(2тг)\

1

(2тг)\

dk

dk

- 1) .

- 1) .

\ Д11Ь11 ь/

\ Д11Ь11 ь/

(3.37)

Здесь, согласно обозначениям главы 1,

(3.38)(3.38)Е = -ес£,

(3.38)

(3.38)

где £ обозначает внешнее электрическое поле.

Таким образом, это есть точное следствие уравнения Больцмана. Сделаем «грубое приближение», выбирая в качестве пробной функции для VC(p) «сдвинутую» функцию распределения Максвелла со средней скоростью V:

/ в \3/2 р2

W(p) = рм(р - mV), рм(р) = ( ^^) е"*3^, и подставим это распределение в уравнение (3.37). Это приведёт к приближённому уранению

1 [ль AkW

(2тг)2 J 2c(fc)(l-e-W))

dp рм(р)5 (^-^"

1 ль £ (k)hk

х dppM(p)8 (^Г_х dppM(p)8 (^Г_(2тг)2 J Цк))е^

х dppM(p)8 (^Г_

х dppM(p)8 (^Г_

+ П^Л- П[ш(к) - к ■ V] ) . (3.39)

Заметим, что

55+ ^—^ k\u(k) - к • V]+ ^—^ k\u(k) - к • V]1(2^)1(2^)\.(kW * exp гк\ 2m\.(kW * exp гк\ 2m^ + ЛМ^)-к-У] к dC^ + ЛМ^)-к-У] к dCj / (kk)j / (kk)+ k^^ — k(w(k) - к • V) т+ k^^ — k(w(k) - к • V) т1(2^) .1(2^) .лл. ( (kk\exp г — \ 2m. ( (kk\exp г — \ 2mк • рк • р+ П^р - ЬИк) - к ■ V]) С d^+ П^р - ЬИк) - к ■ V]) С d^ИИрм(р)е г^ mP dp = expрм(р)е г^ mP dp = expж(р)е^ m₽ dp = expж(р)е^ m₽ dp = exp№2 е2т р2т Р№2 е2т р2т Р

5

5

+ ^—^ k\u(k) - к • V]

+ ^—^ k\u(k) - к • V]

1

(2^)

1

(2^)

\.(kW * exp гк

\ 2m

\.(kW * exp гк

\ 2m

^ + ЛМ^)-к-У] к dC

^ + ЛМ^)-к-У] к dC

j / (kk)

j / (kk)

+ k^^ — k(w(k) - к • V) т

+ k^^ — k(w(k) - к • V) т

1

(2^) .

1

(2^) .

л

л

. ( (kk\

exp г — \ 2m

. ( (kk\

exp г — \ 2m

к • р

к • р

+ П^р - ЬИк) - к ■ V]) С d^

+ П^р - ЬИк) - к ■ V]) С d^

И

И

рм(р)е г^ mP dp = exp

рм(р)е г^ mP dp = exp

ж(р)е^ m₽ dp = exp

ж(р)е^ m₽ dp = exp

№2 е

2т р

2т Р

№2 е

2т р

2т Р

Поэтому из (3.39) найдём

ес£ =ес£ =2ш^к)2ш^к)

ес£ =

ес£ =

2ш^к)

2ш^к)

2m \ p2m \ p. (3.40). (3.40)ein\w(k)-k-V^ е-гЦш(к)-кЛ2^\

2m \ p

2m \ p

. (3.40)

. (3.40)

| _ е-0Тгш(к) еЗПш(к) _ ^ I 6XP

Это приближённое уравнение было получено в работе [30] К. К. Торн- бергом и Р.П. Фейнманом для случая малых взаимодействий 9. Они обнаружили, что подвижность, полученная из уравнений (3.40) в пределе слабой связи, не согласуется с подвижностью, получаемой из стандартного рассмотрения уравнения Больцмана. Мы здесь видим, что это несогласие вызвано использованием неадекватного приближе-

9 В их обозначениях и системе единиц

к = 1,е =

V1/2 \2ш(к) у v 7

уравнение (3.40) имеет вид

+Г°9 f iMw(k)-k.VU -tnVw(k)-k.V^\ Г r.2 / а2 '

Е = d^VICfcl2 ехр- - г^

JI J _ е-6Пш(к) е6Пш(к) _2т \ Р s

-ОО (к)\'

Это соответствует формуле (3.17) в упомянутой работе [30].

ния, т. е. выбором в качестве пробной функции распределения по импульсам — максвелловским распределением «около средней скорости» V в уравнении (3.37), которое само по себе есть точное следствие уравнения Больцмана. Связь между формулой (3.37) и использованием распределения Максвелла в качестве пробной функции равновесного распределения была также замечена Дж. Дефризом (частное сообщение).

Линейная модель полярона

Мы хотим здесь показать, что результаты статьи [6], так же как и [30], касающиеся вычисления импеданса в модели полярона, могут быть получены непосредственно без использования метода континуального интегрирования.

Начнём с рассмотрения точного уравнения (3.36), в котором в качестве произвольной функции импульсов / (р) выберем

/(р)=Р-(3.41)

Обозначим средний импульс электрона через

(p)t = jp W dp.

Введём обозначение

Tr^e^Ce-ik-rW^ =(3.42)

при этом

Из уравнения (3.36) с учётом (3.41), (3.42) следует:

+ ert-E(t) = -1X

tГ

1 2stV £2(k)k” Vе ^2^(fc)(l -e-^^*) X

t

x|+eiw(kKt-T)e-PMk^(3 43)

to

Это ещё точное соотношение. Чтобы получить из него какое-то приближённое уравнение, надо найти соответствующую аппроксимацию

выражений ^^^W) в явной форме. Для этого целесообразно ввести в рассмотрение модельный гамильтониан, который приводил бы к точно решаемым уравнениям движения. Чтобы получить надлежащее приближение, этот модельный гамильтониан должен быть выбран так, чтобы поведение т^ как-то подражало поведению истинной траектории, соответствующей точному гамильтониану (3.5).

Е = О,Е = О,Рассмотрим первый случай, когда внешнее поле отсутствует:

Е = О,

Е = О,

(3.44)

и возьмём гамильтониан

2<2 2

(к)

■/ я \1/2

+М МЮктй+Щ), (3.45)

(АО V V

где Л(к) — сферически симметричная функция к, а и(к) — сферически симметричная функция и также существенно положительная:

^(к) > 0.

До того, пока мы не совершили предельного перехода П ею, предполагается, что объём V финитен и число членов пу в суммах по к также финитно. Тогда соответствующие уравнения движения Гейзенберга образуют финитную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и, таким образом точно решаемую, т. е.

dr _ рdtm ’

'4 - ~Л(ц - ^Е tig лщкМ) + Е(»)1.

(к) Х 7

/\ 1 /2

-Е) = _w^bky -A(fc)k-r(t),

kt /J /।X1/2

= ы/^ m + i /£\ Мк^к-гШ, (3.46)

dt \ ) -kv , yi/2 yhv(k)J ’ v ’ v ’

r(t0) = r, p(t0) = p, ЫУ) = bk, bLk(t0) =

Покажем теперь, что при соответствующем выборе константы С2 гамильтониан (3.45) станет трансляционно-инвариантным. Начнём

с тождествас тождества(к) V v(к) V vA(fc) \ А гк • гv^hv^y^) у k Vl/2

с тождества

с тождества

(к) V v

(к) V v

A(fc)z/(/=)[2^(fc)]'/2A(fc)z/(/=)[2^(fc)]'/2•/ й \1/2

A(fc)z/(/=)[2^(fc)]'/2

A(fc)z/(/=)[2^(fc)]'/2

(k-r)2,(k-r)2,= riwWk + ^ 52 (мй) 'Ybk~

(k-r)2,

(k-r)2,

K(k), v^K(k), v^и заметим, что благодаря сферической симметричности функций

K(k), v^

K(k), v^

y^ATAw1^y^ATAw1^V^k2.

y^ATAw1^

y^ATAw1^

w3^

По этой причине

нЧ) =нЧ) =1 у-' Л2 (А:) V Г^ТТ1 у-' Л2 (А:) V Г^ТТ

нЧ) =

нЧ) =

1 у-' Л2 (А:) V Г^ТТ

1 у-' Л2 (А:) V Г^ТТ

+ £мю А + А?(k) V V+ £мю А + А?(k) V VЛ.(к')\ А гк • г Л(к)

+ £мю А + А?

(k) V V

+ £мю А + А?

(k) V V

Нк№Мк)У/2) у к Vi/2 и^У^кУ42

Поэтому, если выбрать

С2 = А У АД 72(3.47)

то гамильтониан H^L>> станет инвариантным по отношению к трансляционной группе

г - г+r. <>» -»»+ул miAL|№ ■ (3-48)

Такая инвариантность должна привести к существованию сохраняю- щегос вектора Р,

= °’(ЗЛ9)

который можно представить себе как «суммарный импульс». Для нахождения выражения для Р заметим, что из (3.6) следует

d\bk(t) - bLk(t^ ./.х z.xi

dt = - ivWMt) - bLyty -

и отсюда

1 А^У/2к =

at у'/2 ^2i/(fc))v 1 v(k)

= -Д E ti AWk|Mt) + g„W|

^ + A(,)-l£^|k.r№

Но здесь, благодаря (3.47),

4 Eti к. r(f)k = «^a g = CW

Поэтому Г/\ 1/21

Из этого следует, что сохраняющийся вектор «суммарного импульса» имеет вид

/\ 1/2

^P-ti^tiHti) 1йИ0-blA.(f)l- <3.50) (к)

Введём теперь внешнее электрическое поле, заменяя гамильтониан на

Я^ =я^+Е(г)-г.(3.51)

Поскольку Н^ коммутирует с Р и поскольку

^рЛ^ = [рд,г7] = -гЫ^,/3,7 = 1,2, 3,

мы видим, что

= -Е(3).(3.52)

Понятно, что для гамильтониана (3.5) при условии (3.44) трансляционная группа определяется преобразованием

г г + R, bk ^e-iklR(3.53)

В этой ситуации «суммарный импульс» задаётся выражением

Р = р + £7гкг>Щ.(3.54)

В случае, когда внешнее поле включено, Р также удовлетворяет уравнению (3.52).

Рассмотрим гамильтониан (3.51), соответствующие уравнения Гейзенберга и начальные условия для статистического оператора Dt. Мы воспользуемся той же формой этих условий, что и в (3.10):

Dto=p^DL^Y

Только теперь, естественно, возьмём

D^ = const • expl — [3^^1iu(k)b\.bk

Здесь D^ — оператор для статистически равновесной модельной системы Е. Уравнения движения для модельной системы 5 + Е будут

= р№>

4 1/2(355)

^) = -см^ - Ут? ЕI ет) ^№Ык + bYk(tY - E(tY

,\ 1/2

—^— = ivtkW , HI | A(fc)k • r(t),dtv j -k ^1/2J ’ x '

r (to) = Г, p (to) = p, bk40 = bk, btk40 = bYk,

из которых следует:

bk^ = bke"W-^ -U^\ A(fc)j dre-Wk-T^

to

b^ kW = b^ kew^k^t-t^ H () A(fc) [ dr e^^^^k ■ г(т).

