Глава 1. Алгебра измерений

Символы измерении

Совместимые свойства. Определение состояния

Измерения, меняющие состояние

Функции преобразования

След

Статистическая интерпретация

Операция сопряжения

Комплексно-сопряженная алгебра

Матрицы

.Ю. Вариации функций преобразования'

Ожидаемое значение

Дополнение: Неселективные измерения

Глава 2. Геометрия состояний

Главе 3. Динамический принцип66

Оператор действия67

Оператор 'Лагранжа67

Принцип стационарного действия68

Оператор Гамильтона69

Уравнения движения. Генераторы70

Перестановочные соотношения71

Два класса динамических переменных72

Взаимодополиительиые переменныепервого рода78

Неэрмнтовы переменные первого рода80

Взаимодополиительиые переменныевторого рода82

Глава 4. Специальная каноническая группа86

I. Переменные первого рода86

Дифференциальные операторы87

Уравнения Шредингера89

gp-фуикции преобразования90

Дифференциальные формы условий полноты91

Неэрмнтовы канонические переменные92

Некоторые функции преобразований93

Физическая интерпретация94

Композиция с помощью интегрирования по контуру96

Измерения оптимальной совместимости100

. Переменные второго рода^

.Ю. Группа поворотовЮ2

Внешняя алгебра*03

Собственные векторы я собственные числа104

Унификация переменных106

Конструктивное использование специальной106■

канонической группы •

Функции преобразованияЮ8

Интегрирование113

Дифференциальные реализации115

Глава 5. Канонические преобразование

Групповые свойства и избыточные переменные

Бесконечно малые канонические преобразования

Повороты. Угловой момент

Сдвиги. Импульс. ■

Параметры преобразований

' 5.6. Преобразования Гамильтона-Якоби

Зависимость от пути

Независимость от пути

Линейные преобразование

Глава 6. Группы преобразований

Условие интегрируемости

Представление конечными матрицами

Подгруппы ■.

Дифференциальные формы и свойства композиции

Канонические параметры

Пример. Специальная каноническая группа

Другие параметры. Группа поворотов

Реализации дифференциальными операторами

Групповой объем

Компактные группы

Операторы проецирования и инварианты

Дифференциальные операторы и группа поворотов

Интегрирование в некомпактных группах

Переменные второго рода

Оператор отражения

Конечный операторный базис

Дополнение: Вывод принципа действия

Дополнение по поводу специальной канонической группы

1171181191211231171181191211238й89Й5б$$й5й9§§8§§ S S В § S8й89Й5б$$й5й9§§8§§ S S В § S165185165185Дополнение: Квантовые переменные и принцип действия

117

118

119

121

123

117

118

119

121

123

8й89Й5б$$й5й9§§8§§ S S В § S

8й89Й5б$$й5й9§§8§§ S S В § S

165

185

165

185

Глава 7. Трансформационные функции канонических преобразований

Упорядоченный оператор действия

Трансформационные функции бесконечно малых канонических преобразований

Трансформационные функции конечных канонических преобразований

Упорядоченные операторы. Применение трансформационных функций канонических преобразований

Пример

Упорядоченные операторы и теория возмущений

Применение специальной канонической группы

Вариационные производные

Взаимодействие двух подсистем

Дополнение: Внешняя алгебра и принцип действия

Глава 8. Функции Грина

Включение печальных условий

Консервативные системы. Фурье-образы

Операторные функции комплексной переменной

Особенности

Пример .■

Сокращеинея функция Грине

Глава 9. Приложения.

Броуновское движение квантового оссциллятора

Введение

Осциллятор

Внешняя система

Улучшенная трактовка

Общая теория

§ § 886886 6 88 S § 8 S § 8 $ $ $§ § 886886 6 88 S § 8 S § 8 $ $ $239 241257275305239 241257275305310310Кулоновская функция Грина

§ § 886886 6 88 S § 8 S § 8 $ $ $

§ § 886886 6 88 S § 8 S § 8 $ $ $

239 241

257

275

305

239 241

257

275

305

310

310

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА

Одного того, что автор этой книги Юлиан Швингер (р.1918), достаточно, чтобы оправдать ее перевод на русский язык, ибо знакомство с точкой зрения одного из наиболее глубоких физиков-теоретиков нашего века на такой непростой предмет как квантовая механика в любом случае будет небесполезным и дл§ профессионалов, и для начинающих физиков. Однако мы скажем больше - книга Швингера вправе занять место среди лучших книг по квантовой механике на русском языке. На первый взгляд это утверждение может показаться сомнительным. В самом деле, вышла она в известной серии "Frontiers in Physics" в 1970 году (значительную ее часть составили материалы лекций на школе в Лезуш 1955 г.), к тому же автор — нобелевский лауреат, т.е'. известность, казалось бы, гарантирована... и тем не менее, сейчас в 1990 году можно утверждать, что швинге- рова трактовка квантовой механики мало известна в СССР1 и, судя по цитированию и некоторой частной информации, ие прижилась ■ пока что и за рубежом2.

Не вдаваясь в детали процесса происхождения популярности в науке, заметим, что творчеству Швингера присущи некоторые черты, . вообще говоря, не способствующие быстрому проникновению его представлений и методологии в физико-математическую среду. В своих построениях он, как правило, исходит из фундаментальных принципов и, стремясь к чистоте математических формулировок, избегает эвристических рассуждений. К тому же Швингер известен как мастер формы?, однако, придавая своим построениям форму, наиболее адекватно отражающую существо дела, он порой несколько изменяет смысл привычных обозначений, и это, конечно, не облегчает изучение его работ, а у профессионалов может вызывать раздражение. Так один физик как-то

На русском языке имеется изложение теории селективных и неселектнвных измерений Швингера в [1,гл.5.6], однако оно носит характер обобщающего этюда в более менее стандартном окружении (при первом чтении эти главы рекомендуется опустить), и поэтому не дает целостного представления о трактовке Швингера.

В современном учебнике А.Садберн [2], например, довольно подробно рассматриваются альтернативные формулировки, подход Швингера даже не упоминается.

сердито сказал: "Некоторые печатают свои произведения для того, чтобы показать всем, как это делается, а Юлиаи Швиигер публикует свои работы, чтобы показать всем, что только ои одни и может это сделать" [3, с. 62]. Еще одна характерная деталь: Швиигер почти ие занимался массовой популяризацией своих представлений; иа протяжении многих лет ои читал лекции в самых престижных университетах США, одиако эти курсы ие были обработаны и опубликованы, как это весьма часто делается. Нельзя сказать, что Швиигер недооценивает этот род деятельности, об этом, в частности, говорит его едииствеииая самостоятельная попытка такого рода - двухтомник "Частицы, источники, поля", так что причина в другом. "Я поставил мировой рекорд по количеству иезакоичеииых первых глав"- пишет сам Швиигер [4, с. 4]. И действительно, когда мысль влечет вперед, бывает очень трудно остановиться, упорядочить и оформить пройденное.

Происхождение предлагаемой книги в полной мере отражает эти характерные для ее автора особенности: во- первых, оиа появилась по инициативе ие столько самого Швингера, сколько Роберта Кохлера (что, кстати, говорит о наличии определенного интереса в США); во-вторых, в ее основе лежит текст первой части незавершенной' работы, в которой Швиигер собирался изложить квантовую теорию полей ab initio, и которая, судя по всему, должна была подытожить известные циклы его работ по квантовой электродинамике [5, с. 12—114] и теории квантованных полей [5, с. 115-137; 6]. Кстати, с таким происхождением связан основной недостаток книги, в общем, дидактического характера, — отсутствие физических иллюстраций и разработанных примеров, что, конечно, сильно затруднит чтение начинающим. Тем ие менее, ее содержательная сторона искупает этот недостаток, и именно оиа позволяет утверждать, что книга содержит уникальное построение основ квантовой механики.

Действительно, Швиигер предлагает такой способ построения математического аппарата, который явно показывает, что квантовая механика есть форма символического

выражения закономерностей микроскопического измерения. В связи с этим структура исходного математического объекта - алгебры физических измерений — формируется, исходя из свойств специального класса мысленных экспериментов, названных Швингером селективными измерениями, над системами с конечным числом состояний. Этот анализ естественным образом приводит к внутренним законам композиции - сложению и умножению символов измерений с полугрупповыми свойствами и дистрибутивностью между ними; при этом, в сущности, нет никакого произвола.

В стандартном изложении квантовой механики одним из самых туманных мест является математическая формулировка принципа' суперпозиции. Дирак, например, по этому поводу пишет [8, с. 28]: "Процесс суперпозиции есть нечто вроде процесса сложеиия;<...>. Поэтому состояния должны быть связаны с такими математическими величинами, которые можно складывать между собой, получая математические величины того же рода. Наиболее простыми и известными из таких величии являются векторы." Такую аргументацию в пользу векторного пространства трудно признать рациональной, хотя бы потому, что абелева группа все же проще, другое дело, что она недостаточно богата. Короче, очевидно, что векторная структура выбрана a priori, а фундаментальный, так сказать, физический принцип попросту подгоняется под нее.

У Швингера, как мы уже говорили, естественно возникает структура полукольца (с нулём и единицей), вся специфика квантовой механики, можно сказать её секрет, сосредоточена в процедуре введения внешнего закона композиции, который традиционно интерпретируется как умножение на "числа". Если, например, допустить, что все физические величины совместимы, как это предполагается в классике, то множество этих "чисел" будет состоять в сущности только из "нуля" и "единицы", т. е. ввести соде-

ржательиый внешний закон нельзя. Поэтому соотношение, согласовывающее внутренние и этот внешний законы, можно по праву назвать основным постулатом квантовой механики. Уже на этом уровне возникает ряд условий, которым должно удовлетворять множество "чисел"; в частности, им удовлетворяют комплексные числа. Линейные комбинации символов селективны^ измерений соответствуют, вообще говоря, измерениям более общей природы — неселективным, например. Произвольный элемент алгебры измерений Швингер называет оператором.

' Далее, оказывается, что построенную алгебру измерений можно непротиворечивым образом "погрузить" в другую алгебру, расширенную с помощью формального введеиня дополнительного (иефизического и, следовательно, ненаблюдаемого) состояния системы. В расширенной таким образом алгебре возникают два замечательных подмножества, одно из которых инвариантно относительно умножений на элементы алгебры справа (точнее, оно является правым идеалом), другое — инвариантно относительна умножений слева (левый идеал), а, кроме того, все произведения в пределах этих подмножеств равны нулю, т.е. нетривиальной остается лишь структура векторного пространства.

Таким ' образом, элементы правого - идеала оказываются левыми (что соответствует дираковским бра-векторам), элементы левого идеала - правыми (кет-векторам), а операторы (т.е. элементы исходной алгебры физических измерений) приобретают смысл линейных отображений векторных пространств в себя. . По построению эти пространства связаны операцией (эрмитова) сопряжения, что естественным образом приводит к определению эрмитовой формы (эрмитова произведения), или другими словами к геометрии векторов состояний. В сущности, Швиигер, исходя из весьма физичиых посылок, выводит формализм Дирака [8].

Что же дает такое построение математического аппарата квантовой механики? Во-первых, последовательное физически мотивированное введение математических структур позволяет четко выделить места, где допускается тот или иной произвол (см., например, введение комплексных чи-

сел), и что особенно важно — прививает сознательное отношение к математическому формализму.

Во-вторых, выявляется природа формализма Дирака, в частности более формальная (и вторичная) природа векторов состояний по сравиеиию с операторами, которые по построению теснее связаны с описанием физических свойств системы, чего, например, ие отражает обычная аксиоматика квантовой механики [2,9], когда исходным объектом является гильбертово пространство векторов состояний, а операторы a priori рассматриваются как линейные отображения на этом пространстве. Кстати, математики иной раз высказывают суждения об имеющейся, якобы, иестрогости формализма Дирака, поскольку последний не вполне укладывается в традиционную для функционального анализа схему построения спектральной теории (самосопряженных) операторов. Но, как убедительно показал Швингер, обычная аксиоматика далеко ие самый естественный язык для квантовой механики, и, следовательно, этот довод утрачивает свою актуальность. '

Помимо указанных методических преимуществ такое построение позволяет по-иовому понять некоторые весьма старые вещи. Так, например, ранее не осознавалось, что введенные еще в 1928 г. Вейлем ..[10,с.331-340] операторы, которые удовлетворяют носящим теперь его имя перестановочным соотношениям, являются образующими полного операторного базиса системы с любым конечным нли бесконечным (в том числе и несчетным) числом состояний. Это, конечно, не случайно. В самом деле, Вейль кладет в основу кинематики группу поворотов пространства лучей, а физические величины интерпретирует как вещественные элементы соответствующей групповой алгебры [10]; Швингер, напротив, имея с самого начала алгебру как результат анализа измерений определенного типа, выводит фундаментальную кинематическую группу (раздел 2.12) как некоторую абелеву группу унитарных элементов алгебры; эти элементы определяют полный набор совместимых физических величии. Имея целью построить базис алгебры измерений и тем самым дать полное описание всех возможных физических величии

системы, Швингер с неизбежностью приходит к другому полному набору физических величии, максимально ие совместимых с первыми. Образующие операторы двух этих групп подчиняются перестановочным соотношениям Вейля. Исследование структуры полученных групп приводит к четкому определению понятия квантовой степени свободы и возможности априорной классификации всех возможных степеней свободы. Таким образом, Вейль и Швингер пришли с разных сторон к одному и тому же объекту, однако более естественный путь Швингера позволил достичь нового уровня понимания.

Поэтому с первыми двумя главами - сказанное выше относится главным образом ■ к иим - было бы весьма полезно ознакомиться начинающим. К сожалению, в силу своего происхождения книга даже в этой, сравнительно элемеитар- иой, части ие предназначена для первоначального изучения - в ней почти нет физических иллюстраций. Впрочем, этот пробел восполняют упомянутые выше лекции Фейнмана [7].

Динамику квантовой системы Швиигер рассматривает с точки зрения, которую иногда называют "пассивной", т.е. в каждый момент времени описание должно быть таким, чтобы относительно . него система проявляла такие же свойства, как и в любой другой момент времени. По этой причине в книге нет термина "амплитуда вероятности (перехода)", вместо него автор пользуется естественным для такого подхода термином "функция преобразования". В основу построения динамики автор кладет вариационный динамический принцип; который впервые был им введен в статье 1951 г. первой из цикла "Теория квантованных полей". Вот как тогда Швингер определил свою цель [5, с.116]: "Развиваемая нами в дальнейшем точка зрения заключается в замене ряда обычных допущений, основанных на классической гамильтоновой динамике и принципе соответствия, одним единственным динамическим принципом."

К достоинствам динамического принципа Швингера стоит отнести ие только его мощь и общность, позволяющую построить всю теорию с единой точки зрения, ио также и то, что в рамках математической схемы квантовой механики он выглядит более естественно, нежели классические ва-

риациоииые принципы в системе понятий ньютоновой механики.'.

Целостность изложения автором" квантовой механики привела к еще одному интересному явлению — в ией иет ссылок иа математические теоремы, поскольку все нужные результаты выводятся по ходу дела (единственное, пожалуй, исключение - упоминание в разделе 2.12 теоремы Ферма — Эйлера). Поэтому искушенный читатель то и дело будет узнавать возникающие в тексте математические структуры и результаты, как правило, без принятых в математике названий.

Вообще, читатель найдет в книге много интересных и, возможно, неожиданных для себя деталей. В целом книга позволит читателю существенно углубить понимание квантовой механики, а интересующимся - упростит чтение других работ автора.

Последняя глава книги состоит из двух работ, одна из которых "Броуновское движение квантового осциллятора^ уже выходила иа русском языке в переводе В.Л.Боич- Бруевича [И.с.96-167]. Этот перевод и воспроизводится в настоящем издании.

С, Г. Шеховцов

Список литературы

Кемпфер Ф. Основные положения квантовой механики: Пер. с англ. — М.: Мир, 1967..

Садбери - А. Квантовая механика и физика элементарных частиц: Пер. с англ. - М.:Мир, 1989.

Ахиезер А. И., Рекало М. П. Биография элементарных частиц. — Киев: Нау- кова думка, 1983.

Швингер Ю. Частицы, источники, поля:' Пер. с англ - М.: Мир, 1973.

Новейшее развитие квантовой электродинамики: Пер. с англ. — М.: Изд-во иностр, лит., 1954.

Швингер Ю. Теория квантованных полей: Пер. с англ. — М.: Изд-во иностр, лит., 1956.'

Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике: Пер. с англ. - М.:Мир, 1966.- Вып.8,9: Квантовая механика.

Дирак П. Принципы квантовой механики: Пер. с англ. — М.: Наука, 1979.

Фон Нейман И. Математические основы квантовой механики: Пер. с нем. — М.: Наука, 1964.

Ю. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика: Пер. с англ,— М.: Наука, 1983.

Мартин П., Швингер Ю. Теория систем многих частиц. Швингер Ю. Броуновское движение квантового осциллятора: Пер. с англ. — М: Изд-во иностр, лит., 1962..■

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

В начале 1955 г. я начал писать статью по квантовой теории полей. Вот что говорилось во введении о плане статьи: "В части А этой статьи в рамках нерелятнвистской теории строится общая схема квантовой кинематики и динамики, пригодная для систем с конечным числом динамических переменных. Если оставить в стороне конкретные физические следствия, к которым приводит требование релятивистской инвариантности, то переход к полям в. части В привносит сравнительно мало нового, что позволяет изучать главные математические особенности теории полей на примерах более элементарных физических систем".

Предварительная и неполная версия части А была положена в основу лекций на Летней школе теоретической физики в Лезуше в июле 1955 г. В том же году работа над частью А прервалась, а часть В так и ие была начата. Несколько лет спустя я использовал часть этих материалов в серии заметок, опубликованных в "Proceedings Of the National Academy of Sciences". Положение вещей не менялось вплоть до недавнего времени, когда Роберт Кохлер (университет штата Буффало) напомнил мне о неослабевающем, интересе к заметкам школы в Лезуше и предложил опубликовать их. Кроме того, он вызвался- помочь мне в этом деле. Результат вы держите в руках.. Основной текст представляет собой оригинальный, так и не завершенный манускрипт 1955 г., в который я добавил лишь подзаголовки. К основному тексту добавлены оттиски упомянутых статей из "Proceedings", что обогощает текст, а, кроме того, в конце книги помещены две статьи, которые иллюстрируют и развивают дальше методы данной книги.

Юлиан ШвингерЮлиан ШвингерБелмонт, Массачусетс 1969

Юлиан Швингер

Юлиан Швингер

ГЛАВА 1

АЛГЕБРА ИЗМЕРЕНИЙ

Символы измерения'

Совместимые свойства. Определение состояния ■

Измерения, меняющие состояние

Функции преобразования

След.

Статистическая интерпретация ■1.7. Операция сопряжения

Комплексно—сопряженная алгебра

Матрицы

Вариации функций преобразования

Ожидаемое значение ■

Дополнение: Неселективные измерения

Классическая теория измерения строится на представлении о том, что взаимодействие между изучаемой системой и измерительным прибором может быть сделано ' сколь угодно малым или, по крайней мере, точно скомпенсировано, поэтому можно вполне осмысленно говорить о неком идеализированном измерении, которое не нарушает ни одного из свойств системы. Но для атомных явлений характерно именно то, что взаимодействие между системой и прибором не является сколь угодно малым. К тому же нарушения, которые вызывает это взаимодействие, нельзя точно скомпенсировать, поскольку они до некоторой степени неконтролируемы и непредсказуемы. Следовательно, измерение какого- либо одного свойства может вызвать неизбежное изменение значения, предварительно установленного для другого свойства, и поэтому нет смысла говорить о микроскопической системе, имеющей точные значения для всех своих признаков. Это противоречит классическому способу представления всех величин числами. Поэтому законы атомной физики должны выражаться на некотором неклассическом математическом языке, который устанавливает определенный способ символического выражения свойств микроскопического измерения.

Символы измерения

Основные положения этой математической структуры мы разработаем, изучая упрощенные физические системы, а

именно такие, что любая физическая величина А принимает только конечное число различных значений о1, ...а" При измерении наиболее элементарного типа прибор разделяет ансамбль независимых подобных систем на подансамбли, которые различаются значениями измеряемой физической величины. Пусть М(а') есть символическое обозначение для такого селективного измерения, которое пропускает системы со значением а* для свойства А и отбрасывает все другие. Мы вводим операцию сложения таких символов как способ описания не столь определенных селективных измерений; а именно измерений, в результате которых получается подансамбль, отвечающий всем фигурирующим в сумме значениям величины А, т.е. ни одно нз них нельзя различить с помощью такого измерения.

Операция умножения символов измерения обозначает последовательное выполнение измерений (читать справа налево). Из физического смысла этих операций следует, что сложение коммутативно и ассоциативно, а умножение ассоциативно. Обозначив символами 1 и 0 измерения, которые, соответственно, пропускают и отбрасывают все системы, Свойства элементарных селективных измерений можно записать в виде

М(а')М(а') = М(а'),(1.1)

М(а')М(а") = 0, а'*а",(1.2)

ЕЖ) = 1.(1.3)

а В самом деле, измерение, которому отвечает символ. М^а'\ пропускает каждую систему, порожденную измерением М^а'\ и отбрасывает каждую систему, порожденную измерением M^a"Y а"*а*; в то время как селективное измерение, не различающее ни одного из возможных значений а', является измерением, которое пропускает все системы. По смыслу измерений, обозначенных как 1 и 0, эти измерения обладают алгебраическими свойствами . 11 = 1, 0 0 = 0, 10 = 01 = 0, 1 + 0 = 1,(1.4)

и

Ща') = М(а') 1 = М^а*^,

ОМ^а*^ = Л1(а')0 = О,

М^а*^ + О = М^а'у(1.5)

оправдывающими такие обозначения. Различные свойства символов 0, М^а*^ и 1 согласуются, если умножение дистрибутивно. Следовательно,

£^Л1(а')Л1(а") = М^а') -

“ = М^а')! = М(а') £ М(а").(1.6)

'а*■

Введение очевидным образом чисел 1 и 0 в качестве миожителей позволяет скомбинировать эти законы умножения символов в единое утверждение

М(а')М(а") = 5(а', а")М(а'),■(1.7)

где,

Г 1, а =а",

= \(1.8)

[О, а'*а" .

Совместимые свойства. Определение состояния

Две физические величины ^ и А2 называются совместимыми, если измерение одной не разрушает знания, полученного предшествующим измерением другой. Соответствующие селективные измерения М(а^) и М(а2), выполненные в том или ином порядке, порождают ансамбль систем, в котором можно одновременно приписать значение а'^ величине А1 и значение а£ величине А^. Символ такого составного измерения имеет вид:

М(а'а'2) = М(а')М(а2) = М(а')М(а').(1.9)

Под полным набором совместимых физических величин Л^.^Л^ мы понимаем такой набор физических величин, каждая пара которого совместима, и в то же время не существует никаких других величин, совместимых с каждым элементом набора, за исключением функций набора А Тогда символfc

' ■ М(а') = f|M(a')(1.10)

<=1 описывает полное измерение, которое характеризуется тем, что отобранные системы обладают определенными значениями

для максимально возможного числа признаков; любая попытка определить значение еще какой-нибудь независимой физической величины вызовет неконтролируемые изменения одного или более из предварительно установленных значений. Таким образом, оптимальное состояние знаний о данной системе получается, если подвергнуть ее некоторому полному селективному измерению. Говорят, что системы, отобранные с помощью такого полного измерения М(а), находятся в состоянии а. Символические- свойства полных измерений также записываются в виде соотношений (1.1), (1.2), (1.3).

Измерения, меняющие состояние

Более общий тип измерения включает возможность нарушений, которые приводят к изменению состояния. Символ М(а'„а") обозначает селективное измерение, при котором воспринимаются только системы в состоянии а", а возникают системы в состоянии а*. Процесс измерения Af(a') является частным случаем, в котором не происходит изменения состояния,

М^а'^ = М^а'.а'). (1.11) Свойства последовательных измерений типа М(а'.а") символически записываются в виде

М^а* .а^М^а"* ,а^ = 3(a*,a*,)M(a,,alv), (1.12) нбо если а"*а*", то вторая ступень составного прибора не пропустит нн одну из систем, получающихся после первой ступени измерения, в то время как, если а*=а*', все такие системы войдут во вторую ступень и,. следовательно, составной прибор служит для отбора систем в состоянии alv и перевода их в состояние а*. Заметим, что если эти две ступени поменять местами, то

М(а"' .а^ЛНа' .а*) = 3(а' .а^М^а"' ,а") , (1.13) что, вообще говоря, отлично от (1.12). Поэтому умножение символов измерения некоммутативно.

Физические величины, составляющие один полный набор Л, не охватывают всего многообразия физических признаков

системы. Можно построить другие полные наборы В, С, .... которые взаимно несовместимы, причем для каждого выбора неинтерферирующих физических характеристик имеется свой набор селективных измерений, связанных с соответствующей системой состояний: М(Ь'.Ь"), М(с',с”), ... Наиболее общее селективное измерение связывает два набора несовместимых свойств системы. Символом М(.а' ,$>'’’) мы обозначаем процесс измерения, который отсекает все системы, кроме систем- в состоянии Ь', а из прибора могут появляться системы в состоянии а*. Составное измерение М(а', b')М(с' ,d') служит для отбора систем в состоянии d' и перевода их в состояние а', т.е. оио является некоторым селективным измерением типа М^а',d'\ Но в добавок к этому после первой ступени возникают системы в состоянии с', тогда как Вторая' ступень " принимает только системы в состоянии Ь'. До сих пор рассматривались примеры составных измерений,, которые подразумевали, что между двумя ступенями измерения либо проходят все системы, либо не проходит ни одной, что и отражали численные множители 1 и 0. Однако в более общем случае измерения свойства- В, 'выполняемые над системой в состоянии с', которое определяется свойствами, не совместимыми с В, будут давать не- .которое статистическое распределение возможных значений для этого свойства. В этом случае только определенная часть систем, возникающих после первой ступени, будет приниматься второй частью составного прибора. Мы выражаем это свойство в виде общего закона умножения

М{а' «Ь'^М^с* .d') = <b' | с' > М(а', d' )■,(1.14)

где <6' | с' > есть число, характеризующее статистическую связь между состояниями Ь' и с'. В частности,

<а* |о*> = 3(а',а").(1.15)

Функции преобразования Частными примерами соотношения (1.14) являются выражения

М^а'^Ь',с') = {а'\Ь')М(а',с')(1.16)

и.

М(а',Ь' )М(с') = <Ь' |с'> М(а',с').(1.17)

Из фундаментального свойства символа измерения (1.3) мы выводим, что ■

£ <а' |6'> М^а'.с') ■ £^Af(a')Af(6',c') =

'= МЦ/.с')(1.18)

и, аналогично, £ <Ь*\с,>М(а',с') = М(а',Ь'),(1.19)

с' откуда видно, что символы измерения одного типа можно представлять в виде линейной комбинации символов измерения другого типа. Общее соотношение имеет вид M^c'.d') = VM(a')M(c',d')M(b') = ■arb*■

= ^a'Xc'Xd Xb'^M^a',b'Y(1.20)

Роль, которую числа <a' |6'> играют в установлении таких связей, подсказывает название для них: совокупность чисел <а' | Ь* > называется функцией преобразования, связывающей a-описание и ^-описание; термин "a-описание" означает описание системы иа языке состояний, которые порождаются селективными измерениями полного набора совместимых физических величин А.

преоб-

(1.21)

(1.22)

(1.23) прини-

(1.24)

Фундаментальное свойство композиции функций разования получается при сравнении соотношений £ Af(a')Af(6')A4(c') = £ <а' ХЬ'ХЬ' |с'> М(а',с') Ь*Ь*и‘^^[E^tA'^Aftc') = Af(a')Af(c') = = <a' | с* > M(a', с*), а именно LWXHO = <а'\с'>."ь'.При отождествлении а- и с-описаиий это равенство мает вид Т<а'\Ь'ХЬ'\а-> = б(а'.а-).'ь'и, аналогично, T<b'\a'Xa'\b"> = б(*',^). а. 'Заметим, что как следствие получается соотношениеФундаментальное свойство композиции функций разования получается при сравнении соотношений £ Af(a')Af(6')A4(c') = £ <а' ХЬ'ХЬ' |с'> М(а',с') Ь*Ь*и‘^^[E^tA'^Aftc') = Af(a')Af(c') = = <a' | с* > M(a', с*), а именно LWXHO = <а'\с'>."ь'.При отождествлении а- и с-описаиий это равенство мает вид Т<а'\Ь'ХЬ'\а-> = б(а'.а-).'ь'и, аналогично, T<b'\a'Xa'\b"> = б(*',^). а. 'Заметим, что как следствие получается соотношение(1.25)

Фундаментальное свойство композиции функций разования получается при сравнении соотношений £ Af(a')Af(6')A4(c') = £ <а' ХЬ'ХЬ' |с'> М(а',с') Ь*Ь*

и‘

^^[E^tA'^Aftc') = Af(a')Af(c') = = <a' | с* > M(a', с*), а именно LWXHO = <а'\с'>."

ь'.

При отождествлении а- и с-описаиий это равенство мает вид Т<а'\Ь'ХЬ'\а-> = б(а'.а-).'

ь'

и, аналогично, T<b'\a'Xa'\b"> = б(*',^). а. '

Заметим, что как следствие получается соотношение

Фундаментальное свойство композиции функций разования получается при сравнении соотношений £ Af(a')Af(6')A4(c') = £ <а' ХЬ'ХЬ' |с'> М(а',с') Ь*Ь*

и‘

^^[E^tA'^Aftc') = Af(a')Af(c') = = <a' | с* > M(a', с*), а именно LWXHO = <а'\с'>."

ь'.

При отождествлении а- и с-описаиий это равенство мает вид Т<а'\Ь'ХЬ'\а-> = б(а'.а-).'

ь'

и, аналогично, T<b'\a'Xa'\b"> = б(*',^). а. '

Заметим, что как следствие получается соотношение

£ 'й<а*\Ь*><Ь*\а*> = £ 1 =

а* Ь*в

= M,<b' la'Xa' l6'> = Е 1 • П-26) Ь'а'Ь'

которое означает, что N - полное число состояний, получающихся в некотором полном измерении, - не зависит от частного выбора измеряемых совместимых физических величин. Поэтому полное число символов измерения любого конкретного типа равно N2. Таким образом, аддитивные комбинации с произвольными числовыми множителями при символах измерения образуют элементы некоторой линейной алгебры размерности N2 - алгебры измерений.

Элементы этой алгебры называются операторами.

.1.5. След

Число <а'|6'> можно воспринимать как линейную числовую функцию оператора М(Ь',а'). Это линейное соответствие между операторами и числами мы назовем следом-. '<а* |6'> = ТгМ(Ь',а').(1.27)

и заметим, что из общего линейного соотношения (1.20) вытекает равенство.

Тг М^с* .d') - ^а' | с' > <d* | Ь* > Тг М(а' .Ь') =.

=^d- | Ы > <Ь' | а' > <а' | с' > = <d' | с* > , (1.28) котороеподтверждает согласованность определения (1.27).

В частности, Тг М(а'.а") =Ца', а"),

"ТгЛ1(а')= 1.(1.29)

Следпроизведения символов,очевидно, есть

TrMta'.b'^c'.d') = <b' \c'> Tr M(a',d') = '= О'\c'><d' |а'> ; (1.30)

переставим местами сомножители Тг М^с' .d'^a' ,b') = <d'\a'> Тг M(c',b') =

''■- <d*\a*><b*\c*> (1.31)

и сравним полученные выражения. Видим, что вопреки не- коммутативности умножения след произведения двух сомножителей не зависит от порядка умножения. Это применимо

для любых двух элементов X, Y алгебры измерения-.

Tr XY = Tr YX..(1.32)

Частным случаем соотношения (1.30) является

TrAf(d')Af(6') = <a'\b,><b,\a'> .(1.33)

Статистическая интерпретация

Следует обратить внимание на то, что общий закон умножения и определение следа сохраняются, если выполнить замены--

М^а' Л*') -» Х^а'У^а' .b'^b1')

<a'\b'> -> X(a'Ka'\b'>X(b'V\(1.34)

где числа Л(а') и Л(6') могут принимать произвольные ненулевые значения. Ясно, что символы элементарных измерений Af(a') и функции преобразования <a'|а"> остаются при этом неизменными. Из-за этого произвола функция преобразования <а'\Ь'"> не может сама по себе иметь прямой физической интерпретации, но должна входить в некоторую комбинацию, остающуюся при замене (1.34) инвариантной. Подходящую основу для статистической интерпретации функции преобразования можно нащупать, если рассмотреть последовательность селективных измерений М(Ь' )М(а' ^М^Ь'), которая отличается от МЦЪ'З™ из-за "возмущений, сопутствующих промежуточному Л-нзмеренню. Лишь часть систем, отобранных первоначальным В-измерением, пройдет через весь прибор. В соответствии с этим мы можем написать символическое равенство

М^ЗМ^аЗМ^Ь') = р(а'.Ь')М(Ь') ,(1.35)

где число

p(a,,b'') = <a'\b'><b' |а'>(1.36)

инвариантно относительно преобразования (1.34). Если мы выполняем Л-измерение, которое не делает различия между двумя (нли более) состояниями, то имеется отвечающая этому случаю аддитивность чисел р^а' ,b'Y

M(b')(М(а') + М(а"))М(Ь') =

= Wa'.b') + pia",HWH , (1.37) для Л-нзмерення, которое вообще не различает состояний,

АЦИ^,^')]^') = М(Ь') ,(1.38)

£,p(a'.b') - 1.(1,39)£,p(a'.b') - 1.(1,39)поэтому

£,p(a'.b') - 1.(1,39)

£,p(a'.b') - 1.(1,39)

Эти свойства позволяют приписать числу р(а',Ь') смысл вероятности обнаружить состояние а' в измерении, выполняемом над системой, относительно которой известно, что она находится в состоянии Ь*. Но вероятность есть вещественное неотрицательное число. Поэтому мы налагаем иа числа, возникающие в алгебре измерений, допустимое ограничение, требуя, чтобы <а'|6'> и <6'|а'> составляли пару комплексно сопряженных чисел

<Ь'\а*> = <а*\Ь*>*,■(1.40)

поскольку тогда■

р(а',Ь') - |<а'|.6'>|2 = 0.(1.41)

Чтобы соотношение комплексной сопряженности сохранялось, числа Л(а') в (1.34) должны подчиняться равенству

Л(а')* - Л(а')-1,(1.42)

и поэтому

Л(а') = е^®^ ,(1.43)

где фазы ф(а') могут принимать произвольные вещественные значения. ..

Операция сопряжения1

Другим вызывающим удовлетворение аспектом формулы для вероятности (1.36) является свойство симметрии

р(а',Ь') = р(Ь',а').(1.44)

Вспомним произвольное соглашение, которое сопутствовало нашей интерпретации символов измерения и их произведений, а именно порядок событий читался справа налево (ле- восторонность). Но любое содержащее символы измерения соотношение в равной степени справедливо, если его интерпретировать ■ противоположным образом (правосторон- ность), и ии один физический результат ие должен зависеть от того, какое из соглашений принято. Если принять правостороннюю интерпретацию, то число <_а'\Ь,’> приобре-

'в оригинале "adjoint*. - При меч. пер.

тает смысл, которым обладало число <6' |а'> при левостороннем соглашении. Таким образом, мы заключаем, что вероятность, связывающая состояния а* и Ь* в данной последовательности, должна строиться из <а'|6'> и <6'|а'> симметричным образом. Процедуру введения противоположного соглашения для символов измерения будем называть операцией сопряжения и обозначать символом t. ■ Таким образом,

М^а* ,Ь*^ = М(Ь',а')(1.45)

и.

М{а,,а"/ =М(а",а').(1.46)

В частности,

М(а'^ =М(а'),(1.47)

чтохарактеризует М(а')как самосопряженный,илиэрми

тов, оператор. Для произведений символов измерений можно написать

(М(а',b')M(c'.d*^ = M(d* .с'^М^Ь* .а') =

= М(с',d')*М(а',Ь'^ , (1.48)

это эквивалентно равенству

«6' Хс^М^а' .d'^ = <с* lb'>M(d',а') =

- <b* I с' >*Жа'..d')*. (1.49)

На смысл сложения процедура сопряжения не влияет, что позволяет распространить эти свойства иа все элементы алгебры измерений:■

(Х + У)* = Х**У*.

(ХУ)* = У*Х*.

(ЛХ)* = Л*Х*.(1.50)

где Л - произвольное число.

Комплексно—сопряженная алгебра '

Использование комплексных чисел в алгебре измерений приводит к существованию дуальной алгебры, в которой все числа заменены соответствующими комплексно-сопряженными числами и ин одни физический результат ие может зависеть от того, какая алгебра используется. Если операторы этой

дуальной алгебры записывать как X*, то соответствие между двумя алгебрами определяется законами

(Х + У)* = Х* + У*.'

'(XY)* = Х*У*,■

.(XX)* - Х*Х*.(1.51)

Выполнение операции сопряжения вместе с комплексным сопряжением называется транспонированием

Хт = X** = X**.. '(1.52)

Эта операция удовлетворяет следующим алгебраическим свойствам:

(Х + УГ-Х’ + Л

-(ХУ^-ГХ*,

■(Х^-ХХ*.(1.53)

Матрицы

Символы измерения некоторого заданного описания дают в наше распоряжение базис для представления произвольного оператора системой из Na чисел, при этом абстрактные свойства операторов реализуются в виде конкретных законов комбинирования этими наборами чисел; эти законы совпадают с соответствующими законами для матриц. А именно выражение

X = ^а' |Х|а*> М(а',а*)(1.54)

определяет матрицу оператора X в a-описании или, как говорят, в а-представлении; перемножение.

ХУ = Е<а'|Х|а*>М(а^а*)Е<а,у|У|а*'>М(а"/а~^ = .(1.55)

= Е<а' | X | а*> ^а*.а^Ка ,v| У | а*' > М(а' ,а") показывает, что

<а'|ХУ|а*'> = T<a'\XV«6<aw\Y\aw»>.(1.56)

Элементы матрицы, представляющей X, записываются в виде

<а' | Х| а*> = Тг ХЛЦа",а'),.(1.57)

и, в частности,

<а' |Х|а'> = Тг ХМ(а') .(1.58)

Таким образом, сумма диагональных элементов матрицы является следом оператора. Соответствующий базис дуальной алгебры в а-представлении состоит из операторов М(а* .а*)*, а матрицы, представляющие X* и Хт, суть, соответственно, комплексно-сопряженная и транспонированная матрицы, представляющие X в данном описании. Оператор Х^Х1* как элемент той же алгебры, что и X, представляется транспонированной комплексно-сопряженной матрицей, или, что то же самое, (эрмитово) сопряженной матрицей.■ ■■

Матрица оператора X в смешанном а&-представлеиии определяется равенством■

X = ^а'\Х\Ь'>М(а‘,Ь‘) ,-(1.59)

где..

<а* |Х|У> = ТгХМ(Ь',а') .(1.60)

Правило умножения для матриц в смешанном представлении имеет вид ■' •.

<а'\Х¥\с'> = E/a'IXIA'XA'iric^.(1.61)

Подставив Х=У=1, мы получаем знакомое свойство композиции функций преобразования, поскольку

.<а'\1\Ь'> = ТгМ(Ь',а') = <а'\Ь'>.(1.62)

Если мы положим X или У равным 1, то получим примеры связи между матрицами заданного оператора в различных представлениях. Общую формулу можно вывести из известных линейных соотношений между символами измерения. А именно <а'\X\d*> = Тт XM(d*.а') =•

= Тг ХТ<с‘Xd'Xa'\Ь*>М(с*,Ь') =Ьс'■'

= £<*'\b'><b'\Х1с'Хс'\d'> . (1.63) b с

Сопряжение оператора X, представленного в смешанном аб-базисе, приводит к некоторой матрице в ба-базисе:

'<6'|^|а'> = <а'|Х|6'>*.. '(1.64)

Вариации функций преобразования

В качестве применения смешанных представлений мы рассмотрим операторный эквивалент фундаментальных свойств функций преобразования:

L,<a'\b'><b'\c'> - <а'\с'>,

6■<а'\Ь'>*= <Ь'\а'>.(1.65)

ои строится при помощи дифференциального способа описания функций преобразования. Если 3<а'\Ь'> и 3<Ь'\с'> суть ■ любые возможные бесконечно малые изменения соответствующих функций преобразования, то порожденная ими вариация <а'|с'> есть S<a'|c'> = Е,р<а'| »'>•<»'|с'> +.•

ь*

+ <а'|6'>-3<6'|с'> ], (1.66) причем

■3<а'\Ь*>*= ^Ь'\а'>.(1.67)

Совокупность чисел 3<а'|6'> можно рассматривать как матрицу некоторого оператора в об-представлеиии. Поэтому иапишем

8<a'\b’> - i<a'\3Web\b'>■(1.68)

как ■ определение бесконечно малого оператора SW^. Если определить аналогично бесконечно малые операторы BW^ и SW^, то дифференциальное свойство (1.66) примет вид матричного равенства

<a-\8Wee\cl> = L^<al\8Web\bl><b*\c'> +.

■+ <a'\b'><b'\3W^ciyL (1.69)

из которого мы выводим равенство

ЗГ = ЗГ . + ЗГ. .(1.70)

ас ао ос'

Таким образом, мультипликативный закон композиции функций преобразования приводит к аддитивному закону композиции для бесконечно малых операторов 6W.

Если в соотношении (1.70) отождествить а- и 6-описаиия, то окажется, что

5^ = О(1.71)

ИЛИ 3<а'|а"> = 0;(1.72)

что выражает тот факт, что эта функция преобразования имеет фиксированные числовые значения:

<а'\а“> = 3(а',а").(1.73)

В самом деле, последнее равенство не есть независимое условие, налагаемое на функции преобразования, а является следствием свойства композиции и требования, чтобы функции преобразования как матрицы были несингулярны. Если теперь отождествить а- и с- описания, то мы установим, что

5W. =-dW..(1.74)

Далее,„■„

3<а* \ V>* = -i<a* \8W^ХЬ'У =

= -i<b*\Sw\b\a'>,(1.75)

что должно равняться

Kb'VO = . КИЗТ^Ю,(1.76)

и, следовательно, •

а^ь =-а^ = a^ab.(1.77)

Итак, наше свойство комплексного- сопряжения- функций преобразования является выражением утверждения Об эрмито- вости бесконечно малых операторов 3W.■

‘1.11. Ожидаемое значение

Ожидаемым значением свойства А для системы, находящейся в состоянии Ь', является среднее по всем возможным значениям величины А, взвешенное с вероятностями их появления, характерными для состояния Ь'. Если воспользоваться (1.33) и записать формулу для вероятности в виде

р^а'.Ь'^ТтМ^а'^Ь''),(1.78)

то для ожидаемого значения получим ■

.<Л>Ь. = Т/^'-И =

= ТгЛА4(И =

(1.79)(1.79)= <Ь'\А\Ь'>,

(1.79)

(1.79)

где введен оператор А

А = ^ а'М^а').(1.80)

в' ‘

Таким путем установленное соответствие между операторами и физическими величинами приводит к тому, что произвольной функции RA) свойства А системы соответствует значение оператора ДЛ), а операторы, соответствующие некоторому полному набору совместимых физических величии, образуют полный набор коммутирующих эрмитовых операторов. В частности, функция свойства А которая равна единице в состоянии а' и нулю в любом другом, характеризуется оператором М(а').

Дополнение: Неселективные измерения2

Физическая операция, обозначаемая символом М(а'), предполагает действие некоторого прибора, способного разделять ансамбль на подаисамбли, отличающиеся различными значениями а', и вместе с тем отбирающего одни из них и отбрасывающего остальные. Теперь мы будем рассматривать процесс измерения, предшествующий этапу отбора, который мы называем неселективным измерением; наша цель - обнаружение его символических двойников. Полезно установить общую количественную интерпретацию, соответствую- - щую символам такого измерения. "

Пусть система в состоянии с' подвергается измерению My>'Y а затем некоторому А-измереиию. Вероятность того, что система проявит значение Ь'к затем значение а' для соответствующих свойств, представляется в виде р^а'.Ь'.с'^ = р(а' .Ь'^Ь' .с'’) = \<а' \b'><b' \с'>\2 =

= \<а'\М(И\с'>\2.

Если, напротив, промежуточное В-измереиие пропускает все системы без разбора, что эквивалентно отсутствию какого бы то ни было В-измереиия, то соответствующая вероятность есть•

Текст воспроизводится из "Proceedings of the National Academy of Sciences"- 19S9.-V.4S.-P.1552-1553.

р(а'Д,с') = |<а'|с'>|2 = |<а'| Е,^) l^»2.

6'

Примеры такой связи символа с соответствующей вероятностью имеются для любого селективного нзмерення:

Ка', с') = \<а'\М\с*>\2.

Пусть теперь наше промежуточное измерение иеселективио, те. оно должно говорить, каковы функции прибора, ио не делать никакого отбора систем. Соответственно,

Р^'.б.с') = y^a'.b'W'.c^ = Г 1<а7 I^^I^X 2 •ь'ь*

Это соотношение отличается от выражения 2

Ка’Д.с^ = |E/a/|M(6/)|c'>|1 ь*1

отсутствием интерферирующих членов между различными состояниями Ь'. Это указывает на то, что с таким иеселек- тивиым В-измереиием следует связать символ

* /

Мь = Е,е ь М(Ь'),

где вещественные фазы ф6, суть независимые, случайным образом распределенные величины. Таким образом, неконтролируемая природа возмущений, которые вызывает измерение, находит свое математическое выражение в этих случайных фазовых множителях. Поскольку иеселективиое измерение не отбрасывает систем, -должно выполняться . соотношение

Тр(а',Ь,с') = 1 ,в

которое соответствует свойству унитарности операторов Мь:

м*мь = МЬМ* = 1.

Кроме того, следует заметить, что в рамках нашего вероятностного контекста, символы элементарных селективных измерений получаются из символа иеселективиого измерения заменой всех фаз, кроме одной, числами с бесконечной положительной мнимой частью, что описывает процесс отсечения подаисамблей как некое поглощение.

Общее правило вычисления вероятностей для последовательных измерений имеет вид

р^а' ,b' ....s' .И • \<а' \M(b')...M(s')\t'>\.

оно применимо к наблюдению любого типа — нужно лишь подставить подходящий символ измерения. Имеются и другие версии этого правила

Р^а't') = <n(M(az)...A1(s9)fyl(a9...^ и

Ка'.....t') = Тг(М(а')...MV'))*<М(а')...Му')),

каждую из которых можно также перенести на все типы селективных и иеселективиых измерений (в последнем случае существенна форма сопряжения). Конструкция ожидаемого значения показывает, что величина, равная единице, если свойства A.B.....S последовательно принимают в правостороннем смысле значения а*, Ь* ..... s', и равная нулю в противном случае, представляется эрмитовым1 оператором (М(а')... M(s' ^(Ща* ...M(s')).

Измерение есть динамический процесс, а из представ-: леиия о времени использовано пока только простейшее соотношение порядка. Детальная формулировка квантовой динамики должна удовлетворять тому требованию согласованности, что описание ею взаимодействий, составляющих измерение, должно воспроизводить те символические соотношения, которые возникли уже на этом элементарном этапе. В рассуждениях такого сорта явно подразумевается, что все измерения атомных явлений в конечной счете содержат усиление микроскопических эффектов до уровня макроскопического наблюдения.

Дальнейший анализ такой алгебры измерения приводит к геометрии, связанной с состояниями физических систем.

^р. работу Дирака в "Rev. Mod. Phys." (1945. -V. 17. -Р. 195), где вводятся неэрмитовы операторы и комплексные 'вероятности'.

ГЛАВА 2

ГЕОМЕТРИЯ СОСТОЯНИЙ

Пустое состояние'

Реконструкция алеебры измерений

Векторная алеебра

Волновые функции

Унитарные преобразования'

Бесконечно малые унитарные преобразования

Последовательные унитарные преобразования

Группы унитарных преобразований. Сдвиги и повороты

Отражения ’

Непрерывный спектр

Дополнение: Операторное пространство

Дополнение: Базисы унитарных операторов

Пустое состояние

Неконтролируемые возмущения, сопутствующие измерению, приводят к тому, что акт измерения является неделимым. Другими словами, любая попытка проследить историю системы в ходе процесса измерения обычно меняет природу выполняемого измерения. Следовательно, физически бессмысленно представлять себе некоторое заданное селективное измерение М^а'.Ь') как. составное. Смысл имеет только то, что на первой ступени" отбйра'ютСя системы в состоянии Ь', а на последней получаются системы в состоянии а*; промежуточные состояния для измерения в целом не имеют значения. На самом деле мы можем даже ввести некое иефизичес- кое состояние, чтобы оно служило нам в качестве посредника. Назовем это формальное образование пустым состоянием? и напишем

" (2.1)" (2.1)М^а‘.Ъ*') = М(а' ,0)М(0,Ь').

" (2.1)

" (2.1)

Процесс измерения, который отбирает систему в состоянии Ь' и переводит ее в пустое состояние

М(0,И = ^Ь'),(2.2)

^В оригинале 'null state*. - Примеч.пер.

можно воспринимать как уничтожение системы в состоянии Ь'-, а получение системы в состоянии а' вслед за ее отбором из пустого состояния,

М(а7,0) - Ца'),(2.3)

можно характеризовать как порождение системы в состоянии а*. Таким образом, содержание соотношения (2.1) состоит в неразличимости процесс^ М(а',Ь') от этого составного процесса уничтожения- системы в состоянии Ь* и последующего порождения системы в состоянии а*: .M(a',b') - Ха'ЖИ-(2.4)

Чтобы включить пустое состояние в расширенную алгебру измерений, символам Фи* нужно придать соответствующие свойства символов измерений. Таким образом, "Ха')* = ^а'),Цб')* » ЦЬ'),(2.5)

и■.

.• «(а7)^7) - ^aW) = 0 ,.

М(а',b'Же') = Ж»') М (Ь'.с') = 0 ,(2.6)

в то же время.■

М(а'. Ъ* Же*) - <671 с7 >Ф(а7),

Ца')М(Ь',с') = <а7|67>Ф(с7),(2.7)

и"

»(а7)Ф(67) = <а7|67>М(0).(2.8)

Некоторые из свойств символа М(0) таковы:

Ф(а7)М(0) ^Ца'),' •

МфЖ<И - *(<И.(2.9)

и■

М(0)Ф(а7) = Ца')М(О) = 0.(2.10)

Кроме того, в расширенной алгебре измерений

1 = £ М(а7) + М(0).(2.11)

в7

Фундаментальный произвол при введении символов измерения в гл.1, выражавшийся заменой (1.34),

M(a',b') —> еГ^'^М^а* .b^e^'V(2.12)

приводит к соответствующей замене для символов • и Ф : ..

Ф(а7) -> еГ^'^а*'),

Ф(6') -> e^'W).Ф(6') -> e^'W).(2.13)(2.13)

Ф(6') -> e^'W).

Ф(6') -> e^'W).

(2.13)

(2.13)

здесь мы эффективно удалили фазу Ф(0), отсчитывая все другие фазы относительно нее.

Реконструкция алгебры измерений

Теперь характеристики операторов измерения М(а‘,Ь') можно вывести из свойств символов Ф и Ф. Так,

М(а', Ь* ^^Ь* )*Ф(а' )* = Ф(6' Ж»' )»М(Ь' ,а') ,(2. И)

и TrAf^.a') = ТгФСб'^а') = ТНЦа' )Ф(6') =

= <а'|6'> ТгМ(О) = <а'\Ь*>,(2.15)

и в то же время

М(а' .Ь^М^с' ,<Н = М(а' .Ь'^с'Ж^) ="

= <b* |c'>«(a')»(d') = <b* \ с*>М<а* ,4* ^. (2.16)

Кроме того, замена (2.13) преобразует операторы измерения по формулам (2.12).

Различные эквивалентные утверждения, содержащиеся в (2.6), показывают, что единственно существенными, т.е. не равными тождественно нулю, являются в дополнение к XY произведения вида ФФ, ФФ и ХФ, ФХ, где латинскими буквами обозначены операторы, т.е. элементы алгебры физических измерений. Согласно конструкции (2.4) оператора измерения, все операторы являются линейными комбинациями произведений ФФ

"X = TWa'Ka'IXIb'W'),(2.17)

а Ь* и вычисление произведений ХФ, ФХ и ХУ сводится к применению одного из произведений (2.7):•

Ф(a,)Ф(6, )Ф(с') = ^a-Kb'V^.

Ф(а')Ф(6')Ф(с') = <а'|6'>Ф(с').(2.18)

Следовательно, при любой манипуляции с операторами, приводящей к произведению ФФ, оно эффективно равно числу

Ф^'^б') ■ <а'|6'> ,(2.19)

и, в частности,■' ..

Ф(а')Ф(а") = а(а',а").(2.20)

Гл.2. Геометрия состояний

37

Кроме того, следует заметить, что во всех 1 выступает в качестве оператора, имеем

1 - ^^(а') = 11(а'Жа') .

случаях, когда

(2-21)

Следовательно,•

X = Г «(а')Ф(а')Х«(У )♦(&'), 'а/Ь*•

(2.22)

откуда видно, что ^а'^Х^Ь') = <а'\Х\Ь'>.

Бра- и кет-символы ■ <а'|= ton, W> = W)

(2.23)

(2.24)

предназначены для того, чтобы сделать этот результат автоматическим следствием записи (Дирак). В бра- и кет- записи различные теоремы, такие как закон умножения (1.61), или общая формула замены матричного представления (1.63), получаются как простые применения выражения для единичного оператора: ■

. 1 = Е|о'><о'|. (2.25) а

.2.3. Векторная алгебра

Мы связали с каждым из N физических состояний некоторого описания по одному Ф- и Ф-символу. Далее, символы одного описания линейным образом связаны с символам» другого описания:

Ф(И = Е Ха'Жа'ЗХИ = Е Ща'Ха'\Ь'> ,(2.26)

в'в'

и

*0П = ЕХИ^Ж).(2.27)

что приводит также к установленному ранее линейному соотношению между операторами измерения различных типов. Таким образом, произвольные числовые кратные Ф- или ♦-символов образуют элементы двух взаимно сопряженных алгебр размерности N, которые являются векторными алгебрами, так как внутри каждой из них нет существенного перемножения элементов. Тем самым мы встечаемся с N-мерной геометрией — геометрией состояний, — из которой можно вывести алгебру измерений, причем в этом случае ее

свойства будут описываться иа геометрическом языке. Эта геометрия является метрической , так как число ФФ определяет скалярное произведение. В силу соотношения (2.20). векторы Ф(а7) и Ф(а7) а-описания образуют ортонормальный базис векторов или систему координат, и, следовательно, уравнения преобразования векторов (2.26) и (2.27) описывают замену системы координат. Произведение оператора с вектором представляет собой отображение иа

другой вектор в том же самом пространстве: Х^Н = Е ^WW) = £ «а'Ка'\Х\Ь'>.

(2.28)(2.29)(2.28)(2.29)t^X = E/a'IXIb'W') ь'

(2.28)

(2.29)

(2.28)

(2.29)

Действие оператора

А = ^а'^а'^а')»

символизирующего свойство А, иа векторы а-коордииатиой системы описывается формулами

А^а^ = а'^а'^, Ца * )Л = Ф(а7)а7 ,(2.30)

которые характеризуют ^.а'^ и Ф(а7), соответственно, как правый и левый собственные векторы полного набора А коммутирующих операторов с собственными значениями а7. У каждой векторной алгебры есть дуальная алгебра, в которой все" числа заменены комплексно сопряженными.

Волновые функции

Собственные векторы некоторого описания образуют базис для представления произвольного вектора набором АГ чисел. На этих наборах, известных как волновые функции, реализуются все абстрактные свойства векторов. Пусть

« = EJ^X^I* = ЕЛ« 7 >^7)>(2.31)

аа

и аналогично

* = Е/Ка'ЮИ .

ЧЦа'} = t\a'> .(2.32)

Если Ф и Ф связаны операцией сопряжения, Ф=Ф*, то соответствующие волновые функции связаны соотношением

^а^ = 4Ка'Т.(2-33)

Скалярное произведение двух векторов имеет вид

♦1*2 * ЕЛ^'Х»'!^ - ЕЛ ( а'^а')(2.34)

а'а ■

и, в частности,..

'»*» » £ ф^а'^а') а 0 ;(2.35)

а'‘

последнее соотношение характеризует геометрию состояний как унитарную геометрию. Оператор 1^ . представляется матрицей ■

<а'\^»2\Ь'> = ф^Ур^И ,(2.36)

а волновые функции, представляющие ХФ и ФХ, имеют вид ■ <а'\Х» = Е <а'\Х\Ь*>фЦП(2.37)

■ь'

"■ФХ\Ь'> -Ъ,*а'Ха'\Х\Ь'>.(2.38)

Если положить Х*1, то получатся соотношения, связывающие волновые функции данного вектора в двух различных представлениях:

^а7) = yW>№1.

*Н = Y*a'Xa'\b'>.(2.39)

а'

Заметим, что волновая функция, представляющая ^Ь') в а-описаиии, имеет вид

ф^а') = <а' |«(69 = <а'\Ь'> = ф^Ь').(2.40)

С точки зрения расширенной алгебры измерений волновые функции ф и ф являются матрицами соответственно с одной строкой -или с одним столбцом.

