ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Представляя справочник советскому читателю, мы хотели бы обратить внимание на два обстоятельства, которые могут оказаться полезными при практической работе с ним.

В книге в концентрированной форме изложены основные свс- д^ия по физике, включая многочисленные приложения законов физики в их следствий. Однако было g ошибочно думать, что по этой книге можно изучать физику Справочник адресован тем, кто у雌 знаком с физикой и обращается к ней в своей повседневной практике. Вместе с тем он достаточно универсален и мо宏ет быть одинаково полезен как тем, для кого общение с физикой ограничивается школьным курсом, так и специалистам по естественным и техническим наукам. Справочник обеспечивает специалисту простой доступ ко всему арсеналу современной науки, позволяя ему при этом не перегружать свою память избытком фактических данных. С другой стороны, справочник безусловно принесет пользу и тем, кто еще только готовится стать специалистом, т. е. учащейся молодежи. Но именно поэтому следует еще раз предостеречь: справочник не может заменить учебники, и не следует ду- матьу что с его помощью можно сэкономить время на изучение физики. Точно так же справочник не решает задач просветительного плана — это дело энциклопедии, и в том случае, когда у читателя возникают вопросы познавательного характера, лучше всего обращаться именно к энциклопедическим изданиям.

Следует также отметить еще одно обстоятельство, которое связано с подготовкой к изданию русского перевода справочника. В процессе этой подготовки в текст книги были внесены измена* ния с целью привести терминологию справочника в соответствие с принятой в советской научной и технической литературе. Зга работа проведена в соответствии с рекомендациями Комиссии Международного союза чистой и прикладной физики относительно стандартизации терминологии, обозначений и единиц измерения. Подобная стандартизация, вообще говоря, имеет большое значение и способствует более успешному обмену научной информацией.

66Предисловие редактора перевода

6

6

В предлагаемом переводе учтены современные требования к стандартизации и унификации терминологии, обозначениям и единицам измерения физических величин. В частности, используются единицы измерения, установленные СТ СЭВ 1052-78 «Метрология. Единицы физических величин», введенные в СССР с 1 января 1980 г. Однако хотелось бы предупредить читателя, что полная унификация, в частности системы единиц, не всегда целесообразна. (В этой связи мы рекомендуем познакомиться с редакционной статьей в журнале: УФН, 1979г т. 129, вык. 2.}

Мы , надеемся, что предлагаем ал книга будет полезна многочисленным советским читателям**—как，изучающим фиэикуг. так и специалистам.

Перевод книги пвыяолнилн: канд. физ.-мат. наук .Д. К Абдрашитова (разд. 1—4; 19—24, 35-"~41, таблицы)^ канд. техн, наук В Г. Карташев (раз風.25—34} хнканд. физ.-мат. наук Е. R Маз* Жухин^(р^зд. —18}.

Е М. Лейкин

ПРЕДИСЛОВИЕ

Фязика, * бееепсфяе, играет бояьв^гк» роль #а все% этапах тшеА социалистической еистемы юб^аэоваиия и во всех областях науки и тошши.' ПвеФОшу нцеоб&од(1мог во^ьь #«血浦 специалист мог воспользоваться установленншк фшшядй заколами н результатами. Предлагаемая юшся# звшо&шдая । в『ня еправсжвнкев з по основ- »ым оредмет叫 лАолмша ввмвиь чч«о#вю t/быафо шиуш1ть полною шНифмацню.

Этот«Qu開мншшс^ве烈шшеися у^ебнншш,^ нои шсеше< с：тем да* леко внходит^за,рамки <аросзего сборвика.^ф^мул. Так,, здесь^ при- воджся вывод большинства закономдрноогеи и соотношений и кратко рассматривается ^их цримешшш..Для каждой .формулы im・ ясняютсях шяользуемы&. обозначениями^ рриводятвя едкниш измерения входящих в нее величин. Это позволит читателю, сэкономить время, которое потребовалось бы для поисков соответствующих данных по другим источникам. Многочисленные иллюстрации призваны пояснять текст. В таблицах, . содержащих применяемые на практикеf величины, читатель найдет все важнейшие численные значения.

'Чтобы，обеспечить достаточно высокий уровень книги,, решено было не отказываться от высшей математики н векторного способа аатнсн. Однако наряду с дифференциальными уравнениями всегда приводятся соответствующие бояее простые уравнения, не содержащие производных, поэтому у читателя, менее сведущего в матема^пже, ие должно возникать эатрудненид тгри работе с книгой.

]&е и^дашае вшт бшю пшшотзо пер^вработава Все разделы были крюияейш вереоме^шнз № «астшшо, наппеаны заново. Многочисленные поправки и дооолнешш ^ушествешю увеличил» объем информации, содержащейся в книге.

В» предлагаемом иэдани» аокранена прошедшая испытание временем форма излежения» но улучшено графическое оформление книги.

Пусть же в>нр справочник по физике продолжает служить вер・ вым gMQutHHKOM в учебе и я» практике.

Хорст КухлинаХорст КухлинаМитвайда, 1980 а.

Хорст Кухлина

Хорст Кухлина

О ПОЛЬЗОВАНИИ КНИГОЙ

• Все формулы представляют собой уравнения для величин, т. е. н€ эавиеят от выбора системы единиц. Если в порядке исклю* чения даются приведенные к определённой системе единиц урав- ненн% то 9TQ специадьяо огораривается,

Преимущество отдается СИ. При необходимости дополнительно указываются десятичные кратные и дольные единицы, а также другие некогерентные единицы, если они допускаются или допускались к применению. Пояснение сокращений см. в разд. 3.6.

Физические постоянные в табл. 47 приведены с современной точностью (однако без указания пределов ошибки). Аналогичным образом коэффициенты пересчета некогерентных единиц указываются с точностью^ установленной официальными нормативами.

За этим исключением точность, постоянных и коэффициентов пе- .ресчета ограничивается тремя значащими цифрами (независимо

от положения запятой), поскольку, как правило, экспериментальные и табличные данные не обладают большей точностью. Такая точность соответствует также практике расчетов с помощью логарифмической линейки. При использовании электронных калькуляторов, которые находят все более широкое распространение, в результате следует брать такое же число значащих цифр, сколько их было у исходных величин.

Производные по времени обозначаются, как обычно, точками над символами, например, и = ds/dt = s.

Ссылки на другие разделы книги даются следующим образом: см. разд. 12,4; ссылки на формулы: см. (М 4.13).

Табличные данные взяты из следующих источников:

Kohlrausch: Praktische Physik, Bd. 3., Stuttgart: В. G. Teubner. Tabellenbuch Chemie. Leipzig, VEB Deutscher Verlag fur Grund- stoffindustrie.

Wissensspeicher fur Technologen. Leipzig, VEB Fachbuchverlag.

Ebert: Physikalisches Taschenbuch. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften.

Ф ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ

Физические величины

Физические законы выражаются в виде математических соотношений между физическими величинами* Под последними 磔онМа^г ^измеряемые характеристики Свойства) физических объектов (пре* №етов, состояний, процессов).

(

Каждая физическая ве/тйна представляет собой произведение численного значения на единицу измерения.

Физическая величина = Чнсленное значение X Единица измерения.

Таким образом, выражение

Время да 5 секунд,f = 5 c

означает, что измеренное время составляет пятикратное повторение секунды.

Только одного численного значения недостаточно для характеристики физической величины. Поэтому никогда нельзя опускать соответствующую единицу измерения!

Основные величины

В физике применяются следующие 7 основных величин: длина, время, масса, температура, сила тока, количество вещества, сила света.

Производные величины

С помощью основных величин можно получить другие величины либо используя выражения для законов природы, либо путем целесообразного определения через умножение или деление основных величин. Например,

Скорость = Путь/Время, Работа = Сила ・ Путь, Плотность = Масса/Объем, Заряд = Сила тока • Время, и т. д.

Обозначения величин

Для представления физических величин, особенно в формулах, таб^ лицах или на графиках, используются специальные символы — обозначения величин. В согласии с международными соглашениями

введены соответствующие стандарты на обозначения физических величин. То же самое относится и к обозначениям, применяемым не в физике, а, например, в технике.

Принято набирать обозначения физических величин курсивом (наклонным шрифтом}. Курсивом обозначаются и индексы, есиш они представляют собой обозначения, т. е. символы физических величин, а не сокращения.

Квадратные скобки [ ], содержащие обозначение величины, означают единицу измерения величины ..., например^ выражение [U] = В читается следующим образом: «Единица измерения на- пдэнжениягравна вольту».

Неправильна заклкшать, в, квадратные скобки единицу измерь шш： (мапример, [В])『 хофя такяя>г заниеь. встречается, весьма^ часто.

Фигурные скобки { }, содержащие обозиаяения величины* означают «численное значение величины...», например выражение

{U} = 220 читается следующим “ образам* «численное- зиачет1е напряжения равно 220».

Поскольку каждое значение величины представляет^ собой произведение численного значения на единицу измерения, для* приведенного выше примера получается:

Напряжение и^{Щ • [£Л] к226 В.

Между численным значением и единицей измерения физической величины при наяиеании^ необходимое оставлжь-иптерцал^.например:

Ai=5.jviM2,г = 12 см,<р = 0,2 рад, / = 10"А,

f = —5℃,T «3G0 К,侬72?3匕В『90°・

Исключение составляют обозначения единиц: градусов (°), минут Г) и секунд (〃)•

Размерность

Размерность физической величины устанавливает ее связь с основными величинами. Она представляет собой произведение степеней размерностей основных величин.

ОбозвачевиеОбозвачевиеОбозна<е»ивразмеркост»Обозна<е»ивразмеркост»

Обозвачевие

Обозвачевие

Обозна<е»ивразмеркост»

Обозна<е»ивразмеркост»

Длина

L

Время

Т

Масса*

м

Сила электрического тока

I

Температура по шкале Кельвина

е, т

Количество вещества

• N

Сила света

J, I

Таким образом, размерность (dim) скорости определяется как

"Время"

dim о « LT-1.

Обр ат и те внимание:

• Необходимо строго ^различать венятия 4»аз!мериое»»^и ^«щщф измерения. Часто единицу измерения ^ошибонно 師ашвшот，®з・ мерностью.

Скалярные величины

Необходимо различать скалярные и векторные величины.

Скйлярные величины полностыо характеризуются численным значением и единицей измерения.

Пример: время /, температура Г, .электрический заряд jQ, масса m

Для обозначения скалярных величин используются строчные и прописные буквы латинского и греческого алфавитов.

В расчетах скалярные ^реличины выражаются действительными числами и с ними можно производить все без исключения действия* которые выполняются с действительными числами.

Скалярные величины могут иметь положительное или отрицательное численное значение (исключение составляет температура по шкале Кельвина).

Векторные величины

■

Векторная величина полностью характеризуется численным значением, единицей измерения и направлением.

Пример: скорость, сила, напряженность электрического поля.

Для обозначения векторной величины также используют строчные и проннсиые буквы латинского и греческого ^алфавитов. Длй указания на векторный характер -физической величины над обыг- ным ее обозначением ставится стрелка: и,尸,£ н т、д.

Обратите внимание:

Часто векторы обозначаются также жирным шрифтом: е, F, Е и т. д.

Иногда векторы обозначают готическими буквами », & @ …工

Если направление векторной величины не существенно, а важны лишь численное значение и единица измерения, называемые ве- личиш)й вектора X то, Пишут |Х| или >иросто А.

Векторная величика геометрически изображается вектором, т. ©・ отрезком, имеющим определенные направление и длину.*

弓 Свободные векторы можно перемещать параллельно самим себе в плоёкобти йлй пространстве. В физике векторы чаще всего свм* заны с их линией детстьия и могут перемещаться только вдаль нее (коллинеарные векторы). Векторы, которые исходят из строго определенной точки (например, из начала координат) у вообще не могут перемещаться и называются орт-векторами. f .

Математические операции над векторными величинами подчи- ЙякутЬ 也сбЗ закономерностям.

Чшгтф встречаются следующие величины:

сумма векторных величин,

разность векторных величин,

произведение векторной и скалярной величин,

скалярное прриэведеиие двух векторных величин, • векторное произведение двух векторных величин.

Соответствующие правила можно найти в учебниках по математике.

Мравнеция дл^ физических величин

Связь между физическими величинами выражается математическими уравнениями. Следует различать три возможных способа записи уравнений:

уравнения для величин,

приведенные уравнения для величин,

уравнения для численных значений.

Уравнения для величин

В принципе следует использовать только уравнения для величин. В них каждое обозначение (см. разд. 1.3) представляет символ физичёской величины и может принимать различные значения (равные произведению численного значения на единицу измерения). Поэтому уравнения для величин не зависят от выбранной системы единиц измерения и принципиально справедливы. Следовательно, уравнение для величин остается справедливым независимо от вы・ 6叩@ единиц. В данной книге все уравнения представляют собоб уравнения для величин»

«Приведенные» уравнения для величин

Если при расчетах часто пользуются одним и тем же уравнением и если оно содержит константы и материальные постоянные, то целесообразно, выбрав соответствующие единицы, заранее подсчитать повторяющиеся численные значения. Разумеется, тогда единицы измерения* оставшихся величин не могут быть выбраны произвольно. Получают уравнение для величин, которое в данном

крнкретном случ&е является «приведенными Тогдй единицы измерения указываются после форму叫 например;

О — напряжение в вольтах, и — скорость в километрах в час, Р — мощность в ваттах и т. д.

В приведенных уравнениях для величин каждое цбоз^аче^ме также представляет физическую величину, значение которой является произведением численного значения и единицы 峭乂触恥孔 Однако после, подстановки значения единицу измерения^ мож!|о сократить.

Пример:

Скорость электрона в электрическом поле определяется вырй* жением

где е= 1,602-Ю-19 Кл и те ^=,9,1Ы0*я кг： В近брав единицы измерения аставцшхся величин и подстарив известные постоянны备 получим

0,352・ 10恵号..и,

где V — скорость в метрах в секунду, U — напряжение в воль- ь « Вт • с кг • м2 t

тах. Подстановка Кл = А • с = —=；"— == - . 丁, 1 км = 103 м дает В с' • b

и в、/о,352 “012к 匸 м2.% и.

Vс2 «В • кг* 10е

В результате преобразований получаем приведенное уравнение Для величин:

о = 594 g

где скорость выражена в километрах в секунду, а напряжение *— в вольтах. Подставляя напряжение U в вольтах, с помощью этого приведенного уравнения для величин можно сразу 1Ю』учнть скорость V в километрах в секунду.

Таблицы

Численные данные в таблицах вместе с головками т^влиц также образуют привеченные уравнения Для величин. Нри этом, конечно, здсленные значения имеют смысл только при одновременном заданий единиц измерения.

Пример;.

Скорость звука

331.13005100331.13005100Веществос. м/с

331.

1300

5100

331.

1300

5100

Воздух，(@℃) + Сеянец 5аль‘

и т. д.

2 蔻.2.Ося^кеордииа^

поскольку численное значение.поскольку численное значение.Уравнения для величин могут быть представлены графически. Ураи*

поскольку численное значение.

поскольку численное значение.

нения должны быть приведенными, указываемое на графике, также имеет смысл лишь при одновре- мшнове е опредедещнин единяци 工 и^ маревия.

Пример:

Точка на кривой (см. рисуйок) определяется следующей парой значений: и = 5 м/с и / = 3 с.

Уравнении «длягчпелеш^п: значений

Уравнения для чиогеннш. значений справедливы лишь в »row случае, когда используются определенные, строго заданные единицы измерения.

Поскольку уравнения для численных значений находят<ш.*в противоречии с представлением, согласно которому

Значение величины = Численное значение Х^дииица^ измерения, они не испалвэуются'* в» фтганкеко^ лн■叩а»у|ге/ №редк9 такие уравнения, к сожаленттго, еще ветречаюфея в^寸ей^вжей4теэшшшоко^ литературе.

Международная система единиц (СИ)

Измерение представляет собой важнейшую задачу*，физики и**техни- кш Для л осуществления ~ измерзши необ^юдкма не. только、，рдслола- гатв^ нужными^ - изм«р4ггельными ； пр^ордш j но., и. установить - соот- вегствующие^единицы измерения^ ?котор|ыел.обз»едцняются в, некого- рую систему.

В настоящее время повсеместно применяется принятая в 1960 г. единая Международная система единиц. На всех языках мира эта система получила сокращенное название *.СИ, а ее единицы называются единицами СИ.

Основные единицы

В Международной системе единиц <СИ) в«качестве «основных ш> пользуются следующие 7 единиц; :

• единица длины

метр

(м).

• единица времени

секунда

(с).

• единица* массы

килограмм

(кг).

• единица силы электрического тока

ампер

(А),

• единица температуры

кельвин

(К),

• единица коли^етва вещества

моль

(маль),

• единица силы света

кандела

(кд).

Производные единицы СИ

Все остальные единицы Международной системы представляют со* бой произведения степеней основных единиц, не содержащие численных коэффициентов, и^и, иначе говоря, образуются когерентно из осйовных единиц. Другие единицы ^являются некогерентными и потому не входят в СИ.

Пример:

Ватт (Вт)—когерентная единица мощности, поскольку

Вт = 1 кгМ/сЗ* т. е. она выведена без численного коэффи- циента.

Киловатт (кВт)—некогерентная единица мощности, поскольку

кВт = 10s кг・・м2/са, т. ё. она выведена с помощью численного коэффициента.

Десятичные кратные и дольные единицы

Единицы Международной системы при практическом использовании часто оказываются слишком большими или слишком малыми, поэтому с помощью особых приставок могут быть образованы десятичные кратные и дольные единицы, если это не запрешейо в отдельных случаях. Сводка этих вриставак дана в「табл. П1.

Существуют некоторые правила иаподьэованияиприставок. При* ведем важнейши|е из ннх：

Единица измерения не может содержать более одной приставки. • Комбинация сокращенного обозначения приставки и единицы измерения составляет ^дикйй - символ, ^Ъторый можно возводить

в степень; при этом скобки не применяются. Иными словами, если единица возводится в какую-либо степень, то в ту же степень возводится и десятичная приставка. ”

Желателыю отдавать предпочтение приставкам, которые соответствуют целочисленным степеням 103 (10зп): Приставки гекто-, дека-, деци-, санти- следует применять только в тех наименова-

ниях единиц, которые стали традиционными.

содержать деся* этой единицы). использовать прп числвтеле. При- таким образом,содержать деся* этой единицы). использовать прп числвтеле. При- таким образом,в областив областиВ ёдёЕнь［犬 единицах каждая единица может тичную приставку (если она допустима для Зщако необходимо стараться по возможности расчетах только одну приставку, стоящую в ставай единиц измерения еяедуе定 выбирать

содержать деся* этой единицы). использовать прп числвтеле. При- таким образом,

содержать деся* этой единицы). использовать прп числвтеле. При- таким образом,

в области

в области

чтобы численное значение результата летло 0,1 …1000.

Единицы с десятичной кратной или дольной приставкой н^эм- ваются некогерентньщи и не входят в СИ. Однако они также' являются законными единицами, например 1 Километр (км)= 103 М.

Единицы, »е входящие "в СИ

Эти единицы выводятся некогерентцо. Из-за важной роли, какую играют такие единицы в науке, технике и экономике, их разрешается применять в определенных областях в течение ограниченного, а в ряде случаев и неограниченного времени. Некоторые из них используются только в специальных областях.

Единицы, допускаемые ГОСТом〔)

Согласно постановлению Государственного комитета СССР по стандартам от 25 июня 1979 口 № 2242 с 1 января 1980 г. в СССР в качестве государственного стандарта вводится стандарт Совета Экономической Взаимопомощи СТ СЭВ 1052-78 «Метрология Единицы физических величин». В соответствии с этим стандартом допускаются к применению следующие единицы:

основные единицы СИ (см. разд. 3.1),

производные единицы СИ (см. разд. 3.2),

десятичные кратные и дольные единицы СИ (см. разд. 3.3).

Кроме того, допускается к применению ряд не входящих в СИ единиц, которые подразделяются следующим образом:

—единицы, допускаемые к применению во всех областях без ограничения срока;

1) Раздел переработан в соответствии с принятыми в СССР положениями. — Прим. ред.

Единииь^ажкейших в^цчцн

Ф 17Ф 17—единицы, допускаемые к применению в специальных областях без ограничения срока;

Ф 17

Ф 17

единицы, которые допускались к применению до 1 января 1980 г.;

—единицы, срок действия которых будет установлен дошйи<- ,тедьно.

3・6・ Единицы измерения важнейших, физических величин

В нижеследующеА* таблице для каждой величины указаны сначала единица СИ и ее связь, с основными единицами. Затем следуют единицы, не входящие в СИ, и устаревшие. единицы с указадием связи с едини1Щ1И СИ.

В графе «Примечание» использованы следующие сокращения:.

QE — основные единицы,

СИ — единицы СИ,

КД — десятичные кратные и дольные единицы СИ,

н — единицы с неограниченной о&Л^Стью и неограниченным с的- ком применения,

(н) — единицы с неограниченным срок。耽 HQ специальной областью применения,”

огр — единицы с ограниченным сроком применения,

(огр) — единицы с ограниченным сроком и специальной областью применения,.

80— единицы с ограниченным сроком применения, которые до

пускались к применению до 1 января 1980 г.,-

— единицы с ограниченным сроком й ограниченной специальной областью применения, которые допускались к применению до 1 января J980 г.,

О — единица, не определяемая в СИ.

В графе КД (образование кратных и дольных единиц)、ждальзо・ ваны следующие обозначения:

+— кратные и дольные единицы СИ применяются,

——кратные и дольные единицы СИ не применяются,

/— составная единица, см соответствующую единицу.

Внимание! Эти же сокращения использованы во всей книге'для характеристики единиц.

4Обозна-

Физическая величина чение

Единица измерения, краткое обозначение, соотношениемежду единицами

Приме- чание м

Длина

Л S, г

метр, м

ОЕ

+

астрономическая единица, а. е. «= 1,49598 • 10п м =■

(н)

в 149,598 Гм

световой год, св. год = 9,4605 • 1015 м

(н)

парсек, пк п 3,0857 • 1016 м

(н)

+

ангстрем, А » 1О~10 м

(8Q)

икс-единипа, икс-ед.» 1,00206 • 10~,8 м

(80)

морская миля, м. миля = 1852 м

(зр)

Площадь

/

М

СИ

+

ар, а «■ 102 м*

(80)

гектар, га ® 104 м*

(н)

барн, 6 =■ Ю-28 м2 =8100 фм2

(80)

+

Объем

У

м8

СИ

+

литр, л = 10""8 м* = 1 дм8

н

+

Плоский угол

а, ф

радиан, рад = м/м = 1

СИ

+

градус, 1° = 1,745329 • 10"2 рад

н

минута, Г = 1760 = 2,908882 • КГ’ pan

н

секунда, 1〃 = Г/60 == 173600 = 0,484814 • Ю-8 рад

н

一

Телесный угол

а

стерадиан, ср п м2/м2 =« 1

СИ

+

Время

/

секунда, с

ОЕ

+

минута, мин = 60 с

н

час, q = 60 мнн==3600 с

н

сутки, сут = 24 q = 1 440 мин » 86 400 с

н

—

Частота

V

герц, Гд« 1/«

СИ

+

8・ м¥аднаровнаА сист^маА&шш;《сн)

Частота вращенияУгловая частотаСкоростьУскорениеУгловая скоростьУгловое ускорениеМассаЧастота вращенияУгловая частотаСкоростьУскорениеУгловая скоростьУгловое ускорениеМассаПлотностьПлотность二+/二/+/-/- - ++ 二 /// 十一+йри^А ^^ы н ^н^ ^^ ^pf.二+/二/+/-/- - ++ 二 /// 十一+йри^А ^^ы н ^н^ ^^ ^pf.8.6・ Ебнницм бажнеиших 8eA=quH8.6・ Ебнницм бажнеиших 8eA=quH

Частота вращения

Угловая частота

Скорость

Ускорение

Угловая скорость

Угловое ускорение

Масса

Частота вращения

Угловая частота

Скорость

Ускорение

Угловая скорость

Угловое ускорение

Масса

Плотность

Плотность

二+/二/+/-/- - ++ 二 /// 十一+йри^А ^^ы н ^н^ ^^ ^pf.

二+/二/+/-/- - ++ 二 /// 十一+йри^А ^^ы н ^н^ ^^ ^pf.

8.6・ Ебнницм бажнеиших 8eA=quH

8.6・ Ебнницм бажнеиших 8eA=quH

к оборот/секунда, об/с — 1/с о^/мйн = 1^666667 • 10~2 1/с

(о 1/с

и м/с

км/q = 1/3,6 м/с = р,277778 м/с

узе% узТ1 м・ миля/ч«0,514444 м/с

а м/с2

Гал, Гал = 1 см/с J 1L м/с2

о рад/с == 1/с

%』1,745329 • 10~2 РЗД/с

а рад/с2 = 1/с2

°/с2 = 1,745329 • ICT? рад/с2

加 килограмм, кг

грамм, г = 10~3 кг

тонна, т =^ 10® кг

атомная еди н^ца массы, а. е. м. = 1,66057 • 10*" кг

карат, кар ==0,2 г = 2 • 10~4 кг

Р кг/м3

кг/дм3 = т/м? ^ 啤 кг/м3

г/см3 =單/n* = т佻3 = 103 仃/мЗ

£ ньютон, Н = кг • м/с?

G килограмм-сила, кгс = 9,80665 Н

дина, дин n 1Q-5 н

Физическая величина

Обозна-

Единица измерения, краткое обозначение, соотношениемежду единицами

Приме-чание

КД

Момент силы

Момент пары сил

М

ньютон-метр, Н • м » кг • м2/са кге • м « 9,80665 Н • м

ЖееГкоеть

D

Н/м ==кг/с2

Kd9@ 如циён^ упругости

々

кгс/см « 980,665 Н/м кге/м « 9,80665 Н/м

Угловая жесткость

D*

Н • м/рад » Н • м » кг • м2/с2 кге • м/рад «= 9,80665 Н • м/рад

Коэффициент затухания

д

1/с

Коэффициент трения

В

кг/с

Работа

吃Л

джоуль, Дж =5= н • М » Вт • С «в КГ • М2/с2

Энергия

取，£

кге* м^9,80665 Дж

Количество теплоты

Q

киловатт-час, кВт • ч « 3,6 • 10е Дж

эрг, эрг эд» 10~7 Дж .

калория, кал =« 4,1868 Дж

электрон-вольт, эВ = 1,60219 • 10*19 Дж

л. с-ч«0,73549875 кВт-ч«2,6477955• 10е Дж

Мошность

Р

ватт, Вт =» Дж/с » кг • м2/с8 кге • м/с = 9,80665 Вт

лошадиная сила, л. с == 735,49875 Вт

кал/с » 4,1868 Вт ккал/ч*** 1,163 Вт

СИ8080

СИ80

Си

Си

СИ80Н ^^

+ 一

+

+ 二 +++- +/7f

международная сиземаеаиниц fez)

ДавлениеДавлениерVEGC 刀 VрVEGC 刀 VНормальное напряжение Модуль упругости Модуль сдвигаПоверхностное натяже- ннеДинамическая вязкостьНормальное напряжение Модуль упругости Модуль сдвигаПоверхностное натяже- ннеДинамическая вязкостьКинематическая вязкостьКинематическая вязкость++//+ ++++//+ ++36 EauHuqf важнеАишх BeAUSUN36 EauHuqf важнеАишх BeAUSUN

Давление

Давление

рVEGC 刀 V

рVEGC 刀 V

Нормальное напряжение Модуль упругости Модуль сдвига

Поверхностное натяже- нне

Динамическая вязкость

Нормальное напряжение Модуль упругости Модуль сдвига

Поверхностное натяже- нне

Динамическая вязкость

Кинематическая вязкость

Кинематическая вязкость

+

+

/

/

+ +

+

+

+

/

/

+ +

+

36 EauHuqf важнеАишх BeAUSUN

36 EauHuqf важнеАишх BeAUSUN

паскаль, Па » Н/м2 « кг/(с2 • м)СИ

бар, бар = 0,1 МПа = 10б Паогр

Topp, Торр = 133,3224 Па80

кгс/м? и 9,80665 “а80

техническая атмосфера, ат = 1 кгс/см*« 98,0665 кПа =»80

=0,980665 -105 Па

физическая атмосфера, атм » 760 Topp ® I<U,325 кПа ■80

« 1,01а25.105 Па

метр водяного столба, м вод. ст. == 0,1 ат»9,80665 кПа «80

« 0,980665 • КГ па

Па = Н/м2 = кг/(с2 • м)СИ

кгс/мм2 = 9,80665 • 106 Па80 *

кгс/см2 = 9,80665 • 104 Па而

Н/м » кг/с*СИ

дин/см = 1 мН/м = 10~3 Н/м80

ласкаль-секунда, Па • с =®=Н • с/м2« кг/(м • с)СИ

пуаз, П=«0,1 Па-с80

сантипуаз, сП = 1 мПа • с = 10""3 Па «с80

W/cСИ

стокс, Ст «= см2/с = 10~4 м2/с80

сантистокс, сСтвмм2/св 10-в м2/с80

Физическая величина

Обозна-чение

Единица измерения, краткое обозначение, соотношениемежду единицами

Приме-чание

КД

Импульс

Р

Н • с == кг • м/с

Момент количества дви

厶

Н • м • с = кг • м2/с

жения, угловой момент

Момент инерции

7

кг • м2

Температура по шкале

7

кельвин, К

градус Кельвина, °К = К

Кельвина

Температура по шкале Цельсия

/

градус Цельсия, ℃ /=7* — Г。; То = 273,15 К

Разность температур

А7

кельвин, К

градус Цельсия, °С = К

Af

°К

Количество теплоты

Q

Дж н кг • м2/с2 кал = 4,1868 Дж

Теплоемкость

С

Дж/К == Вт • с/К == Н • м/К = кг • м2/(с2 • К)

Энтропия

S

кКал/K = 4186,8 Дж/К

Удельная теплоемкость

с

Дж/(кг-К)«м2/(с2.К) ккал/(кг • К) == 4186,8 Дж/(кг • К)

Теплопроводность

А

Вт/(м • К) == кг • м/(с8 • К) ккал/(м-ч-К)«1,163 Вт/(м• К)

/ / / + ~ - + ~ - ++ //// // га от от от^ н отн^ w^ ^^3?

межаднароана* C4GHM0 &二至 q ссз

(V • &/S• JX в V7-B HqHq§ /7

<7

*/。• ^ и ^^°

s/v f

0・YN5Iяоуахо* ^^ о ^2 •。)/杳 uag;、

an IoNd号w

^・m/JXHq/H 口舌 d

^^s 8c92b== JM/0eMN z s (у • азнао.898#== 6i •?ж*увх & (у •2)/击 89 二 U (y ・ h ・

(y・&登 H・/&e 2・三/占磔83m • 5 •->塞

IfBHtfHanoB HHMahHdxMdMe△MCKduBH оомоф^я^нмф^力masJ g0寄h走囁F0LOIOI KEHIUOHXd 蹈g

Bqoldldxs 皆 Hdlxolfs ql&ttjokQ

ttKdBmerBHo ，<L>hHdJ.X3VG O«HQ^«§^ «Hoy OUOMO^^^^^^^ 0k^5

BXAcam 051й

KRHBd ■23 ЕЛГП9НВ&专MA

KHHcadoJuBIOIruaH

SB ;

—«ЛОВОЧВОН IH9HUHBB息 X

As^s .юоочв^ь iMWHMH 奪 60M

Физическая величина

Единица измерения, краткое обозначение, соотношениемежду единицами

Приме-чание

КД

Электрическое сопротивление

Ом, Ом н В/А = кг • м2/(с3 • А2)

СИ

+

Электрическая проводимости»

G

снменс, См = 1/Ом ^= А/В = с3 • А2/(кг • м2)

си

+

Удельное электрическое сопротивление

Р

ом-ме^р, Ом • м = В • м/А = кг • м3/^8 • А2) Ом • мм2/м = 10~6 Ом • м = мкОм • м Ом • см = J。-? Ом • м

сц кд кд

+ / /

Удельная электрическая проводимость

о

См/м = 1/Ом + мн с3 ・ А2/(кг • м3)

СИ

/

Электрическая емкость

С

фарад, Ф = Кл/В = с4 ♦ А2/(кг • м2)

СИ

+

Напряженность электрического поля

£

В/м = кг • м/(с3 • А) В/см=^102 В/м Н/Кл = В/м

СИ кд СИ

Электрическая постоян- ная

ео

Ф/м = А • с/(В • м) = с4 • А2/(кг • м3)

СИ

/

Напряженность магнитного поля

Я

А/м эрстед, Э =а 79,5775 А/м

СИ 80

丄

Магнитный поток

Магнитная индукция

Ф

В

вебер, Вб = В • с « кг • м2/(с2 • А)

максвелл, Мкс= 10"8 Вб

тесла, Тл = Вб/м2 r В • с/м2 = кг/(с2 • А)

СИ 80

СИ

+

+

3.6. Е6имиц¥аажнейших iss

皆

Плотность магнитного

гаусс, Гс ■ 10* Тл

поток а

Магнитодвижущая сила

尸 ампер, А

Индуктивность

L генри, Гн = Вб/А = кг • м2/(с2 • А2)

Магнитнаяпостоян

ная

No Гн/м == В • с/(А • м) = кг • м/(с2 • А2)

Поток излучения

Фе Вт = кг • м2/сЗ

Энергетическая экспозиция

% Дж/м2 = кг/с2

Энергетическая освещенность

及 Вт/м2 = кг/с3

Энергетическая сила света

/е Вт/ср н КГ • М2/(С3 • ср)

Энергетическая яркость

Be Вт/(ср *м2) 0 кг/(с3 • ср)

Сила света

/ кандела, кд

Яркость

В кд/м2

стильб, еб = кд/см2 = 10，кд/м2 апостильб, ас6 = 0,318310 кд/м2

Световой поток

Ф люмен, лм 5=₽ кд • ср

Освещенность

Е люкс, лк = лм/м2 = кд • срМ

Световая энергия

Q люмен-секунда, лм • с » с • кд • ср

Физическая величина

Обозначение

Единица измерения, краткое обозначение, ссютношение между единицами

Прнйе* q@耳恥

кд

Экспозиция (количество

Я

люкс-секунда, лк • с =» с • кд • ср/м2

ей

+

освещения)

Экспозиционная доза

X

Кл/кг я® А • с/кг

СИ

/

рентгеновского и y-из- лучения

рентген, Р =« 2,58 • 104 Кл/кг

80

+

Поглощенная доза излу-

D

Грей, Гр « Дж/кг » mVc2

€И

+

чения

рад, рад н 10~2 Дж/кг = 10~ Гр

80

+

Мощность экспозицион

X

А/кг

СИ

/

ной дозы рентгеновского и у-излучения

Р/с = 2,58 • Ь А/кг

80

/

Мощность поглощенной

Ь

Гр/с = Вт/кг = м2/с3

СИ

/

дозы излучения

рад/с = 1Q~2 Вт/кг = IO* Гр/с

80

/

Эквивалентная доза нз・

厶

бэр, бэр = рад = 10~2 Дж/кг = Ю~2 Гр

О

+

лучений

Активность

Я

беккерель, Вк=1/с 42Рн, Ки = 3,7 • 1010 Бк

СИ 80

Количество вещества

九

моль, моль

ОЕ

Молярная масса

м

кг/моль

СИ

单рл貝рнн总 объем

Um

й8/^оль

СИ

/

Малярная теплоемкость

Сщ

Дж/(моль • К)в кг • м2/(с2 • моль • К)

СИ

/

На^должсЗе

2 6 3・ межаународназистемаевшисцт^з

М МЕХАНИКА

Основные единицы измерения механических величин

Единицы измерения длины

Первым эталоном длины служил прототип метра—冲》яясщсйб^ в Парилке стержшнх из платино^иридиевото сшваюа. Длина этого стержня подмена была составлять одну десятишкдлпонную часть четверти земного меридиана (длины дугиь от полюса до экватора)« Однако более 学ояшне измерения обнаружили отклонения от эткмхэ значения.

В настоящее время метр определяется как 1 650 763,73 длины волны в вакууме излучения, отвечающего переходу между уровнями 2рю и 5йаауома^кршгтона^86.

Соотношение между единицами длины

Ю*"3 км = 1 м=10 дм = 102 см = 103 мм « 10е мкм (микро* метр) = 109 нм (нанометр) == 1012 пм (пнкбметр)

Единицы, не входящие в СИ:

морская миля (миля)

астрономическая единица (а.

световой год (св. год)

парсек (пк)

1 ангстрем (А)

1 Х-единица (икс-ед)

1 миля = 1760 ярд.

1 ярд== 3 фут

1 фут = 12 дюйм

1 дюйм

=1852 м= 1,852 км

е.) = 1,49598 • 10н м = 149,598 Гм

!= 9,4605^ 1015 м о9;46@5 Пм

=3,0857 • Об м =30,857 Пм

=1О~10 м=» 100 пм

=1,00206 - 10-13 м = 100,206 фм

^ 1609,344 м= 1,609344 км

= 0,9144 м=91,44 см

=0,3048 м= 30,48 см

=0冷2&4 м=25.4 мм

Обратите внимание:

Измерение площадей

Единица СИ площади: [А] = ^вадрцтный метр (мг), кроме того; ар (а) (80), гектар (га) для площади полей К земельных участков.

Соотношение между единицами площади

10~6 км2 == 1 м2« 102 дм2 »104 сМ2 " 106 мм2

1 ар (а)« 100 м?

1 гектар (га) = 100 а » 104 ма

Единицы, не входящие в СИ:

1 квадратная миля (миля9) =3,0976 • 109 ярд2 *2,589988 •10е м2

1 квадратный ярд (йрд2) =9 фут2 =* 1296 дк>йм2^,33^1 м2

1 квадратный фут (фут2) =144 дюйм2 = 0,0929 м2==9,29 дм2

1 квадратный дюйм (дюйм?)『0,6452 ： Ю"3 м2 к6,452 см2

Обратите внимание:

• По возможности следует избегать следующих сокращений:

кв. м для м2 (квадратный метр),

кв. км для км2 (квадратный километр),

кв. дм для дм2 (квадратный дециметр),

кв. см для см2 (квадратный сантиме而), кв. мм для мм2 (квадратный миллиметр).

Площади плоских фигур с, нерегулярной границей определяют* ся с помощью полярного планиметра.

Измерение объемов

Единица СИ объема: ,[Р] = кубический метр (м3), кроме того: литр (л).

Объем твердых тел неправильной формы может быть измерен либо по объему вытесненной жидкости, либо путем иэмереиия выталкивающей силы в определенной жидкости.

Соотношение между единицами объема

1 м3« 103 дм3 =« 10е см3 =： 109 мм3

1 литр (л) g 1 дм3

Единицы, не входящие в СИ:

1 кубический ярд (ярд3) =27 фут3 =» 46 656

дюйм3 = 0,7646

i MS

1 кубический фут (фут3) »= 1 728 дюйм3

= 28,32

ДМа

1 кубический дюйм (дюйм3)

=16,39

CMS

1 регистровая тонна«100 фут3

= 2,832

MS

1 бушельng гал (брит.)

в 36,37

ДМа

1 галлон (гал) брит.

п 4,546

дм8

к галлон (гал) США

=8 3,785

дма

Обратите внимание:

# По возможности следует избегать следующих сокращений: куб. м для м8 (кубический метр), куб. дм для дм8 (кубический дециметр), куб. см для см3 (кубический сантиметр), куб. мм для мм8 (кубический миллцметр).

Измерение углов

Единица СИ угла: [<р]子 радиан (рад), кроме того: градус (°), (угловая) минута ('), (угловая) секун- Ду«г Да (〃)・

1 полный угол 占 2л ра&』360°.

Угол определяется как отношение, охваты ваемой углом дуги окружности к радиусу

Ф «= — рад.

Соотношение между единицами угла

1 градус (°) 9 60 мннут (г) =« 3600 секунд (“) 360° = 6,28 рад57,3° в 1 рад

180° = 3,14 рад1° = 17,45 мрад

90° » 1,57 радГ = 291 мкрад

Для измерений углов служат угломеры, часто снабженные зрительной трубой (теодолит).

Обратите внимание:

Наименование единицы радиан (рад) обычно указывается в формулах только тогда, когда ее можно спутать с градусом. Поскольку эта единица определяется как отношение линейных размеров, отношение размерностей равно единице, т. е. радиан не имеет размерности.,

В качестве единицы углов в геодезии используется гон. 100 гон = 90°.

Приставки для образования кратных и дольных едийи^ применяются только с единицами радиан и гон.

Единица измерения временя

Единицу СИ времени： [/] = секунда (с). Секунда равна 9 192 631770 периодам излучения, отвечающего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.

Соотношение между единицами времени

1 сутки (сут) = 2 4 часа (ч) = 1 440 минут (мин) «86 400 секунд (t) 1 час == 60 мин =з 3 600 с

Обратите внимание:

Приставки для образования кратных и дольных единиц прнме彳 няются только с единицей секунда (с).

Сокращение сек (sec). на допускается.. Следует писать: с. Для измерения или поверки времени служат периодические процессы, например колебания (маятниковые часы, атомные часы).

Единица измерения массы

Единица СИ массы?[叫=килограмм (кг).

Килограмм определяется как масса международного прототипа килограмма ——хранящегося в Париже платинолиридиевого цилиндра высотой 39 мм и диаметром 39 мм.

Соотношение между единицами массы

1 кг ® 103 г== 10е мг = 10е мкг

1 декаграмм (даг) * = 10 г

1 тонна (т) = 1 мегаграмм (Мг) == 10 децитонн (дт) *« 103 кг

Единицы^ не входящие в €И:

1длинная тонна=224в®унт\(торговый) = 1016,05 кг= 1,01605 т

1короткая тонна = 2000фунтСША= 907,2 кг= 0,9072 т

iслаг = 32； 1'74 фунт=4 4,594 кг

1фунт = 16 унций=»!0,4536! кг««453^6 г

1унция= 0,02835 кг= 28,35 г

♦ Используется^ в основном в ；Г1ольц1 备 Вексрни,. Аватри像 w Чехославашш.-

О^б^а ти^те в н и м а н не:

•ЧЕдиниц^ масс现 к叩ат (кар%，применяется тальк» для выражения массы драгоценных камней и жемчуга: 1 кар «= 0;2 г.

Масса определяется сравнением на рычажных (а не пружинных) вевах.

Статика, равновесие твердых тел

Единица СИ силы: [F] = ньютон (Н) = кг •专.

Единица^ допускавшаяся к • применению дку 198® гл килофамм< сила (кгс).

Соотношение между единицамя, силы см. в табл. П4.

5.1.

Силы

Силы — векторные величины. Они характеризуются величиной я направлением действия. Если силы изображены векто^>»ми, то они имеют вид стрелок, острия которых указывают направление, а дди»^ характеризует величину силы. Силу, приложенную к твердому теку, можно перемешать только вдоль линии ее действия (коллинеар

ность векторов).

называют составляю-называют составляю-Если на тело действует «есколько сил, их можно «вести к одной' равнодействующей. Отдельные силы щими. Объединение составляющих в равнодействующую пред ста в-

называют составляю-

называют составляю-

ляет собой операцию торных величин маляет собой операцию торных величин ма> геомегрнческого сложения. Способ эапшт век^ 4iaajul^.

ляет собой операцию торных величин ма

ляет собой операцию торных величин ма

Обр атите внимание:

•旨 ндальнеЁшем векторное юбшаш^имйе для сил испельзуется только в тех случаях, когда существенно их напрааление. Во всех остальных случаях имеется в» виду только величина силы.

6.Ы・ Силы, действующие^па одной прямо* > 4 口 » , Если «несколько сил действукхт i вдоль «еднок〕 后 линии, то их равнодействукшшяравна еумм^ или ^фазаости ^велинин »тих сил >(в вави(шмо< сти *от *яхприбавления), ^^. шшы ощадыва% д 卢 ются алгебраически:i亠—^—>>

(М 5.1) I 尸р-® +尺7]巨^

Силы, приложенные к одной точке

Если две силы приложены к одной точке, то их равнодействующая определяется правилом параллелограмма. Диагональ параллелограмма» построенного на данных силах, определяет величину и направление равнодействующей* Силы складываются геометрическиз

?p0 卞 id-我.

Велэтину дхавяодействующей гсилы можно вычислить.

Если

戶р — величина равнодействующей силыу

косинусов полу*косинусов полу*尸 1 — величина составляющей 1, 吊—^велияина. составляющей. 2,

косинусов полу*

косинусов полу*

Y— а 屮#т加ол мжду ювлши, *g «о ^теореме чаем

(М Е・2) 呼6』•件+戏+苏i&ss*

Если силы взаимно перпендикулярны, то -шфамншш <М&2) упрощается, так как cos 90° = 0:

(М52а)尸р=яд/& +抬(теорема Пифагора),

Наяравлеж равнодействующей хуифеделяется соотио!жшир1и

(М 5.26)(М 5.26)

(М 5.26)

(М 5.26)

Если к точке приложено йё^АУлько сил, то «дла ^опредатия равнодействующей следует соответствующее число раз постршиъ параллелограммы сил. Однако проще вое-二，

пользоваться многоугольником сил. Для””

его построения надо поместить начало вектора последующей силы в конец вектора предыдущей, а затем соединить начало вектора первой силы с концом вектора последней. Если многоугольник окажется замкнутым, то равнодей^вующая всех сил равна нулю, т.е. все лгш находятся в равновесии, их действие взаимно ^^шшзехшшяЁЗ^я^ Силы складываются геометрические

后=A +月2 +户3.

Силы, приложенные к разным точкам

Для сложения сил, приложенных к разным точкам, следует nq^ местить силы вдоль их линий действия до точки пересечения 0

5.1.4. Параллельные силы5.1.4. Параллельные силызатем определить равнодействующую по правилу параллелограмма. Такое построение позволяет определить величину и направление равнодействующей, но не точку ее приложения.

5.1.4. Параллельные силы

5.1.4. Параллельные силы

Линии действия параллельных сил не пересекаются. В этом слух чае добавим к каждой составляющей вспомогательную силу, так чтобы эти силы были равны по величине и противоположны по направлению, т. е. их равнодействующая была равна нулю, ^июм найдем равнодействующую всех четырех сил; она и предса^шшет собой искомую равнодействующую. Линия действия этой ома

5.2. Разложение сил на составляющие5.2. Разложение сил на составляющиемм3333

5.2. Разложение сил на составляющие

5.2. Разложение сил на составляющие

м

м

33

33

делит расстояние между двумя приложенными силами в отношении, обратном отношению сил:

(

Отношение расстояний от параллельных сил до линии действия их равнодействующей обратно пропорционально отношению ве-

-личин этих сил (правило рычага}:

(М 5.3) I Л :F2 = /2：/i. I

Обратите внимание:

• Если силы параллельны, но направлены в противоположные стороны (антипараллельны), то равнодействующая определяется тем же способом. Но точка приложения亠

равнодействующей в этом случае находит-「空

ся не между точками приложения данных сил, а по одну сторону от них.-•

Разложение сил на составляющиеf_ %；

Чтобы разложить силы на составляющие, не- 丁后 обходимо знать направление или величину последних. Направление составляющих обычно задается. В этом случае через точки приложения сил проводят линии их действия и строят на них параллелограмм. Можно также вычислить величину составляющих.

Если

F — величина силы, разлагаемой на составляющие, 戶I — величина первой составляющей, 戶2 — величина второй составляющей, а — угол между силами Р и 直， 0 — угол между силами 戸н К

sin аsin (а + 6)'尸2 в?sin В sin (а + Р) *sin аsin (а + 6)'尸2 в?sin В sin (а + Р) *(М 5・4)(М 5・4)данной силы на дведанной силы на двеsin р и cos % выраже-sin р и cos % выраже-F2=F*aF2=F*aкоторые разлагается вла 凡 системы координат, то & икоторые разлагается вла 凡 системы координат, то & и

sin а

sin (а + 6)'

尸2 в?

sin В sin (а + Р) *

sin а

sin (а + 6)'

尸2 в?

sin В sin (а + Р) *

(М 5・4)

(М 5・4)

данной силы на две

данной силы на две

sin р и cos % выраже-

sin р и cos % выраже-

F2=F*a

F2=F*a

которые разлагается вла 凡 системы координат, то & и

которые разлагается вла 凡 системы координат, то & и

Часто возникает задача разложения взаимно перпендикулярные составляющие.

Так как в этом случае а + 0 三 90° и ния (М 5.4) упрощаются:

尸 I ==尸 sin а ==尸 cos 6, (М5・4а) F2e=Fcosa==/7s.np

Обратите внимание:

• Если составляющие 尸i и Fa, иа параллельны осям прямоугольной 尸2 часто обозначают 尸* и &・

Момент силы

Сила, приложенная к твердому телу, которое может вращаться вокруг некоторой точки, создает момент силы. Действие момента силы аналогично действию пары сил.

(Моментом силы относительно некоторой точки называется векторное произведение силы на кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы.

Единица СИ момента силы: [М] = Н・м. Единицы, допускавшиеся к применению до 1980 г.: кгс• м и дин・см.

Если

М — момент силы,

尸 — приложенная сила,

г — расстояние от центра вращения до места приложения силы,

Z — длина перпендикуляра, опущенного из центра вращения на линию действия силы,

а — угол между силой 尸 и вектором положения г, то

М 5.5) М =戶/ =尸厂 sin а, I

рли в виде векторного произведения

即5・5а) 危=；Х元

(

Момент силы М равен векторному произведению вектора положения Т на силу Л

Момент силы — аксиальный вектор, он направлен вдоль оси вращения. Направление вектора момента силы определяется прав^ 』ом буравчика, а величина его равна М 血сиальнне векторы не связаны с определенной линией действия, их можно перемещать в пространстве параллельно самим себе (свободные векторы).

Если на тело, которое может вращаться вокруг какой-либо точки, действует одновременно несколько сил, то для сло

жения моментов этих сил следует воспользоваться правилом сло< жения моментов:

«

Результирующий момент силы равен сумме составляющих моментов сил.

Обратите внимание:

Необходимо различать два случая:

Моменты сил лежат в одной плоскости. Их сумма определяется путем алгебраического сложения: правовинтовые моменты входят в сумму со знаком минус, а левовинтовые — со знаком плюс.

Если моменты сил лежат в разных плоскостях, то оси вращения не параллельны. Сумма моментов определяется путем геометрического сложения.

Условия равновесия

Силы, действующие на твердое тело, могут вызвать как поступательное, так и вращательное движение тела. Чтобы тело находилось в равновесии, необходимо выполнение следующих условий?

■

Равнодействующая всех действующих на тело сил равна нулю. Сумма всех моментов сил равна нулю.

Если силы лежат в одной плоскости, получаем следующее условие равновесия:

(М5・6)£ 冗=0； £ 蔦=0; £м=0,

ппп

> 尸i sin а/ = 0; £ 戶j cos а/ = 0;£ 尸“/ =0.

Простые машины

Простые машины служат для того, чтобы изменять величину или направление приложенных сил при неизменной затрате работы. Ра* ботой называется произведение силы на перемещение. Простые машины не могут изменить величину работы. Если уменьшается приложенная сила, то должно увеличиться перемещение. В силу всту* пает «золотое правило механики»:

|

То, что удается выиграть в силе, приходится проигрывать в перемещении.

5.5.1. Рычаг

Рычагом называется твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси.

У одноплечного рычага ось расположена на одном из концов и силы, действующие на него, антипараллельны (см. разд. 5.4・4)・

У двуплечного рычага ось расположена между точками приложения сил и силы параллельны (см. разд. 5.1.4).

Если

尸 I — сила, уравновешивающая нагрузку %,

尸 2 — нагрузка,

/1 — плечо силы, равное расстоянию по перпендикуляру от точки опоры до линии действия силы 尸i,

/2 — плечо нагрузки, равное расстоянию по перпендикуляру от точки опоры до линии действия нагрузки 戶2,

то, согласно правилу рычага,

(m5.7)卜尸山=代为.I

Сила X Плечо силы ==. Нагрузка X Плечо нагрузки.

Обратите внимание:

• Если плечи рычага образуют угол, меньший 180°, то такой рычаг называется угловым рычагом. В этом случае 厶 и 厶 также обозначают расстояние по перпендикуляру до линий действия сил от точки опоры.

Простые машины

iVL 37iVL 37Неподвижный блок

iVL 37

iVL 37

Неподвижный блок действует аналогично равноплечному рычагу. Моменты сил, действующие с обеих сторон блока, одинаковы, соответственно одинаковы и 'силы, создающие эти моменты. У неподвижного блока

(М 5.8) J Сила равна нагрузке;尸i = F2. |

Обратите внимание:

• Неподвижный блок изменяет только направление действия силы.

Подвижный блок

Подвижный блок действует аналогично одноплечному рычагу. Относительно центра вращения О действуют моменты сил, которые при равновесии должны быть равны:

A2r =尸2八 Отсюда

ММ 5.9) Сила равна половине нагрузки;尸i =

Обратите внимание:

、• Подвижный блок изменяет только величину силы.

Степенной полиспаст

Степенной полиспаст состоит из п блоков, так что нагрузка распределяется между п веревками. При равновесии

(М 5.10) Сила = -ту—-РуЗКа—;尸 1=也. Число веревокп

Дифференциальный блок

Если

"R — радиус большого неподвижного блока, 『 一радиус малого неподвижного блока, 尸1 — приложенная сила,

尸 2 — нагрузка, то

(m5.11)用=尸2^ =年(1 _ 3).(m5.11)用=尸2^ =年(1 _ 3).Наклонная плоскость

(m5.11)用=尸2^ =年(1 _ 3).

(m5.11)用=尸2^ =年(1 _ 3).

Наклонная плоскость — это плоскость, расположенная под углом к горизонту. Силу тяжести, действующую на тело, находящееся на наклонной плоскости, можно разложить на две составляющие:

скатывающую силу, направленную вдоль наклонной плоскости, и

нормальную силу, направленную перпендикулярно наклонной плоскости.

Если

G — сила тяжести, действующая на тело (вес тела), 尸с — скатывающая сила,

Fn — нормальная сила,

b ——длина основания наклонной плоскости, Z ——длина наклонной плоскости, А — высота наклонной плоскости, а ——угол наклонной плоскости,

Клин

Клин состоит из двух наклонных плоскостей, основания которых соприкасаются. Силы реакции перпендикулярны боковым граням

клина.

Если

尸 一сила, действующая на основание клина, 尸н — силы, действующие на боковые грани

клина,

г — ширина основания клина,

$ — длина боковой грани клина, а — половина угла при вершине клина,

то

(М 5.14)(М 5.14)ВинтВинтможно представлять как наклоннуюможно представлять как наклоннуюплоскость, навитую наплоскость, навитую наось.ось.£5.8・ Винт

(М 5.14)

(М 5.14)

Винт

Винт

можно представлять как наклонную

можно представлять как наклонную

плоскость, навитую на

плоскость, навитую на

ось.

ось.

(M 5.16)(M 5.16)

(M 5.16)

(M 5.16)

Если

Fi — сила, действующая на расстоянии г от оси винта и необходимая для поворота винта, 尸* — сила, действующая в направлении оси винта,

А — шаг винта,

г — средний радиус резьбы,

а — угол наклона резьбы (наклонной плоскости),

то尸1 :戶2 =力：方=tg а, или

(М 5.15) I 尸［二尸2tga・ J

Если сила 尸 1 приложена на некотором расстоянии R от оси винта, T0月I:与=左：b=左：2nR, или

Равновесие

М.1. Центр масс

Сила тяжести, действующая на тело, равна сумме сил тяжести, |^&ствующих на элементы его массы. Равнодействующая этих эле・ Лйнарных сил приложена к центру масс тела.

Для экспериментального определения положения центра масс Жютаточно поочередно подвесить тело за две различные точки 聲 его поверхности и провести через точки подвеса вертикали. Йфесечение этих линий (линий действия сил тяжести) и дает по- Й^ение центра масс тела. "

I

Центр масс тела представляет собой точку приложения равнодействующей элементарных сил тяжести. Центр масс тела может располагаться вне самого тела.

ЕСG тгАх,ЕСG тгАх,Положение центра масс можно вычислить, воспользовавшись правилом сложения моментов (см. разд. 5.3). Согласно этому правилу, момент силы тяжести, приложенной к центру масс, относительно произвольной оси должен быть равен сумме моментов всех элементарных сил тяжести относительно этой оси.

ЕСG тгАх,

ЕСG тгАх,

—сила тяжести, действующая на тело (вес тела),

—масса тела,

-объем,人 一

,A/и, АР — вес, масса и объем отдельных элементов тела, g, N — координаты центра масс элемента тела,

то, согласно правилу сложения моментов,•

ХцС = ^"^ х AG; Уц6 = у AG; 2цб = ^^ n AG.

Поскольку G и tng (М 7.2), выражения можно сократить на величину g:

х^т =£ % 厶^ и т. д.

Для однородных тел (т. е. тел, плотность р которых не зависит от координат) уравнения упрощаются, так как т = Vp (М 7.3); тогда

%揖=£ % АН УиУ=^ У М； 2цР = £ n К・Отсюда получаем координаты центра масс однородного тела

Пример

Координаты центра масс плоской фигуры, изображенной на ри* сунке, можно определить по координатам центров масс ее частей# воспользовавшись формулами (М 5.18);

ц== —4 + 4 + 4 '

_ 力4 + 扔42+ ^3^3 =4 + % + 4-.

Обратите внимание:

• Для вычисления центра масс необходимо знать положение центров масс элементов Ар тела. Если не удается разбить тело на элементы с известными положениями центров масс, то прибегают к помощи дифференциального исчисления и переходят к бесконечно малым элементам объема при условии, что форму тела можно описать некоторой математической функцией. Тогда

(М5.20) хц = у J xdV; y^^^ydV\ z^^^zdV.

Аналогичными выражениями определяются координаты центра масс плоской фигуры.

Положение равновесия

В зависимости от того, как перемещается центр масс тела, когда тело приводят в движение, оно может находиться в устойчивом, неустойчивом и безразличном равновесии.

Справочная таблица

У^^ойчивое равно- весне11

При смещении тела центр масс поднимается

Неустойчивое рав- иовесие11

безразличное рав-。

новесиеI~~I

При смещении тела центр масс опускается

При смещении тела центр масс остается на том же уровне

Устойчивость

Положение тела устойчиво, если опущенная из его центра масс вертикаль проходит внутри контура, образованного точками опоры. Если же эта вертикаль проходит вне указанного контура, то равновесие неустойчиво и при малейшем толчке тело опрокинется. Мерой устойчивости тела служит величина момента, приводящего к опрокидыванию, который должен быть по крайней мере равен моменту силы тяжести, препятствующему опрокидыванию.

Если

А — расстояние точки приложения опрокидывающей силы от плоскости опоры,

/ — расстояние от проекции центра масс на плоскость опоры до оси опрокидывания,

G — вес тела,

尸一опрокидывающая сила,

то препятствующий опрокидыванию момент равен опрокидывающему моменту, Gl = Fh, т. е.

(М 5.21)尸=亍

Устойчивость тела тем выше,

чем больше вес тела (尸 ~ G),

(Т)・(Т)・чем больше площадь опоры (户〜/),

(Т)・

(Т)・

чем ниже приложена опрокидывающая сила

Кинематика

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучаются законы движения безотносительно к причинам этого движения. Различают два типа движений:

поступательное движение и вращательное движение(см, разд. 6.1) (см. разд. 6.3)

Обратите внимание:

Изучаемые в кинематике величины

—перемещение (путь) s, скорость и, ускорение а,

—угловая скорость ш и угловое ускорение а

являются величинами векторными. Однако при дальнейшем рассмотрении они записываются в векторной форме только в том случае, когда важно их направление. Во всех остальных случаях рассматривается только величина соответствующих векторов.

Поступательное движение

Справочная таблица

Вид поступательного движения

Скорость

Ускорение

См. раздел

Равномерное

Постоянна

Равно нулю

6.1.1

Равномерно ускоренное

Изменяется равномерно

Постоянно

6.1.2

Неравномерно ускоренное

Изменяется неравномерно

Изменяется

6.1.3

Соотношения между скоростью, перемещением и временем для всех видов поступательного движения можно определить, используя график скорости (зависимость и от /).

График позволяет определить величину скоро- и | сти в любой момент времени и перемещениегтТП

тела к этому моменту (оно равно площади иТТ11 If под кривой).s

Кроме того, для установления законов . 11 I I I II 11 I 丨 I ^ движения, т. е. соотношения между назван- j

ными величинами, удобно воспользоваться графиком перемещения (пути) (зависимость s от /) и графиком ускорения (зависимость а от /).

