Предисловие редактора перевода

Метод матрицы плотности является основным рабочим методом квантовой статистической механики как равновесных, так и неравновесных состояний. Такое применение матрицы плотности подробно описано в учебной литературе. Кроме того, метод матрицы плотности оказывается также очень эффективным при рассмотрении квантовомеханпческнх проблем, связанных с рассеянием частично поляризованных пучков, и в последние годы с успехом применяется в атомно-молекулярной спектроскопии. Эта сторона метода матрицы плотности еще недостаточно отражена в учебной литературе по квантовой механике. Такой пробел восполняет предлагаемый вниманию советских читателей перевод книги проф. К. Блума (университет Мюнстера, ФРГ). Книга дает достаточно полное представление об основных свойствах и некоторых важных приложениях метода матрицы плотности в актуальной области атомно-молекулярной спектроскопии. (Подробный обзор содержания дан в предисловии автора.)

Метод матрицы плотности, основанный на неполном описании квантовомеханических систем, и понятие смешанного статистического ансамбля, или «смеси», относятся к достаточно тонким вопросам квантовой механики и тесно связаны с проблемой квантовомеханпческнх измерений. Автору удалось очень просто и физически прозрачно ввести понятие «смеси» и матрицы плотности, исходя из простых примеров поляризованных электронных и фотонных пучков и анализа соответствующих экспериментов. Удачно изложение методов разделения эффектов, связанных с симметрией и динамикой, с помощью матрицы плотности в представлении неприводимых тензоров. Хорошо изложена теория излучения поляризованных атомов и квантовых биений. В конце книги кратко рассматривается применение матрицы плотности к теории релаксации и реакции системы на внешние возмущения, которую можно описать с помощью функции Грина. Чтобы у читателя сложилось более полное представление о затронутых в книге вопросах, редактор русского издания счел необходимым дать примечание к гл. 2, разъясняющее смысл понятия энтропии

неравновесного состояния, и примечание к гл. 7, поясняющее применение функций Грина в статистической механике.

В настоящее время, когда все более усложняется математический аппарат теоретической физики, следует приветствовать появление книги Блума, где автору удалось дать простое изложение сложных вопросов. Читатель, проработавший эту книгу, будет достаточно хорошо подготовлен к изучению более специальных работ.

Книга рассчитана на студентов и аспирантов физических специальностей; она интересна также всем работающим в области атомно-молекулярной спектроскопии. Перевод предисловия и гл. 1—3 выполнил д-р физ.-мат. наук Ю. Г. Рудой, гл. 4—7 и приложений — канд. физ.-мат. наук М. Ю. Новиков.

Д. Н. Зубарев

Предисловие

В квантовой механике рассматриваются в основном те состояния физических систем, которые могут быть представлены с помощью векторов состояния. Однако во многих случаях интересующая нас система определена не полностью. Например, она может характеризоваться только некоторой вероятностью пребывания в точно определенном динамическом состоянии, описываемом вектором состояния. Именно благодаря такому неполному знанию о системе возникает необходимость в статистическом усреднении (в том же смысле, как и в классической физике).

Матрица плотности была введена Дж. фон Нейманом в 1927 г. ) для описания статистических концепций в квантовой механике. Основная ценность матрицы плотности состоит в том, что она обеспечивает возможность аналитического построения общих формул, а также доказательства общих теорем. Вычисление средних значений и вероятностей для физических величин без использования метода матрицы плотности чрезвычайно громоздко. Представление квантовомеханических состояний с помощью матрицы плотности дает возможность избежать введения лишних переменных и наиболее экономным и компактным способом описать всю доступную информацию о системе. Преимущество использования метода матрицы плотности состоит еще и в том, что он позволяет единым образом описывать все квантовомеханические состояния, как полностью, так и неполностью определенные.

До недавних пор использование метода матрицы плотности было ограничено в основном областью статистической физики. В последние годы, однако, применение матрицы плотности начало играть все более важную роль во многих других областях физики. Например, в современной атомной физике

методы матрицы плотности стали важным инструментом для описания различных квантовомеханических интерференционных явлений, существенных для теории рассеяния, лазерной физики и спектроскопии, в частности квантовых биений и оптической накачки. Данная книга ставит своей целью ввести читателя в методы теории матрицы плотности, причем основное внимание уделяется ее применениям прежде всего в атомной и ядерной физике. Она предназначена для начинающих, а нс для тех, кто хорошо знаком с предметом. Поэтому все основные понятия детально обсуждаются, а при вычислениях поясняется каждый этап. Предполагается, что читатель владеет квантовой механикой в объеме обычного годового курса, а также элементами статистической физики. Желательно также иметь некоторое представление о современной атомной физике и теории рассеяния. Для овладения материалом, изложенным в гл. 4—6, читателю следует обладать практическими навыками по теории углового момента. В остальном изложение начинается с низшего возможного уровня. Некоторые вопросы, актуальные в настоящее время, рассмотрены более детально с тем, чтобы книга была полезна также читателям, работающим в области атомной или ядерной физики, лазерной физики и физической химии.

Книгу можно разделить на три основные части. В первых трех главах вводятся основные понятия и методы теории матрицы плотности. С этой целью обсуждаются некоторые фундаментальные идеи квантовой механики и статистики. В частности, очень важно ясно понимать различие между чистым и смешанным квантовомеханическими состояниями. Для этого лучше всего рассматривать простые физические системы. Поэтому в гл. 1 мы ограничиваемся обсуждением состоя- ний поляризации частиц со спином 1/2 и фотонов, что оказывается достаточным для простого введения всех основных понятий. Матрица плотности впервые вводится по аналогии с функцией распределения классической статистической механики; иными словами, рассматривается, какое число систем находится в ансамбле с данной волновой функцией. Затем после обсуждения некоторых важных свойств матрицы плотности освещается еще один аспект этого понятия. Именно, показано, что при подходящей параметризации матрица плотности является наиболее удобным способом учета всех параметров, представляющих интерес в данног! экспериментальной ситуации, а также описания их поведения с операциональной точки зрения.

В гл. 2 указанные результаты обобщаются на случай систем с более чем двумя степенями свободы, причем основные свойства матрицы плотности формулируются более система-

тически. Вводится понятие когерентности, играющее наиболее важную роль при обсуждении явлений квантовомеханической интерференции в последующих главах. Дастся обзор свойств операторов временной эволюции и вывод основных уравнений движения статистических смесей; кроме того, приводятся некоторые примеры их применения.

В гл. 3 рассматривается еще один важный аспект матрицы плотности. Часто интерес представляют лишь немногие из большого числа степеней свободы квантовой системы, например когда наблюдается лишь одна из нескольких взаимодействующих систем. В разд. 3.1 и 3.2 показано, что в общем случае невозможно найти волновую функцию, зависящую только от переменных интересующей нас системы (и нс зависящую от переменных всех остальных систем). Посредством усреднения по всем ненаблюдаемым степеням свободы получается матрица плотности, которая описывает поведение интересующей нас системы. Затем показано, что именно такая приведенная, или редуцированная, матрица плотности представляет собой наиболее общее описание открытой квантово- механической системы. Следствия из общих результатов иллюстрируются в разд. 3.3 и 3.4, причем особое внимание уделяется квантовомеханической теории когерентности. Наконец, в разд. 3.5 строится и детально обсуждается приведенная матрица плотности системы атомов, возбужденных электронным ударом.

Вопросы, обсуждаемые в гл. 3, связаны с квантовомеханической теорией измерений; они привлекли большое внимание и интерес физиков в последние годы.

Вторая часть книги (гл. 4—6) посвящена применению метода неприводимых тензоров в теории матрицы плотности. Квантовомеханические вычисления для систем, обладающих симметрией, можно разделить на два этапа. На первом этапе получают максимум возможной информации, исходя из соображений симметрии. На втором этапе вычисляют динамические величины, для которых нельзя получить информации из чисто симметрийных рассуждений. Зачастую эти два этапа переплетаются. Метод неприводимых тензоров предназначен для разделения динамических и геометрических (кинематических) элементов и вычислений; он дает удобный и эффективный способ использования симметрии.

В разд. 4.2 и 4.3 обсуждаются основные свойства тензорных операторов и вводятся неприводимые компоненты матрицы плотности (мультипольные состояния, статистические тензоры). В разд. 4.4—4.6 приводятся различные применения метода, в разд. 4.7 обсуждается временная эволюция мульти- польных состояний при наличии внешних возмущений.

Развитый формализм применяется затем в гл 5 и 6 к различным проблемам, представляющим интерес в современной атомной спектроскопии, в том числе к теории квантовых биений, электронно-фотонных угловых корреляций и деполяризации излучения атома, вызванной тонким и сверхтонким взаимодействиями и магнитными полями. На всем протяжении этих глав обсуждение явлений квантовомеханической интерференции в атомной физике основано на понятии о «коэффициентах возмущений», используемых в ядерной физике для описания возмущенных угловых корреляций. Такой формализм допускает очень экономное описание и интерпретацию экспериментов.

Последнюю главу книги (гл. 7) можно читать независимо от гл. 4—6 (кроме некоторых частей разд. 7.5 и 7.6). В этой главе обсуждается подход к описанию необратимых процессов с помощью матрицы плотности, позволяющий связать обратимую и необратимую динамику посредством обобщенного основного кинетического уравнения. На протяжении всей гл. 7 используется марковское приближение. В разд. 7.1 путем рассмотрения взаимодействия между «малой» динамической системой и «большой» динамической системой («термостатом») введены основные понятия и получены основные уравнения. Необратимость появляется благодаря использованию предположения о том, что термостат остается в тепловом равновесии при постоянной температуре независимо от того, какое количество энергии и информации переходит в него из (малой) динамической системы. Частный случай основного кинетического уравнения Паули (Master equation) рассмотрен в разд. 7.2. Развитый формализм применяется затем к простым примерам из области радио- и микроволновой спектроскопии. Чтобы проиллюстрировать применение метода основного кинетического уравнения в квантовой электронике, рассмотрено взаимодействие электромагнитного поля с двухуровневыми атомами. Соответствующее основное кинетическое уравнение подробно обсуждается, причем описано влияние релаксационных взаимодействий на форму излучаемой линии. В разд. 7.4 получены уравнения Блоха и продемонстрировано их применение к явлениям магнитного резонанса. Показано, что метод матрицы плотности позволяет рассматривать наиболее естественным образом как продольную, так и поперечную релаксацию, избегая тем самым недостатков полуклассических теорий. Кратко обсуждается полезность применения уравнений Блоха к описанию взаимодействий между атомами пли молекулами с полями, создаваемыми лазерами или мазерами.

Обсуждение общего формализма продолжается в разд. 7.5, где дается вывод общих свойств релаксационной матрицы. Обсуждение лиувиллевского формализма в разд. 7.6 ограничено лишь основными понятиями. Наконец, в разд. 7.7 рассматривается отклик квантовой системы на внешнее поле. Здесь при получении выражения в точном уравнении движения для матрицы плотности сделано приближение, в котором учтены лишь члены, линейные по напряженности внешнего поля. Такой метод тесно связан с теорией запаздывающих функций Грина и представляет интерес в связи с изучением явлений переноса.

Теория матрицы плотности и ее применения успешно рассматривались рядом авторов. Мы упомянем здесь, в частности, обзоры Фано (Fano, 1957) и тер Хаара (ter Haar, 1961). В ряде учебников по квантовой механике также рассмотрен соответствующий формализм (Messiah, 1965; Roman, 1965; Gottfried, 1966)1). Эти источники, а также многие другие (ссылки на них даны в соответствующих разделах) были использованы при написании этой книги. Ввиду ее вводного характера мы ссылаемся, как правило, лишь па монографии и обзоры, а также на те оригинальные статьи, результаты которых использованы в тексте.

Мое понимание теории и применений матрицы плотности в течение ряда лет совершенствовалось благодаря многочисленным обсуждениям с коллегами в университетах Стирлинга и Мюнстера. Я особенно благодарен проф. X. Клейнпоппену, который впервые привлек мое внимание к атомной физике, за его постоянную поддержку. Я благодарен проф. Дж. Кесслеру, который прочитал часть рукописи и дал полезные советы при просмотре первой и второй корректур. Д-р X. Якубович прочитал всю рукопись и внес ряд улучшений, а К. Бартшат проверил большинство уравнений. Кроме того, я благодарен г-же Куин и г-же Раффин за помощь в подготовке рукописи.

Карл Блум

*) Теорию матрицы плотности см. также в книгах: Ландау и Лифшиц, 1963; Боголюбов, 1970, с. 288—318; Зубарев, 1971, § 7—8. — Прим. ред.

1

Основные понятия

Спиновые состояния и матрица плотности для частиц со спином 1/2

Чистые спиновые состояния

Чтобы познакомиться с основными понятиями теории матрицы плотности, начнем с проблемы описания спиновых состояний для частиц со спином 1/2. Прежде всего напомним некоторые результаты квантовомеханической теории эксперимента Штерна и Герлаха, а в последующих разделах дадим другую интерпретацию этих результатов и обсудим их более детально.

Рис. 1.1. Фильтр Штерна — Герлаха.

Рассмотрим пучок частиц со спином 1/2 (например, атомов водорода), проходящих сквозь магнит в опыте Штерна— Герлаха, причем градиент поля направлен вдоль оси z (в фиксированной системе координат х, у, г) (рис. 1.1). В общем случае пучок расщепится по вертикали на две части, каждая из которых соответствует одному из возможных собственных значений компоненты S2 спинового оператора S(m=±l/2). Если один из расщепленных пучков удалить (например, нижний на рис. 1.1), то оставшиеся частицы будут находиться в состоянии, соответствующем лишь одному из этих собственных значений; для схемы опыта, изображенной на рис. 1.1, таким значением будет т = +1/2. Аналогично, если всю установку повернуть так, чтобы градиент поля имел направление г', то оставшиеся частицы будут находиться в состоянии, характеризуемом квантовым числом т' = +1/2 (здесь т' — собственное значение оператора Sz' — компоненты оператора S в направлении z'Y

Если падающий пучок с самого начала содержит только частицы в состоянии с m — +1/2, то он пройдет сквозь установку, изображенную на рис. 1.1, без какой-либо потери интенсивности. Во всех остальных случаях часть пучка будет отфильтрована и результирующий пучок будет иметь меньшую интенсивность, чем падающий. Однако путем поворота установки на различные углы относительно оси г' можно найти такую ориентацию магнита, при которой пропускается полностью весь пучок. Например, если падающий пучок со-

2 и2 и

2 и

2 и

Рис. 1.2. а— спин «имеет направление» z; б — спин «имеет направление» — 2.

держит только компоненту спина, соответствующую т' = = +1/2 в системе координат с осью г', то он ослабляется при прохождении установки, изображенной на рис. 1.1. Однако если повернуть магнит так, чтобы градиент поля был направлен вдоль оси г', то пучок будет проходить без ослабления. В этом случае все частицы отклонялись бы одинаково; иными словами, в данном конкретном эксперименте они все вели бы себя тождественно. Это позволяет нам дать следующее (предварительное) определение:

► Если возможно найти такую ориентацию установки в опыте Штерна—Герлаха, при которой данный пучок полностью пропускается, то говорят, что пучок находится в чистом спиновом состоянии.

Если обратиться к полуклассической векторной модели, то пучок частиц с определенным значением квантового числа т = +1/2 можно описать, считая, что вектор спина каждой частицы прецессирует вокруг направления оси z, причем проекция его на ось z равна +1/2 (рис. 1.2, а). В таком случае говорят, что частипы обладают «спином вверх» Аналогично

описывается и случай т =—1/2 (рис. 1.2,6) («спин вниз»); векторы спина частиц, находящихся в собственных состояниях вектора 5г, прецессируют вокруг оси г. В случае чистого спинового состояния векторы спина частиц прецессируют вокруг только одного направления, параллельного такому расположению установки Штерна — Герлаха, при котором пучок проходит сквозь нее без ослабления.

Если известно, что состояние данного пучка является чистым, то совместное состояние всех частиц можно представить с помощью одного и того же вектора состояния |%>. Это существенный пункт, и мы проиллюстрируем его некоторыми примерами. Если пучок частиц полностью проходит через установку Штерна—Герлаха, ориентированную вдоль направления z, то мы говорим, что все частицы в пучке находятся в тождественных спиновых состояниях с квантовым числом m = 1/2 по отношению к оси z или что все частицы имеют спин вверх относительно оси z. Такое состояние можно описать, поставив в соответствие всему пучку вектор состояния |х> = | + 1/2>. Аналогично пучок частиц с m = —1/2 можно охарактеризовать с помощью вектора состояния |х> = = | — 1/2>. В обычном представлении Паули векторы состояний можно представить двумерными векторами-столбцами.

।1 \ А ।1 \ / о А

| + "2) = (oJ; I ~ ) = С 1 J ’(I-1-13)

а сопряженные им состояния — векторами-строками

(+|| = (1, 0); (-1| = (0, 1).(1.1.16)

Вообще говоря, в пучке, выходящем из установки Штерна — Герлаха, в которой градиент магнитного поля направлен вдоль оси z', все частицы пучка находятся в состоянии с определенным квантовым числом m' = +1/2 относительно оси z' как оси квантования. Совместное состояние всех частиц можно описать вектором состояния |х> = | + 1/2, z'').

Общее спиновое состояние |х> всегда можно записать как линейную комбинацию (суперпозицию) двух базисных состояний, например состояний |±1/2>:

lx) = ai|+4) + a2|-^).(1-1.2)

В представлении (1.1.1) это эквивалентно следующей записи:

IХ> = ( _ )•(1.1.2а)

(1.1.26)(1.1.26)Сопряженное состояние описывается вектором-строкой:

(1.1.26)

(1.1.26)

<Х I = «> ^);

(здесь звездочка означает комплексное сопряжение).

Состояние |%> нормируется следующим образом:

<XlX> = l«i I2+la2P = 1.(1.1.3)

Чистое спиновое состояние можно характеризовать, задавая либо направление спинов (например, с помощью полярных углов в нашей фиксированной системе координат), либо коэффициенты «1 и «2 в разложении (1.1.2). В следующем разделе мы выясним связь между этими двумя описаниями и получим явное выражение для коэффициентов а, и аг.

Установка типа изображенной на рис. 1.1 действует в качестве фильтра, так как независимо от состояния падающего пучка выходящий из нее пучок находится в определенном спиновом состоянии, которое зависит от ориентации магнита. Пропускание пучка через фильтр можно поэтому рассматривать как способ приготовления пучка частиц в чистом состоянии.

Вектор поляризации

Для более детального описания чистых спиновых состояний введем так называемый вектор поляризации Р, компоненты которого определяются как средние значения соответствующих матриц Паули:

(1.1.4)(1.1.4)Pi = <ot)

(1.1.4)

(1.1.4)

(z = х, у, г). В случае чистых спиновых состояний эти средние значения определяются соотношениями

<^) = <Х1^1Х>.(1-1.5)

В представлении (1.1.1) матрицы Паули имеют вид

/ 0 1 \/ 0 — I \/ 10 \

Gx = lioJ’ CTy = (z oj’ °г VO-17' <LL6)

Средние значения (1.1.5) можно вычислить с помощью определений (1.1.2а), (1.1.26) и (1.1.6), рассматривая векторы- столбцы и векторы-строки как одномерные матрицы и применяя правила умножения матриц. Приведем несколько

примеров с целью продемонстрировать важность понятия вектора поляризации.

Пучок частиц находящихся в чистом состоянии |-{-1/2), обладает вектором поляризации с компонентами

(1.1.7а)(1.1.7а)

(1.1.7а)

(1.1.7а)

Аналогично для ансамбля частиц, находящихся в чистом состоянии | — 1/2), вектор поляризации имеет компоненты

Рх = 0, Ру = 0, Рг = -\.(1.1.76)

Таким образом, состояния | + 1/2) и | — 1/2) характеризуются векторами поляризации единичной длины, направленными соответственно вдоль оси (+z) и (—z). Поэтому состояния | + 1/2) и | — 1/2) можно назвать состояниями с противоположной поляризацией.

Рассмотрим теперь чистое состояние общего вида (1.1.2). Прежде всего удобно параметризовать коэффициенты щ и аг, которые являются комплексными числами и определяются четырьмя действительными числами, характеризующими величины и фазы. Полная фаза состояния (1.1.2) не имеет физического смысла и может быть выбрана произвольно; например, можно потребовать, чтобы коэффициент ai был действительным. Из этого требования совместно с условием нормировки (1.1.3) следует, что чистое спиновое состояние общего вида (1.1.2) полностью определяется заданием двух действительных чисел. В качестве таких чисел удобно ввести параметры 6 и 6, определив их равенствами

а, = cos (9/2), а2 = е‘б sin (9/2);(1.1.8)

здесь 6 — относительная фаза коэффициентов ai и аг. Используя (1.1.8), запишем (1.1.2а) в виде

/ cos (9/2) \

sin (9/2) J '^Л'9)

Для выяснения физического смысла параметров 9 и 6 рассмотрим вектор поляризации, соответствующий состоянию

Тогда получим

/ОРх = (cos (9/2)e"i6sin(9/2))^1/ОРх = (cos (9/2)e"i6sin(9/2))^1cos (9/2) X eid sin (9/2) /cos (9/2) X eid sin (9/2) /= sin 9 cos 6,= sin 9 cos 6,

/О

Рх = (cos (9/2)e"i6sin(9/2))^1

/О

Рх = (cos (9/2)e"i6sin(9/2))^1

cos (9/2) X eid sin (9/2) /

cos (9/2) X eid sin (9/2) /

= sin 9 cos 6,

= sin 9 cos 6,

Рн = sin 0 sin 6, Pz = cos9.Рн = sin 0 sin 6, Pz = cos9.(1.1.10a)(1.1.106)(1.1.10b)(1.1.10a)(1.1.106)(1.1.10b)

Рн = sin 0 sin 6, Pz = cos9.

Рн = sin 0 sin 6, Pz = cos9.

(1.1.10a)

(1.1.106)

(1.1.10b)

(1.1.10a)

(1.1.106)

(1.1.10b)

Вектор поляризации (1.1.10)Вектор поляризации (1.1.10)имеет единичную длину:имеет единичную длину:

Вектор поляризации (1.1.10)

Вектор поляризации (1.1.10)

имеет единичную длину:

имеет единичную длину:

следует,следует,что параметры 9 и 6 можно углы, определяющие направле-что параметры 9 и 6 можно углы, определяющие направле-Рис. 1.3. Направление вектора Р.Рис. 1.3. Направление вектора Р.

следует,

следует,

что параметры 9 и 6 можно углы, определяющие направле-

что параметры 9 и 6 можно углы, определяющие направле-

Рис. 1.3. Направление вектора Р.

Рис. 1.3. Направление вектора Р.

|Р| = (Р2 +Р2 +Рг2у/2= 1.(1.1.11)

Из выражений (1.1.10) рассматривать как полярные ние Р, причем 9 представляет собой угол между вектором Р и осью z, а относительная фаза 6—азимутальный угол вектора Р (рис. 1.3).

Можно ввести новую систему координат х', у', г’ так, чтобы ось z' была параллельна вектору Р. Выбирая ось z' в качестве оси квантования, получим в новой системе координат Р*'=0, Р^О, Рг' = = 1, т. е. все частицы обладают «спином вверх»относительно оси z'. Это означает, что

направление вектора поляризации совпадает с тем, «вдоль которого ориентированы спины». Если направить пучок через фильтр Штерна—Герлаха, расположенный параллельно вектору Р, то весь пучок пройдет через фильтр полностью.

Выражения (1.1.9) и (1.1.10) позволяют построить в явном виде спиновые функции для любого чистого состояния. Пусть, например, данный пучок частиц находится в чистом состоянии, при котором спины ориентированы вдоль оси х исходной системы координат. Тогда соответствующий вектор поляризации также направлен вдоль оси х и, следовательно, имеет полярные углы 9 = 90°, 6 = 0. При этом, как видно из

вектор состояния имеет вид

хх(1.1.12а)(1.1.12а)

х

х

(1.1.12а)

(1.1.12а)

Пучок частиц со «спином вниз» по отношению к оси х имеет вектор поляризации, направленный вдоль (—х), и характеризуется полярными углами 0 — 90°, 6 = 180°. Соответствующий вектор состояния имеет вид

(1.1.126)(1.1.126)

(1.1.126)

(1.1.126)

Аналогично векторы состояний пучка частиц со «спином вверх (вниз)» относительно оси у будут представлены соответственно векторами-столбцами

+ 2’ ^~ж(*)’|-Т- ^ = >( V)-(I-1.12B, г)

Следует заметить, что четыре состояния (1.1.12) строятся как суперпозиции состояний | + 1/2) и | — 1/2) с одинаковыми по величине коэффициентами | он | = |а2| — 1/2|/2, но с различными относительными фазами. Соответствующие векторы поляризации имеют одинаковые углы 9, но различные азимутальные углы в зависимости от того, какова относительная фаза (сдвиг фаз) между состояниями | ± 1/2).

Смешанные спиновые состояния

Чистые спиновые состояния не являются наиболее общими состояниями, в которых может находиться ансамбль частиц. Пусть, например, два пучка частиц приготовлены независимо, один в чистом состоянии | + 1/2), а другой в чистом состоянии | — 1/2). Под словом «независимо» здесь понимается то, что между пучками отсутствует какое-либо определенное фазовое соотношение (этот пункт будет пояснен ниже). Пусть первый пучок состоит из Ai частиц, а второй — из А2 частиц. Будем изучать состояние поляризации всего пучка, направляя его через фильтр Штерна—Герлаха при различной ориентации последнего. Тогда мы обнаружим, что невозможно найти такую ориентацию фильтра, при которой через него проходит весь пучок полностью. Отсюда следует, что объединенный пучок по определению не является чистым спиновым состоянием.

► Состояния, не являющиеся чистыми, называются смешанными состояниями, или смесями.

Теперь следует рассмотреть проблему описания состояния объединенного пучка. Очевидно, это невозможно сделать с помощью одного лишь вектора состояния |%>, так как с любым таким состоянием обязательно связано некоторое направление, вдоль которого ориентированы все спины, именно направление вектора поляризации. Тогда, ориентируя вдоль этого направления фильтр Штерна—Герлаха, мы должны были бы получить на выходе весь пучок без ослабления. Поскольку, однако, такого направления не существует, смешанное состояние (смесь) невозможно описать с помощью лишь одного вектора состояния.

В частности, смесь нельзя представить в виде линейной комбинации состояний | + 1/2> и | — 1/2>, соответствующих каждому из двух составляющих пучков. Чтобы построить такую линейную комбинацию, необходимо знать величины коэффициентов Д) и яг и их относительную фазу д. При этом квадраты модулей |ai|2 и |я2р представляют собой соответственно вероятности Ир и W2 обнаружить частицу в состоянии | +1/2> и |—1/2). В рассматриваемом случае смеси эти вероятности известны: W) = Ny/N, W2 = N2[N, N = Ny + N2, и их можно использовать для определения величин коэффициентов 1Г1 = |я1|2, У72 =| Яг!2. Однако существенный момент состоит в том, что оба пучка приготовлены независимо, так что между ними не существует определенного фазового соотношения, а без определенного значения фазы 6 нельзя построить вектор состояния |%), описывающий объединенный пучок.

Смесь следует описывать, точно указывая способ ее приготовления. Например, в случае рассматриваемого пучка известно, что ^l частиц приготовлены в состоянии |-|-I/2>, N2 частиц — в состоянии | — 1/2) совершенно независимо друг от друга. Это утверждение содержит всю имеющуюся информацию о смеси.

Продолжим рассмотрение нашего примера и вычислим вектор поляризации, описывающий объединенный пучок. Вектор Р можно получить, беря статистическое среднее по обоим составляющим пучкам:

Нетрудно установить, что

Рх = 0, Ри = 0, Pz = Wv-W2 = ^Ny-N^N. (1.1.13) Следует заметить, что длина вектора поляризации меньше единицы, причем она пропорциональна разности заселенности двух состояний | + 1/2) и | — 1/2).

В более общем случае, когда пучок приготовлен путем смешивания Na частиц в состоянии |%а) и Nb частиц в состоя-

нии ,ХбХ компоненты вектора поляризации определяются путем статистического усреднения по независимо приготовленным пучкам:

Pi = Wa <Ха I Ci I Ха) + Wb (.Хь I Ci I Xb) =(1 ■ 1.14)

= WaP^ + WbP^-(1.1.14a)

Здесь Wa = Na)N, Wb = Nb/N, P^, P^ — компоненты векторов поляризации, соответствующих каждому из пучков [см. соотношение (1.1.5)]. Соотношение (1.1.14) можно переписать в векторном виде:

р = гар№ + Г6Р(6).(1.1.146)

Поскольку | Р<°) ] = 1, |Р<6>| = 1, длина вектора Р определяется соотношением

Р2 = (Гар(«) + ГьР(6))2 =

= W^, (Р'аУ + Г2 (Р^)2 + 2WGWbPw • Р(М +

< w^ + Г2 4- 2WaWb = (Га 4- Wby = 1.(1.1.15)

Здесь учтено, что скалярное произведение р<а) - р<») двух различных единичных векторов всегда меньше единицы.

Равенство в (1.1.15) имеет место лишь при р(а).р(ь> = = 1, т. е. когда оба пучка имеют одинаковые векторы поляризации. В этом случае оба составляющих пучка находятся в одинаковых спиновых состояниях [описываемых выражениями (1.1.9) и (1.1.10)], так что и объединенный пучок находится в чистом спиновом состоянии. Напротив, если два пучка смешиваются в тождественных спиновых состояниях, то результирующий пучок состоит из частиц, находящихся в тождественных спиновых состояниях, и потому характеризуется вектором поляризации единичной длины. Проведенные выше рассуждения можно без труда обобщить на случай смесей, состоящих более чем из двух пучков.

Итак, получен следующий результат: длина вектора поляризации ограничена условием

0^|Р]^1.(1.1.16)

Максимально возможное значение |Р|= I достигается тогда (и только тогда), когда рассматриваемый пучок находится в чистом состоянии. Смеси всегда характеризуются вектором поляризации, длина которого меньше единицы.

Полученный результат вновь подтверждает основное свойство чистого спинового состояния: все частицы находятся в тождественных состояниях, причем все спины ориентированы

в одном и том же направлении, а именно в направлении вектора поляризации Р.

В дальнейшем мы будем называть состояния с |Р|>0 поляризованными, а состояния с |Р| = 0 — неполяризованны- ми. Чистые состояния с |Р|= 1 будут называться полностью поляризованными.

Сравнение чистых и смешанных состояний

Прежде чем перейти к дальнейшему анализу, важно четко осознать различие между чистыми и смешанными состояниями. Рассмотрим эти состояния вновь с другой точки зрения. Именно, рассмотрим следующую задачу. Пучок частиц, полностью поляризованный в направлении оси у, т. е. описываемый вектором (1.1.12в):

|+р ’ЬрКЮ+'НД ,J7a) падает на фильтр Штерна—Герлаха, ориентированный вдоль осп z. Что произойдет при этом? Как известно из квантовой механики, хотя мы точно знаем, что каждая частица пучка находится в состоянии | + 1/2, уУ, невозможно предсказать, пройдет ли данная отдельная частица через фильтр. Дело в том, что измеряемая система, вообще говоря, испытывает возмущение в процессе измерения. В данном случае измерительный прибор (фильтр) совершенно неконтролируемым способом изменяет состояние падающих частиц. Иными словами, можно лишь предсказать вероятность того, что частица будет пропущена фильтром и после прохождения окажется в состоянии | + 1/2> или будет задержана им. Из выражения (1.1.17а) видно, что вероятность каждого из этих событий равна 1/2. Единственный случай, для которого можно предсказать с полной определенностью, пройдет ли данная частица через фильтр или нет, имеет место при ориентации фильтра вдоль оси у; именно тогда все частицы свободно пройдут через фильтр. Однако в общем случае процесс измерения может быть описан лишь статистически.

В силу сказанного состояние, представленное линейной комбинацией вида (1.1.17а), следует интерпретировать следующим образом. До измерения все частицы находятся в тождественных состояниях вида (1.1.17а), так что все частицы обладают одинаковым квантовым числом т' =1/2, которое определено относительно оси у как оси квантования. Квантовое число т относительно оси 2 остается полностью неопределенным в состоянии (1.1.17а) в том смысле, что любая частица в пучке обладает равной вероятностью как пройти

через фильтр, ориентированный вдоль оси z, так и быть задержанной им. [Грубо говоря, можно сказать, что частицы в состоянии, описываемом линейной комбинацией (1.1.17а), «не знают» своего значения т]. Если пучок направляется на фильтр, ориентированный параллельно оси z, взаимодействие с установкой изменяет состояние пучка и вынуждает частицу перейти в одно из собственных состояний.

