ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВК РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Ученые из Советского Союза внесли существенный вклад в развитие квантовой статистики неидеальных систем многих частиц. В частности, они уделяли большое внимание кулоновским системам. Здесь следует отметить имена Абрикосова, Боголюбова, Бонч-Бруевича, Власова, Горькова, Дзялошинского, Зубарева, Климонтовича, Ландау, Лифшица, Питаевского и Тябликова, а в связи с кулоновскими системами — А. И. Ахиезера, И. А. Ахиезера, Бибермана, Климонтовича, Кудрина, Пелетмин- ского, Рухадзе, Силина, Ситенко, Фортова и Якубова. Поэтому перевод книги на русский язык и ее издание в Советском Союзе — это и большая честь, и приятное событие для авторов. Таким путем собственный вклад авторов в развитие квантовой статистики кулоновских систем становится известным более широкому кругу специалистов, работающих в области теории многих частиц и сильно неидеальной плазмы.

Следует упомянуть, что авторы — все четверо — либо учились в Советском Союзе, либо получили там значительную часть своего физического образования. За это мы особенно глубоко благодарны Ю. Л. Климонтовичу и Д. Н. Зубареву. С тех пор у нас существуют тесные контакты с советскими учеными, м для нас особая честь укрепить эти контакты через публикацию русского издания книги и расширить возможности сотрудничества с советскими учеными.

В прошлом сотрудничество между учеными Советского Союза и Германской Демократической Республики, занимающимися как экспериментальными, так и теоретическими исследованиями плотной плазмы, воплотилось в совместной книге по явлениям переноса в плотной плазме. Идея родилась на семинаре по неидеальной плазме в Ленвитце близ Гюстрова (ГДР), где находились большинство из двенадцати авторов книги [ 191].

Мы с б л а года рность ю отмечаем сотрудничество с оазлич- ными научными учреждениями, среди которых ИВТ АН СССР (Москва), МГУ, Одесский университет, ОИЯИ (Дубна) и ИХФ АН СССР (Черноголовка). Кроме того, мы хотели бы упомянуть некоторых физиков, работающих в указанной выше области, в том числе Адамяна, Воробьева, Нормана, Плакиду,

Сеченова, Сона, Федянина и Фнлннова. По нашему мнению. Международные семинары по неидеальной плазме служат укреплению наших связей. Эти семинары организуются один раз в два года в ГДР: 1-й состоялся в 1980 г. в Матцлов-Гар- вине, 2-й — в 1982 г. в Гюстрове, 3-й ——в 1984 г. в Визентале, 4-й — в 1986 г. в Грайфсвальде, а 5-й состоится в 1988 г. близ Ростока.

Настоящее издание представляет собой пересмотренный вариант издания, вышедшего на английском языке в 1986 г. В него включены некоторые новые ссылки на литературу и новые результаты. В частности, мы отразили в нем новые результаты, представленные на семинаре по физике сильно неидеаль- нрй плазмы [742], состоявшемся 4——10 августа в Санта-Крусе (США), и 16-й международной конференции по термодинамике и статистике, состоявшейся 11—15 августа 1986 г. в Бостоне (США) [726]. Некоторые итоги наших «внутренних усилий» изложены в выполненных в последнее время кандидатских диссертациях Т. Борната, П. Харонски, Р. Редмера, Т. Ротера, Й. Фромхольд-Трой и в докторской диссертации М. Шлангеса.

Наконец, нам хотелось бы поблагодарить переводчиков, редактора и издательство за конструктивное сотрудничество.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В 1985 г. отмечался юбилей, имеющий особое значение для лиц, занимающихся кулоновскими системами. 200 лет назад, в 1785 г. Шарль Огюст де Кулон (1736* 1806) открыл《закон Кулона» для силы взаимодействия между заряженными частицами. Авторы посвящают эту книгу памяти великого пионера физики электрических явлений.

Современные книги по статистической механике ограничиваются главным образом рассмотрением систем нейтральных частиц. За исключением нескольких монографий и обзоров [56, 185, 237, 319, 320, 359, 376, 428, 469, 644], обширный материал по теории систем заряженных частиц, полученный к настоящему времени усилиями многих исследователей, работающих в области статистической механики, разбросан по многочисленным оригинальным статьям.

Цель настоящей монографии состоит в том, чтобы с единой точки зрения представить по крайней мере некоторую часть известных результатов, относящихся к системам заряженных частиц. Метод функций Грина оказывается при этом могучим оружием, особенно важным в связи с трудностями, встречающимися в статистической физике систем заряженных частиц; некоторые из этих трудностей отмечены во введении. Укажем здесь для примера на возникновение и роль связанных состояний, выступающих в качестве новых объектов.

Изложение начинается с основных физических идей и с краткого обзора точных результатов, известных для квантовых кулоновских систем (гл. 2). Не будучи специалистами по математической физике, авторы тем не менее полагают, что точные результаты, полученные в работах [153, 154, 439, 440, 457, 621, 644], а также в других работах, имеют фундаментальное значение, и их нужно пояснить (без доказательства) в самом начале. Гл. 3 посвящена систематическому изложению основных методов квантовой статистики, используемых в данной книге. В гл. 4 рассматривается вся плоскость плотность — температура с использованием аппарата функций Грина. Особое внимание уделяется здесь одно- и двухчастичным свойствам, а также диэлектрической проницаемости систем заряженных частиц. В гл. 5 приводятся сведения о классических системах и рассматривается почти классическая (невырожденная) плазма. Полученные в предыдущих главах результаты используются в гл. 6 для расчета термодинамических функций в широкой области значений плотности и температуры. Гл. 7 и 8 посвящены явлениям переноса и оптическим свойствам соответственно.

Следует указать на некоторые ограничения в отборе материала книги. За исключением нескольких примечаний, он отно-

сится только к трехмерным системам. В последнее время быстро растет интерес к двумерным и одномерным проводникам благодаря их необычным свойствам и перспективам техниче* ских применений [10, 11, 13—15, 28, 232, 239, 240, 674—676]. Подробное обсуждение этой быстро развивающейся облает» физики выходит за рамки данной книги, и в нескольких местах мы отсылаем читателя к оригинальным работам. Такие ссылки, относящиеся к вопросам, выходящим за рамки данной монографии, даны мелким шрифтом.

Так же мы поступили и в отношении других проблем, которые хотя и связаны с кулоновским взаимодействием, но не обсуждаются в данной книге. Среди этих проблем можно упомянуть свойства неоднородных систем и расчеты зонной структуры [81, 606], свойства вещества в экстремальных условиях [372], переходы металл — изолятор и эффекты делокализации [77], численное моделирование (см., например, [694]), сверхпроводимость (см., например, [435, 624]) и эффекты в состояниях, далеких от термодинамического равновесия [ 170].

Авторы надеются внести вклад в развитие теории кулоновских систем ——быстро растущей области статистической физики, представляющей большой научный и практический интерес. Чтобы помочь аспирантам и научным работникам познакомиться с этой современной областью физики, авторы решили включить в книгу разделы, в которых представлены основы теории. В частности, это относится к ряду разделов гл. 2—4.

В заключение авторы хотели бы выразить искреннюю благодарность Клаусу Килиману, Хубертусу Штольцу и Роланду Циммерману, которые внесли существенный вклад в получение результатов, представленных в данной книге. Это относится в особенности к гл. 4 и 6—8. Далее авторы благодарят й. Блюмлайна, Ф. Е. Хёне, М. Люфта, К.-Ф. Майстер, Т. Мейера, И. Оргцаля, Р. Редмера, В. Рихерта, Т. Ротера, М. Шлан- геса, Т. Зайферта, В. Штольцмана и X. Вегенер за неоценимую помощь и сотрудничество. Кроме того, мы выражаем благодарность X. Бёттгеру, В. Е. Фортову, Б. Янковичи, Г. Калману, Г. Келбгу, Ю. Л. Климонтовичу, К・ Сухи, И. Т. Якубову 修 Д. Н. Зубареву за обсуждения и за предоставленные нам материалы.

X. Штольц и X. Бёттгер прочитали рукопись полностью а сделали много полезных замечаний и предложений. Мы также благодарны Линдсею Манну из Эдинбурга за проверку английского текста рукописи. Мы благодарим X. Бало, К. Берндт, Р. Нарейку, Д. Розенгатен и Е. Вендт за техническую помощь при подготовке рукописи. Наконец, мы выражаем искреннюю благодарность Ренате Траутман из издательства «Академ» Ферлаг» за прекрасную редакторскую работу.

Глава 1

ВВЕДЕНИЕ

Вещество состоит из заряженных частиц ——отрицательно заряженных электронов и положительно заряженных ядер. Это фундаментальное открытие, сделанное Резерфордом, является одним из краеугольных камней истории физики. Знаменитый доклад Резерфорда «Рассеяние а- и р-частиц и строение атомов» был представлен 7 апреля 1911 г. в Философском обществе в Манчестере.

Используя простую картину вещества, состоящего из нерелятивистских точечных зарядов, основатели квантовой механики и квантовой статистики развивали мысль о том, что с помощью квантовой теории можно рассчитать «из первых принципов» большую часть свойств систем многих частиц. Имея в виду свойства атомов и молекул, Дирак писал в 1929 г.: «Таким образом, основные физические законы, необходимые для построения математической теории большей части физики и всей химии, полностью известны, и трудность состоит лишь в том, что применение этих законов приводит к уравнениям, которые слишком сложны, чтобы их можно было решить». Оптимистическую программу пионеров квантовой физики нелегко было претворить в жизнь, поскольку нужно было преодолеть огромные математические трудности. В результате больших усилий исследователей мы располагаем сейчас высокоразвитой квантовой химией, позволяющей рассчитывать свойства даже очень сложных молекул; хотя здесь, разумеется, еще много нерешенных проблем [463, 522]. Далее, в настоящее время по меньшей мере заложены основы квантовой статистики макроскопических систем, состоящих из большого числа ядер и электронов.

В данной книге мы будем интересоваться только последним вопросом, а именно теорией макроскопических систем заряженных частиц. Конечно, теория таких систем, целиком основанная на «первых принципах», играет фундаментальную роль в понимании свойств вещества. Чтобы подчеркнуть важность изучения квантовой статистики кулоновских систем, приведем слова Ле- бовица [437]: «В некотором смысле вся статистическая механика, представляющая собой микроскопическую теорию макро-

скопических свойств вещества, имеет дело с кулоновскими системами. Свойства тел, которые мы видим и осязаем, почти полностью определяются природой кулоновского взаимодействия, проявляющейся в коллективном поведении взаимодействующих электронов и ядер. Однако в большинстве приложений статистической механики это обстоятельство вовсе неочевидно. Обычно исходят из эффективного гамильтониана с короткодействующими силами, соответствующего рассматриваемой задаче». Например, при обсуждении свойств реальных газов система рассматривается как совокупность нейтральных молекул, взаимодействие между которыми описывается потенциалом Ленарда-Джонса.

Отметим два довода в пользу рассмотрения систем на основе исходного гамильтониана с кулоновскими взаимодействиями. Первый — чисто теоретический: мы хотим понять, каким образом кулоновские силы приводят к эффективным взаимодействиям, которые возникают в обычной статистической механике,, и мы хотели бы построить теорию, основанную лишь на «первых принципах». Второй довод носит более практический характер. Существует много систем, например плазма, металлы,, полупроводники, электролиты, расплавы солей, ионные кристаллы и т. д., в которых неэкранироваяные кулоновские взаимодействия играют очень важную роль. Квантовая статистика кулоновских систем может предсказывать термодинамические^, оптические и кинетические свойства этих очень важных в практическом отношении систем, в частности систем в конденсированном состоянии с очень высокой плотностью энергии. Это очень важно для многих современных технических устройств,, таких, как термоядерные установки, газовые реакторы деления, плазмохимические установки и т. д.

Таким образом, очевидно, что развитие последовательной статистической механики систем точечных зарядов представляет как принципиальный, так и практический интерес. При этом особенно важно преодолеть специфические трудности теорив кулоновских систем, такие, как неустойчивость классической системы точечных зарядов (расходимость энергии), дальнодей- ствующий характер кулоновских сил и расходимость атомной функции распределения.

Метод квантовостатистических термодинамических функций Грина представляет собой один из наиболее изящных и мощных подходов, позволяющий преодолеть указанные выше трудности ![4, 76, 207, 351, 468]. Основная часть данной книги опирается на этот метод. Большое преимущество этого подхода состоит в том, что он——по крайней мере в принципе ——позволяет рассматривать любые значения плотности и температуры.

Другие методы, как правило, описывают лишь те или иные ограниченные области на плоскости плотность — температура. С одной стороны, существует хорошо разработанная теория вырожденной электронной жидкости (см., например, [3, 4, 245, 257, 351, 458, 497, 516, 531, 606, 703]). С другой стороны, имеются теории невырожденной плазмы [62, 191, 193, 271, 276, 353, 366, 375, 376, 591, 701, 718, 723].

Метод функции Грина, как уже отмечалось, охватывает всю плоскость плотность—температура; при этом, разумеется, при конкретных расчетах в различных ее областях нужно использовать разные приближенные схемы.

Программу построения теории можно сформулировать следующим образом: исходя из элементарных объектов (электронов и ядер) и используя уравнения их движения (в рамках квантовой механики с учетом кулоновского взаимодействия), нужно найти свойства системы при различных внешних условиях (температуре и давлении). Эта задача включает в себя вывод условий существования плазмы, газообразного, жидкого или твердого состояний вещества, а также рассмотрение переходов между этими состояниями.

На современном этапе развития теории полная реализация сформулированной выше программы, разумеется, представляется нереалистичной； поэтому мы вынуждены ограничиться здесь лишь некоторыми ее аспектами.

Часть книги посвящена изложениию новых результатов, представляющих теоретический и практический интерес. Среди этих результатов отметим следующие:

квантовостатистическое рассмотрение двухчастичных свойств, таких, как, например, зависимость энергетических уровней и времени жизни двухчастичных состояний от плотности и от температуры；

обоснование картины химической связи, в которой связанные состояния рассматриваются как частицы нового сорта, и применение этой картины к термодинамике и явлениям переноса;

формулы и результаты численных расчетов для термодинамических характеристик в широкой области значений плотности и температуры;

формулы и результаты численных расчетов для электрических и термоэлектрических характеристик, охватывающие случаи вырожденной и невырожденной плазмы;

формулы и результаты численных расчетов для оптических характеристик, в частности для сдвига линий и их формы.

В гл. 6—8 даны некоторые приложения общих методов квантовой статистики. Приведенный в этих главах материал может быть положен в основу дальнейшего развития теории.

Глава 2ФИЗИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯИ ТОЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные представлениядля кулоновских систем

Одна из простейших кулоновских систем, в которой уже обнаруживаются все интересные качественные эффекты, — это двухкомпонентная зарядово-симметричная система, состоящая из Ne электронов с зарядом —е и ^z■ положительных ионов с зарядом +е; массы частиц равны соответственно те и g. Отметим, что несимметричная псевдооднокомпонентная плазма, в которой компенсирующий заряд равномерно распределен в пространстве, в некоторых отношениях еще проще и представляет собой очень полезную модельную систему [56, 319]. Однако, поскольку в дальнейшем мы будем интересоваться и связанными состояниями, не существующими в однокомпонентной плазме, предпочтительнее исходить из зарядово-симметричной системы, частицы которой подчиняются статистике Ферми. Простейшие примеры систем этого типа — электронно-позитронная плазма или электронно-дырочная плазма. В этих системах массы электронов и ионов равны, т. е. пц = те. Разумеется, более важны системы с заметной асимметрией масс, mt》те. Особый интерес имеет водородная плазма (Н-плазма), для которой mt = 1836,Зли®. Нам известно, что большая часть нашей метагалактики представляет собой водородную плазму. Далее, можно представить себе зарядово-симметричную плазму щелочных металлов или инертных газов. Но в этом случае кулоновский потенциал необходимо видоизменить (заменить псевдопотенциалом). В дальнейшем заряженные частицы рассматриваются как нерелятивистские точечные частицы, движение которых подчиняется законам квантовой механики. Эффекты, связанные со взаимодействием на малых расстояниях, равно как и радиационные эффекты, рассматриваться не будут. Пусть плазма полностью ионизована, заключена в объем V и находится в термодинамическом равновесии с тепловым резервуаром при температуре Т. Если задана свободная

энергия

Г (Г, И, М, М),

для внутренней энергии U, давления р и химических потенциалов 卩比(左 = е, i) получаем выражения

dF \必一k dNi丿T,匕N?dF \必一k dNi丿T,匕N?(2.1)(2.1)"е - ( dNe )т,匕“"е - ( dNe )т,匕“

dF \

必一k dNi丿T,匕N?

dF \

必一k dNi丿T,匕N?

(2.1)

(2.1)

"е - ( dNe )т,匕“

"е - ( dNe )т,匕“

Разделим свободную энергию на часть, описывающую идеальный газ, и часть, связанную со взаимодействием:

尸_尸hД +尸b3

(2.2)(2.2)В невырожденном случае, когда

(2.2)

(2.2)

丝А^《1, п闽《1,

где А& =/1(2ши床вТ) j/2, свободная энергия невзаимодействующих частиц приближенно дается выражением

FM = NekBT\\n{ne^)- l] + ^ifeв7'[ln(n^Л?)- 1].(2.3)

Заметим, что отсутствие вырождения для частиц сорта k означает, что средняя кинетическая энергия намного превосходит соответствующую энергию Ферми:

*户読3.*户読3.

*户読3.

*户読3.

Вклад 尸вз СВязан с потенциалами парного взаимодействия

3% =备瞋蟲 (2.4)

где е = ЕоЕг. Отметим, что радиус действия кулоновского потенциала бесконечен. Но можно определить длину

/ = e2/4mkBTt(2.5)

характеризующую расстояние, на котором кулоновский потенциал становится меньше тепловой энергии

Wab(l)\ = kBT.

Другая характерная длина — среднее расстояние между двумя электронами или между двумя ионами (протонами) соответственно:

必，儿=(畫),rf/ =(4-J/3-(2.6)

Эту длину обычно называют радиусом Вигнера — Зейтца. Далее введем тепловые длины волн де Бройля для относительного

движения

Используя эти длины, мы можем определить параметры взаимодействия 自论 для электронов и ионов и параметр неидеально- стн Г:

泰=亡'扇=亡'r=a&晶■d •(2•7)

Заметим, что Г — чисто классический параметр, а & и & — квантовые параметры, связанные с энергией ионизации

/(4ле)2 2Л2

(mei = memi/(me + /nJ) соотношениями

/ =；金？(『+ 自丁)一二；金瓚，自尸2(〃施7产.(2.8)

Соотношения (2.5) — (2.8) легко обобщить на вырожденный случай, если везде множитель квТ заменить на 0* = рид/^й, где давление Рид берется из теории идеального ферми-газа:

kBT -*0* =kBT -*0* =2纽 лйЛй2纽 лйЛйА/2 (%)•А/2 (%)•(2.9)(2.9)

kBT -*0* =

kBT -*0* =

2纽 лйЛй

2纽 лйЛй

А/2 (%)•

А/2 (%)•

(2.9)

(2.9)

ности:ности:Здесь величины а* выражаются через химические потенциалы электронов и ионов при рассматриваемых температуре и плот

ности:

ности:

(2.10)(2.10)Мй = 2/1/2(ай)>

(2.10)

(2.10)

%=0喈=/前(扌％A:),

а /п(х) — функции Ферми, определяемые выражениями

^^=та(^Т = Ь-1)г+，-^' СТЗ)

Проводя указанное выше обобщение, получаем, например,

& 4леЛ 〃乃，/4пе九 «巧，(2 12)

几=4g de j，匸=4ле d0z •

На рис. 2.1 и 2.2 показаны области на плоскости плотность — температура, в которых параметры &, Г₽ и「口 превышают еди-

Рис. 2.1. Область неидеальности на плоскости плотность — температура для симметричной (электронно-позитронной) плазмы. Релятивистские эффекты существенны при л ^ 1030 см-3 и при Г ^ 1010 К. Заштрихованную область иногда называют областью корреляции.

Рис. 2.2. ОбластА неидеальности на плоскости плотность — температура для водородной плазмы.

ницу. Неравенство Г* ^ 1 физически означает, что средняя потенциальная энергия превышает среднюю кинетическую энергию, а неравенство 版 * 1 означает, что в микроскопических процессах рассеяния существенную роль играют взаимодействия, т. е. что теория возмущений (ряд Борна) неприменима. Интересно отметить, что как область сильных взаимодействий, так и область неидеальности расположены в левом нижнем углу на плоскости п — Т. Соответственно повышение плотности и повышение температуры качественно приводят к сходным последствиям: роль взаимодействий и неидеальности уменьшается, и поведение плазмы определяется лишь кинетической энергией. Причина этого несколько удивительного эффекта связана с резким возрастанием кинетической энергии ферми- газа при высоких температурах и(или) при высоких плотностях; мы вернемся к обсуждению этого важного вопроса в разд. 2.3, 6.1——6.4. Здесь мы заметим еще, что верхняя граница области неидеальности приближенно определяется так называемым параметром Бракнера

% « o,9ge « 0,7Ге

(ав——боровский радиус). При очень высоких плотностях, когда среднее расстояние между электронами становится меньше боровского радиуса, взаимодействия перестают играть определяющую роль, и ими можно пренебречь. Таким образом, область взаимодействий представляет собой лишь малый островок в нашем мире, но именно этот островок чрезвычайно важен, поскольку взаимодействия приводят к коллективному поведению, которое ответственно за всю структуру и организацию вселенной [170, 278, 492, 666, 696].

Роль квантовых эффектов существенно зависит от масс частиц. Поэтому структура плоскости п—Т для плазмы частиц с одинаковыми массами (рис. 2.1) гораздо проще, чем для водородной плазмы (рис. 2.2). Как видно на рис. 2.2, поведение электронов и ионов в области высоких плотностей совершенно различно; это связано с различием их масс: тр = 1836,Злие. Газ более легких электронов становится вырожденным при значении плотности, которое в (тр/пге)3^ = 0,79* 105 раз меньше плотности, при которой наступает вырождение протонного газа. Следовательно, существует промежуточная область значений плотности

АГ3 < м < А；3,

в которой протоны ведут себя классически, в то время как электроны образуют вырожденный квантовый газ. В этой области можно ожидать образования ионной или, возможно, мо-

лекулярной решетки [636]. Какой тип решетки фактически реализуется, зависит от соотношения энергий связи атомов и молекул. При более низких плотностях связь может быть сильнее эффектов, связанных с вырождением, т. е. электроны связаны с протонами. При больших значениях плотности влияние вырождения будет столь сильным, что происходит коллективизация электронов. Иначе говоря, в этом случае можно ожидать образования металлического водорода, состоящего из решетки протонов, погруженной в однородное электронное《море» [469].

Кристаллизация однокомпонентной системы заряженных частиц, погруженных в однородный фон компенсирующего заряда, называется вигнеровской кристаллизацией. Протоны образуют объемноцентрированную кубическую (о. ц. к.) решетку. Поллок и Хансен [519] провели многочисленные расчеты для о. ц. к. решеток методом Монте-Карло и получили, что вигне- ровская кристаллизация происходит при Гт = 155 士 10. Последующие улучшенные расчеты тем же методом [598] дали несколько большее значение точки перехода, близкое к 170. Для оценки мы использовали значение Поллака — Хансена, которое определяет границу области кристаллизации, показанную на рис. 2.2. Напомним, что потенциальная энергия о. ц. к. решетки равна

и"°ТМам 备 ⑵ 13)

где ам — постоянная Маделунга, которая для о. ц. к. решетки равна 1,79185. Поэтому потенциальную энергию можно записать также в виде

t/n0T = — (М • kBT) • 0,895925Г.

Вигнеровская кристаллизация в двумерной плазме исследовалась экспериментально [264] и теоретически [300, 356]. Существование электронного кристалла экспериментально наблюдалось на поверхности жидкого гелия. Фишер и др. [212] проанализировали экспериментальные данные и пришли к выводу, что результаты можно объяснить, принимая, что вигнеровский кристалл образуется при значениях Г, меньших, чем Гт = = 137 土 15; это хорошо согласуется с расчетами методом Монте-Карло, дающими значение Fm = 125 土 15 [233].

Теперь скажем несколько слов об эффектах экранирования. Рассматривая невырожденный электронный газ в окрестности фиксированного иона, можно принять, что средняя плотность электронов на расстоянии г от иона дается распределением Больцмана

Пе{ (г) = пй ехр [+ еф (r)/kBT]. (2.14)

Здесь гр (г)—средний потенциал на расстоянии г от иона, определяемый из уравнения Пуассона

△2 (г) = — y (ем〃 (г) — епе1 (г)),(2.15>

где

М" (г) = пг ехр (— eip (г)优в?)

есть средняя плотность ионов, окружающих выделенный центральный ион. Линеаризуя по e^/kBTt находим

Д^ = + 4【&е (1 + 叫优в?) — п；е(1 — еШвЛ] = %绅，

х2 =嬴%- (&e2 + 九岩).

Решение этого уравнения с соответствующими граничными условиями имеет вид

Ф (г) = 1^7 ехр (— хг).(2.16)

Таким способом для средней электронной плотности получаем

пе1(г) = пеехр^1^-Г7пе1(г) = пеехр^1^-Г7⑵⑺⑵⑺

пе1(г) = пеехр^1^-Г7

пе1(г) = пеехр^1^-Г7

⑵⑺

⑵⑺

Разумеется, на малых расстояниях этот простой классический расчет неприменим. Но он правильно качественно описывает эффект экранирования для невырожденной плазмы. Влияние других зарядов приводит К тому, что область взаимодействия ограничена расстояниями, меньшими длины Дебая

гD=Y ]=工гD=Y ]=工2%2%

гD=Y ]=工

гD=Y ]=工

2%

2%

Следующий эффект, который мы кратко обсудим, — образование связанных состояний. Притяжение между электронами и ионами

У" (г) = —1^7

приводит к появлению дискретного спектра энергий (рис. 2.3)

Е" = - (4jre)2 2力2戍'⑵ 18)

mei = memt/(me + mJ, n = 1, 2, 3,....

Соответствующие волновые функции имеют вид

^Imn (г, е，Ф)= Rnl (р) Yim (е,哂，

R“i (Р)匸 &iP‘ ехр (- р/叫吊(/ + 1 —九；2/ + 2; 2p/〃)，伍

Рис. 2.3. Дискретный спектр энергий относительного движения пары электрон —ион.Рис. 2.3. Дискретный спектр энергий относительного движения пары электрон —ион.где p = г/ав, a8=(4П£ 方 2)/ /mete, 1 尸1 — вырожденные гипергеометрические функции, а Yim — сферические функции. Для основного состояния имеем

Рис. 2.3. Дискретный спектр энергий относительного движения пары электрон —ион.

Рис. 2.3. Дискретный спектр энергий относительного движения пары электрон —ион.

10 —(4л8)2aB，

/?Ю (р) = с1оехр(-р). Численное значение энергии основного состояния водорода равно 13,6 эВ. Связывание двух атомов в молекулу водорода может дать дополнитель-

ный вклад в энергию связи, равный примерно 4,5 эВ.

Отметим, что существуют другие связанные состояния, соответствующие заряженным комплексам, например Н~ (энергия связи 0,92 эВ) и Н^ (энергия связи 2,7 эВ).

До сих пор мы рассматривали связанные состояния пар» троек, четверок заряженных частиц, находящихся в вакууме. В реальной плазме у любого связанного комплекса есть соседи, взаимодействие с которыми играет роль возмущения. Этот эффект подробно рассматривается в гл. 4—7. Здесь мы ограничимся лишь некоторыми качественными соображениями. Чтобы исследовать влияние экранирования на основное состояние атома водорода, нужно решить задачу на собственные значения в приближении статического экранированного потенциала (динамическое экранирование рассмотрено в разд. 4.4):

(喝。)+ [瓦。(9 + 為 exp (-彳)](rR向=0. (2.20>

Результат численных расчетов [61, 91, 259—261, 432, 542] приведен на рис. 2.41). Видно, что величина ^ю(гл) стремится к нулю при возрастании плотности (эффект Мотта).

При значениях плотности, когда ' ^&0,84ав, (2.21>

основное состояние переходит в непрерывный спектр. Таким образом, атомные связанные состояния могут существовать только при малых и умеренных платностях. Граница области существования атомных связанных состояний определяется соотношением (2.21), отвечающим эффекту Мотта. Граница

Рис. 2.4. Зависимость энергий основного состояния от обратной дебаевской длины.Рис. 2.4. Зависимость энергий основного состояния от обратной дебаевской длины.области существования молекулярных связанных состояний определяется величиной атомного рассеяния. Если длину рассеяния, характеризующую размеры области отталкивающего взаимодействия Н—Н, обозначить через as, то

Рис. 2.4. Зависимость энергий основного состояния от обратной дебаевской длины.

Рис. 2.4. Зависимость энергий основного состояния от обратной дебаевской длины.

рода равной as Q “в； чениярода равной as Q “в； ченияможно ожидать, что молекулы Н2 распадаются при средних расстояниях d^ as. Для оценки можно принять длину рассеяния для атомов водо- при этом мы получаем граничные зна-

рода равной as Q “в； чения

рода равной as Q “в； чения

d =聞，г § = L

Для грубой оценки верхнюю границу области образования молекул можно считать совпадающей с границей области не- идеальности. Уже Вигнер и Хантингтон [673] показали, что при высокой плотности молекулярный кристалл водорода становится неустойчивым при значениях %, превышающих rs a 1, и переходит в металлическую фазу [34, 35, 239, 240, 4 69, 580].

Иная картина перехода водорода из диэлектрической фазы в металлическую, не связанная с эффектами экранирования свободными частицами (см. (2.21)), была предложена Хаббардом [739]. В этой картине блуждание электрона по системе определяется матричными элементами перескоков между связанными состояниями.

Последний из эффектов, который мы сейчас кратко рассмотрим,—это эффект Андерсона, или делокализация, обусловленная дальним порядком. Как хорошо известно, электроны в совершенном кристалле коллективизированы (см., например, [3, 488, 703, 704]). Образуются энергетические зоны, которые соответствуют делокализованным состояниям электронов. При возрастании беспорядка наблюдается появление хвостов зон, отвечающих локализованным электронным состояниям (рис. 2.5). Одночастичная энергия, соответствующая переходу между локализованными и делокализованными состояниями, называется порогом подвижности. Переход металл — изолятор, который наблюдается, если уровень Ферми проходит через порог подвижности, называется переходом Андерсона [2, 26, 77, 78, 196, 459, 572, 623, 704, 719]. В настоящее время развивается интересная область исследований, посвященных установлению связи между андерсоновской локализацией и эффектами корреляции (см., например, [740]).

Рис. 2,5. Энергетическая зона делокализованных состояний и хвосты зоны, отвечающие локализованным СОСТОЯНИЯМ (Ес, Е,— пороги подвижности).Рис. 2,5. Энергетическая зона делокализованных состояний и хвосты зоны, отвечающие локализованным СОСТОЯНИЯМ (Ес, Е,— пороги подвижности).Подытоживая сказанное выше, мы можем утверждать, что электроны могут захватываться в локализованные состояния лишь в области взаимодействия Е ± L Но есть и дополнительные ограничения, связанные с эффектом Мотта (делокализацией, обусловленной экранированием) и эффектом Андерсона (делокализацией, обусловленной дальним порядком). Из-за этих эффектов область существования связанных состояний может быть намного меньше чем область взаимодействия.

Рис. 2,5. Энергетическая зона делокализованных состояний и хвосты зоны, отвечающие локализованным СОСТОЯНИЯМ (Ес, Е,— пороги подвижности).

Рис. 2,5. Энергетическая зона делокализованных состояний и хвосты зоны, отвечающие локализованным СОСТОЯНИЯМ (Ес, Е,— пороги подвижности).

До сих пор мы считали, что заряды распределены в трехмерном пространстве. Однако заряды могут

оказаться связанными вблизи какой-либо плоскости или линии. Двумерные системы частиц, взаимодействующих друг с другом по закону Кулона (потенциал ^/^ег), реализуются в лабораторных условиях, например при захвате электронов на поверхности жидкого гелия [232, 264, 632, 674]. Эти электронные слои на поверхности жидкого гелия можно описывать в рамках классической статистической механики. Двумерные квантовомеханические системы образуются в твердом теле электронами, движение которых в направлении оси z ограничено узкой потенциальной ямой, а вдоль плоскости х——yt перпендикулярной к этой оси, движение является свободным. Потенциальная яма должна быть настолько узкой, что возникающие в ней уровни энергии для движения в г-направлении отстоят друг от друга достаточно далеко, так что кинетическая энергия меньше расстояния между размерными подзонами. Подобная электронная система может образовываться на границе раздела между двумя полупроводниками [720, 721] или на границе раздела между изолятором и полупроводником в структуре металл ——окисел — полупроводник (МОП-структура) [722]. Вообще говоря, такие квазидвумерные системы являются существенно квантовыми [229, 632, 676]1). Как отмечалось выше, в классической системе существует фазовый переход первого рода твердое тело — жидкость при Г а 125 [212, 233]. Для жидкой фазы были проведены многочисленные аналитические расчеты [13—15, 108, 596] и проведено численное моделирование [233, 284, 356]. В этих работах 'изучались термодинамические функции, парные корреляционные функции, динамический структурный фактор, корреляционные функции токов, автокорреляционная функция скоростей, коэффициент диффузии и многие другие характеристики системы. Принимая во внимание квантовые эффекты, можно исследовать фазовую диаграмму на всей плоскости плотность — температура [10, 11, 103, 472, 615, 616]. Кроме того, были изучены эффекты, обусловленные магнитным полем; замечательный квантовый эффект Холла дает новый метод очень точного определения постоянной тонкой структуры [734—738].

'】)См. также подробный обзор [787*]. — Прим, перев.

Широко исследовался и случай систем со взаимодействием типа In г, соответствующий силам, действующим между заряженными нитями. Были получены многочисленные результаты для однокомпонентной плазмы [40, 41, 128, 131, 346, 348, 599] и для двухкомпонентной плазмы [227, 390, 391, 648]. В одномерном случае также представляют интерес потенциалы взаимодействия двух типов: истинный кулоновский потенциал, описывающий взаимодействие зарядов в полимерах и т. д., и r-потенциал, соответствующий взаимодействию параллельных пластин [8, 60, 198, 211, 453]. Численные эксперименты описаны в работе [203].

Хотелось бы заметить, что более общее рассмотрение систем заряжен- -ных частиц должно быть основано на квантовоэлектродинамическом подходе. Радиационные процессы правильно описываются только в рамках такой теории. Квантовоэлектродинамический подход обычно используется только в частном случае Г = 0 (см., например, [9]). Во многих случаях при рассмотрении систем многих частиц поле излучения описывается полуклассическим (см., например, [377, 378]), В настоящей книге взаимодействие между заря- .женными частицами считается нерелятивистским (мгновенным); лишь в гл. 8 мы приближенно учитываем взаимодействие через поле излучения.

2.2. Обзор точных для2.2. Обзор точных дляквантовомеханических результатов кулоновских систем

2.2. Обзор точных для

2.2. Обзор точных для

Рассмотрим систему, состоящую из Ne электронов с зарядом ©е = —е (е — заряд протона) и М ядер с зарядами е* = +z*e и описываемую гамильтонианом

гдегдеН = Т + и,

где

где

久 2 м 2

Z=i eR

9k ―― Va, Р/ = —V/, a U — потенциальная энергия взаимодействия зарядов. В двух предельных случаях квантовомеханическая задача решается точно. Первый случай одноэлектронного атома Ne= 1, Af= 1. В этом случае для энергий основного и возбужденных состояний находим

(2.22)(2.22)忆后/成产一 忆卢软

(2.22)

(2.22)

2自2 （4冗现）2 ,仁娥一— 疥九2 （4冗现）2，

где rriek = гпегп^/(гпе + mk), Кроме того, получено много точных результатов для рассеяния, относящихся к фазовым сдвигам, функциям Иоста и т. д. [185, 436].

Второй случай, для которого можно получить точные результаты,—предел «больших атомов》，т. е. М = 1, М->8. В этом случае гамильтониан приводится к виду

4叫r, I丿4叫r, I丿i-ii-i4吗 I J-г, I •4吗 I J-г, I •

4叫r, I丿

4叫r, I丿

i-i

i-i

4吗 I J-г, I •

4吗 I J-г, I •

Было доказано, что теория Томаса — Ферми дает точные результаты в пределе Ne -> оо. Для того чтобы описать эти результаты, введем плотность в фазовом пространстве электронов р(г, р)=

={eхр }(聂一费:г「+，*二:二)r1i)] + 1 }，

(2.24)

где р = I/^b?, n(r)= ^ p(r, р) dp/(2n力)з. Отметим, что p(r, р) — квазиклассическая характеристика, формально возникающая при подстановке в распределение Ферми химического потенциала, зависящего от координат и включающего локальную энергию электрического поля, действующего на электроны. Интеграл по импульсам п(г) соответствует локальной плотности электронов в координатном пространстве. В пределе при Тт 0 получаем

п(г) = ^-|Ф(г) + ц|Т- 1Л+ = 1Л9(П.z£上 с , , а(г')4ле0 I г I 4лёо J а 丨 г — 7 |

Подействовав на последнюю функцию оператором Лапласа, находим

АФ (г) = - -^-2^6 (г) + ^1 ф (Г) + ц |^2.(2.26)

Таким путем мы получили замкнутое уравнение для потенциала, называемое уравнением Томаса ——Ферми. Энергия представляет собой функционал плотности (функционал Томаса — Ферми):

Е {п (г)} = К (切一力⑺ + R (n),(2.27)

где

к (п) = (3/5) (2л2)2/3，dr*戶(г),

Л(п) = 2左(用4叫)，dm (r)/|r |,

R (n) = (1/2) (e2/4ne0)，dr dr'〃 (r) n (r')/| r — r' |.

Было доказано, что энергия Томаса — Ферми ограничивает снизу точные значения энергии:

Етф《£(2.28)

Равенство соответствует пределу М-> 8, т. е. в этом пределе теория Томаса — Ферми становится точной [621]. Отметим, что

теория Томаса — Ферми дает не только правильные предельные значения; из нее получаются также очень важные практические результаты в задаче о поведении вещества при высоких температурах и плотностях [372].

Рассмотрим теперь реальный случай, когда М》1, Ne》1. Из-за большой асимметрии масс mk》me можно воспользоваться адиабатическим приближением (приближением Борна — Оппенгеймера), т. е. разделить гамильтониан на две части:

М 2

⑵29)

Адиабатическое приближение сводится к следующей процедуре: сначала решается квантовомеханическая задача для ядер с бесконечными массами, расположенных в точках Ri,…，Rm：

"□о* = E(Ri, • • Rm)W・ (2.30) В силу предположения mk/me^ оо волновая функция гр факторизуется, и мы получаем электронные энергетические уровни, параметрически зависящие от координат ядер. На следующем этапе электронные энергии используются в качестве потенциалов в уравнении движения самих ядер. Энергия основного состояния £(頁1, ..., Rm) уменьшается при возрастании расстояний между ядрами I R* — Ri I, т. е. в основном состоянии электроны способствуют сближению ядер [621]. Однако коллапса ядер не происходит из-за кулоновского отталкивания между ними. Таким образом, образуется устойчивая конфигурация системы. Мы увидим, что для предотвращения коллапса совершенно необходим фермиевский характер статистики час тиц; это было впервые показано в фундаментальной работе Дайсона и Ленарда [ 153].

Рассмотрим теперь энергию основного состояния в адиабатическом приближении. Из соображений размерности можно ожидать, что

Eo(Ri, Rm) = ^0c(Ri,・• •，Rm)/力2, (2.31) где функция С не зависит от масс и зарядов. Дифференцируя выражение

皖(氏，RM) = (Фо I ^оо IФо) = /иее4С/Й2 по е2, находим

。号 4 4吗 I r,一г/I - E 4吗旧—R*| 1 我)=

= (0 = 2тве4С/Й2 = 2£о. (2.32)

Иначе говоря, вместо более общей теоремы вириала〈U〉= —〈口?〉 для кулоновских систем имеем

E° =〈T〉+〈U〉= J〈U〉，

.(2.33)

〈т〉=-春〈и〉，稣= -〈”

Это известная теорема вириала для кулоновских систем. Поскольку 〈Т〉>0, энергия основного состояния таких систем всегда отрицательна, также как и все другие собственные значения [621].

Перейдем теперь к важному вопросу о том, существует ли для энергии основного состояния нижняя граница, пропорциональная Nei т. е.

EA — CNe, 0<С< оо.(2.34)

Существование такой нижней границы называют //-устойчивостью； //-устойчивость, т. е. экстенсивность энергии основного состояния, была доказана Дайсоном и Ленардом [153] в предположении, что по крайней мере один тип зарядов подчиняется статистике Ферми, как, например, имеет место для электронов. Доказательство, данное в работе [ 153], представляет собой математический фокус; авторы получили значение С 〜1014Ry. Впоследствии простой изящный вывод соотношения (2.34) с гораздо лучшей оценкой постоянной С (С a 23Ry) был дан Ли- бом и Тиррингом [457]. Этот вывод основан на том, что в адиабатическом приближении энергия может быть представлена в виде функционала электронной плотности:

Е = Е{п(г)},

n(r) = Ne^ J dr2 ...心汽/2(如，r^, ab ・・・，GaJ『,(2-35)

где 2(「i, ・•・, —；' аь ・••, gQ — электронная волновая функция. Существует теорема, доказанная Коном, Шэмом и Хоэн- бергом [43, 110, 148, 305, 387, 581, 593], которая утверждает, что функционал Е = Е{п(г)} единствен, если рассматривать точную энергию.

Теория Хоэнберга, Кона и Шэма уточняет теорию Томаса ― Ферми. Конечно, сам точный функционал неизвестен. Однако нас интересует сейчас только нижняя граница, и для нас достаточно построить приближенный функционал. Сначала рассмотрим кинетическую энергию

T^^N^^dr, ... dr^l V212.'(2.36)

Теорема Либа — Тирринга дает нижнюю границу для Т:

Т^к\(1т 歩/з (г),(2.37)

где К = (3/5) (2л2)2/3 ^ 4,382. Это по существу оценка по методу Томаса — Ферми. Используя далее неравенство Гельдера, находим

,dr 产(r)>(Jdm (г))5/3 -(J drl)~2/3 =般/з 厂 2/3, т. е.

Т^Т^(2.38)

где Тнд — кинетическая энергия идеального однородного ферми- газа. Возрастание кинетической энергии, пропорциональной 2V，3, существенно для обеспечения устойчивости вещества. Запишем теперь так называемый функционал Томаса — Ферми — Ленца

硏力{м (г)} = К \ dr 伊3 (г) _ £ 栽，dr+

+ 謚 J 厶 dr'节空? + U (R，…，Rm).(2.39)

Последние три слагаемых в правой части выражения (2.39) представляют собой энергии взаимодействия электронов с ядрами, электронов между собой и ядер между собой соответственно. Второе и четвертое слагаемые — точные, а первое и третье записаны приближенно. Теорема Тирринга — Либа — Симона утверждает [450, 455, 456]:

Етф {м (г)} = inf { Е {п (г)}; , n (г) dr =熊}・(2.40)

Теперь понятно, что теория Томаса — Ферми фактически применима при больших Z; строго говоря, эта теория точна в пределе Z-> оо. Важно отметить, что все величины в теории Томаса —Ферми хорошо определены; в частности, плотность Лтф (г) определяется однозначно. Это резко отличает данную теорию от теории Хартри — Фока. Было бы излишним пытаться воспроизвести здесь детали доказательства //-устойчивости системы.Идея этого доказательства основана на теореме (2.40) и на //-устойчивости томас-фермиевских систем, которая следует из теоремы об отсутствии связанных состояний, доказанной Теллером [620]. Теория Томаса — Ферми недостаточно точна для описания связанных состояний. Либ [450] писал: «Атомная связь — это тонкий квантовый эффект. Тем не менее теория Томаса — Ферми заслуживает того, чтобы ее хорошо по-

нять, поскольку в пределе эта теория является точной. Для систем многих электронов теория Томаса — Ферми — это то же самое, что теория атома водорода для систем нескольких электронов».

Существование нижней границы, пропорциональной Ne, или //-устойчивость системы, играет фундаментальную роль. Было доказано, что фермиевский характер статистики электронов является необходимым и достаточным условием для //-устойчивости кулоновских систем. Для систем, состоящих из одних лишь заряженных бозонов, Дайсон и Ленард [153] доказали, что

—AN 讐 BNT， (2.41)

где 0 <； Л < оо, 0 <； В < оо. Таким образом, системы заряженных бозонов не удовлетворяют условию //-устойчивости. Для того чтобы продемонстрировать роль принципа Паули в обеспечении //-устойчивости, рассмотрим снова кинетическую энергию и давление для системы идеальных фермионов (со спином 1/2);

■ KVS РКЛ = ^^е^. (2.42)

Возрастание кинетической энергии, пропорциональной N乎,в существенной степени обеспечивает устойчивость вещества — возрастание давления предотвращает коллапс. Важность принципа Паули в обеспечении устойчивости вещества иллюстрирует следующее высказывание Дайсона [152]. Он писал, что в отсутствие принципа Паули «можно показать, что происходил бы коллапс не только отдельных атомов, но и вещества в объеме с образованием конденсированной фазы высокой плотности. Соединение любых двух макроскопических объектов высвобождало бы энергию, сравнимую с энергией атомной бомбы».

Обзор точных результатов квантовой статистики макроскопических кулоновских систем

Существования нижней границы для энергии, т. е. //-устойчивости, еще недостаточно для выполнения основных термодинамических условий, а именно экстенсивного характера и устойчивости термодинамических потенциалов. Иными словами, нужно, чтобы существовала плотность термодинамического потенциала

f = -T\nZ(N, Vt Т)/匕 Z = Trexp(-"汽羯T) (2.43) в пределе

Nf оо, I/f 8, p = N/IZ = Z na = const. (2.44)

Далее, для того чтобы обеспечить положительность сжимаемости и теплоемкости, нужно, чтобы вторая производная функции f(p, Т) по р была положительна, а ее вторая производная по Т — отрицательна:

击= * = Р 詣〃Р, Т)》о, % = — Т 济f(p, Т)》о. (2.45}

Таким образом, проблема состоит в следующем; существует ли термодинамический предел и возможно ли термодин а мическое описание системы точечных зарядов? Для пояснения специфики задачи приведем высказывание Либа [450]: «Основная проблема связана с дальнодействующей природой кулоновского потенциала 〜а не с сингулярностью на малых расстояниях. Иначе говоря, вопрос заключается в том, что если известно, что вещество не коллапсирует, то откуда мы знаем, что оно не взорвется? Обычно нельзя ожидать, что для систем с потенциалами, спадающими медленнее, чем 〜产一®, Где е — некоторое положительное число, существует термодинамический предел. Решающую роль играет факт, обнаруженный Ньютоном в 1687 г.: за пределами изотропного распределения заряда внешний заряд как бы концентр и руется в центре. Этот факт — основа для понимания экранирования». Экранирование возможно, поскольку заряды имеют разные знаки. Однако необходимо и дополнительное предположение относительно нейтральности вещества в целом. Для того чтобы обеспечить экстенсивный характер термодинамических потенциалов, нужно, чтобы достаточно удаленные друг от друга части системы были приближенно независимы. Физическая причина, по которой это становится возможным, несмотря на дальнодействующий характер кулоновских сил, состоит в экранировании. Другими словами, для распределения зарядов локальная нейтральность должна выполняться в достаточной степени, так чтобы электрический потенциал достаточно быстро обращался в нуль на больших расстояниях. В основе этого свойства лежит следующий важный результат из «Матемэтических начал» Ньютона. Пусть р(г)— интегрируемая плотность заряда в трехмерном пространстве, такая, что

р (г) = 0 при I г I > /?,

т. е. вне сферы радиуса R, окружающей область распределения заряда. Тогда теорема Ньютона утверждает, что потенциал, создаваемый распределением р(г) при |r|》R, имеет вид

①吁舟тК『)"(2.46)

Иными словами, потенциал в удаленной точке определяется только полным зарядом и не зависит от радиального распреде-

ления заряда. Потенциал вне области влияния нейтральных распределений заряда, для которых \p(r')dr' = 0, обращается в нуль. В этом и состоит физическая основа экранирования, которое является важнейшей особенностью кулоновских систем. Вследствие дальнодействующего характера кулоновских сил они очень сильны (интеграл от них расходится на бесконечности) и приводят к локальной нейтральности системы. Это сильно ослабляет эффективное взаимодействие между различными областями. Приведенные выше общие соображения были преобразованы в формальное доказательство экстенсивного характера и устойчивости термодинамических потенциалов для кулоновских систем в фундаментальных работах Лебовица и Либа [439] (см. также [437, 450—452, 627, 644].

Мы не будем здесь обсуждать детали доказательства, отметим только, что оно основано на неравенстве Боголюбова — Пайерлса

Tr exp (А + В) ^ Тг ехр (Л) exp ((B)),(2.47)

где

= Тг В ехр (Л)/Тг ехр (Л).

Обсудим теперь вид термодинамического потенциала для кулоновских систем малой плотности. Под малой плотностью мы понимаем здесь предел пеЛ^-> 0. Лебовиц и Пена [441] доказали теорему

К1Р& [計(~,…，色，В) — Z「aE(%A^)] &К2р, если р < р,

(2.48)

где р = (kBT)~~\ P = £：gi 終a, a Ki и — некоторые постоянные (K1VK2), не зависящие от плотности р. Следовательно, теперь строго доказано, что в пределе низкой плотности асимптотическое выражение для термодинамического потенциала системы, состоящей из электронов и ядер, взаимодействующих по закону Кулона, и удовлетворяющей условию полной ней' тральности, совпадает с термодинамическим потенциалом идеального больцмановского газа невзаимодействующих электронов и ядер

『(/,・・.，п” В) = рт £ па In па + const. (2.49) а=1

Выражение (2.49) можно рассматривать как первый член ряда, и поставить вопрос о том, какова математическая структура ряда. Существует теорема, доказанная Фридманом [223]；

независимо от того, является ли ее доказательство строгим или нет, мы считаем, что сама теорема точная. Теорема Фридмана утверждает, что

舒(々，…，&，P) = £j/n(小/(2Sa+ l))-4(P)p3/2-

-4 (P) p2 In p — 4 (P) P2 - 4 (P) p5/2 In p — 4 (p) p5/2 -

-Л5(р)Р31пр-Л6(р)Р3-(2.50)

где e 忆 2,71, a

Л0(Р) = «712лр^,

^1 (P) = T X ПаПь ^>еавъ1^^Т Р-2.(2.51)

ab

(х2 = § £а «авд/е — коэффициенты в классическом предельном законе Дебая — Хюккеля и в соответствующем его обобщении). Известны также некоторые из последующих коэффициентов, зависящих от квантовых эффектов. Вывод этих коэффициентов был проведен группой физиков, работавших в шестидесятые годы в университете г. Росток. В нее входили Келбг, Эбелинг, Крефт, Кремп, Хоффман, Шмитц и Червон (см. обзор этих работ [185, 363]). Эти результаты, которые мы считаем точными, несмотря на то что строгого доказательства все еще нет, кратко можно представить в виде

Л2 (р) р2 + 4(0) р5/2 1ПР + Л4 (р) р5& =

=2吃 папь {(1 + реаеьх/4ле)曝〔Q (镰)+ % Ц〔 Е (镰口 + ab

+ 春(Peae6/4ne)3 [In (x九。力円 + (Peoe6x/4ne) In («A,oi)J —

-у(реА/4лв)4х (1 - In (4/3))}-

—282al £ папьпск~1 (Р/4Л8)5 纤第碌 + abc

+ &2 папдгсп^Г3 (Р/4ле)6 (е^ьесе^.(2.62)

abed

Здесь коэффициенты % q 0,543 и а2 ^ 10,13 известны лишь приближенно. Заметим, что два последние слагаемые, содержащие ai и а?, обращаются в нуль в случае симметричной плазмы, в частности для водородной плазмы. Далее, квантовые ви-

риальные функции Q и £ даются сходящимися рядами

Q (自)=_^自一兀自2 — -§■ (у е + In 3 一 里 + 0О_

+ 2 暗先裁® 二(2.53)

“4

e(自) = 空+暮+名*2 +

+ W必与:曰尸У4■户⑵54)

зЗ

наконец, параметр взаимодействия 自 дается выражением

賜=-悬±，九研=m2%成bTL2(2.55)

При увеличении безразмерной плотности электронов 終§А^ из физических соображений можно ожидать, что в широкой области плотностей и температур система ведет себя как газ, состоящий из нейтральных атомов и молекул, между которыми действуют эффективные силы взаимодействия типа Ленарда- Джонса. Строгий вывод соответствующего эффективного гамильтониана представляет собой очень трудную задачу. Процитируем снова Лебовица [437]:《Я полагаю, что проблема вывода эффективных взаимодействий (например, Ленарда- Джонса) из кулоновского гамильтониана хотя и очень трудна, но, возможно, не совсем безнадежна. Мне кажется, что правильный до духу подход в проблеме содержится в работе Фрёлиха и Спенсера [227] по двумерному заряженному решеточному газу (несмотря на то, что это рассмотрение полностью классическое и относится к двумерным системам). Авторы точно показали, что в определенной области значений температуры и плотности гиббсовское распределение практически- полностью выделяет «нейтральные молекулы конечной протяженности». Нельзя ожидать, что то же будет происходить и для трехмерных систем, в которых кулоновское взаимодействие слабее, и всегда существует конечная плотность несвязанных зарядов (электронов и ионов), но можно ожидать, что они играют пренебрежимо малую роль при низких температурах и умеренных плотностях. При очень низких плотностях система всегда будет почти полностью ионизована». Вопрос о том, как ввести составные частицы в статистическую механику, в последнее время рассматривался во многих работах [ 116, 162, 185, 213, 214, 235, 649, 650, 726].

Еще сложнее обстоит дело в кинетической теории, где также был достигнут некоторый прогресс [376——378, 382, 388, 511, 640, 725]. Применение этих новых идей к кулоновским системам связано с особыми трудностями из-за дальнодействующего характера кулоновских сил. Здесь мы обсудим только одну идею; нам кажется, что она определяет фундаментальные требования, предъявляемые ко всем теориям составных частиц. Это требование согласованности любых двух описаний реального вещества в пределе малой плотности [159, 161, 179].

Поясним теперь это требование, приводящее к бесконечному ряду точных соотношений, для частного случая водородной плазмы. На уровне электронов и ядер система описывается рядом

pf (р, р) = 2р In р + А (р) р — 4。(р) р3/2-

一 4 (р) р2 — 4 (р) р5/2 In р — 4 (Р) р5/2 — 4 (р) рЗ In Р—

-Л6 (р) р3 - 4 (Р) р7/2 In Р — 4 (0) р〃2 — Л9(Р) р4 1пр-

-4о(Р)р4- ....(2.56)

Здесь р = гае + гаР, коэффициент А (0) отвечает идеальному больцмановскому газу электронов и протонов, который зависит от масс частиц и не зависит от' их зарядов, а коэффициенты 4(р) (i = 0, 1, 2, ...) описывают эффекты взаимодействия. Коэффициенты 4(6) (i = 0, …，4) известны — они даются формулами (2.51), (2.52). Последующие коэффициенты пока неизвестны. Из (2.56) находим давление:

М = р*(計)一仃=р 一 ；4(Р)г"? - 4 (Р)Р2 -

_ ^ 4 (Р) р5/2 1пр -(4 (Р) + |л4(р)) рб/2 —

-24 (Р) рЗ 1П р _ (4 ⑹ + 24 ⑹)р3 -

_ ^ 4 (Р) р7/2 1пр 一(4(6) +4 Л8 (Р)) р74 -

-ЗЛ9 (Р) р4 In р - (Л9 (Р) + ЗЛ10 (Р)) р4 + ....(2.57)

С другой стороны, ту же систему можно описывать как газ, состоящий из свободных электронов и свободных протонов с плотностью р*, атомов с плотностью «л и свободных молекул с плотностью Пм. Тогда можно ожидать, что для давления получится выражение

Вр = Р* + 九4 + ^м — } Ао (Р) (р*严一4式Р)(Р*)2 —

—844 (Р)嗚一8MM (Р) ПМ — 8cA (P) P nA — 'см (P) P nM — ■ • ■>

(2.58)

где Влл> 8мм， 8c再 и Всм — вторые вириальные коэффициенты для взаимодействий типов атом — атом, молекула — молекула, заряд——атом и заряд— молекула.

Соответствующий ряд для свободной энергии имеет вид РНр\ Ид, Пм，В) = р* Е р* + 力(р) р* — Л0(Р)(Р*)3/2 —

-£(В)(Р*)2 — ... + ПЛ In [ПА/КА (р)] + ВА (Р) пл - ВАА (Р) «2 ™ —^СА (Р) пдР* + 罹M In "м/Км (Р)] + Вм (Р"м —

J— 8cM (В)終мР — • • •»(2.59)

где Кд (Р) и Км (В) —так называемые константы равновесия в законе действующих масс. Далее, из условия сохранения полного числа частиц следует

Р = Р* + 2м$ + 4пм・(2.60)

Последнее описание полностью эквивалентно описанию (2.57), если правильно выбрать эффективные взаимодействия при расчете эффективных вириальных коэффициентов ВАА, Вмм, Вса и Всм. Мы видим, что при описании системы на языке составных частиц возникает больше температурно-зависимых функций, чем при описании через элементарные частицы. Однако оба описания связаны друг с другом несколькими точными соотношениями. Последние просто получить, разлагая выражение (2.58) по степеням плотности и исключая вновь введенные плотности р*, Па и 九乂 с помощью соотношений закона действующих масс, которые получаются из выражения (2.59) путем минимизации по распределениям частиц, сохраняющим их полное число в соответствии с равенством (2.60). Таким путем мы получаем, например, выражения [ 179]

^ = ；Ка(Р)р2+ .... пм = ^Км (Р)р4+ .... (2.61)

Подставляя эти выражения в ряд (2.58), упорядочивая его по степеням р и сравнивая результат с выражением (2.57), мы получаем целый ряд точных соотношений, связывающих коэффициенты, возникающие при двух способах описания. Привел дем несколько примеров:

Л0(Р)=Л；(Р),

4(Р) = А“Р) + %К”(Р),

4(Р)= 4(Р),

4(0) = 4偉)一营4e)心偉)，(262)

4 (В) = 4 (В),

Аб (Р) = 4 (В) + 4 Вса (р) Ка (р) 一 ； А式р) Ka (р).

Это соотношения баланса, которые отражают тот факт, что при описании через составные частицы одна часть взаимодействий определяет константы равновесия, в которых содержится информация о связанных состояниях, а другая часть определяет новые эффективные взаимодействия между квазичастицами. Тем не менее происхождение всех этих взаимодействий одно и то же — они возникают вследствие затравочных кулоновских взаимодействий, определяющих коэффициенты Л/(Р) при описании через элементарные частицы.

В заключительной части этой главы рассмотрим область очень высоких плотностей, где мы снова ожидаем, что система будет вести себя как идеальный газ. Эти ожидания основаны на теореме Либа ——Тирринга, согласно которой средняя кинетическая энергия, приходящаяся на один электрон, возрастает при увеличении плотности как г^\

需)(疗.(2.63)

С другой стороны, едва ли можно ожидать, что потенциальная энергия кулоновской системы возрастает быстрее, чем

紋/d 〜^2«y3.(2.64)

Таким образом, кинетическая энергия электронов всегда гораздо больше, чем потенциальная энергия. Следовательно, при очень высоких плотностях системы ферми-частиц должны вести себя подобно идеальным газам

/(«,，…，% Р)= ? 薪(^T)嚟 +。(觴4)・(2・65)

Авторам, однако, неизвестны строгие доказательства этого утверждения.

До сих пор мы обсуждали только точные результаты для систем в термодинамическом равновесии. Многочисленные результаты были получены и для свойств, описываемых с помощью корреляционных функций, а также для эффектов экранирования в таких системах (см. [66, 67, 90, 224, 225, 265, 266, 435, 605, 644]). Отметим, наконец, точные результаты, полученные 曹 двумерных систем (см. [215, 346]) и для одномерных систем (см. [8, 60, 4В8, 644]).

Глава 3

КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКАСИСТЕМ МНОГИХ ЧАСТИЦ

Элементы квантовой статистики

Квантовая механика систем многих частиц.

Свойства и поведение систем, состоящих из большого числа элементарных частиц, атомных ядер, атомов и т. д., описываются квантовой статистикой. Мы предполагаем, что читатель знаком с наиболее важными представлениями квантовой теории и статистической механики (см., например, [73, 76, 146, 208, 378, 433—436, 474, 715]). Поэтому в данной главе мы зра- ничимсй кратким введением, чтобы пояснить основные идеи, соотношения и обозначения.

Пусть bi, ..., b“——набор наблюдаемых (максимальный набор физических величин, которые можно измерить одновременно) ,a bi — набор наблюдаемых для одночастичной системы, например bi = гь $ь где ri — радиус-вектор частицы, a si — проекция спина, или 儿=pi, Si, где pi — импульс частицы 1. Тогда микроскопическое состояние квантовой системы многих тел определяется вектором |bi, ..., b“〉 в линейном векторном пространстве 徹м

■ Наблюдаемые физические величины, т. е. наборы (bi,... b“)，представлены коммутирующими эрмитовыми операторами, действующими в пространстве состояний 徹м Возможные измеряемые значения физических величин являются собственными значениями, а состояния — собственными векторами системы уравнений на собственные значения

Ь； Ib J = bi \ b、... Ь&〉・(3.1)

Существенную роль играют свойство ортогональности собственных состояний

©・・・Ь&|好・・・Ь『〉=6(bi — by)・・・6 (b# — b”)(3.2)

и условие их полноты, записываемое в виде соотношения

I Ь\ ■ ■. b J ®n ■ ■ ■瓦 1 db] ... db&. (3.3)

Здесь в случае, когда собственные значения меняются непрерывно, мы должны использовать 6-функции и интегралы, а для

дискретных собственных значений — символы Кронекера и суммы соответственно.'

Если состояние системы характеризуется вектором |屮〉，то результат измерения любой наблюдаемой А определяется средним значением

〈4〉=纣 I 4 I”〉.(3.4}

Разумеется, система эволюционирует во времени, соответственно меняется и среднее значение. Это изменение можно описывать в представлении Гейзенберга, в котором временная эволюция системы определяется динамическим уравнением Гейзенберга для оператора А:

* =(3.5)

Гамильтониан системы Н складывается из операторов кинетической энергии и потенциальной энергии взаимодействия:

2

"=2爵+2 匕/T，一%(3.6)

Особые проблемы возникают в случае систем тождественных частиц. В этом случае имеется дополнительное существенное различие в поведении классических и квантовых систем многих частиц. В квантовой механике частицы описываются не на языке траекторий, а вероятностным образом и, следовательно, тождественные частицы теряют свою индивидуальность. Тождественные микрочастицы в принципе неразличимы. Используя формализм квантовой механики, мы можем сказать, что вектор состояния представляет собой собственное состояние оператора перестановки частиц P^:

Р^ IЬ^) =■ ^ \ Ь\ bR(3.7)

где |Х|2 = 1, и далее для любой наблюдаемой Л имеем

[4 P/J =。・

В частности, конечно, это соотношение справедливо и для гамильтониана. Это означает, что фактический вектор состояния системы тождественных частиц в любой момент времени симметричен или антисимметричен относительно перестановок частиц. Таким образом, нужно решить вопрос: какой выбрать вектор состояния ——симметричный или антисимметричный? Ответ следует из опыта и заключается в следующем постулате:

Пространство состояний для фермионов есть антисимметричное подпространство 非万 и 捲心 а пространство состояний для бозонов есть симметричное подпространство 捲齐 и 第仙

Этот постулат важен для понимания поведения систем многих частиц. Вследствие этого постулата возникают фундаментальные различия между статистической механикой бозе-частиц и статистической механикой ферми-частиц. Характерная черта статистики Ферми состоит в наличии принципа Паули, а отличительная особенность статистики Бозе связана с возможностью конденсации частиц в основном состоянии, называемой конденсацией Бозе ——Эйнштейна. Следовательно, сформулированный выше постулат определяет существенные свойства макроскопических систем.

Рассмотрим теперь более математический вопрос о том, как можно построить симметричные или антисимметричные подпространства. С этой целью рассмотрим базисные векторы

I ^1 • • • b“〉= I Ь) * * * I bj 三第(3.8)

Легко показать, что базис в подпространстве 捲京 образуют векторы ,

А為1幻.•.也v〉= ]A…bj±三鑑M(3.9)

Здесь A存——проекционные операторы на подпространства 第克: 州=击2a±仍")殷，(3.Ю)

причем в случае бозе-частиц

V (PN)=^ а в случае ферми-частиц

厶9) = {厶9) = {1 для четных перестановок PN, —1 для нечетных перестановок Р&. (3」D

厶9) = {

厶9) = {

Метод вторичного квантования

Свойства квантовомеханической системы, состоящей из большого числа тождественных частиц, по существу определяются приведенным выше постулатом. Очень полезный и удобный метод, позволяющий удовлетворить требованиям этого постулата, —метод вторичного квантования (см. например, [119]); в рамках этого метода система описывается с помощью так называемых операторов рождения и уничтожения. Эти операторы действуют в «большом пространстве состояний» (в простран； стве Фока), определяемом как прямая сумма симметричных или антисимметричных пространств состояний 徹京 для У частиц |bi …b“〉：：…......

с соотношением полноты

2 \d® dbN\bx ... bN)±±{bN ... ^1=1.(3.12)

В этом пространстве вектор \Ь\ ... &^> есть собственное состояние оператора числа частиц М и мы имеем соотношение

〈瓦・ * * bN I b^ ... b，— 6n№・(3・ 13>

Чтобы построить симметричные или антисимметричные базисные состояния в пространстве 箔丰，введем операторы @+(仇)， называемые операторами рождения, с помощью которых вектор состояния строится следующим образом [474]:

丨瓦...b^ = (па1 Ир! ... n^a^br) ... а+(^)|0>, (3.14> где па ——числа заполнения, па + Пр + ... = N, а 10) — состояние без частиц, или вакуумное состояние. Взяв соотношение^ сопряженное соотношению (3.14), мы получим способ построения сопряженных векторов состояний:

(0|а(&!)... а(^)(па!ир!пи|)-1/2 = ^^ |. (3.15>

Далее нужно определить, как действует оператор а+ на сопряженный вектор состояния и оператор а на вектор состояния.

Используя соотношение полноты (3.12), мы находим следующее представление для а:

а(Ь) = |О〉〈Ь| +

+ "5\公1自〉±〈瓦b1+ ""公国尻1瓦戾产〈b也Ь|+ ....(3.16)

Принимая во внимание ортогональность состояний с различными числами^, легко получить

a (b) I * …％〉士 =

={6仅一4)1玄…〃〉±±6(Ь -%)1*% …%〉± + • • 0"^-

(3.17>

Это означает, что действие оператора а(Ь) на вектор состояния, стоящий справа, сводится к уничтожению частицы. Взяв сопряженное выражение, мы находим, как действует оператор а^(Ь) на сопряженный вектор состояния, стоящий слева: ±〈Ь% …К|а+(Ь)=「

={6 (Ь - 4)±(%…〃 I上6仅一%) ±你…喇I +…}为Г •

(3.18)

Условие, согласно которому построенное нами состояние должно быть симметричным для бозонов и антисимметричным для

фермионов, можно записать через коммутационные соотношения для соответствующих операторов. Используя соотношения (3.14) и (3.15), легко показать, что выполняются следующие коммутационные соотношения:

а (Ь) а (b‘)=F а (Ь‘) а (Ь) = О,

а十(Ь)а十(")干 а"1* (〃)а十(b) = 0,(3.19)

а(b)а+ (b‘)=F а十(b‘)a(b) — 6(b — b‘)，

где верхний знак относится к бозонам, а нижний — к фермионам. Следовательно, операторы, с помощью которых мы строили векторы состояний, коммутируют в случае бозонов и антикоммутируют в случае фермионов. Операторы а(Ь) и а+(Ь) не коммутируют. Таким путем требования симметрии очень просто представлены через коммутационные соотношения между операторами. Это одно из главных преимуществ формализма вторичного квантования.

Рассмотрим частный случай координатного представления. В этом случае напишем

й (&1) = й(Г1，sj = "ф(Г1，sj = ч|)(1).(3.20)

Эти операторы обычно называют полевыми операторами. Важный вопрос в методе вторичного квантования состоит в том, каким образом оператор Л любой макроскопической наблюдаемой Л^ можно выразить через операторы а(&), а+(Ь). Рассмотрим ^-чacтичный оператор, который не меняет число частиц ^. Используя условие полноты (3.12) и соотношение (3.14), получаем

-Д “ — \ db] . ♦. db“ db j ・*♦ dbz八 bn > • •瓦〉^C

X±〈b ... bN\AN\bN> ...瓦，〉士〈瓦，...匕川=击，d® ... dbN dbf...

一.dbn产®&^ I 4“ I &^, • • • b『〉a* (b J •…

一.a+(瓦)10)〈01a(%)…а(ь"，).(3.21)

В силу ортогональности состояний с разными значениями числа частиц ^ в случае, когда оператор Л^ действует на Л^-частич- ный вектор состояния, проекционный оператор |0〉〈0| можно дополнить до тождественного оператора (3.12) в пространстве Фока. Окончательно получаем (см., например, [583] )

%n ^^ 'WY \ db\ < • • dbn dbу ・・.db^ ^<

X ±〈% • • • % I %n I b“ • • • b；宁 a+ (bN).・・ a十®) a (b^ ... a (by).

(3.22)

Таким образом, мы выразили оператор AN через операторы а, а+.

Ситуация существенно упрощается в случае, когда оператор A^ можно разложить в ряд, например когда это аддитивный или бинарный оператор, т. е.

/=1i<l

В этих случаях из (3.22) следует, что для аддитивных операторов

AN = \dbdb,(,b\Al\b,)a+ {b)a (&Э,(3.23)

а для бинарных операторов

4" = g db{叫叫 d玄 ±〈6也 I 仆 I %%〉± a+ (幻 a+ (%) a (吟 a (%).

(3.24)

В координатном представлении из (3.23) и (3.24) мы получаем, например, следующее выражение для гамильтониана системы:

"=-畳，公押+⑺V帥(r J +

+ ^ \ di dr2^+ (rO ф+ (r2) V (г】—г2)屮(г2)屮(г).(3.25}

Во многих случаях удобнее пользоваться импульсным пред* ставлением. В этом случае мы получаем

.2

〃 =2 \ 力1 訪 a+(Pi，Si) a (pi, Si) +

+ ■^2 2\加1力2而国e8声m2S21匕2 132忌而>< S1S? 61«2

X。十(pl, Si)a+(p2, S2)a(p2, s^a(ph &),(3.26>

где_ _.

(p1s1p2s2|V12|s2p^SiPi) =

=V12(Р1 ——Р2)°(Р1 + Р2 ——Pl ——Р2)6$風&2酚

Рассмотрим теперь временную эволюцию системы многих частиц, пользуясь языком вторичного квантования. В представлении Гейзенберга временная эволюция определяется уравнениями движения для операторов вторичного квантования, например уравнением

-^4га^' 0 = [а(&, 0> Щ-(3.27>

Записывая, это уравнение в координатном представлении, мы находим уравнение движения для полевых операторов “(г, £)= =2⑴：

('九М + ~^*) 2 к ° = \ drU (г — г) ^+ (г.，)2 (Е /)屮(г, /). (3.28) Интересно отметить, что это уравнение очень похоже на одночастичное уравнение Шредингера.

Квантовая статистика.

Оператор плотности

До сих пор мы считали, что располагаем максимальной информацией о рассматриваемой, системе многих частиц. В этом случае так называемое микросостояние определяется вектором |2切〉в пространстве Фока, а усредненный результат большого числа измерений наблюдаемой Л^ дается средним

^m\^N\^ln)-

По терминологии Неймана такое состояние называется чистым.

Рассмотрим теперь большую систему многих тел в так называемом термодинамическом пределе: N —吟 V -> оо, причем отношение n = N/V конечно. В качестве конкретной реализации такой системы может выступать газ, плазма, жидкость или твердое тело, т. е. макроскопическая система. Для такой системы максимальную информацию, т. е. микросостояние (чистое состояние), вообще говоря, получить нельзя. В силу неизбежно имеющегося взаимодействия каждой подсистемы рассматриваемой системы с бесконечным окружением возникает неопределенность параметров микросостояния. Таким образом, нам известны лишь ансамбль возможных состояний |屮忆〉，которые считаются нормируемыми, и вероятности Рт того, что система находится в состояниях 14)т>. Следовательно, информацию о системе можно представить с помощью следующей схемы:

131〉，丨 ”2〉，• • •> 丨屮加〉，• • • — возможные состояния,Pi, Р2， **•， Р/п,・•" —вероятности,

где 2加「加=1, 0 & Pm《 1・ Полезно записать эту информацию с помощью так называемого оператора плотности 】)

Р = S Pm\^m)(^m I,-(3.29)

который был впервые введен Нейманом. Среднее значение любой наблюдаемой, которой соответствует оператор 4“， дается

Оператор р, как и соответствующую ему матрицу, часто называют матрицей плотности.——Прим, перев.-

выражением

〈4"〉= Е Рт〈т4“т〉= Тг(4“р“). (з.зо>

Состояние, определяемое оператором плотности, было названо Нейманом смешанным. Этот подход мы будем также называть квантовостатистическим описанием.

Оператор плотности обладает следующими важными свойствами:

Исходя из предположения, что функции 仲加〉нормированы с учетом того, что вероятности Р^ должны удовлетворять условию 2 乙=1, находим условие нормировки для оператора плотности

Trp= 1.

Из выражения (3.29). легко получить, что оператор плотности эрмитов:

р+=р・

Состояние является чистым, если оператор плотност» имеет вид

P = $〉〈2/nl・

Это соответствует случаю, когда Pm = 1, Pn^m = Q,

Если |仇 …Ь^У = \ bN}—система базисных векторов, то- условия нормировки и выражение (3.30) принимают вид

Тг р = 2 |р I= 1,

{/}

(Л)=2 〈川 M|V〉〈/|p|b”(3.31>

М} {”}

Матрица {bN\p\5Ny = <&^ …bi|p|bi …б^> называется матрицей плотности. Диагональные элементы матрицы плотности 〈b^lpIbN〉 определяют вероятности получить в результате измерения наблюдаемой b значения 仇，bN.

Наконец, заметим, что вследствие соотношения

〈/|р|/〉=ЕРт1〈/12т〉|2》о

оператор плотности неотрицательный и

Trp2= 2 〈/|p|W〉@N|p|bD&L

仿叮{*}

Чтобы завершить квантовостатическое описание, необходимо количественно охарактеризовать информацию, содержащуюся

в операторе плотности. Подходящей для этой цели величиной является статистическая энтропия [324, 350, 714]

S = — kB Tr (р In р).(3.32)

Таким образом, S — среднее значение оператора энтропии

S = — йв 1пр.

Из свойств статистического оператора вытекают следующие свойства статистической энтропии S:

Величина S неотрицательна, т. е.

S =—尼 в Tr р In р》0・

Для чистого состояния р = |Wm〉〈Wm| энтропия равна нулю, а в случае максимальной неопределенности состояния энтропия максимальна.

Если р описывает две статистически независимые системы 1 и 2, характеризуемые операторами плотности pi и р2, т. е. если р = pg, то энтропия аддитивна:

= S1 + $2*

Рассмотрим, наконец, динамику состояний при квантовостатистическом описании. В представлении Гейзенберга р не зависит от времени. В представлении Шредингера временная зависимость состояний j “т (£)〉 определяется уравнением Шредингера

詛⑵.(/)〉=切 5.(/)〉.(3.33)

Используя определение оператора р (3.29) и уравнение Шредингера, можно показать, что временная эволюция оператора р определяется так называемым уравнением Неймана

雪=千@切.(3.34)

Это уравнение представляет собой квантовый аналог классического уравнения Лиувилля.

3.1.4. Приведенные операторы плотиости.Цепочка уравнений Боголюбова

Во многих интересных случаях физические наблюдаемые представлены аддитивными, бинарными или вообще s-частичными операторами:

Z 4§}・(3.35)

В этих случаях выражение (3.30) для средних значений наблюдаемых можно упростить, вводя приведенные операторы плотности [73]

FS=VS Тг рм，(3.36)

S+1 ... ^

удовлетворяющие (в силу (3.31)) условию нормировки

Tr FS = VS.(3.37)

1…s

Тогда среднее значение s-частичной наблюдаемой AN дается выражением

C4Q = 4(3.38)

Вводя базис, мы получаем приведенные матрицы плотности 了т(瓦 I 品 1品=〈仇 I Tr p"1G

V-2〈瓦戾 I 戶 12 丨％51〉=〈瓦尻 I Tr P"瓦а〉н т. 人.

Эти матрицы мы будем называть соответственно одно-, двух- и s-частичными матрицами плотности.

Рассмотрим более подробно одночастичную матрицу плотности в импульсном представлении для однородной системы. В этом случае имеем [尸i,Pi] = 0, и, следовательно, уравнение принимает вид

尸ilP〉= F(P)IP〉・

Здесь |р> — нормированные собственные состояния оператора р, а 尸(р)—функция распределения по импульсам. Она связана с диагональными элементами одночастичной матрицы плотности <р I Fi I р> соотношением

⑺尸11Р〉=尸(Р)〈Р IР〉=尸(Р)6(°)，(3.39)

где 6 (0) = У/(2冗方)3, так что можно написать

Из условиия (3,37) можно получить условие нормировки

\F ⑺爲=1.(3.4。)

Среднее значение аддитивного оператора, для которого 〈р|4|р〉= Ai(p)6(0), дается выражением

〈4〉= ^ ^ T^^F 尸 1(Р)4(Р)•(3・41)

В общем случае среднее значение оператора вида (3.35) равно <An) = ^-\dps dps (ps \Fs\p^ (ps I As I рЪ. (3.42)

С другой стороны, это среднее мы можем записать и в представлении вторичного квантования

〈"J =』К。'犷〈尸 I % 历> Tr [pa+ (瓦)...a+ (%) a (拆)...a (%)].

(3.43)

Сравнивая выражения (3.42) и (3.43), получаем очень важное представление для приведенных матриц плотности [73]

^ (Р1 ... ps\Fs\ps ... %〉= Tr {pa+ (%) ... a+ 3) a (凤)…a 伪 J}

(3.44)

Здесь матричные элементы оператора плотности выражены через статистические средние от операторов вторичного квантования a+(bi),…，a(6i). Введение формализма вторичного квантования в квантовую статистику очень полезно. На основе этого формализма оказывается возможным применять в квантовой статистике очень эффективные методы квантовой теории поля.

Рассмотрим теперь уравнения движения для приведенных операторов плотности. Эти уравнения можно получить из уравнения Неймана, вычисляя след в пространстве состояний N——s частиц. Для этого удобно разложить ^-чаcтичный гамильтониан следующим образом:

Hs+H匕,N—s =Hn,(3.45)

где s 2s

儿=2禺 + 2 %(3.46)

ЛiV/T

N 2 N

=2 赛+ 2 匕"(3・47)

i=s+l(</»=s+l

s

匕,E 匕/•(3.48)

i = l /==s+l

Взяв след, мы получаем из уравнения Неймана

4•鳥尸S = R,儿]+ 片 Tr %, 〃“s] + 片 Tr %, % “J.

/ Ofs+1 ... ^S+1・・・N

(3.49)

Второе слагаемое в правой части обращается в нуль в силу инвариантности относительно циклической перестановки опера-

торов под знаком следа. Последнее слагаемое можно преобразовать к виду

ТГ

Используя это выражение, мы приходим к следующему уравнению движения:

s■

■?■景吊=[尸s, Я.Ц-п^Тг R+i,匕.s+i]，(3.50)

(-1s+1

где s = 1, 2,….Это уравнение было получено Боголюбовым. Оно играет фундаментальную роль в квантовой статистике равновесных и неравновесных систем, Важная особенность этого уравнения состоит в том, что вследствие взаимодействия возникает связь между Fs и 户叶卜

Легко получить формальное решение уравнения цепочки (3.50)

С) = е— %%(/ _ т) Д 5 _

—卜 г(3.51)

Уравнения (3.50) весьма полезны в нескольких отношениях. В случае неравновесных систем из первого из уравнений (3.50> можно вывести квантовые кинетические уравнения, используя полученное Боголюбовым условие ослабления начальных корреляций

Ит & «) = Й>,(3.52)

t —^ — ОО.' — 1

(см., например, [191, 382]).

Классический предел.Цепочка уравнений ББГКИ

Рассмотрим теперь приведенные матрицы плотности в классическом пределе. Возьмем матричный элемент произвольного оператора 尸 в координатном представлении

〈力1・.・xn\F |х^ 修〉 修 =г声

Чтобы найти представление, многие свойства которого аналогичны классическому описанию в фазовом пространстве, введем представление Вигнера. Сначала выразим матричные элементы

F через новые переменные (преобразование Вигнера)

口->门 + ^. rrfh—* .(3.53)

В результате получаем (в данном рассмотрении мы опускаем спиновые переменные)

〈门+ 夸，(+号，・..1尸1...，1*1 一 号)、

Представление Вигнера получается с помощью преобразования Фурье по у:

尸(г1, г№ Рb • - •» Pn)=

7/"自叽8+夸…I用…Г1 -好dy". (3.54)

В представлении Вигнера среднее значение произвольной наблюдаемой А дается выражением

〈/〉\ dr dp 4$ (г】,•.., r$, Pi» - • •» p«)尸§ (ri, • ” , r$, Рь • • •» Ps)* (3.55)

Смешанное представление во многих отношениях похоже на классическое представление для средних значений в фазовом пространстве. В частности, для оператора А (г, р), имеющего матричные элементы.

S

S …I 4 I ... /，〉= и6(5гГ)"(；許А,…)，

с помощью преобразования (3.54) можно показать, что представление Вигнера 4$(门，…，仆，"卜 …，"$) тождественно совпадает с классической функцией в фазовом пространстве наблюдаемой А. Переходя к пределу 为 f 0, из приведенной матрицы плотности в представлении Вигнера получаем классическую приведенную функцию распределения

F§ (厂1, • • •,厂$, Pi» • • • > Р«) lim 尸$ (厂1, ♦ • ♦, r$. Pi, • • •, Ps) (3*56) ft->0

и классическую форму выражения для среднего значения наблюдаемой А

〈4力=耳 ^rsdps^,(rb .... rs, Pi&X

义尸丁 (厂卜•・・，гs, Pi， • •p$)・(3.57)

Из выражения (3.36) следует, что функция 尸丁 связана с Л^-час- тичной функцией распределения ркл соотношением

Fr = Vs\dpN-sdrN-sp^(ri, rN. Pl, .... p“).(3.58,

Условие нормировки имеет вид

\/Т(Е pS)drSdpS = bS

Таким образом, в пределе 九一>0 из квантовой статистики поручается хорошо известный формализм фазового пространства классической статистической механики.

Чтобы получить цепочку уравнений Боголюбова в классическом пределе, мы должны провести преобразование Вигнера в уравнениях (3.50) и перейти к пределу Й->0. Таким путем получается цепочка уравнений ББГКИ для классических приведенных функций распределения

Of=田£；尸б]кл + 厶 \ I ^^ 匕,S+b 尸$+1] dfs+i dp$+i，Ll《i & $」кл

где

I■订 口 ] / 8H$ 6尸$ дН$ dF§、也,= Д (万7而 而丁存?丿

—скобки Пуассона, a Hs — гамильтониан системы s взаимодействующих частиц.

Эта цепочка уравнений была получена Боголюбовым, Борном, Грином, Кирквудом и Ивоном (ББГКИ); она играет важную роль в равновесных и неравновесных задачах (см., например, [72])/

3.16 Системыв состоянии термодинамического равновесия

Экспериментальными наблюдениями надежно установлено существование термодинамически равновесных состояний макроскопических систем. В связи с этим возникают следующие вопросы: как можно определить эти состояния с точки зрения квантовой статистики и как получить оператор плотности для систем в термодинамическом равновесии?

Очевидно, что в термодинамически равновесном состоянии оператор плотности не зависит от времени, т. е.

需=%[", р] = 0.(3.59)

Из этого условия следует, что оператор р зависит только от интегралов движения. Далее, обобщая //-теорему [311], еде-

лаем предположение, что в состоянии термодинамического равновесия статистическая энтропия максимальна;

S =—尼в Тг р Е р = max(3.60)

и совпадает с термодинамической энтропией при соответствующем выборе постоянной А& Ясно, что это предположение имеет характер постулата, поскольку оно доказано лишь для одночастичного оператора с помощью уравнения Больцмана; последнее справедливо только для разреженных газов.

В общем случае нужно показать, что временная эволюция ^-чacтичнoгo оператора плотности приводит к максимуму энтропии при равновесии (3.60). Вследствие инвариантности уравнения Неймана относительно обращения времени £->——£ (обратимое поведение) эта задача представляет собой сложную задачу квантовой статистики, имеющую фундаментальное значение. Для ее решения необходимо с помощью дополнительных условий, таких, как ослабление начальных корреляций и переход к термодинамическому пределу, нарушить симметрию решений уравнений Неймана относительно обращения времени (715, 717].

С помощью условия (3.60) можно определить статистический оператор [350, 715]. Рассмотрим систему в состоянии термодинамического равновесия, которая обменивается энергией и частицами с окружением. При этом среднее значение энергии, которое мы отождествляем с термодинамической внутренней энергией, и среднее число частиц даются выражениями

〈H〉= Tr(p") = q(3.61а)

(У) = Тг (рУ) = У.(3.616)

Далее нужно принять во внимание условие нормировки

Trp=l.(3.61b)

Таким образом, мы приходим к вариационной задаче

б (kB Тг р 1п р) = 0.(3.61г)

Решение этой задачи с дополнительными условиями (3.61а)— (3.61b) легко найти:

p = Z^eT(Hi").-(3.62)

где Zs ——статистическая сумма для большого канонического распределения, определяемая соотношением (3.61в):

Z£V, 0,卩)= Тге-В(нт叫 ■(3.63)

а величины р и 卩 ——множители Лагранжа, связанные с условиями (3.61а) и (3.616). Оператор (3.62) называется оператором плотности для большого канонического ансамбля.

Теперь мы должны связать квантовостатистические средние с соответствующими термодинамическими величинами и выяснить физический смысл параметров 0 н 卩.Исходным пунктом служит отождествление величины

= — йв Тг р 1п р

с термодинамической энтропией, а величины

〈H〉= Tr(pH) = U

с внутренней энергией. Кроме того, воспользуемся хорошо известным термодинамическим соотношением

S = ^ + P号一毕，(3.64)

где 卩——химический потенциал, а Т ——температура. Сравним это выражение с выражением для статистической энтропии, которое получается при использовании определения оператора плотности (3.62):

S = kB\n Zg + kB^U — ^врц (N).(3.65)

Отсюда виден физический смысл параметров ^ и ц: 0= 1/^вТ, а 卩一химический потенциал.

Далее можно получить статистический аналог уравнения состояния

pV = kBT\n Zg{V, № Т).(3.66)

Это соотношение определяет связь между уравнением состояния и гамильтонианом рассматриваемой системы многих тел. Таким образом, мы пришли к одному из важнейших результатов квантовой статистики. Наконец, макроскопическое число частиц дается выражением

№ = Z*I Tr(Ne-B(HiN)=《N).

Используя выражение (3.63), можно показать, что

〈N〉= %T器 InZg(匕 “,Т)=击叫

斫U = 〃3, Т)=击 Р・(3.67)

Соотношения (3.66), (3.67) определяют термодинамические характеристики системы многих тел как функции V, ц и Т. В принципе соотношение (3.67) можно обратить и получить химический потенциал как функцию числа частиц. Тогда, подставляя это выражение в (3.66), мы получаем термодинамические переменные как функции Г, V и п. Очень полезное соотношение

получается, если записать гамильтониан в виде

/ = % +加.

Дифференцируя выражение (3.63) по X, находим

哀 In Zg = — В〈V〉= 一 0Z£| Tr(Ue-е(a-u")).

Интегрируя обе части этого соотношения по X от X = 0 до X = 1 и принимая во внимание (3.66), можно записать уравнение состояния через среднее от энергии взаимодействия：

1

pv - Pov = -^~av).(з.б8>

о

Используя выражение (3.38) для среднего значения бинарного оператора, можно записать уравнение состояния с помощьк> бинарного оператора плотности:

(W> = -y-Tr (ЛУ12Г12).(3.69)

В некоторых случаях удобнее рассматривать систему, которая обменивается с окружением только энергией, т. е. в которой число частиц задано. Тогда нужно решить вариационную- задачу (3.61г) лишь с дополнительными условиями (3.61а) и (3.61b), Ее решение дается оператором плотности для канонического ансамбля

р=}е-бн.(3.70>

Для систем с постоянным числом частиц вместо соотношения (3,64) имеем

S = ^-g.(3.71}

В этом случае, поступая так же, как раньше, для термодинамических функций получаем статистические выражения;

=方，F = -kBT\nZ(T,匕 М・

Можно показать, что для больших систем (в термодинамическом пределе) операторы плотности для канонического и для большого канонического ансамблей приводят к одним и тем же макроскопическим результатам, В системах, в которых возможны фазовые переходы, для двух рассмотренных ансамблей они проявляются по-разному.

Связь между этими двумя различными подходами устанавливается теоремой Ван Хова [311].

32 Метод функций Гринав квантовой статистике

32L Определение функций Грина

Информация о поведении и свойствах системы многих тел содержится в приведенных матрицах плотности, которые можно выразить через операторы вторичного квантования. Например, для одно- и двухчастичной матриц плотности имеем

4〈/1尸|因〉=〈2+(/)2(外〉，

”2〈 ％也人 I x 国〉=〈2+ (%) 2+ (芍)2 (砲 2 «)>, (3.72)

тде Xi = (гь si) и т. д. Эти выражения представляют собой частные случаи более общих выражений, содержащих средние •от полевых операторов:

G]⑴，) = %Тг{рТ 帥⑴ 2+(1，))} =亲〈7 {屮⑴屮+『)}〉，

62(121'2')=焉1>07他(1)2(2)屮+(2，)屮+(1'))}=(3.73)

=备〈Т件⑴2⑵尹(2')УС')}〉•

^Функции (3.73) называются одно- и двухчастичными (причинными) функциями Грина. В выражениях (3.73) р — оператор ^плотности (использованы обозначения 1 = гвВ и т. д.), Т — оператор упорядочения по времени, который упорядочивает операторы -ф, “+ таким образом, что операторы, относящиеся к бо- .лее ранним моментам времени, стоят справа, а относящиеся к более поздним моментам времени — слева; этот оператор содержит множитель 九土(P/v), определенный в (3.11), где PN —— перестановка полевых операторов, требуемая для того, чтобы ют начального их расположения перейти к порядку, определяемому Т-оператором. Например, в определении одночастичной функции Грина фигурирует выражение

(3.74)(3.74)функциюфункцию(3.75)(3.75)33(1，)}')，

(3.74)

(3.74)

функцию

функцию

(3.75)

(3.75)

I ±2+(Г) 2 ⑴，厶 <£

Следовательно, мы можем записать одночастичную Грина в следующем виде:

G1(llz) = e(Z-/z)G>(ll,) + 0(/z-/) G<(llz),

где функции

G> (11') = %〈屮⑴ 2+(1')〉，厶〉儿

.(3.76>

G<(11，)= 土击〈屮+(Г)2⑴〉，fi <6,

называют двухвременными корреляционными функциями. Пользуясь этим представлением, легко установить связь между одночастичной функцией Грина и одночастичной матрицей плотности:

n{x\Fx\xf} = ihG<[\V)\t^ = ihGx{W} |/=^.(3.77}

Здесь £+ обозначает момент времени, более поздний, но бесконечно близкий к исходному моменту времени. Обобщение выражения (3.44) на функции Грина оказывается полезным по- нескольким причинам.

Аппарат введенных здесь функций Грина представляет собой соответствующую комбинацию формализма приведенных матриц плотности квантовой статистики и формализма функций Грина квантовой теории поля. Он позволяет в значительной степени осуществить формальное объединение релятивистской теории многих частиц, квантовой теории поля и нерелятивистской теории многих частиц.

Физические представления статистической физики и мощный математически* аппарат квантовой теории поля позволяют на этом' пути получать решения задач физики элементарных частиц, ядерной физики, физики плазмы, и физики твердого тела.

Функции Грина определяются уравнениями движения для операторов поля, их коммутационными соотношениями и способом усреднения. Очевидно, что в релятивистской теории функции Грина определяются уравнениям» для релятивистского поля. При усреднении по вакуумному состоянию мы получаем функции Грина квантовой теории поля

GaB(ir)=〈0|TE(l)^(r)}|0》

Но если оператор плотности для большого канонического ансамбля обобщать на релятивистский случай, положив

р = }еТ№+"),

где В1V = UJk豆 ——четырехмерная температура, pv и /v — четырехмерные векторы энергии-импульса и тока, то можно построить релятивистскую теорик> многих тел (релятивистскую квантовую статистику).

Рассматриваемая в данной монографии нерелятивистская теория многих частиц получается, если использовать нерелятивистские уравнения движения для операторов поля, а усредне* ние проводить с нерелятивистским оператором плотности.

Для практических приложений иногда достаточно заменить оператор плотности оператором проектирования на основное состояние

р() = I ①О〉〈①о I*

"Тогда функция Грина имеет следующий вид:

5(1Г) =〈①о"帥⑴旷(Г)}]/〉.

Метод функций Грина описан в ряде монографий и обзоров. Среди них отметим фундаментальную работу Мартина и Швингера [468] и монографию Каданова и Бейма [351]. На основе соотношения, полученного Кубо, Мартином и Швингером, был развит метод функций Грина с мнимым временем. ' -

Другие фундаментальные результаты изложены в книгах Абрикосова и др. [4], Бонч-Бруевича и Тябликова [76] и в прекрасном обзоре Зубарева [713]. Более позднее изложение материала можно найти в книге Феттера и Валеки [207] и в монографии Штольца [606] (см. также [428, 435, 436, 722, 743]).

Наконец, отметим, что для термодинамически равновесных систем одночастичная функция Грина содержит больше информации о рассматриваемой системе многих частиц, чем одночастичная матрица плотности. Например:

Одночастичная функция Грина определяет не только среднее от аддитивных операторов, как одночастичная матрица плотности, но и среднее от энергии взаимодействия и, следовательно, уравнение состояния.