.1.1. Равномерное поступательное движение

Поступательное движение называется равномерным, если оно происходит с постоянной скоростью у, т. е. тело проходит одинаковые расстояния за равные промежутки времени.

ЕСЛИ4> 斗 V-const

— скорость тела, постоянная% /；［ 1111 н

в течение времени /,I 歹/ Г J

— перемещение тела за это 1j

время,V/一丨丨丨丨丨丨丨丨丨丨丨》

/ — время движения,*丁 |■11111

то, поскольку перемещение s равно площади прямоугольника на графике скорости, имеем s = uf, или

(М 6.1)

■

Скоростью равномерного движения и называется отношение перемещения к затраченному на него времени.

Единица СИ скорости: [и] = м/с.

Соотношение между единицами скорости

；м/с «== 3,6 км/ч; 1 км/ч = 0,278 м/с Единицы, не входящие в СИ:

морская миляморская миля=1,852 KM/q = 0,514 м/с=1,852 KM/q = 0,514 м/с

морская миля

морская миля

=1,852 KM/q = 0,514 м/с

=1,852 KM/q = 0,514 м/с

миля в час (миля/час = миля/ч)миля в час (миля/час = миля/ч)1 ярд в секунду (ярд/с)1 фут в секунду (фут/с)1 ярд в секунду (ярд/с)1 фут в секунду (фут/с)1,609 км/ч = 0,477 м/с 3,294 км/ч = 0,9144 м/с 1,0973 км/ч = 0,3048 м/с1,609 км/ч = 0,477 м/с 3,294 км/ч = 0,9144 м/с 1,0973 км/ч = 0,3048 м/с

миля в час (миля/час = миля/ч)

миля в час (миля/час = миля/ч)

1 ярд в секунду (ярд/с)

1 фут в секунду (фут/с)

1 ярд в секунду (ярд/с)

1 фут в секунду (фут/с)

1,609 км/ч = 0,477 м/с 3,294 км/ч = 0,9144 м/с 1,0973 км/ч = 0,3048 м/с

1,609 км/ч = 0,477 м/с 3,294 км/ч = 0,9144 м/с 1,0973 км/ч = 0,3048 м/с

Равномерно ускоренное движение

Поступательное движение называется равномерно ускоренным, если

ускорение а — const, или

скорость V t.

Если а — ускорение, А。— изменение скорости (увеличение или уменьшение), Д/ — время, за которое происходит изменение . скорости,斗

(М 6.2)

{«} = tg р.{«} = tg р.На графике скорости ускорение характеризуется тангенсом

{«} = tg р.

{«} = tg р.

Обратите внимание:

Замедление отличается от ускорения только знаком (отрицательным) численного значения.

Ускорение: а > 0. Замедление: а V 0.

При равномерно ускоренном движении надо различать два случая: движение без начальной скорости и движение с начальной скоростью.

Движение без начальной скорости

Тело начинает двигаться равноускоренно из состояния покоя.

Если

V — скорость тела через промежуток времени t, s — перемещение тела за время f, 力一время,

〃 一ускорение, постоянное в течение времени 力 то, поскольку на графике скорости перемещение равно площади треугольника, имеем

(М6.3)s==今,

или, учитывая (М 6.5),

(М 6.4)(М 6.4)

(М 6.4)

(М 6.4)

Поскольку движение начинается из состояния покоя, изменение

к моменту вре*к моменту вре*скорости равно величине скорости, достигнутой мени /, и равенство (М 6.2) принимает вид

к моменту вре*

к моменту вре*

(М 6.5) J v^at. I

Из формулы (М 6.5) Подставив это равенство получим

(М 6.6) V = ^/2as.

следует 厶=via.в формулу (М6.3),следует 厶=via.в формулу (М6.3),Средняя скорость иСредняя скорость идвижения равна среднему арифметичг- скому начальной и конечной скоростей

следует 厶=via.

в формулу (М6.3),

следует 厶=via.

в формулу (М6.3),

Средняя скорость и

Средняя скорость и

(М 6,7)

или

Движение с начальной скоростью

Начальная скорость о。, т. е. скорость, которой тело обладало в момент времени / = 0, изменяется равномерно на величину Ди (ускорение при этом постоянно).

Если

ио — начальная скорость в момент / = О, и — конечная скорость тела, s — перемещение тела за время /,

/ — время, продолжительность равноускоренного движения,

@ — ускорение, постоянное в течение времени t,

то, поскольку пройденный путь соответствует площади трапеции на графике скорости, имеем

2~2~(М 6.8)

2~

2~

Далее, площадь трапеции можно представить дей прямоугольника и треугольника, s =_ ио/ +

,е — vo)/

十 n~—> откуда следует

(M 6.9)(M 6.9)

(M 6.9)

(M 6.9)

Из графика скорости следует и = и。+ Аи» так что в соответствии с выражением (М 6.2) получаем

или за промежуток времени Af равноускоренного движения

(М 6.13)吁卷.

Если по условиям задачи следует учесть перемещение тела s。 к моменту ^о, то из формул (М 6.8) и (М 6.9) получим

(М 6.14) s® So + ” ^"卫 f n so + “f + ^- •

Обратите внимание:

Формулы (M 6.3)—(M 6.7) представляют собой частные случаи формул (М 6.8)— (М 6.12). Если движение начинается из состояния покоя, то Vo = 0.

При равнозамедленном движении (замедление представляет собой отрицательное ускорение) величина а отрицательна. Скорость и в этом случае уменьшается (и N Vo) и тело может остановиться (и = 0) или начать двигаться с отрицательной скоростью.

Неравномерно ускоренное поступательное движение

Поступательное движение называется неравномерно ускоренным, если изменение скорости происходит не пропорционально времени, т. е. ускорение не постоянно. В этом случае и скорость и ускорение являются функциями времени: и = и(Г); а = а(/}.

Связь величин s, и н а представлена на графиках.

Мгновенная скорость

По графику перемещения можно определить расстояние, пройденное телом за данные промежутки времени. Чем круче график перемещения, тем больше в данный момент времени мгновенная скорость.

Если

а — угол между касательной и осью времени, и — мгновенная скорость в момент времени % s — перемещение тела к моменту времени 厶 то {и} = tg а, или

(М 6.15) и = -^- = s.

(

Мгновенной скоростью называется первая производная функции s = s(/) по времени (и = 6).

Обратите внимание:

Для вычисления мгновенной скорости и необходимо знать зависимость перемещения от времени.

• Формулы (М 6.1) и (М6.3) являются частными случаями формулы (М 6.15) соответственно для а = 6 и а = const.

Из формулы (М6.15) следует ds = udf. Проинтегрировав обе части выражения, получим

или

(М 6.16)

I Перемещение есть интеграл по времени от скорости.

зависимость скорости отзависимость скорости отОбратите, внимание:

зависимость скорости от

зависимость скорости от

• Для вычисления s необходимо знать времени.

Средняя скорость

По определению

Средняя скорость

Перемещение

Время движения

(М 6.18)(М 6.18)

(М 6.18)

(М 6.18)

(М 6.17) v = y；

для некоторого интервала времени

Мгновенное ускорение

По графику скорости можно определить скорость в любой момент времени. Чем круче кривая скорости, тем больше мгновенное ускорение в данный момент времени.

I Скорость есть интеграл по времени от ускорения.I Скорость есть интеграл по времени от ускорения.

I Скорость есть интеграл по времени от ускорения.

I Скорость есть интеграл по времени от ускорения.

Если

0 ——угол между касательной и осью времени, а — мгновенное ускорение в момент времени f, V — мгновенная скорость в момент времени f, то {а} = tg Р, или

(М 6.19) а == -^- = V = s.

I

Мгновенным ускорением называется первая производная скорости по времени (а = й) или вторая производная перемещения по времени (а = 6).

Обратите внимание:

Для определения мгновенного ускорения необходимо знать зависимость скорости или перемещение от времени.

Формула (М6.2) является частным случаем формулы (М 6.19) для а = const.

Из формулы (М6.19) следует dv = adt. Проинтегрировав обе части выражения, получим

Обратите внимание:

Для вычисления и необходимо знать зависимость ускорения от времени.

Формула (М 6.5) представляет собой частный случай формула (М6.20).

Среднее ускорение

Среднее ускорениеСреднее ускорениеИзменение скоростиВремя движенияИзменение скоростиВремя движения

Среднее ускорение

Среднее ускорение

Изменение скоростиВремя движения

Изменение скоростиВремя движения

или аналогично формуле (М 6.2)

(М 6.21) G

Ли — и — Uo

для некоторого интервала времени (М6.22) g磬=君三1・

Падение тел

Свободное падение

Свободное падение представляет собой частный случай равномерно ускоренного движения без начальной скорости (см. разд. 6.1.2). Ускорение этого движения равно ускорению свободного падения (называемого также ускорением силы тяжести). Для этого движения справедливы формулы (М 6.3) — (М 6.6).

Если

V — скорость падения тела спустя время /, g = 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения,.

Л — высота, с которой падает тело (расстояние, пройденное за время /),

/ — время, в течение которого продолжалось падение,

то из формул (М6.3)—(М6.6) следует

(М 6.23) h = *、

(М 6.24)万=号,

(М 6.25) I и = gf, I

(М 6.26) I д“冢 I

Обратите внимание:

Сопротивление воздуха в данных формулах не учитывается»

Ускорение свободного падения имеет приведенное значение (g = 9,81 м/с2) вблизи земной поверхности. Значение g на других расстояниях от поверхности Земли: см. формулу (М 7.71|.

Движение тела, брошенного вверх

Тело, брошенное вертикально вверх, движется равномерно замедленно с начальной скоростью 加 и ускорением а == —g. Перемещение тела за время t представляет собой высоту подъема Л. Для описания этого движения воспользуемся формулами (М 6.8)— (М6.12).

Если

Оо — начальная скорость движения тела, » — скорость тела по истечении времени t, g =9,81 м/с2 — ускорение свободного падения, А — высота, на которую поднимается тело за время % f — время,

то из формул (М6.8) — (М. 6」2) следует

(М 6.27)(М 6.28)(М 6.29)(М 6.30)(М 6.27)(М 6.28)(М 6.29)(М 6.30)

(М 6.27)

(М 6.28)

(М 6.29)

(М 6.30)

(М 6.27)

(М 6.28)

(М 6.29)

(М 6.30)

Обратите внимание:

Движение тела, брошенного вертикально вниз, представляет собой равномерно ускоренное движение с ускорением а = g. Для его описания можно воспользоваться формулами (М 6.28) — (М6.30), поменяв в них знак《一》на《+».

Сопротивление воздуха в данных формулах не учитывается.

Тело, брошенное вертикально вверх, достигает максимальной высоты в тот момент, когда его скорость обращается в нуль.

Если

九м — максимальная высота подъема тела,

ио — начальная скорость тела, брошенного вертикально вверх, /дм — время, за которое тело достигает высоты Ам (время подъема), g == 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения,

то из выражения (М 6.30) для и = 0 следует

(М 6.31)(М 6.31)

(М 6.31)

(М 6.31)

а из выражения (М 6.29) для и = 0 —

(М 6.32)九м=£・

Сложение движений, направленных под углом друг к другу

Тело может одновременно участвовать в нескольких поступательных движениях. Поскольку ускорение, ляются векторными величинами, их можно складывать по законам векторного (геометрического) сложения, т. е. по правилу параллелограмма.

Соответственно имеем

Sp = Si + S2； Up = U1 +。2； Op = 5 + «2.

Величину результирующей любой характеристики движения несложно вычислить. Покажем это на примере скорости.

Если

Ор — величина результирующей мгновенной скорости,

Ui — величина мгновенной скорости движения 1,

少2 — величина мгновенной скорости движения 2, а — угол, образуемый векторами скоростей 1 и 2,

то по теореме косинусов получим

(М 6.33) % = “и； + 崂 + 2叩2 cos а.

Если движения 1 и 2 происходят под прямым углом друг к другу, то формула (М 6.33) упрощается, поскольку cos 90° = 0:

(М 6.34) % = “и； + 碌 I

Обратите внимание:

Аналогично вычисляются величины результирующего ускорения и перемещения.

Движение тела, брошенного вертикально, является частным случаем движения, описываемого формулой (М 6.33); для него а = 0 или а = 180°.

Движение тела, брошенного горизонтально

Движение тела, брошенного горизонтально, представляет собой комбинацию двух движений, взаимно перпендикулярных друг другуз —горизонтального (равномерного) движения (см. разд. 6.1.1), —вертикального (свободного падения) (см. разд. 6.2.1).

Если построить траекторию движения тела, брошенного горизонтально, в системе координат ку, то координаты каждой точки Р траектории представляют собой перемещения тела в горизонтальном направлении (движение с постоянной скоростью “)и в вер*

ускоренное движение с уско-ускоренное движение с уско-(m 6.35) 广与炉. 2吟(m 6.35) 广与炉. 2吟(m 6.36) *=肃 + 等.(m 6.36) *=肃 + 等.(М 6.38) tga =翁,(М 6.38) tga =翁,

ускоренное движение с уско-

ускоренное движение с уско-

(m 6.35) 广与炉. 2吟

(m 6.35) 广与炉. 2吟

(m 6.36) *=肃 + 等.

(m 6.36) *=肃 + 等.

(М 6.38) tga =翁,

(М 6.38) tga =翁,

тикальном направлении (равномерно рением g):

Подставив / =力他 во второе уравнение, получим уравнение траектории тела, брошенного горизонтально:

Так как g и и。一 постоянные величины, то у ~ х2, т. е. траектория движения представляет собой параболу.

Положение каждой точки траектории можно задать вектором положения 力 который представляет собой результирующее перемещение: г = s + А, или

Аналогично вектор мгновенной скорости в каждой точке траектории является результирующей мгновенных скоростей обеих движений:

(М 6.37)% = и。+ gt. J

Направление мгновенной скорости

Up совпадает с направлением касательной в данной точке траектории:

а величина мгновенной скорости ④ (М6.34):

(М 6.39)% = д/乔衣

Если

s — перемещение тела за время t в горизонтальном направлении, k — высота падения, т. е. перемещение тела за время f по вер

тикали,

ио — начальная скорость в горизонтальном направлении,

/ — время, продолжительность падения,

g = 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения.

то из формул (М 6.1) и (М 6.24) следует:то из формул (М 6.1) и (М 6.24) следует:

то из формул (М 6.1) и (М 6.24) следует:

то из формул (М 6.1) и (М 6.24) следует:

• Сопротивление воздуха в формулах (М6.40) и (М 6.41) не учитывается.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, представляет собой комбинацию двух поступательных движений: —свободного падения в вертикальном направлении и

—равномерного прямолинейного движения под углом а к горизонту.

Координаты произвольной точки Р траектории движения определяются уравнениями:

х = и°/ cos а, у = Uof sin а — Отсюда / и

”2и。cos а

ио% sin а g%2

% cos а2尤 cos2 а

Уравнение движения тела, брошенного под углом к горизонту:

(М 6.42)(М 6.42)

(М 6.42)

(М 6.42)

Поскольку и。, а и g — постоянные величины, траектория дан ного движения представляет собой параболу.ЕслиПоскольку и。, а и g — постоянные величины, траектория дан ного движения представляет собой параболу.Еслии% — горизонтальная составляющая скорости тела в момент времени f,и, — вертикальная составляющая скорости тела в момент времени f,и — мгновенная скорость тела в момент времени /,s — перемещение тела в горизонтальном направлении к моменту времени /,и% — горизонтальная составляющая скорости тела в момент времени f,и, — вертикальная составляющая скорости тела в момент времени f,и — мгновенная скорость тела в момент времени /,s — перемещение тела в горизонтальном направлении к моменту времени /,

Поскольку и。, а и g — постоянные величины, траектория дан ного движения представляет собой параболу.

Если

Поскольку и。, а и g — постоянные величины, траектория дан ного движения представляет собой параболу.

Если

и% — горизонтальная составляющая скорости тела в момент времени f,

и, — вертикальная составляющая скорости тела в момент времени f,

и — мгновенная скорость тела в момент времени /,

s — перемещение тела в горизонтальном направлении к моменту времени /,

и% — горизонтальная составляющая скорости тела в момент времени f,

и, — вертикальная составляющая скорости тела в момент времени f,

и — мгновенная скорость тела в момент времени /,

s — перемещение тела в горизонтальном направлении к моменту времени /,

力 一высота подъема к моменту времени t,

&м — перемещение тела по горизонтали за все время движения /$м, Лм — максимальная высота подъема за время /ьм,

f力м — время, в течение которого тело поднялось на максимальную высоту h№ (время подъема),

/$м — время, в течение которого тело прошло расстояние sM,

/— время,

а — угол, под которым брошено тело,

то, поскольку начальную скорость

ио можно разложить на

—горизонтальную составляющую скорости do cos а, в момент вре« мени f имеем—горизонтальную составляющую скорости do cos а, в момент вре« мени f имеем—вертикальную составляющую скорости 方 sin а и

—горизонтальную составляющую скорости do cos а, в момент вре« мени f имеем

—горизонтальную составляющую скорости do cos а, в момент вре« мени f имеем

vx = ^" = и。cos а и, согласно формуле (М 6.29),

Воспользовавшись формулой (М 6.34), определим величину мгновенной скорости:

и = У * cos2 а + ® sin а — gf){

и = У * cos2 а + 瑰 sin2 а — 2.% sin а + /f?, 。=д/遂(cos? а + sin2a) — 2g (%f sin а —号~),

0 =、/時一2g (%f sin а 一 等}

или с учетом формулы (М6.45)

(М 6.43) и = 〃吟一2g%.

Перемещения тела к моменту времени f в горизонтальном и вертикальном направлениях найдем по формулам (М6.1) и (М 6.28) 2

(М 6.44) J s = Oof cos а | и

(М 6.45) А = uN sin а

Время подъема определим из условия vy = 0. Тогда 0 = =Vo sin а — gtm и

Поскольку общее время движения в два раза больше времени максимального подъема (время подъема равно времени падения), имеем

Максимальная высота подъема определится по формуле g常m

(М 6.45) Лм = vQthW sin а• Подставив сюда выражение

(М6.46), получим

(М 6.48)(М 6.48)吟 sin2 а吟 sin2 а

(М 6.48)

(М 6.48)

吟 sin2 а

吟 sin2 а

Дальность броска (радиус поражения) определяется по формуле (М6.44) sM = Vo/sm cos а. Подставив сюда выражение (М 6.47), получим Sm = 2Vg sin a cos а/g, или после упрощения

(М 6.49)

Обратите внимание:

Сопротивление воздуха при расчетах не учитывалось.

При постоянной начальной скорости и。 дальность броска (радиус поражения) Sm зависит от угла а. Из выражения (М 6.49) следует, что она максимальна при а = 45°, поскольку sin 2а = =1. При значениях а > 45°, а также а < 45° дальность броска будет меньше.

Формулы (М 6.27) —(М 6.32) и (М 6.39) — (М6.41) представляют собой частные случаи формул (М 6.43)——(М 6.49) соответственно для а = 90° и а = 0°.

Движение тела по окружности (вращательное движение)

Законы, определяющие движение тела по окружности, аналогичны законам поступательного движения.

Уравнения, описывающие вращательное движение, можно вывести из уравнений поступательного движения, произведя в последних следующие замены:

перемещение s — угловое перемещение (угол поворота) <р, скорость V — угловая скорость ш, ускорение а — угловое ускорение а.

Справочная таблица

Равномерное

Постоянная

Равно нулю

6.3.1

Равномерно ускорен

Изменяется рав

Постоянное

6.3.2

ное

номерно

Неравномерно уско

Изменяется нерав

Переменное

6.3.3

ренное

номерно

Вид кругового движения

Угловая скорость Угловое D соускорение а Раздел

Угол поворота

Во всех уравнениях вращательного движения углы задаются в радианах (рад); см. разд. 4.1.4

ЕслиS

(р — угловое перемещение в радианах,г^——

s — длина дуги, заключенной между сторонами угла \ поворота,\/

г — радиус,\/

то по определению/Г

(М 6.50) <р рад.\ 7

Соотношение между единицами угла

Ф(рад) лФ(рад) лФФ180°180°1 рад = 57,3°; Г = 17,45 мрад; 1' = 291 мкрад1 рад = 57,3°; Г = 17,45 мрад; 1' = 291 мкрад

Ф(рад) л

Ф(рад) л

Ф

Ф

180°

180°

1 рад = 57,3°; Г = 17,45 мрад; 1' = 291 мкрад

1 рад = 57,3°; Г = 17,45 мрад; 1' = 291 мкрад

Обратите внимание:

Наименование единицы радиан (рад) обычно указывается в формулах только в тех случаях, когда ее можйо спутать с градусом. Поскольку радиан равен отношению длин двух отрезков (1 рад = 1 м/1 м = 1), он не имеет размерности.

Справочная таблица

咪

30

45

60

90

120

150

180

270

360

л

л

л

л

23T

Зя

<Р> рад:

т

丁

л

2л

0,524

0,785

1,05

1,57

2,09

2,62

3,14

4,71

6,28

Соотношения между угловой скоростью, угловым перемещением

и временем для всех видов движения по окружности наглядно

видны на графике угловой скорости (зависимость ① от f). По этому графику можно определить, какой угловой скоростью обладает тело в тот или иной момент времени и на какой угол с момента начала движения оно повернулось (он характеризуется площадью под кривой).

Кроме того, для представления соотношений между названными величинами используют график углового перемещения (зависимость ф от Q и график углового ускорения (зависимость а от f).

Число оборотов

Характеристикой всех или равноценная ей характеризуют числоХарактеристикой всех или равноценная ей характеризуют числовидов вращения является число оборотов л характеристика — частота f. Обе величины оборотов в единицу времени.

Характеристикой всех или равноценная ей характеризуют число

Характеристикой всех или равноценная ей характеризуют число

Единица СИ частоты (или числа оборотов)Единица СИ частоты (или числа оборотов)[п] = (Л =[п] = (Л =(об)(об)丄с丄сОборотыСекундаОборотыСекунда

Единица СИ частоты (или числа оборотов)

Единица СИ частоты (или числа оборотов)

[п] = (Л =

[п] = (Л =

(об)

(об)

丄с

丄с

Обороты

Секунда

Обороты

Секунда

Епч-^т ©"N fwЕпч-^т ©"N fw(М 6.51)(М 6.51)

Епч-^т ©"N fw

Епч-^т ©"N fw

(М 6.51)

(М 6.51)

В технике число оборотов обычно измеряется в оборотах в минуту (об/мин) = 1/мин.

Таким образом, величина, обратная числу оборотов, есть продолжительность одного оборота.

—число оборотов,

—частота,

—продолжительность одного оборота, период,

—угловое перемещение,

—полное число оборотов,

—время, продолжительность вращения1

—угловая частота,

Угловое перемещение равно произведению полного числа оборотов на 2л:

(М 6.52) IJ

Из формулы (М 6.54) для одного оборота следует

(М 6.53) s = 2jtf = -y-.

Обратите внимание:

Формулы (М 6.51)—(М 6.53) справедливы для всех видов вращательного движения — как для равномерного движения, так и для ускоренного. В них могут входить постоянные величины, средние значения, начальные и конечные значения, а также любые мгновенные значения.

Вопреки своему названию число оборотов п — это не число, а физическая величина.

Следует различать число оборотов п и полное число оборотов N.

Равномерное движение тела по окружности

Говорят, что тело движется по окружности равномерно, если его угловая скорость постоянна, т. е. тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол.

Если

со — угловая скорость (постоянная в течение времени /),

Ф — угловое перемещение, t — время поворота на угол <р, то, поскольку на графике угловой скорости площадь прямоугольника соответствует угловому перемещению, имеем <р = со/, или

(М 6.54) s =乎.(М 6.54) s =乎.3八3八

(М 6.54) s =乎.

(М 6.54) s =乎.

3八

3八

(

Постоянной угловой скоростью ① называется отношение углового перемещения (угла поворота) ко времени, затраченному на это перемещение.

Единица СИ угловой скорости: [со]= рад/с = 1/с.

Равномерно ускоренное движение тела по окружности

Движение по окружности называется равномерно ускоренным^ если • угловое ускорение а = const, или • угловая скорость ①〜/.

Если

а 一 угловое ускорение,

△со — изменение скорости вращения (увеличение или уменьшение), △/ ——время, за которое происходит это изменение угловой ско

рости,

(М 6.55) а = к, .

Согласно этому ускорение на графике зуется тангенсом угла времени: {а} = tg е.Согласно этому ускорение на графике зуется тангенсом угла времени: {а} = tg е.осьюосьювыражению, угловое скорости характери- между касательной к кривой скорости и

Согласно этому ускорение на графике зуется тангенсом угла времени: {а} = tg е.

Согласно этому ускорение на графике зуется тангенсом угла времени: {а} = tg е.

осью

осью

(

Постоянным угловым ускорением называется отношение изменения угловой скорости к продолжительности этого изменения.

Единица СИ углового ускорения: [а] = рад/с2 = 1/с2,

Обратите внимание:

• Угловое замедление отличается от углового ускорения только знаком (отрицательным)

Угловое ускорение:Угловое замедление:

а>0а<0

При движении тела по окружности с постоянным угловым ус

корением следует различать два случая: движение с начальной угловой скоростью и без нее.

Движение без начальной угловой скорости

Тело начинает двигаться из состояния покоя, и его угловая скорость равномерно возрастает.

Если/

со — мгновенная угловая скорость тела в мо-/

мент времени 力г /

а — угловое ускорение, постоянное в течение户/

времени f,q/

ф — угловое перемещение тела за время 厶У

f — время,一

то, поскольку на графике скорости угловое'

перемещение равно площади треугольника, имеем

(М 6.56)

(ф в радианах)

или по формуле (М6.58)или по формуле (М6.58)(М 6.57) ①=丁.(М 6.57) ①=丁.(Ф в радианах)(Ф в радианах)

или по формуле (М6.58)

или по формуле (М6.58)

(М 6.57) ①=丁.

(М 6.57) ①=丁.

(Ф в радианах)

(Ф в радианах)

Поскольку вращение тела начинается из состояния покоя, изменение угловой скорости As равно достигнутой в результате ускорения угловой скорости з. Поэтому формула (Мб.55) принимает следующий вид:

(М 6.58) J s = af; I

отсюда / = о/a. Подставляя этот результат в формулу (М 6.56),

после перестановки получим

(М 6.59)

со = “2а(р.

Средняя угловая скорость о равна среднему арифметическому

начальной и конечной скоростей:

_0 + ①8

s=―—Г'

иначе

а/ ф

(М 6.60) о = -^- = ~^".

Обратите внимание:

Формулы (М 6.51)——(М 6.53) справедливы и для случая ускоренного движения по окружности.

Движение с начальной скоростью

Начальная скорость тела, равная ①。в момент / = 0, изменяется равномерно на величину As. (Угловое ускорение при этом постоянно.)

Если

со。一 начальная угловая скорость,

со—конечная угловая скорость,

Ф — угловое перемещение тела за время /, 力一время,

а — угловое ускорение, постоянное в течение времени /,

то, поскольку на графике скорости угловое перемещение соответствует площади трапеции под кривой скорости, имеем

(М 6.61) <р ==图扌 2 f (ср в радианах).

Так как площадь трапеции равна сумме площадей образующих ее треугольника и прямоугольника, получаем

(р =(МЧ/, откуда

(М 6.62)<р = со。/ 4——(ф в радианах).

(М 6.63) I ①=со。+ af. I(М 6.63) I ①=со。+ af. IДалее из графика скорости следует со =： =®о + Аш, откуда в соответствии с формулой (М6.55) имеем

(М 6.63) I ①=со。+ af. I

(М 6.63) I ①=со。+ af. I

(М 6.64)(М 6.64)①="说+ 2a(р①="说+ 2a(р(Ф в радиа(Ф в радиаРазрешив уравнение (М6.63) относительно f и подставив результат в (М6.61), найдем ф = (со?—喲/2а. После преобразова* ния получаем выражение, не содержащее времени:

(М 6.64)

(М 6.64)

①="说+ 2a(р

①="说+ 2a(р

(Ф в радиа

(Ф в радиа

нах).

Средняя угловая скорость соответственно равна

(М 6.65)2~ =①。+ -g-=—；

(М 6.66)(М 6.66)за промежуток времени Af

(М 6.66)

(М 6.66)

Обратите внимание:

• Формулы (М 6.56) — (М6.60) представляют собой частный случай формул (М 6.61) —(М 6.65), в которых ©о надо положить равным нулю, поскольку движение начинается из состояния покоя.

• При замедленном движении по окружности ускорение а отрицательно. Угловая скорость со в этом случае уменьшается (со V шо), возможно, до нуля (состояние покоя) или даже до отрицательных значений.

Неравномерно ускоренное движение тела по окружности

Движение тела по окружности будет неравномерно ускоренным, если изменение угловой скорости происходит не пропорциональноДвижение тела по окружности будет неравномерно ускоренным, если изменение угловой скорости происходит не пропорциональновремени, т. е. если угловое ускорение не остается постоянным. В этом случае и угловая скорость н угловое ускорение являются функциями времени:

Движение тела по окружности будет неравномерно ускоренным, если изменение угловой скорости происходит не пропорционально

Движение тела по окружности будет неравномерно ускоренным, если изменение угловой скорости происходит не пропорционально

s = s (f), а = а (/).

Связь величин ф, ф и а представлена на соответствующих графиках.

Мгновенная угловая скорость

Полный угол поворота тела в любой момент времени можно определить по графику углового перемещения. Чем кр血е график, тем больше в данный момент времени мгновенная угловая скорость.

Если

— угол между касательной и осью времени f,

(о — мгновенная угловая скорость, (Р — угловое перемещение к момен* ту времени 厶

то {со} == tg 6, или

(М 6.67)(М 6.67)I Мгновенной угловой скоростью называется первая производная функ・ ции Ф =(р(0 по времени (со = @)

(М 6.67)

(М 6.67)

Обратите внимание:

Чтобы вычислить мгновенную угловую скорость (о, необходимо знать зависимость углового перемещения от времени.

Формулы (М6.54) и (М6.56) являются частными случаями формулы (М 6.67) соответственно для a s= 0 и а = const

Средняя угловая скоростьСредняя угловая скоростьУгловое перемещениеУгловое перемещениеВремяВремя

Средняя угловая скорость

Средняя угловая скорость

Угловое перемещение

Угловое перемещение

Время

Время

Из формулы (М 6.67) следует d(p = sdt. Проинтегрировав обе части выражения, получим \ d(p = \ со df или

(М 6.68)

■

Угловое перемещение есть интеграл поJ

времени от угловой скорости.以2

Обратите внимание:

• Для вычисления углового перемещения 屮 необходимо знать зависимость угловой скорости от времени.

Средняя угловая скорость

(М 6.70)(М 6.70)фг — Ф1 —• А$фг — Ф1 —• А$^2 一 Л^2 一 ЛА/ .А/ .

(М 6.70)

(М 6.70)

фг — Ф1 —• А$

фг — Ф1 —• А$

^2 一 Л

^2 一 Л

А/ .

А/ .

(М 6.69)

Средняя угловая скорость для некоторого % интервала времени

Среднее число оборотов определяется аналогично формуле (М6.53)

(М 6.71)

Мгновенное угловое ускорение

Скорость вращения тела в любой момент времени можно определить по графику угловой скорости. Чем круче график угловой скорости, тем больше мгновенное ускорение в данный момент времени.

Если

名 —угол между касательной и осью времени

а — мгновенное угловое ускорение в момент времени f, со — мгновенная угловая скорость в момент времени t>

то {а} = tg g или

(М6.72) а = -^ = 6 = ф.

Мгновенным угловым ускорением называется первая производная угловой скорости по времени (а = &)) или вторая производная углового перемещения по времени (а = ф).

Обратите внимание:

• Для определения углового ускорения а необходимо знать зависимость угловой скорости или углового перемещения от времени.

• Формула (М 6.55) представляет собой частный случай (а =const) формулы (М6.72).

Из формулы (М 6.72) для мгновенной угловой скорости следует d(o = adt\ проинтегрировав обе \ da)=\ a dt или

части выражения, получим

(М 6.73)

./2

со = \ a df.

Угловая скорость есть интеграл по мени от углового ускорения.

вре-

Обратите внимание:

Для вычисления угловой скорости з надо знать зависимость углового ускорения от времени.

Формула (М 6.58) представляет собой частный случай (а =а =const) формулы (М 6.73).

Среднее угловое ускорение

сИзменение угловой скорости

Среднее угловое ускорение =者^脑

По аналогии с формулой (М 6.55) имеем

Вращательное движение тела

При вращательном движении твердого тела все элементы его массы, не лежащие на оси вращения, совершают движение по окружности. Аналогично и материальная точка, находящаяся на расстоянии г > 0 от ,оси вращения, также совершает движение по окружности, как и любое тело, достаточно удаленное от оси вращения.

Линейное перемещение s“， линейная скорость 少口 и линейное ускорение ал при таком движении связаны между собой обычными для поступательного движения соотношениями (см. разд. 6.1).

Кроме того, эти величины связаны определенным образом с угловым перемещением ф, угловой скоростью со и угловым ускорением а.

Если

5Л — перемещение тела по траектории,

ил— скорость тела при движении по траектории,

ал — ускорение данного тела при движении по траектории, г — радиус траектории, d — диаметр траектории,

Ф — угловое перемещение тела,

(6 — угловая скорость тела, а — угловое ускорение тела,\

f — частота,尸

(М 6.76) I вл = фг, I

(М 6.77) I ил = ©г, J

(М 6.78) I ал = аг, I

(М 6.79) I ил = d". I

Обратите внимание:

• Формулы (М 6.76) —(М 6.79) справедливы для постоянных, мгновенных и средних величин, во всех случаях движения тела по окружности.

Векторные величины, характеризующие вращательное

движение тела

Угловая скорость и угловое ускорение тела являются векторными величинами. Эти векторы направлены вдоль оси вращения (аксиальные векторы), а их длина определяет величину соответствующих характеристик вращательного движения. Направление векто*

ренноеренное5.1.3):5.1.3):а = -^у- или а =а = -^у- или а =汇+而=vz汇+而=vz

ренное

ренное

5.1.3):

5.1.3):

а = -^у- или а =

а = -^у- или а =

汇+而=vz

汇+而=vz

ров определяется по правилу буравчика, т. е. совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого движется в том же направлении,-»

что и тело.八 з

Если тело участвует одновре-

менно в нескольких вращатель-

ных движениях, то результирую- ><>l

щая угловая скорость определи- (r j

ется по правилу векторного (гео- \ метрического) сложения:

->^->

Юр = ©1 + ©2.

Величина результирующей угловой скорости определяется по аналогии с (М 6.33) или (М 6.34):

(М 6.80)

или, если оси вращения перпендикулярны друг другу,

(М 6.81) Sp = “(о； + 吗

Обратите внимание:

Результирующее угловое ускорение определяется аналогичным образом.

Графически результирующую можно найти как диагональ параллелограмма скоростей или ускорений.

Криволинейное движение

Скорость V является вектором, т. е. характеризуется величиной и направлением. Любое изменение вектора скорости во времени по определению означает ускорение: a==Au/Af. При этом Аи может означать изменение как величины скорости, так и ее направления.

Если изменяется только величина скоро- »

сти, то происходит- прямолинейное уско- —+

движение (см. разд. 5.1.2. и

Если изменяется только направление скорости, то происходит равномерное криволинейное движение. Если величины иь 。2 н

Пл равны между собой, то за время △/ скорость 5 изменяется

на Д? и становится равной у2. При этом приращение скорости

АсГ всегда направлено перпендикулярно к исходной скорости. Отношение Аи/А/ называется радиальным, нормальным или центростремительным ускорением и обозначается ар, ан, ац・ Если величина радиального ускорения постоянна, то тело движется по окружности.

Если изменяются и величина и направление скорости, то тело движется по криволинейной траектории. В этом случае помимо радиального ускорения ар тело обладает тангенцияльным ускорением ат, направленным по касательной к траектории.

1. Радиальное (нормальное) ускорение

При движении тела по криволинейной траектории возникает радиальное ускорение. Оно всегда перпендикулярно направлению мгновенной скорости.

Для достаточно малого промежутка времени Af справедливы следующие соотношения:

As До

Так как As = пл А^, имеем

Ди

У

Отсюда получается радиальное ускорение

(М 6.82) 4р

©2г.

Обратите внимание:

• Радиальное ускорение меняет только направление, но не величину скорости.

Тот же результат можно получить, рассмотрев координаты лежащей на окружности точки Р, в которой в данный момент находится тело:

X == Г COS ф.

^ =8 г sin ф.

Из выражения (М 6.49) следует ф =①力 Согласно формуле (М6.18), а== st т. е. ускорение представляет собой вторую производную перемещения по времени. Продифференцировав дважды координаты точки 尸* найдем ускорения в направлении осей коор-

динат:

х = — ©г sin sf. ^ = ©г cos ①力

£ = — ©2r cos (of, 歹=—©2r sin cof.

Знаки минус указывают на то, что ускорение направлено К началу координат. Отсюда для результирующего ускорения имее^.

а^ = (— ©2r cos ©/)2 + (— ©2 г sin ©/)2,

йр = з'/ (cos2 ①力 + sin2 ®f),

ap = V ① 4户=®2r,

что совпадает с формулой (М 6.82).

Динамика

Динамика рассматривает силы в качестве причины движения тел. При этом следует различать:

динамику поступательного движения, или динамику материальной точки, и

динамику вращательного движения, или динамику твердого тела.

Динамика поступательного движения

Масса и сила

Первый закон Ньютона:

■

Если на тело не действует внешняя сила； то оно находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Это свойство называется инерцией тел.

Из первого закона Ньютона следует:

I

Любое изменение состояния движения обусловлено действием сил.

Связь между действующей силой и вызванным ею изменением состояния движения (ускорением) устанавливает

Второй закон Ньютона:

■

Ускорение тела пропорционально силе, действующей на тело: F ~ а.

Из второго закона Ньютона следует:

Отношение величины силы, действующей на тело, к приобретенному телом ускорению постоянно для данного тела. Это отношение представляет собой массу тела.

Сила

Масса = ・

Ускорение

Масса тела является неизменной характеристикой данного тела, не зависящей от его местоположения. Масса характеризует два свойства тела:

Инерцию: тело изменяет состояние своего движения только под воздействием внешней силы.

Тяготение: между телами действуют силы гравитационного притяжения/

Эти свойства присущи не только телам, т. е. веществу, но и другим формам существования материи (например, излучению, полям). Справедливо следующее общее утверждение:

I

Масса характеризует свойство любого вида материи быть инертной и тяжелой, т. е. принимать участие в гравитационных взаимодействиях.

Обратите внимание:

Масса тела зависит от его скорости (см. разд. 41.4.1).

Однако релятивистское увеличение массы заметно только при очень больших скоростях, т. е. прежде всего у элементарных частиц. Наименьшее значение массы тела, т. е. его масса в состоянии покоя, называется массой покоя.

Используя понятие массы, можно представить соотношение между силой (причиной) и ускорением (следствием).

Если

F — сила, вызывающая ускорение тела, m — масса тела, а — приобретенное телом ускорение,

то основное уравнение динамики выглядит следующим образом: ： 尸加 a

(М7.1) I FIСИ | н кг м/с2

или в векторной форме

(М 7.2) 户=та.

Единица СИ силы: [F] = ньютон (Н) = кг • м/с2.

Единица, допускавшаяся к применению до 1980 г.: килограмм-сила (кгс).

Соотношение между единицами силы в разных системах см. в табл. П4.

Определение:

I

Силой в один ньютон называется сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2.

Соотношение между единицами силы

Единицы, не входящие в СИ:

1 килограмм-сила (кгс)=9,80665 Н

1 дина (дин)= 10~5 Н

! =■ вес：窗常芻｝「©б,/кгс = 9964,。15 H

：；Х^ес：&кЙ-。8896 H

1I=0,45359 кгс = 4,448 H

фунт веса J，

1 паундаль— 0,0141 кгс = 0,138255 Н

На каждое тело действуют гравитационные силы притяжения со стороны Земли и других небесных тел.

■

Действующей на тело силой тяжести (или просто весом тела) на* зывается сила притяжения в гравитационном поле небесных тел.

В соответствии с формулой (М 7.1) гравитационная сила притяжения (сила тяжести) сообщает телу ускорение. Это ускорение называется ускорением свободного падения (ускорением силы тяжести или гравитационным ускорением).

Если

G — сила тяжести, действующая на тело (вес тела), m — масса тела,

g — ускорение свободного падения,

то из формулы (М 7.1) следует

G m g

(М 7.3) I G = mg. IСИ J Н кг м/с»

Обратите внимание:

•- Величина нормального ускорения свободного падения ^н (т. е. на уровне моря на 45° северной широты) составляет 9,80665 м/с2. На полюсах ускорение свободного падения больше (9,832 м/с2), а на экваторе меньше (9,780 м/с2). При расчетах обычно пользуются средним значением, равным 9,81 м/с，

силы действуют всегда парами, т. е. носят характер взаимодействия. Каждой действующей на тело силе 户 соответствует противодействие 声,приложенное к другому телу.

Закон равенства действия и противодействия (третий закон Ньютона)

Каждой силе 尸 соответствует сила противодействия 尸'(сила реакции), равная по величине, но противоположно направлен- ная:尸‘=——尸.Силы F и ——尸‘ приложены к разным телам (действие равно противодействию).

Примеры сил взаимодействия

сила гравитационного притяжения двух тел;

силы притяжения или отталкивания двух магнитов;

—силы притяжения или отталкивания двух электрически заряженных тел;

силы притяжения нуклонов в атомном ядре;

—силы, возникающие при упругой деформации;

—силы взаимодействия молекул и т. д.

Обратите внимание:

• Если две силы приложены к одному телу (равные или неравные по величине, но противоположные по направлению), то они не являются силами действия и противодействия (силами реакции) в смысле третьего закона Ньютона.

Плотность

Тела, имеющие одинаковые объемы, но состоящие из разных веществ, обладают различной массой.

МассаОбъемМассаОбъемПлотностьПлотностьОтношение массы тела к его объему называется плотностью.

Масса

Объем

Масса

Объем

Плотность

Плотность

Если

р — плотность тела, m — масса тела, V — объем тела, то

(m7.4)

р т V

кг/дм3 кг дм3 г/см3 г см3 кг/м3 кг м3кг/дм3 кг дм3 г/см3 г см3 кг/м3 кг м3Для твердых и жидких тел: КД

кг/дм3 кг дм3 г/см3 г см3 кг/м3 кг м3

кг/дм3 кг дм3 г/см3 г см3 кг/м3 кг м3

КД

Для газообразных тел: СИ

Обратите внимание:

Численные значения плотностей см. в табл. 1.

Плотность твердых и жидких веществ зависит от их температуры. Значение плотности при других температурах определяется по формуле (Т 13.10).

Плотность газов зависит от давления и температуры. В таблицах приводятся значения, соответствующие температуре 0℃ и давлению 101,325 кПа (760 мм рт. ст.), т. е. нормальная плотность рн. Значение плотности при других условиях определяется по формуле (Т 13.22).

Удельным весом 丫 называется отношение веса тела, т. е. силы тяжести, действующей на тело, к его объему. В случаях когда удельный вес измеряется в кгс/дм3 (или кгс/м3 для газов), численные значения плотности и удельного веса совпадают.

Упругие силы

Согласно первому и второму закону Ньютона, все изменения состояния движения тела вызываются силами. Кроме того, силы, создавая давление либо растяжение, могут изменять форь^у тела, например длину пружины.

■

Силы служат причиной либо ускорения тела (динамическое действие), либо изменения его формы (статическое действие).

В пределах упругости вещества сила и де

формация пропорциональны друг другу. В этом 八

случае справедлив закон Гука (М 12. 1). Ко- 尸 эффициент пропорциональности D называется жесткостью (коэффициентом упругости).

Если^»

D — жесткость,

尸一сила, вызывающая изменение длины тела (например пружины),

s — изменение длины тела под действием силы F,

то

(М 7.5) D(М 7.5) DD F s

(М 7.5) D

(М 7.5) D

СИ

Н/м

Н

м

кд

Н/см

Н

см

80

кгс/см

кгс

см

(М 7.6)(М 7.6)Действующей на тело (пружину) силе противодействует сила, называемая упругой силой. С учетом направления действия получим для упругой силы формулу, аналогичную формуле (М 7.5):

(М 7.6)

(М 7.6)

Единицы: см. (М 7.5)・

Обратите внимание:

Чем жестче тело (чем труднее растянуть пружину), тем выше жесткость D (коэффициент упругости 左).

Для измерения сил применяется пружинный динамометр, в котором изменение длины пружины характеризует величину приложенной силы. Пружинный динамометр, используемый для определения силы тяжести, называется пружинными весами.

Сила трения

Движущееся тело теряет свою энергию, не только преодолевая сопротивление окружающей среды, но и из-за наличия трения. Сила трения действует на поверхности соприкосновения тел и затрудняет их перемещение относительно друг друга.

|

Сила трения всегда направлена вдоль поверхности соприкосновения в сторону, противоположную движению. Она всегда меньше силы нормального давления.

Если

Rp — сила трения,

卩—коэффициент трения, 尸н — сила нормального давления, которая прижимает тело к опоре,

то

(М 7.7) I &р = и尸н・ I

Обратите внимание:

Трение не зависит от площади соприкосновения тел.

Ориентировочные значения коэффициента трения приведены в табл. 2.

Различают следующие виды трения:

Трение покоя проявляется в том случае, когда тело, находившееся в состоянии покоя, приводится в движение.

Коэффициент трения покоя обозначается р,0.

Трение скольжения проявляется при наличии движения тела; оно значительно меньше трения покоя (р, V 卩0).

О Трение качения проявляется в том случае, когда тело катится по опоре; оно значительно меньше трения скольжения (ц7《ц).

Сила трения качения зависит от радиуса катящегося предмета, В типичных случаях (при расчетах трения качения колес поезда, автомашины), когда радиус колеса известен и постоянен, его учитывают непосредственно в коэффициенте трения качения р/.

Коэффициент трения можно определить экспериментально. Для этого помещают тело на наклонную плоскость и определяют угол

наклона, при котором тело начинает двигаться (коэффициент трения покоя 卩°), а также угол наклона, при котором тело движется с постоянной скоростью (коэффициент трения скольжения ц).

Если

卩一искомый коэффициент трения, а ——угол наклонной плоскости,

то при указанных условиях имеем: сила трения равна скатывающей силе

卩еh =尸口

卩G cos а = G sin а, sin а

а =, или

cos а

(М 7.8) I 卩=tg а. J

Сопротивление движению

Энергия движущегося транспортного средства расходуется не только на преодоление трения колес о покрытие дороги (трение качения), но и на преодоление трения в'подшипниках осей. Оба коэффициента трения учитываются вместе в ‘ коэффициенте сопротивления движению. Для вычисления сопротивления движению следует пользоваться формулой (М 7.7). Значения коэффициентов трения приведены в табл. 2.

Силы инерции (случай поступательного движения)

Силы являются причиной любого изменения состояния движения, т. е. любого ускорения. Ускорение возникает в направлении действия силы. Кроме того, существуют так называемые силы инерции, которые возникают как следствие ускорений. Они направлены в сторону, противоположную ускорению. Силы инерции возникают только в системе отсчета, движущейся с ускорением, т. е. это кажущиеся силы.

|

Силы, вызывающие ускорение данного тела, и силы инерции, возникающие вследствие ускорения, всегда равны по величине и противоположно направлены.

Если

F — сила, сообщающая телу ускорение,

— сила инерции, m — масса тела, 。一ускорение,

(М 7.9)(М 7.9)то 尸и = — F, или

(М 7.9)

(М 7.9)

Чтобы установить, как движется тело, на которое действует сразу несколько сил, часто пользуются принципом динамического равно- весия (£ 尸= 0), причем в этом случае кроме действующих сил и сил трения следует также учитывать кажущиеся силы инерции (принцип Д'Аламбера).

7.2.

Работа, энергия и мощность

7.2.1.

Если

Работа

сила перемещает тело на некоторое расстояние, то она срвер-

шает над телом работу.

■ Работой W называется произведение силы на перемещение.

Работа == Сила X Перемещение.

Единица СИ работы:[呼]=[F] • fs] = Н・м = Дж = Вт-с =. = кг • м2/с2.

Единицы, допускавшиеся к применению до 1980 г.: килограмм-сила на метр (кгс-м) и эрг

Соотношение между единицами работы

Единицы, не входящие в СИ:

1 кВт • ч== 3,6 • 106 Дж

и 3,6 МДж

1 кгс • м= 9,80665 Дж

1 эрг= 10~7 Дж

л. с. *ч= 2,737 • 105 кгс • м = 2,684 МДж

фунт-сила-фут=0,1383 кгс • м= 1,3558 Дж

фунт-сила-дюйм = 0,01152 кгс • м =0,11298 Дж

паундаль-фут=4,297 гс • м= 42,14 мДж

4 фунт-сила-ярд=0,4148 кгс • м» 4,06745 Дж

Обратите внимание:

• Соотношение между единицами работы см. в tw

Еели尸丿

取一совершенная работа,

F — постоянная сила, совпадающая по направлению с перемещением,

1бл. П5.

1 尸=const

то

5

W戶 s

(М 7.10)步==尸s. ]СИ

80

Дж Н м кгс • м кгс м

(М 7.14)(М 7.14)S2^= \ F ds.S2^= \ F ds.

(М 7.14)

(М 7.14)

S2

^= \ F ds.

S2

^= \ F ds.

Обратите внимание:

Сила должна совпадать по направлению с перемещением. В противном случае следует пользоваться формулой (M7.ll).

Величина силы должна оставаться постоянной во время перемещения. Если сила меняется по линейному закону, как, например, при растяжении пружины, следует пользоваться средним значением силы; в иных случаях ——формулой (М 7.13).

Если сила и перемещение составляют между собой угол а V 90°, то перемещение следует умножать на составляющую силы в направлении перемещения (или силу умножать на составляющую перемещения в направлении действия силы).

Если а ——угол между направлениями действия силы то в соответствии с выражением (М 7.10) (М 7.11) [ r = Fscos a, I или в векторной форме

(m7.12)取=声.^.

Обратите внимание:

Работа — величина скалярная.

Если сила не постоянна по величине, а является функцией перемещения, F == F(s), и направлена под углом а к перемещению, то

dW =尸 cos a ds, или

S2

(М 7.13)(М 7.13)IT = \ F cos a ds,

(М 7.13)

(М 7.13)

Si

или в векторной форме

Si

I Работа есть интеграл от силы по перемещению.

Обратите внимание:

Из этого определения следует, что площадь под кривой на графике зависимости 尸 от s равна работе, произведенной данной силой.'

Работа против силы тяжести

Если тело равномерно поднимается, т. е. движется с постоянной скоростью в направлении, противоположном направлению действия силы тяжести, то, согласно формуле (М7.10), над телом совершается работа W = Fs, где 尸一сила; она совпадает по направлению с перемещением s и равна по величине весу тела G.

Если

取口 一 работа по поднятию тела,

G — вес тела (сила тяжести, действующая на тело),

т — масса тела,

g = 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения,

s =力 ——перемещение, т. е. высота, на которую поднимается тело,

(М 7.15) I Wn^Gh==mgh. |(М 7.15) I Wn^Gh==mgh. |W G h т gСИ 80W G h т gСИ 80Дж Н м кгс«м кгс мДж Н м кгс«м кгс мм/с2 м/с2м/с2 м/с2то

(М 7.15) I Wn^Gh==mgh. |

(М 7.15) I Wn^Gh==mgh. |

W G h т g

СИ 80

W G h т g

СИ 80

Дж Н м кгс«м кгс м

Дж Н м кгс«м кгс м

м/с2 м/с2

м/с2 м/с2

Обратите внимание:

Совершенная над телом работа запасается в виде энергии, связанной с положением тела (потенциальной энергии); см. разд. 7.2.2.

Формула (М 7.15) определяет также работу, затрачиваемую на подъем тела без трения по любому пути (включая наклонную плоскость); в этом случае высота подъема h равна составляющей перемещения в направлении действия силы тяжести.

Работа против сил трения

Если тело движется с постоянной скоростью (равномерно) против сил трения, то, согласно формуле (М7.10), над ним совершается работа W = Fs. При этом сила F совпадает по направлению с перемещением s и равна по величине силе трения Ар.

Если

%р — работа против сил трения,

Gp — сила трения,

卩 一коэффициент трения, 尸н — сила нормального давления.

s — перемещение,

то

(М 7.16) WTp — FTpS =^ [iF^s. I(М 7.16) WTp — FTpS =^ [iF^s. IW 尸s"

(М 7.16) WTp — FTpS =^ [iF^s. I

(М 7.16) WTp — FTpS =^ [iF^s. I

кгс-м кгс м —кгс-м кгс м —СИ Дж Н м —• 80

кгс-м кгс м —

кгс-м кгс м —

Обратите внимание:

Работа против сил трения превращается в тепловую энергию. При движении тела вверх по наклонной плоскости совершается 、работа против силы тяжести и сил трения. В этом случае сила, действующая в направлении перемещения, складывается из скатывающей силы 尸с и силы трения Лтр. В соответствии с формулой (М7.10)

W = (Fc + %р) s =(底 + 卩&) s = (G sin а + p,G cos a) s,

откуда

；ГW m g s

(M 7.17) 步=mgs (sin а + jicos a).j—

!1 СИ I Дж кг м/с2 м —

Работа, затрачиваемая на ускорение тела

Если под действием постоянной силы Fy тело равномерно ускоренно перемещается на расстояние s, то, согласно формуле (М 7 10), над ним совершается работа W =尸yS. При этом сила Fy, ускорение a и перемещение s имеют одинаковое направление.

Если

吗一работа, затрачиваемая на ускорение тела, m — масса тела,

V —• скорость, которую достигает тело, a — ускорение,

то Wv = Fys = mas. Если ускорение сообщается телу, находяще-

号2

муся в состоянии покоя, то, согласно формуле (М 6.6), Wy = m -^- s,

(М 7.18) Wy = rnas = -— mv2.(М 7.18) Wy = rnas = -— mv2.mas vWСИ I кг м/с2 m м/с Джmas vWСИ I кг м/с2 m м/с Дж

(М 7.18) Wy = rnas = -— mv2.

(М 7.18) Wy = rnas = -— mv2.

mas vW

СИ I кг м/с2 m м/с Дж

mas vW

СИ I кг м/с2 m м/с Дж

обладающему скоростью формулы (M6.ll):обладающему скоростью формулы (M6.ll):Единицы: см. (М 7.18)Единицы: см. (М 7.18)

обладающему скоростью формулы (M6.ll):

обладающему скоростью формулы (M6.ll):

Единицы: см. (М 7.18)

Единицы: см. (М 7.18)

Если ускорение сообщается телу, уже ио* 0, то в (М 7.18) а следует найти из

△一遂 a=. Тогда

2s

(М 7.19) I% = mas = ^* (J —吟).

Обратите внимание:

Совершенная над телом，работа запасается в форме кинетической энергии тела 叭.

Из формул (М7.18) и (М 7.19) видно, что работа, затрачиваемая на ускорение тела, не зависит от характера приложенной к телу

силы. Поэтому действующая на тело сила не обязательно должна быть постоянной, а может зависеть от перемещения или времени:

尸у == Fу (s) или

Fy =尸у ")•

Работа, затрачиваемая на упругую деформацию тела

Если пружина растягивается на длину s, то действующая на пружину сила в соответствии с выражением (М 7.5) возрастает пропорционально s от 0 до Емакс. Тогда в фор- 广厶 мулу (М 7.10) для работы W — Fs следует „ Т_ подставить среднее значение силы'макс

Если'

~ работа против упругой силы, работа по деформации пружины £> — жесткость пружины, s — растяжение,

Ds

то, согласно формуле (М7.5), % = —^—s,

(М 7.20) Гд=уР52(М 7.20) Гд=уР52W D sСИ Дж Н/м м 80 кгс-м кгс/м мW D sСИ Дж Н/м м 80 кгс-м кгс/м м

(М 7.20) Гд=уР52

(М 7.20) Гд=уР52

W D s

СИ Дж Н/м м 80 кгс-м кгс/м м

W D s

СИ Дж Н/м м 80 кгс-м кгс/м м

Обратите внимание:

Работа, затрачиваемая на деформацию (растяжение) пружины, запасается в виде потенциальной энергии Wn растянутой пружины.

форму-форму-Формулу (М 7 20) можно вывести, воспользовавшись

форму-

форму-

S2

лой (М 7.14) IF =、尸 ds при Si = 0 и F = Ds.

Si

Энергия

Любая работа, совершаемая над телом, увеличивает его энергию и делает его способным в свою очередь совершать работу.

I

Энергией W называется способность тела совершать работу. Энергия = Способность тела совершать работу или запас работы»'

Энергия измеряется в тех же единицах что и работа.

Единица СИ энергии: [F] = джоуль (Дж) = Н • м = Вт-с = =КГ М/с2.

Единицы, допускавшиеся к применению до 1980 г.: кгс - м и эрг.

Обратите внимание:

Соотношение между единицами энергии в разных системах см. в табл. П5.

Потенциальная энергия (энергия положения и энергия упругой деформации)

Чтобы увеличить расстояние над ним следует совершить потенциальной энергии тела.Чтобы увеличить расстояние над ним следует совершить потенциальной энергии тела.тела от центра Земли (поднять тело), работу. Эта работа запасается в видетела от центра Земли (поднять тело), работу. Эта работа запасается в видеЕсли1〃п — потенциальная энергияЕсли1〃п — потенциальная энергияm А gm А gположения,— масса тела,—высота, на которую поднято тело,— 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения,положения,— масса тела,—высота, на которую поднято тело,— 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения,тела, энергиятела, энергия

Чтобы увеличить расстояние над ним следует совершить потенциальной энергии тела.

Чтобы увеличить расстояние над ним следует совершить потенциальной энергии тела.

тела от центра Земли (поднять тело), работу. Эта работа запасается в виде

тела от центра Земли (поднять тело), работу. Эта работа запасается в виде

Если

1〃п — потенциальная энергия

Если

1〃п — потенциальная энергия

m А g

m А g

положения,

— масса тела,

—высота, на которую поднято тело,

— 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения,

положения,

— масса тела,

—высота, на которую поднято тело,

— 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения,

тела, энергия

тела, энергия

то, поскольку, согласно формуле (М7.15), работа, затраченная на подъем тела Wn = Gli — mgh, потенциальная энергия тела равна

(М 7.21) J Wn = Gh = mgh. |(М 7.21) J Wn = Gh = mgh. |WGhmgСИ /ДжНмкгм/с280 Iкгс • мкгсмWGhmgСИ /ДжНмкгм/с280 Iкгс • мкгсм

(М 7.21) J Wn = Gh = mgh. |

(М 7.21) J Wn = Gh = mgh. |

WGhmg

СИ /ДжНмкгм/с2

80 Iкгс • мкгсм

WGhmg

СИ /ДжНмкгм/с2

80 Iкгс • мкгсм

Обратите внимание:

(М7.21), не(М7.21), неПотенциальная энергия, определяемая по формуле

(М7.21), не

(М7.21), не

является полной потенциальной энергией тела, а представляет собой лишь приращение потенциалъно'й энергии при подъеме тела на высоту 力,поскольку начало отсчета выбирается произвольно.

Формула (М 7.21) верна при условии, что ускорение свободного падения g постоянно по всей высоте подъема, т. е. в случае подъема па относительно небольшую высоту. В гравитационном

поле любого небесного тела сила тяжести и соответственно ускорение свободного падения тела убывают пропроционалъно квадрату расстояния от центра этого тела; см. (М 7.69). Поэтому при подъеме

на большую высоту следует g = g(力)и, следовательно

九2

(М 7.22) Wn = m \^gdh.

Обратите внимание:

Если тело опускается с высоты h, то выделяется определяемая формулами (М7.21) и (М 7.22) энергия 弘，зависящая от расстояния, на которое опустилось тело.

Если тело падает с высоты Л, то его потенциальная энергия Wn целиком превращается в кинетическую энергию WK (энергию движения).

Работа, затрачиваемая на деформацию упругих тел, также накапливается в этих телах в виде потенциальной энергии.

Если

Wn — потенциальная энергия, работа, затраченная на упругую деформацию,

D — жесткость тела или пружины,

s — величина деформации,

то аналогично (М7.20) имеем

(М7.23) %=奪.(М7.23) %=奪.Г D s СИ I Дж Н/мм 80 |кгс« м кгс/м мГ D s СИ I Дж Н/мм 80 |кгс« м кгс/м м

(М7.23) %=奪.

(М7.23) %=奪.

Г D s СИ I Дж Н/мм 80 |кгс« м кгс/м м

Г D s СИ I Дж Н/мм 80 |кгс« м кгс/м м

(М 7.24) Гк = у mv\(М 7.24) Гк = у mv\(М7.25) А% = £(^-и；).(М7.25) А% = £(^-и；).

