ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Нерелятивистская квантовая механика развивается более шести десятилетий. Несмотря на это, понимание ее основных закономерностей как широкими кругами неспециалистов, так и студентами, изучающими курс квантовой механики в университетах и инженерных институтах типа физико-технического, сталкивается с очень большими трудностями. Эти трудности связаны с кардинальными изменениями привычных представлений о положении и перемещении частицы в пространстве, с тем фактом, что невозможно измерить одновременно координату и скорость электрона, хотя для классических объектов это сделать просто. Проблема интерпретации волновой функции частицы, казалось бы достаточно устоявшаяся, вызывает время от времени дискуссии, особенно в связи с развитием квантовых представлений при исследовании явлений гравитации и эволюции Вселенной. Неудивительно поэтому, что, хотя уже имеются прекрасные учебники (см., например, [1 — 4]), сборники задач [5, 6], монографии (например, [7, 8]) по квантовой механике, существует тем не менее необходимость в учебнике, дающем как новое, более ясное освещение старых проблем квантовой механики, так и объяснение полученных недавно результатов.

Таким учебником является выдержавшая на Западе уже два издания и переведенная теперь на русский язык книга профессора Техасского университета Арно Боума. Курс квантовой механики А. Боума содержит необходимый математический аппарат (гл. I), причем как раз в той форме (достаточно строгой, но без лишних математических деталей), которая необходима студентам физических специальностей, начинающим изучать квантовую механику. Сразу объясняются обозначения Дирака и их связь с записью волновой функции в координатном и импульсном представлениях. Достоинством учебника А. Боума является то, что основные постулаты и представления квантовой механики даются на простейшем и важнейшем примере гармонического осциллятора уже в гл. II. Такое расположение материала методически удобно как для студен-

тов, так и для преподавателей курса квантовой механики. В последующих главах автор подробно излагает теорию атома водорода, теорию спектров атомов и молекул, а также теорию спина электрона и связанный с этим вопрос о тонкой структуре атомных спектров. Эти традиционные темы излагаются ясно и подробно, хорошо иллюстрируются схемами уровней энергии, рисунками и таблицами. Следует отметить также главу о двухэлектронной системе — атоме гелия, где подробно рассмотрен этот достаточно сложный пример.

Несомненным достоинством книги является изложение в ней неравенств Белла (чего нет в большинстве других учебников по квантовой механике). Материал главы, посвященной теории этих неравенств, скрытым переменным и парадоксу Эйнштейна — Подольского — Розена, безусловно поможет обогащению университетских лекционных курсов по квантовой механике современными разделами. Автор с несколько новых позиций излагает также теорию рассеяния, подробно останавливаясь на диаграммах Аргана, представление о которых важно для приложений в физике элементарных частиц. Рассмотренная в последней главе книги теория распада нестабильных физических систем, также освещающая трудный раздел квантовой механики, изложена ясно и подробно. Эта глава может служить хорошим введением в более детальную теорию нестабильных квантовых систем. Следует отметить, что материал книги обширен и даже подготовленный читатель найдет в ней много интересного.

Увеличивает полезность книги то, что к ее главам предложен набор задач, иллюстрирующий важнейшие результаты и принципиальные стороны теории, а также имеющий непосредственное отношение ко многим реальным квантовомеханическим эффектам.

Ввиду того, что книга А. Боума является одним из наиболее полных курсов квантовой механики, уместно также упомянуть некоторые проблемы, обсуждаемые в недавней литературе [8, 9], созвучные материалу книги и естественно с ним связанные. В частности, речь идет об уточненном соотношении неопределенностей, учитывающем корреляции между координатой и импульсом [9]. Еще один интересный вопрос — анализ интегралов движения, которые в картине Шредингера явно зависят от времени, т.е. о реализации динамических симметрий квантовой механики и их теоретикогрупповом анализе. Заинтересованный читатель найдет обсуждение этих проблем в цитированной выше литературе.

В целом книга А. Боума представляет собой подробный учебник квантовой механики, в котором удачно сочетается строгость изло-

жения математических основ квантовой механики с пространным обсуждением физических аспектов теории, и будет с благодарностью встречена читателями.

В. Манько

ЛИТЕРАТУРА

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — М.: Наука, 1974.

Фок В. А. Начала квантовой механики. — М.: Наука, 1976.

Блохинцев Д. И. Квантовая механика. — М.: Наука, 1979.

Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973.

Галицкий В. М., Корнаков Б. М., Коган В. И. Задачи по квантовой механике. — М.: Наука, 1981.

Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. — М., Мир, 1973.

Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.: Мир, 1968.

Малкин И. А., Манько В. И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. — М.: Наука, 1979.

Додонов В. В., Манько В, И. — В кн.: Инварианты и эволюция нестационарных квантовых систем, Труды ФИАН, т. 183. — М.: Наука, 1987.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Первое издание этой книги было написано как учебник, который использовался в одногодичном курсе квантовой механики для студентов старших курсов. Один из рецензентов убедил меня в том, что книга может также служить «... в принципе справочником по нерелятивистской квантовой механике». Поэтому во втором издании добавлен некоторый материал, чтобы увеличить полезность книги в качестве справочника. Вместе с тем, если опускать некоторые главы и разделы, книга по-прежнему может использоваться как учебник. Изменено также изложение некоторых вопросов, часто по предложениям коллег и студентов. В результате объем содержащегося в книге материала превосходит тот, который можно изучить в рамках одногодичного курса. Однако выбор материала для одногодичного курса не представляет затруднений: для этого можно в соответствии с индивидуальным вкусом опустить изучение одного или нескольких из следующих наборов глав и разделов: [1.7, XXI), [X, XI), [XI), [II.7, XIII), (XIV.5, XV), [XIX, XX). Отметим также, что материал разд. 1.5—1.8 не является необходимым для того, чтобы начать изучение физики в гл. II. Проще всего, вероятно, обойтись без гл. XI, XIII, XIX и XX; я думал исключить некоторые из них, но у каждой из этих глав нашлись горячие сторонники среди читателей, которые посоветовали этого не делать.

Гл. I, дополненная некоторыми приложениями из других глав, может также использоваться как отдельное введение в математические методы квантовой механики.

Изложение в книге является замкнутым и не предполагает наличия каких-либо предварительных знаний в области квантовой механики, но это — трудная книга вследствие сжатого изложения. Она содержит большой объем материала — больший, чем тот, который можно найти в учебниках с вдвое большим числом страниц. Поэтому некоторое знакомство с предметом было бы очень полезно. Требуется предварительное знакомство с векторной алгеброй и анализом. Большинство физических примеров взято из областей атомной или молекулярной физики, поскольку именно с ними боль-

ше всего знакомы студенты на той стадии, когда они изучают квантовую механику.

В учебниках по этому предмету, написанных подвека назад, материал и характер изложения такие же, как в первом поколении книг по квантовой механике. Новые приложения, более глубокое понимание и более универсальные формулировки при этом часто не упоминаются. В этом учебнике принят другой принцип изложения. Здесь представлена единая теоретическая формулировка, которая стала возможной благодаря дальнейшему развитию теории, и приведены примеры, взятые из недавних статей.

Изменения, внесенные во второе издание, делают материал более доступным, но общий принцип изложения не изменился. Поэтому уместно процитировать предисловие к первому изданию:

... в отличие от того, что можно найти в стандартных книгах, квантовая механика содержит больше чем расширенный корпускулярно-волновой дуализм, отраженный в знакомой математике дифференциальных уравнений. «Этот последний дуализм есть только часть более общего плюрализма» (Вигнер), так как кроме координаты и импульса имеется много других наблюдаемых, которые не коммутируют с координатой и импульсом. Поскольку не существует принципа, утверждающего исключительность операторов координаты и импульса, общий формализм квантовой механики, в котором внимание, уделяемое конкретной переменной, определяется ее ролью в рассматриваемой задаче, не только более предпочтителен, но часто и более практичен. . . Именно такой общий формализм квантовой теории представлен здесь.

Я попытался пройти весь путь от фундаментальных предположений до экспериментальных значений. Чтобы проделать это в рамках ограниченного объема книги, потребовались компромиссы. На мой выбор. . . повлияло главным образом то, что, как я думал, необходимо для современной физики, и то, что я нашел (или не нашел) в стандартных учебниках. Подробное обсуждение дифференциального уравнения Шредингера в применении к атому водорода и другим потенциалам можно найти во многих хороших книгах1 \ С другой стороны, описание колебательных и вращательных спектров молекул редко встречается в стандартных учебниках квантовой механики, хотя они служат простой иллюстрацией важной процедуры по-

11 Этот вопрос также обычно хорошо освещается в учебниках для студентов.

строения квантовомеханических моделей. . . . Поэтому последнему вопросу уделено значительное место, а о первом говорится довольно кратко.

Понятие группы в явном виде не использовано в данной книге, но читатель, знакомый с этим вопросом, заметит, что теория групп стоит за большинством утверждений, сформулированных здесь в терминах алгебр наблюдаемых.

Это книга по физике, и, хотя математика используется в ней широко, я не пытался сделать изложение математически строгим. . . . Если не считать математических отступлений, которые помещены в скобках вида | |, читателя даже не предупреждают об этих математических деталях.

Имеются математические отступления двух типов. В математических отступлениях первого типа дана необходимая математика, а отступления второго типа посвящены вопросам математического обоснования. . . .

Изложение квантовой механики начинается с гл. II, где наиболее существенные основные предположения (аксиомы) квантовой механики поясняются на примере гармонического осциллятора, реализуемого двухатомной молекулой. Дальнейшие основные предположения приводятся в последующих главах по мере развития теории. Эти основные предположения («постулаты») не следует понимать как математические аксиомы, из которых можно все вывести без дальнейших рассуждений и размышлений. Аксиоматический подход такого рода в физике, по-видимому, невозможен. Основные предположения необходимо рассматривать как сжатую формулировку квинтэссенции многих экспериментальных фактов.

Книга состоит из двух легко различимых частей — гл. II—XI и XIV—XXI, а также двух промежуточных глав XII и XIII. В первой части изложение более элементарно, хотя речь идет о более фундаментальных вопросах. . . . Во второй части, которая начинается с гл. XIV, рассматриваются процессы рассеяния и распада. Здесь характер изложения более сложный.

В гл. XIV приводится вывод формулы для сечения при самых общих условиях. . . . Параллельно рассматриваются две точки зрения — одна, в которой при очень общих предположениях предполагается существование гамильтоновой временной эволюции, и другая, основанная на использовании S-матрицы. Требуемая аналитичность S-матрицы выводится из причинности. Одна из главных особенностей изложения — единообразное рассмотрение дискретного и непрерывного спектров. При этом необходимо использовать оснащенное гильбертово про-

странство, что не только приводит к математическим упрощениям, но также делает рассмотрение более близким к физике. Наибольшие изменения по сравнению с первым изданием внесены в гл. I, XIII и XXI, которые почти полностью написаны заново. В гл. XXI обсуждается новое понятие векторов Гамова при описании распадающихся состояний. Эти векторы были предложены в то время, когда писалось первое издание этой книги, для того чтобы обеспечить требуемое единство описания квантовой механики в целом. Изложение в гл. I пришлось расширить, чтобы дать математические сведения, необходимые в гл. XXI. Тот факт, что книга по физике начинается с математического введения, может вызвать неправильное впечатление. Поэтому я хочу подчеркнуть, что в книге экспериментально измеренных величин гораздо больше, чем математических теорем. Большие изменения сделаны также в гл. И, IV, XIV, XVI, XVII и XVIII; много изменений внесено в гл. Ill, V, VIII и IX. Написано заново приложение к разд. V.3, чтобы дать простой, но типичный пример построения представлений некомпактной группы. Из-за ограниченности времени удалось пересмотреть не все главы. Изложение в гл. VII, X, XI и XIX изменено лишь немного, а гл. VI, XII, XV и XX остались практически такими же, как в первом издании.

После завершения работы над вторым изданием, как и после выхода первого издания, я хочу выразить признательность многим лицам за их помощь, поддержку и советы. Глава XIII была переписана совместно с К. Краусом, который вместе с А. Пересом предложил также улучшения в изложении материала в гл. II. По материалу гл. XXI я воспользовался советами Л. Халфина и М. Гаделлы. Новый вариант гл. I вырос из совместного проекта с Г. Б. Мейн- ландом. Пересмотр первой части книги производился совместно с М. Леве. При пересмотре второй части книги мне помогал Дж. Морс. П. Буш читал корректуру разд. XIII. 1. Я получил много писем, в которых указывались опечатки и неточности, предлагались улучшения. Эти письма вдохновляли меня в утомительной работе по подготовке второго издания. Я хочу поблагодарить Р. Ска- леттара, А. У. Климыка, Л. Фонду и Т. Мертельмейера за указание ошибок в первом издании. Многочисленные опечатки не могли бы быть исправлены без помощи учащихся из моих групп. Я признателен за поддержку со стороны фонда D.O.E. и фонда Александра Гумбольта. Я особенно признателен М. Леве, прочитавшему корректуру всей книги и внесшему многочисленные улучшения. Если второе издание получилось лучшим, чем первое, то это главным образом благодаря ему.

ГЛАВА I

Предварительные сведения из математики

В этой главе дается введение в математический аппарат квантовой механики. Физические вопросы в ней не обсуждаются.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Для формулировки ньютоновской механики потребовалось развить математический аппарат дифференциального и интегрального исчислений. Хотя некоторое представление о скорости, ускорении и т.д. можно (особенно в некоторых случаях) получить и без использования дифференциального исчисления, настоящий смысл этих понятий в их полной общности становится ясен только после ознакомления с понятием производной. С другой стороны, абстрактные математические определения дифференциального исчисления могут быть освоены только при их воплощении в физической реальности. Сегодня никто не попытается понять классическую механику, не используя дифференциальное исчисление.

Квантовая механика также имеет свой математический аппарат (язык), развитие которого шло параллельно с развитием самой квантовой механики и создание которого тесно связано с потребностями квантовой физики. Это математический аппарат линейных пространств, линейных операторов, ассоциативных алгебр и т.д., развившийся за это время в одну из важнейших областей математики — линейную алгебру и функциональный анализ. Хотя некоторое представление о квантовой физике можно получить и не обращаясь к ее математическому языку, точное и глубокое понимание физических представлений недоступно тому, кто не знает этого математического языка.

Исходя из этого, мы начнем курс квантовой механики с ознакомления со словарем и грамматикой этого языка. Мы не будем пытаться соблюдать математическую строгость, поскольку можно общаться, пользуясь и не вполне правильным языком. Мы также не будем сразу излагать все необходимые математические сведения,

и читатель не должен беспокоиться, если он не будет сразу все понимать: лучший путь изучения языка — практиковаться в нем. В этой главе даются математические сведения в объеме, лишь немного большем, чем тот, который необходим для формулировки основных физических положений. В дальнейшем, по мере развития физических представлений, мы изучим и новые математические понятия.

Прежде чем приступить к изучению математических структур, используемых в квантовой механике, сделаем следующее замечание. Математическая структура не является чем-то реальным — она существует только в нашем сознании и порождена им (хотя часто и под воздействием влияний извне). Она формулируется в терминах выбранного набора объектов, снабженного набором определяющих отношений между ними. В современной математике различают три основные структуры: алгебраическую, топологическую и упорядочивающую. Математические соотношения, используемые нами, являются сложными комбинациями этих трех структур. Например, действительные числа обладают алгебраической структурой, задаваемой обычными законами сложения и умножения; они обладают топологической структурой, реализующейся в понятии обычного предельного процесса для бесконечной числовой последовательности, и они обладают упорядочивающей структурой, задаваемой соотношениями, использующими символ <.

Мы будем использовать главным образом алгебраические структуры, хотя, для того чтобы корректно разговаривать на математическом квантовомеханическом языке, существенны также топологические структуры. Мы начнем с определения линейного пространства, линейных операторов и дадим определение ассоциативной алгебры. Это обеспечит нам достаточные знания грамматики и словаря данного математического языка, чтобы мы могли начать разговаривать о физике. Затем мы дадим интуитивное описание некоторых фундаментальных математических свойств, используемых во всей книге. В разд. 1.4 мы опишем разложение по собственным векторам. Это разложение основано на ядерной спектральной теореме — одном из величайших достижений математики. Мы не будем ни доказывать, ни даже точно формулировать ее, а поясним ее аналогией с обобщенным координатным разложением в трехмерном случае. Разд. 1.5 содержит описание последовательностей и функций как координатных представлений линейных пространств, для которых справедлива ядерная спектральная теорема. Обобщенные собственные векторы, о которых читатель должен приобрести интуи-

тивное представление в разд. 1.4 и 1.5, определяются затем как непрерывные функционалы в разд. 1.7 — единственном, в котором кратко обсуждаются некоторые топологические понятия.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА, СКАЛЯРНОЕПРОИЗВЕДЕНИЕ

Линейное пространство Ф есть набор элементов ф, ф^ х, • • • » снабженный алгебраической структурой, обобщающей некоторые аспекты трехмерного действительного пространства IR3. Элементы, называемые также векторами, по определению подчиняются правилам, аналогичным хорошо известным свойствам векторов из пространства IR3. Линейные пространства, которые мы определяем, не являются в общем случае трехмерными, но могут иметь произвольную размерность N, часто бесконечную, и строиться над комплексными числами С вместо действительных чисел IR. Линейное пространство определяется следующими свойствами:

Для любых двух элементов ф, ф € Ф определен элемент ф + ф е е Ф (сумма ф и ф), обладающий следующими свойствами:

ф + ф = ф 4- ф,(2.1а)

(ф + ф) + X = Ф + (Ф + /)•(2.16)

В Ф существует элемент 0, называемый нулевым вектором, обладающий свойством ф + 0 = ф для (2.1 в) любого ф е Ф.

Для любого комплексного числа а е С и любого элемента феФ существует элемент дфеФ, называемый произведением вектора ф на число а, обладающий следующими свойствами:

1ф = Ф,(2.1г)

Оф = 0.(2.1д)

(Нуль в левой части есть число, нуль в правой части есть нулевой вектор из (2.1 в).),

а(Ьф) = (аЬ)ф,a, b е С, ф е Ф,(2.1е)

а(ф + ф) = аф + аф,ф е Ф,(2.1ж)

(а + Ь)ф = аф + Ьф.(2.1з)

Элемент (—1)ф обычно обозначают — ф; используя (2.1г), (2.1д) и (2.1з), получаем следующий результат:

ф + (-ф) = (1 + (-1))ф = Оф = 0.

Приведенные соотношения между элементами Ф и комплексными числами определяют линейное пространство, и любой набор объектов, обладающих этими свойствами, называется линейным пространством. Часто такие объекты обладают и другими свойствами помимо перечисленных.

Разумеется, векторы а, Ь, . . . в трехмерном пространстве IR3 удовлетворяют приведенным соотношениям. Вместе с тем множество комплексных бесконечно дифференцируемых функций, быстро убывающих на бесконечности, также удовлетворяет этим соотношениям. Часто говорят, что абстрактное линейное пространство, определенное приведенными соотношениями, реализовано другими математическими объектами, такими как функции, если эти объекты кажутся нам более «реальными», чем «абстрактные» векторы. Таким образом, если кто-либо лучше знаком с функциями, он может предпочесть пространству Ф его «реализацию» пространством функций.

В физике абстрактные математические объекты реализуются физическими объектами. Таким образом, «реализация» линейного пространства, используемая в физике, есть его реализация не в терминах более знакомых или более интересных математических объектов, но в терминах физических объектов. В частности,>в квантовой физике элементами пространства Ф являются математические образы чистых физических состояний; таким образом, линейное пространство «реализуется» физическими состояниями квантовой системы.

Линейное пространство — это множество с очень скромной математической структурой. Мы наделим его дополнительной структурой, определив скалярное произведение. Это понятие снова является обобщением существующего в трехмерном действительном пространстве IR3.

Линейное пространство называется пространством со скалярным произведением (или евклидовым пространством, или предгильбертовым пространством), если в нем определена функция (ф, ф) двух векторов ф, ф е Ф, которая является комплексным числом и обладает следующими свойствами:

(2.2а)(2.2а)(2.26)(2.26)(2.2в)(2.2в)(ф, ф) > 0 и (ф, ф) = 0 только при ф = 0.

(2.2а)

(2.2а)

(2.26)

(2.26)

(2.2в)

(2.2в)

(ф, ф) = (ф, ф)

(черта сверху обозначает комплексное сопряжение), (ф, дф) = а(.ф, ф)

(о g С — множество комплексных чисел),

(Ф1 + Фг, ф) = (Фь Ф) + (Фг, ф).(2.2г)

Эта функция называется скалярным произведением элементов ф и ф. Для обычного скалярного произведения в IR3 (а, Ь) = а • Ь условия (2.2а)—(2.2г) выполняются тривиально (но все числа действительные, а не комплексные).

Как и в [R3, два вектора фиф называются ортогональными, если

(ф, ф) = 0.(2-3)

При помощи скалярного произведения, определенного соотношениями (2.2а)—(2.2г), вводится норма Иф11 вектора ф:

II ФИ = +V^’ ФУ(2.4)

Для любого, отличного от нуля, вектора ф всегда можно определить вектор ф = ф/11ф11, обладающий свойством Иф II = 1, который называют нормированным вектором.

Иногда возникает необходимость рассматривать в линейном пространстве более общее понятие, чем скалярное произведение, — билинейную эрмитову форму.

Комплекснозначная функция Л(ф, ф) двух векторных аргументов является эрмитовой формой, если для нее справедливы соотношения

/1(ф, ф) = /1(ф, ф),(2.56)

/1(ф, аф) = аН(ф, ф) (а 6 С),(2.5в)

КФх + Ф2, Ф) = КФп Ф) + КФг» Ф)-(2.5г)

Если, кроме того, h удовлетворяет соотношению

Чф, ф) > 0(2.5a)

для любого вектора ф, то h называют положительной эрмитовой формой. Положительная эрмитова форма называется положительно определенной, еслиг

из И^Ф, ф) = 0 следует ф = 0 для любого ф. (2.6)

Таким образом, для эрмитовой формы выполняются соотношения (2.26)—(2.2г), но не условие (2.2а) для скалярного произведения.

Вместе с тем положительно определенная эрмитова форма, как следует из (2.6), является скалярным произведением.

Положительные эрмитовы формы, не обязательно являющиеся скалярными произведениями, удовлетворяют неравенству Коши — Шварца — Буняковского

\Кф,ф)\2 <Н(ф,фХф,ф).(2.7)

Если форма h положительно определена, равенство в (2.7) имеет место тогда и только тогда, когда ф = аф для некоторого а е С.

Множество М в линейном пространстве Ф называется подпространством Ф, если М является линейным пространством по отношению к так же определенным операциям сложения и умножения на число, как и для Ф, т.е. если из ф, ф е М следует, что аф е М и ф + ф е М.

Выражение вида ахфх + а2ф2 + . . . + апфп называется линейной комбинацией векторов фх, ф2, . . ., фп; векторы фх, . . ., фп называют линейно зависимыми, если существуют числа ах, а2..., ап, не равные одновременно нулю, для которых ахфх + а2ф2 + ... ...А-апфп = 0. Если уравнение ахфх + а2ф2 + ... + апфп = 0 выполняется только при ах = а2 = ... = ап = 0, то векторы фх, Ф2, ..., фп называют линейно независимыми. Пространство Ф называют конечномерным, или п-мерным, если в Ф существует п и не больше чем п линейно независимых векторов. Если число линейно независимых векторов в Ф не ограничено, пространство Ф называют бесконечномерным. Каждая система п линейно независимых векторов в и-мерном пространстве Ф является базисом пространства Ф.

Изоморфизмом двух алгебраических структур ^ и ^ называется взаимно однозначное соответствие между множествами 5/ и ^ (т.е. любому а е -^ отвечает одно b е 66, и наоборот: а ~ Ь), сохраняющее алгебраические операции.

Таким образом, два линейных пространства со скалярным произведением Ф и Ф' являются изоморфными, если из

(2.8)(2.9)(2.10)(2.8)(2.9)(2.10)Ф э f «^ f е ф',

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

Ф э g <-► g' е Ф' следует.

а/ + ^0а/' + Pg', а, ре С

(У» 0)ф = (У,g )ф' •

Пространства со скалярным произведением (в частности, гильбертовы пространства), для которых выполняются условия (2.9) и (2.10), называют также изометрическими. Часто имеет место случай, когда два пространства со скалярным произведением изоморфны как линейные пространства, т.е. между ними существует взаимно однозначное соответствие с выполнением условия (2.9), но не являются изоморфными как пространства со скалярным произведением, т.е. не выполняется соотношение (2.10).

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Векторы в пространстве IR3 могут трансформироваться друг в друга. Один из примеров — трансформация вращением R вектора а в вектор Ra = b. По аналогии можно определить преобразования, или линейные операторы в линейном пространстве Ф. Функция А, А: Ф — Ф, отображающая каждый вектор ф из линейного пространства Ф в вектор ф е Ф:

Аф = ф, называется линейным оператором, если для всех ф, ф е Ф и tz е С она удовлетворяет условиям

Л(ф + ф) = Аф + Аф,(3.1)

А(аф) = а Аф.(3.2)

Оператор А называется антилинейным, если вместо (3.2) он удовлетворяет соотношению

Л(дф) = а* Аф,(3.3)

где а* — число, комплексно-сопряженное а.

Операции сложения двух операторов А + В, умножения оператора на комплексное число аА и умножения операторов АВ определяются следующим образом:

(А 4- В)ф = Аф + Вф, (аА)ф = а(Аф), (АВ)ф = Афф\ (3.4)

для всех ф е Ф. Легко проверить, что А + В, а А и АВ являются линейными операторами, если А и В — линейные операторы.

Особый интерес представляют нулевой оператор, обозначаемый 0, и единичный, или тождественный, оператор, обозначаемый Z, определенные соотношениями

для любого ф е Ф. Заметим, что 0 в левой части есть нулевой оператор, в то время как 0 в правой части есть нулевой вектор из (2.1в)

Для любого линейного оператора, определенного на любом линейном пространстве Ф, можно определить оператор Л1 соотношением (А^ф, ф) = (0, Аф) для любых ф, феФ. Оператор А^ называется оператором, сопряженным оператору А. Оператор, для которого А^ = А, называется самосопряженным, или эрмитовым^.

Определение линейных операторов существенно использует аналогию со свойствами преобразований в трехмерном пространстве. Линейные операторы в линейном пространстве Ф могут реализовывать преобразования в физическом трехмерном пространстве но могут иметь и другие физические интерпретации. В частности, в квантовой физике им отвечают физические наблюдаемые.

Важными понятиями являются собственный вектор и собственное значение. Симметричный тензор в трех измерениях 0 может быть диагонализован приведением к главным осям:

О • а = 1(а)а, (3.6а)

где 1(а) — собственное значение, а а — соответствующий собственный вектор. Подобным образом можно определить собственные значения и собственные векторы в линейном пространстве Ф. Ненулевой вектор ф е Ф называется собственным вектором линейного оператора А, если

Аф = Хф , где X е С ; (3.66)

X называется собственным значением А, отвечающим собственному вектору ф. Для заданного оператора А может быть много (в том числе бесконечно много) собственных векторов с различными собственными значениями. Существуют также линейные операторы на линейных пространствах, не имеющие в них ни одного собственного вектора.

Если А — эрмитов оператор, А^ = А, то его собственные векторы и собственные значения обладают следующими свойствами:

все собственные значения вещественны;

если ф, и ф2 — собственные векторы А с собственными значениями X] и Х2 соответственно и если X] * Х^ то 0j и 02 взаимно ортогональны: (0Р 02) = 0.

° Мы обычно будем использовать термин эрмитов оператор в тех случаях, когда не важно различие между строго математически определенными понятиями «самосопряженный», «существенно самосопряженный» и «симметричный».

Понятие собственного значения играет важную роль в квантовой физике: как отмечалось выше, операторы реализуют представление наблюдаемых физической системы. Собственные значения являются в этом случае числами, которые можно получить при измерении одной из этих наблюдаемых.

Оператор В называется обратным оператору Л, если

ВА = АВ = /.(3.7а)

Он обозначается

В = А-1.(3.76)

Линейный оператор U называется унитарным, если

U^U = UU^ = /.(3.8а)

Как следует из (3.7), для унитарного оператора выполняется также соотношение

U^U-1.(3.86)

Пусть А и В — два оператора; А и В коммутируют, если

[Л, В] = АВ - В А = 0.(3.9)

[Л, В] называется коммутатором операторов Л и В.

Множество я/ является {ассоциативной) алгеброй с единицей, если:

я/— линейное пространство;

для каждой пары А, В е лэ/определено произведение АВ € лэ/

такое, что

(ЛВ)С = Л (ВС),(3.10а)

Л(В + С) = АВ + АС,(3.106)

(Л + В)С = АС + ВС,(3.10в)

(аЛ)В = А(аВ) = а АВ.(3.10г)

существует элемент 1е я/ такой, что

IA = AI = А(3.11)

для всех Л е лэ/

Подмножество зз^ алгебры называется подалгеброй з/, если зэ^ является алгеброй с теми же определениями операций сложения, умножения на число и умножения, что и з^, т. е. из А, В е зз^ следует А + Везз^,аЛезз^и АВ е зз^.'

Алгебра &^ называется *-алгеброй, если на алгебре определена * -операция (инволюция) А — А\ определенная соотношениями

(аА + ЬВУ = аА^ + ЬВ\

(АВУ = В^А\(Л^ = л,(’

Г = I,

где А, В е ^ и a, b е С. Из определений суммы операторов и произведения оператора на число, данных в (3.4), и формального определения сопряженного оператора можно видеть, что множество линейных операторов удовлетворяет всем четырем аксиомам •-алгебры. Таким образом, совокупность линейных операторов на линейном пространстве образует *-алгебру; *-подалгебра этой алгебры называется операторной *-алгеброй. Можно показать, что в определенном смысле любую *-алгебру можно реализовать как операторную *-алгебру в пространстве со скалярным произведением (обобщение теоремы о реконструкции Гельфанда — Наймар- ка — Сигала). В квантовой механике предполагается, что физические системы описываются операторными *-алгебрами.

Набор Хр Х2, . . ., Хп элементов заказывается набором генераторов, и говорят, что зз^ генерируется ХД1 = 1,2,..., л) тогда и только тогда, когда каждый элемент из зз^ может быть записан в виде

Л = cZ + £с% + £с%Х; + •••,(3.13)

i=li.j

где с, с', си, . . . е С.

Определяющими алгебраическими соотношениями называются соотношения между генераторами

(3.14)(3.14)PQQ = О,

(3.14)

(3.14)

где Р(Х) — полином с комплексными коэффициентами от п переменных Хг Элемент В е

B=W + I,biX1 + ^biiXiXj + --;

где b, b*, ... eC, равен элементу А тогда и только тогда, когда разложение (3.15) может быть приведено к виду (3.13) с теми же коэффициентами с, с‘, cij, ... при использовании определяющих соотношений (3.14).

1.4 БАЗИСЫ И РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМВЕКТОРАМ

Как и в трехмерном пространстве (R3, можно ввести систему базисных векторов и в общем линейном пространстве Ф. В IR3 удобно выбрать совокупность трех нормированных векторов

ei, в2, е3, lleyll = 1, ортогональных друг другу:

е/*еу = бу, /, j = 1, 2, 3.

Такая ортонормированная базисная система всегда может быть выбрана в линейном пространстве со скалярным произведением Ф. Мы будем использовать для этих базисных векторов одно из следующих обозначений:

е, = |е,) = ]/>, i = 1, 2, 3, ..., N.(4.1)

Их скалярные произведения обозначим одним из следующих способов:

(е„ ей * (е,|е/) = </[/> = бу, z, j = 1, 2 (4.2)

Если пространство Ф TV-мерно, то в соответствующей ортонорми- рованной базисной системе имеется N линейно независимых векторов; N может быть бесконечно большим.

Базисная система векторов, удовлетворяющая (4.2), может быть выбрана произвольным образом, но удобно выбирать ее так, чтобы математическая формулировка рассматриваемой физической задачи имела бы наиболее простой вид. Например, если рассматривать описание твердого тела в обычном трехмерном пространстве тензором инерции 0, то удобно выбрать базисную систему ez, / = = 1, 2, 3, такую, что

е,.|-е; = 1,д5у,

т.е. выбрать в соответствии с (3.6а) собственные векторы тензора 0.

Подобным образом очень удобно выбрать в качестве базисной системы для пространства физических состояний Ф собственные состояния оператора А, отвечающего важной наблюдаемой рассматриваемой физической системы (обычно в качестве А используют оператор энергии Н, оператор координаты Q или оператор импульса Р). Таким образом, в качестве базисного удобно выбрать набор векторов е^ удовлетворяющих условию

Ле,- = а, е,, а^е С,Ле,- = а, е,, а^е С,(4-3)(4-3)

Ле,- = а, е,, а^е С,

Ле,- = а, е,, а^е С,

(4-3)

(4-3)

где а, — собственные значения А. Эти нормированные собственные векторы часто обозначают

е,- = |а,-) или е, = |а,->.

Символ I > с буквами ф, а или /, обозначающими вектор ф, собственное значение а или индекс собственного значения /, называется «кет»; символ < I с соответствующими буквами в нем называется «бра» [1].

В трехмерном пространстве IR3 каждый вектор V можно разложить по базисной системе векторов, являющихся собственными векторами произвольного симметричного тензора, т.е.

v = Е eiyt’ r^e v, = е, • v(4.4а)

являются значениями компонент вектора V по отношению к базису, составленному из собственных векторов [е-] симметричного тензора О (3.6а). То же самое можно доказать для любого конечномерного линейного пространства со скалярным произведением Ф. Это означает, что для любого эрмитова оператора А в конечномерном пространстве Ф существует система собственных векторов (4.3)

Ле, = а^е^ i = 1, 2,..., N (N конечно),

таких, что любой вектор ф е Ф можно записать в виде

NN

Ф = Ее^,</>) = ^е^аАФ^ (4'4б> i=ii=i

где комплексные числа

Ci = (е{, ф) = (а,|ф)(4.5)

являются компонентами вектора ф по отношению к базису [ej.

Набор чисел ^ (являющихся действительными для эрмитова Л) называется спектром оператора Л, а приведенное утверждение называется спектральной теоремой для оператора Л в конечномерном пространстве. Выражение (4.46) называется спектральным разложением вектора ф, или разложением ф по собственным векторам.

Для бесконечномерных пространств приведенное утверждение в общем случае не выполняется. Более того, в квантовой физике возникают операторы, набор собственных значений которых является непрерывным множеством или даже объединением дискретного и непрерывного множеств.

Могло бы случиться так, что все операторы, появляющиеся в квантовой физике, обладали бы тем свойством, что множество их собственных значений было дискретным. Это имело бы место, если измерение любой наблюдаемой в квантовой физике давало дискретный ряд значений. В этом случае понадобилось бы только бесконечномерное обобщение соотношений (4.3) и (4.4). Но в физике существуют наблюдаемые, измерение которых может дать любое значение из непрерывного числового множества. (Например, наблюдаемые координаты и импульса могут во многих случаях принимать любое значение х в интервале -оо < х < +<».) Таким образом, необходимо не просто бесконечномерное обобщение (которое может быть осуществлено в гильбертовом пространстве), а непрерывное бесконечномерное обобщение соотношений (4.3) и (4.4). В действительности существуют пространства Ф, точнее существуют топологии бесконечномерных линейных пространств, для которых можно доказать справедливость обобщения конечномерного спектрального разложения для всех самосопряженных операторов, которые нужны в физике1). Это обобщение есть ядерная спектральная теорема. Поскольку разложение по собственным векторам так важно для физики, мы будем работать только с такими пространствами, для которых эта теорема справедлива.

Мы не можем изложить здесь соответствующую математику и объясним разложение по собственным векторам в дискретном и непрерывном случаях, пользуясь аналогией с конечномерными соотношениями (4.46) или (4.4а). Мы рассмотрим дискретный и непрерывный случаи по отдельности; в общем случае произвольного са-

11 Пространство Ф, сопряженное ему пространство Фх (см. разд. 1.7 и тесно связанную с этим теорию распределений) и образованный ими с гильбертовым пространством ^триплет Ф С ^С Фх не были известны во время появления квантовой механики. Возникновение этих математических структур связано с развитием квантовой теории.

мосопряженного оператора в физике возникает комбинация этих двух случаев.

Самосопряженный оператор с дискретным множеством собственных значений обозначим Н, а оператор с непрерывным множеством собственных значений обозначим Q. Тогда спектральная теорема утверждает:

(4.3г)(4.3в)(4.3г)(4.3в)Существует набор собственных векторов I Еп) в дискретном случае и 1х> в непрерывном случае:

(4.3г)

(4.3в)

(4.3г)

(4.3в)

Н\Е^ = Еп\Еп), Еп = Ео, Ei, Ег, ...,(^х1) = х|х>;- оо < т < М < +оо,

таких, что для любого ф е Ф имеет место разложение по этим собственным векторам:

(4.4г)(4.4в)(4.4г)(4.4в)Ф = t \Е„ХЕп\ф\

(4.4г)

(4.4в)

(4.4г)

(4.4в)

4х\х><х\ф>,4х\х><х\ф>,л = 0

4х\х><х\ф>,

4х\х><х\ф>,

причем ф = О тогда и только тогда, когда все его компоненты равны нулю, т. е. (Еп I ф) = О для всех Еп и <х I ф> = 0 для всех х.

Система собственных векторов 1ЕИ) или 1х>, обладающая этими свойствами, называется полной, или базисной системой. Таким образом, спектральная теорема обеспечивает существование полной системы собственных векторов самосопряженного оператора. Величины (Еп\ф) или <х1ф> называются компонентами вектора ф в базисах [1Ёп)] и [1х>] соответственно. Они являются, как и в трехмерном случае, скалярными произведениями собственных векторов и ф:

(4.5в)(4.5г)(4.5в)(4.5г)<х|ф> = (|х>, ф),<Еп\ф) = (|ЕД ф).

(4.5в)

(4.5г)

(4.5в)

(4.5г)

Таким образом, величины (Еп I ф) являются бесконечномерным обобщением величин и6 в (4.4а) в дискретном случае, а <хIф> — в непрерывном случае

В то время как I Еп) являются обычными собственными векторами, 1х> называются обобщенными собственными векторами, или собственными кет-векторами. Хотя мы можем обращаться с ними как с обычными собственными векторами, математически существует важное различие между дискретными базисными векторами I Еп) и непрерывными базисными векторами I х>: векторы I Еп) лежат в пространстве Ф, а векторы I х) лежат в пространстве Фх непрерывных антилинейных функционалов на Ф. Мы определим и объясним эти математические понятия в разд. 1.7. Здесь мы попытаемся пояснить смысл этих обобщенных собственных векторов по аналогии с конечномерным случаем.

Набор собственных значений Еп в (4.3г) называется спектром оператора Н. Если Н имеет дискретный набор собственных значений, спектр называется дискретным. Все собственные векторы I Еп) участвуют в разложении вектора по дискретному базису, и не существует собственных векторов, имеющих дискретные собственные значения и не входящих в разложение вектора по базису (4.4г). Непрерывный набор собственных значений х, собственные векторы для которых участвуют в обобщенном разложении по собственным векторам (4.4в), называется непрерывным спектром оператора Q. В общем случае, а это зависит от свойств пространства Ф, существует большее количество обобщенных собственных векторов Q, т.е. кет-векторов, для которых выполнено соотношение (4.Зв) и точное определение которых дано в разд. 1.7, чем входит в разложение по собственным векторам (4.4в). Их обобщенные собственные значения мы не будем включать в определение непрерывного спектра. В то время как дискретные собственные значения самосопряженного оператора всегда являются действительными, обобщенные собственные значения не обязательно действительны: они могут быть как действительными, так и комплексными, и даже в том случае, когда они действительны, они не обязательно должны принадлежать спектру, т.е. входить в интеграл (4.4в). Но для самосопряженного оператора всегда существует действительное подмножество множества обобщенных собственных значений, для которого соответствующий набор собственных векторов является полным.

В наиболее общей форме спектральная теорема для оператора Л, представляющего физическую наблюдаемую, объединяет соот-

ношения (4.4г) и (4.4в):

Ф =’£\aiXa^> + ^а\а><а\ф>,(4.4д)

где суммирование проводится по дискретному спектру, а интегрирование по непрерывному спектру А. Может случиться, что некоторые из значений ар появляющихся в сумме, появляются также и в интеграле. В этом случае они называются дискретными собственными значениями в непрерывном спектре. Если это имеет место для некоторого ак, то 1а^) по-прежнему ортогонален всем 1а>, включая 1^), т.е.

(ак\фс) = 0 Для фс = ^ da\а><а\фс>.

Спектральная теорема (4.46), (4.4в), (4.4г) или (4.4д), которую мы здесь принимаем без доказательства1), является центральным утверждением, из которого следуют все дальнейшие результаты этого раздела.

Чтобы убедиться, что координаты (Еп\ф') действительно являются тем, что указывает их обозначение, т.е. скалярными произведениями вектора и базисного вектора lfn), мы вычислим скалярное произведение (4.4г) и собственного вектора I Ет\ Из соотношения (4.4г) следует

(|£J.«= ZdEJI^Xb.^)-(4.6г)

n = 0

Поскольку I Em) и I En) являются собственными векторами одного и того же эрмитова оператора Н, при Еп Ф Ет они должны быть ортогональны друг другу:

([£„), |Е„)) = 0.(4-7')

Для случая Еп = Ет введем нормировку

(|EJJ£J) = |||Е„)||2 = I.(4.7")

11 Конечномерный случай (4.46) легко сводится, как показано в разд. 1.5 (см. в особенности уравнение (5.17)), к задаче о числе корней полинома степени N. Соотношения (4.4г) и (4.4в) требуют гораздо более серьезной математической подготовки: см. [2], т. 4 и [3].

Объединяя приведенные соотношения, запишем

(|fm), |fn)) — (£m|£«) — ^ЕпЕт — ^ит^ И, /И — 1, 2, . . .,(4.7г)

где символ Кронекера д определен соотношением

Таким образом, эти собственные векторы самосопряженного оператора Н обладают свойством (4.2), как и требуется для ортонор- мированных базисных векторов. Подставляя (4.7г) в (4.6г), получаем

(|EJ.«)= I. ^Е^ф) = (Е„\фУ

Это ожидаемое тождество (4.5г).

(4.9г)(4.9г)Спектральная теорема (4.4г) может быть записана в различных формах: можно опустить произвольный вектор ф е Ф в обеих частях равенства (4.4г) и получить спектральное разложение тождественного оператора У1);

(4.9г)

(4.9г)

= 2 I^X^I-

Можно подействовать на обе части равенства (4.4г) оператором Н:

Нф= £ Н | £,)(£, |ф) = ££л|£„)(£. |</>),

и затем опустить в обеих частях равенства произвольный вектор ф, получая

н= f Е„| £„)(£„ |.п = Он= f Е„| £„)(£„ |.п = О(4.10г)(4.10г)

н= f Е„| £„)(£„ |.

п = О

н= f Е„| £„)(£„ |.

п = О

(4.10г)

(4.10г)

Это тождество, связывающее оператор Н и взвешенную сумму операторов I ЕДЕп I, называется спектральным разложением самосопряженного оператора Н с дискретным спектром.

Можно рассмотреть скалярное произведение вектора (4.4г) с

11 Величины Лл = I Еп^Еп I являются проекционными операторами, определенными в математическом приложении на с. 83.

другим вектором ф е Ф, получая

»,Ф)= 1(Ф\ Е.Ж | ф) - £ (Е, | *)•(£, I ФУ(4.11г)

п = 0л = О

В частности, если выбрать ф = ф, то получим

WII2 = <Ф, Ф)=£ (Ф\Е„КЕ,\ф) = f l(£„IФ)|2.(4.12г)

л = 0л = 0

Выражение (4.11г) является аналогом формулы

33

VX = £ «А*^ = ^VjXji.j=li=l

для обычного скалярного произведения в пространстве IR3.

Как и для трехмерного пространства IR3, вектор ф полностью определяется своими компонентами <Еп\ф) по отношению к заданному базису I Еп\ Вместе с тем в отличие от трехмерного пространства IR3, где любой набор трех вещественных чисел (х,, х2, х3) определяет вектор х, или в отличие от TV-мерного комплексного пространства CN, где любой набор N комплексных чисел (^, $2^определяет вектор х, произвольному бесконечному на

бору комплексных чисел

(Фр 02’ Фз’ 1 1 • ’ Фл’ 1 • •)

не отвечает, вообще говоря, вектор в Ф. Как можно видеть из (4.12г), чтобы определить скалярное произведение, бесконечная последовательность чисел, определяющих вектор, должна, как минимум, удовлетворять условию

УАФА1 < °0’(4Л2г')

т.е. она должна быть с суммируемым квадратом. Если, далее, возникает необходимость потребовать, чтобы каждый оператор А, представляющий физическую наблюдаемую, был определен на всем пространстве Ф, то все Аф должны быть хорошо определены в Ф, а это означает, что (Лф, Лф) должно быть конечно. Выбирая А = = №, гдер = 0, 1, 2. . . — произвольный показатель степени, получаем вытекающее из этого требования условие

(Нрф, Нрф) = ^ (ф | нр I ЕпХЕп \Нр\ф)

"-°(4.13г)

= £ Е2р\(Еп\ф)\ < х ДЛЯ всех р = 0, 1, 2, ... . и = 0

Таким образом, не только [(£и10)1л = 0, 1, 2. . .] должна быть с суммируемым квадратом, но также и последовательность {Ер (Еп I 0)) должна быть с суммируемым квадратом для любого Р = 0, 1

К счастью эти (топологические) вопросы о явлениях, происходящих на бесконечности, не слишком важны для физики, поскольку экспериментально измеримо лишь конечное число значений !(£"„, Ф)1.

Обратимся теперь к рассмотрению непрерывного спектра и проведем аналогичные рассуждения для этого случая. Вычислим скалярное произведение 0 с обобщенным собственным вектором IxX, используя уравнение (4.4в):

(|х>, ф) = ^dy(\x>, |у»<у|ф>.

Перепишем это равенство, определив новый символ

<х|у> = (|х>, |у»

в виде

.(|х>, ф) = ^dy <х|у><у|0>;(-6в)

<х10> — компонента вектора 0 вдоль направления, определяемого базисным вектором 1х>, (1х>, 0) — скалярное произведение 0 и базисного вектора 1х>. Как это следует из (4.5), две эти величины должны быть равны друг другу. Следовательно, (4.6в) имеет вид

<х|ф> = J dy <х|у><у|0>.

Скалярные произведения <у\ф> являются функциями непрерывной переменной у подобно тому, как произведения (Е^ф) являются

функциями дискретной переменной Еп. Уравнение (4.6в') утверждает, следовательно, что математическая величина <xly> обладает тем свойством, что она отображает функцию ф^ = <уЦ> путем ее интегрирования в ее значение в точке х: ф(х) = <х1ф>. Не существует «хорошей»1), даже локально интегрируемой функции, обладающей этим свойством.

Подобная величина называется распределением, или обобщенной функцией. Распределение <х!у), определенное соотношением (4.6в') на классе разумных функций ф(х) = <х1ф>, называется 6-функцией Дирака и обозначается по аналогии с (4.7г) следующим образом:

(4.7в)(4.7в)<х|у> = 6(х - у).

(4.7в)

(4.7в)

5(х — у) есть обобщение символа Кронекера ЬЕ„Ет,, который обычно определяется соотношением (4.8), но который можно также определить соотношением

№„W= 1А„е№.\Ф)п = 0№„W= 1А„е№.\Ф)п = 0(4.6г')(4.6г')

№„W= 1А„е№.\Ф)

п = 0

№„W= 1А„е№.\Ф)

п = 0

(4.6г')

(4.6г')

для класса бесконечных последовательностей {(£’л1ф)}. Когда мы будем использовать функциональные последовательности 6-типа в разд. II.8, мы увидим, в каком смысле 6(х — у) можно рассматривать как обобщение" правой части (4.8).

Собственные векторы I Еп) нормированы на 1 соотношением (4.7"); обобщенные. собственные векторы 1х>, удовлетворяющие соотношению (4.7в), называются нормированными функциями. Они не являются безразмерными, а имеют размерность 1/Vdim dx. Например, если dx имеет размерность сантиметра, то <х' 1х> имеет размерность см-1, а 1х> имеет размерность см-1/2.

(4.4вд)(4.4вд)(4.3вм)(4.3вм)Вместо обобщенных собственных векторов, нормированных на 6-функцию соотношением (4.7в), можно также использовать обобщенные собственные векторы Q с другой нормировкой. Вместо (4.4в) запишем

(4.4вд)

(4.4вд)

(4.3вм)

(4.3вм)

ф = j^(x)|x}p„{x|0>, где 1х)д — собственные векторы Q;

Q^P = х|х}р,

° Определение «хорошей» функции см. на с. 34. — Прим, перев.

а р(х) = dp\xydx — действительная неотрицательная интегрируемая функция

Чтобы новые компоненты ф Д х I ф) являлись скалярными произведениями ф и новых собственных векторов lxjp, т.е. чтобы

ри\Ф> = ^P^dy ДхМрДу\Ф>,(4.6вр')

необходимо потребовать

dp(.y) pU\y^p = dy <х\у> = dy 5(х - у).

Поэтому новые обобщенные собственные векторы нормированы следующим образом:

^I^x* =5(х - у) = Р (у)^-у)-(4.7вр)

Таким образом, если интегрирование производится с весовой функцией р(х), условие нормировки обобщенных собственных векторов содержит множитель р-Дх).

Преобразование от одной базисной системы к другой имеет вид

|х}Р = 1*>~7=-<4Л4)

УР<х)

Наиболее адекватный выбор функции р(х) зависит от свойств оператора Q и от соотношений между ним и остальными операторами, участвующими в задаче1).

Как и в случае дискретного спектра, спектральная теорема (4.4в) может быть записана в различных формах. Опуская произвольный вектор ф, получаем разложение единицы:

11 Ядерная спектральная теорема для произвольного самосопряженного оператора на самом деле не утверждает, что имеет место соотношение (4.4г), а утверждает, что справедливо (4.4вр) с мерой общего вида </^(х), и ничего не утверждает о спектральной мере d^x), кроме утверждения о ее существовании. Вместе с тем все операторы, используемые в физике, имеют специальный вид, так что или d^x) = p^dx, где р^ — упоминавшаяся в тексте функция (о таких операторах говорят, что они обладают абсолютно непрерывным спектром, для них всегда выполнимо преобразование (4.14) от 1х)р к 1х>), или они обладают тем свойством, что dpW = Y.xb(x — x^dx (это операторы с дискретным спектром), или они обладают как абсолютно непрерывным, так и дискретным спектрами. Таким образом, соотношение (4.4г) имеет самую общую необходимую для физики форму.

(4.9в)(4.9в)(ф, ф) = dx <ф|х><х|ф>.(ф, ф) = dx <ф|х><х|ф>.(4.11в)(4.11в)

(4.9в)

(4.9в)

(ф, ф) = dx <ф|х><х|ф>.

(ф, ф) = dx <ф|х><х|ф>.

(4.11в)

(4.11в)

/=dx|x><x|= b(x)dx|x}pp{x|.

Умножая обе части (4.4в) на оператор Q и опуская затем произвольный вектор ф, получаем, используя (4.3в), выражение

(4.10в)(4.10в)dx х|х><х|

(4.10в)

(4.10в)

которое можно назвать спектральным разложением самосопряженного оператора Q с абсолютно непрерывным спектром.

Скалярное произведение двух векторов ф, ф € Ф, как это следует из (4.4в), имеет вид

Из соотношений (ф, ф) = (ф, ф)* и (ф, ф) = \с1х<ф\х> <х1ф) для любых ф, ф € Ф заключаем, что для обобщенного скалярного произведения имеем то же соотношение, что и для обычного скалярного произведения:

<ф|х> = <х|ф>*.

Используя обозначение

<х|ф> = ф(х),<х|ф>* = ф*(х),

можно переписать выражение (4.11в) в виде

(ф, ф) = dx ф*(х)ф(х).(ф, ф) = dx ф*(х)ф(х).(4.118')(4.118')

(ф, ф) = dx ф*(х)ф(х).

(ф, ф) = dx ф*(х)ф(х).

(4.118')

(4.118')

В частности, если выбрать ф = ф, получаем

||ф||2 = (ф, ф) = I dx ф*(х)ф(х) = рх|ф(х)!2.(4.12в)

Отсюда мы видим, что компонентами вектора ф € Ф при разложении по непрерывному базису I х) могут быть не любые функции Ф(х), но только такие функции, для которых существует интеграл в

161 3

правой части уравнения (4.12в), т.е. квадратично интегрируемые функции \

Если потребовать, чтобы на всех элементах пространства Ф были хорошо определены как оператор Q, так и все его степени Qp (р = 0, 1, 2. . .), то должно выполняться соотношение

№Ф\\ = ^РФ. QPФ) = рх x2lW < ОО. (4.13в)

Таким образом, 1ф(х)1 должно убывать быстрее любой степени х. Если и другие операторы также должны быть определены на всем Ф, на компоненты <х\ф) вектора ф € Ф надо наложить дополнительные условия. Таким образом, Ф должно быть реализовано пространством, много лучшим, чем L2. Примером такой реализации Ф является пространство Шварца S; пространство S определяется как пространство бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций, которые убывают вместе со своими производными на бесконечности быстрее любой степени 1/х. Такие функции мы называем «хорошими».

Может случиться, что пространство Ф таково, что компоненты всех векторов феФ по непрерывному базису 1х>, ф(х) = <xl ф), являются граничными значениями аналитических функций ф(г) на комплексной плоскости или на области комплексной плоскости, например на нижней полуплоскости. Тогда контур интегрирования в (4.11в') можно деформировать, получая

(ф, ф) = f dx ф*(х)ф(х) = f dz ф*(г)ф(г)

= f dz<ф\z><z\ф>. (4.15)

Здесь ^ может быть любым контуром, который получается из контура, проходящего вдоль действительной оси, деформированием внутри области аналитичности, не пересекая сингулярности. Этим определяются обобщенные собственные векторы I z> самосо-

пряженного оператора Q-.

(4.16)(4.16)QV> = z\z>

(4.16)

(4.16)

с комплексными собственными значениями z. Эти обобщенные собственные векторы I z > могут быть также использованы в обобщенном разложении вектора по базису. Оно получается из (4.15), если опустить в нем произвольный вектор феФ:

Ф = dz\z><z\ф>. (4.4вв)

Таким образом, вместо использования обобщенного разложения по обобщенным собственным векторам I х> с х е IR (4.4в) в этом случае можно также использовать обобщенное базисное разложение (4.4вв) по обобщенным собственным векторам lz> с комплексными собственными значениями z е С. Эта возможность будет использована при описании распадающихся состояний.

РЕАЛИЗАЦИЯ ОПЕРАТОРОВ И ЛИНЕЙНЫХПРОСТРАНСТВ

Мы уже упоминали о том, что компоненты любого вектора ф е Ф по отношению к базисной системе представляют собой реализацию пространства Ф. Трехмерный вектор х в пространстве R3 реализуется, таким образом, последовательностью (х,, х2, х3) своих компонент х, = е,-х. Значения компонент зависят, разумеется, от выбранного базиса. Если взять другой базис е/, то компоненты того же вектора х изменятся: х< = е/-х.

В конечномерном линейном пространстве со скалярным произведением координатами являются конечные последовательности комплексных чисел (4.5). В бесконечномерном пространстве ими являются или бесконечные последовательности ф; = (ДАф) ■ (/1ф), которые удовлетворяют некоторым условиям — таким, как (4.12г') и (4.13г), или непрерывные бесконечные последовательности ф(х) = <х1ф>, т.е. функции непрерывной переменной х, также удовлетворяющие дополнительным условиям — таким, как (4.12в) и (4.1 Зв).

Как и в трехмерном случае, при изменении базиса пространства изменяются и компоненты заданного вектора ф. Таким образом, если в дополнение к оператору Н из (4.3г) рассмотреть другой one-

ратор А, имеющий, как и Н, дискретный спектр

А\а,> = аДа^, at = а0, ах, а2,...,(5.1)

то тот же вектор ф из (4.4г) можно разложить следующим образом:

ф= 1\а,><а1\ф> = 1_\-><>\Ф>,(52)

i = 0*

где для удобства написания положено I/> ■ fa>.

Если операторы А и Н не коммутируют, то компоненты (а^ф) и (Еп\ф) совершенно различны. Компоненты можно записать в виде матриц-столбцов

Матрицы-столбцы можно складывать, осуществляя сложение покомпонентно, их можно умножать на число, умножая на него каждую компоненту; скалярное произведение матриц-столбцов можно определить как крайнее справа выражение в (4.11г). Пользуясь этими определениями, легко видеть, что множество матриц-столбцов </1ф>, </1ф>, </1х>, ...,/= 1, 2, 3. . ., является линейным пространством со скалярным произведением С” (см. также задачу 1). Подобным же образом множество матриц-столбцов компонент по базисной системе [1Е’Л)1Е'Л = Ех, Е2, . . .], а именно (Еп\ф), (Еп\ф), (Еп\х), . . ., является линейным пространством со скалярным произведением CJ^. Легко видеть, что С(£л) и С(* изоморфны друг другу и изоморфны пространству Ф:

«1\ф»^((Еп\ф))^ф,«Цф»-((Еп\ф))^ф.

Таким образом, можно определить пространство Ф, рассматривая множество всех бесконечных матриц-столбцов. Например, мы

определим С(£л) как пространство всех (Еп\ф), удовлетворяющих (4.13г) с Еп = (л + 1/2), л = 0, 1,2...; пространство Ф может быть определено как пространство, изоморфное С(£ J1*. Таким образом, один и тот же вектор может быть реализован совершенно различными матрицами-столбцами.

Если векторы реализуются матрицами-столбцами, то операторы реализуются квадратными матрицами. Мы получаем матрицу, отвечающую оператору В, следующим образом.

Вычисляем

Вф = £В\!ХЦф> (5.5)

и берем скалярное произведение этого уравнения с 1а >:

О\вф> = ^о\в\1><1\ф>.О\вф> = ^о\в\1><1\ф>.(5.6)(5.6)

О\вф> = ^о\в\1><1\ф>.

О\вф> = ^о\в\1><1\ф>.

(5.6)

(5.6)

В матричных обозначениях это соотношение имеет вид

/<1|Вф>\<2|В«><3|Вф>\ 5 //<1|Вф>\<2|В«><3|Вф>\ 5 //<1|Я|1><2|В|1><3|В|1>/<1|Я|1><2|В|1><3|В|1><1|В|2><2|В|2><3|В|2><1|В|2><2|В|2><3|В|2><1|В|3>...\ /<1|*>\<2|В|3>/ <2|ф>I <3|*> /\ !<1|В|3>...\ /<1|*>\<2|В|3>/ <2|ф>I <3|*> /\ !(5.7)(5.7)

/<1|Вф>\<2|В«><3|Вф>\ 5 /

/<1|Вф>\<2|В«><3|Вф>\ 5 /

/<1|Я|1>

<2|В|1>

<3|В|1>

/<1|Я|1>

<2|В|1>

<3|В|1>

<1|В|2>

<2|В|2>

<3|В|2>

<1|В|2>

<2|В|2>

<3|В|2>

<1|В|3>...\ /<1|*>\

<2|В|3>/ <2|ф>

I <3|*> /\ !

<1|В|3>...\ /<1|*>\

<2|В|3>/ <2|ф>

I <3|*> /\ !

(5.7)

(5.7)

Правая часть равенства (5.6) дает определение умножения квадратной матрицы на матрицу-столбец в правой части (5.7). Таким образом, мы видим, что оператор В реализуется бесконечномерной матрицей

В *♦ <j\B\i> =В *♦ <j\B\i> =/<1|ЯЦ><2|В|1><3|В|1>/<1|ЯЦ><2|В|1><3|В|1><1|В|2><2|В|2><1|В|2><2|В|2>(5.8)(5.8)

В *♦ <j\B\i> =

В *♦ <j\B\i> =

/<1|ЯЦ>

<2|В|1>

<3|В|1>

/<1|ЯЦ>

<2|В|1>

<3|В|1>

<1|В|2>

<2|В|2>

<1|В|2>

<2|В|2>

(5.8)

(5.8)

которая называется матрицей оператора В по отношению к базису [1/>1/ = 1, 2, 3. . .].

^ Пространство С(£ > имеет естественную топологическую структуру, которую затем наследует Ф; тогда Ф является наибольшим пространством, в котором все операторы Нр, р = 0, 1, 2. . ., непрерывны, и его топологическая структура может быть определена исходя из этого требования.

Пусть теперь D — еще один оператор. Рассмотрим действие D + В на базисный вектор I />, используя (3.4):

(В + D)\f> = B\i> + D\i>.

Взяв скалярное произведение обеих частей этого уравнения с базисным вектором 1у>, получаем, используя (2.2г),

<J\(B + D)|i> = <j\B\i> + </|0|<>-

(5.9)(5.9)Таким образом, матрица суммы линейных операторов равна сумме матриц, определенной в правой части (5.9). Рассмотрим теперь матричные элементы DB и используем разложение единицы (4.9г) для базиса (5.1):

(5.9)

(5.9)

<j\DB\i) = X 01^1«><п|В|/>.

(5.Ю)(5.Ю)Записанное в матричном виде, это соотношение имеет вид

(5.Ю)

(5.Ю)

<1|DB|1> <1|DB|2> <1|DB|3>

<2|DB|1> <2|DB|2> <2|DB|3>

'<1|D|1> <1|D|2> <1|D|3>

<2|D|1> <2|D|2> <2|D|3>

(5.Ю')

где правая часть (5.10) дает определение произведения двух (бесконечномерных) квадратных матриц.

Таким образом, при реализации пространства Ф пространством векторов-столбцов операторы реализуются матрицами, причем сумме двух операторов отвечает сумма их матриц, а произведению операторов отвечает произведение их матриц.

</M|i> = Ot<J\i> = а^ц.</M|i> = Ot<J\i> = а^ц.(5.П)(5.П)Если в качестве базиса выбрать, как в (5.1), систему собственных векторов оператора А, то матрица оператора А в этом базисе диагональна, так как из (5.1) следует

</M|i> = Ot<J\i> = а^ц.

</M|i> = Ot<J\i> = а^ц.

(5.П)

(5.П)

или в матричном виде г

<1М|3><1М|3>ХИЛЮ <1|Л|2>

<1М|3>

<1М|3>

<2|Л|1> <2|/1|2>

<3|Л|1>

Матричные элементы по отношению к базисной системе собственных векторов А всех остальных операторов, не коммутирующих с А, имеют ненулевые недиагональные компоненты.

Так как собственные векторы Н являются также элементами пространства Ф, можно использовать (4.4г) и разложить их по базису I /> из (5.1) и наоборот:

(5.12)(5.12')(5.12)(5.12')|Е„) = Z|i><i|E„);

(5.12)

(5.12')

(5.12)

(5.12')

1= 1

IO = f IE.XE.IO.п= 1

Взяв скалярное произведение этого уравнения на ф и выполняя затем комплексное сопряжение, получаем

кЕМ= ^АЕ-пМХЛФУкЕМ= ^АЕ-пМХЛФУ(5.13)(5.13)

кЕМ= ^АЕ-пМХЛФУ

кЕМ= ^АЕ-пМХЛФУ

(5.13)

(5.13)

Таким образом, (Еп I /) являются матричными элементами матрицы, преобразующей бесконечнокомпонентную матрицу-столбец (5.4) в бесконечнокомпонентную матрицу-столбец (5.3). Она называется матрицей перехода (или матрицей преобразования) между двумя базисами (I Z> I / = 1, 2, . . .) и [l^jln = 1, 2, . . .]. Ее элементы (Еп I /> называются также коэффициентами перехода. Вычисляя скалярное произведение (5.12') с IJ), получаем

<j|i> = ^ = £ O|E„XE„|i> = £(E„lj>*(E„l->. (5.14') п=1,2.... п

(5.14)(5.14)Подобным образом получаем

(5.14)

(5.14)

(Е„|Е„) = ^. = £(E„Li></|E„> = 1(Е„У>(Е„|7>*.

Матрица, матричные элементы которой удовлетворяют условию (5.14), называется унитарной матрицей. Если.кроме того, матричные элементы действительны, что иногда случается в пространстве Ф (и всегда в действительном линейном пространстве), то матрица называется ортогональной.

Если даны матричные элементы оператора А в базисе I Еп) (Еп \ А \ Ет), то можно получить матричные элементы </1^41», используя преобразование (5.12'):

оА = <'И1У>=2 I <i|E„XE„M|E„)(EJy>.(5.15)

Говорят, что матрица перехода приводит матрицу (Enl А I Ет) к диагональной форме. Умножая обе части (5.15) на {Er I />, суммируя по / и используя (5.14'), получаем

I (Е,|Л|Е„ХЕ„и> = аХ£,|».(5.16)

т= 1

Если собственные значения Oj неизвестны, то это задача на собственные значения, записанная в матричной форме. Для случая ^мерного пространства (вместо бесконечномерного) это система N линейных однородных уравнений [3] с N неизвестными ^Ет Iу):

N

Z UE^EJ - ^nm](£m|y> = 0.(5.17)

m= 1

Она имеет ненулевые решения для (EmU) тогда и только тогда, когда

det[(£„|X|£J - a^J = 0.(5.18)

Собственные значения матрицы (En IАI Ет) являются N решениями этой задачи. Эти решения не обязательно различны. Уравнение (5.18) есть полином степени N, а по знаменитой теореме из алгебры (см., например, [4]) каждый полином степени N имеет N корней (вообще говоря, комплексных, но для эрмитова А действительных).

Обратимся теперь к случаю, когда базис

(5.20)(5.20)непрерывен. Тогда вектор ф реализуется непрерывной функцией непрерывной переменной х вместо функции дискретной переменной, как это было в (5.3) и (5.4):

(5.20)

(5.20)

Ф~ <х\ф> = ф(х\

Как и в дискретном случае, пространство Ф может быть построено по его изоморфизму (5.20) с пространством функций. Мы хотим рассмотреть частный случай, когда Ф — пространство векторов, компоненты которых <х\ф> являются элементами функционального пространства S.

Собственный вектор I Еп) принадлежит пространству Ф, так что для него Можно использовать разложение по непрерывному базису (4.4в):

!£„)= ^dx\x><x\En\ (5.21)

Величины <xl£„) являются аналогами матричных элементов перехода между дискретными базисами <i\En). Они являются коэффициентами перехода между дискретным базисом 1^я) и непрерывным базисом 1х> .

Для фиксированного значениях величины <х \Еп) есть функции дискретной переменной Еп, а для фиксированного значения Еп — функции непрерывной переменной х. Они также возникают при вычислении скалярного произведения разложения по базису (4.4г) с вектором непрерывного базиса 1х> :

<х|ф> = £ <х|ЕДЕ.\ф\ (5.22)

п = 0

Величины <х\Еп) составляют определенное множество функций из S, которое вследствие (4.3г) обладает свойством

<х|Я|£„) = £„<х|£„). (5.23)

Благодаря этому свойству они называются собственными функциями оператора Н. Выражение (5.22), являющееся немедленным следствием разложения по собственным векторам (4.4г), называется разложением функции <х1ф> е S по собственным функциям.

Мы проиллюстрируем сказанное на хорошо известном примере. Выберем в качестве функционального пространства подпространство К (а) с S всех функций ф (х) = <х I ф>, равных тождественно нулю вне области lx I < а.

0= dx |х><х|0>.0= dx |х><х|0>.(5.24)(5.24)

0= dx |х><х|0>.

0= dx |х><х|0>.

(5.24)

(5.24)

Пусть оператор Q имеет непрерывный спектр { х I — а < х < < + а). Тогда спектральное представление произвольного вектора ф е Ф имеет вид

Определим самосопряженный оператор Н = Р1 соотношением

d~

<х\Н\ф> = - у^<х\Ф>

(5.25)

для каждой компоненты <х 1ф> любого ф е Ф. Для того чтобы операторы Q,P и любые их степени были определены в Ф, пространство компонент <х 1ф) должно быть пространством непрерывных бесконечно дифференцируемых функций, для которых

< СО.

Имеем, далее,

<х > а\ф> = <х < -а\ф> = 0.

(5.26)

(Это граничное условие важно для установления самосопряженности//, см. задачу 14.) Обозначим через 1и> собственный вектор//:

Н\п> = Ел|и>.

(5.27)

Мы хотим найти все собственные значения Еп и коэффициенты перехода <xlz?> . Из (5.25) и (5.27) следует

d2

(5.28)

Решения этого дифференциального уравнения, удовлетворяющие граничным условиям (5.26), имеют вид

н> = —cost — х ) при п = 1. 3, 5, 7,..., хА va /

<х |n> = sin I — х ) при и = 2,4, 6,... .

ХА \2я /

Собственные значения равны

Нормировочный множитель 1/Va в (5.29) выбран так, что<и 1и> = = 1. Согласно (5.24), для<и1и> имеем

dx <и|х><х | и>

1 /ил \ /ил \dx cos — X cos — х = 1,\2а\2а

(5.31а)

или

1 Г*а(ПК \ . /ил \

<и|и>=- dx sin — X sin — X = 1.

a J_а\2а //

(5.316)

В последних равенствах в (5.31а) и (5.316) использованы свойства интегралов от тригонометрических функций. При п' Ф и вследствие ортогональности собственных векторов самосопряженных операторов необходимо иметь

<и'|и) = dx (и'|х)<х|и) = 0.

(5.32)

Но это можно также получить, подставляя (5.29) в (5.32) и вычисляя интегралы от тригонометрических функций. Благодаря соотношению (5.32) можно сказать, что собственные функции <и' 1х> и <и1х> ортогональны.

Разложение по собственным функциям (5.22) в этом частном случае имеет вид

® /ил \®. /ил \

<Х\ф>=ф(х) =£ ti„COS— X +£ b"Sm^X) ПРИ1Х1<Я’

л = 1.3, 5

л = 2,4,6

ф(х) = 0 при | х | > 0.

(5.33)

Для компонент вектора ф имеем р +а

Ьп = <п\ф> = I б/х<и|х><х|ф>

I dx sin [ — х) ф(х); л = 2, 4, 6, ...

Na J-а \2а /

а„ = <п\ф> = dx <и|х><х|ф>

F f dx cos(^ x |ф(х); и= 1,3,5 aJ-= Va /

Уравнение (5.33) демонстрирует разложение в ряд Фурье произвольной функции ф(х) еК (а). Компонентыап иЬп вектора ф по отношению к базису 1и> называются коэффициентами Фурье функции Ф(х) = <х\ ф). Поскольку (5.22) является непосредственным обобщением классического ряда Фурье (5.33), соотношения (5.22) и даже (4.4г) часто называют разложением в ряд Фурье или представлением Фурье. В общем случае собственные функции <х\Еп) не являются тригонометрическими функциями, но соотношение (5.32) должно выполняться всегда, т.е. <х 1^) всегда должны образовывать ортогональную систему базисных функций. Хорошо известными примерами ортогональных базисных функций являются полиномы Эрмита, полиномы Лежандра, полином Лягерра. В частности, для пространства S, если спектр Q есть вся действительная ось IR , адекватными базисными функциями являются полиномы Эрмита.

До сих пор мы рассматривали коэффициенты перехода между двумя дискретными базисами <НЕп) и коэффициенты перехода между дискретным и непрерывным базисами <х\Еп). Теперь мы сделаем еще один шаг и рассмотрим коэффициенты перехода между двумя непрерывными базисными системами. Выберем в качестве Ф пространство, реализованное как пространство S, и рассмотрим оператор Р, определенный соотношением (см. задачу 7)

<х\Р\ф> = --г- <х|ф> для всех ф 6 Ф, т.е. <х|ф> 6 S. (5.34) i ах

Мы хотим рассмотреть уравнение (5.34) также в том случае, когда ф является собственным вектором оператора Р (обобщая определение Р, если этот собственный вектор не лежит в Ф):

Р|р> = р|р>.(5.35)

Тогда уравнение (5.34) принимает вид

<х|Р|р> = р<х|р> =<х|р>.(5.36)

i ах

Хорошо известно, что это дифференциальное уравнение для любых комплексных значений/? имеет решения вида

<х|р> =ре С.(5.37)

Но ни одно из этих решений не является квадратично интегрируемым, так что \ р> ёФ (см. задачу 9).

Мы можем разложить любой вектор ф е Ф по базису I р > соб-

ственных векторов Р:

ф = \dp \р}{р\ф},(5.38)

где интегрирование ведется по спектру оператора Р. Мы хотим найти спектр Р. Он содержится в множестве обобщенных собственных значений, эквивалентном С . Вычислим скалярное произведение (5.38) с 1х> О;

<х|0>=[ ар<х\р)<р\ф> = 4= Up е‘-'<р\ф>.(5.39)

•'Spectr. Р

Если интегрирование по р в (5.39) проводится по действительной оси, — оо < р < + оо, то из (5.39) следует, что ф(х) = <х1ф> есть образ Фурье функции ф(р) = <р1ф>. Поэтому мы хотим дать краткую сводку свойств преобразования Фурье.

Пусть ф(х) — элемент пространства S; тогда (обратное) преобразование Фурье, которое мы обозначим /^ЧФСх)] ■ Ф(р), определено как

f; W)] = А?) = 4= f dx ^lxp*to- (5.40а)

Преобразование Фурье обладает следующими свойствами:

а)Г-1 отображаетS на себя; это означает, что ФФ) как функция р также принадлежит пространству S;

преобразование Фурье, которое мы обозначим/^[ф(р)] и которое определено формулой

(5.406)(5.406)ф^ - F4^(p)l = ^7 \ ^dpe1’»^.

(5.406)

(5.406)

также принадлежит пространству S, если ф ф) е S;

в)в)р"е"Е^ = F,[p"Ap)Jр"е"Е^ = F,[p"Ap)J(5.40в)(5.40в)

в)

в)

р"е"Е^ = F,[p"Ap)J

р"е"Е^ = F,[p"Ap)J

(5.40в)

(5.40в)

° См. примечание на с. 30.

для любой степени п = 0, 1, 2, 3, .... что можно также записать в виде,

(' РСрхАрУ = f.EpWXL

\z dx)

г)

(_Х_£Хф^ = 2_ Г” dx хпе"ирф<х^ = Е'ДхШ (5.40г) \ 1 dp) V^71

для любой степени и = 0, 1, 2, 3, . . ., что можно также записать в виде

i dp)

Д)гС т

dx ф*(х)ф(х) = I dp фЧрЖРУ(5.40д)

где <^), фф^ е S — фурье-образы ф£), ф^) е S.

Таким образом, преобразование Фурье F и обратное ему преобразование F -1 устанавливают два взаимно обратных изоморфизма между пространством Шварца Sx функций от переменной х и пространством Шварца Sp функций от переменной р.

Мы можем теперь вернуться к задаче о спектре Р. Поскольку для всех<х1ф) = ф^с) gS имеется, согласно (5.406) и (5.37), представление (5.39), где интегрирование проводится по действительной оси —оо < р < + оо, причем <р1ф> снова является элементом S, мы заключаем, что

спектр Р = {р| — оо < р < оо},

т.е. действительная ось IR. Таким образом, мы нашли спектральное разложение ф вида (5.38) по базису собственных векторов Р. Спектр Р является непрерывным, и 1р> являются обобщенными собственными векторами (но не элементами Ф). Коэффициенты перехода между обобщенными базисами [1х> ] и [1р> ] даются формулой (5.37), где р е IR и х g IR. Для заданного значения х это функции непрерывной переменной р, а для заданного значения р — функции непрерывной переменной х. Они удовлетворяют дифференциальному уравнению (5.36), но не являются «хорошими» функциями, т.е. элементами функционального пространства S. Поэтому они называются обобщенными собственными функциями, или распределениями. Меняя местами х и р в предыдущей аргументации и используя

(5.40а) вместо (5.406), легко получить

<р|х> =(5.41) V2n

Следовательно, мы показали, что для этого специального вида коэффициентов перехода между двумя непрерывными базисами имеет место следующее соотношение:

<р|х> = <х|р>*.(5.42)

Экспоненциальная функция — лишь один из примеров коэффициентов перехода между двумя непрерывными базисами. Другой пример, который встретится во второй части книги, — сферические функции Бесселя.

Наконец, в этом разделе мы рассмотрим реализацию операторов для случая непрерывного базиса. Это опять делается по аналогии с дискретным случаем. Чтобы получить аналог (5.5), подействуем оператором В на разложение по непрерывному базису (4.4в):

Вф = | dx В\х> <х\ф>.(5.43)

Вычисляя скалярное произведение^ с базисным вектором lj>e е [ I х> I — оо < х < + оо}, получаем

<У\Вф> = j dx:<j№><A:|0>(5.44)

— соотношение, являющееся непрерывным аналогом соотношения (5.6). Это интегральное преобразование, преобразующее функцию <х\ф) в функцию <jl0> = <у \Вф). Аналог матричного элемента (5.8) для непрерывного случая <jlBlx> называется ядром интегрального преобразования. Выбирая В = А и для собственного вектора (5.1) ф = 1/>, получаем из (5.44)

j dx <y\A\x><x\i> = ai(y\i>.(5.45)

Это аналог формулы (5.16). Если собственные значения ai и собственные функции < у I z> неизвестны, это однородное интегральное уравнение для определения этих собственных значений.

° См. примечание на стр. 30.

ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА КАК ПРИМЕРОРТОНОРМИРОВАННОГО БАЗИСА ФУНКЦИЙ

Рассмотрим сначала оператор Q, реализованный оператором умножения, и оператор Р, реализованный дифференциальным операто

ром (уравнение (5.34)) на пространстве функций S:

<^Ю|Ф> = Х<х|ф>,-оо<х<+оо,(6.1)

<х|Р|»> = 7 ^7 W>.W>«&(6.2)

Определим также оператор Н формулой

+(6.3.)

и обозначим его собственные векторы через 1л):

Н\п) = Е„\п\(6.4)

Обозначим пространство, в котором действуют операторы Q, Р, Н и любой элемент генерируемой ими алгебры, через Ф. Тогда ф е Ф « <хIф> е S^. .

Дискретность спектра//, отраженная в (6.4), является на самом деле следствием предположения о том, что собственные векторы 1л> оператора// лежат в пространстве Ф, или, как будет показано ниже, что <х I л) eS.

Коэффициенты перехода между собственными векторами Q иН <х1и) образуют ортонормированный базис функционального пространства S в смысле (5.22). Наша цель — найти в явном виде <Х 1л) иЕп.

Обозначим

(6.5)(6.5)Я = 2Еп.

(6.5)

(6.5)

2<х|Я|и) =2<х|Я|и) =<х|л) = Х<х|и).<х|л) = Х<х|и).Используя (6.3) в (6.4), получаем, учитывая также (6.2) и (6.1),

2<х|Я|и) =

2<х|Я|и) =

<х|л) = Х<х|и).

<х|л) = Х<х|и).

(6.6)

^ Можно построить Ф также следующим образом (см. гл. 2). Начиная с алгебры операторов Р, Q и Н, в которой кроме (6.3) выполняется также соотношение PQ — QP = <1/01, построим пространство Ф как наибольшее пространство, в котором эта алгебра представлена алгеброй (непрерывных) операторов и в котором существует по крайней мере один собственный вектор Н.

Таким образом, необходимо найти решения

Мх) = <х|л)(6.7)

дифференциального уравнения

+ (X - xW) = 0.(6.8)

Кроме того, мы потребуем, чтобы ф^с) eS. Тогда они должны, в частности, удовлетворять граничному условию

/

^(к) — 0 быстрее, чем любой полином от 1/х прих — ± оо. (6.9)

Уравнение (6.8) сингулярно при 1x1 — оо и при больших значениях lx I может быть приближенно записано в виде ф" — х2^ = 0 с решениями ф ~ е ^/гл Исходя из этого, ищем решение в виде

^(х) = (ле^^у^х) + сге^угМ(6.10)

где^2 и У разлагаются в степенной ряд пох:

у= ^акхк.(6.11)

к = 0

Второе слагаемое в (6.10) быстро растет и не может отвечать элементу из£; следовательно, с 2 должно быть равно нулю. Подставляя

^(х) = Cie^'b^x)(6.12)

в (6.8), получаем дифференциальное уравнение

у" - 2ху' + (X - l)j = 0,(6.13)

Подставляя (6.11) в (6.13) и собирая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем соотношение

(к + 2)(k + l)ak + 2 - 2как + (А — V)ak = 0

которое приводит к рекуррентной формуле

2к - (Л - 1)

Qk + 1 ~ (к + 2\к + 1/“’(6J )

Эта формула выражает коэффициенты при высших степенях в (6.11) через коэффициенты при низших степенях. Сравнивая отношение ак + г/ак при больших к с отношениями Ьк + г/Ьк в разложении

461 -4

в степенной ряд функции ехг, можно показать, что функция (6.11) при условии (6.14) расходится каке*2 прих — ±оо. Таким образом, единственным способом построить решения .у (х) вида (6.12), сходящиеся желаемым образом при ±оо, является выбор таких значений X, при которых ряд (6.11) обрывается. Мы можем добиться этого, полагая X — 1 = 2л для п = 0, 1,2, ...; таким образом, мы видим, что ^(х) является элементом S только тогда, когда

Л = 2л + 1 или Еп = п -V ^ л = 0, 1, 2,....(6.15)

Решения дифференциального уравнения (6.13), отвечающие собственным значениям (6.15), также получают индекс п и обозначаются у(х) = Нп(х). Таким образом, получаем семейство уравнений

Н*; - 2хН'п + 2лН„ = 0, л ^ О, 1, 2,,(6.16)

которые называются дифференциальными уравнениями Эрмита. Их решения Нп (х) называются полиномами Эрмита. Легко проверить, что полиномы, заданные формулой

Нл(х) = (-1)У’^,),(6.17)

ах

удовлетворяют уравнениям (6.16). Формула (6.17) называется формулой Родрига для полиномов Эрмита.

Итак, мы нашли выражение для коэффициентов перехода (6.7)

<*1'0 = lAnCx) = ^~ е"х11Нп<х\(6.18)

Множитель^ выбирается так, что

(л | л) = dx (л|х><х|л) =(л | л) = dx (л|х><х|л) =N.N.'1.(6.19)

(л | л) = dx (л|х><х|л) =

(л | л) = dx (л|х><х|л) =

N.

N.

Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора Н может быть теперь записана в виде

N^N^n'^- ^dx е” х"Нп (х)Нп(х) = 0 прии * п'.(6.20)

Второе равенство в (6.20), которое получено нами как следствие ортогональности векторов 1и), называется соотношением ортогональности для полиномов Эрмита. Нормировочный множитель^

(6.21)(6.21)должен вычисляться с использованием специальных свойств полиномов Эрмита, определенных формулой (6.17). В приложении к данному разделу все это выполнено стандартным способом. Из (А. 12) получаем

(6.21)

(6.21)

I Nn I2 = V^-z?! 2”.

Множитель Nn и, следовательно, коэффициенты перехода в (6.16) <х 1л) определены только с точностью до фазового множителя, т.е. множителя е'“(л), равного по модулю единице, который зависит от п. Этот множитель принято выбирать равным +1. Таким образом, получаем

(6.22)(6.22)<х|и) = . 1 _■ е ^"М72”и!у^

(6.22)

(6.22)

ПРИЛОЖЕНИЕ К РАЗДЕЛУ 1.6

Нормировочный множитель Nn в (6.19) может быть вычислен следующим образом. Рассмотрим функцию /(О = е-,2*зх. рассматриваемая как функция комплексной переменной t, f(t) является целой функцией и может быть разложена в ряд Тейлора по t;

= ^«W , И < оо,= ^«W , И < оо,(АЛ)(АЛ)

= ^«W , И < оо,

= ^«W , И < оо,

(АЛ)

(АЛ)

где коэффициенты разложения зависят от параметрах. Эти коэффициенты задаются формулой

Поскольку/^) является аналитической функцией при всех значениях параметрах, мы можем использовать теорему Коши, которая утверждает, что

где интегрирование проводится по контуру, окружающему точку £ = t. Применяя эту формулу К функции/(г) = е-г2+2гх и используя (А.2), получаем при t = О

С другой стороны, мы можем использовать (А.З) для функции J^ = e-z2 и получить

где контур интегрирования окружает точку z = х, которая, в частности, может быть любой точкой на действительной оси.

В левой части равенства (А.5) используем теперь (6.17), а в правой части проведем замену переменной интегрированиям = х — t, dz = — dt. Тогда соотношение (А.5) принимает вид

(А.6)

где контур интегрирования окружает точку t = 0. Разделив обе части равенства нае~х2(— 1)", получаем

(А.7)

Сравнение (А.4) и (А.7) показывает, что коэффициенты в (А.1) задаются формулой

а„(х) = — Нп^,и!

а формула (А.1) может быть записана в виде

(А.8)(А.8)е-Р+2.ж = у 'вд^ IZl < ОО.

(А.8)

(А.8)

Функция /(f) = ^-/2 + 2« называется производящей функцией для полиномов Эрмита. Многие свойства ортогональных полиномов легко вывести, используя их производящие функции.

Мы теперь готовы к вычислению нормировочного множителя Nn. Используя (А.8), получаем

+ оооо *л „т р + оо

dxe-‘2 + 2txe-s2 + 2sxe-x2 = У Уdx е~ х2 Н п(х)Н т(х). (А.9)

Левая часть уравнения (А.9) может быть записана в виде

Разлагая е^' в степенной ряд, получаем

г- ® 2v(st)v

левая часть (А.9) = Ju У — .,. ,,.

V ~0 v!(All)

Собирая члены при равных степенях s и t в правых частях (А.9) и (А.11), получаем

J dx е~х2Нп(х)Нп{х) = Jun\2".(А.12)

При п Ф т снова получаем (6.20). Благодаря свойству (6.20), а также (А.12), Нп (х) называют ортонормированными на интервале — оо < х < 4-оо с весовой функцией (.J^n^Y^e-*2.

Другим важным свойством, которое можно вывести с использованием производящей функции, являются рекуррентные соотношения. Чтобы получить рекуррентные соотношения для полиномов

Эрмита, продифференцируем равенство (А.8) по t:

00 Пу.00 ИОО1

£ J.W- у п = 0п = 0ч=1

Приравнивая члены при степени tn, получаем

2хН„(х) = HR.Jx) + 2иН„_1(х).(А. 13)

Это рекуррентное соотношение может быть использовано при последовательном вычислении полиномов Эрмита, начиная с = 1^^) = 2х.

В гл. II нам понадобятся также некоторые свойства фурье- образа Нп^с^ которые легко вывести с использованием производящей функции. Умножая (А.8) нае'>х-х2/2, где — оо < у < 4-оо, и ин-

тегрируя пох, получаем

^ glxt-t^iyx-x^H dx

= L^^2'2 dx^-,HnUYn

= у £ f eiyx'x2,2Hn(x)dx. (A.14) „ = 0 «!

Интеграл в левой части вычисляется подстановкой ту = х — 2/ и равен (см. задачу 11)

e'V2yr ^е-^2е.уп dn = e-w2e2wi>V^te'y2'2.(А.15)

В правой части равенства мы используем формулу (А.8) с заменой/ на it. Тогда из (А. 14) получим

оо00 tn ®

У^е"-2'2 I ^Я„(У)= £ У e^e-^H.todx. (А.16) и = О ' ’л = 0 ' * ' - оо

Сравнивая члены с одинаковыми степенями t, получаем

1пе"у2'2Нп^ = 4= f ' dxeiyxe"x2,2Hn(x\ (А.17) ^/2^ J-оо

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ1)

В предыдущих разделах этой главы мы излагали математический аппарат квантовой механики с точки зрения его алгебраической структуры. Обобщенные собственные векторы вводились по аналогии с базисными векторами в трехмерном пространстве, причем предполагалось, что с ними можно обращаться в значительной степени так же, как и с обычными векторами. Но они являются не векторами из пространства Ф, а непрерывными функционалами на нем. В этом разделе мы дадим соответствующие определения и объясним их отличие от обычных векторов.

Пусть Ф — комплексное линейное пространство. Функционал на Ф есть отображение F из пространства в комплексные числа С, F: Ф — С. (Для действительного пространства Ф это отображение в действительные числа IR.) Таким образом, это аналог комплекснозначной функции действительной переменной xeIR, F: IR — С, но переменной теперь является не действительное число, а вектор ф е Ф. Если F обладает свойством

Г(аф + ^ф) = а*Г(ф) + P*F^ для всех ф, феФиа, /?еС, (7.1) то F называется антилинейным функционалом. Если F обладает

11 Этот раздел при первом чтении можно опустить. В нем дается математическая формулировка понятий, использованных в разд. 1.4 и 1.5, которая не требуется для понимания последующих глав, кроме гл. XXI.

СВОЙСТВОМ

Р(аф + РФ) = аР(ф) + Р?(ф),(7.1а)

то F называется линейным функционалом. Если Ф является действительным пространством, то между линейным и антилинейным отображениями различия нет. Ниже мы будем рассматривать преимущественно антилинейные, а не линейные функционалы (заметим, что в математической литературе обычно рассматриваются линейные функционалы).

Примером антилинейного функционала на линейном пространстве является

Р(Ф) = (ф, ф),(7.2)

где ф — фиксированный элемент ф е Ф, а (ф, ф) — скалярное произведение ф и ф, где ф пробегает все пространство Ф (см. задачу 12). Исходя из этого примера, а также из того, что в общем случае мы хотим строить функционал как обобщение скалярного произведения, для антилинейного функционала Р(ф) будем использовать обозначение

Р(ф) = <ф\Р>.(13)

Любые два антилинейных функционала F, и FT на линейном пространстве Ф можно складывать и умножать на числа согласно правилу

№ + Р?2)(ф) = аР.(ф) + рГ2(ф), a, Р е С, (7.4')

или, используя обозначение (7.3),

<ф\аРх + Р?2> = а<ф|Г1> + Р<ф\Р2У(7.4)

Функционал aFx + 0F2, определенный в (7.4), также является антилинейным функционалом на Ф (задача 13). Следовательно, множество антилинейных функционалов на линейном пространстве Ф является линейным пространством1). Это пространство называется

') Это утверждение аналогично утверждению, что совокупность линейных операторов на линейном пространстве образует алгебру (т.е. линейное пространство, в котором определено умножение (элементов пространства. — Перее.)). Соотношение (7.4) аналогично первым двум соотношениям (3.4).

сопряженным, или дуальным пространством (точнее, алгебраически сопряженным, или алгебраически дуальным пространством) к пространству Ф и обозначается Фх.

Пусть Ф конечномерно, dim Ф = п, и пусть ez, i = 1, 2, . . ., п, составляют базис для Ф; пусть также F — произвольный антили- нейный функционал на Ф. Обозначим через /■ комплексные числа

J^F^,i=l,2, ...,и.(7.5)

Тогда значение функционала ^на произвольном пространстве Фэф= = E”=^ ejt может быть записано в виде

Цф) = £ F^e) = £ ^‘F(e,) = £ ф-fvУ 6)

i = 1i‘ - 1

Следовательно, мы имеем взаимно однозначное соответствие между множеством антилинейных функционалов на конечномерном пространстве и последовательностью чисел (fj,/2, . . .,/л). Используя эти числа, мы можем теперь определить вектор/ в Ф:

f- £/1^.(7.7)

i = 1

Тогда правая часть (7.6) есть скалярное произведение векторов ф и /, и нами показано, что в конечномерном линейном пространстве со скалярным произведением существует взаимно однозначное соответствие между функционалами F и векторами/ е Ф:

F^f,(7.8а)

такое, что значение функционала F (ф) на элементе ф е Ф задается скалярным произведением

F^ = кФ. Л-(7.86)

Это показывает, что в конечномерном случае символ (7.3) может всегда быть отождествлен со скалярным произведением1).

<Ф\^ = кФ.Л-(7.8в)

В случае, когда отождествление (7.8) возможно, пространство называется самодуальным и можно записать

Фх = Ф.(7.8г)

Для бесконечномерных пространств со скалярным произведением такое отождествление в общем случае невозможно. Поскольку, как мы уже видели, скалярное произведение всегда определяет антили- нейный функционал, антилинейные функционалы Fp значения которых на любом ф е Ф могут быть записаны в виде скалярного произведения Fj(ф) = (ф,/) с фиксированным/ е Ф, мы можем отождествить с векторами/:/7^ ~ /. Тогда имеем

Фх => Ф.(7.9)

Для понимания ситуации с функционалами на бесконечномерных пространствах огромную роль играют топологические понятия. До сих пор мы обсуждали только алгебраические структуры на множестве. Линейное пространство со скалярным произведением, введенное в разд. 1.2, которое мы обозначим Ф, если на нем не задано других структур, является чисто алгебраическим понятием. Теперь можно ввести на нем топологическую структуру. Топологическая структура задается приданием конкретного смысла понятию сходимости бесконечных последовательностей1).

Сходимость последовательности векторов ф^ ф2, ф3, ... .... ф„, ... к вектору ф е Л^в гильбертовом пространстве, обозначенная через

ф^ ф,v —♦ оо,(7.10' )

определяется как

II0V ~ 011• V00.(7.10)

Сходимость в пространстве Ф определяется с помощью алгебры операторов и, следовательно, зависит от нее. Для алгебры, генери-

11 Существуют топологические пространства, для которых определения сходи-. мости последовательности недостаточно для задания топологии. Но для пространств Ф, которые мы здесь рассматриваем (с выполненной первой аксиомой счетности), этого достаточно.

руемой операторамиР, Q,H из (6.3) и (6.4), она определяется как)

Ф, *- Ф, V - о=,(7.1Г)

тогда и только тогда, когда

117/р(0р — 0) II — О, р — оо для каждого/? = О, 1, 2, 3, ... . (7.11)

Поскольку (7.11) включает (при/? = 0) свойство (7.10), понятно, что из

0„ - 0 следует 0У - 0,(7.12)

но не наоборот. Сходимость (топология), определенная в (7.11), называется более сильной (тонкой), чем сходимость (топология), определенная в (7.10), а сходимость, определенная в (7.10), называется более слабой (грубой), чем сходимость, определенная в (7.11). Пространство Л^ есть пространство, содержащее кроме элементов пространства Ф все элементы, получаемые предельным переходом из Л^-сходящихся последовательностей. Поскольку благодаря (7.12) каждая Ф-сходящаяся последовательность является также ^сходящейся, а обратное, вообще говоря, неверно, имеем

Ф<=Ж(7.13)

Антилинейные функционалы, которые мы будем рассматривать в случае бесконечномерных пространств, всегда будут непрерывными функционалами. Антилинейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда из

Ф, — Ф следует У7 (0„) — F (ф), р — ос,(7.14)

где — обозначает сходимость для комплексных чисел); Фх, ^ х и т.д. всегда обозначают пространства непрерывных функционалов.

Мы можем теперь рассмотреть совокупность непрерывных линейных функционалов на и на Ф.

Фх есть множество всехРф, обладающих тем свойством, что

^Ф(0Р) — Рф (Ф) Для всех фу^ ф.

^х есть множество всех Р*'', обладающих тем свойством, что

^^(Ф^ ^ ^г (Ф) Для всех ф, - ф.

Условие, которому удовлетворяютГ е^ х, более ограничительно, чем то, которому удовлетворяют Г е Фх, поскольку, согласно (7.12), существует большее число таких последовательностей, что Ф„^*Ф, чем таких, что ф^^-ф. Следовательно,

(7.15)(7.15)jTx с= Фх.

(7.15)

(7.15)

Как упоминалось выше, бесконечномерные линейные пространства не обладают, вообще говоря, свойством (7.8г). Но бесконечномерное гильбертово пространство обладает следующим замечательным свойством, выраженным теоремой Рисса — Фреше. Для каждого ^непрерывного функционала Р^ существует вектор /е Атакой, что -

F^ = <ФМ = (0, Л-F^ = <ФМ = (0, Л-(7.16)(7.16)

F^ = <ФМ = (0, Л-

F^ = <ФМ = (0, Л-

(7.16)

(7.16)

Таким образом, для^ можно провести, как в конечномерном случае, отождествление (7.8) и получить, используя (7.13) и (7.15), тройку пространств:

Ф С ^=^х СФХ,Ф С ^=^х СФХ,(7.17)(7.17)

Ф С ^=^х СФХ,

Ф С ^=^х СФХ,

(7.17)

(7.17)

называемую тройкой Гельфанда или оснащенным гильбертовым пространством. Следовательно, символ < ф I F) является обобщением скалярного произведения для таких F е Фх, которые не лежат в -%9.

Рассмотрим теперь антилинейные непрерывные функционалы ф на Фх и обозначим пространство всех ф через Ф х х. Для широкого класса линейных топологических пространств Ф (называемых рефлексными) имеет место естественное взаимно однозначное соответствие между феФифеФхх, задаваемое соотношением

Ф(Н = НФ) = <ф\Р).Ф(Н = НФ) = <ф\Р).(1А^(1А^

Ф(Н = НФ) = <ф\Р).

Ф(Н = НФ) = <ф\Р).

(1А^

(1А^

Поскольку < ф 1Е> есть обобщение (f, ф) = (Ф,/), мы можем рассматривать функционал ф на вектореF е Фх как обобщение скалярного произведения (f, ф). Поэтому удобна запись ф^Р) = <Р\ф) , где F е Фх является теперь переменной, т.е. <Р\ф> есть значение

функционала ф, определенного на пространстве Фх на векторе F. При таком определении <Е\ф) соотношение (7.18) принимает вид

<Р\ф> = <0Ю(7.18')

и обобщает свойство (2.26) скалярного произведения.

Чтобы определить обобщенные собственные векторы, участвующие в спектральном разложении (4.4в), необходимо рассмотреть линейные операторы на Ф. Мы будем рассматривать только непрерывные на Ф операторы. По аналогии с определением непрерывного функционала будем говорить, что оператор Л : Ф — Ф непрерывен тогда и только тогда, когда для любой сходящейся последовательности из

фф

Ф„-» Ф следует Аф, -* Аф.

Таким образом, понятие непрерывности зависит, как и все топологические понятия, от определения сходимости. Оператор, являющийся непрерывным в смысле Ф-сходимости, не обязательно является непрерывным в смысле ^-сходимости. (Многие физические наблюдаемые не могут быть реализованы непрерывными операторами в гильбертовом пространстве <#\ но реализуются непрерывными операторами на Ф.)

Для любого непрерывного линейного оператора Л на Ф можно определить сопряженный оператор Лх на Фх соотношением

<0|ЛХ|^> = <Аф\Е>.(7.19)

Можно показать, что А х является непрерывным линейным оператором на Ф х. Гем самым построено обобщение на случай гильбертова пространства самосопряженного оператора, определенного соотношением (см. разд. 1.3)

(Ф, Л1/) = (Аф, Л Для всех ф€ Ф(7.20)

(который в общем случае не определен для всех/ е^).

Если рассмотреть два оператора Л и Л, где А определен на подпространстве того пространства, на котором задан А, и имеет место свойствоЛф = Аф для всех ф е подпространство, то можно записать Л С Л и назвать А расширением оператора А. Для оператора Л на Ф, являющегося самосопряженным и обладающего од-

позначным самосопряженным ^ расширением А в Л? имеем тройку операторов:

АСА=А^САХ(7.21)

на тройке пространств

Ф С ХСФХ.

Функционал F на Ф называется обобщенным собственным вектором оператора Л на Ф с собственным значением ш тогда и только

тогда, когда

<Аф\Р> = ы<ф\Р> для всех ф € Ф.(7.22)

Обобщенный собственный вектор F обозначается также

\F> = |со>.(7.23)

Другая эквивалентная форма записи условия (7.22)

А х|ш> = ш|ш>,(7.24)

часто записывается в виде

Л|ш> = ш|ш>.(7.25)

Если F / е Л^, то (7.22) принимает вид

(Аф, f) = (ф, A^f) = ш(ф, /) для всех ф € Ф, (7.26) что для самосопряженного А (поскольку Ф плотно в ) эквивалентно определению собственного вектора (см. (3.66)):

А/= ш/.(7.27)

Следовательно, определение (7.22) обобщенного собственного вектора и его обобщенного собственного значения есть обобщение

^ Оператор, определенный на Ф, являющийся по определению в разд. 1.3 эрмитовым на Ф и обладающий единственным самосопряженным расширением на Л^, называется существенно самосопряженным.

определения (7.27) обычного собственного вектора и собственного значения. Это обобщение не обязательно должно обладать всеми свойствами, присущими обычным собственным векторам и собственным значениям. В частности, величина w в (7.22) не обязательно является вещественной даже для (существенно) самосопряженного оператора А.

Собственные векторы 1х>, участвующие в разложении по непрерывным собственным векторам, являются обобщенными собственными векторами в смысле (7.22). Следовательно, компонента <х1ф> = ф(х) вектора ф е Ф вдоль базисного вектора 1х>, или значение функции ф в точке х, является величиной, комплексносопряженной значению функционала 1х> е Фх на векторе ф е Ф: <х1ф> = <ф1х>*. Используя (7.18), можно также сказать, что <х1ф> есть значение функционала ф е Фх х = Ф на векторе <х I еФх.

КАК БУДУТ ИСПОЛЬЗОВАТЬСЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЕПОНЯТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ

В заключение приведем таблицу, в которой указано соответствие между математическими объектами, описанными в главе, и физическими величинами. Установить, пояснить и использовать это соответствие — задача последующих глав настоящей книги.

Математический объектМатематический объектФизическая величинаФизическая величина

Математический объект

Математический объект

Физическая величина

Физическая величина

Вектор феФ (по модулю фазового множителя)Линейный оператор А на ФСобственные значения (спектр) АСобственный вектор IX) оператора А с собственным значением XОбобщенный собственный вектор 1Х> оператора А с вещественным собственным значением XОбобщенный собственный вектор 1ш> оператора А с комплексным собственным значением ш = Е - /Г/2Скалярное произведение (XI ф), где 1Х)еФ, феФВектор феФ (по модулю фазового множителя)Линейный оператор А на ФСобственные значения (спектр) АСобственный вектор IX) оператора А с собственным значением XОбобщенный собственный вектор 1Х> оператора А с вещественным собственным значением XОбобщенный собственный вектор 1ш> оператора А с комплексным собственным значением ш = Е - /Г/2Скалярное произведение (XI ф), где 1Х)еФ, феФЧистое физическое состояниеФизическая наблюдаемаяЗначения, получаемые при измерении наблюдаемой АСостояние, в котором измерение А дает значение X, собственное состояние, связанное состояниеСостояние рассеянияЧистое физическое состояниеФизическая наблюдаемаяЗначения, получаемые при измерении наблюдаемой АСостояние, в котором измерение А дает значение X, собственное состояние, связанное состояниеСостояние рассеянияРезонансное состояние с энергией Е и шириной ГАмплитуда вероятностиРезонансное состояние с энергией Е и шириной ГАмплитуда вероятности

Вектор феФ (по модулю фазового множителя)

Линейный оператор А на Ф

Собственные значения (спектр) А

Собственный вектор IX) оператора А с собственным значением X

Обобщенный собственный вектор 1Х> оператора А с вещественным собственным значением X

Обобщенный собственный вектор 1ш> оператора А с комплексным собственным значением ш = Е - /Г/2

Скалярное произведение (XI ф), где 1Х)еФ, феФ

Вектор феФ (по модулю фазового множителя)

Линейный оператор А на Ф

Собственные значения (спектр) А

Собственный вектор IX) оператора А с собственным значением X

Обобщенный собственный вектор 1Х> оператора А с вещественным собственным значением X

Обобщенный собственный вектор 1ш> оператора А с комплексным собственным значением ш = Е - /Г/2

Скалярное произведение (XI ф), где 1Х)еФ, феФ

Чистое физическое состояние

Физическая наблюдаемая

Значения, получаемые при измерении наблюдаемой А

Состояние, в котором измерение А дает значение X, собственное состояние, связанное состояние

Состояние рассеяния

Чистое физическое состояние

Физическая наблюдаемая

Значения, получаемые при измерении наблюдаемой А

Состояние, в котором измерение А дает значение X, собственное состояние, связанное состояние

Состояние рассеяния

Резонансное состояние с энергией Е и шириной Г

Амплитуда вероятности

Резонансное состояние с энергией Е и шириной Г

Амплитуда вероятности

Математический объект

Физическая величина

Квадрат его модуля 1(X 1 ф)12

Вероятность получения значения X при измерении наблюдаемой А в физической системе в состоянии ф

Функционал <Х1ф>

Квадрат его модуля 1< X1ф>12

Волновая функция

Плотность вероятности получить значение X для наблюдаемой А в физической системе в состоянии ф

Диагональный матричный элемент или среднее (ф, Аф)

Среднее значение, возникающее при измерении А в состоянии ф

Матричный элемент (ф, Аф)

Квадрат его модуля 1(ф, Лф)12

Амплитуда перехода Вероятность перехода, вызванного А,

из состояния ф в состояние ф

Глава II

Основы квантовой механики.Гармонический осциллятор

В этой главе, самой большой в книге, вводятся и затем иллюстрируются, главным образом на примере гармонического осциллятора, три основных предположения (постулата) квантовой механики. Хотя в текст включено несколько исторических замечаний, изложение не следует ни историческому, ни какому-либо другому эвристическому способу изложения квантовой механики. Основные предположения формулируются, объясняются и применяются на практике. В разд. II.2, II.4 вводятся основные постулаты; в разд. II.3, II.5, II.7 они иллюстрируются на примере гармонического осциллятора. Разд. II.6 посвящен выводу некоторых общих следствий основных предположений; он может быть опущен при первом чтении. В разд. II.8 дано обсуждение непрерывного спектра, важное для описания явлений рассеяния и распада во второй части книги. Несколько замечаний в тексте главы посвящено конкретным проблемам, связанным с понятиями обобщенных собственных векторов и с нашей единообразной трактовкой непрерывного и дискретного спектров. В разд. II.9 мы готовы к объяснению физического смысла квантовомеханической постоянной природы И.

. ВВЕДЕНИЕ

Физики говорят, что в мире или в каждой ограниченной его части существует нечто, что может быть «понято»; что в природе существует структура. «Понять» — значит соотнести эту структуру с некоторой структурой в нашем сознании, структурой мысленного образа, структурой, порожденной нашим сознанием. В физике эта структура мысленного объекта есть математическая структура. Тогда понять часть физического мира означает отобразить его структуру на математическую структуру. Построить физическую теорию означает, следовательно, построить математический образ физической системы, под которой понимается любая ограниченная соответствующим образом область физического мира (например,

атом, или лишь набор его подсостояний, или все атомы и молекулы).

В области квантовой физики математическими структурами являются алгебры операторов в линейных пространствах. Это открытие, понимание фундаментальных алгебраических свойств и других основных предположений квантовой механики было исключительно трудным процессом, историю которого мы не хотим здесь описывать. Гораздо легче начать с основных предположений и показать, что вытекающие из них следствия действительно описывают некоторую часть природы. Именно этот путь мы и выберем.

ПЕРВЫЙ ПОСТУЛАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

. Физической наблюдаемой, определенной предписанием способа ее измерения, отвечает линейный оператор^ в линейном пространстве. Математическим образом физической системы является операторная *-алгебра в линейном пространстве со скалярным произведением ^ Эта алгебра генерируется некоторыми фундаментальными физическими величинами, причем умножение определяется алгебраически.

Смысл этого постулата станет понятным только после того, как’ читатель увидит его в действии в нескольких конкретных физических примерах. Этот постулат, являясь результатом долгого и трудного процесса размышлений, есть одно из самых выдающихся научных достижений.

Элементы алгебры — линейные операторы, представляющие физические наблюдаемые, не должны рассматриваться как нечто жестко заданное, такое как дифференциальные операторы, действующие на разумные функции. Скорее этот алгебраический символ обозначает нечто, определенное только его соотношением с другими такими же символами, выраженное в терминах математических операций, в которых эти символы участвуют. Поэтому отдельно взятый алгебраический символ бессодержателен; его свойства возникают только благодаря соотношениям между ним и всеми другими символами, и чем больше (независимых) соотношений налагается, тем более специфицированными становятся свойства математического объекта. Смысл алгебраического символа возникает в контексте использования алгебраического языка как целого.

В гл. XIX нам придется рассмотреть также полулинейные операторы.

1Ы .">

Для иллюстрации аксиомы (постулата) I используем один из простейших примеров — одномерный гармонический осциллятор. Одномерный гармонический осциллятор можно определить как физическую систему, математическим образом которой является алгебра операторов, генерируемая следующими эрмитовыми операторами:

Н, отвечающим наблюдаемой энергии,

отвечающим наблюдаемому импульсу,

отвечающим наблюдаемому положению.

[Л Q] = PQ - QP = -1,[Л Q] = PQ - QP = -1,(2.1а)(2.16)(2.1а)(2.16)Определяющие алгебраические соотношения, которым удовлетворяют эти операторы, имеют вид

[Л Q] = PQ - QP = -1,

[Л Q] = PQ - QP = -1,

(2.1а)

(2.16)

(2.1а)

(2.16)

2^2’

где h, ^ и ш — числа, / — единичный оператор, а / = V — 1. Физический смысл чисел д и ш определяется установлением соответствия с классической системой; это масса и угловая частота осциллятора, которые являются константами системы. Физический смысл универсальной постоянной Й1} обсуждается в разд. II.9.

Приведенные утверждения оправдываются тем, что в природе существуют физические системы, над которыми можно провести измерения, приводящие к значениям, которые можно вычислить с использованием приведенных выше предположений. Следовательно, можно сказать, что эти физические системы, являющиеся всегда «идеализированными физическими системами», имеют в качестве своего математического образа упомянутую математическую структуру. Название «гармонический осциллятор» для этой физической системы возникло из-за ее соответствия классической системе того же названия.

Классическая механическая система, называемая одномерным гармоническим осциллятором, имеет вид, представленный на рис. 2.1. Это две материальные точки с массами тх и т2, на которые вдоль соединяющей их линии действует сила F. Сила F пропорциональна разности между расстоянием г и равновесным рас-

'* Величина 2тгЙ = А называется постоянной Планка.

т2

Рис. 2.1. Модель одномерного осциллятора.

стоянием г0: F = — к(г — г0) = — кх,(2.2)

где х = г — г0. Потенциальная энергия этой системы имеет вид

V = л-^кх2,(2.3)

а кинетическая энергия равна где мы ввели приведенную массу - mim2п

и = (2.5)

mi + mi и приведенный импульс

р = ^-(2-6)

Следовательно, мы можем определить классический гармонический осциллятор как систему, потенциальная энергия которой пропорциональна квадрату отклонения от положения равновесия, или как систему с полной энергией

Е = рг + кх2.(2.7)

Как хорошо известно, такая физическая система является идеализацией механической системы, существующей в природе и состоящей из двух масс, соединенных пружиной (рис. 2.2). Такая система ос-

Рис. 2.2. Классический одномерный осциллятор.

циллирует с угловой частотой

ш = /-.(2.8)

Если, разрешив (2.8) относительно к, записать выражение (2.7) в терминах ш, то получим

Е = 1 „2 + Л2(2.9)

Это выражение в точности совпадает с одним из соотношений, определяющих квантовомеханический гармонический осциллятор. Важное различие состоит в том, что в классическом случае энергия Е, импульс р и координата х являются действительными числами, в то время как в квантовомеханическом случае этим величинам отвечают соответственно операторы Н, Р и Q.

Для действительных чисел а и b всегда справедливо равенство ab — Ьа = 0; таким образом,

рх — хр = 0.(2.10)

В общем случае для операторов А и В имеем АВ — ВА * 0, т. е. операторы, вообще говоря, не коммутируют. Для частного случая операторов импульса и координаты имеет место соотношение (2.1а).

Фундаментальные уравнения, подобные (2.1а) и (2.16), не могут быть выведены; их справедливость можно только предположить. Это верно не только для квантовой механики, но и для классической физики. Так, выражение (2.9) по существу следует из предположений, восходящих к Ньютону.