-к -кVх'2 \ 2hikk) / J

to

Подстановка этих выражений в уравнение (3.55) приводит к уравнению

^^ + C2r(t) + А Е5§У dTk' г(т)(ег1,^-т) - е"Ик^-Т^ =

Выполним интегрирование по частям:

t

i| drk ■ r(r)(e"(fc)(t-T) -=

to t

= —^ f <Hk ■ r(r)^- (eiv*^ + e"™^-^) = Jат

to

9кМЛ9кМЛ2k • r^(42k • r^(42 f cos[z/(/c)(t —AtV-to2 f cos[z/(/c)(t —AtV-toMt)drMt)drcos \u(k)(t — t)],cos \u(k)(t — t)],

9кМЛ

9кМЛ

2k • r^(4

2k • r^(4

2 f cos[z/(/c)(t —AtV-

to

2 f cos[z/(/c)(t —AtV-

to

Mt)

dr

Mt)

dr

cos \u(k)(t — t)],

cos \u(k)(t — t)],

и напомним, что

4 E ^k ■=4 E А(Ц — A(f),

v ^ V (к)V ^Зи (к)

V ^ 3iM) 1 v A n dT ’

Тогда получим

^1 + _L f drK(t - т)р(т) = -vK^t - t0) -

at TTt J

to

./. xl/2

"MkMbke-^k№-to) + b^MMt-to^ _ EW>

(3.57)

K^t -t) =cos MkW-T)).(3.58)

(3.59)(3.59)Рассмотрим усреднение этого уравнения по начальному статистическому оператору

(3.59)

(3.59)

и обозначими обозначимDt0 = p(S)D^)

и обозначим

и обозначим

т*М№) = (p(t)) = Tr(SB)p(t)A0-W = Тг^гД =Tr(S) rP<sY

Поскольку (^) = 0, ^_к) = 0, уравнение (3.57) приводит к t

т* ^^ + | (ЩУ(т)да-т) = — (r)K(t —to) -E(t).(3.60)

Здесь (V(t)) — средняя скорость частицы.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда E(t) — периодическая функ- ци t, помноженная на множитель e£t (е > 0), соответствующая включению внешнего электрического поля при t —сю. Будем искать стационарные решения уравнения (3.60), т. е. решения, представляемые произведением множителя e£t и периодической функции.

Поскольку уравнение (3.60) является линейным уравнением, мы можем ограничиться рассмотрением простейшего выражения

E(t) =(3.61)

Действительно, если бы E(t) была суммой таких членов с различными частотами со, то результирующее устойчивое решение уравнения (3.60) должно было бы быть суммой решений вида (3.61).

Итак, рассмотрим уравнение

t

+ j dr-т) =

Подставляя здесьz х

получим

Cm*Hw + £) + K^e^-^dtW,о

Определение (3.58) приводит к

111

1

1

0(fc) v 7 xОбозначим0(fc) v 7 xОбозначиме — г\ш + ^(/с)] е — г\ш — ^(/с)] ) *е — г\ш + ^(/с)] е — г\ш — ^(/с)] ) *

0(fc) v 7 x

Обозначим

0(fc) v 7 x

Обозначим

е — г\ш + ^(/с)] е — г\ш — ^(/с)] ) *

е — г\ш + ^(/с)] е — г\ш — ^(/с)] ) *

(3.62)

\l<(t^1^)

о— оо

ш + is — Q ‘

Поэтому

т*(—гш + е) + гт*(—гш + е) + гш + гг — Qш + гг — Q(V(t)) = -Е^Щ^^.(V(t)) = -Е^Щ^^.Но благодаря (3.38)Но благодаря (3.38)Ец; —^С^Ш)Ец; —^С^Ш)

т*(—гш + е) + г

т*(—гш + е) + г

ш + гг — Q

ш + гг — Q

(V(t)) = -Е^Щ^^.

(V(t)) = -Е^Щ^^.

Но благодаря (3.38)

Но благодаря (3.38)

Ец; —^С^Ш)

Ец; —^С^Ш)

и по определению тока

LW = -ec(V(t))

получаем уравнение

^Х.^-Л^ = ^Л"^. (3.64)

Си | 1/С и и /

Совершим теперь предельный переход V оо, предполагая, что для любого действительного ш и положительного £

1^—v ш + ге — Q1^—v ш + ге — Qададапапш + гг — Qш + гг — Q(3.65)(3.65)

1^—

v ш + ге — Q

1^—

v ш + ге — Q

ад

ад

ап

ап

ш + гг — Q

ш + гг — Q

(3.65)

(3.65)

После совершения такого предельного перехода положим в уравнении (3.64) е 0: тогда получим

КАЬ =КАЬ =1

КАЬ =

КАЬ =

ry (\)

ZW)

где

(3.66)(3.66)= -m*iw + i [ J(Q).ш - Q + г0

(3.66)

(3.66)

Выбирая здесь заряд электрона ес за единицу, видим, что выражение (3.66) представляет как раз импеданс, соответствующий частоте —и.

Как мы увидим позже в связи с процессом предельного перехода, все выражения, которые будут нами использованы, включая (3.42), зависят только от функции J(Q), а не от частного выбора функций v^kY X^kY Поэтому сначала выберем подходящее выражение для J^Y Выберем J(Q) так, чтобы выполнялись следующие условия:

J(Q) — аналитическая функция комплексной переменной, регулярная в полосе

|ImQ| < t]q.

J^ = J^-^Y

| J(f?)| ^ C/|Q|2 для |O| > wq, где wo, С — постоянные.

Для действительных значений Q

Далее возьмём выражения для K^k\ v^ такие, что 9

VV—V— < —, где Ci - постоянная, не зависящая от V, 6^2(/с)

V

V

(3.676)

1К2(к)к2V ^ 6i/2 (АО1К2(к)к2V ^ 6i/2 (АОJ^ М 0 < щоJ^ М 0 < що(3.67с)(3.67с)

1К2(к)к2

V ^ 6i/2 (АО

1К2(к)к2

V ^ 6i/2 (АО

J^ М 0 < щ

о

J^ М 0 < щ

о

(3.67с)

(3.67с)

В рассмотренной ситуации ясно, что соотношение (3.65) справедливо для любого фиксированного с > 0 и что сходимость здесь равномерна по отношению к ш (в интервале —сю < ш < +сю).

Введём функцию комплексной переменной W:

A(W) = гA(W) = г(3.68)(3.68)

A(W) = г

A(W) = г

(3.68)

(3.68)

Видим, что она регулярна для |Im ИЦ > 0. В связи со свойствами (3.67) легко видеть, что

Л(ТУ) =Л(ТУ) =ImH^O.ImH^O.(3.69)(3.69)

Л(ТУ) =

Л(ТУ) =

ImH^O.

ImH^O.

(3.69)

(3.69)

Здесь благодаря (3.62)

+ оог I ЦП)+ оог I ЦП)апw-папw-пг Л.2(к)к2v да 61/2 Ч)г Л.2(к)к2v да 61/2 Ч)1111W - v(k) W + v(k) I ’W - v(k) W + v(k) I ’

+ оо

г I ЦП)

+ оо

г I ЦП)

апw-п

апw-п

г Л.2(к)к2v да 61/2 Ч)

г Л.2(к)к2v да 61/2 Ч)

1

1

1

1

W - v(k) W + v(k) I ’

W - v(k) W + v(k) I ’

и потому эта функция аналитична во всей комплексной плоскости и имеет особенности — полюсы на вещественной оси: W = -ЪЦк). Однако, предельная функция имеет разрез по всей действительной оси

А(щ + гО) - А(щ - гО) = 2тт7(щ) > 0.

Итак, имеем две аналитические функции

Одна из возможностей нахождения таких выражений для функций ЦкЦ i /2тгп1 2тт2 2ттз\

Цк) состоит в следующем. Мы берем к = у L , L )’=

rii,ri2,ri3 — целые положительные и отрицательные; предполагается, что п2 + + ril + ril ф 0, — это исключает появление нулевого значения к в суммах по к). Затем положим v(k) = s|k|, К(к) = 2тг2(83/|к|2)J(s|k|), где s — положительная постоянная, не зависящая от V.

при Im W ^ О,при Im W ^ О,(3.70)(3.70)A_(W) = —г J(Q)A_(W) = —г J(Q)anw-пanw-ппри Im W < О.при Im W < О.

при Im W ^ О,

при Im W ^ О,

(3.70)

(3.70)

A_(W) = —г J(Q)

A_(W) = —г J(Q)

anw-п

anw-п

при Im W < О.

при Im W < О.

Благодаря свойствам (2) и (4) в (3.67а) эти функции просто связаны друг с другом:

A_(W) = -A+(-W) for 1тЖ<0.(3.71)

Поэтому нам требуется исследовать только одну из них, например А+( —W). Обозначим

Re W = со, Im W = у > 0.Re W = со, Im W = у > 0.(3.72)(3.72)

Re W = со, Im W = у > 0.

Re W = со, Im W = у > 0.

(3.72)

(3.72)

Тогда для любого фиксированного оц > 0

А+(ш + гу)А+(ш + гу)= г|Q—cj|>cji= г|Q—cj|>cjiJ(Q)J(Q)anco + гу — Пanco + гу — П+ г+ гДП)ДП)со — П — гу(ш — П)2 + у2со — П — гу(ш — П)2 + у2ап.ап.НоНосо — П(ш - П)2 + у2со — П(ш - П)2 + у2W1 ап = -W1 ап = -пtf + y2пtf + y2ап = о,ап = о,

А+(ш + гу)

А+(ш + гу)

= г

|Q—cj|>cji

= г

|Q—cj|>cji

J(Q)

J(Q)

an

co + гу — П

an

co + гу — П

+ г

+ г

ДП)

ДП)

со — П — гу(ш — П)2 + у2

со — П — гу(ш — П)2 + у2

ап.

ап.

Но

Но

со — П

(ш - П)2 + у2

со — П

(ш - П)2 + у2

W1 ап = -

W1 ап = -

п

tf + y2

п

tf + y2

ап = о,

ап = о,

и, таким образом,

А+(ш + гу)А+(ш + гу)= г= г|Q—cj| >ш\|Q—cj| >ш\v со + гу — Пv со + гу — П' J(Q) -. (ш - П)2 + у2' J(Q) -. (ш - П)2 + у2ш+шх(со - Q) ап +ш+шх(со - Q) ап +J(n)J(n)У(ш — Q)2 + у2У(ш — Q)2 + у2ап.ап.(3.73)(3.73)

А+(ш + гу)

А+(ш + гу)

= г

= г

|Q—cj| >ш\

|Q—cj| >ш\

v со + гу — П

v со + гу — П

' J(Q) -

. (ш - П)2 + у2

' J(Q) -

. (ш - П)2 + у2

ш+шх

(со - Q) ап +

ш+шх

(со - Q) ап +

J(n)

J(n)

У

(ш — Q)2 + у2

У

(ш — Q)2 + у2

ап.