Для £ > У одночастичная функция Грина описывает распространение добавочной частицы, помещенной в рассматриваемую систему многих частиц. Следовательно, функция Gi содержит информацию о таких свойствах частицы в системе многих тел, как одночастичная энергия, одночастичные состояния и времена жизни этих соотношений.

Ниже мы проиллюстрируем утверждения 1 и 2, рассматривая уравнение движения для функции G и ее аналитические свойства. Во многих случаях в связи с физической интерпретацией функций Грина полезно ввести графическое представление. Представим одночастичную функцию Грина прямой линией со стрелкой, направленной от 1 к 1:

С!(1Г)= / A 口 .

Для двухчастичной функции Грина, которая описывает коррелированное движение двух частиц в системе многих тел, гра-

фическое представление имеет вид

62（12Г2，）=&

Эти графики известны как диаграммы Фейнмана, они были впервые введены Фейнманом в квантовой электродинамике.

Для двухчастичной функции Грина простое выражение через корреляционные функции, подобное （3.75）, невозможно. Из-за наличия оператора упорядочения по времени функция G» в зависимости от порядка следования времен 九，必 九？2 описывает 4! разных корреляционных функций, соответствующих 4! разным процессам рассеяния.

Особый интерес представляет упорядочение по времени 九=/2（ 71 = %2, определяющее функцию G2 в канале частица — частица （в s-канале）. Соответствующая диаграмма Фейнмана имеет вид

5（嗝……

% A I -J А "力2

Эта функция описывает распространение двух частиц в системе. В этом случае можно написать

G2 （/, ?） = 0（/ —О G^ （хь 工2,无 1,兄2，九 Е） +

，+8（? — E）G^（%i,工2，元i，兄2,八 E）,（3.78）*

где

G^ （力 O=-f^p-<^ Ui,分3（*2, %）3+优2, ё）屮+（元 1, 9〉，

.- I _ -_ -（3.78a>

G/（e,6=不彳（3十（修，力3 a2,小3（*2, /）3（修，0）

—двухвременные корреляционные функции, соответствующие функции Грина G* Другой важный тип упорядочения по времени fi = ?i；勾=% соответствует функции G2 в f-канале:

G2 （12^）,151,=G2 （12^）,151,=

G2 （12^）,151,=

G2 （12^）,151,=

В ферми-системах эту ситуацию можно интерпретировать как канал частица — дырка.

До сих пор мы рассматривали функции Грина в координатном представлении. Во многих случаях, особенно для однород-

ных систем, удобнее использовать импульсное представление. Например, для корреляционной функции имеем

G<(P1,向，т) = ^ dr{ dn e~l(piri"piri)G<(rb 儿 т),

где т = fi—九 a p — волновой вектор. Для однородных систем находим

G<Si,向，T)= G<(pi, t)6(Pi—pl),

г(3.79)

G<(Pi, т) = 2力、dr • е-'Р" G<(r, т).'

Обратное преобразование имеет вид

G< (ri, t)=吊調 1电(Li)G< (г»

Принимая во внимание, что в силу (3.77) и (3.72)

注 G<Si, р；, т) |т_0 ==n(pl\Fi\pi) = nF (рО б (р! — рЭ.

функцию G (р) нужно интерпретировать как функцию распределения по импульсам

ihG<(p1 т)|т=0 = п(р),(3.79а)

удовлетворяющую условию нормировки

3.2.2. Общие свойства корреляционной функциии одночастичной функции Грина

В этом разделе мы рассмотрим точные свойства корреляционной функции и функции Грина, не зависящие от конкретной природы системы многих частиц. Это означает, что мы рассматриваем свойства, которые вытекают из определений и из ■общих принципов квантовой статистики.

Рассмотрим сначала функции G> (11) и G<(H) в состоянии термодинамического равновесия, описываемого оператором плотности (3.62) для большого канонического распределения. Используя инвариантность следа относительно циклической перестановки операторов и соотношение [Я, N] = 0, выражающее сохранение числа частиц, легко показать, что функции G* зависят только от разности времен. Это справедливо и в отношении функции Грина G^ll)：

Q^(ti D = Gs(t-t), G](f, A = G1(/ — E).(3.80)

Точная корреляционная функция G< дается выражением

G<(1 i) = ± * Z7 ъ- [е-В(н…)屮+ ①屮⑴].(3.81>

Распишем след, пользуясь полной системой общих собственных состояний операторов Н 叭 N;

H\EN〉= E\EN〉、N\EN〉=N\ EN〉， (3.82>

l = ZlEN〉〈NE|=Zl 九〉SI, n = \EN\.

Операторы поля задаются в представлении Гейзенберга

—■ - fit— —

屮(Е) = е玄 屮(0) е自.

Используя указанную выше систему собственных функций： легко получить для G<(11) выражение

G<(ll) = ±^-Z-i^e-^En-'lNn\n^(xl)\tn)X mn

* X〈旬屮(%i) I n〉产(％-%)(I).(3.83}

Таким же способом для G> (11) находим выражение6>(h)П内2e-6阳一也)5|2(打)gxnm

х〈 m 屮+ (元 1)I %〉# 阳一％)

Используя ортогональность состояний с разными N, приводящую к тому, что Nm = Nn— 1, и проводя замену п->/п, последнее выражение мы можем переписать в виде

G> (⑴=土Z-1 2 е-°(%-М“)⑺ 2+ ®)I ⑴ хnm

X〈 m I 2 (占)I 〃〉L("%+%；(*E“)(I).(3.84)

Определим теперь спектральную функцию

/(з) = Т2〈相 |屮+ (&)|/n〉{tn \^ (xt) I n >e~ B^n-^n) x mn

X 6 (E„ — £m — fico) 2л.(3.85>

Эта функция играет очень важную роль, поскольку можно показать, что она содержит информацию о существенных свой-

ствах системы многих частиц. С помощью спектральной функции мы можем записать функции G> и G< в виде

—Е) = ± \ / (з) е-庙(I)-^-,

G> (/ - 0 = \ / (со) е° ^-^е~^~^ 盡

Эти фундаментальные соотношения называются спектральным представлением Лемана для корреляционных функций.

Соотношения (3.86) можно представить в следующем виде:

(干)G〜一?)7 嚣e-mf G三®)，

G> (co) = / (co) e^^-^, G< (co) = / (co).

В связи с этим представлением возникает интересный вопрос: можно ли рассматривать функции G至 в качестве фурье-образов ■функций G夯(т)? Этот вопрос мы обсудим ниже.

Рассмотрим теперь существенные свойства корреляционных функций, вытекающие из спектрального представления. Первое важное свойство ——связь между G> (со) и G<(s)——следует непосредственно из формул (3.86):

G< (з) = е' 但吁％> (со).(3.87)

Вводя более удобную спектральную функцию А (со) соотношением

Л (со) = G> (со)干 G< (со)

(3.88)(3.88)и используя соотношение (3.87), получаем полезные выражения G< (s) = f (ay) А (со), G>®) = {1 士 f(s)}4(s),

(3.88)

(3.88)

где f(s)—функции типа Бозе (Ферми)

(3.89)(3.89)'(з)=，/(忌 И)県］•

(3.89)

(3.89)

Новая функция А (со) связана с / (со) соотношением /(X) = f (ш)Л((о).

Используя интегральное представление ступенчатой функции е«)：

e(t)=击\』他(3・9i)

можно выразить фурье-образ одночастичной функции Грина через спектральную функцию Л (р,(о). Из выражений (3.75) и (3.88) легко получить

G1⑹=!需4⑹U干」产譯储• (3・92)

Это ——спектральное представление Ландау [435] для одночастичной функции Грина, которое, однако, не позволяет выполнить аналитическое продолжение на комплексную плоскость (о. Из соотношений (3.92) и (3.88) видно, что корреляционные функции и одночастичная функция Грина полностью определяются спектральной плотностью Л((о).

Другую группу свойств корреляционной функции и одночастичной функции Грина можно получить, рассматривая операторы поля для комплексных значений времени f:

屮(尤，£) = е玄 屮(%, 0) е方.

Таким способом можно определить функции G* и Gi в комплексной плоскости £——У (см. [351, 468]). Если принять, что для вещественных значений времени сходимость функций G< и G> обеспечивается множителем е^^п~^ы\ то функцию 0V можно аналитически продолжить в область

Й₽ > Im (厶一厶)> О,Й₽ > Im (厶一厶)> О,(3.93)(3.93)

Й₽ > Im (厶一厶)> О,

Й₽ > Im (厶一厶)> О,

(3.93)

(3.93)

а функцию G> — в область

О > Im (厶一6) > —力В

разом:5(1Г) =разом:5(1Г) =комплексной плоскости £——У. Это связано с тем, что в этих областях все экспоненциальные функции затухают. Далее, из выражения (3.75) следует, что функцию Грина также можно продолжить на комплексную плоскость t — £' следующим об

разом:

5(1Г) =

разом:

5(1Г) =

G<(11/) для йр > Im (^ — 4) > 0 и дляIm "1—6) = 0, Re(Zi — /i) < О,

G> (1Г) для 0 > Im (/1 — 6) > —力§ и для * Im (九一6) = 0, Re(Zi — 4) > 0.

В этой расширенной области между корреляционными функциями G< и G> существует фундаментальное соотношение, которое мы получаем непосредственно из спектрального представ-

ления (3.86):

G>(q, X], /1 —厶)=±е 3"G<(%i, %i,力一k + i力B), (3.95}

называемое условием Кубо — Мартина — Швингера.

Из вышеизложенных соображений следует, что мнимая ось от —/р до /р играет особенно важную роль. Вдоль этой прямой мы можем определить временное упорядочение в случае, когда времена являются мнимыми. В соответствии с (3.94) будем считать по определению, что момент времени & более ранний^ чем 八，если Im /)> Im /ь Это означает, что при движении вниз по мнимой оси мы переходим к все более поздним моментам времени. Пусть теперь времена 九 и /； ограничены мнимыми значениями на интервале (0, —/Йр). Тогда точка / = 0 отвечает самому раннему моменту времени, а точка £ = —/0 — самому позднему моменту, и мы получаем

Gi(H/U = G<(ll%=0, Gi(ir)eie = G；(ir)e_m (3.96>

С учетом (3.95) мы получаем

G] (1 Г),』=± е卽G] (11')一师(3.97>

т. е. мы опять пришли к условию Кубо — Мартина — Швингера (см. [468]). Это условие связывает значения функции Грина в конечных точках отрезка (0,—/0). Оно автоматически выполняется, если разложить G в ряд Фурье по / и f в области (0,——i%0). Для этого нужно продолжить функцию Грина в области полосок, параллельных вещественной оси. При этом мы получаем

=靑 2 °】хь 之3一％&"1)・(3.98}

，土 1, ± 3, ... для фермионов, 1 0, 士 2, 士 4, ••・ для бозонов.，土 1, ± 3, ... для фермионов, 1 0, 士 2, 士 4, ••・ для бозонов.nv I “=7丽"十Т'nv I “=7丽"十Т'Чтобы правильно воспроизвести условие (3.97), следует использовать так называемые мацубаровские частоты гу; они даются выражениями

，土 1, ± 3, ... для фермионов, 1 0, 士 2, 士 4, ••・ для бозонов.

，土 1, ± 3, ... для фермионов, 1 0, 士 2, 士 4, ••・ для бозонов.

nv I “=7丽"十Т'

nv I “=7丽"十Т'

Коэффициенты Фурье можно получить с помощью хорошо известных методов:

Gg= \ 阳6%(『1)G[(ir).(3.99)

о

При вычислении можно положить f = 0, поскольку Gv(Zv) не зависит от 匕 Используя соотношения (3.96), (3.87^ и (8.88),

находимнаходим(3.100)(3.100)G1 (zv) =〈 — * % 乂，8)

находим

находим

(3.100)

(3.100)

J 2лй

Этот результат очень интересен, поскольку он показывает, что коэффициент Gi(Zv) ряда Фурье также определяется спектральной функцией А (х, х\(о). В случае бозе-частиц при zv = 0 мы имеем полюс, и выражение (3.100) плохо определено. Более подробно этот вопрос рассмотрен в разд. 3.2.3.

Важно понять, можно ли получить функцию Л (х, х\ о) из Gi (гу), т. е. можно ли обратить выражение (3.100). Чтобы это выяснить, продолжим функцию Gi (гу) с дискретных точек гу, лежащих на прямой, параллельной мнимой оси, на всю комплексную плоскость 2：

GMz)=〈 4(4,乩 8)-. (3.101)

Это интеграл типа Коши, обладающий следующими свойствами: 1. Выражение (3.101) определяет две аналитические функции:

Gj (г) для Im г > 0 и Gn (г) для 1шг < 0.

Функция Gi(z) имеет разрез, вдоль которого выполняются следующие соотношения (формулы Племеля):

Gi (со 土 ％)=干毕 4 (%i, Xi,(о) + Р,―(①]—^豆У (3.102)

占=干e6⑹+ P?占=干e6⑹+ P?(3.103)(3.103)или в более компактной записи (тождество Дирака)

占=干e6⑹+ P?

占=干e6⑹+ P?

(3.103)

(3.103)

Из свойства 2 следует, что на разрезе функция Грина имеет разрыв:

Л (со) = zfi [Gi (со + ze) — Gi (s — ze)].(8.104)

Функции Gn(z) и Gi (z) можно аналитически продолжить за линию разреза. Тогда мы получим

G{ (г) = Gn (г) + Л (г), 1шг<0;

Gh ⑵=GO — Л (г), Im z > 0.

Полученные функции уже не являются а н а л и ти чески ми; они имеют особенности, совпадающие с особенностями функции Л (z).

Эти результаты очень важны, поскольку вычислить функции Грина с вещественным временем, например по теории возмущений или из уравнений движения с соответствующими граничными условиями, бывает трудно. Практически обычно бывает проще всего вычислять функции Грина вдоль оси мним.ого времени. В частности, используя условие Кубо ——Мартина — Швингера и уравнение движения, можно найти Gi (гу) и затем получить спектральную функцию А (г) с помощью соотношения (3.104), выполнив аналитическое продолжение Gi(zv)-^ Gi(г). Зная функцию А (г) и используя спектральные представления (3.88), (3.92), можно получить корреляционные функции и функции Грина для вещественных значений времени.

Поведение корреляционных функцийпри больших временах

Чтобы найти поведение корреляционной функции при больших временах, от которого по существу зависит, можем ли мы рассматривать (со) как преобразование Фурье функции G* (£ ——Г), нужно рассмотреть поведение спектральной функции /(со) при (Of у/力.Поскольку при Еп = Ет функция /(со) имеет S-образную особенность при со = 0f полезно разделить спектральную функцию на две части [430, 528]:

/(s) = /o(s) + /«s),(3.105)

где

/° (®) =4 2〈研屮+ (%) I zn〉〈 m 2 (%) I /г〉е' 阳-叫6(0>Т)2K=

=± 2市力C(%i，K)6(s —今)(3.106)

при En — Em = \t и

г(3)=42〈川1|)+(/)1小)(小|屮⑺⑺х пт

X e-s(£«-цЛ/)б (ЙСО -Еп + Е^2п(3.107)

при Еп — Ещ 耍卩* Функция /'(со) есть регулярная при s = 卩/Я часть функции / (со). Поэтому можно написать

/((0) = ±2гайe(%1,工)6(3一m)+ 厂(3).(3.108)

Используя соотношения (3.86), для корреляционной функции G<(f — f) получаем

00f

Г®)*"，-，)磊+ c(z，. (3.109)

Ее поведение при больших временах определяется соотношением

lim G< (/ — f) = С (xp %，lime 左仕

Такое поведение называют временным дальним порядком. Временной дальний порядок для одночастичной корреляционной функции можно наблюдать, если в термодинамическом пределе 皮一> оо, ]/f оо диагональный вклад отличен от нуля, т. е.

5% 2 <nl^+ [tn^m^in^e^^^^^Q.

Представление о дальнем порядке было введено Онзагером и Пенроузом и Янгом [681] при рассмотрении макроскопических квантовых явлений, таких, как бозе-конденсация и сверхтекучесть. Они обнаружили так называемый «пространственный дальний порядок» для одно- и двухчастичной матриц плотности:

11m "I 尸 |г'〉=#0. r — r'-> ОО

Для функций Грина представление о временном дальнем порядке было впервые введено в работах Каллена и др. [96] и Квока и Шульца [430]. Прекрасное введение в проблему дальнего порядка и «макроскопических квантовых явлений» можно найти в работах [523, 607] (см. также [420]).

(ЗЛЮ)(ЗЛЮ)Легко показать, что для идеальных ферми-систем С(хр Х|) = 0 для Nf 8, Pf оо. Однако для идеальных бозе-систем находим

(ЗЛЮ)

(ЗЛЮ)

=歹〜,0°р,0,

где No—макроскопическое число заполнения основного состояния. Таким образом, при наличии дальнего порядка спектральные представления следует видоизменить. Из определения функции Л (со) с учетом (3.85) следует, что вклады в Л (со), отвечающие Ёп = £т, взаимно уничтожаются. Следовательно, для бозе-частиц функция Л (со) не полностью определяет корреляционную функцию, соотношением Л (со) = f (со)Л (со) она связана только с функцией /'(s). При корректной записи выражений для корреляционных функций для бозе-частиц вместо

3 Зак. 641

имеем [524]

G<(/, ^, со)=РН«>)Л(х1, х；, з) +

+ 2п б (со — ц/Й)С (хр х：),

G>(X|, Хр со) = [1 + pf (со)] Д (хр %, з)+(З.Ш)

+ 2пб (со —卩倡)С (хр х；),

где

〃8)= -м」)_1 •

При таком подходе ясно, что для идеальных бозе-систем дальний порядок связан с хорошо известным явлением бозе-конденсации. В случае идеальных бозе-систем имеем

Л (р, со) = 2пЙб (йсо — -^-) , С =》6“,0%,0.

Для однородных систем соотношение (3.77) дает для плотности частиц

у (2s + 1)[岑 ％,。+ R、諸;№硒気)_ ] (3.112)

Хорошо известно, как интерпретировать этот результат. В случае когда 卩=0, макроскопическое число частиц Nq, образующих бозе-конденсат, находится в основном состоянии; распределение остальных частиц по-прежнему определяется функцией Бозе.

Таким же образом следует видоизменить и спектральное представление для коэффициентов Фурье функции Gi (3.100). В выражении (3.100) для бозе-частиц (или в более общем случае для мацубаровских частот бозевского типа) полюс при V = 0 и 力со =卩 на вещественной оси указывает на наличие дальнего порядка. Из-за этого полюса выражение (3.100) не полностью определено. Правильное спектральное представление получается, если использовать выражение (3.111). В результате получаем

G|(%)==-ВС(/, О%°+Р，黑空(З.ПЗ)

Весовая функция Л (хр %；, со) определяется аналитическим продолжением функции Gi (г):

А (хр %р со)=但(s + ze) — G】(со —也)｝力力.

Определение функции С (хр %；) представляет собой особую задачу. Чтобы найти С (хр %；), рассмотрим выражение

е (/ — Q {G> (1 У) + G< (11')} = G] (1Г),(3.114)

называемое запаздывающей антикоммутаторной функцией Грина. В такой комбинации диагональный вклад {Еп = Ет) не выпадает, как в случае Л (хг %；, со). Нетрудно получить следующее спектральное представление:

G1⑹=击及"。)£%^ +歳[(#8 + 1)厂⑹•

-°0(3.115)

Из него следует:

Функция G^ (q) имеет линию разреза вдоль вещественной оси, на которой функция Л((о) разрывна.

Функция G[ (со) имеет простой полюс в точке со = 0, причем вычет в этой точке равен

F = —lim——.(3.116)

Таким образом, структуру функции С(/, %；) можно найти с помощью функции G+ (со) [528].

Уравнение движениядля одночастичной функции Грина.

Собственная энергия

Рассмотрим теперь задачу о нахождении функции Грина. Для ее решения развиты два метода. Метод, основанный на теориу возмущений, исходит из определения функции Грина в пред* ставлении взаимодействия, адиабатического приближения и хорошо известного ряда теории возмущений для оператора эво-* люции. Этот метод, изложенный в ряде учебников [4, 435], оказывается достаточно простым лишь при Г = 0 и при Т =# 0 на оси мнимого времени. Для вещественных значений времени при 7 耍 0 был развит более сложный метод двухвременных функций Грина [435] (см. также [76].——Перее,).

Более общим является метод, основанный на уравнениях движения для операторов поля 2(尤1,厶)=2(1):

(论誥+粤)2(修，g=

， и、б^Уе^ - ^Яр+З, /0 Ф(X,厶)屮(修，厶).

С помощью этого уравнения, дифференцируя функцию Грина, находим следующее уравнение движения:

О击+磊用G2)=

= 6(l-r)±zfi JdTV(l-i)G2(ll, 14+).(3.117)

где V (1 - Iх) = 6(Л - Л)V (Xi - хО,才=厶 + 0. Это не замкнутое уравнение, а лишь первое из цепочки уравнений для многочастичных функций Грина. Таким образом, как и в случае операторов плотности, мы приходим к цепочке уравнений, зацепляющихся одно за другое вследствие взаимодействия. Заметим далее, что при выводе этих уравнений мы не использовали конкретного вида усреднения. Поэтому такие уравнения справедливы для любого статистического оператора. Чтобы найти функцию Грина для какого-либо конкретного способа усреднения, нужно использовать граничные условия. Например, чтобы получить термодинамическую функцию Грина, определяемую оператором плотности для большого канонического ансамбля, используется условие Кубо ——Мартина ——Швингера.

Из уравнения (3.117) получается формально замкнутое уравнение движения, если ввести так называемый оператор собственной энергии Е 1), определяемый соотношением

\ diE(li)GiG') = ±/4 d2U(l -2)G2(121,2+). (3.118)

С учетом этого определения мы получаем из (3.117) уравнение Дайсона

(/й аТГ + ■£■ v0 G1 (1 Г) = б (1 - 1х) + J dis di) Gi 0 Iх). (3.119) Уравнение Дайсона можно привести к интегральному виду, если определить обратную функцию Грина соотношением

\ dTG] (lT)Gr(Tl，) = 5(l - Г).

Тогда при S = 0 из уравнения Дайсона следует, что обратная одночастичная функция Грина системы невзаимодействующих частиц равна

(G『(ir)= ｛论訴 + 亲研 6(1-Г).

С помощью функции (G?)T уравнение Дайсона можно записать в виде интегрального уравнения:

Gi(11/) = G?(11/)+ \ did2G?(li)E(i2)Gi(21z),(3.120)

о

где область интегрирования по времени определяется условием Кубо — Мартина — Швингера.

Используя представление с помощью диаграмм Фейнмана, получаем

生 歹 ,Gf о且.

где собственная энергия представлена диаграммами

а взаимодействие и функция Грина свободных частиц — диаграммами

=«v (И),' : 7 =G?(li).

На языке диаграмм Фейнмана оператор Е состоит из всех диаграмм, которые нельзя разделить на две части путем разрыва ■одночастичной линии G；

Рассмотрим теперь более подробно свойства оператора собственной энергии. Простейшее приближение соответствует двухчастичной функции Грина для идеальных систем

G2(121z2z) = d (1 Г) Gi (22‘)土 G (12‘)伍(21‘)=

± X(3.121)

Второе слагаемое отражает свойства симметрии относительно перестановок частиц. Выражение для собственной энергии в приближении Хартри — Фока имеет вид

^(iv)= ±ih [д(1 - 1')хх\dW(i -i)Gi(Ti+)±u(ii')Gi(ii'+)} =

=Т 土 D(3.122)

I

Полагая G2 = G® + G^ можно разделить S на две части: S = 2ХФ + Е°・ В силу уравнения (3.120) спектральные

представления Sc и Gt (1 Г) аналогичны. Заметим, что функция 2свыражается через функции Е*:

с -( S>(11)SC(H) = < < _с -( S>(11)SC(H) = < < _при 〃 > 区 при it < it.при 〃 > 区 при it < it.(3.123)(3.123)

с -( S>(11)

SC(H) = < < _

с -( S>(11)

SC(H) = < < _

при 〃 > 区 при it < it.

при 〃 > 区 при it < it.

(3.123)

(3.123)

Эти функции удовлетворяют тем же условиям Кубо — Мартина—Швингера, что н G>, G< и Gi..Поэтому получаем

Е>(%,弘 со) = Г(х, f, со)[1 ±f Ш

S< (х, %] со) = Г (х, %', s)f(s),(3.124)

Г (х, xz, со) = £>(%, х\ со)干 Е<(%, К со).

£С(/，Е，2v) =£С(/，Е，2v) =Г(£], £；, со)Г(£], £；, со)Далее функцию Sc(l 1) можно разложить в ряд Фурье, причем для коэффициентов Фурье получаем спектральное представление

£С(/，Е，2v) =

£С(/，Е，2v) =

Г(£], £；, со)

Г(£], £；, со)

(3.125)

Если система трансляционно инвариантна, то импульсное представление функции Gi имеет вид

G】(Pi，К，W = GQ, %)6(pi-p；).

Мн будем использовать это выражение при обсуждении спектральных свойств функций Е и Gi.

Чтобы решить уравнение Дайсона, удобно перейти к импульсному представлению Мацубары:

5(1Y)7 譌zj.

V

В этом представлении уравнение Дайсона превращается в ал* гебраическое уравнение относительно Gi (р, гу), которое имеет

решение

Gi (р, W =戶，丿一с• Е(Р)=力2P2/2m + 工乂尸(p). 力E (p) — S (p, zv)

(3.126)

В силу (3.101) разрыв аналитического продолжения GO функции Gi(2v) при переходе через линию разреза определяется функцией А(р, со). Для спектральной функции находим

Л (р, со) = {Gi (со + 左)—Gi (со —左)}访=

力г (р, (О)

m@ — £ (р) - ReHiT(o)p+ [F(p,%)/2F

Рис. 3.1. Различные приближения для спектральной функции: а — приближение идеального газа; 6 — приближение Хартри — Фока; в—лоренцева форма в приближении, отвечающем не зависящей от частоты корреляционной части собственной энергии.

Мы увидим, что функция Л (р,(о) содержит всю информацию о динамическом поведении частицы, помещенной в систему многих взаимодействующих частиц, и всю информацию о термодинамических свойствах системы.

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи точного выражения (3.127) для спектральной функции Л (р, со). В случае невзаимодействующих частиц Г = 0, £ (р) = Н2р2/2пг, следовательно,

A(p, 3)= 2门力6(力3-~^).(3.128)

В приближении Хартри ——Фока имеем также Г = 0, следовательно,

Л(р,(0)= 2冗力6(力со—Е(р))・(3.129)

Лишь в этих двух случаях Г = 0, в других приближениях величина Г конечна. Для простоты рассмотрим сначала приближение, в котором величины Г и Re S не зависят от(о:

Л(р, з) = т14目Fj-.(3.130)

[й® - £ (P) - Re Sc (p)]2 + [Г (p)/2]2''

Теперь функция 4(p, s) не имеет простого вида S-функции, а имеет форму лоренцевой кривой конечной ширины. На рис. 3.1 проведено сравнение различных приближений для А (р,(о). Если F《Е(р) +Re Е(р), то функция 4(р, со) имеет резкий пик при 力со = £ + Re Е.

В общем случае функция Л (р,(о) характеризуется полюсами Йг = е ± /Г/2 на плоскости комплексного переменного г, определяемыми, как видно из (3.130), дисперсионным соотношением

й® — [е (р) + Re 2c (р, з) 士 专 Г (р, з)] = 0.

При е》F/2 величины 8 и Г можно вычислять с помощью более простых соотношений

e(p) = £(p)+ReSc(p, 8(р)), r = 2ImS^(p, в(р)) (3.131)

(см. также разд. 4.3). Отсюда следует, что аналитические продолжения функции Gifs*) на область Imz < 0 и функции dii(Zv) на область Im г > 0 имеют полюсы в точках Йг = =8 + /Г/2.

Динамическая и термодинамическая информация,содержащаяся в спектральной функции А (р,(о)

Спектральная функция содержит всю информацию о поведении одной частицы в системе многих взаимодействующих частиц. Более того, она полностью определяет термодинамические свойства системы. Распространение частицы в системе взаимодействующих частиц определяется корреляционной функцией G> (p,t-tf):

G> (р, / — /')=，要 4 (р, з) 口士 f (з)] e-的”曾. (3.132)

Корреляционная функция определяет усредненную амплитуду вероятности того, что импульс добавочной частицы не изменится за время t——Г, т. е. G>(p, t—Г) есть вероятность того, что частица остается в состоянии с импульсом р. Интуитивно ясно, что в системе многих взаимодействующих частиц состояния затухают и, следовательно, вероятность должна убывать со временем.

Для невзаимодействующих частиц имеем

G>(p,/鑒(i)[l 士 f (豈9].(3.133)

Это означает, что | G^2 не зависит от времени и одночастичное состояние стационарно.

Ситуация сложнее, если Г #= 0. В этом случае мы для простоты рассмотрим спектральную функцию лоренцева типа (3.130). Используя теорию вычетов и полагая рГ <С 1 и Е(р)+' 工 Re S (р)》Г, для значений t —，> (ЙГ)~1 легко получаем (см., например, [606])

G>(p, f-”U土f(E(p) + ReE(p))]X /…、 L " (Е (P)+Re 2 {p^^\\i-t^ \^

X £

Таким образом, физический смысл величин, фигурирующих в выражении для функции G>, можно интерпретировать следующим образом:

—=т — время жизни I&

} одночастичных состоянии.

Е (р) — энергия)

В случае когда Е(р)》Г, т. е. ширина линии очень мала, ло- ренцева кривая близка к S-функции, т. е. спектральная функция почти такая же, как для идеальных систем. Эти долгоживущие одночастичные состояния обычно рассматриваются как состояния свободных квазичастиц.

Поскольку полюсы решения неоднородного уравнения Дайсона являются собственными значениями однородного уравнения Дайсона

[Йг 一 Е ⑺一 Se (р, г)]屮(р) = 0,(3.135)

последнее можно рассматривать как эффективное уравнение Шредингера, определяющее состояния квазичастиц 屮(р) • Вообще говоря, эффективный одночастичный гамильтониан Н, определяемый этим уравнением, неэрмитов, и связь между спектральной функцией А (р,(о) и решениями 屮п(р) найти трудно. Лишь в том случае, когда эффективный гамильтониан эрмитов, можно выразить функцию G* через решения задачи (3.135) 心М и фя：*

Gi(Р，z) = £ 吗鴿处*(3.136)

Это так называемое билинейное разложение функции Грина Gi. С его помощью можно выразить спектральную функцию через энергии и волновые функции состояний квазичастиц:

А(р, з) = 2п £ & (р)吃(р) 6 (з — з“).(3.137)

Рассмотрим теперь термодинамические свойства системы. Их можно найти следующим образом. Из (3.79а) получаем

九=论\部6<9,，一/')-.(3.138)

Используя (3.87) и (3.88), мы можем записать следующее соотношение:

"3 Т) = \ 芻 Аз з) / (з)・(3.139)

Из формулы (3.67) получаем уравнение состояния

р(ц,「)== \ п(Г, ^ d^.(3.139а)

Термодинамические свойства идеальных систем полностью определяются спектральной функцией

А (р, со) = 2冗力6 (Йео —力2d/2/п)・

Используя соотношения (3.88) и (3.139), находим

"3' ?)=、島m(无3/2吁")干 1『，(3.140>

и уравнение состояния принимает вид

Р(", 7)=尼“、島 1п[1 干 е-в(无W/如-")].(3.140а>

Рассмотрим теперь систему взаимодействующих частищ Тогда во многих случаях удобнее исходить из уравнения (3.68). Его можно просто записать через функции Грина:

р(Т, V, H)-Po=-i^J-v-J dldTw(1I)G2<1T1 + +I+)l?1 = z+-

(3.141)

Используя определение собственной энергии, запишем это уравнение в виде

1

р(т,匕卩)= p°_g攀 \diE(li)G|(il+)* (3.142) о

Из этого уравнения удобно исходить при получении приближенных уравнений состояния. Далее с помощью уравнения движения (3.119) находим

р("，Т) = р^ +

1

+ 4" 5 4г 5 [^4г~1^^0<(爲厶"Q占 dx dt. о

Наконец, выполняя преобразование Фурье по г—厂‘ и f — f‘ и используя соотношение (3.88), получаем

1

р —"о= —^ \ -у1 \ (翼尹(力s J 力2P2/2/n) A (p, s)f(s)'^・(3.143)

Чтобы записать уравнение состояния через плотность частиц, вместе с этим уравнением используется соотношение

"3, Т)=击 РЗ Т)・(3.143а)

При расчете термодинамических свойств существенную роль играет спектральная функция Л(р, со) (3.127). При подстановке выражения (3.127) в термодинамические соотношения (3.139) или (3.143) получаются весьма сложные выражения. Поэтому очень полезно следующее приближение для Л (р, со). Разложим функцию (3.127) в ряд около точки Г = 0, т. е. вблизи точки, где затухание обращается в нуль:

4(р, ^ = А(р, з)|叫 Г(р, со). (3.144)

В низшем порядке получаем

4(Р, з) 1г-о = 2п力6 (力з — ^^ — Re S (p, co)).

Используя хорошо известные свойства б-функции, находим

4 (Р，ю)1г-о =j—§~—6 (fico — е (р)),

1h 而 ~е * "' s'点i (?)

где e(p)—решение соотношения дисперсии, определяющее энергию квазичастиц:

e(P)= ^+ReE(P,明无…“

Второй член разложения (3.144) можно записать в виде

Г(р, з) = -£ 為矿』7rlp, з).

Разлагая в ряд знаменатель, приходим к следующему выражению А (р,(о):

4 (р, со) = 2лй6 (力з — е (р)) {1+4* 爲 Re £ (р, со) |йга=е ⑺}—

~ * {鳥応4而}「(Р，吼(3.145)

С помощью выражения (3.125) ReS(p, со) можно выразить через Г:

Re £(Р, ю)|й(о-е (р) = Р g \ d® й^е(р)/й •

Теперь Л (р, со) можно записать в виде

4 (p, З) = 28力6 (力3 - е (p)) {1 + ^? 4 J d0 徒绪))历}-

一元曲林-二E G) 1(r吼

Это приближенное выражение обладает очень полезными свойствами. Так, легко показать, что выполняется точное соотношение

、4(Р, з)票=1.

Подставляя выражение (3.145) в (3.139), находим

л(Т,卩)=\ 譌^ {е(р)}—'

一寻奇需[备Р贵瑞乩.。疗^-f也(P)}}・(3.146А

Это выражение можно интерпретировать как сумму вклада независимых квазичастиц, выделенного в замкнутом виде, и вклада, описывающего корреляции между квазичастицами. Как подробнее рассматривается в разд. 3.2.9 и в гл. 6, с помощью* этого выражения можно, например, описывать связанные состояния в приближении парных столкновений.

326・ Двухчастичная функция Грина

Чтобы найти собственную энергию, нужно знать двухчастичную функцию Грина. Эта функция, через которую известным образом выражается S, определяет динамическое поведение от* дельной частицы и термодинамические свойства системы. Более того, функция G? определяет динамическое поведение пары частиц в системе многих взаимодействующих частиц. Поэтому важно более подробно исследовать свойства двухчастичной функции Грина G2. Особенно интересно найти уравнение движения для G2 и с его помощью построить соответствующие приближения для этой функции.

Двухчастичная функция Грина была выше определена соотношением '

G2 (121'2‘)=爲а 他⑴屮(2)屮+ (2‘)屮+ (1')}〉.(3.147>

Эта функция зависит от четырех времен Л, ...» 办 и в общем случае выражается через 24 различные корреляционные функции. Ее спектральные свойства очень сложны (ср. [523]). Но можно показать, что для любых времен 匕,...,tz вдоль мни*

мой оси выполняется условие Кубо — Мартина — Швингера:

G2（121,2,） |/го = 士 戶&（121'2'） %=_访в*（3.148）

Это условие квазипериодичности позволяет хорошо известным способом разложить функцию G2 в ряд Фурье. С учетом однородности времени мы можем написать

G2 （f 1，• • •,，4）== 一 / 一；方r、3-2 G2（之m，之"2,之"3）X

X exp ［iz^ （^ —厶）+ 反w «2 —乙）+ 反叫俏一GL（3.149）

где 之丫 = _；力§ 夕 + 方мацубаровская частота, а

（0, ±2, 士 4,.・. для бозонов,

I ± 1, ±3, ±5,・.* для фермионов.

Если некоторые из временных аргументов совпадают, то можно ввести функции Грина, зависящие от меньшего, чем три, числа частот, например:

G2 （^i， • - -» 厶）1е±2=±

^ ■日扁 N G2 （々2, Z3） exp 卩召2 «2 — 〃） + 汉3 优3 — 〃）］=

（3.150）（3.150）=ПНЕ.

（3.150）

（3.150）

Здесь функция Грина 62（^12,之з）, зависящая от двух частот, связана с 62（21,^2,之3）соотношением

G2（Z12, 2з） = ^^ ? G2（Zi2 —&, &,马），.（3.131）

где Z12 = Zi + Z2 = ~r^ V12 + ^ + 号—мацубаровские частоты для бозе-систем. Особый интерес представляет функция Грина

G2（厶，..女）力产力=-kft 2 G2 （之12）exp ［反 12 （f -门］=

гдегдеG2（Z12）= =^ ? G（z⑵ Z3）.G2（Z12）= =^ ? G（z⑵ Z3）.（3.152）（3.153）（3.152）（3.153）

где

где

G2（Z12）= =^ ? G（z⑵ Z3）.

G2（Z12）= =^ ? G（z⑵ Z3）.

（3.152）

（3.153）

（3.152）

（3.153）

Эта функция описывает распространение двух частиц в системе многих взаимодействующих частиц и определяет двухчастичные состояния. Чтобы показать это, исследуем аналитические свойства функции Gz(f —片).Они аналогичны аналитическим свойствам функции Gi(f—U), поскольку справедливо соотношение

G2 (т) = е (т) G^ (т) + е(-т) G^ (т),(3.154)

где t = f — У,

G^(/ —厂)=■—〈中(修，о 屮 ％ 0 屮+ (必，/)"+(£,/)〉，

G^(/ —『) = ^5■〈屮+(K, /)屮+(总，/')屮(%2,。屮俏，/)〉.(3.155)

Как и в случае одночастичных двухвременных корреляционных функций, G2 и G^ полностью определяются спектральной функцией

/2 (со) =Е (« I^+^+ Iгп)</п| 屮屮|九〉义

厂。(%-""")6(自3 一 国一%).(3.156)

С помощью этой функции мы получаем спектральное представление-

Gr (/ _ Г) Т ~-e-ia,{t-t，}G^ (з),

G^(/ - У)=，芻L«t')G^(3),

G^mnA®)/"”-吗 G^(s) = /2(s)，(3.156a)

откуда находим соотношение

G^ ((o) = Gf((o)e6 師华).

Поэтому полезно ввести спектральную функцию 4 (со) с помощью равенства

4 (з) = G^ (со) - G^ (со).(3.157)

Тогда мы приходим к спектральным представлениям

G^ ((0)=厶 ®)==冷В(8)&(8)，

G^ (з) = {1 + пв (со)} % (з),(3.158)

ПВ(3).=即(ЙШ-2Ц)一 I

и к спектральному представлению Ландау для функции G2((o):

4w) = ］需4⑹｛宀鼻» (3/59)

Легко показать, что теперь условие Кубо — Мартина — Швингера можно записать в виде

G2(/ - Г) Il= + 产忆2(/ - О |z —«₽.(3.160)

Чтобы удовлетворить этому условию, разложим функцию Gz(f ——tf) в ряд Фурье, Принимая во внимание бозевский характер поведения двухчастичной функции Грина, для коэффициентов Фурье получаем

G2&) =壶 Р \¥^ds +』6eC(3.161)

Мы можем продолжить функцию G2(2i2) на плоскость 之,в результате находим

G23)=\ 紀 4(®)(3.162)

(здесь точки z не лежат на вещественной оси). Таким образом, функция G2(n) представлена интегралом типа Коши и обладает Следующими аналитическими свойствами;

интеграл определяет две разные аналитические функции: G；(z) для Imz > 0 и G?(之)для Imz < 0;

функция Gz(z) имеет разрез вдоль вещественной положительной полуоси и испытывает на разрезе скачок

初(G2(co + /в) — G2 (со — /в)) = 4 (s)；

функции G；(z) и G21 (г) можно аналитически продолжить за линию разреза; при этом получаем

G；⑶=GV ⑶ + 4 (力，Imz < 0,

GV ⑶=G2⑶一л2(г), Imz > 0.

Эти функции аналитичны не везде; они обладают теми же особенностями, что и Дг(^).

Теперь легко найти спектральную функцию для системы невзаимодействующих частиц;

4 ®) = 2冗力6 (йсо —處(pb p2))»(3.163)

где £*2(Pi, 02)=力?〃；/2俏 + b?p32m — двухчастичная энергия си< стемы невзаимодействующих частиц. Как и в случае одночастичной функции Грина, можно показать, что для системы

взаимодействующих частиц двухчастичному состоянию соответствует пик спектральной функции, имеющий конечную ширину Г. Предположим, что в окрестности пика функция 4((0) имеет вид

4(8)=尸.(3.164)

Тогда в комплексной плоскости имеем

% ⑻=-——YК• (3」65) 力2 -(E? + / 石)也N -(E? - »亏)

Следовательно, функция Д2(^) имеет полюсы в комплексной плоскости г. Полюс вблизи 应 соответствует двухчастичному состоянию, характеризуемому двухчастичной энергией & и временем жизни 力/Г = т.

327 Уравнения движениядля многочастичных функций Грина

Для определения функции G2 нужно записать для нее уравнение движения. С этой целью заметим, что она входит в цепочку многочастичных функций, которая начинается с одночастичной функции Грина

GW2, и)= % Tr ®? [S^^)N+⑵】｝ ,(3.166)

где

S = exp -/ ) 行夜и(友)"+(1)"⑵ *(3.167)

Здесь (следуя работе [58]) мы ввели нелокальный внешний потенциал U, с помощью которого функции Грина высших порядков можно получать из (3.166) путем функционального дифференцирования по U(12). Так, например,

駕指* 1-0= 士 區(⑵'2，) - G] (1 Г) G| (22')]…=

=±Л(121,2,),(3.168)

где 厶 называют коррелятором флуктуаций плотности. Таким образом, в принципе достаточно знать уравнение движения для функции Gi(ll\ U). Это хорошо известное уравнение Дайсона, которое мы запишем в виде

G「QI', S = G：i (ll')-U (11')-Z (11‘).(3.169)

Здесь Е —собственная энергия, определяемая выражением (3.118), a G? (1 Г) — функция Грина свободных частиц. Чтобы получить выражение для собственной энергии, выразим G? через функциональную производную от Gi. Для этого будем исходить из тождества G^"1 = 1. С его помощью находим

士 {G2 (12Г2‘)一 Gi (1 Г) Gi (22')} = ± 厶(121'2‘)，

6G, (1Г) с dG"1 (34) 一，

= T d3d4Gl (13) ■^p G| ⑷').(3.170)

Далее, из уравнения Дайсона следует

G2(121'2，) = Gi(ir)Gi(22')±Gi(12)Gi(2r)±

± Jg,(13)親芻)G, (4 Г) d3d4 = G] (11') G] (22') 士

士 G] (12') Gi (21') 士，G, (13) G1(41,) •§鶉粽醫 d3d4d5d6.

(3.171)

Используя это соотношение, получаем следующее функциональное уравнение для £:

S(H,, и)= 6(1Г)Х

Х[± ^21/(12)0, (22+, Uy + V^G^W, U)]； +

+ d\d2V (12) G, (IT,(3.172)

£ Jou (22)

С помощью уравнений (3.169) и (3.172) можно находить функции Грина любого порядка. Практически, однако, часто удобнее пользоваться уравнением движения для G2.

Уравнение (3.171) можно переписать в виде интегрального уравнения для G?：

G2(121,2,) = G1(H,)Gi(22,)±G1(12,)G1(21z) +

+ \ G1(13)G1(41,) S(3 5 4 6) L (6252х) d3d4d5Mt (3.173)

Где 3 (3546) =. Это уравнение называется уравнением

dGi (65)

Бете — Солпитера относительно u-канала. На языке фейнмановских диаграмм получаем

h 二±Xh 二±X

h 二±X

h 二±X

Здесь S можно интерпретировать как эффективное взаимодействие частица—дырка (в ферми-системах). С точки зрения диаграммной техники S — сумма неприводимых двухчастичных диаграмм в и-канале.

Для многих задач полезнее записать уравнение Бете — Сол- питера в канале частица — частица (s-канале), т. е.

G2(121/2/) = G'!(121/2/) +

+ J G1(13)G1 (24) iK (3434) G2(341/2/) d3d3d4d4,(3.174)

или на языке фейнмановских диаграмм

(3.175)(3.175)

(3.175)

(3.175)

Здесь К (3434) — эффективный двухчастичный потенциал^ На языке диаграмм К есть сумма неприводимых диаграмм в канале частица — частица. Аналитически функция К определяется уравнением

士、G|(13)磊親 G|(41')d3d4 =

* Gi (13) Gi (24) ^ (3434) G?(的'2') d3d4曲疯(3.176)

Во многих случаях вместо двухчастичной функции Грина удобнее ввести многочастичную Т-матрицу, определяемую соотношением

^(^ = ± J Gi(32)Г(121，2/)Gi ^'^ ^^'(3.177)

Ее связь с G2 получаем из уравнения (3.171):

G2(121,2,) = G2(121,2,) +

+ \ dTd2d3d4G! (11) G, (22) IT (1234) G1 (31х) G1 (42х). (3.178)

Это выражение показывает, что корреляционная часть двухчастичной функции Грина определяется функцией Т. Следовательно, с помощью Т можно найти все свойства системы. Например, собственная энергия дается выражением

Е(1Г) = Ехе(]],)士

±i J ^24/34/47(11)6! (12)С1(ГЗ)7'(231/4)61 (41'+). (3.179)

Как и функцию G2, функцию Т можно найти из двух эквивалентных уравнений движения в s-канале и w-канале. В s-канале уравнение движения имеет вид /7'(121,2,) = /<(121,2,) +

+ \ 力К (1234) G1 (35) G1 (46)汀(561'2，) dWd牙d5d6 (3* 180)

(при его получении мы использовали уравнение (3.175)), или в диаграммном представлении

ДлМ+'ЕПЛ^ (3.180а)

Для u-канала, используя уравнение (3.173), находим

Т(12Г2') = т(121'2‘)士

±，d弘64%8日(151⑥ G1 (疗)G1 (68) T (7282х),(3.181)

или в диаграммном представлении

Эффективное двухчастичное взаимодействие можно выразить также через трехчастичную функцию Грина

G3 (1231'2'3‘)=志〈Т ｛屮(1)屮(2)屮(3)屮+ (3')屮 + (2')屮 + (1')｝〉，

(3.182) которую можно записать через функциональную производную:

G3 (1231 '2'8') = 士 6 就謡。+ G2(121'2')G| (33'). (3.183)

Используя определение собственной энергии S через двухчастичную функцию Грина (3.118), можно преобразовать левую часть соотношения (3.176) следующим образом:

访 \ G| (13)(41') d3d4 = й JG,(13)产就鄒◊-

一 S (34) ^^｝ d3d4 = (/Й)2 \ G,(13) ｛v (34)北第;『-

-E(34)爲盟｝ d3d4.(3.184)

Тогда с учетом уравнения (3.183) получаем

G] (13) Gi (24) К (3434) G2(341,2,) d3d4dWd4 =

=土 i力)Gi (13} {V (34) G3 (324Г2'4+)-

(3.185)(3.185)-S(34) G2 (421^)} d3d4・

(3.185)

(3.185)

Следовательно, мы можем рассматривать уравнение Бете— Солпитера

G2 (121'2‘)= G] (1 Г) G] (22‘)士 G,^) G】(21‘)土

士 访 \ did3G|(lD{U(i3)G3(T'231'2'3+) —，(i3)G2(321'2')} (3.186)

как одно из цепочки уравнений для Gi, G2, G3 ... . В общем виде эта цепочка приведена в работе [468].

Чтобы получить явный вид уравнений цепочки, будем исходить из определения «-частичной функции Грина

G£12 ... nV^ «Э^

=6G纣⑴… 屮(九)屮+(1')•-2+m')}〉•

Дифференцируя это выражение по первому временнбму аргументу, находим

/Й (1 ... nV ... nf)=

n备口{汴备"⑴… 2m)"+(1')...旷(公)})•

С помощью уравнения движения (3.28) и правил коммутации получаем

Л方2

^-^-G„(l ... nV ... nz) = —-2^-A^n(1 ... пГ ... nz) +

+ X (±l)v-16(l -v^Gn-^S ... nV ... v' — l,v'+ 1, ... //) + V=1

+ щу1\^V^-^<T^+ШШ(2)…"⑺2+h)...2+侬)}〉.

Используя снова правила коммутации, мы можем окончательно представить уравнения цепочки в виде

{崇 & +访訪} G“(l,…，小 Г,…，Е)=£ (士 1)"&1 — У)Х

X G—i (2,…，n, Г, * …vz — а , Vх + 1, ...» //) 士

±/Й J dTv(H)G„+1(l,& T 1'2',/г', ")*(3.187)

Видно, что функция Gn зацепляется за Gn~\ и G^+i. Например, имеем

{访备 +崇 A J 4(121”，) =

=G[ (22) 6 (1 Г) 士 G[ (2Г) 6 (12，) 士 访 \ dWu (13) G3 (123Г2%+)*

Формальное решение цепочки уравнений для функций Грина получается итерациями, начиная с нулевого порядка, соответ* ствующего идеальной системе:

Gf = G，）（ir）,Gf = G，）（ir）,0^(1 Iх) .... G^M0^(1 Iх) .... G^M

Gf = G，）（ir）,

Gf = G，）（ir）,

0^(1 Iх) .... G^M

0^(1 Iх) .... G^M

(3.188>(3.188>Gn' (1, ..., п; Г, ..., n')=

(3.188>

(3.188>

^{nV} ... G^(nn7)

Представим теперь «-частичную функцию Грина в виде ряда теории возмущений:

G〃 = gB + G? + G^+

где верхний индекс обозначает порядок по параметру взаимодействия "Таким путем вы получаем цепочку

{'力~^Г + ~^й"&…' /г; 1*^х)=

={G 闇(2,…，n; 2‘，一「nOSdlUi

rh /й ^ drfiV (IzTz) 6Й-70 (1, •. ■, n, m; Г,…，n\ 历+), (3*189)

где {.. ,}s обозначает сумму, симметризованную по Г,…，к

Расцепленную цепочку уравнений легко решить с помощью итераций, начиная с нулевого порядка. Результат для низших порядков представлен графически на рис. 3.2—3.4. Здесь, как обычно, тонкие линии обозначают свободные одночастичные функции Грина, штриховые линии — взаимодействия, а точки

喈二•即=喈二•即=Рис. 3.2. ВкладыРис. 3.2. Вклады

喈二

•即=

喈二

•即=

Рис. 3.2. Вклады

Рис. 3.2. Вклады

нулевого и первого порядков ленные с помощью диаграмм

в функции Грина, представ* Фейнмана.

Рис. 3.3. Вклады второго

порядка в одночастичную функцию Грина,

+ 厂？.

Рис 34. Фейнмановские диаграммы для собственной энергии.

отвечают интегрированиям. Приведенная ниже схема позво* ляет вычислить вклады любых порядков:

G；s->G俨

G*)r G(J -G俨

Gf)-> G$)-Gg> G俨

G?「Gf)-> G貰-G^G俨

G^-^G*W — G，->G®3-* …GfT. (3.190)

Представляя соответствующие вклады с помощью диаграмм Фейнмана, можно прийти к следующему утверждению:

n-частичную функцию Грина можно представить в виде суммы всех топологически неэквивалентных связанных фейнмановских диаграмм, начинающихся внешними концами 1, 2,... .п и заканчивающихся внешними концами 1‘, 2‘, ..., п\ Знак диаграммы, дающей вклад в бл, определяется множителем (—1)尸十к, где F ——число петель, а К ——число пересечений сплошных линий на диаграмме.

Доказательство этой теоремы проводится методом индукции. Сначала делается предположение, что теорема справедлива для m-й строки схемы (3.190), а затем доказывается, что при переходе к m + 1-й строке добавляются неэквивалентные связанные фейнмановские диаграммы. Детали доказательства см. в работах [477] для Т = 0 и [532] для Т =# 0. Приведенную выше теорему о диаграммном представлении функций Грина можно использовать в качестве основы для построения аппа* рата функции Грина. В дальнейшем мы неоднократно воспользуемся этой мощной теоремой.

Приближение парных столкновений(лестничное приближение)

Попытаемся теперь получить приближенные выражения для эффективного двухчастичного потенциала. Простым, но очень полезным приближением является приближение парных столкновений. Основная идея состоит в предположении, что лишь две частицы системы могут одновременно взаимодействовать друг с другом. Поскольку величина 7(13) в уравнении (3.186) отлична от нуля только в том случае, если частицы 1 и 3 находятся на конечном расстоянии, в приближении парных столкновений для G3 находим

G3 (1231'2'3‘) = G2 (131'3‘) G] (22‘) +

+ G2(133,2,) Gi (21') + G2 (132’ 1') Gi (23‘).(3.191)

Подставляя это выражение в уравнение (3.186) и используя соотношение (3.118), связывающее S и G2, приводим уравнение Бете — Солпитера к более простому виду

G2(12l,2,) = G1(ll/)G1(22/)7bG1(12,)G1(21,) +

+ ifi 5 dAdZG^ (11) Gt (23) V (ЗТ) G2 (ТЗ!^7).(3.192)

С помощью фейнмановских диаграмм это уравнение можно за писать в виде

(3.192 а)(3.192 а)

(3.192 а)

(3.192 а)

Полученное интегральное уравнение содержит сумму бесконечной последовательности так называемых лестничных диаграмм} это видно, если решать уравнение итерациями:

(3.1926)(3.1926)•・・-|- обменные слагаемые.

(3.1926)

(3.1926)

Из-за структуры этого подмножества диаграмм приближение парных столкновений часто называют лестничным приближением. Для описания распространения двух частиц в многочастичной системе достаточно рассмотреть лишь функции Грина специального вида

(121'2，) ]/ “ =/ = G? (%i, х2, Xi, %2, / — / )•

Ниже мы будем рассматривать фермионы. В этом частном случае выполним преобразование Фурье по пространственным переменным и разложение в ряд Фурье по времени. Для этого положим

Gi(12) = з £ J(r'-r2)G1 (21> р), (3.193)

где 21 =三常"+ 羚 vi = ± 1, ±3, ±5, . .. и

G2&1,"“，厶 / —/') =

—1 、(如战如体,(吋]+%%-明-咽)匸 一二W乙)一画严 e ex

Vt2

X G(P1> P2； Pl.向 Z12),(3.194)

где z12 = 7^^， "2 = 0, 士 2 ±4,....

С помощью этих выражений находим из (3.192)

G2(Р1, 02，pl，р2, ?12)=—可 > {G1(Р1, 212 — ?2)G](02，&) X

X [(2冗)6(6 (pl — р：) 6 (р2 — р2)— 6(Р1 — р2)6 (р2 — pl)) +

+ i J ^ (р2 — р2) (2л)3 б (pt + р2 — Pi — р2) X

XG?(无 р2> pl, р2, ?12)•"閣『。•(3.195)

Суммирование no vi2 можно заменить соответствующим контурным интегралом. Для этого рассмотрим функцию Ферми

/⑶=/⑶=11«0 (Й2 —JI) _|_ I .«0 (Й2 —JI) _|_ I .

/⑶=

/⑶=

1

1

«0 (Й2 —JI) _|_ I .

«0 (Й2 —JI) _|_ I .

Она имеет полюсы в точках zi = mi/(ih^) + ц/й с вычетами> равными (йр)-1. Пусть h(z) — аналитическая функция, полюсы

которой в точках 之卜？2, ... не совпадают с мацубаровскими частотами Тогда при условии

2f (?) A (z) -> 0 при [ 2 [ -> 8

суммы можно преобразовать в контурные интегралы (рис. 3.5):

』2九(z J 7 ^f⑵九⑵7 ^f⑵似z).(3.196)

v,bС

Здесь С — контур, охватывающий мнимую ось в положительном направлении； его можно деформировать, переведя в контур С, окружающий полюсы Zi, &, . •・.Применим этот прием к выражению

/ = Т^ ¥ Gi (pl, 21)G[(p2，212 — Zt) = ^2(212).

Воспользуемся выражением (3.126) для функции Грина, отвечающим приближению Хартри — Фока и содержащим энергию квазичастиц Е(р). Тогда получим

/ = \誉f⑵gWt .京』二百5) •(3・197)

С

Вычисление интеграла от функции комплексного переменного дает

— "(Е(〃))一f 伍2|2 — E(PG) _ 1 — f (E(〃))一 〃外с))

2 I》九*2 — E (p；)—它(pa)九z】2 — E (pl) — E (pa).

(3.198)

С учетом полученного выражения для / уравнение (3.195) принимает вид

{£ (pj + Е (р2) — fiz} G2(Р1, р2，血，Р；, z) +

+「一/(£ (Pl)) — f (E (p2))] (2n)3，U 而2 — p2) 6 (p! + p2 —Pl — p2)X

X G2 (Pl,阮 E，向，Z) •駕'* =

0(2л)6[б(р： — Pl) 6 (p； — pj 士 6 (p’L Pl) 6 (p； — p2)] X

XU—〃E(Pi)) — f(E(P2))].(3.199)

Физический смысл этого уравнения удобнее обсуждать с помощью однородного уравнения Бете — Солпитера

{£ (р, + Е (р2)-力z} 2 (Pi, р2) + [1 -f(E (Р1) - 〃Е (р2))] X

X (2л)3，V (р2 - Р2)6 ⑤ + р2 -р,- р2) 2 (Рь р2)^^=0. (3.200)

Используя выражение Е (р) =-^-+ Е“" (р) и выполняя замену

р2 —p2 = q, мн можем записать это уравнение в виде

(嚮—4^"-力z)屮(pi, p2)+ ,丿(g)屮(pi + q, p2-q)T^r =— =+ {f (E (Pi)) + f У (P2))}，备 и (g)屮(Pl + q, P2 — q) + + \ 备 V ⑷{f (E (Pi + q)) + 〃E (P2 - q))}屮(Pi. Рг)三

三 §(累*厶"12屮(pi + q, p2 -q).(3.201)

Легко видеть, что левая часть этого уравнения есть не что иное, как уравнение Шредингера для задачи двух изолированных частиц в импульсном представлении. Многочастичные эффекты заключены в A"i2・ Эти эффекты состоят в следующем:

ограничения на заполнение фазового пространства, связанные с принципом Паули, которые отражаются через функции Ферми f(E(p)); в силу этого эффекта происходит ограничение двухчастичного рассеяния в системе многих частиц конечной плотности;

обменная собственная энергия 2ХФ.

Ясно, что однородное уравнение Бете — Солпитера можно рассматривать как многочастичный аналог уравнения Шредингера для системы двух частиц. Интересно отметить, что при д = 0 величина АН12 обращается в нуль; это означает, что может иметь место компенсация эффектов, связанных с прин-

ципом Паули, и эффектов собственной энергии. Таким образом, нужно учитывать оба этих вклада.

Сначала кратко изложим результаты, относящиеся к задаче об изолированной системе двух частиц (\Н[2 = 0). В этом случае имеются решения двух типов:

состояния, отвечающие рассеянию, с энергией

"—_±2 •

口 ~

волновые функции этих состояний удовлетворяют условию нормировки

\dp/p2Kp (%, р2)К：Р«1，р2)= 6(р —р，)6(Р —7);

связанные состояния с энергией

" _ 力2产.

e献mP=皿:一+^)一七献辘；

волновые функции этих состояний удовлетворяют условию нормировки

\dp/p2瞞mP(M，р2) ^n'l'm'P'(Р1，Р2)= ^Imnl'm'n'b (Р — Р').(3.202)

Предположим теперь, что величина АН12 мала. В первом порядке теории возмущений для исправленного собственного значения получаем

Е = ЕаР + (аР1Д//121 Ра), где сдвиг энергии выражается через невозмущенные собственные функции следующим образом:

〈аР I АН】? IРа〉= \ 昌 \ ^^ V (q) {f (Р1) + f (р2)} X

X 嗯р (Pi + q, Р2 - q) {嘰p(Pi，p2)~ 也p (Pi + q, P2 — q)}・ (3-2оз)

Из этого выражения видно, что имеется существенное различие между сдвигами энергий связанных состояний и состояний, отвечающих рассеянию. Связанные состояния, в особенности низ- колежащие, локализованы; следовательно, они являются распространенными в импульсном пространстве. Таким образом, волновые функции слабо зависят от импульсов, и слагаемые в фигурных скобках в значительной степени компенсируют друг друга. Энергия связанного состояния понижается лишь незначительно. В отличие от этого для состояний, отвечающих рассеянию, волновые функции имеют вид резких пиков в импульсном пространстве. В частности, положение края непрерывного спектра можно найти, подставляя в (3.197) волновую функцию

свободных частиц для р = О, Р = 0:

Go (р 1，02)= 60to6行0・

Тогда сдвиг края непрерывного спектра определяется только слагаемыми собственной энергии (квадратичными по 3). Поэтому можно ожидать, что край непрерывного спектра смещается быстрее, чем

Рис. 3.6. Зависимость края непрерывного спектра и энергии основного состояния от плотности. Переход Мотта отвечает плотности, при которой связанное состояние исчезает.Рис. 3.6. Зависимость края непрерывного спектра и энергии основного состояния от плотности. Переход Мотта отвечает плотности, при которой связанное состояние исчезает.энергия связанного состояния. Это поведение иллюстрируется на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Зависимость края непрерывного спектра и энергии основного состояния от плотности. Переход Мотта отвечает плотности, при которой связанное состояние исчезает.

Рис. 3.6. Зависимость края непрерывного спектра и энергии основного состояния от плотности. Переход Мотта отвечает плотности, при которой связанное состояние исчезает.

Физическая интерпретация этого результата очень интересна. При плотности, отвечающей так называемому пе-

реходу Мотта, энергия связанного состояния переходит в непрерывный спектр, и связанное состояние исчезает. Атом распадается. Подобные эффекты можно наблюдать в ряде физических систем ——в ядерной материи и, в более сложном виде, в электронно-дырочной и в плотной газовой плазме.

°2(Р" 口2，р"。2，?12)= > аР°2(Р" 口2，р"。2，?12)= > аР屮2不(Pl，Р2)屮Аб* SI, Р；)九Z]2 — "р —〈a? I А" 12 I「а〉屮2不(Pl，Р2)屮Аб* SI, Р；)九Z]2 — "р —〈a? I А" 12 I「а〉(3.204)(3.204)С помощью антисимметризованных решений 屮°一 однородного уравнения Бете—Солпитера функцию 62(^12) можно представить в виде билинейного разложения:

°2(Р" 口2，р"。2，?12)= > аР

°2(Р" 口2，р"。2，?12)= > аР

屮2不(Pl，Р2)屮Аб* SI, Р；)

九Z]2 — "р —〈a? I А" 12 I「а〉

屮2不(Pl，Р2)屮Аб* SI, Р；)

九Z]2 — "р —〈a? I А" 12 I「а〉

(3.204)

(3.204)

Аналитические свойства этой функции хорошо известны； они следуют из выражения (3.162). В частности, аналитическое продолжение О2(з) функции 62(212) имеет разрез вдоль вещественной оси, разрыв на котором определяет спектральную функцию. Поскольку матричный элемент <аР| ДЯ12|Ра> веществен, двухчастичные состояния стационарны и спектральная функция имеет простой вид

4(Р1，「2, р：，р；) =

=Е Фа?(Р1- %)耽6*(広，Р；)2п6 3-Еар —〈аР|А"]21Ра〉).

(3.205)

Все двухчастичные свойства системы многих взаимодействующих частиц определяются с помощью этой функции хорошо известным способом.

Случай V12 = 0 необходимо рассмотреть отдельно. В этом случае величина zi2 = 2ц/й вещественна и функция 62(212) имеет полюс в точке Еп +<п|ДЯ12|п> = 2ц. Чтобы избежать неоднозначности, нужно учесть выражение (3」61)・ Тогда для 62(212) получим“

С — V* 陆(Pl> Р2)唸万*(Р；，Р0 ,%— 4 -^12-Еар-(^Р\\Н12\Р^ 十

+ 煮 6V「о。(％，P2n)•(3.206)

Отсюда следует, что, согласно соображениям, подобным приведенным в разд. 323,

в двухчастичной функции Грина может проявляться дальний порядок,

если ЕаР +〈осР|А"12|Ра〉= 2ц, то может происходить бозе-эйнштейновская конденсация связанных состояний.

3.2.9. Т-матрица и термодинамические свойствав приближении парных столкновений

Приближение парных столкновений очень удобно описать с помощью Т-матрицы, которая была введена соотношением (3・178)； Здесь мы рассмотрим Г-матрицу частного вида

Т (121*儿 =〈% 也 I Т (/ - QI ^

Приближение парных столкновений получается из уравнения (3.180), если положить

^(121,2,) = V(1-2)S(1 — Г)6(2 — 2')・

В этом приближении уравнение (3.180) принимает вид 〈12[Т(/О12Т〉= Р(1 — 2)6(1 — Г) 6(2 —2，) + + i\dT 疸〈12|Т(/ —「)而 G|(Tr)G|@2”(r— 2，). (3.207)

Свойства такой Т-матрицы очень похожи на свойства двухчастичной функции Грина 62(%“ х2, %；, %；, / —— /). В частности, из (3.207) получаем

〈*也IТ(/ 一 /')I*寓〉=(x,x2|V{l -2)1 抬硝，it = if,

Для Г-матрицы справедливо и условие Кубо — Мартина — Швингера (3.160), т. е.

G占 17 (/ — QI х/〉『=e+睁〈*闯 Т (/ — Г) I *弘〉仁—州(3.208)

Это условие автоматически выполняется, если разложить 7-матрицу в ряд Фурье:

7 (i =』2 е-…ТГ &),

где Z12 =广；芥・ + 号 + 号’v12 = 0, ±2, ±4Коэффициент Фурье T(zi2)получается хорошо известным способом из спектрального представления

Т> (со) — Т< (со) = Г (со + 16)— Г (со - 16)= У Im Г (со + ie). (3.209)

Рассмотрим теперь фурье-образы Т<(з) и Т>(со). Из условия Кубо — Мартина — Швингера находим .

Г> (со) = 1 储吁2吋V ⑹(3.210)

или с учетом (3.209)

Т<(со) = у Im Т (со — /е) пв (со),(3.210а)

где'

■%(з)=田吁*)_「•

Для последующих рассуждений полезно' перейти к импульсно-частотному представлению. Тогда выражение (3.178) принимает вид

G?(Р|, • • • ,。4，Z]2)= G?(Р1，p2> Рз>。4，？12)+

+ \ dpi 匿體 dp, ^p^ ^( A，% Z]2)〈户也 I T 012)I Р3Р4〉土 X

义經(Рз, ％ 儿 ％ 啕，(3.211)

а уравнение для Г-матрицы записывается в виде

з1p2 I T ⑵2)I 员/1 产=<p1p2 I 匕2 I 户2%〉+

+ \〈p1p2 I %2 I Р；%〉經(Р；，Р二 %。4，212)<РзР/ T ("12)I 户2户1〉上义

X dp3 dp4 dp； dp； (2jt)T2. (3.212)

Здесь функция 經 определяется выражением (3.198)：

81% I 經(NJ I 加〉=〈0必 I 呢 3立，I P 能〉=

—1 — f (Pi) — f(P2) к д

—九方2一工(6)一工加2) 嘖1 %2匀,

Таким образом, уравнение (3.212) есть не что иное, как им* пульсное представление операторного уравнения

^12 (г12)=匕2 + 匕2乡?2 (“12)丁12 (之 12)，(3.212а)

Аналогично уравнение (3.211) есть импульсное представление уравнения

G2(Z12)=經(Z12) + 您(Z]2)Т (NJ 舐(NJ. (3.21 la)

Если заменить 2恵 единицей и выполнить аналитическое продолжение 之12-> %, то полученные соотношения переходят в хорошо известные выражения теории рассеяния двух частиц. В частности, Г представляет собой двухчастичный оператор рассеяния, который при % = Е +，е определяет обычную амплитуду рассеяния.

В общем случае оператор Т(Е + »е) определяет рассеяние двух частиц в системе многих частиц. Влияние окружения входит через ^12. Физический смысл величины ^22 для ферми-систем рассмотрен выше.

Как было показано Кадановым и Беймом [351], для многочастичного оператора Т справедлива оптическая теорема. Рас* смотрим выражение

Im Т (з + /е) = у (Г (о + /е) — Т* (з + %))=

Q ^ (Т (з + 也)一Т (з Те))・

Оптическая теорема вытекает из двух очевидных соотношений:

个^匕將=ImL (з -Ze), ImL 侬 + ie) = Im務(з + ie)；

второе из них является следствием уравнения (3.212а) для Т-матрицы. Используя эти соотношения, находим

Im Г (и + ie) = Г (и + ie) Im ^2 (а + ie) Г+ (и + ie). (3.213)

Это операторная запись обобщенной оптической теоремы. Мы должны здесь принять во внимание, что пределы е —0 для связанных состояний и для состояний, отвечающих рассеянию, раз*

личны (см. [423]). В явном виде имеем

（自8 一万,2）r+義.（自8 一万,2）r+義.Im 縊(з + ie) = у {總(з + 也)一經(со — ie)}=

（自8 一万,2）r+義.

（自8 一万,2）r+義.

Рассмотрим далее поведение T-матрицн, используя билинейное разложение

S1P2 I Т ⑵ I 02%〉= 2 (Е (Pl) + Е (Р2)— 力2)2 一魄(Pl})]*；(斤店), аРаР

(3.214)

вытекающее из (3.204) и (3.211а). В случае состояний, отвечающих рассеянию, функция Т(г) остается конечной и предельный переход s-> 0 в (3.213) легко выполнить непосредственно:

Im 然(3 + %)= - 方冗 6 (力3 - Я%) N ⑵

Подставляя это выражение в соотношение (3.213) и переходя к импульсному представлению, приходим к обычной форме записи оптической теоремы для задач рассеяния:

Im〈pg IТ (Е + «е)1 历凤〉士 = — 2口力 \ dp】dp2 {1 — f (〃) — f (小)} X

X 6 (E — E (pi) - E (pj) 131P21T (E + 间 I 历仇产 Г- (3.21 За)

Но при наличии связанных состояний оператор Т имеет изолированные полюсы, отвечающие связанным состояниям с энергиями ЕпР. Поскольку в области спектра, отвечающей связанным состояниям, функция Gg(a)) не имеет особенностей, находим

[423]. Под»и используя[423]. Под»и используяIm^((o + ie) = e—^― . (3.215)

[423]. Под»и используя

[423]. Под»и используя

Таким образом, предел е->0 хорошо определен ставляя выражение (3.215) в оптическую теорему выражение (3.214) в пределе е->0, получаем

(也 £需三(£ (pJ + e (与)一力唠=吋0(2%) Mb*伊中2)X

X (E(凤)+ E(P2)— 力3)2 2 m匡皆盘』(E (Pi) + E{p^~ 力3)2 X

9』Efip[ii

4 Зак. 641

Отсюда следует соотношение

i = Z|%p(z%)FР1Р

Для связанных состояний оптическая теорема эквивалентна условию нормировки функций “р.

Еще одну полезную форму записи оптической теоремы можно получить с помощью соотношений (3.209):

〈Р№I(户(з) — Т<(3)) |%к〉7 也电爲 м х

X〈凸% I 7 (3 + 氾)I 同科〉〈0也 I (匆(3)- Gf (0)) I P3P4〉X

义<0科仍(3 -%)|p:к〉-(3.216)

Наконец, рассмотрим собственную энергию Е в лестничном приближении. Исходя из выражения (3.179) и используя уравнение (3.212), находим

S(ir)=±ifi J d2 d2(12|7'|21/>G(^+)=自 (3.217)

Рассмотрим выражения для Im S и Re S:

Im S (p, и) = у(E> (p, co) — E< (p, s)),nI f dw Im£(p,s) _ (3.218)

ReE〈p. 3) = 2+—

Чтобы найти собственную энергию в приближении парных столкновений, ну жно рассмотреть функцию Г (о) = Е> — Е<. Для этого запишем соотношение

£乏(р” 3|)= \ ^|^〈P1P2ITW (М1 + g>2)|P2P1)G*(Р2, ®2). (3.217а)

Используя (3.210а), (3.88) и (3.217а), находим

г (Р1, 31) = \ т^у 2 Im〈仍办 IТ (з力 + Е(Р2)) IР2Р1〉X

Х(пв(^ +E(p2)) + f(E(p^},(3.219)

где мы положили'

А (р, и) = 2n万6 (Йи — £ (р)), Е (р) = ^^ + ReS (р, и) |Щ_В(Р)/А •

На основе соотношений (3.218) и (3.219) можно рассматривать свойства ферми-систем с сильными короткодействующими потенциалами взаимодействия при конечных плотностях и температурах. Примерами таких систем могут служить ядерная

материя и Не3. Для основного состояния рассмотрение было проведено в работах Галицкого [231]. Для конечных температур систематическую трактовку с учетом связанных состояний можно найти в работах Репке и др. [557——559, 563] (см. также гл. 6 и [726]).

В заключение этого раздела приведем явное выражение для определения термодинамических величин. Будем исходить из уравнения (3.143) и воспользуемся приближением (3.145) для спектральной функции. Для вещественной и мнимой частей собственной энергии Re S и 2ImS = Г будем использовать приближение парных столкновений, в котором собственная энергия связана с Г-матрицей соотношениями (3.218) и (3.219). Кроме того, разложим в ряд функцию Ферми вблизи энергии свободных частиц:

L(%(Р))=厶(需)+ 館一霧■ + Re (P，需)]X

X亏X亏+ • • •+ • • •

X亏

X亏

+ • • •

+ • • •

где ea(p)—энергия квазичастицы (см. также разд. 4.3 и 6.2). Тогда для давления находим

1

P-Po = Px0-^2(2Sa+ l)(2so+ 1)、争，%^&(。)一邂)>< abО

X 謚 Re〈PP'l{Tab(3)-乙 b}IP'P〉X

Xg 飲⑹(1—% ⑸”)))"“+^Z(2s“+ 1)(2“+ 1) x

ab

f dp dp' Г d P] Y

0 工L ® -方％ (p)_ 7Г %(P)J

X2Im(pp/| Tab (a> + ie)| p» g敦(a>) (1 -厶⑸”)))(力з - ^£-).

(3.220)

Выражение такого типа было получено из выражения (3.146) для плотности как функции химического потенциала [421]; см. также [609] и разд. 6.2. В разд. 6.1 давление записано через Т-матрицу; там же проведена оценка и хартри-фоковского вклада в давление (см. формулу (6.34) и последующие). В невырожденном случае результаты разд. 6.1 и 6.2 согласуются с вириаль- ными и фугитивными разложениями [185].

Выражение для давления через вторые вириальные коэффициенты имеет вид

Р — Ро =々“ Z NMb8ab.

Здесь z— фугитивности, za = ехр（^а/^вТ）, а Ваь — вириальные коэффициенты, которые могут включать вклады связанных состояний и состояний, отвечающих рассеянию. Правая часть формулы （3.220） по существу представляет собой второй ви- риальный коэффициент.

3.3. Квантовая статистика системмногих заряженных частиц

Основные уравнения. Экранирование

Будем теперь развивать строгую квантовостатистическую теорию систем многих заряженных частиц. Гамильтониан системы, состоящий из частиц сортов а, Ь, ..., имеет вид

"=2"^，x）（一黑）也（*）+

+\ dX，Vab（% — %'）2，%）谜（%'）必（%'）2a（%）'

ab

где

九匕（％ _ %'） =ГТ 6s Sa

'4h% I г - г J sasb

есть энергия взаимодействия частиц типов а и &, имеющих заряды еа и еь и спины sa и $ь соответственно. Характерная особенность этого взимодействия состоит в том, что радиус его действия очень велик. Поэтому системы с кулоновским взаимодействием обнаруживают коллективное поведение. В таких системах наблюдаются, например, 1） эффекты, связанные с динамическим экранированием кулоновского потенциала, 2） плазменные колебания.

Можно, очевидно, ожидать, что простое приближение парных столкновений, обсуждавшееся в предыдущем разделе, в этом случае окажется непригодным, поскольку всегда одновременно взаимодействует друг с другом большое число частиц.

Формально приближение парных столкновений приводит к многочисленным трудностям, например:

В случае кулоновского взаимодействия второй вириаль- ный коэффициент в уравнении состояния расходится.

На отрицательной полуоси энергий существует бесконечно много уровней Еп ~ п~2, расстояния между которыми уменьшаются при приближении к точке Е = 0. Таким образом, между дискретной и непрерывной частями спектра нет энергетической щели. Отюда следует, что если выражение для второго вириаль- ного коэффициента разделить на две части 魇产 и 磁℃, то обе они расходятся. В частности, расходится сумма по связанным состояниям:

8沪=2 ⑵ + 1) ЕОО.

Кинетические коэффициенты, вычисленные в приближении парных столкновений, также расходятся.

Чтобы преодолеть эти трудности, необходимо учитывать экранирование кулоновского потенциала； это означает, что в силу коллективного характера поведения заряженных частиц их взаимодействие описывается не затравочным кулоновским потенциалом, а экранированным потенциалом. Таким образом, последовательная многочастичная теория должна соответствующим образом принимать во внимание экранирование. Это можно сделать, записывая основные уравнения квантовой статистики таким образом, что в них кулоновский потенциал заменен на экранированный.

Эту программу можно осуществить, используя метод, описанный в книге Каданова и Бейма [351] (см. также [185, 606]).

Исходным пунктом рассмотрения служит тот факт, что внешний потенциал 5(11) приводит к появлению неоднородности, т. е. возникает среднее поле взаимодействия (эффективное внешнее поле). Это поле дается выражением

^фф(1Т)= Уа(1Т) + 2^(1Т)=

= Уа(Н)+ £/Й J d2 九 6 (12) Gb(22+) 6 (1Т).(3.221)

Рассмотрим теперь уравнение движения (3.117) для функции Ga и учтем соотношение (3.168), содержащее двухчастичную функцию Грина. Тогда уравнение движения (3.117) принимает вид

+ 寫)Gad')- f / М) Ga ①，)di■士

一力

士访 £ \ d2Vab(12){ Ga (1 Г) Gb(22+) - ^^} = бd П.

(3.222)

Определим далее «экранированную собственную энергию» 工 соотношением

,2а(1Т)0о(П,)йГ=±й£、九b(12)^^d2. (3.223) 0bb

Принимая во внимание определение эффективного потенциала L/эфф, находим

卜％ 显 + 薪叫 Ga(ir)- J {^фф(1Т) + 2а(1Т)}Х

X Ga (i Г) di =6(1 Г).

Отсюда легко получить интегральное уравнение

— i^h

Go(ir)= G^(ll,)+ \ Ga (1 lz) {sa (T2) + U^ (T2)} Ga (2 Г)dld2. О

(3.224)

Из этого уравнения видно, что функция Ga зависит от U только через С7эфф. Поэтому производные по U полезно заменить производными ПО [/эфф：

一毋方一ев力

j Km)Ga(ir)di=士访£ J 九。(⑵^С^Х би》фф (33，)

X 飞^垣2•厂 d2 d3 d3-(3.225)

Введем теперь две величины, играющие фундаментальную роль для систем с кулоновским взаимодействием, а именно определим поляризационный оператор

口心(13'1'3) = —講黑7(3.226)

и экранированный потенциал!

^ь(12)6 (32) 6 (3,2，)=九&「2)瑞券(3.227)

(ср., например, с [468]). Тогда соотношение (3.225) можно записать в компактном виде

" 一¥8力_:_—_—WB方.

，Na(lT)Ga(ir)dr=»2 \ U%(12)Ila〃121'2)a2.

• оь о

Сначала рассмотрим подробнее поляризационный оператор П. Выполняя функциональное дифференцирование уравне еия (3.224), получаем

паь( 2'1'2)=—паь( 2'1'2)=—6柒(11')此ФФ (22，)6柒(11')此ФФ (22，)

паь( 2'1'2)=—

паь( 2'1'2)=—

6柒(11')此ФФ (22，)

6柒(11')此ФФ (22，)

——

= _%Ga(12)Ga(2T)- \ GadD^^yGa^OdidZ

(3.228)

Подставляя это уравнение в соотношение (3.225), приходим к функциональному уравнению для собственной энергии

2а(1Г) = 1й7аа(11/)Са(11/) +

+ 1-й £ J dTd2Vsab (12) Ge (11) ^'~ •(3.229)

Таким образом, кулоновский потенциал в уравнении Дайсона заменяется на экранированный. Возможности дальнейшей работы с этим уравнением определяются смыслом и явным видом потенциала Vs. Для нахождения Vs вычислим производную 6U®8®/6U из уравнения (3.221), тогда легко найдем

У/(12) = Уаь(12) +，力 2，di d2VL di) ncd (2^2f) Vab (22). cd i.

(3.230)

Выражение (3.230) учитывает изменение потенциала за счет многочастичных эффектов, т. е. Vs есть экранированный потенциал. Теперь можно записать основные уравнения для системы многих частиц с кулоновским взаимодействием [351]. Уравнение Дайсона в интегральной форме и уравнение для собственной энергии имеют вид

Ga(ir)= G'；(ll/)-，dl d2G^(1 Г) {(/^фф (Г2) + Sa(Т2)} Ga (2Г)；

Sa(Tl) = z/iV^(lT)Ga(lT) + zn^ \ dTd2Vab(l2)X (3.231) b 0:

XGa(U)^a^IW9^ (^).

Вторая группа уравнений определяет экранированный потенциал Vs:

-фй

吟ь (12) =九ь (12) + 力力 £ \ d3 dWac (13) ncd (4343) Vab (42);

cd 0

Пас(1234) = - 6acGa(14) Ga (23) -(3.232>

tВ方-

-J G ⑴')^^Ga(2'3)”d2'.

Введем диаграммы:

iWab = I — экранированный потенциал.

%(⑵'2，) =%(⑵'2，) =4>4>—поляризационный оператор,—поляризационный оператор,(3.233)(3.233)应a (1'2，)6£/эфф(12)应a (1'2，)6£/эфф(12)£勿2£勿2—вершинная функция.—вершинная функция.

%(⑵'2，) =

%(⑵'2，) =

4>

4>

—поляризационный оператор,

—поляризационный оператор,

(3.233)

(3.233)

应a (1'2，)6£/эфф(12)

应a (1'2，)6£/эфф(12)

£勿

2

£勿

2

—вершинная функция.

—вершинная функция.

С их помощью получаем диаграммное представление полученных выше уравнениий (в пределе U f 0):

纟+啰,

金,金,(3.234)(3.234)

金,

金,

(3.234)

(3.234)

С помощью уравнений (3.234) все функции, фигурирующие в теории многих частиц, можно выразить через экранированный потенциал Vs. Таким путем автоматически учитывается коллективный характер поведения системы и устраняются кулоновские расходимости.

Интересно заметить, что полученные уравнения формально аналогичны основным уравнениям квантовой электродинамики. Действительно, они соответствуют нерелятивистскому пределу этих уравнений, но в данном случае функции Грина определены для системы конечной плотности при конечных температурах. Многие авторы использовали эту аналогию при получении уравнений (3.234) (см , например, [76]).

Наконец, покажем, что с помощью введенных выше величин можно вычислить и термодинамические функции. Для давления имеем выражение (см. разд. 3.2)

V(p-Po)=4£ S^S &2 九九 ь (12) Gab (121++2+). ab 0

Используя соотношения (3.225), (3.226) и (3.227), мы можем выразить давление через экранированный потенциал:

U(p_%) = ^2 ,毕"2{吟川2,九)Lb(121 ++2+) + ab О

+九九 b(12)Ga( 1++)G&(22+)}.

Диаграммное представление этого уравнения имеет вне

+ .^^ }(3.235)

Если исходить из этого вида уравнения состояния, то проблемы расходимостей не возникает.

Аналитические свойства функций Vs и П

В предыдущем разделе мы ввели поляризационный оператор с помощью функционального дифференцирования. Таким образом, он не определен непосредственно через операторы поля, и мы не можем прямо воспользоваться рассмотрением, проведенным в разд. 3.2, для установления аналитических свойств поляризационного оператора. Но легко показать, что поляризационный оператор ПаЬ связан с функцией 厶@七(121'2')

интегральным соотношением

ПаЬ(121/2/) = Да(,(121/2/) +

Ч-z/j Jdld2 £Lad(12TT+)7dC (П) Пс(,(22 + 1/2/). (3.236} cd

Отсюда следует, что аналитические свойства П(12Г2‘)определяются аналитическими свойствами функции L. Для функци» L справедливо выражение

%(⑵+2+)=耳*〈7(%⑴也⑴喏⑵办⑵)〉一

一懾〈時⑴必⑴〉〈也 ⑵屯⑵〉.(3.237>

Поскольку 九⑴=時 ⑴也⑴一〈孔(1)〉一 оператор флуктуаций плотности, функцию Lab (121+2+) можно рассматривать как коррелятор флуктуаций плотности:

厶砧(⑵+ 2 + ) =(7 {&⑴纵⑵})=

=8 仏一％)唸 0, — ^2)+ 0 (% — 4) Lab 仏一％)•(3.238)

С точностью до небольших изменений аналитические свойства функций L и Gi одинаковы. Мы получаем представление Лемана и, в частности, условие Кубо — Мартина — Швингерз в виде

唸仏一％)=弱仏一%+“・В)，

Lab^~t^ \t^=Lab^-t^\t^.'

Тогда так же как и в разд. 3.2.2., мы получаем (опуская спиновые переменные)

忘(Р, з) = {1 土 f ®)} ЛаЬ (р, со),

厶盒(р, СО) = f (СО) Ааь (р, 3), f ®) = (/°з - 1)т,(3.240)

Aab(p，①)=Lab(p，①)士 厶^(p，唸 где

厶春(p,①)=\ dr "Е+‘g竭(Г,力.

Далее, в силу условия Кубо — Мартина — Швингера функцию Lab можно разложить в ряд Фурье:

厶研(厶一%2)==涼 2 % %)'孤(| а* (3.241)

где Qn — мацубаровские частоты бозевского типа

Qn = —?；g' 仪=0, ±2, ± 4,・・.・

Для коэффициентов Фурье находим

%&, Р)=亲 \ ds 气父-•(3.242)

Функцию Lab (Qnt р) можно продолжить на плоскость комплексного переменного г с помощью соотношения

d(o А. (р. со)

亏-(3.243)

С помощью этого интеграла типа Коши мы, как обычно, получаем

1АаЬ (р, со) = Lab (р, со + ze) — Lab (р, з — %).(3.244)

Поскольку функции Пи/, связаны соотношением (3.236), аналитические свойства этих функций одинаковы (детальное обсуждение см. в книге [606]):

П> (р, со) = (1 土 f ®)) П (р, з),

П< (р, <о) = / (со) П (р, со),(3.245)

П (р, со) = П> (р, со)干 П< (р, з).

Здесь мы опустили индексы, указывающие на тип частиц.

Как и для функции L, аналитическое продолжение поляризационного оператора можно записать в виде интеграла типа Коши'

п(р, г) = ^^)..(3.246)

Часто полезно разделить это уравнение на вещественную и мнимую части:

2/ Im П(р, ш + 间=Ш (р, s) = 口 (р,(о + /е) — П (р, ш —旭)；

Re И (р, со) = Р \•(3'247)

Аналитические свойства функции Vs получаются с помощью выражения (3.230). В этом случае для разности Vs—V мы имеем спектральное представление

H.,zf(P)=,詳上込8二尹，*(3.248)

Разделив это выражение на вещественную и мнимую qacm, получим дисперсионные соотношения

2/ Im Vs (pt(о+ 诃)=2 (廿『(р,(о) —，f (p,(o))=

=Vs (p,(o + /e) — Vs (p,(o — fe), (3.249)

Re {Vs (p, s) - U (p)}=八需 2 l*(纬壮也,

Используя полученные свойства Vs и П, мы можем записать выражение (3.230) для экранированного потенциала в представлении Фурье — Мацубары. С учетом зависимости от спина находим

Vs (pt R力=口 + (2s + 1) □ (p, Q„)片(p, QQ" (p), (3.250>

где，(P)=e2/Eop2 — фурье-образ кулоновского потенциала. Отсюда легко получить формальное выражение для Vs. Выполняя аналитическое продолжение, приходим к выражению

з z) = 1-и(р)(£Т1)ц(р, Z)•(3.25)

Поскольку Vs включает в себя все поляризационные эффекты, это выражение показывает, что диэлектрическую проницаемость системы заряженных частиц следует определить соотношением

8 (р, z) = 1 — Р (р) (2s + 1)П (р, г).(3.252)

Функция е(р, г) играет важную роль в теории систем многих заряженных частиц, поскольку она полностью описывает коллективное поведение системы.

С помощью выражений (3.247) — (3.249) легко проверить справедливость следующих соотношений:

2 Im 7s (р,(о) = I Vs (р,(о) Г { - П> (р, со) - П< (р, со)},_

V?(p, ^) = \Vs(p, <о)12П^(р, со).8253〉

Приближение случайных фаз ■

Дальнейшее продвижение вперед при рассмотрении систем с кулоновским взаимодействием определяется возможностью найто приближения, позволяющие работать со сложной самосогласованной системой основных уравнений (3.234).

Удобно начать обсуждение с уравнений второй группы. В частности, рассмотрим уравнение для поляризационного оператора П(1234). Очевидно, что простейшее приближение для П получается, если пренебречь интегральным слагаемым; это- означает, что мы пренебрегаем так называемыми вершинным» поправками, т. е. полагаем 6G"/6U^巾=0. Тогда поляриза-

ционный оператор П принимает вид

nab(1234) = ±6abGa(l 4) Ga (23)=

二:Xi(3.254)

В частном случае, с которым мы встречаемся при определении экранированного потенциала, имеем

/(1414) = 士嶋 G°(14)Ga(41) =

=士(3.255)

Это простое приближение называется приближением случайных фаз (см. также разд. 5.2). Для дальнейшего полезно сначала рассмотреть функции П> и П<. Используя выражение (3.255), находим

n>(12) = ±G>(12)G<(21),

n<(21) = ±G<(12)G>(21).

Эти выражения проще всего записать в импульсном пространстве. Фурье-образ поляризационного оператора равен

口堂(р, 3)=，备響 GW (р，+ р,公 + з) G三(р', s').(3.257)

В дальнейшем для G姿 воспользуемся простым приближениемG> (р,(о) = [ 1 ——f (со)] 2л/гб (Йш ——8 (р)),

G< (р,(о) = f ((о) 2л/гб (力(о — 8 (р))・(3.258)

Тогда для И姿(р,(о) получаем

П> (р,(о)=

=\ 爲｛1 一 Не(Р‘) + ^]｝f(B (р')) Й6 伍 з + е (р‘) 一 е (р' + р))( П<(р(£о)=(3.259)

=\ 器｛1 -『(8(Р'))｝『к(Р')+ 冇回抬(力3 + е(Р‘)一 е(Р‘ + Р))-

Подставляя эти выражения в (3.246), получаем спектральное представление П:

П (Р，Z)7 磊田瘠縱石•(3.260)

Отсюда приходим к следующим выражениям для мнимой и вещественной частей поляризационного оператора П:

ImП(р,(о)-|旧>9, з)-П<(Р- «О】，

Rgp，s)= p\ 黑田伟偎斤(3,261)

Наконец, для диэлектрической проницаемости в приближении случайных фаз имеем

е (р, z) = 1 ——^- \.(3.262)

吋 /Bop2 J (2冗)3 版一e (p ) + 8 (p — p) ')

Полученные выражения явно определяют коллективные свойства системы заряженных частиц. В частности, экранированный потенциал можно записать в виде

片(q，z)=詫号•(3・263)

Это приближение подробнее рассмотрено в разд. 4.2.

Рассмотрим теперь первую группу основных уравнений. Для определения одночастичных свойств системы нужно найти приближенное выражение для собственной энергии. Пренебрежем опять вершинными поправками к S, т. е. положим 6W/6tM+ = = 0. Мы получим так называемое ^-приближение (приближение экранированного потенциала). С учетом приближения случайных фаз для Vs получаем таким путем хорошо определенное выражение

.2а(1Г) = гйУ^(1Т)Са(Т1) =

=D •(3.264)

выражением(3.265)выражением(3.265)В этом приближении функции 工芸 определяются 溝(if)—他券(Н)G?(1T),

выражением

(3.265)

выражением

(3.265)

которое в импульсном пространстве записывается в виде

戏 ®，Р)=，嗇署吗戸(Р — р', 3 - d) G券亿《/). (3.266)

Для определения одночастичных характеристик системы мы должны получить явные выражения для вещественной и мнимой частей собственной энергии. С помощью спектрального пред-

ставления (3.125) находим

Re*(Р，S)= Re (р) + 八襲•(3 267)

Г (р,(о) = 2 Im S (р,(о) = £> (р,(о)干 £< (р,(о).

Рассмотрим теперь более подробно функцию Г(р,(о). Имеем 2>干2< =门〃 3)= \舞甯{丿>("，叫х

X G> (P + p', S + s')干片 V (", s') G> (p + p', co + s')}. (3.268)

Используя выражения (3.88) и формулу (3.248), находим

Га (Р, со) = 4лЙ J 备，需 6 (力£0 -力6 -e堂?岁)X

X {1 — fa (Р + р') + 九в (s')} Im 吟a (“，《)' + %)•(3.269)

Методы расчета одночастичных характеристик обсуждаются в гл. 5, а их применение рассматривается в разд. 6.2.