Процесс выработки исходных предположений в физической теории можно описать следующим образом. Сначала изучают экспериментальные данные в некоторой области физики, например в атомной физике. Затем пробуют построить математическую структуру, используя которую можно вычислить численные значения, согласующиеся с экспериментальными данными. Алгебра операторов, заданная соотношениями (2.1), является такой математической структурой для квантовомеханического гармонического осциллятора. Сделать предположение (2.16) нетрудно, поскольку оно получается из соответствия с классическим выражением. Физический смысл постоянных системы д и ш следует из аналогии с классическим случа-

ем. Но предположение (2.1а) не является столь же простым. Замена классического соотношения (2.10) квантовомеханическим соотношением (2.1а) и как следствие понимание того, что квантовомеханические наблюдаемые реализуются не вещественными числами, а операторами, было одним из величайших научных достижений. Соотношение (2.1а) называется (каноническим) коммутационным соотношением Гейзенберга. Физический смысл этого соотношения станет ясен после изучения его следствий в последующих разделах.

Поскольку мы не хотим излагать квантовую механику, следуя историческому пути, мы приведем лишь краткий и неполный набросок мотивов, приводящих к соотношению (2.1а). Было известно, что атомы испускают свет с дискретными частотами. В то время, когда происходили события, приведшие к выводу соотношения (2.1а), атом представляли себе как систему из положительно заряженного ядра очень малого радиуса и отрицательно заряженных электронов, вращающихся вокруг него на расстоянии порядка 10“8 см. Описание такой системы в рамках классической физики приводило к дилемме. Вращающийся, а следовательно, движущийся с ускорением электрон должен излучать с непрерывной потерей им энергии и непрерывным изменением частоты испущенного излучения, пока, наконец, он не упадет на ядро, причем это произойдет очень быстро. Это противоречило экспериментальной ситуации, свидетельствовавшей о стабильности атомов, а также тому, что частота испущенного излучения может иметь только некоторые дискретные значения (спектральные линии), которые характеризуют атом. Таким образом, классическая теория не могла описать наблюдения в атомной области при сохранении описанной картины атома. Отказаться от картины миниатюрной планетарной системы для атомов не хотели, тем более что, заменяя гамильтониан другим классическим гамильтонианом, невозможно добиться получения только дискретных значений. Чтобы, используя гамильтониан, получать только дискретные значения, на классическую теорию были наложены дополнительные условия, которые не только не дополняли ее, но и находились с ней в противоречии. Это была так называемая «старая квантовая теория» (Бор).

Квантовая механика родилась с появлением идеи Вернера Гейзенберга и Макса Борна (1925 г.), а также Эрвина Шредингера (1926 г.) интерпретировать гамильтониан как математическую величину, которая может принимать только дискретные

значения. Из анализа гармонического осциллятора Гейзенберг и Борн и Йордан заключили, что, для того чтобы энергия принимала дискретный ряд значений, импульс и координата должны выражаться матрицами^

где hrh = h — постоянная Планка. Шредингер исходил из неполной теории, принадлежащей де Бройлю, согласно которой свободные частицы должны дифрагировать подобно свету и, следовательно, должны описываться волновой функцией, удовлетворяющей волновому уравнению. Из этого он заключил, что импульс должен быть дифференциальным оператором

р = -— ,(2.13)

i дх

действующим на волновую функцию. Как идея Гейзенберга, так и идея Шредингера приводили к соотношению (2.1а); вскоре после того, как обе формулировки стали известны, было показано, что они представляют собой различные реализации одной и той же математической конструкции, а именно линейных операторов в линейном пространстве. Мы дадим краткое описание последующего развития событий в разд. П.52).

^ Это частное представление Р и Q как матриц операторов по отношению к некоторому базису векторов в пространстве со скалярным произведением выводится в разд. II.3.

2> В книге имеется несколько замечаний на исторические темы. Описание исторического развития см., например, в книге [6].

Квантовомеханический гармонический осциллятор является идеализацией природных микрофизических систем; например, двухатомные молекулы являются при некоторых условиях квантовомеханическими гармоническими осцилляторами. Простейшая возможная геометрическая (классическая) картина двухатомной молекулы — два атома с массами тх и т2, соединенных друг с другом действием упругой силы.

Между описанием на обычном повседневном языке физических систем, идеализацией которых является классический гармонический осциллятор, и квантовомеханического гармонического осциллятора имеется существенное различие. Обычный язык дает вполне адекватное описание классических систем, например двух массивных тележек, соединенных пружиной. Вместе с тем обычный язык непригоден для описания квантовомеханических систем. Квантовомеханический гармонический осциллятор наилучшим образом описывается математической структурой, заданной в (2.1а), (2.16). В этом и заключается оправдание данного выше определения и предложений, приводящих к нему.

Процедура угадывания математических соотношений, описанная выше для гармонического осциллятора, применима для столь многих микрофизических систем, что мы сформулируем ее еще раз:

Рассматриваем классическую модель микрофизической системы и выражаем наблюдаемые как функции координат и импульсов.

Заменяем действительные числа, отвечающие значениям импульса р и координаты х в выражениях для других классических наблюдаемых, эрмитовыми операторами Р и Q соответственно. Операторы Р и Q удовлетворяют коммутационному соотношению Гейзенберга, и с их помощью генерируется алгебра наблюдаемых квантовомеханической системы.

Не все классические наблюдаемые могут быть выражены через импульсы и координаты: например, собственный угловой момент, или спин, волчка не выражается через импульс и координату волчка. Для таких наблюдаемых приведенная процедура установления соответствия между классическими и квантовомеханическими наблюдаемыми должна быть обобщена. Мы можем дать не вполне строгую формулировку этой процедуры: при переходе от математического описания классической системы к математическому описанию соответствующей квантовой системы мы заменяем числовые величины, отвечающие классическим наблюдаемым, операторами, отвечающими соответствующим квантовым наблюдаемым. Математические свойства этих операторов определяются математическими (в частности алгебраическими) соотношениями между ними.

Эти соотношения между наблюдаемыми определяются соотношениями между классическими наблюдаемыми и некоторыми дополнительными соотношениями, уточняющими возникающую неком- мутативность. Такие соотношения часто можно получить по аналогии с уже известными соотношениями для сходных величин.

Существует (например, в физике элементарных частиц) много квантовомеханических наблюдаемых, не имеющих классических аналогов. Определяющие соотношения для этих наблюдаемых могут быть построены только феноменологически путем сравнения следствий из этих соотношений с экспериментальными данными.

Мы обсудим много примеров процедуры установления соответствия. Выбор соотношений редко может быть сделан единственным образом, и окончательным оправданием определяющих соотношений, как и любых фундаментальных теоретических предположений, является их способность согласовать теоретические предсказания с экспериментальными данными.

Представление физических наблюдаемых операторами ставит проблему соотнесения этих математических объектов с экспериментальными данными, которые являются числами. Решение этой задачи дается набором дальнейших фундаментальных предположений, или аксиом, которые дают реальную интерпретацию квантовой механики. Мы введем эти аксиомы тогда, когда они нам понадобятся.

АЛГЕБРА ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

Дадим теперь математическое описание квантовомеханического гармонического осциллятора. Чтобы определить математические свойства алгебры гармонического осциллятора, надо узнать, как операторы из этой алгебры действуют на векторы пространства Ж Чтобы это выяснить, введем новые операторы а и а* (сопряженный с or):

(3.1)(3.1)

(3.1)

(3.1)

Введем также новый оператор

N = а^а,(3.2)

являющийся эрмитовым. Подстановка выражений (3.1) в (3.2) дает ^^е2^/2-^ <ре-ер>- <3-3»

Используя соотношения (2.1), получаем

N = Л н - i 1.(3.4)

tun 2

Подобным же образом вычислим

Таким образом, как следствие канонического коммутационного соотношения (2.1а) мы получаем для а и а* коммутационное соотношение

[а, а1] = аа1 — а^а = /.(3.6)

Мы можем, далее, выразить оператор энергии Н через а и ^ и получить:

Н = hwa^a + ^ / = ho^N + |/).(3.7)

Мы хотим теперь найти собственные векторы и собственные значения операторов Н и N. Поскольку собственные векторы оператора N являются одновременно собственными векторами оператора Н, достаточно найти все собственные векторы оператора N.

Предположим, что в ^существует по крайней мере один собственный вектор N, и обозначим соответствующее собственное значение через X. (Это предположение не является тривиальным, поскольку существует много операторов, не имеющих собственных векторов в Ж На самом деле без этого дополнительного предположения уравнение (2.1а) противоречиво.) Пусть <рх — собственный вектор, тогда

N<Px = ^<Px-(3.8)

Вычислим теперь, используя уравнение (3.6), Na«px:

Na<px = (a^aq^ = (аа1 - 1)афх = а(л*а - 1)фх

= a(N - 1^фх = а(Х - 1)<рА = (А - 1)афх.

Таким образом,

N^x) = (Л - \Хафх\(3.9)

так что либо а<рх = 0, либо а<рк есть собственный вектор оператора N с собственным значением X — 1. Предположим, что имеет место последний случай. Тогда мы можем определить

Фх-1=афл-(3.10)

Повторяя проведенное вычисление с <рх _ р находим, что

Фл_2=иифл(3.11)

является либо нулевым вектором, либо собственным вектором с собственным значением X — 2. Мы можем продолжать таким же образом и получить набор векторов

Фх-т = ятф2 (т = О, 1. 2,...),(3.12)

являющихся собственными векторами оператора N с собственными значениями (X — т\ пока <рх _ т Ф 0.

Подобным же образом вычислим N(a^ <рх) и получим

^Ч) = а + D(«W(3.13)

(3.14)(3.15)(3.16)(3.14)(3.15)(3.16)Следовательно, у>х+1 ■ а+фх есть либо нулевой вектор, либо собственный вектор N с собственным значением X 4- 1. Легко показать, что всегда имеет место ^х+1 * ^ Предположим, что а^фх = 0. Это означает, что

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

Ца^Л = о.

Но

Ца^л1|2 = <^Фх' а'фх\

и по определению ^ф^а^ф^ = ^ф^аа^ф^.

Из коммутационных соотношений между а и ^ имеем

<Фх,аа^фк^ = (Фх. ^аф2) + (Фх, ф,)= Ця<Рл1|2 + ll^ll2 > °’

так как <рх Ф 0. Таким образом, ^х+1 всегда является собственным вектором оператора N с собственным значением X 4- 1. Повторяя снова описанную процедуру, получаем последовательность векторов <рх + п (п = 0, 1, 2, ...), являющихся собственными векторами оператора N с собственными значениями X + п. Как следует из приведенного доказательства, они никогда не равны нулю.

Найдем теперь, при каких условиях <рх_т становится нулевым вектором. Вычисляем

(фх-т, Nфx_m^ = (А — т^фх-т, Фх-т) = U - m)ll<PA-mll2,

<Фх-т» Nфx-m) = (фх-т^ а^Фл-т) = II ti<P а - тИ 2 *

Поскольку норма всегда неотрицательна, отсюда следует, что

Л - mЦ 2°-(3-18)

Таким образом, последовательность собственных векторов Фх_т должна обрываться за конечное число шагов, и должен существовать вектор <р0 такой, что

аф0 = 0.

Вектор <р0 является собственным вектором оператора N с нулевым собственным значением, так как N<p0 = а^а<р0 = а+0 = 0. Определим теперь нормированные векторы

0 к„И

Фх = С^ф0,р 19)

Фп = Сп^Уф0

Из проведенного рассмотрения мы знаем, что векторы фп являются собственными векторами оператора N с собственным значением п и Сп выбраны так, чтобы нормировать фп. Следовательно, имеем

Коэффициенты Сп вычисляются следующим образом: из уравнений (3.20) и (3.19) находим

1 - ll^l^-Wo.o’-^ICJ2,

Н° (а'"фо-«”Фо) = тгЛ-р^ф„-1.аЧ„-1Х так что

IC I2

IСл-1 I

Используя уравнение (3.6), получаем

1 =^4(ф,-„(0*0+ 1)^-,)

I п- 1 I

-tH^i^-xAN + 1)0.-,)

IС л- 1 I

I2

IС П- 1 I

следовательно, Сп должны быть выбраны так, что

и|С„|2 = IQ.J2.(3.21)

Поскольку вектор ф0 нормирован, Со = 1, и одно из решений уравнения (3.21) имеет вид

с = А <з-22>

Существуют другие решения уравнения (3.21), отличающиеся от (3.22) множителем, равным по модулю 1; мы выбираем решение (3.22).

Мы можем суммировать изложенное следующим образом. Начинаем с нормированного вектора ф0 е Ж, обладающего следующим свойством:

Затем действуем на ф0 оператором ^, получая набор собственных векторов оператора N

Фп = "^V^0’(3.24)

с собственными значениями п = 0, 1, 2, ... . Эти собственные векторы нормированы как описано выше, и они ортогональны между собой как собственные векторы эрмитова оператора, отвечающие различным собственным значениям (см. задачу 1.4). Следовательно, имеем соотношения ортогональности

(Ф^Фп-) = \пч(3.25)

и фп образуют ортонормированную систему векторов в Л^ Действие операторов а, d на этой ортонормированной системе определяется формулами

аФп = ^пфп-!,

а'Ф„ = V^TT^+1.<3 26)

Из-за этого свойства а называется оператором уничтожения, а а^ — оператором рождения. Оба они часто называются лестничными операторами. Все элементы алгебры гармонического осциллятора, являющиеся функциями от а и а\ определены на элементах этой ортонормированной системы. Рассмотрим совокупность векторов

Ф = 1>«Фп>(3.27)

где ал — комплексные числа и суммирование производится по произвольно большому, по конечному набору п. Эта совокупность векторов образует линейное пространство, называемое пространством, натянутым на векторы фп. Мы будем обозначать это пространство через Л^или через Ф, когда мы не учитываем детали.

^Точнее, пространство всех ф = Ц”=оапфп, для которых £ ”=01 ап I2 < оо, будет обозначаться(для гильбертова про

странства), а пространство всех ф, для которых Е”=о 1 “„ |2(л + 1)р < оо для всех р = 0, 1, 2, ..., будет обозначаться Ф. Очевидно,

Ф <= ^(3.28)

Преимущество Ф перед ^состоит в том, что все отвечающие наб-

людаемым операторы могут быть определены на всем пространстве Ф, но не на всем пространстве Ж Поэтому, хотя оба пространства Ф и ^ являются математическими обобщениями, Ф более удобно для физики. J

Так как все наблюдаемые являются функциями от а и а\ а а и а" известны из (3.26) и (3.27) для всех ^, все наблюдаемые для квантовомеханического осциллятора в принципе известны на Ф. Таким образом, задача выяснения математических свойств алгебры гармонического оператора в основном решена.

Вычислим диагональный матричный элемент оператора энергии Н между векторами фп для фиксированного п. Используя уравнения (3.7) и (3.20), получаем

Нфп = hco(N + ^)фп = ha>(n + ^)фп и

(Фп. НФп) = МФп. ^Фп) + МФп. гФп) (3*29) = h<o(n + |)|0„|2 = ha)(n + |).

Назовем эту величину Еп:

Еп = hoXn + |); (з.зо)

Еп являются собственными значениями оператора Н. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора. Спектр (Ел1л = 1, 2, ...} оператора Н— это энергетический спектр гармонического осциллятора.

СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИДАННЫМИ И КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИМИ

НАБЛЮДАЕМЫМИ

Теперь мы сформулируем фундаментальную аксиому квантовой механики, устанавливающую соответствие между оператором, отвечающим наблюдаемой, и экспериментально измеряемыми значениями этой наблюдаемой. Прежде чем это сделать, отметим некоторые фундаментальные различия экспериментальных свойств классического гармонического и квантовомеханического осцилляторов.

Рассмотрим классическую схему на рис. 2.1. Предположим, что система не имеет собственной энергии, т. е. в ней отсутствуют колебания (она колеблется с нулевой амплитудой). В системе могут быть возбуждены колебания, например,если в одну из масс ударяет другое налетающее массивное тело. Осциллятор может колебаться с произвольной амплитудой, зависящей от величины сообщенной

ему энергии, которая в свою очередь зависит от импульса налетающего тела. Следовательно, можно подобрать такое налетающее тело, что в классическом осцилляторе возбудятся колебания с любой желаемой энергией Е. Энергия дается формулой

Е = Ш2, (4.1) где а — амплитуда колебаний:

x(r) = a sin(cor + 60).

Если классический гармонический осциллятор реализован в виде двух массивных тележек (см. рис. 2.2), система может быть возбуждена, например, ударом в одну из тележек третьей тележки, обладающей нужным импульсом.

Для квантовомеханического гармонического осциллятора ситуация совершенно иная. Чтобы это увидеть, рассмотрим аналогичный эксперимент с микрофизической системой. Как это типично для экспериментов с микрофизическими системами, мы имеем дело не с одной системой, но с ансамблем систем, т. е. с набором систем, являющихся в некотором смысле идентичными. Ансамбль микрофизических гармонических осцилляторов, используемый в описываемом эксперименте, — это газ молекул СО, а электронный пучок служит в качестве ансамбля бесструктурных налетающих частиц.

Примечание. Необходимо помнить, что утверждение о бес- структурности физической системы не имеет универсального смысла. Любая система при определенных условиях может рассматриваться как бесструктурная, а при других не может. Например, в области, в которой справедлива кинетическая теория газов, молекулы могут рассматриваться как бесструктурные объекты, в то время как при более высоких энергиях они проявляют наличие структуры. Электрон может рассматриваться как не имеющий «энергетической структуры» при всех доступных в настоящее время энергиях.

Эксперименты такого типа называют экспериментами на энергетические потери; они базируются на первом эксперименте, выполненном Франком и Герцем в 1914 г.

На рис. 4.1 показана общая схема таких экспериментов. Пучок электронов, выходящий из монохроматора’) и имеющий очень ма-

’’ Монохроматор — устройство, приготавливающее пучок с очень хорошо заданным импульсом и, следовательно, с хорошо определенной кинетической энергией. Анализатор — устройство того же типа, но используемое в других целях.

Рис. 4.1. Схема эксперимента с потерей энергии.Рис. 4.1. Схема эксперимента с потерей энергии.

Рис. 4.1. Схема эксперимента с потерей энергии.

Рис. 4.1. Схема эксперимента с потерей энергии.

лый разброс по энергиям Ее, входит в столкновительную камеру, наполненную ансамблем молекул СО (или любых других физических объектов, структура которых исследуется), поддерживаемым при низкой температуре. Некоторые электроны рассеиваются в анализатор, фокусирующий на детектор только электроны с определенной энергией Ее,. (Типичное разрешение по энергиям от 0,005 до 0,05 эВ; в конкретном эксперименте, представленном на рис. 4.2, а, оно равно 0,06 эВ.) Энергия Ее., селектируемая анализатором, может меняться, так что допустимо измерять интенсивность I (электронный ток в детекторе) потока электронов как функции переданной энергии Е = Ее — Ее,.

МонохроматорМонохроматорЭлектронный коллекторЭлектронный коллекторРис. 4.2. а — схема двойного электростатического анализатора. Электроны испускаются покрытой торием иридиевой нитью. Они проходят между цилиндрическими сетками, обладая энергией порядка 2,05 эВ, ускоряются и направляются в камеру столкновений, где встречаются с пучком молекул. Электроны, рассеянные в заданный вторым электростатическим анализатором угловой интервал, проходят между цилиндрическими решетками с энергиями от 0 до - 2 эВ; они попадают через выходную щель во вторую камеру и падают на электронный умножитель. б — энергетический спектр рассеянных электронов в СО при начальной энергии электронов 2,05 эВ.Рис. 4.2. а — схема двойного электростатического анализатора. Электроны испускаются покрытой торием иридиевой нитью. Они проходят между цилиндрическими сетками, обладая энергией порядка 2,05 эВ, ускоряются и направляются в камеру столкновений, где встречаются с пучком молекул. Электроны, рассеянные в заданный вторым электростатическим анализатором угловой интервал, проходят между цилиндрическими решетками с энергиями от 0 до - 2 эВ; они попадают через выходную щель во вторую камеру и падают на электронный умножитель. б — энергетический спектр рассеянных электронов в СО при начальной энергии электронов 2,05 эВ.Напряжение развертки, В Потери энергии, эВНапряжение развертки, В Потери энергии, эВ

Монохроматор

Монохроматор

Электронный коллектор

Электронный коллектор

Рис. 4.2. а — схема двойного электростатического анализатора. Электроны испускаются покрытой торием иридиевой нитью. Они проходят между цилиндрическими сетками, обладая энергией порядка 2,05 эВ, ускоряются и направляются в камеру столкновений, где встречаются с пучком молекул. Электроны, рассеянные в заданный вторым электростатическим анализатором угловой интервал, проходят между цилиндрическими решетками с энергиями от 0 до - 2 эВ; они попадают через выходную щель во вторую камеру и падают на электронный умножитель. б — энергетический спектр рассеянных электронов в СО при начальной энергии электронов 2,05 эВ.

Рис. 4.2. а — схема двойного электростатического анализатора. Электроны испускаются покрытой торием иридиевой нитью. Они проходят между цилиндрическими сетками, обладая энергией порядка 2,05 эВ, ускоряются и направляются в камеру столкновений, где встречаются с пучком молекул. Электроны, рассеянные в заданный вторым электростатическим анализатором угловой интервал, проходят между цилиндрическими решетками с энергиями от 0 до - 2 эВ; они попадают через выходную щель во вторую камеру и падают на электронный умножитель. б — энергетический спектр рассеянных электронов в СО при начальной энергии электронов 2,05 эВ.

Напряжение развертки, В Потери энергии, эВ

Напряжение развертки, В Потери энергии, эВ

Е,-

—L

А£ £, £о

Рис. 4.3. Диаграмма уровней энергии гармонического осциллятора.

Результат реального эксперимента, выполненного на аппаратуре, схематически изображенной на рис. 4.2, о, где использовались двухатомные молекулы СО, показан на рис. 4.2,6 [7]. Мы видим наличие максимума при передаче энергии Ео = Ее — Ее, = 0, т. е. большая часть электронного тока е не теряет энергии (упруго рассеянные электроны). Далее, мы видим относительный максимум интенсивности для электронов, которые теряют энергию Ех ( = 0,26 эВ); это означает, что значительная часть электронов, обладающих энергией Ее, неупруго передает энергию молекулам СО. Третий пик интенсивности имеет место при передаче энергии Е2 = 2ЕХ и т. д. В целом рис. 4.2 показывает, что ток рассеянных электронов е* является смесью электронов, передавших молекулам СО одно из восьми возможных дискретных значений энергии Ео, Ех, Е2, ..., Е7 при и = 0, и = 1, ..., v = 7 соответственно.

Из этого эксперимента^ мы делаем заключение, что молекулы СО не могут возбуждаться до произвольной энергии. Допустимо только дискретное число уровней энергии, т. е. физическая система имеет дискретное число энергетических уровней. Эта ситуация отражена на диаграмме энергетических уровней (рис. 4.3). В рассматриваемом частном случае осциллирующей молекулы диаграмма уровней энергии, как можно видеть из экспериментальных результатов на рис. 4.2,6, состоит из набора эквидистантных уровней.

Из рис. 4.2,6 видно, что это утверждение лишь приблизительно верно и расстояние между энергетическими уровнями на самом деле убывает с ростом энергии. Это рассогласование отражает ограниченную применимость гармонического осцилля-

^ Многократным рассеянием электронов на молекулах СО можно пренебречь, поскольку интенсивность электронного потока в и плотность молекул СО сравнительно низки.

тора как модели осциллирующей молекулы. Ниже мы обсудим поправки к этой модели.

Сравнивая этот экспериментальный энергетический спектр с результатом уравнения (3.29), мы видим, что они согласуются, если положить ДЕ = кы для разности энергий двух соседних энергетических уровней. Таким образом, диагональный матричный элемент (фп, Нф^ дает возможные уровни энергии квантовомеханического осциллятора (т. е. осциллирующей молекулы) с точностью до общей постоянной. Мы интерпретируем эту ситуацию следующим образом: налетающая частица (электрон) возбуждает гармонический осциллятор (осциллирующую молекулу) до какого-то одного состояния из дискретного набора состояний, описываемых фп. Если возбуждения не происходит, гармонический осциллятор остается в основном состоянии, описываемом ф0. Если бы все электроны, проходящие через газ, теряли одинаковую энергию, т. е. если бы на экспериментальной кривой был только один пик при и = л0, то ансамбль молекул, с которыми сталкиваются электроны, описывался бы один из фп, скажем фп^. В этом случае мы бы сказали, что ансамбль молекул СО находится в чистом состоянии фп^. Это часто выражают словами «все молекулы имеют энергию ЕПо». Результаты, приведенные на рис. 4.2,6, показывают, что изучаемый ансамбль молекул (т. е. те молекулы, которые испытали столкновение с электронами, рассеянными на угол настройки анализатора, который в эксперименте, иллюстрируемом рис. 4.2,6, примерно равен 72° от направления электронного пучка) не находится в чистом состоянии, поскольку потери энергии электронами равны не одному значению ЕПо, а набору значений Ео, Ех, Е2, ..., Е7. Такой ансамбль молекул находится в смешанном состоянии, или состояние ансамбля представляет собой смесь состояний. Эта смесь может быть описана набором векторов ф0, фх, ф2 ..., фп и совокупностью чисел (относительных вероятностей) w0, Wp ..., wn, ..., где wn выбирается пропорциональным высоте hn пика, отвечающего энергии Еп, а нормировочное условие имеет вид

н" = L (4.2)

Таким образом, можно мысленно представлять себе ситуацию со смешиванием как совокупность N молекул, где Nn = wnN— число молекул с энергией Еп в ансамбле. Если бы можно было взять одну молекулу из ансамбля, то величина wn была бы вероятностью того, что эта молекула обладает энергией Еп. Но полное динамическое описание одного представителя микрофизической системы

дать невозможно. Величина wn измеряется по относительной интенсивности потока электронов, потерявших энергию Еп и, следовательно, представляет собой утверждение относительно большого числа индивидуальных представителей.

Прежде чем мы дадим точное описание смешанного состояния, приведем альтернативное описание чистого состояния. Чтобы это сделать, потребуются дополнительные сведения из математики, которые приводятся ниже.

[Оператор W называется положительным, если (ф, И^ф) ^ О для всех ф е Ж Эрмитов оператор Р называется проекционным оператором, или проектором, тогда и только тогда, когда Р2 = Р.

Легко видеть, что множество ^= {фе Ж; Рф = ф) является подпространством Я с Ж так как если ф, ф е Я, а а, /3 е С, то Р(аф 4- Зф) = аРф 4- 0Рф = аф -V 0ф, т. е. К замкнуто относительно умножения на число и сложения векторов. С другой стороны, К = | Рф:ф е Ж), поэтому мы пишем К = РЖ В качестве примера рассмотрим трехмерное евклидово пространство Ж= IR3, и пусть К — плоскость, проходящая через начало координат. Тогда для любого х g IR3 рассмотрим в качестве Рх обычную проекцию х на плоскость (рис. 4.4)

Два подпространства Хр Я2 £ Ж называются взаимно ортогональными, если для каждого ф g Kt и для каждого фе42 имеем (Ф, ф) = о. Множество К = f ф 4- ф:феЯ, и феЯ2} называется прямой суммой Л] и #2 и обозначается К = Я, © ^2- Подобным образом, рассматривая набор Яр Л2, Х3, ... взаимно ортогональных подпространств, можно образовать их прямую сумму: Я = £,©£,= I E,v,: ^еК ,.}.

Для заданного проектора Р, проектирующего на подпрост-

ранство К, оператор I — Р также является проектором. \Доказа- тельство*. поскольку Р2 = Р, имеем (/ — Р^ = /2 —IP — PI + + Р2 = I — Р — (Р — Р2) = I — Р.] Следовательно, оператор I — Р выделяет другое подпространство, которое мы обозначим Я1. Все векторы в Я 1 ортогональны к векторам из Я, поскольку если феКифеЯЛ,тоф = Рф и ф = (/ — Р)ф; используя определение (Pf = Р и Р2 = Р) проектора, имеем (ф, ф) = (Рф, (I - Р)ф) = (ф, Р(/ - Р)ф) = (ф, (Р - Р2)ф) = (ф, Оф) = 0. Так как для любого фе ^ мы можем записать ф = Рф + (/ — Р)ф, любой проектор Р задает декомпозицию Jf на взаимно ортогональные подпространства Л^ = Я ©Я1.

Для любого ф е ^ множество { аф: а е С) является одномерным подпространством ^ которое называется пространством, порожденным ф.

Наконец, при заданном в ^ базисе j ф^) определим след оператора А формулой

ТгЛ = 2 (Ф^ Афу). (4.3)

Можно показать (задача 19), что ТгЛ не зависит от выбора ортонормального базиса; ТгЛ не обязательно должен быть конечным. Обычно мы будем предполагать, что он конечен для всех операторов, след которых мы вычисляем. След обладает такими свойствами:

Тг(ЛР) = Тг(РЛ).(4.4а)

В общем случае

Тг(Л1Л2 ... Ап) = Тг(Л2Л3 ... A„Ai), (4.46)

Тг((Л + В)С) = Тг(ЛС) 4- Тг(РС).]]

Используем теперь эти новые математические понятия для описания гармонического осциллятора. Пусть

<0 — пространство, порожденное ф0, Я] — пространство, порожденное фр К2 — пространство, порожденное ф2,

^„ — пространство, порожденное ф„,

Тогда пространство ^есть ортогональная сумма

©Яп = ^(4.5)

л = 0

Пусть Лл (п = 0, 1,2...) — проекционные операторы, проектирующие на пространства Ки. Тогда операторная запись разложения

имеет вид

£ Л, = /.(4.6)

п = 0

Тем самым любой вектор /е ^ можно записать как сумму его компонент Ля/ в подпространствах Кп:

f =(4.7)

n = 0

Эквивалентным образом можно записать

/ = I ФАФ..Л = 1М><<Ш>>(4.8)

п = Ои = О

что в соответствии с (1.4.4г) означает, что фп образуют базис. Следовательно, Лл можно также записать в виде Лл = \фпУ<Фп1, а

можно записать в виде

1=1\Ф„ХФ.\-(4.9)

п = О

Мы часто будем обозначать проекционный оператор Л на одномерное подпространство, порожденное единичным вектором ф, через

Л = I^XiAI-(4.10)

Если мы подействуем оператором Н на произвольный вектор / и воспользуемся (4.9), то, как это следует из (3.29) и (3.30), получим

Hf = ^Н\Ф„ХФ„\Х> = У.ЕЖХФ„Ш.и=0и=0

Поскольку вектор / произволен, мы можем опустить его и записать

осОО(4.11)

Н- 1Е„\ф„> <ФЛ = ЕЕ.Л„.

и=0и=0

Это соотношение называется спектральным разложением оператора Н. Используя понятие следа, мы можем выразить значения

уровней энергии Еп = (фп, Нфп) в виде

(4.12)(4.12)Еп = Тг(ЯЛ„).

(4.12)

(4.12)

Доказательство. Поскольку

получаемполучаемМ.=М.=п = у, и / У,п = у, и / У,Тг(ЯЛп) = 1(фу,ЯЛпфу)Тг(ЯЛп) = 1(фу,ЯЛпфу)= У(фгНфХп-Е„.= У(фгНфХп-Е„.(4.13)(4.13)

получаем

получаем

М.=

М.=

п = у, и / У,

п = у, и / У,

Тг(ЯЛп) = 1(фу,ЯЛпфу)

Тг(ЯЛп) = 1(фу,ЯЛпфу)

= У(фгНфХп-Е„.

= У(фгНфХп-Е„.

(4.13)

(4.13)

Следовательно, состояние гармонического осциллятора с энергией Еп может быть описано вместо вектора фп проекционным оператором Ап. Понятно, что математический смысл Ап и фп различен. Оператор Лл определяет подпространство hn = Ап^ = = { Лп/1 / е Л^}, которое является одномерным подпространством, порожденным фп (одномерное подпространство часто называют лучом). Пространство hn содержит много нормированных векторов, в частности все те векторы, которые получаются умножением фп на фазовый множитель е*а где 0 ^ а ^ 2ir. (Множество всех векторов вида е,аф с ИфИ = 1 называют единичным лучом.)

Обычно предполагается, что чистое состояние физической системы описывается проекционным оператором Л на одномерное подпространство (или единичным лучом), а не вектором. Но часто не только Л, но и любой вектор фе Доказывают «состоянием» или «вектором состояния».

Результат, полученный в (4.12), не является общим, поскольку одномерный проекционный оператор Ап принадлежит к спектральному представлению Н. Встречаются случаи, когда наблюдаемая А измеряется в состоянии, которому отвечает одномерный проекционный оператор Л, не принадлежащий к спектральному представлению А (т. е. возможен случай, когда [Л, Л] Ф 0). Тогда «значение» наблюдаемой А в состоянии Л обозначается через < А >Л или просто < А > и определяется из измерений с использованием экспериментальных устройств, определяющих наблюдаемую А. Величину (А) можно получить следующим образом. Проводится серия из N измерений наблюдаемой А, т. е. либо измерение проводится над N идентичными системами, либо проводится N измерений над

одной и той же физической системой, обеспечивая одинаковость состояния системы перед каждым из измерений. Обозначим измерение в этом эксперименте значения наблюдаемой А через д0, ар ... ..., ап, ..., и пусть Nn — число измерений, давших значение ап. Тогда < А > есть среднее из этих измерений:

(4.14а)

при достаточно большом значении N (таком, что правая часть (4.14а) мало изменяется при возрастании Л/). Отношение wn = Nn/ N есть вероятность получения значения ап в одном измерении. Таким образом, < А > является экспериментально определенной величиной.

Операторы А и Л являются математическими величинами; А есть математический образ наблюдаемой, а Л — математический образ состояния. Если математический образ системы (т. е. теория системы) известен, то можно, в частности, вычислить Тг(ЛЛ), т. е. Тг(ЛЛ) — величина, вычисляемая в теории.

Второе фундаментальное предположение, или постулат, квантовой теории соотносит экспериментально определяемую величину А с теоретически вычисляемой величиной Тг(ЛЛ). Сформулируем его здесь для случая чистого состояния.

1Г. Чистое состояние физической квантовомеханической системы характеризуется проекционным оператором Л на одномерное подпространство Л ^(или самим одномерным подпространством). Среднее значение < А >, определенное в эксперименте, проведенном над физической системой в состоянии Л, связано с величиной Тг(ЛЛ) соотношением

<Л> = Тг(ЛА). (4.146)

Величина Тг(Л Л) (а также вследствие (4.146) и <Л>) называется средним значением наблюдаемой А в состоянии Л.

Для гармонического осциллятора в некотором чистом состоянии Л„, скажем в состоянии Л, (проекционный оператор на подпространство, порожденное ф,), измерение// всегда дает одно и то же значение. Следовательно,

<"> = 1^. = ^.. (4.15) Таким образом, в чистом состоянии Aj вероятность Wj появления

значения Ех равна и^ = 1, а вероятность всех остальных значений Wj = 0.

Чистое состояние Л называется собственным состоянием наблюдаемой А, или чистым собственным состоянием А, если одномерное пространство Л ^порождено собственным вектором ф наблюдаемой А. (Это определение собственных состояний А обобщено в разд. II.6 на случай состояний, не обязательно являющихся чистыми, т. е. не описываемых одномерными проекционными операторами.) Следовательно, чистое состояние Л, гармонического осциллятора является также собственным состоянием наблюдаемой Н, отвечающей энергии, т. е. чистым собственным состоянием Н. Вообще говоря, как мы узнаем ниже, система может находиться в чистом состоянии, описываемом одномерным пространством, а измерение значений некоторой наблюдаемой А, для которой рассматриваемое состояние не является чистым, по-прежнему даст различные значения ах, а2, ..., ап, .... В этом пункте квантовая механика разительно отличается от классических теорий. Ниже мы обсудим этот вопрос более подробно.

Обсудим теперь описание не чистого, а смешанного состояния. Рассмотрим молекулы СО, соударяющиеся с электронами в эксперименте с передачей энергии на рис. 4.1 или 4.2. Если измерить энергию молекул N раз, то получим следующие результаты:

% = w0N измерений дадут значение Ео, Nx = wxN измерений дадут значение Ех,

Nn = wnN измерений дадут значение Еп, поскольку ^ — доля молекул в ансамбле, обладающих энергией Е^ Тогда среднее значение <Н> оператора энергии Н равно

<Н> = I w,E„ = £ «Ж, Нф.\(4.16)

и оно должно быть равно ожидаемому значению Н в смешанном состоянии. Мы хотим переписать эту величину как след некоторого оператора; чтобы сделать это, введем положительно-определенный эрмитов оператор

W^*A»(4.17)

где каждый Л„ — проектор на собственное пространство hn из Н, порожденное фп. Вычислим теперь

Тг(НИ') = ^(#,.Н*'*,)

7

= ЕЕ wn^r н\„фу\У И

Поскольку

ХпФу = ^пуФП' имеем

Тг(НИО = £ £ «АФ,. Нф.)».,

У и

(4.18)

= Е ™ЛФп' нфпу

Таким образом, если смешанное состояние описывается оператором W, определенным в (4.17), то среднее значение энергии равно

<Н> =Tr<HWy(4.19)

Важно заметить, что в уравнении (4.19) W не является, как в случае чистого состояния, проекционным оператором.

Утверждение, содержащееся в выражении (4.19), предполагается справедливым для квантовой механики вообще, и мы формулируем его как второй постулат квантовой механики:

Состояние квантовомеханической системы характеризуется положительно-определенным эрмитовым оператором W. Среднее значение наблюдаемой А, которому соответствует, согласно (4.14а), среднее значение </1>, измеряемое в эксперименте, равно

илиили<А > = Тг(Л1Г), если Tr W = 1,

или

или

/ лх _ Тг(Л^

( ' ТУ W '

Оператор W называется статистическим оператором, а его матрица называется матрицей плотности. Состояние системы называется чистым тогда и только тогда, когда W является проекционным оператором на одномерное подпространство.

Вероятности wn принято нормировать так, что

(4.20)(4.20)(4.21)(4.21)Z = 1,и = О

(4.20)

(4.20)

(4.21)

(4.21)

т. е. статистический оператор нормировать так, что

Tr W = 1.

Заметим, однако, что как уравнение (4.20), так и уравнение (4.21) являются лишь следствием соглашения. Вместо wn мы могли бы

использоватьВ этом случаеиспользоватьВ этом случае(4.22)(4.22)для характеристики состояния высоты пиков Ип. вместо уравнения (4.17) мы получили бы

использовать

В этом случае

использовать

В этом случае

(4.22)

(4.22)

ииЛегко видеть,Легко видеть,чточтоW = ^hn\

и

и

Легко видеть,

Легко видеть,

что

что

Trfr-ЗХ

W

W =--

Tr W

Операторы И" и W описывают одно и то же состояние гармонического осциллятора. Но если для характеристики состояния использовать W, то среднее значение наблюдаемой Н будет определяться выражением

Тг(Н1У),z Тг(Л1У)

<Н> = Тг ^ или в общем случае <Л> =^ .(4.23)

Следовательно, когда это возможно, для описания состояния удобнее использовать нормированный статистический оператор.

Второй основной постулат квантовой механики не может быть выведен; его справедливость можно только предположить. Это предположение явилось следствием множества экспериментальных результатов, полученных в течение длительного процесса развития квантовой механики. В предыдущем рассмотрении мы пояснили смысл этого постулата на частном примере измерения энергии гармонического осциллятора.

Рассмотрим состояние гармонического осциллятора, заданное формулой

w = £ п„л„

Проекционный оператор Лр на собственное пространство Н с собственным значением Ер также является наблюдаемой. Следовательно, можно вычислить среднее значение Кр в состоянии W:

(4.24)(4.24)<Лр> = Тг(Лр^) = £Тг(ЛрА>^

(4.24)

(4.24)

Из свойств проекционных операторов мы знаем, что

ХрХЙ = 0 при р ^ П,

(4.25)

следовательно,

<\> = Х^рТг(Л>п =

(4.26)

= Тг(Л>,,

(4.27)

так что

<Лр> = wp,

(4.28)

поскольку ТгЛр = 1, так как Лр является проектором на одномерное подпространство. Следовательно, Лр — наблюдаемая, среднее значение которой равно вероятности получить при измерении энергии значение Ер, т. е. вероятности застать систему в состоянии Лр. В частности, для чистого состояния И^ = Л„ имеем

<Л„> = Тг(Л Л„) = Г ’ Р*п' (4.29) , р = п.

Вообще говоря, проекционные операторы представляют собой некоторый тип наблюдаемых, называемых свойствами или высказываниями, средние значения которых говорят что-то о состоянии.

Постулат II устанавливает процедуру вычисления среднего значения по известному статистическому оператору W. Обсудим теперь, каким нужно выбирать статистический оператор для каждого конкретного случая. Для этого надо использовать наше убеждение, подтверждаемое всеми экспериментальными данными, что повторное измерение всегда дает тот же результат, или что все эксперименты, выполненные при одинаковых условиях, дают те же экспериментальные значения. Предполагается, что в общем случае система может находиться в одном из состояний 1, 2, ..., описываемых в квантовой механике статистическими операторами W v W2, ..., и эти состояния можно определить, измеряя наблюдаемые А, В, ....

Таким образом, каждое состояние физической системы является результатом приготовления системы. Приготовление — ряд манипуляций с экспериментальным оборудованием, приводящих к измерению наблюдаемой (или нескольких наблюдаемых). Эти измерения могут как влиять на состояние системы, так и не влиять на него. В классической физике влиянием измерения на состояние физической системы всегда пренебрегают; существенное отличие квантовой физики состоит в том, что здесь это влияние учитывается.

Таким образом, как в принципе, так и на практике не все измерения можно проводить одновременно. Следовательно, всегда должна иметься возможность воспроизведения определенного физического состояния, чтобы его можно было получить в результате ряда последовательных измерений. После измерения наблюдаемой система будет находиться в состоянии, приготовленном этим измерением. Это состояние должно описываться статистическим оператором, для которого вычисленное среднее значение наблюдаемой согласуется с измеренным средним значением. Это означает, что оператор W должен быть выбран так, чтобы вычисленное значение согласовывалось со значением, получаемым при «мгновенном» повторении измерения, т. е. в измерении, осуществленном до того, как системе представится случай измениться (развиваться во времени). Этот принцип был использован при описании состояния молекул СО. В примере с ансамблем молекул СО приготовление состоит в установке аппаратуры и бомбардировке газа монохроматическими электронами. Таким способом приготавливается газ СО в состоянии, являющемся смесью собственных состояний энергии Хп с весами wn. Статистический оператор W должен обеспечивать возможность вычисления того, что было измерено в физической системе или какие приготовления были проведены. Таким образом, мы постулируем следующий вид статистического оператора:

W=^wn\n- (4.30)

Используя этот оператор W, в качестве результатов измерения энергии вычисление предсказывает значения

w0, w15 W2, ... .

Таким образом, исходные значения, полученные при приготовлении состояния, будут получены и при мгновенном повторении измерения (т. е. при измерении, осуществленном до изменения состояния BQ, которое в рассматриваемом случае можно проводить через любой конечный промежуток времени, поскольку ситуация в эксперименте стационарна, но до того, как осуществляется другое измерение или меняются условия эксперимента (например, при выключении электронного пучка).

Соотношение (4.30) выражает третий постулат квантовой механики для случая, когда пространства ХпЖ одномерны. В общем случае пространство собственных векторов наблюдаемой А с собственным значением at не является одномерным. В этом случае

собственное значение о, называется вырожденным, а спектр {о,, а2, ...) называется вырожденным спектром. Пространство ХаХ= \fa.\fa — \/, /е^ есть пространство, образованное всеми собственными векторами наблюдаемой А с собственным значением аг Оператор Ло является проектором на подпространство Ла ^ пространства Л^ Размерность этого подпространства dim(AaJ^) может принимать любые конечные значения или быть бесконечной; она может быть разной для разных а,. Пространство Лй ^ называется собственным пространством оператора А с собственным значением а?

После этих приготовлений мы можем сформулировать третий постулат квантовой механики для общего случая наблюдаемой с вырожденным спектром.

Ша. Пусть даны следующие результаты измерения наблюдаемой А :

<71, ат» аз» • • •»

Wax, wa2, w„3, . ..,

где wa дает относительную частоту появления значения ai (т. е. после N измерений значение о, появилось waN раз); тогда состояние системы непосредственно после измерения описывается статистическим оператором W, задаваемым формулой

w = s и>„Л„, (4.31) ai dim \XQz3r)

где Ла — проекционные операторы на собственные пространства А с собственным значением ajt a dim(Ao^) = ТгЛй обозначает размерность пространства Ла ' '

Прежде чем обсуждать общий случай, рассмотрим частную ситуацию, в которой ап было измерено с вероятностью wn = 1, а все остальные вероятности w^i * л) = 0. Тогда статистический оператор выбирается в виде

(4.32)(4.32)w = л

(4.32)

(4.32)

“"dim(A0/^)

ХПримечание. Операторы Ло не обязательно являются проекционными операторами на одномерные пространства. Если Ха — проектор на одномерное пространство, состояние (4.32) называется чистым состоянием.] Как будет показано ниже, для среднего значения оператора А получаем

<А > = ТЦЛ^ =1 ТКЛЛ„.) = а„,(4.33)

dim (ЛОл )

а для вероятности имеем

-<Л->=“ та^\Тг л- - *•<4-34>

Другими словами, статистический оператор (4.32) однозначно предсказывает появление собственного значения ап оператора А при немедленном повторении измерения. Прежде чем мы докажем (4.33) и (4.34), удобно изложить еще немного математики.

[Если пространство Л0Ж собственных векторов А с собственным значением а имеет размерность dim (Ao<^), то в нем существует dim (Лд^) линейно независимых собственных векторов. Следовательно, можно выбрать в качестве базисных dim (Ло^) взаимно ортонормированных собственных векторов А с собственным значением а, т. е. набор векторов

'Ф^, ФаФаф^^

удовлетворяющий условиям

Афа = афа(4.35)

и

(Ф5, Ф2) = V-(4.36)

Базис для всего пространства имеет вид

Фа., Фа2., • • ., фУ^^

Фар Фар .... ф^а^)Фар Фар .... ф^а^)(4.37)(4.37)

Фар Фар .... ф^а^)

Фар Фар .... ф^а^)

(4.37)

(4.37)

В общем случае dim (Ад ^ ^ dim(A0^). Каждая из размерностей dim(Aa <^ может быть как конечной/так и бесконечной.

Произвольный вектор / е^ запишется тогда в соответствии с

(1.4.4г) в виде

(4.38)(4.38)dim(Aei ^Г)

(4.38)

(4.38)

/=S S W>«l/>.

■i К=1

Это утверждение и результирующая формула (4.42), приведенные

здесь без доказательства, составляют спектральную теорему для операторов с дискретным вырожденным спектром1).

(4.39)(4.39)Если мы подействуем вектором А на произвольный вектор /, записанный в этой форме, то получим

(4.39)

(4.39)

4Г= 2 а,\ф«.,><ф«.,\Г>,<ЦК

или, опуская произвольный вектор/,

А = s ed*S.X*£.l = 2 «1 2 1*5.ХФУ- (4.40) а,кas к

Оператор

SI*5,X*5,| = А,,(4.41)

К

является проекционным оператором на подпространство Ад собственных векторов А с собственными значениями а^ так как

Л.Л, - 22 Мхфж; ><ФК«; I = 2 W.><«Kw = мМ1, К к'К

А{К^ = 2с.№><4>5,1/> = №(Л„/). к

Тогда (4.40) можно записать в виде

А = £>Лв/.(4.42)

Ci

Эта формула называется спектральным представлением оператора А (с дискретным спектром). Совокупность \а называется спектральным семейством.

Если опустить в (4.38) произвольный вектор/, получим разложение единичного оператора I по спектральному семейству оператора А :

21Ф5.ХФ5.1 = 2А„. QiKQi

Докажем теперь формулу (4.33). Используем базис (4.37) и вычис-

') Для операторов с непрерывным спектром необходимо исходить из (1.4.4в) вместо (1.4.4г); спектральная теорема похожа на (4.42), но сумма заменяется интегралом, см. [8], с. 131.

ЛИМ

•п-им = IX АМ>9 = Е(4„ Аф!^UjKк

= S»У = О» dim (А_(4.43)

К

Таким образом,

™^ = 1У(ЛЛУ щ^ =

Справедливость уравнения (4.34) устанавливается подобным же образом.

Продолжим введение новых математических понятий: два эрмитовых оператора А, В называются коммутирующими операторами тогда и только тогда, когда

АВ = ВА, или [А, В] = 0.(4.44)

Пусть Ла — спектральное семейство А , а Рь — спектральное семейство *В. Тогда утверждение, что А й В коммутируют, эквивалентно^ утверждению

KaPbj = РьДщ для всех °ь bj.(4.45а)

Таким образом, как следует из (4.42), оператор А коммутирует с оператором В, если

АРЬ. = РЬ.А для всех Ьг(4.456)

Спектральное разложение (4.42) эрмитова оператора А или любого другого оператора может быть использовано для определения функций от операторов. Пусть Да^ — функция дискретной переменной Ор определим тогда оператор ДЛ) формулой

(4.46)(4.46)/(4) = I Да,^„,

(4.46)

(4.46)

*> На самом деле точным утверждением о коммутативности является (4.45а); чтобы сделать точным (4.44), необходимо добавить требование существенной самосопряженности оператора А 2 + В2 (его замыкание на гильбертовом пространстве является самосопряженным).

2) О математических проблемах, связанных с этим определением, см. [8], разд. V.5.

Заметим, что /(Л) может быть не определен на том же подпространстве Ф гильбертова пространства ^, на котором определен Л ; но если/(о,) является полиномом по а,, то /(Л ) определен повсюду в Ф.

Из (4.45а) следует, что если [Л, Я] = 0, то [ДЛ), Я] = О.|

Чистое собственное состояние Л (т. е. собственное состояние оператора энергии W = Л^ одномерного гармонического осциллятора) является частным случаем (4.32).

Вернемся теперь к общему выражению (4.31). Сравнивая его с (4.42), мы замечаем, что (4.31) есть спектральное разложение эрмитова оператора W по спектральному семейству { Д,) наблюдаемой Л. Величины wa/dim(Aa^/) — собственные значения W. Для среднего от Л получаем из (4.31)

=(4.47)

Подставляя сюда (4.43), получаем

< Л > = Тг(ЛИЭ = S wQlau(4.48)

a,

как и должно быть для среднего, т. е. среднего значения, полученного в последовательности измерений наблюдаемой Л при состоянии системы, описываемом W.'

Проекционному оператору Д, на собственное пространство Л с собственным значением а отвечает, как и должно быть, наблюдаемая «вероятность а ». Чтобы показать это, вычислим

= S ^AaTW dim(Afl ^ = Wa.

Здесь мы использовали

ЛдЛд. = 0 при а, # а,NaNa = Ад.

Следовательно, статистический оператор W, определяемый выражением (4.31), приводит к желаемым предсказаниям, в частности о том, что мгновенное повторение измерения наблюдаемой дает тот же результат, что и исходное измерение, осуществившее приготовление этого состояния.

ИИ -7

Если не проводилось измерение, осуществляющее приготовление состояния, и не было получено информации о состоянии, все чистые состояния предполагаются равновероятными. Следовательно, статистический оператор для такого состояния должен быть взят пропорциональным единичному оператору:

(4.49)(4.49)W= I.

(4.49)

(4.49)

Гипотеза о том, что свойства состояния, не затрагиваемые измерением, встречаются с равной вероятностью, уже была использована в фундаментальном предположении Ша, т. е. в уравнениях (4.31) и (4.32). В них отсутствует описание измерения наблюдаемой, позволяющее различать разные значения к = 1, 2, ..., dim (Ха,^). Таким образом, в (4.31) и (4.32) предполагается, что для любого о, любое из чистых состояний I ф^ > < ф^ I, I ф^ < фга I ,...,1 Ф*> < Ф* I,... появляется с равной вероятностью, а именно с вероятностью (см. (4.34))

< =р(Ю< W -dim^

= 5 *><«>«D -dim(4^ = .dim^

Более того, любое другое чистое состояние, принадлежащее пространству Ха//' и описываемое вектором ф е Ла У; также появляется с этой вероятностью, поскольку'

^ = Tr^XiAW =

= (skwm2)= (skwm2)wai _ wa,dim(AOj^) dim(Aa.^T

= (skwm2)

= (skwm2)

Последнее равенство следует из условий II ф II2 = 1 и

М2 = £КЖ>12 = £КЖ>12-

так как <ф\ф^ > = 0 при aj * ас

Оператор Ло является единичным оператором в пространстве Хо.^ собственных векторов А с собственным значением а,, что немедленно следует из сравнения (4.41) с (4.9). Равенство (4.32) тогда утверждает, что W является единичным оператором на подпро-

странстве собственных векторов А с собственным значением о, с точностью до нормировки, которая выбирается так, что ТгИ7 = 1. Таким образом, утверждение (4.32) эквивалентно утверждению (4.49), ограниченному конечномерным подпространством Д, Общая форма утверждения (4.49) имеет Небольшое практическое значение, поскольку состояния, о которых вообще нет никакой информации, интереса не представляют. Но часто используется ограничение соотношения (4.49) на подпространство, как в (4.32).

Если известно, что система находится в состоянии термодинамического равновесия, то статистический оператор W выбирается задающим гиббсовское распределение

^=е-н!кт^ (4.50)

где Н — оператор энергии, к и Т — постоянная Больцмана и абсолютная температура соответственно. Оправдание возникновения (4.50) можно найти в книгах по статистической физике.

Одним из следствий фундаментального предположения Ша является тот факт, что возможные значения наблюдаемой, которые могут быть измерены экспериментально, являются собственными значениями оператора этой наблюдаемой. Это означает, что в процессе построения теории оператор, отвечающий наблюдаемой, должен выбираться так, чтобы все значения, которые могут получиться в эксперименте по измерению этой наблюдаемой, являлись бы собственными значениями этого оператора.

Измерение наблюдаемой включает также процесс приготовления системы. В общем случае это означает, что измерение наблюдаемой изменяет состояние системы. Сформулируем теперь эти утверждения во второй части постулата III.

(4.51)(4.51)II16. Пусть система находится в состоянии W и производится измерение наблюдаемой В. Пусть b р bг, b 3, ... — собственные значения В и Кь , Кь , ... — проекторы на соответствующие собственные пространства. Тогда состоянию системы после измерения отвечает

(4.51)

(4.51)

w = YAbwkbl.bi

Если измерение производится с целью выбора определенного подансамбля с фиксированным собственным значением b оператора В, то состояние задается формулой

W =W =Тг(Ль И'Ль)Тг(Ль И'Ль)(4.52)(4.52)

W =

W =

Тг(Ль И'Ль)

Тг(Ль И'Ль)

(4.52)

(4.52)

Имеется частный случай, когда измерение наблюдаемой не изменяет состояния W; это имеет место тогда и только тогда, когда оператор В, представляющий наблюдаемую, коммутирует с оператором W, поскольку только в этом случае, согласно (4.456), уравнение (4.51) принимает вид .

W = y,xbwxb, = £л6,л6,ж

- S АЙ1 поскольку

ЕАЛ = Д

мы получаем

W = ^Хь^ = W.

Две наблюдаемые называются совместными, если измерение одной из них не возмущает состояния, приготовленного для измерения другой. Предыдущее рассмотрение показывает тогда, что совместные наблюдаемые реализуются коммутирующими операторами. Наблюдаемые, реализуемые некоммутирующими операторами, являются несовместными.

Если имеются два чистых состояния PF ( = Л^ = I ф> < ф I и W2= Лф = 1ф>< ф1, то можно смешать их и получить новое состояние

W = XWx + (1 - X)W2;0 > Я > 1.(4.53)

Оператор W описывает состояние, являющееся смесью двух чистых состояний Wx и W2 с весами X и 1 — X соответственно. Это состояние не является чистым.

Если фиф взаимно ортогональны, т. е. ^Кф = 0, и мы смешиваем их в разных долях, X = 1/2, то получим состояние

^ = 1(Л, + А,) = 1л,(4.54)

описываемое проекционным оператором Л. Оператор Л осуществляет проекцию на двумерное подпространство, порожденное векторами фи ф. Вероятность обнаружить свойство, отвечающее A^,t. е. свойство чистого состояния Wx в состоянии W, согласно (4.28), равна

и» = Тг(Л* ю = | ТКМЛ* + Л^) = 1.(4.55)

как и следовало ожидать.

Используя два чистых состояния Л^ и Лф, можно определить новые векторы состояния вида

(4.56)(4.56)оцф + агф.

(4.56)

(4.56)

(4.57)(4.57)где av а2 — произвольные комплексные числа. Все эти векторы также отвечают чистым состояниям. Например, можно выбрать ах = 1/V2 = а2- Тогда

(4.57)

(4.57)

X = (ф + Ф)V2

(4.58)(4.58)снова является нормированным вектором. Проекционный оператор

(4.58)

(4.58)

Лх = IxXxl

на одномерное подпространство, порожденное х. также отвечает чистому состоянию. Состояние Лх называется суперпозицией состояний Л^ и Лф, а вектор состояния х, определенный в (4.56), называется суперпозицией векторов фиф. Чтобы полностью задать суперпозицию двух состояний, важно знать не только модуль отношения а, и а2» но и их относительную фазу. При выборе Jx = 1/V2 = — а2 в (4-56) получаем нормированный вектор

9 (ф - ф),(4.59)

который ортогонален вектору х в (4.57). Проекционный оператор

(4.60)(4.60)л„ = \ц><ц\

(4.60)

(4.60)

представляет другое чистое состояние, отличное от состояния, представленного оператором Лх.

В отличие от комбинации (4.53) двух состояний Л^ и Лф, которая называется также некогерентной комбинацией, комбинация (4.56) называется когерентной комбинацией двух векторов состояния фиф. Наиболее общая некогерентная комбинация собственных состояний энергии N„ = \фпХфп\ (л = 1, 2, ...) гармонического осциллятора имеет вид (4.17); наиболее общая когерентная комбинация собственных векторов энергии фп имеет вид (3.27). Любое различие величин фаз ап, за исключением изменения общей фазы ф в (3.27), отвечает разным векторам, описывающими другие чистые состояния Л^. Любой вектор состояния можно рассматривать как Результат суперпозиции двух или большего числа векторов состоя-

ния, и осуществить это можно бесконечным числом способов, поскольку вместо собственных векторов фп оператора Н можно выбрать для разложения вектора ф любой другой базис в пространстве Ф. Наоборот, суперпозиция любых двух или большего числа векторов состояния дает новый вектор состояния. Этот принцип суперпозиции является следствием свойства (1.2.1а) линейного пространства Ф. Если постулируется, что любому вектору в Ф отвечает чистое, физически приготовимое состояние, то любое чистое состояние можно рассматривать как линейную комбинацию произвольного числа других состояний. Такой постулат невозможно проверить, поскольку для каждого вектора из Ф пришлось бы построить устройство, которое бы его приготавливало. Разумеется, собственные состояния энергии гармонического осциллятора Ля = 1флХФл1 имеют большую ценность, чем чистое состояние Лф, где ф — произвольная линейная комбинация вида (3.27). Реализует ли вектор фи = фп 4- афт, аеС, составленный из двух собственных векторов энергии фп и фт, физически приготовимое состояние, очень сомнительно (и абсолютно невозможно, если рассматривать осциллятор как стационарную систему, см. гл. XII). Но экспериментально доказанным фактом является то, что линейная комбинация ф, 4- ф2 некоторой пары векторов состояния фг и ф2 также отвечает чистому физическому состоянию (интерференция, суперпозиция поляризованного света, смешивание К-мезонов).

Суперпозиция х и ^ порождает то же двумерное пространство, что и исходные векторы ф и ф, и проекционный оператор Л на это двумерное пространство (4.54) можно также записать в виде

Л = \ + Л„.(4.61)

Таким образом, смешанное состояния задается выражением

W = |(Лф + Лф) = |(ЛХ 4- Л„)

и, следовательно, может рассматриваться как смесь чистого состояния Л^ и чистого состояния Лх с весами и>х = и^ = 1/2. Имеет ли это практическое значение, зависит от конкретной ситуации. Если суперпозициям х и 9 отвечают физически приготовимые чистые состояния, то состояние W можно получить, смешивая как чистые состояния Лф и Лф, так и чистые состояния Лх и Л^.

II.5. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ В ПРИМЕНЕНИИ КГАРМОНИЧЕСКОМУ ОСЦИЛЛЯТОРУ И НЕСКОЛЬКОИСТОРИЧЕСКИХ ЗАМЕЧАНИЙ

Вернемся теперь к обсуждению гармонического осциллятора. Предположим, что его состояние имеет вид

^= А„, где А„ — проекционный оператор на пространство, порожденное ф„. Это имеет место в том случае, когда измерение энергии всегда дает значение Еп. Согласно основному постулату II, среднее значение импульса Р в чистом состоянии А„ равно

<Р> = Тг(РИЭ = Тг(РЛ„)

= S (Фт, РАпфгп)

= (Фп, Рфп\(5.1)

так что

<Р> = <п\Р\п>.(5.2)

Мы оставляем читателю в качестве упражнения показать, что из (3.26) и (3.1) следует

<Р> = 0.(5.3)

Подобным же образом среднее значение координаты Q в чистом состоянии W = Ан равно

<Q> = <n\Q\n> = 0. •(5.4)

Вычислим теперь среднее значение Р2 (т. е. кинетической энергии P2/2li) и среднее значение Q2 (или потенциальной энергии ^д^/г):

<Р2> = (Фп, Ргфп\

Используя выражения (3.1), получаем

Р2 = -^ (at - fl)2} так что

<р2> =(ф„, (et _ а)2ф„).

<Р2> = цшЬ[п<Р2> = цшЬ[пПодставляя выражения для а и <Р из уравнений (3.26), получаем

<Р2> = цшЬ[п

<Р2> = цшЬ[п

(5.5)

Подобным же образом вычисляем

<е2> = <Фп, q4»\

Используя снова выражение (3.1), имеем

Q2 = ^-^ + aV,

так что

^„, q2<m =<Ф», (»t + о)2ф„)

и окончательно

<е2>= — (л + П-<5.б)

Хотя средние значения наблюдаемых Р, Q, Р2 и Q2 однозначно определены, из этого не следует, что надо ожидать получения одного и того же значения а, при измерениях наблюдаемой А (однако именно этот случай имеет место1) для наблюдаемой Н в чистом состоянии Л„). Что действительно следует в соответствии с определением < А > , так это то, что среднее значение величин, полученных в серии многократно повторяемых измерений А в состоянии Хп, равно величине < А > , которая, конечно, является однозначной. В общем случае может случиться, что значения, полученные при каждом из измерений (а1 для первого измерения, а2 для второго, а3 для третьего и т. д.), совершенно отличны друг от друга и сильно разбросаны.

Чтобы охарактеризовать разброс измеренных значений количественно, определим для любой наблюдаемой А и любого состояния W новую наблюдаемую, задаваемую выражением

(Я - <А>П2.

^ Заметим, что под измерением мы всегда понимаем идеализированное измерение, в котором измерительное устройство не вносит новых возмущений, т. е. экспериментальная ошибка равна нулю.

Чтобы показать, что эта наблюдаемая действительно подходит для описания разброса измеренных значений а р а 2, а 3, ..., рассмотрим среднее значение (Л — <Л>/)2 в состоянии W, которое называется дисперсией А в состоянии W:

disp(wyl = <(Л — ^A^wr^w

= Тг(Л2И0 - 2Тг(Л<Л>^ИЭ + Тг«Л>^И0

= Тг(Л2ИЭ - (Тг(ЛИ^)2 = <А2>» ~ <А>^(5.7)

(если нет дополнительного указания, всегда предполагается, что Tr W = 1); следовательно,

disp(^ = <A2>w- <Л>^.(5.8)

Для частного случая наблюдаемой Н для гармонического осциллятора в состоянии Л„ получаем

disp(A-)// = TY(//2A„) - (1¥(ЯЛ„))2

= («„, Н2фп) - £2.

Но поскольку фп является собственным вектором Н с собственным значением Еп, имеем

Н2фп = НЕпфп = ЕпНфп

= ^пФ^ следовательно,

disp(An) Я = £2 — £2 = 0.

Это показывает, что дисперсия Н в состоянии Л„ равна нулю. В более общем виде дисперсия произвольной наблюдаемой А для произвольного чистого собственного состояния Л оператора А равна нулю. Но обратное утверждение не справедливо, т. е. при дисперсии наблюдаемой А , равной нулю, состояние W не обязательно является чистым собственным состоянием А (в частности, оно не должно быть чистым состоянием). Исходя из этого, обобщим понятие собственного состояния.

Пусть А — наблюдаемая с вырожденным спектром. Состояние W называется собственным состоянием наблюдаемой А , если W можно представить в виде

W= 2^102X021.(5.9)

где w* ^ 0, Erw* = 1 (^ нормировано) и фка, к = 1, 2, ...

..., dimAa^ —произвольный базис в собственном пространстве Лд^наблюдаемой А, отвечающем собственному значению а.

В разд. II.6 показано, что собственные состояния наблюдаемых — это те состояния, для которых дисперсия А равна нулю. Частный случай — собственное состояние (5.9) с w* = w = = (dimAa<^)~*> Для которого W имеет вид

Собственное состояние энергии для гармонического осциллятора Л„ не является собственным состоянием ни наблюдаемой Р, ни наблюдаемой Q, так что его дисперсия не равна нулю. Дисперсию легко вычислить:

diSP|A.,P= <Р2> - <Р>2

Из уравнений (5.3) и (5.5) имеем

<Р2> - <Р>2 =+ 0.(5.11)

Подобным образом

disp^e = <е2> - <Q>2 = ^- (п + 0.(5.12)

Квадратный корень из дисперсии называется неопределенностью А в состоянии W и обозначается через ДА :

ДА = V disp А.(5.13)

Из уравнений (5.11) и (5.12) следует

ДРДО = h(n +^.(5.14)

Следовательно, для любого чистого собственного состояния гармонического осциллятора

ДPДQ>h^.(5.15)

Как мы увидим ниже, это неравенство верно и в общем случае и является следствием гейзенберговских коммутационных соотношений [Р, Q] = (h/i)I. Оно называется соотношением неопределенностей Гейзенберга.

Как показано выше для частного случая чистых собственных со-

стояний наблюдаемой Н, дисперсия наблюдаемой для собственного состояния этой наблюдаемой равна нулю. Физически это означает, что измерение наблюдаемой для собственного состояния наверняка дает единственное значение (которое должно быть собственным значением соответствующего оператора), т. е. вероятность его возникновения равна единице.

Рассмотрим теперь смесь W в эксперименте с передачей энергии, описываемую оператором (4.17). По определению

dispart = <Я2> - <Н>2.dispart = <Я2> - <Н>2.(5.16)(5.16)

dispart = <Я2> - <Н>2.

dispart = <Я2> - <Н>2.

(5.16)

(5.16)

Используя (4.18) и соответствующее выражение для (/Z2), получаем

<Я2> - <Я> = У.Е^7<Я2> - <Я> = У.Е^7(5.17)(5.17)

<Я2> - <Я> = У.Е^

7

<Я2> - <Я> = У.Е^

7

(5.17)

(5.17)

Величина ДЕ называется стандартным среднеквадратичным отклонением. В последнем неравенстве мы использовали неравенство Коши для последовательностей

оооо/ ®\ 2

2 хп 2 Уп — ( S ХпУп ) , где Хп = VWni Уп = VWr» (5.18) п = 0л = О\ л = О/

являющееся следствием неравенства (1.2.7). Следовательно, dispwН для смеси всегда больше или равна нулю. Она равна нулю, если

W7 = дпг Т. е. W = Л„,

и отлична от нуля в соответствии с числом wn, не равных нулю, и их значениями. Таким образом, disp/Z, а следовательно, Д/Z действительно являются количественной мерой неопределенности, возникающей при измерении наблюдаемой Н. Из первой строчки уравнения (5.17) мы видим, что неопределенности АН для наблюдаемой Н отвечает при измерении этой наблюдаемой стандартное, или среднеквадратичное, отклонение в серии экспериментов, описанных выше в уравнении (4.16).

Неудивительно, что disp/Z или АН отличны от нуля для смешанного состояния W молекул СО в столкновительной камере, по-

скольку это смесь молекул СО с разными энергиями. Причиной того, что результат измерения Н в W определен не полностью, является тот факт, что не было проведено полное разделение разных систем, или, точнее, систем в различных состояниях, друг от друга.

Гармонические осцилляторы в столкновительной камере могут быть разделены, по крайней мере в мысленном эксперименте, на восемь подмножеств, каждое из которых состоит из Nn молекул, имеющих одинаковую энергию Еп, т. е. таких, что измерение Н на и-м подмножестве с определенностью дает значение Еп. Тогда состояние каждого такого подмножества равно \п. Дальнейшее разбиение (даже в мысленном эксперименте) любого из этих подмножеств на две или более различных систем (систем в различных состояниях) невозможно. Именно это является причиной, по которой А„ называется чистым состоянием. Если теперь осуществить измерение *> наблюдаемой в системе, находящейся в чистом состоянии, то из классических соображений можно было бы ожидать появления хорошо определенного значения, так как множество объектов в чистом состоянии однородно по своим характеристикам. Если в качестве этой наблюдаемой мы выберем Н или N, это действительно так и произойдет. Но если выбрать Р или Q, то мы видим из (5.11), (5.12), что это не так. Даже для чистых состояний результат измерения наблюдаемой не является, вообще говоря, однозначно определенным. Эта статистика в принципе не может быть исключена из квантовой механики; системы «в одном и том же чистом состоянии» не дают при измерении одинаковых значений. Можно утверждать лишь то, с какой вероятностью wn можно ожидать появления некоторого значения ап при измерении наблюдаемой.

Проиллюстрируем сказанное мысленным экспериментом. Рассмотрим измерение наблюдаемой Q в состоянии \п и найдем вероятность, с которой можно ожидать появления значения х при измерении Q. По определению среднее значение наблюдаемой А равно

<Л> = 5Н’/Сь <519)

где а( — собственные значения A, wf — вероятность найти значение Oj при измерении А. Вычислим (Q) следующим образом:

<Q> = Tr(QA„) = 2 </|QA„|/>, (5.20)

^ Идеализированное измерение: см. примечание на с. 104.

где ^ = 1/> — любой полный базис и использованы следующие обозначения:

(Ф, ф) = <ф\ф> или (Фп Ф^ = <Ф>,

(ф, Аф) = <Ф\А\ф>.(5'21)

В качестве 1/> можно взять любую полную базисную систему; выберем поэтому систему собственных векторов оператора Q, которые мы обозначим через 1х> , где х — собственное значение Q:

Тогдаб|х> = х|х>.(5.22)

<е> = 1<х|блл|х>

= Ех<х|Л„|х>

= £ х<х|п><п|х>.

Последнее равенство следует из записи Л„ = 1и><л I.

Введем новый способ записи, обозначив

фп(х) = <х\п>.‘(5.23)

Тогда

<е> = Z х^„(х)^„(х)

= 1х|ф„(х)|2.(5.24)

Если мы теперь сравним это выражение с общим выражением (5.19) для среднего значения оператора, то увидим, что

|<х|и> I2 = |ф„(х)|2 = w^x)(5.25)

есть вероятность получить значение х при измерении наблюдаемой Q для осцилляторов в состоянии Л^. Функция фп(х) называется волновой функцией состояния с энергией Еп. Таким образом, мы обнаружили, что вероятность найти значение х для оператора положения Q равна квадрату модуля волновой функции. Именно в этом виде вероятностная интерпретация была первоначально введена в квантовую механику М. Борном (под влиянием более раннего предположения А. Эйнштейна (1916 г.)).

Как мы обсудим ниже, £ х на самом деле является интегралом, a wn^x) = К*1и>12— величина размерности см-1, т. е. плот-

ностъ вероятности. Вероятность равна интегралу от wn(x) по некоторому интервалу.

Мы вывели тот факт, что Iф(х)12 описывает вероятность найти физическую систему в точке х из основного предположения II. Исторически события развивались в обратном порядке, и постулат II является обобщением открытия Максом Борном в июне 1926 г. того факта, что волновая функция ф(х), которая, как мы увидим в разд. II.7, является решением уравнения Шредингера, связана с вероятностью.

В то время Борн исследовал процесс столкновения свободных частиц с атомом, используя формализм шредингеровской волновой механики, которую он считал более адекватной для этого процесса, чем матричную механику Гейзенберга, Борна и Йордана. Но он не мог принять интерпретации Шредингером функций ф(х) как волн материи. Вспоминая эти события, Борн сказал в своей нобелевской лекции 1954 г.: «В этом пункте (шредингеровская интерпретация волн материи) я не мог с ним согласиться. Это было связано с тем фактом, что мой институт и институт Джеймса Франка размещались в одном и том же здании Геттингенского университета. Каждый эксперимент Франка и его ассистентов по электронным столкновениям казался мне новым доказательством корпускулярной природы электрона». Он получил формулу для рассеянной волны в шредингеровском формализме (борновское приближение — см. разд. XIV.5) и заключил, что наиболее естественная интерпретация ф(х) состоит в том, что 1ф(х)12 описывает плотность вероятности зарегистрировать частицу. Он суммировал свое заключение в 1926 г.: «Движение частиц подчиняется вероятностным законам, но сама вероятность распространяется в соответствии с причинностью».

Борновская интерпретация вскоре была обобщена помимо координат на другие наблюдаемые. Тогда и пришло время для общей формулировки квантовой механики. Исходным пунктом послужило открытие того, что канонические преобразования можно производить как в матричной, так и в волновой механике (Ф. Лондон, май 1926 г., П. Йордан, июль 1926 г.). Таким образом, было найдено, что канонические преобразования являются преобразованиями абстрактного пространства. Преобразования объектов с непрерывными индексами были введены Дираком и Йорданом в декабре 1926 г. Математическое развитие теории преобразований Лондона — Йордана — Дирака было осуществлено в Геттингене Девидом Гильбертом вместе с Л. Нордхеймом и Джоном Нейманом (1926—1927 гг.). Были введены такие понятия, как состояние и наблюдаемая.

Вслед за этим Нейман развил аксиоматическую теорию гильбертовых пространств и установил соответствие между физическими состояниями и векторами гильбертова пространства, а также между наблюдаемыми и линейными операторами. Он ввел также статистический оператор.

Параллельно с математической формулировкой шло развитие физической интерпретации, которая обсуждалась главным образом в Копенгагене (1926—1927 гг.). В то время как Бор хотел сделать корпускулярно-волновой дуализм отправной точкой для физической интерпретации, Гейзенберг основывался на теории преобразований. Основной его подход состоял в том, чтобы рассматривать свойство определенным так, как если бы оно было измеримо. В его знаменитых мысленных экспериментах, в которых он обсуждал измерение положения электрона с помощью микроскопа, он объяснил неопределенности в импульсе и координате (5.15), а вместе с тем и вероятностную природу квантовомеханических предсказаний как влияние измерительного прибора. Объект и наблюдатель не являются независимыми реальностями; измерение влияет на состояние объекта (фундаментальное предположение III.)

В то время как Гейзенберг вывел свой принцип неопределенности из теории преобразований, Бор развил свою концепцию дополнительности, исходя из корпускулярно-волнового дуализма (см. разд. II.9). Существуют дополнительные свойства, такие, как координата и импульс, и точное измерение одного из них делает невозможным получение информации о другом. Свойства не актуализированы, для физической системы это только возможности. Такое развитие стало основой так называемой копенгагенской интерпретации квантовой механики. Ее физическое содержание сформулировано в основных предположениях данной главы.

Формулировка Неймана, использующая гильбертово пространство, не могла описывать непрерывные собственные значения. С тех пор под влиянием формализма Дирака была развита новая ветвь математики — теория распределений, впервые систематически изложенная Л. Шварцем (1950—1951 гг.). На этой основе И.М. Гельфанд и его соавторы ввели примерно в 1960 г. понятие оснащенного гильбертова пространства. Предложение использовать его в квантовой механике было сделано около 1965 г.

П.6. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ОСНОВНЫХПРЕДПОЛОЖЕНИЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

После этого подробного обсуждения случая гармонического осциллятора рассмотрим некоторые общие следствия из основных предположений квантовой механики. Рассмотрим произвольное состояние W произвольной микрофизической системы и посмотрим, что мы можем предсказать для измерения значений некоторых произвольных эрмитовых наблюдаемых Л, В, ... этой системы. Эти предсказания содержатся в двух последующих утверждениях, которые будут доказаны ниже.

Дисперсия любой наблюдаемой А в произвольном состоянии W удовлетворяет неравенству

disp(w)Л > 0.(6.1)

причем

disp(w)Л = 0.

тогда и только тогда, когда W является собственным состоянием А.

Неопределенности двух наблюдаемых А и В для произвольного состояния W удовлетворяют соотношению неопределенностей

ДЛДВ>1 |<М, Щ>И-(6.2)

Частным случаем этого соотношения неопределенностей является соотношение неопределенностей Гейзенберга; из

ГР, Q] = у I и (^1^ = у Тг(И7) = у следует, что

др де а^(б.з)

для произвольного состояния W. Знак равенства в соотношении неопределенностей Гейзенберга имеет место при W = Ло (основное состояние одномерного гармонического осциллятора), а также для некоторых других чистых состояний (см. задачу 4,д).

Соотношение неопределенностей является очень общим свойством двух операторов и предполагает только, что наблюдаемые реализованы линейными операторами на линейном пространстве. Оно утверждает, что, если только А и В не являются совместными наблюдаемыми, всегда существуют состояния, для которых по крайней мере одна из наблюдаемых не может быть измерена точно

(так как для каждого оператора С = ЦА, В] всегда найдется оператор W такой, что

KOJ = |Tr(WC)| /0).

В случае, когда С (или —С) положительно определено (как, например, для А <= Р и В = Q), 1Тг( И^С)! > 0 для произвольного состояния W, поэтому две наблюдаемых А и В невозможно измерить одновременно сколь угодно точно. Если система была приготовлена в собственном состоянии одной из наблюдаемых А, ДЛ = 0 (т. е. измерение А дает в точности одно значение), то в соответствии с (6.2) значение В совершенно не определено. Это является следствием того обсуждавшегося выше факта, что в квантовой физике после измерения состояние изменяется, а измерение одной наблюдаемой влияет на результат измерения другой, если эти наблюдаемые не являются совместными, т. е. представлены коммутирующими операторами. Таким образом, одновременно могут быть измерены только совместные наблюдаемые, и только для совместных наблюдаемых существуют общие собственные состояния.

Доказательство утверждения 1. Вариант спектральной теоремы (4.42) утверждает, что любой статистический оператор может быть записан в виде

W = 2 wA,(6.4)

где Wj — действительные числа, а Л( — одномерные проекционные операторы, которые осуществляют проекцию на пространства Л.^ порожденные одиночными векторами ф. такими, что векторы фх, ф2, ... образуют ортонормированный базис

(Фи Ф^ = бу,(6.5)

Числа w. удовлетворяют условиям

W; > 0(6.6)

(это следует из положительности W, поскольку из (6.4) и (6.5) имеем w. = ^Ф^ ^Ф,) и

£w, = TrlT=l.(6.7)

Так как TrfBWO для произвольного оператора В может быть вычислен в любом базисе, мы выберем базис (0J из (6.5)

Тг(ЯМ) = 2 (ф/> в 2 wiMj ) = S w^ Вфд,(6.8)

v \ i //

где мы использовали соотношение А^ = Ьцфг Выбирая в (6.8) В = I, получаем (6.7), поскольку (фр /ф.) = (фу, ф.) = 1 для всех /.

Из определения (5.7) имеем

disp(.n.4 = «А - а/)2)^ = Тг((Л - a/)2W^(6.9)

где а = < А) ^ = Тг(/1 кГ). Следовательно, полагая в (6.8) В = (A — al )2, получаем disp(tn А = Е wi^.ЛА - ^Уф)

= Е ^.((^ - «ОФ, ЛА - а!)ф)

(6.10)(6.10)= Е ^.ik^ - а1Ш2.

(6.10)

(6.10)

Таким образом, disp^/l > 0, так как из (6.9) следует ^ > 0 и, очевидно, И(Л - а/)^!!2 > 0 для всех i. Далее, disp(fF)/l = 0 означает, что

wJK^ — а/)ф.[|2 = 0 для всех /.(6 П)

Для заданного i это в свою очередь означает, что либо w. = 0, либо II(Л - а7)^112 = 0. Если w. = 0, то и'Д также равно нулю и в сумме (6.4) этот член можно опустить. Следовательно, суммирование в (6.4) можно производить только по тем i, для которых w. > 0. Для остальных значений i из (6.11) имеем 11(Л - a/)0JI2 = 0, т. е.

(А - аПф. = Аф; - аф; = 0.(6.12)

Следовательно, если disp^/l = 0, то все ф; для остальных значений i должны быть собственными векторами А, принадлежащими одному и тому же собственному значению а. Но тогда состояние W в (6.4) описывает, как это определено в (5.9), собственное состояние А.

Обратное утверждение, т. е. что disp(w)y4 = 0 для W из (5.9), доказывается прямым вычислением (см. задачу 10).

Доказательство утверждения 2. Для двух операторов А и В определим

А(Л, В) - Tr(W4fB) = Тг(И7(ЛтВ)) = ИД, А^В) = <А1В>.(6.13)

Из (4.3) и (4.4) легко показать, что

И(А, А) > 0,

И(А, В) = Н^В, А),

Ь^аА, В) = ah^A, В),

h(A + С, В) = А(Л, В) + й(С, В),

т. е. величина h (А , В), определенная в (6.13), удовлетворяет всем условиям (1.2.5), определяющим положительно-определенную эрмитову форму. Поскольку h (А , В) — положительно-определенная эрмитова форма, справедливо неравенство Шварца (1.2.7):

(6.14)(6.14)|й(Л, В)|2 < h^A, А^В, В1).

(6.14)

(6.14)

Исходя из этого легко доказать неравенство (6.2) (мы предполагаем операторы А и В эрмитовыми)

КЕЛ, В]>|2 = |/1(/, [Л, В])|2 = \h(A, В) - ЦВ, Л)|2 < 4h(A, A)h(B, В), так что если мы сделаем замену

Л -► Л — а/,а = Tr(W^),

В В - (Я,li = Tr(WB),

то получим

К А — al, A — alXB - [Н, В - /И) > ^\hU, [А — а/, В — Д/J) |2

или (для эрмитовых А и В)

disp Л dispB > ilА(1, ЕЛ, В])|2 = |КЕЛ, BJ>|2.(6.15)

Извлечение квадратного корня дает (6.2), и, следовательно, утверждение 2 доказано.

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ОПЕРАТОРОВ КООРДИНАТЫ И ИМПУЛЬСА; ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО

ОСЦИЛЛЯТОРА

В этом разделе мы исследуем свойства волновых функций. Начнем с исследования свойств операторов Р и Q: в частности, мы хотим знать, каковы возможные собственные значения х оператора Q, т. е. для каких х может иметь место равенство

Q|x) = x|x)(7.1)

Затем мы хотим найти коэффициент перехода (xl л), который осуществляет преобразование между вектором I и) = фп (собственное состояние Н и N) и векторами I х) (собственные состояния QY

I») = Цх)(х|и).(7.2)

Из (3.1) и (3.2) следует

(а + й^)|л) 2/кд.

(7.3)(7.3)-- (Vn\n - 1) + Ул + 11Л + 1)).

(7.3)

(7.3)

2/кд

Взяв скалярное произведение этого выражения на 1х), получаем

<"iew=-V 2/to)<"iew=-V 2/to)(Vn(n - 1 |х) + ^П + 1(Л + 1 |х)).(Vn(n - 1 |х) + ^П + 1(Л + 1 |х)).(7.4)(7.4)

<"iew=

-V 2/to)

<"iew=

-V 2/to)

(Vn(n - 1 |х) + ^П + 1(Л + 1 |х)).

(Vn(n - 1 |х) + ^П + 1(Л + 1 |х)).

(7.4)

(7.4)

(7.5)(7.5)С другой стороны, вычисляя скалярное произведение (7.1) на 1л), получаем

(7.5)

(7.5)

(л|0|х) = х(п\х).

Сравнение (7.4) и (7.5) показывает, что

х(л|х) = -Д— (Vn(n - 1|х) + <л + 1(л + 1|х)).(7.6)

2/to)

или, вводя обозначение п + 1 = т,

Ут(т|х) =Ут(т|х) =m — 1(т — 2|х).(7.7)m — 1(т — 2|х).(7.7)

Ут(т|х) =

Ут(т|х) =

m — 1(т — 2|х).(7.7)

m — 1(т — 2|х).(7.7)

Так как (7.3) имеет место при п = 0,1,2,..., выражение (7.7) справедливо при т = 1,2,3,... . При п = 0 (т. е. т = 1) вместо (7.3) получаем

6|0)= M-VoTT|o+i) = М-1>).<7-3а>

а/ 2/to)-\л 2/40)

а вместо (7.7)

(7.7а)

Таким образом, мы видим, что равенство (7.7) задает рекуррентное соотношение для (т |х); если (01 х) известно, можно найти (Их) из (7.7а), а затем найти (21х) из (7.7); по (Их) и (21х) можно найти (31х) из (7.7) и т. д.

Чтобы найти коэффициенты перехода (т 1х), введем обозначе

ния

(7.8)

и

'7.9)'7.9)Му) - -Jw. №,

'7.9)

'7.9)

определенные для всех х таких, что (01 х) * 0 (если (01 х) = 0, то из (7.7) и (7.7а) следует (п 1х) = 0 для всех п). Тогда из (7.7) следует

J2л,т, Л-O') ^""'(т-Г)!Jl^im^-^^”^2^’ ^Ло)

Uy) = ^yUM - 2(т - 1)/„,2(у).(7.11)

Из (7.7а) имеем

Л(у) = 2у/0(у),(7.12)

а из (7.9) получаем

/о(У)=1-(7.13)

Уравнения (7.11), (7.12) и (7.13) задают рекуррентные соотношения для функций Эрмита и имеют решение для любого комплексного числа ух\ Таким образом, для любого комплексного числа х существует решение рекуррентных уравнений (7.7) (л 1х). Из физических соображений нужно рассматривать только действительные значения х, поскольку х является величиной, которая получается при измерении положения и должна быть действительной. Для действительных значений у решения fm(у) уравнений (7.11), (7.12) и (7.13) называются полиномами Эрмита:

Цу) = Шу) = (7.14)

Следовательно, из (7.9) мы можем найти коэффициент перехода (л I х) для любого действительного значения х, для которого определено (01 х). Мы ограничимся рассмотрением тех решений уравнения (7.7), для которых величина (01 х) конечна, поскольку величина I (01 х )12 — вероятность получить значение х при измерении Q в основном состоянии Ло — предполагается конечной.

Объединяя (7.8), (7.9) и (7.14), получаем

(и I х) =(и I х) =(0|х)Н„(0|х)Н„(7.15)(7.15)

(и I х) =

(и I х) =

(0|х)Н„

(0|х)Н„

(7.15)

(7.15)

при —оо < х < оо.

11 См. приложение к разд. 1.6 или работу [9], разд. 10.4.

Ц Величины ОЯ х) = ЕЯ«Я(ФЯ1 х), рассматриваемые при фиксированном х как функции от ф, являются антилинейными функционалами от V/ на пространстве Ф в уравнении (3.27) (т. е. удовлетворяют уравнению (1.7.1); следовательно, 1х) является непрерывным функционалом, см. разд. 1.7). Как упоминалось в гл. I, набор непрерывных линейных функционалов на пространстве Ф, который мы обозначаем Фх, в общем случае шире, чем Ф, кроме случая гильбертова пространства с^, где ^х = ^ (теорема Рисса — Фреше). Принимая во внимание (3.28), получаем Ф С^С Фх — тройку Гельфанда, или оснащенное гильбертово пространство для гармонического осциллятора. Векторы 1х), удовлетворяющие (7.1), являются элементами Ф х и являются обобщенными собственными векторами оператора Q; набор

|х) - оо < х < + ОО

является обобщенной базисной системой. Спектр оператора Q непрерывный; им является вся действительная ось IR. Спектр оператора N (3.2) или Н (3.7) является дискретным. Так как х может принимать любое действительное значение, формальная сумма в (7.2) является на самом деле интегралом. (7.2) есть частный случай ядерной спектральной теоремы, согласно которой любой вектор <р € Ф можно записать в виде

? = j dxKQ) = j dxKx)\x)<x\, (7.16) как подробно объяснено в разд. 1.4. Здесь мы обозначаем обобщенные собственные векторы оператора Q

Q\x) = х|х> (7.17)

через I х> вместо I х), чтобы подчеркнуть различие между ними и собственными векторами, принадлежащими дискретному спектру I п). Если взять «скалярное произведение» р из (7.16) с 1х'>, или, точнее, вычислить значение функционала I х' > на элементе ц>, то получим

<х'|^> = j Jx<x'|x><x|^>. (7.18)

Следовательно, <х' 1х> является математическим объектом, осуществляющим при помощи интегрирования в (7.18) отображение «хорошей» функции р^х) = < х I <р) в ее значение в точке х' :

<р(х' ) = <х' lip). Это Ь-функция Дирака, или д-распределение <х'|х> = <5(х'- х),(7.19)

так что (7.18) можно переписать в виде

<р(х') = <х'|<р> = dx д(х’ — х)<х|<р> (7.20)

= Jdx д(х' — х)<р(х).

При переходе от символической записи (7.2) к (7.16)

£ 1х)(х1 было заменено на jdxlx><xl.

Следовательно, векторы 1х) и обобщенные векторы 1х> должны иметь разные размерности, чтобы

|х)(х| и Jx|x><x|

имели одинаковую размерность.

Величины \xXx\dx являются аналогами проекционных операторов, но они не проецируют ни на какой вектор из гильбертова пространства (или Ф), поскольку векторы 1х> не являются элементами этих пространств. Проекционными операторами являются ^dx lx><xl, где интегрирование производится по конечному интервалу Дх. Как и в случае операторов с дискретным спектром, можно определить функции от оператора Q с непрерывным спектром формулой

/(0 = У^ /(х)|х><х|,

где Дх) — функция, определенная на спектре Q, и (^хДх)1 ф(х)\2 < оо для всех 6 Ф.|

Вернемся теперь к вычислению волновой функции гармонического осциллятора и вычислим (01 х>. Запишем фп = 1л) в виде (7.16)

|и) = У^х |х><х|и)(7.16')

и вычислим скалярное произведение этого выражения на фт:

L = ^m^») = № = px(m|x><x|n).(7.2,1)

(7.22)(7.22)1п1тп\т\1лш1п1тп\т\1лшhЦО)hЦО)Нт^НМ — Ьтп- (7.23)Нт^НМ — Ьтп- (7.23)

(7.22)

(7.22)

1п1тп\т\1лш

1п1тп\т\1лш

h

ЦО)

h

ЦО)

Нт^НМ — Ьтп- (7.23)

Нт^НМ — Ьтп- (7.23)

Мы будем использовать

<х|и) = (и|х>.

| Если бы I и) = фп и I х) = х являлись векторами из гильбертова пространства, то (7.22) являлось бы условием (1.2.26) из определения скалярного произведения. Но (л1х> является значением функционала I х> 6 Фх на элементе I п) е Ф, a <xl п) — значением функционала I п) е Фх х = Ф на элементе I х> еФх, так что равенство (7.22) не является очевидным. Можно показать, однако, что равенство (7.22) всегда имеет место для коэффициентов перехода между дискретным и непрерывным базисами. В последующем изложении мы не будем учитывать различие между I) и I > и будем использовать только обозначение 1>, за исключением случаев, когда необходимо подчеркнуть различие между обобщенными и обычными векторами. Ц

Подставим (7.15) в выражение (7.21) и получим

dye-^HmWMy) =dye-^HmWMy) =т ^ и, т = п.т ^ и, т = п.(7.24)(7.24)

dye-^HmWMy) =

dye-^HmWMy) =

т ^ и, т = п.

т ^ и, т = п.

(7.24)

(7.24)

Если сравнить это уравнение с соотношением ортогональности для полиномов Эрмита (см [9], разд. 4.13)

то найдем

Таким образом, с точностью до произвольного фазового множителя (который мы полагаем равным единице)

(7.26)

Используя эту формулу и (7.15), получаем коэффициенты перехода <п 1х> междух- и п -базисами, т. е. волновые функции гармонического осциллятора фп(х):

Рис. 7.1. Волновые функции гармонического осциллятора [10].

Некоторые из этих волновых функций приведены на рис. 7.1.

Повторим теперь ту же процедуру, которая применялась к оператору Q, в применении к оператору Р. Собственные векторы Р будем обозначать через 1р>:

Р\Р> = р\р>.(7.28)

Действие Р на 1и> (см. задачу 13) имеет следующий вид:

Р|и> = -i (а - а^\п)

У 2(7.29)

= i(Vn^n - 1> - Vn + 1 |л + 1».

Если мы вычислим «скалярное произведение» с 1р> и используем (7.28), то получим

Р<Р|”> = ~1^^-(^п<Р\п - О - Vй + 1 <Р\п + О),(7.30)

или

р<п\р> = ^у^-^^ ~ ^^ - V” + 1 <п + ^Р»’(7.31)

Если ввести новые величины (и I р), определенные соотношением

то получим

i<n - 1|р> = ип \п - 1|р),

(7.33)

-i<n + 1 |р> = -нп+1(п + 1|р),

так что соотношение (7.31) можно записать в виде

Р(”|р) = J^^^V”^ - Up) + ^^^^(и + 1 |р)).(7.34)

Мы видим, что это в точности рекуррентное соотношение (7.6), где xV/aw/A заменено на pH^h. Поэтому, используя те же аргументы, что и для <и1х>, находим (используя (7.32))

<n|p> = iV—Y 4 ^2= H„(^L=pV-’‘'2'-"*.(7.35)

укцшЬ)х^/пцо) /

Мы видели, что собственные векторы 1и> оператора энергии// для гармонического осциллятора обладают весьма специфическим свойством, состоящим в том, что коэффициенты перехода (7.27) между этими векторами и х -базисом такие же, как и коэффициенты перехода (7.35) между этими векторами и р -базисом (с точностью до фазового множителя).

Используя те же аргументы, что и для оператора Q, мы заключаем, что спектр Р непрерывен:

спектр Р = {р| - оо < р < оо),(7.36)

а величины \р) есть обобщенные собственные векторы.

Коэффициенты перехода < р I п > в выражении

\п> = ^ dp \рХр\п>(131)

называются волновыми функциями в импульсном представлении и обозначаются

Фпкр) = <р\п>.(13%)

Плотность вероятности найти значение р при измерении импульса Р в собственном состоянии энергии Л„ осциллятора равна wn(p) = 1<р 1л> I2. Отметим также, что для произвольного вектора <р коэффициент перехода

(7.39)(7.39)<р(р) = <Р\<Р>

(7.39)

(7.39)

(р = J ^р|р><р|(р>(7.40)

называется волновой функцией в импульсном пространстве, или волновой функцией в р-представлении для состояния ф.

Выше мы нашли матричный элемент Q в х -представлении

<n|Q|x> = х<п|х>,(7.41)

или в более общем виде для любого хорошо определенного вектора ф

<(p\Q\x> = х<(р\х>,<x\Q\(p> = Х<х\(р>.(7.42)

Подобным же образом мы нашли матричный элемент Р в р -представлении

<и|Р|р> = р<п|р>,(7.43)

или в общем случае

<(р|Р|р> = р<<р|р>,<р\Р\<Х = р<р\ф>.(7.44)

Мы хотим теперь вычислить матричные элементы Р в базисе обобщенных собственных векторов Q и матричные элементы Q в базисе обобщенных собственных векторов Р. Сделаем это в два шага: сначала выясним, что представляет собой символ <xlp> — матричный элемент перехода между х -базисом и р -базисом, а затем вычислим < х IР I п >.

Начнем с того, что вычислим скалярное произведение (7.16') с 1р> (или, точнее, рассмотрим фп как функционал на обобщенном собственном векторе \р > е Фх, ре спектр Р, и используем (7.16')):

<р|и> = ^dx <р\х><х\п>;(7.45)

затем вычислим скалярное произведение (7.37) с < х I (или, точнее, рассмотрим фп как функционал на обобщенном собственном векторе

|х)ефх. х е спектр Q,

и используем (7.37)):

<х|п> = (dp <х\р><р\п>.(7.46)

В (7.45) и (7.46) <х\п) и <р 1и> определяются выражениями (7.27) и (7.35) соответственно. Полиномы Эрмита обладают свойством (уравнение (I.A.17), см. [9], разд. 4.12)

J

+ «оК,]

d^ е" ^HnktY(7-47)

-«оV2x

Подставляя в это соотношение (7.35) и (7.27), получаем

f + ооgixpfh

<п\р> =dx<и|х>,(7.48)

* — оо2тси

или, взяв комплексно-сопряженное выражение,

Г е- ixp,h

<p|n> = dx—>-= (хи).(7.49)

3 Jlith

Сравнивая (7.49) с (7.45), находим, что <р 1х> задается формулой

<р\х) = -e-ixp/h.(7.50)

V2tA

Таким же способом получим из (7.46) и (7.47)

<Х\Р> = -l^gixplh(?51)

х/2тс/1

Из соотношений (7.50) и (7.51) следует

<х|р> = <р|х>.(7.52)

Теперь, используя (7.51), легко вычислить матричные элементы Р в базисе обобщенных собственных векторов Q:

<х|Р|^> =

fСpixp/h

| dpр<х\р)<р\<р) = I dpp—== <р|^>

JJV2tA

= 1

<Х\Р'><Р\(Р'> =у4: ( dp<x\p)<p\<p).

Таким образом,

^W) =^<х\ф'>.(7.53)

Подобным же образом, используя (7.50), получим

<P\Q\<P> = "7^<Pl^>-(7.54)

Каждый вектор в линейном пространстве может быть полностью охарактеризован своими компонентами по отношению к определенному базису. В разд. 1.4 и 1.5 подробно обсуждалось, что, подобно тому, как вектор х в трехмерном пространстве представлен своими компонентами х( по отношению к тройке базисных векторов е,-, так что х = Y.?=x®ixi* вектор ф можно представить его компонентами < л I <р> по отношению к дискретному базису Фп = 1и> собственных векторов Н, согласно ф = Е*=о1 иХи!^) (выражение (4.8)). То же справедливо и для непрерывного базиса, где имеем (7.16)

Ф = j dx |х><х|<р).

Следовательно, вектору ф соответствует функция <xl^>> = <о(х), а вектору Рф соответствует функция <xlPl^>>. Уравнение (7.53) утверждает тогда, что при реализации пространства векторов ф пространством волновых функций < х I ф) = ф^х) оператор импульса реализуется дифференциальным оператором, умноженным на h/i, и (7.42) утверждает, что оператор координаты реализуется оператором умножения на число х. Такая реализация называется представлением Шредингера.

Цнеобходмо заметить, что представление Шредингера нельзя вывести только из коммутационных соотношений (2.1а); требуется дополнительное предположение о том, что оператор Н в (2.16) имеет по крайней мере один собственный вектор. Это предположение — одна из эквивалентных форм требуемого дополнительного предположения. Можно также потребовать существенной самосопряженности оператора Р2 + Q2 или того, чтобы представление алгебры Гейзенберга можно было проинтегрировать до представления группы Вейля (вейлевская форма коммутационных соотношений). |

Уравнение на энергетический спектр в представлении Шредингера

Нфп = Епфп(7 55)

есть не зависящее от времени уравнение Шредингера, которое мы сейчас выведем для гармонического осциллятора. Оператор энергии

для осциллятора дается формулой (2.16):

Н = 1 Р2 + Q2(7.56)

Возьмем матричный элемент Н между < х I и I п >:

<лг|Н|л> = ^ <лг|Р2|л> + ^ <х|е2|и>.(7.57)

Вычислим

<х|Р2|и> = S <х|Р|и'><л'|Р|и>

=<х|л'Хм'|Р|м>

= jilZ<x\n,'Kn'\P\n'> I ил

= (У5<Ф>.(7.58)

Кроме того, из (7.1) имеем

<х|д2|л> = *2<х|л>.(7.59)

Подставляя эти выражения в (7.57), получаем для матричного элемента оператора энергии выражение

<х|Я|и> =<х\п> +х2<х|и>

ах2

= (t^L хг\<х\П').(7.60)

\ 2Д dx2 2/ 1

Следовательно, в представлении Шредингера уравнение на собственные значения имеет вид

/ й2 d2 цс? Д

r^d? + ^“x)<x|"> = £''<*l">'(7-55)

Подводя итоги, мы видим, что в х -представлении оператор Р задается в виде —/ hd /dx:

P^-ih(761)

dx

а оператор энергии — в виде

II.8 ПОСТУЛАТЫ II И III ДЛЯ НАБЛЮДАЕМЫХС НЕПРЕРЫВНЫМ СПЕКТРОМ

Описание фундаментальных предположений II и III в разд. II .4 проводилось в терминах операторов, обладающих дискретным спектром. В этом разделе мы дадим описание случая наблюдаемых, обладающих непрерывным спектром. С помощью вводимого здесь формализма мы сможем более подробно обсудить проблемы, связанные с измерением координаты и импульса — предметом обсуждения следующего раздела.

Статистический оператор для чистого состояния

W = КЬй = <boXboV

где Ад — проекционный оператор на одномерное подпространство, порожденное (обычным) собственным вектором I b ^ наблюдаемой В, в произвольном базисе { фп) записывается в виде

W = /^ СщСп I Фт) (Фи I.(8.1а)

где= <0.|Ьо>-(816)

Если { фJ — такой базис, что { фь = IЬ)) , где В, а следовательно, и W диагональны, то

сь = <Фь\Ь0> = <Ь|Ь0> = ^ьь0-(8.16')

Для смешанного состояния статистический оператор имеет вид

= Е Wmn I Фт> <Фп\’(8.2)

где wmn — матричные элементы W в базисе { Ф„) ; набор { wmn\ есть матрица плотности.

В случае непрерывного спектра выражение (8.1а) необходимо заменить выражением

W = рх' dx” /(x'VOTIx'Xx"!,(8.3а)

где { 1х>) — базисная система обобщенных собственных векторов наблюдаемой, скажем Q, с непрерывным спектром. Разумная пробная функция/(х) непрерывной переменной х для чистого состояния W = А. задается выражением

° О

/(х) = <х|Ь0> = <х|Ь0).(8.36)

Здесь мы использовали вторую форму записи, чтобы подчеркнуть, что 1х> есть обобщенный собственный вектор, а 1д0)— просто собственный вектор. Для смешанного состояния статистический оператор по аналогии с (8.2) записывается в виде

W= jdx'dx" F(x,,x")|x'><x"|,(8.4)

где F(x', х")— функция двух непрерывных переменных х' и х" — обобщенных собственных значений Q.

Предположим теперь, что наблюдаемая В, которая была использована для приготовления состояния W, есть Q и мы хотим приготовить и описать чистое состояние. Хотелось бы выбор. :ь /(х) = <х|х0> = д(х - х0)

по аналогии с дискретным случаем (8.16'), так что

W= Лхо = |хо><хо|.

Но нет смысла говорить об измерении некоторого фиксированного значения наблюдаемой с непрерывным спектром. Любой измерительный прибор — макроскопическая система, имеющая конечные размеры и не являющаяся инфинитезимально малой. Счетчики имеют конечные размеры и реагируют на конечную энергию; щели — какими бы узкими они ни были — имеют конечную ширину. Следовательно, нет смысла говорить о состоянии физической системы, в котором измерение наблюдаемой Q с непрерывным спектром (скажем, со спектром Q = (— оо, + »)) даст точно одно значение, поскольку такое состояние нельзя приготовить и такое измерение невозможно провести. Имеет смысл говорить только о состоянии

физической системы, в котором измерение наблюдаемой Q даст значение х, лежащее в некотором определенном интервале х0 — с < х < ха + с вблизи определенной математически точки х0. (Физически нельзя определить ни идеальную точку, ни идеальный интервал, т. е. интервал с идеально определенными граничными точками.) Таким образом, из физических соображений аналогом (8.1а) для наблюдаемой Q с непрерывным спектром является выражение

W = ^dx' dx"№', х^Дх\ хь)|х'Хх"|,(8.5)

где /е(х, х0) — функция, сосредоточенная главным образом в окрестности (х0 — 6, х0 + е) точки х0 и описывающая более или менее непосредственным образом разрешение измерительного прибора, который приготавливал состояние.

Для состояния W, заданного в (8.1а), вероятность того, что измерение В даст значение b, равна

Тг (Л^ = (^| W\b> = (b\boXbo\b) = Ь^ь = &bbo- (86>

Для состояния W, заданного выражением (8.5), ожидание того, что измерение Q даст значение х, описывается не вероятностью, а плотностью вероятности (распределением вероятности)

<x|lF|x> = f dx' dx"/Дх'\ xoVt(x"; хь)<х|х'><x" |x>

dx' dx* /Ax'; xoVAx"; хь)5(х - x')d(x" - x)

= №; XoVAx; x0) = |/e(x; хь)|2 = Ft(r, хь). (8.7)

Здесь мы использовали (7.19) (или (1.47 ср), если dx играет роль du(x)).

Символически мы можем записать по аналогии с (8.6) <xl W\x) = Тг^ИЭ, где Лх = I х>< xl; необходимо, однако, помнить, что Кх не является проекционным оператором на подпространство пространства физических состояний. Физический вопрос, т. е. вопрос, ответ на который может быть дан экспериментальным измерением, таков: какова вероятность получить значение х в интервале между xY и х2, если измерение наблюдаемой Q проводится в состоянии И? Здесь интервал (хр х2) определяется разре- 461 9

шением используемого прибора, которое опять-таки не может быть инфинитезимально малым и точно определенным.

Оператор, отвечающий определению положения в интервале

х х < х < х 2, есть проекционный оператор

Л(хь Хг) = | dx |х> <х|;Л(хь Хг) = | dx |х> <х|;(8.8)(8.8)

Л(хь Хг) = | dx |х> <х|;

Л(хь Хг) = | dx |х> <х|;

(8.8)

(8.8)

следовательно, вероятность найти значение где-нибудь в интервале х, < х < х2 для системы в состоянии W из (8.5) равна»

Тг(Л(хь Х2)ИЭ = I dx' <х'|Л(Х1, хг)^^') = I dx (x\W\x)

dx\ft(x; xo)|2dx\ft(x; xo)|2dxF{(x; xb).dxF{(x; xb).(8.9)(8.9)

dx\ft(x; xo)|2

dx\ft(x; xo)|2

dxF{(x; xb).

dxF{(x; xb).

(8.9)

(8.9)

Функция Ft(x; x0) = I /е(х; x0)l2 определяется экспериментальной ситуацией. Она описывает разрешение прибора, которым приготавливается состояние W. Чем лучше разрешение, тем меньше 6, и в идеализированном (но нефизическом) пределе 6—0 имеем

(8.10)(8.10)|Л(х; хь)|2 = F^r, хь) ~* 5(х - х0).

(8.10)

(8.10)

Предел (8.10) отвечал бы прибору с идеальным разрешением, которого в природе не существует. Следовательно, состояние W в (8.5) может быть лишь настолько «чистым», или пик таким острым, насколько это позволяет экспериментальное разрешение, и пик никогда не может быть «идеально острым», как в случае 5-функции.

Чтобы состояние W, описываемое в (8.5), было нормированным, функция ft(x, х0) должна удовлетворять соотношению

Tr W = I dx <х| ^х) = I dx |/е(х; х0)|2 = I dxF({x, хо) = 1.

J — ООJ — ООJ — ОО

(8.11)

Примерами возможных F^x^ = ГДх, 0) являются (функциональные последовательности 6-типа)

(8.12)(8.12)(8.13)(8.13)(рис. 8.1),

(8.12)

(8.12)

(8.13)

(8.13)

(рис. 8.2),

ГО if X < б/2, FAx) = 1/6 if - 6/2 < х < + 6/2, (рис. 8.3),(8.14)

(О if + б/2 < х. j

Г оГ оif х < -6

Г о

Г о

if - 6 < х < 0,

FAx) =FAx) =► рис. 8.4.► рис. 8.4.(8.15)(8.15)00if + e < х.if + e < х.Рис. 8.1. График функции Fe(x) = (l/ir)e/(x2 + t2) для двух значений t (8.12).Рис. 8.1. График функции Fe(x) = (l/ir)e/(x2 + t2) для двух значений t (8.12).Рис. 8.2. График функции Ft(x) = (l/V2r)(l/f)exp(- - х2/е2) (8.13).Рис. 8.2. График функции Ft(x) = (l/V2r)(l/f)exp(- - х2/е2) (8.13).

FAx) =

FAx) =

► рис. 8.4.

► рис. 8.4.

(8.15)

(8.15)

0

0

if + e < х.

if + e < х.

Рис. 8.1. График функции Fe(x) = (l/ir)e/(x2 + t2) для двух значений t (8.12).

Рис. 8.1. График функции Fe(x) = (l/ir)e/(x2 + t2) для двух значений t (8.12).

Рис. 8.2. График функции Ft(x) = (l/V2r)(l/f)exp(- - х2/е2) (8.13).

Рис. 8.2. График функции Ft(x) = (l/V2r)(l/f)exp(- - х2/е2) (8.13).

Рис. 8.3. График функции F6(x) (8.14).

Рис. 8.4. График функции Ft(x) (8.15).

Все эти функции сосредоточены главным образом в интервале -6 < х < 4-6 и обладают свойством

Fe(x) -* 6(х) при 6 -* 0.

Таким образом, мы приходим к фундаментальному предположению Ша для непрерывного спектра. Статистический оператор W, заданный в (8.5) с распределением Fe(x), настолько узким, насколько это экспериментально возможно, является аналогом чистого собственного состояния для случая непрерывного спектра.

Мы будем называть такое состояние «почти собственным состоянием» наблюдаемой с непрерывным спектром.

Произвольное состояние, при приготовлении которого не могло быть попытки сделать его определенным, описано в (8.4). Функция

F (х', х" ) связана с функцией распределения вероятностей наблюдаемой Q соотношением

Tr(AxIV) = <х| И^|х> = ^dx' dx" F^x', х")<х|х'><х"|х> = F(x, х). (8.16)

Здесь уместно упомянуть соотношение между физической измеримостью и приготавливаемостью состояния и математическим описанием квантовой физики в оснащенном гильбертовом пространстве Ф С ^С Фх, хотя мы не можем дать здесь детальное описание1).

Функция разрешения Fe(x;x0) или/е(х;х0), описывающая реалистический экспериментальный прибор, должна быть разумной функцией, т. е. напоминать функции (8.12)—(8.15) с малым, но конечным 6, чтобы описывать состояние настолько определенное, насколько допускает это его приготовление. Можно дать точную формулировку, потребовав, чтобы /е(х; х0) принадлежала к пространству Шварца, являющемуся реализацией Ф. Возможно, более адекватно было бы потребовать, чтобы РДх\х^ имела компактный носитель. Те функции/е(х; хД которые являются либо распределениями, либо элементами гильбертова пространства (т. е. квадратично интегрируемые по Лебегу функции, определенные всюду, кроме множества меры нуль), не могут описывать разрешения реалистического прибора (например, эффективность детектора).

Если/е(х;х0) является элементом пространства Шварца, то состояние, которое получается в (8.5) или (8.4), принадлежит к пространству Ф. Точнее, W является положительно-определенным оператором в гильбертовом пространстве с ограниченным следом, причем W^ с. Ф. Если W является чистым состоянием РЕ = ।/Х/L то функция /(х) = <xl/), заданная в (8.3), является элементом пространства Шварца, а 1/> — элемент Ф. Таким образом, требование, чтобы пространство физических состояний состояло только из тех состояний, которые могут быть приготовлены в реалистическом эксперименте, означает, что при точной формулировке исходных фундаментальных предположений пространство физических состояний должно быть не гильбертовым пространством ^, но ядерным топологическим пространством Фх из оснащенного гильбертова пространства Ф С^С Фх. Хотя элементам Фх, не лежащим в Ф, не отвечают физические состояния, пространство Фх играет исключительно важную роль, поскольку оно содер-

11 Элементарное обсуждение см. в книге [11].