Удобно принять фиктивное утверждение, что каждый эрмитов оператор является символом некоторой физической величины, а каждый единичный вектор — символом состояния. Тогда ожидаемое значение свойства X в состоянии ¥ записывается в виде•

<Х>^ = »*ХФ =^а') * <°71 Х| а-Жа”);(2.41)

В частности, вероятность получить значение а* при

A-измерении, выполненным над системой в состоянии Ф, равна*•9...

р(а',Ф) = <Na')>t = » l^'X»'I» = ^(а')!-(2-42)

Унитарные преобразования Автоморфизмы построенной унитарной геометрии состояний порождаются унитарными преобразованиями

¥ = ФО , Ф = 1ГХФ, X = U~xXU .(2.43)

примененными к каждому вектору и оператору, где унитарный оператор U подчиняется условию

.U* = 1ГХ.(2.44)

При таком преобразовании сохраняются все алгебраические соотношения и все отношения сопряженности. Два последовательно выполненных унитарных преобразования образуют унитарное преобразование, обращение унитарного преобразования является унитарным, таким образом, унитарные преобразования образуют группу. Применение унитарного преобразования к векторам ортонормального базиса а-опнса- ния, которые характеризуются уравнением на собственные значения'

<а* КА-а') = 0,.(2.45)

порождает ортонормальные векторы

<a'l =<a'\U,■ (2.46)

которые подчиняются уравнению

<а* ЦА-а') = 0 .(2.47)

Следовательно, векторы <а* | являются состояниями некоторого нового описания, связанного с соответствующими величинами А, которые обладают тем же спектром собственных значений, что и свойства А Поскольку при таком преобразовании сохраняются все соотношения между операторами и векторами, имеем

<5'\Х\5^> = <а'\Х\а">,

<а* |Ф = <а* |», Фро^ = Ф|а'>.(2.48)

В.эквивалентных формах последних соотношений

<5* | Х| а"> = <а* | UXU-x\ а"> .

<а' |Ф = <а' \UH, Ф|а'> = »иЛа'>(2-49)

а-представнтелн операторов н векторов выражены как а-представнтелн, связанных с ннмн операторов н векторов. Базисные векторы любых двух описаний, расположенные в определенном порядке в рамках своих наборов, связаны унитарным оператором. А именно:

|а*> = U.\bk>,

в6k = 1N ,(2.50)

<6*| = «Ли.,,

где оператор

Ub = EI «*><»*!(2-51)

подчиняется условиям

uV ==(2.52)

ао

Функцию преобразования, связывающую а- и Ь-представлення, можно, таким образом, воспринимать как матрицу, полностью относящуюся либо к а-, либо к 6-представленню

<ak\bS = <а^Ьв\а5 = <Ь^ ^Ь^.(2.53)

а все величины 6-представлення можно понимать как а-представнтелей связанных с этими величинами операторов и векторов:

<Ьк\Х\ь5=<ак\ивЬХи"Ьв\а1>,

<6*|Ф = <а*|УдЬ»,Ф|6*> = ФС/^а^.(2.54)

Если две системы свойств А и S обладают одинаковым спектром значений, то операторы А и S также связаны некоторым унитарным преобразованием. Действительно, если базисные векторы упорядочены с помощью соответствующих собственных значений, то

S =£fr*|6*><6*| =£a*t/6e|a^ «^U ^ U bJU аВ (2.55) кк

Бесконечно малые унитарные преобразовании

Определение унитарного оператора, записанное в форме

(t/-l)t(t/-l) + (</—1) + ( </-l)f = 0 (2.56) показывает, что унитарный оператор, бесконечно мало отличающийся от единицы, в общем случае имеет вид

U = 1+iG, U* = 1ГХ = 1-< G , (2.57) где G — бесконечна малый эрмитов оператор. Преобразование координатных векторов, описываемое таким оператором, запишется в виде

5а<о'1 ’ <а'• " <°'। = <°* Iю *

6в\а*> = \а'> - la^ = -iG\a'>. (2.58) В силу (2.49) такая замена системы координат по своему действию на представителей операторов и векторов эквивалентна соответствующему изменению этих операторов и векторов относительно первоначальной системы координат. А

8в<а' | Х| а»>=<а' |Х|а»> -<а' | Х\а">=<а' |5 X | а">(2.59)

и

6в<а' |Ф = <а* |дф, а^Ца^ = дф| а 'у ,(2.60)

где

3» = (</-!)» = iG», ЗФ = ♦((Г1-!) = - ф iG .(2.61)

а6Х = UXirx- X « 1[X,G].(2.62)

Прямоугольные скобки означают коммутатор

[АВ] = АВ - ВА.(2.63)

Поскольку все алгебраические соотношения сохраняются, вариации операторов и векторов подчиняются обычным правилам:

д(ХУ) = 6XY + X6Y,

д(ХФ) = ЗХ» + Х8*.(2.64)

Нужно обязательно различать Х+8Х и

X = U-xXU = X - дХ;(2.65)

X является оператором, который проявляет те же свойства относительно а-описаиия, что и оператор X относительно a-описания. Таким образом, базисные векторы <а* | являются собственными векторами оператора А-дА соответствую-

щими собственным значениям а'.

. Последовательные унитарные преобразования

При изучении последовательных унитарных преобразований следует понимать, что преобразованию, заданному с помощью таблицы числовых коэффициентов, соответствует тот илн иной унитарный оператор в зависимости от системы координат, к которой оно применяется. Действительно, пусть U^ и U^— два таких оператора, описывающих два различных преобразования на одной и той же системе координат. Если первое из этих преобразований уже применено, то оператор, который соответствует второму преобразованию при его действии на получившуюся координатную систе

му, имеет вид.

^2 = ^гЧ^ • ■(2 66>

Следовательно, оператор, осуществляющий полное преобразование, — это. ■

и^ ■ эд •<2-67)

Такое же обращение с операторами последовательных преобразований, перемножаемых справа налево, применимо для любого числа преобразований. В частности, если вслед за двумя преобразованиями, последовательно примененными в одном порядке, применяется обращение композиции этих преобразований, взятых в другом порядке, то унитарный оператор для результирующего преобразования имеет вид ■"[О] = (ЭД^ЭД = ^(2.68)

Если оба преобразования бесконечно малы:

^1,2 = 1 + ‘Gl,2 '(2.69)

то и составное преобразование

■^[12] = 1 + *G[12]■(2.70)

будет бесконечно малым первого порядка по каждому из отдельных преобразований: .

.С[12] = Т^Р^У = - С[2Ц-(2.71)

В операторе последнее преобразование производит беско-

Гл.2. Геометрия состоянийнечно малое изменение.

8^ - Mi* ~ 81M'(2.72)

которое, если его записать с помощью коммутаторов, приводит к известному операторному тождеству (Якоби):

№<Ц><Ы - [[XGJ.G,] = [X[GrG2]].(2.73)

Группы унитарных преобразований. Сдвиги и повороты

Непрерывное повторение некоторого бесконечно малого унитарного преобразования порождает конечное унитарное преобразование. Если соответствующий бесконечно малый эрмитов оператор G — так называемый генератор унитарного преобразования - записать в виде ^G^, то обнаруживается, что применение этого бесконечно малого преобразования т/от раз в пределе дает

(/(т) = Lim (1 + Йт^^1^ = e^l).(2.74)

Эти операторы образуют однопараметрическую непрерывную группу унитарных преобразований

U^Ufr^ = У(т,+т2),

U(T)_1 - U(-T), U(0) - 1 .(2.75)

Набор конечных эрмитовых операторов G^, ... , й^ порождает й-параметрическую непрерывную группу унитарных преобразований в том случае, если эти операторы образуют линейный базис некоторого Операторного кольца, которое замкнуто относительно унитарных преобразований этой группы. Это требует, чтобы все коммутаторы [G^, G^ были линейными комбинациями исходных генерирующих операторов. .'

Имеется фундаментальная непрерывная группа унитарных преобразований, базирующаяся на понимании измерений как физических операций в трехмерном пространстве. Измерительный прибор определяет систему пространственных координат, относительно которой описываются физические свойства. Чтобы выразить свойство однородности пространства, мы утверждаем, что две системы координат.

отличающиеся только местоположением и ориентацией, внутренне эквивалентны. В частности, физические величины, аналогичным образом определенные относительно различных систем координат, обладают одинаковым спектром возможных значений, а соответствующие операторы должны быть связаны некоторым унитарным преобразованием. Поскольку совокупность сдвигов и поворотов системы координат образует шестипараметрическую непрерывную группу, мы заключаем, что существует некоторая изоморфная ей группа унитарных операторов. .'

Чтобы описать бесконечно малое изменение системы координат, говорят, что точке с радиус-вектором х в начальной системе координат соответствует радиус-вектор х—дх в новой системе координат, где.

дх = де + Зихх. ■. (2.76)

Бесконечно малый генератор соответствующего унитарного преобразования записывается в виде

О,- ее-Р + to.J = Е&,₽,+ А^Н -<277>

где использовано характерное для трех измерений соответствие между аксиальными векторами и кососимметрическими тензорами. Если по аналогии с (2.68) сравнить два порядка, в которых можно осуществить пару бесконечно малых замен координат, то найдем

д[12]е = дыре де2 - до>2х де,,.

^12]" = ^ ^ •(2 78)

откуда следует, что соответствующие бесконечно малые генераторы подчиняются перестановочному, соотношению (2.71) l[de,*P + dy,*J , de2*P + d«2‘J] =- - ■

= (ды,х de2 - ды^де,)*? + д^х дь>2* J . (2.79)

Поэтому ''

TtVJ-»-

itVJ = V,- Vm- у

|lV-J = Vim" Mb* «Uh" «bn'to- <2”)

последнее равенство в трехмерной векторной записи принимает вид

J х J = и .. (2.81)

Шесть содержащихся в символах Р и J эрмитовых операторов - генераторы бесконечно малых сдвигов и поворотов - идентифицируются как операторы полного импульса и полного углового момента соответственно. Эти физические величины возникают измеренными в определенных естественных единицах - просто числах для углового момента и обратных длинах для импульса. Связь между такими атомными единицами и условными макроскопическими стандартами нужно найти эмпирически. В случае использования последних надо ввести переходной множитель - заменить Р и J на h-1P и h-1J. Постоянная!! имеет размерность действия, а ее измеренное значение есть

■ h = 1,0545 • 10"27 эрг* сек.(2.82)

Для общетеоретических рассуждений естественные единицы предпочтительнее, н поэтому они будут использоваться в этой книге.' .

Отражения.

Непрерывную группу переходов между кинематически эквивалентными--системами координат .можно пополнить ■ операцией отражения положительного направления каждой пространственной оси координат. Такому изменению описания мы сопоставим унитарный оператор отражения R:

RtR = 1 .. (2.83)

Отражение, вслед за которым выполняется бесконечно малое смещение бе, бы, равносильно преобразованию, когда сначала выполняется смещение —бе, бы, а затем отражение. Поэтому■

[1+/(бе*Р + бы* J)]^ = <1+1 ( -5е*Р + бы* J)],(2.84)

или

^R - -*4 • ^'V -'*•<м5>

'2.10. Непрерывный спектр

Мы развили общую математическую структуру квантовой механики как символическое. выражение законов атомного измерения, имея в виду физические системы с конечным числом состояний. Остановимся теперь очень коротко на том, как распространить предшествующие рассуждения на системы с бесконечным числом состояний и на свойства, обладающие непрерывным спектром возможных значений. При любом измерении такого свойства отбираются системы, которым соответствуют значения из определенного интервала, и, следовательно, понятие состояния в этом случае относится к конкретному выбору полного набора совместимых величин в пределах сколь угодно малых окрестностей предписанных значений. Такие состояния мы будем изображать символами (а7^, д<а71 и выражать их полноту равенством

= EJ^^A^I •'(2.86)

Новая нормировка векторов . j-

\а'>^ = (Ьа'^\а'>,..

<а'|д - (Aa')V2<a7| ,(2.87)

в которой Да7 есть произведение длин интервалов собственных значений каждого свойства с непрерывным спектром, в пределе Да7—>0 дает

■1 = J |a7>da7<a71 ,.(2.88)

если, конечно, все элементы набора А имеют непрерывный спектр. Для произвольного вектора Ф, представленного волновой функцией■’

Ш'^ = <а'\Ч.(2.89)

мы можем написать' соотношение

«а7) = J <а' | а-> da-tRa"),(2.90)

которое является операциональным определением дельтафункции:■

<а* \а"> = 3(а'-а").(2.91)

Это соотношение является непрерывным аналогом свойства <Ка') = Т^а'-а^'Ка"),(2.92)

а н вообще во всех формальных соотношениях, относящихся к непрерывному спектру, суммирования заменяются интегралами. В частности, вероятность того, что нзмеренне, выполненное над системой в состоянии Ф, зарегистрирует одно состояние из некоторого набора, предстает теперь как интеграл по этому набору fda' l^a)!2 , таким образом, выражение

dp(a',^ = da' l^a7)!2(2.93)

можно понимать как вероятность обнаружить систему, свойства А которой принимают значения в бесконечно малой окрестности da' точки а'.

Дополнение: Операторное пространство.5

Геометрия состояний наделяет элементы алгебры измерений геометрической интерпретацией операторов на некотором векторном пространстве. Но операторы н сами по себе образуют векторное пространство, поскольку совокупность операторов замкнута относительно сложения и умно- женияначнсла. Размерность этого операторного пространства равна n\ так как это есть число линейно независимых символов, измерения любого заданного типа. Унитарное скалярное произведение в этом операторном пространстве определяется как число

<Х|У> = Тг^У) = <Г*| Х*> со свойствами

<Х|У>* = <У|А>,<Х|А>^0.

Вычисление следа

ТгМ(Ь' ,а')М(а",Ь"') = 8(а' ,а")5(Ь' ,Ь") характеризует базис М(а',Ь') как ортонормальный

<М(а' .Ь'^М^.Ь"^ = S(a' ,a")S(b' ,Ь"), а на общее линейное соотношение между символами измерения, М^с* »d*^ = ^а' Xc'Xd' \b'"> М^а* ,b'^, можно теперь смотреть как на преобразование, связывающее два ортонормальных базиса. Такая замена базиса описывается функцией преобразования

<a*b*\c'd'> ■ <Ха*.b'^M^c*,d')> = <а'\c'><d'\b'> , причем'

<a'b' Xc'd'> = <d'c' Xb'a'> и'

■<a'b*\c'd'>* = <c'd'\a'b'> = <Ь'а^'с'> .

Кроме того, можно подтвердить свойство композиции функций преобразования

YZa'b'Xc'd'Xc'd'Xe'f^ = <a'b'\e'f'> • с

Вероятность, связывающая два состояния, возникает как частный случай функции преобразования в Операторном пространстве р^а',b'^ = <а* \b'><b* \а*> = <а* а* \Ь* Ь*> .

Пусть Л(а), а=1,...,№, суть элементы произвольного ортонормального базиса: - ■<Х(а)|Х(а9> = ^«О •'

Его связь с базисом М^а*,Ь'^ описывается функцией преобразования

<a'b'\a> = ТгМ(Ь', а'■) Х(а) = <а,|Х(а)|6,> . Кроме того,■

<а\а'Ь'> = <а'Ь'Х«>* = <Ь'ХХ(а^Ха'> , и одно из свойств функции преобразования £ <а'Ь*\а> <а\а"Ь"> = 8(a'b',a"b")•

обретает матричный вид:.

IXa'\X(a)\b'><b#\X(aV\a#> = в^а'.а^^Ь'.Ь") .. а

Если мы умножим последнее равенство на 6-матрицу произ-

вольного оператора Y н просуммируем, по Ь' и Ь"» то получим а-матрнчное представление операторного равенства

. Е Х(а) Y X(af = 1 TrY , а'

справедливость которого для произвольного оператора У эквивалентна полноте операторного базиса Х(а). Поскольку совокупность операторов Х(ау также образует ортонормальный базис, то одновременно

Е X^YXW = 1 ТгУ , а•.

что в частном случае Y=\/N дат ■

jfcWV = ^£Х(аГх(а) = 1 . аа

Разложение произвольного оператора относительно нашего ортонормального базиса Х(а),.

'X = Е Х(аХа) ,

аопределяет соответствующие компоненты:х(а) = <Х(а)|Х> «<а|Х> .

Для базиса М^а*»Ь*У например, компонентами являются элементы матрицы оператора X в- об-представленни:.

х^а'Ь') = ТгМф'.а'^Х = <а'\Х\Ь*> .

Следовательно,, скалярное произведение . .в операторном.

- пространстве вычисляется по формуле

<Х|У> = Е .

н*■

•<Х|Х> = Е Иа)|2 a о .

При замене базиса компоненты данного оператора нзменяют- ’ ся в соответствии с

*Ю = £ <a|0W) -

Для базисов, состоящих из символов измерений, эта формула принимает вид закона преобразования матриц.

У операторного пространства есть две особенности, которые не имеют аналогов в пространстве состояний, операция сопряжения и умножение элементов определены в том же самом пространстве. Поэтому

Х(а) = £ (a3)X(P)f , ■В

(«3) = (За) » ТгДа)Х(З), и♦

Х(а)Х(Р) = £ (аЗт)Х(т)Т = £ Х(7К7|«3> , 77

где.

(«3D = (Зга) = (таЗ) = ТгХ(а)Х(3)Х(7) и♦

<7|аЗ> = ТгХ(у)*Х(а)Х(3) .

Отсюда следуют, в частности, соотношения <а|Х>* = £ (аЗКЗ|А , ■В

■<7|^У> = £<т|аЗ><а|Х><3|У> ,

«В которые обобщают известные свойства сопряжения и умножения матриц. Теперь элементы операторного пространства имеют двойственный характер: с одной стороны - это операторы, а с другой - объекты для образования матриц XalXla'^ = <a|XX(a")> = £ <a|a'a"><a'|Х> • a7 С точки зрения этого определения базисы из символов измерений выделяются полной приводимостью таких матриц в том смысле, что

<а'b'\X\a"b"> = <а,\Х\а*>8(Ь,,Ь*) .

Иначе говоря, совокупность N символов измерения Mta'.b'^ с фиксированным Ь' нлн а* является соответственно левым нлн правым идеалом этого операторного пространства.6 В возможности введения ортонормальных базисов из эрмитовых операторов нетрудно убедиться на примере системы операторов: AKa7,a") 4- M(a",a7) ^'V . КМа* .а"?- ЛКа",^) прн °'*0*- VI

Для любого такого базиса имеем

Точнее, левым (или правым) идеалом является множество элементов ■ вида £jr(a' )М(а' ,Ь' ). где Ь — фиксированно (или £х(Ь7 )М(а' ,Ь' ). а' — фиксирован- »7

но). — Примвч. пер..

<а|а'> = (аа') = а^а.а')

<а\Х>* = <a|Xt> ,

а следовательно, компоненты эрмитова оператора X относи-тельно такого базиса являются вещественными числами, и

поэтомупоэтому<Х|Х> - £ х^а)2 а 0 .<Х|Х> - £ х^а)2 а 0 .

поэтому

поэтому

<Х|Х> - £ х^а)2 а 0 .

<Х|Х> - £ х^а)2 а 0 .

Таким образом, в подпространстве эрмитовых операторов царит евклидова геометрия, и замена базиса является вещественным ортогональным преобразованием:

Х(а) = £(а0)Х(0).

Если в качестве элемента таких базисов берется единичный оператор (умноженный на ЛС^2), то это определяет некоторое инвариантное подпространство, а свобода в выборе ортогонального преобразования связана с базисом из Л72-1 операторов с нулевым следом. . -

Важные примеры ортонормальных операторных базисов дает изучение унитарных операторов. "

Дополнение: Базисы из унитарных операторов

Для того чтобы набор операторов можно было квалифицировать как фундаментальные квантовые переменные некоторой физической системы, его должно быть-достаточно для построения всех возможных величин этой системы. Поэтому такие операторы будут восприниматься как образующие некоторого полного операторного базиса. Основным предметом этой заметки являются базисы унитарных операторов. . ■

Две системы координат в пространстве векторов состояний и правило соответствия между ними определяют некоторый унитарный оператор. А именно, задав две упорядоченные системы векторов <а*|, <6*|, к = 1, ... , N и со- пряженых к ним векторов, построим операторы

Ueb = £ |а*><»*| ,"

.к=1 "

и^ ^^ !»*><«*! . которые, очевидно, таковы, что

'" <ak\Ueb = ^,UJ&fc> = |а‘>,

<bh\U Ьа = <ак\,и^аЪ = |6*>,.

н+

U.U. =;

до оддодо од

откуда вытекает свойство унитарности.

U* = 1ГХ.

операторов Ueb и (/. . Если задана третья упорядоченная система координат <с*|, к = 1, ... , N, то можно аналогично определить унитарные операторы Uec, U^, которые обладают свойством компознцнн:

U .U. = U ..

.во ос ас

Унитарный оператор получается также нз двух ортонормальных операторных базисов в заданном пространстве, которые имеют одинаковые свойства умножения:

'Х(а')Х(а") = £ X(aKa|a'a"> ,

a-1

У(а')У(а") = £ ytaKala' O .

Пусть по определению-

.U = Л £ Х(а)У(а)* ,

атогда оказывается, что - *. Х^и = Л £ X(aKa|a,a">y(a")t = UY(a') .аа*,

последнее следует нз того, что операторы Y(ay образуют ортонормальный базнс, н поэтому"

У(а)*У(а' )=^y(a")tTry(a)ty(a/ )У(а")=£/а | а' a">y(a")t Справедливо и сопряженное соотношение

Y^U* = и*Х(а)* ,нз которого в силу полноты базиса Х(а) следуетUU* = Л £ X^Y^U* = А £ Х(а)1ГХ(а)* = IX Тг(7*

Таким образом, оператор U является унитарным, если мы положим

А-1 = Tr(/f = А* £ <Х(а)|У(а)> , а"

и, следовательно, с точностью до произвольного фазового множителя,'

А - ПКХ(а)1У(а)>]"1/2 .

Стоит остановиться и на обратных теоремах. Для любого уннтарногооператора U, ортонормальный базнс

У(а) = 1ГхХ^и подчиняется тому же закону умножения, что и базнс Х(а), а операторы У(а)* задаются в точности такой же линейной комбинацией операторов У(а), что и операторы Х(а)^ через систему Х(а). В частности, если Х(а) - эрмитов базис, то и базнс У(а) - тоже эрмитов.

Мы не можем удержаться от иллюстрации этих замечаний на простейшем нз М2-мерных операторных пространств - пространстве кватернионов, связанном с. физической системой, ' которая имеет только два. состояния. Если некоторую конкретную пару состояний обозначить как + и -, то мы получим четыре символа измерения Л4(±, ±) и можем ■ затем ввести ортонормальный базнс нз эрмитовых операторов

' Х(а) = <ra/VI , а = 0,,..,3 ,■ •

причем такой, что

<г0 = 1.

Соответственно, три других оператора ®к . к = 1, 2, 3, подчиняются условиям

Т", - 0 .| т^,, = аы ,

а их явные выражения имеют вид

о^ = М(+,-) + М(-,+) , a2 = -iM(+,-) + iM(-,+) ,

<r3 = Af(+,+) - Л4(—, —) ;. коэффициенты этих выражений образуют хорошо известные матрицы Паули. С помощью этих определений свойства умножения операторов о* можно выразить в виде

hl hl ■ him т

нлн, что эквивалентно, через след

VrWm = *efclm ’

где efclm есть альтернирующий символ, заданный условием бцд = +1. Если теперь ввести любой другой эрмитов ортонормальный операторный базнс У(а) = "Sy/VS, где <г0=1, то возникающее преобразование трехмерного ортонормнрованно- го базиса■

■^ = ^ гк?1 , к = 1,2,3,

вещественно н ортогонально:

■"* -Т1

■ г = г , г г = 1 .

Из свойств умножения элементов а-базнса вытекает, что 4Tr5k5Fm= feklm4et Г '

где в силу . ортогональности преобразования det г = ±1. Если ортогональное преобразование является собственным, то свойства умножения о-базнса и O’-базиса совпадают, тогда как в случае несобственных преобразований при вычислении произведений ®^t эффективно используется i с противоположным знаком. Следовательно, только в первом случае - случае чистого поворота - существует унитарный оператор такой, что.

.:^^1 = ^

Этот зом:8где 'Этот зом:8где 'унитарный оператор строится явно следующим обра-

Этот зом:8

где '

Этот зом:8

где '

> 3—> Г31

V = 2 ^ofa = $ [1 + Tr г + ZE^^J ,а-Оum-1-1

А = (1 + Tr r)~v2 .

Вернемся к определению унитарного оператора как отображения одной системы координат на другую и отметим.

Довольно удивительно, что в доступной литературе нет явной формулировки этого простого и общего результата. Хорошо известно обратное вычисление, выражающее матрицу трехмерного поворота через элементы этой унитарной матрицы (параметризация Эйлера, Кели - Клейна), и совершенно аналогичным образом строится эта уинтариаи матрица с помощью углов Эйлера."

что эти два набора векторов могут быть одинаковыми с точностью до порядка. Поэтому рассмотрим определение унитарного оператора V с помощью циклической перестановки .

<ak\V = <ам| , к = V...N , где'■

<0^1 =<0*1,

что означает возможность обозначения одного н того же состояния любым из целых чисел, конгруэнтных по модулю N. Повторные применения V определяют линейно независимые унитарные операторы=^П|'

до тех пор, пока не получим.

<ak\VN = <a*+Af| = <a*| .

Таким образом, соотношение

^ = 1 является минимальным уравнением, т.е. уравнением наименьшей степени, которому подчиняется этот оператор, н которое определяет наличие периода N. Собственные значения оператора V подчиняются такому же уравнению и, следовательно, задаются N различными комплексными числамн:

■2xik-'

. у* = е N = vk , к = O....N-L

Унитарные операторы можно рассматривать как комплексные функции эрмитовых операторов, и поэтому на ннх можно перенести всю спектральную теорию эрмитовых операторов. Если унитарный оператор V имеет N различных собственных значений, то его собственные векторы образуют ортонормальную систему координат. Сопряжение правых собственных векторов |о'> дает левые собственные векторы <и' |, связанные с той же системой собственных значений, а произведения

I^X^ I = M(v') обладают всеми свойствами, предъявляемыми к символам измерения. Теперь . заметим, что факторизация минимального уравнения для V, записанная в виде

Af-l .

У/и' - 1) ^(V/u'y = 0 ,■

■1=0■

дает возможность установить внд этого эрмитова оператораМ^и') = ^ £ (и'рМ .

где множитель ЛС1 выбран для того, чтобы’■<и' |M(o') = <v' | .

Умножив М(ик) на <0^1 н воспользовавшись определением

оператора У, получимоператора У, получим<0^1 d^C»6!<0^1 d^C»6!

оператора У, получим

оператора У, получим

<0^1 d^C»6!

<0^1 d^C»6!

откуда следует:откуда следует:Ka^jo^l2 = \/N .Ka^jo^l2 = \/N .

откуда следует:

откуда следует:

Ka^jo^l2 = \/N .

Ka^jo^l2 = \/N .

Тогда при надлежащем соглашении о фазе <а^|о^ получаем

разложение

которое также можно записать в виде элементов функций преобразования, связывающих данную систему координат с системой координат нз собственных векторов унитарного

оператора, циклически переставляющего векторы данной системы:. ,. .

<0*1 a z> = ЛТ1/2е * ,<az|o*> = N-v4 N .

Перейдя к новой системе координат <о*|, мы определяем другой унитарный оператор с помощью той же цикли

ческой перестановки уже этого набора. Удобно ввести оператор (/ такой, что ь

<и*|(/-1 = <0*4 ,

или, эквивалентным образом,

<0*1 (/ = <оМ .

Этот оператор' также имеет период N, . UN = 1 ,

и обладает тем же спектром, что и У,

■ и' = е " = ик , k = О,..., N-1 .

Воспользовавшись свойством UN l= U~l , запишем соответствующий символ измерения в виде

М(«') = ^ "ъМ^Чг1 ,.(а0

и, применяя затем описанную выше процедуру, строим собственные векторы оператора U:

<«‘| = N~V2 £ <0^6 * = £ <а*|о 5><» 'I = <а 1 •

Таким образом, первоначальная система координат восстановилась и наши результаты теперь можно сформулировать как обратимое определение двух унитарных операторов и их собственных векторов:

О*|К = Си**1! ,

<о*Ц/-1 = ^^l .

Связь между этими двумя системами координат задается теперь равенствами’

<ик\о1> = У172 е"^,<^«5 = N"^ "^

и, помимо этого, свойствами периодичности

.-f^ = ^ = 1 J.

из сравнения равенств•

<uk\UV = ^^и* <uk\VU - <и bl|u‘+1- <« *Ч« ке ~ мы выводим, что. .

VU = ё NUV .

Кроме того, из последнего результата. мы, как следствие, имеемк<■

•vV = е "^UkVl

Каждый из унитарных операторов U и К является функцией некоторого эрмитова оператора, который сам формирует полный набор физических свойств. Естественно перенести это соответствие непосредственно на эти унитарные операторы, которые более доступны для исследования, чем соответствующие эрмитовы операторы. Поэтому теперь мы говорим о статистической связи между свойствами U и К, как то предписывает вероятность

p(u,,D,) = \<и'\и'>\2 = X/N .'

Значение этого результата можно уяснить, если рассмотреть последовательность измерений, которая включает не- селектнвное измерение, как в формуле

p(u',D,u*) = £ ро*,и*^и*,и*^ - \/N , o'

поскольку она утверждает, что вмешавшееся неселектнвное о-измеренне разрушило все предшествующее знание об и-состояннях. Таким образом, свойства U. и V проявляют максимальную степень несовместимости. Кроме того, мы покажем, что U и V суть образующие полного ортонормального операторного базиса в виде набора N2 операторов

Х(тп) = ЛГ^^" , т, л = О,.....М-1 , н поэтому онн сообща дают основу для полного описания физической системы, имеющей N состояний. Имея в виду оба эти аспекта, об U и V говорят как о взаимно дополнительной паре операторов.® Так случилось, что между операторами U и V имеется полная симметрия, что выражается инвариантностью всех свойств прн замене

U -> V . V -> 1ГХ .

Данное обстоятельство можно было бы подчеркнуть, выбрав элементы операторного базиса в виде

Xi_ Xi

* ”итуп = №^e VnUm , которые инвариантны относительно этой замены в сочетании с заменой т —» п,, п —♦ -т.

Одно доказательство полноты операторного базиса, порожденного U н V, зависит от следующей леммы: Если некоторый оператор коммутирует и с U, и с V, то он обязательно является кратным единичному оператору. Так как U полон сам по себе, такой оператор должен быть функцией

оператора U. Тогда, согласно предположению о коммутативности с V, для каждого к имеем.

0 = <«*|[«f/)V - ИД^Ци^ = КиЬ - /(«^ ,

т.е. эта функция от U принимает одно и то же значение для каждого, состояния, что отождествляет ее с оператором, кратным единичному. Теперь для произвольного У рассмотрим сумму

£ Х(тп)¥Х(тп)* = ^ Е и’^УУ-'ЧГ"1 = ^ £ VnUmYirmV~n мджджд

и заметим, что умножение слева на U и справа на U~' или на V и V-1, соответственно, приводит лишь к переустройству суммирований. Соответственно этот оператор коммутирует и с U и V. Взяв след, устанавливаем, что множитель при единице равен ТгУ, и.следовательно,

ЛГ-1■ +

£ X(mn)YX(mny = 1-ТгУ , ж»д*0•

т.е. получено условие полноты для Л^2-мерного операторного базиса Х^тп\ Покажем, с другой стороны, что эти N^ операторы ортонормальны, для этого вычислим

^Х(тп)|Х(т'п')> = -^Тг Um ~"Vn ~” =' ^m.m'^n.n'),т, п, т*, п' = 0,...,У-1 .

То, что это единица в случае т=т' и п=п'\ очевидно. Если т*т', то разность т—т' может принимать любое отличное от нуля значение между (V-1) и —(W—1). Поскольку оператор Um ~т .изменяет каждый вектор <о*| на ортогональный ^fc+m-m |, то ПрИ вычислении следа в «-представлении получается нуль. Аналогично, если п*п' и след вычисляется в «-представлении, то получается нуль, так как каждый вектор <«*| преобразуется оператором V” ~” в ортогональный <ик*п ~*|.

Заслуживает внимания одно применение свойства полноты операторов. Для начала заметим, что операторы

итУп1ЛГп(Гт = е ~*"t/ = unU .

Umvnvv-nU~m = е * V = o-”V , -

представляют собой унитарные преобразования, которые производят только циклические спектральные сдвиги. Если теперь оператор У задан как произвольная функция U и V, то условие полноты для нашего операторного базиса можно записать в виде

1/N2 ^F(u'U,v'V) = X/N TrF ;

Это равенство представляет собой разновидность эргодической теоремы, поскольку оно уравнивает среднее по всем спектральным переходам со средним по всем состояниям. Явное упоминание об операторах можно обойти, если F(U,V) строится из членов, которые подобно отдельным операторам Х^тп), упорядочены так, что U располагается везде слева от V. Тогда мы можем вычислить матричный элемент этого операторного равенства, соответствующий состояниям <и°| и |У°>, который приводит к числовому соотношению

TrF(t/,V) = 1/N ^ F(u',»') .

Интересно отметить, что некоторые нз степеней Uk, • к = 1,..., N—1, могут иметь период N. Это случается тогда, когда к и N не имеют общего делителя, и поэтому число таких ' операторов равно ф(М). количеству целых чисел, меньших N, и взаимно простых с N.11 Далее, с каждой такой степенью оператора U можно связать степень V1, также имеющую период N, которая в паре с Uk подчиняется тому же операторному равенству, что н операторы U н V, ■1x1■

VlUk = е " UkVl .

Это равносильно уравнению •

Ы = l(mod ЛО , в силу теоремы Ферма-Эйлера единственное решение этого уравнения имеет вид

^Имеются ■ виду положительные целые числа, причем единица считается взаимно простой с любым N. - Примеч. пер.

/ = fe*NH (mod N) .Эта пара операторов также порождает операторный базнсХ(тп) в несколько переставленном порядке.■

Теперь мы заменим единственную пару взанмодополнн- тельных операторов U,V несколькими такими парами, отде

льные члены которых имеют периоды меньшие, чем наше произвольное N. Это приводит к классификации квантовых степеней свободы относительно этих различных несократимых, простых периодов. Пусть■

N = NtN2 , '

где целые числа N. и N- взаимно простые, и их - и 1, U2 = U х ,

■■ К, = К 1 1 У2 = V * *

причем ■ ""'-■

4 = N2 * (mod N^) , l2 = Nx (mod N2) ..

Видно, что Uy Vj имеют период Ny a Uy V2 — период. Ny и что эти пары операторов взаимно коммутативны, например

V U = е * 1 1 V = U V Далее, "■.

К,^ = е *i Uyx , V2U2 = е *. U2V2

так что UX,VX и U2,V2 образуют две независимые пары взаимно дополнительных операторов, соответствующие относительным периодам Nхн N? Кроме того, мы замечаем, что N = NxN2 независимых степеней оператора U можно получить в виде

т т = О,..., N.—1 , их и. 1 = и 1 1 1 1, 1 1

m = О,..., N—1 ,

ибо в силу взаимной простоты Nx н Ы2 все эти степени различны. Проделав подобное построение для V, мы обнаруживаем, что члены нашего ортонормального операторного базиса, правда, иначе упорядоченные, задаются выражениями

Х^^) = ^U^1 U"1 V*1 V*1 ^пгл.) , где.'

. Xfm^) - Л^1^ и”1 V*1, тг лу = 0Мр! .

Другой подход к этой коммутативной факторизации операторного базиса заключается в параметризации индекса собственных чисел А=0,... ,N-\ с помощью пары целых чисел

. к = ^1^2 + ^2 •. к = ^1^2 + ^2 •кх= 0 ^1-l , *2= 0 *2-1 •

. к = ^1^2 + ^2 •

. к = ^1^2 + ^2 •

Соответствующим образом мы заменяем -к»

■й й

м = и = е на к к 2e£*ih 1

их = их = е । и «2 = »2 = е 1 , что дает

<“*1 - <«/ «2*1 ’<°*1 = <°1‘* "г^ •

Определив эти векторы как собственные векторы пар коммутирующих унитарных операторов, мы можем определить Ux 2

У^2 с помощью следующих обратимых соотношений:

й йй+1 й й к.й, й+1

<«! “2 1УГ<“1 “2 I’ <“1 “2 ^Г<и\ и2 Ь

й й _.й+1 й й й . й й+1

<°1 °2 1^1 ^l °2 •' <°1 °2 ^г^0! °2 •'

которые воспроизводят свойства#

N. N.■

и { 1 -vj I = 1 , vpl = е Ht UjVj ,

вместе с коммутативностью любых двух операторов, соответствующих различным индексам. В ортонормальности Л^^2~

N1 операторов ХСт^дП^) ■ теперь можно удостоверится непосредственно. Кроме того, ■ если надлежащим образом продолжив предыдущие рассуждения, мы получим функцию преобразования ■

<их и2 |и, и2*> = п^и.^е^ , где1X1

<Ц^\ «^ = N”V2 е "^ .

Продолжение этой факторизации обрывается при где / - полное число простых делителей, включая повторения. Мы называем это свойство, характеризующее N,. числом степеней свободы для системы, имеющей N состояний. Таким образом, окончательный коммутативно факторизованный базисI

Х(тп) = nX(minj) ,

Xtm^) = v^2 Uj 1 Vj1 ; my , п} =O,...py-l , строится из операторных базисов, соответствующих отдельно ' каждой нз / степеней свободы, а пара неприводимых взаимодополннтельных величин каждой степени свободы классифицируется значением простого целого числа v = 2, 3, 5, .... * . Например, в случае р=2 взаимодополнительные операторы U и V антикоммутируют и их квадрат равен единице. Поэтому их можно отождествить, например, с и о*2, а соответствующий операторный базис дополнить произведением -iUV = оу

Характеристики степени свободы с бесконечным числом состояний можно изучить, ■ если явно выделить эрмитовы операторы, от которых зависят операторы U и V;

U = eteq , V = е^Р . е = (гп/р)172 , где ■

V* = р* = te , k = 0, ±1, ±2, .... ±2<»-1) .

Мы ие будем выполнять операций, необходимых для предельного перехода р —» *, которые, очевидно, дадут хорошо известную пару взаимодополннтельных свойств с непрерывным

спектром. Однако одно замечание нужно сделать. Прн таком подходе не встречается каких-либо затруднений, где бы при введении непрерывного спектра требовалось построение нового формализма, будь то язык дельта-функции Дирака или распределений. Правильнее будет сказать, что перед нами стоит прямая задача - установить природу подпространств физически осмысленных состояний и операторов, для которых можно единообразно выполнить предельный переход v —> оо . '

3 Ю.Швиигер

ГЛАВА 3

ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП

Оператор действия

Оператор Лагранжа

Принцип стационарного действия

Оператор Гамилотона

Уравнения движения. Генераторы

Перестановочные соотношения

Два класса динамических переменных

Взаимодополнительные переменные первого рода

Неэрмитовы переменные первого рода

Взаимодополнительные переменные второго рода

Измерение есть физическая операция в пространстве н времени. Свойства системы описываются по отношению к измерениям в некий заданный момент времени, и ни одно нз значений этого времени принципиально неотличимо от другого по результатам измерений над изолированной системой. Следовательно, операторы, представляющие аналогичные свойства в различные моменты времени, должны быть связаны с помощью унитарного преобразования. Распространение во времени возмущений, порождаемых измерением, приводит к тому, что физические величины, относящиеся к различным моментам времени, вообще говоря, несовместимы. Поэтому полный набор совместимых свойств будет' относиться к единому времени, а ■ описание состояния требует задания значений этих величин (вместе с системой пространственных координат) и времени. Таким образом, функция преобразования, связывающая два произвольных описания, принимает вид (a'/Ja"/^, частными случаями которого являются: <а'ЦЬ'Г> - функция, связывающая два различных набора величин в одни н тот же момент времени, и <a't^a"t^ - функция, связывающая аналогичные свойства в разные моменты времени. Эта связь между состояниями в различные моменты времени включает всю динамическую историю системы на данном интервале. Следовательно, свойства конкретных систем должны полностью содержаться в динамическом принципе, который характеризует функцию преобразования общего вида..

Оператор действия

Любое бесконечно малое изменение функции преобразования <ayt|ay^ можно записать в виде (см. равенство (168)).'

а<а^1|а*^> - <<ау1|аУ12|ау2>,(3,1)

где З^ц - бесконечно малый эрмитов оператор; обладающий свойством аддитивности■

'avM + aVgg = агй(3.2)

для последовательных преобразований. Теперь мы введем наш фундаментальный динамический постулат: . существует специальный ’ класс бесконечно малых изменений, для которых соответствующие операторы 527^ получаются подходящей вариацией единственного оператора — оператора действия W^■-

8Wti=8^.(3.3)

Согласно известным свойствам таких бесконечно малых операторов введенный оператор действия эрмитов,

W*2-WQ,(3.4)

и обладает аддитивным сочетательным свойством,

V12+V23 = Vb.(3.5)

Оператор Лагранжа

Если на переход от описания а^2 к описанию а^х взглянуть как на непрерывную во времени череду бесконечно мало отличающихся описаний, то свойство аддитивности оператора действия утверждает, что

Wn = ^di.e(3-6)

причем.

V, , - 0 ,(3.7)

поскольку величина <a't\a“f> имеет фиксированное числовое значение. Если написать

Wt^.t = »ЦП,(3.8)

3*■'

то общая форма оператора действия принимает вид

=(3.9)

где ДО - оператор Лагранжа - является эрмитовой функцией некоторых фундаментальных динамических переменных х^ в бесконечно малой окрестности момента времени L Без потери общности выбираем операторы x^t) эрмитовыми, и будем пока считать их число конечным. Мыслимыми объектами вариации в операторе действия являются начальный и конечный моменты времени и /2 , динамические переменные и структура оператора Лагранжа.

Принцип стационарного действия

Для заданной динамической системы изменения в функции преобразования можно осуществить только явным изменением состояний, к которым она относится. Такие вариации состояний возникают при изменениях физических свойств или времени, с помощью которых определяется состояние, а бесконечно малые преобразования собственных век

торов порождаются некими эрмитовыми операторами, которые

зависят только от динамических переменных в соответствующее время:. .

5 <0^,1 = i<a'^Gv

д|а^2> = -Ю2|а^2>.(ЗЛО)

Следоцательиа,

S^VtlW = ^«УД0! - С^1°?2> ’<311>

а поэтому для данной динамической системы получается со

отношениеотношениег tг tswn = a fdtut)swn = a fdtut)= G1 - С2 '= G1 - С2 '(ЗЛ2)(ЗЛ2)

отношение

отношение

г t

г t

swn = a fdtut)

swn = a fdtut)

= G1 - С2 '

= G1 - С2 '

(ЗЛ2)

(ЗЛ2)

которое является операторной формулировкой принципа ста-

циоиариого действия, ибо оно утверждает, что вариация интеграла действия содержит динамические переменные, от

носящиеся только к начальному и конечному моментам времени. Из этого принципа получаются уравнения движения для динамических переменных и конкретные выражения для

■ Гл. 3. Динамический принцип 69 генераторов бесконечно малых преобразований. Заметим, что оператор Лагранжа не может полностью определяться динамической природой системы, поскольку мы должны иметь возможность осуществлять разнообразные бесконечно малые преобразования над данной системой. В самом деле, если два лагранжиана отличаются на производную по времени

Т=ь-^. ■ (3.13) то соответствующие операторы действия связаны соотношением . " ■

' ^12 = ^12 -<Г1.-Г2>- <314) и, следовательно, вариация

SW^ = SW^ - (8WX - 8W2) = G x~ G^, (3.15) также удовлетворяющая условию стационарного действия, приводит к новым генераторам бесконечно малых преобразований в моменты времени ^ и ^ > причем

8WX = Gx- G х, 8W2 = g2- g2. (3.16)

Оператор Гамильтона . -

Изменение фундаментальных динамических переменных за бесконечно малый промежуток времени описывается неким бесконечно малым унитарным преобразованием, которое приводит к дифференциальным уравнениям движения первого порядка для этих переменных. Общая форма оператора Лагранжа, который дает уравнения движения первого порядка, имеет вид1

1 dxi» dx« 1 •

L - тЯ^ат* - а? Ал] - »<V> -

- 7 («Л?Т - ZT^] " "<»■')■ Р”) где А^ - числовая матрица. Мы будем говорить об этих двух частях оператора Лагранжа как о кинематической н динамической соответственно. Заметим, что кинематическая часть симметризована относительно перенесения производной по времени слева направо. Требование эрмнтовости,

Такой симметричный вид оператору Лагранжа можно придать всегда, благодаря возможности вычленения полной производной по t. - Примеч.пер.

наложенное на L, относится отдельно к каждой нз этих частей. Поэтому Н, оператор Гамильтона, должен быть эрг мнтовым, а конечная матрица А — косоэрмнтовой:

А1* = - А.(3.18)

Для изолированной динамической системы время не содержится явно в Н.

Уравнения движения. Генераторы

Оператор действия, соответствующий оператору L данной структуры (3.17), имеет вид

Vy -j[|(xAdx - dx Ах) - Н Л] .(3.19)

В этой форме пределы интегрирования являются объектами варьирования. Однако можно представить, что введена некоторая вспомогательная переменная т, н вариации д^ и 31^ получаются изменением функциональной зависимости t = /(т) по т при фиксированных пределах тр т2. Эта процедура уравнивает в правах переменную времени и динамические переменные; Поэтому 6[j(xA dx - dx Ах) — Н dx^ -

- d^xABx - 8хАх) - Н dt] =

= ^5xAdx - dx ASx) - 8Н dt + dH St, (3:29) ибо 8dx = d[x(T+dr) - x(t)] = dSx,

8dt = d[f(T+dr) - t(T)] = d8t, (3.21) таким образом, принцип стационарного действия утверждает, что

l(8xAdx - dxA8x) = 8Н dt - dH 8t(3.22)

или

8H = ^8t + ^8хА^ - ^А8Х>,(3.23)

и дает бесконечно малые генераторы

G = ^(хАвх - вхАх) - Н 8t = Gx + Gt( 3.24)

в начальный н конечный моменты времени.

Структура оператора Гамильтона пока еще не конкретизирована. Коль скоро его вариация имеет вид (3.23),

где вариации дх встречаются только слева и только справа, эти вариации должны обладать некими элементарными операторными ' свойствами, характерными для того специального класса операторных вариаций, с которыми оперирует динамический принцип. А именно, мы должны иметь возможность перемещать каждую 8хв целиком налево нлн направо в выражении вариации 8Н

ан9Н •

8Н -= 8x3^— = 55—8х,(3.25)

которое определяет левую и правую производные оператора Н. Ввиду полной симметрии между левым и правым мы заключаем, что в (3.23) члены с 8х слева тождественны членам с вх справа. Таким образом, получаем■.

dH 8Н/о псх

ИТ ” 5Т<326)

и■

-*ат_- Й-- "ТГА - ~А44 -£-•. <3-27)

последние соотношения должны быть эквивалентными формами уравнений движения. Аналогично, бесконечно малый генератор G имеет следующие эквивалентные формы:

Gx = -^8xAx = ^xA, дх = £(Атх)дх; (3.28) а в общем случае левосторонняя н правосторонняя формы связаны операцией сопряжения. В нашем изложении мы будем предполагать, что матрица А несингулярна. Это означает, что каждая вариация дхд фигурирует в Gx независимым образом, и что каждая переменная хд подчиняется явному - уравнению движения.'

Перестановочные соотношения

Бесконечно малый генератор Gt = —Н 8t описывает, очевидно, унитарный переход от описания в момент времени t к аналогичному описанию в момент времени t+dt, что и определяет Н как оператор энергии системы. Если F - произвольная функция динамических переменных x(t) н времени, то оператор F, играющий роль F в описании, относящемся к моменту времени t+8t, имеет вид

7=Р-ЗР = Р(х(1*8Г)Д},(3.29)

так как числовой параметр t не затрагивается операторным

преобразованием. Следовательно,

1[F,G,] = 6F = - (^-^]df,(3.30)

нлн'

ат - ат + 7 И-Ч -<3.31)

что есть общее уравнение движения. Подставив F=H, ■ получим

dH _ 8Н'«ОХ

П УГ'(э.эг)

в согласии с (3.26), выведенном нз принципа стационарного действия. Такая же согласованность должна иметь место в уравнениях движения для динамических переменных, которые требуют, чтобы

7 М^ = ^(3.33)

н.а н

| [~хА Я] =.(3.34)

Переписав эти соотношения в виде 1а ,н -а,н

|dx [At, Я] = Ьх^—, у [-хАЯ] 8х =35— 8х(3.35)

в силу равенства правых частей н эквивалентности двух выражений для G в (3.28), мы можем заключить, что

[дх,Я] At = - хА [6х,Я] .(3.36)

Мы. будем " удовлетворять этому' условию согласованности, требуя, чтобы каждая вариация 8ха коммутировала с оператором Гамильтона

рхв,Я1 = 0,(3.37)

поскольку это требование позволяет придать перестановочным соотношениям (3.35) вид .. ан ан.

}[».CJ(3.38) и идентифицировать преобразование, генерируемое Gx , как изменение каждой динамической переменной ха на величину 18ха. Соответственно, для произвольной функции динамических переменных в заданный момент времени имеем

..8.F8F,

7 [f»GJ = ?dxSF" = 5Г"1дх-<3-39)

Два класса динамических переменных

Наличие двух эквивалентных версий билинейного по х н 8х генератора Gx в действительности означает, что пе-

ремещенне. вариации 8хд через любую динамическую переменную индуцирует линейное преобразование этих переменных

®ХаХЬ = M/X« '(340)

где Ад - некоторая Матрица. Из сопряженного аналога

ХЬ5ха = вха^>\ '(ЗЛ1)

мы заключаем, что

.к>« = 1 •(3.42)

Теперь коммутативность каждого 8ха с оператором Гамильтона Н^ предстает в виде системы свойств инвариантности.

.Н^к^ = Н^ = Н^х) ,(3.43)

где последнее равенство выражает эрмитову природу оператора Н. Образовав коммутатор с другой вариацией бх^ мы обнаруживаем, что

Н^акьх) = Н^ .(3.44)

т.е. система линейных преобразований ка образует группу преобразований, оставляющую Н инвариантным (группу инвариантности Н\ Из фундаментальной природы этой группы мы заключаем, что это должно относиться и к общей структуре оператора Лагранжа. Его кинематический член инвариантен относительно преобразования к , если

к^Ака = А.•(3:45)

Кроме того, из двух эквивалентных выражений для Gx получаются соотношения_1

(^---^-pri»-<3-46’

совместимые с (3.45). Чтобы эта эквивалентность, присущая переменным х н ках, была полной, они должны быть эрмитовыми операторами. Следовательно, матрицы ка вещественны н удовлетворяют соотношению '

•■^ = 1 .(3.47)

Конструкция группы инвариантности, описываемой матрицами ка, основывалась на вариациях конкретных операторов дхд. Однако должна существовать определенная свобода н во введении новых эрмитовых переменных с помощью линейного преобразования старых

(3.48)(3.48)х = 1х ,

(3.48)

(3.48)

с одновременным переопределением матрицы Л и оператора Гамильтона j■

Л = /т АГ1, Н(х) = Н^ = Щ1Ах^ .( 3.49)

При таком новом выборе переменных свойства инвариантности гамильтониана имеют вид

Н^ = H(kax) = ШЗкеГ^ ,(3.50)

т.е.■

'- ШвГх.(3.51)

С другой стороны, эти матрицы должны возникать непосредственно нз перестановочных свойств вариаций 8х^.

'5*Л = [М]^"(3-52)

Сведя это утверждение к соответствующим характеристикам прежних вариаций Зх, получим2

ЕиЛ-(3.53) ,до ох 'ос ас л ас а. х i

Этот результат не может быть правильным для произвольной матрицы / нз определенной .группы преобразований, за исключением случая, когда матрицы кь одинаковы для всех значений Ь, которые могут быть связаны данным линейным преобразованием. Следовательно, ' динамические переменйыё х должны распадаться на классы так, что линейные преобразования допускаются . только внутри каждого нз этих классов,, причем классы характеризуются специфическими значениями матриц к. При наличии такой свободы проделывать независимые линейные преобразования в пределах каждого класса, матрицы ка должны сохранять разбиение на классы, н потому они состоят исключительно нз подматриц, характерных для каждого класса переменных. Далее, раз-

2

В этих рассуждениях содержится неточность - формула (3.51) не следует из (3.50), но она н не нужна. В самом деле, с одной стороны

■-Зх х — $ х 6х =V 1 х I ,8х , ,

а а а " а аа'

а с другой

Г! ,8х ,U = T Ik ,xl ,6х , =£ Ik ,ГХх1 ,8х , .аа аа аа аа аа а

а. аа

Отсюда вытекает, что все матрицы k , одинаковы для компонент, которые перемешивает преобразование 1, т.е. на носителе этого преобразования, что и позволяет сделать все дальнейшие заключения. - Примеч. пер.'

биение динамических переменных на части, производимое любой из матриц ка ,

х = ^(1+Ав)х + 1(1-Ав)х, (3.54) вместе с соответствующими свойствами вариаций

д^?(1±6а)^ = ^t1^5^* (355) означают, что подматрицы матриц ка ведут себя просто как числа к^ , помечающие различные классы. Согласно (3.47) эти числа подчиняются уравнению-

^ - 1 • (3.56) Таким образом, две имеющиеся возможности, *^=±1. определяют два различных класса динамических переменных:

6и = +1 , Аи = -1 . (3.57) Вскоре мы увнднм, что *у”*2Г н поск°льку в группе ^-преобразований должно быть тождественное преобразова-

= +1 , Й21 = +1 . (3.58)

Если различать эти два класса динамических переменных как переменные первого рода гк и' переменные второго рода (к, то операторные свойства вариаций 8zfc, 6£к, собранные в соотношениях

®ХаХЬ = ^аЬХЬ®Ха’№)

явно выписываются в виде

Рг»-гД - 0 - Р’гУ -0

^«J - 0 • К<а) - 0 • где фигурные скобки обозначают антикоммутатор:

{дв} =АВ + ВА.(3.61)

Инвариантноепреобразованиегамильтониана,подразумеваю

щее коммутативность с 6^,

Н(2,-О= Н(2Х).(3.62)

требует, чтобы Н был четной функцией переменных второго рода,ноненакладывает никаких ограниченийназависи

мость от переменных первого рода.

Свойство матрицы Д выраженное равенством (3.45),с учетом противоположности знаков й22 н к^ показывает.

что все элементы А связывающие два класса переменных, должны быть нулями. Следовательно, матрица Л полностью распадается на две подматрицы, связанные с двумя типами переменных, мы нх будем обозначать как о и й, соответственно. Из соотношения (3.46) следует, что матрица а антисимметрична н потому вещественна

■ , а = -ат = а*,(3.63)

тогда как а - симметрична и вещественна:

а = ат = а*.(3.64)

Такое полное разделение матрицы Л на подматрицы а и ia приводит к аддитивному разложению генератора G :

Gz = Gz + G^ ,(3.65)

где.■

■Gz = ^zaSz = ^aSz)z(3.66)

и"■.

G^ = |О*в< = -|(*в<)С.■(3.67)

Такая структура генератора- Gz является проявлением аддитивности формы кинематического члена в лагранжиане

- ; (z’ “^} ^ i [<• “af] - « - <зм> именно это обстоятельство мы отражаем, называя два таких набора переменных" кинематически независимыми. Для этих кинематически независимых наборов переменных уравнения движения имеют вид

• а.н а н

° ат = Hz- = 3z™ ■<3-69)

и

а.н ан

ia^ = ^r = ^r •(3-7°)

Чтобы обозначать характерную для лагранжиана билинейной структуры симметризацию по переменным первого рода и антнснмметрнзацню по переменным второго рода, мы примем единую форму, записи:

L = Iе а^ + Ь° ia^ ~ н •(371)

Перенося дх слева направо в общих перестановочных соотношениях (3.39), мы получаем

8 .F '

а f'

Лх)(хЛ)в - kxA)aF^ = i^T-(3.72)

При специальном выборе F(x)=xb эти равенства можно записать в виде

'XbXa - feabXaXb = 1 ^ba •<3.73)

и поменяв местами а и 6 в одном из равенств, нз другого выводим:•

*«Ь = *Ьа •(374)

Мы уже пользовались содержащимся здесь исключительно важным . утверждением, А^^гг Теперь перестановочные свойства двух классов динамических переменных выписываются явно

■ Ь-Ч = °-О75>

Заметим, что структура этих операторов воспроизводит структуру матриц: ' антисимметричный н косоэрмнтов коммутатор появляется с антисимметричной, чисто мнимой матрицей (l/i)a, тогда как симметричный н эрмитов антикоммутатор связан с симметричной вещественной матрицей а. Кроме всего прочего матрица а должна быть положительно определенной, если переменные £* линейно независимы. Для переменных первого- рода общее перестановочное соотношение теперь записывается в явном виде,

?[°г'^=э5'(37в)

где не различаются левые и правые производные; перестановочные соотношения с переменными второго рода выписываются отдельно для операторов, являющихся их четными и нечетными функциями:др д р~ ■

'[«'М = 5р = "Sp-:(З.77)

н, Л а .F а f ’

{«£. FJ = др = др.(3 78)

Взаимодополннтельные переменные первого рода

В силу предположения, сделанного ранее относительно матрицы Д матрицы а и а несингулярны. Для антисимметричной матрицы а, связанной с переменными первого рода, соотношение.

det а = det ат = det(-a)(3.79)

показывает, что число переменных первого рода не может быть нечетным. Будем обозначать нх число как 2nf Далее, матрица, определенная как '

a = (aTa)1/2 ,(3.80)

является вещественной, симметричной н положительно определенной функцией матрицы а, и положив,•

■а = аХ = Ха,(3.81)

обнаруживаем, что X - вещественная антисимметричная матрица, которая подчиняется уравнению'

X2 = -1 .(3.82)

Более того, существует вещественная симметричная матрица р такая, что

pop-1 = -а, р2 = 1.(3.83)

Матрица р. коммутирует сан антикоммутирует с X. Подходящим выбором эрмитовых переменных z все эти 2л1-мерные матрицы можно . представить в клеточной форме, ■ составленной нз «^мерных подматриц,.