Элементарное рассмотрение задачи об экранировании, основанное на итерациях, можно провести, исходя из выражения для экранированного потенциала Vab в приближении случайных фаз:

吟ь (12) =九〃12) 土

士汴 2 ，d3d4叫& (13) Gc (43) Gc (34)匕& (42).(3.270)

C 0

Идея о том, чтобы учесть экранирование с помощью итерационной процедуры, восходит еще к теории электролитов [156, 201, 202, 577, 578]. Чтобы пояснить эту идею, вспомним, что все трудности при рассмотрении, систем заряженных частиц связаны с да льнодействующим характером взаимодействия. В определенном смысле экранирование означает, что затравочные взаимодействия заменяются на экранированные. Этот простой подход можно сделать более строгим, рассматривая соотношение (3.270) как определение величины Уаъ через V% т. е. записав его в виде

Vaft(12) = V^(12)T

т «Й X S dMWac (13) Gc (43) Gc (34) Vcb (42).(3.271)

Простая итерация дает

九〃12) = ^ (12)干

干访 2，d3d4吗。(13) Gc (43) Gc (34) V^b (42) +

+ (，力)2 £，d3d4d3d4VaC (13) G, (43)。G (34) X cd

X Vid (43) Gd (4§) Gd (34)，% (42) + ….(3.272)

Теперь мы можем исходить из любого выражения для функций Грина через затравочные взаимодействия, например из диаграммных представлений, показанных на рис. 3.2——3.4, проводя замену линий взаимодействий в соответствии с выражением (3.272). После некоторой перегруппировки рядов мы получаем таким путем представления функций Грина через экранированные взаимодействия.

Глава 4

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУНКЦИЙ ГРИНАК КУЛОНОВСКИМ СИСТЕМАМ

Типы используемых приближений

Диаграммное представление для X и П

В предыдущих разделах было в общих чертах показано, что в кулоновских системах возникают специфические эффекты, которые обязаны своим происхождением дальнодействующему характеру кулоновских сил и которые нужно рассматривать в рамках теории многих частиц.

К числу таких эффектов относятся образование связанных состояний, эффекты собственной энергии и динамическое экранирование потенциала взаимодействия. Как показано в гл. 2, последовательный подход к статистической механике систем многих частиц строится на основе метода функций Грина. В настоящей главе более подробно рассматриваются подходы к расчету одно- и двухчастичных характеристик, а также диэлектрической проницаемости.

В рамках метода функций Грина весьма ясное и систематическое описание различных приближений получается с помощью диаграммного представления аналитических выражений, которые получаются из уравнений, приведенных в гл. 3.

Прежде чем перейти к обсуждению конкретных функций Грина Gi, G2, L, приведем некоторые общие соображения относительно того, как характеризовать различные приближения. Особое внимание мы обратим на случай частично ионизованной плазмы, в которой сосуществуют свободные частицы и связанные состояния. Мы будем рассматривать свободные частицы и связанные состояния на равных правах; этот подход мы называем «картиной химической связи》.

Как показано в гл. 3, различные функции Грина, такие как Gi, G2, L, определяются из интегральных уравнений — уравнения Дайсона (3.224), уравнения Бете — Солпитера (3.192), уравнения (3.236) соответственно. Решение этих уравнений методом итераций дает ряды теории возмущений для соответствующих величин； каждое слагаемое такого рода по степеням потенциала взаимодействия можно представить одной из связанных топологически неэквивалентных диаграмм Фейнмана. Диаграммная техника хорошо известна в квантовой теории поля (см., например, учебники Швебера [583] и Ахиезера и Бе- рестецкого [9]). Одно из главных преимуществ температурных

функций Грина состоит в том, что разложение в ряды теорий возмущений, диаграммное представление и частичное суммирование рядов для них можно выполнять подобно тому, как это делается в квантовой теории поля. Следуя Каданову и Бейму [351], изложим кратко диаграммную технику для температурных функций Грина в импульсно-мацубаровском представлении.

Перечислим элементы диаграмм:

функция Грина (пропагатор) свободных частиц

G?(l, z)wG-(l, z)三一-—=3e ⑴，(4」>

где £'(1) = Й2/?[/2т1 (в этом разделе 1 включает тип частиц» спин и импульс одночастичного состояния);

кулоновское взаимодействие

itiV0(q, ш)=—菰=隙•曰访九(g);(4.2)

вершинная функция

I\o(l, %1，2, z^ s)曰 ><Aneagam 6(Ji(j 6pi+% 办6咼+s,备(4.3) ^12*2

(крестики на диаграмме обозначают отсечение внешних линий путем умножения на Gto, Vo-1).

Эти элементы можно《одеть》；в результате получим одночастичную функцию Грина

Gi (1,力三一^ Gi,o(l, г) + Gl(0(l, %)4(1, %) Gi (1, г) (4.4)

(«одеваниеэ описывается уравнением Дайсона (2.322), где Wi (1,之)——собственная энергия), экранированный потенциал взаимодействия (3.232)

Vs S, s)三—Т^Г~ =九 ® + 九(^)П (g, s) Vs (^, ш) (4.5)

(П (^, <n) = ^a,b^a^ab (^» ®) — поляризационный оператор) и одетую вершинную функцию

ГД1, zb 2, z2, <7, ®)^ „ulLxRGiGJi, (4.6}

где R(l, zi, 2, Z2, Г, z；, 2〔 z；) — неприводимая часть Г-мат- рицы в f-канале, а крестики обозначают отсечение внешних концов путем умножения на G~l, (7s)・

Все одетые элементы можно представить рядами диаграмм (с заданными внешними линиями или точками окончания), построенных из неодетых элементов.

Структура итерационного решения уравнения движения такова, что нужно учитывать только связанные диаграммы, которые не распадаются на несвязанные подгруппы (теорема о связанных группах, см. [9]), а также отбросить повторяющиеся топологически эквивалентные диаграммы, т. е. диаграммы, которые путем деформации можно перевести в одну из рассмотренных. С учетом этих ограничений функции Gi, Vs и Г1 представляют собой суммы всевозможных диаграмм, которые можно построить из линий Go и Vo. Доказательство этой теоремы приведено в разд. 3.2.4.

Аналогично величины £卜 立 н К можно представить неприводимыми диаграммами. Собственная энергия Si (1, z) есть :сумма всех связанных топологически неэквивалентных неприводимых диаграмм с двумя внешними вершинами, которые не распадаются на две отдельные части при разрыве одной линии, отвечающей функции Грина свободных частиц. Аналогично поляризационный оператор П(^, со) дается суммой всех связанных топологически неэквивалентных неприводимых диаграмм с двумя внешними вершинами (возникающими при отсечении линий Vo), которые не распадаются на две отдельные части при разрыве одной линии кулоновского взаимодействия. В этой главе мы не будем подробнее обсуждать неприводимую часть одетой вершинной функции: ей соответствуют диаграммы более высокого порядка (с четырьмя внешними точками).

Приведем правила сопоставления аналитических выражений диаграммам [351]. Каждой внутренней линии кулоновского взаимодействия сопоставляются импульс q и бозонная мацуба- ровская частота ©к = 2лХ/ (—i§力)，九=0, ±2, ±4, ..., а внутренней линии, отвечающей одночастичной функции Г рина Gi, о(1, 21), сопоставляется переменная 1, включающая тип частиц, спин и импульс, и фермионная мацубаровская частота 21V = nv/(—i%6) +卩i, v = ±1, ±3, .... По всем внутренним переменным нужно проводить суммирование. При этом суммирование по импульсам можно преобразовать в интегрирование:

器， (4.7) р

а суммы по мацубаровским частотам, согласно выражению (3.196), можно представить в виде контурных интегралов:

5!>(4v)7 寨后⑶九 3).(4.8)

Каждая замкнутая фермионная линия (петля) приводит к по* явлению дополнительного множителя- (—1).

Приближение случайных фази приближение экранированного потенциаладля собственной энергии

Уравнения (4.4) и (4.5) для Gi и V можно решить приближенно, если использовать приближенные выражения для £? и П. Выбор каких-либо диаграмм для Si или П отвечает частичному суммированию некоторых классов диаграмм для Gi и Р.

(4.10)(4.10)Важная роль частичного суммирования диаграмм связана с тем, что вблизи полюсов функций Gi, о и Vo (в последнем случае около точки д = 0) ряд по степеням взаимодействия не сходится. Как видно из формального решения уравнений (4.4), (4.5), после проведения частичного суммирования полюсы сдвигаются:

(4.10)

(4.10)

(см. (3.126) и (3.251)).〜

Простейшее приближение для П — приближение случайных фаз (ПСФ):

пПСФ (д,孤)=д,孤(^) g，吗=

(4.11)(4.11)fa(P)— fa(p + q)z^力二 ％7p工q) + a吗

(4.11)

(4.11)

отсюда получаются соответствующие выражения для У?сф(д, со) и еПСФ (д, ш). Это приближение описано в разд. 4.2. В этом приближении учитывается лишь та часть поляризационного оператора П, которая отвечает идеальной системе, т. е. невзаимодей' ствующим частицам; основная идея такого подхода состоит в том, что частицы, составляющие кулоновскую систему, рас-

сматриваются как свободные, и считается, что поляризация обусловлена внутренним экранированным полем.

Простейшим приближением для £】является приближение Хартри — Фока, в котором рассматриваются вклады первого порядка по 電 в 4 (см. разд. 3.2.4):

=Z eaiea2 (Vo (0) — 612^0 (Pl — p2))fl(P2)-(4.12>

Вследствие условия электрической нейтральности первое слагаемое (слагаемое Хартри) для однородной системы обращается в нуль. Второе слагаемое связано со статистическими корреляциями (обменное взаимодействие), обусловленными принципом Паули (см. также (3.122) и (4.157)).

В качестве следующего шага заменим затравочный потен* циал 几(д) в £产динамически экранированным потенциалом; при этом получается приближение экранированного потенциала для нейтральной однородной плазмы：

=Е ^,Vs (р, — р2, ©х) G1(о (р2. Z! — Сйх). (4.13> р2'耿

Это приближение, которое учитывает и влияние кулоновских корреляций на распределение плотности заряда вокруг рассматриваемой частицы, более подробно рассматривается в разд. 4.3. Разумеется, для конкретизации приближения экранированного потенциала нужно взять конкретное выражение для Vs, например в приближении случайных фаз.

Следующее важное приближение — самосогласованное при* ближение Хартри — Фока

£『ф(1,2)=; +/(4.14>

Оно содержит не зависящую от частоты часть взаимодействия с окружением. Это приближение служит исходным пунктом расчетов зонной структуры твердых тел и орбиталей в атомах и молекулах.

Самосогласованный вариант приближения случайных фаз 駐 приближения экранированного потенциала включает следующие диаграммы:

Й (% со) =

%(1, z) = ? + /<7\ (4.15)

В этом приближении П описывает поляризацию не свободных частиц, а квазичастиц под действием внутреннего экранированного поля. Согласованное решение полученной системы уравнений представляет собой весьма сложную задачу.

Возникает вопрос: как строить дальнейшие приближения, выходящие за рамки приближения случайных фаз? Ответ на него зависит от конкретной ситуации, т. е. от рассматриваемой области на плоскости температура — плотность.

Например, в случае электронов в металле рассматриваются обменные члены в П, которые после некоторых приближений приводят к поправкам Хаббарда или к выражению для диэлектрической проницаемости, полученному Сингви и др. [595] (см. [64, 250, 251, 291, 319, 595]). Мн сосредоточим основное внимание на частично ионизованной плазме, в которой могут возникать связанные состояния. Следовательно, нас интересуют диаграммы, представляющие процесс образования кластеров.

Многочастичные комплексы и Т-матрицы

Чтобы получить связанные состояния двух частиц (например, атомы водорода в электронно-протонной плазме), нужно рассмотреть по крайней мере двухчастичную функцию Грина G2,0 в лестничном приближении. Для функции (3.192а), зависящей от одной частоты, имеем

(4.16)

Эта функция Грина G?, о описывает распространение изолированного кластера (группы) двух частиц в произвольном порядке по взаимодействию между ними. Уравнение (4.16) можно решить с помощью билинейного разложения

е2,0(12Г2\ г)=§е2,0(12Г2\ г)=§端卫(12)叫卫*(1")端卫(12)叫卫*(1")(4.17)(4.17)

е2,0(12Г2\ г)=§

е2,0(12Г2\ г)=§

端卫(12)叫卫*(1")

端卫(12)叫卫*(1")

(4.17)

(4.17)

Здесь 屮^ и Е；р— волновая функция и энергия двухчастичных состояний, п — квантовое число, характеризующее внутреннее

состояние, а Р——полный импульс. Волновая функция 屮;р(1, 2)^ которая в случае тождественных частиц должна быть анти- симметризована, и энергия 或「определяются соответствующим уравнением Шредингера (см. разд. 3.2.6)

(Е⑴+ Е⑵一Ем)也 р(12)+ £ %(121'2')耽 р(1'2') = 0. (4.18>

Матричные элементы функции G2, о, вычисленные с волновыми функциями двухчастичных состояний |"Р〉, имеют вид

G2•。"，尸，2)=『風•G2•。"，尸，2)=『風•(4.19>(4.19>

G2•。"，尸，2)=『風•

G2•。"，尸，2)=『風•

(4.19>

(4.19>

Они формально такие же, как для Gi, 0(1, г) (4.1), и мы введем новый элемент диаграммы

5, о (% Р, 2)=5, о (% Р, 2)=(4.20}(4.20}

5, о (% Р, 2)=

5, о (% Р, 2)=

(4.20}

(4.20}

Заметим, что спектр 叱卩 может содержать дискретную часть (связанные состояния) и непрерывную часть (состояния, отвечающие рассеянию). Как отмечалось в гл. 2, для связанных состояний функция G2, о("Р, %) играет ту же роль, что и одночастичная функция Грина Gi,o(l,z), и каждое связанное состояние с внутренним квантовым числом п можно рассматривать как новый сорт частиц (картина химической связи). Дальнейшее развитие этих представлений дано в следующем разделе.

Билинейное разложение Т-матрицы имеет вид

程。(⑵'2', z) = £i1)°p(12) (zh-E(l)-E (2))标匕；X

(4.21>(4.21>X (Е：р - Е (Г) — Е (2，))胱р (Г2).

(4.21>

(4.21>

Разумеется, так же можно описывать и образование больших кластеров. Изолированный кластер из п частиц описывается n-частичной функцией Грина Gn. о- Соответствующая n-частичная Т-матрица Тп удовлетворяет уравнению Фаддеева. Нужно рассмотреть различные каналы, например, для задачи трех частиц — каналы, отвечающие трехчастичным связанным состояниям,, соогояниям, описывающим рассеяние между связанным состоянием двух частиц и свободным состоянием, и состояниям, описывающим рассеяние трех свободных частиц. В этом случае в рамках картины химической связи трех* частичные связанные состояния можно рассматривать как новый сорт частиц.

Образование кластерови картина химической связи

Билинейное разложение для n-частичной функции Грина Gn^ (см. (4.19)) очень похоже на одночастичную функцию Грина (4.1); в частности, оно описывает распространение связанного состояния п частиц, которое можно рассматривать как новый сорт частиц. С другой стороны, из рассмотрения картины химической связи известно, что свободные частицы и составные частицы (связанные состояния) нужно рассматривать на равных основаниях [162]. Исходя из этого, можно сформулировать эвристический принцип, позволяющий строить приближения для многочастичной системы, если нас интересует образование связанных состояний: выражения, которые представлены диаграммами, содержащими одночастичную функцию Грина Gi,。，заменяются классом слагаемых, получаемых путем замены Gi, о ва Gn, о- Следует соблюдать осторожность, чтобы избежать двойного учета диаграмм и добавления несвязанных диаграмм; таким образом, нужно провести специальный анализ того, какие диаграммы из расширенного класса должны быть исключены из рассмотрения. При такой процедуре гарантирован хорошо обоснованный переход к правильному описанию в рамках картины химической связи и не возникает проблем, связанных ко статистическими корреляциями, как, например, при эмпирическом введении химической связи и в рамках бозе-формализма [630].

Чтобы воспользоваться рецептом построения класса диаграмм, в которых свободные частицы и связанные состояния рассматриваются на равных основаниях, необходимо дополнительно ввести вершинную функцию для взаимодействия комплекса 孔 частиц с кулоновским полем. Для двухчастичных комплексов имеем [554]

『2, Р, fl1, Q, со)=、曾7 .j

n,P}Q. T?；Q+g,a*3

=\ dp】\ dp2^p(P1，P・2)佰屮°“，. P+q (Pl 十 q，P2)+

+ e2%P+q(Pi，Pz + q)}.(4・22)

Введенная вершинная функция имеет следующий физический смысл. Она описывает мультипольное кулоновское взаимодействие двухчастичного состояния. Для связанных состояний, раз-

ложив волновые функции в пределе q->0, находим

lim Г2 ° (% ", Р, q, Q, s) = iq • d^,(4.23>

где dnn^ = е(п[г[п')— матричный элемент дипольного момента, с】=——色=е, а г — относительная координата.

Аналогично можно ввести вершинную функцию для кластеров большего числа частиц:

гт, о 5,心 Р，9, Q，з) = \ dpi dp2 …dp^p(Р1Pm) X

X {0%，.P+q(Pl + q，%，•…"m)+ •••

'''+ %*，. p + q(Pi，• • • , Pm + 口)}*(4.24)/'

Используя обобщенные функции Грина Gm, о и вершинные функции Гт, о, мы можем обобщить приближения, описанные 中 разд. 4,1.2, включив в рассмотрение класс диаграмм, учитывающих образование связанных состояний [726].

Обобщенное приближение случайных фаз для поляризационного оператора можно записать в виде кластерного разложения

ППСФ (д, з) = £ п"СФ (д，з) I .(4.25>

几1СВЯЗ

Вклад ПтСФ> отвечающий /n-частичному кластеру, содержит слагаемое

а

=Е 2 гт. о (п, п\ Р, q, Q, со) X m nn^PQ

xrm)o(n, к P + q, -g, Q + з, _ 3)々(^)； %(%•恵).

—上〃,P+q~"

(4.26》 где

fm(E) = le ，' _(_1严丿(4.27)，

есть соответствующая функция Бозе или Ферми. Суммирование по внутренним квантовым числам п,几‘ включает как связанные” состояния, так и состояния, отвечающие рассеянию. Если в выражении (4.26) учитываются связанные состояния, то нужно*

вычесть несвязанные диаграммы, как это подробно показано в работе [554] (см. также разд. 4.4 и [726]).

Аналогично обобщенное приближение экранированного потенциала, включающее двухчастичные комплексы, имеет вид

工2(小儿'，Р, Q)=工,，+=

=E Г2,о(«- К P — q, Q, — со)Г21О(п//, n, P — q, <7, Q — co, 3) X

义尸(％ s)G2,om〃，p_q, Q — s).(4.28)

Так уравнение Дайсона для одночастичной функции Грина можно обобщить, записав уравнение Дайсона для двухчастичной функции Грина и определив собственно-энергетическую часть для комплекса двух частиц. Это приближение обсуждается в работе [709] (см. разд 4.5). Обобщение на /п-частич- ный кластер проводится непосредственно.

Следует отметить, что и в этом случае можно использовать самосогласованный подход, если выразить поляризационный оператор ПтСФ, а также собственную энергию Sm через одетые состояния m-частичных кластеров («кластерные квазичастич- нне состояния»).

Групповое разложение собственной энергии

Физическое описание системы частиц можно свести к картине химической связи путем разложения Т-матрицы на связанные <части. Так, для одночастичной собственной энергии

/„ = Z^Vii ± обменные члены, V/i=Z?</V"・ Это групповое разложение свободной энергии можно модифицировать, заменяя

неодетую одночастичную функцию Грина Glf 0 полной одноча* стичной функцией Грина Gi, а в 7Л, о, учитывая только неприводимую часть [563]. Тогда мы получаем следующую систему уравнений:

групповое разложение собственной энергии

% (1, 2)= ^C^j3 十 ^^^^ + • • • |непрнв) (4.32>

уравнение Дайсона для одночастичной функции Грина

G|(l, 2)=(4.33>

уравнение Бете — Солпитера для Г-матрицы「％ о

叵]=叵| +勿三％(4.34),

Используя билинейное разложение для Тп, о и учитывая лишь дискретную часть энергетического спектра, мы приходим непосредственно к описанию идеальной смеси в картине химической связи. Например, в пределе низкой плотности для уравнения состояния находим [609, 726]

似3 ")= Z g“fm(E涧，(4.35>

nPtn

где g%m — фактор вырождения. Полная плотность состоит нз плотности свободных частиц и плотности связанных состояний. В рамках последовательного квантовостатического подхода уточнение простейшего уравнения состояния (4.35) можно получить, например, принимая во внимание вклад состояний, отвечающих рассеянию, и собственно-энергетические поправки к энергиям 或戶 n-частичных состояний.

Диэлектрические свойства систем заряженных частиц.

Приближение случайных фаз

Линейный отклик на внешние возмущения.Общие замечания

Если к системе заряженных частиц приложено внешнее- поле Е, то оно индуцирует плотность заряда е6〈м〉, и из условия причинности для вектора электрической индукции мы

получаем

仇(，，% [ Еа (Г，/)+ 2，” dr'Kas (Г — Г‘，i- Г)综(匕厂)| (& -COJ

(4.36)

!(индекс а нумерует декартовы координаты). Для однородных сред мы можем выполнить в этом соотношении преобразование 4>урье и записать результат в виде

Da(Р，®) = е0 Е еар (р, со) £§ (р, со),(4.37)

тде тензор диэлектрической проницаемости е^в выражается через функцию отклика Ка0：

Бар (р，з) = бар + ^ dT \ dqKa& (q, т) е-'⑺一函 (4.38)

^микроскопический вывод этого выражения дан ниже, см. (4.57) 幽 далее, а также гл. 3). Тензор диэлектрической проницаемости сложно разделить на поперечную (/) и продольную (/) части:

£邛(Р，s) =(6邛一~^)立(〃①)+ ~P"电(〃 s)・(4.39)

Поперечная часть диэлектрической проницаемости существенна, -если к системе приложено электромагнитное поле. Здесь же мы рассмотрим лишь случай электрического поля и ограничимся продольной составляющей е；, которую мы будем просто называть диэлектрической проницаемостью: el £• Для многих приложений диэлектрическую проницаемость е нужно разделить на вещественную и мнимую части:

е (р, со) = е‘ (р, со) + 施"(р, ш).(4.40)

Диэлектрическая проницаемость связана с комплексной проводимостью а соотношением

(4.41)(4.42)(4.41)(4.42)е (р, з) = 1 + 嬴 ь(Р，®).

(4.41)

(4.42)

(4.41)

(4.42)

Используя уравнения

divD = епвнеш,

div Е = -7- е (б (п) + пвнеш)

можно выразить величины е(р,з) и о(р,(о) через плотность сторонних зарядов епвнеш (внешний источник) и наведенную плотность заряда еб<п> (п — плотность числа частиц).

Выполняя преобразование Фурье, для диэлектрической проницаемости из (4.36), (4.42) получаем

е(р, со)е(р, со)"Внеш (р, 8)б〈"("，о)〉+ "ВНет (р, 8)"Внеш (р, 8)б〈"("，о)〉+ "ВНет (р, 8)(4.43)(4.43)

е(р, со)

е(р, со)

"Внеш (р, 8)

б〈"("，о)〉+ "ВНет (р, 8)

"Внеш (р, 8)

б〈"("，о)〉+ "ВНет (р, 8)

(4.43)

(4.43)

«ли«ли

«ли

«ли

1] б(п(р, (О))

日(〃8厂一胪неш(p, J

Таким образом, полная плотность заряда епполн (р, з)= =еб<п (р,(о)〉+ е^внеш(°, s) связана с плотностью сторонних зарядов соотношением

…(р,з) = ^^. (4.44)

Соответствующее уравнение Пуассона имеет вид

AUBHem =——L е2пвнешвео

Выполняя преобразование Фурье, получаем

г7внеш . 小е? „внеш / „ 八、

U ("'8)=-审儿 3电

(мы рассматриваем случай, когда имеется лишь продольная составляющая). Эффективный внешний потенциал можно ввести соотношением

" …号誅А(4.45)

Интересным примером коллективного поведения плазмы служат плазменные колебания； мы рассмотрим их для электронного газа при наличии положительно заряженного фона. Найдем реакцию системы на импульсное внешнее возмущение плотности

几внеш 亿 /) = nBHemefqrS (/),(4.46)

фурье-образ которого имеет вид

献неш (〃 S)=閃неш (2л)3 6 (р — q).(4.47)

^полн^полнЛвнеш(р, (О) з 吁 F^rЛвнеш(р, (О) з 吁 F^r咽нет(28)3 6(p q)咽нет(28)3 6(p q)(4.48)(4.48)Полная плотность определяется из соотношения (4.44):

^полн

^полн

Лвнеш(р, (О) з 吁 F^r

Лвнеш(р, (О) з 吁 F^r

咽нет(28)3 6(p q)

咽нет(28)3 6(p q)

(4.48)

(4.48)

чим, рассматривая ее фурье-образчим, рассматривая ее фурье-образ几полн (г.几полн (г./) ^=几BHein@zqi/) ^=几BHein@zqi2л e(g. <й)2л e(g. <й)(4.49>(4.49>

чим, рассматривая ее фурье-образ

чим, рассматривая ее фурье-образ

几полн (г.

几полн (г.

/) ^=几BHein@zqi

/) ^=几BHein@zqi

2л e(g. <й)

2л e(g. <й)

(4.49>

(4.49>

Пространственно-временное поведение этой величины мы полу

Вообще говоря, выражение (4.49) описывает затухающие колебания полной плотности заряда. Поэтому нужно исследовать полюсы аналитического продолжения функции 1/е(.р,(о) в нижней полуплоскости энергии (см. ниже). В общем случае полюсы комплексны, а их положение определяется равенством

йю(р) = ^ю(р)—访Y(p). (4.50}

Тогда можно вычислить интеграл в (4.49) с помощью теоремы вычетов. В результате получаем, что в плазме под действием внешнего возмущения возникают колебания плотности или плотности заряда. Эти плазменные колебания характеризуются комплексными энергиями плазмонов (4.50); в простейших приближениях (о(р)—плазменная частота (см. ниже). В большинстве случаев спонтанные плазменные колебания исчезают из-за наличия затухания у(р). Но в физике плазмы возможна также ситуация, когда эти колебания нарастают и происходит самовозбуждение плазменных волн (см., например, [97, 478]).

Вопрос об определении комплексных энергий плазмонов рассмотрен в разд. 4.2.2. Для практических применений и при численных расчетах часто полезно использовать правила сумм для диэлектрической проницаемости; одно из них, например^ имеет вид

+ 8

(4.51>(4.51>\ doxo Im —г

(4.51>

(4.51>

Jв (р, со)

где шГ1Л = (ne2/e0me)1/2 — частота плазменных колебаний в случае электронного газа.

До сих пор наше рассмотрение носило феноменологический характер. Посмотрим теперь, как диэлектрическая проницаемость е и функция отклика ^ap связаны с функциями, которые определены в гл. 3 в рамках микроскопической теории. В этой главе мы ввели в рассмотрение диэлектрическую проницаемость, поляризационный оператор и коррелятор флуктуаций плотности, связанные между собой соотношениями:

е (р, Qn)=l-S 九& (Р)ПаЬ (р, QJ(4.52)

аЬ

厶研(Р> ^п) = 口研(Р, ^д) — Е ^ас(Р> ^д)几d(Р)口励(Р>, ^д)* (4・53}

Для фурье-образов этих функций е(р, Qrt),厶(р, QJ, П (р, Qrt) справедливы спектральные представления (3.243):

3)-17署含,——总当，(4-54)

П3z)T雾金,

где переменная z должна принимать значения, равные мацу- баровским частотам г = Qv = nv/(—фй) с четными v.

Поясним теперь физический смысл рассматриваемых величин. Мы покажем, что коллективное поведение системы, связанное с дальнодействующим характером кулоновского взаимодействия (экранирование, плазменные колебания или поляризация) ,полностью определяются функциями 厶，е, П, дающими микроскопическое описание свойств среды. Чтобы показать это, рассмотрим, реакцию системы на внешнее поле, гамильтониан которого имеет вид

"(/)=，dxUm&w (х)屮+ (х)电(х) =，dxU^ (x) n (x). (4.55)

Действие такого возмущения удобно описывать с помощью теории линейного отклика； кратко остановимся на этой теории (см. также гл. 7).

Рассмотрим систему с кулоновским взаимодействием в состоянии термодинамического равновесия, которому отвечает оператор плотности peq. В момент времени f = % = —оо включается внешний возмущающий потенциал ивнеш(%) Это приводит к изменению оператора плотности р(/) = реч + Др, так что отклик, связанный с какой-либо наблюдаемой, дается выражением

6〈4〉= Tr {(peq + др) А ")} 一 Тг {реМ (/)}.

Для вычисления этого отклика нужно определить Др. С этой целью рассмотрим уравнение движения для оператора плотности

访备р + [(" + "2)，р]=о

с начальным условием

Нт р = peq.

Учитывая лишь слагаемые, линейные по //внеш, т. е. рассматривая лишь линейный отклик, получаем уравнение для Ар:

3 Ар + }Ар] = - % [//внеш, Р叫，

формальное решение которого имеет вид

Ар=； j 历3(Г), peq]е屮/

при f > £о・ С помощью этого решения находим линейный от* клик среднего значения наблюдаемой А:

66) = % \Tr{peq 旧вне〕，)，A^dt'.

В качестве конкретного примера рассмотрим оператор плотности частиц в плазме п(х)= 4)+(x)i|)(x). Для средней плотности частиц линейный отклик на внешнее возмущение (4.55) определяется выражением

г

6<п(х, 0) = 2-J dxz([п(/, Q, п(х,⑪[/"нет (/, Г) ". (4.56)

Это существенный результат, который показывает, что для плотности частиц или плотности заряда линейный отклик связан с запаздывающей корреляционной функцией флуктуаций плотности

La6 (1212) ==^-([па(1), %(2)]〉8«1 — %)=以 М厶—坛 X] — х2)==

~ 8 (厶一％) {L^J (厶一?2)— ^ab (/1 — %)}(4.57)

Поскольку мы принимаем, что система пространственно однородна, в выражении (4.56) удобно выполнить преобразование Фурье. Тогда получим более простое соотношение

6 3(р, 3》=-厂(р, з) иваеш(р, з),(4.58)

из которого видно, что реакция однородной системы отвечает импульсам и частотам, совпадающим с импульсами и частотами возмущения.

Следующая задача состоит в отыскании функции Lr(p, ш). Ее неудобно вычислять непосредственно, поскольку уравнение движения для нее сложнее, чем уравнения движения для причинных функций Грина. Кроме того, для запаздывающей функции Z/(p,со) не существует диаграммной техники Фейнмана. Поэтому мы установим связь между функцией Lr(p,(о) и со-

ответствующим причинным коррелятором флуктуаций плотности Lc(pt(о) = L(pt(о) (индексом с отмечена причинная функция). Используя выражения (3.242) и (3.243), легко найти спектральное представление для функции U\

Сюда входит та же весовая функция А(р, ш), что и в выражения для £(「,◎"). Как видно из выражения (3.243), функция Lr(pt(о) аналитична в верхней полуплоскости 2：

Таким образом, L「(p, z) есть аналитическое продолжение L(p, г) функции L(p, ◎〃) на верхнюю полуплоскость.

Такие же соотношения связывают Пг(р, Qn) и П(р, ш).

Используя (4.53), мы можем выразить Lr(p, г) через поляризационный оператор:

厶г (р, z) = 1 — у(；)*г ]р, Z).(4.59)

где

1rg，z)=\ 碧唸.(4.60)

При этом для возмущения плотности получаем

'65(Р，明「_『侖銷；з)严m(p,咻(4.61)

Коллективные свойства плазмы связаны со знаменателем, через который определяется эффективный внешний потенциал:

(4.62)(4.62)"叫 n Q= ивнет (…)_ ч/внет9,⑦) 口 J ~ 鼠(p, co) — if (p) IT (p, (O)，

(4.62)

(4.62)

где ег дается равенством (4.52), в котором проведена замена П -> Пг. «Запаздывающая» диэлектрическая проницаемость ^(р, ш) связана с е(р, ш) (4.54) соотношением

ег (р, со) -> е (р, s + /0). (4.63)

Во всех приведенных выше феноменологических выражениях диэлектрическую проницаемость следует понимать в смысле е(р,ш)->е(р,(о + /О).

Обсудим теперь некоторые другие свойства (обратной) диэлектрической проницаемости. Штольц [606] показал, например, что при г-> оо величина е-1 (^, г|—1 убывает как г-2.

5 Зак. 641

е— (q, — I 屮一8 + t«е— (q, — I 屮一8 + t«Тогда на основании теоремы о вычетах Коши находим

е— (q, — I 屮一8 + t«

е— (q, — I 屮一8 + t«

=0,

или с учетом тождества Дирака

Р , d®'匸勺R" -"к 广匂,со)-1} = Q.

Выделяя в этом соотношении вещественную и мнимую части, мы получаем хорошо известные дисперсионные соотношения Крамерса — Крон ига

+.8

Ree%, ®_1 = Р \ 也；署,-

lmL(g,3)—Р『警纯尹詆,f).

Сравнивая их с третьим из соотношений (4.54), мы действительно получаем

①(д, ш) = 2 Ime'1 (q, © + /е).

Функция (D(g, s) есть спектральная функция обратной диэлектрической проницаемости e-i (^, z), которая, согласно (4.53), связана со спектральной функцией А(^,ш) коррелятора £(g,2) соотношением

2 Ime-r(?> s) = —丿(g)/f(g, s)

(ср. с (3.243)-(3.245)).

Согласно равенству (3.238), можно записать [606]

A(q, <о)= \ е'з5-")〈历(д, /) 4 (g, ^Dd/,^ S (^, а>) Q,

где Q — объем, а величину S(g, з) называют динамическим формфактором.

Для коммутаторов операторов плотности л имеем + 8

〈优(仇 G).八(9, /M〉=Q \ ^S^' ^)е-^^,

(/2*坦.倉(g,因)=Q、需於(9, 8)e一出(….

Для гамильтониана (3.26) вычисление коммутатора при ^ к 6 дает

矶加需立，似乙/m=需电+力:一句一"円，e—/ 幻.

Соответственно для среднего значения находим

+оо

Q \ ^3S(q, 3)= gg2

и, кроме того,

2 \ -^- ® Im е"1(9, со) = — У (q) nq2/m.

— ОО

При ш^ = пе2/е0ти это не что иное, как правило сумм (4.51).

До сих пор в настоящем разделе и в большинстве случаев в гл. 3 мы предполагали, что величины е, е-1, П и L зависят только от разностей пространственных координат и, следовательно, только от одного волнового вектора. Но для макроскопически неоднородных систем все эти величины зависят ©т каждой из пространственных координат и, таким образом, от двух волновых векторов. G учетом э^ого мы можем, например, написать для экранированного потенциала (см., например, [606D

片(厶，7，4一2)二，叱，明ёт(г", 4一f"(「7)6g-/)

а для эффективного внешнего потенциала (4.45)

炉ФФ(Г, /)=\〃]"е7(г, У, t — tr)U{r,,，).

Для в"1 мы получаем спектральное представление

—8

где А — опять спектральная функция коррелятора L.

Чтобы использовать эти результаты, нужно воспользоваться тем или иным приближением для поляризационного оператора П или для его спектральной функции П. Используя для П приближение случайных фаз 直==口> — □<, находим (см. разд. 3.3.3)-■

IT (р, ®) х , т^г 力(8 +Ж /，霁)+ е ⑷•(4.64)

Это выражение получено Линдхардом [462]. Его Вывод приведен в работах [197,- 383]. Эренрайх и Коэн [197] считали, что возмущение плотности вызвано приложенным электрическим полем; они получили приближение, в котором в гамильтониане полностью пренебрегалось кулоновским взаимодействием между носителями заряда. Это приближение мы будем называть приближением Хартри — Фока ехф：

=1 +吼(4.65)

где Пг дается выражением типа (4.64). В то же время в приближении случайных фаз вышеупомянутое кулоновское взаимодействие учитывается приближенно; например, в суммах типа 2к^(^ n^cpcq+p-k(с+，с — операторы рождения и уничтожения) оставляют только слагаемые с q =h Результат имеет вид

8[1СФ (р,(0)= 1 —部 пг (р, со).(4.66)

Свойства диэлектрической проницаемостив приближении случайных фаз

Как упоминалось в предыдущем разделе и в гл. 3, диэлектрическая проницаемость играет существенную роль в проблеме экранирование для систем заряженных частиц. В более общем подходе именно диэлектрическая проницаемость описывает коллективное поведение системы и определяет существование плазменных колебаний. Кроме того, она описывает модификацию одночасти^ных и двухчастичных возбуждений под влиянием окружающей плазмы. К числу одночастичных свойств, которые следует упомянуть в этой связи, относятся энергия и затухание квазичастицы, а также энергетические потери (тормозное излучение) частицы, проникающей в плазму.

Как показано в разд. 5.1, статическая диэлектрическая проницаемость £(&, со -► 0) 曰 £(&) играет определяющую роль в квазиклассической теории кулоновских систем. В такой теории (в адиабатическом приближении) ноны рассматриваются как тяжелые классические частицы, движущиеся в море электронов, обеспечивающих (мгновенное) возникновение поляризационных эффектов и экранирование взаимодействия между ионами. Поэтому затра* вочная потенциальная энергия межионного взаимодействия должна быть за、 менена соответствующей экранированной величиной:

之%22%2

%R2 f e0fe2e (论)'

где е (fe)—статическая диэлектрическая проницаемость электронного газа [85—87, 139, 230, 250, 251, 315, 319, 341, 342, 410]. О модификации двухчастичных свойств сказано в разд. 4.4, а роль диэлектрической проницаемости в формировании термодинамических, кинетических и оптических свойств выяснена в гл. 6—8.

Рис. 4.1. Области, в которых отлична от нуля мнимая часть диэлектрической проницаемости электронного газа при 7 = 0.

Обратимся теперь к подробному анализу информации, заключающейся в диэлектрической проницаемости в приближении случайных фаз, исследуя поведение^ ее вещественной и мнимой частей (рис. 4.1). Выражение для комплексной диэлектрической проницаемости, приведенное в гл. 3 и в разд. 4.2.1, имеет вид е (р, г) == 1 — Е Vab (Р) Пай (/?, Z).-(4.67)

ab

В настоящем разделе, как и в предыдущем, рассматриваем только запаздывающие функции, т. е. анализируем величину (4.67) для

г со + Z8, е-* + 0.

В приближении случайных фаз имеем тогда П^Ф = да&пГСФ и

Пд ПСФ (р, со) = пРСФ (р,① + /е) =

_ (2s 4- П (fa(P' + p/2) —%(р' —р/2)伍 б©

—(NS。十 1 丿)(2冗)3 丸 ® + 氾)+ % (J 一 p/2) — % (pM р/2) • 口笛6

Здесь fa — функция Ферми, Sa — спин и еа (р) — одночастичная энергия.

В дальнейшем для краткости мы не будем писать верхний индекс ПСФ. Для вещественной части поляризационного оператора получаем

Re Па (р, со)=

一 /9» I i \ р f dp, fa (p，— р/2) — fa (К 十 Р/2)/д дп\

—十丄丿尸)(2п)з 丸① + % (p，一 р/2) — ％ (р— р/2)'仪2怨

где ^символ Р указывает, что берется главное значение интеграла. Без дальнейших упрощающих предположений этот интеграл можно найти только численно.

Если принять для одночастичной энергии выражение еа(р)= » tt2p2/2tna, то мнимую часть диэлектрической проницаемости в приближении случайных фаз можно получить в замкнутой форме благодаря наличию б-функций, появляющихся при выделении мнимой части выражения (4.68). В результате имеем

+ eхр {- 聂[(箒 + 粤y - 2g]}

+ exP J 聂 К"2記—等У — 2g где % — химический потенциал.

В невырожденном случае (при паЛд<^1 или Т》Т%; где Г^ — фермиевская температура) удается вычислить фигурирующий в формуле (4.69) интеграл; для sa = 1/2 получается следующий результат [381]:

ReIWs)=^[(^ + %R(l, |s -(箒+嗡2矗)_

-(爷-冬)品(1，彖券-等)2聂)]• (4.71)

Здесь 1Л — вырожденная гипергеометрическая функция. Для мнимой части (также при sa = 1/2) получаем

Im на (Р, (0 + /x 醫牌{exp [一 (等 + ¥У 备]-

一 ехр[ —(簪一等У 备]}; АакМ2т/вГ 严.(4.72)

Практический интерес представляют иногда еще более простые, чем (4.71) и (4.72), выражения> получающиеся при некоторых частных предположениях.

В случае малых импульсов р из формулы (4.69) получается приближенное выражение, справедливое при произвольном вн- рождении:

Rei1ams) = (2Sa+l)P，舞鳥喘^謡幣• (4.73) №шоль»уя распределение Больцмана

.fa (Р) = 2ЙГГ вХр (~ ^12^(4.74)

из (4.73) получаем классическое предельное значение в статическом (дебаевском) пределе

Re П^л (р, 0)=奇г .(4.75)

Этот результат фактически не зависит от р. В данном приближении диэлектрическая проницаемость вещественна и, согласно формуле (4.67), равна

e"S，0)=1 +Z九J。)台，aВe"S，0)=1 +Z九J。)台，aВ(4.76)(4.76)

e"S，0)=1 +Z九J。)台，aВ

e"S，0)=1 +Z九J。)台，aВ

(4.76)

(4.76)

(4.77)(4.77)так что для кулоновского потенциала имеем екл (Р，0) = 1 + 患，

(4.77)

(4.77)

где

/■d =(2 e'f； )=«5' — дебаевский радиус.

Эти выражения описывают экранирование в простейшем приближении.

Приведем еще первые члены разложений в ряд по степеням Й для вещественной и мнимой частей поляризационного оператора, который понадобится нам в дальнейшем:

ReL(p, 3) = #{1 一 塞^尸|(1, ^;-盡翁)亠 15^7 X

Xi 尸 i(2, у； - 1^冴)+ (證F)Y R(3, y; -"^*) + + "1(瓷；-8；勺力—1 + -i指%b7] + …卜(£78)

Im&(p,…)=瑞…卜(讐丫爲汩X义[*+击•(*)3-就器L・T・&79)

Для случая произвольного вырождения можно получить разложение по степеням величины р/g в случае Йео》九"рр'/гпа. Тогда для вещественной части диэлектрической проницаемости имеем [76]

Reria(p, 3)= 一箫(专)下 +%(专)%%].(4.80) где использовано сокращенное обозначение

⑺L 然f 島曲а(Р)・(4.81)

Величины (4.81) выражаются через интегралы Ферми, опреде* ленные как '

.ОО

厶(а) = J' (，+ 1)5 d* exp (x - а) + 1 '(4.82〉

О

Результаты численного расчета для них приведены в работе [573].

В предельном случае р->0 на основании формулы (4.80》 получаем для диэлектрической проницаемости

Ree(s)=l — £(唯У/*(4.83)

где ®пл^ (^аЛ^а)1^" плазменная частота частиц сорта а.

Чтобы описать экранирование в статическом предельном случае (со —0) и для малых р, можно исходить непосредственно из формулы (4.73). Переходя к пределу р->0, можно написать

Refl/O, 0)=蟲乙(Т> %), -(4.84)

где концентрация па является функцией химического потенциала:

(Т, h) = (2Sa+ 1)\ 部 fa(p).(4.85)

Это выражение, также содержащее интеграл Ферми, описывает связь между концентрацией и химическим потенциалом для системы невзаимодействующих фермионов.

Чтобы получить явные выражения для правой части формулы (4.80), надо, конечно, снова рассмотреть частные случаи. Используя (4.74), (4.80) и (4.81), для больших частот и малых импульсов получаем

RelMP, з) = -*(^) [1+3^"(М)]‘ Т》僚.(4.86)

При. низких температурах можно воспользоваться разложением Зоммерфельда для фермиевского распределения [206]:

%(p)=8(器一 Р)一^(左)卜 + ^-善攸器一)，

Г «С Тр,(4.87)

где Рр— фермиевский импульс. Подставляя это выражение в формулы (4,80), (4.81), получаем [206]

Re & (р,Re & (р,Т《Т%.(4.88)Т《Т%.(4.88)

Re & (р,

Re & (р,

Т《Т%.(4.88)

Т《Т%.(4.88)

В статическом случае и для малых импульсов при Т》7% снова получаются результаты (4.75), (4.77).

В случае низких температур Т《Т? из формул (4.84), (4.87) следует

Re&(0, 0)=等[1—亲(六)](4.89)

а для диэлектрической проницаемости справедливо выражение

Ree (р, 0) = 1 +

Сюда входит характерное волновое число Атф (обратная длина экранирования в приближении Томаса—Ферми), .определяемоеСюда входит характерное волновое число Атф (обратная длина экранирования в приближении Томаса—Ферми), .определяемоевыражениемвыражением(4.90)(4.90)

Сюда входит характерное волновое число Атф (обратная длина экранирования в приближении Томаса—Ферми), .определяемое

Сюда входит характерное волновое число Атф (обратная длина экранирования в приближении Томаса—Ферми), .определяемое

выражением

выражением

(4.90)

(4.90)

В случае предельно сильного вырождения для произвольных частот и импульсов получаем [206]

ReL(p, s)= ^§-{2Р一員1 -户 一，)x

++++X也三^^备+ % In ^器三箒+

+

+

+

+

十(1 + P)2-Q2十(1 + P)2-Q2山工YCm吐总二竺12 I 7^ 丿 I 2 ° (1 + Р)2 - G

十(1 + P)2-Q2

十(1 + P)2-Q2

(4.91)

Здесь использованы обозначения Р = р/2рР и Q = ma9/hppt>. При этих условиях мнимая часть поляризационного оператора имеет вид [206]

Im II0 (р, <а + 左)=豆帀 exp (— рД) [ехр(— 08+) - ехр(- 08-)]

При I 2m加/分 |> 2 加P + P2，

底 со т^оГ

1тПа(Р，Ф + /в) = - 2^ + гл^р ехрМ1ехррВ+-ехр(—рв~))

(4.92)

при 12»1асо/Й |< 2呻—炉，

1т Пв (р, со + /е) =-^(В~ + Д) + -^- X

.X {ехр [- ₽ (Д + В+)] - ехр [₽ (Д + В~)]}

при 12Pgp — р21Vl 2тасо/Й | < 2Pgp + р2.Здесь использованы

следующие обозначения:

a=3毛("哨，8± =薪[(若±斤一 (p/].

О,О,О,О,mJ©mJ©

О,

О,

О,

О,

mJ©

mJ©

Для мнимой части имеем следующие выражения (ср. с рис. 4.1): ратора имеет вид (Й = 1) [582]

Im Па (р,砌=

2та|со|>р2 + 2рр^,

р > 2р? и 2mа I со I <

Р2 — 2P咻

р < 2磋 н 2/па|со|<

<|р2 —2“в|, \ р2 — 2рр^\< 2ша\ а \ <

|р2 + 2рр°[.

В заключение обсудим вид гриновской функции (фотон-

Рис.Р/МРис.Р/М42 Зависимость Im е-1 от=0,5, / — Т = 0 К, 〃一 Т42 Зависимость Im е-1 от=0,5, / — Т = 0 К, 〃一 Т

Рис.

Р/М

Рис.

Р/М

42 Зависимость Im е-1 от

=0,5, / — Т = 0 К, 〃一 Т

42 Зависимость Im е-1 от

=0,5, / — Т = 0 К, 〃一 Т

частоты для электронного газа; г# = 3, = 104 к, 〃/— 7 =105 к, /V—Г^х к^к.

ной), отвечающей экранированному потенциалу Vs. Согласно гл. 3 и формуле (4.52), эту функцию можно записать следующим образом:

у^а (р, 8)= Im Vaa(Р，СО + 间三 Vаа (°) Im б"1 (. СО + 庄)=

Vaa (р) X Усс (р) Im Пс (р,① + ie)

— (4 93)

Q + £ vcc (Р) Re Пс (Р, о)уЧ-^^Ир) Im Пс (Р, <0 + ie)y ' ' 一

Эта величина используется при рассмотрении обширного круга задач. В частности, она может обладать резким пиком в том случае, когда возможны плазменные колебания. Если, кроме того, мнимая часть диэлектрической проницаемости стремится к нулю, то функция (4.93) приобретает 6-образный характер* Поведение величины Im е-1 показано на рис. 4.2.

Плазменные колебания (плазмоны)

Плазменные колебания играют самостоятельную важную роль, а также служат инструментом изучения структуры газовой и твердотельной плазмы [518]. Одна из задач физики систем многих частиц состоит в определении комплексных энергий плазмонов〕

自曲(р) = йсо (р) — /Йу (р)(4.94)

(см., например, [478]). Чтобы выяснить физическое происхождение плазменных возбуждений, воспользуемся соображениями^ изложенными в разд. 4,2.1.

Как видно из формулы (4.49), нужно исследовать аналитические свойства величины е*1 (р, г). На основании аргументов, подобных приведенным в разд, 3.3.2 при обсуждении свойств функций Грина, мы находим, что функция 1/ег(р, г) аналитична и не имеет полюсов в верхней половине г-плоскости, включая вещественную ось г->(о + ^0 (за исключением случая 7 = 0, когда при определенных условиях мнимая часть поляризационного оператора может обращаться в нуль； см. формулы (4.92) для 7 = 0). Это следует из формул (4.54) и (4.63), на основании которых можно написать

£「(р, со + ze) == Re er (р, со + 饱)+ t Ime'(р, co + /е). (4.95)

Пусть Im er <С 1 и £f 0. Тогда можно попытаться отыскать точку, в которой функция (4.95) обращается в нуль, вблизи частоты(о(р), определяемой как корень уравнения

Reef (р,(й(р)) = 0.(4.96)

В окрестности этой частоты вмёсто выражения (4.95) можно, написать

ег(р, 8 + 间=(со + Ze) ^ Re е‘(р, г)|г=.ш(р) +

+ ・・・+/ Im £‘(р, со + ⑻.(4.97)

Но мнимая часть последнего выражения не может быть равной нулю. Аналогичное рассуждение применимо и к опережающей диэлектрической проницаемости £° (p, s — ie), которая анали* тична и не имеет полюсов в нижней половине г-плоскости.

Однако нас интересует не е(р, z), а обратная ей комплекс* ная функция

-. ?—.-= 1 + ；争 ①旧 © ,(4.98>

е (р, г) 1 J 2л г — со'/

связанная со спектральной функцией, определяемой выраже* нием

Ф (р, ©) = Im е"1 (р, со + :е)= £ Vab{p) Im П^ (р, со)

[1 + 石九& (р) Re % (Р，叫2 + [专也(р) Im % (P,叫2 '

Функция 1/以(卩，2) аналитична в верхней полуплоскости и не имеет там полюсов; то же справедливо для функции 1/еа(р, г)

в нижней полуплоскости. Но функцию 1/£‘(р, 2)можно аналитически продолжить в нижнюю полуплоскость, что дает

1/ег (р, z) 1/еа (р, z) + Ф (р, 2), Im z < 0.(4.100)

Аналитическое продолжение величины 1 /ег (р, z) в нижнюю полуплоскость имеет полюсы, фактически являющиеся полюсами аналитического продолжения спектральной функции Ф(р, ш)-> -> Ф(р, 2). Таким образом, нужно искать полюсы функции

—£ Vab (р) Im Па& (р, 2)

ф (р 2)= ：^

11 + £ Vab (Р) Re Па6 (р z)l2 + I £ Vab (р) Im Па6 (р, z) i2 ' L а&」LabJ

(4.101)

Эту функцию можно представить в виде разности двух дробей: ①(Р, 2)—斤[Re g (p, 2)„pg im g (p, 2) ^e ё (p, 2)~ i Im e (p, г)]'

(4.102)

В отличие от функции (4.95) знаменатель второй дроби здесь имеет корень в верхней полуплоскости, тогда как полюс первой дроби лежит в нижней полуплоскости. Полюсы функции Ф (р, z\ в верхней полуплоскости, для которых

力2 f 力④(р)=力со (р)—加Y (р),

дают по определению энергии плазмонов.

Спектр плазмонов приближенно определяется уравнением (4.96), особенно если мнимая часть диэлектрической проницаемости £ достаточно мала. В этих условиях энергии плазмонов приближенно определяются положением и шириной пика функ- ннн ①(р,(о) (4.99).

При более строгом рассмотрении надо исследовать урав* некие

Ree (р, z) — z Ime(p, z) = 0.(4.103)

Вещественная часть его приближенного решения дается корнем уравнения (4.96), а мнимая часть, характеризующая затухание плазмонов, дается выражением

О)®"® (р)О)®"® (р)(4.104)(4.104)/、 Im е (р, со + /е)

О)®"® (р)

О)®"® (р)

(4.104)

(4.104)

Y(Р)=

痂 Ree(p, s)

Общее обсуждение свойств плазмонов становится особенно сложным, когда приходится проводить суммирование по сортам частиц (см. выражения (4.93) и (4.52)). Поэтому легче сначала рассмотреть случай электронного газа с нейтрализующим фоном. Для начала мы рассмотрим ряд результатов аналитически^

расчетов, а позднее обсудим результаты численных расчетов для функции (4.101) и уравнения (4.103).

Особое внимание привлекает область малых импульсов, и определенный интерес представляет то обстоятельство, что уравнение (4.103) имеет решения только для значений импульса, не превышающих некоторое критическое значение рс; за пределами этой области плазменные колебания невозможны [517].

Рассмотрим ситуацию, когда hs》t^ppYnie、Тогда, используя разложение (4.80) для поляризационного оператора, мы

находим итерационное решение уравнения (4.103) для р/ш {76,206]:

's (р)=

==®пл I 1 Н 7 2/Т^ р'〉+ ТТ —2ТТ ^ГТГТ〈 6〉I ，

L т；①2(р)4团；①2(р)% ①4(р)J

ИД 瓦他8

Как и прежде, величина 〈р总〉определена выражением

Далее последовательными приближениями находим решение уравнения (4.105)

S(Pfm{l +爲产 +

В случае р = 0 получается хорошо известный результат со(О) = сопл =(——)..

Средние значения степеней импульса 〈卩庵〉по-прежнему

малыхмалых(4.105)(4.105)(4.81).явное(4.81).явное(4.106)(4.106)(4.107)(4.107)можноможновычислить в явном виде только в предельных частных случаях. Используя для расчета величины (4.81) выражения (4.74) или (4.87), получаем из формулы (4.106)вычислить в явном виде только в предельных частных случаях. Используя для расчета величины (4.81) выражения (4.74) или (4.87), получаем из формулы (4.106)3 (р) = ®п J 1 +3 (р) = ®п J 1 +зз р2 л2 р4зз р2 л2 р42% ®пл4 壮2% ®пл4 壮Т》7>, (4.108)Т》7>, (4.108)4«е ®пл4«е ®пл6+甯/+6+甯/+s（P）f {1+詣窓）'+s（P）f {1+詣窓）'+"I分位医户等4r(黑(4」。9)

малых

малых

(4.105)

(4.105)

(4.81).

явное

(4.81).

явное

(4.106)

(4.106)

(4.107)

(4.107)

можно

можно

вычислить в явном виде только в предельных частных случаях. Используя для расчета величины (4.81) выражения (4.74) или (4.87), получаем из формулы (4.106)

вычислить в явном виде только в предельных частных случаях. Используя для расчета величины (4.81) выражения (4.74) или (4.87), получаем из формулы (4.106)

3 (р) = ®п J 1 +

3 (р) = ®п J 1 +

зз р2 л2 р4

зз р2 л2 р4

2% ®пл4 壮

2% ®пл4 壮

Т》7>, (4.108)

Т》7>, (4.108)

4«е ®пл

4«е ®пл

6+甯/+

6+甯/+

s（P）f {1+詣窓）'+

s（P）f {1+詣窓）'+

Затухание плазмона у(р) определяется из решения дисперсионного уравнения (4.103); в наиниэшем приближении это

приводит к формуле (4.104), которая с учетом выражения (4.86) дает

Y (Р) = -^ Vee (Р) Im Пе (р, сопл + /0).(4.110)

Отсюда для случая Т》Т尸 находим

丫(p)=号乙^^^^[-(詈+等丫+]-

-ехр[—(詈一粤У 备]} .(4.111)

При Й -> 0 величина Йу (р) есть известное затухание «Ландау. Оно представляет собой классическое затухание, обусловленное обратимым процессом распада плазмона с порождением электронно-дырочной пары.

При Т <^TF следует взять то нЗ выражений (4.92), которое отвечает условию

2他产借> 2P部+ /A

Тогда в пренебрежении поправками высшего порядка по Т можно написать.

х exp {-<-[(督叮 + £ — (р例} sh (峥).(4.112)

Как видно, в этой области затухание плазмона обращается в нуль при Т = 0.

Рассмотрим теперь упомянутый выше критический импульс. Грубо говоря, эта величина получается из условия, что вещественная часть диэлектрической проницаемости

Ree(p, со) = 1 — Vee (р) Re Пе (р, со)

перестает где-либо обращаться .в нуль (рис. 4.3).

Здесь следует отметить, что нуль функции Ree(p, со), отвечающий меньшим значениям частоты, соответствует одночастичному возбуждению, тогда как обращение Re е(р, со) в нуль при больших частотах отвечает частоте плазменных колебаний. Но надо учитывать, что в общем случае существует отличная от нуля мнимая часть диэлектрической проницаемости, поэтому спектр -плазмонов лишь приближенно определяется нулями вещественной части диэлектрической проницаемости.

Чтобы получить (количественные) результаты для частоты плазмонов со(р), их затухания у(р) и критического импульса рс. следует решить уравнение (4.103), используя выражения (4.69『 и (4.70). Поскольку нас интересуют плазменные колебания, на

Рис. 4.3. Зависимость Re е = &i от частоты для электронного газа с г5 = 0,5; / — Т = 10 К, 〃 一 Г = 106 К; « — р/р" = 0,2, 6 — р[рр = 0,5, в ■— р/рр = 1, е —р/р 戸=1,5.

всех этапах последующих расчетов будем использовать условие со (р) ^> у (р). Отделяя вещественную часть от мнимой, получаем следующую систему уравнений:

p+\dx ——s-у X mee * I )1 + ехр (х — §%)

о

» I I ®2 (р) + у2 (р) — Е」Т + 4炉(р) 丫2 (р) I — К П I [(о2 (р) + №(Р)— £ + 12 + 4(о2(р) V2(Р) I —

—arc tg L?^n(a+"] + arc tg [ ?*in(Z[a)]二 0> (4д13)

s L cos (a + b)」 a L 1 + D+ cos (b — a)」，'，

Здесь использованы следующие обозначения:

Е± =盡【р2 ± 2р (х2/п&Т伴严]，

D8 (р)丄 СУП「h2P2 丄 R I me у2(р) — з2(")]

D土一 土方尸+expL 丽厘+M +丽q『

a = hy (р)/2квТ, b = а2①⑺ mJ&pZ

Чтобы получить зависимость рассматриваемых величин от концентрации частиц, надо еще учесть связь

пе = (2se + 1) J -^ [1 + ехр (-^- - р[хе)].

Из уравнений (4.113) и (4.114) мы можем определить частоту со(р) и затухание у(р) плазмонов, причем решения существуют вплоть до критического импульса рс. Результаты таких вычислений показаны на рис. 4.4 и 4.5.

Аналитические выражения для критического импульса могут быть найдены только при упрощающих приближениях. В случаеТ = 0 мы примем во внимание, что Im П = 0 при

2znq/a 三 2薛р + р；

Определив отсюда критическую частоту(ос равенством

2他熙/力=2P工Р, + р^,

мы получим из выражения для вещественной части диэлектрической проницаемости с поляризационным оператором (4.91) следующее уравнение для определения критического импульса:

Положение дел усложняется в случае многокомпонентной системы. Теперь частицы любого из компонентов могут по отдельности испытывать плазменные колебания, частоты которых з；〃 в случае р->0 определяются формулой

(з 為)2 = % 鳍/%%. (4.116)

В общем случае надо детально анализировать поведение гриновской функции экранированного потенциала (4.93), или, что эквивалентно, спектральной функции обратной диэлектрической проницаемости е-1(р,之). Разумеется, все свойства функции (4.93) полностью определены, если мы используем выражение (4.68) и вытекающие из него формулы. Но для целей практического использования функцию (4.93) надо упростить с помощью каких-либо приближений.

44留留卜卜金--3q金--3q必少7必少7IIРис. 4.4. Зависимость энергии плаз^ мона от импульса для электронного газа с 广$ = 1,5; / ——Г = 0 и 10< К, 〃一丁 =2,56・13 К, ///Т = 105 k,W = 1,6・10б к.Рис. 4.4. Зависимость энергии плаз^ мона от импульса для электронного газа с 广$ = 1,5; / ——Г = 0 и 10< К, 〃一丁 =2,56・13 К, ///Т = 105 k,W = 1,6・10б к.СЗ-一4丁苏而苏力&友0 ВбРис. 4.5. Зависимость затухания плазмона от импульса для электронного газа с = 1,5; / — Г = 2,56-104 К, 〃一Т=105 к, /// - Т = 1,6-106К (Л = 2те = е?/2 = 1),СЗ-一4丁苏而苏力&友0 ВбРис. 4.5. Зависимость затухания плазмона от импульса для электронного газа с = 1,5; / — Г = 2,56-104 К, 〃一Т=105 к, /// - Т = 1,6-106К (Л = 2те = е?/2 = 1),

4

4

留

留

卜

卜

金--3q

金--3q

必少7

必少7

I

I

Рис. 4.4. Зависимость энергии плаз^ мона от импульса для электронного газа с 广$ = 1,5; / ——Г = 0 и 10< К, 〃一丁 =2,56・13 К, ///Т = 105 k,W = 1,6・10б к.

Рис. 4.4. Зависимость энергии плаз^ мона от импульса для электронного газа с 广$ = 1,5; / ——Г = 0 и 10< К, 〃一丁 =2,56・13 К, ///Т = 105 k,W = 1,6・10б к.

СЗ-

一4丁苏而苏力&友0 Вб

Рис. 4.5. Зависимость затухания плазмона от импульса для электронного газа с = 1,5; / — Г = 2,56-104 К, 〃一Т=105 к, /// - Т = 1,6-106К (Л = 2те = е?/2 = 1),

СЗ-

一4丁苏而苏力&友0 Вб

Рис. 4.5. Зависимость затухания плазмона от импульса для электронного газа с = 1,5; / — Г = 2,56-104 К, 〃一Т=105 к, /// - Т = 1,6-106К (Л = 2те = е?/2 = 1),

Обсудим лишь ситуацию в невырожденном случае. При этом вещественная и мнимая части поляризационного оператора даются выражениями (4.71) и (4.72). Главное затруднение доставляет суммирование по сортам частиц, из-за которого математические выражения оказываются значительно сложнее, чем в случае однокомпонентной плазмы. По аналогии с выводом формулы (4.108) мы получаем теперь для закона дисперсии плазмонов, т. е. для возможных частот плазменных колебаний, выражение

叫 Р)= %(1 + Зр2/%(4.117)

где

й2 = ®^л (S п^кдТ/е^у1,嘴“ =§ ("£/%%).(4.118)

В случае электронного газа выражение (4.117) совпадает вплоть до члена порядка р2 с результатом (4.108). Закон дисперсии (4.117) в принятом приближении получается как решение уравнения

e，W,(о)= Ree(p, ®) = 1 + S Vee (р) Re Пе (р, ©) = 0. (4.119)

При выполнении условия (4.119) гриновская функция (4.93) обладает резким максимумом, так что, принимая еще во внимание, что 1тПс。。，мы можем вместо (4.93) приближенно написать

Im е"1 (р, со + /е) = лд (吟=

=一今 з (р) {6 (з _ 3 (р)) — 6(8 + 3 (р))},(4.120)

где частота со(р) является корнем уравнения (4.119) и дается выражением (4.117). Мы воспользовались здесь тем, что, согласно формуле (4.86), вещественная часть диэлектрической проницаемости имеет вид

"(р, 3)= 1 — 2^^г(1 + з^^-).(4.121)

/ / Eq/71 дШ \/71/

Решение уравнения (4.119) находят итерированием выражения (4.121), т. е. заменой величины з? во втором слагаемом на а2(р)

При этом закон дисперсии плазмонов дается выражением (4.117).

Используя формулы (4.120) и (4.117), можно найти диэлектрическую проницаемость, а именно:

e-Yp, z)=l— I 需旧^二(£咙=(4.122)

=1-¥［初』-号方］=金^(4/23) и (z ->© + /0)

Re е (р, со) = 1 — о)2(切/吃(4.124)

Здесь следует подчеркнуть, что выражения (4.120), (4.123) и (4.124) справедливы только при выполнении равенства (4.119), т. е. только、в том случае, когда величина со(р) представляет собой корень уравнения (4.119). Иначе говоря, упомянутые выше соотношения справедливы лишь в малой окрестности плазменного полюса функции е-1 (р» г); поэтому их называют плазменно-полюсными приближениями.

Поскольку выражения (4.120), (4.123) и (4.124) достаточно просты и правильно отражают один существенный физический эффект, при усовершенствовании описания желательно сохранить форму выражения (4.120), т. е. структуру комбинации 6-функций. Но при этом целесообразно обобщить выражение

таким образом, чтобы оно, сохранив свойство (приближенно) давать корень уравнения (4.119), вместе с тем с использованием спектральной функции типа (4.120) определяло бы диэлектрическую проницаемость более точно, чем формулы (4.123) и (4.124), и было справедливым не только вблизи плазменного полюса. Имея в виду высказанные соображения, рассмотрим ^полюсные аппроксимации^ диэлектрической проницаемости, согласующиеся с определенными предельными формами точного результата.

Приведем некоторые формулы, относящиеся к предельным частным случаям, для (вещественной части) диэлектрической проницаемости. Для нулевой частоты и малых импульсов, согласно формуле (4.77), имеем

Игп е(р, 0) = 1 + х^/р2 № иЦр2,(4.125)

где

xd= S (псес/ео^в^)>

следовательно»

lime-1 (р, 0)=р2/吟(4.126)

В случае малых импульсов и конечной частоты со на основании выражения (4.86) имеем

е(0, s) = 1 —空小2,(4.127)

где &)пл определяется формулой (4.118), и

е-ЦО, ©) = —一—,(4.128)

lim в-】(0,①)=1 + %л/*(4.129)

Аппроксимация (4.128) согласуется с правилом сумм (4.51)'. Действительно, мнимая часть диэлектрической проницаемости (ср. с формулой (4.120)) записывается теперь как

Im е-> (0, з)=—争［6 (з — ％) — 6 (з + %/.

Другая предельная ситуация, которая должна быть адекватно отражена в улучшенных приближениях, относится к спектральной функции или к мнимой части самой диэлектрической проницаемости. При выполнении условия

、 рЗ》畧л/爲 (4」30)

из выражений (4.71), (4.72) следует

Im е"1 (р, со) =J史,* — Ime(p1 co). (4.131) £ +

Таким образом, с учетом соотношения

lim g"“工 exp (— x2/a) = 6 (%)(4.132)

a->0 Vjiq

мы можем представить экспоненты выражения (4.72), обладающие резкими пиками, в форме 6-функиий. В результате для системы электронов (нижний индекс е) и ионов (нижний индекс i) имеем

Im е'1 (р, s)=—几 ^^ [д (①一①兴)一6 (s +、J +

+ 6 (s — s卩j) — 6 (s + со*,)].(4.133)

Величины 土Spe и ±s卩 представляют собой частоты, при которых показатели экспоненциальных функций в выражении (4.72) обращаются в нуль; они определяются равенствами

hSpa =府2P2/2团小 a = % z.(4.134>

Подстановка этих частот в формулу (4.71) сводится к замене B(l,3/2,x)f L

Сформулированным выше требованиям удовлетворяет так называемое ^однополюсное приближением, которое получается, если вместо закона дисперсии плазмонов (4.117) использовать соотношение

®2 (р) = ®^л(1 + 6/鳴)+ 伍卢/2他у,(4.135>

а в качестве спектральной функции взять

Ime-1(p, ш) = — л-^у[д (со —ш(р)) —д (ш + ш(р))]. (4,136)

Однополюсное приближение (4.135), (4.136) оказывается особенно удачным для однокомпонентной системы, для которой в этом приближении выполняются соотношения (4.126) — (4.129) и (4.133) [98, 102]. Диэлектрическая проницаемость тогда имеет вид

е (р, s) = 1 — -2~分氏二—<(4.137)

о/— о/(р) + %

Однополюсное приближение можно использовать также для двухкомпонентных систем, если частицы обоих сортов обладают примерно одинаковыми массами [289, 465, 707, 712]. Закон

(4.138)(4.138)дисперсии тогда нужно взять в виде

(4.138)

(4.138)

гдегде9 не29 не2<02 (р)==4л(1 + РТ吗｝ + (初2/4出2)2,

где

где

9 не2

9 не2

т1m2

ffli + ^2 '

■Следует отметить, что величины (4.135) и (4.138) не являются корнями уравнения (4.119).

Как видно, например, из формулы (4.133), в рамках однополюсного приближения невозможно удовлетворить всем описанным выше требованиям, если система состоит из частиц с сильно отличающимися массами. Поэтому в работе [549] ■было предложено двухполюсное приближение, использующее следующее обобщение выражения (4.137):

22

е (р, ®)= 1 ——5~拦—5把-г—. (4.139)

'З?+ 吟е-<4(Р)м +Mpi-Mi(P)

Здесь введены следующие новые обозначения:

峭L或 s)=端(1+%) + (^7)，

ne2(4.140)

W = ?f A > 嗓 + % = ®пл> Вс = 1焦В%

Обратные температуры рс (различные) выбраны таким образом, что теперь удается удовлетворить закону дисперсии для ллазмонов (уравнение (4.119)), а именно：

>+В'=2В=点’7^ +謊=^(4[ +靑)•(4•⑷)

Исходя из формулы (4,139), мы имеем тогда (г = со + ze)

е-(Р, г)=詩⑺+簣w二学("喇—.(4.142)

г4 - Z2 [磴(р) + 说(Р)] - 3%嗚 + 磴(P)硝(P)

Корни знаменателя, т. е. полюсы функции е*1 (р, г), размещаются при частотах wi и ш2)определяемых формулой

31.2 =扌觴9)+ 畤9" 土 V ®₽Xi + z [®e (p) - ®?(P)]2 • (4.143)

Дисперсия двух ветвей спектра характеризуется следующими свойствами:

при больших импульсах

Нт 叫—吟(р); Нт 磯=岭(р); Р*8Р+8

при малых импульсах (с учетом определений (4.140) и (4.141))

ИЛИ

4 = %л(1 + 3р?/宣 2)(4.144>

(что согласуется с (4.117)), и

磯=悬喰嶋G+f)・(4. I45A

Характерная черта последнего выражения состоит в том, что &2 ~ Р» так что эту ветвь можно считать акустической.

Исходя из выражения (4.142), находим вид спектральной функции

Im е-1 (р, ®)==-^-[6 (®+ ©]) — 6 (® — ©J] X

Y ®1ML + 2<0peWpZ -時eW (P)-時麓(p), '

+ 1^7【°(8 + ®2)— 6 (® — ®2)] x

党©L, + 2嗎e嗚一時*2)— 喏蜀(P)

X •(4.146А

При больших р это выражение совпадает с (4.136). Окончательный вид диэлектрической проницаемости, восстанавливаемый с помощью соотношения (4.122), при со -> 0 и р-> 0 согласуется с предельными формами (4.125) и (4.126), а в случае малых импульсов и конечных или больших частот он согласуется с выражениями (4.127)一 (4.129) соответственно. В ра* боте [549] содержится дальнейшее обсуждение случаев- me/mi 之 1 ^ ш\ ^ 团2・

Мы хотим упомянуть ряд недавних работ, в которых в связи с различными вопросами используется диэлектрическая проницаемость. В них, в частности, учтены поправки более высоких порядков. (Относительно роли связанных состояний см. разд. 4.5.) В работе [631] рассмотрены длина экра* нирования, структурный фактор, функция корреляции и корреляционная энергия. Структурный фактор обсуждается и в работе [260], а в работе [481] определена корреляционная энергия простых металлов. Энергетическим потерям частиц в металлах, тесно связанным с диэлектрической проницаемостью, посвящена работа [617].'

Задачи для двумерных систем уже упоминались во введении; они выходят за рамки данной книги. Мы хотим здесь только упомянуть о работе [332], в которой обменная энергия и теплоемкость найдены с использованием диэлектрической проницаемости.

В обширном круге работ предпринимаются попытки выразить свойства систем, первоначально состоящих из фермионов, с помощью операторов рождения и уничтожения составных частиц, т. е. бозонных операторов. Здесь также диэлектрическая проницаемость играет существенную роль; см., например, работы [31—33, 504].

Одночастичные возбуждения

Концепция квазичастиц

В рамках физики систем многих частиц движение одиночной частицы описывается с помощью одночастичной функции Грина. Последнюю, как было описано в гл. 3, нужно определять из уравнения Дайсона. Влияние окружающей среды полностью учитывается в нем собственной энергией S. Но собственную энергию можно найти только приближенно, и это эквивалентно тому, что систему зацепляющихся уравнений для функций Грина приходится где-то обрывать.

Для многих практических целей удобно считать, что все эффекты влияния среды учтены (по крайней мере приближенно) при определении одночастичных характеристик (энергии, массы), так что мы имеем совокупность (приближенно) невзаимодействующих частиц, которые называют квазичастицами [470, 517].

Поэтому возникает задача найти в некотором приближении ■собственную энергию S, что в результате дает возможность определить энергию квазичастицы, ее затухание (обратное времени жизни одночастич^ного состояния) и эффективную массу. Вообще говоря, необходимо отметить, что само понятие квазичастицы полезно только в том случае, если затухание квази- ■частицы остается малым по сравнению с ее энергией.

Из решения уравнения Дайсона

Ga(p, Zv)=卜％ — 4^ —九(Р，%)] (4.147)

мн должны в принципе получить все одночастичные свойства. Но здесь нужно проявлять осторожность: знаменатель в правой части (4:147) не определяет простым образом своими нулями (полюсами функции Грина) одночастичные свойства.

Прежде чем переходить к обсуждению аналитических свойств функции Грина G(p, г), мн покажем, что знаменатель в правой части (4.147) не имеет нулей. Поэтому вместо собственной энергии Е в этом выражении удобно написать ее спектральное представление, так что взамен формулы (4.147)； мн получим формулу

Оа(Р. z) = \hz - Е^ф(р) - 5 -§■ Г2-^] • (4」48)

Рассмотрим случай малых Г и положим г = со + ze, gf 0. Тогда мы имеем

G (р, со + ze)='

=[(ш + /е) h-E^(p)-p\^ •^i^ + ^ Г 3 s)『.(4.149)

Хотя энергию квазичастицы можно приближенно определить как

Re 从(р) = &е(р) +可要弋竺*,(4.150)

но мнимая часть выражения в квадратных скобках в формуле (4.149) не обращается в нуль.

Как обсуждалось в гл. 3, функция комплексной переменной G。(p,z) аналитична в верхней полуплоскости (где мы ее обозначим Gi) и не имеет там полюсов. Это свойство вытекает из представления функции , Ga(p, %) с помощью интеграла Коши

Ga(p； ^)= V-^~#'(4.151)

Согласно сказанному в гл. 3, функцию Gi (р, г) можно продолжить в нижнюю полуплоскость следующим образом:-

Gi (р, z)-> Gu (р, z) + 4 (р, n) (ImzVO), (4.152) причем функция Сц аналитична и не имеет полюсов в нижней полуплоскости. Однако аналитическое продолжение (4.152) функции Gi в нижнюю полуплоскость обладает полюсами, а именно теми, которыми обладает функция А (р, г). Таким образом, для определения свойств квазичастип необходимо найти полюсы аналитического продолжения спектральной функции в нижнюю полуплоскость. Это означает, что надо рассмотреть выражение Аа (р, 2)= Га (р, 2){[/)2 — £хф (р) — Re Sa (р, z)F + ^Га (р, 2)}'= =/ {[力2 — £хф (р) — Re ^ (р, z) + ^ I\ (р, 2, — 一辰一股0(p)-Re£a(p, z)_"a(p, z『}, ra = 2ImSa.

(4.153)

Мы видим, что оно имеет полюс в нижней полуплоскости, который называют одночастичной энергией (энергией квазичастицы). Вещественная часть этой энергии приближенно дается выражением (4.150), а затухание определяется выражением

Im £а (р) =产.(4.154)

1+Re%(P，з) *

@3 力A<o-Reia(P)

Хотя именно комплексные энергии квазичастиц, к которым приводит определение полюсов выражения (4.153), следует считать точными характеристиками системы, для целей приближенного описания полезно обсудить также поведение спек- тральней функции Аа{р, со), которая обладает резким пиком, ■если величина Im S достаточно мала. Положение пика дает энергию квазичастицы, тогда как его ширина связана с затуханием (обратным временем жизни) квазичастицы.

Как для практических применений, так и для того, чтобы вообще можно было говорить о квазичастицах, затухание должно быть (по предположению) малым. Иначе говоря, комплексную энергию квазичастицы можно записать в виде

瓦(р) = Re 云а — “m Ёа (р) = ^^ — "т 瓦(р). (4.155)

Здесь т宵一эффективная масса [470], учитывающая влияние плазмы. Оценка вкладов высшего порядка в массовый оператор (собственную энергию) дана в работе [609].

4.32 Собственная энергияв приближении экранированного потенциала

Обсудим теперь простейшее приближение, ведущее к конечному времени жизни одночастичных возбуждений, а именно:

露(12) =泞％(12)Ga(12).(4.156)

Здесь следует отметить, что величина SQ не содержит хартриев^ •ской обменной энергии, учтенной в определении эффективного внешнего поля при введении функций Грина, должным образом отражающих наличие экранирования (см. гл. 3). Но в величину 〈4.156) включена все же хартри-фоковская обменная энергия; «она равна

2^ф (12) = /Vaa (12) Ga (12),(4.157)

и ее фурье-образ в представлении Мацубары имеет вид

齋⑺=7 許 ±3(Р-к)・(4.158)

Существенная характерная черта хартри-фоковской обменной энергии состоит в том, что она зависит только от импульса и потому оказывается вещественной. Поэтому рассматриваемый вклад не дает конечного времени жизни одночастичных возбуждений, модифицируя лишь, например, эффективную массу. Величина 2дФ не имеет классического аналога, так как обуслов-

лена обменными эффектами. В предельном случае невырожденной системы интеграл в формуле (4.158) можно вычислить; результат имеет вид

皮e (p)=- -啞不；灯 %A^R (1, ^;一力储/2加注b7) . (4.159>

Разность между величинами (4.156) и (4.157) в литературе принято называть корреляционной частью собственной энергии Еа：

s™pp (12) = z[VL (12)-Vaa (12)] Ga (12).

Согласно гл. 3, для спектральной плотности собственной энергии имеем.-.

2 гт SaОpp (瓦①一沁)=га (①①)=

=4nй Т Т 響 6 [力8 一方О/ 一方2 (k + p')2/2mj X

x Vaa (P‘) 口 一 f (P‘ + k) + Пв (s')]Im e-1 (/, «/ + /0). (4.160)

Функция спектрального .распределения 1/2Га(й,(о) связана с одночастичным временем жизни та следующим образом (в наинизшем приближении):

1\ 优，力 2炉/2m。)=力/% (同.(4.161)

Для вещественной части собственной энергии в приближении экранированного потенциала имеем выражение

Re Е产р R, (о) = -РX 黑 \ * 2乙。 ")* J(2n)4 2n

卩一f(P‘ + 1) + 叮(叫 Im £-1 (p-『+ iO) 义 h(& — c/)—护(p，+ k)2/2/па'•

Проведение явных вычислений в выражениях (4.160) и (4.162) возможно лишь в предельных частных случаях. Рассмотрим случаи слабого и сильного вырождения, взяв при этом для величины Im е-1 результат приближения случайных фаз, обсуждавшийся в предыдущем разделе.

Рассмотрим сначала предельный случай невырожденной системы. Учтем, что (для кулоновских систем) справедливо соотношение

九а (Р) Im「3 8 + Д)) = I 若а (Р, 8)F § Im Пь (р, 8 + 2).

(4.163)

Кроме того, используем упрощенную трактовку, заменив модуль динамически экранированного потенциала соответствую' щим статическим (дебаевским) значением. Тогда из формулы (4.160) для предельного невырожденного случая получим

"，2% 丿 J %质3公2，唸В?丿‘

° (4.164)

Но эта величина затухания Га не имеет аналога при переходе ж классическому пределу. С другой стороны, она не обнаруживает резкого максимума, обусловленного возбуждением плазмонов, описываемым точным выражением для е-1, содержащимся в формуле (4.160). Анализ подобных вопросов можно провести только с использованием численных расчетов ([204], -см. рис. 4.2).

Среднее значение величины Re Sa связано (приближенно)' < химическим потенциалом 卩。частиц сорта а. Это можно показать следующим образом. В невырожденном случае среднее ：значение определяется как

GG 豈)〉=\ 焉 Зехр(- W6/2g)£a(k,祭).

Здесь множитель Ад происходит от интеграла нормировки, причем спиновый фактор (2sa + 1) сокращается. Как известно из термодинамики, для невырожденной системы (см. [185))- достаточно вычислить следующий интеграл:

〈2。〉= 2 %,嚐*. A"»ab(к -р)吟匕(k-P)祟 x

«а )2 («й + «6)«а )2 («й + «6)ХехрХехр/р] — [к —^(р +/р] — [к —^(р +

«а )2 («й + «6)

«а )2 («й + «6)

Хехр

Хехр

/р] — [к —^(р +

/р] — [к —^(р +

Этот результат получается из выражения (4.162), если в интегральном члене уравнения для экранированного потенциала Vs = V + VIIVS полный учет динамического экранирования сохранен лишь в поляризационном операторе П, а величина Vs в этом же интегральном члене заменена статическим (дебаевским) потенциалом (см. [185]).

Весь дальнейший расчет можно провести точно, используя ряд замен переменных. В качестве промежуточного результата

Nbi получаем

仁〉=-Х /a^【(人 + 询 3/2 們3/2 X

(2п尸禽2 -

义 \ 舒嘉九b (/)吟b (/) ехр Г-粤(к — 1/2)2], * =騎•

J (2л)° 2й/хLJ Ik

Окончательный результат имеет следующиий вид:

邑〉=—X 8岁е% G (к%/

G (У)=普{1 一 ехр 0/4) [1-Ф (勿 2)]} = 1 一学 9 +。(/).

Первый член разложения по у дает предельное значение

Очевидно, это просто химический потенциал в дебаевском приближении. Легко показать, что равенство величин <Sa> и ца (химического потенциала частиц сорта а) сохраняется также м в высших приближениях. При этом следует учесть, что

卩。=^£，尸-尸，学〈V*

Для среднего значения потенциала взаимодействия в приближении Монтролла — Уорда [ 185] получаем

Q>k „Т、2

&〉=к 2 ПаПЬ (福讦)G ^abi-

ab 、 В /

Следовательно, мы имеем

%-噌=-京谓，静6(k*)=〈儿〉.(4.165) b 8

Приближенное равенство усредненной собственной энергии и обусловленной взаимодействием части химического потенциала играет определенную роль в термодинамическом рассмотрении в гл. 6.

При обсуждении ряда вопросов приходится использовать также неусредненную собственную энергию. Вычисление вещественной ее части, определенной выражениеи (4.162), можно

приближенно выполнить с использованием разложения

中 1ПВ(®)=-^---2中 1ПВ(®)=-^---2Асо I12夕‘+…Асо I12夕‘+…

中 1

ПВ(®)=-^---2

中 1

ПВ(®)=-^---2

Асо I

12夕‘+…

Асо I

12夕‘+…

и дальнейших аппроксимаций типа (4.78), (4.79). Помимо этого надо воспользоваться спектральным представлением экранированного потенциала (формула (3.248)).

При 九sf 九2^2/2гИа нз выражения (4.162) получаем [393» 395J

电^)d电^)dRe瓦3) м邑(々)=

电^)d

电^)d

2ma2maеа I 1 . 1 V = -ХО4^|Т + -4 L

2ma

2ma

.,力空2 (. I "dW「1 千廉 1 ГV Y

*^mII I' 工 I 1 卜 “ ^^»»*—' ■，， ，” ■■ , 'I I f ，一一 I , »^B_4-W I HMB

2m。( 《we。坛7 L 12 c 2«a16〈— 2maJ

1/2、2

(£■!(■£))+^£ 貌—专(£XS0l)x

x（炉（制、

+…；

板 5 бГЧб

■„2/%

В случае равных масс отсюда следует 旦候)==饕(-T-^+^^+Ya),

(4.166)

(4.167)

,。248圖尸

В отличие от совершенно свободных частиц квазичастицы имеют при нулевом импульсе отрицательную одночастичную энергию. Хотя соответствующий вклад в энергию является классическим по форме, чисто классический расчет [320] дает вместо нашего результата величину

4ле0

4ле0 '

(4.168>

тогда как в работе [428] получено значение

"D碌!

4л8о 2 *

Результаты численного расчета [710] выражения (4.162) согласуются 'с не зависящим от импульса слагаемым выражения (4.167).

Исходя из выражения (4.167), мы можем определить эффективную массу соотношением

吟中一。侬У凡®- % .

Из работы [320] следует, что

АГ““ =力烈一％ = ^ (1 - ^) ^^ •(4・ 170)

Рассмотрим теперь случай сильного вырождения. В предельном случае низкой температуры (высокой плотности) можно воспользоваться разложением Зоммерфельда для функции Ферми (4.87) и использовать выражения (4.91), (4.92). Из формулы (4.160) тогда следует, что для импульсов вблизи поверхности Ферми электронного газа затухание имеет вид [419]

门吁 gi)(4=；l +

•+譏沁。1笠_2儀一)]・

(4.171)

Здесь 々f = (Зл2/1е)1/3 — фермиевское волновое число, а величина 々тф определена согласно (4.90). Часто используются следующие обозначения (в системе единиц, где 2т& =或，2=力=1)：

々万 1 = аг$, а3 — 4/9л, rs = d/a^9 d3 = 3/4 лм,面=方2/加『・

В этих обозначениях формула (4. 71) принимает вид [419]

+沙伊(3)2卜/2一無(告一川，(4.172)

Этот результат для случая Т = 0 согласуется с полученным в работе [526]; он показывает, что при 左=屏 существуют незатухающие одночастичные возбуждения. Но при Т，6, даже если k =々尸,время жизни квазичастиц оказывается конечным. Рассмотрению случая промежуточного вырождения посвящена работа [204].

Вещественная часть энергии квазичастиц вычисляется аналогичным образом на основании выражения (4.162); результат имеет вид [205, 419]

Е (р) = 4^" + ■£?[伪尸-Р)(Е % + 2 + М *) — 2Pp ] +

+ 善用-{(*- 0 g -謠?+ 黄也 % - 1，8)]-

—у (In rs — 1,8) j .(4.173)

Предельное значение при Т = 0 согласуется с результатом работы [526].

Двухчастичные свойства плазмы

Уравнение Бете — Солпитерадля двухчастичного кластера

Свойства плазмы в некоторой области фазовой плоскости плотность —температура определяются помимо прочих факторов образованием связанных состояний (см. гл. 2). В настоящем разделе мы рассмотрим образование двухчастичных связанных состояний (т. е. образование атомов водорода из электронов и протонов, или, например, образование экситонов из электронов и дырок), Обобщения на случаи более сложных комплексов, таких как молекулы или биэкситоны, проводятся непосредственно. Основной результат, получаемый в разд. 4.4, состоит в том, что собственную энергию двухчастичного комплекса можно ввести аналогично одночастичной собственной энергии; mW обсудим также различные приближения, позволяющие описать свойства системы двух частиц, погруженных в окружающую их плазму.

В настоящем разд. 4.4.1 мы напомним ряд формул, которые уже приведены в гл. 3. Подходящей основой для обсуждения двухчастичных состояний в системе многих взаимодействующих частиц служит двухчастичная функция Грина G2, определенная как (ср. с (3.73))、

G2(12, 1冲)=詣《7{^1)^2)a+(2，)a+(1')}〉，(4.174)

где подразумевается, что каждый аргумент, например 1, вклю* чает в себя номер сорта частиц, спин и импульс. Особенно нн* тересен канал частица — частица, для которого /] = /2 = /, ；«■&=/、так что, согласно граничному условию Кубо — Мар*

тина — Швингера, результирующее выражение G?" — L) можно представить в виде ряда Фурье:

G2 (/ —') = ^^ 2 exp [- zQx (Z - /9] G2 缁)，(4.175)

где величины

力Qa = Т^_+卩a+卩力 九=0，士2, ±4,」..，

представляют собой мацубаровские частоты для двухчастичной системы (ab).

Коэффициенты Фурье G2(Qx) связаны со спектральной функцией ((со) соотношением

62(也)=)警^4^,(4.176)

из которого следует, что спектральная функция Д2((о) определяется посредством аналитического продолжения функции С2(йх) дискретного набора мацубаровских частот %, на всю комплексную Q-плоскость.с соблюдением условия

42 (s) ^ "G? (со + iO) — G? (со — i0)]・

Физический смысл спектральной функции рассмотрен в разд. 325.

Двухчастичная функция Грина G?(t — Г) определяется из уравнения Бете — Солпитера, которое изображается следующими диаграммами:

Рассмотрим случай а ^ Ь, когда не появляется никаких об" менных членов. Одночастичная функция Грина, входящая в уравнение (4.177), подчиняется уравнению Дайсона

—+ + ZIA」,(4.178)

где Sa — собственная энергия. Ядро К уравнения (4.177) можно представить в виде суммы всех неприводимых диаграмм в канале частица — частица; оно описывает эффективное взаимодействие. Конкретные аппроксимации для собственной энергии Sa и эффективного взаимодействия К обсуждаются в разд. 4.4.3 и 4.4.4.

В общем случае ввиду динамической природы величины К уравнение Бете — Солпитера (4.177) содержит в правой части также функцию Грина, зависящую от трех временных аргументов

6 Зак. 641

(входящие линии отвечают разным временам) G2 (/ь /2, /3, £0厶二,. Последняя после преобразования Фурье дает функцию Грина, зависящую от двух частот: G2 (г^, Q九——г^), h^ = nv (― £6)~*卩4, v = ±1, ± 3,

Чтобы получить замкнутое уравнение для G2(Qx), надо выразить функцию G2 [z^ Qv — z^ через G2(Q%). Для статического (экранированного) потенциала V (см. также выражение (4.210)) эффективное взаимодействие К зависит только от Q储 K = K(Qi); в общем случае его частотная зависимость оказывается более сложной. Для статического потенциала V уравнение Бете — Солпитера принимает вид.

G2(121,2,, Zv, Q% — ％) = G] (1, zj G] (2, Q% - zj X

X[61/62? + \ dl〃d2〃K(121〃2〃，％) G2(1〃2〃1'2', Q%)].

После суммирования no v мы приходим к обычной форме уравнения Бете — Солпитера для статического потенциала:

G2 (Q J = G?做)[1 + К (Q J G2(Qx)]-

Аргументы 1, 1’ и т. д. сохраняются неизменными. При выводе мы воспользовались соотношением (см. разд. 3.2.8)

G2 0) = £「^~ Gi Е) Gi(Q% — 2 J

Использовав определение

一:%力，2 g2 (%, R大一nJ = G2 縊，V

мы получим следующее соотношение между функцией, зависящей от двух частот, и функцией одного частотного аргумента:

G2(121,2,, Zv, Qv - Zv)=

=吧，喲 g坦纯二叨——G2 (121'2'，QJ. (4.179)

』1＞。(1，喲仇(2, Q入一喲

Аналогичная связь между функциями G2(2V, Qx — ?v) и С2(йх) была использована также при рассмотрении случая динамического взаимодействия (см. разд. 3.2.8) [369, 590]. Мы полагаем, что получающееся в итоге замкнутое уравнение Бете — Солпитера справедливо вплоть до поправок первого порядка по запаздыванию.

После ряда преобразований уравнение (4.177) можно записать в виде

[еа(1) + еь(2) + △护(12, Q%) — Q%] G2 (12 Г2，, Q〃) +

+ Z U縉8(12*, QQ G2 (MIX Qx) = id1rd22Wab(12), (4.180) 34

где e/l) = B%；/2%,

Mb (12)=占 2 & (1,羽)+ Gb(2, Q% - z：)] Q 1 - 九⑴一％ ⑵

(доля заполнения фазового пространства), а величины

А^ф (12, Qx) = Nab (12)十 £ [九(1, zf) + Sb(2, Q% - z；)] XV

X[Ga(l, z?) + Gb(2,Q%-《)],

Vat* (1234, Qj =患 Z [Ga (1,羽)+ Gb(2, Q% 一 zf)] Nab(34)X v v

义 К (12亮，zf, Q% - zf,或)[Ga (3, 2?) + Gb(4, Q% - г?)

(4.181)

представляют собой эффективную собственную энергию и эффективный потенциал соответственно. Обе эти величины, вообще говоря, являются функциями частоты, что отражает их динамическую природу; они тесно связаны между собой, что видно из соотношения, справедливого, например, в приближении экранированного потенциала (см. разд. 4.4.3):

厶犷(12, Qj = 2 W犷(12r2，, Qj NabQ'2')_ V (121，2，)]・

(4.182)

Поэтому способы их расчета должны быть эквивалентными, так что последнее равенство должно выполняться при исполь* зовании приближенных результатов для Д^ф и V^纟由.

Далее, исходя из соотношений, приведенных в разд. 4.4.3 и 444, мы можем теперь убедиться, что справедливы следующие спектральные представления для А；#由 и V需由：

盛S)-出+，胃屮学，183 雌Ь0)=京制+,萼吧胃:m二'2..4侬)

Здесь вещественные слагаемые △讚 и V犷 содержат члены, не зависящие от частоты Q九.

