ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга посвящена одному из основных разделов квантовой механики — теории углового момента и аппарату неприводимых тензоров. Исходные идеи теории были высказаны М・ Борном, В. Гайзенбергом, П. Иорданом, П. Дираком и В. Паули. Однако математический аппарат в его современном виде разработан Е. Вигнером и Дж. Рака, которые применили к задачам квантовой механики методы теории групп. Этот аппарат оказался весьма универсальным и в настоящее время широко используется не только в атомной и молекулярной физике, но и в теории ядра и элементарных частиц.

Укажем круг основных задач, при решении которых успешно используется эта теория,—— расчет атомной, молекулярной, ядерной структур; вычисление энергии основных и возбужденных состояний; определение тонкого и сверхтонкого расщеплений уровней различных квантовомеханических систем; вычисление вероятностей радиационных переходов и растет селений различных процессов, включая упругое и неупругое рассеяния, всевозможные распады и реакции (химические и ядерные); определение угловых распределений и поляризации частиц.

В настоящее время этот аппарат находит все более широкое применение в решении практических задач в связи с развитием таких областей, как квантовая химия, кинетика, физика плазмы, квантовая оптика, радиофизика и астрофизика. .

Основные идеи и выводы теории углового момента изложены в книгах М. Роуза [31 ], А, Эдмондса [16], У. Фано и Дж. Рака [18], А. П. Юциса, И. Б. Левинсона, В. В. Ванагаса [44], А. П. Юциса и А. А. Бандзайтиса [45], Д. Бринка и Дж. Сэчлера [9]. Однако значительное число формул и соотношений, необходимых для практических расчетов, не вошло в эти книги, а разбросано по разным изданиям, приведено в виде приложений к статьям, посвященным совсем другим вопросам, так что найти их довольно трудно. Еще большая трудность в использовании результатов работ состоит в том, что каждый автор применяет свою систему фаз, исходных определений и обозначений.

Авторы данной книги ставили целью собрать и представить в единой системе фаз и определений обширный материал по квантовой теории углового момента. Поэтому в книгу включены не только основные результаты теории, но и многочисленные формулы и соотношения, необходимые для практической работы.

Настоящее издание носит справочный характер. Это определяет лаконичный характер изложения материала. Большая часть приведенных формул и соотношений дается без доказательств. Подробный их вывод можно найти в литературе, список которой помещен в конце книги. Он разделен на три части: в первой указаны книги и обзоры, во второй — статьи по отдельным вопросам, в третьей •— таблицы. В книге принята следующая рубрикация: глава, параграф, пункт. Многие главы можно читать независимо от остальных. Параграфы имеют двойную нумерацию, первое число означает номер главы, второе — номер параграфа. Сквозная нумерация формул ведется в пределах одного параграфа. При ссылке на формулу этого же параграфа указывается только ее номер, например (3), (27), на формулы из другого параграфа — номер главы, параграфа и формулы, например 4.2 (17). Аналогичная система принята при ссылках на отдельные пункты, например 4.2・5・ Для удобства в конце книги приведен список всех используемых обозначений с указанием страницы, где дано определение- соответствующих величин. .

Авторы полагают, что широкий круг специалистов найдет здесь немало нового и полезного для своей работы. Материал сформулирован и расположен так, что им смогут пользоваться также лица, менее знакомые с теорцей.

ВВЕДЕНИЕ

Величины, описывающие физическую систему, удобно классифицировать по характеру их преобразований при повороте и инверсии системы координат в трехмерном пространстве, т. е. по отношению к преобразованиям группы R3 трехмерных вращений и группы инверсии Р3, являющихся подгруппами О3 — полной ортогональной группы преобразований трехмерного пространства. Такая классификация существенно упрощает вычисление различных физических величин (средних значений энергии, электрических и магнитных мультипольных моментов, вероятностей переходов и т. д.).

Трансформационные свойства величин относительно преобразований группы R3 проявляются либо при поворотах самой физической системы относительно фиксированных координатных осей, либо при повороте координатных осей, связанных с системой отсчета, при неподвижной физической системе.

Преобразование инверсии Р3 определяет поведение различных величин при переходе из правой системы координат в левую или обратно.

Существует большой класс физических величин, которые по своей природе являются инвариантными относительно преобразования системы координат. В частности, все свойства замкнутой физической системы не должны зависеть от поворотов системы отсчета. Этот факт является прояв- ^енцем изотропии физического пространства. Как следствие этого фундаментального свойства пространства интегралом движения такой физической системы будет ее полный угловой момент / (момент количества движения).

Аналогичная ситуация имеет место в отношении инверсии системы координат. За исключением процессов, обусловленных слабым p-распадным взаимодействием, описание всех процессов — атомных, молекулярных и ядерных — не зависит от того, используется правая или левая система координат. Как следствие такой зеркальной симметрии, состояния атомов, молекул, ядер и элементарных частиц можно характеризовать определенной четностью.

Точнее говоря, квантовая система характеризуется набором четырех коммутирующих операторов: гамильтонианом 力，оператором квадрата углового момента 鱼 оператором его проекции на произвольно выбранную ось квантования /^ и оператором четности Рг1 которые и определяют ее волновую функцию Т6яаут (г) в соответствии с системой четырех уравнений

力■里wm/wi С = £^етса/т (「)，

■^г^втсаУт(r) = ^em>m(r), 尸里(r) = j(/ + l)注修加(г), 力4rMm (г) = m^^jm (г).

Индексом а обозначена совокупность всех остальных квантовых чисел, соответствующих внутренним степеням свободы, г представляет совокупность всех аргументов функции.

Величины е, / у, т будут интегралами движения не только замкнутой системы, но и системы, находящейся во внешнем поле, обладающем центральной симметрией. Даже в случае нецентральных полей етс/?п-представление оказывается весьма удобным для практических вычислений*

Каждому из значений era； отвечает (2/+1) функция, соответствующая различным значениям квантового числа т. Они описывают состояния системы, различающиеся лишь ориентацией в пространстве.

При повороте системы координат (2/4-1) функция Ф61Еоут (г) с различными т преобразуются линейно друг через друга, не затрагивая функций с другими значениями квантовых чисел:

里 епа/тп，q=工叫皿方С瓜廿д，Р, 7),

где коэффициенты преобразования 0^孤,(а, ₽, 丁) являются элементами матрицы конечного вращения в /-представлении. Эти матричные элементы представляют собой функции углов Эйлера а, В, Y, определяющих поворот системы координат. Они называются обобщенными сферическими функциями или Z)-функциями Вигнера.

Если система с угловым моментом / и его проекцией т состоит из двух подсистем с моментами Д и /2, то ее волновая функция 讨九)加 может быть построена из волновых функций подсистем по формуле

%"т (%，「2)= N e落打/如卅f皿(G)旳皿(%)•

Величины С^^^^ называемые коэффициентами векторного сложения (коэффициентами Клебша—Гордана), играют важную роль в квантовой механике. С их помощью можно построить волновые функции сложных систем (ядер, атомов, молекул). Однако при этом возможны различные схемы связи угловых моментов. Преобразование волновых функций при переходе от одной схемы связи к другой осуществляется с помощью 6j-, 9j- и других Зп]-символов.

Волновые функции Фут являются частными случаями неприводимых тензоров* Понятие неприводимого тензора одно из основных в теории углового момента. Неприводимым тензорам ранга 入 называется совокупность любых (2А+1) величин 飯入件,преобразующихся при повороте системы координат по закону.

城n =工城卡哪年(a，а T)，

Многие физические величины сами являются неприводимыми тензорами. Например, энергия — тензор нулевого ранга (скаляр), спин и магнитный момент — тензор первого ранга (вектор), квадрупольный момент ——тензор второго ранга и т. д. В общем случае любые физические величины и соответствующие им операторы могут быть представлены в виде линейной комбинации неприводимых тензоров (мультипольное разложение).

Использование неприводимых тензоров для описания физических величин существенно облегчает задачу вычисления матричных элементовг т. е. выражений типа

^^fm^ 欧巾 I sica/m> = [ V*,T,a, Jlmt (г) ^^^т (r) dr,

где интегрирование понимается в обобщенном смысле — интегрирование по всем непрерывным переменным и суммирование по дискретным переменным.

Согласно теореме Вигнера-Эккарта, вся зависимость таких матричных элементов от ориентации системы координат, т. е. от индексов mt т\ определяется коэффициентом Клебша-Гордана

^е^^Ут1 I 僉好 I &侬/吟=0：%[ ^^a'f II 僉XII &M>.

Инвариантный множитель 〈広'冗'必『||顽/|広псе/〉 называется приведенным матричным элементом. Теорема Вигнера-Эккарта позволяет свести задачи вычисления вероятностей процессов, угловых распределений, поляризаций и т. д. к вычислению стандартных сумм произведении коэффициентов векторного сложения.

Все это делает аппарат квантовой теории углового момента универсальным и чрезвычайно удобным для проведения различных практических расчетов.

Глава 1

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО

И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Теория угловых моментов и неприводимых тензоров, по существу, является развитием классического векторного и тензорного исчисления. В настоящей главе приведены определения и основные соотношения векторного и тензорного исчисления, используемые в последующих главах. Подробное изложение этих вопросов имеется в книгах [11, 34, 35].

СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ОРТЫ

В квантовой теории углового момента широко используются декартовы, сферические и циклические координаты.

Декартовы координаты

В декартовой системе координат положение точки в пространстве определяется заданием трех чисел е, у, z, т. е. трех расстояний до координатных плоскостей (рис. 1.1). Радиус-вектор данной точки г может быть записан в виде

r = He# + ye^ + zez.(1)

Рис“ 1.1. Декартова система коор- Рис. 1.2. Сферическая система координат, динат.

Ковариантные декартовы орты %, %, е? образуют вещественный ортонормированный базис е*论=6咏，(Ь k = x, у，z),(2)

e； = e$，(i = / У, 2).(3)

Контравариантные декартовы орты e‘ (i =瑞 у, z) совпадают с ковариантными е* = е$・(4)

В дальнейшем будет использоваться только правая система координат. В правой системе координат

[е； X е" = %论声工，(厶 А*, I = х, у, м),(5)

£；йг —[е^Хел! еР(6)

В развернутой записи、

[е^ X е歹]=е?, [©歹 X е^] = е%, [е名 X е#】==е歹，(')

Сферические координаты

В сферической системе координат положение точки в пространстве определяется величинами г, 8,屮，где г — длина радиуса-вектора, 8 — полярный угол, ср — азимутальный угол (рис. 1.2). Углы & и ср называются сферическими углами вектора г. Декартовы и сферические координаты связаны соотношениями

х=-г sin 8 cos <р,х=-г sin 8 cos <р,Г = Va：2 + у2 + z*Г = Va：2 + у2 + z*0 w У 8,0 w У 8,g = г sin 8 sin <p,z —'"- г cos &,g = г sin 8 sin <p,z —'"- г cos &,8 = arc cos _ .—==, V* + 产 + z2吁arocos存韋^=, (tg牛T),8 = arc cos _ .—==, V* + 产 + z2吁arocos存韋^=, (tg牛T),o w a & 码0 W率<2大.o w a & 码0 W率<2大.(8)(8)

х=-г sin 8 cos <р,

х=-г sin 8 cos <р,

Г = Va：2 + у2 + z*

Г = Va：2 + у2 + z*

0 w У 8,

0 w У 8,

g = г sin 8 sin <p,

z —'"- г cos &,

g = г sin 8 sin <p,

z —'"- г cos &,

8 = arc cos _ .—==, V* + 产 + z2

吁arocos存韋^=, (tg牛T),

8 = arc cos _ .—==, V* + 产 + z2

吁arocos存韋^=, (tg牛T),

o w a & 码

0 W率<2大.

o w a & 码

0 W率<2大.

(8)

(8)

(9)(9)Радиус-вектор г записываете^ в виде

(9)

(9)

Ковариантные сфертеские орты er, е§, ef изображены sa рис. 1.2. Они образуют вещественный ортонормированный базис

包ёВ=^坤，(a, ? = г, 8, у),(I0)

е*= еа» (а = г, $, <jp).(14)

Контравариантпные сферические орты ег, е°, е‘ совпадают с ковариантными

е« = ев (а==г, 8, у).(12)

Орты ег, е? образуют правую систему

[®r X е^]=== ®<р* [е§ X ®cpl == ®r> [е^ X е^] = е$・(13)

I е? в отличие от декартовых ортов зависят от углов «ренцировании векторов.I е? в отличие от декартовых ортов зависят от углов «ренцировании векторов.中，中，Сферические орты ег) димо учитывать при ,

I е? в отличие от декартовых ортов зависят от углов «ренцировании векторов.

I е? в отличие от декартовых ортов зависят от углов «ренцировании векторов.

中，

中，

о о一一=力d為 0齐0丽a=一一 力務о о一一=力d為 0齐0丽a=一一 力務

о о

一一=

力d為 0齐0丽

a

=一一 力務

о о

一一=

力d為 0齐0丽

a

=一一 力務

再 ％ = % sin$,再 ％ = % sin$,

再 ％ = % sin$,

再 ％ = % sin$,

^-е? = —er sin 8 — e^ cos 8・

Действие оператора V (см. 1.3) на сферические орты дается формулами 21

(V • 4)=у, (V •喲=у etg&, (V • ef) = 0,(45)

【▼><%]= О, [V Xed]==ye?, [V X е?] = y-ctg &ег — у е^.(16)

Циклические координаты

В теории угловых моментов широко используются циклические координаты.

Ковариантные циклические координаты 化* где р=±1,0, определяются соотношениями

■^(N + %) = —^=r sin 8 е，％

重。=z — j* cos 8,

11

Н-1 =语 S —切)=7^ г sin 昵-耽

Кошправариантные циклические координаты 忆件,где 尸=土1,0, определяются следующими соотношениями:

11

—^= g —打)=一夜 Г Sin %т 中,

(18》(18》(19》(19》(20>(20>н° = z = r cos 3,

(18》

(18》

(19》

(19》

(20>

(20>

11

L = ^ g + 初=忑;；• sin 3eW.

Связь между ковариантными и контравариантными циклическими координатами имеет вид

Циклические ковариантные орты е鵡,где р=±1, 0, определяются соотношениями 1

e+i = 一 近(％ 十‘％)，

®o == e?,

e-i " "^^ (% 一»e乡).

Циклические контравариантные орты е% где »= + 1,0, определяются следующими соотношениями: e+i = 一 逅(%_ »%)， е° —ег,(21>

Ковариантные и контравариантные циклические орты связаны между собой так:

еР=(—1)Г” 8=(—屮 ef,

3=±1, 0)・(22》

[e^ = e*,e件=e件*,

Циклические орты образуют комплексный ортонормированный базис

e户" =e件e： = 6州，3, Y=土1, 0).(23)

Векторные произведения циклических ортов выражаются через коэффициенты Клебша——Гордана (см. гл. 8)

ep.Xev = i уТ^1^ьех,

(P", % 人=±1, 0),(24)

Ce'—WTCML

Эти же формулы можно записать в виде, аналогичном (5):

€件 X % = -"^£|tvXeX»‘

3，丫，入=±1, 0),(25》

е^Хе^ге^,

где €件门=十1, если индексы р, v,入 образуют четную циклическую перестановку из 十1, 0, —1; 0件心=——1, когда индексы 卩,匕 入 образуют нечетную перестановку из -j-1, 0, —1; и &件心=0, если хотя бы два индекса равны.

В развернутой записи

e+i X ео ^ ^е+и ео X e-i= ^С-ц e*i X е_]=方现$(26》

e°Xe+1 = fe+1, е^ХеОе^ге'1, e~J X e+l ie°.>

Циклические ковариантные и контравариантные компоненты (см. 1.2) ортов е^ и е^ даются формулами

[еД^Н1)а^_р., [ej=6叩，(27)

[e叽=6叩，[叫"=(一1)飞屮.

Спиральные орты

Из сферических ортов ег, ед, е中 тоже можно образовать циклические комбинацииИз сферических ортов ег, ед, е中 тоже можно образовать циклические комбинации1e+i =一，彳(e& + 用0,1e+i =一，彳(e& + 用0,51е = —^=(©8 —公平),51е = —^=(©8 —公平),4，4，(28)(28)=V2" " + ее<р)・=V2" " + ее<р)・Орты е； (р= 士 1,0) будем называть ковариантными спиральными орЫами, а орты е'*(р,= =±1,0) — контравариантнъши спиральными ортами (терминология поясняется ниже в 6.3. 6).Для спиральных ортов е] и е+ справедливы те же формулы (22)—(26), что и для циклических ортов %, е^.Орты е； (р= 士 1,0) будем называть ковариантными спиральными орЫами, а орты е'*(р,= =±1,0) — контравариантнъши спиральными ортами (терминология поясняется ниже в 6.3. 6).Для спиральных ортов е] и е+ справедливы те же формулы (22)—(26), что и для циклических ортов %, е^.5. Связь между различными ортамиа. Декартовы и сферические ортыеж = er sin 8 cos у + е§ cos 8 cos у — е^ sin % е夕=er sin 8 sin у + e$ cos 3 sin cp+ e^ cos y, e# = er cos 3 — e§ sin 8.Декартовы и циклические ортыe# = У§~(e~i — e+!)= у宁(е 1 一 е+丄)，5. Связь между различными ортамиа. Декартовы и сферические ортыеж = er sin 8 cos у + е§ cos 8 cos у — е^ sin % е夕=er sin 8 sin у + e$ cos 3 sin cp+ e^ cos y, e# = er cos 3 — e§ sin 8.Декартовы и циклические ортыe# = У§~(e~i — e+!)= у宁(е 1 一 е+丄)，(29)(29)Декартовы иДекартовы иДекартовы иДекартовы и% = yg~ (e-i + e+i) = — "^1 (e I + e+1),% = yg~ (e-i + e+i) = — "^1 (e I + e+1),спиральные ковариантные ортыспиральные ковариантные орты11% = —e+i ^= (cos 3 cos cp -j- i sin cp) -|- e$ sin 3 cos 屮 + 吗 ^^ (cos 3 cos <p — £ sin y),11% = —e+i ^= (cos 3 cos cp -j- i sin cp) -|- e$ sin 3 cos 屮 + 吗 ^^ (cos 3 cos <p — £ sin y),% = ~e+i ■^ (cos & sin ср — г cos ср) + ej sin 3 sin <p + eLx "^ (cos 3 sin у + £ cos <p),% = ~e+i ■^ (cos & sin ср — г cos ср) + ej sin 3 sin <p + eLx "^ (cos 3 sin у + £ cos <p),е^ = e+i "^ sin 3 十 е〔 cos 3 —吗 ^^ sin 3.е^ = e+i "^ sin 3 十 е〔 cos 3 —吗 ^^ sin 3.спиральные контравариантные ортыспиральные контравариантные орты•e，+1^= (cos 3 cos <p — i sin cp) + e'° sin 3 cos <p + e'"1 *^ (cos $ cos 屮十 i sin <p),•e，+1^= (cos 3 cos <p — i sin cp) + e'° sin 3 cos <p + e'"1 *^ (cos $ cos 屮十 i sin <p),e，+1 —~ (cos 3 sin cp -j- г cos «p) + ee，+1 —~ (cos 3 sin cp -j- г cos «p) + esin 3 sin у + e'T ^|= (cos 3 sin у — £ cos*sin 3 sin у + e'T ^|= (cos 3 sin у — £ cos*(30)(30)(31)(31)(32)(32)

Из сферических ортов ег, ед, е中 тоже можно образовать циклические комбинации

Из сферических ортов ег, ед, е中 тоже можно образовать циклические комбинации

1

e+i =一，彳(e& + 用0,

1

e+i =一，彳(e& + 用0,

51

е = —^=(©8 —公平),

51

е = —^=(©8 —公平),

4，

4，

(28)

(28)

=V2" " + ее<р)・

=V2" " + ее<р)・

Орты е； (р= 士 1,0) будем называть ковариантными спиральными орЫами, а орты е'*(р,= =±1,0) — контравариантнъши спиральными ортами (терминология поясняется ниже в 6.3. 6).

Для спиральных ортов е] и е+ справедливы те же формулы (22)—(26), что и для циклических ортов %, е^.

Орты е； (р= 士 1,0) будем называть ковариантными спиральными орЫами, а орты е'*(р,= =±1,0) — контравариантнъши спиральными ортами (терминология поясняется ниже в 6.3. 6).

Для спиральных ортов е] и е+ справедливы те же формулы (22)—(26), что и для циклических ортов %, е^.

5. Связь между различными ортами

а. Декартовы и сферические орты

еж = er sin 8 cos у + е§ cos 8 cos у — е^ sin % е夕=er sin 8 sin у + e$ cos 3 sin cp+ e^ cos y, e# = er cos 3 — e§ sin 8.

Декартовы и циклические орты

e# = У§~(e~i — e+!)= у宁(е 1 一 е+丄)，

5. Связь между различными ортами

а. Декартовы и сферические орты

еж = er sin 8 cos у + е§ cos 8 cos у — е^ sin % е夕=er sin 8 sin у + e$ cos 3 sin cp+ e^ cos y, e# = er cos 3 — e§ sin 8.

Декартовы и циклические орты

e# = У§~(e~i — e+!)= у宁(е 1 一 е+丄)，

(29)

(29)

Декартовы и

Декартовы и

Декартовы и

Декартовы и

% = yg~ (e-i + e+i) = — "^1 (e I + e+1),

% = yg~ (e-i + e+i) = — "^1 (e I + e+1),

спиральные ковариантные орты

спиральные ковариантные орты

11

% = —e+i ^= (cos 3 cos cp -j- i sin cp) -|- e$ sin 3 cos 屮 + 吗 ^^ (cos 3 cos <p — £ sin y),

11

% = —e+i ^= (cos 3 cos cp -j- i sin cp) -|- e$ sin 3 cos 屮 + 吗 ^^ (cos 3 cos <p — £ sin y),

% = ~e+i ■^ (cos & sin ср — г cos ср) + ej sin 3 sin <p + eLx "^ (cos 3 sin у + £ cos <p),

% = ~e+i ■^ (cos & sin ср — г cos ср) + ej sin 3 sin <p + eLx "^ (cos 3 sin у + £ cos <p),

е^ = e+i "^ sin 3 十 е〔 cos 3 —吗 ^^ sin 3.

е^ = e+i "^ sin 3 十 е〔 cos 3 —吗 ^^ sin 3.

спиральные контравариантные орты

спиральные контравариантные орты

•e，+1^= (cos 3 cos <p — i sin cp) + e'° sin 3 cos <p + e'"1 *^ (cos $ cos 屮十 i sin <p),

•e，+1^= (cos 3 cos <p — i sin cp) + e'° sin 3 cos <p + e'"1 *^ (cos $ cos 屮十 i sin <p),

e，+1 —~ (cos 3 sin cp -j- г cos «p) + e

e，+1 —~ (cos 3 sin cp -j- г cos «p) + e

sin 3 sin у + e'T ^|= (cos 3 sin у — £ cos*

sin 3 sin у + e'T ^|= (cos 3 sin у — £ cos*

(30)

(30)

(31)

(31)

(32)

(32)

■^ sin 8 + e'° cos 8 — е'т 初 sin 3.

Сферические и декартовы орты

er = ех sin 3 cos，+ ©歹 sin 3 sin у + e§ cos 3,

e$ = cos § cos <p + ey cos 3 sin у — e, sin $,(33)

e? = —e” sin у + e^ cos <p.

Сферические и циклические ковариантные орты

.1

er = —e+i 方 sin ^е^ + е0 cos 3 + e_i 方 sin Зе岬，

11.

(34)(34)eg — —e+1 夜 cos 86Ttp — e0 sin $ 十 e_x *^ cos $eW,

(34)

(34)

Сферические иСферические ициклические контравариантные орты11ег = 一e+i ^= sin 8 е‘中 + е° cos 3 + е-1sin 8e』,11ед = —e+lcos 3 宀甲一e° sin 3 + e-1 历:cos 3e』,e = —e+1—e**P.циклические контравариантные орты11ег = 一e+i ^= sin 8 е‘中 + е° cos 3 + е-1sin 8e』,11ед = —e+lcos 3 宀甲一e° sin 3 + e-1 历:cos 3e』,e = —e+1—e**P.e(p = e+i pg- e~*^ + e-i ▼彳 e吼e(p = e+i pg- e~*^ + e-i ▼彳 e吼(35)(35)

Сферические и

Сферические и

циклические контравариантные орты

11

ег = 一e+i ^= sin 8 е‘中 + е° cos 3 + е-1

sin 8e』,

11

ед = —e+lcos 3 宀甲一e° sin 3 + e-1 历:

cos 3e』,

e = —e+1—e**P.

циклические контравариантные орты

11

ег = 一e+i ^= sin 8 е‘中 + е° cos 3 + е-1

sin 8e』,

11

ед = —e+lcos 3 宀甲一e° sin 3 + e-1 历:

cos 3e』,

e = —e+1—e**P.

e(p = e+i pg- e~*^ + e-i ▼彳 e吼

e(p = e+i pg- e~*^ + e-i ▼彳 e吼

(35)

(35)

Сферические и спиральные ортыСферические и спиральные ортыer = ©q e .纯=遗(e-i —啖i)=逅(e J — e41),er = ©q e .纯=遗(e-i —啖i)=逅(e J — e41),(36)(36)©中©中в. Циклические и декартовы ортыв. Циклические и декартовы орты

Сферические и спиральные орты

Сферические и спиральные орты

er = ©q e .

纯=遗(e-i —啖i)=逅(e J — e41),

er = ©q e .

纯=遗(e-i —啖i)=逅(e J — e41),

(36)

(36)

©中

©中

в. Циклические и декартовы орты

в. Циклические и декартовы орты

1111e+i = — ^ (ех + ie J, е+1 = — ^ (忆—?еу),e+i = — ^ (ех + ie J, е+1 = — ^ (忆—?еу),

1

1

1

1

e+i = — ^ (ех + ie J, е+1 = — ^ (忆—?еу),

e+i = — ^ (ех + ie J, е+1 = — ^ (忆—?еу),

eo h %,e-i = 7!= (% -记У),eo h %,e-i = 7!= (% -记У),e""i = V^(°” + 儿歹).e""i = V^(°” + 儿歹).(37)(37)

eo h %,

e-i = 7!= (% -记У),

eo h %,

e-i = 7!= (% -记У),

e""i = V^(°” + 儿歹).

e""i = V^(°” + 儿歹).

(37)

(37)

ЦиклическиеЦиклическиековариантные и сферические ортыковариантные и сферические орты1.一%亙点11 3e岬-1.一%亙点11 3e岬-1. f .e§ 方 cos 8° 中一 ‘中 7? e"1. f .e§ 方 cos 8° 中一 ‘中 7? e"% cos 8 — eg sin 3,e,遗 sin 8 e』+ e& 亙 cos 3e~ 峙一 e?而 e』.% cos 8 — eg sin 3,e,遗 sin 8 e』+ e& 亙 cos 3e~ 峙一 e?而 e』.(38)(38)ЦиклическиеЦиклическиеконтравариантные и сферические ортыконтравариантные и сферические орты11i-er 市 sin 8e-W 一 ⑦ 豆 cos 呢一母 + e1P 逅 e-冷,er cos 3 — e$ sin 露er 遗 sin 3e‘中 + e$ 亙 cos 3e"中 + e中夜 e‘中，11i-er 市 sin 8e-W 一 ⑦ 豆 cos 呢一母 + e1P 逅 e-冷,er cos 3 — e$ sin 露er 遗 sin 3e‘中 + e$ 亙 cos 3e"中 + e中夜 e‘中，(39)(39)ЦиклическиеЦиклическиековариантные и контравариантные e+i = —е~\ е0 =е°, е_! = —е+1,ковариантные и контравариантные e+i = —е~\ е0 =е°, е_! = —е+1,ортыe+1 = —©_!， e。== ©o* e-1 = —e+1.ортыe+1 = —©_!， e。== ©o* e-1 = —e+1.(40)(40)

Циклические

Циклические

ковариантные и сферические орты

ковариантные и сферические орты

1.

一%亙点11 3e岬-

1.

一%亙点11 3e岬-

1. f .

e§ 方 cos 8° 中一 ‘中 7? e"

1. f .

e§ 方 cos 8° 中一 ‘中 7? e"

% cos 8 — eg sin 3,

e,遗 sin 8 e』+ e& 亙 cos 3e~ 峙一 e?而 e』.

% cos 8 — eg sin 3,

e,遗 sin 8 e』+ e& 亙 cos 3e~ 峙一 e?而 e』.

(38)

(38)

Циклические

Циклические

контравариантные и сферические орты

контравариантные и сферические орты

11i

-er 市 sin 8e-W 一 ⑦ 豆 cos 呢一母 + e1P 逅 e-冷,

er cos 3 — e$ sin 露

er 遗 sin 3e‘中 + e$ 亙 cos 3e"中 + e中夜 e‘中，

11i

-er 市 sin 8e-W 一 ⑦ 豆 cos 呢一母 + e1P 逅 e-冷,

er cos 3 — e$ sin 露

er 遗 sin 3e‘中 + e$ 亙 cos 3e"中 + e中夜 e‘中，

(39)

(39)

Циклические

Циклические

ковариантные и контравариантные e+i = —е~\ е0 =е°, е_! = —е+1,

ковариантные и контравариантные e+i = —е~\ е0 =е°, е_! = —е+1,

орты

e+1 = —©_!， e。== ©o* e-1 = —e+1.

орты

e+1 = —©_!， e。== ©o* e-1 = —e+1.

(40)

(40)

ЦиклическиеЦиклическиековариантные и спиральные ковариантные орты,1 + cos & .,1 — cos 8e+i = e+l2e，中-eoe，中 + e^^e，%ковариантные и спиральные ковариантные орты,1 + cos & .,1 — cos 8e+i = e+l2e，中-eoe，中 + e^^e，%sin &, sin &во = e+i ~^~ + e0 cos 8 — j -^,sin &, sin &во = e+i ~^~ + e0 cos 8 — j -^,

Циклические

Циклические

ковариантные и спиральные ковариантные орты

,1 + cos & .,1 — cos 8

e+i = e+l2e，中-eoe，中 + e^^e，%

ковариантные и спиральные ковариантные орты

,1 + cos & .,1 — cos 8

e+i = e+l2e，中-eoe，中 + e^^e，%

sin &, sin &

во = e+i ~^~ + e0 cos 8 — j -^,

sin &, sin &

во = e+i ~^~ + e0 cos 8 — j -^,

ЦиклическиеЦиклическиеЦиклическиеЦиклические,1 — cos 8. t , sin 8 . , , 1 + cos 8.e_i = e；j2e + eo 7^" e ^ + e二1ge-f.,1 — cos 8. t , sin 8 . , , 1 + cos 8.e_i = e；j2e + eo 7^" e ^ + e二1ge-f.контравариантные и спиральные ковариантные орты1 — cos 8., sin 8 ., 1 + cos 8e+1 -eh2— e』一舒而 e-*f -必—— ef,sE 8с , sin 8e。= e+i-^ + e。cos 8 — e_i-^,контравариантные и спиральные ковариантные орты1 — cos 8., sin 8 ., 1 + cos 8e+1 -eh2— e』一舒而 e-*f -必—— ef,sE 8с , sin 8e。= e+i-^ + e。cos 8 — e_i-^,(1 + cos 8e 1 — -分］2(.,sin 8 ., 1 — cos 8严 + e］归 e"f - e% —— e”.ковариантные и спиральныеконтравариантные орты,1— cos 8 e+i — —е2.s sin 81 + cos 8 .•e”一e 0-^=-e*f —e -1—^宀匕，+iSin8 ,,0ео = е +i -^ + е,,sin 8 cos 8 — e т —. V2—11 + cos 8j = —e+2s sin 8., , 1 — cos 8.岬 + e 0 -^ e-^ — e т^——ef.(1 + cos 8e 1 — -分］2(.,sin 8 ., 1 — cos 8严 + e］归 e"f - e% —— e”.ковариантные и спиральныеконтравариантные орты,1— cos 8 e+i — —е2.s sin 81 + cos 8 .•e”一e 0-^=-e*f —e -1—^宀匕，+iSin8 ,,0ео = е +i -^ + е,,sin 8 cos 8 — e т —. V2—11 + cos 8j = —e+2s sin 8., , 1 — cos 8.岬 + e 0 -^ e-^ — e т^——ef.ЦиклическиеЦиклическиеконтравариантные и спиральные контравариантные ортыконтравариантные и спиральные контравариантные ортые+丄=ее+丄=е3 1 + cos 83 1 + cos 822. у sin 8. . , 11 — cos 8.ef 甲一е °-^ е-‘屮 + e 1^——6Ttf,. у sin 8. . , 11 — cos 8.ef 甲一е °-^ е-‘屮 + e 1^——6Ttf,(42)(42)(43)(43)e° = e，+1e° = e，+1sin 8sin 8и"】и"】V21 — cos 82V21 — cos 82e%os8 — e，T 甯,e%os8 — e，T 甯,(44)(44). ，n sin 8 ., 11 + cos 8 .e 丫 +。H ^ + e т ^— ”.. ，n sin 8 ., 11 + cos 8 .e 丫 +。H ^ + e т ^— ”.(45)(45)(46)(46)

Циклические

Циклические

Циклические

Циклические

,1 — cos 8. t , sin 8 . , , 1 + cos 8.

e_i = e；j2e + eo 7^" e ^ + e二1ge-f.

,1 — cos 8. t , sin 8 . , , 1 + cos 8.

e_i = e；j2e + eo 7^" e ^ + e二1ge-f.

контравариантные и спиральные ковариантные орты

1 — cos 8., sin 8 ., 1 + cos 8

e+1 -eh2— e』一舒而 e-*f -必—— ef,

sE 8с , sin 8

e。= e+i-^ + e。cos 8 — e_i-^,

контравариантные и спиральные ковариантные орты

1 — cos 8., sin 8 ., 1 + cos 8

e+1 -eh2— e』一舒而 e-*f -必—— ef,

sE 8с , sin 8

e。= e+i-^ + e。cos 8 — e_i-^,

(1 + cos 8

e 1 — -分］2(

.,sin 8 ., 1 — cos 8

严 + e］归 e"f - e% —— e”.

ковариантные и спиральные

контравариантные орты

,1— cos 8 e+i — —е2

.s sin 81 + cos 8 .

•e”一e 0-^=-e*f —e -1—^宀匕

，+iSin8 ,,0

ео = е +i -^ + е

,,sin 8 cos 8 — e т —. V2

—11 + cos 8

j = —e+2

s sin 8., , 1 — cos 8.

岬 + e 0 -^ e-^ — e т^——ef.

(1 + cos 8

e 1 — -分］2(

.,sin 8 ., 1 — cos 8

严 + e］归 e"f - e% —— e”.

ковариантные и спиральные

контравариантные орты

,1— cos 8 e+i — —е2

.s sin 81 + cos 8 .

•e”一e 0-^=-e*f —e -1—^宀匕

，+iSin8 ,,0

ео = е +i -^ + е

,,sin 8 cos 8 — e т —. V2

—11 + cos 8

j = —e+2

s sin 8., , 1 — cos 8.

岬 + e 0 -^ e-^ — e т^——ef.

Циклические

Циклические

контравариантные и спиральные контравариантные орты

контравариантные и спиральные контравариантные орты

е+丄=е

е+丄=е

3 1 + cos 8

3 1 + cos 8

2

2

. у sin 8. . , 11 — cos 8.

ef 甲一е °-^ е-‘屮 + e 1^——6Ttf,

. у sin 8. . , 11 — cos 8.

ef 甲一е °-^ е-‘屮 + e 1^——6Ttf,

(42)

(42)

(43)

(43)

e° = e，+1

e° = e，+1

sin 8

sin 8

и"】

и"】

V2

1 — cos 8

2

V2

1 — cos 8

2

e%os8 — e，T 甯,

e%os8 — e，T 甯,

(44)

(44)

. ，n sin 8 ., 11 + cos 8 .

e 丫 +。H ^ + e т ^— ”.

. ，n sin 8 ., 11 + cos 8 .

e 丫 +。H ^ + e т ^— ”.

(45)

(45)

(46)

(46)

Формулы (41)——(44) могут быть записаны в компактном виде с помощью D-функций Вигнера (см. гл. 4)..

^ = 2 巫一(0, % +) e； = £ (-1)У仪中(0, 8,中)e'*

(-1F2^ (0, % 中)KnEl-iy+v^JO, з, p)e'»,

г. Спиральные ковариантные и декартовы орты

111

e；i = —еЛ-^= (cos & cos <p — i sin 中)一ey ^= (cos 8 sin ^ + i cos ?) + ег-^= sin»,

ej = e% sin 8 cos 丫 十 e智 sin 8 sin 中 + ег cos 8,111

e£i = e力 ^g： (cos 8 cos 中 + i sin 中)+ e智 ^： (cos 8 sin 中一г cos 中)一❷公*^ sin8.

Спиральные контравариантные и декартовы орты

e'+工=—ex-^=(cos 8 cos 中 + t sin 中)——e#*^： (cos 8 sin 中 ——i cos y) + e#"^ sin8,

e'°= e% sin 8 cos 中 + e智 sin 8 sin ^ + ег cos 8,

e'~i = €力 ^： (cos 8 cos 中一i sin 中)+ e^ "^： (cos 8 sin 中十 f cos 丫) 一 e^^^ sin8・

(48)(48)е 1 =^^ & + %)*е 1 =^^ & + %)*,4 + cos 8e+i ^ e+i 2,4 + cos 8e+i ^ e+i 2sin 8sin 8sin 81 — cos 8е』+ е0 -^ + е_хе 屮с sin 8 .sin 81 — cos 8е』+ е0 -^ + е_хе 屮с sin 8 .(49)(49)

(48)

(48)

е 1 =^^ & + %)*

е 1 =^^ & + %)*

,4 + cos 8

e+i ^ e+i 2

,4 + cos 8

e+i ^ e+i 2

sin 8

sin 8

sin 81 — cos 8

е』+ е0 -^ + е_хе 屮

с sin 8 .

sin 81 — cos 8

е』+ е0 -^ + е_хе 屮

с sin 8 .

(49)

(49)

Спиральные и сферические орты

e：i = —"^(ез + ie卩,е +】 = —逅(©3—Ze^),

®0 == ®r» 1

e-i =〒声(e3 一海中),

Спиральные ковариантные и циклические ковариантные орты

,1 — cos 8. sin 8 ,1 + cos 8 .

吗=e+12~ ef - eo + e-i2~ « 岬.

Спиральные контравариантные и циклические ковариантные орты

с44 ==—е+工1 — cos 8.sin 826 Г + е° ^21 + cos：8J2sin 8sin 8 .е'° = — е+1e-f + е0 cos 8 + e_j"=—%1 + cos 8.sin 82e “1 — cos 8'J 2с44 ==—е+工1 — cos 8.sin 826 Г + е° ^21 + cos：8J2sin 8sin 8 .е'° = — е+1e-f + е0 cos 8 + e_j"=—%1 + cos 8.sin 82e “1 — cos 8'J 2(50)(50)

с44 ==—е+工

1 — cos 8.sin 8

26 Г + е° ^2

1 + cos：8

J2

sin 8

sin 8 .

е'° = — е+1

e-f + е0 cos 8 + e_j

"=—%

1 + cos 8.sin 8

2e “

1 — cos 8

'J 2

с44 ==—е+工

1 — cos 8.sin 8

26 Г + е° ^2

1 + cos：8

J2

sin 8

sin 8 .

е'° = — е+1

e-f + е0 cos 8 + e_j

"=—%

1 + cos 8.sin 8

2e “

1 — cos 8

'J 2

(50)

(50)

Спиральные ковариантные и циклические контравариантные орты

,,1 — cos 8. ■ sin 1 + cos 3 .

е；1 = 一e+i -2— 6岬 + m万一l-^—宀

(51)(51),sin, sin &

(51)

(51)

ej = —e+1 -泛 е,сР + е° cos 8 + ©一丄 ^― e-*^,

,丄 J + cos 8elj = —e+12e 平,丄 J + cos 8elj = —e+12e 平sin 8, 1 — cos 8.e° —^ — e~x ——5—— е』・sin 8, 1 — cos 8.e° —^ — e~x ——5—— е』・

,丄 J + cos 8

elj = —e+12e 平

,丄 J + cos 8

elj = —e+12e 平

sin 8, 1 — cos 8.

e° —^ — e~x ——5—— е』・

sin 8, 1 — cos 8.

e° —^ — e~x ——5—— е』・

Спиральные контравариантные и циклические контравариантные орты

e,+l==e-

+1 £ + cos 8

2

sin 8

е岬+ 2而+е・

4 — cos 8

—2—ef,

s, sinс , sin 0.

е ° = —e+1 -у е*т + е° cos 8 + е*1 -^- £~誣,

(52)

.11 — cos 8

е =е —2~

c sin 8. 1 4- cos

e -^+e2—' •

[Формулы (49)—(52) могут быть записаны в компактном виде с помощью О-функций Вигнера (см. гл. 4).

4 =工0卜华，8, 0)% =£(1)"0％(% 8, 0)*

e'" = 2 (一1)"必一(% 8, 0) е, = 2 (一屮" "Г 仲，3 0)U，

(53)

(因 v = ±k 0).

Спиральные ковариадтные и контравариантные орты

2. ВЕКТОРЫ, ТЕНЗОРЫ

Векторами и тгнзорами наз*ываются величины, компоненты которых определенным образом преобразуются при поворотах системы координат. Закон преобразования декартовых компонент векторов и тензоров рассмотрен ниже в 1Л (формулы (46)—(51)), закон преобразования циклических компонент векторов и неприводимых тензоров обсуждается в гл. 3.

Компоненты векторов

Всякий вектор может быть разложен по базисным ортам, т. е. представлен в виде a=审4& =次产.⑴

Величины Ла называются ковариантными компонентами вектора, а Ла — контравариантными компонентами.

Ла = А . еа, Аа = А • еа.(2)

В декартовых координатах

А = 4雳％ + &е 智 + 4a = 4"% + 4智％ + 4%(3)

Ковариантные декартовы компоненты векторов не отличаются от контравариантных.

В сферических координатах

А = Лгег + 4萨8 + А^ = 4% + Л% + /▼%・(4)

Ковариантные сферические компоненты векторов не отличаются от контравариантных.

В циклических координатах

А = А+1е+1 + А°е0 + А~1е_1 = А+1е+1 + Лое° +(5)

Ковариантные и контравариантные циклические компоненты векторов связаны соотношениями

4P=(—1)Р4Г, 4P =(—屮 4 屮，(廿=±1, 0).(6)

Если А—вещественный вектор, т. е. А* = А, то

/[нА", 4厂=/炉(fi= +1, 0).(7)

Если А ——комплексный вектор, то

4； =(А*此 4P* =(А*)р,(卩=±1, 0).(8)

Разложение вещественного вектора А по циклическим ортам

a = £мeР =£4呢卩=£4/" = £4Р%=рррр

= 2^е； мЕ^еапЕ^еМнЕ/Меам ррра

= n(一屮4一臼= 上(一屮4-呢1\(9)

Разложение произвольного вектора А по спиральным ортам

А = 4“％；i + 4‘°е； + / '-%二1 = 4：工е'+1 + /；е'° 十4 二工 е'т.(10)

Для спиральных компонент векторов справедливы те же формулы (6)—(9), что и для циклических.

Связь между компонентами векторов в различных системах координат такая же, как связь медсду соответствующими ортами. Она дается формулами 1.1 (29)—1.1 (54), в которых следует произвести замену 4a иВ частности,

111

41 = —к'=—夜(4# + iA^ A* = f (А.】—Л+1) = ^=(Л-Х— 4+工),

4о=4° = 4,& п"^7("■工 +』+i) = "^^ (4一丄 + 4+1),(”)

1

』т = —4+1 =逅(4"— t&),Л^ = Ло = Л°,

Матричная форма записи соотношений между декартовыми, циклическими контравариантнымл и сферическими компонентами векторов дана в табл. 1.1 и 1.2.

ТАБЛИЦА 1.1

МАТРИЧНАЯ ФОРМА СВЯЗИ МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ ВЕКТОРОВ

Декартовы координатыДекартовы координатыЦиклические координатыЦиклические координатыСферические координатыСферические координаты

Декартовы координаты

Декартовы координаты

Циклические координаты

Циклические координаты

Сферические координаты

Сферические координаты

a = Л+(e+1 + 4% + 4一0一］a = Л+(e+1 + 4% + 4一0一］А = Arer + 4аез +4cpe甲А = Arer + 4аез +4cpe甲Связь с циклическимиСвязь с декартовымикомпонентами,компонентамиСвязь с циклическимиСвязь с декартовымикомпонентами,компонентамиА = А^х + 4 智 е智 + A^zА = А^х + 4 智 е智 + A^z4+丄4+丄Связь с декартовымикомпонентамиСвязь с декартовымикомпонентами/4+丄=М(х, у, 2^- +1, 0, —1)1 4°/4+丄=М(х, у, 2^- +1, 0, —1)1 4°Связь со сферическимикомпонентамиСвязь со сферическимикомпонентами44Л« =〃(+1,0,—1—£, у, z) 4Л« =〃(+1,0,—1—£, у, z) 4А"1А"1Связь со сферическимиСвязь с циклическимикомпонентамикомпонентамиСвязь со сферическимиСвязь с циклическимикомпонентамикомпонентамиV4丿V4丿4”、Мг4。卜Л/(十1, 0, —1_г, 8, у' 4$.47丿\%,4”、Мг4。卜Л/(十1, 0, —1_г, 8, у' 4$.47丿\%,

a = Л+(e+1 + 4% + 4一0一］

a = Л+(e+1 + 4% + 4一0一］

А = Arer + 4аез +4cpe甲

А = Arer + 4аез +4cpe甲

Связь с циклическими

Связь с декартовыми

компонентами,

компонентами

Связь с циклическими

Связь с декартовыми

компонентами,

компонентами

А = А^х + 4 智 е智 + A^z

А = А^х + 4 智 е智 + A^z

4+丄

4+丄

Связь с декартовымикомпонентами

Связь с декартовымикомпонентами

/4+丄

=М(х, у, 2^- +1, 0, —1)1 4°

/4+丄

=М(х, у, 2^- +1, 0, —1)1 4°

Связь со сферическимикомпонентами

Связь со сферическимикомпонентами

4

4

Л« =〃(+1,0,—1—£, у, z) 4

Л« =〃(+1,0,—1—£, у, z) 4

А"1

А"1

Связь со сферическими

Связь с циклическими

компонентами

компонентами

Связь со сферическими

Связь с циклическими

компонентами

компонентами

V4丿

V4丿

4”、Мг

4。卜Л/(十1, 0, —1_г, 8, у' 4$

.47丿\%,

4”、Мг

4。卜Л/(十1, 0, —1_г, 8, у' 4$

.47丿\%,

ТАБЛИЦА 1.2

МАТРИЦЫ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ ДЕКАРТОВЫ, ЦИКЛИЧЕСКИЕ КОНТРАВАРИАНТНЫЕИ СФЕРИЧЕСКИЕ КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРОВ

m (力，y, 2 <一-+ 1, 0, -1) +10—1m (力，y, 2 <一-+ 1, 0, -1) +10—1м (+1, о, —1 — X, у, Z)方 y 2м (+1, о, —1 — X, у, Z)方 y 2

m (力，y, 2 <一-+ 1, 0, -1) +10—1

m (力，y, 2 <一-+ 1, 0, -1) +10—1

м (+1, о, —1 — X, у, Z)

方 y 2

м (+1, о, —1 — X, у, Z)

方 y 2

м (х, у, г

% / sin 8 cos ¥

у I sin 8 sin 中

z \ cos 8

2 <— г, 8, ¥)

М (г, 8, ср —力，У, z)

8

cos 8 cos 中

cos 8 sin 中

—sin 8

--sin中\

COS 中 1

0丿

X

г / sin 8 cos 中 81 cos 8 cos 中 中、 --sin中

У sin 8 sin cos 8 sin cos中

z

中 cos 8

中 --sin 8

0

〃(十1, 0,

—1 <— r, 8, у)

w(r, s, <P

—+1,

0, -1)

г

8

¥

+1

0

-1

+1

吧^岬 何

г

/一吧产

CGS 8

^2

cos 8

— sin 8

8

e

— sin 8

婚e*

\ ^2 e

亜# 汤e

V2 /

?

\ V2

0

V2 /

Циклические компоненты вещественного вектора А, не зависящего от спиновых переменных и не содержащего дифференциальных операций, имеют вид sin 8sin 8

"i±i = + I АIe±ff, ^±1=+|A|-^=-e«?,02)

4o = |A|cos8,ло = I AI cos &,

где 8,屮一сферические углы вектора А.

Формулы (12) могут быть записаны через сферические функции (см. гл. 5):

狐Н)/ yl а1 у1!1(3 中)'

_(fx=+l, 0).(13)

4』]/写4/(8,中)，.

Выражение для декартовых компонент вектора А через сферические функции имеет вид

4 =，可 I A ] {Y7 (8,中)-%+工(8,明，

Лу = У^ I А I {У^ (&, ?) + У1+1 (&, Т)},(14)

4= J^IAIWo (8,中).

Скалярное произведение векторов

В произвольных координатах скалярное произведение векторов А и В определяется формулой А・В = §4 炉= §£%(15)

В декартовых координатах

А • В = АХВХ + ^Л + 4"8g.(16)

В сферических координатах

'А ・ В = АГВГ 十風§s + 4f 屮・(17)

Формула (17) справедлива, если векторы А и В не являются дифференциальными операторами, так как сферические орты зависят от углов 8,屮(см. 1.1).

В циклических координатах

А • В = 2 А^в«- = 5 Л ^11 = 2(-1)11 4^-^ = S (-1)^^.(2=±l，0)・(18)

卩ppa

В раскрытом виде

AB = —^+iJ5_j -|~ AqBq — 4-粗+1*(19)

Выражение для скалярного произведения через спиральные компоненты векторов имеет вид, аналогичный (18)—(19). Скалярное произведение векторов не меняется при Повороте системы координат.

Векторное произведение векторов

Е [АХВ](е,-,Е [АХВ](е,-,(20)(20)В декартовых координатах

Е [АХВ](е,-,

Е [АХВ](е,-,

(20)

(20)

% е智％

А X В = Ах Ау Az

，3" §智 Вц

едед8』3 /卢川 444 4 44 = = _- XXX АА8』3 /卢川 444 4 44 = = _- XXX АА

ед

ед

8』3 /卢川 444 4 44 = = _- XXX АА

8』3 /卢川 444 4 44 = = _- XXX АА

(22)(22)Формула (21) может быть записана в компактном виде

(22)

(22)

[А X B]g = 2] %宓/4宓笈%, (b 右，I = х, у, z).

В сферических координатахВ сферических координатахАХВАХВег ед е9 448% Вг В§ %ег ед е9 448% Вг В§ %2 fAXBJaea,ЗГ, 8,屮2 fAXBJaea,ЗГ, 8,屮(23)(23)

В сферических координатах

В сферических координатах

АХВ

АХВ

ег ед е9 448% Вг В§ %

ег ед е9 448% Вг В§ %

2 fAXBJaea,

ЗГ, 8,屮

2 fAXBJaea,

ЗГ, 8,屮

(23)

(23)

гдегде(24)(24)Формула (24) справедлива, если АВ циклических координатахФормула (24) справедлива, если АВ циклических координатахииВ неВ неярляются дифференциальными операторами.ярляются дифференциальными операторами.АХВАХВгдегдеe+i е0 е_х4+1404-1B+i 8о 8-1e+i е0 е_х4+1404-1B+i 8о 8-1e+丄4+丄 8+1e+丄4+丄 8+1eо 丁丄40 4TВО 8Teо 丁丄40 4TВО 8T2 [АХВ]аеа= 2 [АХВ/е»,2 [АХВ]аеа= 2 [АХВ/е»,а=±1, оа=±1, ои, ои, о[А X В]+1 = i(AQB+1 一 А+1В0) = 〃4一切。一 A^, [A X B]()= f (4_抠十1 一 4十毋 J ^ f (4+^т — A^B^),[A X B]t = 〃4_Fo — ^qB^) = i (408+1 — 4+50).[A X В产= i(AQB^ — 4_/o) = Z (4+5。一 /08+1), [A XB]o=i(A_1B+1 一 A+1B^ = f (4+5T - A^B^), [A X B『=i (4也80 — 40 J» = t (А0В-1 一 4-5o).[А X В]+1 = i(AQB+1 一 А+1В0) = 〃4一切。一 A^, [A X B]()= f (4_抠十1 一 4十毋 J ^ f (4+^т — A^B^),[A X B]t = 〃4_Fo — ^qB^) = i (408+1 — 4+50).[A X В产= i(AQB^ — 4_/o) = Z (4+5。一 /08+1), [A XB]o=i(A_1B+1 一 A+1B^ = f (4+5T - A^B^), [A X B『=i (4也80 — 40 J» = t (А0В-1 一 4-5o).(25)(25)(26)(26)(27)(27)

где

где

(24)

(24)

Формула (24) справедлива, если АВ циклических координатах

Формула (24) справедлива, если АВ циклических координатах

и

и

В не

В не

ярляются дифференциальными операторами.

ярляются дифференциальными операторами.

АХВ

АХВ

где

где

e+i е0 е_х4+1404-1B+i 8о 8-1

e+i е0 е_х4+1404-1B+i 8о 8-1

e+丄

4+丄 8+1

e+丄

4+丄 8+1

eо 丁丄

40 4T

ВО 8T

eо 丁丄

40 4T

ВО 8T

2 [АХВ]аеа= 2 [АХВ/е»,

2 [АХВ]аеа= 2 [АХВ/е»,

а=±1, о

а=±1, о

и, о

и, о

[А X В]+1 = i(AQB+1 一 А+1В0) = 〃4一切。一 A^, [A X B]()= f (4_抠十1 一 4十毋 J ^ f (4+^т — A^B^),

[A X B]t = 〃4_Fo — ^qB^) = i (408+1 — 4+50).

[A X В产= i(AQB^ — 4_/o) = Z (4+5。一 /08+1), [A XB]o=i(A_1B+1 一 A+1B^ = f (4+5T - A^B^), [A X B『=i (4也80 — 40 J» = t (А0В-1 一 4-5o).

[А X В]+1 = i(AQB+1 一 А+1В0) = 〃4一切。一 A^, [A X B]()= f (4_抠十1 一 4十毋 J ^ f (4+^т — A^B^),

[A X B]t = 〃4_Fo — ^qB^) = i (408+1 — 4+50).

[A X В产= i(AQB^ — 4_/o) = Z (4+5。一 /08+1), [A XB]o=i(A_1B+1 一 A+1B^ = f (4+5T - A^B^), [A X B『=i (4也80 — 40 J» = t (А0В-1 一 4-5o).

(25)

(25)

(26)

(26)

(27)

(27)

[А X В]г = 4$空—4凸,[AXBJ^A^-Л^,[АХВ]? = ЛГВЙ-АЙВГ.

Формулы (26)—(27) могут быть записаны в компактном виде через коэффициенты Клебта—Гордана (см. гл. 8):

[AXBk=-f V牙 £с；"4/х，

(28)(28)(廿,V, Х= ±1, 0).

(28)

(28)

[AXBy = i VF£c；h4'B*

Для спиральных компонент векторного произведения тоже справедливы формулы (25)—(28).

4. Произведения трех и более векторовА • [В X С] = В ・[С X А] = С ・[А X В] = —А • [С X В) = —В • [А X С] = —С ・[В X А],А X [В X С] = В (А . С) — С (А . В),[А X В]・[С X D) = (А • С) (B.D)-(A. D) (В • С),[AXB]X[CXJ>] = B(A.[CXD])-A(B.[CXD])=C(A.[BXD])-D(A.[BXC]).4. Произведения трех и более векторовА • [В X С] = В ・[С X А] = С ・[А X В] = —А • [С X В) = —В • [А X С] = —С ・[В X А],А X [В X С] = В (А . С) — С (А . В),[А X В]・[С X D) = (А • С) (B.D)-(A. D) (В • С),[AXB]X[CXJ>] = B(A.[CXD])-A(B.[CXD])=C(A.[BXD])-D(A.[BXC]).(29)(30)(31)(32)(29)(30)(31)(32)(A.fBXC])(a.[bXcJ)(A.fBXC])(a.[bXcJ)А • а В • а С • аА • а В • а С • аА • b А • с В < Ь В • сС • b С • сА • b А • с В < Ь В • сС • b С • с

4. Произведения трех и более векторов

А • [В X С] = В ・[С X А] = С ・[А X В] = —А • [С X В) = —В • [А X С] = —С ・[В X А],А X [В X С] = В (А . С) — С (А . В),

[А X В]・[С X D) = (А • С) (B.D)-(A. D) (В • С),[AXB]X[CXJ>] = B(A.[CXD])-A(B.[CXD])=C(A.[BXD])-D(A.[BXC]).

4. Произведения трех и более векторов

А • [В X С] = В ・[С X А] = С ・[А X В] = —А • [С X В) = —В • [А X С] = —С ・[В X А],А X [В X С] = В (А . С) — С (А . В),

[А X В]・[С X D) = (А • С) (B.D)-(A. D) (В • С),[AXB]X[CXJ>] = B(A.[CXD])-A(B.[CXD])=C(A.[BXD])-D(A.[BXC]).

(29)

(30)

(31)

(32)

(29)

(30)

(31)

(32)

(A.fBXC])(a.[bXcJ)

(A.fBXC])(a.[bXcJ)

А • а В • а С • а

А • а В • а С • а

А • b А • с В < Ь В • с

С • b С • с

А • b А • с В < Ь В • с

С • b С • с

(33)(33)5. Тензоры 8ift и5. Тензоры 8ift иегМегМ

(33)

(33)

5. Тензоры 8ift и

5. Тензоры 8ift и

егМ

егМ

=(А • а) (В ・ b) (С • с) — (А • а) (В . с) (С • Ь) — (В . Ь) (А ・с)(С・а) ——(С . с) (А . Ь)(В . а) + (А . Ь)(В • с) (С • а) + (А • с) (В • а) (С • Ь).

второговторогоНаиболее употребительными декартовыми тензорами являются симметричный тензор ранга 8^ и полностью антисимметричный тензор третьего ранга %^・

второго

второго

Тензор 8^ называется Ь-символом Кронекера. Он определяется формулой fl, j

^4k =. т (厶乃=忆，％ а)・

I 听 ％

Компоненты тензора Zik не меняются при повороте системы координат и при ее инверсии.

Тензор (точнее псевдотензор) eikl называется также тензором Леви —Чивита. Он антисимметричен по отношению к перестановке любой пары индексов. Поэтому компонента eikl равна нулю, если среди г, к9 I есть хотя бы два одинаковых индекса. Отличны от нуля только компоненты, все индексы которых различны. Компоненты тензора &ikl имеют вид

еи. = 0, (£ = / у, z) (3 компоненты),

^/»fc —■ ^«fc» — ^fci< —-0, (厶 к —工,у, z) (18 компонент),(35)

%” =力z* = J%智=一％叩=—力"2 = — %з =1 (6 компонент).

Компоненты тензора eikl не меняются при повороте системы координат и при ее инверсии. Тензор &{к1 обладает следующими свойствами. Произведение двух тензоров &ikl и %或 выражается через определитель

Е偏卢r&f = Bfcr Bfce 3kt — ^i^k^lt + BfeBfciBir + ^iflk^ls — Mr”户〃 —S&“R〃 一 ^ffik^lr»(既)

BZr 3瓦方

Сумма no одной паре индексов р \hg ht W eifcz£^ = I 必 6“ = %8>f — 6戸心・(37)

Сумма по двум парам индексов

2 ^ikl^ikt^^lt*(38)

Сумма по трем парам индексов

2 еш£*А/ = 6-(39)

3z

4力弟4%犷4雳哥4#% 4犷犷"犷wA A AC，A C” C wz4力弟4%犷4雳哥4#% 4犷犷"犷wA A AC，A C” C wz(40)(40)Для произвольной 3X3 матрицы (A/fc), (i, к = х, g, z) справедливо соотношение

4力弟4%犷4雳哥

4#% 4犷犷"犷w

A A A

C，A C” C wz

4力弟4%犷4雳哥

4#% 4犷犷"犷w

A A A

C，A C” C wz

(40)

(40)

^^ ^xi^yic^ziziki = det II AiJe II 密，I

1,3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ

Оператор V

Оператор Гамильтона V (набла) является векторным дифференциальным оператором.

Декартовы компоненты оператора V

ддд

% =豆，Vy=^»% =石•⑴

Они выражаются через сферические координаты по формулам ,dcos 8 cos ф d sin 中 д

Q=sin8cosY歩+—-♦丽一7^・齐，

Q)Q)г . с • d , cos 8 sind , cos0

Q)

Q)

办=sm8sm中方+-丽七厂而5・万,

d sin 8 d

V,= cos»^

Разложение оператора V по циклическим ортам

V = W(-l)PepV-p = —%Кт + e0V0 — e_xV+1,

2 Д. А, Варшалович и др.

где циклические компоненты оператора V даются формулами

"+1=一/偿+吟），

В сферических координатах циклические компоненты V выражаются следующим образом:

cos 8

d i

08 + r sin 8

д sin 8 d

Vq = cos 8 而一—7^ * 丽，

(5>

c 0 cos 8

▽—-—《sin 吋 + ——- ji 一 V 牙 I 亦丁 г

d i

@8 — r sin &

•卦

Разложение оператора V по сферическим ортам имеет вид V = erVr + eJa + 嘈屮， где д1 д£ А

% =方，Vs = T.丽，% = 75Й?Г^•

(6)

⑺

В формуле (6) сущестьен порядок сомножителей, так как Оператор V может быть записан в виде

V=n加+下▼2，

сами орты ег,

е» ef зависят от углов 8,屮。

(8)

где Ve — угловая часть оператора v，п = г/г — орт со сферическими углами 8,屮.Оператор Vg- действует только на переменные 8,屮.В сферических координатах он имеет всего две составляющие

уду1 д

(V2)3 =丽，(%)<р=^и7Г 欢(9)

Оператор Vs может быть представлен как

V2 = —in X £, где L — оператор орбитального углового момента (см* 2.2).

2, Оператор Лапласа

Оператор Лапласа А является скалярным дифференциальным оператором А = Р.

