ГЛАВА 1

РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ

исследовать изучаемое явление качественно, т. е. оценитьисследовать изучаемое явление качественно, т. е. оценитьНи одна задача в физике не решается точно. Всегда приходится пренебрегать влиянием каких-либо воздействий, которые не существенны для изучаемого явления. При этом нужно уметь оценивать отбрасываемые величины. Кроме того, следует до получения количественного результата

исследовать изучаемое явление качественно, т. е. оценить

исследовать изучаемое явление качественно, т. е. оценить

Рис. 1.Рис. 1.порядок изучаемой величины и по возможности найти характер решения.

Рис. 1.

Рис. 1.

Цель этой главы — научить читателя получать приближенные решения из размерных оценок и с помощью упрощенной модели изучаемого явления.

В некоторых случаях

размерные оценки иозво-

ляют получить и количественные соотношения. Докажем, например, теорему Пифагора из размерных соображений. Из размерности вытекает, что площадь треугольника (рис. 1) можно записать как квадрат гипотенузы с3, умноженный на произвольную функцию угла /(а). То же самое относится к площадям двух подобных треугольников ABD и BCD, для которых роль гипотенузы играют катеты исходного треугольника. Поэтому

с / (а) = а3 f (а) + № f (а).

оценок состоит в определении области переменных, вносящей главный вклад в результат, и в выделении быстро и медленно меняющихся в этой области частей математического выражения.

Оценка производной F' (х)

Если I—характерная длина интервала, на котором существенно изменяется функция F^-X^ то внутри этого интервала F'(х) — F VxMl-

Например, если /7(х) = ехр , то F (х) =

и, следовательно, F'^~F^IL

Однако для х, существенно отличных от х~1, такая оценка не годится.

Для степенной функции Д(х)=:х" область существенного изменения определяется самой переменной х. Действительно,

F' (х) = пхп~х'—F (х)/х.

В некоторых случаях функция F ^х^ характеризуется несколькими параметрами. Тогда в каждой области nepe- ftx)

менной х производная F (х)~-—, где I— длина, на которой F ^х^ существенно меняется в этой области. Пусть, например, F ^х^ имеет вид, изображенный на рис. 2. Тогда х F (хг).. F (х2)

F (х~хг)~ }, a F ^х~х^~—^ .

Вообще, в тех случаях, когда Р (х) можно хотя бы примерно нарисовать, ее производную лучше всего оценивать из графика.

Оценки интегралов

Xо

Если х ^ 1, то в подынтегральном выражении экспонента

X1

е^р^Х. Следовательно, /(х)#еэ

оо

как в этом интеграле нет никаких параметров, то /(х)~1.

X <^ 1

Вычисляя, находим, J^x^pm л/2. Если х^>1, то из-за

X <^ 1

экспоненциального роста множителя е<2 главный вклад в интеграл внесет область около точки t — x.

Если обозначить ^ = х—t, то

V ^x — V

Область g, существенная в подынтегральном выражении,

сосредоточена около нижнего предела и имеет ширину порядка 1/2х. В этой области ^2-~1/4х2<^ 1, следовательно, е^1 ^ 1 и

оооо

оо

оо

При х~\ оба выражения для I(х), как это должно быть, примерно совпадают и порядка единицы. Таким образом, указанные оценки хорошо описывают I (х) во всей области изменения х.

/ (а, р) = У е-"”*2 sin2 рх dx.

О

Перепишем этот интеграл в виде

/(«, 0) = ^ j^sin2 (j^^)^.О

При z > 1 подынтегральная функция быстро убывает, по- зтому существенная область интегрирования 0 < z < 1 • Если р^>Уос, то sin ^ — g много раз осциллирует в существенной области значений z. Следовательно, sin2 / кУа /

можно заменить на 1/2 и интеграл Z(cc, Р) приближенно равен

ГCi

Z(a, р)«~~г= I e-^dz = 4^= ,\2 у ajУ a ’

0

где Сг—числовой множитель, равный Ул/4.

Если р <$: У ос, то в существенной области значений z sin '—Z'X, y_z. Следовательно,

У а У а

Р2 ГВ2

Z (ос, Р)«——F=- \ e~z2 z^ dz = С2 —, ха У a J2 а У a ’

где С2 — числовой множитель, равный Ул/4.

При Р = )/ ос оба выражения для Z (ос, Р) совпадают и равны А 1У2L ,

4 У a

₽2₽2/(^, Р) = |у -^(1-^/(^, Р) = |у -^(1-^Заметим, что точное значение оцениваемого интеграла равно

₽2

₽2

/(^, Р) = |у -^(1-^

/(^, Р) = |у -^(1-^

Легко видеть, что из него получаются оба предельных случая Р ^> ]/" сс и р <У У ос, приведенные выше. При р —- У ос Z (сс, Р) = -^- у^-^-^ 1 — -^-^ , т. е. того же порядка, что и приведенные оценки.

Рассмотрим, наконец, интеграл

<> g OCX

S. Z (ос, <2) = \ : dx, ОС > 0.

0

Заменимпеременную интегрирования: х — az.Тогда

/(а, а) принимает вид

Г e-aaz йг

J 2+1

Область, где подынтегральная функция существенно отлична от нуля, z \[о.а.

Пусть aa ^> 1. Тогда z <^ 1 в существенной области. Следовательно,

/ та С e-aa2dz = — .(1.1)

aa>ija“

тельно, можно заменить 2'+1^2г и е-ааз;та\. Поэтомутельно, можно заменить 2'+1^2г и е-ааз;та\. Поэтомуaaaa1/aaУ1/aaУiidz i 1— = In — .z aadz i 1— = In — .z aa(1.2)(1.2)Рассматриваемый интеграл выражается через ную показательную функцию Ei (а;) *)Рассматриваемый интеграл выражается через ную показательную функцию Ei (а;) *)интеграль-интеграль-Г е-глх л\ : dX - -J x + a оГ е-глх л\ : dX - -J x + a о— eaa Ei ( — aa).— eaa Ei ( — aa).Если aa<^l, то в существенной области z^X. Следова

тельно, можно заменить 2'+1^2г и е-ааз;та\. Поэтому

тельно, можно заменить 2'+1^2г и е-ааз;та\. Поэтому

aa

aa

1/aaУ

1/aaУ

i

i

dz i 1

— = In — .

z aa

dz i 1

— = In — .

z aa

(1.2)

(1.2)

Рассматриваемый интеграл выражается через ную показательную функцию Ei (а;) *)

Рассматриваемый интеграл выражается через ную показательную функцию Ei (а;) *)

интеграль-

интеграль-

Г е-глх л

\ : dX - -

J x + a о

Г е-глх л

\ : dX - -

J x + a о

— eaa Ei ( — aa).

— eaa Ei ( — aa).

Если aa^>l, to Ei ( — о-а^та -- , и мы получаем формулу (1.1). Если aa <^ 1, то Ei ( — сса^таХп — , что совпадает с (1-2).

Задача. Оценить интеграл / = ^ sin сх.х2 • е—^х dx. О

Ответ. [ ~, I ~.

<х^> Р2' a a <^ Р1

Метод перевала. Асимптотическое выражениедля гамма-функции

Получим асимптотическое выражение при больших х для гамма-функции

х! = Г(х+1) = ^е ttx dt.

С — t+x In t

Запишем это выражение в виде \ еdt и вычис

лим его по способу, который называется методом перевала. Этот метод состоит в следующем. Рассмотрим интеграл

I (лс) = \ g (t) е^*- ^ dt, где е^х-^— функция, которая для

больших х имеет резкий максимум при t = tQ^xy Пусть вблизи t0 (л;) функция g^t^ медленно меняется.

Тогда в окрестности максимума функцию gef можно заменить более простой функцией. Для этого разложим f(x, t') в ряд Тейлора в окрестности ее максимума t0;

Л*, t)=f{x,<x, /0) + ...

Предположим, что \/" (х, tй^ \^> \/1^. Тогда

I (л;) да g^ J

управление интегрирования совпа- скорейшего спуска с перевала.управление интегрирования совпа- скорейшего спуска с перевала.4- 1) методом перевала. Обозна-4- 1) методом перевала. Обозна-Если заменить в (1.3) t — /0 = /£, то подынтегральное выражение превратится в растущую экспоненту. Иными словами, в комплексной плоскости переменной t точка /0 является седловой (рис. 3). ” дает с направлением на Отсюда понятно название метода перевала.

управление интегрирования совпа- скорейшего спуска с перевала.

управление интегрирования совпа- скорейшего спуска с перевала.

4- 1) методом перевала. Обозна-

4- 1) методом перевала. Обозна-

Мы рассмотрели частный случай, когда направление перевала совпадает с вещественной осью. Можно рассмотреть и более общий случай, когда направление перевала составляет произвольный угол с вещественной осью.

Итак, вычислим Г^х

чим /(/) — —z14-х In Л Тогда из равенства пулю /'(О можно найти точку перевала t0:

/' (/0)=—1 + у=0, L о

' X1

откуда /0 = х. Далее, /" (/0) =— =. Итак, вблизи

zoх

точки перевала t0=x

/(О «/(^0)4-у (/ —^0)2^ .

Следовательно,

Г (х 4— 1) «5^о) е 2Х dt =

X ^> 1—00

00

— е-x-vxinxy^-в-^ dz_y 2пхххе~х. (1.4)

Эта асимптотическая формула называется формулой Стирлинга. Для оценки ее точности напишем следующие члены разложения /(О вблизи точки перевала. Так как /'"(/0) = 2х 2,

= —— =—2 > то в показатель экспоненты добавляется Х

кубический член 3[ ^2 (/ — £0)8. Учитывая его малость, разложим в ряд экспоненту

Интеграл от этой поправки обратится в нуль из-за нечетности подынтегральной функции. Поэтому, чтобы найти поправку, нужно разлагать /(/) вблизи /0 с точностью до (/— f0)4. Так как

# rivi 1+ \®

/^о) ——- Х3 >

то

~ 1 , (*~М3(^ —^о)4 , (t-to>6

~Зл2 4х3 ISx4 ’

Следовательно, поправка к Г^х + 1) имеет оценку:

С Г <1^Р ц^!?! dt =

J4х3118л4

— оо-*

Г z4-4x2z®-8x31, V 2л хх _х

— е-х*х\пх I е-24- —5-5- У 2х dz = т=е .

J L 4л3 1 18л4 J у12 Ух

Итак,

Г (,r+ 1) ю V2^xe-Kxs fl +•

Интересно, что формула Стирлинга с большой точностью годится и для небольших значений х. Например, даже для х— 1 получаем по этой формуле

K2n-J- (1 +У = 0,995 « 11 = 1, при х = 2

= 1,9994 «21 = 2.

Задача, Вычислить интеграл ^ z^^z dz методом пере- 0 вала.

CZ 1

О

_в 2

т в е т. 1/ — е

Свойства интегралов от осциллирующих функций.

Оценки далеких членов ряда Фурье

Рассмотрим несколько примеров, поясняющих свойства интегралов от осциллирующих функций.

Особые точки подынтегрального выражения находятся на мнимой оси: f = ±z —. Вычислим этот интеграл, смещая v

контур интегрирования в верхнюю полуплоскость (см. рис. 4).

Рис. 4.

Интегралы по Сх и С2 исчезают при смещении контура в бесконечность. Поэтому рассматриваемый интеграл равен интегралу по контуру С3-{-С4 + С5 вокруг точки ветвления t = i -^-. Знаменатель подынтегрального выражения V°-2 4-у2^2 меняет знак при обходе точки ветвления. Поэтому интегралы по С3 и С4 равны (а не равны с противоположным знаком, как это было бы в случае обхода простого полюса). Интеграл по контуру С5 стремится к нулю. В этом легко убедиться, заменяя — / = z‘-f-ге1®, причем г—> О. Тогда

Вводя переменную интегрирования x = ^-t, имеем: ао . coax—— со№rrY1

ау Д К1 4-х2(1 + n) U J К2П

иV tea *

При больших со интеграл 1 экспоненциально мал.

1

2.2.I = ^ / (х) etkrx dx— i

2.

2.

при г—>оо. Этот интеграл возникает при вычислении амплитуды рассеяния (см. 2.1). Пределы интегрирования здесь конечны. Интегрируя по частям, получим:

„ikrx |„ikrx |I

„ikrx |

„ikrx |

— С /' ixVkrx dx = ikr J J v '

~ikr\k‘2r2 J *

Итак, в случае конечных пределов далекие фурье-компоненты малы степенным образом (вместо экспоненциальной малости в случае бесконечных пределов).

Эти результаты можно обобщить: далекие фурье- компоненты функций, не имеющих особенностей на вещественной оси, экспоненциально малы. Если хг — характерная длина /(х) (это означает, что расстояние от вещественной оси до особой точки — порядка х^, то

/ю = $ f{x) eiulx dx ~ е-^.

— 00 (OJ^ ^> 1

Оценим предэкспоненциальный множитель для фурье- компоненты /ш. Если /(.V) имеет полюс в комплексной плоскости со, то

/ш ~ К^ хге~ых^

Действительно, вычет С, функции / в точке полюса, как видно из размерности, имеет порядок Сг ~ /(хх) хг. Если /(х) имеет точку ветвления корневого типа, то, как мы видели на первом примере (стр. 15)

V <ЙХг

В случае конечных пределов а2 /ш=(7(х)^</х ~ vG) -> со Ш

То же самое относится к интегралам в бесконечных пределах в случае, когда /(х) имеет скачки на вещественной оси. Действительно, интеграл можно разбить на области от —оо до места скачка и от места скачка до оо. Если вычислять затем каждый из этих интегралов, то, как и в только что приведенном примере, возникнет степенная малость. В этом случае

f ~ AfJ со >

(0 —► оо О)

где А/—величина скачка.

Легко видеть, что если скачок имеет л-я производная функции /(х), то

*_ .А/*"'

Уш '"*''! ’

со —► со ш

где А/(П)— величина скачка функции /<п)(х). Чтобы убедиться в этом, нужно проинтегрировать по частям л+1 аоо

раз величину /ю = ^ /(х) eltilx dx-\- ^/(х) eiaiX dx, где а — — соа

место скачка,

Для иллюстрации этих результатов рассмотрим пример, на котором будет видно, как в далеких компонентах

Фурье экспоненциальная малость превращается в степенную, когда особенность функции приближается к вещественной оси. Именно, рассмотрим интеграл

/= \ , ах dx, со = со0— /6, 6—* + 0, а>0.

График функции /кх^ = у^г^х имеет вид, изображенный нарис. 5. Если а —>оо, то эта функция стремится кпрямоугольной ступеньке. Функция / (х) имеет простые(2Zs+l)m l

полюсы в точках х = -!—-— , где к— целое число. Если

а ’

а—>оо, то каждый полюс приближается к вещественной оси.

Вычислим интеграл, смещая контур интегрирования в верхнюю полуплоскость (рис. 6). Интеграл по Сг+С2

обращается в нуль при смещении контура в бесконечность. Итак, рассматриваемый интеграл сводится к сумме вычетов в полюсах верхней полуплоскости. Для нахождения вычета разложим еах в ряд вблизи полюса хк;

еах « еахк -Y-aeaxk (х — х/г) =:— 1 — а (х — х^.

Тогда

Ряд в квадратных скобках представляет собой геомет

1ЛО) • \—е 21ЛО) • \—е 2рическую прогрессию и его сумма равна

1

ЛО) • \—е 2

1

ЛО) • \—е 2

Следовательно,-

/=2ш6-л<о/а

а 1„-апи/алсо •

еа sh —-

а

Если со/сх^>1, то рассматриваемый интеграл экспоненциально мал:

со/а ^> 1

Это соответствует сделанному выше утверждению об экспоненциальной малости далеких фурье-компонент в случае, когда подынтегральная функция не имеет особенностей на вещественной оси.

Если ос—>оо, то

Итак, когда особенность переходит на вещественную ось, фурье-компонента становится малой степенным образом. Задача Оценить далекую фурье-компоненту функции

/ ^х^ = хе~ । х

2

Ответ. /ш « -з .

(О —> сю

Оценки решений дифференциальных уравнений

Приведем несколько случаев качественного решения дифференциальных уравнений.

Квазиклассическое приближение (этот метод будет подробно рассмотрен ниже, в 3.1).

При рассмотрении многих задач теоретической физики требуется решить дифференциальное уравнение вида

ф" _|_ А2 (^ ф —. 0.ф" _|_ А2 (^ ф —. 0.(1-5)(1-5)

ф" _|_ А2 (^ ф —. 0.

ф" _|_ А2 (^ ф —. 0.

(1-5)

(1-5)

Характер решения уравнения (1.5) существенно зависит от знака А2. Действительно, пусть А2— постоянная положительная величина. Тогда решение имеет осциллирующий характер: <р = е^^. Если А2 < 0, то решение экспоненциально растет или затухает: ф — е- 1 6 I д. Решение уравнения (1.5) имеет такой же характер, и когда А зависит от х (рис. 7).

Если А2 (х)— большое положительное число, женное решение уравнения (1.5) имеет вид

ф =/ (х) ехр { ± < \ А (х) ^ } ,

то прибли-то прибли-(1.6)(1.6)где /(х)— медленно изменяющаяся функция. Действительно, в этом случае ф' « ± ik (х) ф и ф" ^ — А2 (х) ф + ik' (х) ф. Если А (х)—достаточно гладкая функция х, то А'-^А2

то прибли-

то прибли-

(1.6)

(1.6)

A2f^J<OA2f^J<OЛ2№^ОЛ2№^ОРис. 7.Рис. 7.и

A2f^J<O

A2f^J<O

Л2№^О

Л2№^О

Рис. 7.

Рис. 7.

г&2ф ± ik ф + Zikг&2ф ± ik ф + Zikф, то, подстав-ф, то, подстав-для существенных х. Следовательно, решение (1.6) приближенно удовлетворяет уравнению (1.5). Можно найти и следующую поправку (подробнее см. 3.1). Так как ф' = = -j- ф + гАф и ф"

г

&2ф ± ik ф + Zik

г

&2ф ± ik ф + Zik

ф, то, подстав-

ф, то, подстав-

ляя ф и ф” в (1.5), находим

Z 2АZ 2А2А/'+ /^' = 0, или

Z 2А

Z 2А

откуда

Итак, приближенное решение уравнения (1.5) в случае больших положительных А2 (х) имеет вид

ф « -^=: exp J ± z I k (х) dx ( .(1.7)

Рассмотрим примеры.

а)ф" ф- ахф = 0

а > о

— уравнение для так называемой функции Эйри. Пусть сначала х > 0. Тогда А2 = ах>0, и согласно (1.7) решение при больших х имеет вид

(1.8)(1.8)Решение при х < 0 должением (1.8):Решение при х < 0 должением (1.8):можно получить аналитическим про-можно получить аналитическим про-ср «гI * I ->ср «гI * I ->е -я:;/4е -я:;/4е 3е 3

(1.8)

(1.8)

Решение при х < 0 должением (1.8):

Решение при х < 0 должением (1.8):

можно получить аналитическим про-

можно получить аналитическим про-

ср «гI * I ->

ср «гI * I ->

е -я:;/4

е -я:;/4

е 3

е 3

Дополнительная фаза ехр (—лг/4) возникает при обходе точки ветвления х = 0 (подробнее об этом см. 3.1).

б)б)<р" + (а — Рх2) ср = 0.<р" + (а — Рх2) ср = 0.

б)

б)

<р" + (а — Рх2) ср = 0.

<р" + (а — Рх2) ср = 0.

Если Рх2^а, то У к dx У Р ^ х dx = -^- Ур х. Следовательно, асимптотическое решение при больших х имеет вид

■1± — ИГ X»

\.^/^е 2 •

Построим решение по поведению вблизи особых точек. Зная решение дифференциального уравнения вблизи особых точек, можно построить интерполяционные формулы для решения во всей области изменения переменной. В качестве примера рассмотрим уравнение Томаса — Ферми

^L--^^, ф(0)=1, ср(оо) = 0.(1.9)

Оно возникает при нахождении самосогласованного поля атома в квазиклассическом приближении (см. 3.1). Это уравнение имеет две особые точки: х = 0 и х = оо.

Найдем приближенное решение (1.9) при х—>со. Будем искать его в виде ф = Л/ха. Подставляя это решение в (1.9), получим

—— ОС — 1/2

Ла(1) х-а-2 = Л3/2х 2,

т. е. А = 144. Итак,т. е. А = 144. Итак,144хз144хз

т. е. А = 144. Итак,

т. е. А = 144. Итак,

144хз

144хз

Найдем поправку к этому решению при х—> со:

■144

Ф ~+(1.10)

Подставим (1.10) в (1.9). В линейном по тр приближении находим

(1.11)

Из (1.11) видно, что ф степенным образом зависит от х. Итак,

Для Р из (1.11) получаем квадратное уравнение

Р(Р+1) = 18,

Р « 3,77 > О,(1.12)Р « 3,77 > О,(1.12)Q —1 ± К 73 „ откуда р =• Годится лишь корень

Р « 3,77 > О,

(1.12)

Р « 3,77 > О,

(1.12)

для которого ф —>- 0. Следовательно, X -* со

_ 144 В

Ф „3 "Г у 3,77 *

X эо %’

С той же степенью точности, что и в (1.12), решение можно написать в виде

144144

144

144

где п и С—пока произвольные числа. Найдем такое л> чтобы ср(О) было конечно. Для этого должно быть 3—-0,77л=0> т. е. л =3,90. После этого константу С можно найти из условия rp(O)=l: 144/С3'90 = 1, откуда С— (144)° >77/3 = = (12“/з)0,77. Окончательно,

Это приближенное решение удовлетворительно согласуется с точным решением, получаемым на машине (см. табл. 1).

Таблица 1

X

Фприбл

Фточн

X

Фприбл

Фточн

0

1

1

2

0,22

0,24

0,3

0,67

0,72

3

0,14

0,16

0,5

0,56

0,61

5

0,072

0,079

1

0,38

0,42

Задача. Найти асимптотическую оценку решения уравнения для вырожденной гипергеометрической функции (уравнение

zu" + (у — z^ и' —au = O).

Ответ, и —■ г00-^, и ■—■ |г|~а. Z-*OD Z-*— 00

АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Все физические величины при реальных значениях параметров не должны обращаться в бесконечность. Иными словами, на вещественной оси в реально достижимых областях физические функции конечны. Единственные допустимые особые точки — это точки ветвления. В каждом случае для их появления должны быть физические причины.

В комплексной плоскости параметров физические функции могут иметь различные особые точки. Однако всегда можно выделить области, в которых функции аналитичны.

Из свойств аналитичности можно делать важные заключения о связях между различными физическими величинами. Рассмотрим несколько примеров.

Зависимость момента инерции ядра от деформации

Для квантовомеханической сферической системы момент инерции равен нулю, так как ее вращение не имеет физического смысла. Рассмотрим момент инерции J при малых деформациях S. С какого члена начинается разложение J

по степеням 6? Легко убедиться в том, что выражение J = АЬ неправильно. Предположим, что J = АЬ для положительных 6 («огурец»). Так как J всегда положительная величина, то для отрицательных 6 («блин») по принципу аналитического продолжения J = А | 6 | = A j/^. Следовательно, момент инерции как функция 62 имел бы в нуле точку ветвления. Между тем, можно убедиться, что нет никаких причин для появления особой точки. Действительно, перейдем от слабо деформированного ядра к сферическому с помощью соответствующего преобразования координат. В гамильтониане появится малая добавка Н', пропорциональная величине деформации 6. Для конечной системы применение теории возмущений дает сходящийся ряд. Следовательно, момент инерции не имеет особой точки при 6 = 0. Поэтому разложение J по степеням 6 начинается с квадратичного члена

J = S62 + . ..

Зависимость частоты звука от волнового вектора "

Как известно, при малых волновых числах к (т. е. больших длинах волн Х= 1/А) в некоторых системах могут распространяться звуковые возбуждения с частотой <й = ск. Здесь с — скорость звука. Так как со— скаляр, а к—вектор, то это соотношение означает <й = сД/^Кй. Итак, при А —0 частота to как функция А2 имеет точку ветвления. Объясним, почему здесь возникает особая точка.

Уравнения, описывающие состояние системы, инвариантны при замене t—►—t, если нет диссипации. Поэтому уравнение для определения частоты всегда содержит со2, а не со. Например, в классической механике уравнение Ньютона для каждой колеблющейся частицы при малых колебаниях имеет вид

тйп = — ^.Fmnum.т

Здесь т— масса л-й частицы, ип — ее смещение, a Fmn— сила, действующая на л-ю частицу со стороны /w-й. Полагая un = uOnetti>t, получим дисперсионное уравнение для квадрата

частоты звука со2 в виде т

Следовательно, квадрат частоты со2, а не сама частота со, должен быть аналитической функцией параметров задачи. Поэтому

со2 = а + с2^2 + Ьк4 + . . .

Для звуковых волн а=:0, следовательно, для малых к частота со = с|й|.

Аналитические свойства волновой функции

Движение частицы в поле с потенциалом V (г) определяется волновой функцией ф, которая подчиняется уравнению Шредингера:

— 1 ДФ+1/Ф = ДФ.

Для сферически-симметрического потенциала V (г) радиальная и угловые переменные разделяются, т. е.

^ = Rnt^ Yim^, <р),

причем Rnt (г) удовлетворяет уравнению

R" + yR' + 2 f^—^57^] R = o-

Обозначим И, = И 4-'а— и заменим R= — . Тогда для и

получается следующее уравнение:

и" А- 2 (Д — V^ и = 0.(1-14)

Так как волновая функция R во всех точках пространства конечна, то п(0) = 0.

Известно, что особые точки решения линейного дифференциального уравнения всегда совпадают с особыми точками коэффициентов уравнения (кроме бесконечно удаленной особой точки). Однако особые точки коэффициентов могут и не быть особыми точками решения. Например, в уравнении (1.14) точка г = 0 — особая точка

коэффициента уравнения, так как Vt—>оо. Если 1^= О, то

Г->0 , / ?= о

при малых г можно пренебречь V (г) по сравнению с Z(Z+l)/r2. Следовательно, уравнение (1.14) приобретает вид г 2 и"— Z(Z—|— 1) ц = 0, откуда ux~rl + 1 или и2^г~1. Итак, существует решение иг~г1*г, которое не обращается в бесконечность при г—>0.

Итак, особые точки решения уравнения Шредингера (1.14) могут быть только там, где потенциал имеет особенность.

Например, осцилляторный потенциал И = -^-ах2 имеет особую точку на бесконечности. Поэтому и решение имеет особую точку только на бесконечности.

Кулоновский потенциал, рассматриваемый как функция г2, имеет особенность при г2=0. По этой причине радиальные функции имеют особенность при г2 —О, а именно, Rni (г2) имеет в нуле точку ветвления (например, функция основного состояния 7?^- ^-1/г2). Ниже (стр. 53) мы увидим, что эта особенность кулоновских функций приводит к важным следствиям.

Амплитуда рассеяния при малых энергиях

^-функция при больших г в задаче рассеяния имеет асимптотический вид

V е1кг . L е^г .

00'

где /—амплитуда рассеяния.

Предположим для простоты, что рассеяние сферически- симметрично, т. е. / не зависит от углов. Рассмотрим сфе- рически-симметричную часть Ф:

С X|r-dQ1 С gZArcosdsin^J^.L/^^

J 4л г 2 J

О

(sin кг , fjkr\ 1 к) г ‘

Функцию и можно представить в виде

и = —^е~1кг(1.15)

2с/гяк

Если рассеивающий центр не поглощает и не испускает частиц, то радиальный ток частиц равен нулю. Перекрестные члены сокращаются, и оказывается, что ток равен разности токов, составленных из двух слагаемых и. Условие равенства этих двух токов дает

| 1+ 2zA/|2 = L или, иначе,

\mf^k\fVx(1.16)

откуда получаем

Im-j = —к, f~x — y.— Ik,(1.17)

где х— вещественное число. Величину х можно выразить через энергию связанного состояния частицы в рассеивающей яме (если такое состояние существует).

Действительно, функция и может быть аналитически продолжена из области положительных энергий в область отрицательных, что соответствует мнимым значениям к. Пусть энергия связанного состояния равна — До. Обозначим х0 = р<2£'0. Тогда при к = + ix0 Чг-функция для положительных энергий должна переходить в Чг-функцию связанного состояния. Поэтому в выражении для и при Л^^/Хф не должно оставаться слагаемого с растущей экспонентой.

Подставляя (1.17) в выражение (1.15), получим

zik \х— tkу

При k = ixQ получаем ехаг । '±~~хо е -хог'\ , 2ХО \J

Для того чтобы можно было пренебречь растущей экспонентой, необходимо х =—х0. При к=—Zx0 получается это же условие. Таким образом, амплитуда рассеяния имеет полюс

/ =U^-,(1-18)

Хо 4- th ’4 '

положение которого определяется энергией связанного состояния .

Аналитические свойства диэлектрической постоянной

Аналитичность некоторых физических величин, как мы увидим, есть следствие причинности. Рассмотрим, например, аналитические свойства диэлектрической постоянной. Индукция /)(/), возникающая в системе при наложении электрического поля, определяется амплитудой поля Е во все предыдущие моменты времени /— т (т > О). Итак,

D(/) = J К(т) E(t — т) с/т;(1.19)

о

^(т)— вещественная функция, так как она связывает физические величины. Это соотношение вытекает лишь из того, что следствие наступает позже причины. Разложим Е и Z) в ряды Фурье:

f=^ Еше-£!й1 dm, D=^ D^-5101 dto.