Если выполняется условие 儿匕(12)>0, уравнение Бете — Солпитера (4.180) можно преобразовать к эрмитову симметричному виду, переопределив гриновские функции за счет включения в них знаменателя ^^1 (34), согласно правилу

扇(121'2‘，Qx) = G)(12Г2，，Qj ^1/2(12)从^仅(1'2‘). (4.184)

В результате уравнение принимает следующий вид:

W 一 Qj G2 (炫)+ "^ (Qj 廃(Qj = /.(4.185)

Здесь через "^ обозначен гамильтониан изолированной двухчастичной системы, имеющий следующие матричные элементы в импульсном представлении:

〈12 I "界 I 34> = ［% ⑴ + % (2)］又科7 + Vab(1234), (4.186) где

Vab (1234) = bomb。赤包［+居,忘+后 V(e 一e3)，(4.187)

Влияние окружающей среды на двухчастичный комплекс описывается оператором Hab (йх) со следующими симметричными матричными элементами в импульсном представлении (см. уравнение (4.185)):

〈12 I 咽(Q J I 34> = △嚮(12, Q J 6龈什

+ А^"(12)и^ф(12, 34, Qz)^(34)-Vab(1234). (4.188)

Исходя из спектральных представлений величин А^?® и 卜^纟由 (4.183), можно найти также спектральное представление и для

=砒 + \ 萼上北7；'①,(4.189)

где

Hab = A需"+ NU亏出N喝一九b，

Im "常(з - iO) = Im A犷(co -/0) + N^12 Im VT ® - /0) ^У^

Фигурирующие в соотношении (4.189) величины Наь и Im Hab (<о — ^0) представляют собой эрмитовы операторы ввиду выполнения равенств

^(1234) = ^6* (3412),

Im "龙(12我,со - /0) = Im "笈(3412, з - £0)・

Величина Im Наь здесь зависит также от частоты <о как от произвольного вещественного параметра. Чтобы определить спектральную функцию (4Л89), надо знать величины G2(s±i0), получающиеся в результате решения уравнения Бете — Солпи- тера (4.185) и последующего аналитического продолжения дискретного набора йх на комплексную й-плоскость:

[凡尹一力(со 士 /0)] G2 (со 士 £0)干"m Наь ® - /0) G2 (co 土 iO) = L

(4.190)

Входящий сюда эффективный гамильтониан определяется выражением

"需 8®)= ”^ + Re“N®)=

W +•(4.191)

Таким образом, мы связали уравнение Бете — Солпитера, в котором фигурирует мацубаровская частота Q九,с уравнением, содержащим зависимость от вещественной переменной (о.

Решение уравнения Бете — Солпитера.Эффективное волновое уравнение

и спектральные представления

Рассмотрим сначала случай изолированной двухчастичной системы, т. е. положим величину Н^ (Q) равной нулю. В этом случае с неоднородным уравнением Бете — Солпитера (4.185) естественно связать соответствующее однородное уравнение Бете —Солпитера

(〃歌一Q)2^(Q) = 0.(4.192)

Это однородное уравнение имеет смысл волнового уравнения и, если рассматривать Q как вещественную переменную, совпадает с уравнением Шредингера для системы двух частиц. При этом нормируемые решения 啮丿=础(12, Епр) получаются только для дискретных значений энергии ЕпР- С помощью решений однородного уравнения Бете — Солпитера можно записать функцию Грина G2, o(Q) изолированной двухчастичной системы в виде билинейного разложения (в данном разделе мы не пишем нормировочного множителя — обратного объема системы—при суммах по импульсам):

「/ЮИо/ nх 〈嘴(12)疇*(1’2，)

g2.o(121 2 , Q) = - I 3公2二巾窑—・(4.193)

Легко показать, что при частотах Q = %, это выражение пред* ставляет собой решение неоднородного уравнения Бете—Сол- питера. Отметим, что разложение (4.193) по своей структуре аналогично билинейному разложению для одночастичной функции Грина.

Вид билинейного разложения двухчастичной функции Грина G^ можно установить следующим образом. Возьмем полный ортонормированный набор собственных состояний 2弘 отвечающих собственным значениям энергии Е馭 Использовав их как базис, построим соответствующее представление уравнения Бете — Солпитера для задачи изолированной двухчастичной системы:

[礎一力® 士 Ю)] G2 (и, Р, 〃，Р', 3 ± Ю) = 1ЬпП'ЬРР'- (4.194)

Решения этого уравнения даются матричными элементами функции G2, которая должна быть диагональной в представлении, отвечающем гамильтониану 川妝

员5","匕3±，。)=现禺丁.(4.195)

Отсюда находим матричные элементы спектральной функции (см. разд. 3.2.6):

Л(п, Р, п\ Р\(о) = 2лМм6рр，6(/ко-Е紛， (4J96) Теперь мы можем интерпретировать величины Е% как энергии двухчастичных возбуждений системы. Поскольку мы рассматриваем случай изолированной двухчастичной системы, полностью пренебрегая взаимодействием с окружением, спектральная функция состоит из набора резких б-образных пиков нулевой ширины, отвечающих незатухающим квазичастицам.

Аналогичное рассмотрение возможно и тогда, когда для оператора Н% (Q) используется приближение Хартри——Фока. Для собственных значений энергии однородного волнового уравнения, сопоставляемого неоднородному уравнению Бете — Солпитера, мы получаем по теории возмущений выражения

Е“р = £^ +〈》I “式品р) I »〉• (4.197)

Для функции Грина в этом приближении можно написать би

绅％ (12)吧£ (ГУ)力Q-E悌一〈户1鄧計心〉绅％ (12)吧£ (ГУ)力Q-E悌一〈户1鄧計心〉(4.198)(4.198)линейное разложение

绅％ (12)吧£ (ГУ)

力Q-E悌一〈户1鄧計心〉

绅％ (12)吧£ (ГУ)

力Q-E悌一〈户1鄧計心〉

(4.198)

(4.198)

G2(121,2,, Q) = 2

Спектральная функция при этом состоит из б-образных пиков, расположенных при хартри-фоковских энергиях квазичастиц.

Условия применимости билинейного разложения (4.198) нарушаются в том случае, когда величина 〃犬(Q) обладает конечной мнимой частью. В этом случае необходимо правильно задать знак мнимой части в выражении (4.197), чтобы получить затухающие квазичастицы. Но в подобной ситуации вполне допустимо вообще обойтись без использования билинейного разложения и исходить прямо из спектральной функции для G2(Q) (см. [371]).

С этой целью рассмотрим однородное волновое уравнение, определяемое вещественной частью Н缴(4.191) оператора, фигурирующего в неоднородном уравнении Бете — Солпитера. Величина //需由зависит от частоты со как от параметра:

"犷(s) I пР, 8〉= Епр ®)丨 пР, 8〉. (4.199)

Поскольку эффективный гамильтониан Н需由(со) эрмитов при любом вещественном значении со, остаются в силе соотношения, выражающие свойства ортонормированности и полноты набора базисных состояний:

Z I пР, со) (со, пР |= 1, (со, Pfnf I пР, (0〉= 6”6рр・

Поэтому волновую функцию можно определить равенством 〈“？ I пР, со〉= 6рр呻"”，Р, о).

Отметим, однако, что собственные значения Епр{(а) гамильтониана Н^^ не дают непосредственно спектр двухчастичных возбуждений. Последний будет получен ниже с помощью спектральной функции.

Приступая к решению уравнения (4.190), рассмотрим его в представлении, диагонализующем гамильтониан Н^ (со). При учете закона сохранения полного импульса Р (могут присутствовать только диагональные по Р мдтричные элементы) имеем

{£пр (со)—力(со 土 iO)] G2 (% 九'，P,① ± £0) 士

±，Z〈s, P九 I Im Hab (s — 2)1 mP,(0〉G2 (m, К P, co 土 £0) = i6nn-

" (4.200)

Если недиагональные матричные элементы оператора Im Hab считать малыми величинами, то можно написать следующее приближенное решение матричного уравнения (4.200)

(в отсутствие вырождения связанных состояний):

G2 仇，〃，P, <0 ± iO) = I E“p (s)-力(8 J；0) 士 汙"“(P, 8)干

干詳山(P，8)(1 — MJ

[Eg (s) — 力(s ± 2)干 гГп„ (P, s)] [E献p (①)一力(s ± 2) 士 泞紋也(Л о)] *

(4.201)

Здесь для связанных состояний

г” (Р, 3)=〈3, пр\ Im Hab (® - /0) I Р〃，3〉，(4.202)

а для состояний, отвечающих рассеянию,

「„>，(Р, з) = 6即，Im А謂8 (р, Р, 3 — Ю).(4.203)

Исходная функция Грина G2 дается тогда следующим операторным выражением:

G2 (со ±Ю)= 2 鶴夕 I пР0 G, (п,出，Р, 3 士 2) 3P〃 IN將(4.204) ntVP

Рассмотрим невырожденный случай, когда Nab al, и пренебрежем недиагональными матричными элементами Гпп^ (п =й= %')； для спектральной функции 厶2 находим

& (И, Р, з) = — 2i ~~.(4.205)

[£„р(0)-Й0]2 + г2п(Р, о) ''

Это выражение дает диагональную часть операторной спектральной функции. При учете недиагональных матричных элементов F” в выражении (4.201), соответствующих переходам между двухчастичными состояниями, возникают дополнительные по сравнению с (4.205) вклады в спектральную функцию, составляющие ее некогерентную часть.

Исходя из результата (4.205) для спектральной функции, можно определить спектр двухчастичных возбуждений как решения Епр дисперсионного уравнения

Йео = Епр (со)(4.206)

и найти затухание этих квазичастичных возбуждений, взяв Гдр ((0 Ёпр/И).

Решая волновое уравнение (4.199) по теории возмущений, найдем для области спектра, отвечающей связанным состояниям,

£„р ^ ^ + {Pn I Н^ + Р JI пР\ (4.207)

а для области энергий, отвечающей состояниям рассеяния,

心"。訳+需+ ReA讚(Р，Р，器+零}(4・2。8)

Различие в структуре этих выражений для энергий связанных состояний и состояний, отвечающих рассеянию, ведет, как мы увидим, к уменьшению энергии ионизации и к переходу Мотта (см. также разд. 3.2.8).

Различие в поведении связанных состояний и состояний, отвечающих рассеянию, можно рассмотреть также, исходя из однородного волнового уравнения, соответствующего неоднородному уравнению Бете — Солпитера (4.200):

{% (1) + % ⑵一Bz] 2ab(Pl> P2, z) — 2 U (g) 2ab(P1 + q, P2 — g, z)=

= 2^(^) {[Nab (Pi, P2)— 1] 2ab (Pl + g, P2 — q, z) —(a)

—Wab(P1 + 9, 02 — 9)— 1]屮ab(Pl, 02, ?)} +(6)

+ Sav^(pi,p2,q, z) {Nab0, P2)2ab (Pl + q, p2 — q, z) —(r)

—^b (Pl + d 02 — 9)屮ab(Pl，02,乞)}・(B)

(4.209)

Здесь мы использовали выражение (4.188) и положили AV^R* = 需"-Vаь* Данное волновое уравнение можно интерпретировать как многочастичный аналог двухчастичного уравнения Шредингера. Задача об «изолированном двухчастичном комплексе» описывается левой частью уравнения. Многочастичные эффекты сосредоточены в операторе Наь и учитывают роль следующих четырех факторов:

заполнение фазового пространства (статистическая корреляция),

обменный вклад в собственную энергию,

динамическая поправка к собственной энергии,

динамическое экранирование эффективного потенциала.

Легко заметить, что факторы (а) и (б), а также (в) и (г) действуют в противоположных направлениях, компенсируя влияние друг друга; действительно, выражения в обеих фигурных скобках в (4.209) обращаются в нуль при д = 0* Таким образом, при определении двухчастичного спектра все эти члены надо учитывать одновременно. Это приводит нас также к общему выводу о необходимости поиска согласованных приближений для собственной энергии S и эффективного взаимодействия К*

Упомянутый эффект компенсации особенно сильно проявляется в случае сильно связанных состояний, когда волновая функция локализована в малой области пространства, так что ее фурье- образ лишь слабо зависит от q. С другой стороны, подобная компенсация не имеет место для состояний, отвечающих рассеянию.

443. Двухчастичные состояния в лестничном приближениис динамическим экранированием

В простейшем приближении для эффективного взаимодействия К мы берем динамически экранированный потенциал:

IK « tvlb =,(4.210>

где

吟Me，Z)=黑*=*。⑷[1 + \ 筝 吟纬二或],(4.21 D так что

Im Vab (?, s — ,0) = Vab(9)Im e"1 (g, s — £0).(4.212}

Тогда для определения собственной энергии £ следует использовать приближение экранированного потенциала:

2 =乙二\ =/е 十 ему(4.213)

Здесь через 界① обозначен хартри-фоковский вклад, а череа £МУ — вклад Монтролла — Уорда.

Вычисление собственной энергии дает (см. разд. 4.3)

±а(Р‘ 2)= — Е 丿(9)I %(Р + 9)+

Ei）三维笈零］（4.2U）Ei）三维笈零］（4.2U）

Ei）三维笈零］（4.2U）

Ei）三维笈零］（4.2U）

где первое слагаемое в правой части есть обменная энергия, а второе ——корреляционная поправка.

Проводя суммирование по частотам, удается также вычислить эффективный потенциал; исходя из формулы (4.181), после довольно длинных выкладок получаем следующее аналити-

ческое продолжение:

△и^ф（р” Р2, g, 2）= ［1 一 ％ 3）一 力（Р2）Н；?а 3 + g） - % （Р2 - g）］X△и^ф（р” Р2, g, 2）= ［1 一 ％ 3）一 力（Р2）Н；?а 3 + g） - % （Р2 - g）］X

△и^ф（р” Р2, g, 2）= ［1 一 ％ 3）一 力（Р2）Н；?а 3 + g） - % （Р2 - g）］X

△и^ф（р” Р2, g, 2）= ［1 一 ％ 3）一 力（Р2）Н；?а 3 + g） - % （Р2 - g）］X

Этот результат можно интерпретировать следующим образом: вклад от первого слагаемого в фигурных скобках учитывает эффекты взаимодействия с флуктуациями плотности, приводящего к изменению импульса частицы; второе слагаемое описывает роль виртуальных переходов двухчастичного состояния в состояние двух свободных частиц. В числителях стоят статистические факторы, учитывающие принцип Паули в соответствующих процессах."

С учетом всего сказанного в лестничном приближении с динамическим экранированием имеем для гамильтониана （4.189）:

НаЬ （ 1234, Qx） = ^0101^030^ab（PH 02,户3,户4, Q*）'（4.2 16）

где

Hab（Pl, 02,/3, 04）=（2аФ（Р1） + E产（他）］6Н户36M 一

-Nab （0，P2）Vab （0，他，户3,户4）德夕（户3,户4）- Vab（0,他，户3,户4）， （4.217）

Im Hab（Pl, 02,/3,/4, 8 - 2。）=6卩血6卩2方用ab（P1, 02）X

X Z {im Vaa （q,力S — 8a （卩一?） — &b（02）） X

X ［1 + 九8 （自8 - 80（p1 - 9）- Eb（02））］ + （a "^ b,0 4^ 他）} -

-6卩i+P2,户з+"户荔1'（Pl, 02）V荔"2（/3,/4）X

X ［im Vab（P1 — Рз> 力8 — в （Р1） — Eb （户4）） X

X ［ 1 + ^B 伍8 — % S1） — % （户4））］ + （@ ^*^ b, pl -^ Рз> 02 "^ 户4）］・ （4.2*3）

Первые слагаемые в выражениях （4.217） и （4.218） происходят от собственной энергии, входящей в А^?中「а последние — от Р謂◎《

Дальнейший расчет можно выполнить, используя плазменнополюсное приближение для величины Im'g-“q, со) (см. разд. 4.2). Наша цель при этом — получить результаты, точные вплоть до членов порядка п~1/2. Имеем

Im s'1 (q, s + 70) = — л (①脑/2s j [б (со — со/ — 6 (со + ш^)],

% = ^Г 吗= %(1+冬)+ (悬):(4.219〉

В этом приближении можно проинтегрировать в (4.215) по частоте, просто заменив подынтегральное выражение подходящим： образом выбранным средним значением.

В невырожденном случае можно пренебречь всеми фермиевскими функциями по сравнению с единицей, и мы приходим к формуле

(ё)机田嗝工;*%(…)+

—г—：—г—|- (аb. Pi— q)1 .

短+ ^q-%(Pi)_%(p2-g)4 ]

(4.220>

С физичёской точки зрения полезно дать истолкование выражений, возникших в правой части (4.220), на языке виртуальных процессов. Первый член соответствует распаду двухчастичного состояния (Йг) на пару свободных состояний, сопровождаемому стимулированным излучением плазмона. Обратный процесс состоит в поглощении термически возбужденного плазмона, вновь с конечным состоянием без взаимодействия (второй член). Более последовательная модификация теории, показывающая, что конечное состояние также должно быть точным двухчастичным состоянием (связанным или отвечающим рассеянию), обсуждается в разд. 4.4.4 (см. [556]). Численные результаты приведены в разд. 4.4.5. Как указано в разд. 4.1.4, рассмотренное здесь приближение можно классифицировать как приближение экранированного потенциала для двухчастичной собственной энергии (4.28).

Первое борновское приближениедля двухчастичных состояний в среде

Лестничное приближение с динамическим экранированием, описанное в предыдущем разделе, можно усовершенствовать за счет полного учета в первом борновском приближении вкладов всех процессов рассеяния рассматриваемой двухчастичной системы на частицах окружающей среды, как свободных, так п

находящихся в связанных состояниях; при этом должны быть приняты во внимание все члены, пропорциональные плотности свободных и связанных частиц.

Для решения последней задачи требуется точно вычислить величины и К, для чего понадобилось бы решить задачи трех и четырех тел соответственно. Мы ограничимся первым борнов- ским приближением, имея в виду следующее. Помимо лестничной Т-матрицы (с идущими назад линиями, что дает плотность соответствующих частиц)

а+6а+6(4.221)(4.221)

а

+

6

а

+

6

(4.221)

(4.221)

мы учтем все диаграммы, содержащие не более одной дополнит тельной явно выделенной линии взаимодействия:

Подобные диаграммы выходят за рамки обычного борновскогр приближения; в картине химической связи идущие назад линии описывают составные частицы. Кроме того, мы заменим затравочный кулоновский потенциал динамически экранированным потенциалом Vs. В результате мы получим для Sa и Л следующие приближенные выражения, учитывающие все вклады первого борновского приближения по Vs (расположение диаграмм здесь топологически эквивалентно (4.222)):

(4.223)(4.223)

(4.223)

(4.223)

Блоки 丁2 и Тз по определению снабжены двумя и тремя хвостами линий взаимодействия соответственно. Благодаря введению

динамически экранированного потенциала учитывается влияние коллективных возбуждений, например плазменных колебаний, на двухчастичную систему. Это подразумевает выполнение частичного суммирования вкладов высшего порядка, необходимое для устранения расходимости, возникающей во втором борнов- ском приближении из-за дальнодействующего характера кулоновского потенциала.

Т-матрицы, входящие в выражения (4.222) и (4.223), можно выразить с помощью антисимметризованных двухчастичных волновых функций 屮?厶(Pi，Pi + 02)и Двухчастичных энергий Е(0).

Tab(p,P — p,p + q,P — p — q, QQ = 2Tab(p,P — p,p + q,P — p — q, QQ = 2磯A (p，P)吧门p + % P)磯A (p，P)吧门p + % P)XX

Tab(p,P — p,p + q,P — p — q, QQ = 2

Tab(p,P — p,p + q,P — p — q, QQ = 2

磯A (p，P)吧门p + % P)

磯A (p，P)吧门p + % P)

X

X

X [eS> — 8a (p) — % (P — p)][力Q% ■— 8a (p + q) — 8()(P — P — ?)]•

(4.224)

Вычисление различных вкладов в (4.224) проводится обычным способом. Для собственной энергии получаем следующий результат:

工а (р,瀚==一 £ Vaa(9)fа(Р + 9)+

1Ш8-1(Q, S + £0)1Ш8-1(Q, S + £0)1 + ns (Йо) 也刃一也8 - % (" + g)1 + ns (Йо) 也刃一也8 - % (" + g)++

1Ш8-1(Q, S + £0)

1Ш8-1(Q, S + £0)

1 + ns (Йо) 也刃一也8 - % (" + g)

1 + ns (Йо) 也刃一也8 - % (" + g)

+

+

+ 2 i^(p, л I2 nPba^+ 2 i^(p, л I2 nPba^XX[%9) + %仍一Р)一鸣)2hz%-E^+zb(P~p)

+ 2 i^(p, л I2 nPba^

+ 2 i^(p, л I2 nPba^

X

X

X[gab(E^) + %(P — p)]— £ |^(p + 9, P) ^Vaa^gab^. riPqbGb

(4.225)

Для эффективного взаимодействия (при равном нулю полном импульсе) получаем

VаЬФ (р, — р, р + 9, — р — 9, QJ =

(8

IГ ano1■

=КаЬ(9)|1 + \ -^-1Ш8~ (?, CO + ZO) X

L 力"人一力①-%(" + g) 一 %(1")

,1+电伍 8)11

也 R* ——力 о ——％ (р) — ^ь(— р — q) JJ

-2 乙6 匂)gac (礎)硼“с (р, Р)膿 ас (р + g, Р) - пРсас-

-2 Uac(g)gcb(E^)W%c〃P + p,P)W^cMP + p + g,P)- пРсас

一2唳6(p) [gab (礫)一

-i — Im+ X

X 怖％ ab (戶 + P，P)-硼工 ab (P, P)] X

X 怖粒 ab (P + P + 9, P)—破厶 ab (p + q, P)] +

+ ^УаЬЮ j Im 8-1 (9\ co + /0) [1 + nB (fio)] x

I 也R* —也s % (p — д') — % (—")

+ 鼻 is* 言肾,(—_，『]•(4・226)

Исходя из этих выражений для Sa и У1*ф, мы можем найти вид гамильтониана плазмы для случая р^ =——р2 = р, р3=——р4 = = р + 9 (см. формулу (4.188) и работу [371]):

冃眈(р, —р, р + е, -р-д)= J。[或"(р)+ Е产(一р)十

+ 2 2 |^.crf(P+?)r Vab^gcd И)1 + nPqcdJ

+ Nab (p, —p) Уab(9)N囁(p + q, —p — q) — Vаъ(9)+

+ Z 九b (科 Sab (E紛怖馭 ab (P + A) — Л аь(P)] X nP

X ['ФпО, ab (^ + P + 9)— ^^ ab(P + 9)]—、

—2 ^ Vcb (?) gac(E紛■фпО, ас(P)碟2 ac(P + «) —

—2Vac (?) gcb (成%) 2開 cb (p + P)2馭 cb (P + p + q)—

nPc

一 2 z z 九6 3) g“(E紛硼,cd (P + A)屮額 cd (p) J o. (4.227) nPh cd

Для мнимой части 〃常 имеем

Im Hab (р, —р, р + g, —p — q, (О —zO) = 6^,0 Im&£ф (р, со — /0) + + N^ (р, — р) Im U需"(р, — р, р + g, —р — g; со + г'0) X

XM*S + q, p-q),(4.228)

где

Im△需ф (р, ®-Ю) = [Im 九(p,力з - % (P) - /0) +

+ Im & (—p,力co — % (p) — Д))] Nab(Р,—p),

Im£a(p, © — /0)=

=Z ImUZe，力 3 —%(p + G) —i0)[l + nB (fico — &a(p + G))] +

+ 2" Z 怖乳 ас (p, О)]2 к (p) + % (P _ p) — E關2 X nPc

x[gac (En^ + fc (P-P)L(4.229)

Im УаьФ (p, —p, p + q, —p — q, co — /0)=

= lmV ab (?» 乃①一％ (p+ 〃)一％(—P))X

X [ 1 + 九в (力s — %(P + 9)—再(—P))] +(P J> P + q)—

—Z Im Vab (q7,力8 — 8a (p —— з& (p)) X

X [1 + ^B 伍S — %(P — /) — % ( —p})] X

X o —— E (p 一 p + q')・(4.230)

Влияние окружающей плазмы описывается эффективным плазменным гамильтонианом, содержащим фермиевские и бозевские функции распределения частиц в делокализованных и связанных состояниях соответственно. Вместо химических потенциалов 卩а, 卩ь можно ввести плотности свободных пар 巧 и связанных состояний Паь, определив их в соответствии с законом действующих масс (см. гл. 6). Для случая малой плотности мы получим выражения

厶(р)=告巧 А^ехр {—^pl2tn^,

19(4.231)

gab (Е加=丁 nabA.ab exp (— M2P2/2M)бл( о,

где

M = tna + tnbf Ла = й V2лр//па, Адь =方 “2呻/М.

При этом предполагается, что из всех связанных состояний отлично от нуля заполнение лишь для основного состояния, отвечающего п = 0.

+ AjE^ обмен ++ AjE^ обмен +△& = АЕ(),заполн.зоны△& = АЕ(),заполн.зоныТаким путем мы приходим к выражению для сдвига энергии основного состояния -

+ AjE^ обмен +

+ AjE^ обмен +

△& = АЕ(),заполн.зоны

△& = АЕ(),заполн.зоны

(4.232)(4.232)+ AES*齧ф. вз + А&.плазмон*

(4.232)

(4.232)

Рассматривая первое слагаемое, соответствующее эффектам заполнения зоны, мы воспользуемся разложением одночастичной функции Грина, справедливым при малых плотностях (малых £):

△&,заполн. зоныZ V (е)我(р) 5 (р + 9)[fa (р) + fb (-р)] +

+ 2 Z и (д)5(р)5(р + g) X

X [I 恥(P 一 ％P/M) F + I 我(P + mbP/M) I2] Sab (Jp).(4.233)

Этот вклад можно интерпретировать следующим образом. Многочастичные эффекты типа заполнения фазового пространства (статистические корреляции) обусловлены не только делокализованными частицами, но и частицами в связанных состоя

ниях, распределение которых в импульсном пространстве определяется их волновыми функциями.

Для хартри-фоковского обменного вклада получаем

△Е?). обмен — Z и (g) I 我(р) |2 [fa (р — g) + fb (—р — q)] +

+ Z и (g)丨 Wo (p) I2 № (p — tnaP!M) ^o(p + q — maP/M) +

+ Wo (p + mbP/M) Wo (p + q + mbP/M)] 2gab (£„P)—

—£ U (g) I Wo (p) I2 [I 5 (p + q — maP/M) I2 +

+ \^o(p + q + mbP/M) I2] 2gab (£„p),(4.234)

а вклад в сдвиг энергии от эффективного взаимодействия также хартри-фоковского происхождения получается непосредственно из выражения (4.227):

△或乳ф. вз = - Е ^ (<7)恥(Р)恥(Р + q) 2gab (£„р) X Ppq、

.X [^0 (р — maP/M) ^o(p + q — maP/M) + '

+ Wo (p + mbP/M) Wo(p + g + mbP/M)]十

+ £ U (-P) Wo (P)我(P + 9)gab (E“)X Ppq

X № (p — rnaP/M) — Wo (p + mbP/M)] x

X 仲0 (P + g — rnaP/M)—电)(p + g + tnbP/M)]. (4.235)

В следующем слагаемом учитываются совместно эффекты, обусловленные модификациями собственной энергии и эффективным взаимодействием под влиянием плазмонов:

Im 8-1 (-Р, Йео + /0)Im 8-1 (-Р, Йео + /0)1 +^他8)+ 8而(E心)EQ-ha-EnP1 +^他8)+ 8而(E心)EQ-ha-EnPX(4.236)X(4.236)=—Е V (—р)屮о (р) 5 (р + е) х

Im 8-1 (-Р, Йео + /0)

Im 8-1 (-Р, Йео + /0)

1 +^他8)+ 8而(E心)EQ-ha-EnP

1 +^他8)+ 8而(E心)EQ-ha-EnP

X

(4.236)

X

(4.236)

X 仲n (p — rnaP/M) — %(P + rnbP/M)] x

X [^n (p + 9 — rnaP/M) — % ⑦ + g + mbP/M)].

Используя для описания плазмонов однополюсное приближение (см. разд. 4.2), преобразуем выражение (4.236) к следующему виду:,

,плазмон Z V (/) Фо (р) ^0 (р + ?) -^- х

乂 Г 〃В (П)Та&(£м)丄 1 + 〃В (也0У) + gab (£у) 1 Y

-X L Eq+S_Ew 十一综一网，一 Eg 一 J k

X [Wn (Р + rn^/M)—屮“ (p — mbq^M^ X

X 仲a(P + 9 + maqr/M) — % (p + g — m&q'/M)].(4.237)

Можно считать, что последнее выражение описывает роль процессов спонтанного и индуцированного излучения и поглощения тепловых плазмонов; соответственно в числителях фигурируют статистические веса конечных состояний для прямого и обратного процессов:

[1 +«В (ЙМП1 + Sab (Eg)] — 3 (h®q)gab(国“)，(4.238)

«В(W)[l + gab (Eg)] — [1 + «В (力3寸)]gab (風“ (4.239)

Отличие результата (4.237) от соответствующего выражения, полученного в лестничном приближении с динамическим экранированием, состоит в том, что вместо переходов из основного состояния Eq в состояния свободных частиц теперь фигурируют переходы в двухчастичные состояния.

Альтернативный подход развит в работе [610], где с помощью вариационного принципа построен эффективный гамильтониан, дающий правильное уравнение Шредингера для двухчастичной задачи в приближении Хартри — Фока. Оба подхода приводят к совпадающим результатам.

Обобщение задачи о хартри-фоковских сдвигах энергий связанных состояний под влиянием окружающей среды с кластерами на случай систем с кластерами произвольных размеров применительно к горячей ядерной материи рассмотрено в работе [563].

Численные результаты

и обсуждение свойств двухчастичных состояний

Сдвиг энергии и затухание двухчастичного состояния можно рассчитать по теории возмущений или с помощью вариационной процедуры, минимизируя среднее от вещественной части гамильтониана

(1))=@1"犷(3)1<{)〉，(4.240)

путем подбора пробной функции ср. После этого энергия наи- низшего связанного состояния £0 отыскивается посредством решения самосогласованного уравнения

со = Я (®, <рмин).(4.241)

В качестве пробной функции берется функция типа ls-орбитали:

^^ = ^^е Г1<1(4.242)

с вариационным параметром а. В случае невозмущенной системы выражения (4.242) дают точную собственную функцию при а = ав. В лестничном приближении с экранированием, подставляя (4.242) в формулу (4.227), для случая покоящегося центра масс (pi + Р2 = 0) находим

Н ® а) = 2^ —募一马九а (Р — р')母(Р) — $ ”) I2 豁 X

仆传8…)+ 1, tt2p/2/2ma +胪叫2mb +自8卩-卩' + % +%一自s十

十 胪，2/2% + 胪"2/2% - Rsp_p, + % + 飯一也s j .丿Сумма сдвигов энергии квазичастиц Да = Sa(0, Да) получается из выражения для собственной энергии (4.214) в приближении плазменного полюса:m + & =-多吸。(")"207"义匸「九8 08g) + 1丄 ^ (胃) 丄,м]X |紋g2/2g + 也sJ + 不%2/2他。一也Sg + (a 2 b)}(4.244)Плазменная поправка в правой части выражения (4.243) содержит типичный множитель — квадрат разности волновых функций. Квадратичные члены ср2 (р) и qp2 (pz) обусловлены членом (в) выражения (4.209), связанным с эффективной собственной十 胪，2/2% + 胪"2/2% - Rsp_p, + % + 飯一也s j .丿Сумма сдвигов энергии квазичастиц Да = Sa(0, Да) получается из выражения для собственной энергии (4.214) в приближении плазменного полюса:m + & =-多吸。(")"207"义匸「九8 08g) + 1丄 ^ (胃) 丄,м]X |紋g2/2g + 也sJ + 不%2/2他。一也Sg + (a 2 b)}(4.244)Плазменная поправка в правой части выражения (4.243) содержит типичный множитель — квадрат разности волновых функций. Квадратичные члены ср2 (р) и qp2 (pz) обусловлены членом (в) выражения (4.209), связанным с эффективной собственной]伍 243)

十 胪，2/2% + 胪"2/2% - Rsp_p, + % + 飯一也s j .丿

Сумма сдвигов энергии квазичастиц Да = Sa(0, Да) получается из выражения для собственной энергии (4.214) в приближении плазменного полюса:

m + & =-多吸。(")"207"义

匸「九8 08g) + 1丄 ^ (胃) 丄,м]

X |紋g2/2g + 也sJ + 不%2/2他。一也Sg + (a 2 b)}(4.244)

Плазменная поправка в правой части выражения (4.243) содержит типичный множитель — квадрат разности волновых функций. Квадратичные члены ср2 (р) и qp2 (pz) обусловлены членом (в) выражения (4.209), связанным с эффективной собственной

十 胪，2/2% + 胪"2/2% - Rsp_p, + % + 飯一也s j .丿

Сумма сдвигов энергии квазичастиц Да = Sa(0, Да) получается из выражения для собственной энергии (4.214) в приближении плазменного полюса:

m + & =-多吸。(")"207"义

匸「九8 08g) + 1丄 ^ (胃) 丄,м]

X |紋g2/2g + 也sJ + 不%2/2他。一也Sg + (a 2 b)}(4.244)

Плазменная поправка в правой части выражения (4.243) содержит типичный множитель — квадрат разности волновых функций. Квадратичные члены ср2 (р) и qp2 (pz) обусловлены членом (в) выражения (4.209), связанным с эффективной собственной

энергией, тогда как смешанное слагаемое —2(р(р)ф (р‘) обусловлено членом (г) того же выражения, отражающим влияние эффективного потенциала. В случае связанного состояния оба вклада в значительной мере компенсируют друг друга. В предельном случае малых плотностей из выражения (4.243) следует

Ео = ^ + О (псА).(4.245)

Положение края непрерывного спектра (сдвиг границы континуума делокализованных состояний) можно получить, подставив в (4.243) асимптотический вид волновой функции рассеяния (р(0) (р) -> 6Р, о, что эквивалентно предельному переходу ат 8. Тогда, разумеется, сохранятся только вклады, обусловленные собственной энергией, и в итоге мы получаем величину

Н ® = Аа + м, а f оо) = Аа + &,(4.246)

определяемую выражением (4.244). Таким образом, сдвиг границы континуума, как и ожидалось, оказывается равным поправке к энергиям квазичастиц. Асимптотическое поведение в случае малых плотностей

М + М(п4)1/2(4.247)

свидетельствует о том, что граница непрерывного спектра смещается быстрее, чем энергия основного состояния (4.245). Опущенный численный множитель в соотношении (4.247) не совпадает точно с коэффициентом в хорошо известном выражении для дебаевской поправки к энергии —е2х в предельном случае высоких температур, что связано с погрешностью однополюсного плазменного приближения.

Аналогичные соображения применимы также при анализе хартри-фоковского обменного вклада в собственную энергию и слагаемого, связанного с заполнением фазового пространства, т. е. с принципом запрета Паули (члены (б) и (а) выражения (4.209)).

Численные расчеты выполнены в работе [712] для случая та = ть. Определялись решения уравнения

力Q = <Фмин I 冴"+ 〃""(Q) I Фмин)(4.248)

в комплексной плоскости Q. На рис. 4.6 приведены результаты для температуры 々вТ = &. Как и ожидаюсь, энергия основного состояйия лишь незначительно сдвигается вниз, тогда как смещение края непрерывного спектра происходит более быстро. Мнимая часть £*о (затухание) остается очень малой до тех пор, пока не появляется возможность перехода из связанного состояния в непрерывный спектр за счет поглощения теплового плазмона. Соответствующая порогу этого процесса энергия

Рис. 4.6. Зависимость двухчастичных энергий от плотности частиц плазмы 打 при температуре 论вТ = Eq： а — край непрерывного спектра Ла + Л& и вещественная часть Е] энергии наинизшего связанного состояния (штриховая кривая — порог плазмонного поглощения), 6 —мнимая часть Е：.Рис. 4.6. Зависимость двухчастичных энергий от плотности частиц плазмы 打 при температуре 论вТ = Eq： а — край непрерывного спектра Ла + Л& и вещественная часть Е] энергии наинизшего связанного состояния (штриховая кривая — порог плазмонного поглощения), 6 —мнимая часть Е：.

Рис. 4.6. Зависимость двухчастичных энергий от плотности частиц плазмы 打 при температуре 论вТ = Eq： а — край непрерывного спектра Ла + Л& и вещественная часть Е] энергии наинизшего связанного состояния (штриховая кривая — порог плазмонного поглощения), 6 —мнимая часть Е：.

Рис. 4.6. Зависимость двухчастичных энергий от плотности частиц плазмы 打 при температуре 论вТ = Eq： а — край непрерывного спектра Ла + Л& и вещественная часть Е] энергии наинизшего связанного состояния (штриховая кривая — порог плазмонного поглощения), 6 —мнимая часть Е：.

А。+ Аь——力8"_л показана на рис. 4.6, а штриховой кривой. Оказывается возможным продолжить кривые в область непрерывного спектра, что соответствует наличию относительного минимума, расположенного над абсолютным, отвечающим предельному случаю атоо. Не имея прямого физического смысла, этот результат ясно указывает на то, что самое нижнее по энергии связанное состояние исчезает при конечной плотности (моттов- ское критическое значение плотности), а не приближается асимптотически к краю континуума, как утверждалось в работе [289].

На рис. 4.7 приведены кривые для другой температуры 々bT = O,1Eo. Отклонение величины Eq от предельного значения Eq для случая малой плотности не превышает 1 % вплоть до слияния уровня связанного состояния с непрерывным спектром; это согласуется с экспериментальными данными для сильно возбужденных полупроводников. Поскольку температура низка* плазмонное затухание очень мало.

На рис. 4.8 приведено сравнение результатов, полученных в работе [712] для критической моттовской плотности при различных температурах, со значениями, определяемыми из простого критерия Мотта:

x-1 = ^ = 0,84^ (4.249>

Рис. 4.7. То же, что и на рис. 4.6, но при квТ = 0,1 殳・

Рис. 4.8. Критическая моттовская плотность в логарифмическом п — Т-мас- штабе: крестики — результаты вариационного расчета, сплошная линия — согласно критерию Мотта (4.249), штриховая линия — граница наступления вырождения (пД^ = 1).

Расхождение между результатами простого подхода и сложной трактовки, учитывающей как динамическое экранирование взаимодействия, так и роль собственной энергии, оказывается довольно малым.

Более подробное обсуждение зависимости сдвига энергии основного состояния £*0 от температуры, плотности и отношения масс y = гпа/ть можно провести в рамках первого борновского приближения, используя формулы ра§д. 4.4.4. Различные вкла-

Рис. 4.9. Зависимость величины 6$) (4.250), отражающей влияние заполнения зоны и обменной поправки к собственной энергии, от температуры Т* при разных значениях отношения масс у =0, 0,2, 1.

ды в величину ДЕо можно перегруппировать следующим образом:

a& =(6时 + 卢)+ 6俨)nf + (盟 + 醴2) %.(4.250>

Здесь коэффициент dfHучитывает заполнение зоны и обменный вклад в собственную энергию, 6『)описывает влияние индуцированных плазмонами переходов из основного состояния в связанное двухчастичное состояние, 6?)связан с переходами в двухчастичные состояния рассеяния, когда последние приближенно описываются произведениями волновых функций свободных частиц; величина 酰 пропорциональна вкладам обменного происхождения, полученным в выражениях (4.233)— (4.235), а коэффициент 澀 соответствует кулоновскому вкладу, происходящему от последнего слагаемого в правой части формулы (4.235).、

Явный вид различных слагаемых в выражении (4.250) приведен в работе [556]. Поведение величины 6?)при изменении Г от О,1Ео до Ео показано на рис. 4.9 для различных значений отношения масс. При Т f 8 этот коэффициент обращается в нуль, а при 0 он стремится к значению 24л.

Вклады с коэффициентами 炉 и 對) вычислены с использованием однополюсного плазмонного приближения для

диэлектрической проницаемости £(д”со) (4.120) и для отношения масс у = 1. Суммирование по всем связанным состояниям при расчете величины 6『)заменено учетом вклада только от первого возбужденного состояния (2р-тнпа). Этот подход оправдан тем, что в случае у = 1 переходы в связанные состояния s-типа никакого вклада не дают, а переходы в более высокие возбужденные состояния приводят лишь к малым поправкам (порядка 10 % для перехода 1s — Зр по сравнению с переходом 1s — 2р). Температурная зависимость величины 6，" приведена на рис. 4.10; 炉 обращается в нуль при Тf оо, а при Tf Q стремится к значению —36,66, На рис, 4.10 показано также поведение величины 6『)，сходное с поведением 6? При Т = 0 6? принимает значение —41,5.

Зависимость коэффициентов 酰 и 睨 от температуры показана на рис. 4.11. Величина 酰 при Т = 0 принимает значение 26л/3, что можно сравнить с результатами работы [282], а коэффициент 眈 обращается в нуль при у = 0 и при у = 1 и остается малым при других значениях отношения масс.

Чтобы получить более надежные результаты для сдвига энергии основного состояния, надо уточнить борновское приближение, например, учитывая образование молекул.

При обсуждении энергетического спектра двухчастичных возбуждений мы до сих пор рассматривали случай двухчастичной системы с нулевым полным импульсом Р в той системе отсчета, в которой окружающая плазма покоится. Подытожим теперь наиболее важные физические результаты, полученные в настоящем разделе, которые понадобятся нам в последующих главах.

Дискретные энергетические уровни пары противоположно заряженных частиц еь =—еа, погруженной в разреженную плазму, очень близки к невозмущенным уровням:

Esl(n, T) = E{^ + O(n}. (4.251)

Отметим, что этот результат относится только к симметричной плазме с Z = 1. В случае несимметричной плазмы с Z =/= 1 может появиться сдвиг порядка (Z—1)3/2хе2/2, как показано в работе [428] (см. также [561]). Полную концентрацию элемент тарных частиц системы 孔 можно представить в виде суммы двух слагаемых — концентрации свободных частиц 孔f и концентрации частиц, находящихся в связанных состояниях, паЬ. Сдвиг энергии связанного состояния, обусловленный конечной плотностью свободных частиц, вполне удовлетворительно описывается в лестничном приближении с динамическим экранированием (разд. 4.4.3), тогда как сдвиг энергии, обусловленный

Рис. 4.10. Температурная зависимость плазмонных вкладов энергию при у — 1. Штриховая кривая ——6『)， сплошная Вверху показано поведение обоих вкладов в более широком интервале.

в собственнук> кривая — 6『). температурном

Рис. 4.11. Зависимость от температуры Т* вкладов в собственную энергии от взаимодействия между связанными состояниями при различных отношениях масс. Сплошные кривые — 6^/, штриховая кривая — d^J при у 三 0,2 (этот вклад равен нулю при 丫 三 0 или 1),

наличием частиц в связанных состояниях в окружающей плазме, определяется в борновском приближении, как это сделано в разд. 4.4.4.

Край непрерывного спектра в разреженной плазме смещен вниз на величину так называемого дебаевского сдвига

А (Р) = & (Р/2) + М (Р/2).,(4.252)

Мы явно указываем здесь зависимость от полного импульса Р двухчастичной системы. Для такой системы энергетические сдвиги, обусловленные взаимодействием с окружением, уменьшаются при Р =# 0 и наиболее характерные значения сдвига границы непрерывного спектра отвечают условию 力2P2 a MkeT. Иначе говоря, свойства системы в среднем определяются не величиной сдвига континуума при Р = 0, а усредненным по тепловому распределению сдвигом, примерно равным химическому потенциалу плазмы:

А = ^Mk^T)~^ \ dPA (Р) exp (—P2/2MkBT)«

2 卩(九，Т)—卩HR (忆 T) = kc (孔，Г)=喏 + цГ. (4.253)

Вклад в химический потенциал 卩*叫 обусловленный взаимодействием, иногда называют обменно-корреляционной частью.

Дискретные энергетические уровни Est сливаются с непрерывным спектром по достижении некоторых критических значений концентрации 孔§/, определяемых из условия

Еа(Р,小 Г) — А (Р,孔，Т) = 0.(4.254)

Интересно отметить, что исчезновение уровней зависит от полного импульса атома. Наиболее сильное влияние на уровни связанных состояний плазма оказывает в случае покоящегося атома, а для атомов, движущихся относительно плазмы с очень высокими скоростями, такое влияние пренебрежимо мало. Следовательно, вообще говоря, все связанные состояния атома реализуются и в плазме, хотя бы для небольшого числа атомов с относительно высокими скоростями, но такие быстро движущиеся атомы встречаются очень редко в соответствии с экспоненциальным убыванием максвелловского распределения. Практически возможность наблюдения в оптических опытах линий, соответствующих связанным состояниям, определяется атомами, присутствующими с наибольшей вероятностью, т. е. обладающими тепловыми импульсами

力匕九〜7Mh式.

Поэтому исчезновение линий фактически определяется условием

Esi (Р^, n, 7)—厶(尸内 n, 7) = 0.

Рис. 4.12. Характеристические линии на плоскости плотность — температура для водорода, отвечающие исчезновению уровней с главным квантовым числом s вследствие слияния их с континуумом.

Представляется более удобным усреднить с максвелловским распределением равенство (4.254), что приводит к условию

Esl (п, Т) — А(& Т) = 0.(4.255)

Здесь для среднего сдвига границы непрерывного спектра можно приближенно взять обусловленную взаимодействием часть химического потенциала согласно соотношению (4.253).

Критическое моттовское значение 孔乂(丁) = ^ю(^) соответствует условию исчезновения дискретного уровня основного состояния

Т)—А& Т) = 0・(4.256)

Взяв для оценки выражения

£io Q —в2/8лЕав, A q —決/4口£厂0，

придем к известному критерию Мотта

г「％・

На рис. 4.12 приведены кривые, рассчитанные в дебаевском приближении и показывающие, при каких концентрациях исчезают различные s-уровни. Чтобы привести пример физического приложения этих результатов, рассмотрим поверхность Солнца (фотосферу), характеризуемую температурой Ts = 5785 К и плотностью IO' г/см3 [21], что соответствует концентрации электронов 1016 ―1017 см~3. Используя уравнения Саха (6.75)г

получили бы значение концентрации свободных электронов, равное всего около 10^ смУ Согласно данным рис. 4.12, исчезновения линий можно было бы ожидать для значений s между 100 и 1000. Следует учесть, однако, что для состояний с высокими квантовыми числами степени заполнения невелики и времена жизни малы. В самом деле, линия с максимальной интенсивностью в водородной серии Бальмера, наблюдаемая в солнечной фотосфере, соответствует s = 17 [485, 570]. Для получения более точной оценки надо тщательнее вычислить величину Д (пе, Г) или хотя бы обусловленную взаимодействием часть химического потенциала ц^с(п, Те) (см. гл. 6 и работу [190]).

Описанная выше физическая картина явления развита в работах [186, 195, 343, 344, 428]. В этой связи заметим, что качественно правильное описание дискретного и непрерывного спектров дается решением уравнения Шредингера с потенциалом Эккера — Вайцеля

(г) = — $ [； ехр (-看)+ 碎]•(4.257)

Укажем еше, что близкий к этому потенциал рассматривался в работах [567—569].

Последовательное обоснование развитого в данном разделе описания на основе уравнения Бете — Солпитера было выполнено в работах [370, 560, 561, 564, 565, 712].

Диэлектрическая проницаемостьс учетом связанных состояний

Диэлектрическая проницаемостьчастично ионизованной плазмыв обобщенном приближении случайных фаз

Как было уже сказано в разд. 3.3 и 4.2, диэлектрическая проницаемость £(д, со) определяется выражением

е(д, з)= lim - S Vab(q)nab(q, ®+/6)1.(4.258)

В качестве поляризационного оператора Mab{q, г) нужно взять аналитическое продолжение на комплексную г-плоскость функции Па匕(G а)ц), определенной для мацубаровских частот ①以 бозе-типа. Как описано в разд. 3.3, поляризационный оператор Tlabiq, (Оц) можно вычислить методами теории многих тел с помощью теории возмущений. А именно, величину Mab{q,①卩)можно представить в виде суммы всех неприводимых диаграмм, т. е. диаграмм, которые не распадаются на две несвязанные ча-

сти, если разорвать одну внутреннюю линию, соответствующую потенциалу взаимодействия:

口出＞ (% 8^) = 9,①炉а (^^)д，①中匕=

=О + О + О + .(4.259)

Эту диаграммную технику можно использовать для систематического построения различных приближений для диэлектрической проницаемости. Применение метода функций Грина позволяет конструировать приближенные выражения для диэлектрической проницаемости, сопоставимые с эквивалентными аппроксимациями термодинамических, кинетических и оптических свойств кулоновских систем.

С помощью функций Грина мы получаем диэлектрическую проницаемость для большого канонического ансамбля, т. е. в зависимости от температуры Т = 1/包6 и химических потенциалов ца частиц различных сортов а. Чтобы выразить эту функцию в зависимости от иного набора термодинамических переменных, например от давления или плотностей па компонентов плазмы, надо воспользоваться термодинамическим уравнением состояния, которое подробно рассматривается в гл. 5. В данном разделе мы лишь найдем с помощью некоторых простых вариантов уравнения состояния зависимость диэлектрической проницаемости от температуры и плотностей частиц и обсудим ряд предельных случаев.

Учет только первой диаграммы в правой части разложения (4.259) дает широко известное приближение случайных фаз

口舒(д, 2) = 2%.工 電导噜zal.(4.263)

-р. и

Получающееся в этом приближении выражение для диэлектрической проницаемости ^「。①© ⑴)обсуждалось в разд. 4.2. В частности, для невырожденных систем в предельном случае ® = 0, gf 0 имеем

lim [『"(д, 0)—1]=空，z2 = _Lp(4.261)

Этот результат означает, что в экранирование статического потенциала вносят вклад все заряженные частицы. С другой стороны, при образовании связанных состояний заряженных частиц

такие двухчастичные состояния должны участвовать в формировании дебаевской длины экранирования лишь в меру их полного заряда. В частности, в случае симметричной плазмы вклад заряженных частиц, из которых образованы связанные состояния (например, атомы или экситоны), должен выпадать из выражения (4.259) в простом приближении. Этот вывод представляется очевидным в рамках картины химической связи, в которой связанное состояние соответствует образованию новой составной частицы. Согласно этому подходу, эффекты экранирования часто рассматриваются с помощью модифицированного приближения случайных фаз для диэлектрической проницаемости, в котором полное число заряженных частиц в формуле (4.261) заменяется числом «свободных» носителей заряда. Последнее определяется путем использования закона действующих масс.

Но в рамках строгого рассмотрения проблемы многих тел эффект возникновения связанных состояний надо трактовать последовательным образом. Только при таком подходе возможно рассмотрение плотных кулоновских систем, и в особенности ситуации с возможным переходом Мотта, когда простая картина химической связи оказывается непригодной.

Способы уточнения результата приближения случайных фаз для диэлектрической проницаемости широко обсуждались для случая сильного вырождения, например для электронов в металле [64]. В этом случае эффект возникновения связанных состояний оказывается несущественным. Влияние связанных состояний на диэлектрическую проницаемость рассматривалось в физике плазмы [376, 377], а также с использованием модельного гамильтониана для описания системы в случае примесей в полупроводниках [317, 619]. В работе [554] (см. также [560]) к задаче о диэлектрической проницаемости был применен метод функций Грина, модифицированный с учетом образования связанных состояний путем введения в поляризационный оператор соответствующих выражений для Т-матрнцн.

Основная идея, позволяющая находить аппроксимации для поляризационного оператора, в которых свободные частицы и связанные состояния рассматриваются на равных основаниях, была указана в разд. 4.1.4. Диэлектрическая проницаемость в обобщенном приближении случайных фаз задается в явном виде посредством включения в поляризационный оператор следующей суммы вкладов:

0.09+穹+堂恒一%一.

При этом Т-матрица выражается набором лестничных диаграмм (см. разд. 3.2.8 и разложение (4.21)):

Тab ⑵==7 I I I + ! i I + • • •

(4.263)(4.263)=沙國-21 "〉7r^ {nP\^Z — К).

(4.263)

(4.263)

Здесь К — оператор кинетической энергии, £% и \ пР) — собственное значение энергии и собственное состояние соответственно для изолированного атома, отвечающие полному нмпуль- ©у Р н внутреннему квантовому числу п. Последняя диаграмма в правой части выражения (4.262) взаимно уничтожается с аналогичной диаграммой, содержащейся в предпоследнем слагаемом.

В невырожденном случае, когда можно пренебречь фермиевскими функциями по сравнению с единицей, вклады диаграмм в (4.262) удается вычислить явно (см. [554])： это дает

Е(д, со) = 1 + 4ла! (^,(0)+ {4口出(9, w) — [4ла1 (^, со)]2}. (4.264)

Здесь поляризуемости

5伉用一九(3 + 浴)一用

% (g, 8)= —I (g) |2萨普。)+

(4.265)(4.265),4 у е2 gab 旧1 + 啕-gab "-0 + e3

(4.265)

(4.265)

河。幺"一明，一力g+'6一E%-。一

где

М” ⑷=J dp”； 9)回屮必(p —贵 q) + e&“，(P + 贤 q)] ■

Чтобы сравнить этот результат с полученным в работах [376, 377], разобьем спектр двухчастичных состояний на области связанных состояний (Ь) и состояний, отвечающих рассеянию (sc); тогда выражение (4.264) принимает вид g(q, ®)=

=1 + 4л (af + a& h + a“ sc + asc( b + a*, sc — a九？ 一 4na；). (4.266)

Это отличается от результатов работ [376, 377], в которых для диэлектрической проницаемости было предложено выражение

£ (q, со) = 1 + 4л (出，f + af/b + a瓦？屮 a瓦力)，(4.267)

использующее приближенное описание двухчастичных состояний, отвечающих рассеянию, с помощью состояний свободных частиц. Преимущество нашего выражения (4.266) состоит также в том, что оно имеет правильную зависимость от концентрации свободных частиц, поскольку расходящиеся члены в слагаемых а5С1 sc и а^, f взаимно уничтожаются в (4.266).

Выражение (4.264) для диэлектрической проницаемости, полученное в обобщенном приближении случайных фаз, довольно просто интерпретируется. Одночастичные энергии и функции распределения заменяются на соответствующие двухчастичные величины, а взаимодействие с кулоновским потенциалом определяется зарядами еа в случае свободных частиц и матрицей с элементами Ммг (^) в случае двухчастичного состояния. Матричный элемент Mnnf (^) выражается с помощью разложения по мультиполям (эквивалентного разложению в степенной ряд по ^), и в предельном случае длинных волн мы имеем

lim Mnnr (д)=力q . dg(4.268)

g->0 где

dn^ =，dr”： (r) erj，(r)

есть матричный элемент дипольного момента для перехода n f л7.

Поляризуемости (4.265), входящие в выражение (4.264) для диэлектрической проницаемости, можно сравнить с соответствующим результатом для поляризуемости &式q, со) одиночного атома, находящегося в n-м состоянии [433]:

&п (^* ®)=

/~_一f:),(4.269)

q 0' £ra - Й0 -乙 + 方①一吃，丿

Р。= \ 厶 2 е。％ (О exp (询• г).

Для двухчастичного состояния |пР〉получаем

5Р I о, I £吟= £ Q-2 \ 厶曲2 BPI Р\Р)e“mn+pg X

义匕广' + e*)(暗+p叭向仙R〉=

=2〈碇 I p^[ea〈pi + q,g I 〃尸'〉+

Мы приходим к выводу, что диэлектрическая проницаемость в обобщенном приближении случайных фаз, определяемая формулами (4.264), (4.265), содержит поляризуемости связанных двухчастичных состояний, причем они входят с весами, задаваемыми функцией распределения по этим состояниям.

Выражение для диэлектрической проницаемости в обобщенном приближении случайных фаз можно сравнить с соответствующим результатом теории линейного отклика. Например, для электронов в периодическом поле решетки, описываемых зонным индексом / и квазиимпульсом к, диэлектрическая проницаемость записывается следующим образом [197]:

e(q, ®)=l--^rEl<kZlk+qZ/)l2X

v f(k + q, /')—f(k, /) П 入当,(k + q) - £7依)一万而+ №) ' ' 〈к/1 k + q/'〉= \ ”；；(r) e-^Wk+q, 〃 (r) dr.

Это выражение можно получить из общей формулы (4.264) в адиабатическом приближении для периодической решетки. Таким образом, диэлектрическая проницаемость в обобщенном приближении случайных фаз для предельного случая малой плотности правильно отражает эффект возникновения связанных состояний. Некоторые частные случаи обсуждаются в следующем разделе. Кроме того, это выражение для диэлектрической проницаемости может служить отправным пунктом при определении термодинамических свойств кулоновских систем, правильно отражающим их поведение в пределе малой плотности [708], и при расчете кинетических и оптических свойств (см. гл. 8). Дальнейшие уточнения могут быть выполнены непосредственным образом путем учета дополнительных диаграмм для поляризационного оператора Па&(^, а)ц) (см. разд. 4.5.3 и 4.5.4).

Предельное поведениедиэлектрической проницаемостив обобщенном приближении случайных фаз

Поведение диэлектрической проницаемости, найденной в приближении случайных фаз, в предельных случаях +0, и д->0 обсуждалось в разд. 4.2. Те же соображения в равной мере применимы и к поведению члена а2(^, со) (4.265), входящего в диэлектрическую проницаемость в обобщенном приближении случайных фаз. Но если вместо химических потенциалов 卩а компонентов мы вводим соответствующие концентрации иа, то при этом необходимо иметь в явном виде уравнение состояния

ga = Аа(В, Па, п&). Это уравнение состояния можно получить, исходя из соотношения

% =等 Q^J § £ G 9 2；)(4.272)

(см. разд. 6.2, а также работу [609]). Уточнение вида одночастичной функции Грина при этом нужно провести за счет включения точно таких же поправок, как и при построении обобщенного выражения (4.262) для поляризационного оператора. Влияние связанных состояний на одночастичную функцию Грина учитывается в следующем приближении:

Ga(〃 Zv)=Ga(〃 Zv)=(4.273)(4.273)

Ga(〃 Zv)=

Ga(〃 Zv)=

(4.273)

(4.273)

что дает в результате (см. [609])

% =告 2 /。 闾)+ 等区 gab(e器)一Z gab (e机 + 此)} a^ь.

(4.274)

Спектр двухчастичных состояний | иР> состоит из областей связанных состояний (Ь) и состояний рассеяния (sc). Волновые функции связанных состояний можно определить соотношениями

〈pg \nP>W = 6 (Pl + Р2 — Р “(2n)3/Q 办(p),(4.275)

p {mbp{ — map^/(ma + m^,

а волновые функции состояний рассеяния (с импульсами ра, р& входящих частиц) можно представить с помощью разложения в ряд по степеням потенциала 1:

〈pg|pa = Pi + д, рь = Р2 — q〉=

= 6(% 0) += 6(% 0) ++ .... (4.276)+ .... (4.276)SR 丨唸 lPi + g，Р2-д〉

= 6(% 0) +

= 6(% 0) +

+ .... (4.276)

+ .... (4.276)

Е£+° + Е；г-Е%- Е^, + 2

Кулоновский потенциал Vab (q) = eaebl^q2 заменен здесь потенциалом Vab ((?) = ^аеъ!^ (^2 + ^2)* 「口6 6 — произвольная малая величина, необходимая, чтобы избежать расходимостей, связанных с кулоновским потенциалом. Если взять лишь первое слагаемое в правой части этого выражения, то в выражении (4.266) вклады от состояний рассеяния и от свободных двухчастичных состояний взаимно уничтожаются. В результате в рассматриваемом здесь предельном случае малой плотности полу-

чаемчаем

чаем

чаем

аa ^也a + Z也0瓦mt

exp(рца) =(2лРй2/та)3/2 па^, ' (4.277) exp [р & + % — £«)] =(2лрй2/(та + m^f12 паь. /4.

Эти соотношения эквивалентны простому закону действующих масс; концентрации свободных частиц и частиц в связанных состояниях отмечены звездочками.

Соответственно предельное поведение вклада оц(д, со), отвечающего приближению случайных фаз, определяется концентрациями свободных частиц:

lim 32al (q, з)=—出?：* = — g паеЦейша, lim co%i (0,(o)——(①臣岁，(4.278)

<o->O

lim g%i (g, 0) = x2 = ^ «X₽/e0. q->0a

При обсуждении вклада связанных состояний cc2(g,①)в диэлектрическую проницаемость в обобщенном приближении случайных фаз мы рассматриваем роль состояний, отвечающих рассеянию, также с помощью борновского разложения (4.276). При этом выясняется, что вклады двухчастичных состояний рассеяния, заполненных частицами, обусловленные переходами в про

межуточные двухчастичные состояния, отвечающие рассеянию, представляют собой величины по крайней мере второго порядка по потенциалу. (Величины нулевого и первого порядков по по

последними и (4.265).) [562])последними и (4.265).) [562])слагаемыми в В предельномслагаемыми в В предельномтенциалу взаимно уничтожаются с правых частях выражений (4.264) случае длинных волн получаем (см.

последними и (4.265).) [562])

последними и (4.265).) [562])

слагаемыми в В предельном

слагаемыми в В предельном

（喃一（喃一lim Mg,(o)=22a"叫嗇ga&

（喃一

（喃一

9a次b ra

E 2> \力(詣5(p)y [研^—Й (co + Zd) — Ёп a^b n

1

h2p2/2mab + 力(① + №)—

瓦;X萧gab (篇+

力2P2

2(ma + w)

)-

-E 2 «諳一論门品忌%。 (切7鲁\器X

*J gab(E%+在 + 在) —2ab(E；i + E*) —

(%+-е小一%一或)4%+后+ e^T一九(3 + 2)-%-或,-

-X 16Bea%8-2 \ 儡I Vaasab(k).(4.279)

a, b

Здесь Шаъ = /Пд 1 + тГ1,

Sab 3) = \ &* X

У е 也区b(戏I +舞) 1

x{"m(器)3-墻 丫]-患+講一

2mab piz/^a — p2z/^b 十

元T£,+ E—EjJ

и поляризуемости определяются выражением

a„ (а) = е2 X I <« I I п') |2 X

X [ £п - й (со + (б) - Еп. + £n + ft (со + (б) - Еп, ] •(4.280)

Из последнего выражения следует поведение в пределе высоких частот:

」义 ба? (0, з) = — "|~ £ 鼻 А^ ехр [-0 (£„ ~ца-瓦)]X

X £ (⑺ z I ri'» (Е“，一 J) +。(Н)=

=-姦 2 2-^7嵐“〉⑺zW〉『(E〃 —Е"),(4.281)

a次 b nn"

если пренебречь членами порядка V2, которые пропорциональны м；・ Используя квантовомеханические коммутационные соотношения, находим, что предельная величина

У S通一也£^ J ^mab еоГПаьУ S通一也£^ J ^mab еоГПаь<^8*(°，8)-"=-£ 箒 +

У S通一也£^ J ^mab еоГПаь

У S通一也£^ J ^mab еоГПаь

определяется полной концентрацией заряженных частиц (правило f-сумм).

С другой стороны, в случае низких частот переходы между связанными состояниями или между связанными состояниями и состояниями, отвечающими рассеянию, дают только постоянный вклад в вещественную часть е(0, со), а члены порядка 旷2 обусловлены вкладом приближения случайных фаз и переходами между состояниями, отвечающими рассеянию:

lim со% (0, со) =г

=-(8?：* — Е G4^eaeb \ 备 I Vab ⑻ |2Sai,他).(4.283)

ab

В первом порядке по па особенность функции е (0, со) при со->О определяется только полной концентрацией свободных частиц

Аналогично в предельном случае со = 0, gf 0 в первом порядке по концентрациям Пд, Паь, m имеем

ё（д, 0） р 1 +施蠢彳g疝-看1 g靑总一

(Ь),-普 / £ \ d^\-^-^m (р) |2 ПаЬ. m(Ь),-普 / £ \ d^\-^-^m (р) |2 ПаЬ. m[-exp [p(E^ -方定2/2б4b)][-exp [p(E^ -方定2/2б4b)]tn（匕）（匕）春『2 2 （gI Z I心）2 （冠Аtn（匕）（匕）春『2 2 （gI Z I心）2 （冠АE^ - ^р211таЬE^ - ^р211таЬ尸ab 尸ab ^m 一匸心尸ab 尸ab ^m 一匸心(4.284)(4.284)

(Ь),

-普 / £ \ d^\-^-^m (р) |2 ПаЬ. m

(Ь),

-普 / £ \ d^\-^-^m (р) |2 ПаЬ. m

[-exp [p(E^ -方定2/2б4b)]

[-exp [p(E^ -方定2/2б4b)]

tn

（匕）（匕）

春『2 2 （gI Z I心）2 （冠А

tn

（匕）（匕）

春『2 2 （gI Z I心）2 （冠А

E^ - ^р211таЬ

E^ - ^р211таЬ

尸ab 尸ab ^m 一匸心

尸ab 尸ab ^m 一匸心

(4.284)

(4.284)

В дополнение к свободным заряженным частицам, дающим вклад в диэлектрическую проницаемость порядка д『в слагаемое порядка 4° вносят вклад двухчастичные связанные состояния из-за их поляризуемости. Уменьшение концентрации свободных частиц вследствие образования связанных состояний ведет к пропорциональному уменьшению амплитуды сингулярной при д-> 0 части диэлектрической проницаемости.

Вплоть до величин порядка qQ диэлектрическая проницаемость, определяемая в приближении случайных фаз, чисто вещественна. Следовательно, в предельном случае длинных волн мнимая часть диэлектрической проницаемости в обобщенном приближении случайных фаз определяется только вкладами, выходящими за рамки простого приближения случайных фаз. Это приводит, согласно формуле (4.279), к следующему

выражению:lim Ime(^, со)= fl-*0выражению:lim Ime(^, со)= fl-*02⑵

выражению:

lim Ime(^, со)= fl-*0

выражению:

lim Ime(^, со)= fl-*0

2 冗"^ £ £ I ⑺ N I "〉F 4A荔3 X a 次 bn n?

X exp [一 В (£П 一"a -卩Ь)][6 (当 + ti^ - E疝)一6 (E^ + hm-E^]-

-Y,bn^i\dp (金""叫 4A 荔3 exp[ - 0 (紹-Na -夙)]X

X [6 (£„ + й® — t^p212mq — 6 (П2р2/2таЬ 十 ％з — £„)] +

+ 2T4\£r^Wab®FX

X \\ ^^т exp [- В (成 + 凡一% 一 加]X

X 6 (瑞 + 成一成+为一E匕 + Й0)(1- eт8).(4.285>

Можно ограничиться рассмотрением только области положительных частот s > 0. Выражение (4.285) состоит из трех частей. Первое слагаемое в правой части описывает переходы нз связанных состояний в прочие двухчастичные состояния, сопровождаемые излучением или поглощением энергии й(о; именно оно содержит линейчатый спектр в приближении доплеровски- уширенных переходов между узкими энергетическими уровнями (более подробно см. гл. 8). Второе слагаемое описывает переходы из состояний, отвечающих рассеянию, в связанные состояния с излучением энергии Й(о (рекомбинация). Последнее слагаемое отвечает переходам между состояниями, отвечающими рассеянию. В частности, из него можно получить статическую проводимость в предельном случае со -> 0 (см. [562]), однако в этом случае требуется специальная трактовка в рамках теории линейного отклика (см, гл. 7).

Собственно-энергетические и вершинные поправкик диэлектрической проницаемостив обобщенном приближении случайных фаз

При построении выражения для диэлектрической проницаемости в обобщенном приближении случайных фаз поляризационный оператор брался в приближении петлевых диаграмм, составленных из функций распространения свободных частиц и изолированных двухчастичных комплексов. Последнее приближение применимо в предельных случаях низкой и высокой плотности. Однако в промежуточной области становится существенным взаимодействие с окружающей средой. В поисках путей

уточнения диэлектрической проницаемости в обобщенном приближении случайных фаз можно использовать иные подходы.

В настоящем разделе мы обсудим уточнения, важные в случае высокой степени ионизации, когда наиболее существенным оказывается взаимодействие со свободными частицами. Напротив, в следующем разделе мы рассмотрим случай, когда доминирует взаимодействие со связанными состояниями.

++ …++ …Поправки к поляризационному оператору можно построить, рассматривая на равных основаниях одночастичные и двухчастичные функции распространения, как указано в разд. 4.1.4. Соответственно имеем .

++ …

++ …

(4.286)

Эти приближенные выражения означают, что функции распространения свободных комплексов заменяются пропагаторами квазичастиц, определяемыми решениями уравнения Дайсона или уравнения Бете ——Солпитера соответственно, в рамках принятых приближений для собственной энергии и эффективного взаимодействия. Вершинные поправки можно рассматривать как обменный вклад в потенциал в уравнении (3.232) для экранированного потенциала. Заметим, что при подобном частичном суммировании классов диаграмм необходимо избежать двой- ного учета диаграмм; для этого надо вычесть вклады соответствующих диаграмм более низкого порядка по экранированному взаимодействию. До тех пор пока рассматривается только та часть двухчастичной функции Грина, которая отвечает связанному состоянию, мы можем отбрасывать подобные члены более низкого порядка по взаимодействию.

Уточнения одночастичного вклада Hi(e，①乩)в поляризационный оператор хорошо известны из литературы. Например, вы- ражение (4.271) для диэлектрической проницаемости получено в работе [197] с использованием картины квазичастиц, а роль эффектов собственной энергии учтена посредством введения блоховских состояний. Вершинные поправки к одночастичному вкладу можно найти, например, с помощью хартри-фоковских расчетов в нестационарной формулировке (см. [291]). Таким путем можно получить выражения для диэлектрической проницаемости, найденные в работах [312—314] или [595].

Рассмотрим более подробно поправки к вкладу в поляризационный оператор связанных состояний 112(4,①从).Исходя из эффективного волнового уравнения, выведенного в разд. 4.4, мы вместо изолированного атома вводим в рассмотрение двухчастичную систему, погруженную в окружающую плазму. В рам* ках этого приближения, учитывающего также эффекты, ведущие к переходу Мотта, мы можем построить поляризационный оператор 112(4,①乩)в представлении квазичастиц (с включением собственно-энергетических поправок), взяв

G2S, п', Р, z) = — \ 請空守(4.287)

A (n, Р, 8)= - 2i「"Р 竺扌…，

[ЕпР-^ + ^р (®)]2 + Г^ (®)

(см. также разд. 4.1.4). В предельном случае малой плотности форму спектральной функции можно приближенно считать ло- ренцевой. Сдвиг энергии \пр(Епр) и ширина ГпР (Епр) энергетического уровня ЕпР получаются из решения волнового уравнения по теории возмущений.

Используя уточненную двухчастичную функцию Грина (4.205), вычислим часть поляризационного оператора, отвечающую связанным состояниям:

Н尹(％ s) = tzz^ 2 I М"『(4)I2 x

X ) 2m J 2Зт (①'-—Q/ (①"一外一①以)-

=2 мм。)可警，警^，七‘竺*、f* X

义 瓦b伍喲一痂Ь伍S")].(4.288)

Отсюда следует

Im e (g, a>) = Im еПСФ (q, a>) + V (^) ^ 1 此疝(4)F X

X，* [gab 伍S') — gab 伍(S — S’))] X

X 4 (И, P, s') A (〃，P - g, s - fl/),(4.289)

т. e. мнимая часть диэлектрической проницаемости дается сверткой спектральных функций. Можно продвинуться дальше, если

принять предположение о лоренцевой форме и заменить функ- иню gab (Йо7) на gab^p):

噌 e，s + ，6)= R/ mа (讨[ёаь (碟)-gab (或工)]X

X(Е協 + As + iVnp - E弋P—q - &，py + il\，p-g -力s)T (4.290)

В этом приближении диэлектрическая проницаемость определяется эффективными двухчастичными свойствами плотной плазмы. Спектр поглощения получается из мнимой части е(д, со); он описывает зависящие от давления уширение и сдвиг спектральных линий, как показано в работе [560] (см. также гл. 8).

Вид вершинных поправок вытекает из интегрального уравнения для вершины Г(1, 2, (о从，g), где аргумент 1 заменяет совокупность переменных (пь со»:

£ 得2 (g) 8”” - [g (й®,) - g 伍82)门1，2,小，g)=

12从

=2 阳2 (g)产 謬* [g (g)—g 出 М +

12

+ Е М12 (g),爲、需八幻 Im eT (G，®)[1+пв 伍砌 Мз (G) % 修)X 1234

X -z~4 ⑴ 4(2*(?)44)[伍)- 伍)]Г (4, 3, fl)u，办

(4.291)

Это интегральное уравнение удается решить аналитически лишь при использовании некоторых приближений, которые рассматриваются в гл. 8. Результирующие поправки, например для профилей спектральных линий, того же порядка по плотности, как и собственно-энергетические поправки.

Эффекты локального поляи возрастание диэлектрической проницаемости

В плотной кулоновской системе возможен более или менее резкий переход из металлического состояния в изолирующее, диэлектрическое состояние (переход Мотта) вследствие резкого изменения степени ионизации. В металлической области наиболее важным процессом является экранирование свободными носителями, проявляющееся в формировании экранированного потенциала. При уменьшении плотности и приближении

к значению плотности, отвечающему переходу Мотта, со стороны металлического состояния экранирование кулоновского потенциала становится все менее эффективным, усиливается роль корреляций и возникают связанные состояния.

С другой стороны, при приближении к точке перехода Мотта, со стороны диэлектрического состояния рост плотности сопровождается возрастанием статической диэлектрической проницаемости, так что при достижении металлического состояния возникает особенность. Увеличение диэлектрической проницаемости в сильно легированных полупроводниках описано, например, Кастнером и др. и обсуждалось затем в работе [317]. Попытка дать единую трактовку экранирования и возрастания диэлектрической проницаемости была предпринята в работе [619]. Однако систематическое исследование диэлектрической проницаемости вблизи перехода Мотта, которое должно быть основано на использовании многочастичного подхода, до настоящего- времени не проведено. В настоящем разделе мн обрисуем некоторые особенности процедуры расчета диэлектрической проницаемости для плотной системы в изолирующем состоянии.

С этой целью мы обсудим три вопроса: роль эффектов ло* кального поля (соотношение Клаузиуса—Мосотти), самосогласованное определение поляризуемостей связанных состояний » роль экранирования свободными носителями заряда в самосогласованной трактовке эффектов локального поля.

Эффекты локального поля можно выявить, исходя из вклада в поляризационный оператор, обусловленного связанными состояниями, если при этом учтены собственно-энергетическая и вершинная поправки, как это сделано в выражениях (4.22) и (4.28). При ннзкнх температурах заполнено только наинизшее связанное состояние:

ga；)(^P)“ ；必；儿 “ехр (—睁2P'ЕМ). (4.292}

Будем, кроме того, рассматривать лишь предельный случай длинных волн, когда в вершину Мпп (〃) вносят вклад только- дипольные матричные элементы:

Мпп' w а М • d„„<. (4.293>

В отличие от предыдущего раздела, где при оценке собственно-энергетических и вершинных поправок были важны иленн, пропорциональные Im е~! (^со) (см. формулу (4.291)), теперь рассматриваются хартри-фоковские члены, поскольку взаимодействие между нейтральными связанными состояниями не дает расходимостей, свойственных кулоновскому взаимодействию. Поэтому для собственной энергии связанного состояния нахо

дим

2й Ф (n, n\ Р, Q 九)=『> \ =

=У (Ч, • d„o)(- qr d。”，)斗哗 exp (-卩欠俨 一 q^2M}. (4.294) % e。

Интегральное уравнение для вершины имеет вид

F 5,九’，p, а丸，4, (ов)=

=2 G齐(п, п, Р, QJ G产(公，/Г, p_q0_ %) (q •备永)十

+ 2 G^ (n, n, P, QJ x

X G以"，忆 P — g, Qa — %) & • dQ x

义(—q「4") ? Г (np ”;，尸—%, Q% — %, g, a)J (4.295)

Суммирование по промежуточным частотам удается выполнить (см. [554]), и для поляризуемости основного состояния при <о = О получается выражение

1§(%2© — 4)т 一(4.296)

Суммирование по промежуточному импульсу можно приближенно провести по методу перевала, сделав, кроме того, замену (gj)2 на 4：/3, допустимую вследствие симметрии относительно поворотов; в предельном случае 42fo мы приходим к результату

啰次，°)=炉1二4為//3,"0

представляющему собой хорошо известное соотношение Клаузиуса—Мосотти, При обращении знаменателя в нуль, т. е. при концентрации связанных состояний паь = 3/(4ла), статическая диэлектрическая проницаемость е(0, 0) обращается в бесконечность. Но эта расходимость не связана с переходом Мотта, для объяснения которого надо принять во внимание и другие механизмы.

Дальнейшее уточнение получаем путем замены потенциала V(q) в обменном вкладе в собственную энергию и в интегральном уравнении для вершины экранированным потенциалом. Кроме того, при замене чисто кулоновского взаимодействия

экранированным взаимодействием модифицируются также й двухчастичные свойства (энергетические уровни и волновые- функции), что приводит к соответствующему изменению поляризуемости основного состояния.

В рамках более феноменологического подхода можно исходить из выражения для статической диэлектрической проницаемости, отвечающего малой концентрации связанных состояний:

еай (^, 0)=1 + па；,^-М.(4.298>

Поляризуемость основного состояния 6(д, 0) можно получить из общего выражения [317]

a(q, 0) = |"?1 ⑺…|0〉|2 餐鸟. (4.299>

Здесь уровни энергии £(■ и волновые функции 卩〉приближенна определяются из решения уравнения Шредингера со статическим экранированным потенциалом

丿届(4, о) = Vab (G/eab(4, 0),(4.300>

так что выражения (4.298) и (4.299) следует рассматривать са* мосогласованным образом. Из-за зависимости функции еаь(д, 0) от q эту задачу надо решать численно. Заменив величину Саь (〃, 0) на cab (0, 0), получим водородоподобную систему с уве* личенной поляризуемостью

a (0, 0) = 1&ш諷瓦匕(0, 0)/甯；(4.301>

для Cab (0, 0) из соотношения (4.298) получаем уравнение

еай (0, 0) = е0 + 18лпайа^е0 [еай (0, О)/ео]4.(4.302〉

При п^ав >0,123 это уравнение не имеет рёшений, что указывает на неустойчивость диэлектрической фазы плазмы при концентрациях Паь, превышающих критическое значение. Но в приведенном приближенном рассмотрении завышена роль эффектов- экранирования, и фактически имеющаяся зависимость от д, так же как динамический характер экранирования, приводит к изменению условий, определяющих действительное положение особенности функции Cab (0, 0).

Общее рассмотрение, учитывающее на единой основе и образование свободных частиц, развито в работе [619] (см. также [576]). В этом подходе используется разложение функции е(〃 0) в ряд по q вблизи точки g = 0:

e(g，0)=»8+。(炉).(4.303>

Коэффициенты Л и В связаны с вкладами в восприимчивость плазмы от свободных частиц и связанных состояний:

Л =х2еад (0, 0),

8=1 + —沪仇。)f (0, 0).(4-304)

1%b6 (0, 0)

Энергия связи, поляризуемость и концентрация свободных частиц должны определяться самосогласованным образом; при этом как вклад связанных состояний в диэлектрическую проницаемость, так и сдвиги энергетических уровней связанных состояний обнаруживают сингулярное поведение вблизи критической концентрации, которая • теперь зависит от температуры. Дальнейшие подробности можно найти в работе [576], где рассматривается также экранирование локального поля свободными носителями заряда; для вклада связанных состояний в поляризуемость получен следующий результат:

I啜(0, о)= С ―而з,

科 口一尸(乂))

F (к) = й2х2Р/Л1 +

+ "川 ^^J2M exp (B力2层/同[i _ 0)("0自2层/2m)], (4.305)

где Ф— интеграл ошибок.

Мы указали ряд возможных путей уточнения обобщенного приближения случайных фаз для диэлектрической проницаемости, Это уточнение может быть проведено в рамках последовательного многочастичного подхода. Нас в основном интересовали диаграммы, которые можно интерпретировать как собственноэнергетические или вершинные поправки. Другой путь построения высших приближений состоит в том, чтобы явно включить в диэлектрическую проницаемость в обобщенном приближении случайных фаз вклады более сложных комплексов, таких как молекулы, биэситоны и кластеры еще более общего типа (см. разд. 4.1).

、Глава 5

РАВНОВЕСНЫЕ СВОЙСТВА В КЛАССИЧЕСКОМ И КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИЯХ

Модель однокомпонентной плазмы

Основанием для включения в книгу, посвященную -квантовой статистике, главы с изложением классического и квазиклассиче- ского приближений служит тот хорошо известный факт, что многие физические свойства кулоновских систем определяются чисто классической физикой. К кругу проблем, в которых главную роль играют классические эффекты, принадлежат, например, задачи о равновесной структуре [56, 223, 319], о дальних корреляциях и экранировании [66, 67, 265, 266], о флуктуациях плотности заряда и поля [346, 348, 438], а также об отклике на внешнее воздействие [250, 251]. Хотя мы не можем здесь подробно обсуждать классическую теорию, и заинтересованный читатель может получить общее представление из цитированной выше литературы, целесообразно изложить некоторые основные идеи и указать линии связи между классической и квантовой статистическими теориями. Поэтому мы сосредоточим внимание на вопросе о том, как можно включить квантовые эффекты в рамки классических теорий и где именно возникают квантовые поправки к классическому поведению.

Начнем наше рассмотрение с однокомпонентной плазмы — системы тождественных точечных зарядов, которые взаимодействуют посредством только чисто кулоновского потенциала и находятся в поле фиксированного однородного фона заряда противоположного знака, обеспечивающего нейтральность системы в целом. Эта система поддается чисто классическому описанию; нет никаких классических расходимостей, вызывающих необходимость квантовомеханической трактовки. Квантовые эффекты играют роль лишь при достаточно высоких плотностях, когда среднее, расстояние между заряженными частицами может стать меньше их тепловой дебройлевской длины волны. При более низких плотностях всегда выполняются условия применимости классического или квазиклассичсского описания (см. также разд. 2.1).

Однокомпонентная плазма представляет собой простейшую из возможных моделей кулоновских систем: это ^ положительно заряженных точечных частиц (с зарядом ге каждая), находящихся в поле однородного нейтрализующего отрицательного

заряда. Иначе говоря, считается, что электроны не дискретны и полный их заряд —Nze равномерно и непрерывно распределен по всему объему системы V. Исчерпывающий обзор теории однокомпонентной плазмы дан в работе [56]. Ядра в этой системе рассматриваются как классические частицы, тогда как электронный газ считается столь сильно вырожденным, что его можно уподобить фиксированному континууму, в котором движутся классические ядра. Модель однокомпонентной плазмы, несмотря на свой приближенный характер, оказалась весьма полезной при описании многих свойств реальных плазменных систем.

В случае однокомпонентной плазмы задача равновесной статистической механики сводится к вычислению конфигурационного интеграла

Qn= \ d» ... drN exp [― §。闻(r,, rj], p = 1/^Г, (5.1) который связан со свободной энергией системы

=(5.2)

и со средней энергией взаимодействия

Ubb = Bn)=

=\ dr】...drNUNexp(— ^UN)/^ dr I ... drNexp(— ^UN).(5.3)

Здесь использованы следующие обозначения:

尸备=¥熊施Г卩口&A^)一斗

Ла = /г(2лтп 注“厂叱 па = NJ 匕(5.4)

uN =£ и 订(门，Г/)，

%/ =内力/4冗%乙 r = Irf -rz|.

С математической точки зрения расчет термодинамических функций сводится к вычислению интегралов кратности 3^ (N ~ 1023). Аналитические результаты получены только для случая очень малых плотностей с помощью методов кластерных разложений [1, 115, 182, 223]. Были найдены, например, такие выражения:

Рвз/п^в^ = — у цiV口2 О"卩 + 2С + In 3 —告)—

—皆卩3 Qn p, + 0,4064),

114(5，5)

尸bJNkBT = -^"卩—ту M (1口 n + 2e+ In 3g-j -

—%卩3 (In 卩 + 0,0731),-

где

ц = (e2/4m0rDkBT), С = 0,577216,小=(心/%月*厂叱(5.6)

К сожалению, польза от этих результатов невелика, так как модель однокомпонентной плазмы имеет смысл только при высоких плотностях ввиду требования вырождения электронов. Поэтому на самом деле нам нужно уметь вычислять интегралы (5.1) — (5.3) в случае высоких плотностей. Для задач такого типа в настоящее время разработаны методы Монте-Карло молекулярной динамики и аппарат нелинейных интегральных уравнений (гиперцепное приближение, уравнение Пер кус а — Йевика и т. д.). Метод Монте-Карло, предложенный в работе [475] и развитый в применении к кулоновским системам в работе [89], представляет собой метод статистических испытаний, основанный на определенном марковском процессе. Среднее по фазовому пространству сводится к среднему по времени:

彳=而 2 4(~)& =(小，「n) (5.7) v= 1

Марковский процесс случайного блуждания точки в пространстве строится таким образом, что распределение вероятности P(R) стремится к каноническому распределению Rq(R) при Мт 8 [63, 694).

Этот марковский процесс определяется заданием вероятности перехода W (Rv—> R；) из одной конфигурации R1V в другую конфигурацию R；. Чтобы этот процесс обладал требуемым свой-* ством сходимости P(RJ к Peg(Rv), достаточно наложить условие детального равновесия

Ре° (RJ 步(Rv f 氏)=匕。(К)取(К f RJ， (5-8)

означающее, что отношение вероятностей переходов зависит только от изменения потенциальной энергии:

取(Rv f К)? К f RJ = exp{— [% (RJ — UN (R；)“b4(5.9)

Величину W обычно задают следующим образом:

(т「ехр(—6。川仇广)при bUN > 0, r(Rv-R；) = ] \：丿 °■ n (5.10)

(V 口PH 6%《0，

где ts — некоторый масштабный множитель размерности времени. Рассмотрим далее вопрос о том, каким способом практически реализуется схема метода Монте-Карло. Прежде всего в качестве начального условия задается набор координат rfe(0) ионов. Затем выбирается некоторая частица 八 координаты ко-

Рис. 5.1. Элементарные ячейки и периодические граничные условия в расчетах по методу Монте-Карло.Рис. 5.1. Элементарные ячейки и периодические граничные условия в расчетах по методу Монте-Карло.торой произвольным образом изменяются от г, к г) Затем вычисляется изменение потенциальной энергии SUn、 вызванное этим пробным смещением, и подсчитывается вероятность перехода Далее выбирается случайное число г из интервала 0 < г < 1. Если tsW V z, то смещение аннулируется и прежнее состояние рассматривается повторно как «новое» при усреднении. Если же xsW > z, то переход принимается, т. е. состояние с новыми координатами г； рассматривается как новая конфигурация при усреднении. Эта процедура повторяется

Рис. 5.1. Элементарные ячейки и периодические граничные условия в расчетах по методу Монте-Карло.

Рис. 5.1. Элементарные ячейки и периодические граничные условия в расчетах по методу Монте-Карло.

многократно, и таким образом конструируется марковская цепь из М событий, на основе которой вычисляется среднее.

При реализации метода Монте-Карло изучают конечные системы из N частиц при N 〜103— 104, тогда как в действительности нас интересуют объемные свойства очень больших систем (Nf 8). Чтобы обеспечить возможность экстраполяции к термодинамическому пределу (N->8,8, отношение N/V

конечно), вводят специальные граничные условия. При рассмотрении малых систем с целью имитации бесконечных систем обычно используют периодические граничные условия. Мы принимаем, что N частиц заключены в многомерный прямоугольный ящик с линейными размерами Li,厶2, 1з- Из множества таких гиперящиков составляется бесконечная система, причем считается, что в каждом из этих ящиков происходит в точности одно и то же (рис. 5.1). В случае кулоновских взаимодействий появляются некоторые специфические трудности из-за их даль- нодействуюхцего характера, поскольку ион в заданной ячейке взаимодействует с ионами во многих окружающих ячейках. Иными словами, следует учитывать электростатическое взаимодействие выделенного иона не только с остальными N — 1 ионами в данной ячейке, но и со всеми периодическими повторениями этих частиц в других ячейках. Возникающие в результате ряды сходятся довольно медленно; с этим осложнением можно справиться, используя метод суммирования Эвальда, как при вычислении кулоновских решеточных сумм в физике твердого тела [63]. Расчеты по методу Монте-Карло для плотной

однокомпонентной плазмы, т. е. при выполнении условия

требуют чрезвычайно больших затрат машинного времени. Первые расчеты этим методом для плотной одно компонентной плазмы были проведены в работах [89, 283]. В последней из них была .охвачена область 1 & Г《 300 для систем из 16, 54, 128 и 250 ионов, причем в каждой серии генерировалось около 5-105 конфигураций. Полученные результаты для энергии взаимодействия были аппроксимированы [137, 138] в пределах статистических ошибок с помощью очень простой функции:

UB3/NkBT = - 0,896434Г + 0,86185Г1/4 - 0,5551.(5.12)

При высоких плотностях энергия взаимодействия приближается (с отклонением в пределах нескольких процентов) к соответствующему значению для статической о. ц. к. решетки:

力心 вТ = — 0,895292Г.(5.13>

Расчеты по методу Монте-Карло, выполненные в работе [519} для кристаллической фазы, аппроксимируются формулой [137J

Овз/N="+ ЬГШ + с In Г + d,

а = — 0,90047, b = 0,2688263,(5.14)

с = 0,0719925, d = 0,0537919.

Значения свободной энергии, полученные путем интегрирования уравнений состояния, описываются в случае жидкой фазы выражением

FJNk^T = - 0.896434Г + 3,4474Г1/4 - 0,5551 In Г - 2,809, (5.15) а в случае кристаллической фазы — выражением

FjNk^T = - 0.90047Г + 0,5376526Г1/2 + ... .(5.16)

Свободные энергии обеих фаз равны при значении параметра .

Гцлав”= 155 ± 10,

дающем точку фазового перехода жидкость — твердое тело. Обобщение модели однокомпонентной плазмы на случай смеси точечных ионов дано в работе [285]. В ней были выполнены расчеты по методу Монте-Карло для смесей Н+—Не++, которые, разумеется, представляют особый интерес в связи с исследованиями термоядерного синтеза. Конечно, модельное описание электронов плазмы как фиксированного однородного фона для движущихся ионов оправдано лишь в предельном случае чрез-

вычайно высоких плотностей. При более низких плотностях следует учитывать поляризацию электронов фона, вызываемую ионами. При этом в пренебрежении динамическими эффектами экранирования кулоновскую потенциальную энергию надо модифицировать путем введения статической диэлектрической проницаемости е(^) фоновых электронов. В записи через фурье- компоненты плотности это дает (см. также разд. 4.2):

0w(人,…，% =+2 侖辰р-а7^Т _ 2]，(5。17)

Р 3) =£ ехр (—，к • Г/).

Б работах [139, 315] выполнены расчеты по методу Монте-Карло для плазмы смеси Н—Не и для плазмы ионов Н+ с поляризующимся электронным фоном; при этом для диэлектрической проницаемости е(^) использовалась формула Линдхарда. Рассматривались два значения плотности, соответствующие значениям параметра Бракнера rs = 0,1 и 仆=1,0. Основной результат этих расчетов состоит в том, что отклонение свободной энергии от ее предельного значения при г§-> 0 оказывается практически линейным по rs и относительно малым вплоть до /•§ = 1. Для водородной плазмы величина этого отклонения дается приближенно выражением

6尸=NkBTrs(0.0579Г + 0,971Г1/4 — 0,343),(5.18)

Эти результаты находятся в хорошем согласии с выводами, полученными с помощью теории возмущений вблизи состояния, описываемого классической моделью однокомпонентной плазмы. Поясним кратко идею, лежащую в основе подобных теорий возмущений. Отправной точкой служит неравенство Гиббса — Боголюбова

尸 《 尸(。)+〈" + "(。)严.

Полагая в качестве исходного приближения, что здесь имеет место знак равенства, получаем для поправки к свободной энергии по сравнению с результатом модели однокомпонентной -плазмы выражение

6尸=〈"一"(。)严.

Для кулоновских систем это дает

6F = -gL NkBT J dkk2S (й) w (^);(5.19)

о

5他)=3「后"卜-1他)一 1].

Здесь S (力)一структурный фактор, определенный следующим образом:

S(k)=l + n^dr ехр (Zk • г) h (г), h (г) = F2 (г) — 1.

В этих выражениях 尸2(г)—парная функция распределения для классической однокомпонентной плазмы. Очевидно, что для проведения расчетов по теории возмущений важно иметь явные выражения, достаточно хорошо описывающие парные корреляции в однокомпонентной плазме. Большинство современных расчетов структурного фактора для этой системы основано на использовании выражения для классической парной функции распределения, которое можно получить, например, суммированием диаграмм, дающих вклад в парные корреляции. Оно имеет вид 尸2 (г) = 1 + 无(г) = ехр [— PV (г) + h (г) — с (г) + 8 (г)].

Здесь h(r) — полная корреляционная функция, а с(г)—функция прямой корреляции, введенная Орнштейном и Цернике посредством соотношения

/г (г) = с (г) + 吁 /г (г — У) с (гх) dr'.

Величина В (г) представляет собой вклад лестничных диаграмм. В гиперцепном приближении величиной В (г) пренебрегают, но имеется также ряд работ, в которых дается более точная трактовка [409, 720, 721]. К настоящему времени выполнено уже много надежных расчетов корреляционных функций и структурного фактора для однокомпонентной плазмы (см., например, работы [503, 722—725]).

52 Многокомпонентные системы.Слетеровские суммы

Статистические суммыи эффективные потенциалы

Для канонического ансамбля, который рассматривается в данной главе, имеем

尸=—々вТ In

где статистическая сумма с помощью координатного представления записывается как

Z== £ \ dr】…drN{airi... aNrN |exp (― 6〃义)|。"义…GJ〉(В 20)

В случае системы невзаимодействующих частиц, когда HN = = Z\//2zn, и больцмановской статистики имеем

Z = (yNlN\ A3W), Л = h/^2mnk^T.(5.21>

Следовательно, в обшем случае мы можем написать 尸=&П -月"In { М义

义 工 \…0exp(- ^HN)\aNrN 6r〉}.

(5.22>

Введем слетеровские суммы

S(")G，…，rN) = Nl A3WS<-.. |exp(- p〃w)|...〉.

Они служат аналогом классического больцмановского фактора. Напомним, что в классической статистике

F = ^иД — k^T In ^ rftidrN ехр[—р^ (rb .rN)]V~N,

(5.23> где

Un (「i，• • •,「J = X V订 S，「/)•

В квантовомеханическом случае величину S(")можно выразить с помощью собственных функций гамильтониана:

=NIA^n X exp( —pE“)• |也(厶，％，…，5 %『• (5.24)

При переходе к классическому пределу получаем

巴 S?j,rJ = exp(Tgj").巴 S?j,rJ = exp(Tgj").(5.25>(5.25>

巴 S?j,rJ = exp(Tgj").

巴 S?j,rJ = exp(Tgj").