ап.

(3.73)

(3.73)

Отсюда следует, что

А+(о;) = lim А+(о; + гу) = 7/^0

= г|Q—cj| >шх= г|Q—cj| >шх(374)(374)+ г f(ZQ + 7г .

= г

|Q—cj| >шх

= г

|Q—cj| >шх

(374)

(374)

ш — П J ш — П

Итак, A+(cj) — аналитическая функция также и на действительной оси. Используя (3.73), легко показать, что

|Д+Н1^,|И7Н^.(3.75)

Далее имеем

A+(cj) = А_(щ) + 2tfJ(cj) = — А+( — и) + 2tvJ(u).

Благодаря условию (1) функция —А+(—Q) + 2ttJ(cj) аналитична в области

0>ImW ^-pQ.(3.76)

Поскольку она совпадает с A+(cj) на действительной оси, видим, что А+(щ), ранее определённая для Im РИ > 0, может быть аналитически продолжена в область (3.76). Так, можем записать:

А+(ЕЕ) = -А+(-ЕЕ) + 2тг J(W) при 0 > Im W > -р0.(3.77)

Можно показать, что неравенство (3.75) справедливо везде для

Im ПО -р0.(3.78)

Рассмотрим теперь функцию импеданса

Z^W^ = -im*W^- A+(Q)

в области (3.78) и заметим, что в верхней полуплоскости и на действительной оси она не имеет нулей, поскольку ввиду (3.73)

ReZ+(W) >0 при ImOO.

Поэтому нули этой функции в рассматриваемой области (3.78), если они существуют, все должны быть заключены в области (3.76). Но

А+(Ж)->0 при

и по этой причине нули функции Z+(H^) могут быть найдены только в ограниченной области

|Re W\ < const, 0 > Im W > -p0.(3.79)

Как хорошо известно, аналитическая функция может иметь только конечное число нулей в такой ограниченной области. Если нули действительно содержатся в (3.70), то возьмём величину р > 0 такую, что —р больше, чем мнимые части этих нулевых точек. Если, с другой стороны, область (3.79) не содержит вообще нулей функции Z^^W\ выберем р = pq. В любом случае мы видим, что, выбирая подходящее значение р > 0, можем всегда добиться того, чтобы область

не содержала нулей функции импеданса Z+(W). Поэтому функция адмитанса XjZ^^^ — регулярная аналитическая функция в области (3.80). Её поведение в бесконечности задаётся соотношением

1_1_ _1^(W)_

Z^W) ~ -m*iW~ m4W + m*iW(-m4W + Д+(Ж)) ”

=4777 + 0(^1, |ТУНоо. (3.81) m %W \W3 )

В заключение рассмотрим пример. Возьмём

д+ (ПА = A f 777—! + 777—! , 7 > 0, Im W > -7, v2 у W — vq + г^ W + vq + г^ J

A-(H/) = -A+(-W)=^f—- +-Y ImW<7.

2 уЖ + Vq — zy W — Vq — J

Тогда

ЗИ = А [Л+М - Л" И = § 1,, + 1,, .

W\ (^ - ^o) +7(^ + VqY +7 /

(3.82)

В этом примере все наши условия выполняются. Сходный результат был бы получен также в случае, когда вместо одного члена (3.82) рассматривалась бы конечная сумма таких членов.

После этих довольно долгих рассуждений об аналитичности функции импеданса и адмиттанса вернёмся к нашему фундаментальному уравнению (3.57), в котором возьмём

(3.83)(3.83)Е(г) = Е^е“^

(3.83)

(3.83)

Решим его с помощью преобразования Лапласа. Итак, обе части (3.57)

умножим на фактор

(3.84)(3.84)ен w = n + i5,

(3.84)

(3.84)

и проинтегрируем по t:

dr K(t — т)р (t) =

to

77h V/2

= -r Ut ^KQ - Z0) " E £ J ^W"^ - Ж Ат МЖ X

dt ei(w+1/(fc))<e-il,(fc)<0dt ei(w+1/(fc))<e-il,(fc)<0(3.85)(3.85)

dt ei(w+1/(fc))<e-il,(fc)<0

dt ei(w+1/(fc))<e-il,(fc)<0

(3.85)

(3.85)

НоНо

Но

Но

dt егт ^Р^ = -регт° - iW j dte'lWtp(t), to^0

ootoooo

| dte^1^ dT К(t - т)р(т) - j K(t)ezWt dt j едагр (t) dt.

toto0Г

Поэтому

1m*1m*K4Vwtat0'K4Vwtat0'e^wtp^ =e^wtp^ =totoP(P(-reiWt” K4VWt-reiWt” K4VWtdt +Tdt +TMk)kMk)kbkeiWt°W - Цк)bkeiWt°W - Цк)bLkeiWt° \+ w + Hk); 'bLkeiWt° \+ w + Hk); '

1

m*

1

m*

K4Vwtat

0'

K4Vwtat

0'

e^wtp^ =

e^wtp^ =

to

to

P(

P(

-reiWt” K4VWt

-reiWt” K4VWt

dt +T

dt +T

Mk)k

Mk)k

bkeiWt°W - Цк)

bkeiWt°W - Цк)

bLkeiWt° \

+ w + Hk); '

bLkeiWt° \

+ w + Hk); '

Отсюда, благодаря (3.63),

| K(t)eiWt о| K(t)eiWt о

| K(t)eiWt о

| K(t)eiWt о

Обозначим

+ oo

(3.86)(3.86)-im*W + i I^^— = Z^v4wk

(3.86)

(3.86)

Затем получим

| dte1Wtp(t) = to

m*pe*wt«Z^fW)m*pe*wt«Z^fW)z\<v\W) iWtflZ^V\W)z\<v\W) iWtflZ^V\W)^WtQ^iwtQOw -^z^Xw^^WtQ^iwtQOw -^z^Xw^h V/2 Mk)keiwt°2v4)) Z(V\W)h V/2 Mk)keiwt°2v4)) Z(V\W)( bk\W -v^k)( bk\W -v^k)b-k AW + Hk) ) 'b-k AW + Hk) ) '

m*pe*wt«Z^fW)

m*pe*wt«Z^fW)

z\<v\W) iWtfl

Z^V\W)

z\<v\W) iWtfl

Z^V\W)

^WtQ^iwtQ

Ow -^z^Xw^

^WtQ^iwtQ

Ow -^z^Xw^

h V/2 Mk)keiwt°

2v4)) Z(V\W)

h V/2 Mk)keiwt°

2v4)) Z(V\W)

( bk

\W -v^k)

( bk

\W -v^k)

b-k AW + Hk) ) '

b-k AW + Hk) ) '

Но поскольку

1(2тг)1(2тг)Ят)^ ^т drЯт)^ ^т drd£l, t > to,d£l, t > to,

1

(2тг)

1

(2тг)

Ят)^ ^т dr

Ят)^ ^т dr

d£l, t > to,

d£l, t > to,

то, используя обозначения:

„• f „(5-»0)(t-to)

—TVS^ = K^ §Л ” to),

2tt J (£1 + i§ — v)Z^v\fl + 15)

1 +Г е^2ЛЛд_ dQ - 1 V ( 1 + A^fi + iS) A 2tt J Z(v4fl + i8) ~ 2тт* J ^ iQ - 5 (i£l - 5)Z(vH£l + 15))

x е^5"^"^ dn = g0(8,t - t0),

f А<^(О-Ид) (5_iQ)(t_to)^^

2tt J Z^in + id)S1V7

из (3.87) получим:

p(t) = P<s)(t) + р^Ч^ + p(s) W,p(s)(t) = m*pg0(5,t — to) - m*rg^5,t — to), (3.89)p(s) ^ = _m* ^ Еш/(ш> 5, t _ 1о)е-"\

p(S4t) =p(S4t) =—im*—im*EEn y/22v)k)) Xn y/22v)k)) X

p(S4t) =

p(S4t) =

—im*

—im*

E

E

n y/22v)k)) X

n y/22v)k)) X

x X(k)k\bkfbv(k), 5, t - to) + bLkf(-iAk), 5,t- t0)].

Следует подчеркнуть, что функции (3.88) зависят существенно от V.

Благодаря нашему выбору, который приводит к условиям 1)-4) и (3.67), мы можем совершить предельный переход У сю. До сих пор 5 могла быть произвольной положительной величиной. Выберем теперь

(3.90)

С другой стороны, легко видеть, что

g0(8,t -to) Фо^ -t0) =

| +f e(5-i^)(t-t0)

2тг

Z+(Q + z5)

dQ,

gx^t- t0) ^i(t - to) =

1

2тг

f(v, 5,t- t0)*Щ, t - to) =

A+(Q + гЗ) (5-^Q)(t-t0) tq Z_|_ (Q Ч-гЗ)

(3.91)

г

2тг

e(d-zQ)(t-t0) у^

(Q + гЗ — v)Z^Tt + гЗ)

при У оо. Учитывая тождество

1_1А(П + гЗ)

Z^-ViS) 5 — zQ (zQ — 5)Z(Q + гЗ)

и величину 3, фиксированную условием (3.90), можно показать, что сходимость

\f(v,8,t-to) -Ф^Д-^)\ О,

u\f(u,5,t~to) — Ф(^,^ —^0)| ^0,(3.92)

V ос

равномерна по отношению к действительному и, когда \t — /д| ^ Т, Т — постоянная, не зависящая от V.

Приступим к изучению поведения предельных функций Фо, Ф1 и Ф для t — to оо. Будет удобным напомнить, что функции A+(Q + гЗ); l/Z+(Q + z5) — регулярные аналитические функции переменной Q в области, где ImQ ^ — 5 — р = —33. Поэтому интеграция, происходящая в выражениях Фо, Фь может быть сдвинута от действительной оси к оси (—ЗгЗ — оо, — ЗгЗ + оо), что предполагает замену переменных

Q Q - ЗгЗ.