₽=g _?]. у. ..(8 у. (З-М)

это устанавливает, что для матриц а можно достичь формы

.° = [-a oj '[a~ 1 О J '3-85

где a - некоторая «^мерная вещественная симметричная положительно определенная матрица. Будем обозначать так разделившиеся наборы п^ переменных через z^ н z£2\ k=t,...,nY Согласно формулам (3.75) эти переменные подчиняются следующим перестановочным соотношениям:

[^^ = ^-^ =0'

[z^,zj2>] = -ДаДу.(3.86)

При расчлененной таким образом форме матрицы а кинематический член н бесконечно малый генератор, относящиеся к переменным первого рода, принимают вид

' . (3.87) ’ и " .

G^ = J (^«З^ - 8^а^ . . (3.88) причем этот генератор порождает в 2^ н в 2^ изменения jа^ и la^) соответственно. Теперь - воспользуемся возможностью добавлять в лагранжиан производную по времени с одновременным изменением бесконечно малого

генератора в духе формул (3.13) н (3.16). Выбрав W = -1^а^,

(3.89)

мы получим новый кинематический член

н новый генератор

G(1) = Лва(2)

(3.90)

(3.91)

вместе с тем W с противоположным знаком дает скнй член.

■dz^« dz^

—oar' = — у г о а —

н генератор G = -8^а^ = -^аб^.

кннематнче-

(3.92)

(3.93)

Сравнивая полученные выражения с (3.88), устанавливаем, что - генератор 6^2) п0Р°жДает преобразование, при котором операторы 2^ остаются неизменными, а операторы 2(2) изменяются на бг^Х К оператору G^ применима

обратная интерпретация. Таким образом, мы разделили переменные первого рода на два набора, которые являются взаимно дополнительными: каждый нз наборов охватывает генераторы бесконечно малых вариаций переменных другого

набора. Такая интерпретация генераторов G .„ н G

выражается равенствами

т^-""1] 'йщ- . <зм>

из которых мы легко восстанавливаем перестановочные соотношения (3.86), и выводим уравнения движения для вза

имно дополнительных переменных.

ан az^vан az^v(3.95)(3.95)„dz^_ 8Н a 777—ГТ\ ■

ан az^v

ан az^v

(3.95)

(3.95)

dz^

что согласуется со следствиями из принципа действия.

Вещественную симметричную положительно определенную матрицу всегда можно свести к единичной с помощью некоторого вещественного преобразования; будучи примененным к а оно приводит к описанию взаимно дополнительными переменными в канонической форме. Нужное преобразование

получается введением канонических переменных

р = aV2A q = av^\(3.96)

поскольку это придает кинематическому члену (3.90) вид

= £ Р^ТТ-<3’97)

Итак, канонические переменные образуют п^ кинематически независимых пар взаимно дополнительных динамических переменных первого рода. Для канонических переменных основные соотношения принимают вид:

уравнения движения'■' ■

_ 8Н dpk _ дН -

бесконечно малые генераторы

G- = ЕР*5»* • 9= -’£6?^ ’ ''(3.99)

общие перестановочные соотношения

It^l -sf;- И»,.Л-^. <з.юо)

(3.101)(3.101)и перестановочные свойства канонических переменных ’ kfc. »Д - fr*. рД - о,.

(3.101)

(3.101)

\Як-Р^ = 1Чг

Неэрмитовы переменные первого рода

Важно понимать, что динамическая теория, построенная на базе эрмитовых динамических переменных, допускает введение иеэрмитовых взаимно дополнительных переменных.

Положим

,(2)+ ,,(1)+ ,(1). ,,(2).

у = -—+ 'z , iy* = 2—+ 12 -,(3.102)

и заметим, что кинематический член (3.87), который теперь можно записать в виде

~ (у* °* тН®” у] •(3 ЮЗ)

имеет ту же структуру с iy* и у вместо ^ и 2^, соответственно. Кроме того, это выражение сохраняется при произвольных комплексных линейных преобразованиях иеэрмитовых переменных у вместе с надлежащим переопределением а как положительно определенной эрмитовой матрицы. Формальное применение предыдущих рассуждений к этим

иеэрмитовым переменным приводит, например, к перестановочным соотношениям'

[оу, Л =,[F, V] =.(3.104)

оу■8

написанным для вещественной матрицы о; в точности то же самое получилось бы, если скомбинировать перестановочные соотношения для эрмитовых переменных в' согласии с определениями иеэрмитовых переменных н соотношениями '8F 1 ( 8F , 3F 1

-18Л8у-18Л8у(3.105)(3.105)- _1 Г 8F _ 8F 1 .

-18Л8у

-18Л8у

(3.105)

(3.105)

■^la^1) дг<2>Г

Если эти соотношения воспринимать как определение дифференцирования относительно иеэрмитовых переменных, то

из них следует, что^ Зуиз них следует, что^ Зуa«ka«k= 0= 08Ук8УкIIa?ta?t8М8М(3.106)(3.106)что делает законным формальное рассмотрение, в котором у и у* подвергаются независимым вариациям. Поэтому формачто делает законным формальное рассмотрение, в котором у и у* подвергаются независимым вариациям. Поэтому форма

из них следует, что

^ Зу

из них следует, что

^ Зу

a«k

a«k

= 0

= 0

8Ук

8Ук

I

I

a?t

a?t

8М

8М

(3.106)

(3.106)

что делает законным формальное рассмотрение, в котором у и у* подвергаются независимым вариациям. Поэтому форма

что делает законным формальное рассмотрение, в котором у и у* подвергаются независимым вариациям. Поэтому форма

льная теория, применяющая иеэрмитовы переменные, дает

верные уравнения движения и перестановочные соотношения. В частности, можно пользоваться канонической версией таких переменных, и хотя канонические переменные qk и рк не будут самосопряженными, но

Рк = iq*k • ■ (3.107)

Такими образом, канонические уравнения движения и перестановочные соотношения можно записать в виде

ЛЧ-ан8Н

”'^к. яд = [^. »*] = 0 ,

[^>^] = 5«.(3.109)

■ где пары равенств связаны операцией сопряжения.

• Взаимодополиительиые переменные второго рода

Для переменных второго рода возникает та же картина: их число с необходимостью четно и их можно разделить иа два взаимодополиительиых набора. Действительно, вещественную симметричную положительно определенную матрицу а можно свести к единичной подходящим вещественным преобразованием, которое реально состоит во введении новых переменных.

.€ = aV4 •.'(3.110)

Новые канонические эрмитовы переменные удовлетворяют

соотношениям

{?«■ ?х} -г^--1<31И>

которые означают, что два различных ^-оператора антикоммутируют, и что квадрат каждого £ кратен единичному оператору с одинаковым для всех операторов числовым

множителем. Соответствующие уравнения движения в канони

(3.112) соотношения приии-(3.112) соотношения приии-(3.113) требование, чтобы(3.113) требование, чтобыческой форме записываются как atH агн

(3.112) соотношения приии-

(3.112) соотношения приии-

(3.113) требование, чтобы

(3.113) требование, чтобы

мают видмают видв то время как общие перестановочные

мают вид

мают вид

8.F8 F

к ’М - зг- = -з?-4', .a f , a f.. f Т = ^=

Теперь мы хотим подчеркнуть особо:

полная алгебра измерений для систем, описываемых пере

менными второго рода, выводилась из фундаментальных ди

намических переменных, является допущением, которое со-

путствует введению таких переменных. Линейно независимые операторы, которые можно построить из ^-переменных, пересчитываются следующим образом: единичный оператор; р операторов £к; ^v(p-l) операторов ^^х' к^: 1р(р-1)(р-2) операторов ^х^' «Л<?х; и так далее вплоть до последнего, единственного, оператора ^2 ^v" Полученное таким образом полное число независимых операторов, т.е. размерность ^-алгебры, равно

<3 *»)

Но это число должно быть также размерностью алгебры измерений, равной квадрату целого числа N, . которое есть полное число состояний. Нужная согласованность возможна

только, если v есть четное целое число:

р = 2п2 , N = 2 2.р = 2п2 , N = 2 2.(3.115)(3.115)

р = 2п2 , N = 2 2.

р = 2п2 , N = 2 2.

(3.115)

(3.115)

Разделив эти эрмитовы канонические переменные на два семейства равного числа, ^ и ^2\ получаем кинематический член для переменных второго рода:

^5",-if"Vel,>.^2’] . «зле»

Описание с взаимодополиительиыми переменными получается после введения иеэрмитовых канонических переменных вто

(3.117)(3.117)рого рода

(3.117)

(3.117)

л —, р " IQ = * 1 ■,

которые превращают кинематический член в

(3.118)(3.118)

(3.118)

(3.118)

ниянияТакая структура применима к любому из двух типов взаимо— дополнительных динамических переменных, так как выраже

ния

ния

(3.119)(3.119)_ . dq dp _ _р9^ • -ат ^

(3.119)

(3.119)

получаются добавлением подходящих производных по времени. Поэтому, уравнения движения

84 Гл. 3. Динамический принцип и генераторы бесконечно малых изменений в q и р

Gq = р 6q , Gp = —6pq (3.121) можно относить к любому из двух типов переменных. Различие же между двумя классами косвенно состоит в их отношении к левым и правым производным, а более общо - в операторных свойствах вариаций 6q и 5р. Таким образом, для переменных второго рода ■

°< “ ^Л8** ж -Рч*р* •

= - Е 8р q = Е q 6рк .(3.122).

Общие перестановочные соотношения, выражающие смысл этих

генераторов, имеют вид

- -7fчЗ - Эр- “

г к

8 Л

-^v

.1

7

= ^ч=

8 л

•(3.123)

и

1

7

г_ г 1 _ 8iF*_

" 5р7 "

a f г. и

Эр" '

■7

Г г 1 _ 8iF*_ ?К' Ч " Sq-

8 А. "Чс*

—.

(3.12.4)

эти утверждения совпадают с результатами, которые получаются прямо из перестановочных свойств (3.113) для эрмитовых динамических переменных.

В качестве приложения общих перестановочных соотношений мы вновь получаем канонические уравнения движения и выводим перестановочные свойства канонических иеэрми- товых переменных второго рода

{’« ■’»} ' {", - "а} - 0 ■

R-oJ-^-<3125)

Благодаря отношению сопряженности между каноническими переменными*

Рк = < ,(3.126)

также представить в виде.

д», а(яd»* агн

уравнения движения и перестановочные соотношения можно

(3.127)

{^'^} - К'»1}в ° •

«нх •

(3.128)

ГЛАВА 4

СПЕЦИАЛЬНАЯ КАНОНИЧЕСКАЯ ГРУППА

ПЕРЕМЕННЫЕ ПЕРВОГО РОДА

Дифференциальные операторы.

Уравнения Шредингера

qp—функции преобразование.

Дифференциальные формы условий полноты

Неэрмитовы канонические переменные

Некоторые функции преобразований

Физическая интерпретация

Композиция с помощью интегрирования по контуру

Измерения оптимальной совместимости

ПЕРЕМЕННЫЕ ВТОРОГО РОДА

Группа вращений

Внешняя" алгебра

Собственные векторы-и собственные числа

УНИФИКАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

Конструктивное использование специальной канонической группы

Функции преобразования

Интегрирование

Дифференциальные реализации

Перестановочные свойства бесконечно малых операторных вариаций, с • которыми оперирует фундаментальный динамический принцип, таковы, что сохраняют перестановочные соотношения,, которым подчиняются динамические переменные. Следовательно, эти специальные вариации имеют черты группы преобразований, к изучению которых мы теперь приступаем.

ПЕРЕМЕННЫЕ ПЕРВОГО РОДА

Вариации 5г для. переменных первого рода коммутируют со всеми операторами и потому ведут себя просто как бесконечно малые вещественные числа. Если рассмотреть генераторы двух независимых бесконечно малых вариаций

G^= -1A az , G^- 1 га ^г . (4.1) то их коммутатор можно вычислить, воспользовавшись смыслом, который имеет каждый из этих операторов будучи

генератором:

= - 15(1)z a 5(2)z .(4.2)

Эквивалентные канонические формы этого выражения имеют мя «’Ч2’] - К’°я - °-

[с<»,с^] --ai»,^», .<4 3)

Таким образом, мы устанавливаем, что совокупность бесконечно малых генераторов Gz или G^ и Gp .вместе с бесконечно малыми кратными единичного оператора, замкнута относительно образования коммутаторов, и поэтому состоит из бесконечно малых генераторов некоторой группы, которую мы назовем специальной канонической группой.

Дифференциальные операторы'

Для изучения преобразований из этой группы полезно рассмотреть их действие на собственные векторы полного набора коммутирующих эрмитовых операторов, предоставляемого п^ каноническими переменными q, или же р в заданный момент времени. Сначала мы рассмотрим интерпретацию преобразования, порождаемого оператором G^ , ид собственных векторах ^-описания, а поскольку в силу (2.58)

6<q*t\ = «Я* ПО. , -. (4-4)

\<Р*Ц = Kp't\Gp, ._

все то же самое будет относиться и к р-описаиию. Итак, вектор <<?Ч| ч-З^Ч) является собственным вектором операторов q - 6q с собственными значениями q*. Но поскольку 5^ просто числовые кратные единичного оператора, варьированный вектор точно так же описывается как собственный вектор операторов q, соответствующий собственным значениям q* + 69. Это показывает, что спектр эрмитовых операторов qk образует континуум, простирающийся от —со до -но, и что вариацию 6^'(\ можно приписать изменению собственных значений q* на 6q. Аналогичные рассуждения применимы к дополнительным переменным р. Таким образом,

6q<q*t\ = ^к^<^Ц \<P't\ = E5Pt^<P^I

73^<t''l = <^\Р^ Л а'(4.6)

1%р^<Рч\ " <рч\ч^ •

Сопряженные соотношения имеют вид

. PkW\q*f> = \q*t>i^r >

(47)

. qkW\p't> - \рЧ>\^, здесь принято соглашение, что символом дт обозначается операция дифференцирования, действующая в направлении противоположном обычному. Для функций, которые можно построить алгебраически из переменных р и произвольных функций от q, по индукции устанавливаем1.

<q,t\F(q.p) = f (^«-‘щр-^^! .

н F(q,p)\q*t> - I<7't>f[<7'»<|g7-] .(4.8)

эти соотношения позволяют реализовать наши абстрактные операторы как дифференциальные операторы. • Аналогично, для функций, составленных из алгебраических конструкций по переменной q и произвольных функций по р, имеем..

"<Р^\Р^.Р) = F [<|р/ . Р' )<Р,Н .

^.РНР#<> = IP'^^^f^-.P'] •(4.9)

Смысл преобразования, порождаемого Gp иа собственных векторах ^-описания и G^ на собственных векторах p-описания, усматривается из равенств

ap<q't\ = i<q't\Gp = -Kq' t \T.6pkq*k(4.10)

8q\p't> = -iGq\p't> = -iLP'k6qk \P'*> .(4.11)

" Здесь по существу утверждается, что представление (4.8) справедливо для аналитических в окрестности нуля функций р с коэффициентами, произвольно зависящими от q. Вообще, в операторных исчислениях (типа Хевисайда) такого класса функций (символов операторов) не достаточно. Процедуры расширения, как правило, сильно зависят от решаемой задачи, что, впрочем, практически не сказывается на формальных алгебраических свойствах. - Примвч.пер.

Гл. 4. Специальная каноническая группа 89 а именно: они умножают векторы соответствующих описаний иа числовые фазовые множители. Преобразования, порождаемые бесконечно малыми вещественными кратными единичного оператора, также умножают векторы иа фазовые множители, ио ие делают различия между двумя описаниями. Следовательно, в результате действия преобразований из специальной канонической группы любой собственный вектор в q- или р-описаииях, соответствующий конкретным собственным значениям, переходит в вектор с неким другим набором собственных значений, умноженный иа произвольный фазовый множитель.

Уравнения Шрёдингера

Бесконечно малый оператор Gt = — Hit порождает группу сдвигов времени, с помощью которой описание в любой заданный момент времени преобразуется в аналогичное описание для любого другого момента времени. Таким образом, ■ для бесконечно малого преобразования ^-описания в момент времени t в ^-описание в момент времени t + 6t имеем '

8t<q4\ = з#^^#! = Kq't I Gt, (4.12) и, воспользовавшись реализацией дифференциальными операторами (4.8) для систем, описывающихся переменными первого рода, получаем

4?<^Н = <q,t\H(q.p.t) =

= Н\ч* -%qr .t\<4* Л • • (4-13) при условии, что Н - алгебраическая функция по р-пере- меииым. Соответствующее сопряженное утверждение можно записать в виде

\q‘t>i$t - \q* t> H\q*, i ^/Д]. (4.14) Произвольное состояние, обозначенное символом *, представляется парой комплексно сопряженных волновых функций

^q't^ = »*к^> , изменение этих функций во времени, таким образом, описы-

вается следующими дифференциальными уравнениями ^Шрёдингеру■ ■

iBT'Kq't) = H\q*,-'

тт<416>

ФС^О) 37= <Р (^О H(q'>‘3qT>t] • "

qp-фуикции преобразования

Функцию преобразования, связывающую q- и р-пред- ставлення, относящихся к одному моменту времени, можно построить с помощью интегрирования следующего дифференциального уравнения'

5<q4\p'f> = i<q4\ р - G^p'^ =•'

■= iL(8q,kp,k1-q,k6p,li3<q,t\p,t> =

= 3 р£q'fcP^ <q*t\p't> . (4.17) в котором мы непосредственно использовали операторные свойства (4.10) н (4.11). Следовательно,.

<q*t\p*t> = С е^'р' .■(4.18)

“<p4\q4> = C*e-£p'q' .(4.19)

Абсолютная величина константы С устанавливается из свойства композиции '. ....

6(q'-q”) = ^<q4 \p4> dp'<p4\q*f> =

.= |C|2 J dp' e^4,(4.20)

а ее фаза является- принципиально произвольной константой, которая может свободно меняться при преобразованиях общего фазового множителя ^-состояний по отношению к р-состоянням. Таким образом, после соответствующего соглашения о фазе имеем.

С = (2п) 2 1 ..(4.21)

Благодаря такой структуре функции преобразования, собственные векторы q- н ■ /^представлений связаны взаимно обратными преобразованиями Фурье

0^1 = (ги)-"72 J e"^ ^ dq' <q4\ '

<q*t\ = W^ Jе^' dp' <p't\ .(4.22)

Эти выражения позволяют представлять единичный оператор не только через полные наборы q- нлн р-состояннй

1 = J \q't>dq'<q't\ = г(423)

= J \P*t>dp* <jp't\ , "

но также в смешанных qp- нлн р^-представленнях

1 = (2я)-л/2 | \q't>dq* еЦ‘v*dp' <р't1 =

= (2ц)-"72 J |p't> dp' е"^ Ч* dq' <q' f | . (4.24)

■ 4.4. Дифференциальные формы условий полноты

Полученным выше равенствам, выражающим свойство полноты, можно придать альтернативную форму, использующую не интегрирование, а. дифференцирование; это можно сделать . либо прямым преобразованием, либо с помощью следующих рассуждений. Произвольный вектор Ф получается нз векторов состояний \q'f> и волновой функции ^Kq't) в виде (здесь и ниже параметр / опускаем)

* = J \q'>dq' ^q') = ^q) J \q'>dq' ='

"= ^Ip^XSh)"72, (4 25)

где мы ввели оператор ^q) и использовали выражение для состояния |р'>, соответствующего собственному значению р'=0. С помощью аналогичной процедуры получаем

= JvtP')^' <Р' I =■

(2х)"/8<^=о|ф(р)-,(4‘26)

и, следовательно, ■ скалярное произведение двух векторов можно записать в виде

,*2 = ^4q*- 01 <p(pWj^ IР'- 0> .(4.27)

Применение дифференциальных операторных реализаций (4.8) и (4.9) дает•■

#,*2 = (2«)п фД-ig^] W)^ \р' = 0 > |^--

= (2«)"/2Ф1[-<^]ф2(4,)| , , (4-28)

*!»2 = ^f<q'=O\p'> ^р') »2рf^] |-

-(ЭД^/р')^-'^(4.29)

Если отвлечься от произвольных векторов, то эти результаты принимают вид

.= (ги)"^ 1р/>(-<^-|» (4.30)

а операция сощ>яження приводит к аналогичным свойствам

■- W*" \q'>(&r\■ (4.31)

■' 4 1 q =0

Практическая ценность таких форм записи опирается, разумеется, на возникающие неким алгебраическим путем операции дифференцирования. Основной пример такого рода дает дифференциальная формулировка свойств композиции функций преобразования <д* \р'> и <р' |4'>:

<q' \р'> = (^(if |-^)<^|PZ> |^о(4-32)

н, т

<р'\q'> = (ги)"72^ к> ^1^)1^.(4.33)

Неэрмитовы канонические неременные

Теперь мы изучим смысл специальной канонической группы для неэрмнтовых канонических переменных у, 1у*,

которые определяются соотношениями

(4.34)(4.34)* lPh . t Ph* 1

(4.34)

(4.34)

(Теперь в наших рассуждениях символами q, р будут обозначаться эрмитовы канонические переменные). Для соответствующих бесконечно малых генераторов формальная теория дает

Gy= iy*6y , G* = -Йу*у, (4.35)

причем эти операторы подчиняются перестановочным соотношениям

[С^21] = [G<P, G^)] = 0

РУ.^”] -«V«V(4 36)

Чтобы пойти путем, уже испытанным на эрмитовых канонических переменных, мы прежде всего должны построить собственные векторы двух полных наборов коммутирующих операторов у и у*..

Некоторые функции преобразований ■ Связь векторов \у* t> с состояниями <q't\ описывается функцией преобразования <дЧ\у'Г>, которая удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению

8<q't\y*f> = Kq't\ VGq- G^\y*t> .(4.37)

Выражения для генераторов.

iGq = iP^q = 6q(V2y-q)(4.38)

и' ♦

-юе = г5« = ^q-y)5»■(4.зэ)

позволяют заменить все операторы соответствующими собственными значениями

Kq't\y't> = [^ ^y'-q^ + iviq'-y^ay'Xq'tXy'^ =

= а[-|у ' 2+ VSq'y'-sy'2]<q't\y't> , (4.40) что дает искомое выражение для функции преобразования

<q't\y'f> = Сехр(-jy^ + Vf q 'у'-^у'2).(4.41)

Поскольку сопряжение уравнения для правых собственных векторов’ ■

1/1 «О = У'I У'>(4- 42)

является уравнением на левые собственные векторы операторов у*'

<УЪ |/ = <УЪ |А . /' = У' *(4.43)

мы заключаем, что комплексное сопряжение выражения (4.41) имеет вид.

<^'t\q't> = С*е х pp^^VTy^y'-^'2) .(4.44)

Теперь мы можем вычислить функцию, преобразования

<M*'t\y"f> = ^'tXq'^dqXq'tXyT^ =

= (С^п1^2 е^,у*.(4.45)

которая является аналогом функции <p't\q'f>. В частности, скалярное произведение вектора \у'Г> и сопряженного с ним имеет вид$

<3j**t\y'f> = ХСХЧ^е । »'।(4.46)

и является, очевидно, конечным числом. Следовательно, собственные векторы \у*Г> н <м t\ существуют для всех комплексных значений у*. Обратим внимание на то, что длины этих векторов зависят от величины собственных значений, и собственный вектор, соответствующий нулевым собственным значениям, уникально выделен как вектор минимальной длины. Нормируя последний на единицу, определяем абсолютную величину константы С, н приняв соответствующее соглашение о фазе, имеем

<M*'t\y"f> = е^'Л(4.47)

Аналогичные рассуждения относительно функции преобразования <q't\y*'f> дают

<q't\y*'f> - C'exp^V^-^'^'*^^ '^ • <4-48) и, следовательно, нн. один нз векторов \у t> н никакая их линейная комбинация не имеют конечной длины. Такая аснм- метрня между операторами у и у , разительно отличающая их от случая эрмитовых канонических переменных, очевидна нз перестановочных соотношений

«.Л-Л»к = г-<4-49>

поскольку замена у—*у , у —*-у. при формальном сохра- неннн перестановочного соотношения превращает неотрицательный оператор у*у в неположительный оператор -уу*. Таким образом, в отличие от \у'<> и <у*,/| векторы |у*Ч> и <y't\ не существуют. Однако ниже мы найдем возможность определить векторы, которые в некотором ограниченном смысле являются правыми собственными векторами у* и левыми собственными векторами у.

Физическая интерпретация

Физическая интерпретация состояний \y't> требует некоторых комментариев. Поскольку эти векторы, вообще

говоря, не нормируются на единицу, мы должны выражать ожидаемое значение для таких состояний в виде

<F>W/7х •■(4 50)

*<У \У >

Далее, «Ук"У^>ы'

-«sI-vl'K»,-^,. - о .(4.51)

и, положив

у/ . <_t JR,>(4.52)

■V5

мы выводим, что

<»*>/ = Ч'к. <Рк>^- Р'к(4.53)

" . «Уц-^^ = ^д-^^/ - i •<4 54>

Итак, состояния \y'f> таковы, что ни q-, ни р-переменные не имеют определенных значений, но распределение около ожидаемых значений соответствует некоторому (оптимально

му) компромиссу между взаимо дополнительными чертами этих ■ двух несовместимых наборов переменных. Для нормированных векторов этого описания мы будем использовать обозначение } 8

\q*P't> = е 2** ' |«/ 7 <> ". (4.55)

при такой записи функция преобразования (4.47) принимает

ка' р*-р't<,'~<1*^ +(p'-pw^

<q' р' t\q*p*f> = е2е 4.(4.56)

Интерпретация преобразований, порождаемых операторами G^ и G^ на состояниях <у*' 11 и | у* f> соответственно, совершенно такая же, как и для эрмитовых переменных, это явно предполагается дрн построении формулы (4.41). Таким образом, . -•.

а»к■т(4.57)

,У*к^\у'<> - \y't>^r ,■

и в общем случае '<У*' 11 F^.y^ =F

аУ

Р^,У)\УЧ> = I^OF^ ,</') -(4-58)

Следовательно, для систем, . которые описываются каноническими неэрмнтовымн переменными первого рода, волновые функции 0(y*',O н Ч^У*^ подчиняются соответственно уравнениям Шрёдингера

' 37^'^ = Н И*'' ГТ,'^ ^'^<459>

1 Эу J

«У' 0 7 37 = ^' О Н^-У’.^ •(4.60)

Преобразования, порождаемые оператором G^ на векторах <у*Ч| н оператором G t на векторах \y‘f>, имеют вид а^*'/! = -<?‘t\ £у*' 5ук .

ayt I у* t> = - £ ау* у; i у' t> .(4.6i)

Эти изменения суть бесконечно малые кратные исходных векторов, но в1 отлнчне от случая эрмитовых переменных, множители здесь не. являются обязательно чисто мнимыми. То же можно сказать о бесконечно малых кратных единичного оператора, получающегося как коммутатор двух генераторов (формула (4.36)). Итак, для неэрмнтовых переменных специальная каноническая группа есть полная совокупность преобразований, которые переводят собственный вектор с заданными комплексными собственными значениями в собственный вектор с любым другим набором собственных значений, умноженный на произвольные комплексные числа.

Композиция с помощью интегрирования по контуру

Функция преобразования <У*'ИУ*О отличается от выражения для <p't\q't> только отсутствием степеней 2я, поэтому удовлетворяет дифференциальному свойству композиции

/у*,/|гТЛ<У^1У*С>1= <Л*'Цу"1>.(4.62)

Отсюда мы заключаем, что

1 =<463>

'8У '»t =0х »'/=0

*i*2 = vJt-t/I^'o „ lay J 'И**i*2 = vJt-t/I^'o „ lay J 'И*нлн что скалярные произведения произвольных векторов можно вычислять по формулам

*i*2 = vJt-t/I^'o „ lay J 'И*

*i*2 = vJt-t/I^'o „ lay J 'И*

га' 11-»/»'<) *2 |ЩГ'1 ,(4 64)

Такое вычисление в нуле для комплексных собственных значений можно представить в виде контурного интеграла (ради простоты будем . полагать здесь п = 1; все рассуждения легко переносятся на случай произвольного п). Итак, •А = sH^'’^']*^''’ =

■ яг^ г/4'''>*»@7’/) ^ •<4 65>

где пути интегрирования обходят начало координат в положительном направлении и окружают только одну особенность в нуле. Такне пути всегда можно провести, поскольку для существования пределов в формулах (4.64) требуется, чтобы волновые функции типа ^Ky^'t) и Ф^у'О были регулярными функциями соответствующей комплексной переменной в некоторой окрестности нуля. Интегрированием по частям получаются альтернативные формы этих равенств *1*2 = 267р^+ * Ф^'О^'^ =

= 267^' Ф/У'О ^У'О.(4.66)

где мы ввели обозначениягде мы ввели обозначенияФФ= ф(у*'О,= ф(у*'О,(4.67)(4.67)

где мы ввели обозначения

где мы ввели обозначения

Ф

Ф

= ф(у*'О,

= ф(у*'О,

(4.67)

(4.67)

Эти функции являются регулярными в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки. Пути интегрирования в формулах (4.66) проходят по общей области регулярности обоих сомножителей, при этом они окружают область, содержащую соответственно все особенности фС^'О или ^y'ty но нн одной особенности ^^'О или ч^у'^.

Если волновые функции ф^у'О и ф(у*'О связать с векторными базисами <у'Ц и (у^'О» символически записанными в виде

<^1 = <-^4^(4-68)

И"т

\у**г> = 4,(4-69)

У 1 8у '

то наши формулы для расчета скалярных произведений можно переписать в виде свойств полноты

= зЦ^Чу^Ху'Ц =

= Ж ^d^'^'tx/'n .(4.70)

Из этих утверждений вытекает, что

^| dy* ч^У*^<уЧ\у"^ = ч^ГП(4-71)

и

^dy”<y't\y"t> iKy-t) = ^у't),(4.72)

где в силу определения (4.68) и выражения для функции преобразования (4.47)

_ * 8 , <y*t\y-t> - <-^//|у*/>^/ = » * ^у =

= у4уЖ. |у'1>|у~|-(4.73)

Выявленная область регулярности соответствует областям регулярности волновых функций типа ^у') и f(y*). В самом деле,

5Д j dy'^'^ - »W ,(4.74)

если контур окружает у", но не захватывает особенностей функции ч^'^У н вместе с тем

ШрУ*/ГР = W.(4.75)

если путь интегрирования окружает область, в которой располагаются все особенности ^y*t^, ио нет ■ точки у'. В последнем случае интеграл вычисляется с помощью окружности около бесконечно удаленной точки, где функция 0(у*О стремится к нулю. Аналогичные рассуждения применимы и к функции преобразования

<4*'t\y^f> = X 1 t/,|у**| > |уЪ I .(4.76)

У - У

Наша символическая конструкция векторов <уЧ\ становится явной, если написать ш

= р/* г'"’* ,(4.77)

■о■

где путь интегрирования уходит на бесконечность таким образом, чтобы сходился этот и все последующие интегралы. Поэтомую.

<уЧ\ = Jd/'^Sle-^(4.78)

■О

н• ш

|у*'О = Jdy* e^’V\y"f> .(4.79)

О''

С помощью" этнХ * формул мы можем выяснить, в какой мере векторы <_y't\ и \y*'t> являются соответственно левым собственным вектором оператора y(t) н Правым собственным вектором оператора у*(0- Вычислим

У' * I (У-У7) = Ry+* е—^^l^- У' 1 ^"t | =

О „■»

ОJ

= -</*= 0, f| . (4-80) или, как можно увидеть из символической формы свойства полноты (4.70),

<У'ЦУ = <у'Цу' - ^^<У*И ,(4.81)

если только контур окружает все особенности подынтегрального выражения. Сопряженное утвержение имеет вид

/|Ло - у*'\y*'t> - шр^*!^•<4-82>

Итак, как и ожидалось после нашего обсуждения асимметрии между операторами у и у*, векторы <y*t\ и |у*/> не являются истинными собственными векторами, хотя отклонение от этого свойства проявляется в очень простой форме. Согласованность нашей теории, в которой результат действия оператора у иа его левые собственные векторы (4.81) содержит дополнительный член в виде контурного интеграла, можно проверить из альтернативных вычислений величины <Л* |У|У*Х гДе действие иа правый собственный вектор дает

.<У* |у|у*> = <У* \У">У* = -у^-.(4.83)

тогда как из свойств левых собственных векторов получается_

»'1»11Л> - к"^'lsT>-^bJ^^IsO - .

.9. Измерения оптимальной совместимости

Используя формулы ■ (4.78) ■ и (4.79) для . собственных векторов, можно представить единичный оператор в виде ..^ = ^^У^П^ХУ'^е-е'^Чу^-Ц.(4.85)

который является аналогом формулы (4.24). Здесь надо интегрировать по комплексным переменным у' и у ортогональным путем. Если написать

у.=9^',у*- = 9^*,(4.86)

V2

то можно так деформировать эти пути, что интегрирование

Гл. 4. Специальная каноническая группа Ю1 по q* и р* пойдет независимо по всем вещественным значениям от —со до +е. При этом получится ' .

= ^^/Р' \y't > «"l^lV^b (4.87) или в обозначениях (4.55)

= j ^'Р'^^^В. * <Ч‘р‘Ц . (4.88) Свойство композиции функций преобразования, к которому приводит такое выражение условия полноты,

<q*p*t\<fp^<> =\<q,p*t\qpt>ME^£<qpt\<rpNt>. (4 89) можно проверить прямым интегрированием. Хотя векторы \q'pff> образуют полную систему, они заведомо не линейно независимы, поскольку тогда функция пребразовання (4.56) была бы дельта-функцией. Напротив, оказывается, что изменение собственных значений q* р* и q*p" на величины порядка единицы не дает существенно отличных состояний. Однако изменения собственных значений на величины заметно большие единицы приводят к новым состояниям, поскольку величина функции преобразования становится очень малой. Грубо говоря, одно состояние связано с каждой областью собственных значений ^Lq*hp* ^/2х = 1. Нет никакой необходимости строить линейно независимые векторы, которые описывают строго различные состояния, если нас интересует только сравнение с измерениями на классическом уровне (а таким в конечном счете должно быть каждое измерение), поскольку в этом случае мы имеем дело с вероятностью того, что система окажется в одном из большого числа состояний, относящимся к области собственных значений (А^'Ар')/2п»1. В этом смысле можно утверждать, что ■

dp<q'p't.^ = ^WpV (4.90) есть вероятность того, что q- и р-измереиия, выполненные с оптимальной совместимостью на состоянии Ф в момент времени t, дадут значения q* и р', лежащие в интервалах dq* и dp* соответственно. -

ПЕРЕМЕННЫЕ ВТОРОГО РОДА

Группа поворотов

Теперь мы вернемся к переменным второго рода. Требование, что вариации 3< антикоммутируют с каждой переменной этого типа, наиболее просто выражается с помощью канонических эрмитовых переменных 5К- Перечень 2=4 1 различных операторов этой алгебры показывает, что имеется только одни оператор, антикоммутирующий с каждой 5-4 Им является произведение

(4.91)

которое записайо как эрмитов оператор с единичным квадратом. Таким образом, операторные свойства переменных 5 (3.111) применимы также и к C2n+f Мы видим, что вариации 5£к должны быть бесконечно малыми вещественными кратными одного единственного оператора €2п+1, скажем

<«ю>

так, чтобы бесконечно малый генератор

б5 = ^5€(4.93)

принял ВИД2

«{- E^J^^r<4 9<)

Составив коммутатор двух таких генераторов, мы получим

} [g^, С<2)] = £ d^Ах^,(4.95)

где '.

Лх = п[«.-«х]<*96>

образуют семейство | »(»-!) = л(2л -1) эрмитовых опера

(4.97)(4.97)торов, которые удовлетворяют = 1

(4.97)

(4.97)

4-

Таким образом, генераторы G^ и их коммутаторы можно строить, исходя из операторного базиса, образованного л(2л +1) эрмитовыми операторами • где к и X меняются от 1 до 2л+1. В силу перестановочного свойства

^Число пар канонических переменных второго рода л^ далее обозначается просто л. - Примеч.пер.

т - У - V»- W V»- М„. «.as) этот базис является полным, а совокупность соответствующих преобразований образует группу, которая обладает структурой группы (собственных) поворотов в 2л+ 1 измерениях [сравни с (2.80)]. Но это не то, что мы будем, называть специальной канонической группой для переменных второго рода. ' - ■

.4.11. Внешняя алгебра

Выше мы рассматривали группу внутренних автоморфизмов, . т.е. преобразований, построенных из , элементов алгебры, которые сохраняют все алгебраические соотиоше-' ния и свойства эрмитовости.5 Для структуры этой алгебры характерно» что -с каждым £к ,к = 1,...,2л антикоммутируют лишь операторы, кратные CgiM-l* и Л10^ые две вариации, образованные таким образом, коммутируют. Поэтому генератор одной вариации не коммутирует со второй такой вариацией, и, следовательно, две вариации не - являются независимыми. Чтобы получить независимые вариации, операторы и а<24 должны антикоммутировать, а это невозможно для внутренних автоморфизмов. Однако желательной алгебраической независимости вариаций можно достичь, - попла- тйвшись за это свойствами эрмитовости, - если рассмотреть внешние автоморфизмы, которые строятся с помощью подходящим образом определенной внешней алгебры.

Пусть ек - набор из 2л полностью аитикомцутативиых операторов,■

.(ем,ех} = 0,(4.99)

которые коммутируют с элементами физической алгебры. Такое свойство антикоммутативности . означает, в частности, что„

" . .е* = ° ,(4.100)

и эти ^ператоры не могут не быть эрмитовыми, не быть сопряжением какого-либо е-оператора, включенного в этот набор. Мы видим, что 2л операторных произведений ек€2п+1

®Автоморфизм называется внутренним, если ои имеет вид X -> X - U~'xU, где U - элемент алгебры, если такого элемента U не существует, автоморфизм называется внешним. — Примеч.пер.

104

полностью антикоммутируют между собой и, кроме того, антикоммутируют с каждым оператором £к , к = 1,... ,2п. Следовательно, вариации д£к, определенные как числовые кратные произведения E^n+l будут удовлетворять соотношениям

{^’Ч к . З^Чх} = 0(4.101)

и

[б(1)€ к . ^2)] = 0 .(4.102)

Именно последнее свойство ставит генераторы для переменных первого и второго рода. на равную ногу и позволяет в общем случае вычислять коммутатор двух генераторов G^ и G^ по формуле

,жа G(i>а с(2)

He*’!2’]-

= - { 3(1>х А 8<2>х . (4.103)

Каноническая форма . этого соотношения имеет вид (4.3), которая теперь применима к переменным обоих родов. Для переменных второго рода форма <№хА8№х линейно зависит от произведений екех , а эти комбинации коммутируют и со всеми операторами физической алгебры и внешней алгебры. Итак, для переменных каждого рода генераторы независимых вариаций вместе со своими коммутаторами образуют множество бесконечно малых элементов некоторой группы, которая представляет собой специальную каноническую группу.

Собственные векторы и собственные значения

Существование этой группы для переменных второго рода дает возможность определить собственные векторы полного набора антикоммутирующих операторов q или р = iq^. Для начала заметим, что в уравнениях для бесконечно малых преобразований

Ц-Ю^,»-^ - J [»„. С , ] - Ч- «1.(4.104)

X-iG fR(1+tG tl ж ^- 5^(4-

фигурируют только алгебраические свойства операторов и их вариаций. Более того, если q^ и q^* построены по тому же образцу, что и независимые вариации, и антикоммутируют между собой и с операторами q и qV то мы можем утверждать, что

(1 - iG^- q*^ + ^ = ЧГ (Ч^ Sq^,

(4.106)

[1-iG Л^-^'фччС J = ^-(^'+5^).

i q Jv q j

Следовательно, если существуют векторы, удовлетворяющие

■ ^-Ч^ХЧ*^ = 0(4.107)

и'.

^'Ж^-^') = 0,(4.108)

то существуют и векторы ■■

^-1О^\ЯЧ> = \q* t> * 6\q* f>

<q**t\ fl + zG J = <<*4| + 5 <q*41(4.109)

1 q J

причем они соответствуют собственным значениям q' * 8q и q'*+ 8qV Ниже мы увидим, что собственные векторы с нулевыми собственными значениями существуют несомненно, а это означает, что собственные векторы типа \q* f> ■ и <7*' t1 можно построить из состояний с нулевыми собственными числами при помощи операций из специальной канонической группы. Следовало бы заметить, что эти правые и левые собственные векторы не связаны операцией сопряжения, поскольку нет такой связи между q* и q**.

Вектор, удовлетворяющий равенствам

7K|0f> = 0, к= 1 ,...,п,(4.110)

является собственным вектором эрмитовых операторов Ч^Ч^ с нулевыми собственными значениями,

^к1°^> = 0’ <=Ь-,п-(4.111)

Верно также и обратное, поскольку равенство

<0d»Xl°#> = 0(4 И2)

содержит в себе (4.110). Операторы Ч^ЧК коммутативны и действительно образуют полный набор коммутирующих эрми-

товых операторов для переменных второго рода. (В равной степени эти утверждения применимы к иеэрмитовым переменным первого рода.) Кроме того, из алгебраических свойств канонических переменных видно, что

^(1 * ^^ = Ч* <2 Ч* = 0 ,(4.113)

т. е. спектр каждого оператора Ч^ЧК содержит только два значения 0 и 1. Следовательно, имеется состояние, для которого все операторы Ч^ЧК имеют значение нуль, и кроме того, это состояние описывается правым собственным вектором иеэрмитовых операторов q или сопряженным левым собственным вектором операторов q* с нулевым набором собственных чисел. Здесь нам следует обратить внимание на то, что в отличие от случая иеэрмитовых переменных первого рода между операторами q и q* имеется полная симметрия. Например, когда операторы Ч,^ имеют нулевые собственные значения, операторы Ч^ЧК имеют единичные собственные значения , кроме того, в этом случае существуют правый собственный вектор операторов q* и левый собственный вектор операторов q, соответствующие нулевым собственным значениям. Таким образом выявляется возможность определять собственные Векторы |^^> и <q't\ при помощи уравнений

[1 — iG +1кЪ«> = |^4> + 3|/ч>, 1 ч1

<q'tW\*iG) = <q't\+6<4,t\ .(4.114)

которые имеют интерпретацию аналогичную уравнениям (4.109).

УНИФИКАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

Конструктивное использование специальнойканонической группы

В процессе движения от эрмитовых канонических переменных первого рода к иеэрмитовым каноническим переменным второго рода ценность специальной канонической группы возросла до того, что она стала явно использоваться для определения собственных векторов канонических переменных, а не просто для изучения действия группы соот-

ветствующих преобразований на независимым образом построенные векторы. Последний подход универсально применим для переменных . любого рода, поскольку можно построить собственный вектор канонических переменных q с нулевыми собственными значениями, а затем с помощью конечной операции из этой группы определить собственный вектор общего вида,

|^> = ^ |^=0>.(4.115)

Аналогичная общая конструкция для левого собственного вектора имеет вид, /

<р* I = O'-Ola"* г(4Л16)

Помимо этого наши эрмитовы переменные первого рода и ие- эрмитовы переменные второго рода допускают построение векторов.вида

\р*> = Х’|р'=0>,

<q'\ = <q,= Q\eiM'v(4.117)

исключительная ситуация для. эрмитовых канонических переменных первого рода проистекает из унитарной природы группы операторов, соответствующей этим переменным, которая лишает нулевые собственные значения сколь-нибудь выделенного положения. Смысл действия специальной канонической группы на .собственные . векторы канонических переменных в общем случае описывают формулы'

ё^Х^ = k'+ q ' >(4.118)

И

.e-^^Xq^ = е^'4'\q*>;(4.119)

т.е. они представляют собой совокупность преобразований, которые меняют собственные значения и умножают собственные векторы на коммутативные множители.

■ Собственные значения в равенствах

q^Xq^ = q'K\q'>(4.120)

<q'Xq = <q'\q'K•(4Л21)

получаются перемножением элемента внешней алгебры с членом физической алгебры, который антикоммутирует с каждой 5К или, что эквивалентно, с совокупностью операторов q* и q^ . Перевод формулы (4.91) на язык канонических переменных придает антикоммутирующему оператору вид

■^^гП<4122)

К=1

мы будем обозначать этот оператор буквой р. В состояниях с нулевыми собственными числами это произведение, будучи функцией коммутирующих операторов ^^к . имеет значения (р-(-1)п)|< = 0> = О,

<9'=0|(р —1) = 0,(4.123)

соответствующие сопряженные утверждения имеют вид ^•окр-с-Щ = о,

(р-1)|/'=0> = 0.(4.124)

В силу чего в формуле

<\4'> = q;e -tM'\q*=0>=е"^'q;\q*=O>,ЦЛ23)

множитель р, который возникает в q'^ , можно заменить числом (-1)”, и результат представить в виде

<7l/> = q* 1<7'> = l^'> q ' »(4.126)

где заключительное q* целиком является элементом внешней алгебры. Совершенно аналогично:

<q* W = <q'=^\e^q* = <q'=0 Iq*e ^(4.127)

<q* I<7 = <q' I?' = q'<q* I;(4.128)

элементу внешней алгебры, который появляется в- последнем равенстве не достает числового множителя (-1)”, и поэтому при нечетных п он отличается по знаку от элемента в равенстве (4.126). Следовательно, только для четных п имеется полная симметрия между левыми и правыми собственными векторами, что звучит как эстетический приговор: в природе нет ни одной системы, которая описывалась бы нечетным числом (пар) динамических переменных второго рода.

Функции преобразования

При построении функций преобразования нужно исключать явно входящие операторы данной физической системы, выражая функцию преобразования через соответствующие собственные значения, которые для переменных второго рода являются элементами внешней алгебры. Замена собст-

венных значений, которые антикоммутируют с динамическими переменными, чисто внешними величинами осуществляется, вообще говоря, равенствами вида

q"\q'> = \q'>q". р*\q*> = \q'>p'.(4.129)

и получается автоматически для произведений собственных значений. Для всех переменных функция преобразования <Р* \q,y> описывается дифференциальным равенством

&<Р* Ю = «<Р* \ ^7G^\q*> =

= К?' K-dp' q* -P* Sq'^q^ =

= S^-iP'q'KP^q^. (4.130) а ее интегральная форма различается только числовыми множителями, которые выражают условия нормировки для конкретного типа переменных. Чтобы достичь универсальности формы

<р* \q*> = е-^^,(4.131)

мы должны удалить множитель (2п)-п/2, который возникает для эрмитовых переменных первого рода. Это получится, если все интегрирования выполнять с дифференциалами

при соответствующем переопределении 5-функции:.

5 [И = W^q'l. р [?' ] 5 [?' ] = 1 •(4.133)

Для переменных второго рода эту функцию преобразования можно представить в более конкретном виде

</-!,->- .*'* ' -Ц*4’'-Ц[1+ »!'<] - «134>

кк

поскольку квадрат любого собственного значения равен нулю. Функция преобразования ^'l^^ имеет общее дифференциальное свойство композиции.

<»'!«'>- <о'|^«>1«'>| -

= <p'U>» (4135>

которое символически выражается в виде

l^o'l,^-<4Л36>

Таким образом, для переменных второго рода скалярное произведение двух векторов можно вычислять из представляющих волновых функций

*(^'0 = </'И*» *q't) = *|^ t >(4.137)

по формулам

*1*2 = *ilrT7*

2 ld<r J fdT I.

I • (4.138)

Если исключить неэрмитовы переменные первого рода, то можно построить функцию преобразования

<^\р*> = е*'<',(4.139)

которая для переменных второго рода принимает вид

<q'\q**> = e-^'s' = eS*^' = J][l + ^]. (4.140) Кроме того, в качестве аналога формул (4.137) и (4.138) имеем волновые функции

«<0 = <q4\qi, ^.^ - *^Ч>(4.141)

и формулы для вычисления’ скалярного произведения

з^-q ^ol^^»

- ^'О^НтгМ <4142) 1°^ J ^'=0

При этом же ограничении функции преобразования <q* \ qw> и <р' |р*> являются осмысленными без какиих-либо оговорок. В самом деле, дифференциальное уравнение

Xq' 1^*> = Kq* Кр ^ - р W)\q"> = = Kq'Wq^aiq'-q”), (4.143)

в сочетании с тождеством

(4.144 )(4.144 )0 = <q* Wq-q^^ = <q* Xq^q'-q^

(4.144 )

(4.144 )

показывает, что <q' |^*> есть функция разностей соответствующих собственных значений, которая обращается в нуль при перемножении с любой из ее переменных. В случае не-

эрмитовых переменных первого рода последнее равенство гласило бы.

о = ^ |у*>(9,-у*) - ^ауу<м\у->,(4.145)

это уравнение имеет решение <у* \y*>=<y'-M*Y"t- Для эрмитовых переменных первого рода эти соотношения определяют дельта-функцию

• <Я'\О = 5[^-И.' (4.146)

и мы сохраним эту запись для соответствующей функции, относящейся ко второму классу переменных,

. <q* \q*> = Ц(<- <) = s [q'- q*l. (4.147) в которой л антикоммутирующих множителей расположены в некотором стандартном порядке, скажем !,...,«, если читать слева направо. Для аналогичного преобразования переменных q* напишем

<?Ч?*> - П^!" - ^1*] = «[/'-/*]. (4148) где сомножители располагаются в обратном порядке. Согласованность этих определений следует из свойства композиции ’

- |р + 4'<) = <q*,\q'>. (4149)

поскольку противоположный порядок умножений в двух произведениях позволяет составлять нужные комбинации без изменений в знаках из-за антикоммутативности собственных значений. Функция преобразования <q*' |^**> обеспечивает связь между волновыми функциями <Kq't) и ф(^Ч). Свой

ство композиции

$t=0$t=0(4.150)(4.151)(4.150)(4.151)<q*' I = <q*' IЛ ( \ 8q

$t=0

$t=0

(4.150)

(4.151)

(4.150)

(4.151)

даетт

I [ 8q J и аналогично

(4.152)(4.153)(4.154)(4Л55)(4.152)(4.153)(4.154)(4Л55)«П = <ч*\ч>

(4.152)

(4.153)

(4.154)

(4Л55)

(4.152)

(4.153)

(4.154)

(4Л55)

*4=0 дает обратное соотношение

^o-IK-o^l-^^J.

Кроме того, мы имеем

я»'О = *[-аг']ПЮ И

IJ * J

Чтобы теперь получить выражение условия полноты, в котором фигурируют только собственные векторы операторов

п, заметим, что , дт

/=^=о- (4-156)

Если это символическое выражение реализовать с помощью волновых функций ф, которые коммутируют с соответствующими собственными значениями, или если п — четно, то фо

рмулу для скалярного произведения можно представить -в виде . ..

♦Л = П -5^^^ W^ =

-JW^'O^O. (4.157)

Интегральная запись предназначена здесь для освежения аналогии и не несет никакой дополнительной смысловой на

грузки по сравнению с дифференциальным определением. По

добным образом мы получаемдобным образом мы получаемqt'-qt"^qt'-qt"^(4.158)(4.158)ф^'О^*'^ =ф^'О^*'^ =

добным образом мы получаем

добным образом мы получаем

qt'-qt"^

qt'-qt"^

(4.158)

(4.158)

ф^'О^*'^ =

ф^'О^*'^ =

= р^Ф^О^О- (4.159) Согласно определениям, которые были подобраны для пере-

менных второго рода,

(4.160)(4.161)(4.162)(4.163)(4.164)дельта(4.160)(4.161)(4.162)(4.163)(4.164)дельтаpm««-rj = п [-^ J и[<-<] = t

(4.160)

(4.161)

(4.162)

(4.163)

(4.164)

дельта

(4.160)

(4.161)

(4.162)

(4.163)

(4.164)

дельта

Более того, свойство композиции.

<р'\р”> = V\s'l<p' \ч'Хя' \Р*>

теперь принимает вид-

3[Р'-Р*] = р^'З^'^Х. и аналогично..

8 [<-»*] = р[р'] е^'- ^\ Таким образом, расширение обозначений типа

функций на переменные второго рода вполне обоснованно. Другой родственный пример формулы, применимой и к обеим эрмитовым переменным первого рода и к переменным второго рода, получается, если равенство записать (4.153) как

Г 8Т 1

«^0(4.165)

♦*

и заменить переменные q на р = iq . После подстановки интегрального представления (4.164) это выражение принимает вид.. , .

' ' ^q't^ = Jd[p'] eZp ’ W9 ,(4.166)

a (4.151) дает обратную формулу-

Wp'O = р[^] е"^ <Kq't) .(4.167)

Для эрмитовых переменных первого рода этн соотношения совпадают с полученными в (4.22) взаимно обратными пре- • образованиями Фурье.

Интегрирование

Несмотря на то, что интегральная форма записи весьма эффективна для придания единообразия некоторым формальным свойствам двух классов переменных, природа этих операций совершенно различна. В самом деле, символ J имеет смысл дифференцирования для переменных второго рода и операции обратной дифференцированию для переменных первого рода. Наиболее рельефно это проявляется, если

подвергнуть собственные значения линейному преобразованию q'—^q*. Для эрмитовых переменных дифференциальный элемент объема в q' -пространстве меняется прн этом следующим образом

Як ^в^] = Met А| d[ q '],(4.168)

откуда следует, что

Як 5^'1 = |ЗёГХ I 5[И •<4169)

Но дельта-функция по переменным второго рода определяется как произведение антикоммутатнвных множителей, и поэтому ■

Я^- 5^] = det Ad^J .(4.170)

Этот результат формально можно записать также в виде

Як. d^q'l = g^d^].(4.171)

Положив, в частности, А = -1, мы видим, что б^'] является четной функцией эрмитовых переменных, но для переменных второго рода она обладает этим свойством только когда п2 — четно. Интересное формальное различие возникает также прн вычислении следа некоторого оператора с помощью интегрирования. Из равенств (4.23), выражающих свойство полноты для эрмитовых переменных первого рода, выводим интегральную формулу'

ТгХ = ^'1<Я' \Х\О = Jd[ р 'Кр'\Х\р'>.(4.172)

Чтобы получить аналог этого выражения для переменных второго рода, ■ запишем сперва. след в матричном представлении <р* XXXq'^, что получается из верной в общем случае дифференциальной формулы (4.136),"

ТгХ-<^|^'>|1,_0-<1-'| X |^>|-(«173)

Тогда для переменных второго рода мы выводим (p=iq )

_т fd.3.1.

= Jd^K^I*!-^ (4.174) и•

ТгХ = ^IXl/^^ТгХ = ^IXl/^^ата7*ата7*^,=<1,*=0^,=<1,*=0= P^KpMXI-p^.= P^KpMXI-p^.Для четных п2 , к примеру, имеем p\q*> = ре"^' |0> = е^/р|0> = \-q*>,Для четных п2 , к примеру, имеем p\q*> = ре"^' |0> = е^/р|0> = \-q*>,(4.175)(4.176)(4.175)(4.176)

ТгХ = ^IXl/^^

ТгХ = ^IXl/^^

ат

а7*

ат

а7*

^,=<1,*=0

^,=<1,*=0

= P^KpMXI-p^.

= P^KpMXI-p^.

Для четных п2 , к примеру, имеем p\q*> = ре"^' |0> = е^/р|0> = \-q*>,

Для четных п2 , к примеру, имеем p\q*> = ре"^' |0> = е^/р|0> = \-q*>,

(4.175)

(4.176)

(4.175)

(4.176)

и, следовательно, полученную формулу для следа можно также записать в виде

TrX = Jd[^] <q*\Xp\q*> = Jrf 0»'] <р'| Хр | pz > , (4.177) который до некоторой степени восстанавливает единообразие двух наших классов, ибо именно единичный оператор, коммутирующий со всеми переменными, для переменных первого рода играет роль оператора р. Поскольку след не изменяется при замене X на рХр, можно вместе Хр написать рХ, и поэтому нечетные функции этих переменных имеют нулевой след. Приведем простейший, пример вычисления следа.

Tri = jV^'J <q'\-q'> =.

= RT(-^] Rw> =2"2- <4178) Само собой разумеется, что для систем, требующих для своего описания динамических переменных обоих родов, операции взятия следа по переменным каждого класса должны накладываться друг на друга. В случае четного п2 достаточной общности формула получается из (4.172), (4.174) и (4.166).

Тг X = Jd[^] d[p'] е^'^<р' IX(q'> .(4.179)

Дифференциальные реализации .

В заключение мы прокомментируем универсальность реализаций динамических переменных дифференциальными операторамиg■

<p*tvw = i-5^*<p't\.