жит обобщенные собственные векторы самосопряженных операторов с непрерывным спектром, которые не принадлежат Ж (см. разд. 1.4 и 1.7). .

Гильбертово пространство ^ бесконечномерно, причем бесконечномерно в очень специальном смысле, а именно оно является полным в данной топологии, т. е. при заданном понимании сходимости бесконечной последовательности. Поскольку бесконечное число состояний приготовить невозможно, физические измерения ничего не могут сказать о бесконечных последовательностях, а могут в лучшем случае дать информацию о произвольно длинных, но не бесконечных последовательностях. Следовательно, физика не может дать достаточно информации, чтобы сказать, как переходить к бесконечному пределу, т. е. как выбрать топологию. Выбор топологии является систематическим обобщением, причем топологию следует выбирать, руководствуясь соображениями максимального удобства.

При выборе Ф в качестве пространства физических состояний мы не только получаем описание, являющееся более близким к реальности по упомянутым причинам, связанным с приготовлением и измерением физических состояний, но и имеем громадное упрощение математического описания. Даже простейшая алгебра операторов, появляющаяся в квантовой механике, а именно заданная в (2.1а), не может быть реализована ^-непрерывными операторами. Следовательно, существуют векторы, лежащие вне области определения наблюдаемой, реализованной ограниченным в «^ оператором, т. е. векторы, которым отвечают состояния с бесконечной энергией. В противоположность этому кажется возможным, что для всех физических систем наблюдаемые могут быть реализованы Ф-непрерывными операторами. Таким образом, при описании в терминах оснащенного гильбертова пространства математическим образом физической системы является алгебра непрерывных операторов, вопросы об области их определения не возникают, и все математические манипуляции, осуществляемые физиками, строго определены.

Рассмотрев аналог формулы (4.31) в аксиоме Ша — выражение (8.5), обсудим теперь фундаментальное предположение Шб для непрерывного спектра. Пусть физическая система находится в состоянии W; это состояние могло быть приготовлено измерениями наблюдаемой с непрерывным или дискретным, или даже, может быть, произвольным спектром. Если измерение наблюдаемой Q, обладающей непрерывным спектром — оо < х < + оо, проводится над состоянием IF и используется для выбора подансамбля со значения-

ми х наблюдаемой Q в интервале хх < х < хг, то (ненормированное) состояние W , описывающее этот подансамбль, имеет вид

W = Л(хь xi^WMxx, Х1)

?хгрхг(8.17)

= I dx' 1 dx* |xz )<xz| И^х* )<х* |.

J XiJ Xi

Это аналог формулы (4.52) для случая непрерывного спектра. Заметим, что при х, — — оо, хг — —оо мы имеем W' = W\ это означает, что никаких измерений не проводилось. Как и раньше, интервал х, < х < х2 должен быть конечным; он не может быть бесконечно малым из-за конечного разрешения и конечных размеров измерительного прибора.

Чтобы показать, что выражение (8.17) описывает состояние, для которого измерение Q должно дать значение х в интервале х, < х < х2, вычислим плотность вероятности получения значения х, которая, согласно (8.17), равна

<Лх> - = ^^ Иг (Л,Я") = ^^ <х| W |х>.

. fX2 /»Х2

= „ I dx* \ dx* <x|xz><xz|lT|x*><x*|x>

If WJxi

t

o,X < X1 или X > X2, ,-

(Tr 1TZ)-I<x|^x>,X1<X<X2.'

Реальное измерение даст значение в некотором малом интервале

*о — 6 <х < х0 + 6. Вероятность того, что измеренное значение Q попадет в такой интервал, равна

<Л(хь - 6, ль + е)> z

dx<Xx)'

О(хь - 6, хь + б)А(хь х2) = 0,

।рхо + е

^-j^T 1 dx <х| W\x>, (ль - €, Xb + б) С (хь х2).

°(8.19)

Следовательно W’ описывает состояние, которому отвечают значения координаты в интервале (хр х2).

ИЗМЕРЕНИЕ КООРДИНАТЫ И ИМПУЛЬСА —ЧАСТИЦЫ И ВОЛНЫ

Материал разд. II.8 обеспечил нам формализм, в рамках которого мы можем более детально обсуждать проблемы, связанные с измерением координаты и импульса. Вернемся к модели гармонического осциллятора, заимствованной из классической механики, в которой рассматриваются колебания двух массивных материальных точек около положения равновесия. Предположим для простоты, что тг ► т р так что мы можем считать массу т г покоящейся.. Тогда координата х и импульс р по существу являются координатой и импульсом частицы 1.

Каким образом можно осуществить измерение координаты квантовомеханического гармонического осциллятора? В качестве реализации такой системы мы рассматривали двухатомную молекулу. Следовательно, вопрос состоит в том, как измерить координату, т. е. расстояние между двумя атомами в молекулах СО, находящихся в столкновительной камере. Кажется невозможным придумать измерительный прибор, который мог бы с этим справиться. То же самое относится и к измерению импульса в этом ансамбле. Таким образом, обсуждение в разд. II.7 вероятностей w(x) и w(p) не имеет большого практического значения, если ограничиться рассмотрением квантовомеханического гармонического осциллятора. С помощью формализма, развитого в разд. II.8, мы можем дать теоретическое объяснение этой ситуации.

В соответствии с (8.17) после измерения оператора координаты Q физическая система находится в почти собственном состоянии оператора координаты, т. е. все молекулы в ансамбле имеют координаты в интервале (х — б,х 4- е). Для нашей классической модели молекулы СО как двух осциллирующих материальных точек (где для простоты тг> т^ приведенное^ утверждение означает, что масса т ] расположена на расстоянии х от т 2, лежащем в интервале (х — с, х 4- е). Вместе с тем классическая система, в которой т, локализована в ограниченной области пространства, не является осциллятором. Это локализованная материальная точка, которую мы назовем частицей. Измерение оператора координаты Q над гармоническим осциллятором разрушает осциллятор, и в результате получается физическая система, классическим образом которой является частица. Таким образом, тот факт, что на практике невозможно осуществить эксперимент, в котором измерялась бы наблюдаемая Q для ансамбля молекул СО в столкновительной камере, имеет свое теоретическое обоснование в фундаментальном предположении Шб, сформулированном в (8.17).

Приведенные аргументы иллюстрируют также тот факт, что для заданной физической системы, такой как осциллирующая молекула СО, существуют различные виды наблюдаемых. Для одних из них (например, для оператора энергии осциллирующей молекулы СО) легко приготовить их собственное состояние рассматриваемой физической системы, для других (например, для оператора относительного расстояния в осциллирующей молекуле СО) приготовление их собственного состояния разрушило бы систему.

Измерение наблюдаемых второго типа может быть описано только при расширении физической системы. Так, в нашем примере мы могли не ограничиваться рассмотрением только молекул СО, но могли бы рассмотреть более широкую физическую систему, состоящую из молекул СО, атомов О и атомов С. Тогда молекулы СО — лишь частные состояния этой расширенной физической системы. Другие состояния — состояния, в которых атомы С и О не связаны. В этой расширенной системе измерение относительной координаты (расстояния между атомами О и С) всегда возможно, по крайней мере в принципе.

Для почти собственного состояния оператора координаты Q имеем

W(x) =W(x) =dx’ dx" ft(x' - xV?(xn - x)|x')<x"|,dx’ dx" ft(x' - xV?(xn - x)|x')<x"|,(9.1x)(9.1x)

W(x) =

W(x) =

dx’ dx" ft(x' - xV?(xn - x)|x')<x"|,

dx’ dx" ft(x' - xV?(xn - x)|x')<x"|,

(9.1x)

(9.1x)

где Q\x> = x lx) и/,(х' — x)l2 обладает теми же свойствами, что и функции (8.12)—(8.15). Можно определить почти собственное состояние оператора импульса Р:

^) = j-oo^ \_wdp"^t(j) “ Р^^" -P>\P'><PnV ^М где Р\р) = р\р>, а 1/е(р' — р>12— также функция, подобная функциям (8.12)—(8.15). Операторы Q иР связаны здесь соотношением (2.1а). В таком состоянии измерение импульса Р дает значение р в интервале р — е < р < р + 6. Исходя из тех же соображений, что и выше, мы заключаем, что такое состояние не может отвечать осциллятору; следовательно, мы не требуем выполнения условия (2.16) и будем требовать лишь, чтобы операторы Q и Р удовлетворяли соотношению (2.1а) и чтобы вследствие этого1 > для < р 1х) было справедливо выражение (7.50). Возможная связь меж-

0 Как замечено в скобках в конце разд. II.7, равенства (2.1а) недостаточно для вывода (7.50). Необходимо сделать дополнительное предположение — например, о существенной самосопряженности оператора Р 2 + Q 2.

ду оператором энергии Н и операторами Р и Q, облегчающая приготовление почти собственных состояний импульса, имеет вид Н = Р г/2т, где т — постоянная системы — масса. Квантовофизическая система, для которой выполнено это соотношение, называется свободной нерелятивистской элементарной частицей.

Квантовомеханическая система с хорошо определенным импульсом имеет в качестве своего классического образа волну.

Обсудим еще немного этот последний пункт. Характеристикой, или определяющим свойством, частицы является ее локализован- ность в пространстве, т. е. ей можно приписать определенную координату. Подобным же образом характеристикой, или определяющим свойством, волны, в частности плоской волны, является ее бесконечно протяженная в пространстве периодическая структура. Математическое описание плоской волны имеет вид

Ф(.Х, t) = Де'кхе-1Ш1(9.2)

так что ее пространственная структура описывается формулой

и(х) = Ае**,(9.3)

где А — амплитуда, а к — волновое число. Фундаментальной характеристикой является длина волны X = 2-х/к. Если волна не плоская, т. е. не имеет строго заданного волнового числа или длины волны, но при этом волновые числа к’ лежат внутри некоторого интервала (к — Дк ,к + Д&), то имеем волновой пакет, описываемый формулой

Ф(х) = j dk’ А(к')е,к х,(9.4)

где А (к ) отлична от нуля только в интервале длиной 2Д* с центром в к.

Чтобы показать, что квантовомеханическая система с хорошо определенным импульсом имеет своим классическим образом волну, вычислим пространственное распределение состояния с хорошо определенным импульсом. Проведем сначала упрощенное вычисление, работая с «состояниями» с фиксированным импульсом 1р) и «состояниями», имеющими фиксированную координату 1х), которые «описываются» операторами Wф^ = dp \р><р \ и ^(х) = dxlx><xl соответственно, хотя мы не должны забывать, что такие «состояния» не являются физическими.

Для чистого состояния Л^ с «хорошим» вектором СОСТОЯНИЯ ^ пространственное распределение задается волновой функцией ф(х) = <х\ф>; согласно (5.25), плотность вероятности найти значение х при измерении координаты для состояния ф равна w^x) = Кх l^> I2. Пусть теперь вектор не является «хорошим», а следовательно, вектор «состояния» 1р> нефизический. Тогда пространственное распределение дается выражением <х\р>, которое, согласно (7.51), равно

<х\р> = —-L_ е^.<х\р> = —-L_ е^.(9.5)(9.5)

<х\р> = —-L_ е^.

<х\р> = —-L_ е^.

(9.5)

(9.5)

Если мы сравним это пространственное распределение с распределением для плоской волны (9.3), то увидим, что «точное собственное состояние импульса» квантовомеханической системы имеет такое же пространственное распределение, как классическая система, называемая плоской волной, волновое число и длина волны которой задаются формулами де Бройля

к=Ар, Х = ^ = ^.(9.6а)

hР Р

Это позволяет называть ансамбль квантовомеханических систем с заданным импульсом р волной с длиной волны X = h /р.

Вернемся теперь к физическому случаю, где состояние задано формулой (9.1р) и является почти собственным состоянием импульса с распределением по импульсам \/еф' — pV1 настолько узким, насколько это возможно. Плотность вероятности получить значение х при измерении наблюдаемой Q в состоянии W (р), согласно (8.7), задается формулой

<х| BXp)|x> = jdp' j dp" ft(p' - p)ft(p" - pKx^'Xp* |x>

!

+°°pixp'/h Г+°°-p-ixp'/h

dp'^(P' - p) I dp"MP" -P)•

-ooч2/кп J

(9.7)

Чтобы сравнить эту формулу с волновой функцией (классического) волнового пакета (9.4), определим

V” dp'JAp'-p)^t = dk'hJAk'"?'(9.8)

где р' = hk'. Пригде р' = hk'. ПриЛ(ЛГ') = /Л/<(*Л/2/7Л(ЛГ') = /Л/<(*Л/2/7-к)-к)

где р' = hk'. При

где р' = hk'. При

Л(ЛГ') = /Л/<(*Л/2/7

Л(ЛГ') = /Л/<(*Л/2/7

-к)

-к)

Ф(х) действительно описывает волновой пакет (9.4), и интенсивность этой волны, согласно формуле

<x|W(p)|x> = ф<х)|2.<x|W(p)|x> = ф<х)|2.(9.9)(9.9)

<x|W(p)|x> = ф<х)|2.

<x|W(p)|x> = ф<х)|2.

(9.9)

(9.9)

определяет плотность вероятности нахождения значения х.

Таким образом, квантовомеханическая система в состоянии с хорошо определенным импульсом (с узким интервалом импульсов) имеет своим классическим образом волновой пакет с длиной волны X, лежащей в узком интервале

2лйр - в2лйр - в> Я >> Я >2лйр + е2лйр + е(9.10)(9.10)

2лй

р - в

2лй

р - в

> Я >

> Я >

2лй

р + е

2лй

р + е

(9.10)

(9.10)

Интенсивность этой волны отвечает плотности вероятности для измерения координаты. Функция ф(х) характеризует вероятность и называется амплитудой вероятности.

Мы понимаем теперь, почему величина ф(х) = < х I ф) была названа волновой функцией. Пусть W^ — чистое состояние, т. е. W есть проектор на пространство, порожденное ф. Тогда плотность вероятности получить значение х при измерении координаты равна

w^x) = <x|F^|x> = <х|ф><ф|х>

= *хЖх) = Wx)|2.(9.11)

С другой стороны, мы можем вычислить <х|1Г^|х), подставляя полную систему обобщенных состояний

/= f</p'iP'XP'k и получим

<х|И^|х> = j dp' j dp" <х\р,)<р'\ф'><хР\р"><р"\х)

I

gixp'/hГg-ixp"/h(9.12)

dp'^—ttp”) Up-^^-Kp").

NhrhJ Nhch

Если сравнить выражения (9.11) и (9.12), то видно, что волновая функция, физическая интерпретация которой состоит в том, что

квадрат ее модуля есть плотность вероятности, задается формулой

(9.13)(9.13)/* eixp'/h

(9.13)

(9.13)

Ф(х) = dp' —= ф(р'),J V2nft

где ф^р'^ = <р'\ф>. Следовательно, волновую функцию ф^х) можно рассматривать как суперпозицию плоских волн, причем ф^х) становится все более похожей на плоскую волну по мере того, как коэффициент перехода <рЧф) между чистым состоянием ф и обобщенным собственным вектором импульса 1р'> становится более похожим на 6-функцию 6(р' — р).

Волновая природа квантовой системы может быть экспериментально выявлена в дифракционных экспериментах. Рассмотрим систему, которая приготовлена в почти собственном состоянии импульса, т. е. монохроматический пучок квантовых частиц. Такой монохроматический пучок легко приготовить, если частицы заряжены, и труднее приготовить, если они нейтральны (как атомы или молекулы). Поэтому рассмотрим сначала монохроматический пучок электронов, такой, как в эксперименте с потерей электронов, рассмотренном выше. Электронный пучок испускается нитью накала, затем ускоряется электрическим потенциалом и пропускается через скрещенные электрическое и магнитное поля с очень хорошо заданными напряженностями. Не отклоняются только электроны с очень хорошо фиксированными импульсами. Если J^P* — р) описывает разброс по импульсам в этом пучке, то пространственное распределение задается формулой (9.8):

Ф(х) = f dk* Лeixk^ (9Л4) J N2irh

которая приближается по форме к плоской волне

Фкх^Фкх^« Аёхк« Аёхк

Фкх^

Фкх^

« Аёхк

« Аёхк

при уменьшении разброса по импульсам вокруг значения ПК. Эта приближенно плоская волна, будучи рассеянной на решетке, дает типичную дифракционную картину.

В специальной теории относительности с соотношением (9.6а) связано другое соотношение

(9.66)

где ш — угловая частота света, ш = Zur. Связь между (9.6а) и (9.66) наиболее удобным образом устанавливается из закона дисперсии для наших волн ш = /(£) и связи между энергией и импульсом Е =/ф\ Таким образом, для системы «электромагнитная волна — фотон» закон дисперсии имеет вид ш = ск (v = с /X), а связь между энергией и импульсом задана соотношением Е = ср {Ег — (ср)2 = (тс2)2 при массе покоя т = 0). Из этих классических соотношений (первого для волны и второго для безмассовой релятивистской частицы) немедленно вытекает, что (9.66) является следствием (9.6а), и наоборот. Для системы «волна де Бройля электрона — нерелятивистский электрон» закон дисперсии имеет вид w = k^/l^m/hY а связь между энергией и импульсом есть Е = рЧ2т\ это опять показывает, что соотношения (9.6а) и (9.66) следуют одно из другого.

Две физические системы «электромагнитная волна — фотон» и «волна де Бройля электрона — электрон» являются примерами физических систем, называемых элементарными частицами^. Но историческое развитие представлений об этих двух системах было совершенно различным. Начнем с того, что все имевшиеся экспериментальные данные о свете можно было объяснить в рамках как корпускулярной теории (Ньютон, 1663 г.), так и волновой теории (К. Гюйгенс, 1678 г.). Одна и та же область физического знания описывалась двумя различными картинами. После этого была открыта дифракция света (Юнг, 1801 г.), которую можно было объяснить только в рамках волновой теории. С другой стороны, катодные лучи, хотя и рассматривавшиеся некоторыми учеными как распространяющиеся подобно свету в связи с процессами, происходящими в эфире, вели себя, как это было вскоре доказано, в электрическом и магнитном полях как отрицательно заряженные частицы (Дж.Дж. Томсон, 1897 г.; Ж. Перрен, 1897 г.). Таким образом, свет был волной, а электроны — частицами. Если бы фотоэлектрический эффект (Ф. Ленард, 1902 г.) был обнаружен до открытия дифракции света, а дифракция электронов (Дэвиссон и Джермер, Г.П. Томсон, 1927 г.) была первым эффектом, наблюдавшимся для катодных лучей, то ситуация могла бы быть обратной.

Поскольку свет рассматривался как волна, то имелся закон дисперсии ш = ск, или w = с/\, и Эйнштейн (1905 г.) показал, что, для того чтобы объяснить фотоэлектрический эффект, необходимо,

^ Для этих систем лучше было бы ввести новое название (например, «кванты»), чтобы избежать смешивания с ньютоновскими частицами.

чтобы для света, кроме формулы для энергии Е = h^, полученной Планком (1900 г.), имело место соотношение р = Е /с.

С другой стороны, электроны рассматривались как частицы, и для них имело место соотношение Е = р г/2т. Но де Бройль (1924 г.) постулировал, что они являются волнами, волновое число для которых дает формула (9.6а). Затем он вывел, пользуясь формулой Планка (9.66), закон дисперсии в виде си = кг/2<т /h\

Два соотношения

Е = йсо, р = йк(9.6)

справедливо считают воротами в квантовую теорию. Мы вывели по крайней мере второе уравнение (9.6а) из определяющего соотношения (2.1а). Но исторически они послужили отправной точкой для длительного процесса исследований, который привел к выводу соотношения (2.1а) и в конечном счете вообще к квантовой механике. Соотношения (9.6) связывают две различные классические картины (часто их называют дуальными).

Одна из картин — частица, т. е. локализуемая материальная точка. Классически такой частице можно приписать определенные значения энергии и импульса (например, импульс и энергия, измеряемые прибором, движущимся со скоростью — v относительно такой локализованной материальной точки, равны р = т v и Е = р2/2т \

Другая картина — волна, т. е. более или менее периодическое возбуждение, обладающее бесконечной пространственной протяженностью. Волна имеет угловую частоту ш и волновой вектор к.

В квантовой механике физическая система (квант, элементарная частица), которую мы всегда должны представлять себе как ансамбль, может находиться в различных состояниях. Например, она может находиться в почти собственном состоянии импульса, описанном в (9.1р). Мы можем тогда интересоваться координатой для такого состояния, например можем интересоваться вероятностью найти координату где-либо в интервале х — Д/2 < х* < х 4- Д/2. Мы говорим это в соответствии с основным предположением II, переписанным с использованием проекционного оператора (8.8) в виде

(

/ЛЛ\\/*х + А/2

Л[х - х + -Wp)) = dx'<x'\W(pYx'>.

\22//

Для определенности мы можем предположить, что почти собственное состояние импульса дается формулой (9.1р), гдеFf(p' — р) определяется формулой (9.14) (или см. рис. 8.3), так что /^Р' — р} = 1/V7 в интервале между р — е/2 и р + е/2. Плотность вероятности для оператора координаты получается тогда с использованием (9.7) в виде

S

P*^11 pixp'/h PP+t/2i p-ixp,/h

dp' — - i dp" —

p-^2Ve ^2,1th ^p-e/iVe >/2vh(9.15)

I 2ith eI 2ith eдлядляex/h < I.ex/h < I.

I 2ith e

I 2ith e

для

для

ex/h < I.

ex/h < I.

Это означает, что плотность вероятности для оператора координаты не зависит от координаты. Следовательно, вероятность найти для физической системы значение в интервале длиной Д вокруг х равна

х+Д/2.

dx' < х' | W(p) |x' > = г- еД,(9.16)

х-Д/2

т. е. система с одинаково малой вероятностью локализована во всем пространстве.

В предельном случае точно заданного импульса, когда разброс по импульсам е — 0, вероятность найти для физической системы значение в произвольном интервале Д равна нулю. Но этот предельный случай является нефизическим, поскольку не существует прибора, способного приготовить такое состояние. Например, монохроматический пучок электронов, реализующий почти собственное состояние их импульса, может быть приготовлен прибором, использованным в эксперименте с потерей энергии в разд. II.4. Электроны, испускаемые нитью накала, ускоряются электрическим потенциалом. Даже если этот потенциал задан очень точно, электроны будут все же иметь некоторый разброс по импульсам, генерированный испускающей их нитью. Этот пучок электронов проходит затем через монохроматор (электрическое или магнитное поле, или в некоторых случаях скрещенные электрическое и магнитное поля), и только электроны с определенной скоростью или импульсом появляются в том месте, где расположена щель. Но опять- таки, даже если поля заданы очень точно, щель имеет конечную ширину, так что через нее пройдут электроны, имеющие небольшой разброс по импульсам. В общем случае благодаря тому, что макроскопические измерительные приборы с необходимостью име-

ют конечные размеры, приготовить монохроматический пучок с нулевым разбросом невозможно.

Как мы видели выше, для почти собственного состояния импульса любое положение равновероятно, т. е. координата не определена. Физическая система находится в волноподобном состоянии с очень хорошо определенными волновым числом и длиной волны; таким образом, она выглядит как волна.

Следовательно, в соответствии с формулировкой квантовой механики, базирующейся на основных предположениях I, II и III, квантовофизическая система, находящаяся в собственном состоянии импульса, ведет себя как волна — «является» волной — до тех пор, пока не будет проведено измерение, которое изменит это состояние (например, измерение координаты). Пока такое измерение не проведено, теоретические предсказания являются точно такими же, как в классической волновой теории.

Мы можем повторить всю аргументацию, начиная с почти собственного состояния координаты W (х), описываемого формулой (9.1х). Плотность вероятности для оператора импульса получается тогда в виде

<р|^)|р> =^-Г, (9.17)

а вероятность обнаружить импульс в интервале между р — е/2 и р + е/2 равна

р + е/2р- t/1р + е/2р- t/1dp* <р'^(х)\р') =?е.dp* <р'^(х)\р') =?е.(9.18)(9.18)

р + е/2

р- t/1

р + е/2

р- t/1

dp* <р'^(х)\р') =?е.

dp* <р'^(х)\р') =?е.

(9.18)

(9.18)

Так как эта вероятность не зависит от центрального значения р, любые значения р равновероятны. Для почти собственного состояния координаты импульс не определен. Такое почти собственное состояние координаты мы назвали частицей, но теперь видим, что в отличие от классической (ньютоновской) частицы квантовофизическая система в частицеподобном состоянии не может иметь определенного импульса.

Свойство, описываемое формулой

^(р) = л(р - 1, р + ^^(р) = л(р - 1, р + ^(9.19)(9.19)

^(р) = л(р - 1, р + ^

^(р) = л(р - 1, р + ^

(9.19)

(9.19)

т. е. что физическая система находится в состоянии с хорошо опре-

деленным импульсом, и свойство

Мх) = л(х - |, х + |) , (9.20) т. е. что физическая система находится в состоянии с хорошо определенной координатой, называются дополнительными одно по отношению к другому. Если имеет место одно из свойств, то нельзя сделать никакого предсказания относительно другого свойства. Если физическая система находится в состоянии (9.19) с хорошо определенным импульсом, то ничего нельзя сказать о ее координате; любая координата х равновероятна, как следует из (9.15). Если квантовая физическая система приготовлена так, что ее классическим образом является волна, то у нее нет свойств, классическим отображением которых являются свойства частицы, и наоборот.

Если свойства Л и Л дополнительны, то свойства 1 — А иЛ, Л и 1 — Л, 1 — Л и 1 - Л также являются дополнительными. Свойство 1 — Л есть отрицание свойства Л: если Л — свойство, что квантовофизическая система находится в области пространства между х — £/2 их 4- £/2, то 1 — Л — свойство, что система находится вне этой области. Однако в отличие от классического случая квантовофизическая система не обязательно имеет свойство 1 — Л, если она не обладает свойством Л; например, она может находиться в состоянии Л, т. е. быть волноподобной и вовсе не иметь никакой координаты, или вместо А она может иметь любое другое свойство, отличное как от Л, так и от 1 — Л. Следовательно, для квантовой системы существует бесконечное количество возможностей не обладать ни свойством Л, ни свойством 1 — Л, в то время как классическая система всегда обладает одним из этих свойств.

Постоянная h появилась в определяющем соотношении (2.1а) без особого обсуждения. Зная рассмотренные выше следствия из (2.1а), мы уже можем понять смысл А.

Постоянная А есть переходный множитель для выражения одной и той же физической величины в разных единицах. Импульс и энергия могут быть измерены обычным способом. Приготавливается пучок электронов с малым разбросом по импульсам, например с использованием прибора, показанного на рис. 4.2,<7. Электроны, трактуемые сначала как частицы, испускаются нитью канала и ускоряются разностью потенциалов электрического поля до скорости и, которую можно вычислить по формуле г2 = 2(е /m)V. Если

V измеряется в вольтах и если использовать стандартное значение

= 1,7588.10й — = 1,7588- 105 ~

ткгс2 х В

то получим у в см/с, или р = ти в эрг-с/см.

Затем пучок электронов трактуется как волна. Он дифрагирует на решетке (решетки с нужной постоянной порядка 10-8 см = 1 А являются кристаллами), и измеряется его волновое число к. Используя достигнутое понимание того, что частицы и волны являются лишь двумя различными проявлениями (из многих возможных) квантовофизической системы «электрон», для которой корпускулярное свойство у = dx /dt (скорость частицы) связано с волновым свойством X = 2тг/к (длина волны) соотношением (9.6а):

v = — к = —(9.21)

т т X

можно определить отношение h / т по значению у, измеренному с помощью электрического поля, и по значению X, измеренному при помощи решетки. Не ограничиваясь этим экспериментом, можно проделать много других экспериментов, где для электронов независимо измеряются у из корпускулярных и X из волновых свойств. Значение h/ т, которое получается из (9.19), будет таким же. Таким образом, h/m является константой, если использовать только электроны.

Можно также повторить всю эту процедуру для других физических систем, например протонов, и снова найти значение h/m из соотношения (9.21). Тогда обнаружится, что это приводит к другому значению h/m, отличному от значения, получаемого в эксперименте с электронами. Таким образом, переходный множитель h /т между кии зависит от природы микросистемы.

Но массу т можно измерить независимо (для нее принято использовать независимую единицу грамм (г)), измеряя сначала отношение е /т в экспериментах по отклонению катодных лучей и протонных пучков, а затем измеряя е в опыте Милликена. Таким путем находим, что переходный множитель h между к в см-1 и Р = ти в г-см/с

mv = hk(9.6а')

имеет одно и то же значение для всех физических систем, а именно1)

" 1 эВ = 1,6 • 10"12 эрг = 1,6 • 10“ 12 дин • см; 1 дин = 1 г см/с2.

h = 1,0546 • 10"28 г см = с

= 1,0546 • 10"28 эрг • с = 6,58218 ■ 10 16 эВ • с. (9.22)

Переходный множитель h между волновым числом к и импульсом р никак не связан со структурой микрофизической системы. Это не постоянная системы, как д и со для микрофизической системы в разд. II.2 или h/т; это универсальная постоянная.

Почему переходный множитель между кии является зависящей от системы постоянной, а переходный множитель между к и р — универсальной постоянной природы? Причина заключается в структуре группы пространственно-временной симметрии — группы Галилея (сходные аргументы приложимы к случаю группы симметрии релятивистского пространства-времени — группы Пуанкаре). Наблюдаемые G/h = mQ^h и P^h подчиняются коммутационным соотношениям VG/h, P/h] = ib^m/h^ U,j = 1» 2, 3), из которых следует трехмерная версия (2.1а); они являются не просто наблюдаемыми для конкретной микросистемы или различных микросистем, а представляют собой генераторы преобразований Галилея: (1 + ix^/h) отвечает сдвигу на инфинитезимальный вектор х* (в см), а (1 + iu'Gj/h) — инфинитезимальному собственному преобразованию Галилея (переходу к системе, движущейся со скоростью у' см/с). Таким образом, Pt/h и mQ^h (но не Qj/h) можно придать универсальный смысл, связанный не с устройством частной физической системы, а со структурой группы симметрии природы. Величина т/h является инвариантом преобразований Галилея, значение которой характеризует представление (расширенной) группы Галилея и, следовательно, физической системы, к которой это представление относится.

Переходный множитель h появляется в выражении для преобразований Галилея, поскольку для х* и Pt исторически были выбраны независимые единицы измерения: х* измеряется в сантиметрах, а Р; — в единицах эрг-с/см, которые получаются при использовании для массы фундаментальной единицы грамм (г):

, с ,с , см с

1 эрг — = 1 дин • СМ = 1 Г см — .смсм с2 см

Но этот выбор не является уже необходимым теперь, когда известна квантовая механика и фундаментальный физический смысл представлений группы Галилея. Единицы можно выбрать так, что h = 1, поскольку требуется лишь, чтобы xiPi/h и v'mQ^h были безразмерными величинами. Выбирая для х* обычную единицу сантиметр (см) и полагая h = 1, мы видим, что Р( имеет единицу из-

мерения см-1, а единица измерения массы не является более независимой, но является производной единицей с/см2. Следовательно, значение h в общепринятой системе СГС, которое мы обозначим через (А) и которое, согласно (9.22), равно (А) = 1,0546 • 10“28 есть не что иное, как переходный множитель между г и с/см2. Таким образом, выбирая переходный множитель h = 1, мы оставляем в качестве фундаментальных единиц измерения только сантиметр (см) и секунду (с).

Для релятивистского пространства-времени имеется добавочный переходный множитель между расстоянием х, измеренным в сантиметрах, и временем t, измеренным в секундах, отвечающим распространению света на это расстояние: г = (1/с)х, где с— скорость света. Выбор для переходного множителя значения с = 1 устраняет секунду из набора независимых единиц измерения: 1 с = {1/с)см, где [ с) = 2,9979- 10ю — значение с в системе СГС. В этом случае единственной фундаментальной единицей измерения является сантиметр.

Вместо см-1 в релятивистской физике частиц обычно используют единицы 1 эВ или 1 МэВ = 106 эВ для энергии, массы и импульса. Расстояние измеряется тогда в единицах МэВ-1. Значение величины he в системе единиц СГС [ he) служит тогда переходным множителем между единицами энергии, массы и импульса в МэВ и в см-1:

см-1 = { hc\ МэВ = 1,97328 • 10"11 МэВ.

Таким образом, мы убедились, что h, как любая постоянная природы, является просто переходным множителем для значений одной и той же физической величины в разных единицах. До того как постоянная природы обнаружена, значения одной и той же физической величины в разных системах измерения (например, импульс р и волновой вектор к) считают различными физическими величинами. После того как постоянная открыта и различные физические величины связаны в новой теории, можно измерять эти величины в одинаковых единицах и, таким образом, устранить одну из независимых прежде величин.

Глава III

Энергетические спектры некоторых молекул

В разд. III. 1 обсуждаются способы наблюдения уровней энергии квантовомеханической системы, испускающей дипольное излучение. Вывод выражения для вероятности перехода не приводится. В разд. III.2 вводятся определяющие соотношения для углового момента. В разд. III.3 построены представления алгебры углового момента. В разд. III.4 получен спектр ротатора, который сравнивается со спектром двухатомной молекулы. В разд. III.5 содержится изложение основного предположения о физической комбинации двух нетождественных квантовомеханических систем и обсуждается приложение этого предположения к описанию колеблющихся и вращающихся двухатомных молекул.

1. ПЕРЕХОДЫ МЕЖДУ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ УРОВНЯМИ КОЛЕБЛЮЩИХСЯ МОЛЕКУЛ. ОГРАНИЧЕННОСТЬ ОСЦИЛЛЯТОРНОЙ МОДЕЛИ

Квантовомеханическая система в некотором стационарном состоянии (например, собственное состояние энергии Хп двухатомной молекулы (осциллятора)) остается в этом состоянии до тех пор, пока на нее не подействуют внешние силы. На практике на любую квантовомеханическую систему действуют слабые внешние силы, такие как внешние электромагнитные поля или внутренние электромагнитные поля, возникающие из-за движения зарядов внутри системы. Под действием таких сил состояние подвержено изменениям. Если система имеет дискретный набор состояний (например, энергетические уровни осциллятора), то слабое внешнее возмущение не изменяет этих состояний (точнее, изменяет уровни на пренебрежимо малую величину), но система может скачком переходить из одного состояния в другое.

Теория таких переходов, которая может быть развита исходя из основных предположений квантовой механики, изложена в гл. XIV и XXI. Здесь мы приведем лишь несколько полуклассических аргументов и конечный результат, который будет нами использован для получения частот переходов и выведения правил отбора.

Мы принимаем здесь как эмпирический факт, что под влиянием всегда присутствующих внешних возмущений в квантовой системе могут происходить переходы из одного собственного состояния энергии с энергией Еп в другое с энергией Ет с выделением или поглощением разности энергий

Еп - Е,

в виде электромагнитного излучения, представленного световым квантом, или фотоном, с частотой

Если электромагнитное поле имеет частоту vnm, то квантовомеханическая система может поглотить фотон этой частоты и скачком перейти из состояния с энергией Еп в состояние с энергией Ет. С другой стороны, если квантовая система находится в возбужденном состоянии Еп (состояние с более высокой энергией, чем основное состояние), она может излучить фотон с частотой vnm и перейти в состояние с более низкой энергией Ет.

Переходы между двумя состояниями не могут происходить, если матричный элемент оператора смещения зарядов системы D между двумя этими состояниями равен нулю1). Отметим также, что вероятность такого перехода, а следовательно, и интенсивность испущенного (поглощенного) электромагнитного излучения пропорциональна квадрату модуля матричного элемента.

Чтобы проиллюстрировать это, вернемся к нашей классической модели двухатомной молекулы. Если молекула состоит из нетождественных атомов (например, молекула СО), то она обладает электрическим дипольным моментом, поскольку центры, где расположены положительный и отрицательный заряды, не совпадают. Дипольный момент — это вектор, направленный от центра отрицательного заряда к центру положительного заряда; он дается выражением

D - yd,

где q — заряд, a d — расстояние между центрами зарядов. Постоянный дипольный момент молекулы Do направлен вдоль оси, соединяющей ядра.

11 Это утверждение применимо только для случая дипольного излучения. Могут иметь место квадрупольное излучение или излучение высших мультиполей даже для молекул, дипольный момент которых равен нулю, но интенсивность такого излучения пренебрежимо мала.

Если межатомное (межъядерное) расстояние меняется, изменится и дипольный момент, и с хорошей точностью можно предположить, что дипольный момент является линейной функцией отклонения межатомного расстояния от равновесного значения:

D = Do + qx. (1 2)

Следовательно, дипольный момент изменяется вместе с частотой механических колебаний. Колеблющиеся заряды излучают электромагнитное поле, и, согласно классической электродинамике, испущенный свет должен иметь частоту, равную частоте осциллятора, т. е.

где ш = Vк/т — угловая частота классического осциллятора (см. (II.2.8)).

Если молекула состоит из двух тождественных атомов (например О2, N2), то дипольный момент равен нулю, поскольку центры положительного и отрицательного зарядов совпадают и колебания молекулы около положения равновесия не приводят к колебаниям центров зарядов. Испускания или поглощения электромагнитного излучения не происходит.

Обратимся теперь к случаю квантовомеханической молекулы. С точки зрения квантовой теории испускание излучения происходит в результате перехода осциллятора из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией, а поглощение имеет место при обратном процессе. Частота излученного света дается формулой (1Л):

Е — Fv — —Тпт h ■

Интенсивность испускания, в классическом случае пропорциональная усредненному по времени (за период) квадрату дипольного момента D, в квантовой теории пропорциональна квадрату модуля матричных элементов перехода

<m|D|n> = Dmn,(1.4)

где D — дипольный оператор, полученный из (1.2) обычной процедурой замены числа х оператором Q:

(1.5)(1.5)D — Do + qQ.

(1.5)

(1.5)

Вероятность перехода (интенсивность) Лтй спонтанного дипольного излучения0 при переходе из состояния с энергией Еп в состояние с энергией Ет дается выражениемп

4

^пт = -^,3 (^пт I °mn I ’(1-6)

где штп = (Еи — ЕтУН, с — скорость света и

|D_,I2 = a^^Tr(A-D' Л”О) = . J ^ I I Кд, m|P,l". 'KI2.

(1.7) Оператор D дается формулой (1.5), Лп — проекционный оператор на собственное пространство оператора энергии с собственным значением Еп, a dim(Aw^)— размерность этого собственного пространства. Индексы р и v того же рода, что и к в (II.4.35); они обозначают различные векторы внутри собственных пространств оператора энергии Хт ^и Ли

Поскольку мы сейчас не столько интересуемся величиной интенсивности, сколько теми случаями, когда она равна нулю, точная формула для вероятности перехода не является сейчас нашей первоочередной заботой. Выражение (1.6) может быть выведено с использованием общего формализма, развитого в гл. XXI. Для частного случая одномерного гармонического осциллятора мы заменяем вектор дипольного момента и радиус-вектор одномерными величинами D и Q, и выражение (1.7) заменяется выражением I < т I D I п > I2.

Для многих квантовомеханических систем большинство матричных элементов D равно нулю, так что существуют очень серьезные ограничения на возможные переходы. Правила, устанавливающие такие ограничения, называются правилами отбора. Чтобы определить, какие переходы могут на самом деле иметь место для гармонического осциллятора, необходимо вычислить матричные элементы

<m\D\n> = q<m\Q\n>.(1.8)

Матричные элементы оператора координаты между собственными состояниями оператора энергии уже вычислялись (см. выражение

° Вероятности индуцированного излучения и поглощения также пропорциональны Ютп12 и интенсивности первичного излучения.

(II.7.3); они равны

<m\Q\n> = <п <т\п - 1> + х п + 1 <т|л + 1».(1.9)

Таким образом, мы видим, что вероятность перехода, а следовательно, интенсивность излученного или поглощенного света равна нулю во всех случаях, кроме случая, когда квантовые числа п и т различаются на единицу. Следовательно, правило отбора для гармонического осциллятора имеет вид

п-т= ±1.(ио)

Переходы в гармоническом осцилляторе возможны только между соседними уровнями энергии. Частота излученного (при Еп > Е^ или поглощенного (при Еп < Ет) света дается, согласно (1.1) и (1.10), формулой

Е_ — Ет he)о

V„m =7 — = у-[(» + 2> ~ ('” + I)] = < •(1.11)

Следовательно, с точки зрения квантовой теории частота излученного света равна частоте ш/2тг осциллятора и не зависит от номера энергетического уровня п. Подобные же аргументы применимы и для случая поглощения. Таким образом, в частном случае квантовомеханического гармонического осциллятора мы видим, что частота излученного и поглощенного света такая же, как для классического осциллятора.

Если вернуться к диаграмме уровней энергии гармонического осциллятора (см. рис. II.4.3), мы можем обозначить разрешенные переходы вертикальными стрелками (рис. 1.1). Все эти переходы соответствуют одинаковой частоте. Это является следствием равноудаленности энергетических уровней друг от друга.

Для двухатомной молекулы, состоящей из двух одинаковых атомов (например О2), оператор дипольного момента (1.5) является нулевым оператором, и, следовательно, переходов между различными энергетическими уровнями не происходит.

Обратимся теперь к сопоставлению наших теоретических результатов с экспериментальной ситуацией.

Чтобы понять, какой частоты нам следует ожидать, обратимся сначала к энергетическому спектру поглощения молекул СО (см. рис. II.4.2). По известному расстоянию между пиками в спектре поглощения мы находим, что разность энергий соседних уровней ко-

Рис.

1.1. Дипольные переходы между уровнями энергии

гармонического осцилля

тора.

леблющейся молекулы СО равна

Д£ = 0,265 эВ.

(1.12а)

Если вычислить частоту по формуле (1.11), то мы найдем

Д£0,265 эВ- .

р == _= 6 4 ■

ЪгП 2тг • 6,58 • 10-16 эВ • с

1013 с-1,

(1.126)

р = - = 0,466 • 10“3 см = 4,66 мкм р

(1.12в)

(1 мкм = 10 4 см; 1 А = 10 8 см = 10 4 мкм).

В молекулярной спектроскопии принято выражать частоту не в с-1, а в см-1, т. е. использовать вместо частоты р волновое число р/с = 1/Х, которое равно числу длин волн на 1 см. Мы не будем вводить для него новое обозначение, но будем по-прежнему обозначать это число через v, а единица измерения будет указывать, что имеется в виду. Частота в см-1, или волновое число, излучения, испущенного при переходе между колебательными уровнями молекулы СО, равна, следовательно,

р = 2140 см-1.

(1.12г)

Таким образом, из спектра в эксперименте с потерей энергии молекулами СО мы ожидаем, что колеблющиеся молекулы СО могут испускать или поглощать только излучение с частотой (1.12), т. е. мы ожидаем появления единственной спектральной линии в ближ-

Энергия

Частотна

ПереходыИзлучение

Волновое число Длина волны

Е, эВ

V,

,- 7

Ядерный .магнит- • Радиоволны ныи резонанс Ориентация

V, СНГ

я,

2*7

5 х 10 6

1,2

х 10’ -

спина в/пагнит- нам поле_

- 4 х Ю"2

25

Электронный.Микроволны

спиновый(радиолока-

резонансция)

3,1 х 10"3

7,5

X 10“ -

Молекулярные вращения

- 25

4 х

10"

5 х 10~2

1,2

х Ю13-

Молекулярные Инфракрас- колебанияноя область

- 400

2,5

х 10"3

0,5

1,2

X 10'*-

- 4000

2,5

х 10 4

1,55

3,8

х Ю14 -

Видимый

- 12,5 х 10

8 х

10"’

3,1

7,5

X 1014-

свет

- 25 х 103

4 х

10 5

Переходы валентных электронов

6,2

1,5

X I015 -

Ультрафи

- 50 х Ю3

2 х

10"’

олет

1240

3 X

10й -

Переходы электронов с внутренних оболочек„

Рентгеновс

- 10’

10"

7

1,24 х Ю4

3 X

10|в -

кие лучи

- 10е

10

Я верныеГалипа -

переходылучи

Рис. 1.2. Схема электромагнитного спектра. Обратите внимание на то, что шкаланелинейна. Границы между областями весьма условны.

ней инфракрасной области1 \ Если мы проверим соответствие этого утверждения спектру поглощения или спектру испускания, то убедимся, что оно действительно справедливо. Если спектр поглощения получается при использовании тонкого слоя поглощающего газа, то обнаруживается только одна широкая яркая линия (или по-

Рис. 1.3. Схематическая структура инфракрасного спектра НС1. На самом деле интенсивность убывает в пять раз быстрее, чем это показывают высоты вертикальных линий [14].

лоса) поглощения в ближней инфракрасной области с длиной волны вблизи X = 4,66 мкм. Для других двухатомных молекул, состоящих из двух различных атомов, имеет место такая же ситуация; например, для молекулы НС1 упомянутая полоса возникает при X = 2,46 мкм. Обнаруживается также, что такая полоса не возникает для молекул, состоящих из одинаковых атомов, таких, как О2, N2, Н2.

Если поглощение изучается на менее тонких слоях газа, то, естественно, интенсивность основной полосы возрастает и, кроме того, появляется очень слабая полоса такой же формы на длине волны, приблизительно вдвое меньшей (частоте или волновом числе вдвое больших), чем для основной полосы. Если толщина слоя возрастает еще больше (вплоть до нескольких метров при атмосферном давлении), то появляются третья и, возможно, даже четвертая и пятая полосы, длины волн которых равны соответственно одной третьей, одной четвертой и одной пятой длины волны первой полосы, т. е. их частоты в три, четыре и пять раз больше исходной. На рис. 1.3 схематически изображен полный инфракрасный спектр НС1. На этом рисунке высота вертикальных линий, обозначающих полосы, иллюстрирует их интенсивность. Однако в действительности падение интенсивности происходит в пять раз быстрее, чем это изображено на рисунке.

Объяснение появления этих дополнительных полос состоит в том, что двухатомная молекула не является идеальным гармоническим осциллятором. В гармоническом осцилляторе возвращающая сила неограниченно возрастает при увеличении расстояния от точки равновесия. Понятно, однако, что, если для реальной молекулы атомы находятся очень далеко друг от друга, сила притяжения равна нулю. Следовательно, квантовомеханический гармонический осциллятор является лишь упрощенной моделью колеблющейся мо-

лекулы; если требуется описание более тонких свойств таких молекул, необходимо учитывать и ангармонические силы. Уровни энергии ангармонического осциллятора не являются, как в случае гармонического осциллятора, эквидистантными: расстояние между ними медленно убывает с возрастанием п.

Уровни энергии и спектр поглощения для ангармонического осциллятора, являющегося почти гармоническим, показаны на рис. 1.4. (Для большей наглядности расстояние между уровнями ДЕ показано убывающим быстрее, чем это происходит для большинства реальных случаев.) Правило отбора (1.10) п — т = ± 1 для ангармонического осциллятора выполняется лишь приближенно и применимо только для наиболее интенсивных переходов. Вместе с ними могут появляться также переходы с п — т = ±2, ± 3, ..., хотя и с быстро убывающей интенсивностью. Все эти результаты можно получить, используя теорию возмущений, которую мы рассмотрим в гл. VIII. Здесь мы описываем эти факты, чтобы продемонстрировать, что простые решаемые квантовомеханические модели, такие, как гармонический осциллятор, описывают лишь главные черты микрофизических систем, встречающихся в природе, и что от них нельзя ожидать описания всех деталей. Этот факт нельзя считать недостатком модели гармонического осциллятора: это общая ситуация для физических теорий. Модели являются лишь идеализациями, и от них нельзя ожидать воспроизведения экспериментальных результатов с точностью до последнего знака. Сдвиг на одну позицию вправо в десятичной записи экспериментально измеренной величины часто требует привлечения новой модели, а иногда и совершенно новой теории.

ииЕ^

и

и

0

0v

Рис. 1.4, Уровни энергии и инфракрасные переходы ангармонического осциллятора.Внизу схематически показан спектр поглощения.

Рис. 1.5. Колебательно-вращательная полоса монооксида углерода.

Мы убедимся в этом, если рассмотрим частоты переходов в ближней инфракрасной области более детально, используя спектрометр с достаточно большим разрешением. Широкая спектральная линия для молекул СО вблизи у = 2140 см-1 разрешается тогда в набор отдельных узких линий (рис. 1.5). Таким образом, вблизи v = 2140 см-1 имеет место не одиночная линия, а полоса, которая называется колебательно-вращательной. Как видно из рисунка, эта полоса состоит из серии почти эквидистантных уровней, причем одна линия в центре полосы отсутствует. По одну сторону от минимума находится Р-ветвь (в сторону больших длин волн), по другую — Р-ветвь (в сторону меньших длин волн). Рис. 1.6 иллюстрирует тот же эффект для линии п = 1 (см. рис. 1.3) молекулы НС1.

Такой тонкой структуры спектров испускания и поглощения электромагнитного излучения молекулами СО можно ожидать в том случае, когда уровни энергии колеблющейся молекулы (см. рис. 1.1) разбиты на серии подуровней, как показано на рис. 1.7, где изображены только два соседних уровня, приведенных на рис. 1.1.

Описание этого расщепления в рамках модели осциллятора невозможно. Это означает просто, что состояние, характеризуемое квантовым числом и, не является чистым состоянием, а является смесью состояний с различными энергиями. Вместе с тем для осциллятора состояние с индексом п было чистым состоянием, описываемым проекционным оператором Ли на одномерное подпространство, порожденное фп, а именно XnJ^. Состояние двухатомной молекулы, характеризуемое квантовым числом п, должно иметь размерность, равную, как минимум, числу энергетических уровней (если число энергетических уровней равно этой размерности, то каждому собственному значению энергии отвечает одномерное подпространство или проектор на одномерное подпространство). Поэтому модель осциллятора описывает лишь часть свойств двухатомной молекулы, и, чтобы описать более тонкие детали спектра, не-

£

Е

2651,96

2675,94

2677,73

r —2701.08 2703,01

7141,3 2752,04

073,7 6775,76

2796.97

—— 2798 94

— _2819,56

- "■"III2821,56

" 2843,62

- -2863,02

==— 2865,10

~"^^ 2906,24

^2925,90 2942.72 ± 2944,90

=—2961.07

-2963,29 2978.75 2981,00

—^7Я 2998,04

^==ь21211к_ 3014,41

307778 3030,09

=2222.71 3045.06

305637

3059,32

Рис. 1.6. Основная полоса поглощения НС1 при высоком разрешении [12]. (Линии удваиваются из-за наличия двух изотоповС135 и С137 в отношении 3:1; мы не будем здесь обсуждать этот эффект.)

Рис. 1.7. Происхождение и характер вращательной структуры [13]. Р- и /?-ветви показаны соответственно слева и справа. На спектрометре изучается основная полоса поглощения СО при 2144 см-1. Q-ветвь (штриховая линия) отсутствует. Энергетические уровни изображены в масштабе, но расстояние между верхним и нижним вращательными состояниями (2144 см-1) должно быть примерно в пять раз больше, чем на рисунке.

обходимо дополнить модель осциллятора другой моделью, которая описывает эти тонкие свойства и отражает дополнительные свойства двухатомной молекулы, которые до сих пор мы не учитывали. Эта новая модель — модель ротатора.

Если мы снова обратимся к классической модели молекулы СО, рассматривая ее как два атома с массами тх и т2, находящиеся на расстоянии х друг от друга, то мы увидим, что в этой классической системе возможны не только колебания вдоль оси х, но и вращения в трехмерном пространстве вокруг ее центра масс. Пока система находится в основном состоянии по отношению к колебательному движению, т. е. пока характерная энергия не превышает 0,26 эВ для молекулы СО, она является жестким ротатором, т. е. может рассматриваться как состоящая из двух материальных точек с массами тх и т2, закрепленных на концах невесомого стержня длины х. Исходя из этого, мы сначала рассмотрим отдельно модель жесткого ротатора. Это даст нам описание состояний молекулы СО, отвечающих квантовому числу п = 0, а также позволит дать приближенное описание любого набора состояний, отвечающих заданному колебательному квантовому числу п. Тогда мы увидим, как эти две модели объединяются и образуют колеблющийся ротатор, или вращающийся осциллятор.

ЖЕСТКИЙ РОТАТОР

Чтобы построить математический образ (алгебру операторов) для ротатора, мы поступим так же, как при рассмотрении осциллятора. Рассмотрим классический ротатор и заменим три компоненты импульса Pj и три компоненты координаты х( во всех выражениях операторами Р, и Q,, подчиняющимися коммутационным соотношениям

\Ри 01 = * ад Ю. 01 = 0, \Рь РУ] = О (2.1)

(d- = 1 при / = j и Ьц = 0 при / Ф j; i, j = 1, 2, 3). Это очевидное обобщение соотношения (II.2.1а) на трехмерный случай.

В классической механике энергия Е вращения твердого тела имеет вид

Е = |W.(2.2)

Здесь ш — угловая скорость вращения^, а I — момент инерции системы относительно оси вращения. Угловая скорость связана с числом оборотов в секунду prot (частотой вращения) соотношением

ш = 2трГоь(2.3)

Угловой момент системы равен I = 0 • ш. Подставляя это выражение в формулу (2.2), получаем для энергии выражение

I2

Е =(2.4)

Момент инерции относительно оси вращения для модели ротатора равен

гдеI = тхЛ 4- miri,

miтх_

гх =х, гг =х(2.5)

тх 4- miтх -v mi

есть расстояние от масс т^ и т^ до центра масс С, а х расстояние между массами (рис. 2.1). Подстановка дает

1 = ""^-х2,(2.6)

тх 4- mi

]) Мы используем для угловой скорости вращения тот же символ у, который применялся в гл. II для угловой частоты колебаний.

Рис. 2.1. Модель гантели для двухатомной молекулы.Рис. 2.1. Модель гантели для двухатомной молекулы.

Рис. 2.1. Модель гантели для двухатомной молекулы.

Рис. 2.1. Модель гантели для двухатомной молекулы.

т. е. момент инерции относительно оси вращения такой же, как для материальной точки с массой

тхт2

тх + т2(2.7)

находящейся на расстоянии х от оси; ц называется приведенной массой молекулы.

Следовательно, вместо того чтобы рассматривать жесткий ротатор, мы можем с тем же успехом изучать вращение одной материальной точки с массой д и координатами Xj, где вектор X = (хр х2, х3) есть радиус-вектор материальной точки д, имеющий начало в точке центра масс С. Если мы обозначим импульс материальной точки д в этой системе координат через р = (рр р2, р3), то угловой момент относительно точки С будет равен

1 = X X р,(2.8)

так что его компоненты даются выражением

/у = Е CijkXjPk = eijkXjPk-(2.9)

jA

В этом выражении eijk = 4- 1 для (ijk) = (1 2 3) и каждой четной перестановки индексов и еук = — 1 для каждой нечетной их перестановки. С этого момента мы принимаем, что наличие двух одинаковых индексов, если это не оговорено особо, означает суммирование по этим индексам от 1 до 3.

Операторы, отвечающие соответствующим квантовомеханическим наблюдаемым, получаются тогда, согласно нашему общему принципу, заменой х,, pj на Q,, Рр для которых выполнены соотношения (2.1). Так, для оператора углового момента имеем

L = Q х Р, или

(2.10)(2.10)^i ^ijkQjPfci

(2.10)

(2.10)

а оператор энергии, согласно (2.4), дается выражением

H = ^L2 = ^ 5(2.11)

Z1 Z1 / = 1

Поскольку Qj и Рк — эрмитовы операторы, операторы L, и Н также эрмитовы:

L^ = tijkP^Qj = tijkPkQj = ^ijkQjPk = Li-(2.11а)

Из гейзенберговских коммутационных соотношений (2.1) получаем коммутационные соотношения для операторов Ьр отвечающих компонентам углового момента. Вычисление производится следующим образом:

Е^м ^11 = ^ijk^lmnV-QjPk» Qm^nA

= ^ijk^lmiAQjVPkt Qm^nA + VQj' Qm^nA^k)

= ^..«Wi,, Qm3P. + Q-UV p.3)

+ №i,Qm3P. + Qm№i-P.3)Pl)

= ~ ^ijk^lknQj^n ^ijk^lmjQmPkY

Переобозначая индексы, по которым производится суммирование, мы можем переписать это выражение в виде

йh

"7 k^imk^lknQm^n ^ikn ^Imk Qm ^n) ~ ^imk^-knl “^ ^ink ^klm)Qm ^n • (2.12) iг

Воспользуемся теперь легко проверяемым свойством символа eimk;

^imk^knl ^in^ml ^mn^il-(2.13)

Записывая второе слагаемое в (2.12) в форме (2.13):

^•ink^klm ^il^nm ^im^nH

и складывая это выражение с (2.13), получаем

^■imk^knl + ^ink^-klm ^in^ml ^im^nl^-ilk^kmn"

Последнее равенство снова следует из (2.13). Подстановка этого выражения в (2.12) дает

Е-^Н ^ll = ^^-Uk^kmnQmPn-

Если мы используем в правой части определение (2.10) компонент момента Lp то получим коммутационные соотношения для операторов компонент углового момента £;:

Е^Н ^11 = ^ilk^k- (2.14)

Мы получили коммутационные соотношения (2.14) для операторов углового момента (2.10) из гейзенберговских коммутационных соотношений (2.1). Выражение для оператора энергии (2.11) не содержит операторов Pt и Qt явно; то же справедливо и для любых физических наблюдаемых, связанных с ротатором. На самом деле операторы Р; и Q, являются нефизическими наблюдаемыми для квантовомеханического ротатора в следующем смысле: квантовомеханический ротатор невозможно приготовить таким образом, чтобы он находился в обобщенном собственном состоянии операторов импульса или координаты. Следовательно, для ротатора фундаментальными физическими наблюдаемыми являются операторы £р подчиняющиеся коммутационным соотношениям (2.14), а тот факт, что их можно получить из коммутационных соотношений для операторов координаты и импульса, можно не принимать во внимание. На самом деле операторы £„ определенные в (2.10) или классические величины /, в (2.9) являются частным случаем наблюдаемых, связанных с новыми степенями свободы физических систем, рассматриваемых в трехмерном пространстве.

Физический объект, рассматриваемый в трехмерном физическом пространстве, имеет шесть степеней свободы: три трансляционные степени свободы, описываемые тремя координатами хр и три вращательные степени свободы, описываемые вращением R (а, /3, у), зависящим от трех углов а, /3, у (например, трех углов Эйлера или трех углов вращения вокруг фиксированных осей координат). Импульс Pj является канонической переменной, сопряженной координате хр а канонической переменной, сопряженной угловой координате а,, является угловой момент I..

Если забыть о составных частях двухатомной молекулы и рассматривать эту гантель как цельную физическую систему, центр масс которой находится в некоторой фиксированной точке пространства, то остающимися степенями свободы являются вращения на три угла, а динамическими переменными — сами углы и со-

пряженные им угловые моменты Ц. В рассматриваемом частном случае величины /, получают из импульсов и координат составных частей, которые предполагаются массивными материальными точками, не обладающими вращательными степенями свободы.

В общем случае для классической протяженной структуры в трехмерном физическом пространстве соответствующими переменными являются компоненты импульса р( и компоненты углового момента (спина) Sj, которые являются переменными сопряженными координатам Xj и угловым координатам а, соответственно. Для случая, когда протяженный физический объект имеет форму гантели, спин Sj есть орбитальный угловой момент двух ее составляющих I, = eijkxjPk.

Для квантовофизической протяженной частицы импульс реализуется оператором Р;, а спин — оператором Sj. Теперь естественно предположить, что определяющие коммутационные соотношения для компонент спина имеют вид

[5„ Sy] = iheijkSk. (2.15)

Для частного случая спина гантели такие соотношения (2.14) выведены исходя из уже подтвержденных соотношений (2.1). Соотношение (2.15) может быть выведено также, если использовать свойства группы вращений, предположив, что вращению физического объекта R (а, 0, у) сопоставляется (непрерывным образом) оператор (унитарный) Ща, 0, у), действующий в пространстве физических состояний квантовомеханической системы. Это последнее предположение можно вывести из того факта, что вращения являются преобразованиями симметрии, а группа вращений — группой симметрии физической системы (теорема Вигнера). Мы не будем здесь обсуждать эту связь, а рассмотрим алгебру наблюдаемых, определенную в (2.15), в качестве отправной точки.

Исследуем теперь свойства алгебры операторов, генерированной операторами Jj, для которых выполняются коммутационные соотношения

С J„ Л] = ihtikiJi (i, к, I = 1, 2, 3), (2.16)

где роль Jj могут играть либо £,, как в (2.10), либо S,. В частности, мы исследуем свойства всех операторов Jj, являющихся линейными эрмитовыми операторами в линейном пространстве. Окажется, что набор всевозможных Jf шире, чем набор операторов £;, подчиняю-

щихся соотношениям (2.10). Алгебра, генерируемая операторами J,, называется обертывающей алгеброй группы SU(2) и обозначается <f(SU(2))O.

Ш.З. АЛГЕБРА УГЛОВОГО МОМЕНТА

Найдем теперь все возможные решения уравнений (2.16), удовлетворяющие условию Ji = Jj. Это означает, что мы построим все линейные пространства, в которых Jp удовлетворяющие (2.16), действуют как линейные эрмитовы операторы. Мы предположим, что в этих пространствах имеется хотя бы один собственный вектор оператора J3.

Вместо того чтобы работать с операторами J,U =1,2, 3), введем следующие линейные комбинации:

H3 = h"xJ^ Н+ =h-\Jx + U2Y Н- = h"\Jx-UiY (3.1)

Условие эрмитовости Ji = Jj означает, что

Я^ = Н3, /Л = Н-, Н1- = Н+.(3.2)

Тогда из (2.16) следует

[Я3, Я±] = ±Я±,

(3.3) [Я+,Я-] = 2Я3.

Оператор J2 можно тогда записать в виде

J2 = й2Н2,(3.4)

ГДе Н2 = Я+Я- + Я2 — Яз = Я_Я+ + Я2 + Яз. (3.5)

Операторы Н2, а следовательно, и J2 обладают следующим свойством:

[Н2, Яз] = 0, [Н2, Н.] = 0,(3.6а)

° Операторы Л называются генераторами группы SU(2); это означает, что каж- дый элемент группы можно записать в виде elaJjJ. Коммутационные соотношения Для групп SU(2) и SO(3) одинаковы. Следовательно, можно использовать как символ ^ (SO(3)), так и символ <^ (SU(2)). В общем случае обертывающая алгебра для произвольной (операторной) группы Ли определяется кг.к ассоциативная алгебра, генераторы которой являются генераторами группы Ли (в смысле определения (1.3.13)).

или в общем случае

[Н2, Л] = 0,(3.66)

где А — любой элемент вида

А = al + a'Ji + aljJiJ j + aljkJiJjJk + • • •,(3.7)

где a, а‘, au, а»к — комплексные числа. Из-за свойства (3.6) операторы Н2 и J2 называются инвариантными операторами {операторами Казимира) алгебры tf(SU(2)).

Найдем теперь все лестничные представления алгебры <^XSU(2)), т. е. все решения коммутационных соотношений (2.16), даваемые линейными операторами в линейных пространствах, которые получаются действием на один собственный вектор оператора Н3 всей алгебры <^(SU(2)). (Существование такого собственного вектора предполагается.)

Рассмотрим теперь вектор / = р, являющийся собственным вектором оператора Н2 с собственным значением с:

Н2/ = с/.(3.8)

Так как оператор Н2 коммутирует со всеми А вида (3.7), AJ также является собственным вектором Н2 с собственным значением с.

Доказательство*. Н2Л/ = А Н2/ = cAf.

Рассмотрим теперь такой вектор /, который является также собственным вектором оператора Н3 с собственным значением т. Нормированный собственный вектор обозначим /т = Jcm:

HJm = *, (ЛМ = 1.(3.8')

(/т называется весовым вектором; т называется весом).

Выбрать такой собственный вектор, который является одновременно собственным вектором двух операторов, возможно тогда и только тогда, когда эти два оператора коммутируют, так как тогда

Н2Н3/т = Н3Н2/т,

что благодаря (3.8) и (3.8') является тождеством. Заметим, что если два оператора не коммутируют, то в общем случае у них нет общего собственного вектора (см. задачу 7).

Определим теперь

и вычислим, используя (3.3),

Н,/„± = H3H±f„ = (HtH3 ±

= (.Htm±HtV„ = (m±l}H± /„<39>

= (m ± l)/m+.

Таким образом, если вектор /т± отличен от нуля, то он является собственным вектором оператора Н3 с собственным значением т ± 1.

Отметим некоторые свойства векторов f .

Число с неотрицательно. Доказательство*.

С = Um, H\U = ^‘Um, № + ^2 + ^з)/т)

=+ lUz/mll2 + Уз./т1!2) > О-

Для любого собственного значения т выполняется неравенство

т'^с-(3.10)

Доказательство:

0<h-2{(J1/m,J1/m) + (J2/m,J2/J}

= tT^Um, J7m) - UmUXO = h" ^C - М2)Ш|2’

откуда следует (с — m2) ^ 0.

Заметим, что в ходе доказательства была использована эрмито- вость оператора J,.

Если начинать с произвольного собственного вектора fcmQ операторов Н3 и Н2 и последовательно действовать на него оператором Н., то в соответствии с (3.9) получим новые собственные векторы fc оператора Н3 со все возрастающими собственными значениями. Вследствие неравенства (3. 10) после конечного числа шагов мы должны получить собственный вектор Д с наибольшим собственным значением / оператора Н3, т. е.

,Л+=я+.Л = о.(З.П)

Тогда из (3.5) следует

(3.12)(3.12)н2л = (н| + н^п - 1(1 + и/г

(3.12)

(3.12)

Следовательно, собственное значение с оператора Н2 и наибольшее собственное значение / оператора Н3 (максимальный вес) связаны соотношением

с - KI + 1).

Вместо того чтобы характеризовать собственные векторы операторов Н2 и Н3 числами сит, мы можем характеризовать их числами / и т.

Если последовательно действовать на /*т оператором Н_, то после конечного числа шагов (вследствие (3.10)) мы должны получить вектор J*m с наименьшим собственным значением д оператора Н3, т. е.

Л_ = «_Л = о.Oja,

Тогда из (3.5) следует

н2/1 = (н2, - н^г, = ^ц- 1)/;..(з. и)

Сравнивая (3.14) и (3.12), находим

/(/ + 1) = д(д - 1),

и единственным решением этого уравнения, для которого выполнено (3.10), является

И = -I-(3.15)

Таким образом, начиная с вектора J*m, действуя на него последовательно оператором Н_ и нормируя получающиеся векторы, получаем последовательность векторов

Л-х = (ахГ'Н-Л,

Л-2 = (п-1У'Н-Л-х,(316)

Д-х = («„y^-fU

где ат определяется выражением

В конце концов мы дойдем до вектора с минимальным весом ^:

Поскольку д = - /, последовательность (3.16) насчитывает 2/ 4- 1 векторов

.fm с т = I, I - 1, / - 2,..., - I 4- 1, -/,(3.17)

которые удовлетворяют условию

(JmJm)=6mm..(3.18)

Поскольку 2/4-1 равно числу векторов, это число должно быть целым; следовательно, / может принимать одно из следующих значений:

/ = 0,1,1,|,... .(3.19)

Таким образом, для фиксированного /— одного из чисел (3.19) — имеем 2/4-1 векторов /^ ортогональных друг другу и порождающих пространство, которое мы назовем .^'t

^'=Г/:/= S(3.20)

т = -1)

Найдем теперь константы нормировки ат:

«„«; = (и, /.. н. о = (/„, н+ н. у.

= (/„, (Н2 - Hj + Н,)/„) = 1(1 + 1) - т1 + т.

Следовательно, с точностью до фазового множителя, остающегося неопределенны м,

ат = х/Ю 4- 1) - т2 4- т = ^/(1 + т)(1 -т + 1),(3.21)

и мы имеем

Н- /1т = VO + m)U - т 4- l)/^ = amJl1H_v (3.22)

Остается найти H^fm. Мы уже знаем, что H^f^ ~ flm*\* Положим H.f^и вычислим

•♦•••►■ m

-2-10+1+2

/ = 2

Рис. 3.1. Пример весовой диаграммы для неприводимого представления группыSU(2).

Следовательно,

К. = ат+! = У(/ + т 4- 1)(/ - т) = рт, и мы получаем

H+flm = V(Z - m)U + т + l)Jm +1 = «ш + i/ш +1 •(3.23)

Суммируем сказанное: для любого целого или полуцелого значения / существует пространство ^У, порожденное 2/4-1 ортогональными векторами /^(т = —/, ..., 4- Z). В этом пространстве операторы //+, Н_, Н3 определены формулами (3.8'), (3.22), (3.23) соответственно, а с ними определено и действие любого элемента А е <<(SU(2)), определенного в (3.7), на любой вектор /е .^ из (3.20). Чтобы показать, что для каждого / имеется свой оператор, можно также писать Н^^, Н^), Н^) для операторов в (3.8'), (3.22), (3.23). Пространство .^ называется пространством неприводимого представления алгебры rftSU(2)). В этом пространстве элементы //+, Н_, Н3 из (3.3) реализованы операторами (3.8'), (3.22), (3.23). Эти операторы образуют (2/ 4- 1)-мерное неприводимое представление операторов //+, //_, Н3. Как можно видеть, они зависят от /; для каждого / = 0, 1/2, 1, ... существует “свой” набор операторов. Все векторы в ^ являются собственными векторами оператора Н2 с одним и тем же собственным значением /(/ 4- 1). Не существует такого элемента А е <^XSU(2)), который переводит вектор J1 е .3? вектор /; е ^ при I Ф Г. Этот факт выражен утверждением, что есть пространство, “инвариантное относительно действия всех А е <^SU(2))”. В частности, пространство .^ инвариантно относительно действия операторов J^i = 1, 2, 3) и операторов Н±,Н3.

Если возможные значения т для неприводимого представления нанести на числовую ось, мы получим весовую диаграмму SU(2) для представления, характеризуемого заданным значением /. Это простейший пример весовых диаграмм для групп Ли. Весовая диаграмма для случая / = 2 приведена на рис. 3.1. Каждой точке соответствует базисный вектор ^т в пространстве представления ^, или, что эквивалентно, одномерное подпространство, порожденное /• . Каждом такому подпространству (или базисному вектору) отвечает

•► т

О

/ = О

Рис. 3.2. Весовая диаграмма одномерного представления группы SU(2).

(чистое) физическое состояние. Таким образом, каждой точке весовой диаграммы отвечает чистое физическое состояние.

Пространство наименьшей размерности ^° является, как показано на рис. 3.2, одномерным.

В общем случае для каждого представления имеется весовая диаграмма, и действие операторов //+, Н_ отображается на этой диаграмме, как показано на рис. 3.3. Каждой весовой диаграмме соответствует пространство ^, и для каждого пространства .5? существует возможное состояние (или набор состояний) квантовомеханической системы, характеризуемое значением /. Благодаря соответствию между оператором L (2.10) и классическим угловым моментом I (2.8) число / называется квантовым числом углового момента:

Vfl = h2Kl + I)/'.

Таким образом, квантовомеханический угловой момент может принимать лишь дискретное число значений. Физическое состояние, соответствующее заданному пространству ^, которое описывается статистическим оператором W = (dim.^-’A7 = (2/ + l)"1^, где М — проектор на пространство ^, имеет определенный угловой

Рис. 3.3. Весовые диаграммы неприводимых представлений группы SU(2).

момент /. Кроме случая / = О, это состояние является не чистым, а смешанным. Приготовление чистого состояния требует не только измерения L2, но также измерения L3 (или любой другой компоненты вектора L). Если значение L3 всегда оказывается равным т, то состояние является чистым и ему отвечает проекционный оператор Л^ = 1/1„></^1 на одномерное подпространство S^m.

Пространство д? является прямой суммой одномерных пространств

Я1 = ^ ©Я'т,(3.24)

т = — I

а каждое пространство .^ порождено вектором ^

Выше упоминалось, что не все линейные операторы ^ U = 1, 2, 3), удовлетворяющие соотношениям (2.16), получены в (2.10). Можно доказать (задача 1), что для L( из (2.10) число / может принимать только значения / = 0, 1, 2, ...; иными словами, операторы Ь6 из (2.10) могут быть реализованы только операторами в пространствах .^ с / = 0, 1, 2Следовательно, для операторов из (2.10) существует счетное число “представителей” Lp в пространствах .^, инвариантных относительно действия Lp. Но эти пространства ^ не являются инвариантными относительно действия операторов Qj и Ру. Используя (2.1) и определение (2.10), немедленно получаем

[L/, ОД = iheykOk,

[L„ PJ = iheykPk.(3'25)

Такие операторы, как Р и Q, имеющие данные коммутационные соотношения с L, называются векторными операторами. Из (3.25) следует

[L2, Q/l = ihtijk^LiQk + QkLh Ф 0,

так что действие Qj изменяет собственное значение /(/ + 1) оператора L2. Это означает, что оператор Q, может осуществлять преобразования из пространства .^ в пространство с /' Ф L

Операторы L( в пространстве ^ с / = 1/2, 3/2, 5/2, ... или любая их прямая сумма

Е © .^'

/ полуцелое

не могут быть выражены как функции операторов Qf и Р,. Для / = 1/2 операторы L</=1/2) называются спиновыми операторами. Матрицы о, типа 2 х 2 с матричными элементами 2(/^|/2, L(/^1/2) называются матрицами Паули (задача 5)!).

Ш.4. ВРАЩАТЕЛЬНЫЙ СПЕКТР

Как упоминалось выше, алгебра <<(SU(2)) не содержит операторов, которые выводят вектор из заданного пространства .^. Но алгебра наблюдаемых квантовомеханического ротатора является более широкой, чем <Д8и(2)); могут встретиться дополнительные элементы, например алгебраические функции от J( и Р( или от J. и Q,. Например, наблюдаемые Qt обладают тем свойством, что они осуществляют преобразование из заданного пространства ^ в соседние пространства .^+1 и .^~1:

Qt : ^l @^l+1,(4.1)

но не в .^±п при п > 1. Мы докажем это в разделе, в котором рассматривается четность.

Пространство физических состояний .^ квантовомеханического ротатора является прямой суммой пространств ^:

f(4.2)

1 = 0

Прежде чем доказать это утверждение, мы хотим дать краткое описание свойств пространства .^.

Пространство -^ не является пространством, на котором реализуется неприводимое представление алгебры углового момента

° Реализация Ji, данная в (3.8'), (3.22), (3.23) и (3.1) для целых значений /, связана с представлением группы вращений SO(3) с помощью операторов e‘“Xjl, e*ulJ1, е,ш^ и их произведений, где e,ulJ1 отвечает вращению вокруг третьей оси на угол ш3. Для полуцелых значений / генераторы J; связаны не с групповым представлением SO(3), а с ее лучевым представлением. Поскольку, согласно постулату II, физическим состояниям отвечают не векторы, а лучи, для квантовой физики важны не только собственно групповые представления, но и лучевые представления. Таким образом, в квантовой физике реализуются представления с любыми целыми и полу- целыми значениями /. Все эти представления являются представлениями “накрывающей группы” SU(2), которая вследствие этого была также названа (Е. Вигнером) квантовомеханической группой вращений. Наличие полуцелых значений углового момента является, таким образом, естественным следствием из основных предположений квантовой механики. В терминах алгебры наблюдаемых это означает, что все представления алгебры углового момента (2.16) реализуются в природе.

<Д8О(3)). Оно называется пространством приводимого представления и разбивается, согласно (4.2), на прямую сумму неприводимых пространств представления .^(/ = О, 1, 2, ... ). Операторы Н+, Н_, Н3, рассматриваемые теперь как операторы в большом пространстве ^, преобразуют любой элемент заданного пространства ^ в элемент того же пространства ^. Таким образом, подпространства .^ пространства ^ “инвариантны” относительно действия операторов Н+, Н_, Н3 и, следовательно, любого А е <f(SU(2)). Оператор Н2, который в пространстве ^ сводится к умножению на число /(/ + 1), имеет в .^ нетривиальный спектр, а именно

спектр Н2 = {/(/ + 1), / = 0, 1, 2, 3,...}. (4.3)

Весовая диаграмма для представления, реализованного в пространстве .^, приведена на рис. 4.1.

Дадим теперь обоснование утверждения (4.2). Предположим, что операторы /; являются операторами углового момента Ц = = EijkQjPk; тогда, согласно утверждениям, сделанным в разд. III.3 и доказанным в задаче 1, допустимыми являются только целочисленные значения /, т. е. пространство ^ содержит только подпространства .^ с / = 0, 1, 2, ... . Тот факт, что 5? содержит только ^ с / = 0. 1, 2, .... следует из того, что для ротатора существуют наблюдаемые (например, операторы Q^ осуществляющие, согласно (4.1), преобразования из ^ в соседние подпространства ^+1 и ^*-1. То, что каждое подпространство ^ появляется только один раз, следует из того факта, что для описания ротатора не требуется дополнительных квантовых чисел; если бы какое-то подпро-

Рис. 4.1. Набор весовых диаграмм группы SO(3), отвечающих неприводимому представлению группы SO(3, 1) или Е(3).

странство .^о появлялось два или большее число раз, то существовали бы два или более вектора У%(1), У%(2), ... с одинаковыми квантовыми числами /0, т и, для того чтобы различить эти векторы, потребовалось бы новое квантовое число. Но ротатор — это как раз такая модель, в которой нет других диагональных наблюдаемых, кроме углового момента (L2 и L3). (Другими словами, реальная физическая система эквивалентна ротатору только в той степени, в которой для ее описания не требуется дополнительных квантовых чисел; например, многоатомные (подобные симметричному волчку) молекулы не могут в общем случае описываться моделью ротатора, и даже для двухатомной молекулы модель ротатора дает лишь приближенное описание, не учитывающее никакие их свойства, кроме вращательного движения гантели.) Таким образом, как обычно, оправдание (4.2) состоит в том, что в природе существуют физические системы, физические состояния которых описываются (с определенной точностью) пространством .^.

[На математическом языке то же утверждение выглядит более компактным: “Генерирующей спектр алгеброй ротатора является £\Е3\ Алгебра <5\Е^ генерируется операторами Ер О{, подчиняющимися коммутационным соотношениям

[А», ЕД = ihujkEk, \Lt, ОД = ihttjkQk» [Q«> ОД = 0>

а -^ — частное пространство неприводимого представления алгебры ^з)1

Каждой точке на весовой диаграмме .^ отвечает чистое состояние, которое описывается одномерным подпространством (/, т фиксированы), порожденным (нормированному) статистическому оператору для чистого состояния W = Л^, где А*т — проектор на ^,отвечает квантовомеханическая система, для которой угловой момент имеет определенное значение /, а третья компонента орбитального момента Н3 имеет определенное значение т. Поскольку в пространстве не существует выделенного направления, а координатная система выбирается произвольным образом, оператору Н3 отвечает компонента углового момента вдоль произвольно выбранного направления; эта величина называется также спиральностью.

Собственные значения оператора энергии на .^, т. е. энергетический спектр ротатора, можно получить из (2.11):

спектр Н = Ei = l/i2/(/ + 1).(4.4)

Рис. 4.2. Уровни энергии и инфракрасные переходы для жесткого ротатора: а — диаграмма уровней энергии, б — результирующий спектр (схематично) [14].

Следовательно, мы видим, что энергетические уровни зависят от /, как это иллюстрирует рис. 4.2. Если мы сравним этот рисунок с рис. 1.7, то увидим, что ротатор действительно имеет энергетический спектр, позволяющий объяснить инфракрасный спектр двухатомных молекул.

В отличие от осциллятора для ротатора энергетические собственные пространства (т. е. пространства векторов с одинаковым собственным значением энергии) не являются одномерными, кроме случая / = 0, следовательно, состояние ротатора с определенным собственным значением энергии Е( (/0 * 0) не обязательно является чистым. Если было проведено только измерение энергии, которое дало значение Е^, то статистический оператор равен

W = Л'о (ненормированный) (4.5) или

W = (ТгЛ/о)~1Л/о = (2/0 + l)-^0 (нормированный), (4.5')

где Х*о — проектор на (2/0 + 1)-мерное подпространство ^°. При измерении только энергии невозможно приготовить чистое состояние ротатора. Только при некоторых дополнительных условиях, если в пространстве существует выделенное направление (например, заданное внешним магнитным полем), можно приготовить со-

стояние с определенной спиральностью, т. е. чистое состояние Л^ . Если была измерена только энергия ротатора, но не спиральность, то состояния с различными спиральностями предполагаются имеющими одинаковый вес, поэтому для (ненормированного) статистического оператора выбираем выражение

W = Л'° = Л/о, + Л/о. . + ... + Л^ + ... + Л(°.(4.6)

— /о — <0 +1m/оv '

Выражение (4.6) является частным случаем выражений (11.4.32) и (11.4.49).

Чтобы вычислить частоты света, которые могут излучаться или поглощаться ротатором, необходимо знать правила отбора. В нашем классическом описании ротатора мы можем рассматривать его как вращающийся диполь с дипольным моментом D, причем

D = const Q.(4.7)

где Q — вектор, соединяющий положительный и отрицательный заряды. Тогда с классической точки зрения излучение является следствием вращения этого электрического диполя. В квантовой механике интенсивность испущенного или поглощенного излучения пропорциональна квадрату модуля матричного элемента оператора D, т. е. пропорциональна

K/mJQI/m>|2.(4.8)

Следовательно, дипольное излучение может иметь место только при переходах из состояний J*m, в состояния J*m такие, что матричный элемент (4.8) не равен нулю (квадрупольное и высшее мульти- польное излучения пренебрежимо малы). В разделе, в котором рассматривается вопрос о четности, показано, что (как утверждалось в (4.1))

</‘т. \QiV-> = 0 кроме / = Г ± 1.(4.9)

Таким образом, правило отбора для дипольного излучения ротатора имеет вид

А/ = / - /' = ±1.(4до)

Если сравнить этот результат с экспериментальной ситуацией для молекулы СО, изображенной на рис. 1.7, мы увидим полное совпадение. Рис. 1.7 показывает не только переходы между состояниями с различными значениями углового момента /, но также и с различными значениями колебательного квантового числа п.

Мы ожидаем также для двухатомной молекулы излучения, обусловленного переходами между различными состояниями ротатора, отвечающими одному и тому же состоянию осциллятора п = 0. Эти переходы (с поглощением) показаны на рис. 4.2 стрелками. Частота этого излучения, выраженная в единицах волнового числа см-1, получается делением (1.1) на с и равна

_ Ev — Ei

Vvl - 2irhc ’

Используя (4.4) и (4.10), вычисляем

(4.П)(4.П)„_ Л2 (Z + !)(/ + 2) - (/ + l)Z

(4.П)

(4.П)

l+u 212 т Ac

=-Ат 2<z+»=^ + »•

4%cl

где

(4ЛГ)

Следовательно, спектр простого жесткого ротатора состоит из серии эквидистантных линий, как это схематически изображено в нижней части рис. 4.2.

Мы ожидаем, что частоты для чисто вращательных переходов должны быть много меньше колебательных частот, поскольку расстояния между вращательными энергетическими уровнями, как это видно на рис. 1.7, много меньше расстояний между колебательными уровнями (отметим присутствие множителя 1/5).

Чисто вращательный спектр лежит в далекой инфракрасной области. Спектр поглощения молекулы НО в далекой инфракрасной области был измерен, и экспериментальные результаты приведены во втором столбце табл. 4.1. Согласно формуле (4.11), мы ожидаем эквидистантного частотного спектра. Поэтому в третьем столбце приведены значения разностей соседних частот. В соответствии с (4.11) эта разность должна быть равна

Av = v/+1_, - vu_, = 2В. (4.12)

Первые одиннадцать частот находятся на примерно одинаковом расстоянии друг от друга, и пользуясь формулой (4.11), получаем

1035(4.13)

Таблица 4.1. Спектр поглощения НО в далекой инфракрасной области. Данные для I = 1, 2, 3 из работы [15], для / = 4, .., 11 из [16], для / = 17, ..., 33 из [17]. Частота v в единицах см-1.

/ "<-Мнабл ^"набл "выч

20,70/

"выч = 20,88/

— O.OO1873/3

20.8_ „20.70

41.620.8414,

62 5205362"

83.03in 82182

1041320 60103 52

124.73124.22

145.37144.93

165.8922165.63

186.232017186133

206.602.207.04

228.86227.74

20.87

41.74

62.58

83.39

104.15

124.86

145.50

166.07

186.54

206.92

227.19

17 345.6 Q351.96

18364.6372.67

19384.2393.37

20403.4414.07

21422.1‘434.78

22440.1455.48

23458.3476.18

24474.4496.89

25494.322517.59

26511.2538.30

27527.7559.00

28542.9579.70

29561.1600.41

30576.4621.11

31589.6641.81

32609.4662.52

33623.4140683.22

345.86

365.05

384.04

402.82

421.37

439.70

457.79

475.62

493.18

510.48

527.48

544.19

560.59

576.66

592.41

607.82

622.87

В четвертом столбце таблицы даны значения, вычисленные по формуле (4.11) с использованием (4.13). Мы видим очень хорошее согласие между вычисленными и измеренными значениями при сравнении первых одиннадцати значений во втором и четвертом столбцах. Но это согласие ухудшается для больших значений I. Разность между соседними частотами при больших / меньше, чем при малых. Спектр частот не является эквидистантным, но формулу (4.11) можно модифицировать так, чтобы получить лучшее согласие для больших I. В последнем столбце таблицы дан результат подгонки с

помощью формулы

V/+1 , = 2b(/ + 1)-w + I)3(4.14)

(b, d — константы). Сравнивая значения в этом столбце с наблюдаемыми значениями из второго столбца, мы видим, что согласие с экспериментальными данными для формулы (4.14) намного лучше, чем для формулы (4.11). Энергетический спектр, отвечающий формуле (4.14), дается выражением^

Е, = tbl(l + 1) - dl\l + 1)2]2лйс(4.15)

(b, d — константы). На рис. 4.3 показаны энергетические уровни (4.15), полученные для завышенного значения d.

Объяснение того, что формула (4.15) дает лучшее согласие с экспериментальными данными, состоит в том, что двухатомная молекула НС1 не является идеальным жестким ротатором. Связи между атомами не являются жесткими, и межатомное расстояние меняется в зависимости от скорости вращения вследствие центробежных эффектов. Формулу (4.15) можно получить, если рассмотреть классическую модель, в которой молекула описывается как две жесткие сферы (атомы), соединенные не жестким стержнем, а пружиной.

J ]4 13

Z Г'|2

-*7-11

»ГЧ»Т«ПЧТ1ОТ«»»> 9»ГЧ»Т«ПЧТ1ОТ«»»> 988=■ —_тю

»ГЧ»Т«ПЧТ1ОТ«»»> 9

»ГЧ»Т«ПЧТ1ОТ«»»> 9

8

8

Рис. 4.3. Уровни энергии нежесткого ротатора [14]. Для сравнения штриховыми линиями показаны уровни энергии соответствующего жесткого ротатора (при J < 6 их нельзя нарисовать отдельно).

') Энергетический спектр Е, = 2тгАс[6' — d'IVU + D, который хорошо согласуется с ядерными вращательными спектрами, хуже согласуется с молекулярными вращательными спектрами, чем (4.15).

Если молекула вращается вокруг оси, перпендикулярной этой пружине, то в положении равновесия центробежная сила Р/О^х3) равна центростремительной силе к(х — хе), где к — постоянная пружины, а хе — межатомное расстояние для покоящейся молекулы. Таким образом,

I2к(х - Хе) =(4.16)

Энергия этой системы (см. (II.2.3) и (2.4)) равна

I2

Е = ^2" + i Ш - Хе)2.(4.17)

Используя разложение 22 A X - Хе \

х2 = х2( 1 + 2+ ... )(4.18)

\Хе/

и уравнение (4.16) для Е получаем

E = lb" ^Зк? ^ + °<<12)3)-(419)

Первый член отвечает энергии жесткого ротатора, а второй член описывает вклад центробежных сил. Переходя к квантовому случаю заменой числа I2 оператором L2, получаем оператор энергии

<4-20)

для которого имеет место спектр (4.14). Тот факт, что формула (4.14) лучше согласуется с экспериментальными данными, подтверждает приведенное классическое рассмотрение. Но мы видим также, что эмпирическое значение d на несколько порядков меньше, чем значение Ь, получаемое с использованием формулы (4.14):

бна = 10.438 см"1, </нс1 = 0.0046 см"1.(4.21)

Это показывает, что жесткий ротатор является замечательно удачной моделью .вращающейся двухатомной молекулы1).

Как мы убедимся ниже, расстояния между уровнями энергии для вращающейся молекулы СО значительно меньше, чем для молекулы НО. Следовательно, чисто вращательный спектр молекулы СО лежит при значительно больших длинах волн, где экспериментальные исследования сильно затруднены.

Теперь мы обсудим некоторые количественные характеристики классической картины двухатомной молекулы. Используя значение (4.13), вычислим момент инерции молекулы НО:

/на = 2.71 х 10" 40 г см2.

Используя значения

/иа == 6.0 х 10" 23 г,

Na

== 0.167 х 10"23г,

Na

по формуле (2.7) вычислим

Из (2.6), используя полученные численные значения /хнс1 и /НС1, можно вычислить междуядерное расстояние в молекуле НО:

Хна = 1.29 х 10" 8 см.

Таким образом, используя инфракрасный спектр поглощения, мы вычислили, что размер молекулы порядка 10-8 см. Такой порядок величины очень хорошо согласуется со значениями атомных и молекулярных радиусов, полученными из других классических соображений. Следует подчеркнуть однако, что это значение х получено в рамках классического описания квантовомеханической системы и не является средним значением квантовомеханической наблюдаемой.

III.5. КОМБИНАЦИЯ КВАНТОВОФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ.ОСЦИЛЛИРУЮЩИЙ РОТАТОР

Объединим теперь модель квантовомеханического ротатора с моделью квантовомеханического осциллятора и получим модель квантовомеханического осциллирующего ротатора (вращающегося осциллятора). Это позволит дать описание экспериментальной ситуации, отраженной на рис. 1.5, 1.6 и 1.7. Рассмотрим сначала общий

случай комбинации двух квантовых физических систем. Для этого нам потребуется новое физическое понятие: прямое произведение, или тензорное произведение, линейных пространств.

Пусть Rx и R2 — два линейных пространства, пусть, далее, uleRx, vjeR1 и а- е С (комплексные числа). Набор всех (произвольно больших, но конечных) сумм

(5 j)

где а у — любые числа из С, образует линейное пространство, которое называется пространством прямого произведения и обозначается Rx ® Rr Величина UjUj является формальным произведением, которое также записывается в виде u^j = U; ® и^ Если (и, и')х обозначает скалярное произведение в Rx, а (у, и')2— скалярное произведение в R2, то скалярное произведение в Rx ® R2 определяется выражением

^2 ^ij^i ^j' ^L ^lm ^/ ^m j^ ^ij^lm^i' ^l)l(^j' ^m)2-(5-2)

ijIm/ijlm

(Замечание: если Rx и R2 — гильбертовы пространства, то “пополнение” Rx ® R2 по этому скалярному произведению является прямым произведением гильбертовых пространств.)

Если ф„ — базис в пространстве Rx, а ф^ — базис в R2, то

Ууд Ф» ® ФцФмФц(5.3)

является базисом в пространстве Rx ® Rr

Если Л, — линейный оператор в пространстве Rx, а А2 — линейный оператор в R2, то операторы

С = Ах ® I, В = 1 ® Л2(5.4)

в пространстве Rx ® R2 определяются следующим образом:

с/ = S aiAAud ® Чь

и(5.4')

В/ = 5 atjUi ® (AiVj\

и

Линейный оператор А = Ах ® А2 в пространстве Rx ® R2 определяется соотношением

A(uj ® vk) = (Л1 ® AiXuj ® v*) = (AiUj) ®(А2ик).(5.5)

def

Легко видеть, что если Л,, Вх — линейные операторы в /?р а Л2и В2 — линейные операторы в R2, то

АхВх ® АгВ1 = (Л1 ® Аг^Вх ® В2).(5.6)

Каждый оператор А в пространстве прямого произведения является линейной комбинацией прямых произведений операторов, т. е.

А = У, А?1® А?,(5.7)

где Л^ — линейные операторы в пространстве Rv а А^ — линейные операторы в /?2.]

Используя понятие прямого произведения пространств, мы можем сформулировать фундаментальное предположение относительно физической комбинации двух квантовомеханических систем:

IVa. Пусть одна физическая система описывается алгеброй операторов ,о^ в пространстве Rx, а другая физическая система — алгеброй .о^ в R2. Пространство прямого произведения Rx ® R2 является тогда пространством физических состояний физической комбинации этих двух систем, а соответствующие наблюдаемые являются операторами, в пространстве прямого произведения (в форме (5.7)). Наблюдаемые, относящиеся только к первой системе, имеют вид Ах ® 7, а наблюдаемые, относящиеся ко второй системе, имеют вид 7 ® Л2 (7 — единичный оператор).

Подчеркнем еще раз, что IVa является фундаментальным предположением квантовой механики и может быть оправдано только существованием соответствующих физических систем.

Применим теперь фундаментальное предположение IVa к описанию осциллирующей и вращающейся двухатомной молекулы.

Обозначим пространство физических состояний осциллятора через Jf. В пространстве ^ был введен базис собственных векторов оператора N или 77OSC:

базис в ^: фп = НО (и = 0. 1, 2,...).(5.8)

Действие всех наблюдаемых (всех элементов алгебры наблюдаемых квантовомеханического осциллятора) гармонического осциллятора на базисные векторы 1л> известно из гл. II.

Пространство физических состояний ротатора мы обозначили через ^. В пространстве .^ мы ввели базис собственных векторов

операторов L3 и L2 или HTOt: базис в ,^;=

О = 0, 1, 2, ...; т целое, — / < w < +/).(5.9)

Пространством физических состояний осциллирующего ротатора является, согласно IVa, пространство прямого произведения

<5 = ^®^,(5.10)

а наблюдаемыми являются операторы £ Л^. ® Л^, где Л^ — какая-либо наблюдаемая осциллятора, а Л^( — какая-либо наблюдаемая ротатора. Базис в пространстве <5 получается взятием прямого произведения базисных систем фп в ^ и flm в .^ и обозначается через I nlm >:

\n I т') = |л> ® \1 т) = фп ®fm.(5.11)

Мы уже упоминали, что вращающаяся двухатомная молекула не является жестким ротатором, а осциллирующая двухатомная молекула не является гармоническим осциллятором. Отметим далее, что колебания и вращения не являются независимыми движениями молекулы. В нашей классической модели молекула представляет собой две массивные материальные точки, соединенные безмассовой пружиной. Поэтому существует взаимодействие колебаний и вращений, вызванное, например, тем, что в процессе осцилляций меняется междуядерное расстояние х = (х^)172, а с ним и момент инерции / = цх2.

Мы временно пренебрежем всеми этими тонкими деталями и рассмотрим идеализированную систему, являющуюся одновременно жестким ротатором и гармоническим осциллятором, имея, однако, в виду, что это описание является идеализацией и может быть справедливым лишь приближенно.

Оператор энергии этой идеализированной физической комбинации гармонического осциллятора и жесткого ротатора имеет вид

Н = 77О$С® 7 + 7® НюХ,(5.12)

где

^ +1 /) = 7- Р1 + Q1

2 / 2ц 2

И

77rot =L2.

Если пренебречь взаимодействием этих двух систем, все наблюдаемые имеют вид

А = Aosc® I + I ® AtoV(5.13)

Из формулы (5.12) получаем энергетический спектр осциллирующего ротатора:

спектр Н = Enl = ha>(n + i) + ~ h21Ц + 1).(5.14)

Эксперименты показывают, что постоянные системы ш для осциллятора и I для ротатора удовлетворяют соотношению hw > Л2/(21) (чисто колебательные переходы находятся в ближней инфракрасной области, а чисто вращательные переходы — в далекой инфракрасной области). Диаграмма уровней энергии, которая получается при этих условиях из (5.14), показана на рис. 5.1. Чтобы найти частоты переходов, используем правила отбора

Ди = ±1, Д/ = ±1,(5.15)

заданные соотношениями (1.10) и (4.10). Если рассмотреть некоторый колебательный переход из п в п + 1 (поглощение) или из n + 1 в л (излучение), то из (5.14) находим частоты (в см-1)

VRVREn+\,i+ \ ~ ЕпдTitheEn+\,i+ \ ~ ЕпдTithe

VR

VR

En+\,i+ \ ~ Епд

Tithe

En+\,i+ \ ~ Епд

Tithe

— j>o + 25 + TBl (Ы = +1),— j>o + 25 + TBl (Ы = +1),(5A6R)(5A6R)

— j>o + 25 + TBl (Ы = +1),

— j>o + 25 + TBl (Ы = +1),

(5A6R)

(5A6R)

vpvpEn +1 ,i -1 En,iTitheEn +1 ,i -1 En,iTithe= vo- TBl (Д/ = - 1)= vo- TBl (Д/ = - 1)(5.16Р)(5.16Р)

vp

vp

En +1 ,i -1 En,iTithe

En +1 ,i -1 En,iTithe

= vo- TBl (Д/ = - 1)

= vo- TBl (Д/ = - 1)

(5.16Р)

(5.16Р)

для поглощения, где В дается формулой (4.11'):

h = h8тг2с1 4тгс1

Tit с

Следовательно, мы имеем две серии эквидистантных линий, которые называются R- и Р-ветвями с щелью при v0 (так как Д/ = 0 запрещено правилами отбора). Соответствующие переходы обозначе-

Рис. 5.1. Энергетические уровни осциллирующего ротатора [14]. Для каждого из первых пяти колебательных уровней нарисовано несколько вращательных уровней (короткие горизонтальные линии).

ны на диаграмме энергетических уровней рис. 5.2. Частотный спектр, вычисленный по формулам (5.16), изображен в полосе (Ь). Наблюдаемый спектр, приведенный на рис. 1.7, изображен в полосе (а). Таким образом, предсказания модели вращающегося осциллятора при отсутствии взаимодействия колебаний и вращений довольно хорошо согласуются с экспериментом, но не вполне точно. Наблюдаемые линии R-ветви находятся ближе друг к другу, а линии Р-ветви — дальше друг от друга, чем предсказанные эквидистантные линии. Это происходит из-за взаимодействия вращений и колебаний.

Если предположить, что момент инерции для различных колебательных состояний различен, то получим

Enl = hto(n + |) + ^-h2l(l + 1)(5.17)

вместо (5.14), а для волновых чисел получаемых линий

» = Srr^Srr =- „') + В, ГЦ’ + 1) - В„-ГЦ" + 1), (5.18)

2лтс

гдеи

Вп = —?—.

8тг2с1„

Отсюда получаем частоты поглощения (в единицах волнового числа см-1) для переходов п" Г — п' Г между соседними колебатель-

Гю

10 98765432 1 v0 — 1 — 2 — 3 — 4 — 5—6-7—8 — 9 — 10

Рис. 5.2. Диаграмма уровней энергии, иллюстрирующая структуру колебательновращательной полосы [14]. В общем случае расстояние между двумя колебательными уровнями много больше по отношению к расстоянию между вращательными уровнями, чем это изображено на рисунке (это показано разрывами линий, изображающих переходы.) Схематические спектрограммы (а) и (Ь) дают результирующий спектр с учетом и без учета взаимодействия между колебаниями и вращением. На этих спектрограммах в отличие от большинства других малые длины волн находятся слева.

ними уровнями:

vr = v^n' - п") + 2Вп- + (ЗВп, - Ва* + (Вп- - Bai2

(Г = / + 1, I" = I, Ы = +1), (5.19/?)

VP = ^п - _ п ") - (Вп, + Bai + Фп’ - Bai2

(Г = I - 1, I" = I, Ы = -1). (5.19Р)

Выражения (5.19) дают превосходное согласие с эмпирической тонкой структурой инфракрасных полос.

Для молекул НС1 значения Вп были получены для различных полос п' ~ п" \

0^1 0^2 0^3 0^4 0^5

(переходы с Дл > 1 происходят из-за слабой ангармоничности, см. рис. 1.3). Результаты приведены в табл. 5.1. Разность ДРп между соседними уровнями почти постоянна, так что Вп можно аппроксимировать формулой

Вп = Ве- а^п + |),Вп = Ве- а^п + |),(5.20)(5.20)

Вп = Ве- а^п + |),

Вп = Ве- а^п + |),

(5.20)

(5.20)

где ае — константа, малая по сравнению с равновесным значением Ве = 10,5909 см-1. Значение Вп, приведенное в таблице для вращательно-колебательного спектра, согласуется в пределах ошибок измерений со значением дна = 10,438 см-1, полученным для чисто вращательного спектра НС1 (см. 4.21)).

Таблица 5.1. Вращательные константы молекулы НС1 для различных колебательных уровней электронного основного состояния [14]

п

Bn(cm *) ДВ„, см-1

0

10.4400

.0.3034

1

2

3

4

5

98329°'3°37

О.ЗоГ

9.2320,99

Экспериментальные значения для колебательно-вращательных спектров молекулы СО не являются ни столь многочисленными, ни столь точными. Из спектра, показанного на рис. 1.5, получаем

Всо = 1.96 см-1.(5.21)

Это значение и, следовательно, тонкая структура энергетического спектра значительно меньше, чем для молекулы НО.

Двухатомная молекула с наибольшим значением вращательной константы Ве, а значит с наибольшим расстоянием между вращательными уровнями, — это молекула Н2, для которой В”2 = 60,80 см-1.

Качественное теоретическое объяснение формул (5.17) и (5.20) следует из классической картины двухатомной молекулы как двух твердых сфер, соединенных пружиной. Когда эта система находится в состоянии с более высокой колебательной энергией, амплитуда колебаний больше и, следовательно, больше момент инерции. Следовательно, 1~х убывает с ростом п, как это и следует из формулы (5.20).

Для квантовомеханических наблюдаемых эмпирическая формула (5.20) означает, что в присутствии взаимодействия между вращательными и колебательными степенями свободы формулы (5.13) недостаточно. Для оператора энергии в дополнение к (5.12) имеем член со взаимодействием, для которого в качестве первой догадки можно принять

^int9^ ох ® ^rot»(5.22)

где д — константа связи размерности эВ-1. Таким образом, оператор энергии для осциллирующей и вращающейся двухатомной молекулы с взаимодействием в этом приближении имеет вид

Н = Hosc ®I + / ф Hrot + gH0SC ® Hrot, (5.23) где

Hosc = ha^N + iZ)(5.24)

и

= 2TL2;<5 25)

I — момент инерции, отвечающий равновесному расстоянию хе: С =

Уровни энергии двухатомной молекулы с колебательно-вращательным взаимодействием — это средние значения Н по физиче-

Рис. 5.3. Колебательные и вращательные уровни двух электронных состояний А и В молекулы (схематически) [14]. Во всех случаях нарисованы только первые несколько уровней.Рис. 5.3. Колебательные и вращательные уровни двух электронных состояний А и В молекулы (схематически) [14]. Во всех случаях нарисованы только первые несколько уровней.

Рис. 5.3. Колебательные и вращательные уровни двух электронных состояний А и В молекулы (схематически) [14]. Во всех случаях нарисованы только первые несколько уровней.

Рис. 5.3. Колебательные и вращательные уровни двух электронных состояний А и В молекулы (схематически) [14]. Во всех случаях нарисованы только первые несколько уровней.

ским состояниям. Конечно, не очевидно, что \ nlm) = Фп^1*т (5.11), где фп — собственные векторы операторов N, а ^т — собственные векторы операторов L2 и L3, реализуют чистые состояния этой физической системы. Вместе с тем, поскольку они также являются- собственными векторами оператора энергии Н (5.23), их выбор для' измерения энергии очевиден. Следовательно, уровни энергии равны собственным значениям оператора Н в базисе \Шт> (5.11):

1h2

Ет = Мп + 1) + — h2l(l + 1) + gh<o — (n + ЗД + О- (5.26)

Волновое число кванта излучения, отвечающего такому значению энергии

Vnl =Vnl =Eni _ Eni he 2irhc'Eni _ Eni he 2irhc'(5.27)(5.27)

Vnl =

Vnl =

Eni _ Eni he 2irhc'

Eni _ Eni he 2irhc'

(5.27)

(5.27)

461 — 13

называется термом^ (см. уравнение (1.12)). Таким образом, как следует из (5.26), термы осциллирующего ротатора равны

v„i = v0(n + i) + (Ве - ае(и + {))/(/ + 1),(5.28)

где мы использовали спектроскопии

стандартные обозначения молекулярной

<5'29)

4лс1е ЧКСЦХе

_ 9^(5.30)

21, ’

в„ = в, - «Ап + }).(5.31)

Согласно приведенным выше качественным соображениям, величины I”1, а следовательно, Вп убывают с ростом п, поэтому постоянная ап должна быть положительной, что всегда выполняется в экспериментах. Выражение (5.28) вместе с (5.31) для волновых чисел переходов в R-ветви дает

Vr = v„.H1 - \-„..|

= v0(n' - n") + 2B„. + (3B„. - B„.)( + (B„. - B„-)/2, (532Л)

и для волновых чисел в Р-ветви

Vp = Vn.,_! - Vn,4

= v0(m' - и") - (Bn. + ВЛ + (Bn. - ВЛ2. (5.32P)

т. e. эмпирически хорошо установленные формулы (5.19). Это показывает также, что наша догадка относительно вида выражения (5.22) была верна.

Два упомянутых выше эффекта не принимались во внимание в выражении (5.23) с (5.24) и (5.25): это ангармоничность осциллятора и влияние центробежных сил. Следовательно, формула (5.28) не является окончательной формулой для осциллирующей и вращающейся двухатомной молекулы. Если учесть эти эффекты, то с некоторой точностью для термов колеблющегося ротатора получаем

v„ = шЛп + 1) - ад Ап + I)2 + В„/(/ + 1) - D„/2(( + I)2, (5.33)

° Заметим, что мы используем один и тот же символ г для частоты (в с *) и волнового числа (в см-1); ср. с замечанием в тексте после уравнения (1.12в).

где £е — малый параметр, учитывающий ангармоничность^, и

В„ Ве ^е^ "^ 2)1(5.34)

D„ = De + Щи + 1).(5.35)

Мы использовали стандартное обозначение to 1 [к ^е = у- = т— -.(5.36)

Величина Ве определяется выражением (5.29)

В hh

е 4лс1еАкСЦХе '

Согласно квазиклассическому рассмотрению, ведущему к формуле (4.20), De может быть выражено через приведенную массу д, равновесное расстояние хе и постоянную пружины к:

h3

Из выражений (5.36), (5.29) и (5.37) следует, что три параметра системы De, Ве и ше не являются независимыми, а связаны соотношением

4В3

De = ^-(5.38)

tot

Параметры $е, ае, 0е, описывающие степень ангармоничности, как следует из экспериментальных данных, малы:

как и должно быть, поскольку они учитывают влияние поправок к моделям, которые очень хорошо описывают реальные физические системы, существующие в природе. Параметры системы ше, %е, Ве, De, ае и 0е были определены экспериментально для многих двухатомных молекул и собраны в таблицы (см[14]). Формула (5.33) дает очень хорошее описание колебательно-вращательных спектров

° Величина ше£е определяется ангармоническими членами для осциллятора (членами, пропорциональными Q3, Q4 и т. д.) и может быть вычислена по теории возмущений. См. задачу VIII.1.

двухатомных молекул, и лишь в исключительных случаях возникает необходимость учета высших поправочных членов.

Двухатомные молекулы являются осциллирующими ротаторами лишь до тех пор, пока внутренняя энергия достаточно мала, грубо говоря порядка энергии инфракрасного излучения. Для более высоких энергий (1—20 эВ), отвечающих видимой и ультрафиолетовой областям, молекулы не похожи на осциллирующий ротатор, поскольку вступают в игру новые степени свободы, связанные с электронными переходами. Но в каждом электронном состоянии молекула по-прежнему является осциллятором, так же как в каждом колебательном состоянии она является ротатором. Это приводит к энергетическим спектрам, схематически показанным на рис. 5.3 для двух электронных состояний. Мы не будем описывать здесь электронные степени свободы молекул; они имеют ту же природу, что и электронная структура атомов, которая обсуждается в последующих главах книги.

Глава IV

Полная система коммутирующих наблюдаемых

В этой главе объясняется, что вопрос о том, что составляет полную систему коммутирующих наблюдаемых, не является математическим; на него может ответить только эксперимент.

Для одномерного гармонического осциллятора нужно было только одно число, чтобы перенумеровать базисные векторы в пространстве физических состояний. Мы использовали энергетическое (главное) квантовое число п, являющееся собственным значением оператора N из уравнений (II.3.2) — (II.3.7), которое связано с энергией соотношениями (II.3.30):

N\n> = n\n> или Hosc\n> = Еп\п>, и = 0,1,2,.... (Ц)

Вместо квантового числа п можно было бы использовать «непрерывное квантовое число» х, т. е. обобщенное собственное значение оператора координаты (II.7.1). Вместо базисных векторов 1л> можно было бы использовать обобщенные базисные векторы 1х>, которые связаны с векторами 1л) преобразованиями (II.7.16'). Можно было бы также использовать обобщенные базисные векторы 1р> из (II.7.28) и (II.7.37) или даже другие базисные системы. Все эти базисные системы для одномерного осциллятора имеют в качестве индекса одно квантовое число. Говорят, что спектры операторов N, Н, Q и Р являются простыми, или невырожденными1).

Для описания ротатора потребовались два квантовых числа, в качестве которых в разд. III.3 мы выбрали целые или полуцелые числа у или у3, которые связаны с собственными значениями квадрата оператора углового момента J2 и произвольно выбранной компоненты Jy

J2U> J3) = jU + 0^21Л 7зХ ^з17’Уз^ = 7зй1 Ь J3X (Г2)

° Эти наблюдаемые являются циклическими операторами на пространстве физических состояний одномерного осциллятора (см. примечание на с. 25).

Спектр оператора J не имеет простого вида, он вырожден, поэтому для того, чтобы полностью характеризовать базисные векторы, необходимо ввести в дополнение к j квантовое число у3 («магнитное» квантовое число)1 \

Вместо базисных векторов (1.2) можно было бы использовать другую систему базисных векторов в пространстве физических состояний ротатора -^ — например векторы I уу2 ], определяемые соотношениями

J2by2} = Ki + О^лМ; JiMiis = ii^\iiiY (1.3)

Вместе с условиями нормировки уравнения (1.2) или (1.3) полностью определяют базисные векторы с точностью до фазового множителя (т. е. определяют подпространства, порожденные базисными векторами). Это значит, что если J2^ = аф и 13ф = Ьф для ф е .^, то а = j' (j' + 1)Л2, где j' — целое или полуцелое число, b = у3', где Уз — целое или полуцелое число, причем —у' ^ у3' ^ у' и ф = а Iу', Уз>, где а е С. Две базисные системы (1.2) и (1.3) связаны преобразованием базиса (1.5.12), где коэффициенты преобразования <уу31 j'34) полностью определяются с точностью до фазовых множителей, обычно фиксируемых по соглашению, алгеброй наблюдаемых.

В то время как в случае осциллятора возникают одна переменная и одно связанное с ней квантовое число (например, H°sc и л), в случае ротатора всегда требуется ввести две коммутирующие переменные и два связанных с ними квантовых числа (например, J2, J3 и у, у3). Существует определенная свобода в выборе конкретных наблюдаемых, но число индексов, необходимое для характеристики базисных векторов пространства физических состояний, определяется физической системой21.

Набор коммутирующих эрмитовых операторов, который полностью определяет (обобщенный) базис, называется, следуя Дира-

ку, полной системой коммутирующих наблюдаемых (п.с.к.н.). Обобщенные собственные значения п.с.к.н. называются квантовыми числами.