По этой причине

ф](^ _ to) = ф [ Щ1Щ12Д e-i^t-t0) ^^(t-to)^2тг J Z+(Q-z?7)

1 Г

^o(t - ^о) = ^-^75—— d-U в

2тг J Z+(Q - гр)

n(t-t0) _

поскольку

1

2тг

А+(П — гр)(р + zQ)Z+(Q — гр)

e-ifi(t-t0) dfie-^(t-t0)

p + гП

dQ = О

для t > to- Поэтому, принимая во внимание ранее сформулированные неравенства, получим

^^t-t^^Kve"*-^,

To(Z-to) <Кое-^-ЧTo(Z-to) <Кое-^-Ч(3.93)(3.93)

To(Z-to) <Кое-^-Ч

To(Z-to) <Кое-^-Ч

(3.93)

(3.93)

t > to,

где Kq, Кх — постоянные. Применим аналогичную процедуру к выражению Ф(иД — to). Мы должны только заметить, что в области ImQ + + 5 ^ — р функция под знаком интеграла (3.91) имеет полюс Q = и — id. Отсюда

^^Z+M 2тге^^Z+M 2тгеe-W-t0) dQe-W-t0) dQ(Q + id — z/)Z+(Q — ip)(Q + id — z/)Z+(Q — ip)

^^Z+M 2тге

^^Z+M 2тге

e-W-t0) dQ

e-W-t0) dQ

(Q + id — z/)Z+(Q — ip)

(Q + id — z/)Z+(Q — ip)

= е^ЩД A e-*-^ f Mn-«iKMt-to) cm

Z^v) 2тг(Q — ip — v)(Kl + 7?)Z+(Q — ip) ’

поскольку

(Q — ip — и)(Ш — ip)(Q — ip — и)(Ш — ip)dQ = 0, t > to-dQ = 0, t > to-

(Q — ip — и)(Ш — ip)

(Q — ip — и)(Ш — ip)

dQ = 0, t > to-

dQ = 0, t > to-

Выражения (3.94) приводят к следующим неравенствам:

Здесь Ks, Ко — постоянные.

Мы можем теперь перейти к вычислению выражений (3.42) в нашей модели, основанной на гамильтониане H^LV Имеем

Ф^ДМо) = Tre’k'r^T)e_’k'r^)Dto.(3.96)

Здесь индекс (а) указывает на использование приближения — вместо функции r(t), определённой точными уравнениями движения с данным гамильтонианом подставлена функция r(t), определяемая уравнениями (3.56), соответствующими модельному гамильтониану Н^.

Приближённое уравнение, которое предлагается решать вместо точного соотношения (3.43), сформулируем в виде

t

(p)t ,..1 Г „k£2(fc)Г ,_

+ E(t) = - lim т dkv 7, . dT e 1

dt w ^>0.^0 (2тг)3 J 2ш(к)(Д ~ е ^™ С J

^иДк^-т) +е-г^кШ-т)е-0Ык^ Ит lim фИ^)- to^ — OO V-^oo

11lim TE>0,E^0 (2тг)3 ,lim TE>0,E^0 (2тг)3 ,dkdkk£2(fe)2^(1 - e"№ujW)k£2(fe)2^(1 - e"№ujW)dT e T| xdT e T| x

1

1

lim TE>0,E^0 (2тг)3 ,

lim TE>0,E^0 (2тг)3 ,

dk

dk

k£2(fe)

2^(1 - e"№ujW)

k£2(fe)

2^(1 - e"№ujW)

dT e T| x

dT e T| x

x ^-mkKt-T) + eMk№-T)e-0Wk^ lim Нт ф*(°)(^т^0).(3.97)

to^ — OO V-^oo

Замечаем, что уравнение это получается из (3.43) заменой Ф^ на Ф^ и предельным переходом V ос, to —ос, s 0.

Чтобы придать приближённому уравнению (3.97) явную форму, раскроем выражение (3.96) для Ф^. Обратим прежде всего внимание на то обстоятельство, что рассматриваемые «модельные уравнения» (3.56) являются линейными, ввиду чего коммутаторы

WjW^K^V j,/= 1,2,3

будут с-числами. Поэтому

^ik-r(r) ^—ik-r(t) = е| [k-r(r),k-r(t)]eik-[r(t)-r(r)]

Ф^Ч^-Х = e"ik'rW = ei 1к'гМ-к'г<*)1Тг._,ехрОл [ ^М ^3 д

Т(3.98)

Подставив сюда (3.89) и заметив, что

Dto = p(SX^> D(X = const • exp(-0^2?iv(kXbk\(3.99)

Tr(s)p(S) = 1, Tt:(E)Z)(S) = l, из (3.88) получим

Ф^Дт^о) = Ф^Ч-т.ХФкЧ^ т,М, (3.100)

t• p^E\s) ds\ хt• p^E\s) ds\ хх Тг ехр -г —( ;\ mх Тг ехр -г —( ;\ mtp^\s)ds] Dp), (3.101)tp^\s)ds] Dp), (3.101)

t

• p^E\s) ds\ х

t

• p^E\s) ds\ х

х Тг ехр -г —

( ;\ m

х Тг ехр -г —

( ;\ m

t

p^\s)ds] Dp), (3.101)

t

p^\s)ds] Dp), (3.101)

Ф^\1,тДо) = е2 [к-гИ,к-г(£)] ехр| -гДг

(3.102)(3.102)^k4br,t0) = Tr(s) exp(-p ■ p(s)(s)ds) p(S\

(3.102)

(3.102)

Имеем далее

[к ■ г(т),к • r(£)][к ■ г(т),к • r(£)]t= ^ к-г(т), k-p(s)ds ,t= ^ к-г(т), k-p(s)ds ,г(т) = r(t) -г(т) = r(t) -t'^ds, mt'^ds, m

[к ■ г(т),к • r(£)]

[к ■ г(т),к • r(£)]

t

= ^ к-г(т), k-p(s)ds ,

t

= ^ к-г(т), k-p(s)ds ,

г(т) = r(t) -

г(т) = r(t) -

t

'^ds, m

t

'^ds, m

1m1m[k • r(r), к • p(s)] = [k • {r(r) - r(s)}, к • p(s)] + iTik2 =

1

m

1

m

к • p(a) da, к • p(s) + iTtk2.

Таким образом,

[к ■ г(т), к ■ г(t)] = ^_ (t - т) - (^г) j ds j da [к • р(<т), к • p(s)] =

= %k= %k^^■т^ (^7) jds j dcrfk ■p^’^^■т^ (^7) jds j dcrfk ■p^’k-p(s)],k-p(s)],

= %k

= %k

^^■т^ (^7) jds j dcrfk ■p^’

^^■т^ (^7) jds j dcrfk ■p^’

k-p(s)],

k-p(s)],

поскольку

k-p(6^. k-p(O<^ =0k-p(6^. k-p(O<^ =0

k-p(6^. k-p(O<^ =0

k-p(6^. k-p(O<^ =0

t s t t t t

||л + ||л = ||л = о.

Отсюда на основании (3.89) и учитывая, что составляющие

р(£) = p(S)(Z) + р(2Д) + Р(В)(^)

коммутируют между собой, найдём

[к ■ г(т), к ■ r(t)] = г~^гЧ - т) + (Д^) |ds|da[k ■ p^fa), к ■ p(s)(s)] +

t t

+ (Дг) | ^s| da\k • р^(сг), к • p(s\s)]. (3.103)

Здесь, ввиду (3.89),

(^) [k-P^M-k-p^s)] =

= iKk2)g0(5,<7 - t0)g^5,s-to) - go^.s- t0)g^5,<j - t0)] (3.104)

И

(Дг) [к ■ р^в^(<т), к ■ p^E\s)] = k2\_F(<j, s,t0) -F(s, ст, to)], (3.105) где

F(a, s, to) = 2, V ^ . —^ ^Д . )f(v(k), 5,a — to) x

v V ^6v(k) (x - e-0Mky

x f^-v^k), 5,s -t0) + e ^^f^-v^k), 5, a - to)/M&), 5, s - t0)]

или

F(cr,s,t0) =F(cr,s,t0) =dvlM-—Д^- V^k),5,a-t0)f(-v(k),5,s-t0) +

F(cr,s,t0) =

F(cr,s,t0) =

J 1 — e 0

+ e-^(fc)/(-z/(fc), 5, ст - Ш<5, s - t0)]. (3.106)

Заметим далее, что ввиду формы (3.99) оператора Dl(^) и линейности p(s(s)) по отношению к бозе-операторам можем написать 9:

Тг ехр -г —( ;\ тТг ехр -г —( ;\ тt■ р^сОсД)-0^) =t■ р^сОсД)-0^) =

Тг ехр -г —

( ;\ т

Тг ехр -г —

( ;\ т

t

■ р^сОсД)-0^) =

t

■ р^сОсД)-0^) =

= ехр= ехр-АТг<2 m2-АТг<2 m2;х 2-

= ехр

= ехр

-АТг<

2 m2

-АТг<

2 m2

p(s)(s)ds) Dl(^) =

9 Здесь использована формула (еА) = е^2^2, где А — линейная форма по бозе-операторам, а усреднение происходит по квадратичному гамильтониану вида ^EwbUu.

= ехр

t

1 '

2m2 v

t

ds da Tr(s)

к • p(s\s) к • р^^Вь^)

= exp

2

ds

da F(s,a,F)

(3.107)

Напомним также, что

Л PS(t) = - Е ЕШМ 5, t -

Принимая во внимание (3.67), (3.91) и (3.92), получим

(3.108)

к2

[к • г(т), к • г^у^оо гТь— (t - т) +

t t

+ гТгк21 ds j da [Фо(<т - <о)Ф1(« - to) - Фо(б - #о)Ф1(<7 - to)] +

Т S

+ к2 | ds^ da^F^a, s, to) - Foo(s, a, to)]. (3.109)

Здесь, в связи с (3.106), выполняется

F^a, s, to) = Jim F(a,s,F)= J^ о

x [Ф(^, a - ^)Ф(-^, s - to) + e

hv

^Ф^и^з -10)Ф(-и,а -to)^dv.

(3.110)

Из (3.108) имеем также

4 P(B) W - Е Е^Ф^, t

(3.111)

Мы можем теперь написать (см. формулу (3.100)):

t

\ I lim [k-r(r),k-r(t)]/ . к f

ФП^,т^о)Lexp -г—

lim p^E\s) ds ] х

/ k2 xexpi - —

t t

ds da F^s, a,to)\, (3.112)

приняв во внимание (3.109), (3.100) и (3.111).

Перейдём теперь к рассмотрению ситуации, когда to —> —ос. Ввиду (3.95) и (3.111), замечаем:

(3.113)(3.114)(3.113)(3.114)^ ^ p<E\t) - v(t) < £ \Еш\К2е-^"Ч

(3.113)

(3.114)

(3.113)

(3.114)

Eg, —iwt

Далее, воспользовавшись (3.95) для оценки выражения (3.100), найдём

\Foo(a, s, to) - F(a - s)| <К = const,

F(<T - 8) :

oc(3.115)

c? Kv e_^(CT_s)+e_№^(CT_s)

VZ+(p)Z+(-u)’

0

или, так как J^v)

=

F^a - s)

+rp-w(CT-s)

Преобразуем несколько эту формулу. Так как

2ttJ(v) = A+(z/) - A_(z/) = Z^v) - Z_(v) = Z^v) + Z^-v\

1= ± z^v)rz^-v) =11\ =

Z^v)Z^-v) k 72л- Z^v)Z^-v)2л- \Z^y)Z^-v))

_ 1 / 11 \

“ 2л- \Z^v)Z_(v)) *

Далее, ввиду вещественности J^v)

ImZ+(r) = — ImZ+( —v).