ат ' pW\q4> = \q4>i^, ,(4.180)

и их алгебраических обобщений

<р' t\F(qp) = F^/ ,р']<р'Ц , Г ат ] Fkqp>\q't> = \q't> F\q'.l^,\.(4.181)

которые приводят к дифференциальным уравнениям Шредииге-

ра:

il"F'KP't> = ^Зр' *р'- и

М'оЦу = ^'О^^'.

Состояния <q* t\ и \p'f> не

^«Pz0(4.182).

Зт 1

-<^JJ.(4.183)

допускают общих утверждений.

такого рода, поскольку помимо асимметрии, характерной для иеэрмитовых переменных первого рода, мы должны раз

личать два класса динамических переменных в соответствующих реализациях дифференциальными операторами

<q*t\I\qp^ = F>

[ ат 1.

f(»p) |p'O = iP'^f^ g^' -Р'J •(4.184) •

где верхний знак относится к переменным первого рода. Это различие в знаках проистекает из необходимости изме

нения порядка умножения в дифференциальном выражении З^'Л = i<q't\P^q' = i<q't\^6q‘p =

■=^i6q'<q't\p (4.185)

по сравнению с

%<p‘t\ = -i<p‘t\8p‘q = -I6p‘<p‘t\q. (4.186) Таким образом, уравнения Шредингера, применимые и к эрмитовым переменным первого рода, и к переменным второго

рода имеют вид■

яГ az 1

i^WO = Н^Л!^, .fJ^o'O

о1

ГЛАВА 5

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Групповые свойства и избыточные переменные

Бесконечно малые канонические преобразования

Повороты. Угловой момент

Сдвиги. Импульс

Параметры преобразований

Преобразования Гамильтона—Якоби.

Зависимость от пути'

Независимость от пути.

Линейные преобразования

Использование оператора Лагранжа канонического вида

L = р^ - Н■(5.1)

приводит соответственно к канонической форме генераторов, описывающих бесконечно малые преобразования в конкретный момент времени t, '

G = p 8q — Н St ,(5.2)

что в свою. очередь дает канонические перестановочные соотношения и уравнения движения. Из некого заданного генератора G можно получать другие генераторы G. такие что ■■■

'G - G = 8W,(53)

и мы зададимся теперь вопросом: можно ли G также придать канонический вид по отношению к неким новым динамическим переменным q^ p(t) и новому оператору Гамильтона H(qpt). Эти новые переменные подчинялись бы, очевидно, каноническим перестановочным соотношениям и уравнениям движения, чТО характеризовало бы это преобразование Динамических переменных в момент t как каноническое преобразование. Дифференциальная форма

8W(qqt) = p8q - И St - р 8q * Н St(5-4)

возникает в результате бесконечно малого варьировап*” переменных в операторе действия W, в- котором объектами варьирования являются операторы q и q. Однако оператор действия может содержать и другие, избыточные, канонические переменные и, а поэтому■

8 W' Р = ^~ > -Р =я = я + ^.8 W' Р = ^~ > -Р =я = я + ^.a wa waw _ аair - 0 >aw _ аair - 0 >(5-5)(5-5)

8 W

' Р = ^~ > -Р =

я = я + ^.

8 W

' Р = ^~ > -Р =

я = я + ^.

a w

a w

aw _ а

air - 0 >

aw _ а

air - 0 >

(5-5)

(5-5)

Таким образом, чтобы преобразование получалось каноническим, эти неявные операторные уравнения должны иметь решение для q и р. '

Групповые свойства и избыточные переменные

Канонические преобразования образуют группу. Оператор действия, который описывает преобразование, обратное к qp—*"qp, имеет вид■

" W(q,q) = -W(q.q) , .(5.6)

а два последовательных преобразования qp —> "qp —> qp описываются производящим оператором действия вида

.W^ = W^q,^+ W(q,^ •(5.7)

Последняя формула иллюстрирует понятие избыточной переменной. Если отдельные операторы' W^q.q) н W^q,^) содержат только указанные переменные, то их сумма включает q, q и q. Но согласно условиям, наложенным на каждое отдельное каноническое преобразование, а_

+ W(q,q)l » -р ч- р = 0 ,(5.8)

и W^q.q) должен быть представим как функция только переменных q и q. Однако далеко не всегда желательно исключать избыточные переменные. Это, в частности так, когда каноническое преобразование содержит алгебраические соотношения между переменными q и q, которые препятствуют их независимому варьированию. Сохранив переменные некоторого промежуточного преобразования, можно получить нужное преобразование с помощью независимого дифференцирования. Важный пример такого рода дает тождественное преобразование. Начнем с обычного преобразования, которое меняет ролями взаимно дополняющие переменные q и р, оказывается

-G-Gp = aw^,(5.9)

где

Жч.р) = - ^Um) = р»ч-(5.Ю)

Поскольку.

. Gp = - р q = - в^q^P^ + £qfcp^ „(5.11)

это преобразование является каноническим

Чк = Рк> Рк = -Чк,

ЧК = РК- Рк” чк''(5Л2)

Складывая операторы действия для преобразования q—p и обратного к нему p—*q=q, мы получаем следующую характеристику тождественного преобразования

Wkq.q'i = Р»кЯ-чЪ ' (5.13)

которое содержит р в качестве избыточной переменной. Чтобы исключить последнюю мы должны наложить условия q=q, что дает V=0 для тождественного преобразования. Однако при сохранении этой избыточной переменной дифференциальные уравнения (5.5) остаются применимыми и воспроизводят это преобразование. ■

Заданное каноническое преобразование можно получить дифференцированием по любому из наборов дополнительных переменных. А именно: с помощью оператора действия W<qqt), удовлетворяющего дифференциальным уравнениям (5.5), мы напишем равенство . .

..ЖЙО = W(p,q) + W(qgt) . = -р » q + W^qt}. (5.14)

в котором переменные ренцнальные свойства теперь имеют вид dzwв котором переменные ренцнальные свойства теперь имеют вид dzwq возникают как избыточные, нового оператора действияq возникают как избыточные, нового оператора действияДиффе-Wlpqf)Диффе-Wlpqf)Я = ЯЯ = Я8 W8W8 W8WSV _ п - 0SV _ п - 0(5.15)(5.15)

в котором переменные ренцнальные свойства теперь имеют вид dzw

в котором переменные ренцнальные свойства теперь имеют вид dzw

q возникают как избыточные, нового оператора действия

q возникают как избыточные, нового оператора действия

Диффе-

Wlpqf)

Диффе-

Wlpqf)

Я = Я

Я = Я

8 W

8W

8 W

8W

SV _ п - 0

SV _ п - 0

(5.15)

(5.15)

очевидно, что эти уравнения в равной степени подходят для описания преобразования qp—*"qp. Тождественное преобразование, например, получается из оператора действия -poq. •

ческне преобразования — должны описываться оператором действия, который бесконечно мало отличается от оператора, порождающего тождественное преобразование. Подходящая форма такого оператора с переменными q и q имеет вид

ЖЯЯ^ = р о (д-q) - G(qpt) ,(5.16)

где G есть бесконечно малая функция указанных переменных, четная по динамическим переменным второго класса и произвольная в остальном. Воспользовавшись уравнениями (5.5) с р в качестве избыточной переменной, для бесконечно малого канонического преобразования q = q - Sq, р = р - 8р(5.17)

мы получаем явные равенства

5» = 3^G(wO • 5Р = -g^G^pf)»

H(qpt) = H(qpt) - hG^qpt) •(5.18)

Теперь в силу формул (3.100) и (3.123), которые применимы и к четным функциям переменных второго рода, имеем а» = I [<7-01 , Зр = 1 [p.G] ,'(5.19)

или, без специализации канонических переменных,

Зх = | [x,G] .(5.20)

Следовательно,

х = х - Зх = (1— iG) х(1 + iG),(5.21)

и если G является эрмитовым оператором, то это преобразование унитарно. Таким образом, подгруппа канонических преобразований, сохраняющих эрмитовость динамических переменных, эквивалентна группе унитарных преобразований. Безотносительно к свойствам эрмитовостн преобразование (5.21) сохраняет все алгебраические соотношения, и поэтому.

H(xt) = (l-<G)fl(x0(l+/G) = <xf) + Д [G,//j ,(5.22)

откуда■■

Я(х0 - H(xt) = ~^G - 4 [G,//] = - ^G,(5.23)

что делает явной функциональную форму нового гамильтониана. Бесконечно малые каноннческне преобразования, не изменяющие формы оператора Гамильтона, имеют генератора-

мн интегралы движения. Мы уже сталкивались с примерами бесконечно малых канонических преобразований. Преобразование, порождаемое генератором G =-H5t,

Зх = } [х, - ЯЗГ| = - Ду 3# ,(5.24)

заменяет динамические переменные, относящиеся к моменту времени t, или же в момент времени t+3t

x(t) = х - Зх = х(/+3^) .(5.25)

При этом новая форма оператора Гамильтона есть

Я(хЦ = ff(x(MO.M) = Н(*0 + ^St,.(5-26)

и, следовательно, оператор энергии Н будет интегралом движения, если Н не является явной функцией t, и это есть условие сохранения функционального вида оператора Гамильтона при временных сдвигах. Специальные операторные вариации, выделенные своими элементарными перестановочными свойствами, возникают как канонические преобразования а,с„а

8q == 8^, 8р =- 0 ,(5.27)

и a,gа g„

5f = ~др = 0 ' &Р= 9*(528)

где мы ввели индекс s для различения общих бесконечно малых канонических преобразований и преобразований специальной канонической группы. Для переменных второго рода рассмотрение специальной канонической группы в рамках общих канонических преобразований требует формального расширения последней через ■ введение элементов внешней алгебры.

Повороты. Угловой момент

Изменение описания, сопровождающее поворот системы пространственных координат, есть каноническое преобразование с бесконечно малым генератором

G = Зи • J ,(5.29)

однако форма этого канонического преобразования нам еще не известна. По- разному ориентированные системы коордн-

нат эквивалентны в ■ принципе, и следует ожидать, что кинематический член в операторе Лагранжа имеет одинаковый вид по переменным, относящимся к любой системе координат. Это соображение относится также и к динамическому члену, т.е. оператору Гамильтона, физически изолированной системы, для которой оператор полного углового момента J как генератор преобразования, оставляющего инвариантной форму Я, является интегралом движения. Вследствие билинейной структуры кинематического члена р°^ изменение, возникающее при произвольном повороте пространственной систёмы координат, будет линейным преобразованием . на подходящим образом выбранных ^переменных в сочетании с контрагреднентным преобразованием соответствующих дополнительных переменных. Таким образом, для бесконечно малого поворота имеем

5«» = Цр^ = " iSto’ iq»

5цР3^ = 1р8*Ч,(5.30)

где "компоненты вектора j суть матрицы. Для эрмитовых переменных компонента / является чисто мнимой матрицей^ тогда как для неэрмнтовых переменных, связанных соотио-' шеннем р = iq*, матрица / является эрмитовой. Следовательно, общая форма эрмитова оператора углового момента предстает в виде

J = - ip О jq ;(5.31)

куда Дают аддитивные вклады оба рода динамических переменных. Симметризация или антнснмметрнзацня, фигурирующие в этой формуле, на самом деле не существенны.

Подвергнув оператор J бесконечно малому преобразованию, порожденному генератором Gy , мы в силу перестановочных соотношений (2.79) находим

^ = 7 Р •= Зых J.(5 32)

Но, кроме того,.

5^ = -i (Pisu4 + Зур J»D = ~Ф 7 U • а" * Л? •<5-33)

и,следовательно,

1 [j, би • j] = би х j ; (534) таким образом, матрицы j подчиняются тем же перестановочным соотношениям, что и оператор углового момента J. Из этих перестановочных соотношений следует, что след матрицы j обращается в нуль, и поэтому явная симметризация или антисимметризация множителей в J не является необходимой. Разложение матрицы j на неприводимые подматрицы приводит к разбиению динамических переменных на кинематически независимые наборы, которые входят аддитивно в выражение оператора J. Каждый такой набор определяет некую динамическую переменную, состоящую из нескольких компонент, именно число этих компонент задает ее поведение при поворотах, поскольку это целое число, будучи размерностью соответствующей подматрицы, существенно определяет структуру матричных представлений оператора J. Например, неприводимый набор из трех переменных при поворотах с необходимостью преобразуется как вектор трехмерного пространства. Согласно замечанию, сделанному в предыдущем разделе, число компонент, составляющих динамическую переменную второго рода, по- внднмому, четно.

Сдвиги. Импульс

Все сказанное по поводу нивариантности относительно поворотов системы координат в равной степени применимо к сдвигам системы координат, которые имеют бесконечно малый генератор '

Ge = Зе • Р . (5.35) Для систем, описываемых конечным числом динамических переменных, соответствующее преобразование, которое оставляет инвариантной кинематическую часть оператора Лагранжа L, состоит просто в прибавлении констант к надлежащим образом выбранным каноническим переменным q. Таким образом, Ge имеет структуру оператора Gq , и различные ■ генераторы этого типа коммутируют, как того требуют перестановочные свойства полного импульса. Если оператор

р = Р » si(5.38)

подвергнуть бесконечно малому повороту, то в силу

V = 7 (р' ^ w ^х Р = 5«Р ° Зе '<537)

мы обнаруживаем, что те члены класса динамических р-переменных, которые вносят вклад в Р, при поворотах ведут себя как пространственные векторы. Следовательно, сдвиг системы координат может действовать только на трехкомпонентные переменные первого рода. Если этот набор переменных представляется в виде эрмитовых векторов Гу••>*■„ . а Ру -«Pn ~ соответствующие дополнительные переменные, то надлежащая подгонка относительных масштабов собственных значений даст

3erfc = Зе ,(5.38)

и поэтому

Р = ЕРМ(5.39)

Выделяя вклад этих векторных переменных в полный угловой момент, мы получим

J = ^гк У Рк + JM.(5.40)

где последнй член содержит все переменные, на которые не влияют сдвиги. Эти переменные, очевидно, являются внутренними для системы п частиц, расположение которых в пространстве описывается векторами г^ .

Параметры преобразований

Полезно взглянуть на бесконечно малое каноническое преобразование как на результат бесконечно малых изменений некоторых параметров т$ , s = l,...,p, скажем на величины —dr$ , так что бесконечно малый генератор имеет вид

G =.(5.41)

»=1 ' 1

где операторы G^ , быть может, явно зависят от этих параметров. Такая интерпретация преобразования выражается соотношениями "

■* = x + T^R ("^(5.42)

или

5х = х - х = ^ dr$= dx .(5.43)

s'

Соответственно, канонические переменные подчиняются уравнениям движения■

<5«)

которые управляют эволюцией соответствующего канонического преобразования. Многократное повторение таких бесконечно малых преобразований порождает конечное преобразование, при котором параметры т' меняются от значений т} до т2 вдоль определенного пути. Оператор действия, характеризующий это конечное преобразование, является суммой операторов, соответствующих отдельным бесконечно малым преобразованиям,

Г12 = 2*^тт_а,(5.45).

т»

где согласно определению (5.16)

^х.т-^ = А^6^) ~ ^-Л)) +

+ Е С^т^.р^.т) drs.(5.46)

Следовательно, оператор

.'Т1

^12 = J \Ped(l + ^ W^]<5'47)

является оператором действия, порождающим конечное каноническое преобразование, причем операторы, относящиеся ко всем промежуточным значениям т между ^ и т2 , фигурируют здесь как избыточные переменные. Поскольку W^ не должен зависеть от этих промежуточных переменных, он

■1 У—-г——————— и, _,

является^стациоиариым относительно специальных бесконечно малых вариаций всех динамических переменных, которые не относятся к концевым значениям параметра т. Тогда

SQsod^ + £ G^dx^ - d(p3q + £G($)5tJ =

= Зр dq - dp 8q + £ ( 8G^dt$ - dG^ST^ .(5.48)

что, в свою очередь, равно

d«+Z’3₽~ rp~Z"8»5»+

Z

f 8G, . dG, . 1.

5т " Иг5тА- <549)

и, таким образом, требование стационарности, примененное к некоторому заданному пути в пространстве параметров (дт=О), вновь дает дифференциальные уравнения (5.44) и, кроме того, ■’

8Vq = ^1 ~ G2 ,

G = p8q + Еб^Зт, .(5.50)

Преобразование Гамильтона — Якоби"

В случае единственного параметра / и генератора — Н, мы восстанавливаем исходный принцип действия, кото

рый теперь возникает как характеристика канонического

преобразования некоторого описания в момент времени t(=t^ в аналогичное описание, относящееся к другому моменту времени ^(=^2)’ 370 преобразование называется преобразованием Гамильтона — Якоби. Если момент времени <0 фиксирован, то оператор дейетвня V (=Vq) удовлетворяет уравнению

3V = p8q — Н St — p^q^, ' (5.51)

8W _ n лт = О .8W _ n лт = О .(5.52)(5.52)которое эквивалентно системе уравнений 8 Waw

8W _ n лт = О .

8W _ n лт = О .

(5.52)

(5.52)

"Ра

Сравнивая эти выражения с равенствами (5.5), мы обнару

живаем, что преобразование Гамильтона — Якоби — это такое преобразование, для которого Я=0, что означает

отсутствие зависимости от t новых динамических переменных х(у. Таким образом, новый гамильтониан в момент времени t отличается от Н, вычисленного в момент времени t, которым определяется зависимость V от параметра t ,

H^^W-(5.53)

Зависимость от пути

Для канонического преобразования, оперирующего с несколькими параметрами, последний член в выражении (5.49) отражает результат изменения пути, вдоль которого происходит изменение параметров. Поскольку G^ имеет смысл генератора сдвига по переменной т , имеем

dG. х 8G. ..$

следовательно,зтследовательно,зтdG. . •?тИ"‘,„dG. . •?тИ"‘,„(5.55)(5.55)

следовательно,

зт

следовательно,

зт

dG. . •

?тИ"‘,„

dG. . •

?тИ"‘,„

(5.55)

(5.55)

антисимметричен по индексам г и s,

тРи-М --*„•тРи-М --*„•(5.56)(5.56)8G, X 8G

тРи-М --*„•

тРи-М --*„•

(5.56)

(5.56)

О — — rs дт 5Т

Таким, образом, полная вариация оператора V— имеет в 'Т1

5^u = Gr G^ J £ Rr$ | (3 т dr- 8т^ .(5.57)

Если при фиксированных условиях на концах интервала рас

смотреть две независимые вариации- пути в следующей

комбинации

(а^2) - а*28» ^ Jvy = .

т,.<558)

= [ У" ++ Т f^/^ -3<2)t З^т! dr ,

J2L[“T dTr drs J 2 I i r 4d$

то это приведет к условию интегрируемости дифференциаль-

ной формы (5.57) по ее зависимости от пути в пространст

(5.59) операторно-(5.60)(5.61)(5.59) операторно-(5.60)(5.61)ве параметров.

(5.59) операторно-

(5.60)

(5.61)

(5.59) операторно-

(5.60)

(5.61)

которое действительно удовлетворяется в силу го тождества (2.73), приложенного к

Независимость от пути .

Коль скоро каноническое преобразование не должно зависеть от пути интегрирования, то необходимо, чтобы

#„ = 0 .(5.62)

В качестве примера такой ситуации, рассмотрим каноническое преобразование с двумя наборами параметров и генераторов:t, -Н; X, G^. Возвращаясь . к определению

мы видим, что в этом случае условие независимости от пути можно представить в виде

ЬН= dG(X)ZtfilV ■- ят•(5.63)

Следовательно, оператор Гамильтона должен быть явной функцией параметра X, а это говорит о том, что он изменяет' свой функциональный вид при бесконечно малом преобразовании G^dA. Поскольку такое изменение совпадает с изменением гамильтониана (5.23) при некотором бесконечно малом каноническом преобразовании, мы замечаем, что одно и то же результирующее каноническое преобразование получается, либо если система эволюционирует во времени, а каноническое преобразование выполняется в заключительный момент времени, либо если каноническое преобразование

происходит непрерывно во времени только при условии, что конечная точка фиксированна. С последней точки зрения наложение этого непрерывного изменения описания на динамическое развитие системы описывается эффективным оператором Гамильтона

". - «to " °(Х)ЭТ-

(5.64)

а соответствующий принцип стационарного действия включает числовую переменную Х(Г). Стоит отметить, что когда G^ не является явной функцией времени, зависимость Н от X такова, что dH/dX=O.

Линейные преобразования

При некоторых обстоятельствах это развитие принципа действия можно представить как некоторое расширение класса вариаций без изменения гамильтониана. А именно, пусть

G^ = - ip ° 84.(5.65)

это порождает линейное преобразование, описываемое уравнениями,

^ = igq,- ^ = ipg.(5.66)

Если g - постоянная матрица, то при постоянном t это Х-преобразоваиие имеет явный вид

g^ = e^q, р(Х) = ре"^.(5.67)

Далее, если эти линейные' операторные соотношения подставить В' оператор Лагранжа, мы получим

р(Х) о^) + Q^ ^ - Я^Х), р(Х), X) =

= р о ^ - Н ,(5.68)

где все указания на Х-преобразование исчезли. Здесь мы использовали то, что при фиксированном X

PW °= Р ° ^.(5.69)

и что dG._

gw = р 0 ^р = -м°•<5-70>

Таким образом, оператор действия представляется как оператор действия некоторого чистого преобразования Гамиль-

5 Ю.Швиигер

тона - Якоби. Однако. ■ наше Х-преобразование можно теперь ввести, если учесть, что специальная вариация операторов q(X) и бесконечно малое изменение параметра X в выражении■

q-e^qW(5.71)

вызывают специальную вариацию операторов q в комбинации с линейным преобразованием:"

."8q - i8X gq..(5.72)

Вместе ' с подобными свойствами операторов р это дает некий расширенный класс вариаций для принципа действия. Чтобы проверить иа прямую корректность этого расширения, мы заметим, что этот класс вариаций индуцирует следующую вариацию в L

СМ^Х ~ Й6Х =

27 [С( а )5Х) " (нТ + ЗТ^] 5Х *<5-73>

в которой 8Н/8Х введен с целью скомпенсировать отсутствие инвариантности Н относительно Х-преобразоваиия. Теперь применение принципа стационарного действия дает, как и должно быть, равенство (5.63) и подтверждает интерпретацию оператора - G^6X как генератора . бесконечно малого Х-преобразования.

Теперь мы можем рассмотреть частный случай линейного преобразования Гамильтона — Якоби, соответствующего билинейному оператору Гамильтона

Н = - ip о hq$Л^

и уравнениям движения

^=-ihq, ^-pih.- (5.75)

В силу уравнений движения

ро^-Я-,(5.76)

поэтому оператор действия W(qqQt') является тождественным нулем, что означает существование алгебраических соотношений между переменными q и qQ. Следовательно, это преобразование удобнее описывать с помощью оператора дейст-

вия W(pqQf) . Согласно (5.14) мы должны исключить переменные q, это осуществляется подстановкой явного решения уравнений движения

q = e °qQ,(5.77)

(где А — постоянна), после чего получаем

W(p, qQ, t-t^ = -Р о q = - р о е ° qQ .(5.78)

ГЛАВА 6

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Условия интегрируемости

Представление конечными матрицами

Подгруппы

Дифференциальные формы и свойства композиции

Канонические параметры

Пример. Специальная каноническая группа

Другие параметры. Группа поворотов

Реализации дифференциальными операторами

Групповой объем

Компактные группы

Операторы проецирования и инварианты

Дифференциальные операторы и группа поворотов

Интегрирование в некомпактных группах

• 6.14. Переменные второго рода'

Оператор отражения

Конечный операторный базис

Дополнение: Вывод принципа действия

Дополнение по поводу специальной канонической группы

Дополнение: Квантовые переменные и принцип действия

Условия интегрируемости

Теперь мы будем изучать построение непрерывной группы канонических преобразованнйиз ее бесконечно малых элементов, когда преобразование должно полностью определяться значениями параметров и поэтому не зависит от пути интегрирования. За исключением элементарного случая полностью коммутативной (абелевой) группы соответствующие генераторы G^ должны быть явными функциями параметров, коль скоро операторы R должны быть нулями. С помощью группового свойства каждый из операторов G^x.t'), число которых предполагается конечным, представляется как линейная комбинация одинакового числа операторов, которые не зависят явно от параметров,

- ZG<.>« v> • |6Л>

а

в то же время условие независимости от пути интегрирования требует, чтобы коммутаторы операторов С^х) были линейно связаны с этой системой операторов. Написав

PV °«J(62) мы получаем следующие дифференциальные уравнения для функций ^„W

k<-- $г<-- <1<.»м.; (б.з) r $ b7

Числа gabc антисимметричны по последним двум индексам, и они чисто мнимы, если операторы G^ эрмитовы. Введение для этого набора чисел с фиксированным вторым индексом матричной записи

8Ь = (8^ ♦(64)

позволяет в удобном виде представлять другие алгебраические свойства, - перестановочные соотношения (6.2), например, принимают вид

[G(6), Ч = Ggb-<6'5)

Последнее равенство устанавливает соответствие между оператором G^ и конечной матрицей gb- Это соответствие сохраняет перестановочные свойства, ибо в силу тождества (2.73)

[G(a)'[CW' Ч] " [С(Ь)'[С(а)' Ч] =

.(6.6)

” EEG(e)*с(6)]. С] = G^, g^,. '

и поэтому g- матрицы также удовлетворяют перестановочным соотношениям (6.2). Другим семейством матриц, обладающих этим же свойством, будут, как следует из соответствия

lG,G^=-g;G, . <6-7> матрицы -gT. Квадратичные связи между коэффициентами g, входящими в перестановочные соотношения, тождественны условиям интегрируемости дифференциальных уравнений (6.3), что служит проверкой самосогласоваииости операторного представления (6.1).

Представление конечными матрицами

Соответствие между операторами G^ и матрицами ga остается справеливым при замене операторного базиса в

пределах имеющейся свободы преобразований матриц, сохраняющих. нужные алгебраические соотношения; несингулярное преобразование базиса

G, =£G X,(6-8)

•а

индуцирует матричное преобразование

8 '=1.8 "К/1 А(619)

Важное приложение этой возможности замены операторного базиса возникает, когда операторы G эрмитовы и имеют представление ненулевыми линейно независимыми конечномерными эрмитовыми матрицами. Тогда след, вычисленный из представления такими ограниченными матрицами,

Тг(г%'Wj - тФат-Wj -

■ г1(61°)

полностью антисимметричен по индексам а,Ь и с, причем

- Tr<wv><6Л1>

- вещественная симметричная положительно определенная матрица. Поэтому имеется такой ■ эрмитов базис, в котором матрица у кратна единичной, а числа gafac - полностью антисимметричны. Относительно такого базиса, для которого все еще имеется свобода ортогональных преобразований, матрицы g антисимметричны

8д = ~8О'(6.12)

и, будучи чисто мнимыми, являются эрмитовыми матрицами. Таким образом, g-матрицы квалифицируются как конечномерное матричное представление при условии, что они линейно независимы. Линейная связь между матрицами g возникает только тогда, когда некая линейная комбинация операторов G^ , о=1,...,р коммутирует с каждым оператором G. Пусть такая комбинация существует, обозначим ее G^ , что всегда можно сделать подходящим ортогональным преобразованием базиса. Тогда

t°m-G(6)]-Е 6(^-0.

и #Ув6=0« последнее означает, что G^ никогда не по-

явится в выражении для какого бы ни было коммутатора. Эту процедуру можно продолжить, если существует несколько таких линейных комбинаций, и мы приходим к заключению, что в конце концов группу можно разложить иа произведение абелевой группы и некоторой некоммутативной группы, структуру которой характеризует то свойство, что g- матрицы образуют конечномерное представление порождающих ее операторов.

Подгруппы

■ Группы последнего типа с необходимостью являются полупростыми, под этим подразумевается, что они не имеют инвариантных абелевых подгрупп (простые группы вообще не имеют инвариантных подгрупп). Смысл этих терминов можно уяснить иа бесконечно малых преобразованиях. Пусть генераторы разделены иа два семейства, обозначенные индексами 1 и 2, из которых первое относится к подгруппе. Тогда в силу условия замкнутости этой подгруппы относительно образования коммутатора имеем

подгруппа: <в6е«0.(6.14)

Эта подгруппа будет инвариантной, если коммутатор любого элемента подгруппы с внешним оператором также принадлежит ей, '

инвариантная подгруппа: ga ь с = 0 ;.(6.15)

и далее, если эта подгруппа абелева, то. ..•

абелева подгруппа: g .= 0.(6.16)

Таким образом, если группа имеет абелеву инвариантную подгруппу, то в матрице gb отличны от нуля только элементы вида ga ь , и, следовательно, матрица gb не может быть антисимметричной. С другой стороны, из этих свойств абелевой инвариантной подгруппы мы заключаем, что

. ,617)

а это противоречит положительной определенности, которой

должен обладать этот набор чисел, коль скоро матрицы ga образуют конечномерное представление. Очевидно, группа, включающая инвариантную абелеву подгруппу, не может иметь конечномерных матричных представлений. Фундаментальный пример такой ситуации дает группа сдвигов и поворотов трехмерного пространства. Взглянув на перестановочные свойства (2.80), мы обнаруживаем, что сдвиги образуют инвариантную абелеву подгруппу, а математическая невозможность конечномерного представления соответствует физическому существованию бесконечного числа состояний, связанных между собой операциями сдвига. Напротив, подгруппа поворотов, взятая сама по себе, является простой, и каждое матричное представление, помеченное величиной полного углового момента, конечномерно.

Дифференциальные формы и свойства композиции Преобразование, описываемое бесконечно малыми изменениями dr параметров, осуществляется оператором

1 + $ GwMt).t) drr = H- £ G(a)(x(T)) dzTa,(6.18)

где величины _

8|т« - ECJt)^(6.19)

образуют систему неполных дифференциалов (дифференциальных форм Пфаффа). Индекс I (лево). соответствует тому, как этот оператор сочетается с оператором U(t), который производит конечное преобразование из стандартных (нулевых) значений параметров, а именно'

U(T*dx) = 1/(т)[1 + <EG(a)(x(T)) 5,tJ = г1(6.20)

= [1 + tEG^Wd^jGW,где динамические переменные отнесены к стандартным зна-чениям параметров с помощью преобразования■

х(т) = (Дту'х U(T)..(6.21)

Это является иллюстрацией общего свойства композиции группы

1/(т) = (/(^(/(тД , т = т(тгт2) ,(6.22)

когда параметры т} бесконечно малы. Помимо бесконечно малого преобразования l/(T+rfr)l/(T)-1 можно рассмотреть преобразование U(T)-1l/(T+dr), и поэтому должна существовать вторая система неполных дифференциалов 8гта таких,

1/(т+А) = 1/(т)[1 + <Е6(в)(х)»гт«] '(623)

Бесконечно малое изменение параметра т} в общем свойстве умножения индуцирует соответствующее изменение т:

[1 + iEG^S^T)]^) =

г .Т(6.24)

= [1 + ЯО(в)(х)3,тДт^р(т^(т2^

ИЛИWT) = 5zT«(Tl) ■(6.25)

Получающиеся дифференциальные уравнения (Маурера - Кар- тана)

Е^МА^Е^Дт,)^,(6.26)

вместе с начальными условиями.

Tt = 0 , т = т2 ,(6.27)

служат для определения свойств композиции групповых. параметров. То же самое назначение имеют дифференциальные уравнения

ЗтДт)=ЗтДтД(6.28),

и начальныеусловия-

т2 = 0,т = т,,(6.29)

получающиеся из второй системы дифференциалов.

Канонические параметры

Выбор параметров произволен с точностью до несингулярных преобразований т—>т', которые никак не сказываются на неполных дифференциалах

3^ = 3^,(6.30)

и поэтому

ататV') = EVW- (6.31)

ат

ат

условияусловияf .(0) = 5 . . ^аб' ' аЬf .(0) = 5 . . ^аб' ' аЬ(6.32)(6.32)При 'таком преобразовании параметров дифференциальные уравнения (6.3) сохраняют свою форму. Благодаря такой свободе в выборе параметров и базиса можно было бы потребовать совпадения базисных операторов G^ ■ и генераторов G^W при т=0- Это выразилось бы в добавлении к дифференциальным уравнениям для §- функций начального

условия

условия

f .(0) = 5 . . ^аб' ' аЬ

f .(0) = 5 . . ^аб' ' аЬ

(6.32)

(6.32)

Специальное семейство параметров, называемых каноническими, определяется следующим образом. Пусть при изменении числа Л от 0 до 1 точка в пространстве т-параметров перемещается ’ из начала координат по кривой, задаваемой уравнениями

Е 5вг(т) dr, = tadX ,(6.33)

где t суть произвольные константы. Точка в т-простран- стве, соответствующая Л=1, определяется числами t , которые и составляют новую систему параметров. Согласно инвариантности дифференциальных форм та же самая траектория описывается в ^-пространстве уравнениями

Е Sab№l dtbW = tadx,'. .(6.

,i(0) = 0,/(1) = t.

Если заменить теперь t на yta , у < 1, точка, в которую мы попадем при Л=1, совпадает с точкой на кривой, соответствующей Л=у, при 1-описании. Следовательно, в ^-пространстве эта траектория является прямой линией

teW = ^а.(6.35)

а из (6.34) получаем•

3t = di ,(6.36)

а а*■

ИЛИ

■Е € k = t •(6-37)

“ 'о а

Оператор, который осуществляет бесконечно малое преобразование, характеризуемое изменением dX, имеет вид

1 + ‘[ Е G^ db.(6-38)

н, следовательно, конечные преобразования группы, выра-

женные через канонические параметры, имеют альную форму,р0 t

UW = е (о) ° .

Дифференциальные уравнения для функций £( упростить, если воспользоваться свойством самом деле, уравнение

*с(яТ ^ab ~ 57 Л ас] = 1 ^ ^ade^dc^c^eb ссb J сае

принимает вид

[Е^с57 + ^^ab ~ ‘^ade^eb = 5аЬ к ссJас

и применив это уравнение в точке Xt, получим ах^М - CW?^» - "V

В матричной записи оно гласит

(ях - Тел]»®0) = 1 •

и его формальным решением является ■

экспоненци-

(6.39) ib(f) можно (6.37). В

(6.40)

,(6.41)

(6-42)

(6.43)

(6.44) исываются в

(6.45) Выражение вывести из

(6.46) U^t+dOUW^

(6-47)

Ч\Ч - I «А С-.

Таким образом, дифференциальные формы 8^ вып явном виде. ,

5? = S^L^ ' где мы использовали очевидный способ записи, для дифференциальных форм 8 t теперь можно следующего свойства канонических параметров

^(О-1 = </(-0.

Замена t —* —t—dt,dt —»dt,превращает

в U^f^Utt+df), а поэтому

8rt = ^-t)dt =dt.

Общим выражением этой связи между двумя дифференциальными формами, характеризующим канонические параметры, является свойство групповой композиции

t = tVvt^ = " . (6.48)

в. в. Пример. Специальная каноническая группа

В качестве простой иллюстрации этих построений рас

смотрим группу трех параметров, определенную перестано

вочными соотношениями

(6-49)(6-49)[С0Г С(2)] = *'С(3) '

(6-49)

(6-49)

[С(У С(3)] = [С(2Г С(3)] = 0

Соответствующие матрицыСоответствующие матрицылинейной комбинации 00линейной комбинации 008в удобно представлять в виде8в удобно представлять в видеigt =igt =0 О#2 -#10 О#2 -#1О ООО ООиз асимметричной формы которой видно, чтоиз асимметричной формы которой видно, что(6.50)(6.50)

Соответствующие матрицы

Соответствующие матрицы

линейной комбинации 00

линейной комбинации 00

8в удобно представлять в виде

8в удобно представлять в виде

igt =

igt =

0 О

#2 -#1

0 О

#2 -#1

О О

О

О О

О

из асимметричной формы которой видно, что

из асимметричной формы которой видно, что

(6.50)

(6.50)

(6.51)(6.51)(igt? = 0 .

(6.51)

(6.51)

Итак, матрицы ga не составляют конечномерного эрмитовою

матричного представления, что связано с существованием одиопараметрической инвариантной подгруппы, порождаемой

генератором имеемгенератором имеем(6-51)(6.52)(6-51)(6.52)5(0 = 1 + ^,5(0 = 1 + ^,G^. В силу алгебраического свойства

генератором имеем

генератором имеем

(6-51)

(6.52)

(6-51)

(6.52)

5(0 = 1 + ^,

5(0 = 1 + ^,

и дифференциальные уравнения (6.26) принимают вид (здесь штрихи используются для различения разных наборов параметров)

dtx ■ dt' , dt^ = dt^,

(6.53)

"^3 + 2 [^ - W) = dt^ + | \t^dt\ - t»dt^ .

Решение этих уравнений, удовлетворяющее начальным условиям t'=O, t=t* и групповому закону композиции канонических параметров, имеет вид

^ = О1 + ^, t2 = t'2 + t*,

1 Г1(6-54)

*3 “ *3 + *3 “ 2 [^2 “ ^2^] •

в частности оно иллюстрирует свойство отражения (6.48). Здесь содержится операторное утверждение

eiGt eiGt-e'1(3)1111(6 55)

скомбинировав параметры с генераторами, этому результату можно придать вид

i(G + G^ Ю Ю |[g , Gj Ю Ю 4[G , Gj e= e e e■ e e e.

'(6.56)

He обойдем вниманием тот факт, что перестановочные соотношения (6.49) реализуются специальной канонической группой. Соответственно, операторы конечных преобразований этой группы"

U(q'p'V') = (APS'-P* <t*x*>(657)

обладают правилом умножения

U^'p-V^q"^-') = '.(6.58)

= U(fl'+ q*. Р** Р". А'+ Л* + ^p'q" - p*q')3 . ■ которое применимо ко всем типам динамических переменных. Аналоги формул (6.56) для специальной канонической группы имеют вид

eW-p'q> = eipq*e-tp*qq = e"Vqe«M*^? 4 . '(6.59)

Другие параметры. Группа поворотов

Канонические параметры не всегда наиболее удобны. Это можно продемонстрировать на примере группы трехмерных поворотов. Мы соберем три соответствующих каноничес

ких параметра в вектор to и заметим, что трехмерные эрмитовы матрицы j (=ge), определенные перестановочными соотношениями (2.81), можно также представить как вектор

ную операциюtwj =ную операциюtwj =ГО «а -«20. ^0ГО «а -«20. ^0= -ух.= -ух.(6.60)(6.60)

ную операцию

twj =

ную операцию

twj =

ГО «а -«20. ^0

ГО «а -«20. ^0

= -ух.

= -ух.

(6.60)

(6.60)

Поэтому иПоэтому и(*<»• j) = ах(«х = ®w - а?(й»*|) = -^(ito*^ .

Поэтому и

Поэтому и

(6.61)(6.62)(6.61)(6.62)Последний результат показывает, что собственные значения любой компоненты j суть числа 1, 0, -1, и поэтому1 «»•!) = [1 " [^^(О) + 2^ рУ + ф<») +

(6.61)

(6.62)

(6.61)

(6.62)

l]f(-«).l]f(-«).(6.63)

l]f(-«).

l]f(-«).

Применив этот результат к явной формуле 8р, получающейся из (6.45), получим.

8р - [ 1 + i^V - cos* _ С _ si^all ^ = » I® WI W J I 0 J I

L-J (6.64)

= Sinaia + [1 - si^»j stride». 1^рз»юхЛ>

или, после простого переустройства, • [- а • а'

Sin J I Sin ^ Г ЩГ1 ~а^ю] - —^«^[cosgj -

sin S sinS 1х d[—.

Поэтому новые ’ параметры „ a sing “о = cos2’ u = "а-®'

Uq + u2 = 1 таковы, что

j-6^ = uQdu - u duQ - их du .

(6.65)(6.66)(6.67)(6.68)(6.65)(6.66)(6.67)(6.68)Замена а —» —4» превращает и в -и, тогда как uQ остается неизменным, а поэтому аналогичное выражение для дифференциальной формы 8» имеет вид

(6.65)

(6.66)

(6.67)

(6.68)

(6.65)

(6.66)

(6.67)

(6.68)

jdra = uQdu - udufl + uxdu . (6.69)

Хотя «0 ие является независимым параметром, его в большом числе случаев можно считать таковым. Это отражает структура дифференциалов du, duQ , получающихся из данной 8р или 8 иг.

du = ^^б^ + их т^р, :

■t(6.70)

ИЛИ<<

^ = “о V,® - и х Vr® *

1' (671)

du0 - - и* 56».

ибо такое изменение параметров сохраняет нормировку (6.67),d|H2 + u2j = 0(6.72)

Таким образом, в четырехмериом евклидовом пространстве имеется единичный вектор, соответствующий каждому трех.- мериому повороту, и композиции двух трехмерных поворотов соответствует четырехмериый поворот. Получаемое с помощью и -параметров алгебраическое упрощение заключается в групповом законе композиции параметров. Инвариантность билинейной формы для дифференциалов 3^ выражаемая уравнениями (6.26), приводит к линейному соотношению между параметрами отдельных преобразований и параметрами композиции. Легко убедится, что

U = «'и* + и'и* - и'хи"

■'(6.73)

“о = “о“о -•

Другим путем «-параметры возникнут, если вспомнить о существовании автоморфизмов - унитарных преобразований - алгебры, построенной из 2л эрмитовых канонических переменных ' второго рода, которые имеют структуру группы евклидовых поворотов в 2л+1 измерениях. Следовательно, представление группы трехмерных поворотов порождается такими унитарными преобразованиями трех антикоммутирующих эрмитовых операторов ^ » 5g * ^3=^1^2 * или

операторов

"к”^^'6 = 13«(674)

которые имеют следующие правила умножения' ^ = 5Ы + ^Ыт^т'

(6.75)

где е - полностью антисимметричная функция своих индексов, определяемая условием Ett3= +1- Генераторами трех независимых бесконечно малых поворотов являются операторы <г/2, поскольку в силу (4.96)

^ы = ¥7 [^ ^ - Е^^т' (6 76) и, в частности,

<677)

Таким образом, простейшая нетривиальная алгебра измерений размерности 22 дает матричное представление оператора углового момента

уХу = 1^. (6.78)

Явные матричные представления получаются, если связать операторный базис 1, а с символами измерения. Символы измерения в О’ -представлении содержатся в следующей

таблице2

Г 1 -1‘ ■ ^ 1

. М =

(6.79)

^-‘‘оУ ^(1-нг3)

и, следовательно (Паули),

1

,<Г_ =

О I 3

1 О

О

-1

Далее, с точностью до свободы умножения на числовой фазовый множитель, любой унитарный оператор этой алгебры

имеет вид

U = tig + Ml*ff , 11* = 1Г1 = uQ - ш-с,

(6.81)

где четыре числа, содержащиеся в uQ , и , вещественны и u2 + u2 = 1.'(6.82)

Последнее также означает, что матрица 11 унимодулярна

det 11 = +1 .. (6.83)

о

По этому поводу см. также раздел 2.12 - Примеч. пер.

С любым таким унитарным оператором связан определенный трехмерный поворот .

= Ег^ у

т(6-84)

г rT = 1 , det г = +1 , причем это соответствие типа 2:1, поскольку операторы U и -U порождают один и тот же поворот, а последовательные унитарные преобразования порождают последовательные повороты. Закон композиции параметров, получающийся из u0 + iu*<r = (u' + tu'*<r) (uQ" + tu"*<r) ,(6.85)

есть в точности (6.73). Кстати, матрица трехмерного поворота г имеет явный вид■

“а + fa*!-

г = и0 -"Яйj = 1 + 2%u’i - 2(u*i) •.<6-86)

где через j обозначено фигурирующее в (6.60) матричное представление трехмерного углового момента.

Реализации дифференциальными операторами

. Дифференцируемое многообразие групповых параметров позволяет строить реализации бесконечно малых генераторов группы в виде дифференциальных операторов. С этой целью введем два семейства функций *les(T), Са/^) таких, что■

dr = 5zttXt) = 6 т<(т).(6.87)

Таким образом,■

С(т)ттХП = 1,(6-88)

или, воспользовавшись каноническими параметрами,

С(т) = тК-т) •(6-89)

Теперь свойства композиции с бесконечно малым преобразованием, установленные в (6.20) и (6.23), можно представить в виде

dU = i dzT GU = i 3 т UG .(6.90)

что, полагая

dU = dT^U = З^т^^и = Зт^т^и,(6.91)

переписывается как

-GU = -ЧТО^У = 9^» 1 я(6-92>

UG = «т)^!/ = '§U .

Определенные здесь два семейства дифференциальных операторов коммутируют между собой

W = W * - GwUGw-t6'93*

а каждое семейство в отдельности удовлетворяет перестановочным соотношениям для операторов G [%,-’«,]« - - [=(»)-=(=)]" - -tW - JW^"-

(6.94)

к),-^]" - и[°«»-°«] - иу^^ ■ ?w^- Эти соотношения являются свойствами собственно дифференциальных операторов. Таким образом, можно удостовериться, что дифференциальные уравнения, получающиеся для тКт),

S^Jf^ " ^c^b,] = " ^Vabc<6"95)

являются прямым следствием уравнений (6.3) и соотношения (6.88).

Групповой объем

Бесконечно малый элемент объема на групповом многообразии можно определить с помощью системы неполных дифференциалов (6.19)

<т] = |dete(T)|(dT).(6.96)

Этот элемент объема не зависит от выбора параметров и остается неизменным при преобразовании параметров т^—> т, это обстоятельство выражает групповое умножение т=т (Tt , т2). Альтернативное определение объема использует дифференциалы 5гт, получающийся элемент объема инвариантен относительно параметрического преобразования

СоотношениеСоотношение(6.97)(6.97)т^-» т группового умножения.

Соотношение

Соотношение

(6.97)

(6.97)

€Н) = <^(1) .

и его следствие

det ^(-0 = е-^8' det ^(t), (6.98) показывают, что эти два определения объема совпадают, если ‘ '

Trg6 = ^8аЬа = ^. <6") Последнее свойство очевидно " выполняется, если группа имеет коиечиомериое матричное представление, поскольку тогда все g-матрицы антисимметричны (или равны нулю) с точностью до свободы матричных преобразований, не изменяющих следа. Однако, как то показывает пример (6.50), это условие никоим образом не является необходимым. Свойству инвариантности элемента объема, которое формулируется как

det £(т) (rfr) = det^) (dr^ , ■ (6.100) можно придать дифференциальный вид; выберем параметры т2 бесконечно малыми и запишем преобразование в явном виде

т =5 т, + т2С (т^ , ■ (6.101) после чего получаем, что

[<а/Т> det «Т>] = 0 • . (6Л02) В качестве применения этого результата заметим, что ■ (det «^^/det е)’172 -

- к [ ^log det 5 ] =

-^{V*- IJrJ- (6Л03) такое преобразование сохраняет перестановочные свойства этих дифференциальных операторов и, кроме того, дает формально эрмитов дифференциальный оператор для представления эрмитова производящего оператора G^. Таким образом, изучение р -параметрической группы унитарных преобразований можно поэтому осуществить с помощью эквивалентной динамической системы, описываемой Р парами взаимно дополнительных переменных первого рода, которые, вообще говоря, являются квазикаиоиическими, ибо за исключением случая, когда параметры изменяются от —оо до

», эти переменные не обладают всеми признаками канонических переменных.

Компактные группы

• Возможность интегрировать по групповому многообразию особенно ценна, когда группа компактна - так выражаются, если любая бесконечная последовательность элементов группы имеет предельную точку, принадлежащую групповому многообразию. Таким образом, многообразие компактной группы является ограниченным, н его объем можно выбирать за единицу, включая подходящий масштабный множитель в элемент объема. Для начала заметим, что матрицы ga для компактной группы с необходимостью бес- следовы и, следовательно, два определения элемента объема совпадают. Чтобы это доказать» рассмотрим некое конкретное преобразование U, характеризуемое каноническими параметрами t и соответствующей конечной матрицей

11(0 = е^, - (6.104) которая возникает в общем соотношении

UGU~' = GU; (6.105) его вариантом для бесконечно малых преобразований является (6.5). Если чисто мнимые матрицы g не антисимметричны, то определитель

det 11(0 = ^mgt (6.106)

может отличаться от единицы. Тогда последовательности операторов Uh, к * ±1, ±2,..., соответствует последовательность матриц 11, определители которых

det 1? - (det U)k (6.107) растут без ограничения при *—*+*, если det 11 >1, или при к-»-*, если det 11 <1. Это противоречит, требованию, чтобы бесконечная последовательность элементов группы имела на групповом многообразии предельную точку н соответствующую ей конечную 11-матрицу. Следовательно, матрица 11 должна быть уннмодулярной, и каждая матрица ga имеет нулевой след. Здесь стоит заметить, что многообразие группы, g -матрицы которой образуют представление ее

бесконечно малых эрмитовых генераторов, ограничено. Согласно явному выражению элемента объема через канони

ческие параметрыческие параметры44 = С det44 = С detsin jgtI gtsin jgtI gt(M),(M),границы этого многообразия достигаются.границы этого многообразия достигаются.(6.108)когда весовый(6.108)когда весовый

ческие параметры

ческие параметры

44 = С det

44 = С det

sin jgtI gt

sin jgtI gt

(M),

(M),

границы этого многообразия достигаются.

границы этого многообразия достигаются.

(6.108)

когда весовый

(6.108)

когда весовый

множитель в элементе объема обращается в нуль. Утверждение, что g-матрнцы эрмитовы и линейно независимы означа

ет, что для каждого t матрицы gt имеют ненулевые вещественные собственные значения. Наибольшее числовое значе

ние этих собственных чисел равняется 2тг н определяет, соответственно, конечные точки,, где граница группового многообразия пересекает луч, направленный из начала координат пространства параметров, который задается относительными значениями параметров te-

Операторы проецирования и инварианты

Групповое свойство н аспекты инвариантности элемента объема для компактной группы приводят к тому, что оператор

Ро = J <т] г/(т)(6.109)

имеет следующие характерные свойства рои^ = J ^ETtJ i/(Tt)i/(T2) = j4T]t/(T) = Ро = г/(Т1)Р0, '« г'(611°)

= 'oHW = М^] = ро-

н, если пользоваться каноническими параметрами,"

Р* = J ф] t/(-0 = ро,(6.111)

поскольку интегрирование по t или по -t покрывает групповое многообразие, а элемент объема инвариантен относительно преобразования t —» —t. Таким образом, эрмитов оператор PQ является символом измерения или на геометрическом языке - оператором проецирования на подпространство состояний, которые инвариантны при всех преобразованиях группы, и поэтому в этих состояниях всем производящим операторам можно одновременно приписать значение

нуль. Аналогичным образом равенство ^^Г1 [Jrffrj ^-^(т^]^] =

= J 4т] G(t)-1XG(t)(6.112)

описывает строение подалгебры операторов, инвариантных относительно всех преобразований группы. Последнюю процедуру в слегка модифицированном' виде можно применить также к конечной вещественной матрице К(т), что дает Ч*2]т [ J rftTi] ^С^ЭТ^С^Э ] ^с^23 =

= J4t]W^t).■(6.113)

Это вещественная симметричная положительно определенная матрица, и ее можно представить как квадрат матрицы такого же типа, например Л. Таким образом, содержание (6.113) можно выразить равенством

[a^A-^Ja^A-1] = 1 ,.(6.114)

из которого следует, что для эрмитовых производящих операторов можно найти такой базис, что получатся вещественные ортогональные, или . унитарные, матрицы К(т) и антисимметричные матрицы ga .

Если в (6.112) в качестве оператора X взять некоторую алгебраическую функцию производящих операторов G, то процесс интегрирования породит такие алгебраические функции, которые коммутируют с каждым G, и поэтому они через свои собственные значения служат для классификации различных матричных представлений бесконечно малых генераторов группы. Теперь

J 4т] UW^ROUW = J 4т] Ц^тГ^т)) =

= J<t]/CU(t)G) ,' (6.115)

где предполагается, что базис выбран так, чтобы матрица К получалась унитарной. Эффект интегрирования достигается, если потребовать, чтобы

f№G) = f(G),(6.116)

а поскольку в качестве /(G) можно взять симметричную од-

неродную функцию различных Ge операторная природа последней несущественна, что позволяет заменить (6.116) числовым условием ннварнантностн /№)7)=/(7),(6.117)

оперирующим с функциями вектора 7 в v-мерном пространстве. Версию этого свойства ннварнантностн для бесконечно малых операторов можно представить в виде 9/(7) = 0 ,(6.118)

где дифференциальные операторы

^-«^-^Г^^.(6.119)

являются реализациями производящих операторов (для полупростой группы).

[’.-’J -Г[t,^-(6.120)

которые аналогичны дифференциальным операторам 9{ н 9г , но являются менее общими, чем они. Семейство инвариантных функций можно построить непосредственно, если известно некоторое конечномерное матричное . представление. Пусть через О. и U обозначено некоторое к-мерное матричное представление соответствующих эрмитовых и унитарных операторов. Тогда. .■

U(t) (X - G7) U(T)-t = X - GK(t)7 ,(6.121)

а функция■

f(7) = det(X - G7) =.

л ,.<6122)

= Хк - X^r G7 - Хк"2^[Тг(С7)2 - (Tr G7)2] +. ..

инвариантна. Коэффициенты при степенях X или, что эквивалентно, следы

Тг [вЕО(в)7в] .А-1,..., к(6.123)

образуют инвариантные симметричные функции 7, и тем самым операторов G.

Дифференциальные операторы и группа поворотов Рассмотренные выше дифференциальные н интегральные свойства групп можно проиллюстрировать на примере группы

трехмерных поворотов. Возвращаясь к формулам (6.70-71), мы видим, что абстрактные операторы углового момента реализуются двумя наборами дифференциальных операторов

(6.124)(6.124)

(6.124)

(6.124)

или, если ввести обозначение

= и 12- - «12- , а,Ь = 03,(6.125)

оа

эти дифференциальные операторы получаются циклической перестановкой индексов 123 из

^В = 2" ^12 + *И)Ъ-■

'(6.126)

^гЗ = 2 £^12 “ ^зо! •

Дифференциальные операторы ^^ таковы, что.

V[|«g-0.(6.127)

н связаны, очевидно, с бесконечно малыми поворотами в четырехмерном евклидовом пространстве. (Они удовлетворяют" перенесенным на четырехмерный случай перестановочным соотношениям для углового момента (2.80).) Групповое многообразие, конечно, трехмерно, н если возродить uQ как функцию независимых параметров и, то член, содержащий 88uq , в (6.124) исчезнет. Трехмерный элемент объема включает (du) = du^du^du^ вместе с множителем |det £|, который можно вычислить в лоб или вывести из соответствующей данному случаю формы дифференциальных уравнений (6.102)

- ЗцХ (u det $ + Зй C“odet О « 0 .(6-128)

Единственное решение этого уравнения утверждает, что uodet £ - константа. С другой стороны, можно воспользоваться четырьмя переменными и = uQ , и, и элементом объема, пропорциональным (du)=duQ(du), при соответствующем ограничении на переменную uQ, выражающимся введением

дельта-функцнн 3 (Uq+u2-1) в качестве множителя. Проинтегрировав по uQ , мы вновь получаем множитель |«0|-1, который, согласно предыдущему методу, пропорционален |det£|. Таким образом, групповое многообразие является трехмерной поверхностью единичного шара в четырехмерном евклидовом пространстве, н его элемент объема можно описывать либо внутренним образом, либо на языке пространства, в которое это многообразие погружено,

4“] == kd(u2-l) (du) .(6.129)

2ir |«q| г.

Константы здесь выбраны так, чтобы полный объем был равен единице, хотя в трехмерной форме нужно также ■ просуммировать по двум ветвям группы, которые соответствуют uQ= ± vi-u2. Преимущество четырехмерной формы проистекает из коммутативности 3 (и2-1) и дифференциальных операторов £ что позволяет определить последние уже в неограниченном четырехмерном евклидовом пространстве, отождествляя, таким образом, четыре переменные ив с каноническими переменными первого рода. Таким образом, общие свойства трехмерного углового момента можно изучать на языке эквивалентной системы, состоящей из частицы в четырехмерном евклидовом пространстве, причем соответствие между ее орбитальным угловым моментом н общим трехмерным угловым моментом описывается формулами (6.126).

Существует только одни независимый оператор, коммутирующий с каждой компонентой J, это - оператор J2, поскольку существует только одна независимая функция трехмерного вектора, инвариантная относительно поворотов. Из (6.124-6) мы устанавливаем, что

• „(6.130)

<^12^30 + ^23^10 + ^31<$20 “ 0 «'

где ■ квадрат вектора трехмерного углового момента представляется четырехмерным дифференциальным оператором

Х^А ** 'V Х-^^Г"'(613,)

а<Ь4Jа

Такны образом, собственные функции полного углового момента получаются из четырехмерных сферических гармоник - решений четырехмерного уравнения Лапласа, являющихся однородными функциями целых степеней (п=0,1,2,...), - а

(6.132)(6.132)собственные значения суть числа (J2)' = /(/+1),

(6.132)

(6.132)

/ = J = 0, у, 1 *

Другой подход использует комплексные комбинации

этих параметров, причем соответствующая пара комплексных чисел составлена так, что она образует

матрицы'“l+“2"и01изматрицы'“l+“2"и01изU = «0 + iu*<r =U = «0 + iu*<r =“о+,“з“о+,“зкакую-нибудь строку или столбец

матрицы'“l+“2"

и01из

матрицы'“l+“2"

и01из

U = «0 + iu*<r =

U = «0 + iu*<r =

“о+,“з

“о+,“з

Пусть через у*' обозначена какая-нибудь двухкомпонентная вектор-строка н аналогично через у' соответствующий вектор-столбец. Из дифференциальных

свойств композиции

dU = i^- би^ = Ui^ • 6<or следует

dy* = ij- • So^y' , dy1, = y^'^ • Зб>г.