(М 7.24) Гк = у mv\

(М 7.24) Гк = у mv\

(М7.25) А% = £(^-и；).

(М7.25) А% = £(^-и；).

Кинетическая энергия (энергия движения)

Чтобы сообщить телу ускорение и заставить его двигаться с определенной скоростью, нужно совершить работу. Эта работа запасается в виде кинетической энергии тела.

Если

呼к — кинетическая энергия тела,

т — масса тела,

и — скорость тела,

то, поскольку работа, затраченная на ускорение тела, согласно формуле (М 7.18), равна Wy = mas = ~ mv2, кинетическая энергия тела запишется в виде

Изменение величины скорости от и〔 до 。2 приводит к изменению кинетической энергии, которое записывается в виде

Обратите внимание:

Если。2 V то выражение в скобках отрицательно, А% V О, т. е. тело отдает свою кинетическую энергию.

Закон сохранения энергии

Этот закон гласит, что энергия не может исчезать бесследно или возникать из ничего.

■

Полная энергия замкнутой системы, которая не отдает своей энергии и не получает энергии извне, остается неизменной.

Этот общий закон в применении к механике означает следующее:

Закон сохранения механической энергии

I

B замкнутой механической системе сумма механических видов энергии (потенциальной и кинетической энергии, включая энергию вращательного движения) остается неизменной.

(М 7.26) I 呼口 + 1У\ + 昕 вр =呼 полн = const]

Обратите внимание:

Энергия вращательного движения определяется в разд. 7.4.7.

Потенциальная энергия включает энергию положения и энергию упругой деформации.

На практике не бывает чисто механических процессов, так как вследствие трения часть механической энергии превращается в тепловую энергию.

Мощность

(

Мощностью Р называется отношение произведенной работы к времени, в течение которого совершена работа.

_.Работа

Мощность =—・

Время

Единица СИ мощности: [Р] = ватт (Вт) = Дж/с = кг• м2/с3.

Единицы, допускавшиеся к применению до 1980 г.: килограмм-силаметр в секунду (кгс-м/с) и (для машин и механизмов) лошадиные силы (л. с.).

РIVtВтДж скгс«м/с кгс«м сРIVtВтДж скгс«м/с кгс«м с

РIVt

ВтДж с

кгс«м/с кгс«м с

РIVt

ВтДж с

кгс«м/с кгс«м с

Соотношение между единицами мощности

Единицы, не входящие в СИ:

кгс • м/с= 9,80665 Вт

л. с.= 735,49875 Вт

1 эр г/с— 0,1 мкВт = 10~7 Вт

л. с. (брит.)== 745,7 Вт

фунт-сила-фут в секунду == 1,356 Вт

фунт-сила-дюйм в секунду = 0,11298 Вт

паундаль-фут в секунду =42,14 мВт

1 фуит-сила-ярд в секунду = 4,06745 Вт

Средняя мощность

Если

Р — средняя мощность,

聲一работа,

/ — время, затраченное на совершение работы,

то

- W

(М 7.27) Р =〒•‘ СИ

80

Обратите внимание:

• Если работа пропорциональна времени, IF ~ 4 To мощность постоянна.

Мгновенная мощность

В большинстве случаев мощность зависит от времени, Р = P(t). В то время как средняя мощность вычисляется по формуле (М7.27), мгновенная мощность определяется как

(М 7.28)(М 7.28)

(М 7.28)

(М 7.28)

(Мгновенная мощность есть производная работы по времени: Р 尸 吼

(М 7.28) следуетР F VВт Н м/с кгс-м/с кгс м/с(М 7.28) следуетР F VВт Н м/с кгс-м/с кгс м/сПоскольку dW = Fds (М7.13), из формулы Р == Eds/dt. Так как ds/di = 6 == о, имеем

(М 7.28) следует

Р F V

Вт Н м/с кгс-м/с кгс м/с

(М 7.28) следует

Р F V

Вт Н м/с кгс-м/с кгс м/с

СИ 80СИ 80(М 7.29) J P = Fv.

СИ 80

СИ 80

■

Мгновенная мощность равна произведению мгновенной силы 'на мгновенную скорость.

Обратите внимание:

• Формула (М 7.29) справедлива в том случае, когда 尸 или а постоянны. Если же F и V остаются постоянными, то Р представляет собой постоянную мощность.

При равномерно ускоренном движении (尸=const)

尸 макс =尸？макс；Р = F®.

7.2.5. Коэффициент полезного действия (КПД)

Каждая машина потребляет большую мощность, чем отдает, поскольку в ней происходят потери мощности (за счет трення, сопротивления воздуха, нагревания и т. д.).

■

Коэффициент полезного действия представляет собой отношение отдаваемой мощности к подводимой мощности.

Если

т] 一 КПД,

Ротд — отданная мощность, т. е. полезная или эффективная мощность, равная подведенной мощности минус мощность потерь,

Рцодв 一 подведенная мощность, называемая также номинальной, приводной или индикаторной мощностью,

то

(М 7.30)(М 7.30)подв потерьподв потерь尸 подв尸 подвпотерьпотерьР отдРподвР отдРподв

(М 7.30)

(М 7.30)

подв потерь

подв потерь

尸 подв

尸 подв

потерь

потерь

Р отд

Рподв

Р отд

Рподв

Часто бывает целесообразно определять КПД не как отношение мощностей, а как отношение работ, особенно в тех случаях, когда работа над телом совершается не одновременно с работой, производимой самим телом, и с другой скоростью (например, растяжение и сжатие пружины). Поэтому КПД определяют также следующим образом:

叮„Полезная работа

Коэффициент полезного действия = —ктJ

Общая работа

Обратите внимание:

КПД по мощности m и КПД по работе “历 совпадают только в том случае, когда продолжительность подвода и выделения энергии одинакова.

❷ Вследствие неизбежных потерь КПД всегда меньше единицы; П V 1.

Часто КПД выражают в процентах, т. е. “ =卩• 100%, или 产 подв

n =舞也・100%・ w подв

Общий коэффициент полезного действия

При многократном превращении или передаче энергии общий коэффициент полезного действия равен произведению КПД на всех ступенях преобразования энергии:

(М 7.31) I Лобщ= Л^гЛз ••• J

Импульс и соударение (столкновение) тел

Импульс (количество движения)

■

Импульсом тела называется произведение массы тела на его скорость.

Импульс ——векторная величина. Его направление совпадает с направлением скорости.

Единица СИ импульса: [р] = кг - м/с = Н с.

Если р — импульс тела, т — масса тела, & — скорость тела, то

(М 7.32)彳=£(М 7.32)彳=£рт V

(М 7.32)彳=£

(М 7.32)彳=£

СИ I Н • с = кг • м/с кг м/с

抗力抗力Изменение импульса тела постоянной массы может происходить только в результате изменения скорости и всегда обусловлено действием силы.

抗力

抗力

Если

Ар — изменение импульса тела, т — масса тела,

Ду =。2 —。1 — изменение скорости,

尸 —ускоряющая тело постоянная сила, А/ — продолжительность действия силы,

то, согласно (М 7.2) и (М 6.2), имеем

(М 7.33) Ар = m Ди = F Д/.(М 7.33) Ар = m Ди = F Д/.рF t m иСИ I Н • с = кг • м/с Н с кг м/срF t m иСИ I Н • с = кг • м/с Н с кг м/с

(М 7.33) Ар = m Ди = F Д/.

(М 7.33) Ар = m Ди = F Д/.

рF t m и

СИ I Н • с = кг • м/с Н с кг м/с

рF t m и

СИ I Н • с = кг • м/с Н с кг м/с

(М 7.35)(М 7.35)-> dp d (mu)'=行=~dt~ =-> dp d (mu)'=行=~dt~ =

(М 7.35)

(М 7.35)

-> dp d (mu)

'=行=~dt~ =

-> dp d (mu)

'=行=~dt~ =

Произведение FM называется импульсом силы. Он равен изменению импульса (количества движения) тела.

Единица СИ импульса силы: [FA/] = Н・с = кг• м/с.

Обратите внимание:

• Формула (М 7.33) справедлива только в постоянна в течение времени АЛ

Если сила меняется со временем, т. е.

F — F (/), то

(М 7.34)

■

Изменение импульса (количества движения) тела равно инте-. гралу от силы по времени.

Из (М 7.32) вытекает следующее определение силы: dp = F dt, откуда

■

Мгновенное значение силы равно первой производной импульса тела по времени.

Обратите внимание:

Формула (М 7.35) справедлива и в том случае, когда масса тела меняется в процессе ускорения (релятивистское увеличение массы ускоренных элементарных частиц, запуск ракеты и т. д.).

Закон сохранения импульса

Этот закон играет в физике столь же основополагающую роль, как и закон сохранения энергии..

Еслит\ — масса первого тела,т2 — масса второго тела,6 — скорость первого тела до соударения,。2 — скорость второго тела до соударения,и — общая скорость обоих тел в момент соударения,% — скорость первого тела после соударения.?2 ~ скорость второго тела после соударения,Еслит\ — масса первого тела,т2 — масса второго тела,6 — скорость первого тела до соударения,。2 — скорость второго тела до соударения,и — общая скорость обоих тел в момент соударения,% — скорость первого тела после соударения.?2 ~ скорость второго тела после соударения,

Если

т\ — масса первого тела,

т2 — масса второго тела,

6 — скорость первого тела до соударения,

。2 — скорость второго тела до соударения,

и — общая скорость обоих тел в момент соударения,

% — скорость первого тела после соударения.

?2 ~ скорость второго тела после соударения,

Если

т\ — масса первого тела,

т2 — масса второго тела,

6 — скорость первого тела до соударения,

。2 — скорость второго тела до соударения,

и — общая скорость обоих тел в момент соударения,

% — скорость первого тела после соударения.

?2 ~ скорость второго тела после соударения,

Закон сохранения импульса

■

Полный импульс замкнутой системы (на которую не действуют внешние силы) остается постоянным.

(М 7.36)兀 + 右 + 亢 + …=РП0ЛН = £ 亢=const.

i— 1

Обратите внимание:

Полный импульс системы р^опн есть векторная сумма отдельных импульсов.

Так как полный импульс системы рПолн не меняется, векторная сумма всех изменений импульсов должна обращаться в нуль:

——〉'- О»

^полн J 1

Упругое соударение (лобовое центральное)

Соударение — это столкновение двух тел. При соприкосновении тела обмениваются энергией и импульсом. После соударения они двигаются со скоростями, которые отличаются: по направлению и величине от их скоростей до столкновения.

При лобовом центральном соударении центры масс обоих тел двигаются вдоль одной линии. Силы взаимодействия, возникающие при соударении, параллельны направлению движения. Если применить к гакой системе двух тел закон сохранения импульса, то полный импульс системы будет равен алгебраической сумме импульсов обоих тел.

При упругом соударении на протяжении кратковременного соприкосновения тела двигаются с общей скоростью, затем они разлетаются и продолжают двигаться с разными скоростями.

то из закона сохранения импульса (М 7.36) следует /П]% 十力2°2 =巾*1 "Г 团2°2 Н〃Н m1 & - 4)=吗(U -唠.Из закона сохранения энергии получаем т^то из закона сохранения импульса (М 7.36) следует /П]% 十力2°2 =巾*1 "Г 团2°2 Н〃Н m1 & - 4)=吗(U -唠.Из закона сохранения энергии получаем т^m{ (0；一壮2)=①2 (吟_嗡，откуда叫(У1 一 吩® + 吩=团2 & — ％) ® + %)，откуда,m{ (0；一壮2)=①2 (吟_嗡，откуда叫(У1 一 吩® + 吩=团2 & — ％) ® + %)，откуда,воспользовавшись законом сохранения импульса, находимвоспользовавшись законом сохранения импульса, находим(М 7.37)(М 7.37)01+壮01+壮=02 + 以=02 + 以I Сумма скоростей до и после соударения одинакова при любом соударении тел.I Сумма скоростей до и после соударения одинакова при любом соударении тел.Из формулы (М 7.37) следуетИз формулы (М 7.37) следует^ = U + % 一02, а： = % + ^ 一 ％.^ = U + % 一02, а： = % + ^ 一 ％.Сближение Принос- УдалениеСближение Принос- Удаление、новение、новениеПодставив эти выражения в импульса, получимПодставив эти выражения в импульса, получимвидоизмененныйвидоизмененныйзакон сохранениязакон сохранения^1 (办一吩=他2 (〃 + j 一 "2 -吩^1 (办一吩=他2 (〃 + j 一 "2 -吩叫(％ —。2 — ^ + %)=团2 3 — %)， откуда, разрешив относительно и： и и； найдем叫(％ —。2 — ^ + %)=团2 3 — %)， откуда, разрешив относительно и： и и； найдем/(m1 -m2)S + 2m2力mi + m2'/(m2 - g) S + 2mmи2制2 + e•/(m1 -m2)S + 2m2力mi + m2'/(m2 - g) S + 2mmи2制2 + e•(М 7.38)(М 7.38)т V vfСИ I кг м/с м/ст V vfСИ I кг м/с м/с

то из закона сохранения импульса (М 7.36) следует /П]% 十力2°2 =巾*1 "Г 团2°2 Н〃Н m1 & - 4)=吗(U -唠.

Из закона сохранения энергии получаем т^

то из закона сохранения импульса (М 7.36) следует /П]% 十力2°2 =巾*1 "Г 团2°2 Н〃Н m1 & - 4)=吗(U -唠.

Из закона сохранения энергии получаем т^

m{ (0；一壮2)=①2 (吟_嗡，откуда

叫(У1 一 吩® + 吩=团2 & — ％) ® + %)，откуда,

m{ (0；一壮2)=①2 (吟_嗡，откуда

叫(У1 一 吩® + 吩=团2 & — ％) ® + %)，откуда,

воспользовавшись законом сохранения импульса, находим

воспользовавшись законом сохранения импульса, находим

(М 7.37)

(М 7.37)

01+壮

01+壮

=02 + 以

=02 + 以

I Сумма скоростей до и после соударения одинакова при любом соударении тел.

I Сумма скоростей до и после соударения одинакова при любом соударении тел.

Из формулы (М 7.37) следует

Из формулы (М 7.37) следует

^ = U + % 一02, а： = % + ^ 一 ％.

^ = U + % 一02, а： = % + ^ 一 ％.

Сближение Принос- Удаление

Сближение Принос- Удаление

、новение

、новение

Подставив эти выражения в импульса, получим

Подставив эти выражения в импульса, получим

видоизмененный

видоизмененный

закон сохранения

закон сохранения

^1 (办一吩=他2 (〃 + j 一 "2 -吩

^1 (办一吩=他2 (〃 + j 一 "2 -吩

叫(％ —。2 — ^ + %)=团2 3 — %)， откуда, разрешив относительно и： и и； найдем

叫(％ —。2 — ^ + %)=团2 3 — %)， откуда, разрешив относительно и： и и； найдем

/

(m1 -m2)S + 2m2力

mi + m2'

/

(m2 - g) S + 2mm

и2

制2 + e•

/

(m1 -m2)S + 2m2力

mi + m2'

/

(m2 - g) S + 2mm

и2

制2 + e•

(М 7.38)

(М 7.38)

т V vf

СИ I кг м/с м/с

т V vf

СИ I кг м/с м/с

Обратите внимание:

• При противоположном направлении движения скорость считается отрицательной.

• Поскольку полная энергия до и после соударения остается неизменной, после столкновения тела приобретают свою первоначальную форму; возникающие в момент соударения деформации исчезают.

Неупругое соударение (лобовое центральное)

Если происходит неупругое соударение тел, то они деформируются в месте соприкосновения и затем двигаются с общей скоростью.

Если

т\ — масса первого тела,

俏2 — масса второго тела,

S — скорость первого тела до соударения,

v2 — скорость второго тела до соударения,

и — общая скорость обоих тел после соударения,

то, согласно формуле (М 7.36),

m\V\ + 团2U2 = (mi + 加2)5

(М 7.39)(М 7.39)/7721 + m 2後g +加2/7721 + m 2後g +加2отсюда

(М 7.39)

(М 7.39)

/7721 + m 2後g +加2

/7721 + m 2後g +加2

Согласно закону сохранения энергии кинетическая энергия системы после соударения меньше, чем до него, так как часть энергии расходуется на неупругую деформацию тел.

Если

取I — сумма кинетических энергий обоих тел до соударения, 取2 — сумма кинетических энергий обоих тел после соударения, А1Г — потеря энергии, равная работе, затраченной на деформацию,

то, согласно (М 7.25),

+，а

步2 =步2 =(g + m2)02

步2 =

步2 =

2*

Подставив в это равенство выражение (М 7.39) для и и преобразовав его, получим выражение для работы, затраченной на деформацию:

(М 7.40)

ДГ ^ Г! — Г2

m1加2

2 (g + 他2)

(S —甸2

Обратите внимание:

• При противоположном направлении движения скорость считается отрицательной.

Частично упругое соударение （лобовое центральное）

При упругом соударении сумма энергий соударяющихся тел не изменяется, а при неупругом соударении, для которого выполняется условие и】=и? = 〃 большая часть полной энергии затрачивается на деформацию тел. Оба этих процесса представляют собой идеализированные частные случаи.

В реальных процессах более или менее значительная часть энергии растрачивается на создание небольших деформаций и на преодоление сил внутреннего-трения.

Часть работы, затраченной на деформацию тел при неупругом соударении, AU7 = W\—W2 （М 7.40）, снова превращается в кинетическую энергию, а именно （叼一％）依.

Если

步一потеря энергии при частично упругом соударении, 的一масса первого тела, 巾2 — масСа второго тела,

S — скорость первого тела до соударения,

。彳 —скорость второго тела до соударения,

，1 — скорость первого тела после соударения, и； — скорость второго тела после соударения, 々一коэффициент восстановления,

то

步=（% 一 取2）-（%一Г2）奴 ИЛИ

=（吃一匕2）（1-出）.

С учетом формулы （М 7.40） получим

（m 7・41）步=T（S 一方）2 （1 -"）.

2 十加2）

W m V k СИ I Дж кг м/с —

Вследствие потери энергии скорости тел после частично упругого соударения будут меньше, чем после абсолютно упругого соударения. Формула （М 7.37） для данного случая принимает следующий вил:

（% 一 a2）内=%——0小

После некоторых преобразований находим

tniVi + 加2方一（S -02）"2々

(М 7.42)(М 7.42)°2°2m1 +加2

(М 7.42)

(М 7.42)

°2

°2

比 P1 + m2^2 +(S -02)m1k

e+加2

Обратите внимание:

Упругое соударение (см. разд. 7.3.3) и неупругое соударение (см. разд. 7.3.4) являются частными случаями частично упругого соударения. Выражения для W, v{ и и? отличаются во всех трех случаях только значением коэффициента восстановления 々： неупругое соударение 力=О, частично упругое соударение О V 々 V L абсолютно упругое соударение ^ = 1.

Коэффициент восстановления k является в определенном смысле мерой упругости тела, и его можно определить экспериментально. Для этого достаточно бросить шарик на пластинку из того же материала и определить высоту подскока.

Если

k — коэффициент восстановления,

也——высота, с которой падает шарик, 力2 — высота подскока шарика,

то, поскольку 。2 = 0 н 加2》гп\, согласно формуле (М7.42), имеем 々=—q/%. Так как v — ^2ght получаем 々=“2g九2/“2纟力1, и, наконец,

(М 7.43)(М 7.43)

(М 7.43)

(М 7.43)

Обратите внимание:

Коэффициент восстановления не является просто характеристикой вещества, а зависит от скорости- t^i， Численные значения см. в табл. 3.

74Динамика вращательного движения.

Динамика твердого тела

Центростремительная сила

Если точечная масса или центр масс твердого тела движется по окружности, то существует ускорение, направленное по радиусу к центру вращения — центростремительное ускорение 。口 (см. разд. 6.4.1). Иными словами, при движении по окружности всегда

существует сила, направленная к центру вращения. Ее называют центростремительной силой. Эту силу можно рассчитать по фор

муле (М 7.2)尸=ma.

Если

^ц — центростремительная сила, т. е. сила, направленная к центру,

и — скорость тела,

со — угловая скорость тела,

г — радиус окружности,

m — масса тела,

р — импульс тела,

то в соответствии с выражением (М 7.1)尸ц формулы (М 6.82) для ац

(М 7.44)Fu = —— = tna^r = ps.

F tn v г sp

СИ I H кг м/с м pa д/с = 1/c H • c

движение по окруж-движение по окруж-Обратите внимание:

движение по окруж-

движение по окруж-

Центростремительная сила обеспечивает ности.

Центробежная сила ——это сила инерции; она противодействует изменению состояния движения и направлена от центра враще, ния (см. разд. 7.4.2).

■

Центробежная и центростремительная силы равны по величине, но противоположны по направлению.

Силы инерции при вращательном движении

Центробежная сила

Центростремительная сила (см. разд. 7.4.1) заставляет тело двигаться по окружности и не позволяет телу двигаться по инерции по прямой (касательной к окружности). Сила инерции, противодействующая центростремительной^ называется центробежной силой и обозначается 尸цб・ Обе силы равны по величине н противопо«< ложны по направлению:户口6 = 一 尸u・

Если

尸иб — центробежная сила, сила инерции, действующая по радиусу от центра при движении по окружности,

то, согласно формуле (М7.44),

(М 7.45)尸цб ="~~~ = то2г = рсо.

F т V

СИ I Н кг м/с м рад/с = 1/с Н • с

Обратите внимание:

Так как на тело, движущееся по окружности, действует также сила тяжести, то при рассмотрении такого движения тела к центробежной силе следует дЬбавить вес тела (по правилам геометрического сложения, см. разд. 5.1).

Сила Кориолиса

Если во вращающейся системе отсчета некое тело движется по радиусу от центра или к центру вращения, то его скорость изменяется. Тело приобретает тангенциальное ускорение, которое вызывается силой Кориолиса.

Если

V — постоянная по величине скорость тела, направленная по радиусу,

①一угловая скорость вращающейсясистемы/、

отсчета,/、

т — масса тела,I } Г J

4к—ускорение Кориолиса,\/

& — сила Кориолиса,$ jj

то перемещение тела в радиальном направ- лении равно г = vt. За то же время точка, удаленная от центра вращения на расстоя

ние г, пройдет по дуге окружности путь s = г©/. Подставив сюда выражение для г, получим s = ut3t = из/? Отсюда следует, что s 〜/, т. е. движение происходит ускоренно, а * д

s = а/2/2. Таким образом,。0＞产=館饵 следова- т р , тельно, ускорение Кориолиса равно

：гa v &/

(М 7.46) Ок = 2us. с]——

!' СИ I м/с2 м/с рад/с = 1/с

尸т 0 (о尸т 0 (о(М 7.47) I /\ = 2znv©; I(М 7.47) I /\ = 2znv©; IПрименив выражение (М7.1), найдем величину силы Кориолиса 尸к = так или

尸т 0 (о

尸т 0 (о

(М 7.47) I /\ = 2znv©; I

(М 7.47) I /\ = 2znv©; I

СИ I Н кг м/с рад/с = 1/с

в векторной форме сила Кориолиса запишется в виде

(М 7.48)(М 7.48)FK = 2m (^ X ®) •FK = 2m (^ X ®) •

(М 7.48)

(М 7.48)

FK = 2m (^ X ®) •

FK = 2m (^ X ®) •

Обратите внимание:

Формулы (М 7.46) — (М 7.48) справедливы и в том случае, когда и и з не постоянны. Тогда эти формулы позволяют определить мгновенные значения ускорения и силы Кориолиса.

Основной закон динамики вращательного движения

Под действием момента силы закрепленное на оси твердое тело приобретает угловое ускорение.

Если

Л1 = М + Мг + 〃з + …一полный мо- мент действующей на данное тело силы, равный сумме моментов всех сил, действующих на отдельные элементы Дш массы тела,

m = Amj + Ag + Ag+ …一 масса тела, равная сумме отдельных элементов массы,

г. —расстояние элемента массы Ат» от

оси вращения,

а — угловое ускорение, с которым вращается твердое тело, одина

тотоТак какТак какковое у всех элементов массы, / — момент инерции данного тела,

то

то

Так как

Так как

п

М = М1 + “2 + • • • + ^п == ^~^ Mj,

m =尸门+尸2Г2+…+f/九=2尸九・・

口八иг а(оа

rr = mar = m 厂=пг 厶厂 г = mUa, то

М = ar： Am】+ arg А^2 + ... + аг^ Ат^ = £ аг?厶加八

Поскольку угловое ускорение одинаково у всех элементов массы, то ^e ^ X ri ^mi* Выражение под знаком суммы зависит, очевидно, от распределения массы тела относительно оси вращения. Оно называется моментом инерции / тела. Отсюда момент сил, действующий на твердое тело и сообщающий ему угловое ускорение а, равен

(М 7.49) J М = /а, I(М 7.49) J М = /а, IМ / а

(М 7.49) J М = /а, I

(М 7.49) J М = /а, I

СИ I Н-м кг-м2 pa д/с2 = 1/с»

или в векторной форме

(М 7.50) M = Ja.

Обратите внимание:

• Формулы (М 7.49) и (М 7.50) для вращательного движения соответствуют формулам (М 7.1) и (М 7.2) для поступательного движения (основной закон динамики).

Момент инерции тела

Из формулы (М 7.49) следует:

Моментом инерции даннаго тела называется отношение момента силы к вызываемому им угловому ускорению.

Момент силы

Момент инерции = .

Угловое ускорение

Таким образом, момент инерции является мерой инертности тела по отношению к вращательному движению; он играет ту же роль, что и масса при поступательном движении.

Единица СИ момента инерции: [/] = кг• м2.

На практике часто используются дольные единицы: кг-см2 и г-см2.

Момент инерции элемента массы Am, движущегося по окружности радиусом г, равен

/гт

(М 7.51) I 7 = г2Лт.(М 7.51) I 7 = г2Лт.СИкг • м2мкг

(М 7.51) I 7 = г2Лт.

(М 7.51) I 7 = г2Лт.

КДкг • см2смкг

КДг • см2смг Дт

Момент инерции тела, равенМомент инерции тела, равенсодержащего 〃 таких элементов массы

Момент инерции тела, равен

Момент инерции тела, равен

(М 7.52)/ = £ 广 А/.

г = 1

Для тела с непрерывным распределением массы следует воспользоваться интегральным представлением

тполн

(М 7.53)(М 7.53)/ =、产 dm.о

(М 7.53)

(М 7.53)

Отсюда следует, что момент инерции тела зависит от

его массы

распределения массы относительно данной оси.

Вычислить момент инерции тела можно только в том случае, когда известны масса тела и ее распределение относительно осн вращения. Это легко сделать, если все элементы массы A/и располагаются на одинаковом расстоянии от оси, например для тонкого обруча. Если m — масса обруча, г — радиус обруча (расстояние всех элементов массы от осн вращения), J。一 момент инерции обруча относительно осн, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости обруча,

то по формуле (М7.52) (поскольку ^Д/п == /и) получим

(М7.54) J J0 = mr2. I(М7.54) J J0 = mr2. IСИ КД КДСИ КД КДммсмсмггсмсм/ m г

(М7.54) J J0 = mr2. I

(М7.54) J J0 = mr2. I

СИ КД КД

СИ КД КД

м

м

см

см

г

г

см

см

Обратите внимание:

Моменты инерции других тел правильной формы представлены в справочной таблице. Они вычислены по формуле (М 7.53),

Момент инерции тела неправильной формы можно определить экспериментально (см. разд. 19.2.3).

Момент инерции составного тела равен сумме моментов инерции отдельных частей относительно той же оси вращения.

Свободные оси

Через центр масс любого тела можно провести сколь угодно много осей вращения. Момент инерции данного тела имеет наибольшую (/о макс) И наименьшую (/о мин) величину относительно двух взаимно перпендикулярных осей. Устойчивое вращение незакрепленного тела возможно только вокруг двух этих осей. Устойчивое вращение тела вокруг оси, перпендикулярной двум первым, невозможно.

Все три оси называются главными осями инерции данного тела.

FIocKOJjbKy при вращении тела во

круг любой из главных осей инерции все силы взаимно уравновешиваются, эти оси называются также свободными осями.

Тонкое кольцоТонкое кольцоСплошной цилиндрСплошной цилиндрДискДискДискДиск

Тонкое кольцо

Тонкое кольцо

Сплошной цилиндр

Сплошной цилиндр

Диск

Диск

Диск

Диск

Справочная таблица

Момент инерции некоторых тел, вычисленный относительно оси вращения, проходящей через центр масс

Полый тонкостенный цилиндр

Полый толстостенный цилиндр

Шар

Полая тонкостенная сфера

Тонкий стержень длиной /

Четырехугольная пластина

Параллельные оси

Параллельное смещение оси вращения, проходящей через центр масс, приводит к увеличению момента инерции данного тела.

Если

J。一 момент инерции данного тела относительно оси, проходящей через центр масс О,

/д — момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку 4,

О, проходящей черезО, проходящей черезs —расстояние между двумя параллельными осями, m ——масса тела,

О, проходящей через

О, проходящей через

Если сместить ось вращения так, чтобыЕсли сместить ось вращения так, чтобыто энергия тела, вращающегося вокруг оси центр масс, определится по формуле (М 7.62)

Если сместить ось вращения так, чтобы

Если сместить ось вращения так, чтобы

она проходила через точку Д, то тело будет одновременно участвовать в двух движе-

ниях. Как и раньше, оно будет вращаться относительно центральной оси О и дополнительно вокруг оси 4. Оба вращения происходят с одинаковой угловой скоростью.

Полная энергия тела складывается из энергий вращения вокруг центральной оси и оси А: 取= /о(о2/2 + ти2/2.

Оба вращения происходят с одинаковой угловой скоростью, следовательно, W = /0(о2/2 + ms2(o2/2 = =('о + 心52) ^1^-

Таким образом, энергия вращения вокруг оси 4 равна

昕=〃①2/2.

(М 7.55) 乙=i + ms?.(М 7.55) 乙=i + ms?.СИ КД кдСИ КД кдСвязь между JQ и /& дается теоремой Гюйгенса — Штейнера

(М 7.55) 乙=i + ms?.

(М 7.55) 乙=i + ms?.

СИ КД кд

СИ КД кд

кг • м2 кг м кг•см2 кг см г • см2 г см

масс, должнымасс, должныОбратите вни ма'ние:

масс, должны

масс, должны

Оси, проходящие через точку А и через центр быть параллельны.

Момент инерции тела минимален, если ось вращения продлит через центр масс: ms? = 0.

Приведенная масса

Приведенной массой /пприв называется точечная масса, котарая, находясь на расстоянии г от оси. вращения, создает момент инерции, равный моменту инерции всего тела относительно той же осн.

Если

Мирив 一 приведенная масса,

J — момент инерции данного тела, г — расстояние приведенной массы от оси врадания,

то согласно формуле (М 7.54)

/в/ИпрНВ产，ИЛИ

(М 7.56) /^прнв =尸.(М 7.56) /^прнв =尸.СИкг кг・м2 мкдкг кг•см2 смкдг г* см2 смСИкг кг・м2 мкдкг кг•см2 смкдг г* см2 смmm

(М 7.56) /^прнв =尸.

(М 7.56) /^прнв =尸.

СИ

кг кг・м2 м

кд

кг кг•см2 см

кд

г г* см2 см

СИ

кг кг・м2 м

кд

кг кг•см2 см

кд

г г* см2 см

m

m

Радиус инерции

«Представим себе, что вся масса данного тела сосредоточена в одной точке, а момент инерции тела относительно некоторой оси равен моменту инерции точечной массы относительно той же осн. Тогда расстояние этой точечной массы от оси вращения называется радиусом инерции 厶

Вели

/ — радиус инерции, равный расстоянию точечной массы от оси вращения,

/ =用户или/ =用户или(М 7.57)(М 7.57)/ — момент инерции тела, т— масса тела, то, согласно формуле (М754),

/ =用户или

/ =用户или

(М 7.57)

(М 7.57)

t J т

СИ м кг*м2 кг КД см кг • сма кг КД см r・cW г

^Паховой момент

В технике часто используется понятие махового момента. Если

mD2 — маховой момент тела, m — масса тела, D и 2i — диаметр инерции, /— момент инерции тела»

то, согласно формуле (М 7.57), J =» mi2 = mD2/4, или

(М 7.58) I mD2 = 4J.(М 7.58) I mD2 = 4J.СИ КД КДСИ КД КДкг м кг • м2 кг см кг • сма г см г- см8

(М 7.58) I mD2 = 4J.

(М 7.58) I mD2 = 4J.

СИ КД КД

СИ КД КД

Работа, совершаемая при вращательном движении

Согласно формуле (М7.10), работа равна произведению силы на перемещение. Это справедливо и в случае вращательного движения.

Если.

W — совершенная работа, 尸—постоянная по величине сила, действующая по касательной к вращающемуся телу,

s — перемещение точки на периферии вращающегося тела, М — момент силы 尸，

Ф — угловое перемещение тела,

W =尺，где尸=М/г (М 5.5) н s = W »M(pr/r, т. е.W =尺，где尸=М/г (М 5.5) н s = W »M(pr/r, т. е.(М7.59) I W^M^ I(М7.59) I W^M^ Iто

W =尺，где

尸=М/г (М 5.5) н s = W »M(pr/r, т. е.

W =尺，где

尸=М/г (М 5.5) н s = W »M(pr/r, т. е.

(М7.59) I W^M^ I

(М7.59) I W^M^ I

W (М6.76), откуда

步 m ф

СИ I Дж Н • м рад = 1

■

Работа при вращательном движении равна произведению мо- 、мента силы на угловое перемещение.

Об ратите внимание:

Формула (М7.59) справедлива для случая постоянного момента силы. При изменении момента по линейному закону (например, в результате закручивания спиральной пружины) следует воспользоваться средним значением. В остальных случаях следует пользоваться формулой (М 7.60).

Единицы работы, не входящие в СИ, см. в разд. 7.2.1.

Соотношение между единицами работы см. в табл. П5.

Если момент силы зависит от угла поворота, т. е. М = М(叫， то работа вычисляется по формуле

①2(М7.60) Г = \ Md(p.(Pi

№ М ф

СИ I Дж .Н・м рад = 1

(М 7.61) I Р = м(о. I(М 7.61) I Р = м(о. IСИ80СИ80ВтВтН • м рад/с=1/сН • м рад/с=1/скгс • м/с кгс • м рад/с = 1/скгс • м/с кгс • м рад/с = 1/с

(М 7.61) I Р = м(о. I

(М 7.61) I Р = м(о. I

СИ

80

СИ

80

Вт

Вт

Н • м рад/с=1/с

Н • м рад/с=1/с

кгс • м/с кгс • м рад/с = 1/с

кгс • м/с кгс • м рад/с = 1/с

Мощность в случае вращательного движения

Мгновенная мощность Р, согласно (М 7.28), вычисляется по формуле Р = W. Та же формула справедлива и в случае вращательного движения.

Если

Р — мощность,

М — момент силы,

(о — угловая скорость тела,

то 尸=dW/dt или с учетом (М 7.59)

at

Отсюда следует

(

Мгновенная мощность равна произведению мгновенного момента силы на мгновенную угловую скорость.

Обратите внимание:

Формула (М 7.61) справедлива также и в том случае, когда М или (о остаются постоянными; тогда мощность также постоянна.“

Единицы мощности, не входящие в СИ, см. в разд. 7.2.4./ 尸 \

Соотношение между единицами мощности /、“ 丿 а

см. в табл. П6.(、/

Если в выражение (М7.61) подставить

М = Fr и (д = и/r, то после сокращения полу- К

чим 尸=Fu, что совпадает с формулой

(М7.29). Уравнения для случая поступательного движения можно использовать в том случае, когда 尸——тангенциальная сила, действующая на периферии гела, a v ——скорость движения точки на периферии тела.

Энергия вращательного движения

Вращающееся вокруг оси тело обладает кинетической энергией, поскольку все элементы его массы двигаются с определенной скоростью. Эта энергия называется энергией вращения. Полная энергия тела равна сумме энергий отдельных элементов тела.

Если

呼вр — энергия вращения тела,

J — момент инерции тела относительно оси вращения,

—угловая скорость тела,

—масса t-ro элемента тела,

—скорость i-го элемента тела,

тото№вр№вр—расстояние i-ro элемента тела от оси вращения.

то

то

№вр

№вр

D + %+ ... +呼小

*Aq* , r^ Am2c4 ,, rn A^n®n

2 I 2…2'

%p=(d加勺+r/吗+…+小%)号，

咤p = У 厂；А® * и, согласно формуле (М7.52),

(M7.62) 1Гвр=^(M7.62) 1Гвр=^ГГСИ I Дж кг • м2 рад/с == 1/сСИ I Дж кг • м2 рад/с == 1/с

(M7.62) 1Гвр=^

(M7.62) 1Гвр=^

Г

Г

СИ I Дж кг • м2 рад/с == 1/с

СИ I Дж кг • м2 рад/с == 1/с

Следовательно, изменение скорости вращения от 叫 до о? влечет за собой изменение энергии вращения тела. Количественно из* менение выражается формулой

(М 7.63)(М 7.63)А%р= ^(磴一若)■А%р= ^(磴一若)■

(М 7.63)

(М 7.63)

А%р= ^(磴一若)■

А%р= ^(磴一若)■

Обратите внимание:

Момент инерции тела, входящий в формулы (М 7.62) и (М 7.63),— это момент инерции относительно оси вращения, а именно /о, если тело вращается вокруг оси, проходящей через центр масс, и Ла, если тело вращается вокруг другой оси 4.

Соотношение между единицами энергии см. в табл. П5.

Момент количества движения

■

Моментом количества движения (угловым моментом, моментом импульса) тела называется произведение его момента инерции на угловую скорость.

Угловой момент — векторная величина. Его направление совпав дает с направлением вектора угловой скорости.

Единица СИ углового момента [L] = кг-м2/с = Н-м-с.

Если

£ — угловой момент тела,

/ — момент инерции тела,

со — угловая скорость тела.

тото(М7.64)方=/3(М7.64)方=/3厶厶&&СИ I кг • м2/с = Н，м * с кг - м2 рад/с = 1/сСИ I кг • м2/с = Н，м * с кг - м2 рад/с = 1/сИзменение углового момента (при неизменном моменте инер-Изменение углового момента (при неизменном моменте инер-ции тела) может произойти только вследствие изменения скорости и всегда обусловлено действием момента силы.ЕслиAL — изменение углового момента тела,М — момент силы, сообщающий телу дополнителыюе ускорение,f — время действия силы,/ — момент инерции тела относительно оси вращения, А® — изменение угловой скорости тела,то, согласно формулам (М 7.50) и (М6.55),М = /а= ^"^~» илиции тела) может произойти только вследствие изменения скорости и всегда обусловлено действием момента силы.ЕслиAL — изменение углового момента тела,М — момент силы, сообщающий телу дополнителыюе ускорение,f — время действия силы,/ — момент инерции тела относительно оси вращения, А® — изменение угловой скорости тела,то, согласно формулам (М 7.50) и (М6.55),М = /а= ^"^~» илиугловойугловойугловоеугловое(М 7.65)(М 7.65)Д£ = / As = М Д/.Д£ = / As = М Д/.М f

то

то

(М7.64)方=/3

(М7.64)方=/3

厶

厶

&

&

СИ I кг • м2/с = Н，м * с кг - м2 рад/с = 1/с

СИ I кг • м2/с = Н，м * с кг - м2 рад/с = 1/с

Изменение углового момента (при неизменном моменте инер-

Изменение углового момента (при неизменном моменте инер-

ции тела) может произойти только вследствие изменения скорости и всегда обусловлено действием момента силы.

Если

AL — изменение углового момента тела,

М — момент силы, сообщающий телу дополнителыюе ускорение,

f — время действия силы,

/ — момент инерции тела относительно оси вращения, А® — изменение угловой скорости тела,

то, согласно формулам (М 7.50) и (М6.55),

М = /а= ^"^~» или

ции тела) может произойти только вследствие изменения скорости и всегда обусловлено действием момента силы.

Если

AL — изменение углового момента тела,

М — момент силы, сообщающий телу дополнителыюе ускорение,

f — время действия силы,

/ — момент инерции тела относительно оси вращения, А® — изменение угловой скорости тела,

то, согласно формулам (М 7.50) и (М6.55),

М = /а= ^"^~» или

угловой

угловой

угловое

угловое

(М 7.65)

(М 7.65)

Д£ = / As = М Д/.

Д£ = / As = М Д/.

СИ I кг - м2/с = Н* м-с кг-м2 рад/с = 1/с Н・м с

Произведение疝V называется импульсом момента силы или движущим моментом. Он равен изменению углового момента.

Единица СИ движущего момента: [MAf] = Н-м-с = кг-м2/с.

Обратите внимание:

• Формула (М7.65) справедлива при условии, что момент силы не меняется в течение времени Д/.

Если же момент силы ^висит от времени, т. е. М^М (/), то

из формулы вав, получимиз формулы вав, получим■^^ следует Mdt =/ d^ Проинтегриро»

из формулы вав, получим

из формулы вав, получим

откудаоткуда(М7.66)(М7.66)Изменение углового момента (движущй момент) равно инте* гралу по времени от момента силы»

откуда

откуда

(М7.66)

(М7.66)

Из формулы (М7.66) следует определение момента силы; d^=启 df, откуда

(М 7.67)

■

Мгновенный момент силы представляет собой первую производную углового момента по времени.

Обратите внимание:

Формула (М7.67) справедлива и в том случае, когда масса в процессе ускорения не остается постоянной.

Закон сохранения углового момента

|

Если на систему не действуют моменты внешних сил (замкнутая система), то ее полный угловой момент остается постоянным по величине и направлению

<М 768)

Обратите внимание:

Полный угловой момент системы 七口。门н равен векторной сумме угловых моментов отдельных частей системы.

Закономерности движения волчка определяются законом сохранения углового момента.

7.5. Гравитация (тяготение)

Как известно, любые два тела притягиваются друг к другу. Это свойство тел обусловлено их массой. Поскольку другие ф^рмы вса・ терии (поля, излучения) также обладают массой, они также подчи* няются закону гравитации. Самое известное проявление притяжения масс ——это существование силы тяжести, с которой Земля №&・ ствует на все тела.

Закон всемирного тяготения

Сила, с которой два тела притягиваются дру1 к другу, называется гравитационной силой (силой тяготения). Величина этой силы определяется законом всемирного тяготения, сформулированным Ньютоном.

Если

戶 —.гравитационная сила, с которой два тела притягиваются друг

к другу, mi — масса первого тела, т2 — масса второго тела, у — расстояние между центрами масс тел,

22(М 7.69) 尸=Y」^包.(М 7.69) 尸=Y」^包.у » 6,67-10-11 м3/(кг-с2)—гравитационная постоянная»

2

2

(М 7.69) 尸=Y」^包.

(М 7.69) 尸=Y」^包.

Обратите внимание:

Не следует смешивать взаимное притяжение масс е силами магнитною или электрического притяжения. Это силы совершенно разной природы.

Силы гравитации не могут быть отталкиванием. Кроме того, гравитационное взаимодействие нельзя ослабить или устранить с помощью какого-либо экрана.

По формуле (М 7.69) можно определить силу земного притяжения, подставив в числитель массу Земли и массу рассматриваем мого тела, а в знаменатель — расстояние 夕 тела до центра Земли:

(М 7.70) G =三礬九т. е. G ~ .

|

Сила тяжести убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли.

Обратите внимание:

Сила тяжести G не обращается в нуль на конечных расстояниях г, она стремится к нулю лишь при бесконечном удалении тел.

Формула (М 7.70) справедлива и в случае других небесных тел.

Ускорение свободного падения

По формуле (М 7.70) можно определить величину ускорения свободного падения на любом расстоянии от Земли.

Если

g — ускорение свободного падения на расстоянии г от центра Земли,

^Зем — ускорение свободного падения на поверхности Земли,

г 一 расстояние от центра Земли,

=s 6,37 • 10е м — средний радиус Земли,

—масса тела,

—масса Земли,

«== 6,67 • 10-" м3/(кг«с2)— гравитационная постоянная,

то сила тяжести равна гравитационной силе, т. е.

—Ymm3eM 1ng Зем — ~~2 г3емУМЗем—Ymm3eM 1ng Зем — ~~2 г3емУМЗем(на поверхности Земли),(на поверхности Земли),mgmg(на расстоянии г от центра Земли).(на расстоянии г от центра Земли).

—Ymm3eM 1ng Зем — ~~2 г3ем

УМЗем

—Ymm3eM 1ng Зем — ~~2 г3ем

УМЗем

(на поверхности Земли),

(на поверхности Земли),

mg

mg

(на расстоянии г от центра Земли).

(на расстоянии г от центра Земли).

Разделив первое выражение на второе, получим 83ем/8 =户/『Мм'

g ，СИ I м/с2 мg ，СИ I м/с2 м吟ем1

g ，

СИ I м/с2 м

g ，

СИ I м/с2 м

(М7.71)^ = ^Зем --^—,т.е. g~尸

■

Ускорение свободного падения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли.

Обратите внимание:

I Формула (М 7.71) справедлива и для других небесных тел.

厂ут^зем

Сократив выражение mg 卩на

получим следующее выражение для ускорения свободного падения?

” 7.72)” 7.72)У^Зем g=~75-У^Зем g=~75-сиси

” 7.72)

” 7.72)

У^Зем g=~75-

У^Зем g=~75-

си

си

Гравитационное поле (поле тяютения)

Каждое тело (например, Земля) создает вокруг себя силовое поле ——поле тяготения. Напряженность этого поля в любой его точке характеризует силу, которая действует на находящееся в этой точке другое тело.

Если

g — напряженность гравитационного поля, 尸 —гравитационная сила, действующая на тело массой т, m — масса тела в гравитационном поле,

(M 7.73)

Обратите внимание:

Напряженность поля g представляет собой векторную величину, направление которой определяется направлением гравитационной силы 尸，а численное значение — формулой (М 7.72).

Напряженность гравитационного поля совпадает по величине, направлению и единицам измерения с ускорением свободного падения, хотя по своему физическому разные физические величины. В то время как напряженность поля характеризует состояние пространства в данной точке, сила и ускорение появляются только тогда, когда в данной точке находится пробное тело.

Из графика функции g = g (г) на・ глядно видно, что напряженность гравитационного поля g стремится к нулю, когда расстояние г стремится к бесконечности.

Поэтому утверждения типа «спутник покинул гравитационное поле Земли» неверны.

Гравитационные поля небесных тел перекрываются. Если двигаться вдоль

прямой, Луны, места, Луны.

соединяющей

то, начиная

центры Земли и

с определенного

будет преобладать напряженность гравитационного поля

7.5.4. Работа в гравитационном поле

Если тело перемещается в гравитациононм поле на значительное расстояние, то совершаемую против сил гравитационного притяжения работу (например, работу для вывода ракеты в космос) нельзя вычислять по формуле 卜=Fht поскольку 尸~1/戸.

Если

W — работа по перемещению тела в гравитационном поле, 故Зем — масса Земли,

Ш— масса тела,

г— расстояние до центра Земли,

V = 6,67-10-11 м3/ (кг • с2)—гравитационная постоянная,

то работа, совершаемая при перемещении тела вдоль радиуса, определяется как dW = Fdr. Проинтегрировав обе части равенства, получим

3=)尸 〃=\ У—y^—dr^ytn^m \ ；叱

W у w гСИ I Дж м3/(кг • с2) кг мW у w гСИ I Дж м3/(кг • с2) кг моткуда

W у w г

СИ I Дж м3/(кг • с2) кг м

W у w г

СИ I Дж м3/(кг • с2) кг м

(М7.74) W^ym3eMm (十一靑)，

Обратите внимание:

Величина работы W не зависит от формы пути от точки Г)к % так как в формулу входят только радиальные составляющие 衣 перемещения, совпадающие с направлением силы притяжения Земли.

Формула (М7.74) справедлива и в случае других небесных тел«

Космические скорости

Первая космическая (орбитальная) скорость

С помощью формулы (М 7.71) можно определить скорость о6раще・ ния искусственного спутника Земли на любой высоте над ее поверхностью.

Если

外к— орбитальная скорость искусственного

спутника Земли,

А — расстояние спутника от поверхности Земли,

『Зем = 6,37 • 10б м — радиус Земли,

g3eM « 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения на поверхности Земли,

т3ем — масса Земли,

у= 6,67 • 10-11м3/(кг-с2) — гравитацион

ная постоянная,

то действующая на спутник сила тяжести равна центробежной силе, т. е.

G = ^g =戶口6 =» 悔°^(「3ем + 力)，откуда %=“8(гзем+〃)・

Подставив сюда значение g (М7.71), получим

(М7・75)…еМДА籌Т・(М7・75)…еМДА籌Т・% = "^Зем吟ем/(「3ем + 铢 ^Н

(М7・75)…еМДА籌Т・

(М7・75)…еМДА籌Т・

СИ 1 м/с м/с2 м*

Выражение для скорости движения искусственного спутника по орбите (верное также для других небесных тел> мойню вывести, просто приравняв вес спутника силе гравитационного притяжения:

ш^3ем = Y —・

「Зем

Упростив выражение, получим

g Земг3ем в Y^3eM*

После подстановки в (М 7.75) получим

(mП6 ■心寰;(mП6 ■心寰;V у т г hСИ I м/с мЗ/(кг • с2) кг м мV у т г hСИ I м/с мЗ/(кг • с2) кг м м

(mП6 ■心寰;

(mП6 ■心寰;

V у т г h

СИ I м/с мЗ/(кг • с2) кг м м

V у т г h

СИ I м/с мЗ/(кг • с2) кг м м

Обратите внимание:

Формулы (М 7.75) н (М 7.76) позволяют определить скорость движения спутников по орбите. Однако конечная скорость ракеты-носителя в момент прекращения работы двигателей должна быть больше, чтобы вывести спутник на нужную высоту.

Для траектории, расположенной на относительно небольшом расстоянии от поверхности Земли, орбитальная скорость vK = =7,9 км/с.

Формулы (М7.75) и (М7.76) справедливы и для других небесных тел.

Указанные формулы справедливы и для случая движения Луны вокруг Земли. Верны они также и в случае движения планет вокруг Солнца, если движение происходит по траектории, незначительно отличающейся от круговой, т. е. по траектории с малым эксцентриситетом.

Вторая космическая скорость (скорость убегания)

Вторая космическая скорость ——это минимальная скорость, с которой должно двигаться тело, чтобы оно могло без затрат дополнительной работы преодолеть влияние поля тяготения Земли, т. е. удалиться на бесконечно большое расстояние от Земли.

Если т — масса тела, т3ем — масса Земли, г — расстояние от места старта до центра Земли. Y =6,67*10~п м3/(кг-с2)—гравитационная постоянная, V2K— вторая космическая скорость,

то кинетическая энергия тела должна быть равна работе по преодолению влияния гравитационного поля:加。；」2 = У^зем^Л согласно

4M 7.74). После упрощения н церестацовкн имеем

(М 7.77) Sk = VW迎=勿 V2.

и у m г СИ I м/с м3/(кг*с2) кг м

Обратите внимание:

Для точки, находящейся на поверхности Земли, вторая космическая скорость 02к= "2 км/с.

Формула (М7.77) справедлива и для других небесных тел. Скорость, необходимая для того, чтобы тело могло преодолеть гравитационное поле Солнца, т. е., стартуя с Земли, покинуть пределы Солнечной системы (третья космическая скорость) изк = =16 км/с.

Движение планет

Рее планеты Солнечной системы движутся под действием силы притяжения Солнца подобно тому, как Луна и искусственные спутники Земли движутся вокруг Земли. Подобное движение называется центральным. Для него справедливы законы Кеплера.

I

I.Планеты движутся по эллиптическим траекториям, в одном из фокусов которых находится Солнце.

Обратите внимание:

• Строго говоря, Солнце и планеты вращаются вокруг общего центра масс. Но этот центр расположен внутри Солнца, поскольку масса Солнца много больше массы планет.

12.Отрезок, соединяющий Солнце с планетой, заметает за равные промежутки времени равные площади.

Обратите внимание:

Второй закон Кеплера выводится из закона сохранения углового момента.

Ц 3. Отношение г3/Г2 постоянно для всех планетных орбит.

Обратите внимание:

• Последний закон следует из того, что центростремительная сила должна быть равна силе гравитационного притяжения: гпцл^?，=• Последний закон следует из того, что центростремительная сила должна быть равна силе гравитационного притяжения: гпцл^?，=У^Солн^плУ^Солн^плоткуда .откуда .4№「 У^Солн4№「 У^Солн厂=У^Солн产=一而L.厂=У^Солн产=一而L.

• Последний закон следует из того, что центростремительная сила должна быть равна силе гравитационного притяжения: гпцл^?，=

• Последний закон следует из того, что центростремительная сила должна быть равна силе гравитационного притяжения: гпцл^?，=

У^Солн^пл

У^Солн^пл

откуда .

откуда .

4№「 У^Солн

4№「 У^Солн

厂=У^Солн产=一而L.

厂=У^Солн产=一而L.

В выражение, стоящее справа, входят только постоянные величины; оно равно 3,36-10~18 м3/^.

При удалении от Солнца скорость движения планет уменьшается, а при приближении — увеличивается (следствие второго закона Кеплера).

Эти же законы описывают движение искусственных тел вокруг Солнца, искусственных спутников Земли и спутников других планет.

Справочная таблица

Планеты Солнечной системы

ПланетаПланетаСреднеерасстояниеот Солнца,ГмСреднеерасстояниеот Солнца,ГмПериодобращения,годыПериодобращения,годыЭксцентри-ситетЭксцентри-ситетОтношениемассык массеЗемлиОтношениемассык массеЗемлиМеркурий Венера Земля Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун ПлутонМеркурий Венера Земля Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун Плутон580850287828729810 11274849580850287828729810 1127484942086628 260884074 о о 1 1 1 9 4 4 812 8 6 41 242086628 260884074 о о 1 1 1 9 4 4 812 8 6 41 2112956515n^0^090909 0f090^0^112956515n^0^090909 0f090^0^93 4 0 7 510002530君DS393 4 0 7 510002530君DS3

Планета

Планета

Среднеерасстояниеот Солнца,Гм

Среднеерасстояниеот Солнца,Гм

Периодобращения,годы

Периодобращения,годы

Эксцентри-ситет

Эксцентри-ситет

Отношениемассык массеЗемли

Отношениемассык массеЗемли

Меркурий Венера Земля Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун Плутон

Меркурий Венера Земля Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун Плутон

580850287828729810 11274849

580850287828729810 11274849

42086628 260884074 о о 1 1 1 9 4 4 8

12 8 6 4

1 2

42086628 260884074 о о 1 1 1 9 4 4 8

12 8 6 4

1 2

112956515

n^0^090909 0f090^0^

112956515

n^0^090909 0f090^0^

9

3 4 0 7 51000253

0君DS3

9

3 4 0 7 51000253

0君DS3

Обратите внимание:

Эксцентриситетом называется отношение расстояния между фокусами эллипса к длине его большой оси.

Масса Земли: zn3eM = 5,97-1024 кг.

Масса Солнца: солн= 3,334-105 zn3eM

Масса Луны: ^?Лун= 0,0123/л3ем. Среднее расстояние от Луны до Земли 384 400 км, эксцентриситет ее орбиты вокруг Земли 0,0549.

Средний экваториальный радиус Земли: г3ем = (6378,169 ± 士 0,008) км.

8. Гидростатика (покоящиеся жидкости)

Вследствие подвижности молекул жидкость не обладает собственной формой, а принимает форму того сосуда, в который она заключена. По той же причине поверхность жидкости всегда перпендикулярна действующей на жидкость силе.

|

Под действием силы тяжести поверхность покоящейся жидкости всегда горизонтальна, т. е. располагается на одном уровне.

Гидростатика (покоящиеся жидкости^

IV! изIV! изЭто утверждение справедливо и в случае сосудов сложной !)ормы, а также нескольких соединенных между собой сосудов сообщающихся сосудов).

IV! из

IV! из

I

B сообщающихся сосудах жидкость устанавливается на одном уровне.

Внутри жидкости повсюду действуют силы давления.

I

Давлением называется отношение силы, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности.

Давление = Сила/ГТлощадь.

Давление — величина скалярная.

Единица СИ давления: [р] = Н/м^ = Паскаль (Па) = кг/(м-с).

Единица, не входящая в СИ: бар = 10 Па.

Единицы, допускавшиеся к применению до 1980 г.: миллиметр ртутного столба (мм рт. ст.), физическая атмосфера (атм)= =760 мм рт. ст.; техническая атмосфера (ат) = 1 кгс/см2.

(М8.1) р = %(М8.1) р = %рFАПа = Н/м2~Н~ ат = кгс/см2 кгс см2 кгс/м2 кгс м2рFАПа = Н/м2~Н~ ат = кгс/см2 кгс см2 кгс/м2 кгс м2Соотношение между единицами давления

(М8.1) р = %

(М8.1) р = %

рFА

Па = Н/м2~Н~ ат = кгс/см2 кгс см2 кгс/м2 кгс м2

рFА

Па = Н/м2~Н~ ат = кгс/см2 кгс см2 кгс/м2 кгс м2

Единицы, не входящие в

СИ:

1 ат

=0,980665 бар

=98,0665 кПа

1 м вод. ст. = 0,1 ат

=98,0665 мбар

=9,80665 кПа

1 мм вод. ст. = 10~ ат

=98,0665 мкбар = 9,80665 Па

1 бар

=105 Па

=100 кПа

1 мм рт. ст.

==1,333224 мбар

=133,3224 Па

1 атм

=1,01325 бар

=101,325 кПа

1 фунт-сила/кв. ярд

=53,2 мкбар

=5,320 Па

1 而унт・сила/кв. фут.

= 478,8 мкбар

=47,88 Па

1 фунт-сила/кв. дюйм

= 68,95 мбар

=6,895 кПа

1 паундаль/кв. фут

=14,88 мкбар

=1,488 Па

1 тонна-сила/кв. фут

=1,07252 бар

=107,252 кПа

1 дюйм водяного столба

= 2,4908 мбар

= 249,08 Па

1 дюйм ртутного столба

=33,864 мбар

=3,3864 кПа

поршней, т. е. какпоршней, т. е. как

поршней, т. е. как

поршней, т. е. как

Давление в жидкостях

・1« Давление поршня

Если на жидкость действует внешнее давление, то вследствие подвижности молекул это давление передается одинаково во все сто

роны.

В гидравлическом прессе на все поршни действует одинаковое давление. Однако вследствие того, что площади поршней различны, силы, действующие на них, не одинаковы. Согласно формуле (М8.1):

Силы относятся друг к другу как площади квадраты диаметров поршней:

Это соотношение лежит в основе действия различных подъемных механизмов (домкрат, подъемник), гидравлических тормозов, преобразователей давления и т. д.

.2. Давление столба жидкости

В каждой жидкости существует давление, обусловленное ее собственным весом. Так, например, давление на основание столба воды высотой 10 м составляет около 105 Па.

Еслир

р ——давление в жидкости на глубине h,

Л — высота столба жидкости, р — плотность жидкости, g = 9,81 м/с — ускорение свободного падения, то давление в жидкости равно ее весу, деленному на площадь, р = G/А и по

формуле (М7.3) р = mg/А. Поскольку, согласно (М7.4), m = pV, имеем р = pYg/4. Так как Ah = V, получаем

Л1 №5：Л1 №5：(М 8.4) \ dV = -и dpV, I(М 8.4) \ dV = -и dpV, IСИ 80СИ 80Па = Н/м2 1/Па = м2/Натсм2/кгс = 1/атПа = Н/м2 1/Па = м2/Натсм2/кгс = 1/ат

Л1 №5：

Л1 №5：

(М 8.4) \ dV = -и dpV, I

(М 8.4) \ dV = -и dpV, I

СИ 80

СИ 80

Па = Н/м2 1/Па = м2/Н

атсм2/кгс = 1/ат

Па = Н/м2 1/Па = м2/Н

атсм2/кгс = 1/ат

Подъемная (выталкивающая) сила

Давление на данной глубине одинаково во всех направлениях.

Соотношение между единицами давления см. в табл. П 3.

Суммарное давление, обусловленное весом столба жидкости и “авлением поршня^ называют гидростатическим давлением.

Сжимаемость

Несмотря на то что подвижность молекул в жидкостях велика^ жидкости удается заметно сжать только с помощью очень больших давлений Жидкости обладают ничтожной сжимаемостью\ Относительное изменение объема прямо пропорционально изменению давления: d V/V~ — dp.