Но, по определению,

z+^ = гz+^ = гJ(Q)Q — v + z0J(Q)Q — v + z0dQ,dQ,

z+^ = г

z+^ = г

J(Q)

Q — v + z0

J(Q)

Q — v + z0

dQ,

dQ,

и поэтому

так чтотак чтоReZ+(z/) = -kJ^v) = ReZ+(-z/),

так что

так что

z^-v) = Z»,

Мы можем, следовательно, переписать (3.116) в виде

F^a — s) =F^a — s) =GM—v 71 _GM—v 71 _:| dv,:| dv,(3.117)(3.117)ЯОЯО2tv \гДи) Z^ J \Z_(u)\2*2tv \гДи) Z^ J \Z_(u)\2*В итоге, учитывая (3.101), (3.109), (3.112), (3.115) и (3.93),В итоге, учитывая (3.101), (3.109), (3.112), (3.115) и (3.93),получимполучимгдегде7П-iJk-V(s))ds Qlim lim= e тA^k2 ,t — т\to^ — оо V^OQ7П-iJk-V(s))ds Qlim lim= e тA^k2 ,t — т\to^ — оо V^OQ(3.118)(3.118)A(k2, t — t) = expA(k2, t — t) = expкЧ^^-тН^ dsj dCT [^(<7 - s) - F(s - <r)] -■ xT sкЧ^^-тН^ dsj dCT [^(<7 - s) - F(s - <r)] -■ xT s(3.119)(3.119)

F^a — s) =

F^a — s) =

GM—v 71 _

GM—v 71 _

:| dv,

:| dv,

(3.117)

(3.117)

ЯО

ЯО

2tv \гДи) Z^ J \Z_(u)\2*

2tv \гДи) Z^ J \Z_(u)\2*

В итоге, учитывая (3.101), (3.109), (3.112), (3.115) и (3.93),

В итоге, учитывая (3.101), (3.109), (3.112), (3.115) и (3.93),

получим

получим

где

где

7П-iJk-V(s))ds Q

lim lim= e тA^k2 ,t — т\

to^ — оо V^OQ

7П-iJk-V(s))ds Q

lim lim= e тA^k2 ,t — т\

to^ — оо V^OQ

(3.118)

(3.118)

A(k2, t — t) = exp

A(k2, t — t) = exp

кЧ^^-тН^ dsj dCT [^(<7 - s) - F(s - <r)] -

■ xT s

кЧ^^-тН^ dsj dCT [^(<7 - s) - F(s - <r)] -

■ xT s

(3.119)

(3.119)

Но, ввиду (3.117),

t t+?°z x

1 f 7 f 7A - cosv(t - t) Ku ,

9 Ms da F<s - cr) = G(u)1АЛЛ dv’

J JJv 1 — e

F(a - s) - F(s -a^=2% G^F(a - s) - F(s -a^=2% G^sin v(s -Adv =sin v(s -Adv == 21 G^= 21 G^Hu1 - e№vHu1 - e№vsin z/(s — ст) dvsin z/(s — ст) dv= -2г G^= -2г G^e-^hv1_ e-p^ve-^hv1_ e-p^vsin v^ssin v^sa) du = G(u)Ttu sin и(s — a) du,a) du = G(u)Ttu sin и(s — a) du,t tt tds da \F(a - s) - F(s - a)] = ITids da \F(a - s) - F(s - a)] = ITiGMGMsinu(t — t)sinu(t — t)-(t-T)-(t-T)du,du,

F(a - s) - F(s -a^=2% G^

F(a - s) - F(s -a^=2% G^

sin v(s -Adv =

sin v(s -Adv =

= 21 G^

= 21 G^

Hu

1 - e№v

Hu

1 - e№v

sin z/(s — ст) dv

sin z/(s — ст) dv

= -2г G^

= -2г G^

e-^hv

1_ e-p^v

e-^hv

1_ e-p^v

sin v^s

sin v^s

a) du = G(u)Ttu sin и(s — a) du,

a) du = G(u)Ttu sin и(s — a) du,

t t

t t

ds da \F(a - s) - F(s - a)] = ITi

ds da \F(a - s) - F(s - a)] = ITi

GM

GM

sinu(t — t)

sinu(t — t)

-(t-T)

-(t-T)

du,

du,

Итак, (3.119) даёт

A(k2, t, т) = А(к2, t — т) =

Г\ । гГ Г / smiAt — т) /, Л ,ехрг W^"T^ + T GW IV"-(t-тО dv-

£2£2GMGM7z[l — cos v^t — t)]^(1 _e-/3^)7z[l — cos v^t — t)]^(1 _e-/3^)dvdv(3.120)(3.120)

£

2

£

2

GM

GM

7z[l — cos v^t — t)]^(1 _e-/3^)

7z[l — cos v^t — t)]^(1 _e-/3^)

dv

dv

(3.120)

(3.120)

Рассмотрим теперь выражение

Ф^Д'Мо) = Tr(s) expФ^Д'Мо) = Tr(s) expM k-p^^cb') p(S\M k-p^^cb') p(S\

Ф^Д'Мо) = Tr(s) exp

Ф^Д'Мо) = Tr(s) exp

M k-p^^cb') p(S\

M k-p^^cb') p(S\

Здесь

. ttt

A-jk- p^^Mda = k ■ p|g0(^’cr - 4) da - k- rj^^J, a - to) da.

В соответствии с упоминавшимися результатами,

j M5’ cr - io) rfcr ^ | Ф0(у - to) da,

TT(3.121)

g^S, a - to) daФ1(а - to) da, V oo,

а также

tt

Фо(сг - to) d<7 < Ko e-^G-t^ d(T>

TT(3.122)

Ф1 (cr - to) da ^ Kx e"7^-*0) da.

Отсюда естественно ожидать, что

Ф^Мо) = Tr(S) p)S) X

д\(5,а - to) daд\(5,а - to) daх exp I —гк • р g0(5, а — to) da + гк • г

д\(5,а - to) da

д\(5,а - to) da

ttt

t

t

Tr(s) p(S) expl -гк • p Фо(^ - ^o) ^ + ^k • г Ф1(а - to) da

(3.123)

при У oo, и

ttt

t

t

Tr(s) p(S) expl —гк • p Фо^ — ^o) da + гк • г Ф1 (a — to) da I —>

^Tt(s)P(S) = X. (3.124)

Однако, несмотря на соотношения (3.121) и (3.122), при доказательстве (3.123) и (3.124) возникают существенные трудности, связанные с тем, что операторы г, р не являются ограниченными.

Тем не менее, справедливость (3.123) и (3.124) удаётся установить 9 в том случае, когда статистический оператор p(S) не зависит ни от V, ни от to- В этом случае, следовательно,

lim lim 4>P\t,r,to) = 1,(3.125)

г0^ —ОО V^oo

и потому, на основании (3.100), (3.118),

/ \— г Г k-V(a)) do~

lim lim Ф^^,т,^)=е тА^, t - т).(3.126)

to^ —ОО V^oo

Подставив это выражение в приближённое уравнение (3.97), получим

г

+ E(Z) = — lim ——т dkd,T e-si-t-T'1 х

Ats>o,£^o (2тт)3 J 2w(fc)(l -e-№uW) J

х(еМкШ-т) + е-МкШ-т)е-рп^^_ T) +

t

Hw(>№-t) + еии(лш-т)е-зык^еЧк^^^^(3.127)

Таким образом, мы получили общее приближённое уравнение, из которого вытекают результаты упоминавшихся работ [6, 30]. Заметим,

9 См. приложение II

что в них положено т = т* а функция (3.82) используется в пределе у 0.

Рассмотрим, в частности, случай малого внешнего поля, когда можно воспользоваться линейным приближением для выражения средней скорости от Е. Положим тогда в (3.127)

±г Г k-V(cr)) da\

е т= 1 ± г к • V(cr) da.

Учитывая соображения радиальной симметрии, найдём

t

+ E(t) = — lim —У dk^, . Дт е-£^-т^ х

dt '£^о,£>О (2тг)3 J бЦк)(1 -J

t

X+ e-^(fe)(t-T)e-/3^(fc)) | da t_T^_

t

— lim —У dkdr e~s^~T^ xs_0,s>0 (2тг)3 J 6Ц/г)(1-e”^^’) J

t

x(e-ic(fc)(t-T)+ e^(fc)(t-T)e-/3^(fe)) fy^ da А*(к2Л - т\ (3.128)

Здесь„

представляет стационарную среднюю скорость, которую получает полярон в модельной системе во внешним поле

E(t) = ^E^e-^.

Заметим, что в рассматриваемом случае достаточно слабого поля мы можем представить стационарную среднюю скорость для реальной системы также в аналогичной форме:

только, разумеется, с другими коэффициентами; ^+(lj) здесь соответствуют импедансу реальной системы.

Чтобы получить приближённое «самосогласованное» уравнение для определения этого импеданса, выберем

Z^ =(3.129)

ttи воспользуемся приближённым уравнением (3.128). Имеем

t

t

| _ е^(к)(1-т)

Введём переменную интеграции t — т = s. Тогда найдём

m ) m ) + ^Еше"гш<+ ^Еше"гш<1-' Е5^>0,Е^0^ ^+ЩЦ1-' Е5^>0,Е^0^ ^+ЩЦх ——-A*(fc2,s)х ——-A*(fc2,s)1(2^71(2^7dk к2С2(к) G^Hl-e^^)dk к2С2(к) G^Hl-e^^)х ds еох ds ео,-гШ^8е-№Ш^а—Х-А^, s)).,-гШ^8е-№Ш^а—Х-А^, s)).(3.130)(3.130)

m )

m )

+ ^Еше"гш<

+ ^Еше"гш<

1-' Е5^

>0,Е^0^ ^+ЩЦ

1-' Е5^

>0,Е^0^ ^+ЩЦ

х ——-A*(fc2,s)

х ——-A*(fc2,s)

1(2^7

1(2^7

dk к2С2(к) G^Hl-e^^)

dk к2С2(к) G^Hl-e^^)

х ds е

о

х ds е

о

,-гШ^8е-№Ш^а—Х-А^, s)).

,-гШ^8е-№Ш^а—Х-А^, s)).