(5.25>

(5.25>

Поэтому и для Й =# 0, но в ситуациях, близких к классическому пределу, по-видимому, полезно использовать следующее представление:

S(“) (Гр . . ., rN)=

= exp[-8石""(厶,Г/) 一8 总产м a, г/,乙)+…} (5.26)

Здесь помимо парных взаимодействий мы ввели более сложные” многочастичные взаимодействия, поскольку квантовые эффекты^

:приводят к возникновению корреляций в поведении частиц. Формально представление (5.26) является точным. Рассматривая поочередно частные случаи ^ = 2, ^ = 3 и т. д.» находим

Ui^—k^TXnS^^i，ГД

"，拉= _%Tln{S(3)G，勺，人)/S⑵(勺，0)5⑵(勺，人)}.(5.27)

Отметим, что каноническое распределение N частиц, определенное как диагональный элемент матрицы плотности

^(Г1，.... rN) = (rl ... rw |ехр(—p/Zyv) |rw ... r^, (5.28) представляет собой аналог классического распределения

Fn (Г1，rN) = 7——呻(一吃 #.(5.29)

'dr】…drN exp (-Pt/^

Используя введенные эффективные потенциалы взаимодействия 以”, uifk и т. д., мы можем рассчитать все равновесные свойства с помощью обычных классических методов [727]. Например, для внутренней энергии находим

U/NkBT = (U^ + (VN))/NkBTiU/NkBT = (U^ + (VN))/NkBTi〈九)=)厶1 .一dtnV nFn m, . …Г 力,〈九)=)厶1 .一dtnV nFn m, . …Г 力,1</</<лг1</</<лг4ле I п — г/J4ле I п — г/J(5.30)(5.31)(5.32)(5.30)(5.31)(5.32)

U/NkBT = (U^ + (VN))/NkBTi

U/NkBT = (U^ + (VN))/NkBTi

〈九)=)厶1 .一dtnV nFn m, . …Г 力,

〈九)=)厶1 .一dtnV nFn m, . …Г 力,

1</</<лг

1</</<лг

4ле I п — г/J

4ле I п — г/J

(5.30)

(5.31)

(5.32)

(5.30)

(5.31)

(5.32)

Заметим, что потенциальная энергия VN отличается от эффективного потенциала UN.

Представляется заманчивым положить эти выражения в основу расчетов по методу Монте-Карло. Иначе говоря, привлекает идея снова построить марковский процесс так, чтобы вероятность P(R) стремилась к слетеровской сумме (5.26) при М -> оо. Тогда усреднение (5.31) по фазовому пространству заменяется усреднением по времени (или по набору испытаний):

以九(Rv).(5.33)

Такой подход был развит в книге [727]. Но метод Монте-Карло для задач квантовой плазмы лишь начинает разрабатываться. Предстоит преодолеть еще много затруднений, связанных в основном с наличием многочастичных эффективных взаимодействий. Однако нас ободряет заметный прогресс, достигнутый в последнее время в расчетах энергии основного состояния квантовых систем с помощью методов Монте-Карло [104, 106, 107]. Имея в виду эти весьма многообещающие результаты, получен-

ные для системы при низких температурах, мы верим в перспективность метода, предложенного Зеленером, Норманом и Филиповым [727] для исследования высокотемпературной плазмы. Но дальнейший прогресс будет, конечно, определяться тем, насколько удастся улучшить расчет многочастичных эффективных потенциалов. Поскольку существенная часть многочастичных корреляций обусловлена вкладами, отвечающими идеальному газу, мы предлагаем следующую форму записи канонического распределения:

FnE, *=尸г S，…，「тсeхp[-В 盲 u〃("，咽一

—^ ^^t/k (гh 勺，〃)_ …}(5.34>

Вид оператора плотности для идеальных систем 尸肮 точно известей; он приведен в гл. 4.

Отметим, что предложенная выше форма записи очень похожа на представление волновой функции основного состояния в расчетах по методу Монте-Карло [104, 106, 107].

”(Г1, . .「“) = 2。(「1, ..Гм)exp[——^-Zs/S，勺)],(5.35>

где 屮° ——волновая функция для идеального газа. Подобная форма записи была предложена рядом авторов; она в настоящее время широко используется в численных расчетах свойств квантовых систем многих тел.

Как же конкретно моделируется квантовая функция распределения (5.34) в методе Монте-Карло? По-прежнему используется алгоритм Метрополией — определенным образом взвешенные случайные блуждания в конфигурационном пространстве. Одна за другой каждая частица переводится в новое положение, выбираемое с одинаковой вероятностью в произвольной точке внутри куба с ребром s. Это перемещение принимается или отвергается в зависимости от величины функции распределения 尸仙 Пусть R — старое положение, a R' — новое. Тогда если

尸闻(R')> 尸 JR),(5.36>

то новое положение принимается. В противном случае новое положение принимается с вероятностью

q = FNR)IFN®・(5.37>

Среднее значение по набору испытаний для потенциальной энергии (или другой величины)

応= *?№(RJ(5.38)

с ростом М приближается к среднему по ансамблю (V^>. Для ^исключения поверхностных эффектов можно воспользоваться периодическими граничными условиями. С осложнением, вызванным дальнодействующим хвостом кулоновского двухчастичного потенциала, можно снова справиться с помощью потенциала изображения по Эвальду. Поскольку явный вид многочастичных взаимодействий найти очень трудно, можно также ввести в вы- .ражение для 口订 вариационные параметры ось «2, т. е. взять

尸修(厂1，• • • > Гдт； 5，сс2)=‘

=Fw (г,г#)Сехр[ —§ £ u“S，〃； cq, а2, ...)]• (5.39) 'Впоследствии значения свободных параметров аь а?, ... определяются из условия минимума свободной энергии:

F (^, V, Т; аь а2, . . .) = min.(5.40)

Существует много задач, в которых трактовку многокомпонентных систем удается свести к рассмотрению псевдоодноком- понентной системы, воспользовавшись резким различием масс [56, 85, 86, 87, 191, 230, 501].

Вычисление слетеровских сумми эффективных потенциалов

^Рассмотрим сначала систему из двух частиц с зарядами еа, еь, массами та, ть и спинами %, $ь, взаимодействующих по закону ：Кулона:

九L砥落(5.41)

так что гамильтониан системы есть

Hab -备 & -矗 ％ + Vab.(5.42)

Рассмотрим теперь двухчастичную слетеровскую сумму, которую пока еще относительно легко вычислить. Используя собственные функции импульса, получаем для нее следующее представление:.

5砧(「1，「2)= § dk] dk? X

X 2 虱kw,6(r，")ехр(—Wab) 2k,kms(ri，力)，(5.43)

тде должным образом симметризованные волновые функции .имеют вид

Wk,km,6 S，r2) = const {exp (iki •力 + 湿• г2)为(％) х2 (ст2) +

、十(一1 产aexpCk •必 + 也，Г])%"?)%?®»}-(544)

Перейдем к координатам относительного движения и движения центра масс; тогда имеем

儿 方 = _+= 渝 (5.45>

и после выполнения суммирований по спинам и одного интегрирования по к получаем

Sa6 (г)=温卅т/2 \ dk [exp (-гк • г) +

+ &&(—1 产a(2sa + I)-1 exp (+zk • r)] Wab 3, r, ₽), (5.46> Wab(k, r, p)= exp(—p//a6)exp(/k • r),

% =九(2mnabkBT)~112.

Продифференцировав no 0, приходим к уравнению Блоха

^f- + HabWab = 0,(5.47)

или подробнее

帶九厶唳+謊丿吟.(5.48>

Подставляя сюда выражение

步ab = exp (汰• r—"^-々2)%6 优，г, р),(5.49>

получаем окончательно

■^ = -VabVab + -^ [^аЬ + 2/к ■ V«a6].(5.50>

Первый метод решения этого уравнения состоит в использовании разложения по Й2. С помощью подстановки

%ь = ехр [—рР?『一pfi2Va& — ^ti^V^b — ^hQVal — . .. ] (5.51У

получаем в итоге [303, 304, 544]

Sab (Г) = ехр [ — 8 ^Jr + 2_£?” (-|£-)2 +

IВ纺4 / еаеь у _ §5胪Z eagb у3宙力6 ( ?网)6 —

十60脸/ I 4冗瓦丿]20脸3 1^0丿十224脸/ V 4^0丿 ~

_89印加 z ea6b у 13俨加 / eaeb V]

_ 丽斤’IN^T丿十痴而万I 4吗 丿十uм4十

+ обменные члены.(5.52р

Анализ этого ряда показывает, что он сходится только в случае больших расстояний г; при этом можно пренебречь

■обменными членами ввиду их экспоненциального убывания с ростом г. При переходе к классическому пределу ft -> 0 получается больцмановский множитель. Отметим, что аргумент экспоненты в выражении (5.52) при больших г представляет собой (с точностью до множителя р) эффективный двухчастичный потенциал. Второй метод решения основан на разложении в ряд теории возмущений по е2, имеющем вид

口ab(A 尸，В) = 1 + 口黒 + dJS + U^ =。(5.53)

или после преобразования Фурье

v^ 优，厶田=(2d d (t) + 说2 + 源 +….(5.54)

Последовательными итерациями легко получить выражение для члена п-го порядка

礁)优，/, В =—击 \dgexp[—^7d — 2k・t)(B —旳 X О

X \ dVVabtt - f) f&T)优，八 ₽о].(5.55)

Таким способом мы находим фурье-образ слетеровской суммы £ линейном порядке по е2 [180, 361];

甌吁

==Qu)* д (/) —(Р%еJе/2) ехр (— %『/4)[尸[(g, -|-； \%ь¥14)+

^аь (—1产。(2% + 1)7 [爲ь/?ехр( —^ь^14)一

5- (Be必/由脸> exp (一脸广/4)X

义2尸2($,扌，等,-!-；脸//4)] + 。 (小).(5.56)

Используя этот результат, получаем ведущий член разложения .для эффективного потенциала

Sab (0 = (%%/е) ехр ( — *“2/4)，2 1尸1 (｝，告；九^"2/4)+

卄3喝(-1产。 (2% + 1)7%2尸2(十,$,等，等；脸产/4)].

(5.57)

Рис. 5.2. Энергия взаимодействи5р между разноименно заряженными частицами и соответствующий эффективный потенциал согласно работе： [361].Рис. 5.2. Энергия взаимодействи5р между разноименно заряженными частицами и соответствующий эффективный потенциал согласно работе： [361].

Рис. 5.2. Энергия взаимодействи5р между разноименно заряженными частицами и соответствующий эффективный потенциал согласно работе： [361].

Рис. 5.2. Энергия взаимодействи5р между разноименно заряженными частицами и соответствующий эффективный потенциал согласно работе： [361].

В случае частиц разного типа а 昆 b легко преобразовать последнее выражение к координатному представлению; мы получим так называемый потенциал Келбга [361,. 363, 381]

(г)=

+ {1-ехр(—号)+ +心(五)u一①(金)]}•

(5.58)

Заметим, что потенциал wab конечен при г-^-0, т. е. кулоновская расходимость устраняется за счет учета эффектов, связанных с принципом неопределенности Гейзенберга

(рис. 5.2).

Выразим теперь величину Sab с помощью собственных функций гамильтониана [160, 161, 486]. Исходя из выражения (5.43),, напишем

sa6 (г) = [1 + Ьаб(—1)2%(25а+ 1)7] 8Л^ X

X Z ехр(—8凡)12a (г，今，<Р)Е(5.59)

Здесь % — собственные функции, а % — соответствующие собственные значения энергии для относительного движения (включая как дискретную, так и непрерывную области спектра).

С помощью формулы суммирования для сферических функций

Z do»(件，明2 =去(/+1)(5.60>

в итоге находим

Sa& (г) = 2^6 ”£ 卜(-eae6) £ £ ⑵ + 1)ехр (-f}£s)|/?sZ (г) |J + IsT I «о

+ £ ⑵ + 1) [1 + daft (一 1 产产侬。+ I)"'] X

1=0

Х1"々需呻(一唸必)|凡1(相2}.(6.61>

Здесь через R(r) обозначены радиальные части волновых функций, а величины dnik/dk представляют собой парциальные плотности состояний. Поскольку аналитические выражения для R(r) для кулоновских систем известны, по этой формуле можно вычислить функцию Sab(r) [45, 47, 181, 544, 613, 614, 697——700, 727].

Вычисление волновых функций и выполнение всех суммирований и интегрирований оказываются очень трудоемкой процедурой. Поэтому мы воспользуемся здесь интерполяционным методом, основанным на разложении в ряд Тейлора при малых г. Разбив двухчастичную слетеровскую сумму (5.61) на два члена, гайзенберговский и симметрийный,

Sab(r) = Sab + Sab,(5.62)

напишем для них разложения по г [181]

Sab = [4 д/л labJr (ga6) + 9 (—е。％) д/л 姦Z3(賜)]X

X exp [—labrl^ab +。(//%)],(5.63)

SE6 =%(一产(2Sa + I)-1 4 V^ 賜人(賜)X

X exp [—labrl^ab +。(产/%编],(5.64)

где

/“ 位)=I dxx" и — exp (—ni/x)]_,,°(5.65)

Z“ 居)=S s~” exp 曾4s2).

Нам понадобятся значения только функций 厶 и Z3, приведенные в табл. 5.1. В выражения для последующих коэффициентов

Таблица 5.1. Величины /； (8) и Z； (8) в зависимости от 8 =冗自；/； (эт^)== =4 “冗 “(三), Z；(啕=Z3 (^)

в

Z，B)

『в

Z'B)

20

2,257 + 1

2,514 + 4

-0,5

7,556-1

15

1,693 + 1

2,993 + 2

— 1,0

5,730—1

10

1,129+ 1

1,929 + 1

—5,0

7,035—2

5

5,712

2,111

—10

6,449—3

1

1,701

1,229

-15

7,161-4

0,5

1,320

1,209

—20

9,186-5

0

1,000

1,202

ряда Тейлора n-ного порядка войдут соответствующие функции Jn и Z"+2. Правильную зависимость от г как для малых, так и для больших расстояний дают следующие паде-аппроксимации:

s以-хр(TМ北籌體

Sab (Г)=腸(-1产。(2% + 1)-%хр {Aab 一 聪p - p2),(5.66)

^ab =4 &b) = 1rl [4Л賜J1 (聪)+ 0 (-賜)V打廳Z3 (賜)],

P = r/kab.

・ Парная функция распределения

Основные уравнения

В разд. 3.1.4 введены приведенные s-частичные операторы плот， аости (формула (3.36))

АЗ ・..，$)=片 Тг р%(1, ・・・，N).(5.67)

($+1) • >. N

В случае канонического ансамбля имеем

pjv = Z-1exp(— ^HN).

Определим теперь диагональную часть в координатном представлении приведенного оператора плотности:

^s(гь • • - > rs) ~Q ' [ ^rs+i • • • dr%S" (а,.・.，fN) Vs =

=片QT \ d%+]…dr%exp ( — 3 £修/ — В 2 〃订总—.••)• (5.68)

Дифференцируя по первому аргументу и повторно используя определение (5.68), получаем уравнение [73]

誥 £ = — В吊言 〃 一 8吋 drs+ Fs+i 誥 Q+卜(5.69)

Если явно учесть зависимость от сортов рассматриваемых s частиц, то можно написать

d口 F% •••勺=一"旬…% 济；"% …% 一

\…as+i 誥…as+r (5.70)

Перейдем теперь к формальному решению этой цепочки урав* нений с помощью разложений по плотности [72, 73, 513]

“ =O（〃（m））.а1 as“ =O（〃（m））.а1 as

“ =O（〃（m））.

а1 as

“ =O（〃（m））.

а1 as

Подстановка таких разложений в цепочку уравнений дает

T 2 4+, \ 忆+冏二?"备％%+,，G7D

где

嘴…%fl П?И |二一力户8,

尸黑…％fO ПРИ |q-r/f8, /П>1.

В нулевом порядке получаем

吋…% п eXр（一昵県..%）.（5.72）

Решение уравнения первого порядка имеет вид

七…as = 2 %+, ， 仁+1 *Хp （一 限%…%+）-

（5.73>（5.73>-eхр（-8"1..№）[1 +e{exp（-自Ua 产s+J - 1}]}.

（5.73>

（5.73>

Аналогичным путем можно найти и другие коэффициенты нашего разложения по степеням плотности. Вследствие дально- действующего характера кулоновских сил разложение Боголюбова по плотности в предельном случае бесконечно большого объема Р—8 расходится. Чтобы выделить только конечные члены, надо произвести перегруппировку членов ряда. Формально это соответствует частичному суммированию кольцевых диаграмм. Здесь мы воспользуемся простой процедурой устранения расходимостей [ 156, 202, 577, 579]. Дальнодействующий потен* циал

九产叠 （"◎

исключается из рассмотрения с помощью следующего интегрального уравнения, определяющего дебаевскую корреляциои*

ную функцию gab：

ёаЬ=—^аЬ — ^^Пс \ &Гз£ас%.(5.75)

Как хорошо известно, решение этого уравнения имеет вид ^б=-^-ехр(-хг),

(5.76)

х = ГБ1 = ( S naey&kBT^1/2.

Потенциал Vab можно выразить через коррелятор gab с помощью итераций интегрального уравнения (5.75) [513, 577, 579]:

0廿而=—ga& + 2 % \ dl^gacgb。— 2 "% \ d% dt4goegbcgcd + • • • •

Подставляя это выражение в формальное разложение по степеням плотности и группируя все члены с одинаковыми множителями ПаПьПс, мы получаем сходящиеся разложения по плотности. Например, для парной функции распределения до первого порядка по плотности находим [182, 396]

% G，") = exp (gab — В%&) { 1 + £ & \ 九[①acg加 +

+ ^bcgac + ①ac®c + exp (gac + gbe) — ^Vac — P%c) X (5.77) X [exp (— ^uabc) — 1] ] +。(n2) },

Фа6 = exp (gab — ^Vab) — 1 — ga&・

В других обозначениях, используя слетеровские суммы, для парной функции распределения получаем выражение

Fab (Г1> Г2)= S^ (Г1> Г2)eXP (§ab + P^ai) | 1 + £ % \ 叽义

X [ФасёЬс + gac①历 + ①a№, + (5^ - S駅紛 X

X exp (gac + gbc + P% + ₽V6c)] +。(层)}•(5.78)

Квантовостатистический вариант этой итерационной процедуры был введен в конце разд. 4.3 для учета влияния экранирования на функции Грина. Таким образом, мы видим, что этот итерационный подход является вполне общим и может быть использован как в классических, так и квантовомеханических задачах, связанных с ролью экранирования.

Обсуждение парной функции распределения

В нулевом порядке по плотности выражение (5.78) для парной функции распределения принимает следующий простой вид [412]:

раь (г) = S^2 (г) exp L為т； (1 - ef「)] + ° 但).(5.79>

Но область применимости этой формулы ограничена случаем систем низкой плотности, близких к идеальной плазме, когда корреляции очень слабы. Большой интерес представляют неидеальные плазменные системы, свойства которых в значительной степени определяются корреляциями между заряженными частицами [167]. Особенно важны, конечно, парные корреляции. В случае плотной плазмы мы можем снова в качестве первого приближения считать, что осуществляется локальное термодинамическое равновесие. Рассмотрим двухкомпонентнуто плазму, состоящую из электронов с концентрацией пе и массой те и ионов с концентрацией щ и массой mz, причем пе = пг- = пг те《 ть Условия, в которых играют роль электронные и ионные корреляции соответственно, выражаются неравенствами

где 9丸—средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы для соответствующих ферми-газов. При заданной температуре Т ^ 105 К электронные и ионные корреляции возникают одновременно при увеличении плотности. Плазма становится сильно коррелированной. При концентрациях порядка 1024 см-з электронные корреляции исчезают из-за роста кинетической энергии вырожденного электронного газа, тогда как ионные корреляции остаются. При температурах Т ± lO^ К электроны ведут себя как идеальный газ при любых концентрациях, ионы же оказываются сильно коррелированными в интервале концентраций между 1027 ст.г~3 и 1034 см~3. Рассмотрим сначала ситуацию, в которой мы имеем невырожденные частицы с сильной корреляцией. Здесь парную функцию распределения Fab можно выразить через слетеровскую сумму Sab，口 классическую парную функцию распределения 尸爲，которая предполагается известной. Функцию 尸^> можно получить, например, путем решения интегральных уравнений, выведенных в гиперцепном приближении (см. замечания и ссылки в конце разд. 5.1). Имеем

尸如 6 -尸 (尸)exp (Vab/kBT) Sab (г), (5.80) где Vab ——потенциал взаимодействия. Слетеровскую сумму в принципе можно вычислить с помощью известных волновых

функций, но это очень трудоемкая процедура. В разд. 5.2.2, исходя из разложения по степеням h2, для случая больших расстояний мы получили следующее представление:

п % ⑺一 4лёг (4л)2 ^Шаьг' ++ С6Г-6 + cL + С8Г-8С9Г-9 + ....

Кроме того, мы получили также с использованием известных свойств волновых функций разложение в ряд Тейлора для малых расстояний. Оно записывается в виде

In Sab (г) = Л (%0 — %匕 ^- + 出产 + “3尸3 + a4r4 + 禽卢 + J* + ..., 自曲=—e 歩 bl 4n&h вТ 尢 ab,

причем все входящие сюда коэффициенты известны. Функция А (х) имеет вид

Л(х) = In I 0 (%) д/冗 2 ехр (尤2/4$2) +

+ 4 д/л %、dyy\\ — exp (— х/г/)]'11.

Используя эти сведения, можно построить паде-аппроксимацию, пригодную при любых расстояниях. Простейшая возможность такова:

Sab (г) = ехР ( 1—^?_^"124/^/В ) ± 万'ab ехР (А —駄一R2)(5 8])

自=賜，R = 〃/.

На рис. 5.3 и 5.4 приведено несколько. примеров бинарной слетеровской суммы, демонстрирующих влияние температуры на корреляции на малых расстояниях. Выражение (5.80) справедливо только при таких плотностях, когда еще пригодно классическое описание экранирования.

Более широкую область применимости имеет формула [167, 173]

Fab (И = Fab + Fab + «2 вХр (Pllxc) [Sab (Н —Sab (И —5дЬ(Г)]. (5.82)

Верхними индексами 0 и 1 здесь обозначены соответственно члены нулевого и первого порядков теории возмущений по е2 с учетом эффектов вырождения. Кроме того, степень ионизации рассчитана на основе закона действующих масс [171 —173, 179];阳° — поправка к химическому потенциалу плазмы,

任4г2心77吟任4г2心77吟Рис. 5.3. Поведение слетеровской суммы для электрон-ионных пар: а—Т = н 1,5-105 К, Ь — Т = 2,5-105 К, с — ——Т = 0 К (классический больцмановский множитель).Рис. 5.3. Поведение слетеровской суммы для электрон-ионных пар: а—Т = н 1,5-105 К, Ь — Т = 2,5-105 К, с — ——Т = 0 К (классический больцмановский множитель).0令.W疗0令.W疗/>4无■6 府%? ^//>4无■6 府%? ^/Рис. 5.4. Поведение слетеровских сумм для электрон-электронных и ион-ионных пар: а — ТР = 3,1 • 106 К, Tt = 5,7-109 к； Ь —Те = 7,8・18 К, Л = 1,4-109 к； с—Те = 1,2-105 К, 「= 2,3/08 к. d — Te = n = 0K (классический больцмановский множитель).Рис. 5.4. Поведение слетеровских сумм для электрон-электронных и ион-ионных пар: а — ТР = 3,1 • 106 К, Tt = 5,7-109 к； Ь —Те = 7,8・18 К, Л = 1,4-109 к； с—Те = 1,2-105 К, 「= 2,3/08 к. d — Te = n = 0K (классический больцмановский множитель).

任4г2心77吟

任4г2心77吟

Рис. 5.3. Поведение слетеровской суммы для электрон-ионных пар: а—Т = н 1,5-105 К, Ь — Т = 2,5-105 К, с — ——Т = 0 К (классический больцмановский множитель).

Рис. 5.3. Поведение слетеровской суммы для электрон-ионных пар: а—Т = н 1,5-105 К, Ь — Т = 2,5-105 К, с — ——Т = 0 К (классический больцмановский множитель).

0令.W疗

0令.W疗

/>4无■6 府%? ^/

/>4无■6 府%? ^/

Рис. 5.4. Поведение слетеровских сумм для электрон-электронных и ион-ионных пар: а — ТР = 3,1 • 106 К, Tt = 5,7-109 к； Ь —Те = 7,8・18 К, Л = 1,4-109 к； с—Те = 1,2-105 К, 「= 2,3/08 к. d — Te = n = 0K (классический больцмановский множитель).

Рис. 5.4. Поведение слетеровских сумм для электрон-электронных и ион-ионных пар: а — ТР = 3,1 • 106 К, Tt = 5,7-109 к； Ь —Те = 7,8・18 К, Л = 1,4-109 к； с—Те = 1,2-105 К, 「= 2,3/08 к. d — Te = n = 0K (классический больцмановский множитель).

обусловленная взаимодействием, которая выражается с помощью паде-аппроксимаций [174, 188]; простейшая из них имеет вид (см. гл. 6)

Oq (Т) (а//2 + О] (Т)。2 (Т) (сш)з/2

Фигурирующие здесь функции температуры выбраны таким образом, чтобы правильно воспроизводились закон Дебая, квантовые поправки при малой плотности, обменный вклад и энергия решетки при высоких плотностях. Заметим, что существуют также другие подходы к рассмотрению парной функции распределения, основанные на разложениях по степеням е2 [335——337, 578]. Важно знать поведение парной функции распределения двух ионов (протонов) на малых расстояниях, так как им определяется скорость ядерной реакции, пропорциональная вероятности сближения двух ядер друг с другом [257, 288, 345].

В плотной плазме эта вероятность возрастает за счет двух причин: экранирования и квантовых эффектов; обе они ведут к увеличению скорости ядерных реакций. Роль второго из этих факторов показана на рис. 5.4, где видно, что при температурах выше 108 К кулоновское отталкивание становится несущественным. Помимо этого, приведенные выше выражения для парных корреляционных функций могут быть использованы для расчета корреляционных поправок к кинетическим коэффициентам для неидеальной плазмы [165, 166, 190, 191].

. Термодинамические функции

■ 5.4.1. Групповые разложениядля свободной энергии

Как показано в разд. 3.1.6, свободную энергию можно выразить через среднее значение части гамильтониана, описывающей взаимодействие, с помощью представления о постепенном включении взаимодействия:

f=，岑 W(储〉，(5.83)

О где

丛簿=九2 4./匕小(5・84)

Это среднее значение выражается через двухчастичные операторы плотности (ср. с разд. 3.1.6):

(Ю = |Тг{1/(12)Г(12)}./ 12

Используя парные функции распределения, мы получаем окончательно

尸=乙” + $ £ папь 5^ ^r, dr2Vab 的 Fab(rx, г2;簿.(5.85) ab

Подставим сюда групповое разложение (5.78) для парной функции распределения с использованием формулы (5.75) для корреляционной функции. Перегруппировав члены по степеням плотности, получим следующее групповое разложение [157— 159]:

尸=尸詳一储71/("3/12 +821 + 53)+ ...),(5.86)

S(2' = 4X «Ль S 仁(Фай- g^>) ,(5-87)

S⑶=^ £ nanhnc \ dr2 dg [ФаЬФасФьс + abc

+ (Sabc — SabSacSbc) exp (gab 十 gac 十 g加 + ^Vab + ₽^ac+ B%c)]，

(5.88)

①3 = Sab (r)exp(gab + ^Vab) - 1 - ga加(5.89)

Порядки величины фигурирующих

здесь

> групповых

интегралов

таковы [223]:

s(喲

при

卩з=a

f О (n2 In n)

при

卩 з * 0,

53）（。（絞 In n）

при

卩 з = 0,

при

卩 3 *。，

f n3

при

卩 3 = 0,

(5.90)

1 */2

при

卩 3 *。，

f必2

0={3

1出

при при

卩 3 = 0>

卩3*0-

Здесь момент третьего порядка определен как

& = у %喙

Заметим, что для зарядово-симметричных систем 卩з = 0・

5.4.2. Разложения по степеням плотностидля свободной энергии

Явное вычисление групповых интегралов представляет собой довольно трудную задачу. Численный расчет величины S(2)с помощью интерполяционных формул для слетеровских сумм проведен в работе [544]. В случае малых плотностей удается провести аналитическое вычисление, используя следующие идеи. Прежде всего, воспользовавшись тождественным преобразованием, выделяем расходящиеся вклады：

$2)= 2к 2 natib ^屮 吧{ , dr 产[saft (r) exp (^^ (1 — e~“r))—

-Y讐J Ei (-3“R) - Ei(-3xu)] + 备(験У X 义[靑 е-^ — i e-4x“ + 4x Ei (—4x7?) — 4x Ei (—4x〃)]}・

Путем разложения по х получаем

S^ = 2n£nanjl(^)3X ab I

x[(]+普)…陪(m讣

(5.91)(5.91)十(1 + ^4Л8~ ) ^ьЛо (Sab； Sa) + ° (必)}，

(5.91)

(5.91)

где так называемая квантовая вириальная функция, введенная Эбелингом [157—159] , определена как

九^bKo (自ab； $а)Нт

Ri 8

-4(^)2] + *(累可(C+111罟内(5.92)

Разбив двухчастичную слетеровскую сумму на два слагаемых—гайзенберговское и обменное, как в выражениях (5.46) или (5.61), (5.62), мы можем написать

(5.93)(5.94)(5.93)(5.94)&低加Sa) = Q (踹)+ ■^许E &/ где

(5.93)

(5.94)

(5.93)

(5.94)

%& =—厶吗=—=====■ •

4吟&д/2лтаЬйвТ

Функции Q(x) и Е(х) аналитичны по параметру взаимодействия и могут быть представлены в виде рядов Тейлора：

(5.95)(5.95)Q (%) = Е qnxn, Е (х) = 2 е“х".п=0п =0

(5.95)

(5.95)

Первые коэффициенты вплоть до п = 3 легче всего вычислить с помощью преобразований Фурье слетеровских сумм, используя выражения (5.46) — (5.50) и (5.53) — (5.57). Таким путем находим

90 = 0, 41 = 一6，92 = _■5■小二

111_(5.96)

% = fV^", /=至，？2 =彳"n也2.

Значения этих коэффициентов были получены несколькими независимыми способами в работах [134, 135, 180, 184, 185, 187, 361, 380, 412, 416, 628, 643, 687, 692]. В третьем порядке появляются очень сложные интегралы, вычисленные аналитически [301, 302] и численно [396]; результат имеет вид

?з = -4 (тС + 1п3~Т)- С = 0,577216..., е3 = А-л2. (5.97)

Коэффициенты более высоких порядков легче всего определить с помощью методов теории рассеяния [161, 184, 185, 187];

Рис. 5.5. Квантовая вириальная функция, гайзенберговский вклад.Рис. 5.5. Квантовая вириальная функция, гайзенберговский вклад.Рис. 5.6. Квантовая вириальнаяфункция, обменный вклад.

Рис. 5.5. Квантовая вириальная функция, гайзенберговский вклад.

Рис. 5.5. Квантовая вириальная функция, гайзенберговский вклад.

результаты для м ± 4 имеют вид

(5.98)(5.98)q" = 7g 口也一 2) 2-"/门 1 + n/2),

(5.98)

(5.98)

e“ = “f (1 一 2"") Цп- 1) 2-п/Г (1 + 哂.

Результаты, независимо полученные в работе [389], отличаются от приведенных рядом не очень существенных деталей, таких как знак ?м и появление величины 1п(х/) вместо In(хХоь) в выражении (5.91). Учитывая, что в настоящее время имеется несколько независимых выводов, использующих совершенно различные методы, мы можем считать, что вириальные функции Q(x) и Е(х), через которые определяется второй вириальный коэффициент, известны точно. Графики этих функций приведены на рис. 5.5 и 5.6. Отметим, что обменная часть, описываемая функцией £(х), экспоненциально стремится к нулю при (——х) оо, а функция Q(x) при |х| оо ведет себя следующим образом [161]:

Q (х) = 2 “л G (х) [о (х) — х2/8]—

—4" *з [出 I I + 2С + Е 3 —У~]^■— g (%)=玄 s? [exp (%2/4円一1 -炉/4s',

s-l

(5.99)(5.99)0（X）=0（X）=1 при х > О, О при х < 0.

(5.99)

(5.99)

0（X）=

0（X）=

О поведении вириальных коэффициентов более высокого порядка известно очень мало. Расчеты [115, 425] (см. также [164]) дают

S⑶=—2* § njibnca(x.-x (В/4ле)5 (”第绪)一

—呑 * £ natibnc (₽/4ле)6 {е^ье^ In (хХаЬ)—

-4 л2 In 2 £ папьпс^/4леГ(е}е1е^ In (хХаЬ) + О (硝，

$4)= а2Х-з £ nanbncnd (₽/4ле)6 (еаеьесе^ + О (п3),

а! — 0,543...} а2— 10,13... .(5.100)

Собирая вместе эти результаты, получаем разложение для свободной энергии в случае малой плотности, приведенное без вывода в разд. 2.3.

Подытожим вкратце основные результаты этой главы. Мы показали, что квазиклассические методы дают:

разумные выражения для парных функций распределения как при малых, так и при умеренных плотностях;

поправки к классическим термодинамическим функциям при малых и умеренных плотностях, в том числе несколько точных результатов (поправки к закону Дебая при малой плотности).

Ввиду его эффективности, а также по соображениям удобства вычислений квазиклассический подход находит применение в ряде современных трактовок проблем неидеальной плазмы, особенно тех, где велико отношение масс (водород, инертные газы, металлическая плазма). Мы особенно хотим подчеркнуть большое значение методов, основанных на адиабатическом приближении в сочетании с вариантами теории возмущений и аппаратом интегральных уравнений типа гиперцепного приближения (см., например, [319, 728, 729]).

Глава 6

КВАНТОВОСТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫРАВНОВЕСНЫХ СВОЙСТВ

Уравнение состоянияв лестничном приближении с экранированием

Второй вйриальный коэффициент

Как мы видели в предыдущей главе, существует много способов расчета термодинамических функций; к ним относится и ряд эффективных квазиклассических методов. Здесь мы будем следовать другому подходу, полностью основанному на использовании метода функций Грина. Структура данной главы такова. Сначала в разд. 6.1 и 6.2 мы получим ряд точных результатов, включая формулы для случаев вырожденных и невырожденных систем, а также соотношения химического характера (закон действующих масс). В последующих разд. 6.3——6.6 будут построены паде-аппроксимации, охватывающие всю плоскость температура — плотность, и мы довольно подробно обсудим термодинамические свойства ряда реальных плазменных систем. Рассмотрение будет основано главным образом на изучении двухчастичных вкладов с учетом некоторых поправок высшего порядка. Поэтому в качестве отправной точки мы используем формулу (3.235), дающую давление как функцию фугитивностей (химических потенциалов).

На языке диаграмм давление определяется следующим общим выражением:

(6.1)(6.1)

(6.1)

(6.1)

представляющим собой сокращенную запись выражения 1

Р-Р^Ш^ [恥〃⑵ G*(121 ++2)+ab О

+ Vab (12X) ПаЬ(121++2+Х)] d2.

Первое слагаемое в квадратных скобках — хартриевский вклад ——обращается в нуль для электронейтральных систем. Во второе слагаемое входят поляризационный оператор, обсуждавшийся в разд. 3.3, и динамически экранированный потенциал. Все величины зависят от параметра %, характеризующего ин-

тенсивность взаимодействия. Исходя из выражения (6.1) и используя известные термодинамические соотношения, можно получить дальнейшую информацию термодинамического характера.

Для конкретных расчетов необходимо выбрать какую-либо аппроксимацию для поляризационного оператора П и каким-нибудь разумным способом выполнить интегрирование по параметру взаимодействия. Остановим свой выбор на лестничном приближении для поляризационного оператора П, которое записывается в виде (см. формулу (3.236))

(6.2)(6.2)

(6.2)

(6.2)

ПаЬ (1234) =-dabGa (14) Ga (23)-

-J Ga (in Ga (I'D Ga (13)吟& (1'2，)义

X Vab (12) G&(22') Gb (2Z2) Gb (24) dl' d2'行疸 +

+ 4 Ga (11') Go (22) Vab('^) Hao (1'2,34) dV d2-(6.3)

Вывод лестничного уравнения с экранированием (6.2) дан в работе [404] (см. также [185, 609]). Опишем кратко способ вывода.

Примем за исходное уравнение (3.228) и заменим в нем производную от S следующим образом:

=У \ d3 d4巫些結4)•.(6.4)

6%ФФ(Г2)今). 6GC (34) 6*фф(1'2，)

Воспользовавшись аппроксимацией

承；工)=6&伤(ЗГ) & 24),(6.5)

получим вместо (3.228) выражение

nab (12Т2)=-喝Ga (12) Ga (2Т)-

-J Ga (1 Г) ^{34} Ga (2Г) Gb (32) Gb (24) d3 d4dl d2.(6.6)

Теперь следует подобрать подходящее приближение для величины 6S/6G. Рассмотрим с этой целью равенство (3.229). Чтобы использовать соотношение (6.4) и аппроксимацию (6.5), надо взять функциональную производную по G от обеих сторон равенства (3.229). В результате окажется, что интегральный

член содержит три функции Грина. Функциональная производная от Vs дает (с учетом выражения (6.5)) два слагаемых.

Используем теперь следующее приближение при вычислении функциональной производной от (3.229). Будем считать, что первый член в правой части равенства (3.229) дает один член, происходящий от Ga, и один — от 丿展° (вторым членом, происходящим от варьирования %, мн пренебрегаем). Второе слагаемое в правой части равенства (3.229) дает при варьировании несколько членов, из которых мы оставим только один, происходящий от одной из трех функций Грина. В итоге_получается следующее уравнение для определения величины 6S/6G [404]:

撚费)=6aMa (12') 6 (12) 6 (1，2') 一

一 Ga (11') Gb (2 ⑵ Vab (12，) U/(2 Г) +

+ \ d3, d4yb (12，) Ga (⑶)G& (24)貌訳•(6.7)

Хотя равенство (3.229) представляет собой функциональное интегральное уравнение, в нашем приближении мы имеем теперь только интегральное уравнение (6.7), которое содержит все лестничные диаграммы (включая обменные), за исключением прямого вклада первого порядка. Последнее обстоятельство связано с перенормировкой, выполненной при введении экранирования, в процессе которого хартриевский вклад уже учтен при построении эффективного внешнего потенциала (см. разд. 3.3).

Для некоторых целей (см. также разд. 5.4) полезно ввести Т-матрицу, содержащую все диаграммы лестничного типа, с помощью соотношения

ТаЬ (1234) 餘牆 + 九& (12) 6 (13) 6 (24) •(6.8)

Если в выражение. (6.6) подставить величину 6S/6G, определенную в лестничном приближении из уравнения (6.7), то мы получим аппроксимацию лестничного типа для 口血 включающую все прямые и обменные лестничные диаграммы, но без свободной пары функций Грина (не входящей в П по определению) и без диаграммы первого порядка по И\ не включаемой в 6S/6G согласно (6.7).

Таким способом выводится уравнение (6.3). Мы видим, что в результате перенормировки, отвечающей введению экранирования, диаграмма { не входит в выражение (6.2) и по

ляризационный оператор П в лестничном приближении отли-

чается от соответствующей двухчастичной функции Грина. Это выражается соотношением

(6.9)(6.9)

(6.9)

(6.9)

а двухчастичная функция Грина в лестничном приближении определяется уравнением

(6.10)(6.10)

(6.10)

(6.10)

В рассматриваемом лестничном приближении выражение (6.2) можно представить в виде следующего разложения:

(6.11)(6.11)

(6.11)

(6.11)

Сплошными линиями здесь изображены одночастичные функции Грина, а волнистыми — динамически экранированное взаимодействие.

Подобные разложения в предельном случае слабого вырождения совпадают с вириальными разложениями; правая часть выражения (6.11) приближенно дает, если отвлечься от особой задачи экранирования кулоновского потенциала, величину второго вириального коэффициента (см. также разд. 3.2.9).

Это выражение называют лестничным приближением с экранированием для давления. Помимо хартриевского вклада оно включает лишь одну диаграмму с одной волнистой линией. Эта диаграмма в соответствии с выражением для экранированного потенциала в приближении случайных фаз (разд. 3.3 и 4.2) дает два слагаемых: хартри-фоковский вклад и вклад Монтролла — Уорда, изображаемые как @ и 且 .Диаграмма с двумя волнистыми линиями, представляет собой обменную диаграмму второго порядка. В любом более высоком порядке 〃 ± 3 мы имеем одну прямую и одну обменную диаграммы.

Обозначим через рп вклады в давление, изображаемые диаграммами с п волнистыми линиями; тогда

Р = ро + рх + pl + р2 + Рз + р4 + • • • •(6・12>

Как уже упоминалось, для электронейтральных систем имеем， Рх = 0, и

pi=px ①+ рму・(6・13>

Явное вычисление различных вкладов рп возможно только в случае р% рх и рх①.Величину рму удается рассчитать только численно (см. разд. 6.1.3).

Вычисление вкладов высших порядков

При вычислении вкладов высших порядков 九 ±4 можно воспользоваться приближением, существенно упрощающим расчет и состоящим в замене экранированного потенциала чисто кулоновским; это допустимо потому, что расходимости появляются только до 九= 3. Рассмотрим выражения для термодинамических величин в лестничном приближении, справедливые для потенциалов с малым радиусом действия.

В случае короткодействующих потенциалов некоторые перенормировки, связанные с процедурой введения экранирования, оказываются необязательными. В качестве исходного выражения (см. [423]) в этом случае имеем (ср. с (6.1))

1

Р - Р。= 3 2 \ 牛 ％ь(12)Gab (⑵ ++2+М d2.(6.14>

ab О

Взяв величину Gab в лестничном приближении, мы можем получить отсюда второй вириальный коэффициент (см. разд. 3.2.^ и выражение (3.220)).

Как хорошо известно, функцию Gab можно разложить в ряд Фурье. В операторных обозначениях имеем

Р一р广击专XX沔Tr-{Va6Ga6(®?6)k-(6.15>

a& v 0

Здесь R — объем системы, а со；。一 бозонная мацубаровская частота:

噌=Г^ + % + %，V четное.

Операция Тг~ относится к антисимметризованному гильбертову пространству. Суммирование по частотам можно провести обыч*

ным способом (ср. разд. 3.2.8 и [351]); результат имеет вид (нижний индекс X мы опускаем)

Р — р。=—击 \ ^ 2 \ Тг-g贺⑵{VabGab (z)}警，(6.16) 0 ab С

где

g訳⑵= {exp[Mz-%-%)] - Ч-'

есть функция Бозе ——Эйнштейна. Контур С охватывает особенности функции Gab⑵,находящиеся на вещественной оси.

Выражение (6.16) можно переписать в виде

1ОО

Р — Р。=击 \ 岑 2 \ П Tr-g贺(ф) Im {VabGab(8 + 砌(6.⑺ o—8

После интегрирования по частям получаем

1ОО

Р —。。=—矗，宇2 5 零 TLlnll—eT(3"f)|X 0ab — 8

*Im {九Ь也嗯土也}.(6.18)

Воспользуемся теперь лестничным приближением для функции Gaby определенным согласно (6.10) и записываемым в матричном виде как [423]

Gab(2)= Gab ⑵ + Gab ⑵ VabGab ⑶.(6.19)

Здесь невозмущенная двухчастичная функция Грина дается выражением

G^,(Pl, Р2, Н, Рб, Z)= 6g, pj)6(p2, Р2) %兰嚼Е：(砌,(6.20) где величина

Mab(Pl，「2)= ' — fa(Р1)— fb (。2)，(6.21)

связанная с заполнением фазового пространства, учитывает принцип Паули (см. также разд. 4.4).

Из формул (6.19), (6.20) получаем (№ — гамильтониан свободных частиц)

(2 - Я0 - KVN) G 0; X) = ^(6.22)

NV =-空^也.(6.23)

Используя соотношение (6.23), можно провести интегрирование по X в выражении (6.18); в результате находим

Р — % = ：§ 寥 £ Т I 1 L(…宀)I X

X Im Nаь {Gab (s + %) — G^b (co + 饱)}•(6.24)

Для удобства конкретных вычислений полезно ввести Г-ма- трицу:

ТаЬ ⑵=Vab + VabGlb(2)Таь ⑵.(6.25)

Вследствие конечности величины Таь(2) в области непрерывного спектра мы можем заключить, что в этой области частот из выражения (6.20) вытекает соотношение (см. также гл. 3 и работу [423])

lim Im G?b (s + 旭)=—nd (co — Hab) Мь・ (6.26) e->0

Но в области частот, соответствующей области связанных состояний оператора Таь(^) (здесь Таь(%) имеет простые полюсы), мы должны сохранить выражение

°dG^b ((о)

Im Gab ® + 间=е 一先.(6.27)

Используя формулы (6.24) — (6.27), получаем уравнение состояния в виде [422]

Р — % =Р — % =2似Iab I пР2似Iab I пР1 — exp [— В (6^ — Ha — Nb)] I Ca瓦 n —1 — exp [— В (6^ — Ha — Nb)] I Ca瓦 n —

Р — % =

Р — % =

2似I

ab I пР

2似I

ab I пР

1 — exp [— В (6^ — Ha — Nb)] I Ca瓦 n —

1 — exp [— В (6^ — Ha — Nb)] I Ca瓦 n —

—2 "ab(Pl，「2)h^f gB (%S) + %(P2)) X PiPa

X Re〈pg I Tab (% (Pl) + % (p2)) IP2P1〉-—

—In I 1 ~ exp [— В (ea (pi) + % (p2) — Na —闷)]丨 X

X g, 2n6 (ea (p；) + e6 (p2) — ea (pj) — e6 (p》)义

Pl₽2

X Im {(pg I Tab (ea (Pl) + %(P2)+ 间 IP2P1) X

X Nab (Pl, P2)(P\P2 I Tab (%(Pl) + 电仍2)+ 间 I「2「1〉一}] } •(6.28)

Величина ЕпР есть сумма собственного значения энергии уравнения Шредингера, описывающего относительное движение (п — набор квантовых чисел для связанных состояний), и кине-

тической энергии движения центра масс 力2P2/2AL Величина Саь,/ъ учитывающая обменные эффекты, определена как

Gab, “ =侬。+ 1) (2s& + 1)[1 -詩比 e 叫

где sa, Sb — спины частиц, а фазовый множитель в случае центральносимметричного потенциала равен просто (—1)'. Символом 〈〉-обозначены антисимметризованные матричные элементы, а именно:

<Р2Р1Ма&1Р1Р2>~ =侬。+ 1) (2Sb + 1)义

X [〈P2Pli 4b I P1P2〉2；3 1〈P2Pl I ^ab I P2P1〉] •

Если не затрагивать вопрос о связанных состояниях, то результаты такого типа для случая Г = 0 были получены впервые в работе Галицкого и Мигдала [231]. Уравнение (6.28) представляет собой обобщение уравнений состояния, выведенных в работах [54, 402, 418]. Этот результат аналогичен полученному в работе [71]; его можно сравнить также с выводами работ [116, 368]. Уравнение (6.28) есть уравнение состояния в лестничном приближении, учитывающее роль связанных состояний и эффектов вырождения (связанных с повышением плотности). Эффекты вырождения проявляются в различных аспектах; так, мы встречаем а) бозевского вида суммы по двухчастичным состояниям при расчете вкладов в давление как от связанных состояний, так и от состояний, отвечающих рассеянию; б) действие принципа запрета Паули, отражаемое наличием функций Nab(p\,「2)，описывающих заполнение фазового пространства взаимодействующих ферми-частиц; в) зависимость всех двухчастичных величин типа £'备 Таь и т. п. от плотности, обусловленная зависимостью от функции заполнения Nab(Pi, Р2) решения соответствующей «многочастичной модификации» двухчастичного уравнения Шредингера (уравнения Бете — Солпитера, см. разд. 5.4).

Уравнение (6.28) можно также представить в иной форме, выразив его через S-матрицу на массовой поверхности, тесно связанную с Г-матрицей на массовой поверхности (см. [116, 423]).

Рассмотрим уравнение состояния (6.28) в рамках дальнейшего приближения, состоящего в пренебрежении вырождением ферми-частиц, но при сохранении бозонного характера двухчастичных состояний, в том числе связанных. Будем считать, что потенциал взаимодействия между частицами центральносиммет-

ричен. Тогда в представлении орбитального момента мы можем написать

р—р°=- 尼в?2, у(2Sa+ l)(2s&+ 1)(2/+ 1)Х ab/=0

х[1 —6аь^?т]{21п|1 _ехр[_В(£Ь +儲 _网_出)]| 十

+ dEln|l—exp[—B(E+靄一4 一圖 I• (6.29)

Выражение (6.29) представляет собой некоторую модификацию результатов, полученных ранее в работах [402, 418] (см. также [609]).

Выражению (6.29) можно придать другую форму, используя контурный интеграл в комплексной плоскости [185]:

Р — Ро =Р — Ро =一警2,誤义ab一警2,誤义ab

Р — Ро =

Р — Ро =

一警2,誤义ab

一警2,誤义ab

X X(2Sa+ D(2s&+ 1)[1X X(2Sa+ D(2s&+ 1)[1i点告]⑵+DXi点告]⑵+DX

X X(2Sa+ D(2s&+ 1)[1

X X(2Sa+ D(2s&+ 1)[1

i点告]⑵+DX

i点告]⑵+DX

X J ^J- In I 1 - exp [- ₽ (z + 力2P2/2M 一 ％ _ 仰川 X

С

(6.30)(6.30)din D?b(z)

(6.30)

(6.30)

义 dz "

Здесь D^b(2)— функция Йоста; контур С охватывает сингулярности гамильтониана, отвечающие как связанным состояниям, так и состояниям, отвечающим рассеянию. Выражение (6.30) особенно удобно в тех случаях, когда надо исследовать общие свойства термодинамических функций.

Можно показать, в частности, что второй вириальный коэффициент является аналитической функцией параметра взаимодействия и что сумма по связанным состояниям не дает сингулярностей —даже при наличии сингулярных вкладов особенности компенсируются вкладом непрерывного спектра [413, 418].

Вернемся теперь к кулоновской задаче. Выражение (6.12) можно представить в виде

Р = Р» + Рх + Pi + Р2 + Рз + Pi>

где слагаемое 瓦 дается суммой лестничных диаграмм с более чем тремя «перекладинами», т. е. выражениями (6.28) — (6.30) за вычетом вкладов порядков 匕 V2 и V3. Напомним, что входящие в рь члены не обязательно вычислять с учетом экранирования ввиду их сходимости. Поэтому при расчете pl можно воспользоваться описанной выше процедурой. В качестве иллюстрации рассмотрим случай невырожденной плазмы. Тогда из выражения (6.29) мы получаем

/оо s— 1

戏=尼口4门3/2 Z 分电局b I e(- v6)z z⑵+ d*

X [exp (- 0E“)- 1 + BEs/] - P2 \ dE exp (- p£) \ dE^b (Г)}.

(6.31)

Здесь 9 (x)——функция Хевисайда (ступенчатая функция), а Esi — двухчастичные энергетические уровни. Мы видим, что в сумме по связанным состояниям надо вычитать первые два члена разложения, чтобы эта сумма была сходящейся. Далее, величина № (£") получается из суммы, отражающей эффекты рассеяния:

%(E)= W ⑵ + 1)[1 +喝•Щ^]貝(Е),

посредством вычитания первых двух членов разложения теории возмущений по степеням е .

仇"£)=玄磁出)，

瓷(e)=碉出)+碱他)+分駅e) +

При этом следует подчеркнуть, что величины 6/(Е) представляют собой сдвиги фаз, описывающие двухчастичные процессы рассеяния. В принципе Esi и 6/(Е) следует определять путем решения уравнения Бете -— Солпитера; но в хорошем приближении можно воспользоваться просто энергетическими уровнями и сдвигами фаз для задачи с чисто кулоновским потенциалом. Выражение (6.31) получено здесь на основе соображений преимущественно качественного характера. Однако, как показано в работе [782], можно дать строгий вывод его с помощью теорем Левинсона высших порядков, введенных Болле [752].

Мы видим, что проблема расходимости статистической суммы двухчастичных связанных состояний находит вполне естественное решение. Она остается конечной даже в случае нулевой

плотности благодаря использованию процедуры вычитания в выражении (6.31). Более того, при ненулевых плотностях уравне* ние Шредингера имеет лишь конечное число связанных состояний. Таким образом, никаких проблем с расходимостями в нашей теории не возникает.

Вычисление вкладов Хартри ——Фокаи Монтролла—Уорда

Вернемся теперь к выражению (6.12) и займемся явным вычислением вкладов Хартри — Фока и Монтролла — Уорда в давление.

Следует заметить, что для ряда приложений, представляющих физический интерес, не обязательно учитывать вклады высших порядков по степеням параметра взаимодействия и достаточно ограничиться только поправкой (6.13) к давлению идеальной системы. В частности, так обстоит дело при рассмотрении тех областей плоскости плотность—температура, в которых связанные состояния не играют существенной роли. С такими ситуациями мы встречаемся в случае слабо вырожденных систем при достаточно высоких температурах, а также в случае сильно вырожденной плазмы.

Приведем теперь формулы и численные результаты для вкладов Рх① и Рму* справедливые при любой степени вырождения. Кроме того, дадим также выражение для давления невзаимодействующей системы ро, записываемое просто через фермиевские (бозевские) интегралы:

Ро= Z (2Sa+ 1) Да 3^вПз/2 (Ца/^вЛ.(6.32)

а

где через /v (а) обозначены суммы

/v (а)玄(± 1 尸 Lт ехр (га), v > 1,(6.33)

обладающие свойством

/v-i(a)= ^v(a)・

Верхний знак в формуле (6.33) относится к бозе-системам, а нижний ——к фермионам. На основании формулы (6.1) мы получаем следующее выражение для хартри-фоковского вклада в давление в зависимости от фугитивности:

РХ0 = 2 \ 鬻九a (Р - q) fa(P)fa(<?)•(6.34)

a

Здесь % — фермиевская функция, a Vaa — фурье-образ кулоновского потенциала:

е2

3H底в

(е0 — диэлектрическая проницаемость вакуума, ег — относительная диэлек!рическая проницаемость).

с V (Ч + Чеа*3 — j 4леге0Лас V (Ч + Чеа*3 — j 4леге0ЛаСогласно работе [133], выражение (6.34) можно преобразовать к виду

с V (Ч + Чеа*3 — j 4леге0Ла

с V (Ч + Чеа*3 — j 4леге0Ла

определенный согласноопределенный согласно\ %/^(а') = 2^^%0(а) (6.35)

определенный согласно

определенный согласно

Здесь /—и — фермиевский интеграл, (6.33):

厶⑷=r(v+ 1) , dxО厶⑷=r(v+ 1) , dxОехр (х — а) + 1，ехр (х — а) + 1，(6.36)(6.36)

厶⑷=r(v+ 1) , dx

О

厶⑷=r(v+ 1) , dx

О

ехр (х — а) + 1，

ехр (х — а) + 1，

(6.36)

(6.36)

Г (1/2) = Vя» аа =卩訥门—параметр вырождения, % — химический потенциал, sa ——проекция спина и Ла =也/⑫冗团/^丁)"?.

В предельном случае слабого вырождения можно явно вычислить сумму в правой части (6.35) (см. [209, 397]); результат имеет вид

Рхе(а《D = 2黑礬[i-占ехр 网)].

(6.37)

В случае сильного вырождения, исходя из выражения (6.35), можно получить асимптотическое разложение [59, 398]

Рхе 3》D = £ ^3^ [^-±1паа + с]. (6.38)

Этот результат получается также при замене фермиевских интегралов, входящих в выражение (6.35), соответствующими разложениями Зоммерфельда [397]. Однако константу С удается найти точно только с помощью численного расчета «хартри-фо- ковского интеграла» %①(а。)， определенного выражением (6.35) [398]. Разные методы аналитического вычисления С приводят к совершенно различным результатам [397].

Численный расчет величины 5^хф («а) дал значение [398]

С = 0,5040 +О (а^2).(6.39)

小

Рис. 6.1. Результаты численного расчета зависимости величины рХФ (вклада Хартри—Фока в давление) от параметра вырождения а. Температура определяется с помощью соотношения (6.40) при заданной плотности л = 1,4- • 1018 см-3. Кривые 。(炉)и О (К) получены с помощью разложений по фугитивности [783]. Кривые 1—6 соответствуют различным приближениям для случая сильного вырождения; они получены в работах /—[665], 2 — [3101 3 — [334], 4 — [205], 5 — [244]; кривая 6 соответствует выражениям (6.38> и (6.39).

Вычисление суммы (6.35) численными методами дает значения хартри-фоковского интеграла, табулированные в работе [398].

Для установления связи с конкретной физической ситуацией^ фугитивность в выражении (6.35) была выражена через плотность с использованием соотношения, справедливого для идеальной системы:

% =白尹八/2d).(6.40>

На рис. 6.1 показано поведение величины рх① для электронного газа заданной плотности. Видно, что в случае слабого вырождения результат (6.37) вполне удовлетворительно согласуется с данными численного расчета, тогда как среди различных выражений, относящихся к случаю сильного вырождения, [133, 205, 244, 310, 334], лишь (6.38) с (6.39) хорошо согласуется с точным результатом.

Перейдем теперь к вычислению прямых вкладов вплоть до порядка е± Соответствующий вклад в давление учитывается в

приближении, обычно называемом приближением Монтролла — Уорда. Он определяется следующим выражением:

Рму =—九 \\ 登 cth(РМ2) х

О

~ Е %С(Р)Im Пс (р, (О)'

X arctg「у ,、тт ,7-У ^м 1тЩ (р, о) .(6.41>

1 -七 ％&(Р)Пь (р, а>)令

Lb

Для входящего в него поляризационного оператора нужно использовать выражения

Т 口/ .（2s,+ l）论"冠Im n。（P，S）=一而再XТ 口/ .（2s,+ l）论"冠Im n。（P，S）=一而再XХ1пХ1пexp (— ас) + ехр [— ^^ (tnc^/p + йexp (— ас) + ехр [— ^^ (tnc^/p + йехр (— ас) + ехр [— ^―- g91P —力ехр (— ас) + ехр [— ^―- g91P —力(6.42)i(6.42)i

Т 口/ .（2s,+ l）论"冠

Im n。（P，S）=一而再X

Т 口/ .（2s,+ l）论"冠

Im n。（P，S）=一而再X

Х1п

Х1п

exp (— ас) + ехр [— ^^ (tnc^/p + й

exp (— ас) + ехр [— ^^ (tnc^/p + й

ехр (— ас) + ехр [— ^―- g91P —力

ехр (— ас) + ехр [— ^―- g91P —力

(6.42)i

(6.42)i

\ dx х2 X\ dx х2 XXi吹鑑黑））"辰*證為 та，疥Xi吹鑑黑））"辰*證為 та，疥(6.44)、(6.44)、

\ dx х2 X

\ dx х2 X

Xi吹鑑黑））"辰*證為 та，疥

Xi吹鑑黑））"辰*證為 та，疥

(6.44)、

(6.44)、

Re Пс (р, s) = (2sc + 1) \Re Пс (р, s) = (2sc + 1) \加，f/p，+ 与)t)

Re Пс (р, s) = (2sc + 1) \

Re Пс (р, s) = (2sc + 1) \

(2л)3 ЙО + 费 Кр' - р/2) - (р' + р/2)2]

(6.43)>

Для удобства численного расчета полезно проинтегрировать по частям. Переходя к безразмерным переменным и полагая тс =- =те, \ес\ = в, ас = а, из (6.41) — (6.43) получаем

XinXinexp (— etc) + exp [— ； I % I (y2!x2 +exp (— etc) + exp [— ； I % I (y2!x2 +2y + x2)]2y + x2)]exp (— %) + expexp (— %) + exp[-4[-4I % I (y2/x2 - 2“ + *2)]I % I (y2/x2 - 2“ + *2)](6.4吩(6.4吩Здесь функции Р и Q определены следующими выражениями^ (для дальнейшего удобно сохранить здесь нижние индексы):

Xin

Xin

exp (— etc) + exp [— ； I % I (y2!x2 +

exp (— etc) + exp [— ； I % I (y2!x2 +

2y + x2)]

2y + x2)]

exp (— %) + exp

exp (— %) + exp

[-4

[-4

I % I (y2/x2 - 2“ + *2)]

I % I (y2/x2 - 2“ + *2)]

(6.4吩

(6.4吩

X \W(6.46)

о {exp [万(f — %) ] + exP [—万 « 一 ctfe) j|

丄(x, у, t：a) = (al -游)m I I 一(％ — 加)In I ^|| - 2bx,

a± = y/2x 士 x/2, b = {t/\ a |)1/2.(6.47)

В предельном случае невырожденной системы из выражения 《6.41) получаем (см. [185])

Рму4abРму4ab#*%%% (结+ ])(符+ ])#*%%% (结+ ])(符+ ])4 (4леге0)2йвТ4 (4леге0)2йвТЛ^зЛ^з〃2lF &a(2Sa+】)a川視7A厂"〃2lF &a(2Sa+】)a川視7A厂"1%,% = —7丄.^abkBT1%,% = —7丄.^abkBT(6.48)(6.48)

Рму4

ab

Рму4

ab

#*%%% (结+ ])(符+ ])

#*%%% (结+ ])(符+ ])

4 (4леге0)2йвТ

4 (4леге0)2йвТ

Л^з

Л^з

〃2lF &a(2Sa+】)

a川視7A厂"

〃2lF &a(2Sa+】)

a川視7A厂"

1%,% = —7丄.

^abkBT

1%,% = —7丄.

^abkBT

(6.48)

(6.48)

В случае вырождения для однокомпонентной (электронной) плазмы имеем (см. [100, 234])

Рму =—纥(0Q622 In rs —0,142 — 0,0054rsln rs — 0,015q) Ry 唁，

(6.49) где

Ry=W&^/ 3 、1/з ]Ry=W&^/ 3 、1/з ]«в«в—Л24ле 一 mee2，

Ry=W&^

/ 3 、1/з ]

Ry=W&^

/ 3 、1/з ]

«в

«в

6 === £#0.

Численный расчет величины「му по формуле (6.44), выполненный в работах [396, 398, 599, 612, 730], потребовал больших затрат машинного времени. Результат, полученный для фиксиро^ ванной плотности, показан на рис. 6.2. Как видно из рисунка, в области слабого вырождения результаты численного расчета достаточно хорошо воспроизводятся приближенным выражением (6.48), тогда как относящийся к случаю сильного вырождения результат (6.49) согласуется с кривой, полученной

Таблица 6J. Вклад Монтролла — Уорда в давление (в единицах Ry а^3)г рассчитанный по формуле (6.44) при заданной температуре. Плотность определена с помощью соотношения (6.40)

а

Г = 5-102К

7=5-102 К

1g〃

"МУ

1g «

"МУ

-6,0

17,13

1,4985 -10

5,0

20,68

4,1226 —6

-5,0

17,56

6,3096 —10

6.0

20.79

5.4261 -6

-4,0

18,00

2.5671 — 9

8.0

20,97

8,5185 -6

—3,0

18,42

9,8986 — 9

10.0

21,11

1,2202 —5

—2,0

18,84

3,5330 — 8

15,0

21,38

2.3862 —5

-1.0

19,25

1,1209 — 7

20,0

21.56

3.8508 —5

1,0

19,93

6,7453 — 7

25.0

21,71

5.6406 —5

2.0

20,18

1,2509 — 6

30.0

21,83

7.7044 —5

3,0

20,39

2,0266 — 6

35,0

21.93

1.0316 -4

4,0

20,55

3,9893 — 6

40,0

22.01

1,2608 —4

а

/'=3,4291 • 103 К

а

『=3,4291 • НК к

1g履

"му

1g "

°МУ

—8,0

17,51

2,3512 -10

2,5

21,54

5.3709 —5

-7,5

17,73

4,9316 -10

3,0

21,64

6.6455 —5

-7,0

17.95

1,0333 —9

3,5

21,72

8.0324 -5

—6,5

18.16

2,1642 -9

4,0

21.80

9.5367 —5

-6,0

18.38

4,5115 —9

4.5

21,87

1.1145 -4

—5.5

18,60

9,3744 -9

5,0

21,93

1,2863 —4

-5,0

18,81

1,9380 -8

5,5

21,99

1,4688 —4

-4,5

19,03

3,9838 —8

6,0

22,05

1,6621 —4

-4,0

19,25

8」105 -8

6,5

22,09

1,8653 -4

-3,5

19.46

1,6320 —7

7,0

22,14

2,0772 —4

—3,0

19.67

3,2393 -7

8,0

22,23

2,5366 —4

-2,5

19,88

6,3040 -7

10,0

22,37

2,5603 -4

-2,0

20,10

1,1977 -6

12,0

22.49

4.7500 —4

—1,5

20,30

2.2083 -6

14.0

22.59

6,0553 —4

一1,0

20,50

3,9129 -6

15,0

22,63

6,7464 -4

-0»5

20,69

6,6285 -6

16,0

22.67

7,5094 —4

0,0

20,87

1,0646 -5

18,0

22,75

9,0703 -4

0,5

21,04

1,6160 -5

20,0

22,82

1,0786 —3

1,0

21,18

2,3426 -5

22,0

22,88

1,2591 -3

1,5

21,32

3,2058 -5

24,0

22.93

1,4485 —3

2,0

21,44

4,2202 —5

25,0

22,96

1,5511 —3

Табл. 6J. (продолжение)

а

『 = 3,4291 • ◎ к

а

Г«3,429Ы03К

>g п

"МУ

1g п

₽МУ

26,0

22,99

1,6642 -3

36,0

23,20

2,8192 —3

28.0

23,03

1,8823 -3

38,0

23,23

3,1206 —3

30,0

23,08

2,1119 -3

39,0

23,25

3,2602 -3

32,0

23,12

2.3444 -3

40,0

23,27

3,4038 -3

34.0

23,16

2,5778 -3

41,0

23,28

3,5393 -3

35,0

23.18

2.6985 -3

42,0

23,30

3,6861 —3

а

7=6,0-103 К

7=8,0-103 к

1g в

"му

ig п

"МУ

-8,0

17,87

6,2176 —10

18,06

1,0279 -9

-7,5

18,09

1,3180 —9

18,28

2,1808 —9

— 7,0

18,31

2,7633 -9

18,50

4,5834 -9

-6,5

18,53

5,7977 -9

18,72

9,6184 -9

-6,0

18,74

1,2107 —8

18,93

2,0106 -8

-5,5

18,96

2,5210 -8

19,15

4,1906 -8

—5,0

19,17

5,2239 -8

19,36

8,6934 -8

-4,5

19,39

1,0766 -7

19,58

1,7933 -7

—4,0

19,61

2,1995 —7

19,80

3,6724 -7

—3,5

19,82

4,4452 -7

20,01

7,4352 -7

—3,0

20,03

8,8557 -7

20,22

1,4846 -6

—2,5

20,24

1,7339 -6

20,43

2,9130 —6

-2,0

20,45

3,3103 -6

20,64

5,5752 -6

ч-1,5

20,66

6,1260 -6

20,85

1,0344 -5

— 1,0

20,86

1,0914 -5

21,05

1,8460 —5

—0,5

21,05

1,8515 -5

21,24

3,1387 —5

0,0

21,23

2,9822 -5

21,42

5,0560 -5

0,5

21,40

4,5339 -5

21,59

7,6839 —5

1,0

21,54

6,5329 -5

21,73

1,1044 —4

1,5

21,68

8,9285 —5

21,87

1,5111 —4

2,0

21,79

1,1697 -4

21,98

1,9762 —4

2,5

21,90

1,4823 —4

22,09

2,4972 -4

Табл. 6」、(продолжение)

V

7=6,0-103 К

7 = 8,0-103 К

1g 〃

"МУ

1g〃

"МУ

3,0

22,00

1,8260 —4

22,19

3,0664 —4

3,5

22,08

2,1967 —4

22,27

3,6878 —4

4,0

22,16

2,5938 —4

22,35

4,3499 —4

4,5

22,23

3,0250 —4

22,42

5,0357 —4

5,0

22,29

3,4762 —4

22,48

5,8015 —4

5,5

22,35

3,9451 —4

22,54

6,5946 —4

6,0

22,40 ■

4,4583 —4

22,59

7,4258 —4

6,5

22,45

4,9789 —4

22,64

8,2770 —4

7,0

22,51

5,5597 -4

22,70

9,2056 —4

8,0

22,58

6,7363 —4

22,77

1,1152 —3

10,0

22,72

9,3992 —4

22,91

1,5521 —3

12,0

22,84

1,2453 -3

23,03

2,0418 —3

15,0

22,99

1,7620 —3

23,18

2,8967 —3

20,0

23,17

2,7991 —3

23,36

4,5699 —3

25,0

23,32

4,0330 —3

23,51

6,5716 —3

30,0

23,44

5,4361 —3

23,63

8,8376 —3

35,0

23,54

6,9852 —3

23,73

1,1369 -2

40,0

23,62

8,7273 —3

23,81

1,4099 —2

а

Т=»104 к

а

Т=104 к

1g П

РМУ

Ig П

РМУ

—8,0

18.20

1,5161 -9

-0,5

21,38

4,7227 —5

一7,5

18,42

3,2285 —9

0,0

21,56

7,6155 —5

-7,0

18,64

6,7984 —9

0,5

21,73

1,1570 —4

—6>5

18.86

1,4241 —8

1,0

21,88

1,6623 —4

-6,0

19,07

2,9798 —8

1,5

21,00

2,2683 —4

-5,5

19,29

6,2141 -8

2,0

22,12

2,9676 —4

-5,0

19,50

1,2900 —7

2,5

22,23

3,7431 —4

-4,5

19,72

2,6621 -7

3J)

22,34

4,5863 -4

—4,0

19,94

5,4613 -7

3,5

22,41

5,0566 —4

—3,5

20,75

1,1075 —6

4,0

22,50

6,4814 —4

—3.0

20,36

2,2154 -6

4,5

22,56

7,5056 —4

-2,5

20,68

4,3543 -6

5,0

22,63

8,6161 —4

—2,0

20,80

8,3526 -6

5,5

22,68

9,7739 —4

-1,5

21,00

1,5523 -5

6,0

22,74

1,0995 —3

-1,0

21,20

2,7756 -5

6,5

22,78

1,2269 —3

Габл. 6.1 (продолжение)

а

Т= 104 к

7 =

=104 к

ig 〃

"МУ

收h

"МУ

7,0

22.84

1,3609 -3

20,0

23.51

6.6756 —3

8,0

22,92

1.6453 -3

25,0

23,65

9.5771 —3

10,0

23,06

2.2811 -3

30,0

23.78

1,2860 —2

12,0

23,18

3.0106 —3

35.0

23.87

1.6576 -2

15,0

23,33

4,2500 -3

40.С

.23,95

2,0553 -2

а

Т=2"04 к

『95.104 К

1g п

ОМУ

1g п

"МУ

-6,0

19,53

9,8719 —8

20,13

4,8654 -7

—5,0

19,95

4,3912 -7

20,56

2,1966 -6

—4,0

20,40

1,8658 -6

21,00

9,4712 -6

—3,0

20,81

7,6584 —6

21,42

3,9257 -5

—2,0

21,24

2,9203 —5

21,84

1,5145 -4

-1,0

21,65

9,7934 —5

22,25

5,1541 -4

1,0

22,33

5,8968 —4

22,93

3,1284 -3

2,0

22,58

1,0457 -3

23,18

5,4990 -3

3,0

22,79

1,5992 -3

23,39

8,3154 -3

4,0

22,95

2,2356 -3

23,55

1,1466 -2

5,0

23,08

2,9393 —3

23,68

1,4892 -2

6,0

23,20

3,7221 —3

23,79

1,8625 —2

8,0

23,37

5,4996 —3

23,97

2,7047 -2

10,0

23,51

7,5488 —3

24,11

3,6644 —2

15,0

23,78

1,3856 —2

24,38

6,5511 -2

20,0

23,96

2,1608 —2

24,56

1,0112 -1

25,0

24,10

3,0921 -2

24,71

1,4315 -1

30,0

24,23

4,1090 -2

24,83

1,9040 —1

35,0

24,32

5,3129 -2

24,93

2,4270 -1

40,0

24,40

6,5266 —2

25,01

2,9926 -1

численно, только при % « L В табл. 6.1 и 6.2 приведены результаты численных расчетов для различных температур при заданной плотности и для различных плотностей при фиксированных температурах. По-прежнему использовано соотношение

Таблица 6.2 Вклад Монтролла — Уорда в давление (в единицах Ry。兀^)» рассчитанный по формуле (6.44) при фиксированной плотности. Температура.

,определена с помощью соотношения (6.40)

О =* 1.4」0‘8 см — а

а

Т, К

РМУ

а

г. к

"МУ

—8,0

9,0728 十3

1,2800 —9

6,0

8.6233

3,5407 —9

—7,5

6,5012 十3

1,5167 —9

6,5

7,9877

3,5210 -9

—7,0

4,6587 十3

1,7720 —9

7,0

7,4375

3,5065 —9

—6.5

3.3387 +3

2,0646 —9

8,0

6,5343

3,4754 —9

—6,0

2,3927 +3

2,3899 —9

9,0

5.8254

3,4632 —9

-5,5

1,7151 十3

2,749b —9

10,0

5,2530

3.4453 —9

-5,0

1.2297 +3

3,1377 —9

11,0

4,7823

3,4261 —9

—4,5

8.8201 +2

3,5355 —9

12,0

4,3885

3,4209 —9-

—4,0

6,3307 +2

3,9231 —9

14,0

3.7673

3,4128 —9

—3,5

4,5486 十2

4,2811 —9

15,0

3,5173

3,4086 —9

—3i0

3.2739 十2

4.5712 —9

16,0

3.2996

3,4000 —9

—2,5

2,3629 +2

4,7787 —9

18,0

2,9350

3,3959 —9

—2.0

1,7129 十2

4,8866 —9

20,0

2,6428

3,3884 —9

— 1.5

1,2501 十2

4.8962 —9

22,0

2,4034

3,3818 —9

-1,0

9,2131 +1

4,8402 -9

24,0

2,2037

3.3765 —9

-0,5

6,8838 +1

4,7184 —9

25.0

2,1153

3,3733 —9

0,0

5,2357 +1

4,5661 —9

26,0

2,0346

3,3721 —9

0.5

4,0677 +1

14027 —9

28,0

1,8896

3,3698 —9

1.0

3,2347 +1

4,2629 —9

30,0

1,7638

3,3645 —9

■ 1,5

2,6336 +1

4,1002 —9

32,0

1,6534

3,3609 —9「

2,0

2,1924 +1

3,9888 —9

34,0

1.5563

3.3583 —9

2,5

1,8622 +1

3,8837 —9

35,0

1.5119

3,3576 —&

3,0

1,6099 +1

3,8099 —9

36,0

1,4700

3,3562 —9

3,5

1,4129 +1

3,7332 —9

38,0

1,3927

3,3542 —9

4.0

L2561 +1

3,6745 -9

39,0

1,3571

3,3538 —9

4,5

1,1289 +1

3,6263 —9

40,0

1,3232

3,3511 —9

5,0

1,0241 +1

3,5933 —9

4L0

L2909

3,3485 —9

5,5

9,3652 +0

3,5639 —9

42,0

1,2602

3,3468 —9

оС咨

Рис. 6.2. Результаты численного расчета зависимости величины рму (вклада Монтролла — Уорда в давление) от параметра вырождения а. Температура определена с помощью соотношения (6.40) при заданной плотности п = 1,4 X X 1018 см"3; соответствующее предельное значение РмУ，согласно работе [234], нравно 8,422 • 10—Ry碌. Штриховая кривая отвечает случаю высоких температур (выражение (6.48)), кривая / соответствует учету только первого слагаемого в (6.48)).

связь между рму и а не становится менее точной из-за ^использования приближения (6.40).

6・2・ Плотность и химический потенциалв лестничном приближении с экранированием

Вклады связанных состояний и квазичастиц

В предыдущем разделе в основу рассмотрения термодинамических свойств было положено представление о постепенном включении взаимодействия, вследствие чего в первую очередь определялся вид уравнения состояния для давления. Этот метод оказывается не очень удобным, если уже на начальной стадии приближенного рассмотрения вводят эффективные одночастичные и двухчастичные энергии и заменяют кулоновский потенциал экранированным. Все эти величины представляют собой функции параметра взаимодействия X, а интегрирование по 九 трудно провести. Но очень важно использовать эти эффективные ве* личины, так как при этом мы получаем выражения для термо

динамических функций, не являющиеся разложениями теории возмущений. Поэтому для определения термодинамических функций удобнее исходить из хорошо известного соотношения [609]

% (%, Т) = \ f а (з) 4("，з嘤墨，(6.50)

позволяющего получить всю информацию термодинамического характера. Например, обращая соотношение (6.50), можно найти химический потенциал. Уравнение состояния дается следующим выражением для давления:

Р = ?，也а (7, К) d觴.(6.50а)

В выражении (6.50) 4(", со)—одночастичная спектральная функция, определенная как

4 (", З) = 7——»——』S鼻，(6.51)

[①^Re 2a (p,①)]一 [Га (p,①)/2产

^(со) = {ехр[—Р(со —ца)]± l}-1.

Ввиду сложности спектральной функции воспользуемся аппроксимацией (3.145) из разд. 325 [421]:

Аа (р. со) = 2л6 (со — 8а (р)) [1 + -^ Re Sa (р, со) |^ & ]—

-2 Im Sa (", 8)編7 卷二一以⑺•(6•52)

Как показано в разд. 3.2.4, величины еа(р) представляют собой энергии квазичастиц, определяемые из дисперсионного соотношения:

% (р) = Еа (р) + Re Sa (р, со) I吁％®,(6.53)

где Ea(p)—энергия частицы в приближении Хартри — Фока; величина Га дается выражением

Га(р, со) = S^ (р, 8)干焉'3 со).(6.54)

Наконец, выпишем дисперсионное соотношение, связывающее ReEa и Га：

Re Sa (р, з)=或0 (р, з) + Р \ ■^噜嘤.(6.55)

Исходя из формулы (6.50) и используя эти выражения, находим [421]

Па (%, Т) = \ -(盜亍 f (%(Р)) +

+ \《；患 2冗° 伍s — % (р)) fa (со) -^ Re Sa (р, со)[—

- \ 4^\TЙf备 ^^7^乙3 8)厶(8)， (6.56}

или с учетом (6.55) [558, 609]

% = 5 f(%(Р》+

+ \ 署，得為 Р /2為 Ifa^-fa(% ("))]• (6・57>

—ОО

Этому выражению можно дать следующую физическую интерпретацию. Первое слагаемое, справа представляет собой вклад идеального газа фермиевских квазичастиц. Второе слагаемое описывает вклад корреляций между квазичастицами, и его можно рассматривать как обобщение второго вириального коэффициента на случай квазичастиц.

Чтобы продвинуться дальше, надо конкретизировать аппроксимации для собственной энергии, входящей в энергию квазичастицы 8a (р). В случае дальнодействующих кулоновских сил собственная энергия представляет собой сумму Е (р, со) = £^ (р) + + £а(р,(о). Вклад в собственную энергию, учитывающий экранирование, дается выражением (3.229)

工(ir)= /V%(l「)Ga(H') +

+ i£ \ dldD 嗯〃12) Ga (H) 6Sa(T 1')/6[^фф (22).(6.58>

ь

Используя соотношение (6.4) и аппроксимацию (6.5), находим

Ёа (1 Г) = ihVaa(W) G3 (1 Г) + х ^ \ di 夜d5 d6 Vab(i2) X b

X Ga (11) [6£a (IT)/6Gb (56)] Gb (26) Gb (52).(6.59>

Воспользуемся теперь лестничным приближением (6.7) для определения 6S/6G и введем Т-матрицу (6.8). Тогда мы получим, что в лестничном приближении с экранированием собственная

энергия дается выражением

=2Х(1И) + 2ПСФ(Н/) + 2% (11') + src™ (11'), (6.6Э)

где символ Р" указывает на то, что из полной 7-матрицы вычитаются вклады двух низших порядков борновского разложения:

@

(6.6i)

Соответствующее выражение для величины Га(р, со) имеет вид 几(р, о) = Г?СФ (р, со) + ГЙМ (р, со) + Г^естн (р,&).(6.62)

Вклад ГдСФ подробно рассмотрен в разд. 3.3.3 и 5.3.2; он дается выражениями (3.269) и (5.163). Используя формулы (5.163) и (3.258), легко показать, что вклад Г?СФ в корреляционную часть па обращается в нуль. Подобным же образом можно найТИ, что величина Г^м (р, з) также не дает вклада. Вклад Г*стн (р, &)обсуждался в разд. 3.2.9, где для него найдено выражение

詳("，з) = 2，謡г 2 Im ( р{р2 \ТаЬ (Йео + % ("2)) IР2Р1〉X b

X ["В (方s + %(〃))十 fa (з(几))].(6.63)

Для дальнейшего анализа удобнее использовать Т-матрицу на массовой поверхности. Ограничение массовой поверхностью для Т(со) означает, что ее аргументы связаны условием йш = = 8(Pi) + е(р2), так что учитывается только часть спектра, отвечающая рассеянию, а связанные состояния не учитываются. Для учета связанных состояний нужно прежде всего выделить обусловленные ими вклады в величину па. Они содержатся в третьем слагаемом в правой части выражения (6.56). Для этого слагаемого в лестничном приближении получаем

、f 也 С dp】 dp? d Г11 乂

2 J ~2л J (2л)6L Лш —ёд (pj — eb (p2) J 入

乂 2；m 9& I Tab (co) I %Pi〉g 贽(®)[1 ~fa(sa(p^].(6.64)

Здесь использованы подстановка йсо -> Йео + ^ь{р2）и соотношение

［g俄（3）+ % （% （凸））］% （力3-%（Р J） = g曾（3）卩 一 ％ （% （P））］•（6.65）

Чтобы найти вклад связанных состояний, проинтегрируем по со от —оо до 0. С использованием билинейного разложения （3.215） для Т-матрицы легко показать, что

о

£ 丄鵠* 备［林一ea（p：）-e&5） ］〈 PS I Tab （co + /6）1 P2 Pl〉=

=E 2 n6 （方s - E紛.（6.66）

b nP

В результате для плотности получаем выражение ［421）

па = \ 諸^~ f а（%（Р1））+

+ Р"+ 2 2 {exp ［₽ （Ef1P — ца —卩ь）］ — 1尸 + b nP

+ Р" \ 7^ 2п‘а（% ®）譌 Re 金（Р，8）L% -

fP"fV

夕）2冗）（2л）6 I ds I 力① _ % у）—即（pa） J 入

X 2 Im〈 Plp21 Tab（3）|%"1〉g 曾（«）［!- fa ⑸（"J）］} ■（6.67）

При рассмотрении вклада связанных состояний в это выражение можно сделать следующий вывод. Между вкладом связанных состояний и вкладом квазичастиц нет существенного различия. Поэтому с точки зрения статистической механики представляется удобной следующая интерпретация ［162］: связанные состояния—это новые составные частицы.

Поэтому вместо системы, состоящей из двух сортов элементарных фермиевских частиц, мы рассматриваем теперь многокомпонентную систему, содержащую частицы типов а и b п составные частицы （ab）. Для описания подобной системы надо ввести фугитивности всех частиц. Для частиц нового сорта с учетом выражения （6.67） естественно использовать следующее определение:

卩嘉= Ца + ЦЬ — Е牝 Zab = ZaZb ©Хр （—卩以匕）. （6.68）

После такой подстановки мы видим, что связанные состояния дают такой же вклад в плотность, как идеальная система бозе- частиц. Подобная трактовка позволяет описывать свойства си-

стемы в картине химической связи, как находящейся в ионизационно-рекомбинационном равновесии:

(6.69)(6.69)a + b ** (出?).

(6.69)

(6.69)

Закон действующих масс

Условие химического равновесия выражается равенством (6.68), В рамках этой картины химической связи мы можем разбить полную плотность частиц сорта а на части： вклад свободных частиц сорта а с плотностью п^°б и вклад 噌吗 соответствующий частицам а в связанном состоянии:

гдегдеПа =若воб + 若вяз.Па =若воб + 若вяз.

где

где

Па =若воб + 若вяз.

Па =若воб + 若вяз.

X 爲 Re 2产 9, 3)L S) - P" \ 罂，^ g皆 3 X 义[1 - fa(% (円))]2 im(円"2 I Tab⑧) I P»I〉备 力8 _%義)-%(02)- ■ (6.70) 瞰』p，，В 2 2 、 备 ^P [ ₽ (/X/2M - ^)]-1}-1- (6.71)

На основе выражений (6.68), (6.70), (6.71) мы можем описывать химическое равновесие и определять состав системы, т. е. доли связанных и свободных состояний. В этом смысле рассматриваемое соотношение играет роль закона действующих масс. Поясним это на примере более простого случая невырожденной плазмы. Пренебрежем для простоты корреляционным вкладом в величину п^об Введем еще степень ионизации а:

(6.72)(6.72)а =吟воб/%,時вяз/纥RO6 =(1 _ а)/а・

(6.72)

(6.72)

Используя выражения (6.70) и (6.71), получаем [421]

% \ 备"2 exp [ — В (力2P2/2М + 甌? (P))] ]二 a ni

•"\ exp [ 一 0 (必或/2% + ReXa (%，®))]

\ 諮夕 exp [ — В (力2圖2/ + Re 2Л (p6, a>))]

9 Зак. 64i

Это уравнение служит обобщением уравнения Саха на случай неидеальной плазмы; отметим, что энергетические уровни Е^ получаются в результате решения эффективного волнового уравнения, обсуждавшегося в разд. 5.4. Обычное уравнение Саха получается при замене ReS на Re ЁПСФ, где

Re 2?СФ (р, з) Т 击 ехр (—眦户/2/Па) Re ^Сф (р. % (р)) Л®.

(6.74) Используя выражения (3.269) и (6.55), для случая вырожденной плазмы находим

N= -乂ё2/2, k=1〃6

Пренебрежем далее возбужденными состояниями и заменим сумму по состояниям просто величиной ехр(——р£ю). Тогда уравнение Саха принимает хорошо известный вид

±^ = %А鼠ехр【6 (I Ею I — хе2)].

Таким образом, обычное уравнение Саха представляет собой весьма упрощенную форму общего закона действующих масс

6.74). Величина хе2 есть так называемый дебаевский сдвиг, а fio —энергия основного состояния атома водорода. Разность £*ю —хе2 можно интерпретировать как эффективную энергию ионизации. .

В обсуждавшемся выше простейшем приближении мы рассматривали как связанное только одно основное состояние с энергией £ю. В более тщательных расчетах следует учитывать как связанные также нижние возбужденные состояния. Однако —в этом особенность кулоновских систем — необходимо ввести верхнюю границу в* для энергий связанных состояний, ♦. & только дискретные уровни с энергиями

Е^ < г'< 0

по определению считаются отвечающими связанным состоя- йиям. С другой стороны, малоустойчивые состояния с дискретными уровнями выше этой границы

8* < 礫 < 0,

описываемые слабо локализованными волновыми функциями, считаются квазисвободными, и их надо рассматривать вместе со свободными состояниями. Следуя нашей ранней работе [185], возьмем среднюю тепловую энергию в качестве подходящей границы между связанными и квазисвободными состояниями дискретных уровней:

8*Н 汾 вТ, ^*1.

Чтобы конкретизировать это физическое определение связанного двухчастичного состояния, мн предлагаем два возможных варианта выбора оператора Р", отбирающего связанные состояния из суммы по всем состояниям; с физической точки зрения оба эти варианта эквивалентны:

Формула Планка — Бриллюэна — Ларкина

Р" 2 \ 部 ехр [- В (力р2/2М + Е俄(Р))]=

и 2 \ 部ехр(— М2P2/2М)[哪(一₽^6) - 1 + ₽£^].

Правило Риве — Ромпе

Р" 2 \ 备ехр [_ В (力”支何 + Е俄(Р))]=

=2，謠гехр[-В(/12P2/2М + £&)]・ Е°Ь<г*

Усовершенствованную модификацию уравнения Саха можно получить с помощью аппроксимации [401, 423]

\ 譌^ exp [- Р 伍2P2/2/Па + Re 灰)1 #

"S 謠^ exp(— ^2р^/2ша) [1 — p Re SJ * exp(—即 J

Используя эту аппроксимацию, из соотношения (6.73) находим

flab == (2$а + 1) (2s& + 1) AabО (T, ^а> 拉b) ©Xp [0卩(勿，孔b, T)L 7Р；\ 卩也，3, T) = Na +回，俗7A

a (T, «а, %)= Y& \ 箱 Р" £(2/+1)ехр[-р 宙产 12M + 段出.

Ниже мы будем называть величину ц(па> n^, Т) химическим потенциалом плазмы, a a(T, па,孔ь)——статистической суммой Бриллюэна — Планка — Ларкина; отметим еще, что при написании приведенных выше формул считалось, что плазма состоит только из противоположно заряженных частиц двух сортов а и 6. Уравнение Саха можно записать в эквивалентной форме

Най = На + 卩加(6.75а)

где величина

^а& = ^^ ^ [nab^abl^Sa + 1)(2%+ ^)a (^> %，П&)] представляет собой химический потенциал системы нейтральных частиц (пар ab). Равенство (6.75а) выражает условие химиче-

ского равновесия (6.69). В качестве нового и интересного результата можно рассматривать вывод о том, что в более точных теориях вместо энергетических уровней уравнения Шредингера при расчете статистической суммы и химического потенциала связанных пар надо использовать уровни энергии, находимые из уравнения Бете — Солпитера. В разд. 6.3—6.5 показано, что этот вывод важен при интерпретации свойств частично ионизованной плазмы.

До сих пор мы обсуждали довольно элементарный подход» предназначенный для описания двухчастичных связанных состояний. Опишем теперь кратко, следуя работе [726], более общий метод. В качестве отправного пункта используем снова общие формулы (6.50), (6.50а), которые после некоторых преобразований типа использованных выше можно переписать в виде 色(в，н)= Е (Ео)」2%(е紛十2%加+…+喈(з以 今nPb

p(3 卩)=%(6 快)+叱？(B,卩)+0^(3 Ц)+ ... + Pвз(Р, и).

Первые члены в этих выражениях соответствуют свободным одночастичным состояниям, вторые — двухчастичным связанным состояниям, третьи отвечают связанным состояниям трех частиц, а последние учитывают взаимодействия квазичастиц. До сих пор построение теории шло на основе рассмотрения большого канонического ансамбля. Этот подход удобен для описания химических связей, но он не оптимален для описания аддитивных взаимодействий (см. [185]). Кроме того, в представлении, оперирующем с большим каноническим ансамблем, нелегко выявить фазовые переходы первого рода. Поэтому кажется целесообразным перейти к смешанному представлению, так называемой картине химической связи (которая по своему характеру занимает промежуточное положение между описаниями с помощью большого канонического ансамбля и с помощью ми- кроканонического ансамбля). Рецепт выполнения такого перехода вновь диктуется принципом эквивалентности: связанные состояния должны трактоваться на равных правах с состояниями свободных частиц. Следуя этому принципу, мы можем ввести химические потенциалы квазичастиц посредством соотношений

吟)=К + 给)(0), ий = % + % + Е^+ 小鼎(0),

где величины 八^)(0) и А爆(0) представляют собой сдвиги энергии, отсчитанные от минимумов соответствующих зон. Именно с целью учета возможной структуры энергетических зон, например для кристаллов, введен индекс v, нумерующий зоны. В новом представлении можно перейти теперь к картине канониче-

ского ансамбля для квазичастиц, что дает выражение типа

Е(3,匕 мл 此£, ...)=2е£(з 匕 На,蟲)+

+ 2尸黒(В，匕卩版ид) +…一РРвз(£ W?mi)・ abn

Логически замкнутым делают описание *соотношения, устанавливающие необходимые связи между плотностями и химическими потенциалами, а именно:

^ = Xfa(E°, М，隈=23(礫，盟 hJ..・・・ pp

Наконец, мы должны наложить условие минимума свободной энергии относительно различных вариантов подразделения системы на грутпн различной химической природы (квазичастицы):'

尸(р, V, ^, ...) = min, ^ = £ У；' + Е ^ + ....

Vnb

Получаемые соотношения можно преобразовать к виду обычного закона действующих масс типа формул (6.75) и (6.75а). Мы хотим подчеркнуть, что для реальных систем со связанными состояниями смешанное представление (картина химической связи) оказывается значительно более эффективной, чем исходные чистые представления. Очевидно, это связано с тем фактом, что картина химической связи основана на вариационном принципе (минимизации свободной энергии).

Однокомпонентная плазма

Аналитические формулы .для предельных случаев

В разд. 2.1, 2.3, 5.4, 6.1, 6.2 аналитически исследовано поведение термодинамических функций в предельных случаях высокой и низкой плотности. С другой стороны, имеются численные расчеты величины вклада Монтролла — Уорда в давление (см, табл. 6.1 и 6.2) [398, 611, 612, 709, 724, 730, 769, 779].

Цель этого раздела — построить паде-аппроксимации, которые совпадали бы с известными аналитическими результатами для сильно вырожденного и невырожденного электронного газа и служили хорошим приближением в промежуточной области.

Разложения по степеням п при nA3 <С 1 и по степеням п-1 при nA3》1 можно рассматривать как первые члены разложения в ряд Тейлора. Как известно, область справедливости таких полиномиальных выражений можно улучшить, представляя

俄740 2Gt26 4 3 2/

Рис, 6.3. Вклад Монтролла — Уорда в плотность свободной энергии электронного газа с однородным положительным фоном при различных температурах (а — 500 К, 8 — 3430 К, с — 5 -104 К, d — 0 К) в зависимости от параметра Бракнера rs. Кривые 2 относятся к па де-аппроксимации (6*96), кривые / и 3 — к классическому (главный член в формуле (6*86)) и к сильно вырожденному (формула (6*88)) электронному газу соответственно. Крестиками показаны результаты численного расчета [398], кружками — результаты, полученные в приближении случайных фаз [709].

функции f(n) их паде-аппроксимациями, которые в предельных случаях имеют те же коэффициенты Тейлора.

При вычислении вклада Монтролла — Уорда вряд ли можно надеяться на получение простой паде-аппроксимации, поскольку область, где предельные формулы перестают быть справедливыми, охватывает приблизительно 5 порядков.