I

Сжимаемостью жидкости х называется отношение относительного изменения объема к изменению давления, вызвавшему это изменение:

Если х — сжимаемость жидкости, V — объем жидкости, АР — изменение объема при изменении давления, Ар — изменение давления, то по определению сжимаемости

(М 8.3) I АР = -мАр匕 I

или в дифференциальной форме

Обратите внимание:

В большинстве случаев изменение объема жидкости настолько ничтожно, что им можно пренебречь.

Знак минус в формулах (М 8.3) и (М 8.4) показывает, что увеличение давления сопровождается уменьшением объема и наоборот.

Сжимаемость почти не зависит от температуры и давления.

Значения сжимаемости 乂 см. в табл. 4.

Подъемная (выталкивающая) сила

Погруженное в жидкость тело как бы теряет часть своего веса. Силу, направленную противппп^пчгт^ пействуюшеи на тело силе тяжести, называют подъемной, или выталкивающей, силой. Она

равна силе тяжести, действующей на вытесненную телом жидкость, и в случае тела правильной формы равна разности давлений столба жидкости непосредственно над и под телом. Это положение называется эаконом Архимеда.

|На тело, погруженное в жидкость, действует подъемная (выталкивающая) сила, направленная вверх. Ее величина равна весу вытесненной телом жидкости.

Если

Гв— подъемная (выталкивающая) сила,

V — объем вытесненной телом жидкости, р — плотность жидкости, g п 9,81 м/с2 — ускорение свободното падения, 少 о С/У — удельный вес,

(М 8.5)(М 8.5)СИ I Н м3 кг/м3 м/с，СИ I Н м3 кг/м3 м/с，Ppg

(М 8.5)

(М 8.5)

СИ I Н м3 кг/м3 м/с，

СИ I Н м3 кг/м3 м/с，

I & = Ру. II & = Ру. Iили

I & = Ру. I

I & = Ру. I

80 I кгс дм3 кгс/дм1

Обратите внимание:

• Единица измерения плотности может отличаться от указанной в таблице.

В зависимости от величины подъемной силы тело может находиться в трех положениях:

■ • G V Fb： тетю поднимается на поверхность и плавает, лишь

Iчастично погрузившись в жидкость;

1 • G = Fb： тело полностью погружено в жидкость и находится

Iв ней во взвешенном состоянии;

I • С > & тело Фонет.

8.ЗУ.Определение плотности твердых тел

Для определения плотности твердого тела используются гидростатические весы, которые позволяют взвешивать тело как ъ воздухе, так и в жидкости.

Если р — плотность твердого тела, Рж 一 плотность жидкости, в которой тело взвешивается, G — вес тела в воздухе,

<?ж = G —尸в — вес тела в жидкости, измеренный при полном его погружении в жидкость,

тото(М 8.6)(М 8.6)

то

то

(М 8.6)

(М 8.6)

Обратите внимание:

• Такие измерения можно проводить только при условии, что тело не плавает на поверхности жидкости.

8.3.2. Определение плотности жидкости

氏 ^^G ^^т0氏 ^^G ^^т0Для определения плотности жидкости также применяются гидроста* тические весы.

氏 ^^G ^^т0

氏 ^^G ^^т0

—определяемая плотность жидкости 1,

—известная плотность жидкости 2 (например, воды),

—вес твердого тела в воздухе,

—вес твердого тела в жидкости 1,

—вес твердого тела в жидкости 2,

(М 8.7)(М 8.7)G - c?債1

(М 8.7)

(М 8.7)

G — G3K2

Обратите внимание:

Для измерений можно использовать любое твердое тело, не плавающее на поверхности одной из жидкостей. Знать его объем и плотность не обязательно.

9. Аэростатика

Молекулы газов практически не взаимодействуют друг с другом. Поэтому газы не имеют определенной формы и объема и целиком заполняют сосуд, в котором находятся. В газе существует определенное давление, действующее равномерно во все стороны.

9Л. Давление и объем газа

Давление газа при постоянной температуре пропорционально числу молекул газа, находящихся в данном объеме, т. е. массе газа. Состояние газов описывается законом Бойля — Мариотта:

|

При постоянной температуре объем находящегося в замкнутом сосуде газа обратно пропорционален давлению, или

При постоянной температуре произведение давления газа, находящегося в замкнутом сосуде, на его объем есть постоянная величина, или

При постоянной температуре давление и плотность находящегося в замкнутом сосуде газа пропорциональны друг другу: р~р.

Если pi — начальное давление газа, 〃2 — конечное давление газа, 匕一начальный объем газа, Иг — конечный объем газа, то

(М 9.1)-^- = -^-, или pV = const.

Обратите внимание:

Соотношение между единицами давления см. в табл. П 3.

При расчетах следует всегда пользоваться полным давлением (абсолютным давлением); см. разд. 9.1.1.

Избыточное давление

В технике часто указывается избыточное давление газа.

■

Избыточным давлением называется разность между внутренним (собственным) давлением газа и атмосферным давлением.

Если р — полное давление газа, ра — атмосферное давление, Ги — избыточное давление, то

(М 9.2) "н = Р — Ра・

Обратите внимание:

Если точное значение атмосферного давления не известно, то его принимают равным примерно 1 бар = 100 кПа (до 1980 г. примерно 1 ат).

Не допускается применение единицы ати, использовавшейся ранее для избыточного давления.

Если в формуле (М 9.2) р V Ра, то речь идет о разрежении газа Рраз・

Измерение давления газа

Для измерения давления газа используются следующие манометры:

открытый манометр (U-образная трубка, открытая с обеих сто* рон),

закрытый манометр (U-образная трубка, запаянная с одной стороны),

металлические манометры (трубчато-пружинный манометр, трубки Бурдона).

9.2. Атмосферное давление

Собственный вес столба воздуха создает атмосферное 工dix代”ие, которое уменьшается по мере удаления от поверхности Земли. Вблизи земной поверхности:

При подъеме на каждые 8 м атмосферное давление падает на 100 Па = 1 мбар.

Если предположить, что температура воздуха с высотой не ме・ няется, то атмосферное давление уменьшается с высотой по экспоненциальному закону.

Если

ро — атмосферное давление у поверхности Земли,

Ph — атмосферное давление на высоте h, h — высота над поверхностью Земли, Ро — плотность воздуха у поверхности Земли, g — ускорение свободного падения, е =2,71828,

то для высот примерно до 100 км давление (при постоянной тем* пературе) рассчитывается по формуле

(М 9.3)(М 9.3)Ph n %е "“Ph n %е "“СИ I Па = Н/м2 кг/м3 м/с2 мСИ I Па = Н/м2 кг/м3 м/с2 м

(М 9.3)

(М 9.3)

Ph n %е "“

Ph n %е "“

СИ I Па = Н/м2 кг/м3 м/с2 м

СИ I Па = Н/м2 кг/м3 м/с2 м

Если давление у поверхности Земли 仰=办=101,325 кПа (до 1980 г. — 760 мм рт. ст.) и температура воздуха на любой высоте равна 0℃, то из формулы (М 9.3) следует:

(М 9.4)р产 рС，

или(М 9.5)или(М 9.5)А = 18,4 1g 匹А = 18,4 1g 匹

или

(М 9.5)

или

(М 9.5)

А = 18,4 1g 匹

А = 18,4 1g 匹

где высота А выражена в километрах.

Формула (М 9.3) называется барометрической формулой высоты. При точных вычислениях атмосферного давления следует учитывать понижение температуры воздуха по мере увеличения высоты. При Рн = 101,325 кПа (среднегодовое значение .атмосферного давления на уровне моря) и f = 15℃ (среднегодовое значение температуры на уровне моря) для высот до 11 000 м (тропосфера) следует пользоваться международной формулой:

(М9・6)砲=101,3(1— 芻『255,

где давление выражено в килопаскалях, высота А — в километрах, или

(М9.7)е，2255” 欝产

где плотность выражена в кг/м3, высота — в километрах.

Обратите внимание:

Атмосферное давление зависит от места измерения, температуры воздуха и погоды.

На уровне моря среднегодовое атмосферное давление составляет Рн = 1013,25 мбар = 101,325 кПа (нормашюе давление) при среднегодовой температуре 15℃.

Зависимость среднегодового давления от высоты см. в табл. 5.

.1. Измерение атмосферного давления

Давление воздуха измеряется с помощью следующих барометров: —барометра-анероида, —ртутного барометра.

Показания ртутного барометра зависят от температуры ртути, иоскольку ртуть при нагревании расширяется. Поэтому для точных

измерений показания ртутного барометра следует пересчитывать по следующей формуле:

Если

% — атмосферное давление, приведенное к 0℃,

% — показания барометра (высота ртутного столба)' при температуре 力

то(М 9.8)то(М 9.8)% = % (1 -0,00018"),% = % (1 -0,00018"),/ — температура ртути.

то

(М 9.8)

то

(М 9.8)

% = % (1 -0,00018"),

% = % (1 -0,00018"),

где f — температура (℃).

Роль атмосферного давления

Многие устройства действуют только благодаря наличию атмосфер* ного давления. В качестве примера можно назвать пипетки, поршневые вакуумные и нагнетательные насосы, центробежные насосы.

Максимальная высота подачи вакуумных насосов определяется из условия, что давление, создаваемое весом столба жидкости, должно быть равно атмосферному давлению.

Так как атмосферное давление составляет около 105 Па == 1 бар, высота подъема воды не может превышать 10 м.

Гидро- и аэродинамика

Гидро- и аэродинамика — раздел физики, занимающийся изучением законов движущихся жидкостей и газов. Законы движения жидкостей справедливы и для газов, если скорости потока оказываются меньше скорости звука, поскольку в этом случае газы можно считать практически несжимаемыми. Движение жидкостей происходит под действием силы тяжести, разности давлений и т. д. Скорость каждой частицы в потоке жидкости или газа в каждый момент времени имеет определенную величину и направление. Прострав- ство, заполненное частицами движущейся жидкости, называется потоком. Для определения направления скоростей частиц используют линии тока. Касательные к ним в любой точке дают направление течения в данной точке. Это особенно наглядно, когда траектории частиц совпадают с линиями тока. Так обстоит дело в том случае, когда линии тока сохраняют свою конфигурацию в течение длительного времени, т. е. в случае стационарного потока.

Течение без внутреннего трения

>|ц^льной жидкостью или идеальным потоком называется такая жидкость 困ж поток, при рассмотрении которых можно пренебречь существованием в жидкости внутреннего трения и образованием вихрей.

Истечение жидкости из сосудаИстечение жидкости из сосудаСкорость вытекающей жидкости зависит только от высоты столба жидкости в сосуде.Скорость вытекающей жидкости зависит только от высоты столба жидкости в сосуде.Если и — скорость истечения жидкости, Л — высота столба жидкости, g = 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения,то (М 10.1) V = V^^« IЕсли и — скорость истечения жидкости, Л — высота столба жидкости, g = 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения,то (М 10.1) V = V^^« IОбратите внимание:Обратите внимание:® Скорость истечения равна по величине скорости свободного падения с высоты, равной высоте столба жидкости.В действительности же скорость истечения реальных жидкостей гораздо меньше, особенно если отверстие имеет необтекаемые края.Коэффициент, характеризующий форму отверстия, называется коэффициентом истече® Скорость истечения равна по величине скорости свободного падения с высоты, равной высоте столба жидкости.В действительности же скорость истечения реальных жидкостей гораздо меньше, особенно если отверстие имеет необтекаемые края.Коэффициент, характеризующий форму отверстия, называется коэффициентом истечения 卩.ния 卩.(М 10.2) с = и“2 女/г.(М 10.2) с = и“2 女/г.СИСИЗначения коэффициента истечения 卩 приведены на рисунке.Значения коэффициента истечения 卩 приведены на рисунке.Течение по трубамЕслиV ——объем жидкости, протекающей через сечение Д, t ——время, за которое протекает данный объем жидкости, Л — площадь сечения трубы, V — скорость течения жидкости, то объем протекшей жидкости определяется соотношениемТечение по трубамЕслиV ——объем жидкости, протекающей через сечение Д, t ——время, за которое протекает данный объем жидкости, Л — площадь сечения трубы, V — скорость течения жидкости, то объем протекшей жидкости определяется соотношением(М 10.3) J V = Avt. I(М 10.3) J V = Avt. IV А V tСИ I м3 м2 м/с . сV А V tСИ I м3 м2 м/с . с

Истечение жидкости из сосуда

Истечение жидкости из сосуда

Скорость вытекающей жидкости зависит только от высоты столба жидкости в сосуде.

Скорость вытекающей жидкости зависит только от высоты столба жидкости в сосуде.

Если и — скорость истечения жидкости, Л — высота столба жидкости, g = 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения,

то

(М 10.1) V = V^^« I

Если и — скорость истечения жидкости, Л — высота столба жидкости, g = 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения,

то

(М 10.1) V = V^^« I

Обратите внимание:

Обратите внимание:

® Скорость истечения равна по величине скорости свободного падения с высоты, равной высоте столба жидкости.

В действительности же скорость истечения реальных жидкостей гораздо меньше, особенно если отверстие имеет необтекаемые края.

Коэффициент, характеризующий форму отверстия, называется коэффициентом истече

® Скорость истечения равна по величине скорости свободного падения с высоты, равной высоте столба жидкости.

В действительности же скорость истечения реальных жидкостей гораздо меньше, особенно если отверстие имеет необтекаемые края.

Коэффициент, характеризующий форму отверстия, называется коэффициентом истече

ния 卩.

ния 卩.

(М 10.2) с = и“2 女/г.

(М 10.2) с = и“2 女/г.

СИ

СИ

Значения коэффициента истечения 卩 приведены на рисунке.

Значения коэффициента истечения 卩 приведены на рисунке.

Течение по трубам

Если

V ——объем жидкости, протекающей через сечение Д, t ——время, за которое протекает данный объем жидкости, Л — площадь сечения трубы, V — скорость течения жидкости, то объем протекшей жидкости определяется соотношением

Течение по трубам

Если

V ——объем жидкости, протекающей через сечение Д, t ——время, за которое протекает данный объем жидкости, Л — площадь сечения трубы, V — скорость течения жидкости, то объем протекшей жидкости определяется соотношением

(М 10.3) J V = Avt. I

(М 10.3) J V = Avt. I

V А V t

СИ I м3 м2 м/с . с

V А V t

СИ I м3 м2 м/с . с

Произведение Av называется объемным расходом Q.

(М 10.4) Q = /u = ~j~.

ОАV

СИ I м '/с м-м/с

Мгновенное значение объемного расхода определяется по формуле

(М 10.5) Q = % = P.

Единица СИ расхода: [Q] = [V] = м3/с.

Из формулы (М 10.4) следует, что через любое сечение трубы за равные промежутки времени t должны протекать одинаковые объемы 匕 поскольку жидкость практически несжимаема. Поэтому через сечение с меньшей площадью жидкость течет быстрее и наоборот.

Если

А\ — площадь сечения 1,

<2 — площадь сечения 2,

@1 — скорость потока в сечении 1, 02 — скорость потока в сечении 2,

то уравнение потока (уравнение непрерывности) имеет вид

(М 10.6) или(М 10.6) или/pl =/202,Av = const./pl =/202,Av = const.

(М 10.6) или

(М 10.6) или

/pl =/202,

Av = const.

/pl =/202,

Av = const.

10.1.3. Давление в потокеПолное давление в любом потоке складывается из статического10.1.3. Давление в потокеПолное давление в любом потоке складывается из статическогои динамического давления.и динамического давления.Статическое давление обусловлено потенциальной энергией жидкости, находящейся под давлением.Динамическое давление (давление напора) обусловлено кинетической энергией движущейся жидкости.При увеличении скорости потока динамическая составляющая давления возрастает, а статическая уменьшается. В покоящейся жидкости динамическое давление равно нулю, а полное давление равно статическому, т. е. гидростатическому давлению, которое складывается из давления, создаваемого поршнем (см. разд. 8.1.1), и давления, создаваемого весом столба жидкости (см. разд. 8.1.2).Статическое давление обусловлено потенциальной энергией жидкости, находящейся под давлением.Динамическое давление (давление напора) обусловлено кинетической энергией движущейся жидкости.При увеличении скорости потока динамическая составляющая давления возрастает, а статическая уменьшается. В покоящейся жидкости динамическое давление равно нулю, а полное давление равно статическому, т. е. гидростатическому давлению, которое складывается из давления, создаваемого поршнем (см. разд. 8.1.1), и давления, создаваемого весом столба жидкости (см. разд. 8.1.2).

10.1.3. Давление в потоке

Полное давление в любом потоке складывается из статического

10.1.3. Давление в потоке

Полное давление в любом потоке складывается из статического

и динамического давления.

и динамического давления.

Статическое давление обусловлено потенциальной энергией жидкости, находящейся под давлением.

Динамическое давление (давление напора) обусловлено кинетической энергией движущейся жидкости.

При увеличении скорости потока динамическая составляющая давления возрастает, а статическая уменьшается. В покоящейся жидкости динамическое давление равно нулю, а полное давление равно статическому, т. е. гидростатическому давлению, которое складывается из давления, создаваемого поршнем (см. разд. 8.1.1), и давления, создаваемого весом столба жидкости (см. разд. 8.1.2).

Статическое давление обусловлено потенциальной энергией жидкости, находящейся под давлением.

Динамическое давление (давление напора) обусловлено кинетической энергией движущейся жидкости.

При увеличении скорости потока динамическая составляющая давления возрастает, а статическая уменьшается. В покоящейся жидкости динамическое давление равно нулю, а полное давление равно статическому, т. е. гидростатическому давлению, которое складывается из давления, создаваемого поршнем (см. разд. 8.1.1), и давления, создаваемого весом столба жидкости (см. разд. 8.1.2).

Закон Бернулли гласит:

I

B стационарном потоке сумма статического и динамического давлений остается постоянной. Эта сумма соответствует гидростатическому давлению в покоящейся жидкости.

Если жидкость течет в наклонной трубе, то следует учитывать связанное с наклоном изменение энергии.

Если

/Н — статическое давление в сечении 1,

/?2 — статическое давление в сечении 2,

S — скорость потока в сечении 1, V2 — скорость потока в сечении 2, 力 1 — высота сечения 1 относительно произвольно выбранного уровня,

Лг — высота сечения 2 относительно того же уровня, ро — полное давление, р — плотность жидкости, то работа Wt расходуемая на изменения скорости V и высоты Л жидкости, равна сумме изменения потенциальной энергии А% и изменения кинетической энергии А%, т. е.

W = Д1ГП + А^к・

取=尸As = pA^s^p^V откуда取=尸As = pA^s^p^V откудаДля элемента объема АР имеем

取=尸As = pA^s^p^V откуда

取=尸As = pA^s^p^V откуда

（"i 一 02）A?=他8 （力2 -%）+ £ 侬一吩

Разделив на AV, что можно сделать, так как объем остается неизменным вследствие несжимаемости жидкостей, получим

Р1 —「2 = Pg五2 — Pg% + "I" v21"壮・

Перенеся в одну сторону слагаемые с одинаковыми индексами получим уравнение Бернулли

（M 10.7）（M 10.7）Pl + PgZ + £ 才=「2 + Pg& + у 唸 Р + Pg儿 + 导拉=Pj = const.

（M 10.7）

（M 10.7）

Р Р g 九

СИ I Па = Н/м2 кг/м3 м/с2 m

(Сумма статического давления р, давления, обусловленного весом столба жидкости pg九，и динамического давления pv2/2 остается постоянной вдоль линии тока.

Обратите внимание:

• Формула .(М 10.7) верна лишь для идеальных жидкостей, в к(и торых отсутствует трение.

Если жидкость течет примерно на одной высоте, то формулы (М 10.7) упрощаются:

(М 10.8)

Pl + y°iesP2 + 'f"4 р + —t^ = pQ = const.

IQ J .4.Измерение давления в потоках

Статическое давление измеряется манометром, установленным перпендикулярно направлению потока. В простейшем случае можно использовать открытый жидкостный манометр.

Полное давление измеряется манометром, установленным параллельно направлению потока (трубка Пито). Превышает статическое давление на величину давления напора.

Напор. Разность полного и статического давлений изме-

ряется комбинацией соответствующих приборов, которая называется напорной трубкой Прандтля. Особенно часто этот прибор применяется для измерения скорости газового потока.

主

• Разность двух статических давлений. Для определения скоростей течения жидкости применяется трубка Вентури. Этот прибор позволяет измерить разность статических давлений в различных сечениях потока. По измеренной разности давлений можно опре* делить скорость поЮка.

Если

Ph Di, Л1 — давление, скорость потока и площадь поперечного сечения в плоскости U

卩2,力，4 — давление, скорость потока и площадь поперечного сечения в плоскости 2,

р— плотность жидкости,

то по формуле (М 10.8)

aР = "1 一"尸手磁一导贵=^(磁一吩

Согласно формуле (М 10.6),力=AtVi/A2 и, следовательно,

др=т(4^~р0=г*[(х)2~1]-

После преобразования получим

трение имеет место внутриразличными скоростями дви-трение имеет место внутриразличными скоростями дви-

трение имеет место внутриразличными скоростями дви-

трение имеет место внутриразличными скоростями дви-

Ламинарное течение жидкостей

Течение жидкостей при наличии внутреннего трения, но не сопровождающееся образованием вихрей, называется ламинарным. Внутреннее трение возникает в жидкости вследствие взаимодействия молекул. В отличие от внешнего трения, возникающего в месте со

прикосновения двух тел, внутреннее движущейся среды между слоями с жения.

Динамическая вязкость

Внутреннее трение становится заметным, например, при перемещении в жидкости пластинки параллельно плоской стенке. Для такого перемещения требуется приложить силу, равную по величине силе трения.

Если

%р — сила внутреннего трения,

Л — площадь соприкосновения, и — относительная скорость граничных плоскостей среды,

а — расстояние между граничными плоскостями,

Т) — динамическая вязкость, коэффициент внутреннего трения,

то силу трения определяется формулой

(М 10.10)(М 10.10)Единица СИ динамической (Па・с) = Н • с/м2 = кг/(м-с).Единицы, допускавшиеся к и сантипуаз (сП).Единица СИ динамической (Па・с) = Н • с/м2 = кг/(м-с).Единицы, допускавшиеся к и сантипуаз (сП).尸 П А V а СИ I Н Н • с/м? =» Па ・ с м2 м/с м вязкости: ［电=паскаль-секундаприменению до 1980 г.: пуаз (П)尸 П А V а СИ I Н Н • с/м? =» Па ・ с м2 м/с м вязкости: ［电=паскаль-секундаприменению до 1980 г.: пуаз (П)

(М 10.10)

(М 10.10)

Единица СИ динамической (Па・с) = Н • с/м2 = кг/(м-с).

Единицы, допускавшиеся к и сантипуаз (сП).

Единица СИ динамической (Па・с) = Н • с/м2 = кг/(м-с).

Единицы, допускавшиеся к и сантипуаз (сП).

尸 П А V а СИ I Н Н • с/м? =» Па ・ с м2 м/с м вязкости: ［电=паскаль-секунда

применению до 1980 г.: пуаз (П)

尸 П А V а СИ I Н Н • с/м? =» Па ・ с м2 м/с м вязкости: ［电=паскаль-секунда

применению до 1980 г.: пуаз (П)

Соотношение между единицами динамической вязкости

1 пуаз (П) = 0,1 Па • с»0,1 Н• с/м2; 1 сП« I мПа • с = 1 мН• с/м2

Формула (М 10.10) справедлива также для промежуточных слоев, находящихся друг от друга на расстоянии Да V а, если в нее подставить соответствующие значения относительной скорости Ди:

(M10.ll)尸 тр = м^・

Отношение и/a или Аи/Аа называется градиентом скорости. Если же это отношение непостоянно, его следует заменить производной du Ida.

(М 10.12) Ftp = tH 嗡•

Обратите внимание:

Динамическая вязкость “ жидкостей резко умепыиается с повышением температуры: x\^AebiTt где А и 6 — эмпирические постоянные.

Динамическая вязкость п газов увеличивается с повышением температуры.

Единица СИ кинематической вязкости: [v] = м2/с.

Единицы, допускавшиеся к применению до 1980 г.: стовес (Ст) и сантистокс (сСт).

Соотношение между единицами кинематической вязкости

1 стокс (Ст) = 10~4 м2/с:1 сСт= 10-6 м%= 1 мм2/с

Ламинарное течение жидкости по трубе

При ламинарном течении отдельные слои жидкости движутся с различными скоростями. Непосредственно у стенки скорость течения жидкости равна нулю, а на оси трубы максимальна.

с, рEyRAtс, рEyRAtПоэтому для вычисления объема жидкости, протекающего по трубе за время /, нельзя пользоваться формулой (М 10.3).

с, рEyRAt

с, рEyRAt

—объем жидкости, протекающий по трубе за время 力

—радиус трубы (с гладкими стенками),

—разность давлений на концах трубы,

—продолжительность протекания жидкости,

/ — длина трубы,

П динамическая вязкость,

то объем жидкости V определяется формулой Пуазейля:

(М 10.13) VП嚟手，.

РРр t R Iр t R IСИОбратите внимание:СИОбратите внимание:I м3 Па = Н/м2 с м м Па・с = Н・с/м2I м3 Па = Н/м2 с м м Па・с = Н・с/м2

Р

Р

р t R I

р t R I

СИ

Обратите внимание:

СИ

Обратите внимание:

I м3 Па = Н/м2 с м м Па・с = Н・с/м2

I м3 Па = Н/м2 с м м Па・с = Н・с/м2

• Объем протекающей по трубе жидкости (Y〜ApR4) можно уВе. личить в первую очередь за счет увеличения сечения (радиуса) трубы, а не за счет повышения разности давлений.

Из формулы (М 10.13) следует, что для трубы с постоянным сечением Ар ~ /.

Падение давления вдоль трубы с постоянным сечением пропорционально длине трубы.

Шар в ламинарном потоке

Когда тело шарообразной формы движется в жидкости, ему приходится преодолевать силу трения.

Если

Ftp — сила трения в жидкости,

。 一скорость шара относительно жидкости,

г— радиус шара,

П— динамическая вязкость,

то в предположении, что жидкость обтекает шар ламинарно, движение шара можно описать законом Стокса:

Обратите внимание:

• На законе Стокса основано определение вязкости жидкости вис* козиметром Гёпплера. В трубу определенного диаметра, заполненную жидкостью, вязкость которой надо определить, опускают шарик и измеряют скорость его падения, которая и является мерой вязкости жидкости.

Турбулентное течение

Когда скорость течения превысит определенное критическое значение, жидкость или газ начинают двигаться турбулентно. Возникают вихри, а следовательно, и силы, препятствующие течению. Сопротивление потоку, т. е. сила, действующая на помещенное в поток тело, складывается из разности давлений перед и за телом и силы трения на поверхности тела.

Гидравлическое сопротивление

Если

戶一гидравлическое сопротивление,

с — коэффициент, зависящий от формы тела,

А — площадь наибольшего сечения тела в плоскости, перпендикулярной направлению потока,

р ~ плотность текущей жидкости (газа),

。一относительная скорость движения тела в среде,

т。, поскольку сила равна произведению давления на площадь (F =卩4), имеем

(М 10.15)(М 10.15)F = сА^- М.F = сА^- М.СИ I Н — м2 кг/м3 м/сСИ I Н — м2 кг/м3 м/сF с 4 P о

(М 10.15)

(М 10.15)

F = сА^- М.

F = сА^- М.

СИ I Н — м2 кг/м3 м/с

СИ I Н — м2 кг/м3 м/с

Обратите внимание:

Коэффициент с—безразмерное число. Его значения приведены в табл. 7.'

Коэффициент с определяется экспериментально и зависит от скорости.

Гидравлическое сопротивление увеличивается пропорционально квадрату скорости потока:

尸 4 V2.

10.3.2. Мощность при движении в потоке

Мощность, необходимая

для движения тела

против потока, опре-

деляется по формуле Р =

:Fv (М 7.29):

(М 10.16)

Р ^ сЛ 炉.

Р с А р и

2

СИ

1 Вт — м2 кг/м3 м/с

Обратите внимание:

•- Мощность увеличивается пропорционально третьей степени скорости: Р ~ 6.

Закон подобия Рейнольдса

Коэффициент с, необходимый для вычисления гидравлического сопротивления, зависит не только от формы тела, но и от свойств среды, в которой происходит движение. Коэффициент с является функцией числа Рейнольдса Re.

Если

Re — число Рейнольдса,

/ — характерные размеры тела (радиус шара, радиус трубы И т. 〃.)，

р — плотность текущей среды,

V — скорость тела относительно среды, т) — динамическая вязкость,

V — кинематическая вязкость (см. разд. 10.2.1),

то

(М 10.17) Re=>^ =勺

Re Z р и n v

СИ I — м кг/м3 м/с Па • с = Н • с/м2 м2/с

При малой скорости, т. е. при малом числе Рейнольдса, течение любой жидкости или газа будет ламинарным. Если скорость возрастает и достигает критического значения ?кр (соответствующее^ число Рейнольдса ReKp), то ламинарное течение сменяется турбулентным, гидравлическое сопротивление значительно увеличивается.

Критическое значение числа Рейнольдса для потока в гладких трубах составляет ReKP« 1160. Однако это значение сильно зависит от состояния поверхности труб и условий втекания и при определенных условиях может достигать 20 000.

Из формулы (М 10.17) следует, что число Рейнольдса не изменится, если уменьшить размеры тела и соответственно увеличить скорость потока или уменьшить вязкость среды.

Закон* волыня, гласит:

I

Коэффициенты с геометрически подобных тел равны, если равны соответствующие числа Рейнольдса. В этом случае оба потока подобны.

Этот закон дает возможность проводить экспериментальное исследование сложных процессов, используя модели обтекаемых тел.

Молекулы

Силы межмолекулярного взаимодействия

Между молекулами (а также атомами и ионами) действуют силы, величина которых зависит от агрегатного состояния вещества. В случае твердых тел и жидкостей эти силы задают объем тела. Объем тела может измениться (уменьшиться или увеличиться) только под воздействием внешней силы. Это означает, что молекулы § 尸 располагаются на некотором равно-§ { | \

веском расстоянии друг от друга.§\ у^Сила отталкивакая

Если расстояние между молеку- § I \ \-

лами оказывается меньше равновес

^Резульшарующая、сила^Резульшарующая、силаного значения, между молекулами g ] 工 возникают силы отталкивания, при—

^Резульшарующая

、сила

^Резульшарующая

、сила

большем расстоянии ——силы притяже- § I ^****"^ ния. Силы межмолекулярного взаимо- g I действия представляют собой равно- I /屮切加咖聊s

действующую сил отталкивания и § ] / притяжения, компенсирующих друг Д f друга при нормальном равновесном ■ расстоянии между молекулами.

Межмолекулярные силы действуют на очень малых расстояниях между молекулами, причем силы отталкивания уменьшаются при увеличении расстояния быстрее сил притяжения. Радиус действия межмолекулярных сил не превышает 10 нм.

Когезия и адгезия

Взаимодействие между поверхностными слоями одинаковых тел называется когезией (сцеплением); взаимодействие между поверхностными слоями различных тел — адгезией (прилипанием).

■

Когезия ——это сцепление молекул одного тела между собой, вызванное взаимным притяжением.

Когезия наблюдается .у твердых и жидких тел. При очень низких температурах или больших давлениях, т. е. когда расстояние

между молекулами газа становится достаточно малым, когезия возникает и в газах.

I

Адгезия — это прилипание молекул двух различных тел, вызванное взаимным притяжением.

Адгезия возникает между твердыми, твердыми и жидкими, а также между твердыми и газообразными телами. В последнем случае это явление называется адсорбцией.

Поверхностное натяжение

Поверхностное натяжение обусловлено силами притяжения между молекулами. Внутри жидкости силы притяжения между молекулами взаимно компенсируются, а на молекулы, находящиеся вблизи поверхности, действует нескомпенсированная результирующая сила,

I 山 з印юность жидкостиI 山 з印юность жидкостинаправленная внутрь от поверхности жидкости. Поэтому, чтобы переместить молекулу из глубины на поверхность жидкости, надо совершить работу против этой результирующей силы. В результате молекулы на поверхности жидкости обладают определенной потенциальной энергией, называемой поверхностной энергией.

I 山 з印юность жидкости

I 山 з印юность жидкости

Если на тело не действуют внешние силы, то значение поверхностной энергии оказывается минимальным; при этом минимальна и площадь самой поверхности. Капли жидкости в невесомости имеют форму шариков (минимальная площадь поверхности).

Плотностью поверхностной энергии (поверхностным натяжением) называется отношение работы, требующейся для увеличения площади поверхности, к величине этого приращения площади:

о =о =А旷А旷

о =

о =

А旷

А旷

Единица СИ поверхностного натяжения: [о] = Дж/м2 == Н/м = =кг/с2.

Поверхностное натяжение можно определить, измеряя силу, которую нужно приложить, чтобы увеличить площадь поверхности

жидкости; для этого используется проволочная рамка, которую опускают в жидкость.

Если

<у — поверхностное натяжение,

F — сила, необходимая для увеличения площади поверхности,

Z — длина основания рамки, то, поскольку работа равна произведению силы на перемещение, AIF =户As, а изме-

некие площади поверхности по обе стороны рамки равно АЛ = 2As厶 поверхностное натяжение можно вычислить по формуле:

0 n 尸 As/2 As/,

или

(Mll.l)(Mll.l)尸IT-尸IT-си 80си 80a 尸！Н/м Н м дин/см дин смa 尸！Н/м Н м дин/см дин см

(Mll.l)

(Mll.l)

尸IT-

尸IT-

си 80

си 80

a 尸！

Н/м Н м дин/см дин см

a 尸！

Н/м Н м дин/см дин см

Обратите внимание:

Численные значения поверхностного натяжения о см. в табл. 8.

По формуле (М 11.1) можно определить давление внутри шарообразной капли жидкости или давление внутри пузырька ааза в жидкости.

Если

р — давление внутри шарообразной капли жидкости или внутри пузырька газа,

a — поверхностное натяжение жидкости, г — радиус шарика, то для увеличения радиуса г шарика на величину Аг или увеличения площади его поверхности А на А4 надо затратить работу, равную приращению

поверхностной энергии: ^W = аДД = а[4л(г + Дг)2 ——4лг2], а поскольку Аг?《2гАг, имеем

А 犷=a . 8" Ar.

С другой стороны, затраченная работа равна

A IF =尸 Аг = р Л7 = рД Лг = р • 4г2я Лг.

Приравняв оба выражения, получим

(М11.2) р(М11.2) рр а г

(М11.2) р

(М11.2) р

СИ I Па == Н/м2 Н/м м

Обратите внимание:

Поскольку р~1/г, давление тем больше, чем меньше радиус шарообразной капли.

Капиллярные явления

Между молекулами стенок сосуда и молекулами поверхности жидкости действуют силы притяжения (адгезии) Fa. Совместно с межмолекулярными силами они приводят к возникновению краевого угла a между стенками сосуда и поверхностью жидкости. Равнодействут

то, поскольку ными силами, лению столбато, поскольку ными силами, лению столбадавление в жидкости, обусловл^ное межмолекуляр-.давление в жидкости, обусловл^ное межмолекуляр-.должно быть равно дав-должно быть равно дав-жидкости высотой Л, по-жидкости высотой Л, по-лучаем р = 2о〃м = hpg. а так каклучаем р = 2о〃м = hpg. а так какcos а =力м,cos а =力м,для высоты подъема жидкости ляре имеемдля высоты подъема жидкости ляре имеемв капил-в капил-(М 11.3)(М 11.3)2q cos аPg「2q cos аPg「СИ80СИ80也 о g Р г м Н/м м/с2 кг/м3 м см дин/см см/с2 г/см3 СМ也 о g Р г м Н/м м/с2 кг/м3 м см дин/см см/с2 г/см3 СМ

то, поскольку ными силами, лению столба

то, поскольку ными силами, лению столба

давление в жидкости, обусловл^ное межмолекуляр-.

давление в жидкости, обусловл^ное межмолекуляр-.

должно быть равно дав-

должно быть равно дав-

жидкости высотой Л, по-

жидкости высотой Л, по-

лучаем р = 2о〃м = hpg. а так как

лучаем р = 2о〃м = hpg. а так как

cos а =力м,

cos а =力м,

для высоты подъема жидкости ляре имеем

для высоты подъема жидкости ляре имеем

в капил-

в капил-

(М 11.3)

(М 11.3)

2q cos а

Pg「

2q cos а

Pg「

СИ

80

СИ

80

也 о g Р г м Н/м м/с2 кг/м3 м см дин/см см/с2 г/см3 СМ

也 о g Р г м Н/м м/с2 кг/м3 м см дин/см см/с2 г/см3 СМ

ющая сил когезии и адгезии FK и 尸а всегда перпендикулярна поверхности жидкости.

Если

а V 90°: жидкость смачивает стенку,

« а > 90°: жидкость не смачивает стенку.

Это явление особенно заметно в тонких трубочках —капиллярах.

I* В капилляре жидкость стоит выше или ；ниже того уровня, на котором она должна ；6нла бы находиться по закону сообщаю- [щихся сосудов. В указанных случаях мы имеем дело с капиллярными явлениями.

Если

Л — высота жидкости в капилляре,

и — поверхностное натяжение жидкости (см. табл. 8),

g = 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения, плотность жидкости (см. табл. 1), радиус трубочки, радиус шарообразного мениска в капилляре,

Обратите внимание:

Формула (М 11.3) дает возможность определить поверхностное натяженюе i жидкости по высоте подъема* жидкости, в калплляре

и величине ( краевого угла между мениском жидкости и стенками сосуда.

Краевой угол а на границе вода — стекло близок к 0°, а на границе ртуть — стекло составляет примерно 140°.

Высота подъема данной жидкости в капилляре зависит только от радиуса капилляра:九〜1/г (остальные величины в формуле (М 11.3)—постоянные).

П.2. Движение молекул

Молекулы всех тел находятся в постоянном движении и вследствие этого обладают кинетической энергией.

В твердых телах они колеблются относительно определенного положения в кристаллической решетке.

В жидкостях молекулы колеблются относительно мгновенного положения, меняющегося со временем.

В газах между молекулами нет взаимодействия, поэтому они двигаются с довольно большими скоростями. В промежутке между столкновениями друг с другом или с препятствием молекулы двигаются прямолинейно (см. разд. 17.3.6).

Движение молекул в жидкостях и газах можно наблюдать косвенным методом с помощью микроскопа. Маленькие частицы взвешенного вещества (сажи, краски) под действием ударов молекул жидкости двигаются хаотично по зигзагообразной траектории. Такое движение называется броуновским движением.

П.2.1. Диффузия

Двигаясь, молекулы постоянно меняют свое положение. Это явление называется диффузией. При самодиффузии происходит перемешивание молекул одного вида, а в процессе собственно диффузии смешиваются молекулы разных видов.

■

Диффузией называется самостоятельное перемешивание молекул, обусловленное их тепловым движением.

Диффузия имеет место как в газах и жидкостях, так и в твердых телах. Однако в газах диффузия протекает с наибольшей скоростью вследствие большой подвижности молекул газа. Скорость диффузии во всех агрегатных состояниях вещества сильно зависит от температуры.

11.2.2. Осмотические явления

Если раствор отделить от растворителя полупроницаемой перегородкой, то в одной из частей сосуда возникает избыточное давление (осмотическое давление), поскольку перегородка пропускает

только молекулы растворителя. В силу тенденции к выравниванию концентраций будет происходить односторонняя диффузия молекул растворителя.

11.3. Растворы

Если мельчайшие частицы одного вещества равномерно распределены в другом веществе, то говорят о дисперсной системе. В зависимости от величины частиц эти системы имеют различные свойства и носят различные названия.

Истинные растворы (молекулярно-дисперсные системы)

В истинных растворах частицы растворенного вещества имеют молекулярные размеры. Они перемешиваются с молекулами растворителя в результате диффузии.

I

Истинный раствор образуется, когда молекулы двух различных веществ полностью перемешиваются между собой. Истинный раствор всегда прозрачен.

Твердые вещества растворяются в жидкостях только до определенной концентрации, зависящей от температуры и называющейся концентрацией насыщения.

Молекулы двух жидкостей также могут смешиваться между собой, образуя раствор. Однако не все жидкости растворимы друг в друге и не смешиваются друг с другом неограниченно.

Процесс растворения газов в жидкостях называется абсорбцией.

Мерой количества растворенного вещества служит концентрация:

公Масса растворенного вещества

Массовая концентрация ==— .

Объем раствора

公Масса растворенного вещества

Массовая доля ==3L100%.

Масса раствора

1 моль растворенного вещества

Молярный раствор =.

1 л раствора

Коллоидные растворы (коллоидно-дисперсные системы)

■

Коллоидами называются высокодисперсные системы с частицами размером 10-6— 10~4 мм.

Таким образом, в коллоидных растворах с молекулами растворителя смешаны не молекулы растворенного вещества, а его мельчайшие частицы, состоящие из 103— 109 атомов.

11.3.3. Дисперсные системы

При дальнейшем увеличении размеров частиц (когда их можно ви* деть под микроскопом) раствор становится нестабильным, происходит разделение смеси (в основном под действием силы тяжести).

Такие системы называются по-разному в зависимости от агрегатного состояния растворенного вещества и растворителя, причем зачастую бывает трудно различать коллоидную и дисперсную системы.

Справочная таблица

НазваниеНазваниеРастворенное_

Название

Название

веществоРастворитель

Твердое Твердое Твердое ЖидкоеЖидкое Жидкое Газообразное ГазообразноеТвердое Твердое Твердое ЖидкоеЖидкое Жидкое Газообразное ГазообразноеТвердый Жидкий Газообразный Твердый Жидкий Газообразный Твердый ЖидкийТвердый Жидкий Газообразный Твердый Жидкий Газообразный Твердый ЖидкийТвердый золь, например стеклоСуспензия, зольДым, аэрозольТвердая эмульсия (паста), гельЭмульсияТуман, аэрозольПористое тело, например пемза ПенаТвердый золь, например стеклоСуспензия, зольДым, аэрозольТвердая эмульсия (паста), гельЭмульсияТуман, аэрозольПористое тело, например пемза Пена

Твердое Твердое Твердое Жидкое

Жидкое Жидкое Газообразное Газообразное

Твердое Твердое Твердое Жидкое

Жидкое Жидкое Газообразное Газообразное

Твердый Жидкий Газообразный Твердый Жидкий Газообразный Твердый Жидкий

Твердый Жидкий Газообразный Твердый Жидкий Газообразный Твердый Жидкий

Твердый золь, например стекло

Суспензия, золь

Дым, аэрозоль

Твердая эмульсия (паста), гель

Эмульсия

Туман, аэрозоль

Пористое тело, например пемза Пена

Твердый золь, например стекло

Суспензия, золь

Дым, аэрозоль

Твердая эмульсия (паста), гель

Эмульсия

Туман, аэрозоль

Пористое тело, например пемза Пена

Упругие свойства твердых тел

В разделах «Статика», «Кинематика» и «Динамика» рассматривались абстрактные понятия ^точечной массы и твердого тела. На самом деле внешние силы изменяют

РазрывПредел текучеспшПредел пропорциональностиОбласть упругих формацийРазрывПредел текучеспшПредел пропорциональностиОбласть упругих формацийформу и объем реального тела,。八 т. е. деформируют его. При деформа- ар

РазрывПредел текучеспшПредел пропорциональностиОбласть упругих формаций

РазрывПредел текучеспшПредел пропорциональностиОбласть упругих формаций

ции происходит относительное смещение элементов тела (его молекул).

происходит пластическая де-происходит пластическая де-Деформации, исчезающие с прекращением действия силы, называются упругими. При превышении предела упругости в кристаллической решетке возникают необратимые изменения,

происходит пластическая де-

происходит пластическая де-

формация тела. Тело не возвращается к исходной форме даже после прекращения действия внешних сил.

Внешние силы могут вызывать различные изменения.

Справочная таблица

ДеформацияИзменение формы

Изменение объема Раздел

РастяжениеПроисходит

Всестороннее ежа- Не происходит тие

СдвигПроисходит

Кру чениеПроисходит

Происходит12.1

Происходит—

Не происходит12.2

Не происходит

Растяжение

Сила растяжения или сжатия, приложенная к телу в форме стержня, вызывает изменение длины тела А/. Величина Д/ зависит от размеров стержня, материала, из которого он из<х>Ф€®лен, и величины €амой силы.

阿"

*— начальная длинастержня,нТ

А/ — изменение длины иод действием卡

внешней силы,|

е= Д/// — относительноеудлинение, ли-|

нейная деформация,Cotcaimte、二

Л — площадь поперечногосечения~"g

стержня, 尸—сила,/ g

о = F/A — напряжение,§

Е — модуль упругости (модуль Юнга)|

(см. табл. 9),心

то согласно закону Гука

(М12.1)(М12.1)о = Ее.о = Ее.СИ КД 80СИ КД 80Н м2 Н/м2 = Н мм2 Н/мм2 кгс мм2 кгс/мм2Н м2 Н/м2 = Н мм2 Н/мм2 кгс мм2 кгс/мм2Па Н/м2 = ПаПа Н/м2 = ПаН/мм2 кгс/мм2Н/мм2 кгс/мм2尸 А

(М12.1)

(М12.1)

о = Ее.

о = Ее.

СИ КД 80

СИ КД 80

Н м2 Н/м2 = Н мм2 Н/мм2 кгс мм2 кгс/мм2

Н м2 Н/м2 = Н мм2 Н/мм2 кгс мм2 кгс/мм2

Па Н/м2 = Па

Па Н/м2 = Па

Н/мм2 кгс/мм2

Н/мм2 кгс/мм2

9,81，МПа9,81，МПа

9,81，МПа

9,81，МПа

1 кгс/мм2-=» 9,81 * 106 Н/м2

Напряжение пропорщионально относительному удлинению.

Модуль упругости равен отношению приложенного напряжения к вызванному им относительному удлинению:

Обратите внимание:

Закон Гука выполняется только в области упругих деформаций (в пределах упругости).

Из формулы (М 12.1) следует, что изменение длины пронорнио, нально приложенной,силе:户〜А/.

Величина а, обратная модулю упругости, называется коэффициентом упругости (коэффициентом растяжения): 1/£ = а; [а]=' =м2/Н.

Из формулы (М 12.1) получаем выражение для изменения

Длины:

(М 12.2)

72.2. Сдвиг72.2. Сдвигм

72.2. Сдвиг

72.2. Сдвиг

Обратите внимание:

Силы сжатия вызывают уменьшение длины тела; напряжение и из»генение^длины-Д/ в этом случае отрицательны.

Механическое напряжение в продольном направлении кроме удлинения вызывает поперечное сжатие тела, т. е. с изменением длины тела изменяется и его поперечное сечение.

Если

d — поперечный «размер тела-(диаметр, толщина стержня и т. д.),

△d — изменение поперечного сечения,

/— длина( тела,

△/ — изменение длины,

卩 一коэффициент Пуассона (см. табл. 9),

то эти величины связаны следующим соотношением:

(М 12.3)(М 12.3)

(М 12.3)

(М 12.3)

(

Коэффициент Пуассона представляет собой относительное изменение еп поперечного размера тела, деленное на относительное изменение его длины.

Обратите внимание:

Коэффициент Пуассона принимает значения от 0,2 до 0,5 (см. табл. 9).

Сдвиг

Пусть к параллельным плоскостям тела приложены параллельные силы, направленные в разные стороны. Тогда эти плоскости сме

щаются относительно друг друга. Такая деформация сдвига характеризуется углом сдвига.

Если

尸и >;^0^ла, параллельная плоско-

А — площадь поверхности, т — касательное напряжение, Y — сдвиговая деформация, G — модуль сдвига (см. табл. 10),

то по аналогии с законом Гука (М 12.1)

G

т

尸СИ

(М 12.4) t =

Н/м2

Н/мм2

Н/м2 « Па

Н/мм2 ^ МПа

рад = 1

рад = 1

80

кгс/мм2

кгс/мм2

рад= 1

Обратите внимание:

• Величина, обратная модулю сдвига, называется коэффициентом сдвига: 1/G = р; [р] = м2/Н.

Модуль сдвига можно определить из других упругих постоянных.

Если

G — модуль сдвига,

Е — модуль упругости,

卩—коэффициент Пуассона,

то

(М12・5)』Т1rHiр

ТЕРМОДИНАМИКА(ТЕОРИЯ ТЕПЛОТЫ)

В основе учения о теплоте (термодинамики) лежат законы механики. Следует различать тепловое состояние (температуру) тела и его тепловую энергию. Для тепловой энергии, как и для любого вида энергии, справедлив закон сохранения энергии. Изменение температуры и подвод или отвод тепловой энергии ——это не одно и то же!

Температура

Температура тела характеризует энергию, с которой движутся его молекулы (см. кинетическую теорию газов, разд. 17).

В твердых телах происходят колебания молекул относительно неподвижных положений равновесия. Движению молекул во всех трех направлениях в пространстве отвечают потенциальная и кинетическая энергии.

Молекулы жидкостей также совершают колебания, испытывая при этом многочисленные соударения.

Молекулы движутся с огромными скоростями ^порядка 103 м/с).

Многие физические свойства зависят от температуры:

Объем тела (а, следовательно, и его размеры), как правило, увеличивается с повышением температуры.

При повышении температуры вещество переходит в жидкое, а затем в газообразное агрегатное состояние.

У металлов удельное электрическое сопротивление возрастает с повышением температуры, а у полупроводников падает.

Спектр теплового излучения, испускаемого твердым телом, при повышении температуры смещается в более коротковолновую область.'

Электрическое напряжение термоэлемента увеличивается с повышением температуры.

Многие «константы» вещества (скорость звука, удельная теплоемкость, коэффициент теплового расширения и др.) также зависят от температуры.

Большинство физических величин, зависящих от температуры, используется для измерения температуры.

Температура характеризует состояние тела независимо от его массы и химического состава. Поэтому температуру называют параметром Достояния.

Измерение температуры

Шкалы температуры

Температура представляет собой одну из основных величин Международной системы единиц (СИ); единица измерения температуры является одной из основных единиц в этой системе.

Единица СИ температуры: [Г] = кельвин (К).

Наряду с этим температура измеряется по международной стоградусной шкале в градусах Цельсия (℃). В Великобритании и Северной Америке употребляется также градус Фаренгейта.

Определение единицы кельвин см. в разд. 15.3.4.

Для градуировки температурных шкал служат реперные точки, установленные международным соглашением.

Справочная таблица

Реперные точки

Вещество

Реперная точкаГ, ℃Г, КГ, °F

Кислород Вода Вода Сера Серебро Золото

Точка кипения—182,9790,18

Точка затвердевания 0,00273,1531

Точка кипения100,00373,15212

Точка кипения444,60717,75

Точка плавления960,801233,95

Точка плавления1063,001336,15

Все приведенные значения соответствуют нормальному давлению рн = 101,325 кПа.

Нулевая точка по шкале Кельвина соответствует наинизшей теоретически возможной температуре (абсолютный нуль температуры) .Нулевая точка по шкале Цельсия соответствует точке затвердевания воды. Более низкие температуры по этой шкале — отрицательны. Один кельвин равен по своей величине одному градусу Цельсия.

Таким образом, шкалы Кельвина и Цельсия просто смещены друг относительно друга.

Если

Т — температура в кельвинах (К), или абсолютная температура, t — температура в градусах Цельсия (℃),

「0 = 273,15 К нулевая точка по шкале Цельсия (точка затвердевания воды),

то

(Т 13.1) I / = Г — То или Т = / +「о. I

Обратите внимание:

Температура — единственная физическая величина, имеющая два обозначения (Т или /) в зависимости от применяемых единиц. Если оба обозначения встречаются в одном уравнении, то сокращать их нельзя!

Разности температур ДГ и А/ выражаются в кельвинах (К).

Разность температур: по шкале Цельсия А/ также выражается в градусах Цельсия (℃).

Кельвин и градус Цельсия можно сокращать, если они применяются для обозначения разности температур.

В сочетании с градусом Цельсия не используются множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц, перечисленные в табл. П1.

Термометры

Термометры всегда показывают собственную температуру. Только через определенное время эта температура становится равной температуре окружающей среды. Иначе говоря, термометрам свой* ственна определенная инерционность. Кроме того, они могут изме* нять измеряемую температуру среды.

Жидкостные, термометры

Длина столбика жидкости, ртути, спирта, толуола, пентану и т. д.) служит мерой температуры. Интервал измерений ограниче^ температурами кипения и замерзания данной жидкости. Если тем* пература неодинакова по длине столбика жидкости, то возможнь! незначительные ошибки измерения.

Металлические термометры

Металлический термометр представляет собой биметаллическую пластинку, т. е. пластинку, сваренную или склепанную из полосок двух различных металлов. Вследствие разницы в тепловом расширении металлов пластинка при нагревании будет изгибаться. Из длинной пластинки сгибают спираль. Наружный конец спирали закрепляют, а ко внутреннему прикрепляют стрелку, которая указывает по шкале соответствующую температуру.

Термометры сопротивления

Сопротивление металлов меняется с температурой. Сила тока в цепи зависит от сопротивления- проводника# а следовательно и от его температуры. Преимущество термометра сопротивления состоит в том, что измерительный прибор и место, где измеряется температура, могут быть разнесены на значительное расстояние. В качестве сопротивления в основном применяется тонкая отожженая платиновая проволока.

Расширение твердых тел

При нагревании амплитуда колебания молекул увеличивается, расстояние между ними возрастает, и тело заполняет больший объем. Твердые тела расширяются при нагревании во всех направлениях. Стержни и проволока расширяются в основном в длину.

Линейное тепловое расширение

Если

/1 — начальная длина тела при температуре 厶， 勾一конечная длина тела при температуре 必 А/ = % —厶一удлинение тела,

△/ =勾一fI — разность температур, а ——коэффициент линейного расширения (линейный коэффициент теплового расширения) в 1/К (см. табл. 11),

то в хорошем приближении справедливы равенства

(Т 13⑵ I А/= ha Af, I

/г = Л + А/ = /1 + La Af,

(Т 13.3) I /? = /] (1 +aAf).

Коэффициент линейного расширения а равен отношению относительного удлинения A///j к разности температур Af:

А/а ='.-./1

Обратите внимание:

Каждый материал характеризуется собственным значением коэффициента линейного расширения а.

Значения а см. в табл. 11.

Коэффициент линейного расширения а слабо зависит от температуры. Табличные значения обладают достаточной точностью в интервале температур от 0 до 100℃.

При охлаждении величина А/ отрицательна.

Двумерное расширение

При вычислениях двумерное расширение можно рассматривать как линейное расширение в двух направлениях.

Если

/1 — площадь тела при температуре 厶，

力2 — площадь тела при температуре %,

△А = Д2 ~^i 一изменение площади тела,

△f = t2 —厶一разность температур, а — коэффициент линейного расширения (линейный коэффициент теплового расширения) в 1/К (см. табл. 11),

то

АА = д2 - At = /2 - /2 = /2 (1 + а Д/)2 一 /?,

ДА = /f [1 + 2а А/ + а2(Д/)2]-彳.

Из-за малости численного значения а слагаемым второго порядка можно пренебречь. Тогда

АА = /2(1 + 2а ДО -斤=4 2а Af,

откуда

(Т 13.4) I A4 = /i2aA/, I

/2====力1 Ду4 == 4] A】2a А/,

(Т 13.5) I А2 = А1 (1 +2аЛ/). |

Обратите внимание:

• При охлаждении величина А/ отрицательна.

Объемное расширение

При вычислениях объемное расширение можно рассматривать как линейное расширение в трех направлениях.

Если

匕 —начальный объем тела при температуре 九

V2 — конечный объем тела при температуре t*

△V = V2 — % — изменение объема,

А£ = % — Л — разность температур, а — коэффициент линейного расширения (линейный коэффициент теплового расширения) в 1/К (см. табл. 11),

то

АУ = % — % = Е — /；= /；(1 + а Д/)3 一 /f,

АР = /； [1 + За Af + За2(Л/)2 + а3 (八外]一 /f.

Из-за малости численного значения а слагаемыми второго и третьего порядка можно пренебречь. Тогда

АУ = /；(1 +3aAf)-/； = /； За Af,

(Т 13.6) I N =匕 За М I

% = % +ap=匕+匕3aа/,

(Т 13.7) I V2 = Vt (1 +3d AZ). J

Обратите внимание:

При охлаждении величина Af отрицательна.

Расширение полых тел происходит по тем же законам.

133. • Расширевие жидкостей

Жидкости расширяются значительно сильнее твердых тел. Они также расширяются во' всех направлениях. Вследствие большой подвижности молекул жидкость принимает форму сосуда, в котором она находится, причем следует учитывать и тепловое расширение сосуда. Расширение жидкости в трубках также представляет собой объемное расширение. Следовательно, верны формулы (Т 13.6) и (Т 13.7).

Если

Vi — объем жидкости при температуре 6, % — объем жидкости при температуре 必 △V = V2— Vi — изменение объема жидкости,

6 — коэффициент объемного расширения (объемный коэффициент теплового расширения) в 1/К (см. табл. 12),

то

СГ13.8尸 J A" = %"Af, I

(Т 13.9) I % = %(l+pAf)・ I

Коэффициент объемного расширения 0 равен отношению относительного объемного расширения АУ/匕 к разности температур Л/г

Обратите внимание:

Каждый материал характеризуется собственным значением коэффициента объемного расширения 0. Значения 0 см. табл. 12«

Коэффициент объемного расширения 0 слабо зависит от температуры. Приведенные в таблице значения обладают достаточной точностью в интервале температур от 0 до 40℃.

При охлаждении разность температур Д/ отрицательна.

Вода является исключением. Коэффициент объемного расширения воды сильно зависит от* температуры, а в интервале от О до 4℃ принимает отрицательное значение. Значения плотности воды см. в табл. 13.

Изменение плотности

При нагревании изменяется не только объем, ио и плотность жидкости. Так как объем и плотность обратно пропорциональны дру!» Другу,

77一V?

то вместо (Т 13.9) можно также написать

Pi = P2(1 + PA0；

после перестановки получаем

(Т 13.10) р2(Т 13.10) р2Pi1 + р Л/ *Pi1 + р Л/ *

(Т 13.10) р2

(Т 13.10) р2

Pi

1 + р Л/ *

Pi

1 + р Л/ *

Обратите внимание:

Формула (Т 13.10) справедлива и для твердых тел. В этом случае коэффициент объемного расширения § следует заменить на За.

При охлаждении разность температур Af отрицательна»

Расширение газов

При нагревании скорость молекул возрастает. При повышении температуры произведение давления на объем (pV) также возрастает. Наглядные соотношения можно получить, если оставить постоянным один из сомножителей. Газы расширяются значительно сильнее, чем твердые и жидкие тела.

Изменение объема при нагревании

Пусть газ нагревается при постоянном давлении. Тогда справедлива формула (Т 13.9). Коэффициент объемного расширения имеет приблизительно одну и ту же величину для всех газов. В хорошем приближении можно считать его равным коэффициенту объемного расширения идеального газа:

3 = 0,0。366№7 = w^.

Коэффициент объемного расширения газа 0 равен отношению относительного объемного расширения AV/VQ к температуре f:

Обратите внимание:

В определение коэффициента объемного расширения 0 входит % — объем при 0℃.

Газ считается идеальным, если для него при постоянной температуре выполняется равенство pV = const (закон Бойля ——Мариотта) ;см. также разд. 9.1.1.

Если

匕—объем газа при произвольной температуре f,

Vo — объем газа при температуре 0℃,

/— температура,

В — коэффициент объемного расширения газа,

то

(Т 13.11)(Т 13.11)匕=几(1 + W).匕=几(1 + W).

(Т 13.11)

(Т 13.11)

匕=几(1 + W).

匕=几(1 + W).

Обратите внимание:

Коэффициенты объемного расширения инертных газов, водорода и кислорода равны коэффициенту объемного расширения идеального газа В = 1/(273,15 К). Значения коэффициентов объемного расширения других газов отличаются от этого значения.

Точные численные значения коэффициентов объемного расширения важнейших газов см. в табл. 14.

Из формулы (Т 13.11) следует, что при температуре 乙

%=% (1 + 騎)=%(1 + 亍綜)=% (1 + 片)= i(屮)，

а при другой температуре /2 соответственно

%0%(1+伊2)= %(1 +^Ы)П0°(1+ 击)

Разделив первое равенство на второе, получим %二二To+介 77一 To + 仆

или с учетом формулы (Т 13.1) т, р

(Т 13.12)=十，или — = const.

|

При постоянном давлении объем газа .пропорционален абсолютной температуре газа Т (первый закон Гей-Люссака):

V ~ Т (р = const).

Обратите внимание:

Формула (Т 13.12) справедлива только для идеальных газов, для реальных газов она является хорошим приближением и неприменима в случае пара.