Рассмотрим теперь смесь, состоящую из

Nt = N/2 частиц в состоянии 1+1/2),

N2 = NJ2 частиц в состоянии |—1/2), (1.1.176) причем оба составляющих пучка приготовлены независимо. Как видно из равенств (1.1.13), результирующий пучок оказывается неполяризованным. Если этот пучок направить на фильтр Штерна — Герлаха, ориентированный вдоль оси z, пропущенный пучок будет обладать лишь половиной интенсивности падающего. В этом опыте смесь (1.1.176) н чистое состояние (1.1.17а), хотя и по разным причинам, приводят к одинаковому результату. Если в случае состояния [1/2, у) все частицы пучка находятся в одном и том же состоянии, то в случае смеси (1.1.176) мы располагаем меньшей информацией. Об этой смеси известно лишь, что любая частица может с равной вероятностью находиться в состоянии | +1/2> или |—1/2>. В указанном смысле состояние смеси является неполностью определенным. При прохождении через фильтр частицы с т=—1/2 задерживаются, так что через него пройдет лишь половина пучка, соответствующая частицам в состоянии I + 1/2>.

Этот пример показывает, что статистика необходима уже для описания начального состояния смеси; состояние частиц точно неизвестно, так что смешанному пучку нельзя приписать какой-либо единственный вектор состояния.

В заключение подчеркнем, что при описании ансамбля частиц со спином 1/2 используется два типа статистического усреднения. Прежде всего статистические методы необходимо использовать ввиду неконтролируемого возмущения, которое вносит любое измерительное устройство. Кроме того, при анализе смесей известно лишь, что частицы могут находиться в любом из возможных спиновых состояний. Статистическое описание следует применять из-за отсутствия достаточной информации о системе. Именно для описания второй из этих ситуаций и был прежде всего разработан формализм матрицы плотности.

Более систематический анализ поставленных выше задач проводится в гл. 2.

Спиновая матрица плотности и ее основные свойства

Основные определения

На любой вопрос, касающийся поведения чистого или смешанного состояния, можно ответить, указав состояния, присутствующие в смеси, а также их статистические веса Wi. Однако соответствующие вычисления часто бывают очень громоздкими. Поэтому мы опишем здесь альтернативный метод характеристики чистых и смешанных состояний.

Рассмотрим пучок из Na частиц, приготовленных в состоянии |ха>, и еще один независимый от первого пучок из Мь частиц, приготовленных в состоянии |х&>. Для описания объединенного пучка введем оператор р, определяемый выражением

Р = №а1Ха)<Ха1 Wblxb)<Xbl,(1.1.18)

где Wa = Na/N, Wb = Nb/N, N = Na + Nb.

Оператор p называют оператором плотности или статистическим оператором. Он описывает способ приготовления пучков и тем самым содержит всю информацию о полном пучке. В этом смысле смесь полностью определена своим оператором плотности. В частном случае чистого состояния |х> оператор плотности дается выражением

Р = 1Х)<Х|.(1.1.18а)

Как будет показано ниже, обычно более удобно записывать оператор р в матричной форме. Для этого выберем набор базисных состояний (обычно | 4- 1/2> и | — 1/2>) и разложим состояния |%а> и |Хб> по этому набору согласно соотношению (1.1.2):

|ха)=^|+4)+^|-^,

В представлении (1.1.1) запишем

/ а\°' \/ а^ \

I Ха) ~ I а(а) J I Xb) = I ) ’(1.1.20a)

а для сопряженных состояний —

(%й| = (а(1а,*> <'*)’ (х,^^’, а^*у (1.1.206)

Применяя правила умножения матриц, получим для «внешнего произведения»

(1.1.21)(1.1.21)(/ а »' 2 а<а’а!Д \aw )VU1 ’)у^^ 1а(а)|2

(1.1.21)

(1.1.21)

и аналогичное выражение для произведения ]ХбИХб1- Подставляя эти выражения в (1.1.18), находим матрицу плотности

( ^«Н"^ ^И’Г W-W + Wba\b'a№*\ 9=\Waa№*a^-YWba\bW* Wa | a^ |2 + Wb | аД |3 J- (M-22)

Поскольку при выводе выражения (1.1.22) были использованы базисные состояния |±1/2>, полученное выражение называют .матрицей плотности в {[ ± \ (ТД-представлении.

Чтобы сделать дальнейшие формулы более компактными, введем определения |1/2>=|х1> и | — 1/2>=|хг>. В этих обозначениях общий элемент матрицы плотности, стоящий па пересечении г-й строки и /-го столбца, дается выражением

^W>) = ^ aaWf* +^b^a^*> U-1.23) где I, / = 1, 2.

Матрица плотности имеет, очевидно, различную форму в разных представлениях, тогда как оператор (1.1.18) не зависит от выбора базисных состояний. Далее всегда будет предполагаться, что базисные состояния образуют ортонормиро- ванный набор, т. е.

<Х;1Х/) = бг/, (1-1.24) где б</ — символ Кронекера; при i = / выполняется условие (1.1.3).

При выполнении условия нормировки (1.1.3) след) матрицы плотности дается выражением

trp = ^a + ^6=l, (1.1.25) которое не зависит от выбора представления.

В качестве примера рассмотрим случай смеси, состоящий из Ni частиц, приготовленных в состоянии ,Xi) = | + 1/2>, и Ni частиц, независимо приготовленных в состоянии | Хз> =

^ ]—1/2>. Полный пучок описывается тогда оператором плотности

p-^I + tX + tI + ^I-tX-tL <LL26a) где Wt = Ni/N, а матрица плотности в {| ±1/2»-представлении диагональна

Ыр1х/? = 1ХД7.(1.1.266)

Физический смысл матрицы плотности

Диагональные элементы матрицы плотности

(xdPlZ^-^l^r + ^KI2 (г = 1, 2) (1.1.27)

имеют непосредственный физический смысл. Поскольку вероятность нахождения частицы смеси в состоянии |%о> равна Wa, а вероятность того, что состояние |%а) входит в |%г), равна ]а)а)р> произведение й?а] а)а) ^представляет собой вероятность того, что частица, первоначально приготовленная в состоянии |хя\ будет обнаружена в состоянии |х,) после того, как произведено измерение. Поэтому диагональный элемент (1.1.27) дает полную вероятность того, что частица будет обнаружена в соответствующем базисном состоянии |%;>.

Таким образом, если пучок, описываемый оператором плотности р, пропускается через фильтр Штерна — Герлаха, ориентированный параллельно (или антипараллельно) оси z, то диагональный элемент (%, (р |х» ~{~|р|4’) (или соответственно (“yjp]-д) оператора р в {] ± 1/2»-представле- нип дает вероятность прохождения частицы через фильтр.

Этот результат можно обобщить на случаи произвольных состояний |%). Рассмотрим матричный элемент <%]р]х>, который получается, если «зажать» оператор (1.1.18) между состоянием |%) и сопряженным ему состоянием <х|:

<% IР I %) = Wa (% 1 7.а) <1а |» ± W, (х | X/ <7.51Z.) =

= UZaKa’l2 + lXd±'143;(1.1.28)

здесь и<°> = <%а | ^, а^ = <;/6|/>. Сравнивая выражения (1.1.27) и (1.1.28), можно видеть, что матричный элемент <Zh'IZ> представляет собой полную вероятность обнаружить частицу в чистом состоянии |/>, входящем в смесь, описываемую оператором р. Таким образом, если пучок, описываемый оператором р, направляется на фильтр, полностью пропускающий только пучок в состоянии |%), то выражение (1.1.28) дает

вероятность того, что любая из частиц пучка пройдет через фильтр.

Пусть, например, пучок, описываемый матрицей плотности р (1.1.26), направляется на фильтр, ориентированный вдоль оси у. Вероятность того, что частица из пучка пройдет через фильтр, определяется матричным элементом <1/2, z/|p| 1/2, уУ Разлагая Ц-1/2, у1) по состояниям (|±1/2)} в соответствии с (1.1.12в) и используя выражение (1.1.26), получаем

/1\1 Г ^ 1 0 \ / 1 \

( + "2- У|р|+2"’=

= |(U7i + U72).

Существенно отметить, что всю информацию о спиновом состоянии любого пучка можно получить (по крайней мере в принципе), если направлять такой пучок па фильтры Штерна—Герлаха с различной ориентацией. Следовательно, если известна матрица плотности р, мы можем вычислить результат любого такого опыта с помощью соотношения (1.1.28). В этом смысле р содержит всю существенную информацию о спиновом состоянии данного пучка.

Число независимых параметров

Рассмотрим далее, сколько параметров требуется для полного определения данной матрицы плотности. Комплексная матрица второго порядка [например, матрица типа (1.1.22)] определяется четырьмя комплексными величинами <х/|р|х/>, что соответствует восьми действительным параметрам. Матрица плотности эрмитова, следовательно, р удовлетворяет условию

<Xt IР I Х/> = <Х/1Р I Х<>*-(1.1.29)

В этом можно убедиться, обращаясь непосредственно к выражениям (1.1.22) и (1.1.23). Отсюда следует, что диагональные элементы действительны и, кроме того, действительные и мнимые части недиагональных элементов связаны между собой соотношениями

Re( + l|p|- l) = Re(-l|p| + l),

Im ( + 11 р |_ Im ( _ ^ | р | + ^).

Эти соотношения уменьшают число независимых действительных параметров до четырех. Условие нормировки (1.1.25)

фиксирует еще один параметр, так что в итоге матрица плотности полностью характеризуется всего тремя действительными параметрами. Следовательно, для полного определения матрицы плотности, описывающей произвольный пучок частиц со спином 1/2, необходимо произвести три независимых измерения.

Полезно рассмотреть этот результат с другой точки зрения. Определяя оператор плотности равенством (1.1.18), мы основывались на том, что нам был известен способ приготовления данного пучка. Такое определение можно обобщить на случай любого числа составляющих пучков. Чтобы записать оператор плотности или соответствующую ему матрицу плотности [выражения (1.1.18) и (1.1.22)], необходимо, очевидно, указать все присутствующие в смеси чистые состояния ] Ха\ | %й>, ... вместе с их статистическими весами W а, Wb, ... - Однако, как было показано выше, для полного определения матрицы плотности для пучка любой сложности достаточно всего трех параметров.

Это не столь удивительно, как может показаться на первый взгляд, поскольку одна и та же матрица плотности может описывать различные смеси, приготовленные совершенно различными способами. Рассмотрим, например, смесь, описываемую оператором плотности

и смесь, описываемую оператором

Построив соответствующие матрицы плотности в||± о/)” представлении п применив выражения (1.1.12а) и (1.1.126), можно показать, что оба пучка описываются одной и той же матрицей плотности

Р 2 Vo 1 Л

Из соотношения (1.1.28) следует, что оба пучка во всех опытах будут вести себя тождественно с точки зрения свойств поляризации. Наоборот, для определения способа, каким приготовлен пучок, недостаточно знать только элементы матрицы плотности. В действительности эта информация несущественна. Существенная информация содержится только в трех

независимых параметрах, определяющих матрицу плотности, так как, зная эти параметры, мы можем предсказать поведение соответствующего пучка в любом эксперименте по измерению поляризации. По указанной причине мы будем считать два пучка тождественными, если они описываются одной и той же матрицей плотности.

Выражение (1.1.18) обычно не применяется. Поэтому вместо того, чтобы определять оператор плотности, указывая характеристики составляющих пучков и их статистические веса, мы используем операциональный подход и выразим матрицу плотности через результаты трех независимых измерений. В следующем разделе мы опишем простой способ построения матрицы плотности, исходя из вектора поляризации.

Параметризация матрицы плотности

Умножим выражение (1.1.18) справа на матрицу Паули <5i и вычислим след полученного оператора:

tr poz = Wa tr (I %о) (хо I or,.) + Wb tr (I Хб) (x6 I a£) =

= Wa(Xa ki I Xa) + ^6<X»k<IX6>-(1.1.30)

К этому результату можно прийти, используя явное матричное представление (1.1.6) и (1.1.21) или более непосредственно, применяя соотношение

trdxXxkO^XkJx).(1.1.31)

Подставляя (1.1.14а) в (1.1.30), находимважныйрезультат

►1грогг=Р,.,(1.1.32)

гдеPiесть i-якомпонента вектора поляризацииполного

пучка.

С помощью этого результата можно выразить элементы матрицы р через компоненты Pi. Применяя правила действий с матрицами, можно показать, что в | i-g/j -представлении р дается выражением

1 / 1 + Р2 Рх — 1Р„ X

►P^TL^ + i^ \-Р2У(1.1-33)

Более изящный метод получения последнего результата приведен в разд. 1.1.6.

Три компоненты Рх, Ру, Pz представляют собой тот минимальный набор данных, который необходим для определе-

ния матрицы плотности любого пучка; в дальнейшем мы бу- дем считать матрицу плотности определенной выражением (1.1.33).

Проиллюстрируем применение выражения (1.1.33). Пусть пучок частиц, характеризуемый матрицей (1.1.33), проходит через фильтр, ориентированный в направлении г. Вероятность того, что частица пройдет через фильтр, согласно (1.1.28) определяется выражением

(+4|р|+4')=4(1

Аналогично, применяя выражения (1.1.12а), (1.1.12в) и (1.1.33), можно показать, что вероятности прохождения частицы через фильтр, ориентированный в направлениях х и у, равны соответственно

( + 4- х|р|+4’ x) = 4(! + pxV

( + 4- У = + Р^‘

Дадим, наконец, еще одно полезное представление для р, получаемое путем перехода к системе координат хг, у', г', где ось z' параллельна вектору Р, а оси х' и у' выбираются произвольно, но ортогональны друг другу и оси z'. В этом случае Рх- = Ру- = 0, Р2- = | Р |. Тогда в представлении с осью квантования г' матрица р имеет вид

Если рассматриваемый пучок полностью поляризован, |Р| = ■= 1, то

/ 1 ОХ

Р = (о 0/)(1-1-35)

и пучок находится в чистом состоянии | + 1/2,+>. Если пучок не поляризован, то | Р| = 0 и соответствующая матрица плотности имеет вид

/ 1 ОХ

Р=2(0(1-1-36)

J.J.5.5. Идентификация чистых состояний;

В разд. 1.1.2 было показано, что данный пучок находится! в чистом состоянии тогда и только тогда, когда длина его] вектора поляризации имеет максимально возможное значение} |Р|=1. Представим теперь этот результат в другой форме,] более полезной при описании более сложных систем.’

С помощью выражения (1.1.33) можно показать, что след} матрицы р2 дается выражениемi

tr (р2) = (1/2) (1 + Р2 + Р^ + Р^) = (1/2) (1 +1 Р |2);'

следовательно, равенство

tr (р2) = 1 (1.1.37) является необходимым и достаточным условием того, что рассматриваемый пучок находится в чистом состоянии. [Заметим, что равенство следа в (1.1.37) единице следует из условия нормировки (1.1.25).]

В случае чистого состояния условие (1.1.37) налагает дополнительное ограничение на элементы матрицы плотности, Таким образом, чистое состояние характеризуется только двумя независимыми параметрами в соответствии с выражением (1.1.9).

Алгебра матриц Паули■

В разд. 1.1.5 было показано, что результат любого опыта» проведенного с данным пучком, можно вычислить, если из-И вестна соответствующая матрица плотности. До сих пор для этого требовалось совершить математические действия, ио» пользуя конкретное представление и применяя правила мат» ричной алгебры. Такая процедура, вообще говоря, громозди» и трудоемка. В этом разделе будет описан более экономны™ способ проведения подобных вычислений.■

Изложение базируется на следующем основном соотноше» нии между матрицами Паули (i, / = х, у, z):■

о^, = 6^/1 + i 2 Вцкок,(1.1.38»

где бц — символ Кронекера, 1 обозначает двумерную

ную матрицу и।1, если i, !, к&ilk = { ~ 1> если Р /> &ную матрицу и।1, если i, !, к&ilk = { ~ 1> если Р /> &являются четной перестановкой XYZ, являются нечетной

ную матрицу и

।1, если i, !, к

&ilk = { ~ 1> если Р /> &

ную матрицу и

।1, если i, !, к

&ilk = { ~ 1> если Р /> &

перестановкой XYZ,

едини»едини»(1.1.39;(1.1.39;0, если любая пара индексов совпадает.

едини»

едини»

(1.1.39;

(1.1.39;

Например, при 1 = / соотношение (1.1.38) дает

о/ = 1,(1.1,40а)

а при i = х, / = у имеем

oxoy = ioz, oyox = — io2.(1.1.406)

Из формул (1.1.37) и (1.1.40) следует, что при i =Y= j

OiOj + 0,0, =0.(1.1.40в)

Соотношение (1.1.38) полностью определяет алгебру матриц Паули; его доказательство можно найти в любом учебнике квантовой механики.

Важное свойство соотношения (1.1.38) состоит в том, что оно сводит квадратичные комбинации матриц Паули к линейным. Это позволяет проводить поэтапное вычисление следов от произведений матриц Паули о,, уменьшая на каждом этапе число матриц, входящих в данный след. Приведем несколько примеров.

Прежде всего, как видно из определения (1.1.6),

tro/ = 0.(1.1.41)

Беря след от обеих частей (1.1.38) и используя (1.1.41) получаем

tr с^сг, — 26,,.(1.1.42а)

Произведение трех матриц Паули можно сначала свести к квадратичной комбинации с помощью (1.1.38):

^Xi^m == ^ij^m i S В цкО кО

беря затем след этого выражения и используя (1 1.41) и (1.1.42а), находим

1г 0(0j^m ^^ ^ B(jk6km = <2ieljm.(1-1 -426 )

Еще одно важное свойство матриц Паули состоит в том, что любую двумерную эрмитову матрицу можно представить в виде линейной комбинации единичной матрицы 1 и матриц ос Рассмотрим, например, матрицу плотности. Предположим, что она имеет следующий вид:

р = al + £ bjop(1.1.43)

в этом выражении неизвестны и подлежат определению четыре коэффициента а, Ьх, Ьм, Ь2. Такое предположение допустимо, поскольку условие эрмитовости уменьшает число неза-

висимых параметров, определяющих р, до четырех, а в выражение (1.1.43) входит как раз четыре параметра. Один из них можно найти сразу с помощью условия нормировки (1.1.25). Используя (1.1.41), имеем тогда

а =1/2.(1.1.44а)

Умножая (1.1.43) на а; и вычисляя след полученного выражения с использованием равенств (1.1.41) и (1.1.42), находим trpo; = 2 £ 61di/ = 26/.

С другой стороны, след произведения р и о, дает соответствующие компоненты вектора поляризации, так что имеем

6, = (1/2) Pz.(1.1.446)

Подстановка результатов (1.1.44а) и (1.1.446) в исходное равенство (1.1.43) дает

►+ £^G<y(LL45>

Если матрицы Паули записаны в виде (1.1.6), то р можно получить в виде (1.1.33). В случае чистого состояния |%> оператор плотности записывается следующим образом:

Р(х) = I %) (% I;

тогда, обозначая вектор поляризации состояния |%> через Р(х), имеем

l%)<xl = |p +Enz4\ (LL46) X I/

Последнее выражение допускает простое вычисление вероятности <%|р|%Х В силу (1.1.31) можно записать

<Х IРI Х> == tr | %) (% | р.

Используя этот результат в правой части (1.1.46), находим

<х । р 1 z> - 4 <г [(1 + Е р?'р,) (1 + Е ?,",)]=

=4 tr (t + х <74+Е ра + Е p?,pl"lpi) - X iiИ'

= 1(Ц-Р<х).Р).(1.1.47)

Последний результат можно интерпретировать следующим образом. Пучок частиц может характеризоваться матрицей

плотности р. Этот пучок может проходить через фильтр Штерна- Герлаха с фиксированной ориентацией, полностью пропускающий лишь пучок в чистом состоянии ]%> (это означает, что фильтр ориентирован параллельно вектору PW).

Вероятность того, что частица данного пучка пройдет через фильтр, определяется тогда скалярным произведением рх> Р дВух векторов поляризации. Вероятность прохождения максимальна, если вектор Р ориентирован в направлении пропускания фильтра (т. е. градиента магнитного поля), и минимальна в случае его антипараллельной ориентации. В частности, если пучок неполяризован, то для любого фильтра

<х1Р|х> = 1/2. (1.1.48)

Вывод соотношения (1.1.47) может служить первым примером того, как можно упростить вычисления, используя представление (1.1.45) и алгебраические свойства матриц Паули.

Выводы

Результаты, полученные в двух предшествующих разделах, позволяют дать новые определения некоторых из использовавшихся до сих пор основных понятий. Мы считаем начальной информацией о пучке значения трех компонент Рх, Рд, Рг его вектора поляризации. Вектор Р можно определить, например, с помощью соответственно подобранных экспериментов по рассеянию. [Подробное обсуждение деталей таких экспериментов можно найти, например, в работе Кесслера (Kessler, 1976).]. Если вектор поляризации известен, матрицу плотности можно найти с помощью выражений (1.1.33) и (1.1.45). Эти выражения в сжатой форме содержат всю информацию о пучке. Полезность выражения (1.1.45) при фактических вычислениях станет очевидной в разд. 2.5.

Если | Р| = 1, то говорят, что пучок находится в чистом спиновом состоянии пли, что то же самое, все частицы находятся в тождественных состояниях. Совместное состояние всех частиц данного пучка можно описать, сопоставив всему пучку один вектор состояния. В таком случае для полного описания спинового состояния достаточно двух параметров, например полярных углов 9 и б для вектора Р. С их помощью Можно построить соответствующий вектор состояния, используя выражение (1.1.9).

2 Зак. 6482 Зак. 648Если | Р| < 1, то говорят, что пучок находится в смешанном состоянии. Такие состояния характеризуются тремя параметрами, например длиной и полярными углами вектора Р.

2 Зак. 648

2 Зак. 648

* 2, Состояние поляризации и матрица плотности для! фотоновI

Классическое понятие поляризации волны1

В этом разделе будет дано описание поляризации фотона.I Мы будем следовать рассуждениям разд. 1.1, с тем чтобы! ближе познакомиться с введенными там абстрактными поня-| тиями. Начнем с краткого описания поляризации света в| классической оптике.I

Монохроматическая электромагнитная волна характера-1 зуется тремя величинами: угловой частотой и, волновым вектором к = (2л/Л)п (здесь п— единичный вектор в направлении распространения волны, Л — длина волны) и состоянием поляризации, которое определяется колебаниями вектора электрического поля Е. Вектор поля Е монохроматической волны можно записать в виде

Е = 4еег(к-г-“г),(1.2.1)

где А — амплитуда волны, е — вектор поляризации. Ввиду поперечного характера электромагнитных волн вектор е перпендикулярен п. В этом разделе мы используем систему координат х, у, z, в которой ось z параллельна п, и ограничиваемся обсуждением свойств поляризации только световых волн. ' Если вектор Е колеблется вдоль оси х, то свет называют линейно-поляризованным вдоль оси х. Вектор поляризации параллелен оси х и обозначается e,Y. Если вектор Е колеблется вдоль оси у, то поляризацию можно охарактеризовать, приписав пучку вектор поляризации е„, направленный вдоль оси у. Произвольный вектор поляризации е всегда можно разложить по двум ортогональным векторам, например ех и еу:

е = avex + сье‘6еы,(1.2.2)

где й1 и «2 — действительные коэффициенты.

Наложим на (1.2.2) условие нормировки, состоящее в том, что вектор е является единичным. Именно, скалярное произведение вектора е и сопряженного ему вектора е* должно быть равно единице, ее* = 1. Тогда условие нормировки имеет вид

«2 4'^=!.(1.2.3)

Равенство (1.2.2) соответствует линейной комбинации двух волн равной частоты, с одинаковым волновым вектором, амплитудами Ai и А2; волны поляризованы соответственно вдоль осей х п у и имеют определенную разность начальных фаз 6: Е = Ахехе£ ,k r-^) 4- А2еие‘ (кг-^+61 = А (a^x + а2е'6еУ)е' ''V'T-Ut\

Здесь а, и Й2 — относительные амплитуды волн, удовлетворяющие условию нормировки (1.2.3): at = AJA (i — 1,2), где 4 = (Д1 + Дг) '2-

Можно ввести параметр р, определив его следующим образом:

Q1 = cos р, а2 — sin р(1.2.4а)

[при этом условие (1.2.3) выполняется автоматически]; тогда произвольный вектор поляризации (1.2.2) запишется в виде

е = cos рех 4- е‘6 sin реу.

(1.2.46)(1.2.46)Чтобы познакомиться с применением этого выражения, рассмотрим некоторые частные случаи.

(1.2.46)

(1.2.46)

Пусть две волны, входящие в линейную суперпозицию, колеблются в одинаковых фазах с относительными амплиту

дами «1 и «2 и поляризованы соответственно вдоль осей х и у. С помощью величин «I и «2 можно найти параметр р; подставляя затем 6 = 0 в выражение (1.2.46), можно найти вектор поляризации результирующей волны;

е = cos реЛ 4" sin реу.

(1.2.5)

Рис. 1.4. Вектор поляризации линейно-поляризованного света.Рис. 1.4. Вектор поляризации линейно-поляризованного света.В этом случае можно дать простую интерпретацию параметру р: вектор е является действительным и расположен в плоскости х—у, так

Рис. 1.4. Вектор поляризации линейно-поляризованного света.

Рис. 1.4. Вектор поляризации линейно-поляризованного света.

что выражение (1.2.5) представляет собой разложение этого вектора по двум ортогональным базисным векторам ех и еу; следовательно, Р имеет смысл угла между вектором е и осью х (рис. 1.4).

При суперпозиции двух волн с равными частотами и амплитудами «1 = «2, но с разностью фаз 6 = ±90° возникает

результирующая волна с вектором поляризации

е ~ еY + zey.

соответствующим левой пли правой круговой поляризации (более подробное обсуждение см. в разд. 1.2.3).

Если di =# Яг и 6 =# 0, мы приходим к общему случаю эллиптической поляризации.

В дальнейшем мы будем называть световую волну полностью поляризованной, если ее свойства поляризации можно

2*

полностью описать всего одним вектором е [напримео, как это имеет место для плоской волны (1.2.1)]. Полезно дать другую интерпретацию приведенного определения, обращаясь к некоторым идеализированным экспериментам.

Следуя подходу, принятому в разд. 1.1, свойства поляризации света можно обсуждать на основе экспериментов с различными оптическими поляризационными фильтрами. Будем считать все используемые фильтры идеальными в том смысле, что они полностью прозрачны только для света данной поляризации. Поэтому свет, прошедший через фильтр, находится в определенном состоянии поляризации. Например, пучок света может проходить через призму Николя, которая пропускает только свет, поляризованный параллельно оси х. Тогда пропущенный свет становится линейно-поляризованным вдоль оси х. Аналогично пучок света, прошедший через призму Николя, ориентированную вдоль оси п, будет линейно-поляризо- ван вдоль направления п. Если р — угол между вектором п и осью х, то соответствующий вектор поляризации дается выражением (1.2.5). Наоборот, если линейно-поляризованный свет с вектором поляризации е пропускается через призму Николя, то всегда можно найти такую ориентацию призмы, при которой пучок полностью проходит через нее. Это имеет место в том случае, когда направление пропускания призмы параллельно вектору е. Свет с круговой поляризацией пропускается полностью только специальным поляризационным фильтром (например, соответственно ориентированной комбинацией четвертьволновых пластинок и призмы Николя).

Обращая эти рассуждения, можно сказать, что световой пучок полностью поляризован, если можно подобрать такой фильтр, который полностью пропускает пучок.

Как известно из оптики, свет чаще всего не бывает полностью поляризованным. Обычный источник света состоит из большого числа возбужденных атомов, каждый из которых излучает импульс света за время порядка 10-8с независимо от всех других атомов. К пучку света все время добавляются новые импульсы, поэтому результирующая поляризация очень быстро меняется. Следовательно, не может возникнуть определенный вектор поляризации, характеризующий весь пучок в целом. В следующих разделах мы обсудим проблему описания пучков такого типа.

Чистые и смешанные состояния поляризации фотонов

Применяя релятивистскую квантовую механику к электромагнитному полю, можно установить, что при взаимодействии

с веществом волна ведет себя так, как если бы она состояла из фотонов. Начнем этот раздел со следующего определения. ► Говорят, что пучок фотонов находится в чистом состоянии поляризации, если он полностью поляризован в смысле, поясненном в разд. 1.2.1.

Обращаясь к нашим идеализированным экспериментам, это определение можно трактовать так: если возможно найти такой фильтр, который полностью пропускает пучок фотонов, то говорят, что пучок находится в чистом состоянии поляризации. Иначе говоря, все фотоны в пучке можно считать находящимися в одном и том же состоянии поляризации. Это объединенное состояние всех фотонов можно описать с помощью всего лишь одного вектора состояния, который мы будем обозначать \е)>. Под этим вектором состояния понимается состояние поляризации любого фотона в пучке, который на классическом языке описывается вектором поляризации е. Например, векторы состояний |еЛ> и |еу> обозначают состояния поляризации фотонов, которые полностью пропускаются призмой Николя, ориентированной соответственно вдоль направлений х и у.

Состояния |ех) и |еу) можно выбрать в качестве базисных, тогда любое состояние |е> можно записать в виде линейной суперпозиции

|e> = tii 1ех)Н-а21еу), (1.2,6) или | е) = cos р | е^ + е‘6 sin р | еи |. (1.2.7)

Эти выражения совершенно аналогичны выражениям (1.2.2) и (1.2.4).

Наши рассуждения подобны проведенным в разд. 1.1. Все эксперименты и их результаты для частиц со спином 1/2 и фильтрами Штерна—Герлаха можно повторить для случая фотонов и поляризационных фильтров. В частности, а^ и а^ являются вероятностями того, что фотон в состоянии поляризации (1.2.6) пройдет через призму Николя, пропускающую только свет, поляризованный соответственно параллельно оси х и у.

Как видно из выражений (1.2.6) и (1.2.7), любая суперпозиция двух (или более) состояний, имеющих определенное значение фазы 6, с необходимостью дает чистое состояние. Поэтому для описания частично поляризованного света следует рассмотреть суперпозицию состояний, не имеющих определенных фазовых соотношений; иными словами, мы должны ввести понятие смеси. Й общем случае говорят, что пучок фотонов находится в смешанном состоянии (т, в. представляет

собой смесь), если его невозможно описать с помощью лишь одного вектора-состояния.

Полезно сделать понятие смеси более наглядным, обращаясь к некоторым идеализированным экспериментам. Рассмотрим два источника света, излучающих независимо друг от друга, что означает отсутствие определенного фазового соотношения между ними (точнее, относительный сдвиг фаз многократно изменяется за время наблюдения совершенно непредсказуемым образом). Оба источника снабжены поляризационными фильтрами, так что первый источник излучает пучок интенсивностью /1 с определенной поляризацией |et>, а второй — пучок интенсивностью /2 с поляризацией |е2>. Если объединить оба пучка и исследовать свойства поляризации результирующего пучка, направляя его на различные фильтры, то обнаружится, что независимо от природы фильтра пропущенная интенсивность всегда меньше падающей. Тогда по определению полный пучок считается находящимся в смешанном состоянии поляризации.

Смесь невозможно полностью охарактеризовать посредством лишь одного вектора состояния |е). В частности, смесь нельзя представить в виде линейной суперпозиции состояний |ei> и |б2>. Причина здесь состоит в том, что, как было показано в разд. 1.1.1 —1.1.4, между составляющими пучками отсутствует определенный сдвиг фазы 6, с помощью которого может быть построен определенный вектор состояния |е).

Квантовомеханическое понятие спина фотона

В классической оптике для описания поляризации света используется представление о колебаниях вектора электрического поля волны. Выясним, как интерпретировать состояние поляризации, исходя из характеристических свойств фотонов.

С этой целью рассмотрим возможные спиновые состояния фотонов. Существуют некоторые ограничения, налагаемые на понятие спина фотона. Полный угловой момент J любой частицы представляет собой результирующую ее спина S и ее орбитального углового момента L. Поскольку масса покоя фотона равна нулю, к нему неприменимо обычное определение спина как полного углового момента частицы в состоянии покоя. Строго говоря, физический смысл имеет лишь полный угловой момент фотона. Удобно, однако, дать формальное определение его спина и орбитального углового момента. Фотону приписывается спин, равный единице, в соответствии с тем фактом, что его волновая функция представляет собой вектор [как видно, например, из (1.2.1)]. Значение орбитального углового момента связано с мультиполями, входящими в Волновую функцию (см., например, Ландау и Лифшиц, 1963),

Вообще говоря, если частица со спином 1 обладает хорошо определенным импульсом р, то компоненты ее спина в направлении движения могут принимать три значения: +1, — 1, 0. Однако ввиду поперечного характера электромагнитных волн значение 0 должно быть исключено для фотонов. Компонента спина фотона вдоль направления распространения п, которую мы будем обозначать символом X, может, следовательно, иметь только значения Х=+1 («спин вверх») и! = —1 («спин вниз»).

Существенно отметить, что два состояния фотона со спином вверх или вниз по отношению к вектору п как оси квантования имеют прямой физический смысл. Поскольку компонента орбитального углового момента вдоль направления распространения п обращается в нуль, имеем J-n=(L+S)- •n = S n = X, откуда следует, что

б» X является компонентой полного углового момента фотона в направлении распространения п.