В декартовых координатах А имеет вид 严 ” 严 д = ^ + / + 豆，

В сферических координатах '1 д ( д) 1 д f д} 1。2

Оператор А может быть записан в виде 1 д ( д] 1

(Ю)

(И)

(12)

(13)

(14>

где Ar — угловая часть оператора Лапласа

% =逸=嘉.訳sin喂"% =逸=嘉.訳sin喂"1 a2sin^g.碍1 a2sin^g.碍(15)(15)Угловая часть оператора Лапласа выражается через оператор орбитального углового момента t по формулеУгловая часть оператора Лапласа выражается через оператор орбитального углового момента t по формулеAr = —£2.Ar = —£2.(16)(16)3. Дифференциальные операции со скалярами и векторами3. Дифференциальные операции со скалярами и векторамиГрадиент скалярной функции Ф (г) является вектором, виражающимся через оператор V по формулеГрадиент скалярной функции Ф (г) является вектором, виражающимся через оператор V по формулеgrad Ф (г) ^ УФ (г).grad Ф (г) ^ УФ (г).(17)(17)Компоненты вектора градиента в различных координатах могут быть получены с помощью формул (1)—(7) для компонент оператора V. Если Ф зависит только от г = |г| (центральное поле), тоКомпоненты вектора градиента в различных координатах могут быть получены с помощью формул (1)—(7) для компонент оператора V. Если Ф зависит только от г = |г| (центральное поле), тоd ①(г)V①(Г)=П'办 гd ①(г)V①(Г)=П'办 г(18)(18)где п = г/г.Производная по направлению^ заданному единичным вектором и, от скалярной функции Ф(г) — скалярная величина, связанная с оператором V формулойгде п = г/г.Производная по направлению^ заданному единичным вектором и, от скалярной функции Ф(г) — скалярная величина, связанная с оператором V формулой—Ф (г) = (и • V) Ф (г).—Ф (г) = (и • V) Ф (г).(19)(19)Дивергенция векторного поля А (г) является скалярной величиной — скалярным произведением оператора V и вектора А.Дивергенция векторного поля А (г) является скалярной величиной — скалярным произведением оператора V и вектора А.div А = у • А.div А = у • А.(20)(20)Выражение для дивергенции через декартовы компоненты вектораВыражение для дивергенции через декартовы компоненты вектора2 =寸2 =寸дАу дАг 、ЭЛ,дАу дАг 、ЭЛ,В циклических компонентах формула для дивергенции имеет видdiv А = —V+Mt + V040 — JM+i = 2(一1)出 ^И-н»p=士1,0В циклических компонентах формула для дивергенции имеет видdiv А = —V+Mt + V040 — JM+i = 2(一1)出 ^И-н»p=士1,0(21)(22)(21)(22)где циклические компоненты ▽» даются формулами (4)—(5). В сферических компонентах дивергенция выражается следующим образом:где циклические компоненты ▽» даются формулами (4)—(5). В сферических компонентах дивергенция выражается следующим образом:1 д1@&div А =声访(№4) + 7^5T .品(sin 84з) + 7^5.百.1 д1@&div А =声访(№4) + 7^5T .品(sin 84з) + 7^5.百.(23)(23)Ротор векторного поля А (г) является вектором — векторным произведением оператора V и вектора А.Ротор векторного поля А (г) является вектором — векторным произведением оператора V и вектора А.rot А = V X А.rot А = V X А.(24)(24)Декартовы компоненты ротора даются формуламиdAz[rota]* =万，Декартовы компоненты ротора даются формуламиdAz[rota]* =万，[rot А] у =[rot А] у =дАТдАТdAzdAzdz — дх *dz — дх *

% =逸=嘉.訳sin喂"

% =逸=嘉.訳sin喂"

1 a2

sin^g.碍

1 a2

sin^g.碍

(15)

(15)

Угловая часть оператора Лапласа выражается через оператор орбитального углового момента t по формуле

Угловая часть оператора Лапласа выражается через оператор орбитального углового момента t по формуле

Ar = —£2.

Ar = —£2.

(16)

(16)

3. Дифференциальные операции со скалярами и векторами

3. Дифференциальные операции со скалярами и векторами

Градиент скалярной функции Ф (г) является вектором, виражающимся через оператор V по формуле

Градиент скалярной функции Ф (г) является вектором, виражающимся через оператор V по формуле

grad Ф (г) ^ УФ (г).

grad Ф (г) ^ УФ (г).

(17)

(17)

Компоненты вектора градиента в различных координатах могут быть получены с помощью формул (1)—(7) для компонент оператора V. Если Ф зависит только от г = |г| (центральное поле), то

Компоненты вектора градиента в различных координатах могут быть получены с помощью формул (1)—(7) для компонент оператора V. Если Ф зависит только от г = |г| (центральное поле), то

d ①(г)

V①(Г)=П'办 г

d ①(г)

V①(Г)=П'办 г

(18)

(18)

где п = г/г.

Производная по направлению^ заданному единичным вектором и, от скалярной функции Ф(г) — скалярная величина, связанная с оператором V формулой

где п = г/г.

Производная по направлению^ заданному единичным вектором и, от скалярной функции Ф(г) — скалярная величина, связанная с оператором V формулой

—Ф (г) = (и • V) Ф (г).

—Ф (г) = (и • V) Ф (г).

(19)

(19)

Дивергенция векторного поля А (г) является скалярной величиной — скалярным произведением оператора V и вектора А.

Дивергенция векторного поля А (г) является скалярной величиной — скалярным произведением оператора V и вектора А.

div А = у • А.

div А = у • А.

(20)

(20)

Выражение для дивергенции через декартовы компоненты вектора

Выражение для дивергенции через декартовы компоненты вектора

2 =寸

2 =寸

дАу дАг 、ЭЛ,

дАу дАг 、ЭЛ,

В циклических компонентах формула для дивергенции имеет вид

div А = —V+Mt + V040 — JM+i = 2(一1)出 ^И-н»

p=士1,0

В циклических компонентах формула для дивергенции имеет вид

div А = —V+Mt + V040 — JM+i = 2(一1)出 ^И-н»

p=士1,0

(21)

(22)

(21)

(22)

где циклические компоненты ▽» даются формулами (4)—(5). В сферических компонентах дивергенция выражается следующим образом:

где циклические компоненты ▽» даются формулами (4)—(5). В сферических компонентах дивергенция выражается следующим образом:

1 д1@&

div А =声访(№4) + 7^5T .品(sin 84з) + 7^5.百.

1 д1@&

div А =声访(№4) + 7^5T .品(sin 84з) + 7^5.百.

(23)

(23)

Ротор векторного поля А (г) является вектором — векторным произведением оператора V и вектора А.

Ротор векторного поля А (г) является вектором — векторным произведением оператора V и вектора А.

rot А = V X А.

rot А = V X А.

(24)

(24)

Декартовы компоненты ротора даются формулами

dAz

[rota]* =万，

Декартовы компоненты ротора даются формулами

dAz

[rota]* =万，

[rot А] у =

[rot А] у =

дАТ

дАТ

dAz

dAz

dz — дх *

dz — дх *

04

KM a】z=苏一石

Ротор может быть записанРотор может быть записан2дА /丽，（厶""=/弘z）.2дА /丽，（厶""=/弘z）.также в виде определителятакже в виде определителя(26)(27)(28)(29)(26)(27)(28)(29)или в компактной записи

Ротор может быть записан

Ротор может быть записан

2дА /

丽，（厶""=/弘z）.

2дА /

丽，（厶""=/弘z）.

также в виде определителя

также в виде определителя

(26)

(27)

(28)

(29)

(26)

(27)

(28)

(29)

% % %

r°tA=忘•而近•

4А Ay 4

Циклические ковариантные компоненты ротора даются формулами [rot А]+1 = г (Vq4+i — V+i"o),

[rot A]0 = »(V-14+i — V+14-i),

[rot A]— = "V-v^o — VqA.j)или в компактной записи через коэффициенты Клебша—Гордана[rotAJ^-jVF2cшхМn (卩，Y，入=±1,0)■

Ротор может быть представлен в виде определителя e+i е0 е_х rotA=£ & 70 V_i •(30)

4十14 4T

Сферические составляющие ротора

血 А]宀;•丽(SUI 8/)_而，

a1 дАг 1 d

KotAJanjT^•再一户•訴(「％),(31)

а 1 д1 дАг

[rot闵中=?■・万(MQ 一 ?■•曲.

Краткая сводка формул, приведенных выше, дается в табл. 1.3.

Дифференциальные операции второго порядка

div grad ①=V • (V①)=АФ,(32)

rot grad ①=V X (V①)=0,(33)

div rot A = V • [V X A] = 0,(34)

rot rot A = V X [V X A] = V (V • A) —ДА = grad div A — ДА.(35)

ПОВОРОТЫ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Произвольный поворот координатной системы относительно начала координат полностью определяется заданием трех вещественных параметров. В качестве параметров, характеризующих поворот, наиболее часто употребляются углы Эйлера а, р, у. Среди других наборов параметров, служащих для описания поворота системы координат, широко применяются следующие:

а) направление оси поворота п (0, Ф) (2 параметра) и величина угла поворота <о (1 параметр), б) параметры Кэли ——Клейна.

Характеристика поворотов с помощью углов Эйлера

Произвольный поворот системы координат S ｛力,у, z｝-> S，｛х\ у\ z，｝ может быть получен с помощью трех последовательных поворотов вокруг координатных осей (рис. 1.3)

｛

а — поворот вокруг оси z на угол а (0 & а < 2 兀),

6 — поворот вокруг новой оси 力 на угол В (0 & В & 兀),

в —— поворот вокруг новой оси z%=z' на угол 丫 (0 & 丫 < 2兀).

ТАБЛИЦА 1.3

Декартовы координатыЦиклические координатыг dr“2%с + %у + е^з %&£ + ©/У + e/zdx2 + d/ + 彰2—e+i^-i + ео^о — ©-严曰-e+抠£.1 + eodxo - ет&с+1—2dx+ldx^ 十 dxQdxQdVV©(V.A)dxdydz%凉+%万+g后fdc+idc^dc一]—е+Ет© + %%© ——jV+搜da丁0y тdz— У/j十飞&0- V-1л+1[VXA]色 дх4ё歹%д д ду dz & 4iе+1 ©о JV+1 V。l力+i 4 4TДФ02① "2+02 ①а2Ф0y2 + 火2-2V+f.1◎ +V0^0①Декартовы координатыЦиклические координатыг dr“2%с + %у + е^з %&£ + ©/У + e/zdx2 + d/ + 彰2—e+i^-i + ео^о — ©-严曰-e+抠£.1 + eodxo - ет&с+1—2dx+ldx^ 十 dxQdxQdVV©(V.A)dxdydz%凉+%万+g后fdc+idc^dc一]—е+Ет© + %%© ——jV+搜da丁0y тdz— У/j十飞&0- V-1л+1[VXA]色 дх4ё歹%д д ду dz & 4iе+1 ©о JV+1 V。l力+i 4 4TДФ02① "2+02 ①а2Ф0y2 + 火2-2V+f.1◎ +V0^0①Сферические координатыСферические координаты3erdr + e^rda + е中 г sin 8dgd^ + rW + ^sin2^r2 sin adrdadg(?Ф1 0①1 0ф4次+ Г；诉・再声•齐(产4) + 7^ •捅(匈 sin ») + ；r^ • g4 71焉居(/ sin 8)—贊]++ es ；[鳥 符-^(4)] ++8^假(山)一啓]戸•苏?2"丿十毎詬丁 ^(sm%丽•丿+戸百西•*3erdr + e^rda + е中 г sin 8dgd^ + rW + ^sin2^r2 sin adrdadg(?Ф1 0①1 0ф4次+ Г；诉・再声•齐(产4) + 7^ •捅(匈 sin ») + ；r^ • g4 71焉居(/ sin 8)—贊]++ es ；[鳥 符-^(4)] ++8^假(山)一啓]戸•苏?2"丿十毎詬丁 ^(sm%丽•丿+戸百西•*

Декартовы координаты

Циклические координаты

г dr

“2

%с + %у + е^з %&£ + ©/У + e/z

dx2 + d/ + 彰2

—e+i^-i + ео^о — ©-严曰

-e+抠£.1 + eodxo - ет&с+1

—2dx+ldx^ 十 dxQdxQ

dV

V©

(V.A)

dxdydz

%凉+%万+g后

fdc+idc^dc一]

—е+Ет© + %%© —

—jV+搜

da

丁

0y т

dz

— У/

j十飞&0- V-1л+1

[VXA]

色 дх

4

ё歹%

д д ду dz & 4

i

е+1 ©о J

V+1 V。l

力+i 4 4T

ДФ

02① "2+

02 ①а2Ф

0y2 + 火2

-2V+f.1◎ +V0^0①

Декартовы координаты

Циклические координаты

г dr

“2

%с + %у + е^з %&£ + ©/У + e/z

dx2 + d/ + 彰2

—e+i^-i + ео^о — ©-严曰

-e+抠£.1 + eodxo - ет&с+1

—2dx+ldx^ 十 dxQdxQ

dV

V©

(V.A)

dxdydz

%凉+%万+g后

fdc+idc^dc一]

—е+Ет© + %%© —

—jV+搜

da

丁

0y т

dz

— У/

j十飞&0- V-1л+1

[VXA]

色 дх

4

ё歹%

д д ду dz & 4

i

е+1 ©о J

V+1 V。l

力+i 4 4T

ДФ

02① "2+

02 ①а2Ф

0y2 + 火2

-2V+f.1◎ +V0^0①

Сферические координаты

Сферические координаты

3

erdr + e^rda + е中 г sin 8dg

d^ + rW + ^sin2^

r2 sin adrdadg

(?Ф1 0①1 0ф

4次+ Г；诉・再

声•齐(产4) + 7^ •捅(匈 sin ») + ；r^ • g

4 71焉居(/ sin 8)—贊]+

+ es ；[鳥 符-^(4)] ++8^假(山)一啓]

戸•苏?2"丿十毎詬丁 ^(sm%丽•丿+戸百西•*

3

erdr + e^rda + е中 г sin 8dg

d^ + rW + ^sin2^

r2 sin adrdadg

(?Ф1 0①1 0ф

4次+ Г；诉・再

声•齐(产4) + 7^ •捅(匈 sin ») + ；r^ • g

4 71焉居(/ sin 8)—贊]+

+ es ；[鳥 符-^(4)] ++8^假(山)一啓]

戸•苏?2"丿十毎詬丁 ^(sm%丽•丿+戸百西•*

Этот же поворот системы координат S {х, у, z}~~> Sr {х\ у\ z‘} может быть получен с помощью другой последовательности поворотов (рис. 1.4)

{

а — поворот вокруг оси z на угол 丫 (0 & 丫 < 2冗), б — поворот вокруг старой оси у на угол р (0 & р w 冗), в — поворот вокруг старой оси z на угол а (0 & а 之 2 冗).

Углы а, В， у здесь такие же, как и в первом случае.

а

Относительная ориентация исходных S {%, у, z} и новых S，{х\ у', z，} координатных осей, получившаяся в результате поворота с помощью любого из двух указанных способов, показана на рис. 15

Углы а, р, т называются углами Эйлера. Они полностью характеризуют поворот системы координат. Обратный поворот, переводящий систему координат Sf {%', у', z，}岀 систему S {х, у, z}, описывается углами Эйлера —у,——р, —а или, что эквивалентно, углами к—у,卩,——冗——а. Иногда произвольный поворот системы координат получают с помощью другой последовательности вращений:'

поворот вокруг оси z на угол а’.

поворот вокруг новой оси £] на угол В’.

поворот вокруг новой оси Z2=z‘ на угол у.

Углы а', у, Т‘ описывают тот：же поворот системы координат, что и углы Эйлера а,卩,％ если

优=a +彳，в'=备 f = ? 一m.优=a +彳，в'=备 f = ? 一m.(1)(1)

优=a +彳，в'=备 f = ? 一m.

优=a +彳，в'=备 f = ? 一m.

(1)

(1)

При повороте системы координат длина векторов остается постоянной, но меняются, вообще го* воря, сферические углы 8, ср, определяющие направление этих векторов относительно координат-

Рис. 1.4. Последовательность поворотов системы координат по схеме В.Рис. 1.4. Последовательность поворотов системы координат по схеме В.

Рис. 1.4. Последовательность поворотов системы координат по схеме В.

Рис. 1.4. Последовательность поворотов системы координат по схеме В.

ных осей. Связь углов 8, у и У, ср', характеризующих направление произвольного вектора в исходной S {%, g, z} и повернутой S，{%', у', z'} системах координат, дается формулами

COS ¥ = COS 8 COS В + sin 8 sin В cos (у — а),

ctg 8 sin В(2)

Ctg (歹 + 丁)= Ctg 仲-a) COS В - sin @j) •

Обратные соотношения имеют вид

cos 8 = cos ¥ cos В — sin ¥ sin R cos (/ + ?),

ctg 8’ sin В(3)

ctg 仲一a) = Ctg (，+ T)cos В + sin @ + 汀•

Характеристика поворотовс помощью направления оси поворота и угла поворота

Произвольный поворот системы координат S {х, у, z} -> S，{х\ у', zr} может быть получен с помощью одного поворота на угол з (0《з《冗)вокруг оси, направление которой п не совпадает, вообще говоря, с осями координат и характеризуется сферическими углами 0, Ф (0《@《码。《① V 2 冗),одинаковыми в системах S {х,勿 z} и S' {%', у', z'} (рис. 1.6).

Углы о), 0, Ф полностью определяют относительную ориентацию исходных S {х, у, z} и новых S' {х\ у', z'} координатных осей. Поворот на углы — о),冗一@,冗+(1)эквивалентен повороту на углы(о, 8, ф. Обратный поворот, переводящий систему координат S，{%', у', z'} в S {х, у, z}, описывается углами —(о, @, Ф или, что эквивалентно, углами (о,冗一@,冗+①.

Направляющие косинусы орта п(@, Ф) одинаковы в исходной системе S {%, у, z} и новой системе S，{М, 〃，z):

и • e# = п • е^ = sin 0 cos Ф,

n • e# = и • % = sin 0 sin Ф,. (4)

n • e? = n • e； = cos 0.

Для векторов, направление которых не совпадает с направлением п, сферические углы 8,屮 меняются при повороте системы координат. Связь углов 8, ср и », ср', характеризующих направление произвольного вектора в исходной S {%, у, z} и повернутой S1 {/, у', z'} системах координат, дается формулами

cos 9, = cos 8 (cos з sin2 8 十 cos2 0)十 sin^ sin 日[(1 — cos w) cos 0 cos 仲一①)+ sin w sin 仲一Ф)],(5)

, л cus°(y — Ф) [cos з cos2 0 + sin2 0] — sin (у —①)sin a> cos 8 — ctg 8 (cos a> — 1) sin Bcos 8 ctg 仲 一)=cos ({у — Ф) sin w cos 0 + sin (<p — Ф) cos w — ctg sin w sin 0*

Обратные соотношения имеют вид

cos 8 = cos 8’(cos з sin2 8 + cos2 8) + sin 8' sin 8 [(1 — cos w) cos 8 cos (/ — Ф) — sin <o sin (屮一Ф)],(6)

cos (歹一巾)[cos з си© 8 + sM2 ®1 + sM (屮'—①)sin з cos 6 — ctg# (cos 3 — 1) sin 8 cos 8

ctg (?—叫=—―~■cos 仲‘ 一@) sin s cos 8 — sin (屮'一@) cos s — ctg У sin s sin 8•

Использование параметров co, n (@, Ф) для описания поворотов позволяет записать формулы преобразования радиус-вектора г в компактном векторном виде (см. 1.4.6)

гг =rcos(i> + n (m*) (2 — cos з) + [" X r] sin w,

r = r* cos 3 + 口(nr‘)(1 — cos w) — [n X 门 sin w.")

Формулы т(5) и (6) получаются при проектировании (7) на координатные оси.

Рис. 1.5. Углы Эйлера а, В,『Рис. 1.6. Поворот системы координат на угол звокруг оси п (8, Ф).Рис. 1.5. Углы Эйлера а, В,『Рис. 1.6. Поворот системы координат на угол звокруг оси п (8, Ф).

Рис. 1.5. Углы Эйлера а, В,『Рис. 1.6. Поворот системы координат на угол з

вокруг оси п (8, Ф).

Рис. 1.5. Углы Эйлера а, В,『Рис. 1.6. Поворот системы координат на угол з

вокруг оси п (8, Ф).

Характеристика поворотовс помощью унитарных матриц размерности 2x2.Параметры Кэли—Клейна

Радиус-вектору произвольной точкиг=хех4_2/еу+ге^=2х<е^ можно сопоставить эрмитовскую матрицу X размерности 2x2:

XuX+TrjD* 哂，(8)

#f у. *

где 3^ (j=x, у, z) — транспонированные матрицы Паули (2・5 (4)). При этом

—det X = М =工2 十 炉 + г3.

Повороту системы координат S {%, у, г} -> S，{%', у', zr} соответствует унитарное преобразование, переводящее матрицу X в матрицу X':

■Г = UXU-L(9)

Матрица Ut осуществляющая это преобразование, имеет размерность 2x2. Она унитарна и имеет определитель, равный единице:

и+ = ит, det U 胃 1.(10)

Унитарность матрицы U следует из вещественности радиуса-вектора г, а условие det (7=1 обеспечивает сохранение длины радиуса-вектора при повороте системы координат.

В силу условий (10), матрица U имеет вид

(И)(И)где а и & — комплексные числа, удовлетворяющие условию 丨。户+1方户=1.где а и & — комплексные числа, удовлетворяющие условию 丨。户+1方户=1.(12)(12)Таким образом, матрица U зависит от трех вещественных параметров. Величины а и & называются параметрами Кэли —Клейна» Они однозначно характеризуют поворот системы координат.Обратное утверждение несправедливо, так как параметры —а и —Ь описывают тот же поворот, что и а,瓦 Обратному повороту системы координат S，{%', у', z'}-> S {/ у, z} соответствует матрицаТаким образом, матрица U зависит от трех вещественных параметров. Величины а и & называются параметрами Кэли —Клейна» Они однозначно характеризуют поворот системы координат.Обратное утверждение несправедливо, так как параметры —а и —Ь описывают тот же поворот, что и а,瓦 Обратному повороту системы координат S，{%', у', z'}-> S {/ у, z} соответствует матрицаРис. 1.7. Стереографическая проекция точки на сфере*Рис. 1.7. Стереографическая проекция точки на сфере*/а* — 07 = 0+ = //а* — 07 = 0+ = /(13)(13)Параметры Кэли——Клейна допускают и другую интерпретацию поворота системы координат. Рассмотрим сферу единичного диаметра с центром в начале координат. Каждой точке на этой сфере с координатами 第,у, z ^причем х2-|- Л~У^А~^ — *^~) можно сопоставить точку на комплексной плоскости С=Е+%% являющуюся стереографической проекцией точки %, у, z (рис» 1 • 7).Величина С связана с координатами х, у, z соотношениемПараметры Кэли——Клейна допускают и другую интерпретацию поворота системы координат. Рассмотрим сферу единичного диаметра с центром в начале координат. Каждой точке на этой сфере с координатами 第,у, z ^причем х2-|- Л~У^А~^ — *^~) можно сопоставить точку на комплексной плоскости С=Е+%% являющуюся стереографической проекцией точки %, у, z (рис» 1 • 7).Величина С связана с координатами х, у, z соотношениемх~у 1у 2 + zх~у 1у 2 + z1万-z1万-zс — Ху・с — Ху・(⑷(⑷Повороту системы координат, при котором координаты точки на сфере х, у, z переходят в х\ у', z「 соответствует дробно-линейное преобразование в плоскости комплексной переменнойПовороту системы координат, при котором координаты точки на сфере х, у, z переходят в х\ у', z「 соответствует дробно-линейное преобразование в плоскости комплексной переменной5= —&Х + а* *5= —&Х + а* *(15>(15>Коэффициентами этого дробно-линейного преобразования являются параметры Кэли—Клейна а, Ь.Коэффициентами этого дробно-линейного преобразования являются параметры Кэли—Клейна а, Ь.4. Связь между различными способами описания поворотов системы координат4. Связь между различными способами описания поворотов системы координата. Связь углов (о, 0, Ф с углами Эйлера а, р, 了Углы о), 6, Ф выражаются через углы Эйлера а,卩,丁 по формуламо)В а + 了cos -2~= cos -~2~ cos —2~，а. Связь углов (о, 0, Ф с углами Эйлера а, р, 了Углы о), 6, Ф выражаются через углы Эйлера а,卩,丁 по формуламо)В а + 了cos -2~= cos -~2~ cos —2~，sin"2~sin"2~（电（电9一冗I a - »—N十9一冗I a - »—N十

(И)

(И)

где а и & — комплексные числа, удовлетворяющие условию 丨。户+1方户=1.

где а и & — комплексные числа, удовлетворяющие условию 丨。户+1方户=1.

(12)

(12)

Таким образом, матрица U зависит от трех вещественных параметров. Величины а и & называются параметрами Кэли —Клейна» Они однозначно характеризуют поворот системы координат.

Обратное утверждение несправедливо, так как параметры —а и —Ь описывают тот же поворот, что и а,瓦 Обратному повороту системы координат S，{%', у', z'}-> S {/ у, z} соответствует матрица

Таким образом, матрица U зависит от трех вещественных параметров. Величины а и & называются параметрами Кэли —Клейна» Они однозначно характеризуют поворот системы координат.

Обратное утверждение несправедливо, так как параметры —а и —Ь описывают тот же поворот, что и а,瓦 Обратному повороту системы координат S，{%', у', z'}-> S {/ у, z} соответствует матрица

Рис. 1.7. Стереографическая проекция точки на сфере*

Рис. 1.7. Стереографическая проекция точки на сфере*

/а* — 07 = 0+ = /

/а* — 07 = 0+ = /

(13)

(13)

Параметры Кэли——Клейна допускают и другую интерпретацию поворота системы координат. Рассмотрим сферу единичного диаметра с центром в начале координат. Каждой точке на этой сфере с координатами 第,у, z ^причем х2-|- Л~У^А~^ — *^~) можно сопоставить точку на комплексной плоскости С=Е+%% являющуюся стереографической проекцией точки %, у, z (рис» 1 • 7).

Величина С связана с координатами х, у, z соотношением

Параметры Кэли——Клейна допускают и другую интерпретацию поворота системы координат. Рассмотрим сферу единичного диаметра с центром в начале координат. Каждой точке на этой сфере с координатами 第,у, z ^причем х2-|- Л~У^А~^ — *^~) можно сопоставить точку на комплексной плоскости С=Е+%% являющуюся стереографической проекцией точки %, у, z (рис» 1 • 7).

Величина С связана с координатами х, у, z соотношением

х~у 1у 2 + z

х~у 1у 2 + z

1

万-z

1

万-z

с — Ху・

с — Ху・

(⑷

(⑷

Повороту системы координат, при котором координаты точки на сфере х, у, z переходят в х\ у', z「 соответствует дробно-линейное преобразование в плоскости комплексной переменной

Повороту системы координат, при котором координаты точки на сфере х, у, z переходят в х\ у', z「 соответствует дробно-линейное преобразование в плоскости комплексной переменной

5= —&Х + а* *

5= —&Х + а* *

(15>

(15>

Коэффициентами этого дробно-линейного преобразования являются параметры Кэли—Клейна а, Ь.

Коэффициентами этого дробно-линейного преобразования являются параметры Кэли—Клейна а, Ь.

4. Связь между различными способами описания поворотов системы координат

4. Связь между различными способами описания поворотов системы координат

а. Связь углов (о, 0, Ф с углами Эйлера а, р, 了

Углы о), 6, Ф выражаются через углы Эйлера а,卩,丁 по формулам

о)В а + 了

cos -2~= cos -~2~ cos —2~，

а. Связь углов (о, 0, Ф с углами Эйлера а, р, 了

Углы о), 6, Ф выражаются через углы Эйлера а,卩,丁 по формулам

о)В а + 了

cos -2~= cos -~2~ cos —2~，

sin"2~

sin"2~

（电

（电

9一冗I a - »

—N十

9一冗I a - »

—N十

Обратные соотношения имеют видОбратные соотношения имеют видsin-|-= sin в sin у.sin-|-= sin в sin у.

Обратные соотношения имеют вид

Обратные соотношения имеют вид

sin-|-= sin в sin у.

sin-|-= sin в sin у.

風+ 7з

(⑺(⑺tg 2 == cos 8 tg *2",

(⑺

(⑺

а —7 А 冗

При переходе от переменных а,卩，丁 к переменным со, 0, Ф и наоборот полезны следующие соотношения:

да — Н cos 0dp —sin* 8 sin

дш — do)— с— sin В-

2 cos2 j产

0a н 1ap 2 sin 28 Sina,

诵"=言=一万 tgesin(a + » 施=而^，(18)

да

痴■="

d①3

Зз

da

= ^7=c°s®,

弟一 (0»

tg万

08

汨sin в

d® cos 8 sin 8

да

邙 一 sin §，

(19)

2tg2

8①1

d①

硬=°・

да

力 2，

Якобиан преобразования

0但，3, y) II II а(з, e,叫

d® в, Ф) II-II d(a, Р，7)1

1Г1 4sin03

— sin。sm 2 .

(20)

Элемент объема группы трехмерных вращений

dR = sin 昵adRdT = 4 sin2 扌 ds sin 8d8d①.

(21)

Полный объем группы трехмерных вращений те2ic<«2х

(22)(22)da ] sin В d? ] &7 = 4 j sin2 -у dw j sin 8d® , d® = 8л2.о оо ооо

(22)

(22)

б. Связь параметров Кэли — К лейна Параметры а, & выражаются через углы Эйлера а,б. Связь параметров Кэли — К лейна Параметры а, & выражаются через углы Эйлера а,b cb cB，B，7 no7 noуглами Эйлера % 卩，丁 формуламуглами Эйлера % 卩，丁 формулам

б. Связь параметров Кэли — К лейна Параметры а, & выражаются через углы Эйлера а,

б. Связь параметров Кэли — К лейна Параметры а, & выражаются через углы Эйлера а,

b c

b c

B，

B，

7 no

7 no

углами Эйлера % 卩，丁 формулам

углами Эйлера % 卩，丁 формулам

(23)(23)sin-|-=|b|,sin-|-=|b|,

(23)

(23)

sin-|-=|b|,

sin-|-=|b|,

"7 艮T亍 а = cos 彳 е

о = sin 2 е .

Обратные соотношения имеют вид

cos р = I а р — I & |2, cos -2-=| а |>

.а + тRe а . а — у Re Ь

ctgF-=—而7，ctS~2~ = Imd*

Параметры а и & выражаются через D-функции Вигнера (см. гл. 4):

а =。&?卜(% 3 7)» Ь = D^i^i^ (а, В，了)・(25)

При этом унитарная матрица U, согласно (11), совпадает с транспонированной матрицей поворота 力"(а, Р，т) для спиновых функций частиц со спином 1/2 (см. 2.5(32)).

в. Связь параметров Кэли — Клейна a, & с углами w, 6, Ф

Параметры Кзли—Клеена а, & выражаются через углы со, 0, Ф следующим образом:

CO.3

(26)(26)(27)(27)a = cos ~2i sm 歹 cos 8,

(26)

(26)

(27)

(27)

& = —i sin g sin 8e"①.

Обратные соотношения имеют вид

cos w = 2 (Re a)2 — 1, cus，= Rea,

Im a

cos 0 =—乙 c— c 1 〃 一(Re a)2

Im &

Ctg9= -^.

5. Оператор поворотаПреобразование различных квантовомеханических величин при повороте системы координат определяется действием на них оператора поворота J5(a, р, 丫) или О (со, в, Ф).Волновые функции (векторы состояний) W и операторы О1 в повернутой системе координат5. Оператор поворотаПреобразование различных квантовомеханических величин при повороте системы координат определяется действием на них оператора поворота J5(a, р, 丫) или О (со, в, Ф).Волновые функции (векторы состояний) W и операторы О1 в повернутой системе координатУнитарная матрица U, согласно (И), совпадает с транспонированной матрицей поворота 0%(з; 0, Ф) для спиновых функций частиц со спином 1/2 (см. 2.5 (36)).

5. Оператор поворота

Преобразование различных квантовомеханических величин при повороте системы координат определяется действием на них оператора поворота J5(a, р, 丫) или О (со, в, Ф).

Волновые функции (векторы состояний) W и операторы О1 в повернутой системе координат

5. Оператор поворота

Преобразование различных квантовомеханических величин при повороте системы координат определяется действием на них оператора поворота J5(a, р, 丫) или О (со, в, Ф).

Волновые функции (векторы состояний) W и операторы О1 в повернутой системе координат

выражаются через соответствующие величины Ф*, й в исходной системе координат по формулам 装，=力(%а 了)% 0 =力(% В, 了)0切(4 ?, 7)尸，(28)

T = U(s； 0, Ф)^, 0 = U®, 8,叫。[U(s； 8,①)L・(29)

Если в качестве параметров, характеризующих поворот, выбраны углы Эйлера а, р, 丫, то оператор поворота 力(a, р, Т)может быть записан в виде

力(a, 3 Y) =「丫'%一弟%,「"力，(30)

или в эквивалентном виде

力(% В,(31)

Здесь /《一проекция оператора полного момента количества движения (см. гл. 2) на ось 九 Эквивалентность (30) и (31) следует из того, что, согласно (28),

e-叫』力(a, 0,30) ”％ [力(a, 0, 0)尸=e"%e-叫叫

e-”久，=力(а, ₽, 0)е-'"“力(a,区 0)尸= e-'Q%-阻％e-'T力評％e'°力.

Если в качестве параметров, характеризующих поворот системы координат, выбраны направления оси поворота п (8, Ф) и угол поворота о), то оператор поворота О может быть записан в виде U®; 0, Ф) = е-*шп，5,(33)

где ?——оператор полного момента количества движения (гл. 2). Заметим, что 力(а, р, у)= 三 О (со; 0, Ф).

Оператор поворота, записанный в виде (30), (31) или (33), является унитарным оператором 0+(% В，丫) = [》(％ ₽, 7)]-1 =-б(7Т — 7» % —тс — а)=力(一》—Р，—а),(34)

U+(з； 0, % = [0/а)； 8, Ф)]"1 = С (о)； л — 8, тс -J- ®) = ^ (—s； 0, Ф).

Матричными элементами оператора 力 между состояниями с определенными значениями полного момента и его проекции на ось z являются ^-функции Вигнера (см. гл. 4).

«讶|力(％ 3 ¥)[/〃〉= “ р^я (а, р, 7).(35)

Матричными элементами оператора 力 между состояниями, волновые функции которых — декартовы орты е^ (i = ж, у, z), являются коэффициенты матрица поворота aik (см. 1.4.6):

〈е$ I 力(а, 0, 7)I ел> ~ aikt (*, к = х, у, 2).(36)

Действие оператора поворота на различные волновые функции и операторы квантовомеханических величин рассмотрено в главах 3, 5——7.

Преобразование векторов и тензоровпри повороте системы координат. Матрица поворота а

Произвольный вектор А может быть записан в виде столбца

А=卜;}(37)

где /#, Ау и 4/ — декартовы компоненты вектора А. В этом представлении декартовы орты е力,еу, “ имеют вид

Действие оператора поворота на векторы, записанные в таком виде, эквивалентно действию некоторой матрицы а размерности 3X3, которая является одним из представлений оператора поворота

Матрица а является вещественной, унитарной и ортогональной. Вещественность матрицы а означает

' а* = а,。九==。咏，(*, % = с, у, 2),(40)

Унитарность матрицы а

а+а = аа+ = 1(41)

наряду с ее вещественностью а*=а приводит к условию о рто го на льности

аа = да = 1»(42)

где а ——матрица, полученная из а транспонированием. Формула (42) означает, что коэффициенты aik удовлетворяют шести независимым условиям

^J aikail ==^AZ> (厶 к, - I = X, у, z),(43)

или эквивалентным им условиям

(44)(44)aikalk= ^tZ> (厶巾，I =^x, у, z).

(44)

(44)

Условия (43) или (44) приводят к тому, что только 3 из 9 коэффициентов aik являются независимыми. Это согласуется с тем, что произвольный поворот системы координат полностью характеризуется тремя вещественными параметрами.

Определитель матрицы а равен 1:

det а =det а =

det а =

det а =

Связь декартовьсх ортов е； повернутой системы координат S' с ортами ей исходной системы координат S дается формулой

(46)(46)е； = @е『=£ 也声紀, (i,左=% у, z).

(46)

(46)

ЗаконЗаконпреобразования декартовых компонент вектора выражается следующим образом:

Закон

Закон

司=工aik^ А» (厶 巾=С, у, Z).(47)

Здесь Ак — компоненты вектора А в исходной системе координат, А\ ——компоненты этого же вектора в повернутой системе координат. Условия (43) и (44) обеспечивают сохранение длины вектора А при повороте.

Для декартовых компонент тензора n-го ранга (п — целое) закон преобразования имеет вид

4"М2・.・％= 工 ai^i^ • • • ai^itAklk2...kn'(48)

司网. . ，无ft

Обратное преобразование, соответствующее повороту S' -> S, осуществляется с помощью транспонированной матрицы 近=«一1. Формулы, обратные (46)—(48), выражающие величины в исходной системе координат S через те же величины в повернутой системе координат S', записываются как

(49)(49)(50)(50)*2%囤，(X，k = X, у, 2).

(49)

(49)

(50)

(50)

/乃1^^］。//；,(厶 4 = e, y, z),

/乱勺…％=5а»1*1а^2 **' а*п1сп^*1*2^^{п^ 回 左1，％，巾2，•一，％ &= / У, Z).(51)

Элементы матрицы поворота aik могут быть вычислены по формуле

a$E^=e《e&, (i, 4 = у，z).(32)

Таким образом, коэффициенты aik являются косинусами углов между ортами исходной и повернутой систем координат. Эквивалентное определение aik через компоненты радиус-вектора г в исходной и повернутой системах координат имеет вид

(53)(53)

(53)

(53)

Матрица поворота а выражается через углы Эйлера по формуле

cos а cos В cos 7 — sin a sin 了 sin a cos В cos 7 + cos a sin 了—sin 0 cos 7cos а cos В cos 7 — sin a sin 了 sin a cos В cos 7 + cos a sin 了—sin 0 cos 7—cos a cos В sin 7 — sin a cos 了—sin a cos В sin 7 + cos a cos 了 sin В sin 7,—cos a cos В sin 7 — sin a cos 了—sin a cos В sin 7 + cos a cos 了 sin В sin 7,cos я sin рsin a sin §cos §cos я sin рsin a sin §cos §(54)(54)

cos а cos В cos 7 — sin a sin 了 sin a cos В cos 7 + cos a sin 了

—sin 0 cos 7

cos а cos В cos 7 — sin a sin 了 sin a cos В cos 7 + cos a sin 了

—sin 0 cos 7

—cos a cos В sin 7 — sin a cos 了

—sin a cos В sin 7 + cos a cos 了 sin В sin 7,

—cos a cos В sin 7 — sin a cos 了

—sin a cos В sin 7 + cos a cos 了 sin В sin 7,

cos я sin рsin a sin §cos §

cos я sin рsin a sin §cos §

(54)

(54)

Обратная матрица ах получается из (54) транспонированием или, что эквивалентно, заменой углов Эйлера а, р, т f ——『——% ——а. Выражение матрицы поворота а через углы 0, Ф, характеризующие направление оси вращения, и угол поворота о)имеет следующий вид:

(

(1 — cos w) sin2 0 cos2 Ф + cos o)

(1 — cos 3)sin2 ® cos Ф sin Ф + sin з cos 8

(16— cos w) sin 0 cos 0 cos Ф — sin w sin 0 sin Ф

(1 — cos co) sin2 0 cos Ф sin Ф — sin w cos ®(1 — cos w) sin 0 cos 0 cos Ф + sin w sin 0 sin Ф\

(1 — cos и) sin2 0 sin2 Ф + cos(o(1 — cos w) sin в cos 8 sin Ф — sin w sin 8 cos Ф j.(55)

(1 — cos w) sin 0 cos 0 sin Ф 十 sin(o sin 0 cos Ф

(1 — COS з) COS2 0 + COS s/

Формулу (55) можно написать и как разложение

%% %乙）/ 0 一吃勺、

а = cos oj I 0 1 0 ) + (1 — ©us s) 1 пупх

崂 n^ + sinw 1 n^ 0 —电卜(56)

^0 0 1/хп^Пд.

%% 輦 /、一％ nx 0 /

где пя,及歹,пг — проекции орта п, характеризующего направление оси поворота (4). Из (56) получается следующее выражение для матричных элементов а<й:

at& = cos(o 8lft + (! — cos(о) п^ — sin со £1Wraz,(厶 6, 2 =修 沙，z).(57)

Обратная матрица 旗一丄 получается из (55) и (56) транспонированием, а также, что эквивалентно, заменой со, 0, Ф ->—(о, 0, Ф или о), 0, Ф -> о),冗一0,冗十①.Формулы, обратные (57), позволяющие выражать углы 叫 0, Ф перез матричные элементы &乃,имеют вид

11

cos з =彳[Sp。一 1]==~2 (。力力 +。” + а^ 一 ')*

1

nx sin w = sin w sin 8 cos ①=玄(а” — а”)，

!(58)

% sin w = sin w sin 8 sin Ф = -у (a^ — а^),

1

nz sin w 三 sin w cos 8=2 (旬宓—％#)，

% sin w= — y^e^z^Az，(九 6, Z = Z 弘 Z).

Выражение матрицы поворота а через параметры Кэли——Клейна a, b：

a =

■ 1

y (a2 一62 十 @*2 _ &*2)

彳(△ + >_*_ »2)

、—(ab+a^)

区(—a2 + &2 + a*2 —产)

1

芽佃2+» + "2+ 产)i (ab — a*&*)

而" + a*&

f(G方* - a*方)aa* — &&*

(59)

же матрица поворота.же матрица поворота.

же матрица поворота.

же матрица поворота.

Отметим, что параметрам а, & и —а,——& соответствует одна и та

Частные случаи

матрицы поворота a

а. Поворот на угол В вокруг оси х:

^(Р) =(0

\0

о о ■

cos W — sin Ф* sin 理 cos 里,

(60)

Поворот на угол 里 вокруг оси у:

/ cos ^ 0 sin 田、 旬(Р)=010.

\—sin^ 0 cos^/

Поворот на угол W вокруг оси z:

/cos® —sinW 0\ a"呼= sin 里 cos 里 0 I .

\ 001/

(61)

(62)

В случае поворота, характеризуемого углами Эйлера а, с формулой (31) может быть представлена в виде

Р，т，

матрица поворота в соответствии

a = % (з) = % ⑷ ％ (В) аг (у).

(63)

Формула (63) является частным случаем сложения поворотов системы координат (см. 1.4.7).

7. Сложение поворотов

Рассмотрим два последовательных поворота системы координат. Пусть первый поворот переводит систему 5 {ж, у, z} в S' {ж\ yf, z'}, а второй — систему S' {" /, zr}s Sff {xz,, y〃, z〃 卜 Выразим параметры, характеризующие результирующий поворот 5 {х, у, z}f S" (%", у", zn }, через параметры, характеризующие повороты S {х, у, z} -> Sr {力'，у', z‘} и S，{х\ у', z'}f

ctg(I — 71) = COS 瓦 ctg (a】+ y2) + ctg %ctg(I — 71) = COS 瓦 ctg (a】+ y2) + ctg %sin 3sin 3sin (% + &) •sin (% + &) •

ctg(I — 71) = COS 瓦 ctg (a】+ y2) + ctg %

ctg(I — 71) = COS 瓦 ctg (a】+ y2) + ctg %

sin 3

sin 3

sin (% + &) •

sin (% + &) •

а. Описание поворотов с помощью углов Эйлера

Пусть оба поворота производятся по схеме В (стр. 21), первый поворот S {х., у, z}

S，{第у', z'} характеризуется углами Эйлера ар 氏, 丫工, второй S' {%', у', zz}-> f S〃 {%〃, y,r, z〃} ——углами Эйлера а2, 良， “，а результирующий поворот S (花,у, zjf f S" {xrf, у", z〃}——углами Эйлера а, р, у. Углы результирующего поворота а, р, у, также как углы первого поворота а1? 8^, ух и второго поворота а2, р2, %，отсчитываются от положения исходной системы координат S {х, g, z}・

Оператор результирующего поворота имеет вид

力(％ В，7)= ^ (а2, ₽2> 3)力(％ ₽1，71)(64)

или в развернутой записи

етa力%力=eт%『2『*良%(65)

В формуле (65) /《является проекцией оператора полного момента на ось г исходной системы координат S {х, у, z}・ Углы результирующего поворота a, R, 丫 выражаются через углы сс「卩工,丁工 и % р2, % 口。формулам

ctg (а — аа) = cos р2 ctg («i + 72)+ ctg 区国口；：*&)，

(66)(66)cos В = cos Bi cos % — sin ₽i sin 饱 cos (出 十 &)，

(66)

(66)

(67)(67)(68)(68)(69)(69)8 — 8, tg^L tg8 — 8, tg^L tg% + 了2 + a —% + 了2 + a —22в+Bi—tg^p tgв+Bi—tg^p tg% + 丫2 — a + «2，% + 丫2 — a + «2，22tgJ/5 tgtgJ/5 tg& + 也-H — H& + 也-H — H22tgtgB+园B+园22tgtg«1+72—l + li *«1+72—l + li *22(70)(70)tgtgBi — BeBi — Be22a tg_a tg_22X 氏 + % . a tg —— tg -X 氏 + % . a tg —— tg -—a? — 了 十 X *—a? — 了 十 X *22

(67)

(67)

(68)

(68)

(69)

(69)

8 — 8, tg^L tg

8 — 8, tg^L tg

% + 了2 + a —

% + 了2 + a —

2

2

в+Bi—tg^p tg

в+Bi—tg^p tg

% + 丫2 — a + «2，

% + 丫2 — a + «2，

2

2

tgJ/5 tg

tgJ/5 tg

& + 也-H — H

& + 也-H — H

2

2

tg

tg

B+园

B+园

2

2

tg

tg

«1+72—l + li *

«1+72—l + li *

2

2

(70)

(70)

tg

tg

Bi — Be

Bi — Be

2

2

a tg_

a tg_

2

2

X 氏 + % . a tg —— tg -

X 氏 + % . a tg —— tg -

—a? — 了 十 X *

—a? — 了 十 X *

2

2

При вычислении углов результирующего поворота оказываются полезными также следующие соотношения:

sin (a -出) sin (T - х) — sin (勺 + 0)

sin psin psin pi

sin p

sin p

cos pi = cos В cos 修 + sin В sin % cos (a —度纟), cos 网=cos В cos pi + sin p sin R/cos (7 — 丫) cos 9 = cos 3i cos % — sin % sin 取 cos (ax 十 &)，

COS (丫 一打)=cos (% + 72) COS (a — a2)十 sin (出 十也)sin (a —々2)COS 羯, cos (a — ct2) = cos (% 十立)cos " — 7l) + sin (勺 + h) $也(7 一 T j cos A， COS (% + 72)= COS(7 — ¥1) COS (a — a2) — sin(7 — H)sin (a — a2) cos R.

Формулы (67)—(70) допускают простое истолкование в терминах геометрии на сфере. Каждый поворот можно полностью охарактеризовать, указав на сфере точку, через которую проходит новая ось z\ и направление орта оси %\ лежащего в плоскости, касательной к сфере в данной точке. Определение углов результирующего поворота в этом случае сводится к построению соответствующего сферического треугольника (рис. 1.8). Соотношения (67)—(70) являются формулами синусов, косинусов и тангенсов для сферического треугольника.

Другое выражение для углов результирующего поворота получается в том случае, когда повороты производятся по схеме В (стр. 21), но углы Эйлера а2,卩2，Y&， характеризующие второй поворот S' {第',у', z'}f S^ix^, у", z〃}，отсчитываются от положения системы Sf{xf, у', 么'}, а не исходной системы S, В этом случае оператор результирующего поворота имеет вид

(71)(71)力(％ 0，7)= ^Г (а2* ?2> 7з) ^ (а1» Ви 7)

(71)

(71)

даются формулами произведена заменадаются формулами произведена заменаб. Описаниеб. ОписаниеповоротовповоротовРис. 1.8. Сложение поворотов в терминах сферической геометрии.Рис. 1.8. Сложение поворотов в терминах сферической геометрии.n sinn sin3].31.5*2~ — [П] X n2] sin -^- sin •3].31.5*2~ — [П] X n2] sin -^- sin •

даются формулами произведена замена

даются формулами произведена замена

б. Описание

б. Описание

поворотов

поворотов

Рис. 1.8. Сложение поворотов в терминах сферической геометрии.

Рис. 1.8. Сложение поворотов в терминах сферической геометрии.

n sin

n sin

3].31.5

*2~ — [П] X n2] sin -^- sin •

3].31.5

*2~ — [П] X n2] sin -^- sin •

где штрих означает, что оператор второго поворота отнесен к системе координат S' {/', g「z'}・ Согласно формуле (28), оператор 力'связан с оператором в исходной системе координат соотношениемл

力(口2, ?2» 丁2)=力(a】，Bi，7i)力(а2» Р2» 7z)[力(％ Pi J "h)]T*(72)

Подставляя это выражение в (71), получим/

力(% 3 了)=力伍" %,力)力(a2, % 72)>(73)

т. е. оператор результирующего поворота отличается от (64) порядком сомножителей. Таким образом, при подобном способе описания последовательных поворотов, углы Эйлера результирующего поворота а,卩，т будут даваться формулами (66)—(70), в которых нужно произвести замену индексов 1 之 2. Наконец, если последовательные повороты производятся по схеме Л (стр. 20), т. е. каждый поворот совершается вокруг соответствующей новой оси, то оператор результирующего поворота имеет вид (73). В этом случае углы Эйлера результирующего поворо-

та а, р, Т также (66)—(70), в которых индексов 1 N 2.

заданием оси поворота п (0, ф) и угла поворота со

Пусть первый поворот S {ж, у, z}-> Sf {况厶 у', zz} производится вокруг оси % на угол а，а второй поворот Sf {ж\ у', zf}

S" {壮',у", z"} вокруг оси п2 на угол (о 2.

Результирующий поворот S {ж, у, z} -> S"{疗-у", z"} можно рассматривать как один поворот вокруг оси п на угол о). Оператор результирующего поворота имеет вид

(74)(74)^ —t(on • J g —£32n2* J g—1<О|П1 • J

(74)

(74)

Угол результирующего поворота ① и направление оси результирующего поворота п даются формулами

cos 芽=cos -^- cos —(П] • n2) sin -j- sin -^-,(75)

(0GJ] O)2侬2

2~= пг sin -j- cos -y 十 n2 sin -^- cos

Из (75) видно, что результирующий поворот не зависит от порядка, в котором производились оба поворота, (т. е. операторы поворотов коммутируют) тогда и только тогда, когда п1Хп2 = 0, т. е. оси обоих поворотов параллельны или антипараллельны. В этом случае

СО = 3] 土 О)2・

Если направление осей поворота пг, п2, и п задано сферическими углами 8。①^ 02, Ф2 и 0, Ф соответственно, причем сферические углы отсчитываются от положения исходной системы координат S {瑞 у, z}, то

cos 芽=cos -^- cos ~2~ — sin -^ sin -^- [cos ®i cos ®2 + sin ®】gin 02 cos (Фх — Ф2)]}

W3[(t)2(1)2G)1

sin 彳 cos 0 = sin —^ cos -g- cos ®i 十 sin -j- cos -j- cos ©2 十

+ sin "^~ sin £■ sin @! sin 02 sin (Фг —Ф2),

os ① 1 — cos % sin %)十 sin 02 (ctg 号 cos Фа + cos 0X sin Ф2os ① 1 — cos % sin %)十 sin 02 (ctg 号 cos Фа + cos 0X sin Ф2

os ① 1 — cos % sin %)十 sin 02 (ctg 号 cos Фа + cos 0X sin Ф2

os ① 1 — cos % sin %)十 sin 02 (ctg 号 cos Фа + cos 0X sin Ф2

sin “ ctg Ф =©

sin @i (ctg-^~ sin % 十 cos ®2 cos %

Если направление осей поворота и】и и задано сферическими углами 日力 Фх и @, Ф в исходной системе координат S {/, у, z}, ^ направление оси второго поворота п2 задано сферическими углами @2, Ф2 в промежуточной системе координат S' {/',沙',z' }, то углы со, @, Ф результирующего поворота будут даваться формулами (76), в которых нужно произвести замену индексов 1 之 2, аналогично тому, как это имело место при задании поворотов с помощью углов Эйлера.

Описание поворотов с помощью парам етров Кэл и—К лейна

Пусть первый поворот S {/, у, z}->S，{况‘,у* z，} характеризуется параметрами Кэли —— Клейна 旬,仇(1.4.3), а второй поворот S，{/', у', z'} -> S,f {/", yf,, z〃} ——параметрами 他,%・ Результирующий поворот S {瑞 у, z} ^ S,f {况〃，у", z" } характеризуется параметрами а, &, где .

(77)(77)а^а^ — Ь^Ь^

(77)

(77)

& ' — а；&2 Т-匕I。?.

Матрица U (11), описывающая результирующий поворот, является произведением матриц, описывающих первый и второй повороты:

U (л, 6) = U &2)U (旬，&)•(78)

Теорема сложения для матрицы поворота а

Произведем два последовательных поворота системы координат S {况,у, z}->S，{/', у', z，}-> -> Sf, {/‘‘，у", z" }. Матрица а, осуществляющая преобразование декартовых компонент векторов и тензоров (см. 1.4.6) и соответствующая результирующему повороту S {/, у, z}-> -> S" {/", у", z"}, является произведением матриц а (1) и а (2), соответствующих первому и второму повороту. Порядок сомножителей а (1) и а (2) зависит от способа отсчета углов, характеризующих повороты. Если все эти углы отсчитываются от положения исходной системы координат S {/, у, z}, т. е. оператор результирующего поворота дается формулой (64), то

а = а(2) а (1)(79)

или в матричном виде

aik = ^аи (2) dik (1)> 亿 3 % = £ U, z).(80)

Выражение матриц поворота через углы, определяющие повороты, дается формулами (54) и (55). При этом углы, описывающие результирующий поворот, выражаются через углы, характеризующие первый и второй повороты, по формулам (66) и (76). Если углы, характеризующие первый поворот S f S' и результирующий поворот S -> S", отсчитываются от положения исходной системы координат S {/, д, z}, а углы, характеризующие второй поворот S' —> Sr,, отсчитываются от положения промежуточной системы координат S' {/', у', z'}, т. е. если оператор результирующего поворота дается формулой (73), то

。=。(1) d (2)(81)

или в матричном виде

%力=n。鋼(')。/力(2),(厶 к, I = с, у, z).(82)

При этом связь углов, описывающих результирующий поворот, с углами, соответствующими первому и второму поворотам, дается формулами (66) и (76), в которых нужно произвести замену индексов 1 二 2・

Глава 2

ОПЕРАТОРЫ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ

. ОПЕРАТОР ПОЛНОГО УГЛОВОГО МОМЕНТА

Определение.

Оператором полного углового момента количества движения J в квантовой механике называется псевдовекторный оператор, осуществляющий преобразование волновых функций (векторов состояний) и квантовомеханических операторов при бесконечно малом повороте системы координат (формулы ⑴ и (2)).

Изменение произвольной волновой функции 可 при повороте системы координат на бесконечно малый угол 6 ⑴ вокруг оси п можно представить в виде

里田'=(f — i8wn-J)里.(1)

Оператор ?, входящий в это выражение, называется оператором полного углового момента.

Преобразование квантовомеханического оператора 0 при бесконечно малом повороте имеет вид б —>ОЛ =： О — tSwn-fJ, О].(2)

Оператор поворота системы координат на конечный угол также выражается через оператор полного углового момента (см. формулы 1.4 (29), 1,4 (30), 1.4 (32)). Оператор полного момента ? является эрмитовским оператором

门=上⑶

Для декартовых и циклических компонент оператора J условие эрмитовости имеет вид

(厶)+ =厶，(£ = е, U, z);(几)+ = △ = (—l)pf_p, (р. = +1, 0).(4)

Собственными функциями операторов J2 и Jz являются шаровые тензоры (см. гл. 7).

Коммутационные соотношения

Из определения оператора полного углового момента (1) и формул для сложения поворотов (см. 1. 4. 7) можно получить коммутационные соотношения, которым удовлетворяет оператор ?. Эти коммутационные соотношения могут быть записаны в виде

[(a - J), (b・『)] = X・[aXb]・ J,《5)

где а и Ь ——произвольные постоянные векторы. Коммутационные соотношения для оператора полного момента можно также записать в символическом виде

[j\ j] = tJ.(6)

Декартовы компоненты оператора J удовлетворяют коммутационным соотношениям

[Jj, f乃]= £%%"/, [J?, J{[ = 0 (i,加，I = x, у, z).(7)

Соотношения (7) можно получить из (5), выбирая в качестве векторов а и Ь декартовы орты: а=е^, b=efc (i,兀=况，у, z).

В развернутой записи соотношения (7) имеют вид

[厶,У%] = [Jy, Sу\ =Jz] ~ 0,八 八

[九，%]=-[乙，九]=也，[厶，力]=一[力，厶]=一力，(8)

3 Д. А. Варшалович и др.

工，力]=一亿，/У] = iSx.卩2,九]=卩2, %]=仔,//=0.

Оператор квадрата полного момента 『2 выражается через декартовы компоненты /р (力=况,у, z) по формуле

支=工方=身+噜+我.(9)

Циклические ковариантные компоненты оператора J удовлетворяют коммутационным соотношениям

[J^ 厶 1= —V2 C；3iJx，[С,几]=0,(卩・ y,入=±夂，0).(10)

Соотношения (10) можно получить из (5), выбирая в качестве векторов а и Ь циклические ковариантные орты: а = е^, Ь=е» (产，у = ±1, 0). В развернутой записи соотношения (10) имеют вид f+i]==*А)]== и f—i] = о,

[了十1，£)] = —伉'Л1]=—Л1，[Др Л1] [Лп “]=—几以j =—[九，/0]Д1}

"2,『+】]=卩2,鱼]=[：2, f_J = 0.

Для контравариантных циклических компонент оператора I коммутационные соотношения записываются следующим образом:

,[力\ 力]=V2 Cf^J^, [J2,介]=0,(2, y,入=±1, 0),(12)

или в развернутом виде

伊七А1]=俨，仆]=[户]，户」=0,仍i,foj =—俨，f+ij=f+i, [Л\ fT] = —[/т, /+1]=Д

色 加]=中，了0]=色 /-4=0.

Оператор квадрата полного момента『2 выражается через циклические компоненты/*,(产=+1, 0), по формуле

『2 =工(一1)仃_ Jp = —f+1^-1 十 jof0 — f-J+1 ==鳥一『о — *+1/一1 =書 + fо — 2f_J+].(14}

Инверсия координат. Обращение времени

Оператор полного момента § является аксиальным вектором и не меняется при инверсии координат (г->—г).人 с

户户L =/胃，(方= с, y，z),a/J；1==，P,(2=±1, 0).

При обращении времени (i->—t) оператор полного момента 『меняет знак:

户/我户『=■ 一 Jij (Х = / P，z), 户储/}=_厶，(出=士3 o)・1

В (15) и (16) Pr и Pt являются операторами инверсии координат и обращения времени соответственно.

Полный угловой момент системы. Орбитальный и спиновый моменты

Полный угловой момент ? системы, состоящий из N подсистем с угловыми моментами ] (1)у j (2), . .] (/V), представляется в вйде векторной суммы

J = 2 J (п).(17>

W—1

Для такой системы справедливы следующие коммутационные соотношения:

[7*⑺，h (献)]=汾加ё咏办5),

-(力，及，I z= x, у, z),(18)

1л, hWi^^ikihW.

瓦(吟九("6 =一夜%(热力(叫

(因 %1=±(, 0).(19)

【4，力(n)i——哪卜厶(吟

Частным случаем (17) является представление оператора полного момента в виде суммы оперЯ' торов орбитального момента £ и спинового момента S.

『=К十鲁.(20)

Свойства операторов К и 會 рассмотрены ниже (2.2 и 2.3). Коммутационные соотношения операторов орбитального момента К и полного момента I:

[厶，^к\ ^^ ^ikl^lt (t,瓦"=С> У * Z),

【几，£j = -"2 e也也，(因 Y,人=±1, o).(2"

В развернутой зайиси соотношеийя (21) имеют вид

[几，£©]==[力，£#] = 。,

[九，£y]=-[乙，£Н]=i厶，I力，£/=一，[『?9£#1=一必歹，(22)

['勿£以~乙学1 =比工、

[/•и, Д)] = — I『o, £+1] = —J” [/田 £_j = — 1『一1, ^+11 — —^о»(23)

Коммутационные соотношения между операторами спинового момента §/ и полного момента j по- лучаются^ из (21)—(23) заменой момента L-> S. Операторы орбитального момента L и спинового момента S коммутируют между собой:

【£小 S左]=0, (i, к = х^ 弘 2),,£」=。，(储 Y = ±1, 0).

ОПЕРАТОР ОРБИТАЛЬНОГО МОМЕНТА

Определение

В классической механике орбитальный момент количества движения частицы L дается формулой

丄=【「Хр]>(1)

где г — радиус-вектор положения частицы, р ——ее импульс.

В квантовой механике оператор орбитального момента количества движения частицы t получается из соотношения (1) заменой г-»£ 血 р —0, где г и 0 —— операторы координат и импульса частицы.

В координатном представлении ? = г, р = —zV,

Z = -"fXV]・(2)

В импульсном представлении ? = zVp, 0 = р,

以= I[pXVp].(3)

Приведенные ниже формулы справедливы как в координатном, так и в импульсном представлении. В формулах для явного вида К (см. 2.2.3) для перехода в импульсное представление нужно произвести замену г->р, V = -^- -> Vp =—.

Оператор К является эрмитовым, чисто мнимым оператором

t+ = t, t* = —t.(4)

а*

Для декартовых компонент оператора L соотношения (4) принимают вид

£才=厶，* = —&, (z = ^, у, z).(5)

Для циклических компонент оператора соотношения (4) имеют вид

(%)+=(—)〕£+)屮=(一小 £『 拉=±1，0).(6)

(4)*=(一A(")"=( 一3+L £中，

Оператор орбитального момента L осуществляет преобразование скалярных (бесспиновых) волновых функций при повороте системы координат. В случае поворота системы координат на бесконечно малый угол Зо)вокруг оси п вектор г переходит в г -|- or, где Sr =——8(о [n X Н» а скалярные волновые функции преобразуются по формуле

田(г) -> ® (г + Sr) = (1 + 打• V)田(г) = (1 - i渝П • £) Т (г).(7)

В случае поворота системы на конечный угол ⑴ вокруг оси п скалярные функции преобразуются с помощью оператора ^一讪口工, который^ является частным случаем оператора поворота 1.5 (32). Собственными функциями операторов L2 п Lz являются сферические функции Ylm (&, ср) (глава 5), зависящие от сферических углов 8,屮.

Коммутационные соотношения

Оператор орбитального момента L удовлетворяет тем же коммутационным соотношениям, что и оператор полного момента 1.лСоответствующие формулы для коммутаторов получаются из формул 2.1 (5) — 2.1(14) заменой ； f К. 八

Коммутационные соотношения оператора L с операторами координат г и импульса р имеют 1 следующий вид.

Декартовы компоненты

[厶，хк\ = ^ikl^l»

(t, A, Z =算，у, Z).⑻

]£f, /左丨=Е%А7Р；，

При этом сами операторы г и р удовлетворяют коммутационным соотношениям

[自，£论]=0, [Pt,/左]=0, [我,瓦]=电小(i, " = % y, z).(9)

Циклические компоненты

色，我1 = 7?C也急，

—(p., v, X=+l, 0).(10)

4, /J = —" c冷“E，

Для циклических компонент операторов г и р коммутационные соотношения имеют вид

[/,我]=0,[/卩，/」=0, [@, д)] = t%f(-1尹，(科，Y=±1, 0).(И)

Формулы (8) и (10) являются отражением векторного характера операторов г и р. Коммутационные соотношения для квадрата орбитального момента

巾2, r]^i|?XL]-i|LX?|,

|L2, Pl-npXL]-qLXp].(1)

Операторы г2 и р2 коммутируют с оператором L:

[L,門=0,巾，网=().

Комм^ационные соотношения для оператора L и операторов полного момента § и спинового момента S были рассмотрены ранее (формулы 2.1. (21)——2.1. (24)).