Построение аналитических формул для термодинамических функций кулоновских систем играет очень важную роль при рассмотрении корреляционных эффектов в металлах и полупроводниках. Имеется много работ (см., например, [313, 515, 101, 95, 709, 188]), посвященных вычислению корреляционной энергии электронной жидкости в области металлических плотностей 2 W % £ 6, где

q = (4M4/3)F

(ав — боровский радиус).<

Чтобы показать характер поведения корреляционной части ；

энергии основного состояния электронного газа, на рис. 6.3 прв* '|

ведены результаты численного расчета вклада Монтролла — Уорда [398] и расчета в приближении случайных фаз [709]. Там же даны для сравнения результаты паде-аппроксимации. Следует отметить, что при Г = 0 К вклад Монтролла — Уорда точно описывается приближением случайных фаз. Как видно из рис* 6.3, корреляционная часть энергии основного состояния электронного газа, вычисленная в приближении случайных фаз, соответствует вкладу Монтролла — Уорда при 500 К вплоть до значений rs ~ 5,5，

Рассмотрим некоторые возможные применения этих результатов. Величина энергии основного состояния определяет многие свойства твердых тел. Например, Каллуэй [95] вычислил энергию когезии щелочных металлов, равную по определению разности энергий основного состояния валентных электронов в кристалле и в свободных атомах. При этом учитывалась температурная зависимость обменной и корреляционной частей энергии. Эти части изменяются с температурой в противоположных направлениях, так что сумма их слабо зависит от температуры, Этот факт не оказывает существенного влияния на критическую температуру, но сильно влияет на критическую плотность и химический потенциал.

Ниже мы будем предполагать, что основной вклад в термодинамические функции однокомпонентной плазмы дают диаграммы порядка не выше е4, т, е, не более чем с двумя линиями взаимодействия.

Как показано в предыдущих разделах, давление в многочастичной системе с точностью до е4 можно представить в виде

尸=% + Рх + "хф + "⑵=% + "х + Pi + %

2

% = -^/з/2（储"），Рх = °»

Рхе= 4леА，\ "“2（力

评）=/^他，T） +噌（%厶）■（6.76）

Здесь использован тот факт, что в электрически нейтральной системе （^ паеа = 0） рх = 0. Аргумент 卩 представляет собой химический потенциал. В большом каноническом ансамбле химические потенциалы 卩 являются независимыми переменными. Через /v（x） обозначены известные интегралы Ферми （см. разд. 6.1）.

В предельных случаях высоких и низких плотностей можно получить аналитические формулы. Если ввести обобщенные фугитивности

z = 2Л-3ехр（Рм，в）,

в классическом пределе совпадающие с плотностями, то для невырожденного электронного газа получается

ВРму =依3/12冗)—\ ^^ее (Ре2/4л8)2 + …，

8噌=-4出俘炉％(8e2/4ng产In 2- где

к2= Pze2/8,九ее= (B%2/mjR 8 = 8r80,

er — статическая диэлектрическая проницаемость среды.

Случай сильного вырождения описывается формулами [234, 148, 149, 100]:

рму = 一孔?r

(Er ——корреляционная энергия на одну частицу в кольцевом приближении),

f^/Ry =0,0622 In rs — 0,142,

rs = d/〃B， Ry = e2/8maB.(6.77)

Чтобы получить полный вклад членов порядка в4, нужно учесть обменный член этого порядка; тогда получим

р ⑵=—В,

£2)/Ry = 0,0622 In 厶—0,096.侍附

Рассмотрим теперь термодинамические функции канонического ансамбля. В качестве независимых переменных выберем Плотности пе или безразмерные плотности

п = пеЛ1(6.79)

Зависимость давления от плотности в каноническом представлении получается обращением формулы, связывающей плотность с химическим потенциалом [185, 611, 612]:

пе = др/д\1е.

Вводя функцию плотности а(пе, Г), определяемую соотношением

пе — 2АГ3/1/2 (а),(6.80)

и производя обращение, находим химический потенциал и давление (см. разд. 6.1, а также [185])'

р2Д 3Д

卩(亢，7) = %仇，7)= 8тa -石次/t/2(a)一就:両冼Р⑵，p (а (n), T) = -^ /3/2 (a) + "^^ Uxe (a) -/1/2 (a)Z-1/2 (a)]十 p⑵一

~[Z1/2(a)/Z_1/2(a)]-^p<2>, ^ХФ(а)= J dy ihM(6.81>

Плотность свободной энергии равна

(6.82)(6.82)f = F〔V =熊 ％ — p,

(6.82)

(6.82)

f =説 g/1/2 - /з/2)-制N 咪〃 (a)-。⑵(ГЧ D.

В предельном случае невырожденного электронного газа

ИИ節⑵= --w[1 -4 V2xZ(l + ln2) + O ("耽2)】,层=pnee2/e, 九 2 = ^1^lme

И

И

Зц(2>= Pe2x[l —~ Л/л xZ(l + ln2) + О (必R)].(6.84)

В случае сильного вырождения из соотношений (6.77) и (6.78) получаем

f^fn Ry = E^n Ry = 0,0622 In rs - 0,096,

N⑵/Ry =広⑵ + П d?2)/d川/Ry = 0,0622 In % - 0,1167.(3・85)

Паде-интерполяция между случаями вырожденногои невырожденного электронного газа

Для многих приложений (в частности, при изучении фазового перехода) желательно иметь приближенные аналитические соотношения. Поэтому ниже будут построены аналитические интерполяционные формулы на основе паде-аппроксимаций. Для количественной оценки точности этих приближений применительно к электронному газу будем проводить сравнение с численными значениями Рму [398].

Если принять, что граница между предельными случаями соответствует условию й ^ 1, то полученные соотношения удобно представить в виде разложения по степеням п. Чтобы формулы были достаточно простыми, в обоих предельных случаях — невырожденного и сильно вырожденного электронного газа — будем удерживать в интерполяционных формулах по два члена. В случае невырожденного электронного газа (亢《1) имеем следующие аналитические формулы:

Фму/Ry == /му/n Ry = — fQn^2 — f{nt

3 / kRT \i/41(6.86)

2 ' 冗 Ry 丿4 V2

Для химического потенциала имеем.

-"му/Ry = No出/2 + Hl亢，.„。，、

/ knT 4V41(6.87)

В предельном случае 万》1 из формул (6.77) и (6.85) по* лучаем

Фму/Ry = — f2 1n 亢一％,(6.88)

% =备(1-出2)，f3 - - |f2 In [(36л)>/з р Ry] + 0,142 t (6.89>

—кму/Ry = ц21пп+ Аз,(6.90>

卩2=『2, Из ~ ^2 Я" /з*(6*91)

Идея паде-аппроксимаций состоит в том, что функцию, известную лишь в некоторой области ее аргументов, представляют рациональными функциями. Паде-аппроксимации используются во многих разделах современной теоретической физики и химии, они оказываются очень полезным средством представления функций, известных лишь частично. В нашем случае рельеф термодинамических функций (например /му), построенный над плоскостью плотность — температуоа, можно качественно угадать, используя имеющиеся сведения ——формулы (6.86) и- (6.88). Предельное поведение соответствует паде-формуле типа

&(/г, ?) + %(% Т) In R3 (n, Т),

где & — некоторые рациональные функции. Подходящим оказалось следующее выражение [188]:

—Тму/Ry =—Тму/Ry =(6.92>(6.93>(6.92>(6.93>%用"2 +a3五Р In (1 + 汹04)1 + ахп{12 + а2пр

—Тму/Ry =

—Тму/Ry =

(6.92>

(6.93>

(6.92>

(6.93>

аз = (а2f г/q), % = — fjfo, а4 = ехр (%〃％),

где р, д, а2 ——параметры подгонки к численным данным. Мы, например, пользовались значениями q = 1/4, р =4/3, а2 = 1/4-

В случае невырожденного электронного газа при р > 1/2 из этого выражения следует интерполяционная формула [179, 185]1

-ow/Ryn」院）""；-ow/Ryn」院）""；(6.94)(6.94)

-ow/Ryn」院）""；

-ow/Ryn」院）""；

(6.94)

(6.94)

при 7 = 0 К имеем (188]

—(Рму/Ry °= "^ In 卩十 ехр (О,142^2)Г73^.(6.95}

При конечных температурах формула (6.92) дает макси* мальное отклонение 8 % от результатов численных расчетов [398]. На рис. 6.3 интерполяционная формула (6.96) сравнивается с результатами численных расчетов (показаны крестиками) и предельными случаями. В предельном случае высоких температур наблюдается довольно . хорошее согласие. Совпадение с численными результатами можно улучшить, взяв показа*

Рис. 6.4. Вклад Монтролла — Уорда в химический потенциал электронного газа (6.97) в зависимости от электронной плотности при трех температурах (а - 500 К, 8 —34 30 К, с —5-Ю4 К).

времявремягель д = 7/30 вместо д= 1/4 [533, 711]. Тогда при 7 = 0 отклонения не превышают 1 %, а при высоких температурах они менее 4 %. Поскольку при больших значениях а численный расчет на ЭВМ становится весьма трудоемким, в настоящее известны лишь значения, соответствующие a W 40.

время

время

Химический потенциал можно представить в виде

(6.96)(6.96)паде-паде-—財Ry = — (ф/Ry)十九鳥(一Ф/Ry).

(6.96)

(6.96)

паде-

паде-

Для практических целей опять оказывается полезной аппроксимация. Положим

(6.97)(6.97)Uon1/2 + 专 n2吊*2 In (1 + exp (眼/4眼)尢0)1 - 3仙)鄒冷+ ^評2

(6.97)

(6.97)

где g = l/4 или g = 7/30・ Зависимость цму от rs показана на рис. 6.4.

Аналогичным образом, как показано выше, можно построить паде-аппроксимации для полного вклада членов порядка е4. При n》1 член этого порядка представляет собой константу как для f/Ry, так и для 卩/Ry [148, 502]. Это видно из формул (6.85). Поэтому величины 中⑵ и 卩⑵ можно записать в виде, аналогичном (6.88) и (6.90).

С другой стороны, обменный член порядка d в случае высоких температур можно вычислить по формуле (6.83). Он оказывается порядка и влияет на коэффициенты 九 и 同.Вторые слагаемые в формулах (6.83) и (6.84) обусловлены вкладом Монтролла — Уорда, третьи слагаемые — обменным членом порядка е± Наконец, можно по аналогии с (6.86) и (6.87) написать формулы для предельных случаев. Следует отметить, что обменный член порядка е‘ При Г = О К совпадает с известной поправкой Хаббарда к результатам, полученным в приближении случайных фаз.

Эти рассуждения, а также сходство зависимостей прямого и обменного членов порядка М от температуры и плотности делают возможным применение указанных выше паде-аппрокси- маций при использовании предельных выражений, учитывающих все члены порядка е& при этом для полного вклада членов порядка 8 (вклада Монтролла — Уорда и обменного члена) получаем формулы

_O2)/Ry = /。E¥±/2亢吃In(! + exp 伉9色)亢0),(6.98>

1一自仇)亢十；#/3

-= "0亢"2 + 3眼e3/2 In (1 + exp (口3〃阳)Е0)(6 99>

1 — (Д1Й1/2/ц0) + J 亢*2

где

Ь=/з-0,04836, Л = Л(1 + 1п 2),(6.100>

瓦=n3 -0,04836,瓦=山(1+1112).(6.101>

Постоянная (% — /з), обусловленная обменным членом порядка с’, вычислена в работе Онсагера и др. [502]. Возникает, конечно, вопрос: имеет ли смысл учитывать обменный член порядка с% пренебрегая при этом всеми членами более высокого- порядка? Мы вернемся к этому вопросу в следующем разделе. Построение паде-интерполяций между областями сильного вырождения и отсутствия вырождения, разумеется, неоднозначно: существует много возможностей, согласующихся с предельными случаями. Из возможных способов выбора укажем на тот [533], который использует взаимную компенсацию температурных зависимостей вкладов Хартри — Фока и Монтролла —- Уорда [711]. Из опыта известно, что сумма этих вкладов почти не зависит от температуры в широкой области, начиная с Г — 0. Это оправдывает совместное рассмотрение указанных вкладов.

Для свободной энергии, приходящейся на один электрон, и химического потенциала Рихертом [593] была предложена

формула

—外3，｝т-7/2%с (7 = 0) 一 1bz73%Т/2 一 比不「I

=-1 + MUI + 吟『"+ ML

Ф1 == 1,633, 6=1,500, % = 57,00, q)4 = 1,949,

(p5== 2,300;

兩=2,499,R2 = 3,000, ц3 = 170,0, 山=2,599,1 ；；

ц5 = 3,500.

Подстановка в (6.102) вместо 口 коэффициентов 収 дает формулу для свободной энергии на один электрон, а подстановка цг — формулу для химического потенциала электронов. Заметим, что постоянные 口，巾，％ следуют из аналитических формул, а 小，л5 получаются путем подгонки к результатам численного расчета для области умеренных плотностей и температур. Содержащаяся в (6.102) формула для основного состояния имеет вид

%(? =())= —W'-'E。+ %丁"°),(6.104)

佻=0,9163, ср7 = 0,8883,(р8 = 2,8589;

卩6= 1,222, ц7 = 0,08883, ц8 = 3,6094.

В некоторых случаях могут потребоваться формулы, не учитывающие обменных поправок второго порядка, т. е. соответствующие простому приближению случайных фаз. В этом случае следует пользоваться значениями

q)4 = 1,151,佻=4,9262: ц4 — 1,5 85, ц8 = 6,2208.

Таким образом, мы получили очень полезные формулы для термодинамических функций.

Отметим, что формулы (6.104) для функций основного состояния не содержат подгоночных параметров (за исключением показателя 7/10) и обеспечивают замечательное согласие с численными результатами Циммермана и Рёслера [709]: отклонение от вклада Монтролла ——Уорда в области 6 V r$ W 12 не превышает 1 %. Поэтому формулы (6.104), описывающие основное состояние, представляются более предпочтительными, чем другие аналогичные приближения [291, 658, 679, 680]. Зависимость обменно-корреляционного вклада в химический потенциал (вклады Хартри — Фока и Монтролла — Уорда) от плотности при различных температурах показана на рис. 6.5. Отметим слабую температурную зависимость в области температур ниже 3000 К.

Последнее обстоятельство обусловливает очень малый вклад электронов в теплоемкость при низких температурах. Для

1g仇0"乃

Рис. 6.5. Обменно-корреляционный вклад в химический потенциал (6.103) при разных температурах: а — 0 К, b— 1000 К, с — 300 К, d— 10 000 К е-50 000 К.Рис. 6.5. Обменно-корреляционный вклад в химический потенциал (6.103) при разных температурах: а — 0 К, b— 1000 К, с — 300 К, d— 10 000 К е-50 000 К.

Рис. 6.5. Обменно-корреляционный вклад в химический потенциал (6.103) при разных температурах: а — 0 К, b— 1000 К, с — 300 К, d— 10 000 К е-50 000 К.

Рис. 6.5. Обменно-корреляционный вклад в химический потенциал (6.103) при разных температурах: а — 0 К, b— 1000 К, с — 300 К, d— 10 000 К е-50 000 К.

вычисления теплоемкости единицы объема представим ее в виде % = 一 Т (备f)。= 一 ?1晶(% +，xФ + Му)=吟十吟"+ 増y.

Теплоемкость идеального электронного газа равна

吟=学之盜RC [5/3/2 (а) — 3/〃 (а)/7_,й(а)].(6.105)

В предельных случаях невырожденного и сильно вырожден' ного электронного газа имеем

吟=万尼№ при (—(х)》1,

吟=-g^j- (3n2也)1/3 при (X》1.

Обменный член первого порядка определяет теплоемкость Хартри —Фока [398, 400]:

磅 © = (*)磅 © = (*)旗T(2m)2「8 力%2 —I 2旗T(2m)2「8 力%2 —I 2a,da'/L* ((/)—a,da'/L* ((/)—

磅 © = (*)

磅 © = (*)

旗T(2m)2「

8 力%2 —I 2

旗T(2m)2「

8 力%2 —I 2

a

,da'/L* ((/)—

a

,da'/L* ((/)—

一 _|~/i/2 (а) /-1/2 (a) + 彳 /：/2 (a) /-3/2 (a)〃-1/2 (a)] * (6.106)

В предельных случаях имеем с片=(為)прн (-а)》1,

С«Ф = ТЧ?- (i) (с - Т - Т 1п а) ПРИ а》1, с = 0,5040.

Сумма кольцевых диаграмм определяет теплоемкость Монт* ролла — Уорда [400]

當Ун^^к (/；/2(а)〃3/2(а)) "^г/МУ Q, 7) +

+ •|■72~^гfMУ((X, 7)十[5(71/2 (а)//_1/2 (а)) —

—3 (/?/2 (а)/-з/2 (ct)//li/2(а))] ^ /МУ (а, 7)—

-4Т5/2(а)//т/2(а))^/МУ(а,叫.(6.107)

В предельных случаях получаем

窜v = ~ilsr ПРИ(-a)》l,

с}У =-|- (3n2)'/3rs [0,0922 - 0,01667 In rs] при a》1,"2 =(九済/磋B?), % = 需(謚)‘。

Используя формулы для предельных случаев, можно снова построить паде-аппроксимации. Детали вычислений теплоемкости можно найти в оригинальных работах [398, 400].

П аде-аппроксимации,описывающие взаимодействия более высокого порядкаи вигнеровскую кристал л из аци ю

До сих пор мы обсуждали лишь случаи слабого и умеренного взаимодействия (рис. 6.6). Рассмотрим теперь эффекты сильного взаимодействия. Начнем со случая, когда Г = 0. Со времен работ Вигнера [669—672] известно, что при низких плотностях (rs》100) электроны образуют объемноцентрированный кубический кристалл с корреляционной энергией

% (々/У =—含 +。(「У), a = 0,8755.

tg 亿 к)tg 亿 к)Рис. 6.6. Область сильного взаимодействия для электронного газа, соответствующая 眾＞ Ю.Рис. 6.6. Область сильного взаимодействия для электронного газа, соответствующая 眾＞ Ю.

tg 亿 к)

tg 亿 к)

Рис. 6.6. Область сильного взаимодействия для электронного газа, соответствующая 眾＞ Ю.

Рис. 6.6. Область сильного взаимодействия для электронного газа, соответствующая 眾＞ Ю.

Добавляя сюда обменную энергию, получаем

%с (%) = — ^4^ Ry при г§》1, Т = 0・(6.108)

Пользуясь формулами (6.85) и (6.108), построим паде-ин- терполяции для * и 卩％$ правильно описывающие предельные случаи [534]:

(rJ/Ry = — Л1 Е [[工"万*(6.109)

Лхс == ®ЛС» 卩 ХС；81 =0,1244,82 = 0,3008,83 = 2,117,е4 = 0,9163,Лхс == ®ЛС» 卩 ХС；81 =0,1244,82 = 0,3008,83 = 2,117,е4 = 0,9163,1 =勺，卩厶，=1, 2, 3, 4;

Лхс == ®ЛС» 卩 ХС；81 =0,1244,82 = 0,3008,83 = 2,117,е4 = 0,9163,

Лхс == ®ЛС» 卩 ХС；81 =0,1244,82 = 0,3008,83 = 2,117,е4 = 0,9163,

^ = 0,1244,

卩2 = 0,2664,

卩3 = 2,501,n4== 1,222.

Значения 呪内 определяемые формулой (6.109), можно сравнить с результатами численного моделирования [104, 106]. В области rs ^ 20 отклонения пренебрежимо малы. Для меньших значений rs результаты сравнения показаны на рис. 6.7 и в табл. 6.3. Наибольшее отклонение при rs W 10 не превышает 10~3 Ry. Из рис. 6.7 видно, что предложенные здесь новые формулы согласуются с данными, полученными методом Монте-

Рис. 6.7. Сравнение паде-аппроксимаций (6.110) — (6.112) с предельными случаями. Крестиками отмечены результаты численного расчета Сеперли и Ол- дера [106]; а — результаты Гелл-Манна и Бракнера [234], b — предельный случай чисто электростатического взаимодействия; / ——результаты Эбелинга и Рихерта [174], 2 — результаты работы [534]; штрихпунктирная линия — результаты Вигнера [670], пунктирная линия — результаты Пайнса и Нозье- ра (517].Рис. 6.7. Сравнение паде-аппроксимаций (6.110) — (6.112) с предельными случаями. Крестиками отмечены результаты численного расчета Сеперли и Ол- дера [106]; а — результаты Гелл-Манна и Бракнера [234], b — предельный случай чисто электростатического взаимодействия; / ——результаты Эбелинга и Рихерта [174], 2 — результаты работы [534]; штрихпунктирная линия — результаты Вигнера [670], пунктирная линия — результаты Пайнса и Нозье- ра (517].

Рис. 6.7. Сравнение паде-аппроксимаций (6.110) — (6.112) с предельными случаями. Крестиками отмечены результаты численного расчета Сеперли и Ол- дера [106]; а — результаты Гелл-Манна и Бракнера [234], b — предельный случай чисто электростатического взаимодействия; / ——результаты Эбелинга и Рихерта [174], 2 — результаты работы [534]; штрихпунктирная линия — результаты Вигнера [670], пунктирная линия — результаты Пайнса и Нозье- ра (517].

Рис. 6.7. Сравнение паде-аппроксимаций (6.110) — (6.112) с предельными случаями. Крестиками отмечены результаты численного расчета Сеперли и Ол- дера [106]; а — результаты Гелл-Манна и Бракнера [234], b — предельный случай чисто электростатического взаимодействия; / ——результаты Эбелинга и Рихерта [174], 2 — результаты работы [534]; штрихпунктирная линия — результаты Вигнера [670], пунктирная линия — результаты Пайнса и Нозье- ра (517].

Карло, гораздо лучше, чем ранее предложенные интерполяционные формулы

и，88

生/Ry—T^nj

殳/Ry =-0,115 + 0,0313 In 仆殳/Ry =-0,115 + 0,0313 In 仆{670, 671],

殳/Ry =-0,115 + 0,0313 In 仆

殳/Ry =-0,115 + 0,0313 In 仆

(498, 499] и (6.104) [188].

Таким образом, последовательное применение имеющейся информации, сконцентрированной в паде-аппроксимациях, дает

Таблица 63 Сравнение паде-аппроксимаций (6.109) и (6.104) с численными расчетами энергии основ но го состояния Сеперли и Олдера f 106]

10008с

1S

1

2

5

10

20

50

100

Расчет Сеперли — Олдера

119,6

90,2

56,3

37,2

23,0

11,4

6,4

Формула (6.109)

1202

89,3

55,8

36,7

22,9

11,4

6,4

Формула (6.104)

120,0

90,2

58,3

40,1

26,7

15,1

9,6

вполне хорошие результаты для Г = 0 при всех значениях плотности.

Ниже мы обобщим эти формулы на случай конечных температур. При низких плотностях и конечных температурах будем пользоваться переменными

П = ИеЛе = 6 Д/G^ ^Г3Т~3/2,т = ftBT/Ry, Л2 = ^т'^в.

Вводя плазменный параметр

—е2х —2 «6

卩 4ле （г§т 产 2，

запишем общие формулы для корреляционных вкладов в виде

<рe（Ц,寸/Ry =-g卩T十 言^— "^

—吃卩先[Ke ⑥ + 1ПЦ] + О（Ц2 11”），

（6.110>

Nc 也，T）/Ry = —yH-v + 4 Ц2T3/2 “晋一

-|h2[ле（Ю + 1п n]+ 0紋11中）.

Здесь первый член обусловлен дебаевским экранированием^ второй получается при суммировании кольцевых диаграмм （в приближении случайных фаз）, а все члены лестничного приближения включены в вириальную функцию K?（g） с известной температурной зависимостью （см. [185], а также разд. 5.4）:

n = 4 1 （万 + 1 丿

. д v^（i-22-n）u«-i）mn

&但）=粤in2，p +青0十二 —■

（6.111>

где 0 = 2/т； Се = 0,577216 七（尤）一дзета-функция Римана. Для расчетов можно принять

Г/2+6,4 \~1-1

（阳 р （0,879 - 2.251Г1 一 In W） [1 + 0,32«冃福丿] +

+ 0,4197 + 4 Vn Г1.

Наибольшее отклонение этой приближенной формулы от точной не превышает 0,3 %.

■ Построим паде-аппроксимации. Зададим для фХс и 卩*^ сле

дующую структуру:

-%,仇明П号概誌田誓崙喘萨，（6.и2）-%,仇明П号概誌田誓崙喘萨，（6.и2）l*5 = y. № = g， “7=}^/^， Не =у.l*5 = y. № = g， “7=}^/^， Не =у.

-%,仇明П号概誌田誓崙喘萨，（6.и2）

-%,仇明П号概誌田誓崙喘萨，（6.и2）

l*5 = y. № = g， “7=}^/^， Не =у.

l*5 = y. № = g， “7=}^/^， Не =у.

6 = ехр(— Ке(3), Фэ = Цэ « 8-

Если распространить формулу (6.112) на случай малых 卩 e《1), то получается формула (6.110), что может служить одним из условий согласования. При ^ V 1 вклад лестничных диаграмм h становится малым и следует учитывать только вклад т]7, описываемый приближением случайных фаз. В этом приближении просто предполагается 论=0; при этом для Г = 0, как и в разд. 6.9.2, получаем

П2?ф (% 0) = - 0,08883 1п(1 + П1ОГГ7/10) - “U (6.113) ф10 = 4,9262,因 о = 6,2208.

Низкотемпературное разложение дает в первом порядке выражение т]*с(г§, 0), определяемое формулой (6.109). В качестве основного параметра выбрана величина и2, чтобы низшая температурная поправка была пропорциональна т2, как следует из расчета в приближении Хартри — Фока [419]. Это легко увидеть, выразив (6.112) только через rs и т. Выражая р через rs

« т, получаем幻*e (/，T)=« т, получаем幻*e (/，T)="9% （%，0）-（言田 + 窑%蹴В2） Ry"9+亳学+窑w货厶"9% （%，0）-（言田 + 窑%蹴В2） Ry"9+亳学+窑w货厶l=1十^Л/If in [1 + +(m严].l=1十^Л/If in [1 + +(m严].(6.114)(6.114)

« т, получаем

幻*e (/，T)=

« т, получаем

幻*e (/，T)=

"9% （%，0）-（言田 + 窑%蹴В2） Ry"9+亳学+窑w货厶

"9% （%，0）-（言田 + 窑%蹴В2） Ry"9+亳学+窑w货厶

l=1十^Л/If in [1 + +(m严].

l=1十^Л/If in [1 + +(m严].

(6.114)

(6.114)

Следует отметить, что формулы (6.112) и (6.114) не содержат подгоночных параметров. Значения восьми параметров 刀 1, ..., “8 однозначно определяются путем перехода к предельным случаям. Параметр т]9 можно найти, вычислив поправки к хартри-фоковской энергии основного состояния, зависящие от температуры [400, 407]. Как и в случае т = 0, использование формул вида (6.112) для химического потенциала и свободной энергии более предпочтительно, чем дифференцирование.

Lgf%6?< 力

Рис. 6.8. Зависимость химического потенциала электронного газа от плотности при пяти значениях температуры： 0 — 0 К, /—100 К, 2 — 500 К

3 - 3430 К, 4 一 50 000 К.

Ввиду отсутствия надежных численных расчетов для т，0 化 > 1) и плотностей 亢:^ 1 в настоящее время нельзя оценить точность формулы (6.112). Мы надеемся, однако, что эта фор-

Рис. 6.9. Свободная энергия электронного газа при Г — 500 К (кривые Ь) как функция плотности. Кривые а относятся к основному состоянию (Т = 0); / ——обменно-корреляционная сумма, 2 — обменный вклад, 3 — корреляционный вклад. Крестиками показаны результаты численного расчета Сеперли и Олдера [106]. Сильные температурные зависимости кривых 2 и 3 в сумме (кривая /) взаимно компенсируются вплоть до сравнительно низких плотностейРис. 6.9. Свободная энергия электронного газа при Г — 500 К (кривые Ь) как функция плотности. Кривые а относятся к основному состоянию (Т = 0); / ——обменно-корреляционная сумма, 2 — обменный вклад, 3 — корреляционный вклад. Крестиками показаны результаты численного расчета Сеперли и Олдера [106]. Сильные температурные зависимости кривых 2 и 3 в сумме (кривая /) взаимно компенсируются вплоть до сравнительно низких плотностеймула может служить хотя бы первым приближением во всей и——Т'-плоскости, поскольку в- приближении случайных фаз имеется очень хорошее согласие с формулами (6*102)「 (6.103).

Рис. 6.9. Свободная энергия электронного газа при Г — 500 К (кривые Ь) как функция плотности. Кривые а относятся к основному состоянию (Т = 0); / ——обменно-корреляционная сумма, 2 — обменный вклад, 3 — корреляционный вклад. Крестиками показаны результаты численного расчета Сеперли и Олдера [106]. Сильные температурные зависимости кривых 2 и 3 в сумме (кривая /) взаимно компенсируются вплоть до сравнительно низких плотностей

Рис. 6.9. Свободная энергия электронного газа при Г — 500 К (кривые Ь) как функция плотности. Кривые а относятся к основному состоянию (Т = 0); / ——обменно-корреляционная сумма, 2 — обменный вклад, 3 — корреляционный вклад. Крестиками показаны результаты численного расчета Сеперли и Олдера [106]. Сильные температурные зависимости кривых 2 и 3 в сумме (кривая /) взаимно компенсируются вплоть до сравнительно низких плотностей

На рис. 6.8 показано поведение химического потенциала при пяти значениях температуры, рассчитанное по формуле (6.112). Хорошо виден плавный переход от дебаевской кривой к значениям, соответствующим т = 0.

На рис. 6.9 показана свободная энергия фхс при 500 К. Особый интерес представляет сильная температурная зависимость обменного и корреляционного вкладов, которые имеют противоположные знаки и почти полностью компенсируют друг друга. Поэтому суммарная свободная энергия вплоть до самых низких плот-

ностей близка к кривой, соответствующей т = 0. Этот факт оправдывает широкое применение в теории твердого тела результатов расчета основного состояния. Подчеркнем, однакох. что не имеет смысла учитывать температурные поправки в хар- три-фоковском члене, пренебрегая ими при вычислении корреляционного вклада.

Предложенные здесь формулы для области низких плотностей можно улучшить, учитывая различия между твердой и жидкой фазами, которыми мы для простоты пренебрегали.①ор- мулы для частного случая жидкой фазы получены в работах [169, 176, 726]. Можно надеяться, что в недалеком будущем станут возможными расчеты методом Монте-Карло для конечных температур.

Недавно были выполнены обширные численные расчеты [728, 779] термодинамических функций с использованием приближения Синджви — Този — Ланда — Сйоландера. В этих работах приведены также удачно параметризованные уравнения, состояния. Упомянем также ряд новых полезных паде-аппрок- симаний [169, 726]. Очень простой вариант имеет вид

_(50 + Т) [а“ + aw (%)] + 2 “6 抬丁2T" + 24dMy2

=(50 + 吧飞 + 2,3# + 2 “6 а?% + r 紡—'

aW (rs) = 2Vs ln {! + ГУ2еХР(- 6l/260)+ 2bJsK}-(6，H4a>

В зависимости от типа рассматриваемой термодинамической функции здесь надо использовать один из следующих наборов- численных параметров:

RKC = GxJNe：

tZp = 0,5,必=0,5303, dff = 0,125,

ан = 1,2218, aw = 1,1674, 60 = 0,06218, & = 0,114;

k = %c/M：

dQ = 1/3,必=0,3979, d^ = 0,0625,

aH = 0,9163, aw = 0,8755,仇=0,06218,仇=0,0933;

Пхс — U xclNe：

書=0,5,必=0,6631, dH = 0,125,

du = 0,9163,。犷=0,8755,瓦= 0,06218, bx = 0,0933.

Отметим, что другие термодинамические функции легко получить с помощью соотношений

PxcVFКС — 5с, TSXc = ихс — Fxc.

В заключение подчеркнем, что простые паде-аппроксимации могут дать лишь оценки величины обменно-корреляционных вкладов в области сильных корреляций.

Симметричная плазма.Электронно-дырочная плазма

Аналитические результаты

В этом разделе мы рассмотрим двухкомпонентную полностью симметричную плазму, у которой массы положительных и отрицательных частиц одинаковы, и почти симметричную плазму -С близкими значениями этих масс. Полностью симметричная плазма обладает интересными свойствами подобия и обнаруживает много общего с однокомпонентной плазмой. Примером полностью симметричной плазмы могут служить электрон-по- зитронные системы, которые в недалеком будущем можно будет •создавать при помощи мощных ускорителей. Несмотря на неустойчивость электрон-позитронной плазмы, в ней можно по крайней мере в течение короткого отрезка времени получать и поддерживать тепловое равновесие. Примером почти симметричной системы может служить электронно-дырочная плазма, также устойчивая лишь на коротких временных интервалах.

Электронно-дырочная плазма в полупроводнике может быть создана путем оптического возбуждения. Оценки показывают, ято в полупроводнике с непрямой запрещенной зоной плазма ■находится в термодинамическом равновесии, поскольку время жизни возбужденных состояний измеряется микросекундами. Варьируя интенсивность оптического возбуждения, можно изменять плотность электронно-дырочной плазмы в широких пределах. В частности, имеется область плотностей и температур, где становится существенным взаимодействие. Таким образом, электронно-дырочная плазма может служить интересным- примером неидеальной плазмы. Эта неидеальность вызывает в оп・ т'ически возбуждаемых полупроводниках некоторые явления, представляющие собой типичные многочастичные эффекты. Примерами могут служить связанные состояния электронов и дырок — экситоны, соответствующее ионизационное равновесие e + h：^=^ex, фазовый переход плазмы в электронно-дырочную жидкость. Этот фазовый переход был предсказан Келдышем [364] и экспериментально наблюдался несколькими авторами [531]. По этой причине полезно изучить теоретическими методами термодинамические свойства электронно-дырочной плазмы в широкой области плотностей и температур.

На рис. 6.10 показан характер поведения электроннодырочной плазмы в различных частях пе ——Т-плоскости. Введем следующие величины： тепловую дебройлевскую длину ВОЛНЫ heh = h (2也泣вТ) "2, (дебаевскую) длину экраниро- ванияго = [??(九;+孔:)/诚87]_"2 и боровский радиус ав = =枝/忆炉. Здесь и*, п\ = п——плотности свободных электронов и дырок, meh — приведенная эффективная масса.

Рассмотрим кривые 〃；九^九= =1, r0 = ав. Это прямые линии на (1g и* — 1g Т)-плоскости, делящие ее на области с качественно различным поведением плазмы (рис. 6.10). Двухчастичные связанные состояния в системе заряженных частиц вследствие экрани-

%亿к)%亿к)Рис. 6.10. Характеристические кривые на плоскости плотность—температура- для электронно-дырочной плазмы. В заштрихованной области имеет、 место сосуществование полностью ионизованных капель и слабоионизован- ного экситонного газа.Рис. 6.10. Характеристические кривые на плоскости плотность—температура- для электронно-дырочной плазмы. В заштрихованной области имеет、 место сосуществование полностью ионизованных капель и слабоионизован- ного экситонного газа.рования испытывают влияние других частиц. Эффективное двухчастичное уравнение Шредингера (уравнение Бете — Солпите- ра) имеет решения, соответствующие связанным состояниям* только при условии г。4 а氏 При Го《@8 связанных состояний нет (см. разд. 5.4 и 6.2). Таким образом, существование экситонов возможно лишь в нижней части пе — Г-плоскости, где- 「о ± @ь； Для этой области следует обсудить условия ионизационного равновесия. Путем решения уравнения Саха должна быть- найдена степень ионизации а = njr^. Кривая а = 0,5 разделяет область под прямой г0 = ав на две области: область сильно ионизованной плазмы, где преобладают свободные электроны и дырки, и область слабоионизованной плазмы, где доминируют экситоны (рис. 6.10).

%亿к)

%亿к)

Рис. 6.10. Характеристические кривые на плоскости плотность—температура- для электронно-дырочной плазмы. В заштрихованной области имеет、 место сосуществование полностью ионизованных капель и слабоионизован- ного экситонного газа.

Рис. 6.10. Характеристические кривые на плоскости плотность—температура- для электронно-дырочной плазмы. В заштрихованной области имеет、 место сосуществование полностью ионизованных капель и слабоионизован- ного экситонного газа.

Термодинамическое равновесное поведение электронно-дырочной плазмы можно вывести из термодинамического потенциала, вычисление которого требует применения квантовой статистики. Зная термодинамический потенциал, можно рассмотреть фазовые переходы, ионизационное равновесие и т. д. Но вычислить термодинамический потенциал 尸 аналитически сразу для всей ие — Т-плоскости не представляется возможным.. К вырожденной электронно-дырочной плазме, где выполняется；

условие 孔&А^九》1 (см. рис. 6.10), можно применить теорию вырожденного электронного газа в приближении случайных фаз. Вычисления такого рода были проведены рядом авторов [114, 289, 531, 706, 707, 711, 712]. При 丝司百《1 мы имеем невыро^ жденную электронно-дырочную плазму, для которой характерно образование экситонов. В этом случае приходится пользоваться приближениями, содержащими все экранированные лестничные диаграммы. Но здесь возможны другие упрощения, учитывающие условие曳鳴《L

Квантовая статистика электронно-дырочной плазмы развита 弟 ряде работ, где, в частности, проведено суммирование всех лестничных диаграмм [188, 189, 4081.

В этом разделе излагается квантовая статистика электронно-дырочной плазмы, причем рассматривается 1) расчет термодинамических функций, 2) ионизационное равновесие, 3) устойчивость термодинамического равновесия и фазовые диаграммы электронно-дырочной плазмы.

Как и в случае однокомпонентной плазмы, будем считать, ято основной вклад в термодинамический потенциал вносят диаграммы порядка не выше е4, т. е.

「= % + %+% = %「+ Рхе + Р⑵，

f = L +⑵，(6.115)

"=% 斗此=Нпд + “хе + “⑵•

Для канонического ансамбля

%=『® + а&),

@^2A 扌 /1/2 (^ё)'/2九=2 А片 /1/2(a九)，

2(6.116)

%力= ~^- |л? '/~1/2 (“)十 Лй '/-1/2 (а/г)1，

&Ф = - £НAU产е" &)+ \п^Н (*]・

51вный вид членов второго порядка известен только в предельных случаях отсутствия вырождения и сильного вырождения.

В случае двухкомпонентной ферми-системы с 万《 i корреляционный вклад в химический потенциал имеет вид

/4a：明 丁、1/4a

-"⑵/Ry = 2亢"2) 一 e F( 1 + Y)々(7)+ • • •，

°_(6.117)

先(Cng + ^lT^) (H-g;4n2+ Vv + Vv^'ln2)>

где ge и gh — кратности многодолинного вырождения электронов и дырок соответственно. Для случая п 0 1 было получено

[394, 711] обобщение формулы Гелл-Манна — Бракнера

ц⑵= с(1п% —Кс)+“2х,(6.118>

где

c = £ge{p(Y, 6) + 6-1р (Y-1, 6-1)},

(=1,2250-In {1 (g/&严(1 + 穽y〃3) 6-%-2/3)},

“2V = 0,04836 (1 + 丫)2丫7,

Y = m：/m；，。=团；/%，6 = ge/gh,

p(Y, 6) = (1 + Y)[1 -ln2 + 6-1/3-Yln(l +y-16-1Z3)]

(/n* — эффективные массы, gc — кратности многодолинного вырождения). Из этих выражений можно получить в явном виде зависящие от температуры коэффициенты ц0, 口 1,卩2, Ез разложений в предельных случаях:

-卩⑵/Ry = 阿超一"2 + 口历 + ...,

一卩(2)/Ry =n2e超 + a3 + …，(6.119>

九=(也+①)/2.

Следует отметить, что зависимость Кс и, следовательно, р3 or разности масс точно не известна. Используемое здесь значение было предложено Циммерманом и др. [711].

6.42 Паде-аппроксимации

Если ограничиться симметричной электронно-дырочной плазмой, то можно описать ее, пользуясь параметрами электронного газа. Для этого нужно принять во внимание правила подобия [188], т. е. в качестве единиц энергии и длины выбрать соответственно эффективный ридберг Ry* (равный энергии связи возбужденной пары Ево) и эффективный боровский радиус для данной системы а*:

Ry* = EB0 義 Ry，aB=-2eraB. (6.120)

Тогда безразмерный параметр плотности для симметричной системы будет иметь вид

г； = g уз d/吗，^ = (3/4шге 严.(6.121)>

В качестве безразмерной температуры возьмем

T* = g2A5T/Ry*.(6.122>

力

^ис. 6.11. Зависимость химического потенциала симметричной электронно- лырочноЙ плазмы прн различных температурах (Т — TfEBol^B) от параметра плотности rs (с точностью до членов порядка е".

В этих переменных для термодинамических функций симметричной плазмы получаем следующее соотношение [755]:

%с(〃 T*)/Ry* = 8gn^n(Q, T)/Ry・(6.123)

:В случае однокомпонентной плазмы (ОП) здесь можно воспользоваться формулами (6.102) — (6.104) или (6.114а). Добавив к йвеличине (6.123) вклад идеальной системы, мы получим вандер- ваальсов перегиб на кривой для химического потенциала, соответствующий наличию фазового перехода первого рода при сле- .дующих критических значениях параметров:

?； = 0,079Ry7%,= 3,4.

.Для позитрониевой плазмы в кристаллах германия 7\ 冬 8 K.

На рис. 6.11 показано поведение химического потенциала симметричной электронно-дырочной плазмы.

Асимметричная модель электронно-дырочной плазмы тре- ■бует учета структуры зоны проводимости и валентной зоны. При выборе эффективной массы /и； будем пользоваться простейшей моделью Бринкмана и Райса [531] и положим /и* = mde (mde —— эффективная масса плотности состояний), /и； = 0,22加£ (/ие — масса свободного электрона) с кратностью многодолинного вырождения g® = 4. В дальнейшем зоной легких дырок мы будем пренебрегать, так что rn^=^mhh^= 0,347шен g九=1; диэлектрическую проницаемость примем равной ег = 15,3. Для построения паде-аппроксимации нужно вычислить коэффициенты ц0,...

卩з・ Явные выражения для этих коэффициентов, определяе-

мых формулами (6.119), имеют следующий вид:

°〈碌rtRy 丿 ''

讪=一岑(1+Y产月(T),er

口3 = —3卩2 {In (ЗгаВ0/4л)^ —— 0,04836 °叫十 丫)

吶

(обозначения указаны выше). Эти коэффициенты нужно под- етавить в паде-аппроксимацию

N⑵No亢 1" + Зц2«-3/2 Е [1 + exp (7ц3/10ц2) п7/10]

— 收 =1/2+ 0,75員反•

Учитывая почти полную взаимную компенсацию температурных зависимостей вкладов Хартри — Фока и Монтролла —— Уорда, следует рассматривать эти два члена каким-то единым, образом. Для нулевой температуры была предложена [711] еле* дующая паде-аппроксимация:

% (% т = о) = - * — е In (1 + /г”】。)，

% = (3/4лл 碌 о)1/з, аво = аве(1 + у)/а>

е= 10с/7, f = exp(7KJ10),

к=~^^ + ё^У «/ = 0,521,

Соответствующие формулы для конечных температур имеют ви2Г

(6.124%(6.124%％ (%，°) - a^rs - d^rT 以大 S' ] +{1+8E(:+ 6l工3/2)}”*3 „ (l+v)2ge(l + y6)

(6.124%

(6.124%

竺(1+俨6)2 '

ь _ “蒞 f ]1 + W + in 2 (g丁 + W g优)]

- V2(1+y) J

d 3(1+ Y 尸

画(8丁+Y3/2初)2，

“ =-^A?" (g^ + */%1 )"•

■Рис. 6.12. Зависимость химического потенциала несимметричной электронно-.дырочной плазмы от плотности свободных электронов п при различных тем-пературах (с точностью до членов порядка е4).

В табл、6.4 приведены значения семи модельных параметров .д-ля простых моделей германия и арсенида галлия, а также для предельных случаев электронного газа и электронно-дырочной ^плазмы. Сравнение с результатами численных расчетов показывает, что ошибка паде-аппроксимации не превышает 0,1 мэВ для германия и 0,2 мэВ для арсенида галлия [711, 776].

Таблица 6.4. Параметры пале-аппроксимаций для обменно-корреляционного вклада в химический потенциал с точностью до е‘ [711]

Параметр

Электронный газ

Симметричная

плазма

Се

GaAs "

Л

3,3156・ КГ'

2,6526 • КГ?

7,1210- 10"-2

1,6828 - 10~2

ь

3,2487- 10~'

2,5837- 10'1

2,1677・l()j

2,4092* 1()т

d

2,7072- 10~3

6,1259- 10~2

4,4003- 10"1

3,8863 • КГ?

£

0,8883- Ю'1

7,1064- 10~1

2,0632

1,3988

3,6092

1,7955

0,8000

0,8838

6

1,2218

2,4435

1,7394

2,4435

и

1,1052- 10~8

8,8419・ 1()7

6,3513- 10-2

5,6094 • 10-3

Приведенные формулы могут быть использованы при обсуждении фазового перехода в полупроводниках, приводящего к образованию электронно-дырочных капель. Область этого перехода характеризуется немонотонной зависимостью химического потенциала от плотности. Эта зависимость показана на рис. 6.12.

В рамках данной модели для германия получаем критическую точку с параметрами 兀=8 К, пс = 1,0-1017 см~3 [188].

Для улучшения результатов необходим более последовательный учет зонной структуры и анизотропии. Обзор теории электронно-дырочной плазмы дан в монографии Райса и др. [531].

В заключение отметим, что полученные здесь паде-аппрок- симации для термодинамических функций могут служить полезным средством изучения многих термодинамических свойств и фазового равновесия электронно-дырочной плазмы в широкой -области плотностей и температур. Заметим, что развитая здесь теория ограничена областью сильной ионизации 1—а《 1. Теория частично ионизованной экситонной плазмы развита в других работах [189, 408, 534]. Методы изучения частично ионизованных систем описаны в последующих разделах.

Ионизационное равновесие

Рассмотрим сначала случай стабильной плазмы, когда температура не достигает критического значения, а химический потенциал изменяется монотонно. Как было показано в разд. 6.2, условие химического равновесия между свободными зарядами и экситонами можно представить в виде уравнения Саха для плотности экситонов По：

Mo = (2se+ I)(2s»+ 1) Л(Г3а (Г, м)ехр(В“(м, Г)), (6.125)

где p,(n, Г)—химический потенциал системы зарядов, который в дальнейшем будем аппроксимировать суммой ранее вычисленных членов порядка не выше е《：

N m, Т)=噌 + 卩片 + 時0 + 時0 + Р■⑵(n, 7).

Функция

а (Т, п) = £ ⑵ + 1) [ехр (— 6%) - 1 + РЕ"

представляет собой статистическую сумму по дискретным энергетическим состояниям, которые получаются из решения однородного уравнения Бете — Солпитера. Заметим, что уравнение (6.125) фактически совпадает с условием химического равновесия между зарядами и экситонами

「冷 nA"

n т, т) = цй + p.h = но = kBT in [ 4о(Л п}

Аппроксимация химического потенциала системы зарядов суммой членов порядка до е《для плазмы с почти симметричными массами оказывается вполне законной, поскольку все члены порядка е?" с нечетным п в случае симметричных зарядов

и масс взаимно компенсируются, а члены порядка е2п с п > 4 (четным) учитываются в статистической сумме, как видно, например, из соотношения (5.99). Подчеркнем, наконец, что пр» любой заданной плотности статистическая сумма содержит конечное число членов, соответствующих энергетическим уровням* которые существуют при этой плотности. Как показано в разд. 3.2 и 5.4, при критической плотности п^(Т), называемой также моттовской плотностью, исчезает последнее связанное состояние. Если энергии связанных состояний аппроксимировать их невозмущенными значениями и понизить край непрерывнога спектра на величину обменно-корреляционного вклада в химический потенциал, то условие Мотта примет вид

Ево = I Ею I= I Nxc (小 Т) I-

Из уравнения (6.125) следует, что при плотностях, превышающих моттовскую, плотность экситонов обращается в нуль:

п = пе> п0 = 0 при п > пм (Г).

Если плотность меньше моттовской, то часть электронов и дырок образует нейтральные экситоны, плотность которых определяется уравнениями (6.125) и уравнением баланса полного числа электронов и дырок. Условие Мотта можно аппроксимировать условием 「о = ав (см. рис. 6.10). После этого можно найти плотность, соответствующую степени ионизации 0,5.

Рассмотрим теперь случай плазмы, неустойчивой относительно разделения на две фазы с объемами V' и V", причем М+У" = 1\ Разделение на две фазы происходит, когда химический потенциал становится немонотонным, как это показано на рис. 6.11, 6.12 для субкритических температур. Из условия термодинамического равновесия следует

Не = Не > Hft=Hft> Но=Но,к +%' + %==%.

Как легко видеть, химический потенциал плазмы должен быть, одинаковым в обеих фазах, что приводит к некоторой разновидности условия Максвелла [185]. Из условий равновесия еле* дует, что плотности экситонов в обеих фазах связаны соотношением

По — а (Г. п}

ng <у(Т, "〃)*

Верхняя часть области сосуществования фаз (заштрихованная часть плоскости п — Т на рис. 6.10) лежит за пределами моттовской кривой» т. е. одна из сосуществующих фаз полно-

сгью ионизована, а другая лишь частично ионизована. Грубо говоря, полностью ионизованные электронно-дырочные капли погружены в слабоионизованный экситонный газ.

6.5. Водородная плазма

Двухжидкостная модель

Вклад заряженных компонент в термодинамические функции водородной плазмы изучается на основе современной теории. В предельном случае высоких температур и низких плотностей используется формула Дебая с квантовыми поправками. В случае низких температур и высоких плотностей для электронов применяется формулу Гелл-Манна — Бракнера, а для протоков—формула, описывающая энергию решетки. Строятся паде- ^ппроксимации, включающие эти предельные ситуации в качестве частных случаев и более или менее удачно описывающие промежуточную область. Как отмечено в предыдущих разделах, корректное термодинамическое описание водородной плазмы играет важную роль во многих приложениях, включая проблему термоядерного синтеза и астрофизические расчеты； напомним, что большая часть вещества во Вселенной представляет собой плотную водородную плазму. В связи с особой ролью водорода во Вселенной и в термоядерных исследованиях проблеме нахождения его уравнения состояния и термодинамических функций было посвящено большое количество теоретических и экспериментальных работ, начиная с пионерской работы Вигнера и Хантингтона [673] (см. также [34, 87, 88, 105, 141—143, 169, 176, 18 5, 365, 479, 541, 756, 764, 779, 780]). В первом приближении водородную плазму можно рассматривать как смесь двух жидкостей ——жидкости легких электронов и жидкости тяжелых протонов. Степень неидеальности этих жидкостей определяется соотношением между средними значениями кинетической и потенциальной энергий (рис. 2.2):

тдетде0fe =0fe =2/3/2 (a总)〃A^2/3/2 (a总)〃A^左s7\左s7\几=4码個,r₽ = 4叫 d® J，俗.126)

тде

тде

0fe =

0fe =

2/3/2 (a总)〃A^

2/3/2 (a总)〃A^

左s7\

左s7\

Здесь n — плотность свободных электронов или свободных протонов, Ik ——функции Ферми, А总 ——тепловая дебройлевская длина волны, а总——идеальные химические потенциалы, определяемые уравнениями

2/i/2 (ай) = пЛ1> ^.k = h^nmkk^D~w.

При достаточно низких плотностях средняя кинетическая энерт ия, приходящаяся на одну степень свободы, составляет АвТ/2. В этом случае Гв « Гр л； Г, где

Г = е2/4л,е

В противоположном предельном случае сильного вырождения имеет место другое соотношение

2

Qk = -^ akkBT (afe/2Br = eF — энергия Ферми).

В последнем случае параметр неидеальности не зависит от температуры:

乙=5(优)2门，优=(4/9冗产，гР= 1836,15ге:(6.127)

rs — обычный безразмерный параметр плотности：

г$ — d/ag, 。冃—4冗&话 / me? *

В дальнейшем мы ограничимся той областью плоскости п — Т, где протоны образуют классическую неидеальную жидкость (эта область заштрихована на рис. 2.2). Ввиду большой массы протонов их можно рассматривать классически, поскольку в этой области

пДз《1.

Предельными состояниями для протонной жидкости являются о. ц. к. решетка (при достаточно низких температурах) и дебаевский газ (при достаточно высоких температурах).

Для электронной жидкости требуются выражения, охватывающие области сильного вырождения и отсутствия вырождения. Здесь можно воспользоваться формулами, выведенными в разд. 6.3.2 на основе паде-аппроксимаций для термодинамических функций электронного газа [168, 169, 174, 176, 188].

6.52 Основные формулы для предельных случаеви паде-аппроксимаций

Рассмотрим водородную плазму, в 1 см3 которой содержится п электронов, пл протонов и пн атомов. При описании такой плазмы основной величиной является химический потенциал заряженных компонент, определяемый как сумма химических потенциалов электронов и протонов:

卩(п, Пн, Т) = Ne + Нр.

Эта величина определяет химическое равновесие между свободными зарядами и атомами:

р(п, пн, Т) = ни(п, пн, Т)・

Поэтому величине 卩 будет уделяться особое йнимание. Плазменный вклад в давление и в свободную энергию можно полу* чить из следующих термодинамических соотношений [187]:

где f = F/V ——плотность свободной энергии.

Химический потенциал плазмы можно разбить на идеальную, хартри-фоковскую и корреляционную части:

н = нид + 几3，几3 = Nxe + "корр，

^ = ^8^ + kBTap,（6.128>

НХФ =XT /_ l/2（&）E /-1/2 （ctp）.

Аналитический вид корреляционной части известен лишь для предельных случаев. При очень низких плотностях и высоких температурах можно написать （см. разд. 5.4 или 6.1, 6.2）

Нкорр/Ry = 一 2 （黑）"4 必/2 + （i + Y 严伍（T） + 6由）n+ , （6.129>

где

左（Т） = Н т（тт7）1/2（1 + е 2）（I + “6 —点 in （常）-

-F^QNT）-儡（Mv 广 3 （т “中）+

+ Y3匐4（-^V1^）-^5^-^^/^?^）-

一*e3（-自"崎9｝，

Вириальные функции Q4 и £3 определяются следующим образом:

n=k F （万九+ 1）

n = h Г （豆孔 + 1 ）

Здесь 匕（％）—дзета-функция Римана, Г（х） —гамма-функция^ I ——борновский параметр для электрон-протонного взаимодей-

ю Зак. 641

ствия:

自=e2/4mkBTkepi 九叩=亢(2mepkBT)~il2.

В формуле (6.129) использовано обозначение

6/= 8自—[Е (т, п = 0)-а(Щ,

где а (Г)——статистическая сумма Планка ——Бриллюэна — Ларкина, а Е(Т, п) — статистическая сумма, фактически используемая при вычислениях, которая может быть выбрана несколькими различными способами [179]. Если выбрать вариант Планка ——Бриллюэна — Ларкина, то поправка 6欣 исчезает. Мы еще вернемся к этому важному вопросу. Подчеркнем, что формула (6.128) описывает плазменный вклад свободных зарядов. Путь, ведущий от уравнений, описывающих свободную энергию (см. разд. 5.4), к химическому потенциалу (6.129), состоит в следующем. Вириальную функцию Q в формуле (2.52) в гл. 5, описывающую как свободные частицы, так и связанные в пары, разбивают на две части：

Q(9 = Q6 + Qf (В > 0),

где «связанная» часть Q° по определению равна

Qb = 2 VitSCT, n = 0).

Тогда соответствующий вклад свободных состояний равен

Qf = Q(e-Q6© 自 >0・

В химический потенциал плазмы (свободные состояния) вносит вклад только часть QL Именно так была получена формула (6.129) (см. [159]).

В предельном случае высокой плотности электроны и протоны ведут себя совершенно различным образом. Поэтому полезно разбить химический потенциал плазмы на вклад электронного газа и вклад протонного газа:

卩(п, Пн, л = hg + %g・(6.130)

Здесь R&g обозначает химический потенциал электронного газа на фоне однородного положительного заряда, а црб ——всю остальную часть химического потенциала. С физической точки зрения 卩"修 описывает протонный газ с экранированным взаимодействием. Эффект экранирования обусловлен некоторым увеличением электронной плотности в окрестности каждого протона. Подчеркнем, что химические потенциалы 卩&& и ^g не вполне идентичны химическим потенциалам электронов и протонов в реальной плазме. Следуя рассуждениям, приведенным в разд. 6.3.2, получаем химический потенциал электронного газа

е точностью до е±

% =卜3% — Ry 1но«1/2 + 卩5 亢 + {9,7736г;1 +

+ 0,71064 ln(l + 3,6О94г77/10)}彦][1 + 8й2 +

+ 8 In {1 + 0,07483卩「汾/2}『，

I(6.1

Но =传вТ/п Ry)1/4, H = 7 (kBT/n Ry严.

Поведение протонного газа при высоких плотностях рассчитывалось в адиабатическом приближении [56, 191, 411]. Исходной служила формула для вклада взаимодействия в плотность- свободной энергии [137, 359]

^^п^вТ(--0,89461Г + 3,2660「1/4_ o,5oi231rli1 — 2,809)+6fpg.

(6.132>

Первый член в формуле (6.132) был выведен [137] путем подгонки данных для протонных газов [283] к жидкой фазе плотной протонной системы методом Монте-Карло. Вклад эффектов экранирования в свободную энергию можно записать в виде

6fPe = i$ dqq2S^(q)w(q)nkBT,(6.133}

о

где

⑪(4)=寮(&т(4)— 1)，q = kd,

a S(°)(g)—структурный фактор.

С некоторым приближением это дает [359]

6%g = n^BTrs (-0,045Г 一 0,755『/4 十 0,267).(6.134)

Вклад экранирования зависит от параметра неидеальности Г и параметра плотности rs = d/@a

Взяв в качестве параметра неидеальности

п = п^ = п (e2/4mkBT)3t

получаем окончательно для химического потенциала взаимодействия

囁伊患=—1,9228亢"3 + 3,9868/f/12 - 0,16708 In n-

-3,215^-/р/з (0,0726 + 0,6383无т/4 _ 0,1779乃т/3). (6.135>

Другая возможная запись имеет вид

где 5Ц —- эффективная «постоянная решетки» для экранированных протонов, которая в нашем приближении равна [174, 176]

8乩=1,9228 — 3,9868亢-is 十 3,215亢т/з 十 о,167п-1/3 lnn +

-I——(0,0726 -0,6383亢一1/3 + 0,1779亢一1/4). 1 + %

Здесь, как и в (6.135), мы ввели в знаменатель члена, описывающего экранирование, обрезающий фактор (1 + Q, поскольку выражение (6.134) справедливо только при r$《 1. Для улучшения этого приближения выражение для энергии основного состояния невырожденной протонной жидкости

统=1,9228 + 0,0726—, Т = 0,

+ d

необходимо заменить более точным выражением.

Hpg左 вТ (ар —-Hpg左 вТ (ар —-—(Pl/Po)n1/2+ 口2亢"6 '—(Pl/Po)n1/2+ 口2亢"6 'Y几一"2 1 + In 2自（1+屮）-炉及a+力/2Y几一"2 1 + In 2自（1+屮）-炉及a+力/2(6.136)(6.136)Теперь остается найти паде-аппроксимацию для вклада протонного газа. Как и прежде, нам известны аналитические выражения для предельных случаев низкой и высокой плотности (см. (6.129) и (6.132) соответственно). Предполагая, что переход от закона п1/2 к закону 几из происходит в области, где п = =п/з q 1, примем для химического потенциала следующую паде-аппроксимацию [174, 175]:

Hpg左 вТ (ар —-

Hpg左 вТ (ар —-

—(Pl/Po)n1/2+ 口2亢"6 '

—(Pl/Po)n1/2+ 口2亢"6 '

Y几一"2 1 + In 2自（1+屮）-炉及a+力/2

Y几一"2 1 + In 2自（1+屮）-炉及a+力/2

(6.136)

(6.136)

% = 3,2408,

p]=一炉/2(1 + »/2b + 6/一

(определение функции k см. в (6.129)). Здесь фиксированы все постоянные, кроме 卩2, которая определяет тонкие детали перехода от закона п1/2 к закону п1/3. Положим 卩2= 150, что дает в классическом случае (pi = 0, rs = 0) разумное согласие с данными, полученными методом Монте-Карло [283]. Возможен также выбор 仙=—PoPl

Теперь легко рассчитать различные вклады в химический потенциал плазмы в широкой области температур и плотностей. Например, на рис. 6.13 показаны различные вклады при относительно низкой температуре Г = 10000 К в зависимости от плотности свободных электронов п. Как можно видеть из рис. 2.2, диапазон плотностей охватывает область от Г « 1 до Г « 155.

Один из важных результатов состоит в том, что корреляционная часть сравнивается по порядку величины с идеальной составляющей при плотностях n а 1021 см-3. Важны также хартри-фоковский вклад электронов и корреляционный вклад

Рис. 6.13. Зависимость различных вкладов в химический потенциал водородной плазмы от плотности свободных электронов: а —卩把 b —崂\ с — 心。d — Црф, е — p.gopp, f — цид| ^ — Р-ид + Р-хф> h — Р-р°РР» 1 — P-kopp> ，-%с = Р-хф + Р-КОрр> 左-N (% О, Т) = %〃 + %「 Индексы е н р соответствуют электронному и протонному газам, индексы ид, ХФ, корр обозначают идеальный» харти-фоковский и корреляционный вклады.

протонов. При плотностях ниже 1024 см-3 протоны можно рассматривать как классические частицы с классическими идеальной и корреляционной составляющими. Электроны становятся вырожденными при плотности порядка 1021 см-3. Поэтому необходимо учитывать хартри-фоковский вклад и квантовые поправки к другим членам в выражениях для термодинамических функций.

Следует особо отметить плавное изменение суммы обменного и корреляционного вкладов (рис. 6.13, кривая /).

Ряд более сложных паде-аппроксимаций для плотной водородной плазмы указан в недавних работах [169, 176, 725].

Ионизационное равновесиеи фазовая диаграмма

Здесь мы намерены дать оценку степени ионизации плазмы в той области, где а > 1/3, т. е. где более чем 50 % частиц имеют электрический заряд. Учитывая в этом приближении только образование атомов, мы должны знать явный вид химического потенциала для атомов. В первом приближении, рассматривая атом как твердую сферу с внутренними степенями свободы, на-

ходим [189]

Ин =坛Т In [^т^у] + 卩晋 бн) — 2пнДнн)(6.137) где пн — плотность атомов, пр = пе — п + п» ——полная плотность протонов, 4нн — постоянная Ван-дер-Ваальса для атомов. Химический потенциал газа твердых сфер с плотностью пн описывается формулой

卩晋=%Т" (8 - 9т)+ 3^)(1 一 т))7,(6.138>

где т| = 4ппн/?з/3 (R — эффективный радиус твердой сердцевины атома водорода). Значение R для водорода выбирается следующим образом:

R = l,54afi.

Функция 2 (Г, п, пн) представляет собой атомную статистическую сумму. Выбор ее неоднозначен [179], мы можем менять его (т. е. разделение состояний на связанные и свободные) произвольным образом. Для окончательного результата это не имеет значения; как выразился в своем комментарии на конференции по электрохимии (Монпелье, 1968 г.) Ларс Онсагер, «все, что мы убираем с одной страницы нашего гроссбуха (страницы, описывающей связанные состояния), тут же и с тем же эффектом появляется на другой странице (описывающей свободные состояния)». Мы рассмотрим здесь две возможности:

Условие Планка—Бриллюэна ——Ларкина (плавный переход между связанными и свободными состояниями):

£" = 0(7，九，九н)=工⑵ + 1) [ехр(—3旦工)一1 + BE", (6.139) s. I

где Esi = Esi(n, пн, T) — собственные энергии обсуждавшегося выше (рис. 6.14) уравнения Бете — Солпитера. При нулевой плотности получаем (/ = —&))

儿=о (Т)=玄用ехр (//s2) - 1 - (//s2)].(6.140)

Перенормировка Риве — Ромпе (резкая граница между связанными и свободными состояниями, в качестве которой выбирается тепловая энергия):

年= Z (2/+1)ехр(-В%),—/в「(6.14D

В дальнейшем будем полагать ；= 1.

Оба варианта дают почти одинаковые численные результаты и выражают одну и ту же физическую идею: дискретные состояния с энергией связи, меньшей ksTt при термодинамических

Рис. 6.114. Дискретные двухчастичные энергии и край непрерывного спектра в зависимости от плотности водородной плазмы при Г = 10 000 К-

расчетах следует рассматривать как свободные, поскольку их время жизни не превышает времени между двумя столкновениями. Другими словами, затухание таких квазисвободных состояний с энергиями |Е«/| < kBT настолько велико, что их существование почти незаметно.

Поскольку о решениях уравнения Бете — Солпитера при больших плотностях известно очень мало, мы пользовались при расчетах моделью ограниченного атома [94, 174, 216, 217, 256]. В этой модели предполагается, что атомы заключены в сферы радиуса г。, равного половине среднего расстояния между двумя протонами в системе:

(4л/3)п/з=1.

Волновые функции связанных электронов должны удовлетворять некоторым граничным условиям на поверхности сферы. Можно потребовать, например, чтобы обращались в нуль радиальные волновые функции (RW』。)или их производные (^sz (го) = ^)- Первое условие соответствует непроницаемым границам, второе — отсутствию потоков через границы. Энергетические состояния свободных электронов в сферической потенциальной яме описываются формулой

% = Ry 羯(喲嗡，(6.142)

где х«/ — нули сферических бесселевых функций или их проиа- водных. В первом случае имеем, например, Хю« 3,142, хц«

= 4,493, *12 = 5,763, х2о = 6,283[). Считая, что энергия освобождения из ямы и кулоновская энергия аддитивны, получаем приближенное выражение

при s & —(6.143) aBxsl

и Esi = 0 при остальных значениях s [174]. Заметим, что в этом приближении энергетические уровни зависят только от полной плотности протонов Пр. При плотности выше 5-1022 см-3 все связанные состояния исчезают, т. е. наблюдается моттовский переход. Зависимость статистической суммы от плотности является весьма существенным пунктом теории, имеющим важные физические следствия. Например, в приближении энергетических уровней, не зависящих от плотности, атомы могут иметь сколь угодно высокую плотность, что находится в очевидном противоречии с наблюдаемыми фактами. С другой стороны, приближения, учитывающие в статистической сумме только свободные частицы, приводят к серьезным нестабильностям нефизического характера. Поэтому мы воспользуемся предложенным вариантом, который дает, так сказать, верхнюю границу исчезновения энергетических уровней.

Теперь можно вычислить атомную статистическую сумму. Степень ионизации а = п/пр получаем, решая систему уравнений

Ц(п, пн, Т) = вн 仇，九н, Т), пр = п + пн. (6.144)

Решения показаны на рис. 6.15.

До сих пор мы рассматривали все связанные состояния как единое целое. Существует и другая возможность [529, 535, 705]——рассматривать каждое связанное состояние как отдельную компоненту. В этом варианте каждая такая компонента характеризуется квантовыми числами п, /, ш, и для нее выполняется отдельное условие равновесия

f(n, nslm, T) = min, 口"m="0+u"=II при условии полного баланса

Суммирование ведется здесь по всем состояниям, удовлетворяющим условию Esi V е*, где е* по определению представляет со-

Точнее %$工 есть s-й корень сферической функции Бесселя первого рода /-го порядка /z (х) = Ул/2х ^/+i/2(x)» гДе h+i/2(х)цилиндрическая функция Бесселя первого рода полуцелого порядка. — Прим, перев.

Рис. 6.15. Ионизационная долина на поверхности полной протонной плотности для водородной плазмы. Сплошными линиями показаны а-изотермы для 15 000, 20 000, 25 000, 30 000, 40 000 и 50 000 К (на передней грани куба низшей температуре отвечает наиболее глубокая долина). Штриховыми линиями показаны кривые, соответствующие постоянным значениям степени ионизации. Левая грань соответствует плотности ne = 1018 см-3.

бой верхнюю границу связанных состояний. Статистическая сумма для каждого состояния имеет вид

&еm = eхp (一 6旦)

а химический потенциал определяется выражением

=论8丁 *П (nsZm^H)+ &Е + 卩工(^sZm) ^nslm^slm

Здесь Rsim ——радиус твердой сердцевины, Asim ——постоянная Ван-дер-Ваальса для (s/m)-состояния. Заметим, что Rsim увеличивается с ростом s2, т. е. возбужденные состояния занимают очень большой объем и потому термодинамически невыгодны. Рассматривая каждое из (5/т)-состояний как отдельную компоненту, естественно взять предельную энергию е* в качестве параметра оптимизации. Другими словами, величина

е =е (пр, Т)

рассматривается как функция плотности и температуры, получаемая минимизацией свободной энергии относительно вариаций в*. Существование этого минимума тесно связано с увеличением радиуса,/?5/т по мере роста квантовых чисел. Поскольку минимизация по многим переменным nsim и е* представляет собой довольно сложную задачу, мы ограничимся в дальнейшем простейшим вариантом, определяемым соотношениями (6.139),

(6.143) и (6.144). Рассматривался также улучшенный вариант теории с (slm) -компонентами [535].

Результаты нашего расчета представлены на рис. 6.15. С увеличением полной плотности протонов наблюдается сначала понижение степени ионизации, а затем ее рост, называемый иногда «ионизацией давлением». Ионизация давлением обусловлена уменьшением энергии ионизации из-за корреляционного вклада в химический потенциал плазмы и влиянием сил отталкивания между атомами, которые делают атомное состояние невыгодным при высоких плотностях. Основной вклад обусловлен понижением края непрерывного спектра. При полной плотности протонов 5,2-1022 см-3 ls-состояние исчезает.

Следует подчеркнуть, что эффекты твердых сфер и ограничение волновых функций описаны здесь лишь приближенно. Корректная теория должна позволять точнее вычислять положение края непрерывного спектра и более последовательно учитывать зависимость энергетических уровней EsZ от давления путем решения уравнения Бете — Солпитера методами строгой теории многих тел (см. разд. 5.4 и 6.1). На рис. 6.16 показана зависимость химического потенциала плазмы от полной плотности протонов. Критические параметры фазового перехода составляют тс ^ 13000 К и п^ « 3,1 • 'О22 см-3. Вследствие нескольких принятых допущений, в частности из-за грубого приближения, в котором рассматривается взаимодействие с нейтральными атомами, изложенная теория ограничена областью а > 1/3. Таким образом, в рамках нашей теории плазменных эффектов нельзя описать фазовый переход в состояние типа жидкости, который, очевидно, определяется нейтральными частицами.

Атомная и молекулярная фазы водорода выходят за рамки данной книги, которая посвящена эффектам кулоновского взаимодействия. Поэтому мы ограничимся лишь несколькими замечаниями. Известно, что фазовая диаграмма водорода довольно сложна [34, 105, 218, 219, 239, 240, 354, 409, 426, 538, 580, 581]. При низких давлениях и температурах электроны и протоны связываются в молекулы.

В молекулярной области существует критическая точка с параметрами

Т, = ЗЗК 司=1,9・ 1022 см-з,厶=1,3 МПа.

Эта первая критическая точка нашей теорией не описывается (рис. 6.17). При давлениях выше 100 ГПа происходит фазовый переход в необычное твердое состояние: как полагают, в этой молекулярной фазе протоны упорядочены в виде решетки со ci руктурой а-№・

Рис. 6.16. Зависимость химического потенциала водородной плазмы от полной протонной плотности при трех температурах: 。一 15 000 К, & — 20 000 К с — 25 000 К.

Рис> 6.17, Гипотетическая фазовая диаграмма водорода [219]. Полученные И8 нашей теории критические параметры для перехода диэлектрик—металл составляют Тс = 16 500 К, "с = 0,23 Мбар.

При еще более высоких давлениях электроны становятся делокализованными и образуется (молекулярная) металлическая фаза. С ростом давления двухатомная протонная решетка может превращаться в одноатомную, что способствует понижению кинетической энергии. При очень высоких давлениях порядка 1019 Па протонная решетка плавится, образуя двухкомпонентную ферми-жидкость. При этом система становится снова сильно ионизованной, и ее можно описывать методами, изложенными в этой книге [168, 169].

При температурах выше 103 К фазовая диаграмма водорода выглядит не столь сложной, что связано с нестабильностью молекул в этой области. Но можно ожидать существования фазового перехода диэлектрик — металл [219, 494, 495, 718]. Для водорода этот гипотетический переход ожидается при плотности

порядка 1 г/см3 и давлении порядка 1012 Па. В нашем приближении переход диэлектрик — металл имеет критическую точку с параметрами

Тс * 16 500 К, 吗 * 0,8 • 1023 см-з, рс а 22,8 ГПа,рс q 0,13 г/см3.

При температурах выше критической в плазме возможен непрерывный переход из диэлектрического состояния с малой степенью ионизации в состояние металлического типа с полной ионизацией (рис. 6.15). Ниже критической температуры система разделяется на две фазы ——полностью ионизованную (типа жидкого металла) и частично ионизованную. Это так называемый плазменный фазовый переход; он впервые изучен Норманом и Старостиным [494, 495]. При температурах выше 10 000 К наша (приближенная) теория предсказывает разделение системы на фазу жидкометаллического типа, состоящую из электронов и протонов с плотностями порядка 1023 см -3, слабоионизованную газовую фазу, состоящую в основном из атомов водорода [179]. Более подробное обсуждение фазовых переходов в плазме, пока остающихся гипотетическими, дано в предыдущей книге авторов [185].

Отметим в заключение, что в современных экспериментах по адиабатическому сжатию водорода уже достигаются давления и температуры, при которых ожидается фазовый переход [759, 768]. Однако в настоящее время как эксперимент, так и теория еще не достаточно точны для того, чтобы дать более надежные данные относительно фазового перехода, обсуждавшегося выше. Качественная картина фазовой диаграммы водорода приведена на рис. 6.17.

Плазма щелочных металлов и инертных газов

Псевдопотенциалы

В поведении плазмы щелочных металлов и инертных газов важную роль играют короткодействующие силы между частицами. Поскольку ионы ——протяженные частицы, на малых расстояниях между ними наблюдаются отклонения от закона Кулона, обусловленные в основном электронами внутренних оболочек. По аналогии с теорией твердого тела эффективное взаимодействие между электронами и ионами можно описывать с помощью псевдопотенциала, содержащего свободные параметры, которые подбираются таким образом, чтобы низшие связанные состояния и, возможно, данные по рассеянию удовлетворительно согласовались с экспериментом. В ранних работах [185, 705]

для описания электрон-ионного взаимодействия предложен псевдопотенциал хеллмановского типа

и (г) = —[ 1 — Л exp (— аг)].(6.145)

Ион-ионное взаимодействие описывалось моделью заряженных твердых сфер кристаллографического радиуса /?(. Электрическая часть ион-ионного взаимодействия описывается псевдопотенциалом

产4з при它工，

"(оо при г < 2&・

Аналогичные модели использовались для щелочных металлов в случае низких температур [190, 411]. В табл. 6.5 приведены численные значения параметров псевдопотенциала [287].

Таблица 6.5. Параметры псевдо потенциала для плазмы щелочных металлов

Na

К

Rb

Cs

Я

2,685

1,813

1,494

1,371

а-1, нм

0,0366

0,0636

0,0801

0,0964

R, нм

0,0950

0,133

0,148

0,169

В случае плазмы щелочных металлов при высоких плотностях становятся существенными короткодействующие силы между заряженными и нейтральными частицами, а также между атомами [18]. Возьмем простейшие модели:

Ю = {:

при при

r》2Ra,

Г < 2Ra,

(6.147)

匕…{м

при при

r> Ra， Г < Ra，

Via(r)^{Vn^r}

при при

Г Жа 十 Rt, Г <凡+ Rf・

(6.148)

Здесь индексы е, г, а относятся к электронам, ионам и атомам соответственно, Ra и Ri — радиусы атомов и ионов, Упол — поляризационное взаимодействие [18, 431]. Поляризационный потенциал можно взять в виде .

乙。■⑺8〃е(г"，2广 (6.149)

Оценка параметров этого потенциала дает для цезия 尸拿=° ®= 9,4 ав, а* = 400а^; для ртути га = 4,6 ав. Квантовостатистическое описание поляризационного потенциала методом функций Грина было проведено Редмером и Репке [529]; см. также [307, 559, 772] •

Значения параметров га и а*, полученные методом квантового дефекта, приведены в табл. 6.6 (см. [771]).

Таблица 66

a*绿

"5冋 %。"。）1"

Li162,9

Na158,0

К280,5

Rb306,0

Cs382,4

3,075

3,249

4,062

4,187

4,478

6.6.2. Химический потенциал нейтральной компоненты

Химический потенциал нейтральных атомов слагается из вклада связанных состояний и членов, обусловленных взаимодействием. Мы возьмем его в виде [535]

卩а («а> «. т)= kBT In Le (7： ； 〃а) ] +

斗吧(％，Т) + 2kBTnaB^(T) + 2kBTn [纥а (T) + Bia(T)]-

-kBTna^-[n^{T, n, nJ.(6.160)

Здесь в^итяж —та часть второго вириального коэффициента атом-атомного взаимодействия, которая соответствует притяжению:

ВГЖ (?) = &а (?) — 亭咫〃一普

(Л — постоярная Ван-дер-Ваальса для атом-атомного взаимо Д^етвия). Функция 卩"учитывает вклад твердой сердцевины в атом-атомное взаимодействие, она описывается приближенной формулой [99]

時(％，Т) н 询Т% (8 — 9% + 3嗚)(1 一 ％)7,(6.161)

T]a = 4Ma&/3.(6.152)

Взаимодействие заряженных и нейтральных частиц будем учитывать в приближении линеаризованного экранированного

второго вириального коэффициента [529]

Веа =等愿十寻 [Рпол (Г)产dr,

оо(6.153)

Bl 書 3 + RJ+得 j

где РПол ——экранированный поляризационный потенциал.

Рассмотрим теперь статистическую сумму. Как и в случае водородной плазмы, возможны два варианта:

Перенормировка Планка — Бриллюэна — Ларкина

绢=Z ⑵十 1) [ехр (— P£s/) - 1 + P£s/L (6.154) s/

где Esi — собственные значения уравнения Бете — Солпитера (см. разд. 4.4 и 6.2).

Перенормировка Риве — Ромпе

%= Z (2Z + 1)ехр(— p£sZ),(6.155)

где в* — верхняя граница связанных состояний.

С физической точки зрения оба варианта почти эквивалентны, так как выражают одну и ту же идею: все дискретные состояния с энергией связи, меньшей keT, при термодинамических расчетах должны рассматриваться как квазисвободные. Эти дискретные состояния, расположенные вблизи края непрерывного спектра, имеют очень малое время жизни, сравнимое с временем между двумя столкновениями. Другими словами, дискретные состояния вблизи края непрерывного спектра сильно затухают, и их следует рассматривать на равных основаниях с непрерывными.

Поскольку решения уравнения Бете — Солпитера изучены довольно слабо, мы будем пользоваться при конкретных расчетах простыми приближениями, отражающими главные физические эффекты. Край непрерывного спектра будем аппроксимировать очень простой формулой [535]

А = Нхс («> 色，Т),(6.156}

т. е. обменно-корреляционной частью химического потенциала. Энергии Esi будем отождествлять с невозмущенными значениями (рис. 6.18). При вычислениях из статистической суммы будем исключать те состояния Esi, которые при данной плотности удовлетворяют условию Est = А (это означает, что невоз-

Рис. 6.18. Энергии связанных двухчастичных состояний и усредненный край непрерывного спектра (аппроксимированный обменно-корреляционной частью химического потенциала) для цезиевой плазмы при Т = 6000 К. Критическая плотность Mq(T) обозначает границу области существования квазисвободных состояний с энергиями Е^> —к&, ^м(Т) 一моттовскую плотность, при которой исчезают связанные состояния.

мущеный уровень сливается с непрерывным спектром). Для устранения скачков используем процедуру сглаживания, основанную на квадратичной интерполяции. Модельное допущение (6.156) предсказывает исчезновение уровня основного состояния при плотности свободных электронов порядка 1021 см-3. Другая возможность состоит в использовании модели ограниченного атома (см. разд. 6.5), что приводит к следующей зависимости уровней от плотности:

纥，(аё) = J 9)+唸仇"。产Ry.

Эта модель предсказывает исчезновение уровня основного состояния при полной плотности порядка 1022 см-3. Очевидно, что модель ограниченного атома дает лишь верхнюю границу для исчезновения дискретных уровней. Поскольку корректные решения уравнения Бете — Солпитера для плотных сред пока не получены, сделать выбор между различными моделями в настоящее время не представляется возможным. *

Химический потенциал заряженной компоненты

Как и в, случае водородной плазмы, корреляционную часть химического потенциала можно представить в виде ряда по параметру вырождения

й = nA?,

который начинается с членов

dJRy = -2 (翡)"出/2 一阳丘+ 粤(鲁)3 (替), +

+ (1+Y严伏(T) + d 尼+ 82尼]亢 + ....(6.157)

6^ = 8Г2Р(Л 0, 0) 一。仍)].

Здесь ^се обозначения имеют тот же смысл, что и в случае во дородной плазмы. Единственное отличие состоит в присутствии члена, учитывающего твердую сердцевину, и вклада 阮& в ви- риальную функцию. Последний обусловлен аддитивными короткодействующими силами между электронами и ионами, которые описываются потенциалом Хеллмана. Эта поправка имеет вид [535, 705]

62 尼(Т)=(竽-») 士卜-ехр (—杳)(1 一①(-J))] +

+ 4""2一!"%一仪 x = aVe,(6.158)

где Ф(х) — функция ошибок. Заметим, что если выбрать статистическую сумму в форме Бриллюэна — Планка — Ларкина, то 6/ = 0. В противоположном предельном случае высоких плотностей можно пользоваться формулой [85—87, 535]

%з = 一 Ry [7.222г;1 + 0,1167-0,0622 In.rJ 一 kJ^Bit

…+用『島…+用『島(6.159)(6.159)

…+用『島

…+用『島

(6.159)

(6.159)

Здесь опять имеется поправка к формуле для водородной плазмы, обусловленная короткодействующим электрон-ионным взаимодействием, пропорциональным параметру А. Все остальные члены, не пропорциональные 4 те же самые, что и для водородной плазмы. Поскольку случаи водородной плазмы и плазмы щелочных металлов отличаются лишь значениями нескольких постоянных, можно воспользоваться той же

Цой1/2 + Ц5П + С (rs) пЦой1/2 + Ц5П + С (rs) п"вз = —Ry"вз = —Ryпаде-аппроксимацией. Таким образом, имеем окончательно

Цой1/2 + Ц5П + С (rs) п

Цой1/2 + Ц5П + С (rs) п

"вз = —Ry

"вз = —Ry

1 + 8亢2 + 8 In (1 + 0,07483ц-!nI/2)

т 肉亢"2 + 8严2删2т 肉亢"2 + 8严2删2+ 3%+ 3%8 — 9% + 3嘴[(i-V +8 — 9% + 3嘴[(i-V +

т 肉亢"2 + 8严2删2

т 肉亢"2 + 8严2删2

+ 3%

+ 3%

8 — 9% + 3嘴[(i-V +

8 — 9% + 3嘴[(i-V +

+ 2尼в?% 瓦a (T) + Bia (Л1- kBTna 导 In E (T, n, %)，(6.160)

c (rs) = 9.7736Г71 + 0,71064 In (1 + 3,6094г77/10). (6.161)

Рассмотрим эту громоздкую формулу. Первые два члена соответствуют паде-аппроксимациям для электронного и ионного газов соответственно, третий член представляет вклад твердой сердцевины в ион-ионное взаимодействие заряженных частиц с нейтральными, и, наконец, последний член обусловлен зависимостью статистической суммы, которая фигурировала в химическом потенциале атомов, от плотности. Заметим, что химический потенциал должен удовлетворять условию

*а = @ 卩дп — дпа '

которое означает возможность изменения порядка дифференцирования во вторых производных свободной энергии. Последние члены в формуле (6.160) автоматически удовлетворяют этому требованию.

Заметим, что производные статистической суммы, фигури* рующие здесь и в формуле (6.150) для химического потенциала атомов, происходят от содержащего статистическую сумму слагаемого в выражении для свободной энергии. Чтобы производные имели смысл, статистическая сумма должна быть соответствующим образом сглажена [535].

Уравнение Саха и ионизационное равновесие

(6.162)(6.162)В термодинамическом равновесии химические потенциалы плаз^ мы и нейтральных атомов должны быть одинаковы：

(6.162)

(6.162)

Ц (п> 也а，Л = На (п> 也а，Л-

С учетом уравнения баланса

условие равновесия принимает вид

«е = « + 4Л；3ехр[рр (га, пе — п, Т) — В"：» —

—2n (Bea + Bia) — ^ПаВ^^^ +.

+ S —也)-^~ In S (7, n, ne — n)j E (T, n> 乙一n). (6.164)

В случае, когда S зависит только от и, возможна другая форма записи, удобная для численных расчетов：

% eхp [В (時一儲九) 一 2% (% + %) + " 关 m 可=

=4А「ехр [р (卩н“ + %) — 2га (Веа + В,а)] Е (Т, «)•

Заметим также, что соотношение (6.164) эквивалентно обычной форме уравнения Саха

色[ = ^Кэфф(Т,小 ^а) = Л?е ехр (р/эфф),(6. 165)

厶фф = (In Е + %)-(觴в — паАа^ + (цид - К产и) +

+ 2(% — и) (Веа + Bia) — па 為 In S.

Первый член описывает здесь главный вклад. В простейшем приближении можно пренебречь зависимостью S от плотности, положив

7эф =卩口。(Т) + 也с]-[卩黑-naAaa] +

+ 2 (па — и) (Веа + Bia) при па < Им» (6.166)

Кзфф = 0 при И > Им,

где моттовская плотность им определяется условием исчезновения основного состояния

Eio = Nw(M,T)(6.167)

(рис. в. 18). Решение уравнения Саха проще всего найти итерациями уравнения (6.166), вычисляя па как функцию от и при данной температуре и выбирая произвольно начальное значение п& например 〃а = 0 или Ид =п. Заметим, что в нашей теории яа получается в виде ступенчатой функции от и, и по достижении моттовской плотности 〃м атомы в плазме исчезают. Зная функцию 〃《 =尸(小 Т), можно найти гг& =沱 + F(п, Т), откуда, производя обращение этой зависимости, получить 〃 =，(/?&, Т) й найти степень ионизации

а = п/пе = i (и, Т)/%・(6.168)

Химический потенциал плазмы ц(п, na, Т) является ключевой величиной в теории плазмы. Пользуясь уравнением Саха,

можно найти химический потенциал плазмы как функцию полной электронной плотности:

卩(&, T) = N М(&, Т), % —，(&, Q, Т]・ (6.169) Эта величина связана с плотностью свободной энергии и с давлением плазмы соотношениями

ц(пе> T) = -^f(ne, Л. (6.170)

Р = — 鳥卜f (色，Л]="卩仇，Т) - f (&, Т)・(6.171)

Применим изложенную теорию к цезиевой плазме, параметры потенциала для которой приведены в табл. 6.5. Атомы цезия возьмем в виде твердых сфер радиуса Q = 0,267 нм. Сначала по формуле (6.160) вычислим ц = ц(п, %, Т), затем, пользуясь уравнением Саха (6.154), найдем функцию п = f(ne) (напомним, что п = пе —制一плотность свободных электронов, а пе — полная плотность электронов, свободных и связанных).

Химический потенциал плазмы как функция плотности свободных электронов и при различных температурах показан на рис. 6.19. Ниже критической температуры Тс ^ 4600 К эта функция становится немонотонной. На рис. 6.20 показана зависимость плотности свободных электронов как функция полной плотности электронов пе. Переход от п к пе определяется уравнением (6.164); видно, что немонотонность 卩 как функции от пе приводит к немонотонности 卩 как функции от пе (см. также [145]).

На рис. 6.21 приведено несколько кривых, изображающих степень ионизации при температурах выше критической. Характерной особенностью этих а-изотерм является наличие минимума при плотностях n« 1019 —1020 см-3 и последующее повышение степени ионизации (а ^ 1) при более высоких плотностях. Это увеличение степени ионизации связано с не- идеальностью плазмы. Для описания этого эффекта необходимо улучшить теорию — более точно учесть зависимость суммы по связанным состояниям, от плотности.

В неидеальной плазме взаимодействие играет определяющую роль. Вследствие взаимодействия зарядов эффективная энергия ионизации

/一登=急(詰(6”2)

уменьшается с ростом плотности. При /^《аа^ (аю—радиус основного состояния) эффективная энергия ионизации стремится к нулю. Таким образом, возрастание коэффициента ионизации а отражает предсказанный переход в полностью ионизо-

1дт,см"В1дт,см"ВРис. 6.19. Зависимость химического потенциала цезиевой плазмы от плотности свободных электронов при нулевой плотности атомов па — 0 н нескольких температурах.Рис. 6.19. Зависимость химического потенциала цезиевой плазмы от плотности свободных электронов при нулевой плотности атомов па — 0 н нескольких температурах.ванное состояние с высокой проводимостью, наступающий, когда радиус экранирования становится сравнимым с боровским радиусом. Этот переход часто называют моттов- ским переходом или ионизацией давлением. Заметим, что существуют различные интерпретации физического механизма, лежащего в основе моттовского перехода; одна из них, например, основана на рассмотрении энергетических уровней в поле экранированного заряда. При термодинамическом подходе условие моттовского перехода получается из закона действующих масс. Другой способ рассмотрения изложен в разд. 5.4.

1дт,см"В

1дт,см"В

Рис. 6.19. Зависимость химического потенциала цезиевой плазмы от плотности свободных электронов при нулевой плотности атомов па — 0 н нескольких температурах.

Рис. 6.19. Зависимость химического потенциала цезиевой плазмы от плотности свободных электронов при нулевой плотности атомов па — 0 н нескольких температурах.

Применительно к плазме щелочных металлов условие перехода означает, что ионизация давлением возникает, когда вклад взаимодействия в химический потенциал, состоящий из хартри- фоковского и корреляционного вкладов, превышает несколько электронвольт (например, для цезия £*ю = —3,9 эВ).

Количественно мы определяем плотность перехода 亢е(Т) при данной температуре как такую плотность, при которой производная да (пе> Г) /дпе положительна и имеет максимум, т. е. вторая производная равна нулю:

Т) = 0 при 厶= &(Т). (6.173)

Переход в высокой он изов а иное проводящее состояние происходит в довольно узкой области плотностей, и его можно рассматривать как размытый фазовый переход выше критической точки [295, 296].

Используя решения уравнения Саха, можно вычислить термодинамические функции ц(пе> Т), р(пе)Т) и т. д. Некоторые результаты представлены на рис. 6.22—6.24. При низких температурах изотермы ведут себя немонотонно. Как и в случае изотерм Ван-дер-Ваальса, немонотонность изотерм свидетельствует о термодинамической нестабильности системы.

В стабильной плазме величины ц и р должны быть неубывающими функциями полной электронной плотности пв. В нашем примере так обстоит дело при Т > 43 00 К- При Т V 43 00 К

Рис. 6.20. Зависимость плотности свободных электронов от полной элф тронной плотности для цезиевой плазмы.

Рис. 6.21. Зависимость степени ионизации цезиевой плазмы от полной электронной плотности. Штрихпунктирная кривая для Г — 6000 К получена в пренебрежении понижением края непрерывного спектра.

крнвн® для 口 н р имеют очень плоский минимум. Поскольку немонотонность этих кривых очень слабая, точно предсказать положение критической точки до сих пор не удалось. Резуль- j таты выполненных в последнее время расчетов критических ；

Рве. 6.22.Рве. 6.22.Зависимость химического потенциала цезиевой плазмы от полной электронной плотности.Зависимость химического потенциала цезиевой плазмы от полной электронной плотности.2， 旳鱼,GM立2， 旳鱼,GM立4 3 24 3 2рие, &跟рие, &跟

Рве. 6.22.

Рве. 6.22.

Зависимость химического потенциала цезиевой плазмы от полной электронной плотности.

Зависимость химического потенциала цезиевой плазмы от полной электронной плотности.

2， 旳鱼,GM立

2， 旳鱼,GM立

4 3 2

4 3 2

рие, &跟

рие, &跟

Завксимость давления цезиевой плазмы от полной электронной плотности.

Рис. 6.24. Зависимость степени ионизации от давления (штриховые кривые соответствуют теории, учитывающей поляризацию). Верхняя кривая относится к температуре Г = 12 000 К.

значений параметров для водородной плазмы и плазмы щелочных металлов [770], а также для плазмы инертных газов [755]1 приведены в табл. 6.7; указаны значения, полученные в различных приближениях, кроме того, включены некоторые экспериментальные данные.

Таблица 6.7. Критические значения температуры и давления для реальных плазменных систем. Столбцы: 1 — Гс с учетом только кулоновского взаимодействия, 2 — Г, с учетом кулоновского взаимодействия и сил малого радиуса действия между заряженными частицами, Зи4—Гсирсс дополнительным учетом поляризационного и ван-дер-ваальсова взаимодействия с нейтральными частицами (согласно [184, 755, 770]).

6 8 г/см8

Расчет

Эксперимент

% к

%> МПа

% к

%, МПа

1

2

3

4

н

16250

Li

0,03

13410

6950

4000

65,4

3800

97,0

Na

0,07

11020

6940

2500

48,0

2485

24,8

К

0,04

8940

5725

2300

14,8

2280

16,1

Rb

0,13

8270

4900

2050

20,0

2017

12,45

Cs

0,25

7475

4400

1950

18,2

1924

9,25

Хе⑶

3,70

12600

9900

Хe⑴

1,10

290

5,8

Заметим, что .вычисленные значения критических параметров очень сильно зависят от предполагаемого вида взаимодействия. Поляризационное взаимодействие между заряженными

и нейтральными частицами понижает критическую температуру и повышает критическую плотность (ср. [417]). Примечательно, что у плазмы всех щелочных металлов имеется лишь одна критическая точка, тогда как у плазмы инертных газов критиче* ских точек две, как и у водородной плазмы [535, 786, 770].

Напомним, что ранее мы получили следующие значения критических параметров:

тс у 12 600 к, п^А- 1021 см-3

для модели чисто кулоновского взаимодействия [179] и тс « 4600 к,小=« 4,7 • 1020 см-3

методом псевдопотенциал а [187].