Тогда из (1.19) находим

Ош =Ет § К (т) eiU)T dx, 'О

откуда диэлектрическая постоянная

еш = ^ = У К^ е£^ dx.(1.20)

ш о

Величина еш аналитична в верхней полуплоскости комплексной переменной со. Действительно, если обозначить со = соо -j- zco1, где СО] "> 0, то подынтегральное выражение в (1.20) содержит затухающую экспоненту е-6>1Т , и поэтому интеграл (1.20) сходится, а следовательно, представляет аналитическую функцию.

Нетрудно видеть, что аналитические свойства е и 1/е совпадают. Рассмотрим длинный и короткий цилиндры вещества, на которые наложено внешнее поле Ео (рис. 8). В случае длинного цилиндра поле внутри Е равняется внешнему полю Ео, а индукция D=e,E0. В случае короткого цилиндра индукция D равняется внешнему полю f0, а поле внутри Е — Е()/г.

В первом случаеЕ) — \ Кг^х^Е0^— т) dx и е =

= \ Кг (т) eltilt dx. Во втором Случае поле Е определяет- О

ся значениями EQ=D в предыдущие моменты времени,

Е = ^ Кг (x)D (/ — х) dx, откуда 1/е = ^ Кг eiti>x dx. Таким оо

образом, аналитические свойства ей 1/е совпадают. Следовательно, диэлектрическая постоянная не имеет ни полюсов, ни нулей в верхней полуплоскости.

Так как е (zco^ = \ К (т) £-“itJt, то ввиду веще- ®1> о о

ственности подынтегрального выражения и е(/со1)|Ш1>о вещественна, т. е.

Im е (z'co1) = O.

Ш1 > о

Используя аналитичность, можно выразить вещественную часть диэлектрической постоянной через ее мнимую часть. Рассмотрим комплексную плоскость со2. В этом случае область аналитичности 8 представляет собой первый лист римановой плоскости — все особые точки лежат на втором листе. Первый лист переходит во второй через разрез, идущий вдоль положительных со2 от точки со2 —О (рис. 9). Согласно теореме Коши

где С—замкнутый контур, не содержащий внутри себя особых точек /(г). Применим эту теорему к е(о)2), взяв в качестве С контур, изображенный на рис. 9. При больших со2, как мы увидим, 6 (со2) имеет вид е —>- 1 —^ . По-

<0 —> 00®

этому для того, чтобы интеграл по контуру Со обращался в нуль, нужно в качестве / взять функцию /=е— 1. Итак,

1 Г е (со2)— I „

6 (со2) — 1dtoV(1.21)

'’2nzJ to2 —Ю2 1V ’

Из рис. 9 видно, что этот интеграл сводится к обходу разреза. Обозначим через ег (со2) значение е на верхнем берегу разреза, а через е2 (со2) значение е на нижнем берегу. Покажем, что е2 (со2) = [еА (со2)]*. Мы видели, чтоб вещественно на мнимой верхней полуоси плоскости со. Следовательно, в плоскости со2 величина е вещественна на полуоси со2 < О. Продолжая аналитически это соотношение на верхний и нижний берега разреза, получаем

61(со2) = [Е2(со2)]*|юг>о.(1.22)

Учитывая (1.22), из (1.21) находим

1 Г Е) (со2)— е3 (со2)„ I Р 2Ime(to®) dm2

6(0) ) 1 о • 1" ' „"(/(О] — А " 1' ' „"

-Л! Jto2to22л J0)2to2

ClCt

Im s (® j) ^Mi(О' — (О2Im s (® j) ^Mi(О' — (О2Итак,

Im s (® j) ^Mi(О' — (О2

Im s (® j) ^Mi(О' — (О2

(1.23)(1.23)8 (й)2) - 1 4- -i-

(1.23)

(1.23)

0

т. е., зная мнимую часть диэлектрической постоянной 6, можно восстановить всю величину 6.

Мнимая часть диэлектрической постоянной, определяющая поглощение электромагнитных волн системой, отлична от нуля только, когда частота волн совпадает с собственными частотами системы а>п. Иными словами,

1ше (со2) = 2 л/габ(со2 — «>п\(1-24)

п

Подставляя (1.24) в (1.23), получаем

£<™2)=1 + Е^5-(1-25)

При 0)2^>й)^ величина 8 должна перейти в диэлектрическую постоянную идеального газа электронов, т. е. е —> 1 —^^-, где п — число электронов в единице объема, „2^00"гм-’

а т — масса электрона. Таким образом, из (1.23) и (1.25) получаем

Это соотношение называется правилом сумм.

Аналитические свойства амплитуды рассеяния

Аналогичным способом доказываются аналитические свойства амплитуды рассеяния. Рассмотрим, например, рассеяние света заряженной системой. Пусть амплитуда рассеянной волны характеризуется величиной В, а падающей — Д. Эти величины связаны друг с другом соотношением

B^ = SA^, (1-26)

где 5—некоторый интегральный оператор. Сделаем предположение, что до момента времени / = О амплитуда падающей волны на некоторой контрольной плоскости, расположенной до рассеивающей системы, равна нулю. Относительно В можно утверждать, что S(^) = 0 для / < tv где /х > О .

Перейдем к фурье-компоненте Аш = ^ А (/) eito£ dt. Так о

как А (/) = О при / < О, то Аш не имеет особенностей в верхней полуплоскости. Аналогично имеем Вш = B^,etU)fdt, т. е. Вш также не имеет особенностей в верхней полуплоскости. Из (1.26) следует, что ВШ = 8АШ. Отсюда видно, что величина 5 может иметь особенности лишь в нулях А. Но S не может зависеть от частного вида А, следовательно, 5 вообще не может иметь особенностей в верхней полуплоскости. Оператор S линейно связан с амплитудой рассеяния / света. Поэтому дисперсионное соотношение для /

аналогично дисперсионному соотношению для диэлектрической постоянной е (1.23):

1 f Im / (to®) dto®

./ (о2) = — I 1 ..

? Vto® — «2

В случае рассеяния света заряженной системой такое выражение для амплитуды неверно, так как амплитуда при больших частотах стремится не к нулю, а к сумме амплитуд рассеяния на свободных частицах. Поэтому дисперсионное соотношение нужно применять не к величине /, а к величине /(со2)—/(ос) аналогично тому, как это делалось в случае диэлектрической постоянной.

ОЦЕНКИ В АТОМНОЙ МЕХАНИКЕ

В этом разделе будут получены основные результаты атомной механики. Для получения соотношений мы будем использовать, кроме размерных, также модельные оценки. Идея модельных оценок состоит в рассмотрении предельных случаев и упрощенных вариантов задачи.

Оценки скоростей и размеров орбит внутренних электронов атома .

Для оценки скорости электрона на внутренней орбите атома нужно составить величину с размерностью скорости из величин, определяющих структуру атома, т. е. из массы электрона tn, постоянной Планка К и произведения заряда ядра и заряда электрона Zee. Действительно, в уравнение движения заряд электрона входит только в виде произведения на заряд ядра, поскольку при рассмотрении внутренних электронов влиянием других электронов можно пренебречь. Задача нерелятивистская, поэтому скорость света не войдет. Единственная величина размерности скорости, которую можно составить из tn, К и Ze2— это у <zr>Ze2/K.

Для оценки порядка величины радиуса внутренних орбит электрона а воспользуемся тем, что потенциальная энергия электрона Ze^ja порядка его кинетической энергии /му2, т. е. Ze2[a ~ m-и2 или а—K2!Ztne2.

Из оценок а и v видно, что при рассмотрении атомных явлений удобны единицы е = А = /м=:1 (так называемые атомные единицы). В этих единицах скорость света с = 137,2, а масса протона 2И=:1840.

Стационарные состояния

Рассмотрим движение частицы в потенциальной яме (рис. 10). Уравнение Шредингера для этого случая имеет вид

Ч^ + ^Ч^О,

В классически доступной области V меньше полной энергии Е. Следо-В классически доступной области V меньше полной энергии Е. Следо-причем А — 2 ЦЕ— У), потенциальная энергия вательно, волновая функция Y осциллирует в этой области (см. 1.1). В области, где Е < V, Т-функция экспоненциально затухает. Энергию стационарных состояний можно оценить из условия, что характерный размер / области, в которой может двигаться частица, содержит целое число п полуволн де-Бройля. .

В классически доступной области V меньше полной энергии Е. Следо-

В классически доступной области V меньше полной энергии Е. Следо-

Стационарные уровни энергии нельзя получить, исходя из одних лишь размерных соображений, так как величина п безразмерна. Мы будем делать модельные оценки, заменяя реальную потенциальную яму ящиком (рис. 11) с длиной, зависящей ской волны

Рис. 10.Длина де-бройлев-Рис. 10.Длина де-бройлев-от энергии частицы.от энергии частицы.Х = 1/р=1/К2 (Д-Ю,

Рис. 10.

Длина де-бройлев-

Рис. 10.

Длина де-бройлев-

от энергии частицы.

от энергии частицы.

где р— импульс частицы. Для произвольной потенциальной ямы К зависит от координаты х. Для оценки всегда можно считать X ~ 1/]/"2Zr, если Е отсчитано от дна ямы.

Итак, оценка стационарных уровней системы Еп получается

из соотношения

це>^

2лп

2 К2Ё; ’

(1.27)

где L (Еп)— характерная длина области, в которой может

двигаться частица.

Для прямоугольной ямы величина L^En^ = L— длине ямы.Для прямоугольной ямы величина L^En^ = L— длине ямы.Рис. 12.Рис. 12.

Для прямоугольной ямы величина L^En^ = L— длине ямы.

Для прямоугольной ямы величина L^En^ = L— длине ямы.

Рис. 12.

Рис. 12.

Следовательно, удовлетворяетСледовательно, удовлетворяетЭто выражениеЭто выражение7 лп„ Л2П2

Следовательно, удовлетворяет

Следовательно, удовлетворяет

Это выражение

Это выражение

принципу соответствия Бора: при большихпринципу соответствия Бора: при большихГ^’°ТКУДа^=2^

принципу соответствия Бора: при больших

принципу соответствия Бора: при больших

квантовых числах расстояние между соседними энергетическими уровнями должно равняться классической частоте движения Действительно,

dEnо л2плп 2л 2л 2л 2л

dn 2L>L 2L„. / лп2L]vТкч ’

где Ткл— классический период движения, равный 2L/v.

Следующий пример — одномерный осциллятор, потенциальная энергия которого V=-^-®ax2. Здесь ю—частота классического осциллятора. Заметим, что частота осцилляций У -функции около начала координат (рис. 12) больше, чем

Условие квантования (1.27) имеет вид уЕ /ю~п]У Е_ отУсловие квантования (1.27) имеет вид уЕ /ю~п]У Е_ от

Условие квантования (1.27) имеет вид уЕ /ю~п]У Е_ от

Условие квантования (1.27) имеет вид уЕ /ю~п]У Е_ от

у краев ямы. Действительно, при х = 0 кинетическая энергия движения максимальна, следовательно, длина волны X минимальна. При заданной энергии Еп характерная длина области L, в которой может двигаться частица, находится из условия V(L) =Еп. Итак, -|- <o2L^ ~Еп, откуда Lra~y~EJto.

куда En = Cxrito. Из принципа соответствия следует, что Сг=1.

Как известно, точное решение задачи приводит к спектру осциллятора Еп = ( л + -2') “j т. е. при п = 0 энергия колебаний отлична от нуля. Это связано с соотношением неопределенностей: частица, движущаяся в малой области d, не может иметь импульс, меньший ~ 1/d. Энергия Е имеет оценку Е ~ -У + о)2с?2. Возьмем минимум этого выражения. Эта минимизация соответ

ствует вариационному принципу

квантовой механики: ZT^min (ф 17/| гр). В данном случае ф-функция зависит от одного лишь параметра d. Выражение для Е минимально при d ~ 1/Ую. При этом Z?min = = C3G> (С3=1/2). Величина d^^— 1/со дает оценку квадрата амплитуды нулевых колебаний.

Рассмотрим движение в кулоновом поле (рис. 13). Ограничимся случаем / = 0 (случай /#=0 будет рассмотрен квазиклассически на стр. 138). Существенная длина движения L находится из условия Е ~ Z/L, т. е. L ~ Z/E. Из условия квантования (1.27) находим Z)En~ п]У Еп, т. е.

Z2

Еп — Сг-^-. Число Сг найдем из принципа соответствия:

dE„ _ г 2Z2 _2л

dnпа ~— Гкл ■

Период классического движения

2л2

(2Е^ '

.._ 2Z22л/Z2\s/21

Итак, — С. —т = н-71 —2С,—5 ),откуда Сч =-г- .Оконча-

’1 п32nZ\1п2у’ji2

1 Z2 тельно Е„ =?-—;,что,какизвестно,совпадаетсточ-

п2 л2 ’’’

ным решением.

Распределение электрического заряда в атоме

Распределение заряда в тяжелых атомах можно вычислять с помощью приближенного метода, называемого методом Томаса — Ферми. При этом используется тот факт, что в тяжелом атоме большинство электронов имеет большие квантовые числа. Длины волн электронов при этом малы по сравнению с областью изменения потенциала. Тогда плотность электронов в каждой точке атома можно рассчитывать так же, как и плотность свободных электронов в потенциальном ящике с плоским дном.

Пусть наибольший импульс электронов в данной точке равен р0. Тогда число состояний в интервале (р, p-\-dp^ равно </р/(2л)3. Поскольку в основном состоянии атома электроны должны заполнять все состояния с импульсом, меньшим pQ, то число электронов в единице объема равно л = 2 С г^з = 2 лр® ,4 хд

J (2л)33 'о (2л)3

(множитель 2 возникает из-за двух возможных проекций спина электрона).

Обозначим через ф (г) электростатический потенциал атомного поля. Согласно уравнению Пуассона

Аф = 4лл, т. е.

Свяжемр0 сф. Полная энергия электрона равна-^-ф(г). Пусть 80—г максимальное значение полной энергии в каждой

точке атома, т. е.

8о = "2Ф (г).

Величина 80 должна быть постоянной, иначе электроны будут переходить из точек с большей энергией в точки с меньшей энергией. Из двух последних формул находим

Аф — (ф + в0)3/2 или

Дф ~ ф8/2, если отсчитывать ф от —80.

Определим радиус / области, в которой находится большинство атомных электронов. Из последней формулы имеем по порядку величины

-^-~Ф3/а, откуда /~ф-1/4.

С другой стороны, величину / можно связать с числом всех электронов атома Z-.

Z ~ nla

или, учитывая соотношение Дф ~р*,

Z~ Дф/3 ~ ^Е~ ф/.

Сравнивая два последних выражения, находим Z~l~4-l или1

/ ~ - -

Средняя энергия 8 атомного электрона по порядку величины равна электростатическому потенциалу ф(/). Так как / ~ ф-1/4, то получаем

е ~l"4 ~ZM3.

Полная энергия всех электронов Е имеет порядок величины

Е ~ &Z ~ 2? 3.

Число узлов волновой функции есть iy"~^~Z^3.

Итак, радиус К, /.-оболочки атома rK ~ \]Z3 расстояние / (томас-фермиевский радиус) ~ 1/Z1/3 и радиус наружных

оболочек ~1, поскольку эффективный заряд для электронов наружных оболочек ~ 1.

Распределение электрического заряда в атоме рассматривается в разделе 3.2 подробнее.

Формула Резерфорда

Рассмотрим рассеяние легкой частицы с массой т и зарядом е на тяжелой частице с зарядом Ze в нерелятивистском классическом случае. Сечение рассеяния не зависит от массы тяжелой частицы; оно определяется скоростью налетающей частицы v, ее массой и зарядами е и Ze. Из закона Кулона следует билинейность сечения по зарядам, т. е. сечение о будет зависеть лишь от комбинации Ze2. Из этих параметров можно составить только одну величину с размерностью длины, а именно Ze^/mv2', следовательно, сечение рассеяния

'• \ /гаи2 j , х ’

Найдем зависимость сечения от угла рассеяния в предельном случае малых углов. Угол отклонения 0 приближенно равен (рис. 14) 0 = PaJPi где р—импульс частицы, a pj_ — импульс, возникающий в направлении, перпендикулярном к исходному. Вычислим р^:

Рд_ = J F±dt — ^ ^L cos adt =

А (Р^у^2)372 ~ py J (l+x2)3/2~ Py (интеграл берется сразу заменой x = tgy); здесь р— прицельное расстояние (см. рис. 14). Следовательно, 0(p)=^f-.(1.28)

По определению дифференциального сечения рассеяния:

sin 0 dQ dtpsin 9sin 0 dQ dtpsin 9(1.29)(1.29)du = р dp dtp = р I <Z6 dtp = р № I 1I uu

sin 0 dQ dtpsin 9

sin 0 dQ dtpsin 9

(1.29)

(1.29)

или

do Idpl 1

dQP |d6| sin 6 "

Используя (1.28) и (1.29), получаем формулу Резерфорда для малых углов рассеяния:

(1.30)(1.30)da _ /2Ze2\2 idQ \ mu2 ) 64 '

(1.30)

(1.30)

Неприменимость классической механики при больших прицельных параметрах

В классической механике полное сечение рассеяния о — ^ 2лр dp О

обращается в бесконечность для любых потенциалов (кроме обрывающихся, как, например, потенциал твердого шарика). В квантовой механике полное сечение конечно для потенциалов, убывающих с расстоянием быстрее, чем 1/г2 (см. задачу). Покажем, что классическая механика становится неприменимой при достаточно малых углах рассеяния, т. е. при достаточно больших прицельных параметрах р. Мы увидим, что с увеличением прицельного параметра угол квантовомеханической дифракции 0d уменьшается медленнее, чем угол классического рассеяния 0кл. Поэтому, начиная с некоторого прицельного параметра рх угол 0d становится больше 0кл. Следовательно, дифференциальное сечение рассеяния для прицельных параметров рассеяния, больших рх, нужно рассчитывать по квантовомеханическим формулам. Итак, хотя длина волны X здесь много меньше характерного размера, т. е. рх, условия классичности рассеяния не выполняются, т. е. условие Х<^рх— необходимое, но вовсе не достаточное условие применимости классической механики.

Получим критерий применимости классической механики. Согласно оценке 0кл pyjp заключаем, что

9кл~9кл~Рд. Ы/Р ~Рд. Ы/Р ~ЗУ М V (р) М __. У (р) др Р ~ р р ~ ри ’ЗУ М V (р) М __. У (р) др Р ~ р р ~ ри ’е.е.«Л Е ■«Л Е ■

9кл~

9кл~

Рд. Ы/Р ~

Рд. Ы/Р ~

ЗУ М V (р) М __. У (р) др Р ~ р р ~ ри ’

ЗУ М V (р) М __. У (р) др Р ~ р р ~ ри ’

е.

е.

«Л Е ■

«Л Е ■

Здесь мы предположили, что ^-— — (см. стр. 8) (f — энергия частицы, V — потенциал взаимодействия).

Для нахождения угла дифракции рассмотрим следующий опыт. Экран с отверстием диаметра а ограничивает прицельные параметры рассеяния значениями р -4- д (рис. 15). Для применимости классической механики необходимо, чтобы ширина щели а была много меньше прицельного параметра р, иначе само понятие прицельного параметра теряет смысл. При сужении отверстия возникает дифракционное рассеяние. Чтобы можно было наблюдать отклонение, необходимо,чтобы дифракционный угол был много меньше угла рассеяния.

Из соотношения неопределенностей видно, что неопре

деленность в координате а соответствует неопределенности в поперечном импульсе Др— Н/а. Следовательно, угол дифракции

а р ра ’

где р— импульс налетающей частицы. Для применимости классической механики необходимо, чтобы Ok,^-^, или ^«V^Mpa. Тем более,

А — У^Р) ^ 1

Ерр •

Это — общий критерий применимости классической механики для задачи рассеяния. Для потенциалов, спадающих с расстоянием быстрее, чем кулоновский, классический угол рассеяния убывает с ростом прицельного параметра сильнее,

чем 1/р. Поэтому всегда найдется прицельный параметр рх, для которого 9К ^ 9^. В случае резерфордовского рассея- 2Ze2

ния 9 = ^^- и рассеяние будет для всех углов классическим, если Ze^fh/u^ 1.

Оценка сечения рассеяния для потенциалов, спадающих с расстоянием быстрее, чем кулоновский

Мы получили, что классическая механика неприменима при прицельных параметрах, ббльших р1э которое определяется из условия равенства классического угла рассеяния дифракционному:

7^ = 0кл(Р1). (1-31)

(1.32)(1.32)т. е. величина pj находится из соотношения

(1.32)

(1.32)

PiP Е

VE—энергия налетающей частицы). Из (1.32) можно найти рт для любого конкретного вида потенциала И(р), спадающего с расстоянием быстрее кулоновского (для последнего обе части соотношения (1.32) пропорциональны 1/р, т. е. рг найти нельзя). Следовательно, при р < рт дифференциальное сечение рассеяния можно вычислять по формулам классической механики.

Полное сечение рассеяния

а = лр2 4-ОдИф,

где Одиф—дифракционное сечение рассеяния.

Если потенциал достаточно быстро убывает (V(г) < 1/г2, см. задачу), то оДИф может быть оценено как дифракционное сечение рассеяния на экране радиуса pt, т. е. одиф имеет порядок яр2, так что

о ~ 2яр2.

Оценим полное сечение рассеяния для степенного потенциала V = а/г". Из формулы (1.32) находим 1—^— ,

РхР

1

откуда рг ■—■ (a/v)"-1. Следовательно, / \ 2

о ~ 2лр2 ~2лГ-^-

При л, близком к 2, эта оценка не годится (см. задачу).

Задача. Определить, при какой степени убывания потенциала полное сечение рассеяния конечно.

Резонансные эффекты при рассеянии

Рассмотрим сначала рассеяние на потенциале, имеющем сильно отталкивающую сердцевину (рис. 16). Обозначим через Ио и а соответственно высоту и ширину потенциального барьера. Предположим, что Уо ^> Е—энергии налетающей частицы. Тогда на -границе барьера волновая функция обращается в нуль: Чг(л)=О. Рассмотрим для простоты сферически - симметричное рассеяние и предположим, что при г > а частица движется свободно,

Рис. 16.Рис. 16.т. е. ее волновая функция есть сумма падающей плоской волны etkz и расходящейся сферической волны

Рис. 16.

Рис. 16.

г 1кг.

’—е, где /—амплитуда рассеяния.

Плоская волна eikz имеет сферически-

sin кг _ „ симметричную часть, равную ^ ■ . Действительно, если разложить eikz в ряд по полиномам Лежандра: eikz = eikr cos 9 =

СО.

оо= У^ fft (cos 6), то А ~ ^ J ®ikr C°S ° s*n ® ^ " ^^гг” ' Итак,

о

о

Z = о

Сш^91 _sin£r .кг

J 4л|г>а кг "Г г е 1

Используя граничное условие Чг(а) = О, находим -^-™ + feika — 0) или

sin ка ,.

e-iboк

Если энергия частицы такова, что йа = лл, где п — целое число, то / = О, т. е. сечение s-рассеяния обращается в нуль. Этот резонансной эффект для отталкивательного потенциала ослаблен тем, что при ка ^ 1 в рассеянии существенны и волны с I Ф 0. Поэтому полное сечение рассеяния не обращается в нуль.

Как видно из выражения для амплитуды рассеяния, наибольшее сечение получается при ка = ^2п 4- 1) -^- : о = 4лК2. При малых к (Jia <^Л^ сечение о = 4ла2.

Резонансные эффекты при рассеянии используются в так называемой просветленной оптике: на поверхность линзы наносится слой вещества такой толщины, чтобы разность фаз от слоя и линзы составила целое число л. В результате на поверхности линзы не происходит отражения света и все потери обусловлены лишь поглощением.

Аналогичное явление происходит при рассеянии частиц на потенциальной яме (И< 0). Как и в случае И>0, сечение рассеяния принимает различные значения в зависимости от фазы волновой функции у края ямы. При определенных значениях фазы сечение обращается п нуль. Этот эффект наблюдался впервые Рамзауэром при рассеянии электронов на атомах. Классическая теория рассеяния не может объяснить это явление. Другой пример, где классическая механика решительно противоречит эксперименту,— это захват медленных нейтронов ядрами. Сечение этого процесса (-~ 4лХ2) превышает классическое сечение (окл = л/?2, где R— радиус ядра) в десятки тысяч раз.

Взаимодействие между атомами

Оценим величину взаимодействия нейтрального атома с ионом и с нейтральным атомом на больших расстояниях. Ион создает электрическое иоле Е = ZJr2, где Zt —заряд иона. Нейтральный атом, находящийся в электрическом поле Е, приобретает дипольный момент d = a.E, где а — поляризуемость атома. Следовательно, взаимодействие иона с нейтральным атомом V =— Ed— = —Zia/r4. В атомных единицах а — 1, так как главную роль в поляризации атома играют наружные оболочки, для

которых все величины ~ 1 в атомных единицах. Таким образом, V—1—ZX/r^.

Рассмотрим теперь случай, когда оба атома нейтральны. Они индуцируют друг у друга дипольные моменты dv и d^. Диполь-дипольное взаимодействие между атомами равно V ~ — ^г d^r3. _ _

Среднее значение dT и d^ по основному состоянию равно нулю, так как атомы не имеют постоянных дипольных моментов. Однако среднее значение dX, dX отлично от нуля, так как дипольный момент колеблется со всеми возможными атомными частотами:

d = 2 d.„eiti,t.

Дипольный момент d1№ создает поле Ет— —^. Момент d2u) в этом поле равен ^2ш = а2Дш. Подставляя ^2ш в энергию взаимодействия, получим после усреднения по времени:

~ 2 ^2ш^ш — Те 21<0а2 (Ю) Те" •

<в' <в

Оценим потери энергии при движении быстрого электронаОценим потери энергии при движении быстрого электронаИонизация атомов

Оценим потери энергии при движении быстрого электрона

Оценим потери энергии при движении быстрого электрона

в газе. Налетающий электрон, сталкиваясь с электронами

атомных оболочек, выбрасывает их из атома. При большой энергии налетающего электрона его угол отклонения 'О1

на одном электроне обо—' ^д ; здесь р—импульсна одном электроне обо—' ^д ; здесь р—импульсмал. Поэтому сечение рассеяния лочки определяется формулой ^

на одном электроне обо

—' ^д ; здесь р—импульс

на одном электроне обо

—' ^д ; здесь р—импульс

электрона.

Обозначим через q изменение импульса налетающего электрона; величина q связана с углом рассеяния -0* соотношением q «pt)1. Энергия АД, передаваемая при столкновении, равна ^2/2. Потеря энергии электрона на единице длины пути равна:

dE dxdE dxnZ ^ ДД do.nZ ^ ДД do.

dE dx

dE dx

nZ ^ ДД do.

nZ ^ ДД do.

где nZ—полное число электронов в единице объема, do —

дифференциальное сечение. Имеем:

4 р4 q3 р2о q p2 gmin

Максимальный классический угол отклонения 'O'max-^l, но он соответствует прицельным параметрам, много меньшим длины волны налетающей частицы. Такие прицельные параметры квантовомеханически бессмысленны. Минимальный прицельный параметр, о котором можно говорить в квантовой механике, ймеет порядок длины волны X. Отсюда O'max PmmZ? ~р И ^тах '~^1,^тах1-

Минимальный передаваемый импульс соответствует случаю, когда время пролета электрона т сравнивается с собственными временами (обратными частотами) атома 1/соо. При больших временах пролета поле налетающего электрона не содержит фурье-компонент с атомными частотами и вероятность ионизации резко убывает. Величина т^р/у, где у—скорость налетающего электрона. Итак, ^min находится из условия “~~~- Так как ^~\jpE, то 'O’min ~ mJ-uE, a ?min — р^^ ~paolvE ~ tojp1. Следовательно,

dEZn, p2

— -In — .dxp2 <oo

Как мы видели (см. стр. 36), основная масса электронов атома расположена в области радиуса aJZ1^ и энергия каждого из них ~ Z4^. Величина соо имеет порядок via ~ Z^jZ-^ ~ Z. Поэтому

dEZn, р2

—In .

dxр^Z

Многократное рассеяние

Узкий пучок электронов при прохождении через среду размывается по углам из-за многократного рассеяния. Действительно, хотя отклонение электрона, скажем, направо и налево, равновероятно, средний квадрат угла

отклонения отличен от нуля. С аналогичным явлением мы встречаемся в обыденной жизни, наблюдая, как закручивается со временем телефонный шнур. При каждом телефонном разговоре шнур закручивается в ту или иную сторону равновероятно. Однако после большого числа разговоров шнур оказывается закрученным на угол, пропорциональный квадратному корню из числа разговоров.

Поскольку разброс электронов пучка по углам представляет собой совокупность большого числа независимых случайных процессов, то распределение по углам имеет вид Ф (д) = Ле-^а/^2 (гауссово распределение). Средний квадрат угла отклонения д3 пропорционален числу столкновений N, равному отношению толщины образца L к длине свободного пробега I. Если д® — средний квадрат угла отклонения при одном столкновении, то

д^ = дУл/ = д® = naL&i = ^L,

где о—сечение рассеяния, п — число ядер в единице объема, а 92 — средний квадрат угла отклонения на единице длины пути, т. е. в2 = /7од^. Так как, по определению, д® = ^7 ст (д') d2 n’Q, то 82 = л ^ о (д) д2 ^Q. Для резер- фордовского рассеяния получаем

7 2 е2^- 2лл— In ^x Е2 dmin

Эта формула годится как в релятивистском, так и в нерелятивистском случае.