Изменение давления при нагревании

Пусть объем газа при нагревании остается постоянным. Тогда давление газа увеличивается по тому же закону, что и объем [формула (Т 13.11)]. Относительный коэффициент давления практически одинаков у всех газов и с хорошим приближением равен относительному коэффициенту давления идеального газа. Он совпадает с коэффициентом объемного расширения 0 = 0,003661 К-1 = =1/(273,15 К).

[

Относительный коэффициент давления газа представляет собой отношение относительного изменения давления Ар/Po к температуре f:

Обратите внимание:

В определение относительного коэффициента давления 0 входит нормальное давление 的(при 0℃).

Относительный коэффициент давления называют также термиче* ским коэффициентом давления.

Если

% — давление газа при произвольной температуре /,

"о — давление газа при 0℃,

f — температура, при которой давление газа равно 〃，

0 — относительный коэффициент давления (коэффициент объемного расширения),

то

(Т 13.13) I 丁叫1 + 叫

Обратите внимание:

См. замечания к формуле (Т 13.11).

Из формулы (Т 13.13) следует, что для температуры 八：

0 =Р。(1 + 3з="。(1+17^)=內(1 + *)=

/「0 + 九、

а для температуры^ t^ соответотвеяно:

Р2 = "。(1 + 巾2)= "。(1 +"^^) = "。(1 + 77)=p0 (^^)"

Разделив первое равенство на второе, ноигучим：

I

Давление газа в замкнутом объеме пропорционально абсолютной температуре (второй закон Гей-Люссака^:

р~Т ” = const).

Обратите внимание:

Формула- (Т 13.14) точно выполняется для идеального газа, является хорошим приближением для реальных газов и неприменима в случае пара.

Газовые законы

Применимость законов (Т 13.11) — (Т 13.14) ограничивается довольно редкими случаями постоянства давления или объема газа при изменении температуры. Поэтому закон Гей-Люссака и закон Бойля —> Мариотта были сведены в один общий закон.

Уравнение состояния идеального газа

Если

рь Ть V! — начальные давление, температура и объем газа (со- стаяние 1),

。2,~「2, % — конечные давление, температура и объем газа (состояние 2),

Vnp — промежуточный объем газа при нагревании, то согласно соотношению (Т 13.12) %р = ViT2/Ti, а из соотношения (М 9.1) следует, что после изменения давления

и — VnpPi —

Перенеся，в одну сторону величины с одинаковым индексом, .получим уравнение состояния идеального газа

(Т 13.15)Или = const.

|

Для данного количества (данной .массы) идеального газа отношение произведения давления на объем к абсолютной темпера* туре есть величина постоянная.

Обратите внимание:

Уравнение состояния строго выполняется только для идеального газа, является хорошим приближением для реальных газов и неприменимо в случае пара.

Уравнение состояния идеального газа объединяет в себе три частных случая, см. справочную таблицу и разд. 16.2—16.4.

Справочная таблица

Частные случаи уравнения состояния

ПроцессПризнак:Запись:Название закона:ПроцессПризнак:Запись:Название закона:Изобарическийр = const%&Гей-ЛюссакаИзобарическийр = const%&Гей-ЛюссакаИзохорическийV = constPi =八P2 ?2ИзохорическийV = constPi =八P2 ?2Изотермиче-скийT = const曲=卫Бойля — Мари-оттаИзотермиче-скийT = const曲=卫Бойля — Мари-отта

Процесс

Признак:

Запись:

Название закона:

Процесс

Признак:

Запись:

Название закона:

Изобарический

р = const%&

Гей-Люссака

Изобарический

р = const%&

Гей-Люссака

Изохорический

V = const

Pi =八

P2 ?2

Изохорический

V = const

Pi =八

P2 ?2

Изотермиче-ский

T = const

曲=卫

Бойля — Мари-отта

Изотермиче-ский

T = const

曲=卫

Бойля — Мари-отта

Согласно формуле (Т 13.15) pV/T = const; величина постоянной пропорциональна массе данного газа, т. е. pV〔T~т или pV/T = mR, где R — газовая постоянная, зависящая от природы газа. Путем преобразования получаем новую запись -уравнения со стояния" идеального газа:

(Т 13.16) I pV^ mRT, I

рV m RГ

СИ I Па = Н/м2 ^~кг дж/(кг .К)К

I кгс/м2 = 10~4 ат м3 кг кгс« м/(кг • К)К

Обратите внимание:

Формулы (Т 13.15) и (Т13Л6) представляют собой две различ* ные записи уравнения состояния идеального газа. .Выбор любой из них зависит от условий задачи.

Численные значения газовой постоянной R см. в табл. 15.

Единица СИ количества вещества: [и] = (моль) (основная еди* ница).

Один киломоль любого газа занимает при нормальных условиях ("н = 101,325 кПа, Тн = 273,15 К) объем Утн^22,41383 м3/кмоль, называемый нормальным молярным объемом.

Если

М — молярная масса (в кг/моль), равная отношению массы m к количеству вещества nz

Рн =101,3 кПа, (до 1980 г.: 760 мм рт. ст.)—нормальное давление, 7н =273,15 К — нормальная температура,

то после подстановки этих значений в формулу (Т 13.16) получим

101,325 кПа-22,41383 м3 = rzMR • 273】5К, или

101,325 кГТа・ 22,413 м?「8314,41 Д》к

—1 кмоль • М • 273,15 К — М кмоль • К *

Отсюда

(Т 13.17)欠=等 где Rm-

универсальная (молярная) газовая постоянная

R Rmм

КД I Дж/(кг»К) Дж/(кмоль - К) кг/кмоль

Обратите внимание:

Молярная масса М численно равна относительной массе молекулы.

По формуле (Т 13.17), зная относительную массу молекулы, можно вычислить газовую постоянную. Однако поскольку уравнение состояния точно выполняется только для идеального газа, при точных расчетах следует пользоваться экспери ментальными данными из табл. 15.

Количество вещества

Количество вещества п характеризует число структурных элементов, содержащихся в данной системе. Это могут быть атомы, молекулы, а также ионы, электроны и другие частицы. Единица количества вещества 九 является одной из основных единиц СИ.

Единица СИ количества вещества: [и] = (моль) (основная единица)

I

I моль — такое количество вещества, в котором содержится столько же структурных элементов, сколько атомов в 12 г изотопа углерода-12. В количестве вещества, равном 1 моль, содержится 6,022 • 1023 структурных элементов.

Часто бывает удобно относить объем и массу газа к количеству вещества.

Если т — масса газа, V — объем газа, я — количество вещества (газа), М — молярная (отнесенная к количеству вещества) масса, Vm — молярный (отнесенный к количеству вещества) объем, V = V/m — удельный объем газа, р — плотность газа, то

(Т 13.18)(Т 13.18).> тМ =—.> тМ =—М т пКД I кг/кмоль кг кмольМ т пКД I кг/кмоль кг кмоль

(Т 13.18)

(Т 13.18)

.> т

М =—

.> т

М =—

М т п

КД I кг/кмоль кг кмоль

М т п

КД I кг/кмоль кг кмоль

(Т 13.19) Кт = ~>.(Т 13.19) Кт = ~>.Um 0 几

(Т 13.19) Кт = ~>.

(Т 13.19) Кт = ~>.

КД |м3/кмоль м3 кмоль

Разделив (Т 13.19) на (Т 13.18), получим

(Т 13.20) V =-=—=—.

Al m р

v卩m卩 Mm р

КД I м3/кг м3/кмоль м3 кг/кмоль кг кг/м3

Плотность газов

Плотность газа зависит от состояния, в котором он находится, т е. от давления и температуры. Приведенные в таблицах значения соответствуют нормальным условиям "н = 101,325 кПа и Тн = =273,15 К = 0℃ (нормальная плотность). Используя обе формы записи уравнения состояния идеального газа, можно вычислить плотность данного газа при любых условиях.

Пересчет плотности

Если

Рь「I, Рд — плотность, температура и давление газа в состоянии 1, р2,「2, Р2 — плотность, температура и давление газа в состоянии 2,

Рн —анормальная плотность газа (при .давлении .ра лдтемпе， ратуре Тн),

Рн = 101,325 кПа — нормальное давление,

Гн = Го = 273,15 К — нормальная температура,

и л

ррг R

плотность газа при давлении р и температура Т, давление газа, температура газа, газовая постоянная (см. табл. 15),

то, поскольку р = mlV, из формулы (Т 13.16) следует m _"

(Т 13.23)。=备

СИ

80

р р R т кг/м3 Па = Н/м2 Дж/(кг • К) К кг/м3 кгс/м2 ~ 10~4 ат кгс • м/(кг • К) К

для нормальной плотности имеем соответственно

63.24) * 證.

Обратите внимание:

Численные значения нормальных плотностей газа см. в табл. L

Численные значения плотности воздуха в зависимости от давления и температуры см. в табл. 16.

Соотношение „между единицами давления в разных системах см. в табл. ПЗ.

Объем газа при нормальных условиях (нормальный объем)ч

ЕслиЕслиСравнивать объемы различных- газов можно лишь в том случае^ когда- они имеют одинаковую температуру и одинаковое давление Нормальным объемом называется объем при давлении р = "н = =101,325 кПа (=760 мм рт. ст.) и температуре Т — Тн = =273,15 К = 0℃. С помощью уравнения состояния объем любого газа можно привести к объему при нормальных условиях.

Если

Если

V — объем газа при произвольном давлении р и произвольной температуре Г,

%! — нормальный объем, т. е. объем при. нормальных условиях, рн = 101,325 кПа (= 760 мм рт. ст.)'— нормальное давление, 「н == То = 273,15 К = 0℃ — нормальная температура,

то в соответствии с уравнением' (Т 13.15)

"卩"н^ н

Отсюда

(Т 13.25)

Обратите внимание:

• Соотношение между единицами давления в разных системах см. в табл. ПЗ.

Смеси газов

Для вычисления： параметров состояния смесей газов пользуются* средним значением плотности смеси рср и средней газовой постоянной Rep. Обе величины зависят от масс компонентов смеси, поэтому их расчет производится следующим образом:

Если

Pi — плотность 1-го компонента смеси,

Ri — газовая постоянная 1-го компонента смеси,

П1 — масса 1-го компонента и т. д., то средняя плотность смеси газов определяется по формуле

Средняя газовая постоянная смеси газов рассчитывается по формуле:

(Т 13.27)

R 俏 1 + R2m2 + • • •

оСР他2 + 加2 + ^ • •

Обратите внимание:

Численные значения р см. в табл. 1.

Численные значения газовых постоянных R см. в табл. 15; их можно также вычислить по формуле (Т 13.17).

14. Тепловая энергия

Тепловая энергия, называемая также количеством теплоты, подобно механической или электрической энергии представляет собой один из видов энергии. Подобно другим видам энергии, тепловая энергия подчиняется закону сохранения энергии. Все виды энергии могут частично превращаться друг в друга. Для изменения температуры или агрегатного состояния тела необходим подвод или отвод тепла.

Единица СИ тепловой энергии: [Q] = джоуль (Дж)= g ньютон• метр (Н-м).

Единицы, допускавшиеся к применению до 1980 г.: калория (кал) и килокалория (ккал).

Соотношение между единицами тепловой энергии

1 кал = 4,1868 Дж; 1 ккал = 103 кал = 4186,8 Дж = 4,1868 кДж

Обратите внимание:

• Соотношение между единицами энергии в разных системах см. в табл. П5.

Количество теплоты

Количество теплоты, необходимое для нагревания данного тела, пропорционально его массе и изменению температуры.

Если

Q — количество теплоты,

с — коэффициент пропорциональности — удельная теплоемкость вещества (см. разд. 14.2),

т — масса тела,

/ = /2 —匕一изменение температуры, происходящее в результате подвода к телу количества теплоты Q,

то

(Т 14.1) I Q = ст А/, I

или в дифференциальной форме

Q c m t

(Т 14.2) J dQ = cm dt.(Т 14.2) J dQ = cm dt.СИ 1 Дж Дж/(кг - К) кг К

(Т 14.2) J dQ = cm dt.

(Т 14.2) J dQ = cm dt.

80 I ккал ккал/(кг ♦ К) кг К

Обратите внимание:

Численные значения удельных теплоемкостей для различных веществ см. в табл. 17 и 18.

Теплоемкость с не постоянна и зависит от температуры.

При охлаждении величина Af отрицательна.

Знак минус перед количеством теплоты означает, что тепло отводится от тела, а не подводится к нему.

Теплосодержание

I

Теплосодержанием называется количество теплоты, которым обладает тело при данной температуре. Считается, что теплосодержание тела при / = 0℃ равно нулю.

Единица СИ теплосодержания [Qr] = джоуль (Дж).

Единица, допускавшаяся к применению до 1980 г.: калория (кал) и килокалория (ккал).

Если

QT — теплосодержание тела,

с — удельная теплоемкость (см. разд. 14,2), m — масса тела,

f — температура тела в градусах Цельсия,

то по аналогии с формулой (Т 14.1)

(Т 14.3) Qt = cmt. I(Т 14.3) Qt = cmt. IQt c m e

(Т 14.3) Qt = cmt. I

(Т 14.3) Qt = cmt. I

СИ Дж Дж/(кг • К) кг ℃ 80 ккал ккал/(кг • К) кг ℃

Обратите внимание:

• Теплосодержание тела положительно при f > 0℃, отрицательно при f V 0℃ и равно нулю при / = 0℃.

Теплоемкость

Теплоемкостью С называется отношение подведенного к телу количества теплоты к достигнутой разности температур:

С==告，или в дифференциальной форме С = -^.

Если

С — теплоемкость тела,

с — удельная.теплоемкость вещества (см. разд. 14.2) т — масса' тела,

то С = Q/Af и из формулы (Т 14.1) следует С = cmktlkt, или

Сст

(Т 14.4) I С = с俏.]СИДж/КДж/(кг • К) кг

*80ккал/К ккал/(кг ♦ К) кг

Обратите внимание:

Теплоемкость С — это количество теплоты, необходимое для нагрева тела на 1 К・

Для неоднородных тел теплоемкость С определяется по формуле

(Т 14.5) С == У 修俏

Тепловое значение калориметра

В тех случаях, когда нужно добиться установления теплового равновесия между жидкими и твердыми телами (см. разд. 14.3), их помещают в калориметр. Чтобы устранить тепловые потери при теплообмене, калориметры обычно изготавливаются с двойными стенками, пространство между которыми вакуумировано. Так как температура самого калориметра также изменяется при теплообмене» его теплоемкость Ск = сктк необходимо учитывать при расчетах. Для этого используется тепловое значение или водный эквивалент калориметра, т. е. количество воды, теплоемкость которой равна теплоемкости калориметра. Эта масса воды прибавляется при расчетах к массе воды в калориметре. Тепловое значение калориметра измеряется в килограммах.

■

Тепловым значением калориметра называется масса воды, теплоемкость которой равна теплоемкости данного калориметра.

Обратите внимание:

Тепловое значение калориметрических сосудов из материалов с плохой теплопроводностью (стекло и т. д.) зависит от степени их наполнения, т. е. не является постоянной для данных приборов.

В тепловое значение калориметра входят также тепловые значения термометра и мешалки.

14.2. Удельная теплоемкость

Отношение теплоемкости тела к его массе называется удельной теплоемкостью вещества, из которого изготовлено данное тело:

С с =—,

или, учитывая определение теплоемкости:

Удельной теплоемкостью называется отношение подведенного к телу количества теплоты к произведению массы данного тела на изменение его температуры:

Q .

一 tn Л/ *

Поскольку удельная теплоемкость с зависит от температуры, в дифференциальной форме определение удельной теплоемкости dQ имеет вид с =立・ 他dt

Единица СИ удельной теплоемкости: [с] = Дж/(кг• К).

Единица, допускавшаяся к применению до 1980 г.: ккал/(кг-К).

Твердые тела и жидкости

Удельные теплоемкости твердых тел и жидкостей зависят от их температуры. Приведенные в табл. 17 значения относятся к температуре 20℃, но их можно с достаточной точностью применять при расчетах для твердых тел в интервале температур от — 40℃ до + 100℃, а для жидкостей в интервале температур от 0℃ до + 40℃.

Газы

Для газов надо различать два вида удельной теплоемкости.

Подведенное количество теплоты Q нагревает газ, и давление газа возрастает при неизменном объеме. В этом случае речь идет о теплоемкости при постоянном объеме %. Количество теплоты определяется формулой Q = сотД/.

Подведенное количество теплоты Q нагревает газ, причем давление газа остается неизменным, а объем увеличивается, так что газ совершает механическую работу. В этом случае имеется в виду теплоемкость при постоянном давлении ср. Количество теплоты определяется формулой Q = cpm^t = %俏Af + 卩厶丿.

Если ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении, Су— удельная теплоемкость при*постоянном объеме,

R— газовая постоянная,

срш А/ = com Af + р А匕срш А/ = com Af + р А匕р АР — работа, совершаемая газом при расширении, то

срш А/ = com Af + р А匕

срш А/ = com Af + р А匕

Из уравнения состояния (Т 13.16) следует, что

р ДИ 5= mR Af, т. е.

СрШ А/ = cvm Af + mR At

Разделив обе стороны уравнения на mA/, получим ср = cv + R или

(Т 14.6) \ Ср - cv = R.\

Отношение удельных теплоемкогтей cp/cv называется показателем адиабаты 乂 (см. разд. 16 5):

сR

(Т 14.7)(Т 14.7)СИ Дж/(кг • К) Дж/(кг • К) 80 ккал/(кг • К) ккал/(кг • К) 80 кгс-м/(кг • К) кгс-м/(кг • К)

(Т 14.7)

(Т 14.7)

Обратите внимание:

Численные значения % и с0 см. в табл. 18.

Показатель адиабаты 乂 двухатомных газов равен ~1,4. Точные значения см. в табл. 18.

Из формулы (Т 14.6) следует наглядное определение газовой постоянной: газовая постоянная R равна механической работе, которую может совершить 1 кг газа при нагревании его на 1 К.

143 Теплообмен

Если несколько тел с различными температурами привести в соприкосновение, то между ними происходит теплообмен, который приводит к выравниванию температур тел. По закону сохранения энергии количество теплоты, отдаваемое телом с более высокой температурой, равно количеству теплоты, приобретаемому телом с более низкой температурой.

Если

S,的，九 ，удельные теплоемкости, массы и начальные

с2,他2, % I температуры тел 1 и 2

^обш — конечная температура обоих тел,

то по закону Рихмана

(Т 14.8) схт{ (G — /общ)=方加2 «общ —力2)・ I

Обратите внимание:

В формулу (Т 14.8) вместо температуры f (в ℃) можно под» ставить температуру Г (в К).

Если в теплообмене участвует более двух тел или если при этом происходит переход из одного агрегатного состояния в другое, то вместо закона (Т 14.8) справедлив следующий закон?

■

Сумма теплосодержаний компонентов до теплообмена равна конечному теплосодержанию системы:

(Т 14.9) I c{m{t{ + с2m2t2 + .. • = /общ(6的 + с2m2 + • •. ), |

или, поскольку С = ст,

(Т 14.10) I + с2t2 + …=%6虫(& +。2 + •司

Обратите внимание:

В формулы (Т 14.9) и (Т 14.10) вместо температуры t (в ℃) можно подставить температуру Г (в К).

Необходимо учитывать все тела, участвующие в теплообмене, включая сосуды (например, калориметр).

Если в процессе теплообмена изменяется агрегатное состояние одного из компонентов, то высвободившееся при этом количество теплоты следует отнести в левую часть формулы (или отнять поглощенное количество теплоты).

С помощью формул (Т 14.9) и (Т 14.10) можно определить удельные теплоемкости, конечную температуру системы и тепловые значения калориметров.

14.4. Источники тепла

Согласно закону сохранения энергии, тепловая энергия может возникать только в результате превращения других видов энергии, хак, например, механической, электрической, химической, энергии излучения, ядерной энергии и т. д.

(

Энергия не может исчезать бесследно или возникать из ничего. Теплота представляет собой одну из форм энергии и может превращаться в другие виды энергии (не всегда целиком). В этом и заключается закон сохранения энергии.

Солнечная энергия

Солнце непрерывно излучает энергию (см. разд. 18.3). Очень небольшая часть этого излучения попадает на Землю. Мощность солнечного излучения, попадающего на единицу площади земной поверхности, называется солнечной постоянной.

Солнечная постоянная =Солнечная постоянная =L4爷(=。,33 察= 2,。缶).L4爷(=。,33 察= 2,。缶).

Солнечная постоянная =

Солнечная постоянная =

L4爷(=。,33 察= 2,。缶).

L4爷(=。,33 察= 2,。缶).

Обратите внимание:

• Данное значение солнечной постоянной соответствует перпендикулярному падению лучей на поверхность. Ослаблением излучен ния при прохождении земной атмосферы мы пренебрегаем.

Энергия горения

При горении (окислении) высвобождается тепловая энергия.

[

Теплотой сгорания Н называется отношение количества теплоты, выделяющегося при горении, к массе сгоревшего топлива (жид* кого или твердого):

н Q

т ,

теплота сгорания данного твердого или жидкого топлива

(см. табл. 19),

сгорании (включаясгорании (включаямасса полностью сгоревшего топлива, количество теплоты, выделившейся при теплоту, затраченную на испарение воды),

сгорании (включая

сгорании (включая

Q т Я

(Т 14.11) I Q = m〃. J(Т 14.11) I Q = m〃. JСИ Дж кг Дж/кг80 ккал кг ккал/кгСИ Дж кг Дж/кг80 ккал кг ккал/кг

(Т 14.11) I Q = m〃. J

(Т 14.11) I Q = m〃. J

СИ Дж кг Дж/кг80 ккал кг ккал/кг

СИ Дж кг Дж/кг80 ккал кг ккал/кг

Обратите внимание:

•? Следует различать низшую теплоту сгорания На и высшую теплоту сгорания "в. Величина "в больше "н на количество теплоты, необходимое на испарение возникающей при горении воды. В физике и технике обычно используют значение Ян, а в химии 儿.

Для газообразных видов топлива используется теплота сгорания Н газа при нормальных условиях, т. е. при давлении "н =! =101,325 кПа (== 760 мм рт. ст.) и 〃 =「()= 273,15 К = 00c.

Если

"' — теплота сгорания газообразного топлива (см. табл. 20),

Ун— объем полностью сгоревшего газа при нормальных условиях, Q — количество теплоты, выделившееся при горении (включая теп* лоту, затраченную на испарение воды),

то

(Т 14.12) I Q = Vh〃z・ I(Т 14.12) I Q = Vh〃z・ IQ V "‘СИ Дж м3 Дж/м380ккал м3 ккал/м3Q V "‘СИ Дж м3 Дж/м380ккал м3 ккал/м3

(Т 14.12) I Q = Vh〃z・ I

(Т 14.12) I Q = Vh〃z・ I

Q V "‘СИ Дж м3 Дж/м380ккал м3 ккал/м3

Q V "‘СИ Дж м3 Дж/м380ккал м3 ккал/м3

Электрическая энергия

Электрический ток в проводнике нагревает его. Превращение электрической энергии в тепловую является полным, т. е. происходит без потерь (обратное утверждение неверно!).

Если

Q — выделившееся в проводнике количество теплоты, U — электрическое напряжение на концах проводника, I — сила тока в проводнике, R — сопротивление проводника, / — продолжительность прохождения тока через проводник,

то

(Т 14.13) Q = Ult = RRt(Т 14.13) Q = Ult = RRtU I R t QI В А Ом с Дж = Вт • сU I R t QI В А Ом с Дж = Вт • с

(Т 14.13) Q = Ult = RRt

(Т 14.13) Q = Ult = RRt

U I R t Q

I В А Ом с Дж = Вт • с

U I R t Q

I В А Ом с Дж = Вт • с

Обратите внимание:

Поскольку все виды энергии равноценны, в СИ они имеют одинаковую размерность: джоуль (Дж). Таким образом, отпадает необходимость в использовавшемся ранее электрическом эквиваленте теплоты:

1 кал = 4,1868 Вт・с

1 кВт-ч = 860 ккал

Соотношение между единицами энергии и работы в разных системах см. в табл. П5.

Механическая энергия

Механическая энергия может полностью без потерь перейти в тепловую энергию (например, в результате трения), но обратное утверждение неверно.

Если

А*% — уменьшение кйнетической энергии тела, А取и — уменьшение его потенциальной энергии, Q — выделяющееся количество теплоты,

Q WСИ I Дж ДжQ WСИ I Дж Джто

Q W

СИ I Дж Дж

Q W

СИ I Дж Дж

(Т 14.14) I QhAMk+ AMm I

Обратите внимание:

• Тепловая и механическая энергии равноценны и измеряются в одинаковых единицах — джоулях. Поэтому отпадает необходимость в использовавшемся ранее механическом эквиваленте теплоты:

1 кал «= 4,1868 Дж =

=0,42693 кгс • м

Агрегатные состояния вещества

Вещества могут находится в трех агрегатных состояниях: твердом, жидком и газообразном. Каждое агрегатное состояние характеризуется определенной внутренней структурой вещества и соответственно определенными свойствами.

Справочная таблица

Свойства веществ в различных агрегатных состояниях

Состояние

Свойство'

Твердое

Жидкое

Газообразное

Кристаллическая решетка

есть

нет

нет

Постоянство формы

есть

нет

нет

Межмолекулярное взаимодействие

есть

есть

нет

Постоянство объема

есть

есть

нет

Переход в агрегатное состояние, отвечающее более высокой температуре, требует подвода энергии.

Переход в агрегатное состояние, отвечающее более низкой температуре, сопровождается выделением энергии.

Возможны следующие переходы из одного агрегатного состояния в другое:

Изменения агрегатного состояния

Плавление и затвердевание

В твердом теле молекулы вещества колеблются относительно своих положений равновесия в кристаллической решетке. Если кристаллу сообщить энергию, колебания усиливаются и кристаллическая решетка может разрушиться.

Точка плавления

Фазовый переход из твердого состояния в жидкое и обратно происходит при определенной зависящей от давления температуре

I Точка плавления совпадает с точкой затвердевания.

Обратите внимание:

Точки (температуры) плавления см. в табл. 22. Все значения соответствуют давлению 101,325 кПа ( = 760 мм рт. ст).

Обычно температура плавления повышается с возрастанием давления. Исключение составляет вода (понижение температуры плавления составляет 7,65 мК на 100 кПа).

В процессе плавления или затвердевания температура тела не меняется.

Температура плавления растворов

Если в одном веществе растворить другое, то температура затвердевания раствора понижается с увеличением концентрации растворенного вещества.

Если

А/—понижение точки затвердевания,

/п—масса растворенного вещества,

Mg—относительная молекулярная массарастворенноговещества,

пЪк—масса растворителя (жидкого),

К—коэффициент пропорциональности,называемыйкриоскопи

ческой постоянной (значения см. в табл. 21),

то

(Т 15.1)(Т 15.1)А/= КА/= К加яс Moth加яс MothСИСИ△f К mI К К произв.△f К mI К К произв.

(Т 15.1)

(Т 15.1)

А/= К

А/= К

加яс Moth

加яс Moth

СИ

СИ

△f К m

I К К произв.

△f К m

I К К произв.

Справочная таблица

Сплавы с особо низкой температурой плавления

СплавСплав'пл，'пл，℃℃

Сплав

Сплав

'пл，

'пл，

℃

℃

Сплав Роза (50% висмута, 25% свинца, 25% олова)94

Сплав Липовица (50% висмута, 26,7% свинца, 13,3% олова, 70 10% кадмия)

Сплав Вуда (50% висмута, 25% свинца, 12,5% олова, 60 12,5% кадмия)

Обратите внимание:

• Понижение точки затвердевания пропорционально числу растворенных молекул.

Температуры плавления сплавов обычно ниже температуры плавления самого легкоплавкого компонента.

Изменение объема

Большинство веществ занимает в твердом состоянии меньший объем (т. е. обладает большей плотностью), чем в жидком: металлы, парафины, стеарины, жиры и т. д.

Поэтому при повышении давления их температура плавления возрастает, т. е. их нельзя перевести в жидкое состояние только за счет повышения давления.

Исключение составляет вода: рЛед V рвода. При затвердевании ее объем увеличивается на 9%. Лед плавает на поверхности воды. Он плавится при повышении давления, так как температура плавления льда при этом понижается.

Поскольку все металлы при литье (затвердевании) уменьшаются в объеме, формы для литья должны быть больше готового изделия на величину усадки.

Справочная таблица

Величина усадки (по длине)

Металл

Усадка

Металл

Усадка

Чугун

1/96

Мягкая сталь

1/64

Свинец

1/92

Цинк

1/62

Латунь

1/65

Стальное литье

1/50

плавленая Q^плавленая Q^Теплота плавления

плавленая Q^

плавленая Q^

Фазовый переход из твердого в жидкое (из жидкого в твердое) состояние сопровождается поглощением (выделением) определенной теплоты плавления Qn”.

■Теплота плавления равна теплоте затвердевания.

Теплота плавления данного тела, отнесенная к его массе, называется удельной теплотой плавления q.

Удельная теплота плавления q представляет собой количество теплоты, необходимое, чтобы перевести 1 кг твердого вещества в жидкое состояние при постоянной температуре:

L缉

Единица СИ удельной теплоты плавления: [д]

Единица, допускавшаяся к применению до 1980 г.: ккал/кг.

Если

Qnn — количество теплоты, необходимое для плавления,

О — масса плавящегося тела, q — удельная теплота плавления (см. табл. 22),

то

Q q tn

(Т 15.2) I Qrui = g恤СИ Дж Дж/кг кг

80 ккал ккал/кг кг

Теплота растворения

Чтобы растворить твердое тело в жидкости, необходимо определенное количество теплоты. Это количество теплоты отнимается у жидкости, так что последняя в результате растворения охлаждается. При образовании растворов указанных в таблице веществ можно достичь .следующих температур:

Справочная таблица

Охлаждающие смеси

Лед (100 г) + поваренная соль (31 г) Леп (100 г) + хлорид кальция (143 г) Твердая двуокись углерода + спирт Лед (100 г) + сульфат аммония (100 г)

-21

—55

-78

—30

Испарение и конденсация

Молекулы в жидкостях связаны между собой молекулярными силами сцепления. При подводе энергии к жидкости тепловое движение молекул усиливается и эти силы уже не могут удержать молекулы в жидкости.

Точка кипения

Фазовый переход из жидкого в газообразное состояние (и из газообразного в жидкое) происходит при определенной (сильно зависящей от давления) температуре 盡油：

I Температура кипения равна температуре конденсации.

Обратите внимание:

Значения точек (температур) кипения см. в табл. 23.

Эти значения соответствуют давлению 101,325 кПа

==760 мм рт. ст.).

Температура кипения повышается с увеличением внешнего давления. Пример — вода (см. табл. 24).

Во время кипения или конденсации температура не меняется.

Температура кипения растворов

Температура кипения растворов повышается с увеличением концентрации растворенного вещества.

Если

— повышение температуры кипения, /п — масса растворенного вещества, Мотн — относительная молекулярная масса растворенного вещества, 〃ж — масса растворителя (жидкости), £— коэффициент пропорциональности — эбулиоскопическая по

стоянная (см. табл. 21),

то

В) I訳%В) I訳%Af Е m

В) I訳%

В) I訳%

СИ I К К произв.

Обратите внимание:

• Повышение температуры кипения пропорционально числу растворенных молекул.

Изменение объема

Все вещества в газообразном состоянии обладают гораздо большим объемом (и соответственно гораздо меньшей плотностью), чем в жидком состоянии.

Пример: из 1 кг (比 1 л) воды получается 1700 л водяного пара (при давлении около 105 Па).

Теплота парообразования

Чтобы перевести вещество из жидкого в газообразное состояние, к нему надо подвести определенное количество теплоты Qnap.

I Теплота парообразования равна теплоте конденсации.

Теплота парообразования данного вещества, отнесенная к его массе, называется удельной теплотой парообразования q.

парообразования Qnapпарообразования QnapУдельная теплота парообразования представляет собой количество теплоты, необходимое, чтобы перевести 1 кг жидкости в газообразное состояние при постоянной температуре:

парообразования Qnap

парообразования Qnap

Единица СИ удельной теплоты парообразования: [q] = Дж/кг.

Единица, допускавшаяся к применению до 1980 г.: ккал/кг.

Если

Qnap — количество теплоты, затраченное на парообразование, т — масса жидкости, q—• удельная теплота парообразования (см. табл. 23),

то

Q q tn

(Т 15.4)(Т 15.4)=qm=qmСИ80СИ80Дж Дж/кг кг ккал ккал/кг кг

(Т 15.4)

(Т 15.4)

=qm

=qm

СИ

80

СИ

80

Обратите внимание:

❷ Удельная теплота парообразования q зависит от давления и температуры; она уменьшается с повышением давления.

Испарение

Жидкость может переходить в газообразное состояние и при температурах ниже точки кипения. Такой процесс называется испарением. Необходимая для этого тепловая энергия (теплота испарения) соответствует теплоте парообразования. Источником ее обычно служит внутренняя энергия самой жидкости, которая в результате испарения охлаждается.

1526. Сублимация

Сублимацией называется процесс прямого перехода вещества из твердого в газообразное состояние, минуя жидкую фазу. Теплота сублимации равна сумме теплот плавления и парообразования.

К сублимации способны, например, сера, кристаллы льда.

Пар

и пар. Давление пропорциональныi ^НдеялышйI газIРеалышйгази пар. Давление пропорциональныi ^НдеялышйI газIРеалышйгаз*mwi 亠*mwi 亠НасыщенныйНасыщенныйСледует различать идеальный газ, реальный газ м объем идеального газа в точности обратно друг другу. Для реальных газов это справедливо лишь в хорошем приближении. Давление пара незначительно (в зависимости от степени насыщения) меняется или остается постоянным при изменении объема. Различие между газом и паром определяется тем, насколько температура выше точки кипения данного вещества. Температура идеальногсГ газа бесконечно велика по отношению к точке кипения (понятие точки кипения просто не имеет смысла для идеального газа). Температура / насыщенного пара при любом давлении совпадает с температурой кипения /пар*

и пар. Давление пропорциональны

i ^Ндеялышй

I газ

I

Реалышйгаз

и пар. Давление пропорциональны

i ^Ндеялышй

I газ

I

Реалышйгаз

*mwi 亠

*mwi 亠

Насыщенный

Насыщенный

Насыщенный нар

Над поверхностью каждой жидкости вследствие испарения находится пар, давление которого может возрастать до определенного предела, зависящего от температуры и называемого давлением насыщенного пара. При этом давление пара и жидкости будет одинаковым, пар и жидкость оказываются в равновесии и пар становится насыщенным. Содержащееся в 1 м3 количество пара (масса пара) называется массой насыщения. Величина массы насыщения зависит от температуры. Измеряется она в кг/м3.

Обратите внимание:

Значения давления насыщенного пара см. в табл. 25.

Зависимость давления насыщенного водяного пара от температуры см. в табл. 26. В этой же таблице дана зависимость точки кипения воды от давления. Последнюю зависимость можно также представить в виде кривой давления пара.

Насыщенные пары не подчиняются газовым законам. Например, уменьшение объема пара не приводит к повышению давления (давление не может быть выше давления насыщенного пара), а вызывает ковденсацию части пара.

Ненасыщенный пар

Если жидкости недостаточно для получения насыщенного пара, то возникает ненасыщенный пар.

Насыщенный пар может стать ненасыщенным, если его изолировать и увеличить объем или повысить температуру. Такой пар Называют перегретым.

Газы представляют собой сильно - перегретые или сильно иена・ еыи^нные пары. Их температура много выше точки кипения, соответствующей данному давлению.

способностью испаряться (сублимиро-способностью испаряться (сублимиро-

способностью испаряться (сублимиро-

способностью испаряться (сублимиро-

Обратите внимание:

• Для ненасыщенных паров газовые законы выполняются лишь весьма приближенно, а для сильно ненасыщенных паров (реальных газов) выполняются довольно точно；

Парообразование

На процесс образования пара над поверхностью жидкости не влияет наличие других паров или газов. Давление пара данного вещества называется парциальным давлением; его максимальное значение равно давлению насыщенного пара соответствующей жидкости. Для смеси газов выполняется закон Дальтона:

■

Общее давление газовой смеси равно сумме парциальных давлений, т. е. сумвге давлений газовых компонентов.

Тройная точка

Температуры (точки) плавления и кипения данного вещества зависят от давления (см. разд. 15 1.1 и 15.2.1). Эти функциональные зависимости можно представить графически. Поскольку твердые

вещества также обладают ваться), а давление образующегося пара зависит от температуры, на диаграмме р — f данного вещества получаются три кривые:

—кривая зависимости температуры кипения от давления (кривая давления пара),

■— кривая зависимости температуры плавления от давления^

—кривая зависимости давления пара твердой фазы от температуры.

Все три кривые сходятся в одной точке, называемой тройной точкой.

Координаты тройной точки воды： Г = 273,16 К, («0,01℃) р = 610,6 Па (= 4,58 мм рт. ст.). Эти значения используются для определения основной единицы измерения температуры «кельвин». II кельвин равен 1/273,16 части температуры тройной точки чистой воды.

Влажность воздуха

В атмосферном воздухе всегда присутствует некоторое количество водяного пара. Содержание водяного пара в атмосфере зависит от места и времени и называется влажностью воздуха (или просто влажностью). Парциальное давление водяного пара не может превышать определенного зависящего от температуры значения — давления насыщенного водяного пара. В данном объеме воздуха при данной температуре может содержаться лишь вполне определенное максимальное количество водяного пара.

Максимальное количество водяного пара, которое может находиться в 1 м3 воздуха при каждой определенной температуре, называется максимальной влажностью, или количеством насыщенного пара /макс：

. —Максимально возможная масса водяного пара в воздухе макс — Объем влажного воздуха *

Единица СИ максимальной влажности: [/макс] = кг/м3.

Обычно используемая единица: г/м3.

Обычно количество пара, содержащегося в воздухе, меньше максимально возможного значения.

Количество водяного пара, фактически содержащееся в 1 м3, называется абсолютной влажностью f:

F — Масса содержащегося в воздухе водяного пара 一Объем влажного воздуха*

Обычно используемая единица абсолютной влажности f: г/м3.

(

Отношение абсолютной влажности воздуха к максимально возможной называется относительной влажностью воздуха ф：

Абсолютная влажность Ф =.

Максимальная влажность

Относительная влажность обычно выражается в процентах.

Если

<р — относительная влажность, f — абсолютная влажность, /макс 一 максимальная влажность (количество насыщенного пара),

то они связаны между собой следующим соотношением:

(Т 15.5)<р =—L-.100%

/ макс

Обратите внимание:

Значения максимальной влажности /макс см. в табл. 26

Так как максимальная влажность /макс зависит от температуры, относительная влажность меняется при изменении температуры, даже если абсолютная влажность остается неизменной. При охлаждении до точки росы относительная влажность достигает 100%.

Точкой росы называется такая температура, при охлаждении до которой начинается конденсация воды, содержащейся во влажном воздухе (образование росы).

Конденсирующийся пар выступает в виде росы на поверхности твердых тел. Если таковых недостаточно, то в присутствии центров конденсации (пыли) образуется туман. В отсутствие центров конденсации водяной пар может переохлаждаться ниже точки росы.

Измерение влажности воздуха

Для измерения относительной влажности воздуха пользуются волосными гигрометрами. В них применяются обезжиренные во* лоски (гигроскопические), длина которых меняется с изменением влажности. '

Другой прибор для измерения влажности воздуха, психрометр, состоит из двух одинаковых термометров. У одного из них стеклянный шарик с ртутью обертывается мокрой тряпкой. Вода, испаряясь, охлаждает этот термометр, и он показывает более низкую температуру, чем сухой. Разность температур служит мерой относительной влажности. Если <р = 100%, то АТ = 0.

Реальные газы

Газовые законы, рассмотренные в разд. 13.4 и 13.5, точно выполняются только для идеальных газов, т. е. таких газов, которые не конденсируются при охлаждении их вплоть до абсолютного нуля температуры.

Свойства большинства газов близки к свойствам идеального газа, когда они находятся при температурах, достаточно далеких от точки конденсации, т. е. когда между молекулами отсутствует взаимодействие (исключая момент соударений) и когда собственный объем молекул газа мал по сравнению с объемом газа.

Вблизи точки конденсации (при высоком давлении и низкой температуре) свойства газов значительно отличаются от свойств идеального газа. В этих случаях говорят о реальных газах.

Уравнение состоя 1шя реальных газов

Е pv mD^T ^Е pv mD^T ^Уравнение состояния идеального газа pV = mRT (Т 13.16) видоизменяется в случае реальных газов. Давление следует увеличить на величину так называемого внутреннего давления, которое возникает вследствие межмолекулярного взаимодействия и пропорционально квадрату плотности газа. Объем V следует уменьшить на величину собственного объема молекул — того минимального объема, который могут занимать молекулы данной массы m газа. Собственный объем молекул приблизительно в четыре раза больше реального объема молекул.

Е pv mD^T ^

Е pv mD^T ^

—давление газа,

—объем газа,

—масса газа,

—газовая постоянная,

—температура,

b — постоянные Ван-дер-Ваальса (коэффициенты пропорциональ* ности),

то внутреннее давление раза равно a(/n2/V2), а собственный объем молекул равен bm.

В результате получаем уравнение Ваи^дер-Ваальса (уравнение состояния реальных газов):

(Т 15.6) (р + 曙)"▼厶加)= fnRT・

р V /п R Т а b

СИ I Па 千 Н/м? м3 кг Дж/(кг • К) К Н • м4/кг2 м3/кг

Обратите внимание:

• Кривые зависимости объема реального газа от, давления для постоянной температуры (изотермы) .представляют собой кубические парабалы. Набор изотерм..цри .различных температурах для данного газа называется диаграммой Эндрюса (см. разд. 15.4.2.).

Р

Критическая температура

На диаграмме Зндрююа под штриховой кривой расположена область фазового перехода из жидкого в газообразное сосгояниа и обратно, Так как при таком пе^ехцце давление р ©ста- Ркр ется doctoahwm, в этой области* параболу трать^о порядка 1дакно заменить отрезка горизонтальной 睜ямой.

Слева от штриховой кривой» вещество находился в жидком, а справа — в самюбразном состоянии.

Над этой областью нельзя перевести газ в жидкое состояние тольк® путем сжатия (уменьшения объема^ и увеличения давления). Высшая точка штриховой кривой -представляет собой точку, перегиба изотермы^ которой соответствует критическая температура ГКр. Касательная к изотерме в этой точке параллельна оси 匕 Точке перегиба отвечают критическое ддмвййе- рКр и критический объем VKP.

|

Газ можно перевести в жидкое состояйи^ путем сжатия только при температуре ниже критической.

Обратите внимание:

• Значения критической температуры и критического давления см. в табл. 27.

Сжижение газов

Техническое сжижение газов производится по методу Линде. В основу метода положено свойство газов охлаждаться при дросселировании.

Охлажденный газ снова подвергается сжатию, а возникающее при этом тепло отводится в холодильник; Цикл повторяется до тех пор, пока газ не охладится до' температуры ниже критической.

Свойство- газов охлаждаться при расширении называется эффектом Джоуля — Томсона.

I Реальные газы охлаждаются при дросселировании.

Если

АТ =丁2—丁1 — разность температур, достигнутая за счет расширения,.

Ар = р2 — Pi — изменение、давления при расшйренииг

р. — коэффициент Джоуле *— Томсона, то

卩 т p

(Т 15.7) 卩=普・СИK/Па К ПапН/м2

80К/ат К ат = кгс/см2

Обратите внимание:

Коэффициент 卩 зависит от вида газа и начальных значений давления и температуры. Значения 卩 приведены в соответствующей специальной литературе. Для комнатной температуры коэффициент Джоуля — Томсона имеет следующие значения:

Воздух)

Кислород (О2)卜卩 * +0,25 К/100 кПа

Азот (№)丿

Двуокись углерода (СО?)卩 * + 0,75 К/100 кПа

Охлаждение (卩 > 0) может произойти только в том случае, когда начальная температура газа ниже температуры инверсии. При температурах выше этой температуры (ц V 0) расширение газа《Ар V 0) приводит к повышению температуры (М > 0).

Обратите внимание:

Значение температуры инверсии зависит от вида газа. Например, температура инверсии для воздуха равна 490℃, а для водорода равна — 80℃.

Изменение термодинамического состояния идеального газа

Термодинамическое состояние каждого газа определяется тремя величинами: давлением, объемом и температурой, называемыми параметрами состояния. Изменение двух или сразу всех трех параметров состояния системы называется термодинамическим процессом.

Кроме указанных в разд. 13.5.1 частных случаев изменения термодинамического состояния газа, получивших названия изобарического, изохорического и изотермического процессов, возможны также адиабатический и политропный процессы.

Все термодинамические процессы сопровождаются обменом или превращением энергии. При этом всегда выполняется первый закон термодинамики.

Первый закон термодинамики

Закон сохранения энергии приобретает в термодинамике специальный вид. При его применении необходимо учитывать так называемую внутреннюю энергию тела, т. е. кинетическую и потенциальную энергию его молекул (см. разд. 16.1.2 и 17.4.3).

В применении к замкнутой системе он гласит:

■

Тепловая энергия, подведенная к замкнутой системе, расходуется на повышение ее внутренней энергии и работу, производимую системой против внешних сил.

Если

Q — подведенная к системе тепловая энергия,

巾一совершенная системой работа,

U — внутренняя энергия системы (которая зависит от агрегатного состояния и температуры системы),

то

(Т 16.1) I Q = AU+ 吃

или в дифференциальной форме

(Т 16,2) I dQ = dU 4- dW. Iпервый закон термодинамики

(Т 16.3) I 吋=р А，，I(Т 16.3) I 吋=р А，，I(Т 16.4)(Т 16.4)dW = pdVt犷={ pdv.dW = pdVt犷={ pdv.Первый закон термодинамики для следующий вид:Первый закон термодинамики для следующий вид:случая идеального газа имеетслучая идеального газа имеет

(Т 16.3) I 吋=р А，，I

(Т 16.3) I 吋=р А，，I

(Т 16.4)

(Т 16.4)

dW = pdVt

犷={ pdv.

dW = pdVt

犷={ pdv.

Первый закон термодинамики для следующий вид:

Первый закон термодинамики для следующий вид:

случая идеального газа имеет

случая идеального газа имеет

Обратите внимание:

Если работа совершается над системой, то система приобретает соответствующее количество теплоты и значения Q п W отрицательны. Это определение знаков принято в термодинамике. При увеличении внутренней энергии си

стемы AU > 0, при уменьшении >у ,〉。

А" V 0.Q Система

— <0

Работа, совершаемая газом при расширении

Применим первый закон термодинамики к идеальному газу. Совершенная газом работа представляет собой работу по расширению Согласно формуле (М7」0), W = Fs. Так как F = рЛ (М 8.1) и V = As, имеем

или, если давление р при увеличении постоянным, то

(Т 16.5) \ Q = ^ + р ^, \

или в дифференциальной форме

dQ = dU + " dVt

(Т 16.6)(Т 16.6)匕

(Т 16.6)

(Т 16.6)

Q = AU+ \ " d匕

匕

Внутренняя энергия

Под внутренней энергией системы U понимается ее полная энергия. Однако интерес представляет не сама внутренняя энергия, а ее изменение AU или dU.

Внутренняя энергия системы является функцией состояния системы, -т. е. зависит только от параметров состояния р, V, Г и не зависит от способа, которым это состояние было достигнуто.

■

Каждому термодинамическому состоянию системы соответствует определенное значение внутренней энергии.

Изменение внутренней энергии системы зависит только от начального и конечного состояний системы.

Внутреннюю энергию идеалыюго газа можно определить с помощью первого закона термодинамики.

Изменение внутренней энергии газа равно количеству теплоты, полученному в результате теплообмена, если газ не затрачивает работы на расширение. Если с^ = constr то, согласно разд. 14.2, имеем

AQ = AU = сотДТ, или

U с 俏Т

(Т 16.7) I U = cvmT. IСИ Дж Дж/(кг. К) кг К

80 ккал ккал/(кг • К) кг К

Внутренняя энергия определенного количества (массы) идеального газа зависит только от его температуры.

Изохорический процесс

Пусть к идеальному газу при постоянном объеме подводится тепловая энергия Q. Тогда изменение термодинамического состояния газа происходит в соответствии со вторым законом Гей-Люссака: р/Т = const (Т 13.14). На р— К-диаграмме состояния изохора парал

лельна оси р. Так как V = const, газ не совершает работу. Первый закон，термодинамики записывается тогда в следующем виде:

(Т 16.8)(Т 16.8)dQ = dU = cvm dT, Q = AU = cvm AT.dQ = dU = cvm dT, Q = AU = cvm AT.СИ80СИ80Q U c m ГДж Дж Дж/^кг • К) кг К ккал ккал ккал/(кг • К) кг КQ U c m ГДж Дж Дж/^кг • К) кг К ккал ккал ккал/(кг • К) кг К

(Т 16.8)

(Т 16.8)

dQ = dU = cvm dT, Q = AU = cvm AT.

dQ = dU = cvm dT, Q = AU = cvm AT.

СИ

80

СИ

80

Q U c m Г

Дж Дж Дж/^кг • К) кг К ккал ккал ккал/(кг • К) кг К

Q U c m Г

Дж Дж Дж/^кг • К) кг К ккал ккал ккал/(кг • К) кг К

газом при нагрева*газом при нагрева*

газом при нагрева*

газом при нагрева*

|

При изохорическом процессе подведенная к системе тепловая энергия расходуется только на повышение внутренней энергии системы.

Изобарический процесс

Пусть к идеальному газу при постоянном давлении р подводится количество теплоты Q. Изменение термодинамического состояния газа происходит в соответствии с первым законом Гей-Люссака: V/T = const (Т 13.12). На р— К-диаграмме состояния изобара параллельна оси К Работа pAV, совершаемая

нии, соответствует площади на р — V-диаграмме,

Если

Q — подведенное к газу количество теплоты,

Ср — удельная теплоемкость газа при постоянном давлении (см, табл. 18), /л —масса газа,

АТ = 丁2 — 丁1 — изменение температуры,

р — давление газа (постоянное),

АР = %—匕一изменение объема,

тотодля подведенного к газу количествадля подведенного к газу количествадующее соотношение:дующее соотношение:(Т 16.9) Q = СрШ AT, I(Т 16.9) Q = СрШ AT, IR — газовая постоянная (см. табл. 15),

то

то

для подведенного к газу количества

для подведенного к газу количества

дующее соотношение:

дующее соотношение:

(Т 16.9) Q = СрШ AT, I

(Т 16.9) Q = СрШ AT, I

(Т 16.10) J dQ^cpmdTt J(Т 16.10) J dQ^cpmdTt Jили в дифференциальной форме

(Т 16.10) J dQ^cpmdTt J

(Т 16.10) J dQ^cpmdTt J

Совершенная при расширении газа работа [с учетом уравнения состояния pV = mRT (Т 13.16)] равна

修匕

犷=\ " dV, или, поскольку р = const,犷=Р \ rfV и,

следовательно,

(T16.ll) W = p^ = tnR АЛ

取рV tn R Т

СИ Дж Па = Н/м2 м3 кг Дж/(кг • К) К 80 кгс・м кгс/м2= 10""4ат м3 кг кгс-м/(кг»К) К

Изотермический процесс

При постоянной тшпературе происходит изотермическое изменение состояния, которое описывается законом Бойля ——Мариотта (М9.1):

pV = const

(Т 16.12)

На р — К-диаграмме состояния* изотерма представляет собой гиперолу, ч1 положение которой зависит от температуры газа.

Так как Т = const, внутренняя энергия газа U = cvmT остается постоянной, и первый закон термодинамики сводится к соотношению dQ = pdK

■

При изотермическом расширении подведенное тепло целиком переходит в работу.

Работа при изотермическом расширении газа

Нетрудно вычислить работу, которую производит идеальный газ при изотермическом расширении.

Если

W — работа, производимая газом при изотермическом расширении, равная количеству теплоты Q, которое необходимо подвести газу для совершения этой работы, m — масса газа, R — газовая постоянная (см. табл. 15), Т — температура газа (постоянная), Vi — начальный объем газа, V2 — конечный объем газа, pi — начальное давление газа, Р2 — конечное давление газа,

то, поскольку dQ = dW = pdVt имеем丿2(Т 13.16) следует W = mRT ^ (dV/V).то, поскольку dQ = dW = pdVt имеем丿2(Т 13.16) следует W = mRT ^ (dV/V).步= \ p dV и из выражения

то, поскольку dQ = dW = pdVt имеем

丿2

(Т 13.16) следует W = mRT ^ (dV/V).

то, поскольку dQ = dW = pdVt имеем

丿2

(Т 13.16) следует W = mRT ^ (dV/V).

Проинтегрировав, получим

W m R Т Р

(Т 16.13) W^mRT \и~, И 1(Т 16.13) W^mRT \и~, И 1СИ80СИ808080Дж кг Дж/(кг • К) К м3 кгс • м кг кгс • м/(кг • К) К м3 ккал кг ккал/(кг • К) К м3Дж кг Дж/(кг • К) К м3 кгс • м кг кгс • м/(кг • К) К м3 ккал кг ккал/(кг • К) К м3

(Т 16.13) W^mRT \и~, И 1

(Т 16.13) W^mRT \и~, И 1

СИ80

СИ80

80

80

Дж кг Дж/(кг • К) К м3 кгс • м кг кгс • м/(кг • К) К м3 ккал кг ккал/(кг • К) К м3

Дж кг Дж/(кг • К) К м3 кгс • м кг кгс • м/(кг • К) К м3 ккал кг ккал/(кг • К) К м3

Далее, согласно формуле (Т 13.16), имеем

(Т 16.14)(Т 16.14)昕 ~ "2卩2 1П P I昕 ~ "2卩2 1П P IWpVДж Па = Н/м?^ кгс • м кгс/м2 = 10-4ат м3WpVДж Па = Н/м?^ кгс • м кгс/м2 = 10-4ат м3

(Т 16.14)

(Т 16.14)

昕 ~ "2卩2 1П P I

昕 ~ "2卩2 1П P I

WpV

Дж Па = Н/м?^ кгс • м кгс/м2 = 10-4ат м3

WpV

Дж Па = Н/м?^ кгс • м кгс/м2 = 10-4ат м3

В соответствие с формулой (М9.1) менить отношением давлений:В соответствие с формулой (М9.1) менить отношением давлений:отношение объемов можно за-отношение объемов можно за-(Т 16.15) W « mRT In ^.Р2(Т 16.15) W « mRT In ^.Р2СИ8080СИ8080听力 R ТДж кг Дж/(кг • К) К кгс • м кг кгс - м/(кг«К) К ккал кг ккал/(кг • К) К听力 R ТДж кг Дж/(кг • К) К кгс • м кг кгс - м/(кг«К) К ккал кг ккал/(кг • К) К

В соответствие с формулой (М9.1) менить отношением давлений:

В соответствие с формулой (М9.1) менить отношением давлений:

отношение объемов можно за-

отношение объемов можно за-

(Т 16.15) W « mRT In ^.

Р2

(Т 16.15) W « mRT In ^.

Р2

СИ

80

80

СИ

80

80

听力 R Т

Дж кг Дж/(кг • К) К кгс • м кг кгс - м/(кг«К) К ккал кг ккал/(кг • К) К

听力 R Т

Дж кг Дж/(кг • К) К кгс • м кг кгс - м/(кг«К) К ккал кг ккал/(кг • К) К

Тогда, воспользовавшись уравнением (Т 13.16), получим

W^p.Vi In包，

WpV

(Т 16.16)

СИ

ДжПа = Н/м2 м3

听="2卩2 1n且-. "2

80

кгс • м кгс/м2 = 10~4ат м3

Обратите внимание:

Если 匕 > % или "i V "2, то происходит не расширение, а сжатие газа. При этом работа отрицательна (IT < 0), т. е. не газ производит работу, а работа совершается над газом.

Соотношение между единицами работы и энергии в разных системах см. в табл. П5.

Формулы (Т 16.13) — (Т 16.16) справедливы и в случае когда к системе подводится тепловая энергия Q.

Условие 7 = const практически не осуществимо, так как для его реализации изменение давления р и объема V должно происходить бесконечно медленно. Кроме того, газ должен находиться в среде с очень большой теплоемкостью.

Если термодинамический процесс протекает настолько медленно, что газ успевает перейти из одного равновесного состояния в другое, то его называют квазистатическим.

Адиабатический процесс

Адиабатический процесс протекает без теплообмена с окружающей средой, т. е. при полной теплоизоляции, dQ = 0. В этом случае первый закон термодинамики запишется в виде: 0 = dU + pdV. Поскольку dU = mcvdT н p = mRT/ V, в результате подстановки получим —mcvdT = mRTdV/V.

Подставляя R — cp — cv (T 14.6), после преобразования получаем

一％ 學=(c.i)号 нннтегрнрованне дает

一 ％ In -—- = (cp — cv) In «^,

или

（杂户=（剧

или

丿 •

Если

pi, Tt,叭一начальные давление, температура и объем газа,

р2, Г2, ^2 — конечные давление, температура и объем газа,

х = Ср/с0— показатель адиабаты (см. табл. 18), то в соответствии с приведенными выше выкладками получаем уравнение Пуассона

(? 16.17) 强=(_^)"一: или 7廿乂一1 = const.

Согласно формуле (Т13 15), отношение %/匕 можно заменить на р"dp2Tl. Отсюда следует

Ti (p172、乂Tк (而)и далее

(Т 16.18)-~-= ^"^^，，или Т'^р1-^ = const.

Приравняв (Т 16J7) и (Т 16.18), получив

(Т 16.19) ^=(*)： или pL = const

Обратите внимание:

Условие dQ = 0, т. е. полная теплоизоляция, на практике не осуществимо* Только для очень быстрых процессов эта условие приближенно выполняется.

Вторая форма записи уравнения (Т 16.19) называется уравнением адиабатического процесса, или законом Пуассона.

На р—V-диаграмме адиабата имеет больший наклон, чем изотерма, поскольку тепло, возникающее при адиабатическом сжатии, вызывает повышение температуры газа, что приводит в свою очередь к дополнительному-• увеличению давления.

Работа при адиабатическом расширении газа

Можно рассчитать работу, которую производит идеальный газ при адиабатическом расширении.

Если

取一работа, производимая

газом при адиабатическом расширении,

m— масса данного газа,

R— газовая постоянная (см.

табл. 15),

7\— начальнаятемпература

газа,

Т2— конечнаятемпература

газа,

乂= cplcv — показатель адиабаты (см. табл. 18),

то, поскольку W = —NU и AU = cvm(T2 — TJ, имеем W = — cvm (T2 —「1) = Cptn (7\ — 丁力=

£如(7\ -72),

а так как ср — с” = R н сР!си = х,/получаем

К = R —-— m (?! 一 Т2) = R ―tn (Л - %) Ср — Су仇—1

и, следовательно,

W tn R " T

(T 16.20) 听=■^吟(Ti — Г). СИ —Дж кг Дж/(кг.К) -К

80 кгс • м кг кгс • м/(кг-К) — К

Обратите внимание:

Работа W, производимая постоянной массой газа при адиабатическом расширении, зависит только от разности температур (АТ)・

При 丁2>丁1 происходит не расширение, а сжатие газа. При этом работа отрицательна (UZ V 0), т. е. не газ ^производит работу, а работа совершается над газом.

Соотношение между единицами работы и энергии в разных системах см. в табл. П5.

Политропный процесс

Если возможен беспрепятственный теплообмен системы с окружающей средой, т. е. АГ = 0, то протекающий при таких условиях процесс называется изотермическим. Если теплообмен с окружающей средой отсутствует, т. е. AQ = 0, то процесс «аззявается адиа^ батическам. Процессы, занимающие промежуточное положение между этими крайними случаями, не осуществимыми на практика, называются политропными. Это процессы, при которых происходит частичный теплообмен со > средой.

На р—V-диаграмме политропа занимает промежуточное положение между изотермой и адиабатой.

Если р — давление газа, V — объем газа, п — показатель политропы, то закон политропного изменения состояния газа имеет вид

(Т 16.21) I pVn = const, I

где

1 < м < х.

Обратите внимание:

Изотермический и адиабатический процессы можно рассматривать как частные случаи политропного процесса (для которых п = 1 и п — %).

Изохорический и изобарический процессы также являются частными случаями политропного процесса (для которых п = оо и п = 0).

Остальные закономерности легко вывести из формулы (Т 16.21); они аналогичны формулам (Т 16.17) — (Т 16.20).