Соответствующие реализации вектора углового момента дифференциальными операторами имеют вид

В таких обозначениях квадрат углового момента выражается, например, в виде

и любая однородная степени п (целое) функция у*' дает некоторую собственную функцию, которая соответствует собственному значению /(/+1), j=n/2. Замечаем, что эти дифференциальные операторы относятся к некоторой эквивалентной системе, описываемой двумя парами взаимно дополнительных неэрмнтовых пе-

ременных первого рода, н что

Эта эквивалентность была использована для систематического построения теории углового момента в статье, написанной в 1951 году, но оставшейся не опубликованной. Сейчас ее можно найти в хрестоматии "Quantum Theory of Angular Momentum", выпущенной под редакцией Л.Бнденхарна и Х.Ван Дема издательством Academic Press в 1965 году. '

Полноту этих собственных функций и спектра трехмерного углового момента можно вывести из структуры фундаментального решения степени -2, которое относится к неоднородному уравнению .

- е Н I е («ь - «;)21 = <«-«q. (6.133)

Интегрирование в некомпактных группах

Техника интегрирования по группе может быть эффективна также н для групп, не являющихся компактными. Мы проиллюстрируем это на примере специальной канонической группы, оперирующей с эрмитовыми переменными первого рода. В качестве аналога оператора, фигурирующего в (6.112) рассмотрим оператор ■ .

х = J 4^] 4р'] U^q'p^ X U^'H"'.(6.134)

где использованы обозначения из |6.57)

Ut.q'p'') = Щд'р'О) = е^ -р'^.(6.135)

(Преобразования, описываемые параметром X, здесь, очевидно, не сказываются.) Интегрирование распространяется на бесконечный интервал спектра эрмитовых канонических переменных. Как можно увидеть непосредственно из группового закона умножения (6.58), оператор X коммутирует с каждым унитарным оператором U^q'p'Y Следовательно, он коммутирует с обоими наборами канонических переменных q н р, н поэтому для систем, описываемых переменными первого рода, X должен быть кратным единичному оператору.

Этот результат можно также вывести н из явного вида матрицы, представляющей X в некотором каноническом представлении. Для начала заметим, что.

<qw\U(q'p'A = <ч*\й",1,,ч%Ч><1,%-«Р,ч,/1 ж

= е-*' ^ч* '\q' *q* । ,(6.136)

н, следовательно,

<q”\X\q*’> = ^dtq'AdLp'A^'^-^'Vq'^XXXq'+q*^ = = ^^'А^Х - <qw\\\q*'>Tr X .(6.137)

Таким образом, мы показали, что

J dlq'A dlP'A U(q' p')XU(q'р')"1 = Тг X ,(6.138)

где правая часть кратна единичному оператору. Если в качестве X берется символ измерения М(а'), то это равенство принимает вид

= J dlq'A d [ p'J U(q'H М(а') U^'p')"'.’ (6.139)

а умножение справа на ХМ(а') с последующим суммированием по а' превращает наш результат в

X = Jd[q'Ad[p'Al/(q'p')Tr(l/(q' р'Г’Х} ,/(6.140)

что является явным выражением любого оператора как функции фундаментальных динамических переменных первого рода. Если вместо оператора. X, в .(6.158) поставить такую, функцию F(q,p), то это равенство перепишется как

lTrF(V,p) = J ^Жр^Л^р+р').'(6-141)

В качестве применения этой формулы имеем

Trt/«,p*) = J^q^JeK^'to*-^*^ = = дс^аср*], (6.142)

или согласно свойству умножения (6.58).

TtWp'Y"Wp"AA - ^'-^JStp'-p'].(6.143)

Утверждения, содержащиеся в (6.140) н (6.143), можно рассматривать как утверждения о полноте н ортогональности операторного базиса, образованного непрерывным семейством унитарных операторных функций от переменных первого рода U^q'p'A-

' Переменные второго рода

Общая формальная аналогия между двумя типами переменных и характерное различие, связанное с вычислением следов, дают точный рецепт утверждения (6.138) и (6.140—143) применимы для ' переменных второго рода, если операцию Тг... заменить на Тг р... . Несколько предостерегающих слов не будут, однако, лишними. Собственные значения, фигурирующие в {/(^'р')* антикоммутируют с переменными второго рода и содержат, следовательно, множитель р, тогда как собственные значения,принимающие участие в интегрировании и в выражении для дельта-функции, являются полностью элементами внешней алгебры. Между прочим, общая формула для следа (4.179) возникает теперь из (6.138) и ее аналога для переменных второго рода при образовании матричного элемента <р'=0| |^'=0>. Кроме того, стоит заметить, что наши результаты можно освободить от явного присутствия взаимно дополнительных переменных. Мы частично воспользуемся этой возможностью н преобразуем это утверждение для переменных второго рода из их неэрмитовых канонических версий к формам, подходящим для эрмитовых канонических переменных. Это осуществляется с помощью преобразования (3.116) для операторов вместе с аналогичным преобразованием для собственных значений, что, в частности, дает

U^'p') = e^'-p'^ ^'S(6.144)

или 2п■

</(€') = П (1 + ^к) -(6.145)

к-1

И аналогично, ^^ а ^^ а J4Н 4pz] = J4€'] = Г" fl з^ = <•" Ц Тд^ ^.146) к-116к-116

Н2»

зе/]^] = 4а = г" Ц е;.(6147)

к-1

При использовании этой формы записи нельзя путать символ ^* К'2=0) с собственным значением эрмитова - оператора С- *

в. 15. Оператор отражения

Если процесс интегрирования (6.109) применить к операторам U^q*p*X\ оперирующим с переменными первого рода, то мы получим нуль в результате интегрирования по А. Следовательно, нет ни одного состояния инвариантного относительно всех операций специальной канонической группы. Однако, если интегрирования по А не делать, то нам придется рассматривать эрмитов оператор

R = ^ J 4<?'l 4И U^'P').(6.148)

такой, что.

R U(q-p-) = J 4я'1 4рЧ U(q'p') е2=

= U^-q", p")R ,(6.149)

и кроме того,.

^ = J ^^"(О')^]^] = I- (6.150)

Таким образом, R антикоммутирует с каждой переменной первого рода

■ R q R~X = -q, RpITX = -р.'" (6.151)

и, следовательно,

^О = ^f <4,]4р/] l^^e"^^ > =

= J^^k*-»^5^- f] - W>- (6152)

Известный оператор, обладающий этими свойствами, в случае переменных второго рода аналогичным образом получается в виде

P = 2"J4^]^). (6.153)

'в. 16. Конечный операторный базис

Формальные соотношения полиолы и ортогональности операторного базиса из переменных второго рода, которые

собраны в различных свойствах операторов U^'),

1 Tr X = J «.^и^пхри^у1.

x = J 4^1 U^') Tr (p U^' yxX3 ,(6154)

Tr(p u^'^u^ = ак'ч*Ъ

можно освободить от явного участия специальной канонической группы. Вспомним сперва, что U^') является производящей функцией для 22" различных элементов операторной алгебры. Более точно они определяются равенством _ »(»-!) 2лу

«Очу2„) = < 2 П (ЧТ'<6155)

■К=1 г'

где каждое v принимает значение либо 0, либо 1, причем к2л'

Р = Е * •(6.156)

К=1

Квадрат так определенных эрмитовых операторов а(р) равен единице, и, кроме того, а{0} = 1 ,а{1} = р.(6,157)

Если мы воспользуемся обозначением а'(р) для произведений, составленных таким же образом из собственных значений ^ , то■

U^') - Е 2-ра'{р}а{р} .(6.158)

.("1.

Произведение двух операторов с индексами {р} и {1-р} равно с точностью до фазового множителя оператору р а{р} а(1-р) = е(р) р ,

е{р) е(1-р) = (-1)р е(р}2 = 1,(6.159)

и поэтому

рЩ^'Г1 = U^' )р = £ г^2"-"^^!^} е{р) а{р) .(6.160)

(V)

Символ интегрирования в данном случае означает дифференцирование по каждому ^ , и, следовательно, члены, которые дают вклад в интегралы, имеют вид

J^la^P} а,<1-р^п=

= ^ П Тлтгс{р} Г”2" (п^/) - 2"е(р} .(6.161)

IC-1 к

Однако следует также помнить, что антикоммутативиый оператор р должен быть отделен от собственных значений до интегрирования. Это явно не сказывается, если число собственных значений в. отдельных членах четно, соответственно о = £рк - четное целое число. Однако для нечетных р дополнительное р, умноженное на <х(р}> Дает1

р а{р} = е{р} а(1-р} .(6.162)

имеет однивыражениюимеет однивыражениюИ в том и в другом случае конечный результат и тот же вид, который приводит к следующему

имеет однивыражению

имеет однивыражению

(6.163)(6.163)(6.164)(6.164)свойства полноты 4”-мериого операторного базиса о(р} 1 Tr X = -1 Еа(р}Ха(р}, .2” м

(6.163)

(6.163)

(6.164)

(6.164)

X « -J Е«(Р}Тг(а(Р}Х) •2 (»}

Соответствующее свойство ортогональности ^Тг(а(р}а{рЗ) = 6{p,pq

можно вывести из полноты и линейной независимости операторов а(Р}> или получить прямо из (6.154), если заме

( 6.165)( 6.165)тить, что .

( 6.165)

( 6.165)

^'"Г] = Е е{р} а'(у) а"(1-р} .2”{»}

‘6.17." Дополнение: Вывод принципа действия3 '

Теперь мы намерены рассмотреть построение конечных унитарных преобразований из бесконечно малых преобразований для физической системы с п непрерывными степенями свободы. Итак, все операторы суть функции п пар взаимно дополнительных переменных Ч^ • Р^ • которые мы обозначаем также единой буквой х. Рассмотрим непрерывное семейство унитарных операторов, пронумерованных единственным параметром, 1/(т). Смещение из т к т+dr есть бесконечно малое преобразование

1 + idx G(x,t),,

Воспроизводится из Proceedings of the National Academy of Sciences,-1960.-vol.46.

P.893-897.■

оно учитывает возможность явной зависимости генератора от параметра т, причем (/(т+dr) = [1 + Utt G(x,t)]W(t) -

■= G(T)[1 + Utt G(Xt),t)] ,

где..

XT) = G(t)"1xG(t) суть фундаментальные квантовые переменные системы, которые соотнесены с" описанием, порожденным преобразованием U(t\ Сопутствующие преобразования состояний указываются равенствами

<a'\U(T) - <а'т\,UWx\b'> = \Ь'т>..

Полезное представление этого унитарного преобразования дает функция преобразования

<а,т1|6,т^ = <a'\U(tt3U(t23"V>, частным случаем которой является

<а'т|6'0> = <а'|(/(т) |6'> - матрица оператора (/(т) в аб-представлении. Связь между бесконечно близкими значениями т описывается равенствами <a,T+dr|6,T> = <а/т|[1+|ЛС(Хт),т)]|6'т> =

.= <а'\ [l+tdr С(х,т)] 16' > .

Общее изучение функций преобразования показывает, что наиболее компактно их характеризуют дифференциальные соотношения. В соответствии с этим мы заменим это явное утверждение о функции преобразования ^а' т+dr | Ь' т> дифференциальным описанием, направляющим принципом которого будет сохранение общности за счет отказа от рассуждений, использующих конкретный выбор состояний а' и Ь*. Сначала заметим, что функция преобразования зависит от параметров T,T+dr и от вида генератора С(х,т). Бесконечно малые изменения в этих характеристиках [5*] индуцирует следующее изменение функции преобразования 3*<T+dr|T> = <|3*[dTG(x,T)]|> =

= <T+dT|6*[dTG(XT),T)]|T>, где удаление индексов а* и Ь* подчеркивает отсутствие явной ссылки именно на эти состояния. И все же, чтобы

6 Ю.Швингер

получить достаточно полное описание функции преобразования, нужно ввести некотороую вариацию состояний. Для этого мы воспользуемся бесконечно малыми преобразованиями из специальной канонической группы [3'], которые выполняются независимо над состояниями, соответствующими значениям параметров т и T+<fr. Таким образом,

.6'<т+Л| = t<T+dr| G ^т+</т)>

6Z|т> = -«G$(t)|t>, фигурирующие здесь бесконечно малые генераторы строятся из операторов, которые относятся к описанию, используемому для соответствующих векторов, а именно - из х(т+Л) и х(т). Удобно пользоваться симметричным генератором G^ р, который порождает изменение переменных х на Зх/2. Тогда ..■

'" G$W = 2 (РСг)5^т) - ЗрС^^т)) , ■

что в сочетании с аналогичным выражением для G$(T+<fr) дает'

3z<T+rfr|T> = <x+dr| р^т+dr) - Gj[T)]|T>,.

где1'

G$(r+dr) - G$(t) = j [р(т+</т)3<т(т+</т) + 5р(т) ^(т) -

■- р(т)3^(т) - 5p(T+dT) ^T+dr)] ,

а 5х(т) и 6x(T+dc) суть произвольные независимые бесконечно малые числа, на которые мы налагаем требование непрерывности по т..

■ ■ . Бесконечно малое унитарное преобразование, которое связывает х(т) и х(т+Л), получается из

х(т+Л) - UVr+dT^xUVc+dT) -

= [1 - idr G(x(t),t)]x(t)[1 + idr G(x(t),t)] в виде1

х(т+Л) = х(т) - у [х(т), etc G(x(t),t)] . Следовательно, можно написать

G^T+dx) - G$(t) = j [р(т)6^(т+Л) + 5р(т) ^(т+Л) -

- p(T+<fr)5^(T) - 3p(T+dr) ^(т)] -

'- у IX^S^t) - 5р(т) д(т), drGC^.T)] =

= 57 (^(ХтМт+А) - p(t+<tc)qCc))3 +

+ } [drG(x(T),T), G^+GJt)]

ИЛИ .■

G$(T+<fr)-G$(T) = 5' [^(р(т)^т+<*г)-р(т4ч£гМт))+^,

где б' используется для описания изменения q и р на 6q и 5р, происходящего независимо, ио непрерывным образом по т и т+dr. Эти два вида вариаций можно теперь объединить в одну: 3=5'+5*, и положить

а<т+л|т> = <T+dT|aoF]lT> > где ''

1F(T+<fr,T) = ^(p(T)q(T+dT) - p(T+dr)q(T)) + Ладт),т) =

''= ^(pdq - dpq) + dtG.

Наш результат представляет собой конкретизацию общего дифференциального описания функций преобразования, благодаря которому, для некоторого класса изменений, бесконечно малый оператор 6ТГ получается как вариация одного единственного оператора W. Это и является квантовым принципом действия, a W есть оператор действия, соответствующий данному преобразованию.

Теперь мы можем непосредственно перейти к принципу действия, который описывает конечное унитарное преобразование,■

^TjT^ - KTjacr^iiT^, поскольку мультипликативной, композиции отдельных бесконечно малых функций преобразования отвечает сложение соответствующих операторов действия,

^12 ” J Жт+<к»т) =

= J [^(рСт)^) - dpQt)q(T)) + АС(х(т),т)] .

В такой записи оператор действия зависит от всех операторов х(т) из интервала между Tf и т2 . Однако преобра-

зоваиия из специальной канонической группы, примененные к <т11т2>- дают■

a^T.lr^ = <т,| [О/т} - GJt^It^ ,.

которое говорит, что 8'W^ не содержит операторов, зависящих от значений т из открытого интервала между ^ и т2, или что оператор ТГц является стационарным относительно специальных вариаций в указанном интервале. И дейст- вительио, этот принцип стационарного действия, как условие, что конечное унитарное преобразование складывается из бесконечно малых, дает уравнения для функций ^(т) и р(т) уравнения 'de _dp 8G

ЯТ " " Яр- <П= Яд-

которые являются прямыми следствиями из' формы различных бесконечно малых генераторов..

. Использование в предыдущих построениях одного параметра не является ограничительным. Стоит лишь нам иапи- С8ТЬ» ДтЛт>

С(х,т) =^х^-^-,

с произвольными функциями т для каждой dx^/dx, а затем рассматривать это преобразование как ■ преобразование с ■ р параметрами, меняющимися вдоль некоторого конкретного пути в пространстве параметров, который определяется" р функциями т6(т) параметра т. Тогда .

‘ Ги = J [|(рЛ/ - dp?) + EGft0<T^^

будет оператором действия для преобразования, соответствующего предписанному пути, и вообще говоря, зависящего от него. Если мы рассмотрим бесконечно малую вариацию пути с фиксированными концами, мы обнаружим, что

® path'll = J ^И^б^ ~■

где.

■ Vj^-ty. + 7t°v °J

Чтобы преобразование не зависело от пути, требуется обращение в. нуль каждого нз этих операторов. Когда операторы Gfc(x,T) можно выразить как линейные комбинации равного числа операторов Ge(x), которые не являются явными функциями параметров, требование независимости от пути приводит , к рассмотренным ранее условиям, требующимся для образования группы.

Теперь у нас есть основа для общей теории квантовой дннамнкн н канонических преобразований, по крайней мере для систем с непрерывными степенями свободы. Возникает вопрос: можно лн также использовать в квантовом принципе действия другие типы квантовых переменных.

■6.18. Дополнение по поводу специальной■

канонической группы

Эта заметка посвящена дальнейшему развитию и применению операторной группы, описанной в предыдущей работе. А именно: мы будем иметь дело с квантовой степенью свободы, обозначаемой р=®, которая характеризуется парой взаимно дополнительных операторов q,p с непрерывным спектром. Свойства такой степени свободы получаются как предел свойств степени свободы с конечным числом состоя- ■ ннй, задаваемым простым числом р. Напомним, что унитарные операторы U н V, удовлетворяющие соотношениям

3xi

и" = V" = 1 . VU = е и UV, определяют две ортогональные системы координат <а6| н <о*|, где' '

ик = о6 - е2,й/" н <ик\и1> .= v-V2e2ltikl/v.

Для любого простого р > 2 можно считать, что целые числа к и / изменяются от -*/2(р-1) до */2(р-1), а не от 0 до

v—1. Произвольное состояние Ф можно представлять двумя альтернативными волновыми функциями

ф(а*) = <а6|Ф,Л»*) = <о6|*.

где

Ф* = ЕМ«6)Г2 = ElW.66

и эти две волновые функции связаны взаимно обратными соотношениями

А“6) = ^v-V2 е ^^“фСи1)

ф(»5 = Ju-1/2 е^^^а6).

6

Теперь мы перенесем наше внимание на эрмитовы операторы q,p, определяемые равенствами

I/ = е&», V = etep , е = V217P и обладающие спектром

q*, р* = е|-£^-... О .... ^i j .

Кроме того, мы переопределим волновые функции так, чтобы

#«‘) = ^^q*Y. *ph - ^*Р*Ъ где е = Lq* = Lp* — интервал между соседними собственными значениями. Таким образом, можно написать

«4= Г а^1^)12 = ГАрЯ.^)I2qР

ФЦП^Р' (2«FV2 е*' Р* ^Р' ) >

р

КН = Е^'ХЗжГ^е-* Р Ki')- q

При беспредельном возрастании v спектр q и р становится сколь угодно плотным, и собственные значения наибольшей абсолютной величины неограниченно растут. Поэтому во всех дальнейших рассуждениях мы должны ограничиться таким классом физических состояний, или, другими словами, — таким физическим • подпространством векторов, — для которого волновые функции КН и Кр') ведут себя столь хорошо с точки зрения непрерывности и стремления переменной к бесконечности, что можно выполнять равномерный переход к пределу р=«, причем

ее .ее

»f» = Jd^|^)|2 = jdp'|^)|2

иe

t^H - Jdp' (гху^е^р'^

в»

^И = Jdq^xF^e-t'p'^q,).—се

Здесь мы не будем пытаться более точно определить такой физический класс состояний, ио заметим, что из выписанных взаимно обратных соотношений между волновыми функциями можно составить равенство 0000

^) = J ^ ^, р* J d4" ^'W) ,

—40—40

которое обязано быть тождеством для волновых функций этого физического класса, если операции выполняются в

нем в указанном порядке. Кроме того, при этом появляется класс функций К(р',е) таких,что

fl, е -» О,КкР*.^ -♦ 4

(0, \р‘ | —» *

Иww

^') - Ыт* J ^е^ P>(p<C)J dq" ^^^ =

КП-

Это как раз то,, что выражает символическая запись (Ди- Р«)в

^) = Jdq-^q'-q»)^),

^q'-q") - J^'e^^-Л—40

Мы будем также пользоваться записью, созданной по образцу дискретного случая, заменяя суммы интегралами, например

<q'\q"> =\р'> dP'<P'\q"> = «(^-Г).

—СО где

<q*\Р*> = <Р*\q*>* = (гю-^е^'’7.

Есть и другие приложения предельного перехода р —> ®. Взаимно обратные двойства операторов U и V выражаются равенствами

<«*1^ = <«м| , ^‘ll/-1 = <0^1 или'

<q* |е** = <«?'+£ | ,<р* Хе-*4 = <р**е\,

исключая случаи, когда q' или р* являются наибольшими собственными значениями, ибо тогда q'A-e или р'+е совпадают с наименьшими собственными значениями — q* или —р'. Запишем эти соотношения как некоторые утверждения о волновых функциях, а именно:

I [<^+е|Ф - <q' I»] = <q' ^(e^- 1) Ф и

1[<р'+е|Ф - <р'|ф] = <p'|-l(e-fe»- 1)Ф.

При переходе к пределу р=®, подпространство физических векторов Ф характеризуется такими свойствами непрерывности и поведением волновых -функций на бесконечности, что пределы при е —* 0 стоящих слева выражений существуют и являются производными соответствующих волновых функций. Таким образом, для физического класса состояний мы заключаем, что

T^^l* = <^1Р«

и

^^рЧ» = <p'\q»-

Именио из такого применения предельного перехода к унитарным операторам expfzep) и expttep) будет также ясно, что ограничение на физическое подпространство необходимо, чтобы выполнялось перестановочное соотношение

[q> р] = <•

Элементы ортонормального операторного базиса можно

выбрать в виде'

р-1/2 ^ximn/v утуП _ p-1/2 e~(xZmn/v) уПут или »-v^ U^q*p*>, где

U^'p') = e^^e^'e"*'9 = ^ ч'/2 ^ 4 е^'= .= (у—* ®) е^'-р'^ .

Таким образом, поскольку р-1= A<7,Ap,/2ir, для произвольной функции Kq'p') дискретных переменных q' >р*•

Y^^-^Ukq'p'^U^p^q"?^ = Rq'H-q"pK.

В пределе р=« имеется класс функций f(q'p') таких, что - Tr U(q'p'V j43^1U(q»p«)Kq«n = Kq'p'), .—00‘

что мы выразим символически как-

Tr U(q' р' ?U<q"p^ = 2п З^'- q") S(p'-p").

В частности,

Tr eW-p'q) = 2*8(^)д(р') = J^йeW-P,»), - —а■

где в правой части равенства q и р — числовые переменные интегрирования. .- ...

Полнота операторного базиса U{q‘p‘) выражается условием ю-

J ^^- Ukq' p')XU(q'p'V = 1 TrX. —0Q

Кроме того, свойства U(q' р* )-базиса по отношению к произвольному дискретному операторному базису Х(а) описываются равенствами

I^У^-^Хч'Р'Хч'р' Ю = 8(«-'. а") -40

” L<q' Р‘ Iа> <а I q”p"> = 2я 6(q' -q") 6(р' -р"). . а '*

Если X берется как функция f(q»p), то можно использовать операции специальной канонической группы, чтобы привести выражение свойства полноты к виду

S^s^-f^.p+p') = 1 TrFOz.p). —00

Это операторное соотношение ведет к числовому, если можно так упорядочить F^q.p), что все операторы q будут находиться, например, слева от операторов р, запишем это как FVfpY Тогда вычисление матричного элемента типа <ру=0| |р'=0> дастю

Тг F{q.p) = J^F(p; p) ;—00'

этот результат применим также к системе с п непрерывными степенями свободы, если считать, что.

^- п^- ■1=1

Для иллюстрации использования этой упорядочивающей процедуры, отличающейся от уже рассмотренного нами. TrU^q'р'), заметим, что-

е-Ч^+р^р/З _ (ch е)-1/1 e-(^th р)/2е/<Г,р(зЬ р -1) e-p2th р/2 гдео»«

е = ^/а6 > и,следовательно, Tr е“(^+pl)p/2 = jd^^h^-^^ApW)^ e1^p(sh р-1) _ —00 _1S (п+1/2№

что воспроизводит хорошо известный невырожденный спектр оператора (Ар2)^.

Теперь мы будем рассматривать построение конечных специальных канонических . пребразоваиий из непрерывной последовательности бесконечно малых, задаваемой изменением параметра т. Пусть генератор преобразования, соответствующего т —* T+dr,

.dtG$ = dr^qP - pQ),'

где Q(t) и Р(т) - произвольные числовые функции т. Это бесконечно малое преобразование

q<T+dr) - q(T) = -X [q.drG^ = drQ(T),

^т+dr) - р(т) = -1 [p.drGJ = <ttP(r), приводит к конечному преобразованию •

^т,) - у(т2) = JdrQ(T) ,

PCT,) - р(т2) = ]'^тР(т).

Легко ■ строятся и некоторые соответствующие ■ этому случаю функции преобразования . В самом деле,

<T+dr| = ^т|[1 + f dr С(х(т),т)] или'

■7к<т1 = <г|Мт)Р(т) - р(т) 0(т)],

а поэтому

7 Зт <4*т । Р' т2> = <^ т । ^ ^^ ^+J^' ^^W ]]l Р'т^ * та

что в сочетании с начальным условием .

т = т2: ^'Tjp'T^ = <q* \р'> = (2n)-1/2ei’/'’/ даетт ‘

<Ч'т^р'т^><1,> » ржГ^ехрр^'р' + >z]лР(т) -

- - р' Jdr Q(t) - j'dr dr'QCr) Я^т-тО/Хт7^] где

' fl, т > т'■

ПХт-т') = 4 +(О, т<ту

Из этого результата мы выводим

<Р,-С^Т^>9Р = ^q'T^p'T^dpXp'\q"> = (^1 ч Ц* $dxP —iJdrdr'Qn P

= 3<7" - J drQ(T)le e+

<P,T^p"t£9,‘ = J<p'I/^X/t^t^9^ r ,„a -^"S^Q -iSdxit'Q^ P

= Sip ~ P ~ J drP(T)l e e+

используя то, что

^„(т-т') = 1 - VT-T/) = VT/-T)* полученный результат можно записать и как гг 1 ~^JrfrQ iJdTdr' РцQ

5|р' — р" — JdrP| е е + .

Эти функции преобразования можно также рассматривать как матричные элементы унитарного оператора, элемента специальной канонической группы, который производит полное преобразование. В данном случае этот оператор имеет вид

TrTjTj

expp^J AP(t) - pj drQ(T) -|J zfr dr'Q(t) е(т—T'JPCr'jj j , TjTjTj

где e = v+ - d_ .

Считая функцию преобразования матрицей, можно вычислить ее след, и он будет равен следу соответствующего унитарного оператора, если только другое произвольное представление не является явной функцией т. Таким образом, Tr<T1|Ta>Q,‘- jdqXq'T^ lq't^QP= Jdp'<p'Tilp'T^QP =

= 2яб[ JdrQ(T)] 5[ У^тР(т^ e '^^ ^^,

где из-за 5-функций 1)+(т-т') можно заменить другой эквивалентной функцией, например, 7)+— ^ = 2" е или ^^—^ — , Т=т^-т^ . Последний выбор обладает свойством обращать в нуль величину двойного интеграла, когда либо Q(t), либо Р(т) - константа. В операторном виде эта формула для следа является известным результатом

Tr е^'~р* * = 2п 5^' ХР') •

Важно осознавать, что след, будучи гораздо более симметричным, чем любая отдельная функция преобразования, также приводит к конкретным функциям преобразования. Итак, сделаем замены

0(т) -* 0(т) - (^- »*) 5(т - т1+ еГ) 1 е —» +0

Р(т) -* Р(т) + р'б(т-т2-еГ), а затем обозначим последствия этих дополнительных преобразований с помощью эквивалентных унитарных операторов, тогдае

Tr<Tje^ “^Н’Ре* ^Vlr^*1* = ^dq< q*q'-q"x^\qr^^е^ ч.

—co■

Соответственно, если к тому же умножить на ex^-ip' q") и проинтегрировать по dp*/2и, то получится <д* Tj | q*T^QP, в чем можно убедиться непосредственно.

Мы увидим, что полезно дать совершеннд иной вывод формулы следа. Заметим, во-первых, что

Тг<Т,| (gCrp - ^T^JIt^ = ^dq^q'T^q' - q'^q'T^ = 0, —СО■..

и аналогично-

'T^tJ О^т,) - р(т^ (т^ = 0 ,

что является свойством периодичности по интервалу r=Tt-T2 . Поэтому представим операторы q^> р(т) рядами Фурье *,„‘-

qW = q^ + £(””)[ <7лсо5-^т-т2) + <7_nsin-^

р(т) = Po + E(*«r1Z2[-PwsiI^f5(T-T3)-t.p_||cos^$(T-T3)] , где коэффициенты выбраны таким образом, чтобы оператор

действия для произвольного специального канонического преобразования

Г12 ” I Е ^Р^ - *ря) + ^яР - PQ)1

приобрел вид m = Гр а + Г Гр Р — р Q 1 .

Штрих в этом выражении означает, что отсутствует член с л=0, а

Qo = frfrQCT), Ро = J АР(т),тата

Qn_n = (nn)1/2J ^Q(T)(-sin,cos)[^^T-T2)j ,

Рп_п = (en)"V2 J <fr P(TXcos,sin)pP(T-T2)] .

Принцип действия для следа имеет вид ат^т^т^ = iTKT^pr^lT^, а принцип стационарного действия утверждает, что ОоТ^т^т^0'* = Р0Тг<т1|т^9,> = 0 , и вместе с тем

Тг<т1|(р„ - Q^It^^ = Тг<Т1|(рп + Р^т^ = 0. Первый из этих результатов означает, что след содержит множители 3(Qq) и 3(Р0). Зависимость от Qn, Рд, л * 0 получается затем из принципа действия

^(Tr) = .T^K-p^lT^ = <Pn(Tr)

^(Tr) = /T^tJ^It^ = <Qn(Tr). Следовательно,

ТКт^т^^ = 2n8(Q0)3(P0)ei-$ ^,где множитель 2д получается сравнением с простым случа-ем, когда Q(t) и Р(т) постоянны. Для сравнения с преды-

дущими результатами заметим, что

V. + Q-nP-n = -„ijAdr'QC^sinl^T-T^jPCV)

И_■■■

Г 1 -:-2«П/_ X _ 1 _//хТ — т'

|™ 81П-г-(т-т ) = je(T-T )у.

Воспользовавшись представлением е'.

■ e^ = J ^^р e^>q*qP-p<B, можно записать новую формулу для следа как единообразное интегральное выражение, ибо теперь мы можем написать

T^It^*- J^pje^l, гдеm

® dq dp^-pi - пЛА—CD'

a W£q,p] — числовая функция, построенная по тому же образцу, что и оператор действия

^^ =рп% +J ^пРп " PnQnl '

Можно иначе: воспользовавшись соответствующими рядами Фурье, определить числовые функции ■ д(т), р(т). Тогда

wtq.pl = J [^(pdq - dpq) + MqP - pQ)] *

a dtq.pl возникает как мера в квантовом фазовом пространстве функций ^(т), р(т).

Огромным преимуществом специальной канонической группы является именно то, что эти рассуждения можно в полной мере применить при изучении произвольных дополнительных унитарных преобразований, описывая их соответствующим оператором действия..

^к = /[^Р^ - dPP) + ^qP - PQ) +G^t), т)] .

Сначала давайте посмотрим - как соответствующая функция

преобразования <tJt<^q/> зависит от произвольных функций 0(т), Р(т). Принцип действия утверждает, что

Sq/t^t^ = <Til/ ^(^ - Р5<2)1^ =

= /^Лр^Кт^т)!^ - SQCtKt^t)^^],

это обстоятельство мы выражаем при помощи записи

—^ ЗТ^тУ ^т11 т2> = <Til^<T) ^у*»

■‘З^ту^!1^ = <TtlP(T)|T^.

Более общо, если Г(т') есть операторная функция от переменных хСт'), ио не от Q.P, мы имеем

<t1|F(t,)|t2>^ = ^It'^'x^'|F(tz)|t'>x<t' It^, где | т' >х<т' | обозначает суммирование по полному набору состояний, и поэтому

SpfrJ ^i1F(T'>1 т2> = <т I1 ^ F^'» olт ^

'£ 50ГтУ <Т11 ^т') । тг> = <т J ^т) F(T'» olт ? •

Здесь ( )0 - произведение, упорядоченное в смысле развития событий от т2 к Tj . Если т следует за т', то операторная функция от т располагается слева, если же т предшествует т', то соответствующий оператор располагается справа. Такое описание охватывает две алгебраические ситуации: тр т2 , которую мы называем положительно упорядоченной ( ), и Tt< т2 , которой соответствует отрица

тельное упорядочение ( )_ . Положим временно т^ т2 и сравним

‘ ЗЩту <Ttl ^т+0) । т2> = <т tl ^т> ^ ।т 2> с..

Z30ffy<Tll^T-°)fT2> = <TilP<T) ^<т) 1Т^ -

Разность эт тх выражений

‘■sofTy^ll^"*-0) " ^Т-°)]1Т2> = <Til &(т), р(т)]|т^>

с одной стороны апеллирует к некоммутативиости взаимно

дополнительных переменных q и р, а с другой — к "уравнениям движения" оператора q^tY Согласно принципу действия

dq , 8G _ «

.Зт + Пр -.

и,следовательно,

qt^ - ^(т-0) =еД% J ^ [-ffp + ^^J ' ■т—с

что дает следующий результат

‘5о|тУ<т11Мтч4) - ^тЧ))]|т^ ^

Таким образом, через применение специальной канонической группы мы получаем представления любых динамических переменных операторами функционального дифференцирования. Общее утверждение имеет вид

^I^.pJoIt^ = f(-< jp, ‘^^jIt^,

где F(q.p)0 — упорядоченная функция операторов ^(т), р(т) при всех значениях параметра между т2 и Tt, и, как показывает простой пример произведений у(т)р(т) и р(т)^(т), конкретный порядок умножения для операторов с одинаковым значением т должен воспроизводиться с помощью подходящего предельного перехода от различных значений т.--

Связь с предыдущими построениями всплывает, если добавить к G переменный множитель Л. Мы воспользуемся принципом действия для состояний, соответствующих т^ и т2 , которые не зависят явно от Л, тогда

3X<TllT2>xo= <TJ JAG^IT^^ = Т2

= <j drGpIp , ^ , трт^т^.

Формальное интегрирование этого этого дифференциального

уравнения от Х=0 до Х=1 дает

С^^Г = exp [.JAG [-«Ip, f^, *]]<*№'’, "Ta'

где стоящая последней функция преобразования соответствует Х=0 и, следовательно, относится только к специальной канонической группе. Промежуточная формула, соответствующая G = G} + G2 , содержит оператор функционального дифференцирования, построенный из G^ , который действует на функцию преобразования, связанную с G2 . Такая же структура применима и к следам функций преобразования. Если мы используем интегральное представление для следа трансформационной функции (см. сноску 1 гл. 7) специального канонического преобразования и выполняем дифференцирования под знаком интеграла, то получим общую интегральную формулу

T^l^ = J^pje^^.

Здесь функционал действия V[q,p} имеет вид

®Т<7»р] = J {^(pdq-dpq) + dr (q(T)P(T)-p(T)Q(T)) + AG Мт^тХ)].

он образован, по существу, так же как оператор действия , порядок умножения некоммутативных операторных множителей в G восстанавливается подходящими бесконечно малыми смещениями параметра т. Эрмитов оператор G всегда можно построить из симметризованных произведений неких эрмитовых функций от q и от р, а соответствующие числовые функции являются вещественными. Так, оператор ^г^^т)),/^^)} представляется, например, оператором '/г^рСт+с^+^рСг-еу^ДОт)). Ожидается, что такой усредненный предел при е—> 0 не дает ничего иово-

го по сравнению с прямым использованием произведения f^Wt^fjlP^))* хотя, конечно, такое же утверждение неверно по отношению к любому из двух членов, содержащих е. Кстати, из-за периодичности совершенно достаточно строить действие, например, из р dq, а не из более симметричных выражений. ' Как частный случай этой формулы для следа, положим Q=P=O и рассмотрим класс операторов G, явно не зависящих от т. Тогда мы вычисляем

Tre^ = J^.pje^^1»..

Mq.pl = ]Тр^<7 + ^G),'

где мы воспользовались возможностью положить т2=0. Про- ' стой пример дает оператор G = ^(p?+^), в этом случае

Т - Wo + ^ + j [»Л. + Щ^”" + 4]

Тге^ЛЛ/2 =

= J d^dp ^Шр^+д^ j| [ J d^dp ^Wt-s^^V^ =

= /П1- = —i

■r 1 - (Т/2ИП)22 sin(T/2)

Этот пример, к тому же, иллюстрирует класс эрмитовых операторов, спектр которых ограничен снизу и для которых след оператора exp(z7G) продолжает существовать при добавлении к Г положительной мнимой части, и даже в случае замены Г—»tp, 0>О. При такой замене выражение для следа можно записать иначе, если заметить, что ряды Фурье зависят только от переменной (т-т2)/Т = Л, которая изменяется от 0 до 1, и, следовательно,

■. Tr е"^ = J d[q,p] е-*1^ >

" i

■«[^р] = J ^ [-/р ^ + PG (д(А)р(Л))] .

•■ о

Другое свойство этого случая состоит в том, что вклады в след всех коэффициентов Фурье, исключая л=0.

стремятся к единице при достаточно малых значениях Т или р. Это верно также для всего класса операторов вида (r^P^+Kq)- С помощью соответствующего пересчета коэффициентов Фурье для р^Х) мы можем записать utq.pl в виде

2

* = Jdx[^p(A)2 + ^(^) + ЭЛС^МЗ]- . о■

Для достаточно малых р член, содержащий dq/dK, в который дают вклад все коэффициенты Фурье за исключением qQ, будет эффективно подавлять эти коэффициенты Фурье, если наложены подходящие ограничения на особые точки в области, где f(,q) принимает большие отрицательные значения. Тогда К<КЛ)) ~ КЯр)* и мы можем свести интегрирование к оценке вклада qQ и р0, что выражается формулой

«■

Тг ^tn.q.p^ J ^^р ^Gkq-p't.-со■

Сравнение с полученной ранее формулой следа, включающей упорядочение операторов, показывает, что в этом пределе некоммутативиость q и р несущественна. Таким образом, мы вошли в классическую область, где несовместимость физи^ ческих свойств на микроскопическом уровне больше не наблюдаема. ' Кстати, первая поправка к классической оценке следа, которую мы выпишем явно для одной степени свободы

• Тг е-^Р1/2«~ 7 d» е-МФ ^^^)/2

JoVTnP sh pVf"(q)/2'

дает точное значение, когда функция Kq) является положительно кратной т2.'

На эту общую задачу можно взглянуть с другой стороны, обратив внимание на то, что вытекающие из принципа стационарного действия уравнения движения

dq , dG _ л dp 8G _ D

Зр= Q' dt~ ^q= P‘• ■

можно записать с помощью функциональных дифференциальных

уравнений

[^"^spfry + gf ("‘ЗР'^] ~ <?('г)]<'г11'га>с,‘ = °»

[feroffy “ gf ("‘ЗР'^) “ ^j^J^r = 0 •

Эти уравнения верны для любых функций преобразования такого типа. Отличительной особенностью следа является свойство периодичности

fcfrj - яттт^г)1^!1 тг2>с'* = (apf^y - ЗРГф]<Тг) = 0 - из которого следует, что след зависит от Q(t) и Р(т) только через коэффициенты Фурье Qn и Рп , и что функциональные производные можно интерпретировать с помощью обыкновенных производных:

3Q(f) = 3Q^ + £ ^ [^‘"^Т^7-^)!^ + COS^T^T-T2^_J ’

3д. ” я=Г-_„2пл,„ _ хд. _:_2ял/хд 1

зр(т)зт^ + IV”” [ ^-TH^-^Jg?^ + ^H-'r-^-^gP-J • ■

Теперь введем функциональный дифференциальный оператор, который получается из числовой функции действия WJ.q.py которая относится только к преобразованию, порождаемому оператором G, ■• а именно

reH«F '‘Зф] = J [зф^ЗР + dTG(-‘‘3P'‘"3^'T]] • " Т2'.

и заметим, что дифференциальные уравнения переписываются

'(.[Уо, Q(t)] + «тЯТКт^т^^ = 0 ,

(i[r0, Р(т)] + РМЗТ^т^т^ = 0 ,

Просто как дифференциальные уравнения они бывают полезны, только когда б(^р) - достаточно простая алгебраическая функция q и р. Кинематическая групповая основа представления уравнений движения функционально-дифференциальными уравнениями должна заметно отличаться от того динамического языка, которым автор пользовался ранее - Proc.Nat.Acad.-1951.-V.37.-P.452.

что можно записать как дг —др

е cQ(t) е с(Тг) = е G Р(т) е °(Тг) = 0 .

Последняя форма следует из общего разложения еАВе"А = S + [Л, В] + £{Л,[Л,В]] + ....

если учесть, что коммутатор, например, вида ^W] построен целиком из операторов дифференцирования и поэтому коммутирует с дифференциальным оператором W . Таким образом, -др-др

Q(T)e с(Тг) = Р(т)е с(Тг) = 0 , это означает, что ехр (-^^(Тг) обращается в нуль при перемножении с любым из коэффициентов Фурье Qn . Рп , и, следовательно, содержит дельта—функцию для каждой из этих переменных. Итак, мы заключаем, что ' '8/8P,i 6/6Q]

Tr^I^ = е *6[Q,P],

где, предвидя соответствующие нормировочные константы, положеною

6[Q,P] = J]2ir6(Qn)6(Pn). —со

Проверить эти множители можно, положив 6=0, что возвращает нас • к случаю специальных канонических ■ преобразований. ' В этой процедуре мы сталкиваемся с типичным равенством

eia/aQ8/ap2x^Q^P) = е№, для доказательства которого замечаем, что

[Q + ^gS/aQa/ap _ eta/aQa/dpQ и''

jj£e,d/aQd/a,>2ltd(Q)d(P) = 6(Q). -co

Этот результат есть как раз известное выражение для следа функции преобразования со

. Тг<Т1| т^^ = гжЗСОд) 5(Ро) е * *.

Когда в 6[Q,P] каждая дельта функция заменяется ее ин-

тегральиым представлением, получаем

5CQ-^ П J ААе <?'Л ^-^«I.Pl ^

и в результате выполнения дифференцирований в V под знаками интегралов11

T^lr^ = J^.Ple^l»

где функция действия VI^.p] теперь специальное канони

ческое преобразование, описываемое операторами Q и Р. ’

Мы будем записывать эту общую интегральную формулу

также в виде

4 'MqP-pQ') _ , .

T^It^* - J4^,p]e Т*’

чтобы подчеркнуть взаимность между следом как функцией Qn ,Р , или, что ' то же самое, функционалом от О(т),Р(т), и exp^FJ^.p]) как функцией от qn , рп , или функционалом от я(т^,р(т). В самом деле

—4 1<МяР-рФ

e^q,P = j4Q,P]e Т’Тг^т.^,

где элемент

”dQdPn

4Q.4 - Ц—йг1-

В этой процедуре ^(т) н р(т) суть непрерывные функции параметра т, а представляющие их коэффициенты Фурье суть бесконечное счетное множество переменных интегрирования. Альтернативный подход состоит в замене непрерывного параметра т дискретным, а производных по т конечными разностями, 3(Q, /•] строятся при этом как произведения дельта-функций для каждого дискретного значения параметра т. В рамках такой формулировки, которая, по существу, является подходом Фейнмана - Винера, мера d^q,p\ есть произведение элементов б^(т)<ф(т)/2х для каждого значения т, условие периодичности явно накладывается на границах, а предел заключается в переходе к бесконечно мелкому разбиению интервала Т*т(-та . Этот второй метод несомненно более интуитивен,поско

льку его можно рассматривать как результат прямого связывания последовательных бесконечно малых преобразований, но связанная с ним математическая техника более труднопроходима.’

таков, что.

J dlQ.PWQ.Pl 1 •

Проверка этой обратной формулы вытекает из последнего свойства, если для следа взять его формальное выражение как дифференциального оператора, которое содержит 8[Q,PJ. Из вещественности V [?,р] теперь следует что эквивалентно'

JdtQ^^Tr)^!^?^^ = 3[QrQ2, РГР2] , где в X собраны Q и Р. След обладает свойством композиции ■

ТКт0|т^'х Тг^т^' = ТКт^ ^. Введенная операция состоит в замене Q(t),P(t) .в соответствующих множителях на О^+^'ЗСт-т^), Р(т)+р' 3(т-тр с последующим интегрированием по dq* dp* /2п. Поэтому стоящее слева выражение записывается в явном виде

J^P' Тг<т0| е^, ^ -р' *Ti »| т,^ Тг<т, | е-^5 ^' "Р* ^ »| т ^ ^ -со или ю

I ^^^^^''х®*^^^^' Р^^^Х^^^Т ^ir^q' р,’)^\а"т^ =

° °= I <а'т0|3(а',а")|а"т2> = Тг<т0|т^^,

.а'а".■

в силу полноты операторного базиса, построенного из ^т^рСТз).

На т0 , Tt и т2 не налагается никакой специальной связи. Если приравнять т0 и т2 , то одна функция преобразования в этом произведении комплекно сопряжена с другой. Однако, чтобы получить полезный результат, мы должны сделать нечто большее. Наиболее общая процедура состояла бы в выборе канонического преобразования для Тг<т2|т^^,*= Тг<т1|т^^₽*, которое бы совершенно отличалось от преобразования в Тг<т1|т2>$₽. Вычислительные преимущества, которые ' возникают на этом пути, мы изучим как-нибудь в другой раз. Здесь же мы будем довольство-

ваться тем, что сделаем эти специальные канонические преобразования различными только в точке т2 . В этом случае наша теорема принимает вид

Tr^lr/^xTr^^T^^» 2ж6(Я'-Я")6(р'-р"Ь

Q'W = -g'Sfr-T^, P'(t) = -р'3(т-т2) и аналогичный вид имеют выражения для Q"(t),P"(t). Это утверждение немедленно вытекает из ортонормальности операторного базиса U(q'p'), при следующем вычислении лево

го выражения:

= 2K5<q'-q"')6<p'-p").= 2K5<q'-q"')6<p'-p").-^q' -р' <Хта)] ^V"P"*t^ Тг е 12 е 22

= 2K5<q'-q"')6<p'-p").

= 2K5<q'-q"')6<p'-p").

6.19 Дополнение: Квантовые переменные и принцип действия

В предшествующих сообщениях была, дана классификация квантовых степеней свободы с помощью простого целого числа р и сконструирован квантовый принцип действия для ре*. Можно ли придумать квантовый принцип действия для других типов квантовых переменных? Мы изучим этот вопрос для простейшей квантовой степени свободы р=2.

Рассмотрим сперва единственную в этом случае сте- ' пень свободы. Операторный базис порождается парой взаимно дополнительных эрмитовых операторов

которые удовлетворяют соотношениям ел * ел - {е, - е,} - .

Базис пополняется единичным оператором и произведением

V2 V2

Мы уже говорили (см. сноску 10) о хорошо известной связи

между этими <гу А=1,2,3, и трехмерными поворотами. Например, наиболее общий унитарный оператор, бесконечно мало отличающийся от единицы, имеет с точностью до множителя вид'•

U(6to) = 1 + ^i5u-cr,"

а соответствующее операторное преобразование

б = LT^crU = с - багявляется трехмерным бесконечно малым поворотомдо- = дох о*.

Следовательно, бесконечно малый поворот, который меняет ^ и не меняет £2 , может быть только поворотом вокруг второй оси: '5^ = до2^3,б?2 = о.

Соответствующий бесконечно малый генератор имеет вид ' ■ ct = z^^ ■ ^^i = “‘^i^i • Аналогично,■

5^ = 0,б?2 = -30)^3

порождаются генератором С2 “ ^2^2 “ “^г^г *.

а генератор для комбинации таких элементарных преобразований есть (А=1,2) -

° - ‘ ive, - -‘^^

’ Очевидно, что G1 и G2 надо дополнить оператором

чтобы получились бесконечно малые генераторы унитарной группы, которая изоморфна группе трехмерных поворотов. Gg индуцирует преобразование ..

■^1 = “^з^г ’^2 = ^^i *

■1

. G3 = 2< (W + ^Г- Итак, сосредоточившись только на паре взаимно дополнительных операторов ^ и ^ * мы ие п0ЛУчаем симметричных выражений для лежащей в основе группы трехмерных поворо-

тов. Ситуация до некоторой степени исправляется, если для тех преобразований, при которых ^ и ?2 измеияются независимо, использовать генератор, порождающий изменения ^/13^к , А=1,2:.

Произвольное бесконечно малое унитарное преобразование описывается функцией преобразования

<T+dr|r> = <|[1 + №С(^т)]|>.

Бесконечно малые вариации в т, т+<#т*и в структуре G индуцируют

S*<r+<fr|T> = К|б*[ЛО(^т)]|> = t<r+dr| 5'^drG(^(r),T) ] |т> .

К этому мы добавим 5', преобразования, порождаемые G^, которые выполняются над состояниями <T+dr| и |т> независимо, ид непрерывно по т, т.е.

SX^+rfrl^ = t<T+dr|[G^T+dr) - G^t)]|t>.

Здесь. '

G^r+dr) - G^r) = - ^ ^fc(T+dr)^(T+rft) - ^ ^fc(v)d^(T) = ” " И Р^+^Ю + ^+dr)Sl;fc(T)] + ^[5^ , Kfc ,dr GJ] , или

C^t+A) - G^t) = I't-j^e^T+AKufT) + ««№1] -

где S' по своему действию на операторы соответствует специальным изменениям 3£к , А=1,2, выполняемым независимо, ио непрерывно, при значениях т и T+dr.

Только тогда, когда последний член равен нулю, получается квантовый принцип действия [5=3'+5*]

3 <r+dr | т> = 1 <r+dr 13[17] | т> , с оператором

W(T+dr,T) = -^Г^Сг+ЛИ^т) + drG(£(T),r).

Поскольку специальная вариация такова, что 3^ и 3£2 суть произвольные кратные £3 , необходимо, чтобы оператор [G,?3] коммутировал с ^ и ^2 . Следовательно, этот коммутатор должен быть кратным единичного оператора, причем соответствующий множитель может быть только ну-

лем, т.к. как след коммутатора равен нулю, или, по другому, этого требует равенство [С,^2] =0- Итак, для осуществимости формулировки принципа действия необходимо и достаточно, чтобы

[6. ОД = 0 •

Поэтому члены только с ^ и только с ■ £2 исключаются из G, это ограничение выражается также в виде утверждения,* что допустимые G должны быть функциями, четными по . &=1,2. С точностью до множителей при единичном операторе, которые порождают фазовые преобразования, единственным допустимым генератором будет , что геометрически означает поворот вокруг третьей оси.

Следовало бы заметить, что класс вариаций б' можно расширить, включив вариацию, порождаемую Ga безотносительно к структуре G. Так,

Ga(T+dT) - С3(т) = - ^ ^т-нк^Ю + €fc(T+dT)d^(T)] + + U [^Кг^ЧЬ где последний член равен ■ ^[^,[^,*<4] -.^[^KrAtq] =.

'= - ^[^G, [^J = I [AG,G3] ,.

и поэтому для д'-вариаций -такого рода

G3(r+dr) - G3(r) = б' [-^^(т+А-)^(т) + drG} .

Оператор действия для конечного унитарного преобразования имеет вид.

% =^, + б] .

та

или, более симметрично, ■

ТЕ (€*(т))2 = 0 .ТЕ (€*(т))2 = 0 .поскольку W^ определен только с точностью до аддитивной константы, и

ТЕ (€*(т))2 = 0 .

ТЕ (€*(т))2 = 0 .

Принцип стационарного действия 5^] = G, - С2, который относитсяк фиксированнойформе оператора

G0;(t),t), выражает то требование, что конечное преобразование возникает из последовательности бесконечно малых преобразований. Будет весьма поучительно посмотреть, как, напротив, свойства квантовых переменных вытекают из , этого принципа. Мы не будем явно связывать это обсуждение с единственной парой переменных, соответствующих одной степени . свободы, поскольку оно имеет существенно большую общность. '

Билинейная дифференциальная форма

а[|£ Ку^ + Gdt^ - d[ ^ [i^siy + gst] =

. -. . = Vl [5^^fei+ SG<fr *dG5T

показывает, что-

и, следовательно, дает cu - kK^J

Член с генератором . G St, очевидно, вновь указывает на смысл оператора G как преобразования. Действие на операторы выражается бесконечно малым унитарным преобразованием

?(€(т),т) = (1-tG 3T)F(£(T),T)(l+tG Зт) = F(£(T+dT),T), которое является общим уравнением движения

dF _ dF 1 n , <Fr * 5т ~•

Возьмем в качестве 3£fc(T) некую специальную вариацию, которую мы определяем при помощи следующих свойств: ‘ (1) каждая вариация 5^. антикоммутирует с каждой 5, {««»•«<} =0 •

вариация 3£6(т) не имеет явной зависимости от т; (3) каждая вариация 3^fc есть бесконечно малое числовое крат-

ное некоторого общего для всех несингулярного оператора, который не изменяется с изменением т. Второе из этих определяющих свойств означает, что

[^G]=0,

а это, в силу антикоммутативности специальных вариаций с каждым 5» ограничивает G только четными функциями £. Более того, согласно свойству (3) производные специальной вариации по т также антикоммутируют со всеми ^6 • и, следовательно, ZH^-^Z^-ZH^^J-

Поэтому, если мы иапишем

“ - А» - Z^= Z^.

получимполучимчто определяет правые и левые производные G по ^ , то

получим

получим

4G _ 8GTt ~ ЗТ' '

что согласуется с общими уравнениями движения ичто согласуется с общими уравнениями движения и

что согласуется с общими уравнениями движения и

что согласуется с общими уравнениями движения и

На несингулярный оператор, содержащийся в каждой специальной вариации, последнее равенство можно сократить, и произвольность числовых множителей в 5£fc ведет к d^k8 Gд G

I ...=' XS —- —

drас,ас.

Различие в знаках при левых и правых производных указывает на четность функции G.

Сравнивая две формы уравнения движения для £к , находим, что3 G

Если мы вернем на место специальные вариации, это равен-

ство примет вид 118 G «

Левая сторона есть в точности изменение G, порожденное

генератором специальных вариаций G^, которое возникает также .в Gjу тогда как правая часть дает этот результат через изменение £к на г/2б^к. Поскольку G есть произвольная четная функция переменных ^6. мы принимаем этот результат как общую интерпретацию преобразования, порож

даемого О*, и потому утверждаем, что для любого оператора F

Аналогичное соотношение для нечетных функций ^ имеет

вид

а частный случай F=^k дает основные операторные свойства этих квантовых переменных

Таким способом мы удостоверились, что наш квантовый принцип действия дает согласованное описание всех характеристик квантовых переменных данного рода.

Операторный базис для одной степени свободы используется в ином ключе, когда предметом изучения является группа трехмерных поворотов, а не преобразования соответствующей пары взаимно дополнительных физических свойств. Генератором бесконечно малого поворота 8<т=6ук(г является

Gy = ^ato*<r = ^»0“5<г = -^Юо-<г.

Применив это преобразование независимым, ио непрерывным образом к состояниям, фигурирующим в функции преобразования <r+dr|r>, мы обнаруживаем

GJr+dr) - GJr) = -|<a0(T+dT)-o<T) - |йу(т+<*т)-аа(т) +

+ |[&r-, [<r,drG]] .

Тогда тождество

[8<г, [<r,dr GJ] ~ [°""»L®<T-ctT °]] = [^ °, [<r ,8<г]]

вместе с эквивалентностью двух стоящих слева членов, каждый из которых равен ■

8u-<rx, [<r,dTG3 , дает

GJr+dr) - GJr) = 8' [- |-/(г(т+^т)-(Т(т) + drG((T(T),T)] ,

где 8' описывает независимое варьирование операторов 8о(т)=ды(т)х(т(т) в точках т и т+dr. Если мы добавим вклад от независимых вариаций самих t,T+dr и структуры G (8"), то получим принцип действия без каких-либо ограничений на форму оператора G.

Оператор действия для конечного преобразования имеет вид

ге - ?Л[-Т‘И 'Г + °] - ?А[И,га1 - а?»] + °] ■ т2т2

Самую общую форму для оператора G, описывающего преобразования фазы и повороты, дает выражение

G = gW + ^<г-^^1.