Рассмотрим два предельных случая: Ze2/hv^> 1 и Ze2/^v<^l. В первом случае рассеяние для всех углов можно считать классическим (см. стр. 40). Максимальный угол рассеяния определяется из условия, что прицельный параметр равен радиусу ядра R, т. е. dmax ~ V (Rj/Е = = ZJRE. Однако в случае рассеяния электронов значение E^Z)R противоречит условию классичности; у обратном случае, который соответствует условию Z/RE > 1, dmax-~l. Минимальный угол отклонения определяется атомными размерами ал dmin ~ Z,aE. Оценивая а по модели Томаса— Ферми, находим dmin — Z/Z~':a Е Z^•*/£.

Следовательно, для электронов с Е <_ Z/R

-d2 ~ 2лл — In .

£2 Z ^

В случае, когда Ze2/h,-u <^.1, классический угол отклонения меньше угла квантовомеханической дифракции ^д. Поэтому углы 'd'max и Omin должны определяться следующим образом: Фт1П~Угол дифракции на радиусе атома:

^min а р >

~7В при Т<х-X .при -R > I-Ze^Hix^. 1' ln-J, KiR<\, 1 ln-^-, X/R> 1.~7В при Т<х-X .при -R > I-Ze^Hix^. 1' ln-J, KiR<\, 1 ln-^-, X/R> 1.-d'max — угол дифракции на ядре: v max

~7В при Т<х-X .при -R > I-

Ze^Hix^. 1

' ln-J, KiR<\, 1 ln-^-, X/R> 1.

~7В при Т<х-X .при -R > I-

Ze^Hix^. 1

' ln-J, KiR<\, 1 ln-^-, X/R> 1.

Таким образом, в случае

—72

92 = 2 л и ттт

. ОЦЕНКИ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

Нулевые колебания электромагнитного поля

Как известно, энергия электромагнитного поля равна 8л "8гГ ) ^Г’ Где ® И ^—напряженности электрического и магнитного полей. Если в пространстве нет зарядов, то электростатический потенциал <р можно считать равным нулю. Тогда ^ =с дГ ’ ^ = rot А, где А—векторный потенциал.

Разложим векторный потенциал по плоским волнам:

А = 5-^6 е£кг + компл. сопряж.

Тогда для энергии электромагнитного поля Е получаем следующее выражение:

£=Е{я?1л‘12+в;-1л«1г}-<'-33>

Здесь нормировочный объем пространства, в котором находится поле, считается равным 1.

Легко видеть отсюда, что энергия электромагнитного поля равна сумме энергий невзаимодействующих гармонических осцилляторов. Действительно, величина Дй играет здесь роль координаты, Дй — скорости, 1/4лс2 —■ массы гармонического осциллятора. Частота осциллятора ю* =

= I/ —, где а — жесткость, а т — масса. В данном случае а = А2/4л, лг=1/4лс2, следовательно, сой = ск. Первое слагаемое в выражении (1.33) представляет собой кинетическую энергию электромагнитного поля, а второе — потенциальную.

Итак, электромагнитное поле в пространстве без зарядов можно рассматривать как совокупность независимых гармонических осцилляторов со всеми возможными значениями волнового вектора к.

Применим к совокупности гармонических осцилляторов законы квантовой механики. Тогда энергия электромагнитного поля равна

£’=’52 ( лй + -^) сой ,к

где лй — номер возбужденного состояния осциллятора

с волновым вектором к (число квантов с волновым вектором ку Для простоты здесь опускается значок X поляри

ни кинетическая,ни кинетическая,ни цотенциальнаяни цотенциальная=При этом2 к=При этом2 кзации кванта. Он определяет направление ориентации вектора Дй , лежащего в плоскости, перпендикулярной к к. В основном состоянии все Лй = 0 (нет квантов) и Е =

ни кинетическая,

ни кинетическая,

ни цотенциальная

ни цотенциальная

=При этом

2 к

=При этом

2 к

энергии колебаний не имеют определенного значения. Следовательно, ни напряженность электрического поля,

ни напряженность магнитного поля не имеют определенного значения. Средние значения электрического и магнитного полей при этом равны нулю, но средние значения от квадратов этих величин отличны от нуля. Это означает, что электромагнитное поле в пустоте колеблется. Эти колебания называются нулевыми колебаниями электромагнит

ного поля.

Теперь можно ответить на следующий вопрос: почему атомы не находятся неограниченно долго в возбужденных состояниях? Ведь возбужденные состояния есть точные стационарные состояния уравнения Шредингера. Причина заключается в том, что в пустоте всегда есть электромагнитное поле, с которым взаимодействует атом. В результате состояния атома перестают быть стационарными.

Рассмотрим взаимодействие частицы с электромагнитным полем. Для того чтобы найти изменение гамильтониана при наложении поля, нужно импульс частицы р заменить на Р-^А, где Д— векторный потенциал поля. Следователь- ср2

но, оператор кинетической энергии преобразуется в

— рА -4- »е -о АА. Последнее слагаемое в этом выра-

2m тс 1 2mc2г

жении мало. Его нужно учитывать в задачах, где первый порядок теории возмущений дает нулевой вклад, например, в задаче рассеяния кванта на электроне. Операторы Дй играют роль координаты соответствующего осциллятора поля и поэтому имеют матричные элементы, соответствующие изменению числа квантов на 1.

Вычислим матричный элемент (Дй )01 перехода из вакуумного состояния в состояние с одним квантом. Для этого найдем величину (Ай)00 =2 (О | ЛИ л) (л | Ай | О). Так как п

оператор Ай рождает один квант (с частотой сой), то в сумме отличен от нуля только член с п = 1. Итак, | (Ай )011 = ]Л( | Дй |2)00. Для гармонического осциллятора средние значения кинетической и потенциальной энергий совпадают и равны половине полной энергии. Следовательно, для основного состояния Тй =Ufe = ^^ — ^ с^- Так как <Л = ^ (| Дй|2)00, то у ск =~ (| Ah | 2)00, откуда (Дй )00 = ~^~ ■ Следовательно,

Аналогично находится матричный элемент от Ah для перехода из состояния с л квантами в состояние с л-f-l квантами.

Таким образом, матричный элемент перехода частицы из состояния фх в состояние фх с испусканием кванта

равен

Vxa, = f —— Aft )=— (ср, I/пз.е/йг I Фх )Vxa, = f —— Aft )=— (ср, I/пз.е/йг I Фх )2лс2 сой" "2лс2 сой" "(1.34)(1.34)

Vxa, = f —— Aft )=— (ср, I/пз.е/йг I Фх )

Vxa, = f —— Aft )=— (ср, I/пз.е/йг I Фх )

2лс2 сой" "

2лс2 сой" "

(1.34)

(1.34)

Чтобы перейти к релятивистскому случаю, достаточно для оценки заменить р/т на с. Здесь рт\ьх— проекция импульса на направление Ай ("Цйх— единичный вектор поляризации кванта).

Фотоэффект

Рассмотрим фотоэффект: квант света поглощается атомом, в результате чего из атома вылетает электрон. Число переходов за единицу времени равно ^- | V^x, |2 X Хб(£; — Е^, где Е£— энергия начального состояния, равная сумме энергий кванта ш^ и энергии электрона в начальном состоянии ех^ а Е^ — ер—энергия вылетевшего электрона. Число переходов электрона за единицу времени в состояния с импульсами р в интервале [р, p-j-dp] равно

d^=2n j| И^б^Ч-Шй -sM(^5 =

рp2$d£

= 2л j | У12 |2 (^— 6 (Ех, + Ой - EX,) dQ =

(2л)2 J 1 121 и

Сечение фотоэффекта равно отношению числа переходов за единицу времени к интенсивности потока квантов. Последняя равна скорости кванта с, так как в нормировочном объеме ( = 1) находится один квант. Следовательно, по порядку величины имеем

а ■—■а ■—■Покажем, что в выражении (1.34) экспоненту е1кг можноПокажем, что в выражении (1.34) экспоненту е1кг можно4ЛР I Т/ 12(2л)2С I V 12 I •

а ■—■

а ■—■

Покажем, что в выражении (1.34) экспоненту е1кг можно

Покажем, что в выражении (1.34) экспоненту е1кг можно

заменить единицей. Действительно, волновое число

k = <л/с I/с, где /—потенциал ионизации атома; 1 ~ Z^ для внутренних электронных оболочек. Радиус этих обо-

■Z2 12

лочек ■—XIZ, следовательно, кг—■ =-—■ — <^ 1 и е1Ьг^ 1.

' ’’ с Z с

Экспоненту eifer тем более можно заменить единицей для наружных оболочек, где кг— 1/с= 1/137.

Так как (ф^фл,) = (фА.Гфл,,) = I ^—ех^ (фя,,Гфи = = ito (фл^фл,), то сечение фотоэффекта имеет порядок величины

СТ Д- „2 | (фоГфр ) |2 ± ^ ^ | (ф0Гфр ) |2.

Рассмотрим фотоионизацию /С-оболочки в двух предельных случаях, когда энергия вылетающего электрона много меньше потенциала ионизации и когда она много больше потенциала ионизации. В первом случае энергия кванта близка к энергии ионизации /—Z2, т. е.

° ~ V~l (^Фр) |2-

Возле порога реакции это сечение содержит множитель р— V Е. Если бы матричный элемент гар не зависел от энергии, то о — V Е . Это — обычный результат для сечения реакций вблизи порога. Зависимость сечения ~ V"Е возникла из-за статистического веса конечных состояний:

У 6(Д — о) ^5 ~ j* 6 (£ — i^p4p~ ^{E—^pdE^p.

В случае водородоподобного атома дело обстоит иначе: сечение фотоэффекта при малых энергиях вылетающего электрона не зависит от энергии. Это связано с тем, что дипольный матричный элемент из-за корневой особенности кулоновских волновых функций при г2 = О (см. стр. 26) ведет себя как 1/]Лр вблизи порога реакции. Оценим гор вблизи порога.

Волновая функция ^электрона ф0 ^ e~Zr, и, следовательно, в дипольном матричном элементе существенны малые расстояния г ~ \]Z. Для вылетевшего электрона волновая функция на большом расстоянии от ядра имеет вид плоской волны

(1.35)(1.35)фр = е1Рг.

(1.35)

(1.35)

Таким образом, чтобы оценить гор , нужно найти фр при r~\(Z. Для этого напишем уравнение Шредингера для радиальной части волновой функции Upfr. ир + кгир = О, где Д2 = 2(5-}-Z/r). В 1.1 мы получили следующее приближенное решение этого уравнения (так называемое квази- классическое решение):

ир =-4=cosM kdr —к = V^E-VZjrV (1.36)

Здесь Е— энергия вылетающего электрона на бесконечности, т. е. очень маленькая величина. Условия применимости (1.36): j~<^l (см. 1.1 и 3.1); отсюда получаем: ^-—■ ~\[VZr, и условие квазиклассичности движения имеет вид Zr 1, т. е. r> 1/Z. Итак, условие квазиклассичности движения выполняется вплоть до Л'-оболочки атома.

Оценим нормировочный множитель А. Для этого рассмотрим ир на больших расстояниях г;

(1.37)(1.37)д

(1.37)

(1.37)

Up = -4-^= COS ^pr + «).1/25

1/У Р1/У Роценкуоценкуг VZP V рг VZP V рС другой стороны, при г—>-со волновая функция ир/г должна совпадать с радиальной частью первой гармоники (оператор г меняет момент на 1) разложения плоской волны е1Рг по полиномам Лежандра: e‘pr cos 9 = ^/iP, (cos 0), амплитуда которой ■— \/рг. Следовательно, из (1.36) находим: А)У р ~\!р, откуда А— 1/[/" р . Итак, волновая функция вылетевшего электрона фр при r~\jZ имеет

1/У Р

1/У Р

оценку

оценку

г VZP V р

г VZP V р

Дипольный матричный элемент (фогфр) имеет порядок

Z2 ~ 1

z4 V^ z^y р

Так как квадрат дипольного матричного элемента обратно пропорционален корню из энергии вылетающего электрона Е, то сечение фотоэффекта а не зависит от энергии Е.

Итак, при Е— 7<| / полное сечение фотоэффекта

pZ^ / 1 \2 1с Vй) р

или

(1.38)

Рассмотрим другой предельный случай, когда энергия вылетающего электрона много больше потенциала ионизации. Оценим дипольный матричный элемент и сечение фотоэффекта. Волновая функция непрерывного спектра имеет вид фр = Fe‘Pr, где F — функция, стремящаяся Г оо

к единице при рг^>\. В матричном элементе (ФоРФо), как мы увидим, существенны расстояния г~\(р. Отклонение F от единицы определяется величиной V^/E. При г~\,р можно полагать Л= 1. Тогда в интеграле (ф0/?ф^) оператор р можно вынести из-под знака интеграла, заменив его числом р. Учет поляризации квантов внесет лишь множитель порядка 1. Следовательно,

~ I (Фо^Фр) Р ~ у I (Фо^рг) I2-

Интегрируя по углам, получаем

00.з/ 00

(Фо^г'рг)(Фо^г'рг)Z3/z у e~Zr ^р^"- г* dr = ^- у re~z I r I sinpr dr.О— со

(Фо^г'рг)

(Фо^г'рг)

Оценим это выражение. Легко видеть, что вторая производная от функции /(г) = re~z 1 r I имеет скачок при г —0. Поэтому далекие фурье-компоненты этой функции имеют оценку (см. 1.1)—Ё/р3.

Если бы потенциал V как функция г2 не имел особых точек на вещественной оси, то волновая функция как скаляр была бы аналитической функцией г2. В этом случае далекая фурье-комионента волновой функции как функция энергии была бы экспоненциально мала (см. 1.1). Мы видим, что степенная зависимость матричного элемента от энергии в нашем случае возникает из-за того, что V в кулоновском потенциале как функция г2 имеет точку ветвления при г2— 0. Это связано с тем, что кулоновский потенциал \/г имеет

особенность при г = 0. Полюсная особенность кулоновского потенциала привела к корневой особенности в решении уравнения Шредингера.

Итак, матричный элемент (срое'^г) при р —► со имеет оценку Zsi^jp1^ а сечение фотоэффекта .

Z5p cpS"Z5p cpS"т.т.е. о =е. о =C2Z»с£7/аC2Z»с£7/аилиили27'2Са / / \7/2 гг =_ 1cZ2 \Е)27'2Са / / \7/2 гг =_ 1cZ2 \Е)

Z5p cpS"

Z5p cpS"

т.

т.

е. о =

е. о =

C2Z»с£7/а

C2Z»с£7/а

или

или

27'2Са / / \7/2 гг =_ 1

cZ2 \Е)

27'2Са / / \7/2 гг =_ 1

cZ2 \Е)

(1.39)

Здесь I—потенциал ионизации /С-электрона, равный Z2/2. Численный расчет показывает, что С2-^-10.

Если положить в (1.39) энергию кванта Е равной потенциалу ионизации /, то мы должны получить по порядку величины формулу (1.38). Однако, как показывают численные расчеты, формула (1.39) дает при Е = 1 сечение, на порядок большее, чем (1.38). Это означает, что переход от области Е— I <| I к области Е^> I оказывается сильно растянутым.

Времена жизни возбужденных состояний атома

а) Оценим время жизни состояния 2р водородоподобного атома. Электрон из состояния 2р переходит в состояние 1s, испуская дипольный у-квант. Число переходов в единицу времени (обратное время жизни) равно

^о] = 2л J | И0112 ^ 6 (Е 0 - ^-to),

где V= — 7*P^ — потенциал взаимодействия электрона с электромагнитным полем. Индекс 0 соответствует состоянию 1s, индекс 1 — состоянию 2р, <о — энергия у-кванта. Так как

dk = Д2 dk dQ^k* — dd dto,da

то

№ da

^01 = 2л

Оценим матричный элемент перехода Уо1; учитывая нормировку потенциала А электромагнитного поля (см. стр. 49),

находим

1

^01”"3" (Р^ог^ у "^ Pov

Здесь мы не интересуемся поляризацией у-кванта, которая внесет лишь численные множители. Оценим матричный элемент импульса р;

.со

p01 = itor01 -^2".

Следовательно, со2 1 , 9 dk_со2

~Z2 со dcoZ^c^'

Так как частота перехода G) имеет порядок Z2, то окончательно находим

Оценим численно время жизни состояния относительно дипольного перехода. Атомное время жизни имеет порядок

К10 27 эрг-сек

Тат ~ £^27 зв -1 ,6-10“12 эрг]эв ~

сек.

с3

Следовательно, тдип~24Тат- Для атома водорода тдип ~

<~10710 17 = 10 10 сек. Точный расчет дает несколько

большие значения тДИ|1.

б) Оценим время жизни квадрупольных переходов, например, 3d —► 1s. Ранее в операторе А электромагнитного

поля мы заменяли множитель eifer ^k — волновой вектор

кванта) единицей

/ ,toZА „

\kr = — г ~ — <А 1 . При

\сс ^ /

квадрупольных переходов нужно разложить е

рассмотрении lfer в ряд, при

чем главный вклад внесет член разложения tkr. Получаем

Отт

Vox = < V ^((ПР)(Аг))01,

где т) — поляризация кванта.

Направим ось z по вектору ц, а ось х — по А (вектор поляризации кванта т$ перпендикулярен к волновому

^01 ^^01 ^2л ..2л ..Для атома водорода тквад~10 10-104~10 8 сек..Для атома водорода тквад~10 10-104~10 8 сек..Ответ, т ~ c^/Z6.Ответ, т ~ c^/Z6.ТормозноеТормозноеизлучениеизлучение

^01 ^

^01 ^

2л ..

2л ..

Для атома водорода тквад~10 10-104~10 8 сек..

Для атома водорода тквад~10 10-104~10 8 сек..

Ответ, т ~ c^/Z6.

Ответ, т ~ c^/Z6.

Тормозное

Тормозное

излучение

излучение

вектору &). Тогда

01

LzJ 01

~2 lrp]y+ ^SF^Jo/

Первое слагаемое в этом выражении представляет собой матричный элемент от у-проекции момента количества движения, т. е. соответствует дипольному магнитному переходу. Произведение zx— это компонента квадрупольного момента, т. е. второе слагаемое определяет вероятность квадрупольного электрического перехода. Оба слагаемых имеют одинаковый порядок величины.

Оценим численно время жизни состояния относительно квадрупольного перехода. В отличие от дипольных переходов, в матричный элемент добавляется множитель кг. Следовательно, ~1 с2

^квад ~ ^дип (Аг)2 '"'"' 1'ДНП Z2 "

Задача. Оценить время жизни водородоподобного атома

по отношению к испусканию двух квантов.

Оценим эффективное сечение излучения у-квантов при рассеянии электронов на ядре. Предположим, что частота у-квантов много меньше энергии электрона. Тогда излучение слабо влияет на движение электрона и эффективное сечение приближенно равно произведению сечения рассеяния электрона на вероятность испускания у-кванта.

(1.40)(1.40)Оценим вероятность испускания фотона при заданном движении электрона. Уравнение Шредингера для фотона в энергетическом представлении имеет вид

(1.40)

(1.40)

lCn^^Vnn-Cn.ex

где V описывает взаимодействие электрона с электромагнитным полем, а Сп — амплитуда состояния с п квантами с заданными волновым вектором и поляризацией.

В основном состоянии Со = 1, а все С„ = 0. В первом п£о

порядке теории возмущений отлична от нуля амплитуда перехода в состояние с одним квантом, Cv Из (1.40) получаем=

откуда 00со

Сг =—i У Vlo elG>t di = + I J ^-^-»Л^ eiat dt.

Мы написали взаимодействие с излучением для бесспи- новых частиц. Для частиц со спином взаимодействие усложняется, но по порядку величины может быть оценено по этой же формуле.■

Поскольку излучение не влияет на рассеяние электрона, то скорость у можно считать заданной функцией времени.

—1ы>— t

Следовательно, так как A~T\e-1RrXY\e с , то

С,-IW(1.41)

где т) — единичный вектор поляризации кванта, п — единичный вектор &- .

Так как время соударения электрона много меньше, чем интервал /, существенный в этом интеграле, t<-——-.— г-, то можно считать, что скорость частицы в момент времени t = 0 скачкообразно изменилась с -и = vL на •y = t>a. Тогда из (1.41) находим

(1-42)

из (1.42)(1.43)из (1.42)(1.43)Для малых углов отклонения электрона и кванта получаем

из (1.42)

(1.43)

из (1.42)

(1.43)

1(Ау)2.

10)3 (1—у/с)2 ’

здесь Av— изменение скорости электрона. Так как знаменатели выражения (1.42) при малых углах отклонения кванта ^ и электрона ^ имеют вид

", (Ок+^е)21_^1^

с '2’1 с ' 2 ’

то существенные углы отклонения ограничены условием

о„ «.б V >—•

(1.44)

Оценим вероятность испускания кванта в интервал частот [со, <0 + dсо] при заданном изменении скорости электрона Av. Для этого умножим (1.43) на статистический вес конечных состояний кванта ^&/(2л)3:

dW-(Av>2^ rf^ (1.45)

to3у\2кV V to К К ''

"с /С3 ( 1— )

Сечение тормозного излучения равно произведению вероятности испускания кванта dW на сечение кулоновского рассеяния для релятивистских электронов:

do т.н''-'do т.н''-'(Ау)2 ^к dm(Ау)2 ^к dm«Лу V <ос8 1 \с )«Лу V <ос8 1 \с )Z2 dQeЕ2 . , 0еsin 1ГZ2 dQeЕ2 . , 0еsin 1Г

do т.н''-'

do т.н''-'

(Ау)2 ^к dm

(Ау)2 ^к dm

«Лу V <о

с8 1 \с )

«Лу V <о

с8 1 \с )

Z2 dQe

Е2 . , 0е

sin 1Г

Z2 dQe

Е2 . , 0е

sin 1Г

или при малых углах рассеяния (sin 0е=я Q^qjp)

(1.46)(1.46)Z2 0е d0e Z2 dto dqp2ci g4 cs to q '

(1.46)

(1.46)

Найдем вероятность испускания кванта для произвольного изменения импульса электрона. Для этого проинтегрируем (1.46) по q. Будем считать электрон ультрареля- тивистским, т. е. 1—v/c<^l. Так как Ze2/Ac<^l, то минимальный угол отклонения будет определяться дифракцией

электрона на радиусе атома a~Z 1/3, а максимальный— условием (1.44).

Интегрируя (1.46) по q, получаем

(1.47)(1.47)dCTT иZ2 cto<7max Z2 da с

(1.47)

(1.47)

, ' dq ~ --г — InIn ——- .dqL» to9m inс5 соZ1/3

Оценим сечение тормозного излучения квантов с произвольными частотами. Интегрируя (1.47) по со, находим

От. иОт. и22 1 с 1In -ГТ, • 1п с5 Z 1/322 1 с 1In -ГТ, • 1п с5 Z 1/3ютах ®minютах ®min(1-48)(1-48)

От. и

От. и

22 1 с 1

In -ГТ, • 1п с5 Z 1/3

22 1 с 1

In -ГТ, • 1п с5 Z 1/3

ютах ®min

ютах ®min

(1-48)

(1-48)

Максимальная частота кванта — порядка энергии электрона:

/пс2

Ютах~ у\=^'

При tomin—*0 выражение (1.48) расходится (см. стр. 109). Однако потери энергии электрона на тормозное излучение dE Г "

будут конечными: —) Nm doT.H, где N—число ядер в единице объема. Окончательно,

dE dxdE dxZ^N „. с ■Е In —— . с5 Zya

dE dx

dE dx

Образование пар

Напомним читателю, что релятивистски инвариантное уравнение движения электрона — уравнение Дирака — при заданном импульсе р электрона имеет собственные функции, отвечающие не только положительным, но и отрицательным значениям энергии: Е = ±J^m2c4 + р^с2. Для того чтобы объяснить, почему электрон не переходит в отрицательные состояния с испусканием кванта, Дирак предположил, что все отрицательные состояния в вакууме заполнены электронами. Тогда переход в эти состояния запрещен принципом Паули. Незаполненное отрицательное состояние означает, что в вакууме есть позитрон.

С этой точки зрения механизм образования пар аналогичен механизму фотоэффекта: квант переводит электрон из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией. В пустоте такой процесс невозможен,

как это сразу видно из законов сохранения энергии и импульса. В поле ядра процесс делается возможным, так как электрон передает излишек импульса ядру.

Можно оценить сечение образования пар на ядре аналогично тому, как это делалось для тормозного излучения: найти вероятность образования пар при заданной величине передаваемого ядру импульса, а затем умножить эту вероятность на сечение рассеяния электрона на ядре и проинтегрировать по всем значениям передаваемого импульса.

Можно получить сечение образования пар, рассматривая этот процесс как обратный тормозному излучению. Строго говоря, процесс, обратный тормозному излучению, соответствует поглощению кванта и переходу электрона из одного состояния с положительной энергией в другое. Однако в ультрарелятивистском случае, которым мы для простоты ограничимся, собственные функции, соответствующие отрицательной энергии (т. е. соответствующие позитрону), мало отличаются от функций для положительной энергии (кулоновское поле ядра вносит малую поправку). Следовательно, сечение образования пар можно приближенно рассматривать как процесс, обратный тормозному излучению.

Сечения прямого и обратного процессов относятся как статистические веса конечных состояний. В случае тормозного излучения в конечном состоянии есть электрон и квант, тогда как в случае образования пар — позитрон и электрон. Но при больших энергиях статистический вес кванта не отличается от статистического веса электрона той же энергии, и поэтому сечение образования пар совпадает по порядку величины с сечением тормозного излучения, проинтегрированным по энергиям квантов порядка энергии электрона. Таким образом,

72 г

Потери энергии квантов на единице пути вследствие образования пар имеют порядок

dEdxdEdxNZ» „. сNZ» „. с

dEdx

dEdx

NZ» „. с

NZ» „. с

т. е. совпадают по порядку величины с потерями энергии ультрарелятивистского электрона на тормозное излучение.

Лэмбовское смещение

Электрон атома, взаимодействуя с нулевыми колебаниями электромагнитного поля, дрожит на своей орбите. Вследствие этого его заряд размазывается в пространстве и взаимодействие с кулоновским полем ядра ослабевает. Таким образом, уровни энергии из-за взаимодействия с нулевыми колебаниями повышаются. Это явление называется лэмбов- ским смещением. Оценим величину смещения.

Пусть 6 — отклонение электрона от равновесного положения из-за взаимодействия с нулевыми колебаниями. Тогда изменение потенциала взаимодействия равно

H' = v<r^—v^ = ^б + у-а^У6'^ (Л J = x' у' zV

Здесь г — координата электрона относительно ядра. Усредним это выражение по дрожанию электрона. Тогда 6 = О, а б2 = б2 = б| = -у д2. Следовательно,

О

Итак, для определения величины лэмбовского смещения необходимо знать средний квадрат амплитуды дрожания электрона б2.

Уравнение движения электрона в поле нулевых колебаний Е для оценок можно записать в виде

— 6 = + Е + ®аТ6,

где ®ат — частота обращения электрона. Предположим, что частота дрожания электрона много больше ®ат. Тогда членом й>аТ6 в этом выражении можно пренебречь.

Разложим в ряд Фурье отклонение электрона 6 и поле нулевых колебаний Е:

6=2 бдя ,Е = 2 Е^к е~№^ .

6ААХ

При этом мы предположили, что &б<^1. Ниже мы в этом убедимся.

Уравнение движения электрона в фурье-представлении приобретает вид

«ИгХ&кХ = Еьх-

Средний квадрат амплитуды дрожания 62 равен

и ——г •

ЬХкХ «>кх

Найдем E^kV Энергия нулевых колебаний типа £Х равна

^^J2"toftX '

(нормировочный объем равен 1). Отсюда Е^х = 2л<йда,; следовательно,

kXtokX

Заменим суммирование по k интегрированием:

со2 dmс3со2 dmс34л&2 dk(2л)3

со2 dmс3

со2 dmс3

(множитель 2 возникает из суммы по двум поляризациям кванта). Тогда получаем

nc3J со ЛС" comin

Каковы пределы интегрирования в этом выражении? сотах определяется условием нерелятивистского движения электрона в поле нулевых колебаний. Действительно, если электрон при дрожании приобретает релятивистский импульс, то в уравнение движения войдет релятивистская масса и 6ftX будет уменьшена. Поэтому интеграл обрезается условием й<^с, ш<^с2. При этом величина £6, которой мы пренебрегли, &6~с-1'2<^1.

<omln определяется из того условия, что, как мы предположили, частота поля должна быть не меньше, чем частота обращения электрона на атомной орбите ®аг. Как легко видеть из уравнения для д, область со <_ 0)ат вносит малый вклад. Итак, S2 = —gln^^. Так как 62 логарифми- waT

чески зависит от tomin и <йтах, то неточность в их определении несущественна.

Смещение электронного терма в первом порядке теории возмущений дается диагональным матричным элементом возмущения Н' по состоянию электрона Тп, т. е.