Компоненту спина в направлении распространения обычно называют спиральностью, и мы будем говорить о состояниях фотона с X = ±1 как о состояниях с определенной спиральностью.

В соответствии с классическим описанием, когда пучок света с круговой поляризацией направляется на мишень, электроны мишени приходят в круговое движение под действием вращающегося электрического поля падающей волны. Следовательно, по-впдимому, должна существовать взаимосвязь между поляризованной по кругу световой волной и фотонами в состояниях с определенным угловым моментом.

Действительно, как показано в квантовой электродинамике, фотоны с определенной спиральностью связаны с состояниями левой и правой круговой поляризации. К сожалению, соответствующие обозначения не являются общепринятыми, и мы примем следующее соглашение. Будем обозначать вектор поляризации и состояние фотонов со спиральностью X = 1 соответственно e+i и | + 1> и будем говорить, что свет с положительной спиральностью имеет правую круговую поляризацию.

Аналогично при X =—1 вектор поляризации и состояние фотонов будем обозначать соответственно e-i и | — 1) и говорить, что такой свет имеет левую круговую поляризацию.

Заметим, что в классической оптике обычно принимается противоположное соглашение. Именно, свет с положительной (отрицательной) спиральностью считается обладающим левой (правой) круговой поляризацией. Во избежание этой неоднозначности мы будем всегда использовать обозначение

состояний с помощью спиральности. Тогда векторы e+i и е_ь а также состояния | ±1)* определены (с точностью до несущественного фазового множителя), так что для векторов поляризации имеем

е±1 = Т (1/2'0 (ех±»еу),(1.2.8)

а для соответствующих состояний

1± 1) = + (1/2'0 (I ех) ± z | е,))(1.2.9)

[см., например, Мессиа (Messiah, 1965)] ]).

Состояния с определенной спиральностью особенно удобно использовать в качестве базисных |ех> и |еу> в тех задачах, где необходимо явно принимать во внимание угловой момент. Поэтому общее состояние поляризации |е) запишем в виде

И = Я11+1) + ^1~1).(1.2-Ю)

Существует тесная формальная аналогия между фотонами и частицами со спином 1/2. Поскольку имеются только два возможных значения спиральности X = ±1 (соответствующих состояниям со спином вверх и спином вниз по отношению к п как оси квантования), эти состояния можно представлять с помощью двумерных векторов-столбцов, пока п остается осью квантования (осью 2). Базисные состояния можно записать тогда аналогично выражениям (1.1.1):

(1.2.11а)(1.2.116)линейно- находим.(1.2.12а)(1.2.126) линейной(1.2.11а)(1.2.116)линейно- находим.(1.2.12а)(1.2.126) линейной

(1.2.11а)

(1.2.116)

линейно- находим.

(1.2.12а)

(1.2.126) линейной

(1.2.11а)

(1.2.116)

линейно- находим.

(1.2.12а)

(1.2.126) линейной

В этом представлении чистое состояние общего вида (1.2.9) описывается вектором-столбцом

а сопряженное ему состояние — вектором-строкой (е| = (ар а*).

Например, состояние пучков света, полностью поляризованных соответственно вдоль осей х и у, обращая выражение (1.2.9):

|ех> = -(1/2'/2)(1+1)-|-1»,

I еу> = (Z/2VO (1+1> + I — 1».

Интерпретация этих состояний, получаемых путем суперпозиции, аналогична данной в разд. 1.1.4.

*) Т. II, гл. XXI, § 28. -Прим. ped.

В качестве другого примера рассмотрим пучок фотонов, приготовленных в чистом состоянии |ех>. Как видно из (1.2.12а), эти фотоны не имеют определенной спиральности. Однако во всяком произведенном над пучком эксперименте, в котором измеряется угловой момент, любой фотон пучка будет вынужден с равной вероятностью перейти в одно из собственных состояний углового момента, | + 1> или | —1>. Следовательно, в любом из таких экспериментов любой фотон пучка переносит определенную величину углового момента (соответственно Х= + 1 или —1). Поскольку соответствующие вероятности одинаковы, полный угловой момент, переносимый всем пучком, равен нулю.

Матрица плотности для поляризаций

Компактное выражение свойств поляризации фотонов содержится в соответствующей матрице плотности. В разд. 1.2.5 будет дано операциональное определение матрицы плотности фотонов. В этом разделе мы ограничимся повторением рассуждений разд. 1.1.5.

Рассмотрим пучок фотонов, являющийся смесью двух пучков, которые приготовлены независимо в состояниях е^ и |е6> и имеют соответственно интенсивности 1а и 1Ь. Оператор плотности, характеризующий полный пучок, определяется выражением

=(1.2.13)

где WQ = L/I, Wb = НП и I = 1а + 1ь. Чтобы получить матрицу плотности, необходимо выбрать конкретное представление. Используем в качестве базисных состояния с определенной спиральностью и разложим два состояния |еа) и \еь> в соответствии с (1.2.10):

| ео) = X I + 0 + < I -1), | е») = а^ | +1) + ^ [ -1).

Используя явные выражения (1.2.11) и применяя правило (1.1.21), можно показать, что матрица плотности в представлении состояний с определенной спиральностью имеет вид

/^al^P + ^t-l^r №XW* +

Р = I W aW*aW ^WbaW*aw ^ la<a) Р + № J а^ Р ) 4-2.14) X U 12*0 12а I 2 I 1 Ь j 2 I /

Из явного выражения (1.2.14) следует, что р7 удовлетворяет условию нормировки

trp'-U^ + U^-l.(1.2.15)

Часто бывает более удобно нормировать матрицу р так, чтобы ее след был равен полной интенсивности соответствующего

пучка фотонов. Этого можно достичь, выражая величины Wa и Wb через интенсивности U и Ь в (1.2.13) и (1.2.14). Оператор плотности в такой нормировке дается тогда выражением

P = 2a\ea)(ea\ + Ible6)(eb\, (1.2.16)

а след матрицы плотности равен

trp = /a + /b = Z. (1.2.17)

Матрица плотности р (и р') обладает следующими свойствами (доказательства совершенно аналогичны проведенным в разд. 1.1.5):

Диагональные элементы <+11 pz 1 +1 > и <—1|р'| —1> матрицы (1.2.14) определяют вероятности нахождения фотона в пучке в состоянии с соответствующей спиральностью. При выполнении условия нормировки (1.2.17) диагональные элементы <+1|р| + 1> и <—1|р| — 1} дают соответствующие интенсивности.

Если рассматриваемый пучок направляется на фильтр, полностью пропускающий лишь фотоны в чистом состоянии |е>, то элемент

<е |р' |е) = WQ\а^ |2 + Wb\а^ |? (1.2.18) определяет вероятность того, что фотон пучка пройдет через фильтр; здесь использованы обозначения

a.w = (e\ea>, aw = (е | е^.

Элемент <е|р|е), полученный с помощью оператора (1.2.16), определяет пропущенную интенсивность

(e|p|e) = /a|^)|2 + /b|a'6>|2. (1-2.19)

Поскольку любая информация о свойствах поляризации данного пучка может быть в принципе получена путем пропускания пучка через различные поляризационные фильтры, результат любого из таких экспериментов можно вычислить, используя фомулы (1.2.18) или (1.2.19). Отсюда можно заключить, что вся информация о состоянии поляризации данного пучка содержится в его матрице плотности.

Условие эрмитовости (1.1.29) уменьшает число независимых параметров до четырех. Одним из них является обычно полная интенсивность пучка /. Если она не представляет интереса, то ее можно опустить, нормируя матрицу плотности аналогично (1.2.14) п (1.2.15). Тогда р' определяется тремя действительными параметрами, как это имеет место для матрицы плотности частиц со спином 1/2.

Таким образом, для полного определения матрицы р любого пучка необходимо провести четыре независимых измерения (одно из которых — измерение полной интенсивности /). Если значение I несущественно, получается матрица (1.2.14), для нахождения которой необходимо знать три независимых параметра. Результат любого другого эксперимента можно тогда вычислить, . применяя выражения (1.2.18) или (1.2.19).

В гл. 2 будет доказано, что в общем случае необходимым и достаточным условием того, чтобы данная матрица плотности фотонов описывала чистое состояние, является условие

tr (р2) = (tr р)2 = А(1.2.20)

При нормировке (1.2.15) последний результат сводится к формуле (1.1.37):

tr(p2) = l.

Вообще говоря, матрица плотности фотонов удовлетворяет неравенству

tr(p2)^/2.(1.2.20а)

Описание посредством параметров Стокса

Параметризация р посредством параметров Стокса

Здесь и далее будем использовать условие нормировки (1.2.17). Как было показано в предыдущем разделе, для полного определения состояния поляризации произвольного пучка необходимо провести четыре независимых измерения. Наиболее удобен тот набор измерений, который дает следующую информацию:

Полную интенсивность пучка /.

Степень линейной поляризации относительно осей х и у, определенную равенством

т^ = [/(0) — Z (9(Г)]/Л(1.2.21а)

где /(Р) обозначает интенсивность, пропущенную призмой Николя, ориентированной под углом Р относительно оси х.

Степень линейной поляризации относительно двух взаимно перпендикулярных осей, направленных под углом 45° к оси х, определенную равенством

^ = [/(45°) —/(135°)]//.(1.2.216)

Степень круговой поляризации, определенную равей- ством

112 = U+!-/-1)/Л(1.2.21b)

где /+1(/-1) — интенсивность света, прошедшего через поляризационные фильтры, полностью пропускающие только фотоны с положительной (отрицательной) спиральностью.

Набор параметров 1—4 называется параметрами Стокса; их подробное описание можно найти в книге Борна и Вольфа (Born, Wolf, 1970) (см. также McMaster, 1954; Farago, 1971).

Установим связь между параметрами Стокса и элементами матрицы плотности. Обозначая элементы матрицы р через Pvx — (А/| р | А), запишем

(1.2.22)(1.2.22)/ Р+1, +1 Р+1, -1

(1.2.22)

(1.2.22)

Р =1

X Р-1, 4-1 Р-1, -1

где р+1 _]=?*_[ +1 в силу условия эрмитовости (1.1.29). В соответствии с (1.2.17) полную интенсивность можно запи-

сать так:сать так:/ Рц/ Рц(1.2.23а)(1.2.23а)

сать так:

сать так:

/ Рц

/ Рц

(1.2.23а)

(1.2.23а)

Для получения т]3 следует и /(90°). Из (1.2.19) имеемI (0) = (ех |р |еД,Для получения т]3 следует и /(90°). Из (1.2.19) имеемI (0) = (ех |р |еД,вычислить интенсивности /(0)вычислить интенсивности /(0)/(90°) = (eJp|^)./(90°) = (eJp|^).

Для получения т]3 следует и /(90°). Из (1.2.19) имеем

I (0) = (ех |р |еД,

Для получения т]3 следует и /(90°). Из (1.2.19) имеем

I (0) = (ех |р |еД,

вычислить интенсивности /(0)

вычислить интенсивности /(0)

/(90°) = (eJp|^).

/(90°) = (eJp|^).

В представлении, в котором в качестве базисных используются состояния с определенной спиральностью, векторы состояний |ех> и |еу> описываются выражениями (1.2.12), откуда

Р11Р1, —1

Р-1, 1 Р-1, -

= (1/2) (Ри — Рк

Аналогично имеем

f (90°) = (1/2) (—г, — г) (’(

— (1/2) (Рп + Pi, -1 + Р_ 1,1 + Р-1, -i)- Отсюда следует, что

/^ = -(91,-1 +Р-1,1)-(1.2.236)

Совершенно так же можно вычислить параметр /ли определенный выражением (1.2.216). В этом случае оси пропуска-

ния призм Николя составляют соответственно углы 45 и 135° с осью х. Интенсивности, пропускаемые этими призмами, определяются выражениями

/(45°) = ^ |р|е1), / (135°) = <е2 |р| е2>.

Здесь |щ>— состояние фотона, полностью пропускаемого первой призмой, так что

I et> = (1/2'А) (I еж> + | ^»,

где использовано выражение (1.2.5) с р = 45°. Аналогично |б2> есть состояние фотона, полностью пропускаемого второй призмой; его можно выразить через |ех> и |еу>, подставляя р = 135° в выражение (1.2.5):

| е2> = (1/21/2) (— 1 еА.> + | еу».

Преобразуя |щ> и |еу> к базису состояний с определенной спиральностью, получаем

^i = — z^, -I ~P-i, i)(1.2.23в)

и аналогично

/т12 = Рп —P-i.-г(1.2.23г)

Обращая эти уравнения, можно выразить элементы р^л че" рез параметры Стокса:

Именно такая форма матрицы плотности будет использоваться в дальнейшем.

Примеры

Из выражения (1.2.7) следует, что любое чистое состояние поляризации можно параметризовать следующим образом:

| е) = cos р | е^) + ei6sin Р | еу).(1.2.25)

Соответствующий оператор плотности имеет вид р = /|е)<е|. Вычислим параметры Стокса, характеризующие пучок в состоянии (1.2.25). Имеем

/ (0) = (ех | р | ех> = 1 | (ех | е) |2 = / cos2 Р,

/ (90°) = (еу |р |еу> = I1(ея \е\^1 sin2 р, откуда следует

T]3 = cos2p.(1.2.26а)

Аналогично можно найти

т], = sin 2р cos 6, Т)2 = sin 2р sin 6.(1.2.266, в)

Например, чистое состояние |е.г>, характеризующее пучок света с вектором поляризации вдоль оси х, получается, если подставить 6 = 0, р = 0 в (1.2.25). Тогда из формул (1.2.26) получим параметры Стокса т]3 = 1, тр = т]2 = 0. Подставляя эти значения в матрицу плотности (1.2.24), находим

P = t(_J ~;)-(1.2.27а)

Пучок, линейно-поляризованный вдоль оси у, можно определить параметрами р = 90°, 6 = 0, так что

Лз = — 1, 111=112 = 0,

р = 1(1 г).(1.2.276)

Аналогично, как показано в разд. 1.2.1, пучок, линейно-поляризованный в направлении, составляющем угол 0 с осью х, описывается путем подстановки значения 6 = 0 в формулы (1.2.25) и (1.2.26). Тогда параметры Стокса принимают вид ц3 = cos 2р, i]| = sin 2р, ц2 = 0, а соответствующая матрица плотности

, /1— cos 2Р + i sin 2р \

1 )' (L2'27B>

Свет с левой и правой круговой поляризацией представляется с помощью матриц плотности

/ 1 0\/0 0\

p==^qqJ 11 р = /(о 1/(1-2.28а,б)

Когда параметры Стокса, а следовательно, и матрица плотности определены, можно непосредственно получить полезное выражение для интенсивности 1е света, прошедшего через фильтр, пропускающий лишь фотоны в состоянии |е>. Искомый элемент <е| р | е>- равен

► /е = (7/2) (1 + т]3 cos 2(3 + гр sin 2Р cos 6 4- т]2 sin 2(4 sin 6).

(1.2.29)

Заметим, что в (1.2.29) параметры р и 6 описывают пропущенный пучок, тогда как падающий пучок характеризуется параметрами Стокса.

Степень поляризации

Введем еще одно обозначение, которое окажется важным при дальнейшем изложении. Из условии (1.2.20а) и (1.2.24) следует, что параметры Стокса удовлетворяют ограничению

Л1 + л; + п1^1.(1.2.30)

Знак равенства имеет место лишь в том случае, если фотоны рассматриваемого пучка находятся в чистом состоянии поляризации. Иначе говоря, пучок полностью поляризован (в смысле, объясненном в разд. 1.2.1) тогда и только тогда, когда выполняется соотношение

Л[ + ’11 + Л5=1-(1.2.30а)

Эти условия удобно записать, вводя величину

Р = (П? + П2 + 'ПзУ'О(1.2.31)

на которую в силу (1.2.30) наложено ограничение

Р<1.(1.2.31а)

Смысл соотношений (1.2.30) и (1.2.31) можно сформулировать следующим образом:

Г- Данный пучок фотонов находится в чистом состоянии поляризации тогда и только тогда, когда Р = 1. Если Р < 1, пучок находится в смешанном состоянии.

Если Р > 0, мы будем называть пучок поляризованным ^полностью поляризованным, если Р = 1); если Р = 0, будем называть пучок неполяризованным. В последнем случае все параметры Стокса обращаются в нуль и соответствующая матрица плотности принимает вид

/ / 1 0\

Р = 7(о(1-2.32)

Поскольку при Р = 0 параметры Стокса обращаются в нуль в любом представлении, выражение (1.2.32) не зависит от выбора базисных состоянии. Любая смесь независимо приготовленных состояний |ei> и |е2> с противоположной поляризацией (например, Ц-1> и | —1> или \ех> и |еу>) и одинаковой интенсивностью 1\ = /2 = I/2 описывается матрицей плотности (1.2.32). Все такие смеси ведут себя одинаково в смысле своих поляризационных свойств и могут быть использованы как модели неполяризованного света.

«Операциональное» определение р

В этом разделе мы обратим некоторые из полученных выше результатов следующим образом. Чтобы определить поляризационные свойства данного светового пучка, необходимо выполнить четыре независимых измерения, например для удобства определить параметры Стокса. Далее эти четыре параметра используются как исходные данные для определения матрицы плотности согласно выражению (1.2.24). Результат любого другого эксперимента, поставленного над пучком, может быть затем вычислен с помощью формул (1.2.19) или (1.2.29).

Пучок фотонов находится в чистом состоянии поляризации тогда и только тогда, когда Р = 1 (полностью поляризованный пучок). В этом случае состояние поляризации пучка можно представить с помощью единственного вектора состояния |е). Тогда параметры Стокса не являются независимыми, так как в силу условия (1.2.30а) трех из этих параметров достаточно для полного описания пучка [при условии нормировки (1.2.15) достаточно двух параметров].

Наконец, пучок фотонов находится в смешанном состоянии, если Р < 1. В частном случае Р = 0 пучок неполяризо- ван и описывается матрицей плотности (1.2.32).

2

Общая теория матрицы плотности

Чистые и смешанные квантовые состояния

В этой главе понятия, введенные в гл. 1, будут обобщены на случай систем с более чем двумя степенями свободы. Примеры, рассмотренные в предшествующих разделах, составят физическую основу общего подхода, описанного в этой главе. Начнем с дальнейшего обсуждения чистых и смешанных состояний.

В классической механике динамическое состояние системы, например системы бесструктурных частиц, полностью определено, если известны значения всех координат и импульсов частиц. Состояние системы в любой последующий момент времени может быть тогда предсказано с полной определенностью. Однако часто задаются только средние значения координат и импульсов частиц. Вследствие столь неполной информации нужно применять методы статистической механики. Мы будем рассматривать квантовомеханические системы, для которых нельзя получить максимально возможную информацию. Однако выражение «максимально возможная информация» имеет в квантовой механике более ограниченный смысл, чем в классической физике, поскольку не все физические наблюдаемые величины могут быть одновременно точно измерены. Поэтому наша первая задача состоит в уточнении смысла понятия «максимальная информация» в квантовой механике.

Как известно, точное одновременное измерение двух физических величин возможно только в том случае, когда оба оператора, соответствующие этим величинам, коммутируют друг с другом. Точнее, если два оператора Qi и Q2 коммутируют, то можно найти состояния, в которых Qi и Q2 имеют определенные собственные значения д\ и да. Аналогично если третий оператор коммутирует как с Qb так н с Q2, то можно найти состояния, в которых Qi, Q2, Q3 одновременно имеют собственные значения д\, да, д^; очевидно, этот процесс можно продолжить. Таким образом, собственные значения <71, да, д3, ... можно использовать для описания системы со все возрастающей точностью. Наибольший набор взаимно коммутц-

рующих независимых наблюдаемых Qi, Q2 который можно найти для системы, дает ее наиболее полное описание. (Важным примером такого описания является классификация состояний с помощью интегралов движения.) Измерение любой другой переменной, которая соответствует оператору, не коммутирующему с набором Qi, Q2, ..., с необходимостью вводит неопределенность по крайней мере в одну из ранее измеренных переменных. Поэтому становится невозможным дать более полное описание системы.

Таким образом, в общем случае максимальную информацию (в квантовомеханическом смысле), которую можно получить о системе, дают собственные значения q\, qi, ... полного набора коммутирующих наблюдаемых, полученных в результате измерения («полный эксперимент»). Если над системой проведен полный эксперимент, то можно с уверенностью утверждать, что состояние системы действительно точно совпадает с соответствующим собственным состоянием набора операторов Qi, Q2, ..., сопоставляемых измеряемым собственным значениям q^, q2Тогда система полностью определяется вектором состояния \qt, q2, ...), который ставится ей в соответствие. Если сразу вновь повторить измерение наблюдаемых Qt, Q2, ... в состоянии | ^i, q2, .. .>, то можно быть уверенным в том, что будут получены те же значения qt, q2

► Необходимое и достаточное условие, определяющее состояние с «максимальной информацией», состоит в существовании такого набора экспериментов, для которого результаты могут быть предсказаны с полной определенностью (Fano, 1957). Состояния с максимальной информацией называются чистыми состояниями.

Чистые состояния представляют собой предельный допускаемый принципом неопределенности результат, получаемый с помощью точного наблюдения; такие состояния являются квантовомеханическим аналогом классических состояний, для которых известны все координаты и импульсы всех частиц.

Как показано в квантовой механике, вопрос о том, в каком случае набор коммутирующих операторов является полным, может быть решен только с помощью эксперимента.

Полный эксперимент можно поставить так, чтобы подействовать на систему фильтром, который «приготовляет» систему в чистом состоянии. Например, для пучка свободных электронов полный набор коммутирующих операторов дается оператором импульса и г-компонентой Sz оператора спина.

Направим пучок электронов на последовательную комбинацию двух фильтров (считающихся идеальными): один из них отбирает частицы, имеющие точное значение импульса р, второй— частицы с точным значением т величины Sz. Таким способом можно приготовить пучок В СОСТОЯНИИ |р, т). Это означает, что частицы пучка, пропущенные обоими фильтрами, имеют одинаковые значения р и т. Последний факт можно проверить, направляя полученный пучок на второй набор фильтров (идентичный первому): пучок должен быть пропущен полностью. Эксперимент можно повторять вновь и вновь; мы всегда обнаружим одни и те же значения р и т, и такой результат можно предсказать с полной определенностью.

Если нас интересуют только спиновые свойства пучка, зависимость состояния от всех других переменных может быть опущена (как, например, в том случае, когда рассматриваются пучки, в которых все частицы имеют одинаковый импульс). Тогда вектор состояния можно обозначать просто через \т>, как это и было сделано в гл. 1.

Полный набор коммутирующих операторов можно выбрать не единственным образом. Например, вместо разложения чистого спинового состояния по собственным состояниям | р, т) оператора импульса и г-просктш спина Sz можно использовать собственные состояния |р, т'> оператора импульса и S,/, где оси z и z' не совпадают друг с другом. Рассмотрим два набора наблюдаемых Qh Q2, ... с собственными состояниями |'ф'/ = |<71, q^ . ..^ и Q', Q^, . . . с собственными состояниями | ф) = | q\, q'„ . . .), где по крайней мере один из операторов Q1 не коммутирует с операторами из первого: набора. Если данная система описывается вектором состояния |ф), его всегда можно записать в виде линейной комбинации всех собственных состояний операторов Q[, Q2, . . .

I W = IX\фп\ (2.1.1)

где индекс п нумерует различные собственные состояния. Формула (2.1.1) является математическим выражением принципа суперпозиции.

Отдельные состояния |ф„), использованные в разложении (2.1.1), называются «базисными состояниями»; при этом говорят, что состояние |ф> записано в {\ф,^-представлении. Мы будем всегда предполагать, что базисные состояния являются ортонормированными;

(ФаФ-.^б^г (2.1.2а)

и составляют полную систему:

2W<^nl = l.(2-1.26)

Из свойства (2.1.2а) непосредственно вытекает, что коэффициенты разложения а„ даются выражением

«п = <Фп\^.(2.1.3)

Выберем нормировку так, чтобы

<Ф1Ф) = £К|2 = 1.(2.1.4)

где использована формула (2.1.2а) совместно с разложением

(2.1.5)

для сопряженного состояния <ф].

Напомним, что квадраты модулей | а„ J2 дают вероятности того, что при измерении система будет обнаружена в n-м собственном состоянии.

Из формулы (2.1.1) следует, что чистое состояние можно охарактеризовать двумя способами. Можно, например, описать его, задав все собственные значения q\, q^ ... для полного набора операторов, но можно и задать также амплитуды ап, определяющие состояние |ф> через собственные состояния |фл> другого набора наблюдаемых. Обычно второй способ оказывается более удобным.

Практически полного приготовления системы редко удается достичь, и в большинстве случаев измеряемые при этом динамические переменные не составляют полного набора. В результате состояние системы не является чистым и его нельзя представить одним вектором состояния. Такое состояние можно описать, указав, что система имеет определенные вероятности Wi, W2j ... находиться в чистых состояниях |^t>, |Фг>, ... соответственно. В случае неполного приготовления необходимо использовать статистическое описание в том же смысле, что и в классической статистической механике.

Системы, которые нельзя охарактеризовать одним вектором состояния, называются статистическими смесями.

Примеры таких состояний уже приводились в гл. 1.

Рассмотрим ансамбль частиц в чистом состоянии |ф). Если это состояние не является одним из собственных состояний для наблюдаемой Q, то измерения соответствующей физической величины дадут набор результатов, каждый из которых является собственным значением Q. Если бы такие

измерения были проведены над очень большим числом частиц, которые все находятся в одном и том же состоянии |ф>, то, вообще говоря, были бы получены все возможные собственные значения Q. Среднее от полученных результатов дается средним значением <Q> наблюдаемой Q, которое определяется матричным элементом

<Q) = 0HQW(2.1.6)

при условии нормировки (2.1.4).

Для получения <Q) в случае смеси состояний |ф1>, |ф2>, ••• следует вычислить средние значения <Q„> = = <^n|Q|^n> Для каждой компоненты (чистых состояний) и затем усреднить их, суммируя по всем чистым состояниям (предварительно умножив их на соответствующий статистический вес Wn):

<Q)=X ^ШУШ-(2.1.7)

Следует отметить, что статистика входит в (2.1.7) двумя путями: прежде всего через квантовомеханическое среднее значение <Q«>, а кроме того, через среднее по ансамблю этих значений с весами Wn. Первое усреднение связано с возмущением системы во время измерения и потому внутренне заложено в самой идее квантования. Второе усреднение вводится ввиду отсутствия информации о том, в каком именно из ряда чистых состояний может находиться система. Последний тип. усреднения очень сходен с используемым в классической статистической механике; его удобно проводить с помощью техники матрицы плотности, которую мы опишем в следующем разделе.

Матрица плотности и ее основные свойства

Рассмотрим смесь независимо приготовленных состояний |ф„> (п=1, 2, ...) со статистическими весами Wn. Эти состояния не обязательно должны быть ортонормированы по отношению друг к другу. Оператор плотности, описывающий смесь, определится тогда следующим образом:

Р=Е№Ы(2.2.1)

где суммирование ведется по всем состояниям, имеющимся в смеси; р называют также статистическим оператором.

Чтобы представить оператор (2.2.1) в матричной форме, следует прежде всего выбрать удобный набор базисных

состояний, например |^i>, J^X ..., который удовлетворяет условию (2.1.1). Используя принцип суперпозиции, имеем

(чхН^^ЧМ (2-2-2а>б)

тогда выражение (2.2.1) принимает вид

Р= Z ^^Д^^ф^^Д(2.2.3)

Беря матричные элементы выражения (2.2.3) между состояниями |^/> и <^>/| и применяя условия ортонормировки (2.1.2а), получаем

(Ф^Ф^-^а^*.(2.2.4)

Набор всех элементов (2.2.4), где I и / пробегают по всем базисным состояниям, которые включены в сумму (2.2.2), дает явное матричное представление оператора (2.2.1), или так называемую матрицу плотности. Поскольку при этом использованы базисные состояния \фп>, принято говорить, что набор (2.2.4) дает элементы матрицы плотности в {|^«>}- представлении.

Теперь выведем и обобщим некоторые важные свойства матрицы плотности, с которыми мы познакомились в гл. 1. Прежде всего из формулы (2.2.4) видно, что р представляет собой эрмитов оператор; это означает, что для матрицы (2.2.4) выполняется следующее условие:

►кФЛ^ФЬ-кФМФЬ*-(2.2.5)

Далее, поскольку вероятность обнаружить систему в состоянии |фп> равна wn и поскольку вероятность того, что |ф„> можно обнаружить в (чистом) состоянии \фт>, равна |а^'|2, вероятность обнаружить систему в состоянии \фт"> дается диагональным элементом

Ртт=Хг„|^>!.Г.2.6)

Это выражение позволяет дать физическую интерпретацию диагональных элементов р. Физическое значение недиагональных элементов будет рассмотрено в разд. 2.3. Поскольку вероятности— положительные числа, из выражения (2.2.6) следует, что

Pmm^O.(2.2.6а)

Используя те же аргументы, что и в гл. 1, можно показать, что вероятность №(ф) найти систему в состоянии |ф> после

измерения дается матричным элементом

Г (Ф) = <Ф1р|Ф)(2.2.7)

при условии нормировки (2.1.4). Это становится очевидным, если подставить выражение (2.2.1) для р в (2.2.7):

^(Ф)=Е^„КФп1Ф) I2

и интерпретировать коэффициенты |<фп|ф>|2 согласно формуле (2.1.3).

След оператора р представляет собой константу, не зависящую от представления. Из условия нормировки (2.1.4) и условия

Е^„ = 1(2.2.8а)

п

следует, что

tr р = £ Ри = 2 wa £| <>|2 = 1.(2.2.8)

Среднее (или математическое ожидание) любого оператора Q равно следу произведения операторов р и Q:

<Q) = X I Wn« * (фт | Q | ф^ =

тт п

= Е, <Фт' I Р I Фт) <Ф,п I Q I Фт') = tr (pQ).(2.2.9)

При получении (2.2.9) мы сначала подставили (2.2.2) в формулу (2.1.7) и затем использовали (2.2.4). В более общем случае, если отказаться от условия нормировки (2.2.8) (как это было сделано в разд. 1.2.4), величина (Q) дается выражением

=(2.2.9а)

Выражение (2.2.9) представляет собой важный результат. Напомним, что, согласно квантовой механике, всю информацию о поведении данной системы можно выразить через ожидаемые (средние) значения соответственно подобранных операторов. Таким образом, основная проблема состоит в вычислении средних значений. Поскольку среднее значение любого оператора может быть получено с помощью выражения (2.2.9), матрица плотности содержит всю физически существенную информацию о системе.

До сих пор матрица плотности была определена соотношением (2.2.4). В общем случае, однако, удобнее считать, что

(2.2.10)(2.2.10)трудно видеть,трудно видеть,tr (р2) = (tr р)2.tr (р2) = (tr р)2.(2.2.11)(2.2.11)

(2.2.10)

(2.2.10)

трудно видеть,

трудно видеть,

tr (р2) = (tr р)2.

tr (р2) = (tr р)2.

(2.2.11)

(2.2.11)

р определяется выражением (2.2.9) следующим образом. Следует выбрать столько операторов Qb Q2, ..., сколько имеется независимых параметров у оператора р. Средние значения операторов (Qi), (Q2), ... представляют собой начальную информацию о системе. Соответствующую матрицу плотности можно найти, решив систему уравнений

tr (pQz) = (Qz).

Если матрица плотности р определена таким образом, любое другое среднее значение можно получить, применяя выражение (2.2.9). Например, как было показано в разд. 1.1, матрицу плотности для частиц со спином 1/2 можно получить, если известны три средние значения (о;), т. е. средние значения компонент вектора поляризации.

Указанный метод имеет несколько преимуществ. Прежде всего определение смеси (2.2.1) не является единственным (по причинам, изложенным в разд. 1.1.5). Кроме того, начальная информация о системе часто выражается через средние значения набора операторов, а не с помощью указания чистых состояний, участвующих в смеси. Такой подход, в частности, предлагал Фано (Fano, 1957); мы вернемся к нему в гл. 4.

Рассмотрим теперь число независимых параметров, необходимое для определения данной матрицы плотности. Оно зависит от числа ортогональных состояний, по которым производится суммирование в выражениях (2.2.2). Вообще говоря, это число бесконечно, однако часто оно становится конечным, когда интерес представляет какое-либо одно частное свойство системы (например, спин), а зависимость от всех остальных переменных может быть опущена. В последующем обсуждении мы рассмотрим случай, при котором число базисных состояний в разложении (2.2.2) равно N. Тогда матрица р представляет собой ^-мepнyю квадратную матрицу, содержащую № комплексных элементов (что соответствует 2N2 действительным параметрам). Условие эрмитовости (2.2.5) ограничивает число независимых действительных параметров до №; кроме того, след р фиксирован условием нор- ; мировки. Отсюда вытекает, что N-мерная матрица плотности полностью определяется с помощью N2 — 1 действительных параметров [или № параметров, если отказаться от условия нормировки (2.2.8), как, например, это сделано в (1.2.17)]. Это число можно уменьшить с помощью соображений симметрии; его можно и далее уменьшить, если известно, что : рассматриваемая система находится в чистом состоянии. Мы ’ дадим соответствующий явный пример в разд. 3.5,

Если данная система находится в чистом состоянии, представляемом вектором состояния |ф>, то соответствующий опе

ратор плотности имеет вид

р = |ф)(ф |.