Нас удовлетворит проверка того, что принцип стационарного действия воспроизводит ' уравнения ' движения, которые ■ получаются также непосредственно из смысла G :

Принцип действия утверждает, что

|/ [8о-,^| + 8G - |£зт = 0, где операторные вариации суть произвольные бесконечно малые повороты: 8<т = Зи х ст. Следовательно, уравнения

движения принимают вид

dcr 1 dto + ^Х<Г = СХ^,dcr 1 dto + ^Х<Г = СХ^,

dcr 1 dto + ^Х<Г = СХ^,

dcr 1 dto + ^Х<Г = СХ^,

искомая форма уравнений получается отсюда, если заметить, что выражение, стоящее слева, равно

d <Rd <R<r х <г<r х <г-d „ "Зт^-d „ "Зт^

d <R

d <R

<r х <г

<r х <г

-d „ "Зт^

-d „ "Зт^

Переход к случаю л степеней свободы типа р=2 требует некоторого обсуждения. На первый взгляд, эта процедура должна была бы, казалось, быть совершенно прямолинейной. Операторы, связанные с различными степенями свободы, коммутируют, а соответствующие бесконечно малые генераторы независимых преобразований складываются, что дает оператор действия рассмотренного выше вида, просуммированный по л ' парам взаимно дополнительных переменных. Однако мы должны были бы также заключить, что G обязан быть четной функцией взаимно дополнительных переменных, относящихся к каждой степени свободы отдельно, а это — излишне сильное ограннченне..

■ ' Чтобы несколько ослабить строгость условия применимости принципа действия, мы заменим отношение коммутативности между различными степенями свободы антикоммутативностью. Пусть ^е^ 3 суть операторы, соответствующие степени свободы а. Положим.

;, - 3”. е2 - с)’ .

.ill

= П■‘ = 1-2Л-1,

этот набор 2 л эрмитовых операторов удовлетворяет

Обратная конструкция имеет вид ■

^1,2 ) = (~2^N^2 •^211^2*4X1,2) ' а в качестве

мы имеем оператор, который расширяет на единицу набор антикоммутирующих эрмитовых операторов с квадратом, рав-

7 Ю.Швингер

иым 1/2. В частности, этот оператор антикоммутирует с каждым £к , 6=1... 2 л.

Бесконечно малое преобразование, изменяющее только 5 , должно быть таким, что

{з^Л} = 0' 1=1...2п,

а это означает, что 8£к является бесконечно малым числовым кратным оператору £2п+г Поэтому мы будем писать

-|В». <У-

а генератор всех таких специальных вариаций имеет вид

с; =„^7^.,

Последнее мы можем записать так же как Ое-Ил»8^--^!^»- .

Составив коммутатор двух таких генераторов, получаем

|[0<». о<=>] = ^ч^ - a^sm.

где л(2л-1) эрмитовых операторов

««4к, ед - -с»

удовлетворяют (6*/)

е2 _ 1- Т

Таким образом, генераторы G^ и их коммутаторы можно строить из базиса, который образуют л(2л+1) операторов

^кС *при би/ меняющихся от 1 до 2л+1. А поскольку

Ви- е^ - «А - «^ ♦ ^ - «„^.

эти операторы являются генераторами некоторой унитарной группы преобразований, которая имеет структуру группы евклидовых поворотов в 2л+1 измерениях. Для л>1 из операторов ^№ 6, /=1...2л+1, вместе с лииейио независимым набором

^к = ^к.6 = 1...2л+1

можно также образовать. (л+1)(2л+1) генераторов аналогичной группы, связанной с поворотами в 2л+2 измерениях.

Следует также заметить, что оператор

= 7 ^.1=®у1^м, 5уы = - 5у<й индуцирует линейное преобразование и можно написать■'

Эти генераторы имеют структуру группы поворотов в 2л измерениях.'

Обсуждениеизмеиеиия функции преобразования

<T+dr|T>, вызванного специальными вариациями, которые осуществляются независимо и непрерывным образом в точках т+dr и т, проводится так же как и в. рассмотренном частном случае л=1 и приводит к -'

^ку[*с. «ел-о, в качестве условия, позволяющего сформулировать принцип действия. Любая специальная вариация пропорциональна единственному оператору ^п+Г Следовательно, необходимо, чтобы [G-^n+J коммутировал, с каждым оператором 6=1... 2 л, или, что то же самое, — с каждой парой взаимно дополнительных операторов ^2' а=1"-п- Такой оператор может быть только кратным единичному, причем коэффициент пропорциональности должен быть нулем. Поэтому генераторы бесконечно малых преобразований, которые можно описать с помощью принципа действия, должны коммутировать с £2п+Г Допустимый оператор G(t-) должен быть четной функцией набора антикоммутирующих операторов £fc, 6+1...2л, которые порождают ■ 22п-мерный операторный базис. Это единственное условие заменяет систему их л условий, возникающую в случае, когда отношением между различными степенями свободы является коммутативность. Конечно, если рассматриваемый класс ■ преобразований таков, что G является четной функцией и некоторых четиомериых подмножеств переменных 7*

^к, можно вполне согласованно принять коммутативность в качестве отношения между этими различными подмножествами операторов. Кстати, из коммутативности G с ?2п+/т^ вы~ текает, что последний' оператор не меняется с изменением т. Поэтому специальные вариации 3£6(т) не зависят явно от т, а это означает, что специальные вариации антикоммутируют с 2п фундаментальными переменными ^к независимо от значения т..

Принцип действия справедлив также для линейных вариаций, вызываемых оператором Сы, которые не затрагивают структуры оператора G. В самом деле,

ЧЛ+Л) - с„(т) - -$<1 [^(т+А^т) + ^т+атз^ту] +

+ zl №»• Ki- *43 ■

где последний член равен

-T,I1s"wKrKr‘«’3]+ тГ^ыК. КгЛЧЗ-тЕ'ло.^ -

что для этого типа S'-вариаций дает

GjT+dr) - GJt) = S' [- ^ J £klT+dr) £к(т) + drG] .

Оператор действия, . соответствующий конечному преобразованию, обобщает выражение, встречавшееся нам в - случае п=1,

% - M^Z [«.£* - ^ч]+ ««^ ’)] •

■т$ *=1

и прежние рассуждения по этому поводу можно перенести без изменений. Однако полезно, быть может, подчеркнуть, что специальные вариации антикоммутируют не только с каждым ^^У но также и с d^k/dx, поскольку это свойство не зависит от т. Тогда непосредственно нз выражения

«= - ^* - ^ к Й -

которое есть следствие принципа стационарного действия.

к = 1...2л .к = 1...2л .получаются уравнения движения ,<_М_ ^ dr а^к а^ '

к = 1...2л .

к = 1...2л .

В практическом смысле принцип действия все еще несколько ограничен , ибо генераторы специальных вариаций нельзя включить в G, из-за того, что операторы t;fc£2n+i суть нечетные функции 2л фундаментальных переменных. Именно с целью обойти эту трудность и тем самым превратить принцип действия в эффективное вычислительное средство, мы расширим нашу систему чисел, присоединив внешнюю, или грассманову, алгебру. .

ГЛАВА 7

ТРАНСФОРМАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИКАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Упорядоченный оператор действия

Трансформационные функции бесконечно малых канонических преобразований

Трансформационные функции конечных канонических преобразований

Упорядоченные операторы. Применение трансформационных функций канонических преобразований

Пример '

Упорядоченные операторы и теория возмущений •

Применение специальной канонической группы

Вариационные производные-

Взаимодействие двух подсистем

Дополнение: Внешняя алгебра и принцип действия

Упорядоченный оператор действия

Согласно смыслу оператора действия W(q,q,f), определяющего каноническое преобразование в момент t, бесконечно малые изменения собственных значений, и времени t вызывают изменение в соответствующей трансформационной функции1 канонического преобразования <д*t\q' f>, описываемое выражением

&<q't\q'f> = K4'ilSW(q,q',t)\q't> .(7.1)

Для некоторых преобразований можно воспользоваться перестановочными свойствами переменных q н q, чтобы так перестроить оператор 3U7, что q будут везде стоять слева от q. Такое упорядоченное дифференциальное выражение будет обозначаться SW^qVq ,tf, причем

SW{q,q,t) = ^(q-.q.t).(7.2)

Из способа, построения последнего оператора следует, что переменные q н q действуют в (7.1) прямо на свои собст-

В книге принят двоякий перевод термине transformation function: без дополнительных определений он переводился квк функция преобразования, при наличии определений он переводится данным образом. Нвпример, термин special canonical transformation function переводится квк трансформационная функция специального канонического преобразования. — Примеч.пер.

венные векторы, поэтому оно превращается в

5<q't\q4> = iaW^q'-.q'tXq'^q'^.(7.3)

Отсюда 8W должно быть полным дифференциалом, и интегрирование дает'

<q*t\q4> = ^'^'^,(7.4)

где мультипликативная постоянная интегрирования включена аддитивно в Ж. Эта константа частично определяется свойствами композиции функции преобразования. Следует особо подчеркнуть, что упорядоченный оператор W не совпадает с W , он даже не эрмитов, если оператор W обладает этим свойством. По существу, мы уже продемонстрировали метод упорядочивания при построении функции преобразования <q' \Р'У - Для эрмитовых переменных первого рода, например,

'w^-p) «ti^'P^Y .(7-5>

тогда как

W(q;p) =\q р * i^ln 2к - V(q,p) + i^ln2tt + 1).(7.6)

Трансформационные функции бесконечно ■

• •• - малых канонических преобразований

Трансформационная функция для бесконечно малого канонического преобразования легко строится этим способом, если воспользоваться оператором действия

Жр."5) = Жр-q^ + ^(<7.») = ~ I^V^a ~ ^«Р) • (7-7) 'а

поскольку- ■

5W(P.q) = - £ ^РаЯа + Р^Я^ ~ ^Я.Р^(7-8)

приводится к упорядоченному виду, если проделать необходимые операции над бесконечно малой величиной 8G с помощью известных перестановочных соотношений между q=q и р. Удобно добавить к G числовой множитель Л. так, чтобы получить однопараметрическое семейство преобразований, которое включает исследуемое преобразование (Л=1) и тож-

дествениое преобразование (А=0). Тогда .

3(AG) = ЗА G + Л 3G ,(7.9)

и операцию упорядочивания надо применять и к G как к 3G. Таким образом, мы получаем некий эквивалентный оператор, который мы обозначим G(p;^), таким образом,

5W = - 3[ [pJJ - SAG^p-.q) - ASG.(7.10)

Интегрируемость упорядоченного оператора 3W требует теперь, чтобы упорядоченная версия 3G была просто вариацией G(p;q), и,таким образом, (А=1),

WUr/q) = - ^.P^qa - G(p;») + const, ■ (7.11)

где аддитивная постоянная обеспечивает тождественность преобразования W(P",q^ и зависит от рода используемых здесь переменных. Поэтому

<р'\q'> = еПГ^р *q ^ Cexp^'IpXa ~ й7(р' -<н]<712)

или'

<p'\q'> = <P'\q'>^iGKp,*4,X(7.13)

а ввиду бесконечно малой природы оператора G получаем равенство

<Р' I q*> = <P'\q*> Р - IG^xq'Yl = <Р* \^G\q‘> .(7.14)

которое попросту' воспроизводит смысл оператора G как генератора. бесконечно малого преобразования. Когда преобразование соответствует бесконечно малому изменению параметров, равенство (7.12) принимает вид

<p'T\q'T-dT> = C «хрр£р^ + i^dx^^p';q' ,т)^ (7.15)

и, в частности.

(7.16)(7.16)Р'11 q* t-dt> = С exp |-i[ p'^ - i dt H(p' ;q' ,t.

(7.16)

(7.16)

Теперь можно воспользоваться свойствами . композиции функций преобразования, чтобы перейти к другому выбору канонических переменных. Например, в силу (4.21) и

для эрмитовых переменных первого рода имеем

<q'\q"> = J<»' Ip'> dp\p' |^> =

- /^„^[^к;-^ - «%>';«')] • (717) Интегрирования легко проделать, когда G — либо линейная функция переменных р либо иесиигуляриая квадратичная функция. В первом случае

'G(p'.q") = G(0;^) + Vp^G^q^ ■( 7 18)

и

<q' | q"> = е-“<0;^ ^' - q"^] .( 7.19)

Для квадратичных функций р удобно сдвинуть начало отсчета р' -переменных в точку, определяемую

Тогда

«17"> " е"ехр I" *-

= [^'“’"^а^]’172»'*.<7.21)

w = I ^к^РГ^Р- ^ = ^Pk^pf11 - G<P* '4^<7-22)

Исключив p с помощью (7.20), находим

"-zIK-»;-^,0*0-»")]"»,[»', -<-^,o<o•«',) -«<>-<')

(7.23)

где M^q") - матрица, обратная 8^0/8 р др. В пределе, когда

последняя стремится к нулю, получается выражение с дельта—функцией (7.19). Оба эти результата без труда выводятся также прямо без обращения к промежуточному р—представлению. В случае бесконечно малого преобразования Гамильтона — Якоби, где Н удовлетворяет условию несингулярной квадратичной зависимости по р, имеем

<q'11 q"t—df> = <q' t+dt | q"t> = [det ^ф^] ’/2 e ^(7-24)

где т — матрица, обратная д^Н/дрдр, а

ххw - Л Ц У [ -L™ - I- Н(0; q", t)][2 / ( at ор^ '

х

х

х mhi\^-Tr - Ър^^^] - н^я"^ • (7-25)

Эквивалентной формой будет

^Г1 v ^к чк qt qt ,

- dt\i) -аг—ткг-агг + hl

+ ^.Чг^Рок^.О - HU)0;q".t^ ,(7.26)

к.

где р0 определяется уравнениями

(7.27)(7.27)^"«V™ - 0.

(7.27)

(7.27)

. 7.3. Трансформационные функции конечных канонических преобразований

Трансформационную функцию для некоторого конечного канонического преобразования можно построить с помощью многократной композиции соответствующей функции для бесконечно малого преобразования. Чтобы вычислить <Tj|T^ вдоль некоторого конкретного пути в пространстве параметров, выберем на этой траектории N промежуточных точек н сосчитаем .

<т11т2> = ^Jt^^x^^It^x ... х<т(АГ)|т2> , (7.28) где х означает применение некоторого подходящего для используемых канонических переменных метода композиции. В пределе N —> « нужный путь прослеживается как беконечная последовательность бесконечно малых преобразований. К примеру, для эрмитовых переменных первого рода н композиции с помощью ннтегрнроваиня мы начинаем с

<q' т,| q"T^ |^„ехр ^r^V^rf^ ^^^ (?29)

и получаем

ЛГ+1 . . ....ЛГ+1 . . ....<q't<q'tx\q“t^>=\ im1 z N-xox\q“t^>=\ im1 z N-xo

ЛГ+1 . . ....

ЛГ+1 . . ....

<q't

<q't

x\q“t^>=\ im

1 z N-xo

x\q“t^>=\ im

1 z N-xo

+i^rHL^G^]}<г(^^^-^"Э ,<7'30)

T(°) = TrqW = q' ,(7.31)

а дельта-функция накладывает ограничение q^N+^=q". Для преобразования Гамильтона-Якоби с гамильтонианом, зависящим квадратично от р, общее выражение сводится к

■W+1.21/2

«-/.^-НтЦ^^^х

х ехрри»(^_1М^_1| q^^)lj S V^N+^-q"") ,(7.32)

с w, задаваемым (7.25) или (7.26). Применимую в общем случае технику композиции через дифференцирования можно применить прямо к трансформационной функции бесконечно малого преобразования (7.15) тогда, с точностью до числового множителя (2я) для эрмитовых переменных первого рода, получаем .

■*+|я

■У^»'^ - ^ П|'^<7) *'")] X

■ X ехр^р^-1)^]■ X ехр^р^-1)^],OL..=,(™Lo,OL..=,(™Lo

■ X ехр^р^-1)^]

■ X ехр^р^-1)^]

,OL..=,(™Lo

,OL..=,(™Lo

ЛГ+1я

= “ ” П еХР [ У_Ра ^Hj) + £ (Ч^-^Л Х <7-33) -/=1 а ка г

XGWXGWН"''‘^-т<"Пех’'Н'’«л'ч’’“]Н"''‘^-т<"Пех’'Н'’«л'ч’’“]PW=,.,.PW=Q.PW=,.,.PW=Q.

XGW

XGW

Н"''‘^-т<"Пех’'Н'’«л'ч’’“]

Н"''‘^-т<"Пех’'Н'’«л'ч’’“]

PW=,.,.PW=Q.

PW=,.,.PW=Q.

Значения на концах равны

Т(°) = Т1, т^-Тэ, р^=р',(7.34)

а смысл умножения тот же, что и в формуле (7.28).

Упорядоченные операторы.

Применение трансформационных функцийканонических преобразований

Переписав (7.15) в виде

<p'T\q'T-dT> = <PZ k^exp^dr^^'j^.T)] =

= <р* |ехр [/[ drG^^.p.T)] | q* >(7.35)

получаем функцию преобразования в виде матрицы, в которой состояния и канонические переменные не зависят от т. Результат композиции последовательных преобразований возникает поэтому как матрица произведения соответствующих операторов, и,таким образом, выражение"

н+\

<T1IT2> = Hm(| flexp^^-Tt/^ /=1

-(IH-j'p/y^<7-36)

..т$.

определяет упорядоченный экспоненциальный оператор. Знак + в качестве индекса относится к способу умножения, при котором • расположение операторов соответствуют пути в пространстве параметров, как бы деформированному в прямую линию, с т2-справа, а т( - слева. Если обратить порядок умножения, то мы говорим об отрицательном упорядочении вместо положительного, т.е.

[ехр J[^rG(r)]^ [ехр -^Лг6(г} ]_.(7.37)

т$т$

Когда генераторы не зависят от т, а путь является прямой линией, порядок ' не имеет более значения, и

<^11^2> = <lexP[1ITrG(r)]l>'(?38)

что аналогично более специальной групповой структуре

Если операторы G^ коммутируют, порождая, таким образом, абелеву группу, то экспоненциальная форма (7.38) осмысленна и без ссылки на путь интегрирования. Допустим, что генераторы образуют, или могут быть рас

ширены до полного набора коммутирующих эрмитовых операторов. Тогда существует G— представление, а трансформационную функцию канонического преобразования, описывающую преобразования группы, скажем ^'tJ^'t^, можно представить в виде

<p'Tx\q'T^ = <р' |ехр ffT/JjJl^^ =

= У<Р' IG*> ехр [ф т/Г( J<G' I q* > ,(7.39)

демонстрирующем, как траисформациоииая функция канонического преобразования служит для определения и собственных значений операторов G, и волновых функций, представляющих G-состояиия. ■

Пример•

Элементарный пример при п=1 предоставляет эрмитов оператор■

G = - iXpq = X^q,(7.40)

■ в котором иеэрмитовы канонические переменные могут быть любого рода. Прямое построение трансформационной функции

исходяисходяканонического преобразования можно осуществить,

исходя

исходя

из (7.33), многократным примеиеием формулыиз (7.33), многократным примеиеием формулыр^) =0р^) =0

из (7.33), многократным примеиеием формулы

из (7.33), многократным примеиеием формулы

р^) =0

р^) =0

= exp [(1+AdT)2 ^ А^] , (7.41) получая:

^'Tjt'T.^ = exp [е8^*'д'] =

= у (1*'1* e‘i^t LfiLi" /7 42) V7T7 VnT

n=0

Так вычисленные собственные значения суть

^qY = п = 0, 1 .... ,(7.43)

а волновые функции соответствующих состояний -

<»Ъ I п> =<»Ъ I п> =к212,Vn7к212,Vn7<«k'><«k'>v7F7v7F7(7.44)(7.44)

<»Ъ I п> =

<»Ъ I п> =

к212,Vn7

к212,Vn7

<«k'>

<«k'>

v7F7

v7F7

(7.44)

(7.44)

Вывод, вообще говоря, применим к переменным обоих родов, ио. для переменных второго рода (^'^Ц^*')2^ и суммирование обрывается после л=0,1, которые, действительно, суть единственные собственные значения операторов Я^Я^ • Результат (7.42) получается, однако, быстрее на пути, ведущем к (5.78). Для иеэрмитовых переменных симметризация или аитисимметризация (о) не является необходимой и опущена в (7.40). Не нужно никакого упорядочения, чтобы получить.

*^;я0,т) = - iq^e^,(7.45)

что немедленно дает (7.42). Альтернативная процедура исходит из соотношения'

ТЗт<9Ът11»'т2> = O^'Til^Cr? Я^^Я^^ =

'^'«'W^lfV,(7.46)

которое получается, если вспомнить, что решение уравнений движения имеет вид

.<7(тр = еат47(т2) .■ (7.47)

Теперь интегрирование вместе с начальными условиями

<Я*'\Я'> = e^'l'(7.48)

дает (7.42).■

Упорядоченные операторы и теория возмущений

Более общая форма упорядоченного оператора возникает при разложении генераторов в сумму:

(7.49)(7.49)% - ^ + °м

(7.49)

(7.49)

Тогда (7.15) можно переписать в виде'

<P'T\q'T-dT>G = <^'т|<7'т-Дт^оехр[<[4т G(\^

= (р'т|ехр[^ dTrG*r)(x(T),T)] |^T-dT^ ,(7.50)

где индексы означают, что бесконечно малое изменение параметра осуществляется, соответственно, генераторами G и G0. Трансформационная функция результирующего конечного преобразования есть

<TllT2>G = (Tl | (еХР РГГ^г0^/^47)^)]]^ ^2/^ *<7 51>

G: .. В случае пре-G: .. В случае пре-где динамические переменные и состояния, встречающиеся в правой части равенства, изменяются вдоль пути интегрирования в соответствии с генераторами образования Гамильтона—Якоби мы . имеем

G: .. В случае пре-

G: .. В случае пре-

<‘11'2>«= <'1| (“»[<?-" "'«.О]) |<2) „■ (7.52)

''*2"

Другой вывод последнего результата получается непосредственно из фундаментального динамического принципа, применяемого теперь к изменению динамических характеристик системы. Таким образом, для системы с гамильтонианом..

Нх = Н° + ЛЯ1 бесконечно малое изменение параметра Л порождает изменение в гамильтониане и, следовательно, в трансформационной функции канонического преобразования ^jt^» которое описывается уравнением

ах<'|1'2>ах<'|1'2>= -<<<,1 /л я^О.О |'2)2= -<<<,1 /л я^О.О |'2)2

ах<'|1'2>

ах<'|1'2>

= -<<<,1 /л я^О.О |'2)

2

= -<<<,1 /л я^О.О |'2)

2

= -ij'd^^l^x^lHUO/Ol^x^l^. (7.53)

В последнем выражении зависимость от А заключается в двух функциях преобразования <^|#> и </|^. Повторное дифференцирование дает

^11 '2>=Н)2 И [ И'^ ,1Н Ыг и* wX^.n |/^+

+ /Л^Я^Ш^М')^ .(7.54)

где члены в скобках равны, а пределы интегрирования осуществляют альтернативный способ выражения упорядоченной природы произведения операторов. Можно также написать

21111

^il^-O2!dtJdt'<tx\ (яЬом)ЯW'M')] R^-

-<'.|[-'/,ЙЯ’]+1'2>' <7-55»

а общее утверждение имеет вид■

(m]”<‘il V - <'.| И’-"«ЭД',)- р

Следовательно, функцию преобразования для системы с гамильтонианом Н=Н°+ Я1 (А=1) можно получить формально как разложение в степенной ряд в окрестности точки А=0, и оиа поэтому оказывается выраженной через свойства системы с гамильтонианом Я0,■

= <‘.| Z «'Н J '“"*)21<®>«0(7'57)

п=0<2

Сопоставление этого результата с формулой (7.52) дает разложение упорядоченной экспоненты

[ехр р р/ Я1(х(ао]) = £ ^ J dA.. dt^ х

х p*(*(t(1)M(1))-• .Я,(^^'’)).^(П))) = (7.58) ,0),(-»+

=^ H)"/ Л(,)|Л(2). • • p(n>H\x(tw'). ^Ъ-.. н\^п^, ^) .

-’° Ч 4‘1

Задаваемое формулой (7.52) построение функции преобразования составляет обоснование теории возмущений, посредством которой свойства динамической системы выводятся из известных характеристик другой системы. Разложение (7;58) лежит в основе аппроксимационных процедур.

Применение специальной канонической группы

Свойства специальной канонической группы можно использовать как основу для некоторой техники получения трансформационных функций канонических преобразований. Если иас интересует преобразование Гамильтона-Якоби с бесконечно малым генератором -Н St, то мы рассматриваем расширенное преобразование, описываемое генератором - G = —Н St + [ ^>Sqa - Sp^ ,(7.59)

которое включает бесконечно малые смещения канонических переменных. Если допустить, что эти смещения выполняются независимо в каждом бесконечно малом интервале времени, а именно

5qaW =■ - Q^n St, Sp^t ) = - Ра(П St,(7.60)

то бесконечно малый генератор примет вид

G = - [я + YlPaQa - ^j]e^(7.61)

а расширенное преобразование выглядит как преобразование Гамильтона - Якоби с неким эффективным гамильтонианом.

Соответствующие уравнения движения имеют вид

в них явно представлены независимые изменения в канонических переменных, происходящие за малый промежуток времени. Если смещения Qa и Ра локализованы в момент /Q, а это значит, что

QaW = q'a6(t-tQ) . Pa(t) = p'aS(t-tQ) ,(7.63)

то уравнения движения приведут к конечному разрыву в канонических переменных прн прохождении момента времени ^о+°) - ^0“°) = < ’

Ра('0+°) - Ра^0-°) = Ра •(7-64)

В качестве применения последнего результата, можно заменить произвольные собственные значения канонических переменных, которые задают состояния в определенный момент времени, ■ удобными стандартными значениями с включением компенсирующего канонического смещения. Так, для tt>t

<р'ЦдЧ£ = <p'=0,/1+0|^=0,/2-0>Qp,.(7.65)

где локализованные в начальный н конечный моменты времени смещения

QaW = q^^t-t^. P«W = " Р'Л^,(? 66>

действительно превращают стандартные состояния в требующиеся для моментов ^(-0) и <2(+®)- Доказательство эквивалентности можно также получить, если применить формулу (7.52) для построения функции преобразования системы с гамильтонианом ^+£(PaQa-^aPa) нз Функции с гамильтонианом Н:

<4V^HQP = ^| (еХР["Ч ^A^j]]J^(7 67)

Для локализованных смещений (7.66) этот экспоненциальный оператор немедленно упорядочивается,

<Р,=0 ^1^=0 t£Qp =

= ^р'=0 ^je-^a^a^P e^I^P^alp'^ ^= <р‘ t^q't^ ,(7.68)

так как эти два экспоненциальных оператора производят нужные канонические преобразования в моменты времени и tY

Вариационные производные

Более существенная польза от специальной канонической группы возникает при рассмотрении произвольных смещений на всем интервале между ^ и tY В этом случае удобно унифицировать канонические переменные и писать

-Над W + Кад+ ад = IV. <7-69>

Бесконечно малое варьирование ^а(0 порождает соответствующее изменение функции преобразования

wv - <<,| п*ад4>)-

.53.

-pPVOsnTrCW- <7-7°>

2 которое определяет левую вариационную производную функции преобразования по Х'(0

- TST^W = <'1^01^ -(7-71)

Используемая здесь операторная структура смещений

Ха^ - рХ'^(7-72)

явно относится к переменным второго рода, где Х^ суть

антикоммутирующие элементы внешней алгебры, ар- оператор, который антикоммутирует со всеми динамическими переменными, однако эта структура покрывает также случай переменных первого рода, если "антикоммутирование" заменить "коммутированием". В частности, р—>1. Результат второго варьирования получается из (7.55)

' 1' 1

a?<W = ^P'P'T^i PW^WW =

з.з,_

= J dtdt'^ax^n д^)37Г(7)-37^77 ^ll^ •(7'73)

'2°°

и, следовательно, 1^/13/ •

ТЗТ^ТУТЭХ^У^!^? =

= еоь^'ГХ^'| WOx^^^+l^ '<7-74)

где

'+1,' t>V

е,, = е. =е,=1, е „(/,/') = -.(7-75)

« #а ала|3'’_^^^/

Из свойств 6Х' или явно из (7.74) вытекает, что вариационные производные коммутируют, кроме как, когда обе относятся к переменным второго рода, тогда они антикоммутируют. . .

В пределе, когда в определенном смысле t -> V, мы получаем произведение операторов, относящихся к одному времени, порядок перемножения которых все еще определяется временным порядком. Так

<WO«,(Oly> - 73X7n7ST^n)<'1l'? • <7-76>

тогда как

t<tx\xb(t)xa(tHt^> = |ЗХ7П73ХЩ+Щ<Ф? '(7-77)

где знак минус возникает только для пар переменных второго рода. Различие между двумя предельными переходами связано с перестановочными свойствами фундаментальных динамических переменных

«Я^о]}^-

= 3x7ц [зх^т+щ - sx^nPW =

а.

= ‘SX^TJ^lP^^ ~ ^t'"0^<7-78>

где ■ двойные скобки означают коммутатор для переменных первого рода или одной переменной второго рода, и антикоммутатор для переменных второго рода. Далее, в силу уравнений движения для системы с гамильтонианом Н - Г X х ,

. ан .'

~ эт л -- *р ™)

изменение динамических переменных за малый промежуток времени, вызванное смещением, имеет вид

■■ Г + 0'

.х(/+0) - х(/-0) = J dt' X(t') А*\(7.80)

t—о

Отсюда'

3.1

SX^j^lP^+O) - х^-О))!^ = (Л-,)а6</1|/2>,(7.81)

{[^(О^о]}-^-1^,(7.82)

что объединяет перестановочные свойствавсех фундамен

тальных переменных.

Произведение трех операторов, относящихся к одному и тому же времени, выражается формулой типа (7.76) ^^рх^ХьСО*^)!^ =.

13.43. <3.

= тзхтт+иутзх^тутзтгц^щ^^ф' <7-83)

и вообще для любой алгебраической функции F^t)) динамических переменных в момент времени t, с единственным ограничением — бы^ь четной функцией переменных второго рода, имеем

■ «^ИОШр = ^(I^W^ll ' 2>,(7.84)

где вариационные производные относятся к моментам времени, бесконечно мало отличающимся от t., как предписывает конкретный порядок умножения операторов. Если оператор Гамильтона — алгебраическая функция динамических переменных, мы можем использовать это дифференциальнооператорное представление как средство изучения родственных систем с гамильтонианом ХН и исследования влияния бесконечно малого изменения параметра Л,

Р2>х-

*2

■=<785>

*2

Это дифференциальное уравнение по структуре аналогично уравнению Шредингера, в котором функция преобразования, зависящая от бесконечного числа переменных X'^t), t^t а t2, играет роль волновой функции. Формальное решение, получающееся интегрированием от X = 0 до X = 1,

^tl^ax = «pH J |<"'[7ЭТГ(Гг]}<'^2>„<7-86)

Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований 215 представляет функцию преобразования ■ как результат процесса дифференцирования элементарной функции преобразования, которая относится только к специальным .каноническим преобразованиям. Более общая форма возникает из разложения■•

Н = Н° * н\(7.87)

Следует заметить, что поскольку Н° и Я1 — с необходимостью четные функции переменных второго рода, соответствующие дифференциальные операторы коммутативны. Применяя сначала экспоненциальный оператор, построенный из Н°, получаем..

<'ii<2>«, - <»рН'Л"'(тзгт)] <'.|>2>, •(788)

■<2Н X

что можно было бы также вывести и прямо, . модифицировав надлежащим образом (7.52). Это создает основу для теории возмущений, так как желаемая функция преобразования для гамильтониана Н получается многократным дифференцированием из более простой, соответствующей гамильтониану №.

Взаимодействие двух подсистем

Общая динамическая ситуация системы, образованной из двух взаимодействующих подсистем, описывается операторами Гамильтона ■

■ № = Н^ + Я2(х2), Нх = Я12(хгх2), (7.89) где через х{ и х2 обозначены динамические переменные соответствующих подсистем. Поэтому и смещения X распадаются иа два семейства Х^ и Х^. В системе без взаимодействия, описываемой гамильтонианом Н°, две подсистемы являются динамически независимыми, и, в соответствие с аддитивной структурой оператора действия, функция преобразования возникает как произведение функций преобразования для отдельных подсистем

Поэтому функцию преобразования для взаимодействующих систем дает выражение

-I J dt Н^ , 737т] =г12 J

= 6JC •^^Х.Х Ч 2/^= 6JC •^^Х.Х Ч 2/^(7.91)(7.91)

= 6JC •

^^Х.Х Ч 2/^

= 6JC •

^^Х.Х Ч 2/^

(7.91)

(7.91)

Обе подсистемы фигурируют в этой конструкции совершенно симметрично. Часто бывает, однако, удобно внести в точку зрения асимметрию, понимая одну часть системы, как движущуюся под влиянием другой. Гамильтониан ^1(х1)+^12 С*!*^^ описывает только первую систему, которая находится под воздействием внешнего возмущения, вызванного второй системой, с переменными, рассматриваемыми как предписанные, но произвольные функции времени. Функция преобразования для такой усеченной системы будет иметь вид ■

(7.92)(7.92)- ехр . / j dt HQ £| 5Л^0 «^Wjj^l | *2/н х'

(7.92)

(7.92)

а (7.91) утверждает, что полную функцию преобразования можнр получить, заменив предписанные переменные второй системы дифференциальными операторами, которые действуют на функцию преобразования, относящуюся ко второй системе без взаимодействия, '

(7.93)(7.93)

(7.93)

(7.93)

После того, как дифференцирования выполнены, смещения сделали свое дело и будут положены равными нулю на всем промежутке между ^ и t^. Потребность в ннх все еще сохранится лишь в начальный и конечный моменты времени, если функции преобразования соотносятся с некоторыми

Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований 217 стандартными собственными зиачеииями, но и оии будут приравнены нулю, если этот прием ие используется. Считая, ради простоты записи, что это так, получим функцию преобразования системы с гамильтонианом Н в виде

(7-94)(7-94)

(7-94)

(7-94)

который имеет форму скалярного произведения, вычисленного с помощью дифференциальной композиции волновых функций. Соответственно, с помощью известных эквивалентных способов вычисления таких произведений, равенству (7.94) можно придавать иные формы, как то

' Ak)=Ak) г ЛК) < • <7-95) 2 ^2°

а для переменных первого рода используемый здесь дифференциальный метод можно заменить интегральной композицией. .

Дополнение: Внешняя алгебра и■ принцип действия

Квантовому принципу действия, разработанному для квантовые переменных типа р=2, ие достает одной существенной детали, которая позволила бы ему работать как вычислительному инструменту. Чтобы преодолеть эту трудность, мы расширим нашу систему чисел, присоединив внешнюю, или грассманову, алгебру.

Внешняя алгебра порождается N элементами Е*, К=1...^ ДЛЯ КОТОрЫХ^£^,£^ J = О, в частности, £2 = 0.

Базис этой внешней алгебры образуют единичный элемент н однородные произведения степени d

е е ...£ ,к. < к„ <..< к.,

к к к .12d'

2 d

для d=\...N. Полное число линейно независимых элементов составляет

N

z_ dixN-^i - 2 •

d=Q\

Алгебраические свойства образующих не меняются при произвольных несингулярных линейных преобразованиях.

Чтобы представить, чего можно достичь на этом пути, рассмотрим новый класс специальных вариаций, строящихся как произведение £2п+1 с произвольной вещественной бесконечно малой линейной комбинацией образующих внешней алгебры

1^к _= ~ ^2п+1 I 5wfoce»c ‘к=1

Элементы такого класса благодаря множителю С2п+1 антн~ коммутируют со всеми переменными £fe и между собой

{^’Ч*^2^} = 0 , поскольку они являются линейными комбинациями образующих внешней алгебры. Поэтому генератор специальной вариации

^ - zi^ "-^^ - J ‘‘V-tM™ Яя, IC

коммутирует с любой такой вариацией

[д^.С^] = 0 .

Если рассмотреть коммутатор двух генераторов, получим где правая часть пропорциональна единичному оператору н билинейной функции образующих элементов внешней алгебры I ^Х - IP"VX ->4^^ ■

Последнее выражение коммутирует со всеми операторами и со всеми элементами внешней алгебры. Поэтому коммутатор коммутирует с любым генератором G^, н совокупность новых специальных вариаций имеет групповую структуру, изоморфную структуре специальной канонической группы для степеней свободы типа и=а>. Именно она, а не изучавшиеся ранее группы поворотов, является специальной канонической группой для переменных типа Р=2..

Все это заставляет нас пересмотреть принцип действия, используя теперь бесконечно малые вариации из специальной канонической группы. Класс генераторов преобразований G, удовлетворяющих условию [5?fe,G] = О,.

включает не только все четные операторные функции 2п-переменных ^к, но н четные функции ^к, умноженные на четные функции элементов е^. Генераторы специальных канонических преобразований входят в последнюю категорию.

Понятие эрмитова оператора требует обобщения, чтобы приспособиться к некоммутатнвностн числовых элементов. Обращение порядка умножения, связанное с операцией сопряжения, означает теперь, что (ЛЛ)1" = ^Л* , где Л - число, и мы, несмотря на расширение системы чисел, ■ продолжаем использовать прежние обозначения и язык. Таким образом, комплексное сопряжение получает алгебраическое свойство

^1^2^^2^1 '

Антикоммутативность образующих элементов сохраняется при такой операции, и поэтому мы рассматриваем комплексное сопряжение во внешней алгебре как линейное отображение ^—мерного подпространства образующих

< = Р^А-

Матрица R удовлетворяет условию ■ R*R = 1.

которое не является утверждением об унитарности. Тем не менее, существует параметризация Кэли:■

если det(l+/?) * 0. Тогда.

ё = е + г .е.'

к к L кХ X

удовлетворяют —*—

е = е ,

это означает, что всегда можно выбрать базис с вещественными образующими. После этого еще остается свобода вещественных несингулярных линейных преобразований. - Сделанное заключение останется в силе, если R имеет собственное значение -1. В таком случае мы можем построить p(R), многочлен по R, обладающий свойствами

(1 + R)p = 0 ,р(1 - р) = 0 . р* = р и р(-1) = 1 .

Матрица

R' = /?(1 - 2р) = /?(1 - р) + р'

также удовлетворяет R* *R'=1, причем det(l+/?')*0, поскольку обратное привело бы к существованию нетривиального вектора о, такого что

(1 + R'^u = ((1 + /?)(1 - р) + 2р)о = 0 ,

Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований 221 или, что эквивалентно, ри = 0 ,(1 + /?)о = 0 , ■

а это невозможно, нз—за р(—1)=1. Теперь, ■1 - 2d = L - В-- V

11 - р + ip*

н если мы воспользуемся представлением Кэли для R* через вещественную матрицу г', являющуюся функцией R, со свойством г'(—1) = 0, то получим

о 1 — р + ip 1 + ir' 1 - р + Цр + (1 - рУ'^

R = Т ~р-ф r^TF' * Г -р- ?(р +"(1 - ру*) ‘

Это устанавливает общность представления ■R = р/р* ,

где несингулярные матрицы р и р* коммутативны н, следовательно, доказывает вещественность набора образующих

элементы вещественного базиса задаются не в нуль пронзведеннямн^d-l)/2e е ...еибоГе е€ •••€ = (-l)^d-^/2e е •Эрмитовы операторы в расширенном смыслеэлементы вещественного базиса задаются не в нуль пронзведеннямн^d-l)/2e е ...еибоГе е€ •••€ = (-l)^d-^/2e е •Эрмитовы операторы в расширенном смысле

элементы вещественного базиса задаются не в нуль пронзведеннямн

^d-l)/2e е ...е

ибо

Ге е€ •••€ = (-l)^d-^/2e е •

Эрмитовы операторы в расширенном смысле

элементы вещественного базиса задаются не в нуль пронзведеннямн

^d-l)/2e е ...е

ибо

Ге е€ •••€ = (-l)^d-^/2e е •

Эрмитовы операторы в расширенном смысле

Когда вещественные образующие выбраны, остальные обращающн м нся

получаются как линейные комбинации обычных эрмитовых операторов, умноженных на вещественные элементы внешней алгебры. Генераторы 0^ — эрмитовы, как н коммутаторы /[G^G^].

Функция преобразования ^Jt^, связанная с неким обобщенным унитарным преобразованием, является элементом внешней алгебры. Она обладает свойствами

<т1|т2>* = <т2|т^ и <т^т£ = <т jr£ х <т Jt^,

где символ х обозначает суммирование по полному набору состояний, которые, по крайней мере пока, понимаются в обычном смысле. Эти свойства согласуются с природой комплексного сопряжения, ибо

«т^т^ X <т2|т^)* = <т3|т^ X СТ^Т^ = <Т JT^.

Для бесконечно малого преобразования имеем

<T+dr|T> = <|1 + idrG(£,T)|>,

где G — эрмитов, это означает, что его матрица из элементов внешней алгебры удовлетворяет

<°'|С|а">* = <a"|G|a'>.

Последующее обсуждение принципа действия не требует явного обращения к структуре специальных вариаций, и, сле- довательно, принцип действия преобретает двоякий смысл, зависящий от природы системы чисел.

Нам понадобятся некоторые свойства дифференцирования во внешней алгебре. Поскольку е^ = 0, любую функцию образующих можно представить единственным образом в двух альтернативных формах

Ле) = fp + ех^/ = ^о + ^гех'

где f0.ft»fr не содержат е^. По определению fr и /( суть правая и левая производные функции f(e) по е^, соответственно:

■ 3,1(6)arf(e)

Эех "" = Ч • "Зе” = Ч'

Если Де) однородна степени d, ее производные суть однородные функции степени d—1, левая и правая производные совпадают для нечетных d н противоположны по знаку, когда d четно. В частном случае нечетной функции е имеем

ЗеЗе. е = е (1 - 3. ) + е.З. , поэтому

Зе

Зе

Поскольку производная не зависит от элемента, по которому дифференцируется, повторное дифференцирование обращает любую функцию в нуль,-

^ = 0 .

Чтобы определить более общие вторые производные, напишем для Х*ц,

'f(e) =+ е f + е.е f. ,.

1X1 'О А* А Ц1Ц А

в этом выражении коэффициенты не зависят от е^ и е^. Последний член имеет две альтернативные формы■

■е.е/. = е е./ . ,

Ац Х'цХ

где

Тогда 8Лatf

ЗеГ ~ ^х + е^хц’ Зё ^р + ех^дх

Н'

м V^X ^ -х м

показывают, что различные производные антикоммутируют

Аналогичное утверждение применимо и к правым производным.

Определение производной было дано на чисто алгебраическом языке. Рассмотрим теперь функцию /(е+5е), где через Зе^ обозначена линейная комбинация элементов внешней алгебры с произвольными бесконечно малыми числовыми коэффициентами, и заключим, что

■_ ал f

№*»> - №) - V ^^ . V ^.^

в первом порядке по бесконечно малым числовым параметрам. Если это дифференциальное свойство использовать для идентификации производных, то его нужно дополнить требованием, чтобы производная имела степень ниже, чем исходная функция, поскольку к производной можно добавить любое числовое кратное произведения е^-'-е^, не изменив разностной формы. Кроме того, обратим внимание на возможность использования в дифференцировании произвольных несингулярных линейных комбинаций элементов ех, это выражается матричной формулой

■ (arleDf = (°'У[зё)ь

которая непосредственно следует нз разностного выражения.■

Применим теперь расширенный принцип действия к суперпозиции двух преобразований, одного, порожденного обычным эрмитовым оператором G, четной функцией ^к, и другого - специального канонического преобразования, выполняемого произвольно, но непрерывно по т. Эффективный генератор имеет вид 2 я"

G(C(t),t)- i^kWXkW .

где -Xfe(T)<fr есть специальная вариация, индуцированная в £kW за время dr. Объекты Хк(т) строятся как произведения ?2п+1 н линейной комбинации ех с вещественными числовыми коэффициентами, являющимися произвольными непрерывными функциями т. Чтобы воспользоваться принципом стационарного действия, сделаем то наблюдение, что каждый Хк(т) коммутирует, как специальная вариация, с генератором специальных вариаций, и поэтому

'6'Х (т) = 0 .

Тогда принцип действия будет утверждать, что .

где 8^к суть вариации, построенные нз элементов внешней алгебры. Мы не можем сделать окончательный вывод, что

так как остается произвол, связанный с членами е,---^, как и в определении производных нз разностной формы. Однако такой член не возникает при следующем вычислении

d^,1 Гл- 18

— = " Т - С " У = i — + X. .

dT 1У a^k k .

Эта явная неполнота принципа" действия исчезает, если наложить очевидное условие, что функция преобразования <т,|т^ есть обыкновенное число, когда все Х^х) обращаются в нуль. Таким образом, элементы внешней алгебры входят только через произведения операторов Х^х) с ^kW. в то время как последние получаются интегрированием уравнений движения, и члены, содержащие e^-*eN, в этих уравнениях не оказывают никакого влияния. .

Изучим теперь, как функция преобразования ^^т^^ зависит от Х^х). Необходимо все время помнить о двух различных множителях, формирующих X (т),

■Хк(т) = рХ'(т)..

Здесь.

р = ^^1- Р8-1-

а Х'к(х) является полностью элементом внешней алгебры. Таким образом, функция преобразования зависит по существу именно от Х'(х). Их бесконечно малое нзмеиенне вызывает

TiTi

8<т,|т^ = <7,1 рт€(т)бХ(т)|т^ = Jrfr<T^6X'|T^, тзтз

где опущен индекс суммирования А. Повторение таких ва-

8 Ю.Швннгер"

рнацнй дает упорядоченное пронзведенне

32т<т1|т2> = ptfr’-'-dT^Tjl gaX(TV--£3X(T2")D0|T^ = Т1

= jrir’"-^"^'^--^'^^^ <Til К(т1)-■‘^^"^IqIt^

эта форма характерена для четного числа вариаций. Элементы внешней алгебры подвергаются комплексному сопряжению с целью обратить порядок умножения. Чтобы прийти к последнему выражению, мы воспользовались тем обстоятельством, что специальные канонические вариации не являются явными функциями т, и, следовательно, антикоммутируют с ^, не взирая на значения т. Таким образом, 2m величин 5Х(т*)5Х(т2т) можно собрать вместе, . н это пронзве

денне кратно единичному оператору, так как р2=1. Множителем является соответствующее пронзведенне элементов внешней алгебры 5Х*(т'У *'бХ'^*”)* которое, будучи четной функцией, полностью коммутирует со всеми элементами внешней алгебры н, следовательно-, его можно вынести из матричного элемента. Обращение порядка умножения элементов внешней алгебры точно учитывает изменение знака, связанное с антикоммутативностью.'

Этот результат можно записать на языке функционального дифференцирования. Так, используя левые производные, имеем

<Т''

где в следствие антикоммутативности производных на внешней алгебре■

3...51 _ е г^!3...3

ЗХ'Сг’) SX'^^Jq °1 ^ЗХЧтЬ 8Х'^т)‘

Здесь■

. е0(т1 т2"1) = ±1,

в завнснмостн от того, четная нлн нечетная перестановка требуется для упорядочения последовательности т',...,т2т. Эта запись, однако, упускает одни существенный момент. На внешней алгебре с N образующими элементами не существует производных порядка выше, чем N. Если мы хотим вычислять неограниченное количество производных, чтобы строить, соответственно, общие функции динамических переменных, мы должны положить N=m, т.е. выбрать внешнюю алгебру бесконечной размерности. Тогда мы можем утверждать, что для любой четной функции переменных (т):

^il^WV* - W^'W/ = ^^^^ SY^x' )0.

В последнем альтернативном выражении с правой производной 5Т означает, что последовательные дифференцирования выполняются слева направо, а не обычным образом. Заметим также, что конкретный порядок умножения для произведений операторов, относящихся к одному времени, должен устанавливаться с помощью предельного перехода нз неравных значений т. В качестве применения функции преобразования <TllT2>G мы вставнм в четную операторную функцию G переменный множитель А и вычислим

3X<T1IT2>?G= ‘<Tll J^G(C,T)|T^ = ГртС^/ф:^T2T2

что даст формальное выражение

<T1IT2>G = ех₽ [хJ dTG^t/SX'.T^yT^T^X,Т2

в котором последняя функция преобразования целиком относится к специальной канонической группе.

Соответствующие теоремы для нечетных упорядоченных функций переменных ^ имеют вид

FfS/dX^^T^T^^ = -<T7t|p(l7^ №)0|Т^

И

^^т^ХрруаХ'^ <т,| т^т^т^*.

при условии, что состояния понимаются в обычном смысле. Поскольку вариации 8Х(т) не зависят явно от т, множители ре можно отнести к любому значению т. Если его выбрать как Tt или т2, то останется один оператор р, а произведение нечетного числа элементов внешней алгебры можно вынести из матричного элемента, если оно, как мы предполагаем, коммутирует с состояниями <tJ и It^. Различие в знаках в выражениях с левой и правой производной проистекает непосредственно нз свойства £ 8Х = —8ХД.

Пусть, например, F(^) - нечетная функция, которая появляется в левой части уравнения движения ЯС3 I G

Тс - *3?" = Х •

Поскольку Х^ суть специальные канонические смещения, вычисление соответствующих функциональных производных дает

CJpCt^tMt^ = Л'СгКт^,

нли

^jlXWptT^lT^ = ^т^Х'ГО,

и это приводит к функциональнб^дифференциальным уравнениям для функции преобразования ^Jt^^

f d S/ +[ИтЗТТтУ +f d S/ +[ИтЗТТтУ +8.G Р/ 11 х

f d S/ +[ИтЗТТтУ +

f d S/ +[ИтЗТТтУ +

^ [СТ'] - ^Wj<TllT2>^ = 0

и

„Г d 5Т a G fST 11

^il^erZfSXTfJ + М- LSX'J - *'(T)J = °

Из того, что мы узнали о нечетных функциях, можно вывести некоторые свойства следа функции преобразования. А именно

TKTjlpfrpFlT^ = Tr^lFpfr^lT^,

так как расчет обеих частей равенства дает

„<а* \p\a"><a"Tx\F\a'T^ .

Соответственно,

^(-^а0Тг<тат2>^= -TKT.lT^^ н, в частности,..

Г 3,3 ]„

[зТ^тУ + SX^flj^^ll^G = 0 ' что показывает, что след является четной функцией элементов X' (т). С другой стороны природу ■ следа характеризует соотношение■

Т^т^т,) (С(т,) + €(т2))|т2>*= Тг<т1|{р(т^(т^}|т^= О, являющееся утверждением об эффективной антнперноднчностн операторов £(т) на интервале Т = Tj— т2. Эквивалентные ограничения на след функции преобразования имеют вид

Г 3.3. ]„

[ЗХЧТ^ + 3X4f7rJTr<Ti|T2>e = 0 * или

■ [зхцт^ - ST^yJ^^^Ve = 0 •

ГЛАВА 8

ФУНКЦИИ ГРИНА

Включение начальных условий

Консервативные системы. Фурье-образы

3. Операторные функции комплексных переменных

Особенности '

Пример

Сокращенная функция Грина

Включение начальных условий

Самым простым методом построения трансформационных функций канонических преобразований, соответствующих параметризованным преобразованиям, является прямое решение дифференциальных уравнений, которые управляют зависимостью от параметров. Для развития во времени ими являются уравнения Шредингера

\^~НУ1^ = °' ^^^Р^ * Я) = °>(8П

здесь через Н обозначены днфференцнально-операторные представители гамильтониана, относящиеся к моментам времени ^ или ty которые зависят от конкретного выбора канонического представления. Искомая функция преобразования выделяется из всех решений этих уравнений Шредингера начальным условием для равных времен

•<Ф> = < I >,(8.2)

означающего, что трансформационная функция канонического преобразования не зависит от общего времени, а определяется только отношением между описаниями. Этот формализм становится на операторную почву, если написать

^l^ « <1^₽Н2)1>-■ <8'3)

где унитарный оператор эволюции по времени

УРгУ* = UW = УКрУ’(8.4)

должен строиться как функция динамических переменных,

которые не зависят от времени, путем решения дифференциальных уравнений

('^-"р^гУ-°.

у('гУ [-ат, - я] - °<8-5>

с начальным условием

■1/(^0 = 1 .(8.6)

Полезно включить начальные условия, которые характеризуют функции преобразования или оператор временной эволюции, прямо в дифференциальные уравнения. Это элегантно осуществляется введением подходящих разрывных функций времени, так называемых функций нлн операторов Грина. Запаздывающие и опережающие функции Грина суть матрицы, представляющие в том нлн ином представлении запаздывающие нлн опережающие операторы Грина, которые определяются, соответственно, равенствами

^^гУ = “‘МгУ ^(^Э

. GJtvt2) = t^yi/C^^(8-7)

где

М'гУ-{0, ^<*•*>

И'

Т|-Ргу = М*2*9 = 1 - MW •(8.9)

Разрывы функций т)+ и т)_ выражаются в дифференциальной форме как

^РгУ = - H±(W ^ - ± «СрУ . (8-10) н поэтому, вследствие дифференциальных уравнений (8.5) и начальных условий (8.6), запаздывающий и опережающий

операторы Грина удовлетворяют неоднородным уравнениям

{‘57- ")СРгУ = СРгУр^- Я) = З^ГУ •<8Л1>

Два оператора Грина различаются как решения этих уравнений, удовлетворяющие условиям

-G РгУ = 0, ' ^<*2

Wj)“°' V4•<812)

что, очевидно, согласуется с отношением сопряжения

GrVv4V = GaVyt^ •(8.13)

Унитарный оператор временной эволюции строится из этих операторов в виде

^РГУ = ‘[MW - W2)] '<814>

-■1.

Консервативные системы. Фурье-образы .

Для консервативной системы, у которой t не появляется в операторе Гамильтона, оператор временной эволюции и операторы Грина могут зависеть только от относительного времени

ищл^ = и^‘ с^гУ = °w» ‘-W. <8Л5>

и определяющие операторы Грина свойства предстают тогда в виде..

. [ф - я]с(0 = сю^ - я] = 3(0 ,

0^ = 0, КО; Ga(t) = Gr<-t)= 0 , ЬО.(8.16)

Теперь зависимость по времени в операторах Грина можно удалить, определив операторов евев■

1,1,. ОДЕ) = JA eiEtGr(t) = jdt elEtG^t), Im Е > 0 , -ево

1,

1,

ово

Gfl(E) = jdt eiE,Ga(O = jdt eiEtG^ , Im E <0.<817)

-00-00■

Как мы уже указывали, поскольку интегрирование распространяется ■ только на полубесконечные интервалы, этн фурье—образы существуют для комплексных значений энергетического параметра Е, лежащих в подходящей полуплоскости. Применение этого преобразования к дифференциальным уравнениям (8.16) дает

(Е - Я) G(E) = G(E)(E - Я) = 1 ,( 8.18)

определенных теперь как Е в указанных в (8.17) сопряженности между нн-(8.19)определенных теперь как Е в указанных в (8.17) сопряженности между нн-(8.19)(8.20)(8.20)для обоих гриновских операторов, функции комплексного параметра областях регулярности. Отношение мн. выглядит теперь как .'

определенных теперь как Е в указанных в (8.17) сопряженности между нн-

(8.19)

определенных теперь как Е в указанных в (8.17) сопряженности между нн-

(8.19)

(8.20)

(8.20)

G/E)* = Ga(E*).

Обращение (8.17) содержится в

ш

G(0 = 21 JdEe-;£tG(E), -со■

где путь интегрирования проходит параллельно вещественной осн, сдвинутой в область регулярности рассматриваемого оператора Грина.

Операторные функции комплекснойпеременной

Оба грнновскнх оператора формально задаются выражением

G(E) = Е ="77 = У ^Ч"^" 1^' 1( 821)

■ Е к*

и поэтому образуют вместе единую операторную функцию комплексного переменного Е, определенную везде за исключением, быть может, общей границы двух полуплоскостей, т.е. вещественной осн. В самом деле, выражение (8.21), написанное на языке собственных векторов ■ оператора Я н

дополнительного набора интегралов движения у, показывает, что особенностями функции 6(£) являются простые полюса на вещественной оси Е, которая совпадает со спектром значений, энергии системы. Таким образом, построение функции Грииа в некотором удобном представлении и исследование ее особенностей даст весь энергетический спектр системы вместе с автоматически нормированным н полным набором волновых функций этих энергетических состояний. Например, для системы с гамильтонианом H(q*,q) функция Грнна G^q*‘,q‘,Е^ могла бы получаться решением неоднородного дифференциального уравнения

G(q*',q',E)G(q*',q',E)Г ♦ а1 1 \Е — Н q ',—аг I

G(q*',q',E)

G(q*',q',E)

I

= <Д*' \ q*> = exp•(8.22)

Iе J

Представив решение в виде

G^'.q'.E^ = У <^^-L^^-^Zil4i> ,(8.23)

TV

обнаруживаем всю желаемую информацию о значениях энергии и волновых функциях. Следует также обратить внимание на возможность построения частичной функции Грина, которая содержит информацию о некоторой выделенной группе состояний. А именно: если мы положим собственные значения q' в дифференциальном уравнении (8.22), равными нулю, то оно

приметЕприметЕвидвидG(q*',О,Е) = 1 ,G(q*',О,Е) = 1 ,(8-24)(8-24)

примет

Е

примет

Е

вид

вид

G(q*',О,Е) = 1 ,

G(q*',О,Е) = 1 ,

(8-24)

(8-24)

а его решения будут давать значения энергии только для тех состояний, для которых <£'■$' |0> * 0. Все эти состояния все еще представлены и в еще более специальной, функции Грина

6(0,0, £) = J"

l<f^l2.

(8.25)

где коэффициенты КЕ'у'|0>|2 удовлетворяют условию

Е КЕ'у'|0>|2 = 1 ,(8.26)

Е’Т

и, следовательно, дают вероятности реализации различных энергетических состояний в измерениях на состоянии |0> с нулевым собственным значением.