Явный вид оператора

Декартовы компоненты оператора L даются формулами

九=一九=一33屮一屮一дхдх"一"一狗・狗・В компактной записи формулы (13) имеют вид厶^ikl^k ^^，(》，尤 2 =算，у, Z).Декартовы компоненты оператора L выражаются через сферические углы 8,千 по формулам £е == i (sin 中糸 + ctg 8 cos 中备)，& = i (-cos 中备 + ctg 8 sin 中备),Циклические компоненты оператора L£+i=— *+1%，£()=-C+1乙，上一1 = j% -В компактной записи формула (16) имеет вид£р=—^2 2 ^ьи^Лх>(R，丫，入=士1, О).В компактной записи формулы (13) имеют вид厶^ikl^k ^^，(》，尤 2 =算，у, Z).Декартовы компоненты оператора L выражаются через сферические углы 8,千 по формулам £е == i (sin 中糸 + ctg 8 cos 中备)，& = i (-cos 中备 + ctg 8 sin 中备),Циклические компоненты оператора L£+i=— *+1%，£()=-C+1乙，上一1 = j% -В компактной записи формула (16) имеет вид£р=—^2 2 ^ьи^Лх>(R，丫，入=士1, О).(13)(伍)(15)(16)(17).(13)(伍)(15)(16)(17).

九=一

九=一

3

3

屮一

屮一

дх

дх

"一

"一

狗・

狗・

В компактной записи формулы (13) имеют вид

厶^ikl^k ^^，(》，尤 2 =算，у, Z).

Декартовы компоненты оператора L выражаются через сферические углы 8,千 по формулам £е == i (sin 中糸 + ctg 8 cos 中备)，

& = i (-cos 中备 + ctg 8 sin 中备),

Циклические компоненты оператора L

£+i=— *+1%，

£()=-C+1乙，

上一1 = j% -

В компактной записи формула (16) имеет вид

£р=—^2 2 ^ьи^Лх>(R，丫，入=士1, О).

В компактной записи формулы (13) имеют вид

厶^ikl^k ^^，(》，尤 2 =算，у, Z).

Декартовы компоненты оператора L выражаются через сферические углы 8,千 по формулам £е == i (sin 中糸 + ctg 8 cos 中备)，

& = i (-cos 中备 + ctg 8 sin 中备),

Циклические компоненты оператора L

£+i=— *+1%，

£()=-C+1乙，

上一1 = j% -

В компактной записи формула (16) имеет вид

£р=—^2 2 ^ьи^Лх>(R，丫，入=士1, О).

(13)

(伍)

(15)

(16)

(17).

(13)

(伍)

(15)

(16)

(17).

Циклические компоненты оператора L выражаются через сферические углы 8,屮 по формулам"L一靑^{备+^а君，

.1. [ дд )

Сферические компоненты оператора L

%=a "= sinb 两,厶? = —»肃，(19)

Оператор квадрата орбитального момента L2 выражается через компоненты оператора L по формуле

k2 =工宏=麾+与十总，

Оператор L2 имеет вид

D = —Ы?¥ •备(sinS备) + ^у •奈].(2D

Он совпадает с точностью до знака с угловой частью оператора Лапласа 1.3. (15)

窘=一%.(22)

Оператор I? является эрмитовским вещественным оператором

府)+ =(窘2)* = 22.(23}

Представление орбитального момента К в виде дифференциального оператора является только одним из возможных представлений. Наряду с ним используется также представление оператора К в виде набора трех матриц (по числу компонент вектора L). Матричные элементы оператора орбитального момента К приведены в главе 13.

2.3 ОПЕРАТОР СПИНОВОГО МОМЕНТА

Определение

Оператор спинового момента частицы S принято представлять в виде трех (по числу компонент вектора S) квадратных матриц размерности (25+1)Х(2*?+1), где 5 — значение спина частицы. Эти матрицы действуют на спиновые функции (см. гл. 6) и удовлетворяют между собой тем же коммутационным соотношениям, что и компоненты оператора полного углового момента (2.1). Оператор спина S является эрмитовским оператором

§+ = §. (1)

Для декартовых компонент оператора S условие эрмитовости (1) имеет вид

(纟)+ =豆，(ё = x, y, z),(2)

а для циклических компонент

(皐)+ = (-(/6r 3=±f, о)・(3)

Поведение оператора S при комплексном сопряжении зависит от представления, в котором он записывается (см., например, 2.6.2). Собственными функциями операторов S2 и & являются спиновые функции Xsms (см. гл. 6), зависящие от спиновой переменной а, имеющие (2S+1) компоненту

л описывающие поляризационное состояние частицы.

Коммутационные соотношения

Коммутационные соотношения для оператора спина S даются формулами 2.1 (5)——2.1 (14), если в этих формулах произвести замену 1 -> S. Коммутационные соотношения между оператором спина S и орбитального момента К были рассмотрены выше в разделе 2.1.4. Оператор спина S коммутирует с оператором координат частицы f и импульса р.

［6门我］=о, ［6f,玩］=0, (i, k = d у, z),(4)

［6p，我］=。，［皐，/」=0,(因 Y=±l, 0).(5)

Явный вид

Циклические компоненты оператора спина S могут быть выражены через базисные спиновые функции ^sm (глава 6) по формуле

皐=VS(S十1)£产然^^水标，(出=±1, 0).(6)

Декартовы компоненты оператора спина S могут быть получены из (6) с помощью соотношений

0。=*(员1一月+1)，亀=台(6-1+6+1)，^ = ^о.⑺

Формулы (6) и (7) не зависят от выбора представления для спиновых функций, а явный вид спиновых матриц зависит от него. В случае произвольного спина S проще всего написать явный вид спиновых матриц в представлении циклического базиса. В этом представлении базисные спиновые функции ^8т имеют вид

Xsm (°) =5mj，(加，a = —S, —S + 1, S — l, S), (8)

а матричные элементы спиновых матриц даются формулой

(6卩《 = <S (S 十 1) С篇步，(°, L = —S, —S + 1, ... S — 1, S).(9)

При этом расположение элементов в матрицах соответствует следующей нумерации строк и столбцов:

(10)(10)(▲88A 8-g

(10)

(10)

Явный вид спиновых матриц в частных случаях спина 1/2 и 1 приведен ниже в 2・5 и 2.6.

Шпур от произведений спиновых матриц

Вычисление шпуров от произведений декартовых компонент спиновых матриц для произвольного спина S производится по следующим формулам (где I, к, I и т. д. принимают значения х, z):人

Sp {瓦} = 0,

sp{ J ”叶％竺

(И)

sp {瓦鼠配ё渔+芈中\，

sp{6&6£} = s 吐?)出asp{6&6£} = s 吐?)出a

sp{6&6£} = s 吐?)出a

sp{6&6£} = s 吐?)出a

Для циклических компонент оператора спина S имеют место следующие соотношения (产,у,入 и т. д. принимают значения ±1, 0):

Sp {6*} =0,

Sp{Sg = s(s+y#)(T»,

(12)

sp W—S(S土岁屮:縉±1*)5%

Sp {$6A斗} = 02 + 2(25 + ‘){[s (s + D + £) (-1)2 (з屏? ++

+ [5(5+ D-2] (-IF^VxVp}.

. ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Определение

При описании поляризационного, т. е. спинового состояния частиц широко Используются так называемые поляризационные операторы. Поляризационными операторами 个七取 (S) (где М=—Е, ——Е+1,・・•・ Е—1, L, а Е=0, 1, . . ., 2S; Е и М — целые) называются матрицы, которые действуют на спиновые функции (см. гл. 6), имеют размерность (2S+1) X(2S+1) и преобразуются при поворотах системы координат по представлению ℃, т. е. являются неприводимыми тензорами ранга Е (см. гл. 3). Для того чтобы f 立亚(S) при поворотах системы координат преобразовывались должным образом, необходимо, чтобы они удовлетворяли следующим коммутационным соотношениям с циклическими компонентами спина 跳(м=±1, 0):

瓦, ”м(厶+ i)理患茉"м+р(s)・⑴

Нормировку поляризационных операторов выберем так, чтобы

Sp {欢_аг(5) %лп ($)} =5立川圆(2)

а фаз овые множители ——

(3)(3)%(S) = (T 产练(s)・

(3)

(3)

Условия (1)——(3) однозначно определяют вид поляризационных операторов. Совокупность поляризационных операторов 个工酸(S) при ——L&M《L, 0《厶 &2S образует полную систему, состоящую из 2 (2厶 +1) = (2S + I)2 линейно независимых квадратных матриц размерности (2S + 1)・(2S 十 1).

Явный вид

Поляризационные операторы fL^(S) могут быть построены из произведений спиновых матриц по формуле

九小S) = Nl (5)(§ • V)Z {*%м (§,叫，(4)

где S — оператор спина, Nl (S)——нормировочный множитель

(5)(5)忆计詞辞禍Г

(5)

(5)

Заметим, что величин吗 f^^S) не зависят от г, хотя вектор г и фигурирует в правой части формулы (4). Операторы Tli^ (S) могут быть выражены через базисные спиновые функции %$切 (глава 6):

(6)(6)%М (S) = У 2з j j Е ^^ LMt8mft8m*

(6)

(6)

Обратное разложение имеет вид

XSmMSm = / У 25 + 1XSmMSm = / У 25 + 1Г Вт'гр/ с \ь 8т LMl EJf(口丿•Г Вт'гр/ с \ь 8т LMl EJf(口丿•(7)(7)

XSmMSm = / У 25 + 1

XSmMSm = / У 25 + 1

Г Вт'гр/ с \

ь 8т LMl EJf(口丿•

Г Вт'гр/ с \

ь 8т LMl EJf(口丿•

(7)

(7)

Явный вид матриц TLm (S) зависит от выбора представления для спиновых функций. В частности, в^редставлении циклического базиса матричЕше элементы 不工肱(5) даются формулой

［丁七取($)］ьУ = J/^ 23 十 1 爲：£取，(%『=一S, —$ + 1,S).(8)

При L = 0 операторы 不七血(S) пропорциональны единичной матрице размерности (2S + l)x(2S + 1)

(9)(Ю)(9)(Ю)辑。(s)=7^^T/・’

(9)

(Ю)

(9)

(Ю)

При L — 1 операторы f^^S) пропорциональЕШ циклическим компонентам оператора спина

Г „ (5) = z^дг, (М=+1, 0).

皿 /^5 (5 + 1)(25 4-1)/

Поляризационные операторы для спина S = 1 рассмотрены в 2.6,

Поведение 九火(S) при преобразованиях системы координат

а. Инверсия системы коорд инат (г->—г)

Поляризационные операторы /七加(S) не меняются при инверсии системы координат

A•纭融(S)户］=^lm (S)・(”〉

б. Поворот системы координат

При повороте системы координат, характеризуемом углами Эйлера а,卩,『поляризационные операторы преобразуются по формуле

”М，($)=力佃，Р, Т) "мВ)［力佃，3 Т)］Т=£。歸，(％ В，¥)%■$)，(⑶

где 力(％ Р，т) — оператор поворота (см. 1.4.5), D^^—D-функции Вигнера (гл. 4).

Разложение по поляризационным операторам

Как отмечалось выше (2.4.1), поляризационные операторы 爲取(6) образуют полную систему линейно независимых матриц. Произвольная квадратная матрица Л размерности (2S + 1)X(2S 十 1), где S — целое или полуцелое число, может быть разложена по поляризационным операторам TL^(S)r т. е. представлена в виде сумм

2s L

4=2 2心忆⑶，(⑶

1=0 M—L

где коэффициенты разложения /上取 даются формулой

4ё度=Sp {0九(S){}.(14)

Если Л — эрмитовская матрица, т. е. Л+ = Л, то

4/=(—丄产 “-лг(15>

Ниже рассмотрены некоторые примеры таких разложений.

а. Разложение К ле бша—Гордана для поляризационных операторов

Произведение двух поляризационных операторов Г^^ (*5) и /&招(6) может быть представлена в виде суммы Клебша—Гордана

脸(S)力2 (S) = 2 (一产‘"2% + 1)(24 + 1)母， * C^XTLX (S).(16>

б. Разложение оператора поворота

Если интересоваться только преобразованием спиновых функций и спиновых операторов при повороте системы координат, то в общих формулах для оператора поворота 1.4. (31) и 1.4. (33} можно заменить оператор полного момента ? на оператор спина S. Такой модифицированный оператор поворота будем отмечать индексом S наверху. Если поворот системы координат описывается с помощью углов Эйлера а,瓦 у, то для оператора поворота Ds (а, % 丁) имеет место следующее разложение:

Р，了)三 eT%一，%efJe 駕4 0 舞儲>%，a 3 7)(⑺ X, Mt m, mr

В том случае, когда поворот описывается с помощью направления оси поворота п (0, Ф) и угла поворота о), разложение оператора поворота 0s(о); 0, Ф) ймеет вид

28 е七

06(3； 0, Ф)三小"•§ = 2 VT Е 志鲁 xf 3) 2 У筛(@，虫)％电⑻，(18)，

Z=0Jf=—L

где функции %弘⑴)一обобщенные характеры (см. 4.15).

Коммутаторы и антикоммутаторы

Поляризационные операторы удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

I %画(S),方此(6)] = ^+1)(2^ + !) Е (—1)26+% Н _(_1 卢+4+勺{? f《} С^^т^ (S),(19).

{зm (S),窘皿(6)} = v(2A十 1)(24+1) E (一产+勺I +(_]卢+34" j j j) c^4典’EM(S)・(20>

Соотношение (1) является частным случаем формулы (19) при ^ = 1.

Вычисление следа от произведений поляризационных операторов

Sp {'елг (S)} =‘2S + £ 配。窃取。，(21)

SP { %門(S)%2門(S)}=(一‘严忆4“典W(22)

Sp { %, (S) t^S) т^{8)}^ (I 产+g V(2 厶+ 1)(2厶 + 1)嗨阮信? ".(23)

В общем случае

q /— [(2e1 + 1) (2厶 + 1)…(2厶十 1)]%

SP {々1/(S)必典⑶…'53f『3)} -(25+1)"佟X

V、ЛГ1+"/4-ЛГз+...十改％，0 ^i E]Jf187H 工2改2 8齡+P] * * * E%取％8协+p〃_i'(24)

где

Na： =

СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ ДЛЯ СПИНА 6=1/2

Явный ВИД

ВВслучае спина S = 1/2 оператор спина S представляет собой набор трех квадратных матриц

В

В

размерности 2x2.■л

Декартовы компоненты оператора спина S в представлении циклического базиса выражаются следующим образом:

八 1 /о 八 #1/0 —八 А "О'

⑴⑴⑵⑵%=万(10)‘ ％ = 2(t0)' ^=2"(о -1,

⑴

⑴

⑵

⑵

Циклические компоненты оператора спина имеют вид

1 /0 п К £ /10、 今 1 /0 0\

=一7?[00丿，5。=T(0_1)，5-1=逅q0丿.

Кроме спиновых матриц, рассматривается также единичная матрица

Вместо оператора спина S широко применяется матрица Паули 8, связанная с S соотношением

侍6 7 射侍6 7 射Из формул (1) и (2) следует, что спиновые матрицы обладают следующими свойствами:

侍6 7 射

侍6 7 射

6古=(一中贪口 (N=±3 0),配二虑，户=一斗，6：=瓦，6工=S步,(n=±(, 0).

Коммутаторы и антикоммутаторы

Декартовы компоненты оператора спина удовлетворяют соотношениям

[S〃 S" = ts如S/, {S$, *?jt} —~2^ik^i (厶后，"=①，У, z).(9)

.Для циклических компонент^эти соотношения имеют вид

同，6」= 一^2内纟、5人，{% 氏}=2(-屮工-3 (因y, X= ±1, 0).

Произведение спиновых матриц

Четыре матрицы Sx, £#，&琴 п 1 (или *У+1, *У0, £」и /) образуют полный набор двумерных квадратных матриц, по которым может б-ыть разложена любая функция, содержащая оператор спина (S=l/2). В частности, произведения спиновых матриц могут быть представлены в виде суммы спиновых матриц и /. Произведения декартовых компонент (индексы i, к9 I и т. д. принимают значения 况,у, z)

瓦阮=彳г"+ ~2ziki^b(M)

^i^k^i^^^ikJ + 扌(月兩一©也/ + 6也化)，(12)

i^k1^l^J = Jg (StfcSZ/ — SiZSfcJ + ^ij^kl)^ + "§■ (S<fc£/ym — ^il&kjm + ^ij^klm + ^kl^ijm — 8V£«№ + 加,％色》») ^m*(⑶

Формула (И) в подробной записи имеет вид

6^ =幾=屍=

s*s# =s*s# =S/r = 2 S/， SgJ = -«/y = у s*,S/r = 2 S/， SgJ = -«/y = у s*,(14)(14)

s*s# =

s*s# =

S/r = 2 S/， SgJ = -«/y = у s*,

S/r = 2 S/， SgJ = -«/y = у s*,

(14)

(14)

S/k = -5方5纟=万8夕

Произведение циклических компонент

6+i6+i=o, 爲負=彳/, 6t£_i=o

(15)(15)6一瓦l一尤::卜一力+^爲'6也負=—^6+1，6-160 = 4" 6т,

(15)

(15)

S(F+i = ~2 $+1， SqSt — —*2* «-「

6£ =7(一屮%_/ 一该0kA，((1, V, k=+l, 0), (6+1)" = 0,(6T)" = 0,5 = 2, 3, ...),(16)

(6俨=(4)" А (^о)2"*1 =(Т)"負， m==0, 1, 2, ...),(17)

§・ § = @2 = 6* + 6； + ^ = -6н£т + 6(Д-6т6+1=|~/・(®

Произведения операторов S и векторов а и b, коммутирующих с S:

§ • (§ • а) = }/а —^~[§ Ха],(£9)

(§.[§Xa]) = ([§X§l'a) = i(§. а),(20)

[S X (§ Ха]] = — ^/а +十[§ X ah(2£)

(S • а) (§ • Ь) =4"(а • b)7+y (§ * (а ХЬ]),(22)

([§ X а] • [§ X Ь]) = -j (а • Ь) 7 + -^- (§ . [а ХЬ]),

僧• а)甫 X 川=%а X Ь] / + 十{& Ь) а — (а • Ь) §},(24}

[[§ X а] X [§ X Ь]]=4 [а ХЬ] 7+^-{(§ • Ь) а + (§ ■ а) Ь).(25}

Если п — единичной вектор (п2 = 1), то

(§ • n)2fc =(4") 7, (S • п产+1 = (乡(§ • n), A = 0, 1, 2,(26}

Функции от спиновых матриц

ea$* = / ch 彳+ 26, sh 妥，(27)

ch (a*^t) = / ch 区，sh (ad#) = 2瓦 sh~j ,(28}

e薛1 = 7 + a^+i,俨$。— 7 ch у- + 250 sh % ,尹蹟=/ + a6_i*(29}

ch(aS+i) = 7, ch (a«o) =/ch 芽， ch(aST)= /,(30}

sh (a«+i) = a§+i， sh (a50) = 26。曲玄，Sh (аб^) = aS—].(31}

Операторы поворота системы координат

(32}(32}При повороте системы координат, характеризуемом углами Эйлера а, р, у, спиновые функций и спиноБые матрицы в случае S=^~ преобразуются с помощью оператора поворота 创%®, р, Т), являющегося частным случаем выражения 1.4. (31):

(32}

(32}

/ cos 亏 е

力/2 (a, % 了)= U哈. UB對..总=

\ sin 4 е 2

Обратная матрица

[力% (a, ?, 了)尸=[力% (a, % 了)]+ =力"(兀一》3, -冗一a) = 3%(-了，—自-а)=

(33}

Матричные элементы оператора Д/а (а, 0, 丁) являются £>-функциями Вигнера D%频(％ £ у) (гл. 4).

Разложение оператора 6%@ р, 丁) по спиновым матрицам имеет вид

力 ％ (а, В, 7)= cos 方 cos —g"^/ + 2力 sin -j sin ^— Sx — 2i sin 打 cos —^ % — 2i cos у sin —^ 6G(34)

力 2 (% В, 7)= cos 2 cos ―2—~ 7 + V2 sin 彳 e 2 5+1 — 2i cos -у sin ―g~ §о + ^2 sin 万 e 2 S—】.(35)

При повороте системы координат, характеризуемом направлением оси поворота п (0, Ф) и углом поворота (о, спиновые функции и спиновые матрицы в случае 5 = 1/2 преобразуются с помощью оператора поворота U% 加;0, Ф), являющегося частным случаем 1.4. (33):

cos 5- — i sin -у cos 6 —i sin -y sin 0е~*ф \

—isinsin ®e cos -y + i sin у cos©у

Обратная матрица

U//2(3； 0,①)r^nlU/ls； 8, @)]+ =疗/2(0)；兀一8,兀+①)=0%(-3； 0, Ф)=

/ cos -у + i sin -у cos 0 f sin -^ sin 0e*\

=•(37)

\ i sin ~2 sin 8e ① cos 彳一i sin у cosuу

Разложение оператора 0%(a); 0, Ф) по спиновым матрицам имеет вид

0% (叫 8, Ф) = е-<шп，® =/ cos-^ — 2i (n • §) sin "^・(38)

Углы ад, “ Ф связанй с углами Эйлера а,瓦 у по формулам 14(16) — 1.4. (17), причем

z 力％(Q, В, 7)= {//33； & Ф).(39)

Действие оператора поворота &lz (а,寓 丫) на спиновые матрицы дается формулами

此三力%他，3 了)6j/% (a, 3 7)尸=e。话6生，(b后=工，y, z),(40)

к

где aik — матрица поворота (раздел 1.4. 6).

£]=力％ (а, ₽, 7)巍 I 力/a (а, % 丫)尸=J D^ (а,匡 у)瓦；(41)

здесь ■©：» — D-функции Вигнера (гл. 4).

Вычисление шпуров от произведений спиновых матриц (S=i/J

Для декартовых компонент оператора спина имеют место соотношения Q, A, Z и т. д. = х, у, z) Sp {«» = 0»

Sp{6»G = 4л%・

SP {6岗6瓦}=m但而一>也中"近》(42)

Sp {^i^k^l^j^щ}=彳§~ (\fcEzym + ^j^ikm-V^ml^ijk + 窃加％论/)・

При вычислении пшуров от произведений большого числа спиновых матриц удобно пользоваться формулой приведения. Обозначим

7，&..，『Sp{6,£,...%}, (п > 3).(43)

Тогда

73…/lT%也…3%+ "2匕"/年…(44)

В случае четного п, можно пользоваться также формулой

' 4 {。幻<%*4 …％ 久Мз‘£ 2*4…%т}・(45)

Для циклических компонент оператора спина имеют место соотношения (*, у,入 н т. д. = ±1, 0)Sp{6j = 0,

Sp {брбСн'^—，％—”(46)

Sp {S^S^^} = 一 "I ]/ ^ Q у j =(一厅+х ^^ С揺,，

Sp {63以%} 0 上萨{(一()悔 Та子 - (-1)2.а子 + (1户加-自 一}.

Формула приведения для циклических компонент оператора спина имеет вид

(47)(48)(49)(47)(48)(49)'p】p2・・.NfJ4 Щ—р2 Рз • • • Р" V 牙 ^1Р"1^ Щ ^'н'Р'З • • - Н'й,

(47)

(48)

(49)

(47)

(48)

(49)

где

〜也一也三Sp П也…А4(}，

В случае четного п можно пользоваться также формулой

'шШ••屮落 4{5щ—1чТщ1Ч・・*1Ч|5щ屮3TtЧР，・• •世” + • * ' + 0|4T4t'l4l4・• •世“—J，

2・6・ СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ДЛЯ СПИНА 6=1

Спин 5=1

В этом случае оператор спина « и поляризационные операторы 九度(乙=0, 1, 2; —厶《М《厶〉 являются квадратными матрицами размерности 3X3. ПоляризационЕиый оператор f0c пропорцио* нален единичной матрице:

,/оо =百/，(1)

где

/100\/=(0 10).(2)

0 1/

Поляризационные операторы f i盟 пропорциональны циклическим компонентам сииновнх матриц 8^г

夕тлг = V» 5及,(M = 0, +!)♦⑶

Операторы 夕23f (〃 = 0， ±1, ±2) выражаются черев циклические компоненты спиновых матриц по формуле

力度=工啷£Л，(4)

Поляризационные операторы Т绅 эквивалентны симметричному декартову тензору второго ранга @才為 со следом 0:

q*=4"(6瓦+處瓦一百，詠/)，(\ A = ж, y, z),(5)

С#" = Qkit 工 &£ = 0・(6)

Тензор 0抵 называется квадрупольным. Он имеет 5 линейно независимых компонент. Его компо^ ненты связаны с компонентами 頂№ соотношениями

^2±2 = ~2 (Qxx — Q”, 士 2iQXy)»

恵н = :Р(0к ±%)6

方о = J/ У %•

①乡=QffX =玄(^2-2 — ^22)» Qxz = Qsx =玄(爲T 一 鸳 1)， @" = 04=~2 ( ^2-1 +021).①乡=QffX =玄(^2-2 — ^22)» Qxz = Qsx =玄(爲T 一 鸳 1)， @" = 04=~2 ( ^2-1 +021).(8)(8)(9〉,(9〉,Циклические компоненты оператора спина SЦиклические компоненты оператора спина S/1 0 0\ 6"= 0 0 0 .\0 0 —1//1 0 0\ 6"= 0 0 0 .\0 0 —1/(10}(10}

①乡=QffX =玄(^2-2 — ^22)» Qxz = Qsx =玄(爲T 一 鸳 1)， @" = 04=~2 ( ^2-1 +021).

①乡=QffX =玄(^2-2 — ^22)» Qxz = Qsx =玄(爲T 一 鸳 1)， @" = 04=~2 ( ^2-1 +021).

(8)

(8)

(9〉,

(9〉,

Циклические компоненты оператора спина S

Циклические компоненты оператора спина S

/1 0 0\ 6"= 0 0 0 .

\0 0 —1/

/1 0 0\ 6"= 0 0 0 .

\0 0 —1/

(10}

(10}

Обратные соотношения имеют вид

= ~2 (鸳2 + ^2-2)— jg爲0，

Qyy =一彳(^22 +02T)- ~^一 ^20>

Явный вид

Явный вид спиновых матриц и поляризационных операторов зависит от выбора представления для базисных спиновых функций (гл. 6). Наиболее часто употребляются представления циклического и декартового базисов.

а. Представление циклического базиса

Декартовы компоненты оператора спина S

Порядок нумерации строк и столбцов указан в 2.3 (10).

Матричные элементы оператора спина 8^ в циклическом базисе даются формулой

(⑴(⑴(©It =何 G“，(廿，％ ? = ±i, о).

(⑴

(⑴

Спиновые матрицы в представлении циклического базиса удовлетвор я ют соотношениям

S^ = S^ (i = a；, у, z),(£2》

此=6如学=一弱,6：=理一(13).

.光=皐，角：=(一屮更Р (卩=士1, 0).(14>

Квадрупольный тензор Qik (г,乃=瑞 у, z) в представлении циклического базиса имеет вид

Qxx — ~q I 0 2 0), 0 歹乡=g| 0 2 0 J, Qzz = ^- I 0—2 0 I\ 3 0 —1/\—3 0 —1/\0 0 1/

./0ot /0 1 OxZ(0I 0、d》

%乡=0歹方=2 ооо I,Sz = Cz# = ^*^ (丄 o—i),^ ™ Q^ = уг^11°').

\100/\o -4 0/\o-1 0/

Компоненты квадрупольного тензора g^左 в представлении циклического базиса удовлетворяют соотношениям人 Л

Qtk == Qiki (X，后=吃 g, z),(£6}

пРичем матрицы Qxx, Q,, @m，2” Q* — вещественные, а матрицы QXff, Qyx, Q^, Q^ — чисто мнимые. Поляризационные операторы 九” в представлении циклического базиса имеют вид

。0\(0。、0 -1/Vo 1 0/:，鸳。=而(° -2斗0/\0 0 1/。0\(0。、0 -1/Vo 1 0/:，鸳。=而(° -2斗0/\0 0 1/(£8).(£8).

。0\(0。、

0 -1/Vo 1 0/

:，鸳。=而(° -2斗

0/\0 0 1/

。0\(0。、

0 -1/Vo 1 0/

:，鸳。=而(° -2斗

0/\0 0 1/

(£8).

(£8).

夕 1+1 = 一方(。О 小'1。=庁 ° \о о 0/\0

02+2 =(000), %1 - y斤 I。" \0 0 0/.\0 0

^2-1=7Г

/0 0 0\

/ 1 о 0

\0 —1 0 丿

(19)

Матричные элементы поляризационных операторов в циклическом базисе даются формулами

('елг)ь% = Р —^0擁度，(％『=± 1, 0; —L ^М L).(20)

Поляризационные операторы Тън в представлении циклического базиса вещественны:

^ZJJf = ^LM(21)

и удовлетворяют соотношениям

Tlm - (-1 严北一瘦(22)

б. Представление декартового базиса

Декартовы компоненты оператора спина S

/0 0 0\/ 0 О 1\/0 —X 0\

呢=ООТ ,亀=0 0 0 , Л=р 00 ・(23)

\0 г 0/ < J 0 0/\0 0 0/

Матричные элементы 'операторов £ в декартовом базисе можно записать следующим образом:

(瓦)生/ =一注如，(b 航 Z = %，?, z).(24)

Циклические компоненты оператора спина S

I / 0 0 £、/0 —i 0v(/ОО、

6+1 =方 I 。 0.), б0 = ( i S.\ =^=" I 。0 T) .(25)

'J т 0/\0 о о/2о/

(26)(27)(26)(27)(28)(28)Спиновые матрицы в представлении декартового базиса удовлетворяют соотношениям (亀)+=(—屮 б—,玛=(—1)"“贪w (^=±1, 0),

(26)

(27)

(26)

(27)

(28)

(28)

(瓦)+ =瓦，S*=—S(, (i — x, у, z).

Квадрупольный тензор Qifc (/,力=『,у, z) в представлении декартового базиса имеет вид

人 1 /一2 0 0\.1°°

<2^ = Т 0 1 0 I, ^у = ТР —2 0 , ^=-3- 0 1 о I

\ О О 1/\0 О 1/\0 О —2/

。° 一‘、.1 / ° ° f _ i /° 0 0

^xy = Q^=-2\ —1 °^° ,邑尸％ = f( 0 0 0 , 0”=U=e[° 0 —1

\ 0 0 0/\—1 0 0/\0 —1 0.

Матричные элементы Qik вМатричные элементы Qik в(0ik)im(0ik)imдекартовом базисе можно записать в виде

Матричные элементы Qik в

Матричные элементы Qik в

(0ik)im

(0ik)im

=—*^G〃近然+ %£葡一"I■“论>，，(厶 尤 Z, m = x, у, z).

Матрицы Qik в декартовом базисе эрмитовы и вещественны-

0扑=0以,3论=Q金左,"，4: = / y, z).(30)

(31)(32)(33)(31)(32)(33)(37)(37)

(31)

(32)

(33)

(31)

(32)

(33)

(37)

(37)

Поляризационные операторы t^ в представлении декартового базиса имеют вид

л J 。л人 I / 00 f\

Л+1 = У 00" ,010 =( i0。)，^1-1 = у I о О Т ),

\—1—i0/\00 0/\—1 i О/

с 1°、 с "° °'、人 £ /' о °、

^2+2 = ~2 I 一X £。)， ^2+1 = "^" I 0 0 i I ? 7*20 = ~^^(01 О I,

\ 0 0 0/\一 0，\0 0 —2/

Ji О/Ji О/

Ji О/

Ji О/

Поляризационные операторы fL^ в декартовом базисе удовлетворяют соотношениям

0协=(-1产0匹(34)

TU-(-^L+MfL^(35)

Переход от представления циклического базиса к представлению декартового базиса и обратно для спиновых поляризационных операторов осуществляется при помощи унитарной матрицы U:

Л (циклический базис) = UА (декартовый базис)。-工，Л (декартовый базис) = U~rA (циклический базис) U,

где Л —— любой из спиновых или поляризационных операторов (т. е. *УР S^ Qikt 不工瓦),

Матрица U совпадает с матрицей Л/(-[-1, 0, ——1<-况， у, z), а матрица 。-工一с матрицей MR, % 2, <~+1, 0, —1) (см. табл. 1.2).

Формулы, которые приведены во всех пунктах этого параграфа, кроме формул пункта 2, не зависят от выбора представления для спиновых и поляризационных операторов, если не сделано специальных оговорок.

Произведения спиновых и поляризационных матриц

В случае спина S=1 9 матриц『上眩(£=0, 1, 2; —£《_/!/《£) или, что эквивалентно, матрицы /, S, Q比 образуют полный набор 3x3 квадратных матриц, по которым может быть разложена любая функция, содержащая спиновые и поляризационные операторы и, в частности, произведения спиновых и поляризационных матриц. 八

Произведения декартовых компонент матриц S и 0ik (индексы 厶瓦 Z и т. д. принимают значения х, у, 2):

а)^Л = у >d + у £ 必/6/ + Qik-(38)

В частности,

§2 = 4 .(_52 + 52 = 27,(39)

[*^»> ^k}^^i^k — ^k^i = isilcl^h(40)

{6,,队}三瓦阮+匾6,=营3咏/+20依.(41)

4 Д. А. Варшалович и др,

б)

瓦6石瓦=扌恥打 + *2"(必① + ^kl^i) + "2 (e<Sm^Zm + e»Zm&m + eltlmQ,m)-(42>

В частности,

'Si^ic^i — ^ik^i (суммирование no i не производится),

£6,阮& =阮，，

瓦阮亀 + 队阮瓦=6, + 3,*6* (суммирование по % не производится),

6”当瓦+ SЯSZSX +瓦鹿询=",入 入 AAA 入 Л人

S^^y + j%% + %S/z = 一江，

鹿瓦瓦=亀备品=4■亀一%

瓦瓦/=6z瓦司=4■詳+依"，

八 八八 八 人1 ЛA

s川方厶=S/z% =五％ — $Qw

%力力 = S或S或% =三 S? + i①"，

^ SS&S У — S XS XS Z^^ S Я — ^Xyi

$f *8*=§期久§尸^ §依”，

(43)

(45〉

(46)

(47>

(48)

(49)

в)

63" = "|"『+C“，(》= 1, 2, ...), <??»41 — Sit (九=0, 1, 2,...).

(50)

В частности, если

n — единичный вектор,

(§ • n)"* = "|*/ + E n(niQib 竹=!, 2, 3, (§ . n产+1 = (§ • n), 3 = 0, 1, 2,...),

(51)

г)

(52)

(53)

Д)

Qilc^lm

1厶、 …2…'

— ~Q\^ifikm + °<m®SZ —耳 °«S®Zm

彳(б©»1 + ^im^kl + 窃瓦由0门 + hl^im —

—"З" ^ikQlm —百"3；»nQ，+ V (^il^lcmp^p + ^im^lclp^p + ^kl^imp^p + ^lcmzilp^p}'

(54)

Произведение циклических компонент оператора спина § и поляризационных операторов £工『 (Р, у = 土1, 0)： 叫

В частности,

«У2 = —У+^.х + S0S0 - S_J+l = 27,(56)

跳,打三6s - £風=一 V»碼"%(57)

4

｛$, 6,｝三 $6» + 6Vsp =可(T)P %T + 2贫302Я・(58)

б)

5全1=?2±2? 5皂=S£ = 6上=..• = 0,(59)

Sl~^I +YТ ‘20,(60)

6訐=6% (也=1, 2, ..5§и+1 = 50, (n = 0, 1, 2,(61)

в)

0%招0%%=伍厶十分(2£2 +"2 (一产｛； j jc添也典%tf，(62)

В частности,

fem"q = ^oo ^lm =,亍 丁工斑,(E = 0, 1, 2; —L & Л/ & £),(63)

SJiUfM — ^y^ С^лгбу — К 4 徹Af'a心(64)

£ам6Р= _^)/^e捻改品 +|/^"穹[ам%,(65)

‘21f “V = (T产• W 貓-"/ + 万 У万 ％%2jv6p + У У"з"。旣'2N 02A.(66)

Функции от спиновых матриц

е*^* =(1 + 2ch а) / + sh aS, + (ch а — 1) Q,, (l =瑞е*^* =(1 + 2ch а) / + sh aS, + (ch а — 1) Q,, (l =瑞g, z, суммирование no i не ироивводится),g, z, суммирование no i не ироивводится),(67)(67)

е*^* =(1 + 2ch а) / + sh aS, + (ch а — 1) Q,, (l =瑞

е*^* =(1 + 2ch а) / + sh aS, + (ch а — 1) Q,, (l =瑞

g, z, суммирование no i не ироивводится),

g, z, суммирование no i не ироивводится),

(67)

(67)

ch (a6《)=可(1 + 2 ch a) / + (ch a — 1) 0“，(68)

Sh (aS#) = sh a 6$.(69)

“+i =1 aS+1022，(70)

ett^|= -j- (1 + 2 ch a) / 4- sh a50 + ^ у (cha —1) f20,(71)

e^T = /十 аб_] + -у- f2_a,(72)

sh (a*?+i) = a^+u sh (a50) = sh aS0, Sh (a<Sel) = a5. p(73)

5・ Операторы поворота системы координат

При повороте системы координат, характеризуемом углами Эйлера а, р, у, спиновые функции и спиновые матрицы в случае S = 1 преобразуются с помощью оператора поворота ^1 (a,卩,丫), являющегося частным случаем выражения 1.4. (31):

(75)(75)力"a, R, у) =U吟

(75)

(75)

В представлении циклического базиса/l+cos£В представлении циклического базиса/l+cos£力 1 (% В，7)=力 1 (% В，7)=2sin В1 — COS В22sin В1 — COS В2е-“а+*е-“а+*е"а-т)е"а-т)cos Вcos Вsin В 仙sin В 仙1 — cos В .,' ——2~-e*(T-a)1 — cos В .,' ——2~-e*(T-a)sin Вsin В-万1 + COS В2-万1 + COS В2е"Т+а)е"Т+а)Матричными элементами ^1 (а,р, у) в этом представлении являютсяD^^r (а, В，у) (см. гл. 4).В представлении декартового базиса/ cos В cos a cos 丫 一 sia a sin 丫 一cos В cos a sin 7 — sin a cos 7Матричными элементами ^1 (а,р, у) в этом представлении являютсяD^^r (а, В，у) (см. гл. 4).В представлении декартового базиса/ cos В cos a cos 丫 一 sia a sin 丫 一cos В cos a sin 7 — sin a cos 7力"а, ₽, 7)力"а, ₽, 7)cos В sin a cos у + cos а sin 了 一cos R sin a sin 了 + cos a cos 7cos В sin a cos у + cos а sin 了 一cos R sin a sin 了 + cos a cos 7—sin В cos t—sin В cos tsin В sin 7sin В sin 7(76)(76)Д-функции ВигнераД-функции Вигнераsin В COS а sin p sin аCOS Вsin В COS а sin p sin аCOS В(77)(77)Матричными элементами ^1 (а,卩,у) в этом представлении являются коэффициенты матрицы поворота aik (см. 1.4.6). Обратный поворот системы координат осуществляется с помощью матрицыМатричными элементами ^1 (а,卩,у) в этом представлении являются коэффициенты матрицы поворота aik (см. 1.4.6). Обратный поворот системы координат осуществляется с помощью матрицы［力丄（% В，T）『 =【力丄® 阳 7）］+ =力（一X 一Р, -6=加（冗一a； R,一兀一a）.［力丄（% В，T）『 =【力丄® 阳 7）］+ =力（一X 一Р, -6=加（冗一a； R,一兀一a）.(78)(78)б. При? повороте системы координат, характеризуемом направлением оси поворота п(0, Ф) и углом поворота(о, спиновые функции и спиновые матрицы в случае S = 1 преобразуются с помощью оператора поворота О1 (со; 0, Ф), являющегося частным случаем 1.4. (33):б. При? повороте системы координат, характеризуемом направлением оси поворота п(0, Ф) и углом поворота(о, спиновые функции и спиновые матрицы в случае S = 1 преобразуются с помощью оператора поворота О1 (со; 0, Ф), являющегося частным случаем 1.4. (33):G(3； 0, Ф) = е-шп-§В представлении циклического базисаG(3； 0, Ф) = е-шп-§В представлении циклического базиса(79)(79)‘112 cos w (1 + cos2 0) — i sin з cos ® + 万 sin2 0‘112 cos w (1 + cos2 0) — i sin з cos ® + 万 sin2 00 (叫 0, Ф) = |^г" sin0 е'ф [(cos ш — 1) cos 0 — i sin w]0 (叫 0, Ф) = |^г" sin0 е'ф [(cos ш — 1) cos 0 — i sin w]1~2 (cos со — 1) sin2 0 е*2ф1~2 (cos со — 1) sin2 0 е*2ф-jL-sin0V2-jL-sin0V2厂зФ [(©os з — 1) cos 0 — i sin w]厂зФ [(©os з — 1) cos 0 — i sin w]1у (cos(0 — 1) sin2 0 «Т2ф1у (cos(0 — 1) sin2 0 «Т2фcos w sin2 0 + cos2 0cos w sin2 0 + cos2 01小—"^- sin 0 e® [(cos s — 1) cos ® + i sin w]1小—"^- sin 0 e® [(cos s — 1) cos ® + i sin w]11万 COS a)11万 COS a)sin 0 е_/ф [(cos s — 1) cos 0 4- i sin w]sin 0 е_/ф [(cos s — 1) cos 0 4- i sin w]1(1 + cos2 0) + i sin & cos 8 + 玄 sin2 81(1 + cos2 0) + i sin & cos 8 + 玄 sin2 8(80)(80)

В представлении циклического базиса

/l+cos£

В представлении циклического базиса

/l+cos£

力 1 (% В，7)=

力 1 (% В，7)=

2

sin В

1 — COS В

2

2

sin В

1 — COS В

2

е-“а+*

е-“а+*

е"а-т)

е"а-т)

cos В

cos В

sin В 仙

sin В 仙

1 — cos В .,' ——2~-e*(T-a)

1 — cos В .,' ——2~-e*(T-a)

sin В

sin В

-万

1 + COS В2

-万

1 + COS В2

е"Т+а)

е"Т+а)

Матричными элементами ^1 (а,р, у) в этом представлении являются

D^^r (а, В，у) (см. гл. 4).

В представлении декартового базиса

/ cos В cos a cos 丫 一 sia a sin 丫 一cos В cos a sin 7 — sin a cos 7

Матричными элементами ^1 (а,р, у) в этом представлении являются

D^^r (а, В，у) (см. гл. 4).

В представлении декартового базиса

/ cos В cos a cos 丫 一 sia a sin 丫 一cos В cos a sin 7 — sin a cos 7

力"а, ₽, 7)

力"а, ₽, 7)

cos В sin a cos у + cos а sin 了 一cos R sin a sin 了 + cos a cos 7

cos В sin a cos у + cos а sin 了 一cos R sin a sin 了 + cos a cos 7

—sin В cos t

—sin В cos t

sin В sin 7

sin В sin 7

(76)

(76)

Д-функции Вигнера

Д-функции Вигнера

sin В COS а sin p sin а

COS В

sin В COS а sin p sin а

COS В

(77)

(77)

Матричными элементами ^1 (а,卩,у) в этом представлении являются коэффициенты матрицы поворота aik (см. 1.4.6). Обратный поворот системы координат осуществляется с помощью матрицы

Матричными элементами ^1 (а,卩,у) в этом представлении являются коэффициенты матрицы поворота aik (см. 1.4.6). Обратный поворот системы координат осуществляется с помощью матрицы

［力丄（% В，T）『 =【力丄® 阳 7）］+ =力（一X 一Р, -6=加（冗一a； R,一兀一a）.

［力丄（% В，T）『 =【力丄® 阳 7）］+ =力（一X 一Р, -6=加（冗一a； R,一兀一a）.

(78)

(78)

б. При? повороте системы координат, характеризуемом направлением оси поворота п(0, Ф) и углом поворота(о, спиновые функции и спиновые матрицы в случае S = 1 преобразуются с помощью оператора поворота О1 (со; 0, Ф), являющегося частным случаем 1.4. (33):

б. При? повороте системы координат, характеризуемом направлением оси поворота п(0, Ф) и углом поворота(о, спиновые функции и спиновые матрицы в случае S = 1 преобразуются с помощью оператора поворота О1 (со; 0, Ф), являющегося частным случаем 1.4. (33):

G(3； 0, Ф) = е-шп-§

В представлении циклического базиса

G(3； 0, Ф) = е-шп-§

В представлении циклического базиса

(79)

(79)

‘11

2 cos w (1 + cos2 0) — i sin з cos ® + 万 sin2 0

‘11

2 cos w (1 + cos2 0) — i sin з cos ® + 万 sin2 0

0 (叫 0, Ф) = |^г" sin0 е'ф [(cos ш — 1) cos 0 — i sin w]

0 (叫 0, Ф) = |^г" sin0 е'ф [(cos ш — 1) cos 0 — i sin w]

1

~2 (cos со — 1) sin2 0 е*2ф

1

~2 (cos со — 1) sin2 0 е*2ф

-jL-sin0

V2

-jL-sin0

V2

厂зФ [(©os з — 1) cos 0 — i sin w]

厂зФ [(©os з — 1) cos 0 — i sin w]

1

у (cos(0 — 1) sin2 0 «Т2ф

1

у (cos(0 — 1) sin2 0 «Т2ф

cos w sin2 0 + cos2 0

cos w sin2 0 + cos2 0

1小

—"^- sin 0 e® [(cos s — 1) cos ® + i sin w]

1小

—"^- sin 0 e® [(cos s — 1) cos ® + i sin w]

1

1

万 COS a)

1

1

万 COS a)

sin 0 е_/ф [(cos s — 1) cos 0 4- i sin w]

sin 0 е_/ф [(cos s — 1) cos 0 4- i sin w]

1

(1 + cos2 0) + i sin & cos 8 + 玄 sin2 8

1

(1 + cos2 0) + i sin & cos 8 + 玄 sin2 8

(80)

(80)

В представлении декартового базиса

(

(1 — cos s) sin雪 0 cos2 Ф + cos s

(1 — cos s) sin2 0 cos Ф sin Ф 4- sin з cos 0

(1 — cos w) sin 0 cos 8 cos Ф — sin s sin 0 sin Ф

(1 — cos s) sin% & cos Ф sin Ф — sin s cos 0(1 — cos 3) sin雪 8 sin2 Ф 4- cos s(1 — cos s) sin% & cos Ф sin Ф — sin s cos 0(1 — cos 3) sin雪 8 sin2 Ф 4- cos s(1 — cos s) sin 0 cos 0 cos Ф + sin(0 sin 0 sin Ф (1 — cos w) sin 8 cos 0 sin Ф — sin(0 sin 8 cos Ф(1 — cos s) sin 0 cos 0 cos Ф + sin(0 sin 0 sin Ф (1 — cos w) sin 8 cos 0 sin Ф — sin(0 sin 8 cos Ф

(1 — cos s) sin% & cos Ф sin Ф — sin s cos 0

(1 — cos 3) sin雪 8 sin2 Ф 4- cos s

(1 — cos s) sin% & cos Ф sin Ф — sin s cos 0

(1 — cos 3) sin雪 8 sin2 Ф 4- cos s

(1 — cos s) sin 0 cos 0 cos Ф + sin(0 sin 0 sin Ф (1 — cos w) sin 8 cos 0 sin Ф — sin(0 sin 8 cos Ф

(1 — cos s) sin 0 cos 0 cos Ф + sin(0 sin 0 sin Ф (1 — cos w) sin 8 cos 0 sin Ф — sin(0 sin 8 cos Ф

(1 — cos w) sin 0 cos 0 sin Ф 4- sin s sin 0 cos Ф (1 — cos s) cos2 0 + cos(0

Обратное преобразование осуществляется с помощью матрицы

［О1(з； 0, Ф)］т = ［и1(о); 0, Ф)］+ = 01(—з； 0, Ф) = и1(з； к —0,兀 +①).(82)

Разложение оператора поворота 0(о); 0, Ф) по спиновым матрицам и поляризационным операторам имеет вид

О】(о); 0, Ф) =у (2 cos w + 1) 7 — i sin o)(n*§) + (cos w ^ ^) 2 n*n*^(83)

(см. также 2.4. (17) и 2.4. (18)).

Углы 明 6, Ф связаны с углами Эёлера % % 丫 по формулам 1.4 (16), 1.4. (17), причем

加(а,再 7)= G((o； 0, Ф).(84)

в. Действие оператора поворота 右丄(％ р, 丫) на спиновые матрицы дается формулами

自三加(а, Р,7)瓦［勿(% В，7)尸0工%阮(85)

к

0九=加(a, в, 7)Qik ［力1 (a, В, T)尸=e %融电"(86)

где aik — матрица поворота (см. 1.4.6), (г, “, /, 1 = х, у, z)

£］三力(a, 3 7) S^ ［力(a, В，丫)『=2 叫(a,а f)品，他 v = 土1, 0)(87)

"就三力 1 (а, °, I)録及［力(а, £ T)L J工。％,及(а, §, f) %“，(一£ V ” V Z),(88)

где D%^ (а, р, 丫) 一 D-функции Вигнера (см. гл. 4).

Вычисление шпуров от произведений спиновых матриц

Для декартовых компонент спиновых матриц S. и Qik имеют место следующие соотношения

& fc, Z и т. д.=х, у, z):八人

Sp {5 J = 0, Sp {Qq = 0,

Sp {&6出} =2加左，Sp {鹰&?}=o, Sp {0"友} =0,

Sp {S/左S/} = 砌

1 /2、

Sp {麻a锵} = у (门笳擁+ 3点ki - 3"S血州)>

Sp {SiSkSiS^ = ^il^lm + Mg.

Для циклических компонент оператора спина S^ имеют место соотношения (pt, v, X и т. д. = ±1, 0)sp {SQ = О,Sp{6S} = (—屮 2卞f

Sp {6Ра6同}=(一屮+"%-A-p + %一户I),

Sp {'世F网• -外ц} = °，если"1 +出2+ • • • +""力0.(91)

Вычисление шпура от произведения поляризационных операторов 0工改(£ = 0, 1, 2; —L^M^.L) производится по формулам 2.4. (21)—2.4. (24), в которых нужно положить S = l.

Глава 3

НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРЫ

ЗЛ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРОВ

Определение

В аппарате квантовой механики большую роль играют величины, называемые неприводимыми тензорами, которые при повороте системы координат преобразуются так же, как собственные функции оператора углового момента. Неприводимым тензором ранга J (J — целое или полу- целое) называется величина 领厶 имеющая 2J+4 компонент ТЪм (где М= —J, —J-j-4,・•・ J —1, J), которые удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям с циклическими компонентами оператора полного углового момента:

[Л0咙阖=干方#3 "(/ + 1)一我(啟±1)颈j近1，⑴

[fо,亚глг] = М领jm・

В компактной записи

[九，^了М] = e‘"8 〃(宀)e溫銀^JM+M⑵

Из этих соотношений следует

[兔咙j血=J ( J + 1)双JM(3)

Величина 6 в (1), определяющая относительные фазы различных компонент 9J?j>, произвольна. Положим ее равной нулю, т. е. ©±^=1, и выберем положительное значение квадратного корня Линейные соотношения (1) определяют компоненты неприводимого тензора ^SUjm с точностью до произвольного скалярного множителя, общего для всех компонент, который может быть вещественным или комплексным числом, функцией или оператором. Общую фазу компонент тензоров 办以 в случае целого ранга J выбирают так, чтобы

(^」м)* = (-])』费j-M・(4)

Это совпадает с обычным выбором фаз у сферических функций (глава 5). Однако для квантовомеханических ^приложений иногда удобно переопределить неприводимые тензоры

吼=|i勺心.,(5)

Тогда будет выполняться следующее соотношение

(^)*=(-l)^^-^.(6)

Выбор фазы (6) применяется для тензоров как целого, так и полуцелого ранга J・ Такой выбор фазы для тензорных операторов и для волновых функций, описывающих начальное и конечное состояние |а> и |Ь> приводит к следующему соотношению для матричных элементов эрмитовых 或扌=蝕J операторов

<Ч^мН>=«Ч(^)*16»*-⑺

Ковариантные и контравариантные компоненты

Произвольный неприводимый тензор ^j ранга J может быть разложен по полной системе единичных ортонормированных неприводимых тензоров $值 ранга J

е产，ejfMf = ”〃窃лги■八(8)

Тензоры ejx могут быть сконструированы, например, из базисных спиновых функций. Разложение тензора 或j имеет вид

欲j=£寻*咙2 е/я •皱夕•(9)

Величины 现jm являются ковариантными компонентами тензора 领厶 а величины 领产一контра^ вариантными компонентами^ Они связаны следующими соотношениями

城夕= ®5г)*=：(т)『吃-м，

窮=(欧Е)*=(T‘T领5.( 0)

Преобразование неприводимых тензоровпри повороте системы координат

При повороте системы координат, определяемом углами Эйлера а,再 у, компоненты неприводимого тензора 欢丿改 и 领応 преобразуются линейно. Коэффициентами этого преобразования являются Д-функции Вигнера (гл. 4).

领丿”(Х‘)=力(％ В, Т)城jjf，(X)[力(％ 舀 т)]т = X 城jm (X)刀土附,(％ р, 7)»

М(11)

顽/М，(Х') =》(а, R, т)须加(Х)^(а, ₽, 7)Г=5^(Х)Р^,(а, ₽, 7).

Здесь X 血 X’ 一 совокупность всех аргументов тензора в исходной и повернутой системах координат соответственно.

Преобразование неприводимых тензоровпри инверсии системы координат

Преобразование компонент неприводимого тензора при инверсии системы координат г f —г позволяет в общем случае представить неприводимый тензор 加」целого ранга 7 в виде суммы двух тензоров, обладающих определенной четностью

领j=领尹)+领$т)・(12)

Тензоры 沏快I)при инверсии системы координат преобразуются следующим образом：

年城5力牛=J领力)，(打=±1)、(13)

Тензор 欢f/) с четностью 吃=(—1/ йаздоается истинным (или полярным) неприводимым тензором ранга 7, а тензор现户) с четностью 吗；=(—工严一неприводимым псевдотензором (или аксиальным тензором) ранга 7. Соотношения (12) и (13) справедливы также для тензоров 欢戸

Двойные тензоры

Двойным тензорам %$ (1,2) рангов 厶 и /а называется величина, имеющая (2厶+ 1)(2% +分 компонент Wj^j^ (1,2), зависящая от переменных, соответстцующйх д*вум подсистемам 1 и 2, и удовлетворяющая следующим коммутационным соотношениям:

[Лh⑴，旳1m"2鸣(‘，2)] = + "^'厶(厶+ 1)一改1出1 i 1) %/土М马("①(⑷

a ⑴，吃№j№(1，2)] = %吃倒厶賜32)，(15)

[^±1 R)，叱Л風j用 d，2)] = + 运"厶(/需 + 1) 丁加2 (机 士，)WjpSGJ瑞士1 (1，2),06)

[負(2), Ww^i,2)}^M^JiW^ (1,2).(17>

Здесь I (1) и J (2)——операторы полного момента количества движения подсистем 1 и 2 соответственно.

При повороте подсистемы 1 или 2 двойной тензор Wj^Ti^(i^ преобразуется по представлению 刀"или 刀占 соответственно.

%血研3,2)=上匕^“中)殴忆(%品匕)，(18)

WjjM】J2M2 N， 2’)=不 ^JjSf^^(1，2)，餘f7 &, %, 7雪).(19>

Примеры неприводимых тензоров

Приведем некоторые примеры неприводимых тензоров, встречающихся в данной книге.

Операторы угловых моментов J, L, S (гл. 2) являются неприводимыми тензорными операторами ранга 1.八

Поляризационные операторы 个工鹰(5) (2.4)——неприводимые тензорные операторы ранга Л.

Сферические функции Ylm (&,屮)(гл. 5)——неприводимые тензоры ранга I.

Спиновые функции частицы со спином S (гл. 6) — неприводимые тензоры ранга S.

Шаровые тензоры У笠(8,屮)(гл. 7) — неприводимые тензоры ранга 7.

Для всех упомянутых выше величин справедливы результаты, приведенные в этой главе.

Неприводимое тензорное произведение

Неприводимое тензорное произведение £『 ранга 7 двух йеприводимых тензоров 0“ и 9^厶 рангов J】и J； определяется как величина, компоненты которой 2^* выражаются через компоненты и S^j盘2 по формуле

Неприводимое тензорное произведение обозначается следующим образом:

与三修九艺吗％(20

Прямое произведение двух неприводимых тензоров 领& и 9^厶 определяется как совокупность (2Jj + 1)(2J24~ 1) величин 领，妬级^鹰，Оно приводимо, т. е. может быть разбито на части, которые при поворотах системы координат преобразуются независимо друг от прута. Другими словами^ прямое произведение может быть представлено в виде суммы неприводимых тензоров 2JN.

咙4%沁陷=S%%也鹰?加(22，

Существенно, что неприводимое тензорное произведение 兑^改 удовлетворяет такому же соотношению (6), что и сомножители 飯“ и 9^, „ .

(2加* = (一6,-%.3 (当L {孤®负/Ja，(23)

Это свойство является специфическим для тензоров типа 飯「Тензорное произведение 27tf не удовлетворяет соотношению (4), которому удовлетворяют сомножители ^lJiMi и 9^^^.

Введем некоторые определения и обозначения, которые будут широко использоваться при рассмотрении произведений некоммутирующих тензорных операторов.

Коммутатор компонент двух неприводимых тензоров 貸々取］〃鸣 определяется формулой

我4典厶妈三郎4心 吗芻］三耽厶％或研2 一吗2典城j1招.(24)

Коммутатор неприводимого тензорного произведения 貸;出 дается формулой

、俛羚三侬jg吗｝m一 (一1)4*-J｛砲®吗,｝加(25)

Величины 貸渺 сами являются компонентами неприводимого тензора. Они имеют вид

貝務2 = ^^ С；阮；№%典厶打(26)

Для коммутирующих тензоров

｛^Л®^2｝«= (一1严""｛沁啰班力加(27)

Для некоммутирующих тензоров

•｛淞л<3勿6加=(一1卢”7｛亚"®现力《 +靠停・(28)

Отсюда видно, в частности, что неприводимое тензорное произведение ранга I тензора 0『самого на себя равно нулю, если 2 = 2(J ——п) — 1 и компоненты тензора коммутируют, т. е.

｛0j 艺领儿=0,(29)

если I = 2J — 1, 27 —3, ... и 貸爆=0

Скалярное произведение неприводимых тензоров

Скалярное произведение двух неприводимых тензоров 领^ и 淡」одинакового ранга 7 опреде

ляют следующим образом:

(^ ^j)=Z(-^=5 ^^jm=5 ^^f •(зо)

Скалярное произведение двух неприводимых тензоров 城丿 и 领^ определяется формулой

(以了负j) = e (一尸出蝕^负" = 2 ^^ =2我也负s .(31)

Заметим, что .

(现J•沁)=(-1尸面й负».(32)

Скалярное произведение лишь множителем отличается от неприводимого произведения равга 0, которое имеет вид

｛服®沁｝00 = 2 嚼也领奴因鸠=2 (一产"现网吗T，(33)

例J®负九。=2 С乳力备小免典=2(一产"或JM负(34)

加1м2度

Связь между скалярным и тензорным произведениями ранга 0 дается формулами

,縛厂吗) = (Т尸冋｛%(8 %｝。。，(35)

像负» = VK7倒屈先｝。。.’

Скалярное произведение двойных тензоров имеет вид

(%1Л 0,2) •务区(1>2))= 2 (-^^^W^ (1.2) CJM_Mi (1,2).(36)

3・2・ СВЯЗЬ АППАРАТА НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРОВ

С ВЕКТОРАМИ И ТЕНЗОРАМИ

Векторы и неприводимые тензоры

Произвольный вектор А является неприводимым тензором первого ранга. Его циклические компоненты можно рассматривать как компоненты неприводимого тензора Аг ранга I, для которого выполняется соотношение %十=(—1)^Аг__^.

Л1Ц,~А^ 4现三4卩.(1)

Полярный вектор — истинный тензор I ранга, при инверсии системы координат его компоненты меняют знак. Аксиальный вектор является псевдотензором I ранга, при инверсии системы координат его компоненты не меняют знак.

Из двух векторов А = А〔 и В = В^ можно организовать три неприводимых тензорных произведения рангов 0, 1, 2:

{Ах ® Bi)oo> {А ® В】}】* (Ах ® BiJa^.

Если один из векторов А и В полярный, а другой аксиальный, то {А1ХВ1}00 — псевдоскаляр, {Аг ® Bi}^ — полярный вектор, {AiNBi}^步 псевдотензор второго ранга. Если же А и В — оба полярные или аксиальные векторы, то {Ах® Вг}00 — скаляр, {А^^В，]步一аксиальный вектор, {А1®В02» — истинный тензор второго ранга.

а. Неприводимое тензорное произведение ранга 0 отличается от скалярного произведения векторов А и В численным множителем

『1

{А1 ® в1}оо = 一 帝(А • В).(2)

Скалярное произведение неприводимых тецзоров Ах и В” введенное в 3.1.8, совпадает со скалярным произведением векторов

(А]・В】) =(А・В).(3)

:б. Неприводимое тензорное произведение ранга 1 выражается через векторное произведение векторов А. и В:

{А】(8 В}=强[АХ В].(4)

Компоненты тензорного произведения ранга 1 выражаются через циклические компоненты векторов А и В по формуле

{% ® ®i)ijf = ^- [А X В]取=^^。；裔4世人・(5)

в» Компоненты тензорйого произведения райга 2 связаны с циклическими компонентами векторов А и В следующим образом:

{А】® В】}取=£。鵠》4f» = р 14 I д/ I _. 12- \ (4рА + 4%)・(6)

В развернутой записи соотношения (6) имеют вид

{A] Q ®1)2+2 = ^+1^+1»

1

{А】® ®i)2+i ~ Wg (Л+15о + 4/+1),

{А〔 ® В】}?。=7^ (厶+】Вт + 24qAq -}* 4-iB+i),(О

г

{% ® В1}2_1 = ^х (^4-1^0 + /qB-i)，

{А】艺 ®1)2-2 = 4 TВ-1・

Из трех комму тир у ющих векторов А、В】, Ci можно построить следующие неприводимые тензорные произведения рангов 0 и 1：

{{А ® BQ。® С》=—,^ (А * В) • С,(8)

{{А】® В1}т ®С1}0 = -^=[АХВ] .С,(9)

111

{{А】® В} ® &}】= -T[[AXB]XC]=TA(B .С)-уВ(А.С),(10)

{{A^B^QCj}^)/ -J {у С (А-В)-у В (А-С)-J А (В. С)}.3)

Кроме того, возможны произведения, отличающиеся от (8)—(11) схемой связи векторов. Вопросы, относящиеся к изменению схемы связи в тензорных произведениях рассмотрены ниже (см. 3.3). Из четырех коммутирующих векторов Ар В】,@工 и D^ можно построить следующие неприводи

мые тензорные произведения рангов 0 и 1.