Матрицу плотности можно построить в представлении, в котором |ф> является одним из базисных состояний. Например, можно выбрать набор ортонормированных состояний [ ф) = = |ф1>, |ф2>, ... • В этом представлении все элементы матрицы р будут, очевидно, равны нулю, кроме элемента на пересечении первой строки и первого столбца. Тогда, как не

Рассмотрим теперь обратную задачу, состоящую в определении того, описывает ли данная матрица плотности чистое состояние или нет. В принципе эту задачу всегда можно решить, преобразовав матрицу плотности к диагональному виду. Если такое преобразование сделано и при этом обнаружено, что все элементы матрицы р обращаются в нуль, кроме одного (например, t-ro диагонального элемента), то система находится в чистом состоянии, представляемом t-м базисным вектором. Однако диагонализация часто утомительна, поэтому полезно вывести условие, которое проще применять.

Прежде всего докажем, что соотношение

tr (р2К (trp)2(2.2.12)

справедливо в общем случае. Рассмотрим произвольную матрицу плотности, которая преобразована к диагональной форме, с диагональными элементами Wn. Тогда

tr(p2)=S^2, №р)2 = (2^пу. (2.2.13а, б)

Ввиду того что вероятности Wn — положительные числа, отсюда непосредственно следует справедливость неравенства (2.2.12) для диагонального представления. Поскольку численное значение следа остается неизменным при преобразовании базисных состояний, неравенство (2.2.12) справедливо в любом представлении, а не только в диагональном.

Положим теперь, что в (2,2.12) имеет место знак равенства. В диагональном представлении отсюда в соответствии с (2.2.13) следует условие

Последнее условие может удовлетворяться, только если все вероятности Wn, кроме одной (например, Wi), обратятся

5858ГЛАВА 2ГЛАВА 2ОБЩАЯ теория матрицы плотностиОБЩАЯ теория матрицы плотности6969в нуль. Следовательно, р содержит только один отличный от нуля диагональный элемент в диагональном представлении, и система находится в чистом состоянии, представленном i-м базисным вектором.

58

58

ГЛАВА 2

ГЛАВА 2

ОБЩАЯ теория матрицы плотности

ОБЩАЯ теория матрицы плотности

69

69

Итак, соотношение (2.2.11), как мы доказали, является необходимым и достаточным условием того, что данная матрица плотности описывает чистое состояние. Некоторые следствия из этого результата обсуждались в гл. 1; дальнейшие примеры будут приведены в гл. 3.

Рассмотрим в заключение случай хаотического распределения полного набора состояний |^п>. В качестве примера можно взять ансамбль атомов со спином 5 и третьей компонентой М. Этот ансамбль характеризуется векторами состояний |n, 5, М), где п обозначает совокупность всех остальных переменных, необходимых для полного определения состояний. Пусть, далее, все атомы имеют одинаковые значения п и 5, однако ансамбль представляет собой смесь по отношению к М, причем все различные спиновые состояния могут быть найдены с одной и той же вероятностью WM = 1/(25 4- 1). Такой смеси соответствует оператор плотности

р = [1/(25 4- 1)] £|п5М)(и5М| = [1/(25 4- 1)]1, (2.2.14) м

где 1—единичная матрица размерности (25 4- 1) в спиновом пространстве. Мы применили здесь соотношение полноты (2.1.26) к спиновым состояниям. Очевидно, соответствующая матрица плотности диагональна с равными элементами 1/(25 4-1) в любом представлении. Обобщая определение, данное в разд. 1.2.5 [см. (1.2.33)], будем называть атомную систему неподяризованной, если она может быть представлена оператором вида (2.2.14).

Когерентность и некогерентность

Элементарная теория квантовых биений

Начнем данный раздел с обсуждения квантовых биений. Наше рассмотрение будет чрезмерно упрощенным в ряде аспектов. В частности, мы полностью пренебрежем поляризацией падающих фотонов. Общая теория будет изложена в гл. 5, а данный раздел следует рассматривать частично как введение к определению важного понятия когерентной суперпозиции, а частично как введение к темам, обсуждаемым в гл. 3 и 5.

Рассмотрим ансамбль атомов, находящихся в своем основном состоянии |0) с хорошо определенной энергией Ео (кото-

рую мы положим равной нулю). Атомы могут быть возбуждены на вышележащие состояния за счет поглощения фотонов. Если возбуждение вызвано очень короткими импульсами света, т. е. длительность импульса А/ значительно меньше среднего времени жизни возбужденных атомов, то можно считать, что возбуждение происходит «мгновенно» (например, в момент / = 0). Импульс света длительностью А/ имеет ширину полосы Асо ~ 1/А/ так что энергия фотонов ие является

ДееДееElElЕо=ОЕо=ОРис. 2.1. Система, в которой происходят переходы с двух возбужденных уровней в одно и то же основное состояние.Рис. 2.1. Система, в которой происходят переходы с двух возбужденных уровней в одно и то же основное состояние.ЕгЕгхорошо определенной. Примем, что разброс энергий фотонов йАю превышает разность энергий Ei—Е2 двух атомных уровней |^i> и |^2> (рис. 2.1). Тогда энергия возбужденных фотонов не будет строго определенной и соответствующее состояние непосредственно после поглощения можно представить в виде линейной комбинации обоих состояний:

Дее

Дее

El

El

Ео=О

Ео=О

Рис. 2.1. Система, в которой происходят переходы с двух возбужденных уровней в одно и то же основное состояние.

Рис. 2.1. Система, в которой происходят переходы с двух возбужденных уровней в одно и то же основное состояние.

Ег

Ег

|ф(0)) = а1|^(0),) + а2|^(0)2)(2.3.1)

(более детальное обсуждение принципа суперпозиции см. в гл. 3).

Любое состояние |^(0)() с определенной энергией Е, эволюционирует с течением времени по закону

1Ш) = ехрЫЕ/№]Ж0)г).

Если релаксация возбужденных атомов описывается феноменологически множителем ехр [—(1/2)у4], то временная зависимость состояния (2.3.1) дается выражением

I ф (0) = ах ехр \—Уtt^Ext — Vi\№ /] | ф (0)^ +

+ а2ехр [- <l№ Ej - (у2/2) /] | ф Ш, (2.3.2)

где Yi и уг — ний |^1> игде Yi и уг — ний |^1> исоответственно коэффициенты затухания состоя-

где Yi и уг — ний |^1> и

где Yi и уг — ний |^1> и

света.света.]<£2>. Выражение для интенсивности

света.

света.

излучаемого в момент времени t, можно получить на основе элементарной теории излучения; оно имеет вид

1^~\<0\ет\^О\2 = \а1Ф\ег\ф^) + а2ф\ег\ФШ\\

(2.3.3)

где е — вектор поляризации излучаемых фотонов; г — оператор дипольного момента. Обозначая матричный элемент

Рис. 2.2. Явление «квантовых биений».

<0|е г| ^>,(0)> через Ai, а (1/2) (yi + у2) — через у и используя выражение (2.3.2), получаем

7 (0 ~ I Mi12 ехр (— у0 +1 а2А2|2 ехр (— у/) +

+ а^Д^ехр [- (Z/Й) (Е1 - Е2) t - у/] +

+ а*а2Д*Д2 ехр [+ (z/A) (^ — E^t — у/]. (2.3.4)

Выражение (2.3.4) показывает, что интенсивность излучения 7 (^) меняется периодически с частотой (1/Й) (Е{— Е^ (рис. 2.2). Это явление известно под названием квантовых биений; его можно понять как интерференционный эффект в смысле выражения (2.3.3). Именно, для получения интенсивности /(^) следует сложить амплитуды до взятия модуля матричного элемента. Выражение (2.3.4) показывает, что малые разности энергии можно измерять, определяя частоту биений. Такой метод широко используется в настоящее время в атомной спектроскопии (см., например, статьи в книгах» Hanle, Kleinpoppen, 1978, 1979),

Понятие когерентной суперпозиции

Полезно провести следующее обобщение выражения (2.3.4). Оператор плотности возбужденных атомов непосредственно после возбуждения дается выражением j тр (0) )<тр (0) |. Используя состояния | </>i> и |^2> с определенными энергиями в качестве базисных, можно найти элементы матрицы плотности (в энергетическом представлении) и для возбужденного состояния; они имеют вид ^; | р (0) | ф^ = p.j = а^ V» i~ = 1, 2). Разумно поэтому сделать следующее обобщение уравнения (2.3.4) (формальное доказательство будет дано в гл. 5). Пусть в момент времени / =0 возбужденное состояние атома не является чистым, но представляется 2 X 2-матрицей плотности р(0) с базисными векторами \фх> и \ф»>. В этом случае выражение (2.3.4) все еще сохраняет силу, если вместо величин а^ подставить элементы матрицы плотности рц. Отсюда следует, что квантовые биения связаны с эволюцией во времени недиагональных элементов матрицы плотности возбужденного состояния р(0). Если матрица плотности р(0) диагональна в энергетическом представлении, то никаких интерференционных членов в выражении (2.3.4) не возникает.

Указанная связь между интерференцией и недпагональ- ными элементами соответствующей матрицы плотности носит общий характер, что будет видно из дальнейшего обсуждения. Дадим поэтому следующее определение. Если данную систему можно охарактеризовать матрицей плотности, записанной в представлении с базисными векторами \Фп), то

► система представляет собой когерентную суперпозицию базисных состояний \фп), если ее матрица плотности недиа- гональна в {[ ^>я)}-представлении. Если, кроме того, система находится в чистом состоянии, то ее называют полностью когерентной. Если матрица р диагональна, то система представляет собой так называемую некогерентную суперпозицию базисных состояний (при условии, что имеется более одного отличного от нуля элемента) (Cohen-Tannouidji, 1962).

В этом смысле временная модуляция интенсивности /(/) служит проявлением когерентного возбуждения состояний с различной энергией [см. (2.3.1)].

Различие между полной когерентностью и просто когерентностью часто несущественно, и в литературе термин «когерентность» обычно применяется в обоих случаях. Мы также будем следовать этому правилу, когда нас не интересует, находится ли рассматриваемая система в чистом состоянии или

нет. Понятие когерентной суперпозиции зависит от выбора представления для матрицы плотности. Например, смесь независимо приготовленных состояний (2.2.1) представляет со-' бой некогерентную суперпозицию состояний (фп>, но в общем случае она является также когерентной суперпозицией базисных состояний [как видно из (2.2.3) и (2.2.4)].

Приведенное выше определение можно рассмотреть и с другой точки зрения. Чистое состояние всегда можно записать в виде линейной комбинации базисных состояний; следовательно, оно является полностью когерентной суперпозицией базисных состояний. Величины и фазы коэффициентов в этом разложении хорошо определены (с точностью до общей фазы); следовательно, между базисными состояниями существует определенное фазовое соотношение. Другим предельным случаем является смесь независимо приготовленных базисных состояний \фп'>, представляемых оператором плотности

п

при отсутствии каких-либо определенных фазовых соотношений. Матрица р диагональна в {|^я>}-представлеиии и, по определению, состояния | ^,,) складываются некогерентно. Смесь состояний | ^!>, |'/’г), •.., представляемых матрицей плотности, не диагональной в {|ф,^-представлении [см., на пример, (2.2.3) и (2.2.4)], относится к случаю, промежуточному между двумя предельными: полной когерентности и не- когерентности по отношению к |фа). Дадим теперь более общее определение.

» Система считается некогерентной суперпозицией состояний |Ф1>, | Ф2Х если ее можно представить оператором плотности

р = I- п

Если набор |ф,г> ортонормирован, эти состояния можно использовать в качестве базисных, и данное определение эквивалентно приведенному выше.

В качестве примера рассмотрим атомную систему, представляющую собой когерентную суперпозицию своего основного состояния (угловой момент J = 0) и возбужденного состояния с / = 1. Элементы матрицы плотности для данной системы записываются в виде

W\р\Ш) = рЦЧ)м,м.W\р\Ш) = рЦЧ)м,м.(2.3.5)(2.3.5)

W\р\Ш) = рЦЧ)м,м.

W\р\Ш) = рЦЧ)м,м.

(2.3.5)

(2.3.5)

В явной матричной записи р имеет вид

Р (ОО)оо

P(O1)oi Р(О1)оо Р(О1)о-!

р =

р(Ю)ю Р (10)0э р(Ю)_10

р(И)н р(И)ю POOi-i р(11)о1 р(И)оо р(11)о-1 р(11)_И р(И)_10 Р(1 0-1-1

.(2.3.6)

Матрица (2.3.6) распадается на четыре подматрицы. Верхняя состоит из одного элемента: вероятности р(ОО)оо нахождения системы в своем основном состоянии. Элементы квадратной субматрицы характеризуют возбужденное состояние. Именно, диагональные элементы описывают вероятности нахождения атома в соответствующем подсостоянии с квантовым числом М. Недиагональные элементы описывают эффекты когерентности между различными частными состояниями. Остающиеся элементы в первой строке и первом столбце матрицы (2.3.6) характеризуют интерференцию между возбужденным и основным состояниями. Матрицы плотности вида (2.3.6) возникают, например, в теории оптической накачки, соответствующей переходам 7 = 0 -«-> 7=1.

Временная эволюция статистических смесей

Оператор временной эволюции

Эволюция во времени квантовомеханических состояний описывается уравнением Шредингера

=(2.4.1)

уравнение для сопряженных состояний имеет вид

-т-^^ =(2.4.1а)

Гамильтониан может зависеть явно от времени, например если Н содержит член взаимодействия Г(/), обусловленный внешним полем, изменяющимся во времени. Мы, однако, предположим здесь, что Н не зависит от времени.

В этом разделе мы рассмотрим, как можно иным полезным способом выразить информацию, содержащуюся в уравнении (2.4.1). Обозначим собственное состояние Н с энергией

Если система при t = 0 представляется собственным состоянием |рл>, то в момент времени / ту же систему можно обнаружить в состоянии

IpJO^e-^^lp^, (2.4.3)

которое, очевидно, является решением уравнения (2.4.1). Таким образом, эволюция во времени собственных состояний полного гамильтониана получается простым умножением состояний | р„> на множитель exp [— V/ti)Enf\.

Соотношение (2.4.3) можно обобщить в следующем отношении. Любое решение уравнения (2.4.1) можно разложить по набору собственных состояний |цп>:

I (Ф = X Сп | Еп* | (2.4.4) п п

где коэффициенты Сл не зависят от времени. Последнее можно показать, подставляя (2.4.4) в уравнение Шредингера и применяя (2.4.2). В частности, в момент t = О

1Ф(0))=2с„|ц„>. (2.4.4а) п

В этом случае, т. е. при использовании в качестве базисного набора собственных состояний не зависящего от времени полного гамильтониана, коэффициенты Сп можно определить, задавая начальные условия. Выражение (2.4.4) показывает, как любое состояние |ф(/)> эволюционирует во времени. Если собственные состояния и собственные значения гамильтониана Н известны, то можно предсказать динамическую эволюцию любого вектора состояния. Разложение (2.4.4) можно записать в более абстрактной форме. Прежде всего имеем

е-№ Ent | ш | ^ (2.4.5) где экспоненциальная операторная функция определена соотношением

Ht _1_Н1 H2t2 _ (2.4.6)

Действуя оператором (2.4.6) на |ц„> и затем применяя свойство (2.4.2) к каждому слагаемому, можно получить выражение (2.4.5). Подставляя (2.4.5) в (2.4.4), находим

| ф ^ = = е-чт Ht, ф (0)^ (2 4 7) а

Функцию ]ф(0> в виде (2.4.7) можно найти также более прямым способом, формально интегрируя уравнение (2.4.1).

Оператор схр [— (t/ft)Hf\ содержит всю информацию об эволюции во времени любого состояния |ф(/)>, а следовательно, и о динамике системы. Если состояние ]ф(0)> системы при t = 0 известно, то состояние, представляющее систему в более поздние моменты времени t, можно найти, действуя на |ф(0)> оператором ехр[—^Ч^^1\. Если |ф(0)> является собственным состоянием |цп> полного гамильтониана, то выражение (2.4.7) переходит в (2.4.3). Однако (2.4.7) представляет собой лишь формальное решение уравнения Шредингера. Действительно, для использования указанного выражения при получении временной зависимости состояния необходимо знать действие экспоненциального оператора на |ф(0)>; это в свою очередь требует, например, знания всех собственных состояний и собственных значений гамильтониана Н. Тем не менее запись решения в виде (2.4.7) оказывается очень полезной.

Рассмотрим теперь случай, когда гамильтониан явно зависит от времени. В этом случае уравнение Шредингера

^^^ = ^(01^(0)(2.4.8)

не имеет простых решений (2.4.4) и (2.4.7). Однако выражение (2.4.7) можно обобщить, вводя оператор U(/) — так называемый оператор временной эволюции, который переводит состояние |ф(0)> в состояние |ф(0>:

►| ф (/)> = Д (/) | ф (0)>(2.4.9)

и для сопряженных состояний

►<ф(/)1 = (Ф(0)|Д(/Л(2.4.9а)

Подстановка выражения (2.4.9) в уравнение Шредингера (2.4.8) дает

Дг| ф(0)) = H^U (t) |ф(0)>.(2.4.10а)

Поскольку соотношение (2.4.10а) выполняется для любого состояния |ф(0)>, его можно записать в виде операторного уравнения

th ~~ = Н (/) U (/).(2.4.10)

В момент t = 0 система должна находиться в состоянии |ф(0)>. Чтобы обеспечить выполнение указанного условия, необходимо наложить дополнительное начальное условие

СД0) = 1.(2.4.11)

Для сопряженного оператора имеем

-ih^^-=U H^t\(2.4.12)

3 Зак. 643

Действуя на уравнение (2.4.10) оператором 1^ слева, а на уравнение (2.4.12)— оператором U справа, а затем вычитая полученные уравнения друг из друга, находим

ди . ди' _ d(U*U) пih\U -sr-4—=- 0.

\ dt 1 dt /dt

Отсюда следует, что оператор U'U не должен зависеть от времени; принимая во внимание начальное условие (2.4.11)

[/(О)1" [/(0) = 1,(2.4.13)

приходим к выводу, что U — унитарный оператор, a U^U — единичный оператор.

Можно дать интерпретацию выражения (2.4.9), заметив, что величина

1<ШО[2 = 1Ш£/(/т(0)) I2

представляет собой вероятность нахождения системы в момент времени / в состоянии |ф), если в момент времени t = 0 она находилась в состоянии |ф(0)>.

Содержание этого раздела можно резюмировать следующим образом. Эволюцию во времени состояния | ф (0) можно определить, либо решая уравнение Шредингера (2.4.8), либо, что эквивалентно, находя U(/) путем решения уравнения (2.4.10). Если Н не зависит от времени, то, формально интегрируя (2.4.10), находим

U^ = e-Xi№Ht(2.4.14)

с начальным условием (2.4.11). В этом случае (2.4.9) сводится к (2.4.7). Соответственно для сопряженного оператора имеем

U^ = eU№Ht.(2.4.14а)

В общем случае, однако, Н содержит явную зависимость от времени, и решение уравнения (2.4.10) будет значительно более сложным, чем уравнения (2.4.1). Мы рассмотрим эту задачу в разд. 2.4.3.

Уравнение Лиувилля

Пусть в момент времени /= 0 некоторая смесь описывается оператором плотности

p(o) = Z^dt(oW(o)J>

Состояния |ф(0)„> изменяются во времени согласно соотношению (2.4.9); следовательно, оператор плотности становится зависящим от времени:

р(0 = £им^тш=

-lLWnu^^U<WUu^\

откуда

р(О = ^(/)р(О)(/(^.(2.4.15)

Если Н не зависит от времени, то

p^ = e-^Ht^e<i№Ht- (2.4.15а)

Дифференцируя (2.4.15) по времени / и применяя уравнения (2.4.10) и (2.4.12), получаем

in ^F=in т1 р (°)и ^ +iMJ ^ р (°) ^г =

— H{t)U (С Р (0) и (/)■ - и (/) р (0) и (of н ^у

подставляя сюда (2.4.15), находим

►Ш^-^Н^. р(/)],(2.4.16)

где квадратные скобки обозначают коммутатор

VHyy р(/)] = Я(/)р(/)-р(0Я(0.

Таким образом, зависимость от времени оператора плотности может быть найдена или с помощью выражения (2.4.15), или, что эквивалентно, с помощью (2.4.16). Дифференциальное уравнение (2.4.16) часто называют уравнением Лиувилля, так как оно имеет тот же вид, что и уравнение движения для функции распределения вероятности (в фазовом пространстве) в классической механике (см., например, Tolman, 1954).

Уравнения (2.2.9) и (2.4.16) являются основными уравнениями теории. Одновременное решение этих уравнений дает уравнения движения для наблюдаемых. Мы приведем явный пример в разд. 2.5.

Положим теперь, что можно записать

Я(С = Яо + Е(О,(2.4.17)

где гамильтониан Яо предполагается не зависящим от времени, а У(/) описывает зависящее от времени внешнее поле, индуцирующее переходы между собственными состояниями

|ц(®^ гамильтониана Но. Используя эти собственные состояния в качестве базисных, запишем

| ip (0„) = 2 С (/)„ | ц (/)<0)) = Z С (Пп eHUM ^^ I Ц^); (2.4.18) здесь учтено, что временная эволюция собственных состояний гамильтониана Яо описывается выражением (2.4.3), где вместо Еп подставлены собственные значения Е® гамильтониана Но. Зависимость от времени, обусловленная внешней силой V^, полностью содержится в коэффициентах С(0я, которые не зависят от времени, если 1/(1) = О (см. предыдущий раздел).

Получим теперь выражение, описывающее временную эволюцию элементов матрицы плотности в ^ц^|-представлении. Матричные элементы полного гамильтониана Н — //о + V^ имеют вид

| «(01 О - ЕУ„.„ + (Ц$ ЦЮ |ц™}. (2.4.19) Если умножить уравнение Лиувилля слева на ^т^, | и справа на | Нт^ и ввести обозначения Р (0„цт = (р-^'| Р (01 Р-*®*), то получим

in ^^ - Е №,p «„„ + {» Ц Ю | Ц”) р ОТ„„ -

- Р «W™6- - Р W. W Ц О | р"1}] =

= Ц» - ЕД р + £ [Ц» Ц <01 И1»} Р т„„ -

п

-p(0m.m(p<°F(0lP^>]. (2.4.20) Это уравнение можно записать в эквивалентной форме:

ih ^" = (£№ _ ЕД р ^ + № | [у №, р (,)] | р»^ ,

(2.4.21) что и представляет собой требуемый результат.

2.4.3. Представление взаимодействия

Основная тема этого раздела — приближенное нахождение оператора временной эволюции. На основе полученных выражений мы обсудим также решение уравнения Лиувилля.

Вообще говоря, точное решение уравнения (2.4.10) невозможно. Часто, однако, взаимодействие И(1) в уравнении

является малым возмущением, и уравнение (2.4.10) можно решить с помощью методов нестационарной теории возмущений.

Сделаем сначала несколько предварительных замечаний. Прежде всего заметим, что временная зависимость векторов состояния |^(/)> определяется в основном гамильтонианом Но. Это достаточно хорошо видно из выражения (2.4.18), которое содержит быстропеременные множители ехр [—(i/Й) X XE№tA. Эту явную зависимость можно исключить, записав (2.4.18) в виде

| ^ (/)) = е-№ нл ^ С (0„ | ^ = е"^№ нл । ^ ^ (2.4122)

где оператор expHWl определяется выражением (2.4.6), а

|Ч> (/);)= 11 С МО(2,4‘23)

1 п

Подставляя разложение (2.4.22) в УРавнен-е Шредингера (2.4.8) и полагая, что выполняется (2.4.17), находим

д | 4> (0) ifl dtд | 4> (0) ifl dt= 1й(- у) Н#^ нл | ^ ^ + /й ^-и№ Н^ "'М^ = [H0 + V(t)]e~^

д | 4> (0) ifl dt

д | 4> (0) ifl dt

(2.4.24)(2.4.24)(2.4.25)(2.4.25)Члены, содержащие Но, взаимно уничтожаются, и мы получаем уравнение движения для вектора состояния (^(Z1)/):

(2.4.24)

(2.4.24)

(2.4.25)

(2.4.25)

где введено определение

Из уравнения (2.4.24) видно, что <51 ф ^i^/dt = 0, если |/(/) = 0, т. е. временная зависимость ]ф(/);> полностью создается внешним потенциалом У(/). Если У(/) — малое возмущение, то |ф(0/) будет медленно меняться во времени. По указанной причине уравнение (2.4.24) можно решать приближенно в рамках нестационарной теории возмущений; оно значительно удобнее для практических вычислений, чем (2.4.8).

Рассмотрение в разд. 2.4.1 и 2.4.2 базировалось на том факте, что векторы состояния |ф(0) содержат всю зависимость от времени, обусловленную Но и У(/), и всю информацию о временной эволюции системы. Такой способ описания временной эволюции называется представлением Шредингера. Как было показано выше, часто бывает удобно устранить из

состояний быстропеременные множители, обусловленные Но- Как видно из выражения (2.4.22), этого можно достичь, применяя оператор

(2.4.26)(2.4.26)U (0О+ = evw н?*

(2.4.26)

(2.4.26)

ко всем состояниям |iH0) в представлении Шредингера, в результате чего получаем

►I Ф(0/> ^^^‘ШОХ(2.4.27)

В то же время все операторы Q^ можно преобразовать, как это сделано с 1/(0 в (2.4.25), и определить новые операторы Q^i следующим образом:

Q ^! = е^ ^Q (0 е~№> м.

Соответствующие обратные преобразования имеют вид

►I ^ (0) = е~^ Hst । ф ^(2.4.28а)

►Q (0 = е-«№ ^Q (0;(2.4.286)

Очевидно, оператор (7(0 о— унитарный. Временная зависимость состояний [^(О/) порождается теперь слагаемым V(0, а временная эволюция операторов Q^i обусловлена их собственной зависимостью от времени и, кроме того, слагаемым Но. Описание временной эволюции с помощью состояний |^(0/> и операторов Q(0/ называется представлением взаимодействия.

взаимодействия ивзаимодействия иПоскольку П(О)о=1, представления Шредингера совпадают при / = 0:

взаимодействия и

взаимодействия и

|ф(0))=|ф(0);).|ф(0))=|ф(0);).(2.4.28b)(2.4.28b)

|ф(0))=|ф(0);).

|ф(0))=|ф(0);).

(2.4.28b)

(2.4.28b)

После этих вводных замечаний обратимся к проблеме нахождения оператора временной эволюции. Это можно сделать на основе представления взаимодействия. Зависимость от вре- .мени состояний |1^(/)> в представлении Шредингера описы- .вается выражением (2.4.9). Аналогичное выражение можно получить для соответствующей величины в представлении взаимодействия |ip(0/>. Подставляя (2.4.9) в (2.4.27), получаем

I ^ (0/) = е^ н^ц (/)|ф(0)).

-Применяя соотношение (2.4.28в), имеем

|ф(/)0 = у(/)/|ф(О)д(2.4.29)

где

(2.4.30)(2.4.30)

(2.4.30)

(2.4.30)

а обратное соотношение имеет вид

(2.4.31)

Оператор U(t){ определяет временную эволюцию состояний в представлении взаимодействия.

Чтобы найти UV)i> следует подставить (2.4.31) в (2.4.10);

тогда члены, содержащие Но, сокращаются и мы получаем

dU

ifl—^^V^U^,(2.4.32)

где U^i — решение уравнения (2.4.32), удовлетворяющее начальному условию

ЩО)2 = 1.(2.4.33)

Уравнение (2.4.32) показывает, что зависимость U (,t)j от времени полностью обусловлена членом У(0- Поэтому нестационарную теорию возмущений удобнее применять к уравнению (2.4.32), чем к его аналогу (2.4.10) в представлении Шредингера.

Для решения уравнения (2.4.32) прежде всего формально проинтегрируем его и получим

t

r/(0; = l-4$l/(T);n(T)^T,(2.4.34)

о

где использовано начальное условие (2.4.31). Соотношение (2.4.34) еще не является решением уравнения (2.4.32): оно представляет собой лишь преобразование уравнения (2.4.32) к форме интегрального уравнения (в котором неизвестная величина U(т)/ находится под знаком интеграла). Уравнение (2.4.34) может быть решено методом итераций. Если У(/)=0, То H(/)z = l, и если член 1/(0 достаточно мал, ЩА; будет лишь немного отличаться от 1. Тогда оператор U(т)/ под знаком интеграла в (2.4.34) может быть заменен единичным оператором; таким способом мы получаем оператор временной эволюции в первом порядке теории возмущений:

t

►1/(Ш = 1--^(т)^т.(2.4.35)

о

Подставляя затем (2.4.35) в (2.4.34), находим оператор эволюции во втором порядке теории возмущений; с помощью дальнейших итераций можно найти члены Высших порядков в операторе эволюции.

На основе выражений (2.4.34) и (2.4.35) можно, используя (2.4.30), получить соответствующие выражения для оператора U(/) в представлении Шредингера.

Перейдем теперь к уравнению движения для оператора плотности. Применяя к оператору плотности (2.4.15) в пред- ставлении Шредингера унитарное преобразование (2.4.26), находим

PW/^L^I^/X^k/l,(2.4.36)

п

где оператор плотности в представлении взаимодействия определяется следующим образом:

р (/), = (е№ н-1') р (/) H«‘Y(2.4.37)

Подставляя (2.4.15) в (2.4.37), приходим к уравнению движения

►р (/)у == £/(Z), р (0)у £/(Z)+,(2.4.38)

гдер(О) = р(О)/.(2.4.39)

Аналогично, подставляя

р (/) = е~№ н«49 (/), е(‘/А> я»г(2.4.40)

в уравнение (2.4.16), получаем уравнение Лиувилля в представлении взаимодействия;

др (0, in—dr~ = VV^I,p^1Y(2.4.41)

Для получения приближенного решения этого уравнения преобразуем его сначала к виду интегрального уравнения. Формальное интегрирование (2.4.41) дает

t

► PM/ = P(0)/-4$^W/- РМ/]^-(2.4.42)

о

Это интегральное уравнение можно решать с помощью итераций аналогично уравнению (2.4.34). Положим, например, что 4/(7)= 0 для всех значений / ^ 0. Тогда при /^0 данная смесь описывается в представлении взаимодействия не зависящим от времени оператором плотности р(0/ = Р(0)/- Предположим, что при всех значениях / > 0 присутствует возмущение V(/); тогда, если это возмущение невелико при t >0, оператор p(Z), будет мало отличаться от своего начального значения р(0)/.

Поэтому в интеграл (2.4.42) вместо р(т)/ можно подставить его начальное значение р(0)/. Тогда решение уравне-

ния (2.4.42) в первом приближении теории возмущений имеет вид

t

Р (0; = Р (0)/ - 4 J [V ^h Р (0)/1 ^-(2-4.43)

о

Продолжая процесс итераций р(т)/, можно получить члены высших порядков.

Соотношения, выведенные в этом разделе, будут проиллюстрированы на примерах в последующих главах. Более детальное обсуждение различных представлений, используемых для описания временной эволюции, можно найти в любом учебнике по квантовой механике.

Спиновая прецессия в магнитном поле

В качестве примера использования формализма, развитого в предыдущих разделах, рассмотрим теперь прецессию частиц со спином 1/2 в статическом магнитном поле. Компоненты магнитного момента частиц со спином 1/2 даются выражениями

Pt=jY^(2.5.1)

Ц = х, у, г), где у — гиромагнитное отношение, а щ обозначают матрицы Паули. Взаимодействие между частицами, обладающими магнитным моментом щ, и внешним магнитным полем Н описывается гамильтонианом

Я = -и.Н=-4уЙ ^о^ Ц = х,у,г\ (2.5.2)

Вектор поляризации изменяется во времени, и матрица плотности р частиц зависит от времени. Скорость изменения вектора поляризации Р определяется уравнениями (2.2.9), (2.4.16) и (2.5.2):

д/<тЛ 5/ др \

lh—at = ih"dt (tr Р ‘= 1Пtr 117 azJ =

= 1г{[Я, P (/)] a J = tr {[<rf, Я]р (/)} =

= - у yh £ H, tr {[ao a J p (/)}, (2.5.3а) i

где использовано свойство независимости следа произведения от циклических перестановок операторов-сомножителей.

Подставляя выражение (1.1.45) для р в уравнение (2.5.3а), Получаем

^—5t=- t^M01' cr/J + ^PHrdo^, ajaj).