Для одномерного гармонического осциллятора п.с.к.н. содержит один оператор — либо оператор Н, либо оператор Q, либо какой-то другой оператор. Для ротатора п.с.к.н. содержит два оператора; обычно выбирают операторы J2 и J3, но возможен и выбор других операторов, даже операторов с непрерывным спектром!). Для различных физических систем и, следовательно, различных алгебр наблюдаемых обычно различны и п.с.к.н. Чем шире алгебра (т. е. чем сложнее физическая система), тем больше количество операторов в п.с.к.н.

Из сказанного выше и того факта, что в пространстве прямого произведения базисная система получается как прямое произведение базисных векторов в двух фактор-пространствах, очевидно, что п.с.к.н. для комбинации двух систем дается комбинацией двух п.с.к.н. подсистем.

Например, в случае осциллирующего ротатора п.с.к.н. содержит следующие операторы:

N,3\j3. (1.4)

Но существуют также и другие возможные п.с.к.н. для этого случая. Некоторые из них могут приобретать важное физическое значение в тех случаях, когда взаимодействие между ротатором и осциллятором является сильным и предположение о коммутативности гамильтониана комбинированной системы с операторами из (1.4) становится неприемлемым.

[Задача о том, для каких *-алгебр существует полная система коммутирующих наблюдаемых, не решена; требование о ее существовании, безусловно, является ограничительным. Для некоторых типов операторных *-алгебр .Z п.с.к.н. существуют (например, если jZ— обертывающая алгебра нильпотентной или полупростой группы).|

В физике задача состоит не в нахождении п.с.к.н. для заданной алгебры, а в решении обратной задачи: из экспериментальных данных определяют, сколько квантовых чисел необходимо рассмотреть и каковы возможные значения этих квантовых чисел. Тогда, согласно фундаментальному предположению Ша, получают полную систему коммутирующих операторов {Ак} и ее спектр. Затем

составляют полную алгебру ^ добавляя к [ Ак ] минимально необходимое число других операторов так, чтобы матричные элементы операторов из ^ вычисленные с использованием свойств этой алгебры, совпадали с экспериментальными значениями для соответствующих наблюдаемых.

Таким образом, вопрос о том, что представляет собой п.с.к.н. для рассматриваемой конкретной физической системы, а также вопрос о том, когда набор коммутирующих операторов можно считать полным, являются физическими вопросами. Если эксперимент дает больше значений, чем можно получить, работая с заданной системой коммутирующих операторов, то эта система неполна; необходимо ввести новое квантовое число, т. е. расширить систему коммутирующих операторов. Обычно это требует дальнейшего расширения алгебры.

Примером такой процедуры является переход от ротаторной модели двухатомной молекулы к модели осциллирующего ротатора: пока энергия мала (^ 10“2 эВ), могут возбуждаться только вращательные степени свободы. Двухатомная молекула описывается алгеброй операторов ротатора; квантовыми числами являются j и у3, операторы J2 и J3 составляют п.с.к.н. Если энергия возрастает, появляются новые уровни, каждый из которых служит основой формирования целой вращательной полосы (см. рис. 5.1 в гл. III). Чтобы описать эти уровни, вводится новое квантовое число и, и каждой из этих полос приписывается значение 0, 1, 2 и т. д. этого нового квантового числа. Вместе с новым квантовым числом п появляется и новая наблюдаемая N, так что п.с.к.н. представляет собой теперь набор (1.4). Затем к этому набору операторов добавляются операторы at и а, которые вместе с N образуют алгебру наблюдаемых такую, что достигается правильное описание и других особенностей физической системы (например, равноудаленности друг от друга энергетических уровней).

Расширение п.с.к.н. и алгебры наблюдаемых может понадобиться не только при увеличении энергии, т. е. при расширении области применимости теории, но и при повышении точности измерений. Эту ситуацию также можно проиллюстрировать на примере модели осциллирующего ротатора.

До тех пор, пока не разрешается тонкая структура на уровне 10-3 эВ, для описания инфракрасного спектра двухатомных молекул достаточно квантового числа п, и модель осциллятора дает приближенное описание, справедливое для экспериментов с низким разрешением (любое теоретическое описание является приближенным). Но когда необходимо объяснить результаты экспериментов с

высоким разрешением, то, чтобы объяснить расщепление в магнитном поле, надо ввести новые квантовые числа j и у3. Полная система коммутирующих наблюдаемых J, J3, отвечающая этим новым квантовым числам, дополняется затем операторами перехода, и образуется новая алгебра ротатора, которая далее объединяется с алгеброй осциллятора, и получается алгебра наблюдаемых осциллирующего ротатора.

Имея в виду описанную выше процедуру построения алгебры наблюдаемых .о/ для заданной физической системы, мы можем предположить, что для квантовомеханических алгебр всегда существует п.с.к.н. Следовательно, в алгебре ^имеется набор коммутирующих операторов

Ax,A2s...,ANe^.(1.5)

обладающих набором (обобщенных) собственных векторов1)

Лк |Zj,..., AN) = Як | Я1?..., Я^Х0 ^

таким, что каждый отвечающий физическому состоянию вектор ф может быть представлен в виде

Ф = f(1.7)

‘'Л

Здесь набор Л = {(Х^... Х^)} есть спектр п.с.к.н. (1.5), где \ = = { X*} — спектр наблюдаемой Ак. Это означает, что Хк есть множество обобщенных собственных значений, если спектр Ак непрерывен, или набор дискретных собственных значений, если спектр Ак дискретен, и есть множество всех непрерывных и дискретных собственных значений, если Ак имеет как дискретный, так и непрерывный спектр. Интеграл [Л</д(Л) = [Л( jAj ... [^^(Хр ..., Х„) обозначает суммирование по дискретному спектру и интегрирование по непрерывному спектру. Таким образом, формула (1.7) обобщает спектральную теорему (1.4.4g) на случай N переменных Хр ... ..., XN вместо одной переменной а.

Часто встречается случай, когда некоторые из наблюдаемых Ах, А2, ..., Ам из п.с.к.н. имеют только (абсолютно2)) непрерывный спектр Лс = {(Хр ..., Х^)}, а остальные наблюдаемые Ам + р ... .... An из п.с.к.н. имеют только дискретный спектр Ад = \(ХМ + р ...

Ад,)}. В этом случае формула (1.7) имеет вид

ф =<^(^1’ ^2 ' • 1 • ' ^м) £ 1 1 1| ^1, • • • , Хм, ^М + 1' • • • ’ ^)>

X <Хх_.Д,\ф>, (1.8)

где суммирование проводится по всем дискретным собственным значениям {XJ, к = М + 1, М + 2, ..., N, всех наблюдаемых Ам + ,, ..., AN, а интегрирование проводится по множеству обобщенных собственных значений { Хк }, к = 1, 2, ..., М, всех наблюдаемых Ах> ..., Ам.

Утверждение (1.7) или (1.8) является основой дираковской формулировки квантовой механики1).

Немедленным следствием выражений (1.6), (1.7) или (1.8) является следующее утверждение: пусть Ах, .... AN есть п.с.к.н. с (обобщенными) собственными векторами 1ХР ..., XN> = I Х> такими, что

(к = 1,2,...,^).

Тогда из

/IJu) = uju}

(z = 1,2, ..., N)

(1.9)

следует, что

Of = Л’

|a} = a| Л>,

(1.Ю)

где а е С.

В случае, когда спектр Л непрерывен, т. е. одно из Х; может принимать непрерывный ряд значений, формуле (1.10) необходимо придать точный смысл. В дальнейшем мы будем использовать формулу (1.10) только для случая дискретного спектра.

11 Это утверждение не носит характера теоремы, поскольку нельзя доказать справедливость математических свойств, существенных для описания алгебры .с/ Но оно основано на обобщенной ядерной спектральной теореме, являющейся обобщением ядерной спектральной теоремы для циклического оператора, обсуждавшейся в разд. 1.4, на случай семейства коммутирующих в сильном смысле операторов Лх, .... an. Заметим, что уже для обертывающей алгебры унитарного неприводимого представления некомпактной группы число N не является фиксированным.

Глава V

Сложение угловых моментов. ТеоремаВигнера — Эккарта

В разд. V.1 элементарный ротатор определяется как система, описываемая неприводимым представлением алгебры углового момента. В разд. V.2 обсуждаются прямое произведение двух представлений алгебры углового момента и его редукция по полному угловому моменту. Вводятся коэффициенты Клебша — Гордана, выводятся рекурсивные соотношения для них, табулированы их наиболее часто встречающиеся значения. В разд. V.3 вводятся тензорные операторы и формулируется (без доказательства) теорема Вигнера — Эккарта для группы вращений. В разд. V.4 вводится новая наблюдаемая — четность. Затем четность используется при анализе спектра двухатомных молекул типа симметричного волчка. В приложении к разд. V.3 выводятся неприводимые представления алгебр SO(3, 1), 80(4) и Е(3).

V.I. ВВЕДЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ РОТАТОР

В гл. III мы рассмотрели квантовомеханический ротатор. Его пространство физических состояний имеет вид (III.4.2)

(L1)(L1)^ = X © ^’

(L1)

(L1)

1 = 0

где — пространство неприводимого представления алгебры углового момента гантели Lp здесь

^(SO(3)L) является подалгеброй алгебры наблюдаемых для ротатора1 \

Рассмотрим теперь физическую систему, пространство физических состояний которой есть ^z, где / — произвольное фиксированное значение из набора / = 0, 1/2, 1, 3/2, ..., и алгеброй наблюдаемых которой является алгебра углового момента. Каждый ротатор при определенных условиях может рассматриваться как такая физическая система, а именно если энергия Eext, которая отбирается от ротатора или передается ему, мала по сравнению с разностями энергий Е( — Et _ , и Е, + , - Ег Реально это условие выполняется редко, поскольку состояние с более высокой энергией всегда имеет тенденцию к «спонтанному» переходу в состояние с более низкой энергией; следовательно, время жизни возбужденного состояния ограничено. Исключение составляет случай, когда Et — энергия основного состояния. Но такие возбужденные системы часто рассматривают как независимые физические системы не только в нерелятивистской квантовой механике, но и в релятивистской физике элементарных частиц. Мы назовем физическую систему, обладающую пространством состояний .^z, элементарным ротатором. Элементарные ротаторы нужны не только для описания подструктур двухатомной молекулы; они появляются при описании различных квантовомеханических систем во всех областях физики.

V.2. КОМБИНАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ РОТАТОРОВ

В соответствии с фундаментальным предположением IV пространство физических состояний комбинации двух элементарных ротаторов с пространствами .^j и '^^ есть пространство прямого произведения 5?^ ® ^) = Пусть /р и Jj^ — операторы углового момента в ^J и .^ соответственно, и пусть

|71^1> (mi = "71,+71)

° Генераторам ^(80(3)) могут отвечать различные реализации углового момента: например орбитальный угловой момент массивной частицы (III.2.10), или угловой момент гантели, или оператор спина электрона и т. д. Таким образом, генераторы <^8О(3)), удовлетворяющие условию (1.2), могут иметь различные физические реализации. Хотя все <f(S0(3)) математически эквивалентны, их генераторы могут представлять различные физические наблюдаемые. Чтобы указать, какой конкретной физической величина отвечает ^(SO(3)), мы пишем обозначения наблюдаемых в качестве индексов, например в виде <f(SO(3)L).

И

IV2w2> (т2 = -j2,...,-\-j2)

— базисные системы векторов в ^’ и ^) соответственно. Тогда базис в пространстве ^} ® 3?^ имеет вид

171^1> ® 1Л^2> = \j\mj2m2>.(2.1)

Операторы J^ (а = 1,2) удовлетворяют коммутационным соотношениям

lJ^JTl = ihci^(2.2)

Определим операторы в ^ = ^^ ® ^j соотношением

j. = j*1»® I + /® J<2).(2.3)

В качестве следствия из (2.2) и (2.3) вытекает, что операторы J, подчиняются коммутационным соотношениям

Е-Л, У^] ihcijk J к,(2.4)

Таким образом, операторы ^ из (2.3) удовлетворяют определяющим соотношениям для генераторов алгебры углового момента и, таким образом, реализуют представление алгебры углового момента в пространстве 5?^ ® !3^у Операторы / называются операторами полного углового момента комбинированной системы.

Базисную систему (2.1) в ^ составляют собственные векторы следующего полного набора коммутирующих операторов (п.н.к.о.):

J(1)2®/,Л1»®/,/®J(2)2,I®J^\(2.5)

обладающих собственными значениями

J(1)2 ® I\hmJ2m2> = hUi + ^2\jimJ2m2>,

J^ ® I\hmJ2m2) = m1h\j1mj2m2>,

I ® J(2)2l7imJ2m2> = j2Ui + ^2\jimJ2m2>,(2'6)

I ® J^\hmij2m2> = m2h\jtmj2m2>.

Введем сокращенное обозначение для операторов в пространстве ^:

J<D = J/1)®/,j<2> = I ® J^.(2.7)

Эти операторы J^a) являются операторами в пространстве •^ = ^(?) ® ^(2) в противоположность исходным операторам J/a), действовавшим только в пространстве ^Д. Операторы J^ из (2.7) очевидным образом удовлетворяют коммутационному соотношению (2.2), поэтому мы будем использовать для них те же обозначения. Но мы должны помнить, что прежние операторы J^ являются ограничениями новых операторов J(a) на пространства ^^.

Базис (2.1) в общем случае не является базисом комбинированной системы. Базис является физическим, если он состоит из собственных состояний, в которых может быть приготовлена физическая система. Если все физические состояния являются собственными состояниями оператора энергии физической системы, то физический базис должен быть образован собственными векторами операторов, коммутирующих с оператором энергии. В общем случае не все операторы /<а) коммутируют с оператором энергии (в частности, когда есть член со взаимодействием между двумя угловыми моментами).

Операторами, коммутирующими в общем случае с оператором энергии, являются операторы полного углового момента Jj (коммутирующие с Н, если Н инвариантен относительно вращений). Следовательно, удобно выбрать базис в ^, составленный из собственных векторов системы коммутирующих операторов

J(1)2 = J(1)2 ®/,J(2)2 = / ® J(2)2, J2 = ^ Jh^з-(2.8)

Обозначим этот базис через

Uijijmy(2.9)

Он обладает следующими свойствами

J(*)2IJiJ2J™> =j«Ua + i>2\jijijm>,

J3\jij2jm) = mh\jj2jmy(2.10)

J2|JiJ2Jw> =JU + i)A2lvi72y m>.

Каждый вектор, а следовательно, каждый базисный вектор из базиса (2.1), согласно (1.4.4г), может быть разложен по базисной системе (2.9):

(2.П)(2.П)IJi"JiJ2w2> = Е \jJ2j m><jj2jm\j1mj2m2>.

(2.П)

(2.П)

а каждый базисный вектор из базисной системы (2.9) может быть разложен по базису (2.1)

\jJijm>= X \jxmxj2m2><jxmj2m2\jj2jm>. (2.12)

Коэффициенты перехода <jxmxj2m2\ jxj2jm'> называются коэффициентами Клебша — Гордана или коэффициентами Вигнера и обозначаются

<j\mxj2m2\jvj2j т> = <jvmxj2m2\j т)

= C(jJ2jmxm2m)^ J3)

= <w1m2|ym>

_ r'hjij

для фиксированных значений jx и У2. В (2.13) приведены различные обозначения, встречающиеся в литературе.

Вычисляя скалярное произведение (2.11) с I jx mxj2 т^ >, получаем соотношение ортогональности для коэффициентов Клебша — Гордана

^>,^2= X <jim'J2m'2\jm)^jm\jlmlj2m2),(2.14)

j.m

а вычисляя скалярное произведение (2.12) с I jxj2j' т' >, получаем

= X <f m'\j1m1j2m2><j1mj2m2\jm>.(2.15)

Мы найдем теперь спектр операторов J2 и J3 в пространстве

•^ = 5^ ® ^2), т. е. значения, которые могут принимать j и т в базисе (2.9).

Для большей ясности последующего изложения будем использовать фигурные скобки для обозначения базисных векторов прямого произведения:

\jimxj2m2^ = |jiWi> ® |У2т2>,

чтобы отличить их от базисных векторов полного углового момента ЦУг^^О* Поскольку значения jx и у2 фиксированы, запишем также

\тхт2^ = \jxmxj2m2^ и 1Ут> = 1У1У2У^>-

Поскольку векторы I тх т2} являются собственными векторами операторов J3 = J^ + J^ с собственными значениями тх + т2, спектр J3 в пространстве ^ составляют все возможные суммы тх = Л» Л - с т2 = j2, у2 - 1, .... —у2:

спектр J3 = [y'i + у2, У1 + Уг - 1, • •., -У1 — Л)-(2.16)

Так как векторы I jm ) являются собственными векторами операторов J3 с собственными значениями т, квантовое число т пробегает в базисе I jm> такой же ряд значений, как и в (2.16). Подпространство в ^, состоящее из всех собственных векторов J3 с определенным значением т, обозначим ^. Размерность ^ получаем подсчетом числа базисных векторов для прямого произведения I тх т2}, для которых тх -V т2 = т; она равна

dim^mdim^m0*1 + Уг +СЛ + Уг +0*1 + Уг +СЛ + Уг +- И,- 1У1 -Уг|,- И,- 1У1 -Уг|,И > [у-! —Л|, М < |У1 — ЛЬИ > [у-! —Л|, М < |У1 — ЛЬ(2.1?)(2.1?)

dim^m

dim^m

0*1 + Уг +

СЛ + Уг +

0*1 + Уг +

СЛ + Уг +

- И,

- 1У1 -Уг|,

- И,

- 1У1 -Уг|,

И > [у-! —Л|, М < |У1 — ЛЬ

И > [у-! —Л|, М < |У1 — ЛЬ

(2.1?)

(2.1?)

На рис. 2.1 иллюстрируется случай jx = 3, у2 = 3/2 и предложен способ подсчета для произвольных значений jx и у2. Размерность пространства ^ равна числу точек на диагонали, на которой выполнено условие тх + т2 = т.

Пространство ^1+У2 является, согласно (2.17), одномерным и порождено базисным вектором пространства прямого произведения I у'] у2}. Вектор I у-] у2} также является собственным вектором J2 с собственным значением Ux + У2ХУ1 + У2 + О-

тг =тг =Рис. 2.1. Точечная диаграмма для базисных векторов прямого произведения lmim2) = 1У17И1) фУг^Ъ) в пространстве.^ = ^/1 = 3 ® ^У2 = 3/2. Штриховкой отмечены те базисные векторы, для которых Iml ^ ly'i - у21.Рис. 2.1. Точечная диаграмма для базисных векторов прямого произведения lmim2) = 1У17И1) фУг^Ъ) в пространстве.^ = ^/1 = 3 ® ^У2 = 3/2. Штриховкой отмечены те базисные векторы, для которых Iml ^ ly'i - у21.

тг =

тг =

Рис. 2.1. Точечная диаграмма для базисных векторов прямого произведения lmim2) = 1У17И1) фУг^Ъ) в пространстве.^ = ^/1 = 3 ® ^У2 = 3/2. Штриховкой отмечены те базисные векторы, для которых Iml ^ ly'i - у21.

Рис. 2.1. Точечная диаграмма для базисных векторов прямого произведения lmim2) = 1У17И1) фУг^Ъ) в пространстве.^ = ^/1 = 3 ® ^У2 = 3/2. Штриховкой отмечены те базисные векторы, для которых Iml ^ ly'i - у21.

Доказательство. В общем случаем имеем

J2 = (J(1) + J(2))2 = J(1)2 + 2J(1) • J(2) + J(2)2

= j<*>2 + j<2>2 + 2(ЛпЛ2) + Л°Л2) + ./VW<218)

= j(1)2 + j(2)2 + ztVM2) + /2)Л° + MV?.

Имеем далее

(MV? + MVh\kh> 8 |ЛУ2> = о,(2.19)

поскольку У] и y2 — наивысшие возможные значения тх и т2, т. е. поскольку J^ I ^У,) = 0 и J^ U^) = 0. Следовательно,

J2|yU2) = (J0)2 + J(2)2 + 2^°Л2))|У1У1> 8 |У2У2>

= 1У1(У1 + 1) + Уг(У2 + 1) + 2У1У2]Л2|У1У1> ® |у2у2>

= (У1 + У2)(У1 + У2 + 1)А2|У1У21 -(2.20)

Так как вектор 1У(У2) является собственным вектором для п.с.к.о. (2.8), он с точностью до комплексного множителя равен базисному вектору полного углового момента I jx + У2 jx + У2 >, имеющего такое же собственное значение и порождающего то же одномерное подпространство в .^

|У1 + У2У1 + У2> = а|У1У2), а € С.(2.21)

Если предположить, что оба базисных вектора нормированы, то а является фазовым множителем и его можно положить равным единице, так что

|У1 + У2У1 + у2> = а|У1У2),(2.22)

(У1У2|У1 + УгУ1 +у2> = 1.(2.23)

Кроме того, что вектор Ijj + j2jx + У2> порождает пространство ^ + , он принадлежит к пространству .^i + 72 всех собственных векторов J2 с собственным значением У(У + 1) = (У( + j^^ + У2 + 1). Каждое такое собственное пространство полного углового момента ^ инвариантно относительно действия У = jP^ + У(2) и обладает относительно действия этих операторов полного углового момента свойствами пространства элементарного ротатора. Таким образом, поскольку I jx + + j2j\ + У2 > имеет наибольшее значение т среди векторов из ^7> + 72, базисные векторы lym> полного углового момента можно получить из ^7| + 72, действуя последовательно операторами

J_ = /Р + /2)(2.24)

на Ц + j2jv + У2>, согласно процедуре, использованной в разд. III.3. При помощи этой процедуры получаем 2^jx + У2) + 1 базисных векторов

1У1+У2т>. т =ji +j2di +J2 - 1, -(ji +у2).(2.25)

НИ _ 1 л

Рассмотрим теперь пространство ^ + У2 _ । собственных векторов J^ с собственным значением т = jx + j2 - 1. Согласно (2.17), это пространство двумерно (кроме случая jx = 0 или j2 = 0). Один базисный вектор полного углового момента в пространстве ^ + ^_ х — это вектор I jx + j2jx + j2 — 1 >, который уже появлялся в (2.25) как базисный вектор в пространстве z^71 + 72. Благодаря свойствам пространства :^J остальные базисные векторы I jm = jx + j2 — 1 > в /^ +У2_ । должны принадлежать к пространству z^7, для которого j = jx + j2 — 1 + п, п равно неотрицательному целому числу. Но он во всяком случае не может принадлежать к пространству /^7, для которого j > jx + j2, поскольку это означало бы, что в /^’ имеются значения т большие, чем jx + j2, и он также не может принадлежать к пространству .^71+72, поскольку он не был бы тогда ортогонален к I jx + j2jx + j2). Таким образом, этот новый вектор принадлежит к пространству >^Л + Л ~ 1. Этим базисный вектор I jx + j2 — 1 jx + j2 — 1 > определяется с точностью до произвольной фазы, которая фиксируется требованием

^jxj2 — 1|Л 4- ji — 1 7i + 7 г — О действителен и положителен. (2.26)

Как и в случае ^71 + 72, поскольку вектор I jx + j2 - 1 jx + j2 - 1> имеет наибольшее значение т среди векторов в z^7* + 72 “ 1, базис в :^А + 22 - 1 генерируется последовательным действием J_ на I jx + j2 - 1 jx + j2 - 1 > с получением 2(/'i + j2 - 1) + 1 базисных векторов

|j'i +7'2 — 1 mX m = 7\ + 72 — l,7i + 7г — 2, ..., —(7i + 7г ~ *)•(2.27)

Согласно (2.17), следующее пространство собственных векторов J3 .^ + У2 _ 2 является трехмерным (кроме случаев jx = 0, 1/2 или j2 = 0, 1/2). Мы уже имеем в пространстве -^ +у-2 Два ортогональных вектора I jx + j2jx + j2 - 2> из (2.25) и

I>! + 72 ~ 1 7] +72 - 2> из (2.27) и, для того чтобы породить пространство .,, нам нужен еше один ортогональный и базисный вектор полного углово-

21 + 222

го момента. Используя аргументы, подобные приведенным выше, можно показать, что новый базисный вектор \jm = jx + j2 - 2> должен иметь j = jx + j2 - 2 и, следовательно, принадлежать к пространству полного углового момента '#' + >2 - 2, ПОрОЖденному 2C/J + j2 — 2) + 1 базисными векторами

171 + ji - 2т >, т = jx * j2 — 2, jx * j2 - 3, • • •, - (/i + ji - 2).(2.28)

Фазы этих базисных векторов фиксируются условием

17172 ~ 2|7i + 72 - 271 + 72 - 2> действительны и положительны. (2.29)

Можно продолжать и рассмотреть последовательно собственные пространства оператора J3 ^т, т = jx + j2,Jx + 72 - 1, •••, 17, ~ 72 । • На каждом этапе необходимо вводить новое пространство полного орбитального момента ^7 = т, которое содержит вектор I тт), необходимый для полноты базисной системы, а также ранее найденные векторы

|7i + jtm>, |7i +72-1 ти>, •••, |m + 1 т>.

составляющие базис в пространстве 9$. Этот факт имеет место, поскольку, как это следует из (2.17), размерность следующих друг за другом пространств :#т возрастает до тех пор, пока мы не приходим к пространству ^\j _ у । • Как только рассмотрено пространство /^ у. _ у21 и введено последнее пространство -^ = + 721, ни одно из остальных собственных пространств оператора J^ ^ т = 17 +;21 - 1, I У] - у2 I - 2, .... -(j\ + У2) не имеет размерности, большей, чем ^у _ у2 ,, и они могут быть на самом деле рассмотрены как порожденные уже рассмотренными базисами полного углового момента в пространствах .^1 + 72, .^i + у2 ~ *, ... ..., <^71 -72'. Таким образом, j может принимать значения у = jx + j2, jx + j2 - 1, ... .... '7 - /2 *• Выбор Фаз в (2-23), (2.26), (2.29) и т. д. суммируется условием

Ui j - JiU jy ^ °’ j = т = ji -H2Jt + h ~ L •-->\ji ~ jiV (2.30)

Это стандартное соглашение для коэффициентов Клебша — Гордана.

Следовательно, мы видим, что спектр оператора J2 в пространстве -^ имеет вид

спектр J2 = /у(у+ 1);;=;, + /.,;, +;2 - 1,...,|Л -/2IK (2.31) а пространство ^ можно записать в виде

91 = ^1,® ^/1, = ^7,+72е ^h*h"x е ••• © &h'h.(2.32)

Такая запись называется разложением .^ в сумму пространств неприводимых представлений полного углового момента.

Суммируя сказанное, мы видим, что пространство ^^ ® .^^ не является в общем случае пространством неприводимого представления или лестничного представления алгебры полного углового момента <<(SO(3)y). Это означает, что не все векторы из пространства ^^ ® .^^ могут быть получены действием оператора J± достаточное число раз на один из векторов этого пространства; оно является прямой суммой нескольких таких пространств неприводимого представления ^ как в (2.32). В частности, мы видели, что коэффициенты Клебша — Гордана, являющиеся коэффициентами перехода между двумя базисными системами (2.1) и (2.9), равны нулю, за исключением случая, когда j дается одним из значений (2.30) и т = тх + т2.

\m1m2\j т> = 0

дляп ,,.

т ф т, + т2, j ф jx 4- j2,h + j2 — I, -, 17г — 7i I-7

Коэффициенты Клебша — Гордана вычисляются рекурсивно^. Рекуррентные соотношения можно получить, рассматривая матричный элемент оператора

J± = J^ + J^ между состояниями I jm > и I m,^]:

{mim2|J±|j m> = Vyp + 1) - m(m ± V)h\m\mi\j m ± 1>

= {тютг,/^ + /^Ij m)

= ((/^ + /2))|mim2), |Ут»

= V/iOr+ 1) - mi(mi + l)A{mi т 1 mi\j m)

*^jiUi + 1) - m2(m2 =f ^hXmimi =f 1|j m>.(2.34 ±)

Здесь мы использовали соотношения (III.3.21) — (III.3.23):

L±J*m = Vj/(/ + 1) - m(m ± Wm±l для

L. = J*, /’>, /2>

и

/“)f = Л’.

Опишем сначала вычисление коэффициентов Клебша — Гордана { т,т2 I jj); затем мы обратимся к вычислению коэффициентов Клебша — Гордана для всех значений т, ( тхт2 I jm >.

Полагая в (2.34 + ) т = j, получаем

-^У1(У1 + 1) - №i(№i - 1) {тх - 1 m2\jj)

= 'JjiUi + 1) - m^m^ - l){mim2 - 1|УУ>- (2.35)

Благодаря (2.33) мы можем ограничиться рассмотрением значений тх + + (т2 — 1) = (тх — 1) + т2 = У( = mY Тогда соотношение (2.35) может быть переписано в виде

(mi - 1 j - mi + 1|УУ> =(mi - 1 j - mi + 1|УУ> =Ог + j - тх + 1)0'2 - У + т^ 1/201 + miXji - mi + 1)Ог + j - тх + 1)0'2 - У + т^ 1/201 + miXji - mi + 1)\mj - mi\jj).\mj - mi\jj).<2.36)<2.36)

(mi - 1 j - mi + 1|УУ> =

(mi - 1 j - mi + 1|УУ> =

Ог + j - тх + 1)0'2 - У + т^ 1/201 + miXji - mi + 1)

Ог + j - тх + 1)0'2 - У + т^ 1/201 + miXji - mi + 1)

\mj - mi\jj).

\mj - mi\jj).

<2.36)

<2.36)

Начиная co значения mx = jx, можно последовательно вычислять все ( тхт2 1у/>, используя (2.36). Для произвольных значений тх и т2 = j — тх получаем

\mimi\j j) = (-1У1 '”'

ххххUi + У - У1 + 1)(Уг + У - У1 + 2) - (у2 + У - mi)0'2 - У + У1)Ui + У - У1 + 1)(Уг + У - У1 + 2) - (у2 + У - mi)0'2 - У + У1)2У1(2у'1 - 1)- -(2У1 - У1 + №i + 1)2У1(2у'1 - 1)- -(2У1 - У1 + №i + 1)(Уг(Уг- У- У+ У1 - 1) - (Уг - у + №1 + 1)+ У1 - 1) - (Уг - у + №1 + 1)1-2- -01 - №1)1-2- -01 - №1)(У1У(У1У- У1|У У>- У1|У У>

х

х

х

х

Ui + У - У1 + 1)(Уг + У - У1 + 2) - (у2 + У - mi)0'2 - У + У1)

Ui + У - У1 + 1)(Уг + У - У1 + 2) - (у2 + У - mi)0'2 - У + У1)

2У1(2у'1 - 1)- -(2У1 - У1 + №i + 1)

2У1(2у'1 - 1)- -(2У1 - У1 + №i + 1)

(Уг

(Уг

- У

- У

+ У1 - 1) - (Уг - у + №1 + 1)

+ У1 - 1) - (Уг - у + №1 + 1)

1-2- -01 - №1)

1-2- -01 - №1)

(У1У

(У1У

- У1|У У>

- У1|У У>

VV

V

V

(У1 + №1)!р2 - У + У1)!(Уг + У - №1)!

(2У1)!(У1 - №1)!(Уг - У + mi)!0'2 + j - У1)!

X 1У1У-У1|УУ>- (2-37).

(2.15')(2.15')Из условия ортогональности (2.15) следует, что при j = j' = т = т' имеем

(2.15')

(2.15')

1 = S Hmim2|yj>|2.

т, = -Ji

Подставляя (2.37) в (2.15') и используя равенство1

v Oi + miHO: + 7 - т\У

_ Oi + 72 + 7 + 1)!(-7i + 72 + 7)!0i - ji + 7)!

(2 38)

^ 01 - mi)!O2 - 7 + m,)!

(2y + 1)10! + 72 - 7)!

получаем

(2/0К2/+ 1)!

017 - 7i|7 7>| = —— ^ttt-—:— •

(2.39)

Oi + 72 + 7 + l)!Oi ~ 72 + 7)!

Используя условие для фазы (2.30), получаем

\Ы - 7i|7 7> =\Ы - 7i|7 7> =(271)1(27 + 1)!.Oi + /2 + j + 1)!С/ - ji + 7)!(271)1(27 + 1)!.Oi + /2 + j + 1)!С/ - ji + 7)!(2.40)(2.40)

\Ы - 7i|7 7> =

\Ы - 7i|7 7> =

(271)1(27 + 1)!.

Oi + /2 + j + 1)!С/ - ji + 7)!

(271)1(27 + 1)!.

Oi + /2 + j + 1)!С/ - ji + 7)!

(2.40)

(2.40)

Это уравнение вместе с (2.37) дает все коэффициенты, встречающиеся в правой части уравнения (2.34) при т = j. Уравнение (2.34—) дает тогда значения

{mim2|7 т = j - 1 >

и все последующие значения (тхт2 I jm) для всех т = j - 1, j - 2, .... -j.

Этим способом можно получить общую формулу для коэффициентов Клебша — Гордана.

Результатом описанного выше вывода является следующая формула для коэффициентов Клебша — Гордана:

1/21/2<j\mijimi\j т) = ^тгт2\} т)

1/2

1/2

^mi+m2,m^mi+m2,m@j + OOi + ji ~ 7)!Qi - /2 + 7)!(-ji + ji + 7)!Oi + 7г + 7 + 1)

^mi+m2,m

^mi+m2,m

x [Oi + mO’.Oi - mi>\(ji 4- югУ-Ог - miY-U + mY-U - m)!J1/2

x S ((- l)V[z!0i + 7г - 7 - z)!0i - mi - z)!02 + тг - z)! z

(2.41)(2.41)X (j - ji + Mi + Z)!0 - 71 - «2 + z)!]).

(2.41)

(2.41)

° Вывод равенства (2.38) можно найти в работе [18].

Таблица 2.1. <jxm - m2 l/2m2l)m>

m2 = i

m2 = -|

j = )i + i

/У i -Vm + i

/)i - m + 1

V 2), + 1

V 2), + 1

j = )i - i

_ P1 ~ ^ + 1

V 2)i -1- 1

Iji + m + ^

V 2), + 1

Индекс суммирования z пробегает все целые значения, для которых аргумент каждого факториала, зависящего от z, неотрицателен. В формуле (2.41) мы вернулись к обозначению (2.1) для базиса прямого произведения, но мы будем по-прежнему использовать обозначение I jm) для базиса полного углового момента.

Перечислим также некоторые свойства (сЬотношения симметрии) коэффициентов Клебша — Гордана:

2М_1_2;,+ 12М_1_2;,+ 1<jYmJ2m2\j3m3> = (-1У2+т2<jYmJ2m2\j3m3> = (-1У2+т21/2

2М_1_2;,+ 1

2М_1_2;,+ 1

<jYmJ2m2\j3m3> = (-1У2+т2

<jYmJ2m2\j3m3> = (-1У2+т2

<h - m2j3m3\j1m1>. (2.42)

Приведем теперь явные выражения для коэффициентов Клебша — Гордана в случаях У2 = 0, 1/2, 1.

При/2 = О

<j1m100\jm> = Sjvj6mim<j1m100\jm> = Sjvj6mim(2.43)(2.43)

<j1m100\jm> = Sjvj6mim

<j1m100\jm> = Sjvj6mim

(2.43)

(2.43)

Значения при j2 = 1/2 и У2 = 1 приведены в табл. 2.1 и 2.2.

Вместо коэффициентов Клебша — Гордана часто более удобно использовать 3-у-символы Вигнера, поскольку они более полно от-

h + 1

h

h ~

[Ui + m)0i + m + 1)

kji - m + l)Oi + m + 1)

()i - m'lUi - m j-^1)

-J (2/1 + l)(2/i + 2)

\ <2ji + DUi + 1) Д

(2Ji + D(2)i + 2)

Ui + m)Ui - m + 1)

m

()i - m^ji + m + 1)

2jiUi + 1)

VjiOi + 1)Л

2)iOi + 1)

/(ji - m)(ji - m + 1)

[Ui - m^ji + m)

lOi + m + l)Oi + m)

J ^/1(2)1 + 1)

J /1(^/1 + 1)\

2)i(2)i + 1)

Таблица 2.2. (J\m — m2lm2l)m>

m2 = 1m2 = Оm2 — — 1

/ 7i jz Уз \mi тг тз/ 7i jz Уз \mi тг тзh m3h m3/ 7з 7гУ тз тг/ 7з 7гУ тз тг(2.46)(2.46)71 7г mi тг71 7г mi тгjz-тгjz-тг(2.47)(2.47)

/ 7i jz Уз \mi тг тз

/ 7i jz Уз \mi тг тз

h m3

h m3

/ 7з 7г

У тз тг

/ 7з 7г

У тз тг

(2.46)

(2.46)

71 7г mi тг

71 7г mi тг

jz

-тг

jz

-тг

(2.47)

(2.47)

ражают свойства симметрии. Вигнеровский 3-7-символ определяется соотношением

= (-ly'-^-^js + V>-v4jimijimi\j3 - /и3>.

(2.44)

Его свойства симметрии выражаются формулами

(2.45)(2.45)/ 717г7з \_ / 7г7з71 \_ Z 7з717г

(2.45)

(2.45)

у miтгтз /\ тгтзmi) у тзmimi

1)/1+J2+J3Z^1^ 2^3 \= Z^^^3 A

v 7у mimiтз) \тгmiтз)

/ 7i

\ mi

В табл. 2.3 [18] приведены некоторые значения 3-7-символов, используя которые, можно с помощью свойств симметрии (2.45) — (2.47) вычислить много других 3-7-символов.

V.3. ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ТЕОРЕМАВИГНЕРА — ЭККАРТА

В предыдущем разделе мы довольно подробно рассмотрели операторы углового момента. Рассмотрим теперь более широкий класс операторов, называемых тензорными операторами^, которые определяются их свойствами по отношению к операторам углового момента. Простейшим примером такого оператора является скалярный оператор, который определяется как любой оператор S, удовлетворяющий условию

[Л, S] = 0.(3.1)

В качестве другого примера рассмотрим любой набор операторов ^ (/ = 1,2, 3), удовлетворяющих условиям

[Л, УД = iheijkVk (i, j, k = 1, 2, 3).(3.2)

На самом деле мы будем рассматривать только так называемые “неприводимые тензорные операторы”.

Таблица 2.3.

bJ

Ox

(jl У2 Уз\_/ lW/2 UV + jl — Уз) ! Ul + Уз ~ У2) • (У 2 + Уз — jiY- 1/2(|У)!

\o 0 0/[(У1 +У2+У3+ 1)!J (|J-j^.^J -72)!^У-Уз)!

при J четном

(jy

\0

У2 Уз\0 0/

= 0 при J нечетном, где J = jv + j2 + У3

/У + i У i\ ум — M- i у /У + 1 J 1\ \ M -M-l 1/ /У + 1 J 1\ \ M — M 0) (J J 1\ (m -m - 1 1/ /J J 1\ \M — M 0/

/У + 2 У 2^ \ м -м-И) (J + i J i\ \ M -m - ± у

(_ 1)J-M- !/2

J-M + 1

"11/2

(-1У

(-I)'

(-1)'

(2J + 2X2J + 1)

(J - МХУ - M + 1) I*/2

(2J + 3X2J + 2X2 J + 1)

"(J + M + 1ХУ - M + 1) • 211/2

L (2J + 3X2J + 2X2J + 1) ^-мГ(У~мХУ + M + 1)-2112

(-1/-M

(-I)"

_ (2J + 2X2J + 1Х2У) _ M

[(2J + 1ХУ + DJJ1/2

+ 1/2Rj -m- iXJ -м^ 1ХУ - M + i)T/2

_ (2 J + 4X2 J + 3X2 J + 2X2J + 1) J "3(J - м + ^XJ -M + ixy + M + i)]1/2

(2 J + 4X2J + 3X2 J + 2X2J + 1)

(У + i, J ,i)

(У + l,y, 1)

(ЛУ, 1)

(У + i,y,i)

Глава V

Такой набор операторов называется векторным оператором, или регулярным тензорным оператором. Заметим, что оператор углового момента является векторным оператором.

Вместо «декартовых» компонент И более удобно использовать «сферические» компоненты Ио, У±1, определенные соотношениями

Ио = Из, И± 1 =(И1 ± /И2).(3.3)

Заметим, что Н± из (III.3.1) (или J± = hH^ не являются сферическими компонентами векторного оператора, отличаясь от них множителем + 1/V2 или — 1/V2; поэтому мы будем использовать обозначения J±1 для сферических компонент углового момента в отличие от обозначений J± для повышающих и понижающих операторов. Уравнения (3.2) принимают вид

UK»V^ =(№ -1, 0, /1),(3.4а)

[J±, Г=м] = VM, [J±, Го] = ^ЛГ±1, [Jo, KJ = KhV±x. (3.46)

В общем случае мы определяем тензорный оператор ранга j (в сферических координатах) как набор 2 j + 1 операторов1) Ту) (к = —j, —j + 1, ..., +j), удовлетворяющих соотношениям

[Jo. r'J'] = KhT«5)

у±, ГЛ = 7д7П)^(Г± iW;

Эти соотношения можно переписать в более компактной форме, используя коэффициенты Клебша — Гордана:

[Л, П»] = ViU + 'Kj к 1 д|, К + Н>ТД, (3.5')

Заметим, что скалярный и векторный операторы являются тензорными операторами ранга 0 и 1 соответственно.

Матричные элементы тензорных операторов обладают важным свойством, которое выражает теорема Вигнера — Экхарта.

Пусть Ту^ — тензорный оператор. Матричный элемент Ту'1 между собственными состояниями углового момента может быть записан в виде

<j'm'\T^\jm> = <jmJ K\j'm> <J'\\Tw\\fX (3.6)

где {jmJK I j' т' ) — коэффициент Клебша — Гордана, а символ <j' II ry^Wj), определенный в (3.6), обозначает величину, зависящую от j', j, Ju природы тензорного оператора Ту\ но не от т, т' или к. Символ <j' II Т^ II j) называется приведенным матричным элементом тензорного оператора^.

Эта теорема здесь не доказывается, поскольку доказательство является чисто математическим и не дает новгой физической информации. Если в дополнение к j и т существуют другие квантовые числа, скажем т? = (ах, аг, ..., aN), то приведенный матричный элемент, вообще говоря, будет также зависеть и от этих квантовых чисел, т. е.

<n'j'm'\T^\nj т> = <jmJ к\/т) <ц'Л\ТиЛ\п j>- (3.6')

Дополнительные наблюдаемые т/ор = (Лр Л2, ..., AN), собственные значения которых есть квантовые числа т? = (ар а2, ..., aN), должны обладать свойством [->7ор, JJ = 0 или [т;ор, SO(3)7 ] = 0. Необходимо подчеркнуть, что теорема Вигнера — Эккарта является одновременно и теоремой, и определением. Она является теоремой в том смысле, что соотношение (3.6) утверждает, что матричный элемент ту'1 может быть факторизован таким образом, что зависимость от т, т' и к будет полностью содержаться в коэффициенте Клебша — Гордана, и является определением в том смысле, что (3.6) определяет приведенные матричные элементы.

Теорема Вигнера — Эккарта стала одним из важнейших инструментов для понимания физики. Соотношение (3.6) — это реализация теоремы Вигнера — Эккарта для группы вращений, для которой алгеброй наблюдаемых является алгебра углового момента J(. Многие физические системы обладают (обертывающей) групповой алгеброй, являющейся подалгеброй алгебры наблюдаемых, и имеют наблюдаемые, являющиеся тензорными операторами по отношению к этой группе. Для таких наблюдаемых имеет место теорема Вигнера — Эккарта, обобщающая соотношение (3.6).

В некоторых учебниках в теореме Вигнера — Эккарта явным образом появляется постоянный или зависящий о i / множитель. В наших обозначениях эти множители входят в определение приведенного матричного элемента.

Теорема Вигнера — Эккарта выражает матричные элементы тензорных операторов, которые непосредственно связаны с экспериментально наблюдаемыми значениями, в терминах коэффициентов Клебша — Гордана и приведенных матричных элементов. Коэффициенты Клебша — Гордана являются известными из математики величинами и вычисляются, исходя из свойств группы. Приведенные матричные элементы — это физические параметры, значения которых определяют по экспериментальным данным. (Если наблюдаемая имеет еще какое-то дополнительное свойство, например (VI.3.12) для вектора Ленца в гл. VI, то для определения приведенных матричных элементов может потребоваться еще меньшее число параметров.) Таким образом, значение теоремы Вигнера — Эккарта состоит в том, что она позволяет выразить большое число экспериментально наблюдаемых матричных элементов через намного меньшее число более фундаментальных величин — приведенных матричных элементов. Часто единственная информация о наблюдаемой состоит в том, что она представляет собой тензорный оператор, а теорема Вигнера — Эккарта тогда является единственным имеющимся в распоряжении средством.

Из теоремы Вигнера — Эккарта (3.6) следует, в частности, что

<j'm'\T^\jm> = 0

(3.7)

при т ^ к + т или j ^ J + j, J + j — 1,..., \J — j\,

что немедленно следует из свойств коэффициентов Клебша — Гордана (2.33).

В качестве иллюстрации применения теоремы Вигнера — Эккарта заметим, что для скалярного оператора S уравнение (3.6) принимает вид

<jm'\S\jm> = dm'm5rj<j\\S\\j>.(3.8)

Это означает, что оператор S не меняет квантовых чисел углового момента, как этого и следовало ожидать. Для самих операторов углового момента уравнение (3.6) дает

<j'm'\JK\jm> = <jm\ K\j'm><j'\\J\\j\^ ^

где коэффициенты Клебша — Гордана приведены в табл. 2.2. Сравнивая выражение для коэффициента Клебша — Гордана в таблице с формулами (III.3.8'), (III.3.22) и (III.3.23), мы видим, что

<лль =-§rjhVKm5.(з.ю)

Если векторы I jm > образуют базис в пространстве, в котором V — некоторый векторный оператор, то мы можем разложить VK I jm > по этому базису:

W™> = Е \j'w'Xj’m,\VK\jm>jim’

и получить, используя теорему Вигнера — Эккарта (3.6),

VK\jm>= Е\j'm'Xjm 1 K\j'm'Xj'\\V\\j>.(З.Ц)

j'm'

Если п.с.к.о. содержит в дополнение к J2 и J3 еще N других операторов Ах, ..., An со спектром t, = (ап ..., aN), то базис образован векторами \i)jm> и, согласно (3.6'), вместо (3.11) имеем

V,Anjm^ = Е \n'j'm'Xj m 1 K\j'm'Xn'j'\\V\\nj>(3.11')

В оставшейся части этого раздела мы опустим дополнительные квантовые числа 77, но необходимо помнить, что в тех случаях, когда их надо учитывать, приведенные матричные элементы зависят от т, и необходимо суммировать пот;'.

Согласно (3.7), не равны нулю только те члены в (3.11), для которых j' = j 4- 1, j, j — 1 и т' = т 4- к:

Vk\J т> = \j - 1 т + K)(j т 1 k\J - 1 т 4- к><у - 1|И»

\j т 4- к><] т 1 к\] т 4- K><j\b\j>

IJ 4- 1 т 4- k><J т 1 к\] 4-1 т + K><j + 1|И7>- (3-12)

Это наиболее общее выражение, возникающее при действии векторного оператора. Следовательно, согласно (3.12), любой векторный оператор может быть полностью задан тремя приведенными матричными элементами (которые в общем случае могут зависеть от Ч, ч'У На самом деле, как будет показано ниже, для определения векторного оператора достаточно двух величин.

Используя коэффициенты Клебша — Гордана из табл. 2.2, мы можем записать (3.12) в явном виде. Для 0-компоненты имеем

Vo\j т> = |> - 1 т> ^-.Е^УХИ <j _ 1|и]7> +

+ 17 т>+ 17 т>тщ + отщ + о)01И/>)01И/>

+ 17 т>

+ 17 т>

т

щ + о

т

щ + о

)01И/>

)01И/>

+ ^+1 m> № + ^(7+^) у + т + ч^’

или

Ио|7 т) -► Vy2 - m2Cj\j - 1 т) - таД] т)

-V(/ + I)2 - m2dj\j +1 т),(3.13)

где Ср Qj и dj определены в (3.13)

с = - <у - W>

' <j(2jTTV

(3.14)(3.14)а = . </W>

(3.14)

(3.14)

Jли + о’

d = _ О+1|И/>

J лл + по + о'

Подобным образом

И+1 \j т) = — |у — 1 m + 1)^(j — т — 1)(у — т)/2 Cj

+ |;m + l>V(j + m + 1)(; - m^Iaj

17 + 1 m + 1VG + ™ + l)O + m + 2)/2^. (3.15) и

V_t\jm> = - |y - Im- 1 >У(у + m)(y + m - l)/2 Cj

-\jm- 1 >^/0 - m + l)(j + m)/2a,(3д6)

I; + 1 m - 1>V(7 ~ w + 1)(; - m + 2)/2dj.

Уравнения (3.13), (3.15) и (3.16) утверждают, что векторный оператор полностью задается тремя функциями Cj, aj и dj (которые в общем случае могут зависеть от ц', t?) дискретного параметра j. В математическом примечании, приведенном ниже, показано, что на самом деле необходимо задание только двух таких функций, так как базис I jm > можно выбрать таким образом, что

^j ^j +1’

ТуТзО + 1 НИЦ» = 72; + 1<Ж||; + 1>.(3.17')

(Определим новый базис

\h{„> = u)Q)\jmy(3.18)

где шО) — комплексное число. Операторы углового момента имеют тот же вид (разд. III.3) в базисе I h*m >, что и в базисе I jm}. Вообще говоря, векторы I hjm > нормированы только при условии, что

МП\ = 1.(3.19)

В этом базисе уравнение (3.13) принимает вид

№> = VP^^Cj| ^~1 > - таХ>

(3.20)

Определим Aj = Ор а также выберем ш^Л таким образом, что

ja)(/-l) Cj+ 1) - D1~ Ci+1'(321>

Это возможно, если „^- ^7 ~ j

J <o(J — 1) cdG) J-1’(3.22)

т. e. если

^2G) = "2G - i)^1.(3.23)

cj

Предположим, что j0 — наименьшее значение j на этом пространстве, т. е.

Оо- lFGo> = 0.(3.24)

Тогда условие (3.23) будет удовлетворено, если выбрать

«U) =

dj0 djg +1^Jo+1 Cjo+2

dj-iCi

так что уравнение (3.20) принимает вид

vo№> = V;2 - m2Cjlti" ‘> - т4у|А£>(3 26)

-V№+ I)2 - ^Су+Ж'М'

Таким образом, каждый векторный оператор может быть записан в виде (3.13), (3.15), (3.16) при условии (3.17), где су. и Qj являются функциями от j. Необходимо, однако, заметить, что в общем случае мы можем иметь dj = Cj + , только для одного векторного оператора Ук. Если при рассмотрении задачи возникают два различных векторных оператора и базис выбран так, что для приведенного матричного элемента одного из них имеет место (3.17), то в этом базисе второй или любой дополнительный векторный оператор выражается в терминах трех независимых приведенных матричных элементов.

До сих пор мы не предъявляли к оператору Ук никаких требований, кроме его векторности. Вследствие этого приведенные матричные элементы с, и Qj являются произвольными функциями j. Если мы уточним вид оператора Ук, то получим информацию о с, и а^ В приложении мы исследуем три частных случая векторных операторов, которые вместе с JK генерируют групповую алгебру, и увидим, что в каждом из этих трех случаев функции Cj и Uj полностью определяются заданием двух чисел. Но если об операторе Ук ничего дополнительно не известно (из физики), кроме того, что это векторный оператор, то с- и cl не могут быть вычислены. Они могут быть определены только феноменологически, по известному экспериментальному значению матричного элемента одной из компонент Ук, например с, можно найти из <у — 1, /I Уо I jj>, а ^ из <У/1 ^ 17»- Все остальные матричные элементы <jm I У\]т) при т = — j, —j 4- 1, ..., у и к = 0, +1, — 1 можно затем вычислить по этим двум экспериментальным значениям, используя коэффициенты Клебша — Гордана.

Часто векторные операторы обладают определенными свойствами по отношению к эрмитову сопряжению. Они являются либо эрмитовыми:

H-v0, рг±1 = _^„

либо антиэрмитовыми:

V’o=-vo, ^1, = +^,.

Легко видеть (см. приложение), что для эрмитовых операторов Ук функции Cj ЯВЛЯЮТСЯ ЧИСТО МНИМЫМИ, Су = —Су, а функции Ду — действительными, Uj = ду. Для антиэрмитовых VK имеем с- = Cj и

ПРИЛОЖЕНИЕ К РАЗД. V.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБЕРТЫВАЮЩИХ АЛГЕБР50(3,1), 50(4) и Е3

Алгебры, генерируемые операторами углового момента / и некоторым векторным оператором, возникают в различных задачах квантовой физики. Мы уже рассмотрели пример такой алгебры в разд. III.4, где алгебра ^ХЕ^ возникла как алгебра, генерируемая операторами углового момента Jt и оператором дипольного момента Q. В гл. VI мы столкнемся с алгеброй <<(80(4)), генерируемой операторами углового момента Ц и компонентами вектора Ленца Ар Алгебра <<(80(3,1)) является групповой алгеброй группы Лоренца и имеет разнообразные применения в квантовой физике.

В этом приложении мы дадим вывод представлений этих трех алгебр. Эти алгебры являются обертывающими алгебрами для групп 80(3,1) (псевдоортогональная группа в (3 + 1) измерениях), 80(4) (ортогональная группа в четырех измерениях) и Е3 (трехмерная евклидова группа), но мы не будем здесь обсуждать соответствующие теоретико-групповые аспекты.

Определяющие соотношения для этих алгебр имеют вид

[Н,.,Ну] = ^кНк,(3.27)

VHpF^ = kljkFk1(3.28)

[^,ГУ] = ХЧсЧкНк,(3.29л2)

где X2 = — 1 для алгебры <<(80(3,1)), X2 = +1 для <<(80(4)) и X2 = 0 для ^Е3). Соотношение (3.27) определяет алгебру углового момента <<(80(3)). Соотношение (3.28) утверждает, что Е( является векторным оператором по отношению к <Г(8О(3)), причем Е( U = 1, 2, 3) — его декартовы компоненты. Соотношение (3.29) утверждает, следовательно, что этот векторный оператор порождает вместе с НК одну из перечисленных алгебр. Если кроме (3.27) и (3.28) выполняется также соотношение (3.29), то F является весьма специальным векторным оператором, а его приведенные матричные элементы принимают весьма специальные значения. Найдем эти значения. Мы выведем представления для (3.27) — (3.29) в случае X2 = — 1, а ответы для случаев X2 = 1 и X2 = 0 получим из-

менением свойства эрмитовости и предельным переходом соответственно.

Найти все линейные представления алгебры (3.27) — (3.29) означает найти все возможные линейные операторы во всевозможных линейных пространствах, удовлетворяющие этим коммутационным соотношениям. Мы ограничимся здесь рассмотрением подкласса таких представлений, для которых пространство представления 66 содержит любое из пространств представлений ^z(/ = О, 1/2 и т. д. из ^XSO(3))) не более одного раза0. В каждом пространстве &1, согласно разд. III.3, имеется базис

/ т'т — — /,/+ 1/ т'т — — /,/+ 1(3.30)(3.30)

/ т'т — — /,/+ 1

/ т'т — — /,/+ 1

(3.30)

(3.30)

а пространство ^ порождается, следовательно, этими базисными векторами Д;, где / пробегает набор значений, который необходимо определить. Другими словами,

^ = ^е^'. (з.з1) i

Если бы одно из пространств i^1, скажем при / = /0, появилось больше чем один раз, то набор J*m не был бы базисным набором для пространства ^ и потребовалось бы ввести новый индекс (квантовое число), чтобы различать ортогональные векторы с одинаковыми значениями /0 и m:f'^.

Действие линейных операторов Нк на все J^ уже известно из разд. II 1.3, и нам необходимо теперь найти действие на f*m операторов FK. Введем (по аналогии с (III.3.1)) компоненты

(3.32)(3.32)Fq — F3, F ± = F j + IF 2 = + X/2F±1.

(3.32)

(3.32)

Компоненты Fo и F±1 — стандартные сферические компоненты векторного оператора F. Коммутационные соотношения для Fo, F с //± , Но = Н3 и между собой имеют вид

iH_F^

= 2F0,

[H-.FJ = -2F„'

[FK,HK]

= o,

к = 0, +, —

(3.33)

iHOlFa

= ±F±,

[H^F,] = + F± .

iF0,pa

= +H±,

[F.,F_] = -2H0-

(3.34)

° Этот подкласс содержит все представления, связанные с унитарными представлениями групп SO(3, 1) и SO (4).

Соотношение (3.33) имеет тот же смысл, что и (3.28), и отражает векторный характер оператора F; соотношение (3.34) соответствует (3.29) с X2 = — 1 и утверждает, что этот векторный оператор является генератором алгебры <f(SO(3,l)). Если использовать теперь свойства векторного оператора и теорему Вигнера — Эккарта, то мы получим для Fo и F± выражения (3.13), (3.15) и (3.16). Если также выбрать соответствующим образом фазовый множитель базис ных векторов (как это обсуждалось в математическом примечании перед этим приложением), то можно использовать (3.17), и мы получим для действия операторов Fo и F± на базисные векторы выражения

Fofw = ХА2 - m2ci.fm 1 - maJm - Ju + I)2 - m'-c^x fm1. (3.35O) F+.fm = JU-ТпЧГ- т- J(r^^T"m"+Jut.fm+1

+ x U + m + 1)(/ + m + 2)cz + ] flm Д,(3.35 +)

F_ flm = - x (I + m)U + m - Dc,/^?! - x/(l + m)U - m + l)«z./m- i

— x (/ — m + 1)(/ — /и + 2)cz+z/^ Jp(3.35_)

При их выводе использовалось только соотношение (3.33), и эти соотношения справедливы для любого векторного оператора, действующего в пространстве, в котором каждое из пространств появляется не более чем один раз.

Согласно результатам разд. III.3, векторы j1 обладают свойством

(3.36)(3.36)H,fm = mflm, H^V = /(/ + 1)Л,H±fm^ Ju + m)U ± m + D/m± 1-

(3.36)

(3.36)

Векторы Jlm выбирались так, чтобы выполнялось условие (3.17).

До сих пор мы использовали только соотношения (3.27) и (3.28); используем теперь также соотношения (3.29) или (3.34), чтобы найти неизвестные коэффициенты д, и с, (связанные с приведенными матричными элементами соотношением (3.14)). Достаточно использовать только одно из трех соотношений (3.34), поскольку два других являются следствием из этого соотношения и из (3.33). Мы выберем

^ к0; при(3.38)(3.39а)(3.396)(3.39в)(3.39г)^ к0; при(3.38)(3.39а)(3.396)(3.39в)(3.39г)

^ к0; при

(3.38)

(3.39а)

(3.396)

(3.39в)

(3.39г)

^ к0; при

(3.38)

(3.39а)

(3.396)

(3.39в)

(3.39г)

Действуя обеими частями (3.34') на вектор flm, используя (3.35) и сравнивая коэффициенты при J^ + х, fmV\ и Zn + р получаем следующие уравнения:

Е«Л7 + !) — (/ — l^-Jc, = 0,(3.37а)

[а,+ AL + 2) - lat3cl+ t = 0,(3.376)

(2/ - 1)С/2 - (2/ + 3)cf+x - а2 = 1.(3.37b)

Рассмотрим произвольный базисный вектор /^, который по предположению содержится в том пространстве представления .Й* которые мы хотим построить. Действуя оператором Нк на вектор J'm достаточное число раз, мы получаем, как описано в разд. III.3, все пространство ^’/. Действуя векторными операторами FK на вектор J*m достаточное число раз, мы построим все остальные ■ ^ С .^, где j отличается от / на целое число, так как FK изменяет / на 0, + 1, — 1. Поскольку j < 0, в любом пространстве ^ всегда существует наименьшее значение j. Это наименьшее значение j мы обозначим к0; к0 может принимать любое из разрешенных значений j и характеризует пространство ^. Так как к0 есть наименьшее значение у, то, согласно (3.35),

Ск0 = °-

При целом к0 пространство .^ содержит только целые / полуцелых к0 J^ содержит только полуцелые / ^ к0:

& =£ ф ^.

I = кц, ко+ 1,...

Для всех /, для которых с, Ф 0, из (3.37а) получаем^(/ + !)-(/- 1)^ =0,

а для всех /, для которых с, + , * 0, из (3.376) получаем tii + i(/ + 2) — la, = 0.

ОпределяяPl =+ \)аь

мы получаем из этих двух условий

Pi - Pi-i= 0,Pi* i ~ Pi = 0,

а это означает, что pt не зависит от /. Эту произвольную константу мы будем обозначать р, = ik0 с, где с — произвольное комплексное число, и покажем ниже, что множитель к0 всегда можно выделить. Величину а( тогда можно записать в виде

Ql =Для любых / > к / > 1(3.40)

/(/4-1)

В том случае, когда как с, = 0, так и q + х = 0, из (3.37в) следует, что а^ = - 1 и матричные элементы FK в (3.35) полностью определены. Вместе с выражением (3.40) это означает, что к0 = /, с = / 4 1 и .^ = .^’/.

Остается показать, что всегда возможна факторизация к0, т. е. что а( = 0 при к0 = 0. Но при к0 = 0 условие (3.39а) выполняется при / = 1 и, приводит к ах = 0. При / = 2 это в свою очередь приводит к а2 • 3 — ах = д2 • 3 = 0, и, продолжая действовать таким же образом, мы получаем а( = 0 для / = 1, 2, 3, ..., . При / = 0 множитель перед а0 в (3.35) равен нулю, так что рассматривать а0 нет смысла. Таким образом, выражение (3.40) имеет место в общем случае.

Чтобы найти ср используем (3.37в). Определив

<7, = (2/ - 1)(2/ + l)Cj2,(3.41)

мы можем записать (3.37в) в виде

<т, — ^i+i — (2/ + 1)я2 = 2/ + 1,

или, используя (3.40),

°i -^1 + 1 = (2/ + 1) - koc2^ - (I + 1)2^.(3.42)

Вычислим теперь для любого значения к ^ к0, к > 1,

к-1к-1к-1 /уJ

°kQ — ^к = ^ (al ~ ^1+1) = £ (2/ + 1) — к0С £ I~ /, . |\2 1 = к01 = к0'^о V V Т V

— 1,2 _ 1.2 _ Ь2 2 М— К — Ко Кос I 2,2

\к0 к

(к2 - № - с2)к2

Поскольку к0 есть наименьшее значение /, тос^ = 0 и, следовательно, око = 0, так что получаем

at = _ v^fccb(3 43

кг ’

а из (3.41) находим

для всех 1 - ^о J > 1.^,44^

Выше мы определили все возможные типы действия операторов НК и FK, удовлетворяющих (3.33) и (3.34), на векторы Jlm. Эти возможные случаи характеризуются парой чисел (к0, с), где к0 — целое или полуцелое число, ас — комплексное число. Для каждого выбора этих двух чисел действие операторов на J*m задается соотношениями (3.35) и (3.36), где а, и с, заданы в (3.40) и (3.44). Другими словами, для каждой пары (к0, с) имеем представление алгебры <^(80(3,1)), генерированное операторами НК и FK в пространстве представления .<% (3.38). Это пространство и действующие в нем операторы характеризуются парой чисел (к0, сУ^Цс^, с), Н(Кко* ^ и /Д*о. О.

До сих пор мы не вводили в пространстве .^к0, с) скалярное произведение и не можем говорить об эрмитовости операторов. Поэтому символ £/ = * ко + j © определяет пространство линейных комбинаций ’’

/=/‘-+/‘о+1 +...+/1 + ...+/«

где J* е .^’/, a N — число, в общем случае большее, чем любое заданное число. Для всех пар ^к0, с) операторы Н^о-с) и F^ko*с) принадлежат к линейным представлениям алгебры гГ(8О(3,1)), для которых заданное значение углового момента / встречается не более одного раза. Эти пространства представлений являются в общем случае бесконечномерными; они конечномерны только при определенных значениях с.

Используя (3.35) и (3.44), можно определить, когда появляются конечномерные пространства представлений. Из (3.35) мы видим, что последовательное действие оператором FK приводит к увеличению /, пока для некоторого / = кх не будет иметь место с* + t = 0; кх — наибольшее значение, которое может принимать / для пространства .^. Согласно (3.44), это означает, что значение с должно

быть таким, что с2 = (^ + I)2. Таким образом, для к0 = 03, 1,с=±(/ч + 1), где кх = к0, к0 + 1,(3.45) пространство представлений конечномерно, и для него имеем

Wo, ± (^i + 1)) - I ©^'.(3.46)

I = ко, ко + 1, ...

Хотя пространства .Лк0, (к} + 1)) и Жк0, - (кх + 1)) являются одинаковыми прямыми суммами пространств неприводимых представлений алгебры <<(SO(3)), операторы FK действуют в этих пространствах по-разному, как это можно видеть из (3.44) и (3.35). Они не эквивалентны, как пространства представления алгебры ^ (80(3,1)), но имеют одинаковое разложение относительно <<(80(3)). Из (3.40) и (3.44) следует, что для конечномерных случаев (3.45) коэффициенты а, и с, удовлетворяют соотношениям

at=-at, ct=ct.(3.476)

Введем теперь в пространствах ^Vk^, с) скалярное произведение, причем потребуем, чтобы

(Л.Л) = г“^,(3.48)

так что оператор Н2 является эрмитовым в пространстве .^\kQ, с). Тогда из (3.35О) получим

(3.49.)(3.492)(3.50,)(3.50,)(3.49.)(3.492)(3.50,)(3.50,)(Го/™ ‘.Л) = -V'2 - т2 сХ/'т.

(3.49.)

(3.492)

(3.50,)

(3.50,)

(3.49.)

(3.492)

(3.50,)

(3.50,)

(Д".ГоД)= V'2 - и

(Г0ГтЛт) = -^Ш^ЛтХ

ЛХтЛЛ^ = -та^ЛЛ

Вместе с (3.48) это означает, что

(Fof^^fjc^ -(Гт'ЛоГ^

(Fof'„J^a, = (f^FQf„)a,.

Из соотношений (3.50) и (3.476) следует, что для конечномерных случаев (3.45) оператор Fo должен быть антиэрмитовым: F^ = — Fo. Используя те же аргументы или обратившись к (3.34),

можно показать, что остальные компоненты F также антиэрмито- вы. Таким образом, векторный оператор F антиэрмитов:

F^-Fo, Ft = —F*,(3.47а)

если представление конечномерно.

Другой очень важный случай, — когда оператор F является эрмитовым векторным оператором:

^ = ^о,П=^>(3.51а)

т. е. мы имеем эрмитово представление алгебры /(80(3,1)) (которое связано с унитарным представлением группы 80(3.1)1. В этом случае из (3.51а) и (3.50) следует

at = аи С( = -ct.(3.516)

Согласно (3.40), это означает, что при к0 * 0 ic действительно, а из (3.44) имеем, что (/2 — ^)(/2 — с2)/(4/2 — 1) положительно. Последнее возможно только при действительном с2, т. е. когда с — действительное или чисто мнимое число.

Следовательно, для любого целого или полуцелого значения к^ и любого мнимого с может выполняться (3.51). Если с действительное, го к0 должно быть равно нулю, чтобы имело место равенство а( = аг Тогда выражение под квадратным корнем в формуле (3.44) равно /2(/2 — с2)/(4/2 — 1); оно положительно при всех значениях / = 1, 2,... только в том случае, если с2 > 1.

Таким образом, мы видим, что условия (3.51) могут выполняться в двух случаях:

при к0 = 0, 1/2, 1,... и ic — действительное, — оо < ic < + оо;

при к0 = 0, 0 ^ с < 1.

Ни в одном из этих случаев с, + ] не может равняться нулю. Следовательно, согласно (3.35), из каждого заданного /^ можно также получить /^+ С Можно действовать оператором FK произвольное число раз, достигая все больших значений /. Пространство представления .^(^0, с), где (к0, с) соответствуют одному из двух перечисленных выше случаев, является бесконечномерным:

Wo,c)= f ©^'.

I = ко, ко+ 1....

Это (алгебраическая0) прямая сумма пространств неприводимых представлений .^(Z = £0, *0 + 1,...) алгебры углового момента <T(SO(3)).

Случай (к0 = 0, с = 1) — это тривиальный случай, в котором все Нк и FK являются нулевыми операторами.

Суммируя полученные результаты, мы видим, что найдены пространства неприводимых представлений cf(SO(3,l)) (алгебры, определенной в (3.27), (3.28), (3.29х2 = _])), характеризуемые парой чисел Ц<0, с), принимающих значения для описанных выше двух случаев с эрмитовыми операторами Н и Fr Редукция этих пространств представлений -^ (к0, с) по алгебре /(80(3)) описана в (3.52), а операторы Нк и FK заданы в (3.35), (3.36) и (3.40), (3.44). Пространства неприводимых представлений алгебры /’(80(3,1)) с антиэрмитовыми операторами F, характеризуется двумя числами (*0, с) = (k0, ±(^ + 1)), которые принимают любые из значений (3.45). Разложение этих пространств представлений по <Г(8О(3)) дано в (3.46), а Нк и FK снова задаются соотношениями (3.35), (3.36), (3.40), (3.44).

Теперь легко найти представления алгебр </(80(4)) и /Ч^). Чтобы построить представления алгебры 6 (80(4)), определим операторы

A^-xF^ АК= -xFK (к = 0, + ,-). (3.53)

Если операторы F. удовлетворяют коммутационным соотношениям (3.29Х2 = _]), то At удовлетворяют коммутационным соотношениям (3.29Х2 = +]); т. е. вместе с FL они генерируют коммутационные соотношения /”(80(4)):

[А6,А^ = i£ijkHk (3.29х2= + 1)

Если операторы Fj антиэрмитовы (Ft = — Fj), то операторы Aj эрмитовы (AJ = AjY Поэтому мы можем заключить, что эрмитовы неприводимые представления алгебры /(80(4)) характеризуются двумя числами (*0, ±(^ + 1)), принимающими значения (3.45). Все пространства неприводимых представлений конечномерны и описа-

11 Она может быть пополнена по разным топологиям, например с использованием топологии гильбертова пространства, заданной скалярным произведением, или топологии, заданной счетным числом скалярных произведений (ф, ф)л = = (ф(Н2 + F2 + 1ГФ), приводящей к ядерному пространству Ф (см. (19J).

ны в (3.46). Операторы Ак снова задаются формулами (3.35), (3.40) и (3.44), a FK даны в (3.53).

Алгебра ^(SO(3,1)) имеет два независимых инвариантных оператора, т. е. два независимых оператора, коммутирующих со всеми генераторами Ни Fj. Этими операторами являются

ЬН. С2 = F НЬН. С2 = F Н(3.54)(3.54)

ЬН. С2 = F Н

ЬН. С2 = F Н

(3.54)

(3.54)

Поскольку они коммутируют со всеми Нк и FK, при действии Нк и Fk на соответствующий собственный вектор их собственные значения не меняются. Следовательно, их собственные значения одинаковы на всем пространстве неприводимого представления. Эти собственные значения можно вычислить, действуя операторами С] и С2 на подходящим образом выбранный вектор J*n и используя (3.36), (3.35), (3.40), (3.44). В результате получим

= (-45 - с2 + tVUko.c),(3.55,)

C2fm(k„,c) = ik^k^c).(3.552)

Двумя инвариантными операторами алгебры <$' (SO(4)) являются

CSO(4) = А 2 + Н2 CSO(4) = д Н(3.56)

Их собственные значения равны

С^Ч^кд, ±(4, + 1)) = (45 + с2 - 1)Д(40. ±(4, + 1))

= (45 + 4f + 24,)/U40. ±(4, + О),(3.57,)

C?wf'm(k0, ±(4, + D) = 4о</т(4о. ±(4, + 1))

= +4О(4, + 1)А,. + <4, + О)-(3.572)

Таким образом, собственные значения инвариантных операторов полностью задают неприводимое представление. Но удобнее характеризовать неприводимые представления значениями (£0, с) или (к0, кх, ±), где обозначение ± относится к двум неэквивалентным представлениям с одинаковыми значениями к0 и кх.

Отметим, наконец, частный случай, когда к0 = 0 или С2 = 0. Именно этот случай наиболее часто встречается при изучении простых квантовомеханических систем. Мы встретимся с ним применительно к алгебре <f(SO(4)) в гл. VI при вычислении спектра атома водорода. В этом случае, как мы покажем в разд. V.4 (см. особенно (4.25)), не требуется удвоения по четности. Мы уже сталкива-

лись с такой ситуацией в разд. III.4; при этом получается спиновый спектр (III.4.2), изображенный на рис. III.4.1. При к0 = 0 для эрмитовых представлений алгебры ^(80(3,1)) из (3.52) получаем

.^(0, с)= £ е^',(3.58)

/ = 0. 1....

а для эрмитовых представлений алгебр cf{SO(4)) из (3.46) имеем

п - 1

ХО,^ + 1 = и) = Е ®^' (и = 1,2, 3,...).(3.59)

/ = о, 1....

Из (3.40) следует, что в этом случае

я, = О ДЛЯ всех / (или </||Г||/> = 0)(3.60)

а операторы FK и АК изменяют значение / на ±1. Следовательно, представления (0, кх + 1) и (0, — кх — 1) эквивалентны.

Построим теперь неприводимые представления алгебры <Г(Е3) по неприводимым представлениям (*0, с) алгебры cf( 80(3,1)) путем предельного перехода, который называется контракцией Ионы — Вигнера. Определим операторы

PV=XF^ Ji = Hi.(3.61)

Если операторы // и /; удовлетворяют коммутационным соотношениям (3.27), (3.28), (3.29Х2 = _]) алгебры <^(80(3,1)), то коммутационные соотношения операторов Р( и Jt имеют вид

:[Л,Л] = ^iki^»(3.62)

[V„Ek] = iciklPt,(3.63)

[^.EJ = -X2€iklJt,(3.64)

где Pt зависит от X. Инвариантные операторы принимают вид

Х2Сх = Р^ - X2JiJi,(3.65)

ХС2 = Р^.(3.66)

В пределе X2 — 0 коммутационное соотношение (3.64) переходит в коммутационное соотношение

Соотношения (3.62), (3.63) и (3.67) являются определяющими коммутационными соотношениями алгебры ^(Е3). Таким образом, в пределе X2 — О коммутационные соотношения алгебры <Г (80(3,1)) переходят в коммутационные соотношения алгебры <?(Е3у Но если непосредственно переходить к пределу при X — 0, то из (3.61) мы видим, что Р — 0. Чтобы получить алгебру операторов <f(E3) из алгебры операторов <С{8О(3,1)) в пространстве ^(к0, с) в пределе X — 0, мы должны обеспечить такой рост F в этом пределе, чтобы Рк не стремились к нулю. Как видно из (3.35), (3.40), (3.44), это можно сделать, переходя к пределу I ic I — оо при X — 0. Следовательно, контракция представления проводится следующим образом:

Л -» 0, |ic| —► ос так, что 1сХ-*е, (3.68)

где е — конечное действительное число. Из (3.35), (3.40) и (3.44) мы видим, например, что для Р3 имеет место соотношение

P3fm- lim XFofm

= V12 - ^^if™ 1 - majxw- ^/<1 A- I)2 - m2cl+xf^\ (3.69)

где

ииct = lim Xc, =ct = lim Xc, =(3.70)(3.70)г ] г Xicko a, = lim Xa, = lim —г ] г Xicko a, = lim Xa, = lim —icz-f icX^t KI + 1icz-f icX^t KI + 1k0€/(/+1)"k0€/(/+1)"(3.71)(3.71)

и

и

ct = lim Xc, =

ct = lim Xc, =

(3.70)

(3.70)

г ] г Xicko a, = lim Xa, = lim —

г ] г Xicko a, = lim Xa, = lim —

icz-f icX^t KI + 1

icz-f icX^t KI + 1

k0€/(/+1)"

k0€/(/+1)"

(3.71)

(3.71)

Инвариантными операторами алгебры <f(E3) являются Р;Р, и Р(/. Из (3.65) мы видим, что при таком предельном переходе

PiP, = lim 7?СХ = lim ( — kpX2 — Х2с2 + Л21) = е2,(3.72)

где мы использовали (3.55]) для неприводимого представления (к0, с). Подобным образом, используя (3.552), из (3.66) получаем

Р^, = lim ХС2 = lim Xick0 = ск0.(3.73)

icA-*ticX-*t

Представление алгебры <Д^), полученное при контракции (3.68), характеризуется, следовательно, двумя параметрами (к0, е), где — оо < е < + оо.

Подалгебра <f(SO(3)) и разложение по этой подалгебре не затрагиваются контракцией (3.68). Следовательно, пространство неприводимого представления Жк0, е) алгебры ^(£3), полученное из пространства Жк0, с), также имеет вид (ср. (3.52))

^(/с0,б)=£(3.74)

I = ко. ко+ 1, ...

Суммируя полученные результаты, мы видим, что пространства эрмитовых неприводимых представлений алгебры <f(E3), заданные в (3.62), (3.63), (3.67), характеризуются двумя числами (к0, е), принимающими значения к0 = 0, 1/2, 1,... ; — оо < е < +оо. Редукция такого пространства по алгебре <Д8О(3)) описана в (3.74), а операторы JK = НК и Рк заданы в (3.36) и (3.35), где Рк заменяет Гк, а а, и с() заданные формулами (3.70) и (3.71), заменяют а, и с(.

Базисная система векторов /*т пространства представления Жк0, е) такова, что следующая полная система коммутирующих операторов диагональна:

Л> J^, P^, Р^.(3.75)

Поскольку Pj коммутируют (соотношение (3.67)), обычно выбирают базис пространства представления, в котором Р. диагональны. Поэтому в качестве полной системы коммутирующих операторов выбираем

РЬР2,Р3, РЖ(3.76)

с соответствующими базисными векторами \pi? k0), которые обладают свойствами

(^oPlIP^o) = 40к^3(Р - р'),(3.77)

РДр,к0> = Pi\Pik0>, PiJ^Piko) = к0€\р;к0\

= plPi.(3.78)

Упомянем без вывода^, что матрицы перехода от базисаf!m(k^ е) к базису I р, к0 >

|р^о> = ^j'm(ko,€)<£kolm\piko>(3 79)

^ Вывод дан в статье [20].

имеют вид

(3.80)(3.80)<е к01т-\р(к0> = / * 1 Д Djпко(ф, в, - ф\

(3.80)

(3.80)

Здесь (ф, 9) задают ориентацию р: рх = I е I sin9cosф, р2 = = I 6 I бтУзтф, р3 = I 6 I собУ, а /^(ф, 9 — ф) — матрица вращения^.

В этом приложении мы рассмотрели широкий класс неприводимых представлений алгебр <Г(8О(4)), <^(80(3,1)) и ^(£3), многие из которых используются в этой книге, а также при рассмотрении других задач квантовой физики. Мы использовали здесь тот же метод, что и при построении представлений <Г(8О(3)) в разд. III.3. Хотя мы не использовали понятий теории групп, заметим, что все эти представления являются унитарными представлениями групп 80(4), 80(3,1) (однородная группа Лоренца) и Е3 (евклидова группа в трех измерениях).

V.4. ЧЕТНОСТЬ

Четность — очень важная наблюдаемая в квантовой физике, поскольку все квантовомеханические системы обычно находятся в состояниях, являющихся собственными состояниями четности. Преобразование четности Р, которое называют также пространственной инверсией, осуществляет переход к зеркальному изображению. Если физический объект имеет координаты х( и компоненты импульса Pj, то для зеркального изображения координаты равны хк= —X;, а компоненты импульса pf — —р,. Для квантовофизической системы в соответствии с фундаментальным предположением I такое, преобразование Р реализуется линейным оператором в пространстве физических состояний. Этот оператор мы называем оператором четности (Jp.

Некоторые свойства Up непосредственно следуют из физической интерпретации четности Р; остальные фиксируются принятыми соглашениями. Как будет показано ниже, оператор Up подчиняется следующим определяющим соотношениям:

UpQ^px = -Qi

(i = 1, 2, 3),

(4-1)

UpPiUp1 = -Pt

(i = 1, 2, 3),

(4.2)

UpJiUp1 = -Ui

(i = 1, 2, 3),

(4.3)

^ Матрицы вращения описаны, например, в книгах [18, 21].

где Qj, Pj и Jj — операторы координаты, импульса и углового момента соответственно. На Up накладывается еще одно требование

Up = I.(4.5)

Из (4.4) и (4.5) вытекает, что

U),= Up\ Up' = Up,U'p=Up.(4.6)

Линейные операторы, для которых выполняется соотношение (4.4), называются унитарными^; таким образом, оператор Up является унитарным и, согласно (4.6), эрмитовым.

Соотношение (4.3) следует из (4.1) и (4.2), если Jf = Lf = = eijkQjPk; для других угловых моментов оно постулируется.

Из (4.1), (4.2) и (4.3) мы определяем действие оператора Up на любую переменную, являющуюся функцией импульса, координаты и углового момента. При введении новых независимых переменных их «взаимодействие» с Up необходимо постулировать.

Понятие четности позволяет дать классификацию тензорных операторов. Тензорный оператор TW, для которого

UpT^Up1 = (-l)*^ ,(4.7)

называется (собственно) тензорным оператором; если

и,Т*,1/;‘ =-(-IW,(4.8)

то Т^ называется псевдотензорным оператором. Таким образом, операторы Qj и Pj, согласно (4.1) и (4.2), являются векторными операторами, в то время как оператор Jj, согласно (4.3), является псевдовекторным (аксиально-векторным) оператором.

Все операторы энергии, с которыми мы до сих пор имели дело, удовлетворяют соотношению

UpHU^H,(4.9)

т. е. они являются скалярными операторами. Но соотношение (4.9) не является универсальным: для части оператора энергии, отвечающей за слабые распады, соотношение (4.9) не выполняется (несо- хранение четности).

!) См. также определение унитарного оператора в разд. XV.3.

Теперь мы дадим некоторое обоснование приведенных постулатов.

Пусть ^ — вектор в пространстве состояний ^; обозначим через фк вектор, который получается из ф под действием Up;

фк = иРф.(4.10)

Рассмотрим чистое физическое состояние, которое представляет вектор ф, т. е. состояние Л^, являющееся проектором на одномерное пространство, порожденное вектором ф. Обозначим через Л^ проектор на пространство, порожденное фк, и сделаем «физически обоснованное» предположение, что это состояние также является чистым (т. е. фк порождает одномерное пространство); фк — один из векторов, представляющих состояние, полученное из Л^ при пространственном отражении, поскольку Up — оператор, реализующий это пространственное отражение. Таким образом, Л^ — пространственно-отраженное состояние Л^, и эти два состояния связаны преобразованием

Л? = \фкХфк\ = иР\ф><ф\и1. = иРхфи;. (4.11)

Обобщая (4.11), для произвольного состояния W получаем (ср. (II.4.31)):

WR = UPWU^P(4.12)

описывает состояние, полученное при пространственном отражении из состояния W. Если W нормировано (Tr W = 1), то пространственно-отраженное состояние также должно быть нормировано (Тг WR = 1), или в более общем виде

Tr^ = TrH<(4.13)

т. е. пространственное отражение не должно изменять вероятность. Таким образом,

Tr W= Tr (UP WU^ = Tr(^Lr; Up),

что выполняется, если ввести требование (4.4).

Если пространственное отражение осуществить дважды, то мы возвратимся к исходному объекту. Следовательно,

(4.14)(4.14)W = (WR)R = UPWRU; = U,U,WU№

(4.14)

(4.14)

Это соотношение имеет место, если выполняется требование (4.5). Требование (4.5) обусловливает выполнение (4.14), но не является необходимым для этого, так что оно также отчасти является результатом соглашения.

Пусть X; — среднее значение оператора координаты квантовомеханической системы в состоянии W:

Xi = Tr(e.IT);

пусть х^— среднее значение оператора координаты квантовомеханической системы в состоянии WR, полученном из состояния W при пространственном отражении, WR = RpWU^p\

xR = Tr(Q, WR\

Тогда, согласно физическому смыслу пространственной инверсии, имеем

х?=-хн(4.15)

т. е. пространственное отражение меняет значение^ на — х,. Таким образом, мы должны иметь

тг(е.и') = ~тг(2,и"') = -Tr(e,i/Pivi/»

(4.16)

= -Tr(L^e,l/PlV).

Это выполняется, если

е, = -и^,иг,

или, используя (4.4), если

Up1 = -Qi,

а это и есть соотношение (4.1). Остальные определяющие соотношения (4.2) и (4.3) можно вывести аналогичным способом.

Таким образом, мы обосновали определяющие соотношения (4.1) — (4.5) для оператора, представляющего наблюдаемую четности, показав, что эти соотношения приводят к тем свойствам, которых мы ожидаем при физическом преобразовании пространственного отражения. Следовательно, оператор Up, определенный в (4.1) — (4.5), может представлять наблюдаемую четности. Но мы не показали, что этот оператор является единственным оператором, который может отвечать преобразованию четности. (Несколько замечаний на этот счет сделано в разд. XIX.2, в частности, в приложении к этому разделу.)

ИИ- Ki

Исследуем теперь свойства оператора четности Up на собственных состояниях углового момента, например тех, которые возникают в пространстве состояний ротатора (III.4.2):

,^= £ ©J?z.(4.17)

I = о

Так как система коммутирующих наблюдаемых

J2,^3(4.18)

коммутирует с Up, то набор

Л А, ир(4.19)

также является системой коммутирующих наблюдаемых. Необходимо различать два случая: а) система (4.18) уже есть п.с.к.н., как в случае ротатора, и б) система (4.19) есть п.с.к.н. Последний случай называется удвоением по четности.

Случай а. Если набор (4.18) является п.с.к.н., то векторы I уу 3) образуют базисную систему. Из (4.3) следует

иР\Лз> = тг|ууз>, (4.20)

(тг * 0 вследствие (4.4)), т. е. векторы I уу3) являются собственными векторами оператора Up. Собственное значение тг = тг(у, у3), которое мы назовем четностью состояния I уу3), в общем случае может зависеть от у, у3. Теперь мы покажем, что

(4.21)(4.21)MjJi) = (-W

(4.21)

(4.21)

где внутренняя четность ту не зависит от у, у3 и I т; I = 1. Из (III.3.22) и (III.3.23) следует»

UpJ±\jji> = UPJj(j + 1) -j3U3 ± DlVjs ± О

= kUJ3 ± l\/j(J + 1) -]30з ± 01 Лз ± О-

° В этот и последующих разделах мы будем использовать единицы, в которых h = 1. В некоторых случаях мы будем восстанавливать h в уравнениях, используя при этом обычную (гауссову) систему единиц (см. объяснения на с. 148 и 258).

Из (4.3) следует, что левая часть этого равенства должна быть равна

UP\j у3> = ХУ, УзУ± У Уз>

= ХА h>jjU + 1) - Уз(Уз ± 1)У Уз ± 1>.

Сравнивая два последних уравнения, мы заключаем, что

ХУ, Уз) = <bh ± 1),(4.22)

т. е. тг не зависит от уз. Чтобы найти зависимость тг от у, мы должны использовать соотношение (4.1) и тот факт, что Q — векторный оператор. Записывая

Qk=±i =fV2 ’

и используя (3.12), получаем

£М././з> = \j — 1 7з + ^^(././з! ki./ “ 1 /з + ^^j — 1Ц(Ш>

+ ил + хол! х», + оонеих <4’23)

+ U + 1 Уз + K><JM K\j + U3 + «><j + 1IIQII»,

где <У' HQ;y> — приведенные матричные элементы оператора Q. Если мы подействуем оператором Up на обе части (4.23), то из (4.1), получим

QKuP\j j3> = i<DQK\j Уз > = - uPQK\j у3>

= - У “ 1 Уз + к>ХУ - 1)<У Уз 1 k\J - 1 Уз + k>(J - l|Q|y>

У Уз + к>ХУ)<У/з1АфУз + к><У|6|У>

У + 1Уз + к>тг(У + 1)<У/з1кУ + 1Уз + к><У + 1|£|У>.

(4.24)

Подставив (4.23) во второй член этого равенства и сравнив его с последним членом, мы заключаем, что

(4.25)(4.26)(4.27)(4.25)(4.26)(4.27)<УЮ1У > = О,

(4.25)

(4.26)

(4.27)

(4.25)

(4.26)

(4.27)

ХУ - в = -ХУ) при <у - 1|21У> ^ о,ХУ + 1) = -Ху) при <у + 1|21У> 0.

Согласно (3.17' у),

V5T3O+ 1||QIU> = ТглПонеи; + О, (4-28)

так что, если <у II Q II у 4- 1 > = 0 для любого у, это вместе с (4.25) означает, что QK есть нулевой оператор. Таким образом, для некоторых значений j имеем < j II Q II у + 1 > ^ 0; для всех таких значений имеем из (4.26), (4.27)■

тг(У) = -Л(у + 1).(4.29)

Отсюда следует (4.21):

^(7) = (-1Уп (п = const).

Чтобы найти возможные значения ту, используем (4.5):

UpUP\jj3> = 7r(JMf)\jj3> = ППзХ(4.30а)

и (4.4):

<ЛзУШз> = <77з1^р^р177з> = МГтиХШПзУ (4.306)

Таким образом,

K(j)K(j) = 1,^(7)^(7) = 1,(4.31)

поэтому тг(у) = тг(у), так что величина тг(у) действительна и тг(у)2 = 1, т. е. тг(у) = 4-1 или — 1. Следовательно,

^ = + 1 или ^ = - 1.(4.32)

Мы можем теперь дать полное обоснование правила отбора (III.4.10):

Ау=±1.(4.33)

Оно следует из того факта, что QK является векторным оператором.

’* Если базис выбран так, что для векторного оператора Q (3.17) не выполняется, но все Q( эрмитовы, то можно доказать, что

1||<211у> = УгГИонеИ; + 1>.

Для антиэрмитовых Q;, т. е. ^ = — Qp можно доказать аналогичное соотношение с заменой в левой части ( — 1) на ( + 1).

Из свойства

[Л, Q/1 = ieklmQm {к, I, т = \, 2, 3)(4.34)

следует, что Ду = ±1, О (см. уравнение (3.7)). Из (4.25), т. е. из свойства (4.1) для оператора Q; и предположения об отсутствии удвоения по четности следует, что Д j Ф 0, откуда получаем (Ш.4.10).

Случай б. Если набор (4.19) есть п.с.к.н., то четность тг является дополнительным индексом базисных векторов:

Up\jj3ir> = тг|уу3тг>.(4.35)

Вопрос теперь в том, каков спектр U^, т. е. каковы возможные значения тг. Из (4.4) и (4.5) с помощью таких же рассуждений, как и выше, следует, что должно выполняться (4.31). Таким образом

тг = + 1 или К = - 1.(4.36)

Вместо (4.23) теперь имеем

<2К\1М> = \J ~ 1/з + к, -ir><jj3lK\j - 1у3 + k><J 7 1, -7гЮ|7тг>

+ LZ/з + 1к|у/з + к, - тг Xjh 4- KXj, -тгЮ|утг>

+ |у + 1у3 + К, - irXjj3lK\j ц- 1у3 4- KXj 4- I, -тг|0|утг>,

(4.37)

где в дополнение к векторному свойству (4.34) оператора мы учли свойство (4.1), т. е. тот факт, что QK изменяет собственное значение ир, а также (4.36). Таким образом, в отличие от случая а свойства (4.1) и (4.36) не приводят к наложению каких-либо условий на приведенные матричные элементы <у'тг'II QИутг) и четности. Следовательно, для любого выбора j, у3 имеются два вектора

|/)3л= + 1> и |77зл=-1>.(4.38)

Именно по этой причине случай б называется случаем удвоения по четности.

Аналогия со случаем а устанавливается обычно при снабжении состояний не индексом тг, а индексом внутренней четности ту, которая определяется соотношением

Up\jj3H> = n(-W\jj3H> (^=±1).(4.39)

Следовательно, четность л (у) для состояния с угловым моментом

j и внутренняя четность т, связаны соотношением (4.21):

”(У) = (~ W

Как видно из (4.37), правило отбора принимает вид

j—j + VjJ - 1,(4.40)

л -♦ — к.(4.41)

Равенство (4.41), следующее из (4.1), выполняется и для случая а, но там оно уже неявно учитывается в правиле отбора (4.33) вследствие (4.21).

Если четность является независимой наблюдаемой (случай б), то, согласно (4.38), для каждого значения j имеем два пространства углового момента

^ + и $г.(4.42)

Поскольку оператор QK преобразует заданное значение j1 в значения (у 4- I)-*, У-* и (у — 1)-1Г, получаем все пространства углового момента, если только не найдется такое Уо, что

<7о - 1 ^IICIIJo п> = 0(4.43а)

или такое У(, что

<7i + 1 >7 НС 1171 ^> = 0.(4.436)

Это значит, что у0 — наименьшее значение У, достижимое при повторном действии оператором QK, а У] — наибольшее значение у. Пространство всех состояний в этом случае можно записать в виде

,^ = £®^= + 1Ф £ Ф^=-1 = ^= + 1®^=-1-(4.44)

j = joj- jo

Существуют ли в природе физические системы, пространство физических состояний которых имеет вид (4.44)?

Когда мы изучали вращающуюся двухатомную молекулу, мы использовали в качестве классического ее образа гантель, т. е. мы предположили, что момент инерции вдоль линии, соединяющей два атома, равен нулю. Вместе с тем, поскольку имеется некоторое число электронов, вращающихся вокруг обоих ядер, более удачной классической моделью часто является гантель с маховиком на оси. Таким образом, во многих случаях двухатомная молекула является не простым квантовомеханическим ротатором, а квантовомехани-

ческим симметричным волчком; в этом случае полный угловой момент j не перпендикулярен направлению оси а = х/1х I, а имеет вдоль направления а постоянную компоненту, т. е.

j • а = const,(4.45)

вследствие вращения электронов.

Чтобы получить оператор энергии и коммутационные соотношения для квантовомеханического симметричного волчка, мы опять используем соответствие между классической и квантовой физикой. Рассмотрим сначала классический нерелятивистский симметричный волчок [22] (рис. 4.1) с моментом инерции 1^ относительно оси симметрии а и моментом инерции 1Д относительно любой оси, перпендикулярной а. При вращении а с угловой скоростью W имеем а = W х а. Вычисляя векторное произведение с а и используя соотношение а2 = 1, получаем

со = (со • а)а 4- а х а.(4.46)

Таким образом, W имеет составляющие вдоль направления а и вдоль оси, перпендикулярной а. Угловой момент j = 0 • w, где D — тензор инерции, может быть записан в виде

j = 1л(со • а)а + 1ва х а.

Подставляя сюда (4.46), перепишем это выражение в виде

j = 1всо + (1Л - 1в)(со-а)а.

Рис. 4.1. Векторная диаграмма для симметричного волчка. Стрелкой показано направление вращения всей диаграммы вокруг j. Левая часть рисунка — векторная диаграмма при обращении направления вектора а.

Используя соотношения

■! = »"“>= Г<а<» и а = - ,

получаем

1 .(О =1 —1 .(О =1 —1В м х1В м х(4.47)(4.47)

1 .

(О =1 —

1 .

(О =1 —

1В м х

1В м х

(4.47)

(4.47)

Энергия волчка с угловой скоростью ш и угловым моментом j равна

Е = |со • j = 4<о • 0 • со.

Подставляя в это выражение (4.47), получаем энергию классического симметричного волчка, выраженную через j и х:

Е = — А2Е = — А21л - 18 11л X21л - 18 11л X2(x-j)2(x-j)2(4.48)(4.48)

Е = — А2

Е = — А2

1л - 18 1

1л X2

1л - 18 1

1л X2

(x-j)2

(x-j)2

(4.48)

(4.48)

Для квантовомеханйческой системы числа у и Xj заменяются операторами J; и Q. Следовательно, оператор энергии квантовомеханического симметричного волчка имеет вид’)

" = 5t(j2" = 5t(j2^Л 18 11л Q2^Л 18 11л Q2(QJ)2(QJ)2(4.49)(4.49)

" = 5t(j2

" = 5t(j2

^Л 18 1

1л Q2

^Л 18 1

1л Q2

(QJ)2

(QJ)2

(4.49)

(4.49)

а для операторов Q и у выполнены коммутационные соотношения

Ui, Jj] = i^ijUk, Ui, Qj] = ifcijkQk, [Qi, Qj] = 0.(4.50)

Решения для этих коммутационных соотношений, такие же, как для (3.62), (3.63) и (3.67), получены в приложении к разд. V.3. Было показано, что для любого действительного числа х и любого целого или полуцелого у0 существует пространство неприводимого представления, которое редуцируется по алгебре углового момента как (4.44) с У] = оо. Собственные значения операторов Казимира Q2 и Q • J равны

(4.51)(4.51)Q2 = Qi Qi = x2,Q-J = Qt Ji =jox.

(4.51)

(4.51)

Таким образом, пространства неприводимых представлений (4.44), в которых J^ Qj и ир, удовлетворяющие (4.50) и (4.1) — (4.3), действуют как операторы, являются кандидатами на роль пространства физических состояний симметричного волчка. В этих пространствах х2 и jox — константы; следовательно, они должны описывать симметричный волчок, для которого выполняется (4.45), такой, как вращающаяся двухатомная молекула с электронами, вращающимися вокруг обоих ядер (до тех пор, пока не изменится состояние электронов, что приведет к изменению у0). Для симметричного волчка общего вида условие (4.45) не выполняется, поэтому его пространство физических состояний является прямой суммой пространств неприводимых представлений (4.44) с разными значениями у0. Мы не будем здесь рассматривать молекулы, описываемые симметричным волчком общего вида [20].

Матричные элементы операторов Q даны в (4.37), а приведенные матричные элементы (найденные из соотношений (3.14), (3.17), (3.70) и (3.71)) имеют вид

<7 ^7 !QI 7—

jo x

Ш + DI12

(4.52)

<7- 1 n'WQWJn) = -i

"O’2 - JoW L 7(27 - 1) J

12

(4.53)

<j + 1 nlQWjnj = -i

((7 + I)2 -joV L (7 + 1)(27 + 3) _

1,2

<V(4.54)

Зависимость от т/ определяется согласно (4.1) и (4.3). Эти приведенные матричные элементы вместе с (4.37) и обычными матричными элементами оператора Jk, описанными в (III.3.8'), (Ш.3.22) и (III.3.23), составляют представление в пространстве /^обертывающей алгебры АЕт) трехмерной евклидовой группы, расширенной по четности. При у0 = 0 имеем <уН 5 Ну) = 0, и это пространство принимает вид (4.17). Выражение (4.54) показывает, что у может быть произвольно большим, т. е. у, = оо.

Энергетический спектр симметричного волчка, т. е. матричные элементы оператора энергии Н в базисе I уу3т/> в пространстве .-X получается из (4.49) с использованием (4.51):

спектр

w = ^-6u+ D-

k J«a2

(у = Л,Л + 1,Л + 2,...),

(4.55)

(4.55 а)

где Л = у0 — стандартное обозначение, используемое в молекулярной спектроскопии. Спектр орбитального момента (4.55а) получается из (4.44) или (3.74). Это также понятно и интуитивно (классически), поскольку значение полного углового момента всегда должно быть больше, чем значение его компоненты по оси Q. Компонента вдоль направления Q (ось молекулы) может принимать два значения ± Л = у0 х/1 х I (знак минус соответствует штриховой линии на рис. 4.1). Поскольку

(4.56)(4.56)QiJtUP= —UpQiJ,

(4.56)

(4.56)

собственные состояния четности не являются собственными состояниями оператора QjJj, отвечающего этой компоненте. Таким образом, находясь в собственном состоянии четности, молекула не имеет определенного значения компоненты углового момента вдоль оси молекулы1 \

Из (4.55) следует, что уровни энергии симметричного волчка, в котором фиксирована компонента углового момента вдоль оси волчка, такие же, как для простого ротатора, с той лишь разницей, что появляется пропорциональный Л2 сдвиг уровней, а также отсутствуют уровни с у < Л. Каждый энергетический уровень в дополнение к обычному (2 у + 1 )-кратному вырождению обладает двукратным вырождением по возможным значениям ту = ± 1. Диаграмма уровней энергии симметричного волчка такого типа для случая Л = 1 приведена на рис. 4.2. Для сравнения приведен также спектр ротатора. Знак 4- или — относится к значению четности тг. Уровни с заданными значениями у и тг = ±, которые, согласно (4.55), должны быть вырожденными, нарисованы слегка разделенными. Правило отбора Ду = ±1,0 выведено выше. Таким образом, для этих типов молекул, кроме R- и Р-ветвей, описанных в (III.5.19), в колебательно-вращательных полосах появляются переходы с Ду = 0, т. е. серия линий с частотами

(4.57)(4.57)Vq = v0 + (Вп. - Bn..)j + (Вп. - Bn..)j\

(4.57)

(4.57)

!) Это показывает неадекватность классической модели гантели с электроном, вращающимся вокруг ее оси (рис. 4.1). В квантовомеханическом состоянии с определенной четностью электрон не вращается ни по часовой стрелке (положительное значение ja), ни против часовой стрелки (отрицательное значение j • а) относительно оси а. Это также не смесь состояний с электронами, вращающимися по часовой стрелке и против нее. Имеет место чистое состояние, которое не описывается собственными значениями оператора J Q.

>j

55 ■=„?

* +4 =±

33 1=Т

2 2 ±

•1 .-7=Т

О* (0)

а6

Рис. 4.2. Диаграмма уровней энергии ротатора (о) и симметричного волчка (б) [14].Для симметричного волчка принято Л = 1, поэтому уровень с у = 0 (штриховая ли-ния) отсутствует.

(Здесь, так же как в формуле (III.5.19) для R- и Р-ветвей, vQ не является волновым числом осциллятора, но

voc - Г( 1л - I^/Wn-A^) - Bn..\^Y

Однако, поскольку N^ и Л^ постоянны, этот последний член может быть исключен при переопределении у0.) Эта серия линий называется Q-ветвью. Диаграмма уровней энергии и переходы для случая, когда верхней вращательной полосе отвечает значение Л = 1, а нижней вращательной полосе — значение Л = О, приведена на рис. 4.3.

Переходы с Д у = 0 в инфракрасном спектре двухатомных молекул не наблюдаются. Следовательно, для основного состояния электронов двухатомной молекулы Л = 0, т. е. движение электронов в их основном состоянии таково, что не возникает углового момента относительно междуатомной оси, так что двухатомная молекула в основном состоянии является гантелью. Но при изучении переходов между различными электронными уровнями двухатомных молекул наблюдались все три ветви. Следовательно, в возбужденных электронных состояниях в общем случае Л отлично от нуля и имеет постоянное значение при неизменном состоянии электронов. Таким образом, в возбужденном электронном состоянии двухатомная молекула является гантелью с маховиком, вращающимся вокруг ее оси. На рис. 4.4, а приведен энергетический спектр и показаны переходы между электронными состояниями с компонентой углового момента электронов Л = 0 и внутренней

четностью ту = + 1(*Е+) и электронными состояниями с Л = 1(* П). На рис. 4.4, б показаны спектр и переходы для состояний с Л = 0 и ту = — 1(*Е-) и состояний с 1 П - Расщепление между двумя «вырожденными» уровнями с противоположной четностью, обозначенное на рис. 4.2, которого не должно быть, согласно (4.55), тем не менее имеет место. Оно возникает вследствие того, что имеется корреляция между движением электронов и вращением молекулы (Л-удвоение), которая не учитывалась при выводе (4.55).

Рис. 4.3. Диаграмма уровней энергии с Р-, Q- и Л-ветвями [14]. Для большей ясности на спектрограмме (внизу) линии Р- и R-ветвей, образующие единый ряд, изображены более длинными линиями, чем линии Q-ветви. Линии Q-ветви разнесены несколько дальше, чем на самом деле, чтобы их можно было нарисовать отдельно. Сближение линий в Р- и /?-ветвях часто бывает гораздо более быстрым, чем это изображено на рисунке.

Рис. 4.4. Диаграммы уровней энергии для первых линий 1П — *2 +-переходов (о) и для 41 — 'Е~-переходов (б) [14]. Для большей ясности Л-удвоение для состояния *П сильно увеличено. Стрелками на рис. а обозначены: слева /?(2) — Q(2), а справа Q(3) - Р(3). Их разность дает сумму Л-удвоений при J = 2 и J = 3 для верхнего состояния.

Частоты переходов, заданные (4.57), лежат в видимом или ультрафиолетовом диапазонах в соответствии со значениями частоты р0 для переходов между различными электронными состояниями.

Глава VI

- Атом водорода.Квантовомеханическая задача Кеплера

Классическая задача Кеплера описывается в разд. VL2, где вводится вектор Ленца. В разд. VI.3 описана алгебра углового момента и вектора Ленца, а в разд. VI.4 построено представление этой алгебры. В разд. VI.5 представлен алгебраический вывод спектра атома водорода, а в конце раздела обсуждаются эффекты тонкой структуры.

VI. 1. ВВЕДЕНИЕ

На повседневном языке атом описывается как ядро с положительным зарядом + Ze и Z электронов, каждый с отрицательным зарядом — е, движущихся вокруг ядра по фиксированным орбитам. Простейшим атомом является атом водорода, который (на этом языке) состоит из протона в качестве ядра и одного электрона, движущегося вокруг протона в его кулоновском электростатическом поле. Таким образом, атом водорода рассматривается как реализация квантовомеханического аналога классической задачи Кеплера.

Квантовомеханическая задача Кеплера была впервые решена Паули (в 1925 г.) с использованием гейзенберговских коммутационных соотношений. Затем стало более привычным исследование атома водорода путем решения уравнения Шредингера с потенциалом 1/г, рассмотренного в 1926 г. Наше изложение базируется на работах Паули [25] и Баргмана [26].

При постулировании алгебры наблюдаемых для этой задачи мы будем следовать нашей общей процедуре анализа квантовомеханических систем, имеющих классические аналоги, и получать соотношений между квантовомеханическими наблюдаемыми на основе соотношений, связывающих классические наблюдаемые. Поэтому напомним некоторые сведения о классической задаче Кеплера.

VI.2. КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА

Пусть X; — координаты электрона (с зарядом —е), pj — компоненты его импульса. Пусть протон (с зарядом + е) находится в начале координат. Тогда кулоновская сила взаимодействия между электроном и протоном имеет вид

где

п = х/г , Г = |х| = VTiXiXn

а потенциальная энергия (кулоновский потенциал) имеет вид

е2V(r) =.

г

(Здесь заряд е — постоянная системы — измеряется в электростатических единицах: е = 4,803-10“10 см-дин1/2 (1 см-дин1/2 = = 1 г1/2 см3/2 с-1).) Если е измеряется в практических единицах, е = 1,602-10“19 Кл, то для силы Тимеем IFI = (4%€0)-1(е2/г2), где (4тг€0)-1 = 8,99-1019 кг-м3 с-2 Кл-2.) Тогда для энергии электрона имеем

где т — масса электрона. (Масса электрона те = 9,11-10-31 кг много меньше массы протона: тр = 1836 те; если учитывать конечность тр, то т в (2.1) есть приведенная масса:

т ——,

те + т

ар — не импульс электрона, а

-терр + трреР те + тр

— приведенный импульс.)

Кроме энергии Е имеются еще два интеграла движения: угловой момент

(2.2)(2.2)1 = X X р,

(2.2)

(2.2)

Рис. 2.1

и вектор Ленца (или вектор Рунге — Ленца, см. [27])

Замкнутые орбиты для классической задачи Кеплера являются эллипсами (рис. 2.1); I — аксиальный вектор, перпендикулярный плоскости орбиты. Поскольку I является интегралом движения, при вращении вокруг О орбита не покидает некоторой плоскости. В задаче Кеплера, где V = — е2/г, фиксирована не только плоскость орбиты, но и сама орбита, т. е. фиксирована главная ось эллипса РА и эллипс не прецессирует. Интеграл движения, используемый для описания ориентации главной оси эллипса в орбитальной плоскости,— это вектор Ленца а, который направлен вдоль главной оси эллипса от О к А.

Наличие интеграла движения а — специальное свойство потенциала 1/г. В то время как I является интегралом движения для любой сферически-симметричной системы (т. е. когда И(х) = = И(1 х I)), вектор а является интегралом движения только для потенциала И(х) ~ 1/г; при наличии малого отклонения от этого вида потенциала возникает медленная прецессия оси эллипса РА в плоскости, перпендикулярной I, так что орбита не является более замкнутой.

Имея в виду последующий переход к квантовомеханическому случаю, перечислим здесь некоторые соотношения между классическими интегралами движения (см., например, [27]). Пусть для некоторой орбиты имеется главная ось а, побочная ось 6 и эксцентриситет е = V1 — Б^/й1. Тогда

Е = — I2 = те2а(1 — с2),2а

а2 = — I2 + е4 = (е2€)2.т

Определим■

а — а т/^/ — 2тЕ.(2.4)

Из (2.3) немедленно следует

1 • а = I • а = 0,(2.5)

а короткий расчет с использованием (2.4) показывает, что

а2 + I2 =(2.6)

— 2тЕ

VI.3. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА

Квантовомеханические наблюдаемые квантовомеханической задачи Кеплера для атома водорода получаем заменой чисел рр х. в формулах (2.1), (2.2), (2.3) эрмитовыми операторами Р, и Q}, для которых имеют место гейзенберговские коммутационные соотношения (III.2.1).

Для углового момента это уже было проделано; операторы углового момента имеют вид

L{ = ^ijkQjPk (i — L 2, 3).(3.1)

Оператор энергии для атома водорода, согласно (2.1), можно принять в следующем виде:

Р2

-Н = --е^-\(3.2)

где Q-x — оператор, обратный оператору Q = V0, + 02 + 0j.

[Математический смысл оператора Q1 требует некоторых пояснений. Так как операторы 0, эрмитовы, оператор А = L,0f положительно определен. Оператор А является положительноопределенным, если (/, Л/) ^ 0 и если из (/, Л/) = О следует / = О для всех /е #. В частности, А обладает тем свойством, что его спектр [с] (все его собственные значения) неотрицателен (неотрицательны). Для каждого эрмитова положительно-определенного оператора А однозначно определен положительно определенный эрмитов оператор В, такой, что В1 = А. Для В можно записать В = Уа. Он обладает той же системой собственных векторов, что и А, коммутирует со всеми коммутирующими с А операторами и имеет собственные значения [Vo]. Часто такое определение операто-

И>|17

ра У А неадекватно, и необходимо также рассматривать собственные значения [ —Va].

Оператором В-х, обратным оператору В, является (если он существует) оператор, обладающий свойством Вх В = ВВ~Х = /. Если В — эрмитов оператор со спектром [Z?], то спектр Вх есть [1/6] и В-х имеет ту же систему собственных векторов, что и В.)

Чтобы построить, имея в виду (2.3), квантовомеханический вектор Ленца, мы сначала должны договориться о том, каковы квантовомеханические аналоги чисел (pxl), = ^ij^Pj^' Так как операторы Pj и Lk не коммутируют, оператор eijk PjLk не является эрмитовым. Вместо этого имеет место свойство

^ijkPjLky = Ц^Р, = ц,кР^к - HhPi.

Поскольку мы хотим, чтобы квантовомеханические наблюдаемые Ар отвечающие компонентам вектора Ленца, были эрмитовы, поставим в соответствие классическому выражению симметризован- ное произведение

^ijkPj^k -* I jk 2 \ Р j ’ Рк }'

где антикоммутатор [Л, В] двух операторов А и В определен формулой

{/4, В] = АВ + ВА.

Тогда квантовомеханический вектор Ленца имеет вид

1ЧО:

= Im tikl'vPl'"(3.3)

Теперь удобно ввести новые единицы измерения. До сих пор импульс Р измерялся в единицах эВ/с, где с — скорость света, а координата Q измерялась в сантиметрах. Канонические коммутационные соотношения имеют вид

[Л. ОД - J 16у.