Короткодействующие силы между электронами, ионами it атомами, очевидно, стабилизируют плазму и приводят к резкому понижению критической температуры. Изложенный здесь метод псевдопотенциала представляется более точным, чем предложенный раньше [187, 705], поскольку он учитывает (по крайней мере, частично) влияние вырождения электронов и упаковки ионов при высоких плотностях. Оба этих эффекта ответственны за крутое возрастание химического потенциала плазмы при плотностях выше 1021 смТ

Вследствие указанных эффектов химический потенциал плазмы при всех плотностях превосходит значение, предсказываемое простой теорией Дебая,

В экспериментальных работах по термодинамическим свойствам цезиевой плазмы отмечалось, что дебаевская поправка дает завышенный вклад взаимодействия свободных зарядов.

Экспериментально было обнаружено, что при температурах 7 V Тс = 2030 К имеет место фазовый переход первого рода — обычный переход газ ——жидкость. Критические значения равны ре — о,4 г/см3, пс = 1,8-1021 см-3 [18] (см. также [746, 753]). В рамках нашей теории дать корректное описание фазового перехода жидкий металл — пар не представляется возможным, поскольку на этот переход существенно влияет взаимодействие заряженных частиц с нейтральными, учитываемое лишь в грубом приближении. Обзор теории плазмы, в которой доминирует взаимодействие заряженных частиц и нейтральных частиц, содержится в работе Алексеева и Якубова [18]. Заметим, что подробная фазовая диаграмма металлов может быть очень сложной и она известна лишь частично [295, 296]. Поэтому полезно еще- раз подчеркнуть, что наша теория справедлива лишь для，

ионизованной плазмы (а V 1/3) и не может объяснить всей фазовой диаграммы.

Развитая здесь теория в принципе может быть применена также к плазме инертных газов. Отметим однако, что мы учитываем лишь первую ступень ионизации. Обобщение этой теории на более сложные ситуации не встречает затруднений. Однако в случае сложных химических равновесий с более чем тремя компонентами удобнее проводить минимизацию свободной энергии, чем рассматривать уравнение Саха [508, 534].

В заключение отметим, что ограничения, наложенные в этом разделе на плазму, не позволили рассмотреть такие системы, как жидкие металлы и полупроводники [38, 87, 190, 192, 411, 589], а также металл-аммиачные растворы [622]. В жидком состоянии структура определяется короткодействующими силами, которые косвенным образом обусловлены кулоновскими силами и принципом Паули [469, 483].

Глава 7

КИНЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

7Л. Теория линейного отклика

Многочастичные эффектыи кинетические свойства неидеальной плазмы

В противоположность случаю теплового равновесия, когда состояние системы характеризуется заданными средними значениями сохраняющихся величин — энергии и числа частиц, неравновесное состояние системы характеризуется, кроме того, средними значениями макроскопических наблюдаемых величин. При гидродинамическом описании неравновесного состояния такими дополнительными наблюдаемыми служат потоки частиц^ энергии и импульса, определяемые соответствующими уравнениями непрерывности для сохраняющихся величин. При кинетическом описании изучаемыми величинами являются средние значения чисел заполнения, т. е. функции распределения.

Обобщенные потоки, характеризующие неравновесное состояние, можно рассматривать как отклик системы на внешние воздействия, примерами которых могут служить внешние поля, контакт с резервуарами, имеющими другие температуры, и химические потенциалы. Если для данного неравновесного состояния известна скорость производства энтропии, то в рамках термодинамического описания можно ввести обобщенные силы. Феноменологическая теория необратимых процессов (см. [120]) предполагает, что вблизи равновесия обобщенные потоки являются линейными функциями обобщенных сил. Применимость этого предположения к макроскопическим отклонениям от равновесия подтверждается экспериментами (примером может служить справедливость закона Ома). При рассмотрении неравновесных кулоновских систем мы ограничимся указанным режимом линейного отклика, оправдывая этим возможность разложения матрицы плотности по степеням обобщенных сил с точностью до членов первого порядка.

Линейный отклик системы можно рассматривать различными методами (см. [228, 376, 377, 427, 715]), которые эквивалентны в том смысле, что все они дают формальное решение уравнения Лиувилля — Неймана для статистического оператора. В соответствии с флуктуационно-диссипационной теоремой кинетические коэффициенты выражаются через равновесные корреляционные функции. Это позволяет воспользоваться формализмом, развитым в гл. 3 и 4, и построить теорию кинетических

коэффициентов, справедливую в широкой области значений плотности. Все рассмотренные выше многочастичные эффекты можно включить в квантовую статистическую теорию кинетических свойств неидеальной плазмы. В частности, приближения, описанные в гл. 4, которые играют важную роль при наличии связанных состояний, могут найти применение и в теории кинетических коэффициентов.

Мы ограничимся подробным рассмотрением термоэлектрических эффектов. Плотность электрического тока /е и плотность теплового потока 厶 связаны с соответствующими обобщенными силами — градиентом температуры VT и градиентом электрохимического потенциала VJ =——V （ф + 卩/е） （屮（г）——потенциал внешнего поля,卩（г） — химический потенциал） линейными соотношениями

/в = е2Л1М — eL^T/T,

iq = eL^-L^TH. （）

Электропроводность о, термо-э. д. с. а и теплопроводность % связаны с коэффициентами Онсагера Lik — Lki следующим образом:

0成L山 a = %L12/L山

一 1 （7.2） 九=了（厶22 一厶12厶21/l11），

Все эти величины можно рассматривать как скалярные функции комплексной частоты. Обобщение на случаи анизотропных или многокомпонентных систем, а также, например, присутствия магнитного поля проводится естественным образом （см., например, [375, 376, 436]）.

В неравновесной статистической механике кинетические коэффициенты получают путем рассмотрения микроскопических процессов рассеяния. Такой подход впервые был реализован с помощью уравнения Больцмана, которое справедливо для систем с короткодействующим взаимодействием в предельном случае низкой плотности. Мы приведем некоторые частные результаты для проводимости о, часто встречающиеся в литературе |[109, 436, 480, 601]; эти формулы для проводимости можно вывести, пользуясь единым подходом в рамках изложенной ниже теории линейного отклика.

Лоренцевская плазма представляет собой систему невзаимодействующих электронов, которые рассеиваются на ионах, находящихся в фиксированных положениях. В случае упругого изотропного рассеяния уравнение Больцмана решаем путем введения времени релаксации. Электрон-ионное взаимодействие рассматриваем как статически экранированное кулоновское

взаимодействие, и в первом борновском приближении получаем формулу Брукса — Херринга [65]

(7.3)(7.3)_25/2 (4吗唱2网7严1

(7.3)

(7.3)

БХ冗昵晶Л”①вх(Ь)*

1 b团；限7)2

Фбх(й) = 1п VI + 6 — УТ+Т», 6= 12606,-^2^—.

Эта формула используется, например, для описания вклада рассеяния на ионизованных примесях в подвижность электронов в полупроводниках. Электронный газ считается при этом вырожденным; mJ — эффективная масса электрона, е，——диэлектрическая проницаемость невозбужденного кристалла, п ——плотность электронов.

Для электропроводности жидких металлов обычно используют формулу Займана [200, 702]

(2月戶)T

(7.4)(7.4)оз(Т = 0) = _^^{ , dqq3\Vei (?)|2|

(7.4)

(7.4)

Здесь электроны считают сильно вырожденными,九々戶 ——фермиевский импульс. Путем введения Т-матрицы было проведено обобщение борновского приближения на произвольный порядок потенциала Vet^q) (см. [92]). В борновском приближении множитель |Ре"')|2 равен произведению квадрата модуля элек- трон-ионного псевдопотенциала | V(^) I2 на статический ионный структурный фактор S(g, 0) (см. [517]).

Обобщение формулы Займана (7.4) на конечные температуры приводит к формуле [200]

33(4叫)2(%7 产^tn^2<bQ(4叫)2(%7 产^tn^2<bQ(7.5)(7.5)

3

3

(4叫)2(%7 产^tn^2<bQ

(4叫)2(%7 产^tn^2<bQ

(7.5)

(7.5)

2 kBT、з/2 £/ df (£)、?尸 。„

оооофо= — (-^-) J dE 优)(一 ~r)，齒炉 I 匕；句)e" I2.

о

о

о

о

В случае невырожденной системы распределение Ферми f(E) заменяется максвелловским и кулоновский логарифм Фо совпадает с Фбх, если взять статически экранированный потенциал взаимодействия Vei(?) = ^2/(?2 + ^2) Во-

Электропроводность идеальной полностью ионизованной ялазмы хорошо описывается формулой Спитцера [191, 601]

3。阿鸞%既:'①。也)П*，.(76,

где

есть плазменный параметр. Формула (7.6) получена для невырожденной системы с учетом влияния на проводимость элек- трон-электронного взаимодействия. Отметим, что кулоновский логарифм Фс(ц) получен путем процедуры обрезания при ис* пользовании точных траекторий кеплеровой задачи вместо бор- новского приближения.

Приведенные выше формулы для проводимости следует рассматривать как предельные случаи формул более общей теории кинетических свойств систем с кулоновским взаимодействием. Такая теория, основанная на теории линейного отклика, излагается в настоящей главе. Основная цель этой главы ——показать, как можно применить метод, развитый в данной книге, для формулировки кинетической теории. Аналогичные результаты могут быть получены и при другом подходе (см. разд. 7.1.3).

Перечислим многочастичные эффекты, рассматриваемые в этой главе. Так же как в теории термодинамических свойств, кулоновское взаимодействие нужно считать экранированным, чтобы получить для проводимости сходящиеся результаты. Поэтому последовательная теория проводимости плазмы может быть построена только на основе многочастичной теории, учитывающей динамическое экранирование.

Кроме того, возникновение связанных состояний влияет на проводимость плазмы, и моттовский переход, обусловленный исчезновением связанных состояний, очевидным образом связан с переходом из диэлектрического состояния в металлическое. Поэтому проблема возникновения связанных состояний в частично ионизованной плазме представляет особый интерес при по* строении теории кинетических коэффициентов неидеальной плазмы.

Более сложный многочастичный эффект — релаксация Дебая 一 Онсагера, известная из теории электролитов. Проводимость падает вследствие образования запаздывающего экранирующего облака, которое уменьшает эффективное электрическое поле внутри плазмы. Аналогичные эффекты получаются в квантовой статистической теории проводимости при учете собственной энергии. .

Как известно из теории жидких металлов, в случае плотной плазмы важную роль играет эффект равновесных корреляций ионов, описываемый структурным фактором Для систем слабо связанных электронов важен эффект прыжковой проводимости. Этот механизм переноса, известный из теории неупорядоченных полупроводников, может играть важную роль вблизи моттовского перехода. По аналогии с уравнением Больцмана, в котором дифференциальное сечение можно представить в виде борновского ряда, учет высших борновских приближений в теории линейного отклика приводит к методу Т-матрицы. При построении теории процессов переноса в плотных кулоновских системах необходим учет вырождения электронов и обменной энергии.

Таким образом, последовательная теория процессов переноса может быть построена только на квантовостатистической основе. Помимо теории линейного отклика эквивалентный подход может быть сформулирован в рамках кинетической теории (см. [376, 370]) или на основе квантовостатистического уравнения Больцмана [351].

Кинетические коэффициентыи корреляционные функции

В теории линейного отклика кинетические коэффициенты выражаются через равновесные корреляционные функции многочастичной системы. Кубо [427] предложил широко известный теперь метод, в котором рассматривается линейный отклик системы на электрическое поле и таким путем определяется проводимость (ср. разд. 4.2.1; см. также [405]).

Более общий подход, охватывающий также немеханические воздействия, был предложен Зубаревым [715, 716]. Здесь мы дадим обобщение метода Зубарева, который связывает отклик системы, например функции распределения, с внешними воздействиями (электрическое поле, градиент температуры), на случай открытых систем. При такой формулировке теория линейного отклика оказывается непосредственно связанной с кинетической теорией [111, 191, 551] (см. обзор [754]).

Нас будет интересовать формулировка теории линейного отклика для систем, содержащих как свободные частицы в состояниях |р〉 (в делокализованных состояниях; р указывает принадлежность данной компоненте, спин и импульс свободной частицы), так и связанные состояния |пР> (составные, локализованные состояния; п указывает компоненту и внутренние квантовые числа, Р ——полный импульс). К таким системам относятся, например, частично ионизованная плазма, возбужденные полупроводники, сильнолегированные полупроводники и т. д.

Набор чисел заполнения для рассматриваемых состояний {|v>} = {|р>, |пР>} необходим для формулировки принципа ослабления начальных корреляций, который определяет начальные условия для уравнения Лиувилля ——Неймана. Этот принцип широко используется в кинетической теории [72, 382]. Принцип ослабления начальных корреляций можно сформулировать [715], вводя в уравнение Лиувилля ——Неймана (3.34) для статистического оператора источник:

警+ f [〃，р] = -е(р —Pg) (7.7)

и переходя к пределу е->-+0 после проведения термодинамического предельного перехода. В отличие от теории Кубо, которая оперирует с равновесным статистическим оператором

Ро = z「ехр { - в儿 + W 部°М } (7.8)

(индекс с нумерует компоненты), здесь используется квазирав- бЪвесный статистический оператор р@ (обобщенное гиббсовсксм

состояние) [307, 551]:

Pq = Z” ехр { — \ § (г)瓦(г) dr—

_£\ 0(г)唸(r)%(r)dr + § "凸},(7.9)

где функции

В (г) = В + г • V。и ес?с (г)=—卩с + (%Е — У»} • г описывают поля температуры и химического потенциала соответственно, пс (г) = ^ (г) ^>с (г)— плотность частиц компоненты % а плотность гамильтониана системы имеет вид

Мг) = 2 冲才(г)(-蒜 А)屯(г) +

+ ^ 2 \ "吋(г)嵋(г，)嗫d (г — г，)办(У)屯(г).(7.10)

Cd'

Для описания неравновесного состояния вводятся наблюдаемые Р/. Мы рассмотрим два возможных набора наблюдаемых {Р/}: набор чисел заполнения {nv} для свободных частиц и двухчастичных связанных состояний и набор моментов электронных чисел заполнения {Р；：} = {£尼自々之(卩后公”俘孔尼}. Здесь Ро—полный импульс электронов, так что в адиабатическом приближении /е = e{Po)/Qme, a kBT{P2)/Qrne имеет смысл идеальной составляющей вклада электронов в поток энергии. Предположим, что средние значения этих операторов〈Р/〉д в квазиравновесном состоянии совпадают с фактическими средними значениями〈Р) в неравновесном состоянии [715]:

〈P/〉wTr{pP/}=Tr{PgP/}=〈P/〉g,(7.11)

т. е. pq есть оптимальное обобщенное гиббсовское состояние, которое соответствует состоянию р, имеющему экстремальную энтропию при заданных ограничениях (7.11). Тогда соотношения (7.11) неявно определяют параметры отклика 尸『.Из соотношений (7.7) и (7.11) следует, что операторы Р『подчиняются гамильтоновой динамике:

方В〉= Тг{р^[", Р/]};(7.12)

в рассматриваемом здесь стационарном случае правая часть обращается в нуль. Явные выражения для параметров отклика 尸/ определяются формальным решением уравнения (7.7): P(/) = Pg(f)- i"*J)j”(f+ 節，pg(Q]e«H(f. (7.13)

Разлагая это выражение в ряд по АТ, А£ и /*'；, с точностью до членов первого порядка (линейный отклик!) получаем (индексы компонент с опущены)

Р = Р9~Ро $ dt^dre^I - evgp。(/ -论т) + 毕(kBTP2(/-/Йт)- — co 0

一照。(?一第Т)) + 2 尸自(/-访Т)).(7.14)

Подставляя это выражение в (7.12), для стационарного случая (d〈p〉/df = 0) получаем следующие уравнения баланса:

еУСМт —毕也rTN2m — Wom) = g Pft^nm» (7.15) n

где:

Nnm = Nnm + ±-{Pn ⑻；%〉，

必俏=表仍”；％)，(7.16)

dnm = (^n； Pm) + <Pn (e); Rn〉 и использованы следующие обозначения для корреляционных функций:

(4 8) =，dt Тг {р。/(一访т) В},

о

S(7.17)

<Л (е); В)= \ 成8 (/(f); В),

Л (0 = ехр "〃s〃方)/ехр (— iHst/h),

Параметры линейного отклика F； определяются по правилу Крамера из линейной системы уравнений (7.15).

Уравнение (7.15) можно рассматривать как обобщение линеаризованного уравнения Больцмана, в котором интеграл столкновений dnm определяется не парными столкновениями, а корреляционной функцией всей плазмы. Приближенные выражения для 尸/ можно получить, используя вариационный принцип [386, 482, 520], справедливость которого вытекает из симметрии «интеграла столкновений» dnm (соотношения симметрии Онсагера) и его положительной определенности (положительное производство энтропии). Различные наборы наблюдаемых {Р『} соответствуют различным способам выбора пробной функции при использовании вариационного принципа (см. [754]).

Пользуясь формулой (7.14) для статистического оператора р, можно вычислить средние значения плотности электрического

тока и теплового потока:,

je = S2 尸”。"，％ = ^2尸“出7%“一叫0“)(7.18)

nn

(здесь рассматривается только идеальная составляющая теплового потока). Можно показать, что в борновском приближении неидеальные составляющие не дают вклада в кинетические коэффициенты. Решая уравнение (7.15), получаем для кинетических коэффициентов [307]

00гдегде% =% =亲~几一凡亲~几一凡Nn = (Nn0, N,NnlNn = (Nn0, N,NnlNnLNnL4о4о• > ^nL)> d()i • •. do£• > ^nL)> d()i • •. do£d“d“d〃d〃\d\~\ (7.19)\d\~\ (7.19)

0

0

где

где

% =

% =

亲~几一凡

亲~几一凡

Nn = (Nn0, N,

Nnl

Nn = (Nn0, N,

Nnl

NnL

NnL

4о

4о

• > ^nL)> d()i • •. do£

• > ^nL)> d()i • •. do£

d“

d“

d〃

d〃

\d\~\ (7.19)

\d\~\ (7.19)

Таким образом, проблема вычисления кинетических коэффициентов сводится к вычислению равновесных корреляционных функций. Последняя задача в свою очередь решается методами, изложенными в гл. 3, 4.

Рассмотрим подробнее выбор подходящих операторов {匕} для описания неравновесного состояния. Описание будет наиболее детальным, если взять числа заполнения одночастичных и связанных состояний {nv} = {ир, ппр}- Тогда уравнение баланса (7.15) соответствует линеаризованному уравнению Больцмана для функции распределения свободных частиц и связанных состояний

侬〉=fv = * + 6f V = Tr {po〃v} + E Fw(W； Mv). (7.20)

Для решения системы уравнений (7.15) можно воспользо- ватьоя упомянутым выше вариационным методом Кёлера. Используя различные наборы ортонормированных функций, мы приходим либо к методу Чепмена — Энскога (полиномы Сонина; см. [109]), либо к методу Грэда (полиномы Эрмита; см. [258]). При таком подходе становится очевидной эквивалентность (с точки зрения вычисления кинетических коэффициентов) обобщенного уравнения Больцмана в приближении многочленов конечного порядка и метода статистического оператора, содержа-

щего только такие многочлены в выражении для р^ (см. (7.9)). Как будет подробно показано ниже, в первом борновском приближении получаются несколько иные результаты для кинетических коэффициентов L® если при решении обобщенного уравнения Больцмана (7.15) вариационным методом использовать конечные наборы многочленов Р^

В частности, работая только с полным импульсом всех электронов Pq, получаем формулу, выражающую удельное сопротивление через корреляционную функцию сил;

R =丄 r -〈a(即 A>-(7.21)

о 3№е2 1 + (3N/n)T〈Pq (e); Pq〉

которая широко обсуждалась в литературе [42, 316, 552]. Отмечалось, что точный результат для удельного сопротивления в предельном случае слабого рассеяния (в первом борновском приближении) получается из формулы (7.21) в результате частичного суммирования ряда по степеням рассеивающего потенциала в высших членах разложения. Это частичное суммирование не требуется, если исходить из более детального описания системы, учитывающего большее число моментов в квазиравновесном статистическом операторе pg.

Аналогично в теории Кубо, где в формуле (7.9) не вводится никаких дополнительных операторов и квазиравновесный статистический оператор заменяется равновесным, для корректного вычисления проводимости должно проводиться частичное суммирование. Например, формула Кубо для электропроводности, представленная в виде ряда по степеням рассеивающего потенциала, в случае металлических систем приводит к расходящимся выражениям. Известно также [79, 80], что в случае прыжковой проводимости формула Кубо без проведения частичного суммирования не дает правильных результатов. В работе [773] более подробно продемонстрирована взаимосвязь между использованием ограниченного набора явно учитываемых наблюдаемых {Р/} и частичными суммированиями расходящихся членов рядов теории возмущений по взаимодействию.

Другие методы

В этой главе мы излагаем мощный метод расчета термоэлектрических эффектов, представляющий собой обобщенный вариант метода неравновесных статистических операторов Зубарева. Величины, описывающие термоэлектрические эффекты, выражаются через корреляционные функции, которые в свою очередь можно определить методом функций Грина (см. гл. 3, 4). В простейших случаях можно учитывать только линейные отклонения от соответствующих равновесных ситуаций, поэтому метод Зубарева иногда относят к теориям линейного отклика.

Но мы хотим подчеркнуть, что для кулоновских систем большой интерес представляют также неравновесные процессы вдали от состояния равновесия. В принципе метод Зубарева (а также кинетическая теория) является варна* ционным методом, который применим также к сильно неравновесным состояниям, но мы ограничимся здесь только обычными кинетическими коэффициент тами, определенными в линейном режиме. В более узком смысле теория Кубо также является теорией линейного отклика. В большинстве случаев используется только равновесный статистический оператор для большого канонического ансамбля, который учитывает лишь сохранение энергии и числа частиц. Если рассматривать только рассеяние электронов на ионах, примесях или атомах, то получаются правильные результаты (для случая электрон-

ионного рассеяния (см., например, [70, 401]). Пренебрежение электрон-элек- тронным взаимодействием соответствует модели лоренцевской плазмы, для которой здесь приведены точные решения.

В рамках ограниченной теории Кубо не удается учесть электрон-элек- тронное взаимодействие. Можно заметить, что в более плотных системах это взаимодействие становится менее важным. Метод неравновесного статистического оператора позволяет получить правильные результаты, учитывающие также электрон-электронное взаимодействие (см. разд. 7.2).

Другим возможным подходом к вычислению термодинамических величин является метод кинетических уравнений, наиболее старый с исторической точки зрения. Исходя из идей Больцмана, который впервые сформулировал замкнутое уравнение для определения одночастичной функции распределения («кинетическое уравнение»), кинетическая теория быстро развивалась и привела к появлению интеграла столкновений Ландау, уравнения Власова, интеграла столкновений Ленарда — Балеску и более сложных кинетических уравнений, учитывающих подробности экранирования в столкновениях более высокого порядка. Изложение современных исследований мовдо найти в книгах Климентовича [376] и Эбелинга и др. [191].

Помимо стандартных результатов, изложенных в книге Спитцера [601], много подробностей содержится, например, в книгах [62, 436, 480, 618]. Много полезного читатель может найти также в книгах [191, 271].

Главная задача кинетической теории состоит в определении сечений различных процессов рассеяния и в нахождении функций распределения в присутствии внешних полей.

В случае лоренцевской плазмы результаты кинетической теории согласуются с результатами теории Кубо и обобщенной теории Зубарева. Совпадение результатов кинетической теории [190, 415] и обобщенной теории Зу* барева имеет место и в общем случае, поэтому мы излагаем здесь лишь последний из указанных методов.

Как в кинетической теории, так и в обобщенной теории Зубарева определение термоэлектрических величин сводится к решению системы линейных уравнений, коэффициентами которых служат соответствующие корреляционные функции. В упрощенном квантовостатистическом подходе, использованном в работе [762] (см. также [748, 751, 781]), учитываются эффекты равновесных корреляций и экранирование. Но подобные подходы основываются по существу на использовании, борновского приближения при вычислении со* противления по формуле (7.21) и приводят в итоге к выражению (7.5), уступающему в строгости выражениям (7.3) или (7.6).

Ситуация усложняется в случае плазмы, ионизованной не полностью, а частично. Здесь уже приходится рассматривать химические реакции и, следовательно, систему связанных (различных) «уравнений Больцмана». Учет связанных состояний возможен как в кинетической теории, так и в теории линейного отклика Зубарева. Вычисления приводят к одинаковым результатам (см. например, [191, 382]).

Следует отметить, что современные теории эквивалентны и дают одинаковые результаты. В случае плотных систем, для которых характерны динамическое экранирование и «моттовский переход», современные многочастичные теории (например, кинетическая теория и теория линейного отклика) представляют собой мощное средство, позволяющее в принципе провести разложение до любого порядка в рамках некоторого приближения. В частности, необходимо упомянуть метод функций Грина, эквивалентный цепочке квантовых уравнений ББГКИ. Кинетическая теория для систем с химическими реакциями развита в работе [765].

В заключение этого раздела дадим несколько дополнительных ссылок на литературу. Прежде всего хотим обратить внимание читателя на труды Международной конференции по плазме и ионизованным газам, проходящей раз в два года. Рекомендуем также книги [237, 271, 276, 701].

7・2・ Вычисление интегралов столкновенийметодом функций Грина

Функции Грина,диаграммы и корреляционные функции

Как показано в предыдущих главах, кинетические коэффициенты связаны с равновесными корреляционными функциями, которые в свою очередь можно вычислить методами теории многих тел. Таким образом, кинетические коэффициенты не определяются просто парными столкновениями, как в элементарной кинетической теории, а вся система откликается как единое целое и ее можно описывать, например, коллективными модами. Особенно необходим многочастичный подход для неидеальной плазмы; метод функций Грина, изложенный в гл. 3 и 4, можно непосредственно применить для изучения неравновесных свойств [307, 401, 551, 556].

В частности, имеем

d如=〈户伯)；4〉=方2e也.的,2(0以尸2(泌品产2&^8)； М =

о е

=—dteet dx -^- £ ekeqVqek-ep'Vq'X

—80kpqk'p'q'

X 尸(к, р, q, к', р', q', / -访т) £")(к, q) Е^ (к', q'),(7.22)

日”)(k, q) = {e(峠产一电 + q^{^Ek+f2}.

Корреляционные функции (п^ (е); п*2) связаны с функциями Грина соотношением

尸(к, р, q, к', р', q', /)=

=тг {p。/”/%编味外广'小磧+心扌У%,%}=

=-,^- % («О е^ [<?4 (з + /0) -G^- /0)],(7.23)

которое содержит функции Грина G4(z); пв(со) = п(Йео)= =[ехр 伍§8)— 1]" — функция распределения Бозе ——Эйнштейна. В зависимости от того, какой член в E^(k, q) (^-й или 々 + д~й) берется в (7.22), выражение (7.18) состоит из четырех слагаемых, которые могут быть представлены диаграммами

видавида(7.2 分(7.2 分

вида

вида

(7.2 分

(7.2 分

и тремя другими диаграммами, у которых концевые точки е^ е^ расположены на других линиях.

В поляризационном приближении (первое борновское приближение по рассеивающему потенциалу) для диаграмм (7.24) имеем

(7.25}(7.25}

(7.25}

(7.25}

где волнистая линия обозначает экранированный потенциал Vs(q, z) (см. формулы (3.248) и (4.211)):

Г(ф z) = V.(l - , VlmeT(q, з + 2) 7r^), (7.26> e(q, z) — диэлектрическая функция (см. также разд. 3.3.1, 4.1.2, 4.2.3 и 4.4.3). Расчет в приближении (7.25) дает

d% = "^Z^%，d3lmeT(q,3 + ,0)(1 + % ®))厶(1 一 九+JX

X 6 (以 一 J+g - м £<『k, q) Eg (k + q, — q).(7.27)

При рассмотрении частично ионизованной плазмы помимо введения квазичастичных состояний |р>, \nP)t характеризующих квазиравновесное состояние, что в свою очередь приводит к системе уравнений Больцмана для функций распределения квазичастичных и связанных состояний, можно провести кластерное разложение диэлектрической функции (см. разд. 4.1, 4.5), позволяющее трактовать свободные и связанные состояния на общих основаниях. В обобщенном приближении случайных фаз, согласно (4.52), (4.264), имеем

e(q, z) = 1 —九立(q, z),

Q口 (q，z) = 2" e£上:宀 +

II Г|2‘心—frf, P+g

2 %%P 十九Z — %’, P+g

-2。*"ё左竺""男，(7.28)

где

fnP = % (%р) = [exp Р (е„р — “1 — “2)— I]-1.

ГпРп', P+g =，dk““ (к) X

X {'毋J + 宀；• q) + М. (к -缶^) }，亿29)

®р и епр — энергии одночастичного и двухчастичного состояний соответственно, W*(k) — двухчастичная волновая функция (см. разд. 4.4). Интеграл столкновений, получаемый из (7.28), рассматривается ниже. Он не эквивалентен полному первому бор- новскому приближению, поскольку (7.27) не учитывает обменного взаимодействия между рассматриваемым электроном и рассеивающей системой. Выражение, аналогичное (7.27), связывающее интеграл столкновений с мнимой частью диэлектрической функции, было получено Климонтовичем [377]. Были найдены также более общие соотношения, связывающие удельное сопротивление с обобщенными восприимчивостями [482].

Отметим, что вычисление корреляционных функций и кинетических коэффициентов проводилось на основе большого канонического ансамбля. Кинетические коэффициенты удобнее выражать через температуру и плотность (или давление). Для этого нужно заменить химический потенциал плотностью п (или давлением р), что можно сделать с помощью уравнения состояния, выведенного в гл. 6 (см. разд. 6.5).

Вычисление корреляционных функцийв первом борновском приближении

Предельному случаю слабого рассеяния соответствует вычисление коэффициентов 丄力左(7.19) в первом борновском приближении по экранированному потенциалу. В этом приближении релаксационный член Дебая — Онсагера 〈Рм(&), Р*〉обращается в нуль, и мы имеем

方如= Nnm = N •，女 丿勺3.(7.30)

呜) 1/2

где N — число электронов, /v(z) — интегралы Ферми.

Взяв диэлектрическую функцию (7.28), соответствующую обобщенному приближению случайных фаз. получим для инте-

гр ала столкновений (7.27)

dnm === dnm + dnm + ^пш»

где

第.=4产 2，"з 卜：：；,％| 位(1 -指+0)疗(1 —后-0)Х k, p, IJ,

X 6 (Ek — Ek+q —方s)6 (统一Ep_g + 方s) X

X E®(k, q)日⑺(k + q, — q)(7.31)

(s = e, 0, а электрон-атомный (e — а) вклад имеет вид

d旣= ^^Z,d3|P(q, «OF 义

X 九(1 一 f“g) 6 (Ek 一 E"g — s) E^ (k, q) £g (k + q, - q) X

X J £® I ГпР, M, p-q I2 gnP (L+ gnft P-q) 6 (EnP — E* p^a + 方(0)+

+ 2)I I\p“, a 12gMp(1 + %(£卩 + 8p-fl-o))6(enP — ep-q-p — 8卩十力s)+

+ 2()11，《mp I2 府(％ + ер」)(1 + gM, p-g) X

X 6 ⑸ + ер」一p-q + Лео)卜.(7.32)

Здесь верхний индекс (b) означает, что суммирование по п ограничивается связанными состояниями в энергетическом спектре. Второй член в (7.32) описывает процессы ионизации, третий ——процессы рекомбинации. В первом . борновском приближении вершинная часть F*,〃 g определяется выражением

(7.33)

где состояния после рассеяния заменены состояниями свободных частиц |р>.

Ввиду дальнодействующего характера кулоновского потенциала борновское приближение, не учитывающее экранирования, дает расходящийся интеграл столкновений. Для получения сходящихся результатов требуется учесть эффекты экранирования. Применение динамически экранированного потенциала (7.31), как будет показано в разд. 7.2.5, приводит к формулам Ленарда — Балеску для кинетических коэффициентов. В более простом приближении динамически экранированный потен-

циал Vs(q, со) заменяется статически экранированным потенциалом Vs(q, 0), и мы имеем [177] (ср. с выражением (4.77)) 片(q，0)= 1 +%/庐‘炉=2 4；冗绪/_ "2 (%)//1/2 (%). (7.34) s-e. f

Если, кроме того, пренебречь движением ионов и атомов (адиабатическое приближение), то для процессов рассеяния электронов на ионах и на атомах получим (ср. с [307]).

"^ = у 爺 М \ dx^~ f (х) (1 - f (х)) Qes (х). (7.35) о

Транспортное сечение рассеяния электронов на ионах равно (%= p£fe)

Qe, (х)=力3 (1 + 崇)一(1 + 炉/4依)т)，(7.36)

а транспортное сечение рассеяния на атомах Qea (X)= Q^P + Q™, где

2fe

Q驟(")=爲) 明д81 片(q, 0)|22 2%(p + q)S(p)_l 2l/ (7.37) описывает упругие процессы (в случае отсутствия вырождения), a Qeaynp — неупругие процессы возбуждения

Q雷6 (х) = ^，dqq31 片(q, 0)|2£| 办(p + q) 11V (p) - 1 |2 e, 月 0nnA

(7.38) ионизации 2fe

QW(%) = "^T，dqq31 尸(q, 0)|2£| 弘(p) _ 1Mp 一 q)产 L% (7.39) и рекомбинации

2尼

Q 蹤闾=\ dqqs I Vs (q, 0)|2хУ| %，(Р) — 5YP 十叫?噜

Электрон-электронная корреляционная функция dnm при отсутствий вырождения может быть выражена через транспортное сечение Q：J:

dnm = y neNe{mei^12，dx^m(x)e「 (7.41> где ,

%=0力2尸2/力^.

В частности, если перейти в систему центра масс,

2P

Q招的=證,對叫1 一名"S(g)(片(g)一差片("酒宁)), 0

(7.42>

где 2力尸/те — относительная скорость. Последний член в выражении (7.42) описывает обменные процессы.

Результаты для водородной плазмы

Прежде чем изложить результаты вычисления кинетических коэффициентов в первом борновском приближении при произвольной степени вырождения, рассмотрим предельные случаи отсутствия вырождения и сильного вырождения. В предельном， случае невырожденной плазмы основной вклад в электрон-ион- ные корреляционные функции (7.35) обусловлен максимумом подынтегрального выражения вблизи х = (п+ т)/2. В результате эта корреляционная функция может быть описана приближенной формулой (численный расчет см. [401])

臨=Г(金h十1居〃元N忆叫2俨/2嗇产①，(7.43}

где

①=貝m]+爵)一(1+僚)？

Аналогичное приближение можно получить для электрон- электронной корреляционной функции. Вкладом электрон-атом- ной корреляционной функции d^M можно пренебречь, поскольку в случае низкой плотности степени ионизации близка к единице.. В итоге для электропроводности о (см. (7.3)), термо-э. д. с. а и электронной теплопроводности 九& в первом борновском прибли*

жении получаем

。7。7(3产(3产4吟4吟(7.44)(7.44)

。7

。7

(3产

(3产

4吟

4吟

(7.44)

(7.44)

(7.45)(7.46)(7.45)(7.46)a, = akB/e9Ke = L(kBle^ Гст.

(7.45)

(7.46)

(7.45)

(7.46)

、 Последняя формула выражает закон Видемана — Франца. Множители f, а н 厶 зависят от набора моментов в (7.9) (см.

[307, 555|). В цитированных работах показано, что при пр® сильном выборе моментов Рп для 厶 a, L получаются конечные значения. Результаты, соответствующие набору (Р。, Р^ ..・,Р5З в предельном случае низкой плотности приведены в табл. 7.1;.

Таблица 7.1. Значения величин f, а и L, входящих в формулы (7.44), (7.4恥 <7.46), для различных наборов моментов Рп: вверху указаны соответствующие значения, полученные в приближении времени релаксации [307]

f1а

Приближение

времени

1,0159

1,5

4,С

релаксации

Различные на-

Электрон-электронное взаимодействие

-боры момен-

не учи-

учиты-

не учи-

учиты-

не учи-

учиты-

тывается

вается

тывается

вается

тывается

вается

冷=0

0,2992

0,2992

0

0

0

0

0,9724

0,5781

1,1538

0,8040

0,5917

0,6935

0; 2; 4

1,0145

0,5808

1,5207

0,9032

3,6781

2,7627

0: 2; 4; 6

1,0157

0,6184

1,5017

1,1316

4,0013

3,8858

0; 2- 4: 6: 8

0,0158

0,6208

1,5004

1,0934

3,9978

3,7628

0,8322

0,5738

0,7792

0,5822

0,3409

0,3694

0; 1; 2

1,0077

0,5823

1,3818

0,7204

2,0027

1,6449

0; 1- 2; 3

1,0159

0,6109

1,5

0,9279

3,7055

2,4456

0； 1； 2; 3; 4

1,0159

0,6230

1,5

1,0584

3,9946

3,2592

0; 1; 2: 3;

1,0159

0,6234

1,5

1,0781

4,0

3,7446

4; 5

В модели Лоренца, не учитывающей электрон-электронноио взаимодействия, точные результаты f = 25/2/л3/2, а =1,5, L』'4 получаются, если взять моменты Рп с п = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Процессы электрон-электронного рассеяния уменьшают кинетин» ские коэффициенты при низких плотностях примерно на 35 % (в случае теплопроводности следует рассматривать произведение fZ). Если взять только набор 也，尸2} (потоки частиц и тепла), то кинетические коэффициенты совпадают с теми, которые получаются при решении уравнения Больцмана методом

13 моментов Грэда [379] или вариационным методом Кёлера [29].

В противоположном случае сильного вырождения вычисление корреляционных функций приводит к формуле Займана для электропроводности (Е尸 и 々尸一энергия и импульс Ферми соответственно)

(7.47%(7.47%(7.4阶(7.4阶(7.49)(7.49)疥一， ①0= \ dq^\Vei (^) I2, формуле Мотта для термо-э. д. с.

(7.47%

(7.47%

(7.4阶

(7.4阶

(7.49)

(7.49)

Л2碌/Фо (Е戶))

и закону Видемана — Франца для теплопроводности л2^д

где L = л2^|/3е2 — число Лоренца. Такие выражения для кинетических коэффициентов обычно используются в физике металлов [702].

Из-за наличия резкой поверхности Ферми в предельном случае сильного вырождения процессы электрон-электронного рассеяния подавлены в силу принципа Паули. Поэтому в случае сильного вырождения для электропроводности получается правильный результат, даже если взять лишь один момент Ро [316]. В случае низкой плотности электрон-электронное взаимодействие, вообще говоря, становится более существенным (см. [555]).

Вычисление корреляционных функций в первом борновском приближении и учет только моментов Ро и 尸2 приводят к значениям кинетических коэффициентов (при произвольной степени вырождения), показанным на рис. 7.1—7.3 (см., например, [307]). Степень ионизации определялась просто из закона действующих масс, который учитывает только дебаевский сдвиг для свободных частиц (см. также разд. 6.5.3 и работу [185]). Учет связанных состояний приводит к уменьшению тепло- и электропроводности. Этот эффект особенно велик в области малых значений степени ионизации, т. е. при плотностях ниже мот- товской и низких температурах, где о и 九& могут иметь минимум. Аналогичные результаты были получены в ряде работ [414, 422, 559, 575].

Заметим, что влияние рассеяния на связанных состояниях приводит к изменению знака термо-э. д. с при низких температурах.

Рис. 7.1. Зависимость электропроводности а в статически экранированном первом борновском приближении от полной электронной плотности пе при различных температурах (в единицах Т/104 К). Вертикальной штриховой линией показана область неустойчивости при Г/104 К = 1, 1,5, 2. Штриховой линией при Г/104 К = 3 показана электропроводность в модели полностью ионизованной плазмы без учета электрон-атомного рассеяния.

Результаты, показанные на рис. 7.1—7.3, получены при учете только рассеяния на атомах, находящихся в основном состоянии. Влияние возбужденных состояний, рекомбинации и ионизации на корреляционную функцию d00 отражено на рис. 7.4 (см. [307, 559]). Легко видеть, что в рассматриваемой области температур влияние такого рассеяния пренебрежимо мало по сравнению с упругим рассеянием в основном ls-состоянии.

Эффект Мотта (ионизация давлением) приводит к разрушению связанных состояний в области высоких давлений (см. разд. 4.4, а также работу [185]). В таком случае должен преобладать механизм электрон-ионного рассеяния, и становятся справедливыми формулы (7.47) — (7.49) для сильного вырождения. При низких температурах возможен фазовый переход плазма — жидкий металл. Разумеется, приведенный здесь расчет корреляционных функций в первом борновском приближении перестает быть справедливым в области этого фазового перехода и вблизи моттовского перехода. В соответствии с

Рис. 72 Зависимость термо-э. д. с. а в статически экранированном первом борновском приближении от полной электронной плотности пе при различных температурах (в единицах Т/104 К). Пунктиром показана область нестабильности. Для Г/104 К = 1 дополнительно показан случай полностью ионизованной плазмы (штриховая линия).

Рис. 7.3. Зависимость электронной теплопроводности 九 в статически экранированном первом борновском приближении от полной электронной плотности пе при различных температура^ (в единицах Г/104 К). Вертикальной штриховой линией показана область нестабильности при Г/104 К = 1, 1,5, 2. Штриховой линией при Г/104 К = 3 показана электронная теплопроводность в модели полностью ионизованной плазмы без учета электрон-атомного рассеяния.

Рис. 7.4. Зависимость вкладов в корреляционную функцию d00 в первом бор- новском приближении от полной электронной плотности пе при Т = 104 К. Показаны вклады электрон-ионного рассеяния, упругого рассеяния электронов на атомах в 1s- и 25-состояниях, неупругого электрон-атомного рассеяния с переходами ls->2s и 1st 2P и ионизации. Штриховыми, линиями показана область неустойчивости при плотностях ниже моттовской.Рис. 7.4. Зависимость вкладов в корреляционную функцию d00 в первом бор- новском приближении от полной электронной плотности пе при Т = 104 К. Показаны вклады электрон-ионного рассеяния, упругого рассеяния электронов на атомах в 1s- и 25-состояниях, неупругого электрон-атомного рассеяния с переходами ls->2s и 1st 2P и ионизации. Штриховыми, линиями показана область неустойчивости при плотностях ниже моттовской.F£wzF£wz

Рис. 7.4. Зависимость вкладов в корреляционную функцию d00 в первом бор- новском приближении от полной электронной плотности пе при Т = 104 К. Показаны вклады электрон-ионного рассеяния, упругого рассеяния электронов на атомах в 1s- и 25-состояниях, неупругого электрон-атомного рассеяния с переходами ls->2s и 1st 2P и ионизации. Штриховыми, линиями показана область неустойчивости при плотностях ниже моттовской.

Рис. 7.4. Зависимость вкладов в корреляционную функцию d00 в первом бор- новском приближении от полной электронной плотности пе при Т = 104 К. Показаны вклады электрон-ионного рассеяния, упругого рассеяния электронов на атомах в 1s- и 25-состояниях, неупругого электрон-атомного рассеяния с переходами ls->2s и 1st 2P и ионизации. Штриховыми, линиями показана область неустойчивости при плотностях ниже моттовской.

F£wz

F£wz

разд. 4.4 мы считали, что окружающая плазма не очень сильно влияет на связанные состояния. Но вблизи моттовского перехода необходимо более точное описание связанных состояний и рассеяния в состояния непрерывного спектра.

Напомним еще раз, что мы понимаем в этой книге под термином «связанные состояния». Учитывая специфику кулоновского взаимодействия, для которого возможно бесконечное множество дискретных состояний, мы по определению считаем связанными все дискретные собственные состояния относительного движения электрон-ионной пары, для которых энергия связи превышает некоторое конечное граничное значение, определяемое тепловой энергией:

Свободный параметр 工 в некоторых пределах произволен, поэтому мы полагаем просто ^ = 1. Дискретные состояния, расположенные выше граничного уровня 8*, рассматриваются как свободные ввиду большой протяженности их волновых функций и нестабильности этих состояний относительно тепловых столкновений. Эта трудность характерна для кулоновских систем. К счастью, подразделение дискретных состояний относительного движения электрон-ионной пары на связанные состояния, удовлетворяющие условию и

—со < Е„ < 8*, квазисвободные, определяемые условием

и рассматриваемые наравне с непрерывным спектром (делокализованными состояниями), необходимо только в случае очень разреженной плазмы. При

повышении плотности число квазисвободных состояний уменьшается из-за понижения усредненного края непрерывного спектра (см. разд. 4.4, 6.5, 6.6). В первом приближении усредненный край непрерывного спектра определяется обменно-корреляционной частью химического потенциала:

А (п, Г) Q Цхс (% С

которая ведет себя как возрастающая функция плотности плазмы. Выше определенного значения плотности 〃q(7) (граничной плотности для квазисвободных состояний) квазисвободные состояния вообще не существуют. При втором критическом значении плотности Пм(Г) все связанные состояния исчезают из-за эффекта Мотта. Таким образом, при данной температуре Г необходимо различать три области значений плотности (см. рис. 6.14 и 6.18):

область малых плотностей 几 V 几q(7), где существуют дискретные связанные состояния и дискретные квазисвободные состояния, причем последние рассматриваются наравне с состояниями непрерывного спектра;

область промежуточных плотностей riQ(T) < п < пм(Г), где имеются только дискретные связанные состояния;

область высоких плотностей 〃v^m(T), в которой спектр энергии внутреннего движения полностью непрерывный.

Учет ионного структурного фактора

В предыдущем разделе при вычислении корреляционных функций, определяющих интеграл столкновений, использовалось первое борновское приближение по экранированному потенциалу взаимодействия. В плотных системах типа жидких металлов важную роль играют равновесные корреляции внутри рассеивающей подсистемы, поэтому при вычислении кинетических коэффициентов используется борновское приближение по экранированному взаимодействию между электронами и всей рассеивающей подсистемой. Например, в адиабатическом приближении равновесные корреляции внутри ионной подсистемы описываются статическим структурным фактором, а коллективные движения ионной подсистемы типа фононов — динамическим структурным фактором S(q,(о).

Структурный фактор получается естественным образом в теории линейного отклика при вычислении равновесных корреляционных функций. Если положение иона в момент времени t обозначить вектором Rn(/), то электрон-ионное взаимодействие примет вид

匕,(/)=£*(!•—R“g), (7.50)

а корреляционные функции

也=粤0^) 2击2卜伍8)(一备)X

X 6 (Ek+q -Ek- fico) kn+mq2NS (q, co) | vU (q) |2,(7.51)

где 0et(q) —фурье-компонента электрон-ионного взаимодействия:

%，(q) = \ dre'" % Jr),

а динамический структурный фактор определяется следующим образом (см., например, [517]):

S (q, со) = AT' ( dte-1^ /^ exp (iq (R。(0) - R“ (/)» (7.52)

Формулы, выражающие кинетические коэффициенты через динамический структурный фактор, были получены Беймом. В статическом случае, когда положения ионов фиксированны, имеем S (q,(o) = S(q)6(co), и для проводимости получается формула

а(Г = 0)=-^^| J 〃冲 1% (叫2s (q)卜(7.53)

Эта формула была получена Займаном [703]; она широко используется в теории жидких металлов. Динамический структурный фактор может дать информацию о динамике фононов.

Статический структурный фактор связан с бинарной функцией распределения ионов g〃(r) соотношением

s (q) = 1 +，九疋"(Г) ”dt.(7.54)

Бинарная функция распределения ионов определяется ион- ионным взаимодействием. В случае чисто кулоновского взаимодействия между ионами при 乂е?/也8T V 1 можно воспользоваться известной нелинейной формулой Дебая

g“(r)=exp(-^^ге-х].(7.55)

В случае когда в ион-ионное взаимодействие вносит дополнительный вклад твердая «сердцевина» радиуса R〃 формулу для g“(r) можно получить в приближении усреднения по сфере или, если пренебречь дальнодействую- щим взаимодействием, из решения Перкуса — Йевика для незаряженных твердых сфер. Результаты для проводимости водородной плазмы с учетом ионного структурного фактора в дебаевском приближении и для проводимости цезиевой плазмы со структурным фактором, полученным в приближении усреднения по сфере, показаны на рис. 7.5 [473]. В случае цезия ион-ионное взаимодействие описывалось кулоновским взаимодействием, обрезанным на кристаллографическом радиусе твердой «сердцевины» /?^s = 0,169 нм. Наличие структурного фактора изменяет проводимость более чем на 20% при у > 2,3, Г == 104 К и у > 25, Г = 303,15 К, где у = e2l(4n&QkBTrD).

Включение динамического структурного фактора в теорию кинетических свойств плотных кулоновских систем широко

Рис. 7.5. Влияние структурного фактора 5(g) на приведенную проводимость а*(у). Штриховые линии — кулоновский потенциал: / — S(g)三 1; 2 — S(g) в дебаевском приближении; сплошные линии — потенциал Хеллмана: 3、4 — S(q) = 1； 5, 6 — S(g) в приближении усреднения по сфере [473]. Крестиком отмечено экспериментальное значение для цезия в точке плавления [238]

используется в теории жидких металлов, аморфных и кристал* лических твердых тел. Понятие динамического структурного фактора получило в теории жидких металлов дальнейшее развитие (см., например, статью Коваленко и Красного в сборнике [191]). Недавно получены количественные результаты для проводимости в борновском приближении для электрон-ионного рассеяния с использованием реалистического структурного фактора ионной подсистемы плотной плазмы [762].

Динамически экранированноевторое борновское приближение

Динамически экранированное второе борновское приближение определяется вкладами (7.56) в функцию Грина G^s*) (см. диаграмму (7.24)).

Первая диаграмма описывает рассеяние свободными частицами, а вторая — рассеяние двухчастичными комплексами.

(7.56)(7.56)

(7.56)

(7.56)

Вклад рассеяния свободными частицами в интеграл столкновений во втором борновском приближении равен [551]

S瓦伯)；九就恥=摇 2 giEk + E,)^ (斗 + EP- Ек — £.，)X

XV^(P, k, p‘， k')P ⑵(p‘， kJ p, k) dklk(dk^-dk fel)do+fe, ^+fes (7.57)

где

…(p, k, p\ И =

= %eU (k，— k)[l + ,絮 ImeFk，- k, s+) ^ 工以一々]，

QH(p, k, M k，) = * 2 £ +%：竺詳二％ X

XU(k — k〃)U(k〃一k')[l 一，勺ImeT(k-k〃，s+)X

力 8+ 4 —％—力(q — eJ

-f WT,叫^^:^^ + ^^^卜

+，鲁，等 Im e-1 (k - k", co+) Im e'1 (k〃 — К a/+) X

]J 1 + 孔月 3)1+ 电(8)

力s' + Йо — E^ + E^，( E& •— ft co — E wE 0 + fto — E炉

, nB ^E 纪 + 力 s' — Е^#, nB ^E 纪 + 力 s' — Е^#(7.58)(7.58)

, nB ^

E 纪 + 力 s' — Е^#

, nB ^

E 纪 + 力 s' — Е^#

(7.58)

(7.58)

При выводе этой формулы учитывались только члены низшего порядка по плотности, т. е. принималось f(k)《1. Кроме того, отброшены вклады во второе борновское приближение, содержащие выражения вида $ (Е& — 5V ——Йш) вместо 6 (Ek + + Ер — Ekf — Е“

Как показано в разд. 4.4, динамически экранированный потенциал Vs(q, 2) можно заменить эффективным одночастотным потенциалом в канале рассеяния частица — частица (в ядре

уравнения Бете — Солпитера):

V (к, р, к； р', Q)=

1 - \ 鲁 1тет(к' — к, со)义

X {渝+ 2£i + 涸二法^!?二吃a*~，(7.59) что дает эффективный динамически экранированный потенциал Р⑴(р, к, р', к') при условии tlQ = E0 + Е^^Ер + Е^. В приближении Шиндо этот эффективный одночастотный потенциал У") можно использовать для построения высших борновских приближений или приближения экранированной Т*матрицн. Но этот потенциал не описывает точной динамики процессов многократного рассеяния, так что второе борновское приближение у(2)=(р, i, р[ к) не следует автоматически из V⑴.

В полном втором борновском приближении интеграл столкновений имеет вид

4rn = ^- 2 f2(Ek + Ер) б{Ek + ЕР- Ek,q - Ер_^ X 左，p，0

义日叫兄q)以m)(k + q, -q)X

X 屮⑴(p, k, p — q, k + q) + P⑵(p, k, p — q, k + q) E・(7.60)

Аналогично для рассеяния связанными состояниями во втором борновском приближении находим

8宿；力加超=

= ^^^ 2 ^3 ^k + ^nP)^ ^k + ^nP—国'—EmpBX

“ kkwpp^ .

义 V⑴(k, n, P, k',献，P‘)P⑵(k‘，川，P, k, и, P) X

X M田(6島肥—6拓瓦)M+p』_p，， где

M"k, и, Р, К и； P') = eJ\pMp，P(k' — k)义

义卩 + \ * Im 厂(k‘ 一 k, з+)…;二魇]，(7.61)

a V(2)(k, n, P, k‘，n\ P‘)получается из 丫⑵阮 p, k‘，рл) заменой p на (n, P), p‘ на (г/, P‘)，p" на 仇"，P") и 线 на MnPn.pvMn^n^ [551].

Вычисление борновских приближений третьего и более высоких порядков приводит к гораздо более сложным выражениям. Вследствие нейтральности связанных состояний в кулоновской

системе главная часть взаимодействия между заряженной частицей и нейтральным атомом обусловлена поляризацией атома. Этот эффект не учитывается в первом борновском приближении, так что влияние поляризационного потенциала необходимо рассматривать во втором борновском приближении.

В полном втором борновском приближении интеграл столкновений d旣 имеет вид

=2呻 \ 2『3 (以 + £"«₽) 6 (Ek + EnP — Eh+q — E* P-q) X

nn*kPq

XE(“)(k, q)£(m)(k + q, -q)|^i)(k, a, P, k + q, a', P — q)十

(7.62>(7.62>+ Н)(к, и, Р, k + q,忆 Р - q) I.

(7.62>

(7.62>

Выражения (7.61) и (7.62) можно рассматривать как обобщение интеграла столкновений Ленарда ——Балеску [436], который описывает только первое борновское приближение.

Расчет в динамически экранированном втором борновском приближении довольно сложен, так что мы приведем некоторые результаты, получающиеся в статическом приближении, Пре-

небрегая передаваемой энергией Ek ——Е』небрегая передаваемой энергией Ek ——Е』в знаменателях вы-в знаменателях вы-ражений (7.59), (7.61), получаем в соответствии с (4.77) статически экранированный потенциал V$(q) = V(q)/(1 + 乂纟/夕？) и

небрегая передаваемой энергией Ek ——Е』

небрегая передаваемой энергией Ek ——Е』

в знаменателях вы-

в знаменателях вы-

，⑴(р, k, р — q, k + q) = epekVs (q),

QV⑵(p, k, p — q, k + q)=明?登名聆％ ' (7.6分

если в выражении для плотности свободных частиц пе учитывать только члены первого порядка. Это часто используемое приближение фактически оправдано только при условии, что передаваемая энергия мала по сравнению с плазменной частотой (1)пл — (〃？2/g0巾6)1/2

Полученные выражения для корреляционных функций можно выразить через транспортные сечения. При отсутствии вырождения в адиабатическом приближении имеем [307, 491]

2% 得 В + 1■ B/nd 18冗2a^力 2 bx2% 得 В + 1■ B/nd 18冗2a^力 2 bx(7.64>(7.64>

2

% 得 В + 1

■ B/nd 1

8冗2a^力 2 bx

2

% 得 В + 1

■ B/nd 1

8冗2a^力 2 bx

(7.64>

(7.64>

где А = хав> x = ^Ekt 8 = 8/Пе%/0九?乂2. Аналогичное выражение можно получить для вклада электрон-электронного рассеяния, если воспользоваться системой центра инерции.

При вычислении вклада электрон-атомного взаимодействия мы также пренебрегаем передаваемой энергией Е* — Ek по сравнению с со, так что

卜⑴(k, n, Р, К г/, Р — q) = ekMnPn^ р—屮$ (q). (7.65)

Во втором борновском приближении V(2)(k, n, Р, k', n\ Р‘) -сумма по гг" разбивается на член с гг" = гг и остальную часть суммы по п/х Ф п. Разности энергий Е^ — Е紋 (п" # п) предполагаются большими по сравнению с характерными значениями частоты ©пл (подставляемой для оценки вместо (о) и энергии квТ (вместо Ek). Тогда получаем

Р⑵(к, п, Р, К 也 P-q) =

=2球六小g，=2球六小g，或 MftPrt", pyM* p g,,也，,p q或 MftPrt", pyM* p g,,也，,p q4&oQ4&oQ〃一〃"〃一〃"XX

=2

球六小g，

=2

球六小g，

或 MftPrt", pyM* p g,,也，,p q

或 MftPrt", pyM* p g,,也，,p q

4&oQ

4&oQ

〃一〃"

〃一〃"

X

X

X ｛，у + Vs (- q')｝ ｛乙，у + 片(q‘ - q) = V：(4)-(7.66)

Это приближение для эффектов динамического экранирования можно интерпретировать следующим образом. Если разности энергий, соответствующие виртуальным переходам в атоме, велики по сравнению с плазменной частотой, то плазма не успевает следовать за этими флуктуациями и соответствующий вклад остается неэкранированным. Напротив, рассеяние на малые углы связано с малыми передачами энергии, так что плазма ■квазистатически следует за такими флуктуациями.

Фурье-компоненту Vp (г) поляризационного потенциала Vp (q) «см. (7.66)) можно записать в форме паде-аппроксимации

e2ads) 1

*⑺一p^F 码口+…1 + ")产，(7.67)

которая правильно передает поведение при г-> оо и г = 0. Поляризуемость в основном состоянии равна

"4 叫“厶 Eis-En„"4 叫“厶 Eis-En„(7.68)(7.68)

"4 叫“厶 Eis-En„

"4 叫“厶 Eis-En„

(7.68)

(7.68)

а значение r0 = ^в получается из формулы

，計=0)= 2 Е 笃7 [ \ d〃Rw (r)R“(r)e-"] , (7.69)

в которой используются радиальные волновые функции атома водорода. Поляризационный потенциал подробно обсуждается в работе [771].

Прежде чем перейти к явным выражениям для кинетиче^ ских коэффициентов, мы обсудим в следующем разделе влияние высших борновских приближений. Ввиду нейтральности атома главный вклад в рассеяние заряженных частиц нейтральными атомами вносит не первое, а второе борновское приближение. Минимум электро- и теплопроводности и максимум термо*э. д. с. частично ионизованной плазмы (см. рис. 7.1—7.3) становятся более выраженными при учете второго борновского приближения [191,307].

Приближениестатически экранированной Т-матрицы

Как показано в предыдущем разделе, корреляционные функции, через которые выражается интеграл столкновений, можно вычислить в борновском приближении по динамически экранированному потенциалу. При выходе за рамки второго борнов- ского приближения результаты становятся очень сложными. Вместо суммирования кольцевых диаграмм, которое приводит к динамически экранированному потенциалу, можно провести суммирование лестничных диаграмм, при котором потенциал взаимодействия заменяется Т-матрицей. При вычислении корреляционной функции 〈户0(£); Ро〉возможны различные варианты частичного суммирования диаграмм, приводящие к динамически экранированному потенциалу (интеграл столкновений Ленарда —Балеску) или к Т-матрицам (интеграл столкновений Больцмана); дальнейшие улучшения возможны при другом выборе класса суммируемых диаграмм (см. [556]). Метод Т-ма- трицы применялся также к дебаевскому [473] и обрезанному [406] потенциалам. Другой способ учета эффектов многократного рассеяния основан на методе Кубо ——Гринвуда (см., например, [247, 555]).

Для вычисления электрон-ионных и электрон-электронных корреляционных функций с учетом многократного рассеяния воспользуемся различными приближениями, обоснование которым дает диаграммная техника. Для оценки электрон-ионных корреляционных функций в высших порядках по рассеянию рассмотрим задачу о рассеянии электронов статически экранированным электрон-ионным потенциалом 唯).Это соответствует замене Н$ на Неа

Hei = Z^ a^fe + £ y«f (^ a^ak О?» k fe, p

(элёктрон-электронное взаимодействие |Zee(q) учитывается только в виде статически экранируемого электрон-ионного потенциала У/ Тогда получаем (см. [555])

+ОО

〈％； А，〉=缙，dE〃E)(l-〃E)) Tr {б (Е - Hei) X

XP^i>(E-Hei) >H(7.71)

Вводя электрон-ионную Т-матрицу

Th = vh + vh (£ - Hei + ie)-1 ^(7.72)

«8->+0) и используя оптическую теорему, получаем из (7.71).

〈货•' *〉=手(需)(-喀)X

X6(J — E〃)^+"(k — k')2|7t(k — k')|2.(7.73)

Для дальнейших вычислений выразим многочастичную электрон-ионную Т-матрицу Tei (q) через двухчастичную 僞(q), используя одноузельное приближение:

|n(q)|2«yS(q)|daq)|2,(7.74)

где S(q)——структурный фактор ионов, определяемый формулой (7.54), Это приближение справедливо во втором порядке по электрон-ионному потенциалу; оно использовалось, например, в теории проводимости жидких металлов и сплавов (см. [92, 200, 488]).

При вычислении электрон-электронных корреляционных функций, чтобы учесть эффекты многократного рассеяния двух электронов друг на друге, включим в рассмотрение все порядки ■статически экранированного электрон-электронного взаимодействия Vee (q) и пренебрежем электрон-ионным взаимодействием Vei (q)- Заменяя Hs на Нее, где

"ее =，《三 @力左 + 4~ 2 УЗ (q)a"/*~4aA!以左，(7.75) 在fe, k\ q

получаем, например:

十8+000§

〈Р 戈；PF〉= \ dE \ dE'\ dfe可队;ехр(—§Е)Х

—ОО—ОО—ООс

Хехр{孑(/_ 诡储(Е-£)}Тг{б(Е_"ее)户产 X

^{Е1 - Ht^i>n(7.76)

Вводя электрон-электронную Т-матрйцу

悪=頂е + 噢е (Е — Нее + 间Т 頂е (8 — 0)(7.77)

и используя оптическую теорему, получаем (Но = ^fe£(k) а^а^) о в

〈用ее)； Р^ = --^ \ dte^t j dK Тг {z-^e-^e1^-^»^ Х

X [Т^, p^]e-i{t-M} H°lh\Tte,耳叫}・(7.78>

Учитывая только парные электрон-электронные столкновения (приближение экранированной лестничной /-матрицы), имеем

т：е = 2 Пе (к, К к + q, к，— q) а如ajag,(7.79>

瓦忆q

где

Тее (к, к; к + q, к' — q)=

=у寫(q) + Z 卜北(q‘) (Е — Е (к + Q —

一 Е (к‘ 一 q‘)+ 间г ТМ (к + q‘，к' 一 q‘； к + q, к' 一 q). (7.80> Отсюда находим

〈屋叫；禮°〉=У f (к + q) f (К - q) (1 — 〃к)) (1 - 〃к)) X.

31ne нu“

X 6(Е(к + q) + Е(к' — q) 一 E(k) -E (к')) X

X{|7le(k, к'; k + q, k'-q)|2 —

-Tee (к, к; к + q, k' — q) Ге (к, к, к 一 q, к + q)}义

X {(к + q)(k + q)2 - (к' - q) (kz - q)2 - kk2 - k'k"}?.(7.81)"

В случае неупругого рассеяния Г-матрицы ТЗ и Т% связаны, с фазовыми сдвигами & (Е) соотношением [491]

Tab (к — к')=

=-^5 £ (2/ + 1) Рг (cos ^) 4 ei6'w sin 6Z (£).(7.82)，

Здесь E = 九2也2/2巾。6 ——энергия относительного движения, соответствующая приведенной массе mab = mamb (ma + ть)-1, I —— квантовое число углового момента, О — угол рассеяния.

Возвращаясь к вычислению электрон-ионных корреляционных функций, подставим выражения (7.75) н (7.82) в (7.81) и выполним интегрирование по угловым переменным. Полагая S(g)= 1, получим для произвольного вырождения

〃+п'+5 8

〈户户;职〉=墻(喲 2 £ dkk^l (k) (1 — f (k)) X О

X W (/ + l)sin2{6f (E (初一曉 1 (E (k))}.(7.83)

Перейдя в систему центра инерции, можно получить соответствующее выражение для электрон-электронной корреляционной функции (7.78) в отсутствие вырождения. Интегрируя по угловым переменным, находим

〈月叫 Ру〉=整项嘗4% q \ ^p5 exp (- 0 f) X

X Ё ^^ ^ {寸(嘿)一隔(警)}(」^).

(7.84)

Для дальнейшего вычисления выражений (7.83), (7,84) необходимо знать фазовые сдвиги 6/(£) для статически экранированного потенциала 時》Было проведено [473] численное интегрирование уравнения Шредингера для радиальной волновой функции при различных значениях длины экранирования 乂一1 и углового момента /. На рис. 7.6 сравниваются приведенные проводимости водородной плазмы при Г = 104 К и Г = 105 К в зависимости от плазменного параметра у, вычисленные в различных приближениях — по теории Спитцера, в экранированном борновском приближении и в приближении экранированной 7-матрицы. Видно, что в области высокой плотности приближение экранированной Т-матрицы стремится к борновскому приближению (для водородной плазмы это происходит при плотности ne А 1025 см-3 и температуре Т 〜103 К).

В области низкой плотности приближение Т-матрицы дает те же результаты, что и теория Спитцера. Таким образом, приближение экранированной Т-матрицы можно рассматривать как интерполяцию между теорией Спитцера и борновским приближением (теорией Займана (см. формулу (7.4)). Аналогичное обсуждение было проведено с применением обрезанного кулоновского потенциала вместо статически экранированного [406].

畤

Рис, 7.6. Зависимость приведенной проводимости а* для статически экрани-рованного кулоновского потенциала от плазменного параметра 丫，вычислен-ная тремя методами: 7 — теория Спитцера; 2 — статически экранированноеборновское приближение; 3, 4 — приближение статически экранированнойГ-матрицы.

7

Рис. 7.7. Зависимость приведенной проводимости а* от плазменного пара* метра у. Сравнение теории с экспериментальными данными. Теория (для Г = 104 К) ： / — кривая Спитцера; 2 — приближение статически экранированной Т-матрицы; 3 — статически экранированное борновское приближение. Эксперимент: 4 — Аг, 11 750 K&TW 15 290 К [272]; 5 — Аг; 6 — Хе; 7 — Ne (с указанием ошибок эксперимента),力〜25 000 К [340]; 8 ―: Аг, 12 800 KWT& 17 400 К； 9 —Хе, 9000 К《Т《 13 700 К [39]; /0 — С$ (с указанием ошибок эксперимента), 4000 К&Т & 25 000 К [587]; 11 — Н» 15 400 К W Т W 21 500 К [273, 527]; 12 — воздух, 13 500 К W Т W 18 300 К.

[271; /3-С2^зС1, 37 000 К & Т《39 000 К [500].

Сравнение результатов вычисления электропроводности неидеальной плазмы методом экранированной Г-матрицы с экспериментальными результатами для идеальных газов и цезиевой плазмы, полученными разными группами экспериментаторов, дано на рис. 7.7 [473]. Хотя экспериментальные ошибки в области высоких плотностей довольно велики, измеренные значения проводимости существенно меньше, чем дает теория Спитцера. Интервал между приближением статически экранированной Г-матрицы и борновским приближением лучше согласуется с экспериментальными значениями. Эффекты вырождения ионного структурного фактора и псевдопотенциала в этой области малы.

Дополнительным эффектом, снижающим проводимость плазмы, является релаксация Дебая ——Онсагера, рассматриваемая кратко в следующем разделе. Кроме того, необходимо исследовать влияние на проводимость связанных состояний и комплексов. Оно может объяснить, например, сравнительно низкую проводимость плотной цезиевой плазмы.

7.3. Дальнейшее развитие кинетической теории

Влияние собственной энергиии релаксации Дебая — Онсагера

Мы рассмотрели подробно корреляционные функции, фигурирующие в интеграле столкновений обобщенного уравнения Больцмана (7.15); теперь мы кратко обсудим корреляционные функции, входящие в дрейфовый член, т. е. связанные с внешними полями. Рассматриваемые члены, например, могут иметь смысл числа частиц, модифицированного дополнительными корреляционными функциями, которые приводят к поправкам высшего порядка по плотности плазмы в кинетических коэффициентах.

Для более подробного рассмотрения возьмем формулу (7.21) для удель

ного сопротивления

(7.85)(7.85)r = Q 〈瓦 ®；户о〉

(7.85)

(7.85)

3Z%2 1 +(3Ne)T 2 奩。。(e)； %〉

b

которая получается из общего выражения (7.19), если при вычислении кинетических коэффициентов учитывать только момент Р°. Функцию релаксации

ОО6

Q = >( dte* ( d% Tr {роА (- t -熊尢)P。}(7.86)

b" о 0

можно вычислить как в отсутствие вырождения, так в при произвольном вырождении, если воспользоваться теорией возмущений по потенциалу взаимодействия [177].

В отсутствие вырождения релаксационная функция вычисляется с использованием классических траекторий, и для статически экранированного потенциала получаем

Q = ре2х/6.(7.87)

Этот результат впервые был получен Кадомцевым для неидеальной плазмы (352]; были получены также квантовомеханические поправки [380]:

q=6力券亍i &逹i ww电产и+皿电*о о

X exp (— k2T2/2^me) sin (hk2T/2me)-(7.88)

.Численные оценки влияния релаксации Дебая — Онсагера в классическом лредельном случае и с учетом квантовомеханических поправок даны Эбелин- гом и Рёпке [177]. Хотя в рассматриваемой области кватовомеханические поправки малы, при .Т = 104 К и g = ре2х да 2 удельное сопротивление возрастает вдвое.

Функцию релаксации Q нужно рассматривать также в том случае, когда вводятся квазичастицы. Например, величина Q играет важную роль для зонных электронов в периодическом потенциале, когда вместо свободных электронов рассматривают блоховские электроны. Обсуждалась также связь функции релаксации Q с собственной энергией свободных частиц [401]. В теории Кубо появляется «равновесная» поправка к проводимости порядка g[69]. Существует также связь между функцией релаксации Q и термодинамическими свойствами системы. В частности, при вычислении Q, необходимо учитывать образование связанных (локализованных) состояний [178].

Следует отметить, что функцию релаксации Q можно включить в интеграл столкновений и вычислять корреляционную функцию случайных (а не детерминированных) сил [355, 551]. Систематический метод рассмотрения релаксации Дебая — Онсагера и других поправок, зависящих от плотности, развит в работе [773]. Вопрос об энергетических потерях обсуждался в работах [742, 766]

Прыжковая проводимость

До сих пор мы считали, что основной вклад в кинетические коэффициенты вносят носители тока, находящиеся в делокализованных состояниях |々〉 (свободные частицы). Поэтому в качестве подходящих пробных функций для построения квазиравновесного статистического оператора р* (см. (7.9)) выбирались моменты Р" = X 々自к (6七々)"孔々 функции распределения свободных частиц (7.8). Однако в той части плоскости температура ——плотность, где доминируют связанные состояния, т. е. при низких температурах и плотностях ниже моттовской (см. рис. 2.2), для построения квазиравновесного статистического оператора следует использовать другой набор пробных функций, который определяет неравновесное состояние системы в терминах чисел заполнения связанных (локализованных) состояний [553].

Рассмотрим этот вопрос более подробно. Мы будем исходить из выражения

р° = Z^ ехр { — В R — 叩 一 g В,”呵},(7.89)

которое представляет собой частный случай более общего выражения (7.8). Гамильтониан системы Hs обычно выбирают в адиабатическом приближении (положения ионов R» фиксированы) и в представлении, базисом которого служат линейные комбинации атомных орбиталей (ЛКАО) | in>, приближен-

но описывающих волновые функции свободного атома с внутренним квантовым числом п, фиксированного в положении Rt・ При этом

& = £ EgC強％п + Z tli>nc^ncin + £ и 1пп,п1пп1п„ (7.90} tnii'ti力削i'

где матричные элементы Ein, “代 н ^innf связаны с оператором кинетиче* ской энергии Н° и потенциалом взамодействия V следующими соотношениями:

ЕШ =〈配 I "° + % I Е〉+£ Utvnn，nt，nc

5% = QI IЕ〉，

иtt，*，=〈，〃'，in I Vee|in,，吟，(7.91 >

°E 献=U tt，nn5r

Матричный элемент £配 включает в себя вклад, обусловленный кулоновским взаимодействием с окружающими заполненными состояниями, так что Ем флуктуирует около значения Е?7r соответствующего изолированному атому. Матричный, элемент перескока ti^n также является флуктуирующей величиной, зависящей от расстояния | Rz — RZ/1. Член с иг„п/, описывающий кулоновское отталкивание, исключает двукратное заполнение одного узла при условии, что этот член велик по сравнению с кинетической энергией и температурой. Прочие матричные элементы, например, содержащие три различные электронные орбитали, в гамильтониан (7.90) не включены.

Системы, описываемые гамильтонианом (7.90), широко обсуждаются 住 физике кристаллических и аморфных систем. К ним относятся системы с локализацией в пренебрежении величинами U [26], а также модель Хаббарда для упорядоченных и неупорядоченных систем [312]. Эти явления, заслуживающие внимания при изучении систем с кулоновским взаимодействием, не рассматриваются в данной книге, так как для обсуждения недавних результатов исследования таких модельных систем потребовалось бы слишком много места. Отметим лишь их связь с теорией явлений переноса, изложенной в предыдущих разделах.

Модельный гамильтониан (7.90), построенный в адиабатическом приближении, можно обобщить, включив в рассмотрение фононы для описания движения ионов (см., например, [80]). В этом случае необходимо также обобщить квазиравновесный статистический оператор р。(см. (7.89)), включив- в него числа заполнения фононных состояний.

Как показано в разд. 7.2, параметры отклика В历 получаются из условий стационарности (см. [553])

备(* =代忆*〉= °，亿92)

Отсюда следует

Z〈5〉+ G,&〉=o：

/产尸 ^ ^Ппсепс1п "~ ^Гпс1лс^п)^(7.93}

если 〃5& + 々十〃廿 где Н手=—еЕ ^ZrtnZnRz, а Нь обеспечивает ввод я вывод электрического тока посредством взаимодействия с окружающей средой.'.

Средние значения 〈厶『〉связаны с плотностью тока в системе соотношением [78, 80]

j = ^2(R「— K)〈储〉(794)

В приближении линейного отклика

〈力a〉=-(约力-ёе4 一 в，м + eERu)(刀」；厶" (7.95)

Ток между узлами z и i‘ разбивается на две части: первая, пропорциональная В^, представляет диффузионный ток, вторая, пропорциональная электрическому полю Е, — омический ток. Параметры Вм нужно выбрать так, чтобы выполнялись уравнения баланса (кинетические уравнения) (7.93). Таким путем мы приходим к задаче о случайной сетке сопротивлений (сетка Абрахамса — Миллера). Решение уравнений баланса (7.93) эквивалентно решению уравнения Больцмана для делокализованных состояний, а уравнение (7.96) напоминает представление интеграла столкновений корреляционными функциями в кинетической теории. Чтобы найти проводимость, нужно получить явные выражения для (jQ, вычислив, согласно (7.95), корреляционные функции. Для этого можно воспользоваться методом функций Грина, как показано в разд. 7.2.1.

Более общая теория кинетических свойств систем с кулоновским взаимодействием должна включать как вклад свободных носителей заряда, так и прыжковый перенос. Такой подход необходим в случае частично ионизованной плазмы при малой степени ионизации и особенно вблизи моттовского перехода. Недавно был развит более общий подход [550], при котором полный электрический ток рассматривается как сумма тока, создаваемого свободными частицами, и прыжкового тока, так что проводимость слагается из вклада свободных частиц Освобод, прыжкового вклада аПрыжк и перекрестного члена Пперекр. содержащего корреляционные функции свободных и связанных состояний частиц:

О = Освоб + ^прыжк + Сперекр-(7.96)

Диаграммная техника для вычисления, корреляционных функций позволяет рассматривать различные процессы, например перескоки, индуцированные плазмонами.

Другой пример применения изложенного подхода ——проводимость поляронов малого радиуса [553] (см. также [78, 80]).

В заключение этого раздела отметим, что в последние два десятилетия предпринимались большие усилия по изучению неупорядоченных систем. В таких системах важную роль играет кулоновское взаимодействие. К эффектам, определяемым этим взаимодействием, относятся, например, кулоновская щель и коррелированный прыжковый перенос (см., например, [78]V

Заключительные замечания

Кинетические эффекты в кулоновских системах — это макроскопические явления, определяемые микроскопическими процессами, для описания которых необходима теория многих частиц. В последние годы достигнут большой успех в последовательном

Рис. 7.8. Экспериментальные кривые Рис. 7.9. Экспериментальные кривые зависимости проводимости от темпе- зависимости проводимости от давле- ратуры (ср. с [746]).ния.Рис. 7.8. Экспериментальные кривые Рис. 7.9. Экспериментальные кривые зависимости проводимости от темпе- зависимости проводимости от давле- ратуры (ср. с [746]).ния.

Рис. 7.8. Экспериментальные кривые Рис. 7.9. Экспериментальные кривые зависимости проводимости от темпе- зависимости проводимости от давле- ратуры (ср. с [746]).ния.

Рис. 7.8. Экспериментальные кривые Рис. 7.9. Экспериментальные кривые зависимости проводимости от темпе- зависимости проводимости от давле- ратуры (ср. с [746]).ния.

применении многочастичных методов в кинетической теории. Одним из возможных подходов является теория линейного отклика, изложенная в этой главе. Используя концепции, развитые в гл. 3, 4, можно получить приближенные формулы для расчета кинетических коэффициентов, справедливые в широкой области температур и плотностей.

Некоторые многочастичные эффекты, такие как динамическое экранирование, образование связанных состояний, эффекты локального поля, влияние квазичастиц, находятся в противоречии с традиционными вариантами ранних кинетических теорий, В процессе их изучения стало возможным описывать с единой точки зрения кинетические свойства таких неидеальных систем, как плазма произвольной плотности и жидкие металлы. Для таких систем оказалось возможным объяснить эксперименталь' ные результаты (см., например, рис. 7.7, а также рис. 7.8, 7.9). Более подробное изложение экспериментальной ситуации содержится, например, в книгах [191, 271, 276].

Имеется много экспериментальных работ, в которых продемонстрировано, что поведение проводимости неидеальных паров металла совершенно отлично от того, что наблюдается в идеальной плазме [17, 338, 460, 530, 746, 757, 758, 767, 777].

Качественное поведение проводимости в зависимости от температуры и давления показано на рис. 7.8 и 7.9. Наиболее интересно, что экспериментальные кривые для проводимости обнаруживают быстрый рост при повышении давления. В количественном отношении проводимость насыщенного пара на 5—6；

порядков превышает ту проводимость, которая получается из формулы Спитцера, скомбинированной с уравнением Саха. Этз аномально высокая проводимость уже послужила основой для многообещающей идеи нового МГД-генератора, работающего на насыщенных парах цезия или калия [62]; в основе ее лежит также более ранняя идея использования неидеальной плазмы [318]. Характер температурной зависимости проводимости (рис. 7.8) зависит от давления. При низких давлениях (р = =105 Па) проводимость, как обычно, возрастает с температурой. При очень высоких закритических давлениях (р = = 1,5-107 Па) с ростом температуры проводимость, наоборот* убывает. В промежуточной области давлений (р = 2-106 Па) проводимость проходит через очень глубокий минимум (см. также разд. 7.2.3). Наблюдаемые факты пока не имеют окончательного объяснения, поскольку здесь существенны многие эффекты. Одно из возможных объяснений основано на том, что в плазме образуются тяжелые заряженные кластеры [366, 431> 461]. Идея этого объяснения состоит в следующем. При температурах ниже критической пар имеет очень сложный состав. Большинство ионов образуют кластеры с несколькими атомами, часть электронов также связана в отрицательные кластеры. Однако у положительных кластеров энергия связи гораздо больше, чем у отрицательных, что приводит к избытку свободных электронов. Обозначая плотность положительных кластеров через nk и пренебрегая отрицательными кластерами, из условия нейтральности получаем

% а £ "》勺，

где п/ — плотность свободных ионов цезия. Из уравнения Саха следует

診"аeхp信)

Используя условие нейтральности, получаем

九了 网产 а”%Xp (一右)?(*HJ/2.

В отсутствие кластеров n* = nJ; здесь же имеется множитель- Z nklnt.

k

который приводит к сильному возрастанию электронной плотности. Таково возможное объяснение аномально высокой проводимости плотных паров.

Глава 8

МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНАДЛЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

Общий формализм

Многочастичная теория спектров поглощения

Одна из наиболее интересных характеристик кулоновской системы——ее спектр поглощения, В частности, спектральный анализ служит важным средством диагностики плазмы. Теоретический анализ оптических свойств необходим, чтобы связать форму спектральной линии с микроскопическими процессами взаимодействия и, следовательно, определять плотность и температуру плазмы по профилям спектральных линий.

Влияние естественного и доплеровского уширения на форму спектральных линий хорошо известно (см, разд. 8.1.3). В случае плотной плазмы основным эффектом является уширение давлением, обусловленное взаимодействием с окружающими частицами.

При плотности среды до 1017 см-3 уширение давлением можно объяснить на основе традиционных подходов, используя квазистатическое приближение микроскопического поля или ударное приближение. Согласно Лоренцу, Линдхольму, Фоли, Вайскопфу и др, (см, [629]), в ударном приближении излучающие атомы рассматриваются как классические осцилляторы, частоты которых испытывают возмущающее воздействие соседних частиц, Фурье-преобразование излучения с фазой, возмущенной бинарными столкновениями, приводит к уширенному и сдвинутому лоренцевскому профилю.

В приближении квазистатического микроскопического поля, согласно Хольцмарку, Дебаю, - Маргенау, Вервею, Гриму и др, (см, [262]), излучаюший атом рассматривается внутри фиксированной конфигурации окружающих частиц плазмы. Результирующее (статическое) микроскопическое поле приводит к штарковскому сдвигу атомных уровней, а распределение этого поля проявляется в профиле линии поглощения, Корреляционные эффекты в рамках дебаевской теории экранирования рассматривались в ряде работ [194, 361, 362, 489]; улучшенное рассмотрение предложено в работах [308, 514],

Оба этих традиционных подхода можно рассматривать как ： альтернативные приближения. Вблизи центра линии при |А(о| V ： V со用，е((о用，。можно пользоваться ударным приближением, ко-| торое уделяет особое внимание учету влияния возмущающих]

электронов; на крыльях линии при | А(о| > со用，е((о用，° профиль линии хорошо аппроксимируется при использовании ионного статического микроскопического поля. Здесь через ①旧 ° обозначены частоты Вайскопфа:

=(8.1)

(г用，а — радиус Вайскопфа,炉。一средняя скорость а-й компоненты). В литературе имеется подробное описание ударного приближения и приближения микроскопического поля (см., например, [584, 626]). Обсуждается также справедливость обоих приближений.

В случае плазмы высокой плотности необходим последовательный анализ уширения давлением на основе теории многих тел, С электромагнитным полем теперь связан не единичный излучающий или поглощающий возмущенный атом, но вся плазма в целом. При многочастичном подходе к проблеме профиля спектральной линии [48, 49] начинают с фурье-образа диполь- дипольной автокорреляционной функции

厶((o) =』-Re £ е^С (/) dt.

2"2(8.2)

C(t) = Tr {dt/十亿 0) dU (Z, 0) p}, который непосредственно связан с профилем линии. Для вычисления этой корреляционной функции используются различные методы. Была предложена «единая теория» [645——647, 659, 661, 662]. Рассматривалась ее связь с концепцией микроскопического поля [83, 84, 471, 505, 506, 584, 585].

Наиболее адекватный подход к оптическим свойствам должен быть основан на диэлектрической функции плазмы, связанной с корреляционной функцией плотность — плотность. Наиболее подходящим языком для описания этой проблемы при таком подходе оказался метод функций Грина для системы многих тел. Применению этого метода к вычислению формы линии посвящены работы [144, 374, 428, 566, 693]. Возможен также аналогичный подход на основе метода оператора Лиувилля (см. [150, 442, 443, 749, 750]).

Недавно было проведено последовательное изучение диэлектрической функции частично ионизованной плазмы методом функций Грина [299, 560]. Этот подход основан на кластерном разложении диэлектрической функции, о котором кратко упоминалось в разд. 4.5, а подробнее сказано ниже в этой главе. Будут получены формулы для сдвига и уширения спектральной линии и проведено их сравнение с экспериментальными результатами. В разд. 8.2.2 будет показано, что с некоторым прибли-

жением наши результаты для сдвига и уширения спектральных линий совпадают с получаемыми в ударном приближении. Однако вопрос о включении в метод функций Грина квазистатиче- ского микроскопического поля остается открытым (см. также [506]).

Диэлектрическая функция плазмыи форма спектральных линий

При изучении оптических свойств плазмы методами теории многих тел исходным пунктом является диэлектрическая функция. В плотной плазме излучает и поглотает не отдельный атом, а вся плазма в целом, поэтому должен использоваться многочастичный подход.

В теории линейного отклика диэлектрическая функция е(д, (о) описывает реакцию плазмы на внешнее возмущающее поле с волновым вектором q и частотой ①.Фактически е зави* сит также от термодинамических переменных, в частности от электронной плотности пе и температуры плазмы Т.

Оптические свойства характеризует мнимая часть е (коэффициент поглощения) в предельном случае длинных волн (?опт -*0), см. разд. 4.2.1. Имеем комплексный показатель преломления п + zx:

仇 + 取产=/(9,①)；(8.3)

при дт0 поперечную диэлектрическую функцию можно заменить продольной:

ef(9,(о) q e(g, со).(8.4)

Диэлектрическая функция Е(д, со) связана с поляризационным оператором H(g, 2):

е (g,(о) = 1lim П (g,(o + Zd).(8.5)

Относительно определения П методом функций Грина см. гл. 3, 4.

С помощью диаграммной техники можно представить П (4.5) в виде суммы всех неприводимых диаграмм, связывающих «внутренние» и《внешние》вершины и не распадающихся на части при разрезании внутренней линии взаимодействия. Приближение при вычислении П, например (4.25), состоит в надлежащем выборе диаграмм, дающих основной вклад для рассматриваемой системы.

Так, например, простейшая диаграмма, состоящая из произведения двух функций распространения (пропагаторов) сво-

бодных частиц Go, дает известное приближение случайных фаз (см. разд. 4.2)

i ? fc (用)一fc (司Т)Q 幺盟-Е/т-力(з + №)i ? fc (用)一fc (司Т)Q 幺盟-Е/т-力(з + №)(8.6)(8.6)

i ? fc (用)一fc (司Т)

Q 幺盟-Е/т-力(з + №)

i ? fc (用)一fc (司Т)

Q 幺盟-Е/т-力(з + №)

(8.6)

(8.6)

Но в этом приближении не получается линейчатого спектра, так что необходимо улучшить поляризационный оператор, включив в него распределение связанных состояний, как показано в разд. 4.5.

Подходящий выбор вкладов в П(^,之) можно осуществить в следующем виде (см. [299, 554, 560], а также выражения (4.25), (4.264)):

П (g, z) = Ппсф + Патом, (8.7)

Патом = *%^^^7T (8・8)

где G2 — двухчастичный пропагатор, М — полная пятиточечная вершинная часть, описывающая взаимодействие связанного состояния с кулоновским полем (ср. с (4.265)). -

В простом приближении, заменяя G2 на G^ и вершинную часть Мпп, (?) на М：〃，(?), получаем результаты обобщенного приближения случайных фаз:

(q, 8 +，6)。击 2 Im7 (4) 12 需置,二货谓% ,

(8.9)

峻",⑷=ie 2 屮：(p) W" (p)—屮“，(p + q)}, (8.10)

где опущены члены порядка отношения масс т/т»《\. Это выражение описывает, очевидно, резкие переходы с 九①卅= = Еп — Еп^ когда п,孔'пробегают всю дискретную часть энергетического спектра. Зависимость энергии Е心 от импульса центра масс описывает тепловое движение излучателей, которое приводит к доплеровскому уширению (см. следующий раздел).

Чтобы найти уширение и сдвиг спектральных линий, обусловленные давлением, необходимо учесть влияние, которое испытывают излучающие атомы со стороны окружающей плазмы. Это можно сделать, используя улучшенные пропагаторы G2, получаемые из уравнения Бете — Солпитера. Запишем это

уравнение в виде

G, = G^fiv(8.П>

из которого видно, что проведена перенормировка атомов с использованием двухчастичной собственной энергии S2, обусловленной плазменными эффектами (см. разд. 4.4).

Дальнейшие плазменные поправки получаются из. решения аналогичного уравнения для полной вершинной части:.,(

M = M0 + K4G2G2M.(8.12)

Ядро Т<4 можно рассматривать как эффективное атом-атомное взаимодействие в системе; оно строится из взаимодействия между четырьмя частицами, включая взаимодейетвие с округ жающей плазмой.

'Как уже отмечалось для двухчастичного кластера (см. разд. 4.1 и 4.4), приближения, используемые для собственной анергии и эффективного взаимодействия《％ имеют один и тот же порядок. В этой главе мы рассмотрим форму спектральной линии в рамках динамически экранированного кулоновского взаимодействия Vs в приближении случайных фаз. В атом, приближении, :которое учитывает поправки, пропорциональные Плотности свободных электронов в борновском приближении, собственная энергия атома описывается выражением'

工=〃叩 SG?AT=.乙fy(8.13)

а эффективное атом-атомное взаимодействие К4—-выражением

_ ■；. ，勺=m。才М。= ""y。.(8.14)

, Подставляя, эти, выражения в , уравнение Бете — Солпитера (^Л1) или в/уравнение для вершинной части (8.12) и проводя настичное ：суммирование, получаем поляризационный оператор в виде < частичной ; суммы, диаграмм, содержащих собственноэнергетическую часть (6) и вершинные поправки' (с):

аа

а

а

Возможны, разумеется, и дальнейшие улучшения путем включения большего числа диаграмм, как показано, например, в разд. 4.4.4 на примере собственной энергии.

Доплеровское уширение

Для иллюстрации метода покажем, как из формулы (8.9) для поляризационного оператора получается доплеровское уширение в том случае, когда не учитываются эффекты плотности, приводящие к дальнейшему уширению спектральных линий. Формула (8.9), полученная в приближении изолированных атомов； приводит к следующему выражению для мнимой части диэлектрической функции:

lm Е (д, з)=器 £ I dnn, |2 \gei (ЕпР)-

.—g@(%.py)]6 传з + Е“р -纥,.р_)(8.16)

с резкими линиями, соответствующими частотам переходов

^пгп = (£n\ P-q — EQIh.(8.17)

Естественная ширина линий, обусловленная конечным временем жизни возбужденных состояний, не описывается полу- классической теорией излучения. Однако частоты переходов со球〃 зависят от движения центров масс излучающих атомов. В случае максвелловского распределения

a,(以Р)《4 九(G)ARTS2M心.18)

вклад связанно-связанных переходов в (8.16) равен

Im е© (q, з儿-в。=誓 £ I 宮“，I2 (n (%) — n{En^ X

X At-ехр {--^(<0 -да}.(8.19)

где

喘= 回一e册.

Это соответствует характерному гауссову профилю спектральной линии, обусловленному доплеровским уширением.

Вычисление сдвига и уширения линий

Явные выражения для сдвига и уширения

При выводе формы линии из поляризационного Оператора возьмем в качестве исходного пункта приближение (8.15), которое в соответствии с (8.13), (8.14) записывается в компактной

форме：форме：Патом Г1атом(9，①乩)+ Патом(9，^ц)Патом Г1атом(9，①乩)+ Патом(9，^ц)(8.20)(8.20)

форме：

форме：

Патом Г1атом(9，①乩)+ Патом(9，^ц)

Патом Г1атом(9，①乩)+ Патом(9，^ц)

(8.20)

(8.20)

или в виде диаграмм вместо уравнений (8.11) и (8.12) для G? и М:

В более явном виде

Патом(9，恤)=—寫 2 М‘2 °)G2 (1) G2 ⑵ М(2, 1; — g, — coQ =

=2 岡2(g) G2(i) G2 ⑵ лй1 (― g) +

£ M^M^X (^)tVsU，^M^(q)X

(一川)1234 広 g

><G2⑴G2⑵G2⑶G2⑷M(3,4; —g,—小)，(8.23)

где использованы следующие обозначения: 1 = nb Р, Q%; 2 = =九红 P + q, 2入 + g；3 =% P + q + q, q% +恤+ 恤；4 = %, P + q,

Вычисление члена □黑м проводится непосредственно (см. разд. 4.5.3). Мы воспользуемся решением уравнения Бете — Солпитера, включающего собственную энергию атомов в плазме (8.13). Пропагаторы G? выражаются через соответствующие спектральные функции Др

G2(l$)=i 登詮空，(8.24)

где G2 и А приняты диагональными по внутренним квантовым числам Hi и полному импульсу Pi； их совокупность обозначается одной цифрой 1.

В предельном случае низкой плотности спектральная функция имеет лоренцевский вид:

4®)=gifR2 + lt(8.25)

где Ai, Г1 — зависящие от плотности и температуры параметры сдвига и уширения двухчастичного состояния с невозмущенной энергией Ер Эти параметры можно найти, решая уравнение Бете—Солпитера по теории возмущений; получаемое при этом выражение для □黑м приведено в разд. 4.5.4.

Решить уравнение для вершинной части, как и уравнение Бете — Солпитера, не представляется возможным. Поэтому нам придется вычислить член Патом приближенным способом （см. для сравнения [566]）.