(2.5.3)

Применяя соотношение (1.1.42а), имеем

1г[о;, crj = 0,

а соотношение (1.1.426) дает

1г([сг;, cr/]crt) = 4Zez/t

в силу антисимметрии тензора бцк [см. (1.1.39)]. Подставляя эти результаты в уравнение (2.5.3), находим

с/ (ст Л^—'

5/ Y /, НjPk^ijk-(2.5.4)

Например, для компоненты Рх имеем из- (1.1.39) и (2.5.4)

■^ = - У кНнРг - НгР^ = + у [PHL; (2.5.4а) здесь индекс х обозначает компоненту вдоль оси х векторного произведения Р и поля Н. В векторных обозначениях уравнение (2.5.4а) можно записать так:

др

^Г = ¥[РН].(2.5.5)

Заметим, что уравнение (2.5.5) совпадает с классическим уравнением движения для прецессии вектора Р относительно направления поля.

Вывод уравнения (2.5.5) служит хорошим примером использования уравнений (2.2.9) и (2.4.16) при выводе уравнений движения. Он также иллюстрирует значительное упрощение, которое достигается при использовании в процессе вычисления компактного выражения (1.1.45) для матрицы плотности и свойств матриц Паули (1.1.38). Уравнение (2.5.5) можно вывести и не применяя метод матрицы плотности, но вычисления становятся при этом гораздо более громоздкими.

Системы в тепловом равновесии

Очень большое значение имеет применение матрицы плотности к динамической системе, находящейся в тепловом равновесии с окружающей средой. В квантовой статистической

механике показано, что состояние системы при температуре Т можно представить оператором плотности

р = ехр(- ДО,(2.6.1)

где р = \/кТ и к — постоянная Больцмана. Наличие в (2.6.1) статистической суммы

Z = trexp(-р//)(2.6.2)

обеспечивает выполнение условия нормировки

trp = l.(2.6.3)

Выражение вида (2.6.1) имеет место для канонического ансамбля, т. е. для системы с постоянным объемом, постоянным числом частиц и данным средним значением <//> гамильтониана (средней энергией)[).

') Статистпческпй оператор (2.6.1) соответствует максимуму информационной энтропии 3,- = —tr(pln р) при заданной средней энергии (Я) и сохранении нормировки. Статистический оператор большого канонического ансамбля Гиббса p = Z-1exp[—Р(Я— цЯ)] соответствует максимуму информационной энтропии при заданной средней энергии и среднем числе частиц. Энтропию статистически равновесного состояния определяют как средний логарифм статистического оператора с обратным знаком. Например, для канонического распределения энтропия равна 3 = —(In р)о = = In Z -j- р (Я) о, (Я) о = tr [HZ-1 exp (—pH)]. Такое определение соответствует равновесной термодинамике.

Понятие энтропии неравновесного состояния в статистической механике требует специального определения, чтобы оно соответствовало неравновесной термодинамике. Пусть неравновесное состояние определяется набором средних значений операторов Qi- Например, для описания неравновесного состояния простой жидкости достаточно задать средние плотности энергии Н(х), импульса р(х) и числа частиц п(х). Максимуму информационной энтропии при заданных (Q,) и сохранении нормировки соответствует квази- равновесный статистический оператор pq = Z 1 (/) exp | — ^ F; (/) Qz |, где параметры /((I) определяются из условия совпадения средних, вычисленных с помощью р,, со средними, найденными с помощью неравновесного статистического оператора, удовлетворяющего уравнению Лиувилля tr^p,) = tr(Q,p).

Энтропию неравновесного состояния можно определить как энтропию такого квазиравновесного состояния, соответствующего набору операторов Qi, в котором средние квазиравиовесные значения Qi равны их неравновесным значенияем, т. е. 3 = —(In pq) = in Z (/) + ^ F, (/) (Q;). Неравновесный статистический оператор p можно найти как частное решение уравнения Лиувилля (2.4.16), зависящее от времени лишь через параметры FiPY Это можно сделать с помощью наложения соответствующего граничного условия к уравнению Лиувилля, добавив к нему бесконечно малый член, отбирающий такие решения, что^р/д/Ч- (1/2й)[р, Щ = —е(р — р9), где е^+0 после термодинамического предельного перехода. Если выбрать для однокомпонентной жидкости в качестве Qi величины Щх), р(х), и(х),

Оператор плотности (2.6.1) играет ту же роль в квантовой статистике, какую каноническая функция распределения играет в классической статистической механике. Эту эквивалентность можно показать, рассматривая энергетическое представление Н\п> = Еп\п>, в котором элементы матрицы плотности даются выражениями

(п |р |п) = [ехр(— P^VZ] b,Vn.(2.6.4)

Диагональные элементы <п|р|п> дают вероятность нахождения системы в состоянии с энергией Еп. Поэтому система в тепловом равновесии описывается некогерентной суммой собственных состояний п оператора энергии со статистическими весами, пропорциональными больцмановскому множителю ехр (—рД,,).

Среднее значение <Q> оператора Q, действующего на систему, дается выражением

Q = (l/Z)tr[Qexp(~pH)],(2.6.5)

которое вытекает из (2.2.9).

Выражения (2.6.1) и (2.6.4) будут использованы в гл. 7. Здесь мы проиллюстрируем их на простом примере. Рассмотрим систему частиц со спином 1/2, на которую действует статическое магнитное поле Нг в направлении оси г. Гамильтониан такой системы дается выражением (2.5.2):

Н = — п ■ Н — уй/7г(тг/2.

Макроскопическая намагниченность М системы определяется следующим образом:

Mt = N^ti^G^I^.,(2.6.6)

где N — число частиц в единице объема. В условиях теплового равновесия матрица плотности дпагональна и заполне-

то получим квазиравновесное, или локально-равновесное, распределение

Pg = Z“’ (/) ехр | — ^ р (v, /) IH (х) — V (.v, /) • р (.v) — и (-V, /) —

^- у2 (х, 0 и (х)) dx j,

где v(x, /) —гидродинамическая скорость, Ц(х, /) —химический потенциал. Неравновесный статистический оператор, вычисленный на основе р,, дает для параметров Р(.v, О и n^x, f) уравнения теплопроводности и уравнение Навье — Стокса. Таким образом, приведенное выше определение энтропии неравновесного состояния согласуется с уравнениями неравновесной термодинамики (см. Зубарев, 1971, гл. IV, приложение III). — Прим. ред.

ние магнитных подсостояний соответствует распределению Больцмана (2.6.4). Отсюда ясно, что Мх = Ми = 0 и

Л1г = N^h tr [exp (— РЯ) crz]/2Z.(2.6.7)

Пусть температура достаточно высока, чтобы было применимо разложение ехр(—рЯ) « 1 — рЯ = 1 + ^ТгНг^г/Ч; используя равенства traz —О и tra| = 2, получаем

А1г = N№2HJ2Z.

Из определения (2.6.2) имеем в высокотемпературном пределе

Z = X (т |ехр(— РЯ) |т) ~ 2.(2.6.8)

т

Окончательно получаем

Мг = Яру2Й2Яг/4,(2.6.9)

что представляет собой закон Кюри для намагниченности частиц со сшшом 1 /2.

3

Связанные системы

Несепарабельность квантовых систем после взаимодействия

В гл. 2 были получены основные уравнения движения (2.4.15) и уравнение Лиувилля (2.4.16). Они были применены к описанию взаимодействия между квантовой системой и внешним классическим полем. В этой главе мы рассмотрим проблему описания состояния квантовой системы, взаимодействующей с другими квантовыми системами (над которыми может и не производиться процесс измерения). Эта тема очень важна и по существу имеет первостепенную важность для всего дальнейшего обсуждения. Квантовомеханические теоремы, которые будут сформулированы, дают основу для понимания таких явлений, как квантовые биения, угловые корреляции и эффекты спиновой деполяризации. В разд. 3.1 и 3.2 изложена необходимая общая теория, а в разд. 3.3—3.5 приведены примеры, иллюстрирующие смысл и применение общих теорем.

Начнем с анализа следующей ситуации. Две первоначально отдаленные друг от друга невзаимодействующие системы частиц сводятся воедино и получают возможность взаимодействовать друг с другом. Рассмотрим проблему анализа конечного состояния всей системы, когда составляющие ее системы вновь разделяются и взаимодействие между ними прекращается. Обозначим эти подсистемы соответственно через Ф и ф. Полный набор ортогональных векторов состояния | Ф;> можно выбрать так, чтобы описать систему Ф, т. е. любое состояние этой системы может быть записано в виде линейной комбинации базисных состояний |Фг>. Аналогично можно выбрать набор базисных состояний |ф,>, описывающих систему ф. Индексы i и / относятся к наборам квантовых чисел, необходимых для полной характеристики каждой системы. Если до взаимодействия две отдаленные друг от друга системы находились в чистых состояниях, описываемых соответственно векторами |Фа) и |фр> (эти состояния не обязательно входят в число выбранных базисных состояний), то состояние объединенной системы до взаимодействия представляется хорошо определенным вектором состояния

|фт> = |Фа> ]фр> в объединенном пространстве (см. приложение А).

В процессе взаимодействия временная эволюция вектора состояния ]ф1п> определяется соответствующим оператором эволюции во времени, который является линейным оператором в объединенном пространстве. Линейные операторы преобразуют один вектор состояния снова в один вектор состояния (не совпадающий с исходным). Поэтому начальное чистое состояние |ф;п) должно эволюционировать так, чтобы конечное состояние объединенной системы также можно было представить одним вектором состояния (мы обозначим его 1 ф (ct-P) out):

I 'fin) = I Фа) I фр) I 'f (aP)out); (3-1 •1 a)

здесь стрелка символизирует действие оператора эволюции во времени. Состояние-|ф (оф) Out> зависит от переменных обеих подсистем. Это можно увидеть явно, разложив |ф(оф)out) по базисным состояниям | О;) | Ф/>= | Ф/Ф/) разъединенной системы:

I ф (aP)out) = X «W, сф)|Ф;)|ф;), (3.1.16) где сумма может включать интегрирование по непрерывным переменным.

Коэффициент а(//, оф) представляет собой амплитуду вероятности перехода | Фа) | фр> ^-| Фф | ф/>, так что квадрат его модуля |a(t/, оф) |2 дает вероятность нахождения частицы системы Ф в состоянии | Ф,) и одновременно частицы системы ф в состоянии |срф после взаимодействия. Вклад в разложение (3.1.1) дают только те комбинации ]Ф/> |ф/>, которые допускаются законами сохранения. Другими словами, данное конкретное конечное состояние |Ф,> коррелировано с одним (или несколькими) конечными состояниями |фу> таким образом, что все необходимые законы сохранения выполнены.

Вообще говоря, сумма в выражении (3.1.16) содержит более одного слагаемого. Существенно, что амплитуды зависят от переменных обеих подсистем. Следовательно, невозможно записать соотношение (3.1.16) в виде | фout) = |Ф>|ф>, где |Ф> — вектор состояния, зависящий только от переменных системы Ф. а |ф) — вектор состояния, зависящий только от переменных системы ф. По существу разделение такого типа разрушило бы корреляции, которые обязательно существуют между двумя подсистемами.

Чтобы разъяснить это утверждение, рассмотрим случай, когда две системы вообще не взаимодействуют между собой Тогда вероятности найти систему Ф в состоянии [Фф, а

систему ф — в состоянии ]ф/> не зависят друг от друга, а амплитуды могут быть факторизованы, т. е. записаны в виде a (ij, оф) = a (i, a) a (j, Р) (см. приложение А). Подставляя последнее выражение в (3.1.16), получаем

1 («РЫ = ( ^ ° V, “) [ Ф1)) ( Z « U, Р) | Ф/)) = I Ф) I Ф),

(3.1.2а, б) где состояния |Ф> и | ср> определены соответственно первым и вторым сомножителями в (3.1.2а). В этом случае |Ф) зависит только от переменных системы Ф, а |ф>— только от переменных системы ф. Однако в общем случае, если две системы взаимодействовали друг с другом в прошлом, то амплитуды вероятности коррелированы и не могут быть факторизованы. Эти результаты можно резюмировать следующим образом.

► Если две системы взаимодействовали в прошлом, то в общем случае невозможно приписать один вектор состояния любой из двух подсистем.

В этом состоит существо утверждения, иногда называемого принципом несепарабельности (d’Espagnat, 1976). Мы показали, что этот принцип является прямым следствием общих правил квантовой механики. Следует заметить, что принцип несепарабельности имеет серьезный концептуальный смысл и вызывает многочисленные дискуссии, касающиеся интерпретации квантовой механики. По-видимому, высшим проявлением таких трудностей является знаменитый парадокс Эйнштейна — Розена — Подольского (см., например, d’Espagnat, 1976; Jammer, 1974)’). Из указанного принципа вытекает важное следствие. Пусть лишь одна из систем (для определенности ф>) подвергается наблюдению после взаимодействия. Несмотря на то что обе системы находились первоначально в чистых состояниях, взаимодействие создает корреляцию между двумя системами; следовательно, в более поздние моменты времени система ф> будет обнаружена в смешанном состоянии. Таким образом, тот факт, что система Ф не подвергается наблюдению, приводит к потере когерентности в системе ф>. Это важное следствие из принципа несепарабельности проиллюстрировано различными примерами в разд. 3.3 и 3.4, где обсуждается когерентность

!) Разъяснение парадокса Эйнштейна, Розена и Подольского дано Н. Бором (УФН, 1936, т. 16, с. 446); см. также статью Бора «Дискуссии с Эйнштейном о теоретико-познавательных проблемах в атомной физике» в книге «Философские вопросы современной физики». — М.: Изд-во ЛИ СССР, 1959. — Прим. ред.

только между вырожденными состояниями. Более общий случай когерентно возбужденных состояний с различными энергиями требует более детального обсуждения временной эволюции системы и будет рассмотрен в гл. 5.

Взаимодействие с системой, не подвергаемой наблюдению, Приведенная матрица плотности

Рассмотрим две (пли более) взаимодействующие квантовые системы. Во многих случаях интерес представляет только одна из двух подсистем, а другие не подвергаются наблюдению. Обозначим состояния интересующей нас системы через |ср/>, состояния всей остальной (не подвергаемой наблюдению) системы в совокупности через |Ф(>, а элементы матрицы плотности р(/), описывающей полную систему в момент времени t, через (Фуфу [ р (О |Ф^у>. Как показано в предыдущем разделе, вследствие наличия взаимодействия система ср находится в смешанном состоянии. Поэтому необходимо рассмотреть, как можно построить матрицу плотности р(ср, /), которая характеризует только интересующую нас систему.

Рассмотрим оператор @(ф), действующий только на переменные системы ср; его матричные элементы даются выражением

(Фуфу IQ (ф) IФ/Ф/) = <Ф/' I Q (Ф) I Ф/> ^п,(3.2.1)

причем предполагается ортогональность состояний | Ф/>. Среднее значение <0(ф)) можно найти, используя выражения (2.2.9) и (3.2.1):

<Q (ф, 0) = ^р(09(ф) =

= X <ФгФ/Чр(/)№ф/)<ф.Ф/19(ф)1Фир/') =

i'i г 1

= I [2 М' IР (01ф^/>] ^1Q ^ I(3-2-2)

Определив элементы матрицы р(ф, /) следующим образом:

►(ф/'l Р (ф, О IФ/) = ^ф1Ф/'1 Р (О 1ф^Ф/Х (3.2.3)

можно записать соотношение (3.2.2) в форме

► <Q (ф, = X <фг I р (ф, 01 ф,> (ф,1Q (ф) I фУ') = Fi

= trp(<p, /)5(ф),(3.2.4)

совпадающей по виду с (2.2.9).

Вся информация относительно системы ср может быть выражена через средние значения <Q(ф, t)} того числа операторов, которое необходимо для ее описания. Из соотношения

следует, что любое из этих средних значении можно найти, если известна матрица р(фД). В указанном смысле матрица р(ф, /) содержит всю информацию о системе ср.

Матрицу р(ф, /) называют обычно приведенной, или редуцированной, матрицей плотности. Как видно из выражения (3.2.3), эта матрица получается путем взятия тех матричных элементов полной матрицы плотности р(0, которые диаго- нальны по не подвергаемой наблюдению переменной i, с последующим их суммированием по всем значениям L Таким путем можно исключить все несущественные индексы. Фактически вычисляется полная матрица плотности р(/), которая затем проектируется на интересующее нас подпространство. В этом состоит наиболее ценное свойство матрицы плотности, и мы будем широко его использовать в остальной части книги.

Для удобства введем сокращенное обозначение ^фр(0 = Х<Фг1р(0|Ф»)>

где 1гф указывает на взятие следа по всем переменным, не подвергаемым наблюдению. Тогда выражение (3.2.3) можно записать в виде

(фу- I Р (Ф, О I Фу) = <ФГ | [X (Ф; | Р (0 | Ф,)] | Фу)=<Фу' | ^ф Р (/) | Фу) или в операторной записи

>р(ф, 0 = Дфр(0-(3.2.5)

Замкнутая квантовомеханпческая система (изолированная от всего остального мира) обладает «гамильтоновой» эволюцией; это означает, что существует не зависящий от времени гамильтониан Н и унитарный оператор П(/)=ехр(—Ш(/1Ц, такой, что временная эволюция системы определяется унитарным преобразованием (2.4.15) или, что эквивалентно, уравнением Лиувилля (2.4.16). При такой эволюции чистое состояние всегда преобразуется в другое чистое состояние,

так что статистические смеси не могут ни создаваться, ни разрушаться.

Рассмотрим теперь взаимодействие между квантовой системой и внешними «классическими» силами. Термин «классический» означает здесь, что можно пренебречь обратным действием системы на источник полей. Примерами могут служить полуклассические теории излучения или теория потенциального рассеяния, в которой действие мишени на налетающие частицы может быть приближенно описано потенциальной функцией. Временная эволюция квантовой системы описывается унитарным оператором Д(0. и система подчиняется уравнению Лиувилля (или уравнению Шредингера в случае чистого состояния). Для зависящих от времени внешних сил наблюдаемые, в частности гамильтониан, зависят явно от времени (см. обсуждение в разд. 2.4).

В тех случаях, когда нельзя пренебречь обратным действием (реакцией) квантовой системы (ср) на внешнее окружение (Ф), можно расширить систему ср, добавив к ней Ф; тогда объединенная система оказывается замкнутой и обладает гамильтоновой эволюцией. Часто система Ф не подвергается наблюдению. В этих случаях мы будем называть ср открытой квантовомехаиическоп системой. Динамическая эволюция такой открытой системы радикально отличается от эволюции закрытой системы. В частности, как видно из обсуждения в разд. 3.1, система будет обнаруживаться в смешанном состоянии после взаимодействия с неподвергаемой наблюдению квантовой системой даже в том случае, если до взаимодействия обе системы находились в чистых состояниях. Следовательно,

^ временная эволюция открытой квантовомеханической системы не может описываться уравнением Лиувилля (или уравнением Шредингера).

Другими словами, соответствующую приведенную матрицу плотности р(<р, 0 нельзя представить в виде унитарного преобразования матрицы плотности р(ф, 0) в более ранний момент времени / — 0. В этом состоит важное различие между открытыми и замкнутыми системами (пли системами, описываемыми квазиклассически). Указанное различие сыграло важную роль, например, в недавних дискуссиях о применимости так называемых «неоклассических» теорий излучения. Детали см. прежде всего в статье Чоу и др. (Chow, Scully, Stoner, 1975).

Отправной точкой при обсуждении временной эволюции открытых систем служит уравнение Лиувилля для соответствующей «расширенной» системы, включающей в себя все

взаимодействующие системы. Предположим, например, что замкнутую систему можно разделить на две взаимодействующие квантовые системы <р и Ф. Объединенная система описывается гамильтонианом Н, состоящим из трех слагаемых:

H = H^0 + H^0-VV^, Ф).

Эти слагаемые относятся соответственно к свободному движению систем и взаимодействию между ср и Ф. Примем, что экспериментальный интерес представляет только система ср, а система Ф не подвергается наблюдению. Из-за наличия члена взаимодействий V, связывающего <р и Ф, не существует гамильтониана, описывающего только динамику системы <р. Временная эволюция приведенной матрицы плотности р(ср, О получается посредством взятия частичного следа 1гФ (по части переменных, описывающих Ф) в обеих частях выражения (2.4.15). Используя обозначения (3.2.5), имеем тогда ►р(ф>/) = 1гф(У(/)р(О)(7(О+(3.2.6а)

или, учитывая (2.4.16),

р(Ф,/) = -(17й)1гф[//,р(/)].(3.2.66)

Здесь р(0 и (/(/)— операторы замкнутой системы, а Н не зависит от времени.

Следует отметить, что временная эволюция объединенной системы является обратимой, поскольку начальное состояние р(0) может быть получено математически из р(1) путем обратного преобразования exp (i/W/Ti) р (г1) ехр (—1Ш/1гУ Открытые системы, однако, часто обнаруживают необратимое поведение. Это обусловлено взамодействием открытой системы с системами, не подвергаемыми наблюдению (например, с «термостатом»), и выражается формально с помощью суммирования по всем подвергаемым наблюдению переменным в выражениях (3.2.6). Процедура взятия следа как раз и является фундаментальным квантовомеханическим источником необратимости. Мы обсудим эти вопросы подробнее в гл. 7.

Абстрактные разультаты, полученные в настоящем и предыдущих разделах, заслуживают подробных пояснений и иллюстраций. Оставшаяся часть главы посвящена этой задаче; мы подробно рассмотрим некоторые простые примеры. Смысл выражений (3.2.6) и их применение рассматриваются в следующих главах.

Итак, в этом и предыдущих разделах мы столкнулись со связанными квантовомеханическими системами, лишь одна из которых (ср) исследуется экспериментально. Поэтому рационально найти сокращенное описание одной лишь системы

ф. Мы показали, что в общем случае не существует вектора состояния, описывающего динамическое поведение подсистемы, связанной с другими квантовыми системами. Поэтому открытую систему следует характеризовать с помощью ее приведенной матрицы плотности. В принципе все физические системы взаимосвязаны друг с другом, так как невозможно полностью изолировать систему. Поэтому обычная схема построения квантовой механики, основанная на использовании векторов состояния, всегда является идеализацией.

Затем была рассмотрена временная эволюция открытой квантовомеханической системы под влиянием ее окружения. Соответствующая теория должна быть основана на уравнении Лиувилля, которое дает полное микроскопическое описание замкнутых систем. Уравнение, описывающее динамическое поведение открытой системы, можно получить путем построения соответствующей приведенной матрицы плотности (точнее, путем исключения всех не подвергаемых наблюдению переменных).

Результаты, полученные в разд. 3.1 и 3.2, имеют фундаментальное значение в квантовой теории измерения. Мы не будем здесь обсуждать этот интересный, но в высшей степени противоречивый раздел современной физики. Читателю рекомендуется обратиться, например, к книге д’Эспанья (d’Espagnat, 1976) и приведенным там ссылкам; в качестве введения можно рекомендовать книгу Яуха (Jauch, 1973) ’).

Анализ света, излученного атомами (ядрами)

Свойства когерентности состояний поляризации

Чтобы проиллюстрировать теорию, развитую в предыдущих разделах, рассмотрим релаксацию ансамбля возбужденных атомов (или ядер) за счет излучения фотонов. В частности, изучим когерентность, которая существует между состояниями с различной поляризацией.

Рассмотрим для начала ансамбль возбужденных атомов, находящихся в тождественных состояниях, описываемых вектором состояния |ао7оМо>, где 70 и Мо — соответственно угловой момент атома и его 2-компонента, а а» описывает совокупность всех остальных переменных, необходимых для полного задания состояния. Для анализа результирующей объединенной системы атомов и фотонов воспользуемся процедурой, описанной в разд. 3.1. Начальное состояние |ф1П> является чистым, поэтому возможно поставить в соответствие

') См. также монографию: Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. — М.: Наука, 1980. — Прим, перез.

объединенной системе атомов и фотонов один вектор состояния |^out>:

Здесь вектор |^Out> можно разложить по набору базисных состояний |ai/]Mi> и ]coiniXi>, характеризующих соответственно конечное состояние системы атомов и фотонов.

Число возможных комбинаций |aIJiAl1>|toIniXi> конечных состояний ограничено относящимися к данной задаче законами сохранения (в данном случае законами сохранения энергии и углового момента). Вектор |ipOut> можно получить тогда путем умножения всех разрешенных комбинаций | ai/iMi) | кцпДт) на соответствующие вероятности перехода с последующим суммированием (интегрированием) по всем дискретным (непрерывным) переменным.

Условия, существующие в данном эксперименте, приводят к отбору конкретного набора состояний из всех состояний, дающих вклад в разложение |фОи1>. Примем для простоты, что детектор фотонов может быть настроен так, чтобы он принимал лишь фотоны с одной частотой, например, со, =со'. Кроме того, пусть положение детектора фотонов определяет и направление распространения детектируемых фотонов п, =п[. Таким образом, наблюдение ограничено фотонами, имеющими строго определенную частоту со( и строго определенное направление распространения п(.

Поскольку наблюдаемые фотоны имеют фиксированную энергию, излучившие эти фотоны атомы обладают строго определенными значениями «1 и К (например, а( и /,), причем энергия должна сохраняться: Е (a(/() = Е (ас/0)—/гео,. Следовательно, интересующий нас вектор конечного состояния описывается разложением

l^out^^^S а (^Лр Мо) | а1Л^1) | ®1ПЛ>- (3.3.1)

Если поляризация фотонов не измеряется, квантовые числа Mi и Xi остаются неопределенными, и, как видно из (3.3.1), следует взять сумму по этим не подвергаемым наблюдению переменным. Коэффициенты а (МА], Мо) представляют собой амплитуды вероятности соответствующего перехода | aJaMQ^ -> | а(/(М,) | и(л^,^, а квадраты их модулей |а(МД1,М0)|2 дают вероятности нахождения атома в конечном состоянии [а^М,) при условии, что детектором обнаружен фотон в состоянии [со^п^у В дальнейшем мы опустим зависимость состояний от всех фиксированных переменных.

Следует заметить, что вектор состояния (3.3.1) описывает только подансамбль атомов и фотонов, именно только тех фотонов, которые регистрируются детектором и имеют строго определенные ®( и п(, и только тех атомов, которые излучили детектированные фотоны.

Рассмотрим состояние поляризации фотонов. Выражение (3.3.1) можно записать так:

IIМ.) х а (МЛн Я) | 4=5 | ^1) р (^1. Ч))> (3.3.2) AfiXiAll

где вектор состояния

I е (М^о)) = Ща (МДи Мо)| Х,>(3.3.3)

описывает состояние поляризации подапсамбля фотонов, излученных при переходе между состояниями |Mq>->-|Mi> (см. рис. 3.1 для случая дипольного излучения). Выражение

показывает, что эти фотоны находятся в тождественных состояниях поляризации, характеризуемых вектором состояния |<?(MiM0)>. Таким образом, если детектор фотонов регистрирует только те фотоны, которые были излучены при переходе атомов в единственное состояние |Mi>, то детектированные фотоны находятся в чистом состоянии |е(М1Мо)>. В принципе этого можно достичь, пропуская атомы в конечном состоянии через фильтр Штерна — Герлаха (последний пропускает только атомы с определенным значением магнитного квантового числа MJ. Прошедшие фильтр атомы можно затем зарегистрировать с помощью счетчика и фиксировать совпадения между счетчиком и детектором фотонов. Наблюдаемый таким способом подансамбль фотонов с необходимостью является полностью поляризованным (в смысле, обсуждавшемся в разд. 1.2). Именно, степень поляризации Р

имеет максимально возможное значение Р = 1. Действительное состояние поляризации определяется величиной и относительной фазой двух коэффициентов а (МДь Мо), где Xi = =+1 или Xi =—1. Например, если а (Мь X] = 4-1, Мо) = =—а(Л4],Х] =—1,А1о), то фотоны линейно-поляризованы в направлении оси х, что описывается выражением (1.2.12а).

Существенно отметить, что для детектирования полностью поляризованных фотонов необходимо, чтобы наблюдение было ограничено только подансамблем фотонов. Исключение составляет лишь случай, когда атомы в конечном состоянии имеют угловой момент /] = 0. Обозначая соответствующее состояние через |0), можно записать (3.3.1) в виде

|%ut>—I °> [SaC^, Afo)!^)]. (3.3.4)

Поскольку все атомы находятся в одинаковом конечном состоянии, соответствующий вектор состояния можно выделить как общий множитель перед суммой в (3.3.4). Состояние фотонов тогда является чистым состоянием, описываемым выражением в квадратных скобках в (3.3.4); следовательно, в этом случае все фотоны, излученные в направлении Пр с необходимостью являются полностью поляризованными.

Описание излученных фотонов

Рассмотрим случай, когда излученные фотоны (имеющие частоту <о() детектируются в направлении tip а атомы в конечном состоянии не подвергаются наблюдению.

Тогда в соответствии с принципом несепарабельности состояние детектированных фотонов нельзя описать с помощью единственного вектора состояния. Таким образом, детектируемое излучение не находится в чистом состоянии поляризации и с необходимостью является частично поляризованным (в соответствии с разд. 1.2.5 это означает, что Р< 1). Последнее можно показать, построив приведенную матрицу плотности р(у), описывающую только систему фотонов. Поскольку конечное состояние полной системы описывается вектором состояния |i|)out>, соответствующая матрица плотности имеет простой вид:

Pout = I ^t) (%ut I = Е « №[, Mo) a (M^p Mo)* | MX) {MX |;

All

здесь было использовано разложение (3.3.2). Элементы приведенной матрицы плотности можно найти, применяя выражение (3.2.3):

W|p(Y)]X1> = E<Af1X;iPout|^Ai> =

= Еа(мх, мэ^л/,?.,^(3.3.5)

Mi

Полученная матрица соответствует оператору плотности, имеющему вид

р (у) = Е a(MiM,M0)ti(M,M,M0)*|M>(M==

^ЕГЕа^А!, Мо)|М)1ГЕа(М1М,Мо)*(М =

= EHW<«)|.(3.3.6)

Afi

Выражение (3.3.6) позволяет дать следующую интерпретацию оператора р(у). Можно считать, что фотоны в различных' состояниях поляризации |е(М]Л10)> испускаются независимо; тогда не существует никакого фазового соотношения между фотонами, излученными при переходах в различные атомные состояния. Таким образом, в соответствии с определением, данным в разд. 2.3.2, систему, состоящую только из фотонов, можно рассматривать как некогерентную суперпозицию состояний |e(M]M0)>, соответствующих различным переходам.

Поскольку не существует определенного фазового соотношения между фотонами, находящимися в различных состояниях поляризации, такие фотоны можно в принципе отличить друг от друга. (Например, для этого надо наблюдать атомы в конечном состоянии и фиксировать совпадение с излученными фотонами или использовать соответствующим образом подобранные поляризационные фильтры.) Различные состояния поляризации отвечают различным «способам», посредством которых возникает излучение (как схематически изображено с помощью стрелок на рис. 3.1). Поэтому полученный результат часто формулируют следующим образом: Если в принципе можно установить различие между фотонами, излученными различными «способами», то полный ансамбль фотонов можно рассматривать как некогерентную суперпозицию соответствующих состояний фотонов.

Можно дать и другую формулировку этих результатов, принадлежащую Фано (Fano, 1957).

► Неполная поляризация света с необходимостью связана с неполным определением конечного (или начального) состояния атомов.

Следует отметить, что последнее утверждение является прямым следствием принципа несепарабельности. Основной результат, заключающийся в том, что состояние фотонов не является чистым, можно получить, доказав, что матрица (3.3.5) не удовлетворяет условию (2.2.11).

Анализ, приведенный здесь, не является полным, поскольку рассматривалась релаксация возбужденных состояний только с одним квантовым числом Мо. Важный случай, когда состояние возбужденных атомов представляет собой суперпозицию состояний с различными Мо, и соответствующая релаксация этих состояний будут рассмотрены на частном примере в разд. 3.4.2.