б£ = 1 62 J ^д V^ndr = 62 J ^Р^л dr’

где р — плотность заряда. Так как заряд ядра сосредоточен в области, малой по сравнению с радиусом электронной орбиты, то электронную волновую функцию можно взять в начале координат. Интеграл ^ рdr равен заряду ядра Z. Итак,

б£ = б2 | Тя (0) |2 = I Т„ (0) |2 In ^^,

т. е. лэмбовское смещение определяется значением волновой функции электрона в начале координат.

Таким образом, смещение имеет заметную величину лишь для s-электронов, так как только для них отсутствует центробежный барьер и электрон может находиться в начале координат. Смещение электронных термов, обладающих угловым моментом, будет значительно меньшим.

Лэмбовское смещение приводит к расщеплению термов 2si/2 и 2р1>2 водородоподобного атома. Согласно сказанному выше уровень 2pi. смещается значительно слабее, чем

Z3 с2

2s.A. Так как | Т2, (0) |2 = Zз/8л, то=

Z^ С2

блс3 1П Z2 "

Расходимость рядов в квантовой электродинамике

В квантовой электродинамике используют теорию возмущений по электромагнитному взаимодействию. Действительно, ряды теории возмущений содержат безразмерный малый параметр е^Кс « 1/137.

Покажем, что эти ряды асимптотические, т. е. расходятся при увеличении числа членов. Существует оптимальное число членов ряда, которое лучше всего изображает изучаемый процесс. Ниже это число будет оценено.

Для этого прежде всего убедимся, что физические величины как функции е2 имеют особую точку при е2 = 0 и, следовательно, не могут быть разложены в ряд по степеням е2.

В качестве примера рассмотрим энергию вакуума (Дайсон, 1952). Если бы не было особой точки при е2 = 0, то энергия вакуума не зависела бы от способа стремления е2 к нулю. Пусть энергия вакуума, найденная по теории возмущений, стремится к Ео. К какой величине стремится энергия вакуума, когда е2—»-0 со стороны отрицательных значений? Рассмотрим при е2 < О рождение в вакууме N электронно-позитронных пар. При е2 < О электроны (так же как и позитроны) притягиваются друг к другу. Определим, при каком N процесс образования пар энергетически выгоден. Пусть электронное и позитронное облака разошлись на достаточно большое расстояние друг от друга, так что отталкиванием между ними можно пренебречь. Энергию каждого из этих облаков можно оценить по методу Томаса —■ Ферми. Находим, что выигрыш в энергии — Е — №<3. Проигрыш в энергии составляет 2wc2 на каждую электроннопозитронную пару, а для всех частиц ^mc^N. Следовательно, если Nl!a > c^N, т. е. если N > с3/2, то рождение электронно-позитронных пар оказывается выгодным.

При N ~ с313 величина ср ~ с2, поэтому нужно рассмотреть, какой результат получится в релятивистском случае. Рассмотрим для простоты ультрарелятивистский предел. В этом случае pQ ~ ср/с, следовательно (стр. 36), -^-—1 ^-^-)3 • откуда ср/ ~ с3/2. Так как N ~1\ то получаем N—■ ср/—■ ~ с3/2, т. е. ту же оценку, что и в нерелятивистском случае. Энергия системы при этом — Е ^ Ntp -^ c3/Z, т. е. может быть неограниченно понижена уменьшением L Мы получили, что электромагнитный вакуум при е2 < О оказывается неустойчивым. Так как при е2 > О он устойчив, то это означает, что имеется особая точка при е2 = 0.

Рождение N электронно-позитронных пар соответствует N-му порядку теории возмущений. Найденное число N ~ с3/2 указывает порядок числа членов теории возмущений, начиная с которого будет сказываться особая точка при е2 = 0. Учет более высоких порядков теории возмущений не улучшит, а ухудшит результат.

ГЛАВА 2

РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ

ВОЗМУЩЕНИЙ

Размерные и модельные оценки — это первый этап решения физической задачи. Затем встает вопрос о количественном подходе. Уравнение Шредингера решается точно лишь для очень малого круга задач. Наиболее распространенным методом для его приближенного решения является теория возмущений. Она применима, когда в физической задаче есть малый параметр. Решение уравнения Шредингера ищется в виде ряда по степеням этого параметра. Ниже рассматриваются различные случаи теории возмущений, причем в каждом случае теория иллюстрируется физическими примерами.

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ. РАССЕЯНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ НА ЯДРАХ

Рассмотрим задачу рассеяния в случае, когда к рассеивающему потенциалу добавляется малый возмущающий потенциал. Найдем изменение амплитуды рассеяния по теории возмущений. В качестве примера изучим рассеяние заряженных частиц на атомных ядрах и вычислим добавку к амплитуде кулоновского рассеяния из-за конечности ядра.

Пусть гамильтониан системы равен

где Н'— малая добавка, причем известно решение задачи с гамильтонианом Нй\.

■^оФр ^р Фр •

Граничные условия, налагаемые на ср^ в случае задачи рассеяния (непрерывный спектр), могут быть двух типов:

<р± —> е‘Рг + -^ e-ipr.

Из них физический смысл имеют лишь функции ср+, соответствующие расходящейся сферической волне, однако для

3 А. Б. Мигдал, В. П. Крайнов

вспомогательных целей бывают удобны и ф~. Каждая из систем функций ф+ или ф~ является полной ортогональной системой, т. е.

$ Фр *Ф£ ^ — $. Фр *Ф? йг = (2л)3 6 ^Р—Р’^- Требуется найти решение уравнения Шредингера Н^р ^=ЕР^Р, или

<Не-Ер^р =-ОТр.(2.1)

Решение уравнения (2.1) будем искать в виде суммы решения невозмущенной задачи (7Y0— £,p)4fp=01 т. е. ф+, и добавки, которую удобно разложить по собственным функциям ф~ невозмущенной задачи, т. е.

'^-Ч’р+^.срр'?;.

(можно было бы сделать разложение и по ф+, но мы увидим далее, что разложение по функциям ф~ удобнее).

Для того чтобы описывать рассеяние, Ч^ должна удовлетворять граничному условию .

Т„♦.e^ri-Lg-pr,(2.3)

г -> ооГ

Функция ф+ удовлетворяет этому условию!

► е1Рг -4- ~ eipr г-»-®1 Г

(/0 — амплитуда рассеяния невозмущенной задачи). Поэтому должно быть

С йР' г A eiprJ (2л)зС^ Ф/>'г^« г "

Определим Срр>. Умножим (2.1) слева на ф~/. Учитывая ^офр'= ^Р'Фр, и интегрируя по г, получаем

кЕр.-Ер^ ф-/фр dr = - J ^Н'^р dr

или, сокращенно,

(^р'-£р)(ф;;[Тр)=-(ф;;|^Т^(2.4)

При Ipj^lp'l согласно (2.2) получаем

( фр I ^)=( фр | ф; )+У ^ СрР- < фр । ф-„>=

= J ^ СРР»6 Ф'-рЧ (2п)^СрР^

Здесь использовано то, что при |/? | ^ )/?'| функции <р~, и Фр ортогональны. Из (2.4) находим;

•рр' -•рр' -Следовательно,Следовательно,Ер — Ер'Ер — Ер'dp' (^,\н-\^р) _(Зя)» Ер _Ер, ^Р"dp' (^,\н-\^р) _(Зя)» Ер _Ер, ^Р"(2.5)(2.5)

•рр' -

•рр' -

Следовательно,

Следовательно,

Ер — Ер'

Ер — Ер'

dp' (^,\н-\^р) _(Зя)» Ер _Ер, ^Р"

dp' (^,\н-\^р) _(Зя)» Ер _Ер, ^Р"

(2.5)

(2.5)

Интегральное уравнение (2.5) эквивалентно дифференциальному уравнению (2.1). Запись уравнения для Фр в интегральной форме имеет то преимущество, что в этой форме удобно получать последовательные приближения. Именно:

^0) = Фр1

wU) _ С ^ИИ^У т-

(2-6)(2-6)рJ (2л)3 Ер—ЕР' ^Р”

(2-6)

(2-6)

РJ(W ЕР-ЕР' ^Р'

и т. д.

Подынтегральное выражение (2.5) [или (2.6)] имеет особую точку при |р| = |р' |. Мы увидим, что способ обхода особой точки определяет,

асимптотический вид Фр, т. е. ур

ставит граничные условия. Мы "»^— * z-*-

покажем, что именно указанный на рис. 17 способ обхода (а неРис. 17.

обход сверху и не интеграл в смысле главного значения) дает граничные условия (2.3).

Перейдем к вычислению интеграла в выражении (2.6) для фр' при г—>оо. Функция <р~, при г—»• оо имеет вид

ф*> eip'rx_^L_

где

Х = COS / Vp'rY

Первое слагаемое этого выражения приводит к интегралу в (2.6) вида

1

$ F<x^ elP'rxdx.

Интегрируя по частям, имеем

11

С F(x\ е£Р'гх с1х = Д- e£P'rxF(x\ I —

Jip гI

-1-1

1 СF (1) e‘p'r—F (—1)е-''р'г

— —— \ е1Р гх -у- dx «■т—г^ .

ip г 3 dx r _ip г

-iS-iSРис. 18.Рис. 18.Покажем, что часть этого исчезает в пределе гПокажем, что часть этого исчезает в пределе гвыражения, содержащая e~ip'r, при интегрировании по dp'. Нужно оценить интеграл

-iS

-iS

Рис. 18.

Рис. 18.

Покажем, что часть этого исчезает в пределе г

Покажем, что часть этого исчезает в пределе г

Т ^-Ё^Ё”,е'1Р'Гф^'^ (217) о р р'

Контур интегрирования изображен на рис. 17. Заменим контур интегрирования наСг-\-С2 (рис. 18), взяв 6 достаточно

малым, чтобы между старым и новым контуром не было особых точек. Тогда величина интеграла (2.7) не изменится.

В интеграле по С2 р'= ^— 76, б > О, поэтому e-iP'r — = e-iV • е-йг. Экспонента е-ог выносится за знак интеграла (2.7), и, следовательно, при г—> со весь интеграл по С2 экспоненциально мал. На участке С, р' =—it. и получается интеграл

т Ф W dt-^

J ^ р

При г—► оо интервал для f, существенный в подынтегральном выражении (2.8), порядка [О, 1/г], следовательно, Lit

мало в этом интервале, Еи<^.Ер. Поэтому интеграл (2.8) порядка — \ е at ~ ^ , т. е. мал степенным образом.

По тем интегралаПо тем интегралао

По тем интеграла

По тем интеграла

тического выражения для ф~. В этом и состоит преимущетического выражения для ф~. В этом и состоит преимущеже соображениям мала степенным образом и часть в (2.6), содержащая слагаемое И-е-*р'г асимпто

тического выражения для ф~. В этом и состоит преимуще

тического выражения для ф~. В этом и состоит преимуще

Рис. 19.Рис. 19.ство базисных функций ф~ по сравнению с ф + .

Рис. 19.

Рис. 19.

Следовательно, в (2.6) остается лишь интеграл с е1Р'г. Для его вычисления выбираем контур, изображенный на рис. 19. Как и для интеграла с e~iP*r1 в этом случае ин-

теграл по CY~V С6 будет экспоненциально мал, а по Сх—- мал степенным образом. Интегралы по С3 и С4 взаимно уничтожатся. Следовательно, весь интеграл сводится к вычету в точке р'—р:

Фр ~*" “" (2л)3 dEpldp ip'г ’

где р'—р—. Окончательно:

■ т„ = ф+ —I Н' ф+)- —.

Итак, Vp имеет нужную асимптотику:

Ч^ = е1РгЧ^ = е1Рг। (fo + fl) еiрг। (fo + fl) еiрг

Ч^ = е1Рг

Ч^ = е1Рг

। (fo + fl) еiрг

। (fo + fl) еiрг

причем

ИИ(2.9)(2.9)

И

И

(2.9)

(2.9)

Для нерелятивистских частиц можно заменить pf'v — m.

В случае свободного движения ф+ и ф~ — плоские волны, /о = О, и мы получаем амплитуду рассеяния в так называемом борновском приближении:

Л = " 2ли J 1Г (г' * е1ЧГ’ dT*'

где

q=p —р ^

— передаваемый импульс при рассеянии: | q ] = Ip sin-^-, а 6 — угол рассеяния.

Найдем критерий применимости теории возмущений в непрерывном спектре. Принцип отыскания критерия любого приближенного расчета состоит в том, что приближенно вычисленная физическая величина должна быть велика по сравнению с поправкой к ней от следующего порядка приближения.

В рассматриваемом случае дополнительная амплитуда рассеяния равна

В первом порядке теории возмущений ЧА — <Рр и

A= ^.«'t^r'.

Во втором порядке теории возмущений

/2 = — ^ J фр'Н'Ч^ dr' ~ т ^ Цр-Н' -^ e‘Pr' dr'. (2.10)

Условие А/А^^ служит критерием применимости решения в рассматриваемой задаче.

Пусть а — порядок величины области пространства, в которой возмущающее поле Н* (г) заметно отлично от нуля. Рассмотрим сначала случай /ш^1. Тогда функции <р± (<z) по порядку величины равны единице. Следовательно, амплитуда А порядка Н' (<z) <z3 и слабо зависит от угла рассеяния. Поэтому f^lfY~^'j?va'^j:v~H'a2‘ и критерий теории возмущений имеет вид

Н'а^ <^ 1.

Рассмотрим теперь случай />а^>1. Более подробно этот случай исследован в 3.1. Рассеяние в этом предельном случае больших энергий резко анизотропно и направлено

вперед. Действительно, в выражении (2.9) величина

,ipa sin —e^r ~ е 2,ipa sin —e^r ~ е 2

,ipa sin —

e^r ~ е 2

,ipa sin —

e^r ~ е 2

сильно осциллирует при pa ^> 1 для всех углов рассеяния 9, кроме 9^1/ра<^1. Для углов рассеяния 9^1/ра величина ф~,* (a) ф + (<z) по порядку величины равна 1 и амплитуда рассеяния имеет оценку

fx (9) ~ Н* ^ а».

.0 ^ 1/ра

Для углов 6^>\/ра амплитуда Д (9) существенно уменьшается из-за осцилляции волновых функций ф".

Рассеяние заряженных частиц на атомном ядре

В качестве примера рассмотрим рассеяние заряженных частиц (электронов или ц-мезонов) на атомном ядре. Будем считать, что заряд ядра равномерно распределен по его объему. Тогда потенциальная энергия частицы:

Z / 3_^ ^ \R V 22 R4) 'ZZ / 3_^ ^ \R V 22 R4) 'ZО <r <R, r> R.О <r <R, r> R.

Z / 3_^ ^ \

R V 22 R4) '

Z

Z / 3_^ ^ \

R V 22 R4) '

Z

О <r <R, r> R.

О <r <R, r> R.

1 г2 । z2 R2) + г1 г2 । z2 R2) + гЗдесь Z—заряд ядра, R—радиус ядра. Следовательно, возмущение имеет вид

1 г2 । z

2 R2) + г

1 г2 । z

2 R2) + г

ггR.R.О <r < R,

г

г

R.

R.

Согласно (2.9) дополнительная амплитуда рассеяния равна

Л = -^ У ^И'^Р dr~^^ ^Р*^ ^ J н'dr-

Действительно, Н' изменяется на расстоянии порядка R, а фр—на расстоянии порядка 1/р. Для не слишком больших скоростей электронов pR<^.\ (в атомных единицах А^Ю-4). Поэтому в выражении для Д функции ф“ и ф* можно выносить из-под знака интеграла в точке г = 0.

Вычисление дает

J Н' dr = ™ .

Следовательно,

Х^-^Ф.-'Ю»; (О).

Кулоновские нерелятивистские волновые функци ф± (О) равны): для поля отталкивания

Ф* (0) =Ф* (0) =1 ]А(2л)®1 ]А(2л)®е-Л/2рре-Л/2рр11

Ф* (0) =

Ф* (0) =

1 ]А(2л)®

1 ]А(2л)®

е-Л/2рр

е-Л/2рр

1

1

для поля притяжения

'<₽± (О) = е"/2РГ f 1 =Р — V

р К(2л)3\ р / ’

где Г^1±™у—гамма-функция. Окончательно получаем:

у 180 л® а0\ — Р /

где знак минус относится к потенциалу отталкивания, а плюс — к потенциалу притяжения; <z0— боровский радиус.

Дифференциальное сечение рассеяния dc/dQ равно ^Q^I/o+Д ]*, где /0 — амплитуда кулоновского рассеяния. Поскольку Д не зависит от угла рассеяния, а /0 убывает с увеличением угла рассеяния, то учет конечности ядра существен при больших углах рассеяния.

Критерий применимости теории возмущений в этом случае (pR<^\^— это Н'R“ <^ 1 или ZR^ 1; он выполняется для всех реальных ядер.

Мы не интересовались рассеянием налетающей частицы на атомных электронах. Амплитуды такого рассеяния можно вычислить, зная атомный форм-фактор. При не слишком малых углах рассеяния влиянием атомных электронов можно пренебречь.

ВОЗМУЩЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ ДЕФОРМИРОВАННОГО ЯДРА

В этом разделе рассматривается случай, когда возмущение наложено на граничные условия. Преобразование координат позволяет привести граничные условия к невозмущенному виду. Однако оно изменяет выражение для гамильтониана системы. Это изменение гамильтониана и есть возмущающий потенциал, влияние которого можно рассмотреть с помощью обычной теории возмущений. Теория поясняется на примере расчета одночастичных энергетических уровней деформированного ядра.

Пусть нам известно решение стационарной (или нестационарной) задачи с гамильтонианом /7(х) и граничным условием на некоторой поверхности So:

ccT + PT4So= О.

Требуется найти решение задачи с тем же гамильтонианом Н(х), но с граничным условием

aV+ рТ' U = 0,

причем поверхность S близка к So (эта близость и есть малый параметр в задаче). Для решения задачи следует найти такое преобразование координат x;=fi(x'.), что S (х) =50 (х'), т. е. в новых переменных уравнение поверхности прежнее. Иными словами, если уравнение поверхности So есть Фо(Ху) = О, a S — Ф (ху.) = О, то должно быть

ф(Л(х;.))=ф0(х;.).

Гамильтониан Н^х^ — H^ft (х'.)) в новых переменных изменяется. Мы можем записать его в виде

Н^+НЧх'^

где НЧх'.) = Н {fi^x'^—■ Н {х'.) и есть возмущение. Далее применима уже обычная теория возмущений.

Энергетические уровни деформированного ядра

Пусть известны стационарные уровни энергии в сферическом ящике, а нужно найти их в эллипсоидальном ящике (стенки считаем бесконечно высокими). Уравнение поверхности .So имеет вид

Фо (х) = О:= О,

/=1

а уравнение поверхности S есть

3 X3

ФСа^О: 2 4-1=0-

Введем новые переменные:

аух.

Тогда Ф (fj (V.)) = Фо (V). При этом изменяется оператор кинетической энергии частицы:

$3

— 2м^дх* 2м^ а» д/« •

Следовательно, возмущение имеет вид

л(^)—2Л4^2г)ах'2-

Оно малб, если все а{ близки к R.

Рассмотрим эллипсоидальную деформацию ядра, считая эллипсоид двухосным (с полуосями а и 5). Параметром деформации называется величина

г а-\-Ь

Считаем, что объем ядра не меняется при его деформации, т. е. a№ = Ra. Если написать a = /?(l-j-S), b = R<\—бх), где б, бх <^ 1, то в первом приближении из a№ = R3 получим б— 2бх = 0, т. е.

^sAO+^M-fT-s.) «зб,,

ИЛИ

Тогда возмущение Н' принимает следующий вид:Тогда возмущение Н' принимает следующий вид:

Тогда возмущение Н' принимает следующий вид:

Тогда возмущение Н' принимает следующий вид:

Пусть е“/у.— энергия частиц без учета деформации ядер (от магнитного квантового числа она не зависит в силу

сферической симметрии поля). С учетом деформации в первом порядке теории возмущений получаем

^^^I Н' 1

nljm = ^пЦ И + Р (nljm = ^пЦ И + Р (В результате расчета находимт? 1/(У+О3

nljm = ^пЦ И + Р (

nljm = ^пЦ И + Р (

Зависимость &nljm

Заметим, что

12/+1

от

т

р схематически изображена на рис. 20. ^nljm — &°п1] , т. е. центр тяжести муль-

типлета не смещается при деформации ядра.

Задача. Вычислить еп//л в квазиклассическом приближении.

ВНЕЗАПНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ.

ИОНИЗАЦИЯ ПРИ р-РАСПАДЕ И УДАРЕ ОБ ЯДРО

В рассматриваемых до сих пор примерах малым параметром задачи было относительное изменение гамильтониана системы. Изучим случай, когда малым параметром является время действия возмущения, но само возмущение не мало.

Ионизация при [3-распаде — один из примеров такого возмущения. В этом случае скорость p-распадного электрона много больше скоростей атомных электронов. Поэтому изменение заряда ядра — внезапное событие для них. Другой пример — ионизация при ударе быстрой частицы о ядро. В этом случае внезапным событием для атомных электронов служит отдача ядра.

Рассмотрим систему, волновая функция которой подчиняется уравнению Шредингера i-^- = HxV с гамильтонианом

Н =Н =НЛН, нг (Г),НЛН, нг (Г),tо,tо,

Н =

Н =

НЛН, нг (Г),

НЛН, нг (Г),

tо,

tо,

Предположим, что гамильтониан системы сильно изменяется за короткое время т. Введем полную систему функций гамильтониана Нй\

и разложим решение задачи 47 по функциям фб^:

п

Запишем гамильтониан Н в виде Н = Нг + кН— Н^ — Нг + V. Тогда

• 547. X4*(2) — Го^^# (• (2)\

е ien

^ = 5"» ^ е-^Че^ Ч^ + М2)), п

откуда

l^T-lLvnme-lV ^"^Ya^.(2.11)

т

Этот результат мог быть получен и без вычислений. Если временно обозначить bn (?) = ап (?) e-ie(n^1 , то фактически разложение УТ (?) = ^Ьп (?) ф^2) означает переход от коор- гг динатного к энергетическому представлению гамильтониана Нг. Уравнение Шредингера в новом представлении имеет такой вид:

откуда сразу же получаем уравнение (2.11). Интегрируя полученное уравнение, имеем

<4^-a^= — l^\Vnmam^edi. (2.12)

tn о

Матричный элемент Vnm обращается в нуль при ?^>т. Предположим, что (е^2) — е^^ т<1. Тогда экспонента под интегралом приближенно равна единице. Следовательно, для того чтобы пользоваться последовательными приближениями, должно выполняться условие Их <^ 1 (возмущение не является малым, но оно действует короткое время).

В нулевом приближении из (2.12) имеем а^01 (?) = ап (0). Заменяя в правой части уравнения (2.12) в первом приближении ат^ на ат (0), получим t

^ W=-l^ (<Р<г ’ | V 1 ф^) ат (0) dt.

Так как £а,Д°) ф^ = т(0), т

то в нервом приближении находим о

Предположим, что начальное состояние W (0) было одной из собственных функций Hv т. е.

^О^ф^^Х^Ф^'.

Следовательно, ап (0) = (ф^’ | ф«2)). Итак, в нулевом при-

ближении вероятность перехода в состояние ф„' есть

wnn6 — 1 \фл0 1 тл 7 I 'wnn6 — 1 \фл0 1 тл 7 I '(2.13)(2.13)

wnn6 — 1 \фл0 1 тл 7 I '

wnn6 — 1 \фл0 1 тл 7 I '

(2.13)

(2.13)

В пространстве векторов ф (/) с базисом <рп внезапное возмущение соответствует сильному изменению базиса: ф^1*—^ф^2* , при малом изменении волновой функции: Ф (^) «з Ф" (0).

Ионизация атомов при 0-распаде

Расчет ионизации атома при 0-распаде сильно упрощается, если использовать тот факт, что скорость 0-рас- падного электрона много больше скоростей атомных электронов. Покажем, что ионизация вызывается изменением за

ряда ядра, а непосредственным взаимодействием атомного и 0-распадного электронов можно пренебречь.

Сначала оценим вероятность электронного перехода, вызываемого непосредственным взаимодействием. Согласно теории возмущений она равна

(2.14)(2.14)л ico i

(2.14)

(2.14)

$ Vnnoe пп« dt о

Здесь Vnne — матричный элемент энергии взаимодействия, а ®пп0 — частота перехода.

Оценим это выражение. Величина юпПв имеет порядок атомных частот. Время пролета 0-распадного электрона т много меньше атомных периодов, т. е. <впПот<^1. Поэтому в (2.14) можно заменить e‘“nnez—► !. Взаимодействие V 0-электрона с атомным электроном имеет порядок величины е2/а, где а — величина порядка атомных размеров. Так как при 0-распаде электрон вылетает из атома со скоростью порядка скорости света с, то время вылета т ~ а)с. Следовательно, вероятность W имеет оценку:

11 / п X 2/ <>2 \ 2_

IT ~ 1 Ит2 ~ А ( — - ) ~) <1.

А2 К»\ а С )\^с }

Вычислим теперь вероятность ионизации вследствие изменения заряда ядра. Как мы только что видели, волновая функция атомных электронов мало меняется за время вылета 0-распадного электрона. Поэтому вероятность ионизации электрона, находившегося в состоянии Ф^ в Поле ядра с

зарядом Z, согласно (2.13) равна

(2.15)

Здесь Чг£+1 — волновая функция вылетевшего электрона с энергией £"> О в поле ядра с зарядом Z4-1- Полная вероятность ионизации из-за изменения заряда ядра равна

ооWti,EdE.Wti,EdE.(2.16)(2.16)

о

о

Wti,EdE.

Wti,EdE.

(2.16)

(2.16)

Оценим (2.16). Для этого разложим функцию /(Zt, Z2) = = (^Pf11 Ф'е8) в ряд по разности Zx — Za:

/(A, Z2) «

~ (^|^) + (Z1-Z2)g-| =kzx-z^lL\ .

I|Z! = Z2|Z1*Z3

Производная ^z _z = ^ Ч^11 ^^ у —"^7 ' Следовательно, 1 , т e.

^o^js.(2-17)

Итак, относительное влияние непосредственного взаимодействия имеет порядок величины

/Ze2 у _ / Z у

\Кс) — V37/

Оно выполняется для всех ядер, кроме самых тяжелых.

Из (2.14) можно сделать заключение о правилах отбора для рассматриваемого процесса. В случае ионизации внутренних оболочек самосогласованное поле, в котором движется электрон, можно считать сферически симметричным, следовательно, 4f = 7?nZ(r) Ylm (0, <р). Подставляя это Ч7 в (2.14), получим правила отбора:

Ч — 1^ тг = тй. ■

Для наружных оболочек эффективный заряд Z, действующий на атомные электроны, порядка 1. Следовательно, согласно (2.17) и вероятность ионизации W^ ~ 1. Это подтверждается экспериментами по накоплению положительных ионов при р^-распаде.

Вероятность ионизации можно вычислить до конца для К- и L-оболочек. В этих случаях существенна область вблизи ядра, где функции Wf и ^е*1 можно считать водородоподобными (пользование водородоподобными функциями вносит погрешность порядка 1/Z).

Вероятность ионизации быстро убывает, когда энергия вылетающего электрона становится много больше потенциала ионизации. Действительно, в этом случае функция Ti+1 много раз осциллирует на атомных размерах и интеграл (2.15) мал. Таким образом, вылетающие электроны имеют энергию между нулем и величиной порядка потенциала ионизации.

Получим вероятность ионизации для ^электрона, когда энергия вылетающего атомного электрона много больше потенциала ионизации. Радиальная волновая функция /?^+1 при больших энергиях должна совпадать с радиальной функцией свободной частицы:

Е —> соЕ —> со

Е —> со

Е —> со

Здесь к=У2Е. Функция RE нормирована на интервал энергий:

$ RERE-ra dr = 8(E — E').

о

Следовательно,

J Ri R^^Mr оJ Ri R^^Mr оsin kr г drsin kr г dr

J Ri R^^Mr о

J Ri R^^Mr о

sin kr г dr

sin kr г dr

Для ^электрона R^^^Z3^ e~Zr. Следовательно, нужно вы

числить интеграл I — j re~Zr sin kr dr при k—>-oo. Интегри- 0

руя его по частям, получаем /« ^Z/k3 (интеграл вычислялся в 1.1, стр. 19, и на стр. 53).

Итак, при Е^> Z1 вероятность ионизации ^электрона приближенно равна:

™ _ 8Z3 / 2Z\2 _ 32 Z51£ лА \ k3 ) л к1™ _ 8Z3 / 2Z\2 _ 32 Z51£ лА \ k3 ) л к1илиилиW1EW1E2 У 22 У 2Z3Е1/2Z3Е1/2

™ _ 8Z3 / 2Z\2 _ 32 Z5

1£ лА \ k3 ) л к1

™ _ 8Z3 / 2Z\2 _ 32 Z5

1£ лА \ k3 ) л к1

или

или

W1E

W1E

2 У 2

2 У 2

Z3

Е1/2

Z3

Е1/2

Ионизация атомов при ядерных реакциях

При ядерных столкновениях с большой передачей энергии должна происходить ионизация атомов отдачи. Если скорость, приобретенная ядром, невелика, то ядро успевает увлечь электроны, и ионизация происходит только в наружных, слабо связанных оболочках. Наоборот, при больших скоростях ядро вылетает из оболочки, не увлекая ее за собой.