Особенности

Особенности функции Грнна можно определять из ее разрывов, которые встречаются при пересечении вещественной Е-осн. Так, для вещественных Е

lim [ G(E+ie) - G(E-ie)] = с-н-0

= 11? [ E-H+ie ~ E-H-ie ] ~ ~2я‘ 5(£~#) =

= 2ш Е S(E-E') \Е'7'ХЕ'7' I ,(8.27)

f г'

согласно известному представлению дельта-функции 5(z) = lim 1<8 28)

' . .с->+о г + е .

Заметим, что (8.27) дает также меру неэрмнтовой части

ОДЕ) для вещественных Е:•

lim [G(E+te) - G(E - ie)]= G (E) - G*(E) .(8.29)

.e^+оrr

Разрывов нет и Gf(E) эрмитова во всех точках веществен

ной оси, не принадлежащих энергетическому спектру системы, в то время как дискретные значения энергии распознаются по соответственно расположенным разрывам. Если спектр энергий непрерывен, начиная с Ео, разрыв для Е > Eq равен .

Существование такого конечного разрыва для каждого Е > Eq означает, что G(E) имеет точку ветвления при Е" = EQ, а непрерывная линия полюсов, простирающаяся от EQ до бесконечности образует разрез Е—плоскости. Таким образом, точная природа спектра энергий системы содержится, в характере особенностей, проявляющихся в G(E) как в. функции комплексной переменной.

Пример.

Элементарный пример единственной свободной частицы в пространстве нерелятивистскй описывается в г—представлении уравнением для функции Грина

[£ + ^?2] G^.r'.E) = 5(Г-И •.(8.31)

В его решении

G(r,r',E) = - ^^1^-L, - р = (2mE)v2(8.32)

фигурирует двузначная функция Ev^ комплексного энерге-1 тического параметра, которую надо интерпретировать как +i|£|1/2 при £<0, чтобы функция Грина оставалась ограниченной при |г-г' | -> и. Соответственно, ддя £>0 мы должны иметь £V2=+1Ё |1/2 сверху от вещественной оси и £1/2=—| £ |1/2 — снизу. Следовательно, прн пересечении вещественной осн есть разрыв для £>0, составляющий весь энергитический спектр, поскольку функция Грина всегда ограничена как функция Е. Разрыв составляет

G!j,r',E^ — Св(г,г',Е) — 21 Im СДг.г' ,Е)

■ =-*""Z}qr/1 Р^Р1 (833)

J (2п)3

где в последнем выражении интегрируется цо всем направлениям вектора р = рп. Сравнивая с (8.30), видим, что различные состояния с заданной энергией можно помечать

единичным вектором п, определенным с точностью до бесконечно малого телесного угла dto. Соответствующие волновые функции в г-представленнн имеют вид

<г|£п>=<г|£п>=[d(^-L (2tr)[d(^-L (2tr)(8.34)(8.34)

<г|£п>=

<г|£п>=

[d(^-

L (2tr)

[d(^-

L (2tr)

(8.34)

(8.34)

где (dp) — элемент объема в р—пространстве.

' 8.6 Сокращённая функция Грина

Сокращенное выражение функции Грина оказывается полезным в двух общих ситуациях,, которые частично могут совпадать. А именно: может случиться, что, благодаря учету симметрии, ' имеется одни . или несколько совместимых интегралов движения, и требуется исследовать состояния лишь для конкретных значений этих величин, нлн когда в целях классификации интересно построить состояния некой возмущенной системы, которые наиболее близки к определенным состояниям родственной невозмущенной системы. Обе ситуации можно характеризовать как разделение полного набора состояний на две части, нлн-на два подпространства, что символически записывается в виде

1=^ + ^,(8.35)

где символы - измерения, нлн операторы проецирования, удовлетворяют соотношениям

М2 = М., М 2 =, ММ = ММ = 0 ,(8 .36)

а требуется построить спроецированный оператор Грнна, относящийся только к подпространству Му

.■ М^(Е) М} = ^Е).(8,37)

Из уравнения

(£ - H)G(E) = 1(8.18)

получаем равенства

М^Е-Н^М^ M^G(E) М^ = М^(8.38

и

М^Е-Н) (А^* M^G^E) ^ = 0 ,(8.39)

которые мы запишем в виде (Е - ^ ^^Е) - ^ ^G^E) = М, (Е - 2Яг) 2°1<£) ~ 2Я1 №> = 0 •(8.40)

В пределах подпространства М^ второе уравнение формально разрешается

А^ - B-=V2 2я, А® •<8«>

и мы получаем для определения ^(Е) уравнение

[Е - ХНХ - bxHx(Ey}xGx{E) = Mv(8.42)

где

4А - Атг^г.А-<8«)

Если эти два подпространства относятся к различным значениям интегралов движения для полного гамильтониана, то не найдется ни одного матричного элемента, связывающего эти подпространства, т.е. ХН2 = гНх = 0, и (8.42) преоб- ретает вид фундаментального уравнения для функции Грина (8.18), определенного теперь только в рамках пространства мх.

ГЛАВА 9

ПРИЛОЖЕНИЯ

БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ КВАНТОВОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

Введение

Осциллятор

Внешняя система

Улучшенная трактовка

Общая теория

КУЛОНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА

БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ КВАНТОВОГООСЦИЛЛЯТОРА1

В настоящей работе излагается метод прямого вычисления средних значений с помощью принципа действия. Метод детально иллюстрируется на конкретном примере гармонического осциллятора, испытывающего воздействие со стороны какой-то другой системы. Эта простая задача, будучи значительно проще сложных проблем квантовой теории поля или теории многих тел, имеет вместе с тем и непосредственные физические применения, например для вычисления сопротивления излучения или усиления одной нз волновых мод в полом резонаторе за счет вынужденного нспускання. Последовательно рассматривается поведение осциллятора под действием внешних сил, случай осциллятора, слабо связанного с некоторой внешней системой, и улучшенная трактовка той же задачи. В заключение дается краткое изложение общей методики.

Введение

Заглавие этой работы относится к элементарному физическому примеру, которым мы воспользуемся для довольно подробной иллюстрации решения следующей методической задачи. Квантовый принцип действия2 представляет собой

'воспроизводится статья Schwinger L // J.Math.Phys.- 1961. - V.2, No.3. - Р.40?. (Перевод В.Л.Боич-Бруевича.)

В связи с квантовым принципом действия см., например, Phys.Rev.- 1951.- V.82.- Р.914; 1953. - V.91. - Р.713, Phil.Mag. - 1953.- V.44. - Р.1171. Первые две работы

дифференциальную характеристику функций преобразования, <а'Ц\Ь't^, и, следовательно, идеально приспособлен для практического вычисления вероятностей перехода (включая и определение стационарных состояний). Во многих задачах, однако, приходится вычислять не вероятности отдельных переходов, а скорее средние значения тех или иных величин при заданном начальном состоянии:

<^(^>6,t=XaM<b*41°'^<°'' ,1W ) I«"*^<«*' }b't£.

В более общем случае и начальное состояние является смешанным. Спрашивается: нельзя ли, основываясь на принципе действия, развить метод, который позволял бы вычислять

ЭТИНОГОЭТИНОГОсредние значения непосредственно, без предваритель- определения индивидуальных функций преобразования? Согласно принципу действия

ЭТИ

НОГО

ЭТИ

НОГО

. *2

И

*2

Здесь и в дальнейшем Ь=1; мы будем считать также, что t^ t^ . Эти комплексно сопряженные выражения соответствуют двум возможным точкам зрения: развитие во времени можно изучать, либо продвигаясь вперед, либо двигаясь попятно, во времени. Две введенные здесь функции преобра

зования связаны соотношением д[Т/<6Ч2|аЧ1><аЧ1|6"^] = 0,

выражающим условие сохранения нормировки

<6^216"^ - З^Ь'.Ь").

включены также в сборник 'Selected Papers on Quantum Electrodynamics.''- N.Y., 1958. Недавняя дискуссия содержится в Proc.Nat.Acad.Sci.— 1960. - V.46. - P.883. (Переводы первых трех работ см. в [8,9] цитируемой литературы Предисловия переводчика, перевод последней дан в разделе 6.17,- Примеч.пер.^

Пусть теперь развитие во времени в положительном направлении подчиняется одному динамическому закону, а в отрицательном направлении — другому! Тогда функция преобразования для процесса, "замкнутого во времени",, будет вытекать из принципа действия:

a<t21^ = 3 [<t2| t ^t t\Q}=i<tj6 [J^Z- + JdtL _]| ^ .

Здесь знак умножения символизирует композицию ■ функций преобразования, фактически осуществляемую путем суммирования по полной системе функций. Если, в частности, операторы Лагранжа L+ содержат слагаемые А+(/)Х(О» т0

8/^ 1^ = ^ 2I J dK5X- SA J ^) I ^ ■

и, следовательно,

-'8XJT/W - ‘^^t/GI'^ = <4X<4V£

В последнем равенстве величины А+ уже можно отождествить друг с другом. ■

. Итак, подобрав должным образом лагранжиан возмущения3, зависящий от знака . времени, и вычислив функцию преобразования для пути, замкнутого во времени, мы можем определить среднее значение любой физической величины. Начальное состояние при этом может быть как чистым, так и смешанным.

Осциллятор

Для иллюстрации высказанного замечания рассмотрим прежде всего осциллятор, иа который действует произвольная внешняя сила. Эта система описывается оператором

Мы пользуемся здесь языком динамики. Одиако фактически измеиеиие гамильтониана системы может иметь и кинематическое происхождение, что связано с рассмотрением не динамического (порождаемого гамильтонианом), а какого-то другого преобразования. См. разделы 6.19, 6.21.

Лагранжа•

L = ^* Й - “У* У - н*к^ - «^ ■ ■

Здесь пара взаимно дополнительных неэрмнтовых операторов у, iy* связана с эрмитовыми операторами q, р равенствами

у = 2_±.Ф.,= BL±Jg_

V2V2 ■

. Из принципа действия вытекают уравнения движения

i^ - иу = К .-i^ - toy* = К* .

Решение имеет вид•

'у(0 = e'^'-Vgty - <J dt'e-^^Kkt'^;

ч

для у* надо написать сопряженное выражение. Поскольку мы теперь считаем силы, действующие при эволюции в положительном (К+(0»^*(0) и отрицательном (К_(0»^С(0) на" правлениях во времени, различными, следует вычислять интеграл вдоль соответствующего пути.' Так, двигаясь в положительном направленнн от момента t^ к t>t^ , имеем " у^П = е-^Руд^ - ^и^-^кДп.

С другой стороны, прн обратном двнженнн, когда мы возвращаемся к моменту t от более позднего момента tj ,

у^е-^-^ У.^-^dt' е*£Ц*-*'^K^t' )+/]*dt' ^~е^KJt') .

Заметим, что

У_^ - У4^ = 0 ’

1

УАЧ) - у^ = 4 ^е^^У [К_(0 - К+(0] .

Начнем с вычисления функции преобразования для основного состояния иевозмущеииого осциллятора <0?2|0?2>^±. Это состояние характеризуется . условием

<0/2|у*(/2)У(/2)|0/8> - О,

эквивалентным следующим задачам иа собственные значения: y(f2)|0f2> = 0,<0^1/^ = 0.

При К+=К_ и К*=К* функция преобразования равна просто единице. Поэтому надо посмотреть, что получится при независимом измеиеиии К и К_ и К* и К*.

Согласно принципу действия мы имеем

a^o^io^^ = -t^21 ]^(ак>+-зО_) +

‘а

+ J dt^SK^- м*_8КЗ |о^ *

Принятый нами выбор начального состояния влечет за собой следующие граничные условия для уравнений движения:

Соответственно

y^t) = -iS dt' ^“'Ч^-ПК^') ‘а и

‘1,‘1,■

УЛО = ~4 dt' ^~^~‘ ^КДГ) 4- tJ df е^~* 4_kt-f ^KAt') •.

‘а‘а

К этим выражениям надо добавить еще сопряженные им;

и, t-v < о , Io, t-v > о ,и, t-v < о , Io, t-v > о ,таковые получаются, если поменять местами значки "V и "—". Для удобства мы ввели здесь ступенчатые функции

и, t-v < о , Io, t-v > о ,

и, t-v < о , Io, t-v > о ,

fl, t-V > О

Dj^') = 1

+[О, t-V < О

7)+(г-О 4- H_<t—V) = 1 ,7)+(0) = 7)_(0) = £.

Мы будем также пользоваться нечетной функцией ■ e(t-V) = n^t-V) - H_(t-V).

Пользуясь выражением для у+(0 и i/+(0. можно получить дифференциальное уравнение для l^O^IO^*! ; его решение имеет вид .

<0^10^^ =<0^10^^ =Г г1 *

<0^10^^ =

<0^10^^ =

exp -tJdWr/<\t)G/t-V)K(V)

1 ч

Здесь приняты матричные обозначения:

ииW) =W) =К+(0 •K-W .К+(0 •K-W .О . •Mt-O.О . •Mt-O.

и

и

W) =

W) =

К+(0 •

K-W .

К+(0 •

K-W .

О . •

Mt-O.

О . •

Mt-O.

В силу тождества 1) 4- i)_= 1 сумма всех элементов матрицы Go равна нулю. Это обстоятельство обеспечивает обращение функции преобразования в единицу при совпадении К+ с К_ и ^ с <.

Операторное представление GQ можно получить, составляя вторую вариацию:

8^ 8^0^10^^ | ^ = -i\dtdV 8K*W G^t-V) ЗК^'У

В общем случае, выполняя два варьирования по различным параметрам, фигурирующим в операторе Лагранжа L и не

он ввиини<1ц *^Й^ и (s^ Hodoxedduo ониэяхэхэяхооэ ndoxxdH энннэяхэдоэ уняэ1г и gHHBdu - |г;,^А> и <г;,А| я ониэяхэхэяхооэ KoiaBlnBdHadu q+c; Ххиэиои х |г;о> И ^ol ИИПХнХф 1ГИЭ ХИХ6 ИЭИЯХЭуэТ TOU ‘НИТИН 14 И XB^f

• /Xя =- (о+5)7я'- (о+5)+^

HWBHxoHBHBd вэxэвжвdня XHdoxox вняхэуэт XBX4irXead

' (5-*,/?- = UT^ * ^^5«fi? = bVM

нуиэ 3HHEBdgoBX4iraT иэтэяя ивзи yoxe Biry КИНКОХЭОЭ охончйвьвн oJOdXdT ojog -О11Г И1ГТ И ЧХИнХгОИ ОНЖОИ HXBX4IfXE3d энньиаотвнв оди ‘ИНН -3hHHBdJ0 ОЗОННЭЯХЭЭШХЭ ХЭИ1ГЯВХЭОЭ ЭН OJOH41TBhBH эяхээь -вх я BdoxBirirHHoo вннврхэоэ ojohhohoo оннэнн dogng

•{(,/)/'(;)«} = "(Ul/GW + +C(,;)/(^ вяхээтжох OJOxodhHBdgMTB ей чээте хэвхэхпя — яопдц-охэ и xodxo ни -иХэ cmitXh 0HX3H3HBd— °у HHHdxew ояхэуояэ этня эониэьэихо •ВНВИНОХЧ1ГИИВХ ОХЭНКмХнХЭХЭЯХООЭ ОНЧ1ГЭХИЭОНХО HHHXOHOJddg -нэЕуэх вэхавтяв Hdoxedduo в ‘BdoxBirirnnao олоннэтХиЕОЯ -эн аинвохэоэ Хионяонэо он noxXddg винэьвне 3HHT3do эта

Г°<С(,а,я(;)/9>°<(,#).»(#)»>-1 ,

ОННЭЯХЭХЭЯХООЭ •эх

-TBdou woxodhHJOiroHodx я ннэжoIrouэвd И1ГЭХИЖ0НИ ээя чээтд ■<5l["(Lt)~7zeG)-7le) + (,;)+7ls 0)~7ге - (^)+7s₽ 0)"71₽ -

- +С(^)+78еОГ‘/$8}-,^р{ Is ;> = Х^ЛЪ/г^-

WdBhXirOU ‘HH3W3dH хнэиои у НН -нвт я xHHHBWdddH хихээьиивнит HXHdwXadB я оняв ииШвтохя

svtКИИЭЖО1Л«|Ц-6 ^1

внимание прочие силы произвольного вида, получаем для функции преобразования на пути, замкнутом во времени:

^‘ЧМГ^Ч =^‘ЧМГ^Ч =exp у 'у* - у *exp у 'у* - у *

^‘ЧМГ^Ч =

^‘ЧМГ^Ч =

exp у 'у* - у *

exp у 'у* - у *

dHCwaj.!-^ д’- zj dtdf leWj.t-l’WI .

где

IIJ dte^^^K.W - К+(О]J dte^^^K.W - К+(О]ииг ‘г як.,№ и . а i J dtKAt^G^t-t^г ‘г як.,№ и . а i J dtKAt^G^t-t^= /ле-^^^О - <(/)].= /ле-^^^О - <(/)].

I

I

J dte^^^K.W - К+(О]

J dte^^^K.W - К+(О]

и

и

г ‘г як.,№ и . а i J dtKAt^G^t-t^

г ‘г як.,№ и . а i J dtKAt^G^t-t^

= /ле-^^^О - <(/)].

= /ле-^^^О - <(/)].

Собственные функции неэрмитовых канонических переменных образуют полную систему и допускают физическую интерпретацию в терминах "максимально совместимых" измерений величин q и р*. Сейчас, однако, нас больше интересуют не- возмущеииые стационарные Состояния осциллятора. СвяЗь между этими двумя способами описания можно установить, рассматривая функцию преобразования для невозмущениого осциллятора:

<УЪ^|у^2> = <У*' le-^^liO . -

Очевидно,

^^'‘W = ^V^W^-

Поскольку

^ - е^Г^) ,

Представление в неэрмитовых переменных было рассмотрено автором в Lectures on Quantum Mechanics (Les Houches, 1955), неопубликовано. (См. раздел 4.9. - Примвч. nep.)

правая часть предыдущего равенства принимает вид оу*' е-ь^Ч-9у*<У*' ^ I y"t^> .

и, следовательно,

<у*' ^1 У*О=ехР [у*' e'^^^V'YY ^—L-e-'M^-tgXy „) 12 LJ ул7VnT

я*0

Отсюда видно, что собственные значения оператора у* у суть неотрицательные целые числа, а соответствующие собственные функции имеют вид■

<У*' |п> = <■*') ,<п\у*> = 1У11-.

VnTVnT

Соответственно функцию преобразования в иеэрмитовых канонических переменных можно рассматривать как производящую для функции преобразования, относящейся к иевозму- щеииым стационарным состояниям осциллятора:

Интересуясь, в частности, выражением <nt^nt^K*, позволяющим вычислить любые средние значения при начальном состоянии п, мы должны найти ■ коэффициент при (у*' у")п/п! в разложении экспоненты

ехр^'у'+^'а+ру'+г] = У^ур- ^Уa*3zexp [у*'у*+у].

Все члены, дающие вклад в искомый коэффициент, содержатся в сумме

У (<х0)мехр[уЪу*+Г] =..

**0 (*•)

= 2п7 i Х^ ®ХехР ^*' y*+^~1«3yt * у"+г] -

Здесь мы воспользовались равенством 1г dA х _ 1 2uzj^fc+le ~ И

Таким образом,

<^2|^2>K± = exp [-zjd^'K*(/)G0(/-/')/((/')] x

x ^[ (1<«^(0<ъ('-9)ДР^.

где Ln - полином Лагерра; ои появился здесь в силу соотношения

jb^e^l-X-^)" = Ь^'л- = L,W

• Можно получить, одиако, гораздо более изящные формулы (из которых вытекают и полученные только что результаты), если в качестве начального состояния взять определенную смесь. Именно, припишем л-му стационарному состоянию осциллятора (в начальный момент времени) вероятность

(1 - е^е-"3",

где величину Р-1 можно интерпретировать как температуру. Принимая во внимание равенство

(1 - е^)^ e'^ LJx) = п"=0

= (1 - e^'^f ^еХ [1 - е-9" + аЛ^х]-1 =

получаем

^I^** = ^V-i^dtdt'K^G^t-t'^t'A,

где

«^t-П = iG^-t') + --1—-G^-^-.G^-Г)

«^‘ЧК = е'^^Ц ] ,1_<ЧЧ"^ = ^^-l 1) ,

Введем обозиачеиие

'<”>* еды _ } 1

Имеем .■'

lGlt-П = е"^ > +4 вв .

. Ь !-<”>, ^At-f) + <«>J

Кроме того, элементы матрицы Ge можно выразить через "термические" средние значения для иевозмущеииого осциллятора:.

Сравнивая эту формулу с предыдущей, видим, что действительно <п>^=<у^у>е, как это и должно быть. .

"Термические" выражения можно получить и непосредственным путем, решая уравнения движения, как это уже делалось при вычислении <0/2|0/2>^±. Следует лишь заменить диагональный элемент

<0/2|0фк± = <0f2|t/|0^

статистическим средним :

”t

(l-e"Pu)^e"ne“<^2|n/2>*t = (l-e-3<J) Тг ^е-^ ^(/].

Заметим, что '■

g-Puyt V у gflbwtv

и примем во внимание равенство, основанное на инвариантности следа относительно циклической перестановки сомножителей

Tr^e"^'^] = Tr^t/e-3"***^] = Tr^-^'t/e3"!/] .

Тогда

«/_U2) = е3"^). .

Это соотношение заменяет прежнее граничное условие У+('2)=0-

Далее,

У_(^) " y+U2) - -ij dt^^ [ЦМ_Щ ,

и, следовательно,

. »W - - -^г—ri dte^y^n-Kjm. е

Таким образом, к полученному ранее выражению для y+(t) надо добавить член

■-I <п>е ^dt е-^"*' > [К+(0 - K_<t')] ;

в результате находим

CW?1 = «2К,>^ X

хехр4^«>,/^ [К^О-К^ОЗе-^ } [^+К')-^')] } •

Это и есть наш прежний результат.

В качестве элементарного приложения найденных формул вычислим среднее значение энергии осциллятора в момент ^, если в момент t^ система находилась в состоянии термодинамического равновесия, а затем подверглась

воздействию произвольных, зависящих от времени сил. Мы имеем'

^I^WI^^ =

у Л—^з!^^

к+=к_, К*+=к1к+=к_, К*+=к1зк.и^зк*^) 2 2 •

к+=к_, К*+=к1

к+=к_, К*+=к1

Вычисляя функциональную производную 3/ЗК*(^), получаем множитель

г 5

последующая вариация по К.(^) дает

-Ю^ - (рик^О^и-^)]- (J^GaGr^)KG*)] -

и в результате находим искомое среднее:

"<”>, + у"<”>, + уI 5 ; , НЛе^ОI 5 ; , НЛе^О

"<”>, + у

"<”>, + у

I 5 ; , НЛе^О

I 5 ; , НЛе^О

Более обще, средние значения всех функций от у^Ц) и y*(t ) можно вычислить, зная среднее от экспоненты

e-4Wt> + ^9]

Последнюю величину можно найти, добавляя к Ки К* дельтаобразные силы

K+W = Mt^), К*^ = ЦЗ(<-9 ■

Заметим, что в данном случае величины К+ и К* не обязаны быть комплексно сопряженными в буквальном смысле слова. .

Таким путем получаем

+ Aj dte^i^K*^ - mJ dte^x^KU) .

4SJ

Здесь использовано частное значение ступенчатой функции V°) = г

С другой стороны, положив

К+(П - W-tA).К*(0 = pSU-t^),

мы получили бы ^le-V^e-W^I^* =

= exp -Хр<п>е+ Aj dte^x^K^n - mJ dte^C^KW

В связи с этими формулами стоит заметить, что столь повышенное внимание к средним значениям ие лишает нас возможности вычислять и индивидуальные вероятности перехода. Действительно, пусть нас интересуют вероятности переходов между отдельными стационарными состояниями осциллятора. Введем операторы проекций иа эти состояния, выразив их через у и у*. Средине значения названных проекционных операторов как раз и дают искомые вероятности. Как известно, оператор

Рп = 1”><я|

изображается матрицей

<УЪ \Рп\У*> = 1^р"= р*^")^-^'*"^*' |у*> .

и, следовательно.

V = 7iAyVe""vt;v У*-

*=о

Здесь точка с запятой обозначает упорядоченное в указанном смысле произведение операторов. Удобно ввести производящую функцию для этих операторов :

я* Оi

Заметим в связи с этим, что nIА=и«О

л»0■1

Таким образом, выражение

Т апр(л,О.К) = е ^^ехр[-Лр<л> + n-0L •

+ Ле^р/е^'/ПО - ne'MlJdfeM К(о] |х=р=0

дает вероятность обнаружить осциллятор в л-м квантовом состоянии, если на него действовала произвольная сила, зависящая от времени, а в начальный момент мы имели термодинамическую смесь.

Чтобы вычислить выражение

. X = е(1 Л)^ ехр [-Лр<л> + V " w] |х=р^..

заметим прежде всего, что

= е ^^Aexpt .]|w-

.= (1-«)е ^W 1-Хц<„> - ,),xp [ ] 1^.

Отсюда

ЭХ _ _ У (1-ОС) у

Зу» 1 + <л>(1-а) Х ’

и, следовательно,

X = ^expt-lrPr-a^^J .

Здесь

X ==*

О| Лжр-о I + <лХ1 — ОС) '

в чем легко убедиться либо прежним путем, либо прямым разложением в ряд. Таким образом,

|у|2 = U^e^KWl2.

Обращаясь к использованной уже формуле для суммы полиномов Лагерра, мы получаем

р(п,й.Ю = (1 - e-^e-^expt-lypU - е"^)] х

х L„(-4lT| 2sh2^] -

Этот результат не только описывает физическую ситуацию, в которой в начальный момент мы имеем термодинамическое равновесие, но и позволяет получить производящую функцию для вероятностей перехода между отдельными стационарными состояниями осциллятора:

У aVn.n',К)=

п=0

ехр[-|у|2(1 - e"^]Ln[-(l - е"^)^ - 1)|у|2] .

Этот результат (равно как и вытекающие из него формулы для вероятностей перехода) уже был ранее получен в дру-

гой связи5; здесь мы приведем лишь окончательное выражение■

p(n,n',K) = ^ С1Г|2Э * *[\* (И2)] e ,

где n> и n< - соответственно большее и меньшее из целых чисел п ил'.

Легко вычислить также и вероятности перехода в состояния непрерывного спектра эрмитового оператора

q = (у + yV^ или Р = ~^У ~ y^V^ •

Для этой цели положим А = ц = -р' ZV2; тогда

^le*'^)]^^ ехр[-|р'2«л>в+ ^) + Zp'^^^J,

где • Г SЧ "

<<КфК - - e^J dte^K^O - e-iwlj dte^KW - V^L »■«•

Умножая предыдущую формулу на exp(-ip'q') и интегрирую по p'Z2ir в пределах от -а до -н», мы получаем среднее значение 5-функции, З^^р-^']» т.е. вероятность найти значение q^t^ в единичном интервале около точки <Г-

Pkq*.tv^ = (Jth^J^expf-fth^)^-^^*)2].

Обратим внимание на еще один способ вывода формулы для термодинамических средних. Именно, пусть теперь обратное движение во времени заканчивается в другой момент t'2 = t^— Т. Будем рассматривать соответствующую функцию преобразования как матрицу и вычислим отношение следов

I^llZi^

Т«Ц|ф ’

^ Schwinger 1.// Phys.Rev. — 1953. - V.91. - Р.728. (Перевод: Швингер Ю. Теория квантованных полей. - М.: ИЛ, 1956. - Гл.2)..

которое обращается в единицу в отсутствие внешних сил. Согласно принципу действия, зависимость от величин /С*(0 и К+У) по-прежнему входит через операторы у+(0. У±(0- Связь последних с силами дается решениями уравнений движения, в частности

У_(^) = ^^у^ -.

- i^dte^-^K^ + ij'd/e^^KJO.

Заметим далее, что из структуры следа вытекает следующее граничное условие .

У_1^ - У^ • .

Действительно, рассмотрим выражение

'Тг</'| </_(/') 1^ = Vair2\yAt^\a4£.

Здесь операторы а, определяющие выбор представления, произвольны, с тем лишь условием, чтобы они не завнсили явно от времени. Мы имеем’"

^'t^XyAt*^ = £<а7 |у|а*><а*Г2|

Тг<Г21 у_(^ 1t^ [ <a"f21 a't^ <a* | у | a-^r^ у <^ 1t2> . a',a*■

Это и есть искомое граничное условие.

Начальное условие теперь принимает вид

у+^2^~ -«ыТ , х е — 1у+^2^~ -«ыТ , х е — 1j' dte^-^K^tY-J' dtA^^'A КАО .

у+^2^~ -«ыТ , х е — 1

у+^2^~ -«ыТ , х е — 1

и, пользуясь принципом действия, мы получаем для отношения следов

ex^i\dt<tt* iCWG^t-f') /С(Г)] х

« {- ^ггтИ"'"^ -*-«>] |3

Здесь временные аргументы К+ и К_ изменяются соответственно в пределах от t^ до ^ и от /' Д° Ц- В нашей конкретной задаче, функция К_(0 обращается в нуль в интервале от /' д0 ^2’ так что все интегРалы п0 времени можно вычислять в пределах от t^ до /г Тогда, поскольку

<^1 = ^Je-^-V", п = y\qy^» полученное выражение будет равно ■

Ti^l^^L^J

Tr</2|eWn|/2>'

Поскольку это отношение сохраняет смысл при замене

-<Т —» 0 > 0 , получаем искомый результат

Tr^le-^IO^ /#

Т^^ЧЛ” - .^«Д-ГДО^М-Ж^ .

9.3. Внешняя система

Закончив предварительное исследование осциллятора как такового, обратимся теперь к интересующей нас конкретной физической задаче — задаче об осцилляторе при наличии заданных внешних- сил, слабо связанном с некоторой макроскопической внешней системой. Воздействие внешних сил иа осциллятор и его взаимодействие с макроскопической системой будем описывать выражениями, линейными по координатам осциллятора, иначе говоря, выберем оператор ЛаГранжа в виде-

L = ^^ " “(А - У*К^ - У«*№ - V^qQ + £внеш.

Здесь ^внеш относится к внешней системе, Q(0 - эрмитов оператор, действующий на переменные этой системы.

Начнем с рассмотрения функции преобразования ^2^2> ^’ описывающей в начальный момент внешнюю сис-

*о*■

тему в состояний термодинамического равновесия при температуре б и, независимо, осциллятор в равновесии при

9 Ю.Швннгер.

температуре #Q. Температуру ^ можно понимать либо буквально, либо просто как параметр, с помощью которого удобно вычислять средние значения для отдельных стационарных состояний осциллятора. Чтобы исследовать взаимодействие между осциллятором и внешней системой, припишем члену взаимодействия переменный параметр Л и составим

производную

S^W’* =S^W’* =Х'з | j'-6 tv^W^H^-tOQ-OTl

S^W’* =

S^W’* =

2

Различие между прямым и обратным путями развития во времени возникает здесь только за счет различия внешних сил К+(0> действующих на разных участках замкнутого во времени пути. Условие макроскопичности внешней системы находит свое выражение в предположении, что состояние последней лишь незначительно меняется за счет взаимодействия с осциллятором. Соответственно в первом приближении операторы Q+(0 можно заменить просто числом <<Х0>е В этом приближении удается выявить лишь сравнительно тривиальные эффекты; поэтому будем считать, что

<QW\=0 - .

Это заставляет нас перейти .к следующему приближению. Составляя вторую производную по Л, - имеем

- ^2| риг [^Y^WW))+ -- ^2| риг [^Y^WW))+ -

- ^2| риг [^Y^WW))+ -

- ^2| риг [^Y^WW))+ -

- 2^)Q_(O^)Q+(r)+^(0Q(/M^)W/)]_]p2)K±

Предполагая, что состояние макроскопической системы мало меняется при возмущении, получаем приближенно

2*'1■

.- уЛ^Пум*) - ^О^ПЛ^-П +

+ w >у\т ajh')] 10К±,

где■

. <«<)«<')>.и отброшены все члены.. <«<)«<')>.и отброшены все члены.^ ) 0(0>, "

. <«<)«<')>.

и отброшены все члены.

. <«<)«<')>.

и отброшены все члены.

< eStOQt^yD >» ■ ■

содержащие уСОуС^') и

У (ОУ v' )• Последняя аппроксимация обусловлена предполагаемой слабостью взаимодействия осциллятора с внешней системой: за много периодов, необходимых для накопления эффекта возмущения, величины с временной зависимостью вида ехр [±iy0(<+<z)] будут подавлены по сравнению с зависящими от времени по закону ехр [±<у (<-<')]. Выясним теперь, какой член в операторе действия (относящемся к замкнутому пути осциллятора во времени) обуславливает это приближенное значение величины (д/дЛ)2^!^ при Л=0. Для полного действия, удовлетворяющего этому условию, мы находим (полагая Л2=1)

+ (£лл'{(у^0у(О)./.^-*/Ь^^-

- y_U' )y+(t)A^_(t-t') + bZUW')) AJH*)} . Применяя к этому выражению принцип действия, получаем нелокальные по времени уравнения движения

dyг*

Ът -“o^'J dV IMt^'^'VA^t-nyAt^^

dyj

^■-"о^--'] dV W3H* M' УА_Д1-Г )y+^ )№0, ..

а также

dy*-

-‘^“-^--‘■J1 dt* Х&ПАДГЧ)-уХ(ПАДГ^^^

Последние два уравнения получаются из первых с помощью формальной операции сопряжения и перестановки индексов плюс и минус у операторов и у функций К(0- Обратим внимание еще на одну полезную пару уравнений:

(' & - “о] (У- - yj - ‘j'^ \A_kt-n - АД-Щ X

х [у_(П - у+(П] = к_ - к+

и'

риг " "о) Су- + уЗ + « j'^7 [л^а-Г) ^(f-r)] х

X [у+(Г) + У_(П] - 'J dt'^M') + Л^Г-Г)] х

х М7) " М^Л = К+ + К-‘

Здесь ■'

Л_(/-Г) - АДМ') = - [Л^-Г) - АДМ'И -

- <[Q(O.Q(/7)]>,ti_(^7).

АДМ') - АДМ') = - [Л_(/-П - Л^-Г)] =

- ^О.О^)]^ -яД-П и

'АДМ') + АДМ') = <[Q(0.W,)]>«.

Нелокальный характер полученных уравнений не играет большой роли, если, например, в макроскопической системе корреляция между значениями Q(0 и Q^t') исчезает, когда величина \t-t' | еще мала по сравнению с периодом коле-

баний осциллятора. Действительно, при малых интервалах времени функция y(f) ведет себя приближенно, как ехр(—<У/); поэтому матрица АЦ-t'^ -в рассматриваемом случае эффективно заменяется на ■ '

^-Г^НУ^^ - Л(у), -СО

и уравнения движения принимают вид ,

[■-^ - “.] о,-- VJ - к,-к».

[‘зг - “+)&* + U - ,а(«. - vj -* к.

Здесь

у_ = Уо + *[Л__(у) ~ Л (у)] = у + дУ .

“+ = “о ~ ;Сл++(“) + Л^у)] = у - дТиa(y) = A^J^ + Л^у).

Л Гу) = Нт т/Л Гу) = Нт т/Заметим, что Л^у) и Л_+(у) - вещественные положительные величины. В самом деле, ' г/2It г/2

Л Гу) = Нт т/

Л Гу) = Нт т/

MQ(0)MQ(0)J dte^Qlf) J dte~

MQ(0)

MQ(0)

-т/2, —т/2

И■

Л^у) = Л_+(-у) .

Отсюда, в частности, следует, что . а(у) = а(-у) 3:0 .

Кроме того, из соотношения

у_-у+ = i[Л(у)+Л++(у)-2Л+_(у)] = /[Л (у)-Л (у)]

вытекает, что величина

у(у) = Л_+(у) - Л^у) = -г(-у)

вещественна. Далее

“ = у0 - ? [Л++(“) - Л—(“)] •

где•.

Л^-П " л-(^х) = <[О(О.О(^)]>веа-Г) =

= [^(^Ч - АДМ'^-П,

и, следовательно.

-к»

-«'М^") - л_(«)] = ^ J ^г^ ^'^.*-со

Таким образом, и оказывается вещественной величиной:

До сих пор мы ие делали никаких предположений о характере усредиеиия в макроскопической системе. Допустим теперь, что оно является термодинамическим: ■

<К>^= С'Хтй-^Х.С"1 = Тге-*",

где Н — оператор энергии внешней системы. Тогда средние значения будут удовлетворять условию

<<ЖП\- CK^O^t') = <^Q<t'Vi^->e.

Здесь использовано формальное равенство

Производя преобразование Фурье по времени, получаем отсюда явное соотношение

Л^у) = е^Л^у),

и, следовательно, е-»./,л (ш) . ^Ад и 2ch

Это - четная положительная функция у Отсюда следует, что

у(у) = а(у) th ^ s 0 при Ру > О ,

т.е. иными словами,

а(у) = 2у(у).

Окончательный результат этой части расчета состоит в том, что нам удалось полностью исключить нз рассмотрения внешнюю систему как динамическое образование. Мы получили эффективные уравнения движения для у+ и у_ , содержащие заданные внешние силы и три параметра: круговую частоту y(»yQ), у и а; последние два не независимы, коль скоро задана температура макроскопической системы. Дополнительные условия имеют вид

У_(^) " УА9 = 0 ' а также (если в начальный момент мы имеем термодинамический ансамбль)

уА^ = exP^.W»+^ •

Далее,'

УА^УА^ = А^иА^-^.е^

откуда вытекает начальное условие для второго уравнения движения:'

уАЧ^ + у At А - cth ^ (j‘ dtA“At-^ \kav >-КАШ .'

Искомое решение имеет вид'

‘ [у+(О+у_(П] = j* ас ^А^*' ^А^') [КА< • WAV)]-

- cth ^-J Л'[е ^V' ' ^7)+(/-/')+ez“-^ %_(/-/')jx

x IK_U'VK^t')]+ [cth ^-cth^]j'dre-^V'-V x

■.x е^'-^уСЛП - ^+(^)] •

Соответствующие выражения для y^ получаются перестановкой индексов + и — в формально сопряженном уравнении.

Полученные формулы описывают дифференциальную зависимость функции преобразования ^^t^^t от внешних сил; явная формула получается отсюда интегрированием и имеет вид

.<'21'2>Х = ехР ^-iJdtdt'K^OG^t-tyt'-t^KU'^ ■

.о

Здесь'

1°»^-м*-ч^ =е +( М^'),+

ОI -п-1 п J

п—1п+1.

+ е-^Ре^'-У^ - п)Ц -}) , где п0 = <п> , п = <п>_. Этот результат можно выразить и иначе, а именно

_ t-MH'>e-Kli-i'l/2p*'(‘"'‘'>+”"”1,

[ -п-17)_( /-/')+п]■

+ е ^ 'ехр|^-71^-2^JJ^O - ”Ц-1 1J

Проще всего, однако, рассматривать О как решение дифференциального уравнения

[[<37 " “JG " »(‘-'')[о[[<37 " “JG " »(‘-'')[о4)М - м -4)М - м -

[[<37 " “JG " »(‘-'')[о

[[<37 " “JG " »(‘-'')[о

4)М - м -

4)М - м -

Гл -п '

= -Ж/-/'hr , [-л-1 п+1

где символ dT означаетгде символ dT означаетоператор дифференцирования, дейс-

где символ dT означает

где символ dT означает

твующий налево; начальное условиеГ л_+ 1 №,,(0,0) =,твующий налево; начальное условиеГ л_+ 1 №,,(0,0) =,имеет видимеет вид-п-пООО 1 ■ 2-1О 1 ■ 2-1

твующий налево; начальное условие

Г л_+ 1 №,,(0,0) =,

твующий налево; начальное условие

Г л_+ 1 №,,(0,0) =,

имеет вид

имеет вид

-п

-п

О

О

О 1 ■ 2-1

О 1 ■ 2-1

а граничные условия суть

О ,

в более симметричномв более симметричномТо же уравнение можно представить

в более симметричном

в более симметричном

виде:

(‘пт - “+) (-‘иг - “-]с - (о -1] (‘пт - "J^-^) =

Г л + п- —л - 1

= -<3(/-Г)У2

—л — 1■ Л + ^ J

Заметим, что сумма всех элементов матрицы G равна нулю. Далее, из равенства

-[? oj^'^p о] = W^

вытекает, что комплексное сопряжение действительно приводит к перестановке двух сегментов замкнутого во времени пути; это равенство означает, что

-GV', 0^ = G(t f ^ . -Git', 01^ = G(t, t* ^ ,

-G(t',t)^_ = G^t,t'^.

Заметим, что функция . G^ ^t-t^.t'-t^ ие зависит от t^ (и представляет собой функцию разности t—t'), только если

<">»о = <">»•

Это, очевидно, соответствует случаю, когда в начальный момент осциллятор находится в термодинамическом равновесии с внешней системой при температкре О0=О > 0; в отсутствие внешних сил это равновесие ие нарушается. Если в начальный момент термодинамического равновесия .иет, то оио установится с течением времени и будет соответствовать температуре макросистемы Ф>0. Таким образом, начальная температура осциллятора ие оказывает влияния иа поведение функции G (t-tyt'-t^, коль скоро при заданном значении t-t*

Закон релаксации начальной энергии осциллятора можно вывести из соотношения

- 33 /^i^^L =

0 ОЛ_(«р ОЛ+( гро 1 л+=0

= -1Сеое^Г^2' ^Г^+- :

ои имеет вид

<п(9> = <п>е + £п>^ - <п> ^е “^Ц “^ X .

Пользуясь указанным ранее приемом введения дельтаобраз- иых сил, действующих в момент времени tv можно получить более общий результат:

<z 21 ехр{—z pu,*^ Р+ ^^jJl^J^ ехР [-AfI ^"(Ф + 4]+

+ Aj'd^-^r^^O - ^‘dte-^r^Ktoj ■

Эта- формула позволяет найти целый ряд средних значений и функций распределения.

Приведенная выше выкладка иллюстрирует одно общее свойство матрицы ОЦД'^, связанное с отсутствием зависимости от момента времени ^. Действительно, этот конечный момент времени отнюдь не обязан явно входить в функцию преобразования <t2\t^>Kt., и все интегралы по времени можно брать в пределах от Ц до -к». При этом под ^ следует подразумевать момент, после которого исчезает различие между К+ и К_, и функция G не должна зависеть от каких-либо моментов времени, больших ^. Так, например, в нашем случае введение дельтаобразной силы в момент времени L приводит к члену

1 оо"

• JdtG^-ty t-t2) х(0 ..

* 2 в котором функции К и К_ уже отождествлены между собой. Следовательно, должны выполняться равенства

G(M')[ 1 ] = 0, f > t, и

(1 1) G(t,t') = 0 , t > t* .

Они означают, что складывая соответственно столбцы н строки матрицы G(t—t‘), мы получаем запаздывающие и опережающие функции аргумента t—t*. В обоих случаях сумма двух элементов должна равняться нулю. Справедливость этих утверждений в. применении к вычисленной ранее матрице G (t-t2,t'-t2) легко проверить непосредственно; в общем случае они вытекают из операторного представления '

_ fXWy^U'n^-<у\Пу^Ъ

I ХуЮуЧГ»< 6/(0у (И)_> J

Действительно, как мы уже видели в связи с Q-произведениями,.

(у(0«/*(^))+- у*^^> = ytOyV) - (ytOyV))_=

И"

МО/(Г»+- уСО«Лп = /(^W) - ЫоЛ#'))_-

Между прочим, из только что полученных формул вытекает, что

< Ш-уЧ1'^^ ^‘-‘'^t-n + e-^-^'^JZ-r )=

Еще одно общее свойство матрицы G, также иллюстрируемое предыдущими соотиошеииями, состоит в положительной определенности величии -G^t.t'^^j.

-\dtdt* К^УОЦ-^Л*-t^K\n =.•

. ■= {^ЛК(0у(0]*1^К(0^^

Как мы видели,■■

-iG^-ty1' ~Ч>*_ = exp[-Л)(М') ~ rf^- ^]]<л>« +

+ е-**-'' ^exp [- Jy | t-t* |] - exp [- T ^' - ^]]}<">«;

Очевидно условию, положительной определенности здесь должен удовлетворять каждый член в отдельности. Для первого члена это тривиально:■

Jdfdt'К(Оехр[-^-Г) - Т^'- *J]*V) =

.= ||Ле-йМ-*2)к(о|2> 0 ;

второй член также обладает требуемым свойством, что видно из формулы

exp [- Jy | t-t' |] - exp [- у ^'- /J] =

«'2 Mi)2«'2 Mi)22 ” sin »'(/-/„) sin «'(/'-О "= [do'—

«'2 Mi)2

«'2 Mi)2

Все полученные ранее результаты, касающиеся свойств осциллятора, удобно представлять, введя в рассмотрение силы'

к±(о = л±ю + к(о, ' к*^ = ^(о + /Гео

и описывая влияние членов Л+(0 и Щ.(1у с помощью хронологических произведений:

= exp^Otdt'^Gkt-V'-t^t'^ +

+ /ЛЛ'^Ое’^-^Ч.^)^^) " МИ] "

- Jdwr[M+(0 - ^je^"''^-^^^')}.

Эта формула позволяет непосредственно вычислять средние значения произвольных функций от у(0 и yVty Менее явный, ио зато более простой результат можно получить, составляя средние значения функций от операторов

У{^П - <»Д^ - KW = К^,^ТП - »_)Ло - К*(0 = К*(0.

Заметим прежде всего, что

<к^» = о, <к^> = о, и, следовательно, флуктуации величии y(t) и у (t) можно приписать влиянию сил К^ и К*. Последние представляют собой, таким образом, квантовый аналог случайных сил, фигурирующих в классической теории броуновского движения по Лаижевеиу. Чтобы перейти к этой новой точке зрения, надо ввести величины

мо = [^ - у-)“±(о * мо - [-^ - «Jmo •

Простоты ради мы будем считать, что функции 11(f), ЦГ) обращаются в нуль на границах области интегрирования (по времени). Тогда, интегрируя по частям по t, мы заменим операторы у,. у* соответственно на Кр К*.

Чтобы выполнить эту программу, докажем следующую лемму о хронологических произведениях:

ехр{ J ^[л(0 + ^BV)

■= [ехр{ j'd^o}] ехр[/*^[Л + ^В. в]] .

2'2

Написанное равенство справедливо, если операторы [Л(0,В(0] и [dBCO/d^BCO] коммутируют со всеми остальными; делается также несущественное допущение, что функция В(0 исчезает на границах области интегрирования. Доказательство легко получить, заменяя В(0 на АВ(О и дифференцируя по А: ■

= j'dt [ехр{ j* )+ ^ В^ [ехр{ j } ]+22

Далее, ин*егрируя по частям, имеем,- принимая во внимание сделанные предположения.Далее, ин*егрируя по частям, имеем,- принимая во внимание сделанные предположения.

Далее, ин*егрируя по частям, имеем,- принимая во внимание сделанные предположения.

Далее, ин*егрируя по частям, имеем,- принимая во внимание сделанные предположения.

= Wj H-J"^^-®]

Интегрируя получающееся дифференциальное уравнение, приходим к искомому результату.■

Значение леммы легко уяснить себе с помощью преобразования.

-ф^+ду) = -:[Ы(К*+ К*) + и (Я + Я,)] + ^иУ*" «УЗ •

Отсюда сразу видно, что соответствующий коммутатор кратен единичному оператору:•.

^ + ^уВ, fl] = -t[Ay*+ ру, иу^- иу} = -Цци + Ло) —»

-—» -2йф^- - yju.

В последнем преобразовании отброшена полная производная, не дающая вклада в окончательный результат. Чтобы вычислить коммутатор [АВ], вспомним, что представляют собой величины Kj и К*. Согласно истинным уравнениям движения, К^п = СКПЧУо-у^П. К*(П = 9(0+(и0-б>_)/(0,

и тогда.

[Л(0»6(0] = -‘[“(%- »_)/+ у(у0- ^+)У . “У*~ ”УЗ= '

= 2to«(y - uQ).

Это выражение также пропорционально единичному оператору. Соответственно.

|exp^-tjd/(^y*+|ii/)J j = |ехр£-фВ(и(Я*+Я*)+о(Я+Яр)^} x x expfify - yQ)Jdtou - ijdtofi^j - wjul •

Комплексно сопряженное выражение дает аналогичный результат для аитихроиологического произведения.

Пользуясь теперь дифференциальным уравнением для функции G, находим■

X

'2

x^exp^-tj df(«K*+uKpjj |0Х = exp

<2+ вов

гдегдеК = уК = у..1" + ?-а - 1..1" + ?-а - 1Элементы этой матрицыЭлементы этой матрицыможно представить также в видеможно представить также в видеК3(^') =К3(^') =■ сск/ок^Ч)^ ХК^ПК*^»■ сск/ок^Ч)^ ХК^ПК*^»-<K^t')Kjlt)>-< (K/OK^) )J>.-<K^t')Kjlt)>-< (K/OK^) )J>.

где

где

К = у

К = у

..1

" + ?

-а - 1

..1

" + ?

-а - 1

Элементы этой матрицы

Элементы этой матрицы

можно представить также в виде

можно представить также в виде

К3(^') =

К3(^') =

■ сск/ок^Ч)^ ХК^ПК*^»

■ сск/ок^Ч)^ ХК^ПК*^»

-<K^t')Kjlt)>-

< (K/OK^) )J>.

-<K^t')Kjlt)>-

< (K/OK^) )J>.

Эти средние значения представляют собой окончательный результат, описывающий свойства осциллятора в условиях применимости использованных нами аппроксимаций.

Заметим, что когда число п достаточно велико и всеми прочими величинами можно принебречь, то

к”2а[-11)'к”2а[-11)'1 21 2а = у(п +а = у(п +&Ь&Ь

к”2а[-11)'

к”2а[-11)'

1 2

1 2

а = у(п +

а = у(п +

&Ь

&Ь

при этом порядок следования становится несущественным, и предельный случай: "при этом порядок следования становится несущественным, и предельный случай: "операторов в произведении мы получаем классическийоператоров в произведении мы получаем классический

при этом порядок следования становится несущественным, и предельный случай: "

при этом порядок следования становится несущественным, и предельный случай: "

операторов в произведении мы получаем классический

операторов в произведении мы получаем классический

^exp[-tJd/(«K* + у^)]^ = exp|-ptt £v(t)«(0] •

Мы заменили здесь «+~ «_ на и, a v+~ v_ на и. Вводя вещественную и мнимую части случайной силы

к, -1 (К, * «у. к’ -1 (К, - «у .

получаем классический результат в виде

^expj-tpttt^K, + “2^2) ])^ = exp[~J^TC“i + “2)]

Флуктуации в различные моменты времени здесь неза

висимы. Рассмотримвисимы. Рассмотримсреднюю (по времени) силу

висимы. Рассмотрим

висимы. Рассмотрим

г+Дг

К = ^ / dt'K^H

Беря соответствующий Фурье-образ, находим

<3 (КГ^)3 Р<2-К^>в =. ^ехр [- 4^, 2 + К^ g .

Это есть гауссово распределение вероятностей того, что значение силы, усредненной по интервалу времени А/, будет лежать в малой окрестности точки К'. В этом классическом предельном случае дисперсия а связана с множителем затухания у и макроскопической температурой О с помощью соотношения.

Наши упрощенные уравнения можно применить также к случаю, когда внешняя система ие находится в состоянии термодинамического равновесия. Для этой цели обратимся к вещественным положительным функциям А , (у), А^(у), описывающим внешнюю систему, и заметим, что в общем случае

A (-to)[ A (to) I-'

= -=±—г 0 .

Л+_(-у)A^_(to), .■

Это свойство удобно выразить, полагая■

^(»)'

где Р(у) - веществеииая четная функция, которая может принимать значения от -оо до +оо. Коль скоро играет роль только одна частота у, все мыслимые характеристики внешней системы можно свести к одному параметру Р; величина, ему обратная, играет роль эффективной температуры макроскопической системы. Новая физическая ситуация, которая может возникнуть при этом, характеризуется отрицательной температурой Р<0. Поскольку константа а по сути дела положительна, знак должна изменить величина у:

При этом взаимодействие осциллятора с макросистемой приводит ие к затуханию, а к усилению его колебаний.

Рассмотрим следующую последовательность событий. Пусть в момент t^ на осциллятор , описываемый термодинамической смесью состояний при температуре ^Q, начинают действовать внешние силы, причем действуют они в течение времени малого по сравнению с 1/|у|. По истечении интервала времени ~Р1~У* достаточно продолжительного для того, чтобы усиление стало весьма большим, т.е. чтобы стало справедливым неравенство

' ■ к = ехр^ |Т| Рг<2)] » 1 ,

произведем измерение (в момент, близкий к ^). Результаты всех возможных измерений содержатся в общей формуле для средних значений. Аппроксимации, отражающие данную физическую ситуацию, сводятся к следующему:

Jdtdt' [р+(0 - nJOle-^^'^t-t'Wt') ».

«*p[g+(0 - p^e^dt'e"1'К(П ,

jdtdt'K^-^-^^tt-t')^^) - М^7)] ~

* feJd^Oe-^J^'e^ [АДО - А_(Г)] •

и, далее,.

i^dtdt*^GV-tyt*-t^t^ « А2 <«>,+ —1—^-jx

х Jd/^VO-MjOJe^'fdr ^(^J-Ajr)]^'.

Поскольку сюда входят только комбинации р^- р_= р, А+~ Л_= Л, некоммутативиость операторов больше не играет роли: осциллятор возбужден до классического уровня. Чтобы выразить результаты наиболее простым путем, положим

.у(0 = ке-£иЧу + УпЗ . /(О = ^tf^ •

гДеоо

.у$ = -<рГем,К(Г). .

Полагая, далее,".

и = Ajd/e^O , v = Ajd^-^O , получаем результат, не зависящий от времени:

<«-<-«>•»>> - «хр[-(;«>,+ ) \-iei J“]■

Отсюда следует, что

<»? - <V> - 0 .

<!»„!=> - <->.♦ , _’е_|в|. = <->,; 1 ■

Таким образом, координата осциллятора y(t) представляет собой усиленную суперпозицию двух гармонйк. Одна из них обладает определенной амплитудой и фазой ("сигнал”); другая же характеризуется случайными амплитудой и фазой, распределенными по двумерному гауссову закону ("шум").

Эти соображения относительно усиления можно рассматривать как примитивную модель мазера, в которой осциллятор соответствует одной из волновых мод полого резонатора, а внешняя система - ансамблю атомов. В последнем должна быть тем или иным способом осуществлена инверсия населенностей для некоторой выбранной пары уровней (этого можно добиться, например, с помощью пространственного разделения или электромагнитной накачки).

9.4. Улучшенная трактовка

В этом разделе мы попытаемся снять некоторые введенные ранее ограничения. Чтобы рассматривать осциллятор с нелокальным по времени взаимодействием, удобно перейти от неэрмитовых операторов к эрмитовым. Соответственно начнем все с начала, записывая теперь оператор Лагранжа в виде

L - Р^ - Т ^ + ^Л + <,Г«)

величина Q теперь отличается от прежней постоянным множителем. Можно было бы включить сюда и заданные внешние силы, зависящие от, скорости. Воспроизведем вновь приближенный расчет функции преобразования <t^\t<^F"!t с по-

мощью эффективного оператора действия, учитывающего только простейшие корреляции в макроскопической системе. Эти корреляции описываются матрицей

KCWW'))^ <Q(OW')># ■I <<XOQ(t')>*<(Q(0W'))^,

Для оператора действия мы находим без дальнейших аппроксимаций■

v = ГЛ{ра? - ?(А°Уз + ^(о]+ -[]_} + ■+ | J dtdt* { W W ИЗ^нМ*) -

- 2q_Wq^t')A_^t-t') + ^ЖЗ-А^Н^.

Соответственно, .уравнения движения будут (мы записываем их в виде уравнений второго порядка, исключая р с помощью равенства p=dq/dty. . "

А 2„1.1

~2 + “фЛМ df VA^t-t'^q^VY-A^t-t^qAt'^F^

а 2 si ?

S-^kjO+iJ df lA^t-t'yqAt'y-A^t-t^qAt'^FAt) ■

Заметим, что операция сопряжения эквивалентна перестановке индексов + И —.

Положим

-чЛ^-f') =< [QW.Qtf')]^^') = Л^- Л^= А_- Л_,

-iA^t-t' ) = -< [QtO.^ )]>#D_(^Z) » ^-^ V" Л

a(t-f') = <{Q(0.W')}>#= V + A-V

Тогда наши интегро-дифференциальные уравнения примут внд

= FW-FW

2

И

^J + yj [»+(0+»_(0]-J dt- Ar(t-f) [»+(0+»_(0] +

2

+ iJ^aC/-^)^)-^)] = F^FJ^.

Граничные условия суть

ЧА^ - q^ = 0 ,^-('Р -= 0

H

vj<2)vj<2)dqA^ —Jl—dqA^ —Jl—. dq (L)

vj<2)

vj<2)

dqA^ —Jl—

dqA^ —Jl—

= ^+^2^ С^ ^0У0 + Уд Л ®h ^оуо • dqu^

= "^^^ Sh Р0Уд + —^-СЬРдУд

или в более удобной форме

»+(Z2) + ^ = 60Cth^ М4-^ " ^^ ’

ЗД?+(Ч) + ^^г)] = ~Ч cth-p р-<'г) " Mf2>] •

Эти граничные условия заменяют аналогичные условия в случае неэрмитовых переменных:

У_(У = ех₽ ^o“o)^f2)'У-^ = ехР(~^оуо)^У ‘

Заметим, что в эти выражения входит иевозмущеииая собственная частота осциллятора yQ, так как в начальный момент мы имеем термодинамическую смесь иевозмущеиных состояний осциллятора.