Некоторые дальнейшие следствия из принципа несепарабельности

Спиновая деполяризация за счет Столкновений

В качестве дальнейшей иллюстрации теории, изложенной в разд. 3.1, рассмотрим упругое рассеяние электронов на атомах со спином 1/2 (или протонов и нейтронов на ядрах). Будем считать, что первоначально как атомы, так и электроны находятся в полностью поляризованных состояниях, например в состояниях с определенными значениями своих спиновых компонент Мо и то- Предположим, что все атомы находятся в своих основных состояниях с орбитальным угловым моментом, равным нулю, и, кроме того, обладают достаточной массой для того, чтобы можно было пренебречь их отдачей. Столкновения будут описываться в системе покоя атомов. Будем считать, что электроны приготовлены в состояниях с одинаковыми импульсами р0. Тогда состояние атомов и электронов можно обозначить соответственно |М0> и |т0>. Объединенная система описывается вектором |ф1п) = = |Л1о>|то>, и, поскольку начальные состояния являются чистыми, конечное состояние объединенной системы может быть описано одним вектором состояния |фои1>. Разложим |4>out> по набору векторов состояния |Л11> и |pimi>, описывающих соответственно конечные состояния атомов и электронов. Примем для простоты, что детектор электронов настроен на регистрацию только электронов с фиксированным импульсом Pi (| Pi | = |роI)• Тогда интересующий нас вектор

состояния имеет вид

| Фош) = ^ a (Mxmv Mjn^ | М,) | гаг,) = J | M^ | X (Л4,)), (3.4.1) где состояние |mi> неявно описывает состояние импульса электронов, а также их спины. Два вектора состояния |%(44i)> (Л11 = +1/2) в выражении (3.4.1) имеют вид

I % = £ a Мото) | т^; (3.4.2)

они описывают состояние электронов с фиксированным импульсом pi, рассеянных атомами, у которых одновременно произошел переход |Mo>~HMi>. Чтобы отобрать подансамбль электронов в одном из этих состояний |%(Mi)> (например, с 441 = +1/2), детектор электронов должен регистрировать только те рассеянные электроны, которые провзаи- модействовали с атомом, испытавшим переход |Л40>->-|Л41> (см. обсуждение в разд. 3.3.1). Поскольку эти электроны находятся в чистом состоянии, они с необходимостью полностью поляризованы, как показано в разд. 1.1. Направление нового вектора поляризации относительно первоначального направления зависит от величин и относительных фаз амплитуд a (Ahmb Мото), которые в свою очередь зависят от динамики процесса рассеяния.

Ситуация особенно проста в случае рассеяния на бесспи- новой мишени. Если обозначить соответствующее атомное состояние через |0>, то это состояние будет оставаться неизменным в процессе столкновения, поэтому его можно вынести в качестве общего множителя перед суммой в (3.4.1), Тогда имеем

| I °) [Z а (т,, т^ | /га,)] = | 0) | %), (3.4.3)

где вектор |%> определен квадратными скобками в (3.4.3). Из выражения (3.4.3) с очевидностью следует, что электроны находятся в чистом состоянии поляризации. Следовательно, при упругом рассеянии на бесспиновой мишени электроны с определенной (фиксированной) энергией, наблюдаемые в данном направлении, полностью поляризованы, если начальное состояние было чистым. Деполяризация невозможна; изменяется лишь направление вектора поляризации.

В общем случае, которому соответствует выражение (3.4.1), спиновое состояние детектируемых электронов не является чистым, а представляет собой смесь двух состояний 1х(М')>, если атомы в конечном состоянии не наблюдаются. Следовательно, наблюдаемые электроны с необходимостью

деполяризуются; |Р|<1. Это можно показать, используя метод, описанный в разд. 3.3. Приведенная матрица плотности р(е) детектируемых электронов дается соотношением

(mf |р(е)| mi) = ^а(М\т(, M»m^a(M\m\, Мото)*. (3.4.4) Mi

С этой матрицей можно связать оператор плотности следующего вида:

р(е) = 52 a (Alimf, Momo)a (Mi/Tii, Л4ото)*| m[) (mi | =

М^т^т^

= Е|х(М1)Нх(ЛШ (3.4.5) ЛЬ

Отсюда следует, что электронное состояние можно считать некогерентной суперпозицией состояний |х( + 1/2)> и |%(—1/2)). Поэтому деполяризация электронов (первоначально находившихся в чистом состоянии) с необходимостью связана с неполным определением состояния атомов после (или до) столкновения. (Более полный анализ будет дан в разд. 3.5.1.)

«Полная когерентность» возбуждений атомов

В качестве второго примера рассмотрим возбуждение атомов гелия из их основного состояния |0) в состояние ХР посредством электронного удара. В этом случае можно пренебречь спин-орбитальным взаимодействием, и, поскольку атомы в начальном и конечном состояниях являются бесспи- новыми, амплитуда перехода не зависит от спина (что будет показано в более общем случае в разд. 3.5). Следовательно, спин электрона не оказывает влияния на процесс возбуждения, и им можно пренебречь. Полагая, что электроны в начальном состоянии обладали определенным импульсом ро, разделим орбитальную и спиновую части начального вектора состояния, т. е. запишем |рото) = |ро> |то>; если же начальное состояние не является чистым, введем начальную матрицу плотности

Р == | Ро> <Ро | Pspin(ЗЛ-6)

и в обоих случаях пренебрежем спиновыми компонентами.

Тогда интересующий нас вектор начального состояния примет вид |-ф1п> = 10> ] ро>. Если детектируются только рассеянные электроны с заданным фиксированным импульсом

рь то интересующий нас вектор конечного состояния имеет вид

Ж = [Е « (Мр„ Ро) I М>] | Р1> = I ф (pj) I pt>; (3.4.7) здесь М обозначает конечное атомное состояние с магнитным квантовым числом М. Из соотношения (3.4.7) видно, что можно провести отбор ансамбля атомов, находящихся в тождественных состояниях | ip(Pi) > [которые определяются квадратными скобками в (3.4.7)], если ограничиться наблюдением электронов с фиксированным импульсом рь

Рассмотрим теперь релаксацию возбужденных атомов в основное состояние, предполагая, что возбуждение и релаксацию атомов можно считать независимыми процессами. Излученные фотоны могут наблюдаться в заданном направлении п. Если электроны (обладающие импульсом pi) и фотоны детектируются по схеме совпадений, то наблюдаться будет только то излучение, которое испускается атомами, находящимися в одном и том же состоянии |ф(Р1)>. Это означает, что детектированные фотоны испускаются в процессе перехода между одними и теми же чистыми состояниями |ф(р1)>-> —>|0\ В результате фотоны, детектируемые в эксперименте по схеме совпадений, с необходимостью являются полностью поляризованными.

В отличие от случая, рассмотренного в разд. 3.3, возбужденное атомное состояние не обладает хорошо определенным магнитным квантовым числом. Это, однако, несущественно для наших выводов; важно то, что атомы как до, так и после возбуждения находятся в тождественных состояниях. Именно это гарантирует, что детектированные фотоны будут полностью поляризованными. Последнее можно также показать формально для состояния, описываемого выражением (3.4.7), следующим образом. Радиационный переход из подсостояния |Л4) в основное состояние |0) посредством распада описывается выражением, аналогичным выражению (3.3.4):

Ш>->|0)Еа(^, А4)|Л>, (3.4.8)

где опущена зависимость фотонного состояния от направления п. Чтобы найти состояние фотонов, испущенных при переходе ^(Pi))-*^)- выражение (3.4.8) следует умножить на амплитуду а(М, Рь Ро) и просуммировать по всем М [как в (3.4.7)];

I ^out) = I 0) Е а (МрР Ро) а (Л, М) | Л> = I 0) ЕI е кЖ (3.4.9) MX м

где | е (Л1)) = Еа (Мр„ ра) а (Л, М) | Л), (3.4.10) X

причем М = ±1, 0. В выражении (3.4.10) векторы состояния ]е(Л1) > указывают на состояние поляризации фотонов, испущенных при переходе |Л1>-»-|0> (рис. 3.2), а коэффициенты а(М, РьРо) представляют собой амплитуды вероятности нахождения атома в состоянии |Л1>, когда атомная система пребывает в состоянии, описываемом вектором |Ф(рО>- Соотношение (3.4.9) явно показывает, что весь пучок фотонов, детектируемых в определенном направлении, находится в чис-

Рис. 3.2. См. объяснение в тексте.

том состоянии поляризации, которое характеризуется вектором состояния

|e) = Z|e(M)>.

Основной результат этого раздела можно резюмировать следующим образом. Полная когерентность между начальными состояниями |Л1> означает, что фотонное состояние является чистым и потому может быть представлено когерентной суперпозицией состояний |е(Л1)Х соответствующих различным переходам, показанным на рис. 3.2. Частный случай, рассмотренный нами, является примером так называемого переноса когерентности. Мы рассмотрим эту проблему с более общей точки зрения в гл. 5 и 6.

3-5. Возбуждение атомов электронным ударом 1

Приведенная матрица плотности атомной системы

В настоящем разделе мы рассмотрим более подробно возбуждение атомов электронным ударом. Основное предположение, которое будет неявно подразумеваться на протяжении всего раздела, состоит в том, что в процессе столкновения

можно пренебречь всеми зависящими от спина силами. В частности, будем пренебрегать всеми явно зависящими от спина взаимодействиями между налетающей частицей и атомом, т. е. считать, что изменения спиновых переменных полностью обусловлены процессами электронного обмена. Кроме того, мы пренебрегаем тонким (и сверхтонким) взаимодействием внутри атома в процессе столкновения. Это можно обосновать физически следующим образом. В возбужденных состояниях атома орбитальный угловой момент L и спин S связаны под влиянием взаимодействия, обусловливающего тонкую структуру; оба этих вектора прецессируют вокруг вектора полного углового момента J атома. Прецессия имеет место в течение времени tLs ~ 1/AELS, где AELS обозначает величину тонкого расщепления соответствующего уровня. Если время столкновения /с значительно короче времени спин-орбитальной прецессии, то прецессия вектора спина не успеет заметно сказаться за время столкновения; тогда векторы L и S можно считать не связанными друг с другом во время столкновения. Состояние возбужденного атома непосредственно после столкновения может быть тогда адекватно описано в схеме LS-связи. Предположение Е <^ tLS означает, что атомы могут рассматриваться как возбуждаемые мгновенно (например, в момент времени / = 0) по сравнению со значительно более длинным временем спин-орбитальной прецессии (см. также гл. 5, где дано более детальное обсуждение этого утверждения).

Наша основная задача здесь состоит в описании экспериментов, в которых рассеянные электроны (детектированные в направлении щ) и фотоны, излученные при последующем распаде возбужденных атомных состояний, наблюдаются по схеме совпадений. Тогда, как указано в разд. 3.4.1, наблюдается только излучение, испущенное атомами, которые были возбуждены детектированными электронами. Таким образом, подансамбль атомов, так сказать, «отбирается» в эксперименте; в этом отборе и состоит сущность метода совпадений. В дальнейшей части этого раздела рассматривается именно состояние такого подансамбля.

Используя сформулированны выше предположения, описание эксперимента по методу совпадений можно разделить на три части. Прежде всего мы должны описать интересующий нас атомный подансамбль непосредственно после возбуждения, затем — эволюцию во времени возбужденных состояний под влиянием тонкого (и сверхтонкого) взаимодействия и, наконец, дать описание фотонов, наблюдаемых в момент времени t. В этом разделе проводится полное обсуждение эксперимента по методу совпадений, причем особое

внимание уделяется первой части приведенной выше программы.

Предполагается, что первоначально атомы находились в своем основном состоянии с орбитальным угловым моментом, равным нулю, и квантовыми числами у0 = a0S0Ms0, где So и Л1$о обозначают соответственно спин атома и его третью компоненту, а «о — все остальные квантовые числа, необходимые для полного описания состояния. Начальное состояние электронов можно описать с помощью импульса р0 и компоненты спина т». Предполагается также, что все атомы имеют одинаковые точные значения а0 и So, а все электроны — одинаковый импульс. Используем систему координат (так называемую систему столкновений), в которой ось z параллельна ро, а плоскость х — z является плоскостью рассеяния, натянутой на векторы р0 и pi.

Обычно как атомы, так и электроны в начальных состояниях являются неполяризованными. Атомный оператор плотности дается тогда выражением (2.2.14)

Ра == 2s0 । 1 ^ । ао5рА45О) (g0S0A4s0 [,(3.5.1а)

м5о

а начальное состояние электронов характеризуется с помощью оператора плотности

Ре = у £ I Ро^о) <рото |.(3.5.16)

то

Электроны и атомы не коррелированы, пока отсутствует взаимодействие между ними; поэтому матрица плотности pin объединенной системы факторизуется и может быть представлена прямым произведением

Pin ^ Ра X Ре — 2 (2So +1) ^ ' aoSoMsopomo) <«oSoAfsl)pomo I- (3,5.1 в) MsOmo

Опуская зависимость от фиксированных переменных aoSopo, представим элементы матрицы р!п в виде

(ХХ I Pin I6 ' •(3.5.2)

Матрица (3.5.2) является диагональной и имеет размерность 2(2So+l) в объединенном пространстве (спиновое пространство «натянуто» на 2(2S0+l) базисных состояний |MS0>^ s|aoSoMso> и |m0> = |pomo>).

Используя предположение о том, что tc <§( tLs, возбужденные атомные состояния непосредственно после столкновения

можно описать в схеме Б5-связп с помощью квантовых чисел yi = a^MSiMsi, где М представляет собой z-компоненту орбитального углового момента L. Будет предполагаться, что происходит «отбор» только атомов в состояниях с точными значениями aiLSi (экспериментально этого можно достичь, разрешая излученные фотоны спектроскопическими средствами). Указанное ограничение будет снято в гл. 4. В выполненных до сих пор экспериментах по методу совпадений не проводился анализ частиц в конечном состоянии по спину; поэтому мы ограничимся обсуждением приведенной матрицы плотности, характеризующей орбитальные состояния интересующего нас подансамбля атомов.

Для обсуждения экспериментов по рассеянию удобно изменить нормировку матрицы плотности. С этой целью запишем переход между состояниями

Го = УоРото->Г1 =Y,Pimi (3.5.3)

с помощью соответствующей амплитуды рассеяния /(Г1,Го), которая определяется как матричный элемент оператора перехода Т (подробности см. в приложении Д):

/(Г1,Г0) = (Г1|7'|Г0>. (3.5.4)

Величина f (Г1, Го) нормируется в соответствии с условием

I / (Гь Го) |2 = а (Ги Го), (3.5.5)

где а(Г1,Г0) — дифференциальное сечение рассеяния для указанного перехода. Формулы, полученные в разд. 3.1 и 3.2, могут быть преобразованы к новой нормировке посредством подстановки )(Г1,Г0) вместо соответствующих амплитуд перехода а (Г1, Го) (квадраты модулей которых дают вероятности переходов).

Обозначим конечные атомные состояния |аДЛ151Л151> ^ ^|MMsi>, а конечные электронные состояния |pimi>s|mi>. Матрица плотности pout определяется выражением (Д.5) (см. приложение Д):

► Pout = TV".

Беря матричные элементы между конечными состояниями и дважды используя соотношение полноты для начальных состояний

Z I Ms0m0) (Ms0m01 = 1, Ms0rn0

4 Зак. 648

получаем

<^Х1тЯ Pout I MMsVm^ =

= £ , (М'М'Х I т | М>') (М>' | р.п | Msbm^ X

Ms0m0

Ms0m0

= Ws* + i)" Z ^Л4,Л1'1,И'’М(3.5.6)

Msomo

При выводе (3.5.6) было использовано условие (3.5.2).

Если спины не подвергаются наблюдению, интересующая нас матрица плотности является приведенной матрицей р(Е), описывающей только орбитальные состояния атомов. Используя формулу (3.2.3), можно найти элементы этой матрицы, если взять элементы матрицы pout, диагональные по всем не подвергающимся наблюдению переменным (именно, MSI и mi), и просуммировать по этим переменным. Тогда получим (M'lp(E)|M> = £ <^41^11 Pout №,/«,> =

' 2 (2S0 + 1)52/ (^ ^slml> ^sOmo) f (^-^sl^b mo) =

MsimiMsomo

= №i№(3.5.7)

где обозначение ф..) указывает на то, что выполнено усреднение по спину.

Матрица (3.5.7) является (2L + 1)-мерной и содержит всю информацию об орбитальных состояниях рассматриваемого нами возбужденного атомного подансамбля. При условии нормировки (3.5.5) диагональные элементы р имеют вид (М |р (Л)[ M^^J-^ £ | f (ММ^, Ms0m0) |2=а(М), (3.5.8а)

Msomo

где а(М) обозначает дифференциальное сечение возбуждения магнитного подсостояния \М>, усредненное по всем спинам. След матрицы р(Е) дает дифференциальное сечение а, просуммированное по всем М:

trp(L) = £ а(М) = а.(3.5.86)

Например, явное выражение для p(L) в случае L— 1 имеет вид

/а(1)<f(+l)f(O)*> <f(+l)f(—1)*>\

p(L)= <f(+Of(O)V а(0) (f(O)f(-OO - (3.5.9)

\(f(+Of(-OT (f(o)f(-DT «(-D)

где использовано условие эрмитовости (2.2.5):

Ш' | р (Ц | М) = (- М' | р (L) | - МУ. (3.5.10) Формулы (3.5.7) и (3.5.9) показывают, что р имеет неисчезающие недиагональные элементы, и потому рассматриваемый возбужденный атомный подансамбль является когерентной суперпозицией магнитных подсостояний.

Найдя угловое распределение и поляризацию излученных фотонов по схеме совпадений с рассеянными электронами, можно полностью определить матрицу плотности (3.5.9) (см. разд. 6.1). Это позволяет извлечь больше информации о процессах рассеяния, чем при традиционных экспериментах, в которых измеряется только дифференциальное сечение рассеяния а. В частности, недиагональные элементы р содержат информацию о фазах различных амплитуд рассеяния, соответствующих значениям М, причем эти фазы не могут быть определены без применения методики совпадений. Чтобы выяснить, сколько измерений следует провести в целях полного определения матрицы р, необходимо установить число независимых параметров, описывающих р; этому и посвящен следующий раздел.

Ограничения, обусловленные требованиями симметрии

В дополнение к условию эрмитовости (3.5.10) число независимых параметров, описывающих р, ограничивается еще некоторыми условиями симметрии. Плоскость рассеяния (x — z-плоскость системы столкновений) определяется векторами ро и рь однако ни одно из двух направлений, перпендикулярных этой плоскости, не задается какими-либо условиями геометрии эксперимента; точнее, изучаемый атомный подансамбль не «различает» направлений «вверх» пли «вниз» по отношению к упомянутой плоскости. Следовательно, матрица плотности (3.5.7) должна быть инвариантна относительно отражения в плоскости рассеяния. Это условие симметрии выражается соотношением

f (ММ^пг,, М^т^ = (- 1)M+S‘-S" f (-М - MS1 - mt, -Ms0 - mn)

(3.5. Ha)

для амплитуд рассеяния и

<ЛГ | р |Л4> = (- 1)м'+м (_ ЛГ | р | - Л4>(3.5.116)

для матрицы плотности. Доказательство можно найти в учебниках по теории рассеяния (см., например, Rodberg, Thaler, 1967, и Burke, Joachain, 1982). Соотношение (3.5.11) дает, в частности,

а(Л1) = а(-/И).(3.5.12а)

В случае L = 1, объединяя условия (3.5.11) с условием эрми- товости (3.5.10), получаем

<f (0) f (- 1П = - (f (0) f (1)*> = - <f (1) f (0)*)*. (3.5.126)

Далее, элемент <f( + l)f(—1)*> действителен:

{f (+1) f (- 1П = </ (- D / (+ID = (f (-1) f (+ in*. (3.5. 12b)

Таким образом, в случае L = 1 матрица плотности принимает вид

/а(1)(И+ПНОП (И+ШМГЛ

Р(П= <Н+1)И0)У0(0)-(f(+l)f(O)*)* . (3.5.13)

4f(+Df(-i)V-<f(+i)f(on0(1)

Она полностью определяется с помощью пяти действительных параметров, например о(1), о(0), <f(+Uf(—1)*Х а так- же действительной и мнимой частей элемента </(+!)/(0)*>.

Удобную параметризацию матрицы (3.5.13) предложили Хертель и Столл (Hertel, Stoll, 1978). В этой параметризации четыре параметра

аЛ [а (0)а(1)П

Im (f (1) / (0)*>(НВ ((-!)*>

sin Ф =ЩЩЩДЩД- cos а = ■—— (3.5.14)

[а(0)а(1)По. V ’

совместно с дифференциальным сечением рассеяния (3.5.8) образуют набор из пяти независимых действительных параметров.

Число независимых параметров можно еще уменьшить, если явно принять во внимание сохранение спина. Поскольку мы пренебрегли всеми явно зависящими от спина слагаемыми в гамильтониане, описывающем столкновения, полный спин S и его г-компонента ЛД сохраняются в процессе столкновений; следовательно,

S = SO±^ = S14-1,+(3.5.15)

В учебниках по теории рассеяния показывается, что зависимость амплитуд рассеяния от компонент спина может быть факторизована, например,

KMMsXmx, MsOm^ =

= £(5^, lmi|S<)(s0Ms0, |m0|SMs)f(M)(4 (3.5.16) ЗЛ1$

Здесь f(Mys> обозначает амплитуду рассеяния для возбуждения магнитного подсостояния М в канале рассеяния с полным спином S. Заметим, что амплитуды f(M)<s> не зависят от всех спиновых компонент; скобки в (3.5.16) обозначают обычные коэффициенты Клебша—Гордана ).

Подставляя выражение (3.5.16) в (3.5.7) и используя свойства ортонормировапности коэффициентов Клебша—Гордана, находим

(М' | р (L) | М) = (f (ЛК) f (МУ) =(3.5.17)

= 2WFT) £ (2S + 1) f (M')<s> f W- (3.5.18) s

Условие симметрии (3.5.11a) принимает вид

ЦМ)^ =(-yMf(-MYS),(3.5.18а)

что можно показать, используя соотношение (3.5.16) и свойства симметрии коэффициентов Клебша — Гордана и проводя некоторые алгебраические выкладки. С помощью (3.5.18а), используя также (3.5.17), можно получить дополнительное условие симметрии следующего вида:

<М' | р (L) I - М> = _. —1—— У (2S + 1) f (M')(S> f (- муз) =

3

=У (2$ + i) f OTS) f W = (-1)«<M'\ p |M>. Z (^OQ ’fl) L-J

S(3.5.186)

В случае L = 1 это условие дает cos а = — 1,

так что матрица плотности (3.5.13) полностью определена четырьмя параметрами о, а, %, ср.

Еще меньшее число независимых параметров необходимо, если начальное и конечное состояния атомов являются бес- спиновыми (So = Si — 0). Тогда разрешен только один спиновый канал с полным спином 5=1/2 и соотношение (3.5.17) принимает вид

(М/|р(5)|М) = /(М')/(М)*. (3.5.19)

В этом случае нет необходимости в каком-либо усреднении по спину, и полный спин 5 можно опустить в обозначениях.

Факторизация (3.5.19) элементов матрицы плотности на два множителя, один из которых зависит только от М', а другой— только от М, типична для случаев, когда р описывает чистое состояние. Действительно, в разд. 3.4.2 показано, что если So = Si = 0, то состояние изучаемого нами атомного подансамбля является чистым и описывается вектором состояния

1^ (р!» = Е f(M)|M>, (3.5.20) м

который представляет собой полностью когерентную суперпозицию магнитных подсостояний. В этом случае все атомы, принадлежащие подансамблю, возбуждались строго одинаково.

Поскольку амплитуды f(M) удовлетворяют условию симметрии (3.5.18а) с 5 = 1/2 и поскольку полная фаза состояния |ф(р1)> произвольна, состояние (3.5.20) полностью определено посредством (25 -j- 1) параметров.

Для чистых состояний матрица плотности (3.5.13) должна удовлетворять условию (2.2.11). Применяя его к параметрам (3.5.14), получаем в случае L = 1

cos2% Д- sin2q> = 1, (3.5.21)

так что изучаемый подансамбль атомов может быть полностью описан посредством трех параметров о, X, %, где теперь % — относительная фаза амплитуд /(+1) и /(0).

Резюмируем содержание этого раздела. Были рассмотрены эксперименты, в которых в заданном направлении детектируются рассеянные электроны с импульсом pi, причем анализ спинов начальных или конечных частиц не проводится. Была построена приведенная матрица плотности <A1Z|р|Л1>, характеризующая орбитальные состояния атомного подансамбля, возбужденного детектируемыми электронами. Мы рассмотрели, в частности, в качестве примера случай L = 1 и показали, что у этом случае р описывается посредством щы

ти независимых параметров в силу наличия условий эрмито- вости и зеркальной симметрии в плоскости рассеяния. При использовании условия сохранения полного спина число параметров можно уменьшить до четырех. Тогда (и только тогда), когда атомы были возбуждены в тождественные состояния, достаточно трех параметров. В этом случае различие между «когерентностью» (в смысле недиагональности матрицы р) и «полной когерентностью» становится существенным. Именно, в последнем случае для полного определения р необходимо меньше параметров (и, следовательно, меньше экспериментов) .

4

Неприводимые компоненты матрицы плотности

Введение

Как обсуждалось в гл. 1 и 2, часто оказывается полезным разложение р по удобно выбранной системе операторов Qi. Такой метод имеет два основных преимущества. Во-первых, он дает более удовлетворительное определение р (см., например, разд. 1.1.7); во-вторых, явное использование алгебраических свойств базисных операторов часто значительно упрощает вычисления (см. разд. 2.5). Полезность этого метода зависит от выбора системы базисных операторов. Когда важна угловая симметрия рассматриваемого ансамбля, удобно разложить р по неприводимым тензорным операторам. Указанный метод представляет собой хорошо разработанный эффективный способ использования внутренней симметрии системы. Он также позволяет просто учитывать следствия закона сохранения углового момента и дает возможность отделить друг от друга динамические и геометрические факторы в рассматриваемом уравнении.

Систематическое использование тензорных операторов было впервые предложено Фано (Fano, 1953). В последующий период они широко применялись, например, в теории угловых корреляций в ядерной физике (Steffen, Alder, 1975), в атомной физике (Blum, Kleinpoppen, 1979), в работах по оптической накачке (Happen, 1972; Omont, 1977), в описании экспериментов по квантовым биениям (Fano, Macek, 1973; Macek, Burns, 1976, Andra, 1979) и экспериментов с атомами, возбужденными лазером (Hertell, Stoll, 1978). Материал, приведенный в этой и следующей главах, взят непосредственно из перечисленных работ.

В данной главе излагается и иллюстрируется теория, играющая центральную роль для последующего обсуждения вопросов, рассмотренных в книге. В разд. 4.2 и 4.3 вводятся сферические тензорные операторы и мультиполи состояния и выводятся их основные свойства. При изложении широко используется теория углового момента, но для удобства читателей некоторые основные понятия, введенные в тексте, и все используемые формулы приведены в приложении В. Чи-

татели, которые недостаточно владеют соответствующей математической техникой, могут опустить детали выкладок при первом чтении.

Абстрактная теория иллюстрируется различными примерами. В разд. 4.4 показано, что описание спиновых систем с помощью мультиполей является обобщением рассмотренного в разд. 1.1 подхода, основанного на использовании вектора поляризации. Рассмотрение частиц со спином 1 демонстрирует необходимость введения не только векторов, но и тензоров более высокого ранга.

В двух следующих разделах показано, что свойства симметрии системы часто могут быть использованы более непосредственно, если вместо элементов матрицы плотности применять мультипольные компоненты. В разд. 4.5 рассмотрены аксиально- и сферически-симметричные ансамбли. В разд. 4.6 изучены следствия инвариантности относительно отражения от данной плоскости.

В разд. 4.6 продолжается обсуждение матрицы плотности возбужденных состояний, введенной в разд. 3.5, и рассмотрен другой важный аспект мультипольного разложения матрицы р. Элементы матрицы р содержат полную информацию о процессе рассеяния. Однако этим элементам трудно дать физическую интерпретацию; в связи со сказанным важную роль играют мультипольные компоненты р. Свойства мультипольных компонент часто можно предвидеть, рассматривая физику процесса столкновения. Мы продемонстрируем это на примере вектора ориентации.

Наконец, в разд. 4.7 рассмотрена временная эволюция мультиполей при наличии внутреннего или внешнего возмущения.

Результаты настоящей главы используются в гл. 5 и 6, где в полной мере выявляется сила метода неприводимых тензоров.

Определение тензорных операторов

Общее правило построения

Рассмотрим два ансамбля; в первом частицы обладают угловым моментом J', а во втором — угловым моментом /. Если два ансамбля взаимодействуют, то удобно классифицировать возможные состояния, исходя из полного момента и его z-компоненты, которые мы обозначим здесь соответственно через К и Q. Обычное правило сложения моментов дает

| У'л КО) = X УМ', JM | KQ) I ГМ') I JM). (4.2.1)

М'М

Состояния |7Л4> ортонормированны:

U'M' \JM) = 6M-M6n.(4.2.2)

Теперь рассмотрим систему операторов |7'ЛГ><7М|, определенных как внешние произведения состоянии углового момента [см. (1.1.21)]. Состояние |7М> можно представить (27 + + 1)-мерным вектором-столбцом с единицей в М-й строке и нулями в остальных строках. Соответствующее сопряженное состояние <7М| тогда представляется вектором-строкой с единицей в М-м столбце и нулями в остальных. Внешнее произведение тогда можно представить матрицами, используя правило (1.1.21).

Удобно ввести комбинацию операторов |7'М'><7Л4|, подобную (4.2.1). Система операторов TU'J) kq определяется соотношением )

► Т U'Ukq = >2 (-1/-^(I'M', J-M\KQ)\ J'M') им |. (4.2.3)

Коэффициент Клебша— Гордана отличен от нуля только в том случае, когда удовлетворяется обычное правило сложения угловых моментов:

►\Г-Ц^К^Г + 7, -K^Q^K-(4.2.4)

Поэтому для любой данной пары угловых моментов Г и 7 число операторов (4.2.3) ограничено; так, например, если Г = = 7=1, возможны следующие операторы: один с К = 0, три с К = 1 (Q = 0, ±1) и пять с К — 2 (Q = ±2, ±1, 0).

Явное матричное представление операторов (4.2.3) можно получить, заключая соотношение (4.2.3) между состояниями <7'^1 и 17^> (N'— J'—7', N — 7, ,,., —7) и применяя условие (4.2.2):

U'N'\TU'JWJN)==

= Е (-1 У~м U'M', J — M\KQ) U'N' I 7'M'> UM 17^ = M'M

= (—\)J-N U'N', J — N\ KQ)- (4.2.5)

Совокупность всех элементов данного оператора T(J'J)kq определяет матрицу с (27z + 1) строками и (27+1) столбцами:

UT I Т ynKQ | Jh ti'F | т U'^KQ I a z-i> ... ит I т u'nKQ 11-'

</', Г-1 I Td'hKQ । zz> У'- ?'-V I TV’^KQ 1 J> Z-1) •••</'.r'-4T(/7)KQ|/,-D

(/', -J' I T U'Drq I //> (/', -r I T(/7)Kq| J, Z —1) ...<Z',-Z'| T WI^q | Z,-Z>

(4.2.6)

Если J' = J, то получается (27+ 1)-мерная квадратная матрица.

Обратное к (4.2.3) соотношение можно получить, умножая обе стороны (4.2.3) на коэффициент Клебша—Гордана U'N', 7 — N\KQ) и суммируя по всем значениям К и Q с учетом свойства ортогональности коэффициентов Клебша— Гордана (см. приложение В):

Е U'N', J-N\KQ')TU'Ukq =

KQ

= Е(- ЕС^, J—N\KQ) U'M', J-M IKQ)] I J'M'WM |= m'm LkqJ

= ^-\y-N\J'N'HJN\

или | J'NUUN I = E (-1/"" U'N', J-N\KQ)T U'Ukq- U-^) KQ

Наконец, если использовать 3/-символы для коэффициентов связи, то определение (4.2.3) можно представить в виде ►

tu'Ukq=JM Д^гм^им^

лгм(4.2.8)

что дает

► (7ЖИ(77++7М>М-1)Г”^_^ _q)-

(4.2.9)

Эта частная форма очень полезна, так как специальные свойства симметрии Зу-символа [см. (В.5)] позволяют устанавливать соответствующие свойства симметрии тензорных операторов наиболее прямым путем.

Трансформационные свойства при поворотах.

Матрица поворотов

Чтобы выяснить смысл определения (4.2.3), рассмотрим, как преобразуются тензорные операторы при поворотах. Состояния углового момента (4.2.1) и операторы (4.2.3) определены относительно фиксированной координатной системы, имеющей, например, оси X, У, Z. Пусть вторая система с осями х, у, z получается из первой с помощью двух последовательных поворотов: 1) поворота на угол ср вокруг оси Z (в результате которого получаются новые оси х', у, Z) и 2) поворота на угол 6 вокруг оси у (который переводит х' и Z в х и z соответственно). Повороты совершаются против часовой стрелки, если смотреть с конца оси по направлению к началу координат. Углы Эйлера, определенные Эдмондсом (Edmonds, 1957), таковы: а = ср, р = 0, у = 0. Углы 6 и ср представляют собой полярные углы оси z относительно системы XYZ (рис. 4.1). Ось х имеет полярные углы (9 + 90°, ср), а ось у характеризуется углами (90°, ср + 90°).