где А = 6,58-10~18 эВ с = 1,97-10“5 эВ-см/с, где скорость света с = 2,998- 10ю см/с. Постоянная Планка 2тгА являлась переходным множителем между значениями энергии Е, измеренными в эВ, и значениями энергии v, измеренными в единицах с-1 (в частотных единицах): Е = (2тгА)р = hv (соотношение Планка — Эйнштейна);

эта постоянная является также переходным множителем между импульсом в единицах обратной длины (см-1), т. е. обратной длины волны де Бройля 1/Х, и импульсом в стандартных единицах (эрг-с/см) р = 2тгА/Х (соотношение де Бройля). После того как мы убедились в том, что частота и энергия, или обратная длина волны и импульс, являются одними и теми же физическими величинами, измеренными в разных единицах, больше нет необходимости выписывать множитель пропорциональности между ними й1). Поэтому во всех наших вычислениях мы положим h = 1; это означает, что вместо координаты Q, измеряемой в сантиметрах, мы имеем дело с координатой, измеряемой в (эВ/с)-1. Вместо Q/h будем писать просто Q. Таким образом, канонические коммутационные соотношения теперь принимают вид

[Л, Qjl=-Hdij.(3.4)

Для частного случая электрона в атоме водорода мы проведем дальнейшее упрощение обозначений, используя теН в качестве оператора энергии, т. е. вместо Р2/2/д - е1 / Q будем использовать оператор энергии, измеряемой в единицах эВ - те, который мы будем по-прежнему обозначать Н:

„ Р2 ат„е2

н = q' где а == теСа‘(315)

Величина2

еа =

есть постоянная тонкой структуры Зоммерфельда. В этих единицах вектор Ленца записывается в виде

Ai = 1€^!, Tk} + aQiQ"(3.6)

Коммутационные соотношения операторов углового момента в этих единицах имеют следующий вид:

VLt, ЬД = i€ijkLk,(3.7)

что немедленно следует из (III.2.14).

Теперь, когда мы постулировали квантовомеханические наблюдаемые и тем самым алгебру операторов для квантовомеханическо-

11 Тот факт, что энергия и импульс — также одинаковые физические величины, измеряемые в разных единицах, следует из принципа относительности.

го атома водорода, выведем свойства этой алгебры и сравним результаты с экспериментальными данными. В частности, мы хотим найти спектр Н, который дает энергетические уровни атома водорода. Понятно, что если бы мы знали все алгебры операторов в линейных пространствах, генерируемые операторами Pz, Qp удовлетворяющими (3.4), то алгебра наблюдаемых и пространство состояний атома водорода были бы одними из них. Для атома водорода требуется только одно представление, т. е. одна определенная операторная алгебра в определенном пространстве состояний. Вместо того чтобы придавать сказанному точную математическую формулировку, продвинемся дальше и выведем эту алгебру. Заметим, что пространство физических состояний (подпространство гильбертова пространства) для атома водорода отличается от пространства состояний трехмерного осциллятора, хотя базисные коммутационные соотношения остаются теми же.

Как и в случае осциллятора, импульсы Р{ и координаты Q. электрона не являются физическими наблюдаемыми в том смысле, что физическая система (атом водорода) не может быть приготовлена в приближенном собственном состоянии операторов Р или Q(: такое приготовление разрушит атом водорода. Атом водорода, подобно всем нерелятивистским квантовомеханическим системам, существует в собственных состояниях (чистых или смешанных) оператора энергии. Оператор энергии атома водорода (3.2), (3.5) отличается от оператора энергии осциллятора, который имеет вид Р2 + Q2 (см. II.2.16). Пространством физических состояний является пространство, порождаемое физически приготовимыми состояниями. Для осциллятора это собственные состояния оператора Р2 + Q2, а для атома водорода — собственные состояния ойерато- ра Н (3.5). Поскольку различаются операторы энергии, различны и пространства физических состояний.

В рассмотренных выше случаях осциллятора и ротатора вводились новые наблюдаемые, являвшиеся функциями от Р, и Qy, которые имели более непосредственную связь с физически приготовимыми состояниями (например, операторы L для ротатора). После того как с использованием (3.4) были получены соотношения между этими наблюдаемыми, мы могли забыть о происхождении этих соотношений и рассматривать их как новые фундаментальные (определяющие) соотношения для рассматриваемой частной физической системы. Мы будем следовать этой процедуре и для атома водорода.

Чтобы решить, что выбрать в качестве фундаментальных наблюдаемых в случае атома водорода, напомним, что вектор состоя-

ния может быть собственным вектором двух различных операторов только в том случае, когда эти операторы коммутируют. Физическими состояниями для стационарных нерелятивистских систем являются в общем случае собственные состояния (или их смесь) оператора энергии. Следовательно, в качестве этих новых переменных мы выберем операторы, коммутирующие с Н; как мы увидим ниже, при рассмотрении эволюции во времени (гл. XII), они явля- отся квантовомеханическими интегралами движения.

Поскольку I; и а; являются классическими интегралами движения, мы ожидаем, что операторы углового момента Ц и компоненты оператора Ленца А; также являются интегралами движения, т. е. коммутируют с Я, а следовательно, их можно выбрать в качестве новых фундаментальных наблюдаемых для атома водорода. Непосредственное вычисление (задача 1) показывает, что из коммутационных соотношений Гейзенберга действительно следует, что

[Я, Г,] = О и [Я, Л J = 0.(3.8)

Нескольку оператор Н коммутирует с Ц и А(, он будет коммутировать и со всей алгеброй, генерируемой Ц и А;. Следовательно, в згой алгебре не существует оператора, который переводил бы за- глый собственный вектор оператора Н с собственным значением ' в вектор, не являющийся собственным вектором Н с тем же собственным значением Е. Обозначим пространство собственных векторов оператора Н с собственным значением Е через ^<Е\ 1 огда все Ц, Л, и все (хорошо определенные) функции А = = А (L, А) от них будут переводить вектор / е ^(Я) в вектор А; = g, который опять принадлежит пространству -^(Е) с тем же значением Е. Другими словами, собственное пространство -^(Я) инвариантно относительно алгебры, генерируемой Ll , Л,. Поэтому рассмотрим сначала эту алгебру и исследуем структуру соб- ственных пространств #(Е) оператора Я.

Чтобы оыло удобнее исследовать эту алгебру (и чтобы показать, что она имеет простую, хорошо известную математическую ' ’ руктуру), определим новый набор операторов

Л, = (V^)' Ч = А^Т^НУ М(3.9)

Мы должны спросить себя, имеет ли определение (3.9) смысл. На пространстве .^(Я) проблем не возникает, поскольку на ^(Я) V - 2 Я = V-2 Я, т. е. V-2Я является числом, так что на ^(Е) операторы Л и А( различаются на постоянный множитель. Таким

образом, органичение А{ пространством .^(Е), которое мы снова называем А,, хорошо определено. Оператор Aj также хорошо определен, когда хорошо определен V — 22/. Это имеет место для векторов /, для которых (/, ( — 222)/) > 0, как это следует из определений квадратного корня из оператора и обратного оператора. Это пространство называется пространством с отрицательной энергией, или пространством связанных состояний. Мы ограничимся рассмотрением этого пространства. (Для пространства, на котором положительно определен оператор + 2Н, определим операторы Af = V2 Н Aj вместо Aj и обнаружим, что эти операторы А - удовлетворяют коммутационным соотношениям, отличающимся от коммутационных соотношений для А, множителем (—1), т. е. Л, и /Л/ удовлетворяют одинаковым коммутационным соотношениям; см. ниже.)

Пространство состояний с отрицательной энергией обозначим через JL Оператор А6, определенный в (3.9), хорошо определен на ^. Из (3.8) немедленно следует, что

[Н, Л,-] = 0. (3.10)

Непосредственное, но длинное вычисление (задача 1) показывает, что вследствие коммутационных соотношений Гейзенберга (3.4) операторы Л, имеют между собой и с операторами Lj следующие коммутационные соотношения:

VL^A^ = i€ijkAk,(3.11)

[Л;, Aj} = icijkLk, А] = Aj.^ 12)

Используя Lj и Aj, определим операторы

Cj = А2 + L2 = Л2 + Л^ + А2з + L2 + L^ + Lj, (3.13)

С2 = А*Ь = Ь*А = Л1Г1 + Л 21^2 + A3L3.(3.14)

Эти операторы коммутируют с Л( и /^ (а следовательно, с операторами из алгебры, генерируемой At и L ), если Aj и Lj удовлетворяют коммутационным соотношениям (3.7), (3.11), (3.12):

[С„Л] = 0,[С,. ЛД = 0,(3.15)

[С2, LJ = 0,[С2, Aj] = 0.(3.16)

Алгебра, генерируемая операторами Ц и Ар удовлетворяющими коммутационным соотношениям (3.7), (3.11), (3.12), называется ^(SO(4)).

[Это обертывающая алгебра для четырехмерной группы вращений SO(4). Алгебра, генерируемая Ц и Af = ^2Н At, где оператор 2// положительно определен, является обертывающей алгеброй 6 (SO(3, 1)) для группы SO(3, 1); см. приложение к разд. V.3.]

(3.17)(3.17)(3.18)(3.18)Операторы Сх и С2 — это инвариантные операторы, или операторы Казимира, алгебры г/(8О(4)). В пространстве неприводимого представления ^ (80(4)), т. е. в пространстве, построенном действием каждого элемента из </(SO(4)) на один собственный вектор углового момента (лестничное представление), операторы Сх и С2 с точностью до множителя являются единичными. Это означает, что они имеют только одно собственное значение q и с2 соответственно и эти значения характеризуют пространство представления (так же как значение j(j + 1) характеризует пространство представления ^(80(3)). Для того частного случая, когда £, и Л,, определены формулами (3.1), (3.6), (3.9), используя (3.4), можно вычислить (задача 1)

(3.17)

(3.17)

(3.18)

(3.18)

- аЧ-2НУг

С2 = 0;

т. е. оператор С] связан с оператором энергии (3.5), а С2 — нулевой оператор. Соотношения (3.17) и (3.18) являются квантовомеханическими аналогами классических соотношений (2.6) и (2.5) между af и у Таким образом, пространство У?(Е) есть некоторое пространство представления алгебры ^(80(4)), а именно такое, для которого с2 = 0 и q = а2( — 2Е)~Х — 1.

Если мы знаем все возможные пространства представления алгебры <^(80(4)), для которых имеет место равенство (3.18), то нам известны свойства всех операторов L., At, заданных в (3.1), (3.3), (3.9) в пространствах .^(Е) для всех возможных значений Е, Е < 0. Будет показано, что Cj не может принимать любое действительное значение и спектр значений Сх дискретен. (Для инвариантного оператора J2 алгебры rf(SO(3)) мы получили тот же результат, а именно допустима только дискретная серия значений у (у + 1) с у = о, 1/2, 1, 3/2)Следовательно, из (3.17) следует дискрет

ность энергетического оператора Н, а сам спектр Н выводится из (3.17) и спектра оператора Сх.

Таким образом, нашей задачей является нахождение всех пространств представлений алгебры ^(SO(4)), в частности тех, для которых имеет место (3.18). Это может быть сделано почти таким же способом, как в разд. III.3 для rf(SO(3)), но вычисления для случая <f(SO(4)) становятся более сложными. В разд. VI.4 мы дадим описание свойств пространств представлений алгебры бГ(8О(4)), которое достаточно для понимания последующего материала. Построение представлений 6(SO(4)) проведено в математическом приложении к разд. V.3.

VI.4. СВОЙСТВА АЛГЕБРЫ УГЛОВОГО МОМЕНТАИ ВЕКТОРА ЛЕНЦА1)

Выберем в качестве базисных векторов в пространстве ^(Е) векторы углового момента 1/щ>. Это возможно, поскольку набор

Н, L2, L3

является набором коммутирующих операторов. Является ли он полной системой коммутирующих наблюдаемых для атома водорода, можно решить только при сравнении с экспериментом. Поэтому сделаем предположение о том, что этот набор является п.с.к.н., т. е. что квантовыми числами атома водорода являются только /, т и энергия. Ниже мы выясним, что это действительно так с очень высокой точностью (пренебрегая спиновыми эффектами). Таким образом, векторы 11т) образуют базисную систему в пространстве .^(Е). Поскольку А является векторным оператором по отношению к угловому моменту, как это видно из (3.11), и UpAi ир = — Ар из теоремы Вигнера — Эккарта следует

AJI т) = |/ — 1 т + K><Jm 1 к\1 — 1 т + k><J — 1||Л||/>

+ 1/ т + к) </ т 1 к| I т + к) </ЦЛ j|/>(4.1)

+ | / + 1 т + к) (/ т 1 к| I + 1 т + к) {I + 11| Л ||/)>.

Так как базисная система векторов \1т) предполагается полной, удвоения по четности нет, а, поскольку At — компоненты векторного оператора, из (V.4.25) следует, что приведенный матричный элемент </НЛ II /> = 0. (Это также можно считать прямым следствием из (3.18), связанным с трансформационными свойствами A-L

*) Вывод см. в приложении к разд. V.3.

относительно преобразования (/ .) Если подставить в выражение (4.1) явные выражения для коэффициентов Клебша — Гордана, то, используя (3.11) и (3.18), получим следующие выражения.для Ак :

Л0|/т> = хЛ2 - т2С[\1 - 1 т> - >/(7+ I)2 - т2 С[+, |/ + 1 т>,

(4-20)

A + 1\lm> = -/U - mXl - т - 1)/2С,|/ - 1 т + 1>

-^Х1 + \XlTV+ 2)/2CJ+1|/ + 1 т + 1>,(4.2J

A_v\lm> = -V(7+ т)(/ + m - 1)/2С,|/ - 1 т - 1>

-x/U - т + 1)(/ - т + 2)/2CJ+1|/ + 1 т - 1>,(4.2_)

где С, — не определенные пока функции дискретной переменной /, связанные с < / — 1НЛ II /> уравнением (V.3.14).

Функции С, определены в (3.12). Приведем результат: для любого натурального числа п = 1, 2, 3, ... имеется функция Ср° такая, что выполнено (3.12). Эта функция имеет вид

=С”‘ = 0'<4'3)

Из соотношений (4.2) и (4.3) находим, что имеют место следующие свойства. Для каждого числа п = 1, 2, 3, ... имеется пространство неприводимого представления .^(л). Низший угловой момент в ^(л) есть / = 0, поскольку, начиная с заданного значения /, действием операторов Ак всегда можно достичь, согласно (4.2) и (4.3), значения / — 1, если только не имеет места равенство / = О, так как в этом случае С^ = 0. Наибольшее значение углового момента равно п — 1, поскольку, согласно (4.2), всегда можно перейти от значения / к значению / + 1, действуя операторами АК, если только не имеет места равенство СЦ\ = 0, которое, согласно (4.3), соответствует / = п — 1. Поскольку при различных / векторы \1т> ортогональны, пространство .^(л) является прямой суммой пространств неприводимых представлений углового момента z^:

-^(и)- * £ ©/4 44

^(SO(3)) z = o\/

где символ — означает, что два пространства одинаковы лишь в том случае, когда на них действует только алгебра бГ(8О(3)).

Действие операторов £3, £± в каждом из пространств .^ и,

следовательно, в ^(/?) описано в разд. Ш.З. В частности,

L3\l т) = m\lт>, V\l т> = 1(1 + \)\1 т).(45)

Таким образом, действие операторов L и Л,, а следовательно, и всей алгебры Д8О(4)) известно для любого пространства ^(п) (и = 1, 2, 3, ...). Чтобы показать, что вектор 11т) является элементом пространства ^(п), т. е. Ак задан формулой (4.2) с некоторым Цп\ мы будем указывать у вектора и этот индекс и будем обозначать его \nlrn). Непосредственное вычисление с использованием соотношений (4.2) и (4.3) показывает, что собственное значение оператора С] в пространстве .^(п) равно сх = п2 — 1:

Сх\п1т> = (п2 - \)\п!т>.(45)

Это дает дискретный набор допустимых значений для с,.

Пространство .^(п) является пространством неприводимого представления не только для алгебры ^(SO(4)), но и для алгебры cT(SO(4)), расширенной по четности Up:

UpLjUp = + L,,(4.7)

UpAjUp = -A,.(4.8)

Применяя соображения, приведенные в разд. V.4, к пространству J?(n), где нет удвоения по четности, получаем

UP\nlm> = (-1УПп\п1т>'(4.9)

где ^ = +1 или т)п = - 1, но может отличаться для различных пространств ^(п\ Мы исследуем зависимость ту от ?? ниже.

VI.5. СПЕКТР ВОДОРОДА

В предыдущем разделе мы описали все пространства неприводимых представлений .^(п) алгебры углового момента и вектора Ленца (т. е. все неприводимые представления алгебры <^(80(4)), для которых имеет место (3.18)). Соотношение (3.17) устанавливает связь этих пространств с собственными пространствами энергии .^(Е) с отрицательной энергией Е < 0:

Таким образом, для энергии в каждом пространстве ^(п) имеем

где ^(л) — все возможные допустимые собственные пространства оператора энергии для атома водорода.

Пространство физических состояний атома водорода ^ является прямой суммой всех таких пространств .^(л):

•^=1 е.^(л),(5.2)

п = 1

а для спектра оператора энергии в пространстве ^ имеем

спектр Н = Еп = — а2/(2п2) (и = 1, 2, 3,...),(5.3)

где л называется главным квантовым числом.

[Смысл бесконечных линейных комбинаций векторов f е -^(л) (т. е. ^ „”]/„) требует точного определения. Это может быть бесконечная сумма в смысле гильбертова пространства (^“Jl /„ И2 < °0), в смысле пространства Шварца ([„*, II JnFn2p < оо) или в каком- либо другом смысле. Даже если понимать (5.2) в смысле гильбертова пространства, пространство ^ «отличается» от гильбертова пространства

■^ = d^O Фх\№ + QM.}= (V + ^Ж Z"=0 MP ,

которое является обычным квантовомеханическим гильбертовым пространством. Изометричное отображение, действующее между • ^ и Л^ физически бессмысленно, поскольку оно отображает друг в друга элементы, отвечающие различным физическим состояниям.

Физические состояния атома водорода в любом случае являются только векторами, принадлежащими плотному подпространству ^п ^(п) гильбертова пространства, где суммирование производится по произвольному большому, но конечному индексу п. Любой предел л — оо является математической идеализацией, а с физической точки зрения в пределе л — оо физическая система перестает быть атомом водорода: она ионизуется и становится системой, состоящей из протона и электрона. Можно, конечно, рассматривать расширенную систему, включающую как состояния атома водорода, так и электрон-протонные состояния. Для такой физической системы пространство ^ не является полным пространст-

вом физических состояний, хотя оно может по-прежнему являться плотным подпространством пространства <Ж Пространством физических состояний такой системы является прямая сумма пространства ^ и пространства .^' —г непрерывной прямой суммы пространств неприводимых представлений алгебры <f(SO(3, 1)), генерируемой операторами Ц и А- = ^IH А^

Пространство .^ есть пространство неприводимого представления алгебры <<(SO(4, 1)) (а также алгебр <<(SO(4, 2)) и <f(E4)); пространство .^' является пространством неприводимого представления алгебры <<(SO(3, 2)). Такие алгебры называются алгебрами, генерирующими спектр, а соответствующие группы — группами, генерирующими спектр.5

Переходы между различными энергетическими уровнями осуществляется операторами координат Q, (дипольные переходы) и их степенями (мультипольные переходы). Таким образом, операторы Qj являются наблюдаемыми, осуществляющими связь между различными пространствами #(п). Используя тот факт, что операторы QK (к = 0, ± 1) являются компонентами-(собственно) векторного оператора, получаем

QK|n I т) = У |и' / — 1 т + к)> <(/ т 1 к 1I — 1т + к)(21 4- I)1 2q"п

(5.4)

+ £ |и' I + 1 т 4- к) </ т 1 к\ I + 1m + к>(2/ + I)1 2q”п,

где приведенные матричные элементы

qntn = (2/ + \Гт<пЧ- 1||№/>,

q^^yi^ \у^упЦ^ 1||6||л/>,

зависят от п'п. Их можно вычислить (задача VII.1), но в настоящий момент нам нужно только то их свойство, что они отличны от нуля для всех п', п. Физический смысл этого утверждения состоит в том, что дипольные переходы существуют между всеми энергетическими уровнями атома водорода.

Мы можем определить зависимость от п внутренней четности Ч„> используя трансформационные свойства QK относительно преобразований ир. Согласно (4.9), действие Up на (5.4) дает

UPQK\n 1т) = ^ (- 1)'" ^„-М' / - 1 т + к)<1 ml к\1 - 1 т + к)

х (2/ + 1)1/2^п

£ (— 1)'+ ^пАн I + 1 т -+- к) (/ т 1 к| I 4- 1 т 4- к)

х (2/ + 1)1/2^п.(5.5)

Но использование (V.4.1) дает

UPQK\nlm) = -QKUP\nlm) = -(-О^екМ ™>-(5.6)

Подставляя выражение (5.4) в правую часть соотношения (5.6) и сравнивая коэффициенты с соответствующими коэффициентами в (5.5) (т. е. используя линейную независимость базисных векторов), получаем

Mi = ПпЧ1 , HnQi = ПпЧ1 •(5.7)

Поскольку приведенные матричные элементы отличны от нуля, q^'1 Ф 0 и q?'n Ф 0, имеем

Пн- = Пп = П,(5.8)

т. е. т)п не зависит от п, а для четности собственного состояния энергии имеем

UP\n I т) = (- 1)‘^|и 1т),(5.9)

где ту равно либо +1, либо — 1. Уравнение (5.9) означает, что четность состояния с заданным значением углового момента / одинакова для всех энергетических пространств ^(л). Принято выбирать ту = +1; физический смысл имеет только относительная четность.

Каждое собственное пространство энергии атома водорода ^(п), согласно (4.4), является прямой суммой собственных пространств углового момента .^; таким образом, каждый энергетический уровень Еп включает в себя л значений углового момента:

/ = 0, 1, 2,..., л - 1.

Каждое собственное пространство углового момента .^ в пространстве ^(п), согласно (Ш.3.24), является прямой суммой 2/ + 1 одномерных пространств .#’т:

=± £(5.10)

^(SO(2)) т=-1

которые порождаются каждым вектором I nlm). Алгебра <<(SO(2)) есть подалгебра алгебры <f(SO(3)), генерируемая оператором L3. Следовательно, размерность пространства ^(л) равна

”f (2/+ 1) = „2,<5Л1>

/ = 0

т. е. существует л2 линейно независимых собственных состояний Н с собственным значением Еп, т. е. собственное значение Еп л-кратно вырождено.

Чтобы сравнить вычисленный энергетический спектр с экспери

ментальным, измеренным в электронвольтах, мы должны подста

вить а = mee2/h из (3.5) в (5.3):

п те h2 2п2 п2п те h2 2п2 п2(5.12)(5.12)

п те h2 2п2 п2

п те h2 2п2 п2

(5.12)

(5.12)

(напомним, что Еп — энергия в эВ-/ие, Е'п — энергия в эВ). Величина

,= с2те к2У

2h22 ych)

может быть вычислена с использованием значений тес2 = 0,51-106 эВ,

е2 = 23-10-20 ед. СГС2 = 23-10“20 дин-см2,

_ е2 _1

“ ~~ 137,036

Величина R" = тее4/(2h2) — постоянная Ридберга в энергетических единицах. Ее численное значение равно

R" = 13,6 эВ.(5.13)

Уровни энергии атома водорода показаны на рис. 5.1, где не приняты во внимание детали экспериментального энергетического спектра. Слева приведены значения разности Е'п - Е^ измеренные в электронвольтах. Как видно из рис. 5.1, соотношение (5.12) выполняется в эксперименте очень хорошо. С возрастанием л уровни энергии располагаются все ближе и ближе друг к другу и в пределе л — оо сходятся к значению Е^ = 0. Значения Е > 0 исключены, так как мы рассматривали только подпространства с положительно-определенным оператором — 2Н\ область Е > 0 — это область, в которой квантовомеханическая задача Кеплера не описывает атома водорода, а описывает электрон, рассеиваемый протоном (состояния рассеяния). Таким образом, если рассматриваемой физической системой является только атом водорода, пространство ^ из (5.2) является пространством физических состояний. Если в качестве нашей физической системы рассмотреть систе-

эВэВV. см"1V. см"113131212221010£20000£20000 g g«хI«хI9940000-40000-8860000600008000080000100000 -100000 -ч3ч3Рис. 5.1. Диаграмма уровней энергии водорода.Рис. 5.1. Диаграмма уровней энергии водорода.g-аg-а

эВ

эВ

V. см"1

V. см"1

13

13

12

12

2

2

10

10

£20000

£20000

g

g

«х

I

«х

I

9

9

40000-

40000-

8

8

60000

60000

80000

80000

100000 -

100000 -

ч

3

ч

3

Рис. 5.1. Диаграмма уровней энергии водорода.

Рис. 5.1. Диаграмма уровней энергии водорода.

g-

а

g-

а

му, состоящую из атома водорода или электрона и протона, то пространство физических состояний шире, чем .^, и .^ является подпространством дискретных собственных состояний энергии1). Уровень энергии £=£„, = 0 — это значение энергии, при кото-

11 Необходимо заметить, что мы обсуждаем только электронные состояния, т. е. описываем электрон, испытывающий внешнее воздействие со стороны ядра. Если бы мы хотели рассмотреть комбинированную электрон-ядерную (протонную) систему, нам пришлось бы выбирать в качестве пространства физических состояний прямое произведение электронного пространства ^ и протонного пространства ^: ^®Л^ (аксиома IV), или ^®=^цМ> где ^цм — пространство, отвечающее движению центра масс. Если пренебречь структурой протона (например, его спином), то для протонов в состоянии покоя пространство <^р одномерно.

ром физическая система перестает быть атомом водорода; выше этого значения энергия электрона может принимать любые значения, и появляется возможность приготовления приближенных собственных состояний импульса электрона. Это означает, что, начав с атома водорода в основном состоянии, можно приготовить физическую систему в приближенном собственном состоянии импульса электрона, если сообщить ей энергию, которая по величине не меньше, чем — Ех, и эта система не является более атомом водорода. Состояниям с непрерывной энергией отвечают гиперболические орбиты классической задачи Кеплера.

Справа на рис. 5.1 приведены значения (отрицательной) энергии в единицах см-1, т. е. волновые числа vn, связанные с Е^:

V" 2nhc'

Подстановка сюда выражения (5.12) дает для волновых чисел выра-

жение

vn = -

е4те 1

А34лс и2'

(5.15)

Величина

Я' = — R"

= 3,29-1015 с"1,

(5.16)

luh

4лА3

1 R —R'

, _ е*те

= 1,097-105 см-1

(5 16')

lithe

4ith3c

есть постоянная Ридберга в частотных единицах и единицах волнового числа соответственно. (Первоначально постоянной Ридберга называлась величина R.)

Линии, соединяющие различные энергетические уровни, изображают переходы с испусканием (поглощением) электромагнитного излучения. Согласно (III. 1.1), частота и волновое число поглощенного или испущенного светового кванта равны

VnmVnmvnmvnm(В с-1),(в см-1).(В с-1),(в см-1).(5.17)

Vnm

Vnm

vnm

vnm

(В с-1),

(в см-1).

(В с-1),

(в см-1).

(5.17')

Число рядом с каждой из линий на рис. 5.1 дает длину волны света в ангстремах:

а = i/vnm = сЛ™,

где 1 А = 10’8 см = 10-4 мкм.

Совокупность переходов, оканчивающихся на одном и том же низшем состоянии, образует спектральную серию, и каждая серия атома водорода имеет исторически сложившееся название. Набор линий, отвечающих переходам на уровень п = 1, называется серией Лаймана. Частоты серии Лаймана равны

v'im = ^'0 - ^ (т = 2, 3,4,...).(5Л8)

Линии с наибольшей длиной волны отвечает значение c/v^2 = = 1215,68 А. Эта линия находится в ультрафиолетовой области (см. рис. III. 1.2). Серия с п = 2

г2-= ^(р ~ ^)(« = 3,4,5,...), ■(5.19)

называется серией Бальмера. Она лежит в видимой части спектра, и выражение (5.19) впервые было получено эмпирически Бальмером в 1885 г. Оно сыграло исключительно важную роль в построении квантовой теории атомов. Другие серии на рис. 5.1 с п = 3 (Пашена), /7 = 4 (Брэкетта) и п = 5 (Пфунда) лежат в инфракрасной области.

Каждому энергетическому уровню с энергией Е отвечает собственное пространство энергии .^(и) размерности п1. Энергетический уровень Еп и2-кратно вырожден. Таким образом, если измеренное значение энергии атома водорода равно Еп, то соответствующее состояние является в общем случае смешанным (кроме случая и = 1), а (нормированный) статистический оператор для этого состояния равен

^ = (ТгА„)-1Ай,(5 20)

где Ап — проекционный оператор на и2-мерное подпространство ^(л). Измерения энергии атома водорода не выявляют значения орбитального момента; они выявляют только верхний предел для допустимых значений орбитального момента / = 0, 1, ... , п — 1.

Наличие л2-кратного вырождения каждого энергетического уровня является особенностью атома водорода, или потенциала 1/г.

4HI 18

ЭнергияЭнергияЗР3 2ЗР3 23S*23S*2ЗР* 22рз 2ЗР* 22рз 22S1'22S1'2Лэтлбовскай сдвиг гр11 —Лэтлбовскай сдвиг гр11 —,-- 3D5 2 -т3D3 2]Расщепление благо-■—"даря ламбовсксиуту— сдвигуТТонкая структура,-- 3D5 2 -т3D3 2]Расщепление благо-■—"даря ламбовсксиуту— сдвигуТТонкая структура

Энергия

Энергия

ЗР3 2

ЗР3 2

3S*2

3S*2

ЗР* 2

2рз 2

ЗР* 2

2рз 2

2S1'2

2S1'2

Лэтлбовскай сдвиг гр11 —

Лэтлбовскай сдвиг гр11 —

,-- 3D5 2

-т3D3 2

]Расщепление благо-

■—"даря ламбовсксиуту

— сдвигу

Т

Тонкая структура

,-- 3D5 2

-т3D3 2

]Расщепление благо-

■—"даря ламбовсксиуту

— сдвигу

Т

Тонкая структура

триплетное

is1'2is1'2*~ Сверхтонкое расщепление

is1'2

is1'2

"С*

синглетное

Рис. 5.2. Низколежащие уровни энергии атома водорода. (Масштаб не соблюден.Уровни с различными значениями главного квантового числа п разделены гораздосильнее — см. рис. 5.1. Здесь это обозначено штриховыми линиями, проведеннымимежду далеко отстоящими друг от друга уровнями энергии.)

Это связано с наличием дополнительно к компонентам углового момента L, интегралов движения Л,.. В общем случае имеется только (2 7 + 1)-кратное вырождение энергетических уровней, возникающее вследствие того, что \Ц, Н] = 0.

Но вырождение в атоме водорода является лишь приближенным, и рис. 5.1 дает только грубое описание экспериментальной ситуации. Проведенное теоретическое рассмотрение, как и любая теоретическая модель, дает лишь приближенное описание ситуации в природе. Более тонкие детали водородного спектра показаны для низколежащих уровней на рис. 5.2.

Первое из чисел у каждого энергетического уровня дает значение п. Символы S, Р, D — это значения углового момента 7 = 0, 1, 2 соответственно (например, 2Р означает п = 2, 7 = 1, а ди может быть любым в интервале — 7 ^ т ^ +7). Согласно (5.12), все 25- и 2Р-состояния должны иметь одинаковую энергию; так и показано на рис. 5.1. Но это равенство выполняется лишь приближенно. 2Р-состояния расщепляются на два подуровня 2Р3/2 и 2Р1/2, где

£(2Р3/2) _ £(2pi/2) = 0,453-10 4 эВ = 1095-107 с*1(5.21)

Сравнивая это значение со значениями из (5.12), (5.13), мы видим, что наша модель действительно дает прекрасное описание водород-

ного спектра; отклонение (5.21) составляет лишь долю процента. Расщепление (5.21) (тонкая структура) и расщепления ЗР3/2 — ЗР1/2 и 3D5/2 — 3D3/2 можно объяснить, если ввести новую переменную — спин электрона. Верхние индексы 3/2, 1/2 и т. д. связаны с этим новым спиновым квантовым числом (см. разд. IX.4).

Расщепление между уровнями 2S1/2 и 2Р1/2 нельзя объяснить даже после введения спина. Оно снова на порядок меньше, чем (5.21):

D(2S1/2) - f(2P1/2) = 0,0353 см-1 = 0,437-10"5 эВ = 1058 -106 с1;

оно называется лэмбовским сдвигом. Лэмбовский сдвиг возникает вследствие взаимодействия электрона с флуктуациями поля излучения, а его объяснение требует привлечения новой теории, которая называется квантовой электродинамикой.

Расщепление каждого терма 1S1/2, 2S1/2, 2Р1/2 и т. д. на два уровня — сверхтонкое расщепление — еще на порядок величины меньше, чем лэмбовский сдвиг:

E^1SX/1 верхний) — E(2SX/2 нижний) = 0,0059 см-1,

Е(2РХ/2 верхний) — Е(2РХ/2 нижний) = 0,0020 см-1.

Чтобы объяснить это расщепление, необходимо включить в рассмотрение наблюдаемые, описывающие внутреннюю структуру ядра (в частности, спины нуклонов).

Суммируя, мы видим, что наша простая теоретическая модель очень хорошо описывает спектр водорода. Но для того чтобы описать более тонкие детали, необходимо вводить новые переменные или даже привлекать совершенно новые теории (квантовую электродинамику и ядерную физику). Каждая теория имеет пределы своей применимости, и этот пример спектра водорода является хорошей иллюстрацией того, что за каждой новой значащей цифрой в экспериментальном значении может скрываться совершенно новая область физики.

Глава VII

Щелочные атомы и уравнение Шредингерадля одноэлектронных атомов

В разд. VIL 1 на примере щелочных атомов объясняется концепция теории возмущений. Разд. VII.2 содержит алгебраическое вычисление матричных элементов Q-" О' = 1, 3, 4, ...); результаты используются для вычисления энергетических уровней щелочных атомов. В разд. VII.3 дано краткое описание решения уравнения Шредингера для атома водорода, которое используется для альтернативного вычисления матричных элементов Q-v и вычисления энергетических уровней щелочных атомов. В этом разделе перечислены также некоторые свойства сферических гармоник, которые используются во второй части этой книги.

VII. 1. ГАМИЛЬТОНИАН ЩЕЛОЧНОГО АТОМА И ТЕОРИЯВОЗМУЩЕНИЙ

Спектры щелочных атомов очень похожи на спектр атома водорода. Это можно предположить, руководствуясь их классической моделью, в соответствии с которой щелочной атом состоит из «валентного электрона», который движется в кулоновском поле ядра и усредненном поле остальных электронов, которые находятся на орбитах, более близких к ядру.

Классический потенциал Уд (г) для этого «внешнего» электрона при больших г имеет вид

^лОО « -е2/г,

поскольку Z — 1 электронов на внутренних орбитах экранируют заряд ядра Ze, так что эффективный заряд равен е. Для очень малых г (меньших, чем радиусы внутренних орбит)

Ул(г) % — Ze2 (г.

Следовательно, VA (г) можно записать в виде

ад = - - + им,(to

г

где потенциал И(г) отрицателен и отличен от нуля только вблизи ядра. Следовательно, классическая функция Гамильтона для внешнего электрона имеет вид

h = ^вод + ^(ГХ(1.2)

где И(г) — малое возбуждение гамильтониана Авод.

Точное выражение для У (г) неизвестно, поскольку оно зависит от неизвестного распределения заряда по кору, состоящему из ядра и внутренних электронов. Если потенциал УА (г) сферически- симметричен, то его можно представить в виде

е2 е2 е2

^л(г)= -Со--,(1.2')

где сое — заряд, схе = ed-x/r — дипольный, с2е = eq^Xj/r1 — квадрупольный и т. д. вклады кора. Для щелочных атомов размер кора мал по сравнению с радиусом орбиты внешнего электрона, так что величина с, мала, а вклад квадрупольного и высших муль- типольных моментов пренебрежимо мал.

Оператор Гамильтона для квантовомеханической системы в соответствии с выражением (1.2) имеет вид

(1.3)(1.3)Н = К + У,

(1.3)

(1.3)

где К — оператор Гамильтона для атома водорода:

У = У^ =У = У^ =2 Q’2 Q’сха с2асха с2а(1.3')(1.3")(1.3')(1.3")

У = У^ =

У = У^ =

2 Q’

2 Q’

сха с2а

сха с2а

(1.3')

(1.3")

(1.3')

(1.3")

есть «малое возмущение» гамильтониана К. В выражениях (1.3), (1.3'), (1.3") мы использовали единицы, введенные в разд. VI.3, т. е. мы осуществили замены Q,/h — Qt и т„ Н — Н.

Задача теперь состоит в том, чтобы найти спектр оператора Гамильтона Н и его средние значения в физических состояниях. Это не удается сделать точно. Кроме того, мы не знаем точного вида потенциала У (г) или У(@), хотя нам известны некоторые его свойства. Следовательно, нам остается только надеяться, что спектр Н не отличается существенно от спектра К, т. е. У вызывает только небольшие изменения спектра К.

Вычисление спектра щелочных атомов производится в рамках теории возмущений, которая в более общем виде обсуждается в

следующей главе. Одним из существенных моментов такого подхода является выбор удобного базиса. Рассматриваются сначала собственные состояния К, т. е. выбирается полная система коммутирующих наблюдаемых, включающая в себя К. Если остальные наблюдаемые п.с.к.н. не коммутируют с V, то при действии на собственный вектор потенциал V не только изменит собственное значение К, но изменит и собственные значения остальных наблюдаемых. Таким образом, V возмущает не только спектр К, но и спектры остальных наблюдаемых п.с.к.н. Следовательно, п.с.к.н. должна выбираться таким образом, чтобы как можно большее число входящих в нее операторов коммутировало с V.

Для щелочных атомов имеем

[KL^O,(1.4)

поскольку[е LJ = ft

Следовательно, мы имеем идеальную ситуацию, когда как Н, так и К могут быть диагонализованы вместе с L2 и L3. Таким образом, базис задачи об атоме водорода \nlrn) является очень удобным для рассмотрения задачи.

А, = (-IKy'^nAPi, ^} + QjQ'"),<L5>

и мы опять имеем

CJn I т) = (А2 + L2)|n / т) = (и2 — 1)|и / т).(1.6)

Но в отличие от атома водорода полный оператор Гамильтона Н уже не коммутирует с Л(, А2 и С,:

[h,aj = [k,aj^o,(17)

[Н, CJ = [К, С,] ^ о.

Таким образом, Н и С, (а следовательно, Н и К) не могут быть одновременно диагонализованы, т. е. в пространстве .^ нет собственных векторов, являющихся одновременно собственными векторами Н и С]. Обозначим собственные состояния Н через Wlm'), а собственные значения через Ех:

Н\Х1т> = Ех\Ит>.Н\Х1т> = Ех\Ит>.(1.8)(1.8)

Н\Х1т> = Ех\Ит>.

Н\Х1т> = Ех\Ит>.

(1.8)

(1.8)

Как это следует из (1.4), Н можно диагонализовать одновременно с L2, Ц.

Возникает вопрос: каковы физические состояния, в которых можно приготовить щелочные атомы? Из фундаментального предположения III следует, что щелочные атомы при осуществлении измерения энергии системы должны находиться в собственных состояниях оператора энергии (или в их смеси), т. е. статистический оператор должен иметь вид

WH = A„ W^ = Лл„ или w^ = д„т , (1.9)

если измерялись соответственно энергия, энергия и угловой момент или энергия, угловой момент и его z-компонента. Здесь Лх — проектор на пространство собственных векторов Н с собственным значением £х; Лх/ осуществляет проекцию на пространство, порожденное Wlm') (т = —/, —/ + 1, ... , 4- /), а ЛХ1т осуществляет проекцию на пространство, порожденное \Х1т).

Если состояние щелочного атома приготовлено не измерением энергии, а измерением наблюдаемой С] или К, то, как это следует из фундаментального предположения III, такая физическая система должна находиться в собственном состоянии Сх, т. е. статистический оператор должен иметь вид

Ик = Л„ гг^’= лп< или И-Т* = л„,„. (1.10)

где Ап — проекционный оператор на пространство собственных векторов оператора С] с собственным значением и2 — 1.

Хотя на этой стадии мы не можем исключить возможность того, что состояния атомов приготовлены измерением Сх, эта возможность кажется чрезвычайно маловероятной, поскольку Сх и К имеют не более, чем вспомогательное значение (кроме случая атома водорода), а физической наблюдаемой является Н. (В гл. XII мы также увидим, что состояния, которые не меняются во времени,— а состояния, отвечающие уровням энергии атомов, с большой вероятностью обладают этим свойством,— должны быть собственными состояниями оператора энергии.) Таким образом, появление физических состояний из (1.10) сделало бы формулировку теории чрезвычайно неудовлетворительной и вызвало сомнение в адекватности предположения III. Поэтому интересно посмотреть, чем различаются предсказания (1.9) и (1.10). В этой главе мы выполним вычисления для щелочных атомов и увидим, что их спектр не позволяет дать ответ на этот вопрос. Но ниже в главе, посвя-

щенной двухэлектронным атомам (атому гелия), мы увидим, что экспериментальные данные требуют выбрать (1.9), что подтверждает правильность фундаментального предположения III и использования стационарных состояний (см. гл. XII).

Значение, предсказываемое для результата измерения энергии в состоянии И^"0 из (1.10), согласно фундаментальному предположению II, равно

<Hyw^> = TW^H) = Tr(AnZmH) = Tr(AnlmK) + Tr(AnZm V^

= <n lm\K \n l тУ + <n lm\ И(0|и / trfy

a2(l.H)

= - ^ + <n I m\V(Q)\n l тУ

2n

= -+ e(n, I) = E(n, /)•

Для случая, когда состояние есть W^ из (1.9), имеем

<Hyw^ = Tr(W^H) = Tr(A,ZmH) = <Х1т\Н\Х1тУ = Exl. (1.12)

Член е^п, /) в выражении (1.11) — матричный элемент малого возмущающего гамильтониана V;

c(n, Г) = <nlm\V(Q)\nlmy.(1.13)

Поскольку векторы \nlm> известны, этот матричный элемент можно вычислить, если известен V(QY Величина е(и, /) не зависит от т вследствие (1.4). Следовательно, для среднего значения в состоянии Хп1 получаем

—- =—-— У (и lm\H\n I тУ = Е(п, /)■(114)

В противоположность среднему значению Е^п, I) собственное значение ЕХ1 принадлежит спектру Н. Спектр Н и состояния \Х/т) необходимо найти. Спектр К и состояния \nlrn) известны из задачи об атоме водорода, а для вычисления Е(п, I) остается только вычислить «малые» матричные элементы е(и, /).

Собственные значения и собственные векторы оператора Н определяют, используя теорию возмущений. Выясняется, что Е^п, /) в (1.11) есть приближение первого порядка Е<Д при вычислении по теории возмущений собственного значения ЕХ). Именно поэ-

тому мы не можем различить (1.9) и (1.10). Поскольку вычислить точно Е(и, /) нельзя (так как неизвестна точная форма V^Q)), мы никогда не можем установить путем сравнения с экспериментальными данными по спектрам щелочных атомов, является ли Е(п, I) точным значением энергии или лишь результатом вычисления в первом порядке.

VII.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВОПЕРАТОРА Q"v

Чтобы получить поправочный член е(и, /) = <nlm \ V(Q)l nlm), вычислим матричные элементы оператора Q-” для любого целого v. Эти матричные элементы будут также использованы при вычислении сверхтонкого расщепления в разд. IX.4.

Будем действовать следующим образом. Выведем сначала некоторые соотношения между операторами Q-v, L2 и

Матричный элемент от одного из этих соотношений дает рекуррентное соотношение для матричных элементов (п1т\ Q~v \ п!т).

Введем оператор

PP > = — P,.(2.2)

r~2\Q’ Q ' Q

Из коммутационных соотношений Гейзенберга следует [£ Рг] = П.(2.3)

JУравнение (2.3) следует из соотношения

о р!1 = го piLUp Г& oil

при использовании равенства

[2, Л] = IQJQ-(2.4)

Доказательство равенства (2.4) проводится следующим образом:

[б2, PJ = IQjQr PJ = QjVQr PJ + IQr P^Qj = 2^..

С другой стороны,

[д2, ра = [qq, pa = ею. pa + eq, ?aQ = {g, eg, pj},

а следовательно,

{QAQ,Pa^ = 2/g,.(2.5)

Далее’ Ей2, ЕЙ, p,]J = (ЙЙЕЙ, Л] + его, ЛЮ)

- (его, рае + го, лю2)

= ей, его, л л + ге, го. рм

= го, ей, ей, рал = Ее, ^еа = о,

где использовано соотношение (2.5). Но если Q2 коммутирует с [g, PJ, то Q = (д2)1/2 также коммутирует с [0, PJ (по определению квадратного корня из оператора). Следовательно, из (2.5) следует

2gcg, pa = ^Qx,

что в свою очередь приводит к (2.4).J

Из определения L, L; = tijk Qj Рк и определения (2.2) после непосредственного вычисления следует

Р2 = Л + ^Л.(2.6)

Оператор энергии К запишется тогда в виде

Здесь Р2/2 — оператор кинетической энергии радиального движения, а Рг — оператор, сопряженный оператору радиуса Q = V^G.- часто называют оператором радиального импульса.

Оператор радиального импульса удовлетворяет коммутационному соотношению

[д~\Рг] = -fvg-(v+1>(2.8)

|Мы докажем соотношение (2.8) индукцией по v. Заметим сначала, что

Е/, PJ = о = Ейй" *, Р,] = ЙЕЙ"', р,] + Ей, Р,]й" '■

Используя затем соотношение (2.3), получаем [Q-1, PJ = — iQ-2. Следовательно, соотношение (2.8) имеет место при р = 0, ±1. Предполагая, что соотношение (2.8) справедливо для р = и, вычисляем

EQ-""1, Pr] = Q'LQ^ ^,1 + EQ"1»^""

= (Г’(-тХГ^1* - iQ^2 = -/(л + \)Q"<n + 2V

Таким образом, если соотношение (2.8) справедливо для р = и, оно справедливо и для р = п + 1. Подобным же образом можно показать, что, если (2.8) справедливо для р = — (и + 1), оно справедливо и для р = —л. Следовательно, соотношение (2.8) справедливо в общем случае.]]

Из соотношений (2.8) и (2.7) после непосредственного вычисления получаем

[К, Q-’^-”] = 1(V - l)(2Q"TPr - vQ-(v+1>).(2.9)

Частным случаем (2.9) является

[К, C]=-iPr.(2.9а)

Соотношение

[К, iPr^ = L2Q-3 - aQ"2(2.Ю)

может быть проверено подстановкой выражения (2.7) в левую часть и использованием соотношения (2.8).

Из соотношений (2.9) и (2.10) получаем

[К, [К,^-^-1']] = (v - l)[-v(v + l)Q-(v + 24Pr - vQ-,v+1'P2

+ iv(v + 1)(V + 2)Q-,V+3' + L2Q-<v+3) - aQ-(v + 2)].

(2.И)

Подставляя (2.9a) и (2.9) и вычисляя коммутатор получаемого выражения с К, находим

[еле, к], к] - iv[e-|i,+i’, kj + »[е-'"", к]

(2.12) = —г сек, е_<’_ ”]. к] + vte'1"1'.^,

V — 1

где к обеим частям добавлено по одинаковому слагаемому. Подставляя выражения (2.11), (2.7) и (2.9) в правую часть (2.12),

получаем

[е'Тб.КЪК] + Ие"<, + ",К] = Ъ-Q “”'К - (v + UQ-'-' ^L2 + (2v + iw*221 + Hv + IXv + 2)e-<' + 31. (2ЛЗ)

Рекуррентное соотношение для матричных элементов Q-v возникает при вычислении матричных элементов (2.13) между векторами ^nlm), для которых

а2

К\п I = — —з |п I т),2п

Ъ2\п1тУ - /(/ + 1)|п / тХ

L3\nlm> = т\п I т).

Матричный элемент левой части (2.13) по векторам Xnlm^ равен нулю, так что мы получаем рекуррентное соотношение

О = - V <п I m\Q-(v+ П\п I т> + (2v + V)a<nlm\Q <v + 2^nlm>.^

+ [-(v + 1)/(/ + 1) +|v(v + l)(v + 2)]<nM(T(v + 3)|n/mX

Если вычислить матричный элемент (2.13) между состояниями \nlrn) и Wm), то получаются рекуррентные соотношения для недиагональных элементов [28].

При у = — 1 уравнение (2.14) дает

(п I mlQ~ ^n I т> = а/п2.(2.15)

Матричные элементы Q~2 не могут быть получены из (2.14); но их можно вычислить, используя волновые функции из разд. VII.3 и вычисляя выписанный там интеграл (3.29) с И(г) = 1/г2. В результате получим

<nlmlQ~2lnlm> =(2.16)

При у = -2 уравнение (2.14) дает

(и I ml Qin I т) =.

2а \ п )

Из всех матричных элементов Q-", которые можно получить из (2.14), мы приведем низшие:

<nlm\Q 3\nlm'> =<nlm\Q 3\nlm'> =аKI + 1)аKI + 1)<jilm\Q 2\nlm'><jilm\Q 2\nlm'>

<nlm\Q 3\nlm'> =

<nlm\Q 3\nlm'> =

а

KI + 1)

а

KI + 1)

<jilm\Q 2\nlm'>

<jilm\Q 2\nlm'>

(2.17)(2.17)(2.18)(2.18)

(2.17)

(2.17)

(2.18)

(2.18)

п31(1+ \Х1-ИУ

<nlm\Q \nlm> =--———-y<nlm\Q 3\nlm>.п 2/(/ + 1) — 2

Константа а в наших единицах имеет размерность обратной длины. Согласно (VI.3.5),

а = теса.(2.19)

Встречавшаяся выше величина Q при нашем выборе единиц измерения измерялась не в сантиметрах, а в единицах (эВ/с)-1 (см. обсуждение перед уравнением (VI.3.4)), т. е. на самом деле это не Q, a Q/h. Если Q измеряется в обычных единицах (сантиметрах), то константу а надо заменить на a/h. Таким образом, при Q, измеренной в сантиметрах, полученные уравнения справедливы при замене а на

(2.20)(2.20)теса-_ 1 _1

(2.20)

(2.20)

hгв 0.529 х 10-8 см '

Величина гв называется боровским радиусом.

Мы можем теперь найти значение энергии

Е(п,1) = -Д + <n 1т| Г(0|п/т>(2.21)

ZU

для любого V, являющегося суммой положительных и отрицательных степеней Q. Выражение (2.21), как мы уже отмечали и как это будет показано в следующей главе, получается при вычислении в первом порядке по теории возмущений. Мы будем использовать для ^(Q) только дипольный член

^(0 = -cxa!Q\ (2.22) который, как обсуждалось выше, должен быть достаточно хорошей аппроксимацией.

Из (2.16) и (2.22) для Е(и, /) получаем

А _ ^ Л , 2с1а \ п£(п,0- 2п2\’ «(/ + !)/ 2'23

Таким образом, пространства представлений .^(л) алгебры ^(80(4)) уже не отвечают одному значению энергии, поскольку Н не коммутирует с Л,.. (На теоретико-групповом языке говорят « V(Q) нарушает 8О(4)-симметрию».)

Обычно (2.23) записывают в виде

22а2

Е^п," 57V ’<2-24>

Zn*z 2(и — ст)

где п* называется эффективным квантовым числом, а ст = о(п, I) — квантовым дефектом. Сравнивая (2.24) и (2.23) и пользуясь тем, что величина с, мала по сравнению с боровским радиусом \/ а, на-

Рис. 2.1. Уровни энергии атома лития.

ОО4,04,03,03,01,01,0Рис. 2.2. Уровни энергии атома натрия.Рис. 2.2. Уровни энергии атома натрия.Вольт512 5,0Вольт512 5,02.1 2,02.1 2,0

О

О

4,0

4,0

3,0

3,0

1,0

1,0

Рис. 2.2. Уровни энергии атома натрия.

Рис. 2.2. Уровни энергии атома натрия.

Вольт

512 5,0

Вольт

512 5,0

2.1 2,0

2.1 2,0

ходим, что квантовый дефект для щелочных атомов равен сха

Энергетические уровни лития, натрия и цезия приведены на диаграммах рис. 2.1, 2.2 и 2.3 соответственно. Уровни энергии обозначаются стандартным образом. Первое число — главное квантовое число л, а буквы 5, р, d, f, ... обозначают значения углового момента I = 0, 1, 2, 3, ... соответственно; например, Зр означает и = 3, I = 1. Линии, соединяющие различные энергетические уровни, изображают дипольные переходы. Числа у этих линий дают длины волн в ангстремах. Эти переходы подчиняются правилу отбора Д/ = ±1 (см. V.4.33)).

ВольтВольт1,451,381,451,38Рис. 2.3. Уровни энергии атома цезия.Рис. 2.3. Уровни энергии атома цезия.

Вольт

Вольт

1,45

1,38

1,45

1,38

Рис. 2.3. Уровни энергии атома цезия.

Рис. 2.3. Уровни энергии атома цезия.

Сравнивая эти энергетические диаграммы с энергетической диаграммой для водорода на рис. VI.5.1, мы видим, что имеется зависимость от / поправочного члена в формуле (2.23), которая приводит к расщеплению уровней с одинаковым главным квантовым числом. Таким образом, формула (2.23) дает хорошее количественное описание экспериментально наблюдаемого энергетического спектра. Мы видим также, что некоторые энергетические уровни расщеплены в противоречии с формулой (2.23); например, у натрия имеются два энергетических уровня Зр, и Зр2» в то время как, согласно формуле (2.23), должен наблюдаться только один уровень. Исходя из (2.14) и (2.18), даже если взять для ^(Q) сферически-симметричное разложение общего вида (1.3"), энергетические уровни будут зависеть только от л и /. Расщепление таких уровней с одинаковыми

квантовыми числами п, / объясняется после введения новой наблюдаемой — спина, которую мы обсуждаем в гл. IX.

Из экспериментальных диаграмм уровней энергии на рис. 2.1—2.3 мы видим также, что для лития нет уровня энергии с п = 1, для натрия нет уровней энергии с п = 1 или 2; для калия отсутствуют энергетические уровни с п = 1,2 или 3 (здесь это не изображено), а для цезия — с п = 1, 2, 3, 4 или 5. Это означает, что наша физическая система, которая представляет собой внешний электрон в электростатическом потенциале ^л(г) = — е2/г + + И(г), не может находиться в состоянии с главным квантовым числом п = 1 (литий), п = 1 или 2 (натрий) и т. д. В гл. X мы увидим, что это можно объяснить как следствие новой фундаментальной аксиомы квантовой механики — принципа запрета Паули.

VII.3. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ АТОМА ВОДОРОДА И ЩЕЛОЧНЫХ АТОМОВ

Решение уравнения Шредингера для атома водорода настолько известно, что здесь нет необходимости его детально обсуждать. Оно не приводит к появлению новых наблюдаемых результатов, которые не обсуждались бы в предыдущей главе. Новые величины, которые здесь появляются,— волновые функции ^ntmW = <*p хц x3\nlm> = <x\nlm>. Величина 1^(х)12 представляет собой, согласно результатам, приведенным в гл. I и И, плотность вероятности наблюдения электрона в состоянии I nlm) в точке х. Но такое измерение положения не может быть осуществлено. Тем не менее решение уравнения Шредингера является одним из общепринятых методов вычисления уровней энергии, и часто это очень удобный метод. Кроме того, волновые функции физически важны для анализа рассеяния. Мы дадим здесь только краткое описание этого метода, поскольку детальные вычисления имеются во многих хороших стандартных учебниках по квантовой механике.

Уравнение Шредингера для одноэлектронного атома получается при вычислении «скалярного произведения» уравнения на собственные значения энергии

Н\п I т} = Е\п I т)

с обобщенным собственным вектором 1х> = 1Хр х2, х3>. Используя (2.7), получаем тогда

/р2[2\

<xl(y+ 20^ + УЖрп1т) = Е<х\п1т>.(3.1)

Для атома водорода ^(Q) = Ивод(0) = -a/Q. Уравнение (3.1) применимо также к любой другой одночастичной задаче в трехмерном пространстве, если ^(Q) заменить соответствующим оператором потенциальной энергии, a I nlm} — соответствующими базисными векторами.

В базисе обобщенных собственных векторов 1х> операторов Q, операторы координаты Qt действуют как умножение на х;:

<х12.#> = x^xl^).(3.2а)

Согласно (II.7.53), операторы импульса Р( действуют дифференцированием по х/>:

<x|W> = l^-<x|^>.(3.26)

I ох.

Обобщенные собственные векторы координаты 1х> мы обозначим полярными координатами (г, 6, ф) вместо декартовых координат:

х, = г sin 9 cos ф, хг = г sin 9 sin ф, х3 = г cos 9.(3.3)

Тогда из (2.2) и (3.2) следует

<х\Рг\ф> = 1+ -)<х|<Д>,

', /<3-4>

, , _1 а , а , ., \

11 Заметим, что при выводе (II.7.3) кроме коммутационного соотношения Гейзенберга потребовалось предположение, что оператор Р2 + Q2 имеет по крайней мере один собственный вектор (или эквивалентное предположение, что Р2 + Q2 существенно самосопряжен). Следовательно, (3.26) является не только следствием (VI.3.4), но требует выполнения дополнительного предположения. Это предположение естественно для трехмерного гармонического осциллятора, поскольку в этом случае Р2 + Q2 отвечает наблюдаемой энергии. Для атома водорода энергия дается формулой (2.1), и оператор Р2 + Q2 не обязательно отвечает какой-нибудь переменной для атома водорода. Таким образом, (3.26) есть дополнительное предположение, и описание атома водорода в гл. VI не полностью эквивалентно описанию в рамках уравнения Шредингера. Пространство из (VI.5.2), рассматриваемое как гильбертова прямая сумма, является полным гильбертовым пространством; оно является пространством унитарного представления SO(4) и неприводимых унитарных представлений групп SO (4, 1) и SO (4, 2). В пространстве ь% оператор Clt заданный в (VI.3.13), и вследствие (VI.3.17) оператор энергии атома водорода является самосопряженным. Пространство квадратично-интегрируемых решений уравнения Шредингера (3.1) с дискретными собственными значениями (пространство связанных состояний) не является полным гильбертовым пространством. Замечательно, что эти топологические различия никак не отражаются на наблюдаемых величинах.

Матричный элемент оператора углового момента Lz = eijk QjPk в базисе обобщенных собственных векторов операторов Q^ согласно (3.2), равен

<*\Цф) = \€икХ}^-<х\ф). (3.5)

I дхк v ’

Если в качестве индексов у обобщенных собственных векторов координаты использовать полярные координаты (3.3), дифференциальные операторы в правой части (3.5) должны быть преобразованы от декартовых к сферическим координатам; в результате довольно длинных вычислений получим

<х\Ьг\ф) =sin- cot 0со$ф-^Л<г 0 ф\ф),

1 \Ои•Оф)

(3.6,)

<х\Ь2\ф) = т( + со&ф-^ - cot 0 sin)<г 0 </>|<Д>,

1 \00оф)

(3.62)

<х\Ьг\ф) = \-?-<г0ф\ф).

1 оф

(З.63)

Отсюда находим

<Х|Ь2||Д>-

\sinz 0 дф sin 0 90 у 00))

(3.6)

Для \ф> = \nlm> уравнения (З.б3) и (3.6) принимают вид

-— <г 0 <Д|м 1т) = т^г 0 <Д |м 1т) , i дф

(З.63')

-=+ ^<геф\п1т>.

\s\nz0дфsm0 60\д0))

(3.6')

Подстановка (3.4) в (3.1) дает

— -(г2 <г 0 ф\п I<г0 ф\п1т) 4- ^(гХг 0 ф\п 1т)

г or у or/ 2г

Используя разложение

| п I т> = d3x | х> <х | п I т>

= Jr2 sin 9 dr d9 dф\r 9 ф^С.г 9ф\п I т)(3.8)

в условии ортонормированности

^п' Г m'\nl М> = дпп'^и'^тт' >(3.9)

получаем условие нормировки для коэффициентов перехода

Jr2 sin 9 dr d9 dф(n' t m'\r 9 ф><г 9 ф\п I m> = ^nn^ir^mm- (3.10)

Уравнение (3.7) для заданного значения / является дифференциальным уравнением по единственной переменной г, в то время как (З.63') и (3.6') являются дифференциальными уравнениями только по угловым переменным 9, ф. Следовательно, коэффициент перехода записывается в виде

(3.11)(3.11)<г 9 ф | и I т> = Rnl(r) Ylm(9, ф).

(3.11)

(3.11)

Уравнения (3.7), (3.6') и (З.63) сводятся тогда к уравнениям

{ ~(г2 ^) + ^2^ += «"■°'12)

Ч^^ + ^еЦ51п9f$Yl^ ™ШЬ У.»)

^¥1т(9,ф)= т¥1т(9,ф).(3.14)

Для атома водорода ^(г) = -а/r и Е^п, I) = -^/О-пУ. Условие нормировки (3.10) дает следующие условия нормировки для Rnl и Ylm:

(3.15)(3.15)(3.16)(3.16)Jr2 dr Rn l(r)Rnl(r) = дпп..

(3.15)

(3.15)

(3.16)

(3.16)

Jsin 9d9dф YV„A9, ф)¥1т(9, ф) = dlvdmnV.

Г,„(6, ф) = е,„(0) e™*/Vii, гдеГ,„(6, ф) = е,„(0) e™*/Vii, где®оо№ = Л®оо№ = Л01O(0) = x/i cos ^®i±i(0) = ^хД sin 9,01O(0) = x/i cos ^®i±i(0) = ^хД sin 9,оо Iоо II I у^ФЖ^/м')-1 = 0 т = ~ II I у^ФЖ^/м')-1 = 0 т = ~ I<5(0 - e*w - Ф’)<5(0 - e*w - Ф’)sin 0sin 0(3.19)(3.19)

Г,„(6, ф) = е,„(0) e™*/Vii, где

Г,„(6, ф) = е,„(0) e™*/Vii, где

®оо№ = Л

®оо№ = Л

01O(0) = x/i cos ^®i±i(0) = ^хД sin 9,

01O(0) = x/i cos ^®i±i(0) = ^хД sin 9,

оо I

оо I

I I у^ФЖ^/м')-

1 = 0 т = ~ I

I I у^ФЖ^/м')-

1 = 0 т = ~ I

<5(0 - e*w - Ф’)

<5(0 - e*w - Ф’)

sin 0

sin 0

(3.19)

(3.19)

Нормированными решениями уравнений (3.13) и (3.14) являются сферические гармоники

Необходимо отметить, что разные авторы используют при определении ¥1п$, ф) различные соглашения о выборе фазы. Явные выражения для нескольких первых сферических гармоник имеют вид

02о(9) = Vi(3 cos2 8 - 1),

®2±i(0) = + \/^ sin 0 cos 0,(3.18)

®2±2^) = x/Ssin2 0.

Функции Vjm(9, ф) составляют полный набор однозначных функций на единичной сфере:

we, Ф)we, Ф) = IIwe, Ф)we, Ф) = II"(2/, + 1Х2/2 + 1)Т'24я(2/ + 1)_"(2/, + 1Х2/2 + 1)Т'24я(2/ + 1)_(3.20)(3.20)

we, Ф)we, Ф) = I

I

we, Ф)we, Ф) = I

I

"(2/, + 1Х2/2 + 1)Т'24я(2/ + 1)_

"(2/, + 1Х2/2 + 1)Т'24я(2/ + 1)_

(3.20)

(3.20)

Другое полезное соотношение для ¥1тф, ф) называется правилом связи ([29], разд. 14):

(3.21)(3.21)

(3.21)

(3.21)

х <1хт112т2\1тХ110120\10>¥1тф,ф).

Мы приводим здесь также некоторые полезные соотношения, включающие наряду со сферическими гармониками полиномы Лежандра, определенные формулой

= ^ (^Y«2 - 1)' , / = 0,1,2,...,

и присоединенные полиномы Лежандра, определенные формулой

р^ , m = 0,1,2,...,/.(3.22)

Сферические гармоники связаны с присоединенными полиномами Лежандра соотношениями

ад, Ф) =ад, Ф) =, 121 + 1 (/ - лр! \ 4тг (/ + ш)!12Г+1 Ц + т)\ \] 4л (I — т)'., 121 + 1 (/ - лр! \ 4тг (/ + ш)!12Г+1 Ц + т)\ \] 4л (I — т)'.е1тфрт^со& ^ ,e-m<*p-m(cos 0) ,е1тфрт^со& ^ ,e-m<*p-m(cos 0) ,т > О(3.23)т > О(3.23)т < О,т < О,

ад, Ф) =

ад, Ф) =

, 121 + 1 (/ - лр! \ 4тг (/ + ш)!

12Г+1 Ц + т)\ \] 4л (I — т)'.

, 121 + 1 (/ - лр! \ 4тг (/ + ш)!

12Г+1 Ц + т)\ \] 4л (I — т)'.

е1тфрт^со& ^ ,

e-m<*p-m(cos 0) ,

е1тфрт^со& ^ ,

e-m<*p-m(cos 0) ,

т > О

(3.23)

т > О

(3.23)

т < О,

т < О,

где при т ^ 0 мы использовали соотношение

M0) = (-l)myt-m(0,0).(3.24)

При т = 0 соотношение (3.23) принимает вид

У10(в, ф) =У10(в, ф) =/2/+ 1V 4л/2/+ 1V 4лP,(cos 9).P,(cos 9).(3.25)(3.25)

У10(в, ф) =

У10(в, ф) =

/2/+ 1

V 4л

/2/+ 1

V 4л

P,(cos 9).

P,(cos 9).

(3.25)

(3.25)

Наконец, отметим теорему сложения. Пусть пип' — единичные векторы, направления которых заданы углами (0, ф) и (9', ф') соответственно; тогда

р/п • п) = —— ^ X , ад, ф) ад-, ф'). (3.26)

Нормированные решения уравнения (3.12) для ^(г) = -а/г и Е^п, /) = — а2/(2п2) имеют вид

R»^) =R»^) =lav2 кп -1 - о?п) •\/2п[(л +/)!]3lav2 кп -1 - о?п) •\/2п[(л +/)!]3(3.27)(3.27)

R»^) =

R»^) =

lav2 кп -1 - о?

п) •\/2п[(л +/)!]3

lav2 кп -1 - о?

п) •\/2п[(л +/)!]3

(3.27)

(3.27)

где L2^(p) — присоединенные полиномы Лагерра:

(3.28)(3.28)(Я \ 21 + 1/ J \ п + I

(3.28)

(3.28)

dp) \dp) м

Величина а = 1/гБор есть обратный боровский радиус в единицах эВ/с (см. (2.19)); в обычных единицах, когда г и гБор имеют размерность см, а необходимо заменить на а' из (2.20).

На рис. 3.16 показаны функции Rnl{r) для некоторых низших

d-состояние (1=2) и ^f-состояние аd-состояние (1=2) и ^f-состояние аРис. 3.1а. Распределение заряда для низших состояний атома водорода. Радиальное расстояние г дано в единицах боровского радиуса. Для кривых указаны значения nLРис. 3.1а. Распределение заряда для низших состояний атома водорода. Радиальное расстояние г дано в единицах боровского радиуса. Для кривых указаны значения nL

d-состояние (1=2) и ^f-состояние а

d-состояние (1=2) и ^f-состояние а

Рис. 3.1а. Распределение заряда для низших состояний атома водорода. Радиальное расстояние г дано в единицах боровского радиуса. Для кривых указаны значения nL

Рис. 3.1а. Распределение заряда для низших состояний атома водорода. Радиальное расстояние г дано в единицах боровского радиуса. Для кривых указаны значения nL

значений п и I. Рис. 3.1а дает распределение вероятности найти электрон в точке г.

Знание <xl nlm) позволяет провести альтернативное по отношению к данному в предыдущем пункте вычисление матричного элемента K(Q); е(п, I) = <nlm \ V(Q)\ nlm) может быть теперь вычислен подстановкой полного обобщенного базиса 1х>:

е(л, Г) =е(л, Г) =d3x I d3x' <nlm\x><x\ И(0|х' ><x'\nlm)

е(л, Г) =

е(л, Г) =

d3x\<nlm\x)\2V(r).

Умножая (3.28) на Ylm(6, ф), получаем, согласно (3.11), коэффициент перехода <гвф\ nlm). Подстановка <г6ф\п1т> в приведенное выше уравнение и использование (3.16) для выполнения интегриро-

Рис. 3.16. Радиальные волновые функции КпДг) для водородоподобных атомов при и = 1, 2, 3 [30]. Для кривых указаны значения ni. Отметим роль центробежной силы в «отталкивании» волновой функции от ядра, а также то, что функции имеют п — / — 1 нулей.Рис. 3.16. Радиальные волновые функции КпДг) для водородоподобных атомов при и = 1, 2, 3 [30]. Для кривых указаны значения ni. Отметим роль центробежной силы в «отталкивании» волновой функции от ядра, а также то, что функции имеют п — / — 1 нулей.

Рис. 3.16. Радиальные волновые функции КпДг) для водородоподобных атомов при и = 1, 2, 3 [30]. Для кривых указаны значения ni. Отметим роль центробежной силы в «отталкивании» волновой функции от ядра, а также то, что функции имеют п — / — 1 нулей.

Рис. 3.16. Радиальные волновые функции КпДг) для водородоподобных атомов при и = 1, 2, 3 [30]. Для кривых указаны значения ni. Отметим роль центробежной силы в «отталкивании» волновой функции от ядра, а также то, что функции имеют п — / — 1 нулей.

вания по 0, ф тогда дает

е(и, /) =е(и, /) =2я\3 (и - / - 1)J1) 2и[(и + ОН32я\3 (и - / - 1)J1) 2и[(и + ОН3г2 dr V(r)г2 dr V(r)т 2/+ 1т 2/+ 1

е(и, /) =

е(и, /) =

2я\3 (и - / - 1)

J1) 2и[(и + ОН3

2я\3 (и - / - 1)

J1) 2и[(и + ОН3

г2 dr V(r)

г2 dr V(r)

т 2/+ 1

т 2/+ 1

(3.29)

Эти интегралы могут быть вычислены для различных функций: ^(г) = — с/г2, К(г) = — с/г3, К(г) = — с/г4, ... ; они дают те же результаты, что и уравнения (2.14)—(2.18). Используя рис. 3.1а, мы можем сделать некоторые качественные наблюдения относительно величин е(и, /). Для заданного значения п распределение вероятности уширяется и сдвигается при возрастании / к большим г. Следовательно, для заданного п наибольшее значение — е(л, / = 0), так что Е(п, I = 0) — наинизший энергетический уровень, а с ростом / Е^п, /) приближается к значению — п2/(2и2). В том, что это действительно так, можно убедиться, изучая экспериментальные диаграммы уровней энергии щелочных атомов, приведенные в предыдущем разделе.

Глава VIII

Теория возмущений

В этой главе теория возмущений развивается в общем виде, примененном для рассмотрения как дискретного, так и непрерывного спектров. В конце разд. VIII. 1 в качестве частных случаев получены разложения теории возмущений Вигнера — Бриллюэна и Рэлея — Шредингера. В разд. VIII.2 эта общая процедура используется в случае непрерывного спектра и позволяет получить уравнение Липпмана — Швингера.

VIII. 1. ВОЗМУЩЕНИЯ В ДИСКРЕТНОМ СПЕКТРЕ

В этом разделе будет развита общая процедура, называемая теорией возмущений, для вычисления собственных значений Ех и собственных векторов 1Х>

Н\Х> = ЕК\Х>(1.1)

оператора

Н = К V,(1.2)

который отличается малым возмущением V от оператора К, спектр еа и собственные векторы I а) которого

К\а> = €а\а>(1.3)

известны. Оператор К называется «свободным» гамильтонианом, а I а> — свободным собственным вектором. Оператор Н называется «точным» гамильтонианом, а 1Х> — точным собственным вектором. Оператор V называется гамильтонианом возмущения.

При такого рода рассмотрении по теории возмущений предполагается, что каждому собственному вектору I а> оператора К отвечает собственный вектор 1Х(а)> оператора Н такой, что Ех^ есть ед плюс малый поправочный член такой, что при V, равном нулю, Exw = ед. В случае, когда уровень ед вырожден (т. е. существуют другие квантовые числа г;, кроме а или X), Ех^ в общем случае зависит от этих квантовых чисел, даже если от них не зависит ед.

Чтобы иметь в виду конкретный случай, предположим, что Н, К и V — операторы из разд. VII. 1; когда а — квантовое число и, нумерующее л-кратно вырожденные собственные значения К: еа=п = -те е4/(2Ь2п2У. Поскольку \Ц, //] = О (так как \ЕИ И = 0), как свободный, так и точный базисы можно выбрать состоящими из собственных векторов L2, L3: lay) = la/w>, IXi?> = = Wlm). Тогда задача сводится к множеству невырожденных задач, по одной на каждую пару квантовых чисел ^ = (1т). Если оператор Н не коммутирует с L2, L3 и мы не знаем другого набора операторов, образующих п.с.к.о. с Н и К по отдельности, то задача не может быть сведена к совокупности невырожденных задач и должна использоваться теория возмущений для вырожденного случая, которую мы здесь не рассматриваем (см. задачу 4).

Хотя в данный момент имеются в виду дискретные значения еа и а, мы не исключаем возможности того, что спектр К непрерывен2); в этом случае суммирование Ео в уравнениях этого раздела необходимо заменить интегрированием по непрерывному спектру (см. разд. VIII.2).

Определим оператор

G(E) = {EI - Н)~ 1 (1-4)

(/ — единичный оператор), который зависит от параметра Е. Оператор G(E) физики называют «оператором для функции Грина гамильтониана», а математики называют «резольвентой оператора Н». Интуитивно ясно, что задача нахождения собственных значений Ех оператора Н эквивалентна задаче о нахождении «сингулярностей» G(E).

Определим также операторы

F(E) = G{E)4ev 9(E)

(1.5)

R(E) = VF(E),

(1.6)

гдед(Е) = Y>><a\Ga(E\

(1.7)

Ga(E) = <a\G(E)\a>.

(1.8)

*) В этой главе мы возвращаемся к обычным единицам системы СГС.

2) Излагаемая трактовка теории возмущений базируется на работе [31], разд.

8.1. Она была выбрана потому, что в ней прослеживается связь между случаями дискретного и непрерывного спектров.

Оператор R(E) называется оператором сдвига уровня по причинам, которые мы сейчас объясним. Используя введенные определения и тождество1)

(Е - H)G(E) = /,(1.9)

получаем

(Е - Н)Е(Е)|«> = ^1^/ = ,..'^ 1«/.С Ю)

9(E) Ga(E>

а для диагональных матричных элементов R(E) имеем

ВДЕ) = <а\(Н - К)ЦЕ»

= <а\(Е - К)Е(Е» - (а^Е - Н)Е(Е)|а>

= (Е-(.)<«№) |a>- -L;.(1.11)

G^E)

Легко показать, что

<«|Е(Е)|а> = 1,(1.12)

так что из (1.11) получаем

E = i. + К.®*™(М3)

GU(E)

При приближении Е к собственному значению Ех оператора Н СДЕ^ стремится к бесконечности, и вместо (1.10) и (1.13) имеем

(Ел — Н)Е(Ел)|д> = 0 ,(1.14)

^ = ба + Ка<ЕД (1.15)

Хотя равенство (1.15) справедливо для любых Ех и Еа, на практике оно используется для нахождения значения Ех, «наиболее близкого» к еа, которое мы обозначим Ех^. Таким образом, Ra ^ЕД — сдвиг уровня от «невозмущенного» значения энергии еа к соответствующему Exw Оператор F(E) построен таким образом, что Е(ЕХ^) — оператор, который преобразует I а) в соответствующий 1Х(а)> = F^E^^t а), который, согласно (1.14), является собственным вектором оператора Н с собственным значением F

11 Здесь Е заменяет Е-Г, при умножении на число символ единичного оператора опускается.

Как уже утверждалось, предположение1 ^, составляющее основу теории возмущений, состоит в том, что каждому 1агу> отвечает 1Х(а)г;> (т. е. векторов 1ат?> столько же, сколько векторов 1Х(а)т?>), но Ех^ может быть функцией от г/, поскольку оператор Ra(Ex) в общем случае зависит от г/, как в примере из разд. VIL 1

Ran(Ex) = <а n\R(Ex)\a п> = <п I m\R(Ex)\n I т> (1.16)

в общем случае зависит от и, /, т. В частном случае [/?(£), LJ = = 0 получаем, что R^E^ не зависит от ли, но в дополнение к зависимости от и зависит и от /. Таким образом, все векторы 1аг?> принадлежат энергетическому уровню ед невозмущенной системы, а под действием возмущения этот уровень расщепляется на подуровни Ех^ и состояние I ат/> невозмущенной системы переходит в состояние 1Х(а)гу> возмущенной системы.

Сдвиг уровня ВДЕ^), а тем самым и Exw вычисляется различными способами последовательных приближений. Эти различные способы возникают следующим образом. Для двух обратимых операторов А и В легко показать, что

1А1А- + -(В - А)-. В BV ’ А- + -(В - А)-. В BV ’ А(1.17)(1.17)

1А

1А

- + -(В - А)-. В BV ’ А

- + -(В - А)-. В BV ’ А

(1.17)

(1.17)

Выбирая А = g(E)(E - Н), В = g(Е)(Е - К - О(£)), а следова-

^ Это предположение, которое лежит в основе теории возмущений, выполняется для некоторых И, как показывает следующая теорема: Пусть

Н = Щк) = К + кКт + кгК^ + ■ ■ ■ ,

М

И,м/Н <7^7(11/11 + 11^/11)^ = •’2,...),

г

где М и г — положительные константы. Тогда для 1x1 < г собственные значения Е^к) оператора Н могут быть записаны в виде

Е(к) = Е(0> + кЕ^ + ^Ew +

а собственные векторы lf(x)> оператора Н запишутся в виде

№)> = |£'°>> + к|Е(1>> + к2|Е|2,> + ....

При к —* 0 имеем

Н = К,

1 Е(к = 0) = Е<0> =

|£(к = 0)> = |Е|0)> = \а>.

тельно, 1/Л = F(E), \/В — (Е — К — 0(f))"1 • 1/g(E), получаем

F(£) = Е-К- 0(E) д + Е — К '-О^ " °™‘(М8)

Здесь О(Е) может быть любым оператором, но мы рассмотрим только операторы вида

0(E) = ^O^E) WXd I,(1.19)

где Оа,(Е) — числа (т. е. предполагается, что О(Е) удовлетворяет условию [0(f), f] = 0).

Выражение (1.18) определено не на любом векторе, даже не на любом векторе I а) для любого значения Е; например, первый член определен только для тех I д) и для тех Е, для которых

(Е — еа — Oa(E))Ga(E) Ф 0.

Действуя оператором (1.18) на 1д> и используя (1.7) и (1.13), получаем

НЕ)|а? = гЛлт^ -^- R^a>Е К — О(Е)

+ =F^T^ < ^ " O(E))F(E)\а>.(1.20)

Оператор О(Е) выбирается так, чтобы это выражение имело форму, наиболее близкую к F(E’X(fl))l а); это можно сделать, если ^(^х(а))1а^ записывать как I а) плюс поправочный член. Таким образом, оператор О(Е) надо выбирать так, чтобы первый член был равен \а>.

Два выбора О(Е) приводят к особенно хорошо известным разложениям по теории возмущений:

0(E) = Ra(E)\a><«V(1 21)

т. е.

Оа<Е) = RuWaa,(1.21а)

и

0(E) - Ra(E»<«\ + (Е - £а) £ Ю<А (1.22) т. е.а'*а

°и(Е) = Еа-(Е) для d = а, Оа(Е) = Е — еа для d Ф a. (1.22a)

В случае (1.21) имеем

"^-к- 0(E) = Е - £. - R„(E)'aXa' + „?.'a'X”'V <L23>

а в случае (1.22)

!=—|а><«| + У|д'Ха'|. (1.24) Е - К - 0(E)Е-€и- Ra(E) '1 Ла

Мы видим, что в обоих случаях (1.21) и (1.22) первый член в правой части (1.20) становится равным I а). Используя (1.6) и (1.12), получаем также

<«|(И - О(Е))Е(Е)\а> = 0.(1.25)

Таким образом, в обоих случаях соотношение (1.20) можно записать в виде

F(E)|a> = |а> + X р, ' „- 0(ЕЖЕ)\а>, (1-26)

где не имеет значения, включен ли в суммирование член с д' = а или нет. Подстановка в (1.26) формулы (1.21) дает

F(E)|a> = |a> + £ -Д— |О<а'|VF(E)\a>.(1.27)

и’ * а^-а'

Это уравнение можно итерировать, подставляя последовательно соответствующие выражения для Е(Е)\а) в правую часть:

F(E)|a> = |а> + £ —!— 1«'Х«'1 И^ а'*а Е -

+ Ю<а'|1/Ю<<1"|1/|а> +(1-28)

Ла Е - £а Е - €а„

Сдвиг уровня и, следовательно, согласно (1.15), собственное значение оператора Н получаем из уравнения (1.28), действуя слева оператором И, умножая его скалярно на I а) и вычисляя получившееся выражение при Е = Ех^ау

EiM = ea + (a\V\a> + £.‘<a|V|a><a'|F|a> + .... (1.29)

а'*а ^л(а)^а'

Это дает уравнение для Ех^ в зависимости от невозмущенного значения энергии еа и матричных элементов оператора возмущения И между невозмущенными состояниями \а>. Уравнение (1.29), полученное при выборе (1.21) для О(Е), представляет собой разложение теории возмущений в форме Вигнера — Бриллюэна.

Выбор (1.22) для O(F) приводит к ряду теории возмущений Рэлея — Шредингера. Подставляя (1.22) в (1.26) и вычисляя ответ при Е = EMaV получаем

ЕкЕц.» = 1и> + У -^-—Ю<й КУ - Ra(Ey„,)F(EMa))1a>,(1.30)

а' *а ^а ^а'

а для сдвига уровня

(1.31)(1.31)Ra(Exw) = <a\VF<E>AQ».

(1.31)

(1.31)

Аппроксимации КДЕХ^ и F(EX(<I))I а} в любом порядке по возмущению V могут быть получены итерацией уравнений (1.31) и (1.30). Обозначим через R^ аппроксимацию л-го порядка для Ra (ЕХ(а)) и через F^lt?) — аппроксимацию л-го порядка для F(FX(fl))la>. В нулевом порядке имеем

R^ = 0, Fw\a> = \a>.R^ = 0, Fw\a> = \a>.(1.32)(1.32)

R^ = 0, Fw\a> = \a>.

R^ = 0, Fw\a> = \a>.

(1.32)

(1.32)

В первом порядке

(1.33)(1.33)(1-34)(1-34)R^ = <«| иК(0)|£г> = <а| И |а>.

(1.33)

(1.33)

(1-34)

(1-34)

F"’I«> = |«>+ £ ™i«WKi'-R!,V',,l«>a’ *a ^a ^a'

= l«> + E —Z—\a'><a'\V\a>.a' & a ^a ^a'

Во втором порядке можно проверить, что

R^ = <a\V\a> + £ —J— <a\V\a'><a'\V\a>,(1.35)

a’ * a ^a^a'

F2I|«> = |a> + £ _J—\aW\V\a>a'^a'

I Xl-OKa'IUtO - 8а^.а\тХаЧПа>. a’* a ^a ^a' ^a ^a"/< ->x\

a'^a(1.36)

Векторы Fw\a>), или в общем случае F(FX(fl))la>, обычно снабжаются индексом квантового числа а. Но в то время как для невозмущенных векторов I а> индексы связаны с собственными значениями полного набора операторов, включающего К, для которых эти

векторы являются собственными векторами, «точные» векторы и их аппроксимации ^\а), ... , полученные в разложении теории возмущений, не являются в общем случае собственными векторами полного набора операторов, включающего Н. Поэтому мы будем часто обозначать их 1(д)>, где те квантовые числа, которые взяты в скобки, не имеют отношения к собственным значениям операторов, собственными векторами которых являются 1(д)>. Смысл квантовых чисел в «точных» векторах состоит, следовательно, только в том, что эти векторы связаны с невозмущенными собственными векторами, для которых эти квантовые числа (или числа, связанные с ними) являются собственными значениями.

.2. ВОЗМУЩЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА —УРАВНЕНИЕ ЛИППМАНА — ШВИНГЕРА1)

В предыдущем разделе нигде не утверждалось, что еа — дискретное собственное значение, а I а> — (обычный) собственный вектор К, хотя вое уравнения записаны при таких предположениях. Предположение о дискретности спектра не является на самом деле необходимым; ниже мы обсудим более детально случай непрерывного спектра, который, используя средства, описанные в разд. II.7, легко получить заменой векторов I а> обобщенными векторами, а дискретных сумм — интегралами.

Для последующего обсуждения мы должны сделать некоторые предположения относительно свойств операторов К и Н = = К + V. Мы предположим, что

спектр К С спектру Н. (2.1)

Это достаточно общее предположение, которое включает в рассмотрение ситуации, встречающиеся в физических задачах. Обычно для процессов распада и рассеяния К имеет только положительный непрерывный спектр; непрерывный спектр Н согласуется с непрерывным спектром К, и, кроме того, Н имеет дискретный набор отрицательных собственных значений (а иногда также дискретных собственных значений в области непрерывного спектра), ограниченный снизу.

11 Результаты этого раздела не понадобятся нам до гл. XIV.

В случае непрерывного спектра сдвиг уровня Ra не является наблюдаемой величиной. Но формула (1.15) по-прежнему справедлива, поскольку (как было отмечено в предыдущем разделе) она верна для любого значения Ех из спектра Н и любого значения еа из спектра К.

Мы будем рассматривать уравнение (1.20) при Ех^ = еа, т. е. будем вычислять Г(Ех^аЗ\а> для такого значения Exw е спектр Н, которое совпадает с собственным значением еа е спектр К, отвечающим обобщенному собственному вектору I а>. Такое значение Ех^ присутствует в спектре Н вследствие предположения (2.1). Мы обозначим это значение Ех^ = Еа. В точке Еа соотношение (1.15) принимает вид

Еа-еа = Ra(E„) = 0.(2.2)

Если опять выбрать форму (1.21) для оператора 0(E), мы снова придем к уравнению (1.27), которое в непрерывной форме имеет вид

Е(Е„)]а> = |я> + [ da' --!— Ю<а’\ VF(E„)\a>.(2.3)

J Еа — Е„.

р

Символ j обозначает интеграл в смысле главного значения, т. е. интеграл по всем а', за исключением «инфинитезимально малого интервала» вокруг Еа, = Еа. Интеграл \da... — символическое обозначение для суммирования по дискретному индексу и интегрирования с соответствующей весовой функцией по непрерывному индексу. Индекс а в I а> относится к энергии Еа и некоторым дополнительным индексам ца, которые могут быть дискретными или непрерывными: I а) = \Еат)а>. Если вектор I а> «нормирован», так что

<ПаЕ'а\ЕаГ1а> = р' 4EqWq - Ео) .

ТО

= Г ^P(Ea)dEa

(см. (1.4.7 с^) и гл. XIV). Соотношение (1.14) снова выполнено, т. е. Р^Еа)\а> есть обобщенный собственный вектор оператора Н с собственным значением Еа. Это можно также видеть непосредственно из (2.3); умножая (2.3) на (Ед — К) и используя равенства

Ма> = Е^а^ и рг

da' \а'> <а'| = I — |а><«|,

получаем

(Еа-К- V)F(Ea)\a> = -|«><«1^(Еа)|л> .(2.4)

Правая часть этого уравнения с учетом (1.6) и (2.2) равна нулю, и мы получаем

(Я - Eo)F(Eo)|tz> = 0.(1.14')

Используем теперь хорошо известное соотношение из теории обобщенных функций1)

= Нт —*— = Р - + /л ^(х).(2.5)„>о + X ± 1П хможно записать в виде= Нт —*— = Р - + /л ^(х).(2.5)„>о + X ± 1П хможно записать в виде1а ± /0

= Нт —*— = Р - + /л ^(х).(2.5)

„>о + X ± 1П х

можно записать в виде

= Нт —*— = Р - + /л ^(х).(2.5)

„>о + X ± 1П х

можно записать в виде

Тогда уравнение (2.3)

РХЕ.» = \а> + Lia--\aWWF(Ea»J Еи - Еи- ± i0

± m^dad(Eo - Ea.)\a'><a'\VF(Eu)\a>.(2.6)

Интегрируя и используя (2.2), мы видим, что последний член в (2.6) равен нулю:

± m\a><a\VF(EQ)\a> = FinR^E,» = 0.

Поскольку К\а') = Еа, I а’ >, уравнение (2.6) может быть записано в более обычной форме:

ХЕа)\а> = |«> + „L УЦЧЕ^аХ(2.7)

Еа — К +

Это уравнение называется уравнением Липпмана — Швингера. Это уравнение для обобщенных собственных векторов

|а> = |а(о)> = F(Ea)\a>(2.8)

оператора Н с собственным значением Еа, которое равно собствен-

° Доказательство соотношения (2.5) можно найти в работе [2], т. 1, гл. I, разд. 2.4. Дальнейшее обсуждение (х ± Ю)х можно найти также в гл. I, разд. 3 и 4. Соотношения между обобщенными функциями (распределениями), подобные (2.5), можно понимать в обычном смысле, когда они умножаются на “хорошую” функцию ф(х) и интегрируются. Таким образом, соотношение (2.5) означает, что

tix-——Mx) = fjx ф(х) + /л (Vx д(х)ф(х) X + М J X J

для “хороших” функций ф(х). Аналогично соотношения между обобщенными собственными векторами, подобные (2.6), можно понимать в обычном смысле, когда берется скалярное произведение с вектором ф е Ф (см. разд. II.8).

ному значению еа оператора К, относящемуся к обобщенному собственному вектору \а>. Таким образом,

//|а> = Н|а(а)> - £а|а>,К\а> = Е0\а>.(2.9)

Уравнение Липпмана — Швингера часто записывается в виде

!«*> = !«*(«)> = |а> + -L-™ l/|a*>.(2.7')

Еа — К +

Кроме решений уравнения Липпмана — Швингера 1а*> представляют интерес и другие базисные векторы. Они получаются из интегрального уравнения для £’(£’fl)l а> в виде (2.3), которое в операторной форме записывается как

р

F(EJ|u> = |a> + - VF(E.)la),(2.10)

£.u - A

где символ P означает, что интеграл берется в смысле главного значения. Чтобы отличать решение этого уравнения от двух решений уравнения Липпмана — Швингера, обозначим его через lap) и перепишем (2.10) в виде

Р

И> = lfl> + гБ Иа7’)-(2-10')

Глава IX

Спин электрона

В разд. IX.2 дублетное расщепление тонкой структуры одноэлектронных атомов объясняется как спиновый эффект. Гамильтониан спинового взаимодействия, необходимый для получения количественных результатов, описан в разд. IX.3. В разд. IX.За из классических соображений находится магнитный момент электрона; в разд. IX.36 в рассмотрение включается магнитное поле, взаимодействующее внутри атома с магнитным моментом электрона. В разд. IX.4 эти результаты используются для вычисления расщепления тонкой структуры. В разд. IX.5 выведены правила отбора для дипольных переходов. Главу заключают некоторые общие замечания, касающиеся наблюдения над квантовыми системами.

. 1. ВВЕДЕНИЕ

Существование спина электрона следовало из наличия тонкой структуры атомных спектров (см. описание экспериментальной ситуации в конце гл. VI). Спин электрона не может быть выражен через операторы координаты и импульса электрона. Если рассматривать электрон как физический объект, имеющий трансляционные и вращательные степени свободы, то спин является наблюдаемой, связанной с вращательными степенями свободы подобно тому, как импульс связан с поступательными степенями свободы. Таким образом, электрон является элементарным ротатором (разд. V.1), имеющим трансляционные степени свободы. В предыдущих главах мы не учитывали вращательные степени свободы электрона, так как их вклад в энергию электронов, связанных в атомах, мал. В гл. III мы показали, что могут существовать любые целые или по- луцелые значения угловых моментов и что в полуцелом угловом моменте нет ничего необычного. Оказывается, что спин электрона {собственный угловой момент) равен 1/2.

Прямое подтверждение гипотезы о существовании спина электрона дает эксперимент Штерна — Герлаха. Схема эксперимента показана на рис. 1.1. Между полюсами Рх и Р2 создается сильно неоднородное магнитное поле (магнит Р2 имеет острый край). Пучок

атомов водорода^ в основном состоянии пропускается вблизи острого края магнита Р2, а затем падает на пластинку Т. В отсутствие поля пучок приводит к появлению на пластинке узкого пятна (штриховая линия на рис. 1.1). При включении магнитного поля появляются два пятна (сплошные линии на рис. 1.1).

Не вдаваясь в детальное описание эксперимента (см. гл. XIII), можно видеть, что модель атома водорода, описанная в гл. VI, не может объяснить этого расщепления пучка. Согласно этой модели, ансамбль атомов водорода в основном состоянии находится в чистом состоянии

W = \a^xv (1.1)

поскольку д?^п = 1) — одномерное пространство. Поэтому, согласно модели гл. VI, ансамбль атомов исходного пучка невозможно разделить на два подансамбля, как это происходит в магнитном поле. Экспериментальный факт разделения на два подансамбля показывает, что вместо пространства ^(л = 1) мы должны иметь (по крайней мере) двумерное пространство. Если предположить, что ансамбли атомов разделившихся пучков находятся в чистом состоянии, то мы должны иметь в точности двумерное пространство. В некотором приближении (рассматривая только структуру электрона и не учитывая возможную структуру ядра) до сих пор придерживались именно такого предположения.

Поскольку расщепление пучка вызвано магнитным полем, следует предположить, что новая переменная, существование которой демонстрирует эксперимент Штерна — Герлаха, связана с магнит-

Рис. 1.1. Расщепление пучка частиц после прохождения магнита Штерна—Герлаха.

11 В оригинальном эксперименте использовались атомы серебра. Затем эксперимент повторяли с другими атомами, в том числе с атомами водорода.

ным моментом. Так как наличие магнитного момента связано с вращающимися зарядами, можно подозревать, что новая переменная должна быть угловым моментом.

IX.2. ТОНКАЯ СТРУКТУРА —КАЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ

Угловой момент, вызывающий расщепление пучка в эксперименте Штерна — Герлаха, не может быть орбитальным угловым моментом Ц = еук Qj Рк, так как для основного состояния атома водорода он равен нулю. Кроме того, для алгебры орбитального углового момента не существует двумерных пространств состояний, поскольку / = 0, 1, 2, ... (задача III.1). Двумерное пространство представления &i=x/1 (разд. III.3) имеется для алгебры спинового углового момента. Оно содержит два одномерных пространства состояний с противоположной спиральностью. Обозначая это двумерное пространство через *5, мы можем записать

1,2 ®(2.1)

Тем самым мы предполагаем, что электрон является элементарным ротатором и электрон в атоме водорода является комбинацией двух физических систем: электрона, совершающего орбитальное движение, и этого элементарного ротатора (вращающегося электрона), пространство состояний которого есть*5. Тогда пространство физических состояний атома водорода с наинизшей энергией есть

^п = 1) - ^(п = 1) ® г\(2.2)

а в общем случае п-е пространство состояний водородного атома имеет вид

^(и) = ад ® г\к (2.3)

Орбитальные наблюдаемые (функции от Qt, Р^ Л;. и Ц, заданные в (VI.3.1), (VI.3.3) и (VI.3.9), действуют в пространстве ^(л), а новые угловые моменты, которые называются спиновыми и обозначаются Sz, действуют в пространстве*5.

Чтобы проверить, согласуется ли наше предположение с экспериментальными данными, проведем редукцию пространства по полному угловому моменту. Согласно (VI.4.4), каждое пространство #(л) представляет собой прямую сумму ^(л) = = Е 7=о © '^1 • Тогда пространство Л^л), заданное уравнением

является прямой суммой1)

<Г(п)> f У ©) ® ts = У © (^ ® А (2.4)

Пространство .^ ® is — это пространство физических состояний суперпозиции двух элементарных ротаторов с угловыми моментами Z и $ = 1/2. Орбитальные угловые моменты Lj = eijk QjPk действую! в пространстве .^, а спиновые угловые моменты Si действуют в*1. Тогда полный угловой момент комбинации элементарных ротаторов, согласно уравнению (V.2.3), равен

J, = L, ® 7 + 7 ® S, .(2.5)

Используя (V.2.32), мы можем редуцировать ^ ® г5 на сумму собственных пространств полного углового момента:

зесли ^ = о*

^ ® ^ = у^ = /+1/2 @^=<-1/2 в остальных случаях. (2.6)

Являются ли пространства ^ или ^ ® г5 пространствами физических состояний, зависит, конечно, от возможности приготовить такие состояния. Если физически приготовимые состояния являются собственными состояниями полного углового момента, то пространства ^ являются пространствами физических состояний; если физически приготовимые состояния — собственные состояния спинового и орбитального угловых моментов, то пространствами физических состояний являются пространства 5? ® г5. Экспериментальные данные показывают, что физическими пространствами являются д^ t в которых каждый уровень с фиксированным орбитальным угловым моментом (кроме уровня с / = 0) расщепляется, как следует из (2.4) и (2.6), на два подуровня.

Из выражений (2.4) и (2.6) следует

= я\И№ © («У-п © я^^ ® СЛ3/.^ ®

® ■ • ■ © («г;.3'.2,, © ^'-V (2.7)

Для и = 1

^(п = 1) = ^/2^,(2.8)

° Символ * означает, что два пространства эквивалентны относительно Й(5О(3),.)

действия операторов, генерируемых Li.

и имеется только один уровень, отвечающий этому двумерному пространству. Двумерность пространства #\п = 1) позволяет нам объяснить расщепление пучка в эксперименте Штерна — Герлаха на два подансамбля: один, отвечающий пространству ^(/=ov3= + i/2» и второй, отвечающий пространству ^(/=о)у3= -1/2 •

Для и = 2

^(П = 2) = .^0) © S^n © ^Т^,(2.9)

и имеются три энергетических уровня, каждому из которых отвечает одно из пространств в (2.9):

^(У=0) *-*2s1/2 ^У^и <->2р1/2 и ^(7=d *-*2р3/2.(2.10)

Для п = 3

^П = 3) = ^/=0) © ^l) © ^7=1) ©^(7=2) © ^(7=2). (2.11)

Это отвечает энергетическим уровням

3s1,2 Зр1/2 Зр3/2. 3d111, 3d5*1

соответственно. Для и = 4, 5,... применяются те же рассуждения. Эти результаты в точности соответствуют (в пренебрежении сверхтонким расщеплением) экспериментальным данным, приведенным на рис. VI.5.2 для водорода и на рис. VII.2.1—VII.2.3 для щелочных атомов. Таким образом, каждому энергетическому уровню отвечает собственное пространство полного углового момента; собственные пространства J2 являются также собственными пространствами оператора Н, и

[H,JJ = 0.(2.12)

Это уравнение, которые мы получили здесь, используя экспериментальные данные, отражает вращательную инвариантность Н и может быть получено теоретически из общих соображений симметрии.

Мы обозначим пространство ^ из (VI.5.2) через <^orb:

ЖотЪ = f ©^(п).(2.13)

п = 1

В случае, когда учитывается спин, оператор Н, заданный в (VI.3.2) или (VI.3.5), не является оператором полной энергии; поэтому этот приближенный оператор энергии обозначим Но:

Р2 а._ .

яо = у-у(2.14)

(ИЛИ(ИЛИР2 аР2 а(2.14')(2.14')

(ИЛИ

(ИЛИ

Р2 а

Р2 а

(2.14')

(2.14')

для щелочных атомов). Следовательно, в описании, учитывающем спин, пространство физических состояний атома водорода имеет вид

Э^ = j^°rb ® ^ = ( £ © ^(n)Y® >$ = f © ^(n). (2-15)\n = 1 / n = 1

Это описание объединяет бесспиновый атом водорода и элементарный ротатор. Поэтому базисной системой векторов в этом пространстве является

|и I т) ® |s = |, s3>, (2.16)

где

I nlm> (п = 1,2,3,... ; / = 0,1,2,...,и - 1;т = -/,-/ + 1,..., + /)

образуют базисную систему в пространстве Л/огЬ, a I s = ^3)

($3 = —1/2, +1/2) образуют базисную систему в пространстве г5 = .^>1/2 в соответствии с фундаментальным постулатом IV для

(2.17)(2.17)каждой наблюдаемой А в пространстве X имеем

(2.17)

(2.17)

А = Y С*1 ® -4?ГЛ

где Л0^ действует только в пространстве //огЬ, а Л$п действует только Bt5 (см. III.5.7)). Орбитальный угловой момент и спин являются частными примерами:

Ц =L^®I^= ^ijkQ7bPk^ ® Ррт = Ц®1 = (e^QjPk) ® /, (2.18)

(2.19)(2.19)5. = /огЬ © ^spin = / ^ Si

(2.19)

(2.19)

где /sPin, /огЬ — единичные операторы в пространствах *5 и Л*гЬ соответственно. (Для удобства мы обычно будем опускать индексы «огЬ» и «spin», если из контекста понятно, в каком пространстве действует оператор.) Полный угловой момент комбинированной системы является суммой этих двух угловых моментов (2.5):

J, = L, + S, = L, ® I + I ® \.

Оператор энергии Н также может быть записан в виде (2.17). Так как Но ® I уже дает очень хорошее описание энергетического спектра (см. рис. VI.5.1, VII.2.1—VII.2.3), мы будем записывать

оператор энергии в виде

H = H0-vHx (Н0 = Н0®П,(2.20)

где Нх действует на всем пространстве ^ = ^,огЬ ® *5 и является малым в том смысле, что его вклад в уровни энергии мал по сравнению с вкладом HQ. Оператор Нх не может иметь вид Нх ® /. Если бы это было так, не было бы тонкого расщепления между уровнями с одинаковым /, поскольку Н^гЬ можно было бы просто добавить к 7/^гЬ и результирующий оператор Н = (770 + Нх) ® I (для заданного Z) приводил бы только к сдвигу энергетических уровней. Оператор Нх не может быть также вида I (8) Нх, поскольку*5 является очень простым двумерным пространством и каждый оператор в *s может быть записан в виде линейной комбинации четырех операторов 7, Sx, S2 и S3; таким образом, Нх имел бы вид Нх = = а°7 + H^=xaiSi (o' е С). Первый член приводил бы только к появлению одинакового для всех энергетических уровней сдвига. Второй член (EzLi«'Sz), а следовательно, Нх не коммутирует с Jk, поскольку

Sy] = i€ijkSk(2.21)

вследствие (2.5) и

[ShSJ = i(ijkSk.(2.21а)

Поэтому мы имели бы вращательно-неинвариантный оператор Нх, а следовательно, Н = Но + Нх, что противоречит уравнению (2.12). Таким образом, наиболее общей возможной формой Нх является3

Нх - А ® I + f Вх® S,,(2.22)

i= 1

где А и Bj — операторы в пространстве ^огЬ, т. е. функции операторов Qj, Pf. Оператор А — скалярный оператор, а операторы Bi являются компонентами векторного относительно Ц оператора. Первое следует из того факта, что каждый оператор в пространстве*5 = .^1/2 может быть записан в виде линейной комбинации операторов 7, Sj, S2 и S3. Второе следует из требования

№хад = о.

Последнее в свою очередь следует из уравнений (2.12), (2.20) и [770, ЬД = 0.

Чтобы видеть это, вычислим выражение

з

^ [Bk ® Sk, Jj = [В^, Г,] ® Sk + i€kijBk ® Sp k = 1

которое равно нулю только в том случае, если

№,1,1 = it^Bj,(2.226)

т. е. если Вк — векторный оператор относительно Ц.

Так как

[Н „£,] ^ 0,(2.22а)

что немедленно следует из (2.226), базисные векторы (2.16) не могут быть собственными векторами оператора Н. Физически при- готовимые состояния всегда являются собственными состояниями энергии или их смесью (см. гл. XII). Следовательно, мы должны использовать базис собственных векторов оператора Н. Вследствие (2.12) собственные векторы операторов полного углового момента J2, J3 могут быть собственными векторами Н. Поэтому используем (V.2.12) для образования новых базисных векторов

\nb = ^jj3> = £\nll3)® I* = 1S3><H3S = is3\jj3\ (2.23)

где < П3уг$3 |уу3> — коэффициенты Клебша — Гордана, приведенные в табл. V.2.I. Базисные векторы (2.23) являются собственными векторами п.с.к.о.

H0,L2,S2,J2, J3.(2.24')

Так как оператор S2 равен 1/2(1/2 + 1) на всем пространстве мы можем им пренебречь, и иметь в составе п.с.к.о. операторы

HO,L2,J2, J3 ,(2.24)

собственными векторами которых являются векторы (2.23). Базис (2.23) не обязательно совпадает с базисом собственных векторов оператора Н. Если базисные векторы (2.23) не являются собственными векторами Н, то собственные векторы Н можно построить из (2.23) путем вычислений по теории возмущений. Как мы покажем ниже, система

Н, V, J2, J3(2.25)

(2.26)(2.26)также является п.с.к.о., для собственных векторов которой мы введем обозначение

(2.26)

(2.26)

\Eljh>.

Различие между (2.23) и (2.26) состоит в том, что

H0\nljj3) = £„°|и/йз> ,(2.27;

где Е^ = — а2/2п2, согласно (VI.5.3), и

H\Eljj3> = E\Eljj3>,(2.28)

где Е — величина, которую предстоит определить. Таким образом, базисные системы (2.23) и (2.26) имеют все квантовые числа одинаковыми, кроме одного (энергии), и возмущение (Н — //0) не затрагивает квантовых чисел /, /, /3. Следовательно, после того как мы провели преобразование (2.23), мы можем пренебречь наличием дополнительных квантовых чисел для векторов состояния и рассматривать теорию возмущений только для одного квантового числа, как это описано в разд. VIII. 1.

Чтобы показать, что система (2.25) действительно является п.с.к.о., достаточно показать, что

[Н, L2] = 0.(2.29)

Этого нельзя получить из общей формулы (2.22); уравнение (2.29) надо рассматривать как условие, накладываемое на операторы А и В. Обоснованием его служит рассмотрение четности в разд. V.4, что также отражено в (VI.5.9), и новое предположение относительно Н:

LH,UPl = 0 или UpHUpX=H.(2.30)

Это предположение отражает инвариантность Н относительно преобразования четности. Преобразование Up в спиновом пространстве имеет вид

^ph = 1*з> = ^h = is3>,(2.31)

где IttsI = 1. Уравнение (2.31) имеет вид (V.4.20) в частном случае, когда j = s = 1/2, и следует из соотношения (V.4.3) для S{, т. е. из соотношения

UpSUpx=Si.(2.32)

Уравнения (V.4.20) и (V.4.21) при j = I для орбитального углового момента дают

^р1^//3> = (-i)W^/3>;^р1^//3> = (-i)W^/3>;(2.33)(2.33)

^р1^//3> = (-i)W^/3>;

^р1^//3> = (-i)W^/3>;

(2.33)

(2.33)

здесь £ может быть любым дополнительным квантовым числом, оператор которого коммутирует с Up, например £ = п или £ = Е. Из (2.31) и (2.32) следует

Up(\^ll3> ® |5 = h-з» = (-1)^|^//з> ® |S = is3> (2.34)

(т/ = ^orb^sV Затем из (2.23) следует

UP\Ujj3> = (-Vyn\Ujj3>.(2.35)

Таким образом, собственное значение оператора L2 связано с собственным значением Up, а квантовое число / в базисе (2.23) может рассматриваться как квантовое число четности. (Четность может принимать только значения +1 и — 1, поэтому для заданных п, j, j3 существуют два состояния с противоположной четностью. Это уже было отражено в (2.7), где каждому j отвечало два значения I: / = j + 1/2 и I = j - 1/2.) Следовательно, если имеет место (2.30), то $ в (2.35) может быть собственным значением Е оператора Н; из (2.30) следует, что Е, I, j, j3 могут характеризовать состояния; таким образом, система (2.25) является п.с.к.о., которая, как было показано, эквивалентна п.с.к.о.

H,Up,3\ J3.(2.36)

Теперь, когда установлено соотношение (2.29), оно может быть использовано для получения новых условий на операторы А и Bt в (2.22). Из (2.22) следует

[H„L2] = 0,(2.37)

что не приводит к появлению новых ограничений на А, но вместе с (2.226) накладывает ограничение на В1.

О = [Bt. L2] = {L„ [В., Ь,]} = ktiAL„ В,).

Отсюда следует ограничение

Bj-KQ-^Lj,(2.38)

где [/(О. Р), ЕД = 0, т. е. /(Q, Р) — скалярный оператор по отношению к Ц. Руководствуясь соответствием с классическим случаем, мы скоро обнаружим, что для спин-орбитального вклада в Нх имеем /(Q, Р) ~ Q-3 (см. (3.23)).

Хотя мы обозначали базисные векторы (2.23) и (2.26) по- разному, может оказаться, что они одинаковы (с точностью до фазы). Следует различать две возможности:

[Н1? Но] = 0, откуда следует [Н, Но] = 0,(2.39)

[Нь Яо] * 0, откуда следует [И, Яо] ^ 0.(2.40)

Если имеет место (2.39), то базисные векторы (2.23) являются также собственными векторами оператора Н и

H\nljj3> = Enlj\nljj3>;(2.41)

собственное значение Н в общем случае может зависеть от п, I и j

(2-42)(2-42)и дается формулой р _ рО , ,рО _ _ ^

(2-42)

(2-42)

^nlj' ^nljiLn2^2 ’

где enlj — собственное значение оператора Нх в состоянии \nljj3):

Hx\nljh) = €nlj\nljh>.Hx\nljh) = €nlj\nljh>.(2.43)(2.43)

Hx\nljh) = €nlj\nljh>.

Hx\nljh) = €nlj\nljh>.

(2.43)

(2.43)

Если имеет место (2.40), то векторы (2.23) и (2.26) различны и (2.26) можно найти из (2.23), пользуясь теорией возмущений. Тогда в первом порядке теории возмущений, согласно (VIII. 1.29) или (VIII. 1.33), выражение для собственного значения Е^ оператора

Н имеет видН имеет вид/7(1) — /70 , ,(1)^n/j ^n ' bnlj '/7(1) — /70 , ,(1)^n/j ^n ' bnlj '(2.44)(2.44)

Н имеет вид

Н имеет вид

/7(1) — /70 , ,(1)

^n/j ^n ' bnlj '

/7(1) — /70 , ,(1)

^n/j ^n ' bnlj '

(2.44)

(2.44)

где ^ — среднее значение оператора Нх по состояниям (2.23)

(2.45)(2.45)4У = <п U)з\нх\п i j j3>.

(2.45)

(2.45)

IX.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ, ОТВЕЧАЮЩЕЕЗА ТОНКУЮ СТРУКТУРУ

Получение количественных результатов требует задания оператора Нх; вид оператора Нх можно установить исходя из правдоподобных аргументов при сравнении с классической ситуацией. Слагаемое оператора энергии, отвечающее за появление тонкой структуры, содержит два вклада: 1) вклад, отвечающий за взаимодействие между магнитным моментом электрона и магнитным полем в системе покоя электрона, обусловленное движением заряда протона в этой системе, и 2) вклад, отражающий изменение массы электрона с изменением его скорости. Оба вклада имеют происхождение в релятивистской кинематике, но хотя второй того же порядка величины, что и слагаемое с магнитным моментом, он не влияет на расщепление уровней с одинаковыми значениями пик Кроме слагаемых, ответственных за тонкую структуру, существуют и другие вклады в оператор энергии, которые приводят к появлению лэм- бовского сдвига и сверхтонкой структуры, но мы их здесь обсуждать не будем.