. Искомое решение уравнения для q_-q+ может быть записано в виде•

-оо,

q_W - q+W = Jdt'G^-ntFjr) - F+(t')] , ''+м

где G^t-t'^ - действительная функция Грииа, определяемая уравнением •

и граничным условием

G^t—t'^O, Ы* ;

Здесь мы ввели момент времени ^, начиная с которого разность F_- F+ обращается в нуль. Граничные условия для второго из написанных уравнений имеют вид

Р 0 W

q^qj^ = i cth -§-^J drXG0(f2-F)x[F_(F)-F+(r )] .0f 2"

.■2'.

Q У w

Т&яЛЧ^ЧЗ/2)]=-to0cth4^Jdr Ge(f3-Ox[F_(O-F+(f')].

*2

Соответствующая функция Грина для уравнения, которому

удовлетворяет сумма </++ q_, определяется равенством

G^t-t'^-O, t<t*.

Две вещественные функции Ga и Gr связаны соотношением

Gatt-t') = G^-t).

Искомое решение второго из дифферециальных уравнений имеет вид

»_(0+»_(0 = J dt'G^t-П [F+(t')+F_(t')J -

'- J di‘u^t-tyt*-t^ [F_(H - F^t'^.

ч

где.

so

w^t-tyt'-t^ = J drdT'Gг(#-т)а(т-т'>Gjj*-t')+ .4

Очевидно, w^t-tyt*-t^) есть вещественная симметричная функция своих аргументов.

Отсюда вытекает следующее уравнеие для функции преобразования: .

= - K's IР'( 5<f-* FJ<’»+ »>+ ^^ FM.- s^l |',);

решение его есть

<f2< Ф ^#= ехР{" tidtdt'lF_W - F+(0] G^t-V) х

. x[F+(r) + F_(r)] - }jdWr[F_(O-F+(O]x .

■ x w(t-ty t'-t^VF_kf VF^V)]} .

Это можно записать также в матричном виде ^l^» = еЦ-^dtdt'Flty^^

где

<V'«','"W -k«*'')[J -1 ) - + K«-'')(i -'V H-v'-‘A-i 1 ] ■ Матрица G удовлетворяет соотношениям

Ст(Г,0 = G(t,r),"(1 о)с*<^^>(1 о ) = W').и элементы ее имеют вид

1 ~<М)Ч(Г)У, <Aq(t)q(t')) у. ’

•vo■о

Заметим, что

G/f-r) = КЕ^о.^^Ф», t#-^ GjA-t^ = -KE<KO^(/Z)3> nAt-ry

^t-tyt'-t^ = Aq^.qWy^ . Видно также, что сумма столбцов G пропорциональна функции G^t—t'), а сумма строк — функции Сд( <—<')- Предположим, что при t—t'-*® функция G^t— t') возрастает не ■ быстрее экспоненты, ее^,-# \ Тогда в верхней полуплоскости при

■Im < > а

существует фурье-образ

.G^) = Jdtt-ne^'lG/f-t').

В явном виде мы получаем

сю = [с^-<2-ЖОГ1.

где ■ so

АС) = S d^t-t'^V-^^t-t') =

*-(у)—А (У)]

О-оо-«о.

или, поскольку разность А^-А^ есть нечетная функция У,

АО - JОАО - JОdto ^^-А^Пп у2-<2'dto ^^-А^Пп у2-<2'

АО - J

О

АО - J

О

dto ^^-А^П

п у2-<2'

dto ^^-А^П

п у2-<2'

Как уже отмечалось, в самом общем случае можно написать '^^ = е^), Р(-у) = Р(у) .

Соответственно положим

'А_+(у)-А+_(у) = о(у) th-^^i ,

а^^-а^су) = °(у) = А-у) ^ о •

откуда

сЛо = yg-C2 -сЛо = yg-C2 -уа(у) th ^^^уа(у) th ^^^

сЛо = yg-C2 -

сЛо = yg-C2 -

уа(у) th ^^^

уа(у) th ^^^

Будучи четной функцией С» это выражение представляет также фурье-образ функции Ga в нижней полуплоскости ImC < —cl

Если ■ эффективная температура для всех частот положительна и конечна (3(у) > 0), то величина 0(C), рассматриваемая как функция С2- не может иметь полюсов в комплексной плоскости С2- . Действительно, наличие полюса в точке £2 = x+iy, у * 0 означало бы, что функция GF"\q в этой точке обращается в нуль, откуда с необходимостью

вытекает равенство

У

”<^>Mh^

j ”(У2-Х)2+у2

= 0.

Это, однако, невозможно, так как величина в квадратных скобках заведомо больше единицы. Устремляя у к нулю, видим, что функция G(() может иметь полюс в точке х = й>/2>0, только если а(и' ) = 0. Если система за счет взаимодействия с осциллятором может отзываться на любую частоту, то при всех to а(ш) > 0, и на положительной вещественной полуоси £2 полюсов быть не может. Что касается отрицательной вещественной полуоси, то при (2 = х функция G~'(£) монотонно убывает от +оо (при х = — оо); следовательно, она не может обращатся в нуль при х<0, если она еще положительна при х = 0. Соответствующее

условие имеет вид

“о“оа(ш).а(ш).” yth^«D)

“о

“о

а(ш).

а(ш).

J П to О

При указанных условиях а = 0, ибо функция G(() не имеет других особенностей, кроме линии ветвления на положительной вещественной полуоси (2. Иначе говоря, в плоскости С все особенности G(() лежат только на вещественной осн. Это можно явно выразить, полагая

*2”2

°® - Н^Ч?= W”^ ■О^-00

где В(о>2) — положительная величина:

7fdto'2 «'₽(«')7fdto'2 «'₽(«')оо122to' - to122to' - to-.2■a(to')-.2■a(to')

7fdto'2 «'₽(«')

7fdto'2 «'₽(«')

о

о

122

to' - to

122

to' - to

-.2

■a(to')

-.2

■a(to')

Рассматривая асимптотику функции G((), можно получить некоторые интегральные соотношения. Так, 0000

Jdto2B(to2') = 1 ,Jdc?G?B(G?') = w2,

оо

и, далее, so00

J dto^B^= ^+J ^а^ th [£flu)] = ^+ ф$, Q]>e;

О'о

с другойстороны,полагая(=0,мыимеемс другойстороны,полагая(=0,мыимеем

с другойстороны,полагая(=0,мыимеем

с другойстороны,полагая(=0,мыимеем

Чтобы найти функцию Грина, надо лишь выполнить обратное преобразование Фурье:

/ GU-t') = J^e-^'^G^);■ -00

контур интегрирования надо провести . в той полуплоскости, где данная функция G(£) регулярна.

Таким образом,■

G/t-Г) = ^d^B^^^m^t-t') ■0.

ию

' G^t-t') = - J d^B^y-^ ^f"r ) TLtf-П ■О

Указанные выше интегральные соотношения можно переписать и в терминах временных функций Грина. Так,

с другой стороны, в предельном случае малых положительных т имеем

Gr№ -Gr№ -sin yQTsin yQTт5Jr «№ Q]>» •т5Jr «№ Q]>» •

Gr№ -

Gr№ -

sin yQT

sin yQT

т5

Jr «№ Q]>» •

т5

Jr «№ Q]>» •

Это соотношение описывает влияние взаимодействия с внешней системой в начальной стадии процесса.'

Функция S(«P) ограничена, и, следовательно, функции Грина должны стремиться к нулю, когда U-t' | ■**. Это означает, что с течением времени должно исчезнуть всякое "воспоминание" о начальном состоянии осциллятора, и величина f2 должна выпасть из соответствующих формул. При достаточно больших значениях разностей t-ty V —t^ функция w^t-tyt* -t^) принимает вид 00

ze^t-t') = рМт7 Gr( t-т) а(т-т‘)G ^т’-f) = -00.

00

= J Й ^t-t* ^(wze) a(y) G(w-ze) |.

•-00

Ho-

■^ a(w)|G(a>+ze)|2 = B^) cth [^|y|P(y)],

и, следовательно, 00

w(t-t') = J <й^В(ыР) cth ^^P(u)j 5 cos u^t-t'). ■ о

Соответствующая асимптотика матрицы G^t—tyt'—t^) дается выражением’

GV-t') =• i^dtoB^e-6*1-1'^ -се■

ГТ)+(У)1) ^t-V )+1) _{у)1) V-t' )+л,-1) £ui)-n

Х -^(w)-".1>+(<<>)1>_(^-^,)+1>_(<<>)1>+(^-^)+п ’

где

П^ ~ е1“|0(“)_ 1 '■

Это означаем что на всех частотах осциллятор находится в равновесии с внешней системой. Коль скоро температура не завист от частоты - это термодинамическое равновесие.

Заметим также, что при температуре, равной нулю, п(у)=Д), и граничное условие для функции G^-t')^ соответствует выбору расходящихся воли: положительным (отрицательным) значениям разности t-t* отвечают положительные (отрицательные) частоты. Так же обстоит дело и для G(/-/')_, рассматриваемой как функция t'—t.

Теперь уже нельзя утверждать, что, полагая Р0=Р, мы исключаем всякое влияние начальных условий. Для того чтобы установилось термодинамическое равновесие при общей температуре, должно пройти некоторое время. В сказанном легко убедиться, вычисляя производную по t2 от функции w(t-t2,t'-t2):.'

= -Gr(t-t2) J dVa(t2- V) G^T'- Г) -

2 ч

- J dxG^t- т) а(т - t2) Ga(t2- ti) +

00.’

+ J dr Л (t - t) G/т -t2) ^ G^- Г) ].

—002

Чтобы это выражение обратилось в нуль, интегралы, содерг жащие, например, Gr, должны представиться в виде линейных комбинаций функции G^t-t^ и ее производной по времени. Это возвращает нас к приближенному рассмотрению предыдущего параграфа, включая и приближенное отождествление величины yQ с эффективной частотой осциллятора. Таким образом, равенство О0=Ф не соответствует начальному условию термодинамического равновесия между осциллятором и внешней системой. Ясно, однако, что такая ситуация должна . описываться матрицей G^t-t'Y и желательно вновь проделать всю выкладку, предполагая, что в начальный момент имеет место термодинамическое равновесие.

Для этой цели воспользуемся уже известным нам приемом: вычислим след функции преобразования <t'2V^Ft, предполагая, что обратный во времени путь заканчивается в момент t^= t^-T * ty н внешняя сила F_(f) равна нулю в интервале между t^ н t^. Выгода от использования следа станет особенно ясной, если составить производную по параметру Л, служащему мерой интенсивности взаимодействия между осциллятором и внешней системой:

- J dtq.WQ.W + ga(^) - ех(/2)}р2у±.

Операторы Gx порождают бесконечно малое преобразование отдельных собственных функций (отнесенных к соответствующим моментам времени), если эти функции принадлежат операторам, зависящим от Л (например, полной энергии). Однако это преобразование не дает вклада в след, ибо последний не зависит от выбора представления (предполагаемого одним и тем же в моменты #2 н /2), н можно выбрать полную систему функций, не зависящих от Л. Оператор 6А(#2) так же действует на функции <t2|, как G^t^ - на <t2|; поэтому

Tr^G^')!^ - Тг<^10^2)1^ = 0.

Таким образом, эффективный оператор действия можно вычислять, как и раньше, меняя лишь соответствующим образом

пределы интегрирования по времени; кроме того, для внеш

ней системы следует положить

«ХООС^» =«ХООС^» =Тг<г2 IQtOQtr)!^тг<т^—Тг<г2 IQtOQtr)!^тг<т^—

«ХООС^» =

«ХООС^» =

Тг<г2 IQtOQtr)!^

тг<т^—

Тг<г2 IQtOQtr)!^

тг<т^—

Тем самым предполагается, что •

.«XOQ(Q> = «Х'уои»

или, поскольку эти корреляционные функции зависят только

от разностей времен.

Последнее равенство можно переписать также в виде

Уравнения движения при t>t^ имеют вид

ИId#2ИId#2-оо

И

Id#2

И

Id#2

+ ^ [»+(0+»_(0] - J dt'A^t-t'YVqAt^ +

+ »_(#')] + J dt'a(t-t') [q_(t')-q+(t')l =ч

= F+W + F_(t) - 2i J dVAJ.t-t'^At'Y

ttИх нужно дополнить уравнением, описывающим поведение координаты яАЦ в интервале времени от t^ до t^.

t

t

I’d2 о)Г1

q_W + 4 dt'A_(t-t')q_(t') =

Idr

СО

4 <1ГА_Д1-1' ^qAV Y-q^

Ч

соответствующее граничное условие имеет вид

чАЧ^ - ч^.

Для разности q_- q^ мы получаем, как и раньше,' +« ’

q-W-q^W = idfGAt-f^lt^-F^fYX;

-co

в то же время

q+W + q_W = Sdt'Gr(t-t'XF4t') + F_(t')l - —СО

<J dTGr(/-T)J dt^x-t'Xq.Wq^r^ - ч ч СО12

- 2iJ dxG^t-x^ J dt* A^x-i^q^ +ч . ч-т ‘

+ СГУ-^ ^q^-HtJtH - h^At-Ч) Iq^t^qAt^.

Здесь предполагается, что внешние силы равны нулю вплоть до момента tY•

Далее, по-видимому, проще всего исследовать зависимость q++ q_ от t2 при заданном Г. Принимая во внимание равенства

J dxAr(t-x)Gr(x-n = J dxGr(t-x)Ar(x-n,' A^t-t^qjt^ = A^t-t^q^.

получаем

|г[»+<0 + »-(0] = -J df'Gr(^')Ar(r-(2)[q+((2) +

2 .- 4

+ q_(4^-

.4

- 2<J dt'G^'^AJlt'^qJt^-A^t'^q^. 4

Поскольку при положительных значениях временного ■ аргумента■■

а - 1А = г—к■

а + iAr = 2Л+_,

мы находим, что

l^t^) + ^)] = °-

Насколько полезен этот результат, зависит от того, стремится ли функция Грина к нулю при увеличении модуля временного аргумента. В последнем (в указанных ранее условиях) легко убедиться, производя замену Т -»ig. Тогда можно совершить предельный переход /2->-ш, что приводит к уравнению

^W + t.W = J^'G/^'Jt^'J + FJ/')] -

-СО•

■- i Jdt' W-t* JEFJ/')-^')].

-00 где+«

и^/-/') = J rfтdт,Gr(/-т)a(т-т,)Ga(т,-f,),-co■

как и следовало ожидать.

Итак, мы нашли отношение следов

тг(^и2У± Tr^ie^itytТг^'|/2) . ' Тг е‘™ .’

где Н - полный гамильтониан всей системы; подстановка Г дает, далее, функцию преобразования

^l^)? = ехР [У dtdt'F^G^t-t'^t'^ ,

где.

- lay-n [ -I -I ] +

+ ^a«-'-)[ j l] ] + ^ NM')( _| "'J

H

a^/-/') = J <toB(w?) cth | ^^ j e-“^<_<\

-CO'

Ю • Ю. Швингер

Можно написать также +« и»(*-Г) = J dTC(t-T) [GjT-Г) - G/т-Г)], -00

где +оо

С^"Г) = 2^ 7 J^ cth (^ ) e'Mt"t'> = g cth [ jS^"'') ] • -00

Отсюда можно получить явные выражения для средних значений в присутствии внешней силы F(t). Надо лишь положить

^+(0 = f+(0 + Ж0

и учесть влияние операторов /+(0 с помощью хронологических произведений:

^e-ijdt fjt^ ^ijdt f^M)^ .

= exp {£ j dtdf fW G^t-f)f(f) +

+ Z J dtdf \j^ - L(01 G/f-Г) F(Z') } .

Таким образом, +00 ■

<q№>Fe = Jdt'Gy-nF(n,

-00

а те свойства разности q-<q>^. которые не зависят от F, можно получить, полагая F=0 в соответствующей общей формуле. В частности, мы вновь приходим к матричному то

ждеству:G^-t^ = iждеству:G^-t^ = i«q^WY)^«q^WY)^WWO)»,WWO)»,-<^')9(O>, )««О^ПО» J"-<^')9(O>, )««О^ПО» J"

ждеству:

G^-t^ = i

ждеству:

G^-t^ = i

«q^WY)^

«q^WY)^

WWO)»,

WWO)»,

-<^')9(O>, )

««О^ПО» J"

-<^')9(O>, )

««О^ПО» J"

При этом соотношение между величинами w и G - Gr представляет собой не что иное, как просто связь между средними значениями антикоммутатора и коммутатора:

+«

«9(0, ^')}>, = jAC«-T)(|MT), q(f )])е.

-00

Помимо отношения следов, которое дает нам среднее термодинамическое значение функции преобразования <^2И^*±» можно вычислить также и след

Tr^'J/^ = Tre^ -> Tre-3^

Последний описывает энергетический спектр всей системы, а следовательно, н все термодинамические свойства осциллятора, находящегося в равновесии с внешней системой. Чтобы явно найти этот след, положим F+=0 при t>t^ с другой стороны, в промежутке времени от ^ Д° ^2 ПУСТЬ действует произвольная внешняя сила FW Далее, в член, описывающий взаимодействие системы с осциллятором, в эффективном операторе действия включим переменный множитель Л (ранее обозначавшийся через 7?\ Получим

gxTX^I*?^ = - lTr^2l fdtdfA^t-t^WW^VV^)^

Здесь величина q_(t) должна удовлетворять уравнению движения

d2 , ,.2dt2 °d2 , ,.2dt2 °5

d2 , ,.2

dt2 °

d2 , ,.2

dt2 °

g№ + Aj dt'A_(t-t')qJt') = F_(t)

и граничным условиям

t_(ty = Ч^ = q.^, представляющим собой не что иное, как условия периодичности с периодом Т =/2~^2 • Решение этого уравнения имеет вид

q_(f) = J dt'G(t-t')F_(t').

ю

где функция Грина G удовлетворяет уравнению

44G^t-t'^ + СК jZd^_(f-T)G(T-r) = 3(/-/')G^t-t'^ + СК jZd^_(f-T)G(T-r) = 3(/-/')

4

4

G^t-t'^ + СК jZd^_(f-T)G(T-r) = 3(/-/')

G^t-t'^ + СК jZd^_(f-T)G(T-r) = 3(/-/')

и условиям периодичности. Теперь в дифференциальном уравнении для следа можно положить F_= 0, что дает

^пТг^ф = - £J dtdt' AJ^t-t'^t-fY

Функцию Грина, удовлетворяющую условию периодичности, можно представить в виде ряда Фурье

со 21tZn,.,

G(t-t ) =) е т G^nY

где

= 6(-л),= 6(-л),

= 6(-л),

= 6(-л),

^ = -\dt^ = -\dt<й dtoVA_^W - Л__(у)]<й dtoVA_^W - Л__(у)]2П1п.( (,.«

^ = -\dt

^ = -\dt

<й dtoVA_^W - Л__(у)]

<й dtoVA_^W - Л__(у)]

е~7'M_(/-r) = J

о

При этом следует помнить, что

Л^у) = е &,Г(у),

и, следовательно, подынтегральное выражение не имеет особенностей в точках уГ = 2п|л|.

Таким образом.

|][4пТг = 2 £ А”) С(Л) = -2ЭХ I |пМ~ [^7^1 “Мл)1 • П»—00ft=—00 U ^ JJ

Принимая во внимание начальное условие при Л = О,

Тге^Н^Тг ^ Г e^^V-CTrJЦ, 6 ns®е 2 sin 2»0Г

находим

Тге'Т/,= (ТГе)Тге'Т/,= (ТГе)2 sin |w0T2 sin |w0T

Тге'Т/,= (ТГе)

Тге'Т/,= (ТГе)

2 sin |w0T

2 sin |w0T

Ранее уже была ввёдена функция

<г'ю - «6 - <? - f 4sо<г'ю - «6 - <? - f 4sо[Л+(у) - Л+(у)3у2 - С2[Л+(у) - Л+(у)3у2 - С2

<г'ю - «6 - <? - f 4sо

<г'ю - «6 - <? - f 4sо

[Л+(у) - Л+(у)3у2 - С2

[Л+(у) - Л+(у)3у2 - С2

и были исследованы некоторые ее свойства' при вещественных н положительных значениях Л^у) и Л| (у). Мы можем вернуться к ней, полагая Т -♦<Р; тогда

Z = Tr е~^н = Zкexpf - 1 Г In ‘ roS7- о •

2 sh j Р^ I п=-« Уд +

Эта величина существует прн всех 0 > О, если G-1«) > О при всех £, для которых £2= —(2ял/0)2, т. е. на всей отрицательной полуоси С2, включая начало координат. Ина

че говоря, неравенство

G~1(0) > О

представляет собой условие устойчивости.

Для вычисления суммы по л удобнее всего дать другое представление функции ln(G~1(C)Z- С2). В плоскости <2 все ее особенности лежат на лнннн ветвления 0^ С2<е; прн ^2-»ш исследуемая функция обращается в нуль в разрезанной плоскости. Следовательно, можно написать

-С2у2 - С2

при этом частное значение • f(0) = х

отражает наличие полюса функции G-1(C2)/(-C2) в точке £2= 0 . Сравнивая это с прежним выражением для G~1(Q,

получаем

-_ Г2 - 1^а(ы} th (ug/2)

° с - е

откуда

- £ а(у) th [ ^ j ctg р(У) = ■со

=■Ф Г <•>'<*(<•>') th (y'g/2)

J я у'2- У2"

Правая часть этого равенства положительна при у -» 0; следовательно, при у*0 функция р(у) стремится к п снизу. Далее, если а(у)>0 при всех у, то

■п а ф(у) > о ,

причем нижний предел достигается при у-»«.

Сравнивая асимптотические выражения для С~\£), видим, что

“ь = sj^») = ^(-г^Йг1]"2’ .ОО■

в то время как.

Р“ [-S^1]"4 = «Р 2<№,9]>». о

Производную от фазы по частоте можно ввести и непосредственно в формулу для G~'(£):

G-’(C) = ехр[ J dto [-l^^l] ЩУ2-?2)] •

L о

Приравнивая теперь два выражения для G *(0), находим

оо

Итак, мы имеем'■

Пользуясь представлением гиперболического синуса в виде бесконечного произведения, можно получить формулу сумми

рования

+«п—*+«п—*Ы?+Ы?+'2пп122пп 2 ПЛ'2пп122пп 2 ПЛ

+«

п—*

+«

п—*

Ы?+

Ы?+

'2пп12

2пп 2 ПЛ

'2пп12

2пп 2 ПЛ

С ее помощью находим окончательно:

Z = zeexp[-p»[-l^l] ln2sh^].О

Второй сомножитель здесь описывает осциллятор, свойства которого изменены в результате взаимодействия с макроскопической внешней системой. Средняя " энергия осциллятора при температуре й=0-1 есть

Е = Н [/^“["nS) tn25^] • О

Пользуясь этой формулой, следует помнить о температурной завнснмостн фазы (Р(у). В предельном случае высоких температур, когда для всех существенных частот ы|3 < 1, мы имеем-

Е * ^[inp + ^In^-f^Q^],

и простой классический результат Е=^ получается, если величина <0^^ пропорциональна А Энергия осциллятора

при абсолютном нуле температуры дается формулой <х>■

при этом вклад осциллятора исчезает.

Простая модель, рассмотренная в предыдущем параграфе, соответствует следующей ситуации. Пусть функция а(у) заметно отлична от нуля вплоть до частот, больших по сравнению с yQ> и пусть вместе с тем a(y)th(y|3/2)«У^. На значения а(у) при частотах, превышающих yQ, наложим только условие отсутствия быстрых изменений и условие устойчивости. Последнее, вообще говоря, выполняется, если'

lj^a(y)<yg.

~Шо Будем считать, что условие устойчивости удовлетворяется с запасом, так что правая часть формулы для ctg^y) при достаточно низких частотах составляет заметную долю у^. Тогда tg ф при таких частотах очень мал, т.е. ф(у) ~ щ так будет обстоять дело, пока мы не достигнем непосредственной окрестности частоты у^ у0, такой, что

ооdto(oaW th pf|dto(oaW th pf|ititу2у2- У- У2 12 1= 0 .= 0 .

о

о

dto(oaW th pf|

dto(oaW th pf|

it

it

у2

у2

- У

- У

2 1

2 1

= 0 .

= 0 .

Заметим, что рассматриваемая функция Re G-1(oh-jO) действительно должна иметь нуль: она положительна при у = 0 и асимптотически стремится к —* при неограниченном возрастании частоты. В указанных условиях главный вклад .в интеграл дает область высоких частот, и, следовательно, нулевое значение достигается в точке

о .

Несколько более точная формула для ^ имеет вид

■^ -«k-J^^^о

где 01

Как мы увидим, значение В меньше единицы, но в принятых предположениях лишь незначительно.

Вблизи точки с^ уравнение для фазы <p(io) приближенно принимает вид

-Ьа^ th-Ьа^ thctg^y) = В ’(у^-у2) ,ctg^y) = В ’(у^-у2) ,

-Ьа^ th

-Ьа^ th

ctg^y) = В ’(у^-у2) ,

ctg^y) = В ’(у^-у2) ,

т. е.

у2- у? у — у.ctg»(y) =« -р—

где, по определению,

у^

у = ^Ba(t»^у = ^Ba(t»^। < ы yJГ। < ы yJГ

у = ^Ba(t»^

у = ^Ba(t»^

। < ы yJГ

। < ы yJГ

Таким образом, когда частота увеличивается, проходя значение у^, фаза резко уменьшается от ~п до ~0. В дальнейшем она меняется сравнительно плавно, постепенно приближаясь к нулю прн у-»«. Среднюю энергию осциллятора легко вычислить, если интервал частот У>Ур где функция а(У) заметно отлична от нуля, таков, Ву > 1. В этой области не должно наблюдаться заметной температурной завнснмостн; в частности, величина у] практически не будет зависеть от температуры. Тогда, замечая, что вблн-

зи y=yt функция -^/и^ф/ско) * 6(to-u^), мы получаем приближенно'

Эта формула описывает обычный осциллятор с частотой ^ и со сдвинутым началом отсчета энергии.

Заметим, что если фаза ф(у) очень мала при частотах, несколько превышающих Ур и обращается в нуль при у -> <х>, то

Id0("lay) я * A J^«*(") > ° •.

>ы(>ы)

Соответственно■

со'

^ ~ | j ^ ^ы) > 0 - и

1П 8-1 я i J ^^ > 0 •

Из последнего соотношения следует, что действительно в < 1. Несколько более точная формула для В имеет вид

.8 = ехР[ ” 1^(-^)1п(у2-“?)]-

■>"i■

Пусть, далее, главный вклад во все указанные интегралы происходит от области частот вблизи у> yQ. Тогда

годятся грубые оценки

17 ч

zi J ^^ ~ =■ ‘ “ г>&>.

In В~'~In В~'~

In В~'~

In В~'~

При этом ни сдвиг энергии, ни отклонение множителя В от единицы не существенны.

Приближенное представление функции Re G-1(y + Ю) в виде В~\ы^— и?), очевидно, справедливо при частотах от нуля до некоторого верхнего предела, заметно превосходящего Уг В этом интервале частот мы имеем

- ^ а(у) th^ ctg^fy) = В \и^-ы?)

или

ctgvfy) =ctgvfy) =1 ТУ1 ТУ

ctgvfy) =

ctgvfy) =

1 ТУ

1 ТУ

где

у(у) = | Ва(У)у(у) = | Ва(У)уу

у(у) = | Ва(У)

у(у) = | Ва(У)

у

у

Если, впопадаютЕсли, впопадаютчастности, Ву,«1, тов классическую область.частности, Ву,«1, тов классическую область.соответствующие частоты и функция у превращает-соответствующие частоты и функция у превращает-

Если, впопадают

Если, впопадают

частности, Ву,«1, тов классическую область.

частности, Ву,«1, тов классическую область.

соответствующие частоты и функция у превращает-

соответствующие частоты и функция у превращает-

ся в константу, не зависящую от частоты: Т = | Ва(0)В.

В случае квантового осциллятора величину у можно считать постоянной только в достаточно узком интервале частот вблизи уг Функцию В(и2) можно вычислить из соотношения

= 2 sin5g(y) =” а(у) th ^

1 В1

” *“Ctg2,, + 1'

22Это дает.

2

2

«■?) - I 4 Л"2 " 8 Fl "2—5

” (ЬГ- uq)2 + (уу)2” I ЬГ+ «уУ - У2

Ограничиваясь, далее, непосредствеииой окрестностью точки Ур когда jy-yj ~ у, находим

5 12 У „

^“i ™ (у - у^)2+ £ ^ у}2

Таким образом, основной вклад • в разность 1-5 вносит интеграл J du? В(и?), взятый по области шириной у вблизи „точки резонанса" Ур Такой же результат, правда, можно было бы получить, не делая последней аппроксимации. Остальная часть разности 1-5 в рамках принятых предположений происходит от частот, значительно превышающих Ур

Аналогичным образом можно представить и выражения для функций Грина. Так, при t>t*

- и?- z'yy + У^- и?- z'yy + У^G^t—t") ~ 5 J ^"e-^-'^ -CO

- и?- z'yy + У^

- и?- z'yy + У^

+ J du? B(u?) ^^ g'-Cl .

> У2

Второй („высокочастотный") член быстро убывает с увеличением. разности /-/' (характерное время a l/y^. Соответственно, пользуясь функцией Грина, например при вычислении интеграла ■■■■•

<х>

<<К^» = J <и*ор-гжп.-00

и считая, что внешняя сила меняется сравнительно медленно, мы можем написать для вклада от „высокочастотного"

члена:

F^ j d(t-t') J du?B^u?) &15_^Ы11 = p<t) J du? ^ф-.

0»» o>2“

НоНо

Но

Но

и, следовательно, отклик системы иа внешнюю силу такого типа удовлетворительно описывается одной лишь низкочастотной частью функции Грииа. Описанную ситуацию можно представить эквивалентным дифференциальным уравнением

372 + Уз? + ^ I <^>« = BpW- at • J

которое не нуждается в комментариях, поскольку колебания носят классический характер: в квантовой области, одиако, оио справедливо лишь, если должным образом ограничить интервал частот: в пределах последнего величина у должна быть постоянной. Заметим, что ■ внешняя сила как бы уменьшилась в В раз. В указанных свыше условиях, однако, этот эффект не играет роли, и в дальнейшем мы положим В равным единице.

Ограничим теперь локализуемость измерений во времени так, что интерес представят только временные средние от ^(0- В формуле для средних значений это отражается условием, согласно которому можно рассматривать лишь достаточно плавно изменяющиеся функции f+(t). Тогда функции Грнна можно повсюду заменить их низкочастотными частями: ' . ■ ■

G^t-t') -> е4 ^'^Г sin u^t-t') i)+(t-t'),

б^-*') ""^ y•t-t, । ^ sin У^Н') 4_(^').

Соответственно для w^t—t') мы получим

W-t*') y^ cth

Ву/ T

e 2 yl* * ।cos y^i-i').

и вся матрица G^t—t'^ будет удовлетворять дифференциальному уравнению

[ + ^ + "? 1 f ^772 + HlT + “? l0^-^) =

I *‘J IJ

Г 1 0 11

=“ + w? «(^z) +

[ 0 -1 J [ dt2 1 J

f 0 -1 1.f 1 -1 1 <

+ [д 0 J ^^^ + 1-1

Здесь a = a(wp.

Как и раньше, результаты принимают особенно простой вид в рамках метода Ланжевена, когда главное внимание уделяется не оператору координаты ^(f), а случайной силе, определяемой уравнением

[ ^2 + Г^Г + “? ] -7(0 = F^ + F^t).

Иначе говоря,

F^O = 0(0 * т*^ + (^ - tig) -ХО .

Переход к методу Ланжевена осуществляется подстановкой

f±(0 =f±(0 =^2 ~ УЭТ + °? 1 МО; dtJ^2 ~ УЭТ + °? 1 МО; dtJ

f±(0 =

f±(0 =

^2 ~ УЭТ + °? 1 МО; dtJ

^2 ~ УЭТ + °? 1 МО; dtJ

необходимые при этом интегрирования по частям выполняются с помощью установленной ранее леммы о хронологических произведениях, которая в данном случае принимает вид [ exp £ i J dt fq j] = [ exp £ i J dtKF + ^)]]+ x

x exp ^ J dt [(w2- w2) A2+ t^k2- (^-)2] J

Мы получаем

<[e,p [-- J»-Г,]) [exp [<Jdf Vj]^ -

= exp [ 4 J dt dt' Ц0 Ф-t*) Kt') ] •

Последнюю матрицу можно представить в виде

- <Ft(nFf(t')><>- <Ft(nFf(t')><>-<Ft(nFp»e I- «F^Fp'D^V-<Ft(nFp»e I- «F^Fp'D^V

- <Ft(nFf(t')><>

- <Ft(nFf(t')><>

-<Ft(nFp»e I

- «F^Fp'D^V

-<Ft(nFp»e I

- «F^Fp'D^V

В классическом предельном случае

<ехр(<J dt kF?>* =. ехр(— | aj dt 62) и"-

|a = у».

Сравнивая эти выражения с аналогичными результатами предыдущего параграфа, можно заметить, что теперь расширен интервал допустимых частот и снято ограничение у, « уо.

На этом мы закончим несколько затянувшееся рассмотрение термодинамического равновесия. Обратимся теперь к одному предельному случаю, когда температура внешней системы отрицательна. Именно, допустим, что

иПолагаяиПолагаяafw) = ad(y - «р,ш>0

и

Полагая

и

Полагая

-₽(«,) = |В| >0.

1 «^^[10,131] = (0,И)2,

мы получаем

G«) =G«) =(У^)2 1-1^ - С2 J :

G«) =

G«) =

4+ “l I2 2 Г “§~ “l-0^+ (^>2.^_Д

Теперь функция G(£) имеет полюсы в комплексной плоскости £2, если

? | «?-«?| < ^

Пусть для простоты, ^= wQ и g« yQ. Тогда полюсы функ

ции

ад = И » ? о + ТТ

L^+'^-v с^-ш^-С

лежат в точках С = ± ^+ j gj и £ = ± ^- j gj.

Следовательно, G(£) регулярна вне полосы ширины 2а = g.

Соответствующие функции Грииа даются выражениями '

G^t-f) = ch [ | g(/-r)j ^sin u^t-t') T^t-t'),

^(^"^) = - ch [ | v^t-f)] 1 sin ti^t-f). ЩЫ* V

а функция w<t-tyt'-t^ при с^(/-/2)>1,и^'-1^>\

имеет вид

■ шЦ-1у f -t^ * Leos Уо(/-^) cth-Sj—’ sh—2—— sh—2

+ cth—2“ ch—2ch—2

Если еще и g(/—#2) > 1, р^' —t^ > 1, то

w^t-ty ^ -^2> ~ 2б^ е е cos Уо^-Г) х

xx11 — е-“о11 — е-“огдегде"о"оПусть, далее, момент t фактор умноженияПусть, далее, момент t фактор умножения=1е ° ° - 1близок к моменту ^ — такому, что=1е ° ° - 1близок к моменту ^ — такому, что6 =6 =1 З^'*"^) 1 j е > 1.1 З^'*"^) 1 j е > 1.

x

x

1

1 — е-“о

1

1 — е-“о

где

где

"о

"о

Пусть, далее, момент t фактор умножения

Пусть, далее, момент t фактор умножения

=1

е ° ° - 1

близок к моменту ^ — такому, что

=1

е ° ° - 1

близок к моменту ^ — такому, что

6 =

6 =

1 З^'*"^) 1 j е > 1.

1 З^'*"^) 1 j е > 1.

Тогда осциллятор будет характеризоваться классической координатой

1(0-»[?,(') + ?„(#)],

где

.9,(0 = J dt' L sin о0(/-/') F(t ) е 22

и

9„(0 = 9, cos ^ + 12 s*n ч*-

Величины ,qt и q^ здесь характеризуются формулой для среднего значения экспоненты:

<exp[i(9/1+ qj^ = exp [~^|(/,+ /|) ] .

в которойв которойУ = я0 +У = я0 +1 -1 -1 е-о1 е-ошш

в которой

в которой

У = я0 +

У = я0 +

1 -

1 -

1 е-о

1 е-о

ш

ш

Соответственно вероятность получить значения q^ и q^ в

интервалах dq^ и dq^ равна

pkqYq^dqxdq^ = ^^exp -jrj(9f»-l|) *9^2 =pkqYq^dqxdq^ = ^^exp -jrj(9f»-l|) *9^2 =11у0у0

pkqYq^dqxdq^ = ^^exp -jrj(9f»-l|) *9^2 =

pkqYq^dqxdq^ = ^^exp -jrj(9f»-l|) *9^2 =

1

1

у0

у0

= ^ exp["^?9^ qndqn^dV.

Здесь qn и ф - амплитуда и фаза величины q^UY С точностью до множителя 1/2 в формуле для фактора умножения мы пришли к тем же результатам, что и раньше, хотя в настоящем параграфе были сделаны совсем иные предположения о поведении внешней системы.

9.5.* Общая теория

До сих пор мы неизменно предполагали, что состояние внешней системы лишь очень мало изменяется в присутствии осциллятора.. Попытаемся теперь включить эту аппроксимацию в рамки общего формализма. Заметим в сязи с этим.

что более тщательное рассмотрение необходимо и практически, коль скоро мы интересуемся усилением колебаний осциллятора: в этом случае обратное влияние осциллятора иа систему райо или поздно станет заметным, если только нет какого-либо компенсирующего процесса.

Удобно дополнить принятый ранее оператор Лагранжа слагаемым q'^Q, где ^'(^ - произвольная классическая функция времени; будем считать также, что член взаимодействия qQ содержит переменный множитель X.

Тогда

SX^IV^”'1 = '< | J-"<^Q_- ».Qj| ) = f2

= " 4 ^(эт^з^^-зг^щту) <^U2>f±^ •

При этом предполагается, что либо состояния, к которым относится функция преобразования, ие зависят от взаимодействия между системой и осциллятором, либо вычисляется след функции преобразования. То же справедливо и для функции преобразования с различными конечными, .временами. Написанное выше дифференциальное уравнение влечет за собой и интегральное соотношение, в котором функция преобразования для системы с полным взаимодействием (Х=1) выражается через таковую для системы без взаимодействия (А=0). Последняя функция преобразования представляет собой произведение функций преобразования для независимых осциллятора'и внешней системы. Мы имеем

x<w£.<w!L| _ ■

Здесь указано, что если мы интересуемся только осцилля-

тором, то в окончательном выражении иужио положить <7'^=0.

. Рассмотрим теперь именно макроскопическую систему, находящуюся под действием возмущения q'Q. Влияние последнего описывается формулой7

<^21 ^^ = ^21 (ехр [■‘J^' -О]] (ехр [‘J^' +Q]]+р2/ ‘

Введем величины

Q+(M±)

и

QJt.qV)QJt.qV)<^2I^^^<^2I^^^* 7 $Дгу l”<W* ■* 7 $Дгу l”<W* ■

QJt.qV)

QJt.qV)

<^2I^^^

<^2I^^^

* 7 $Дгу l”<W* ■

* 7 $Дгу l”<W* ■

При q^t) = ?'(0 мы имеем

Q^.q^ = QAt.q^ = ^lOCOI^9'-

Это есть среднее значение Q(0 в присутствии возмущения, описываемого функцией q'W По предположению, оно равно нулю при ^'(Q = 0 и зависит, вообще говоря, от поведения q' (t) в интервале от момента <2 до данного момента времени.

Средние значения операторов q^f) можно получить, варьируя функцию преобразования по Г+(0 (с добавлением множителя ± 1). Поскольку уравнение движения для иевоз- мущеииого осциллятора имеет вид -

= ехр [ -ijdt [gl- g|r. - g^- зУ ] ^±(0 х <f2| ф0*ц«2| t£ ^| t ++<7+=и

Такие положительно н отрицательно упорядочение по времени произведения используются в недавно опубликованной работе Снманчнка [9], которая появилась после того, как эта статья была уже написана н ее содержание легло в основу лекций, прочитанных в Брандейской летней школе (июль 1960 г.).

Перемещая F+(0 налево от экспоненты, получаем

Но

^^^Фвнеш’ «Ы'^Х'^вк

и, далее.

“Й la^KW^'^Ll» ['■ Ц^)^'/*

Я*=°+

В результате мы приходим к следующему уравнению в функциональных производных для функции преобразования

<t2U£ * :

[а?+“^ ^ s^W ~ Q± ^' ^ ^)" ^(^^^i '? 1 = 0 •

Здесь предполагается известной реакция внешней системы иа возмущение ^(О- Заметим, что необходимо отличать знаки "±", стоящие при тех или иных компонентах, от индексов, нумерующих динамические переменные из принятого полного набора. . .

5.53F7V ^^5.53F7V ^^<^1^ = 0.<^1^ = 0.Дифференциальные уравнения, описывающие эволюцию системы во времени, надо дополнить граничными условиями. Именно, в момент ^, когда исчезает различие между функциями F+(0 и F_(t), мы имеем

5.5

3F7V ^^

5.5

3F7V ^^

<^1^ = 0.

<^1^ = 0.

Далее, начальные условия для функции преобразования

F+ ^l^e'e имеют вид

ЗГ^У ~ 5F Jt2) + Wo cthЗГ^У ~ 5F Jt2) + Wo cth0owol0owolxx

ЗГ^У ~ 5F Jt2) + Wo cth

ЗГ^У ~ 5F Jt2) + Wo cth

0owol

0owol

x

x

и

^ l57^7? S^T^J j *octh|^-2—J x

Теперь видно, что предположение, принятое в предыдущих разделах, состоит в возможности аппроксимировать Q^t, q*) линейной функцией ^+:

Q^,qy = ‘J dt'lA^t-t'W^t') - АДЬ-Р^З*'^

QJMy = 4^^'-Н<(П-л„(^-П<('')].

При этом как линейные уравнения для операторов q+(ty так и определения последних через функциональные производные по F+ объединяются в пару уравнений в функциональных производных. Чтобы сделать это более ясным, представим функцию преобразования в виде

F+ tV(F+)

<4\t£ - = е 1

и заметим, что по определению

qtyvF^ - (±) ^^WIF^ - »^.g,^ In<,,„,>F±

Тогда уравнение в функциональных производных принимает

ВИД

В качестве граничных условий мы имеем теперь

ЧДЧР±) " f-W = 0

и

^^З* Г+> + *-^2’ f±> + C^Cth

х 97^ [ *№• f±> - чАЧ* f±>] = 0 ’

97^ [ ^^2’ ^ + ЧАЧ* F±)] - Vth97^ [ ^^2’ ^ + ЧАЧ* F±)] - Vth^о]^о]хх

97^ [ ^^2’ ^ + ЧАЧ* F±)] - Vth

97^ [ ^^2’ ^ + ЧАЧ* F±)] - Vth

^о]

^о]

х

х

х [?+('2’ f±) + ЧАЧ* f+H = 0 •

Если величины Q+ линейно зависят от ^+, то функциональные производные исчезают8, и мы возвращаемся к линейным уравнениям для q^ty Они в свою очередь приводят к квадратичному виду функции W^F^y что было характерно для всего предыдущего рассмотрения. '

II. Кулонова функция Грина9

Давно было известно, что вырождение связанных состояний в иерелятивистской кулоиовой задаче можно описать с помощью группы четырехмериых евклидовых поворотов, и что для реализации этой связи всего удобнее импульсное представление. Одиако, по-видимому, ие было понято, что тот же подход можно использовать для явного построения

Уравнения в функциональных производных вырождаются в обыкновенные дифференциальные уравнения также в том случае, когда движение осциллятора является классическим н не подвержено флуктуации, о

Воспроизводится из J.Math.Phys. - 1964. - V.5, N И. - Р.1606-1608.

функции Грииа для этой задачи. Дадим здесь этот вывод. ■ В импульсном представлении уравнение для функции Грииа имеет вид (h=l)

[£-^]с<».И += д<^₽-)'

Мы будем решать это уравнение, предполагая сначала, что вещественно и неотрицательно. Общий же результат получается аналитическим продолжением.

Параметры

, _ 2Ррр, = ^VfL

S„2. „2'*0п2,_2

Р0+РРо+Р

определяют поверхность единичной четырехмериой евклидовой сферы с2 + с2 =1,

точки которой состоят во взаимно однозначном соответствии с точками импульсного пространства. Элемент поверхности иа сфере есть - • -

'^ol IPo^P J

Если помнить, что Р ^ Ро соответствуют двум полусферам ?0 = + (I-?2)1/2- В качестве другой формы этого соотношения придадим дельта-фуикции, связывающей две точки иа единичной сфере, вид

■ 2 . „2,3

6(0—Й') =6(0—Й') =Ро + Р 1

6(0—Й') =

6(0—Й') =

2Р()5(р-р ).

Заметим, далее, что

К - ?')2 = Ко - ^)2 + К - ?')2 =

~ - 22-1 е 2,2ч Р ) •

(Ро + Р ) (Ро + Р )

Тогда, если определить■

Г(Й,Й') = -—1-5 (Р2 + p232G^>P'HPq + р,2Л

16тр0

то эта функция удовлетворит на четырехмерной евклидовой поверхности интегральному уравнению

Г(Й,Й') - 2ц Jdfl" £>(£-£") Г(О*,Й') = З(Й-Й') ,•

где

ок-?') = А—12^к - ?')2

Ро '

Функция D, определенная подобным образом во всем евклидовом пространстве, является функцией Грина четырехмерного уравнения Пуассона

-а2о(^') = ак-?').

Ее можно построить с помощью полного набора четырехмерных шаровых функций. В сферических координатах р.Й они имеют вид

(р^р^’) У„/т(Й) , п = 1,2,..„

где квантовые числа 1,т дают трехмерную гармоническую классификацию четырехмерных гармоник. Наибольшее значение, которое может принимать / для однородного многочлена рп-1У , (Й), есть степень п-1 этого многочлена. Таким образом,

—/ < т s I, Qs /s п—1 2 нумеруют п различных гармоник, которые имеют одно и то же значение индекса п.

Функция Грина представляется в виде

Р> 1т '

частный случай

яп-а-) - £ г^щг^уп 1т

выражает нормировку и полноту сферических гармоник. Можно убедиться, что D имеет радиальный разрыв, вызванный дельта-образной неоднородностью дифференциального уравнения,

|Р'+0

1р'-0•

В интегральном уравнении для Г используется функция D, у которой р=р'=1. Его решением является

Г(Й,Й')Г(Й,Й')-- У , (Й)У , (Й') \ nlmx ' nlmx ' 2-1 - ^

Г(Й,Й')

Г(Й,Й')

п Z тп

Особенности этой функции при р = п = 1,2,... дают ожидавшиеся отрицательные собственные значения энергии. Вычеты G в соответствующих полюсах на £-плоскости дают нормированные волновые функции, которые имеют вид

4Рп7 т

^nlm^ = ,22-, 2 ^nZm^ * Р0 = “п

(Pq + Р J

С помощью разложения D можно представить Г(Й,Й') в совершенно замкнутом виде. Воспользуемся следующей версией этого разложения

где £ и £' имеют единичную длину, а 0 < р < 1. Заметим,

кстати, что, если мы положим. £=£' и проинтегрируем по единичной сфере площади 2л2, то получим

оо

(1-р)2(1-р)2Птп‘Птп‘п=1п=1где т есть кратность квантового числа "2дает, что . Тождествогде т есть кратность квантового числа "2дает, что . Тождествоп.п.Это подтверж-Это подтверж-1• -£1• -£V пV п.21п(л — Р).21п(л — Р)вместе с интегральным представлениемвместе с интегральным представлениемТ^» = JdP Р РоТ^» = JdP Р Роверным для р<1, даетверным для р<1, даетГ(О,О') = 5(0-2') +i—к +2Я2 (?-?')='2 1+Г^Р**Г2-<9Л>2^(1-р)2+р(€-?')Г(О,О') = 5(0-2') +i—к +2Я2 (?-?')='2 1+Г^Р**Г2-<9Л>2^(1-р)2+р(€-?')Интегрирование по частям дает эквивалентные выраженияИнтегрирование по частям дает эквивалентные выраженияГ(О, Q' )=5(O-Q' )4~ fd pГ(О, Q' )=5(O-Q' )4~ fd pp"v d1dp(l-p)2+p(^')2p"v d1dp(l-p)2+p(^')2(9.2)(9.2)ии-и d-и ddp [( 1dp [( 1Pd * Р2) _р)2+Р(е-^)2]2'Pd * Р2) _р)2+Р(е-^)2]2'(9.3)(9.3)

(1-р)2

(1-р)2

Птп‘

Птп‘

п=1

п=1

где т есть кратность квантового числа "2

дает, что . Тождество

где т есть кратность квантового числа "2

дает, что . Тождество

п.

п.

Это подтверж-

Это подтверж-

1

• -£

1

• -£

V п

V п

.21

п(л — Р)

.21

п(л — Р)

вместе с интегральным представлением

вместе с интегральным представлением

Т^» = JdP Р Ро

Т^» = JdP Р Ро

верным для р<1, дает

верным для р<1, дает

Г(О,О') = 5(0-2') +i—к +

2Я2 (?-?')=

'2 1

+Г^Р**Г2-<9Л>

2^(1-р)2+р(€-?')

Г(О,О') = 5(0-2') +i—к +

2Я2 (?-?')=

'2 1

+Г^Р**Г2-<9Л>

2^(1-р)2+р(€-?')

Интегрирование по частям дает эквивалентные выражения

Интегрирование по частям дает эквивалентные выражения

Г(О, Q' )=5(O-Q' )4~ fd p

Г(О, Q' )=5(O-Q' )4~ fd p

p"v d1

dp(l-p)2+p(^')2

p"v d1

dp(l-p)2+p(^')2

(9.2)

(9.2)

и

и

-и d

-и d

dp [( 1

dp [( 1

Pd * Р2) _р)2+Р(е-^)2]2'

Pd * Р2) _р)2+Р(е-^)2]2'

(9.3)

(9.3)

5(0-0') =5(0-0') =в последнем случае использовано предельное соотношение

5(0-0') =

5(0-0') =

1 i m -^lg=-e^. р-»1 2л2 [(1-P)2+P(?-C)2]2

Заметим, что Г является функцией единственного переменного (?-?' )2.

Ограничение р<1 можно сиять, если заменить интеграл по отрезку вещественной оси коитуриым

Ос

Контур С начинается в точке p=l+Ot, где фаза р равна нулю, а кончается в точке р=1— О» после обхода начала координат по единичной окружности. Выражения функции Грииа, получающиеся из (1), (2) и (3), имеют вид:

_,хЗ(р-р') Ze2 111 Ze2 1

.(9.1').(9.1')С(р.р ) = -у^ - ^FT^iFT- - 5?FT *

.(9.1')

.(9.1')

XXiijfdpp ”=?

X

X

. j (Р"Р')2Р " ^E-TXE-T'XWn

■ где'

_ 2у _2

г = &7) = -^ = ^;

G(P.P') =G(P.P') =ч^?ч^?.2.211Ze2 1г_,_ _Ze2 1г_,_ _Г* 6- хdpГ* 6- хdp

G(P.P') =

G(P.P') =

ч^?

ч^?

.2

.2

1

1

Ze2 1г_,_ _

Ze2 1г_,_ _

Г* 6- хdp

Г* 6- хdp

X

и

, 1

G(p.p') = 'Т^М^Р^" х 41Г о dp

ххP(l-P2)P(l-P2)' [(Р"Р')2Р " ^E-TXE-T'Xt-P?l2' [(Р"Р')2Р " ^E-TXE-T'Xt-P?l2(9.3')(9.3')

х

х

P(l-P2)

P(l-P2)

' [(Р"Р')2Р " ^E-TXE-T'Xt-P?l2

' [(Р"Р')2Р " ^E-TXE-T'Xt-P?l2

(9.3')

(9.3')

' Функция Грииа регулярна на комплексной £-плоскости всюду, кроме спектра физических энергий. Ои состоит из уже определенных отрицательных собственных значений энергии и континуума положительных энергий. Интегральные

представления (Iх), (2') и (3х) не вполне общи, поскольку требуется, чтобы

Re /7) = -Im 7) < 1 .

Но это ограиичеиие, как мы уже указывали, можно сиять. Одиако в этом нет необходимости, если мы интересуемся пределом вещественных к. Поэтому эти представления можно непосредственно применить к физической задаче о рассеянии.

Асимптотические условия, которые характеризуют отклонения на конечный угол, имеют вид .

Е - Т 0 , Е - Т* 0 , (р - р')2 > 0 .

В нашем случае всего удобнее второе из трех приведенных выражений для G. Асимптотическое поведение определяется малыми значениями р, и мы немедленно получаем

G(p,P') (Лр)(--4-1кр,р')с°(р');[ 4я /nJ

где

И

х _ 2mZe2 .. .4А2

f(p,p ) = -Г^ехР —5 ,

(Р-Р )(Р-Р ) J

2 _ „,2 _ .2Р = Р = к -

Мы получили бы то же самое асимптотическое выражение для любого потенциала, который убывает иа больших расстояниях быстрее кулоиова, но с С°(р)=(Е-Г)~1. Множители G°(p') и G°(p) описывают распростраиеиие частицы соответственно до и после соударения, a f идентифицируется как амплитуда рассеяния. Такая же интерпретация применима и в данном случае, поскольку модифицированная бР как раз включает эффект дальнодействия кулоиова потенциала. Всего очевиднее это из асимптотического пове-

деиия соответствующей простраиствеииой функции, которая является искаженной сферической волной,

J^3 e**rG(p) - ^exp^r + 7) In 2kr + О] ,

■ с = arg Г(1-п)).

Получающаяся таким путем амплитуда рассеяния совпадает с известным результатом■

tW ^ ТЕ- csc2 2 ехР [-/7} *п csc2 ?] ■

В оригинале 'complementary' - Приме*. пер.

ров, т.е. еще до перехода к пределу (см. сноску 1). - Примеч.пер.

4 Ю.Швннгер

WProc.Nat.Aca<LSci.-1960.-V.46.-P.570. (Раздел 2.12.)

БИБЛИОТЕКА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Серия основана в 1978 году

Редактор серии Д. В. ШИРКОВ

Ю. ШВИНГЕР

КВАНТОВАЯ КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА

Перевод с английского С.Г.ШЕХОВЦОВА Под редакцией Б.В.МЕДВЕДЕВА

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1992

ББК22.3 1 Ш35 УДК530.145ББК22.3 1 Ш35 УДК530.145QUANTUM KINEMATICS AND DYNAMICS

ББК22.3 1 Ш35 УДК530.145

ББК22.3 1 Ш35 УДК530.145

бу JULIAN SCHWINGER

W.A.Benjamin, Inc

NEW YORK 1970

ШВИНГЕР Ю. Квантовая кинематика н динамика: Пер. с англ. Под ред. Б.В.Медведева. — М.: Наука. Гл.ред.фнз.-мат.лнт.,199'2 -317с. ISBN 5-02-0143481-0.

Книга Швингера "Квантовая кинематика и динамика" появилась в 1970 г. В основу построения- квантовой теории автор положил развитую им теорию селективных измерений. В рамках такого подхода обычный геометрический язык векторов состояния получается в результате "расщепления" алгебры измерений, которая строится автором как естественный символический язык описания базовых экспериментов. Изложения такого подхода на русском языке нет.

Рекомендуется студентам старших курсов, аспирантам, преподавателям и научным работникам, специализирующимся в области теоретической и математической физики, а также всем желающим углубить свои знания в области квантовой механики.

Библиогр.: 11 назв.

ш 1604030000 - 014„

Ш 053(02)-92W1 91

ISBN 5-02-014348-0

0 «Наука>. Физматлит, Перевод на русский язык, предисловие и примечания переводчика, 1992

8 2 К “ёй^КК^Кй^в8 2 К “ёй^КК^Кй^вПустое состояниеРеконструкция алгебры измеренийВекторная алгебра37Волновые функции3gУнитарные преобразования40Бесконечно малые унитарные преобразования41Последовательные унитарные преобразования43Группы унитарных преобразований. Сдвиги и повороты44Отражения46Непрерывный спектр47Дополнение: Операторное пространство48Дополнение: Базисы из унитарных операторов52Пустое состояниеРеконструкция алгебры измеренийВекторная алгебра37Волновые функции3gУнитарные преобразования40Бесконечно малые унитарные преобразования41Последовательные унитарные преобразования43Группы унитарных преобразований. Сдвиги и повороты44Отражения46Непрерывный спектр47Дополнение: Операторное пространство48Дополнение: Базисы из унитарных операторов52

8 2 К “ёй^КК^Кй^в

8 2 К “ёй^КК^Кй^в

Пустое состояние

Реконструкция алгебры измерений

Векторная алгебра37

Волновые функции3g

Унитарные преобразования40

Бесконечно малые унитарные преобразования41

Последовательные унитарные преобразования43

Группы унитарных преобразований. Сдвиги и повороты44

Отражения46

Непрерывный спектр47

Дополнение: Операторное пространство48

Дополнение: Базисы из унитарных операторов52

Пустое состояние

Реконструкция алгебры измерений

Векторная алгебра37

Волновые функции3g

Унитарные преобразования40

Бесконечно малые унитарные преобразования41

Последовательные унитарные преобразования43

Группы унитарных преобразований. Сдвиги и повороты44

Отражения46

Непрерывный спектр47

Дополнение: Операторное пространство48

Дополнение: Базисы из унитарных операторов52

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предислоане переводчика

Предисловие автора