Подходящее приближение для вершинной части можно вывести из выражения （8.23）, предполагая, что Л1（1,2;—g,—（оц）— «достаточно хорошая» функция, плавно зависящая от аргументов. В частности, предполагается, что она не добавляет новых особенностей, так что мы должны рассматривать только полюса функций G2 и Vs. В соответствии с этим можно пройести суммирование по С% н （0ц в （8.23）, что дает

V а/）小 £ £ d® do）2 4（®） 4 （铀）X/

2-^^_3不 X

X {g （方① 1）此13 + 小，① 1, — g,一小）-

-g（力82）M21 （电，- q. - %）}=

=2“硝,嗚需導署匕伯宀（…

+ 2 2м；2（д）Л&（С）м«С）и （G）X

П1ПаП3п4 @

义，粤（1 + “В （力。））Im еНёф （G, G + 第）X

X ^7，dsi dg "зз "包4 ®i） 4 ®2）4（83） 4 @4） X

j g （力S| + 力⑪）M34 （s】+ соц + w, ©1 + ш; — g, —（0ц,）

* f （①1一（02 +①以）（si - S3 + s以+④）（Si - S4 + ④）

g （л0）2 + 力④）m34（S2 + ^,（02 - s）x + ④；-q,—8以）

（<0】一S2 + 8）Л）®2 — S3 + ④）（G）2 — S《一SjA + 丛）

g （力①3）M34（S3, G>3 一 <0ц； — g, — Sjx）

（（0t 一 S3 + SjA + w）（G）2 — ti>3 + ④）（S3 — g — Wjx）

g （力（04） M34 （ah + ①中 ah； — g, — sQ]/Н G

（（01 一（04 + ④）（①2 -①4 一 ①y. + ④）（①3 -①4 一 ①й））'*

Мы использовали здесь соотношение

〃（力而）g （力①）R （1 + «（й（о）） g （й（о + йй）,

справедливое в первом порядке по плотности. Чисто кулоновский потенциал V(q)t содержащийся в Vs{qt г), не дает вклада в вершинную часть в (8.26), поскольку он приводит к членам высшего порядка по плотности. Мн не выписываем здесь явно импульсные переменные в аргументах, относящиеся к покоящимся атомам (Р = 0, т. е. доплеровское уширение отсутствует), и пренебрегаем изменением полных импульсов атомов из-за их столкновений с электронами.

Выражение (8.26) определяется полюсами (нулями знаменателей), которые приводят к 6-функциям, если перейти к мнимым частям, полагая г = со + /0. (Строго говоря, дискретные мацубаровские частоты з^ должны быть аналитически продолжены в комплексную плоскость г, тогда действительная и мнимая части поляризационного оператора получаются путем замены г на со + /0.) Если иметь это в виду, то оказывается, что после разложения члена Патом в (8.26) на элементарные дроби и подстановки в аргументы функций g п М соответствующих полюсов некоторые слагаемые сокращаются. Таким образом, получаем

、М\()f f d® do)2 4 (①】)4(82)义

N«JJ J "л)? ■(0] — CO? + Nl■

XIg (力31) — g (力32)] 〃21(力32,铀；一g, — z)=

=2i 碗(卅

Mg

+ 2£м%(д)м^з(д)л1：1(-«)и(4)义

nitl2n3nt 0

义 \ 岑•【1 + 孔(йй)] Im enco (旅而 + /0) X

x \ d® d铀 da dg 亠,4(sJ4®2)4 (例)4(刨)* )1(2л)4—例 一 z) (g — S3 + 2)

X {(而 + W1 - S3 + z) 1 -⑥ + 施一w4 -2)} X

(8.27)(8.27)X [ g (自 g) - g (自g)]m34 (g, 0!; - д,—2).

(8.27)

(8.27)

Это уравнение, в котором учтены все виртуальные переходы, представляет собой уравнение для определения матричных элементов вершинной части. Вследствие суммирования по zii, п2, пз, п4 сюда входят различные пары величин Мпп^ Чтобы получить замкнутое выражение, ограничимся случаем, когда частота ш близка к частоте изолированного перехода (о讨=(Е, — £；)/й, где Е〃 Ef — невозмущенные энергии начального и конечного состояний соответственно.

Выбирая спектральные функции в виде лоренцевских фунт ций (8.25) с резкими максимумами, получаем一

f С d® dd)2 ^t (®t) A2 (©г)力т(8 28)

)J (2?i)2 (о】—co? + co + iO 力co - AQt2 + i (Г1 + Г2)

где

力&2== E? + A? — Ei — Др(8.29)

Главные вклады в (8.27) получаются при o)i ——a)2 = s讦 и 3 — о>з =(o(f. Поскольку частоты шп (n = 1, 2, 3, 4) фигурируют также в качестве аргументов спектральных функций, которые можно рассматривать как весовые функции, суммы сводятся к членам с % =他=/, Пз = n2 = f.

Рассмотрим теперь интегрирование выражения

[1 + м伍而))Im е" (g,而 + iO)义

X {(而 + (0[ — (Оз + 之)1 —(而 + 施—^4 — 2)I (8.30)

no 5. Полагая г->(о + /0 и используя тождество Дирака 】),разбиваем выражение в фигурных скобках на действительную и мнимую части. Главными значениями членов в фигурных скобках будем пренебрегать, так как из-за противоположных знаков они имеют тенденцию к взаимному сокращению и в общем случае их вклад можно считать малым [566]. Поэтому существенную роль играют только 6-функции в мнимых частях, которые приводят к тому, что множители, входящие в Im е-1, после интегрирования по w имеют в качестве аргумента определенные выше частоты(о„ и(о л;心中

. Что касается интегралов по (о% то основной вклад, как уже отмечалось, вносят спектральные функции Л„((ол) при шп ^ Еп. Знаменатели(ол —(0^ ± z сильно зависят от ш„ и при 之->(о什 становятся резонансными. В отличие от них все остальные члены можно считать плавно меняющимися, поэтому в них можно заменить шп на Ел.

В рамках этого приближения, пользуясь формулой (8.28) и решая уравнения (8.27) относительно вершинной части, получаем'

М" (— 0, —(о) q Mfz (— q) {1 + /F办[力(0 — BQ” + /(П + П)「'}т,

(8.31)

гдегде

где

где

吗=2m%(g)鳩(一"(g)、粤[i+孔①砌х

X Im е (宮而 + iO) {④ + /о —加二 io } '(8.32》

Теперь можно обсудить форму линии, которая получается при подстановке выражения (8.31) в левую часть формулы (8,23), С учетом (8.28) находим

小(g, З) = {£ Jg (公一 g冲]丁風端；2+喲

(8.33) где пары индексов {/, f} могут принимать все значения, соответствующие существенным переходам. Мнимая часть этого выражения описывает спектральные линии с лоренцевской формой

厶‘⑹（力со -力①/一a幵У + F%厶‘⑹（力со -力①/一a幵У + F%(8.34)(8.34)

厶‘⑹（力со -力①/一a幵У + F%

厶‘⑹（力со -力①/一a幵У + F%

(8.34)

(8.34)

характеризуемой параметрами сдвига и уширения линии

△” = А产一 △尸，rzf = Г?э + Г?э + гУг (8.35>

Использование улучшенной вершинной части (8.31) дает дополнительный вклад в ширину линии『％ Таким образом, помимо затухания двухчастичных состояний здесь учитывается также влияние плазмы на переходы между ними. Форма линии непосредственно связана со сдвигом энергий двухчастичных возбуждений.

Индекс СЭ относится к тем членам, которые получаются на уравнения Бете — Солпитера при учете собственной энергии атомов в плазме. Согласно выражению (8.13) для 丘，получаем (подробнее см. [560])

Д^э + хГ^э =

4-00

=Z У (G) X，喑[1 + М (йй)] Im е-1^, Й + 2) О„ @, й),

“~°°(8.36>

Dn ④ S)= Z 丨 Mna-(^) Г {En — Ea, -q —力齿 一 /О} *• a

Здесь индекс п обозначает рассматриваемый атомный уровень力 а а пробегает по всему двухчастичному спектру. В соответствии с этим Dn можно интерпретировать как обобщенную атомнук> поляризуемость, модифицированную из-за участия коллектив-

ных плазменных мод (плазмонов) с энергией 力切 в связанносвязанных и связанно-свободных переходах.

Формулы (8.32) и (8.36) описывают сдвиг и уширение — параметры, определяющие лоренцевское приближение для формы спектральной линии. Если взять диэлектрическую проницаемость в приближении случайных фаз, то эти выражение будут адекватно описывать возмущающее действие свободных электронов на излучающие атомы, находящиеся в плазме. Мы проиллюстрируем это в следующем разделе, где покажем, что наш результат содержит в качестве частного случая результаты полуклассического ударного приближения [262] для плазменного вклада в форму линии (см. также [299]).

Связь с ударным приближением

Изложенный здесь метод функций Грина можно рассматривать- как многочастичное теоретическое обобщение известного полу” классического ударного приближения. Мы покажем это, получив обоими методами одинаковые выражения для сдвига и уширения линий. С этой целью воспроизведем сначала формульь (8.32) и (8.36), используя приближенное соотношение

Im e~' (g,(о) Ime(g,(о) =

=2л [а 2 [fe (р) — fe (р — g)] 6 (Ep — Ep_q 一 й(о). (837》 р

В предельном случае низкой плотности распределение Ферми для электронов переходит в распределение Больцмана:

厶(Р)Q ^ & (2冗勿Ли/вТ)羽 exp (―沼p2l2m*G,(&38》

где пе, те — плотность и масса электронов, Ер = %2P2/2* С точностью до членов первого порядка по плотности можно провести замену

(1+п (йй)) [；в (р)-力(р — д)] в 力(р)(8.39)；

и, используя тождество Дирака, разделить Д и Г. Тогда вместо- (8.32) и (8.36) получим (n = f, f)

с =-备 2 九(Р)片 W)瓦丄饗％q/%.(8.4o>

Г* =薔 2 %(Р)吸g) I M' (g) |气(E“ - Ea + 力2pq/s)，(8.41>

T% =—醬 2 f心)P ⑷必⑺ M；f (— g)6 (力2pq//n J (8.42》

(Мы пренебрегли здесь опять членами порядка q2t ограничиваясь оптическим пределом qf 0.) Покажем теперь, как вывести формулы (8.40) — (8.42) исходя из соответствующих формул ударного приближения. Для возмущенных атомных уровней имеем [262, 600]

( 4-оо

г„ 一込“ =\ dvP (v)U \ dt (V (/))„„ +

I —ОО

十8 十8.1

+ ^ S由「"2〈“)〉/依〉/2①卜(8.43) _оо —оо а'丿，

w для уширения и сдвига спектральных линий, соответствующих лереходам jf f, имеем

Vif-i^f =-青 J dvP (v) 山"％ (仇,％ (f )加 +

+ Z t j (/)〉“”(/)〉/%(8.44) n — i, f —oo . —ooa. . 1' 丿」

Эти выражения получены путем применения теории возмущений к столкновениям излучающего атома с классически движущимися электронами. Из предположения о движении по классическим траекториям следует распределение по частотам столкновений v

Р(V)Jv = nevfM (и) 2лр dp du,(8.45)

где и и р — скорость и прицельный параметр налетающих электронов соответственно,

fw (у) = (2/л)1/2 (mlk^T^ и2 ехр (—• mv2/2kBT)(8.46)

——максвелловское распределение по скоростям. Угловыми скобками 〈…％а в выражении (8.44) обозначены соответствующие матричные элементы, п и a — рассматриваемые атомные состояния, (0па — соответствующие частоты переходов. Суммирование по а в принципе должно проводиться по всему спектру, но на практике учитывают только наиболее важные вклады, зависящие от j, f. Обычно используют мультипольное разложение взаимодействия атома с возмущающим электроном

丿⑺= U(r—RC)) — U(R")), R«) = p + vf; (8.47)

в результате расчет формы линии сводится к определению матричных элементов дипольного и квадрупольного моментов и некоторой характеристической функции (см. [262]).

Но мы здесь будем пользоваться общими выражениями. Формулы (8.43) и (8.44) можно записать в форме (8.35), тогда получаются следующие соотношения между сдвигом и уширением атомных уровней /, f и соответствующих спектральных линий

「l貝㉑+心" + %(8.48)

「％ =，dvP (v) △屮(v) Af1* (v).

Верхний индекс (2) обозначает член второго порядка в формуле (8.43). Член первого порядка △?)(-) не дает вклада в сдвиг, поскольку его среднее значение для нейтрального атома в изотропной плазме равно нулю. Величина Гф очевидно, определяется первым членом в правой части формулы (8.44). Чтобы получить выражение (8.42) из (8.48), проведем преобразование Фурье

S(/)〉“а =康 2 ' (q) e-SR ⑴©qr _ 1〉皿(8.49)

где〈е“г — 1〉砌三M九(g) (см. (8.10)). Подставляя этот результат в формулу (8.43), получаем

4-оо f'

噌一滅)=$,dvp(v)J dt J w备 21Kl (g)Fx

—oo —ooq @ qqa

X v (g) V {q) exp {- ZqR (/) + 而R (/) + 叫以(f - Q}.,(8.50)

Учитывая геометрию столкновений, напишем

exp {— iqR (/) + iqR (「)} = exp(— iR (q — q)) exp (— iv (qr — qQ),

(8.51) где R = (u(f + У), p2, рз).

Используя выражения (8.38), (8.45), (8.46) и (8.51), приведем в интегралах следующую замену переменных:

+ 8£

-р-, dvP(V), df , df =

+ ©о4-00+8

=告 2 L(Р)，，dp2 dp3 , d (u?) , dt …=p—oo—oo. 0

匸訪h叫旅,dt ..(8.52)

где р = /п也？ = £ + 匕 t = f —，" Теперь можно выполнить интегрирование no R н @; с учетом (8.51) получаем окончательна 噌一咸)=备 Z f е (р)丿(q) I 確 a (g) I21 dxe'(% 如/%) .(8.53> 而a0

Это выражение в точности воспроизводит собственно-энергетические вклады (8.40) и (8.41), поскольку /г(о„а = Е„ — Е。и

\ dr ехр 伍(х + z'O)} =〔= лб (х) +，Р ；.(8.54>

Таким же путем можно провести сравнение вершинной часта (8.42) с функцией Гф определяемой соотношениями (8.48) и (8.44). По аналогии с (8.50) будем исходить из формулы

4-оо

関=-% \ dvP(V)\\dt df -^^ M%g) М(- q) X-ооqq

XV(q)V 日)exp {-tqR ⑺ + iqR (/)},(8.55)

которая с учетом (8,51) и (8.52) принимает вид

十8

%=一备?%g"%)涮,・((7)竭(一g) \(8.56)

Заметим, что применение формулы (8.54) дает дополнительный множитель 2, Таким образом, формула (8.42) следует из (8.56).

Из приведенных здесь выкладок видно, что наш подход к вычислению формы линии, основанный на приближении (8.15) для Патом, в принципе включает в себя полуклассическое ударное приближение. В частности, из вывода формул (8.40) — (8.42) становится ясно, какие нужны приближения, чтобы получить общие выражения для ударного сдвига и уширения. В то же время изложенный подход ценен тем, что он указывает последовательный путь к обобщению ударного приближения на основе теории многих тел.

Сдвиг спектральных линийплотной водородной плазмы

Чтобы показать, как получить в нашем многочастичном подходе явные результаты для профиля линии спектра плотной плазмы^ вычислим для водородоподобной плазмы сдвиг линии А" (см. (8.35)), вызываемый взаимодействием излучающего атома с заряженными частицами. Из теории следует, что сдвиг At〃 за-

висящий от температуры, плотности и состава плазмы, начинается с члена, линейного по плотности свободных носителей Лсвоб = ле + п； (рассматривается нейтральная плазма, у которой плотность свободных электронов равна плотности однократ- ，но заряженных ионов п():

lim Azf (Г, псвоб) = — 6zf (Г) «своб-(8.57)

"своб-*0

В качестве меры сдвига обычно берется величина, измеряемая в нанометрах и определяемая формулой

△九订=2лйс •力&"(力со，?)'(8.58)

Величины &if(T) мы найдем численно, используя приближение плазменных полюсов для динамически экранированного потенциала [560]. Полученные результаты сравним с экспериментальными значениями, а также с теоретическими результатами, найденными другими методами.

Согласно (8.35), сдвиг спектральных линий А讦 получается из собственно-энергетического вклада в сдвиг двухчастичных состояний (8.36). Сумма по двухчастичным состояниям а разбивается на «связанную» часть 0^)и часть D洛 обусловленную рассеянием. Состояния, получающиеся в результате рассеяния, можно аппроксимировать произведениями волновых функций •свободных частиц. Тогда вследствие изотропии плазмы интегралы по угловым переменным принимают следующий вид:

(g) = \ dQq , ~^у W； (р) 2* (р + q) —1(8.59)

尸"(Р，0)=(/$，dQq dQp I ^п(Р)— 5(Р — q)『•(8.60)

Для волновых функций атома водорода эти интегралы можно вычислить аналитически. Приведем некоторые из результатов:

(?is.u(<7)= W(<72 + 8)7(<72 + 4)4.

Gls, 2P (g) = 96 財 2/(炉 + 2,25)6,

Qs(", q) = V {[ 1/(1 + P)2 - Л]2 + 4 ^В] ,(8.61)

尸2P S, g) = -т-{^/(1 一 PF — / [ 1 —厶(产 一 (Q + 1)2)]}/(1 + & +

+ Л4 [C(C2 + В) - Л (C4 + 2c28 + 0, 2B2)]},

где P = (np)2t Q = (/：g)2 (n — главное квантовое число), С = HP+Q + L B==4PQ, А = 1/(С2 —В).

Входящую в формулы (8.36) обратную величину диэлектрической проницаемости можно получить из соответствующей формулы приближения случайных фаз (см. разд. 4.2). Интеграл по ш в (8.36) можно вычислить, когда Imе-1 рассматривается в полюсном приближении. В предельном случае низкой плотности имеем

Im「е，з)=党 2 7^ 8(8 + 3。・ а) — ° (з — 3。・ а)}・(8・62>

В двойном полюсном приближении (см. разд. 5.2.5) дисперсия определяется соотношением

炉=如+心L炉=如+心L% = 3, с； = 0,6% = 3, с； = 0,6(8.63>(8.63>

炉=如+心L

炉=如+心L

% = 3, с； = 0,6

% = 3, с； = 0,6

(8.63>

(8.63>

(плазменная частота пе^/^те стремится к нулю). Таким образом, для сдвига Лл получается выражение, в котором оставшееся интегрирование приходится проводить численно. Этот сдвиг

m = &售，對卜Q。X

X £一 {(1 + « (力Sq, a)) D" (g, 8G a) +

+ n (/ja>q, a ) On (g, — 8q, a)} = 〃& CO,(8.64>

где

i dQQ"亿 ®q)=厶 E" - E〃 - h®q + J dp E* -力2P2/2% - h®q '

можно разбить на ионный и электронный вклады, как это сделано с Im е-1 в формуле (8.62). С другой стороны, этот сдвиг состоит из вкладов связанно-связанных и связанно-свободных переходов.

На рис. 8.1 показана температурная зависимость электронной части связанно-свободного вклада 6彳‘&(7) для и = Is, 2s, 3s и 2р,…，5р. Отметим рост величины 6严 при понижении температуры. Соответствующие ионные вклады 6尸 несколько больше и лишь слабо зависят от температуры. Величины д^ ₽ и 6万'дают в результате сдвиги линий, качественно сравнимые с экспериментальными значениями (в частности, это касается порядка величины или роста сдвига с квантовым числом и). Однако ко-: личественное согласие этих сдвигов с измеренными оставляет f желать лучшего. Положение можно улучшить, вводя в интеграл j (8.64) эмпирическую частоту обрезания шс = 0>03 Ry/Й [56G]I

Рис. 8.1. Электронный вклад 6彳'в， сдвиг двухчастичного энергетического уровня, обусловленный связанно-свободными переходами в области температур Г* =々вГ/Ry = 0,1, ..., 1.Рис. 8.1. Электронный вклад 6彳'в， сдвиг двухчастичного энергетического уровня, обусловленный связанно-свободными переходами в области температур Г* =々вГ/Ry = 0,1, ..., 1.связанно-связанныхсвязанно-связанныхпереходов может быть-переходов может быть-

Рис. 8.1. Электронный вклад 6彳'в， сдвиг двухчастичного энергетического уровня, обусловленный связанно-свободными переходами в области температур Г* =々вГ/Ry = 0,1, ..., 1.

Рис. 8.1. Электронный вклад 6彳'в， сдвиг двухчастичного энергетического уровня, обусловленный связанно-свободными переходами в области температур Г* =々вГ/Ry = 0,1, ..., 1.

связанно-связанных

связанно-связанных

переходов может быть-

переходов может быть-

В частности, это сильно умень- Ry*

шает ионные вклады. В табл. 8.1 значения сдвига, соответствующие электронному вкладу без обрезания, и полные сдвиги с учетом обрезания сравниваются с экспериментальными результатами. Эмпирически вводимое обрезание следует рассматривать как намек на то, что более точное совпадение с экспериментом достигается при подавлении низкочастотных составляющих в Im £一* т. е при улучшении приближения случайных фаз.

Вычисление вклада связанно-связанных переходов показывает, что существенны лишь переходы вблизи резо

нанса. Следует отметить, что суммирование вкладов связанно-связанных и связанно-свободных переходов приводит к завышенному значению сдвига (см. [560]). Отсюда следует, что вклад

правильно учтен лишь при условии, что вклад связанно-свобод

ных переходов уменьшен путем использования правильных конечных состояний вместо волновых функций свободных частиц. Зная точные предельные значения поляризуемостей DJq、ш)г можно построить полуэмпирические паде-аппроксимации

наде = " 烂 у 丄 f 1+"(力“)"I

'(8.65>

которые правильно воспроизводят порядок величины сдвигов, представленных на рис. 8.1.

Использование приближения (8,65) для оценки сдвига резонансных линий щелочных металлов, дает качественное согласие с недавно измеренными значениями [525].

,.Изложенный здесь подход не содержит понятия микроскоп пического поля и потому не допускает непосредственного сравнения с теориями, использующими это понятие [84, 262, 645] >

Таблица 8.1. Красный сдвиг (в нанометрах) нескольких линий серий Лаймана 衝 Бальмера при плотности /ген】。^ м~3: а — сдвиг, соответствующий пол- iiOMy значению 硝'при Г* = 0,1; б — полный сдвиг % =%ё + 6乂 соответ- ■ствующий частоте обрезания 0,03 при Г* == 0,1; в — измеренные значения «сдвига (нормированные на 10 м ) в предположении линейной зависимости от плотности при температуре Г* от 0,06 до 0,085

Линия спектра

a

б

В

Литература

厶а

0,0003

0,0004

0 ... —0,002 0,005

[268, 269]

0,0016

0,0014

±0,007 0,005

[268, 269]

0,0044

0,0032

—

0,0508

0,0437

0,059±0,009

[667, 668]

々

0,103

0,0703

0,072±0,006

0,135±0,017

[667, 668] (281]

Ну

0,220

0,0945

0,084±0,018

[667, 668]

8.2.4. Вычисление сдвига и уширения линий спектра аргоновой плазмы

В случае водородной плазмы, рассмотренном в предыдущем разделе, известен явный вид атомных волновых функций, поэтому 'можно аналитически вычислить интегралы с матричными элементами 雄献(д)・ Чтобы проиллюстрировать изложенный здесь метод функций Грина и дать хотя бы оценку для случая более сложных систем, например инертных газов, можно воспользоваться полуэмпирическим приближением, связывающим сдвиг и уширение линий не с явными волновыми функциями (матричными элементами), а со спектроскопическими силами осциллятора. Для этого подставим выражение (8.62) в (8.36), используя полюсное приближение, т. е. заменяя обратную величину диэлектрической проницаемости в приближении случайных фаз приближенным выражением

Im 6ПСФ (д, ю) = 8л2Пе -^- [б (ш + Sq) — 6(S — Sq)],(8.66)

(8.67)(8.67)тде полюс удовлетворяет дисперсионному уравнению 恤=(16m； + 6Г7 + 沙2 a g(6Т* + 汽/2.

(8.67)

(8.67)

Здесь учтен только электронный вклад и использованы ридберговские атомные единицы ft = e2/8ne0 = 2me = 1. Соответствующие безразмерные переменные для плотности и температуры имеют вид n*=nea^, T* = hQ 8ле0ав/е2, где аа— боровский радиус

Подстановка выражения (8.66) в (8.36) дает

А" 7 仆 £ * \ А 2 I м£，(g) F х

v J 1+也(%〃(①q)]

X I 耳一E* 7 — % En — J, 7 + Sq「

Г„ = 8пЯ^- J dQq £ I M""，(g) |2{( 1 + M(8q)) 6 (胤一晶,7 — 8q) +

+ M (Sq) 6 (En — E* -q + Sq)}(8.68)

Подынтегральные функции можно преобразовать с помощью паде-аппроксимаций, основанных на предельном поведении этих функций. При q->0 матричные элементы М：球 сводятся к матричным элементам дипольного момента dnn，. Поэтому выражения (8.68) определяются по существу силами осциллятора ，"卅 и статической поляризуемостью сс〃， связанными с матричными элементами дипольного момента:

I 出 |2 = %〃(Е球一En), % = 4 Z f 出〃(Е出一En)?.(8.69)

В противоположном случае q-> 8 подынтегральное выражение в формуле для Д„ ведет себя как g-匕 а в формуле для Гл экспоненциально убывает из-за наличия бозе-множителей. В соответствии с таким предельным поведением можно пользоваться следующими паде-аппроксимациями:

^e^^n：\dqО^e^^n：\dqО1 + п (ш^)сс“(Од (1 + “院/2 g2)21 + п (ш^)сс“(Од (1 + “院/2 g2)2(8.70)(8.70)

^e^^n：\dq

О

^e^^n：\dq

О

1 + п (ш^)сс“

(Од (1 + “院/2 g2)2

1 + п (ш^)сс“

(Од (1 + “院/2 g2)2

(8.70)

(8.70)

Г?а，е = 32лПе、dg "^― ^^ f紋n/s球/? {( I + M(Sq))6 (co出"+ (0^) —

(8.71)(8.71)—M (©(7)6(S"S — Sq)}・

(8.71)

(8.71)

Вследствие присутствия 6-функций один из членов в (8.71) всегда обращается в нуль при ©пн ^ 0. Оба члена можно объединить в. один, положив 1+м(—-Sg)=——/i(sg). Тогда после интегрирования по q получим

「Паде「Паде16лм：16лм：(%"+ 97*严一37 1 + (зтЮ(%"+ 97*严一37 1 + (зтЮ(8.72)(8.72)

「Паде

「Паде

16лм：

16лм：

(%"+ 97*严一37 1 + (зтЮ

(%"+ 97*严一37 1 + (зтЮ

(8.72)

(8.72)

Можно ожидать, что, подставляя в паде-аппроксимации (8.70) и (8.72) спектроскопические значения сил осциллятора Д мн

получим грубую оценку сдвига и уширения атомных энергетических уровней и соответствующих спектральных линий.

В качестве примера рассмотрим 4$- и 4р-уровни аргона, имеющие конфигурацию (1s) (1«5)и (2禽)，(2рэ) (в обозначениях Пашена). При суммировании по zf в (8.70) и (8.72) значения /„„/, а также энергетические термы Еп, Е* возьмем из таблиц [668|. Остальные члены, даюшие вклад в рассматриваемый уровень (особенно связанно-свободные переходы), суммируем приближенно, используя эффективную частоту перехода (шп„ а ——Еп) и правило сумм для сил осцилляторов.

Полученные значения поляризуемости ал, сдвига уровня А^ и уширения Гп приведены в табл. 8.2 (см. [299, 761]). Резуль-

Таблица 8.2 Атомная поляризуемость а^, сдвиг уровня Ал и уширение Гп для аргоновой плазмы при % «= 10й см" , Г = 15 000 К

Уровень, п

A"，KL^/ZaE

Гп, 10-6е2/2ав

4s<1S"

227

3,95

0,92

Us"

336

5,4

L6

4р(2阿

623,5

7,6

2,2

（2内）

800

8,9

2,8

Таблица 83 Сдвиги А и уширения

Г линий аргона 1

три Г = 13 000 К и

%а=10” см"3 (761 ]. (Длины волн 入

н величины А, Г приведены r нано*

метрах.)

Номер

Переход

Согласно рабоie

176 if

Согласно работе [7631

Согласно работе

[262]

4

F

d

A

Г

2Pg -> lSi

811,5

0,052

0.164

—

—

0,033

0.014

2P8 -> 1$Е

801.5

0.046

0,161

0,057

0,091

—

2P4 -> 1&*

714.7

0.038

0,126

0,038

0,078

—

2网-* 底

706,7

0,036

0,125

—

—

2P2 — Isb

696,5

0,039

0,122

0,050

0,081

—

2p8 — 2

842,5

0,050

0,179

0,058

0,098

0.013

0.095

22？ -* ®

8104

0,049

0Д68

—

0.U44

0,120

2P4 -> Is.

747.1

0,039

0.139

0,049

0Л08

2P2 "> 氐

727,3

0,039

0,134

0,053

0.089

—

—

2P4 ~> ls3

794.8

0,047

0,154

0,046

0,098

0,036

0,106

2P2 ~> 1 禽

772,4

0.047

0,149

0,061

0,102

—

—

2p4 -> Is?

852,1

0,051

0,181

0,059

0.108

—

—

2pjf 1S?

840,8

0,050

0.178

—

0,034

0,123

2卩2 e Is?

826,5

0,051

0Л73

0,057

0Л10

—

таты для сдвига и уширения некоторых линий аргона I приведены в табл. 8.3; для сравнения приведены также экспериментальные [763] и теоретические [262] данные других авторов. В то время как результаты для сдвигов Д находятся в разумном согласии с экспериментальными значениями, результаты для уширения линий Г оказываются завышенными, что может быть обусловлено некоторыми приближениями, использованными при расчетах по приведенным выше формулам. С особой осторожностью должно проводиться рассмотрение спектральных линий, лежащих близко друг к другу. Упомянем еще, что соответствующие результаты для сдвигов линий в случае водорода приведены в табл. 8.1, но для расчета уширения линий требуется рассмотрение вырожденных энергетических уровней.

Надежность наших результатов нельзя установить, пока не изучен полный профиль линий с учетом ионных вкладов и не проведено сравнение с экспериментом, особенно при плотностях выше 1017 см-3. Именно в случае очень плотной плазмы, когда обычный подход к расчету спектральных линий оказывается непригодным, изложенный здесь метод функций Грина может служить отправной точкой для выбора подходящего приближения

Другие подходы.

Заключительные замечания

Давно разработанная теория профиля линий спектров поглощения плазмы хорошо описывает экспериментальные результаты вплоть до плотностей порядка 1017 см-3. Но при очень высоких плотностях необходим систематический многочастичный подход, учитывающий коллективное поведение сильно коррелированной плазмы. Таким образом, изложенный в этой книге метод функций Грина для плотных кулоновских систем может служить подходящей отправной точкой для расчета спектроскопических свойств.

Результаты, изложенные в гл. 8, были получены суммированием некоторых классов диаграмм для поляризационного оператора (8.15), которые относятся к предельному случаю низкой плотности. При высоких плотностях класс диаграмм, учитываемых при вычислении поляризационного оператора, должен быть расширен.

Для получения численных результатов должны быть вычислены интегралы (8.36) для данных волновых функций и диэлектрических проницаем остей. Один из аспектов дальнейшей работы—учет ионного вклада в форму линии. Кроме того, следует также рассмотреть случаи вырожденных или близко лежащих уровней, а не только изолированных, невырожденных энергети-

ческих уровней, как это делалось здесь. Можно ожидать, что этот путь приведет к адекватному теоретическому описанию оптических свойств плазмы высокой плотности, к которой неприменимы традиционные методы.

Приведем в качестве примера два случая, когда необходим систематический подход на основе теории многих тел. Недавно в литературе обсуждался вопрос: существует ли в спектре плотной плазмы окно прозрачности вблизи края непрерывного спектра? В противовес аргументам, выдвинутым Кобзевым и др. [385], более тщательное исследование, использующее корректные выражения для сил осцилляторов и энергетические уровни для статически экранированного модельного потенциала [306], не обнаружило окна прозрачности. Однако в последней работе двухчастичная задача рассматривалась в рамках эффективного волнового уравнения со статически экранированным потенциалом, а уширение спектральных линий вводилось феноменологически. Следует также исследовать поведение оптических спектров вблизи края непрерывного спектра на основе последовательного многочастичного теоретического подхода.

Недавно обсуждались оптические спектры плотной плазмы [275], в частности поведение коэффициента поглощения. Проводилось также обсуждение на основе модели ограниченного атома [191], но изучение плотной плазмы на основе последовательной теории многих тел пока остается нерешенной проблемой.

ЛИТЕРАТУРА

Abe R. — Progr. Theor. Phys. 1959, v. 22, p. 213.

Abrahams E, Anderson P.犷.，Licdardello D. C.( Ramakrishnan T. V.— Phys. Rev. Lett., 1979, v. 42, p. 673.

Абрикосов А. А. Введение в теорию нормальных металлов. — М.: Наука» 1972.

Абрикосов А. Л., Горьков Л. /7., Дзялошинский Я. Е. Методы квантовой, теории поля в статистической физике.——М.: Физматгиз, 1962.

Agarwal G. К., Pathak К М—J. Phys., 1982, v. С15, р. 5063, 5999.

Agarwal G. К., Pathak К N. — J. Phys., 1983, v. Cl6, p. 1887.

Ahlbehrendt M, Blgun G. /., Juchnovsktj 1. R., Kelbg G. — Ann. Physik, 1970, v. 24, p. 188.

9-o^ L 2 Q^ 4^ K^ ^7-&9o11 11 11 11 11 11 11 11 11 119-o^ L 2 Q^ 4^ K^ ^7-&9o11 11 11 11 11 11 11 11 11 11Alzenman M., Martin P. A. — Comm. Math. Phys., 1980, v. 78, p. 99. ” Ахиезер Л. Л., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. — М.: Физматгиз, 1962.

9-o^ L 2 Q^ 4^ K^ ^7-&9o

11 11 11 11 11 11 11 11 11 11

9-o^ L 2 Q^ 4^ K^ ^7-&9o

11 11 11 11 11 11 11 11 11 11

Alastuey А, — Phys. Lett., 1980, v. A76, p. 134.

Alastuey A. — Physica, 1982, v. AllO, p. 293.

Alastuey 4, Jancovict B. — Astrophys. J., 1978, v. 226, p. 1034.

Alastuey 4, Jancovict B. — Physica. 1979, v. A97, p. 349.

Alastuey A., Jancovlcl B. — Physica, 1980, v. A102, p. 327.

Alastuey A., Jancovlcl B. — J. Physique, 1981, t. 42, p. 1.

Alberti R, Uhlmann A. Dissipative Motion in State Spaces. — Leipzig: BSG B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1981.

Алексеев В. A. — Теплофизика высоких температур, 1970, т. 8, с. 641. Alekseev V. A., lakubov I. Г. — Phys. Rep., 1983, v. 26, p. 1.

Алексеев В. Л., Веденов А. А. — УФН, 1970, т. 102, с. 3.

Алексеев В. Л. 〃 др. В сб.: Труды 5-й конф, по физике и технике высоких давлений, 1974, с. 677.

Alfven Н., Arrhenius G. Evolution of the Solar System.—Washington: NASA, 1967. [Имеется перевод: Альвен X., Аррениус Г. Эволюция солнечной системы. — М.: Мир, 1979].

Ambegaokar V. — In： Astrophysics and Many Body Problem. — N. Y.: Benjamin, 1963.”

Anderson H. C. Chandler D. — J. Chem. Phys., 1970, v. 53, p. 547.

Anderson H. C., Chandler D. — J. Chem. Phys., 1971, v. 54, p. 26, v. 55, p. 1497.

Anderson H. C., Chandler D. — J. Chem. Phys., 1972, v. 57, p. 1918,. 1930, 2626.

Anderson P. W. — Phys. Rev., 1958. v. 109, p. 1492.

Андреев С. И., Гаврилова T. B. — Теплофизика высоких температуру 1975, т. 13, с. 176.

Aoki Н., Ando Г. — Solid State Gommun., 19 81, v. 3 8, p. 1079.

Appel 丄一Phys. Rev., 1961, v. 12 2, p. 1760.

Appel 丄一Phys. Rev., 1962, v. 125, p. 1815.

Arponen 丄，Pajanne E — Annals of Physics, 1975, v, 91, p. 450.

Arponen 丄，Pajanne £. — J. Phys., 1979, v. G12, p. 3013.

87-&9-о L 2 3 4 s6-z &8-n^L9^Q^4^r^_H^7^0^Q^°-L 2 333 3333 4 • 4 44444444 5 5ДО 5 б 5₽о5 5 5 6 6 687-&9-о L 2 3 4 s6-z &8-n^L9^Q^4^r^_H^7^0^Q^°-L 2 333 3333 4 • 4 44444444 5 5ДО 5 б 5₽о5 5 5 6 6 6體體^ ^ ^ ^^^^^ ^ ^ ^^^^

87-&9-о L 2 3 4 s6-z &8-n^L9^Q^4^r^_H^7^0^Q^°-L 2 333 3333 4 • 4 44444444 5 5ДО 5 б 5₽о5 5 5 6 6 6

87-&9-о L 2 3 4 s6-z &8-n^L9^Q^4^r^_H^7^0^Q^°-L 2 333 3333 4 • 4 44444444 5 5ДО 5 б 5₽о5 5 5 6 6 6

體

體

^ ^ ^ ^^^^

^ ^ ^ ^^^^

Агропеп /., Pajanne Е. — J. Phys., 1982, v. Cl 5, p. 2665.

Ashcroft M W. — Phys. Rev. Lett., 1968, v. 21, p. 1748.

Ashcroft N. W. — In: The Liquid State of Matter/Eds. Montroll E. W., Lebowitz J. L —Amsterdam: North-Holland, 1982.

Ашкроф! "., Мермин H. Физика твердого тела. — М.: Мир, 1979, т. 1, 2. Ashcroft М 犷.，Schaich W.— Phys. Rev., 1970, v. Bl, p. 1370.

Ashcroft N.犷.，Strout D. — Solid State Physics, 1978, v. 33, p. 1.

Бакеев А. Д., Ровинский P. E. — Теплофизика высоких температур, 1970, т. 8, с 1121.

Bakshi Р., Calinov R., Golden К. /•, Kalman G., Merlini D. — Phys. Rev., 1979, v. A20, p. 336..

Bakshi P., Calinov R., Golden K. /., Kalman G., Merlini D. — Phys. Rev., 1981( v. A23, p. 1915.

Ballentine I. E, Heaney W. J. — J. Phys., 1974, v. C7} p. 1985.

Bamzai A. S., Deb В. M. — Rev. Mod. Phys., 1981, v. 53, p. 95.

Barker A. A. — Austr. J. Phys., 1968, v. 21, p. 121.

Barker A. A. — Phys. Rev., 1968, v. 171, p. 186.

Barker A. A. — Phys. Rev., 1969, v. 179, p. 129.

Barker A. A. — J. Chem. Phys., 1971, v. 55, p. 1751.

Barranger M. — Phys. Rev., 1958, v. Ill, p. 481, 494, v. 112, p. 855.

Barranger M. — In: Atomic and Molecular Processes/Ed. Bates D. R.— N. Y.: Acad. Press, 1962, p. 493.

Barrow /., Silk 丄一Sci. Am., 1980, April, p. 98.

Barth U., Hedin L. — J. Phys., 1972, v. C5, p. 1629.

Bartsch G. R； Ebeling W. — Beitr. Plasmaphys., 1971, B. 11, S. 393.

Bartsch G. P., Ebeling W. — Beitr. Plasmaphys., 1975, B. 15, S. 25. Baumgartl B.丄一Z. Physik, 1967, B. 198, S. 148.

Baus M.—J. Phys» 1980, v. C13, p. L41.

Baus M., Hansen J.-P. — Phys. Rep., 1980, v. 59, p. 1.

Baus M, Hansen J.-P. — J. Stat. Phys., 1983, v. 31, p. 409.

Baym G., Kadanoff L. P. — Phys. Rev., 1961, v. 125, p. 287.

Berg L. Asymptotische Darstellungen und Entwicklungen.— Berlin: Verlag der Wissenschaften, 1968.

Physics in One Dimension. Eds. Bernasconi J., Schneider T. — Berlin, Heidelberg, N. Y.: Springer-Verlag, 1981.

Bessis M. Bessis G., Dakhel B., Hadinger G. — J. Phys., 1978, v. All, p. 467.

Биберман Л. M., Воробьев В. С., Ягубов И. Г. Кинетика неравновесной низкотемпературной плазмы. — М.: Наука, 1982.

Monte Carlo Methods in Statistical Physics./Ed. Binder K. — Berlin, Heidelberg, N. Y.: Springer-Verlag, 1979. [Имеется перевод: Методы Монте- Карло в статистической физике/Под ред. К. Биндера. — М.: Мир, 1982.] Bishop R.尸.，LUhrmann К.— Phys. Rev., 1978, v. B17, p. 3757.

Blatt E 丄一Solid State Phys., 1957, v. 4, p. 199. [Имеется перевод: Блатт Ф. Теория подвижности электронов в твердых телах. — М.: Физматгиз, 1963.]

Blum I., Gruber С., Lebowitz J.-L., Martin P. — Phys. Rev. Lett., 1982, v. 48, p. 1769..

Blum I., Henderson D., Lebowitz J.-L., Gruber C., Martin P. A. — J. Chem. Phys., 1981, v. 75, p. 5974.

Blumletn 丄 В сб.: Труды 2-го симпозиума по статистической механике, Дубна, 1981.

Blilmlein /., Kraeft W.-D. — Препринт, 1984.

Bliimlein J., Kraeft W.-D., Meyer 7. — Ann. Physik, 1980, B. 37. S. 379. Boercker D. A, Dufty J. W. — Annals of Physics, 1979, v, 119, p. 43. Боголюбов H. H. Проблемы динамической теории в статистической физике—М.: Гостехиздат, 1946.

Боголюбов Н. Н. Избранные труды. Т. 1—3. — Киев: Наукона лумк% 1969, 1970, 1971.

Bohm D., Pines D. — Phys. Rev., 1953, v. 9 2, p. 609.

Бонч-Бриевич В. Л. Вопросы электронной теории сильно легиропанных полу пр 6к>Аников: В сб.: Физика твердого тела. — М.: ВИНИТИ. 1966, с. 174.

Бонч-Бруевич В. Л., Тябликов С. В. Метод функций Грина в статистической механике. — М.: Физматгиз, 1961.

Бонч-Бруевич В. Л., Звягин W. /7., Кайпер Р., Миронов Л. Г” Эндера лайн Р., Эссер Б. Электронная теория неупорядоченных полупроводников.—М.: Наука, 1981.

Bottger Н. Principles of the Theory of Lattice Dynamics. — Berlin: Aka* demie-Verlag, 1983. [Имеется перевод: Беттгер X. Принципы динамиче* ской теории решетки. — М.: Мир, 1986.]

Bottger Н., Bryksin V. V. — Phys. stat. sol. (b), 1975, v. 68. p. 285.

Bdttger H., Bryksin V. V. — Phys. stat. sol. (b), 1976, v. 78, p. 11, 416; v. 29, p. 9.

Brauer W. Einfiirung in die Elektronentherie der Metalle. — Leipzig: Akad( Verlagsgesellsch. Geest & Potig, 1972.

Brinkman W. E, Rice Г. M. — Phys. Rev., 1973. v. B7, p. 15 08.

Brissand Л., Frisch U. — J. Math. Phys,, 1974, v. 15, p. 524.

Brissand Л,. Goldbach C., Leorat /., Mazure Л., Nollez G. — J. Phys., 1976, v. B9, p. 1129, 1147.

Бровман E Г., Каган Ю. M. —ЖЭТФ, 1967, т. 52, с. 557.

Й6. Бровман Е Г., Каган Ю. М.—ЖЭТФ, 1969, т. 57, с. 10.

Бровман Е Г” Каган Ю. М., Холас А. — ЖЭТФ, 1972, т, 62, с. 1492.

Brown R. С., March М Н. — Phys. Earth Planet. Interiors, 1972, v. 6, p. 206.

Brush S. G., Sahiln H. L., Teller E — J. Chern. Phys., 1966, v. 45, p. 2101.

Brydges D, Federbusch P. — Comm. Math. Phys., 1980, v. 73, p. 197.

Buhrig 呪一J. Math. Phys., 1977, v. 18, p. 1121.

Busch G., Gunterodt H.-J. — Solid State Phys., 1974, v. 29, p. 282.

Бушман Л. В., Ломакин Б. Н., Сеченов В. Д., Фортов В. Е, Щеко~ тов О. Е, Шарипджанов И, И. — ЖЭТФ, 19 75, т. 69, с. 1624.

Бушман Л. В. и др. Препринты № 532.593, № 539.182. — Черноголовка,. 1983...

Callaway 丄 Energy Band Theory. — N. Y.： Acad. Press, 1964. [Имеется перевод: Каллуэй Дж. Теория энергетической зонной структуры.——М： Мир, 1969.]

Callen Н., Ssendson R. ^., Tahir Kheli R. 4 — Phys. Lett., 1967, v. 25A, p. 505.

Cap E Einftlrung in die Plasmaphysik. II. Wellen und Instabilitaten.— Berlin: Akademie-Verlag, 1972.

Carini P, Kalman G., Golden К /. — Phys. Lett., 1980, v. A78, p. 450”

Carnahan M E, Starling К. E—J. Chem. Phys., 1969, v. 51., p. 632.

Carr W.丄，Maradudin 4 A. — Phys. Rev., 1964, v. A133, p. 3 71.

'Carr W. L., Coldwell-Horse fall R. A., Felm A. E — Phys. Rev., 1961〉 v. 124, p. 747.

Cauble R, Boercker D. A — Phys. Rev., 1983, v. A28, p. 944.

Ceperley D. M. — Phys. Rev., 1978, v. В18, p. 3126.

Ceperley D. M. — Physica, 1981, v. В108, p. 875.

Ceperley D. M. — In: Proc. Conf. Monte Carlo Methods, Paris, 1982] Preprint UCRL — 88642, Livermore, 1983.

Ceperley D. M., Alder R 丄一Phys. Rev. Lett., 1980, v. 45, p. 566.

Ceperley D., Kalos M. — In: Monte Carlo Methods in Statistical Physics.， Ed. Binder K. — Berlin, Heidelberg, N. Y.: Springer-Verlag, 1979.

Chakravarty S., Dasgupta C. — Phys, Rev., 1980, v. B22, p. 369.

109.

110.

111.

112.

113.

114.

115.

116.

117.

118.

119.

120.

Chapman S., Cowling I. G. The Mathematical Theory of Nonuniform Gases.—Cambridge: University Press, 1958. [Имеется перевод: Чепмен С., Каулинг Г. Математическая теория неоднородных газов. —М.: ИЛ, I960.]

Chihara 丄一Progr. Theor. Phys., 1978, v. 59, p. 76.

Christoph H, Ropke G.—Phys. stat. sol. (b), 1977, v. 80, p. К 117.

Coldwell-Horsefall R 4, Maradudin A. A. — J. Math. Phys., 1960, v. 1, p. 395.

Cole M. — Rev. Mod. Phys., 1974, v. 46, p. 451.

Combescot M.( Nozieres P. — J. Phys., 1972, v. C5, p. 2369.

Czerwon H.丄 Diplom Thesis, Wilhelm-Pieck-Universitat. — Rostok, 1972.

Dashen R., Ma S., Bernstein H.丄一Phys. Rev., 1969, v. 187, p. 345.

Dautcourt G. Relativistische Astrophysik. — Berlin: Akademei-Verlag, 1976.

Давыдов А. С. Квантовая механика.—— M.: физматгиз, 1963.

De Boer /. — In: Studies in Statistical Mechanics./Eds. De Boer J., Uhlen- beck G. E. — Amsterdam: North-Holland, 1965.

De Groot S. R., Mazur P. Nonequilibrium thermodynamics. — Amsterdam: North-Holland, 1962. [Имеется перевод: Де Гроот С., Мазур /7. Неравновесная термодинамика. — М.: Мир, 1964.]

121.

122.

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

130.

131.

132.

133

134.

135.

136.

137.

138.

139.

140.

141.

142.

143.

144.

145.

146.

0е Leeuw S.犷.，Perram /.犷.，Smith E. R. — Physica, 1983. v. Al 19, p 441.

Del Ro Л, De Witt H. E — Phys. Lett., 1969, v. A30, p. 337.

Del Rio Л, De Witt H. E — Phys. Fluids, 1969, v. 12, p. 791.

Del Rio E, De Witt H. E —Rev. Mex. Fis., 1971, v. 20, p. 105.

Deutsch C. — Phy sic a Scripta, 1982, T2/1, p. 192.

Deutsch C,LavaudM.—Phys.Lett.,1972,v.A39,p. 253.

Deutsch C.,LavaudM.—Phys.Lett.,1973,v.A43,p. 193.

Deutsch C.,LavaudM.—Phys.Lett.,1974,v.A46,p. 349.

Deutsch C,LavaudM.—Phys.Rev.Lett.,1973, v.31, p. 921.

Deutsch C., Lavaud M. — Phys. Rev., 1974, v.- A9, p. 2598.

Deutsch C., De Witt H. E., Furutani У. — Phys. Rev.. 1979, v. A20, p. 2631.

De Wette 尸.W. — Phys. Rev., 1964, v.135A, p. 287.

De Witt H.E — J.Nucl. Energy, 1961, v. G2,p. 27.

De Witt H.E — J.Math. Phys., 1962,v. 3, p.1216.

De Witt H.E — J.Math. Phys., 1966.v. 7・，p.616.

De Witt H. E — In: Low Luminosity Stars./Ed. Kumar S. — N. Y., 1968.

De Witt H. E —Phys. Rev., 1976, v. A14, p. 816, 1290.

De Witt H. E — In: Strongly Coupled Plasmas./Eds. Kalman G., Ga- rini P. — N. Y.: Plenum Press, 1978.

De De

Witt H. E± Hubbard 耽 В. — Astron. J., 1976, v. 205, p. 295.

——Graboske H. C, Cooper M. S. — Astrophys. J. 1973,

Witt H. E.,

v. 181, p. 439.

Dharma-wardana Dharma-wardana Dharma-wardana v. A28, p. 344. Dharma-wardana

Al. W. C, Perrot 尸.一Phys. Rev., 1982, v. A26, p. 2096.

M. W. C, Taylor R. — J. Phys., 1981, v. G14, p. 629.

M. W. C, Perrot E, Aers G. C, — Phys. Rev., 1983,

M.

M.

M.

W. C., Grimaldi F., Lecourt

A.. Pellisiert 丄 L.—

Phys. Rev., 1980, v. A21, p. 379.

Dienemann "二 Clemens G., Kraeft W.-D. — Ann. Physik, 1980, В 37

S. 444.1

147.

148.

Dirac P. A. M, Principles of Quantum Mechanics. 4th edition. — Oxford: Clarendon Press, 1958. [Имеется перевод: Дирак /7. A. M. Принципы квантовой механики. — М.: Физматгиз. I960.]

Долгов О. В” Максимов Е. Г. — УФН, 1982, т. 138, с. 95.

力o/gou О. V., Kirzhnits D. Л., Maksimov Е G. — Rev. Mod. Phys., 1981, v. 53, p. 81.

149. Du Bols D F. — Ann. Phys., 1959, v. 7, p. 174, v. 8, p. 24.149. Du Bols D F. — Ann. Phys., 1959, v. 7, p. 174, v. 8, p. 24.151.152.153.154.155.156.157.158.159.160.161,162.163.151.152.153.154.155.156.157.158.159.160.161,162.163.164.164.165.166.167.168.169.170.171.172.173.174.175.176.177.178.179.180.181.165.166.167.168.169.170.171.172.173.174.175.176.177.178.179.180.181.

149. Du Bols D F. — Ann. Phys., 1959, v. 7, p. 174, v. 8, p. 24.

149. Du Bols D F. — Ann. Phys., 1959, v. 7, p. 174, v. 8, p. 24.

151.

152.

153.

154.

155.

156.

157.

158.

159.

160.

161,

162.

163.

151.

152.

153.

154.

155.

156.

157.

158.

159.

160.

161,

162.

163.

164.

164.

165.

166.

167.

168.

169.

170.

171.

172.

173.

174.

175.

176.

177.

178.

179.

180.

181.

165.

166.

167.

168.

169.

170.

171.

172.

173.

174.

175.

176.

177.

178.

179.

180.

181.

i49a. Du Bois D F., Kivelson M. G. — Phys. Rev,, 1969, v. 186, p. 409.

Dufty J.犷.，Boercker D. В — J. Quant Spec. Rad. Trans., 1976, v. 16,

p. 1605.

Dunleavy H, M, Jones W. — J. Phys., 1978, v. F8, p. 1477.

Dyson 尸.丄一J. Math. Phys., 1967, v. 8, p. 1538.

Dyson E 丄，Lenard A.—J. Math. Phys., 1967, v. 8, p. 423.

Dyson E 丄，Lenard A. —J. Math. Phys., 1968, v. 9, p. 698.

Дайсон Ф., Монтрол Э., Кац М., Фишер М. Устойчивость и фазовые переходы. — М.: Мир, 1973.

EbelingW. — Ann.Physik,1966,В.17,S.415.

EbelingW. — Ann.Physik,1967,B.19,S.104.

Ebeling— Ann.Physik,1968,B.21,S.315.

EbelingГ. — Ann.Physik,1969,B.22,S.33, 383, 392.

EbelingW. — Physica,1968,v.38,p.378,v.40,p.290.

EbelingW. — Physica,1969,v.43,p.293.

EbelingW. — Physica,1974,v.73,p.573.

EbelingW, Strukturbildungbei irreversiblenProzessen.——Leipzig: BSB

B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1976. [Имеется перевод: Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. — М.: Мир, 1978.]

Ebeling W. — In: 75 Jahre Quantentheorie. Festband zum 75. Jahrestag der Entdeckung der Planckschen Energiequanten. — Berlin: Akademie-Ver- lag, 1977.

Эбелинг В. В сб.: 15 межд. конф, по явлениям в ионизированных газах.—Минск, 1981.

Эбелинг В. В сб.: Тр. 13 конф, по динамике разреженных газов. — Новосибирск, 1982.

Ebeling W. — In： Proc. ICPIG XVI. — Dusseldorf, 1983.

Ebeling W. Препринт El7-84-459. — Дубна, 1984.

Ebeling W. —Physica, 1985, v. 130A, p. 587.

Ebeling 犷.，Feistel R. Physik der Selbstorganisation und Evolution. — Berlin: Akademie-Verlag, 1982.

Ebeling W., Grigo M. — Ann. Physik, 1980, B. 37, S. 21.

Ebeling W,, Grigo M. — J. Solution Chem., 1982, v. 11, p. 151.

Ebeling 呪，Grigo M. — Z. physik. Chem., 1984, B. 265. S. 1072.

Ebeling 呪，Richert W. — Ann. Physik, 1982, B. 39, S. 362.

Ebeling W,. Richert W. — Phys. stat. sol. (b), 1985, v. 128, p. 167.

Ebeling 犷.，Richert W, — Phys. Lett, 1985, v. 108A, p. 80.

Ebeling 呪，Ropke G. — Ann. Physik, 1979, B. 3 6, S. 429.

Ebeling W., Ropke G. — Preprint, 1985.

Ebeling 犷.，Sandig R. — Ann. Physik, 1973, B. 28, S. 289.

Ebeling 犷.，Hoffmann H. /., Kelbg G. — Beitr. Plasmaphys., 1967, B. 7, S. 233.

Ebeling W., Kelbg G., Rohde K. — Ann. Physik, 1968, B. 21, S. 235, V. 22, S. 1.

Ebeling W,, Kelbg G., Schmitz G. — Ann. Physik, 1966, B. 18, S. 29.

Ebeling 犷.，Kelbg G., Sandig R. — Beitr. Plasmaphys., 1970, B. 10, S. 507.

Ebeling W., et aL — In: Proc. 18 I nt. Conf. loniz. Gases, Swansea, 1987.

Ebeling IT., Kraeft W,-D,, Kremp D Theory of Bound States and Ionization Equilibrium in Plasmas and Solids. — Berlin: Akademie-Verlag, 1976. [Имеется перевод: Эбелинг В., Крефт В, Кремп Д. Теория связанных состояний и ионизационного равновесия в плазме и твердом теле.——М.: Мир, 1979.]

Ebeling 呪，Kraeft W,-D.t Kremp D —In: Proc. IGPIG-XIII. — Berlin, 1977.

Ebeling W., Meister С.-V., Sandig R., Kraeft W,-D, — Ann. Physik, 1979, B. 36, S. 321.

Ebeling W\, Richert 呪，Kraeft 叱-D, Stolzmann 叱一Phys. stat. sol. (b)^ 1981, v. 104, p. 193.

Ebeling 叱，Kraeft W.-D., Kremp D, KiUmann K・一Phys. stat. sol. (b)» 1976, v. 78, p. 241.

Ebeling W\, Kraeft W,-D,} Kremp D, Ropke G. — Astrophys. J., 1984, v. 290, p. 24.

Ebeling 吃 et al. Transport Properties of Dense Plasmas. — Berlin： Aka- demie-Verlag, 1983; Basel, Boston, Stuttgart: Birkhauser-Verlag, 1984.

Ebina К — Progr. Theor. Phys., 1983, v. 69, p. 1686.

Ecker G. H. Theory of Fully Ionized Plasmas. — N. Y., L., 1972. [Имеется перевод: Эккер Г. Теория полностью ионизованной плазмы.——М.: Мир* 1974.]

Ecker G” Muller К. G. — Z. Physik, 1958, В. 153, S. 317.

Ecker G., Wetzel W. — Ann. Physik, 1956, B. 17, S. 126.

Эфрос A, 〃.一 УФН, 1978, t. 126, c. 41.

7. Ehrenreich H., Cohen M. — Phys. Rev., 1959, v. 115, p. 786.

Emery 忆 J. — In: Highly Conducting One-Dimension Solids./Eds. Dev- reese J. T., Evrard R. P., Doren V. E. — N. Y.: Plenum Press, 1979.

Ewald P. A — Ann. Physik, 1921, B. 64, S. 253.

Faber T. E, Introduction to the Theory of Liquid Metals. — Cambridge: Univ. Press, 1972.

Falkenhagen H,, unter Mitwirkung von Ebeling W. Theorie der Elektro- lyte. — Leipzig: HirzebVerlag, 1971.

Falkenhagen H., Ebeling W. — In: Ionic Interactions. V. 1/Ed. Petruc* ci S —N. Y., L.: Acad. Press, 1971.

Feix M R. — In: Strongly Coupled Plasmas./Eds. Kalman G., Garini P.— N Y • Plpnnm Prevv

Fennel W„ Wilfer H. Л —Ann. Physik, 1975, B. 32, S. 265.

Fennel W\, Kraeft W.-D., Kremp D. — Ann. Physik, 1974, B. 31, S. 171.

Fennel W, Kraeft 吃-D, Kremp D., Wtlfer H. P. — Wiss. Z. Univ. Ros- tok, MNR 1975, B. 24, S. 693.

Fetter A. I., Walecka 丄 D. Quantum Theory of Many Particle Systems.— N. Yj McGraw-Hill, 1971.

Fick E. Einftirung in die Grundlagen der Quantentheorie.——Leipzig: Akad. Verlagsgesellsch. Geest und Portig, 1968.

Filinov V. S. — Phys. Lett., 1975, v. A54, p. 259.

Финкельштейн А. Б. — ЖЭТФ, 1983, т. 84, с. 168.

Fischbeck H. J. Eindimensionales Fermigas. Preprint 82-18, ZIE der AdW der DDR.— Berlin, 1982.

Fischer D. S.. Halperin B. /., Platzmann P, M — Phys. Rev. Lett., 1979, v. 42, p. 798.

Flecktnger R., Gomes A. Soulet У. — Physica, 1976, v. A85, p. 485.

Fleckinger R., Gomes A., Soulet У. — Physica, 1978, v. A91, p. 33.

Forrester P.丄，Jancovici 8, Smith E R, — J. Stat, Phys., 1983, v. 31> p. 129.

Фортов В. E. u dp. — ЖЭТФ, 1976, т. 71, с. 225.

Фортов В. Е. и др. Препринт. — Черноголовка, 1979.

Franck S. —Ann. Physik, 1980, В. 37, S. 349.

Franck S. — Adv. Space Res., 1981, v. 1, p. 203.

Franck E U., Hensel F. — Phys. Rev,( 1966, v* 141, p. 1, 109.

Franck £ U.t Hensel R — Ber. Bunsenges., 1966, B. 70, S： 1154.

Franck E U., Hensel F. — Rev. Mod. Phys., 1968, v. 4 0, p. 697,

Friedman H, Ionic Solution Theory. — N. Y., L.: Interscience, 1962,

Frolich 7., Park У. M. — Comm. Math. Phys., 1978, v. 59, p. 235,

Frolich 丄，Park Y. M.——J. Stat Phys., 1980, v. 23, p. 701.

&7-&^2222&7-&^22229.°-L 23-4-9.°-L 23-4-567 89012333 33444222 22222567 89012333 33444222 222223423424567 89012346 678 9012 34444 44556655 655 5666 622 2% 2 2 22222 2 2 2 2 2222 24567 89012346 678 9012 34444 44556655 655 5666 622 2% 2 2 22222 2 2 2 2 2222 2Fr6lich 丄，Spencer 7. Lecture presented at the Int. School of Mathematical Physics.— Erice, Sicily, 1980.

&7-&^2222

&7-&^2222

9.°-L 23-4-

9.°-L 23-4-

567 89012

333 33444

222 22222

567 89012

333 33444

222 22222

3

4

2

3

4

2

4567 89012346 678 9012 3

4444 44556655 655 5666 6

22 2% 2 2 22222 2 2 2 2 2222 2

4567 89012346 678 9012 3

4444 44556655 655 5666 6

22 2% 2 2 22222 2 2 2 2 2222 2

Fr6lich J., Spencer T. — Comm. Math. Phys., 1981, v. 81, p. 527.

Fujita S. Introduction to Non-Equilibrium Quantum Statistical Mecha* nics. —- Philadelphia, L.: W. B. Sauders, 1966. [Имеется перевод: Фуд* зита С. Введение в неравновесную квантовую статистическую механику. —М.: Мир, 1969.]

Fukuyama Н, — Solid State Commun., 1976, v. 19, p. 551.

Galatn S., Hansen J. P. — Phys. Rev., 1976, v. A14, p. 816.

Галицкий В. M., Мигдал А. Б. — ЖЭТФ, 1958, т. 34, с. 139.

Gallet Е, Deville G., Valdes 4, Williams 尸./. В. — Phys. Rev. Lett., 1982, V. 49, p. 212.

Gann R. C., Chakravarty S., Chester G. V. — Phys. Rev., 1979, v. B20, p. 326.

Gell-Mann M., Brueckner K. A. — Phys. Rev., 19 57, v. 106, p. 364. [Имеется перевод в об.： Проблемы современной физики. № 1.——М.: ИЛ, 1958.]

Gilbert /. D. — J. Math. Phys., 1977, v. 18, p. 791.

Gilbert 丄 D.—J. Math. Phys., 1978, v. 19, p. 2605.

Plasma Physics and Fusion Research./Ed. Gill R. D. — L.: Acad. Press, 1981.

Gingrich N. S., Roy Heaton L.—J. Chem. Phys., 1961, v. 34, p. 873.

Гинзбург В. Л. — УФН, 1971, т. 103, с. 87.

Гинзбург В. Л. — УФН, 1981, т. 134, с. 469.

Girardeau M. D — J. Math. Phys., 1975, v. 16, p. 1901.

Gitterman M, Steinberg V. — Phys. Rev. Lett., 1975, v. 35, p. 1588.

Glansdorff P., Prigogine /. Thermodynamics of Structure, Stability and Fluctuations. — N. Y.: Wiley-Interscience, 1971. [Имеется перевод: Глвнс~ дорф П., Пригожин 〃、 Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. — М.: Мир, 1973.1

Glasser М. L. — Phys. Lett., 19745, v. А51, р. 253.

Glicksman M. Plasmas in Solids. — Solid State Physics, 1971, v. 26..

Gobel E. O., Mahler G. — Festkorperprobleme, 1979, B. 19, S. 105.

Goedsche F„ Richter R., Vojta G.—Phys. stat. sol. (b), 1979, v. 91, p. 581.

Gluck P. — Nuovo Cimento, 1971, v. 38, p. 67.

Goldberger M. L, Watson К. M. Collision Theory. — N. Y.: Wiley, 1964.

Golden K. /., Kalman G. — Phys. Rev., 1976, v. A14( p. 1802.

Golden K. /., Kalman G. — Annals of Physics, 1982, v. 143, p. 160.

Gorecki 丄，Popielawski 丄——J. Phys., 1983, v. F13, p. 1197.

Горобченко В. Д.，Максимов Е. Г. — УФН, 1980, т. 130, с. 65.

Graboske Н. С. — Astrophys. J., 1973, v. 181, p. 457.

Graboske И, C., Harwood D. /., De Witt H. E, — Phys. Rev., 1971, v. A3, p. 1419.

Graboske H. C, Harwood D,丄，Rogers 尸.J, — Phys. Rev., 1969, v. 186, p. 210.

Graboske И, C., De Wttt H, E, Grossmann A S., Cooper M. S. — Astrophys. J., 1973, v. 181, p. 457.

Grad H. In: Hdb. Phys., B. XIL/Ed. Fliigge S.—Berlin： Springer-Ver- lag, 1958.

Green 4 E S. et al. — Phys. Rev., 1981, v. A24, p. 1.

Green A. E S. et al. — Phys. Rev. Lett., 1982, v. 48, p. 638.

Green 4 E G. et @厶一Int. J. Quant Chem. Symp., 1982, v. 16, p. 381.

Griem H, Spectral Line Broadening by Plasmas. — N. Y.: Acad. Press, 1974. [Имеется перевод: Грим Г. Уширение спектральных линий в плазме.—М.: Атомиздат, 1978.]

Griem Н. R. — Phys. Rev., 19 83, v. А28, р. 1596.

Grimes С. С., Adams G. — Phys. Rev. Lett., 1979, v. 42, p. 795.

Gruber Ch., Martin Ph. A. — Phys. Rev. Lett., 1980, v. 45, p. 853.

Gruber Ch., Lebowitz 丄 L, Martin Ph. A. — J. Chem. Phys., 1981, v. 75, p. 944.

Grutzmacher K., Wende B. — Phys. Rev., 1977, v. A16, p. 243.

Grutzmacher K., Wende B. — Phys. Rev., 1978, v. A18, p. 2140.

Gundel H, — Beitr. Plasmaphys., 1970, BIO, S. 455.

Gunther K., Radtke R. Ergebnisse der Plasmaphysik und der Gaselektro- nik, B. 7. — Berlin: Akademie-Verlag, Birhauser, 1984.

Gunther K., Lang S., Radtke R. — J. Phys., 1983, v. D16, p. 1235.

Gunther R, Popovic M M., Popovic S. S., Radtke R. — J. Phys., 1976, v. D9, p. 1139..

Грязнов В,艮.，Иосилевский И. Л. В сб.: Термофизические свойства низкотемпературной плазмы. — М.: Наука, 1976.

Грязнов В. К., Жерноклетов М. В., Зубарев В. Н., Иосилевский И. Л., Фортов В. Е — ЖЭТФ, 1980, т. 78, с. 573.

Грязнов В. К., Иосилевский И. Л., Красников Ю. Г.» Кузнецова Н. Н、 Кучеренко В. 〃., Лаппо Г. В., Ломакин Б. "., Павлов Г. А., Сон Е £., Фортов В, Е Теплофизические свойства рабочих сред газофазного ядер- ного реактора. — М.: Атомиздат, 1980.,

Haken Н. Laser Theory. — Berlin, Heidelberg, N. Y.: Springer-Verlag, 1970.

Haken H. Synergetics. An Introduction. — Berlin, Heidelberg, N. Y.: Springer-Verlag, 1978. [Имеется перевод: Хакен Г. Синергетика. — М.: Мир, 1980.]

Synergetics./Ed. Haken Н. — Stuttgart: Teubner, 1973.

Cooperative Phenomena./Eds. Haken H., Wagner M. — Berlin, Heidelberg, N. Y.: Springer Verlag, 1973.

Halenka /., Musielok J. In: XIII. ICPIG, I. — Berlin, 1977, p. 135.

Hanamura E — J. Phys. Soc. Japan, 1970, v. 29, p. 50.

Hansen 丄 P.——Phys. Rev., 1973, v. A8, p. 3096..

Hansen J. P., Levesque D., Weis J. J. — Phys. Rev. Lett., 1979,、v. 43, p. 979.

Hansen 丄 P., Torrie G. M., Vieillefosse P. — Phys. Rev., 1977, v. A16, p. 2153.

Harris G. M, Roberts /. E., Trullo J. G. — Phys. Rev., 1960, v. 119, p. 1832.

Hart G. 4, Goodfriend B. L. — J. Chem. Phys., 1970, v. 53, p. 448.

Haubold H.丄，John R. W. — Astron. Nachr., 1982, v. 303, p. 161.

Haug "., Tran Thoai D. B. — Phys. stat. sol. (b), 1978, v. 85, p. 561.

Hauge £ H., Hemmer P. G. — Phys. Norvegica, 1971, v. 5, p. 269.

Hedin L, Lundquist B. /. — J. Phys., 1971, v. C4, p. 2064,

Held 8, Deutsch C., Gombert M.-M. — Phys. Rev., 1982, v. A25, p. 585.

Held B., Deutsch C., Gombert M.-M — J. Phys., 1982, v. A15, p. 3845.

Held B., Deutsch C, Gombert M.-M. — Phys. Lett., 1983, v. A94, p. 40.

Hensel 尸.一In: Proc. 8 Symp. Thermophys. Prop. — Gaithersburg, Md., 1981.

Hensel E — Angew. Chem. Int. Ed., 1980, v. 19, p. 593.

Herrmann R., Preppernau U. Elektronen im Kristall. — Berlin: Akade- mie-Verlag, 1979.

Hetzhelm H. — Ann. Physik, 1967, B. 19, S. 380.

Hitzschke L., Ropke G., Seifert T., Zimmermann R.—J. Phys., 1986, v. 19, p. 2443.

Hockney R. W., Brown T. R. — J. Phys., 1975, v. C8, p. 1813.

Hoffmann H. A, Ebeling W. — Beitr. Plasmaphys., 1968, B. 8, S. 43.

Hoffmann H. /., Ebeling W. — Physica, 1968, v. 39, p. 593.

Hoffmann H.丄，Kelbg G. — Ann. Physik, 1966, B. 17, S. 356.

Hoffmann Н.丄，Ke/bg G. — Ann. Physik, 1967, B. 19, S. 186.

Hohenberg P.)Kohn W. — Phys. Rev., 1964, v. 136, p. 864B.

Hohne E E, Zimmermann R. — J. Phys., 198 2, v. В15, p. 2551.

Hohne 尸.E, Redmer R., Ropke G., Wegner H. — Physica, 1984, v. 128A, p. 643.

Hooper C. F., Jr, — Phys. Rev., 1968, v. 165, p. 215.

Hoover W. G., Ross AL, Bender С. E, Rogers E /., Olenss R 丄一Phys. Earth Planet. Interiors, 1972, v. 6, p. 60.

Horovitz B., Thieberger R. — Physica, 1974, v. 71, p. 99.

Huang R Statistical Mechanics. — N. Y., 1963. [Имеется перевод: Хуанг К. Статистическая механика.——М.: Мир, 1966.]

Hubbard J. — Proc. Roy. Soc., 1957, v. A240, p. 539. [Имеется перевод в сб.; Вопросы квантовой теории многих тел.—М.: ИЛ, 1959.]

Hubbard J. — Proc. Roy. Soc. — 1958, v. A243, p. 336. [Имеется перевод в сб.: Вопросы квантовой теории многих тел.——М.: ИЛ, 1959.]

Hubbard 丄一Phys. Lett., 1967, v. A25, p. 709.

Hubbard 呪 В., Slattery IF. L. — Austral. J. Phys., 1977, v. 168, p. 131.

Huberman M, Chester G. V. — Adv. Phys., 1975, v. 24, p. 489.

Hugon R. L, Ghazali A. — Phys. Rev., 1976, v. B14, p. 602.

lakubov /. T., Vorobiev V. S.—Astronautical Acta, 1974, v. 18, p. 79.

Ichimaru S. —Rev. Mod. Phys., 1982, v. 54, p. 1015.

Ichimaru S. Basic Principles of Plasma Physics. — Reading: Benjamin, 1973 [Имеется перевод: Ичимару С. Основные принципы физики плазмы.—М.: Атомиздат, 1975.]

Ichimaru S., Ursumi К. —Phys. Rev., 1981, v. B24, p. 7385.

Iglesias C. A., Hooper С. E, 〃.，De Witt H. E — Phys. Rev., 1983, V. A28, p. 361.

Iglesias C. 4, Lebowitz J, L., MacGowan D. — Phys. Rev., 1983, v. A28, p. 1667.

Ingarden R. S. — Acta Physica Polonica, 1973, v. A13, p. 1, 15.

Ingarden R. S. Information Theory and Thermodynamics. —Torun: N. Copernicus Univ. Press, 1974.

ИосилевскийИ. Л, — Теплофизикавысокихтемператур,1980,т.18,

с. 447.

Иосилевский". Л. — Теплофизикавысокихтемператур,1980,т.18,

с. 447, 1981, т. 19, с. 680.

Иосилевский И. Л., Грязнов В. К. — Теплофизика высоких температур, 1981, т. 19, с. 1121.

Isihara А. — Phys. Rev., 1968, v. 172, р. 166; 1969, v. 178, р. 412.

Isihara 4 Statistical Physics. — N. Y., 1971. [Имеется перевод: Исихара А. Статистическая физика. — М.: Мир, 1973.]

Isihara 4 — Phys. cond. Matter, 1972, v. 15, p. 225.

Isihara A., loratti C. — Physica, 19 80, v. A103, p. 621.

Isihara A,, Kojima D, У. — Phys. cond. Matter, 1974, v. 18, p. 249.

Isihara 4, Kojima D. У. — Physica, 1974, v. 77, p. 469.

Isihara 4, Montroll E. W. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1971, v. 68, p. 3111.

Isihara 4, Wadati M. — Phys. Rev., 1969, v. 18 3, p. 312.

Isihara A., Wadati M. — Physica, 1972, v. 57, p. 237.

Исаков И. M., Ломакин 5. Н. — Теплофизика высоких температур, 1979, т. 17, с. 262.

Ivanov С. — Physica, 1978, v. А94, р. 571.

Иванов Ю. В., Минцев В. £, Форсов В. Е, Дремин А. Н. — ЖЭТФ, 1976. т. 71, с. 216.

lyetomt "., Ichimaru S. — Phys. Rev., 1982, v. 25, p. 2434.

lyetomt "., Utsumi K., Ichimaru S. — J. Phys. Soc. Japan, 1981, v. 50, p. 3769, 3778.

Q^4^K^A^70^Q^n^L444444455333333333

2 3 4 5 6 7

555 5 5 5

3 3 3 3 3 3

8 9 0 12 3

5 5 6 6 6 6

3 3 3333

4-5-6-7-&

6 6 6 6 6

3 3 3 3 3

9 0 1

6 7 7

3 3 3

372.^

Jackson /. К., Klein L. S. — Phys. Fluids, 1963, v. 7, p. 232.

Jackson 丄 К., Klein L. S. — Phys. Rev., 19 69, v. 177, p. 352.

Jancovici B. — J. Stat Phys., 1977, v.17,p.357.

Jancovici B. — J. Stat. Phys., 1982, v.28,p.43, v.29, p. 263.

Jancovici B. — Molec. Phys., 1976, v.32,p.1177.

Jancovici B, — Phys. Rev. Lett., 1981,v.46,p. 386.

Jastrow R. — Phys. Rev., 1955, v. 98, p. 1478.

Jaynes E 7.— Phys. Rev., 1957, v. 106, p. 620, v. 108, p. 171.

Kadanoff L P., Baym G. Quantum Statistical Mechanics. — N. Y., 1962.

[Имеется перевод: Каданов Л., Бейм Г. Квантовая статистическая механика. —М.: Мир, 1964.]

Кадомцев Б. Б. — ЖЭТФ, 1957, т. 33, с. 151.

Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. — М.: Наука, 1976.

Каган Ю, М., Пушкарев В. В., Холас А.—ЖЭТФ, 1977, т. 73, с. 967.

Калашников В. П, — ТМФ, 1978, т. 34, с. 412, т. 35, с. 127.

Kalia R. К, Vashishta Р., De Leeuv S. W, — Phys. Rev., 1981, v. B23卜 p. 4794.

Kalia R. K., Vashishta R., Mahanti S. D, Quinn 丄 /. — J. Phys., 1983r v. C16, p. L491.

Kalman G. — In: Proc. II Int Conf. Many Body Physics, — Oactepec, 1981.

Strongly Coupled Plasma./Eds. Kalman G., Carini P. — N. Y.: Plenum Press 1978

Kelbg G. — Ann. Physik, 1963, B. 12, S. 219.

Kelbg G.—Ann. Physik, 1964, B. 13, S. 354, B. 14, S. 394.

Kelbg G. — Wiss. Z. Univ. Rostock, 1965, B. 14, S. 251.

Ke/bg G. — In: Ergebnisse der Plasmaphysik und Gaselektronik, 1972, B. 3.

Келдыш Л. В. — УФН, 1970, т. 100, с. 514.

Халатников И. М — Природа, 1971, № 10, с. 8.

Храпак. А. Г., Якубов И. Г. Электроны в плотных газах и плазме.— М.: Наука, 1981.

Кикоин И, К., Сенченков А. А. — Физика металлов и металловедение, 1967, т. 24, с. 843.

Kilimann М. К. Doctor thesis II. — Wilhelm-Pieck-Universitat Rostok, DDR, 1978.

Kilimann M. K, Kraeft 吃—AdW. der DDR, Zfl.-Mitt., 1978, B. 13, S. 70.

Kilimann M K・，Kraeft 叱・D., Kremp D. — Phys. Lett” 1977, v. A61, p. 393.

Килиманн K・,Кремп Д., Рёпке Г. — Теоретическая и математическая физика, 1983, т. 55, с. 448.

Киржниц Д. 4, Лозовик Ю. Е, Шпатаковская Г. В. — УФН, 1975〉

Kittel Ch. Einfuhrung in die Festkorperphysik. — Leipzig, 1973. [Имеется перевод: Киттель 7. Введение в физику твердого тела. — М.: Наука, 1978]

Klein 厶.一J. Quant. Spec. Rad. Trans., 1969, v. 9, p. 199.

Климонтович Ю. Л. Статистическая теория неравновесных процессов в плазме. — М.: Изд-во МГУ, 1964.

Климонтович Ю. Л. Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной плазмы. — М.: Наука, 1975.

Климонтович Ю. Л. Кинетическая теория электродинамических процес* сов. — М.: Наука, 1980.

Климонтович Ю. Л. Статистическая физика. — Мл Наука, 1982.

379. Климонтович Ю.刀.，Эбелинг В. — ЖЭТФ, 1962, т. 43, с. 146.

880. Климонтович Q,几 Эбелинг В. — ЖЭТФ, 1972, т. 63, с. 905.

381.382.383.384.385.386.387.388.389.390.391.392.381.382.383.384.385.386.387.388.389.390.391.392.3 4 5 6 7 8 99 9 9 9 9 9 93 3 3 3 3 3 33 4 5 6 7 8 99 9 9 9 9 9 93 3 3 3 3 3 3400.401.402.403.404.405.406.407.408.400.401.402.403.404.405.406.407.408.9-°'l 9^ Q^ 4^ о 11 11 11 ^1 11444 4449-°'l 9^ Q^ 4^ о 11 11 11 ^1 11444 444415.416.417.415.416.417.

381.

382.

383.

384.

385.

386.

387.

388.

389.

390.

391.

392.

381.

382.

383.

384.

385.

386.

387.

388.

389.

390.

391.

392.

3 4 5 6 7 8 9

9 9 9 9 9 9 9

3 3 3 3 3 3 3

3 4 5 6 7 8 9

9 9 9 9 9 9 9

3 3 3 3 3 3 3

400.

401.

402.

403.

404.

405.

406.

407.

408.

400.

401.

402.

403.

404.

405.

406.

407.

408.

9-°'l 9^ Q^ 4^ о 11 11 11 ^1 11

444 444

9-°'l 9^ Q^ 4^ о 11 11 11 ^1 11

444 444

415.

416.

417.

415.

416.

417.

Климонтович Ю. Л., Крефт В.-Д. — Теплофизика высоких температур, 1974, т. 12, с. 239.

KHmontovich У〃. L・，Kremp D. Kinetische Gleihungen fur Systeme mit Bindungszustanden. Preprint, Rostok, 1980; Physica, 1981, v. 109A, p. 517. Климонтович Ю. Л., Силин В. П.——УФН, 1960, т. 70, с. 247.

Кобзев Г. А, Куриленков Ю. К — Теплофизика высоких температур, 1978, т. 16, с. 458.

Кобзев Г. А., Куриленков Ю. К・，Норман Г. Э. — Теплофизика высоких температур, 1977, т. 15, с. 193.

Kohler М. — Z. Physik, 1948, В. 124, S. 772; В. 125, S. 679.

Kohn ТГ., Sham 厶.丄——Phys. Rev., 1965, v. 140, p. 1133A.

Колесниченко E. Г. — Теоретическая и математическая физика, 1977, т. 30, с. 114, 282.

Копышев В. Z7. — ЖЭТФ, 1968, т. 55, с. 1304.

Kosterlitz 丄 М. — J. Phys., 1974, v. C7, p. 1046.

Kosterlitz J. M., Thouless D. J. — J. Phys., 1973, v. C6, p. 1181.

Kraeft 呪-D Nonideal Plasmas. — In: The Physics of Ionized Gases/Ed, Janev R. K. — Institute of Physics, Beograd, 1978.

Kraeft 呪-D. Lecture at the International Workshop on the Statistical Mechanics of Ionic Matter. — Les Houches, 1982.

Kraeft 忆-D., Fennel W\ — Phys. stat. sol. (b), 1976, v. 73, p. 487.

Kraeft 吃-D., Jakubowski P. — Ann. Physik, 1978, B. 35, S. 294.

Kraeft 吃-D., Kremp D.—乙 Physik, 1968, B. 2 08, S. 475.

Kraeft W\-D., Stolzmann W. — Phys. Lett., 1976, v. 56A, p. 41.

Kraeft W\-D., Stolzmann W, — Physica, 1979, v. A79, p. 306.

Kraeff Ж-D., Stolzmann 吃一Lecture at the Conference «Physik der fliissigen Phase», Rostock, 1982.

Kraeft 吃勿.，Stolzmann 吃一J. Phys., 1984, v. Cl7, p. 3561.

Kraeft W.-D., Blumlein 丄，Meyer T. — Contr. Plasma Phys., 1983, v. 23, p. 9.

Kraeft W,-D., Ebeling 步.，Kremp D. — Phys. Lett., 1969, v. A29, p. 466.

Kraeft 呪-D., Kilimann M. ^., Kremp D. — Phys. stat. sol. (b), 1975, v. 72, p. 461.

Kraeft W.-D., Kremp D, Kilimann K・一Ann. Physik, 1973, B. 29, S. 177. Kraeft W.~D., Kremp D, Ropke G. — In: Proc. XVI ICPIG, Dusseldorf, 1983.

Kraeft TT.-D., Luft M.( Mihailov A. A. — Physica, 1983, y. A120, p. 263. Зельдович 凡 £, Ландау Л. Д. — ЖЭТФ, 1944, т. 14, с. 32.

Kraeft 吃-D Stolzmann 步.，Wipper M., Kremp D — Ann. Physik, 1975F B. 32, S. 1.

Lado 尸.一Phys. Lett., 1982, v. A29, p. 196.

Красный Ю. 〃.，Коваленко H. П. — ЖЭТФ, 1972, т. 62, с. 829.

Красный Ю. 〃.，Онищенко В. П. — Укр. физ. журн., 1972, т. 17, 1704.

Kremp D., Kraeft 呪-D — Ann. Physik, 1968, B. 20, S. 340.

Kremp D, Kraeft W.^D. — Phys. Lett, i972, v. 38A, p. 167.

Kremp D., SManges M. — In: Second Int. Workshop Nonideal Plasmas/ Eds. Kraeft W.-D., Rother T. — Wustrow, DDR, 1982, p. 163.

Kremp D., Schlanges M. — In: Ebeling W. et al. Transport Properties of Dense Plasma. — Berlin： Akademie-Venag, 1983; Basel, Boston, Stuttgartf Birkhauser-Verlag, 1984 (in English).

Kremp D, Schmitz G. — Z. Naturforsch., 1967, B. 22a, S. 1366.

Kremp D., Haronska P., Schlanges M. — Wiss. Z. Univ. Rostock MNR, 1985.

Kremp D, Kraeft 吃-D., Ebeling й^. — Physica, 1971, v. 51, p. 146.

Kremp D, Kraeft 吃-D, Fennel 0 —Physica, 1972, v. 62, p. 461.

Kremp D, Kraeft 叱-D, Kilimann M. K. — AdW der DDR, ZfL・Mitt., 1978, B. 13, S. 66.

Kremp D, Kraeft 吃-D, Lambert A, J. M. D. — Physica, 1984, v. 127A, p. 72.

Kremp D, Schlanges M, Kilimann M. K. — Phys. Lett., 1984, v. 110A, p. 149.

Kremp D., Kf〃mazm Л1. K., Kraeft 沥.-D, Stolz "., Zimmermann R.— Physica, 1984, v. 127A, p. 646.

Krienke H, Sttps 4 — 2. Physik. Chem. (в печати).

KHenhe H., Ebeling W., Czerwon H. J. — Wiss. Z. Univ. Rostock MNR, 1975, B. 24, S. 5.

Krumhansl 丄 A. Physics of Solids at High Pressures.— N. Y., 1965.

Kubo R. — J. Phys. Soc. Japan, 1957, v. 12, p. 570. [Имеется перевод в сб.: Вопросы квантовой теории необратимых процессов. — М.: ИЛ, 1961, с. 39.]

Кудрин Л. П. Статистическая физика плазмы. — М.: Наука, 1974.

Купи Ф. М. Статистическая физика и термодинамика.— М.: Наука, 1981.

Kwok Р. С, Schultz Т. D. — J. Phys., 1969, v. С2, р. 1196.

Лагардов Л. "., Сарычев А. ^. — Теплофизика высоких температур, 1979, т. 17, с. 466.

Lam С. S., Varshni У. Р. — Phys. Rev., 1971, v. А4, р. 1875.

Ландау Л, Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Физматгиз, 1963.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика. Часть I. 3-е изд., доп. Лифшицем Е. М. и Питаевским Л. П. — М.: Наука, 1976.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. IX. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Статистическая физика. Часть II. Теория конденсированного состояния. — М.: Наука, 1978.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. X. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979.

Lebowitz 丄厶.一In： Lecture notes Int. School of Math. Phys.— Erice, 1980.

Lebowitz 丄 L.— Phys. Rev., 1983, v. A27, p. 1491.

Lebowitz I, L, Lieb £ H.— Phys. Rev. Lett., 1969, v. 13, p. 631.

Lebowitz J, L., Lieb E, H. — Adv. Math., 1972, v. 9, p. 317.

Lebowitz J, L,, Pena R, E. — J. Chem. Phys., 1973, v. 59, p. 1362.

Lee R,吃一J. Phys., 1973, v. B6, p. 1044, 1060.

Lee R,吃一J. Phys., 1979, v. B12, p. 1129, 1145.

Lenard A. Statistical Mechanics and Mathematical Problems. Lecture Notes in Physics, v. 20. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1973

44 5. Lenard 4 — J. Math. Phys., 1961, v. 2, p. 682.

44 6. Lenard 4, Dyson F. J. — J. Math. Phys., 1968, v. 9, p. 698.

Leutheuser E. — Phys. Rev., 1983, v. A28, p. 1762.

Leven R. — Beitr. Plasmaphys., 1969, B. 9, S. 29, 165, 293.

Leven R. — Beitr. Plasmaphys.. 1970, B. 10, S. 27, 347.

Lieb E. H. — Rev. Mod. Phys., 1976, v. 48, p. 553.

Lieb E "., Lebowitz 丄 L. — Adv. Math., 1972, v. 9, p. 316,

Lieb £. H., Lebowitz J. L. — Springer Lecture Notes in Physics, 1973, V. 20, p. 1.

Lieb E. H., Mattis D. C. Mathematical Physics in One Dimension. — N. Y.: Press

Lieb E, Narnhofer H. — J. Stat. Phys., 1976, v. 14, p. 465.

Lieb E. H., Simon B. — J. Chem. Phys., 1977, v. 61, p. 735.

Lieb E, H., Simon B. — Phys. Rev, Lett., 1977, v. 33, p. 681.

Lieb E H., Tfurring 沥.一Phys. Rev. Lett., 1975, v. 31, p. 111.

Лифшиц И. М., Азбель М.兄.，Каганов М. И. Электронная теория металлов. —М.： Наука, 1971,

Лифшиц И. Л£, Гредескул С. Л., Пастур Л. Л. Введение в теорию неупорядоченных систем. — М.: Наука, 1982.

Лихальтер А. А. — Теплофизика высоких температур, 1978, т. 16, с. 1219. 461. Лихальтер А. А. — Теплофизика высоких температур, 1981, т. 19, с. 746. 462. Lindhard /. — Kgl. Danske Videnskab. Mat. Fys. Medd.( 1954, v. 28, p. 8. 463. Ludwig G. Einfiihrung in die Grundfragen der theoretischen Physik, Bd. 3—4. — Braunschweig: Vieweg, 1980.

Лукьянов С. /О. Горячая плазма и управляемый ядерный синтез. — М.: Наука, 1975.

Lundquist В. Л — Phys. cond. Mater., 196 7, v. 6, p. 206.

Mahler G., Birman J. L. — Phys. Rev., 1977, v. В16, p. 1552.

Martin P. C. — Phys. Rev.( 1967, v. 161, p. 143.

Martin P. C, Schwinger J. — Phys. Rev., 1959, v. 115, p. 1342. [Имеется перевод: Мартин П., Швингер Ю. Теория систем многих частиц.—М.: ИЛ, 1962.]

Matsubara Т. (ed.) The Structure and Properties of Matter. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1982.

Matt tick R. D. A Guide to Feynman Diagrams in the Many Body Problem. —London: McGraw-Hill, 1967. [Имеется перевод: Маттук P. Фейнмановские диаграммы в проблеме - многих тел. — М.: Мир, 1969.]

Mazure 4, Nollez G. — Z. Naturforsch., 1978, В. A33, S. 1575

Mehrotra R・，Guenin В. M. A. J. — Phys. Rev. Lett., 1982, v. 48, p. 641.

Meister С. K, Ropke G. —Ann. Physik, 1982, B. 39, S. 133.

Messiah A. Quantum Mechanics. — Amsterdam: North-Holland, 1961. [Имеется перевод: Meccua А. Квантовая механика. В 2-х томах. — М.: Наука, 1978.]

Metropolis М et al. — J. Chem. Phys., 1953, v. 21, p. 1087.

Meyer /. R, Bartoli E 丄一J. Phys,, 1982, v. Cl5, p. 1987.

Мигдал А. Б. Теория конечных ферми-систем и свойства атомных ядер. — М.: Наука, 1965.

Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. — Изд. 2-е, перераб. и доп. Т. 2. Неустойчивости неоднородной плазмы. —М.: Атом- издат, 1977.

Шпоо "., Deutsch С., Hansen /. А — Phys. Rev., 1976, v. А14, р. 840.

Mitchner М., Kruger С. Н. Partially Ionized Gases. — N. Y.: Wiley, 1973. [Имеется перевод： Митчнер M., Кругер Ч, Частично ионизованные газы.—М.: Мир, 1970.]

Miyagi Н. — Progr. Theor. Phys., 1981, v. 65, p. 66.

Mobius 4, Goedsche E, Vojta G. — Physica, 1979, v. A95, p. 294.

Montroll 頁 W., Lebowitz I. L. The Liquid State of Matter. — Amsterdam: North-Holland, 1982.

Montroll E、吃，Ward 丄 C. — Phys. Fluids, 1958, v. 1, p. 55. [Имеется перевод в сб.: Вопросы квантовой теории необратимых процессов. — М.: ИЛ, 1961, с. 298.]

Moore С. Е, Minneart М. G.尸.，Houtgast F. The Solar Spectrum 2935 A to 8770 A. — NBS Monograph No 61, 1966.

Morita T. — Progr. Theor. Phys. (Japan), 1959, v. 22, p. 757.

Mo" N. E Metal — Insulator Transitions. — London: Taylor & Francis, 1974. [Имеется перевод: Мотт H. Ф. Переходы металл — изолятор.— М.: Наука, 1979.]

Mo" М Е, Davis Е A, Electronic Processes in Non-Crystalline Materials.—Oxford: Clarendon Press, 1971. [Имеется перевод 2-го изд.: Мотт 从，Дэвис Э. Электронные процессы в некристаллических материалах.—В 2-х томах. — М.: Мир, 1982.]

Mozer В., Baranger М.— Phys. Rev., 1960, v. 118, p. 626，

Nakayama 7\, De Witt H. E — J. Quant. Spectr. Rad. Transfer, 1964, v. 4, p. 623.

Newton G. Scattering Theory of Waves and Particles. — N. Y.: McGraw- Hill, 1966. [Имеется перевод: Ньютон P. Теория рассеяния волн и частиц. —М.: Мир, 1969.]

Nicolls G., Prigogine /. Self-Organization in Non-Equilibrium Systems.— N. Y.: Wiley-Interscience, 1977. [Имеется перевод: Николае Г., Пригожин И, Самоорганизация в неравновесных системах от диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. — М.: Мир, 1979.]

Норман Г. Э. — ЖЭТФ, 1971, т. 60, с. 1686.

Норман Г. Э., Старостин Л. Н. — Теплофизика высоких температур, 1968, т. 6, с. 410.

Норман Г. 2, Старостин А.*Н. — Теплофизика высоких температур, 1979, т. 8, с. 413..

Новиков И. Д. Эволюция Вселенной, 2-е изд. — М.: Наука, 1983.

Nozieres Р. Theory of Interacting Fermion Systems. — N. Y., 1964.

N.ozieres R, Pines D. — Phys. Rev., 1958, v. 111, p. 442.

Nozieres P, Pines D. — Phys. Rev., 1959, v. 113, p. 1254.

Огурцова M. H., Подмошенский И. 8., Смирнова В. Я. — Теплофизика высоких температур, 1974, т. 12, с. 650.

Онищенко В.立， Красный Ю. П. — Укр. физ. журн., 1973, т. 18, в. 1194.

Onsager L, Mittag L, Stephen Л1. — Ann. Physik, 1982, В. 18, S. 71.