{{%宕 В】}。® {С1 艺 D】}q}q =可(А . B)(D.C),(12)

{{% ® В1}1 ® & ® DO。}】=一 ^ [А 义 В] (С • D),(13)

{{А ® BQ。® & ® DQQ1 = - -^ (А • В) [С X D],(14)

1

{{41 ® В》® {& ® D】}i}° =灰{(А • С) (В • D) - (А • D) (В • С)},(15)

{{% ® BJ^ &(35} J】=—宓{С(D . [АхВРт-D (C-fAXBl)}=-爲田(A -ICXD]) - A(B • [CXD])}, (16)

«% ® Bl 良(8 ⑹ ® DJQ1 = ^= (A • B)[CX DJ—T B(D-{AXC])-yA(D.[BX ⑺ j,(17)

{{Aj ® B^x ® (Ci ® D^^j = ^^{y (C • D)[AXB]—yC(B. [DXA])—4 »(B- [CXA])J,(18)

{{Aj^Bjja® {Q ® B1}2)0 = -^^y (A • С) (B • D) — у (A • В) (C • D) + y (A • D) (B • C)|,(19)

({Ax^BJ,®^® DM}i=—云力{(A • С) [BX D] + (A • D) [BX5 + (B-C)[AX D] + (B • D) [AXC]}.(20)

Изменение схем связи в произведениях четырех неприводимых тензоров рассмотрены ниже (см. 3.3), Произведения, составленные из компонент одного и того же вектора обладают следующим свойством:

{• • • {{% ® A}G ® А}% • ••艺風}]常={А】® • • • {Ai ® {А ® AQ/Jg • • • }%.(21)

Если вектор Ах не содержит спиновых переменных и дифференциальных операторов, то такие произведения можно выразить через сферические функции (гл. 5)

{…{{А】® А】}% ® А】}% • • ♦ ® ^1}гят产UIА |"У/“(％勒立С 務 т0,(22)

У 4%十丄»=2

где &, ф — сферические углы вектора А,厶 三丄 В частности, если % = 2,厶=3,'…•乙=м, то {{Аг ® Ах}2 ® AJ, ...®^пт^УIАI" Уяи (9, ?).(23)

2・ Декартовы тензоры второго и третьего ранга

Произвольный декартов тензор второго ранга Т* (г,论=讶,у, z) является, вообще говоря, приводимым и может быть представлен в виде суммы трех неприводимых членов：

тензора, пропорционального единичному Е.к —ЕЬ.к;

антисимметричного тензора 4《廸=—4й<;

симметричного тензора со следом, равным нулю, Sik = Sk{, NS% = 0.

Tik == Ebik 4- ^ik + ^t*>'(24)

E==可 Sp (T詠)=3》T%>(25)

4死="7 Ek — TQ,(26)

S桃=^ (t姑 + ?^—4S<fc2 Г//^ '(2“

Величина E инвефиантна относительно поворотов системы координат. Она является неприводимым тензором нулевого ранга

夕*ор = Е.(28)

Антисимметричный тензор А.к эквивалентен аксиальному вектору 戒#•

4価=%^以1， 以$ = 4"е 0詠/厶左，(29)

Из компонент тензора А.к можно построить йеприводимый псевдотензор первого ранга

(^*10 =必纟=4# 乡，(30)

夕Hi =干7^ (## ± ^) = + ^= (4" ± ^^).

Из компонент симметричного тензора Sik со следом, равным нулю, можно построить неприводимый тензор второго ранга

夕 2Q — S#z，

夕 2 土1 =干卜等医力士％),⑶)

，2±2 = )/ 4"(%力一力学 士 2tS^).

Таким образом, из 9 компонент тензора Tik можно построить один тензор нулевого ранга (одна компонента), один псевдотензор первого ранга (три компоненты) и один неприводимый тензор второго ранга (пять компонент)..

Из двадцати семи компонент тензора третьего ранга Tikl можно построить один псевдотензор нулевого -ранга оТ^оо (одна компонента), три тензора первого ранга(^^ (всего девять компонент), два неприводимых тензора второго ранга 炉* (всего десять компонент) и один неприводимый тензор третьего ранга 夕瞅(семь компонент), причем построение неприводимых тензоров первого и второго рангов неоднозначно.

Запись дифференциальных операций ввиде неприводимых тензорных произведений

Дифференциальные операции над скалярами и векторами и векторами (см. 1.3.) могут быть записаны в виде неприводимых тензорных произведений оператора у и соответствующего скаляра или вектора

grad®^^®®}.,(32)

div А = 一信{% ® 4卜，(33)

rot А = —t V；2 {% ® AJi，(34)

A = C = —V3 (Vx ® V JJ(35)

grad div A = -V3 {% ® {% ® А】}。}】，(36)

rot rot A = —2 {% ® {% ® А»】}],(37)

div ига(1Ф = -V3 {% ® {% ® ①}"о = -V3 {% ® Vj}0 Ф,(38)

rot grad Ф = —z V2 {Vj ® {% ® Ф)!)! = 0,(39)

div rot A= i v^ {Vi ® {Vi® ^}!}0 = 0.(40)

Оператор V (см. 1.3.1.) может быть представлен в виде

У=п^—7(пхЬ]>(41)

а его циклические компоненты в виде

% = У^ (匕"^-子{& ® &}】J •(42)

Здесь 丫工一неприводимый тензор, компонентами которого являются сферические функции Y】*(n) (гл. 5), а £工三 £ ——оператор орбитального момента (см. 2.2).

При разложении в ряд Тейлора скалярной функции Ф (г) возникают сколь угодно большие степени оператора V.

Ф (г + 6г) = е(証“)Ф (г) = Ф (г) + 0r. V) Ф (г)4~2Т(6г • V)2 Ф (г) 4* • • •=

=Ф (г) 4* бг (и • V) Ф (г) + 2у (»)2 (и • V)2 ①(г) +(43)

Здесь и = у^「а (и • V)—-^—оператор дифференцирования по направлению и (см. 1.3). Величины (и ・ V)器三一^ можно записать в виде тензорных произведений

(U- V)" = ("1)я2(—1 卢({…{W ® 5}% ® %}% …㊁ ％}以・{…{{% ® %}% ® %%...® ^}ln)t (44)

“2，“3, •・♦ "%

Входящие сюда многократные тензорные произведения орта и могут быть выражены через сферические функции по формулам (22), (23).

3・3・ ИЗМЕНЕНИЕ СХЕМЫ СВЯЗИВ НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ

Неприводимое тензорное произведение двух неприводимых тензоров определено в ЗЛ.7. С помощью тех же соотношений можно построить и неприводимое произведение трех и более неприводимых тензоров. Однако при этом возможны различные последовательности и различные схемы связи перемножаемых тензоров.

Изменение схемы связи тензоров без изменения их последовательности осуществляется вещественной (при выбранном здесь определении коэффициентов векторного сложения) и ортогональной матрицей, которая осуществляет прямое и обратное преобразование. При изменении последовательности тензоров необходимо учитывать правила коммутации 3.1. (24) —34.(28). В формулах приведенных ниже используется обозначение

口“ …4 = V(2a + l)(2b+l)(2c+l)…(2d + l).

Соотношения, общие для коммутирующихи некоммутирующих тензоров

Изменение схемы связи тензоров без изменения их последовательности в неприводимых тензорных произведениях трех и четырех тензоров

{{Ра ® Q«}c ® ВЛ/ = (-1) a+W 2 Пл» (d / 3{PaO{QaORd}*}/，(1)

({Рв ® Qi)» • R») = (-1)-^ J^ (Рв • {Qi ® RJa),(2)

{{Р。® Qs}c® {Rd® S.}加=(-])"+* 2nv{i : /}{{{₽«® Qs}c® кЛл® S,九=

=(_1)3+狂}11月{； ^ 3{P"O{QaO{Rd8S,}/}.}*,(3)

пП.

({Pe ® Qa}, • {% ® Se}„)=-щ~£ ({{Ра ® Qa}c ® &}「SJ =(-1)-<>+«-^(pe . {Q& ® {R《® S//。)，⑷

{{{Pe® Q4}«® RЛa® Se}fc = 2(-1)a+/+J-rf_'，-en^V{/ :;} {:;{}匕086(3{%0 5,}/}以，(5)

({{Pe ® Q"° ® R#« • s,) = (-!)-«+«1f (Pa • {Qa О {Rd ® se}/}«) •(6)

Соотношения, приведенные в этом пункте, применимы как в случае произведений коммутирую- пщх, так и в случае произведений некоммутирующих тензоров.

Соотношения для коммутирующих тензоров

Изменение схемы связи в неприводимых произведениях трех и четырех коммутирующих между собой тензоров:

0 ® {Q4 ® Rd"}, = (—1)6+1 {Р"О {Rd ® Q»/},=(一严…{{Q4 ® R% ® Р。},=

= (-lN+J{{RdOQa}/OPa}“⑺

{{Pa8Q"° 8 %}/=(-1)°+'+/Еп。/； d д}{9б®{Рй®КЛЛ}/.(8)

«Pe®Q4}<, • RJ = (-ir§(Q4 • {Pa®Rc}^(9)

{P。® {Q6 ® {% 8 s«}力九=(-i)^-/{Pe® {Qb 8 {S° 8 &}力九=(-1 严Hf {p〃 8 {{s, 8 %}7®р4}А}Л ==(—l)"i {Pe 8 {{& ® S,}/ 8 Q"仄=(-1 产-* {{Qa ® {R@ ® S/川 ® Pa}k =

=(一1)…+5-/f {{Qb ® {S° ® R《}/h8%h = (—1)。+〃+"』{{{Q,® &}/® Q加® Pah =

=(—1 严"i {{{Rd <3 S.}/ ® Q,)a ® P«九，(10)

{{Pa ® Qa}° ® {R<i ® S,}/}k = ^^ U"gh gh{{Pa ® Qa}° ® {R<i ® S,}/}k = ^^ U"gh gha b c\

{{Pa ® Qa}° ® {R<i ® S,}/}k = ^^ U"gh gh

{{Pa ® Qa}° ® {R<i ® S,}/}k = ^^ U"gh gh

(11)(12)(13)(11)(12)(13)d e / И {Pa ® Rd}^ ® {Qi ® SJ^}^ g无M

(11)

(12)

(13)

(11)

(12)

(13)

{{Po ® Qi). ® {Rd ® se }/}fc = 2 (-1 )к+Ь^е П^Л £ : ；}H C 普{{{Pa 8 %}* О QU OS"({P°OQa}「{RdOS,}°) = (—1 严+口2叫；；》({Pa®%}g・ g 8s3),

({Pe® Q"c • {Rd ® S,*)= 2 (_1)'+*"A 將{； ： 3 ({{P“ О %}a® Q&3 • s,).(14)-

Все остальные перестановки можно получить, используя соотношение 3・ 1.(27) и соотношения (И) и (14). Произведение {Р窑gQ^}方 ортогонально тензору Qj при а = 2Ь — 1,26 — 2,

({Pa®Q6}6-Q6)=o.(15)

Соотнощения для некоммутирующих тензоров

Изменение схемы связи в неприводимых тензорных произведениях трех и четырех некоммутирующих между собой тензоров (определение коммутатора дано в 3. 1.(26))

{{Ра 8 Q"。8 %}/ = (—»+* 2 п^ {；；計{Qa ® {Р。® &}〃}/ 十{解 8 R〃}/，(16)

({P« ® Qa}° ♦凡)=(-l)-esf (Qa' <p« ® 巩％)+ 項俄• RJ,(17)

代88用及}必=e(一1)…%*{； d ；}{:: ?{QaO{P。О/},}/ +

Off

+ 2(1尸+"5成{； : ^} {兜'0 Rd%(®

h• {Qb 8 Rrf}Й) = (一1 严成 ^ Q • {P观 ® &卜)+ (一1)-叶d ^ 阳0 • 网),h• {Qb 8 Rrf}Й) = (一1 严成 ^ Q • {P观 ® &卜)+ (一1)-叶d ^ 阳0 • 网),(19)(19)

h• {Qb 8 Rrf}Й) = (一1 严成 ^ Q • {P观 ® &卜)+ (一1)-叶d ^ 阳0 • 网),

h• {Qb 8 Rrf}Й) = (一1 严成 ^ Q • {P观 ® &卜)+ (一1)-叶d ^ 阳0 • 网),

(19)

(19)

{ {Pa ㊁ Q"c ® {& ® Sj/}左=^^ ^-cfgr，gr

ь q

e f\{^a®^d}r®((l^^}ffh + g M

(20)(20)(21)(21)(22)(22)(23)(23)

(20)

(20)

(21)

(21)

(22)

(22)

(23)

(23)

+ E(一严加加-f n"“ {； ： 3 {農 ^}{Pa ® {修 ® Sj仄，

({Pa ® Qa}c • {Rd ® S,}°) = E (—1)3+2,耍{::》({Pa ® Rg}, • {Qa ® SJ,)十

+2 J严…察心：；}匕•绮® sj以)，

{{P“OQa}°O {RdOSJ/h =E {-i)a-W-^hcfg{f bkC^dh /} {P«®{Rd®{Q6®S.)?)A}fc +

*3

+2 (一产+《+—%/ {；匐{農 у {ра ® {轡 ® s»^,({P«8Qb}。• g8sj j = 2 (T“+i^^d ea ^}(Pa-{Rrf®{Q6®Se}ff}a)++ E(T)"…落{: : 3h. {^®S,}e).

Другие соотношения для некоммутирующих тензоров можно получить, используя щхшеприведен- ные формулы.

Глава 4

D-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

D-функции Вигнера D^x, （а, ^ т） определяются как матричные элементы оператора поворота 6 （а, В，т） в /7И-представлении

"М|О（а, 3 丫）| J'”'〉= 3〃，％w（a，3, 丫）•（О

При повороте системы координат, характеризуемом углами Эйлера а, р, у, ковариантные компоненты неприводимого тензора ранга J, в частности волновые функции 屮加 системы с определенным угловйм моментом J и проекцией М, преобразуются с помощью D-функций по формулам

田в’，中'，『）=2 ^JK（»•衿 °）〃%"，（《，в，т）,

呼热，（%'，* о'）=£ W%（8, % o）D痂，（а，3 Т），

где 8, ср — совокупность сферических углов в исходной системе координат S, а У,屮'в повернутой системе S'・ Углы &, ср и 8'，屮‘ связаны между собой соотношениями 1.4 （2） и 1.4. （3）. Аналогично о и аг — совокупность спиновых переменных в исходной и новой системах координат соответственно.八

Обратное преобразование 5Z -* 5 осуществляется обратной матрицей ［力一工（％ 卩，丫）〕%度“ для которой в силу унитарности оператора поворота

力 т（% 瓦？）=：»+（% в，?）（3）

справедливо следующее соотношение:

［力т （а, % 7）IjtfM< = ^WH（а» 3 7）・（4）

Преобразование волновых функций при обратном повороте S' f S имеет вид

^/м （^> R " = 2（а* Р，丫）里」лп（»，W，『），

лгт（5）

里3f （8, % b）= 2 931r 佃，B，了）里；認（8'，歹，d）.

Условие унитарности для D-функций Вигнера можно записать в виде

2 D%4P（°，В' Т）。^■龙，（&, ?，丫）=书др加，

理丁（6）

Матрица О^др （а,区 丫） является унимодулярной

det||〃£f,（a,?，Y）|| = +l.（7）

Совокупность 2J-J-1 функций Wjm представляет собой базис, по которому можно разложить произвольную функцию с определенным моментом /:

(8)(8)叮(3, т)= s cfvJX他 Y) = g•屮j).M7

(8)

(8)

Коэффициенты С, являются контравариантными компонентами неприводимого тензора ранга 7 и преобразуются с помощью функций D^ (а,卩，丫). Действие оператора 力(％ % у) на Ф>(8, <р) можно рассматривать либо как изменение базисных функций, обусловленное поворотом системы координат, либо как обратный поворот физической системы (табл. 4. 1) при неизменных базисных функциях

力(a, p, f)W尸 工厅£可"(3 %%，瓦 ® 9, f) =(S •屮j(8', y)) =Jf=-J\MZ=—^/

Mf=~J \м—/Mf=~J \м—/"WjM，(3, T)= (C；.Vj(&, Y))."WjM，(3, T)= (C；.Vj(&, Y)).(9)(9)

Mf=~J \м—/

Mf=~J \м—/

"WjM，(3, T)= (C；.Vj(&, Y)).

"WjM，(3, T)= (C；.Vj(&, Y)).

(9)

(9)

Волновая функция 4Fj инвариантна по отношению к двум совместным операциям —повороту физической системы и такому же повороту системы координат

｛力(а, 3 了)｝中ез.снст•｛力(％ 3 7)｝оои = 1»(10)так что｛力Зг(% 0，明中нз.снст = ｛[力т(а，3 Т)】%*'｝осн・(И)D-функции Вигнера являются комплексными функциями [трех -вещественных а ргумеятов а, % т，заданных в области0&а<2冗,О W В W 冗,0&Т<2冗.(12)｛力(а, 3 了)｝中ез.снст•｛力(％ 3 7)｝оои = 1»(10)так что｛力Зг(% 0，明中нз.снст = ｛[力т(а，3 Т)】%*'｝осн・(И)D-функции Вигнера являются комплексными функциями [трех -вещественных а ргумеятов а, % т，заданных в области0&а<2冗,О W В W 冗,0&Т<2冗.(12)ОперацияПоследовательность поворотов, углы и оси вращенияIIIIIIПоворот системы координат при неподвижной физической системеПоворот физической системы при фиксированныхкоординатныхосях需-a (z)-T(z)將） 犒T(z') a(z)•a M)ОперацияПоследовательность поворотов, углы и оси вращенияIIIIIIПоворот системы координат при неподвижной физической системеПоворот физической системы при фиксированныхкоординатныхосях需-a (z)-T(z)將） 犒T(z') a(z)•a M)ТАБЛИЦА 4.1ТАБЛИЦА 4.1

｛力(а, 3 了)｝中ез.снст•｛力(％ 3 7)｝оои = 1»(10)

так что

｛力Зг(% 0，明中нз.снст = ｛[力т(а，3 Т)】%*'｝осн・

(И)

D-функции Вигнера являются комплексными функциями [трех -вещественных а ргумеятов а, % т，заданных в области

0&а<2冗,О W В W 冗,0&Т<2冗.(12)

｛力(а, 3 了)｝中ез.снст•｛力(％ 3 7)｝оои = 1»(10)

так что

｛力Зг(% 0，明中нз.снст = ｛[力т(а，3 Т)】%*'｝осн・

(И)

D-функции Вигнера являются комплексными функциями [трех -вещественных а ргумеятов а, % т，заданных в области

0&а<2冗,О W В W 冗,0&Т<2冗.(12)

Операция

Последовательность поворотов, углы и оси вращения

I

II

III

Поворот системы координат при неподвижной физической системе

Поворот физической системы при фиксированныхкоординатных

осях

需

-a (z)

-T(z)

將） 犒

T(z') a(z)

•a M)

Операция

Последовательность поворотов, углы и оси вращения

I

II

III

Поворот системы координат при неподвижной физической системе

Поворот физической системы при фиксированныхкоординатных

осях

需

-a (z)

-T(z)

將） 犒

T(z') a(z)

•a M)

ТАБЛИЦА 4.1

ТАБЛИЦА 4.1

Они однозначны, ограничены и непрерывны вместе со всеми своими производными.

В ряде случаев ^удобно изменить или расширить область определения аргументов D-фуякции. Это можно сделать с помощью свойств симметрии (см. 4・4)・ Например, для матрицы обратного преобразования S' f S справедливо соотношение

(13)(13)[2)Т(/ 0, 7)]%лT = 0%дT (兀-7, ?，一冗—a) =d%m(一7，-% —a)•

(13)

(13)

Это соответствует тому, что обратное преобразование системы координат S' f S может быть получено как посредством поворота, характеризуемого углами Эйлера

а，=а — ,, В，=0,,，=—兀—a,(14)

так и с помощью поворота, характеризуемого углами Эйлера

£ =—7, Р' = —Р，f = —a.(15)

Преобразование волновых функций (2), осуществляемое с помощью D^Mf (а, р, 了) можно интерпретировать четырьмя различными способами (табл. 4.1.). Это обусловлено следующими обстоятельствами, Во-первых, в силу (11), D-функции Вигнера описывают как поворот системы координат, так и поворот физической системы. Во-вторых, как отмечено в 1.4, поворот, характеризуемый углами а, ® у, можно осуществить двумя различными способами: либо вращением относительно исходных координатных осей (1.4.(Л)), либо вращением относительно повернутых осей (1.4. (В)) (см. стр. 20—21).

4.2・ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ 丛財，(a, £ т) И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

D^M, (а, р, т) являются собственными функциями трех операторов, определяющих трехмер ное вращение:

(=一*，〃 = -%，”=係+ ctg * + 壶偽一2e。5。薪 + 景)]•(1

5 Д. А. Варшалович и др,

Эти операторы можно рассматривать как операторы углового момента симметричного волчка. Оператор 乙，определяет проекцию углового момента на ось z‘ вращающейся системы, а 乙一на ось z неподвижной системы.

Л^м- （Я- 3 Т）=一丝。％m，（a，0，Т），

厶，°3г （а,因 'O^-M'D^^^, 3 7）.（2）

^D^, （а, р, Tf） = {-為•發皿 0 訝+ "2 - 噥J；/ В + "-}唯（% P，T）=，（J + l），h，（a，§，T）・

Граничные условия

^MMf（° i 2巾兀，因 7）= D%M（° > В，7），

О%лр （«，3 7 土 2而兀）=D%^ （% 3 7），（3）

"%лг （°，В ± 2阮'7）:zz: ^ммг （а, В，Т），

где

А = 0, 1, 2, 3,…при J—целом,

Х = 0, 2, 4, 6, … при 7—полу целом.

Функции -D^, （а, Р，丁） также можно определить следующими дифференциальными уравнениями:

[八,%М，（а,卩，丫）]=爲%m,① В, 7） = （-1严»"（J + 4） e舞二屮%Тm，（% В，f）=一"。%м（a, В，»v = 0,

=±]/2Е王亨1М〃Зм，（а, в, т）, , = ±1.⑷

[/'V,刀5M （а, р, nt）~\1==^，^^JMM,（a^ 3 7）= —V/（/十 1） C器，；；D%3f5 （% В，т）=

‘一必力%砂（a, 3 了），Y = 0,

=土严三口亘。小（a, 3 Т）, v=±l.（5）

Величины /у являются ковариантными циклическими компонентами оператора углового момента ；, определенными в неподвижной системе координат S:

厶=今士"[5^噥+吟士壶.％],⑹

Величины Jn являются контравариантными компонентами оператора углового момента, определенными во вращающейся системе координат S', связанной с волчком.

j7rL±MgP诉+ .施干畸石」'（7）

Оператор квадрата углового момента ?2 выражается через /ч и /" по формулам

『2 = —上/+1 + ЛЛ-『+Jt = -S'^J'^ + 力。？。一 力+1/Т =力（九 + 4） - 2Л1Л1 =

=J'° （% — 1） — 2力-点ri =九（/0 — 1） — 2『+1了一1 =『'° （夕° + 1） — 2J,+1J,-1.（8）

Компоненты 7, и " связаны соотношениями

j，P(a, 8, ¥)=审。，他 R, Т)，(а, 3 Т),

工仲，0，?)= 2 么Кa，3 Т)了牛® 卩，»

力” (％ 3 7)=—八(一7’ 一В，—吟力‘(а, В，7)=『т(Т，В，а)*

Коммутационные соотношения для циклических компонент 八刃 /； имеют вид

[九，&] = 一，2以战乙2

炉屮，尸]=诡0搆;%Г

[力.，力外=0, где

占 Y = l, о, —1.

Коммутационные соотношения для декартовых компонент ? имеют вид [J〃 ^к] = ^£/лг fг>

где

i, к, I = /, у, z.

Связь j и j，с орбитальным моментом К:

при а = ^, Р = 8, т = 0

Л» 停，8，0)=Д,(8,中)，где V = +1, 0, —1,

几例 3, 0)=£#他 T), где i = а, ?, z,

при а = 0, В = 3, Т = %

(0, 8,中)= £，v(s,叫 где v = +l, 0, -1,^； (0, 8,中)=厶(8, * где i = x, y, z.

(9)(Ю) ⑴)(12)(13)(14)(9)(Ю) ⑴)(12)(13)(14)Дифференциальные уравнения (2) определяют D-функции Вигнера с точностью до произвольного нормировочного и фазового множителя. Для диагональных элементов матрицы поворота %*，этот множитель можно определить с помощью естественного условия

(9)

(Ю) ⑴)

(12)

(13)

(14)

(9)

(Ю) ⑴)

(12)

(13)

(14)

（°，а о）=%龈.（15）

После этого нормировочные и фазовые множители у недиагональных элементов определяются с помощью дифференциальных соотношений (4) и (5), связывающих между собой D-функции с различными индексами М, М'・ Заметим, что при таком выборе фаз имеет место соотношение

0%М，(0，% 0) = (-1/+^8^_^.(16)

4・ Разные авторы используют в качестве матрицы поворота разные функции. Это связано с различным подходом к следующим вопросам:

используется правая или левая система координат;

поворачивается ли координатная система при неподвижной физической системе или наоборот;

вокруг каких осей производятся повороты, в каких последовательности и направлении отсчитываются углы GC, % Т；

рассматривается матрица преобразования ковариантных или контравариантных компонент;

■ 5) выражаются ли с помощью матрицы поворота неприводимые тензоры в повернутой системе координат через неприводимые тензоры в исходной системе или наоборот;

как выбирается относительная фаза недиагональных матричных элементов в соотношениях (4), (5).

D-функции, рассматриваемые в данной книге, совпадают с D-функциями, используемыми, например, Эдмондсом [64], Роузом [30], Ньютоном [28] и др. Связь D-функций с аналогичными функциями других авторов указана ниже в табл. 4.2.

ЯВНЫЙ ВИД D-ФУНКЦИЙ ВИГНЕРА

Функции D^x, (а( В, т) представляются в виде произведения трех сомножителей, каждый из которых зависит только от одного угла Эйлера:

(1)(1)(2)(2)(3)(3)Мм，(а, Р, Т)=厂亠3, (В) е-"'*

(1)

(1)

(2)

(2)

(3)

(3)

где d%M，偉)——вещественные функции, явный вид которых приведен ниже.

Выражения d£,偉)в виде конечных тригонометрических сумм

弘『(Р) = (-1)4М‘ [(/ +麼)！ (J - g ! (7 +")! (7 -”) !]%x/6 \м+мч2л /

X/((1)A: I (J — M _ 后)I (J-ЛГ 一4)！侬 + 犷+句口

% ©) = (—1)"“【(J +M)\(J-M)\(J +犷)！(/-”)！]%x /8 чал-м-дг7 / p xaJ+M+M^aft

2 s(cos ~2 у^sin ~2 丿

I产 Л ! (7 +M —к) ! (7 +M' —к) ! (k — M — M')~i *

弘星,(?) = [(7 +") ! (J 一 л/) ! (7 + М')! (J - М') !]*/« X

/R、2J-2*+Jf-М，/p \2fc-Jf+M，

(si 咋)

入 /| L")A: I (J 十Л/ —后)I (J — ” 一 后)I (AT — Л/ + 句！，

&£，偉)=(-УН [(J + ")! (J - " ! (J + 必)！(7 — 必)# X/ р \2J-2fc-M+3fz / р \2Л+М-ЛГ^

2

… (cos 方(sinN

(一)A [ (J — — A) [ (J +— A) ! (M _ ” + 侑！ •

В формулах (2)—(5) суммирование производится по всем целым неотрицательным значениям “, при которых под знаком факториала стоят неотрицательные числа. Каждая из этих сумм содержит N«j-1 членов, где N — наименьшее из чисел，+", J — М, J+JT, J — ML Формулы (2)—(5) не являются независимыми и сводятся одна к другой заменой индекса суммирования. Сравнение этих формул между собой позволяет выяснить свойства симметрии функций d^, (Р) (см. 4.4.1.).

Формулы (2)—(5) являются частными случаями более общей формулы

県吁f(£d^±Z+№^^ х

(

8 \Л+Л+т1-тз /9 \Л+Л-т1+т2

COS 方丿I sin

爲"gg [(厶+ %)!(厶一F)!(厶 + 叫)！(厶一叫)# ' (т!4-т,=М)

где 7Х—『2 =妝厶 1厶—Л^^^Л + Л» в остальном 7г и 72 произвольны. Суммирование в (6) проводится по всем значениям т】и т2 целым или полуцелым, положительным или отрицательным, при которых коэффициенты Клебша-Гордана отличны от нуля. В частности, формула (2) получается из (6) при

⑺⑺(8)(8)(9)(9)(Ю)(Ю)，•工 b 一d вX ) { е 2 cos 方 + Ее 2 sin 万，•工 b 一d вX ) { е 2 cos 方 + Ее 2 sin 万JH/т等 o'『工 в'I e cos 万 + Ze 2 sin 方JH/т等 o'『工 в'I e cos 万 + Ze 2 sin 方J+Jf^J+Jf^⑴)⑴)

⑺

⑺

(8)

(8)

(9)

(9)

(Ю)

(Ю)

，•工 b 一d в

X ) { е 2 cos 方 + Ее 2 sin 万

，•工 b 一d в

X ) { е 2 cos 方 + Ее 2 sin 万

JH/т等 o'『工 в'

I e cos 万 + Ze 2 sin 方

JH/т等 o'『工 в'

I e cos 万 + Ze 2 sin 方

J+Jf^

J+Jf^

⑴)

⑴)

Выражения d^ (р) в виде производных

"%/ (В) = {—1)J-m 歹「(/ — М) ! J 4^JT))"/ 二研I］ (1—cos p) 2 (1+cosB) 2 XX-広読产窟［° - cos 旷"'。+ cos

%м‘(В)=(—I)"戏犷［(/+网)I (J +ЛГ； I (/ — 心)J (1 —cosP) 2 a + cosp) 2 XX(dccM)J+M W - c°s 俨d + cos 旷M］,

d厶лп(B)=(T)J7'y［(j 工加)卩；丁加)I jj —Q)J (1 — cos ?) 2 (1 + cos ₽)2 X

X (d cos P 尸 c°s Pla + cos В产］,

©Алт 偉) = (-4)""犷［(/+j/)! (J — J/) ! (J+沙)J (1 —cosR) 2 (1 + cos P) 2 Xx(dc°sp产应"a -cos 俨"a+cos 旷門・

При конкретных вычислениях удобнее пользоваться той из формул (7)--(10), в которой степень производной наименьшая.

Интегральные представления &^犷 偉)

5乱锋踹学了X

Формула (11) может быть записана в виде контурного интеграла

^ммг (В)=^ммг (В)=严一*lS + 〃)！ S -狼)!""S~|j匸НЛГ) ! (J—M)严一*lS + 〃)！ S -狼)!""S~|j匸НЛГ) ! (J—M)5y § (z cos 专 + , sin ■lyH G sin у + cos •ly+E zZTdz.(⑵5y § (z cos 专 + , sin ■lyH G sin у + cos •ly+E zZTdz.(⑵

^ммг (В)=

^ммг (В)=

严一*lS + 〃)！ S -狼)!

""S~|j匸НЛГ) ! (J—M)

严一*lS + 〃)！ S -狼)!

""S~|j匸НЛГ) ! (J—M)

5y § (z cos 专 + , sin ■lyH G sin у + cos •ly+E zZTdz.(⑵

5y § (z cos 专 + , sin ■lyH G sin у + cos •ly+E zZTdz.(⑵

Контур интегрирования no z в (12) представляет собой окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Связь &%那(p) с полиномами Якоби

Функхщи d^^, (Р) выражаются через полиномы Якоби Р,卩，》)по формуле

唯”，偉)=%м，［(:质片沽■?)； Г (sin 乡"(cos у)' P沪')(cos 0),(13)

где индексы полиномов Якоби s,步,v связады c J, М, М1 соотношениями

R = |〃一JT［, V = |^f+ MJ, s = J —五(卄 + 丫)・(14)

Величина Емдр определяется формулой

ЛГЛГЛГЛГ1 при Мг》必，(—1 严-丸 при М，＜М.

ЛГЛГ

ЛГЛГ

隔“，(?) =隔“，(?) =5. Выражения dh】Едглг「(s + у + у) ! (s + у)!5. Выражения dh】Едглг「(s + у + у) ! (s + у)!出I出I!(s+v)!!(s+v)!偉)через гипергеометрические функцииГ (sin ^У (cos 专)F (-S, 5+出十丫十1； н + l; sin3 y^,偉)через гипергеометрические функцииГ (sin ^У (cos 专)F (-S, 5+出十丫十1； н + l; sin3 y^,(16)(16)"%лг (В)="%лг (В)=込「(s+步+v)!(s + 2)!「gin 犷(cos ■!厂 fQ込「(s+步+v)!(s + 2)!「gin 犷(cos ■!厂 fQ出！出！! (s 十 у) !! (s 十 у) !十出十1, —s —y; ~ + " sin2十出十1, —s —y; ~ + " sin2(17)(17)d%M‘ (В)=d%M‘ (В)=з^「虹勺箒产了㈣斤施打《7з^「虹勺箒产了㈣斤施打《7,§+出十 丫+1； 丫+l； COS2"|~),,§+出十 丫+1； 丫+l； COS2"|~),(18)(18)%м (В)=%м (В)=ТЖ「驻吐犯旺业了 （sin牙2 （cos ly《；ТЖ「驻吐犯旺业了 （sin牙2 （cos ly《；!但+出）！!但+出）！+ 丫十1, —s — jx； v 4-1； cos2+ 丫十1, —s — jx； v 4-1； cos2(19)(19)"力ЛГ (З)="力ЛГ (З)=樓г+；^空才呼（si/）"（c<4rG，—樓г+；^空才呼（si/）"（c<4rG，—【(s+у)!【(s+у)!V； [X 十 1； —tg2 -|-),V； [X 十 1； —tg2 -|-),(20)(20)d£/ 偉)=d£/ 偉)=^^「（S + " + V）!（叶 V）了 （sin 当『飞cos 吋《7, 一^^「（S + " + V）!（叶 V）了 （sin 当『飞cos 吋《7, 一1（叶小1（叶小一因 v + " —ctgzg),一因 v + " —ctgzg),(21)(21)」(一1产 Едгдг (2s + N + у) !/ В、2зтр/ Ry»(①=而гЕепг不而в 5疗т刃p」(一1产 Едгдг (2s + N + у) !/ В、2зтр/ Ry»(①=而гЕепг不而в 5疗т刃pс1、一出；一2s —J »siMm丿с1、一出；一2s —J »siMm丿(22)(22)d%M，偉)=d%M，偉)=近网，（2s+出+ У） !近网，（2s+出+ У） ![5 !（5 十科 + Y）!（5 + 出）！（5 + У）!]"[5 !（5 十科 + Y）!（5 + 出）！（5 + У）!]"Входящие сюда величины s,卩,v и 己亚亚,даются формулами (14) и (15).Входящие сюда величины s,卩,v и 己亚亚,даются формулами (14) и (15).4.4. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ4.4. СВОЙСТВА СИММЕТРИИИз явного вида функций d^,偉)(см. 4.3. (2)——4.3. (5)) следует, что они вещественные и летворяют соотношениямИз явного вида функций d^,偉)(см. 4.3. (2)——4.3. (5)) следует, что они вещественные и летворяют соотношениямУДОв-УДОв-d%"，(P) = (—1产 ” ^-H-№ (?)=(一。产 ” ^И'И (。) = ^-М'-М (?)， 局度，(一0)=(一1严"蜀沙(卩)=局,弦(3),弘度，(兀 J В) = (-1)JT d[取m, 偉)-(-1)"弦局一度，(3),(3 土 2m) = (—1]> n — целое.%时偉 士 (2n + 1)К)=(一1)±(22)J* d%* (3) Jd%"，(P) = (—1产 ” ^-H-№ (?)=(一。产 ” ^И'И (。) = ^-М'-М (?)， 局度，(一0)=(一1严"蜀沙(卩)=局,弦(3),弘度，(兀 J В) = (-1)JT d[取m, 偉)-(-1)"弦局一度，(3),(3 土 2m) = (—1]> n — целое.%时偉 士 (2n + 1)К)=(一1)±(22)J* d%* (3) J⑴⑴Из (1) получаются следующие свойстваИз (1) получаются следующие свойствасимметрии функций 刀%&, (% р, 丫)：симметрии функций 刀%&, (% р, 丫)：=ё"3亚(T，3 a)= &%«■，(％ —3 了)=°%，Jf(7’ —3 叫=ё"3亚(T，3 a)= &%«■，(％ —3 了)=°%，Jf(7’ —3 叫3 7）=河少％一m（/因7）3 7）=河少％一m（/因7）= 8_м-м，(—% 3 一丫)= 8_м-м，(—% 3 一丫)=刀0:弦，一弦（% Р，a）=^-M-3tf （а* —В，7） =河D％，一度（7, -3 a） n^D^JP（—% В，—7） =河0%^（一%3 一度）=刀0:弦，一弦（% Р，a）=^-M-3tf （а* —В，7） =河D％，一度（7, -3 a） n^D^JP（—% В，—7） =河0%^（一%3 一度）=^^i^ （% 氏 7）=河少% jf（7» В，a）=&円少缶с （% —3’ 7）=也夕力（了，-3，叫=^^i^ （% 氏 7）=河少% jf（7» В，a）=&円少缶с （% —3’ 7）=也夕力（了，-3，叫=sD%_jp (% B, 7)= =D13Td 3 a)= = D^M~Mf (% — 3 7)==£01},一弦(I，一3，a)==sD%_jp (% B, 7)= =D13Td 3 a)= = D^M~Mf (% — 3 7)==£01},一弦(I，一3，a)== EgI%T，（-4。，一了）=0夕城，（一% 3 -7）==*1｝（一力3 -a）=ё0夕,亚（-了，3 -a）== EgI%T，（-4。，一了）=0夕城，（一% 3 -7）==*1｝（一力3 -a）=ё0夕,亚（-了，3 -a）==^Н-Н>=^Н-Н>（一%一 了）=河0%m（一% 一舀 一7）=可D1%一%（一4 一3 一 了）=切夕m（一看 一。，一了）=（一%一 了）=河0%m（一% 一舀 一7）=可D1%一%（一4 一3 一 了）=切夕m（一看 一。，一了）=(2)(2)⑶⑶

隔“，(?) =

隔“，(?) =

5. Выражения dh】

Едглг「(s + у + у) ! (s + у)!

5. Выражения dh】

Едглг「(s + у + у) ! (s + у)!

出I

出I

!(s+v)!

!(s+v)!

偉)через гипергеометрические функции

Г (sin ^У (cos 专)F (-S, 5+出十丫十1； н + l; sin3 y^,

偉)через гипергеометрические функции

Г (sin ^У (cos 专)F (-S, 5+出十丫十1； н + l; sin3 y^,

(16)

(16)

"%лг (В)=

"%лг (В)=

込「(s+步+v)!(s + 2)!「gin 犷(cos ■!厂 fQ

込「(s+步+v)!(s + 2)!「gin 犷(cos ■!厂 fQ

出！

出！

! (s 十 у) !

! (s 十 у) !

十出十1, —s —y; ~ + " sin2

十出十1, —s —y; ~ + " sin2

(17)

(17)

d%M‘ (В)=

d%M‘ (В)=

з^「虹勺箒产了㈣斤施打《7

з^「虹勺箒产了㈣斤施打《7

,§+出十 丫+1； 丫+l； COS2"|~),

,§+出十 丫+1； 丫+l； COS2"|~),

(18)

(18)

%м (В)=

%м (В)=

ТЖ「驻吐犯旺业了 （sin牙2 （cos ly《；

ТЖ「驻吐犯旺业了 （sin牙2 （cos ly《；

!但+出）！

!但+出）！

+ 丫十1, —s — jx； v 4-1； cos2

+ 丫十1, —s — jx； v 4-1； cos2

(19)

(19)

"力ЛГ (З)=

"力ЛГ (З)=

樓г+；^空才呼（si/）"（c<4rG，—

樓г+；^空才呼（si/）"（c<4rG，—

【(s+у)!

【(s+у)!

V； [X 十 1； —tg2 -|-),

V； [X 十 1； —tg2 -|-),

(20)

(20)

d£/ 偉)=

d£/ 偉)=

^^「（S + " + V）!（叶 V）了 （sin 当『飞cos 吋《7, 一

^^「（S + " + V）!（叶 V）了 （sin 当『飞cos 吋《7, 一

1（叶小

1（叶小

一因 v + " —ctgzg),

一因 v + " —ctgzg),

(21)

(21)

」(一1产 Едгдг (2s + N + у) !/ В、2зтр/ Ry»

(①=而гЕепг不而в 5疗т刃p

」(一1产 Едгдг (2s + N + у) !/ В、2зтр/ Ry»

(①=而гЕепг不而в 5疗т刃p

с1、

一出；一2s —J »

siMm丿

с1、

一出；一2s —J »

siMm丿

(22)

(22)

d%M，偉)=

d%M，偉)=

近网，（2s+出+ У） !

近网，（2s+出+ У） !

[5 !（5 十科 + Y）!（5 + 出）！（5 + У）!]"

[5 !（5 十科 + Y）!（5 + 出）！（5 + У）!]"

Входящие сюда величины s,卩,v и 己亚亚,даются формулами (14) и (15).

Входящие сюда величины s,卩,v и 己亚亚,даются формулами (14) и (15).

4.4. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ

4.4. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ

Из явного вида функций d^,偉)(см. 4.3. (2)——4.3. (5)) следует, что они вещественные и летворяют соотношениям

Из явного вида функций d^,偉)(см. 4.3. (2)——4.3. (5)) следует, что они вещественные и летворяют соотношениям

УДОв-

УДОв-

d%"，(P) = (—1产 ” ^-H-№ (?)=(一。产 ” ^И'И (。) = ^-М'-М (?)， 局度，(一0)=(一1严"蜀沙(卩)=局,弦(3),

弘度，(兀 J В) = (-1)JT d[取m, 偉)-(-1)"弦局一度，(3),

(3 土 2m) = (—1]

> n — целое.

%时偉 士 (2n + 1)К)=(一1)±(22)J* d%* (3) J

d%"，(P) = (—1产 ” ^-H-№ (?)=(一。产 ” ^И'И (。) = ^-М'-М (?)， 局度，(一0)=(一1严"蜀沙(卩)=局,弦(3),

弘度，(兀 J В) = (-1)JT d[取m, 偉)-(-1)"弦局一度，(3),

(3 土 2m) = (—1]

> n — целое.

%时偉 士 (2n + 1)К)=(一1)±(22)J* d%* (3) J

⑴

⑴

Из (1) получаются следующие свойства

Из (1) получаются следующие свойства

симметрии функций 刀%&, (% р, 丫)：

симметрии функций 刀%&, (% р, 丫)：

=ё"3亚(T，3 a)

= &%«■，(％ —3 了)

=°%，Jf(7’ —3 叫

=ё"3亚(T，3 a)

= &%«■，(％ —3 了)

=°%，Jf(7’ —3 叫

3 7）=河少％一m（/因7）

3 7）=河少％一m（/因7）

= 8_м-м，(—% 3 一丫)

= 8_м-м，(—% 3 一丫)

=刀0:弦，一弦（% Р，a）

=^-M-3tf （а* —В，7） =河D％，一度（7, -3 a） n^D^JP（—% В，—7） =河0%^（一%3 一度）

=刀0:弦，一弦（% Р，a）

=^-M-3tf （а* —В，7） =河D％，一度（7, -3 a） n^D^JP（—% В，—7） =河0%^（一%3 一度）

=^^i^ （% 氏 7）

=河少% jf（7» В，a）

=&円少缶с （% —3’ 7）

=也夕力（了，-3，叫

=^^i^ （% 氏 7）

=河少% jf（7» В，a）

=&円少缶с （% —3’ 7）

=也夕力（了，-3，叫

=sD%_jp (% B, 7)= =D13Td 3 a)= = D^M~Mf (% — 3 7)=

=£01},一弦(I，一3，a)=

=sD%_jp (% B, 7)= =D13Td 3 a)= = D^M~Mf (% — 3 7)=

=£01},一弦(I，一3，a)=

= EgI%T，（-4。，一了）=0夕城，（一% 3 -7）=

=*1｝（一力3 -a）=ё0夕,亚（-了，3 -a）=

= EgI%T，（-4。，一了）=0夕城，（一% 3 -7）=

=*1｝（一力3 -a）=ё0夕,亚（-了，3 -a）=

=^Н-Н>

=^Н-Н>

（一%一 了）=河0%m（一% 一舀 一7）=可D1%一%（一4 一3 一 了）=切夕m（一看 一。，一了）=

（一%一 了）=河0%m（一% 一舀 一7）=可D1%一%（一4 一3 一 了）=切夕m（一看 一。，一了）=

(2)

(2)

⑶

⑶

~ z^~Hr-H (-7, 一% -a) = f\DJ^r^ (-» —R,一a)=河比i，-亚(一了，一3 -a)= DJ^,M (一了，一3 -a),

где

6 = (—1严一匕刀=小2^-£2打l

Свойства периодичности D^z (cc, p, 丁) по аргументам (a, R, 丁) имеют вид (п ——целое) ^^^^ (a» 0±2汽兀，了) = (-I产」%_дp (a，3 了)>

國山(a, Р 土з+ 1) % 7)= (一f少工时网力一了)，

^м^г （а 土 办兀，В，7）= （—i）±2"“ D%m‘ （% В, 7）>（4）

D%w （% B，7 士也兀）=（•-力严*"。力%（* B，7）.

Отметим также следующее свойство:

國 w 伍，В, 7）=尸就（Е 也财（％ В，7）е-н（—）•（5）

Некоторые свойства симметрии функций %城，могут быть получены как следствие формулы сложения поворотов （см. 1.4.7）. Рассмотрим примеры.

Переход от матрицы преобразования S {%, у, z} -^* Sf {xft у< z『} к матрице преобразования S {д у, z} -> Sf {х!у ——у———z『} эквивалентен замене углов Эйлера （а,卩，丫）на （口 + 冗，冗——％ ——у）, а с другой стороны, сводится к дополнительному повороту Rxr вокруг оси 讶‘ на угол ——п. Поэтому

。%ЛT （a + 兀，兀一3 —7）=卢"。%лT （а, в，7）= ^^ 厶%网"（a,瓦 7）。%"改，（一彳，一冗，"T）=

=（一1尸%_财（a, В，»⑹

Переход от матрицы преобразования S『{%, у, z} -> Sf {xf, p, zz} к матрице преобразования S {怎 у, z}f S，{——xf, у, ——z'} эквивалентен замене углов Эйлера （а, % 丫） на （а —— 冗，冗 ——% n ——у）, а с другой стороны, сводится к дополнительному повороту /?, вокруг оси 旷 на угол ——п. Следовательно,

03r（a -匸，冗一3 冗一7）=用"D%城，（a, 3, 不）= £ %«（a,瓦 Y）川京城,（0,一江，0）=

=（一1）"*。％一城,（％ З, 7）.（7）

Переход от матрицы преобразования S {х, у, 2} -> S! {ж7, у< zf} к матрице преобразования S {х, у, z}f S，{——加，一у', z" эквивалентен замене углов Эйлера （а, 0, у） на （а, р, 丫 —— 冗）,а с другой стороны, сводится к дополнительному повороту /?” вокруг оси z‘ на угол ——п. Отсюда

“％“（％ Р» 7 —兀）=瓦刀％w （a, В, 7）= 2（% % T）—兀）=（—'产 D’mm，（% В，Y）*⑻

Отметим, что 足,凡凡，=1.

4.5. МАТРИЦА ПОВОРОТА В （% 0, Ф）-ПРЕДСТАВЛЕНИИ

Определение

В ряде случаев поворот системы координат удобнее описывать не углами Эйлера а, р, 丫，а углами о>, @, Ф, характеризующими направление оси поворота п （0, Ф） и величину самого поворота （см. 1,4.）. Матричные элементы оператора поворота в переменных 叫& Ф будем обозначать %“；& ф）:

以女，（3； "*三"m[e7"П:]/m，）.（1）

При повороте системы координат, задаваемом углами о>, 0, ф, компоненты неприводимого тензора ранга J преобразуются с помощью U%*, по формуле

呱"付，/） = 2 泡nr（8,叫叫м，（з； 0, Ф）.（2）

В （①，®, Ф）-представлении углы 3,屮 n S,屮‘，характеризующие произвольное направление в исходной и повернутой системах координат соответственно, связаны соотношениями 1.4 （5）, 1.4 （6）.

Явный вид функции %册（ш, 0, Ф）

а. Произвольный поворот, характеризуемый углами ш, 0, ф, можно представить как результат трех последовательных поворотов.

Поворот, при котором ось z совмещается с направлением п （©, Ф）. Этому повороту соответствуют углы Эйлера а=Ф, В=®, 丫= —ф.

Поворот вокруг направления п (@, Ф) на угол о>, которому соответствуют углы Эйлера а=①，р=0, т=0・

Поворот R (Ф, —@, —Ф), обратный первому повороту, описывается углами а=0, ^―—❷, 7= —ф.

Это позволяет связать функции U%敌，(①；0, Ф) с Р-функциями Вигнера:

以м，(3； 0, Ф) = 2 D%M，, (ф, 0, -ф) е-м%” (ф, -0, -Ф).(3)

С помощью (3) можно найти явный вид функций U^^f (①；0, Ф) при конкретных значениях J・

-б. Функции U^^f (со; 0, Ф) можно также построить непосредственно из элементов матрицы U%№，с помощью соотношения 4.6. (10), если воспользоваться связью параметров Кэли—Клейна а, & с углами о), 0, Ф (см. 1.4. (26)). При этом получаем

…产($)5)…产($)5)т(7，)Ф、0(厂+团Т(，一М)! (J+心)！ (К^йТ!

…产($)5)

…产($)5)

Ns!(s+“ + M')!(/_M — s)!(J_厦'一§)! I''

и£，3； ” ф)=и£，3； ” ф)=при Л/ + /И' > 0f

и£，3； ” ф)=

и£，3； ” ф)=

\—iv)©Zs!(s — M —〃，)！(/+〃一s)!(/+"—s)!»

при М + МУ О,

где использованы следующие обозначения:

■у — i sin "^ cos 0*■у — i sin "^ cos 0*⑺⑺со

■у — i sin "^ cos 0*

■у — i sin "^ cos 0*

⑺

⑺

V = sin ~2 sin ®, м = cos

Сумма распространяется на все целые положительные значеттия s, при которых выражения, стоящие под знаком факториала, неотрицательны.

Вид функций U%№，(о); 0, Ф) можно найти также, производя замену переменных в £>-функ- ции Вигнера. При этом нужно учесть соотношения 1.4. (16), 1.4. (17), связывающие углы ⑴,0, Ф с углами Эйлера а, % у. Замена переменных приводит к следующему выражению для。%网，(①；日，①)：

以ЛГ，（3； e, «•）==卅-弦'e-‘№龙”以ЛГ，（3； e, «•）==卅-弦'e-‘№龙”0)1 — % tg T cos 00)1 — % tg T cos 0M1 + tg2 -J- cos2 0M1 + tg2 -J- cos2 0ЛГ+ЛГI "3r (E)・ЛГ+ЛГI "3r (E)・(6>(6>

以ЛГ，（3； e, «•）==卅-弦'e-‘№龙”

以ЛГ，（3； e, «•）==卅-弦'e-‘№龙”

0)

1 — % tg T cos 0

0)

1 — % tg T cos 0

M1 + tg2 -J- cos2 0

M1 + tg2 -J- cos2 0

ЛГ+ЛГ

I "3r (E)・

ЛГ+ЛГ

I "3r (E)・

(6>

(6>

Функция &%城，(Е) определена в 4.3, угол Е дается соотношением sin 彳=Sin -J- sin 0.

Функцию U%恥(①；0, Ф) можно разложить по сферическим функциям углов 0 и Ф, Такое разложение имеет вид

叫山(з； е,①)=务(т)х j^4 х； (з) С^ /5^ % (в, Ф),(8)

где функции xf (ю) — обобщенные характеры порядка 入 неприводимого представления ранга J. Явный вид и свойства этих функций даны в 4.15.

Из формулы (8), видно, что вся зависимость элементов матрицы。%改，(①；6, Ф) от индексов М и Mf определяется коэффициентами Клебша-Гордана.

Дифференциальное уравнение

Функции UJM^t (ш; 0, Ф) являются собственными функциями трех операторов 厶，『；и J2, соответствующими собственйым значениям —М, —Mf н 7 (7 +1). Эти операторы в переменных шг 0, Ф имеют вид '

乙=т [cos 6 石一 1■产gT sin e 丽乙=т [cos 6 石一 1■产gT sin e 丽（9）（9）（10）（10）n=n=Г @2-石^ + MgГ @2-石^ + MgS d1（02d102 \]2"^+~~~（而 + ctg 8 痴■ + si/ 8 而丿 4 sin2 »S d1（02d102 \]2"^+~~~（而 + ctg 8 痴■ + si/ 8 而丿 4 sin2 »（11）（11）

乙=т [cos 6 石一 1■产gT sin e 丽

乙=т [cos 6 石一 1■产gT sin e 丽

（9）

（9）

（10）

（10）

n=

n=

Г @2

-石^ + Mg

Г @2

-石^ + Mg

S d1（02d102 \]

2"^+~~~（而 + ctg 8 痴■ + si/ 8 而丿 4 sin2 »

S d1（02d102 \]

2"^+~~~（而 + ctg 8 痴■ + si/ 8 而丿 4 sin2 »

（11）

（11）

/ = LcosB^ — ECtgmsme^ — T^」,

Таким образом, функции U^^t （<о; 0, Ф） являются решениями дифференциального уравнения II порядка

（12）（12）卩2_/（/ + !）］吟如,（3； 0, Ф）=о

（12）

（12）

с гратачйыми условиямис гратачйыми условиямии%лг （°；仇①）="jfjr, 痴 u%w（叫 0, ®） |@^0 = ^ф- UJM^r （w； & Ф）и%лг （°；仇①）="jfjr, 痴 u%w（叫 0, ®） |@^0 = ^ф- UJM^r （w； & Ф）（13）（13）0=7U0=7U0.0.

с гратачйыми условиями

с гратачйыми условиями

и%лг （°；仇①）="jfjr, 痴 u%w（叫 0, ®） |@^0 = ^ф- UJM^r （w； & Ф）

и%лг （°；仇①）="jfjr, 痴 u%w（叫 0, ®） |@^0 = ^ф- UJM^r （w； & Ф）

（13）

（13）

0=7U

0=7U

0.

0.

Ортогональность и полнота

Совокупность функций U^m，3； 0, Ф） при всех J, целых и полуцелых, образует полную систему ортогональных фунтгций трех переменных о>; 0, Ф, заданных в области

0《®《兀，0《①<2兀，0w3e2兀，（14）

объем которой равен 16^2. а. Условие ортогональности и нормировки 2k ,2大

4，d3 sin^ y j de sin e J d0吗，（3； e, ®）艺 6 з；e,①）=^^ s必典"了呜岐（⑸

оо0

б. Условие полноты

J=±…綜生N，%“ 3；仇叫%，（配a中） = 3® 一：）*一：）：3资）•（⑹

4 sin 0 sin2^

Свойства 國м （叫 ©, Ф）

Матрица обратного преобразования

1U7（8； ^> ®）]дглг^= ^ЛTлГ^ （-8；"①）=U%此 3；兀一仇兀+①）.（17）

Комплексное сопряжение

U痂，（叫 0, Ф） = U^ （w; it - 0, тс + Ф） = U^fM （-U）; 0, Ф）.（18）

Изменение знака аргументов （четность）

吟w （一叫8,①）= （一产砂U%,_дгЗ；乱 G）, U%№，3 一” Ф） = （-1 严и%此 3； 8, Ф）,（19）

U%jr 3； ®，一①）= и%，城（％ 0, Ф）.

Периодичность

叫ЛГ，（з+4к； 0, «>）=吟м，（3； е, Ф）,

以м，（з； 0 + 2% Ф）=吗м，（з； е, Ф）,（20）

%лт，（з； 0,①+2п） =吟弦，（з； 0. Ф）.

Изменение аргументов на полупериод

UJ„, (О) + 2к； е, ф) =(一1 产 uJ„, (з； е, ф), 。脑，(2兀 一 з； е, Ф)=(―1严花'^山一女(з； е,叫.

%ЛГ，(з； 0 + к, Ф) = (-1)^ U1*m (з； 0, Ф),UJ„, (a)； Tt-0, ф)= d“"(з； е, Ф),(21)

0募,(3； " ф + n)=(一1 严h 叫山(3； e, Ф),%女,(3； е, т1-ф)=(一1 严m%,改(3； е,囈，

Перестановка индексов Mt Mf и изменение их знака

икДг 3； ” ①)= u3f，(s； 8，-①)=U仇pз；兀一仇兀 + ①)，

3；仇 Ф) = (一1 产出 /m 3；兀 一 日,兀 + ①)，(22)

u/,(叫 0 ①)=(一产m'ui„r Ы %,① 1) = (一)"Ми%一mм；吼，%),

где углы ш, 0, Ф и ш1? 01?①工 связаны соотношениями

sin 学 cos % = —sin 挤 sin 8 cos Ф,(23)

ctg ① 1 = —tg 彳 cos 8;

cos 号=sin -^* sin % sin Ф15

sin-j cos 8 = —sin sin % cos Фп(24)

ctg Ф = —tg COS 8],

(25)(25)sin2 学 sin2 % + sin2 "^ sin2 0 — 1

(25)

(25)

Значительное число соотношений для функций D^^f (а, % 丫) остается справедливым и для функций U^M, (ш; 0, Ф). Так, например, разложение Клебша——Гордана

吃硏(з； 3 ①)噥谒(з； е, Ф)=2 嗨，研。з, (з； а ф) С：£也複(26)

аналогично разложению 4.6. (1).

Теорема сложения

£ U%冲》(5； ®2‘ ％) иЗлг ®； ®и %) = U%w 3； & ①)(27)

аналогична теореме 4.7. (1). В соотношении (27) все углы 叫,01,①工,吗，日2，①& и w, 0, Ф отсчиты* ваются от положения исходной системы координат и связаны соотношением 1.4. (76).

6・ Явный ВИД функций %лп (<о； 0, Ф)при частных значениях индексов и аргументов

Ось поворота п(0, Ф) совпадает с одной из координатных осей:

с осью ж^0 = у > ①=0)

u£‘(s；3 0)= %»e，s,—T)= (—i)M№d%w(s),(28)

с осью г/ (н =多，ф =у)

В)2.В)2.с осью z (日=0)с осью z (日=0)Малый поворот вокруг йаправленияМалый поворот вокруг йаправления°%此 3； °，①)= бЛгЛре ’"、°%此 3； °，①)= бЛгЛре ’"、(30)(30)и^х, (ш； е,①)=3瓦犷(1 —心〃 cos 6)—斤 е-'ф sin 8 vz(/ — 〃')(/ + 〃)％,如“^ —

В)

2.

В)

2.

с осью z (日=0)

с осью z (日=0)

Малый поворот вокруг йаправления

Малый поворот вокруг йаправления

°%此 3； °，①)= бЛгЛре ’"、

°%此 3； °，①)= бЛгЛре ’"、

(30)

(30)

-子 e'@ V(/i) (/+★) Змдг，т.(31)

Явный вид U%№，3； & ①)при М, Mf = +J:

Т/(03、2J т/3со'

Ujj (w； 0, Ф) = (cos ~2* — i sin -у cos 0 ) , U_j_j (w; 0, Ф) = I cos 彳 + t sin 彳 cos 8

Uj^j (w； 0, Ф) == ^—i sin y sin 0е~*ф^ ,。厶(叫 ”力)=(—i sin § sin 8产)・ 4. Явный вид %我，3，0,①)при 7 = 1/2, 1, 3/2, 2 дан в разделе 4.22.

СУММЫ ПРОИЗВЕДЕНИЙ Р-ФУНКЦИЙС ОДИНАКОВЫМИ АРГУМЕНТАМИ-

Разложение Клебша——Гордана. Произведение двух £>-функций D^^ (а, % 丫) и ^а^ (а,卩,丫 может быть записано в виде следующей суммы, называемой рядом Клебша——Гордана*

О%Е(а‘ 3 7)。九芥2(% 3 Т)= £ £ С假也典。3(% 3 7)С小MN?’⑴

J=|厶Ml MN

где C^ j u —коэффициенты Клебша——Гордана (см. гл. 7). В сумме (1) содержится 2/十1 член, где /=min {J】,J2 }• Разложение (1) является частым случаем разложения произвольной функции по D-функциям Вигнера (см. 4.10).

С помощью разложения Клебша—Гордана (1) и свойств ортогональности коэффициентов Клебша——Гордана 7.1.(8) можно вычислять некоторые суммы произведений D-функций с одинаковыми аргументами. В формулах, приведенных ниже, величина 亿厶厶} означает 3;-символ, определенный соотношением

т 7 7、 ( еспи Zi+ Л4- Л —Целое н | 厶一厶丨 & %《厶 + 厶， 小 ~ [ 0 в остальных случаях.

Величина {J^J^J^ симметрична относительно любой перестановки аргументов Jv J^ J3. £ C：*i4典D%/i (% 8, 7)。%/2(%。? 7)。7厶皿=弓尸{厶厶了} 0К (%瓦7).

ММ

Формула (3) является обратной формуле (1)

士 £ ^/ЛЛ^2^^Л1(а, 3 7)。％# (а，% Т)С；〃」2»2 =‘М貝'％/2(% 3 7)，

三0%也(% 3 Т)0%用2(% 3 7) C故?2^2 = C假也玻2%%(% 3 7)>

N风

-^厶№?2取2取m'-^厶№?2取2取m'2j。5" (а, 3 7)。纟也(％ 3 Т)О%?"?(“’再 Т) C J'NJaN*

-^厶№?2取2取m'

-^厶№?2取2取m'

e C限卩№0嘉（% 3, 7）0%跳（% 3, 7）0% “% 3 » C；乩4/=%%№ ｛厶厶/3

£ 0:%уЛз/*z被2。%也（% 3 Т）。%2"2（% 瓦 Т）D丸得（% 舀 7）c£jfev；»C；：AW№ 度区典

M“2“3

⑶(4)(5)(6)⑺(8)⑶(4)(5)(6)⑺(8)=^w"%」％{厶‘2厶2} {J12/3J} Q%n (а，3，T)・

⑶

(4)

(5)

(6)

⑺

(8)

⑶

(4)

(5)

(6)

⑺

(8)

Формулы типа (3) и (8) допускают обобщение на случай произведения любого числа /^-функций

2 口吋調亠…殴仙，3 1)С^ D^a, 3, 丫) Ip {%*,},(9)

切1,*=1，=1

где 乙(E = l, 2, .. ., Л) — любые значения моментов, совместимые с правилами векторного сложения

L = ji +jz+f- h, Mi = m1 + m2+ ...+ ть Д\ =汽】十 & 十...十 (i = l, 2,к).

При этом предполагается 70 — /^ = MQ = 2V0 = 0. В частности, полагая в (9) jt — j2 = . л. =jk = = 1/2, Jм = J^4"(V2), получаем для целого или полуцелого J = Jk = kl2

S 。統,(а，Р，Т) %№，6, т)…鑑 (а, ?, т)=

»i+...+«ft=AT

=V(J + М)! (J — М) ! (J + W)! (J _ W) ! O^w("，% ')•"°)

Аналогично, полагая в (9) /х = /2 = ... = jk = i} /〃】 = 7# + 1, получаем для целого ，三，比=А:

snil^...+m^M»l+...+nft=ATsnil^...+m^M»l+...+nft=AT]0+統,・。）（1 + %.。）必网（% 储 7）/м（а，3 * …%^（% 3, 7）=]0+統,・。）（1 + %.。）必网（% 储 7）/м（а，3 * …%^（% 3, 7）==伍+〃）!（/_「；；； + 〃）!（i）*3a 3 »=伍+〃）!（/_「；；； + 〃）!（i）*3a 3 »(11)(11)

snil^...+m^M»l+...+nft=AT

snil^...+m^M»l+...+nft=AT

]0+統,・。）（1 + %.。）必网（% 储 7）/м（а，3 * …%^（% 3, 7）=

]0+統,・。）（1 + %.。）必网（% 储 7）/м（а，3 * …%^（% 3, 7）=

=伍+〃）!（/_「；；； + 〃）!（i）*3a 3 »

=伍+〃）!（/_「；；； + 〃）!（i）*3a 3 »

(11)

(11)

Формулы типа (10), (И) могут быть использованы дяя вычисления £>-функцйй Вигнера. Так, учитывая, что индексы m, п в (10) могут принимать только значения +1/2, и вводя обозначения

喝*, 3 Y)三 % 助一% (a，3 Y)三一% J(12)

。5,%(% 3 ¥)三 &, D1!]^ _1/2 (a, ,, 丫)三 a*, J

1'де 口，& — параметры Кэли—Клейна (см. 1*4.), получаем из (10) выражение для Z>-функций Вигнера в виде

D%.(a, 3 ¥)= V(/ +〃)！(/ 一 〃)！(J + А) !(/ — /V) ! £ ^^^^.(13)

P, g,匕 &

Здесь сумма берется по всем целочисленным значениям р, g, г, s, удовлетворяющим условиям p + ^ + r + s = 2h р — q — r4~s = 2M,(14)

p + a — r — 5 = 2M

Условия (14) приводят к тому, что только одно из чисел р, qt г и s является независимым, так что сумма (13) — однократная. Из (13) можно получить приведенные ранее выражения для £>-функ- ций 4.3. (2)—4.3. (5). Например, формула 4.3. (2) получается из (13), если в качестве независимой переменной суммирования выбрать г, формула 4.3. (3)——если независимой переменной суммирования является р, и т. д.