(3.130)

(3.130)

Отсюда и получается упоминавшееся «самосогласованное» приближённое уравнение для определения импеданса:

11lim 5-е>0.е^0 (2тг)2 Jlim 5-е>0.е^0 (2тг)2 Jdkdk/Ес-До/Ес-До6w(fc)(l - е"13^^6w(fc)(l - е"13^^

1

1

lim 5-

е>0.е^0 (2тг)2 J

lim 5-

е>0.е^0 (2тг)2 J

dk

dk

/Ес-До

/Ес-До

6w(fc)(l - е"13^^

6w(fc)(l - е"13^^

ds e~ss ^e~^s + eMk^e-3Mk^^l—L Л*(/с2,8) - о

(3.131)(3.131)_ ^,Цк> _|_ e-iy(k)se-Phy(.k)^e 1

(3.131)

(3.131)

Рассмотрим ещё в качестве примера уравнение (3.127) в случае постоянного поля, когда

Е = const, V = const.(3.132)

Так как, ввиду (3.119), A*(k2,s) = А(к2, —s), то, заменяя к^ -к в членах, содержащих е^гш(к)8е-рпш(к), можем написать:

-Е =-Е =lim (е>0,е^lim (е>0,е^10) (2тг)310) (2тг)3^^ k£2(fe)^^ k£2(fe)dse £lsldse £lslхх

-Е =

-Е =

lim (е>0,е^

lim (е>0,е^

1

0) (2тг)3

1

0) (2тг)3

^^ k£2(fe)

^^ k£2(fe)

dse £lsl

dse £lsl

х

х

г\ш(к) — к V]s— г\ш(к) — к V]s \

£ Xa^.sY (3.133)

1 _ е-3кш(к) е0Пш(к) _ у I vv 7

Для случая слабого взаимодействия отсюда непосредственно получим уравнение (3.40) с помощью замены A(k2,s) его «нулевым приближением» (не учитывающим взаимодействие) и положив s = Ti^.

В заключение сделаем ряд замечаний о структуре стационарной плотности распределения вероятности импульсов для частицы S в модельной системе с гамильтонианом Н^. Обозначая эту плотность распределения вероятности через w^(p), имеем

j e“’A'pWt(p) dp = Tr,.B^=

= e-iXp<E)^ Tr(s) е"^^) Tr(B) е^^П^). (3.134)

Здесь, как и прежде,

e-^'P^WDL^ = ехр ^^1рЧЛЛ0^ ■(3.135)

Напомним теперь, что

p^Ht) Р^ЧЧ = -т* 52 Е^Ф^, t - tQ)e~^to,

p^(t)0,(3.136)

P(S)(t) ^^ Роо(<) = т*рФ0(£ - Ч-) - ш*гФ1^ - t0)

И

F(t,t,F) F^i^Mo),(3.137)

1^00 Д t, to - ^(0)1 < 2Ке-^-^ t 0

Здесь

F(0) = [dv > 0.(3.138)

V 7 J |Z+H2 1

Повторяя рассуждения, ранее применявшиеся для изучения функции Ф^, найдём, на основании (3.134),

e"iA'pwt(p) dp ^ е-гХ'Р<Е)№ Tr(S) e-^'P^WplS) х

х exp F^t^.toA (3.139)

И

limlimе lX‘pwt(p) dp - е гт*х‘^ expе lX‘pwt(p) dp - е гт*х‘^ exp*2А т2*2А т2= 0. (3.140)= 0. (3.140)

lim

lim

е lX‘pwt(p) dp - е гт*х‘^ exp

е lX‘pwt(p) dp - е гт*х‘^ exp

*2

А т

2

*2

А т

2

= 0. (3.140)

= 0. (3.140)

Рассмотрим теперь саму функцию распределения по импульсам:

dXEXpdXEXpе гЛ'рг1д(р) dp I.е гЛ'рг1д(р) dp I.(3.141)(3.141)

dXEXp

dXEXp

е гЛ'рг1д(р) dp I.

е гЛ'рг1д(р) dp I.

(3.141)

(3.141)

Заметим, что

е‘е‘е 1A'pwt(p) dpе 1A'pwt(p) dpexp ( '^ Г(МД03 ■exp ( '^ Г(МД03 ■(3.142)(3.142)

е‘

е‘

е 1A'pwt(p) dp

е 1A'pwt(p) dp

exp ( '^ Г(МД03 ■

exp ( '^ Г(МД03 ■

(3.142)

(3.142)

Но, ввиду (3.137) и (3.139), нетрудно убедиться, что

(3.143)(3.143)> ^ >0

(3.143)

(3.143)

для достаточно большой разности t — to- Фиксируем такие t, to- По-скольку для фиксированных t и to, F(t,t,to) —> F^t, t, to) при V —>ос, мы видим, что для достаточно больших Vг^олло > ф >0

е^А р е ^A-Pw^p) ^ре^А р е ^A-Pw^p) ^ргХ^тге §гХ^тге §F(0)F(0)

е^А р е ^A-Pw^p) ^р

е^А р е ^A-Pw^p) ^р

гХ^тг

е §

гХ^тг

е §

F(0)

F(0)

Поэтому переход к пределу в (3.141) для V —> ос может быть совершён под знаком интеграла по А на основе (3.139). Таким образом, получим

lim wt(p) = —Ц [ dAe^'IP-P-’Wl Fti-, e-^-P<f>(t) (SJ х

VKy (2тг)3 JL ( ’J

/ л2 *2\

х exp I^— F^t, t, to) j . (3.144)

Благодаря (3.143), подынтегральное выражение в (3.144) будет по мо- z A m /а\

дулю меньше, чем е 4 для достаточно большой разности t — to. Мы можем, следовательно, опять перейти к пределу t сю под знаком интеграла по А в (3.144) и получить, в соответствии с (3.140),

limt^OQlimt^OQWt(p)-Wt(p)-1(2тг)С1(2тг)СdX expdX expiX- [p - m*V(t)^-iX- [p - m*V(t)^-*2A m2*2A m2^(0)^(0)Но, взяв гауссовский интеграл, найдёмНо, взяв гауссовский интеграл, найдём= 0.(3.145)= 0.(3.145)

limt^OQ

limt^OQ

Wt(p)-

Wt(p)-

1

(2тг)С

1

(2тг)С

dX exp

dX exp

iX- [p - m*V(t)^-

iX- [p - m*V(t)^-

*2

A m

2

*2

A m

2

^(0)

^(0)

Но, взяв гауссовский интеграл, найдём

Но, взяв гауссовский интеграл, найдём

= 0.

(3.145)

= 0.

(3.145)

1(2тг)31(2тг)3dX exp ( гХ • [p - m*V(t)]dX exp ( гХ • [p - m*V(t)]

1(2тг)3

1(2тг)3

dX exp ( гХ • [p - m*V(t)]

dX exp ( гХ • [p - m*V(t)]

X 2*2\

\m,2F(^) V m FO) 7

6 Боголюбов H.H., Боголюбов H.H. (мл.)

Таким образом, если начальный статистический оператор для модельной системы имеет вид Dto = p^S^Dl^Y причём p(S) не зависит ни от V, ни от to, то соответствующая функция распределения импульсов р в пределе V ос, т. е.

lim ut(p) = lim Dt,

приближается к стационарной функции распределения:

3/23/2[р - ттГУ(^rn2F(0)[р - ттГУ(^rn2F(0)|2|2= 0.(3.146)Как видно, эта стационарная функция распределения импульсов р представляется «сдвинутой» максвелловской функцией.Тем самым, использование Н^ в качестве аппроксимирующего гамильтониана, связано с представлением о том, что исходным прибли-= 0.(3.146)Как видно, эта стационарная функция распределения импульсов р представляется «сдвинутой» максвелловской функцией.Тем самым, использование Н^ в качестве аппроксимирующего гамильтониана, связано с представлением о том, что исходным прибли-J tJ t

3/2

3/2

[р - ттГУ(^rn2F(0)

[р - ттГУ(^rn2F(0)

|2

|2

= 0.

(3.146)

Как видно, эта стационарная функция распределения импульсов р представляется «сдвинутой» максвелловской функцией.

Тем самым, использование Н^ в качестве аппроксимирующего гамильтониана, связано с представлением о том, что исходным прибли-

= 0.

(3.146)

Как видно, эта стационарная функция распределения импульсов р представляется «сдвинутой» максвелловской функцией.

Тем самым, использование Н^ в качестве аппроксимирующего гамильтониана, связано с представлением о том, что исходным прибли-

J t

J t

жением может служить сдвинутое максвелловское распределение.

Приложение I

Лемма. Для среднего от произведения оператора ЬДЬ) на оператор U(S, S) справедливо соотношение

Tr(ss)bkmS,^Dt0 =

= ^Д^ Ti(ss^bk(tMs, S) - u^s, шм,

Dt0 = p(S)DL^Y

Доказательство. Заметим, что бозе-операторы b^ коммутируют с произвольными операторами электронной подсистемы Ф(б'). Составим операторное выражение, усреднённое по статистическому оператору всей системы, т. е. Dto = p(S)D(J2?); имеем

Tr^MtMS,^Dto=Tr^=

= ъ(Е) щг)Щ(5) u^s,

^^U(S^)bk(t)Dt0 = Tr<SK)U(S,^bk^p(S)D^ =

= Tr^Tr(s)U(SMW)m

Обозначим

Tr(s)u(s^MS) = :m,

Tr(ss~bkmS,^Dt0 = Tr(E) bk^B^D^Y

~~И.1)

Tr(s^U(S, ^bk^D^ = Tr(E) BWWY

Напомним здесь важное свойство равновесных средних в статистической механике. Рассмотрим изолированную динамическую систему, характеризуемую некоторым гамильтонианом Н, не зависящим от времени, и две динамические переменные А, В, соответствующие этой системе, которые не зависят явно от времени t. Тогда для равновесных средних

(^(t)B)eq = Tr A^BDeq, (BA(t)Yq = TyBA^D^

(Deq — равновесное распределение для термостата), в которых

A(t) = е^ HtA(0)e~^ Ht,

б:

имеем

+ оо+оо

(A(t)B)eq = j J^KMt du, iBA^s = j е-^ДиК^ du.

Запишем эти соотношения в форме

Tr (еК W-to)^e-^H(t-to)BjDeq) = | J^e-iyd-t«) du, И .2)

Возьмём теперь в качестве этой системы нашу систему £ и положим

Я = Я(£), Deq = D^, А = Ьк, В = В(^\

Заметим также, что в этом случае

ЬкД = e-^Wd-^bk = eiW-to)&fce-| W-to).