IX.За. МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЧАСТИЦЫ

В КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [22]

Энергия магнитного диполя с магнитным моментом m в магнитном поле В равна

E(1W)=—m*B. (3.1)

Поэтому нам необходимо знать магнитный момент m вращающегося электрона и магнитное поле В в системе покоя электрона. В этом разделе мы найдем ш, а в разд. IX.36 рассмотрим выражение для В.

Прежде чем рассматривать магнитный момент вращающейся частицы, напомним связь между орбитальным угловым моментом и магнитным моментом, вызванным вращением заряженной частицы вокруг какого-то центра. Согласно классической электромагнитной теории, магнитный дипольный момент движущегося по орбите точечного заряда (—е) с массой те, находящегося в точке х и движущегося со скоростью V, равен

m°rb = ^(-е)х х v = - el. (3.2) 2с 2тес

(Заметим, что мы рассматриваем вращение отрицательно заряженных частиц, таких как электрон, и что е = +4,803-10“10 ед. СГС.) Связь между магнитным моментом вращающейся заряженной частицы и ее собственным угловым моментом (спином) s отличается от (3.2) множителем gs == 2 — фактором Ландэ, т. е. гиромагнитное отношение равно не е/(2тД как в (3.2), а е/(тес). Чтобы найти этот множитель, рассмотрим вращающуюся точечную частицу.

Классическая вращающаяся частица — физическая система, имеющая две различные динамические переменные: импульс р и спин S. Если х — координата, то полный угловой момент j равен

(3.4)(3.4)j = l + s = xxp + s. (3.3) Внутренние свойства этой классической частицы предполагаются такими, что она имеет заряд ( —е) и собственный магнитный момент т. Тогда на нее могут действовать внешняя сила F и внешний вращающий момент Т. Внешняя сила может возникать, например, из-за наличия внешнего электрического поля или магнитного поля (сила Лоренца); внешний вращающий момент может возникать, например, при взаимодействии магнитного поля В с собственным магнитным моментом т:

(3.4)

(3.4)

Т = т х В.

В этом случае уравнения движения имеют вид

(3.5)(3.6)(3.5)(3.6)— = F dt

(3.5)

(3.6)

(3.5)

(3.6)

^ = - -L -$ = Т

dt dt dt

где Ttot — полный вращающий момент, т. е.

Т(о( = х х F + Т

Используя уравнения (3.5)—(3.7) и определение V = dx/ dt, из (3.3) получаем

ds

д + V X р = Т.(3.8)

Если импульс р и скорость V параллельны или одна из этих величин равна нулю, то

и мы получаем, используя (3.3) и (3.5),

д = х X F.(3.96)

Это означает, что если векторы импульса р и скорости v параллельны, то спиновое и орбитальное движения независимы; спиновое движение определяется вращающим моментом Т, а орбитальное движение — силой F. Если, как это всегда предполагается в нерелятивистской механике, р = тч, то орбитальное движение можно описывать с помощью уравнения (3.96), а спиновое движение — с помощью уравнения (3.9а), и спиновое и орбитальное движения независимы одно от другого. Подставляя (3.4) в (3.9а), тогда для спинового движения (частицы, для которой р и V параллельны) получаем

ds

т = m х В(3.10)

dt

Предположим теперь, что мы имеем дело с частицей, не обладающей собственным магнитным моментом, т. е. m = 0; тогда из (3.4) следует, что Т = 0, где Т интерпретируется как вращающий момент, действующий на любой собственный момент, которым может обладать частица. Предположим также, что vxp Ф

Ф О1’, т. е. что мы не имеем строго нерелятивистского соотношения р = тч или релятивистского соотношения для свободных бес- спиновых частиц р = тч/(\ — v2/c2)1/2. Тогда уравнение (3.8) принимает вид

- = — v х р,(3.11)

dtР

Предположим, что частица движется в постоянном однородном магнитном поле В. Сила Лоренца, которая действует на частицу, равна производной импульса по времени; поэтому dp — е _

Г = Г =v х В,(3.12)

dt с;

следовательно, 1 d , dp е п

4P'VX в <313»

Но используя (3.11), а также предположение, что поле В постоянно (dB/dt = 0), получаем

е dnе dsе

(s • В) = - • В = — v х р • В с dtс dtс

= - р х v • В = р • v х В.(3.14)

сс

Складывая (3.13) и (3.14), находим

’р2 + ^ s • В = const.(3.15)

с

Если предположить, что частица имеет постоянную массу те, и определить величину ц выражением

n=_JLs(3.16)

тес

то мы можем переписать уравнение (3.15) в виде

р2

р • В = const.(3.17)

Это означает, что интегралом движения является не кинетическая энергия частицы р2/2те, а левая часть равенства (3.17) (кроме тех

случаев, когда два вектора из V, р и В параллельны: в этом случае из (3.13) следует, что интегралом движения является кинетическая энергия). Следовательно, член —/* • В представляет собой дополнительную энергию, которую вращающаяся частица, скорость v которой не параллельна р, приобретает в магнитном поле В. Этот дополнительный член имеет обычную форму (3.1) для энергии магнитного момента ц в магнитном поле В. Таким образом, даже если частица (для которой р не параллелен V) не имеет собственного магнитного момента, который могло бы закручивать магнитное поле, она «ведет себя» таким образом, что имеется вклад в энергию частицы в магнитном поле такой, как если бы частица имела магнитный момент ц (3.16) и гиромагнитное отношение е/тес. Выражение (3.16) похоже на (3.2), но содержит дополнительный множитель 2 (значение фактора Ланде gs) в правой части. Таким образом, мы приходим к заключению, что все заряженные частицы с собственным вращением автоматически приобретают магнитный момент (3.16), который имеет релятивистское происхождение. (Для положительно заряженных частиц знак в уравнениях (3.12)—(3.15) и (3.16) меняется на противоположный.)

Если электрон является квантовомеханической частицей с зарядом — е, не обладающей собственным магнитным моментом, то его оператор магнитного момента должен даваться квантовомеханическим аналогом выражения (3.16), т. е. формулой

М. = - ^ s = - 91-2 - S , (3.18) тес 2тсс

где S — оператор спина. Оказывается, что формула (3.18) действительно дает очень точное описание магнитного момента электрона. Но, каХи любое теоретическое описание, это описание также является приближенным, и имеются отклонения от него. Для электронов эти отклонения малы; для других частиц, называемых адронами, отклонения от (3.16) того же порядка, что и для (3.18), и интерпретируются как собственные магнитные моменты, возникающие из-за наличия внутренней структуры. Отклонение от значения gs = 2 для электрона возникает из-за радиационных квантовых электродинамических поправок и имеет аналогичное происхождение и тот же порядок величины, что и лэмбовский сдвиг. С учетом поправок второго порядка имеем

9s = - 0.328^-) Y

где а = e2/(hc) — постоянная тонкой структуры. Это значение gs согласуется с экспериментальным значением с точностью до восьмого знака после запятой. Поправочные члены малы из-за малости а, поэтому электроны с очень хорошей точностью являются частицами, не имеющими внутренней структуры.

Значение gs = 2 было измерено еще в 1915 г. в эксперименте Эйнштейна — де Гааза; оно было использовано при формулировке гипотезы о существовании спина примерно в 1926 г. Существование членов с радиационными поправками было впервые обнаружено Раби и др. в 1947 г.; эти члены были вычислены в рамках квантовой электродинамики Швингером в 1948 г. Значение gs = 2 можно также получить, используя гипотезу «минимального взаимодействия с электромагнитным полем», которая была впервые использована в релятивистском волновом уравнении Дирака для электрона; это рассматривалось как одно из больших достижений, связанных с уравнением Дирака. Приведенные выше соображения показывают, что это значение возникает уже при классическом рассмотрении.

Существуют элементарные частицы, обладающие внутренней структурой: например, протон имеет собственный магнитный момент

М_ - 5.59 S = (2 + 3.59)8,(3.18р)

2т рс2т рс

т. е. ^-фактор протона равен g = 5,59. Величина, на которую магнитный момент превосходит значение 2(e/(2mpc))S в (3.16), называется аномальным магнитным моментом; для протона он равен 1,79 е/(трс). Нейтрон не имеет заряда, прэтому, согласно (3.16), его магнитный момент равен нулю; но нейтрон имеет аномальный магнитный момент

Мп -—^(0 - 1.92)8.(3.18л)

2тпс

IX.36. СПИН-ОРБИТАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

При определении величины магнитного поля В необходимо принимать во внимание релятивистские кинематические эффекты. Перейдем в систему координат, движущуюся вместе с электроном вокруг протона. В этой системе электрон находится в состоянии покоя, а заряд протона движется со скоростью V, равной по величине и об-

ратной по направлению скорости электрона. Это движение реализует ток. Магнитное поле тока одиночного заряда + е, движущегося со скоростью V, по закону Био — Савара равно

В(х) = + сВ(х) = + сV X XV X X(3.19)(3.19)

В(х) = + с

В(х) = + с

V X X

V X X

(3.19)

(3.19)

(е измеряется в ед. СГС, В — в гауссах), где х — вектор, равный по модулю г и направленный от движущегося заряда в точку наблюдения. Угловой момент электрона равен

1 = х х ( — те v).

Следовательно, в точке, где находится электрон, имеется вызванное вращением протона магнитное поле, равное

В = + I.(3.20)

трсг

В формулах (3.19) и (3.20) релятивистские эффекты не учитываются. Следовательно, из (3.1) получаем выражение

ЕНм. = - з|т=<3-21>

тес г

для энергии магнитного момента в этом поле (индекс r.f. обозначает вращающуюся систему отсчета). Если система отсчета вращается, появляется дополнительный вклад в энергию, уменьшающий (3.21) на множитель 1/2. (Этот множитель известен как «фактор Томаса» и вызван «прецессией Томаса»; детальное вычисление можно найти в работе [32]). Таким образом, энергия движущегося спинового магнитного момента в магнитном поле протона равна

ЕТ = ~" Vms(3.22)

2трс г

Квантовомеханическое выражение, соответствующее (3.22), получается стандартной процедурой замены классических величин I и ms квантовомеханическими наблюдаемыми L и М$, заданными выражениями (VI.3.1) и (3.18):

Н\т' = + gs т-^— Аз L *s = 5 л3 Lisi <обычные еД- СГС)Q 2трс Q

^gsHB^L.Sj (h = 1).

(3-23)

Величина

_ eh _ (4,8 х 10’10 ед.СТС)(6,6 X 10" 16 Эв • с)

^В " 2тГс 2(3^0 х Ю10см/с)(9,1 х 10'^

= 0,58 х Ю"8--™^ " эВ - — = 0,58 х 10"8эВ -^- г • смг

- 0,58 х 10^8эВ/Гс = 9,3 х 10'21эрг/Гс

называется магнетоном Бора. Оператор L S в (3.23) легко вычислить по формуле (2.5)

J2 = (L + S)2 = L2 + S2 + 2L-S, используя тот факт, что

S2|/7/;/3> = s(s + 1)|л/;/з> = ^nljhy

Тогда для (3.23) получаем (в обычных единицах СГС)

с2

HT'-^ — Q-^^-U-VY(3.24)

т;с *

IX.Зв. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ПОПРАВКА

Вклад, обусловленный релятивистским массовым эффектом, мы получим при разложении релятивистского выражения для кинетической энергии

Ро = \ (тес2)2 + с2р2

свободного электрона по степеням р/<тес) (р = (р2)1/2):

р2^ (р2 Y

2т е2 \2ше/ тес2

Энергией покоя электрона тес2 мы пренебрегаем, поскольку в нерелятивистском случае энергия определена только с точностью до аддитивной константы (энергия покоя сдвигает все уровни на одинаковую фиксированную величину). Таким образом, классическая кинетическая энергия с учетом релятивистской поправки первого

порядка равна

F _ р2 _ Ч р2 V 1km 2те 2 \2тг/ тес2

в отличие от обычного выражения

2тс

Переходя к квантовой механике, заменим числа р( операторами Р. и получим

,1/ Р2 \22тес~ \2mJ,1/ Р2 \22тес~ \2mJ1, Н2тес2 \ 0 Q)1, Н2тес2 \ 0 Q)(3-25)(3-25)

,1/ Р2 \2

2тес~ \2mJ

,1/ Р2 \2

2тес~ \2mJ

1, Н

2тес2 \ 0 Q)

1, Н

2тес2 \ 0 Q)

(3-25)

(3-25)

в качестве кинематической поправкив качестве кинематической поправкик выражению (2.14')к выражению (2.14')

в качестве кинематической поправки

в качестве кинематической поправки

к выражению (2.14')

к выражению (2.14')

НоНоР22теР22теQ'Q'

Но

Но

Р2

2те

Р2

2те

Q'

Q'

(Как это выражение для Но, так и (3.25) написаны в обычных еди ницах СГС в отличие от единиц, описанных в разд. VI.3 выше (VI.3.4).) Таким образом, оператор полной энергии с учетом двух поправочных членов имеет следующий вид:

Н = Но + Н\т> + Н\к\Н = Но + Н\т> + Н\к\(3-26)(3-26)

Н = Но + Н\т> + Н\к\

Н = Но + Н\т> + Н\к\

(3-26)

(3-26)

где Н^ и Н\к^ даны в (3.24) и (3.25) соответственно.

IX.4. ТОНКАЯ СТРУКТУРА АТОМНЫХ СПЕКТРОВ

Поскольку оператор Нх = Н^ + Н\к^ содержит операторы Qk (к = — 1, — 2, — 3), оператор Нх, а следовательно, и Н не коммутируют с HQ. Поэтому оказывается, что мы имеем ситуацию, описанную в (2.40), (2.44), (2.45), когда I nljj3 > не являются физическими собственными векторами, а Е^ в (2.44) и (2.45) является только первым приближением.

Чтобы вычислить матричный элемент (2.45), воспользуемся уравнениями (VII.2.15)—(VII.2.17) и (VIL2.20). (Заметим, что при / = 0 уравнение (VII.2.17) сингулярно, но при / = 0 матричный элемент {nljj31 L -SI nljj3 ) равен нулю (см. ниже (4.2)), так что матричный элемент оператора LS/Q3 всегда хорошо определен.) Вы-

числяя матричный элемент спин-орбитального члена Н\т\ находим

<” / j./з I\п I j j3> = —<п I j j31Q ’ 31 n I j j3>

2m;c"

(4.1)(4.1)x № ,j=l + i-

(4.1)

(4.1)

X {-(/ + 0/2,

поскольку

((J -V - V> 1Ш = Юи + 0 - 1(1 + 1)-- >7 ljj3>

= ?|/7 I j j3} x VV (4.2)

(-(/ + 0 , j = / -

Согласно (2.23), имеем

<nljj3\Q"3\nljj3> = £ £ ШзИЮ = Ю3><Н'з8 = Ь’з|77з>

/з'$з' /3S3

X <s3\s'3Xnll3\Q-3\nir3>.

Используя соотношение ортогональности для коэффициентов Клебша — Гордана (V.2.15) и тот факт, что последний матричный элемент равен нулю, за исключением случая, когда /3 = /3':

<nll'3\Q-3\nll3> = Wnl\Q~3\niy

получаем

<nljj3\Q"3\nljj3> = <И l\Q~3\n I).

Таким образом, из (4.1) и (VII.2.17) вместе с (VII.2.20) следует

^IjblHnnljH)

1

пза +i)(/ + ю

1 у,2[-(/+ 1),1 у,2[-(/+ 1),(4-4)(4-4)1fl/(/+ 1),/7(2/ + 1) [-1//,1fl/(/+ 1),/7(2/ + 1) [-1//,

1 у,

2[-(/+ 1),

1 у,

2[-(/+ 1),

(4-4)

(4-4)

1fl/(/+ 1),

/7(2/ + 1) [-1//,

1fl/(/+ 1),

/7(2/ + 1) [-1//,

(4-3)

Вспоминая, что, согласно (VI.5.12), при h = 1

F0 = _ тЮ4 =п1 2п3

можем переписать (4.3) в виде

<п1Цз\НТ\п1Ц3>= -Е„° --

Матричный элемент члена кинетической энергии //^ в (3.25) равен

^ijj^H'hnijjj)

= -2^^ + lEy^HQ-'ln^ + ?4<п/|е-2|л/>)

£0 f /e2V 1т^2 1 е4т2е4 1)

[ ус/ 4п2 + 2тес2 1 п2 + 2тес2Е® (I + j)h3J

0/c2Vf 111)

ус/ [ 4и2 + п2 п(1 + j)J

В этом вычислении использованы соотношения (VII.2.15), (VII.2.16) и (VII.2.20). Складывая (4.5) и (4.6), для члена, отвечающего за появление тонкой структуры, получаем

(

,2\ 2 1/з\

С \5 И \

—— 7 - •Г(4-7)

с / п- у4 j-H/

Следовательно, матричный элемент Н = Но + Нх равен (Л восстановлена),,,

/( р2\2 1 / и\

Е«и = <и ljj3\H\n ljj3y = ЕЦ 1 + 7Ьр-7• (4.8)

у уис/ АГ у / + 44//

В выражении (4.8) член, который вызывает тонкую структуру, пропорционален 1/(у + 1/2). Вспоминая, что а2 = (e2/(hc))2 = = (1/137)2, мы видим — слагаемое, отвечающее тонкой структуре, на 4 порядка меньше, чем Е^, и дает согласующиеся с экспериментом значения для расщеплений энергетических уровней с разными j. Это показано на рис. VI.5.2, где индексы обозначают значения полного углового момента j. Уровни энергии обозначаются n(l)J, где вместо (/) при /= 0, 1, 2, 3, 4, 5,... пишутся буквы S, Р, D, F, G, //,... соответственно. Например, 2Р1/2 обозначает случай, когда п = 2, / = 1, у = 1/2, а 2Р3/2 — случай, когда п = 2, / = 1, j = = 3/2. Выражение (4.8) не зависит от /, а следовательно, не может описывать расщепление уровней 2 51/2 и 2 Рх/2 или 3 Р^^ и 3 £)3 2,

т. е. расщепление между состояниями, имеющими одинаковые значения у, но разные значения /; это также отражено на рис. VI.5.2. Как упоминалось выше, это расщепление — лэмбовский сдвиг —

имеет другое происхождение и на порядок величины меньше, чем спиновое расщепление.

Спин не является фундаментальным понятием квантовой теории. Как обсуждалось в гл. III, значение углового момента, равное h /2, естественно возникает при разрешении коммутационных соотношений для углового момента (III.2.16), которые в свою очередь являются следствием симметрии относительно вращений. Существование угдовых моментов с полуцелыми значениями может быть, следовательно, выведено из фундаментальных постулатов квантовой механики и свойств преобразований симметрии (теорема Вигнера).

Значение спина электрона h/2 является специальным свойством электрона, а не особенностью общих постулатов квантовой механики. Но в ранний период существования квантовой теории спиновые эффекты воспринимались как свидетельство трудностей в самой общей структуре квантовой физики, и это воплотилось в одной из самых замечательных глав в истории квантовой механики.

Что квантовое число углового момента может принимать полу- целые значения, было впервые предположено А. Ланде (1921 г.) при систематизации данных по эффекту Зеемана (расщепление уровней энергии атомов в приложенном магнитном поле, см. задачу 3). Затем (также в 1921 г.) Гейзенберг предположил, что, если к атому или иону добавляется электрон, он передает атому долю h /2 своего орбитального момента lh и остается с моментом (/ — 1/2)й. При помощи этой гипотезы ему удалось объяснить дублетное расщепление в щелочных атомах, для которого позднее была написана формула (4.7).

Гипотеза о том, что это расщепление вызвано спином электрона, по-видимому, впервые была выдвинута Р. Кронигом (весна 1925 г.). Он обсуждал эту гипотезу с Паули, который отверг ее как неприемлемую. Главной причиной, по которой была отвергнута гипотеза спина, было отсутствие множителя 1/2 (фактора Томаса) в формуле (3.22), что приводило к расхождению на множитель 2 между вычисленным (2 х правая часть (4.7)) и наблюдаемым (правильно выраженным формулой (4.7)) дублетным расщеплением. Тот факт, что gs = 2, в то время был уже хорошо установлен.

Затем осенью 1925 г. С. Гаудсмит ч Г. Уленбек, которые обо всем этом не знали, опубликовали первую статью о гипотезе спина, а затем, после того как Гейзенберг обратил их внимание на эту задачу, вычислили дублетное расщепление с требуемым дополнительным множителем 2. Это убедило Бора, но Паули по-прежнему отрицал существование спина электрона; он не верил, что существует механическое объяснение этого эффекта. Наконец, в 1926 г. Л. Томас показал, что дополнительный множитель 1/2 в наблюдаемом

дублетном расщеплении является следствием неучтенного релятивистского эффекта. Что релятивистский эффект приводит к появлению множителя 1/2, а не и/с, явилось большим сюрпризом даже для специалистов по теории относительности (включая Эйнштейна); наконец, даже Паули убедился в существовании спина электрона.

IX.5. ПРАВИЛА ОТБОРА

Правила отбора для дипольных переходов обсуждались выше, в частности в разд. V.4 для общих состояний углового момента, а также кратко в разд. VI.5 для атома водорода без учета спина. Правила отбора, т. е. правила, которые говорят нам, когда матричный элемент {п' Г j'j^\ Q, I nljj^ равен нулю, следуют из того, что Qj является обычным векторным оператором, т. е. удовлетворяет соотношениям

E^2J = uljkQk,(5.1а)

EA<QJ = i(.jkQk.(5.16)

UPQ,Up= -Q,(5.2)

Соотношение (5.16) выражает тот факт, что Qj не только является векторным оператором относительно орбитального углового момента L, но также является векторным оператором относительно полного углового момента J. Соотношение (5.16) следует из того, что J( = L + Sj с учетом (5.1а).

Как следствие соотношения (5.16) правила отбора для дипольных переходов между физическими состояниями \nljjy > для атома водорода (и для всех остальных одноэлектронных атомов) имеют вид

<п'ГПз \QAn lj = О(5.3)

кроме случаев, когда j' = у + 1, j или j — 1. Из (5.2) вытекает, что

<п' Г j' j^ \ Qt \ nljjy} = 0 кроме л(/)л(/')-1(5.4)

(т. е. если не имеет место равенство (-1)/ +/= -1, так как тг( /) = = (—I)'). Из соотношения (5.3) и из того факта, что j' = = Г ± 1/2 и у = / ± 1/2, следует, что матричный элемент равен нулю, кроме случаев, когда /' = / + 2, / + 1, I, / — 1, / - 2. Таким образом, (5.4) можно записать в виде

<п' VУ j'AQAnl j= 0 кроме Г = / ± 1.(5.5)

Соотношения (5.3), (5.4) или (5.5) дают правила отбора для дипольных переходов в атоме водорода и других одноэлектронных атомах.

IX.6. ЗАМЕЧАНИЯ О СОСТОЯНИИ ЭЛЕКТРОНА В АТОМАХ

В заключение этой части, посвященной атому водорода, сделаем следующее замечание. Чтобы построить алгебраическую структуру, являющуюся математическим образом атома водорода, мы использовали классическую корпускулярную картину задачи Кеплера, т. е. в качестве отправной точки служило представление об электроне как о частице, движущейся вокруг центра по замкнутым орбитам. При обсуждении спина мы даже провели некоторую аналогию между спином и вращением этой частицы вокруг собственной оси (например, при сравнении (3.16) и (3.18)). Такова классическая модель, которая описывается математическими соотношениями между наблюдаемыми, которые являются не операторами, а числами. В квантовой механике эти математические соотношения являются операторными; они не дают математического образа точечной частицы, вращающейся вокруг центра и вокруг собственной оси. Электрон в атоме водорода не является частицей, а спин не есть результат вращения вокруг собственной оси. Квантовомеханический объект мы называли частицей, когда ему отвечало приближенно обобщенное собственное состояние оператора координаты, поскольку локализованность является характерным свойством частицы. Электрон в атоме водорода не описывается обобщенным собственным состоянием оператора координаты. Столь же неверно думать (это результат неправильной интерпретации решения волнового уравнения Шредингера), что электрон в атоме водорода является стоячей плоской волной, т. е. описывается классической моделью, дуальной по отношению к корпускулярной модели. Квантовомеханический объект назывался волной, если ему отвечало обобщенное собственное состояние оператора импульса (разд. II.9), так как это состояние обладало характерными свойствами волны (волнового движения во всем пространстве). Электрон в атоме водорода не находится в обобщенном собственном состоянии импульса. Таким образом, ни одна из двух классических моделей электрона не применима к описанию электрона в атоме водорода. В атоме водорода электрон не является ни волной, ни частицей, он представляет собой объект, отличный от них обеих, а именно собственное состо-

яние операторов углового момента и энергии, в котором у него нет ни определенного положения (частица), ни определенного импульса (волна), но есть определенный угловой момент (ротатор). Наиболее близкой к такому объекту классической картиной является картина стоячей сферической волны.

Глава X

Неразличимые частицы

В этой главе постулируется фундаментальное предположение о комбинации тождественных физических систем исходя из неразличимости этих систем.

Х.1. ВВЕДЕНИЕ

Квантовомеханические системы, которые мы до сих пор рассматривали, содержали только один составляющий объект некоторого вида. Атом водорода рассматривался как один электрон в электрическом поле. Колеблющаяся двухатомная молекула описывалась как задача об одном осцилляторе. Изучение вращающейся двухатомной молекулы сводилось к задаче о вращении одной системы вокруг центра. При рассмотрении колеблющейся и вращающейся двухатомной молекулы она описывалась как комбинация одного ротатора и одного осциллятора, т. е. как вращающийся осциллятор. Такие системы называются одночастичными системами. Таким образом, одночастичными являются системы, состоящие только из одной составляющей некоторого типа.

Теперь мы рассмотрим многочастичные системы, т. е. системы, являющиеся комбинацией многих (А = 2, 3, ...) одинаковых физических одночастичных систем некоторого типа. Пусть ^, Л^, ... , y^N — пространства физических состояний первой, второй, ..., TV-й физических систем. (Все пространства идентичны; индекс служит только для того, чтобы указать, к какой частице относится данное пространство.) Исходя из фундаментального постулата IVa можно ожидать, что TV-частичная система, являющаяся комбинацией N одночастичных систем, будет иметь в качестве пространства состояний пространство, являющееся прямым произведением:

(М)(М)§ - -^ ® ^2 ® • • ■ ® J^.

(М)

(М)

Алгебра TV-частичной системы была бы тогда прямым произведением алгебр наблюдаемых одночастичных систем, т. е. в нее входили бы все операторы

А = £ Av ® Л2 ® • • • ® An, (1.2)

где А- — элемент алгебры наблюдаемых в пространстве ^. (Например, если эти N одночастичных систем не взаимодействуют между собой, то все элементы алгебры наблюдаемых в пространстве ф имеют вид А = АХ®1®1®... ^I+I^A^® ® Z ® ® Z + ... + Z ® / ® ... ® Z ® An.)

Мысль о том, что TV-частичная система описывается формулой (1.1), навеяна классическими соображениями. Классические частицы в принципе могут быть нумерованы, т. е. можно себе представить, что в некоторый момент времени каждая частица снабжается меткой и мы можем затем следить за последующим движением частиц по их траекториям и идентифицировать любую частицу в любой заданный момент времени. Но это невозможно для квантовомеханических систем. Следить за движением каждой частицы в квантовомеханической системе означает проводить серию измерений координат. Каждое изменение, как это следует из аксиомы III, изменяет состояние системы неконтролируемым образом: если мы локализовали частицу в окрестности некоторой точки, то мы не знаем, какой будет у нее импульс и куда она направляется. Для квантовомеханической системы понятия траектории не существует (принцип неопределенности). Таким образом, в квантовой механике даже в принципе невозможно следить за каждой из тождественных частиц и, следовательно, различать их. (Под тождественными частицами мы понимаем частицы, которым отвечают одинаковые наблюдаемые величины.) Следовательно, тождественные квантовомеханические частицы неразличимы.

Дадим теперь точную математическую формулировку неразличимости, а затем сформулирум следствия из нее как еще один фундаментальный постулат квантовой механики. Пусть l^>z — базис в пространстве ^, т. е. один символ £; обозначает полный набор квантовых чисел (собственных значений п.с.к.н.), необходимых для классификации базисных систем ^. (Для определенности можно предположить, что N частиц представляют собой электроны в кулоновском поле; тогда каждое ^ есть пространство .^ из (IX.2.15), и l$z>z = I nJJJ^ >.) Базис в пространстве ф (1.1) имеет тогда вид

1^1 ^2 • • • Ы = 1^1>1 ® |^2>2 ® " ' ' ® 1^. (1-3)

Предположим, что задано N объектов (элементов), расположенных в определенном порядке:

(£1> ^2 > • • • , SN')'

такое расположение называется перестановкой. Эти N элементов могут быть записаны в другом порядке: (ту,, т/2, ... ,tin); возникает перестановка N объектов. Всего имеется N\ перестановок N объектов. Одна определенная перестановка может рассматриваться как «исходная», «естественная» или «стандартная». Все остальные перестановки могут быть получены из этой исходной путем изменения порядка расположения объектов. Понятно, что операция изменения порядка расположения определяется возникающей перестановкой, поэтому эта операция также называется перестановкой. Таким образом, мы можем рассматривать операцию перестановки (или просто «перестановку») Р, которая переводит (^, £2, ... ,^) в (т?!, т/2, ... ,tjn). Например, можно рассмотреть перестановку Р12, которая трансформирует (^, £2, ... ,^) в <^х = £2, т/2 = ^, п3 = = £3, ... ,t)n = ^N). Можно также рассмотреть перестановку Ру, которая переводит (^, ... £, ... £р ... ,^) в (^ , ... , £у , . .. ..., £,, ..., £n) перестановкой /-го и у-го элементов; подобные перестановки, меняющие местами два элемента, называются транспозициями. Каждая перестановка может быть получена конечным числом транспозиций; например, перестановка ($2, £3, ^, £4, ••• ’^ может быть получена последовательными транспозициями Р13 и Рп:

(£1, U ^3, ^4, • • •) - (£з, ^2, £1, ^4, • • •) - (^2, £з> ^1, U • • •)■

В то время как разложение перестановки на транспозиции не является единстенным, число транспозиций будет всегда или четным, или нечетным в зависимости от рассматриваемой перестановки. Перестановка является нечетной (относительно исходной перестановки), если она получается из исходной перестановки нечетным числом транспозиций; перестановка четная, если она получается четным числом транспозиций.

Пусть теперь эти N объектов являются N наборами квантовых чисел (£], $2, ...) = (Л73 lx jx jx3, пг1г jT у23, ...). Каждая перестановка (^1, т?2, ... ,riN) или каждый оператор перестановки Р: (^, $2, ... ..., ^n^ — Oh» ^2’ ••• ’^n^ МОГУТ реализовываться в пространстве ф линейным оператором IP, определенным следующим образом:

Например, транспозиция Р12 реализуется оператором fP12:

=(1-5)

Операторы IP могут быть выбраны унитарными1).

[[Набор [Р] всех перестановок N объектов образует симметричную группу, {группу перестановок), а множество [ IP] всех операторов, реализующих перестановки, образует представление группы перестановок. Если все операторы IP унитарны, то представление называется унитарным представлением группы перестановок. Поскольку группа перестановок содержит конечное число элементов (она конечна и, следовательно, компактна), любое представление группы перестановок, согласно имеющейся теореме, может быть сделано унитарным. Мы будем использовать только одно свойство группы перестановок, которое будет приведено ниже, и нам не потребуются сведения из теории групп.J

Пусть Л^ — проекционный оператор на одномерное подпространство, порожденное 1£> = l^^-.-sw). и пусть Л,^ — проектор на одномерное подпространство, порожденное 1??> = = l^j^...^). Пользуясь соотношением (1.4), можно установить соответствие

л1п> = \пХп\ == р л^-О-6)

Вследствие неразличимости Л,^ и Л( могут отвечать (чистому) физическому состоянию только в том случае, если

или, используя (1.6),

Л^^РЛ^Р1.(1.8)

Следовательно, из одномерных подпространств в пространстве прямого произведения ^ (1.1) физическим состояниям могут отвечать только такие, для которых выполнено соотношение (1.8). Отсюда заключаем, что вследствие неразличимости пространством физических состояний является не все пространство (1.1), а только его подпространство. Алгеброй наблюдаемых также является не вся алгебра (1.2), образованная прямыми произведениями алгебр операторов, а только ее подалгебра. Теперь мы найдем физическое подпространство пространства (1.1). Понятно, что в общем случае

11 Причина выбора унитарных операторов IP состоит в том, что IP является преобразованием симметрии. Краткое обоснование этого дано в приложении к разд. XIX.2.

базис прямого произведения (1.3) не является подходящим (из (1.8) следует, что ГР117) ~ Iг?), что не может выполняться, поскольку все квантовые числа различны); ясно также, что в общем случае физические состояния являются линейными комбинациями векторов (L3).

Пусть ^ — вектор в физическом подпространстве (в общем случае — линейная комбинация векторов (1.3)) и пусть IP — оператор перестановки. Тогда, если частицы являются неразличимыми, ^ и X = Р^ (или Л^ и Лх = Арф) отвечают одному и тому же физическому состоянию. Следовательно, средние значения любой наблюдаемой А должны быть равны для ^ и х, т. е.

<W|«A> = <xl л |х> = <^| ртлр |^> (1.9)

для любой наблюдаемой А. Так как ^ — произвольный вектор в физическом подпространстве, мы заключаем, что

А = Р\4Р (1.10) для любой наблюдаемой А. Таким образом, для любой наблюдаемой А е s/и любого оператора перестановки IP имеем

[Р, Л] = 0. (1.11)

[Для унитарного оператора Р (как упоминалось выше, для группы перестановок можно принять, что имеется унитарность) уравнение (1.11) немедленно следует из (1.10). Для неунитарных Р при выводе уравнения (1.11) необходимо использовать линейные комбинации ^ + /а^, ^1 + 0^2'1

Уравнение (1.11) дает математическую формулировку утверждения: тождественные частицы неразличимы. Пользуясь этой математической формулировкой неразличимости, можно показать, что для векторов из физического подпространства (1.1) выполняется либо

(1.12)(1.13)(1.12)(1.13)Р^ = + ф для всех Р либо

(1.12)

(1.13)

(1.12)

(1.13)

о ( р четное, если Р четный, = (- 1 )р^ , где /

( р нечетное, если Р нечетный.

Векторы ^, удовлетворяющие условию (1.12), называются симметричными, а удовлетворяющие условию (1.13)— антисимметричными.

Чтобы это показать, требуется математическая формулировка физически очевидного свойства алгебры = [Л] наблюдаемых А. 461--22

Оно может быть сформулировано следующим образом^: .о/ = [Л] содержит полный набор коммутирующих операторов. Чтобы дать физическое подтверждение этого условия, напомним, что мы называем состояние «чистым» (с некоторой точностью), если не имеется наблюдаемой, измерение которой позволило бы разбить ансамбль, находящийся в этом состоянии, на два или более подансамблей. Если такое разбиение возможно (как для атома водорода в основном состоянии), оно приводит к появлению нового квантового числа и, следовательно, к появлению новой наблюдаемой (в случае атома водорода — спина). Следовательно, необходимо расширить алгебру наблюдаемых, включив в нее эту новую наблюдаемую. То, что является чистым состоянием с некоторой точностью, не обязательно является чистым состоянием с более высокой точностью. Но с каждой желаемой (и достижимой) точностью каждое чистое состояние полностью характеризуется набором квантовых чисел, которые связаны с наблюдаемыми. (На самом деле алгебра наблюдаемых возникает из рассмотрения этих квантовых чисел и наблюдаемых.) Каждый индекс вектора связан с наблюдаемой, а наблюдаемые, собственные значения которых характеризуют вектор, образуют полный набор. (Как мы уже видели, утверждение, что некоторый набор коммутирующих операторов образует полную систему, является физическим утверждением, устанавливаемым исходя из физических свойств системы, а не математическим утверждением (см. гл. IV).) Следовательно, явное появление чистых состояний, для которых не выполняется (1.12) или (1.13), всегда указывает на то, что имеющийся набор квантовых чисел неполный и существуют другие квантовые числа, дополняющие этот набор, но остающиеся пока неизвестными.

Обозначим через Лр Л2, ... , Ап полную систему коммутирующих операторов в алгебре наблюдаемых, через I а) = \а1а1...ап) — соответствующие собственные векторы, а через Л|с> — проекторы на подпространстве, порожденные векторами 1я>. Проектор Л|а> является наблюдаемой, среднее значение которой дает вероятность получить при измерении Лн Л2, ... ,Ап значения ар а2, ... ,ап. Являясь наблюдаемыми, Л|(7> должны коммутировать с перестановками IP (это следует из (1.11)):

[Р, Л|а>] = 0 для всех Р. (1.14) Из уравнения (1.14) следует, что вектор I а) должен являться собственным вектором всех операторов Р.

11 Это условие опускается при рассмотрении парастатистики.

(1.15)(1.15)Доказательство. Уравнение (1.14) в применении к вектору 1^> дает РЛ|а> 1^> = = Л|о)Р1^>. Используя Л|о) = \а)<а\, мы видим, что Р1а><а10 = 1а><а1Р1^> и, следовательно,

(1.15)

(1.15)

Р-\а> = \а> ———-<а\Ф>

Допустимые собственные значения <д11Р1^>/<д1^> вытекают из следующего свойства группы перестановок (которое мы не выводим): группа перестановок имеет два одномерных представления: 1) симметричное представление, в котором все перестановки представлены единичным оператором /, т. е.

Р|1Д> = + W> для всех перестановок IP, (1.16) и 2) антисимметричное представление, для которого все четные перестановки реализуются оператором /, а все нечетные перестановки — оператором — /, т. е.

, х, х\ р четное, если IP четный,17)

IP ф> = (-1/ф> , где

р нечетное, если IP нечетный.

Напомним (разд. III.3), что пространство неприводимого представления (лестничного представления) алгебры операторов [IP] является пространством представления, получающимся при действии всеми операторами IP на один элемент пространства. Тот факт, что вектор I д> является собственным вектором всех операторов IP, означает, что 1д> порождает одномерное пространство неприводимого представления. Поэтому, согласно указанному свойству группы перестановок, мы должны иметь либо

Р|а>- = + \а> для всех IP , (1.18)

И$° = (—1)р|а> для всех IP . (119) Поскольку это имеет место для всех базисных векторов I а) и любой вектор I ф) пространства представления алгебры наблюдаемых (т. е. физического подпространства ф) может быть записан в виде линейной комбинации базисных векторов, мы приходим к заключению, что должно выполняться либо (1.12), либо (1.13).

Обозначим через Л^ подпространство пространства ф, состоящее из симметричных векторов:

^ = {|(Д>е§: ПФ> = \ФУь О-20) и через Л^ — подпространство пространства ф, которое состоит из антисимметричных векторов:

= W>e£>: Р№> = (-IW»- <L21>

Мы можем теперь сформулировать утверждение (1.11), которое мы вывели из неразличимости, следующим образом: пространство физических состояний N тождественных квантовомеханических систем является либо антисимметричным пространством ^^ , либо симметричным пространством .

Базис ненормированных векторов в пространстве ^^ имеет вид

Ю+ = Kiiz ■•■««>+ = ЕРЧ^-ЧхХ (I 22)

где векторы 1^1^2-*-^^ заданы в (1.3), а £р — сумма по всем перестановкам IP N объектов ^, £2, •••♦ ^n ■ Понятно, что последовательность квантовых чисел ^, £2, ••• ^n в 1^+ несущественна. Чтобы доказать, что векторы 1£> + являются симметричными, для любой перестановки IP] вычислим

Р,Ю+ ^IPilPI^---^ = £^^= ю+,

где мы положили IP' = IP] IP и где сумма по всем IP становится суммой по всем IP'. Последнее утверждение следует из того, что если перестановка IP] фиксирована, a IP пробегает все возможные перестановки, то IP' также пробегает все возможные перестановки. Таким образом, для любой перестановки IP] имеем

Р1И>* = ю + .(1.23)

Базис ненормированных векторов в пространстве ^Х имеет вид

Ю- = 14142--4,.>- =Х(-1)Т|4142--4»Х(1-24)

Чтобы показать, что эти векторы антисимметричны, заметим сначала, что (-1)^' = (-Ip+^i = (-1р(-Ip1 и поэтому (-l)p = (-i)Pi(-ip'. тогда

pi4>- =Z(-l)V1PI4142-.-5„>

= S (— О^Ч—1)₽Р'|^1 (2 •••«„> = (-1)'"|4>-(1.25)

для любой перестановки IP. Если 1$Д. — нормированные векторы в пространстве ^, то векторы l^^...^) нормированы в ф , т. е. (^i^2"-^/v)^i^2---^/v> = !• Следовательно, векторы 1£> + и 1£>_ не нормированы; нормировочные множители вычисляются в задаче 1.

Сформулируем результат предыдущего рассмотрения в виде нового фундаментального постулата (аксиомы) квантовой механики.

IV б. Пространство физических состояний N тождественных квантовомеханических систем (частиц) есть ^^ , если их угловой момент (спин) является целым, и есть ^^ , если их угловой момент является полуцелым.

Частицы, пространством физических состояний которых является ^^, называются бозонами, а частицы, пространством физических состояний которых является Л^ , называются фермионами. Бозоны подчиняются статистике Бозе, в то время как фермионы подчиняются статистике Ферми. Аксиома IV6 тогда устанавливает, что частицы с полуцелым спином являются фермионами, а частицы с целым спином — бозонами и не существует других частиц, подчиняющихся какой-то иной «парастатистике» (они должны были бы принадлежать к представлениям группы перестановок более высоких размерностей). Эта аксиома была подтверждена во всех случаях, когда она проверялась (электроны, протоны, нейтроны являются фермионами; пионы, фотоны, фононы, альфа-частицы являются бозонами). Заметим, что аксиома IV6 выведена главным образом из условия неразличимости (1.11), которое в свою очередь было выведено из ранее сформулированных основных постулатов квантовой механики. То, что не было выведено,— это связь между спином и статистикой^.

° Связь между спином и статистикой может быть строго доказана в рамках релятивистской квантовой теории поля (см., например, [33]). — Прим, перев.

Глава XI

Двухэлектронные системы — атом гелия

В этой главе исследуются системы с двумя электронами. В разд. XI. 1 показано, что пространство физических состояний атома гелия является суммой пространств состояния парагелия и ортогелия. В разд. XI.2 найдены пороги ионизации (т. е. энергия Епоа, при которой один электрон занимает и-й уровень, а второй диссоциирует из атома) и обсуждаются энергетические уровни, лежащие ниже первого порога ионизации. В разд. XI.4 обсуждаются энергетические уровни выше первого порога ионизации без учета взаимодействия этих уровней и без учета энергетического континуума системы (Не+ , е).

XI. 1. ДВА АНТИСИММЕТРИЧНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВААТОМА ГЕЛИЯ

Следствия фундаментального предположения IV6 мы проиллюстрируем на примере двух электронов, находящихся в кулоновском поле. Это простейший нетривиальный пример, и, хотя он не демонстрирует полного значения постулата IV6, он математически прост и не требует привлечения других свойств представлений группы перестановок.

Энергия двух классических бесспиновых частиц с массой те и зарядом — е, движущихся в поле силового центра с зарядом Ze, равна

г 1/2Ze2 Ze2 е2

(1.1)(1.1)£ = — (р + р2)+

(1.1)

(1.1)

2m,г, г2 г12

где гх, г2 — расстояния первого и второго зарядов — е от заряда Ze, а гп — расстояние между этими двумя зарядами. Такая система является классической моделью атома гелия (или любого двухэлектронного иона при Z Ф 2). Мы получаем оператор энергии для атома гелия путем обычной процедуры замены чисел pai, xai, ra = (х«)1/2 и г12 = ((х1 - х2>2)1/2 операторами Pai, Qai , Qa =

= (Qq)1/2 и Q12 = ((Q] — Q22)1/2 соответственно. Кроме того, мы должны добавить член Hv учитывающий вклад электронного спина. Тогда для оператора энергии атома гелия (Z = 2) имеем выражение

(1.2)(1.2)1,_ Ze2 Ze2 е2

(1.2)

(1.2)

Н = (pi + р2) -+ тг

2meQ2 Qi 2

которое мы запишем в виде

Н = Но + Ни(L3a)

где Но — оператор Гамильтона, отвечающий классическому гамильтониану (1.1):

Но =—^hx ® I + I ® h2) + W = Ноо + W, (1.36)

(1.3в)15(1.3г)(1.3д)(1.3в)15(1.3г)(1.3д)где

(1.3в)

15

(1.3г)

(1.3д)

(1.3в)

15

(1.3г)

(1.3д)

Ноо = — Uh ® 1 + I®h2\

те

Р2

К = V - ^ (az 5 к = 1).

е2 МЛ'1/2

W = -— = e4 £ (Q^®!- / ® Q2t) )

Q12\ i = 1/

Оператор Н и все остальные операторы действуют в пространстве

5 = ^®^, (1.4) где Ж — пространство системы, состоящей из одного электрона в кулоновском поле заряда Ze.

Для двух объектов ^ и $2 имеется только 2! = 2 перестановок ($р £2) и (^2» $1)» поэтому для фиксированного набора квантовых чисел ^ и $2 при ^ * ^2 имеются только два базисных вектора в пространстве ф : l^^) и l^2^i >• Нормированные симметричный и антисимметричный векторы для этого фиксированного набора квантовых чисел, согласно (Х.1.22) и (Х.1.24), имеют следующий вид:

1^^2>+=Л(1^1^2> + 1е2^», d-S)

151 <2>-151 <2>-= ™ (15, 52> - 152 51». х/2= ™ (15, 52> - 152 51». х/2(1.6)(1.6)

151 <2>-

151 <2>-

= ™ (15, 52> - 152 51». х/2

= ™ (15, 52> - 152 51». х/2

(1.6)

(1.6)

Таким образом, для фиксированного набора квантовых чисел ^ и $2 при ^ * $2 имеем двумерное пространство, порожденное векторами 1^^2>» *^2^1 > или векторами l^^^» Щ^)-- Если $! и $2 фиксированы так, что ^ = $2> мы имеем одномерное пространство, порожденное l^^) = '^1^2^+- Пространство ф порождается векторами l^^h гДе $1 и $2 могут независимо принимать любые возможные значения в наборе (nljj3) (и = 1, 2, ... ; j = 0, 1, ... , п - 1; j3 = -j, -j + 1, ... , У; I = j ± 1/2)1). Пространство <^_ порождается всеми векторами l^^)- , а пространство Л^ — всеми векторами l$i$2> + • Следовательно,

5 = ^ ® ^, (1.7)

т. е. пространство прямого произведения есть прямая сумма симметричного и антисимметричного подпространства.

(Выражение (1.7) специфично для случая N = 2, для N > 2 пространство ф (Х.1.1) не является прямой суммой симметричного и антисимметричного подпространств (Х.1.20) и (Х.1.21). Вместо этого

S = ^+ © ^ © ^ © ^ © • • •.

Здесь число членов конечно и равно числу способов, которыми число N записывается в виде суммы T^Nj положительных целых чисел Ne. При N = 2 имеются две возможности (2 и 1 + 1), поэтому в выражении (1.7) имеются только два различных члена.J

Согласно аксиоме IV6, или принципу Паули, в пространстве (1.7) только подпространство <^_ является пространством физических состояний двухэлектронной системы. (Если бы мы рассматривали систему с двумя бозонами, пространством физических состояний было бы Л^..) Чтобы построить Л*1 и найти свойства алгебры наблюдаемых в ;^_ , поступим следующим образом: каждое пространство Ж(а = 1, 2) запишем, согласно (IX.2.15), в виде

^, = ^гЬ®^, (1.8)

где ^гЬ — пространство, в котором действуют орбитальные наблюдаемые (т. е. наблюдаемые, являющиеся функциями от Ра( и С?аД относящиеся к а-му электрону, а £ — пространство, в котором действуют спиновые переменные а-го электрона. Объединим теперь по отдельности орбитальные и спиновые пространства двух

° Условие £1 ^ $2 означает тогда, что не все (Л1ЛУ1У13) согласуются с («2/272723).

электронов, т. е. образуем

^огЬ2 = ^orb ^ ^огЬ,^ 9)

^ = ^®^2.(МО)

Найдем теперь по отдельности симметричные и антисимметричные подпространства ^гЬ2 и<-$2, следуя описанной выше процедуре; вместо £а в (1.5) и (1.6) имеем £°гЬ = (ла/а/а3) при рассмотрении Л/ОгЬ2 и ^ = sa3 при рассмотрении ts2. В результате мы приходим к

x,,rb2 = ^°;b2 © ^°_rb2,(1.И)

^2 = 42 © г-.(1-12)

Полное пространство ф тогда имеет вид’)

§ = ^°rb2 ©

= (^°+rb2 ® <2) © (^°;b2 ® »s_2) © (^°_rb2 ® 42) © (^-ь2 ®.). (из)

В задаче 1 показано, что симметричным пространством является

^2+ = (^°;ь2 ® 4) © (^°_rb2 ® О ,(1.14)

а антисимметричным пространством

ж2 = (^°;ь2 © /_2) © (^°_гЬ2 © <2).(1.15)

Таким образом, пространство физических состояний %'1_ является прямой суммой двух пространств*, пространства симметричных орбитальных и антисимметричных спиновых состояний и пространства антисимметричных орбитальных и симметричных спиновых состояний.

Как уже обсуждалось в разд. IX.2 для случая атома водорода, базисные векторы, являющиеся собственными векторами (полного) спина и (полного) орбитального углового момента не образуют физического базиса, поскольку физической наблюдаемой является (полный) угловой момент, а не спин и не орбитальный угловой момент. Таким образом, чтобы найти физические состояния, необходимо образовать такие линейные комбинации векторов из пространства прямого произведения

|^гЬйгЬ>+ ® |$,з$23>- (в XT2®'-)

'И 1^}. ®|s,3»23>. (в ХТ“® г*:).

которые являются собственными состояниями полного углового момента. Кроме того, оказывается, что пространства ^°rb2 ® <-s^ и ^orb2 ® х, ^ не являются собственными пространствами оператора энергии Н из (1.3а); причина состоит в том, что Нх не коммутирует с оператором полного спина Si = Sh + S2/’ at- + Иг5_ являются собственными пространствами S2. Если физические состояния являются собственными состояниями оператора Н (что подтверждается всеми экспериментальными данными), то векторы физических состояний не принадлежат ни к ^°гЬ2 ® t- 5J, ни к <Л^гЬ2 ® ® 5+, а являются линейными комбинациями с малой компонентой в одном из этих пространств и большой в другом. Таким образом, редукция в прямую сумму пространств (1.15) является физической лишь приближенно; подпространства ^°rb2 ® * ^ и ^огЬ2 0 t,^ являются пространствами физических состояний только в той степени, в какой можно пренебречь вкладом Нх (спин-ор- битального взаимодействия) в Н. Как и в случае атома водорода, это приближение оказывается очень удачным.

Пренебрежем теперь вкладом Нх и осуществим детальное построение всех четырех пространств правой части (1.15). Начнем со спиновых пространств t,5^ и<2, так как они построены значительно проще, чем орбитальные. Пространство t,s2 = t,5, ® t,^ является прямым произведением двух двумерных пространств, и следовательно, оно четырехмерно. Его базис прямых произведений состоит из четырех векторов

151 з/* 1 ® ls23>2(si3 = il» s23 = ±!)■(1-16)

Легко найти все симметричные и антисимметричные комбинации этих четырех векторов. Симметричные комбинации имеют вид

11>1®11>2, |-1>1®|-1>2’

1 ,

^(12>1 ® 1Ч>2 + I —1>1 ® li>2X(1.17)

а единственная антисимметричная комбинация имеет вид

—7= ( 12>1 ® I — 2>2 — I — 2>1 ® । 2>г)'(1-18)

V2

Четыре вектора (1.17) и (1.18) ортонормированы и, следовательно, образуют базис в пространстве V2, поэтому три симметричных вектора порождают симметричное пространство г5^, которое, таким образом, является трехмерным, а вектор (1.18) порождает антисимметричное пространство*-5.2, которое одномерно. Пространство*-52 = ^51 = 1/2 ® .^52= 1/2 является пространством комбинации двух элементарных ротаторов. Поэтому мы можем применить результаты разд. V.2 и определить оператор полного спина

s. = Sn® I + I ® S2i (1 = 1,2, 3).(1.19)

Из уравнения (V.2.32) следует тогда

г$2 = ^$=1 ©^s = 0,(1.20)

т. е. полный спин равен или s = 1, или s = 0, и мы можем ввести в *,s2 базис I ss3 > такой, что

S2 |ss3> = s(s + l)|s s3>,][s = 0, s3 = 0;

3((1.21)

S3|ss3> = s3|ss3> J [s = l,s3 = -1,0, 1.

Наблюдаемые S, коммутируют с операторами перестановок (в данном случае с оператором транспозиции Р12), поскольку

P12S.- = P>12(S1(. ® I + I® S2i) = u®s2i + sn.®/)Р12 = s,.p12.

(1.22)

Два подпространства *-5^ и *- 5J являются собственными пространствами оператора 1Р12, отвечающими собственным значениям +1 и -1 соответственно. Согласно (1.22), Sz не может выходить из пространств*,5^ и*5_2 , т. е. Sj оставляет *,5+ и*,5^ инвариантными. Таким образом, S, оставляет инвариантными, с одной стороны, .^5=1 и .^=о, а с друГОй стороны, г5^ и *5J. Кроме того, пространство ^5=1 трехмерно, как и пространство*,5^, а пространство ^5=0 одномерно, как и*,5^; поэтому .^’5=1 = *-5^ и ^5=0 =*-5^. Следова-

тельно, мы можем записать (1.15) в виде

= (^°+гЬ2 ® ^=°) © (^°_rb2 ® ^= 1).(1.23)

Таким образом, пространство физических состояний (в пренебрежении спин-орбитальными эффектами) является прямой суммой пространства, в котором полный спин равен нулю (пространство синглетных состояний), и пространства, в котором полный спин равен единице (пространство триплетных состояний). Как обсуждается ниже, это является объяснением существования парагелия и ортогелия, что впервые показал в 1926 г. Гейзенберг.

XI.2. ДИСКРЕТНЫЕ УРОВНИ ЭНЕРГИИ ГЕЛИЯ

Исследуем теперь структуру орбитальных пространств в (1.11). В каждом пространстве ^°rb (а = 1, 2) мы имеем приводимое представление алгебры орбитального углового момента ^(SO(4))

и, = ^.,р1к(2.1)

и вектора Ленца

А„ =(2.2)

Пространства <#’"*’, согласно (IX.2.13), имеют структуру

f Ш(2.3)

и= 1

В пространстве прямого произведения

^orb2 = ^orb 0 ^rb •(2.4)

мы имеем представление алгебры орбитального углового момента и вектора Ленца вида

L, = Ln ® Z + Z ® L2| ,А, = Лн ® I + I ® A2i.

Операторы (2.5) определены по аналогии с определением полного углового момента комбинированной системы из двух элементарных ротаторов (V.2.3). Легко видеть, что £, и А, подчиняются тем же коммутационным соотношениям, что и Lai и Aai, т. е. коммутационным соотношениям ^(SO(4)):

Е^о ЬД = и^кЬк, [Lf, АД = i£ijkAk, LA,, АД = к^кЬк. (2.6)

Мы можем определить оператор

С, = Си® / + I ®С21,(2.7)

где, подобно (VI.3.13) и (VI.3.17), имеем

Са1 = А2 + L2 = a2z( - 2hay1 - I, az =(2.8)

Далее мы можем определить оператор

С2 = А^(2.9)

по аналогии с (VI.3.14) для атома водорода. Операторы Cj и С2 коммутируют с Aj и Lj. Но эти операторы не удовлетворяют тем же соотношениям, что и операторы Са1 и Са2. В частности, оператор Cj не связан с оператором энергии Но таким простым соотношением, как (VI.3.17), а оператор С2 не равен нулю. Чтобы убедиться в последнем утверждении, подставим (2.5) в (2.9); вычислим тогда

С2 = LUAU ® I + I ® L2iA2i + Аи ® L2i + Lu ® A2i,

что дает (используя (VI.3.18))

С2 = Ajj ® T2i 4- Lj; ® A2i.(2.10)

Это выражение в общем случае не равно тождественно нулю.

Оператор энергии атома гелия в приближении, в котором пренебрегают влиянием спина, дается формулой (1.36):

H0 = H00 + W.(2.11)

Обычно сначала рассматривают член (1.3в)

H00 = l-(hx®I + I ®h2).(2.12)

//qq — оператор энергии для системы двух невзаимодействующих электронов в кулоновском поле ядра. Поскольку весьма нереалистично пренебрегать межэлектронным кулоновским взаимодействием (которое так же велико, как кулоновское взаимодействие электронов с ядром), Н^ является весьма плохим приближением для оператора энергии атома гелия. Таким образом, мы не можем ожидать, что спектр Н^ даст хорошее приближение для энергетического спектра атома гелия. Как мы увидим ниже, качественные свойства Н№ согласуются с качественными свойствами оператора энергии Но = Н^ + W; поэтому обычно сначала рассматривают только оператор Н^.

Используя (2.8) и (2.12), оператор Н^ можно записать в виде

Н00 —Н00 —о2 2тео2 2те® / + / ®® / + / ®(2.13)(2.13)

Н00 —

Н00 —

о2 2те

о2 2те

® / + / ®

® / + / ®

(2.13)

(2.13)

(2.14)(2.14)Спектр //qq легко найти. Введем в пространстве Л^°гЬ2 = Л^гЬ ® ® ^^rb базис прямых произведений

(2.14)

(2.14)

|и//3>1 ® \п* Г Г3>2.

Поскольку, согласно (1.23), мы хотим найти спектр //^ в симметричном подпространстве Л^гЬ2 и в антисимметричном подпространстве Л^гЬ2, введем в пространстве Л^°гЬ2 = Л^гЬ2 © Л^2 базисную систему из симметричных и антисимметричных векторов ©(|и!/3>, ® 1п'ГГ3>2 + |п'Г/3>, ® |п//3>2).(2.15±)

V2

Выражение (2.15 + ) описывает базисную систему в пространстве ^°rb, а выражение (2.15 — ) — базисную систему в ^огЬ. Векторы (2.15 + ) являются собственными векторами оператора Н^ и совместно образуют полную базисную систему в ^orb2. Следовательно, спектр //qq получаем действием (2.13) на (2.15 + ); результат имеет вид

спектр = Е^ = -К*н1 *2 + АХ (216)

где

/ уу.

R". = ^2 = 4 -^- = 4R" = 54.4 эВ.(2.17)

Константа R^e отличается от постоянной Ридберга для атома водорода множителем 4. Это постоянная Ридберга для одноэлектронной системы в кулоновском поле заряда Ze = 2е, т. е. для иона Не+ . Ее значение в см-1 (в единицах волнового числа или обратных длин волн) равно

RRНеНе12ir he12ir heR«eR«e54,4 эВ12,40-IO*5 эВ см54,4 эВ12,40-IO*5 эВ см4,39-105 см"1.4,39-105 см"1.

R

R

Не

Не

1

2ir he

1

2ir he

R«e

R«e

54,4 эВ

12,40-IO*5 эВ см

54,4 эВ

12,40-IO*5 эВ см

4,39-105 см"1.

4,39-105 см"1.

Базисные векторы (2.15 + ) не являются собственными векторами полного углового момента L2 и оператора L3, а также не являются собственными векторами оператора энергии Но (напомним, что Но является оператором энергии, если пренебрегают спиновым

вкладом Нх). Если физические состояния являются собственными состояниями оператора энергии Н, они очень близки к собственным состояниям оператора Но. Собственные состояния Но могут быть собственными состояниями полного углового момента L2 и оператора L3, но не быть ни состояниями прямого произведения (2.14) с угловыми моментами / и /', ни определенного вида линейными комбинациями (2.15±) этих состояний прямого произведения. (Состояния (2.15 ±) являются собственными состояниями суммы операторов Ц + Ц. Но

[l; + y.Qh] = -2[iuL2t,(e» - Q2iXQu - e2i)i

= — 4i€kij(LlkQ2jQli — QliQ2j^2k) ^ 0-

Поэтому векторы (2.15 ±) являются собственными векторами оператора, который не коммутирует с Но.) Следовательно, для того чтобы построить собственные векторы углового момента, необходимо смешать, следуя правилам разд. V.2, угловые моменты I и Г в (2.15±). Эти собственные векторы, которые образуются как линейные комбинации (2.15±), еще не являются собственными состояниями оператора Яо, но по-прежнему являются собственными состояниями оператора Н^; собственные состояния Но можно построить как линейные комбинации состояний с одинаковым значением полного орбитального углового момента.

Вместо того чтобы аппроксимировать атом гелия модельной системой, состоящей из двух невзаимодействующих электронов, движущихся в кулоновском поле ядра с двойным зарядом, можно попробовать аппроксимировать его модельной системой, в которой электрон движется в электрическом поле ядра с двойным зарядом и другого электрона. Эта модель, конечно, значительно более реалистична, если один электрон (в классической картине) движется вдали от ядра и другого электрона, которые находятся близко друг от друга. Чтобы получить эту аппроксимацию, запишем

н = J_ /, + не^ = — h2 + Н\\(2.18)

тете

где

=+(2.19)

612

Точнее

ИИне21 = — I ® h2 +не21 = — I ® h2 +е2612е2612

И

И

не21 = — I ® h2 +

не21 = — I ® h2 +

е2

612

е2

612

Выражение (2.18) является точным, но Н^ не является оператором в пространстве ^°гЬ; он станет оператором в ^^гЬ, если произвести замену

612-612-Q.Q.(2.20)(2.20)

612-

612-

Q.

Q.

(2.20)

(2.20)

В нашей классической картине это означает, что электрон, находящийся близко к ядру, в действительности находится в той же точке, что и ядро. При асимптотической замене (2.20) оператор энергии электрона, движущегося вдали от ядра, имеет асимптотический

видвидР2Я? = 2т.Р2Я? = 2т.2е2 е2 \ Р2 е2е. + 612/ 2т. 6.2е2 е2 \ Р2 е2е. + 612/ 2т. 6.= ^H.№ti,(2.21)= ^H.№ti,(2.21)

вид

вид

Р2

Я? = 2т.

Р2

Я? = 2т.

2е2 е2 \ Р2 е2е. + 612/ 2т. 6.

2е2 е2 \ Р2 е2е. + 612/ 2т. 6.

= ^H.№ti,(2.21)

= ^H.№ti,(2.21)

т. е. оператор энергии для удаленного электрона такой же, как оператор энергии электрона для атома водорода. В приближении (2.21) для оператора энергии Но имеем

Ho^floS^+^H1H,4' = m?1 + m.H1H,d'’<2'22)

где //aHydr — гамильтониан атома водорода из (VI.3.5). При п' > п спектр Но имеет вид

спектр Йо = Е„. = -R^l- R" 2.

/41 \/ 44 \

\пг и2 пп\п2 П2 )

Более реалистичная аппроксимация для Но вида (2.18) получает

ся при заменеся при заменеЯ®1Я®1Р2тте! _atz^ " 2meР2тте! _atz^ " 2mezyQazyQa(2.24)(2.24)

ся при замене

ся при замене

Я®1

Я®1

Р2

тте! _

atz^ " 2me

Р2

тте! _

atz^ " 2me

zyQa

zyQa

(2.24)

(2.24)

где Z^ — число в интервале от единицы до двух, отражающее степень экранирования кулоновского поля ядра близким к нему электроном. Следовательно, возможная аппроксимация для Но имеет вид

Значение Z^t должно быть различным для разных состояний атома гелия. Для основного состояния мы ожидаем, что Z^ = Z^; для состояния, в котором один электрон находится в основном, а другой — в сильно возбужденном состоянии, согласно (2.22), следует ожидать значений ZO^ * 2 и Z(e$ * 1. Таким образом, для разных подпространств мы имеем разные операторы Но^ }.

Рассмотрим теперь подпространство состояний атома гелия, которое в классической модели может быть охарактеризовано следующим образом: один из электронов только что диссоциировал из атома гелия, т. е. система состоит из иона Не+ и электрона с нулевой относительной энергией. Обозначим подпространство этих состояний Л^; на этом подпространстве оператор Но очень хорошо аппроксимируется выражением'

Но = — h, + Не-,х = ~h2 + Н\\(2.26)

те ‘ те

где Н^ аппроксимируется выражением (2.21). Подпространство определяется тогда как подпространство ^orb2, на котором

Я'1 = 0.(2.27)

Обозначим собственные векторы Н^ в пространстве <^°гЬ через

|и//3}а(2.28)

в отличие от собственных векторов \ п!!3)а операторов Иа. Эти собственные векторы (в рамках аппроксимации (2.21)) имеют свойство

Я^Ч"//3Е = -^"1|и//3}а(2.29)

п

и являются собственными состояниями операторов Ц и La3. Собственные векторы, на которых выполняется условие (2.27), обозначаются

|х//3}а.(2.30)

Следовательно, базис прямого произведения в пространстве имеет вид

| X V /3}! ® \п I /3)>2,|« Н3\ ® I X / /3}2-(2.31)

Введем в пространстве базис из симметричных и антисимметричных векторов

^l30^! ® М/3>2 ± 1«//з>1 ® |х/'/'}2).(2.32±)

Согласно (2.27), оператор энергии (2.26) на Л^, имеет следующий спектр:

4w с4 11

= спектр H0U =2^2 ^2 = — ^не ^2-(2.33)

При действии оператором Но (2.26) на (2.32±) получаем

/h

Нос Г Гз^ ® ^ |п//3>2 + Н£|одПзЬ ® I” ^з>2е=0

± — \nl 13>г ® [ос Г /3}2 + \nl 1з\ ® Н2 |оо Г /3}2)

2=0

= - Д= (|ОО Г/3)1 ® \nll3>2 ± |п//3>! ® |оо Г/3}2). 2men v 2

Величины Епоо являются энергетическими уровнями атома гелия в том случае, когда один из электронов имеет нулевую энергию, а также тогда, когда один из электронов отделяется от атома (пороги ионизации). Мы ожидаем, что это наиболее высокие энергетические уровни при заданном квантовом числе и, т. е. для состояний, в которых один из электронов имеет главное квантовое число и, поскольку, если другой электрон имеет главное квантовое число п', его энергия относительно иона Не+ должна быть отрицательной. Энергия Епоо называется п-м порогом ионизации; это значение энергии, при котором один из электронов покидает атом, а другой находится на и-м энергетическом уровне.

Сравнивая спектр (2.33) со спектром Н^ (2.16), мы видим, что

Епп' ~* Епао снизу при п' -* 00.(2.34)

Сравнивая (2.33) с (2.23) мы видим, что

Ёпп. -* Епоо снизу при п* ОО.(2.35)

Как следует из проведенного рассмотрения, можно ожидать, что собственное значение Е^, оператора Но лежит между собственными значениями Hqq и Но:

Е^.<Епп.<Ёпп.<Е_.(2.36)

На диаграмме уровней энергии гелия нарисуем сначала энергетические уровни Епоо (п = 1, 2, 3, ...). Согласно (2.34), (2.35) и (2.36), энергетические уровни Епп, лежат ниже Еп00 и сближаются с ростом п *.

Чем больше значения п', тем ближе находятся собственные значения оператора Н^ к энергетическим уровням атома гелия. Следовательно, при больших п' и фиксированном п пространство, порожденное векторами (2.15 + ) и (2.15 — ), представляет собой хорошее приближение к пространству физических состояний. В классической модели атома гелия возрастание п* означает, что «второй» электрон удаляется от ядра и от «первого» электрона, так что влияние члена взаимодействия еЧ гхг мало; таким образом, классические соображения согласуются с полученным результатом. При уменьшении п’ член взаимодействия е2/гх1 становится более существенным, и мы ожидаем больших отклонений энергетических уровней гелия от значения Е®). Наибольшее отклонение ожидается для состояний, в которых оба электрона имеют главное квантовое число п = п’ = 1. В этом случае вклад взаимодействия максимален (оба электрона находятся близко к ядру и друг к другу), и Е^ является очень плохим приближением к собственному значению оператора Но. Следовательно, в этом случае пространство, порожденное (2.15 + ) при п = п' = 1, очень далеко от того, чтобы быть пространством (орбитальных) физических состояний. Таким образом, для небольших значений пип' атом гелия нельзя рассматривать как состоящий из двух независимых электронов (приближение независимых частиц) в кулоцовском поле. Физические состояния не являются состояниями, в которых один электрон находится в одном определенном состоянии, а другой — в другом; только атом гелия, рассматриваемый в целом, находится в определенном физическом состоянии.

Рассмотрим теперь пространство состояний (которое мы обозначим Я,).атома гелия, которым отвечают уровни энергии, лежащие ниже Ех . Пространство собственных состояний оператора Но с собственным значением ЕХоо описывает состояние атома гелия, в котором один электрон находится в низшем состоянии (и' = = 1, Г = 0, /3' = 0), а другой только что освободился из атома гелия. Собственные векторы Н^ в этом подпространстве Л, могут быть получены из состояний независимых частиц (2.15 +):

А,, = 4= (I"' = 1 '' = 0 г, = 0>. ® |л I /,>2

+ \nll3>x®\n = \Г = 0Г3 = 0>2),(2.37)

7?„, = -4 (К = 1 г = о Г, = 0>, ® |л / /3>2

Вектор ^//з порождает в пространстве Кх пространство симметричных состояний, которое мы обозначим Кх + , а вектор ^/z порождают в К ] пространство антисимметричных состояний К1 _. Это означает, что ^„//з и у®^ являются собственными состояними оператора Н^ с собственным значением Е^. = х:

НооФпНз = ~ ^Не^1 + "^ Фп11з’(2.39)

НОоД,= -^«6 +|Z4°)

Поскольку Г = 0 и /3 = О, ^//з и t®/z являются также собственными векторами операторов L2 и £3 с собственными значениями /(/ 4- 1) и /3 соответственно. Обозначим через ^п11^ и ^п1^ собственные векторы операторов Но, L2 и £3 в пространствах Л1 + и Кх_ соответственно. Собственные векторы фп11^ и 7Я// оператора Но можно получить из собственных векторов ^//з и t®zz оператора Hqq, подействовав на них (унитарным) оператором, который не меняет собственных значений операторов L2, £3 и [Р12:

= U4nW”u„(2.41)

(2.42)

Преобразование U* (nl) может быть различным для разных значений ли/; U* (.пП не зависит от /3, так как [Но, ЬД = 0. Уравнения (2.41) и (2.42) показывают, что собственные векторы оператора Но по-прежнему можно характеризовать главным квантовым числом л, хотя они и могут существенно отличаться от собственных векторов оператора Н^ с собственными значениями E^, = x = = - R^e (1 + 1/л2). Для больших значений л оператор U^nl) близок к единичному оператору. Собственные значения оператора Но в пространстве Ях обозначим через Е*х(1) и Е~х (I); в общем случае они зависят от /:

НоФпиз = Е^аЖпз.(2-43)

Н07пиз = Е^-Упиз-(2-44)

Мы не столько стремимся вычислить точные значения Е*х (/), сколько хотим достичь качественного понимания энергетического спектра атома гелия. Поэтому явный вид операторов и^пП не нужен (они зависят от члена взаимодействия W и могут быть вычислены приближенными методами.)

Рис. 2.1. Расщепление собственных значений оператора Н^ под влиянием взаимодействия W.

Для качественного объяснения энергетического спектра атома гелия существенным является заключение, которое мы делаем из формул (2.41) и (2.42), о том, что каждому и-кратно вырожденному собственному значению Е^ оператора Hqq на Я1+ отвечают п уровней энергии £^(7), причем член взаимодействия W расщепляет Е^ на п подуровней (рис. 2.1). В то же время каждому и2-кратно вырожденному собственному значению Е^ оператора Ноо на ^^ отвечают п. энергетических уровней E~vV)- В качестве результата проведенного рассмотрения получаем следующий энергетический спектр атома гелия, лежащий ниже £*100 (рис. 2.2 и 2.3). На-

Рис. 2.2. Уровни энергии атома гелия ниже наинизшего порога ионизации.

Синглетные состояния „парагелий " 7C*^9LSl°

Триплетные состояния „ортогелий "

'5’Р'О7

‘.V*р*О‘Г

—

—

£,*,(< = 0)

эВ

о

£,.

-10 £2

-20

-30

-40

-50

-£..

-60

-70

-80

Рис. 2.3. Диаграмма термов для уровней энергии атома гелия. (Часть, лежащая ни-же первого порога ионизации, приведена на рис. 2.2, где дана обычно встречающая-ся диаграмма термов.) Уровни энергии над первым порогом ионизации Е100 лежат внепрерывном спектре.

инизшим уровнем энергии на симметричном подпространстве Л^гЬ2 является Е^1 = 0), которому соответствует Е^ = ~^не^ +

В антисимметричном подпространстве соответствующий уровень

отсутствует, так как у1//з = 0 на Л^гЬ2. Значения £н и Е^, вычисленные по формулам (2.23) и (2.16), равны

Ёи = -68.05 эВ и Е0^ = -108.8 эВ.

Экспериментально измеренное значение Е*х(1 = 0) — энергия двойной ионизации гелия (минимальная энергия, необходимая для освобождения двух электронов) — равно

E^l = 0) = -79.0 эВ,

откуда видно, что Н^ действительно является очень плохой аппроксимацией для оператора энергии Но. Разность энергий

Е1ао — Et^O) = -54.4 эВ + 79.0 эВ = 24.6 эВ

есть энергия, которая требуется для вырывания одного электрона из атома гелия, находящегося в основном состоянии; она называется «энергией ионизации», или «ионизационным потенциалом». При и = 2 имеются энергетические уровни Е^2(1) в Л^.гЬ2 и ЕХ2(П в ^огь2, цм соответствуют собственные значения

Е°Л= -^н=(1 +i)= -68.0 эВ

оператора Hqq и собственные значения

£12 = -^не ' 1 - R" Л = -57-8 ЭВ

оператора Но. Экспериментально измеренные значения равны

£;2(0) - £*(0) = 19.8 эВ

или

£f2(0) =

-59.2 эВ,

£^(0) - £^(0) = 20.6 эВ

или

£^(0) =

-58.4 эВ

для / = 0 и

£Г2(1) - £^(0) = 20.9 эВ

или

ЕГ2(1) =

-58.1 эВ,

E^l) - £*(0) = 21.2 эВ

или

^Г2(1) =

-57.8 эВ

для / = 1. Таким образом, при п = 2 уровни энергии уже ближе к собственным значениям оператора Ню, как и следовало ожидать, исходя из проведенного обсуждения. При п = 3, 4, 5, ... согласие еще улучшается.

На рис. 2.3 показаны все известные (на 1971 г.) дискретные уровни энергии атома гелия. Характер энергетического спектра согласуется с обсуждавшимися выше. Суммируя результаты относительно энергетического спектра ниже ЕХсс, мы видим, что имеются

один искаженный, сдвинутый и расщепленный водородоподобный спектр состояний в пространстве ^°гЬ2и один искаженный, сдвинутый л расщепленный водородоподобный спектр без наинизшего уровня в пространстве Л^ь2_ Согласно (1.23), состояния в пространстве ^rb2 — это состояния с полным спином нуль, называемые синглетными состояниями, а состояния в пространстве ^огЬ2 — состояния с полным спином единица, называемые триплетными состояниями. Как будет объяснено ниже, переходы между синглетными и триплетными состояниями атома гелия практически отсутствуют. (Состояние 23S является квазистабильным с очень большим временем жизни.) Поэтому разделение диаграммы уровней энергии на две части привело в свое время к появлению гипотезы о том, что гелий является смесью двух элементов: «парагелия», описываемого в пространстве ^°rb2 ® .^^о и «ортогелия», описываемого в пространстве #orb2 ®=1.

Для парагелия полный угловой момент равен полному орбитальному угловому моменту L = /, так как полный спин S = 0. Следовательно, спиновое взаимодействие Нх не может привести к расщеплению энергетического уровня Е^ДЦ, а может вызвать лишь малый его сдвиг того же порядка величины, что и для тонкой структуры атома водорода, которая вычислена приближенными методами (синглет).

Для ортогелия полный спин S = 1. Следовательно, векторы прямого произведения

У„П3 ® lS = 1 S3>I2'45)

в пространстве Ях_ ® д^=1 не являются собственными векторами операторов полного углового момента J2 и J3, где

Jt = Lt®I + 1®$;. (2.46)

Чтобы получить собственные состояния полного углового момента, необходимо связать орбитальный угловой момент и спин в пространстве Ях_ ® ^=1 по правилам разд. V.2. Пусть — подпространство Ях_ С Л^гЬ2 с орбитальным угловым моментом /; это пространство порождается уя// с фиксированным значением I. Тогда собственные пространства ^ полного орбитального момента j имеют следующий вид:

Л1 ® 91s"Л1 ® 91s"лГ=1,/ = 0.лГ=1,/ = 0.(2-47)(2-47)

Л1 ® 91s"

Л1 ® 91s"

лГ=1,/ = 0.

лГ=1,/ = 0.

(2-47)

(2-47)

Мы видим, что для ортогелия (кроме его S-состояний) все про-

странства орбитального углового момента являются в действительности триплетом пространств полного углового момента. Следовательно, спиновое возмущение Нх гамильтониана Н = Но + + Нх расщепляет энергетические уровни Р(/ = 1), ВЦ = 2) и FU = 3) на триплеты уровней тонкой структуры, принадлежащих к собственному пространству полного орбитального момента j = 1 + 1, I, I - 1.

Эти результаты согласуются с экспериментальным энергетическим спектром: для парагелия имеются только синглетные термы, а для ортогелия (кроме случая / = 0) — только триплетные термы (они расположены так близко друг к другу, что на рис. 2.2 и 2.3 показаны одной линией). Чтобы избежать классификации состояний по их симметрийным свойствам относительно орбитальной части (орто- и пара-), S-терм ортогелия также называют «триплетным» термом 3 Sj, хотя на самом деле он включает в себя только синглет.

XI.3. ПРАВИЛА ОТБОРА И СИНГЛЕТ — ТРИПЛЕТНОЕСМЕШИВАНИЕ ДЛЯ АТОМА ГЕЛИЯ

Оператор дипольного момента атома гелия имеет вид

d^Q, ®/ + /®Q2),(3.1)

где d — векторный оператор относительно оператора полного углового момента

J. = JH ® I + I ® J2i = Lt ® I 4- I ® Sf(3.2)

и относительно оператора полного орбитального углового момента (2.5)

Li = Lxi ® I + I ® L2i.

Таким образом, он подчиняется коммутационным соотношениям [■MJ =,(3 3)

[^-У = ^^е .(3.3)

Как следствие из (V.3.7) получаем правила отбора для дипольного излучения

J J - 1,J,J + 1 ,(3.4)

LL - 1,UL + 1 .(3.5')

Физические состояния являются собственными состояниями полного углового момента; следовательно, правило отбора (3.4) строго выполняется для физических состояний. Правило отбора (3.5')

справедливо с очень хорошей точностью в той степени, в которой Нх коммутирует с L2.

Оператор четности для двухэлектронной системы является прямым произведением операторов четности в одночастичных подпространствах:

V, = U„ ® U„.(36)

Следовательно, для векторов (2.41) и (2.42) получаем

Up^Ut = ("П^О^ ^пИз = (-^П^и, ,(З-7)

поскольку ниже порога ионизации L = L Так как (3.1) — вектор ^dt/;1 = -d, из аргументов, приведенных в разд. V.4, следует, что переход L — L запрещен, так что с учетом (3.5') имеем правило отбора

L - L + 1, L - 1.(3.5)

Еще одно правило отбора является следствием того факта, что [d,P12] = 0.(3.8)

ПоэтомуПоэтомуДля любого вектора уе.^2 ® ?+2(3.9)

Поэтому

Поэтому

и

ф g ^°/ь2 ® л2 .

(ЗЛО)

Из (3.8) следует

dy = y'e^°_rb2 ® /+\ йф = ф'е ^^2 ® /_2.

(3.11)

(3.12)

(^dy) = O.(3.13)

Следовательно, переходы между синглетными и триплетными уровнями отсутствуют (те же рассуждения, что и приведенные выше, справедливы также для квадрупольных и высших мультиполь- ных переходов). Как уже упоминалось в разд. XI.2, это привело к появлению гипотезы о том, что гелий является смесью двух элементов — парагелия (диаграмма уровней энергии которого дана в левой части рис. 2.2), обладающего только синглетными состояниями, и ортогелия (диаграмма уровней энергии которого приведена в правой части рис. 2.2), обладающего только триплетными состояниями. Но затем были обнаружены переходы между орто- и пара-

гелием, имеющие очень малую интенсивность. Эти межмультиплетные переходы возникают из-за «синглет-триплетного смешивания»1 \ вызванного Нх. Мы будем описывать собственные состояния полного углового момента в пространствах <^°rb2 ® ^’5=0, ^огь2 0 ^$= 1, которые осуществляются при объединении спина и орбитального углового момента по правилам гл. V. Для пространства ^°rb2 ® ,#5=0 получаем

№, = ^Яэ„, ® х Ю.ЮгФ'з.^КК» ,(3.14)

$3$1

где фп11з дается формулами (2.41) и (2.37), а второй множитель в правой части (3.14) есть тот же вектор, что и в (1.18).

Для пространства Л^о^2 ® .^5=1 собственные состояния полного углового момента имеют вид

у"‘= ZXefl Iis3>ilzs3>2<b3.i^|is3>k''3ls3l^^(3.15)

1з$з\$э$э/

где 7л// дается формулами (2.42) и (2.38). Для фиксированных пи I собственные состояния 7л3/ образуют базис в пространствах ^ в правой части (2.47).

В соответствии с рассмотренной в гл. VIII теорией возмущений собственные значения оператора Н = Но + Нх в первом порядке равны

и* = ф"> + х L. j F;-п'Г \^nl

l'*l

+»<7^|Н1l^/‘>)(3.16)

Eni - ЕпТ/

ииР-1 р- Vn-iK^H^y"^Р-1 р- Vn-iK^H^y"^(3.17)(3.17)

и

и

Р-1 р- Vn-iK^H^y"^

Р-1 р- Vn-iK^H^y"^

(3.17)

(3.17)

где Е^ = E^U) и Е”] = E~XU) — собственные значения (2.43), (2.44) оператора Но в синглетном и триплетном состояниях соответственно.

В (3.16) и (3.17) мы уже приняли во внимание, что [//, JJ = = 1НХ, JJ = 0. Из сохранения четности

[Я, ид = О(3.18)

и, следовательно, [Hj, ЕД = 0. используя (3.7), получаем

<ф^\Нх\ф"1> = 0, кроме случая (-1)'' = (-!)',

<Упт31^11Уп/3^ =0, кроме случая (-1)' =(-!)',

(V'SltfJy^/3) = о, кроме случая (-l)ln0 = (-^г(320)

В рядах теории возмущений (3.16), (3.17) учитываются только состояния из пространства Л1+ или ^_ с энергией ниже порога ионизации. Этого должно быть достаточно для качественных соображений, которые мы здесь изложим1).

Матричные элементы <?й I Нх ly7^) и <^^ । Нх 1^] > описывают эффекты тонкой структуры, т. е. расщепление термов Ч^), на три энергетических уровня и малый сдвиг энергетических уровней 4b)j. Вычисления показывают ([34], разд. 40), что уровни с J = 1 и J = 2 имеют почти одинаковую энергию.

Матричные элементы (V'/r । Нх ly7^ > описывают синглет- триплетное смешивание, которое мы теперь рассмотрим.

Оператор Нх, как и любая наблюдаемая, коммутирует с оператором перестановки 1Р12, который реализует транспозицию двух электронов. Но если мы запишем 1Р12 как прямое произведение орбитальной части fP0^ и спиновой части Р]2 в соответствии с представлением (1.23):•

р12 = F4r2b® р;2,(3.21)

то

[Я„ Р"Д * 0,[Я„ р;2] * О,(3.22)

т. е. Нх содержит члены, несимметричные в орбитальной и спиновой частях по отдельности. Пример такого члена дает взаимодействие между спиновым и орбитальным магнитными моментами

11 Более подробное изложение см. в работе [34], в частности гл. П.в.

каждого электрона, которое, согласно (IX.3.23), имеет вид

н = C(e„,)S(1, ■ L(ll + C(e,2))S(2l ■ L(2I,(3.23)

гае, , .

/ e \ 1

= C(Qm) = л•(3.24)

Оператор № — это только один из членов, входящих в Нх; другие члены, такие как релятивистская поправка к массе, взаимодействие между спиновым магнитным моментом одного электрона и орбитальным магнитным моментом другого, имеют тот же порядок величины. Поскольку мы хотим рассмотреть лишь сам принцип синглет-триплетного смешивания, мы ограничимся в нашем обсуждении выражением (3.23).

Чтобы вычислить матричный элемент <у^1№1^}>, мы используем выражения (3.14) и (3.15) и получим

\Уп'г\Н l^nj) = £ £ ((УпТГз I Q1)L(1)I ^nJJjX^ Al^^3 1X1S3 lS3 s3> <3$3 S3S3

S3S3

X <5з18(1,|Зэ><^|3;><ЗзЗ;|00>

+ (Уп'/'/з1С(2)Ь(2)|^„773Х^ *^31^' t'3 ^зХ^З^Хз)

X (s'alS^ls^Xs'als'XAAlOO».(3.25)

Изменяя во втором слагаемом индексы суммирования s3" — s3', s3" —■ s3' и используя свойство коэффициентов Клебша— Гордана < l/2s'l/2s"l 1 S3 > = < l/2s3"l/2s3'l ls3>,< l/2s3'l/2s3"l00> = = ( — 1) <1/2 s3" 1/2 s3' 100>, получим

рассмотрением случая Г Ф J = 1, для которого получим

(Уит/зКиЛцМ./^ ~i<n' /^|С7-ЧпТ)С(П^J3\

= -^п'т'^С^^^(3-28)

где i может принимать значения 1 или 2, а и-(п'Г) и U^(nJ) — ограничения унитарных операторов (2.42) и (2.41) на пространстве ^гЬ. Нам здесь необходимо знать о них лишь то, что они являются скалярными операторами (поскольку W — скалярный оператор) и не меняют значений ГЦ и JJV Таким образом, эти новые векторы

\n±ll3>i = ичт^ш^,(3.29)

также являются собственными векторами операторов L2 и Z3 с теми же собственными значениями. Подставляя выражения (3.28) и (3.27) в (3.26), получаем

O^l^1!^3)

= zL X ^ ^3 I ^ ^3 1S3> <ls3 I 2S3 ’ 2S3> <S3 |S(i) I S3 > <2^3 ’ 2S3 I® ®> (3X3 S3S3

X 2(-\\<n-Ll3\CwLw\n + J J3X,(3.30)

где C(/) — Ь(/)-скалярный оператор. Операторы L^, к = 0 + 1, являются L{()-векторными операторами. Таким образом,

^n'-Ll^L^J J3\ = <J J31k|L/3><m-L||C(|.)L(|.)||m+ J>. (3.31)

Вычисление приведенного матричного элемента может быть продолжено при помощи (V.3.10):

<n''L||C(i)L(0||n + J> = 8ljVAJ+ 1)<пП|С(> + >,.(3.32)

Дальнейшее вычисление величины <и'“П С^ II м4- >у требует выполнения реальных вычислений по теории возмущений, где W играет роль гамильтониана возмущения, или применения для нахождения 1и±//3> других приближенных методов, а затем— вычисления матричного элемента <п'- И C(Z) II л+>у с использованием формулы (3.24). Мы не будем здесь проводить эти вычисления, а заметим только, что эти величины того же порядка величины, что и члены, отвечающие за появление тонкой структуры, которые имеют вид (п' " IIС(оIIп " >.

Подставляя выражения (3.31) и

(3.33)(3.33)^З I $(•)»< I ^зХ - <2^3 1 К I З^З^х/ТТ

(3.33)

(3.33)

в (3.30), получаем

<7Й\НЖ?*> = ZE X I У Л 1 K|L/3X^,|s3|00>

К IjSj $э$з $3

^2^3 ’ 2S3 Ц53> *\2 ^3 1 К I 2S3> ^ ^3 ^S3 I ^ *^3>

X Vs^-LIIC^L^IInXX(3.34)

После непосредственного, но несколько утомительного вычисления, использующего свойства симметрии (V.2.42)—(V.2.47) и соотношения ортогональности (V.2.14), (V.2.15) для коэффициентов Клебша — Гордана, получаем выражение (см. задачу 3)

<■#"£№*"’> = (-ly-^'VZ^x^yVij^'-IIC.JInXj. (3.35)

Тем самым мы выразили матричный элемент спин-орбитального взаимодействия между синглетными и триплетными состояниями в терминах величины (которая может быть вычислена только численно), отличной от нуля и имеющей тот же порядок величины, что и чЛен, ответственный за появление тонкой структуры.

Подставляя эту величину в выражения (3.16) и (3.17), мы видим, что собственные векторы оператора Н = Но + Нх, вычисленные в первом порядке, ^з и ^з не являются чисто триплетными или чисто синглетными состояниями, а имеют малую компоненту в синглетном и триплетном пространствах соответственно. Таким образом, состояние ортогелия у есть в основном триплет у с малой синглетной компонентой

7 = У + ^, кИ 1,(3.17')

а состояние парагелия есть в основном синглет ф с малой триплетной компонентой

ф' = ф' + е^, К| < 1-(3.16')

Следовательно, дипольный матричный элемент между состояниями пара- и ортогелия равен

ОД'. dy) = ^ф\dy) + ((ф', d<//) + с(у. dy)(3.36)

и, хотя первый член, согласно (3.13), равен нулю, этот матричный элемент отличен от нуля вследствие “синглет-триплетного смешивания”.

В разд. VII. 1 упоминалось, что по спектру одноэлектронных атомов нельзя проверить, равны ли значения энергии среднему значению оператора энергии по состоянию, не являющемуся собственным состоянием энергии, или равны собственным значениям опера-

тора энергии. Из анализа спектра гелия следует, что имеет место второй случай: физические состояния пара- и ортогелия являются собственными состояниями оператора Н = Но + Нх и не являются чистыми синглетными и триплетными состояниями; энергии их равны средним от Н по этим чистым синглетным и триплетным состояниям. Существование переходов между состояниями пара- и ортогелия экспериментально подтверждает тот факт, что физические состояния являются собственными состояниями оператора энергии. В гл. XII мы увидим, что исходя из теоретических соображений все стационарные состояния должны быть собственными состояниями оператора энергии.

.4. ДВУКРАТНО ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ГЕЛИЯ

Уровни энергии атома гелия ЕХп,(П хорошо известны экспериментально. Они были измерены методами оптической спектроскопии, т. е. измерением волнового числа (или частоты) света, испущенного или поглощенного при переходе между двумя уровнями энергии:

Уровни энергии измеряли также в экспериментах с передачей энергии, описанных в разд. II.4 и схематически представленных на рис. П.4.1. Столкновительная камера была наполнена газообразным гелием, и измерялась интенсивность тока электронов как функция потерь энергии на столкновения с атомами гелия. Результаты этих экспериментов показаны на рис. 4.1, где приведена зависимость интенсивности I от потерь энергии Е. В соответствии с интерпретацией этого эксперимента в разд. II.4 энергия, потерянная электроном, используется для возбуждения атома и вызывает его переход из основного состояния PS в возбужденное; поэтому интенсивность максимальна при потерях энергии, равных разности энергий основного и одного из возбужденных в этом эксперименте состояний. Энергии возбуждения, обнаруженные в этом эксперименте, приведены в табл. 4.1 (третий столбец) и сравниваются с энергией л1 P-уровней, измеренных при помощи оптической спектроскопии (второй столбец); первый столбец дает уровни энергии, участвующие в переходе. В табл. 4.1 не указаны пики между значениями энергии 42 и 46 эВ. Эти пики являются результатом двух последовательных процессов возбуждения (двойное рассеяние): электроны в столкновительной камере дважды неупруго рассеиваются, теряя

Таблица 4.1. Энергии возбуждения гелия

Переход

Энергия возбуждения, эВ измеренная методомизмеренная по потере энергии

оптической спектроскопии

XS-2P

21.212

21.213

3ХР

23.081

23.084

4х Р

23.736

23.739

5х Р

24.039

24.034

6ХР

24.205

24.209

тр

24.304

24.308

%хр

24.369

24.374

9х Р

24.413

24.419

\0хР

24.445

24.451

Н'Р

24.469

24.474

12‘Р

24.487

(24.493)

2*5

20.610

20.612

2s2pxP

60.123

60.120

2s3pxP

2s4pxP

63.651

63.651

64.462

(64.450)

Рис. 4.1. Спектр потерь энергии для гелия [35].

Глава XI

Рис. 4.2. Спектр поглощения гелия между 160 и 215 А; видно множество резонансов, обусловленных существованием в нейтральном гелии двукратно возбужденных состояний. Приведен позитив снимка (поглощению соответствуют черные области). Белая область каждого резонанса отвечает зоне, или «окну», приведенного поглощения в непрерывном фоне фотоионизационного поглощения [36].

интервале 160—215 А. Наблюдаемые дискретные спектральные линии накладываются на непрерывный фон поглощения. Наинизшая дискретная спектральная линия в этой области лежит при 206,21 А, что соответствует энергии 60,1 эВ; это хорошо согласуется с положением первого пика этого вида в эксперименте с потерей энергии на рис. 4.1 (см. также табл. 4.1). Это первая линия в длинной одиночной серии спектральных линий с очень большой интенсивностью, которая сходится к энергии 65,4 эВ. (Некоторым из этих линий отвечают пики в спектре потерь энергии на рис. 4.1.) Три более слабые линии обозначают присутствие второй серии, которая также сходится к этому значению энергии. Несколько слабых линий можно видеть на рис. 4.2, где они сдвинуты в более коротковолновую область относительно более заметной серии. Эти линии группируются в серии, имеющие своими предельными точками значения энергии 72,9 и 75,6 эВ. Таким образом, мы имеем набор серий спектральных линий. Поскольку эти линии наблюдаются при поглощении электромагнитного излучения атомами гелия в основном состоянии, мы можем смело предполагать (во всяком случае

для линий с большой интенсивностью и, может быть, также для более слабых линий), что они отвечают дипольным переходам и (согласно правилам отбора для дипольного излучения) соответствующие возбужденные энергетические уровни относятся к синглетным состояниям с орбитальным угловым моментом 1, т. е. они являются ^-состояниями.

Порог двукратной ионизации гелия, т. е. значение энергии Е^, при котором оба электрона отрываются от ядра гелия и физическая система находится в состоянии, в котором имеются ядро и два электрона, энергия каждого из которых относительно ядра равна нулю, лежит на 79,0 эВ выше основного состояния. Мы установили этот экспериментальный факт раньше, когда говорили, что энергия основного состояния Е^х = — 79,0 эВ. (Шкала энергий на рис. 4.2 дает ^(уровня) — Е^.)

Данные наблюдений на рис. 4.2 свидетельствуют о наличии набора серий энергетических уровней ХР, причем оказывается, что предельная точка этого набора серий лежит на 79,0 эВ выше энергии основного состояния, т. е. соответствует порогу двукратной ионизации. Предельные точки для каждой отдельной серии согласуются со значениями энергии Епоо, вычисленными по формуле (2.33): Б,. - Е* = - R^ 7 + 79,0 эВ = ( - 54,4 эВ)1 + 79,0 эВ; (4.1) следовательно,

Ек» ~ Е^ = 24.6 эВ,

Е2оо - EtY = 65.4 эВ, + (4.2)

Е3оо - Etx = 72.9 эВ,

Е4оо — EtA = 75.6 эВ.

Таким образом, на рис. 4.2 показано, что дискретные энергетические уровни ХР сходятся к и-му порогу ионизации атома гелия, т. е. к значению энергии, при котором один электрон имеет главное квантовое число и, а второй только что освободился из атома гелия. Эти экспериментально измеренные уровни ХР, лежащие выше первого порога ионизации, изображены на рис. 2.3, на котором показаны также все остальные известные (1971 г.) дискретные уровни энергии атома гелия. Мы видим, что диаграмма уровней энергии под вторым, третьим и т. д. порогами ионизации качественно очень похожа на диаграмму энергетических уровней под первым порогом.

Теперь можно дать приближенное объяснение дискретных энергетических уровней выше первого порога ионизации1 \ В то время как энергетические уровни, лежащие ниже Е100, отвечают состояниям, в которых один из электронов всегда находится в основном состоянии (и = 1), уровни энергии, лежащие ниже Епоо, п > 1, отвечают состояниям, в которых один из электронов находится в состоянии с главным квантовым числом л, а другой — в состоянии с п' ^ п. Оба электрона возбуждены, и атом двукратно возбужден. В приближении, в котором пренебрегается межэлектронным взаимодействием W, это состояния, которым отвечают векторы (2.15 ± ) с п' ^ п > 1. Для случая, когда п = 2 (2.15 ± ), они имеют вид

Аь^п; = Д=(|2//3>, ® |п'/'/'3>2 + In'/'/'з>, ® 12 //,>,)- (4.3 + )

1iu,..m=Ai№U5>1®\n4^>1 - 1-1'ГГ3>, ® |2//3>2), (4.3-)

где / может принимать два значения / = 0 и / =. 1, т. е. мы имеем синглетные состояния i^^ „-/-^ и ^200, п'гг3 и триплетные состояния 7§1Z п'П) и 72оо, л'/'/з* Если мы хотим дать объяснение ^-уровням, то должны рассмотреть вместе угловые моменты / и V, чтобы получить собственные векторы полного орбитального углового момента L2 = (Ц + Ц)2 с собственными значениями L(L + 1) = = 1(1 + 1). Поскольку L может принимать любое из значений / + /', / + /' — 1, ..., I/ — Г I, мы можем получить L = 1

в следующих случаях:

2pns I = 12рпр / = 12pnd / = 12pns I = 12рпр / = 12pnd / = 1Г = 0 L = / + /' л = -1Г = 0 L = / + /' л = -1(4.4)(4.4)2snp / — 0 /' = 1 L = / + Г л = — 1

2pns I = 1

2рпр / = 1

2pnd / = 1

2pns I = 1

2рпр / = 1

2pnd / = 1

Г = 0 L = / + /' л = -1

Г = 0 L = / + /' л = -1

(4.4)

(4.4)

/' = 1 L = / + /'- 1 л = +1

Г = 2 L = / + /'- 2 л — — 1

где in— четность, тг = ( — l)z ( — I У'. Следовательно, имеются три возможности получить ^-состояния с четностью тг = — I как ли-

л Были выполнены тщательные вычисления этих энергетических уровней с использованием различных приближенных методов; полученные результаты согласуются с экспериментальными значениями (см. статью [37] и литературу в ней, а также книгу [38]).

(4.5Р)(4.5s)(4.5^)(4.5Р)(4.5s)(4.5^)нейные комбинации состояний (4.3 ±):

(4.5Р)

(4.5s)

(4.5^)

(4.5Р)

(4.5s)

(4.5^)

(п = 2, / = 0; п\ I' = 1), (п = 2 J = 1; п, V = 0), (и = 2, / = 1: п'. Г = 2).

Все эти линейные комбинации являются собственными векторами оператора Н^ с одним и тем же собственным значением £^,. Сдвиг по энергии, возникающий из-за взаимодействия двух электронов, зависит не только от п' и L, но также и от / и /'; поэтому можно ожидать наличия трех различных значений энергии для каждого п' (кроме Г = 2). Таким образом, должны быть три серии энергетических уровней, сходящихся к пределу Е1оо. На рис. 4.2 изображены только две серии: одна с очень высокой вероятностью перехода из основного состояния 1*5 и другая с очень малой вероятностью. Это указывает на существование приближенного правила отбора, которое не может быть объяснено на основе предположения, что пространства, порожденные векторами (4.5р), (4.5s) и (4.5 б/), являются хорошими аппроксимациями пространства физических состояний. Можно считать, что линейные комбинации векторов (4.5р) и (4.5s) порождают с хорошей точностью пространства собственных состояний энергии, которые принадлежат к двум наблюдаемым сериям [39], и что векторам (4.5<У) отвечает еще более слабая, не обнаруженная до сих пор серия.

Ситуация становится еще более сложной для п = 3, 4, ... . Серии 3Р-уровней можно рассматривать с использованием сходных аргументов.

Мы заключим обсуждение двукратно возбужденных состояний замечанием, касающимся широкого профиля спектральных линий, отвечающих этим состояниям, который показан на рис. 4.1 и виден также в оптических спектрах. Эти энергетические уровни лежат выше первого порога ионизации. Следовательно, кроме двукратно возбужденных состояний с п = 2, п' ^2, имеются состояния с той же энергией, что и двукратно возбужденные состояния, отвечающие системе, состоящей из иона гелия Не+ в основном состоянии п = 1 и одного электрона (Не+ + е). Система Не+ + е может иметь любую энергию Е > ЕХоо1 поскольку относительная энергия Не+ и е может быть любой, т. е. энергетический спектр системы Не+(л = 1) + е непрерывен выше ЕХао. Следовательно, каждое значение энергии двукратно возбужденных состояний равно одному из значений энергии в непрерывном спектре состояний системы Не+(л = 1) + е. Таким образом, имеются два различных состоя-

ния с одинаковой энергией: дискретное состояние с п = 2, п' ^2, и состояние континуума с п = 1 и некоторой относительной энергией Не+(и = 1) и е. Эти два состояния смешиваются и взаимодействуют друг с другом, в результате чего двукратно возбужденное состояние не может сохраниться и легко распадается на Не+(л = 1) и электрон. Время жизни таких двукратно возбужденных состояний мало, и спектральная линия имеет типичный широкий профиль. Такие состояния часто называют резонансами.

Для двукратно возбужденных состояний с п = 3, п' > 3, существуют два состояния континуума с той же энергией, а именно Не+(и = 1) + е и Не+(я = 2) + е. При л = 4, п* ^ 4, имеются три таких состояния и т. д.

Глава XII

Эволюция во времени

В этой главе вводится фундаментальное предположение о временной эволюции. Обсуждаются картины Гейзенберга, Дирака и Шредингера и их соотношение. В конце главы кратко обсуждаются зависящие от времени внешние силы.

XII. 1. ЭВОЛЮЦИЯ ВО ВРЕМЕНИ

До сих пор мы не упоминали о времени и совершенно не принимали во внимание временную эволюцию состояния системы и временное развитие наблюдаемых. Мы ограничивались свойствами системы, измеряемыми мгновенно. В общем случае необходимо указывать не только значения физических величин, полученные в эксперименте, но и время, когда проводилось измерение. В этой главе мы рассмотрим временную эволюцию (динамику) физических систем. Хотя понятие момента времени физически имеет столь же мало смысла, как понятие определенного положения (измерения всегда требуют конечного временнбго интервала, равно как и конечного пространственного объема), мы сделаем предположение, что время — это непрерывный действительный параметр Z, характеризующий последовательность состояний. (Заметим, что мы назвали время “параметром”, а не “наблюдаемой”.) Иными словами, мы сделали предположение, что измерения могут проводиться через произвольно малые временные интервалы и в каждый момент времени можно дать описание полного набора наблюдаемых.

Обозначим через ^(Zq) состояние системы, приготовленное в момент времени Z = Zo. Мы ожидаем, что состояние ^(Zq) однозначно определяет другое состояние ^(Zj) в любой более поздний момент времени t = tx > Zo. В процессе эволюции система может подвергаться внешним воздействиям, так что характер эволюции явно зависит от временного интервала Zo — Zj, а именно от начального момента времени Zo и от длины интервала tx — Zo. Рассмотрим сначала системы, на которые не действуют внешние силы (изо-

лированные системы). Для таких систем эволюция

^o)-^(ft)(1.1)

не зависит от /0, а определяется только самой системой, начальным состоянием И7^) и длиной tj = Z, - Zo временного интервала от t0 до Ц. Наши интуитивные представления о временной эволюции отвечают наложению на отображение (1.1) следующих условий:

Преобразование (1.1) — в некотором смысле непрерывное линейное преобразование на множестве состояний. Если ^(Zq) — — ^(f^ и ^2(Z0) ~* ^2(^1)’ то для ОеС

яИ^о) + bW2(t0) -+ aW^tx) + bW^txY

Временной эволюции отвечает аддитивная полугруппа, т. е. если ^(/q) — WVQ + г,) для т, = tx - t0 и W(tx) — ^(t, + t2) для т2 = t2 — tv to

^(Го) “* ^(Z0 + Г1 + Г2).

Первое требование выражает физическое утверждение, что первоначальное смешивание состояний в момент времени t0 с последующей эволюцией во времени приводит к тем же результатам, что и первоначальная независимая эволюция состояний, а затем их смешивание в момент времени Ц; непрерывность преобразования отражает интуитивное представление о непрерывности времени. Второе требование интуитивно очевидно: оно выражает утверждение, что если физическое состояние сначала эволюционирует на временном интервале /1э а затем полученное состояние эволюционирует на временном интервале Z2, т0 получится тот же результат, что и при эволюции исходного состояния на временном интервале тх + т2. Первое и второе требования являются весьма общими и должны выполняться также и для необратимых процессов.

Мы рассматриваем здесь квантовую механику обратимых процессов и в этом случае налагаем дополнительное требование:

Временной эволюции (1.1) отвечает унитарный оператор ^(г), удовлетворяющий следующим условиям:

W(z0) - ^(fj = иЧтх^0Мтх\(1-2)

U\t) = U~4t\(13)

17(0) = /,(I-4)

(1-5)(1-5)У'ЧтЖ U( — t\

(1-5)

(1-5)

U(ty + т2) = U^t^U^t^ (-00 < t^t2 < +oo),(1.6)

U(t) — непрерывная операторная функция(1.7)

параметра т (см. приложение).

Уравнение (1.5) следует из (1.2) и (1.3), а именно и?

^Ж^С/"1^) = jy(f0)(1.2')

и из предположения, что (1.2) справедливо также и для эволюции назад во времени, т. е.

W(r0) = и-Ч-т^.Ж-т,).(1.8)

Уравнение (1.6) следует из второго требования, которое при описании временнбй эволюции унитарным оператором, как в (1.2), может быть выражено соотношением

и^2 — ^о) = ^(G — (q)^(G — G)’(1.6')

Уравнение (1.6) получается при т, = tx - /0, тг = tT — tx. Линейность преобразования (1.2) очевидна. Непрерывность преобразования (1.1) выражается утверждением (1.7). Мы не будем здесь приводить математическое определение непрерывной операторной функции, а упомянем лишь, что используемые ниже формальные операции, такие как дифференцирование, разложение в ряд Тейлора и т. д. (см. приложение), могут быть строго определены. Непрерывная операторная функция, удовлетворяющая соотношению (1.6), называется однопараметрической группой операторов.

Продифференцируем t/(r) по т и определим

А - ^^А - ^^г = 0г = 0(1.9)(1.9)

А - ^^

А - ^^

г = 0

г = 0

(1.9)

(1.9)

Оператор А называется инфинитезимальным оператором, или генератором оператора временнбй эволюции Щт). Оператор t/(r) не просто “дифференцируем”, но бесконечно дифференцируем. Мы можем вычислить все “производные”, используя соотношение (1.6).

Дифференцируя (1.6) по т,,

dU(x + гД d(r + rj dU^)а(т + tJ dxY dT Y

и вычисляя получившееся выражение в точке тх = 0, получаем

dU^Л^dU^Л^= AU(t).= AU(t).

dU^

Л^

dU^

Л^

= AU(t).

= AU(t).

Производя снова дифференцирование, получаем

d2U(T)dt2d2U(T)dt2dU(i)А ;dU(i)А ;= A-AU(t) = A2U(t\= A-AU(t) = A2U(t\

d2U(T)dt2

d2U(T)dt2

dU(i)

А ;

dU(i)

А ;

= A-AU(t) = A2U(t\

= A-AU(t) = A2U(t\

Мы можем продолжать дифференцирование и для р-й производной получим

dpU(T)dipdpU(T)dip= ApU(t);= ApU(t);

dpU(T)dip

dpU(T)dip

= ApU(t);

= ApU(t);

используя (1.4), тогда получаем

dpU^dxpdpU^dxp= Ар.= Ар.г = 0г = 0

dpU^dxp

dpU^dxp

= Ар.

= Ар.

г = 0

г = 0

Следовательно, “разложение в ряд Тейлора” t/(r) имеет вид

т2Тп

Щт) = I + тА + — А2 + • • ■ + — А" + • ■ •;(1.10)

2!п'.

или, сравнив ряд (1.10) с рядом для етА, мы видим, что

U^ = ехА.(МО')

В частности, это означает (в соответствии с нашим правилом ДЛ)1д> = Дд)1д> для функций ДЛ) от Л), что

U^\a> = eTQ\a>

Для (обобщенных) собственных векторов I а > оператора А, отвечающих собственному значению а. Выполняя сопряжение соотношения (1.10), получаем

т2♦

Cf(r) = I + тЛ1 + — А12 += ехА .(Ы1)

Если использовать равенство (1.3) и продифференцировать CT^U^t) = /, то получим

атат

полагая т = 0, находим

А1 = —А.(М2)

Оператор, удовлетворяющий соотношению (1.12), называется антиэрм игловым. Поскольку т — время, А имеет размерность частоты, т. е. энергии, деленной на h. Оператор

Н = — ihA = — ih —— атН = — ihA = — ih —— атг = 0г = 0(1.13)(1.13)

Н = — ihA = — ih —— ат

Н = — ihA = — ih —— ат

г = 0

г = 0

(1.13)

(1.13)

который также часто называют генератором временной эволюции, является, следовательно, эрмитовым оператором, имеющим размерность энергии; Н— оператор Гамильтона, или оператор энергии системы, и из (1.10') получаем

(1.14)(1.14)U(t) = eiHt,h.

(1.14)

(1.14)

Явный вид оператора Н зависит, разумеется, от рассматриваемой частной физической системы; как найти его вид для некоторых частных случаев, обсуждалось выше. Оператор Н является элементом алгебры наблюдаемых системы, и его свойства задаются определяющими алгебраическими соотношениями для этой конкретной системы. Заметим, что существует взаимно однозначное соответствие между t/(r) и Н; поэтому можно рассматривать Н как величину, полученную (с помощью (1.13)) из более фундаментального оператора временнбй эволюции t/(r), но можно считать более фундаментальной величиной Н, а оператор временнбй эволюции 1Дт) производной от Н величиной (пользуясь (1.14)). В контексте предыдущего изложения естественно считать фундаментальной величиной Н — элемент алгебры наблюдаемых, a t/(r) считать производной величиной.

Сформулируем вывод из приведенных рассуждений как фундаментальное предположение о временнбй эволюции в квантовой

динамики квантовомеханических си-динамики квантовомеханических си-механике — основной закон стем.