Условие равенства единице определителя, составленного из функции D^N (а, р, 丫) (см. 4.1. (7)), может быть записано в виде следующей суммы:

£ (—1)尸°41fl (% В, 7)^-j+i 典(a，В，T)• • •。；瓦2/+1(“' 3' 7)= I，(⑸

где индексы М^ М2» •・・，M2j^ получаются всеми возможными перестановками Р из последовательности —j, —7十1, •・• J—1, J・ Суммирование в (15) производится по всем перестановкам Р, (一1)尸 означает +1 для четных и —1 для нечетных перестановок.

4・7・ ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ П-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА

Произведем два последовательных поворота системы координат S {%, у, z}-> f S' {%', д', z‘} f S〃 {%〃, у", z" }・ Пусть первый поворот S f S， характеризуется углами Эйлера 幺,р19 丫工,второй поворот S' -> S〃 — углами Эйлера a2, |32, r，а результирующий по-

ворот S f S" — углами Эйлера а, & 『 Выразим Р-функции от углов результирующего поворота через Р-функции от углов первого и второго поворотов. При этом имеются 2 возможности (см. 1.4.7.).

а. Если оба поворота производятся по схеме (В) (см. 1.4.1), и углы результирующего поворота а, р, % так же как углы первого поворота 网，佐，丫工 и второго поворота а2, % 力，отсчитываются от положения исходной системы координат S {ж, у, z}, то оператор результирующего поворота дается формулой L4.(64), и формула сложения имеет вид

2(。2, %, 3)(%, %, Ti)=。厶犷(％ 3, 7).(1)

При этом углы а, р, у выражаются через углы %, %, 丫工 и а2, (Зв, у2 по формулам 1.4. (66)——1.4. (70). б. Если оба поворота производятся по схеме (В), но углы %,卩工,Тт и а, р, у отсчитываются от положения исходной системы координат S {%, g, z}, а углы а2, (^, 丫2 — от положения системы S『{步厶 了，zz} или, если последовательные повороты производятся по схеме А (см, 1.4.1), то оператор результирующего поворота дается формулой 1.4. (73), и формула сложения имеет вид

£ ^MMrf (ai> 3，71)。%"山⑸，限 7г) = ^ijf< (а» ?> Т)・(2)

При этом углы а, % у выражаются через углы %,卩工,打 и а2, %，丫2，п0 формулам, получаемым из 1.4. (66)—1.4. (70) путем замены индексов 1合2

Частные случаи формул (1) и (2): .г £ 。％犷(％ Bi，哈。％“ (—f,饱，T)= &ГДП (а, Вт + 氏，T),(3)

ср ——произвольное;

£ 0%дг" ® 3 ?)，%“〃(&‘ 3，Т)= 2 0%Jf" (а，В，Т)"%”лр (—丫，一3 —я) = ^j^jf/ (0, 0, 0)：=6蔽^.(4)

Формула сложения для функций @%改,偉)имеет вид

S d£„ (汨疏加他)e-‘岭=e-'SK，(0) e-‘"，，(5)

где sin К ctg a = cos % ctg <P + ctg % ^Y, cos 8 = cos 3 cos 也 一 sin Bi sin p2 cos 弘(6)

сc sin %

ctg 7 = cos 阳 ctg 攀 + ctg A

Рассмотрим некоторые частные случаи формул (5) и (6). Если <р =0 и 区 + ?2<口，то а — 0, £ = & + % у = 0, поэтому

£ (Bi) 他)=(Bi + 也)・(7)

Если 屮=0 и вT + ?2〉а，то а =к,? = 2冗 ——% -- 团,y = а, поэтому

£ 园2(Si)他)=(一］产+m 园此(2冗一pi - %)。(8)

Если 屮=码 比》％，то а = 0, В = % — %，Y = F а следовательно,

£ (一1 产”弱"改"(Bi)(₽2)="3п (31 - 卩2)・(9)

В частности, при px = p2 из (9) следует

£ (—1 产-就 d^^ (р) d^r^f (Р) = S^j^r.(10)

Если <р=£, то формула (5) принимает вид

£ (Т)" ^i^ (?1) ^H"W (?2)~(Р)(11)

где

ctg а = ctg 饱 sE Bi，

cos В = cos 力 cos 也，(12)

ctg 7 = ctg Ri sin 院

Полагая в (1) углы ах =(х2, ?1 =卩2, 丫1 = 丫2 и используя разложение Клебша——Гордана 4.6(1), получаем

£2 С；**"成+扭"/+曲(％ ₽> 7)^^^т^ = ^ттг(Я» 8，7)，(⑶

где

cos 8 = cos2 3 — sin2 В cos (а + 7),

tg手(%

tg (员一а) = tg (彳—7)= cos § “ *

В частности, при 口=丫 = 0 имеем а = у = 0, р = 2% поэтому

^j^^ С $ mj0)吟需％；，= d*，(23).(15)

Из формулы (5) можно получить интегральное представление для произведения двух функций 也м，(теорема умножения)

得/(2 局"他)=~ j e"t7'Т)局小 ⑸西，(16)

где а, % 丫 выражаются через %, р2 и по формулам (6).

С помощью формул сложения (1), (2) можно вычислять некоторые суммы произведений D- функций с разными аргументами. Кроме приведенных выше сумм (1) и (2), укажем некоторые, сводящиеся к характерам группы вращений (см. 4.14):

sin「(2/+1)多］

2。%改'(“D §D Tl)。%，城(々2，₽2i 72)= X，Z(^1^2)== /^(^Z^l) =~，(17)

城jtsin ~2

где

COS ^- = cos| COS I COS %+""2 + Y2 - Sin I Sin ^ COS %一"丁2 + Y2 =

Ьф^ c°s ^4^ cos ^4^Ьф^ c°s ^4^ cos ^4^Si — §2 •al + 72 .力 + a2cos2sin2— sin2—Si — §2 •al + 72 .力 + a2cos2sin2— sin2—^^ D，mm‘ (%‘ Bi，^^ D，mm‘ (%‘ Bi，7i) Dmm，7i) Dmm，g，в2，72）三X，伍盘歹）=义j（E丁/）=g，в2，72）三X，伍盘歹）=义j（E丁/）=(18)(49)(18)(49)

Ьф^ c°s ^4^ cos ^4^

Ьф^ c°s ^4^ cos ^4^

Si — §2 •al + 72 .力 + a2

cos2sin2— sin2—

Si — §2 •al + 72 .力 + a2

cos2sin2— sin2—

^^ D，mm‘ (%‘ Bi，

^^ D，mm‘ (%‘ Bi，

7i) Dmm，

7i) Dmm，

g，в2，72）三X，伍盘歹）=义j（E丁/）=

g，в2，72）三X，伍盘歹）=义j（E丁/）=

(18)

(49)

(18)

(49)

где

cos у = cos I cos Ь cos & + h*~ ¥2 + sin I sin ^ cos 出二』尹土Тз =

(20)(20)=cos ^Ь. cos ^^ cos Л^1^ — cos Ь+k sin ^^_ sin ^^

(20)

(20)

Выражение (20) получается из (18) заменой (а2, р2, у2) -^ (—у2» —?2,—а2)- Путем последовательного применения формул (1), (2) Можно вычислять также суммы, сводящиеся к характерам от произведений трех и более поворотов, типа 乂」(7?工 片2 片3)и т. д.

Отметим также следующую сумму произведений трех d-функций от разных аргументов [89], не сводящуюся к формуле сложения:

(21)(21)до бесконечности,до бесконечности,1 cos % cos 也

(21)

(21)

до бесконечности,

до бесконечности,

必,(22)必,(22)©⑺=©⑺=1 приО при1 приО при£〉0, ж ＜； 0.£〉0, ж ＜； 0.(23)(23)В = cos Вз 1 cos piCOS 阳 COS %1

必,

(22)

必,

(22)

©⑺=

©⑺=

1 при

О при

1 при

О при

£〉0, ж ＜； 0.

£〉0, ж ＜； 0.

(23)

(23)

Углы 占工,В?，》з могут быть вычислены по формуле

cos 阳 cos 瓦一cos 3£

cos3‘= sin 附 sin %，(У 初(24)

Они обладают следующим свойством

sin% 用口阳 .

而瓦=而可，("'=г 3)・(25)

Геометрический смысл углов Вр %，％ и их связь с углами 区，|32, рз пояснены на рис. 4.1

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ D^^ (а, 0, у) С РАЗНЫМИ ИНДЕКСАМИ

Рекуррентные формулы, связывающие 0£】и О鐫

,火八一(尸一〃")ссММ' г

cos ^Dхх, (я, 3, ¥)=/(2/ + 1)°мт (°1，?，Y)+ j(/十])。也》(% В，Y)+

О)О)(2)(2)"(7+1)2一/2][(/ + 1)2一不。

О)

О)

(2)

(2)

十(/4-1 ).(27 4-1)(а,

singe /)“+i ®v(a，P，7)— —/ (2J + 1)О“лг(а，у, 1)+

.年一")(/ + " + 1) 7，一，

+/(/ + 1)° лиг (а, 3, 7)+

.rV(J—M)(J—M + 1)(J» — M'2) , , , с 、.

sin Зе 刀jfTm (% 3, 7)—j(2/ + 1)^ммг(а» 产，Т)卜

M' ^J+M)(J-M + 1)

+/ (j + 1)D^『(а, p, 7)

V（/ + 〃）（/+M+l）［（/ + l），-M，2|

一（/ + 1） （2/ 十 1）〃取w（% 卩，》

(3)

sin 8 "1吗亚+1

(а, В，丁)一/(2/ 4- 1)^^^'(а» У，7)

MV(/—M，)(J + M，+ D J

/ (J + 1)〃取зг(%

n(/+ 1)2- "2]一 " + 1)川

一(7 4-1)(27 + 1)〃К设"a,р，力，

(4)

sin ?6-""%№一1

(。，3 Т)= - "—*3 咗^, 3 Т)一

J[(/ + l)2 —”2] (/+〃，)(/+少+1)

(5)

十（/ + 1） （27 + 1）以改城八辽，卩，"，

(l + cosB)/E%M，+i

(а, 3 T)—J(2/+l)°jOf，(a, 3 丫)十

,V(J-M)(/+M + 4)(/-M，)(7+M，+ l) с」

+/(/ +〕)(a> 氏 т)十

,V(/—M)(j —〃 + l) (/-〃，)(/-〃'+ i) g

十(J+ 1)(2/ + 1)〃火此 1，卩'S

(l + cosp)eT(』)/4_i"，T

.йV(J-M)(J—M + 1)(J-M，)(J-M' + 1)…L

(% P, 7)—j(2J 4- 1)"盟ar (% 3, 丫)卜

V(/+")(J-7H + 1)(/+M')(J — M'+1) 7

+/(/ + 1)“JOT (а，国 7)T

,V(J+M')(/ +〃，+l)(/+M)(/ + 〃 + l)cN

十(/ + 1) (2/ 4- 1)^^ * p, *^

⑺

(l — cosS)eg)%+i*i

(a, 3 7)-/(2/+4)0城ЛT (а，3 T)

v（/ — 〃）（/ + 〃 + i）（/ + M，）（/ — " + i）

一/（/+ 分QjOf，（a，卩，7）+

V(J-M)(/-M+l)U+M，)(J+"+l)

+(/ + 1)(27 4-1)勿犷(％ 3 Т),

(8)

(l-cosp)e^-«)pi_1Jf,+1(a； p, T) ="/ — ")" M 咒;(;才"и + “ + ]) 〃热№ °, 7)_

V(/+〃)(/—M +1)(/-〃，)(/ + 〃+) 7

/(/ + $)(а» 3 7)+

,V(/+〃)(/ + 〃 + l)(/-”)(/-M，+ l) , й 八 十(/+1)(2/ + ()(% p,霜.

/Q\

9丿

Формулы (1)—(9) могут быть получены, например, из разложения Клебпха——Гордана (см. 4.6.(1))> если положить в нем 7Х = 1.

Рекуррентные формулы, связывающие &» и。豔厶

COS ^е 2 Mr% “屮厶(％ R, 7)=

+ М +y)(J +^z +4")

2/4-1

D方%，(a，3, T) +

^-船红哪 g B，Y）,

(10)

,m(7 - М+^)(7十2+今…，..

+2J 十 1^имг (а> В, Т),(11)

_i2±T]/(7-江+^)(7一/十^),

cos 芽 e 2 D%th№，3 7)=2； + 1(% В, 7)+

+ ' -2并1一°夕#，(а・ Р，Т)，(12)

те 2 D%T道中&(а, В，т)=2J + 彳D%4 a £ т)—

一2J +1°孩6(% 3(13)

Формулы (10)—(13) выводятся, например, из разложения Клебша—Гордана (см. 4.6.(1)), если положить в нем Jx = 1/2. Из формул (10)——(13) можно получать также следующие соотношения:

—в i —

^iif* (% В，Т)=，j 一” cos ~2e 2 D」m&挥7k & B，7)—

—|/ J —Mr sin 2 еО取」厶血'+%(“

,Pt), (m，护 j),

(14)

Djut (% В，T)一 у j + 心 sin ? еD吸+%%_%(% г

% ¥)+

+ :' J c0s 多 e 2 0力工力/-1/2(/ p, 力,纱嶼 一J).(15)

3. Рекуррентные формулы, связывающие Z>

勿1 и D^±[ лп±1

一需厂-'%M，(a, В，т) =Т V(7 +"')(/—" + 1) 〃％лгт (a, Р, I)е *Т + + 4>V(J—〃)(」+"+1)/4此+1(% В，Y)e",

(16)

…si^6D%誼'(％ ^ ^^VlJ + ^iJ-^ + ljO^7ЛГ 3

.В, Т)еТ« +

+ 0V(J一")(7 + "+1)0%+1"

(а, 3 7)е%

(17)

Djt+ijt (а，К T)e — p (J—切(丿+加 + 1)2

々singj

е—Ю力3p7 (% В, Т)+

，7)-

M)(，+"' +1)1 —cos 3,

r (J-加)(了十〃+1)2 eв近IT+1 а瓦D

^M-i>^(а> 3 Т)еУ " + 〃)(/一〃+ 1)2 е 切血*i (% ₽, 7)+

ЛГ sin Вt

+ V(7 + 〃)(/_〃十1)0度m(，3Т)+

(18)

]/(J —Q)(J+Q+l)l + cosB

十 y (了+而(了一质*1)2 e WM3I%1 (a^ B，I),(19)

6 Д. Л. Варшалович в др.

0%лг+1(а，В，Т)е” =/

（了十度）（/—江 + 1） 1+собв

(J —Mr)(J +мг + 1)М sin р

2

е~шР^_1ЛГ, (а, В，т)—

V(J—ЛГ)(，十ЛГ + 1)

d3, ® £ Т)-

]/ (J — Л/) (/ 十 М + 1) 1 — cos В(/-〃‘)"+〃，十 1)2

°敌му (% р, Y)e-T = — |/(/+ 財，)(/— 〃，十 j) 2

е'“0%+1 度，(а. В, 7),

L叨 J 】誼，（а, 3 7）—

М sin В

0（了+的‘）（/二加?+ 1）

"Зг (а* В’ т) +

I/ (J — Л/) (J 十废十 1) 1 + cos §

+ F (丁；必)(Г— ЛГ 十 1)2 е‘а°лн4ЛГ (% 3 了)•

(20)

(21}

4・9・ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ Р-ФУНКЦИЙ

Ниже приведены формулы, позволяющие выразить производные от 乂加，через сумму 2)-функций с другими индексами J или М^ М1.

sin g 而 D'K1r (а,瓦 7)

" + !) V(J2—財 2)(尸—個，2)

7(2，+1)

D%3 (% В, 7)

MMr

j（了 十 17 %_ar（% В，T）+

,/ %(/ + 1)2 -超2][(丿+ 1产

+ (J + 1)(2/ 十 1)°近犷3, 0，7)，

弟 Нм，(а, В, ¥)= — 2 火 J + М) (J — М + £) е-а D%-1МГ (% ₽» 7)+

+ 4 "J一m)e+也+ 1).0*iir (% M T),

专。3, (а，Вт) = ^ V(J+/)，一 W + l) ef %“1 (% p, 7)一

-2 V(7-0)(7+"' + i) e*W^,+1 (а, В」)，

8丁儿Г—Л/cos В г л . .

诵，3f必，(％ 瓦 т)= 忌碎D^亙，(a, p, 7) —+ 1)(a, 3, 7),

而 D%龙，(a，B，¥)= — —sin 0%“，(a‘ 3 ¥)+ “V 一“)U + " + Q e*叨％+1友,他 R, 丫),

丽。％лг (a，3 т) =^П7^。度лг(% 瓦 1) + ^(^ + ^ ) (J Мг + 1)(а,阳 7),

被 03r 仲，ST)=-―而L D3r(% В，叫一 "J 一 ")(」+" + 1) e'Y03r+N% рт), ^ ^i>(a» ?»If) = —iM7?%ir (% 瓦 I)，

否方％Jt，(% 3 I)= —WO%_ar (% 3 7)»

(см, также 4.2.1. и 4.2.2).

⑴

(2)

⑶

(4)

(5)

(6)

⑺

(8)

(9)

4.10. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И ПОЛНОТА СИСТЕМЫ Р-ФУНКЦИЙ

Функции D^x, (a, p, т) ортогональны в общем случае только при интегрировании по удвоенному объему группы трехмерных вращений (т. е. по объему группы SU4、поскольку функции 刀Кг(% Р，Т)ПРИ полуцелых 7 имеют период 4к, а не 2к. Удвоение объема может быть достигнуто путем удвоения области интегрирования либо по углу а, либо по углу у. Таким образом, удвоенному объему группы трехмерных вращений будем сопоставлять одну из следующих областей изменения углов Эйлера:

匕：0 & а V 4п, 卩2： 0 W а V 2п,

0 & В & %0 < 7 < 2л;

О&В&п, 0忘7< 4л.

⑴

(2)

Полный объем области 匕 или V2 равен 16 л. Условие ортогональности и нормировки функций DJUU, (а, & Т)имеет вид

4нл2н

j da § dR sin В § SD%2M%(% R, 7)厶%加\ (a, 8, 7)=

000

==]da j dj3 sin p j 叫/)纟用?2 a 3 T)。4Ml(a> 3 7)~ 2人 "P丁 >也喝i我2%因2.⑶

В том случае, когда оба индекса J工 и J2 одновременно либо целые, либо полуцелые, ортогональность 2?-функций имеет место при интегрировании просто по объему группы трехмерных вращений, т. е. по области изменения аргументов

V: 0 & a V 2п,0 & В & п, 0 V 7 < 2н.(4)

Полный объем области V равен 8冗含・ При этом условие ортогональности и нормировки имеет вид

Sirл2тс '

[da ] dR sin 9 ]办0%2招，(a, ₽, 7)0礼叫(% 3 T)= 2匕十г如户附匹扌度,也,.(5)

ооо

Условие ортогональности в виде (5) наиболее часто используется в физических приложениях, где, как правило, условие его применимости выполняется автоматически.

Для функций d^Mt (Р) условие (5) дает

2

d3 sin 3同现，偉)d%度,(3) - 2 J -p l "Q •(6)

0

Функции Q%_ar (a, 0, 丫) образуют полную систему функций. Если рассматривать область Уг (или 72) изменения аргумента а, р, 丁，(см. (1)), то условие полноты имеет вид

^2^^^^ |б^~ О猴лр (“1，Bi，Т1) 0^\др (&‘ ％，丁2)= 6伍1 —崂 G (cos 3i —cos 02)6(Ti — 丫2)・(7)

j=o, %, 3 ... lf=—JM，=—J

Любая функция /(a, g, 丁), заданная в области 厂工(или 卩雪)изменения аргументов a, ₽, у и квадратично интегрируемая в этой области

j j § dadg sin 3d7 | / (a, 0, 7) |2 < 8,(8)

может быть разложена в данной области в ряд по 2)-функциям Вигнера следуюп^его вида:

(9)(9)(4())(4())(И)(И)/(а, 3 7)=2££ %血刀％ЛГ(% 3 ¥)•

(9)

(9)

(4())

(4())

(И)

(И)

J=o, %, 1,融=—J ^r——J

Коэффициенты разложения a%『даются формулой

а%м，=綜甘' j j j "若 sin 昵"(a, ₽, 7) DJ*N, (a, ,3, 7),匕(G)

2J=0, %, 1,..2J=0, %, 1,..и удовлетворяют соотношению

2

J=0, %, 1,..

2

J=0, %, 1,..

Если рассматривать только область V (см. (4)) изменения углов а, р, у, то любая функция / (а, В，у), заданная в области V, может быть разложена в этой области как в ряд, содержащий 刀力度，(％ % т) только с целыми 7, так и в ряд, содержащий 刀分財，(а,氏 了) только с полуцелыми 7.

/(а, 3，7)= U ££ Нглр^Зг (а，3，т)・《2)

J целые (или M=—j if r=-j''

J полуцелые)-

Коэффициенты Ь%лг даются формулой, имеющей одинаковый вид как в случае целых, так и в случае полуцелых 7.

2nте2%

嘘ЛГ = ^^ j 厶[哪 sin В j dT〃a, 8, 7)。柒,(a,瓦 7).(13)

000

Отличие разложения по целым 7 от разложения по полуцелым J проявляется вне области Р. Коэффициенты разложения (12) удовлетворяют соотношению

JJ2% 冗2n

£27 4-т 2£ I 匕3, |2 = j da j dp sin Р J dy (/ (% p, 7) |2.(14)

J целые (илиM=—JM，=—Jо о0

J полуцелые)

ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ФУНКЦИИ Р^я, (a, R, 7) ИЛИ d%加，(因

Интегралы от произведений /^-функций

]da “3 sin В ] d&M，& 3 7)=力/加“/* (7 — целое),(1)

О оо

2nle2%

，da，d0 sin В ， 力z)4]叫(a, 9, T)0九%(% В，7)=(一‘产2-*2 2厶 + 1. ＞卩3取渾2"-叫忆，(2)

о о0

(J14- 72 —целое),

，da，dp sin В，办"纟｝7佃, 3, T)"%m「(% R，))= 2厶+ 1近厶"山?心m炉(3)

00о

。1+ 厶一uenoe),

2H亏2K

j da j用sin R j S時血% (4 В，7)0丸"2 a瓦7)通皿(a，瓦了)= (-1严誼З а厶+彳С；；总2лг2cM詼工融Y ⑷ оо0

(厶+%+%一целое),

2H需2n

ЛЛp8冗 2

J da J加sin 8 J班凶％3& 3 7)爆2m2(% 3 T)國Ml (a，В，T)=万3 + 1㈡男工招处孰厶遊g(5)

ООо

(J]-pJ24~^g — целое).

Формулы (1)—(5) имеют место, если выполнены условия, указанные в скобках. Если в (1)—(5) удвоить область интегрирования по углу а или углу 丁 и одновременно умножить на 2 правую часть, то указанные в скобках ограничения можно снять (см. 4.10).

Интегралы от произведений четырех и более D-функций могут быть сведены к интегралам, приведенным выше с помощью разложения Клебша—Гордана (см. 4.6.1)

Для функций d%M (Р) из (1)—(5) следует

j dg sin 昵力。(В) = 2号加О

0

dB sin 昵％м (В)咤即(В) = 2J + 1⑺

о

，呻 sin 昵3因](0) d^m? (В) d%/% (В) 6质+”2我3%j+лр2Mз = 2J3 + 1。；：紀J?&2欧紀У%，⑻

0

При М,加/》0 и М》М，имеет место формула

yр (sin I)(cos T)d度/偉)=〃(了+ 1d 疝而而(sin T) (cos e)%г山⑸.(9)

Аналогичные формулы при М ^Mf или при М и М! отрицательных можно получить из (9) с помощью свойств симметрии @%打偉)(см. 4.4(1)).

СУММЫ ИНТЕГРАЛОВ ОТ ПРОИЗВЕДЕНИЙ Л-ФУНКЦИЙ

В приведенных ниже формулах R означает совокупность углов Эйлера а, 0, у, @Н 三 sin р@0@а©т，

2K2K

! dRf(R)三 j da j dp sin j 办〃％ R, 7).⑴

000

В этих обозначениях формулы имеют вид

2, J dRD^M (7?) D%m，伍)=8紋勿，(2)

^2^ j dRD%M‘ (R) D%‘m 伍)=(—°产8泊В”,，(3)

? J d五砂血(а)0玄招伍)D%围伍)=8泊{厶厶%},(4)

bN, J d&成М(&)曜/陶嘘% (初5也力阳(砌破3 (/) d办，收)=

=(-1 严(8吟2(1 ：力，(5)

bN, J 叫國%,(初 0%，2 (%)说血(&) J dR^N,^ Dj^n，M 殴妬(/) X

X 5 叫通:U)/，g d3)D%M (/) =(8 呼 H ；； "2 ,(6)

Bc2 J ^五/3 乌)〃％"(&)磅 w，M】)j dR^,^^ D%、% (T?2)凶,№ (為)X

X J dR3DJ^(R3) D^ (/) D^m©) J dRg® 闽殴％ (&)说"此(&)魄阳(&)==1)"嘴：:} {" 用:"卜

BcZ」dRiD^(R^DM'N'(马)叫:M (&) j dR2DJN,a, (/)徹w (&)必几(/) X

X [(五 3)0夂/(五 3)说就(％) =(8泊户J ,

в 2 Д叫磁山(砌殴w№) 0貓"(旬J d/D羸阳畸N, (/)嘘/,(醐X

X，d/吟阳。(旬唄/,(%) %电(/) J d4國e(&)磽/ (%) D紀^闽X

X J d/D%血(％)啾也(旬次；,““(鼻)=(8^)5 % Л 734 .(9)

Если в формулах (5)——(9) сначала выполнить интегрирование с помощью 4.11 (4)——4.11 (5), то получим формулы для суммирования произведений коэффициентов Клебша——Гордана (см. 8.7). Если же, наоборот, в формулах (5)—(9) сначала выполнить суммирование, то получим представления для 6/- и 9у-символов в виде, интегралов от характеров (см. 9.3 и 10.3).

ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ

Функции d^, (Р) могут быть получены, как коэффициенты разложения в степенные ряды или конечные суммы некоторых функций, называемых производящими функциями. Ниже приведены некоторые из таких производящих функций.

Производящая функция для &%附，偉)с заданными J, М1

I cos ~2 e i sin ~2 e "丿 (z sm 彳 e ? 十 cos 彳e ▼/ 丿 =

_У / (7二 m') ! (了+ 心)！，,№血，产3 向小

=2 У (/—М)! (了十 Л)! (Т) е & 度打(В).(1)

В частности, из (1) получаются следующие разложения: при 屮=0

e = 2 y (/一加)！(/T")！ (一")d^r (*)J(2)

при ср =冗

-ijp _ * ]/ (J — м') ! (J 十川')！ №一近&」 /»,不

e =2 Г (J—М)\ (J М)\ г %лт(3)・(3)

Производящие функции для @% 度，(R) с з аданными М, М1.

В формулах, приведенных ниже, индексы s,卩,у связаны с J, М, М‘ соотношениями 4.3. (14), величины ?jf^ даются формулой 4.3. (15), величина R имеет вид

，+卷^^■MM' (B)，，+卷^^■MM' (B)，(4)(5)(4)(5)7? = % _ 2*cos B工力,1力C1.

，+卷

^^■MM' (B)，

，+卷

^^■MM' (B)，

(4)

(5)

(4)

(5)

М2 sing2 cos 4 V 弋]/ (s 十 ^"(s + v)!

1 十 a — t 丿〈乙十a十s ! (s 4- p. 4- v) !

3=0

；1 + fl； T Sin2 品i + V； t cos2；1 + fl； T Sin2 品i + V； t cos2

；1 + fl； T Sin2 品i + V； t cos2

；1 + fl； T Sin2 品i + V； t cos2

8,世+V

(6)(6)2卩！у !8+ ~2~

(6)

(6)

□”5!（5十出）！（5 + У）！（5十廿十У）！*%及，（卩），

5电，a 一严-»5电，a 一严-»出+出+

5电，a 一严-»

5电，a 一严-»

出

+

出

+

出十Y + 1 一入;出十Y + 1 一入;、］/（S + Y）!（S工 R Y）丁出！Nl У s ! （s +出）！ （出十 Y）! s=0、］/（S + Y）!（S工 R Y）丁出！Nl У s ! （s +出）！ （出十 Y）! s=0(В)，(В)，⑺⑺1 — £—笈、 /，+出； 2）2尸1（入，出+ Y+1 一入;1 — £—笈、 /，+出； 2）2尸1（入，出+ Y+1 一入;1+力一h、 宀；-T2—片1+力一h、 宀；-T2—片=28=0=28=0（出+ "+,一入）8（人）8出！Y ！方丁（5 + 出 + Y）!（S + 出）！（S 十 Y）I（出+ "+,一入）8（人）8出！Y ！方丁（5 + 出 + Y）!（S + 出）！（S 十 Y）I世+v18dMм；（3），世+v18dMм；（3），(8)(8)

出十Y + 1 一入;

出十Y + 1 一入;

、］/（S + Y）!（S工 R Y）丁出！

Nl У s ! （s +出）！ （出十 Y）! s=0

、］/（S + Y）!（S工 R Y）丁出！

Nl У s ! （s +出）！ （出十 Y）! s=0

(В)，

(В)，

⑺

⑺

1 — £—笈、 /

，+出； 2）2尸1（入，出+ Y+1 一入;

1 — £—笈、 /

，+出； 2）2尸1（入，出+ Y+1 一入;

1+力一h、 宀；-T2—片

1+力一h、 宀；-T2—片

=2

8=0

=2

8=0

（出+ "+,一入）8（人）8出！Y ！方丁（5 + 出 + Y）!（S + 出）！（S 十 Y）I

（出+ "+,一入）8（人）8出！Y ！方丁（5 + 出 + Y）!（S + 出）！（S 十 Y）I

世+v

18dMм；（3），

世+v

18dMм；（3），

(8)

(8)

В формуле (8)入一произвольное целое.

ХАРАКТЕРЫ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ

Определение

Характером неприводимого представления ранга J группы вращений называется величина х'(Е), определяемая формулой

⑴⑴Х」(К)= 2 "■，%€(”)‘龙=_j

⑴

⑴

где R — любая совокупность параметров, описывающих поворот.

В отличие от DJMM, характер х」(Н) является инвариантом, т. е. не зависит от выбора системы координат. Функция >/(Н) имеет наиболее простой вид, когда поворот R характеризуется углами со, 0, Ф (см. 1.4.2). В этом случае характер зависит лишь от угла поворота со и не зависит от углов 0, Ф, определяющих направление оси поворота:

X」伍) = Х，(з).(2)

Явный ВИД %」(R) и связь с другими функциями

sinr(2J + l)y1

х'(з)= —-~~^-.(3)

sin 2

"(з)= 2 е-‘龙3= 2 cos”3,(4)

г Р(2J —九)！ /s、2J-2 疗

X 3) = 2(一1 尸(2/ _2汽)！ 7Й(2 COS 玄) ,(5)

"=0

2

(27 + 1) !/(0、2J-2"/ ,(0、2鶴

(―1严(2九 + 1) I (2J — 2"jT (c°s "Г丿(smjJ ,(6)

"=0

11ddX 3)= 2J +1 一 /d(cosq 丿(4 J + 1) I sin 芽X 3)= 2J +1 一 /d(cosq 丿(4 J + 1) I sin 芽cos [(2了 +夂)^}cos [(2了 +夂)^}Связь с гипергеометрическими функциямиСвязь с гипергеометрическими функциямиX」(з) = (27+ !)《_，，7 + 1; 3/2; sin2 у),X」(з) = (27+ !)《_，，7 + 1; 3/2; sin2 у),⑺⑻(9)⑺⑻(9)

1

1

d

d

X 3)= 2J +1 一 /

d(cosq 丿

(4 J + 1) I sin 芽

X 3)= 2J +1 一 /

d(cosq 丿

(4 J + 1) I sin 芽

cos [(2了 +夂)^}

cos [(2了 +夂)^}

Связь с гипергеометрическими функциями

Связь с гипергеометрическими функциями

X」(з) = (27+ !)《_，，7 + 1; 3/2; sin2 у),

X」(з) = (27+ !)《_，，7 + 1; 3/2; sin2 у),

⑺

⑻

(9)

⑺

⑻

(9)

XJ(<o) = (2J + l)F(-2J, 2(7 + 1); 3/2; siM?.(Ю)

Связь с полиномами Чебышева II рода

⑴)(12)(13)(14)⑴)(12)(13)(14)广3)=%强05多).

⑴)

(12)

(13)

(14)

⑴)

(12)

(13)

(14)

Связь с полиномами Гегенбаузра

X，3) = C；j (cos 讶)・

Связь с полиномами Нкобк

『(3) = =%打1；；! P%%mcos j).

Интегральное представление

2/ +1 Г / <оw\2J

X (w) =2 J I cos » + E sin "g•丿 dx.

Для того чтобы выразить соотношениемДля того чтобы выразить соотношениемхарактеры ^J(<o) через углы Эйлера a, R, у, можно воспользоваться

Для того чтобы выразить соотношением

Для того чтобы выразить соотношением

зВ а + т

(⑸(⑸cos ~2 = cos 芽 cos —2~ •

(⑸

(⑸

Свойства характеров

Характеры『(Н) в отличие от ^^呪(Е) являются вещественными функциями

(XJ伍))* = X1项.(16)

Характеры, соответствующие прямому и обратному повороту, равны между собой

"伍7)="(砌，(17)

Характеры инвариантны относительно поворота системы координат и ее инверсии

E(URUT) = ^(R),(18)

где U и С7"1 — прямое и обратное преобразования системы координат из группы ортогональных преобразований.

Характер произведения поворотов R1R2 …凡 инвариантен относительно их циклической перестановки

『(%%...用)=广(%.一a"公).09)

В частности,.

鼠(公马)=片(马%)，(20)

несмотря на то, что повороты Rt и R2 не коммутируют.

Произведение двух характеров разлагается в ряд Клебша—Гордана

(21)(21)产伍）产伍）=n{3/}门五）,

(21)

(21)

где {了1了27} = 1，если вьшолняются условия треугольника (см. 4.6.2), во всех остальных случаях {7 г7 2/} = 0._

При замене J -> / = —7 — 1 характер изменяет знак

(22)(22)X」(7?) =—*(£)•

(22)

(22)

Характер %」(з) является четной периодической функцией угла поворота со：

x"(一8)=『(叫

/^ + ^) = ^^)，(23)

广(3 + 2n)=(一1产鼠(3).

Теор ема сложения. Характер поворота, являющегося результатом сложения двух последовательных поворотов, /J (-Rj-Rа) можно представить в виде суперпозиции произведений обобщенных характеров исходных поворотов 叉；(尺工)•叉：(片2)(см- 4.15):

2J

(—，)％2j 十夂 X；3i)叉；侬2)马(cos ®iM(24)

где а)1? co?，⑴—углы поворотов, соответствующие 7?工, % *工*2 и связанные соотношением 1.4(75), 012 — угол между осями поворотов % и 凡；

cos 012 =(П] • n2) = cos % cos 02 + sin 班 sin 02 cos (% — Ф2).(25)

Дифференциальное уравнение

Характеры х」(з) являются решениями однородного дифференциального уравнения II порядка 分 X」3) + ctg g 張 %J 3)+ J( J +，) X」3) = 0(26)

с граничными условиями

(27}(28)(29)(30)(27}(28)(29)(30)口0) = 2/ + 1,

(27}

(28)

(29)

(30)

(27}

(28)

(29)

(30)

X」3 士 4тсга) = %」3), где n ——целое.

5・ Дифференциальные соотношения

■^ X」3) = — 〃 (J + Q x； 3);

/ d 、希」1]/ (2/ 十倉 + 1) ! 涯(s)

(27 .屮 №货'

где 延 3) — обобщенные характеры (см. 4. 15);

sin ^ £ х，(з) = 7 cos у X，(з) —(7 + ^) х'% (м) = (^ + у) х"% 3) — (，+ 4) cos у х‘ (<*>)•

Алгебраические соотношения

Х^+'Л(w)= 2 cos у • xJ (<*>) - ^ (М),(31)

X“(s)—叉厶3) = 2犬 2 3)cos[(Ji+厶+l)fj(32}

x" 3)+ x」2 3) = 2% 2 (w) cos| (/1 — /2) У J-(33)

Соотношения (32) и (33) справедливы при 乙 +厶 Целом.

где J —целое, положительное.

—2 sin2 -j- /3) /3) = cos |(厶 卜 J? + 1) s] — cos [(厶一72)(о].(35)

В частности,

2 sin2 у [” 3)]2 = 1 — cos [(2J + 1) s],(36)

小3）=/中^+用）.（37）

7. Ортогональность и полнота

Характеры 叉丿(<0) представляют собой полную и ортонормированную систему функций одной переменной со, задаваемой в интервале 0《 ① < 2冗.

Условие ортогональности и нормировки имеет вид

2тс

j X” 3) х" 3) sin2 2 "s = °>也・ о ■

(38)

Условие полноты

2

J=0, —, 1,

Х，（31） x'（32）=

(39)

8. Интегралы, содержащие характеры

2K

]ds sin2 ~2 %，(2s)=兀(—1产， о

Isin 2I

I dsq~ X」3) = —2冗 cos [(2J + 1)- J cos у-cos-g-

В формуле (42) интеграл понимается в смысле главного значения.

2兀

\ 盛 sin2 у J 3)产 з)=砲也，

о

j 林 sin2 у xJ1 3)产 3)产 g)=兀｛/тЗ

о

(40)

⑷)

(42)

(43)

(44)

9. Суммы и ряды, содержащие характеры

а. Конечные суммы

之sin Г(J2 + ；! + 1)sin Г(Z2 -7x4-1)迫 乂

2限(3)=」红=X 2 (3)Х 2 (3),(45)

J=M, J1+L …Sin2 у

J。

5(2J + 1)X，(3)=

』=O, 1, 2,…

(27о + 3) sin [(2『о + 1)万]—(2,o + 1) sin [(2J()+ 3)密]

4 sin3 ~2

(46)

В формуле (45) суммирование ведется либо только по целым, либо только по полуцелым значениям 7 в зависимости от того, целые или пойуцелые J】 и /2. В формулах, следующих ниже, суммирование ведется как по целым, так и по полуцелым значениям J.

£ XJ(3)=

^=л» 厶+豆，厶+l •. •

sin [(/2+ /1+ l)y] sin [(厶一Ji + ^~) y]

co co

sin 区 sin %

4

2

J=0, ^, 1,

(27 + 1)х'3) =

(2〃 + 2) sin [(2厶 + I)总一 (2丿。+ 1) sin[(270 + 2)-j]

0)0)

4 sin 2 sin3 彳

2[x%)『 =

(4『o + 3) sin ~ — sin [(4/0 + 3) yj

0)

4 sin3 m

、х，(з)х」3)=Х

'/2» 1, • •，

/+% （з）产（3，）一 X，。（3）X&+%（3'）

/ W8，\

2 (cos ~2 — cos ~2 J

4

2』(3)cos[(2J + l)±] =

sin -2* — cos (2/0 + 1)

y] sin [(/0+l)同 + Sin[(2% + 1)曰]cos [(/0+ 1) ^4 ~~

2 sin ~2 (cos —— cos )

б. Бесконечные ряды

co

J=o, %, 1, ♦ • ♦

1

4 sin2

ш , 3 嘖。),

т

2(2，+ "х」(з) =

со

兀

sin2

小（3）・

Введем обозначение

B2=l — 2^ cos y -|- /2, где |〃<1:

*^—0, %, 1, ♦..

(2 J + 1)冲%」((*))=―京1

2co ⑷+屮！/J~]

1r x『h(一若 十 £)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

8ci-n,<0

22/f ［产М®) =

1

2it sin

/ 一竺

,i-te 2

31n F 0\ 1-te2

2

J=o, %, 1,...

T(2J + v)产厅®)

Г")(2/ + 1) !=

Л 宀 3/ tsinT \

工—о, /?, 1, •・♦

co

1

(4/4-2) !

(4严/'(з) = 4"(Л (； 4； Tsin2^)oFi(; у； icos2y),

\ 力 x 3)x(*=w ^

J=o, 271,…1 + 庐 一 4力 cos 五 cos 笼• + 2庐(cos ⑴ + cos о/)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

10. Частные значения %，(з) при определенных значениях аргументов

(63)(63)犬(0) = 27 + 1,

(63)

(63)

『(2к) = (Т 产(27 + 1),

полуцелом,

целом,

J = 1/2, 9/2, 17/2,... 7=0, 1, 4, 5, 8, 9,… J = 3/2, 7/2, 11/2, 15/2, ...

7 = 2, 3, 6, 7, 10, И,

(64)

(65)

(66>

-他 J = 5/2, 13/2, 21/2, ...

И. Явный вид / (з) при частных значениях индексов

Х° («) = 1.(67)

X% (з) = 2 cos ~2 ,(68)

X (со) = 4 cos2 ~2 — 1,(69)

X% 3) = 8 cos3费一4 cos -у,(70)

X2 (<о) = 16 cos4 2 — 12 cos2 彳十 1,(71)

X% (co) = 32 cos5 ~2 — 32 cos3 五 + 6 cos 彳•(72)

ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРЫНЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ

Определение

Пусть функция %」(<«>) является характером неприводимого представления ранга 7 группы вращений. Введем функцию %；(<»), связанную с 犬侬)следующим дифференциальным соотношением:

(1)(1)X； (з) = V2J + 1 М(2 合入胃)「(sin 费)/―Х，(з)I d cos ~2 /

(1)

(1)

где 入一целое число, удовлетворяющее условию 0久入久2J. Функцию %：(①)назовем обобщенным характером порядка X неприводимого представления ранга J. Подчеркнем, что обычный и обобщенный характеры связаны между собой аналогично тому, как связаны обычные и присоединенные полиномы Лежандра. При 入=0 функция %：(«>) тождественно совпадает с %」(出)・

Явный вид функций %：((»)

Представление %；(з) в виде тригонометрических сумм x:(3)=亦斗一飞編，(2)

拠) =2 怎宓仁时(2cW)"\⑶

5=0

Представление %：3) в виде производных

X；(3)=号^ К(2母U；)!回 тУ ( ^ jY+1 cos [(2J + l)y],(5)

\ & cos

см. также (1).

Связь с полиномами Гегенбауэра С„(х)

X； (з) = (2入)!! V2J + 1 У(2先入击戸(sin 扌)侬x (cos у).(6)

Свя зь с полиномами Якоби Р 肾用(％)

丛 з)=К，专g符』2- (sin 旷 P 因'Х*),(7)

'Vg 了萧旺辞聿缶(sin £ P缀T)(- 3)，

1четное,

h 3) = •— . /о\

у 同％;三м開扌:击小!(cos у) (sin身 4?纽2)(COS 3),

2

27 —入一нечетно э.

Представление Хх(ш) в виде гипергеометрических функций 好(3)=(资]卞:「八2部_1哥'值吗)尸(一27 +入27 +入+ 2;入+ * sin哈)，(9)

Хх(з)=(2入 +，)!J -(2； — Z) [~e“ w)尸(一2了 + 入，2J + 入十2;入+ q； cos2-^y, (10)

応）=訳需冷（或用3）»卜5, 一T 一一"為…）

応）=湎甯*諺旷（或W）[■応）=湎甯*諺旷（或W）[■1 —27+ 入+1.一7 + T，2，—2/;1 —27+ 入+1.一7 + T，2，—2/;22cos2-^*cos2-^*(12)(12)

応）=湎甯*諺旷（或W）[■

応）=湎甯*諺旷（或W）[■

1 —27+ 入+1.

一7 + T，2，—2/;

1 —27+ 入+1.

一7 + T，2，—2/;

2

2

cos2-^*

cos2-^*

(12)

(12)

^）=^>y^P（siW）飞若广 3（—2T；"3-1 若），（⑶

Х；(з) =Х；(з) =3 + f (27) !丛3 + f (27) !丛' iw' iw"(27 — %) ! (27+ 入+ 1) !"(27 — %) ! (27+ 入+ 1) !1Ш\1.8一、、丁] ±*"亏(2二入)е2 ) е 2F(_2/ + 3 X + " —27; «干海),1Ш\1.8一、、丁] ±*"亏(2二入)е2 ) е 2F(_2/ + 3 X + " —27; «干海),(仪)(仪)

Х；(з) =

Х；(з) =

3 + f (27) !丛

3 + f (27) !丛

' iw

' iw

"(27 — %) ! (27+ 入+ 1) !

"(27 — %) ! (27+ 入+ 1) !

1Ш\1.8一、、

丁] ±*"亏(2二入)

е2 ) е 2F(_2/ + 3 X + " —27; «干海),

1Ш\1.8一、、

丁] ±*"亏(2二入)

е2 ) е 2F(_2/ + 3 X + " —27; «干海),

(仪)

(仪)

(T)V2/ + 屮；2J—入)!!后；入+7j「「(sm 乞)F + 彳，/ + 1 + 2 ； E ； «^ 彳),

при 27—入 четном,

х；®) =х；®) =11]/（2/一人）！！（2/ + 入卢）!1 y （2J 一人一1）1 （2/+人）！!]/（2/一人）！！（2/ + 入卢）!1 y （2J 一人一1）1 （2/+人）！!(⑸(⑸

х；®) =

х；®) =

1

1

]/（2/一人）！！（2/ + 入卢）!1 y （2J 一人一1）1 （2/+人）！!

]/（2/一人）！！（2/ + 入卢）!1 y （2J 一人一1）1 （2/+人）！!

(⑸

(⑸

x^(一/ + —^—，了+|+-^—； у ； cosZ2J,

при 2 J —入 нечетном,

^2；!)；! р 3；#2拈"(sin 身m一7 + ^ , J + l + ^； X + 4； Sin2y),

х；3) =х；3) =при 2 J —入 четном,

х；3) =

х；3) =

典沿! J%廿吉尹 cos ^ (sin 野 F(—J + *, J + 1+审；X + f ； si^|),

при 2J —入 нечетном.

Интегральные представления

07)(18)07)(18)К (з) = ^ ； У("+(%Г^； + ‘)gin }+1 j COS [(27 + 1)专](cos I - cos 守叫,

07)

(18)

07)

(18)

J(2，+ l) (2/ + A + Q I (2J —入)！ Cs . (o产，

2 (2/) !2 (2/) !X[3) = IP2 (2/) IJ P% (x) [c°s ~2 -\~ ix sin 玄] dx.

2 (2/) !

2 (2/) !

Свойства функций 状(叫

X；*(3)= X；(3)= (I)H：(-3),(19)

К；(3 + 2m) = (-1Хx：(3),双(2n一3)= (1产乜：(3).(20)

Частные значения

X；⑼=(27 + f)玩°, М (2n)=(一产(27 + 1) SXo,

X《(n) = {(I) r (2J —入)！ ！(2J + 入+ n U ПРИ 27 —入 четном,(21)

Опри 27 —入 нечетном.

Рекуррентные соотношения

Обобщенные характеры удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям:

(22)(23)(22)(23)2 而 X： ®) =1 )2 — М х£ (з) — 由 V(2J + l)2—O + f)2 Х；+1 (з),

(22)

(23)

(22)

(23)

(2入 + f) ctg ^ x： (з) = V(2J+ 1)2 — M хЗ (б + "2/+1)2 —(入+1)2 к%】(3).

Эти соотношения позволяют найти все 2/十1 функций /^ (со) по одной известной /^(⑴).

Асимптотика

При J f 8 и одновременно(о f 0 так, что /со = % остается конечным, имеет место следующее соотношение:

1

(24)(24)(25)(25)нm “2/亠1X3)=及(办

(24)

(24)

(25)

(25)

ш^-0

где /х (ж) — сферическая функция Бесселя.

При со-> О

х： (з) ~ (тУ {Щ^утт F(2J + п %'М?' •

Дифференциальное уравнение

Функции /((со) являются решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка 0(О dГ人(入+ 1) 1

"X：(3)+ ctgE^X：(3)+ 7(7 + П-— Х；(з) =。(26)

4 sin2 ~2

с граничными условиями

X： (0) = (2/+1)瓦о， x；(2n) = (—1 产(2/+1)“°.(27)

Ортогональность и полнота

Совокупность функции х；(о>) образует полную систему ортогональных и нормированных функций одной переменной со, заданной в области 0《со<2冗.

Условия ортогональности и нормировки

Условие полнотыУсловие полноты2nСсо)sin2 у *3) X# ®)=叫厶.оР、兀扌(<°1 一 <°2)2К W) X：(同=「J=o,%, I ….sm2-^2nСсо)sin2 у *3) X# ®)=叫厶.оР、兀扌(<°1 一 <°2)2К W) X：(同=「J=o,%, I ….sm2-^(28)(28)(29)(29)

Условие полноты

Условие полноты

2n

Ссо

)sin2 у *3) X# ®)=叫厶.

о

Р、兀扌(<°1 一 <°2)

2К W) X：(同=「

J=o,%, I ….sm2-^

2n

Ссо

)sin2 у *3) X# ®)=叫厶.

о

Р、兀扌(<°1 一 <°2)

2К W) X：(同=「

J=o,%, I ….sm2-^

(28)

(28)

(29)

(29)

Теорема сложения обобщенных характеров

В случае, когда поворот А(<о; 0, Ф) является результатом двух последовательных поворотов % 31； 0ц ®i) и 戶2З2； ",①2)，обобщенные характеры этих поворотов связаны следующим соотношением:

"fsi W、*7

K®)= ]/ <2 不3® УГЛУ F~^ 2 (1)7 (2Z + l)P}(cosx)X； W)#(32),(30)

\ sin ~2 sin 2 sm x у 曰

где P： (cos %)——присоединенный полином Лежандра от косинуса угла между осями поворотов П1(®1，Ф1) И п2(02,①2)，

cos х = (и】• n2) = cos @1 cos @2 + sin 班 sin 02 cos (R — Ф2).(31)

Угол результирующего поворота определяется соотношением

cos ~2 = cos ~2* cos ~2 — sin 玄 sin 彳 cos %.(32)

Некоторые суммы, содержащие обобщенные характеры

а. Суммы п о 入

2(±W 笄|х：(з)С 彌 о = е土限，(|M|WJ),(33)

2 D 吟#; x：®)°鑑尸 cos(|M| < /),(34)

X=0, 2,…

2 (I 尸浒|х：(з)С 彌o=sin”3, (|M|V/).(35)

В формулах (33)—(35) J — произвольное целое или полуцелое число, большее или равное | М |.

<2Z

2 2Z Т 1 ГЛХх(")^гохо = Р/ (cos 汕(36)

*=0, 2,

2Z +《， (入+ тп) !!(入一тп) !!h()“^二了 2Z+ ]%«•("，①，(37)

X=|?nj

(入 + ?n — четное),

0/ 2入 + 1 ]/(人十此二加一1)"(入一ЛГ 1) !!/ m，j

』|АТ—М|

(入 + д/，— М — четное).

б. Суммы П 0 J

J=v/21J=v/21(tsW),(tsW),K2「+1)K2「+1)(39)(39)2J=»/22J=»/2(4/ + 1)l!x：(3)®‘(4/ + 1)l!x：(3)®‘V(2J + 1) (2/ — v) ! (2J + v + 1) !V(2J + 1) (2/ — v) ! (2J + v + 1) !(т siW)'(т siW)'/з、屮/2，R (1 — t cos E + E)/з、屮/2，R (1 — t cos E + E)(40)(40)

J=v/21

J=v/21

(tsW),

(tsW),

K2「+1)

K2「+1)

(39)

(39)

2

J=»/2

2

J=»/2

(4/ + 1)l!x：(3)®‘

(4/ + 1)l!x：(3)®‘

V(2J + 1) (2/ — v) ! (2J + v + 1) !

V(2J + 1) (2/ — v) ! (2J + v + 1) !

(т siW)'

(т siW)'

/з、屮/2，

R (1 — t cos E + E)

/з、屮/2，

R (1 — t cos E + E)

(40)

(40)

где 用=2 — 2力 cos у + 产.

2 产tM(27+ "J=v/22 产tM(27+ "J=v/2(2/+Y +屮(2/ — Y)!(2/+Y +屮(2/ — Y)!Х〕з) 72J+1 (y)=^[y sin計 e'S 2Х〕з) 72J+1 (y)=^[y sin計 e'S 2(〃)(〃)

2 产tM(27+ "

J=v/2

2 产tM(27+ "

J=v/2

(2/+Y +屮(2/ — Y)!

(2/+Y +屮(2/ — Y)!

Х〕з) 72J+1 (y)=^[y sin計 e'S 2

Х〕з) 72J+1 (y)=^[y sin計 e'S 2

(〃)

(〃)

V 片(3)力" / , а)\ fcosgW2 "2J + l)(2/-v)!(2J+v + iri =八 V 81П V eV 片(3)力" / , а)\ fcosgW2 "2J + l)(2/-v)!(2J+v + iri =八 V 81П V e(42)(42)Г(〃 + 2/—v)X： (3)产ГМ V(2/ + f) (2/ — v)! (27 + v + 1)!Г(〃 + 2/—v)X： (3)产ГМ V(2/ + f) (2/ — v)! (27 + v + 1)!(43)(43)Здесь к — произвольное число.Здесь к — произвольное число.25=y/225=y/2К(3)(2 严К(3)(2 严(4J + 1) !! V(2J + 1) (27 — v)! (27 + v + f)!(4J + 1) !! V(2J + 1) (27 — v)! (27 + v + f)!(2t sin уУ= [(2v + Q Up(2t sin уУ= [(2v + Q Up0尸1(； V + "|" ； —t sin? 2)0尸1(; V + "I"; f cos2 号)・0尸1(； V + "|" ； —t sin? 2)0尸1(; V + "I"; f cos2 号)・(44)(44)

V 片(3)力" / , а)\ fcosg

W2 "2J + l)(2/-v)!(2J+v + iri =八 V 81П V e

V 片(3)力" / , а)\ fcosg

W2 "2J + l)(2/-v)!(2J+v + iri =八 V 81П V e

(42)

(42)

Г(〃 + 2/—v)X： (3)产

ГМ V(2/ + f) (2/ — v)! (27 + v + 1)!

Г(〃 + 2/—v)X： (3)产

ГМ V(2/ + f) (2/ — v)! (27 + v + 1)!

(43)

(43)

Здесь к — произвольное число.

Здесь к — произвольное число.

2

5=y/2

2

5=y/2

К(3)(2 严

К(3)(2 严

(4J + 1) !! V(2J + 1) (27 — v)! (27 + v + f)!

(4J + 1) !! V(2J + 1) (27 — v)! (27 + v + f)!

(2t sin уУ

= [(2v + Q Up

(2t sin уУ

= [(2v + Q Up

0尸1(； V + "|" ； —t sin? 2)0尸1(; V + "I"; f cos2 号)・

0尸1(； V + "|" ； —t sin? 2)0尸1(; V + "I"; f cos2 号)・

(44)

(44)

Функции, стоящие в правой части формул (39)—(44), можно рассматривать как производящие функции для %：(з).

Явный вид функций %： (з)при частных значениях параметра 入

а. При 入= 2/, 2J — 1, 2J—2, 27 — 3 обобщенйые характеры имеют следующий явный вид:

(45)(45)X〉(з) = "27 + 1 J/ j?；： !'j(sin 曰『

(45)

(45)

' (4/ —2)!!2(47 — 1)!!' (4/ —2)!!2(47 — 1)!!(siW广[dos喝_q,(siW广[dos喝_q,(47)(47)Kj-3(3)= V2J +1 y爲-?Л 511 ^)" 3Kj-3(3)= V2J +1 y爲-?Л 511 ^)" 347 cos3 ~2 — 3 cos "g"].47 cos3 ~2 — 3 cos "g"].(48)(48)

' (4/ —2)!!2(47 — 1)!!

' (4/ —2)!!2(47 — 1)!!

(siW广[dos喝_q,

(siW广[dos喝_q,

(47)

(47)

Kj-3(3)= V2J +1 y爲-?Л 511 ^)" 3

Kj-3(3)= V2J +1 y爲-?Л 511 ^)" 3

47 cos3 ~2 — 3 cos "g"].

47 cos3 ~2 — 3 cos "g"].

(48)

(48)

(49)(50)(51)(49)(50)(51)X； (з)=X； (з)=—1订(J +1)—1订(J +1)*(з)*(з)

(49)

(50)

(51)

(49)

(50)

(51)

X； (з)=

X； (з)=

—1

订(J +1)

—1

订(J +1)

*(з)

*(з)

б. При 入=0, 1, 2 функции Хх (ш) имеют вид

s'" (2‘ + 1) 2 cos 7(о — cos (J 十1)(0

%3) ——1 — cos (о ，

一12, c°s (27 + 1)讶 sin 讶一sin Jo —— Jsin(J + f)3 —(J + l)sin 7з

互 = 〃 (J + l)2 sin? ^= 〃 U + Q1 - c°s 3'

1([3-27 (27_l)sin2-j]sin(27 + l)-j 3，^s 九

% б = VJU + D (27-1)(27 + 3)2 sin"- E(27 + " ~^

Обобщенные характеры выражаются через производные от ХЗ) п0 з：

Х；(з) = Х，(з),

7 Д・ А. Баршалович и др.

(52>(52>^ ®)=wrra^ww「(7+° х，(з)+з 4zF]，

(52>

(52>

xg (з) = -4 V27+T У(27^4)! {[37 (J + 1) _ f] -^7^ + 54^}，

X： (з) = 2 ^2/ +，j/"；2j + 5； j {з {J — I) J (J + 1) (J + 2) х'(з) +

+ 5[67(/+1)-5]-Ш+35-Ш).

Явный вид %：(з) при частных значениях 7=0,1/2,1, 3/2,2

7 = 07 = 1/2J = I7 = 07 = 1/2J = IХо (з) = 1；

7 = 0

7 = 1/2

J = I

7 = 0

7 = 1/2

J = I

со

Х%2 ®) = 2 cos 区； 2 (о

Х»(з)=7^"sin 玄; 5(j((о) = 1 + 2 cas <0, Xi ®)=從 sin co,

J = 3/2J = 3/2=2=2xl ®)=xl ®)=(1 — COS w)；(1 — COS w)；0)W /(0\X# (s) — 4 cos co cos E = 4 cos ~g~ (2 cos2 彳一1 丿，Х,2 3) = уз . g (2 + 3 cos(o) sin ~2 = ,§ . g sm 玄(6 cos2 芽 一 1 丿 8co 4 coХ?2 (to) =-cossin 万 sin co,摩(3)= -^= sin y(l- cos：3)=7= (sin ^『； X? 3) = 4 cos2(o + 2 cos co — 1,0)W /(0\X# (s) — 4 cos co cos E = 4 cos ~g~ (2 cos2 彳一1 丿，Х,2 3) = уз . g (2 + 3 cos(o) sin ~2 = ,§ . g sm 玄(6 cos2 芽 一 1 丿 8co 4 coХ?2 (to) =-cossin 万 sin co,摩(3)= -^= sin y(l- cos：3)=7= (sin ^『； X? 3) = 4 cos2(o + 2 cos co — 1,疗（3）疗（3）sin(o (1 4- 4 cos(o),sin(o (1 4- 4 cos(o),(53)(53)

J = 3/2

J = 3/2

=2

=2

xl ®)=

xl ®)=

(1 — COS w)；

(1 — COS w)；

0)W /(0\

X# (s) — 4 cos co cos E = 4 cos ~g~ (2 cos2 彳一1 丿，

Х,2 3) = уз . g (2 + 3 cos(o) sin ~2 = ,§ . g sm 玄(6 cos2 芽 一 1 丿 8co 4 co

Х?2 (to) =-cossin 万 sin co,

摩(3)= -^= sin y(l- cos：3)=7= (sin ^『； X? 3) = 4 cos2(o + 2 cos co — 1,

0)W /(0\

X# (s) — 4 cos co cos E = 4 cos ~g~ (2 cos2 彳一1 丿，

Х,2 3) = уз . g (2 + 3 cos(o) sin ~2 = ,§ . g sm 玄(6 cos2 芽 一 1 丿 8co 4 co

Х?2 (to) =-cossin 万 sin co,

摩(3)= -^= sin y(l- cos：3)=7= (sin ^『； X? 3) = 4 cos2(o + 2 cos co — 1,

疗（3）

疗（3）

sin(o (1 4- 4 cos(o),

sin(o (1 4- 4 cos(o),

(53)

(53)

x| 3) = J/(3 + cos co — 4 cos2 s),

X| 3) = 2 Jsin(o (1 — cos co), x2 ((o) = -|- У 4" (I — cos co)2.

ВИД 刀%取| (%3т) ПРИ ЧАСТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ УГЛОВ а, Мт

В формулах, приведенных ниже, п и 2 — целые числа.

刀%м，（°，°，°）= 'jfjr,（1）

曾%% （% 0, 7）=%&,「m8+Т），（2）

普3T а ±2神，Y）=打加（一产％‘Мa+Т）,（3）

叫火，a ±⑷+7）=匸加加（-1严"1）"嘎一匹f），（4）

刀厶置，（％ у, . = （—1 严-М етаМттМ'^, УЦм’Ь ；了 —血?）［21户（匕"凡；7上"，）.働

В частности, при целочисленных значениях 7 из (5) получаем

“Z — m) ! « + т) !»Xf“Z — m) ! « + т) !»Xfн ,八К —т)!(2 + ?п)!2川=(T JR宇)(守!н ,八К —т)!(2 + ?п)!2川=(T JR宇)(守!(6)(6)

“Z — m) ! « + т) !

»Xf

“Z — m) ! « + т) !

»Xf

н ,八К —т)!(2 + ?п)!

2川=(T JR宇)(守!

н ,八К —т)!(2 + ?п)!

2川=(T JR宇)(守!

(6)

(6)

刀«G，у » 7)= ^f (°) = 5/,2Я (-1)"式L/У '刀«G，у » 7)= ^f (°) = 5/,2Я (-1)"式L/У '(7)(7)2 * М~ г 2 + 1)' 8fc 丁《_m)《 + m)] +2 * М~ г 2 + 1)' 8fc 丁《_m)《 + m)] +

刀«G，у » 7)= ^f (°) = 5/,2Я (-1)"式L/У '

刀«G，у » 7)= ^f (°) = 5/,2Я (-1)"式L/У '

(7)

(7)

2 * М~ г 2 + 1)' 8fc 丁《_m)《 + m)] +

2 * М~ г 2 + 1)' 8fc 丁《_m)《 + m)] +

(8)(8)

(8)

(8)

Квадраты £)-функций при р = п/2 могут быть представлены в виде

[以М，(а, у , т)了[以М，(а, у , т)了Таблицы численных значенийТаблицы численных значенийJ2*E(I)3' 2(I 产 ^Ц^С%-* 哂3，・ &=0, 2,4,.. ♦刀&，(°，У，0)三 d%M，修)при 0《J《5 даны в 4.21.J2*E(I)3' 2(I 产 ^Ц^С%-* 哂3，・ &=0, 2,4,.. ♦刀&，(°，У，0)三 d%M，修)при 0《J《5 даны в 4.21.(9)(9)

[以М，(а, у , т)了

[以М，(а, у , т)了

Таблицы численных значений

Таблицы численных значений

J2*E(I)3' 2(I 产 ^Ц^С%-* 哂3，・ &=0, 2,4,.. ♦

刀&，(°，У，0)三 d%M，修)при 0《J《5 даны в 4.21.