Таким образом, (Л.2) приводится к виду

Tr(E) M£)5(E)Z)(E) = е--№«-<о) ТГ(в) bkB^)D^) =

+00

= | Jk(uKMt"to) du,

~~~И-З)

Tr(E) B^bk(t)D(^ = е-^^ Ъ(е) B^bkD^ =

= | МиКМ1"^ du.

Эти соотношения показывают, что Jk^ пропорционально 5(ш — ш(к));

Jk(u) = 1к5(ш - ш(к)),

и отсюда

е-^Ми) = e-^^MuY

Поэтому из (Л.З) получим

Ъ(Е) B^MW) =bk(t)B^D^Y

С использованием (Л.1)

Ti^U(S,^bk(kDtfl = e-^k^(s^tWS,BYDtfl,

что даёт

Tr(s.E) MW, S) - u^s, Wk^Dt6 =

= (1 - e-SMk^TT(s^tW

Видим теперь, что TY<SB^tWS,^Dttt =

= TT^№T4ss^

~(Д.4)

Tt(SK)u(s,^bk(tW =

= ! f'-Zw Tr^MtMS, S) - U^S, ^bk(t)}Dt0.

Итак, лемма доказана.

Обозначимe-9^№

Тогда соотношения (Л.4) могут быть записаны через числа заполнения Ц„Ьк:

TT^bkmS^)Dt0 = (1 + Nkyh(g>№ -и^МЖ,

TY(SBp(S,^bk(t)Dt0 = NkTY<s^MtWS,^-U(S,^bk(t№0.

Примечание. Из рассмотрения приведённого доказательства леммы может создаться впечатление, что оператор U^S, £) не должен явно зависеть от времени t. Нетрудно, однако, заметить, что из справедливости леммы только для операторов, не зависящих явно от времени, непосредственно вытекает её верность и для общего случая операторов, явно зависящих от t.

Рассмотрим, в самом деле, оператор U(t, S, £), фиксируем t = t\. Тогда оператор U^t, 8, £) формально не зависит от времени, и для него выполняется соотношение (А.4). Поскольку И может быть фиксировано произвольно, в соотношениях (А.4) можем положить И = t и убедиться в справедливости сделанного утверждения.

Приложение II

Заметим, что наше утверждение об установлении соотношений (3.123) и (3.124) будет доказано, если мы докажем следующую лемму.

Лемма. Пусть AN, Bw — последовательность вещественных трёхмерных векторов, стремящаяся к конечным пределам при N —> сю:

А^ А, В^ В при N сю.(ВЛ)

Тогда, если наш статистический оператор р(8) не зависит от N, то

Tr(s) CM^+B.v.p)Tr<s) ei(A.r+B.p)

Действительно, в случае соотношения (3.123) стоит лишь положить в этой лемме N = V,

tt

B^ = — kj g0(3, а — to) da, An = k^ gr(3,a — to) da,

tt

В = — k jфо^ — to) da, A = k jт/д(a — to) da.

В случае же предельного соотношения (3.124) можно взять N = t — to, т фиксировано, tt

В\ — kjфо(а — to) da, An = kj^^a — to) da,

В = 0, A = 0.

Приступим поэтому к доказательству упомянутой леммы.

Доказательство. Так как коммутаторы от компонент векторов р и г суть с-числа:

РаТр ~ Грра = ~Ш8ар, то по известному тождеству

ег(С,.г+С2-р) = ^CrCsN^NCs-P

можем написать:

i(Ajv-r+Bjv-p) _ Щ(А-г+В-р) _ Ajy-Bjy iAN-r iBjvP _

— A-BgiA-FgiB-p _ ^yAN-BN _ g^ А-В^ e%AN r^Bw P

+ eT A B pA^r (егВ^р - eiB'p) + (e^'r - егА'г) егВ'р] .

Но поскольку оператор егА^-гегВд-р ввиду вещественности Aw, Bw является унитарным, то и

| T¥(s) eiALN're®N'pp(S^ < 1, потому

I Tr(s) ^(Ajv'r+Bjv'py(S)) - Tr(s) (ДА-г+в-р)^) |

< |ef (An-Bjv —A-B) _ 1| + |Tr(s) e^Ajvr (егВлгр _ giB p) p^\ +

+ | Tr(s) (eiAw r - eiA"r) eiB'pp(S) |. (B.3)

Принимая во внимание, что p(S) как статистический оператор является неотрицательным, имеет место общее неравенство (см. приложение III)

| Tr(s) [7УЦ5)| < Tr(S) UU^S) Tr(s) ИЦ(5).(S.4)

Воспользуемся этим неравенством для оценки первого и второго выражений со знаком Tr(s) в правой части (В.З), положив

Ui = eiAjv'r, Vj = (e®^•P - eiB p), Un = (eiAjv'r - eiA'r) , Уы = eiB p.

Как видно, Уц и Uj являются унитарными, и поскольку для статистического оператора

щ5) р^ = 1, то имеем

Tr(s) UflpplS) = Tr(s) V^Vn = 1.

Далее, поскольку компоненты вектора г между собой коммутируют, также как и компоненты р между собой, получим

UnU^j = 2[1 - cos (Aw - А) • г],

V^Vi = 2[1 - cos(Bw - В) ■ р].

Таким образом, из (В.З) найдём

|Тг(5) (e^'^^S)) -Tr(s) (eiA'r+B-i>(S)) | г / hм1/2

2(1 - cos ^ (Адг ■ Вдг - A • B)j +

+ { TY(S) 2[1 - cos (BN - B) ■ pMS)} +

+ {Tr(s)2[l - cos (Адг - A) ■ r]p(S)}1/2. (B.5)

Рассмотрим матричные элементы p(S) в г-представлении (r^(S") |r) и в р-представлении (р|р(5)|р). Тогда

Tr(s)(l - cos (Вдг - В) ■ p)p(S) = |[1 - cos (Вдг - В) • р]<р|Х'5')|р) dp, Tr(s) [1 - cos (Адг - А) ■ p]p(S) |[1 — cos (Адг - А) ■ r]p(S)(r|p(S)|r) dr. Но диагональные элементы неотрицательного оператора неотрицательны:

(pH-S)!?) >0, (гЩ5)|г)^0,

и, так как Tr(s) p(S) = 1, то

|<Р|Ц-5)|р) = 1, j(r|p(S)|r) = 1.

Учитывая, что p(S) не зависит от N, а также что

1 - cosX <2, 1cos (Aw - А) • г —> 0 при N —> ос

при ограниченных г и

1 — cos (Вдг - В) р—> ос при Ах

при ограниченных р, видим, что

Tr(s) [1 - cos (Aw - А) • p]p(Sf) 0 при 7V ос,Tr(s) [1 - cos (Bw - В) • p]p(Sf) 0 при N оо.

Таким образом, на основании (В.5) заключаем, что лемма доказана. Как видно, неравенство (В.5) справедливо, зависит ли p(S) от N или нет. Кроме того, ясно, что 2(1 — cos ж) < ж2. Поэтому имеем

|ТГ(5) {е^^Р)^)} _ТГ(з) ^гСА-г+В-р)^^} | <

^ | |A^ • BN - А • В| + [Tr(s) IpI^S)]1/2^^ - В| +

+ |A^-A|[Tr(s) Irl2^)]1^.

Следовательно, если р(8) и зависит от N, но так, что

Tr(s) |p|2p(S) < К^, Tr(s) |r|2p(S) < К22,

где Kx, К% не зависят от N, то соотношение (В.2) справедливо.

Таким образом, если в главе. 3 p(S) зависит от to и V, но так, что

(p2)to = Tr(s) |p|2p(S), (r2)to = Tr(S) |r|2p(S)

ограничены величинами, не зависящими ни от У, ни от to, то все рассуждения главы 3 остаются справедливыми.

Приложение III

Рассмотрим среднее от произведения двух операторов (АВ) как билинейную форму из А и В (линейную по отношению к каждому из этих операторов).

Пусть Z(A,B) — произвольная билинейная форма из А и В со свойствами

Z(AYA) >0,(С.1)

^Z(A,B)y = Z(B\A^.(С.2)

Покажем, что всегда справедливо неравенство

|Я(Л, В)|2 ^ Z^A, A^Z^,B\(С.З)

Полагая здесь

A = U\p^\

b = vvs^2,

придём к неравенству (BAY

Доказательство этого неравенства содержится в [4]. Приведём это доказательство. Для доказательства заметим, что на основании (С.1)

Z(xA + y*B\ х*А^ + уВ) > 0,(С.4)

где х, у — произвольные числа. Отсюда, раскрывая скобки, получим

xx*Z(A, ЛЭ + xyZ(A, В) + y*x*Z(B\ Л^ + y*yZ(B\ В) > 0.

Положим в качестве чисел ж, у, ж* у*

тогдатогдах* = -^(Л,В),ж = -{Z(A,BX = -Z(B\ Л^,у = у* =Z(A,XY

тогда

тогда

-\Z(A, B)\2Z(A, Л^ + tZ(A, A^)]2Z(B\B) > 0.

Отсюда, если Z(A, Л^) ^ 0, мы получаем неравенство (С.З).

Нам остаётся лишь показать, что если Z(A, Л^) = 0, то и

Х(Л,В)=0.(С.5)

Для этого в (С.4) положим

X* = -Z(A,BX

X = -Z^bVA^R,y = y* = Vгде R — произвольное положительное число. Найдём

-2Д^(Л, В)|2 + Z(Bt, В) 0.(С.6)

Пусть R ос; тогда, если (С.5) неверно, видим, что левая часть должна стремиться к —ос, что невозможно.

Список литературы

Пекар С.И. // ЖЭТФ. 1946. Т. 16. С. 341; см. также Пекар С. И. Исследования по электронной теории кристаллов. — М.: Гостехиздат, 1951.

Landau L.D. // Phys. Z. Sowietunion. 1933. V. 3. P. 664.

Ландау Л.Д., Пекар С.И. Ц ЖЭТФ. 1948. Т. 18. С. 419.

Frohlich И., Pelzer И., Zienau S. // Philos. Mag. 1950. V. 41. Р. 221.

Feynman R.P. Slow electrons in a polar crystal // Phys. Rev. 1955. V. 97. P. 660-665; см. также Feynman R.P. Statistical Mechanics. — Benjamin, Reading, MA, 1972 или Фейнман P. Статистическая механика. — M.: Мир, 1975.

In: Polarons in Ionic Crystals and Polar Semiconductors / Ed. J.T. De- vreese. — North-Holland. — Amsterdam, 1972; см. также Devreese J.T., Evrard R. Linear and Nonlinear Transport in Solids. — N. Y.: Plenum Press, 1976.

Боголюбов H.H. Об одной новой форме адиабатической теории возмущений в задаче о взаимодействии частицы с квантовым полем // Украинский математический журнал. 1950. V. II. № 2.

Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.) Аспекты теории полярона. Препринт ОИЯИ Р-17-81-85, Дубна, 1981; Some Aspects of Polaron Theory. V. 4. — World Scientific, 1998; Foundations of Physics. 1985. V. 15. №11; Plenum Press. FNDPA4. 1985. V. 15(11). ISSN 0015-9018.

Bogolubov N.N. Jr., Kireev A.N. Ground-state energy of the surface polaron. In: Proceedings of the 1st Jagna International Workshop on Advances in Theoretical Physics (ed. Bernido C., Carpio-Bernido M.V.). — Jagna, Philippines, 1996. P. 90-109.

Bogolubov N.N. Jr., Kireev A.N. Surface polaron with a barrier potential: upper bound to the ground-state energy // Int. J. Mod. Phys. 1996. V. B. 10. P. 455-470.

Appel J. 11 Solid State Phys. 1968. V. 21. P. 193.

ladonisi G. Electron-phonon interaction: effects on the excitation spectrum of solids // Riv. Nuovo Cimento. 1984. V. 7, №11.

Lee T.D., Low F.E., Pines D. The motion of slow electrons in a polar crystal // Phys. Rev. 1953. V. 90. P. 297.

In: Proceedings of the XV International Conference on Physics of Semiconductors (Kyoto, 1980) // J. Phys. Soc. Jpn., Suppl. 1985. V. A49.

In: Recent Developments in Condensed Matter Physics. V. 1 / Ed. J.T. De- vreese. — N.Y.: Plenum, 1981.

In: Physics of Polarons and Excitons in Polar Semiconductors and Ionic Crystals / Eds. J.T. Devreese, F. Peeters. — N.Y.: Plenum, 1981.