Если

pi, Ть V1 — начальные давление, температура и объем газа,

"2, Т2, ^2 — конечные давление, температура и объем газа, п— показатель политропы,

W — работа, совершаемая газом при политропном расширении, m— масса газа,

R— газовая постоянная (см. табл. 15),

то

(Т 16.22)

¥"=(~^У : или ТИ^-1 = const,

(Т 16.23)

"^~=(誥)“，или Tnp1~n = const,

(Т 16.24)

-^ = (g") , или pVn — const.

Выражение для работы, которую производит газ при политропном расширении, имеет вид

W m R п Г

(T 16.25) WUn^^i (Tl%). СИ Дж кг Дж/(кг• К) — К

80кгс • м кг кгс • м/(кг • К) — К

Обратите внимание:

Если Т? > Ti, то газ не расширяется, а наоборот, сжимается. При этом работа отрицательна (步 V 0), т. е. газ не производит работы, а работа совершается над газом.

Численные значения п определяются экспериментально.

Соотношение между единицами энергии и работы в разных системах см. в табл. П5.

Круговые процессы (циклы)

Совокупность процессов, в результате которых система возвращается в исходное состояние, называется круговым процессом (циклом). В основе работы всех циклических тепловых машин лежат

круговые процессы.

На р— К-диаграмме циклический процесс изображается замкнутой кривой. Точки / и 2 соединяются двумя различными кривыми. Производимая системой работа при переходах из одного состояния в другое измеряется площадью под соответствующей кривой. Если циклический процесс происходит по направлению часовой стрелки, то площадь, ограниченная кривыми, соответствует работе, производимой системой (тепловой двигатель), а если против часовой стрелки, то во время процесса работа совершается над системой (холодильники и тепловые насосы).

В процессе, происходящем по^ направлению часовой стрелки, тепловая энергия превращается в механическую:

\: Q->W.

В процессе, происходящем против часовой стрелки, механическая энергия превращается в тепловую:

Г:听 >Q.

Цикл Карно

В тепловых двигателях стремятся достичь наиболее полного превращения тепловой энергии в механическую. Карно обнаружил, что наиболее благоприятные соотношения получаются в том случае, когда газ совершает определенный цикл. Этот цикл состоит из четырех последовательных термодинамических процессов.

1. Изотермическое расширение (/—2):Л = const, V2 > Vj, р2 V Pl.Подведенная теплота Quokb = Qn = mRTi In v 11. Изотермическое расширение (/—2):Л = const, V2 > Vj, р2 V Pl.Подведенная теплота Quokb = Qn = mRTi In v 1Произведенная системой работа 叼2 2. Адиабатическое расширение (2—3):

1. Изотермическое расширение (/—2):

Л = const, V2 > Vj, р2 V Pl.

Подведенная теплота Quokb = Qn = mRTi In v 1

1. Изотермическое расширение (/—2):

Л = const, V2 > Vj, р2 V Pl.

Подведенная теплота Quokb = Qn = mRTi In v 1

т2 V 丁1,匕 > %, Рз V "2・

Подведенная теплота Q23 = 0.

" 一" 一Произведенная системой работа 取23

" 一

" 一

mRmRИзотермическое сжатие (3—^^):

mR

mR

T2 = const,匕 V 匕，P4 > "3.

Отведенная теплота Q0Tb = Q34 =加RT? Е

У з

Совершенная над системой работа 取34 = Q34・

Адиабатическое сжатие (4—/):

丁1 > 72,匕 V 匕，"1 S"4.

Отведенная теплота Q4i = 0.

Совершенная над системой работа 取41 =三^ (% —「i)=—吃з・

Площадь, заключенная между кривыми /—2—3 и осью абсцисс, соответствует механической работе, произведенной газом при расширении, а площадь, заключенная между кривыми 3―4—1 и осью абсцисс, соответствует механической работе, затра-" ченной на сжатие газа. Разность обеих площадей дает • механическую работу, произведенную во время цикла. Отсюда следует, что количество теплоты Quoab, полученное газом от нагревателя при переходе из состояния / в состояние 2, должно быть больше количества теплоты Qotb, отданного газом холодильнику при переходе из состояния 3 в состоя- нне4: |QnojiB|>|QoTB|.

Часть полученного газом тепла расходуется тогда на произведение механической работы.

■

Превращение теплоты в механическую энергию происходит не полностью, а лишь частично.

Коэффициент полезного действия (КПД) цикла Карно

КПД показывает, какая часть теплоты, полученной газом от нагревателя, превращается в механическую работу.

Если

Qiioab — количество теплоты, полученное газом от нагревателя при более высокой температуре Ti (QnoAB > 0),

Qotb 一 количество теплоты, отданное газом холодильнику при более низкой температуре Г2 (Qotb V 0),

。г Произведенная механическая работа 呼

П — термическим КПД = =т；=

1Подведенное количество теплоты Q^oab

QnOHB '

ТО, ПОСКОЛЬКУ Q = Рподв + Qqtb (Qotb V 0), ПОЛуЧИМ КПД ТвПЛОВЫХ двигателей

(Т 16.26)(Т 16.26)QnonB + QotbQnonBQnonB + QotbQnonB

(Т 16.26)

(Т 16.26)

QnonB + QotbQnonB

QnonB + QotbQnonB

В случае цикла Карно это общее равенство можно соответствующим образом преобразовать.

Поскольку процессы 2—3 и 4—/ представляют собой адиабатические процессы, для них из формулы (Т 16.17) следует

Таким образом,

石一石， 石—九‘

Термический КПД запишется тогда в виде

QnoKB + Qotb — mRTi In (%/%) — rnRT? In (匕/Р4)

=mR& E (匕/匕)'

После упрощения получим термический КПД цикла Карно:

(? 16.27) " =4齐生=1 一辛. / I丿1

Обратите внимание:

Из всех циклических Процессов цикл Карно обладает наибольшим КПД. Большее значение КПД,、хотя и не противоречит первому закону, но невозможно в силу ограничений, накладываемых вторым законом термодинамики (см. ра-зд. 16.8).

КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и является функцией только температуры холодильника и нагревателя.

Максимальное значение КПД (идеальный случай^ любых тепло- вых. двигателей всегда меньше единицы и определяется по формуле (Т 16.27). В действительности КПД, всегда меньше этого значения вследствие потерь и прочих причин. Таким образом» формула (Т 16.27) определяет верхний предел КПД: г)Идеал.

16.7.3. Тепловые машины

Тепловые двигатели

Цикл Карно, происходящий по часовой стрелке, называется прямым циклом Карно. Он лежит в основе работы тепловых машин. Для него типично то, что к рабочему телу, находящемуся при более высокой температуре, подводится теплота от нагревателя. Эта теплота частично превращается затем в механическую энергию. Остаток отдается холодильнику. КПД вычисляется

по формуле т) = [см. (Т 16.26) и

(Т 16.27)].

Холодильные машины

Цикл Карно, происходящий против часовой стрелки (обратный цикл Карно), лежит в основе работы холодильных машин. В обратном цикле Карно рабочее тело отбирает теплоту у холодного тела. Эта теплота вместе с теплотой, возникающей дополнительно при совершении необходимой механической работы (работа компрессора), отводится, т. е. передается более горячему телу (окружающей среде).

Характеристикой, аналогичной КПД, в данном случае является коэффициент преобразования е; он обычно превышает единицу. Поскольку полезное действие холодильника заключается в отведении теплоты из холодильной камеры, выражение для коэффициента преобразования е имеет следующий вид: еХол = |Оподв/^|. По аналогии с выкладками в разд. 16.7.2 получаем Для холодильника

Окружающаясреда.

Т1

万Холодильнаякамера

(Т 16.28) ехол =

3 —「2

Тепловой насос

В основе действия теплового насоса также лежит обратный цикл Карно. В отличие от холодильной машины тепловой насос должен отдавать как можно больше тепловой энергии горячему телу (например, системе отопления). Часть этой энергии отбирается у окружающей среды (озера, ре-

Хаподальник

ки и т. д.) с более низкой температурой, а остальная энергия возникает за счет механической работы (производимой, например, компрессором). Коэффициент преобразования теплового насоса определяется по формуле £нас = Qotb/呪 Применив выкладки из разд. 16.7.2, получим

коэффициент преобразо вания теплового насоса

(Т 16.29)(Т 16.29)

(Т 16.29)

(Т 16.29)

Величина енас всегда больше единицы.

Второй закон термодинамики

Согласно первому закону термодинамики, могут протекать только такие процессы, при которых полная энергия системы остается неизменной (см. разд. 16.1). Например, превращение тепловой энергии целиком в механическую не связано с нарушением первого закона; тем не менее оно невозможно. Второй закон термодинамики еще больше ограничивает возможные процессы превращения.

I

Теплоту можно превратить в работу только при условии, что часть этой теплоты одновременно перейдет от горячего тела к холодному (принцип действия тепловых двигателей).

Устройство, которое вопреки этому закону получало бы тепловую энергию от нагревателя и производило равное количество механической энергии, называется вечным двигателем второго рода. (Пример: камень, который охлаждаясь поднимался бы вверх!).

I

Чтобы теплота могла перейти от холодного тела к горячему^ необходимо затратить механическую работу (принцип действия холодильных машин).

Отсюда следует, что в замкнутой системе в отсутствие каких- либо процессов не может сама по себе возникнуть и разность температур, т. е. теплота не может самопроизвольно перейти от более холодных частей системы к более горячим.

Обратимые и необратимые процессы

Все термодинамические процессы, протекающие в замкнутой системе, можно подразделить на обратимые и необратимые.

(

Термодинамический процесс обратим, если, протекая в обратном направлении, он возвращает систему в исходное состояние без затрат энергии.

В противном случае термодинамические процессы называются необратимыми. Они протекают самопроизвольно только в одном направлении.

Примеры обратимых процессов： движение планет, незатухающие колебания маятника, упругий удар, цикл Карно*

Примеры необратимых процессов: затухающие колебания маятника, неупругий удар, процессы с трением, диффузия, теплопередача, теплообмен.

Обратите внимание:

• Большинство процессов в технике представляют собой необратимые процессы или по крайней мере содержат этапы, являющиеся необратимыми процессами.

Энтропия

Из уравнений (Т 16.26) и (Т 16.27) для цикла Карно (обратимогоУ следует

Qi + Q2 G — 7\

1 1 Q2 1 丁2

1+石=一T?

Q2Т 2

=— и, наконец,

Qi/ 1

Это уравнение означает, что количество теплоты, полученное или отданное телом при обратимом процессе, пропорционально температуре.

Отношение Q/Т называется приведенным количеством теплоты.

Сумма приведенных количеств теплоты при любом обратимом процессе равна нулю:

или в дифференциальной форме

Обратите внимание:

Знак § означает, что интеграл берется по замкнутому контуру (круговой процесс).

В каждом цикле обратимого процесса все термодинамические параметры принимают исходные значения, т. е. их изменение равно нулю. Поскольку сумма приведенных количеств теплоты также равна нулю, можно определить термодинамический параметр со*

стояния — энтропию S как функцию, дифференциал которой равен

(Т 16.30)dS = ^组.

Единица СИ энтропии: [S] = Дж/К.

Единица, допускавшаяся к применению до 1980 г.: ккал/К.

Обратите внимание:

Поскольку в уравнения обычно входит не сама энтропия, а ее изменение, за нулевое значение энтропии в технике обычно произвольно принимают ее значение, соответствующее температуре То = 273,15 К = 0℃.

Воспользовавшись уравнением (Т 16.30), получим следующее выражение для изменения энтропии при переходе из состояния / в состояние 2:

(Т 16.31)(Т 16.31)

(Т 16.31)

(Т 16.31)

При обратимом процессе изменение энтропии AS = 0.

При необратимом процессе изменение энтропии AS > 0.

Понятие энтропии важно не только для циклических процессов. Энтропия играет важную роль в любых термодинамических процессах.

Справочная таблица

ПроцессПроцессИзменениеэнтропии

Процесс

Процесс

AS = 0 Обратимый, может протекать как в прямом, так и в обратном направлениях

AS >0 Необратимый, самопроизвольно протекает только в одном направлении

AS<0 Не может протекать самопроизвольно, необходим подвод энергии извне

|

Все процессы в природе протекают в направлении увеличения энтропии.

Использование понятия энтропии позволяет очень просто сформулировать второй закон термодинамики.

(Т 16.32) AS > 0. I второй закон термодинамики

Энтропия замкнутой системы не может уменьшаться!

Энтропия идеального газа

Изменение энтропии, происходящее при термодинамических процессах в идеальном газе, можно найти, исходя из первого закона термодинамики (Т 16.16) и определения энтропии (Т 16.30).

Если

AS = S2 — Si — изменение энтропии,

/п — масса газа,

с。 一 удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (см. табл. 18),

ТI — начальная температура газа,

丁2 — конечная температура газа,

R — газовая постоянная (см. табл. 15),

Vi — начальный объем газа,

% — конечный объем газа,

dS = • ^6р и dQ = dU + р d匕 откуда

dS="产.

Так как dU = cvmdT (T 16.7) и р = mRT[V (Т 13.16), имеем dS = cvm —j；—|- mR —^―. Выполнив интегрирование

SzT202

\ dS = cvm+\ получим

Л匕

изменение энтропии идеального газа

(Т 16.33) AS = S? — Si = cvtn In -^—|- mR In ,?‘-「

AS m с T R V

СИ Дж/кг кг Дж/(кг • К) К Дж/{кг • К) Y 80ккал/кг кг ккал/(кг • К) К ккал/(кг • К) м3

Обратите внимание:

Отношения под знаком логарифма определяют знаки слагаемых»

При адиабатическом процессе AS = 0, поскольку dQo6p = 0.

При изотермическом процессе (Т{ = Г2) из формулы (Т 16.3Э) следует, что AS = mR In (匕/匕).

При изохорическом процессе (匕=%) из формулы fT 16.33) следует, что AS = cvm In (Т2/Т1).

Энтропия и вероятность

Увеличение энтропии системы означает переход в состояние, имею* щее ббльшую вероятность.

Если

S — энтропия, w — вероятность термодинамического состояния, k = 1,38・10~2з Дж/К — постоянная Больцмана (см. разд. 17.1.3), то

(Т 16.34) J S =々 1口侬. формула Больцмана

Обычно интерес представляет только изменение энтропии. При переходе из состояния 1, которому отвечает вероятность 侬卜 в состояние 2, которому отвечает вероятность 侬2, энтропия изменяется от S] до S2. Тогда из формулы (Т 16.34) следует

(Т 16.35)(Т 16.35)AS = S2 一 Si =々 In -~—.AS = S2 一 Si =々 In -~—.

(Т 16.35)

(Т 16.35)

AS = S2 一 Si =々 In -~—.

AS = S2 一 Si =々 In -~—.

Необратимые процессы протекают самопроизвольно до тех пор, пока система не достигнет состояния, которому отвечает наибольшая вероятность; энтропия при этом достигает своего максимума.

Примеры:

—полное перемешивание молекул двух газов в результате диффузии;

一 выравнивание температур двух тел с различными исходными температурами.

I

Энтропия характеризует вероятность, с которой устанавливается то или иное состояние. Кроме того, энтропия является мерой хаотичности или необратимости.

Кинетическая теория газов

Тепловая энергия — это не что иное, как энергия движения молекул. Поэтому в основе учения о теплоте лежат законы механики.

Число и масса молекул

Число Лошмидта

I

B нормальном состоянии (Тн = Го = 273,15 К = 0℃, рн = =101,325 кПа) в 1 м3 любого газа содержится одинаковое число молекул.

Число молекул в 1 м3 называется числом Лошмидта

(Т 17.1) I “丄=2,6868.1025 м.-з [

Обратите внимание:

• Если газ находится в состоянии, отличном от нормального, то его объем следует пересчитать на нормальный объем по формуле (Т 13.25).

Постоянная Авогадро

I

B одном моле любого вещества содержится одно и то же число молекул (или атомов).

Это число называется постоянной Авогадро

(Т 17.2) “а = 6,022045 • 1023 моль-1 =±,

где

"—число молекул, м — количество вещества в молях.

Обратите внимание:

О Не следует путать постоянную Авогадро с числом Лошмидта.

Постоянная Больцмана

Молярная газовая постоянная Rm [формула (Т 13.17)] и постоянная Авогадро [формула (Т 17.2)] относятся к определенному количеству вещества. Следовательно, их отношение представляет собой универсальную физическую постоянную. Это отношение

Rm 8,31441 Дж • моль

W7 = моль * К • 6,022045 • 1023

называется постоянной Больцмана

(Т 17.3) k =杂=1,380662 • 10~23 дж/к>

Масса отдельной молекулы

Масса отдельной молекулы тм любого вещества определяется из

Масса вещества 加 отношения п^т~ или, поскольку m = Мп (Т 13.18), а

Число молекул\ 八

^ = ^AM, из отношения^ = ^AM, из отношенияМолярная масса М

^ = ^AM, из отношения

^ = ^AM, из отношения

Постоянная Авогадро ^A

М一 М кмоль^м“А6,022045 • 1026 •М一 М кмоль^м“А6,022045 • 1026 •(Т 17.4)(Т 17.4)/Им МКД I кг кг/кмоль/Им МКД I кг кг/кмоль

М

一 М кмоль

^м

“А

6,022045 • 1026 •

М

一 М кмоль

^м

“А

6,022045 • 1026 •

(Т 17.4)

(Т 17.4)

/Им М

КД I кг кг/кмоль

/Им М

КД I кг кг/кмоль

Обратите внимание:

Численное значение молярной массы М равно относительной молекулярной массе Мотн, т. е. {М} = Мотн・

По формуле (Т 17.4) можно определить также массу отдельного атома.

Давление газа

Рассмотрение основано на модели, в которой молекулы газа представляют собой крошечные упругие шарики. В промежутках между абсолютно упругими соударениями друг с другом или со стенками сосуда молекулы двигаются равномерно и прямолинейно, поскольку никакие силы на них не действуют. Соударения молекул со стенками сосуда и создают давление газа.

PN«左 гPN«左 гЕсли р — давление газа, V — объем газа, т == m^N — масса газа, /Им —масса молекулы, =m/V — плотность газа, —число молекул, =MV — плотность числа молекул, = 1,38- 10~2з Дж/к — постоянная Больцмана, 一 температура газа,

PN«左 г

PN«左 г

то в кубе объемом V = I3 содержится ^ молекул газа, иричем можно считать, что в направлении каждой из трех осей про

странственной системы координат движется 2/3 молекул.

Предположим, что молекула пролетает со скоростью и путь от одной стенки сосуда до противоположной и обратно, равный 2/. Время между соударениями с одной и той же стенкой определится тогда по формуле А/ = 2〃и. Следовательно, в единицу времени происходит 1/Д/ = и/2/ ударов о стенку. При каждом ударе скорость молекулы меняет знак, т. е. + и заменяется на —и; следовательно, импульс + 加乂^

заменяется на ——mMu. Таким образом, при каждом соударении молекулы со стенкой последней передается импульс 2mMs

За промежуток времени Af со стенкой соударяется N/3 молекул, которые передают ей импульс

Ag = 2mMи •言 Af •石•

Согласно формуле (М7.33), сила, действующая на стенку, равна

尸•

В качестве квадрата скорости следует брать средний квадрат скорости 紋，поскольку молекулы обладают^разными скоростями. Учитывая, что р =尸/Р, находим р = Ntn^!^. Подставив m = ^mм# и Z3 = V, получим давление газа

(Т 17£) р =а ^行一 =——.；— — 5

ЗУ 3 СИ I Па = Н/м2 кг м3 м/с кг/м3

Из формулы pV = znRT (Т 13.16) получаем давление газа р =»' r= mRTlV. Подставив сюда m = mN R = Rm/M и n = N/Vt най< Дем p = ntnMRmT/Mt или, поскольку m』M = l/必 и Rm/“A =財

(T 17.6) р = nkT I(T 17.6) р = nkT Ip 九论 r

(T 17.6) р = nkT I

(T 17.6) р = nkT I

пропорционально среднемупропорционально среднемуСИ I Па^Н/м2 1/м3 Дж/К К

пропорционально среднему

пропорционально среднему

В замкнутой системе давление газа квадрату скорости, или температуре.

Обратите внимание:

• С помощью формулы (Т 17.5) по легко измеримым величинам р,加 н У можно найти среднюю квадратичную скорость молекул (корень квадратный из среднего квадрата скорости V^)・

Скорость молекул

Движение молекул газа подчиняется законам статистической физики. В среднем скорости и энергии всех молекул одинаковы. Однако в каждый момент времени энергии и скорости отдельных молекул могут значительно отличаться от среднего значения.

Закон распределения молекул по скоростям

С помощью теории вероятности Максвеллу удалось вывести формулу для относительной частоты, с которой в газе при данной температуре встречаются молекулы со скоростями в определенном интервале значений.

Если

N — общее число молекул газа,

dN — число молекул, скорости которых заключены в определенном интервале,

。 —нижняя граница интервала скоростей,

do — величина интервала скоростей,

R — газовая постоянная (см. табл. 15),

Т — температура газа,

е =2,718... — основание натуральных логарифмов, k = 1,38 • 10-23 Дж/К — постоянная Больцмана,

/Им — масса молекулы,

то закон распределения Максвелла запишется в виде

(Т 17.7)(Т 17.7)3 皿@2* =磬(翳户Fd“3 皿@2* =磬(翳户Fd“

(Т 17.7)

(Т 17.7)

3 皿@2

* =磬(翳户Fd“

3 皿@2

* =磬(翳户Fd“

Заменив с помощью выражений (Т 17.3) и (Т 17.4) тм/^ на Ml Rm = 1/R, формулу (Т 17.7) можно привести к виду, в котором специфические свойства данного газа выражены не через молекулярную массу, а через газовую постоянную R:

(Т 17,8)器=袭陽)久 2也也 СИ I м/с Дж/(кг・К) К

I

Распределение Максвелла показывает, какая доля dN/N общего числа молекул данного газа обладает скоростью в интервале от и до и + do.

каккакГрафик функции распределения асимметричен. Положение максимума характеризует наиболее часто встречающуюся скорость, которую называют наиболее вероятной скоростью ит. Ско- 1>эсти, превышающие ит, встречаются чаще, чем меньшие скорости.

как

как

С повышением температуры максимум распределения сдвигается в направлении больших скоростей. Одновремен- *) кривая становится более плоской

(площадь, заключенная под кривой, не может измениться, так .Нсло молекул N остается постоянным).

Обратите внимание:

• Вычисления по формуле (Т 17.8) целесообразно начинать с нахождения величины 2RT,

Наиболее вероятная скорость

Для определения наиболее вероятной скорости нужно исследовать 戸 максимум функцию распределения Максвелла (приравнять пер・ ®ую производную нулю и решить относительно и)・ В результате

получаем

(Т 17.9)ug “察=“屈•

и k Т m RСИ I м/с Дж/К К кг Дж/(кг • К)

Средняя квадратичная скорость

При расчетах используется не ■ мгновенная скорость отдельной молекулы, а некоторое среднее значение. Если определить долю внутренней энергии газа, приходящуюся на одну молекулу (считая, что все молекулы обладают одинаковой энергией), то она оказывается пропорциональной квадрату скорости молекулы (取~标).Квадратный корень из среднего квадрата скорости называется средней квадратичной скоростью.

Если

Ucp. кв = V^ — средняя квадратичная скорость,

k= 1,38 • 10-23 Дж/К — постоянная

Больцмана,

Т— температура газа,

加м— масса молекулы,

R — газовая постоянная (см. табл. 15),

то, приравняв выражения (Т 17.5) и (Т 17.6), получим mv2/3V = ==nkT = (N)V)kTy или m叫3 = NhT, и после перестановки и?= t= 3NkT/m — 3kTlmu. Из формул (Т 17.3) и (Т 17.4) следует k/mM = R; отсюда получаем, что средняя квадратичная скорость

(Т17.10) %р. кв = «甫=У^Г = 1,225Um.

V R Т

СИ I м/с Дж/(кг. К) К

Средняя скорость

Еще одно среднее значение мы получим, определив среднюю арифметическую скорость молекул газа

(T17.ll) °п"粤1 = 1,128 %

и R 7

СИ I м/с Дж/(кг.К) К

Энергия молекул

Кинетическая энергия отдельной молекулы

В соответствии с формулой (М 7.24) кинетическая энергия отдельной молекулы определяется как WK = tnMv2/2t причем в качестве и2 берется среднее значение и2 = 3RT.

Если

WK ——средняя кинетическая энергия отдельной молекулы, 左 =1,38-10-23 Дж/К — постоянная Больцмана,

Г — температура газа, 一 3

то 加乂緑俘=万 m^RT, а поскольку из формулы (Т 17.3) и (Т 17.4) следует mMR =左,получаем, что средняя кинетическая энергия отдельной молекулы идеального газа равна

(Т 17.12)(Т 17.12)-1- з^к = ~2 罐мМ = у 々Т・-1- з^к = ~2 罐мМ = у 々Т・W k ТW k ТСИ I Дж Дж/К КСИ I Дж Дж/К К

(Т 17.12)

(Т 17.12)

-1- з

^к = ~2 罐мМ = у 々Т・

-1- з

^к = ~2 罐мМ = у 々Т・

W k Т

W k Т

СИ I Дж Дж/К К

СИ I Дж Дж/К К

С помощью формулы (Т 17.9) находим наиболее вероятную энергию отдельной молекулы

Температура газа пропорциональна средней кинетической энер гии его молекул

T^WK.

Обратите внимание:

• Эта закономерность справедлива также для жидкостей и твердых тел.

В общем случае можно утверждать:

I

Абсолютная температура является мерой кинетической энергии молекул;

абсолютному нулю температуры (О К) отвечает равная нулю кинетическая энергия молекул.

Закон равномерного распределения энергии

Формула (Т 17.12) выведена для случая одноатомного идеального газа. Каждая молекула такого газа обладает тремя степенями свободы, т. е. может совершать поступательное движение во всех трех направлениях в пространственной системе координат.

■

Число степеней свободы J определяется числом координат, однозначно задающих состояние движения.

Согласно Клаузиусу и Максвеллу, энергия молекулы равномерно распределяется между всеми степенями свободы (принцип равнораспределения)・

|

На каждую степень свободы одноатомной молекулы приходится в среднем энергия W = kT/2.

Справочная таблица

Число степеней свободы Тип движения

Вещество' Всего

Пос тупа-Вращатель- Колебатель

тельноеноеное

Одноатомный газ3

Двухатомный газ3

Трехатомный газ*3

Твердое тело—

232335 6635 66ЖидкостьЖидкость(Т 17.14) U = \mRT(Т 17.14) U = \mRTU f /и R ТСИ I Дж — кг Дж/(кг • К)氏U f /и R ТСИ I Дж — кг Дж/(кг • К)氏Не опре-делено

2

3

2

3

35 66

35 66

Жидкость

Жидкость

(Т 17.14) U = \mRT

(Т 17.14) U = \mRT

U f /и R Т

СИ I Дж — кг Дж/(кг • К)氏

U f /и R Т

СИ I Дж — кг Дж/(кг • К)氏

Приравняв выражения (Т 17,14) н U = cvmT, (Т 16.7)> получим Ср/пТ = -• znRT.

Отсюда находим удельную теплоемкость!

(Т 17.15) “ = §К・

Из формулы (Т 14.6) следует 〃 = % + R т. е«

(Т 17.16) Ср = / "^? ' R・

Так как 乂 = cp/cVi из формул (Т 17.16) и (Т 17.15) получаем

(Т 17.17)(Т 17.17)

(Т 17.17)

(Т 17.17)

3-25233-2523黑能競裝 3252*33黑能競裝 3252*335-3754-35-3754-35-27-25-27-2

3-2523

3-2523

黑能競裝 3252*33

黑能競裝 3252*33

5-3754-3

5-3754-3

5-27-2

5-27-2

Справочная таблица

ВеществоU %，кДж/(кг«К) ср, кДж/(кг・К) ^cn^v

Одноатомный газ

Двухатомный газ

Трехатомный и многоатомный газы

Твердое тело

Число соударений и длина свободного пробега

Среднее число соударений

Молекула газа двигается прямолинейно, пока не произойдет соударение с другой молекулой.

Рассчитаем среднюю частоту соударений (среднее число соударений).

Если

“ Число соударений

z — среднее число соударении =郎&片——"— ,

g — диаметр молекулы,

v — средняя скорость молекул, 九 =N/V — число молекул в единице объема,

NА = 6,02-1023 моль-】一постоянная Авогадро, р — плотность газа,

М — молярная масса, Г — температура газа, р — давление газа,

то число соударений молекулы, обладающей скоростью 仃(в предположении, что все остальные молекулы в это время покоятся), опре

деляется числом молекул, центры которых находятся в объеме, пролетаемом молекулой за время А/. Этот объем представляет собой цилиндр с основанием площадью й2л и длиной иДЛ Число молекул в этом объеме, или число соударений за время Л/, равно N = nV = п/72лиД/. Отсюда находим 2 = nd2nv. Учитывая, что остальные молекулы на самом деле двигались, получаем среднее число соударений

(T 17.18)之=n"芽力加,

или, поскольку

N m mN & рЛ А

(Т 17.19) z = n V^ ^2^Р "др*

d V рN zz М

КД I м м/с кг/м3 1/кмоль 1/с кг/кмоль

Так как Na = Rm/左(Т 17.3), Rm/M = R (T 13.⑺ и р = p/RT (Т 13.23), из выражения (Т 17.19) следует

(T 17.20)"土券也(T 17.20)"土券也du р k Г

(T 17.20)"土券也

(T 17.20)"土券也

СИ I м м/с Па = Н/м2 Дж/К К

Обратите внимание:

Среднее число соударений 2 для большинства газов при нормальных условиях составляет от 109 до 1010 с~*

Молярная масса М численно равна относительной массе молекул, т. е. {AI} = AfoTH*

Выражение 冗 V^" N«М можно упростить и привести к виду

Величина 冗“2/左 численно равна 3,22-1023 К/Дж.

Средняя длина свободного пробега

Расстояние, проходимое молекулой в среднем между двумя соударениями, называется средней длиной свободного пробега. Оно равно отношению пройденного за время А/ пути к числу соударений за это время. 一

Если

I — средняя длина свободного пробега, d — диаметр молекулы, п = NIV — число молекул в единице объема, “А = 6,02・ 1023 моль-1 — постоянная Авогадро, — плотность газа, —молярная масса, =1,38-10~23 Дж/К — постоянная Больцмана, ―Сдавление газа, —температура газа,

то i = U At]2 At = 6]2,в из формулы (Т 17.18) получаем следующую формулу для средней длины свободного пробега молекулы:

(Т 17.21)? = —,

冗 д/Т d2n

или, учитывая выражение (Т 17.19),

(Т 17.22)(Т 17.22)冗 “2 &2"аР冗 “2 &2"аР/ d р ^лЛ/

(Т 17.22)

(Т 17.22)

冗 “2 &2"аР

冗 “2 &2"аР

КД I м м кг/м3 1/кмоль кг/кмоль

Далее, из формулы (Т 17.20) следует

(Т 17.23) I(Т 17.23) Iл V2 d?pл V2 d?p1dh Т р

(Т 17.23) I

(Т 17.23) I

л V2 d?p

л V2 d?p

СИ I м м Дж/К К Па = Н/м2

Обратите внимание:

Средняя длина свободного пробега Z для большинства газов при нормальных условиях составляет ~ 10~7 м.

Молярная масса М численно равна относительной молекулярной массе Мотн, т. е. {М} = Мотн.

Выражение М/л л/2 ^д можно упростить и привести к виду 3,74• 10-28.Мотн, где масса МОТн выражена в килограммах, '

〃“另 л = 3,11 ・ 10-24 д*/к.

Процессы передачи тепла

Все виды передачи тепла подчиняются одному основному правилу: тепло передается от горячего тела холодному.

Конвекция (перенос тепла потоком)

У теплых жидкостей и газов плотность р меньше, чем у холодных, они оказываются легче и поднимаются наверх. При этом движущийся поток жидкости или газа переносит с собой тепло (свободная конвекция). Иногда, однако, причиной движения может быть внешнее воздействие (принудительная конвекция).

С конвекцией мы сталкиваемся, когда рассматриваем, например, следующие явления.

Дым из трубы.

Движение воды в паровом отоплении.

Восходящие потоки воздуха, используемые планеристами.

Движение воды в системе водяного охлаждения автомобильного двигателя.

Теплый су;^ ветер (фён).

Течение Гольфстрим.

При низком давлении перенос тепла конвекцией отсутствует вследствие малой плотности газа. По этой причине тщательно вакуумируется пространство между стенками сосудов в термосах (сосудах Дьюара).

Теплопров одность

Теплопроводность тела означает его способность проводить тепло. Молекулы участков тела, где температура выше, обладают большей энергией и передают ее соседним молекулам, обладающим меньшей

энергией. Это ведет к выравниванию разности температур внутри тела. В отличие от конвекции передача тепла здесь не связана с переносом частиц.

Стационарная теплопроводность

Теплопроводность . называется стационарной, если вызывающая ее разность температур А7 сохраняется неизменной. В противном случае речь идет о нестационарной теплопроводности.

Q — передаваемое количество теплоты, Л — поперечное сечение проводника тепла, / — продолжительность процесса теплопроводности,АТ — разность температур на концах проводQ — передаваемое количество теплоты, Л — поперечное сечение проводника тепла, / — продолжительность процесса теплопроводности,АТ — разность температур на концах проводЕсли:

Q — передаваемое количество теплоты, Л — поперечное сечение проводника тепла, / — продолжительность процесса теплопроводности,

АТ — разность температур на концах провод

Q — передаваемое количество теплоты, Л — поперечное сечение проводника тепла, / — продолжительность процесса теплопроводности,

АТ — разность температур на концах провод

ника тепла,

материала проводникаматериала проводника—длина проводника тепла,

материала проводника

материала проводника

—коэффициент теплопроводности (см. табл. 28),

Q

X

A f

Г

1

(Т 18.1)

Q =

_ VU АГ

СИ

Дж

Вт/(м ・ К)

М2 С К

,℃

м

/・

80

ккал

ккал/(м • ч • К)

м2 Ч К

м

80

кал

кал/(см • с • К)

м2 с К，

см

I ккал

Вт・

] кал _

—41&7

Вт

М・4・К

'м・К，

см • с • К

м・К *

то

Вт

Единица СИ коэффициента теплопроводности: [1]

м・К •

Единицы, допускавшиеся к применению до 1980 г.: ккал/(М'Ч-К) и кал/(см-с-К).

Отношение Q/f называется тепловым потоком Ф. Единица СИ теплового потока: [Ф] = ватт (Вт). Единица, допускавшаяся к применению до 1980 г.: ккал/q.

Обратите внимание】

В формуле (Т 18.1) и последующих выражениях АТ может измеряться в кельвинах или градусах Цельсия, поскольку речь идет о разности температур и необходимость в пересчете отпадает.

Явления теплопроводности и электропроводности формально аналогичны друг другу.

Электрическое сопротивление проводника вычисляется по формуле R = р〃А = 〃оА [см. выражение (Э 28.6)], где р — удельное электрическое сопротивление, а и』удельная проводимость

Соответственно тепловое сопротивление имеет вид

(Т1&2)^т = ТГ-(Т1&2)^т = ТГ-4I 人4

(Т1&2)^т = ТГ-

(Т1&2)^т = ТГ-

СИ K/Втм~Вт/(м • К)м^

80(ч • К)/ккалм ккал/(м • q • К)м2

Величина электрического и теплового сопротивления проводника зависит от его длины, площади поперечного сечения и материала, из которого проводник изготовлен.

По аналогии с законом Ома / = U/R из формул (Т 18.1) и (Т 18.2) следует закон Ома для участка теп лопроводя щей цепи:

(Т 18.3)(Т 18.3)Ф Т RTСИ I~В^~К, ℃~К/Вт80 I ккал/ч К, ℃ ч • К/ккал

(Т 18.3)

(Т 18.3)

Обратите внимание:

Тепловое сопротивление в формуле (Т 18.3) может состоять из ряда отдельных сопротивлений, включенных параллельно или последовательно. Для вычисления полного сопротивления следует пользоваться правилами вычисления полного сопротивления электрической цепи.

Теплоотдача

Жидкие или газообразные тела, вступающие в контакт с твердым телом, находящимся при другой температуре, либо отдают ему тепло, либо получают тепло от него. Такое явление 力 передачи тепла называется теплоотдачей.

Если

Q — количество теплоты, проходящее через поверх- 三二 ность соприкосновения,】

а — коэффициент теплоотдачи,

Л — площадь поверхности, через которую происходит теплоотдача, Е — п родолжительность процесса теплоотдачи,

АГ — разность температур поверхности твердого тела и жидкости

или газа,

QСИ80QСИ80a 4 f Гa 4 f Г(Т 18.4) I Q = cHf AT. I(Т 18.4) I Q = cHf AT. Iто

Q

СИ80

Q

СИ80

a 4 f Г

a 4 f Г

(Т 18.4) I Q = cHf AT. I

(Т 18.4) I Q = cHf AT. I

Дж Вт/(м2 • К) м2 с К, ℃ ккал ккал/(м2 • q • К) м2 ч К, ℃

Единица СИ коэффициента теплоотдачи: [а]=温 r •

Единицы, допускавшиеся к применению до 1980 г.: ккал/(м2-ч-К) и кал/(см2-с-К).

Обратите внимание:

Численные значения коэффициента теплоотдачи а см. в табл. 29. Они зависят от состава жидкости или газа и скорости их дви

жения, а также от обработки поверхности твердого тела, но не от его состава. Разность температур АТ остается постоянной в процессе теплоотдачи.

В месте теплоотдачи возникает скачок температуры.

Величина 1/аА представляет собой тепловое сопротивление.

Теплопередача

Если два жидких или газообразных тела, имеющие различную температуру, разделены твердым телом (плоской перегородкой), то процесс передачи теплоты происходит в 3 стадии:

перегородки, опи-перегородки, опи-Теплоотдача из первой среды к поверхности сываемая формулой (Т 18.4);

перегородки, опи-

перегородки, опи-

Теплопроводность через перегородку, описываемая формулой (Т 18.1);

Теплоотдача с поверхности перегородки к второй среде, описываемая формулой (Т 18.4).

Совокупность трех таких процессов называется теплопередачей.

Если

Q — количество теплоты, переносимое через плоскую перегородку, 尼一коэффициент теплопередачи,

Л — площадь поверхности, через которую совершается теплопередача,

—толщина перегородки или теплопроводящего слоя твердого “ тела,

f — продолжительность процесса,

АТ — разность температур двух сред,

«1 — коэффициент теплоотдачи на первой граничной поверхности, «2 — коэффициент теплоотдачи на второй граничной поверхности, А — теплопроводность твердого тела (перегородки) (см. табл. 28), то с учетом того, что тепловой поток на всех участках теплообмена должен оставаться постоянным, имеем

Ф = -у- = аМ ДТ1 =今 力 А% =。2从 АТз・

При этом сумма всех разностей температур равна общей разности температур: АТ = А7\ 十 АТ? + А『з・ Из этих двух выражений

следует

ДГ.ДГ.аИ/ 丁 ХЛ/ а?%/аИ/ 丁 ХЛ/ а?%/QZ

ДГ.

ДГ.

аИ/ 丁 ХЛ/ а?%/

аИ/ 丁 ХЛ/ а?%/

Вынесем Q/At за скобки:

与 J + H*)=AT・

Величина, обратная выражению в скобках, называется коэффициентом теплопередачи 左：

(Т 18.5)

1 1,1,/

k си a2TA.

7咽乃

/%

Таким образом, процесс тепло передачи описывается формулой

Л t Г

(Т 18.6) I Q = hAt AT. I СИ Дж Вт/(м2 • К) м2 с К, ℃

ВтВтккал ккал/(м2 • ч • К) м2 ч К, ℃

Вт

Вт

Единица СИ коэффициента теплопередачи: [k] =■» —»

Единицы, допускавшиеся к применению до 1980 г.: ккал/(м2-ч-К) и ка〃/(см2・с・К).

Обратите внимание:

Величина 1/Ы представляет собой тепловое сопротивление.

Численное значение коэффициента k см. в табл. 30.

Коэффициент теплопередачи 也 зависит от толщины перегородки L

На каждом из обоих участков теплопередачи возникает скачок температуры.

Тепловое излучение"

При тепловом излучении тепловая энергия переносится от одного тела к другому благодаря испусканию и поглощению электромаг* нитных волн.

Поглощение

Падающее на тело излучение лишь частично поглощается им, часть излучения отражается или проходит сквозь тело.

Если

Фо — поток (мощность) падающего излучения,

①отр — поток отраженного излучения,

Фпогл — поток поглощенного излучения, ФПр 一 поток прошедшего излучения, то по определению коэффициент отражения тела

(Т 18.7)I Р = 0)отр/①о, I

коэффициент поглощения

(Т 18.8) а= Фпогл/^о, I

(Т 18.9) I t =①11P/① о.|(Т 18.9) I t =①11P/① о.|коэффициент пропускания

(Т 18.9) I t =①11P/① о.|

(Т 18.9) I t =①11P/① о.|

Обратите внимание:

• Величины р, а и т зависят от свойств самого тела и длины волн падающего излучения.

Согласно закону сохранения энергии, Фотр + Фпогл + Фпр = Фо. Разделив обе стороны равенства на Фо, получим

(Т 18.10) I р + а + з1・ I

Абсолютно черное тело поглощает все падающие на него лучиАбсолютно черное тело поглощает все падающие на него лучиТело, для которого р = 0, т = 0, а = =1 (что не реализуется на практике), называется абсолютно черным телом.

Абсолютно черное тело поглощает все падающие на него лучи

Абсолютно черное тело поглощает все падающие на него лучи

независимо от длины волны излучения и температуры.

Излучений

1Пю6ое тело с температурой, отличной от 0 К, испускает излучение. Такое излучение называется температурным, или тепловым излучением.

Излучение абсолютно черного тела превышает излучение любых других тел при данной длине волны и температуре. Его излучательная способность (подобно коэффициенту поглощения) равна единице.

Излучательная способность 8 любого тела равна его коэффициенту поглощения а при заданной температуре и длине волны* это — закон излучения Кирхгофа:

(T18.ll) 8(% Т)=а@, Т)・ I

Если

Ф — поток излучения, испускаемый нечерным (серым) телом с определенной температурой,

е (= а) — излучательная способность серого тела,

Фчерн — поток излучения черного тела с той же температурой,

то из закона Кирхгофа следует

(Т 18.12) I ①=е① qepH・|

■

Мощность (поток) Р излучения любого серого тела равна мощности излучения черного тела с той же температурой, умноженной на излучательную способность данного тела.

Закон Стефана — Больцмана

Мощность Р излучения, испускаемого нагретым телом, пропорциональна площади излучающего тела Л и четвертой степени температуры тела: Р^АТ\ Коэффициент пропорциональности называется постоянной Стефана — Больцмана:

(Т 18.13)(Т 18.13)(до 1980 г.)(до 1980 г.)о = 5,67032 • 10~8 Вт/(м2 • К4) =4,87559 • 10~8 ккал/(ч • м2 • К4).

(Т 18.13)

(Т 18.13)

(до 1980 г.)

(до 1980 г.)

Если

Р — мощность излучения,

о «=5,67・10-8 Вт/(м2-К4)—постоянная Стефана — Больцмана, е излучательная способность тела (см. табл. 31),

И — площадь излучающей поверхности, Гt - температура излучающего тела, 7\ — температура окружающей среды, то с учетом излучательной способности серого тела закон Стефана ——Больцмана запишется, в виде

РОЛ Г 8 (Т 18.14) 尸=аеЛТ4. СИ ~丁 Вт/(м2 • К4)一м2 К -

в 80ккал/ч ккал/(ч • м2 • К4) м2 К —

Одновременно излучающее тело поглощает излучение, испускаемое окружающей средой и имеющее мощность Р = О£/Т/. Если излучающая и поглощающая поверхности имеют одинаковую площадь (что бывает не всегда!), закон Стефана ——Больцмана запишется в виде

(Т 18,15)

Р=О84(ТЮ.

СИ

80

РО/ Г 8

Вт/(м2・К4)~м2 К Т ккал/ч ккал/(ч • м2 • К4) м2 К —

Обратите внимание:

Произведение О£ в технической литературе часто называют коэффициентом излучения (зависящим от свойств вещества).

Мощность излучения, вычисляемая по формулам (Т 18.14) и (Т 18.15), приходится на весь спектр излучения, т. е. на все длины волн.

Распределение мощности по длинам волн неравномерно. Мощность излучения, приходящаяся на отдельные интервалы длин волн d% определяется законом Планка (см. разд. 18.3.4).

тела кактела какЗакон Планка

тела как

тела как

Закон Планка описывает мощность излучения черного функцию температуры Т и длины волны Л.

Если

длин волндлин волнdP九 一мощность, излучаемая в интервале

длин волн

длин волн

Л + dKt

А= 6,63• 10-34Дж-с — постоянная

Планка (квант действия) (см. разд. Ат 35.1),

с = 3-108 м/с — скорость света в вакууме,

九 一длина волны излучения, d% — ширина спектрального интервала, 尼 =1,38-10~23 Дж/К — постоянная Больцмана,

Т— температура излучающего тела,

А— площадь излучающей поверх

ности,

е=2,718... — основание натуральных

логарифмов,

то мощность излучения в диапазоне длин волн от 入 до % + dX, испускаемого с площади А абсолютно черного тела, равна

(Т 18.16) dP『暗 加爲二产

P h c k Т К

СИ I Вт Дж • с м/с Дж/К К м

Обратите внимание:

Если проинтегрировать выражение (Т 18.16) по X в интервале от 0 до оо, то мы получим выражение (Т 18.14) для полной мощности излучения.

При повышении температуры мощность излучения возрастает (мощность излучения соответствует площади под кривой), а ее максимум сдвигается в сторону меньших длин волн.

Закон смещения Вина

Положение максимума мощности излучения можно определить из выражения (Т 18.16) обычным образом, приравняв нулю первую производную.

Если

Амакс — длина волны, при которой мощность излучения макси* мальна,

7— температура излучающего тела,

то

или после подстановки численных значений

(Т 18.17)(Т 18.17)2,898・ 10-3 м・к 2898 мкм • К

(Т 18.17)

(Т 18.17)

Т

Обратите внимание:

С повышением температуры доля коротковолнового излучения в спектре увеличивается. Поэтому цвет излучения может служить характеристикой температуры излучения (цветовая темпера* тура).

Приборы для определения температуры излучателя по излучательной способности называются пирометрами.

К КОЛЕБАНИЯ и ВОЛНЫ

Механические колебания

Любые колебания представляют собой движение с переменным ускорением; отклонение, скорость и ускорение в этом случае являются функциями времени. Для любых колебаний характерна периодичность, т. е. движение повторяется по истечении времени Г, называемого длительностью, или периодом колебания. Колебания возникают в тех случаях, когда системе, способной совершать колебания, сообщается энергия. Необходимо различать:

Незатухающие колебания, которые происходят с постоянной амплитудой Ут. Предполагается, что в этом случае подводимая энергия сохраняется. Приближенно такие условия имеют место при малых потерях энергии и малом времени наблюдения. Для получения действительно незатухающих колебаний необходимо регулярно восполнять теряемую энергию.

Затухающие колебания с убывающей амплитудой Ут. Без восполнения энергии любые колебания затухают. *

Наиболее важные Отклонение у = f (t)Амплитуда УтНаиболее важные Отклонение у = f (t)Амплитуда Утвеличины, характеризующие колебания:

Наиболее важные Отклонение у = f (t)

Амплитуда Ут

Наиболее важные Отклонение у = f (t)

Амплитуда Ут

—мгновенное перемещение относительно положения равновесия.

—максимальное отклонение, размах колебаний.

Период Т = l/f— длительность полного колебания.

Частота f= 1/Т— число колебаний в единицу времени.

Угловая частота s = 2nf =2冗/7.

Фаза ф = со/ + фо.

Начальная фаза(р0— значение фазы при f = 0 (начало коле

баний).

Время f— отсчитывается от момента начала коле

баний.

В дальнейшем иснользуется понятие фазы. Фаза характеризует мгновенное состояние колебательной системы и определяется двумя параметрами (например, отклонением и временем).

$9.1. Незатухающие гармонические колебания

I

Гармонические колебания можно представить в виде проекции равномерного движения по окружности. Если изобразить графически колебания на диаграмме отклонение — время, то получится синусоидальная кривая. Поэтому часто гармонические колебания называются также синусоидальными колебаниями.

При прохождении положения равновесия, т. е. положения, которое занимает покоящаяся система, колеблющееся тело имеет наибольшую скорость; в точке максимального отклонения (точке поворота) скорость равна нулю.

Уравнение колебаний

При любых колебаниях отклонение системы вызывает появление восстанавливающей силы, которая стремится вернуть систему в положение равновесия. Линейный закон силы:

I

Гармонические колебания характеризуются следующим соотношением:

Восстанавливающая сила 尸в пропорциональна отклонению у.

Отклонению у отвечает сила 尸,определяемая жесткостью системы D = 尸/у (К 19.8), т. е.尸=Оу. Противоположно направленная восстанавливающая сила равна А = — Dy. Согласно основному закону динамики (М7.1),

Восстанавливающая сила = Масса X Ускорение:

—Оу = ту.

Отсюда после перестановки следует

у+~ У ^^ т

Полагая D/m =(о2, получаем уравнение незатухающих гармонических колебаний:

(К 19.1)» + з2у = о. I

Решение этого дифференциального уравнения дается формулой (К 19.3), что можно доказать, дважды продифференцировав (К 19.3% по /.

19.1.2. Фаза колебаний19.1.2. Фаза колебаний(К 19.2) <р = з/ +(ро = 2冗"+ фо.(К 19.2) <р = з/ +(ро = 2冗"+ фо.ф (0ф (0фофоСИ I рад 1/с Гц= 1/с с радСИ I рад 1/с Гц= 1/с с рад

19.1.2. Фаза колебаний

19.1.2. Фаза колебаний

(К 19.2) <р = з/ +(ро = 2冗"+ фо.

(К 19.2) <р = з/ +(ро = 2冗"+ фо.

ф (0

ф (0

фо

фо

СИ I рад 1/с Гц= 1/с с рад

СИ I рад 1/с Гц= 1/с с рад

Для любых колебаний отклонение 协 мгновенная скорость и и мгновенное ускорение а являются функциями времени 厶 а также фазы ф, поскольку ср = of (М 6.54).

При определении фазы необходимо учитывать начальную фазу Фо, т. е. значение фазы в начальный момент (f = 0).

Если

Ф一фаза,

Фо一начальная фаза,

(о = 2冗『一угловая частота,

f一частота,

f—время,

то выполняется соотношение

Обратите внимание:,

• Фаза в (К 19.2) всегда получается в радианах. Пересчет радиан в градусы см. в разд. 6.3.

н 二-ЕСн 二-ЕСОтклонение

н 二-

ЕС

н 二-

ЕС

отклонение спустя время f, амплитуда (максимальное отклонение), фаза,

то решение уравнения колебаний (К 19.1) имеет вид

«К 19.3) I у = Ут sin I

Это же соотношение получается и из геометрического построения, йоскольку гармонические колебания можно рассматривать как проекцию равномерного движения по окружности.

Обратите внимание:

电 Фаза, определяемая формулой (К 19.2), пересчитывается в градусы следующим образом:(р(°) 三屮(рад) • 57,3，

Скорость

Если

о — мгновенная скорость спустя время £,

Ут — максимальная скорость при прохождении среднего положения (амплитуда скорости),

<о = 2л/ — угловая частота^

Ф =(о^ + фо — фаза, t — время,

то, поскольку мгновенная скорость колебательной системы всегда равна вертикальной составляющей скорости движения по окружности Ут(о, в соответствии с рисунком получаем

cos ф =• • Согласно (М 6.15),

dy .

Из обоих выражений следует

(К 19.4)

и У 8

СИ I м/с м 1/с

180° и со&ф = ±1; тогда180° и со&ф = ±1; тогда(К 19.5)1>=小. I(К 19.5)1>=小. IЕдиницы: см. (К 19.4)Единицы: см. (К 19.4)

180° и со&ф = ±1; тогда

180° и со&ф = ±1; тогда

(К 19.5)1>=小. I

(К 19.5)1>=小. I

Единицы: см. (К 19.4)

Единицы: см. (К 19.4)

В положении равновесия 屮=0° или ：(К 19.4) принимает вид

Ускорение

Гармонические колебания представляют собой движение с переменным ускорением, т. е. ускорение не постоянно, а является функцией времени: а = а(/).

Если а — мгновенное ускорение, • Лт — максимальное ускорение в точке поворота (амплитуда ускорения), со = 2л/ — угловая частота, Ф =(о/ +(Ро — фаза, f — время,

то, поскольку мгновенное ускорение колебательной системы всегда равно вертикальной составляющей центростремительного ускорения аг = Уп>з2, в соответст вии с рисунком получаем

8s読？

Согласно (М6.19),

a =名=需=}

Из обоих

(К 19.6)

В точке поворота <р = 90° или 270°; тогда sin <р = ± 1 к формула (К 19.6) принимает вид

(К 19.7) 14m = — 丫01炉・ IЕдиницы: см. (К 19.6)

Обратите внимание:

• Знак минус свидетельствует о том, что ускорение направлено противоположно отклонению, т. е. направлено всегда к положению равновесия.

19.2. Собственная частота незатухающих гармонических колебаний

Отличительным признаком гармонических колебаний является пропорциональность восстанавливающей силы отклонению (линебныв закон силы). Отношение восстанавливающей силы к отклонению наряду с массой колебательной системы определяет собственную частоту.

Если

D — жесткость,

尸 —сила, вызывающая отклонение у и равная по величине восста-

навливающеи силе,

У — отклонение, то аналогично (М 7.5) получаем

(К 19.8) D(К 19.8) DСИ КД 80СИ КД 80F D у

(К 19.8) D

(К 19.8) D

СИ КД 80

СИ КД 80

Н Н/м м Н Н/см см КГС КГС/С№ СМ

Частота гармонических колебаний получается из формулы D/tn=* использованной при выводе уравнения колебаний (К 19.1). Если

<о = 2л/ = 2л/Т — угловая частота,

f =1/7 — частота,

7 = 1/f — период, длительность полного колебания, 加一масса колебательной системы,-

D — жесткость.

то справедливы следующие соотношения:

(К 19.9)(К 19.9)Т D тТ D тСИ I 1/с Гц = 1/с с Н/м кгСИ I 1/с Гц = 1/с с Н/м кг

(К 19.9)

(К 19.9)

Т D т

Т D т

СИ I 1/с Гц = 1/с с Н/м кг

СИ I 1/с Гц = 1/с с Н/м кг

Обратите внимание:

Чтобы различать затухающие и незатухающие колебания (см. разд. К 19.3), величины з, f н Т для последних часто снабжаются индексом 0.

Формулы (К 19.9) справедливы для любых незатухающих гармонических колебаний. Жесткость D определяется конкретными свойствами системы.

1921. Линейные колебания пружины

При колебаниях пружины восстанавливающая сила обусловлена ее упругостью. В определенных пределах, согласно закону Гука, вызванная деформацией сила пропорциональна величине деформации. Поэтому упругие колебания являются гармоническими. В случае пружин величина жесткости обычно обозначается через k и именуется коэффициентрм упру- 〃(/〃〃〃/// гости пружины.93

Если§

k — коэффициент упругостипружины,g3

尸—сила, вызывающая деформацию А/,―尸―丁 °；

А/ — удлинение, прогиб или другое изменение ^ |^

формы,—t

①=2л/ = 2冗/7 — угловая частота, f = 1/Г — частота,

Т = 1/f — период, длительность полного колебания,

m — масса колебательной системы, обычно тела, укрепленного на пружине,

то

(К 19.10)左=方(К 19.10)左=方СИН/м Н мкдН/см Н см80кгс/см кгс смСИН/м Н мкдН/см Н см80кгс/см кгс смkk

(К 19.10)左=方

(К 19.10)左=方

СИ

Н/м Н м

кд

Н/см Н см

80

кгс/см кгс см

СИ

Н/м Н м

кд

Н/см Н см

80

кгс/см кгс см

k

k

s f T k tnСИ J 1/c Гц= 1/c с Н/м кгs f T k tnСИ J 1/c Гц= 1/c с Н/м кги в соответствии с (К 19.9)

s f T k tn

СИ J 1/c Гц= 1/c с Н/м кг

s f T k tn

СИ J 1/c Гц= 1/c с Н/м кг

(K19.ll) В 士 7^，

TН铀7器

Обратите внимание:

Масса самой пружины в (К 19.11) не учитывается. При точных расчетах массу 俏 следует увеличить приблизительно на тпр/3 ,(俏пр — масса пружины).

Величины з, f н Т не зависят от амплитуды.

Крутильные колебания

Для крутильных колебаний в принципе справедливы те же закономерности, что и для линейных колебаний. Вместо отклонения у， скорости V и ускорения а используются соответствующие угловые величины: угол поворота (р (не путать с фазой!), угловая скорость (о = ф (не путать с угловой частотой!) и угловое ускорение а = ф. Крутильные колебания обусловливаются возникновением момента Силы М, который должен быть пропорционален углу поворота (углу『

отклонения).

ЕслиI

О* — угловая жесткость,卜

М — момент силы,Гд

Ф — угол поворота, обусловленный моментом Mt

со = 2nf = 2Л/Т — угловая частота,—

f = 1/才一частота,*

Т = 1/f — период, длительность полного колебания,

J — момент инерции тела, совершающего крутильные колебания относительно своей оси,

то выполняются следующие соотношения:

(К 19.12)0* = ^(К 19.12)0* = ^D* М ф

(К 19.12)0* = ^

(К 19.12)0* = ^

СИ I Н • м Н • м рад = 1

"学，"学，(К 19.13)(К 19.13)з歳д/先 7 = 2к/^.з歳д/先 7 = 2к/^.s f T D

"学，

"学，

(К 19.13)

(К 19.13)

з歳д/先 7 = 2к/^.

з歳д/先 7 = 2к/^.

СИ I 1/с Гц= 1/с с Н • м кг • м2

Колебания маятника

Маятник совершает движение по дуге окружности, при котором момент силы создается силой тяжести.

Математический маятник

Маятник； представляющий собой точечную массу на невесомой нити, нельзя реализовать в действительности. Однако если масса нити пренебрежимо мала по сравнению с массой т тела и длина нити велика по сравнению с размерами тела, то с достаточной точностью выполняется формула (К 19.14). Математический маятник совершает гармонические колебания, если угол отклонения не превышает примерно 8°.

Если

Г = 1/f—период, длительность полного колебания,

Z — длина маятника, расстояние от точки подвеса до центра масс,

g = 9,81 м/с2 (на Земле)—ускорение свободного падения,

то FJG = у/1, и, поскольку величину у при малом угле отклонения ф можно приравнять длине дуги, аналогично (К 19.8) получаем

л R G zng.

у //

(К 19.14)(К 19.14)СИ I с м м/МСИ I с м м/Мподстановка в (К 19.9) дает

(К 19.14)

(К 19.14)

СИ I с м м/М

СИ I с м м/М

Обратите внимание:

Период Г не зависит от массы тела.

В указанных пределах (ф V 8°) период не зависит от амплитуды.

Физический маятник

Маятник, для которого не выполняются условия, определяющие математический маятник, называется физическим маятником (т« 失 маятником с распределенной массой).

Если

Г = 1/f — период,

/д— момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса А, ш — масса тела, s — расстояние от точки подвеса А тела до его центра масс О, то аналогично (К 19.12)

°* —曲—《^ — Gs sin (p

или, поскольку при малых углах sin <р/ф«1, D* == Gs = mgs

и аналогично формуле (К 19.13)

(К 19.15) Т^п А/—^.,

V mgsI

Обратите внимание:

Выражение (К 19.15) справедливо только для амплитуд меньше ~8°.

】а определяется с помощью теоремы Гюйгенса — Штейнера.

При Л = ms? и Z = s получается формула для периода мате* магического маятника (К 19.14),

Приведенная длина маятника

■

Приведенной длиной физического маятника называется длина математического маятника с тем же периодом колебаний. '

Если

V — приведенная длина маятника,

厶一момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса А,

m — масса физического маятника,

s — расстояние от центра масс О до точки подвеса Л,

то в соответствии с (К 19.14) и (К 19.15)

2冗“2 = 2冗v為 или

СИ I м кг • м2 кг мСИ I м кг • м2 кг м(К 19.16)，=厶.

СИ I м кг • м2 кг м

СИ I м кг • м2 кг м

ms

Обратите внимание:

На расстоянии /' по вертикали под точкой подвеса вращающегося тела находится центр качаний. Усилие, возбуждающее колебания маятника, следует прилагать к этой точке, чтобы избежать реакции в точке подвеса.

Период колебаний физического маятника не изменится, если поменять местами точку подвеса и центр качаний. Этот принцип используется в оборотном маятнике, например, для определения ускорения свободного падения.