J2*E(I)3' 2(I 产 ^Ц^С%-* 哂3，・ &=0, 2,4,.. ♦

刀&，(°，У，0)三 d%M，修)при 0《J《5 даны в 4.21.

(9)

(9)

ВЙД 爾〃("，3 Y)ПРИ ЧАСТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ИНДЕКСОВ

М=0 или ЛГ = О, (J=Z—целое)

。編(а, В，¥)= (—1)т У'2* 1 Yl~m 他引=У 2聋 j УЛ» (В，哈

06m (% В，7)=У肃и у—他 ¥)=(т)" У舟 у加(В，力

В частности»

»%(% В，Т)=巧(COS В),sin В爾£о(а，В, Т)=干е%«方〃丄行 P'i (cos p),

必±1 (а，В, Т) = ±е"Т万署灯巧(C°s В),(2)

%2°(а，В，丫)=宀｛-匕」^ 力 Р, (COS В) + 仄])；(М)故 + 2) °； MS 吨

fI 〃 + 1)~2 cos в)

必±2 (а, В，Т) = е千肉｛一 J/(2一1)(? + 2)巧(cos ₽)] + 而亍而存而育 PJ (cos ₽)].

М— ± 1/2 или 財=±1/2 (J—полуцелое)

.土Vk f чГ/±Мг + 1_

"^7^1 {± VУ“/…(0，I)+

+ У 丄挈"Yj_% ¥%_M，偉，Т)},

或土% (% 3 T)=(-l) 2 e 2 二 "1土了 了+丁 K/Wf/T(瓦a)干v2/ + 1 sin ~2

+ M今偉,a)}.

В частности,

T 出 COS у

%, (a, 3 Т) = e 2 — {Pj+1/工 (cos 0) - Pj_% (cos p)},

sin у

。“一，/, (a，В，T) = —e 2 J" {Р；+>/, (cos B) + 巧一％ (cos 0)},

Z+T(4)

8

产丫 sin ~2

圮(a，B，Y) = e 2 — {P；+% (cos 0)十 Pj_% (cos ₽)},

в

严т cos у

叫一％ (a, В, T) = e 2 — {P；+% (cos ₽) — (cos (3)}.

7+T

M— +1 или M' = ±1, (7= Z—целое)

pilm (а> В，丫) = e%“ J/[ ,7 牛 j；2Z 尹){干 d(2 _ m) a + m + 1) ^~? ；°s в у?*—】(舀 >)е" +

,1 + cos 8'

(5)(5)+ m sin0уг_т 偉，T) 土 V"十询(Z -?n+l) 一^y?力+1 (0，7)eF

(5)

(5)

必 土l (a，В，Y) = e 衣T (T 严，/ “—爲 + 1){干""一向(?+"* +1)'+产 Y ^ 偉，a) e<. +

+ m sin BXf 偉，a) + VI тп) (Z二加十1) _ 2 产 Уi-m+i (3 a) /加卜

В частности,

1 + cos В 必и (a, 3 7)= e4«F 寸+ 斤{門(cos Й + (1 T cos 0) Р? (cos 3)},

1 工 cos 3

從it (a, R, 7)= e««+<T %+ 了 {P； (cos ₽) ± (1 ± cos 0)巧(cos 0)}.

M= ± (/—1 или М'=± (/—1)

壮11n （a，В，Y）=（一1尸7匕/代缶；工壮11n （a，В，Y）=（一1尸7匕/代缶；工(sin 万) [J cos В _ m}尸(口)1 叫(sin 万) [J cos В _ m}尸(口)1 叫

壮11n （a，В，Y）=（一1尸7匕/代缶；工

壮11n （a，В，Y）=（一1尸7匕/代缶；工

(sin 万) [J cos В _ m}尸(口)1 叫

(sin 万) [J cos В _ m}尸(口)1 叫

艺+1»,(% 卩，Y)= *，T)fT j/"十^!(；二叫『(cos уУ 1 (sin g)""彳 J cos 卩 + 矶Djj-1 (a，R, Y) = e-g)i« )/(,」：；彳；二加)！ (COS gin g){/ ^ p _ 向，

片7+1 (а, P, 8 (_1严"1 e+g)fa H(J+篇%竺硏(cos I■广 7 (sin g)"2 卩 C0S P + M

M = + J или Mr = ± /

%(а，3 T)= F(/ +“)一! (cos(—sin

°& 3 ¥)= "/+ /；!?；_ 行! (cos ■!•)，M(sing)"MjJiMY,

%j(a, P，¥)= ]/"+，:!?； _ 应! (cos (sin ^丫

%7(a, 3 ¥)= У (J + /；!力一的)! (cos 歹"(—sin М"е"М«+，

Явный вид d^, (р) при J=0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2, 4, 9/2, 5 дан в 4.21.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ 0%火,(а, 3, 丁)

Вид D3W (a, R, т) при /》1

0%М，（а，3, 丫）弋 е-МаТМ，咤мм，）/ （:工*$*）■! X0%М，（а，3, 丫）弋 е-МаТМ，咤мм，）/ （:工*$*）■! X

0%М，（а，3, 丫）弋 е-МаТМ，咤мм，）/ （:工*$*）■! X

0%М，（а，3, 丫）弋 е-МаТМ，咤мм，）/ （:工*$*）■! X

Индексы 5,步,丫 связаны с 7, М, М} соотношениями 4.3(14), величина Емм，дается форму лой 4.3(15).

Если J->8, а р -> 0, так что jp~> const, то

%M，(a，8，'叮м-т 6)，(2)

где /*(с) — функция Бесселя.

Вид D^x, (a,卩，* при R《1 и п —В《1.

При р《1При р《1^（. p，仙产…，鲁］/运+話*:产）I *^（. p，仙产…，鲁］/运+話*:产）I *2s ($+出 + * + 1)十У(廿 + 1)2佃十2)2s ($+出 + * + 1)十У(廿 + 1)2佃十2)（打+-卜（打+-卜(3)(3)

При р《1

При р《1

^（. p，仙产…，鲁］/运+話*:产）I *

^（. p，仙产…，鲁］/运+話*:产）I *

2s ($+出 + * + 1)十У(廿 + 1)2佃十2)

2s ($+出 + * + 1)十У(廿 + 1)2佃十2)

（打+-卜

（打+-卜

(3)

(3)

ТАБЛИЦА 4.2

Автор, работа» год

Последовательность поворотов, углы и оси вращения

Вид преобразования из системы в систему

Связь функций, используемых в работе （левая, часть）, с D-функциями данной книги （правая часть）

Эдмондс [1в], 1958

Роуз [31], 1957

Бринк, Сэчлер р»], 1968

Месси , 1960

Тинкхэм 严], 1964

Ньютон [28], 1969

Балдин, Голь- данский, Розенталь 网, 1968

Де Шалит, Тальми [32], 1963

ДоЛГИНОВ Р4 1961

Давыдов [12], 1963

Бор, Моттель- сон I8], 1971

Вигнер I43], 1961

То же

》 》

» 》

» »

》 »

Wz№*e 田

То же

» »

^Р\ ¥'） = £Wjm（8, у） D^ （а, в, 丫） То же

» » » »

» 》

》》

》》

Wjm（8, ?） = 5^ S，3 Y）Wjm，（8', У）

То же

里J"（8'，吟=工叮м（8，?） ^（«. £ Y）

"Йр（% * Т）=D〃jtf‘（a，3 7）

То же

» »

» »

》 》

» 》

» »

» 》

"%ЛР（а，因 Т）=01слп（ —а, "-3 —Т）

То же

0%др（а，% Y）= 0%лг （% 3 Y）

0」（｛а, ₽» 7｝）jfjf/= D%m‘（一％ —9, 一7）

Роуз [30], 1955

е'“ 力 е‘

%ё打力

里jm，（8'，¥'） = W^J"（3, 6。矗，（％ м

В, Y）

0%%（% 3 7）^^iif^ —% —3 —7）

Эдмондс [м], 1957

Фано, Рака [18], 1959

Берестецкий, Лифшиц, Питаевский [в], 1968

Гельфанд, Минлос, Шапиро [吗，1958 Любарский [26], 1958

Виленкин [41], 1965

Юцис, Банзай- тие [4可，1965

То же

» »

» »

&Та『х e-i^Xq~^г

То же

» »

» »

То же

» 》

叮М（8, ¥）=工旳м，（У，/） D% （а，В, Y）

^jMr （8、¥‘）=工。戈力（% 3 7）Wjjf（&，T）

То же

» 》

^^ilr（а> 3 Т）= 0%ЛР（—Т，一В，—а）

?3f，（а，р, Y）=（一严"'若№ （а, Вт）

О〃М，（а，В，¥）= （-‘）М-"'0%М，（а，Р，Y） &М，（а，В，¥）= （—?）"-"'力％м，& В，Y） °Йг & °，Т）= ?М-“ %”，（а, В, 7）

=一彳逼彦中'(J - W) (J +"‘ + 1) + nMjtt V(J + ^') (J - " + 1)，в. Поворот вокруг оси z на угол е (е<< 1)=一彳逼彦中'(J - W) (J +"‘ + 1) + nMjtt V(J + ^') (J - " + 1)，в. Поворот вокруг оси z на угол е (е<< 1)(5)(6)(7)(8)(5)(6)(7)(8)

=一彳逼彦中'(J - W) (J +"‘ + 1) + nMjtt V(J + ^') (J - " + 1)，

в. Поворот вокруг оси z на угол е (е<< 1)

=一彳逼彦中'(J - W) (J +"‘ + 1) + nMjtt V(J + ^') (J - " + 1)，

в. Поворот вокруг оси z на угол е (е<< 1)

(5)

(6)

(7)

(8)

(5)

(6)

(7)

(8)

При兀一b《i

唯，(。，В，件(f U(叶結#計 v) &

X，丁у « _ 2s (s + m + v + D+Mv + I) "By +}

Вид DuM, (а, В，т) для бесконечно малых поворотов

Поворот вокруг оси ж на угол s (е《1)

囲;[吟瓦'(一у. е, ^ — ^ltX^=—l<JM\fx\JM'y^=

=-京MM'+1 V(/-") (/+"' + l) - j^M'T V(J + W)(J_〃 + 1).

Поворот вокруг оси у на угол 8 (€《1)

Inn т [д^м, (0, е, 0) - %“,] ：= 一f «" I 力 I JM〉=

г. Поворот вокруг произвольного направления п(& Ф) на угол е (е <^ 1) 阳;[0%我'& 瓦 ^)—5^] = "£<;^1^ ^)/^> = -Ш cos OS^z —

_； sin 8 L① V(J- M>""*1) 5^41 -4sin0产"J，•加)(/一心 +1) 3jr*T・

В формулах (5)—(8) 了 является оператором полного углового момента (см. 2.1).

СОПОСТАВЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЙ 1>-ФУНКЦИЙ9 ИСПОЛЬЗУЕМЫХ РАЗНЫМИ АВТОРАМИ

В работах разных авторов использовались различные определения поворотов и D-функций* Их связь с определениями, принятыми в данной книге, дана в табл. 4.2.

20. ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ ДЛЯ d^,偉)ПРИ 1J2&J&5

В таблицах, представленных ниже, 〃%лп (В) даны как функции аргумента R при целых 7 и аргумента R/2 при полуцелых /・ При J》5/2 формулы приведены только йля тех функций йм<г(Р), у которых АГ> 0, a \Mf\^Mt Функции d^-jfл ф) при М<^0 или \МГ\^>М могут быть получены из этих формул с помощью свойств симметрии 4.4.

Формулы для явного вида функций 仪厶％ 偉)при частных значениях 7 имеются также в работах [116, 129].

Таблицы численных значений 成лп(В) приведены в работе [114].

ТАБЛИЦА 4.3

ТАБЛИЦА 4.4

ТАБЛИЦА

4.5

dMMr (В)

Мг

3/2

1/2

—1/2

— 3/2

3/2

cos 2

—Оз sin，

в

cos2

?—8В

v 3 sin2 -у cos 彳

—sin3

1/2

v 3 sin cos2~2~

cos^l

3 cos2

9、

sin -|-(3sin2 -|* — 2)

\/~^ sin2 -|- cos

p T

-〃2

0 3 sin2 -у- cos -у-

~sinT

(3 sin2 4" — 2)

cos -|-(3 cos2 亍—2)

y8

—V 3 sin ~2 coss

9

— 3/2

Sin3 -у-

sin2 ^-

cos斗

/-88

V 3 sin，cos2 №

3

cos3 -y-

ТАБЛИЦА 4.6

d^iMr (В)

、如 M \

2

1

0

-1

—2

2

(1 + COS 浒

sin В (1 + cos B)

"гК 4 siMP

sin В (1 — cos B)

(1 — cos В)?

4

2

2

4

1

sin 3 (1 + cos B)

2cos2 В + cos p — 1

—|/~ -|- sin В cos R

2 cos2 В — cos p—1

sin R (1 — cos 8)

2

2

2

2

0

4•厂pn%

1/ — sin В cos В

3 cos2 В — 1

2

—j/"等 sin В cos В

4/Tsin2₽

—1

Sin В (1 — GOSf)

2 cos2 В — cos В — 1

J ~ sin p cos P

2 cos? В + cos В — 1

sin В (1 + cos p)

2

一2

2

2

—2

(1 — GOS B)2 4

sin В (1 — cos 8)

2

4/Tsin2₽

sin В (1 + cos В) 2

([+ COS B)2 4

ТАБЛИЦА 4.7

"需ЛГ (В)

мг

М = 5/2

M = 3/2

5/2

3/2

1/2

-1/2

—3/2

—5/2

cos6-|-

;—вв

V 5 sin -у cos4 ~2"

10 sin2 ~2~ cos3—

,一b8

V 10 sin3-^" cos2 "2"

v 5 sin4 彳 cos 万

—sin6 -|-

3/2

1/2

—1/2

—3/2

cos3 "1" (1 — 5 sin2

—广习 sin 友 cos2 皆(2 — 5 sin2 -^-)

—V2" sin2 g cos "1"(2 — 5 cos2 £) sin3 ~|" (1 - 5 cos2"!-)

M，

W=l/2

1/2

T/2

ТАБЛИЦ

cos ~|~(3 —12 cos2 + 10 cos4 冬)

—sin "1"(3 —12 sin2 + 10 sin4

A 4.8

(S)

M = 3

Mr

M = 2

3

2

1

0

—1

—2

—3

百(1 + cos В)з

—0/ sin R (1 + cos R)2 ^ZEsin2₽(l + cos B)

—5 ■ sin3 В

v jL sin2 3(1 —cos ₽)

—0： . sin 3 (1 — cos p)2

—(1 — cos B)3

0

—1

—2

号2- sin2 В cos В

——-—sin § (1 + 2 cos В — 3 cos2 В)

1

—(1 — COS p)2(2 + 3 COS B)

1

0

—1

1

—X(1 + cos В) (1 + 1。cos В — 15 cos2 p)

^~- sin В (1 — 5 cos2 B)

—-g" (1 — cos 3) (1 — 10 cos В — 15 cos2 В)

M = 2

2

1

1

一勾('+ c°s P)2(2 — 3 cos 8)

Y；。sin p (1 — 2 cos p — 3 cos2 B)

ЛГ

M=0

0

——cos В (3 — 5 cos2 В)

ТАБЛИЦА 4.9

^MMf (В)

м

М = 7/2

Af = 5/2

7/2

7 3 cos7

—"1/2

VT" cos2 皆 sin3 "I"(3 — 7 cos2 手)

5/2

.—88

—* ¥ 7 cos6 -у sin ~2"

—3/2

—V3~ cos -|- sin*t(2—7cos2_r)

3/2

,一 вв

V 21 cos® 万 sin2 玄

—5/2

sin® (1 — 7 cos'

1/2

—¥ 35 cos4 彳 sin®-у

Mf

M = 3/2

1/2

—3/2

,一8. 8

—У 21 cos2 -g" sin®-^"

3/2

co资 £ (10 — 30 cos2 -|* + 21 cos4 ~|~)

—5/2

V 7 cos，- sine ~2

1/2

—V1F cos2 -|- sin "I*(2 — 8 cos2 "1" + 7 cos4 冬)

—7/2

—sin? -^

T/2

V15" cos "I" sin2 £(2 — 8 sin2 -y + 7 sin4 -|-^

М，

M = 5/2

—3/2

—sin& -|- (10 — 30 sin3 今 + 21 sin4

5/2

cos®— 7sin2

ЛГ

M = l/2

3/2

—V*3~ cos4 ^- sin -|~(2 — 7 sin2 号)

1/2

—cos 专(4 — 30 cos2 "|* + 60 cos4 手一35 cos® 斗)

1/2

^5 cos3 ^-sin2"|-^3 — 7shi2 斗)

—"1/2

—sin "1"(4 — 30sina ^ + 60 sin4 g — 35 sin eg)

Mf

M = 4

4Г

起=4

4

备(1 + cos p)<

一 1

—^^. sin3 p (1 — cos В)

3

-2-Л-81П₽(1+С03 削

-2

—-一 sin2 Э (1 — COS R)2

2

^^ sin2 В (1 + cos 吃

—3

—sin p (1 — cos R)*

1

—V g sin® В (1 + cos В)

—4

-^-(1 —cos 削

0

j51_ sin4 В

16 у

ТАБЛИЦА 4,10

ТАБЛИЦА 4.10 (продолжение)

м，

加=3

Mz

M = 2

3

—-g- (1 + COS P)8 (3 — 4COS В)

0

—X|2_ sin2 P (1 — 7 cos2 P)

―-—sin В (1 — cos p) (1 — 7 cos В —14 cos2 p)

2

—g— sin В (1 + cos р)2 (1 — 2cos p)

—1

1

0

—Y j sin2 В (1 + cos R) (1 — 4cos R)

—У：，sin3 R cos В

—2

•у (1 — cos В)? (1+7 cos В + 7 cos2 B)

-1

厅

sin2 p (1 — cos P) (1 + 4 cos P)

Mf

—2

—”Y_|^_ sin В (1 — cos p)2 (1 + 2 cos p)

1

1

-g- (1 + cos P) (3 — 6cos В—21 cos2 В + 28 cos3 §)

-3

-g- (1 — cos B)3 (3 + 4 cos p)

0

——sin R cos В (3 — 7 cos2 B)

—百(1 — cos p) (3 + 6cos В—21 cos2 p — 28 cos3 R)

лг

M = 2

—1

2

玄(1 + cos p)2 (1 — 7 cos p + 7 cos2 B)

M = 0

1

-5^- sin §(1 + cos В) (1 + 7 cos ? — 14 cos2 8)

0

1

-g- (3 — 30 cos2 R + 35 cos4 p)

ТАБЛИЦА 4.11

噬m偉)

Ж = 9/2

Mf

加= 7/2

9/2

COS9 r

7/2

cos? -|* (1 — 9 sin2 £)

7/2

В . 6

—3cos8 ~2 sin *2*

5/2

—2 cos6 手 sin(2 — 9 sin2 -|~)

5/2

6cos? -|- sin2 £

3/2

2 VST cos® 五 sin2 皆(1 — 3 sin2 ^)

3/2

—2 V 21 cos6 万 sin3 亍

1/2

—>/14 cos4 手 sin3 -|-(4 — 9 sin2 与)

1/2

3 V1T cos® -|- sin4 £

—1/2

—/14 cos3 冬 sin4 "I^G — 9 cos2 -|-)

—1/2

—3 ПТ cos4 力 sin8 方

—3/2

2 VIT cos2 -y sin8 £ (1 — 3 cos2 刍

-3/2

2 0"2r cos^ -|- sin®

-5/2

—2cos -|- sin6 "|-(2 — 9 cos2 £)

-5/2

ВВ

—6 cos2 ~2~ sin? ~2

—7/2

sin7 号(1 — 9 cos2

—7/2

3cos -|- sin8 -|-

W

M = 5/2

—9/2

-sin。—

5/2

cos6 鸟(21 — 56 cos2 冬 + 36 cos4 -|-^

М，М，ТАБЛИЦА 4.2 2 (продолжение)

М，

М，

3/2

/一30/88\

—0 21 cos4 -^ sin -^(5—16 cos2万+12cos4~g■丿

1/2

S 6 cos2 у sin 方(5 — 35 cos2 у + 70 cosg—42 cos6 学

1/2

V1T cos吟 sin2 ■|'(5 —20 cos2-|-+ 18cos4y^

-1/2

，6 cos^sin2 у ^5—35 sin2 -|--|-70 sin4-^ —42sin6 -|^

-1/2

—/П" cos2 -y sin3 g(5 — 20 sin2 -|--f- 18 sin4 "|*)

—3/2

—sin3 £(20 —105sin2 ■|~ + 168sin4-|- — 84sin6-g-^

—3/2

V"ST cos "|- sin4~|"(5—16 sin2y+ 12 sin4y^

—sin® -g-(21 — 56 sin2 -^* 十 36 sin4 手)

Mr

M=l/2

—5/2

1/2

cos "I*(5 —60 cosg + 210 cos4-|-— 280 cos6-|--|-

Мг

M = 3/2

4-126 cos8 "I)

• P ，L c • ВВ3

—sin 彳(5 — 60 sin2~j + 210 sin4 亍一280 sim 亍 +

—со$з~^(2О—105 c°s2-2 +168 cosg—84 cos6^

—1/2

3/2

+ 126 S也8另

М = 5/2

М = 3/2

ТАБЛИЦА 4.12

唯m（В）

Mf

M = 5

Mf

M = 4

5

1

(1 + cos В)11

4

1

—而(* + cos 3尸(4 — 5 cos B)

4

一装 sin 3(1+cos 渺

3

3*2 sin § (1 + cos §)3 (3 — 5 cos §)

3

2

О К

士謬-simp(1十 cos 8)3

一奪 Sins 3(1 +COS 妒

2

1

2 K

—Z~- sin2 ?(1+ cos 8)2 (2 — 5 cos B)

^ 21

sin3 8 (1 + cos 0) (1 — 5 cos 3)

1

0

今0 sin4 (3(1 + cos P)

一三江sins? 16'

0

—1

1^22 sin\e cos P

—^- sin3 3 (1 一 cos 3)(1+5 cos P)

—-1

XgIsin4p(l-cosB)

—2

2隐 sin2 3 (1 — cos 8)2 (2 4-5 cos 卩)

—2

-I_^L sinsp(l - cos 3)2

—3

—金豈 sin 8(1 _ cos a)3(3 + 5 cos 3)

—3

22^_sin2Mi-cos.e)*

—4

备(1 — cos R)4 (4 + 5 cos P)

—4

32

—,в? sin В (1 — cos B)4

1

(1 — COS 3)8

AT

M = 3

—5

3

笛(1 + cos 3)3 (13 — 54 cos В + 45 cos2 B)

ТАБЛИЦА 4.12 (продолжение')

лг

м = з

Mf

M = 2

2

—___ sin В (1 + cos В)? (1 — 12 cos р +15 cos2p)

—1

片

_^― sin В (1 —cos В) (1 +3 cos § — 9 cos2 В —15 cos3 p)

1

—У^. sin2 3 (1 + cos В) (1 + 6 cos В — 15 cos2p)

—2

1

—彳(1 — cos S)2 (1 — 3 cos R — 18 cos2 8 — 15 cos3 p)

0

黛 5皿36 (1 — 9 cos2t3)

— в? sin? В (〕一 cos В) (1 — 6 cos R — 15 cos2p)

Mf

M = 1

—1

—2

—___ sin p (1 — cos B)2 (1 + 12 cos В + 15 cos2 R)

1

(1 + cos p) (1 + 28 cos В — 42 cos2 S —

—84 cos3 В -|~ 4°5 co$4 3)

-3

-^y (1 — cos B)3 (13 + 54 cos В + 45 cos2 0)

0

—sin В (1 — 14 cos2 3 + 21 cos4 卩)

16

мг

M = 2

—1

-j^ (1 — cos 6) (1 — 28 cos В — 42 cos2 R + + 84 gos3 В + 105 gos& В)

2

1

彳(1 + cos 0)2 (1 + 3 cos R — 18 cos?。+ 15(；0$咽

M1

必=0

1

—彳-sinBa + cosp)(l —3 cosB —9 cos2В+15 cos3P)

0

—” ？。sin2 В cos R (1 — 3 cos2 В)

0

1

-g- cos В (15 — 70 cos2 В + 63 cos4 0)

21. ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ &，城,照)ПРИ у < Z < 5

С помощью d〃jr (子)можно вычислять значения D-функций Вигнера для произвольных углов а, р, у по формуле

以М，(a，3¥)=户%一"皿 2闻嘖管)%“伤尸”.

Эта формула может быть получена с помощью последовательного сложения поворотов. Ниже приведены таблицы d^, (у) для значений / = %, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2, 4, 9/2, 5 (табл. 4.13—4.22).

ТАБЛИЦА 4.13 噬传)

ТАБЛИЦА 4.14 dMM^ (у)

ТАБЛИЦА 4.15 %м‘ (у)

Х^ 卜 2 -1/2

10-1

М \

3/21/2-1/2-3/2

1/2 卜同一w万

11/2—4/万1/2

3/21/2VzТ—0倒2V^ ^3/2^ —1/2/2

—1/2 卜/可 1//^

0W1"0—1/<Г

1/2 vT/2V'2 —1/2^1 —I/2V2 /3/2 V2

—11/21/万1/2

—1/2 @2,21/2/2 —1/2^2 -/з/гу^

—3/21/2v^T ✓ 3/2VI /5/2V工1/2<2

ТАБЛИЦА &,16ТАБЛИЦА 4.17

吟М‘ (у)噬 М‘ (у)

\ лг м\

2

1

0

—1

-2 V

м \

5/2

3/2

1/2

—1/2

—3/2

—5/2

2

1/4

-1/2

<3/2/2

—1/2

1/45/2

1/4 <2

_®4/S

/5/4

-<5/4

/5/4^

1/4收

1

1/2

—1/2

0

1/2

Т/23/2

✓ 5/4/2

—3/4 忆

1/4

1/4

-3/4 VI

/5/4 ✓ 2

0

^/2^2

0

-1/2

0

<W212

<5/4

—1/4

-1/2V1

"2片

1/4

-^5/4

—1

1/2

1/2

0

—1/2

—1/2

/—1/2

®4

1/4

—1/2/2

-1/2V2

1/4

^5/4

—2

1/4

1/2

為/2V2

1/2

1/4

/-3/2

V3/4%

3/4 <2

1/4

—1/4

—3/4 <2

—5/2

1/4 V^2

<T/4 修

V下/4

V5/4

V下/4气

1/4心

ТАБЛИЦА 438

/м，/м，

/м，

/м，

М \^

3

2

1

0

—1

—2

—3

3

1/8

一国4万

后T/8

—VT/4

V 3 • 5 /8

1/8

2

<3-/4 VT

-1/2

国4"

0

一国4万

1/2

—VT/4 "

1

<ГТ/8

一欣4万

—1/8

VT/4

-1/8

—/У/4<2

V可石/8

0

0

-Vm/4

0

VT/4

0

—VT/4

—1

/Т378

<5/4 VT

—1/8

-✓7/4

—1/8

/У/4"

/П"/8

—2

g4网

1/2

/У/4 厅

0

一国4万

-1/2

-✓T/4 <T

一 3

1/8

VT/4 V2

V 3 • 5 /8

欣4

VTT/8

，点7"N

1/8

ТАБЛИЦА 4.19

dMM^(y)

\ AT

M X.

7/2

5/2

3/2

1/2

-1/2

—3/2

-5/2

—7/2

7/2

1/8 v^T

-万/8 VN

V3T7/8 VT

一店刁8 V2

<ГТ/8/7

—<3^7/8^

V778 vzy

—1/8 VT

5/2

VT/gVT

-5/8 <?

3 vT/8 VT

-VT/8 VN

—vT/8 V2

3^3/8>/~2

—5/8 厅

万/8"

3/2

vT^T/sv^T

—3 V3/8 V~2

1/8 VW

-^>1^

—VT疗/8VT

—1/8 Vzy

3 V3/8 万

-何7/86

1/2

VlTTIsVT

-VT/8 V2

一僧飞8《万

3/8 SN

3/8 vT

—vT^/8 V^

-U亏/8療

УП]8^

一 "2

VTT/sv^T

VT/8 VT

—^3^5/8 VT

—3/8 VT

3/8 VT

v^/m*

—/У/8 V2

—V577/8/7

—3/2

^TT/sVT

3/3/8 VF

1/8 vT

—G/8VT

—标"§/86

[/8/7

3 <3/8 厅

V^7/8万

—5/2

吃/8"

5/8 VT

3 VT/sVT

VT/8 VT

—<5/8 VW

-3 為/8 /2

—5/8/Г

一吃8万

—7/2

1/8 V2

"/8 VT

VTT778 V2

VTT/8 厅

XC]8n

/Г万/8 VE

VT/8 V2

1/8 V2

H9I/I

&A9『/£

纟人8/£

区人8gA

91/j^E

9® £

仆8］土卦

X/8/e

区人9Т/£

H9I/I

Z/6-

H 9"£—

W 91/i—

町 8/8-

分8/3一

91/"-

9®

?人8/；£人

五人8/S

工卜97/z

jj\9T/e

z〃一

以8/S

分中

0

8/2/—

8/"—

0

U5

包跡

h8/£

z/s-

ХМ/丄&\-

Z? 8/ 厶• £ L

0

J?Z〃

8/J?

8/少一

хлг/l-

0

Z/8/厶• £人

g Л 8/ £ • S Л

г/е-

91/山 £

91/上人

8/Q-

8/e?-

田8/6

勿8/£

8/切一

8/丄人一

9"工人

91/2 £

г/i—

9〃 Q L

91/丄人

8/"

8国一

г^ s/е-

Л?»/е+

8质人

8/々一

9吟一

91/" e

z/т

3図巨卜

分8/丄&-

0

2人Z/F

8/£L

8/Х?-

勿切

0

上/8/"斗一

Z/£

H 8/e-

〃8/C

勿小一

0

*

8/丄八一

0

ВМ/Т

纟人8/L

五人8/6

z/s

ХЛ91/6

XA 9T/L

“8怜

" 8/c勁一

9"必

91山

勿哂

卫人91/厶一

3/9"£

卫Л 9T/L

切 9Т/£

_^8/£-

2人8/丿£人

9"丄人£—

9I/Q£

五人也山一

工人購

ХЛ 91/£一

ХЛ91/1

Z/6

z/б—

z〃一

Z/S—

г/е-

г/т-

Z/T

г/е

Z〃

Z/6

\^ и

修尸编

9〃T

纱〃

8/Q

1/^1^

巴л也少

以力"

吟

口协

9力1

乃/l-

8/e—

I?勿厶L

8/丄?-

0

8/々

分"入

8/e

勿勿工

£_

8/АЛ

"勿"

川

3网一

г>^~

岂人少〃一

勿力"

L

仆方山一

8/丄八一

纟M/I

8/e

0

8/e-

^勿l

8/"

勿刃丄人

宜卜81J^

0

办力巨人一

0

s/е

0

зм/里?一

0

红813卜

0

13对分一

，8/人

£M〃

8/e-

0

8/e

每人》"一

8/“一

2人划"

J

8Ш

区人力"-

岂Л%1

打力7

H力丄人一

8/山

厶O/L

8/e

XA^/2?—

吟

0

8/工人一

3mL卜

8/8—

3〃

£

9〃F

3M/L

8/аа

五人%“一

勿8/心人

勿刃"一

8/“

勿勿L

9〃1

万

方―

L

0

£

V

U't vHMKavL

огл viiHirsvQ

g w、w -|- Hdn (小)、涼 p SSHHhvHe 3»S4W<H 3'y

М•D—eyHKU00 В0 r НЕРА

\лг м\

5

4

3

2

1

0

—1

—2

—3

—4

—5

5

1/32

—vT/16 /У

3 ^"5/32

一反1刨1：

V3 • 5 • 7/16^2

-3 万/16

Мз・5・7/16<2

3 VT/32

-vT/16 以

1/32

4

^5/16 V2

—1/4

9/16 V2

-為74

后刁16

0

—^3?7/16

G

—9/16 <2

1/4

—016 VT

3

3VT/32

—9/16 <2*

13/32

一国8 <F

—V^〃 6 V^

万万/16

—v^/ie^a

—^/8 V2

13/32

—9/16 "

3 VS/32

2

VJT5/8V2

—V3/4

V3/8 VT

1/4

一厅/8

0

广"8

—1/4

一切8 Vzy

金4

-G/8 V2

1

^3 • 5 • 7/16^2

—57/16

—v^/w^

厅/8

1/16

—V 亍3/8 VI"

1/16

厅/8

—VF7" 6 V^

—^3^7/16

V3・5・7/Z6V2

0

3VT/16

0

一后万/16

0 -

v^3/8 VE

0

-VrW2

0

后万"6

0

—3VT/16

—1

V3-5 -7/16V2

何万"6

—V^/16V2

一广"8

1/16

V汇石/8 VT

1/16

一万/8

—^3^7/16^2

V"7"6

V3 • 5 • 7/16V2

-2

^ЗТ5/8<Т

V^/4

气［8 VT

—1/4

—V~Tl8

0

VT/8

1/4

—^/8 6

—V3/4

-V3F8 V^

-3

3 032

9/16 VT

13/32

V§/8 VT

—^0/16^2

—V5W/16

—v^/ie^a

欣8 VT

13/32

9/16 VT

3 ®32

—4

vT〃6 VT

1/4

9/16 V2

<У/4

厅1/16

0

—V 亢7/16

-VM/4

—9〃 6 V2

—1/4

后"6厅

-5

1/32

v^T/ie^T

3 VT/32

GR6

V3-5-7/16V2

3^/16

V3.5-7/16V2

VM1/8VT

3 vT/32

vT" 6 VzT

1/32

ТАБЛИЦА 4.22

也因管）

4.22 ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ ДЛЯ。%取，(明 ®, Ф) ПРИ J = l/2, 1, 3/2, 2

\лг м\

1/2

1

0

—1

1/2

—1/2

cos 彳一i sin ~2 cos©

—tsin 2 sin ^e

—E sin ^ sin HL①1

33c

cos 彳 十 i sm 2 cos ® 0

-1

(cos~2 — i sm 2cos®丿

—i/J sin 号' sin 日i4* X

/0)w\

X (cos у — i sin ~2 cos 0丿

—1 sin -y smRe 丿

—i^ 2 sin g sin @е~гФ X /0)0)\

X (cos 2 — i sin 彳 cos©丿

1 — 2sin2 — siMR

—W 2 sin ^- sin @егФ X /0)3、

X (cos 芽 + i sin ^ cos®丿

—(sm 万 sin6e 丿

—W 2 sin 多 sin 0е~гФ X X (cos § + i sin § cos8)

/ co、2

(cos -^ 4- i sin -^ cos6 )

ТАБЛИЦА &.23ТАБЛИЦА 4.24

^мД-； @> ф)叫/м，3®，ф)

4・2-TAEJIsUA ФОРМУЛ ДЛН а^ т 屮 е- пр国 JN-23 广

W

2

3/2

1/2

—1/2

-3/2

3/2

/ адз、3

1 cos ~2 —i sin ~2 cos 01

—iV^T sin -y sin 0е~*ф X

/too>、2

X (cos 玄一f sin ~2 cos 0 )

—^ ^sin sin 0e~i4>^ 义 /.(0\

X(cos-y — i sin 彳cos8丿

i (sin sin Не-*0)'

—i/T sin 曰 sin 8е*ф X

(1—3 sin* В sin2 8)X

—t sin 多 sin 0е~гФ X

—V^T^sin -y sin 0e~i4>^ 义

/to3eV

X (cos у — i sin 0 cos ®丿

/tos、

X(cos т — i sin ~2 cos® )

义(2 — 3 sin2 -у sin2 ®)

X (cos 2 + i sin ycos© )

—1/2

—V^T (sin -j sin ®产)X /to.3

X (cos -y — i sin cos в I

—£ sin £ sin 0егФ 义

X(2 — 3 sin2 刍 sin2 8)

(1 — 3 sin2 -у sin2 ®) X

X (cos + i smcos 0 J

—1/3~ sin -y sin 灰一陋义

/ (o(o、2

XI cos n + i sin 0 cos 8丿

-3/2

I (sin 今 sin 8产)

—V3 (sin -j sin 8产)X

X1 cos 彳 + i sin ~2 cos©丿

—t/T sin -^ sin @егф X

X(cos，■ + i sm 彳cos8丿

(cos ~2 + » sin ~2 cos 01

ТАБЛИЦА 4.25

。弱м，3； в, Ф)

8 д・ А・ Варпхапович м €'

X

2

1

0

-1

—2

2

/ to, W、4

1 cos -y — i sin ~2 cos 8J

—2t sin 曰 sin 0е~гФ 义

/toto\3

X 1 cos у — г sin -у cos 0)

—VG (sin 曰 sin 仇一挽)X /to. to_\2

X1 cos *2* — г sin 彳 cos 8,

2i (sin -y sin 8父")义

X1 cos -y — i sin -y cos 8丿

(sin sin 仇"①)

ТАБЛИЦА 4.26

гл・•D—eyHKU00 В0ГНЕРА

\м

2

1

0

—1

-2

1

X

—2Z sin ^ sin ®/@ X

/ w.3c、3

1 cos -y — i sin 彳 cos ® 丿

(1 — 4 sin Gw-

у 城口2日) X

(o、2

sin -у cos® )

—W 6 sin 多 sin @е-гф X X (1 — 2 sin2 -y sin2©^ X

/0)(0\

X (cos 讶一i sin 彳 cos ® 1

-(sin у sin ®eT①)2 义 X(3 — 4 sin2 费 sid®)

2 t (sin 多 sin ®L①)X /W(0\

X (cos 2 ■)- Z sin 彳 cos0 J

0

-vT (sir X (cos у

■j sin 8产)X

—力 sincos ® )

—iV^" sin 彳 sin ®e'@ X X (1 — 2 sin2 扌* sin20^ X 义(以)50一i sin -2 cos@丿

1 — 6 sin2 2 sin2© X

X (1 — sin 2 多 sin2©^

X

X

i Vg sin g sin @е~гф X (1 — 2 sin2 у sin?®) X / (0 (0 、 (cos -y + i sin -^ cos® )

—V^ (sin g sin@e-i4>y X

/(o(o、2

X (cos у + 力 sin 万 cos® 丿

-1

X

2 力(sin (COST

•y sin В/4*)' X

—i sin -^ cos 0 )

-(sin -y sin 日产)* 义(3 — 4 sin2 у sin20^

—W 6 sin -J" sin ®e°①义 X (1 — 2 sin2 у sin 2®) X X (cos 2 + » sm 讶 cos® 丿

(

X

1 — 4 sin2 g sin2®) X

<w3、2

cos 彳 + » sin 讶 cos ® )

(0

—2г sin 彳

X (cos у +

sin ве-{ф X

w\3

sin -^ cos ©J

—2

(sin

y sin 日产)"

2i (sin ^ sin 8产)X

/33、

X (cos 万 + i sin g cos ® 丿

—VG (sin ^ sin 8产)X X I COS-g-H- I Sin -^- cos © )

X

—2i sin -y sin @егФ 义 cos 彳 + i sin 彳 cos ® 丿

1 cos 彳+ г

sin 彳 cos ® 丿

ТАБЛИЦА 4.26 (иродолжение)

Глава 5

СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Сферическая (шаровая) функция Ylm (8, у) есть однозначная непрерывная комплексная функция двух вещественных переменных 8 и у, заданных в интервалах 0* 冗,0《屮<2 冗.Она характеризуется двумя параметрами Z и иг, которые принимают значения Z=0, 1, 2, . . . и m=Z, Z—1, Z—2,.・ * —2. Таким образом, при заданном I имеется (2Z+1) независимых функций, соответствующих различным значениям т. Функция Ylm (8, у) и все ее производные однозначны, непрерывны и ограничены по модулю.

Важная роль сферических функций в квантовой механике определяется тем, что они являются собственными функциями оператора орбитального углового момента. Они характеризуют угловое распределение частиц, обладающих орбитальным моментом 1, квадрат которого равен I (2+1), а проекция на ось квантования равна т.

Коммутационные соотношения

Сферические функции Ylm (8, у) являются компонентами неприводимого тензора ранга I (гл. 3). Поэтому они определяются своими коммутационными соотношениями с оператором орбитального момента

[4, У®他叫="北元冃C]^lm^ &叫 (毋

где £步(8, <р) — циклические компоненты оператора £ (см. 2.2 (18)).

Трем коммутационным соотношениям, отвечающим ~=4, 0, —1, соответствуют три уравнения, которые можно представить в следующем виде:

厶t】y Im (8，屮)=+ I/2匕 *n±l (^» ?)»(2)

Дифференциальные уравнения

Из коммутационных соотношений (1) следует, что Yim (&, у) являются собственными фикциями операторов Z2 и Д:

(£2匕加(8,中)=2 口 十 !)%„.e，*

I ^Im (^> ?)~^^№ (^» 叫

или в развернутом виде

[而^丽(疝18丽)+而福麻十"" +分卜皿他中)=仇

L西+ m J匕齡(8,6=0.

Уравнения (4) инвариантны относительно любого из следующих преобразований:

а) Z Z■-1;

6，3 f —8 (или 3 f 冗一&);

в) иг->—m9 屮一>—'.

Граничные условия

Уравнения (4) являются уравнениями второго порядка и при фиксированных значениях параметров I и т имеют два линейно независимых решения. Однако лишь одно из них является регулярным, т. е. удовлетворяет условию | Y[m (^,中)卩<8, тогда как другое обращается в бесконечность при 8 = 0 и & = тс.

В квантовомеханических приложениях основной интерес представляют регулярные решения, которые и будут рассмотрены ниже. Выбор регулярного решения определяется следующими граничными условиями:

Ylm (&，? ± 2м) = Y/7n (3 ¥)，

级阪(3.*=0 =击%(8，中)]» = 0.(5)

Ниже рассматриваются лишь функции Ylm (8, ср) с целочисленными значениями параметров I и т (причем | 加丨《Z), поскольку только при таких значениях параметров удовлетворяются условия (5).

Нормировка

Дифференциальные уравнения (4) и граничные условия (5) однородны и поэтому определяют Ylm (^, ср) лишь с точностью до произвольного комплексного множителя, абсолютная величина которого определяется из условия нормировки.

Условие нормировки и ортогональности функций Ylm (8, <р)

]为[d&sinSy^e，⑴厶紋(8,⑴=(6)

о о

Иногда вместо Ylm (^, ср) используют функции С1т (&)?) (см., например, [9, 24J), отличающиеся от Ylm (&,屮)нормировочным множителем

Clm (^» ¥)= М费旨Y/挑(也力⑺

Функции Clm(^t 中)удовлетворяют условиям

2с/и(Э, ^С,_т (Э, ?)(-1)™ = 1, С1т (0, О)=5то,

m(8)

Go (8, ¥)= P/(cos8), Cim (0, <p) = D^ _m (0, 8, у).

Для этих функций условие нормировки и ортогональности имеет вид

)西)d8 sin 831n (8, у) Ci，m, (Э, у) = & M“3nmi,.(9)

о о

Выбор фаз

Разности фаз функций Ylm (&,中)и Ylmt (8,中)с т — т1 + i определяются коммутационными соотношениями (1). Пользуясь этими соотношениями, можно найти для каждого I относительные фазы всех (21 -f-1 функций Ylm (&,屮)с различными значениями т.

Общий фазовый множитель можно фиксировать, задав фазу одной из функций 匕切(8, у) при каком либо определенном значении аргументов, например

У/о (0, 0)=]/^Ш,(10)

При этом для комплексно сопряженных функций Y]m (S, ?) будут справедливы следующие соотношения：

У1т (^, ^) = У1т (^ -6 = J1 严匕f 他?).(И)

Из соотношений (10) и (И), в частности, следует, что функции У?。(8,中)вещественны при любых значениях аргументов, а функции Ylm (^, у) с 加#0 вещественны лишь при 中=0, 句т, 2兀/тп, 3冗修,и т. д.

Указанный выше выбор фаз соответствует широко используемому определению, принятому, например, Кондоном и Шортли [10] и др.

Иногда пользуются модифицированными сферическими функциями

%т(8,?)=#匕擁(8,*(12)

для которых

у%($，6 = (—1 尸7f (8,再(13)

Такой выбор фазы используется, например, в работах [6, 18].

Уравнение (4) и условия (5), (10), (11) полностью определяют вид функции Ylm (&,屮)・ Целочисленность параметров 2 и тп обеспечивает однозначность сферических функций,

Зональные, секториальные и тессеральные гармоники

Иногда вместо сферических функций Ylm (&,屮)используют их линейные комбинации

悶 F)=2【У/яг (8, ?) +У% (8, ?)1=|/4兀-・(「J^ijT cos (cos 8),

力切(机 6=%[У^®, +)—У%(8,喇=|/ 4兀(厂+而Т sm 呻P? (cos 8).

В отличие от Ylm (&,屮)функции ulm (8,屮)и vlm (8,屮)вещественны. Функции и1о (&, у) называются зональными гармониками^ поскольку параллели, на которых и1о (& 屮)=0, разбивают всю сферу на (Z4-1) зону. Функции иц (8, %) и 匕/ (8, ср) называются секториалъными зармониками, так как меридианы, на которых 乜爲(& 屮)=0,или 匕？ (3,屮)=0, разбивают всю сферу на 21 секторов. Функции и1т (8,叫 и vlm (S,屮)при тп%0 и 加=^4 называются тессералъными (или клеточными) гармониками, потому что система параллелей и меридианов, на которых u；m (8,屮)=0 или vlm (8,屮)=0, делит всю поверхность сферы на 2т (I——?п+4) клеток. Клетки, соответствующие положительным и отрицательным значениям функции, чередуются в шахматном порядке.

Уравнения, решения которых выражаются через 匕拼(&,中)

а. Решениями уравнения Лапласа в сферических координатах

V2/ (г, а, ^) = 0(15)

являются функции

3lm (r, 8, ^=rlYlm (&,?)и 沁7n (r, 8, 6=厂卜1У,擁(3,6，

называемые регулярными и иррегулярными (в соответствии с их поведением в точке г = 0) телесными гармониками. В декартовых координатах функции 3；т (г, 8,屮)представляют собой гармонические однородные по х, у, z полиномы степени I

储匕 1n 他？) = j/^Z^ (Z 十砌！(Z - m)! £ УТТТТТ (—^4^У (^^У "'(俗)

где р, д, г — целые положительные числа, удовлетворяющие условиям p-]-q~^r~l, р — g =тп. б. Решениями волнового уравнения Гельмгольца в сферических координатах

W +依]〃г, 8, ¥)= о(17)

являются функции типа zl (kr) Ylm (^,乎),где z< (Ат)= J/詣Z?+% (Ат) ес^ь сферические функции Бесселя, Неймана или Ханкеля I и II рода порядка %. Функции

3zm (г, 8, = (kr)Ylm (&,屮)и ^ltn (г,也屮)="仰(硏匕?)

называют стоячими сферическими волнами^ регулярными и иррегулярными в точке г = 0. Функции£親(г，з 6 ="碍)(6)匕锵(也?) и £龈д也⑴="九产仲)?®他6

называют бегущими сферическими волнами, сходящимися и расходящимися из точки г = 0・ При 左-> 0 уравнение (17) переходит в уравнение (15). Соответственно

З/т (г, 8,乎)—$切(〃也叫，a %m (г, 0,8, *

в. Решениями уравнения

[с _(I)忆宀｝ (г, 8, 1P) =0(18)

являются функции 務п(г，8, ^ = rnYlm(^ 办

В точке г = 0 функции /«т (г, 8, у) регулярны при п^ 0 и иррегулярны при п <0. При п = / или п — —2 — 1 уравнение (18) переходит в уравнение (15). Соответственно

乃锵(г，8, т) = 3/т (г, 8,叫方『(Г, а, ¥)=沁切(г，8,再(19)

Отметим, что приведенные уравнения наряду с перечисленными выше решениями, регулярными по &, имеют решения, иррегулярные по 8, которые содержат вместо Ylm (^,屮)〜尸丁 (cos 3) е‘1ntp функции QT (cos Я) eimt?(где P^ (ж) и Q?(力)一присоединенные функции Лежандра I и II рода [4, 27]).

ЯВНЫЙ ВИД СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙИ ИХ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ФУНКЦИЯМИ

Сферические функции Y(m (&,屮)можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от <р, а другая только от 8. Они выражаются через присоединенные полиномы Лежандра Pf (cos 8) по формуле

Yirn 他 f) = е*м У 'it 1 £ + 器 P?(cos 8)•⑴

Сферические функции Ylm (8,屮)равны нулю при \ т\^>1 [1^т — целые), тогда как 尸了 询(cos 8)济 0 при \ т\^>1. Для функций Ylm (8, у) с | zn |《Z справедливы приведенные ниже выражения [ 4, 22? 27].

Дифференциальные выражения для Ylm (&,中)

(2)⑶(4)(5)(2)⑶(4)(5)2,2諾М守至^吁冷……

(2)

⑶

(4)

(5)

(2)

⑶

(4)

(5)

匕 1n (».力=(-1)"諾 /51 二僚(sm 8产就証(CN8 -小' 匕 1n (3, ¥)=号 У闲/片工-⑺! (ctgТ)И(7^&У【d + cos 8)f (cos 8 -1)'+門,

匕 1n 他 6 =(—屮号 И 硏i+^K—g! (tg T)m Q^)'【(cos 8 + 1)“" (cos 8 — l)f ].

Сферические функции 匕切(8* 中)могут быть представлены в виде производных от полиномов Лежандра

匕 „.(8，?) =(-屮 e，唄)/(Sin ^^^^P, (cos »).⑹

(m》0)

Формулу (6) можно применять не только при тп ^ 0, но и при ?п <0, если полагать

(+) ‘% (出)三]Ij 7 (⑴喫•：如,•⑺

1 11|m|

Представление Ylm (&,中)в виде степенных рядовтригонометрических функций от аргумента 8/2

В приведенных ниже формулах суммирование производится по целочисленным значениям s,

при которых под знаком факториалов стоят неотрицательные числа. Величина Ст0 определена

дующим образом：

(—1 严 при т〉0,

слесле(8)(8)Yhn®, ^ = (-1Т^У~Yhn®, ^ = (-1Т^У~+ 1 [(£ + m)4兀 (Z — тп)+ 1 [(£ + m)4兀 (Z — тп);储»尸8;储»尸8(2 + 5) ! (% — $) !(2 + 5) ! (% — $) !芻"(8, ¥)= I严$叫 /^^ S 工閣(sin4 • cos I)™ 2(一兮芻"(8, ¥)= I严$叫 /^^ S 工閣(sin4 • cos I)™ 2(一兮(s1nl■丿si (s 十 тп)!，(C +7ra+ s)! 讶丿(Z — m — s) ! *s ! (s + m)l，(s1nl■丿si (s 十 тп)!，(C +7ra+ s)! 讶丿(Z — m — s) ! *s ! (s + m)l，(10)(10)e, 6=小中了味^e, 6=小中了味^{I — m) ! • Q + m) !{I — m) ! • Q + m) !^т2^1-а^т2^1-а/ . 8\2(j) (2Z s) !《也彳丿/ . 8\2(j) (2Z s) !《也彳丿s! (Z — s) ! (I — m — s) !，s! (Z — s) ! (I — m — s) !，(11)(11)Yb» 他 ¥)= (-()%'叫)/^^・Yb» 他 ¥)= (-()%'叫)/^^・(£ 十 m) !(Z 一 m) !(£ 十 m) !(Z 一 m) !М少 Е(тМ少 Е(т(Z + S) !(Z + S) !(cos у)2*(cos у)2*(I — s) ! * S ! (s 4- 7П)I *(I — s) ! * S ! (s 4- 7П)I *(12)(12)Yim 他?)= (一1) JF M^Z^ • +； 4■崙i，(sin У cos 4) 2(-')'Yim 他?)= (一1) JF M^Z^ • +； 4■崙i，(sin У cos 4) 2(-')'/8、2$(Z + zn + s)!/8、2$(Z + zn + s)!(Z — тп — s) I s! (s + m) !，(Z — тп — s) I s! (s + m) !，(13)(13)%)В (8,中)=(一1)5/呻 J/必%)В (8,中)=(一1)5/呻 J/必4- 1 (I — m) !4k * (Z 十 m) !4- 1 (I — m) !4k * (Z 十 m) !(tg?"E(T)f(tg?"E(T)f/8\2(Zt)(2Z —s) ! .(cos~g•丿 s! (Z — s) ! ' (% — m — s) ! */8\2(Zt)(2Z —s) ! .(cos~g•丿 s! (Z — s) ! ' (% — m — s) ! *^im В，¥)= 8(/呻广"亡'V(C + m)! (Z —m) ! Z! | m |! (cos 勁"£^im В，¥)= 8(/呻广"亡'V(C + m)! (Z —m) ! Z! | m |! (cos 勁"£i)G4T 阿i)G4T 阿! (s -|- I m I) ! (Z — s) I (Z — I m I — s) ! f! (s -|- I m I) ! (Z — s) I (Z — I m I — s) ! f(15)(15)Y5®，¥)= ^0(一旷"唄]/ -Y5®，¥)= ^0(一旷"唄]/ -+ 1 47c+ 1 47cV«}m) ! (2—zn) 1 l\\m\\ (而冷V«}m) ! (2—zn) 1 l\\m\\ (而冷/0 \2а+|т|( — 1)8 (ctg yj/0 \2а+|т|( — 1)8 (ctg yjs!(s + |Tn|)!(Z —s)!(Z —|m[ —s)f *s!(s + |Tn|)!(Z —s)!(Z —|m[ —s)f *(16)(16)1при т 忘 0.

сле

сле

(8)

(8)

Yhn®, ^ = (-1Т^У~

Yhn®, ^ = (-1Т^У~

+ 1 [(£ + m)

4兀 (Z — тп)

+ 1 [(£ + m)

4兀 (Z — тп)

;储»尸

8

;储»尸

8

(2 + 5) ! (% — $) !

(2 + 5) ! (% — $) !

芻"(8, ¥)= I严$叫 /^^ S 工閣(sin4 • cos I)™ 2(一兮

芻"(8, ¥)= I严$叫 /^^ S 工閣(sin4 • cos I)™ 2(一兮

(s1nl■丿

si (s 十 тп)!，

(C +7ra+ s)! 讶丿

(Z — m — s) ! *s ! (s + m)l，

(s1nl■丿

si (s 十 тп)!，

(C +7ra+ s)! 讶丿

(Z — m — s) ! *s ! (s + m)l，

(10)

(10)

e, 6=小中了味^

e, 6=小中了味^

{I — m) ! • Q + m) !

{I — m) ! • Q + m) !

^т2^1-а

^т2^1-а

/ . 8\2(j) (2Z s) !《也彳丿

/ . 8\2(j) (2Z s) !《也彳丿

s! (Z — s) ! (I — m — s) !，

s! (Z — s) ! (I — m — s) !，

(11)

(11)

Yb» 他 ¥)= (-()%'叫)/^^・

Yb» 他 ¥)= (-()%'叫)/^^・

(£ 十 m) !

(Z 一 m) !

(£ 十 m) !

(Z 一 m) !

М少 Е(т

М少 Е(т

(Z + S) !

(Z + S) !

(cos у)2*

(cos у)2*

(I — s) ! * S ! (s 4- 7П)I *

(I — s) ! * S ! (s 4- 7П)I *

(12)

(12)

Yim 他?)= (一1) JF M^Z^ • +； 4■崙i，(sin У cos 4) 2(-')'

Yim 他?)= (一1) JF M^Z^ • +； 4■崙i，(sin У cos 4) 2(-')'

/8、2$

(Z + zn + s)!

/8、2$

(Z + zn + s)!

(Z — тп — s) I s! (s + m) !，

(Z — тп — s) I s! (s + m) !，

(13)

(13)

%)В (8,中)=(一1)5/呻 J/必

%)В (8,中)=(一1)5/呻 J/必

4- 1 (I — m) !

4k * (Z 十 m) !

4- 1 (I — m) !

4k * (Z 十 m) !

(tg?"E(T)f

(tg?"E(T)f

/8\2(Zt)

(2Z —s) ! .(cos~g•丿 s! (Z — s) ! ' (% — m — s) ! *

/8\2(Zt)

(2Z —s) ! .(cos~g•丿 s! (Z — s) ! ' (% — m — s) ! *

^im В，¥)= 8(/呻广"亡'V(C + m)! (Z —m) ! Z! | m |! (cos 勁"£

^im В，¥)= 8(/呻广"亡'V(C + m)! (Z —m) ! Z! | m |! (cos 勁"£

i)G4T 阿

i)G4T 阿

! (s -|- I m I) ! (Z — s) I (Z — I m I — s) ! f

! (s -|- I m I) ! (Z — s) I (Z — I m I — s) ! f

(15)

(15)

Y5®，¥)= ^0(一旷"唄]/ -

Y5®，¥)= ^0(一旷"唄]/ -

+ 1 47c

+ 1 47c

V«}m) ! (2—zn) 1 l\\m\\ (而冷

V«}m) ! (2—zn) 1 l\\m\\ (而冷

/0 \2а+|т|

( — 1)8 (ctg yj

/0 \2а+|т|

( — 1)8 (ctg yj

s!(s + |Tn|)!(Z —s)!(Z —|m[ —s)f *

s!(s + |Tn|)!(Z —s)!(Z —|m[ —s)f *

(16)

(16)

Представление Yim (&,屮)в виде степенных рядовтригонометрических функций от аргумента %

В формулах, приведенных в этом пункте, индекс суммирования s пробегает либо только четные, либо только нечетные значения в соответствии с условиями, указанными под знаком суммирования. Суммирование производится по таким значениям s, при которых факториалы, стоящие в знаменателе, не обращаются в бесконечность.

丫^偿，f^^F iiz (I + m^l (I — т) 1 X

《,(" + s)!(一")！！(z 一 询！！，.

2(T)(s4-m)!! (s —да)!!' (/4-s) 1! (Z —s) 1! (sin °)

при I — m четном,(⑺

, ^^ (Z 十 s) I (% + тп —!)!!(/ — тп — 1) I!.

cos 8 2(-1) (S 十 тп) !! (s — тп) !l. (C + s —1) !! (C—s —1) !!(sln % 尸

8=|m|,冋十2,...

при I — m нечетном.

匕 1n (», ?) = е，•呻｝砌十浒Ji (sin 8)' X

弋I(/ + ；n)!!(C-7n)!!(2C-S-1) !!

(一) (Z 十 zn — s) !! (Z — m — s) !! * s !! (sin &)e 8=0, 2,…

(18)(18)при l — m четном,

(18)

(18)

/—l+m—s

a 、,_2- (% + m 一 1) !! (z — m — 1) !!.(22 - s) I!

( 一)(2 + 加一s)!!(Z — m—s) !! (s — 1) !! (sin 0)e

8^1, 3,...

при l — m нечетном,

_ _. 1 /2% + 1 (% — m) I . c p , 、一5— (2 4" m + s — 1) I! (cos 8尸，小

Ylm (», ?) = e*^ \• 77+^)T(Sln °)m 2(-1)(z」/s"!Я- (⑼

— s четное.

匕„.(8, ¥)= e^M^^(C+® !(C —®!(cos8)， e (一62g+叫！;($ _ 询 " •([??戸,(20)8=]矶 WI+2,…

匕皿他?) = е*^Г^(С + ®!(С —®!(sin8)'E(—пЬа + т — ,)!!：/ — ” — ^)^^^ (21)

— s четное.

Квадрат модуля сферических функций можно записать в виде следующей суммы:

1%》他中)|2=y2 (一1产'"方二击s=l?n|, [wtl+1,1%》他中)|2=y2 (一1产'"方二击s=l?n|, [wtl+1,(2s —1)!!(2s) !!(2s —1)!!(2s) !!(sin a严(s — zn) ! (s + zn) !(sin a严(s — zn) ! (s + zn) !(22)(22)

1%》他中)|2=y2 (一1产'"方二击

s=l?n|, [wtl+1,

1%》他中)|2=y2 (一1产'"方二击

s=l?n|, [wtl+1,

(2s —1)!!

(2s) !!

(2s —1)!!

(2s) !!

(sin a严

(s — zn) ! (s + zn) !

(sin a严

(s — zn) ! (s + zn) !

(22)

(22)

Представления У/т (&,叫 в виде гипергеометрических рядовот тригонометрических функций аргумента 8/2

%他 ^^^/^P^-f^^^/-Ы-1 + 1； l-l + l； sin^), (23)

^(8, AIL e"屮‘工(С十^ (工可雪0总汽砲計"卜，T + M-C; -^j.(24)

Ylm^, у) = (―1)；-％。小丫器+ 皿，C + g + 1； |m| + l; cos^), (25)

^moe^=^^^T + m； i 京)，(26)

Уги (&. ?) = ?иое^ )/ГЕЛ±ИП (tg iym，(cos ±уг F[-l+\m\, -I- |m| + l;-tg 哼)，(27)

Yim (8, ?) = ТУ* 工。e‘唄 M^^ •]g® 依 4r 依刍 E-+g, т g+一吟)•吩

Представление 匕„,(8, <р) в виде гипергеометрических рядовот тригонометрических функций аргумента 8

%®, ¥) = 3”"糕1%®, ¥) = 3”"糕1(Z + I m I) ! (sin 8)询(Z — I m I) I 2i加 I тп I !(Z + I m I) ! (sin 8)询(Z — I m I) I 2i加 I тп I !/ l — I m I Z I m I 4- 1,. „ n\

%®, ¥) = 3”"糕1

%®, ¥) = 3”"糕1

(Z + I m I) ! (sin 8)询

(Z — I m I) I 2i加 I тп I !

(Z + I m I) ! (sin 8)询

(Z — I m I) I 2i加 I тп I !

尸(2—, 2； lml + l； sin2 »J

при I + m четном,

_ _ /% — I m I — 1 Z Ц- I /и I Ц- 2,、

cos 8尸(^-, 2； \m\ + !； sm2%)

при Z + m нечетном.

匕 1n (8, Y)=，呻小7/丄一(2Z - 1)!! (Sin 3)； X

一产尸(一宇,--号;急)

при I 4-771 четном,

(-1) ctgSF一2>2；； -Ж^丿

при Z 十 m нечетном.

,看М(3, P)=内，］/［砌£若『7 (sin 8产X

(—1) (Z + m — 1) \ \(l — m—1) !! 7^( — —^― , ^； 万；cos? 8)

XXпри Z -J- m четном,

X

X

Z+jh—1

(—1) (I ^ m) \ \ (I — m) \ \ cos 8尸(2，2； 万；cos2 8丿

при I 十 т нечетном.