Родригес К., Федянин В.К. Метод континуального интегрирования в проблеме полярона // ЭЧАЯ. 1984. V. 15. С. 870.

Gerlach В., Lowen Н. Analytical properties of polaron system // Rev. Mod. Phys. 1991. V.63. P. 63-90.

Тябликов C.B. К теории взаимодействия частицы с квантовым полем // ЖЭТФ. 1951. V. 21. С. 16.

In: Polarons and Excitons, Scottish Universities’ Summer School in Physics, St. Andrews (1962) / Eds. C.G. Kuper, G. D. Whitfield, Edinburgh, London: Oliver and Boyd, 1963.

Тулуб А. В. Медленные электроны в полярных кристаллах // ЖЭТФ. 1961. V. 41. С. 1828.

Hohler G., Mullensiefen A. Storungstheoretische Berechnung der Selbsen- ergie und der Masse des Polaron // Z. Phys. 1959 S. 157. P. 159.

Roseler J. A new variational ansatz in the polaron theory // Phys. Status Solidi. 1968. V. 25. P. 311.

Larsen D.M. Upper and lower bounds for the intermediate-coupling polaron ground-state energy // Phys. Rev. V. 172. P. 967 (1968).

Matz D., Burkey B.C. Dynamical theory of the large polaron: Fock approximation Ц Phys. Rev. 1971. V. B3. P. 3487.

Miyake S. Strong coupling limit of the polaron ground state // J. Phys. Soc. Jpn. 1975. V. 38. P. 181-182.

Krivoglaz M.A., Pekar S.L // Fortschr. Phys. 1961. V. 4. P. 73; см. также Кривоглаз M.A., Пекар С.И. // Изв. АН СССР, Сер. Физ. 1957. V. 21. С. 3.

Osaka Y. Polaron state at finite temperature // Progr. Theor. Phys. 1959. V. 22. P. 437.

Feynman R.P., Hellwarth R. IU, Iddings C.K., Platzman P.M. Mobility of slow electrons in a polar crystal // Phys. Rev. 1962. V. 127. P. 1004.

Thornber K.K., Feynman R.P. Velocity acquired by an electron in a finite electric field in a polar crystal // Phys. Rev. 1970. V. Bl. P. 4099.

Thornber K.K. Linear and nonlinear electronic transport in electron-phonon systems: self-consistent approach within the path-integral formalism // Phys. Rev. 1971. V. B3. P. 1929.

Клюканов А. А., Покатилов Е.П. Тензор электрической проводимости для поляронов в магнитном поле // ЖЭТФ. 1971. V. 60. С. 312.

Bogolubov N.N. Kinetic equations for the electron-phonon system. JINR Communications, E17-11822, Dubna, 1978.

Боголюбов Н.Н.(мл.) Кинетическое уравнение для динамической системы, взаимодействующей с фононным полем // ТМФ. 1979. V. 40. С. 77.

Боголюбов Н.Н. Боголюбов Н.Н. (мл.) Кинетическое уравнение для динамической системы, взаимодействующей с фононным полем // ЭЧАЯ. 1981. V. 11, вып.2. С. 245-300.

Боголюбов Н.Н. (мл.), Плечко Н.Н. Теория возмущений для модели полярона при конечной температуре // ТМФ. 1985. V. 65. С. 423-434; Approximation Methods in the Polaron Theory // Rivisto del Nuovo Cimento. 1988. V. 11. №9.

Proceedings of the 1979 International Summer School on New Developments in Semiconductor Physics, held in Szeged, Hungary. — West Berlin: Springer Verlag, 1980.

Path Integrals and their Applications in Quantum, Statistical and Solid State Physics / Eds. G.J. Papadopoulos, J.T. Devreese. — N.Y.: Plenum Press, 1978.

Feynman R.P., Hibbs A. R. Quantum Mechanics and Path Integrals. Copyright 1965, Library of Congress Catalog Card Number, 64-25171. см. также Фейнман P., Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.: Мир, 1968.

Боголюбов Н.Н. (мл.), Садовников Б.И. // ЖЭТФ. 1962. V. 43, вып. 8.

Боголюбов Н.Н. (мл.), Садовников Б.И. Некоторые вопросы статистической механики. — М.: Высшая школа, 1975.

Солодовникова Е.П., Тавхелидзе А.Н, Хрусталёв О. А. Осцилляторные уровни частицы как следствие сильного взаимодействия с полем // ТФМ. 1972. V. 10. С. 162-181.

Солодовникова Е.П., Тавхелидзе А.Н, Хрусталёв О.А., Преобразования Н.Н. Боголюбова в теории сильной связи. II // ТФМ. 1972. V. 11. С.317-330.

^.Fedyanin V.K., Mochinsky B.V., Rodriguez С. Generating Functional and Functional Analog of the Variational Principle of N.N Bogolubov. E17-12850. - Dubna: JINR, 1979.

Кочетов E.A., Кулешов С.П., Смондырев M.A. Исследование модели полярона методом функционального интегрирования // ТМФ. 1975. Т. 25. С. 30-36.

Vo Hong Ahn. A. Quantum Approach to the Parametric Excitation Problem in Solids // Physics Reports. 1980. V. 64, № 1. P. 1-45.

Боголюбов Н.Н. Избранные труды. Т. 3. — Киев: Наукова думка, 1971. С. 213.

Ziman J.M. Electrons and Phonons. Clarendon Press. — Oxford, 1960. см. также Займан Дж. Электроны и фононы. — М.: ИЛ, 1962.

Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Записки кафедры математической физики Т. 4. - Киев: АН УРСР, 1939. С. 5.

Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике. — Киев, Из-во АН УССР, 1945. см. также Bogoliubov N.N. in: Studies in Statistical Mechanics. V. 3 / Ed. J. de Boer and G. R. Uhlenbeck. — Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1962.

Шелест А. В. Препринт ИТФ. 1967. С. 67-11; Метод Боголюбова в динамической теории кинетических уравнений. — М.: Наука, 1990.

Боголюбов Н.Н. О стохастических процессах в динамических системах // ЭЧАЯ. 1978. Т. 9, вып. 4.

Боголюбов Н.Н. (мл.), Фам Ле Киен, Шумовский А. С. // ТМФ. 1982. Т. 52. С. 423; ТМФ. 1984. Т. 60. С. 254.

Боголюбов Н.Н. (мл.), Казарян А.Р., Курбатов А.М., Нескоромный В.Н. Ц ТМФ. 1983. Т. 54. С. 147; ТМФ. 1984. Т. 59. С. 249.

Казарян А.Р. Ц ДАН СССР. 1981. Т. 258. С. 336.

Боголюбов Н.Н. (мл.), Садовников Б.И., Шумовский А. С. Математические методы статистической механики модельных систем. — М.: Наука, 1989.

Научное издание

БОГОЛЮБОВ Николай Николаевич

БОГОЛЮБОВ Николай Николаевич (мл.)

АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯРОНА

Редактор Е. С. АртоболевскаяОригинал-макет: В. В. Худяков

ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 13.07.04.

Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 11. Уч.-изд. л. 12. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»

117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90

E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru

http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивовв ППП «Типография «Наука»121099, Москва, Шубинский пер., 6

ISBN 5-9221-0520-5

9785922 105200

1

Af ах— /1п(1 -е-/ЗМЛ)) + 1п(е/ЗМЛ) - 1)} =

о

= - ( In —зТ + In —зТ

2\ e3hv0 _ 1 e3hv0 _ 1

lim — У^Т2(/)е 6 Dv^ = (/)

I I Л s,j_ I I me$o+if'[R(s)_R('T)1+iAp(o)'Br (Т(еФ°})г

1/ 1 V/2

-2^2 У ЦШ^ Л(А:)кт(А), у1/2\ 2nz/(fc) )' v'

(к)47

v w 6v w

Тогда 1(-П) = I Я), I Я) > 0, и

УДК 538.9

ББК 22.311

Б 74

Боголюбов Н. Н., Боголюбов Н. Н. (мл.) Аспекты теории полярона. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 176 с. - ISBN 5-9221-0520-5.

Предложены математические методы, применимые к исследованию проблем как равновесной, так и неравновесной теории полярона. Предложен вывод кинетического уравнения для полярона, применяемого для исследования неравновесных свойств. Показана эффективность использования Т-произведений вместо континуального интеграла в поляронной теории.

Большое внимание уделяется исследованию линейного поляронного гамильтониана, вычисляются корреляционные функции, спектральная функция, функции Грина и свободная энергия для такой системы. В случае взаимодействия электрона с фононным полем получено кинетическое уравнение для полярона, аппроксимация которого даёт, например, точное уравнение Больцмана для полярона. Предложены также методы вычисления функции отклика (импеданса и адмитанса), основанные на введении аппроксимирующего гамильтониана с линейным взаимодействием.

Для студентов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в области теоретической и математической физики.

ISBN 5-9221-0520-5ISBN 5-9221-0520-5© ФИЗМАТЛИТ, 2004 ©Н.П. Боголюбов,© ФИЗМАТЛИТ, 2004 ©Н.П. Боголюбов,Н. Н. Боголюбов (мл.), 2004Н. Н. Боголюбов (мл.), 2004

ISBN 5-9221-0520-5

ISBN 5-9221-0520-5

© ФИЗМАТЛИТ, 2004 ©Н.П. Боголюбов,

© ФИЗМАТЛИТ, 2004 ©Н.П. Боголюбов,

Н. Н. Боголюбов (мл.), 2004

Н. Н. Боголюбов (мл.), 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 4

Глава 1. Линейная модель полярона 15

Введение линейной модели 15

Уравнения движения 18

Двухвременные корреляционные и гриновские функции для рассматриваемой линейной модели 21

Вычисление свободной энергии для линейной модели 32

Средние от Т-произведений 41

Вычисление средних от Т-произведений для некоторых модельных систем осцилляторного вида 45

Вспомогательные операторные равенства 60

Глава 2. Статистическое равновесие в теории полярона 61

Вычисление свободной энергии и энергии основного состояния . . .61

Определение равновесной функции распределения по импульсам в теории полярона 92

Глава 3. Кинетические уравнения втеории полярона 116

Обобщённое кинетическое уравнение 117

Кинетические уравнения в первом приближении для случая малых взаимодействий 127

Линейная модель полярона 134

Приложение I 163

Приложение II 166

Приложение III 170

Список литературы 172