Вычислим вероятность ионизации при ударе нейтрона о ядро. Время соударения нейтрона с ядром т ~ Rj-v^ где R— радиус ядра, ун — скорость нейтрона. Это время много меньше электронных периодов тэ. Поэтому за время столкновения электронная волновая функция практически не меняется.

Если обозначить через уя скорость, приобретенную ядром, то смещение I ядра за время соударения имеет порядок величины I ~ vt— — R.— ^JLR<R, т. е. I много меньше размеров электронной оболочки. Следовательно, ядро практически не смещается за "время удара.

Перейдем к системе координат, в которой ядро после соударения покоится. Тогда волновая функция начального состояния преобразуется в выражение

где у;1— скорость отдачи ядра. Это выражение проще всего получить, разлагая ^д-функцию по плоским волнам и сдвигая каждый из импульсов этих волн на величину 1>я. Пусть ^(Fj, г2, . ..) обозначает конечное состояние атома. Вероятность возбуждения согласно (2.13) равна

^^K^I^Sr,)^)^(2.18)

Критерий применимости этой формулы: т<^тэ. Его мож- R аR

но записать также в виде —«— или т' >>—где а — ин иэя а 3

величина порядка размеров изучаемой оболочки.

Из выражения (2.18) можно получить формулу для вероятности перехода одного фиксированного электрона. Так как взаимодействие между электронами мало по сравнению с полем ядра при Z^>1, то

W— ЖХТГ2,

где WT—вероятность перехода рассматриваемого электрона, a W2 — вероятность возбуждения всех остальных электронов.

Суммируя по всем конечным состояниям, получим ^ ^ = 1

= 1, IF'a — 1 • Следовательно, вероятность перехода рас- 2

сматриваемого электрона из состояния ф0 в состояние фп равна

1Г= ^12 W2 = l $ф0 dr |а.(2.19)

2

Если скорость ядра много меньше скорости электрона (D X

но -уя^> va — ) , то экспоненту в (2.19) можно разложить в ряд. Нулевой член разложения исчезает из-за ортогональности функций ф0 и ф„. Пусть скорость "Оя направлена по оси х. Тогда

1Г=^|(ф„|г|ф0)|а.(2.20)

Наоборот, если *оя:^>‘оа, то экспонента e^aSn в (2.18) [или (2.19)] быстро осциллирует. Следовательно, вероятность перехода W не мала, только если ЧГ1 е~,»»S,"i) т. е., когда электроны в новой системе движутся со скоростью—Фя. В лабораторной системе координат это соответствует тому, что электронная оболочка не увлекается ядром при ударе.

Если скорость ядра va больше скорости внешних электронов, но меньше скорости внутренних электронов, т. е. \<.%>я<_2, то внутренние оболочки атома увлекаются ядром, а наружные — нет. Заряд получающегося иона равен по порядку величины числу электронов на наружных оболочках.

Такие соображения позволяют оценить заряд осколков при делении. Заряд определяется как число электронов со скоростями, меньшими чем скорость осколка (см. стр. 85).

Для атома водорода и для внутренних оболочек других атомов вычисления можно довести до конца. Вероятность ионизации и возбуждения для этих случаев приводится в задачах.

Оценим полную вероятность возбуждения и ионизации W при -пя<^1. Из (2.20) находим

w=c^,

где Сг — число порядка единицы. Из решения задачи 6 следует, что вероятность атому водорода остаться в основном состоянии равна

Отсюда находим, что для атома водорода Сг=1.

Передача энергии при вылете кванта из ядра молекулы (эффект Мёссбауэра)

Предположим, что квант с энергией A<o вылетает из ядра, входящего в молекулу. Если Кт мало, то молекула получает слабый толчок и воспринимает отдачу как единое целое. Если Асо велико, то ядро вылетает из молекулы — происходит возбуждение системы (те же соображения применимы и к металлам: при малом со отдачу воспринимает вся кристаллическая решетка).

Оценим время вылета т кванта из ядра; т — это время пролета пакета радиуса Х = с/со через область ядра, т. е. т — Х/с=1/со. Эта оценка неверна при X < R, где R— радиус ядра, т. е. при m^c/R~137-104-27 эз-~ 40 Мэв.

Время т ничтожно по сравнению с временами, характеризующими колебания и вращения молекулы. Следовательно, Ф-функция молекулы не успевает измениться за время вылета кванта. Задача напоминает задачу об ионизации при ядерных реакциях. Волновая функция молекулы в начальный момент после испускания кванта имеет вид

Ф' = Ф (гх, г2, . . .) elMws

где у — скорость отдачи, гг — радиус-вектор ядра, из которого вылетел квант, М—масса атома. Функция Ф описывает основное состояние молекулы. Вероятность того, что молекула останется невозбужденной, равна

^о^КЧМ^'-Ч^о) I2.^о^КЧМ^'-Ч^о) I2.(2.21)(2.21)Если 7Иуг1<^1, то Wo-^- 1, т. е.Если 7Иуг1<^1, то Wo-^- 1, т. е.всей молекулой, возбуждения нет.всей молекулой, возбуждения нет.отдача воспринимаетсяотдача воспринимается

^о^КЧМ^'-Ч^о) I2.

^о^КЧМ^'-Ч^о) I2.

(2.21)

(2.21)

Если 7Иуг1<^1, то Wo-^- 1, т. е.

Если 7Иуг1<^1, то Wo-^- 1, т. е.

всей молекулой, возбуждения нет.

всей молекулой, возбуждения нет.

отдача воспринимается

отдача воспринимается

Оценим частоту у-кванта со, начиная с которой возбуждаются колебательные степени свободы молекулы. Как мы увидим, амплитуда колебаний имеет порядок величины 1/^/УИ. Поэтому в (2.21) rx~\(^/M. Следовательно, для того чтобы колебания не возбуждались, должно быть

Ми 2 >— <§ 1. Так как импульс ядра рй — М*и равен импуль-

су кванта К<й(с, это условие означает, что К<й)С <| УМ, или <о <^ 137 УМ (в атомных единицах); в эв:

о) <^ 137 У 100-1840 • 27 эв ~ 70 кэв

(здесь взято ядро с /1—100).

Критерий применимости (2.21):

hto > &<окод 1 fVМ ~hto > &<окод 1 fVМ ~27У100-184027У100-1840~ 0,06 эв.~ 0,06 эв.

hto > &<окод 1 fVМ ~

hto > &<окод 1 fVМ ~

27

У100-1840

27

У100-1840

~ 0,06 эв.

~ 0,06 эв.

где <акол—: колебательная частота молекулы.

Оценим теперь частоту кванта, начиная с которой возбуждаются вращательные степени свободы молекулы. Для этого рассмотрим плоский ротатор. Его волновая функция фта — е1'"1^. Вероятность перехода из состояния ф0 в состояние фт согласно (2.21) равна

wm0 == | ^ ф^е'^^фо dr |2-- | ^ е1пг^*1Муа cos » dtp |2, (2.22) о

где а — величина порядка размеров молекулы.

Следовательно, для того чтобы вращательные уровни не возбуждались, необходимо, чтобы момент количества движения -^ М-иа, сообщенный молекуле квантом, был много меньше момента количества движения ротатора т-Н. В этом случае из (2.22) находим w^o^l. Для наинизшего возбуж- гп ^ 0 дения (от=1) получаем

hen Mva<xh или —

откуда йен <^ с = 137 • 27 эв -~ 4 кэв.

ЗАДАЧИ

Убедиться в том, что отдача ядра не существенна для ионизации атома при Р-распаде.

Вычислить вероятность возбуждения /^-электрона при [3-распаде в состояние дискретного спектра с главным квантовым числом п и вероятность того, что электрон останется в s-состоянии (Z^> 1).

Ответ.

Используя метод Томаса — Ферми, оценить заряд осколков при делении ядра, считая его равным числу электронов со скоростью, меньшей скорости осколков.

Ответ.

^оск ~ 3.

Найти вероятность перехода ^электрона при Р-распаде в состояние непрерывного спектра с энергией Е и полную вероятность ионизации (Z^> 1).

Ответ.

' 5. Оценить ионизацию атома из-за магнитного взаимодействия налетающего нейтрона с электроном.

Ответ.

Wмагн / I ^магн^ I2 I ЦнИэ ^ I * — |21 О-7

wI Он IIи2 I I М„с» R I •

Определить вероятность того, что при ударе нейтрона о ядро атома водорода электрон останется в основном состоянии.

Ответ.

Вычислить вероятность ионизации атома водорода при столкновении его с нейтроном.

Ответ.

у2 ( у2 _1_ _ £2 I 2. ) 6 ку2_&2+ х

Я I Я> Ч * Q /я

^йкйк = 282-2—-— к dk

°*[(«я + ^ + П 1(Уи—А)2+ 1] [l-e'2^]

Вычислить полную вероятность ионизации атома водорода при столкновении его с нейтроном, когда скорость ядра много меньше скорости электрона.

Ответ.'

^ = 0,28-у2.

АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ

В этом разделе рассматривается случай, когда возмущение, действующее на квантовомеханическую систему, медленно меняется со временем. При этом система успевает перестраиваться вслед за медленным изменением параметров. Такие возмущения называются адиабатическими.

В случае адиабатических возмущений удобно искать решение уравнения Шредингера в виде суперпозиции стационарных собственных функций, вычисленных при произвольных, но фиксированных значениях параметров.

Предположим, что гамильтониан Н^х, £) зависит от медленно меняющегося параметра ^. Введем собственные функции <pm (х, g) гамильтониана Н^х,^, в которых значение § зафиксировано:

Н^х, 5) <p„ (х, g) =е„ (Е) фт (х, £).(2.23)

Будем искать решение уравнения Шредингера

i^- = H^(2.24)

в виде

^ = S ат ^ Ф» (^, ?) ехР — i $ 8™ (?) ^z f • (2.25)

Подставляя (2.25) в (2.24), находим tX

I ^ exp I — i j &m (£) dt U ^ _ umam + am^ ^^) =

t

Mm kx, I),Mm kx, I),-^sm ($) dt

Mm kx, I),

Mm kx, I),

откуда

^V^.4n\^f^Aam e*P< — ^ j (sm~e„)dA=O. (2.26)

Уравнение (2.26) эквивалентно исходному уравнению Шредингера (2.24). В отличие от (2.24), оно удобно для нахождения последовательных приближений при малых |. Именно,

а^ к^ = ап ( —оо),а^ к^ = ап ( —оо),ttX ат (О) ехрX ат (О) ехрi j к&тi j к&т— s„) dt'\— s„) dt'\(2.27)(2.27)

а^ к^ = ап ( —оо),

а^ к^ = ап ( —оо),

t

t

X ат (О) ехр

X ат (О) ехр

i j к&т

i j к&т

— s„) dt'\

— s„) dt'\

(2.27)

(2.27)

и т. д.Выразими т. д.Выразим

и т. д.

Выразим

и т. д.

Выразим

через матричный элемент гамильто-

ниана//. Дифференцируя соотношение (2.23) по параметру |,

находим

дН т -L Н6^” — ^т т Ju-c ^т

Умножая это равенство на ф„ слева и интегрируя по х, получаем

откудаоткуда(ф„|-5Г|ф„)=^. (2.28)(ф„|-5Г|ф„)=^. (2.28)к тп (Jg У I л ^'Гл 5g у dg пт I лг^Жл 5g у »

откуда

откуда

(ф„|-5Г|ф„)=^. (2.28)

(ф„|-5Г|ф„)=^. (2.28)

Будем предполагать, что собственные состояния ф„ не вырождены. Тогда волновые функции ф„ можно выбрать вещественными, и, следовательно, диагональный матричный

элемент

У ф^г = О.У ф^г = О.Подставляя (2.28) в (2.27), получаемПодставляя (2.28) в (2.27), получаем(2.29)(2.29)

У ф^г = О.

У ф^г = О.

Подставляя (2.28) в (2.27), получаем

Подставляя (2.28) в (2.27), получаем

(2.29)

(2.29)

Штрих в сумме по tn означает, что в ней нет диагональ

ных членов.

Критерий применимости адиабатической теории возмущений состоит в том, чтобы изменение гамильтониана за время порядка обратных частот системы было малым по сравнению

с энергиями, соответствующими этим частотам.

если оценить (/): учитывая(2.30)если оценить (/): учитывая(2.30)Критерий применимости легко получить, отношение поправки а^2) (/) к амплитуде а^ (2.29), находим

если оценить (/): учитывая

(2.30)

если оценить (/): учитывая

(2.30)

дН 1qW ~ dt 8»)2 '

Как видно из (2.30), требует отдельного рассмотрения случай, когда при некоторых значениях параметров § уровни энергии пересекаются. В этом случае волновую функцию следует искать в виде суперпозиции состояний, соответ

ствующих этим пересекающимся термам.

Покажем, что если обратные собственные частоты систе- ,мы tomra много меньше времени т, за которое существенно изменяется гамильтониан системы, то эта система, как правило, будет возбуждаться экспоненциально слабо. Действительно, выражение (2.29) для амплитуды перехода а^ (£) сводится к фурье-компонентам от функций ( \дн I А ё ( Ф» "5ё~ Фи ) §

—т^— . Ранее (см. 1.1) мы видели, что такие фурье-

компоненты при (йтпч:^>1 экспоненциально малы (~е-®тпт^ если эти функции или их производные не имеют особенностей на вещественной оси.

Как мы видели (см. стр. 53), кулоновские волновые функции имеют особенности на вещественной оси. Поэтому, например, вероятность ионизации атома пролетающей медленной частицей мала степенным образом, а не экспоненциально.

Задача. Используя соотношение (2.28), вычислить -^ для центрально-симметричного движения.

Ответ.

Т _1 /ЭЕ\

г2 1+4* \д1 )Пг’

Захват электрона протоном (перезарядка)

Применим адиабатическую теорию возмущений к задаче о перезарядке при пролете медленного протона мимо атома водорода. Предположим, что скорость протона много меньше атомной скорости. Тогда можно применять адиабатическое приближение.

Кроме того, предположим, что энергия налетающего протона много больше атомной. Тогда можно считать движение протона заданным.

Гамильтониан системы имеет вид

где R—расстояние между протонами, которое мы будем считать заданной функцией времени; г—координата электрона, Те— кинетическая энергия электрона.

Гамильтониан Н симметричен относительно перестановки налетающего и покоящегося протонов. Такая перестановка эквивалентна замене г—»-—г. Следовательно, можно ввести симметричные и антисимметричные относительно этой перестановки собственные функции гамильтониана Н: <р„ (г, /?) и <р° (г, Ry

Будем считать, что сначала электрон находился около протона, имеющего координату ^/2. Тогда волновая функция электрона имеет вид

где фя$— кулоновская волновая функция для состояния п0.

После рассеяния атом водорода с большой вероятностью останется в состоянии фЯо. Действительно, для возбуждения нужна компонента Фурье с частотой, равной энергии возбуждения, си„По = еп— 8„0. При медленном пролете, когда время пролета велико по сравнению с обратной частотой tonne, компонента Фурье с частотой <оЯЯа очень мала и возбуждения не происходит.

Однако электрон может перейти к другому протону. Это явление называется перезарядкой. Критерий адиабатичности (2.30) здесь не выполняется. В самом деле, когда протоны находятся на большом расстоянии друг от друга, волновая функция электрона равна фя„ ^г—"^"^) > если он находится у одного протона, и ф„о ^r +^"^)i — если у другого. Из этих двух функций можно составить симметричную и антисимметричную комбинации ф^0 и ф^0. Оба состояния отвечают одной и той же энергии. Следовательно, мы имеем дело с пересечением уровней.

Поэтому решение уравнения Шредингера

i ^ = Р№(2.31)

следует искать в виде суперпозиции этих двух состояний Ф„о и ф“0, после чего нужно применять адиабатическую теорию возмущений. Итак,

Чг = С5^ фп„ (г, К) exp f — Z J e'r<Z/j +

/< х

+ Са (/) фЯо (г, /?)' exp ( — Z у еа di V (2.32)

Подставляя (2.32) в (2.31), получаем

Jд ps dR ^(г, /?)|// X

) dtj*expf — zj в +

\— 00'

+ ^ЧЧ.(Г*)+С StdR/ехР j 8ad^ = 0. “(2.33)

Умножим (2.33) на ф„0 и проинтегрируем по координа

те г, пользуясь ортогональностью функций срп, и ф„0:

UCS , ^sdR / S5\

(аГ + С dr(4)"-|-d^)}exP(-z j &$dt) =

== — Ca^^»\sR?VX'P(""lVadt\ (2,34) x —co^

Если нуклоны находятся далеко друг от друга, то

4>п° (f, R) -1=[ср^(г — 4-/?) ±ф«+(2.35)

К-»-ао у 2 L \ z JXJ

Учитывая (2.35), из (2.34) в нулевом приближении получаем

CS^CS = — oo) = -L,Ca = Ca(^ =—oo)=-L

v ' К 2к 2

(это соответствует электрону, находящемуся в момент времени у протона с координатой ^/2).

При этих значениях Cs, Са из (2.32) получаем

+ ехр+ ехреа dt ) ф£0еа dt ) ф£0

+ ехр

+ ехр

еа dt ) ф£0

еа dt ) ф£0

Первое слагаемое здесь соответствует обычному рассеянию, а второе — перезарядке. Квадрат модуля коэффициента при

Q (11 X

Ф»о( г+ "2~ " ) Дает вероятность перезарядки

lV(p) =lV(p) =(2.36)(2.36)

lV(p) =

lV(p) =

(2.36)

(2.36)

где р — прицельный параметр.

Мы считаем, что величины еа(/?) и ej(/?) известны из решения задачи с неподвижными ядрами. Предполагая траекторию налетающей частицы прямолинейной, заменим интегрирование по t интегрированием по R. Так как R2 = р2 + -u‘zt\

то

1 RdR

dt ===

и УR^ — ^

W(p) =W(p) =RdR XV R^ — P^JRdR XV R^ — P^JОбозначая &а (R)— в5(R) = ф (R), из (2.36) находим

W(p) =

W(p) =

RdR X

V R^ — P^J

RdR X

V R^ — P^J

(2.37)

Рассмотрим прицельные расстояния р-~ 1. Тогда расстояния между частицами, существенные при взаимодействии, также порядка 1. Следовательно, весь интеграла (2.37) порядка 1. Поскольку f<^l, то выражение для IV (р) сильно меняется при малом изменении р. Усредним (2.37) по некоторому интервалу значений р, малому по сравнению с р:

т. е. перезарядка будет в половине всех случаев.

Рассмотрим теперь вероятность перезарядки при р^>1. Как можно показать), при больших расстояниях между протонами разность энергий симметричного и антисимметричного состояний равна

Поэтому при р ^> 1 получаем

F (р) = - С Ф (/?)dR =

V R^ — р2 еу J VR1 — р2

9Р

= 4р2 F х2е~?* dx _ 4р2е~? С (z-H)2 dz e_?z ~r^x. е« j Vх2—1х-Г^2 еи j у"z(z + 2) Б~= 4р2 F х2е~?* dx _ 4р2е~? С (z-H)2 dz e_?z ~r^x. е« j Vх2—1х-Г^2 еи j у"z(z + 2) Б~^л/j р3/2е-Р.^л/j р3/2е-Р.

= 4р2 F х2е~?* dx _ 4р2е~? С (z-H)2 dz e_?z ~

r^x. е« j Vх2—1х-Г^2 еи j у"z(z + 2) Б~

= 4р2 F х2е~?* dx _ 4р2е~? С (z-H)2 dz e_?z ~

r^x. е« j Vх2—1х-Г^2 еи j у"z(z + 2) Б~

^л/j р3/2е-Р.

^л/j р3/2е-Р.

Мы видим, что F(p)<^l при р^>рх~ In 1/v. Следовательно,

^ = I sin F (р) \»« F^ (р) = -^ p3e-^.

Теперь оценим полное сечение перезарядкиТеперь оценим полное сечение перезарядкиТаким образом, при p<^Pj величина Л(р)^>1, а при p^>Pi величина Л(р)<^1.

Теперь оценим полное сечение перезарядки

Теперь оценим полное сечение перезарядки

о = J sin2 F (р) -2лр dp.о

По порядку величины получаем

а = f 4 2лр dp = 4 лРг—4л1п2±.(2.38)

J 2**21 12 их '

о

Таким образом, при малых скоростях v сечение перезарядки много больше геометрического сечения.

БЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ

Рассмотрим две подсистемы, одна из которых характеризуется большими, а другая — малыми частотами. Взаимодействие между подсистемами не предполагается малым. Пусть £ — совокупность координат медленной подсистемы. Гамильтониан всей системы имеет вид

Н-Н^х, ^А-Нй^,

где Нг включает гамильтониан быстрой подсистемы и ее взаимодействие с медленной подсистемой.

В предыдущем разделе мы считали, что движение медленной подсистемы классично: мы задавали траекторию £ = £(/) и вводили скорость |. Теперь это не будет предполагаться.

Введем систему собственных функций гамильтониана Н^

Нг (х, g) срп (х, |) = е„ (g) ф„ (х, g), как это делалось и ранее. Решение всей задачи

-№X = EXWX(2.39)

ищем в виде

Тх = Уц„^(В)Ф„'(^Л).(2.40)

Подставляя (2.40) в (2.39), имеем

(Нг + //2) У и„-х (g) Ф„, (х, g) = Ех 2 и„-к (g) Ф„, (х, g). п*п'

Умножим это равенство слева на ср* (х, g) и проинтегрируем по х, пользуясь ортогональностью функций Фл (х, g):

^ Фп ("^’ ^ фл' (^, 5) ^^ == 6 пп' •

Получаем■

(е„ — Ех) “п\ + j Ф^2 5 “”^Ф«'йх = °-

При этом для простоты предположено, что Нх коммутирует с |. Далее, так как

^З^п'Хфп' ^n’H^Ufi’X Ч- [^Уг> ф»'] ^n'Xi

то

(е„ — E0unX-VH^unX= — 2[^2- ^пЛ^-Чп'к. (2.41)

Это соотношение аналогично соответствующему выражению в предыдущем разделе, толькозаменяется

коммутатором [//2, ф„].

В соотношении (2.41) можно перенести член с п' — п налево:

{^2 — (^Х — е» — J Фл [^2, Фл] ^) } "лХ =

= — 2 ^’ДН^ ^„.^dx-Un-k. (2.42) п' ^п"

Это уравнение удобно для применения метода последовательных приближений. В нулевом приближении получаем уравнение

{[^ (В) - [^ - 8„ (В)]} ц^ (В) - о.

Мы видим, что энергия быстрой подсистемы играет роль потенциальной энергии в эффективном гамильтониане медленной подсистемы.

Колебательные уровни энергии молекулы

Оценим энергию колебаний молекулы. Для простоты мы напишем все выражения для иона молекулы водорода, хотя результаты без труда переносятся и на более сложные молекулы. Гамильтониан иона молекулы водорода имеет вид (в атомных единицах)

Здесь Af— масса протона, г — координата электрона, ± -^ R—координаты протонов (рис. 21). Ядра образуют медленную подсистему, а электрон — быструю. В обозначениях

теории, развитой выше, примем за Нх (л;, ^) гамильтониан

Hv {г, R=-L^rHv {г, R=-L^r11111R1Rи за Нг (£) гамильтонианНг (R) =у^" Дци за Нг (£) гамильтонианНг (R) =у^" Дц

Hv {г, R=-L^r

Hv {г, R=-L^r

1

1

1

1

1

R

1

R

и за Нг (£) гамильтониан

Нг (R) =у^" Дц

и за Нг (£) гамильтониан

Нг (R) =у^" Дц

гепа с гамильтонианомгепа с гамильтонианом

гепа с гамильтонианом

гепа с гамильтонианом

бы перенести в 77а). Введем функции ф„ (г, /?), удовлетворяющие уравнению

^Ф. (г, R) =

= е« № Ф„ (^, ^)-

Они соответствуют собственным функциям электрона при .фиксированном расстоянии между ядрами. Решение уравнения Шре- 7 имеет вид (см. стр. 94)

^=2сГх„Л^Ф„(г, Я),(2.43)

MV

причем функции %zlv удовлетворяют уравнению

{ — ^ Д * + e^R)} Х™ ^ = Чгд„7 (Я).(2.44)

Ядра молекулы колеблются около некоторого среднего положения. Эти колебания имеют малую амплитуду. Поэтому для еи(А?) можно написать следующее приближенное выражение:

+-(Я-Яо)2-

\ и.Г\ / /х — ^хо

Подставляя это е„ (R) в уравнение (2.44), получаем уравнение Шредингера для трехмерного осциллятора. Следовательно, колебательные уровни молекулы имеют вид

Ex = toni = en (/?0)+ (v +4") “о>

где <оо — частота классического осциллятора.

Найдем зависимость <оо от массы молекулы. Из соотношения вытекает, что

1 /d2e„ \ м {d^ )r=r;

Так как в атомных единицах электронные уровни ьп~ 1 и дгЕ

размеры молекулы Ro ~ 1, то ^—— 1 и, следовательно, 1

0 V м

Поскольку частоты электронных переходов шэл^1, то мы ВИДИМ, ЧТО «>0<^(0эл.

Оценим амплитуду колебаний ядер. В основном состоянии осциллятора средние значения кинетической и потенциальной энергии совпадают: Т—U = Еа/!2 (Ео—полная энергия), т. е.

2 \dR2 ; r = r„ х 0/40

Так как №0 ~ \ )У"М, то средняя квадратичная величина отклонения ядра от положения равновесия имеет оценку

Покажем, что коэффициенты C£v в выражении (2.43) для Ч^, определяемые уравнением (2.42), можно вычислять методом последовательных приближений. Для этого оценим правую часть (2.42). Раскрывая коммутатор, получим члены следующего вида:

/ 1

\ Л1 Х^уфл

d4>n' dX.vv\ dR dR /

/ 1

\Л1 ^”*фп

dR2 Xrt V y,

/ 1 члены вида ( ^Xn»Tn

производные функции %„„:

MW 1

^^ dR2 /

равны нулю

Оценим

dXniTn4

dR V\r~RqP

Поэтому из написанных двух типов членов самым большим будет первый: он порядка 1//И3. Итак, мы обосновали

метод итераций в рассматриваемой задаче; каждая следующая итерация в рЛ/И3 раз меньше предыдущей.

Кроме колебательных уровней, молекулы имеют также вращательные уровни. Частоты этих уровней обратно пропорциональны моменту инерции молекулы, т. е.

tospam ~ V^-

Таким образом, электронные, колебательные и вращательные частоты находятся в следующем соотношении друг к другу: ювраЩ:®кол:юЭл=1 :¥М-.М.

Возбуждение ядерных дипольных уровней быстрой частицей

Рассмотрим задачу о возбуждении атомного ядра при пролете мимо него быстрой заряженной частицы. В данном случае быстрая подсистема (налетающая частица) имеет Сплошной спектр, а медленная (атомное ядро) — дискретный. Найдем решение, пользуясь адиабатической теорией возмущений. Для применимости адиабатического приближения необходимо, чтобы время пролета частицы было мало по сравнению с существенными обратными частотами системы.

Сначала получим общие формулы для применения адиабатического приближения к задаче рассеяния. Введем собственные функции фр (г, |() гамильтониана быстрой подсистемы Нх = Tr-f- V (г, 5,), где Тг — кинетическая энергия частицы, а 1/(г, §,) —ее взаимодействие с медленной подсистемой; g, — координаты медленной, г — быстрой подсистемы.

Таким образом, функции фр удовлетворяют уравнению

Hx^pkr, ^ = гр^Ркг, h).(2.45)

Энергия частицы ер = р2/2Л4, т. е. не зависит от gz, в отличие от случая дискретного спектра.

Ищем решение (2.45), имеющее асимптотический вид:

фр «ipr + ^- ^ eipr.(2.46)

Поскольку гр не зависит от gz, то уравнение для волновой функции медленной подсистемы (т. е. для ядра) будет таким

же, как и без гр (только со сдвинутыми на гр собственными значениями):

^Хп (£/) = ®„Хп (^-).

Ищем решение задачи в виде

иг — V С ^ ■ Ср п ,рп — I (2л)3 Фр'Хп'>

причем коэффициенты Ср„" подчиняются уравнению (см. (2.42))

(ton ЕРвП^ Ср°п 0 =2^ ^^^5 (фр Хп 1^2-> Фр'З Хп') Срп •

Это уравнение можно решать последовательными приближениями. Пусть в начальный момент времени (/=—оо) система находилась в состоянии (/?0, /zo = O). Тогда в нулевом приближении

Точное решение должно иметь асимптотический вид:

Ф"^-"Хо^.а + т-^А W е‘РпГ хп (SA

Здесь импульс рп определяется законом сохранения энергии: ЕР„ + “п — 8Ро + too

Пренебрегая изменением энергии частицы, получим

V — е«Р.'Хо (^ +(fl) Хп ^.у(2.47)

Сравним с этим выражением асимптотический вид приближенного решения Ч^о. Согласно (2.46) имеем

— с0 f^xo <sas,a хо (Ы =

Г -* СО \'/

^-.С0(е‘^г Xo(g/) + ^Z(X„/Xo)X„).(2.48)

Из сравнения (2.47) и (2.48) находим Сп и амплитуды упругого и неупругого рассеяния:

Со=1,

/ow=(xo(e,-)i/(^ gaizoO,

AC19-)™(xn(s,)i/^, salXo(£<))•'

Используем полученные результаты для вычисления сечения возбуждения ядерных дипольных уровней быстрой заряженной частицей. Кулоновское взаимодействие пролетающей частицы с нуклонами ядра имеет вид (ZT— заряд частицы, Z2 — заряд ядра):

т/ 71^12 2 . 7 dr ,

|r —rj ~ ггз I '

где d— дипольный момент ядра. Этот потенциал можно представить в виде кулоновского, но со сдвинутым началом:

Для этого нужно, чтобы величина a — djZ^ была мала по сравнению с существенными г, т. е. по сравнению с прицельным параметром р: а<^р.