У说(8,屮)=(-l)m e‘耽 1/ 7-万「：扌 3(勿-П "(cos 3У(tg 旷 X

/2 - m I — m - 1 2Z — 11 \

X F ( Г-，^；2 — ； ёё期•

(30)(30)(31)(31)侬丿侬丿%(3, 8 ЕМ'/空丄壮一開(cos 9)?瑞器r P (一 L^Ll, 一"明一l；lml + l； Tg23),(33)(3 Р)=…九"彳2；加二^ ⑸П»X

(30)

(30)

(31)

(31)

侬丿

侬丿

(-1)(2 + m - 1)!!(Z — m — 1)!!尸(一一^——2—；方；-ctg? 8)

Iпри % + 皿 четном,

X 1+т~1

(™1)(2тт)Н(2 —m)!!Gtg3^(^,—-f——；у； -ctg2 ^

при Z + m нечетном.

Связь Ylm (^,中)с гипергеометрическими рядамиот экспоненциальных функций

У lm 他?) = - L 7 ' Z + m ! 口 - m I ■~切！八 / X

X le-'^^J^fm+y , Z4 ™+ 1； Z + ^; еТ'9)—е'У+мВ尸 6 + ^ , % 斗 тп+l; Z + у ;,(35)

匕1n (8，6 =-小呻КT- (Z +小(f)!研:誅不 X

x[e I」尸 +芽，T-ro; Z + y； 2БГГ/~

Z + 讶；—為直3 丿卜(36)

Связь 匕力(8, ?) с другими специальными функциями

а. Связь Ylm (&,屮)с D-функциями Вигнера Dxs» (а, р, 丁) (см. гл. 4)

YIm(^ ?)= ]/?LtloU(x. $, ?) = (-i)mJ/r^^^(x. з,「)=

=(I严 /^^ D吼。回 8，X) = )/矮工〃係(R % X),(37)

где % — произвольный угол.

б. Связь YJm (^, <р) с полиномами Якоби 尸户°)(忆)

%m(3, 6 = Jo 2^]/^^(Z + W-m)i (sin8尸P^^ (cos 3).(38)

в. Связь Ylm (&, ср) с полиномами Гегенбауэра C；(忆)

% (%, ▼) = E"呻 У^-. £工關(2|m|-l)!!(sm»)'-i 理薔％os 8).(39)

Представление Y^, у) в виденеприводимого тензорного произведения произвольного вектора г

Ylm (», ?) = ±Ь/^Ш)Л{...{{г®г},®Г}8(40)

где г — длина вектора г, а 8,屮一сферические углы, характеризующие его направление.

5・3・ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Пре дет явление Ylm (&,中)в виде интегралов,пределы которых зависят от 3 [4,22,27]

cos 3 cos 3cos 8

Ylm (», ?) =^/^^- ^Z^)1!(ет)5Г J J J P；(cos3)(dcos3严，(m》0).⑴

111

Эту формулу можно рассматривать как обобщение дифференциального соотношения 5.2 (6) на случай тп<0.

Формулы Мёлера—Дирихле

v^ .~« —m)!「cos[(2Z +1) ■|•]d 屮

%m (%,中)=(一严 T e 可卜 IS- ， (т+туГ(2m 一分"I ^T .(m > °)-(2)

У(GOS 屮一COS 8)2

伤.+ 1—f sin T(2Z + 1)у]йф

^lm^ ^= — ^У^-^^\J2~)^Tj> (^>0),(3)

£ (cos 8 — cos 屮) 2j

В)匕协(3, f) = (-1 严е‘叫]/^^. ^^]加—f)；(sin3严 J P,(cos 屮)[cos 屮一cos 町”觴 cos% (m〉0).(4)

cos 8

Представление 匕”($, <p) в виде определенных интегралов в конечныхпределах [4,22,27]

(5)(6)(5)(6)…8空f结e! (Z — m) !吉][cos % ± i sin 8 cos 屮]"cos (?n屮)&屮，о

(5)

(6)

(5)

(6)

Y…1/-WT)-“ [ ©OS ⑺屮)叫

加(，叩一 兀 У 4兀(Z + m) ! (Z —⑺！ "，(cos^ + f sin^ cos ф)/+1

При(р = 0 комплексное сопряжение не меняет значения правой части равенства, поскольку Ylm (&, 0) вещественно.

Ylm (^> ▼)=•(秘-М"У(" + m) ! (Z — т) !存][cos ^ ± i sin 8 cos (屮一勒]W«*屮d%(7)

о

Yim (%，?) = Ц?" У4K (Z 十 £)$(； — m) ! l' ](cos 3 干》sin 3 cos (屮-喇*】小屮d屮.(8)

о

Соотношения (7) и (8) являются модификацией формул (5) и (6).

(—l)m , "22 一 1 ―(2 + mfT (sin 8产 ；,

(9)(10)(9)(10)В) Ylm (3, 6f — e‘呻 |/ F~ •♦.―询「(2m-l) f[)(c°s 3 土 i sin 3 cos 屮)—(sin 屮严叫，(от > 0),

(9)

(10)

(9)

(10)

О

(—1 产.】/22十 1 (Z + 用 (sin a)m f (sin у)2т^у

Ylm 他 % " ~~e‘呻 I 4兀 * (Z — m)l (2m —1) if J (cos 8 彳 £ sin 8 cos 幻*叫1，®》°)'

Формулы (9) и (10) переходят друг в друга при замене переменных интегрирования йо формулам

(⑴(⑴cos 8 cos х + i sin 8cos 8 cos 屮一i sin 8

(⑴

(⑴

GOS 屮= cos 9』t sin 8 cosx，C0S ~ cos & — t sin 8 cos 屮 *

Такое преобразование эквивалентно «зеркальной» симметрии, т. е. замене I на Z = —Z —1・

Представление Ylm (^, <р) в виде определенных интегралов в бесконечных 、пределах [4,22,27]

( со小I 厂 22 4-1.f ch (mi)a) im ( > <p)=-^-eF ]/ 募q+w —皿)|"卜7严! (cos%+7sin%ch t)E ( со小I 厂 22 4-1.f ch (mi)a) im ( > <p)=-^-eF ]/ 募q+w —皿)|"卜7严! (cos%+7sin%ch t)Ef ch (mt) dt，(cos 8 — £ sin % ch f)/+1f ch (mt) dt，(cos 8 — £ sin % ch f)/+1yim(3, 6 = 5 УЗА •胪需•黯％ Xк г4兀(4 — m) 1 (Zm — 1) Пyim(3, 6 = 5 УЗА •胪需•黯％ Xк г4兀(4 — m) 1 (Zm — 1) Пf(sh^a^dt:(sh 02m 曲](cos^4- i sin a ch t)l^m^ 丿(cos % — i sin % ch t"+«+if(sh^a^dt:(sh 02m 曲](cos^4- i sin a ch t)l^m^ 丿(cos % — i sin % ch t"+«+i(m》0).(m》0).6)6)匕m (3, ?) = (一1 严 e，•呻 / 聞“ + 訪)—®!-1 Lc°"3% 伯 sin 3) Mg匕m (3, ?) = (一1 严 e，•呻 / 聞“ + 訪)—®!-1 Lc°"3% 伯 sin 3) Mg(12)(13)(14)(12)(13)(14)

( со

小I 厂 22 4-1.f ch (mi)

a) im ( > <p)=-^-eF ]/ 募q+w —皿)|"卜7严! (cos%+7sin%ch t)E

( со

小I 厂 22 4-1.f ch (mi)

a) im ( > <p)=-^-eF ]/ 募q+w —皿)|"卜7严! (cos%+7sin%ch t)E

f ch (mt) dt

，(cos 8 — £ sin % ch f)/+1

f ch (mt) dt

，(cos 8 — £ sin % ch f)/+1

yim(3, 6 = 5 УЗА •胪需•黯％ X

к г4兀(4 — m) 1 (Zm — 1) П

yim(3, 6 = 5 УЗА •胪需•黯％ X

к г4兀(4 — m) 1 (Zm — 1) П

f(sh^a^dt:(sh 02m 曲

](cos^4- i sin a ch t)l^m^ 丿(cos % — i sin % ch t"+«+i

f(sh^a^dt:(sh 02m 曲

](cos^4- i sin a ch t)l^m^ 丿(cos % — i sin % ch t"+«+i

(m》0).

(m》0).

6)

6)

匕m (3, ?) = (一1 严 e，•呻 / 聞“ + 訪)—®!-1 Lc°"3% 伯 sin 3) Mg

匕m (3, ?) = (一1 严 e，•呻 / 聞“ + 訪)—®!-1 Lc°"3% 伯 sin 3) Mg

(12)

(13)

(14)

(12)

(13)

(14)

где /т(ж) — функция Бесселя порядка т.

в) Квадрат модуля сферических функций j YJm (8, <р) j2 можно представить в виде следующего интеграла:в) Квадрат модуля сферических функций j YJm (8, <р) j2 можно представить в виде следующего интеграла:Uhn (8, Y)|2 = ^i^f [a»(^^)了 72H⑴凉-оUhn (8, Y)|2 = ^i^f [a»(^^)了 72H⑴凉-о(15)(15)СВОЙСТВА СИММЕТРИИСВОЙСТВА СИММЕТРИИПриведенные Ниже свойства симметрии сферических функций связывают между собой Ylm (&,屮) с равными значениями аргументов 8,屮 叮 параметров Z, т. Они позволяют расширить область из-Приведенные Ниже свойства симметрии сферических функций связывают между собой Ylm (&,屮) с равными значениями аргументов 8,屮 叮 параметров Z, т. Они позволяют расширить область из-щенения аргументов и обобщить определение Ylm (&, у) на случай отрицательных значений I. а. Комплексное сопряжениеYз(%，^) = Yim^ 一7)= (一1严Уa擁(力/Изменение знака т:hr(8,+)=(一1 严%加他 Г)= (T严ef呻Y?m(3, ?).«Зеркальная» симметрия (замена Z на Z =——I — 1):Ум®, ?) = (-1)тУгтр,沙щенения аргументов и обобщить определение Ylm (&, у) на случай отрицательных значений I. а. Комплексное сопряжениеYз(%，^) = Yim^ 一7)= (一1严Уa擁(力/Изменение знака т:hr(8,+)=(一1 严%加他 Г)= (T严ef呻Y?m(3, ?).«Зеркальная» симметрия (замена Z на Z =——I — 1):Ум®, ?) = (-1)тУгтр,沙(О(О⑶⑶(3)(3)д-д-Замена аргументов 8 — к ——8 и <р->к + ?:У1т ("-». 6 = (-!)""* 匕„,(3,叫Yim(^ ^+<f)^(~irYlm^,叫匕,"(n 一 3, k + ?) = (-1)^;„, (», DЗамена аргументов 8 — к ——8 и <р->к + ?:У1т ("-». 6 = (-!)""* 匕„,(3,叫Yim(^ ^+<f)^(~irYlm^,叫匕,"(n 一 3, k + ?) = (-1)^;„, (», D⑷(5)(6)⑷(5)(6)Изменение знака аргументов:У/т(-». ^ = (~i}mYlm (S,汕Уь»(3, -Y)= (f R-m(3,叫Изменение знака аргументов:У/т(-». ^ = (~i}mYlm (S,汕Уь»(3, -Y)= (f R-m(3,叫Ylm (-»> T)= Yf (3,Ylm (-»> T)= Yf (3,?)•?)•⑺(8)(9)⑺(8)(9)

в) Квадрат модуля сферических функций j YJm (8, <р) j2 можно представить в виде следующего интеграла:

в) Квадрат модуля сферических функций j YJm (8, <р) j2 можно представить в виде следующего интеграла:

Uhn (8, Y)|2 = ^i^f [a»(^^)了 72H⑴凉-о

Uhn (8, Y)|2 = ^i^f [a»(^^)了 72H⑴凉-о

(15)

(15)

СВОЙСТВА СИММЕТРИИ

СВОЙСТВА СИММЕТРИИ

Приведенные Ниже свойства симметрии сферических функций связывают между собой Ylm (&,屮) с равными значениями аргументов 8,屮 叮 параметров Z, т. Они позволяют расширить область из-

Приведенные Ниже свойства симметрии сферических функций связывают между собой Ylm (&,屮) с равными значениями аргументов 8,屮 叮 параметров Z, т. Они позволяют расширить область из-

щенения аргументов и обобщить определение Ylm (&, у) на случай отрицательных значений I. а. Комплексное сопряжение

Yз(%，^) = Yim^ 一7)= (一1严Уa擁(力/

Изменение знака т:

hr(8,+)=(一1 严%加他 Г)= (T严ef呻Y?m(3, ?).

«Зеркальная» симметрия (замена Z на Z =——I — 1):

Ум®, ?) = (-1)тУгтр,沙

щенения аргументов и обобщить определение Ylm (&, у) на случай отрицательных значений I. а. Комплексное сопряжение

Yз(%，^) = Yim^ 一7)= (一1严Уa擁(力/

Изменение знака т:

hr(8,+)=(一1 严%加他 Г)= (T严ef呻Y?m(3, ?).

«Зеркальная» симметрия (замена Z на Z =——I — 1):

Ум®, ?) = (-1)тУгтр,沙

(О

(О

⑶

⑶

(3)

(3)

д-

д-

Замена аргументов 8 — к ——8 и <р->к + ?:

У1т ("-». 6 = (-!)""* 匕„,(3,叫

Yim(^ ^+<f)^(~irYlm^,叫

匕,"(n 一 3, k + ?) = (-1)^;„, (», D

Замена аргументов 8 — к ——8 и <р->к + ?:

У1т ("-». 6 = (-!)""* 匕„,(3,叫

Yim(^ ^+<f)^(~irYlm^,叫

匕,"(n 一 3, k + ?) = (-1)^;„, (», D

⑷

(5)

(6)

⑷

(5)

(6)

Изменение знака аргументов:

У/т(-». ^ = (~i}mYlm (S,汕

Уь»(3, -Y)= (f R-m(3,叫

Изменение знака аргументов:

У/т(-». ^ = (~i}mYlm (S,汕

Уь»(3, -Y)= (f R-m(3,叫

Ylm (-»> T)= Yf (3,

Ylm (-»> T)= Yf (3,

?)•

?)•

⑺

(8)

(9)

⑺

(8)

(9)

Периодичность по 8 н у:

2.2.匕制8 土 m，#=Y 个、I Ylm P> *匕制8 土 m，#=Y 个、I Ylm P> *看稀…±叫={“也*看稀…±叫={“也*n — нечетное, п — четное.n — нечетное, п — четное.n — нечетное, n — четное.n — нечетное, n — четное.(W)(W)(И)(И)Следующие соотношения для Ylm (&, у) можно получить, комбинируя указанные выше свойстваСледующие соотношения для Ylm (&, у) можно получить, комбинируя указанные выше свойствасимметрии:У 1т (%，?)симметрии:У 1т (%，?)=(一屮 е2‘呻У—(3, Y)=(一屮 е2‘呻У—(3, Y)决e%（% 中）决e%（% 中）=(Т 严 У；*®, 6 ==(Т 严 У；*®, 6 =

2.

2.

匕制8 土 m，#=Y 个、

I Ylm P> *

匕制8 土 m，#=Y 个、

I Ylm P> *

看稀…±叫={“也*

看稀…±叫={“也*

n — нечетное, п — четное.

n — нечетное, п — четное.

n — нечетное, n — четное.

n — нечетное, n — четное.

(W)

(W)

(И)

(И)

Следующие соотношения для Ylm (&, у) можно получить, комбинируя указанные выше свойства

Следующие соотношения для Ylm (&, у) можно получить, комбинируя указанные выше свойства

симметрии:

У 1т (%，?)

симметрии:

У 1т (%，?)

=(一屮 е2‘呻У—(3, Y)

=(一屮 е2‘呻У—(3, Y)

决e%（% 中）

决e%（% 中）

=(Т 严 У；*®, 6 =

=(Т 严 У；*®, 6 =

= (-i]mYlm (-». Y)=决:呻%一热(一3, ?)=(-1严 Yt_m (8, 一▼)=^Ylm (3, 一6= (-i]mYlm (-». Y)=决:呻%一热(一3, ?)=(-1严 Yt_m (8, 一▼)=^Ylm (3, 一6=(_!严产•呻 УК(_$, 丫)=у;_1n(_3,勅 = (-l)me2^y；_ffl(&, _<р) = У%(3, -¥)=(_!严产•呻 УК(_$, 丫)=у;_1n(_3,勅 = (-l)me2^y；_ffl(&, _<р) = У%(3, -¥)

= (-i]mYlm (-». Y)=决:呻%一热(一3, ?)

=(-1严 Yt_m (8, 一▼)=^Ylm (3, 一6

= (-i]mYlm (-». Y)=决:呻%一热(一3, ?)

=(-1严 Yt_m (8, 一▼)=^Ylm (3, 一6

=(_!严产•呻 УК(_$, 丫)=у;_1n(_3,勅 = (-l)me2^y；_ffl(&, _<р) = У%(3, -¥)

=(_!严产•呻 УК(_$, 丫)=у;_1n(_3,勅 = (-l)me2^y；_ffl(&, _<р) = У%(3, -¥)

=匕*（一8, Г） =（一）~2^уе（一9, — ?）=4叫叫Ё（-8, 一中） =（一1 严y%（一也一叫 （12）

5.5. ПОВЕДЕНИЕ Ylm (8,中)ПРИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Преобразование системы координат в трехмерном пространстве, не нарушающее ортогональность координатных осей, в общем случае можно представить как результат действия трех опера* ций: поворота системы координат, ее инверсии и параллельного переноса.

Поворот

Сферические функции Ylm (3, ср) являются ковариантными компонентами неприводимого тензора ранга Z, поэтому при повороте системы координат S {①,у, z}-> Sf {①',у「z，}, характеризуемом углами Эйлера а,因 丫 (см. 1.4), сферические функции преобразуются следующим образом:

力(a, а 7)匕用，信，+)=%卅(义0)=2匕由(也屮)必?п，(а,з了).(1)

Здесь 03 紋(а,因 丫) — функции Вигнера (гл. 4), 8,屮迈 У, с/ ——сферические углы радиус-вектора в исходной системе координат 5 и в новой системе координат，^^ соответственно. Углы 8‘,屮'выражаются через углы 8,屮迈 углы Эйлера а,俗 丫 по формулам 1.4 (2).

Инверсия

При инверсии системы координат относительно ее начала сферические функции преобразуются следующим образом:

耳看加偿(?)= y/制(兀一也▼+冗)=(一1)"看》1他*(2)

Параллельный перенос

При параллельном переносе системы координат S {①,у, z}-> S，{①',у\ zr} координаты каждой точки пространства преобразуются по формуле г'=г—а, где вектор а (а, 0, Ф) характеризует величину и направление сдвига системы. Сферические функции при этом преобразуются следующим образом:

，(а) У“„,，(% ^) = Y^ (У，У) = 2(Т"+‘ (予)“ (9 餌(8, у) ® Yg (8, Ф))Рт„ ⑶

Здесь t (a) =£-a・v 一 оператор сдвига, {丫厶 0 ^i^im 一 неприводимое тензорное произведение (см. 3.1)， Сферические координаты векторов г (г, 8,屮)и 【/(W, 8厶 屮')связаны соотношениями

г'2 =「2 + 我2 — 2ra COS C012，

r cos 8 a cos 0

G0S 8 =，2 7：二2 f>，(4)

+ 麼一2ra cos со】？

, r sin 3 sin <p — a sin 0 sin Фg* — r sin 8 cos <p — a sin 0 cos Ф，

где cos w12 = cos 8 cos ® + sin 8 sin 0 cos (<p — Ф).(5)

Частные случаи преобразования системы координат

Поворот вокруг координатных осей на угол тс

вокруг оси х

# =兀一也

• у1m (" 一 3, 2k — 6 = (一1)7 y/.m (3,叫

(6)

g=2冗一%

rr = r.

вокруг оси у

8'=兀一8,

■ Ylm s — 8, n — Y) = (―1)7-协 yt_m (8, 6，

(7)

▼'=兀一%

Г，= Г,

вокруг ОСИ Z

У = 8

• у7m(3, " + Y)= (一1严У,„,(8, *

(8)

屮=冗+ *р,.

Поворот системы вокруг оси z на произвольный угол *

У = 8,«р' = «р —X，У = 8,«р' = «р —X，Ум 他 ^-l)-=e-^Ylm (^ *Ум 他 ^-l)-=e-^Ylm (^ *(9)(9)

У = 8,

«р' = «р —X，

У = 8,

«р' = «р —X，

Ум 他 ^-l)-=e-^Ylm (^ *

Ум 他 ^-l)-=e-^Ylm (^ *

(9)

(9)

Поворот системы координат на малый угол <о(з«тс/2) вокруг произвольного направления п(8, Ф)

^Ylm (», <р)аУ7f„(8, ?) — iM ^m cos0yZm (&, 丫)+

sin 0sin 022[e-'@ 力(+)-„г(т + 1) Ylm+1 (3, ?) + e'@ ^l (I + 1) - m (m - 1) Ylm_, (3,[e-'@ 力(+)-„г(т + 1) Ylm+1 (3, ?) + e'@ ^l (I + 1) - m (m - 1) Ylm_, (3,(10)(10)

sin 0

sin 0

2

2

[e-'@ 力(+)-„г(т + 1) Ylm+1 (3, ?) + e'@ ^l (I + 1) - m (m - 1) Ylm_, (3,

[e-'@ 力(+)-„г(т + 1) Ylm+1 (3, ?) + e'@ ^l (I + 1) - m (m - 1) Ylm_, (3,

(10)

(10)

г. Отражение системы координатг. Отражение системы координатотносительно экваториальной плоскости 8 = тс/2относительно экваториальной плоскости 8 = тс/2

г. Отражение системы координат

г. Отражение системы координат

относительно экваториальной плоскости 8 = тс/2

относительно экваториальной плоскости 8 = тс/2

$'=兀—8,$'=兀—8,уh„ (兀一з?)=(-l)^myZm (^,/уh„ (兀一з?)=(-l)^myZm (^,/⑴）⑴）

$'=兀—8,

$'=兀—8,

уh„ (兀一з?)=(-l)^myZm (^,/

уh„ (兀一з?)=(-l)^myZm (^,/

⑴）

⑴）

?=弘

д. Отражение системы координатд. Отражение системы координатотносительно меридианальной плоскости 中=屮。иотносительно меридианальной плоскости 中=屮。иУ =8,<р' = 2«рс ——<р,У =8,<р' = 2«рс ——<р,Yim （». 2窕一 ¥）=产呻。（一产匕5他?）.Yim （». 2窕一 ¥）=产呻。（一产匕5他?）.(12)(12)

д. Отражение системы координат

д. Отражение системы координат

относительно меридианальной плоскости 中=屮。и

относительно меридианальной плоскости 中=屮。и

У =8,

<р' = 2«рс ——<р,

У =8,

<р' = 2«рс ——<р,

Yim （». 2窕一 ¥）=产呻。（一产匕5他?）.

Yim （». 2窕一 ¥）=产呻。（一产匕5他?）.

(12)

(12)

5・6・ РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО СФЕРИЧЕСКИМ ГАРМОНИКАМ

Совокупность сферических функций 匕耀(8, у) при всех целых неотрицательных значениях I л целых значениях т таких, что |тп|《2, образует полную систему функций двух вещественных переменных & и ср, определенных в области 0《8《冗,0《屮<2冗・ Эта система представляет собой ортонорМировэнный базис.

Условие полноты системы функций Y[m (^,屮)

ОО I

£ 2 У)>»(а> ?)У«№(а，' ^)= М?- ?) S (cos & - cos &-)•(1)

{=0 w»=—Z

Условие ортогональности и нормировки функций

2х 1Е ”

j d¥ J d»sm9y；m(», ?) Yltm, (Э,叫口“&询.(2)

00

Произвольную функцию / (3, <p), определенную в области изменения аргументов 0《8《冗〉 0《У V 2冗 и удовлетворяющую условию

J dip j d» sin » If (9, T)|2<oo,(3)

00

можно разложить в ряд по сферическим функциям

〃3, 8* 2 а1тХ 1т (%，屮)・(4}

/=0 м=—/

Коэффициенты разложения а1т определяются соотношением

]函 j d3sin3y%(8, <р)/他力(A

о о

Это соотношение можно рассматривать как интегральное преобразование функции / от непрерывных переменных 8,中 к дискретным переменным Z, т. При этом функция Ylm （Q-. 叫三〈8（p|Z?n〉 играет роль матрицы преобразования. Выражение （5） можно записать в виде

<^ I /> = fm 18屮〉〈如 I />,（6）

где

<Zm I /> = alm,阳>三 y设 的），〈脚|/〉三/（8,办

Под дважды повторяющимся переменным, как обычно, подразумевается интегрирование или суммирование по всему интервалу их изменения.

Преобразование （5） унитарно, так что

</| I 脸 @т |/> = </Р，綬〈8, <р|/>.⑺

е. коэффициенты а1т удовлетворяют условию Парсеваля'

t 2 H/m|2=J^J^sinq/（&, ¥）р.（8）

/—0Jо о

Разложение （4） по сферическим функциям широко применяется при решении различных задач и называется разложение по мультиполям, а коэффициенты разложения а1т называются мульти- полъными моментами.

Раз ложение произведений сферических функций.

Прямые гфоизведения сферических функций одинаковых аргументов

Соотношение （9） называется разложением Клебша—Гордана. Обратное ему соотношение записывается следующим образом:

m（2厶 +））（^2 ] D e。z爲2忆У“也他吩％锵2（也 ^ ~ c%i^lm（^» ?）•（1。）

Произведения трех и большего числа сферических функций имеют вид

у /% 1 V /4 、V е 1—、]/（2"i +，）（2% 十，）（2% + 力

Yi^（也平）Yh^ ⑴ Yh^3（% +）=2 y（4兀）2 （2e工RX

X ^Ql^L^^Q^m^mSi^^sm^LM（^J *（”）

%皿（8, 6吃宀信，平）Х・.，ХУ“?）= 2/3环（8,*（12）

где

В& = ]И 2L™+T Е U（"'噎。般（⑶ e/2■••乙"—1 一

典芻^П—1

причем Lo = Mo = O,

Неприводимые тензорные произведения сферических функций. Произведения такого вида определевы в 3.1.

{Y厶（3,屮）® 丫厶（3,叫с” = У 廿（北2尸 C^l20YLX （3, *（14）

{{Y厶他68Y厶（8,叫z，®Y"（8,叫zl J/阳土器北2t 2 f""）喘小弘d，M （8,*（⑸

{...{{Y八8,中）8Y0,叫 g®Y%（8,叫% …®Y川也叫%% =

(16)(16)=了為Й［优专呦叫"3他D

(16)

(16)

В частности, при 2Х = Z2 = .. . Zn = 1 и Lk = k(k~l, 2, . . ., и)

{•..{{Yi(8,中)8匕(8,叫2®Y1(3,叫3…®达信，叫师=)/ 隔『"g 匕师他 力 (17)

Заметим, qto при разложении произведений сферических функций удобно использовать функции С1т(^, ср), включающие дополнительный множительр(刃^^- (см. 5.1.4).

57 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ

Рекуррентные формулы для сферических функций Ylm (В, ср) можно получить, например, из разложения Клебша—Гордана 5. 6 (9):

—2т ctg^Ylm (^, <р) = ^ЦГ+1^^П^от+1 р, <р) + 力(с；])」m (m — 1) "У?切—(8, у),(1)

cos 8匕加（也^^Y②"声又亦Ю匕也加"（P）+卜⑵二1）（22 + 1）匕一1 m他*（2）

с с /1/(2 — m + 1) (Z — m 十 2)

h+т m-i 他 6 — Y (2Z— 1) (22-1-1) 'l тт (孔 7)=h+т m-i 他 6 — Y (2Z— 1) (22-1-1) 'l тт (孔 7)=sin bYlm 他 у) eT = J/(22+ 1) (2E +3)

h+т m-i 他 6 — Y (2Z— 1) (22-1-1) 'l тт (孔 7)=

h+т m-i 他 6 — Y (2Z— 1) (22-1-1) 'l тт (孔 7)=

=cos 8 7工二 у Z 时1(8，^-У 2Г=! l + m в-12 色▼)=

1 / 2 + тпс 1 /~ 2/4-1 I — тп + 2с

—cos 8 р с-т + 1 % 2 他 t) + Y 丽『厂乔Г 匕+1 «.-I (8, ?)•(3)

sin ^Yim (3,⑺絃f = — у (2Z + l)(2Z + 3) У7+1 m+1("' ¥)+ У (2/ — 1) (2Z 4-1)匕т m+1 (标▼)=

=—COS 3 У '扌ГЗ' У ； m+l(标?)+КШ~1 •二丁 匕т m+1 (3, ?)=

K

Z — ml/2Z+12 + m + 2

叶元+彳 Yem+i (%，V)- p 2Z +3. z + m十1 %+i m+1 (也')•⑷

⑵-1) (2Z + 3) cos2 8У/т (8, ¥) = (2Z-1))/ “ *；；； “ ♦ “ 力爲”匕+з ra 他 у) +

+ [2Z(Z + l)-2^-ljytm (9, (f) + (力 + 3)秆了•'一力L3- Y^ - ^'*⑺

⑵-1)(2Z 十 3) sin 3 cos ^Ylm (8,力=一⑵ 一 1) )/亍加：• (土与簪吧■祖 y;+2 m+1(9, ?)-

一 (2т + 1) Vl(i + i)-m{m+l}匕 m+i (%，?) + (2Z + 3) У^^- •"』弓?f 3~成一2)hr m+i (% ?),(6)

(2Z -1) (2Z + 3) sin % cos 8 eT<P%„, (8, 丫)= (2Z - 1)片彳；£寸•口 一 川 \岸5~ 〃 十 ^)У;+2 m_! (», т)-

—(2т — 1) ^ (Z 4- 1) — m (zn — 1)匕 mT 他中)一(2z + 3) |/ 2j Г .② 一3)匕-2 吁1 (% ?)»3

(22-1)(22 + 3) sinz呢吟匕m住6 = 卮;以刃丿徜 y F +焉!匕十?2(也6+

+ 外2% + 1)(22-3) Y (Z_m_4)[%Tw1+2 他1?)-2|/ . m 一 2) ! (Z + m) I 匕加+2 (也叫(8)

(22 一 1) (2Z + 3) Sin^呢Т2中У® (也?)=侬飞)衣中j yj広_ 方 а+3他6 +

+ V(2Z +1) (22 三初 F @*m 二碩 %т 吁2 (8, 6 — 2 ]/(% 下吁 2)T”m)! % 吁2 (也 +)•(9)

5・8・ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Действие оператора орбитального момента К на 匕陋(3,屮)Циклические компоненты оператора £ (см. 2.2(18)) действуют на Ylm (&, у) по формулам^±1YZm (%，7)= + P2二~ 匕 m±i (%,平)，

£оУ1я.(», ^)=mYlm^, ¥)⑴

или в более компактной записи

^1т (3, ?) = УЩТй С^¥{ >„+" (3, <р).(2)

Оператор квадрата орбитального момента L2 действует на YJm (Я-,叫 следующим образом:

^У；»,^ ?) = Z(Z + 1) Угт(», ¥).(3)

Производные от Ylm (&,中)первого и второго порядка

^^1т Р> 平)=沂丫2nt (8, <р),(4)

爲 ％拣(8, Y)= m ctg 8yzm (也 <p) + 力(Z + Q — m (m 十 1) % т^ 他 <p) e』=

=一m ctg 0-У /m (^,平)一"(%+1)一m(m一1)%时1(也 <p)e£中=

= у>/г (Z -J- 1) — m (m + 1) Yim+1 (^ <p)厂好一彳力《 十])二m (m — 1) 丫上卅】(%,中)©W.(5)

sin &毎 Уь» 他平)=ТЕ》& -dgs8 У衍信，+)=

1/2Г+ 1

=% cos ^Ylm (也 <p) — P 2z — 1(” —絞)Уг-i т 他中)—

=—G + l) COS ^Ylm (^, <p) + ]/f^3 [(^ + I)2 — 7^2] У/+1 m (^> 6 =

=1 Г (2Z+I)(2—3) '/нт (也 *Р)— " + Q У (2Z 4-1) (2Z —1) Улт (也力(6)

丽 У；т®，¥)= - [г G + 1) —ИЕ« & Jy«>n(а> Y)- Ctg8"^Ybn(3, f).⑺

siM Зу^ТрУм (%,勅=2 cos 8 處 3 匕”信,丫) 一Q (Z 十 1) _ ^^ jy71n(% 办⑹

9 Д. А Варшалович и др.

Операции векторного дифференцирования

Градиент функции /(г) Ylm(&, <р), где /(г) — произвольная функция от г = |г|, можно разложить по шаровым векторам (см. 7.3)

V[/(r) Угт(», ¥)] = -}/'^А：儡一，)丫似3, ^} + У2i^^ + ^~-f)^ (3, ?).(9)

Соотношение (9) в развернутой записи имеет вид

д0 [/ (г) У 1m (山 叫=y(£；]]⑵+力(方 一 7Й /)储7)+

(2Z —1)(2—1)\dr + —r Jf) YJ 协(％ 叫(〔°)

V±T t/(r) Yim (8,屮)]=У 2 (22 十 1) (2Z + 3)(石* 一 T 〃匕也鹏(也?)—

一1 2(22 —Q (2Z + 1) (dr+ 2 〃％-im(%，*d1)

где Vq ±1 ——циклические компоненты оператора V (см. 1. 3).

Частные случаи формулы (9). При /(「) = /?(龙г), где /, (ж) — сферические функции Бесселя порядка I

J V⑦(协)Yim他 喇=y总¥彳力+丄⑺Y肃传，6 +，力，力Т仲)Y偌(8, ?)•(12)

При / (r) =

V [rlYlm (8,喇=^ + 1) #ty£1(%,叫(13)

При 〃г) = т*т

v [r^Ylm (%,⑴]=V(7TWGF LiY陽他 *(14)

Дивергенция функции /(г) 1У/т(9, <р) равна нулю при произвольной функции /(г):

V[/ (r)tyZm (&,喇=0・(15)

Ротор функции /(г) ЬУ/т(&, ср), где / (г)——произвольная функция 尸,можно выразить через градиент соответствующей скалярной функции и представить в следующем виде:

Х【/(г) Ку ьп(3, Y)] = iV [(嘤 +/)y/m (3, w] _ ir R "Ir (r* g)-型7t ” /]匕 1n (3, 6•(16)

в частности, при /(「) = %(")

rot Ui (协)Lytm 他?)] = iV [{krit-1 仲)—Z力佑r)) Ylm 他 喇 + tr3力(kr) Ylm (3,叫(17)

При f (г) = гг

rot [ri%" (3, ?)l=i(Z+l)丸(2Z + D r~Y 偌(3, ▼).(18)

При /(r) = r—T

rot [r-l-^Ylm 他吩]=-и ЕЛГ声而 r-lY爲(8, ▼).(19)

Некоторые дополнительные формулы векторного дифференцирования функций, содержащих (8, у), приведены в 7.3. 6.

5・9・ НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ YIm р, <?)

Интегралы от произведцний сферических функцийпо полному телесному углу

⑴⑵(3)(4)⑴⑵(3)(4)(5)(5)]dp , d8 sin ^Ylm (% <р)=他Г So%o・ о о

⑴

⑵

(3)

(4)

⑴

⑵

(3)

(4)

(5)

(5)

2H те

，d" d8 sin 3%皿(8, 丫) Y*^ (8, у) =%也“… О о

i dy i 48 sin (8, Y) У,仙(3, Y) = (T)S 打儿 1nm. 00

2n кy

]卿 j d$ sin 8%g (8, Y) Уg (8, Y) YU(&> 8 pz(”壊設之尸或丸。C；謊，м О о

2* тс

，即]羽 sin 8%皿(8, у)吃宀(8, 丫) У〃％ (3, 丫)=

О о

1/一(24 + 1)(2厶 + 1)(2%+0(4 %

—У41t\0 0 0 / \т1 т2 тя) *

Интегралы от произведений трех и более сферических функций можно вычислить, сводя их к интегралам от произведения меньшего числа сферических функций с помощью разложения Клебша——Гордана 5. 6 (9).

Фурье-образы некоторых выражений, содержащих Км (9, ^)

[dr Г可两]d8 sin 8e'kr力(也 ylm (8,%)=2泊" ^^ ^ ylm (% *).(6)

о о о

co2nH

]dr 2 ]碑]d8 sin呢依啥[力(2 Уы (8, <p)I = 2兀叩2(％ "к产5 (%，叫，⑺

оо о

со2тете

j dr г耳叫卜8 sin 8产г [V X t] (Л (gr) Ylm (8, <p)) = 2n2#t ^尸)[k X % 匕m 価，欽)•⑻

Ооо

Здесь 力(第)—сферическая функция Бесселя; 8^ и 屮在一сферические углы вектора к, £ п £к —— операторы орбитального момента в координатном и импульсном представлении:

t = —i [гХ V], £k=—i[k X Vk],(9)

Интегралы по углу 8, содержащие сферические функции

J у踹(8, ?) Ylfm (8, ?) sin SdS =裝•(10)

О

J ^*m (^> ?) imr (^» 屮)sin 8 = 4тстп %力，(加，m〉。)・⑴)

0

с1 /"27 1 (Z+"?n)Tn I e订呼

i (sin 8)2 (cos §)" У (S,叫 dS = ]/ m • -^)T -1产俨；2 + 加 + 1)!!俨—Z^m)!!，W，“ > °). (12) 0

b

J [(A — ％) (A + % + 1) — 需齊]丸物(8, Y) %宀他 у) d (coa 8)=

=sin^ [q 也(3, <?) /SB У%(* ^~Yi^(8,《Р)T^J 〃№ (8,⑴]卜

=[cos 8 (A - %) уg (8, у) У厶也(8, Y) + & + m2) У廿，(8, у) У巾忆他？)-

-(4 +飞)也(%，Y)乙宀他明I-(13)

НЕКОТОРЫЕ СУММЫ, СОДЕРЖАЩИЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Суммы по индексу т (Z—фиксировано)

I У/切(3 屮)I = 4K ，⑴

£ mlyim(&. ?)|2 = 0,⑵

加‘丨 у；». (8, ?) I =春sin2 8,(3)

2

I/.2 一 7n2) f(Z + l)2_M[%«+，)

P (2Z — 1) (2Z + 3)物(也 *)y:+1 m 信，?)= 一8Л 一(3 °°献 8 - 1),⑷

2

’ __(±£)1__ V N(cos 9 士心in 8 С08 6?心

一, 师二田V干而T Ylm (* ^^rЛ •(5)

Сумми по индексу I (zn — фиксировано, zn>0)

В формулах, приведенных ниже [27J используется обознатение

Н = 〃一 2 t cos 8 亠儿

'金()(n — Z -|- тп) I V(Z —m) I (Z + m) ! У 2Z + 1 丫，物(也 *)—

(2тп — 1) Н .с т/ cos 8 — 土 \

(6)(6)=(1尸1^^①龜‘严('一说。58 + 拦)2以(廿箱。sA(h1<1).

(6)

(6)

CO

2 M(2Z*1)(2 —叫！0+加)！ ' 7T '-"*¥/耀(8, 6 —

(-sin 8/*严 =2叫ml戸

Mi(；m + "片 ©源乡低(；加十1； —i sin2 у), (|i|<l).

⑺

(8)(8)=2Mmi ♦(—片 cos 8 产^ ' {~N + t т + ^ —(彳—土 cos 8)卜("Ю

(8)

(8)

сосо4л（2，+ 1） .二加）！ 口 + 加）！4л（2，+ 1） .二加）！ 口 + 加）！(Z + 加一■九)I (Z — th 十 тг — 1) I z_ (2m —孔)I 仇一1) Ifj片 丫阪(明?) = 2м (т 1)2 X(Z + 加一■九)I (Z — th 十 тг — 1) I z_ (2m —孔)I 仇一1) Ifj片 丫阪(明?) = 2м (т 1)2 X

со

со

4л

（2，+ 1） .二加）！ 口 + 加）！

4л

（2，+ 1） .二加）！ 口 + 加）！

(Z + 加一■九)I (Z — th 十 тг — 1) I z_ (2m —孔)I 仇一1) I

fj片 丫阪(明?) = 2м (т 1)2 X

(Z + 加一■九)I (Z — th 十 тг — 1) I z_ (2m —孔)I 仇一1) I

fj片 丫阪(明?) = 2м (т 1)2 X

XX2m + 1 — п； 7П + 1;2m + 1 — п； 7П + 1;

X

X

2m + 1 — п； 7П + 1;

2m + 1 — п； 7П + 1;

2 у 歹《‘ 2m + 1 一 ％ m + I； 2 J » (I * I V 1)，

2 ）6岁G霁）tй叱⑺"*匕川（0，Y）=

1(—sin %艸严「 yt(cos8 —力]力 /.sin2 & \

=HTKI—exp[_^№(；“+”-—^5—丿，(I“<l),(I。)

2 il~m У 4"⑵宓嗚 1b @ !力⑴ ％(% ?)= I sin 8叫"e“c。*(H)

£"f У 4"2^^端■尸)"力⑴ Y,m(%' 6 = I sin %'"严 cos & cos &),(12)

EH-m-1 у 4n (2f 焉严2 力 «)У阪(8, у) =(Т sin 龜好严 sin (t cos 8),(13)

f=m+l> 物+3,・..

£ У 4亢(2Z jj)：)；m) !力⑴ z? (t) Ylm (8, <?) =(T cos у e^ z"2t sin y)，(均

e广П⑵"%产'力⑺z("^，2(f 爲噹coQZvь尸而.砌，(15) 2 *f ⑴ ％ 他，*)У“ 他，/)= *%(£ sin 瓦 sin 牝)e" cos % cos %，>»(『,).(16)

ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ

Ниже приведены производящие функции[4, 22] для Ylm(^, <р), разлагающиеся в бесконечные ряды по I при фиксированном тп》О

(I严

(2тп —1) 1! (sin&)M

где

В частности,

五2加+]=

（一1严

(2тп —1) 1! (sin 8严

2 仪 у鼻.{^}匕>"(8，°)，I I

2 两而 К 2—1 *(l — m) I Ylm 他 °)，I 丨〉I，

五=" 一2t cos & + 严.

耳=

七叫(COS&),"|<1,

/=0

со

2 煮Р，(cos8)，l"〉L z=or

川<1.川<1.(3)(3)[(14-Я)2-«2]-^(一1 严 弋 ]/鼠

川<1.

川<1.

(3)

(3)

R =0»(sin 8)冠白 t^l\ у @* 力卩工切 I Q-加)！匕^(%，。)，

Производящие функции для Ylm (ft, <p), разлагающиеся не в степенные ряды» а в ряды Фурье, имеют вид [4]

^^e(coS,-cOS^^J^о),⑷

где

瀛 8 — c%s 屮广祝 ® (C°S $ - © 屮)=(2^-0 …

$〉0, а: < 0.

(Z + 7П)I 口 一 7П)!

sm[(2Z + l) 4] У/m(&. °)，

(5)

В частности, при тп = 0

с ,、 Г 1 при0(а：) = (о при

⑹

® (cos 屮一cos 8). 0 (cos 8 — cos 屮)

Vcos 屮一COS & — Vcos8 —GOS 屮

c0也

2±<(2Z+1)

е 2Рг (cos &).

!=0

⑺

5.12. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ Ylm 他?)

1. Асиптотика Ytm (а> ?) при больших значениях параметра I

Сферическую функцию У1т (^, ср), где е&8^н — е(е>0) и 0《<р<2n при Z >> 1, Z 沙 ш》0 и 2 沙 ^-, можно аппроксимировать выражением [4|

eim^ GOS I (2Z + 1)玄 + (2m一')7]/1、

Yim 他 6 ~ ~"而，+ 0 (7) •

⑴

Более точная формула имеет вид [22]

載呻(У4m2 — 3 \

I

+霊訂 c°s [(2z+3)y+(2m- 3)-j-]}+о (%) •

Поправки。6) н °(3) — функции ш н 8.

При Z 沙 1, Z 沙 тп》О справедливо следующее неравенство:

|У灶"(8, ?)|<4(sin^'^+^«

(2)

2. Асимптотические выражения для Yim(^> 中)

в окрестности значений 8 = 0,冗 и 芯/2

При 0《8《％ где £<1,

干屮膏]乃尹廷需(机」3, " +标金(产(絹

При те — е《8《码 где е<^ 1,

6土

匕士物体叫弋—a （土 1严ft]/ -^

(I -\- m) [ / 冗一8、物 Г

a — Tn)ilF-丿 L1

31(1 + 1) —m(m'+

3 ("+ i)

a（写毋

(5)

nP依 子一6w8式多 + 国,где 6<1, вид того, четно или нечетно значение 2 + т.

асимптотического выражения

Если 1-{-т — четно,

для Ylm (Я, §) зависит от

y",.)个I胃…片戸*!•*詔門t 一吋上(A叨.{6)

Если 2 + 加—нечетно,

Y』(8,<P)u(—1) 2 е±^ У^^ • -^Z^iyn * (Z+t^ OTT (т - &) X

x[「3尸QJ)[.(7)

В

случае малых 8 функцию Ylm (&, ср) можно аппроксимировать формулой Мак Дональда [4]

Здесь

Yi f В，6 = V ^^ ^士器 G呻[(/ + у) cos у]"" XXpm (a) + (sin 箱[专 J m+3 (a)— ，Wi+2(a)+ GJ»l+1(a)]+0 [(sin ■!)"]}.

a = (2% +1) sin (a)функция Бесселя порядка 入.

(8)

3. Асимптотика при m — фиксированном, Z —8И 8 —>0, Z8 — конечном

Справедливо следующее соотношение:

% f (8,衿 y* …% (符).(9)

5.13. ВИД ФУНКЦИЙ Ylm (»,屮)ПРИ ЧАСТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ИНДЕКСОВ

1. Функции Ylm (&г у) при 2 = 0, 1, 2, 3, 4, 5 даются формулами, приведенными ниже. Графики этих функций изображены на рис. 5.1.

1

У。о (8，叫=б у^ •(1)

匕+1 (8,叫=—4~|/ 备 sin8eW,

У】。(8, 6 = 4~y^*cos8,(2)

Л -1 (也中)=4" p税"sin 呢Т中.

丫2 +2 (也叫=彳)/ 飞-Sin2 Si2 tp ~^У - 2T(I — cos 28) e* 叱

h +i (8, *) = — "^~ J4^" cos & sin 呢好=—} |Л与 j sjn 2%叱

厶0他⑴二^)/^^(3 cos2^ —1)= $ jA|" (1+ 3 cos 28),G)

у2 7 (8，?) = 4"P 弓冗5 cos 8 sin 呢T中=；j/ 北：.s<n 2»e一吃

厶-а (8，屮)=4"|/ —2~ Sin2 &e_*2{P = -|- p* -^2~ (1 — cos 2&) e~i2^.

1=0 m=lL

Рис. 5.1. Функции Ylm (S, 0) в полярных координатах.

Угол 8 отсчитывается от вертикали, «+» и «—»указывают знак функции Yfm (8, о) в соответ-ствующем интервале углов.

ОО

У3 +3 (&, *?) = —^"^ sin? 8*8中=—姦* |/(3 sin 8 — sin 3&) e*吗

Уз +2 (8, ?) = }cos 8 sin2 3e*2| =―- (cos 8 — cos 3$) e*%

У3+1 他4(5 cos2 8 — 1) sin 8e"中=—j/戶兀J ($】□ & 十 5 sjn з&)©*中,

⑷⑷Уз о (8，?)=(^ cos2 — 3) cos &==~ (3 cos & + cos 3&),

⑷

⑷

Уз -i (8,屮)="^ У * 冗 7 (5 cos2 8 — 1) sin 8©т中=*^~ J ——■ (sin & + 5 sin 38) ©一，中,

Y3 -2他 *)==n J —/-Y3 -2他 *)==n J —/-(3 sin 8 — sin 38) е'^т.(3 sin 8 — sin 38) е'^т.cos 8 sin2 8『恤=~^~ J/。” £ 7(cos & 一 cos 3&) e~<2^,

Y3 -2他 *)==n J —/-

Y3 -2他 *)==n J —/-

(3 sin 8 — sin 38) е'^т.

(3 sin 8 — sin 38) е'^т.

У3 7 （8，勺）=后 了 一й一 sM" 8尸"=32

九 +4 他 Y)= "^ 卜'■廿"sim %‘”九 +4 他 Y)= "^ 卜'■廿"sim %‘”M黎(3 — 4 cos 28 -(■ cos 48) e"中*M黎(3 — 4 cos 28 -(■ cos 48) e"中*

九 +4 他 Y)= "^ 卜'■廿"sim %‘”

九 +4 他 Y)= "^ 卜'■廿"sim %‘”

M黎(3 — 4 cos 28 -(■ cos 48) e"中*

M黎(3 — 4 cos 28 -(■ cos 48) e"中*

У4 +s (8，?) = —-|- sin8 8 cos 8e‘抻==—/(2 sin 28 — sin 48) e*%

У 4-+2 (&，<p) = -|-J/ 备 sin2 8 (7 cos^ 8 — 1)* У (3 + 4 cos 23 — 7 cos 4S)产中，

У4 +i (8,勺)=—^"卜 ~ sin 8 (7 cos8 8 — 3 cos 8) e*中=—(2 sin 28 十 7 sin #) e*^,

(5)(5)У4 о (8, у) =1〔б у— (35 cos4 & — 30 cos2 3 + 3)=传8 厂(9 + 20 cos 28 + 35 cos 4&),

(5)

(5)

У4 _i (8,屮)=^" j/"— sin 8 (7 cos8 8 — 3 cos 8) e~件=~^ |/"~ (2 sin 28 + 7 sin 4&) ©一‘中， У4_2 (&, ?) =^ |/ ^" sin2 8 (7 cos2 9 — 1) e~i2t? = -Д- j/ ^~ (3 + 4 cos 28 — 7 cos 48) ^一額中,

У4-3 他?) = ■§■ T sin8^ cos %"3中=У4-3 他?) = ■§■ T sin8^ cos %"3中=314314泛(2 sin 28 — sin 48) e"**?,泛(2 sin 28 — sin 48) e"**?,

У4-3 他?) = ■§■ T sin8^ cos %"3中=

У4-3 他?) = ■§■ T sin8^ cos %"3中=

3

14

3

14

泛(2 sin 28 — sin 48) e"**?,

泛(2 sin 28 — sin 48) e"**?,

у4 3他|)=备 了 丄』si"呢-"中=急 y ^； (3-4 cos 28 + cos 4&) ь"E

У6 +B (8, <p) = — -^ J/ 7 ；" sin6 &e*6T =—姦 /^ (10 sin 8 — 5 sin 38 十 sin 58) /“,

Уб +4 (8,(p)=為 N § *”. sin48 cos 8e“<p =盡 |Л~(2 cos — 3 cos 38 + cos 58) e'W,

У5 +3 (8,?) — ~~ 备 M"^sin3 8 (9 cos2 8—1) e^ =—詣 U亭(6 sin & + 13 sin 3& —9 sin 58) e'%

У5 +2 (%勒=^~ )/"g「5；；~—sin2 8 (3 cos& 8 — cos 8) ©強中=击 了^^ (2 cos 8 + cos 38 — 3 cos 58) /吗

Уб +1 (8,?) = _嘉 j/"3'”sin 8 (21 cos4& — 14 cos2 & -|- 1)或1P = —"^M礬 Q sin & + 7sin 3& + 21 sin 58) e仰,

У6 о 他？) н ^ J ~~~ (63 cos6 8 — 70 cos8 8 + 15 cos 8) = ^g j/ "^ (30 cos 8 + 35 cos 38 + 63 cos 58),

Yr®，？)= /)/ 沼卢-sin 3 (21 cos4 $ — 14 cos2 3 + f) 6Ttp =盍 К 髪(2 外口 & + 7 sin 38 + 21 sin 5&) e"^,

У”2 (也 <р) = "^ |/ -~~^^~— sin2 8 (3 cos3 8 — cos 8) e-迎中=j~ |/(2 cos 8 + cos 38 — 3 cos 58) e~<2^,

У в -3 (8，勺)="^* 了 ~: ” sin3^ (9 cos2 8 — 1) 6一箱3中=g|^ p^^ (6 sin 8 -j- 13 sin 38 — 9 sin 58) e'*^, ^5-4 (8, *)=备 У~sin4 8 cos 8eT"=為 |/ 礬(2 cos 8 — 3 cos 38 + cos 58"*“、

у…(8,у…(8,S山6呢田中= sisk j。S山6呢田中= sisk j。sin 8 — 5 sin 38 + sin 58)小晚sin 8 — 5 sin 38 + sin 58)小晚

у…(8,

у…(8,

S山6呢田中= sisk j。

S山6呢田中= sisk j。

sin 8 — 5 sin 38 + sin 58)小晚

sin 8 — 5 sin 38 + sin 58)小晚

функции⑺⑹(9)функции⑺⑹(9)При I тп I = 0, 1, 2, 3, 4 и произвольном значении Z, целом и положительном, Ylm (&, у) выражаются через полиномы Лежавдра Pt (cos &) следующим образом:

функции

⑺

⑹

(9)

функции

⑺

⑹

(9)

匕о (8, <?) = ]/ ^^々(cosS),

Yi ±1 (8,叫=干 ^J У 4K (2Z-H)'【吃7(c°s 8)— рг+1(cos 8)1，

" 心、 社'2中1广(Z 一w(宀)(2+2)一「吃-2 (cos 8)

匕 ±2 (也 ⑺-(sin 8)2 y , 4兀⑵下 1)[-2nП~ 一

一"(2/一 1) (22 十 3)修 3s 8)+ 2Г+3 片+2 (cos 8)」,

匕 ±3 他 勺)==F (sin ^)3 У 4л (21 4- i) • (Z —зП l_(2Z —3) (2Z — 1)尸仆(G0S ») —(2/ — 3) (21 + 3) %(。。耳 &)+

}(2?二 lf(2可 5) P"i (С。$8)一 (2z十3) (2z十5)吃+3 33 *)}(10)

У / ±4 他 勺)=画所 У 47c (2% + lj ・(L— 4) ! [ (2匚订⑵—3)⑵二 f) * (cos 8)—

4〃°、6(22 + 1)

~ (2Z — 5) (2Z^- 1У (2Г+ 3)" P?-2(cos 8)+ ⑵二^)⑵一彳)(2Z + 3) (2匕十 5)吃(。。§ &) 一

一(22二 1又22+3) (22+7)吃+2(GOS 8)+ (2/ + 3)(2Z- 5) (2C + 7)尸木(С。3 衿}(⑷

При \m\ — l\ I — 1, I — 2, I — 3, I — 4, I — 5 и произвольном значении I, целом и положительном, функции Ylm (8, у) имеют следующий явный вид:

Ут (8, у)=(干 1)'小“ 了壊标卡(sin 8)7,(12)

Yi 土(…(8, Y) = (4)1 e±“TY У 品玛П ©os $ (sin 8)-,(13)

y，±“-2)(S，<?) = (干 l)'fe±"3冲]/ 安L 普三新(sin 8)1 [(2C-1) cos? 8-1],(14)

匕 ±(；-3)(»> Y)=(干1) J3e±“7冲 J醬^ • ^； E界(5也衿I cos S [(22 — 1) cos2 8 - 3],(15)

匕 ±“y 他?) = ( + 1)^ e±f(^>-P У^Г'^гЕ^^ ^ X

X [(2Z — 1) (2Z-3) cos4 8 — 6 (2Z — 3) cos2 8 + 3],(16)

Yi ±“f)(8, <p)=(干f)T e±"F冲 J号志L.酱三磊•(sin S)У cos 8 X

X [(2Z — 1) (2Z — 3) cos4 8-10 (2Z — 3) cos2 »+15],(仅)

при I -]~m четном, при l + 加 нечетном.при I -]~m четном, при l + 加 нечетном.⑴(2)(3)⑴(2)(3)(5)(6)⑺(8)(5)(6)⑺(8)

при I -]~m четном, при l + 加 нечетном.

при I -]~m четном, при l + 加 нечетном.

⑴

(2)

(3)

⑴

(2)

(3)

(5)

(6)

⑺

(8)

(5)

(6)

⑺

(8)

ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ Ylm (&, <р) И 备 У/т(8, ?) ПРИ ЧАСТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ АРГУМЕНТОВ

Ylm (°，Y) = 3m0 J今尹，

、(一1)字/呻竺±2 .任.十 ^ 一 ')H .(" 一 ? 一 1)J У1т(^2>гу=' 4n {l + m) !! (I — m) I!

Yim ("> ¥)=3”。(-1)"'2f

匕《, (土m, Y)= Bmo (―1产]/ ^^-»

2.

鳥 у加(8, у) Igo =仅吋ie-琢—3； У '" + ；)ё^'Т “，

爲 ％ (8,相 工=()ё'呻卜, (，+ ^ - 1)而一/二2)更 叩口 ％ + " ненетном,

8=0при I т четном,

备 ％ (8, ?)1а=к=(-1)г (Л，- W?)『，<ЦЦ)6f 0・.

备 ％ (8, ?) I jK= (-1)"'回亠』一 3"V) у +需+ 1).

НУЛИ ФУНКЦИЙ Ylm (&, <р) U~Y[m (S, <?)

При изменении угла & от 0 до тс сферические функции Угт(&, <р), так же как и их производи ные 前 Y[m (8, ср), обращаются в нуль при определенных значениях угла &. Число нулей по 8 функций F；OT(&, ф) и Ylm (&, <р), т. е. число корней уравнений

Ylm (^» 平)=0 h 隔Y屈е，6=0，⑴

конечно в промежутке (0, л], причем все эти корни вещественны и среди них нет кратных. Ниже нули функции У1т^, у) будут обозначаться &а, а нули -^ Yim (&, <р) — через 8『Функции Y[m (&, ?) и 备 Ylm (&, ф) не имеют нулей по <р.

Функция Y[m (&, ср) при тп = О имеет Z нулей внутри интервала (0,冗)а при те^О имеет (Z — m) нулей внутри интервала (0, тс) и еще два нуля при 8a = ° и 8a =冗・ Все эти нули расположены симметрично относительно значения 8 =冗/2・ Поэтому, когда (I —加)—нечетно, Ylm (ЛЯ/2> 中)=。.

Нули функции Ylm (&, ср) при 加抬。определяются следующими уравнениями:

при т= +1COS2 8a = 1;

m=±Q — 4) cos2&a=ls 0;

1(2)

zn=±(Z—2)cos2 8a=1, 26 — 1 ；

3

加 ± (£ — 3) cos2 8a = 11(2± £J * 0;

при m= ±(Z — 4) cos» 熊=1, 3±2 峥?/С；m=+(Z-5) cos2»a=l, 5±2V5g-3)/(22—3) , °.

(22 — 1)

Численные значения углов &а, при которых У/т (Q-,屮)=0 для I = 0^-5, приведены в табл. 5.1. Для Z 史 1 приближенные значения 8a можно найти из соотношения

(3)(3)тНй^)，

(3)

(3)

「2|тп| — 3 4Z + 2| 码1 — 1] где к — целое число из промежутка [亠一, 一!

、2. Функция 誦 У gm (8, ф) при тп = 0 имеет Q ——1) нулей внутри интервала (0,冗)и еще два нуля при 8р = 0 н %8 =冗,а при 加关0 имеет (Z—т-\~ 1) нулей внутри интервала (0, тс) и два нуля при 8р = 0 и 8§ =冗,если |тп|》2. Все нули функции Уы (^, ср) расположены симметрично относительно значения 8 =冗/2・ Поэтому, когда (Z ——тп-(- 1)——нечетно, ^ Ylm (&,屮)=0 при 8 =冗/2・ Нули функции Ylm (Q-, у) при 7П*0 определяются следующими уравнениями:

при т= ±1cos2&р^0； 1 (Z > 2);

т~ +(/ — 1)со§2* = 7； 1 (Z > 3);

5Z —4

m=土口一2)(?0炉8尸元⑵ 一[)； 0； 1(/ ^ 4);⑷

m=±C-3) cos，8尸?(" 一 Dб。? + 27)； 1(2^5);

m=±(Z — 4)cos?也=上 8 ±2 仙？二吃^ 咨厂辍(2Z 一 3) ； °; 1 (6 6).

Численные значения нулей функции ^ Ylm (&, у) даны в табл. 5.1.

ТАБЛИЦА 5.1

НУЛИ ФУНКЦИЙ y^(8,叫 и -^Ylm (&,勺)

4 m

% (в град.)

8р (в град.)

1 m

8a (в град.)

* (в град.)

1 0

1 ±1

2 0

2 +1

2王2

3 0

3 ±1

3 ±2

3 ±3

Корн

90

0; 180

54.7; 125.3

0; 90; 180

0; 180

39.2; 90; 140.8

0; 63.4; 116.6; 180

0; 90? 180

0; 180

и уравнения —匕餾

0; 180

90

0; 90； 180

45; 135

0; 90； 180

0; 63.4; 116.6; 180

31.1; 90; 148.9

0; 54.7; 125.3; 180

0; 90; 180

(8, <р) = 0 определ

4 0

4 +i

4 +2

4 +3

4王4

50

5 ±1

5 ±2

5 ±3

5 ±4

5 ±5 яют знач

30.6; 70.1; 109.9; 149.4;

0; 49.1; 90; 130.9; 180

0; 67.8; 112.2; 180

0; 90; 180

0; 180

25; 57.4； 90； 112.6; 155

0; 49.9; 73.4; 106.6; 130.1;

180

0; 54.7; 90; 125.3; 180

0; 70.5; 109.5; 180

0; 90; 180

0; 180

ения %, при которы

0; 49.1; 90; 130.9; 180

23.9; 69; Ш; 156.1

0; 50.9; 90; 129.1; 180

0; 60; 120; 180

0; 90; 180

0; 49.9; 73.4; 106.6;

130.1; 180

19.6; 56.1; 90; 123.9;

160.4

0; 32.9; 72.1; W7.9;

147.1; 180

0; 46.9; 90; 133.1; 180

0; 63.4; 116.6； 180

0; 90; 180

工 функция Ylm (&, р)

достигает максимума или минимума. Нули функций Ylm (Q-, у) и -^- Y[m (Я, у) чередуются между собой.

Все функции Ylm (&, 0) и Yl+8 m+e (&, 0) при тп>0, m-^s^O имеют одинаковое число максимумов, минимумов и нулей, т. е. представляются топологически одинаковыми графиками (рис. 5.1). Их различие состоит лишь в том, что с ростом Z+s положение всех максимумов, минимумов и нулей Yl+S m+e (&, 0) смещается в направлении 8=冗/2.

БИПОЛЯРНЫЕ И ТРИПОЛЯРНЫЕ ГАРМОНИКИ

В прикладных задачах часто приходится иметь дело с функциями, зависящими от двух и трех направлений. Удобным базисом для разложения таких функций являются биполярные и три- полярные гармоники.

Биполярными сферическими гармониками называют неприводимое тензорное произведение двух сферических функций разных аргументов;

{丫厶他，平 1) ® Y" ($2，?2)}елГ= £ e丄[Wi ]"w^^^厶加1(力,%)y"2(%吩⑴

Совокупность биполярных сферических гармоник с различными значениями 厶，Z2, L и М представляет собой полную ортонормированную систему функций, зависящих от двух направлений и обладающих простыми трансформационными свойствами при повороте и при инверсии системы координат.

Условие ортогональности и нормировки

j j d◎皿%(Y厶(Qi) ® Y“ (%)}e取(Y"]⑸)® Y上, (q2)}"加=01rВ%%%力"砂，⑶

где2

Q 三{8,平}, ] dQ 三]d平[d8 sin 8. о о

Условие полноты имеет вид

£ {YL(%) ®(%)к取{Ya侬0® Yg(國}徧= MZ - Q06(% — QQ，(3)

где

3 (Q — Q‘)三 6 (cos Э — cos 8‘)6 (中一<?')・

Условие замкнутости

f(2% + 1)网 +1)

21 {丫厶(％)® Y%(%)£“ |2 = ' (婦 工•(4)

При повороте системы координат биполярные гармоники преобразуются по формуле

力(% В，?) {Y~ Ri) ® Y" (%)}£瓦，={Ya(QQ ® Y" (Q:)}2；加 = £ 0%瓦,(% R, ?) {Y厶(%) ® Y% (%)}£瓦，(5)

где SJ = {&J,甲;} и 。步三{8订 屮，связаны соотношениями 1.4(2), 1.4(3).