Оператор углового момента J имеет компоненту /г относительно оси Z и компоненту /2 относительно оси z. Обозначим собственные значения Д через Л-1 и собственные значения Д через т. Собственное состояние |ЛМ> оператора Jz не является собственным для оператора Д, так как два оператора Jz и Jz не коммутируют при Z ^ г. Используя принцип суперпозиции (2.1.1), состояние |ДИ> можно представить в виде линейной комбинации собственных состояний |7/п> оператора 1г, коэффициенты которой зависят от квантовых чисел углового момента и углов Эйлера со = (у, р, а). Обычно эти коэффициенты разложения обозначаются через £>(<0)^^:

1М) = £|/т)0«),.(4.2.10)

старой углами Эйлера со. Для данного J совокупность всех коэффициентов можно записать в виде матрицы, называемой матрицей поворотов; ее элементами являются амплитуды Д)®)^1)" Явные выражения для различных J даны, напри

мер, в книге Эдмондса (Edmonds, 1957), см. г также приложение В.

Закон преобразования для сопряженного состояния UM\ имеет вид [см. (2.1.5)]:

(JM \ = LDU№Um\-

(4.2.11)

Свяжем теперь оператор Ty'J^KQ, определенный в системе XYZ, с оператором TU'J)Kq, определенным в системе xyz. Для этого подставим (4.2.10) и (4.2.11) в (4.2.3) и используем свойство симметрии матрицы поворотов

Рис. 4.1. Пример поворота, определяемого углами 6 и ср.Рис. 4.1. Пример поворота, определяемого углами 6 и ср.г,(/)*/1 vn-M п(Л

Рис. 4.1. Пример поворота, определяемого углами 6 и ср.

Рис. 4.1. Пример поворота, определяемого углами 6 и ср.

Здесь (—1)'"-” = (—1)Л1

-т, так как т— М есть целое число,-т, так как т— М есть целое число,и мы получаем

-т, так как т— М есть целое число,

-т, так как т— М есть целое число,

тyu)KQ = £ (- iy'--Mи'м', j-m\kQ)X М'М

X [£ I J'mU D ИУЦ [J D («См </m I] ==

= £ I J'nV) Um | £ U'M', J — M\KQ)X tn'tnM'M

xi-w~m o«^owm-M=

(4.2.12)(4.2.12)— £ (— IV""11 J'nV) Um | £ U'm', J —m\kq)X

(4.2.12)

(4.2.12)

x Г £ U'M', J-M\KQ) U'M', J -M\ kq') zC] = Lw'M

Коэффициенты разложения можно интерпретировать как амплитуды вероятности обнаружить состояние |7т) в данном состоянии |/Л4), если новая система координат связана со

или, окончательно,

►TU^KQ = ^TU^KqDW^. (4.2.13)

При выводе соотношения (4.2.13) произведение ^((о)^,^, X ХОН^-л было записано в виде линейной комбинации матриц D(ti^q, [см. (В. 17)], затем было выполнено суммирование по М и М' с учетом соотношений ортонормированности для коэффициентов Клебша — Гордана и, наконец, использовано определение (4.2.3). Соотношение (4.2.13) выражает операторы T^'J^kq, определенные в системе XYZ, через операторы T(J'J)Kq, определенные в системе xyz.

Операторы, которые при поворотах преобразуются согласно (4.2.13), называются неприводимыми тензорными операторами ранга К [T(J'J)Kq есть Q-компонекта неприводимого тензорного оператора ранга К]. Соотношение (4.2.13) показывает, что ранг тензорного оператора остается инвариантным при поворотах. В следующем разделе мы обсудим некоторые примеры использования этого соотношения.

Примеры

В данном разделе мы рассмотрим случай, когда угловой момент имеет определенное значение (7'= 7), и обозначим соответствующие тензорные операторы через T^kq. Прежде всего покажем, что оператор ранга /С = 0 есть скалярный оператор, т. е. остается инвариантным при любых поворотах. Это можно сделать, доказав, что оператор Т(7)Оо пропорционален (27 + 1)-мерной единичной матрице 1. Из определения (4.2.8) и соотношения (В.6) получаем

М'М'

(4.2.14)

где было использовано соотношение полноты 2 |7Л4)(7Л4 |= 1. м

Тензорные операторы ранга К = 1 называются векторными операторами. Три векторных компоненты T(J2q связаны с компонентами I х, Iy, Iz вектора углового момента J относительно фиксированной системы XYZ следующим образом. Введем сферические векторные компоненты

Ux = ^№KIx^M(4.2-15)

тогда 7о|7Л1> = М\Ш>, и величину 70 для определенного Ju можно представить (27 + 1)-мерной диагональной матрицей с элементами

(7ЛГ|70|7М) = Ж(№(4.2.16а)

Как следует из (4.2.9), Т(7)ю представляется матрицей

</vM'|7-(Z)„JZAr> = (-iy-”' ( ^, 2М i) =

= [(2/ + l) (/ + I)/] 416,м-я. (4.2.166)

Аналогично, используя стандартный результат теории углового момента

7± 11 7М) = Т (1/2‘А) [(7 + М) (7 ± М + l)]1^ | JM ± 1), получаем матричное представление для других компонент: (JM' \J±l\JM) = ^ (1/2^) [(7ТЛ1) (7±М+1)Р 6ЛГ, м ± и (4.2.17а) С другой стороны, из (4.2.9) имеем «(^^НГз'^ J^ т1*) =

з'- Г(7тЛ])(7±Л1 + 1)-р,

— -1гг I I Оду м ± 1-(4.2.1/ 0)

2/г L (27+!)(/+ 1)7 J4'

Сопоставляя (4.2.16а) и (4.2.17а) соответственно с (4.2.166) и (4.2.176), получаем операторное соотношение

т^ёт+тлт+щГ7» <4-2-|8>

Таким образом, векторные операторы T^tq пропорциональны сферическим компонентам оператора углового момента.

Подобным образом тензор второго ранга T(7)2q можно связать с квадратичными комбинациями компонент вектора углового момента. Сферические компоненты T(/)2q тензора второго ранга связаны с декартовыми компонентами следующими соотношениями (приводятся без доказательства):

T(7)2Q = (AKJ6V2)(372z^^

Т (7)2, ± 1 = Т (М2/2) [(7XJ 2 + ^z^x) ± z (7y7z + J ZJу)],

Т (7)2, ±2 = (W2) [7, - 7у ± I Цх!х + 7у7х)], (4.2.19) где ^2 = [(2/ + 3) (27 + 1) 7 (27 - 1) (7 + 1)] '(4-2.20)

Нужно отметить, что соотношения (4.2.18) и (4.2.19) справедливы только в случае определенного значения момента J. Матричные элементы операторов JQ по состояниям <7ХЛГ| и |7М> при J'=AJ обращаются в нуль, в то время как элементы оператора T(J'J)kq, вообще говоря, отличны от нуля при Г =^= J, Мы вернемся к этому вопросу в следующем разделе.

Некоторые свойства тензорных операторов

Оператор Т (J'J)^,. сопряженный оператору T(J'J)KQ, можно определить, выразив его матричные элементы через элементы (4.2.9):

QM | Т U'jyKQ | ГМ') = (I'M' | Т M'J\Q | JM)*.(4.2.21)

В данном случае звездочка, означающая комплексное сопряжение, оказывается излишней, так как матричные элементы (4.2.9) действительны. Соотношение (4.2.21) определяет представление оператора Т U'^q как матрицы с (27+1) строками и (27х + 1) столбцами, которая получается из матрицы (4.2.9) заменой строк на столбцы. Чтобы найти соотношение между операторами, правую часть соотношения (4.2.21) нужно преобразовать в матрицу с (2/4- 1) строками и (2Г + 1) столбцами. Подставляя (4.2.9) в (4.2.21) и используя свойство симметрии 3/-символа (В.5), получаем (/MirOjjrM^-C-l)''-"^',' _^)(2Л+1)"- =

/ 1 хГ—М' (<)rz । 1 \Vi Г^ ^

-(-1)(2/<+ 1)_м,=

= (- l)r^+« (JM IТ ynK_Q I ГМ'У (4.2.22) где ЗУ-символ во второй строке выражен через элементы (4.2.9). Из (4.2.22) следует

►Т U'J^ = (- l/'-/+Q Т UnK_Q, (4.2.23)

где теперь оба оператора представлены матрицами с (27+1) строками и (27' + 1) столбцами.

Соотношение (4.2.23) можно использовать для получения важного результата. С помощью (4.2.9), (4.2.21) п условия ортонормированности 3/-символов получаем ► vrTV'nKQTUX-Q- =

=^м<гм' I Т V'OKQI IM) {JM IT (J^, I J'M')=bK,KbQ,Q. (4.2.24)

Заметим, что произведение Т (J'J^qT {J'J^.qt является квадратной матрицей с (27х 4-1) строками и столбцами, поэтому след этого произведения определен. Из (4.2.24) следует, что

tr Т (J)KQ = tr Т U)Kq • 1 = (27 4- l)v= »*(4.2.25)

где мы использовали (4.2.14). Следовательно, все тензоры T(J)kq, за исключением монополя, имеют нулевой след.

Наконец, напомним, что в теории углового момента для всех неприводимых тензорных операторов V kq справедлива теорема Вигнера—Эккарта:

„ I' К J X

► (7^1 VkqI/N^-I/^Q м(4.2.26)

Важно отметить, что приведенный матричный элемент <7'11 VkI1J> есть скаляр и не зависит от М', М и Q. Следует также иметь в виду, что 3/-символ является известным числовым множителем, который отражает геометрию взаимодействия. Таким образом, теорема Вигнера—Эккарта отделяет те величины, которые явно зависят от динамики взаимодействия, от чисто геометрических величин.

Применение соотношения (4.2.26) к тензорным операторам T(J'J) kq дает

V'ATlT’t/'/^ql/AlW-l) 1 Q M)<r\\TK\\jy (4.2.27)

где <7 ||7\||7> — соответствующий приведенный матричный элемент. Сравнивая (4.2.27) с (4.2.9) и используя свойства симметрии 3/-символа (В.5), можно видеть, что

</'11М-0 = (2К + 1)'/2-(4.2.28)

Подстановка (4.2.28) обратно в (4.2.27) показывает, что тензорные операторы Т (J'J) kq представляют собой чисто геомет^ рпческие величины.

Мультиполи состояния (статистические тензоры)

Определение мультиполей состояния

Рассмотрим ансамбль частиц в различных состояниях углового момента |7Л1>, характеризующийся матрицей плотности р с элементами <7,Al,|p|7M) [см., например, (2.3.6)].

Оператор плотности в {|ЛМ>}-представлении можно записать согласно (2.2.3) и (2.2.4) в форме

Р= £ </zA4z| р |7гИ>] У'/И'Х/гИ |.(4.3.1)

Подстановка (4.2.7) в (4.3.1) дает р = £ r^Wlpl^X-i/'^'x

J'JKQ Lm'M

U' - м - q ; (2/(+^ Jr <4-3-2)

Мультиполи состояния, или статистические тензоры, определяются следующим соотношением:

(Г U'l^- £(-1У УК + 1 )’■(/,, JM J^Xl'M' |р| JM).

м'м(4.3.3)

Подстановка (4.3.3) в (4.3.2) дает разложение оператора плотности по неприводимым тензорным операторам:

P = ^{r(rt)JQ)rOTO.(4.3.4)

Умножим обе стороны (4.3.4) на Т Ц'^-д, н возьмем след, используя (4.2.24). Это дает соотношение

(JWkq^^pTU'JV^(4.3.5)

эквивалентное (4.3.3). Соотношение (4.3.3) можно обратить, умножив обе его части на

,. / Г J КХ

и просуммировав по всем значениям К и Q. Тогда получаем

KQ

х(х J^^U (4.3.6)

Следовательно, два описания системы — с помощью элементов матрицы плотности и с помощью мультиполей состояний-— эквивалентны. Они могут быть преобразованы друг в друга с помощью соотношений (4.3.3) и (4.3.6). Соотношения (4.3.3) — (4.3.6) очень существенны во всех задачах, где играют роль свойства углового момента, например в теории угловых корреляций, при изучении оптической на-

качки и явлений спиновой поляризации. Полезность мультиполей состояния станет очевидной при рассмотрении примеров в следующих главах этой книги.

Если рассматриваемый ансамбль является некогерентной смесью /-состояний, то матрица плотности, как показано в разд. 2.3, диагональна по Г.

(ГМ' | р | JM) = ЦМ' | р 17M> 6Z,7>

и из (4.3.3) следует

<7’(/7)U = <7'(<q)W

Выражение (4.3.4) в этом случае сводится к

p-T^r^TUW(4.3.7)

JKQ

Этот результат показывает, что мультиполи Т(Г1)к$ с Г описывают когерентность состояний с различным угловым моментом J.

Если рассматриваемый ансамбль есть некогерентная суперпозиция состояний с различными квантовыми числами М, то матрица плотности диагональна по Л4, и (4.3.3) показывает, что все мультиполи с Q N= 0 обращаются в нуль. Соответствующий оператор плотности в этом случае имеет вид

Р= I (TU'J^TV'JN-(4.3.8)'

Следовательно, когерентность состояний с различными квантовыми числами М характеризуется отличными от нуля мультиполями cQ^O.

Основные свойства мультипэлей состояния

Для рассматриваемого здесь случая свойство эрмитовости (2.2.5) означает, что

(ГМ' | р | JM) = (JM |р | ГМ'У.(4.3.9)

Выполнив комплексное сопряжение в (4.3.3) и учитывая

получим

► W^-I-vT^tih'^-qY (4.3.10)

Для определенного значения момента Г = J соотношение

связывает друг с другом мультиполи с компонентами Q и —Q:

(J V^kqY = (- 1)Q (Г (J)VqY (4.3.11)

В частности, из (4.3.11) следует, что мультиполи (Т (J)^ представляют собой действительные числа.

Часто используется другая система параметров:

(7 (77)kq) = tr рТ (77)Kq(4.3.12а)

(в нее входит оператор Т Ц'Ц вместо сопряженного ему оператора). Подставляя (4.2.23) в (4.3.12а) п используя определение (4.3.5), получаем

<Г(77)^) = (- l^-^^rU/^-Q).(4.3.126)

Теперь, учитывая (4.3.10), легко видеть, что две параметризации связаны друг с другом соотношением

<7'(77)^y = <T(/7)KQ).(4.3.12b)

Чтобы понять важность мультиполей (4.3.3), рассмотрим, как они преобразуются при поворотах. Совокупность мультиполей (7(77)^) с соответствующими квантовыми числами М', Л4, Q в (4.3.3) можно определить относительно осей ХУ/. Вторую совокупность мультиполей (Т U'J^^ можно определить относительно координатной системы хуг, показанной на рис. 4.1. Используя (4.3.12а) и (4.2.13), получаем

(Т (77)^) = (Т (Z7kq)’ = [tr рТ (J'M =

-[ЕЩ^грГОд,]*.

Затем, снова используя определение (4.3.12а) и соотношение (4.3.12в), находим окончательно

►(т VXq) = £ (г (77)^) D ((0)$*.(4.3.13)

q

Этот результат показывает, что мультиполи состояния преобразуются как Q-компоненты неприводимых тензоров ранга К.

4.3.3. Физическая интерпретация мультиполей состояния. Вектор ориентации и тензор выстроенности ])

Неприводимые компоненты (T^q) матрицы плотности имеют, вообще говоря, более глубокий физический смысл, чем элементы матрицы р. В этом разделе мы обсудим физическую

’) Английский термин alignment tensor переводится дословно как тензор выстроенности. Этот тензор, как видно из дальнейшего, пропорционален квадрупольному моменту и может быть отличен от нуля даже в отсутствие вектора ориентации (см. рис. 4.2), хотя термин alignment часто применяется для обозначения ориентации. — Прим. ред.

НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ Ц7 интерпретацию тензоров низших рангов для случая определенного углового момента.

Тензор ранга К = 0 есть просто нормировочная постоянная. Беря след от разложения (4.3.4), получаем с помощью (4.2.25)

<4-3-14»

Три компоненты тензора с К = 1 и Q = ±1, 0 преобразуются как компоненты вектора. Из (4.2.18) и определения (4.3.5) легко получить, что

(Г Ц^о) = [3/(27 + 1) (7 + 1) 7]‘/2 tr p7q =

= [3/(27 + 1) (7 + 1) 7]7я <7^ tr р, (4.3.15)

где среднее значение <7q) оператора Jq определяется выражением (2.2.9а). Сделав комплексное сопряжение в (4.3.15), получим с учетом (4.3.126) альтернативную форму

^ - [(У+тф+тттГ W *г о- <4-3- 15а> Три параметра (Г (7)^) с Q = ±1, 0 часто называют компонентами «вектора ориентации». Как показывает соотношение (4.3.15), вектор ориентации пропорционален суммарному угловому моменту <J) рассматриваемого ансамбля. Так как

<Ц> = ~ №в <J>, (4.3.16) где <и> означает магнитный дипольный момент, усредненный по рассматриваемому ансамблю, вектор ориентации оказывается пропорциональным суммарному магнитному дипольному моменту данной системы (g— фактор Ланде, р5— магнетон Бора).

Аналогичным образом компоненты (Т (7)^ тензора второго ранга можно выразить через квадратичные комбинации компонент углового момента, используя (4.2.19) и (4.3.5). Например

(Г U^ = (Х2/б‘/2) <37/ - J2) tr р. (4.3.17)

Тензор (Т (7)^Q) называется тензором выстроенности. Его физический смысл определяется тем, что компоненты тензора (Т (7)^) пропорциональны сферическим компонентам <Q2q> тензора электрического квадрупольного момента. Это можно увидеть следующим образом. Среднее значение <Q2q> определяется выражением (2.2.9а). Применяя теорему Вигнера—

Эккарта к матричным элементам Qiq, находим

(Q2Q) tr р = tr р Q2q = X УМ' | р | JM) УМ | Q,q | JM') =

// 2 / \

= <ЛРУ)£ WIpUM))-!/-4.

M'MX — Al у Al /

Отсюда, используя (4.3.3) и симметрию 3/-символа, получаем

<Q2q) tr р = (1/5'0 U WQUHTVb), (4.3.18) где приведенный матричный элемент пропорционален квадрупольному моменту системы (см., например, Edmonds, 1957).

Соотношение (4.3.18) дает пример того, как разложение матрицы р на неприводимые компоненты в сочетании с теоремой Вигнера — Эккарта позволяет разделить геометрические и динамические свойства системы. Приведенный матричный элемент содержит всю информацию о динамике, а тензор <7'(7)2<?) описывает геометрические свойства рассматриваемого ансамбля. Этот аспект теории имеет еще большую важность при обсуждении вопросов, рассматриваемых ниже.

Наконец, дадим следующие определения.

Система является ориентированной, если бы хотя бы одна из компонент вектора ориентации отлична от нуля, выстроенной, если хотя бы одна из компонент тензора выстроенно- сти отлична от нуля, поляризованной, если хотя бы один из мультиполей с К + 0 отличен от нуля.

Приведенные здесь результаты справедливы только для определенного /. Интерпретация мультиполей с J'=^I будет дана в разд. 4.6.

Примеры. Спин-тензоры

Спин-тензоры для частиц со спином 1/2

Начнем с пересмотра описания частиц со спином 1/2, характеризующихся матрицей плотности р с элементами <mz|p|m>. Определим набор мультиполей состояния ^(S)^), так называемых спин-тензоров, с помощью (4.3.3) *). Так, для 5=1/2 запишем:

<7’(1/2)^>=(- \^-т' ^К + 1)^ (| р И.

(4.4.1)

’) Сппп-тепзорами обычно называются сами неприводимые тензорные операторы T(S)kq, построенные из оператора спина, а не коэффициенты разложения по ним матрицы плотности.—Прим, перев.

В силу условия (4.2.4) в (4.4.1) возможны только члены с К = 0 п К = 1. Монополь с К = 0 является нормировочной постоянной. Если спиновая матрица плотности для спина 1/2 нормирована так, что tr р = 1, как в разд. 1.1, то в соответствии с (4.3.14) монопольный член равен

<7’(1/2)00) = (1/2)1'.<7’(1/2)00) = (1/2)1'.(4.4.2)(4.4.2)Три векторные компоненты (7(1/2)^). связаны с соответствующими компонентами вектора спина соотношением

<7’(1/2)00) = (1/2)1'.

<7’(1/2)00) = (1/2)1'.

(4.4.2)

(4.4.2)

(4.3.15а):

<7 (1/2)i"q) = 241 (Sq),

(4.4.3а)(4.4.3а)где Sq означает Q-ю сферическую компоненту оператора спина S, определенную выражением (4.2.15). Используя определение матриц Паули (1/2)0, = 5, (г = х, у, z) и вектора по-

(4.4.3а)

(4.4.3а)

ляризации Р, получаем

<T(l/2)tQ) = PQ/2''!.

(4.4.36)(4.4.36)Такпм образом, мультиполи состояния ^спин-тензоры^ у (1/2)^ пропорциональны сферическим компонентах! вектора поляризации, определенным выражением (4.2.15):

(4.4.36)

(4.4.36)

Р±1==т(1/2'Ч(Рх±гРу), Р0 = Рг. (4.4.4)

Разложение (4.3.4) спиновой матрицы плотности для спина 1/2 по спин-тензорам имеет вид

р=1<Т(1/2)^>Т(1/2)^ =

KQ

= (1/2)1 + 2<7'(1M)7'(1/2)1Q,(4.4.5)

Q

что представляет собой просто другую форму записи выражения (1.1.45).

Описание частиц со спином 1

Частицы со спином 1 описываются тремя базисными состояниями, соответствующими трем возможным собственным значениям оператора 5г. Эти состояния можно представить в форме трехмерных векторов-столбцов:

1ОО1ОО(4.4.6а)(4.4.6а)0 I (°1|, О0] [1

1

О

О

1

О

О

(4.4.6а)

(4.4.6а)

(4.4.7)(4.4.7)(4.4.7а)(4.4.7а)

(4.4.7)

(4.4.7)

(4.4.7а)

(4.4.7а)

В стандартном представлении (4.4.6а) операторы 8Х, 5У, 8г задаются следующими матрицами:

0 - 1

0

[1 0

0

/

2^2

10

— 1

, 8г =

0 0

0

01

0

0 0

-1

(4.4.66)

Компоненты вектора поляризации для частиц со спином 8 определяются выражением

P1 = <St')/S

(ii = x,y,z'). Для 8=1/2 выражение (4.4.7) сводится к (1.1.4). Для 5 = 1 имеем

Pi = <Si).

Поучительно вычислить Р для трех базисных состояний [Д1>, |0>, |—1>. Используя явные представления (4.4.6) и выполняя вычисления таким же образом, как в разд. 1.1.2, находим, что Рх = Ри = 0 во всех трех состояниях, а Рг = 1, 0, —1 соответственно для состояний | + 1>, 10>, | — 1).

Важно отметить, что в состоянии |0> вектор поляризации имеет нулевую величину. Это указывает на существенное различие между частицами со спином 1/2 и 1: для 8 = 1 возможно чистое спиновое состояние, в котором отсутствует предпочтительное направление (т. е. не обязательно существует направление ориентации спинов). Это легко понять в рамках полуклассической векторной модели. Состояние М = 0 определяется вектором спина, который перпендикулярен оси г и прецессирует вокруг нее. Ясно, что в таком случае может существовать выделенная ось (ось г), но невозможно выделить направление вдоль этой оси. Указанным свойством, в частности, вызывается необходимость рассматривать величины более высокого ранга, чем вектор поляризации. Требуемые величины не должны зависеть от направления оси г; следовательно, можно использовать квадратичные комбинации типа (Sz) плп> в более общем случае, компоненты тензора второго ранга.

Более того, если сравнить пучок частиц в чистом состоянии |0> со смесью N+—N/2 частиц в состоянии |+О и N_= = N/2 частиц в состоянии |—1>, то мы увидим, что в обоих случаях Р = 0. Таким образом, задание только вектора поляризации недостаточно для полного определения состояния частиц со спином 1, и необходимо ввести дополнительные параметры.

Наиболее систематический способ получения всех необходимых параметров заключается в построении соответствующих спин-тензоров (I (S^^ для 8 = 1. Если элементы спиновой матрицы плотности для спина 1 обозначить <Л!'|р|Л1>, то, согласно (4.3.3), имеем

м'мX М — М — у /

(4.4.8)

В силу условия (4.2.4) необходимо построить монополь, вектор и тензор второго ранга. Монополь определяется нормировкой

<7 (!)£,> = l/3Va.(4.4.9)

Соответствующую матрицу плотности можно записать в виде Р = (1/3)• 1 + X <г(1)^)r(l)1Q + X (T^T^q. (4.4.10)

QQ

Таким образом, если учесть условие эрмитовости (4.3.11), то в самом общем случае спиновая матрица плотности для спина 1 полностью определяется восемью действительными параметрами (девятью, если нормировка tr р = 1 не предполагается, a trр рассматривается как экспериментально определяемый параметр).

В качестве примера рассмотрим некогерентную смесь М+ частиц в состоянии Ц-1), N- частиц в состоянии | —1> и No частиц в состоянии |0). В этом случае матрица плотности в представлении (4.4.5) диагональна:

<М1р|М) = 1Е*м,(4.4.11)

где Wm = Nm/N, a N есть общее число частиц. Подстановка (4.4.11) в (4.4.8) дает для тензорной поляризации выражение

<7 (l)to> = (1/(12)Х(^+! + ^-1 - 2Г0) = ^.:^2^

(4.4.12) а для векторной поляризации — выражение

(4.4.13)

(все компоненты с Q У= 0 равны нулю).

Компоненты (Т (8)^) пропорциональны сферическим компонентам вектора поляризации. Подставляя S вместо J в (4.3.15а) и учитывая определение (4.4.7а), получаем

(T^-^^Pq,(4.4.14)

где сферические компоненты вектора Р определены выражением (4.4.4). Пять компонент тензора второго ранга (Т ^S)^ можно построить из квадратичных комбинаций операторов спина S согласно (4.2.19), где следует положить /, = 5/, М2=1.

Применение декартовых тензоров в вычислениях может иметь некоторые преимущества, однако при использовании сферических тензоров (Т (S)^) алгебраические выкладки упрощаются и вычисления становятся менее трудоемкими.

Наконец, рассмотрим следствия условия (2.2.12). Подставляя разложение (4.4.10) для р и используя (4.2.24), находим tr р = 1 и

tr (Р2) = Z^ (1)М <Т (1)£q) tr [Г (1)К^Т (1)kq] =

K'Q'

= Z (- 1)Q (T (1)£q) <r (1)Kq) = Z l^ d)U I2.

KQKQ

При получении последнего выражения использованы соотношения (4.2.23), (4.2.24) и (4.3.11). Таким образом, спин-тен- зоры должны удовлетворять условию

ZKTd)^)^!;(4.4.15)

ку

причем

Z I (Т'О)ку) I" = 1,(4.4.16)

KQ

если (и только если) р определяет чистое состояние. В литературе пучок частиц со спином 1 обычно называют полностью поляризованным, если он представляется чистым спиновым состоянием, т. е. если (и только если) выполняется условие (4.4.16). В этом случае состояние пучка можно представить с помощью единственного вектора состояния |х>, который можно разложить по базисным состояниям (4.4.5):

IZ> = a+I|+ 1) + а0 |0) + а_, | — 1).(4.4.17)

Выражение (4.4.17) показывает, что полностью поляризованный пучок частиц со спином 1 в общем случае определяется пятью действительными параметрами, например абсолютной величиной коэффициентов ам и их относительными фазами.

Развитый здесь формализм представляет интерес для описания процессов рассеяния поляризованных частиц. Эта тема не рассматривается в данной книге, за исключением нескольких формул, приведенных в приложениях А и Б. Детальное описание можно найти в учебниках по теории рассеяния (см., например, Rodberg, Thaler, 1967; Burke, Joachain,

1982). Обсуждение экспериментов по рассеянию поляризованных электронов, содержащее многие экспериментальные подробности, можно найти в книге Кесслера (Kessler, 1976). Более формальные аспекты теории рассмотрены Робсоном (Robson, 1974); см. также Blum, Kleinpoppen, 1981.

Свойства симметрии. Связь между симметрией и когерентностью

Аксиально-симметричные системы

Общие результаты

Возбуждение ансамбля частиц (атомов или ядер) может быть достигнуто различными способами: за счет взаимодействия с внешними полями, поглощения излучения, столкнове- веипя с другими частицами и т. д. Предположим, что процесс возбуждения аксиально-симметричен относительно некоторой оси. Эта ось может задаваться, например, направлением внешнего поля. Если при возбуждении за счет соударения с электронами в эксперименте рассеянные электроны не регистрируются, ось симметрии определяется направлением падающего электронного пучка.

В этом разделе мы всегда будем принимать ось симметрии за ось Z нашей координатной системы (ось квантования). Выбор осей X и Y, перпендикулярных оси Z, произволен, и поэтому физические свойства ансамбля не должны зависеть от этого выбора (частицы не могут «знать», как заданы оси X и У). В частности, действительная и мнимая части мультиполей состояния представляют собой непосредственно измеримые величины (см. гл. 5) и потому должны иметь одни и те же числовые значения в системе XYZ и в любой системе xyZ, полученной поворотом вокруг оси Z на произвольный угол у. Это приводит к следующему условию симметрии-.

<Т(Г1^ = <1(1'1)^,(4.5.1)

где (Т (1'1УКС^ и (Т U'^oXot определены соответственно в данной системе XYZ и в повернутой системе xyZ. Соотношение (4.5.1) связывает две комплексные величины, поэтому их действительные и мнимые части должны быть равны.

С другой стороны, согласно закону преобразования (4.3.13), мультиполи связаны соотношением

кт = Е кт U'^rot . D(00у)$*,(4.5.2)

4

где -у — угол между осями X и х. Для элементов матрицы, определяющей поворот вокруг оси Z, имеем выражение [см. (В.12)]

D (ООу)^* = exp (— ZQy) 6qQ.(4.5.3)

Подстановка (4.5.3) в (4.5.2) дает

<Т V'J^ = (т (J'/^Q^ot exp (- iQ^. (4.5.4)

Соотношение (4.5.4) представляет собой общий закон преобразования, справедливый для любого угла у. Кроме того, в силу аксиальной симметрии условие (4.5.1) также должно выполняться для любого угла у. Это возможно, только если Q = 0. Таким образом, аксиально-симметричные системы характеризуются мультипольными компонентами (Т Ц'Г^у а все компоненты с Q ^ 0 с необходимостью равны нулю, ибо они нарушают условие (4.5.1). Следовательно, оператор плотности, характеризующий систему с аксиальной симметрией, имеет вид

Р =£<Т №0) Т U'JW (4.5.5)

Из (4.3.8) тогда следует, что матрица р диагональна по М. Таким образом, мы приходим к следующему общему результату. Когда возбуждение ансамбля частиц вызывается процессом, аксиально-симметричным относительно выделенной оси, состояния с различными компонентами углового момента обязательно возбуждаются некогерентным образом (если ось квантования совпадает с осью симметрии). Для создания когерентной суперпозиции состояний с различными компонентами углового момента необходимо, чтобы процесс возбуждения не был аксиально-симметричным.

Обращение оси Z

В этом и следующем разделах мы рассмотрим состояния с определенным значением момента Г = L

/^ОлО^-Ц-Ц^б^/^ОлО^-Ц-Ц^б^(4-5.6)(4-5.6)Аксиально-симметричные системы можно классифицировать по их свойствам относительно обращения оси симметрии: Z->—Z. Обращение оси соответствует повороту на угол л вокруг оси У. Соответствующие элементы матрицы поворота даются выражениями (В.12) и (В.15):

/^ОлО^-Ц-Ц^б^

/^ОлО^-Ц-Ц^б^

(4-5.6)

(4-5.6)

Подставляя (4.5.6) в общее соотношение (4.3.14) и учитывая аксиальную симметрию, получаем

Д (У)^} = £ <Г (J)^>rot (- 1 /<+17д9о = (-1)№ Wro >rot, (4.5.7) q

где (ТЦ)^ и (^(^)ко\о1 определены относительно осей Z и —Z.

Если данный ансамбль инвариантен по отношению к преобразованию Z -> —Z, т. е. значения измеримых величин не меняются при этом преобразовании, то должно выполняться условие

kl^^kb^bv(4-5.8)

Соотношения (4.5.7) и (4.5.8) могут одновременно выполняться лишь для мультиполей четного ранга К. Таким образом, аксиально-симметричная система, инвариантная относительно обращения оси симметрии, характеризуется мультиполями четного ранга К, а все тензоры с нечетными К с необходимостью обращаются в нуль. В частности, вектор ориентации равен нулю. Следовательно, рассматриваемая система представляет собой частный случай выстроенной системы в соответствии с определением в разд. 4.3.3.

Посмотрим, какое требование налагает условие симметрии (4.5.8) на элементы матрицы плотности. Используя (4.3.6) и свойство симметрии 3/-символа, получаем

(/ - М | Р |7 - Л1> = £ (Т иУк^ ^к + \У X к х

X(-l/+M(_^ ^ о ) = </М|р[/Л1), (4.5.9)

так как только мультиполи с четным К дают вклад. Диагональные элементы матрицы р пропорциональны заселенности состояния [УМ), а постоянная пропорциональности определяется нормировкой. Таким образом, (4.5.9) показывает, что состояния |JM> и | J —М> заселены одинаково.