Следовательно, волновые функции фр будут кулоновскими волновыми функциями со сдвинутым аргументом:

^pVT. XtA = ^p (г — yd \ у (£Д\^'2/

асимптотический видасимптотический видВыберем у (S,) так, чтобы фр имела

асимптотический вид

асимптотический вид

~

<P/> (г, ^-)-^ /ехр |zp (г — A. d4

—Г^ехр гр г — та\ >у(£Л

где /У—амплитуда кулоновского рассеяния» Для совпадения с (2.46) следует взять у (Si) — e‘Pdiz*. Тогда

о<ргГ I

фр (г, ё,) — elPr + — fQ (ti) exp zp г —— d + Г —> 00'L I ^2 I

+ ip d ~ipr I .

„ I 1.1\ dr

Так как r — -=-d \^r—-, то

I Zs | Z2 г ’

PiprГ 1 1

фр (r, Sz) —* e^v^V— yQW exp \ iqdT ,

r-^-ooЛL ^2 J

где q^p—r — вектор, характеризующий изменение импульса налетающей частицы при столкновении.

Поэтому согласно (2.49)

(2.50)(2.50)Л W=/QW (хп I ехР f^'^r) I Хо) •\ i \^2/ I /

(2.50)

(2.50)

Здесь /Q—амплитуда кулоновского рассеяния.

Заметим, что сумма сечений для всех возбуждений равна

SlA^I^Si (х0 I ехРI Х„) X

ПП ''2/ I /

х I exp (iqd I х0) l/Q С191) I2 = |/Q С1^) I2.

\1\^2/ I /

т. e. равна сечению кулоновского рассеяния.

. Если угол отклонения О’ мал (малый переданный импульс), то из (2.50) получаем формулу теории возмущений:

fn^~fQk^(x„\^qd\xoY (2-51>\I /

амплитуда возбуждения пропорциональна дипольному матричному элементу.

Рассеяние протона на атоме водорода (перезарядка)

Рассмотрим рассеяние протона на атоме водорода, когда скорость протона много меньше скорости атомного электрона. В противоположность предыдущему случаю здесь дискретна быстрая подсистема, а у медленной подсистемы непрерывный спектр. Гамильтониан системы имеет вид

В разделе 2.4 мы рассматривали R как заданную функцию времени. Теперь мы рассматриваем налетающий протон и атом водорода как две взаимодействующие квантовомеханические системы.

Гамильтониан Н симметричен к перестановке налетающей и покоящейся частиц (г—* — г). Поэтому можно ввести симметричные и антисимметричные функции Ф^(г, ^) и ф“(г, RY Если нуклоны находятся далеко друг от друга, то электрон может находиться около одного либо около другого

протона, и, следовательно,

W R) —[ф^ (г—^ я) ±ф£ (^ + 4-^)1’

где в правой части стоят волновые функции атома водорода.

Предположим, что при сближении ядер не происходит пересечения термов. Тогда можно классифицировать их по тем состояниям, из которых они образовались.

Будем считать, что сначала электрон был около протона с координатой ^/2, т. е. его волновая функция имеет вид

Ф = флГо 2" R) •

Гамильтониан медленной подсистемы равен

а его собственные функции находятся из уравнения

[—$г д« + =” “ <«)] х^- да=е,^; (Я)

и имеют асимптотический вид

В нулевом приближении решение задачи имеет вид (см. стр. 94)

^^W^ ^^<%№ R^x-^RV (2.52) Коэффициенты С^р и С^ определяются из асимптотического вида Ч^:

^Т» ф"» (г — ^ /?)eZ/’oZ?+

+ [а<р„с. (/-т^+М^ ('• + tr)]£t • <2-53>

где Д— амплитуда упругого рассеяния, а Д— амплитуда перезарядки.

Чтобы обеспечить асимптотический вид (2.53), нужно считать в (2.52) р = р0 и /z = /z0. Тогда волновая функция

становится равной

Тх=с*<р;. (г, я, х^ (Я) + сх. (г, я) х;.„. (Я) и имеет асимптотический вид

^х^е^С^ + С^) + ^ ^^Су,,). (2.54)

Выражения (2.53) и (2.54) должны совпадать, т. е. нужно потребовать,.

с5=с°=—К 2

Тогда из (2.54) находим

-"•^г"' = Т к1 [< (r—Т ”) + ’X (г+Т *)] +

+Г И. (-—т ^-«й. (r+т я)] } =

-Аф« ('—2"я)+Аф£ (r + T*)' т. е.-

Л = ЦП,(2.55)

Таким образом, для нахождения амплитуды перезарядки/2 и амплитуды упругого рассеяния /г необходимо вычислить амплитуды /s и /а. Чтобы найти их, нужно решить уравнение■

[-2- Д^+^.а^ xs.a = EpXs.a

с величинами е^-“(/?), которые определяются из решения задачи об электроне в поле двух центров. В дальнейшем (стр. 151) мы найдем решение этой задачи в квазикласси- ческом приближении.

Рождение мягких квантов при рассеянии («инфракрасная катастрофа»)

Рассмотрим задачу о рождении мягких квантов при рассеянии частицы на ядре. Будем предполагать частицу нерелятивистской. Гамильтониан системы имеет вид

Н=Т + V — Х.ра^Нг(2.56)

Здесь Т— кинетическая энергия частицы, V—рассеивающий потенциал,рА— взаимодействие частицы с полем кван- с

тов, Нч — гамильтониан поля квантов.

Предположим, что энергия квантов много меньше энергии частицы. Тогда движение частицы можно считать заданным и рассматривать только ту часть гамильтониана, которая содержит операторы, действующие на ф-функцию квантов. Гамильтониан у-квантов за время столкновения, которое будем считать малым, меняется от величины /7О=/7Т—-урйА до столкновения к величине Нг = Н^ — 1- ргА после столкновения. Перейдем в систему координат, в которой частица до рассеяния покоилась. Тогда HQ=H1tH1 = H4—l,qA,(2.57)

где q=pT—р0— изменение импульса частицы в результате столкновения.

Возмущение^^ для малых частот становится большим, так как ДЙС11 1/]/^». Поэтому мы не будем пользоваться теорией возмущений, а используем только внезапность изменения гамильтониана у-квантов.

Введем собственные функции Хп гамильтониана Нй и Хп гамильтониана Нг. Предположим, что до столкновения система у-квантов находилась в состоянии Хо* Ввиду внезапности столкновения волновая функция системы Хо практически не изменяется. Следовательно, амплитуда перехода в состояние Хп равна (Хп | Хо) (см- СТР- 75).

Представим гамильтониан электромагнитного поля, равный HT=H853'i2 + si<r“t'*)8)dr-<2'58>

в виде суммы гамильтонианов отдельных осцилляторов поля. Для этого запишем векторный потенциал А в виде

A— SK2лс2 ^fcX (9fex exp (/Ar — ito^ + ^a X

X ехр ( — ikr-\- itofexty). (2.59)

Здесь к— волновой вектор, А— поляризация, <±>fcX — энергия квантов, т^к^ — единичный вектор поляризации. Обозначая

и подставляя в Hv получим

^=2,4 ^2+<2.бо) йХ

В случае мягких квантов экспоненту е1кг можно заменить единицей. Будем считать временное множители ехр (± z®*xO включенными в qfcV q*kK. Опустим далее для простоты индексы кХ при qfcK, q^K. Тогда

А = 51^2лс2 т) • 20.

Гамильтониан квантов Нг имеет вид

H^^^p^+^Q^—aV^iwloy (2.61)

Представим его в виде суммы осцилляторных гамильтонианов со смещенной координатой:■

^1=52 {4р2+4 ®2 №-б)2+4®262}» с2-62) 2 1/"2л

где 6 = —^а” (iw). Следовательно, волновые функции после столкновения Хл (Q) имеют вид осцилляторных функций, но со смещенной координатой:

Xn(Q) = x„(Q-6).

Таким образом, амплитуда перехода в состояние Хл имеет вид

С„=$ X„(Q-6)Xo(Q)rfQ.(2.63)

Рассмотрим сначала два предельных случая — малые и большие 6 по сравнению с амплитудой нулевых колебаний.

Если 6 мало, то из (2.63) следует

сл ~ -6 У W ^dQ=z6 кР^’ (2-64)

где Р—оператор импульса. Он имеет отличные от нуля матричные элементы лишь для изменения числа квантов на единицу: (Р)01 = -^-У%Г. Поэтому вероятность испускания

1 2л

одного кванта равна wv = — соб2 = — (Я^)2- Эта формула совпадает с результатом обычной теории возмущений.

Оценим матричный элемент Сп=§ Xn^Q—6) Хо (@) ^Ф, когда смещение 6 много больше амплитуды колебаний осциллятора. Для этого воспользуемся квазиклассическим выражением для функции хл (см- 1-1 и 3.1):

ю> - ута^? «»(5 ^„ -1/2 <? dQ-д).

Для простоты здесь частота осциллятора со взята равной единице. Результаты легко переносятся на случай ®#=1. Нормировочный множитель ап порядка единицы. Действительно, ■

" J £/E„-l/2(Q-6)8

XcosQ |/дп—L(Q-6)2d<2—^)dQ. (2.65)

Так как величина 6, по предположению, много больше амплитуды нулевых колебаний, то можно под знаком корня в (2.65) пренебречь членом Q^j^. Обозначим Еп— б2/2^Д£ и заменим переменную интегрирования Q: AE/8-yQ = x. Тогда из (2.65) находим:

„ f cos ( 61/z х3/1)/„Д£\ , Г М£\а"|

Cn^texp I — х2 + 2х-ё-j dx exp — -ё-.

J у ОХ\О /L \ 0 / J

°(2.66)

Значения х, существенные в этом интеграле, соответствуют аргументу косинуса порядка единицы, т. е. имеют порядок

величины х Ъ-Ч*. Поэтому

ппz6 “*/а ехрz6 “*/а ехрГ<А£\2]L к a J JГ<А£\2]L к a J J

п

п

z6 “*/а ехр

z6 “*/а ехр

Г<А£\2]

L к a J J

Г<А£\2]

L к a J J

I С» I ~ 8 ехР [ 2 ( 6 ) J '

Таким образом, распределение вероятности испускания квантов имеет вид гауссовой кривой с максимумом wmax'^-V^ и шириной Д£" ~ 6 около значения f = 62/2. Это значение, как нетрудно видеть, совпадает с энергией классического осциллятора, начало координат которого внезапно сдвинуто на величину 6.

Теперь перейдем к вычислению Сп для произвольных 6. Вычислим сначала вероятность того, что не будет рождено ни одного кванта данного типа, т. е.

^о = | $ Хо (Q — 6) Хо №) dQ Г-

Так как волновая функция основного состояния осциллятора имеет вид

Xo(Q)= l/^exp^-^Q2), то

= ехр (^—1-Ю б2) = ехр [ —§(^П)2] - (2.67)

Восстановим теперь значки Л, А. Тогда

^йА.— еХр^йА.— еХр2лмйХ2лмйХ(^х)2(^х)2

^йА.— еХр

^йА.— еХр

2л

мйХ

2л

мйХ

(^х)2

(^х)2

— вероятность того, что не будет излучен ни один квант А, А.

Вероятность того, что вообще не родится ни одного кванта ни в каком состоянии, равна

^о = П ^^ = ехР ■ — X. ГГ (9"ЧйХ)2' АХ.feX ЮМ

Для вычисления IF0 нужно найти сумму

(2.68)(2.68)kq^ = У 2л ^к1)а j (2Sjw •

(2.68)

(2.68)

Мы видим, что при малых частотах это выражение логарифмически расходится. Следовательно, Wo = O, т. е. любое торможение всегда будет сопровождаться излучением мягких квантов.

Вычислим матричный элемент С„ = ^ %„ (Q—6) Хо (Q) dQ для произвольных п. Осцилляторная волновая функция Х„(Q) имеет вид

у (Q) = 1/ ——- ехр (coQ2^ Н (Р^ш Q),

An w/ у л jC2"n! \2/

где Нп — полиномы Эрмита. Поэтому

С„= - L^fexp Г—4®Q2— 2-to(Q-6)2l HAV^dQ.

Этот интеграл легко вычислить, используя производящие функции полиномов Эрмита

ехР(-<2 + 2^) = 2 ^Нпк^.

В результате получается

(2.69)

гдегде“2 = Т ®62 = § (9"n)2-“2 = Т ®62 = § (9"n)2-

где

где

“2 = Т ®62 = § (9"n)2-

“2 = Т ®62 = § (9"n)2-

Вероятность испускания квантов с различными йА равна произведению квадратов выражений вида (2.69), т. е.

Найдем среднее число квантов, излученных при торможении:

“кк=^п kxwt = exp [ - a J £ “Дг пкк =

пккПкк

= ехр [ — а^]^ (nfc^nl (а*х) ^ ** ^ = а^ =(^йа)2-

пкк6

Таким образом, для вероятности испускания п квантов типа k, А мы получаем следующую формулу:

(л..)"йА_

w^ = 4^jr"exp(-”^’(2170)

которая совпадает с распределением Пуассона.

Вероятность испускания одного кванта данного типа, как видно из (2.70), равна

^^кк exP^-"kxV

При л^-^1 получаем w^- « пкХ. Это выражение совпадает с результатом обычной теории возмущений.

Из (2.68) мы видим, что сечение чисто упругого рассеяния строго равняется нулю. На опыте под упругим рассеянием понимают рассеяние, при котором энергия излученных квантов меньше некоторой величины Ег, которая определяется точностью измерения. Наблюдаемое сечение рассеяния равно

^набл ® 0 ^о •

Здесь о0 — вычисленное сечение упругого рассеяния без учета излучения, Wo— вероятность того, что не излучено ни одного кванта с энергией, большей Ev Как мы видели,

[

Е"

С 2л ,co2dco

В качестве верхнего предела мы взяли энергию электрона, хотя предположение о мягкости квантов нарушается уже при меньших энергиях. Если ^(f/^) достаточно велико, то это внесет малую ошибку.

Сечение излучения произвольного числа квантов любого типа равно

<r = »oS wn = °o-

Если бы мы пользовались теорией возмущений, то получилось бы

2л

. Е

^ = V ^ _2л-2^2 г

1(2л)3 с3 J со ’

feXо

т. е. выражение, расходящееся на нижнем пределе. Эта расходимость, связанная с незаконным применением теории возмущений, называется инфракрасной расходимостью («инфракрасной катастрофой»).

6. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В СЛУЧАЕ БЛИЗКИХ УРОВНЕЙ

Рассмотрим систему с двумя близкими уровнями, на которую наложено возмущение (случай большего числа близких уровней внесет лишь алгебраические усложнения). Пусть возмущение достаточно мало, так что можно пренебречь примесью состояний с далекими энергиями, между тем как состояния с близкими энергиями смешиваются сильно.

Решение уравнения Шредингера

где Н' — возмущение, следует искать в виде суперпозиции состояний, соответствующих близким уровням:

V^C^ + C^,(2.72)

причем функции Ч^, 2 удовлетворяют невозмущенному уравнению

Коэффициенты С1; С2 в (2.72) имеют одинаковый порядок величины.

Найдем энергетические уровни возмущенной системы. Для этого запишем уравнение Шредингера в представлении Си С2:

(Д ет) Ст = Нг1Сх + Нг2С2,(2 73

(Д е2) С2 = Н21Сг + НггС2. ,

Коэффициенты Сг, С2 отличны от нуля, если детерминант системы (2.73) равен нулю, т. е.

Из (2.74) получаем

(£_ Е1 _(^_ е2 _/у;2) _ । л/;21 2 = О,

откуда

ei + e2 + Дц + Д22 ,

2±

(е1+ е2Т+ Н 2йУ//| ' .

4(Е1 + ^11) (В2 + ^22) + |.

Обозначая 814~7/11 = 81, е2 + Н22=е2, окончательно находим

д = М^ ± Т^I^^F+^T^^.(2.75)

Д(1) « Е1 + Н1Х + -— 1 11 ех — в2Д(1) « Е1 + Н1Х + -— 1 11 ех — в2В случае применимости обычной теории возмущений: I ^12 | <^ | Е1 — В2 I > из (2-75) получаем

Д(1) « Е1 + Н1Х + -— 1 11 ех — в2

Д(1) « Е1 + Н1Х + -— 1 11 ех — в2

ИЛИ

,\ Н' 12

Д(2) « 82+ Н22^-~

что и следовало ожидать. При Н' —* О величина Ет —► ех, а Е№—► е2. Наоборот, в случае е1 = е2 = е из (2.75) имеем

н'.

Е=в+-А12_^ ± | /7^1 .(2.76)

Ие1-е2)а + 4|^2| гвид, изображенный наИе1-е2)а + 4|^2| гвид, изображенный наЗаметим, что если для какого- либо возмущения, зависящего от 5 параметра, Н1а ^ о, то уровни Ет и EV2\ как функции параметра £, не пересекаются, так как в (2.75)

Ие1-е2)а + 4|^2| гвид, изображенный на

Ие1-е2)а + 4|^2| гвид, изображенный на

> 0. Уровни энергии при этом имеют рис. 22."

Частица в периодическом потенциале

Рассмотрим, как изменяется движение свободной частицы при наложении периодического возмущения

V=V0^eikx -Ve~ikxY

Волновая функция невозмущенной задачи имеет вид р = е1рх. Среднее значение V по любому невозмущенному состоянию равно нулю, а отличны от нуля лишь матричные элементы Vpi p_k = V р+!г = Vo (длину ямы считаем равной 1). В обычной теории возмущений сдвиг энергетических уровней равен

VеУ2

£ =8ОЧ512,

Р 6Р ep—k ар ар*к

где Bp — p^l'lM. Однако это выражение применимо лишь в случае ^«^(е^,— вр_6|, т. е. когда р не близко к±А/2.

Если р—>-А/2, то состояния "Ф^ и Ф^..^, имеют близкие энергии, и волновую функцию частицы нужно искать в виде

т=с1тр+с3ур_6

(при р-^—к^ Ч=<ДДСгЧД. Из (2.75) для

собственных значений энергии получаем выражение:

Ер =

6jo+ ЪР — к

2

(Sp Bp_fc)2 2 4 +

(2.77)

Выбор знака в (2.77) определяется тем условием, чтобы при | ер— 8p_k\^>V0 энергия Ер стремилась к ер. Так как

А/2 величина V"^-=\ар-ep_fe \=ер_к — Р > k/2 V<ep.

(2.77) нужно знак корня, а

при р

Р

— е^, а при р < ^/2 в

взять при р

один

ЕР

А/2 —другой. Для

получается разрывная

кривая,

изображенная на

рис. 23. При этом величина разрыва равна Дуг + о— Дй/2 —О —— 2 Уд.

Таким образом, при наложении периодического потенциала в спектре свободных частиц появляется щель. Отсюда понятно возникновение запрещенных зон в металлах для электронов (правда, там нужно рассматривать трехмерный случай).

Из (2.77) следует, что

dElл

^-=0, т. е. групповая

скорость частицы на краю зоны (р = й/2) равна нулю. Это соответствует тому, что на краю зоны волновая функция частицы есть стоячая, а не бегущая волна.

Штарк-эффект в случае близких уровней

Рассмотрим систему с двумя близкими уровнями, на которую наложено однородное электрическое поле И(х) = = —^х. Определим, как изменяется энергия системы в этом поле. Среднее значение V по любому состоянию с определенной четностью равно нулю (дипольный момент dx = ^ ^х (г) х Ч\ (г) dr при замене переменной интегрирования г—► —г переходит в —dx1 т. е. dx = 0").

Для энергетических уровней системы в поле Е1а получаем: ^1, 2 = ^-а ± )/+ | И12 р .(2.78)

Рассмотрим, например, состояния 2si/2 и 2рц2 атома водорода. Они обладают одинаковой энергией (если не учитывать лэмбовского смещения). Расщепление такого дублетного уровня при наложении электрического поля линейно по полю и равно Еа— Ег = 2 | У12 | .

Вычислим V12. Для состояния 2si/4 волновая функция равна 13

^20 Р) "у-^ > а для состояния 2/>1/г равна /?21 у ^-cos 6. /?„;(/") — радиальные кулоновские функции. Следовательно, и12= -^(/?20к| /?21)^JcoS2edQ= -^(/?20ияе1). Матричные элементы дипольного момента для кулоновских радиальных функций табулированы. В частности, (/?20|г } /?21) = = 3]Лз. Следовательно, |У12] = 3^.

Итак, расщепление дублета 2^*/2, 2/>1/г в слабом электрическом поле в атомных единицах равно 6<^.

Заметим, что уровень 2/>з/, имеет ту же четность, что и ^Рч,- Поэтому ^ Т^^ ^^гр!, ^ = 0. Следовательно, эти уровни в нашем линейном по полю приближении не расщепляются. Для их расщепления нужно рассматривать суперпозицию трех состояний — 2s>/2, 2pi/2, 2р»/2.

Для всех других атомов, кроме атома водорода, расщепление термов квадратично по полю: Е — Ео + -i- а.^. Действительно, уровни сложных атомов не вырождены относительно орбитального квантового числа /, т. е. нет состояний с близкими энергиями, которые перемешивались бы в слабом электрическом поле.

Изменение времени жизни состояния 2si/a атома водорода во внешнем электрическом поле

В атоме водорода состояние 2si/a имеет большое время жизни. Действительно, переход 2sila—>- lsi/a может происходить лишь с испусканием двух уквантов. Время жизни

состояния 2si/2 по отношению к этому переходу порядка 1/7 сек. Кроме того, возможен еще дипольный переход 2si/2—► 2р11г (энергии обоих состояний различаются из-за лэмбовского смещения). Оценим вероятность этого перехода.

В (1.4) мы нашли, что вероятность дипольного перехода w ~ <а8/с3, где со — частота перехода. Разность энергий ю = E2s^ —Е2р^ имеет порядок 1/с3 (см. стр. 63). Следовательно, -ш~1,с1%. В атомных единицах с «137, следовательно, w ~ 10-24, т. е. время жизни состояния 2si/2 по отношению к переходу 2$./2—► 2pi/2 порядка 1024тат, где тат — атомное время ~ 1О~10 сек. Итак, рассматриваемое время —■ 108 сек. Мы видим, что переход 2$i/2—> lsi/2 все же вероятнее, чем переход 2s./2—=-2jDi/2.

При наложении внешнего поля состояние атома будет суперпозицией состояний 2si/2 и 2/>i/2. Но как только атом перейдет в состояние 2pi/2, он моментально (за время т—• 10-9 сек) совершит дипольный переход: 2р1/г—»-lsi/2. Мы видим, что время жизни состояния 2s«/2 резко изменяется при наложении электрического поля. Итак, будем считать "Ч? = Сге-1е^г-\-С2е~ 1е»1^2, где индекс 1 соответствует состоянию 2si/2, а индекс 2 — 2pi/2. Для величин Сг, С2 имеем уравнения

iCx = V12C2 exp [г (е1 — е2) f\,

1С2= —/1 С2+ехр [ —г (Е1 —е2)/]. j ^2‘79)

Здесь V ——<§х. Матричные элементы Иц = У22 = 9- Затухания состояния 2si/2 со временем ~ х/7 сек не учитываем.

Даже в отсутствие внешнего поля С2 не является постоянной: Сг0>-~ ехр ( — f/т) из-за взаимодействия с полем излучения. Здесь т имеет порядок времени жизни дипольного состояния (т ~ 10~9 секу С^ считаем постоянной, поскольку время затухания состояния 2si/2 очень велико.

Обозначим С = С, exp (ie12ty где е12 = Е1— е2 — лэмбов- ское смещение. Тогда из (2.79) имеем:

iCx = V12C, iC = У21Сг — (е12 4- z/т) С. (2.80)

Исключая СпИсключая СпполучаемполучаемC+(-ze13 + ±) С+| У12|2С=0.C+(-ze13 + ±) С+| У12|2С=0.

Исключая Сп

Исключая Сп

получаем

получаем

C+(-ze13 + ±) С+| У12|2С=0.

C+(-ze13 + ±) С+| У12|2С=0.

Ищем решение уравнения в виде C=Aeiult. Тогда получаем юг_ю (±+ е12)-| И12|2 = 0,(2.81)

что дает два комплексных корня для со, причем е12 ~ 1/т.

В начальный момент времени С‘1(/ = 0)= 1, С(£ = 0) = 0. Начальное условие для С будет выполнено, если искать С в виде С = a [exp (zcd(1V) — exp (/а/2>/)]. Из (2.80) находим iC-Ke^ + i/T) С

=^ {(4+8i2—ю<10ехр (/ю<1>/)+ • +812 + Ю‘2,)еХР (Z'to‘2^)}-

Величина а определяется из условия С1(< = 0) = 1: а =(^- + со(2>—шаЛ \

Из уравнения (2.81) найдем частоты ш(1\ ш(2):

ю = "2 (®12 + 4) — V 4~(812+т) + । ^12 । 2 • (2.82)

Рассмотрим случай | И12 | <^ 1/т. Тогда из (2.82)

Следовательно, состояние 2si/2 имеет в этом случае очень большое время жизни ~ \] | VI2 | 2т.

Рассмотрим теперь противоположный предельный случай, когда наложенное поле столь велико, что l^ial^l/T. Тогда to(i. 2>~ 1(е12 + 4) ±1 Ki2l±8|V12i (ei2 + 4)

и время затухания Сг становится равным по порядку величины времени жизни дипольного состояния т.

Итак, время жизни состояния 2siu атома водорода чрезвычайно сильно (на девять порядков) уменьшается при наложении электрического поля порядка ^ -■- ^4^7

12

^-с-8-^- -« в 500в. с3

ГЛАВА 3

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

В этой главе мы рассмотрим в одномерном и трехмерном случаях приближенный метод решения волнового уравнения, когда потенциал медленно изменяется на длине волны частицы, С простейшим случаем такого приближения мы познакомились в 1.1.

1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА

Напишем уравнение Шредингера в виде tp" + fe2 (х) <р = 0,(3.1)

где

А2 (х) = 2 [f — V (х)] ■

(считаем А = 44=1). Пусть потенциал V (х) достаточно медленно меняется с изменением координаты, так что

Д/>1,(3.2)

где / — длина, на которой существенно меняется V (х).

Тогда можно найти приближенное решение (3.1). Ищем решение (3.1) в виде ф = Ae‘s, где А и 5 — действительные функции координаты. Имеем ф' = e‘s (Д' -|- i&A) и ф" = eis <А" -V^iS'A' -\-iS"A — S'2 Ау Из (3.1) имеем

А" 4- 21 A'S' -4 IS" А — S'^A 4- к2 А = 0.

Отделяя вещественную часть от мнимой, получаем два соотношения:

A" + S'M + fe2A = 0,(3.3)

S"A + 2A'S' = 0.(3.4)

А' S"

Перепишем (3.4) в виде -д-=—2S •

Отсюдап

А =■

S' ’

где а—постоянная величина. Из (3.3) имеем (5')2 = ^ + ^ -

Так как к меняется существенно на длине /, то и S*, а следовательно, и А меняются существенно на той же длине. Поэтому А"[А~\]1А, т. е. Л"/^2Л~1/(А/)2 <^ 1, и в первом приближении можно считать (S')2 —&2.

Тогда решение задачи имеет вид

(3.5)(3.5), . а Г - С .

(3.5)

(3.5)

(х) = —==- ехр -н к dxР A(x) r “ J

Это относится к случаю Е >> V, когда к вещественно. В случае Е < V решение будет содержать растущую и затухающую экспоненты, т. е.

ф (х) = А ехрф (х) = А ехр

ф (х) = А ехр

ф (х) = А ехр

где A = alV |^|- Мы получили первое приближение в разложении по степеням величины 1/(&/)2. Ясно, как получать и следующие приближения. Оказывается, что получающийся при этом ряд по степеням параметра 1/(&/)2 асимптотический, а не обычный.

Задача. Показать, что при приближенной оценке производной от квазиклассической функции нужно дифференцировать лишь экспоненту.

Асимптотические ряды

Напомним, что такое асимптотический ряд. Пусть

V — о

— частичная сумма ряда. Пусть при фиксированном z и п —> оо величина sn —^ оо, но при фиксированном п м z —*• оо сумма sn все лучше и лучше аппроксимирует некоторую функцию /(г:), т. е.

iim zn [s„{z)—f(zy}—0.

Z —► ОО

Тогда говорят, что sn есть асимптотическое представление f{z). Это не есть ряд в обычном смысле этого слова, так как sn расходится. Но из него можно извлечь сведения о функции f^, так как при г—> оо он хорошо представляет эту функцию.

Построим s„ (z) по заданной /(г). Величина s0 равна а0, следовательно, а0=/(оо). Величина sT = а0 + a^z, тогда lim z (f(z)\ =0,

00 X*/

т, е.

ах = lim z [/(z) —tzol = lim z\f (z) — / (oo)].

Аналогичным образом находятся все коэффициенты а„.