При инверсии системы координат биполярные гармоники приобретают фазу

g{Ya(%) ® Y %(同}z" =(一1)中YY厶(%) ® Y ,,(%)К瓦.(6)

Разложение Клебша—Гордана для произведения биполярных гармоник имеет вид

{Y%(%)® Y%(%)}//m {Y/% (Q1)® YT(q2)}e”0= 2 理毎EW不 8%：%"匕I* {YА(Q0® Y乙(%)}E瓦，⑺ где

吃尸八方+)3 +，侬+黑"父(2厶士业±11%,,闷小;理" .⑻

I 'Lr LT L

Важным частным случаем биполярных гармоник являются гармоники с £ = 0

{丄(Q1) ® Y“ &)}<№ = Д= “4 (%) •勺,&))匕/(9)

где скалярное произведение, согласно формуле 3.1 (30), имеет вид

(Yz (2г). Y( (Q2))= 2 n„(冉)！％(%)•(10)

Триполярными сферическими гармониками называют неприводимое тензорное произведение трех сферических функций разных аргументов

{Y厶他，喲® {Y,*他，的)® Y“也，廟},上瓦= S C器必％&就鼠“…恒吋Yg匹喲广g限喲.(B)

*т!т2т8

В случае триполярных сферических гармоник в отличие от биполярных возможны разные схемы связи угловых моментов Ii-|-(l2H"Ui28 = lJ>0i + UiI2 + ^3=LHnH (1i4-13)1is +I2=L. Переход между различными схемами связи рассмотрен в 3.3.

Совокупность триполярных сферических гармоник представляет собой полную ортрнормировэнную систему функций» зависящих от трех направлений.

Условие ортогональности и нормировки

j j j dQi^Q2d23 {Y厶(Q“ ® {Y% (Q2) ® Yg (%)}1}Em{Y?7(Q0® {Y% (Q2) ® Y〃§ (q8)卜,}方* =

=M]〃“jMj 小紋％〃31flp•(12)

Условие полноты

2 {y『i (Q])® {Y" (q2)8Y八(q3)}х}E瓦{Yg倒)® {Y" (Q$) ® Y% (^3)}х}1дг=^(^i - Q:)3 (Q2 一 ^2)^ (^3 - Q:).(13) 1

Условие замкнутости

2 I {丫八(％) ® { YJ3) ® Y% (甸}山“ |2=(2厶+1)(2 鑄；)(2%+Q ・(14)

ALM

При повороте системы координат триполярные гармоники преобразуются по формуле 力(％ В」){ Yg (^l) ® {Y“ (Q?)® Y% &з)}力“ ={丫厶(绵 ® {丫厶(％) ® Y% 绮}山м =

=£ 噸瓦，Е 3 I) {Y；, (Qi) ® {Y；, (%) ® Y% &)}山瓦，(15)

где Q；三{必 5} и %三{% 汽} связаны соотношениями 1.4(2), 1.4 (3). При инверсии системы координат триполярные гармоники приобретают фазовый множитель

户Г {Y|,(Q1) ® {Y% (Q?) ® 丫嘉网)}山м= (Т 尸'也{Yh (%) <8){Y,, (%) ® Yi3(Q3))x}tlf.(16)

Разложение Клебша—Гордана для произведения триполярных гармоник имеет вид

{Yp% (%) ® {Y% 侬2)® 丫га(°з)}『}г/т {Y% (%) ® {丫叫(QQ ® 丫％ 网儿“中好二

=，^ e 纟取，/АДГ" S 团出能," 7“們£” {Y八(%) ® {Y% (%) ® Y厶 他)}х%m,(17)

где

^l^'L' IW^L^^l^'L' IW^L^XX(2g + 1) (2片+ 1) (2% + 1) (2及 + 1) (2匕 + 1) (2川 + 1) (2ZZ + 1) (2厶"+ 1)

^l^'L' IW^L^

^l^'L' IW^L^

X

X

,'(4冗)3~

X V(2X + 1) (2M + 1) (2人 + 1) c：%"[/幽"~0陶"即.M 人"X,Z6 玛 4

["Z"厶 J I M 心 X

⑴⑴где(2)где(2)щими соотношениями:щими соотношениями:分孑=R2 +「2 + 2Rr cos 3, R cos ® + r cos 81 VR^ + г2 4- 2Rr cos шR sin ® sin ① + r sin & sin 平 g ^1 ~ 7? sin 0 cos Ф -Pr sin & cos <p分孑=R2 +「2 + 2Rr cos 3, R cos ® + r cos 81 VR^ + г2 4- 2Rr cos шR sin ® sin ① + r sin & sin 平 g ^1 ~ 7? sin 0 cos Ф -Pr sin & cos <p4r£ =五2 + N — 2Rr cos co,c R cos 0 — r cos &cos也=V*+产一2曲志u，五 sin ® sin © — r sin 8 sin 平 g ^a = Я sin 0 cos Ф — r sin & cos ^p4r£ =五2 + N — 2Rr cos co,c R cos 0 — r cos &cos也=V*+产一2曲志u，五 sin ® sin © — r sin 8 sin 平 g ^a = Я sin 0 cos Ф — r sin & cos ^p(5)(5)

⑴

⑴

где

(2)

где

(2)

щими соотношениями:

щими соотношениями:

分孑=R2 +「2 + 2Rr cos 3, R cos ® + r cos 8

1 VR^ + г2 4- 2Rr cos ш

R sin ® sin ① + r sin & sin 平 g ^1 ~ 7? sin 0 cos Ф -Pr sin & cos <p

分孑=R2 +「2 + 2Rr cos 3, R cos ® + r cos 8

1 VR^ + г2 4- 2Rr cos ш

R sin ® sin ① + r sin & sin 平 g ^1 ~ 7? sin 0 cos Ф -Pr sin & cos <p

4r£ =五2 + N — 2Rr cos co,c R cos 0 — r cos &

cos也=V*+产一2曲志u，

五 sin ® sin © — r sin 8 sin 平 g ^a = Я sin 0 cos Ф — r sin & cos ^p

4r£ =五2 + N — 2Rr cos co,c R cos 0 — r cos &

cos也=V*+产一2曲志u，

五 sin ® sin © — r sin 8 sin 平 g ^a = Я sin 0 cos Ф — r sin & cos ^p

(5)

(5)

Важным частным случаем триполярных гармоник являются скалярные гармоники с L = 0

{Y八(%)8{Y%&)8Y%(%)h}00=(一y+日九?)%g网)%皿网)%皿网)■(19)

mim2m3

5.17, РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Функцию /(гр г2), зависящую от двух произвольных векторов гх (гг, 8» ср, и 3(R，△， можно разложить в ряд по биполярным гармоникам (см. 5.16)

〃m г2)= 2 %;("，r) {Y厶(%) ® Y厶(%)}z瓦.

Функция f(rv га) может быть дана как в переменных , и г2, так и в переменных R и г, 11

В = Г14-Г2, г = гг — г2,立=е (R + г),后=彳(R — г).

Сферические координаты векторов R (凡 0, Ф) и г (г, 8, ср) связаны со сферическими координа- тами векторов г】(т\, %〕％) и г2 (г2, %，中2) следую-

R^ = rl-[-rl-]- 2r*2 cos 叱2,

Г] COS & + r2 COS 82

；os 8/ 二,二,

V r『+ 吟 + 2qq cos ш12

「1 sin $i sin 中 1 + г?亙11 ^2 sin g = ri sin 8] cos 中 1 一卜 r2 sin 8纟 cos <p2 *

r2 = rJ + r| — 2rxr2 cos 3i2,(3)

cos 也一r2 cos %

;os 8 = / 二 •==,

力•孑+吟一2，启cos ш12

尸1 sin 8] sin 平 1 — г* sin 8纟 sin 平? 旭 平=n sin 8] cos 屮 1 —「2 sin$2 c6s 屮2 *

Здесь ш12 — угол между векторами 厶 и г2 (рис. 5.2),

COS ш1а = 60S $1 COS；&2 十 sin 队 sin &2 COS (cpi — <jp2)•(4)

Соотношения, обратные (3), имеют вид

Здесь co — угол между векторами R и г (рис. 5.2),

cos ш = cos ® cos 8 + sin ® sin 8 cos (Ф —中).(6)

Отметим, что выражения для сферических координат Виг переходят одно в другое при замене г2 на —г2, т. е. при замене 8窘一> 冗一&2,物―冗午 惚・ Поэтому разложения функций F(R, г) и F(r, В), отличающихся между собой лишь заменой аргументов R N г, связаны между собой. Если

尸(R, г) = / (fj, г2) = £ "£(「1,戸2){Y/ ⑸)® Y『(*2)}ем,⑺

小2‘

ТО

F (r, R) =-r2) = 2 (一中生工("，%) {Yn网)® Y4网)}zm.(8)

Среди различных функций f(rv г2) особую роль играют функции, инвариантные относительно поворота системы координат. Такие функции зависят лишь от трех переменных гг = | гг |, г2 = | г21, (гхг2) = jQ cos °\2 или» QT。равноценно, Е = | 厶 + q I，「= | 厶一г21 и (R • г) = 7?r cos ш.

Разложение этих функций, очевидно, будет содержать биполярные гармоники толькр нулевого ранга 厶=0, т. е. только скалярные произведения (Уг (й2) • Y( (й2)) (см. 5.16(10)). Это разложение эквивалентно разложению по полиномам Лежандра, зависящим от cos ш12, вследствие теоремы

сложения сферических гармоник

(Y『(Q】)・ ％ (S2)) = Р, (cos з】2)・(9)

Примеры разложения функций, зависящих от 厶^：

Е4兀

(Г1 • Г2) = *2~ rlr2 (* 1 他，#1) * Y] (&2，/))，(10)

4兀「21

(立. J*2)2 = gr帆(¥0 (% CP1) • Y0(a2, /))+亏(Y2 他，也)• Y2他，/))}(11)

(Г1 • r2)3 —豆心吗[(¥1 (%, *) • Y1 他，中2)) + "У ( Y3 他，*) • Y3 他，中2))]，(12)

В общем случае [69] при целых положительных п

(ri '必严=4"體2 (九—z)"j[(九十 ％ + QU (Y/ (%, r) • Y? (%/))・(13)

В этой формуле индекс суммирования I принимает значения Z = 0, 2,.一,狗——2, п при п ——четном или Z = l, 3, . • 狗一2, п при п — нечетном.

Разложение экспоненциальной функции имеет вид

е"…)=4к * “ б%) (Y； (%) • Y, (QJ),(14)

где 7j (立)—сферическая функция Бесселя.

Произвольная функция /(гг • rj, которая может быть представлена в виде степенного ряда

/(Г1 • г2) = 2 % (п • Га)","5)

п=0

разлагается в ряд по сферическим функциям вида

/ & • Га)=宫力(5)(Y〔&) • Y(他))，(16)

где коэффициенты разложения Д (гхг2)5определяются формулой

2

8п ! (ггг2)я

%值一%)F(九 + 2+1)[[，(17)

n=lt /+2

Примеры разложения функций, зависящих от г = |г1 — г2|: разложение функции 6(厶一г2) имеет вид

со

3 6 - rj =М「К ") £(YNG)• Y](%)).(18)

г=о

Формула (18) является следствием условия полноты системы функций Ylm (&,甲)(см. 5.6 (1)). Разложение функции Грина для скалярного уравнения Гельмгольца может быть записано в виде

eikr 弋

~ = Ык 2 力仲 1)瓦D 仲2)(Y『(Qi) • Y,他))，(£9)

где /z (х) и 无产(/)——сферические функции Бесселя и Ханкеля I рода. Формула (19) справедлива при 厂1々「2* Если「1>「2，т0 в ней нужно произвести замену rx^r2. Разложение (19) является частным случаем следующего разложения [70]:

% (花)=4兀£ 九(％)Z/ (阮2)(Y『(Qi) - Y( (%)),(20)

(nV「2)，

где z? (n) = |/^^Ze + %(n)——любая из сферических фуньсций Бесселя, Неймана или Ханкеля I и II рода.

Важным частным случаем формулы (19) является разложение функции Грина для скалярного уравнения Лапласа, получающееся из (19) при к = 0

；=^e画%e）%⑵）•Y依）），；=^e画%e）%⑵）•Y依）），(21)(21)

；=^e画%e）%⑵）•Y依）），

；=^e画%e）%⑵）•Y依）），

(21)

(21)

（门＜「2），

Формула (21), также как и (19), справедлива при гг <^ г2. Если гг ^> г2, то в (21) следует произвести замену rx N г2- Разложение (21) можно записать также в симметричном виде, справедливом как при 7\ 之 г?，так и при гх > г2：

一 4H у 勺十建g一 4H у 勺十建g28(2п — 1)!!/ ггг2 \«

一 4H у 勺十建g

一 4H у 勺十建g

僧— /)!!(/十汽十 1)!!(壮 + 琢)(Y『(％) ' Y/ (%))•(22)

/+2

Несколько примеров разложений других степеней г.

г = 4Kt⑵十])(/г)(2£；3 —2/ — 1)(Y/(Qi)* Y? (。2))，(23)

/=о

两=Г；二 * /(7j^)(匕(q1) • Y? (q2)),(24)

再=3 (虑 _彳)3》1 (2% -1) (22 + 3mp^:) Q : 1 一2,二口)(X(°1)• г(%))。(25)

Эти формулы справедливы при r1<^r2. Если rt^> г2, то в них следует произвести замену гх^± г2. Разложения (21)—(25) являются частными случаями разложений, рассматриваемых ниже.

Разложение функций 厂務三〔г】 ——г2р (汽一целое, пиложительное или отрицательное) имеет вид

(26)(26)w = 4к £ 2/ ； М("' Г) (Y； (21) • Yj (S2)),/=0

(26)

(26)

где коэффициенты разложения а； (г】, г?) Даются следующими формулами [97]：

(2 Ji/ n 1 и 3r汽(勺 <「2),丿/М (再一門严2 /n 3 , n 3r?\+ 2y + y； Z + y；10 Д. А. Варшалович и др.(2 Ji/ n 1 и 3r汽(勺 <「2),丿/М (再一門严2 /n 3 , n 3r?\+ 2y + y； Z + y；10 Д. А. Варшалович и др.(”<?e),(”<?e),(27)(27)(28)(28)

(2 Ji/ n 1 и 3r汽

(勺 <「2),丿/М (再一門严2 /n 3 , n 3r?\

+ 2y + y； Z + y；

10 Д. А. Варшалович и др.

(2 Ji/ n 1 и 3r汽

(勺 <「2),丿/М (再一門严2 /n 3 , n 3r?\

+ 2y + y； Z + y；

10 Д. А. Варшалович и др.

(”<?e),

(”<?e),

(27)

(27)

(28)

(28)

。76,。76,2叫+9(f '2)=7点2叫+9(f '2)=7点几T，几T，1 n2—T ；1 n2—T ；2Z + 1 rf （r?-片）"+2」，氾 e 3 ]氾rl —疗- 戸丁研F一方0+2 + 2,万+牙；3; 亠務一,X二勺Г（2+，+刍a（万L2Z + 1 rf （r?-片）"+2」，氾 e 3 ]氾rl —疗- 戸丁研F一方0+2 + 2,万+牙；3; 亠務一,X二勺Г（2+，+刍a（万L(29)(29)(30)(30)При г】〉％ в формулах (27)—(30) нужно заменить гг^г2. Выражения для коэффициентов а^ (гр г2), 一 так И при 7\〉厂2，При г】〉％ в формулах (27)—(30) нужно заменить гг^г2. Выражения для коэффициентов а^ (гр г2), 一 так И при 7\〉厂2，справедливые как при гх<^г2»справедливые как при гх<^г2»имеют Bu iимеют Bu ia?（「i，г2）=a?（「i，г2）=(-а(-а（T）i（T）iтт閉閉l^fЬ—彳，t-т+2； z + 万；（、l^fЬ—彳，t-т+2； z + 万；（、G+喲G+喲(У(У22(” + yf(” + yfn-y , 1 + %； 2/+ 2;n-y , 1 + %； 2/+ 2;奶小奶小2r*22r*2曜+冷曜+冷办办(31)(31)(Ь + Г)2 八(Ь + Г)2 八(32)(32)

。76,

。76,

2叫+9(f '2)=7点

2叫+9(f '2)=7点

几

T，

几

T，

1 n

2—T ；

1 n

2—T ；

2Z + 1 rf （r?-片）"+2」，氾 e 3 ]氾rl —疗

- 戸丁研F一方0+2 + 2,万+牙；3; 亠務一,

X二勺Г（2+，+刍a（万L

2Z + 1 rf （r?-片）"+2」，氾 e 3 ]氾rl —疗

- 戸丁研F一方0+2 + 2,万+牙；3; 亠務一,

X二勺Г（2+，+刍a（万L

(29)

(29)

(30)

(30)

При г】〉％ в формулах (27)—(30) нужно заменить гг^г2. Выражения для коэффициентов а^ (гр г2), 一 так И при 7\〉厂2，

При г】〉％ в формулах (27)—(30) нужно заменить гг^г2. Выражения для коэффициентов а^ (гр г2), 一 так И при 7\〉厂2，

справедливые как при гх<^г2»

справедливые как при гх<^г2»

имеют Bu i

имеют Bu i

a?（「i，г2）=

a?（「i，г2）=

(-а

(-а

（T）i

（T）i

т

т

閉

閉

l^fЬ—彳，t-т+2； z + 万；（、

l^fЬ—彳，t-т+2； z + 万；（、

G+喲

G+喲

(У

(У

2

2

(” + yf

(” + yf

n

-y , 1 + %； 2/+ 2;

n

-y , 1 + %； 2/+ 2;

奶小

奶小

2r*2

2r*2

曜+冷

曜+冷

办

办

(31)

(31)

(Ь + Г)2 八

(Ь + Г)2 八

(32)

(32)

07 (h,07 (h,們一w严20丁7 （г],們一w严20丁7 （г],При. четных положительных n ряд (26) обрывается при 2 = тг/2, превращаясь в конечную сумму. Сравнение (27) и (28) показывает, что коэффициенты разложения функций г" и г “р связаны соотношением

07 (h,

07 (h,

們一w严20丁7 （г],

們一w严20丁7 （г],

(33)

Заметим, что все разложения, приведенные в 5.17.4 и 5.17.5 остаются справечливыми при замене г=|『1 — г2| на 7? = |г14'ГгЬ если коэффициенты разложения дополнительно умножить на (——1)'.

Сферические волны, т. е. функции вида zL (кг) YLM (&,屮)，где г (г, », ?) — гх — г2, zL (х)=

=|/ —Zl + i/2 (^), и Zl+力 ⑺—любая цилиндрическая функция порядка 厶 十彳,разлагаются по

биполярным гармоникам ранга 厶[70] (см. 5Л6.1):

Zz (m У^м (3, ?) = М^П £ '"Т V/(2Z1 + 1)(2Z2 + 1)或^,。九(kr^z^ (kr2) {Y^) (?) 丫厶(与)兄”，(34)

(J <「2)

В случае гг^> r2 в формуле (34) следует произвести замену гх ^ г2. Выбирая в качестве z^ (кг) сферическую функцию Бесселя ]L (кг) и устремляя Аг->0, получаем разложение [22, 96]

Аналогично, выбирая в качестве z^ (кг) сферическую функцию Неймана nL (кг) и устремляя 6fo получаем разложение [22, 96]

^Лу£^ (»- ^=У(^h Е (_1)GF (Йпут■ ^ <Yi. ^1)® y；2 (й2))лv.(36)

2U;:22GV%).

Например, циклические компоненты вектора г/г3 разлагаются по формуле

СО—/

^ = 4兀 £ (―坟 У у • ^ПТ { Y/т (Qi) ® Y/ (%)}屮・(37)

/=12(「i<Q)•

Разложение функций г*%取(8, ср) по биполярным гармоникам ранга 厶 имеет вид

*%我(8，?) = 4冗 2Г2)卜"匸(21(+叶)0廿0/* {YL(%)® Y厶(%)}乙亚，幽)

где суммирование ведется по всем целым положительным значениям 2】и Z2, разрешенным правилом сложения моментов (1i + 】2 = L) и законом сохранения четности (Zi + %2 —厶—четное число). Коэффициенты разложения а乃(q, q) Для разных значений N, L даются формулой [98]

I j—Z^—£>I j—Z^—£>NLNL(Г1» Г2)— (— 1)2(Г1» Г2)— (— 1)2(2厶十])!! [ (l-N)[(一匕 + % + w + 3(2厶十])!! [ (l-N)[(一匕 + % + w + 3X湾（窗吧廿刍二左二‘『一‘X湾（窗吧廿刍二左二‘『一‘(39)(39)

I j—Z^—£>

I j—Z^—£>

NL

NL

(Г1» Г2)— (— 1)2

(Г1» Г2)— (— 1)2

(2厶十])!! [ (l-N)[(一匕 + % + w + 3

(2厶十])!! [ (l-N)[(一匕 + % + w + 3

X湾（窗吧廿刍二左二‘『一‘

X湾（窗吧廿刍二左二‘『一‘

(39)

(39)

Если q〉r2, то выражение для 碎,(q, q) получается из (39) заменой q 之 &，к 之 12 M дополнительным умножением на (——1)'. Выражение (39) для коэффициентов разложения может быть также записано в следующих видах [78], в зависимости от значений N и L.

При ^ — целом, N —厶一четном, ZV —厶》0, т. е. при ZV =厶厶 + 2, £ 十 4,.…

嘅(г” &)=

三r厶+28斤厶+282

(-1 卢(w+乙+1)!!(n一z)！！2(2s；)!! Qs1十 24 +；)!!总2)！ ！(2s2十 2% + 1)!!叩"4 + % w n,

='/ ‘"总图)

0при G 十厶〉M

При N — целом, TV ——厶一четном, TV —厶卷一2, т. е. при N = L — 2, £ — 4, £ — 6,

瞰d，乙）=（一尸警廿匸圖奇屮куT^x

(41〉(41〉X (齐备У (甘总"+ 口L「2严3gn H _ F I — 6 + Г产W"+2 In d + “)]•

(41〉

(41〉

При TV — целом, N —厶一нечетном и гх <^ г2

а^12Г2)—

N—/[+/2+1.

(_八中+2 + z+1)!",}, § (匀

(厶一界-2)!户「2/ (2s)!!(/V-A-/2-2s)!!(7V —A+% + l-2s)!!(2A 十 2s十屮！

-S=UI 丿

при W —厶十 ％ + 1 > 0»

0при /V- А + % + 1 < 0.

N+E—1N+E—1吟2（小吟2（小Если 尸1〉「2，т0 выражение для а^ (гр г2) получается из (42) заменой 小之^，厶之% и дополнительным умножением на (—1)L- Важно подчеркнуть, что, если N《—3, коэффициенты 〃笈(kj) имеют добавки, содержащие 8(гх ——г2) и ее производные, которые дают конечный вклат; нри интегрировании разложения (38). Эти добавки имеют вид [78]

N+E—1

N+E—1

吟2（小

吟2（小

(W + £+D[！ V V , 2,(% 4%)!(% + S2)|

(£ — W—2)!【// Lb 历一S])!(，2—S2)|X

8^=0 £2=。

Si+Sz+NM—3

1X (2S1) !l (W M1X (2S1) !l (W M(43)(43)

1

X (2S1) !l (W M

1

X (2S1) !l (W M

(43)

(43)

Наконец, при N — нецеломНаконец, при N — нецелом

Наконец, при N — нецелом

Наконец, при N — нецелом

2£-1Г+产,Г (W — Z, + 2)

<t (KF) = (-1 卢+3 /n二£+3、r1^X

―2^；Г^ + Z, + Z2 + 3)

(44)(44)X偿书世鋁"£ {"宀3产，…-g fl…}.

(44)

(44)

Заметим, что все разложения, приведенные в 5.17.6 и 5.17.7, остаются справедливыми при замене г (г, », ф), где г = гх — г2, на R(R, 8, Ф), где R = гг 4~ г2» если коэффициенты разложения дополнительно умножить на (—1/2.

Глава 6

СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ

СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ ЧАСТИЦ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ спином

Определение

Спиновые функции описывают поляризационные состояния частиц с определенным спином^ т. е. с определенным собственным (внутренним) моментом количества движения.

Спиновые функции / (а) можно рассматривать как функции от дискретной спиновой переменной а, которая имеет смысл проекции спина на ось z и может принимать 25+1 значение:。=——S, ——S+1, . . ., S——1, S, где S — спин частицы (S — целое или полуцелое неотрицательное число). При этом величина 仅(а) |2 представляет собой вероятность того, что в данном состоянии проекция спина на ось z равна о.

Спиновую функцию принято записывать в виде столбца, состоящего из 2S+1 элемента:

/ x(s)\

/ X(S-l) \

х= ：(1)

、义(一6 +4)/' x(—s)/

Элементы этого столбца дают значение спиновой функции ^ (а) при соответствующем значении спиновой переменной о, а сами величины / (о) называются контравариантными компонентами спиновой функции 叉(см. ниже 6.1.4).

При такой форме записи операторы, действующие на спиновые переменные, представляются в виде квадратных матриц размерности (2S+1) X (25十1), а суммирование по спиновой переменной заменяется матричным умножением. Эрмитовски сопряженная функция 叉+ представляется в виде строки

/=(X*(S)，片(5 — 1),… 片(一5‘ + 1), 71一S)).(2)

Для того чтобы величины |/ (а) |2 можно было рассматривать как вероятности иметь ^-компоненту спина равную о, они должны удовлетворять условию нормировки

S

2 1x(°) |2 = 1-(3)

Это же условие может быть записано в матричном виде

хГ = 1・⑷

Описанное выше представление спиновых функций называется представлением циклического базиса. В случае целочисленного спина наряду с представлением циклического базиса иногда используется представление декартового базиса. Это представление для частиц со спином 1 рассмотрено ниже (см, 6.3).

Базисные спиновые функции

Базисными спиновыми функциями называются спиновые функции состояний с определенным значением спина и его проекции на ось z. Базисные функции %$物 являются собственными функциями операторов S2 и &, где S — оператор спина （см. 2.3）:

®2Xs?n ~ S （S -г 1） xiSm, 5纟心7n =耿57rt •（5）

Из этого определения следует, что зависимость базисных функций /Sm （о） от спиновой переменной о дается формулой

XSm（°） = Мь*（6）

⑺⑺Иными словами, контравариантные компоненты базисных спиновых функций 工$?務 имеют вид

⑺

⑺

Если записывать базисные функции в виде столбцов, то

（8）（8）

（8）

（8）

Совокупность 2S +1 базисных функций 工§加 с т = S, S ——1,...,——S, образует полную систему ортонормированных функций. Условие ортогональности м нормировки базисных функций

*XSm/S»^ 储弘筑，*（9）

Условие полноты системы базисных функций можно записать в матричном виде

Njs^X九=，（Ю）

где / — единичная матрица размерности （2S 十 1） X （2S 十 1）.

Матричные произведения базисных функций вида 工$“工古м，являются квадратными матрицами размерности <2S 十 1） X （2S + 1） и могут быть разложены по полному набору поляризационных операторов Т^ （S） （см. 2. 4）. Это разложение имеет вид

Xs^X風'= ］）/ 2s 十IT C薫fm'lm（§）•（1"）

Матричные элементы циклических компонент оператора спина 8步（出=±£, 0） между базисными функциями даются формулой

X（3十1）С然1世；（12）

при этом отличными от нуля будут следующие матричные элементы:

依,”+/+£6,“=-遗V（S —m）（S + "T 1）,

16Tx=靑 V（S 十 6）（5 —m 十 1）.（13）

Для декартовых компонент оператора спина Si （Z =力,у, z） отличные от нуля матричные элементы имеют вид

X札吐 1уд5?抵=^V（5 而）（3 士％ 十 1）,

Xjm±i^Xsm = + у ^（S 与"）（5 ± 加十 1）,（14）

倦£kSm ~ m.

Матричные элементы поляризационных операторов /七應(5) между базисными функциями записываются следующим образом:

^Sm^LM(*^)X^m ~ ^ 2y ；彳 °薫LM。(⑸

При повороте системы координат базисные функции 无$锵 преобразуются с помощью оператора поворота 力$ (a, R, 丁) (формула 2.4 (17)), если поворот характеризуется углами Эйлера a, R, у, или с помощью оператора поворота Us (со; 0, Ф) (формула 2.4 (18)), если поворот характеризуется направлением оси поворота п (9, Ф) и углом поворота ⑴：

Xsmz —力8 (% S，T)Xs?%，= 2 °黑，(a，。，T)XSwi，

酬(16)

х/，三 U$(3； 0, Ф) Xsm" = 2 ^mmf(w» ” ⑦)乂丽，

где D^mf — ZJ-функции Вигнера (гл. 4), величины U%, определены в 4.5. Функции у^8т, описывают состояние, в котором частица имеет спин S и проекцию спина mf на новую ось z'・ Они являются собственными функциями операторов S/2 и

S々/? = S (S + 1) X/"(⑺

Здесь Sz ——оператор спина в повернутой системе координат.

#1 = 三D九@ 力 7)队，(d v=±3 0).(18)

Спиральные базисные функции

Спиральностью называется проекция спина на направление импульса частицы. Для частиц со спином S спиральность 入 может принимать 25+1 значение:入=月，S —1, •.., —内十备 一S・

Спиральными базисными функциями 无$入(8,平)называются собственные функции операторов S2 и S *п, где S — оператор спина, п=р/ | р| ——направление импульса частицы, 8 и 中 ——сферические углы орта п:

@仪欲他叫= S(S + 1)X^(3，＜P)，

•пХвх®，⑴=入X欲(止?).

Функция %臥(8, ср) описывает состояние со спином S и определенной спиральностью 入.

Спиральные функции %从(8, ср) можно выразить через базисные функции %$锵,поворачивая систему координат так, чтобы новая ось z‘ была направлена по импульсу частицы или, что то же самое, по орту п (8, ср). Такому повороту соответствуют углы Эйлера а=物 卩=8. Третий угол Эйлера т (угол поворота вокруг новой оси z‘) может быть выбран произвольно. В дальнейшем для простоты будем полагать 了=0. При таком выборе 丫 орты повернутой системы координат е；, е；, е； будут совпадать со сферическими ортами е$, е甲，％ соответственно (см. 1.1.2). Пользуясь законом преобразования базисных функций 工$切 при повороте (16), получаем

Xsx (3，屮)=2 "，(平，3，°) Xfim'

(20) 7.8т = 2 "9入一》1(°，3，屮)х夂(8, y).

Для эрмитовски сопряженных функций имеем

X玄(8,中)=£(一 I)—琏…® 8, 0)若而

解(21)

X/=2(一1)、加少猊(0，也⑴N風(也沖

Из (6), (7) и (20) следует, что контравариантные компоненты спиральных базисных функций имеют вид [х；»(а,叫』晦仲，а, 0),

(ь, а = —S, —S + 1, ... S — 1, S)(22)

[xh(3，⑺『=㈠抨г酢…但* o).

Совокупность 25 -|- 1 спиральных функций 工歇(8,屮)с 入=S, S — 1： • • •,——S, также как и совокупность функций %£附,образует ортонормированный базис. Условие ортогональности и нормировки для спиральных функций

义标(3，屮)义б，(3，下)=%好。(23)

Условие полноты системы спиральных функций

£xsx(a，В 满他勒=/•(24)

Произведения спиральных функций вида ^sx (&, <?)依，(也 р) являются матрицами размерности (2S +1) X (2S +1), которые Могут быть разложены по поляризационным операторам fi^ (5) (см. 2. 4):

^81(^» У)X由'(3，?) — £ У 23 十，С徵ЕА^%А ® 备 °)企LM (S)*(25)

Матричные элементы поляризационных операторов между спиральными состояниями вычисляются с помощью формулы

xh 他叫 fLX (S) Хм(». ?) = /奖等(Т严А唸/亚MF (% a, 0).(26)

В частности, диагональные матричные элементы имеют вид

X玄(8, У)0工jf (S) X队(8,屮)=J /5 十一不0款£0 ?£我(3, ?)•(27)

Спиновые функции общего вида

Спиновая функция общего вида (1) для частицы со спином S может быть разложена по базисным функциям т. е. представлена в виде

s

Х= ± 叫^，(28)

где 我酬 三 ％(相)—коктравариантные компоненты неприводимого тензора ранга S. Разложение эрмитовски сопряженного спинора /+ по базисным функциям /$т имеет вид

Х+= Ss(«mr Х^„-(29)

Отметим, что в общем случае (〃^)*抬〃制 т. е. соответствующий неприводимый тензор не является вещественным. Условие нормировки (4) налагает на коэффициенты ат условие

2 1m产=丄

Произведение спиновых функций //+ является матрицей размерности (2S +1) X (2S +1) и может быть разложено по поляризационным операторам ^工應(5) (см. 2.4):

26 Е

XX+=S 2 (I严％-лЛм(6)，(3。)

где коэффициенты разложения выражаются через компоненты 〃酬 по формуле

8

p£if = J/ 23+厂2°旣l龍（叫*"叫（31）

В частности, Роо= 1/\/25

Величины Plm（M =——L,——L -f- 1, •…厶）являются ковариантными компонентами неприводимого тензора ранга L. Они представляют средние значения поляризационных операторов f 匕找（S） в состоянии, описываемом спиновой функцией /:

x+0^（s）x = p“・（32）

При комплексном сопряжении величины Р^м преобразуются по формуле

因费）*=（-‘产 Pz-»（33）

Из равенства /х+хх+ = х/+ следует, что коэффициенты 尸七取 удовлетворяют условиям

Plm= 2 （一产3""（2g+ D （25十2）（: g北哨";?4陋心（34）

откуда, в частности, следует условие нормировки

£ 2 |^<|2=i-（35）

Е=0 M=—L

При повороте системы координат, характеризуемом углами Эйлера a, R, у, спиновая функция / преобразуется с помощью оператора поворота 加（％ R, 丫）（формула 2. 4 （17））

X' = »s（a，Р，Т）Х・（36）

Спиновую функцию в повернутой системе координат 无‘ можно разложить как по базисным функциям 无6僧 исходной системы координат, так и по базисным функциям %\切 повернутой системы координат.

叉'=2。‘々£»г= £。'”/，（37）

m^—Sm=~S

где am и a'"1―• компоненты спиновой функции в исходной и повернутой системах координат соответственно. Связь базисных функций /^т и /^т дается формулой （16）. Закон преобразования компонент 仪协 при повороте системы координат имеет вид

。'*= n D£（a, Р,加"，

S（38）

№ =〉^^и（a，3，T）聯，

в соответствии с общим законом преобразования контравариантных компонент （см. 4. 1. 2）.

Поляризационная матрица плотности

С помощью спиновых функций можно описывать не любое поляризационное состояние частиц, а только полностью поляризованное （чистое） состояние.

Частично поляризованное состояние, являющееся некогерентпой статистической смесью чистых состояний, описывается не спиновой функцией /, а поляризационной матрицей плотности р.

ПоляризациоНная матрица плотности р для частиц со сиинЗм S является квадратной матрицей размерности （2S + 1） X （2S 十 1）, элементы которой определяются формулой

（39（39卩w，= G（。）/ С3'）%

（39

（39

или в матричном виде

0 =〈ХХ+〉е，(40)

где〈〉£ означает статистическое усреднение. В частности, для чистых состояний О = ХХ+・(41)

Поляризационная матрица плотности эрмитова

0+ = @, т. е.成『 = Рь&(42)

и нормирована условием

Sp@ = l, т. е. 2%ь=1・(43)

В силу условий (42) и (43) матрица плотности для частиц со спином S определяется (2$ + 1产一■

—1 = 4月(S + 1) вещественными параметрами.八

Среднее значение любого поляризационного оператора f в состоянии, описываемом поляризационной матрицей плотности р, вычисляется по формуле

<f>=Sp{fp} = Sp {pf}.(44)

Отметим также следующее свойство матрицы плотности

Sp {俨} W1,(45)

где знак равенства относится torero к чистым состояниям, для которых

(46)

Матрица плотности 。может быть разложена по поляризационным операторам 7елг(5), т. е. записана в виде

2s e

@=2 2tb-мТLM(S).(47)

Величины 〃江 носят название поля ризационных моментов. Они представляют собой средние значения поляризационных операторов 个上江(S) в состоянии, описываемом матрицей плотности р:

^LM = ^(§)〉= Sp {次(S)}・(48)

Поляризационные моменты 方上江 связаны с элементами матрицы плотности соотношениями

LMLM2厶十1"23十，2厶十1"23十，88(49)(49)В частности,В частности,PbW —厶 у 23 十 1断£, МPbW —厶 у 23 十 1断£, М(50)(50)

LM

LM

2厶十1"23十，

2厶十1"23十，

8

8

(49)

(49)

В частности,

В частности,

PbW —厶 у 23 十 1断

£, М

PbW —厶 у 23 十 1断

£, М

(50)

(50)

(51)

При комплексном сопряжении

ZLM ( — 1)"乙一犷

Свойства поляризационных момеггтов для чистого (т. е. полностью поляризованного) состояния рассматривались выше (формулы (31)(35)). Для полностью неполяризованного состояния все моменты, кроме 兀，равны нулю, т. е.

Рнеполяр ~ 23(32)

где / единичная матрица. Величины 方е取 являются повариантными компонентами неприводимого тензора ранга L и при повороте системы координат преобразуются по формуле 4.1. (2).

・ СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ ПРИ 5 = 1/2

Базисные спиновые функции

Базисные функции 无？拼(ттг = ± 1/2) являются собственными функциями операторов S2 и Sj 含气%热n^X%^(1)

W&/2 тп = 心

Функция %? m описывает состояние, в котором частица имеет спин 1/2 и проекцию спина на ось z, равную т.

Зависимость базисных функций /^ m (с) от спиновой переменной а (а ~ +1/2) в представлении циклического базиса дается формулой

Х'/о m(。)= "s(2)

Согласно формуле 6. 1 (1), базисные спиновые функции 无丄/ m могут быть записаны в виде:

Х%% = (о} Х%_% = ()(3)

Зрмитовски сопряженные функции /+ m имеют вид

х屯%=⑷0),х屯一% "(°，I)，⑷

Часто используется следующее обозначение базисных функций:

X%% 三"'X%-% 三 3(5)

Условие ортогональности и нормировки

X宓扭仪％ m ^tnr,m *(6)

Условие полноты системы базисных функций-

2 %% 陋X必7，(7)

где / — единичная матрица размерности 2x2.

Разложение произведений базисных функций

Величина 工力死无力 т, является матрицей 2 X 2, матричные элементы которой даются формулой

(8)(8)(9)(9)[_Х% игХ1Д т,]аз, ==: Х%ь (义％ iwX% »t') Х%ь， °ь?п"ьНл

(8)

(8)

(9)

(9)

Разложение произведений базисных функций по спиновым матрицам

X% тХ'/2 ^ = 4 瞋 М — 'МС沱2

где €卩(卩= ±1, 0)——циклические компоненты оператора спина (см. 2.5). В развернутой записи формула (9) имеет вид

三 X% -/М 72 = У7 + Л = у^Н-^о，

"尹三X% %Х以」/2 = 6%+»匐=-V26+i,

八 入(10)

Действие оператора спина на базисные функции

Декартовы компоненты оператора спина Si (см. 2. 5) действуют на базисные функции соответственно формулам

% = 2 X%S”X% -% = ~2 X% %'

*〃％% = !■叉％-%，匐义％x%"(U)

AA1

S热A % = "2 叉％ %，S&/2 -% = — 彳 X%

Циклические компоненты оператора спина S* (см. 2. 5) действуют на базисные спиновые функции следующим образом:

Формула (12) в развернутой записи имеет вид詛以% % = 38碌% %=2 X% 72,Формула (12) в развернутой записи имеет вид詛以% % = 38碌% %=2 X% 72,2~^ip，72 mXy2(12)«+1Х% -% =—逅 x% %，人1.SqX%t2 = -7Ml%、(13)§тХ%-% = °・2~^ip，72 mXy2(12)«+1Х% -% =—逅 x% %，人1.SqX%t2 = -7Ml%、(13)§тХ%-% = °・

Формула (12) в развернутой записи имеет вид

詛以% % = 3

8碌% %=2 X% 72,

Формула (12) в развернутой записи имеет вид

詛以% % = 3

8碌% %=2 X% 72,

2~^ip，72 mXy2(12)

«+1Х% -% =—逅 x% %，

人1

.SqX%t2 = -7Ml%、(13)

§тХ%-% = °・

2~^ip，72 mXy2(12)

«+1Х% -% =—逅 x% %，

人1

.SqX%t2 = -7Ml%、(13)

§тХ%-% = °・

Из соотношения (12) следует, что для произвольного вектора а матричные элементы оператора S • а имеют вид

(14)(14)[g • a]3S, = x% s§ • aX% ,=(一分一2—除2尸-出，

(14)

(14)

где 〃一世(卩=土1, 0)——ковариантные циклические компоненты вектора а (см. 1. 2).

Преобразование базисных функцийпри повороте системы координат

Базисные функции 无? т являются ковариантными ортами. При повороте системы координат S S! они преобразуются с помощью оператора поворота 力力佃，卩，丁)(формула 2.5 (32)), если поворот

характеризуется углами Эйлера а, р, у, или с помощью оператора поворота U% (⑴；0, Ф) (формула 2. 5 (36)), если поворот характеризуется направлением оси поворота"п (0, Ф) и углом пово

рота ⑴:

(15)(15)Х：/2 加=力"("，3 ^)X1/. «, ~ 2 ^1/г т^тт,(% 3 7)' 瓜卅= U%(3； О, ф) Х.д т，= 2 Х>/2 ,питт' (ы；仇 ф)-

(15)

(15)

где。篤，(а, р, т)——D-функции Вигнера (гл. 4), U飞^ определены в 4. 5.

Функции /'/2 тг являются спиновыми функциями состояния, в котором частица имеет спин 1/2 и проекцию спина『拉'на новую ось z‘. Функции 丸句 являются собственными функциями операторов S/2 и S', где 6,——оператор спина в повернутой системе координат (формулы 2.5 (40) и 2.5 (41)): ”

€'2位用=彳位€'2位用=彳位(16)(16)

€'2位用=彳位

€'2位用=彳位

(16)

(16)

瓦石工mr = 7n %%加.

(8cos W e 2sin^eF(8cos W e 2sin^eFесли поворот характеризуется углами Эйлера а,(cos 多一г sin -у cos ®、—г sin -у sin 0е*ф 丿если поворот характеризуется углами Эйлера а,(cos 多一г sin -у cos ®、—г sin -у sin 0е*ф 丿Р，「Р，「(—t sin 多 sin 0е~*ф cos ~2 + i sin ~2 cos 0(—t sin 多 sin 0е~*ф cos ~2 + i sin ~2 cos 0(18)(18)если поворот характеризуется углами <о, 0, Ф.Для функций /1/2 mr справедливы соотношения мулы (9)—(13), если в них произвести замену £если поворот характеризуется углами <о, 0, Ф.Для функций /1/2 mr справедливы соотношения мулы (9)—(13), если в них произвести замену £ортогональности и полноты (6), (7), а также фор-ортогональности и полноты (6), (7), а также фор-

(8

cos W e 2

sin^eF

(8

cos W e 2

sin^eF

если поворот характеризуется углами Эйлера а,

(cos 多一г sin -у cos ®、

—г sin -у sin 0е*ф 丿

если поворот характеризуется углами Эйлера а,

(cos 多一г sin -у cos ®、

—г sin -у sin 0е*ф 丿

Р，「

Р，「

(—t sin 多 sin 0е~*ф cos ~2 + i sin ~2 cos 0

(—t sin 多 sin 0е~*ф cos ~2 + i sin ~2 cos 0

(18)

(18)

если поворот характеризуется углами <о, 0, Ф.

Для функций /1/2 mr справедливы соотношения мулы (9)—(13), если в них произвести замену £

если поворот характеризуется углами <о, 0, Ф.

Для функций /1/2 mr справедливы соотношения мулы (9)—(13), если в них произвести замену £

ортогональности и полноты (6), (7), а также фор-

ортогональности и полноты (6), (7), а также фор-

Явный вид базисных спиновых функций в повернутой системе координат

(17)(17)I —sm y e

(17)

(17)

小=p T\ cos -y e “

Спиральные базисные функции при S = 1/2

Спиральные базисные функции ^2 х (^,屮)(入=土1/2) описывают состояние, в котором частица имеет спин 1/2 и проекцию спина на направление импульса и (8,屮)三 у^у (т. е. спиральность) равную 入.Функции / 卜(8, ср) являются собственными функциями операторов S2 и S • п

3%/小(% f)= '!'为/小(8, ?).§ • %小(8, 6 =)%/小(8, ?)-Согласно (15), спиральные функции %/ 入(8,屮)связаны с базисными функциями %^М/小(3, 6 = 2。'厶® 8, 0) Х'л™,X%饮=¥龙if(°，小 F)x%x(3, ?)•3%/小(% f)= '!'为/小(8, ?).§ • %小(8, 6 =)%/小(8, ?)-Согласно (15), спиральные функции %/ 入(8,屮)связаны с базисными функциями %^М/小(3, 6 = 2。'厶® 8, 0) Х'л™,X%饮=¥龙if(°，小 F)x%x(3, ?)•(19)(19)旅 соотношениями旅 соотношениями(20)(20)

3%/小(% f)= '!'为/小(8, ?).

§ • %小(8, 6 =)%/小(8, ?)-

Согласно (15), спиральные функции %/ 入(8,屮)связаны с базисными функциями %^М/小(3, 6 = 2。'厶® 8, 0) Х'л™,

X%饮=¥龙if(°，小 F)x%x(3, ?)•

3%/小(% f)= '!'为/小(8, ?).

§ • %小(8, 6 =)%/小(8, ?)-

Согласно (15), спиральные функции %/ 入(8,屮)связаны с базисными функциями %^М/小(3, 6 = 2。'厶® 8, 0) Х'л™,

X%饮=¥龙if(°，小 F)x%x(3, ?)•

(19)

(19)

旅 соотношениями

旅 соотношениями

(20)

(20)

(21)(21)Для эрмитовски сопряженных спиноров формулы (20) принимают видX如(8, 6 =上(一段*d当"仲，8, 0) X% m,城”=不(一1)—0厶(°，出叫疵人(8,办

(21)

(21)

Явный вид спиральных функций\sin 万 e 2 ,诚％(8, ?) == I cos у е 2, sinye 2Явный вид спиральных функций\sin 万 e 2 ,诚％(8, ?) == I cos у е 2, sinye 2.3 7—'Sin 丁 ecos -ye.3 7—'Sin 丁 ecos -ye讨2 _% 価，叫I —sin У е » COS у е讨2 _% 価，叫I —sin У е » COS у е(22)(22)(23)(23)

Явный вид спиральных функций

\sin 万 e 2 ,

诚％(8, ?) == I cos у е 2, sinye 2

Явный вид спиральных функций

\sin 万 e 2 ,

诚％(8, ?) == I cos у е 2, sinye 2

.3 7

—'Sin 丁 e

cos -ye

.3 7

—'Sin 丁 e

cos -ye

讨2 _% 価，叫I —sin У е » COS у е

讨2 _% 価，叫I —sin У е » COS у е

(22)

(22)

(23)

(23)

(24)(24)Спиральные функции %/入(8,屮),также как и функции %%好，образуют ортонормировавный базис. Условие ортогональности и нормировки для спиральных функций

(24)

(24)

烤山（％ 叫 X，/小（3, У）=“4,

а условие полноты

(25)

Разложение произведений спиральных функций с одинаковыми аргументами 8, ср имеет вид

Х%*(8, 6 庇х，(3 ?) = у ^1 + ^2 С'/>^ ^11')>■ ^ 8, 0)庆・(26)

В развернутой записи

1 /1 + cos 8 sin 8еТ*\1»

х% %(8, ?)芯％ (В, 6 = 0 ( sin %琢纟 _ cos J =芽 / + n • S,

X%%(8, Y)*(S，6=4((盡Г：)「°К" *) = -◊%仲，"，°"”

1 /—sin 8(cos & — 1) e~icP\ lP入

X%-%(8, 9)渐,%®，8玄(^一标Y sin 8卜建?％ 仲，8, 0)6”

1 /1 — cos—sinSeT 八1 . 公

'Х『％(8, ¥)*%(% $)=队一5皿呢峙 l+cos J = / — n・S.

Матричные элементы циклических компонент оператора спина $世(卩=±1, 0) между спиральными состояниями даются формулой

泣*，(%，?) ^Д1/2х Р- <?) = (-1)^ -у ^^D\-^(?- 8, °)"(28)

В развернутой записи формула (28) имеет вид

,,,asin .

〈丁 丨 S+i)十〉一-2 V2 e 中，

〈十]凡丨 +〉= 2 cos 3,

入1 + cos 8 .

S32^2 叫

<+ I Л I —> = —У Sin 8,

,入、 sin 8

〈十|6-11+>- 2V/2

,Л1 — cos 8.

die— 2^ 宀

,「 ，1 — cos 3 .

〈一1S+i]+>-2 他 e

〈一1 备丨十〉=-sin 3,

八sin 3 .(29)

〈一1 Sq I —> = — у cos 8,

,1 + cos 8

<-|^l+>- 2 偿尸‘

人sin 8

〈|S-J " 2 方 e 外

Здесь использована краткая форма записи

〈+I 1+〉三 Х&% (8, y) 6必信% (3, y),〈+ I 6p| 一>三泣%(3，平)6步义%-%(止屮)И t.~Д.

Матричные элементы декартовых компонент ными состояниями имеют вид

оператора спина Si (i = ^, z/, z) между спираль-

<+ 11 +> = У sin 8 cos %

〈十丨亀 1 +〉= 2 sin 3 sin ⑶

<+ 1 ^ J —> = у (cos ^ cos <Р + i sin5)),

<+ 1 ^у 1 —> = У ( cos 3 5mlp - i cos 叫(30)

〈十丨 6" 一〉= 一^ sin &,

〈——I §工 I +〉=彳(cos 8 cos у — t sin <p), 〈——I Sx | 亠〉==——-у sin 3 cos y, <—I ^ I +> = У (COS a sin у + t cos cp), 〈一 I 6歹 I 一〉= 一 彳 sin 8 sin у, 〈一 ]Sz I 十〉——~2 sin 8, 〈一 I 6纟丨一〉=—~2 cos 3.

Отметим, что для диагональных матричных элементов оператора спина имеет место формула

X屯 х (3, ?)翫/小(8, ?)=入n (8,力(31)

Произвольная спиновая функция частицы с S —1/2

разложена по базиснымразложена по базиснымX% = ) 。吆力扭X% = ) 。吆力扭Произвольная спиновая функция ① частицы со спином 1/2 может быть функциям 勺 т, т. е. представлена в виде

разложена по базисным

разложена по базисным

X% = ) 。吆力扭

X% = ) 。吆力扭

(32)

При этом эрмитовская сопряженная функция 无宓 выражается формулой

泣=2 а"'*Х*" =(。％*，『/'*)•(33)

Коэффициенты a7n (ттг = ± 1/2) являются контравариантными компонентами спинора /^ (см. ниже). Условие нормировки спиновой функции

^72^/2 ~ 1(%)

налагает на коэффициенты am (т = +1/2) условие

I訓|W|产]2=[.

Величина am является амплитудой вероятности того, что в состоянии %/ частица имеет проекцию спина на ось z, равную т.

Частныеслучаи-

О/2 = 1, а 2 = 0, х% = х%% =(0).(35)против оси Z«% = о,产=(,х% = X% _% = С) .(36)по орту п (&,屮)О/2 = 1, а 2 = 0, х% = х%% =(0).(35)против оси Z«% = о,产=(,х% = X% _% = С) .(36)по орту п (&,屮)Спин частицы направлен по оси z:

О/2 = 1, а 2 = 0, х% = х%% =(0).(35)

против оси Z

«% = о,产=(,х% = X% _% = С) .(36)

по орту п (&,屮)

О/2 = 1, а 2 = 0, х% = х%% =(0).(35)

против оси Z

«% = о,产=(,х% = X% _% = С) .(36)

по орту п (&,屮)

Спин частицы направлен

3 -cos ~2 еsin 彳 епротив орта и (8,屮),3 Т ./ — Slny е Iа-% = со?»е 2, х% = х%_%(8, б『[§ 亠 I.(38)\ cosye‘2 /3 -cos ~2 еsin 彳 епротив орта и (8,屮),3 Т ./ — Slny е Iа-% = со?»е 2, х% = х%_%(8, б『[§ 亠 I.(38)\ cosye‘2 /Спин частицы направлен

3 -cos ~2 е

sin 彳 е

против орта и (8,屮)

,3 Т ./ — Slny е I

а-% = со?»е 2, х% = х%_%(8, б『[§ 亠 I.(38)

\ cosye‘2 /

3 -cos ~2 е

sin 彳 е

против орта и (8,屮)

,3 Т ./ — Slny е I

а-% = со?»е 2, х% = х%_%(8, б『[§ 亠 I.(38)

\ cosye‘2 /

产=sin у е 2 , х% = %%% 也?)=产=sin у е 2 , х% = %%% 也?)=а/2= cos е & ,

产=sin у е 2 , х% = %%% 也?)=

产=sin у е 2 , х% = %%% 也?)=

г. Спин частицы направлен

В общем случае спиновая функция (32) описывает состояние, в котором спин частицы направлен по орту п, декартовы компоненты которого даются формулами

'пх=.2^(^аГ^ % = 2Tm(a%V%), пг=\^-\^.3)

При этом циклические компоненты орта п определяются по формуле

彩=乃 2 佻ЗЬ*。％(40)

или в подробной записи

%] = —«о = I 0% 产—I J/z |2, «_!=僧『％%%・(41)

Произведение спиновых функций вида 工％破 может быть разложено по спиновым матрицам

где п — направление спина частицы (39)—(41).

Матричные элементы оператора спина S выражаются через направление спина п по формуле

礎 Х% = 4"П・(43)

Преобразование спиновых функций при повороте системы координат S f Sf осуществляется с по мощью операторов поворота 方"(％ % 丁)(см. 2.5 (32)) или 0%(а);白，Ф) (см. 2.5 (36)) в зависимости от способа описания поворота:

х% =力"(а，Р，Т)Х，/" = и%3； 8, Ф) х7з.(44)

Спиновые функции в повернутой системе координат 无； могут быть разложены как по базис' ным функциям 尤/ m исходной системы координат, так и по базисным функциям %；切 повернутой системы координат:

где ат — компоненты спинора в исходной системе коор шнат, а/т — компоненты этого же спинора в повернутой системе координат. Связь базисных функций 左]锵 и /^ m дается формулами (15), Закон преобразования компонент 俨 имеет вид

0^ = 2。嘉(a, R, 7)ая,

(加，w(46)

Таким образом, компоненты am являются контравариантными компонентами (см. 4.1. 2卜

Поляризационная матрица плотности

Поляризационная матрица плотности для частиц со спином 1/2 может быть записжга в виде

Р = у ^ + 2Р®}>(47)

где вещественный вектор Р называется вектором поляризации^ S — оператор спина.

Вектор Р является удвоенным средним значением оператора спи па

P = 2<§> = 2Sp{?§).(48)

Длина вектора Р называется степенью поляризации^ она меняется в пределах от 0 (для неполяри- зованного состояния) до 1 (для чистого, т. е. полностью поляризованного состояния):

0<|Р|<М(49)

Циклические компоненты [вектора поляризации выражаются через элементы матрицы плотности по формуле_

р^ = V5 2 &欠：1рРм(50)

или в развернутом виде

Р+1 = 一份p_%%, р0 = p% % 一 p-%-%，尸-1 =他阿2一%，(54)

Декартовы компоненты вектора поляризации даются формулами

产窥=Р% j + Р->/2 加 ％ = ' (Р% -% 一 匕厶 ％)，P# в Р% % 一 Pf -%В)

Для чистого состояния, описываемого спиновой функцией %%, матрица плотности р имеет вид

Рчист = X%义力(53)

а вектор поляризации Р совпадает с ортом п (см. формулы (39)——(41)). Для неполяризованного состояния

Рнеполяр^З 7*«代4)

. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ ПРИ 5=1

Базисные спиновые функции

Базисные функции ^ (т= ±1, 0) являются собственными функциями операторов S2 и 瓦：

®2Xlwi = ^Х1т»⑴

Функция Х17п описывает состояние, в котором частица имеет спин 1 и проекцию спина на ось z, равную т. Три базисных функции /ы (т~ +1, 0) можно рассматривать как три циклических ковариантных орта em (см. 1.1), записанных в випе столбца. Наряду с /1и используются базисные функции %£« = /, у, z), являющиеся декартовыми ортами е《：

11

Хи = 一 夜(X* + 以扌)*厶=返(Xi-i — Xn)>

Xio = X#,厶=逅仅1 + 加)，(2)

x」1 = 76(X# - 以岁)，Хe~ Хю*

Как функции Хш (加=土1，0)，так и функции %, (Z = c, у, z) образуют ортонормированный базис. Условие ортогональности и нормировки имеет вид

Xlin，Xlwi = \и，иг‘ Xt/fc = ^<Л«(3)

Условие полноты системы базисных функций записывается следующим образом:

2 XimXtn = /，工 > ХЛ? = 了，(4)

w=±l, 0»—х, % 夕

где / — единичная матрица размерности 3X3.

При описании спинового состояния частиц с S = 1 используются как представление циклического базиса, так и представление декартового базиса.

10*10*II Д. А. Варшалович и др.

10*

10*

Представление циклического базиса

В представлении циклического бязиса зависимость функций 厶物伞)от спиновой переменной а (а= ±1, 0) дается формулой

Х1ш (°)67nb.(5)

Согласно 6.1 (1), базисные спиновые функции %】7n могут быть записаны в виде

а эрмитовски сопряженные функции 工北,как

Х11 ^ (^» о，。)，xfo = (а К о), xt~i = (。‘ о, 1)・⑺

Функции Хм (г = х, у, z) в представлении циклического базиса имеют вид

诰=靑(一3 0, 1)> 讨=-^仏 0, 1), /=(0, 1，0).(9)

Из формул (6) и (8) следует, что в представлении циклического базиса функции *工烧 вещественны;

Xlm^Xlm.(П=±1, 0),(10)

а функции X# (г = ж, г/, z) удовлетворяют соотношениям

忘=厶，Х；=—X” К = %(11)

Вид спиновых матриц и поляризационных операторов в представлении циклического базиса дается формулами 2.6 (9)—2・ 6 (22).

Представление декартового базиса

В представлении декартового базиса спиновая переменная о принимает три значения и = *, у, z, а зависимость от нее функций /^ (а) дается формулой

尤 8)=瞋.(12)

Поэтому базисные спиновые функции %. (Z — с, у, z) в представлении декартового базиса записываются в виде (ср. 1.4 (37))'

X古=U，0,0)，讨=(0, 1, о), х+ = (0, 0, 1).(14)

1xio= (0, 0, 1), xf-i=^g" (lj Л 0).1xio= (0, 0, 1), xf-i=^g" (lj Л 0).При этом базисные функции Xim (加=±1, 0) имеют вид

1

xio= (0, 0, 1), xf-i=^g" (lj Л 0).

1

xio= (0, 0, 1), xf-i=^g" (lj Л 0).

(15)

(16)

Из (13) и (15) следует, что в представлении декартового базиса функции %《нещественны:

Х； = Х$ « = / 弘 z),(17)

а функции ^т удовлетворяют соотношениям

ХК = (—屮 Xl-m W= ±3 0).(18)

Спийовые матрицы и поляризационные операторы в представлении декартового базиса даются формулами 2.6 (23)—2.6 (35).

Переход от представления циклического базиса к представлению декартового базиса и обратно для спиновых функций осуществляется при помощи унитарной матрицы U размерности 3x3:

X (цикл, базис) — Z7/ (декарт, базис),

X (декарт, базис)=。一仪(цикл, базис).(‘力

Явный вид матрицы U дается формулой 2.6 (37). Формулы, которые будут приведены ниже, не зависят от выбора представления, если не делается специальных оговорок.

Разложение произведений базисных функций

Произведения базисных функций вида ^^тГ и 工依 являются матрицами размерности 3x3 и могут быть разложены по полной системе поляризационных матриц /, £卩(产=±1, 0), Т^м (М = = ±2, +1, 0) или эквивалентной ей системе /, S〃 Qik (Z, к = х, у, z) (см. 2.6). Эти разложения имеют вид

(20)(20)

(20)

(20)

1i а Л

(21)(21)X次文=可＞~ + ~2 zikl^l -Qik.

(21)

(21)

В развернутой записи эти формулы имеют вид

XnXti = y-^ + 2 爲+ 蔼爲0 =可/+万6纟+芽0抄

Xu灶о = — ~2 6+1 — 夜 & = 2 уз ("力 + »*/ + 2*n + 2@J,

XiiXt-i =в2 ~ 2"(①力一C岁歹+ 2浦力乡)，

XioX扌1 =芽 6-1 十 7^" /2-1 = 2 ,5 (6力—*厂卜 2明？ 2iQ^g)t

(22)(22)XioX% = ^"/一)/-①2,

(22)

(22)

XioX扌-1 = - ~2 月+1 + "^ 夕21 = 2 ,3(理 + "理-2@2一2iQ^z),

Xi-iXn =в.2 = ^■(邑力-%夕一 2箱力

Xi-iXio =芽更1 -返点一1 = 2 ,з (6上一f理一20力z + 2力%2),]44111

xix之I = 可/一 1"廓 + 喬в0=可/ 一歹6a千卅

X力叉^=}/ 一 ^ ‘2-2 -一^ 爲2 +靑為0 = 4"/ 一 0“

爲X片十臨一爲一2十為2)=扌月2- Sy，

XxXJ - 2 v/5(e-i 十 g+1)-~2(в-1 -爲 1)=一2询一0з

才2，

(23)(23)

(23)

(23)

X以^ = "^^ (6-1 一 §+1)一十(鹭-1+ 夕21) = 多亀_0",

Х^= —у^~ (6一1 + ^+1)— У(^2-1—夕21) =芽亀一①名，

3. Действие оператора спина на базисные функции

Циклические компоненты оператора спина S卩(甘=土1, 0) и его декартовы компоненты (Z = z,弘 z) действуют на базисные функции соответственно формулам

瓦

^p.Xlm = '2 C薔］р.Х1тЛ»

S 以左=^iklXl*

(24)

В подробной записи действие оператора спина на базисные функции дается формулами

^+1X11 = °*

^+iXio ~ —Xu，

6+iXi-i =—Xio，

6qXu = Xii，

6oXio =。，

6qXi-i = —Xi，

(25)

^-1X11 — Xio，

6-1注-1 = 0.

s+?x#— ,2 x#'

s+以歹=一返七，

S”Xz：=*^+以犷），

SqX#=以夕，

SqX夕==-以力，

8吸2=0，

(26)

八1

=一而 Xz，

6品=逅（m一%）.

6如=击XlQ,

人1

S^lQU^^Xl—l +Xn)>

6力木-1 = 青木0,

SyXii =応 Xio,

S 以 io =运"(Xi-i —Xu)，

S^Xi-i = — Xio，

(27)

£“ii = xii.

S/Xio=a

&rXz=—以夕

备厶=-%,

6以夕=3

6以2=，X力，

(28)