динамики квантовомеханических си-

динамики квантовомеханических си-

Va (Картина Шредингера). Консервативная физическая система имеет генератор Н временных сдвигов, являющийся эрмитовым

элементом алгебры наблюдаемых и характеризующий систему. Временная эволюция состояния физической системы определяется уравнением

w(t) = u\tW u(t\(L15)

где WQ — состояние системы в некоторый начальный момент t0 = 0, а {ДО задается формулой

{/(Г) = е№(1.16)

В соответствии с аксиомой II среднее значение наблюдаемой А равно

<A> = 1x<AW\(1.17)

Наблюдаемая, которой отвечает оператор А, задается предписанием способа ее измерения, т. е. способа установки измерительного прибора и способа осуществления измерения. Это предписание верно в любой момент времени. Экспериментально измеренное значение меняется во времени; если мы проведем измерение в момент времени /0, то среднее значение <A>t_tQ будет, вообще говоря, отличаться от среднего значения <A>t=( в другой момент времени tx. Этот экспериментальный факт отражен в описании эволюции состояния 1^(0. согласно (1.15). Подставляя (1.15) в (1.17), получаем

<А>, = TrU^tO) = ТгСЛ С/ЧоИ^ СОД).(1.18)

Это выражение можно переписать в виде

<Л>, = Тг((/(ОЛ(/ЧО^оХ(1.19)

так как след произведения операторов инвариантен относительно циклической перестановки сомножителей. Теперь можно определить новый оператор Л(/) формулой

Л(г) = ишичо(1.20)

и записать выражение (1.19) в виде

<Л>, = <Л(0> = Тг(Л(0%).(1.21)

В выражении (1.21) изменение экспериментально измеряемого значения < А >( во времени описывается в форме, которой можно дать

следующую интерпретацию: состояние системы описывается статистическим оператором И^; этот статистический оператор И^ не меняется во времени, т. е. на протяжении всей эволюции состояние физической системы описывается оператором И^. Наблюдаемая меняется со временем, согласно (1.20), т. е. предписание способа ее измерения должно содержать сведения о том, когда проводить измерения, поскольку наблюдаемая (экспериментальная установка) различна в разные моменты времени. Таким образом, вместо основного предположения Va мы можем сформулировать следующее предположение относительно временндй эволюции:

V6 (Картина Гейзенберга). Консервативная физическая система имеет генератор Н временных трансляций, являющийся эрмитовым элементом алгебры наблюдаемых и характеризующий физическую систему. Временная эволюция любой наблюдаемой физической системы Л (/) задается выражением

Л(г) = U^AU4t\(1.22)

где А относится к наблюдаемой в некоторый начальный момент времени /0 = 0, a (ДО определяется формулой

(1.23)

Эти два способа описания временндй эволюции измеряемой величины <Л), являются, конечно, абсолютно эквивалентными. В форме Va изменение во времени описывается как изменение состояния системы. Такое описание временндй эволюции называется “картина Шредингера”. В форме V6 состояние является фиксированным, и изменение во времени связывается с изменением наблюдаемой. Такое описание называется “картина Гейзенберга”.

АА^dtАА^dtВременная эволюция наблюдаемой, описываемая выражением (1.22), часто записывается в другой форме. Соответствующее уравнение получается дифференцированием выражения (1.22):

АА^dt

АА^dt

= - H^tHlKAe"UHlh + e^AV- - Н L"i,H/*й\ h /

= '- (HAW - AWH\

ih—[Л(г),Н].(1.24)

at

Это “гейзенберговское уравнение движения”. Наблюдаемая является интегралом движения, если она не зависит от t. Из уравнения (1.24) следует, что все интегралы движения коммутируют с Н. В частности, оператор Н сам является интегралом движения. Кроме того, каждый член п.с.к.н., содержащий Н, является интегралом движения.

Рассмотрим наблюдаемые импульса Р, и координаты Qt для системы, в которой обе они не являются интегралами движения. Легко видеть, что [Р,(/). О/О) Для всех значений времени t > 0 имеет обычный вид [Pf, Q.) = (h/i^I, тот же, что при t = 0:

F^Q/J) ~ QjWiiO = IW, UHtMDQ,U\0 - UWQjU'WWJAO = uWPiQj - QjP^u'm

[PXO, 6/0] =(1.25)

Теперь мы можем получить уравнения движения для импульса и координаты и показать, что эти уравнения имеют ту же форму, что и для соответствующих классических величин. Для системы, гамильтониан которой имеет вид

н = ^ Р.Р, + P(Q), где

Qi = QM Pt = P^t), вычисляем

[&, из = ^ №. р,р,з = ^ {[a, pj, р,}

Подставляя это выражение в (1.24), получаем

-^T^m^(L26)

Это квантовомеханический аналог классического соотношения между импульсом и временной производной координаты.

В классической физике сила получается из потенциальной функции К(х):

. _ _ 5У(х)дхк ‘

По аналогии с этим соотношением найдем “оператор силы”:

3 - г №. HQ)] = -0-27)

где последний символ определен ниже. Подставляя это выражение в (1.24) при Л (О = Рк(О> получаем

= 4 №. Ч = - { №. HQ)] = F»(Q«).(1.28)

at inп

Это квантовомеханический аналог классического соотношения, связывающего временную производную импульса и силу. Объединяя (1.26) и (1.28), получаем квантовомеханическое уравнение Ньютона

m ^5*2 = ^(QW(1.29)

dr

[Оператор “dy(Q)/dQk” — символическая форма записи следующей процедуры: заменяем все Q, в K(Q) числами xt (напомним, что это процедура обратна той, по которой строился потенциал И(О) из классического выражения), дифференцируем У(х) по хк и заменяем в Э K(x)/dxk х, на Qr Тот факт, что “dK(Q)/dQk” в действительности равно Ц/Ь^\Рк, И(О)], можно показать одним из следующих двух способов:

Запишем

уго = с + с^ + с^] + ...

где С^ ( симметричны, т. е.

^i 1 ip • iq ••• in^i iq" ip-’in '(1.31)

поскольку Qi коммутируют между собой. Пользуясь каноническим коммутационным соотношением (1.25), вычисляем

^и\,у«№ = ск + 2ск!е,+ -

+ nCti2ll..l„QllQll...Ql, + ..„ (1.32)

поскольку

р= 1

р= 1 •

h

~ И У ^12'3 in 612613 ‘ ' 6i„,

где использовано равенство (1.31). Правая часть (1.32) тождественна “d K(Q)/dQfcn.

Вычислим [Рк, K(Q)] в координатном представлении:

<х|[Р„, HQW> = <x|Pt(K(Q)|^>) - <x|P(Q)PJ^>

= -^<x|WQ)|l/,> - И(х)~<х|^>I oxkI oxk

= т^~(И(х)<х|<Д» - И(х)т^-<х|^>l CXkI oxk

hdV^ i dxkhdV^ i dxk<х\ф>.<х\ф>.

hdV^ i dxk

hdV^ i dxk

<х\ф>.

<х\ф>.

Поскольку коммутационные соотношения Гейзенберга не меняются со временем, все алгебраические соотношения, полученные с их помощью, также справедливы в любой момент времени, даже если операторы, входящие в эти алгебраические соотношения, не коммутируют с Н. Это означает, что любая алгебра наблюдаемых, элементы которой являются функциями от Рц Qp не изменяется со временем, хотя некоторые ее элементы могут не коммутировать с Н. '

Преобразование симметрии множества элементов — это преобразование, оставляющее соотношения между элементами инвариантными. Таким образом, временная эволюция физической систе-

4А1 _ ок

мы, алгебра наблюдаемых' которой получена из гейзенберговских коммутационных соотношений, является преобразованием симметрии алгебры наблюдаемых. Если временная эволюция является преобразованием симметрии, то математическая структура (в частности, алгебраические соотношения) алгебры наблюдаемых не меняется во времени; это означает, что физические свойства в различные моменты времени одинаковы. Наш опыт показывает, что существуют физические системы, обладающие этим свойством; на самом деле это свойство определяет изолированные физические системы. Таким образом, для изолированных систем не существует возраста, для них не имеет значения, каково абсолютное значение времени; измерению доступны лишь временные интервалы. В определенных так изолированных системах не происходит необратимых процессов. Эти соображения приводят к еще одной формулировке фундаментального предположения V:

Vb. Временная эволюция консервативной физической системы дается непрерывным преобразованием симметрии ее алгебры наблюдаемых.

Вернемся к картине Шредингера. Временная эвоюция (1.15) может быть также описана в дифференциальной форме. Дифференцируя (1.15), получаем

= L (W(f>H - hwu>) = Е^(г), Щ. (1.33) dt h«

Рассмотрим теперь частный случай, когда 1Р0 является чистым состоянием, т. е.

% = Л1^ = l^oX^ol’(1.34)

где Л^о> — проекционный оператор на одномерное пространство, порожденное вектором 10о>. В этом случае (1.15) имеет вид

^(0 = l/’(t)A„0> l/(t) = UXtWoX'I'oWV

Определим вектор HU У) формулой

HU)> = и\О\Фо>.(1.35)

Получаем

^(г) = UWi».) U(t) = I^(r)><^<01 = л|№|>.(1.36)

Дифференциальная форма (1.36) получается дифференцированием формулы (1.35):

^WO> = ^^|^0> = --hHU4tWo>= -^Ш»-

Это уравнение Шредингера для вектора состояния I ^(/)>:

. d

'^ W)> = HW»-(1.37)

Для гамильтониана, определенного выражением

Я = Р.Р, + HQ),

2m

уравнение Шредингера в координатном представлении получается из этого уравнения при взятии скалярного произведения с собственным вектором оператора координаты 1х>:

<х|<А(г)> = ^-(xiP. Pj^O) + V(x)<x\iKt)>.

at2т

Используя соотношение

I I OXt OXi

(см. (II.7.58)), уравнение Шредингера можно записать в обычной форме:

dй2

ih — ф(х, t) = - — Ч2ф^х, 0 + У(х)ф(х, t),(1.38)

dt2т

где мы определили зависящую от времени волновую функцию

Ф(х, t) = <х\ф(0>.(1.39)

Суммируя, отметим, что различие между картиной Шредингера и картиной Гейзенберга состоит в следующем: в картине Гейзенберга наблюдаемые преобразуются оператором (/(/), а состояния остаются неизменными, в то время как в картине Шредингера наблюдаемые не меняются, а состояния преобразуются “в обратном направлении”, т. е. оператором <740 в ^-Ч0- Временная зависимость Тг(ЛИЭ в обоих случаях одинакова. Используя векторы, получаем: в картине Гейзенберга собственные векторы I Ш> наблюда-

емых A (t)

A(t)\at> = a\at>.

(1.40)

“вращаются” оператором (/(/):

L7(f)|a0> = |at>,

в то время как векторы состояния 10о> остаются неизменными. (Заметим, что собственное значение а не вносит в (1.40) временной зависимости. Это легко проверить: A(t)lot) = A(t)U(t)l аО) = = и<ПА (0)1 </0> = (/(/)# (0)1 a0> = a(O)laO-) В картине Шредингера собственные векторы I я 0> постоянны, а векторы состояния “вращаются” в противоположном направлении:

U40 \Ф0> = I со-

временная зависимость физически измеримых величин, представляющих вероятности, а обоих случаях одинакова:

1<а г|^0>12 = l(t/(r)|aO>, I.Ao»!2

= |<a 0| l74Oli/-o>l2 = K«0|iA(t)>|2.

Состояние называется стационарным, если оно не изменяется во времени:

ИЧО = {ЛОИ^О = Wo = W.(1.41)

Терминология оправдывается тем фактом, что любая наблюдаемая, измеренная в этом состоянии, принимает значения, не зависящие от времени наблюдения, так как из (1.41) для среднего значения любой наблюдаемой А имеем

<Л\ = Tr(AW(t^ = TrGW^DHW)) = Тг(Л W) = <л>,=0.

Стационарные состояния всегда являются смесями собственных состояний оператора энергии Н. Это следует из соотношения (1.41), записанного в виде

^gUHlh _ gitHlhy^

или, что эквивалентно,

WH — HW = 0.(1.42)

В частности, для чистого стационарного состояния

W=^^ = \ф0><ф0\

из (1.42) получаем

■\ФоХФо\Н = Щф0><ф0\,

илиилиН\Фо> = \Фо>Н\Фо> = \Фо><Фо\Щфо)<Фо\Фо> ’<Фо\Щфо)<Фо\Фо> ’(1.43)(1.43)

или

или

Н\Фо> = \Фо>

Н\Фо> = \Фо>

<Фо\Щфо)

<Фо\Фо> ’

<Фо\Щфо)

<Фо\Фо> ’

(1.43)

(1.43)

Таким образом, чистым стационарным состояниям отвечают собственные векторы оператора энергии. Временная зависимость вектора стационарного состояния имеет вид

(1.44)(1.44)ШФ = U4t)\ Ф0> = е-"Е,*\ф0>.

(1.44)

(1.44)

Стационарные системы — это системы, обладающие только стационарными физическими состояниями. Следовательно, стационарные системы могут быть приготовлены только в состояниях, являющихся смесью собственных состояний оператора энергии, т. е. в состояниях, удовлетворяющих соотношению (1.42). Чистые состояния физических систем всегда реализуются собственными векторами энергии. В предыдущих главах все рассматривавшиеся физические системы были стационарными; теперь мы нашли “объяснение” того факта, что эти системы всегда находились в собственных состояниях оператора энергии.

В какой степени данная физическая система может рассматриваться как стационарная, зависит от требуемой точности описания. Если пренебречь деталями, атомы и молекулы являются изолированными физическими системами. Если в процессе измерения они приготовлены в определенном состоянии, которое должно быть собственным состоянием энергии, они “навечно” останутся в этом состоянии. “Навечно” означает на время, много большее характерной атомной шкалы времени: от 10"2 с (для инфракрасных переходов) до 10"9 с (для ультрафиолетовых переходов) для возбужденных состояний атомов и молекул. Если необходимо описать не только энергетические уровни, но и детали процессов распада возбужденных состояний, то атом нельзя уже рассматривать как стационарную систему. Этот вопрос обсуждается в последующих главах.

Картина Гейзенберга и картина Шредингера являются предельными случаями более общей картины, которая называется “картина Дирака” или “представление взаимодействия”. Оператор Гамильтона записывается в виде суммы двух частей

(1.45)(1.45)Н = Но + Hv

(1.45)

(1.45)

Как проводить такое разбиение, т. е. как сделать выбор — какую часть гамильтониана считать Но, а какую Hv зависит от конкретной ситуации. В принципе любую часть Н можно назвать Но, а остальную часть Нх. На практике в качестве Но используют оператор, собственные значения которого известны или легко находятся. Часто оператору Но отвечает энергия двух или более рассматриваемых совместно систем в приближении, когда энергией их взаимодействия пренебрегают; в этом случае оператору Нх отвечает энергия взаимодействия.

Принимая, что Н не зависит от времени явно (консервативная система), мы определяем, следуя (1.16),

и^ = еиН1\<1146)

Среднее значение наблюдаемой А в момент времени t равно

<А\ = Тг(С(фШ\г)%),(1.47)

где А отвечает наблюдаемой в некоторый начальный момент времени /0 = 0, а 1Г0 — состояние системы в этот начальный момент времени. Если определить операторы

^oto = г"Л(L48)

■ Ut(0 = U(OU’o(t) = U(tKM,h,(L49)

то выражение (1.47) можно переписать в виде

<Л>, = IrtU^U^AU^OUVOW,,)= TrWotOAUtoUVOWgU,^

= Tr(A°(t)WD(t)),(1.50)

ГдеАО = U0(t)AU№X(1.51)

W^^U’tOWoU^t).(1.52)

Отметим сходство между временндй эволюцией (1.22) наблюдаемой А в картине Гейзенберга и временнбй эволюцией (1.51) в картине Дирака. В первом случае оператор эволюции (/(О = eitH/h генерируется полным гамильтонианом Н, в то время как во втором случае U0U) = eitH^h генерируется только частью гамильтониана, а именно Но. В предельном случае Но = Н и Нх = 0 имеем (/0(О = (/(О и их^ = /, так что (1.50)—(1.52) сводятся к картине

Гейзенберга. С другой стороны, имеется сходство между временной эволюцией (1.15) статистического оператора IF в картине Шредингера и временной эволюцией (1.52) в картине Дирака. Это сходство становится еще более выраженным, если

№^,1 = 0.(1.53)

При этом выражение (1.49) принимает вид

Ux(t) = е^е"11”0^ = ei,Hl/\(1.54)

Тогда в случае (1.15) (ДО = eitH/h генерируется полным гамильтонианом Н, а Ц(^) = eitHVh — гамильтонианом взаимодействия, а именно Нх. В этом предельном случае Но = 0, Нх = Н, и мы имеем t/o(O = /, Ux(t) = UU)» т- е. возвращаемся к картине Шредингера.

Предположим, что оператор И^ описывает чистое состояние:

Ио = WoX^ol;(1.55)

тогда мы можем определить вектор

ШОХ^и^ф^,(1.56)

так что, согласно (1.52), W^t) имеет вид

w4o = mo>DD<^(1.57)

Дифференцируя выражение (1.56), в наиболее часто встречающемся случае, когда имеет место (1.53), получаем

'Л^1«ФВ = WiIW0>d-<158)

Таким образом, векторы, представляющие состояния в картине Дирака, подчиняются “уравнению Шредингера” с гамильтонианом взаимодействия Нх.

В представлении взаимодействия временная зависимость физически измеримой величины < A )t описывается вариацией во времени как наблюдаемой, так и состояния. Наблюдаемые вращаются в одном направлении преобразованием, генерируемым одной частью гамильтониана, а состояния вращаются в противоположном направлении преобразованием, генерируемым другой частью гамильтониана (членом взаимодействия). В терминах векторов имеем:

собственные векторы I at >D наблюдаемой А.

AD(t)\at>D = a(t)\at>D,

получаются вращением вектора I aO>D оператором е^о^:

\at>D = eitH°',*\aO>D;

те же векторы состояния 1^(^)>^ получаются вращением 1^0> в противоположном направлении оператором С7|(0 ( = e~i,H'/h при [Яо, Я,] = 0):

I№>d = 1/1(0 w„>.

Временная зависимость вероятностей такая же, как и для картин Шредингера и Гейзенберга:

|<а г|^0>|^ = |<аО|1/Чг)|^о>р= ICaOICZjtOaUOI^X2= Id<«0W0>bI2-

Изолированные системы являются идеализацией, поскольку физическая система не может быть полностью изолирована от окружающего мира. Но во многих случаях такая идеализация дает достаточно хорошее описание физической ситуации. Если взаимодействием между частицей и некоторой частью остального мира пренебречь нельзя, можно расширить физическую систему, включив в нее эту часть остального мира, и рассматривать затем объединенную систему. Если и она не является в достаточной степени изолированной, процесс расширения системы можно продолжить, и в конце концов возникнет изолированная система, для которой применимы предыдущие рассуждения о временнбй эволюции. Но во многих ситуациях эта процедура практически неприменима. Расширенная система может оказаться слишком сложной и не описываться достаточно простой математической структурой (если такая структура вообще существует). В таких случаях полезно рассматривать неконсервативные системы, в частности системы с зависящими от времени внешними силами.

Для таких систем физическая структура меняется во времени, и то же происходит с описывающей ее математической структурой. Наблюдаемые, в частности гамильтониан, явно зависят от времени; таким образом, законы динамики зависят от времени. Для та-

ких систем невозможно описать временную эволюцию унитарным оператором, как в (1.15), (1.16) или (1.22), (1.23). Но можно попытаться построить его дифференциальную форму по аналогии с (1.24) или (1.33). Оператор Гамильтона, который не является больше оператором энергии системы, явно зависит от времени. В этом случае временная зависимость может быть сформулирована следующим образом (на основании соответствия с классической механикой):

где dA(t)/dt— производная наблюдаемой А (О по ее явной временной зависимости. Если предположить, что любая наблюдаемая /4 является функцией А = A(Q(., Рр г) от Q^t) и РДО с дополнительной явной зависимостью от /, то уравнение (1.59) получается из соответствующего уравнения в нерелятивистской квантовой механике при замене скобок Пуассона величиной 1//Л, умноженной на коммутатор. Уравнение (1.59) является обобщением уравнения (1.24) и в случае изолированной системы переходит в уравнение (1.24), отвечающее классическому выражению для консервативных систем. Для систем, имеющих квантовомеханические наблюдаемые, которые нельзя выразить как функции от 0ДО и Р^О, не ясно, можно ли найти такой оператор Гамильтона, чтобы временная эволюция описывалась уравнением (1.59). В этом случае уравнение (1.59) нельзя проинтегрировать и привести к форме, аналогичной (1.22); даже для случая, когда А не зависит явно от времени (ЭА^УдС = 0), не существует общей теории интегрирования уравнения

^=1[Л«ХН(01 (1.60) at in

ХП.А. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ: ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА

Пусть (5 — линейное пространство, в котором определен процесс предельного перехода; такое пространство называется линейным топологическим пространством. Например, в гильбертовом пространстве <5 = ^ процесс предельного перехода определен следующим образом: последовательность ф,, ф2, ф3, ... называется схо-

дящейся к ф е ^и обозначается

Фп^Ф

тогда и только тогда, когда

110„ - 011-> 0 при м->оо.(АЛ)

Гильбертово пространство ^не является единственным линейным топологическим пространством; если имеется линейное пространство, то его можно снабдить всевозможными топологиями, т. е. придать любой возможный смысл понятию сходимости последовательности. Например, вместо единственной нормы — как в гильбертовом пространстве — можно определить на линейном пространстве © счетную последовательность норм II I •

И011о < II0H! < ||0||2 < • • Для всех фе$,

и определить сходимость следующим образом: последовательность элементов {фп) сходится к ф в топологии, заданной счетной последовательностью норм, и обозначается

Фп Ф

тогда и только тогда, когда для любого р = 0, 1, 2, ... имеем

П0„ — 011^—>0 ПРИ и->оо.(А.2)

Такое линейное топологическое пространство © называется счетно-нормированным пространством. В квантовой мехайике обычно используют определение сходимости (А. 1), т. е. гильбертово пространство, а не какое-либо другое линейное топологическое пространство. Никакого физического основания для этого выбора (сделанного Дж. фон Нейманом) не существует.

Понятия “непрерывность”, “дифференцируемость” и т. д. определены в конкретной топологии или для конкретного смысла сходимости. Следовательно, сходимость в гильбертовом пространстве имеет другой смысл, чем сходимость в счетно-нормированном пространстве или сходимость в произвольном пространстве с произвольной топологией. Таким образом, для заданного линейного топологического пространства © мы говорим, что операторная функция Л (О (т. е. оператор, зависящий от параметра /) непрерывна при t = t0 тогда и только тогда, когда для любого ф е ©

Л(г)ф Я А^ф при г — г0.(А.З)

Оператор A^t) называется непрерывным тогда и только тогда, когда (А.З) имеет место для любых t0. Если предположить, что в квантовой механике пространство физических состояний является гильбертовым пространством, то неясное утверждение, сделанное относительно непрерывности оператора временной эволюции t/(t), приобретает ясный смысл (А.З), где

“Д” означает “Д”

т. е. U(t) обладает свойством

(А.4)(А.4)II УШ - U(t0^\\ -> 0 при t -> t0.

(А.4)

(А.4)

Как отмечалось в нескольких местах, в частности в разд. II.8, физического обоснования предпочтительности сходимости в гильбертовом пространстве относительно других определений сходимости не существует, и, следовательно, не существует необходимости придавать туманному физическому пониманию непрерывности строгий математический смысл (А.4). С тем же успехом можно было бы выбрать и другие топологии, т. е. использовать определение (А.З) с любым другим математическим определением сходимости в пространстве <5 . В многочисленных обоснованиях гильбертова пространства для квантовой механики обычно именно в этом пункте (т. е. в выборе (А.4) для физического определения непрерывности) в рассмотрение проникает гильбертово пространство.

Операторная функция A (t) называется дифференцируемой при t = t0 (в некоторой топологии на ®) в подпространстве ^ С <5, если для любого ф € S имеем

ф Д ф е е при At-О, (А.5)

At

т. е. в пространстве © существует предел для ((H(t0 + At) — — Л (to))/At)0. Вектор ф определяет линейный оператор, который мы будем обозначать dA^t)/dt\t=tQ;

Ф =Ф =dA^dA^dt ,dt ,Ф»= /оФ»= /о

Ф =

Ф =

dA^

dA^

dt ,

dt ,

Ф»

= /о

Ф»

= /о

называемый производной (в некоторой топологии на ©) оператора Л(t) при t = t0. Таким образом, производная dA (t)/dt lz_,o опре-

делена соотношением

^ 0 = Мт.«> ^ + д0 - АМф

^1 = 10 Дг-»О^/

Если выбрать сходимость в гильбертовом пространстве, то можно записать

^^ ф _ Пщ^* ^Q + Д^ ^Gp) ф

& t = ГоДГ-»О^

Действие производной dA^tydt \t=(Q определено на всех векторах ф е S с <5, т. е. на всех векторах, для которых существует предел (А.5).

Операторная функция А (Г), удовлетворяющая соотношению

A(fl + (2) = Ayx)AQ2)A(fl + (2) = Ayx)AQ2)(А.8)(А.8)

A(fl + (2) = Ayx)AQ2)

A(fl + (2) = Ayx)AQ2)

(А.8)

(А.8)

и непрерывная в топологии гильбертового пространства, называется однопараметрической группой операторов в топологии гильбертова пространства.

Для такой однопараметрической группы операторов могут быть доказаны следующие свойства:

Оператор A(t) дифференцируем на “плотном” подпростран- стве^ ^ С ^ Это оправдывает (1.9) не для всех векторов, а только для векторов из 3).

На ^ оператор Л (О бесконечно дифференцируем.

Последовательность (Ф„), где

^=2к = 0^=2к = 0tk dkA^ k\ dtktk dkA^ k\ dtkФ, r = 0Ф, r = 0

^=2

к = 0

^=2

к = 0

tk dkA^ k\ dtk

tk dkA^ k\ dtk

Ф, r = 0

Ф, r = 0

сходится (в топологии гильбертова пространства) для всех элементов ф плотного подпространства ^ С ^ £ <^ Тем самым оправдывается (1.10).

^ Подпространство ^ называется плотным, если оно отличается от пространства Столько предельными элементами. В то время как каждая бесконечная последовательность, обладающая свойством фт — фп — 0 при п, т — оо (последовательность Коши) имеет предельный элемент ф в фп — фе ^( ^полное), такой элемент ф в общем случае отсутствует в ^.

Глава XIII

Некоторые фундаментальные свойстваквантовой механики

Эта глава иллюстрирует некоторые характерные особенности, которые отличают квантовую механику от классических теорий. В разд. XIII. 1 в мысленном эксперименте с прибором Штерна — Герлаха показано, что поляризованный пучок (чистое состояние) не может быть расщеплен магнитным полем и расщепление такого пучка есть следствие измерения. В разд. XIII.2 мы получим предсказания квантовой механики для измерений спиновых корреляций пар частиц со спином 1/2 в синглетном состоянии. В разд. XIII.3 эти предсказания сопоставляются с неравенствами Белла, следующими из гипотезы, высказанной впервые Эйнштейном, Подольским и Розеном. Глава завершается кратким обсуждением теорий со скрытыми переменными.

XIII. 1. ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ПО ЗАКОНУ ДИНАМИКИ И В ПРОЦЕССЕ ИЗМЕРЕНИЯ. ЭКСПЕРИМЕНТ ШТЕРНА — ГЕРЛАХА

В предыдущей главе мы сформулировали, как меняется во времени состояние системы и как меняются во времени наблюдаемые, подчиняясь закону динамики. Такое изменение полностью детерминировано. Это означает, что если состояние или наблюдаемая известны в некоторый момент времени, они могут быть предсказаны для всех остальных значений времени. В разд. II.4 мы описали другой тип изменений во времени — изменение состояния в процессе измерения. Эти процессы измерения не являются детерминированными, и относительно их результата можно давать только вероятностные предсказания. Таким образом, существуют два совершенно различных процесса изменений во времени. В этой главе мы проиллюстрируем эти процессы, детально рассмотрев мысленный эксперимент с прибором Штерна — Герлаха, который кратко описан в разд. IX. 1.

Магнит! Магнит Z Магнит3

Рис. 1.1. Эксперимент Штерна—Герлаха. Магнит 1 используется в эксперименте с простым расщеплением пучка; магниты 2 и 3 добавляются в мысленном эксперименте для обращения расщепления пучка.

В эксперименте Штерна— Герлаха (рис. 1.1) пучок атомов водорода в основном состоянии проходит через область с сильно неоднородным магнитным полем В. В условиях этого эксперимента атомы водорода можно рассматривать как комбинации двух физических систем (см. фундаментальный постулат IVa в разд. III.5); физической системой I является элементарный ротатор со спином 1/2, который описывает вращающийся электрон, а физическая система II — элементарная частица, описывающая движение бесструктурного атома водорода в экспериментальной установке.

Пространством физических состояний системы I является двумерное спиновое пространство ^ = V = ^/2 (см. разд. III.3). В качестве базиса для мы выберем собственные векторы I + > и I — > компоненты спина S3 по направлению магнитного поля В, где1)

5з1 + > =+?! + > ,-$зМ=Ч|->. ОО

Магнитный момент этой системы равен (уравнение (IX.3.18))

М= — 2—^—8 = — 2дв8.(1.2)

2тес

Оператор энергии системы I — константа; так как точку отсчета энергии можно выбирать по своему усмотрению, мы можем положить эту константу равной нулю: Нх = 0.

Пространством физических состояний системы II является пространство ^р порожденное обобщенными собственными вектора-

ми 1р> оператора импульса Р или обобщенными собственными векторами 1х> оператора координаты Q; операторы Q и Р являются координатой и импульсом атома водорода, рассматриваемого как целое. Оператор энергии для системы II — это просто оператор кинетической энергии:

Я„ = Р2/2М,(1.3)

где М — масса атома водорода.

Системы I и II связаны внешним магнитным полем В; согласно (IX.3.1) и (IX.3.18), оператор энергии для этого взаимодействия имеет вид

Hinl = —М • В = -(М ® /) • (/ ® В) = 2pBS3B3(Q) = 2MbS3B3(23).

(1.4)

В выражении (1.4) мы приближенно положили, что поле В имеет только z-компоненту и является только функцией от z = х3 ^ Следовательно, оператор энергии для физической комбинации этих двух систем, т. е. атома водорода в основном состоянии со спином электрона в магнитном поле, равен

Я = Я, + Я„ + Hlnl = -Lp2 + 2д,8- B(Q)

(1.5)(1.5)

(1.5)

(1.5)

При выборе такой комбинации систем I и II для описания пучка атомов водорода в магнитном поле мы пренебрегли 1) магнитным моментом протона, 2) влиянием магнитного поля В на электрон- протонное взаимодействие в атоме водорода и 3) разностью координат электрона и атома водорода как целого. Оправданием пер

вых двух приближений может служить анализ порядков соответст

вующих величин: 1) Магнитный момент протона равен (см. (1Х.3.18р)) Мр = (2 + 3,59)(e/2m c)S = 5,59 ^те/тр^вЬ. Поскольку масса протона много больше массы электрона (тр = = 1836 те\ получаем, что магнитный момент протона почти на три порядка величины меньше, чем магнитный момент электрона,

поэтому энергия взаимодействия магнитного момента протона с магнитным полем пренебрежимо мала по сравнению с (1.4). 2) Маг-

^ Из уравнения Максвелла V-B = dBj/dXj = 0 следует, что вариация Вх по х так же велика, как и вариация В3 по г. Мы вернемся к вопросу о справедливости этой аппроксимации в приложении к этой главе.

нетон Бора, равный 5,795-10~9 эВ/Гс, достаточно мал, так что даже в очень сильном магнитном поле 103 Гс энергия магнитного взаимодействия цвВ на шесть порядков меньше, чем расстояние между низколежащими уровнями энергии атома водорода. Следовательно, внутренние состояния атома водорода существенно не меняются, и оператор внутренней энергии атома водорода (совпадающий с оператором (VI.3.2) в задаче Кеплера) в этой задаче можно считать константой, которую мы положим равной нулю. Вместо описанного выше пространства Xц пространство состояний системы II должно иметь видЖ^ = Хи®^, где ^ — пространство состояний задачи Кеплера (см. (VI.5.2)). Но, поскольку мы все время имеем дело с атомом водорода в основном состоянии (т. е. в одномерном подпространстве ^( и = 1) С^1), пространство состояний системы II на самом деле естьЖцф^л = 1), т. e.^jj.

Условия эксперимента таковы, что при t = 0 сгусток атомов водорода входит в область магнитного поля в точке А (рис. 1.1) и движется со средним импульсом р вдоль оси у. Идеализируя, мы предполагаем, что в этих экспериментальных условиях приготовлено чистое состояние системы II. Это состояние описывается вектором состояния (статистическим оператором)

l^o> № = |^o><iAol)(1.6)

в картине Гейзенберга для всех значений времени t > 0 или l^o>№(O) = |iAo><iAol)(1-7)

в картине Шредингера при t = 0. Система I может находиться в чистом состоянии со статистическим оператором

Wx = I^X^I где 10^ = а1 +> + Д1 —>(а> PG^i 0-8)

если пучок был поляризован до того, как он достиг точки А. (Состояние 1ф> будет собственным состоянием оператора n-S для некоторого направления й, определяемого выбором а и /3). С другой стороны, состояние системы I может быть смешанным, например

Wi = i(l + X+I + l-X-l) = i^(19)

где / — единичный оператор в спиновом пространстве ^ = <5. Состояние комбинированной физической системы описывается формулами

w= w,®w„ или |х> = ^>®1^>;(110)

второе описание в терминах вектора состояния 1х> является аль-

тернативным описанию в терминах статистического оператора W в случае, когда система I находится в чистом состоянии1).

При рассмотрении временной эволюции сгустка атомов водорода мы будем использовать как картину Гейзенберга, так и картину Шредингера. Исрользуя выражения (XII. 1.59), (1.5) и канонические коммутационные соотношения, мы видим, что гейзенберговские уравнения движения для операторов координаты и импульса имеют вид

™ = у [QW, н«] = Р(г),(1.11)

" = - [PCD. Н(0] = - 2^sS3[P(r). В3«2э(О)] = (о, О, -2^S, 2^Д dt гг\dQAu)

(1.12) (Смысл операции d/dQj пояснялся в абзаце, следующем за уравнением (XII. 1.29).) Исследуем сначала случай, когда система находится в спиновом состоянии I + > или I — >, так что состояние объединенной системы имеет вид

1х±> = 1±>® |<Ао>.(1.13)

Изменение среднего значения оператора импульса в этих состояниях определяется уравнением

7<Х± |P(0lz±> = (о,0, -2^<±|Х,|±><|/,„|т^-||/,в>)

dt\VV3V7 /

= fo, 0, + Рв^оI(1.1^)

Следовательно, если состояние имеет спин, направленный вверх, 53 = + 1/2 (спин вниз, s3 = — 1/2), т. е. если состояние есть

11 Замечание относительно комбинации физических систем. Напомним, что операторы в пространстве прямого произведения даются уравнением (III.5.7). Следовательно, общий статистический оператор в пространстве ^ ® ^ не является простым прямым произведением статистических операторов в ^ и Л^. Но если какое- либо из состояний ^ или Wu является чистым состоянием, то IFj и Wn однозначно определяют состояние W объединенной системы как произведение И7 = Wx ® и^. Именно такова ситуация в обсуждаемой задаче. Оператор W равен также W = Wx ® И^, если состояние объединенной системы определено измерениями, осуществлявшимися над системами I и II в отдельности. Но если измеряются коррелированные свойства систем I и II, то в общем случае W не имеет факторизованного вида Wx ® W^.

I + > (I — >), то временная эволюция среднего значения z-компо- ненты импульса удовлетворяет уравнению

7 <Х + IWIZ ± > = +

atdvAu

= + дв f J3x|—<i//0|xt><xr|^0>, (1.15±) J дх3

где 1x0 — зависящие от времени собственные векторы оператора Q в картине Гейзенберга. (Верхний (нижний) знак в уравнении (1.15±) относится к случаю спина вверх (спина вниз).) Правая часть (1.15±) показывает, что изменение импульса зависит от конкретных свойств магнитного поля; предположим для простоты, что

дВ3

= const > 0.(1.16) 5х3

Тогда

4 <Х ± 1^з(01х ±> = + к<ф0\ф0> = +к,(1.17±)

at

Используя начальное условие для импульса частицы

<z ±|PG = 0)|х ±> = (О, Д 0) при г = 0,

мы можем проинтегрировать уравнение (1.17±); тогда среднее значение оператора импульса в момент времени t равно

<X±|P(OIZ±> = (O,P, ^Kt\(1.19±)

Если мы вычислим среднее значение (1.11) по состояниям 1х ± > и воспользуемся начальным условием <х ± IQU = 0) 1х ± > = 0 и (1.19 ± ), то для среднего значения оператора координаты получим

<Z±IQ(t)lz±> = ^(О,рг, W/2).(1.20+)

Таким образом, среднее значение оператора координаты, т. е. положения сгустка атомов водорода, движется по параболической орбите, загнутой вниз (вверх) в случае чистого состояния со спином вверх (спином вниз). Это иллюстрируется на рис. 1.1. (При этом предполагается, что к > 0, т. е. (1.16).)

Опишем теперь ту же ситуацию в картине Шредингера, где состояние меняется во времени. В момент времени t = 0 состояние

имеет вид

|Z ± (Г = 0)> = I/ ±> = | ± > ® |iA0>(1 21±)

и описывает сгусток атомов водорода со спином вверх (спином вниз) в точке А. Согласно (XII. 1.35), временная эволюция этого состояния описывается формулой

I X ± (0> = ^Ч0( I ± > ® I «Ао» = е" щн" + 2^зВз)( | ± > ® | ф0»

= е-мни±мвВз^ ±> ^ |^о>) = | + > ® е-'^'^^з’^о^

(1.22±) Таким образом, исходное чистое состояние со спином вверх движется через магнитное поле в соответствии с формулой

IX + (0> = I +> ® ^"'',н" + ^вз)|^о> = । + > 0 |^ + (t)> (1.23 + )

в отличие от формулы

1х - (0> = I - > ® е"и^"^\Фо> = I -> ® \Ф - (0> (1-23-) для чистого состояния со спином вниз. В формулах (1.23 ±) мы определили

\ф ± (0> = е"ЩНи±^\ф0>.(1.24±)

Приведем соотношения, связывающие оператор импульса Р, оператор координаты Q и векторы состояния-1х ± (/)> в картине Шредингера с P(Z), Q(Z) и 1х ± > в картине Гейзенберга:

р = p(t = 0) = U4t)PWJ(t\(1.25а)

Q = Q0 = 0) = U\t)QWJ(A(1.256)

lx ± (0> = UHt^X ± (t = 0)> = U\t)\x±\(1.25b)

где U^t) = e*lH = exp(/7(/7H + 2/zsS3 B3(Q3))). Мы можем написать аналог (1.14) для картины Шредингера, если вычислим среднее значение от (1.12) по векторам состояния 1х ± > и перенесем временную зависимость с наблюдаемых на векторы состояния:

dd

-г <Х ± (Ol^lx ± (0> = <Х ± I^WIx ±>

dtdt

, , । dP3(t)дВ3

= <X± I—7—lx±> = <X±I - 2^BS3, lx ±>

dtSQ3(t)

= —2цв<х + \е‘ЦНи + 2цв51В^8 ^^3 с~и(Ни + 2цв5зВз>\х ±>

3 SQ3

3D

= -^B<z ± |е',,,,"--±'2вВз)53 - 3 е--'<»-. ±^bb3)|z ± >

<Q3

= - 2дв<‘± 1531 ± ><ф01 etl<H« ±^ —^ е- ^н« ± ^ I ф0> 0Q3

= +цв<Ф ± (01^1*А ± (0>-

(Заметим, что для гамильтониана Н (1.5) имеем [S3, Щ = 0; следовательно, матричный элемент < ± I 531 ± > не зависит от времени.) Если опять сделать предположение (1.16), то

<ф ± (01^1^ ± (0> = f d3x^-<\p ± (г)|х><х|<Д ± (t)>оУзJ охз

дВ.х дВ3

= ^<Ф±(О\ф±(О> = ^.6х30X3

Следовательно,

Хх± (О|Р|Х± (0> = (о,О, +д,^) = (0,0, Тк). (1.26)

at\0X3)

Среднее значение

^<z±IQ(Olx ±> =±|Р(г)1х±>

atм

уравнения (1.11) легко трансформируется в аналогичное уравнение в

картине Шредингера:

^ О ± (')IQIx ± (')> = т;<х + (OlPIx + (0>-<1-27)

atМ

Уравнения (1.26) и (1.27) вместе с начальными условиями

<х ± (t = 0)|Рlz ± (t = 0)> = (0, р, 0),

<Z ± (г = 0)|Q|Z ± (г = 0)> = (0, 0, 0)

приводят к аналогу формулы (1.20±) в картине Шредингера: 1 /к^\

х±(0 = <х± (OfQlx ± (0> = ^ (о,рг, + — L (1.28±)

Как и следовало ожидать, результат получается такой же, как в картине Гейзенберга.

Распределение вероятностей для координат определяется “средним значением” оператора /® 1х><х1. Точнее, вероятность получить значение в объеме (X — е, X + е) при измерении координаты равна среднему значению проекционного оператора

/ ® Л(х, е) = / ® J J3x'|x'> <х'|(1.29)

(см. уравнение (II.8.8)). Таким образом, распределение вероятностей координат в состоянии lx + (/)> = I + > ® \ф + (0> задается формулой

w+(x, Г) = <+|+><<А + ф\х><х\ф + (ф = <ф + ф\х><х\ф + (0>.

(1.30 + )

В частности, вероятность найти значение внутри объема (X — е, х + е) в момент времени i равна .

W + (x — €, X + €, t) = J (13х\ф + ф\х'><х'\ф + (ф. (1.31+) Распределение вероятностей эволюционирует во времени. Точную эволюцию w+(x, t) можно определить, решая уравнение Шредингера для <хIхД + (О>- Но из нашего рассмотрения среднего значения (1.28 + ) мы имеем грубое представление об изменении w+(x, t). При t = 0 w+(x — t, X + е, t) и w+(x, О равны нулю всюду, кроме малого объема около точки А = (0, 0, 0). Из точки А сгусток движется по нижней параболе, задаваемой (1.28 +); в момент времени tB = Мув/р (т. е. в момент времени, когда сгусток имеет ^-координату ^5) w+(x, f) равно нулю всюду, кроме малого объема вокруг точки В+ = (0, ptB/M, — ktB/2M).

Подобным же образом распределение вероятностей

•w_(x,t) = {ф- ф\х><х\ф - (ф(1.30-)

и вероятность

w_(x — е, х + €, t) = J сРх'<ф — ф\х'><х'\ф — (ф (1.31—)

найти систему в объеме (X — е, X + е) определены для состояния 1х — (/)> = I — > ® 1^ — (0>, которое является чистым состоянием со спином вниз в точке А. Тогда w_(x, t) и w_(x — t, X + е, О перемещаются вдоль верхней параболы (1.28 — ) и существенно отличны от нуля в момент времени tB только в окрестности точки

В_‘= ^ptB/M, + Kt2B/2M).

Эти факты позволяют нам провести измерение поляризации, т. е. измерение переменной S3 системы I путем измерения переменной Q системы II. Если мы поместим пластинку-детектора в точке В (на расстоянии ув = ptB/M от точки Л), то детектор зарегистрирует присутствие атомов водорода в точке В^ = (0, ptB/М, — ktlB/2M) или в точке В_ = (0, ptB/M, 4- ktB/2M) только в том случае, если в точке А = (0, 0, 0) имелось чистое состояние со спином вверх lx 4- U = 0)) = I 4- > ® 1^0) или чистое состояние со спином вниз lx — (t = 0)> = I — > ® I^q) соответственно. Таким образом, измерение переменной Q3 в системе II с результатом z = z+ tB) = — kt^ /2М представляет собой измерение S3 в системе I с результатом s3 = 4- 1/2, а измерение Q3 в системе II с результатом z = z_UB) = 4- kt^/2M представляет собой измерение S3 в системе I с результатом s3 = — 1/2.

Исследуем теперь случай, когда система I находится в смешанном состоянии (1.9), где коэффициенты 1/2 перед каждым из проекторов 14-><4-1и1— >< — I представляют равные априорные вероятности нахождения системы в состояниях I 4- > и I — >. В момент времени t = 0 пучок описывается статистическим оператором (1.10), где ^(г = 0) задан в (1.9), а И^О = 0) задан в (1.7):

^(0) = и«0) ® ад = (11 + >< +1 + II - >< -1) ® (Iф0><ф01)

= 11 +> ® I«АоХ +1 ® <«АоI + 11-> ® IV-oX — I ® <^оI

= 11X + №)><Х + (0)1 + 11X - (0»<х - (0)|.(1.32)

Временная эволюция W имеет вид

w^ = И + > ®\ф + (0М +1 ® <ф + (01

+ 11->®1<А -(Ф<-\®<ф-(0\

= Их + (ОХх + (01 + Их - (ОХх - (01-(133)

Тогда распределение вероятностей w(x, г) = Тг((/® lx><xl) W(t)) для координаты равно

w(x, г) = 1<х|1Д 4- (0><*А + (01 х> 4- Хх\ф - (0ХФ - (0|х> (1.34)

= Iw+(X, 0 4- lw-(x, 0,(1.35)

где w+ (х, t) и w_ (X, t) — распределения вероятностей для (1.304:), а их (существенно) отличные от нуля части движутся вверх и вниз по параболическим траекториям (1.284-) и (1.28 — ) соответственно. Таким образом, неполяризованный пучок расщепился на два пучка.

Штерн и Герлах действительно наблюдали это в противоречии с предсказаниями классической физики1). В классической теории непо- ляризованный пучок содержит атомы, обладающие магнитными моментами, равномерно распределенными по всем направлениям. Отклонение пропорционально величине z-компоненты магнитного момента, и, следовательно, нужно ожидать лишь небольшого расплывания пучка в ^-направлении.

Мы можем теперь добавить (по крайней мере, в мысленном эксперименте) второй и третий магниты или использовать другое подходящее расположение магнитов, обращающих ращепляющее действие первого магнита. Тогда два пучка снова сводятся вместе, и в точке D в более поздний момент времени tD мы опять будем иметь то же состояние, что и в точке А в момент времени t = 0, т. е. смешанное состояние, описываемое формулой (1.32). Если снова пропустить этот сгусток через прибор Штерна — Герлаха с магнитным полем в направлении х, то он расщепится на два пучка. Это легко понять, если представить Wx в виде

и^ — V = 21-s 1 = + iXsi — +11 + il si ; —IXsi — -fh (1.36)

где I Sj = + l/2> и IS] = — l/2> — базисные векторы в пространстве ^, удовлетворяющие соотношениям

Sils, = ±1> = ills. = ±i>; (137) далее повторяются те же рассуждения, что и выше, с заменой ^-компоненты на х-компоненту.

Проанализируем теперь опыт Штерна — Герлаха для случая, когда А является чистым состоянием, поляризованным в любом направлении п, отличном от ^-направления, например в направлении х2). В момент времени t = 0 состояние описывается тогда статистическим оператором

И/(0) = 1х(0)> <х(0)| = \ФХФ\ ® \ФоХФо\ 0-38) или вектором

1х(0)> = \ф> ® |^0> = а| + >® ||Ао> + /1|-> ® ||Ао>, (138 ) где вектор 1ф> дан в (1.8). Это состояние эволюционирует во времени согласно (XII. 1.35); используя приведенные выше результаты

11 В первоначальном эксперименте Штерна — Герлаха (1922 г.) использовались не атомы водорода, а атомы серебра.

^Использование спиновых матриц Паули легко дает IS] = ± 1/2> = = (13V2)(I + > ± I — >) (с точностью до произвольного фазового множителя). О спиновых матрицах Паули см. задачу III.5.

(1.22±), (1.23±), и (1.24±), получаем

lz(0> = а| + > ®\ф + (/)> + ^| — > ® I^ — (г)>.(1.39)

При унитарной временной эволюции чистое состояние переходит в чистое состояние. Поэтому при прохождении через магнитное поле система остается в чистом состоянии; разбиения на два подансамбля не происходит. Если пучок достигает точки D после прохождения обращающих расщепление магнитов, сгусток опять находится в чистом состоянии и имеет ту же поляризацию, что и в точке А. Например, если в точке А пучок был поляризован в направлении х, в точке D в момент времени tD он также будет поляризован в направлении х; если затем пропустить его через следующий аппарат Штерна — Герлаха с полем в направлении х, пучок не расщепится, а только отклонится.

Предположим теперь, что на этом чистом состоянии мы осуществляем измерение координаты в точке В, т. е. мы помещаем в В измерительное устройство (экран), которое пропускает пучок, но регистрирует прохождение атомов водорода. Напомним, что вероятность найти атом водорода в объеме (х — t, X + t) в окрестности точки х равна среднему значению оператора / ® Л(х, е) (1.29) с статистическим оператором

w^ = lz(0Xz(0l = I«I21 +> ®\Ф + (0X+1 ® <Ф + (01

+ |/?|2|-> ®\Ф - (OX-1 ® <Ф - (01

+ яД| +> ® I «А + (OX- I ® <Ф - (01

+ a0\-> ® |<A - (0X+ I ® <Ф + (01, (1.40)

отвечающим чистому состоянию (1.39); таким образом,

wlz<r)>(x - е, х + с) = Т^РГ^Х/ ® Л(х, е)))

= I а |2 Тг,( | + >< + |) Тг„( | ф + (г)> <^ + (г) | Л(х, е))

+ l/il'Tr.d-X-DTrHdV- -(1))<ф- (0|Л(х,е)) = |a)2w+(х — с, х + с, г) + [>3|2w_ (х - е, х + е, (),

(1.41)

где w±(x — t, X + t, О дается формулой (1.31 ±). Распределение вероятностей для координаты, т. е. “среднее значение” оператора /® 1х><х1, получают так же; оно равно

W|Z(1)>(x) = I»|2^’ + (х, t) + |^|2w_(x, t).(1.42)

В случае, когда атомы водорода первоначально были поляризова-

ны вдоль оси х (т. е. lai2 = 1/2 и 1/312 = 1/2), имеем

W|Z(0>(X) = Iw + (x, 0 + ^W_(x, t).

Таким образом, распределение вероятностей координат для чистого состояния (1.8) такое же, как и вероятность измерения координаты для смеси с статистическим оператором системы I:

|а|2|+Х+1 + \Р\2\-><-\-(1.43)

Из нашего обсуждения эволюции w+(x, t) и w_(x, t) мы заключаем, что атомы водорода проходят через экраны в В+ и В. с относительными вероятностями lai2 и I/312 соответственно. Но выражения (1.40) — (1.42) зависят от предположения, что система находится в чистом состоянии 1х(0> (1-39). Это предположение справедливо только при t < tB, поскольку после измерения координаты в точке В состояние уже не есть 1х(0>! оно заменилось другим в процессе измерения. Если экран имеет отверстия только в окрестности В+ и В_, то из фундаментального постулата Шб (уравнение (II.4.51)) следует, что в заданный момент времени t = tB состояние имеет вид

И^Ов) = Л(хв+,е)|х(гв)Х/(?в)|Л(хв+,€)

+ A(xB_,G)|z(fB)><z(fB)|A(xB_,e).(1.44)

При этом

Л(хв±,е)|<Д ± (гв)Х<А ± (гв)|Л(хв±,€)

= Г d3x' а3х"\х'><х'\ф ± (1В)ХФ ± (fB)|x"><x"|.

Так как <х' \ф — (/5)> = 0 для х' в окрестности х5+ и <ф — (,5)1х"> = 0 для х" в окрестности х5+, имеем

^хв+,€)\ф - ((в)ХФ - Гв)|Л(хв+,€) = 0.

Подобным образом

Л(хв_ , е)I ф + (tB)> <ф + Щ) I Л(хв_ , е) = 0.

Разложение (1.44) с использованием (1.39) и последних трех уравнений позволяет переписать (1.44) в виде

»"(<») = 1«|2| + >< + |® A(xs+,e)|i// + ((в)><ф + (г6)|Л(хе+, с)

+ |/?|2|-><-|® A(x„_,eW - (te)><iA - (ts)|A(xg_, е).

(1.45)

Таким образом, мы видим, что проведение измерения радикально меняет ситуацию. Если пучок в чистом состоянии (1.39) проходит через точку В без осуществления измерения, то система остается в чистом состоянии 1х(0>. Если при прохождении пучком точки В измерение осуществляется, т. е. регистрируется прохождение пучка через отверстие в В+ или В_, то система становится смесью состояний со спином вверх и спином вниз. Например, если отверстия в экране расположены симметрично относительно плоскости ху:

w + (xB+ - е, хв + + €, гв) = w_(xB_ - Е, Хв_ + €, tB\ (1.46) и достаточно широки, чтобы пропустить все частицы пучка, то получаем

A(xb±,e)|i^ ± Мв)><Ф ± Gb)|A(xb±,e) = |1Д ± (г^ХФ ± (г»)1 (1.47)

При этом после измерения возникает состояние

№(<)= N2I + X+I® l^ + (ОНФ + (г)|

+ l/Xl-XX® \Ф - (ХХ<Д - (01

= l^l2! + > ® 1Ф + (,)>< + ( ® (^ + (01

+ 1/Л21->® ^ - (ОХ-1® <Ф - (01

= l«l2lz + WXz + (01 + W\z - (OXZ - (01 = WM(0

Для t > tB.(1.48)

Если теперь пучок в состоянии (1.48) пропустить через обращающие расщепление магниты, то он появится в точке D в состоянии, являющемся смесью состояний со спином вверх и спином вниз. Еще один прибор Штерна — Герлаха с магнитным полем в ^-направлении расщепит этот пучок.

Итак мы обнаружили, что чистое состояние (1.38) не расщепляется неоднородными магнитными полями первого и второго магнитов, если не проводится измерения в плоскости В. Но если такое измерение проведено, чистое состояние расщепляется в В на два подансамбля состояний со спином вверх и спином вниз, и, следовательно, оно расщепляется далее в следующем приборе Штерна — Герлаха, поле которого направлено вдоль оси х, на два подансамбля состояний со спином вправо (S] = 1/2) и спином влево (S] = — 1/2). Этот конкретный пример иллюстрирует фундаментальный постулат Шб.

ПРИЛОЖЕНИЕ К РАЗДЕЛУ XIII. 1

В выражениях (1.4) и (1.12) мы пренебрегали всеми действующими на частицу силами, кроме силы, действующей в z-направлении. Это требует доказательства, поскольку, согласно уравнению Максвелла VB = 0, большая величина дВ3/дх3 требует также большой величины

а следовательно, большой силы, действующей перпендикулярно оси z. Ниже мы опиЩем простейшую теоретическую модель, в которой усредненная по времени сила, действующая на частицу в направлении, перпендикулярном оси z, никогда не будет велика. Этого можно добиться, выбирая большое магнитное поле в z-направлении. Такое поле вызывает ларморову прецессию магнитного момента, вследствие которой усредненная по времени сила, действующая в направлении, перпендикулярном оси z, мала, но не мала сама сила.

Упростим ситуацию, предположив, что магнитное поле не зависит от х2 (нет краевых эффектов); тогда соотношение (1.49) принимает вид

= _(1.50)

дххдх3

и уравнение Максвелла V х В = 0 сводится к

=ЙА =ЙА = О,(1.51)

дх3дх2дххдх2

^11 = ^В\(1.52)

дхх дх3

Магнитное поле, удовлетворяющее этим требованиям и приводящее к (1.16), должно иметь вид

В = ( — Ьхх + ф(х3^ех + В2е2 + (Ьх3 + ф(хх))е3,(1.53)

где b > 0 и В2 — константы, а ф(х3) и ф(хх) — произвольные функции, удовлетворяющие только уравнению

дф(х3) = Жхх)(1 54^

дх3 дх,

следующему из (1.52). Выберем В2 = 0, Ф(Х]) = 0 и ф(хх) = Во, где

Во> \Ьхх\% \Ьх3\.(1.55)

Тем самым мы имеем магнитное поле с большой компонентой вдоль оси z, неоднородное по осям х и z:

(1.56)(1.56)В = —Ьххех + (Во + Ьх3)е3.

(1.56)

(1.56)

В реальной экспериментальной установке поле будет, конечно, более сложным.

Для электрона спин и магнитный момент связаны соотношением (1.2), а гамильтониан записывается в виде (1.5). Используя эти формулы вместе с гейзенберговскими уравнениями движения (XII. 1.24), получаем

' (-2/le)(2/le)[S,,S,]B,.(1.57)

at 111

Из этого уравнения и из коммутационных соотношений для Sj следует

г/М

— = — 2двМ х В.(1.58)

Для статического магнитного поля уравнение (1.58) имеет решение

M(f) = М(0) cos cot + В х М(0) sin tot

+ В[В • М(0)](1 - cos tot),(1.59)

где В = В/В, В = VB2, а ш = 2цвВ — ларморова частота. Это решение описывает прецессию М вокруг направления поля В; компонента вектора М вдоль В не меняется во времени.

Для магнитного поля (1.56) с условием (1.55) хорошее приближение к решению (1.58) имеет вид

M(t) = М(0) cos cot + е3 х М(0) sin tot

+ е3[е3 • М(0)](1 — cos tot)(1.60)

с частотой

со = 2цвВ0.(1.61)

В компонентах решение (1.60) имеет вид

M^t) = М^О) cos cot — M2(0) sin cot,

M2(t) = M:(0) sin cot + M2(0) cos cot,(1.60')

M3(t) = M3(0);

оно описывает прецессию оператора магнитного момента М вокруг z-оси е3 с частотой (1.61); компонента М3 не зависит от времени.

Вместо (1.4) имеем теперь

Н,» = -MAObQ, - М,В0 + M,bQ3,(1.62)

а вместо (1.12) для оператора силы —

^ = -' [Р(о, елм,^ + * wo, вз]МзЬ а-ез) at ii

Второй член в правой части такой же, как в выражении (1.12), но здесь мы имеем специальный случай, для которого

(1.64)компо-(1.64)компо-ав3dQ^ '

(1.64)

компо-

(1.64)

компо-

Поэтому среднее значение Р3(О дается формулой (1.19).

Первый член в выражении (1.63) приводит к появлению ненты оператора силы вдоль оси х:

^^ = MY(t)b = [М^О) cos cot — М2(0) sin cotlb,

можетможетосциллирующей с частотой (1.61). Хотя ее среднее значение

может

может

быть того же порядка, что и (1.17), при выполнении условия (1.55) она быстро осциллирует, а с ней и среднее значение PXU)« Среднее по времени от силы, а также импульса вдоль оси х равно нулю. В эксперименте, когда проводится усреднение среднего значения по конечному временному промежутку, отклонения компонент вдоль оси х от нуля наблюдаться не будет.

В стандартном опыте Штерна — Герлаха1) магнитное поле не имеет идеализированного вида (1.56), а обычно имеет следующий вид:

В = В^, x3)ej + (Во + В3(х15 х3))е3,

где В\хх, х3) и B^xv х3) удовлетворяют условиям (1.50) и (1.52), а IBOI > IBJ ~ 1В21. Очевидно, здесь применимы те же аргументы, что и выше, и для описания наблюдаемых эффектов достаточно гамильтониана (1.4).

XIII.2. СПИНОВЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ В СИНГЛЕТНОМСОСТОЯНИИ

В предыдущем разделе мы обсуждали использование прибора Штерна — Герлаха для измерения спиновых компонент одной системы со спином 1/2. В частности, мы описали, как компонента спина физической системы I (спиновые степени свободы электрона — элементарный ротатор) может быть измерена путем

11 О других вариантах эксперимента Штерна — Герлаха см. статью [40].

измерения координат физической системы II (движение центра масс атома водорода), с которой связана система I. Система II используется как вспомогательное устройство, позволяющее проводить измерение компоненты спина системы I вдоль поля. Следовательно, мы можем рассматривать систему II и прибор Штерна — Герлаха как устройство для измерения спиновых компонент системы I.

Пусть а — единичный вектор в направлении неоднородного магнитного поля. На рис. 1.1 вектор а = е3 направлен по оси z, но можно выбрать любое направление, перпендикулярное пучку частиц. Тогда прибор Штерна — Герлаха измеряет компоненту спина системы I вдоль вектора а, т. е. измеряет наблюдаемую a-S. Измеренное значение равно 4- 1/2 ( — 1/2), если система II отклоняется “вниз” (“вверх”) и фиксируется счетчиком в точке В+(В_) (см. рис. 1.1). Здесь более удобно рассматривать вместо a-S наблюдаемую

^ = 2a-S,(2.1)

имеющую собственные значения ± 1 вместо ± 1/2. Обозначим собственные векторы этой наблюдаемой I а ± ), где

^|а±>=±1|а±>.(2.2)

В частности, собственные векторы I 4- > и I — > оператора S3 в (1.1) можно более подробно обозначить как 1е3 4- > и 1е3 — >, так что выражение (1.1) запишется в виде

1з |е3 ± > = 2е3 • S| е3 ± > = 2Sz|e3 ± > = ± 1 |е3 ± >.(1.Г)

Вектор а можно получить из вектора е3 вращением, задаваемым углом 6 и единичным вектором 6, параллельным вектору е3 х а, который определяет направление оси вращения. Тогда векторы 1а ± > можно получить (с точностью до произвольного фазового множителя) из векторов I ± > = I е3 ± > путем отвечающего этому вращению преобразования

|а±> = e-'e's!±>, где 6 = 66 и

g-fly.s = а . S

Так как (см. задачу 1)

e',es = cos | - /20 • S sin |, имеем

I a ± > = /cos ^ — /20 • S sin ^ j | + >.

Таким образом, векторы 1а ± > представляют собой еще одну базисную систему в пространстве .^5=1/2; если базис I ± > был применен для описания опыта Штерна — Герлаха с неоднородным магнитным полем в направлении е3, то векторы 1а ± > представляют собой базис, удобный для описания опыта Штерна — Герлаха с неоднородным магнитным полем в направлении а.

До сих пор мы обсуждали только измерение компонент спина одночастичной системы. Рассмотрим теперь комбинацию двух различных систем со спином 1/2, каждой из которых отвечает пространство ,^s=x/2. В соответствии с фундаментальным постулатом IVa пространство состояний для этой комбинации спиновых степеней свободы обеих частиц (двух различных элементарных ротаторов со спином 1/2) является пространством ^|^1/2 ® ^^1/2. Мы обсудим измерение в такой системе спиновых корреляций, т. е. корреляций между определенными компонентами спина этих двух частиц. Базисная система векторов для этого пространства имеет вид

|(1)+>® |(2)+>,|(1)->® |(2)->,

(2 3) |(1)+>®|(2)->,|(1)-> ®|(2) + >, 1 ’

где обозначения (1) и (2) относятся к первой и второй частицам соответственно, а индексы 4- или — относятся к z-компоненте спина, как и в (1.1). Вместо базисной системы (2.3) мы можем также выбрать в обозначениях (2.2) базисную систему

1(1)а + > ® |(2)Ь + >,|(1)а-> ® |(2)Ь —>,

1(1 )а+ > ® |(2)Ь—>,|(1)а — > ® |(2)Ь+>

(2.3') с двумя произвольно выбранными, но фиксированными векторами а и Ь.

Пусть Sta) — операторы спина частицы (а), действующие в пространстве .^i^172, а = 1 или 2. Наблюдаемая “2 х компоненту спина частицы (1) вдоль а” тогда равна

2а • Sm ® It2' = ^" ® Г2\(2.4)

а наблюдаемая “2 х компоненту спина частицы (2) вдоль Ь” равна

/т ® 2Ь • S(2) = /т ® ^2\(2.5)

где 1^ — единичный оператор в пространстве .^£=1/2. Наблюдае-

мые (2.4) и (2.5) коммутируют1 >, а базисные векторы (2.3') одновременно являются собственными векторами обеих наблюдаемых с собственными значениями 4- 1 или — 1. Поскольку наблюдаемые (2.4) и (2.5) коммутируют, они могут быть измерены одновременно. (Ниже мы обсудим, как реально осуществлять такие одновременные измерения.) Возможные измеренные значения равны 4- 1 или — 1, например измерение наблюдаемой ^ ® ^ в четырех состояниях (2.3') всегда дает значения 4- 1, — 1, 4- 1 и — 1, а одновременное измерение наблюдаемой ^ ® ^ в тех же состояниях дает значения 4- 1, — 1, — 1 и 4- 1 соответственно2^ Для таких одновременных измерений спина мы можем дополнительно ввести наблюдаемую спиновой корреляции. Измеренное значение этой наблюдаемой в “едином” измерении обеих наблюдаемых ^ ® Л2) и Z1) ® ^(2) по определению равно произведению значений, измеренных для ^^ ® /2> и Z1) ® ^< и, следовательно, равно 4- 1 или — 1. Наблюдаемая спиновой корреляции математически описывается оператором

/° ® #(2> = 2а • S(1) ® 2Ь • S(2). (2.6)

Базисные векторы (2.3') являются также собственными векторами оператора (2.6); его собственные значения равны 4- 1 для двух первых и — 1 для двух последних базисных векторов (2.3'). Эти собственные значения в соответствии с введенным определением совпадают со значениями наблюдаемой спиновой корреляции для четырех состояний (2.3').

Такие одновременные спиновые измерения на двухчастичных системах осуществляются двумя приборами Штерна — Герлаха. Но это возможно только в том случае, если две частицы в каждой паре пространственно разделены и каждая частица движется вдоль определенной фиксированной оси, как показано на рис. 2.1. Только в этом случае два разных прибора Штерна — Герлаха могут быть применены к изучению двух частиц (1) и (2) таким образом, что орбитальное движение каждой частицы (системы II по терминологии

Рис. 2.1. Одновременное измерение спина на парах частиц (1) 4- (2); S — источник частиц, В± — детекторы частиц, а и b обозначают направления магнитов Штерна—Герлаха.

разд. XIII. 1) используется для спиновых измерений над этой частицей (как это обсуждалось в разд. XIII. 1). Поэтому представим себе источник частиц, испускающий пары частиц по одной паре, такой, что частица (1) всегда испускается налево, а частица (2) всегда испускается направо1). Тогда один прибор Штерна — Герлаха с неоднородным магнитным полем вдоль некоторого направления а (перпендикулярного пучку) может быть применен для исследования левого пучка, состоящего из частиц (1), а другой прибор Штерна — Герлаха с направлением поля Ь может быть использован для исследования правого пучка частиц (2) (рис. 2.1).

Каждый прибор Штерна — Герлаха имеет два счетчика, один — в точке, аналогичной В^ на рис. 1.1, регистрирующий все частицы, отклоненные против поля, направленного по а или Ь (“вниз”), и другой — в точке В_, который регистрирует все частицы, отклоненные по полю (“вверх”). Тогда, например, щелчок в “верхнем” (“нижнем”) счетчике левого прибора Штерна — Герлаха означает, что измеренное значение “компоненты спина” ^(1) ® 1^ частицы (1) равно -1(4- 1). Подобным же образом правый прибор Штерна — Герлаха детектирует компоненту спина Л1) ® ^2) частиц (2).

При одновременных измерениях обеих наблюдаемых ^ ® /2) и /В 0 ^(2) на парах частиц четыре счетчика должны быть включены на совпадение. Поскольку частицы (1) и (2) испускаются источником попарно, две частицы из одной пары проходят через прибор Штерна — Герлаха и появляются у двух из четырех счетчиков (по-

чти) одновременно. Таким образом, например, одновременное срабатывание левого “нижнего” и правого “верхнего” счетчиков означает, что на паре частиц было осуществлено одновременное измерение ^ ® /2) и ^ ® ^ с результатами 4- 1 и — 1 соответственно. Значение наблюдаемой спиновой корреляции ^ ® ^(2) для этой пары равно (4- 1) ( — 1) = — 1. Такого рода измерения повторяются N раз (W > 1), и записываются следующие значения: число N++ одновременных срабатываний левого “нижнего” и правого “нижнего” счетчиков, аналогичные значения N+ _, N_ +, N_ _, равные числу одновременных срабатываний левого “нижнего” и правого “верхнего”, левого “верхнего” и правого “нижнего”, левого “верхнего” и правого “верхнего” счетчиков соответственно. Измеренные средние значения наблюдаемых ^n ® №\ f^ ® ^» ^ ® ^(2) в этой серии из N экспериментов (мы обозначим их ^(а), f2(b) и f(a, b)) тогда равны

E,(a) = l(W++ +JV + _ -JV_+(2.7а)

E2(b) = -^(/V++ -N+_ + N_ + -N--),(2.76)

E(a, b) = 1(W + + - Nt_ - N.t + N__y (2.7b)

разумеется, N = N^ + 4- N^ _ 4- N_ + 4- N_ _.

По правилам квантовой механики эти измеренные средние значения должны совпадать со средними значениями соответствующих наблюдаемых по стандартным спиновым состояниям пар частиц, испущенных источником. Эти спиновые состояния зависят от природы источника. Поскольку ,^1/2 ® ,^1/2 = ^ ® 9^ (см. разд. V.2), комбинация двух систем со спином 1/2 может иметь полный спин 1 или полный спин 0. Мы предположим здесь, что пары частиц, испущенных источником, имеют полный спин 0 и, следовательно, находятся в синглетном состоянии (см. уравнение (XI. 1.18))

<* = 4=(|(1)+>®|(2)-> - |(1)->® |(2) + ».(2.8)

V2

Источник, испускающий пары частиц, в этом спиновом состоянии ф может содержать, например, большое число нестабильных соединений (распадающихся состояний) частиц (1) и (2) с нулевым полным спином, приближенно находящихся в состоянии покоя. При каждом распаде такого соединения появляются две частицы (1) и

(2), движущиеся в противоположных направлениях от точки, где находилось соединение; но частицы по-прежнему находятся в общем спиновом состоянии (2.8). Поэтому, используя щели и фильтры, можно выделить те частицы (1), которые движутся в фиксированном направлении (налево), и соответствующие им частицы (2), движущиеся в противоположном направлении, и получить пары частиц, обладающие требуемыми свойствами.

Непосредственное вычисление (задачи 2 и 3) дает средние значения трех рассмотренных выше наблюдаемых для конкретного спинового состояния (2.8). В результате получаем

<^(1)> = <ф\^^ ® 1^\ф> = о, (2.9а)

(фш) = <ф\Г" ® ^2'\Ф> = 0, (2.96)

<^(1,®^(2,> = <ФЫт ®^2ЧФ> = — а • Ь. (29в)

В соответствии с фундаментальным постулатом II это теоретические квантовомеханические предсказания для средних по многим индивидуальным измерениям (2.7а) — (2.7в).

Сравнивая (2.9а) и (2.7а), мы видим, что квантовая механика предсказывает, что N+ + + N+ _ и N_ + 4- N_ _ (числа случаев, когда спин частицы (1) параллелен и антипараллелен вектору а соответственно) будут равны для любого выбора а. Поскольку спиновое состояние ф вращательно-инвариантно, мы могли ожидать такого результата. Те же аргументы применимы при сравнении (2.96) и (2.76).

На первый взгляд результат (2.9в) также не должен вызывать удивления. Рассмотрим, например, случай а = Ь для ориентации двух приборов Штерна — Герлаха; тогда (2.9в) принимает вид

<<i(1,®O=-l. (2.10)

Сравнивая это выражение с (2.7в) и вспоминая, что N = = N^ + + /V+ _ + N_ + 4- N_ _, мы видим, что квантовомеханическое предсказание Е(а, а) = — 1 означает, что должно иметь место равенство N++ = N__ = 0; т. е. если спин частицы (1) обнаружен параллельным а, то спин сопутствующей частицы (2), принадлежащей к той же паре, не может быть параллелен а, а всегда обнаруживается антипараллельным а, и наоборот. Короче: компоненты спина двух частиц вдоль произвольно выбранного направления а всегда противоположны друг другу. Этого мы также должны были интуитивно ожидать: поскольку каждая пара имеет полный спин нуль, спины частиц (1) и (2) должны всегда быть “анти-

параллельными” друг другу. Однако более тщательный анализ квантовомеханического предсказания (2.9в) скоро приведет нас к некоторым весьма интересным проблемам.

XIII.3. НЕРАВЕНСТВА БЕЛЛА, СКРЫТЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ИПАРАДОКС ЭЙНШТЕЙНА — ПОДОЛЬСКОГО — РОЗЕНА

Согласно соотношению (2.10), квантовая механика предсказывает, что компоненты спина двух частиц (1) и (2) вдоль фиксированного направления а всегда противоположны друг другу. Следовательно, вместо прямого измерения наблюдаемой ^’’ ® Л2) на самой частице (1) можно с тем же успехом определить компоненту спина частицы (1) вдоль а, измеряя f^ ® ДО на частице (2) и умножая результат на — 1. Это косвенное “измерение” не влияет на частицу (1), которая может быть на самом деле очень далеко от измерительного прибора; несмотря на это, для нее при одновременном прямом измерении наблюдаемой dw ® /(2) получится то же значение. В этой связи кажется естественным представлять себе, что отдельно взятая частица (1) каким-то образом не “приобретает” определенную a-компоненту своего спина при измерении наблюдаемой ^’) ® /2), но уже “имеет” ее определенное значение 4- 1 или — 1 до всякого измерения и независимо от него. Более того, направление а можно выбрать пооизвольным, но перпендикулярным направлению пучка. Следовательно, мы приходим к “естественному” предположению, что до всякого измерения и независимо от него каждая частица (1), рассматриваемая отдельно, имеет определенное значение f(a) компоненты своего спина, равное 4- 1 или — 1, по крайней мере вдоль всех возможных направлений а, перпендикулярных пучку1). Эти значения скорее выявляются, чем возникают при осуществлении реальных измерений спина. Их можно представить себе как скрытые индексы, связанные с каждой частицей (1), по одному (4- 1 или — 1) для каждого возможного направления вектора а. То же относится, конечно, и к частицам (2).

Без такого предположения кажется действительно очень трудно понять идеальную антикорреляцию, предсказываемую соотношением (2.10) для одновременных измерений наблюдаемых ^) ® /2) и /*) ® ^2>. В самом деле, если значение ^п ® /2) действительно не определено до того, как было произведено прямое измерение на ча-

11 Внимательный читатель, возможно, уже заметил, что с точки зрения квантовой механики эта гипотеза выглядит вовсе не так уж “естественно”, поскольку она одновременно приписывает фиксированные значения некоммутируюшим наблюдаемым.

стице (1), кажется невозможным для частицы (2) (она может быть очень далеко) “узнать” об этом значении, чтобы иметь возможность просто “выбрать” противоположное значение при измерении на ней Л!) ® ^2\ Поэтому мы примем сформулированную выше гипотезу и используем ее для вывода простого неравенства. Но потом окажется, что на практике это неравенство не выполняется!

Рассмотрим очень большое число N пар частиц в синглетном спиновом состоянии (2.8) и четыре произвольно выбранных направления a, b, С и d в плоскости, перпендикулярной двум пучкам частиц, испускаемым источником. Обозначим через уДа) и r,(d) “скрытые” предопределенные значения компонент спина вдоль а и d соответственно для частицы (1) из /-й пары и через иДЬ) и иДс) — “скрытые” значения компонент спина вдоль Ь и с соответственно для частицы (2) из той же пары. Тогда, если одновременно измерить для каждой из N пар компоненту спина частицы (1) вдоль а и компоненту спина частицы (2) вдоль Ь, в результате получим уДа) и иДЬ) для z-й пары, а среднее значение (2.7в) равно

1 N

Е(а, Ь) = — £ рДа)иДЬ). (3.1)

Однако для ориентации приборов Штерна — Герлаха можно было бы выбрать другие направления, например d в левом и с в правом пучке. Если повторить такой же эксперимент с теми же N парами частиц, то в нем “обнаружились” бы для компонент спина вместо ^Да) и иДЬ) значения ^(d) и иДс), а наблюдаемая средняя корреляция (2.7в) имела бы вид

1 N

с) = Z Ц(<1)иДс). (З.Г)

Аналогичные выражения можно написать и для результатов £(а, С) и £(d, Ь) двух других интересующих нас экспериментов с теми же самыми N парами частиц1). Понятно, что в действительности может быть осуществлен только один из четырех альтернативных экспериментор на рассматриваемых парах частиц z = 1, ..., N. Любое реальное экспериментальное определение четырех корреляционных средних £(а, b), £(а, с), £(d, b) и £(d, с) требует поэтому (как минимум) четырех различных совокупностей пар частиц. Но какой именно эксперимент проводить на данном наборе частиц — этот вопрос решается произвольным образом.

*) Это “правило воспроизводимости", принятое в науке: если эксперимент повторяется, то должен получиться тот же результат. (Мы пренебрегаем статистическими флуктуациями, что оправданно при больших N.)

Кажется разумным предположить, что экспериментальное определение £(d, с) даст один и тот же результат независимо то того, на каком из четырех наборов пар частиц проводить эксперимент. В этом смысле £(а, Ь), ..., £(d, С) — величины, характеризующие N пар частиц и их приготовление и не зависящие от того, какой именно эксперимент проводится. В частности, если справедлива квантовая механика, как £(а, Ь) и £(d, с), определенные в правых частях (3.1) и (3.1'), так и £(а, с) и £(d, b), представленные так же, должны совпадать с соответствующим квантовомеханическим предсказанием (2.9в), т. е. должны быть равны — а-Ь, — de, — а-с и — db соответственно. Но мы пока не будем этого предполагать, а рассмотрим непосредственно “экспериментальные” результаты (3.1), (3.1') и две другие аналогичные формулы.

Мы хотим получить оценку величины £(а, Ь) + £(а, с) + + £(d, b) — £(d, С). С этой целью покажем сначала, что

v^aXw^b) + w,(c)) 4- v,(d)(H'Xb) — vv/c)) = ±2.(3.2)

Поскольку величина wf равна +1 или — 1, первая скобка равна + 2, 0 или — 2. Если первая скобка равна + 2 или — 2, то вторая скобка равна 0, а если первая скобка равна 0, вторая скобка равна + 2 или — 2. Поскольку величина и( также равна + 1 или — 1, левая часть (3.2) действительно равна + 2 или — 2. Поэтому суммирование всех выражений (3.2) по / = 1, ..., N дает число в интервале от — 2N до + 2N, и разделив это число на N, мы получаем

_1_N_1_N£ i?,(aMb) + £ v,(a)w,(c) + £ri(d)wi(b) - £ i,(d)wI(c)^ < 2. (3.3)

_1_

N

_1_

N

Используя формулу (3.1) и ее аналоги, выражение в левой части легко записать в терминах £(а, Ь), ..., £(d, С), и неравенство (3.3) принимает вид

|£(а, b) + £(а, с) + £(d, b) - £(d, с)| < 2.(3.4)

Это наиболее известное и наиболее полезное экспериментальное неравенство из ряда подобных оценок, известных как неравенства Белла [41р>.

Проверим теперь, удовлетворяет ли квантовомеханическое предсказание (2.9в) для спинового состояния (2.8)

Е(а. b) = <^т ® ^|2*> = — а • b(3.5)

J) Различные формы неравенств Белла обсуждаются в обзоре [42]. См. также [43].

неравенству Белла (3.4). Вычисляя левую часть (3.4) с использованием (3.5), получаем

|а • b + а • с + d • b — d • с| = |а • (Ь + с) + d • (Ь — с)|

<|a||b + c| + |d||b-c|

= ^/2 + 2 cos ф +— cos Ф’

где ф — угол между Ьисфс = cos</>). Последнее выражение имеет максимальное значение 2V2 при ф = tt/2(cos</> = 0). Кроме того, знак неравенства в предыдущем примере превращается в знак равенства для следующих двух случаев:

а, Ь + с и d, b — с параллельны;

а, b + с и d, b - с антипараллельны.

Эти конфигурации направлений изображены на рис. 3.1.

Таким образом, для результатов Е(а, Ь) корреляционных измерений квантовая механика предсказывает неравенство

I £(а, b) + £(а, с) + £(d, b) - £(d, с)| < 2^/2,(3.6)

которое для двух конфигураций, представленных на рис. 3.1, превращается в равенство:

|£(а, b) + £(а, с) + £(d, b) - £(d, с)| = 2^2-(3.7)

Последнее равенство, очевидно, противоречит неравенству Белла (3.4); на самом деле существует бесконечное число конфигураций направлений a, b, С и d, для которых квантовомеханические предсказания не удовлетворяют условию (3.4). (Это относится ко, всем конфигурациям, достаточно “близким” к изображенным на рис. 3.1, для которых неравенство Белла нарушается максимальным образом.) Неравенство Белла (3.4) с одной стороны и квантовомеханическое предсказание (3.5) с другой — являются, таким образом, несовместимыми друг с другом, и по крайней мере одно из них должно быть неверным.

В этой ситуации лучше всего попробовать разрешить этот конфликт эмпирически. Необходимо просто провести эксперимент, описанный в разд. XIII.2, четыре раза с приборами Штерна — Герлаха, ориентированными, согласно одной из конфигураций на рис. 3.1, найти четыре средних £(а, Ь), .... £(d, с) экспериментально по формуле (2.7в) (заметим, что каждый из четырех экспериментов состоит из многих экспериментов на совпадение для отдельных пар частиц), подставить результаты в левую часть (3.7) и посмотреть,

Рис. 3.1. Конфигурации поля, для которых неравенства Белла нарушаются максимально.

будет ли результат меньше или равен 2, как в неравенстве (3.4), или равен 2V2 (конечно, в пределах ошибок эксперимента), как предсказывает квантовая механика. Но это нелегко реализовать на практике. Пары частиц со спином 1/2 в чисто синглетном состоянии трудно приготавливать. Кроме того, было показано, что вследствие соотношений неопределенности приборы Штерна —. Герлаха не работают для заряженных частиц [44], так что необходимо использовать другие (возможно, менее точные) методы для спиновых измерений на парах заряженных частиц. Поэтому единственная проверка неравенств Белла, произведенная до сих пор, была осуществлена для частиц со спином 1/2 (протонов) [45]. Результаты согласуются с квантовой механикой и противоречат одному из неравенств Белла, но проведение измерений потребовало привлечения дополнительных гипотез, поэтому результаты не были достаточно точными, чтобы устранить все сомнения.

Гораздо более точные эксперименты можно осуществить с коррелированными фотонными парами, испускаемыми в двухступенчатых (“каскадных”) переходах атомов из подходящего возбужденного состояния в основное. В этом случае рассмотренные выше одновременные измерения спина должны быть заменены одновременными измерениями поперечных линейных поляризаций двух испущенных фотонов вдоль произвольных направлений а и Ь. Для фотонных пар, испущенных в каскадных переходах, эти поляризации коррелированы во многом аналогично тому, как коррелирова- ны компоненты спина частиц со спином 1/2 в синглетном состоянии (2.8). “Естественная” гипотеза, аналогичная приведенной выше, снова приводит к неравенству Белла (3.4) для подходящим образом

определенных корреляционных средних £(а, Ь), в то время как квантовая механика опять дает менее ограничительную оценку (3.6). Но квантовомеханическое предсказание отличается от (3.5), поэтому конфигурации направлений a, b, с и d, для которых достигается равенство (3.7) и, следовательно, максимально нарушается неравенство Белла (3.4), отличаются от изображенных на рис. 3.1. Результаты последних экспериментов такого типа [46, 47] находятся в прекрасном согласии с предсказаниями квантовой механики, доказывая таким образом, что неравенство Белла (3.4) в природе не соблюдается. Вынужденные к тому недвусмысленным вердиктом, вынесенным против (3.4), мы должны отвергнуть “естественную” на первый взгляд гипотезу, руководствуясь которой был получен неверный результат (3.4). Мы должны понять, что было неправильно предполагать, что частица может одновременно “иметь” фиксированные компоненты спина по различным направлениям независимо от того, измерялись ли они или нет. Значение компоненты спина, которое не было измерено, не просто неизвестно — оно не существует. Воображаемые эксперименты не имеют никаких результатов, даже воображаемых1 \

Возвращаясь к уравнению (3.2), которое было решающим шагом на пути к доказательству неравенства (3.4), мы видим, что оно действительно содержит значения компонент спина и^а) и ^(d) (или wz(b) и w(c)), которые не измерялись одновременно на одной и той же z-й паре, а только воображались одновременно присутствующими, основываясь на нашей “естественной” гипотезе. Единственным способом избежать дурной неизбежности следования из (3.2) неравенства (3.4) является допущение, что некоторые из уравнений (3.2) не имеют смысл. Если у((а) и wz(b) — действительно измеренные величины, то выражение (3.1) является правильной формулой для корреляционных средних, измеренных в реальном эксперименте. Но тогда величины vz(d) и wz(c) просто не существуют, и уравнение (3.1') совершенно бессмысленно. Реальное экспериментальное значение E(d, С), используемое при проверке неравенства (3.4), включает данные о частицах, принадлежащих к разным парам, и (З.Г) надо заменить выражением

I м

E(d.c) = - £ r,(d)H-,(c) (3.1")

11 “Никакое элементарное квантовое явление не существует, пока оно не стало наблюдаемым явлением” (Дж. А. Уилер).

с измеренными значениями va(d) и wa(c), где индекс а нумерует различные наборы пар. Но вывести неравенство Белла из (3.1), (3.1") и двух аналогичных выражений для Е(а, с) и £(d, Ь) невозможно. -

Гипотеза от том, что две частицы со спином 1/2 “имеют” определенные спиновые компоненты р.(а) и w((b), кажется естественной только с классической точки зрения, когда можно визуализировать пару как состоящую из двух отдельных частиц. Но квантовомеханический вектор состояния ф (2.8) не описывает состояния с выделяемыми одночастичными свойствами. Такие состояния описывались бы базисными векторами (2.3) или (2.3'), которые, однако, не являются собственными векторами оператора (S(1) + S^)2, т. е. не имеют хорошо определенного полного спина. Состояние ф описывает новый единый объект — неделимое целое, для которого составляющие частицы (1) и (2) невыделимы до тех пор, пока измерение не приготовит состояния прямого произведения (2.3') (или их смесь). Как состояние с полным спином нуль состояние ф не имеет одночастичных свойств, а как чистое состояние оно не может быть разделено даже мысленно.

В квантовой механике из-за наличия принципа суперпозиции можно получать новые состояния для комбинации двух подсистем (фундаментальный постулат Па), которые уже не имеют одночастичных свойств составляющих, проявляющихся, например, в состояниях прямого произведения (2.3'). Эти состояния прямого произведения также существуют, но кроме них может существовать множество линейных комбинаций, примером которых является состояние 0.

В классической физике строительным материалом для сложных систем служат их составляющие. В квантовой физике строительный материал — подпространства пространства физических состояний (“гильбертова пространства”). Это могут быть подпространства различных типов, а не только одномерные подпространства, порожденные векторами прямого произведения состояний составляющих. Состояние ф — одно из многих возможных таких состояний.

ИСТОРИЧЕСКОЕ ПРИМЕЧАНИЕ

Неправильность следствий, таких как (3.4), из на первый взгляд “очевидных” идей является одной из многих “противоречащих интуиции” особенностей квантовой механики. Эти особенности затруднили для многих физиков, воспитанных в классических традициях, принятие интерпретации квантовой механики, развитой в

конце 20-х и начале 30-х годов. Особенно знамениты аргументы, выдвинутые в статье Эйнштейна, Подольского и Розена (ЭПР) в 1935 г., которые рассматривали по существу тот же “парадокс”, который обсуждался выше. Они рассматривали пару точечных частиц с координатами (для простоты одномерными) х( и х2 в (несобственном) состоянии ф, описываемом волновой функцией

<х1х2\ф> = ^(х, — х2 — и). (3.8)

Представлением этого состояния ф в импульсном пространстве является фурье-образ функции (3.8) (см. (II.7.49))

<ЛЧРг\Ф> = х" [ е-Цр1Х1+р2Х2'<х1х2\ф> dxx dx2

- еи 2HP2-p^°§(pY + р2). (3.9)

Согласно (3.8), одновременные измерения координат Qx и Q2 двух частиц всегда дают два значения X] и х2, связанные соотношением X] = v2 + а, и, согласно (3.9), одновременные измерения импульсов Рх и Р2 всегда дают два значения рх и р2, причем рх = — р2. Таким образом, либо координата хх, либо импульс рх частицы (1) могут быть найдены при соответствующем измерении координаты или импульса частицы (2).

Хотя эти два измерения над частицей (2) не могут быть произведены одновременно, ни одно из них не затрагивает непосредственно частицы (1). Отсюда ЭПР заключает — как сделали и мы в аналогичном случае для спиновых измерений, — что такие измерения не могут “создавать” измеренные значения величин хх и рх, а только “выявляют” их. Отсюда следует, что как координата, так и импульс частицы (1) в каком-то смысле “физически реальны” и не зависят от того, проводится ли на самом деле их измерение. Вместе с тем, согласно принципу неопределенности, квантовая механика не может одновременно приписывать частице определенные значения координаты и импульса! Из этого примера ЭПР заключили, что квантовая механика не дает полного описания физической реальности.

Бор в своем ответе, опубликованном позднее, в 1935 г., пытался защитить Квантовую механику от этой критики, но, очевидно, всех не убедил. С тех пор и до совсем недавнего времени некоторые физики занимались поиском теорий “более полных”, чем квантовая механика, в следующем смысле. Предположим, что существует более точное определение состояний микросистемы в терминах дополнительных “скрытых” переменных такое, что в новых “микро-

состояниях” с фиксированными значениями скрытых переменных все наблюдаемые одновременно имеют фиксированные значения. Следовательно, для этих микросостояний соотношения неопределенностей квантовой механики не справедливы. С другой стороны, соотношения неопределенностей квантовой механики выполняются даже для чистого квантового состояния (см. гл. II). Поэтому в этой новой теории, чистое состояние квантовой механики интерпретируется как смесь более точно определенных микросостояний системы. Тогда любые неопределенности результатов измерений для индивидуальной системы в заданном чистом квантовом состоянии являются просто результатом незнания нами “истинного” микросостояния рассматриваемой системы, которое может быть любым из микросостояний, смешанных в чистом квантовом состоянии. Такова неопределенность в классической физике, которая происходит от недостаточного знания и в принципе может быть преодолена; это знакомо по классической статистической механике. Таким образом, новая квантовомеханическая неопределенность “невозможности узнать” в теории со скрытыми переменными преобразуется в более привычную неопределенность “незнания в данный момент”.

Подготавливая обзорную статью о теориях со скрытыми переменными, Белл в 1964 г. обнаружил, что такие теории почти неизбежно приводят к некоторым ограничениям — известным теперь как неравенства Белла, — которые не выполняются в квантовой механике. На самом деле в приведенном выше выводе частного примера неравенств Белла (3.4) не используется практически ничего, кроме гипотезы, что “в действительности” некоторые компоненты спина одной частицы со спином 1/2 независимо от того, измеряются они или нет, имеют фиксированные значения. Эта гипотеза непосредственно следует из предположения, что скрытые переменные, понимаемые в указанном выше смысле, существуют независимо от дополнительных деталей теории1 \

Неравенства Белла были решающим шагом на пути к устранению противоречия. Они перенесли вопрос о скрытых переменных из области чистой теории в сферу экспериментально проверяемых предложений. Они также дали возможность опровергнуть кванто-

11 Но мы дополнительно предположили, что “скрытые” спиновые компоненты частицы (I) не затрагиваются спиновыми измерениями над частицей (2) и наоборот. Теории со скрытыми переменными, обладающие этим свойством, называются локальными. Неравенства Белла могут быть выведены только для локальных теорий со скрытыми переменными.

вую механику. Если бы экспериментальные данные удовлетворяли неравенствам Белла, а не предсказаниям квантовой механики, то квантовая механика оказалась бы не только неполной (как полагали Эйнштейн и его соавторы), но даже неверной. Подтвердив предсказания квантовой механики, критические эксперименты, однако, не только свидетельствовали в пользу квантовой механики, но также раз и навсегда отвергли целый класс локальных теорий со скрытыми переменными.

Глава XIV

Переходы в квантовофизических системах —сечения

Это фундаментальная глава по теории рассеяния. В ней вводится понятие вероятностей перехода, и из основных предположений квантовой механики выводятся общие формулы для сечений. В разд. XIV.2 получена общая формула для интенсивности перехода, которая используется затем в разд. XIV.5 для вывода формулы для сечения и в гл. XXI для вычисления скорости распада. В разд. XIV.3 вводится понятие сечения, а в разд. XIV.4 дается краткое описание различных способов связать сечения с фундаментальными физическими наблюдаемыми. Основной раздел этой главы — разд. XIV.5, где выводятся формулы сечений для весьма общих физических ситуаций. В конце разд. XIV.5 физическое состояние системы с рассеянием еще более уточняется и выводятся хорошо известные выражения для сечений. При поверхностном изучении материала данной главы можно опустить частично разд. XIV.2 и разд. XIV.5. С этой целью мы обсуждаем отдельные результаты разд. XIV.5 в конце разд. XIV.4.

XIV. 1. ВВЕДЕНИЕ

В этой главе мы приведем некоторые сведения, которые будут использоваться в последующих главах для описания процессов столкновения и распада, выведем формулу для вероятности перехода, введем понятие интенсивности перехода и затем определим сечение и запишем формулу, связывающую его с вероятностью перехода.

Общая ситуация, которую мы будем описывать и для которой процессы столкновения и распада являются только двумя частными случаями, — это временная эволюция нестационарного состояния IT(Z). Мы будем использовать фундаментальные аксиомы квантовой механики, в частности аксиому V. Сделаем дальнейшее упрощающее предположение, что генератор Н временных трансляций может быть разбит на две части:

Я = X + К (1.1)

где К — оператор энергии изолированной физической системы со стационарными состояниями, который предполагается хорошо

определенным. Это означает, что имеет смысл рассматривать приближенное описание физической системы как стационарной системы. Существует много примеров ситуаций, в которых это возможно. Так, К может быть оператором энергии атома или молекулы. При приближенном описании состояния, отвечающие энергетическому уровню, стационарны, но в действительности они квази- стационарны и распадаются с переходом в основное состояние. В этом случае переход вызывается оператором V = Н — К. Другой пример — комбинация двух физических систем, которые могут быть далеко разнесены в пространстве, — ситуация, обычно встречающаяся в процессах столкновения. Если они далеко разнесены, оператором энергии объединенной системы является К, а оператор V = Н — К, описывающий взаимодействие между двумя подсистемами, имеет конечный радиус действия1).

Предполагается, что наблюдаемые, измеряемые в этих процессах, коммутируют с оператором К. Например, детектор может регистрировать все атомы в основном состоянии, которые первоначально находились в возбужденных состояниях (например, регистрируя испущенный свет с определенной частотой). При этом измеряемая наблюдаемая — проекционный оператор на подпространство пространства физических состояний, относящихся к основным состояниям атомов, т. е. измеряемая наблюдаемая — свойство атомов находиться в основном состоянии (см. разд. II.4). В другом примере экспериментов на столкновение детектор помещается далеко от мишени, поэтому он детектирует собственные состояния или смеси собственных состояний оператора К. Свойство В, измеряемое детектором, описывается проекционным оператором Ав, который проектирует на (вообще говоря, непрерывную) дискретную сумму энергетических собственных пространств К. Обычно В — несколько более специфическое свойство. Например, детекторы могут быть размещены не всюду вокруг мишени, а только под определенным углом. Тогда оператор Ав — проекционный оператор на то конкретное подпространство в упомянутой прямой сумме, которое содержит состояния, отвечающие векторам импульса, направленным в пределах данного телесного угла.

Таким образом, мы будем обсуждать (в картине Шредингера) следующую задачу. Состояние W^t) эволюционирует во времени по закону

W(t) = e-iHt,hWe + iHtih (1^= 1У(0)). (1.2)

*) Необходимо заметить, что предположение (1.1) в действительности не является необходимым для описания процесса столкновения; достаточно предположить лишь, что существуют асимптотические состояния прямого произведения.

Каково среднее значение наблюдаемой Л(т. е. какова вероятность измерить свойство Л), для которой

[Л, К] = 0?(1.3)

Задача часто интерпретируется как переход между разными стационарными состояниями физической системы, вызванный взаимодействием V. Это основывается на предполагаемом существовании собственного состояния ^^(г = — оо) оператора К в удаленном прошлом и собственного состояния ^out(^ = +<») оператора Л" в отдаленном будущем, которое равно или содержит Л.

XIV.2. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА ИИНТЕНСИВНОСТИ ПЕРЕХОДА

Обозначим состояние физической системы через W, а измеряемую наблюдаемую — через Л. Тогда в соответствии с фундаментальным предположением II среднее значение наблюдаемой <Л> равно

<Л>=Тг(ЛИО-(2.1)

Поскольку Л — проектор, <Л> равно вероятности того, что система находится в подпространстве ЛЖ Среднее значение <Л> называется вероятностью перехода в состояние Л.

Вероятность перехода является функцией времени. В начале процесса (Л) в общем случае равно нулю и растет со временем. Из результатов гл. XII следует, что эта временная зависимость может быть описана в разных картинах. Мы сначала используем картину Шредингера, поскольку она лучше всего соответствует нашему интуитивному пониманию эксперимента по рассеянию с пульсирующим пучком или процесса распада. В картине Шредингера ансамбль физических систем описывается зависящим от времени статистическим оператором IT(f), который описывает пучок, движущийся по направлению к детектору, или возбужденное состояние атома, распадающегося с переходом в основное состояние.

Наблюдаемая Л, представляющая прибор, не зависит от времени. (Мы предполагаем, что Л не зависит явно от времени (ЭЛ/# = 0), т. е. прибор не подвергается воздействиям извне, после того как эксперимент по рассеянию начался.) Таким образом, вероятность перехода равна

<Л>, = Тг(АИЧО),(2.2)

где

Ж(г) = U\t)WU(t) (W = W^;

состояние W — это состояние системы в некоторый удобным образом выбранный момент времени, для которого мы положим t = 0, a U^O = eiHt/h — оператор эволюции из гл. XII.

Интенсивность перехода определяется как скорость изменения вероятности перехода со временем: d<X>t/dt. Дифференцируя выражение (2.2) и используя (XII. 1.33), находим

- <Л>, = Тг(Л ^У) = -i Tr(A[H, W(r)]).(2.3)

dt\ dt )

Подставляя Н = К + V в выражение (2.3), получаем

<Л>, = -i Тг(Л[К ^(r)]) - I Тг(Л[К, И/(г)]).(2.4)

Легко показать, используя (1.3), что второй член в выражении (2.4) равен нулю:

Тг(Л[К, Ж(г)]) = Тг(Л[К, Ж(г)] + [К, Л] И/(г))

= Tr(AKW(t) - XW^K + KXW^ - XKW^

= -Тг(АЖ(г)К) + Т^КАИ^О) = 0.

Пусть {!/?>) — базис в пространстве Х#\ на которое проецирует Л. Тогда

Тг(ЛИХг)Ю = £ <b\W(tW\b) = £ <b\VW(t)\b>*ьь

= (Тг(ЛИ1Т(0))*.

Следовательно, правая часть (2.4) может быть переписана в виде

1 <Л>( = -i Tr(XVW(t)) + z(Tr(APW)))*.(2.5)

dt

Но /(а* - а) = 21та, следовательно1)

. d

h- <Л>, = 2 Im Тг(ЛИИ/(0).(2.6)

dt

Чтобы выразить вероятность перехода в более удобной форме, воспользуемся базисом обобщенных собственных векторов К и Н:

^ Мы используем систему единиц, в которой й = 1, и лишь в наиболее важных формулах восстанавливаем й.

(2.7а)(2.7а)K\a> = EQ\a\

(2.7а)

(2.7а)

Ща^ = Е>±). (2.76)

Напомним, что обобщенные собственные векторы l<z±> оператора Н связаны с обобщенными собственными векторами I а-) оператора К уравнением Липпмана— Швингера (VIII.2.7'):

При необходимости мы будем выписывать индексы у векторов I </> и I я* > более подробно:

а) |у> = \Еао) и б) \а±> = \Еаа-'),

где а = (<7р <z2, .... ак) — индексы, которые в дополнение к энергии классифицируют обобщенные векторы. Эти индексы (квантовые числа) являются собственными значениями дополнительных операторов Ар Агъ ..., Ак, которые вместе с К образуют п.с.к.о. Например, набор а может включать квантовые числа углового момента / и Z3 наряду с другими внутренними квантовыми числами ц; набор а может содержать направление p/l pl вектора р вместе с остальными квантовыми числами ^. Если операторы АД = 1, 2, ..., к) все коммутируют с Н, то 1Ед<2±> — обобщенные собственные векторы п.с.к.о. ( Н, Ар ..., Ак }; в других случаях дополнительные индексы а служат лишь напоминанием о том, что вектор \ЕааД получен из \ Е^ с помощью уравнения Липпмана — Швингера, а не означают, что I Еаа^ > является собственным вектором всех А( (дальнейшие подробности см. в разд. XV. 1).

Мы предположим, что собственные векторы I а) оператора К нормированы условием

W> = <Еаа\Еа.а') = р^Г^ДЦЕ.. - ЕД (2.9а)

(Здесь р(Еа) — произвольная, но фиксированная, весовая функция1^ удобный выбор р(Еа) будет сделан ниже.) С такой нормировкой суммирование £ а является сокращенной записью и обозначает

1 = fp(E0)cZEa£(2.10)

!) Для обобщенных собственных векторов энергии IЕ) она играет ту же роль, что и р(х)-1 для обобщенных векторов 1х)р в (1.4.14) и (1.4.7вр).

Обобщенные собственные векторы I а ± > оператора Н имеют такую же нормировку

\иг > = <Еаи± \ Еа.а'±> = р(ЕаГ хдйй.д(Еа - Еа), (2.96)

как соответствующие обобщенные собственные векторы \а> оператора К. Вывод (2.96) из (2.9а) дан в приложении XV.А.

В общем случае спектры К и Н не одинаковы. Обычно К обладает только непрерывным спектром I £J , начинающимся с определенного значения, например Е = 0, и простирающимся до бесконечности. Но спектр { EJ оператора Н является комбинацией непрерывного спектра 1^} , который обычно совпадает с непрерывным спектром оператора К, и дискретного спектра {Еп\ , который может быть отрицательным, но ограничен снизу. Непрерывному спектру физически отвечают состояния рассеяния, а дискретному спектру — связанные состояния налетающей частицы и мишени. Могут встретиться и дискретные уровни в непрерывном спектре, но по физическим причинам собственные значения энергии не могут быть произвольно большими, в частности не могут быть произвольно большими и отрицательными. Таким образом, мы можем выбрать обобщенные собственные векторы оператора К

{!«> = \Еаа^

в качестве базиса для пространства физических состояний или можем выбрать в качестве базиса набор

{!«>} = {1^) = l^n^Jull^)}

дискретных собственных векторов I ап > и обобщенных собственных векторов I я* > оператора Н. Свойство полноты этих базисов может быть выражено соотношениями

/ = £|п><п| = fp(Ea) dEu Т\Ead><Eaa\,(2.11а)

aJд

/ = £|«><а|= L(EJdEay|Eoa±><Eoa±| + II«„><aJ. (2.116)

След, возникающий в правой части (2.6), может быть теперь записан в виде.

Tr(A₽W)) = ^<b\VW(t)\b>ь

= ^ <b\V\a><a\W(t)\b>.b 1

Используя временную эволюцию ^(z) (1.2) в картине Шредингера и подставляя еще один полный набор собственных векторов 1а'> оператора Н, получаем

Т^ЛГ^г)) = 11 <А| VtaX«\e*iH‘WXiH,XX«'\b>

= I Е^ИсС^ата'ХаЧб^'"^^ (2.12)

Предположим, что оператор Р имеет дискретные собственные значения, отвечающие связанным состояниям 1аи>. Так как связанные состояния не могут возникнуть в результате эволюции свободных состояний, мы предположим, что связанные состояния не дают вклада в IV; математически это предположение выражается соотношением

<а|И/|«;> = 0.(2.13)

Следовательно, мы можем ограничить суммирование по а и а' непрерывным спектром Н.

Поскольку [Л, А! = О, базис { 16)} подпространства Л ^можно выбрать состоящим из обобщенных собственных векторов оператора К:

К\Ь) = Еь\Ь> ЦЬ> = \ЕьЬ>\(2.14)

Если мы возьмем скалярное произведение уравнения Липпма- на—Швингера (2.8) с IZ?>, используя (2.14), получим

<а'±\b> = <a\b> + lim<a'±|L-

<-о±- к + ic

= <а\Ь> + lim <а±\ V\b> -(2.15±) £-О±- Eb A- V€

Воспользовавшись (2.15+)1) в (2.12), получаем

Тг(ЛР1Т(г)) = I I g и <УУ^Ха + I K|^ <й+|И/|(/' + > + IL

b aa'Ea. - Eb — /0

(2.16)

где

11 = LT.e"t(Ea-Hu’4b\V\a + ><a,\b><a+\W\a,+ >.(2.17)

В приложении XV.А мы покажем, что второй член II равен нулю; здесь мы удовлетворимся интуитивными аргументами. Множитель (а' I Ь) во втором члене описывает не переход, а вероятность наблюдения конфигурации в начальном состоянии. Но в эксперименте по рассеянию (кроме экспериментов с поглощением, в которых < Л> непосредственно не измеряется) детекторы помещаются под углом к направлению исходного пучка, так что они не забиваются исходным пучком. Тогда если 1ЕлЛ) = 1Л> обозначает любой из векторов, появляющихся в начальном состоянии W = £ и^ IЛ ><Л I, то 1Л> ё ЛЛ^и член II не дает вклада в вероятность наблюдения Л1}.

Интенсивность перехода получается теперь подстановкой первого члена из (2.16) в (2.5). Используя свойства эрмитовости

<a+|WV + >* = <а'+|И/|а + >,<b\VK>* = <a+\V\b>

операторов W и V и меняя местами индексы суммирования а и а' во втором члене, возникающем из (2.5), получаем

у <Л>, = -i I I е-«Е- -Е«-»<ь| |/|а + ><а- I И|6><а" I Ж|<Г > ь аа'

(2.18)(2.18)11

(2.18)

(2.18)

Ea.-Eb-iO~Ea-Eb^iQ

Последний результат мы используем как в разд. XIV.5 при вычислении сечения, так и в разд. XXI.2 при вычислении скорости распада.

XIV.3. СЕЧЕНИЯ

В эксперименте по рассеянию пучок направляют на небольшую мишень. Детектор располагают на большом расстоянии от мишени и под (ненулевым) углом О = (0, ф) относительно исходного пучка.

В классической физике этот пучок может быть пучком частиц или световым пучком. Например, для случая рассеяния частиц пу-

^ Заметим, что член II происходит из первого члена в уравнении Липпмана—Швингера.

чок из 7<ячастиц типа В массой тв и со скоростью v0 в течение времени At падает на мишень, состоящую из NT частиц массой тТ. Число частиц, рассеянных и достигших детектора за одну секунду, N/ At — скорость счета, пропорциональная как числу частиц мишени NT, так и падающему потоку (т. е. числу частиц, проходящих в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную v0). Падающий поток равен

Рвг01(3.1)

где рв — плотность частиц пучка. Таким образом, скорость счета N/ At равна

N/At = aNTpBvQ,(3.2)

где константа пропорциональности о называется сечением. Таким образом, сечение рассеяния частиц на частицах определяется формулой

Оно имеет размерность площади. (Если мишень не находится в состоянии покоя, то вместо и0 в формуле (3.2) необходимо использовать относительную скорость и = I v0 — vrl.)

Сечения обычно измеряют в барнах (16= 10-24 см2), миллибарнах (1 мб = 10-27 см2) или в микробарнах (1 мкб = 10"30 см2). Понять на интуитивном уровне определение сечения а (3.3) можно путем следующих рассуждений. Число частиц N/ At, достигающих детектора в единицу времени, равно числу частиц pB^Az/At)ст, проходящих в единицу времени через объем Az ст, умноженному на число частиц мишени NT:

N Az

Таким образом, ст — это площадь поверхности, перпендикулярной к падающему пучку, образованная частицами мишени. Насколько велика область, в которой частицы мишени влияют на частицы пучка, зависит, конечно, от природы всех этих частиц, в частности от их взаимодействия. Но порядок величины ст грубо определяется «размером» частицы или радиусом ее взаимодействия. Поэтому типичные сечения взаимодействия для сильно взаимодействующих частиц порядка миллибарнов или микробарнов, а сечения в атомной физике (сечения упругого рассеяния) порядка 10~16 см2.

Различные типы сечений имеют разные названия. Если детектор

Рис. 3.1. Схематическое изображение эксперимента по рассеянию.Рис. 3.1. Схематическое изображение эксперимента по рассеянию.

Рис. 3.1. Схематическое изображение эксперимента по рассеянию.

Рис. 3.1. Схематическое изображение эксперимента по рассеянию.

регистрирует все частицы нового типа, которые вылетают из области мишени во всех направлених, то а называют сечением рождения. Если детектор регистрирует частицы начального типа В после того, как они покидают область мишени, то сечение называют сечением рассеяния. В частности, о называют полным сечением рассеяния, если детектор регистрирует все частицы В, покинувшие область мишени, независимо от того, в каком направлении вылетают частицы. Дифференциальное сечение do возникает в том случае, если регистрируются только те dN частиц, которые вылетают в пределах некоторого конуса с телесным углом (бесконечно малым) dU = sin9d9d<l> (рис. 3.1):

dN/AtdodN 1/At

do : или —.(3.4)

PbNti)0dQ. d£lpBNTv0

Другим примером эксперимента по рассеянию в классической физике является рассеяние светового пучка на препятствии (мишени). Детектор, расположенный вне падающего пучка на расстоянии, большом по сравнению с длиной волны света и размерами препятствия, измеряет поток, рассеянный в данном направлении. Отношение дифференциальной рассеянной мощности на единичную площадку dl^ к исходной мощности на единицу площади (потоку) Ancid есть дифференциальное сечение

do =do =^1 scat ^incid^1 scat ^incid(3.5)(3.5)

do =

do =

^1 scat ^incid

^1 scat ^incid

(3.5)

(3.5)

В квантовой физике «пучок» представляет собой пучок квантовофизических систем, а измеряемыми величинами являются вероятности. Детектор измеряет вероятность перехода из начального состояния. Эта вероятность перехода пропорциональна вероятности того, что до столкновения частица пройдет через поверхность единичной площади, перпендикулярную начальной скорости. Константа пропорциональности есть квантовомеханическое сечение:

вероятность перехода,_

а = .(3.6)

исходная вероятность на единицу площади

Как и в классическом случае, существуют различные типы сечений. Если детектор регистрирует все состояния, возникающие при взаимодействии с мишенью, то а есть полное сечение. Если детектор регистрирует только подмножество состояний (например, только состояния В), то а = оВА называется парциальным сечением. Таким образом,

вероятность перехода из состояния А в состояние В

оВА.(3.7)

исходная вероятность на единицу площади

Предположим, что В — свойство импульса частицы быть направленным в некоторыйконус с телесным углом сШ вокруг направления О = (6, ф), тогда

(вероятность перехода из состояния А во все состояния

с вектором импульса, направленным в </П)о,

“^ПЛ =~— ’(^-*)

исходная вероятность на единицу площади

или чаще daUA/ d^l, называется дифференциальным сечением.

В типичном эксперименте по рассеянию налетающая частица выбирается настолько бесструктурной, насколько это возможно (например, электрон), в то время как мишень состоит из более сложных объектов (например, из атомов). Тогда экспериментальные сечения дают информацию о структуре частиц мишени. Столкновение частицы с мишенью может быть упругим, как в том случае, когда энергия налетающей частицы меньше, чем разность уровней энергии мишени, или неупругим, как в том случае, когда энергетический уровень мишени изменяется в процессе столкновения. Чтобы фиксировать терминологию, мы будем использовать термин «полное сечение столкновения» для сечения столкновения о с учетом как упругих, так и неупругих процессов. Сечение «elas для всех упругих столкновений называется полным упругим сечением, в то время как сечение «^ неупругого столкновения с переходом на т^-й энергетический уровень называет полным неупругим парциальным сечением для ц-го уровня. Полное неупругое сечение равно £, оч. Полное сечение о является тогда суммой полного упругого и полного неупругого сечений:

° = ^elas + £>„•(3.9)

П

Соответствующие обозначения используются и для дифференциальных сечений

XIV.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ СЕЧЕНИЯМИ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫМИФИЗИЧЕСКИМИ НАБЛЮДАЕМЫМИ

Сечения являются наблюдаемыми величинами. В принципе их измерение следует из определения, данного в предыдущем разделе, в терминах скоростей счета и потока*). Сечения связаны с фундаментальными наблюдаемыми, описывающими структуру физической системы, состоящей из комбинации налетающей частицы и мишени. Мы установим теперь связь между сечениями и этими квантовомеханическими наблюдаемыми.