Однако восстановить обратно функцию по ее асимптотическому представлению нельзя. Например, пусть / (z) = e~z, тогда

ао = О, ах = lim ze_z = 0, а^ = аэ = . . . = ап = 0. Z -> со

Следовательно, весь асимптотический ряд равен нулю для функции e-z. Итак, функции /(z) и /(z)4~e~z имеют одинаковые асимптотические представления.

Обозначим z=^kiy. Оказывается, что квазиклассиче- ское решение

(3-6) v = o

есть асимптотический ряд, т. е. расходящийся при п—» оо. Однако при z—►оо величина ай (х) сколь угодно хорошо представляет функцию ф (х) (точное решение).

Пусть, далее, z фиксировано. При п—► оо ряд (3.6) расходится. Следовательно, при любом z есть оптимальное число членов п (г), которое наилучшим образом описывает функцию ф(х). Мы будем пользоваться только нулевым членом этого ряда. Следующие приближения не обязательно должны улучшить, они могут и ухудшить решение.

Поскольку квазиклассическое приближение есть асимптотический ряд по степеням параметра 1/(А/)2, в нем теряются эффекты, экспоненциально малые при больших значениях этого параметра.

Сшивание квазиклассических функций

В этом разделе мы найдем, как нужно сшивать квази- классическую волновую функцию ср в области, доступной для классического движения, с q> в запрещенной области. Для определенности предположим, что потенциальная энергия частицы имеет вид, изображенный на рис. 24 (начало координат взято в точке, где V(x) = f).

Квазиклассическое решение в области // (классически доступной) согласно (3.5) имеет вид

а в области / (классически недоступной)а в области / (классически недоступной)(3.8)(3.8)

а в области / (классически недоступной)

а в области / (классически недоступной)

(3.8)

(3.8)

Если бы квазиклассическое решение было аналитической функцией х в окрестности х = 0, то для нахождения соотношений между ог, о2 и bXl Ьг нужно было бы аналитически продолжить это решение из Ц в I (при этом экспоненты в (3.7) просто перешли бы в экспоненты (3.8)).

Правда, по вещественной оси нельзя было бы двигаться, так как в окрестности х = 0 квазиклассика неприменима (А(0) = 0, поэтому условие А/^> 1 не выполняется). Эту трудность можно было бы преодолеть, обойдя точку

х = 0 в комплексной плоскости по дуге достаточно большого радиуса (где применима квазиклассика).

Однако такое аналитическое продолжение дает, как мы увидим, неправильный результат.

Оказывается, что при таком обходе обязательно пере секаются линии (они называются линиями Стокса), где портится аналитическое продолжение. Поэтому такой способ нужно применять осторожно. Ниже мы покажем, как это сделать.

Другой возможный путь состоит в том, чтобы искать точное решение задачи вблизи х = 0, считая потенциал прямолинейным. Это решение описывается так называемой функцией Эйри. Затем нужно сшить точное решение с ква- зиклассическим при х > 0 и х < 0.

Разумеется, так можно поступать только зная, что квазиклассическое Приближение становится применимым на расстояниях от точки поворота, малых по сравнению с расстоянием, на котором потенциал существенно отклоняется от прямолинейного. Покажем, что при большом параметре квазиклассичности (Аа/2^>1) это действительно так.

Разложим для этого потенциал V (х) вблизи х = 0 в ряд: V (х) да Д-Р V' (0) х. Тогда импульс А (х) = = ]Л — 2V' (0)х = а]Лх. Оценим величину а:а—1^ | V' (0)|—■

Д/^К321 ^^^ , где 60=1^25, a I — длина, на которой существенно меняется потенциал V (х). Итак, в окрестности точки х = 0 величина А (х)-~А0 J/^^-. Чтобы квазиклассическое приближение было применимо, нужно отойти от точки х = 0 на такое расстояние, чтобы d (■£■) [dx<^_ 1 или —^/-1. Отсюда находим: х^> 1^к01Уг». Так как

Ао у X3

kol^> 1, то можно выбрать такое xv что

На расстояниях ^xv с одной стороны, уже годится квазиклассическое приближение, а с другой, — потенциал все еще можно считать прямолинейным.

5 А. Б. Мигдал, В. П, Крайпов

Сшивка с помощью функций Эйри для потенциала, изображенного на рис. 24, имеет вид)

—V.exp i \ я ах У к РL о—V.exp i \ я ах У к РL о1-^ -= -,■ е 4 ехрV ар1/21-^ -= -,■ е 4 ехрV ар1/22/3у ар3М zcos уф —2/3у ар3М zcos уф —По мере обхода контура доПо мере обхода контура до(З.Ю)(З.Ю), 2л тех пор, пока ф у ,, 2л тех пор, пока ф у ,

—V.exp i \ я ах У к Р

L о

—V.exp i \ я ах У к Р

L о

1-^ -

= -,■ е 4 ехр

V ар1/2

1-^ -

= -,■ е 4 ехр

V ар1/2

2/3

у ар3М zcos уф —

2/3

у ар3М zcos уф —

По мере обхода контура до

По мере обхода контура до

(З.Ю)

(З.Ю)

, 2л тех пор, пока ф у ,

, 2л тех пор, пока ф у ,

Сейчас мы получим эти соотношения, не прибегая к функциям Эйри. Выберем радиус обхода р порядка а^ (рис. 25). ^7°хТогда можно пользоваться квази-

\классическим приближением и в

то же время считать потенциал прямолинейным. Так как при этом А (х) =

X

= а.хг^, то ^kdx - -^ах”^. В О.

комплексной плоскости х = ре1™ и С &цл- = 4-ар3/= expf-^- zrp ). Поэтому о

sin -^ ср положителен,sin -^ ср положителен,а выражение (3.10) содержит зату-

sin -^ ср положителен,

sin -^ ср положителен,

хающую экспоненту. Если ср > у , то (3.10) содержит растущую экспоненту. Как только появляется растущая экспонента, все слагаемые, содержащие убывающую экспоненту, не должны учитываться, поскольку квазиклассическое приближение, будучи асимптотическим представлением, имеет по параметру квазиклассичности степенную ^^-^s-^) > а не экспоненциальную точность.

При движении по окружности радиуса р в верхней по- 2 з / I OWC ' -

луплоскости выражение е 3 переходит сначала в убывающую экспоненту, а затем после пересечения линии 2 л

ср = у — в растущую экспоненту; как только появилась растущая экспонента, из-за неточности квазиклассического приближения возникает экспоненциально малая ошибка. Поэтому аналитическое продолжение позволяет найти коэффициент только при растущей экспоненте.

Получаем

При этом мы потеряли слагаемое, экспоненциально малое ио сравнению с правой частью (3.11).

При обходе точки х = 0 снизу функция (3.11) переходит сначала в растущую экспоненту, а затем после пересечения линии

2л2лср = —уср = —у

2л

2л

ср = —у

ср = —у

— в убывающую. Потерянная из-за неточности квазиклассического приближения в области — у < ср < 0 экспоненциально

, „ . 2л малая добавка после перехода в ооласть —л < ср <— у превращается в экспоненциально большой член, который таким образом теряется. Следовательно, таким путем мы не можем получить правильное значение коэффициента при убывающей экспоненте.

Как его получить? Предположим, что в классически недоступной области (при У >■ Д) есть только затухающая экспонента:

оо(3.12)(3.12)

о

о

(3.12)

(3.12)

Общее решение при V < Е имеет вид

ООк dx — zq^к dx — zq^, С2+ -у=ехр, С2+ -у=ехр— i j к dx + z<p2 О— i j к dx + z<p2 О

О

О

к dx — zq^

к dx — zq^

, С2

+ -у=ехр

, С2

+ -у=ехр

— i j к dx + z<p2 О

— i j к dx + z<p2 О

(3.13)

Найдем Cv С2 и q^, <р2. Для этого продолжим аналитически (3.12) в область х > О. Аналитическое продолжение через верхнюю полуплоскость имеет вид

Й1ехрЙ1ехроо

Й1ехр

Й1ехр

о

о

ехр [1л/4]Г2,, / . 3.

-> ...! . =• ехр -^- ар /г sin -s- ср — z cos

У ар '* ехр (1ф/2)\2

При q> = 0 получаем второе слагаемое (3.13), причем <р2 = = — л/4, С2 = 1. Аналитически продолжая через нижнюю полуплоскость, мы получили бы первое слагаемое (3.13) со значениями

Ф1 = ф2 — л/4>

С1 = С2 = 1.

Каждый раз второе слагаемое теряется из-за экспоненциально малой ошибки в той области, где функция экспоненциально велика. Таким образом, имеем

в согласии с (3.9).

а»а»coscos

а»

а»

cos

cos

Условие квантования

Квазиклассическое решение уравнения Шредингера в классически доступной области (хг < х <х2; рис. 26) можно записать двумя способами: один раз — сшивая осциллирующее ре

шение с затухающим в точке лгг, а другой раз—в точке х2. Требование совпадения этих двух функций и даст нам условие квантования.

Первое из решений имеет вид

где Сгл — фаза, которая возни

кает при сшивке с затухающей экспонентой для х < xv В тех случаях, когда потенциал в окрестности точки хх имеет линейный ход, получается, как мы видели, ^ = 1/4.

Второе из решений имеет вид

Условие совпадения решений даст

(3.14)(3.14)

(3.14)

(3.14)

(при этом ах — аг (—1)”).

Нетрудно видеть, что cos ^ к dx—Сггс^ проходит через нуль п раз, т. е. п—число узлов волновой функции в интервале [а^, х2].

Проверим правило квантования (3.14) (так называемое правило квантования Бора) на примере одномерной прямоугольной ямы с бесконечно высокими стенками. Так как

волновая функция должна обращаться в нуль как на левой, так и на правой границах, то ^ = ^—1/2. ПолучаемJ кп dx = knL = (л -[- 1) л,Еп = j- кап = ^ (п + 1 )2,Xtволновая функция должна обращаться в нуль как на левой, так и на правой границах, то ^ = ^—1/2. ПолучаемJ кп dx = knL = (л -[- 1) л,Еп = j- кап = ^ (п + 1 )2,Xtгде L — длина ямы. Наинизшему состоянию соответствует число узлов л = 0.где L — длина ямы. Наинизшему состоянию соответствует число узлов л = 0.В наиболее частом случае,В наиболее частом случае,i>i>когда потенциал имеет ли-так и вблизи хг, получаемкогда потенциал имеет ли-так и вблизи хг, получаемнейный ход как вблизинейный ход как вблизиЗадача. Показать,Задача. Показать,правило квантованиях2правило квантованиях2л.л.Мы увидим ниже (стр. 137), что применение квазиклассичес- кого приближения для радиальной кулоновской функции при 2 = 0 дает Сг = 3/4, С2 = 1/4, а при I =^ 0 С^ = С2 = 1/4.что для потенциала, изображенногоМы увидим ниже (стр. 137), что применение квазиклассичес- кого приближения для радиальной кулоновской функции при 2 = 0 дает Сг = 3/4, С2 = 1/4, а при I =^ 0 С^ = С2 = 1/4.что для потенциала, изображенногона рис. 27, условие квантования имеет видХана рис. 27, условие квантования имеет видХал.л.Точность квазиклассическогоЕдинственное приближение, воде наших формул, состояло А" А£Р.к? А ~ АМДля оценки kl заметим, чтоТочность квазиклассическогоЕдинственное приближение, воде наших формул, состояло А" А£Р.к? А ~ АМДля оценки kl заметим, чтоприближениякоторое мы делали при выв отбрасывании слагаемого1~ <кГ? ■приближениякоторое мы делали при выв отбрасывании слагаемого1~ <кГ? ■

волновая функция должна обращаться в нуль как на левой, так и на правой границах, то ^ = ^—1/2. Получаем

J кп dx = knL = (л -[- 1) л,Еп = j- кап = ^ (п + 1 )2,

Xt

волновая функция должна обращаться в нуль как на левой, так и на правой границах, то ^ = ^—1/2. Получаем

J кп dx = knL = (л -[- 1) л,Еп = j- кап = ^ (п + 1 )2,

Xt

где L — длина ямы. Наинизшему состоянию соответствует число узлов л = 0.

где L — длина ямы. Наинизшему состоянию соответствует число узлов л = 0.

В наиболее частом случае,

В наиболее частом случае,

i>

i>

когда потенциал имеет ли-так и вблизи хг, получаем

когда потенциал имеет ли-так и вблизи хг, получаем

нейный ход как вблизи

нейный ход как вблизи

Задача. Показать,

Задача. Показать,

правило квантования

х2

правило квантования

х2

л.

л.

Мы увидим ниже (стр. 137), что применение квазиклассичес- кого приближения для радиальной кулоновской функции при 2 = 0 дает Сг = 3/4, С2 = 1/4, а при I =^ 0 С^ = С2 = 1/4.

что для потенциала, изображенного

Мы увидим ниже (стр. 137), что применение квазиклассичес- кого приближения для радиальной кулоновской функции при 2 = 0 дает Сг = 3/4, С2 = 1/4, а при I =^ 0 С^ = С2 = 1/4.

что для потенциала, изображенного

на рис. 27, условие квантования имеет вид

Ха

на рис. 27, условие квантования имеет вид

Ха

л.

л.

Точность квазиклассического

Единственное приближение, воде наших формул, состояло А" А£Р

.к? А ~ АМ

Для оценки kl заметим, что

Точность квазиклассического

Единственное приближение, воде наших формул, состояло А" А£Р

.к? А ~ АМ

Для оценки kl заметим, что

приближения

которое мы делали при выв отбрасывании слагаемого

1

~ <кГ? ■

приближения

которое мы делали при выв отбрасывании слагаемого

1

~ <кГ? ■

\ к dr ~ kl ~ пп,■

где п— число узлов. Следовательно, квазиклассическое приближение справедливо с точностью до 1/л2л2 (а не 1/д).

Именно поэтому в правиле квантования Бора законно сохранять добавку 1/2 к числу узлов п, которая представляет собой поправку ~\(п.

Нормировка квазиклассических функций

Существенный вклад в нормировочный интеграл внесет лишь область хг < х < х2 (см. рис. 26), так как вне ее волновая функция экспоненциально затухает. При хг <_х<_х2 волновая функция

X

О./ С L 7 Л \

cos \kdx— ,п К кV J 4 / ’

следовательно,

J I ф« I3 ^х = 1 ^ j* -^- cos2 Ф dx, где

Ф = С к dx.

При Е — Еп волновая функция ф„ имеет п узлов в области \xv х2], так как J к dx изменяется от нуля до ^п + 1/2) л и cos Ф будет п раз обращаться в нуль. Если п велико, то фаза Ф — большое число. Далее, cos2 Ф = — + -^-cos2Ф. Второе слагаемое много раз изменяет знак и поэтому внесет малый вклад. Следовательно,

~ й2 ? dx _ а» Т

^ 2 J к “ 2 2 ’

где Т—период классического движения. Итак,

2

— (Ол

где и — частота колебаний в соответствующей классической задаче. Таким образом,

ф"= ^"’(Р^-т)-ф"= ^"’(Р^-т)-(3.15)(3.15)

ф"= ^"’(Р^-т)-

ф"= ^"’(Р^-т)-

(3.15)

(3.15)

Задача. Оценить вклад в нормировочный множитель от классически недоступной области.

Ответ.

1/^ппу/».

Принцип соответствия

Из правила квантования (3.9) дифференцированием по п получаем

«2

dn J к dn со ’

откуда

(3.16).

Это соотношение называется принципом соответствия: при больших квантовых числах разность соседних уровней энергии равна классической частоте движения.

Средняя кинетическая энергия

Выразим среднюю кинетическую энергию частицы при квазиклассическом движении через ее полную энергию:

V 1 С * 2 Л1 Р * d4 ,1 Р * „

т=у j ^пР *yndx = ~ — \ ф„ ф„ dx « -^ j ф„ А2ф„с?лг.

Здесь величина к—число, а не оператор. Дифференцирование 1JVк в фл = —^= cos f i kdxвносит малый вклад

в Т. Используя (3.16), получим

Т = -^- у &2 -^ cos2 Ф dx = -^ У к dx =

В случае кулоновского потенциала при /=0 условие квантования не содержит 1/2 и

(3.18)

Если принять во внимание теорему вириала

(3.19)

то из (3.17) и (3.19) можно найти собственные значения энергии в квазиклассическом случае. Например, для осциллятора V ~ л"2 и х™=27', т. е. Т = V. Следовательно,

Решая это уравнение, получим е„ = С (п 4- X,^Y Из принципа соответствия следует, что С= со — частоте классического движения, следовательно, еп = ^п + V2) ю- Далее, для кулоновского потенциала при 1 = 0 из (3.18) и (3.19):

Т=— xkV= ==Ре-

/22 dn ’ ”2 dn

шение этого уравнения есть е„— C//z2. Мы видели (стр. 36), что из принципа соответствия следует С =—1/2.

Связь квазикласс ических матричных элементов с компонентами Фурье классического движения

Свяжем матричный элемент j ф„ U ^х^ ф„ dx одномерной задачи с компонентой Фурье от классической величины €7[х(/)] (например, дипольный матричный элемент

' Ф« Хф^ dx:

можно связать с компонентой Фурье классической координаты движения x^Y

Пусть п и п' не очень сильно отличаются друг от друга, именно,

In'—nl,

j1 <^ 1, я 1, л1.

Тогда матричный элемент

Unn- = I фп U^n' dx = а ап> i_ cos Ф„ cos Ф„- dx =

= a\ J U [cos (Ф„ - Ф„0 + cos (Ф„ + Фя<)] g .

Так как Ф„ и Ф„, велики, то второе слагаемое в подынтегральном выражении можно отбросить из-за сильной осцилляции cos (Фи + ФП'). Следовательно,

Итак, матричный элемент величины U (л;) в квазиклассиче- ском приближении равен фурье-компоненте величины U ^х (/)].

Критерий применимости теории возмущений для расчета не слишком малых величин

При возмущении л-го состояния дискретного спектра критерий применимости теории возмущений имеет вид Н'*^ Епт, где Н* — матричный элемент возмущения, а Епт—Еп — Ет.

Здесь Еп и Ет означают ближайшие уровни, для которых матричный элемент Н'пт не мал. Так как

пт dn п ’

где п — число узлов волновой функции, то это условие сводится к

(3.20)

В квазиклассическом случае /z ^> 1, и это условие может не выполняться. Покажем, что для вычисления не слишком малых величин его можно заменить более мягким условием:

^<<1.(3.21)

Для доказательства этого утверждения рассмотрим матричный элемент Unm = (ф„ | U | ср„). Пусть U (х)— плавная функция. Тогда Unm^0., лишь когда п и т мало отличаются друг от друга (иначе у подынтегральной функции будет много узлов). Воспользовавшись квазиклассическими волновыми функциями, получаем'

Г ^(x)Tt4={cOS (Фи-Фт) + СО5(Ф„ + Фт)}.

J х V RnRm

Второе слагаемое в подынтегральном выражении для Unrn осциллирует п-\~т раз, поэтому его вкладом можно пренебречь. Следовательно,

U^пат Г и (д;) cos <Ф»~^^ Дх.(3.22)

пт 2 J ' Vknkmv ’

Пусть теперь к потенциалу V(х) добавляется малая величина Н' (х). Так как kn = V 2 ^Еп — V (х)], то

А^„ = V 2[Д„-У (х)-//' (х)] - V 2[E~=V~TxS\ - ^ ,следовательно, Д&„/&„ ~ H'lk^ ~ Н'(Ет если V не близкок Еп (иначе квазиклассика неприменима). Следовательно,условие ДЛ„/^„ <^ 1 эквивалентно Н'1Еп<^.\, т. е. измене-нием к можно пренебречь при выполнении условия (3.21).

X

При вычислении фазы Ф„ = J kn dx^- этого нельзя

XX,

делать, так как 6ФЛ «? ^ §kndx to ^ ~^~kndx ~-g-n, где хгН'

л-число узлов. Поэтому условие 6ФЛ<^ 1 означает -р- п <^ 1; отсюда и возник критерий теории возмущений.

Однако мы видим, что для вычисления величин, содержащих Ф„ — Фт, причем \п— т\— 1, изменение разности фаз имеет порядок•

6(Ф„ —Ф„)^^-(л —т) — 5--

Следовательно, изменение больших матричных элементов Unm при возмущении потенциала на величину Н’ (х) определяется условием Н’ [Еп<^ 1, что и нужно было показать.

Если |л — т | не мало, то изучаемый матричный элемент мал из-за осцилляций cos (Фл — Фт)-

Выясним, как изменяется квазиклассическая волновая функция Ч*" = AeiS при добавлении малой величины Н' {х} к потенциалу V ^х). Изменение Л определяется величиной H'jE^ поскольку А— 1 [Vk, а ДА/А Н'jE, как уже было найдено. Но S = ^kdl, поэтому 8S п~ , так что 65 может быть и больше 1, хотя Н')Е<^\. Изменение Ч*" при добавлении Н' равно:

6ЧГ ^ Ч^"65 to Чгехр(—- J^ ).

Возмущение, вызываемое деформацией ядра, не удовлетворяет критерию (3.20), но критерий (3.21) выполняется. Поэтому для вычисления не очень малых величин можно пользоваться теорией возмущений (стр. 74).

Надбарьерное отражение

Решим задачу об отражении частицы при движении с энергией, большей высоты барьера, так что везде выполняется критерий квазиклассического приближения. Легко увидеть, что ни в каком приближении по параметру квази-

классичности 1/(AZ)2 не возникает отраженной волны. Действительно, квазиклассическое приближение, соответствующее идущей направо волне, имеет вид

А ехрА ехрi f V^ + A"!A dx_ ЛГ1i f V^ + A"!A dx_ ЛГ1

А ехр

А ехр

i f V^ + A"!A dx

_ ЛГ1

i f V^ + A"!A dx

_ ЛГ1

Разлагая это решение по степеням А"!А, получим всюду только волны, идущие вправо.

Причина этого результата в том, что коэффициент отражения экспоненциально падает с увеличением (А/)2, между тем как квазиклассическое решение есть асимптотический ряд и экспоненциально малые добавки в нем полностью теряются.■

Целесообразно искать решение уравнения Шредингера

4" +А2 (х)Т = О4" +А2 (х)Т = О(3.23)(3.23)

4" +А2 (х)Т = О

4" +А2 (х)Т = О

(3.23)

(3.23)

в виде

где <р— малая добавка, содержащая отраженную волну. Тогда получаем

ф" + А2<р =/(х),

где

/ (х) = — А" ехр/ (х) = — А" ехр

/ (х) = — А" ехр

/ (х) = — А" ехр

Выразим решение этого неоднородного уравнения через два решения соответствующего однородного уравнения ЧГ1 и Vg (Ч*-! и Vg — волны, идущие соответственно вправо и влево):

( Xх1

Ф = 4- Р1 У ^/^-^з У ^Jdx^ , где

А = ^1^2 - 4^4% = const

— определитель Вронского.

(3.23) имеет вид(3.23) имеет видИтак, решение уравнения Шредингера

(3.23) имеет вид

(3.23) имеет вид

V (а;) = ]/^ exp IV (а;) = ]/^ exp I& dx& dx

V (а;) = ]/^ exp I

V (а;) = ]/^ exp I

& dx

& dx

Пределы интегрирования определяются из следующих соображений: при х—> оо должна оставаться только волна, идущая вправо; это обеспечивается функцией Tj. При х—*— оо функция ф (—со) должна содержать только отраженную волну. Действительно, при указанном выборе нижнего предела

ф (х) = е‘*ох+<«-|~-L e-ikox С 4?1fdx. X - 00 Д

Так как А = const, можно вычислить А при х —>оо. Функция Фг—> е'^<>х, а функция Ф2 в силу малого коэффициента отражения приближенно стремится к e~ihoX"'ria-. Отсюда | А | = 2&0.

Таким образом, коэффициент отражения

R =R =(3.24)(3.24)

R =

R =

(3.24)

(3.24)

Заметим, что в (3.24) не используется квазиклассическое приближение.

Если V <^.Е, то из (3.24) получается обычная формула

теории возмущений. Действительно, величина А' =v ”к'.

2 У А3

Так как к = р^2 (Е—У), то к'=—V'jk, следовательно,

V"

f = A"eiS ^ —eikox + ia и 2^

R =R =— С V"e2ik=xdx— С V"e2ik=xdx22

R =

R =

— С V"e2ik=xdx

— С V"e2ik=xdx

2

2

Интегрируя дважды по частям, получим выражение для коэффициента отражения, совпадающее с тем, что получается по теории возмущений:

Угг1к«х dxУгг1к«х dx

Угг1к«х dx

Угг1к«х dx

Величина R определяется поведением Ч^/в окрестности ближайшей к вещественной оси особой точки.

2. ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА

Центрально-симметричное поле

Рассмотрим квазиклассическое движение в центрально- симметричном поле. Переменные 0, ф в этом случае отделяются от переменной г:

^mm = Rnt ^Y[m(Q, Ф).

Рассмотрим сначала радиальную часть волновой функции. Введем функцию

ит к^ = rRnt (г).

Из ограниченности R„i\^ при г = 0 следует, что ип1 (О) = 0. Для ип1, как известно, получается одномерное уравнение

и'т -V^niunl = 0, где

1,2 9 Гр ^ ^"Г" 01

— 2 eni V \г)I .

Условие Д„;(0) = 0 соответствует в одномерной задаче бесконечной потенциальной стенке в начале координат.

При увеличении I и заданном V (г) яма на рис. 28 становится все мельче и в конце концов исчезает, т. е. при достаточно большом Z система не будет обладать дискретными уровнями. Значениям 8П, > О соответствует сплошной спектр.

Уровни энергии в кулоновском поле

Найдем уровни энергии в кулоновском поле. Условие квантования имеет вид (при Z=^0, рис. 28,6)

гтах

J у^(Е„ + ^™уЦ,,г + ^п. rmin

Здесь пг — радиальное квантовое число, rmin, rmax— квази- классические точки поворота. Мы заменили в центробежном

потенциале Z (Z-[— 1)—» (Z + 1/2)2- Тогда квазиклассическая функция имеет фазу на бесконечности, совпадающую с точным решением, между тем как другие величины от такой замены практически не меняются. Интеграл в левой части приведенного выше условия равен

Следовательно, Е =^~

где л = nr + Z 4-1—главное квантовое число.

При Z = 0 (рис. 28, а) левая точка поворота rmin = О и совпадает с особой точкой уравнения, т. е. в области левой точки поворота потенциал нельзя заменить прямой линией, как мы делали выше. Поэтому условие сшивки на левом краю изменится.

Для нахождения энергетических уровней при Z = 0 нужно найти точное решение вблизи особой точки и сшить

его с квазиклассическим решением вдали от нее.

близкихс Z = 0близкихс Z = 0Для больших квантовых чисел (т. е. энергий, к нулю), волновая функция в кулоновском поле имеет вид )

близкихс Z = 0

близкихс Z = 0

Л (V8Zr)Л (V8Zr)

Л (V8Zr)

Л (V8Zr)

где аг— нормировочный коэффициент. При r^>\)Z отсюда

находим

г> п cos (У87г —3/4л)

С другой стороны, для Rn0 можно написать квазиклас- сическое решение

cos kV&Zr — Cx^ Г V Ргcos kV&Zr — Cx^ Г V Рг

cos kV&Zr — Cx^ Г V Рг

cos kV&Zr — Cx^ Г V Рг

31

Таким образом, здесь появляется фаза С\л = — л вместо—л в обычном случае.

Функция Rn0 может быть также записана в виде

(

max

^ prdr—л/4

^по —^по —«з«з

^по —

^по —

«з

«з

Здесь rmax— правая точка поворота. Из условия однозначности, так же как и в 3.1, получаем правило квантования

rmax

prdr = {nr-\- 1) Л = ЛЛ, о

где л—главное квантовое число.

Вычисление интеграла дает

Как мы видим, в этом случае квазиклассическое приближение (так же как и в случае осциллятора) дает точные уровни энергий.

Квазиклассическое представление сферических функций

Для вычисления матричных элементов физических величин при больших угловых моментах I удобно использовать квазиклассическое представление для сферической функции:

=(COS 0) г1т-?.

V 2Л

Здесь Р1т (х)— присоединенный полином Лежандра, удовлетворяющий уравнению

А [(1 — х2)^?] +Pi,„ = O.

dx L' ' dx J 1 L1"

Введем функцию ^„Д-к):

Pim x^ = у } _-^ ^ Im XXV

Тогда для Olm ^x) имеем

G~*2) ^m(x)+ ^(/+i)_?p^H] ^imW = 0.

Решение этого уравнения с точностью порядка I//2 может быть найдено в квазиклассическом виде

В точках х1>2 величина к (х) обращается в нуль, т.е.

Мы заменили здесь Z(/+l)—>(/ + 1/3)2, имея в виду, что квазиклассическое приближение применимо с точностью до 1/Z3 (а не 1/Z; см. 3.1).

Коэффициент а определяется из условия нормировки присоединенных полиномов Лежандра:

т.е.

ВычислимВычислимк dx-.к dx-.ХзХз(3.25)(3.25)

Вычислим

Вычислим

к dx-.

к dx-.

Хз

Хз

(3.25)

(3.25)

Этот результат следовало ожидать, так как число узлов PinAxV как известно, равно /—|/« |. Из (3.25) находим

\ к dx = n. dl J

Следовательно, 32/4-1

cZ2 = -— .