Определение момента инерции

С помощью формулы (К 19.15) можно экспериментально определить момент инерции любого тела путем измерения величин s,俏 и Т.

Из формул (К 19.15) и (М 7.55) следует

/0 = f学ms{ н〃и

(К 19.17)了。П3(需7).(К 19.17)了。П3(需7).°4 л2

(К 19.17)了。П3(需7).

(К 19.17)了。П3(需7).

Обратите внимание:

• Для определения /о необходимо впадающей с О, и возбудить его• Для определения /о необходимо впадающей с О, и возбудить егоподвесить тело в точке, не со- колебания с малой амплитудой.подвесить тело в точке, не со- колебания с малой амплитудой.

• Для определения /о необходимо впадающей с О, и возбудить его

• Для определения /о необходимо впадающей с О, и возбудить его

подвесить тело в точке, не со- колебания с малой амплитудой.

подвесить тело в точке, не со- колебания с малой амплитудой.

19.2.4. Энергия колебаний.

Энергия системы, колеблющейся без затухания, остается постоян-. ной. Она складывается из потенциальной энергии Wn и кинетической энергии '步к. Величины обеих энергий меняются периодически, в каждый момент W =Wn+ 外.Используя (М 7.23) и (М7.24), получаем

Dy2 , mu2 一

F D у v mF D у v m

F D у v m

F D у v m

Если

W — энергия колебательной системы,

D — жесткость,

% — амплитуда, максимальное отклонение,

<р = з/+(Ро — фаза,

то, используя (К 19.3) и (К 19.4), получаем

犷=^ 匕 sid ① + £ 匕32 cos2 ф.

Поскольку(о2 = Dim, имеем

取=^ % sin?① ¥% cos2 屮

и окончательно

(К 19.18)(К 19.18)Ю = ^ 嗫(sin2 ① + cos2 <p)=

(К 19.18)

(К 19.18)

Обратите внимание:

В процессе колебаний потенциальная энергия превращается в кинетическую и наоборот. При этом полная энергия остается постоянной. Процесс перехода энергии из одного вида в другой носит периодический характер.

В точке поворота и при прохождении положения равновесия энергия одного вида равна нулю, в то время как энергия другого вида достигает максимума.

19.3. Свободные затухающие колебания

Вследствие внутреннего трения, сопротивления воздуха и т. п. энергия W колебательной системы постепенно уменьшается. Поскольку 闪 ~匕 (К 19.19), амплитуда Уга уменьшается до нуля.

■

Затуханием называется постепенное уменьшение амплитуды в процессе колебаний.

Уравнение колебаний

Затухание вызывается силой, которая пропорциональна скорости и направлена противоположно ей:尸~——а Коэффициент пропорциональности называют коэффициентом вязкого трения £ т. е. 尸=一00 =一m.

Единица СИ коэффициента трения: [р] =

Если

У — отклонение,

У — скорость,

У — ускорение,

В — коэффициент трения,

6 = р/2т — коэффициент затухания,

©о = 2jtfo ——собственная угловая частота незатухающих колебаний,

то основное уравнение динамики (М 7.1) в этом случае гласит:

Восстанавливающая сила+Сила, вызывающая затухание= =Масса X Ускорение, — Dgf ту.

Отсюда следует

Ну + — у = 0.

Обозначая

—=2d и — = Од,

получаем(К 19.19)步+ 26» + з爺=0.получаем(К 19.19)步+ 26» + з爺=0.дифференциальное уравнение затухающих колебаний.дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

получаем

(К 19.19)步+ 26» + з爺=0.

получаем

(К 19.19)步+ 26» + з爺=0.

дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Обратите внимание:

В случае внутреннего (вязкого) трения сила, вызывающая затухание, оказывается с достаточной точностью пропорциональной скорости.

Внешнее (сухое) трение не зависит от скорости и приводит к иному закону затухания, который не описывается уравнением (К 19.19).

Откланение

Если

〃 一отклонение,

Уо — начальная амплитуда,

е =2,718... — основание натуральных логарифмов,

6 = р/2т — коэффициент затухания,

f — время,

Ф =(о3ат^ + Фо — фаза,

Обратите внимание:

Амплитуда экспоненциально уменьшается. о временем.

Угловая частота (о3ат в определении фай "вычисляется по фор* муле (К 19.25).

Отношение двух последовательных значений амплитуды остается постоянным. Эти численные значения амплитуд образуют у бы* вающую геометрическую прогрессию.

Если

左—отношение амплитуд,

6 =6/2т — коэффициент затухания,

Т — период затухающих колебаний,

А — логарифмический декремент, п — любое целое число,

то Ут, ，/Ут, t+i = &• Следовательно,九-я амплитуда определяется формулой

(К 19.21) %,计

6 ТСИ I 1/с с6 ТСИ I 1/с сA 6 TСИ I - 1/c cA 6 TСИ I - 1/c cсо 6СИ I 1/с 1/ссо 6СИ I 1/с 1/с

6 Т

СИ I 1/с с

6 Т

СИ I 1/с с

A 6 T

СИ I - 1/c c

A 6 T

СИ I - 1/c c

со 6

СИ I 1/с 1/с

со 6

СИ I 1/с 1/с

Поскольку промежуток времени между двумя последовательными амплитудами равен периоду Г, из (К 19.20) получаем

(К 19.22)

или

(К 19.23)

Показатель экспоненты 67 называется логарифмическим декрементом Л. Логарифмирование формулы (К 19.22) дает

(К 19.24) А = ОТ = In 〒宀卜

Обратите внимание:

Логарифмический декремент А представляет собой натуральный логарифм отношения амплитуд k.

Собственная частота

Если

Ззат = 2л^зат = 2л/「зат — угловая частота затухающих колебаний, ©о = 2л/о = 2л/Г0 ~^D/m ——угловая частота незатухающих колебаний,

д = В/2俏一коэффициент затухания,

то выражение (К 19.20) будет решением дифференциального уравнения (К 19.19) только при условии

(К 19.25) созат = 7°о-62.

IB любой колебательной системе затухание приводит к уменьшению частоты и соответственно увеличению периода колебании.

Обратите внимание:

Частота затухающих колебаний меньше частоты незатухающих колебаний. Она не зависит от амплитуды и поэтому не изменяется в процессе колебаний.

В большинстве практических случаев величины о)зат и о)о и соответственно Тзат и То различаются лишь на доли процента.

Апериодическое движение

Колебания будут затухающими, если в формуле (К 19.25) (Оо > 6. Если же со。V д, то колебательная система после однократного возмущения асимптотически возвращается в состояние покоя (асимптотическое затухание); быстрее всего это происходит при о)о = 6 (предельный случай апериодического движения).

Справочная таблица

д = 0

р = 0

д < со0

Р < 2 7 mD

з V со。

д = соо

Р = 2 VmD

(о = О

д > соо

Р > 2 д/mD

со — мнимая

величинавеличинаНезатухаюшиг колебания Затухающие колебания Предельный случай апериодического движения

величина

величина

Асимптотическое затухание

О братит.е внимание:

• В технике часто бывает необходимо предотвратить появление колебаний системы (например, в электрических измерительных устройствах). Для этого следует предусмотреть такое демпфирование (например, демпфирование вихревого тока), чтобы имел место предельный случай апериодического движения.

Внимание! Для достижения такого демпфирования нельзя использовать внешнее (сухое) трение (например, в опорах), поскольку последнее не зависит от скорости: колебательная система будет «замирать» вблизи положения равновесия. Это имеет место у весов, пружин амортизаторов и т. п.

Вынужденные колебания

В том случае, когда колебательная система после того, как ей сообщили отклонение, колеблется в дальнейшем сама по себе, говорят о свободных колебаниях.

Если же на систему с помощью связи действует извне периодическая сила, которая вызывает колебания системы, то говорят о вынужденных колебаниях.

Уравнение колебаний

На колебательную систему действуют три силы:

восстанавливающая сила FBOcct = — Dy,

сила, вызывающая затухание 尸зат = — ^yt • ВОЗМущаЮЩая СИЛа 尸возм =尸m возм cos(of.

Основной закон динамики в этом случае гласит! 尸 возм + 尸 восст + 尸 зат ==加。=加*・

Если у— отклонение,

у— скорость,

у— ускорение,

m— масса колебательнойсистемы,

D= Fly — жесткость,

0— коэффициент трения,

6== Р/2т — коэффициентзатухания,

尸m возм"" максимальное значение возмущающей силы, со—угловаячастота колебаний возмущающей силы,

®о一угловаячастота незатухающих колебаний системы,

力—время,

尸m возм cos ®t — Dy т ту, или после подстановки Р/m = 2d и D/m =党

(К 19.26)岁 + 2М 什嗡g =勻雜 cos of.

Отклонение

После начала действия возмущающей силы (которую часто называют также возбуждающей силой) необходимо некоторое время, прежде чем колебания установятся. Тогда говорят, что система находится в установившемся состоянии, которое описывается следующими уравнениями:

Если

у — отклонение в момент времени t,

Ут — амплитуда колебаний системы,

"швоз м 一 максимальное значение возмущающей силы,

с»о — угловая частота собственных колебаний системы (резо

натора) в отсутствие затухания,

—угловая частота колебаний возмущающей силы и уста

новившихся колебаний системы, масса колебательной системы (резонатора),。

фазовый сдвиг резонатора относительно возмущающей

силы,

—коэффициент трения,

=Р/2т — коэффициент затухания,

—время,

то решение дифференциального уравнения (К 19.26), отвечающее установившимся колебаниям системы, имеет вид

(К 19.27)(К 19.27)при этомпри этом(К 19.28)(К 19.28)(К 19.29)(К 19.29)乡=Ут cos (з/— а)；乡=Ут cos (з/— а)；m возмm возм“W2 (®о — (О2)2 + р2о2“W2 (®о — (О2)2 + р2о2а = arctgа = arctg3§3§他(说-02)他(说-02)СИСИ乡尸勿3 в乡尸勿3 вI м Н кг 1/с кг/сI м Н кг 1/с кг/с

(К 19.27)

(К 19.27)

при этом

при этом

(К 19.28)

(К 19.28)

(К 19.29)

(К 19.29)

乡=Ут cos (з/— а)；

乡=Ут cos (з/— а)；

m возм

m возм

“W2 (®о — (О2)2 + р2о2

“W2 (®о — (О2)2 + р2о2

а = arctg

а = arctg

3§

3§

他(说-02)

他(说-02)

СИ

СИ

乡尸勿3 в

乡尸勿3 в

I м Н кг 1/с кг/с

I м Н кг 1/с кг/с

Обратите внимание:

Амплитуда Ут колебаний в случае резонатора с затуханием сильно зависит от частоты колебаний возмущающей силы со и коэффициента трения 0 и, если з -> з。и 6 f 0, может еще до установления колебаний оказаться больше значения, допускаемого механическими условиями.

Наличие разности фаз указывает на то, что колебания резонатора отстают по фазе от колебаний возмущающей силы, поскольку 6 孟 0 (случай 6 = 0 возможен лишь теоретически).

Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой возмущающей силы.

Резонанс

При заданных возмущающей силе % возм и коэффициента трения В амплитуда Ут является функцией только угловой частоты возмущающей силы. При 3QG)o она достигает особенно большого зна- кння (резонанс). На рисунке показана зависимость Ут от со (резонансная кривая). Параметром служит коэффициент затухания 6. При самых малых значениях 6 величина Ущ резко возрастает. Если

6 > 0, то в случае резонанса со V з°; величина Ут ст представляет собой статическое отклонение системы под действием постоянной СИЛЫ Fщ возм (® = 0).

Для определения резонансной частоты необходимо найти максимум функции Ут = Ут (со) и приравнять первую производную нулю; тогда, если

®рез ~ резонансная частота, при которой амплитуда максимальна, ®о — частота собственных незатухающих колебаний системы, т — масса колебательной системы, Р — коэффициент трения, d = р/2т — коэффициент затухания,

то для резонансной частоты получим

(К 19.30) брез = «嗡一壽=VQ0~2d2;

(0 m р 6

СИ I 1/с кг кг/с 1/с

Обратите внимание:

Резонансная частота cdpe3 несколько меньше частоты со собственных колебаний системы с затуханием (К 19.25).

При 6>Зо/“》 явление резонанса совершенно исчезает. В этом случае при любой частоте возмущающей силы амплитуда колебаний меньше статического отклонения.

Чтобы найти величину амплитуды в резонансном случае, нужно подставить (К 19.30) в (К 19.28).

Если

У

m рез

F

m возм т

©о

—резонансная амплитуда,

——максимальное значение возмущающей силы,

ш ₽дл

—масса колебательной —частота собственных =7 *—62 — частота

системы, незатухающих колебаний системы, колебаний системы с затуханием,

—коэффициент трения,

= Р/2т — коэффициент затухания,

—логарифмический декремент,

то имеем

(К 19.31)(К 19.31)У1 m возм — m возм — m возм

(К 19.31)

(К 19.31)

m рез _ В 7大 俨 0(0- 2

Единицы: см. (К 19.28) и (К 19.30)

Согласно формуле (К 19.29), разность фаз а также зависит от частоты возмущающей силы. На рисунке представлена зависи

может привести к разрушениямможет привести к разрушенияммость а от частоты. Параметром служит коэффициент 6.

может привести к разрушениям

может привести к разрушениям

Независимо от величины за» тухания при з = со。разность фаз составляет а = (л/2) рад = 90°.

Явление резонанса играет большую роль в технике и повседневной жизни. В большинстве механических устройств под действием внешних периодических сил могут возникать колебания. При резонансе происходит нарастание амплитуды колебаний, и это

(«резонансная катастрофа»). В случае вращательного движения резонансную частоту называют критическим числом оборотов.

Чтобы предотвратить возникновение колебаний со слишком

большой амплитудой, следует:

по возможности устранять периодически действующие силы,

добиваться большой разности собственной частоты и частоты возбуждающей силы,

добиваться того, чтобы частота принимала резонансное значение лишь на время, меньшее одного периода колебаний,

применять демпфирующие элементы.

Сложение колебаний

Любая колебательная система может одновременно совершать не-

■сколько колебаний. Отдельные колебания при этом складываются в результирующее колебание. Сложение колебаний основано на

принципе суперпозиции

|

Если тело совершает несколько колебаний, то эти колебания складываются независимо друг от друга, т. е. не влияя друг на друга.

Поскольку отклонения и амплитуды представляют собой векторы, их результирующие можно вычислять известными методами как графически, так и алгебраически. Следует различать:

сложение колебаний, происходящих в одном направлении,

сложение колебаний, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях.

Колебания, происходящие в, одном направлении с одинаковой частотой

При наложении двух гармонических колебаний, происходящих в одном направлении с одинаковой частотой, возникает гармоническое колебание с той же частотой, а его амплитуда зависит от амплитуд и начальных фаз отдельных колебаний.

Результирующее отклонение в каждый момент времени равно алгебраической сумме составляющих отклонений

Ут1，力，Ф01

—амплитуда, отклонение и начальная фаза ко

уm2,у2,屮02

лебаний 1,

—амплитуда, отклонение и начальная фаза ко* лебаний 2,

—частота колебаний,

—продолжительность колебаний,'

m рез» Урез'屮о реа — амплитуда, отклонение и начальная фаза р»

вультирующих колебаний,

то

Урез в 力 + % = Kml sin （①，+ Ф01） + Ут2 加（^ + 屮02）・ Многократно применяя теорему сложения, получаем （К 19.32） I Урез =%噂 sin （М + д）орез）；

при этом

（К19.33） % рез = “嗑 +%2 + 2ymym2 （屮以 一 /

г«ml：命 j#i gi%）*

и(К 19.34)и(К 19.34)arc

и

(К 19.34)

и

(К 19.34)

%1 COS Фо1 + Ут2 8s Ф02

Обратите внимание:

В частном случае равных амплитуд (Ут1 =, Ут2) выражения (К 19.33) и (К 19.34) упрощаются:В частном случае равных амплитуд (Ут1 =, Ут2) выражения (К 19.33) и (К 19.34) упрощаются:УсловияУсловияРезультатРезультатLBE ^ ^ ^ у у у уLBE ^ ^ ^ у у у уАф s= О А(р «О Афе= л; А(р« лАф s= О А(р «О Афе= л; А(р« лОтклонения удваиваютсяОтклонения суммируютсяОба колебания взаимно уничтожаютсяОтклонения вычитаютсяОтклонения удваиваютсяОтклонения суммируютсяОба колебания взаимно уничтожаютсяОтклонения вычитаютсяНа рисунке амплитуды представлены векторами. Их направления соответствуют начальным фазам. В течение времени t они поворачиваются на один и тот же угол з/, поскольку колебания имеют одинаковую частоту. Представление колебаний с помощью вращающихся векторов называется векторной диаграммой. Оно позволяет находить амплитуду и отклонение, не прибегая к математическим выкладкам.

В частном случае равных амплитуд (Ут1 =, Ут2) выражения (К 19.33) и (К 19.34) упрощаются:

В частном случае равных амплитуд (Ут1 =, Ут2) выражения (К 19.33) и (К 19.34) упрощаются:

Условия

Условия

Результат

Результат

LBE ^ ^ ^ у у у у

LBE ^ ^ ^ у у у у

Аф s= О А(р «О Афе= л; А(р« л

Аф s= О А(р «О Афе= л; А(р« л

Отклонения удваиваются

Отклонения суммируются

Оба колебания взаимно уничтожаются

Отклонения вычитаются

Отклонения удваиваются

Отклонения суммируются

Оба колебания взаимно уничтожаются

Отклонения вычитаются

Обратите внимание:

Дф = фо1 — фо2«

Колебания, происходящие в одном направлении с разными частотами

|

При сложении двух гармонических колебаний, происходящих в одном направлении с разными частотами, возникает негармоническое колебание.

Обратите внимание:

号ультируюище колебания Колебания /Колебания 4号ультируюище колебания Колебания /Колебания 4參 В рассматриваемом случае результирующее отклонение в каждый момент времени также равно алгебраической сумме отклонений составляющих коле* баний.

号ультируюище колебания Колебания /

Колебания 4

号ультируюище колебания Колебания /

Колебания 4

• С другой стороны, любые негармонические колебания можно рассматривать как результирующее ряда гармонических колебаний и разложить его на эти составляющие. Соответствующий математический прием носит название анализа Фурье.

При упрощающем предположении Ут1 =匕础 и(pOi = Ф02 в результате сложения двух колебаний с близкими частотами возникают биения.

Если

Si — частота колебаний 1,

<о2 — частота колебаний 2,

Ут — амплитуда обоих колебаний,

Урез — отклонение, отвечающее результирующим колебаниям,

/— время,

то

9рез = Ui + У2 = Ут (sin СО" + Sin 施/). Отсюда с помощью теоремы сложения получаем

(К 19.37) ^3 = 2% cos (色*/) sin (-^产)

Обратите внимание:

Биения представляют собой колебания с усредненной частотой (/1+%)/2. Амплитуда биений периодически изменяется от максимального значения 2ym до минимального значения 0.

При каждом обращении амплитуды в нуль фаза скачком меняется на л.

Периодом биений Тб называют промежуток между соседними моментами времени, в которые амплитуда обращается в нуль. Поскольку при аргументе, равном л/2, Зл/2..., косинус обращается в нуль, имеем

®1 — (О2 ^ 一

/ 6 =九

Отсюда при со = 2л/ следует

卜方.卜方.

卜方.

卜方.

Решая это уравнение относительно частоты биений, получаем

(К 19.38)行6 =力一后.J

|

тт м “ Число минимумов амплитуды Частота биении 謊乂兄"—равна разн

сти частот составляющих колебаний.

Из (К 19.38) при Тб = 1/% получаем

%=工l

и после преобразования имеем

(К 19.39) 76=戸導.

Частота результирующих колебаний получается из (К 19.37);

(К 19.40) Ьез = "^Ц^=『・

Отсюда находим период результирующих колебаний Грез = 1//рез

(К 19.41) Трез = ^^・

19.5.3. Колебания, происходящие в разных направлениях

Пусть система участвует в колебаниях, которые происходят в двух направлениях, а именно вдоль осей % и у прямоугольной системы координат:

% = Xm sin (со/ + Фох)>

й = уm sin (0八+ 屮0，

Результирующее отклонение в момент / определяется как векторная сумма.

Если /

г — результирующее отклонение в момент времени 小

%, у — отклонения составляющих колебаний в момент времени t, 8— угол между результирующим отклонением и положительным

направлением оси X,

то

(К 19.42) г = “%2 + д2

(К 19.43) 8 = arctgy.

Обратите внимание:

• Величины г и 8 представляют собой полярные зультирующего отклонения.

Если соединить результирующие отклонения в различные моменты времени линией, то получится траектория результирующих колебаний (в плоскости %, у)・ При этом возникают сложные кривые, которые называются фигурами Лиссажу. Лишь в случае одинаковых частот получаются эллипсы с различным эксцентриситетом (включая прямую и окружность).

координаты ре-координаты ре-Частные случаи (для 力=f2)

координаты ре-

координаты ре-

Условия Результат

О < аф < -^О < аф < -^Дф « лДф « лПрямаяНаклонный эллипсЭллипсОкружностьПрямаяНаклонный эллипсЭллипсОкружностьНаклонный эллипсПрямаяНаклонный эллипсПрямаяДф = о

О < аф < -^

О < аф < -^

Дф « л

Дф « л

Прямая

Наклонный эллипс

Эллипс

Окружность

Прямая

Наклонный эллипс

Эллипс

Окружность

Наклонный эллипс

Прямая

Наклонный эллипс

Прямая

a W W $ 4 &^ ^^ ш& О U ООО 食。 О № Mh 80 / 00八3息

夕久^ Шй ®ё о /V ооо& о^ Ау ”公少侬3 7 OOI AJ! ®|

N J 2 5 g

Обратите внимание:

При разности фаз л V А(р V 2冗 возникают аналогичные фигуры, но направление обхода меняется на противоположное.

Фигура Лиссажу остается неизменной, если отношение частот представляет собой рациональное число; в противном случае тпсектгпни не повторяются и фигура Лиссажу непрерывно изменяется.

Форма фигуры Лиссажу зависит от отношения частот и разности начальных фаз.

19.6. Связанные колебания

Связанные колебательные системы влияют друг на друга. Колебания таких систем уже не будут независимы, поскольку системы обмениваются энергией. Связь может быть обусловлена

• упругостью,

• трением,

• инерцией.

Если одной из систем лебательное движение, то второй системе. Скорость сколько сильна связь, т. е.

одинаковая собственная частота, то

сообщили энергию и она совершает копостепенно она передает свою энергию передачи энергии зависит от того, на- от степени связи х. Если у обеих систем

после того, как система 1 придет в состояние покоя (ее энергия обратится в нуль), изменится направление потока энергии. Обе системы будут совершать биения, сдвинутые по времени на Тб/2.

Биения возникают в результате сложения собственных (нормальных) колебаний обеих систем.

%

У2

Имеются два возможных типа колебаний связанных систем, при

которых устанавливается обмен энергией:

• Системы колеблются в фазе (синфазно). Наличие связи не меняет частоты, и обе системы колеблются с частотой 厶 =%.

Ь? /

• Системы колеблются в противофазе (Д(р = л). Из-за дополнительной жесткости £>св, обусловленной наличием связи, частота колебаний уменьшается. Обе системы колеблются в этом случае с частотой %•

Если

D — жесткость системы 1, равная жесткости системы 2,

°св— дополнительная жесткость, обусловленная связью,

ш — масса системы 1, равная массе системы 2,

то для частот fi и % собственных колебаний получаем

f D m СИ I Гц Н/м кгf D m СИ I Гц Н/м кг

f D m СИ I Гц Н/м кг

f D m СИ I Гц Н/м кг

Жесткости систем или периоды Г = 1/f собственных колебаний определяют степень связи

(К 19.45)(К 19.45)DТ；—爲=0+ % =比 + ^DТ；—爲=0+ % =比 + ^

(К 19.45)

(К 19.45)

DТ；—爲

=0+ % =比 + ^

DТ；—爲

=0+ % =比 + ^

Обратите внимание:

• Выражения (К 19.44) и (К 19.45) справедливы только для случая, когда массы, собственные частоты и жесткости систем одинаковы.

Механические волны

Механическая волна представляет собой колебательный процесс в упругой среде. Такая среда состоит из большого числа связанных друг с другом частиц, совершающих колебания. Если возбуждаются колебания одной из частиц, то она становится центром распространяющейся волны. Кинематическим признаком волнового движения служит распространение фазы колебаний, динамическим — перенос энергии. Скорость обоих этих процессов представляет собой фазовую скорость, или скорость распространения волны.

Распространение волн

Принцип Гюйгенса

Распространение волн легко понять и объяснить, если обратиться к принципу Гюйгенса.

(Каждая точка среды, вовлеченная в волновое движение, становится источником новой волны, называемой элементарной волной.

Наблюдаемый волновой фронт представляет собой результат сложения множества элементарных волн. Принцип Гюйгенса справедлив для всех вн・ дов волн, в том числе и для электромагнитных.

Типы волн

УплотнениеУплотнениеРазрежениеРазрежениеВолны, у которых направление скорости движения частиц перпендикулярно направлению фазовой скорости, называются поперечными

Уплотнение

Уплотнение

Разрежение

Разрежение

Волновые фронтыВолновые фронты

Волновые фронты

Волновые фронты

волнами. У этих волн происходит чередование горбов и впадин. Если направления скорости колебаний и фазовой скорости совпадают, то волны называются продольными. У этих волн чередуются области сгущения и разрежения. В соответствии с характером распространения различают линейные, поверхностные и пространствен

ные, или одно-, двух- и трехмерные волны. Направление распространения волны называют лучом. Волновой фронт перпендикулярен лучу. Волновой фронт представляет собой геометрическое место всех частиц, колеблющихся с одинаковой фазой. У поверхностных и пространственных волн, распространяющихся из точечного центра возбуждения, лучи направлены радиально, а волновые фронты представляют собой соответственно окружности и сферы. В случае плоского или удаленного источника возникают плоские волны.

В них лучи параллельны, а волновые фронты представляют собой плоскости. Расстояние между соседними волновыми фронтами называется длиной волны X.

Длина волны есть расстояние между частицами, колеблющимися с одинаковой фазой. Длина волны не зависит ни от координаты, ни от времени.

Волновые фронтыВолновые фронты.Длина, волны.Длина, волныДлина, волны ЛДлина, волны Л

Волновые фронты

Волновые фронты

.Длина, волны

.Длина, волны

Длина, волны Л

Длина, волны Л

Если

с — фазовая скорость, или скорость распространения волны,

/ — частота, с которой колеблется каждая частица в волне,

Г = 1/f — период, продолжительность полного колебания частицы, 入—длина волны, расстояние между частицами, колеблющимися с одинаковой фазой,

то в соответствии с (М 6.1) с =九/Т, или

Обратите внимание:

• Выражение (К 20.1) справедливо для всех волн, в том числе и 、электромагнитных.

Специальные уравнения для определения фазовой скорости В различных средах см. в разд. 20.2.3.

Линейные синусоидальные волны

Предположим, что волны возбуждаются гармоническими колебаниями и при распространении волн в среде отсутствуют потери энергии.

Волновое уравнение

При использовании ряда исходных предположений, которые мы здесь не упоминаем, для любых механических волн получается следующее волновое уравнение в частных производных:

(К 20.2)

02y1 @29

=0.

Обратите внимание:

Согласно уравнению (К 20.2), вторая* производная отклонения пс времени пропорциональна второй производной по координате.

Коэффициент с характеризует свойства среды (упругость, плотность и др.). Он совпадает с фазовой скоростью.

Отклонение

Чтобы найти решение уравнения (К 20.2), делают подстановку

Если

у —- отклонение частицы в точке % в момент времени %

Fm — амплитуда возбуждающего колебания и волны,

со = 2冗『=2п/Т ——угловая、частота, f — время,

х ——расстояние от источника, пройденное волной расстояние,

Данная фаза колебания достигает точки, находящейся на расстоя- Путь х

нии %, за время, равное "以0诃占亡 с ° ^ледовательно» ПРИ вычислении отклонения из времени / следует вычесть величину х/с.

При / = 1/Г и f/c = 1/Х из (К 20.3) следует

(К 20.4)(К 20.4)у = Ym sin 23T (好-导)•у = Ym sin 23T (好-导)•

(К 20.4)

(К 20.4)

у = Ym sin 23T (好-导)•

у = Ym sin 23T (好-导)•

Обратите внимание:

• Выражения (К 20.3) и (К 20.4) справедливы для распространения волны в положительном направлении оси х. При распространении в обратном направлении значения % отрицательны и в скобках будет стоять сумма.

Выражение (К 20.4) позволяет определить важный признак волны:

露 Волна ——это периодический процесс во времени и пространстве.

Фазовая скорость

Фазовая скорость зависит от механических свойств среды.

Если

rFд£^ XrFд£^ X—фазовая скорость,

rFд£^ X

rFд£^ X

—сила натяжения струны, проволоки или др.,

—поперечное сечение струны, проволоки или др.,

—модуль упругости (модуль Юнга, см. табл. 9),

==1/х — модуль всестороннего сжатия,

—сжимаемость для жидкостей (см. табл. 4), показатель адиабаты для газов (см. табл. 18),

р— плотность (см. табл. 1),

то для упругой поперечной волны в твердых телах

с尸 р Л СИ I м/с Н кг/м3 м2

для упругой продольной волны в твердых телах

с £ р СИ I м/с Н/м2 кг/м3

для продольной волны в жидкостях

(К 20.7) I с=л/Ал/击;I

0 K 乂 р

СИ I м/с Па = Н/м2 м2/Н кг/м3 для продольной волны в газах

с Y р р

СИ I м/с — Па = Н/м2 кг/м3

Отражение

При полном или частичном отражении одномерной волны (например, колебаний струны) на границе среда 1—среда 2 фаза ска* ком изменяется на л, если среда 2 является более «плотной», т. е ей отвечает меньшая фазовая скорость.

Скачок фазы на л означает, что горб приходящей волны после отражения превращается во впадину (и наоборот).

Стоячие волны

Две волны, распространяющиеся одновременно в одной и той же среде в противоположных направлениях, при сложении образуют стоячую волну. Предполагается, что обе волны имеют одинаковые амплитуды, частоты и длины волн. Чаще всего стоячие волны возникают при сложении падающей одномерной волны с волной, испытавшей отражение.

Если

Урез — отклонение в результирующей волне, — амплитуды складывающихся волн,

о== 2jtf = 2л/Т — угловая частота складывающихся волн,

f— время,

Я— длина волны,

%— координата,

то уравнение падающей волны имеет вид

у I == Уm sin 2л (т-т):

уравнение отраженной волны:

北=% sin 2л(т+т)-

Отсюда для результирующей волны получаем

Врез8as Ui + В2 n Ут [sin 2冗(^- — у-) + sin 2几(у+у

Применяя теорему сложения, находим

Врез в 2ym cos 2л -у sin 2л -у,

или при 1/Т = f н 2" = о

(К 20.9) %ез = 2ym cos -у- sin cot

Это формула для синусоидального колебания с амплитудой 2Ущ cos(2jt/X)x, которая зависит от координаты. При определенных значениях %, т. е. в некоторых точках, амплитуда равна 2Ут, при других определенных значениях % она равна нулю. Эти точки остаются фиксированными на оси % и находятся друг от друга на page стоянии, равном 九/2.

Обратите внимание:

Стоячие волны возникают при отражении как от менее плотной, так и от более плотной средъь

когда величина / кратна це-когда величина / кратна це-Точки, в которых амплитуда всегда равна нулю, называются узлами волны; точки, в которых амплитуда всегда равна 2Ут, называются пучностями волны.

когда величина / кратна це-

когда величина / кратна це-

В среде, имеющей ограниченный размер Z, стоячая волна может образоваться только в том случае, лому числу полуволн 入/2.

Поверхностные и пространственные волны

Сложение волн

Если в среде распространяется несколько волн, то происходит их сложение (интерференция). В этом случае также действует принцип суперпозиции.

Результирующее отклонение в момент времени f в точке х при сложении двух поверхностных волн с одинаковыми частотами и амплитудами определяется выражением

Урез = Ущ sin s(f^ + Ут sin ^ш (f —^>) + A<pj,

или

Урез = Ут sin О (f — ~^ + Ущ sin S (f ——^.

Если

在 一целое число (0, ± 1, ± 2, ± 3,...),

Аф — разность фаз двух волн в области суперпозиции (фазовый сдвиг),

Ах — разность хода обеих волн, разность путей, проходимых обеими волнами в области суперпозиции,

X —длина волны.

ю условие максимального усиления волн имеет вид

(К 20.10) I Д(р « jfe - 2л

ИЛИ J ^x = kkt I

* условие гашения волн

(R20.ll)［仄(р = (2左 + 1)几 J

или ДХ=(2^+ 1) А.

то закон отражениято закон отраженияимеет видимеет видпостроения отраженных лу-построения отраженных лу-

то закон отражения

то закон отражения

имеет вид

имеет вид

построения отраженных лу-

построения отраженных лу-

Отражение

При падении волны на границу раздела двух сред происходит пол» ное или частичное отражение. Для

чей 1’ и 2’ используется принцип Гюйгенса, согласно которому в точке А возникает элементарная волна. В тот момент, когда луч 2 достигает границы раздела в точке £>, радиус элементарной волны равен АС = BD. Построив общий волновой фронт, проходящий через С п D, получим новое направление волны.

Если

а — угол падения, т. е. угол между падающим лучом и перпендикуляром к поверхности в точке падения,

В — угол отражения, т. е. угол между отраженным лучом и перпендикуляром к поверхности,

(К 20.12) а = р. I(К 20.12) а = р. IОба луча и перпендикуляр лежат в одной плоскости.

(К 20.12) а = р. I

(К 20.12) а = р. I

Обратите внимание:

• Закон (К 20.12) справедлив также и в случае электромагнитных волн, например для света (см. разд. 25.2.1).

Преломление

Если луч переходит из одной среды в другую через границу раздела, то изменяется не только скорость распространения, но и направление распространения — луч преломляется. При построении преломленных лучей 1’ и 2’ применяется принцип Гюйгенса, согласно которому в точке А возникает элементарная волна. В тот

момент, когда луч 2 достигает поверхности раздела в точке D, радиус фронта элементарной волны равен АС = BD*. Построив общН甘 волновой фронт, проходящий через D и С, получим новое направление волны.

Если

а — угол падения, т. е. угол между падающим лучом и перпендикуляром,

В — угол преломления, т. е. угол между преломленным лучом и перпендикуляром,

S — скорость распространения в среде 1,

и? — скорость распространения в среде 2,

(К 20.13)(К 20.13)sin а — Vi sin b 一出sin а — Vi sin b 一出то закон преломления имеет вид

(К 20.13)

(К 20.13)

sin а — Vi sin b 一出

sin а — Vi sin b 一出

Оба луча и перпендикуляр лежат в одной плоскости.

Обратите внимание:

• Закон (К 20.13) справедлив и для электромагнитных волн, например для света; см. (О 25.5).

Дифракция

узкой щелью, то за экраном лучи так называемая дифракция волн, используяузкой щелью, то за экраном лучи так называемая дифракция волн, используяЕсли волна падает на экран с расходятся веерообразно; это Дифракцию можно объяснить,

узкой щелью, то за экраном лучи так называемая дифракция волн, используя

узкой щелью, то за экраном лучи так называемая дифракция волн, используя

принцип Гюйгенса. Угол между первоначальным направлением падающей волны и новым направлением луча называется углом дифракции.

Энергия падающей волны неравномерно распределяется по отдельным направлениям. Она тем меньше, чем больше угол дифракции.

Обратите внимание:

• Дифракция света: см. разд. 26.2.

Характеристики волнового поля

Плотность энергии

Любая волна переносит энергию, которая передается в виде энергии колебательного движения от одной частицы среды к другой. 8 Количество энергии, приходящейся на единицу объема среды, Т называется плотностью энергии w.

Единица СИ плотности энергии: [ш] к %3

Если w — плотность энергии, р — плотность среды, Vm — максимальное значение скорости колебаний частицы, s = 2nf = 2冗/7 — частота,

Ут ~ амплитуда, dV — объем среды, в котором заключена масса dm = pd匕 то, согласно (К 19.18), энергия колебаний

Р匕d0

dW 2,

и для плотности энергиии для плотности энергии切 争 dW/dV получаем выражение

и для плотности энергии

и для плотности энергии

(K 20 •⑷(K 20 •⑷(К 20.15)(К 20.15)или, поскольку, Рщ = У m3.или, поскольку, Рщ = У m3.согласно (К 19.5),согласно (К 19.5),w pusw pusСИСИI Дж/м3 кг/м3 м/с 1/с мI Дж/м3 кг/м3 м/с 1/с м

(K 20 •⑷

(K 20 •⑷

(К 20.15)

(К 20.15)

или, поскольку, Рщ = У m3.

или, поскольку, Рщ = У m3.

согласно (К 19.5),

согласно (К 19.5),

w pus

w pus

СИ

СИ

I Дж/м3 кг/м3 м/с 1/с м

I Дж/м3 кг/м3 м/с 1/с м

Поток энергии

Если

W — энергия, проходящая через поверхность площадью А за врер мя f,

сз力лPVсз力лPV—фазовая скорость волны,

сз力лPV

сз力лPV

—плотность энергии,

—время,

—площадь поверхности,

—плотность среды, в — максимальное значение скорости колебаний,

Ут — амплитуда, о — частота, то W = wV. Это энергия, которая содержится в объеме V = Act, т. е. W = wAct. Принимая во внимание (К 20.14) и (К 20.15), по-* лучаем

^V^Act p^Y^Act (К 20.16)取=Т— = -一~^—・

W p v A c t у & СИ I Дж кг/м3 м/с м2 м/с с м 1/с

Характеристики волнового поля

Мощность

Для мощности Р = W/t из (К 20.16) имеем

4c р(о2г2 Лс

(К 20.17) Р = зАс = —^— =2m —・

Р w А с р osy

СИ I Вт Дж/м3 м2 м/с кг/м3 м/с 1/с м

Интенсивность

Выражение для интенсивности / = P/А вытекает из (К 20.17)

(К 20.18)/ = 5с = —-—^2—.

/ w c p V у СИ I Вт/м2 Дж/м3 м/с кг/м3 м/с м

Обратите внимание:

AAАКУСТИКААКУСТИКА

A

A

АКУСТИКА

АКУСТИКА

Генерация звука

Природа звука

Звуковые волны представляют собой продольные механические волны. Они испускаются источником звука ——колеблющимся телом—и распространяются в твердых телах, жидкостях и газах в виде колебаний давления (волн давления).

Человеческое ухо, как правило, воспринимает частоты от 16 до 20 000 Гц (см. разд. 23.2 1). Колебания более высокой частоты называются ультразвуком, более низкой ——инфразвуком.

Различают: музыкальный тон, созвучие (музыкальный звук), шум и взрыв.

Музыкальный (чистый) тон ——это синусоидальное Колебание.

Созвучие ——результат одновременного звучания нескольких музыкальных тонов, т. е. несинусоидальное колебание, возника

УУWWWWWWТонТон伊仍力4%1仅/1PL ] Музъша^ълый► Взрыв伊仍力4%1仅/1PL ] Музъша^ълый► Взрывющее в результате сложения нескольких синусоидальных колебаний. Тон самой низкой частоты определяет общую высоту звука, остальные тона (обертоны) определяют «окраску» (тембр) звука.

У

У

WWW

WWW

Тон

Тон

伊仍力4%1仅/1PL ] Музъша^ълый

► Взрыв

伊仍力4%1仅/1PL ] Музъша^ълый

► Взрыв

Шум—нерегулярные колебания, смесь многочисленных колебаний примерно одинаковой амплитуды и с самыми разнообразными частотами.

Взрыв ——кратковременное и сильное звуковое воздействие. Между колебаниями источника звука и звуковым ощущением существует следующая взаимосвязь.

Справочная таблица

Характеристика колебанийХарактеристика колебанийЗвуковое ощущениеЗвуковое ощущение

Характеристика колебаний

Характеристика колебаний

Звуковое ощущение

Звуковое ощущение

Г ромкость Высота ТембрГ ромкость Высота Тембр

Г ромкость Высота Тембр

Г ромкость Высота Тембр

Источники звука

Источниками звука называют колеблющиеся тела (в любых агрегатных состояниях), излучающие звуковые волны. Это может быть струна, стержень, пластина, столб воздуха в трубе, мембрана и т. д.

Колебания струны

В фортепиано, скрипке и других музыкальных инструментах звук возникает в результате колебания струн. Эти колебания могут возбуждаться щипком, смычком или ударом.

Если

f — частота колебаний,

/ — длина струны,

尸—сила натяжения струны,

р — плотность материала струны,

Л — площадь поперечного сечения струны,

(А 21.1) f =(А 21.1) f =то, согласно (К 20.1), f = с小.Здесь 入=2/, так как на струне возникает стоячая волна с узлами на концах. Таким образом, f = с/2厶 причем скорость с волны на струне можно считать равной “尸/р4 В результате получаем

(А 21.1) f =

(А 21.1) f =

2/р4 IСИ I Гц м Н кг/м3 м*

Обратите внимание:

• Формула (А21.1) определяет частоту основных колебаний (основного тона) струны. Кроме того, возможны колебания с более высокими частотами (обертоны). Обертоны влияют на тембр звука, но не меняют частоты воспринимаемого тона.

Колебания столба воздуха

В столбе воздуха, заключенном в трубах духовых музыкальных инструментов, возникают стоячие волны, причем на мундштук инструмента приходится пучность волны. Трубы могут быть открытыми и закрытыми.

Справочная таблица

Труба

На конце

Длина трубы

Открытая Закрытая

Пучность Узел

Половина длины волны Четверть длины волны

Если

/ — частота колебаний воздуха в трубе, с — скорость звука в воздухе, Z — длина колеблющегося воздушного столба,

то для открытой трубы Z = %/2・ Поскольку, согласно (К 20.1), с =九f, получаем

(А 21.2) f=壶.(А 21.2) f=壶.Для закрытой трубы I = %/4.(А 21.3)『=齐.Для закрытой трубы I = %/4.(А 21.3)『=齐.СИТак как с = %/, имеемСИСИТак как с = %/, имеемСИ]Гц м/с мf с II Гц м/с м]Гц м/с мf с II Гц м/с м

(А 21.2) f=壶.

(А 21.2) f=壶.

Для закрытой трубы I = %/4.

(А 21.3)『=齐.

Для закрытой трубы I = %/4.

(А 21.3)『=齐.

СИ

Так как с = %/, имеем

СИ

СИ

Так как с = %/, имеем

СИ

]Гц м/с м

f с I

I Гц м/с м

]Гц м/с м

f с I

I Гц м/с м

больше час-больше час-Обратите внимание:

больше час-

больше час-

• Частота музыкального тона открытой трубы вдвое тоты тона в случае закрытой трубы той же длины.

Распространение звука

Звук распространяется в виде продольных механических волн. Фазовая скорость этих волн (называемая скоростью звука с) зависит (при достаточно малых амплитудах) только от механических свойств среды и не зависит от частоты. .

Скорость звука

Скорость звука в твердых телах

Если

с — скорость звука в длинном стержне,

Е — модуль упругости (см. табл. 9), р — плотность стержня (см. табл. 1),

то

(А 22.1) сьд/^，(А 22.1) сьд/^，с Е р

(А 22.1) сьд/^，

(А 22.1) сьд/^，

СИ I м/с Па = Н/м2 кг/ма

Обратите внимание:

Поскольку скорость звука с выражается через плотность р, она зависит от температуры.

Численные значения скорости звука с см. в табл. 32・

Скорость звука в жидкостях

Если

с — скорость звука в жидкости,

К = 1/乂 ——модуль всестороннего сжатия; х — коэффициент сжимаемости (см. табл. 4),

р — плотность жидкости (см. табл. 1),

то

(А 22.2)J―—

V Р V хр I СИ I м/с Па=>Н/м2 м2/Н кг/м3

Обратите внимание:

Поскольку скорость звука с выражается через плотность р, она зависит от температуры.

Численные значения скорости звука с см. в табл. 32.

Скорость звука в газах

Чередование процессов сжатия и разрежения в определенном участке газа происходит столь быстро, что эти процессы можно считать адиабатическими.

Если

с — скорость звука в газе (см. табл. 32),

X PPRTX PPRT=Ср/Су — показатель адиабаты (см. табл. 18),

X PPRT

X PPRT

—плотность газа,

—давление газа,

—газовая постоянная (см. табл. 15),

—температура газа,

(А 22.3)(А 22.3)то

(А 22.3)

(А 22.3)

е y p

СИ ] м/с — Па = Н/м2 кг/м3

с = 7 乂 RT.с = 7 乂 RT.Если в соответствии с (Т 13.23) принять р = p/RT, то с х R Т СИ I м/с — Дж/(кг • К) К Обратите вни м« ние:

с = 7 乂 RT.

с = 7 乂 RT.

• Скорость звука в газах в широких пределах зависит только от температуры и не зависит от давления газа.

Скорость звука в воздухе

Подставив в формулу (А 22.4) численные значения величин для су* хого воздуха при 0℃, найдем'

% = “1,4 ・ 287 ・ 273 = 331,2 м/с.

Экспериментально получено значение 331,6 м/с. При другой температуре воздуха скорость звука можно также определить по формуле (А 22.4).

Если

с — скорость звука при температуре f (в ℃),

/ — температура воздуха (в ℃),

Т — абсолютная температура воздуха,

то с 7 乂Rf 331 耳—获К • 273 •

Отсюда следует

и, поскольку Т = f + То, где То = 273 К, имеем

с = 331,6“1+方

Это выражение можно упростить и с хорошей точностью записать в следующем виде:

(А 22.5) с = (331,6 + 0,60—.

Обратите внимание:

Присутствие паров воды лишь незначительно изменяет величину скорости звука по сравнению с сухим воздухом.

Эффект Доплера

Если источник (излучатель) и приемник звука движутся относительно друг друга, т. е. расстояние между ними увеличивается или уменьшается, то приемник Е будет воспринимать частоту, отличную от частоты источника S.

Если с — скорость звука, ?н — скорость движения источника, Si — скорость движения приемника, /и 一 частота излучения источника, /п 一 частота, воспринимаемая приемником, А — длина волны звука, испускаемого источником, то в соответствии с (К 20.1) /и = с/К При определении 后 необходимо иметь в виду, что движение источника и движение приемника

приводит к различным эффектам, т. е. следует различать эти два случая.

Удаление приемника Е от источника S соответствует уменьшению скорости с звуковой волны относительно приемника. В приведенных выше выражениях необходимо вместо с подставить С —%.

Приближение источника к приемнику соответствует уменьшению длины волны на величину, равную пути, который проходит источник S в течение периода колебания. В приведенных выше выражениях X необходимо заменить на

九一^иЯи-

Подставляя полученные выражения в fn = c/入, получаем

с — 5i с — vn

/ п =

色С一办

/и/и

откуда следует формула для эффекта Доплера:

/п — /и с — Dr •必 > 0^п >

Переходя к длинам волн 九，получаем ,

(А 22.7)入п = Ац :三*•* X。 * их。

Обратите внимание:

При вычислении 办 и 力 надо иметь в виду, что движение в направлении распространения звуковой волны отвечает положительной скорости, в противоположном направлении ——отрицательной.

Для покоящегося источника Сн = 0, для покоящегося приемника % = 0.

Скорость звука в воздухе дается формулой (А 22.5).

В большинстве случаев Сн, fn《с; тогда формулу (А 22.6) можно упростить и с хорошей точностью записать в виде

(a 22.8)% = %(1 + 半).

Обратите внимание:

Аи — относительная скорость источника и приемника. С учетом знаков этих скоростей Лу = уи ——卩口・

Если скорость источника возрастает до величины с, то в формуле (А 22.7) Хп = 0. В точке, где в этот момент времени находится источник, сходятся покоящиеся относительно источникаЕсли скорость источника возрастает до величины с, то в формуле (А 22.7) Хп = 0. В точке, где в этот момент времени находится источник, сходятся покоящиеся относительно источникафронты всех волн, излученных в мени. При этом давления всех волн складываются и возникает так называемый «звуковой барьер».

Если скорость источника возрастает до величины с, то в формуле (А 22.7) Хп = 0. В точке, где в этот момент времени находится источник, сходятся покоящиеся относительно источника

Если скорость источника возрастает до величины с, то в формуле (А 22.7) Хп = 0. В точке, где в этот момент времени находится источник, сходятся покоящиеся относительно источника

При еще большей скорости движения источника (когда он движется со сверхзвуковой скоростью и > с) излученные в различные моменты времени волны складываются в результирующую волну с конусообразным волновым фронтом. Весь конус движется со скоростью источника с. Приемник, когда его достигает волновой фронт, регистрирует взрыв, так называемый сверхзвуковой взрыв. Сам конус обычно называют конусом Маха.

Как видно из рисунка, угол раствора конуса определяется вы» ражением

(А22.9) si吟=А%・

Здесь М — так называемое число Маха. Например, число Маха, равное 2, означает, что тело движется со скоростью, вдвое превышающей скорость звука.

Обратите внимание:

Конус Маха образуется также и в том случае, когда нет никакого источника звука. Если скорость движения тела больше скорости звука в данной среде, то подобная «ударная волна» возникает вследствие уплотнения среды.

Сложение звуковых волн

При сложении (интерференции) звуковых волн справедливы те же закономерности, что и в случае волн другой природы (см. разд. 2031). Мы рассмотрим здесь лишь наиболее важные частные случаи.

Гашение звука

Две распространяющиеся в одном направлении звуковые волны с одинаковыми частотами и амплитудами гасят друг друга, если

Разность хода = (2々 + 1)万 伍=0, 1, 2 ...).

Если амплитуды волн неодинаковы, то при тех жй условиях происходит ослабление звука.

22.32 Усиление звука

Две распространяющиеся в одном направлении звуковые волны с одинаковыми частотами и амплитудами усиливают друг друга, если

Разность хода = ^Х (々 = 0, 1, 2 ...);

при этом амплитуда результирующей волны вдвое больше амплитуды каждой из волн. Если амплитуды волн неодинаковы, то при тех же условиях происходит сложение отклонений.

Биения

При сложении двух распространяющихся в одном направлении звуковых волн с мало различающимися“

Амплитуда результирующей волны периодически изменяется.

Если

/1 — частота первой звуковой волны, fz — частота второй звуковой волны, /б — частота биений, т. е. число максимумов или минимумов гром

кости в единицу времени,

Гб = 1/% — период биений, То

(А 22.10)(А 22.10)Ц2 H Wj^.Ц2 H Wj^.

(А 22.10)

(А 22.10)

Ц2 H Wj^.

Ц2 H Wj^.

Обратите внимание:

• При частоте биений, меньшей примерно 16 Гц, человеческое ухо не воспринимает колебаний громкости, а лишь регистрирует высоту тона, соответствующего этой разности частот.

Звуковые измерения

03.1.Характеристики звукового поля

Энергия, излучаемая источником звука, переносится звуковыми волнами, образуя звуковое поле. Для характеристики звукового поля используются величины, отличающиеся от характеристик волновых полей общего типа. '

Колебательная скорость

■

Колебательной скоростью или скоростью частиц называют скорость колебательного движения частиц среды.

Если

и — мгновенное значение колебательной скорости, f — частота звуковой волны, Ут — амплитуда колебаний частицы, (о = 2л/ — угловая частота, (of — фаза,

то аналогично (К 19.4)

(А 23.1) J V = Xm(o cos(о/ J

Отсюда получаем максимальную колебательную скорость (амплитуду)

(А 23.2) I % =叫=2犷П]

и эффективное значение колебательной скорости

(А 23.3) V = % = V公灯Ут “2

Обратите внимание:

• Обычно колебательную скорость частиц не измеряют, а вычисляют по величине звукового давления (см. разд. 23.1.2).

Звуковое давление

|

Под звуковым давлением р понимают происходящие в звуковой волне периодические изменения давления (сжатия и разрежения).

В газовой среде звуковое давление р налагается на существующее давление газа %.

Н кг

Единица СИ звукового давления: [р] = паскаль (Па) =

Внесистемная единица： микробар (мкбар) = 10-6 бар.

Соотношение между единицами давления

1 бар«= 10е мкбар = 105 Па 1 мкбар = 10~6 бар = ОД Па 1 Па = 10 мкбар = 10""6 бар.

Если

р ~ плотность среды (см. табл. 1),

с - — скорость звука в среде (см. табл. 32),

(о = 2nf — угловая частота,

Ут 一 амплитуда колебаний,

Vm — амплитуда скорости, максимальная колебательная скорость частиц,

то для мгновенного значения звукового давления в определенной точке звукового поля получаем

(А 23.4) I р = pea)}% cos(of. IЕдиницы: см. (А 23.5)

Поскольку, согласно (А 23.2), зУт = Ит, максимальное звуковое давление (амплитуда давления) составляет

(А 23.5) I Рт = рссоУгп == pcVm, J

ррсV(д

СИПа =Н/м2кг/м3м/см/с1/с

OrpQмкбарг/см3см/ссм/с1/с

а эффективное значение звукового давления

(А 23.6)0 = 巴.=PR?11 .Единицы: см. (А 23.5)

,2 V2

Интенсивность (сила) звука

I

Интенсивностью звука / называют отношение падающей на поверхность звуковой мощности Р к площади этой поверхности 4?

Вт

Единица СИ интенсивности звука: 17]=-^-

Если

/ — интенсивность звука,

р — плотность среды,

с — скорость звука в среде,

口 一 колебательная скорость частиц, р — звуковое давление,

то / = Р/А = Wit А, где 步一энергия, падающая на поверхность 4 за время /. Она равна энергии, содержащейся в объеме V = А/, где I ——путь, который проходит волна за время /. Таким образом»

W WI/yc、

匸而^丁 и.при 下=с и у = ® (К 20.14)

имеемимеемдля' интенсивности полрдля' интенсивности полрчаем(А 23.7)чаем(А 23.7)wc. Подставляя wwc. Подставляя wГ реиСИ I Вт/м2 кг/м3 м/с м/сГ реиСИ I Вт/м2 кг/м3 м/с м/сили, учитывая (А 23.5), pm = pcVm,или, учитывая (А 23.5), pm = pcVm,(А 23.8)(А 23.8)СИ J Г1а = Н/м2СИ J Г1а = Н/м2

имеем

имеем

для' интенсивности полр

для' интенсивности полр

чаем

(А 23.7)

чаем

(А 23.7)

wc. Подставляя w

wc. Подставляя w

Г реи

СИ I Вт/м2 кг/м3 м/с м/с

Г реи

СИ I Вт/м2 кг/м3 м/с м/с

или, учитывая (А 23.5), pm = pcVm,

или, учитывая (А 23.5), pm = pcVm,

(А 23.8)

(А 23.8)

СИ J Г1а = Н/м2

СИ J Г1а = Н/м2

Уровень интенсивности

Для сравнения интенсивностей звука или звукового давления используют уровень интенсивности или уровень звукового давления. (Уровнем интенсивности £戶 называется умноженный на 10 логарифм (десятичный) отношения двух интенсивностей звука; уровнем звукового давления £ называется умноженный на 20 логарифм отношения звуковых давлений.

В принципе величина 厶 как логарифм отношения безразмерна и потому не имеет единиц измерения. Тем не менее для- численного значения логарифма применяют название децибел. (дБ). Децибел используют как единицу измерения.

Для указания абсолютного уровня интенсивности вводят стандартный порог слышимости /0 человеческого уха на частоте f =, =1 кГц, по отношению к которому, указывается интенсивность Порог СЛЫШИМОСТИ К = 1072 Вт/м2.

Если

Lp — уровень интенсивности звука,

I — интенсивность звука,

/о = 1 пВт/м2 ——стандартный порог слышимости,

то в соответствии с определением уровня интенсивности звука

(А 23.9)Лр=10 1^-£дБ.

Аналогично определяют абсолютный уровень звукового дав* ления, используя стандартное пороговое звуковое давление р0 = =2・10-5 Ra и формулу (Ал23；8).

Если

Ер — уровень звукового давпення,

Q — звуковое давление, уровень которого должен быть, определен 0о == 20 мкПа — пороговое звуковое давление.

то

(А 23.10) L = 20 1g丄 дБ = 20 Ig 眸一 дБ.

Ро“2 ро

Обратите внимание:

Согласно соотношению (А 23.8), 70 и рд взаимно пропорциональны. Коэффициент пропорциональности 1/рс зависит от свойств среды. Поскольку значение р0 установлено, величина /0 ^ Ю~12 Вт/м2 представляет собой порог слышимости для «нормального» воздуха. Для других сред величину /0 необходимо вычислять с помощью (А 23.8).

Значения уровня интенсивности объективны, они позволяют не принимать во внимание зависимость чувствительности человеческого уха от частоты.

Суммарный уровень интенсивности нескольких источников вычисляется через сумму интенсивностей звука или через корень квад・ ратный из суммы квадратов звукового давления (V^i +^2+ •••)• Расчеты показывают, что при сложении двух волн, имеющих

одинаковую интенсивность, уровень интенсивности увеличивается

на 3 дБ. В случае п источников звука равной интенсивности L выражение для полного уровня интенсивности имеет вид

(a 23.11) I 拆。^ =L+10厄几.1

Уровень интенсивности двух источников разной интенсивности

можно определить при помощи

диаграммы. Она показывает, на сколько децибел возрастает больший уровень Li в зависимости от разности AL обоих уровней.

В СВЧ-технике уровни мощности и напряжения также задаются в децибелах (дБ). В этом случае

(А 23.12)

Lp = 10 1g 了^ дБ,

где 「0 = 1 мВт

越ля

L0 = 2°厲*■区8，

где 4 = 0,775 В

23.1.5. Относительный у^вень интенсивж)сти

Относительным уровни интенсивности называют разность двум абсолютных уровней: Аб == Lp^ — ЬРЪ

При этом, учитывая (А 23.9), получаем

Lpi — Lp2 = 1° 0g 条—垓 7Г) И

Обратите внимание:

Аналогично образуются разности уровней электрической мощности и напряжения. Так сравнивают входные и выходные характеристики усилителей, линий передачи и т. д.

Используемые в строительной технике коэффициенты звукопоглощения являются мерой ослабления звуковых волн при прохождении через строительные и звукоизоляционные материалы. Коэффициентом звукоизоляции называют разность уровней интенсивности звука до и после прохождения звукоизоляционного материала} D = Lpi —厶卩2・ Отсюда следует аналогично (А 23.13)

(А 23.15) D=10 lg g

Обратите внимание:

Численные значения коэффициента звукоизоляции D см. в табл. 33.

23.2. Слух

Диаграмма слуха

Диаграмма, на которой представлены области частот и интенсивностей, воспринимаемые человеческим ухом, называется диаграммой слуха. Нормальное ухо слышит только звуки, характеристики которых лежат внутри указанной области. Нижняя граничная кривая характеризует порог слышимости в зависимости от частоты, верхняя кривая ——болевой порог в зависимости от частоты. Известно, что при одинаковом звуковом давлении и одинаковой интенсивности громкость звуков различной частоты по-разному воспринимается ухом. Поскольку на частоте 1000 Гц ухо воспринимает на愚

больший диапазон интенсивностей (при 1000 Гц диаграмма слуха имеет наибольшее вертикальное поперечное сечение), в определении громкости используется эта частота.

23.22 Громкость

Приведенные в разд. 23.1 характеристики звукового поля представляют собой физические величины, которые объективно существуют и, следовательно, могут быть измерены. Напротив, громкость—это сила звука, воспринимаемая человеком субъективно, она зависит от слуха и является физиологической характеристикой. Громкость измеряется в фонах. Фон, так же как и децибел, не является единицей измерения, а представляет собой умноженный на 20 логарифм отношения звуковых давлений.

Если

^н— громкость,

0 — звуковое давление, которое отвечает звуковому тону с частотой 1000 Гц, воспринимаемому как звук с громкостью, равной громкости измеряемого звука,

瓦=20 мкПа ——стандартное пороговое звуковое давление,

то аналогично (А 23 10)

(А 23.16) £н = 20 lg-^- фон = 20 1g ―舟^— фон.

Обратите внимание:

Для тона с частотой 1000 Гц уровень интенсивности LP совпадает с громкостью £н・

Громкость тона любой частоты вычисляется по звуковому давлению тона с частотой 10Q0 Гц, воспринимаемого как звук той же громкости.

Численные значения громкости LH см. в табл. 34.

Соотношеиие (А 23.16) отражает тот факт, что чувствительность к звуку (восприимчивость уха) меняется как логарифм интенсивности звука (закон Вебера—Фехнера).

При наличии нескольких звуковых источников общая громкость определяется как корень квадратный из суммы квадратов звуковых давлений.