Если теория физической системы (т. е. математическая структура, описывающая систему) известна, то можно выразить сечения через известные фундаментальные наблюдаемые и предсказать результаты эксперимента по столкновению. Чаще физик сталкивается с другой ситуацией, когда сечения измерены экспериментально, и, исходя из этой информации, делаются предположения о том, каковы фундаментальные наблюдаемые, каковы их свойства и какая математическая структура описывает эти свойства наилучшим образом. Задача является менее сложной, когда одна из сталкивающихся подсистем (налетающая частица) имеет известную структуру, по возможности простую. Такая налетающая частица используется для исследования структуры мишени и получения информации для построения теоретической модели мишени. В качестве примеров приведем электроны как налетающие частицы и атомы или молекулы как мишени, протоны как налетающие частицы и ядра как мишени, электроны или другие лептоны как налетающие частицы и адроны как мишени.

Чтобы связать сечения с фундаментальными наблюдаемыми, можно поступить двумя различными способами. Первый и стандартный способ основывается на аксиоме о временной эволюции V (гл. XII). Предполагается, что в алгебре операторов данной системы имеется оператор энергии Н, управляющий стандартным образом эволюцией системы. Обычно также предполагается, что оператор энергии можно разбить на две части:

Н = К + V, К = Кв® I + I ® Кт,(4.1)

где К — оператор энергии комбинации физических систем в отсутствие взаимодействия V между ними, Кв — оператор энергии системы пучка, а Кт — оператор энергии системы мишени. Таким образом, оператор К является оператором энергии для случая, когда налетающая частица и мишень далеко разнесены1).

Существование непрерывной унитарной эволюции во времени (1.2), генерируемой в соответствии с фундаментальной аксиомой V оператором Н, является весьма сомнительным в физике частиц, где принято считать, что существует фундаментальная длина. Поэтому Гейзенберг в 1943 г. предложил другой путь, основанный на представлении, что состояние ^(t), описывающее системы в то время, когда они взаимодействуют, не является в действительности измеримой величиной. Измеримыми величинами являются начальное состояние И™^ — — оо), описывающее системы до взаимодействия, когда они приготовлены к столкновению, и конечное состояние 1Гои1(/ — + «), описывающее системы после взаимодействия, когда они регистрируются. Каждое начальное состояние преобразуется в конечное состояние в результате взаимодействия. Оператор, описывающий это преобразование:

PTin(r) ^'(f) = SH^OS-

или для чистых состояний

^"(г) ^“'(г) = ЗЧЛгХ

называется S-оператором (S-матрицей).

Оператор S должен обладать следующими свойствами: 1) он преобразует суперпозиции дФ*п + Z?^in в суперпозиции дфои‘ + + /?^°и1, т. е. должен быть линейным оператором; 2) он переводит любое нормированное начальное состояние единственным образом в нормированное конечное состояние («сохранение вероятности»). Вместе с предположением о том, что как набор начальных состояний, так и набор конечных состояний порождают пространство фи-

11 Предположение, что оператор Н можно разбить на две части, в действительности не является существенным. Выражения для сечений можно вывести из предположения о существовании генератора временной эволюции Н (см., например, [31], гл. 5).

зических состояний, эти свойства приводят к требованию унитарности S-оператора: SS+ = S^ S = I.

Сечение может быть тогда связано с матричными элементами оператора S (S-матрицы). Таким образом, в этом втором подходе существование унитарного оператора S является фундаментальным постулатом, заменяющим фундаментальную аксиому Vo непрерывной унитарной временной эволюции.

Если гамильтониан Н существует и является генератором непрерывной временной эволюции, то S-матрица может быть выражена через Нх\ Но концепция S-оператора имеет смысл даже в том случае, если этого сделать нельзя. Предположение Гейзенберга о том, что именно S-оператор (а не гамильтониан) является фундаментальной физической величиной, послужило основой для попытки построения новой теории элементарных частиц, известной как теория S-матрицы2'.

Таким образом, на первом пути делается больше предположений, и имеется возможность соотнести наблюдаемые величины, такие, как сечения, с фундаментальными наблюдаемыми, которые проясняют физическую структуру системы. Второй путь отрицает возможность более глубокого проникновения в структуру физических систем. Для атомных экспериментов по рассеянию наличием элементарной длины, меньшей чем 10“13 см (;= 10"5 А), можно пренебречь. Поэтому мы можем связать понятие сечения с фундаментальными предположениями квантовой механики (в частности, с аксиомой V), следуя по первому пути, на котором встретим оператор S как вторичную величину.

В гл. XV мы более подробно исследуем концепцию входящих и выходящих состояний и их связь с S-матрицей.

В разд. XIV.5 мы дадим вывод формул для сечений, исходя из фундаментальных предположений квантовой механики при весьма общих условиях. Здесь мы перечислим некоторые результаты для тех читателей, которые не хотят следить за утомительным выводом формул в разд. XIV.5.

Сечение выражается через матричные элементы гамильтониана взаимодействия V или Г-матрицу. Матричные элементы V и Т связаны соотношением (5.4Г)

<Е^Пъ\Т\ЕИПл'> = <ЕПИь\У\ЕП'и+^ .

Здесь Е = рЧ2.т -V Е^ — энергия системы мишень—налетающая частица, Е^ — внутренняя энергия (которая может быть функцией от внутренних квантовых чисел ту), а О = (6ф) обозначает направление импульса налетающей частицы, р = />0. Вектор ^ЕПт)*) — собственный вектор точного оператора Н, a I EUiq> — собственный вектор свободного оператора энергии К = Н — V. Если гамильтонова временная эволюция не имеет места, то Г-матрица связана с S-матрицей соотношением (XV.3.36')

<E^n\S\E' И р> = <Е^>]\Е* ^'п’> - 2nid(E - £')<£Q ^| T|£Q'^'>.

Если обобщенные собственные векторы нормированы условием

<£ Q г/1Е' Q ^'> = <р г] | р' п'> = ^w ^3(Р ~ Р )’

то дифференциальное сечение рассеяния налетающей частицы массы тА с импульсом рл на мишени в состоянии рА с образованием частицы массы mb, вылетающей в направлении Ub = рь/рь и оставляющей мишень в новом состоянии т)ь, равно (5.61')

do(^л ^ь Пь РлПа) =do(^л ^ь Пь РлПа) =(2п)*Ь-тлтьрь(Ел)2

do

(^л ^ь Пь РлПа) =

do

(^л ^ь Пь РлПа) =

?4?4\<ЕЛ Пь >h\T\pA Па>\ ,

?4

?4

где

J = V ^ь<Ел - ЕПЛ Еа = 2т^ + Епа-

Для случая упругого рассеяния тА = mb, рА = рь, и это выражение переходит в выражение (5.62) в конце разд. XIV.5, которое может быть выражено через амплитуду упругого рассеяния (5.63), согласно формуле (5.64).

XIV.5. ВЫВОД ФОРМУЛ ДЛЯ СЕЧЕНИЯ РАССЕЯНИЯ ПУЧКА НА НЕПОДВИЖНОЙ МИШЕНИ»

Здесь мы дадим точное квантовомеханическое определение сечения, исходя из вероятностей состояний и вероятностей перехода, а затем перейдем к выводу формул для различных сечений.

Вероятность перехода в единицу времени, равная d^N/ NTNBV dt в классической картине рассеяния, в квантовой механике равна d<M,/dt. Вероятность того, что в системе произойдет переход за время эксперимента А/, равна (d< Mj/dt^t.

Плотность вероятности для расположения пучка, равная рв/NB в классической картине рассеяния, в квантовой механике равна <xl И^п(/)1х>, где В^п(0— статистический оператор, описывающий исходное состояние системы пучка. Если допустить наличие небольшого разброса по скоростям составляющих пучок частиц, то исходная вероятность на единицу площади в единицу времени того, что исходный пучок движется вдоль оси z со средней скоростью и0, равна < xl И^Й)! х> и0.

Согласно определению (3.7) и в соответствии с классическим выражением (3.3), для эксперимента, который продолжается в течение времени Аг, сечение равно коэффициенту пропорциональности а в соотношении

At = (T<x|^n(t)|x>r0At.(5.1)

at

Если эксперимент проводится в течение длительного периода времени, определяющее соотношение (5.1) переходит в уравнение

Г+о°Г"*

J= J dto<x\Wl№\x>v0. .(5.2)

Если пучок не состоит из бесструктурных физических квантовых систем, а имеет внутренние степени свободы, описываемые квантовыми числами X, то плотность вероятности ориентации пучка равна L\< хХ1 И^п(01 хХ>, где 1хХ> — базис обобщенных собственных векторов координаты в пространстве состояний системы пуч-

» Чтобы следовать за этим выводом, могут потребоваться некоторые усилия. Поэтому мы привели некоторые результаты, которые потребуются в следующих главах, в конце разд. XIV.4, а этот раздел при первом чтении может быть пропущен.

ка. Квантовые числа X обычно описывают поляризацию (спиновое состояние), поэтому мы будем называть X поляризацией, хотя в случае более сложных налетающих частиц (например, атомов, молекул или ионов) X может обозначать полный набор квантовых чисел, от которых зависят собственные состояния энергии системы пучка.

Если имеется поляризация, то вместо (5.2) имеем

Г + ос (КХ^г + ос

^^„^(xAl^OIx^.(5.3)

— ~ оо‘ — ооЛ

В этом разделе мы предположим, что положение мишени фиксировано; тогда скорость и0 равна средней относительной скорости налетающей частицы (пучка) и мишени. Предположим, кроме того, что в отсутствие взаимодействия V между системами—компонентами статистический оператор ^’"(г) объединенной системы налетающая частица — мишень должен факторизовываться в произведение

И^) = ^п(г) ® ЖЭД(5.4)

статистического оператора f^(t), описывающего состояние налетающей частицы, и статистического оператора Ж^М, описывающего состояние мишени. Оператор И^г) действует в пространстве состояний ^, оператор FFjP(O действует в пространстве Л^., а оператор И™^) действует в полном пространстве Л^ ® Жр Оправданием для этих предположений служат начальные условия. Об операторе И4” (О можно думать как об операторе, описывающем систему до того, как взаимодействие стало эффективным (т. е. при t — — «), поскольку в это время приготавливаются системы пучка и мишени. Эволюционируя во времени по закону

Ж‘п(г) = e-'vKtWw^K\

где К — оператор энергии без взаимодействия, он описывает фиктивное состояние, в котором пучок проходит через мишень без изменения. Приготовление систем—компонент производится путем измерения свойств, которые в момент приготовления не корродированы , вследствие чего во время приготовления И™ (г) можно факторизовать в виде (5.4р. Но тогда эта факторизация сохраняется для всех значений времени, как это следует из соотношения

И^П(7) = ^-^B + KT)r^m ® ^m^ + itKB + KrU = ^-‘^вгц/т^квг 0 e-iKTtWineiKTt = Wl№ ® IF^t).(5.5а)

Действительным оператором состояния объединенной системы является ^(0, который, совпадая с 10п(г) в далеком прошлом, имеет другую зависимость от времени (уравнение (1.2)):

W(t) = e~iHtWe + iH'.(5.56)

В отличие от 10п(г) оператор И^г) в общем случае не факторизуется, поскольку гамильтониан взаимодействия V генератора временной эволюции Н = К 4- V нетривиально действует как на <^в, так и на Л^.

Чтобы не прерывать вычисления многочисленными пояснениями, сделаем сначала некоторые замечания относительно базисных векторов, которые будут использоваться, их нормировок, а также приведем некоторые необходимые математические соотношения.

В качестве баЗиса { I Еа} ) в пространстве ^ = ^ ® ^т мы будем использовать базис прямого произведения, состоящий из обобщенных собственных векторов оператора К;

\Еа> = |рЛ> ® \ETrj).(5.6)

Здесь I рХ> — обобщенный собственный вектор оператора импульса Р с поляризацией X для системы пучка, а ХЕ^ — собственный' вектор (возможно обобщенный) оператора Кт = К^ внутренней энергии системы мишени1) с поляризацией и- Обобщенные собственные векторы 1рХ> имеют обычную нормировку на 6-функцию

<р Л|р' Л'> = 63(р - р')6ЛГ ,(5.7)

а векторы \Етт)> могут быть как собственными векторами XE^.i)>, отвечающими дискретному собственному значению Е^., и иметь нормировку

<EdTn\EdTn'>(5-8а'

Хотя К1"1 — оператор внутренней энергии мишени (т. е. не включает члена кинетической энергии), мы не будем исключать возможности наличия у него также непрерывного спектра, что может быть, например, при рассеянии, вызванном столкновениями.

так и обобщенными собственными векторами \ Е^т^, отвечающими непрерывным собственным значениям Е^. и имеющими нормировку

<ЕСТ п | Ест' П'> = №т)" ^(Ест - Ест')длл..(5.86)

Здесь р(Е) — весовая функция (мера), с которой нормированы обобщенные собственные векторы непрерывного спектра1). Эти весовые функции р(Е), зависящие от обобщенных собственных векторов энергии 1Е>, фиксируются соглашением для каждого случая. Например, для собственных векторов энергии в системе пучка I рХ> = \ЕВП,\> весовая функция р(Е) фиксируется нормировкой (5.7) и обычным условием для 5-функции от телесного угла 52(Q — О'), приведенной в (5.17). Поскольку векторы I рХ> также являются обобщенными собственными векторами оператора энергии системы пучка

Кв = К^ЧР) + х№р)><5-9)

векторы прямого произведения I рХ> ® \Етц> являются на самом деле обобщенными собственными векторами оператора энергии К = Кв + Кт. В выражении (5.9) X^in(P) — оператор кинетической энергии для налетающей частицы, функциональная форма которого зависит от ее природы; для массивной нерелятивистской налетающей частицы

K£n(P) = Р2/2т,(5.10а)

а для фотона

Кв"(Р) = с(Р2)1/2 = cP,(5.106)

где с — скорость света. Оператор Л^Ч^р) — оператор внутренней энергии налетающей частицы. Следовательно, собственные значения К на базисных векторах (5.6) равны

Е = ЕВ + ЕТ,(5-11)

где

р2 .р2

Ев = — + Ед (Л), Ев = —, или Ев = рс

2m2m

См. примечание на с. 434.

для нерелятивистской налетающей частицы с внутренними энергетическими уровнями £^nt(X), бесструктурной нерелятивистской налетающей частицы1) и фотона соответственно.

Для определенности предположим, что налетающая частица является нерелятивистской и не имеет внутренних энергетических уровней, так что Ев = р^/2т. Для других случаев из (5.11) или для массивного релятивистского случая Ев = (р2^ + /и2с4)1/2 потребуются незначительные модификации. Введем также сокращенные обозначения

Z = Z + р^Е^) dEcT ,(5.12а)

Ет Ет J

(ЕТр\ЕТр"> дЕгЕт д^(5.126)

для уравнений (5.8а) и (5.86). Тогда базис прямого произведения векторов I рХ> ® I Е^> мы можем выразить через полную энергию Е и сферические координаты вектора р:

\Еа> = \Е ЕтЯ2г]У = |рл> ® |£г ^>

= |£ВПЛ>®\ЕтЛ>,(5.13)

где

р2

Е = £в + £г-^ + Ет,(5.14а)

2m

(5.14b)(5.14b)р = ptl = p(sin 9 cos ф, sin 9 sin ф, cos 9\(5.146)

(5.14b)

(5.14b)

Q = (0, ф\

Нормировка на 5-функцию векторов \Еа) следует из условий нормировки (5.7) и (5.12а). Найдем теперь весовую функцию р<Е) в нормировке (2.9а) и (2.10). Поскольку из (5.7) и (5.12а) имеем

£ |рДЕ) dE = £ J3p = £ р2 sin 9 dp d9 dф о “ЕтЛ>] JЕтлц 2

= £ lmx/2m(E — Ет) sin 9 d9 dф dE, (5.15) ЕтХп J

'* Точнее, для налетающей частицы, имеющей один уровень энергии, но, возможно, несколько разных поляризационных состояний.

ИН 29

базисные векторы (5.13) должны иметь в терминах квантовых чисел Е, Ет, D, Л и 17 следующую нормировку:

<Еа\Е'и> = (EETQ Хр\Е' ETQ Я'<>

=^Е - Е')дЕтЕ.тдЧП - WuAo (5.16) mx 2т(Е — Е^

где

52(Q — Q') = <5(cos 0 — cos О')д(ф — ф').(5.17)

Следовательно, весовая функция (мера) ра(Е) равна:

Ре-ДЕ) = р(Е - Ет) = т^МЁГ^ЁД) = тр, (5.18а)

а 6аа, в выражении (2.9) равна:

^ЕтЕт ^2(П - £Г)дн. бпп..(5.186)

При вычислении нам понадобятся тождества [2]

J dte~i5t = 27гВД,(5.19)

11

— = 2л1д(8)(5.20)

s - z0 s + z0

для обобщенной функции d(s).

Нам также потребуется соотношение

<a+\W(t)\a' + ) = <«| PTin(r)|«'>,(5.21)

которое можно немедленно вывести (приложение XV.А), используя результаты разд. XV.3. Соотношение (5.21) правдоподобно по следующей причине. Оператор ^(/) совпадает с И71"^) в далеком прошлом — до того, как стало эффективным взаимодействие V, а вектор I а+ > в отсутствие V совпадает с I а), так что в некоторый момент времени в отдаленном прошлом соотношение (5.21) имело место, Но временная эволюция ^(/) и ^*п(г) генерируется операторами Н и К соответственно; они одинаковым образом действуют на I а+ > и I а} соответственно; следовательно, соотношение

справедливо для любого момента времени /, а не только в отдаленном прошлом.

Приступим теперь к выводу явных выражений для сечений'Л Подставляя (2.18) в (5.3), получаем

-<Ц f dt е*1и:-'‘1:“'ЧЬ\У\а+><и,+ \ V\b><a* \ W\a' + > b aa' v — oo

/11\

\Ea- - Eb — Ю Ea - Eb + z'O/

= J dtvoa^<xX\W'№\xX>.(5.22)

Подстановкой базисных векторов I pX> и использованием трехмерной версии

(5.23)

соотношения (II.7.51), уравнения для временной эволюции (5.56) для ^^(t) и тождества (5.19) правая часть соотношения (5.22) приводится к виду

z f dtv^ I d^pd^pXx А|рЛ>J - ОСЛ J

x <p X | e “ iKb* Wв e + lKBt I p' A > <p' X | x A)

x <рЯЦ^|р'Л>

= (2я)"2и0У £ f^P ^P el(p”p)xd(EB - E'B) лЛ' J

X <рЛ|^|р'Л'>»яг

= (2n)'2r0<7 X L(.EB^dEBp(.E^dEedtldfi

X elt'--''W8 ~ E'B)<EaaX\W‘S\E'BnX'>8u., (5.24)

11 Результатом этих утомительных вычислений является формула (5.38).

где

р(Е) - т^2тЕр(Е) - т^2тЕр = pH = х 2mEBSl, р = рТЬ' = х2тЕвЕ1\

р(Е) - т^2тЕ

р(Е) - т^2тЕ

Вычисление левой части соотношения (5.22) проводится следующим образом. Мы используем (5.19) для выполнения интегрирования по I, (5.20) для замены множителя в круглых скобках и (5.21) для того, чтобы выразить ответ в терминах состояния И^Т/), которое может быть факторизовано, согласно (5.4). Базисная система { 1я>), используемая при вычислении, состоит из обобщенных собственных векторов \EEtUXt)> = \EBUX> ® \ЕТт)>, где Е = Еа. Таким образом, левая часть соотношения (5.22) равна

~t £ £ 2лд(Еа - ЕаИЬ\ W> <а' + | Г^)

х <a\Win\a')2Kid(Ea - Еь)

= М2 £ £ |р(£ - Ет) dE р(Е’ - Е'т) dE' dQ dQ' b Ет^-п "

Е’тХ'ц'

x д(Е - EW - EhKb\V\EETdXn + >

х <Е' Е'т Q' 2' z;'4 | V\b>

х <Е ET^Xn\Win\E' ЕтЕ1' Х'п'>

= W2 Z Z fP№e) dEg p(Eg) dE'g dEl dQ' b E-p*n "

E’t^'h'

x b(EB 4- Ej EB E-p)d(EB + Ej E^)

x <b\V\E EtQXh + )<E' E'T^ X’n'* I V\b>

x <EBQX\W'Bn\E-BQ-XWTH\W'№ (5.25)

где

E EB + Ej, c, — EB + ET.

Из (5.24) и (5.25) имеем тогда

0 = (2тгЯ (правая часть (5.22) — левая часть (5.22)) =

= V (P(EB)dEBp(EBUlEBdQdEl'(EBElX\W^\EBEl-Х’> ял- X

X ^0(7д(Ев- Евк,1р^Х ^лх,

- (2л)4 £ У д(Ев + Ет — Ев- ETWB -t- Ет - Eh)

е’тч(5.26)

X (h I VI Е Ет Q л ц < Е' Ет Q х'у V) Ь) <ЕТ л/|| Ет /7 > J.

До сих пор мы не детализировали свойства состояния И^п, но уже знаем, что направление исходного импульса в таких экспериментах по рассеянию обычно выбирается вдоль оси z на рис. 3.1, т. е. для 0 фиксируется 0 = (0, 0). Остальные свойства падающего пучка — его поляризация и распределение по энергиям — могут изменяться от эксперимента к эксперименту. Мы продолжим вычисление, сделав дополнительное предположение о том, что пучок абсолютно неполяризован; в этом случае матрица плотности имеет вид

<EBE1MW^\E'B^ Х'> = -^(EB^W'^^(5.27)

где g — число различных поляризационных состояний X. Приведенный матричный элемент <ЕВП11 И2^1 IIE^B' > описывает распределение по импульсам в исходном пучке. Если бы пучок был полностью поляризован с некоторым определенным Ху, то вместо (5.27) пришлось бы использовать выражение

<Евал^\Е’ва' Х'> = У.,,уЛо<£5О||^|!£йО'>(5.28)

и заменить в последующих вычислениях S х1/^ на Lx^xXq-

В типичном эксперименте по рассеянию исходный пучок всегда приготовлен таким образом, что он имеет хорошо определенное направление О0 (хорошо определенный импульс), а матрица плотности И^" обладает свойством1)

\ dnd£Y<EBCl\\W"\\E-B^^ = <£B||l^ni||£'B>£(Q0,Q0) (5.29а)

11 Можно убедиться, что (5.29а) является аналогом выражения (5.28) для случая непрерывного спектра, вычисляя для произвольной FXK величину

I<• • ■ А| ^п| ■ • ■ X'>Fxx. = g дхх 6ХХо<-• ■ || ИХ-л .. *^ЕХХ = <■ • • || ИХ-Ц • - .>FXoXo.

Интуитивно можно написать непосредственный аналог (5.28)

<ЕвQ||И/"Ч1 ЕвП> = d(Q - QW - ПоХ^Ш^вШ^Х

но это будет математически неверно. Выражение (5.29а) является идеализацией; из обсуждения в разд. II.8 следует, что каждый пучок должен иметь конечный разброс по импульсам. См. также ниже обсуждение, следующее за выражением (5.35).

для любой гладкой функции F(Q, О'). Дважды редуцированный матричный элемент

<Es||l^sl|!£s> = ^dEUtt<EBa\\W'B4EBtt>

= |^<ЕвО||^п||ЕвО>(5-296)

состояния И^п с хорошо определенным направлением й0 описывает распределение по энергиям в пучке, которое более детально обсуждается ниже. Из нормировки следует

= Z р(£в)^Ев^<ЕвПЛ|И'1,"|£вПЛ>

= рЕвМЕв<Л2<ЕвП||1П"1|ЕвП>

= ]«£в)ЛЕв<ЕвШИ'ЯЕв>.(5.29b)

Для неполяризованного пучка (5.27) с хорошо определенным направлением (5.29а) уравнение (5.26) принимает вид

О = ptEjJdEjpfEydEXEBlII^IIIE^liio^Es - £в)в «^ ' |П« -

-—ЕЕ I «Ее + Ет - Ев - Е^«ЕВ + ЕТ- Ей 9 b X Етп

X <b\V\EETQ0Xn + ><E' ЕтП0АпПУ\ЬНЕтп\^

Поскольку р = л11тЕв, экспонента под знаком интеграла дает вклад, равный единице, из-за наличия 6(ЕВ — Ев\ Следовательно

0= |*р(Ев) dEBр(Ев) dE^E^W WB |||ЕВ)> {и0<тд(Ев — Ев)

- — Е Е Е «Ев + Ет - Е, - Е'Г)«ЕВ + Ет - Е„)

9 " ' eS(5.30)

х <b\V\EETfi0Xfi*><E’ E'TCl„Xii'*lV\b><ETn\W^\E'T>i'>Y

Напомним, что мы оставили открытой возможность того, что мишень имеет как дискретные, так и непрерывные уровни энергии Ет; хотя мы написали уравнение (5.30) как если бы уровни Ет были дискретными,- это уравнение справедливо и в случае (5.12), когда

спектр Кт содержит также непрерывную часть. В большинстве экспериментов (но не для процессов с рассеянием, вызванным столкновениями) состояние мишени является смесью собственных состояний с дискретной энергией (стационарных состояний) до взаимодействия с пучком:

[К, И^п] = [Кг, И7] = 0.(5.31)

Таким образом,

IV? = Е <'?11И'№г)|Ю|Ег'/><.Ег'Г1(5-ЗГ)

ЕтПП

<EdTlllW?lEd;H'> = 5е-т[М»№т№Х(5.32)

Тогда уравнение (5.30) принимает вид

0 = fp(EB) dEBp(.E'B) dEB<EB\\\ ^"|||EB>

х L0<7j(E,-- Ев) - ^ £ £ £ 8(ЕВ - ЕВ)»(ЕВ + EdT - £„)

X <bH'IEEdTn0Z^"><E’EdTa0An'+IVIb><l)ll WV"(EdT)H>i'>

= р(£в)4£вр(Ев)<£в|||^"|||£в>

X U - ^ E E E 6(EB + EdT - £„) I9 b л E^nn’

X <ы И|£ £^.n0 Z ^* ><£ fi0 Л <* | И|6><^|| ivy?(£^.)||^'> L (5.33)

где E = EB + Ey и E' — EB + Ey. Прежде чем продолжать вычисление, мы должны конкретизировать распределение энергии в пучке. Вычисляя среднее значение энергии пучка Кв по состоянию пучка W1” в (5.27) и (5.29):

Тг(£в^") = £ 1р(£в)4£„4П<£вПЛ|И7"Кв|£вП,1>

= р(£в)^Ев^2£в<£вП||И/1,"||£вП>

= Jp(£B) dEB £в<£в||| 1Т'"|||£В>,(5.34)

<Е|£0 + z0><Е|£0 + z0>р|,2(£п) t ^о Е — Ео — кр|,2(£п) t ^о Е — Ео — к

<Е|£0 + z0>

<Е|£0 + z0>

р|,2(£п) t ^о Е — Ео — к

р|,2(£п) t ^о Е — Ео — к

МЫ ВИДИМ, что

F(EB - Ево) = р(ЕвХЕв\\\ WB\\\EB')(5.35)

определяет распределение вероятностей найти значение Ев при измерении Кв.

Для обычной постановки эксперимента по рассеянию распределение по энергии имеет пик при некоторой энергии Ево, которая в эксперименте контролируется. Тогда F{EB — Ев0) — одна из функций F^x), изображенных на рис. IL8.1. Она описывает разрешение по энергиям прибора, приготавливающего пучок. Чем лучше разрешение по энергиям, тем уже пик функции F{EB — Ев(). В идеальном, но нефизическом предельном случае точно заданной энергии пучка F(EB — Ево) переходит в 6(ЕВ — Ево).

Даже в реальном случае конечного разрешения по энергиям для функции распределения по энергиям F{EB — Ево) можно использовать обобщенную функцию 6(ЕВ — Ев0), если матричные элементы Т-матрицы < Ь\ KIEEtQqXtX > являются медленно меняющимися функциями Ев. Пусть функция F отлична от нуля только в интервале шириной 2ДЕ вокруг Ево (для пучка с малым разбросом по энергиям Е^ — ДЕ < Ев < Ею 4- ДЕ); тогда функция F(EB — Е^) будет себя вести в интеграле

JdEBF(EB - Ево)д(Ев)

как 6(ЕВ — Ев^), если функция g(EB) мало меняется в интервале Ев0 - ДЕВ < Ев < Ево 4- ДЕВ. В уравнении (5.33) это будет иметь место, если матричные элементы <b\ И1ЕЕ^ЩХ-ч), где Е = = Ев 4- Е^, являются медленно меняющимися функциями Ев на интервале 2ДЕХ\

*) Таким образом, если экспериментальное разрешение может быть сделано меньшим, чем интервал, на котором значительно меняется Г-матрица, то распределение состояния по энергиям можно описывать обобщенной функцией, а само состояние — обобщенным собственным вектором, энергетическая волновая функция которого есть 6-функция. Этот обобщенный собственный вектор равен

Этот собственный вектор не описывает физически приготовимое состояние и не принадлежит пространству Ф (см. разд. 11.8).

Это не всегда верно. Вблизи некоторых значений Ево матричные элементы могут изменяться очень быстро; такое значение Ево называется резонансом.

Эффекты, связанные с конечным разрешением, мы обсудим позднее, а здесь продолжим вычисления в предположении, что пучок идеально монохроматический, т. е.

F(EB - Ево) = р(Ев)<Ев\\\ ^п|||£й> - ^Ев - Ев0\ (5.36)

В этом случае можно выполнить интегрирование по Ев в уравнении (5.33) и получить

о = ЛЕвоЖо» - ^ I L I 6(ЕВО + Е| - ЕЬКЬ\V\E Е'ГП„ А.п*> (9 b >, Е^-ЛЛ'

X <Е EdTa0Xn'4V\bXn\\W'№(5.37)

где Е = Ево 4- Е^-. Разрешая это уравнение относительно о и переписывая в прямоугольных координатах р0 = ^2mEBQ По, мы в конце концов получим фундаментальную формулу для сечения

Рл)4А2 —

<7(Лр0) = '£ £ £ <Е | ИI Ро ^Е» п * ><р0 ЛЕ^'+ W | Ь>

b л Е^пл'

X <^||W'^E^WWE,,» + EdT - Е„\(5.38)

где Ego = pplm, v0 = р0/т и мы ввели обозначение

Т 9 л

для усреднения по поляризациям в начальном состоянии. В этой формуле мы также восстановили h, чтобы выразить этот важный результат в обычных единицах.

Формула (5.38) определяет сечение для рассеяния неполяризован- ного пучка с хорошо определенным импульсом р0 на неподвижной мишени, находящейся в смеси И71/1 дискретных собственных состояний энергии с появлением конечной конфигурации, квантовые числа которой b = (Еь, 6) участвуют в суммировании £6. (Чтобы получить дифференциальные или парциальные сечения da(b ~- р0) для рассеяния в «состояние» Xb = 1&><Ы> надо просто опустить суммирование по b и заменить а(Л — р0) на do(b — р0).)

Предположим, что разбросом энергии АЕВ пренебречь нельзя, как в случае, когда <b\ V\ EE^U0\-q* > существенно меняется при изменении Ев = Е — Е^ внутри интервала ХЕВ (это может слу-

читься в окрестности резонанса, если ^Ев много меньше ширины резонанса, как обсуждается в гл. XVIII). Тогда замену (5.36) выполнить нельзя и, следовательно, нельзя вычислять а(Л — р0), как в (5.37). При этом величина, которую можно получить из (5.33), равна1) г

J р(Ев) dEB F(EB - EB0WEB) =* F, (5.39а)

где v = v(EB) = р^ЕвЕт = ^1тЕв /т.

Согласно (5.33), это выражение равно тогда

(рw) . F = (2 л)4 Jр(Ев) dEB F(E„ - £ео) £ £ J <Ь | V | р Я Е“Тч 4 >

х ^E'^r^Xtll^E^W^fEB + EdT - Е„).(5.396)

Поскольку р(Ев) и и(Ев) являются медленно меняющимися функциями Ев по сравнению с быстро меняющимися функциями F(EB — Ево) и 1<Е1 KI EE^Q\q+ > I2, их можно вынести из-под знака интеграла в левой части (5.39а) и в правой части (5.396) и заменить средними значениями р(ЕВ0) и и(ЕВ0). Тогда получаем формулу для сечения в эксперименте с конечным разрешением

a.F= UEBF(EB - Ев0№в) = <2лА2 —[d£BF(EB - Е„„)

Jц£во) J

XZZ £ 5(ЕВ + Е$- E^blVJpAEl^) b л Ет-*1П

х <р2Е^+|И|6><^И^п(Е^(5-40)

Мы продолжим теперь исследовать формулу (5.38), справедливую в случае идеального разрешения по энергии, но вернемся к случаю ограниченного разрешения по энергии (5.40) в разд. XVIII.8.

Сечение о(Л ^ р0) часто выражают в виде Т-матрицы . Если задан гамильтониан взаимодействия V, то Г-матрицу можно представить в виде

<Еа\Т\Еа'> = <Ea\V\Ea).(5.41)

Это соотношение не определяет полностью оператор перехода Т, так как не все матричные элементы <Еа\ Т\ Е*а*)матрицы Т

определены соотношением (5.41), а только матричные элементы «на энергетической поверхности» Е = Е'. Матричные элементы <Еа\ ^Е'а'), лежащие «вне энергетической поверхности», т. е. такие, для которых Е * Е', могут быть определены различными способами, и в зависимости от способа задания матричных элементов вне энергетической поверхности получаются разные операторы перехода. Одним из таких операторов является оператор Т* , определенный тождеством

<Еа\Т+\Е' а'> = <Е а\У\Е' а' +). (5.42) Ограничение (5.42) на энергетическую поверхность, очевидно, дает величины <Еа\ Т\ Еа' > в соотношении (5.41). Другой оператор перехода Т определяется тождеством

<Еа\Т"\Е' а') = <Е а\У\Е' а’">. (5.43)

Хотя это и не очевидно, при ограничении на энергетическую поверхность это соотношение также переходит в (5.41). Любое разумное определение оператора перехода Т на энергетической поверхности должно приводить к соотношению (5.41):

<Еа\Г\Еа> = <Еа\Т\Еа'>. (5.44)

Из-за присутствия в формуле (5.38) множителя Ь(ЕВ0 — Ет — Е^ (отражающего сохранение энергии) вклад в ответ дают только элементы Г-матрицы на энергетической поверхности. Эта ситуация всегда возникает при работе с физически наблюдаемыми величинами. Поскольку все операторы перехода на энергетической поверхности одинаковы, безразлично, какой использовать оператор Т.

В S-матричном подходе, упоминавшемся в предыдущем разделе, предполагается не наличие гамильтониана взаимодействия У, а наличие Т-матрицы <Еа\7ЛЕа,>), которая рассматривается как фундаментальная величина. Следовательно, выражение для сечения в терминах Г-матрицы

<7(Л - р0) = 11 I ЗДво + Е'т - Е») »0 b л Е^-пи'

X <м 7-|р0Л Е4->7><р0Л Е?-^'| 7-|/>></7|| И^7(£^)||>7'> (5.38')

можно считать справедливым в рамках обоих подходов1*. Если V

!) Строго говоря, матричные элементы оператора — это числа, получающиеся при помещении оператора между двумя векторами одного и того же базиса. Поскольку векторы 6 или а могут относиться к собственным значениям разных операторов, <ЕЬ \T\Ea) не обязательно является матричным элементом, а может быть линейной комбинацией матричных элементов. Но для удобства в дальнейшем мы будем считать < ЕЬ \Т \Еа) /"-матричным элементом.

существует, то <ЕЬ\ Т\Еа'> определен в терминах (5.41) и

<Е Ь\Т\Еа’> = ^<Е Ь\ЕаХЕ й\Т\Е а’>;(5.45)

при другом подходе фундаментальной величиной, которую нельзя далее конкретизировать, является Т-матричныЙ элемент <Еа\ Т\Еа').

Чтобы вычислить сечение по формуле (5.38) или (5.38'), необходимо знать V и I р0\Етт)+ > или матрицу <Еб\ Т\ р0ХЕ^Х) соответственно. Даже если рассматривать оператор V как известный, требуется еще знать векторы

| Ро а Е» и + > = I Ео EdrQ0 а п + > ^ I Еоа + > (£0 - р^Ъп + EdT\ являющиеся решениями интегрального уравнения Липпмана — Швингера. В принципе решения 1£^д+> можно получить методом итераций, подобным описанному в разд. VIII.1. Приближение, отвечающее низшему порядку по итерациям, т. е. приближение

<Ъ\ТЧЕоа> - <b\V\E0X> <b\V\Eoa), (5.46)

называется борновским приближением; его обычно оказывается достаточно в случае высокой начальной энергии пучка Ево и слабого взаимодействия V.

Формула (5.38) (или (5.38')) дает сечение для очень общей ситуации, когда состояние мишени не конкретизируется, за исключением требования, чтобы оно было смесью дискретных собственных состояний энергии. Теперь мы выведем формулы для сечения в случае более конкретизированных состояний мишени. Предположим сначала, что оператор WT диагоналей по некоторым квантовым числам из ?? = 6, ч) и по отношению к другим квантовым числам т/ измерений не проводилось. Например, если мишень состоит из атомов водорода или щелочных элементов, то внутренними квантовыми числами 7/ являются 7/ = (и, у, У3, тг), а Ет = Ет(п, j, тг) есть функция от п, j, тг. Обычно атом находится в неконкретизирован- ной смеси собственных состояний энергии, углового момента и четности, а z-компонента углового момента не измеряется. Тогда

ХИъ XW'XET)\\n j' f3 к> = 2Д— d^bj^bjyW^ETknJ. ^Жп-

Подобным образом в общем случае

<^11 И/^Е^И'Ч^ = ~ ^эд №№т, Й),(5.47)

9т

где gT — число значений, которые может принимать ту. Сечение

для случая (5.47) равно

(2л)4й2т „ = „ —._

"(А - Ро, ч) = ^— ш X |<Ь| Т|ро х е-т й й>12

Ро b X Е^п п

X W'"^, п№во + 4 - ЕЬХ(5.48)

где мы использовали обозначения £х = (l/g)Lx и L, = (IZ&r)^ (усреднение).

Вес ^(JE*^) каждого энергетического уровня может зависеть от всех квантовых чисел ^Е^ = ^^...ц^ Е^) или только от их подмножества, например от т/р EdT. Очень часто он зависит только от Е^: W\Effi) = W^E^. Например, если система мишени находится в состоянии теплового равновесия, то WT задается формулой (IL4.50), а для W(Ed) имеем распределение Гиббса

е~ЕП1кТе-Еп1кТ

W<E„) = ^ е-Е.!кт = ^(dim^„)e-£«‘r ’ Л^ пЕп

где dim^ — размерность собственного пространства энергии с собственным значением Еп.

Весьма специфическая, но часто встречающаяся ситуация, — случай, когда мишень находится в чистом собственном состоянии энергии, например атом в основном состоянии, которому отвечают квантовые числа (Е°, т/0):

<4ll W'^EDl^^ = W,»,'^,(5.49)

или

ИТ = |Е?4о><Е?4о1-(5.49')

Сечение (5.38) для рассеяния неполяризованного пучка на такой мишени тогда принимает вид

а(А р0 Е^о) =- ™ £ ^ | <Ь| V |р0 X Еу ^ > 2А(Е„ - Е„)

Роb X

=„ m S S I <ь IТI Ро х Е°т So> Р^(Е0 - Е„\ (5.50)

Роb X

где Ео = Ево + £^ В борновском приближении для случая бесструктурной налетающей частицы выражение (5.50) сводится к хо-

рошо известной формуле

f(A «— p0Ejq0) = £ |<Ъ| Г |р0 Еу >/0)>|2д(ЕВ0 + Е^ — Еь\ (5.51) Ро ь

Обычно матрица перехода не зависит от поляризации X. Тогда усреднение по поляризациям в выражении (5.50) тривиально, и квантовые числа X можно не рассматривать. Для наблюдаемых, которые не зависят от поляризации, неполяризованный пучок можно рассматривать как пучок бесструктурных налетающих частиц; например, для неполяризованного электронного пучка можно пренебречь спином электрона.

Наиболее часто встречаются эксперименты, в которых дифференциальное сечение рассеяния в определенный телесный угол ДП^ измеряется при помощи счетчика, помещенного под определенным углом Про к направлению падающего пучка. Пространство Л ^ является тогда подпространством состояний, которым отвечает импульс, направленный по любому из направлений 0^ ± Ml^. Если детектор регистрирует только состояния в определенном интервале энергий, то появится дополнительное ограничение на ЛЛ^

До сих пор мы не конкретизировали базисную систему 1Ь> = \ Еб) в пространстве конечных состояний. Чтобы найти дифференциальное сечение для рассеяния в определенном направлении, заданном углами 0 = (0, ф), удобно выбрать базисную систему обобщенных собственных векторов с индексом 0 или к — импульсом зарегистрированной (рассеянной) частицы. Таким образом, мы выбираем базис

|6> = |Е 6> = |к о ® |£ О = |£с QB О ® |f О

= |ЕС£ПО^>, (5.52)

где E = ED + еик = ktlD. Здесь £ обозначает внутренние квантовые числа детектируемой частицы (поляризацию), а е, f — внутреннюю энергию и остальные квантовые числа мишени. Следовательно, наше описание является достаточно общим, чтобы включать случай, когда детектируемые частицы могут быть другого типа, чем частицы в падающем пучке, а частицы, остающиеся в мишени (мишень после столкновения), могут отличаться от первоначально составляющих мишень частиц. Например, фотон у может столкнуться с атомом А и ионизовать его, оставляя после столкновения ион А+ и вылетающий электрон: у + А — е + А*. Более простой пример, который читатель может запомнить, — упругое или не-

упругое рассеяние пучка электронов или фотонов на атоме: е + А — е' + А*.

Если регистрируемые частицы нерелятивистские, то

Ed = k2/2mD + Е^\(5.53а)

а если регистрируются фотоны, то

Ed = кс.(5.536)

Мы наложим на векторы I kf > и lef> те же условия нормировки, что и в (5.7) и (5.8):.

<k^|k^'> = d3(k-k')^.(5.54)

и

<^\€'D = Vk-(5.55)

Тогда в случае (5.53а) с помощью вычислений, аналогичных (5.15) и (5.16), получаем

X = z f Ps(E) dE = L f то^2то(Е - E^ - 0 ‘IE dnD b b J

= Z f dE d^n(5.56)

и

(ErQ^CIEVQ^'Q

= тё V^dIE - £?(« - «Е - E')<5„. .52(nD - ^« ^ •

(5.57)

В этом случае выражение (5.50) в подробной записи имеет вид

ст(\^роЕтПо) =LL \dE dQDk(E,€,^)

Ро Л J

X KEVfiof С'|Г|р0ЛЕ^0>№0-£'), (5.58)

где к' = 42mD X (Е' — Е^ЧГ) — г') (импульс регистрируемой частицы), Е° = р^/1тв + Е^ (начальная энергия). Пределы суммирования по ^', е', Г и интегрирования по Е', (% зависят от природы регистрирующего прибора, который описывается проектором Л. Из (5.58) мы видим, что дифференциальное сечение в еди-

ничный телесный угол при рассеянии в направлении UD равно

do ret «\ (2nphmBmD~ v f-

—— (Qd PqEt^o) =^ к (E , e, ^ )

dUDPo K J

X I <£' 6' Qd f гI тIp0 2 E^ ^0> 1Ж - £').

(5.59)

Предположим теперь, что налетающая и детектируемая частицы одинаковы (тв = mD = т) и они бесструктурны или их поляризационными квантовыми числами X и f можно пренебречь1). Величины 1?0 и f являются тогда собственными значениями одного и того же набора операторов т,°р. Внутренние энергии Е^, или е', которые являются собственными значениями одного и того же опера- , тора КТ, предполагаются уже заданными внутренними квантовыми ! числами, т. е. Кт = К^тр^ — стандартное значение для мишеней с дискретным энергетическим спектром21. Тогда выражение (5.59) упрощается и принимает вид

Ро^/о) = (2,t)4,,2m' У f IE kXE.~ E)

dUp0 - J

x |<£'Q,C'|T|Po7o>|2,(5.60)

где

k' = y/2m(E' - ETO, Eo = p^/2m + E^q).

Если задана не только начальная полная энергия (заданием т,0 и импульса пучка р0), но также конечная полная энергия (выбором детектора, регистрирующего только определенный импульс к), и, кроме того, квантовые числа конечного состояния фиксированы (детектор срабатывает, только если квантовые числа конечного состояния имеют набор значений С), то дифференциальное сечение, полученное из (5.60), имеет вид

^(£Q{^ Ро^/о) =\<EU;\T\pono>\2,(5.61)

dUр0

11 Можно также представить себе, что поляризация X включена в квантовые числа q.

где

к = V2m(E - ЕтО

должно равняться

2т№ + Е*1о) - ЕХО)у Vm/

из-за 5-функции закона сохранения энергии б^ — Е). Для случая упругого рассеяния, т. е. когда внутренние квантовые числа не изменяются (т?0 = f), получается хорошо известное выражение

^ (Ео О ^о *- Ро По) = (2л)4й2т21<ЕоС1По\Т\роПо>12-(5-62)

Обобщенные собственные векторы в (5.62) (а также в предыдущих выражениях (5.61) и (5.60)) нормируются, согласно (5.54) и (5.7), на

<Е Q и | EW> = <k п\ К И'> = Ьпп. 53(к - к').

Если используются собственные векторы с другой нормировкой, то соответственно изменяется и выражение (5.62).

Для сферически-симметричного взаимодействия Т-матрица (а следовательно, и дифференциальное сечение) не зависит от угла ф вокруг начального направления р0/р0, а зависит только от угла 9 между начальным и конечным направлениями 0 = к/к (см. рис. 3.1). (Вывод этого утверждения приведен в гл. XVI.) Угол 9 называется углом рассеяния. В этом случае вместо Т-матрицы часто пользуются амплитудой упругого рассеяния Др0, 9) задаваемой формулой

Т(р0,6)= -M^2m<E0Q^0|T|p0^0>.(5.63)

Дифференциальное сечение рассеяния (5.69) тогда записывается в виде

^(ео,О = 1ПРо,е)|2.(5.64)

Глава XV

Формальная теория рассеяния и другиетеоретические вопросы

Понятия, использованные в гл. XIV для вывода формулы для сечения, в этой главе подвергнуты дальнейшему обсуждению, чтобы глубже понять этот материал. В разд. XV. 1 снова обсуждается уравнение Липпмана — Швингера. Разд. XV.2 и XV.3 посвящены формальной теории рассеяния. В приложении дан вывод формул (XIV.2.96), (XIV.2.17) и (XIV.5.21) с использованием материала, обсуждаемого в этой главе.

XV. 1. УРАВНЕНИЕ ЛИППМАНА — ШВИНГЕРА

Уравнение Липпмана — Швингера

= |а> + -К|а±><И±)

было приведено в разд. VIII.2. Каждому обобщенному собственному вектору I а > оператора К с собственным значением Еа уравнение Липпмана — Швингера сопоставляет обобщенный собственный вектор I а+ > или I а~ > оператора Н = К + V с тем же собственным значением Еа. (В разд. VIII.2 предполагалось, что непрерывные части спектров операторов Н и К идентичны и Еа является элементом этих непрерывных спектров.) Обобщенные собственные векторы I а > оператора К и I а ± > оператора Н классифицируются по энергии Еа и некоторым дополнительным индексам а = (ах, а2, ..., акУ

\а) = \Еоа>,(1.2а)

1^) = ^„а^.(1.26)

В разд. VIII. 1 предполагалось, что а — дополнительные квантовые числа в базисе К, т. е. что

{К, Ах, А2, ..., Ак^(1.3)

является полной системой коммутирующих наблюдаемых (п.с.к.н.) с набором собственных значений (Е, ах, а2, ..., ак\ Предположим, что

kH,AvA2_._Ak\(1.4)

также является п.с.к.н. Как обобщенные собственные векторы I а ) из (1.3), так и обычные и обобщенные собственные векторы I ап > и I а* > из (1.4) формируют базис пространства физических состояний.

Предположение, что (1.4) является п.с.к.н., не было использовано при выводе уравнения Липпмана — Швингера, поэтому данное требование может быть ослаблено. Предположим, что

{K,B„B2,....BJ(1.5)

является п.с.к.н., а I Н Bv В^В. ) — нет, т. е. что

[я„я] = [в„г|^о(1.6)

для некоторых (или всех) B^i = 1, 2, ..., к). Повторяя аргументацию разд. VIII.2, примем, что базисным векторам

\Ь> = \ЕЬЬ>(1.7)

оператора К уравнение Липпмана — Швингера ставит в соответствие обобщенные собственные векторы

|64> s \Eb(fy> = |Е„6> + --L-—(>-8)

— /х г ZV

оператора Н. Но вследствие условия (1.6) векторы I Е^б)) не являются собственными векторами всех операторов Bf. В этом случае bj определяются не п.с.к.н., содержащей Н, а только уравнением Липпмана — Швингера и п.с.к.н., содержащей К. Круглые скобки, в которые заключен индекс 6, — это временное обозначение, используемое для того, чтобы отметить, что 6 = Ьх, Ьг, ..., Ьк — всего лишь индексы, в то время как Еь — собственные значения оператора Н.

В качестве иллюстрации этих возможностей рассмотрим рассеяние бесструктурных частиц на неподвижной мишени. Пусть Q и Р — (канонически сопряженные) операторы координаты и импульса налетающей частицы, и предположим, что взаимодействие налетающей частицы и неподвижной мишени описывается сферически- симметричным потенциалом V = K(Q) (Q = (Q2)1/2). Тогда гамильтониан системы имеет вид Н = К 4- V, где К = Рг/2т — оператор кинетической энергии налетающей частицы. Поскольку YLj, И] = УЦ, А'] = 0, отсюда следует, что

{К, L2,L3}(1.9а)

(И, L2, L^(1.96)

обе являются п.с.к.н. и мы имеем случай (1.4). Векторы I ЕИ^ и I EU^ являются соответствующими обобщенными собственными векторами; { I Е1Ц > ) — базис всего пространства физических состояний, а { I ЕИ^ ) — базис только для .«подпространства состояний рассеяния». В экспериментах по рассеянию налетающие частицы обычно приготавливают в виде коллимированных пучков, движущихся в некотором направлении, поэтому в качестве Х'-базиса удобнее использовать обобщенные собственные векторы

\b> = |р> - \Epvp2> = \Е 0 ф)(1.10)

операторов импульса Рр П.с.к.н. векторов (1.10) имеет вид

{Р^ Р2, Р3} или ^К,Рг,Р2^ или {К, направления Р}.(1.11)

Тогда мы имеем случай (1.5) и (1.6), поскольку

[Р., Я] = [Р,., И] / о.

Обозначение р для собственных векторов оператора Н

К^) = |(р)±>(1.12)

не означает, что I (р)± > являются собственными векторами операторов Рр но означает лишь, что векторы I (р)± > связаны с собственными векторами импульса I р> уравнением Липпмана — Швингера

1(Р)±> = |Р> + -*—— ККр)^ (Е = р2/2т).(1.13)

L — К + ZU

Предположение, что (1.3) является п.с.к.н., для какой-то конкретной системы может быть оправдано только физическими соображениями. Оно эквивалентно предположению, что набор

ЦЕду. (Е, й)е спектру (К, Ли ..., Л6)}(1.14)

обобщенных собственных векторов операторов (1.3) формирует базис пространства физических состояний ^ физической системы. Хотя набор

иЕа>н:(Е,а)е спектру (Я, Ль ..., Лк)}(1.15)

обобщенных собственных векторов операторов (1.4) также является базисом в пространстве наборы

UEa+y(E,a)e спектру (К, Л^ ..., Л*)}(1.16 + )

и

х\Е а^у. (Е, а)е спектру (К, Ль..., Лк)} (1.16 — )

обобщенных собственных векторов операторов (1.4), которые получаются из уравнений Липпмана — Швингера (1.1 + ) и (1.1 — ), не являются в общем случае полной базисной системой для пространства <^ В случае, когда (1.4) не является п.с.к.н., наборы

{|£(д)±>: (Е, а)е спектру (К, Av ..., Ак^ (117±)

также не являются в общем случае полной базисной системой. Обычно оператор К имеет только непрерывный спектр, но оператор Н имеет кроме непрерывного еще и дискретный спектр { Еп). Обычные собственные векторы I Епа > с собственными значениями Еп в дискретном спектре оператора Н описывают чистые физические состояния, отвечающие связанным состояниям системы налетающая частица — мишень, и порождают подпространство связанных состояний ^nd. Ортогональное дополнение к ^nd, т. е. пространство всех векторов в ортогональных к ^nd, называется пространством состояний рассеяния ^cat. Таким образом,

= ^bnd©^scaf (MS)

Подпространства <^_ и ^, порождаемые векторами (1.16+) и (1.16 — ), не обязательно совпадают с ^cat или друг с другом. Но мы будем рассматривать только такие физические системы, для которых подпространства , Л1 и ^cat совпадают:

J^+ = J^_ = ^scat. (1.19)

Система, для которой выполняется условие (1.19), называется асимптотически полной1^.

Таким образом, при весьма общих предположениях мы имеем следующую ситуацию. Пространство физических состояний ^порождается набором { I Еа > ) обобщенных собственных векторов

оператора К и является прямой суммой ^= ^nd © ^cat пространства ^nd, порожденного набором {1Ела>) обычных собственных векторов Н, и пространства ^cat, порожденного одним из наборов { I Еа +)) или { \'Еа~ )) обобщенных собственных векторов Н, связанных с векторами I Еа ) уравнениями Липпмана — Швингера (1.1 ±).

Уравнение Липпмана — Швингера является уравнением для векторов I а^ > и может решаться итерациями (см. разд. VIII. 1). Оно имеет также формальное решение. Для двух обратимых операторов А и В легко устанавливается следующее соотношение

^-^=^В-Л)6=^В-Л)Ё<L20>

Частным случаем этого соотношения является соотношение

1! _ 1!

Е — Н + iO Е - К ± iQ ~ Т^Н ± ЮЕ - К + KV (L21±)

Применяя это соотношение к VI а± > и используя затем дважды уравнения (1.1+ ), получаем «решение»

|a±> = |a>+-F- ^|/|а>.(|.22±)

Операторным аналогом уравнения (XIV.5.20) является уравнение

<L23>

которое вместе с (1.22+) и (1.22-) позволяет связать друг с другом собственные векторы I а* ) и I а- > оператора Н:

|а+> - |а~> = -2лиЧЕа - H)V\a>.(1.24)

Формальное решение (1.22 + ) не слишком полезно на практике, но оно участвует в одном из способов введения 5-матрицы, с которым мы встретимся в разд. XV.3.

XV.2. ИН-СОСТОЯНИЯ И АУТ-СОСТОЯНИЯ

В этом разделе мы обсудим смысл индексов + и — у обобщенных собственных векторов I Еа+ > и I Еа“ > точного гамильтониана Н = К + V. При этом мы будем рассматривать описание чистых состояний в терминах векторов состояния; результаты затем легко переносятся на статистические смеси, описываемые статистическим оператором.

Рассмотрим сначала воображаемый случай, когда нет взаимодействия между пучком и мишенью. Это означает, что пучок проходит сквозь мишень, не подвергаясь никакому воздействию. В простейшем случае потенциального рассеяния это означает, что потенциал выключен. Эволюция вектора состояния Ф(0. описывающего эту воображаемую ситуацию, определяется свободным гамильтонианом К;

Ф(г)е - ,К'Ф (Ф = Ф(0)).(2.1 + )

Он называется свободным вектором состояния, а состояние, которое он описывает, — свободным состоянием. Чтобы упростить обсуждение, мы предположим, что Ф есть собственный вектор с собственными значениями а = V^v ai’ •••• ak^ тех операторов Л^ Л2, ..., Ак, вместе с которыми К образует п.с.к.н. (Мы предполагаем, что собственные значения операторов Л^ Л2, ..., Ак дискретны.) Иногда, чтобы подчеркнуть приготовление Ф(0 в собственном состоянии операторов А., мы будем писать Ф(а, I) вместо Ф(0- Распределение вероятности получить собственные значения энергии Е при измерении К на состоянии Ф равно

<Еа\Ф><Ф\Еа> = |<£а|Ф>|2.(2.2 + )

Предположим, что распределение по энергиям описывается функцией <ЦЕ), которая связана с (Еа I Ф> соотношением

Ф(Е) = 2прЛЕ)<Еа\Ф>,(2.3 + )

где ра(Е) — нормировочная функция для обобщенных собственных векторов К и обобщенных собственных векторов Н (см. (XIV.2.9а) и (XIV.2.96)). Таким образом, мы предполагаем, что состояние Ф(1) приготовлено в некоторый момент времени таким образом, что при t = 0, а следовательно, для любого момента времени t оно характеризуется распределением вероятностей

<£а|Ф(о><ф(г)|£а> = <£а|Ф><Ф|£а>

= (2лра(£))~ 2|0(£)|2(2.4 + )

для собственных значений Е оператора энергии К. Состояние Ф может быть записано в терминах обобщенных собственных векторов I Еа > оператора К;

ф = ф(0) = f ра(£)^£<£а|Ф>|£5> = -1- f ДЕф^Е)\Еа>.JJ

Свободный вектор состояния в любой момент времени / равен

Ф(0 = е"'к,Ф = (dEe~iE,(KE)\Ea>.(2.6 + )

Рассмотрим теперь вектор состояния

Ф+Ф+p^dE <Еа\Ф>\Еа*>,

Ф+

Ф+

(2.7 + ) где I Еа + ) — обобщенные собственные векторы оператора Н, связанные с обобщенными собственными векторами I Еа > оператора К уравнением (1.1+ ). Распределение энергии Н для состояния Ф + равно среднему значению «оператора» ^а- \ Еа'+ ){Еа'* I:

<Ф-|^ |E а-^ХЕа-* I )[Ф+ > = £|<е<Г|ф*>12 = 1<е а[Ф>р.

(2.8 + )

(Мы использовали разложение для Ф + (2.7 + ) и условие нормировки (XIV.2.96) для I Еа* ).) Таким образом, распределение вероятностей получения значения Е при измерении Н на состоянии Ф+ такое же, как распределение вероятностей получить значение Е при измерении свободного оператора энергии К на (воображаемом) состоянии Ф (или Ф(0)« Для любого другого момента времени t, более позднего или раннего, эволюция от состояния или к нему под влиянием взаимодействия описывается формулой

dEe~iEt\Ea*>ф(Е).(2.9 + )dEe~iEt\Ea*>ф(Е).(2.9 + )Ф + (0 = е~ш,Ф* = -1-

dEe~iEt\Ea*>ф(Е).(2.9 + )

dEe~iEt\Ea*>ф(Е).(2.9 + )

Вектор Ф + (О называется точным вектором состояния. Состояния Ф+(/) и Ф(/) имеют одинаковые квантовые числа а и одинаковые распределения по энергии Ф(£’); различие между ними состоит в том, что эволюция Ф+(0 управляется точным гамильтонианом Н и описывает эволюцию истинного состояния, а эволюция Ф(0 управляется свободным гамильтонианом и описывает эволюцию того же состояния так, как если бы взаимодействия не было.

Связь между Ф+ (/) и Ф(/) устанавливается подстановкой уравнения Липпмана — Швингера (1.1 + ) в интеграл (2.9+): Ф+(') = ^^Ее-‘Е,ф(Е)\Еа> + ^p£e-.^(E)__L_ р|Еа + >

= «W + ^jdEe-^E)--+ ю ИЕа + >.(2.10 + )

Первый член в (2.10+) определяется формулой (2.6 + ); вычисление второго является чисто математической задачей, и оно проведено ниже (после (2.20—)). Используя результат этого вычисления, получаем

Ф + (г) = Ф(г) + J°° dt'G^t -ОУФЧО, (2.11+)

где

0’(2.12 + )

Здесь 0(0 — единичная ступенчатая функция

х f1 > Г > О,

г<0.<2л3>

Предположим теперь, что мы переходим в (2.11 + ) к пределу t _ _ оо. При взятии предела мы всегда имеем t < t' для любого Z', так что подынтегральное выражение обращается в нуль. Таким образом

Ф+(г)-»Ф(?) при f —» — оо.(2.14 + )

Это означает, что если в отдаленном прошлом, когда взаимодействие не было эффективным, состояние было приготовлено с распределением по энергиям ф(Е) (а также с квантовыми числами д), то это состояние будет эволюционировать таким образом, что в момент времени t оно будет определяться формулой (2.9 +). Следовательно, Ф+(0 описывает состояние, эволюционирующее из состояния Ф(/), приготовленного в отдаленном прошлом, когда взаимодействие V было неэффективно. Приготовленное таким образом состояние называется и «-состоянием *.

Ф(г) = ф‘"(Г)[ = ф‘"(д, г)].(2.15 +)

В отдаленном будущем, когда взаимодействие V также перестает быть эффективным, состояние Ф+(0 описывается другим свободным состоянием — аут-состоянием:

Фои1(0[ = Ф°и‘(й, г)] = е--Кгфои‘ [Фои‘ = Фои‘(0)].(2.16 + )

В настоящей ситуации, когда точное состояние Ф + (0 задается своим поведением в отдаленном прошлом Ф|П(/), аут-состояние неизвестно и ничем не контролируемо, кроме нашего знания V и контроля над Ф|П(/). Как обсуждается в следующем разделе, связь

между ин-состоянием Ф*п(/) и аут-состоянием Фои1(/) = 5Ф‘П(/) осуществляет оператор рассеяния S.

Теперь мы воспроизведем приведенные выше аргументы применительно к собственным векторам I ЕЬ" > оператора Н, участвующим в уравнении Липпмана — Швингера

1Еб"> = |Еб> + -—1— ЦЕЬ~)(2.I7-)

Е — К — ю

вместо векторов I ЕЬ + > в (1.1 + ). Здесь 6 = (Ьх, Ь2, ..., Ьк) — собственные значения набора операторов Вх, В2, ..., Вк, которые, возможно, отличаются от операторов Ах, А2, ..., Ак, но образуют с К п.с.к.о. (Для простоты спектры Вх, В2,..., Вк предполагаются дискретными.) Рассмотрим свободное состояние

Ф(0[= Ч^Ь, f)] = е^'У = ~ ^Ее”1Е,ф(Е)\ЕЬ>,(2.6-)

где функция хНЕ) описывает распределение по энергиям для Ф(Г), как оно будет приготовлено в некоторый момент времени. Функция ф(Е) связана с распределением вероятности для оператора энергии К соотношением

<Eb\W)> <Ч*(Г)| Eb> = (2кр-ь(Е)У2\ф(Е)\2.(2-4-)

Функция р^Е^ — весовая нормировочная функция для векторов \ЕЬ>, так же как рй(Е) был£ весовой функцией в условии нормировки (XIV.2.9а) векторов \Еа). Из разложения (2.6 — ) очевидно, что ^U) является собственным вектором операторов Вх, В2, ..., Вк с собственными значениями 6.

Точный вектор состояния Ф~ (/), отвечающий ^(О» определяется формулой

^-(0' = е^- =~ (аЕе-‘Е,ф(Е)\ЕЬ">,(2.9-)

2л J

где I ЕЬ- > — обобщенные собственные векторы оператора Н, связанные с обобщенными собственными векторами I ЕЬ > оператора К соотношением (2.17 — ). Здесь такие Ф“(0 и ^(/) — состояния с одинаковыми квантовыми числами 6 и одинаковыми распределениями по энергиям ф(Е), но эволюция ^(Z) управляется точным гамильтонианом Н, а ^(Z) — свободным гамильтонианом К. Чтобы найти связь между Ф-^) и Ф(0, подставим (2.17 — ) в (2.9—) и получим

= ^ fdEe""W)IEb) + 1 (dEe^CE)-^^V\E6>

2я J2л JЕ — К — iv

= '¥(0 + ^- tdEe-^^E)-р^еБ'У(2.10-)

В результате вычисления, подобного вычислению, которое приведено ниже для второго члена в (2.10+), получаем

ТОО = ТО + J°° dt'G5(t - t'^TO'),(2.11-)

где

G<HO = +-W-0^-'K'=-[у’ t>0’(2.12-)

Если теперь перейти в (2.11 — ) к пределу t — +оо, то получим

УТОУ(0 при г->+оо.(2.14-)

Это означает, что если в отдаленном будущем измеряется состояние, имеющее распределение по энергиям ф^Е^ и квантовые числа Ь, то в момент времени / это состояние описывалось вектором ¥“(/) в (2.9—). Таким образом, ^"(t) описывает состояние, которое разовьется в известное состояние в отдаленном будущем, когда взаимодействие V уже не будет эффективным. Это состояние будет называться аут-состояниелг.

ЧЧО = Фои‘(0[ 2 ТОб, 01.(2.15 -)

Поведение ^"(0 в отдаленном прошлом до включения взаимодействия описывается другим свободным состоянием — ин-состоя- нием:

4^in(t)C= W^b, 0] = e''*'^"E^1" = ТО0)1(2.16-)

В этом случае точное состояние ^ “ (/) задается своим поведением в отдаленном будущем ^^(б, t), а ин-состояние неизвестно и не контролиоуется. Связь между ин- и аут-состояниями снова имеет вид ЧТО О = $¥“(/) или, поскольку важно, что в этом случае кон- тролипуется ^^(О, ^"40 = S'^TOO = st^out^^

Таким образом, мы выяснили смысл индексов 4- и —. Состояние Ф+(д, 0— это такое состояние, которое в отдаленном прошлом при выключенном взаимодействии V было приготовлено как Ф1П(д, 0 с хорошо определенными квантовыми числами й и некоторым распределением по энергиям Ф(Е). В отдаленном будущем оно снова перейдет в свободное состояние— аут-состояние Фои1(0, но это состояние уже не будет простым, поскольку оно определяется

не только приготовлением, но и процессом рассеяния. Состояние ^■(6, t) — это состояние, которое в отдаленном будущем при выключенном взаимодействии V является свободным состоянием Ф£иЧО с простым распределением по энергиям ^^Е^ и хорошо определенными значениями 6 других квантовых чисел. В отдаленном прошлом Ф~(5, О также является свободным состоянием Ф'п(/), но его свойства должны быть более сложными. Поскольку в экспериментах по рассеянию контролируется поведение системы в отдаленном прошлом, для описания экспериментов по рассеянию естественно использовать состояния Ф+(д, О-

Наши результаты можно суммировать в виде интегральных уравнений для точных состояний Ф + (a, t) и Ф"(^, О» выражающих их через контролируемые свободные состояния Ф1П(я, t) и Фои1(£ t):

Ф+(а, г) = Ф‘П(Й, Г) + J dt' Go(t - 1')УФ+(а, г'),(2.18 + )

^-(6, I) = Ч'ои,(Б, г) + J°° dt' Go(t - ОУЧ^Ь, t'\ (2.18-)

(Можно также написать соответствующие интегральные уравнения, выражающие Ф+ (a, О через Фои1(я, /) и Ф-(^, /) через ^‘"(^ t), но так как состояния Фои1(а, О и Ф^/?, /) не контролируются, эти уравнения имеют мало смысла.)

Предыдущие результаты легко распространить по линейности на случай смеси. Точное состояние, которое описывалось в отдаленном прошлом статистическим оператором

И'ЧО = £«-„,!»№„, г)><Ф№, 01,(2.19 + )

имеет вид

^+« = £ »™l®:(am, 0><ф:й- 01.(2.20+)

а точное состояние, описываемое в отдаленном будущем статистическим оператором

>Мо = х w„m“(6„. oxwt., oi. (2.19-)

имеет вид

Рассмотрим теперь чисто математическую задачу доказательства того, что выражения (2.11 ±) следуют из (2.10±), пользуясь результатами теории распределений, в частности результатами, касающимися преобразований Фурье обобщенных функций.

\ Преобразование Фурье g = F[g] функции g(t) определяется формулой1)

9(E) = F£[9(0] = j” dtc'EW). (2.21)

Обратное преобразование Фурье F-1 имеет вид

ЕГ‘У(Е)] =4Ее-«'»(£).(2.22)

Строго говоря, формула (2.21) является определением «хорошей» функции. Преобразование Фурье обобщенной функции /, заданное линейным функционалом /(^) = (/, ¥), обозначается через (^[Л* F[^]) = 2тг(/, Ф). Но поскольку правила фурье-преобразований при правильной их интерпретации сохраняются и для обобщенных функций, можно не обращать внимания на эти математические тонкости и использовать формулы (2.21) и (2.22) также и для обобщенных функций [2]. В частности, всегда выполняется соотношение

д = F-1^ = F-1™] = FEF"1^]].(2.23)

В пространстве фурье-образов функций трансляции реализуются очевидным образом

9(E-E') = F£[e-,£W]-(2.24)

Если мы используем (2.24) для фурье-образов

Г£[У(±01 =(2.25 ±)

Е + zO

обобщенных функций 9( + t) и 0( — t), то получим

1—- = F£[ + ie-|£'9( + t)].(2.26±) Е — Е + zO

Свертка f * g двух функций / и g определяется формулой (1*дХО = Г dt'f^t-tw^ (2.27)

11 Заметим, что математическое определение преобразования Фурье из работы (2] мы используем только здесь. Это сделано для облегчения сравнения соответствующих формул.

и имеет особенно простой фурье-образ^

FU*91 = FUT FM,(2.28)

или, что эквивалентно,

Г"У-дА = /*д.(2.29)

Используя изложенные математические факты, докажем теперь эквивалентность вторых слагаемых в выражениях (2.10+) и (2.11 + ). Если мы вычислим скалярное произведение Ф+(0 (2.10+) и произвольно выбранного базисного вектора 1а'> = \Е'а'> из Х'-базиса (точнее, если мы" рассмотрим значение функционала 1Ф±(/)>еФхх = Ф в точке < а' I е Фх), то получим

<а'|Ф*(0> = <«W)> + ^ (dEe-1EW)-1-

JЕ — Е + z0

х <а'\У\Еа+>.(2.30 + )

Из уравнения (2.9+) следует, что

2тг J

= Fr1WEXa'\V\Ea + >l,(2.31+)

или, что эквивалентно,

ф(Е)<а'\У\Еа + > = Е£[<а'|ИФ+(0>].(2.32 + )

Теперь мы видим, что второй член в правой части (2.30+) есть обратное преобразование Фурье от произведения двух фурье-образов (см. (2.26 + ) и (2.32 + )). Используя (2.29), мы можем переписать (2.30+) в виде

<«1Ф+(0> = ЖО) + (-^( + 0е-^)*(<а'1^|Ф+(0»

= <а'|Ф(0> - z J dt' 0( + (t - t')KiE4,-n

х <а'\У\ФЧП>.(2.33 + )

Поскольку I а’ ) — произвольный вектор из Х'-базиса, мы показали, что

|Ф+(0> = |Ф(0> + f dt'G$(t - 1')У\ФЧО>, (2.11+)

11 Это утверждение для случая обобщенных функций нуждается в некоторых пояснениях (см. [2], т. 2, гл. III).

к чему мы и стремились. Эквивалентность вторых членов в (2.10—) и (2.11—) может быть показана таким же вычислением.

Как видно из (2.26±), операторы

Go(O = + i0(±0e-iKt

являются обратными фурье-преобразованийми резольвент

<^(£) = (£ - К ± /О)-1(2.34)

оператора К. Оператор G^(0 известен как запаздывающая функция Грина, а оператор G^Z) — как опережающая функция Грина. (В физике различие между функцией g^O и ее фурье-образом g(E) = F£(g(01 не всегда отражается в терминологии, так что резольвенты G^ (Е) иногда также называют «функции Грина», как упоминается в разд. VIII. 1. Физики часто производят дальнейшее упрощение обозначений и пишут G^(E) вместо G^(E). В этом случае аргумент функции указывает на то, идет ли речь о функции или о ее фурье-образе.)]

Операторы G^( /) являются свободными функциями Грина в отличие от точных функций Грина, определенных формулами

СЧЙ - ->« + *-"" = ^_,я,, ^ J (2.35 + )

CM =+№(-*-“"(2.35-)

Эти последние функции Грина можно использовать для записи формальных решений уравнений (2.18 + ) и (2.18 — ):

Ф+(а, о = Ф1п(а, о + J dt' G+(t - г')ГФ1п(а, О, (2.36+)

^"(Ь, г) = ^(Б, 0 + J dt' G”(t - ОУЧ^Ь, Г). (2.36-)

Вывод этих формул, который мы оставляем в качестве упражнения, следует параллельно выводу (2.11 ±) (или, что то же самое, (2.18±)), за исключением того, что при выводе последних используются уравнения Липпмана— Швингера (1.1 + ) и (2.17 —), а при выводе первых — формальное решение (1.22+) и формальное решение для I Еб" >, отвечающее (1.22).

В заключение одно замечание. Наши аргументы не зависели от того, что Ф*п(/) предполагался собственным вектором Ф‘п(я, t) one-

раторов Л], Л2, ..., Ак, a Фои' — собственным вектором Фош(^, г) операторов Вх, В2, ..., Вк. Все уравнения для чистых состояний (в отличие от статистических смесей), следовательно, справедливы по линейности, если не требовать, чтобы Ф*п(/) и Фои'(0 были собственными векторами операторов Лн Л2, ..., Ак и ВХ,В2, ..., Вк соответственно.

XV.3. ОПЕРАТОР S И ВОЛНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ МЁЛЛЕРА

В экспериментах по рассеянию состояние приготавливается до того, как налетающая частица и мишень начинают взаимодействовать друг с другом, и состояние регистрируется после того, как они перестают взаимодействовать друг с другом. Таким образом, в экспериментах по рассеянию ин-состояния переходят в аут-состояния. Оператор, который описывает такое преобразование, называется оператором рассеяния или S-оператором. Для каждой физической системы, участвующей в столкновении, мы постулируем существование унитарного оператора S, преобразующего ин-состояния в аут- состояния. S-оператор настолько непосредственно связан с наблюдаемыми величинами (например, сечениями), что знание этого оператора немедленно приводит к предсказанию свойств наблюдаемых.

Как отмечалось в разд. XIV.4, концепция S-оператора имеет смысл даже в том случае, когда генератор временных трансляций Н не определен и не существует аксиомы о временной эволюции (аксиома V в гл. XII). Если оператор Н не определен, то не определены также ни его^ обобщенные собственные векторы I а ^ >, ни точные состояния Ф + (/) и Ф"^). Но состояния Ф‘п и фои(, описывающие приготовленное и регистрируемое состояния, и оператор

S: Ф‘пФои* = 5Ф‘П,(3.1)

преобразующий приготовленные (а следовательно, контролируемые) ин-состояния Ф‘п в неконтролируемые состояния Фош, по- прежнему являются осмысленными понятиями. Если аксиома вре- меннбй эволюции имеет место (а в нерелятивистской квантовой физике нет фактов, указывающих на обратное), то S-оператор и его матрица (S-матрица)

(4/oul, 5ф1П)(3 2)

могут быть выражены через более фундаментальные и менее непосредственно наблюдаемые величины.

Мы проделаем это, более точно определив S через ранее введен-

(3.3)(3.3)ные величины. Квадрат модуля матричного элемента (^ЧЬ, 1\ФЧа, 0)

(3.3)

(3.3)

дает вероятность обнаружить состояние ^~(6, t), которое наблюдается после выключения взаимодействия V как состояние Фои((^, /) в том случае, когда состоянием системы является Ф + (д, /), которое было приготовлено до включения взаимодействия как состояние Ф*п(д, О- Таким образом, матричный элемент (3.3) описывает вероятность перехода из начальной конфигурации, имеющей квантовые числа а и распределение по энергиям 0(f), в конечную конфигурацию, имеющую квантовые числа 6 и распределение по энергиям 0(f). Получим сначала выражение для (3.3) в терминах ин-состоя- ния Ф1П и аут-состояния ФоиЧ Чтобы это сделать, используем формальные решения (2.36+) и (2.36-)

Ф + (0 = Ф1п(0 + f dt' G + (t - r^^^^Ct ) (3.4 + )

и

T’(t) = тои1(0 + J dt'G4t- t')^^0^^),(3.4-)

уравнений (2.18 + ) и (2.18 — ). Из уравнений (2.6±) и (2.15±) следует,

ФЧП = е"1КЦ'0ФЧО(3.5 + )

и

Т011^') = е " К(Г " °^ou,(t).(3.5 -)

Эти выражения можно подставить в подынтегральные выражения в (3.4 + ) и (3.4—) и получить

Ф+(г) = О + Ф‘п(г)(3.6 + )

и

Ч^О = Q-^Xt),(3.6-)

где мы определили волновые операторы Мёллера

= / + J dt' G4t -

= I + ‘j dt'G4t - OVGUt'- t)

= I + i f dt" G±(-t")VG4t'').(3.7±)

+ 1 -31

Из (3.6 ±) немедленно следует, что смеси ^(О (2.20+) и ^~(0 (2.20-) связаны со смесями ^’"(z) (2.19+) и 1₽°и1(г) (2.19—) соотношениями

W + (t) = Q+Win(t)Q+t(3.8 + )

и

^"(0 =(3.8-)

Подставляя (3.6±) в (3.3), получаем

(T'A г), Ф + (а, t)) = (Tou,(b, г), О-^ГФ^а, г)).(3.9)

Последнее уравнение наводит на мысль использовать

S = QfQ +(3.10)

в качестве определения оператора рассеяния.

Последнее выражение для Я* в (3.7 ±) показывает, что Я* не зависят от времени, что в свою очередь означает, что S не зависит от времени. То же справедливо для матричных элементов (3.9), поскольку для Ф + (/) справедливы две формулы

Ф + (г) = е*‘н,Ф+ = е"‘н,О + Ф‘п(0)

и

Ф+(0 = О + Ф‘п(0 = Q + e~iK^in.

Поскольку {Ф|П) порождает пространство физических состояний, мы приходим к заключению, что

^-"‘Qt =(3.11+)

(Соотношение (3.11 + ) следует из приведенных аргументов; аналогичные аргументы приводят к (3.11 — ).) Аналогично получаем так называемые соотношения переброса

HQ^Q^K.(3.12±)

Тогда легко показать, что

[S, К] = 0,(3.13)

следствием чего является независимость от времени матричного элемента (3.9):

(^"(Б, г), Ф+(а, 0) = (^“‘(Б, 0), е+'к,8е”‘к*Ф1П(а, 0))

= (Тои‘(Б, 0), 5Ф'п(а, 0)).(3.14)

Следует заметить, что уравнение (3.13) можно интерпретировать

как утверждение о сохранении энергии при переходе от ин-состоя- ния Ф|П к аут-состоянию Фои‘.

Если подставить (2.6 + ) и (2.9 + ) в левую и правую части уравнения (3.6+) соответственно, то получим

if2п Jif2п JаЕе"1Е,ф(Е)\Еа+> = (dE е-1Е*ф(Е)^\Е а>.

if2п J

if2п J

Поскольку ф(Е) может быть любой «хорошей» функцией, то

Q+|£n> = \Еа + >.(3.15 + )

Уравнения (2.6 — ), (2.9 — ) и (3.6—) можно использовать таким же образом, чтобы получить•

Q"|£a> = \Еа">.(3.15-)

Поскольку мы предположили асимптотическую полноту системы (уравнение (1.19)), мы можем заключить, что операторы Мёллера 0+ и О- отображают пространство физических состояний ^на пространство состояний рассеяния ^cat:

Q+^ = Q# = ^scat.(3.16)

Другими словами, область определения обоих операторов (2+ и 0~ есть все пространство ^ но образом пространства ^при отображении операторами 0+ и О- является (обычное, если существуют связанные состояния), подпространство ^cat.

|Оператор А называется изометричным, если он сохраняет норму векторов, т. е. если

(«А, ф) = (М Аф) = (ф, А'Аф)(3.17)

для всех векторов ф. Эквивалентное определение состоит в том, что оператор А удовлетворяет условию

А1 А = I.(3.18)

Если А удовлетворяет более сильному условию

А^ = I и АА1 = /,(3.19)

то оператор А унитарен. Унитарный оператор А определен на всем пространстве Л^и имеет ^областью значений, т. е. осуществляет взаимно однозначное отображение Л^в <Ж Унитарный оператор всегда изометричен, но не наоборот. 1

Поскольку 0*^= ^cat обычно не совпадает со всем пространством Л? мы не должны ожидать, что операторы Мёллера унитарны, но они, как мы сейчас покажем, изометричны.

Подставляя

Ф+(Г) = е ~iH(e -°Ф+(0

(которая следует из (2.9 + )) в формулу (2.18 +), получаем

Ф‘п(0 = Ф+(0 - J at’ G^t - OVe-^'-^^

= (/ + z J dt' G$(t ~ t')VG"(t' - t)) Ф+(0(3.20)

= ^ + i J dt" G$(-t")VG4-H"^ Ф+(г).

Вторая строчка следует из определения (2.35-) функции Грина G~ (Д) и из того факта, что функция G^t — Г) не равна нулю только при t — f > 0. Из определений (2.12±) и (2.35±) функций Грина и эрмитовости операторов К и Н легко показать, что

G$(-ty = G$(0(3.21а±)

и

G1^ = GT(-t).(3.216 + )

Используя формулы (3.21 ±) и определение (3.7 + ) оператора 12+ , запишем (3.20) в виде

Ф™(Г) = ^1 - z J dt" G4-t"WGo(t")^ Ф+(0 = П + Тф+(0. (3.22 + )

Но Ф + (г) = t2"*"Oin(Z), так что

Ф‘п(г) = Q + tQ^in(t).

Мы не использовали какие-либо свойства вектора Ф*п( /), кроме того, что его можно разложить по обобщенным собственным векторам I Еа> оператора К, так что Ф'п(2) является произвольным элементом пространства Ж Следовательно,

Q + tQ+=I,(3.23 + )

т. е. оператор О+ изометричен. Подобным же образом получаем

ЯЧГ = I.(3.23-)

Причину неунитарности оператора 0^ легко указать. Из (3.15±) и (XIV.2.11) получаем

= (in^aXalV^n^a'Xa'iy

= ^|а±><й|а'><а'±| = Sl^X^I(3.24 + )

аа*а

П$Са1 I n^nd 1

где

nscat = Zl^X^I ,(3.25а)

nbnd = 1к><аи|(3.256)

являются проекторами соответственно на подпространства состояний рассеяния Xcat и связанных состояний ^nd. При унитарном дефекте ПЬпа» не равном нулю, т. е. в присутствии связанных состояний I ап ), операторы Я* могут быть только изометричными, но не унитарными.

Сопряженные операторы Мёллера Я*1 отображает ^cat обратно на пространство Ж; точнее, они аннигилируют подпространство ^nd пространства = <^nd © ^Mt и отображают его дополнение ^Mt обратно на

П^Ю = (Х^'Х^Ую = ^«'Ха^Ю = 0. (3.26 + ) \ а'/

или эквивалентно

П^П^О,(3.26'±)

Q1^1) = Q^O^a) = I\a> = \а>.(3.27±)

Теперь мы можем доказать, что оператор S унитарен:

SSf = (О-^+)(О + ^-) = Q-\I - nbnd)Q~ = /(3.28а)

и

SfS = (П + ЧГХ£ГЧГ) = Q+t(/ - nbnd)Q + = /.(3.28b)

При записи уравнений (3.28) мы использовали определение (3.10) оператора S, изометричность (3.23 ±) операторов Я± и уравнения (3.24±) и (3.26±). Чтобы уравнения (3.28) имели смысл (на самом деле, чтобы определение (3.10) оператора S имело смысл), мы должны предположить, что область определения оператора Я^ равна области значений Ят + = ПТХ или, другими словами, асимптотическую полноту в форме (3.16). На этом пути мы доказали, что S-оператор, определенный в (3.10) и (3.7 ±) в терминах V и К, унитарен.

Мы определяем S-матрицу как матрицу { Saa,) оператора рассеяния в К-базисе:

Saa. = <a|S|a'> = <а|О~ЧГ|а'> = <а'\а' + >.(3.10')

Таким образом, S-матрица является матрицей преобразования между двумя базисными системами (1.16+) и (1.16—) пространства состояний рассеяния Л^:

\а"> = X |а'-><а'-|а + > = £ \E'a’-><E'ff\S\Ea>.(3.10")

Е'а'Е'и

Используя соотношение (1.24), мы можем записать Saa. либо как

So«' = [<« + | - 27П'<п|^(£в - Н)]|й'+>

= <а + |а' + > - 2тп'5(£о - Еа-Ха\V\a'+>,(3.29)

либо как

Saa' = <а’1(1«'’> - 2ni5(£O' - H)V\a'»

= «\а'-> - 2nid(Ea> - ЕХаЧУЮ. (3.30)

Если мы используем формулу (XIV.2.96) (которую, наконец, докажем в конце этого раздела), то увидим, что первые члены в правых частях (3.29) и (3.30) равны. Таким образом,

<a\V\a'+> = <a"\V\a'> при Еа = Еа, = Е, т. е.

<Ea\V\Ea,+ > = <Еа-\У\Ей'>.(3.31)

В разд. XIV.5 мы ввели Т-матрицу на энергетической поверхности

T00№ = <Ea\v\Ea,+ >(3.32)

(которая не определяет оператора) и ее расширение за энергетическую поверхность

Т^. = <а\Т + \а'> = <а\У\а' + > = <£в61И | £-'Я'+>,(3.33)

определяющее оператор Т*. Уравнение (3.31) наталкивает на мысль о другом расширении Т-матрицы, а именно

Т^. = <а\Т-\а"> = <а'\У\а"> = <Е„а*\V\E, «>,(3.34)

определяющем оператор Т-. Матрицы ( Т*.) и [ Т^.) являются обобщениями матрицы ( Тоа. (£)) в том смысле, что

т:.. = Т-. = Т„.(£) при Е. - Е, - Е. (3.35)

Элемент S-матрицы S№, может быть тогда записан в виде

S„. = <а|«'> - 2«Й(Е. - Е„)Т„.(Е,)

= Р(ЕаУ ^(Еа - Е„.) - 2тп^(Еа - ЕаТа(ЛЕа\ (3.36)

Заметим, что вклад в S-матрицу дают Т-матричные элементы на энергетической поверхности; элементы S-матрицы между обобщенными собственными векторами \Еаа) и \Еа,а') равны нулю при Еа *Еа.

Интегральное уравнение для Т* -матрицы можно получить, подставляя в (3.33) уравнение Липпмана— Швингера (1.1 + ):

ТТ= <а|И( |а > += <а|И( |а > +1Еа, — К + Ю1Еа, — К + ЮУ\и, + >У\и, + >

Т

Т

= <а|И( |а > +

= <а|И( |а > +

1

Еа, — К + Ю

1

Еа, — К + Ю

У\и, + >

У\и, + >

= <д\У\д'> += <д\У\д'> +<a\V\a"><u"\V\a'+>Ео. - Еа„ 4- Ю<a\V\a"><u"\V\a'+>Ео. - Еа„ 4- Ю

= <д\У\д'> +

= <д\У\д'> +

<a\V\a"><u"\V\a'+>

Ео. - Еа„ 4- Ю

<a\V\a"><u"\V\a'+>

Ео. - Еа„ 4- Ю

= <W*= <W*^<д\У\а">т:-.а. ^ Еа. - Еа„ ^г 10^<д\У\а">т:-.а. ^ Еа. - Еа„ ^г 10(3.37)(3.37)

= <W*

= <W*

^<д\У\а">т:-.а. ^ Еа. - Еа„ ^г 10

^<д\У\а">т:-.а. ^ Еа. - Еа„ ^г 10

(3.37)

(3.37)

(3.38)(3.39)(3.38)(3.39)Уравнение (3.37) можно решать итерациями (последовательно подставляя правую часть):

(3.38)

(3.39)

(3.38)

(3.39)

Борцовское приближение

Т^ <а\У\а'> = <Еай\У\Еа.а,'>,

в котором удерживается только первая из итераций (3.38), обычно адекватно при высоких энергиях Еа = Еа, = Е и слабом взаимодействии У.

Из унитарности оператора S следует, что S-матрица также уни-

= £s*..s.v = г».,(3.40)

или, более подробно,

Е рЕ„../>1..(£„-)<Е.а|$|Еа. а-><Е„. a'\s\E..a">*

= £ pEo-ME.-)<E.-a"|s|Eaa>* <E..a”\s\Ea.$>

= р(Е„У1аша(Еа- ЕД(3.40')

Подставляя (3.40') в (3.36), мы можем выразить унитарность { Saa.} в терминах матричных элементов Тйй. (Е):

ЫЕ) - П№ = -1кг^рАЕК&АЕ^(3.41)

Условие унитарности в форме (3.41)" иногда называют обобщенной оптической теоремой.

Подведем итог. Мы воспроизвели как S-матричный, так и Т-матричный подходы, опираясь на аксиому V о непрерывной временнбй эволюции. Мы выразили S- и Т-матрицы в терминах величин, зависящих от наличия генератора временнбй эволюции Н, таких, как К и I а* > (см. (3.32) и (3.36)). Обобщенные собственные векторы 1£а+> оператора Н и соответствующие состояния I Ф + (а, О) описывают ситуацию в процессе столкновения; следовательно, это величины, которые недоступны для экспериментального определения. Напротив, обобщенные собственные векторы \Еа) оператора К и соответствующие состояния I Ф*п(д, /)> и I Фои1(ц, 0> доступны экспериментально при первоначальном приготовлении и конечной регистрации в эксперименте по столкновению. Эти величины вместе с оператором, описывающим переходы между ними, являются незаменимыми при теоретическом описании процесса рассеяния, в то время как экспериментально неконтролируемые величины, такие, как I Ф + (д, /)>, являются инструментами теории и зависят от дополнительных теоретических предположений (например, от аксиомы V).

Теоретическое описание, основанное только на экспериментально доступных величинах, называется теорией S-матрицы. S-матрица и Т-матрица на энергетической поверхности, связанные соотношением (3.36), являются тогда фундаментальными физическими величинами; более того, единственное предположение, принятое в (3.36), — сохранение энергии при переходе из ин-состояния в аут-состояние ([S, Л-] = 0). Унитарность, которая приводит к соотношению (3.41) для Т-матрицы, является дополнительным фундаментальным предположением в теории S-матрицы и оправдывается требованием сохранения полной вероятности. Другое фундаментальное предположение теории S-матрицы — аналитичность Т-матрицы как функции энергии и других физических параметров. Приводятся аргументы, связывающие это требование с причинностью. (Мы обсудим этот вопрос в разд. XVIII.4.) В обычной формулировке, базирующейся на предположении о непрерывной временнбй эволюции, такие свойства, как унитарность и аналитичность (в некоторой области), выводятся из свойств операторов Н и V.

Соображения симметрии являются для S-матрицы наиболее ограничительными. В обычной формулировке наличие симметрий отражается в трансформационных свойствах Н и V при различных преобразованиях симметрии, и эти трансформационные свойства приводят к наличию симметрийных свойств S-матрицы. (Мы обсудим следствия вращательной симметрии в гл. XVI.) В теории S-матрицы симметрии формулируются непосредственно в терминах симметрий S-матрицы или трансформационных свойств Т-опе- ратора.

Если операторы V и Н известны, то обычный подход к описанию процессов столкновения является «более фундаментальным», хотя он и базируется на большем числе предположений. После того как решено уравнение для Т-матрицы (3.37), можно предсказывать экспериментальные результаты. Как упоминалось в предыдущих главах, в физике чаще встречаются с обратной ситуацией, когда приходится угадывать по экспериментальным данным (например, сечениям) свойства фундаментальных наблюдаемых, а затем использовать эти свойства для того, чтобы делать предсказания относительно других экспериментально измеряемых величин. В такой ситуации формулировка свойств в терминах Т-оператора ничуть не хуже, чем формулировка в терминах V, а часто более практична.

XV.A. ПРИЛОЖЕНИЕ

Пользуясь изометричностью (3.23 ±) операторов Мёллера 0^ tQ± = д просто доказать два равенства, которые использованы в гл. XIV. (Доказательство изометричности этих равенств не использует.) Уравнение (XIV.2.96) следует из (3.15±) и изометричности:

<a±\a't> = «alQ^XQ^'»

= (аКЛ^Л^Ю = <а\а>.(ПЛ)

Чтобы доказать (XIV.5.21), используем вместе с изометричностью соотношения (3.15 + ) и (3.8 + ):

(a^W^K) = «а|Л+|)(Л+^п(0Л^)(Л + |а'»

= <<Л++Л + )Р0п(О1(Л+ЧГ)|а'>

= <а|^п(0к'>;(П.2 + )

подобным же образом можно доказать соотношение

(П.2-)(П.2-)<b“|lV-(t)|b'-> = <b|ivout(t)|b'>.

(П.2-)

(П.2-)

Покажем, наконец, что член II в (XIV.2.17) равен нулю. Ключевой пункт— использование уравнения (П.2+). Если подставить (XIV.2.96) и (П.2+) при t = 0 в (XIV.2.17), то получим

II- Е„)<а| И^Ю

= Jр(Е„) dE„ У Jр(Е.) dE. р(Е,.) dE„ У е" "£-" Е-"

х <ЕьЬ\У\Е„а')р(.ЕьуЧь.АЕ„. - Еь)<Е„а|И/™|Е„.а'>

= Р<Ее) dE„ У |р(Е J dE„ У е",<с-" Е»<ЕЬ 61V | Е. 8>

X <Eaa\Wxn\Ebb’>

= ^e-^E“-E^<b\V\a><a\Win\b>.(П.З)

Ь а

Но суммирование ^ь производится только по тем значениям Ь, для которых I Ь) еЛ^ а по предположению начальное состояние W‘m приготовлено таким образом, что 1Л> ёЛ^для всех состояний I А >, которые вносят нулевой вклад (и^ * 0) в выражение

№™ = ^«л\аха\.

А

Следовательно,

IVin|b> = о

для всех b в сумме, так что

(П.4)(П.4)II = 0.

(П.4)

(П.4)

Тогда вклады II как в интенсивность перехода diKy^dt (XIV.2.5), так и в вероятность перехода (Л)^ (XIV.5.2), разумеется, также равны нулю.

Глава XVI

Упругое и неупругое рассеяние длясферически-симметричных взаимодействий

В этой главе мы получим общие результаты для сферически-симметричных ситуаций, т. е. для ситуаций, когда кроме свободного гамильтониана К с оператором углового момента коммутируют также гамильтониан взаимодействия V и оператор перехода Т. Для простоты мы рассмотрим случай спина, равного нулю. В разд. XVI. 1 обсуждается разложение по парциальным волнам и выводятся выражения для парциальных сечений. В разд. XVI.2. вводится фазовый сдвиг как следствие унитарности S-матрицы. В разд. XVI.3 дается графическое представление парциально-волновой амплитуды — диаграмма Аргана.

. 1. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПАРЦИАЛЬНЫМ ВОЛНАМ

Многие задачи рассеяния обладают сферической симметрией. Это означает, что как Н = К + Г, так и V коммутируют с операторами (орбитального) углового момента Ц или если рассеяние описывается оператором перехода Т, то Т (а следовательно, и оператор рассеяния S) коммутирует с Ц\

[r,LJ = 0,[Г, LJ = 0.(1.1)

Тогда

{K,L2,L3,^}(1.2а)

и

{H,L2,L3,K°p},(1.26)

где т/°р и к°р обозначают внутренние наблюдаемые (их собственные значения т/ и к являются внутренними квантовыми числами), являются п.с.к.н. и их собственные векторы

\Еа1Ш(13а)

И

\ЕаИ3к>(1.36)

можно выбрать в качестве базисных векторов пространства физических состояний.

Векторы

\Еа1Д^>,(1.3в)

которые получаются из (1.3а) при помощи уравнения Липпмана — Швингера (XV.1.1 + ) или (XV.1.22+), не являются в общем случае собственными векторами (1.26). Но если [И, т/ор] = 0 и, следовательно, \Н, rfp] = 0, то набор операторов к°р = к^р, ..., к£р в (1.26) можно выбрать в виде ?/ор. Тогда обобщенные собственные векторы (1.36), определенные только с точностью до произвольного фазового множителя, который может зависеть от квантовых чисел, могут быть выбраны совпадающими с (1.3в). В общем случае [И, т/ор] Ф 0, и тогда векторы (1.3в) не являются собственными векторами п.с.к.н. (1.26) и смысл т? определяется при помощи уравнения Липпмана — Швингера, как это объяснялось в разд. XV. 1.

Еще одна п.с.к.н. включает импульс налетающей частицы Р (или импульс Р в системе центра масс, если мишень не покоится) и операторы внутренних квантовых чисел т?ор:

{Л. Рг, Р,.^}.(1.4)

Соответствующий базис состоит из обобщенных собственных векторов импульса

lp^>.(L5)

Дополнительные квантовые числа ту = (т/р т/2, ...,%) могут относиться к внутренней структуре мишени, или налетающей частицы, или их обеих. Например, если мишенью является атом водорода, то Н будет иметь квантовые числа п, j, j3 и тг, характеризующие состояние электрона в атоме водорода (см. гл. VI и IX). Согласно (1.2), \Ц, 7jop] = 0; тем самым мы исключаем возможность того, что т? включает квантовые числа внутреннего углового момента. Тогда полный угловой момент равен орбитальному угловому моменту с компонентами Ц, и мы избегаем усложнения, связанного со сложением внутреннего и орбитального угловых моментов, чтобы получить полный угловой момент. Большинство встречающихся в эксперименте процессов содержат по крайней мере один внутренний угловой момент, но для понимания принципиальных вопро-

Упругое и неупругое рассеяние для сферически — симметричных взаимодействий 493 сов, обсуждаемых в этой главе, легче сначала опустить несущественные усложнения, связанные с наличием внутреннего углового момента.

Простейший случай, который мы можем обсудить, — рассеяние бесструктурной налетающей частицы на бесструктурной мишени. Можно ли рассматривать частицу и (или) мишень как бесструктурные, зависит от используемых энергий. Если, например, мишенью является атом гелия, то она может рассматриваться как бесструктурная для энергий налетающей частицы, меньших, чем энергия первого возбужденного состояния, и рассматривать квантовые числа т} нет необходимости. Если энергия налетающей частицы сравнима с разностью между уровнями энергии атома гелия, то структуру мишени необходимо учитывать, а т? будет включать квантовые числа и, j, /3, г (синглет или триплет) атома гелия.

Мы хотим выразить матричный элемент^

<РъПь\Т\РаПа> = (РЛь^КРлХ^л)^(16)

оператора перехода Т по отношению к импульсному базису (1.5) в терминах матричных элементов Т по отношению к базису углового момента (1.3а). Для этого разложим I рту) по базису углового момента:

Ip^z и№аЕ\ЕНзЛ><Е11зЛ\рЛ>. (1.7) Пз J

Определение коэффициентов перехода < рт/1 ЕН3т) > = < ЕН3т) I рт/ >* является задачей, подобной задаче о нахождении волновых функций < X I п1т} атома водорода, которая обсуждалась в разд. VII.3. Вместо формулы (VII.3.5) имеем ее аналог

<РП\ЦФ> = - "r^ijkPj^^^P ^рФр^УФ^’(1-8)

откуда следуют аналоги формул (VII.3.63) и (VII.3.6'). Здесь (р6рфр) — сферические координаты вектора импульса р. Вместо «радиального уравнения» (VII.3.7) или (VII.3.1) имеем

/Р2\

<Р ^^Чтм^ К‘П‘)\Е ИзП> = Е<Р6рфрп\Е11зЛ>, (1.9)

что является следствием (нерелятивистского) соотношения (см. XIV.5.31)

р2

К =+ K^OT(1-1°)

2М(^ор)'

^ Смысл помещения квантовых чисел в круглые скобки объяснен в разд. XV. 1.

между оператором энергии К, импульсом Р и внутренней энергией Я™. Хотя этот пункт ранее не обсуждался, масса частицы может зависеть от квантовых чисел ту системы; эта зависимость позволяет рассматривать случаи, когда вылетающая частица отличается от падающей. Из (1.9) и аналогов формул (VII.3.6') и (VII.3.63') следует, что коэффициенты перехода имеют вид (см. (VII.3.11))

/ Р2 • \

<рврфрИ\Е111П> = ДО6 £ - £-- £“ У„,(9,,фр).(1.11)

Функция ^(р) определяется (с точностью до фазового множителя) условием нормировки (XIV.2.9а) обобщенных Х-собственных векторов l£/Z3?j>, поскольку

p,VEy Ч(Е - Е^»,,,, = <Е11ъП [£' Г Г, Ч>

= р3р <Е 11эп\»Г><»П\Е' Г 1'эп>

f/ р2 • \

= J Р2 sin ер dp dep dфpf*(p) 5 IЕ - — - E^j

х у$,(0„ Ф^У £'-£-- Е™ ут(вр, ф„)

= т,рЖ№№ - Е’^и.5^,.(1.12)

В этом вычислении использована формула (VII.3.16), а интегрирование по р проводилось1) с использованием подстановки

е = р211тп - £‘п‘, р = р(с) = У^ЦГ+Е^:

Г/D2,\ /\

р21 ,Ш2й £ - А - £Г Р Е' - ^- - £“ dp

J\2m,) \2т,/

= Jdtm,V2m,(6 - £"-)|/,(р(с))|2 5(t - EW - е)

= т, 72т,(£ - £“)| /,(р(£))|2й(Е' - £).(1.13)

Для положительного квадратного корня в (1.13), представляющего модуль импульса как функции от энергии, использовано следующее обозначение:

р№ = х/2т„(Е - Е^у(1.14)

Уравнение (1.12) вместе с

р№ = тлрл(Е)(1.15)

из (XIV.5.18а) дает

\/л(р№)\ = рл(ЕУ1,(1.16)

так что при подходящем выборе фазы для обобщенных собственных векторов I рту) коэффициенты перехода (1.11) равны

/о2\

<Р0рфр.п\ЕИзП> = №)"16Е?) ^Зфр)фр\ (1.17)

Из уравнения (1.1) видно, что Т — скалярный оператор; его матричные элементы по базису углового момента тогда равны (используется теорема Вигнера — Эккарта (V.3.6))

<Е I13 пъ\Т\Е'Г Г3 Па> = <Г h 0 0|/ /3> <£ / Пь\\ Т\\Е' Г Ла>

= ди.61з1.3<Е1пь\\Т\\Е'1пА>.(1.18)

Используя в (1.6) формулы (1.7), (1.17) и (1.18), получаем

Г/ D2\ / О2

<Р»^|Т|рл^> = I dEdE'd £ - ^ - »<£ - ^- - Е^

х <Е1Ль\\Т\\ЕЧЛа> У„3(Оь)У,13(ОлХ(1-19)

где 0л = рл/1рл1 = (б1п6Асовфл, ат6А5тфА, cos6A) — направление импульса падающей частицы, а П6 = p6/lp6l = (sin06cos<£6, 5т9ьдтфь, cos6Ь) — направление регистрируемой частицы. Если выполнить суммирование £, , пользуясь теоремой сложения (VII.3.26)3

Е Y^Y*^) = ^ Р,(П» • пл) (1.20) 13=-1ЧЛ

для сферических гармоник, то формула (1.19) принимает вид

<РъПь\Т\РаПа> =^Е(2/+ 1)Л(со8 0)<Еь/^||Л£,</^ (1.21)

где 0 — угол между Пл и Пй (см. рис. XIV.3.1) и где1) о2

Еа = Е(р^, Ла^ = ^-^ Е^ ,(1.22а)

11 Отметим изменение обозначений: здесь Ед обозначает полную энергию, в то время как в разд. XIV.5 Е, обозначала (кинетическую) энергию налетающей частицы.

Е„ = Etpb, Пь) = ^ + Е^.(1.226)

Приведенный матричный элемент <Ebl^b II THEAl^A > зависит от энергии и внутренних квантовых чисел т)ь и т]А, но не зависит от направления. Как и ожидалось, для сферически-симметричной задачи, для которой начальные условия выделяют только направление 0л, Т-матричный элемент (1.21) не зависит от угла ф вокруг направления 0л.

Выражение (1.21) доказывает утверждение, предшествующее и обосновывающее определение (XIV.5.63). Записанная в терминах амплитуды рассеяния, формула (1.21) при i)b = уА и Еь = ЕА принимает вид

Т(рл,0 = £(21+1)РХсо80)(-ят)й<Ел1»^^<121)

В выражениях для сечения (например, (XIV.5.38), (XIV.5.50) и (XIV.5.60)) и в любой другой физической величине множитель Ь^ЕЬ — Еа) появляется как следствие закона сохранения энергии (см. (XV.3.13)). Следовательно, имеют физический смысл только приведенные матричные элементы

<^№ЛМ> = <ЕЬ = ЕА 1пь\\Т\\Еа1Ла> (123)

на энергетической поверхности, т. е. при Еь = ЕА. Закон сохранения энергии в нерелятивистском случае выражается соотношением

Рл/2тя + Е^ = ЕЛ = ЕЬ = р^2ть + Е^.(1.24)

В нерелятивистских столкновениях обычно ть = тА, но равенство Е^ = Е^1 не выполняется, кроме случая упругого рессеяния. В дальнейшем мы детально исследуем случаи, когда детектируемая частица такая же, как налетающая, так что ть = тА, но сначала выведем выражение для сечения в общем (бесспиновом) случае.

Дифференциальное сечение рассеяния в единичный телесный угол при рассеянии из начального состояния с импульсом рА и внутренними квантовыми числами т)А в состояние с внутренними квантовыми числами т)ь равно (см. (XIV.5.60) или (XIV.5.61') в конце разд. XIV.4)

^ = (2л)4 "^h2 [?„(£„) dE„\<Еье„фьпьтРл вя фА ^>р

^пь Рл J

X 6<ЕЬ - ЕД(1.25)

Используя формулу (1.21), можно записать do^b/d^ в терминах

приведенных матричных элементов (1.23):

danb

ЦТ = ” Рь№л)11(2/ + DPKcos 0)<^||7;(Ел)Йл>12- (1.26) ““ь Ра/

Зависимость импульса регистрируемой частицы pb = рь(Еь, т)ь) от Еь<= ЕА) и т)ь имеет вид

МЕл) = V^E» - О(1-27)

она определяется из (1.24) или (1.14).

Дифференциальное сечение (1.26) можно представить как ряд по полиномам Лежандра Р,, но ответ имеет сложный вид (это сделано в разд. XVIII.8, где такое разложение используется для фазового анализа). Поэтому мы приведем только выражение для полного сечения, которое просто выражается через приведенные матричные элементы. Используя свойство ортогональности полиномов Лежандра

2

а^Р1№1^) = ЧГ-тЬи-1(1.28)

получаем для полного сечения

= 4’ — й2Р„(Ел)Х(2/ + 1)|<Л»№л)||,;л>|2.(1.29)

НА/

Это выражение наталкивает на мысль определить /-е парциальное сечение

^ = ^^^р^^у + DK^IITXEJh^l2 (1.30)

Ра

писать полное сечение в виде

апъ = ^апъ(L31)

Сечения а^ь и а^ь в (1.30) и (1.31) являются соответственно парциальным и полным сечениями для рассеяния из состояния с внутренними квантовыми числами т/ = т^ в состояние с внутренними квантовыми числами т) = ць. Часто детектор регистрирует не только состояния с точно заданными квантовыми числами ць, но все состояния со значениями ц в некотором интервале. Это происходит, например, в том случае, когда т/ — внутренние квантовые числа ми- 461 —32

шени, а детектор регистрирует рассеянные частицы с любой энергией. Налетающая частица может возбудить ядро до любого внутреннего состояния т? при соответствующей потере кинетической энергии, а детектор не может различить неупруго и упруго рассеянные частицы. В этом случае /-е парциальное сечение равно

». = !>? = 4я3^й(2/ + 1) Sp^X^HWEJh^l2, (1-32) пъРапъ

а полное сечение равно

а = '£а”ь = ^а1 =(1.33)

ПЪIлъ1

Вместо приведенных матричных элементов < rib И Т^Ед) I цА > удобно использовать «амплитуды парциальных волн» (парциальноволновые амплитуды). Они часто используются в нерелятивистской теории рассеяния (особенно в случае упругого рассеяния), и выраженные через них формулы немедленно переносятся на случай релятивистской теории. Предположим теперь, что начальное состояние фиксировано заданием внутренних квантовых чисел начального состояния цА, относящихся обычно к состоянию с наинизшей энергией. Парциально-волновые амплитуды определяются по приведенным матричным элементам соотношением^

t^e^ = WJ = - kt^/xm t;(ejii^>,(1.34)

где импульс рА выражен через ЕА и т)А формулой (1.22а) и через рь, ^ и Е^ формулой (1.24). Для описания упругого рассеяния дополнительных квантовых чисел не требуется; в этом случае i}b = к)А и можно просто написать2'

ТМ = тгчм = -^^^(-(^IITXEJH^).(1.35)

Парциально-волновую амплитуду Трь(рл) для случая неупругого рассеяния ^ь Ф т}А) часто называют парциально-волновой амплитудой реакции в отличие от парциально-волновой амплитуды для

Мы восстановили здесь множитель Л, который был положен равным единице в предыдущих формулах для сечений. В (1.2Г) множитель в правой части равен h. При Л = 1 единицы длины — сантиметры эквивалентны обратным единицам импульса — эрг • с/см или эВ/с, а сечение имеет размерность квадрата обратного импульса вместо размерности площади.

упругого рассеяния Т,(рА). В терминах парциально-волновых амплитуд дифференциальное сечение (1.26) имеет вид

(1.36)(1.36)da4h Рь(ЕА)

(1.36)

(1.36)

=£(2/ + 1 )Р,(cos е)Т?Чр^)

аиь Ра I

а /-е парциальное сечение (1.30) записывается в виде

^ь = 4л Рь^л) (2/ + i)| Тр(рА)\2.(131)

Рл

Для /-го парциального сечения упругого рассеяния (1.32) имеем тогда

а, (упругое) = с^ = 4я(2/ + 1)| ГХрл)|2,(1.38)

а для /-го парциального сечения неупругого рассеяния имеем

а, (неупругое) = £ д?-= ^ (21 + 1) £ Рь(£л)| ПЧМ2. (139) ль * л лРаць * qA

Конечный импульс рь(ЕА), участвующий в написанных выражениях, может быть выражен через начальный импульс и разность начальной и конечной внутренних энергий:

pb(EA)2/2mb = pA/2mA - (Е"« - Б1?).(1.40)

S-матрица, выраженная через Т-матрицу (на энергетической поверхности)1 \ имеет вид

<Eb Il3 Ль\8\ЕА Г /'3 На> = <Eb I /3 Пь\Еа Г Г3 На>

- 2игЬ(Еь - Еа)<Еа П3Пь\Т\ЕаГ Г3 Ла>- (1-41)

Сферическая симметрия, которую первоначально выражали уравнения (1.1), может быть также выражена в виде

[S, LJ = 0.(1.42)

Таким образом, S — скалярный оператор; согласно теореме Вигнера — Эккарта, он имеет матричные элементы вида

<ЕьПзПь\8\Еа1'ГзПа> = М,зН<Еь1Пь№а1Ла>.(1.43)

Из закона сохранения энергии (уравнение XV.3.13))

[S, К] = 0(1.44)

Операторы S и Т подробнее обсуждаются в разд. XV.3; выражение (1.41) тождественно (XV. 3.36). Если гл. XV при первом чтении, пропущена, читатель мо- жет считать (1.41) определением S-матрицы.

следует

<Еь1пь№а1Ла> = ^Еь - ЕаШЕаУ^^ЕлУ^Чп^^

(1.45)

где р^Е) дается формулами (1.14) и (1.15). Выделение весовых функций р^1/2 и pj1/2 является следствием принятого определения < т)ь II 5г ^Еа ) II rjA > (но не определения < % II Т, (ЕА) II rjA >). Это упрощает последующие выражения (например, условие унитарности в терминах S- и Г-матриц, которое непосредственно переносится на релятивистский случай). После, подстановки (1.18), (1.23), (1.43) и (1.45) связь (1.41) приведенных матричных элементов S и Т принимает вид

<Чь115,(£л)Ия> = 8адл - ^ц/НЁ^№1ХПъ\\Т№а-)\\па>. (1-46)

Выраженное через парциально-волновые амплитуды, это соотношение имеет вид

ЗДл) = <ЛаШЕа)\\Па> = 1 + ^рлТ^рл)(1.47)

для упругого рассеяния и

S^E^ = ^ьШЕ^п^ = 2iVpb(EA)pAT^pA) (fjb / rjA) (1.48)