Окончательно имеем

где

Квазиклассическое представление сферических функций позволяет приближенно вычислять суммы вида

1 ^„(о, ф)|2Ф(/»).

т= —I

Действительно, используя условие квантования (3.25) и заменяя суммирование интегрированием, получаем

Л (6)Л (6)_/+v2— 2л2_/+v2— 2л2Ф (m) dmФ (m) dmJ (Z + Va) sin 0- (Z + Vs) I «п 6 1J (Z + Va) sin 0- (Z + Vs) I «п 6 1m?kl^i%Y sin2 0m?kl^i%Y sin2 0

Л (6)

Л (6)

_/+v2

— 2л2

_/+v2

— 2л2

Ф (m) dm

Ф (m) dm

J (Z + Va) sin 0

- (Z + Vs) I «п 6 1

J (Z + Va) sin 0

- (Z + Vs) I «п 6 1

m?

kl^i%Y sin2 0

m?

kl^i%Y sin2 0

i +i/ p at

=~2^J TY^ot^z + VJsine].

В частности, для Ф(т) = 1, m\ т4 находим

X? I у ^ + 1/а С d-t 2Z+1 "^ ^ • 1т '2л2 J у^ 1/а 4л ’

Z4

Е, I У- Iе = Ls^ J 7= ** и+V.)= si„- е =

=E±ii2sinse.

4л

^\Y,„ |=™«=‘-^ j у^= t‘ и + Ч^ sin* е =

-^‘^sin-O.

16л

Распределение Томаса—Ферми в атоме

Для потенциала V атома можно написать следующее

электростатическое уравнение:

(3.26)(3.26)AV= —4лр,

(3.26)

(3.26)

где р — плотность заряда электронов в данной точке. Это

уравнение приближенное, так как на самом деле мы имеем многочастичную задачу — ядро и Z электронов — и потенциал

V {г, г^ =— 4-,—г

' * "Г| Г Г} |

есть оператор, а не число, т. е. V зависит от электронных координат, в то время как р, очевидно, нет. Следовательно, потенциал, используемый в (3.26), есть значение истинного потенциала, усредненное по движению электронов.

Поскольку частиц много, то отклонения V ^г, г^ от V ^ будут в среднем малы (хотя формально V (г, г^ может принимать любые значения). Уравнение Шредингера с таким усредненным потенциалом имеет вид'

AT+2 {Е — У)ЧГ = О,

причем потенциал V можно считать сферически-симметричным (сферическая симметрия может нарушаться лишь за счет наружных электронов или незаполненных оболочек). Тогда "Ч?п1т = Uny"- Ylml причем для пл/(г) имеем уравнение

u"nA4ium = ^,(3.27)

где

^z = 2 [е-ин-'Ш].

Функция ип1 удовлетворяет граничным условиям

«nz(°) = °. Итыл2(г) —ОГ —> со

и нормирована следующим образом:

$ u?nl dr = 1 . о

(функцию ип1 можно считать вещественной).

Плотность заряда электронов равна (как и всюду, е = К = т= 1):

„2

Р = -^\^nim\‘l=-^->\Ylm\a>(3.28)

Суммирование по т с учетом соотношения (стр. 140)

V |2 = М+1

■-^ * im । 4л т= —I

приводит к выражению

р(И = — 2^р(И = — 2^^1 (^)2/+1г2 4л *^1 (^)2/+1г2 4л *(3.29)(3.29)

р(И = — 2^

р(И = — 2^

^1 (^)2/+1

г2 4л *

^1 (^)2/+1

г2 4л *

(3.29)

(3.29)

В квазиклассическом приближении радиальная волновая функция имеет вид

“mW“mW(3.30)(3.30)

“mW

“mW

(3.30)

(3.30)

где

.^И^Е^-УИ-^-Ц^ , ant.^И^Е^-УИ-^-Ц^ , ant2 дЕп1л дп2 дЕп1л дп

.^И^Е^-УИ-^-Ц^ , ant

.^И^Е^-УИ-^-Ц^ , ant

2 дЕп1

л дп

2 дЕп1

л дп

Уровни энергии Еп1 находятся из правила квантования Вора

Г 2

J* knt dr = (" +4") Л1(3.31)

При 1=0 вместо «-|-т/2 в соотношении (3.31) нужно написать п (см. стр. 137).

Из (3.29) и (3.30) получаем

(2/4-1) cos2 \knldr--^ \(3.32)

т RnuV,/

В квазиклассическом приближении можно заменить среднее значение квадрата косинуса на 1/2.

Из (3.32) имеем

Pv)— 2л2 2-4 дп кп,(З.Зи;

От суммирования по л в (3.33) перейдем к интегрированию

при фиксированном 7; так как

то

о

f / —^ = V2(£ — yz) I ,

„ дп кт J кт J ^(f—I/,)z I

£mtn

где Emin—Vt (при E">Vt волновая функция имеет вид cos ( \ к dr4~ ) > а пРи ^ < 'А она затухает экспоненциально и вкладом этой части в р (г) можно пренебречь). Поэтому выражение (3.33) можно записать в виде

Р (г) =Р (г) =12/ + 12л2 г212/ + 12л2 г2V -^V -^(3.34)(3.34)LLТак какТак как1/1 \ 2+, то1/1 \ 2+, то(3.34) принимает вид(3.34) принимает видdV,9/.4.1; —, так что dl г2dV,9/.4.1; —, так что dl г2//23 -2л'223 -2л'2( —2Vz)3/= | •( —2Vz)3/= | •(3.35)(3.35)

Р (г) =

Р (г) =

12/ + 1

2л2 г2

12/ + 1

2л2 г2

V -^

V -^

(3.34)

(3.34)

L

L

Так как

Так как

1/1 \ 2

+, то

1/1 \ 2

+, то

(3.34) принимает вид

(3.34) принимает вид

dV,9/.4.1

; —, так что dl г2

dV,9/.4.1

; —, так что dl г2

/

/

2

3 -2л'2

2

3 -2л'2

( —2Vz)3/= | •

( —2Vz)3/= | •

(3.35)

(3.35)

V, . соответствует 7 = 0. V, . = V. Величина V. (г\ = О. tmin' ‘min‘max

Для состояний с большими I точка г находится в классически недоступной области, и такие состояния вносят экспоненциально малый вклад в плотность в точке г (рис. 29).

Итак,

v'^ = ^A-^u.(з.зб)

Обозначая—V^cp, запишем уравнение Пуассона (3.26'; с учетом (3.36) в следующем виде:

(3.37)(3.37)Дер - 4лр = Ц^ ф3/. = Сф’/s

(3.37)

(3.37)

где С=8У^ 2/Зл. Это — так называемое уравнение Томаса — Ферми.

Если г—>-0, то ф—*Z/r— потенциал ядра. Целесообразно заменить ф (г) = Z% (г)/г с граничным условием х(0) = 1. В сферических координатах

А 1 d2 .1 d2

следовательно, из (3.37) имеем

ZZ3^

—(3.38)

или

X" (г) =х^-(3.39)

Введем новую переменную x = a.Zx,*r (а выберем позже) с целью получить универсальное уравнение для функции х* Тогда из (3.39) находим

a2Z2/’x" = CZV2 ’ av.zvey1/.

/ 8 к 2 \ '3 или, если выбрать С=а3/з, т. е. а=( —-— ) , то оконча- \ Зл / тельно находим

d2X = 1,/z'

dx2 у х X ’ I(3.40)

Х(оо) = О, х(0)= 1. '

Уравнение (3.40) решается численно (в 1.1 дано приближенное его решение). Решение его определяет распределение плотности электронов. Характерный радиус этого распределения в безразмерных единицах х~ 1, следовательно, в обычных единицах ат.ф~а0/^/ Z. На этом расстоянии находится большинство электронов. Полученный результат совпадает с приближенной оценкой, приведенной на стр. 38.

Уравнение (3.40) справедливо в той области атома, где применимо квазиклассическое приближение.

Задача. Начиная с каких и до каких расстояний применимо распределение Томаса—Ферми?

Ответ. rmin~l/Z, '•max-’-

Оценки ядерных матричных элементов

В теории ядра часто приходится вычислять различные суммы матричных элементов. Рассмотрим, какие матричные элементы вносят наибольший вклад в такие суммы.

Пусть U (г)— величина, заметно изменяющаяся на расстояниях порядка радиуса ядра. Оценим квазиклассически матричный элемент их,хг = (фх^фх,), где фх — волновая фу> к- ция нуклона в самосогласованном поле, создаваемом всеми остальными нуклонами ядра, к— совокупность квантовых чисел, описывающих состояние нуклона.

Рассмотрим сначала сферическое ядро. Тогда к = п, j, I, т, где п — радиальное, I — орбитальное и т— магнитное квантовые числа, /=/±-^-- Покажем, что соседние уровни в сферическом ядре не комбинируют между собой, т. е. дают малое значение матричного элемента Ux^- Предварительно оценим расстояние между соседними уровнями. В деформированном ядре уровни с различными проекциями

момента на ось симметрии расщеплены, поэтому если Л— число нуклонов в ядре, a еР— энергия Ферми, т. е. энергетическое расстояние от дна самосогласованной ямы до места заполнения последних нуклонов, то среднее расстояние между одночастичными уровнями имеет порядок гг./А. Величина 6F не зависит от Л с той точностью, с которой постоянна плотность п ядерного вещества. Действительно, в системе, которая удерживается силами, действующими между ее частицами, радиус действия сил и среднее расстояние между частицами имеют одинаковый порядок величины. Поэтому все величины, характеризующие ядро, можно выразить с помощью размерных оценок друг через друга. В частности, sP~л2/3 (Л1 = Я=1).

В сферическом ядре существует вырождение по проекции углового момента с кратностью порядка величины углового момента I ~ PPR, где R— радиус ядра, а рР—импульс нуклона на границе Ферми. Так как R = r0A1A) где г0— величина порядка среднего расстояния между нуклонами, то ppR = рРг0Ах/»~Ач=. Следовательно, среднее расстояние между ближайшими уровнями сферического ядра имеет порядок величины &Р!ДЧа.

Оценим сначала расстояние между уровнями, отличающимися лишь радиальными квантовыми числами л, причем 6л~1. Для этого продифференцируем пол условие квантования Бора У prdr = п, где рг — радиальный импульс. Получаем

1 = №dr =

J on J дкп1 an on J и On о ’

где s„z — уровень энергии, a у—— скорость нуклона. Отсюда

деп£ о __ о __.РА° ,__. &fдп ~R rQA*ia А4*А4»'

Оценим теперь расстояние между уровнями, отличающи

мися лишь орбитальными квантовыми числами I, причем 6/~1. Для этого продифференцируем по I соотношение

Р/ Г

\prdr = n, учитывая, что рг - Т/ 2 e„z—^(г)——| •

Здесь V (г)— потенциальная энергия нуклона. Получаем: С dr <де„2М _

J рД dZ ~

т. е.

RR

dentСdr . Гdr

dZJPrJ^р, ’

r ,r .

minmin

где rmin находится RdC drВ интеграле \ — rmlnгде rmin находится RdC drВ интеграле \ — rmlnиз условия pr = 0, т. e. rmin ~ l]pF.

где rmin находится R

dC dr

В интеграле \ — rmln

где rmin находится R

dC dr

В интеграле \ — rmln

существенна вся область интегрирова

ния, поэтому мыRС dr\— основнойJ ^Ргrminния, поэтому мыRС dr\— основнойJ ^Ргrminего оцениваем как R/v. В интеграле же вклад вносится областью вблизи rmin,

ния, поэтому мы

R

С dr

\— основной

J ^Рг

rmin

ния, поэтому мы

R

С dr

\— основной

J ^Рг

rmin

поэтому его оценка 1 /rminpF ~ 1 //. Итак, ^|j-z -^—■ / А = 1, т. е. ■ sFIA1;a.

Таким образом, мы получили, что

den< dent л-Ч»

Поэтому уровень сферического ядра, ближайший к данному, т. е. отстоящий от него на расстоянии zfIAl/*, получается, как правило, за счет больших изменений бл и 6/, так чтобы величина

бе6л + ^б/

”‘ дп 1 ol

была минимальна.

Для этого нужно выбрать 6л, 6/ ~ А'^. Следовательно, ближайшие уровни сферического ядра, как правило, сильно отличаются по числу узлов радиальной и угловой части волновой функции, а потому дайэт малое значение матричного элемента U^x,.

■ Состояния с энергиями | £х,— exj ^> eF(A^= также дают малое значение U\v\„, так как функции срх, и фх. сильно различаются по числу узлов,

Итак, матричный элемент ^7x1^2 заметно отличен от нуля для Хх = Х3 (если он при этом не равен строго нулю из-за правил отбора) и для | е^— ех2 | — Е^Л-^а, когда числа узлов функций фх, и фх2 мало различаются.

Все сказанное выше о комбинирующих уровнях остается в силе и для деформированного ядра, если оператор U меняет квантовые числа п и I. Если же U меняет лишь магнитное квантовое число т (например, оператор углового момента), то комбинируют уровни с соседними т, принадлежащие одному мультиплету nl. Оценим расстояние между ними. Выше (см. стр. 75) было показано, что в первом порядке теории возмущений расщепление уровней определяется соотношением

. а (тг 1 X

^nlm^nl + ®»zP /23 / ’

где р— величина деформации. Следовательно,

тяг ~

т. е. в этом случае могут комбинировать и близкие уровни (при малых Р).

Нецентральный потенциал

Рассмотрим более общий случай, когда переменные не разделяются, и построим в этом случае квазиклассическое решение. Ищем решение уравнения

АЧГ+^ф-О

в виде Т = Aeis. Тогда

VT = (vH + iA^S1) els,

AT = (ДИ + 2z VHVS + iAAS — A (VS)2) ets; следовательно,

АЛ + 2z‘VHVS — A (VS)2 + iAAS + k?A = 0. (3.41) Разделяя действительную и мнимую части, из (3.41) получаем два уравнения

ДЛ + Аг2Л = H(VS)2,(3.42)

2VHVS + ^AS = 0.(3.43)

Уравнение (3.43) означает закон Действительно,Уравнение (3.43) означает закон Действительно,JJ22(Т*?^ —TVT*) =(Т*?^ —TVT*) == 1 [Дв"^ (Ле^) -= 1 [Дв"^ (Ле^) -— Aeis ^Ae~is}] = A24S— Aeis ^Ae~is}] = A24Sиdivy = V kA^S) —= ДаД5+ 2V^ VS • А = 0. Следовательно, вдоль линии токаиdivy = V kA^S) —= ДаД5+ 2V^ VS • А = 0. Следовательно, вдоль линии токасохранения тока частиц.сохранения тока частиц.Л ^1 — Л^СГа»Л ^1 — Л^СГа»(3.44)(3.44)

Уравнение (3.43) означает закон Действительно,

Уравнение (3.43) означает закон Действительно,

J

J

2

2

(Т*?^ —TVT*) =

(Т*?^ —TVT*) =

= 1 [Дв"^ (Ле^) -

= 1 [Дв"^ (Ле^) -

— Aeis ^Ae~is}] = A24S

— Aeis ^Ae~is}] = A24S

и

divy = V kA^S) —

= ДаД5+ 2V^ VS • А = 0. Следовательно, вдоль линии тока

и

divy = V kA^S) —

= ДаД5+ 2V^ VS • А = 0. Следовательно, вдоль линии тока

сохранения тока частиц.

сохранения тока частиц.

Л ^1 — Л^СГа»

Л ^1 — Л^СГа»

(3.44)

(3.44)

где dc^ и do^— нормальные элементы площади трубки тока (рис. 30).

Если ^А, А <^й2, то из (3.42) следует уравнение Гамильтона— Якоби для 5:

2 [Д— У (г)] = (VS)2.(3.45)

Квазиклассическая задача рассеяния

Построим квазиклассическую волновую функцию для задачи рассеяния. Предварительно заметим, что уравнение (3.45) содержит не одно решение: в любую точку в 4-оо, куда устремляются частицы после рассеяния, частица может прийти по меньшей мере -оо24-оо двумя путями. Это изобра

жено на рис. 31. Здесь 771 и 2— две точки фрон

та плоской падающей Рис- 31.волны.

Поэтому на основе принципа суперпозиции вместо решения ф" = AelS мы должны потребовать ф = 2 А^15!, где сумма берется по всем классическим траекториям, соединяющим рассматриваемые точки.

Предположим для простоты, что есть только две траектории, соединяющие фронты падающей и рассеянной волн на бесконечности. Вдоль траектории /, которая "проходит вдали от центра рассеяния, трубка тока параллельна оси х;

.4 и VS постоянны, причем vS = р0. Можно положить, что значение ф’-функции в каждой точке фронта падающей волны равно 1. Поэтому Л1 = Л2 = 1. Следовательно,

х•

^i = ехр Гг J р0 dx j = exp (УрохА- iPo^,

где L— пока произвольное число. Найдем второе решение Ф2. Вдоль второй трубки тока A2^S da = const. На — оо имеем А2 = \, ^8 =^ р0, da = р dp dtp, где р — прицельный параметр. Следовательно,

р0 р dp dip = A2p0r2 dQ.(3.46)

Тогда

то- д eiS. _ Р ^Р ^Ф е п Г; С ndA

2 АТ® 2 V г^йо. ехр L j J ’ а полное решение задачи имеет вид хр^ ехр (Zpox + fpoL)+ ^^Й ехр [Z J7^'] • (3-47) Умножим правую часть этого равенства на постоянный множитель e-tp»L-. ту eipox _j_-

г ->- оо гг

+ У^ ^Ф СХР 1 [/W + ^ р dl — J Ро dl — pod , — L— L

или T —► е'Ро* -f- — е1Р»г , где Г -> ООГ

Vе®’I3-48)

Ф= ^pdl— ^pod?o.(3.49)

Траектории / и /0 изображены на рис. 32.

В выражении (3.49) фактически существенное значение имеют точки вблизи центра рассеяния. Выражение (3.49) требует уточнения в том случае, когда классическая траектория проходит вблизи точек, где квазиклассика неприме-

нима. Совокупность таких точек образует поверхность, называемую каустикой. Каустика отделяет область, доступную для классического движения, от недоступной. Например, для отталкивательног ла каустика имеет вид параболоида вращения. В случае при- тягивательного кулоновского потенциала она представляет собой прямую линию, идущую от центра рассеяния к 4- оо.

Найдем, как меняется фаза

волновой функции вблизи каса-Рис. 32.

ния траектории с каустикой.

Разложим движение частицы на два движения: перпендикулярно касательной к каустике и вдоль касательной. Движение в перпендикулярном направления аналогично квазиклас- сическому отражению от точки поворота в одномерной задаче. При этом разность фаз падающей и отраженной волны, как мы видели, равна л/4— (—л/4) = л/2. При движении вдоль касательной к каустике изменения фазы не происходит. Следовательно, вместо (3.49) для Ф получается следующее выражение:

ф= ^pdl— ^Рй <110Л-^ ^ ,

где v — число точек касания с каустикой. В случае кулоновского потенциала v=l.

Сечение рассеяния протона на атоме водорода

При рассмотрении задачи о перезарядке (см. стр. 103) было получено, что амплитуда рассеяния /i = Va (/s+/«)> а амплитуда перезарядки /2 = Да (Д—Д)> где Д, fa — амплитуды соответственно симметричного и антисимметричного рассеяния.

Потенциал Vs мало отличается от Va, поэтому классическое сечение можно считать одинаковым для Vs и Vа1 между тем как фазы Ф5 и Фа могут сильно различаться. Действительно, Ф5, Фа— очень большие числа, поэтому и Ф5 — Фа может быть велико.

Следовательно, согласно (3.48)

А-т/(ш)^^^^-). аЧ/(to)j«‘°-^-

Сечение перезарядки равно

(= |f|2=— f —I eiOs eiOa |3 =

VdS/перез U 14 ^Й^кл11

/do_\ 8{п2_к(ф —ф X

VdQ/кл 2°'*

Так как 0000

Ф= ^Pdl~ ^PodZo>

то ф,—фа =

- J^-A,)^ J^V^^^^ ^Vs-Va>dl, — оо— оо—оо

где тх— масса, а -п0 — скорость протона.

Рассмотрим рассеяние на малые углы. Обозначим Vs—Va=V. Тогда для сечения перезарядки получаем следующее выражение:

= si”2 Г f Г(Кр2 + ^2)^1 - (3.50)

\dQ/перез \ dfi/кл L2u0 J।' J

da \ d£l /da \ d£l /расерасеЗдесь p — прицельный параметр. Это выражение совпадает с сечением, полученным в (2.4). Для сечения рассеяния получаем

da \ d£l /

da \ d£l /

расе

расе

f^) .cos2[^- f V(]/p2 + ^2)^l =

VdQ/кл L2u0 JJ

J V (]/p2 +J V (]/p2 +x2) dxx2) dx1 /" da \1 f da \

J V (]/p2 +

J V (]/p2 +

x2) dx

x2) dx

2 \</Й/кл2 \dQyкл

Таким образом, наряду с обычным классическим рассеянием получаются квантовомеханические осцилляции сечения рассеяния как функции угла отклонения.

1. ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

*) И. С. Г радш тей н, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм и произведений, Физматгиз, 1962.

2jT У (2л)5 "c® ln Ej • <2-71)

А. Б. МИГДАЛ, В. П. КРАЙНОВ

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1966

8зо.з

М 57

УДК 530.145.1

АННОТАЦИЯ

В существующей литературе приближенные методы квантовомеханических расчетов либо вовсе не излагаются, либо даются с формальноматематической точки зрения. В этой книге приближенные методы излагаются с помощью наглядных физических соображений. По ходу изложения приводится большое количество работ из различных областей теоретической физики. В конце каждого раздела даются задачи.

В основу книги положен курс лекций, который на протяжении последних десяти лет один из авторов читал в Московском инженернофизическом институте. •

Книга предназначена для студентов старших курсов и аспирантов физических факультетов университетов и инженерно-физических вузов.

Аркадий Бейнусович Миздал, Владимир Павлович КрайновПриближенные методы квантовой механикиМ., 1966 г., 152 стр. с илл.Редактор В. И. Рыдник

Техк. редактор Л. Ю, ПлакшвКорректор М . Л. Липелис

Сдано в набор 11 'VIII 1966 г.Подписано к печати 18/Х 1966 г.

Бумага 84xlO8Vas-Физ. печ. л. 4,75.Условн. печ. л. 7,98.

Уч.-изд. л. 7.33. Тираж 25 000 экз. Т-12772. Цена 26 коп. Заказ № 710.

Издательство «Наука»Главная редакция физико-математической литературыМосква, В-71, Ленинский проспект, 15

Первая Образцовая типография имени А. А. ЖдановаГлавполи! рафпрома Комитета по печати при Совете Министров СССРМосква, Ж-54, Валовая, 28.

2-3-7

2 1-66

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 5

Глава I. Размерные и модельные оценки 7

Оценки математических выражений 7

Оценка производной Г'(х) (8). Оценки интегралов (9). Метод перевала. Асимптотическое выражение для гамма-функции (12). Свойства интегралов от осциллирующих функций. Оценки далеких членов ряда Фурье (15). Оценки решений дифференциальных уравнений (19).

Аналитические свойства физических величин 23

Зависимость момента инерции ядра от деформации (23). Зависимость частоты звука от волнового вектора (24). Аналитические свойства волновой функции (25). Амплитуда рассеяния при малых энергиях (26). Аналитические свойства диэлектрической постоянной (28). Аналитические свойства амплитуды рассеяния (31).

Оценки в атомной механике32

Оценки скоростей и размеров орбит внутренних электронов атома (32). Стационарные состояния (33). Распределение электрического заряда в атоме (36). Формула Резерфорда (38). Неприменимость классической механики при больших прицельных параметрах (39). Оценка сечения рассеяния для потенциалов, спадающих с расстоянием быстрее, чем кулоновский (41). Резонансные эффекты при рассеянии (42). Взаимодействие между атомами (43). Ионизация атомов (44). Многократное рассеяние (45).

Оценки в квантовой электродинамике47

Нулевые колебания электромагнитного поля (47). Фотоэффект (50). Времена жизни возбужденных состояний атома (54). Тормозное излучение (56). Образование пар (59). Лэмбовское смещение (61). Расходимость рядов в квантовой электродинамике (63).

Глава 2. Различные случаи теории возмущений ...;-.. 65

Теория возмущений в непрерывном спектре. Рассеяние заряженных частиц на ядрах65

Рассеяние заряженных частиц на атомном ядре (71).

Возмущение граничных условий. Энергетические уровни деформированного ядра73

Энергетические уровни деформированного ядра (74).

Внезапные возмущения. Ионизация при 0-распаде и ударе об ядро76

Ионизация атомов при 0-распаде (78). Ионизация атомов при ядерных реакциях (81). Передача энергии при вылете кванта из ядра молекулы (эффект Мёссбау

эра) (83). -Задачи (85).

Адиабатические возмущения 86

Захват электрона протоном (перезарядка)(89).

Быстрая и медленная подсистемы94

Колебательные уровни энергии молекулы (95). Возбуждение ядерных дипольных уровней быстрой частицей (98). Рассеяние протона на атоме водорода (перезарядка) (101). Рождение мягких квантов при рассеянии («инфракрасная катастрофа») (103).

электрическом поле (114).Глава 3. Квазиклассическое приближение1171. Одномерная задача117электрическом поле (114).Глава 3. Квазиклассическое приближение1171. Одномерная задача117Теория возмущений в случае близких уровней . ... ПО Частица в периодическом потенциале (112). Штарк- эффект в случае близких уровней (113). Изменение времени жизни состояния 2sv2 атома водорода во внешнем

электрическом поле (114).

Глава 3. Квазиклассическое приближение117

1. Одномерная задача117

электрическом поле (114).

Глава 3. Квазиклассическое приближение117

1. Одномерная задача117

Асимптотические ряды (118). Сшивание квазикласси- ческих функций (120). Условие квантования (125). Точность квазиклассического приближения (126). Нормировка квазиклассических функций (127). Принцип соответствия (128). Средняя кинетическая энергия (128). Связь квазиклассических матричных элементов с компонентами Фурье классического движения (129). Критерий применимости теории возмущений для расчета не слишком малых величин (130). Надбарьерное отражение (132).

Трехмерная задача135

Центрально-симметричное поле (135). Уровни энергии в кулоновском поле (136). Квазиклассическое представление сферических функций (138). Распределение Томаса — Ферми в атоме (140). Оценки ядерных матричных элементов (145). Нецентральный потенциал (148). Квазиклассическая задача рассеяния (149). Сечение рассеяния протона па атоме водорода (151).

ПРЕДИСЛОВИЕ

Главная задача этой книги — научить начинающего физика качественным методам теоретической физики. Под качественными методами мы понимаем прежде всего порядковые оценки физических величин, рассмотрение явлений с помощью упрощающих моделей, использование аналитических свойств изучаемых величин и т. д. Кроме того, сюда же отнесены приближенные методы решения уравнений в тех случаях, когда может быть использована малость какого-либо из параметров, характеризующих явление (малость возмущения, адиабатичность или внезапность возмущения и т. д.). Эти методы применяются к задачам квантовой механики и квантовой теории излучения.

Мы старались обратить внимание на качественную, физически наглядную сторону расчетов. Математические детали по возможности опущены.

В каждом разделе после общей теории рассматриваются ее применения в различных явлениях. Кроме того, даются задачи, решение которых предоставляется читателю.

Книга возникла из курса лекций, которые читались одним из авторов в течение нескольких лет в Московском инженерно-физическом институте. Это в большой степени определило выбор материала книги и характер изложения.

Мы стремились к простоте —у читателя предполагается только знание основ квантовой механики и математическое образование в объеме первых трех курсов инженерных вузов. Вместе с тем, мы старались не повторять того, что уже хорошо изложено. Многие вопросы, рассмотренные в книге, вообще не излагались в учебной литературе.

Книга состоит из трех разделов. В первом разделе ставится задача научить читателя размерным и модельным

оценкам. Этот раздел начинается с оценок математических выражений. Даются оценки производных и интегралов, приводятся методы качественного решения дифференциальных уравнений, рассматриваются следствия, вытекающие из аналитических свойств физических величин. Далее с помощью модельных и размерных оценок получаются основные результаты квантовой механики и квантовой электродинамики (уровни энергии, сечения рассеяния, времена жизни атомных состояний, лэмбовский сдвиг).

Во втором разделе изучаются различные виды теории возмущений (адиабатическая теория возмущений, возмущение граничных условий, внезапные возмущения и т. д.). В этом разделе задачи квантовой механики решаются количественно, а не только по порядку величины, как в первом разделе (ионизация атомов при p-распаде и ядер- ных реакциях, перезарядка атомов, возбуждение ядер, эффект Мёссбауэра, «инфракрасная катастрофа»).

Наконец, последний раздел книги содержит подробное изложение квазиклассического приближения как для одномерных, так и для трехмерных задач квантовой механики (граничные условия в одномерном и трехмерном случаях, метод Томаса — Ферми, квазиклассическое представление сферических функций, рассеяние на нецентральном потенциале и т. д.)

Авторы благодарят В. Я. Арсенина и И. И. Гольдмана за просмотр рукописи и интересные замечания.

Мы рассматриваем эту книгу как попытку обучения качественным приемам теоретической физики и будем благодарны за любые исправления и замечания.

Л. Мигдал, В. Крайнов

Июнь 1966 г.