На диаграмме представлены «кривые равной громкости». Они позволяют определить, какую величину должны иметь при данной частоте уровень интенсивности звука и звуковое давление, чтобы воспринималась определенная громкость. «Кривые равной громкости» позволяют без вычислений определять громкость Lh для каждого тона по частоте и звуковому давлению или по частоте и уровню интенсивности звука.

4%力ptnaН,阿НМ啰

勿 50 юо zm 500 то гооо sooo юооо гто £ Гц

23.2.3. Оценка уровня интенсивности звука

С помощью диаграммы можно определять только громкость чистых тонов, т. е. синусоидальных звуковых волн. Если же имеется смесь частот, т, е. звуковые волны несинусоидальной формы, то сравнительные измерения и вычисление с помощью формулы (А 23.16) сильно затрудняются. Тогда вместо громкости определяют так называемый. аценочный уровень интенсивности звука. Он определяется с помощью измерителя уровня интенсивности, состоящего из микрофона, усилителя и индикатора. При- этом благодаря дополнительному корректирующему элементу частотная характеристика прибора приближается к чувствительности человеческого уха. Разработаны и утверждены международные оценочные кривые, ооо«

значения которых указываются в скобках, например £д/ 60 дБ (4/) означает уровень звукового давления в 60 дБ, определенный по оценочной кривой А для импульсного звука.

Ультразвук

Свойства

Звуковые частоты, лежащие выше порога слышимости, называются ультразвуковыми. В качестве границы принимают частоту примерно 20 кГц, хотя ату частоту уже не воспринимают люди пожи* лого возраста. Особые свойства ультразвука обусловлены высокой частотой и связанной с ней малой длиной волны.

Интенсивность

Поскольку / = р〃^/2 (А 23.7) и Vm = 2л/Ут (А 23.2), то / = =2齋0嗫产,т. е. /~产.Поэтому высоким частотам ультразвука соответствуют очень большие интенсивности (до 20 Вт/см2), что приводит к нагреву тел, подвергающихся воздействию ультразвука.

Звуковое давление может достигать нескольких бар. Это позволяет использовать ультразвук для заметного механического воздействия на материал. Возможны следующие применения ультразвука:

Ультразвуковой массаж,

Разрушение клеток,

Создание эмульсий (эмульгирование) воды, масла и др.»

Обезгаживание металлических расплавов и жидкостей,

Кавитация (образование пустот) в среде,

Ультразвуковая пайка алюминия (разрушение окисного слоя), • Ультразвуковое сверление.

Распространение

Поскольку ультразвуковые волны обладают малой длиной волны, они, как и свет, могут образовывать строго направленные пучки. Для них также справедливы законы отражения. С помощью вогнутого зеркального рефлектора ультразвуковые волны можно направлять из источника в строго определенном направлении. Ультразвук почти не дифрагирует и распространяется прямолинейно. Применения:

Измерение глубины с помощью эхолота, а также поиск косяков рыб,

Дефектоскопия материала: ультразвуковые волны отражаются от внутренних трещин и дефектов.

Генерация ультразвука

Механическая генерация

При помощи камертона с ножками длиной в несколько миллиметров, свистков и сирен получают ультразвуковые колебания вплоть до 200 кГц. Ультразвук более высокой частоты и более высокой интенсивности получают электрическими и магнитными способами.

Магнитные методы

Используя явление магнитострикции, можно генерировать ультразвуковые волны с частотами до 50 кГц. У ферромагнитных материалов (никель, железо и др.) под действием магнитного поля происходит незначительное изменение линейных размеров. Так, например, никелевый стержень, помещенный в переменное магнитное поле, совершает продольные колебания с соответствующей частотой. Амплитуда колебаний максимальна в случае резонанса.

Электрические методы

Электрические методы генерации ультразвука основаны на явлении электрострикции (обратный пьезоэлектрический эффект). Если к кварцевой пластине приложить переменное напряжение высокой частоты, то пластина будет совершать колебания соответствующей частоты, особенно интенсивные в резонансе. Таким способом можно получать частоты до 104 кГц.

В последнее время вместо кварца успешно применяется титанат бария.

одной точки и не сходящееся водной точки и не сходящееся вСходящийся пучокСходящийся пучокРасходящийсяпучокРасходящийсяпучокДиффузное излучениеДиффузное излучение

одной точки и не сходящееся в

одной точки и не сходящееся в

Сходящийся пучок

Сходящийся пучок

Расходящийся

пучок

Расходящийся

пучок

Диффузное излучение

Диффузное излучение

О ОПТИКА

Геометрическая оптика

Распространение света

Прямолинейность распространения света

Доказательством прямолинейности распространения света служит образование тени. От точечного источника евета возникает полная тень (К)・ От двух и более источников, а также от протя

женного источника света возникает полная тень (К) и полутень (〃).

Лучи, исходящие из одной точки, образуют расходящийся пучок (сечение пучка увеличивается).

Лучи, сходящиеся в одну точку, образуют сходящийся лучок (сечение пучка уменьшается).

Излучение, не выходящее из точку, называется диффузным.

Скорость света

Первые измерения скорости света:

1676 г. Ремер (астрономический метод),

1849 г. Физо (первое измерение в пределах Земли),

1892 г. Фуко (первое измерение скорости света в других средах, т. е. не в воздухе).

Наиболее точное значение по данным измерений 1972 г.:

I Скорость света в вакууме с = (299 792 456,2 ± 1,1) м/с.

Скорость света в вакууме является универсальной константой и не зависит от частоты. В веществе скорость света меньше, чем

в вакууме.

Справочная таблица

Скорости света в различных средах (округленно)

Вещество

5 км/с

Вещество

V, км/с

Вакуум

300 000

Флинтглас

186 000

Воздух

300 000

Сероуглерод

184 000

Вода

225 000

Алмаз

124 000

Кронглас

198 000

Канадский бальзам

198 000

25.2.Отражение света

Закон отражения

Закон отражения, сформулированный в гл. 20 для механических (акустических) волн [формула (К20.12)], справедлив и для световых лучей, т. е.

I Угол падения а равен углу отражения 0.

Обратите внимание:

Углы падения и отражения измеряются между направлением луча и перпендикуляром к поверхности.

Падающий луч, отраженный луч и перпендикуляр лежат в одной плоскости.

Закон отражения справедлив и в случае шероховатой отражающей поверхности. Параллельный пучок отражается от нее Оиф. фузно, однако каждый луч подчиняется закону отражения.

Плоское зеркало

Плоское зеркало представляет собой гладкую поверхность, при отражении от которой параллельный пучок остается параллельным. Плоским зеркалом пользуются для получения изображений.

I

Плоское зеркало создает мнимое (кажущееся) изображение. Предмет и его изображение расположены симметрично по отношению к поверхности зеркала.

Наблюдателю кажется, что лучи исходят из точки за зеркалом.

Вогнутое зеркало

Закон отражения справедлив также для искривленных поверхностей, однако в этом случае в разных точках поверхности зеркала перпендикуляр имеет различные направления. Вогнутое зеркало представляет собой или часть сферы (сферическое зеркало) или часть параболоида вращения (параболическое зеркало).

|

Лучи, падающие на поверхность вогнутого зеркала параллельно оптической оси, после отражения собираются в фокусе F.

Расстояние от фокуса 尸 до вершины зеркала S называется фокусным расстоянием f.

Если

f — фокусное расстояние вогнутого зеркала,

г — радиус кривизны поверхности зеркала,

(О 25.1) f =у.(О 25.1) f =у.то

(О 25.1) f =у.

(О 25.1) f =у.

Фокальная точка делит пополам отрезок, соединяющий центр кривизны М и вершину зеркала S.

Обратите внимание:

Сферические зеркала собирают точно в фокальной точке только близкие к оси лучи. Чтобы в фокусе собирались удаленные от оси лучи, следует применять параболические зеркала.

Построение изображения в зеркале

Для построения изображения нужно воспользоваться по меньшей мере двумя из следующих трех лучей:

луч /, параллельный оси; после отражения в зеркале он проходит через фокус;

фокальный луч 2; после отражения он идет параллельно оси;

луч 3, проходящий через центр кривизны зеркала; при отражении он совмещается с самим собой.

или, после деления на g нили, после деления на g нсоответствующей перестановки,соответствующей перестановки,(О 25.3)(О 25.3)

или, после деления на g н

или, после деления на g н

соответствующей перестановки,

соответствующей перестановки,

(О 25.3)

(О 25.3)

Формула зеркала

Если

f — фокусное расстояние вогнутого зеркала,

g — расстояниепредметадо

зеркала,

Ь — расстояние изображения до зеркала,

G — размер предмета,

В — размер изображения,

то в соответствии с рисунком

(О 25.2) I G : В = g : b. I

Далее из рисунка следует, что

G g-f£・ g

Обратите внимание:

Формулы (О 25.2) и (О 25.3) справедливы только для лучей, близких к оси, так как при выводе этих формул искривленная поверхность зеркала заменяется плоской.

Действительные изображения перевернуты в отличие от мнимых изображений, которые не перевернуты (прямые).

Действительное изображение можно наблюдать на экране, мнимое —нельзя.

В п. 5 приведенной ниже таблицы величина 6 отрицательна.

Вогнутые зеркала используются в зеркальных телескопах в качестве объективов.

Если в фокусе зеркала расположен точечный источник света, создающий расходящийся пучок, то после отражения от зеркала возникает почти параллельный пучок (это следует из обратимости хода лучей).

Справочная таблица

Изображение в вогнутом зеркале

Расстояние

РасстояниеD

до изобра-РазмерУвеличениеВид

до предмета g

женияизображенияизображения

ьв

L g>r

г > b > iBVGр < 1 Действительное,

перевернутое

2. g ==r ^r>g>f

4. g==^

5・ g Vf

b = rB==GР = 1 То же

b>rB>G₽> 1》

b = ООВ = ОО0 = ОО》

Ь<0В > Gр > 1 Мнимое, прямое

Изображение в выпуклом зеркале

Р < 1 Мнимое, прямоеР < 1 Мнимое, прямоеg произвольное b V О В < G

Р < 1 Мнимое, прямое

Р < 1 Мнимое, прямое

Выпуклое зеркало

|

Лучи, падающие на выпуклое зеркало параллельно оптической оси, отражаются таким образом, как если бы они излучались в точке F.

■ Выпуклое бражение.Обратите• Формулызеркал.■ Выпуклое бражение.Обратите• Формулызеркал.зеркало создает мнимое, прямое и уменьшенное изо-

■ Выпуклое бражение.

Обратите

• Формулызеркал.

■ Выпуклое бражение.

Обратите

• Формулызеркал.

внимание:

(О 25.1) — (О 25.3)справедливы и для выпуклых

Фокусное расстояние выпуклого зеркала отрицательно, так как фокус расположен за зеркалом (f V 0).

Расстояние до изображения в таком зеркале также отрицательно (b V0).

Для построения изображения в выпуклом зеркале нужно, как и в случае вогнутого зеркала, рассмотреть ход по крайней мере двух из трех изображенных на рисунке лучей.

25.3. Преломление света

На границе раздела двух сред световой луч не только отражается, но и преломляется, т. е. часть его энергии переходит из одной среды в другую.

5.3.1. Закон преломления

Для световых лучей справедлив закон преломления (К 20.13), сформулированный в гл. 20 для случая механических (акустических)' волн.

Если а

а — угол падения (отсчитываемый от перпендикуляра),

— угол преломления (отсчитываемый от перпендикуляра),

с — скорость света в вакууме,

— скорость света в среде /,

S — скорость света в среде 2,

〃 —показатель преломления,

(О 25.4)(О 25.4)sin а — с sin В — у2sin а — с sin В — у2то при падении света из вакуума на границу со средой

(О 25.4)

(О 25.4)

sin а — с sin В — у2

sin а — с sin В — у2

При падении света из произвольной среды / на границу со средой 2

(О 25.5)(О 25.5)

(О 25.5)

(О 25.5)

Обратите внимание:

Если свет распространяется в противоположном направлений (т. е. из среды 2 в среду /), то в формулу (О25.5) входит обратное отношение показателей преломления.

Так как скорости света в вакууме сив воздухе уВозд различа* ются всего на 0,03%, при падении света из воздуха на некот。*

рую среду можно пользоваться тем же показателем преломления, что и при падении из вакуума на эту же среду.

Среда, в которой скорость света меньше, называется оптически более плотной, а среда, в которой скорость света больше,— оптически менее плотной.

Значения показателя преломления п см. в табл. 35.

Переход света из оптически менее плотной в оптически более плотную среду

При переходе из среды с большей скоростью света в среду с меньшей скоростью света (几 > 1) угол преломления меньше угла падения. Преломленный луч приближается к нормали.

Переход света из оптически более плотной в оптически менее плотную среду

При переходе из среды с меньшей скоростью света в среду с большей скоростью света (及 V 1) угол преломления больше угла падения. Преломленный луч отклоняется от нормали.

Полное внутреннее отражение света

При переходе из оптически более плотной в оптически менее плотную среду угол падения не может превышать предельного значения апр, так как синус угла прелом- ления не может быть больше еди- § ницы.§ »

Если

аПр — предельное значение угла падения,

九—показатель преломления (см. табл. 35),

5 — скорость света в более плотной среде,

и? — скорость света в менее плотной

среде, то, поскольку

—sin апр 一 sin апр sin 90。一I—

имеем

(О 25.6) sin аПр = -^- = n.

Если угол падения а > аПр, происходит полное внутреннее отражение. При этом вся энергия света отражается в первую, более плотную среду.

Плоскопараллельная пластина

При прохождении света через плоскопараллельную пластину преломление происходит на двух параллельных границах. Поэтому при

прохождении через пластину световой луч не меняет направление распространения, а только смещается параллельно самому себе.

Если а — величина смещения луча, d — толщина пластины, а — угол падения на первую границу раздела,

₽ — угол преломления на первой границе раздела, равный углу

падения на вторую границу раздела,

(О 25.7)(О 25.7)d sin (а — Р)cos Вd sin (а — Р)cos Вто справедливо равенство

(О 25.7)

(О 25.7)

d sin (а — Р)cos В

d sin (а — Р)cos В

на пре-отклоне-прелом-на пре-отклоне-прелом-

на пре-отклоне-прелом-

на пре-отклоне-прелом-

(предполагается, что среда по обе стороны от пластины одна и [а же).

Призма

В призме световой луч дважды испытывает преломление ломляющих гранях и изменяет свое направление. Полное ние луча зависит от угла падения света на призму и от ляющего угла призмы со.

Если

6 — угол отклонения луча призмой, S — угол падения на первую грань, ₽2 — угол преломления на второй

грани,

<о — преломляющий угол призмы, п — показатель преломления,

то

(О 25.8) I 6 = а】+ 阮 一 I

Если угол ① мал, то можно пользоваться приближенной формулой亠

(О 25.9) [б = (〃一 1)(о. I

^шп 三 Q 6 百三三-Q d^шп 三 Q 6 百三三-Q d

^шп 三 Q 6 百三三-Q d

^шп 三 Q 6 百三三-Q d

Обратите внимание:

Из геометрических соотношений следует, что о = pi + аг.

При симметричном ходе лучей, когда а【=02 и pi = о^, луч в призме распространяется параллельно ее основанию и угол отклонения минимален.

Линзы

Линзы изготовляются из стекла, пластмассы и других прозрачных материалов. В сферических линзах внешние поверхности образуют часть сферы.

Проходящие через линзу лучи преломляются дважды. При построении хода лучей преломление на обеих границах заменяют одним преломлением в так называемой главной плоскости линзы.

Все расстояния (фокусное расстояние, расстояния до предмета и изображения) отсчитываются от главной плоскости линзы.

Виды линз

Выпуклые (собирающие) линзы ограничены двумя поверхностями, причем толщина линзы у середины краев. Собирающие линзы могут быть д

двояковыпуклыми (а),

плоско-выпуклыми (6),

вогнуто-выпуклыми(8).

1Лучи, параллельные оптической оси, после прохождения через собирающую линзу собираются в фокусе F. Расстояние от фокуса до главной плоскости линзы называется фокусным расстоянием f.

Вогнутые (рассеивающие) линзы ограничены двумя сферическими поверхностями, причем толщина линзы у середины меньше, чем у краев. Рассеивающие линзы могут быть

двояковогнутыми (а),

плоско-вогнутыми (6),

выпукло-вогнутыми (8). •

Лучи, параллельные оптической оси, после прохождения через рассеивающую линзу преломляются таким образом, что кажутся выходящими из фокуса 尸,расположенного перед линзой. Расстояние от фокуса до главной плоскости линзы называется фокусным расстоянием f. У вогнутой линзы оно выражается отрицательным числом и определяет ее рассеивающую способность.

РассеивающаяЛинзаРассеивающаяЛинзаПостроение изображения в линзе

Рассеивающая

Линза

Рассеивающая

Линза

Для построения изображения нужно воспользоваться по крайней мере двумя из следующих трех лучей:

Луч /, параллельный оси; после преломления в линзе он про* ходит через фокус;

фокальный луч 2; после преломления в линзе он параллелен оси;

луч 3, проходящий через центр линзы; этот луч не меняет после линзы своего направления.

Формула линзы

Если

В — увеличение линзы,

G — размер предмета,

В — размер изображения, g — расстояние до предмета, b — расстояние до изображения, / — фокусное расстояние,

то в соответствии с рисунком имеем следующую формулу для уве、 личения линзы:

(0 25.10) Ви^н^。

Далее, из рисунка следует, что

GG旦・b，旦・b，巨一上=g.f f b・巨一上=g.f f b・

G

G

旦・b，

旦・b，

巨一上=g.

f f b・

巨一上=g.

f f b・

После деления на g и перестановки получаем основную формулу линзы:

(025.11) + = Н^・

Обратите внимание:

Если предмет и изображение расположены с одной стороны линзы, то расстояние до изображения отрицательно. Это мнимое изображение.

У рассеивающих линз фокусное расстояние и расстояние до изображения отрицательны.

Справочная таблица

Изображение, образуемое собирающей линзой (/ > 0)

Расстояние д0 изобра- изображения УвеличениеВид

до предмета gжени я ЬВВизображения

>>>2fg вg2fg gS.&4.氏>2fg вg2fg gS.&4.氏у^^о => =V ь ь方力у^^о => =V ь ь方力GG 8G 一一 > 一一 > ввввGG 8G 一一 > 一一 > ввввP<1Действительное, перевернутоеВ = 1То же3>1》0 = ОО»P>1Мнимое, прямоеP<1Действительное, перевернутоеВ = 1То же3>1》0 = ОО»P>1Мнимое, прямое

>

>

>

2fg в

g2fg g

S.&4.氏

>

2fg в

g2fg g

S.&4.氏

у^^о => =V ь ь方力

у^^о => =V ь ь方力

GG 8G 一一 > 一一 > вввв

GG 8G 一一 > 一一 > вввв

P<1

Действительное, перевер

нутое

В = 1

То же

3>1

》

0 = ОО

»

P>1

Мнимое, пря

мое

P<1

Действительное, перевер

нутое

В = 1

То же

3>1

》

0 = ОО

»

P>1

Мнимое, пря

мое

Изображение, образуемое рассеивающей линзой (f V 0)

6・ g произвольное & < 0 В < G Р < 1 Мнимое, прямое

Определение фокусного расстояния

Фокусное расстояние линзы зависит от материала линзы и кривизны поверхностей.'

Если

f — фокусное расстояние линзы,

п — показатель преломления материала,

г\ — радиус кривизны более искривленной поверхности,

厂2 一 радиус кривизны менее искривленной поверхности,

то в случае тонких линз

(О 25.12) 十=(拉一1)(十+ ^)

Справочная таблица

Виды линз

Собирающие

двояковыпуклые )++

плоско-выпуклые >+年8

вогнуто-выпуклые 丿*一

Рассеиваюшие

двояковогнутые )__

плоско-вогнутые >——8

выпукло-вогнутые 丿—+

Обратите внимание:

Радиусы кривизны выпуклых поверхностей положительны, а радиусы кривизны вогнутых поверхностей отрицательны.

У плоской поверхности радиус кривизны бесконечно велик.

Формула (О 25.12) справедлива для тонких линз, толщина которых мала по сравнению с диаметром линзы и фокусным расстоянием.

Аберрации

Если нет искажений, то каждой точке изображения однозначно соответствует точка предмета. При этом геометрическое расположение точек изображения должно быть подобно геометрическому расположению точек объекта. Сферические линзы лишь приближенно удовлетворяют этому требованию. Искажения изображения называются аберрациями.

Аберрации можно значительно уменьшить применением системы линз и, в частности, несферических линз.

Хроматическая аберрация

Поскольку преломление света линзой зависит от его длины волны (синий свет преломляется сильнее, чем красный), изображение приобретает цветную кайму. Для ослабления хроматической аберрации

применяют комбинацию выпуклой линзы из кронгласа с вогнутой линзой из флинтгласа (ахроматическая пара линз, или ахромат). Полная компенсация хроматической аберрации возможна лишь для двух значений длин волн.

Сферическая аберрация

Периферия линзы преломляет лучи сильнее, чем центральная часть, поэтому изображение оказывается нерезким. Для повышения резкости изображения линзы диафрагмируют. Указанная погрешность носит название сферической аберрации. Сферическую аберрацию можно скомпенсировать, применяя соответствующим образом подобранные пары линз.

Кривизна поля изображения

Изображение, создаваемое простой линзой, не лежит в одной плоскости; поле изображения имеет вид выпуклой поверхности. Вследствие этого края изображения оказываются нерезкими. Для компенсации такой аберрации применяют специальные линзовые системы (апланаты).

Дисторсия

Изображение прямоугольной сетки искажается, приобретая подушкообразную или бочкообразную форму. При этом прямые линии искривляются наружу или внутрь, особенно на краях изображения.

К другим аберрациям относятся:

• астигматизм, • кома.

Для их коррекции применяют сложные оптические системы, состоя

щие из трех и более линз. В современных объективах фотоаппаратов и кинокамер все указанные аберрации сведены к минимуму.

Оптические приборы

Оптические приборы предназначены для решения двух задач:

получения изображений (фотоаппарат, проекционный аппарат и т. д.)；

увеличения угла зрения (лупа, микроскоп, подзорная труба и т. д.).

Проекционный аппарат

Для исхпучеявя изображения в ироекыдоаиом аппарате используется собирающая линзовая система—объектив. Предмет располагается перед объективом на расстоянии, составляющем от одного до двух фокусных расстояний (fVWV2f). Изображение возникает за объективом на расстоянии, превышающем удвоенное фокусное расстояние (厶 >2/)*Л

и является действительным, увеличенным+

и перевернутым (см. п. 3 в справочной'

таблице в разд. 25.4.3). Для регулировки резкости изображения объектив перемещают так, чтобы расстояние до предмета соответствовало расстоянию до изображения.

Определим размер проецируемого изображения.

Если

В = В/G — увеличение,

b ——расстояние до изображения, f — фокусное расстояние,

то, преобразуя формулы (О 25.10), (О 25.11) ^ получаем

(О 25.13)(О 25.13)

(О 25.13)

(О 25.13)

Зеркало ЛонденсарЗеркало ЛонденсарПресетПресетзеркала. Благодаря этозеркала. Благодаря это

Зеркало Лонденсар

Зеркало Лонденсар

Пресет

Пресет

зеркала. Благодаря это

зеркала. Благодаря это

Для получения изображений непрозрачных предметов (журнальных страниц, рисунков и т. п.} используют эпидиаскопы. Освещение предмета в таком проекторе требует применения оиень мощ

ных ламп.

Для получения изображений про зрачных объектов (диапозитивов) применяются диапроекторы. К этому же классу приборов относятся кинопроекторы. Чтобы рационально использовать световой поток, создаваемый источником света в проекторе, применяются специальные при- сиисобления. Лампу накаливания рас。

полагают в центре кривизны сферического

му значительная часть излучаемого назад света направляется вперед на предмет. Перед лампой находится конденсор, состоящий обычно из двух линз. Лампа располагается в фокусе первой линзы, так что лучи, выходящие из первой линзы, образуют параллельный пучок. Вторая линза превращает этот пучок в сходящийся. Объектив располагают приблизительно* в фокусе второй линзы конденсора.

Фотоаппарат

Изображение в фотоаппарате создается объективом, который представляет собой собирательную линзовую систему. Расстояние до

предмета, как правило, превышает удвоенное фокусное расстояние (g>2f). Изображение действительное, уменьшенное и переверну

тое (см. п. 1 справочной таблицы в разд. 25.4.3). Наводка на резкость производится перемещением объектива; таким образом добиваются того, чтобы расстояние до предмета соответствовало расстоянию до изображения.

Для нормального экспонирования пленки необходимо, чтобы на единицу

площади приходилась определенная све

товая энергия. Она определяется продолжительностью освещения (выдержкой) и диаметром отверстия объектива, который регулируется диафрагмой.

Если

d — диаметр объектива (отверстия диафрагмы),

f — фокусное расстояние объектива,

то относительное отверстие 1/F объектива определяется выраже

нием

(О 25.14)方

Обратите внимание:

Наибольшее относительное отверстие объектива (при полностью открытой диафрагме) называется светосилой.

Значение относительного отверстия объектива, определяемое формулой (О 25.14), справедливо лишь при фотографировании бесконечно удаленного объекта, когда g = оо н соответственно b = /. При съемке более близких объектов b > 厶 Тогда относительное отверстие следует определять как 1/尸=d/b, т. е. при неизменном диаметре светового пучка относительное отверстие становится меньше. Последнее особенно важно при съемке очень близких предметов.

Поскольку числитель в формуле (О 25.14) всегда равен единице, на объективах обычно указывают только значения знаменателя относительного отверстия, эти числа для краткости называют просто «диафрагмой». Международным соглашением установлена последовательность значений диафрагм:

В 1,4 — 2 — 2,8 — 4 — 5,6 — 8 — 11 — 16 — 22 — 32.

Эти числа подобраны таким образом, что при переходе к следующему значению площадь отверстия диафрагмы уменьшается в 2 раза. Аналогично составлен ряд значений продолжительности

экспонирования (выдержки). На каждом шаге время выдержки удваивается:

1

1/1000 — 1/500 — 1/250 — 1/125 — 1/60 - 1/30 - 1/15 -

1/8 - 1/4 - 1/2 - 1.

Глаз

Ход лучей в глазу аналогичен ходу лучей в фотоаппарате, причем роль объектива играет выпуклая линза ——хрусталик. Однако в отличие от фотоаппарата установка на резкость производится не за счет перемещения объектива, а путем изменения фокусного расстояния хрусталика. Такой процесс происходит рефлекторно без участия сознания и называется аккомодацией.

Максимальное расстояние до резко видимого объекта обычно равно бесконечности; минимальное расстояние около 8—10 см. Минимальное расстояние резкого зрения увеличивается с возрастом человека.

Минимальное расстояние, на которое глаз может аккомодироваться без утомления, называется расстоянием наилучшего зрения s. Для нормального глаза s = 25 см.

При дальнозоркости минимальное расстояние возрастает из-за недостаточной преломляющей силы хрусталика. Дальнозоркость может быть скомпенсирована очками с выпуклыми линзами.

При близорукости глазное яблоко оказывается удлиненным и удаленные предметы видны не резко. Для компенсации близорукости уменьшают преломляющую силу хрусталика с помощью очков с рассеивающими линзами.

Для характеристики очковых стекол вместо фокусного расстояния f применяется обратная ему величина ——оптическая сила D, которая измеряется в диоптриях (1 диоптрия = 1/м). Оптическая сила собирающих линз положительна, рассеивающих линз — отрицательна.

Угол зрения

I

Углом зрения называется угол, под которым виден предмет. Он образован лучами, идущими от крайних видимых точек предмета, и характеризует размер изображения на сетчатке глаза.

Если

& — размер предмета,

g — расстояние до предмета, So — угол зрения,

(О 25.15)

Разрешающая способность глаза

Оптическая система глаза создает изображение предмета на сетчатке. К сетчатке подходит зрительный нерв, разветвляющийся на множество нервных волокон, оканчивающихся колбочками, которые обеспечивают цветное зрение днем, и палочками, которые обеспечивают черно-белое зрение в сумерках. Глаз способен различать две точки предмета в том случае, когда их изображения попадают на различные колбочки (или палочки). Это соответствует минимальному углу зрения около Г.

Увеличение

Угол зрения можно увеличить с помощью оптических приборов.

Если

В — размер мнимого изображения в оптическом приборе,

Ь — расстояние до этого изображения,

6 — угол зрения прибора,

(О 25.16)

Формулы (О 25.15) и (О 25.16) позволяют определить увеличение прибора.

Если

V — увеличение прибора, 6 — угол зрения при йаличии при-+

при-при-бора, до — угол зрения в отсутствие

при-

при-

бора,

6。

(0 25.⑺

Обратите внимание:

• Согласно точной формуле, увеличение определяется как отношение тангенсов углов зрения. Вследствие малости углов зрения значения тангенсов можно заменить значениями аргументов.

Лупа

Лупа представляет собой собирающую линзу. Предмет располагается перед лупой на расстоянии, меньшем фокусного расстояния (g V f). Лупа создает мнимое, прямое и увеличенное изображение (см. п. 5 в справочной таблице в разд. 25.4.3). Изображение находится перед лупой, т. е. со стороны предмета (b V 0).

Если

V — увеличение лупы,

f — фокусное расстояние лупы,

s — расстояние наилучшего зрения, равное для нормального глаза 25 см,

то, поскольку без лупы расстояние наилучшего зрения до предмета равно s, а при использовании лулы и неаккомодированном (настроенном на бесконечность) глазе равно f, получаем

Отсюда следует формулаОтсюда следует формула(0 25.18)展予(0 25.18)展予где d«tg 6 = G/f и 6()Qtg6o = G/s. для нормального увеличения лупы (при неаккомодированным глазом):

Отсюда следует формула

Отсюда следует формула

(0 25.18)展予

(0 25.18)展予

Часто при рассматривании предметов через лупу глаз аккомодируется на расстояние наилучшего зрения ..

находится не в бесконечности, а на расстоянии s =——b. Тогда

бо tg do G/s G g'

где g вычисляется по формуле l/f = 1/g — 1/s, или

1 1 1 1 s + f万一大厂.

В итоге получаем формулу для увеличения лупы при аккомодации глаза на расстояние наилучшего зрения

” —S(s + /)

или

(0 25.19) 吟宁+l.

Обратите внимание:

Чем меньше фокусное расстояние, тем больше увеличение лупы.

Максимальное увеличение, которое реально можно получить с помощью лупы, составляет 10—15. При большем увеличении качество изображения становится неудовлетворительным.

Микроскоп

Микроскоп состоит из двух собирающих линзовых систем: объектива с фокусным расстоянием 厶，равным нескольким миллиметрам, и окуляра с фокусным расстоянием 『2， равным нескольким сан- Объектив Окуляр тиметрам. Предмет помещается++ /

непосредственно перед фокусом 吊-1I /

объектива. За объективом на рас-,

стоянии, превышающем 2Л, воз- 乃 никает действительное увеличенное промежуточное изображение.I

Оно располагается непосредственно за фокусом & окуляра. Окончательное изображение, возникающее перед окуляром, будет увеличенным, мнимым и перевернутым (см. п. 3 и 5 справочной таблицы в разд. 25.4.3). Если

/— оптическая длина тубуса (расстояние между фокальными точ*

ками 尸:и 尸2)，

/1 — фокусное расстояние объектива, ,2 — фокусное расстояние окуляра, s — расстояние наилучшего зрения (25 см для нормального глаза),

% — увеличение объектива, равное 0 = b/g^llfi, V2 — увеличение окуляра, равное s/% (как у лупы), V — общее увеличение микроскопа,

(О 25.20)

Обратите внимание:

• Вследствие волновой природы света (см. разд. 26.2.4) максимальное увеличение микроскопа не может превышать примерно 2000.

Телескопы и бинокли

Телескопы, бинокли и подзорные трубы предназначены для увеличения угла зрения при наблюдении больших, но очень удаленных предметов.-

Телескоп

Телескоп состоит из двух собирающих линзовых систем — объектива и окуляра. Предмет находится на очень большом расстоянии от объектива. Непосредственно за фокусом объектива перед оку

ляром возникает промежуточное изображение; его расстояние от окуляра меньше фокусного расстояния последнего. Перед окуляром образуется увеличенное, мнимое и перевернутое окончательное изображение (см. п. 1 и 5 в справочной таблице разд 25.4.3).

Если

V — увеличение телескопа,

fi — фокусное расстояние объектива,

；2 — фокусное расстояние окуляра,

/ — длина телескопа, т. е. расстояние от объектива до окуляра, то

(О 25.21)(О 25.21)

(О 25.21)

(О 25.21)

(О 25.22) I /” + %• I

Обратите внимание:

Фокусы объектива и окуляра внутри телескопа (F； и F2) практически совпадают.

Обычно телескоп настраивают таким образом, что практически параллельные лучи от удаленного предмета после окуляра снова оказываются параллельными. Так возникает мнимое изображение, воспринимаемое неаккомодированным глазом.

Подзорная труба (полевой бинокль)

Принцип действия подзорной трубы аналогичен принципу действия телескопа. Чтобы получить прямое изображение предмета, на пути лучей внутри подзорной трубы располагают оборачивающую линзу. Расстояние от оборачивающей линзы до промежуточного изображения, создаваемого объективом, равно ее удвоенному фокусному расстоянию. На таком же расстоянии по другую сторону от оби

рачивающей линзы возникает второе промежуточное изображение (см. п. 2 справочной таблицы в разд. 25.4.3). Вследствие применения оборачивающей линзы длина подзорной трубы возрастает на ве

бинокля определяетсябинокля определяетсяличину, равную учетверенному фокусному расстоянию этой линзы.

бинокля определяется

бинокля определяется

Для переворачивания изображения в призменном (полевом) бинокле используются две призмы, в каждой из которых направление распространения луча изменяется на 180° за счет полного внутреннего отражения. Первая призма изменяет направление луча в вертикальной, а вторая призма — в горизонтальной плоскости.

Увеличение подзорной трубы и полевого формулой (О 25.21).

Труба Галилея (театральный бинокль)

систем линз — собираВ отличие от обычнойсистем линз — собираВ отличие от обычнойПодзорная труба Галилея состоит из двух ющей (объектив) и рассеивающей (окуляр).

систем линз — собираВ отличие от обычной

систем линз — собираВ отличие от обычной

подзорной трубы между объективом и окуляром не создается про

межуточное изображение. Сходящийся пучок лучей из объектива попадает на окуляр и вновь становится расходящимся.

Труба Галилея дает мнимое, немного увеличенное, прямое и яркое изображение. Увеличение

можно определить по формуле

(О 25.21). Длина подзорной трубы Галилея (расстояние от объектива до окуляра) определяется выражением

(0 25.23) I Л%"

Обратите внимание:

Положение задних фокальных точек объектива и окуляра (戶: и 尸2)практически совпадает.

Спектральный состав света

2561. Источники света

Излучение нагретых тел

Каждое нагретое тело излучает электромагнитные волны. Диапазон излучаемых длин волн зависит от температуры. При повышении температуры диапазон длин волн (см. разд. 18.3.5) расширяется

и смещается в сторону более коротких волн. При определенной температуре тела его излучение приходится на видимый диапазон (от 390 до 770 нм).

Люминесценция

Свечение, не вызываемое нагреванием тела, называется люминесценцией. Люминесценция возникает при переходе электрона в атоме с более удаленной орбиты на более близкую к ядру орбиту (см. разд. 37.4), Сттектр люминесценции содержит линии с определенной длиной волны и зависит от структуры данного атома. Атом может испускать излучение только в том случае, если он находится в возбужденном состоянии, т. е. если электроны предварительно переведены на более высокие орбиты. Существует несколько видов люминесценции, различаемых по способу ее возбуждения.

Электролюминесценция, возникающая при электрическом возбуждении.

Хемолюминесценция, сопровождающая, например, процессы гниения.

Флуоресценция, возбуждаемая более коротковолновым электромагнитным излучением или потоком частиц (электронов, протонов, а-частиц и др.).

Фосфоресценция — флуоресценция в виде зависящего от температуры послесвечения, возникающего после прекращения облучения.

Дисперсия света

При прохождении света через призму он разлагается на составляющие с различными длинами волн. Причина этого явления со

стоит в том, что скорость света в веществе призмы зависит от

длины волны. Как следует из формулы (О 25.4), показатель преломления и соответственно угол отклонения светового луча призмой зависят от длины волны.

При разложении белого света, т. е. света в видимом диапазоне, содержаще

го все длины волн, возни

кает цветовая полоса, которую называют спектром. Отдельные цвета этой полосы называются спектральными цветами.

■

Красный ——оранжевый ——желтый — зеленый — голубой — синий — фиолетовый.

Обратите внимание:

• Смена цвета происходит непрерывно и содержит множество полутонов. Разделение спектра на указанные выше цвета является

условными. Каждому цвету соответствует определенный диапазон длин волн (см. справочную таблицу).

Справочная таблица

Области длин волн, отвечающие спектральным цветам

Ультрафиол. —Фиол,—-Син. — Зел,—Желт.—Оранж. — Красн. —Инфракр.

39Э — 435 — 495 — 570 — 590 — 630 — 770 нм

Дополнительные цвета

Смешивая все спектральные цвета, мы снова получаем белый свет. Если же из полного спектра исключить один из цветов, то оставшиеся цвета в комбинации не дадут белого света; цвет такой комбинации называется дополнительным по отношению к исключенному цвету. Если к дополнительному цвету добавить ранее исключенный, то опять возникает белый свет.

■

Дополнительными называются смешанные или спектральные цвета, взаимно дополняющие друг друга до белого.

Справочная таблица

Дополнительные цвета

Исключенный цвет

Красный °ран： жевыи

Желтый

Зеленый

Синий

Индиго

Фиолетовый

Цвет остатка

Сине-зе- Синий леный

Фиолетовый

Пурпурный

Оранжевый

Желтый

Желтозеленый

Обратите внимание:

• Смешанные цвета в нижнем ряду таблицы, за исключением пурпурного, представляют собой спектральные цвета.

Спектры

При разложении света, излучаемого нагретыми твердыми телами, жидкостями или газами, возникает спектр испускания.

Непрерывный (сплошной) спектр

Излучение, испускаемое нагретыми твердыми телами и жидкостями» обладает непрерывным спектром, т. е. содержит все длины волн видимого диапазона без исключения.

Линейчатый спектр

Спектр свечения атомарных газов и паров представляет собой набор отдельных линий с характерными значениями длин волн, обусловленными структурой электронных оболочек атомов данного элемента.

При свечении молекулярных газов и паров возникают так называемые полосатые спектры — сгруппированные по определенному закону совокупности спектральных линий. '

Количество и расположение линий в спектре излучения газа или пара зависят от структуры химического элемента или соединения. По спектру излучения с помощью спектрального анализа можно выявлять наличие отдельных элементов в соединении и определять химический состав вещества.

Спектр поглощения

В отличие от спектра испускания, который получается при разложении излученного телом света, спектр поглощения возникает, когда вещество поглощает из белого света отдельные спектральные линии. При этом получается непрерывный (сплошной) спектр, в котором отсутствуют отдельные спектральные линии.

Твердые тела и жидкости имеют широкие области поглощения. Газы и пары поглощают только излучение с теми длинами волн, которое они сами излучают. Это так называемые линии поглощения Как и спектр испускания, спектр поглощения используется при спектральном анализе для обнаружения и идентификации веществ.

Наиболее изученным спектром поглощения является солнечный спектр. При прохождении света через газовую оболочку Солнца возникают многочисленные линии поглощения, которые называются фраунгоферовыми линиями. Важнейшие из них, обоз/ 1ачаемые'буквами от А до К, приведены в спг авочной таблице.

Справочная таблица

Фраунгоферовы линии

Линия

А

в

С

D

Е

F

G

Н

К

а，нм

760,8

686,7

656,3

589,3

527,0

486,1

430,8

396,8

393,4

Цвет

Тсм-

Крас

Крас

Жел

Зе те-

Сине-

Си

Фио

Фио

но-

ный

ный

тый

ный

зеле

ний

лето

лето

красный

ный

вый

вый

Обратите вн и м а ние:

Некоторые из фраунгоферовых линий (например, А и В) возникают, возможно, при поглощении солнечного света в атмосфере Земли.

Длины волн, отвечающие линиям испускания некоторых газов в видимой области, приведены в табл. 36.

Волновая оптика

Во многих экспериментах свет проявляет себя как электромагнитная волна. Длины волн видимого света в вакууме лежат в пределах от 390 до 770 нм.

Частота (число колебаний) излучения определенного вида всегда постоянна, тогда как соответствующая ей длина волны зависит от фазовой скорости света в данной среде.

Интерференция

Под интерференцией понимают результат наложения колебаний и волн. Световые волны также интерферируют, если они когерентны, т. е. если они возникают из одного и того же волнового цуга в результате отражения, преломления или дифракции.

Интерферирующие лучи проходят различную длину пути. Если разность хода лучей равна четному числу полуволн, то происходит сложение волн и интенсивность увеличивается, если же разность хода равна нечетному числу полуволн, то происходит взаимная компенсация волн и интенсивность уменьшается.

Цвета тонких пленок

Падая на тонкую пленку, световой луч частично отражается от верхней, а частично от нижней поверхностей пленки. Разность фаз отраженных волн зависит от разности хода лучей, которая в свою очередь определяется различием путей и дополнительной разностью хода 入/2, вызванной изменением фазы на 180° при отражении от передней поверхности пленки (оптически более плотной среды). Оптическая разность хода лучей (при нормальном падении) равна 2d〃，так как скорость света в среде равна с/п.

илЕСилЕСd J ПАЛd J ПАЛ—разность хода при нормальном падении,—толщина пленки,—показатель преломления пленки,——длина волны,—разность хода при нормальном падении,—толщина пленки,—показатель преломления пленки,——длина волны,то(О 26.1)то(О 26.1)6 = 2d及—2* •6 = 2d及—2* •

илЕС

илЕС

d J ПАЛ

d J ПАЛ

—разность хода при нормальном падении,

—толщина пленки,

—показатель преломления пленки,

——длина волны,

—разность хода при нормальном падении,

—толщина пленки,

—показатель преломления пленки,

——длина волны,

то

(О 26.1)

то

(О 26.1)

6 = 2d及—2* •

6 = 2d及—2* •

Из условия 6 =伞九(々 = 0, 1, 2, ...) следует выражение для длины волны, которой отвечает усиление интенсивности волн:

(О 26.2)(О 26.2)4dn2々+1 ，4dn2々+1 ，(e= 0,1,2,…)(e= 0,1,2,…)

(О 26.2)

(О 26.2)

4dn

2々+1 ，

4dn

2々+1 ，

(e= 0,1,2,…)

(e= 0,1,2,…)

(О 26.3)(О 26.3)на дифракционный мак-на дифракционный мак-

(О 26.3)

(О 26.3)

на дифракционный мак-

на дифракционный мак-

Из условия д = (2^ + 1)1/2 伊=О, I, 2, ...) следует выражение для длины волны, которой отвечает взаимное ослабление волн:

伍= 1,2,3 •・・)

Обратите внимание:

Если толщина пленки известна, можно определить длину волны, при которой волны гасят друг друга.

Если известна длина волны, при которой волны гасят друг друга, можно определить толщину пленки.

Подобные интерференционные эффекты наблюдаются и в тонких слоях воздуха между твердыми телами (например, между стеклянными пластинками}. В этом случае также справедливы формулы (О 26.2) и (0 26.3).

Аналогичные интерференционные явления происходят в тонких пленках на поверхности прозрачных и непрозрачных твердых тел. Поскольку оба луча отражаются от оптически более плотной среды с потерей фазы 180°, разность хода 6 = 2"〃. Следовательно, условие (О 26.2) отвечает ослаблению, а условие (О 26.3) — усилению волн.

Дифракция

Подобно механическим волнам (см. разд. 20.3.4) световые волны могут испытывать дифракцию. Например, при падении света на край пластины наблюдается дифракция и свет распространяется в область тени. Наиболее важную роль играет дифракция на проволоке, щели и диафрагме.

2621. Дифракция на щели

На краях щели в соответствии с принципом Гюйгенса образуются вторичные элементарные волны. Для определенных ' направлений распространения разность хода элементарных волн оказывается такой, что волны при наложении либо усиливаются (максимальная интенсивность), либо ослабляются (минимальная интенсивность).

Если

b— ширина щели,

А— длина волны,

аМин~ угол, определяющийнаправление на дифракциог1ныймини

мум,

Смаке 一 угол, определяющий направление енмум.

жением(О 26.4)жением(О 26.4)(О 26.5)(О 26.5)sin амаке =(论+ "^) у.sin амаке =(论+ "^) у.0 7 2 345 b since,0 7 2 345 b since,

жением

(О 26.4)

жением

(О 26.4)

(О 26.5)

(О 26.5)

sin амаке =(论+ "^) у.

sin амаке =(论+ "^) у.

0 7 2 345 b since,

0 7 2 345 b since,

то направление на дифракционный минимум определяется выра

sin (Хмин =左石.

(店=1, 2, 3,...)

Соответственно для направления на дифракционный максимум имеем

между щелями) называетсяионной решетки. У хорошихмежду щелями) называетсяионной решетки. У хороших(О 26.6)(О 26.6)Sin амакс =哈Sin амакс =哈(^ = 0, 1, 2,・•・)(^ = 0, 1, 2,・•・)

между щелями) называетсяионной решетки. У хороших

между щелями) называетсяионной решетки. У хороших

(О 26.6)

(О 26.6)

Sin амакс =哈

Sin амакс =哈

(^ = 0, 1, 2,・•・)

(^ = 0, 1, 2,・•・)

伊=1,2,3,…)

В направлении падающей волны (а = 0) образуется главный максимум; амплитуды вторичных максимумов существенно меньше амплитуды главного максимума и убывают с ростом порядка k.

Дифракционная решетка

Дифракция на решетке происходит аналогично дифракции на щели. Однако при большом числе близко расположенных параллельных щелей дифракционные максимумы значительно сужаются. Расстояние между соответствующими точками соседних щелей (или

сумма ширины щели и промежутка постоянной, или периодом g дифрак дифракционных решеток число щелей на 1 мм достигает 1700.

Если

амакс — угол, определяющий направление на дифракционный максимум,

g— постояннаярешетки,

Л— длина волны,

/— расстояниеотрешеткидо

экрана,

。一расстояние домаксимума

^-го порядка,

то в соответствии с рисунком

где а определяется из условия tg а = а〃.

Обратите внимание:

Синус дифракционного угла пропорционален длине волны. Поэтому решетка в отличие от призмы преломляет красный свет сильнее всего.

Чем меньше постоянная решетки, тем больше угол дифракции при фиксированной длине волны.

Если постоянная дифракционной решетки известна, то по положению дифракционных максимумов можно определить длину волны света.

Дифракционный спектр

Если на дифракционную решетку падает не монохроматический, а белый свет, то дифракционные максимумы, соответствующие различным значениям длины волны, располагаются в различных местах экрана. Таким образом возникает дифракционный спектр. Он называется нормальным спектром, так как протяженность цветовых зон соответствует диапазонам их длин волн. При разложении света, например, призмой (дисперсионный спектр) красная область оказывается растянутой по сравнению с синей и фиолетовой. При k = 1,2, ... возникают спектры 1-, 2-го,…порядка.

Разрешающая способность оптических приборов

В каждом оптическом приборе (в том числе в глазу) на краях диафрагм, оправ и т. д. происходит дифракция света. Вследствие этого точки предмета отображаются не как точки, а в виде маленьких кружков, причем соседние кружки сливаются, так что их невозможно различить. Каждый прибор характеризуется максимальной разрешающей способностью (предельным разрешением). Она определяется минимальным углом (минимальным расстоянием), под которым различимы две соседние точки предмета. Это такое расстояние, при котором главный дифракционный максимум одной точки изображения совпадает с седнеи точки.

Если

— предельное разрешение, минимальный угол зрения, d — минимальное расстояние между точками предмета, на котором они различимы,

九一длина волны света, г ——радиус действующей диафрагмы объектива,

л — показатель преломления среды между предметом и объекти* вом микроскопа,

а — угловая апертура, т. е. угол, под которым виден радиус выходного отверстия объектива из точки предмета,

< =九 sin а ——численная апертура объектива,

то для разрешающей способности глаза и подзорной трубы справедлива формула

(О 26.7) б = 0,61 у,

а для разрешающей способности микроскопа ——формула

(0 26.8)61 宀= 0,61*

Обратите внимание:

Чтобы повысить одновременно разрешающую способность и светосилу подзорной трубы (телескопа), необходимо увеличить диаметр объектива.

Разрешающая способность человеческого глаза составляет около

Микроскопы с большой численной апертурой 4 =九 sin а позволяют разрешать точки на расстоянии порядка d =入/2.

Величина 入/九 представляет собой длину световой волны в среде (иммерсионной жидкости) между предметом и объективом микроскопа; она меньше длины волны в воздухе.

26.3. Поляризация

Поляризованной называется волна, в которой существует предпочтительное направление колебаний. Различают следующие виды поляризации:

линейная (плоская) поляризация,

круговая (циркулярная) поляризация,

эллиптическая поляризация.

Поляризация возможна только у поперечных волн. Волну с круговой или эллиптической поляризацией можно разложить на две .линейно-поляризованные волны.

Свет называется линейно-поляризованным, если в нем происходят колебания только в одном направлении, перпендикулярном направлению распространения. Поляризованными могут быть только поперечные волны.

Естественный свет неполяризован, так как он излучается атомами с совершенно произвольной ориентацией в пространстве. За направление колебаний в линейно-поляризованной световой волне

принимают направление колебаний вектора напряженности электрического поля Е. Направлением поляризации волны называют направление вектора напряженности магнитного поля Н (см. разд. 34.2.2).

Существуют различные способы получения поляризованного света. Свет представляет собой поперечные волны. Устройства, с

помощью которых из естественного получают поляризованный свет, называются поляризаторами. Для обнаружения поляризации служат анализаторы, которые по своему принципу действия идентичны поляризаторам.

Поляризатор пропускает только компоненту с определенным направлением колебаний, выделяя ее из естественного света. В за

висимости от ориентации анализатора поляризованная компонента либо проходит, либо не проходит через него. При скрещенном положении поляризатора и анализатора, когда они повернуты друг относительно друга на 90°, световые волны сквозь них не проходят.

Поляризация при отражении

На границе раздела двух сред часть световых лучей испытывает отражение, а остальные лучи преломляются. Отраженный и пре

ломленный лучи оказываются частично линейно-поляризованными. В отраженном луче колебания происходят преимущественно перпендикулярно плоскости падения, в преломленном —в плоскости падения. При определенном угле падения отраженный луч оказывается полностью линейно-поляризованным.

Закон Брюстера:

|

Если угол падения светового луча на границу раздела равен поляризационному углу (углу Брюстера), то отраженный луч полностью линейно поляризован. В этом случае отраженный и преломленный лучи образуют прямой угол.

Если

п—показатель преломления,畐

аБ—угол Брюстера, т. е. уголпадения,при彥丨

котором происходит полнаяполяри-取

зация,剧

откуда

sin аБ sin аБ sin (£0° — аБ) — cos а^ и, наконец,

(О 26.9) tg а^ = п.

Обратите внимание:

• Для стекла угол Брюстера аБ = 57°.

Поляризация при двойном лучепреломлении

Двойным лучепреломлением называется способность некоторых веществ расщеплять падающий световой луч на два луча — обыкновенный (о) и необыкновенный (е), которые распространяются в различных направлениях с различной фазовой скоростью и поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях.

Вещества, в которых фазовая скорость электромагнитных волн зависит от направления распространения, называются анизотропными. В материалах с двойным лучепреломлением анизотропия зависит также от поляризации. '

В то время как обыкновенный луч подчиняется обычному закону преломления, необыкновенный луч преломляется по иному закону (даже при угле падения а = 0).

Двоякопреломляющими свойствами обладают:

многие кристаллы (исландский шпат, кварц, слюда, турмалин и др.),

многие прозрачные вещества (стекло, искусственные смолы), находящиеся под действием внутренних или внешних сил,

некоторые изотропные вещества под действием электрического поля (эффект Керра).

составляет не 6о/% 50% энер-составляет не 6о/% 50% энер-Выделив один из двух преломленных лучей, можно получить поляризованный свет. Его энергия

составляет не 6о/% 50% энер-

составляет не 6о/% 50% энер-

гии падающего луча.

В призме Николя, которая представляет собой специальным образом обработанный кристалл исландского шпата (передние грани отшлифованы под определенным углом, кристалл распилен и склеен канадским бальзамом), обыкно

венный луч отводится за счет полного внутреннего отражения от плоскости склейки.

В других поляризаторах один из лучей поглощается в веществе. Этот эффект называется дихроизмом. Например, в турмалине

при толщине 1 мм обыкновенный луч поглощается почти полностью.

Поляризаторы, имеющие большую площадь при незначительней толщине, называются поляроидами. Поляроиды представляют собой искусственные пленки, обладающие сильным дихроизмом; они состоят из расположенных параллельно друг другу игольчатых кристаллов герапатита (сернокислого иодхинина).

Существуют также поляроиды, в которых гигантские молекулы ориентированы благодаря сильному напряжению, в результате чего сохраняется остаточное двойное лучепреломление.

Двойное лучепреломление, вызванное напряжениями

Многие прозрачные изотропные вещества становятся двоякопрелом- ляющими в результате упругих деформаций (сжатия, растяжения, изгиба, кручения). Если такое вещество поместить между скрещенными поляроидами, то в тех местах, где под действием деформаций меняется показатель преломления, будут видны просветления.

Описанный эффект используется для исследования распределения напряжений в сложных или громоздких узлах и конструкциях. На пути лучей между скрещенными поляроидами помещают выполненную в масштабе модель конструкции. При соответствующей нагрузке в местах напряжений возникают просветления. Линии или области одинаковой яркости или цвета (изохромы) соответствуют линиям или областям одинаковых напряжений. В качестве материала для моделей в оптическом методе определения напряжений применяют прозрачные синтетические материалы, например феноловые смолы.

Вращение плоскости поляризации

Некоторые вещества (их называют оптически активными) способны поворачивать плоскость поляризации распространяющегося через них линейно-поляризованного света. Угол поворота плоскости поляризации пропорционален длине пути света в веществе, а при использовании растворов активного вещества пропорционален их концентрации.

Если

а — угол поворота плоскости поляризации, ао — удельное вращение,

I —длина кюветы с жидкостью (путь света в активной среде), m — масса оптически активного вещества, V — объем раствора,

то

(О 26.10)(О 26.10)/т а = ао у ./т а = ао у .аао/〃z Р

(О 26.10)

(О 26.10)

/т а = ао у .

/т а = ао у .

I град град ・ см3/(дм ・ г) дм г см3

Обратите внимание:

Числовые значения удельного вращения некоторых веществ, приведенные в справочной таблице, ланн для водных растворов при / = 20℃ и длины волны света X = 589,3 нм (D-линия).

Поскольку угол поворота плоскости поляризации легко измерить, формулу (О 26.10) можно использовать для определения концентрации растворов, например раствора сахара.

Справочная таблица

Удельное вращение некоторых водных растворов

а0, град.・см7(дм・г)

Направление вращен11я

Тростниковый сахар

+66,44

Правое

Виноградный сахар

Н-52,50

Правое

Фруктовый сахар

-91,90

Jleepe

Обратите внимание:

• Направление вращения (правое или левое) отвечает наблюдению навстречу направленно распространения света.

27. Фотометрия

Диапазон электромагнитных волн охватывает около 50 октав 】)， из которых на видимый свет приходится только одна октава Этот диапазон длин волн от 390 до 770 нм и называют светом в узком смысле слова.

Следует различать общие величины, характеризующие любое электромагнитное излучение, и специфические фотометрические величины. В то время как первые из них объективно характериз)ют общие энергетические свойства излучения, вторые выражают субъективное восприятие света человеком.

27.1. Общие величины, характеризующие излучение

Энергия излучения тела обозначается через W или Qe. Мощность излучения (или поглощения) называется также потоком излучения:

(О 27.1) Фе =-~.(О 27.1) Фе =-~.①»i

(О 27.1) Фе =-~.

(О 27.1) Фе =-~.

CH I Вт Дж с

')Октава — интервал частот (или длин волн), у xoiopoiо oiношение грае личных частот равно 1 ： 2.

Если мощность не постоянна во времени, вводится понятие мгновенной мощности

(О 27⑵①е = *・

Энергия излучения, приходящаяся на единицу площади поверхности приемника, называется энергетической экспозицией:

(О 27.3)(О 27.3)W 现П而W 现П而Н Г 4

(О 27.3)

(О 27.3)

W 现П而

W 现П而

СИ I Дж/м2 Дж м2

или при неравномерном распределении энергии

(0 27.4)% =

Мощность излучения, приходящаяся на единицу площади поверхности приемника, называется энергетической освещенностью (поверхностной плотностью потока излучения):

(О 27.5)点=半~.м пр(О 27.5)点=半~.м прЕ Ф 4СИ I Вт/м2 Вт м2Е Ф 4СИ I Вт/м2 Вт м2

(О 27.5)点=半~.

м пр

(О 27.5)点=半~.

м пр

Е Ф 4

СИ I Вт/м2 Вт м2

Е Ф 4

СИ I Вт/м2 Вт м2

При неравномерном распределении излучения, падающего на поверхность,

(0 27.6)& =

(О 27.7)(О 27.7)Мощность источника излучения, приходящаяся на единицу телесного угла, называется энергетической силой света (силой излучения) и обозначается /е：

(О 27.7)

(О 27.7)

СИ I Вт/ср Вт ср

или, если излучение неравномерно распределено по телесному углу:

(О 27.8)(О 27.8)

(О 27.8)

(О 27.8)

Наконец, вводится понятие плотности излучения (энергетической яркости или лучистости) Be, которая определяется как поток

излучения, приходящийся на единичный телесный угол и единицу поверхности излучателя:

(О 27.9)(О 27.9)В Ф Q А

(О 27.9)

(О 27.9)

СИ I Вт/(ср • м2) Вт ср м2

или в дифференциальной форме

(0 27.10)

Обратите внимание:

Во всех выражениях, где фигурирует площадь 4Пр или Лизл, предполагается, что излучение падает на поверхность или излучается перпендикулярно ей. Если это не так, площадь поверхности надо умножить на cos а, где а — угол между направлением распространения излучения и нормалью к поверхности.

Индекс «е» вводится для того, чтобы отличать общие энергетические величины от фотометрических величин; в остальном обозначения в приведенных выше формулах и соотношения справед1V ливы и для фотометрических величин.

Справочная таблица

Сравнение величин, характеризующих излучение, и фотометрических величин

Общие величиныЕдиницы

ФотометрическиеЕди-

величинынпцы

Энергия излученияW, QeДж

Световая энергия лм • с (количество света) W

Поток излучения (мош.- ФеВт

ность излучения)

Энергетическая экспози-HQДж/м2

НИЯ

Энергетическая осве-Е6Вт/м2

ценность (поверхно

Световой поток Ф лм

Световая экспози- лк • с ция Н

Освещенность Е лк

стная плотность потока излучения)

Сила излучения (энерге- ZeВт/ср

тическая сила света)

Сила света /кд

Энергетическая яркость Be Вт/(ср • м2) Яркость 8кд/м2

27.2. Фотометрические величины

27.2.1. Спектральная видность

В фотометрии действие света характеризуется не энергией или

мощностью излучения, а по его восприятию человеческим глазом, которое зависит от длины волны. От

ношение светового потока (который является физиологической величиной) к потоку излучения зависит от длины волны и называется спектральной видностью У(Х). На рисунке представлен график относительной спектральной видности, т. е. ее максимальное значение принято равным единице. Максимум спектральной видности соответствует длине волны 555 нм и составляет 680 лм/Вт.

При всех других значениях длины соответствует световому потоку менее ников света большая часть энергии приходится на длины волн, лежащие вне диапазона видимого света (390—— 770 нм), их «светоотдача» составляет всего лишь 10—50 лм/Вт.

27.2.2. Сила света

Сила света — одна из основных величин международной системы единиц СИ; она измеряется в канделах (кд) и обозначается через /.

Определение основной единицы силы света — канделы.

Кандела — это сила света, излучаемого черным телом перпендикулярно поверхности площадью 1/60 см2 при температуре 2042,5 К (температура затвердевания платины при нормальном давлении) .

Сила света обычно зависит от направления; эта зависимость характеризуется диаграммой направленности излучателя.

Наиболее правильную диаграмму направленности имеет плоская, диффузно излучающая поверхность. Так как в направлении, составляю-

4 勿500 600 700 нм

волны поток излучения 1 Вт 680 лм. Так как у всех источ-

180° 770° 160° 削。140°

0。/0。Z0。能。绚0