Полезно обсудить эти результаты с иной точки зрения, уделяя больше внимания физике явления. В полуклассиче- ской картине с состоянием |JM> ассоциирован прецессирующий вокруг оси Z вектор длиной [7(/+ 1)]1/2; его Z-kom- понента равна М. Длину вектора можно изменить, не меняя его направления в пространстве, таким образом, чтобы длина .вектора стала пропорциональна числу частиц в соответствующем состоянии |/Л1>. Исходя из этой модели, систему, удовлетворяющую условию (4.5.9), можно представить диаграммой, изображенной на рис; 4.2, где стрелки означают

Рис. 4.2. Выстроенная аксиально-симметричная система.Рис. 4.2. Выстроенная аксиально-симметричная система.величиной <Zz> или системы.Ориентированныевеличиной <Zz> или системы.Ориентированные

Рис. 4.2. Выстроенная аксиально-симметричная система.

Рис. 4.2. Выстроенная аксиально-симметричная система.

величиной <Zz> или системы.

Ориентированные

величиной <Zz> или системы.

Ориентированные

векторы углового момента и имеют разрешенные направления в пространстве. Диаграмма аксиально-симметрична и инвариантна относительно операции Z-)—Z, т. е. длина векторов, имеющих противоположные направления, одинакова. В частности, диаграмма показывает, что суммарный момент <J> выстроенной системы равен нулю.

Условие (4.5.9) выполняется тривиальным образом для атомных ансамблей, в которых все частицы находятся в одном состоянии | J, 714 — 0>. Система такого рода представляет собой простой частный пример выстроенной системы без ориентации.

Ориентированные системы

Аксиально-симметричная система, не обладающая инвариантностью относительно обращения оси симметрии (Z), изображена на рис. 4.3. В этом случае длина векторов, имеющих противоположные направления, различна. Как видно из рисунка, система обладает отличной от нуля компонентой суммарного момента. Избыток векторов момента, имеющих одно и то же направление можно описать <Ц-0ю>- Это пример ориентированной системы могут возникнуть, например,

в процессе возбуждения атомов или ядер светом с круговой поляризацией, приводящем к различной заселенности состояний ] 7Л4> и J, —7И> в силу правил отбора по угловому моменту.

Сферически-симметричные системы

Рассмотрим ансамбль частиц, не имеющий выделенной оси в пространстве (например, систему неполяризованных частиц со спином 1/2). В этом случае оси XYZ нашей координатной системы можно выбрать произвольно; следовательно, все физические свойства ансамбля должны быть независимыми от положения координатных осей. Это требование приводит к условию симметрии

(n^Q) = (T(Z7)£Q)rot(4.5.10)

для всех повернутых систем, т. е. для любого выбора углов Эйлера. Сопоставление с соотношением (4.3.14) показывает, что условие (4.5.10) может выполняться только в том случае, если матрица Щю)(^ пропорциональна единичной матрице, т. е. если все мультиполи, кроме монополя с К = 0, обращаются в нуль. Следовательно, сферически-симметричная система характеризуется только монополем (Т (Г^У Из правила сложения угловых моментов (4.2.4) следует, что

Рис. 4.3. Ориентированная аксиально- Рис. 4.4. Изотропное угловое расРис. 4.3. Ориентированная аксиально- Рис. 4.4. Изотропное угловое распределение.пределение.симметричная система.симметричная система.

Рис. 4.3. Ориентированная аксиально- Рис. 4.4. Изотропное угловое рас

Рис. 4.3. Ориентированная аксиально- Рис. 4.4. Изотропное угловое рас

пределение.

пределение.

симметричная система.

симметричная система.

тензор с К = 0 можно построить только при /' = У, поэтому из (4.3.7) вытекает, что соответствующая матрица плотности диагональна по У. В частности, если у всех частиц данного ансамбля момент J одинаков, матрица плотности, согласно (4.2.14) и (4.3.14), имеет вид

р-^ЛооШЛоо-^^!-р-^ЛооШЛоо-^^!-(4.5.11)(4.5.11)

р-^ЛооШЛоо-^^!-

р-^ЛооШЛоо-^^!-

(4.5.11)

(4.5.11)

Это показывает, что сферически-симметричные системы с необходимостью являются некогерентными по J и М. Для данного J все состояния с различным магнитным числом имеют одинаковую заселенность. В полуклассической модели сферически-симметричные системы можно представить изотропным распределением векторов углового момента, как показано на рис. 4.4.

Примеры. Фотопоглощение на атомах (ядрах)

Теперь проиллюстрируем некоторыми примерами теорию, изложенную в предыдущих разделах. Рассмотрим ансамбль атомов или ядер, который первоначально находится в состоянии с угловым моментом /0 = О, а затем возбуждается за счет поглощения фотонов и переходит в состояние с / = 1. Сначала обсудим случай, когда падающий свет неполяри- зован. Полная система аксиально-симметрична относительно направления распространения света п, поэтому удобно выбрать это направление за ось квантования. Следовательно, матрица плотности для возбужденного состояния диагональ- на: (М'|р |М) = (М |р |М)6м'м относительно проекции момента на направление и. Падающий пучок света можно считать некогерентной смесью двух состояний с определенной спиральностью и одинаковой интенсивностью. Поэтому могут возбуждаться атомные состояния только с М=±1, а <0|р]0> = 0. Более того, вследствие сохранения углового момента и равной интенсивности компонент с разной спиральностью в пучке света атомные состояния | + 1> и |-1> заселены одинаково, т. е. <+11 р ] +1 > === <—1|р|—1>, а суммарный угловой момент атомных состояний равен нулю. Таким образом, атомам не передается никакого суммарного момента и возбужденное состояние является выстроенным, но не ориентированным. Если воспользоваться представлением мультиполей, то атомное состояние полностью определяется только двумя параметрами: монополем <Т00> и параметром выстроенности (/la).

Рассмотрим теперь случай линейной поляризации падающего излучения. Ось Z можно выбрать параллельной электрическому вектору Е. Поглощение такого света происходит посредством л-переходов (ДЛ1 = 0), в результате которых у возбужденных атомов появляется выстроенность, но не возникает ориентации. Таким образом, при выборе оси квантования, параллельной вектору Е, возбужденный ансамбль снова характеризуется двумя параметрами: <Т00> и ^ГХо).

Наконец, если падающий свет имеет круговую поляризацию и ось квантования выбрана вдоль направления движения, то заселенность состояний | + 1> и |—1> уже не будет одинаковой. Свет создает ориентацию; атомная матрица плотности в этом случае определяется тремя параметрами: (Too), (Тиэ) и (Гао), причем (Тю) определяет суммарную величину момента, переданного атомам.

Возбуждение атомов электронным ударом II. Мультиполи состояния

Возникновение атомной ориентации

при столкновениях

В разд. 3.5 было выведено выражение для матрицы плотности р, описывающей атомный ансамбль, возбужденный электронами, которые «рассеяны» (с импульсом pj в определенном направлении. Здесь мы опишем возбужденные атомы с помощью мультиполей состояний. Это будет удобной отправной точкой для рассмотрения, проведенного в гл. 6.

Элементы матрицы плотности, усредненные по всем спинам, определяются выражением (3.5.17). Используя (4.3.3), можно определить компоненты мультиполей (Т (L^KQY описывающие только орбитальные состояния

{г(/^0) = £(- 1)^Л"(2К+ 1)‘4^ Д _KA(LM'\p\LM> = М'М

(4.6.1)

-zt-^-^+i)^, М'М

В соответствии с условием (4.2.4) для полного описания атомного ансамбля с данным орбитальным моментом L необходимо построить все тензоры рангов К = 0, 1, .. ., 2L + 1 с компонентами | Q | ^ К.

Как обсуждалось в разд. 3.5.2, рассматриваемая система атомов должна быть инвариантна относительно отражений в плоскости рассеяния (XZ). Чтобы увидеть, какие требования эта симметрия налагает на мультиполи состояния, рассмотрим сначала вектор ориентации, пропорциональный суммарному угловому моменту <L> атомного подансамбля. Так как предполагается, что в начальном состоянии все атомы неориентированы, <Е> представляет собой момент, переданный атомам в процессе рассеяния. Теперь обсудим трансформационные свойства L.

Предположим, что вектор ориентации имеет неисчезающую компоненту, пропорциональную <Lx>, в направлении X, как показано на рис. 4.5, а. Отражение в XZ-плоскости можно воспроизвести, поворачивая систему вокруг оси У на угол л, с последующей инверсией относительно начала. Вектор углового момента преобразуется как аксиальный вектор. Полярные векторы, такие, как импульс, и аксиальные

5 Зак. 648

векторы одинаково преобразуются при повороте, но различно ведут себя при инверсии: полярные векторы изменяют знак, а аксиальные не изменяют. При отражении в плоскости рассеяния рис. 4.5, а преобразуется в рис. 4.5,6. Так как атомный ансамбль должен быть инвариантен относительно отражения от плоскости рассеяния, ситуации, изображенные на рис. 4.5, а и б, равновероятны. Поэтому суммарная компонента <£х> должна обращаться в нуль. Те же соображения справедливы для компоненты <Lz>. В этом случае только компонента <£у), перпендикулярная плоскости рассеяния, может быть отличной от нуля.

Рис. 4.5. Преобразование <L> при отражении в плоскости рассеяния.

Таким образом, можно ожидать, что в общем случае возбужденная атомная система будет ориентированной. Классической моделью механизма возникновения атомной ориентации может служить падение под скользящим углом (рис. 4.6). Схемы наводят на мысль, что атомы получают перпендикулярный плоскости рассеяния момент, имеющий разные знаки для отталкивающих (рис. 4.6, а) и притягивающих (рис. 4.6, б) сил.

Связь между знаком ориентации, отклонением рассеянных частиц и эффективными взаимодействиями была более подробно изучена Фано и Komoto (Fano, Komoto, 1977) и Херманом и Хертелем (Herman, Hertel, 1979). Им удалось показать, что ориентация меняет знак при изменении знака взаимодействия.

Эти результаты позволяют сделать некоторые заключения о поведении вектора ориентации в зависимости от угла рассеяния 6 при заданной энергии. Рассмотрим, например, возбуждение ^-состояний в гелии. Электроны, рассеянные вперед или назад, не могут передать суммарный угловой мо-

мент атомам, и <L> = 0 для 6 = 0 и 6 = 180°. Рассеяние на малые углы определяется дальнодействующими силами притяжения, обусловленными атомной поляризуемостью, а рассеяние на большие углы — в основном короткодействующими силами отталкивания от атомных электронов. Поэтому можно ожидать, что <L> имеет противоположные знаки в области малых и больших углов и обращается в нуль при промежуточном значении угла, при котором вклады от притягивающих и отталкивающих сил равны по величине. Эти

^Ро^Ро

^Ро

^Ро

Рис. 4.6. Модель возникновения ориентации при столкновениях.

выводы подтверждаются недавними измерениями Голливуда и др. (Hollywood et al.; 1979) и Стефа и Гольдена (Steph, Golden, 1980).

Общие следствия инвариантности относительно отражений

Обсудим теперь трансформационные свойства мультиполей состояния при отражении в XZ-плоскости. Инвариантность рассматриваемой атомной системы относительно отражения означает, что элементы матрицы р должны удовлетворять условию (3.5.11):

WIР (£) | LM) = (- 1)м'+м (£ - М' IР (£) IL - А4).(4.6.2)

В частности, для диагональных элементов имеем

о(Л4) = о(-Л4).(4.6.2а)

Подстановка условия (4.6.2) в (4.6.1) дает

<7 (/А) = £ (- 1)L^' ^К + 1)'/2 X

М'М

х(^ _м ^-^“(Ь-М'^Ь-М).(4.6.3а)

Так как суммирование в (4.6.3а) проводится по всем значениям М' и М, можно заменить (+А4') и (+М) соответственно на (—Л4') и (—МУ Тогда с учетом свойства симметрии (В.5в) [см. приложение В] получаем

(г №> = (- 1)K+Q X (- 1)д-л,/ (2/с + 1),/2 х

М'М

х(м' мп) <LM'1Р ^1 LM> =(- ^ ^ ^^‘

(4.6.3)

Из этого соотношения и условия эрмитовости (4.3.11) следует

^(^-(-ОЧг^оУ.(4.6.4)

Таким образом, для рассматриваемой атомной системы инвариантность относительно отражения в XZ-плоскости накладывает следующие требования на мультиполи состояния: для четных К тензоры (Т (7)£е} действительны, а для нечетных К тензоры (Т (Л)^) чисто мнимые. Компоненты с Q = 0 обращаются в нуль для нечетных К-

Компоненты вектора ориентации и тензора выстроенности связаны с соответствующими компонентами тензоров углового момента соотношениями (4.3.15) и (4.3.18). В силу условия симметрии (4.6.4) действительная или мнимая часть этих выражений обращается в нуль в зависимости от того, нечетно или четно значение К. Используя нормировку (3.5.8)

tr р = о,

получаем следующие выражения для компонент вектора ориентации:

- I <Т (L)L1) =о <^> •(4.6.5а)

[2(24.+ 1) (2.4-1)

(Т(£)Т0> —О(4.6.56)

и тензора выстроенности:

<Т (L)2o> = (^б72) о <3Lz - L2),

(J (ZjLi) = + (ад О (LXLZ + LZLX),(4.6.6)

(r(L)M = (W2)"<^-ti>.

Следует заметить, что условие эрмитовости (4.3.11) ограничивает число независимых мультиполей. Ориентация определяется одним параметром (например, (T(L)^ +1^), а вы- строенность полностью характеризуется тремя независимыми параметрами [например, компонентами ^Г (L)^ с Q = 0, +1, +2]-

Параметры (4.6.5) и (4.6.6) тесно связаны с системой величин, введенных Фано и Масеком (Fano, Macek, 1973):

О =^ ■*~Г(Г+1)’О =^ ■*~Г(Г+1)’о £ (£ + 1) ’о £ (£ + 1) ’^x^z + LzLx) L(L-t-i)(^х — ^у)‘2+£ (£ + 1) *^x^z + LzLx) L(L-t-i)(^х — ^у)‘2+£ (£ + 1) *(4.6.7)(4.6.7)

О =^ ■

*~Г(Г+1)’

О =^ ■

*~Г(Г+1)’

о £ (£ + 1) ’

о £ (£ + 1) ’

^x^z + LzLx) L(L-t-i)

(^х — ^у)

‘2+£ (£ + 1) *

^x^z + LzLx) L(L-t-i)

(^х — ^у)

‘2+£ (£ + 1) *

(4.6.7)

(4.6.7)

где О]- характеризует ориентацию, а три других параметра — выстроенность. Заметим, однако, что использование выражений (4.6.5) — (4.6.7) имеет смысл только в том случае, когда возбуждены состояния атомов с заданным моментом L.

Если когерентно возбуждены атомные состояния с различными L, то для полного описания атомного ансамбля необходимо строить мультиполи состояния (Т ([/С^у За- • кон преобразования тензоров (Т (L'L^q^ при отражении и инверсии зависит от четности суммы L' -f- L. Например, если сумма L' + L нечетна, вектор (г <1/1^ ) преобразуется как полярный вектор и, следовательно, лежит в плоскости рассеяния, поскольку он должен быть инвариантным относительно отражения от этой плоскости. Применяя теорему Вигнера — Эккарта, можно показать, что этот вектор связан с компонентами <tq> вектора суммарного электрического дипольного момента, индуцированного в атомном ансамбле. Здесь мы не будем вникать в детали анализа; более полное рассмотрение можно найти в разд. 4.4 обзора Блума и Клейнпоппена (Blum, Kleinpoppen, 1979),

Аксиально-симметричные атомные системы

Применим теперь результаты предыдущих разделов к случаю, когда рассеянные электроны не регистрируются. Тогда геометрией эксперимента определяется единственная ось (направление р0). Следовательно, возбужденный атомный ансамбль должен быть инвариантен относительно поворота вокруг этой оси, и применимы результаты разд. 4.5.1.1: все мультиполи с Q ^ О обращаются в нуль. Если соответствующую матрицу плотности обозначить через р, то

<LM \p\LM) = Q^M),(4.6.8)

где Q(M') — полное сечение возбуждения состояний с магнитным квантовым числом М. Из соотношения (4.6.2а) следует, что

Q (М) = Q (— М\(4.6.9)

Монополь дается выражением

(7(E)00> = Q/(2L+l)v\(4.6.10)

где Q=22mQ(M)—полное сечение. Подставляя (4.6.8) в (4.6.1) и используя (4.6.9), получаем

<7 (L)to) = 0,(4.6.11а)

что является следствием равенства (4.6.9), и

W-^-Г^ _LM ^QW-

__5^у

№L + 3) (Z. + 1) ^L + 1) (2Z. - 1) Lt12 ^ l3^2 — L (^ + 01Q W,

(4.6.11)

где использовано явное выражение для 3/-символа. В частности, при L = 1 атомная система полностью определяется двумя параметрами: монополем, или полным сечением, и параметром выстроенности (г (1)го). Никакого результирующего момента <L> системе не передается.

Временная эволюция мультиполей состояний при наличии внешнего возмущения

Коэффициенты возмущения

Временною эволюцию мультиполей состояния можно получить из уравнений (2.4.15) или (2.4.16) и равенства 14.3.6). В дальнейшем для нас будет представлять особый

интерес следующая постановка задачи. Рассмотрим возбужденный ансамбль атомов (ядер), состояния которого можно описать гамильтонианом Н = Но + Н', где Н' означает возмущение; последнее предполагается слабым и несущественным в процессе возбуждения. Членом Н' можно пренебречь в течение процесса возбуждения. Предполагая, что собственные состояния гамильтониана Но можно задать квантовыми числами углового момента, будем обозначать рассматриваемые состояния через |7М>. Однако после возбуждения временная эволюция определяется полным гамильтонианом Н и соответствующим оператором эволюции {/(/).

Предположим, что атомный ансамбль возбуждается мгновенно в момент времени / = 0; «мгновенно» означает, что время возбуждения много меньше характерного времени всех переходов, вызванных возбуждением Н' (см. разд. 3.5.1). Тогда сразу после возбуждения ансамбль может быть описан матрицей плотности р(0). Тензорные операторы можно построить, используя собственные состояния |/А4> оператора Но в соотношении (4.2.8). Разложение р(0) по этим тензорам дает

р(0)= X W^I^Ko,(4.7.1)

I'JKQ

где мультиполи состояния определяются выражением [см. (4.3.5)]:

(J (ГЛк) = tr р (0) Т У'Л^-(4.7.2)

Мы будем и далее обозначать через /Г У'Л ко) мультиполи, описывающие атомные состояния при t = 0. Суммирование в (4.7.1) производится по всем F и /, имеющимся при / = 0.

Матрица плотности р(0) под действием полного гамильтониана И переходит в матрицу плотности

р(0 = П(/)р(0)П(/)+.(4.7.3)

За интервал времени 0—/ первоначально возбужденные состояния изменяются и перемешиваются возмущением Н'. Любое состояние |/М> переходит в состояние |ф(/)> = — U^\JM->, которое можно разложить по полной системе собственных функций |/т> гамильтониана Но. Из состояний |/т) можно построить тензорные операторы и разложить по ним матрицу плотности

р(0 = £ Wi^Wh^ (4.7.4) i'ikq

где сумма включает все значения угловых моментов /' и j,

которыми могут обладать атомы в момент времени t. Используя (4.7.2) — (4.7.4), получаем

<7 (/'О = tr р (/) т <МЧ = tr и (/) р (0) и ^Т U'hXq =(4.7.5)

= у Е <Т цч^ tr [с/ (/) т u'j^q U vf т МЧА =

= Г WrMcu'i. П; <1

J'JKQ

где мы ввели коэффициенты возмущения

► С(П, Гп t^ = tY\U^TU'JkQU(tYTU'nlqV (4.7.6)

Соотношение (4.7.5) выражает мультиполи (Т(j'j, 0^^. ха- растеризующие состояния атомов в момент времени t, через соответствующие величины в момент времени / = 0. Коэффициенты возмущения представляют собой коэффициенты такого разложения.

Коэффициенты возмущений для взаимодействий, обусловливающих тонкую и сверхтонкую структуру

Чтобы выяснить смысл понятий, введенных в предыдущем разделе, рассмотрим изменение во времени атомных состояний, возбужденных в момент t = 0, за счет взаимодействия, обусловливающего тонкую структуру. Мы не будем конкретизировать механизм возбуждения. Основные предположения, которые будут сделаны, заключаются в том, что в процессе возбуждения орбитальные и спиновые моменты атомов не связаны и что сразу после возбуждения атомные спины неполяризованы. При этом для атомных состояний сразу после возбуждения можно использовать несвязанное представление I LMSyMs^ причем спиновые состояния заселены одинаково. Мы будем также предполагать, что значения L и Si фиксированы.

Сделанные предположения справедливы, например, при возбуждении легких атомов электронным ударом, рассмотренном в разд. 3.5. Предполагается, это они справедливы и для атомов, возбуждающихся при прохождении пучка через фольгу.

Сразу после возбуждения атомный ансамбль можно представить матрицей плотности р(0) с элементами (LM'SvM'Si | р (0) | LMS^^. Далее нас будут интересовать только свойства орбитальных состояний, поэтому определим

(4.7.7)(4.7.7)приведенную матрицу плотности р(Е) с элементами (LM' | р (L) | LM) = £ (LM'SxMsx | р (0) | LMSxMSxy mS1

(4.7.7)

(4.7.7)

Например, для случая возбуждения электронным ударом элементы (4.7.7) связаны соотношением (3.5.7) с амплитудами рассеяния.

Приведенную матрицу плотности можно разложить по мультиполям состояния согласно (4.6.1):

pW=H<T^Kq)TU-W(4.7.8)

где тензоры <T(T)y<Q> характеризуют орбитальные состояния при / = 0, т. е. сразу же после возбуждения.

Состояния | LMSxMs,') можно считать собственными состояниями гамильтониана Но. После возбуждения атомы релаксируют в соответствии с моделью /М-связи под влиянием взаимодействия Н' ~ LS, которое возмущает возбужденные состояния и приводит к тонкой структуре. Если воспользоваться векторной моделью, то это возмущение можно интерпретировать как прецессию векторов L и Si вокруг полного углового момента J (такая прецессия во время процесса возбуждения не учитывалась). Взаимодействие, приводящее к тонкой структуре, предполагается слабым, поэтому переходами между состояниями с различными L и Si можно пренебречь и считать L и Si сохраняющимися величинами.

Изменение во времени атомного состояния определяется

операторомоператоромU (/) =ехр(— lHtlh\U (/) =ехр(— lHtlh\

оператором

оператором

U (/) =ехр(— lHtlh\

U (/) =ехр(— lHtlh\

где полный гамильтониан Н = Но + Н' включает член взаимодействия Н', связывающий спиновую и орбитальную систему. Так как U(t) действует на обе системы, необходимо рассматривать полную матрицу плотности р(0) вместо приведенной матрицы (4.7.8), описывающей только орбитальные состояния. Так как орбитальные и спиновые состояния некор- релированы при / = 0, а спины неполяризованы, удобно записать р в виде

р(0) = р(/.)Х^1, (4.7.9а)

где использованы соотношения (2.2.14) и (А.11) и 1 есть единичный оператор в спиновом пространстве. Подстановка (4.7.8) в (4.7.9а) дает

Р (0) = -^рт Z кт W^ IT (L^q X Ц- (4.7.96)

В момент времени t система описывается матрицей плотности, которая эволюционирует от матрицы р(0) и удовлетворяет условию (2.4.15):

р (/) = [/(0р(0)[/(0+ =

"№Ц^Т^и^№кйХ 1)Щ0*. (4.7.10) KQ

Определим мультиполи состояния (Т ^L, t)^, описывающие орбитальные состояния в момент времени /, как неприводимые компоненты соответствующей приведенной матрицы плотности р (L, /):

(7(L, /)U = trp(L, ОТХ* (4.7.11а)

где элементы матрицы р (Д /) определяются выражением

W | р (L, 0 |LM) = £ (LM'SxMSx | р (01 LMSvMSvyMsv

Для настоящего рассмотрения удобнее другое определение мультипольных компонент:

<ЦД 0м> — tr р (/) [Т(£)1д X 1]>(4.7.116)

где 1—единичный оператор в спиновом пространстве. Эквивалентность определений (4.7.11а) и (4.7.116) можно показать, вычислив след (4.7.11) с использованием несвязанных состояний | LMSiMSl) (см. приложение А).

Подстановка (4.7.10) в (4.7.116) дает

(T(L, Ом)=(1/(25, +1)) E<T(L)^)x

KQ

X tr {(/ (0 [Г ^kq X 1] 17 (0+ [7 М X 1 ]} =

= L(T(L^G(L-, t$L(4.7.12)

KQ

где коэффициенты возмущения G (L; t^ представляют собой коэффициенты этого нового мультипольного разложения:

G (L; 0$ ="2зГ+Тtr ^ ^ V Mkq X 1] U ^ [Г (L)^ X 1 ]}.

(4.7.13)

Выведем теперь явное выражение для величин (4.7.13). Так как элементы оператора U ^ диагональны в представлении собственных состояний | (LS,)JA1> полного гамильтониана Н, в матричном представлении элементы U (/) имеют вид

^LS^'M' | U (01 (LS^ JM) = exp (- /£,//Й) Ь]иЬм,м, (4.7.14)

где Ej — энергия уровня LSJ. Используя (4.7.14), можно вы- числить след в (4.7.13) в этом представлении:

G(L; tfKqfe = —l— У exp\i(Ej-EH)t/hAX

НМЧМ

X ((tsa J'M' I T (L^q X 11 (LSD JM) <(LSV) JM | T ^\q X

XIKLSDW). (4.7.15a)

Оставшиеся матричные элементы можно вычислить, если учесть, что Т^ЦкоХ 1 представляет собой Q-компоненту тензорного оператора ранга К. Применяя теорему Вигнера — Эк- карта

((LSJ ГМ' [T(L)kqXV (LS^ JM) =

- (_ i)"-"' ( _ ^' Q м ) ((LSD J' || Тк X 11! (LSD /) (4.7.156)

и стандартную формулу теории углового момента [см. (В.20)], находим

((LSD г II7^ XIII (LSD/) =

= (- 1)£+S1+HK+ 1)1)(2Л'+ 1)]’Ч1 1

V d L г\ )

(4.7.15в)

Здесь использовано явное выражение (4.2.28) для приведенного матричного элемента <L\\T(L)^||L>. Подобная формула справедлива для матричного элемента оператора L(L)^X1- Подставляя полученные выражения в (4.7.15а) и выполняя суммирование по М' и М с помощью соотношений ортогональности для ЗУ-символов, получаем

G Щ <к = У (2/' + 1) (2J + 1) X

(L Г S V

^и L exV\.— ^EJf — Ej)t]ti\bKkbQq. (4.7.15)

Символы Кронекера указывают, что мультиполи различных рангов и различные компоненты не перемешиваются за счет взаимодействия. Более того, коэффициенты (4.7.15) не зависят от Q и потому могут быть записаны в форме

G (L; /)^ = G(L; t)KbKkbQq.(4.7.16)

Коэффициенты (4.7.15) действительны. Это легко увидеть, если взять выражение, комплексно-сопряженное выражению

в квадратных скобках в (4.7.15), поменять местами J и Г и использовать свойство симметрии (В.8) бфсимвола. Следовательно, мнимая часть комплексной экспоненциальной функции в (4.7.15) обращается в нуль в результате суммирования по всем значениям Г и I, и остается только действительная часть:

► ^^“^^z^'+n^-Hi^f $'ГХ

Xcos[ME]Xcos[ME](4.7.17)(4.7.17)

Xcos[ME]

Xcos[ME]

(4.7.17)

(4.7.17)

Из (4.7.12) и (4.7.16) получаем окончательное выражение

(7 (Ц t^ = G (L; /^ <Т (L^q),(4.7.18)

которое описывает временную эволюцию мультиполей состояния за счет взаимодействия, вызывающего тонкую структуру. Иногда оказывается удобным представить коэффициенты

G (L; <) к в форме

С^Ц t)K = G(L)K + -^-T £ (2Г+1)(2/+1)Х

(Ы Sx\ J L К(Ы Sx\ J L К2■ COS2■ COS(Ep-E^tл(Ep-E^tл(4.7.19)(4.7.19)

(Ы Sx\ J L К

(Ы Sx\ J L К

2

■ COS

2

■ COS

(Ep-E^tл

(Ep-E^tл

(4.7.19)

(4.7.19)

от времени, определяется выражениемот времени, определяется выражениемгде выделены члены с / = J' и с / ^/' и часть, не зависящая

от времени, определяется выражением

от времени, определяется выражением

G ^К 2S1 + 1 X ^ + ^ { J L к } "(4-7-20)

Взаимодействие, приводящее к сверхтонкой структуре, можно рассмотреть тем же методом, который был использован для описания тонкого взаимодействия. Пусть при / — 0 возбуждены атомные состояния с электронным моментом J, причем ядерный спин / не затронут. Построив мультиполи состояния (Т ЦУ^ и (1(1, (У^о) из состояний |7Л4> в момент времени 1 = 0 и 1 соответственно, можно показать, что эти тензоры связаны соотношением, подобным (4.6.18):

(TU; tyKy) = G(j-, 1^<тиУУ),

где коэффициенты возмущения G(J;t)K определяются выра-

жением (4.7.17) с заменой L на 7, Si на /, ЦЕ) на F(F'), a F означает полный угловой момент:

GU; tk=-^y>F'+WF +1)Х

F'F

(4.7.21)(4.7.21)(J F' IV Г (Ер' ^н) ^ "I^ t F 7 К J C°S L Гг J

(4.7.21)

(4.7.21)

Наконец, рассмотрим случай, когда должны быть учтены как тонкие, так и сверхтонкие взаимодействия. Поскольку сверхтонкое взаимодействие намного слабее топкого взаимодействия, угловой момент электронов J остается хорошим квантовым числом и соответствующие коэффициенты можно вычислить аналогичным образом. В результате получаем

CMg-jBnnyeT+o X (2/+l)(2/'+D(2F+l)(2F'+DX

J'JF'F

I (Ev - Ei) t (Y1 + Y1z) t "h2

(4.7.22)

При выводе выражения (4.7.22) снова предполагалось, что Si и I не меняются в процессе возбуждения и распада. Энергии Е\ п постоянные распада уч относятся к состояниям с угловыми моментами 5 и F.

Если тонкое в сверхтонкое расщепление сравнимы, требуются более сложные вычисления, так как I в этом случае не является подходящим квантовым числом. Более подробно такой случай рассмотрен, например, в работе Фано и Масека (Fano, Macek, 1973).

Явный пример

Поясним теперь на конкретном примере физический смысл коэффициентов возмущения (4.7.17), следуя Фано и Масеку (Fano, Macek, 1973). Рассмотрим случай, когда L = 1, Si = = 1/2 п 7=1/2, 3/2, и обсудим временную эволюцию вектора ориентации:

<№ 0^ = С<Ц ПМЦ^).<№ 0^ = С<Ц ПМЦ^).(4.7.23)(4.7.23)

<№ 0^ = С<Ц ПМЦ^).

<№ 0^ = С<Ц ПМЦ^).

(4.7.23)

(4.7.23)

Необходимые 6/-символы имеют следующие численные значения:

5^

6 • 2Vz *

Подстановка их в (4.7.17) дает

G Щ 0, = 7/9 + (2/9) cos [(£./г - £,„) t^. (4.7.24)

Выражение (4.7.24) показывает, что в рассматриваемом слу- чае G(L;/)i осциллирует относительно среднего значения G(£), = 7/9 с частотой го = VEX^ — E^jti, которая в полу- классической модели равна просто частоте прецессии векторов Si и L вокруг J. Из (4.7.23) и (4.7.24) видно, что вектор ориентации (Г(£)*$/ периодически меняется во времени. Такое поведение обусловлено связью между угловыми моментами. В процессе возбуждения орбитальные моменты приобретают определенную ориентацию, а спины остаются неполя- ризованными. Из-за спин-орбитальной связи, которая, как мы предполагаем, мгновенно включается сразу после возбуждения, существует передача ориентации между системами орбитальных моментов и спинов. Спины становятся ориентированными, и происходит потеря ориентации орбитальных состояний. В течение каждого периода величина (Т Ц-У^ уменьшается, достигает минимума (при максимально возможной ориентации спинов), а затем возрастает опять до своего исходного значения, когда спины оказываются снова неориентированными. Такой обмен ориентацией является периодическим и обратимым; это отражает тот факт, что спин-орбитальная связь Н' ~ LS симметрична по L и S. Полученные результаты можно обобщить для любой мультипольной компоненты.

Итак, мультиполи СОСТОЯНИЯ (ТЩ 0^) осциллируют вокруг среднего значения G Щк (Т (ЛУ^у Такое поведение обусловлено тонким спин-орбитальным взаимодействием, которое приводит к периодическому и обратимому обмену поляризацией между двумя системами. Наблюдаемые следствия таких изменений во времени подробно рассмотрены в гл. 5 и 6.

Влияние внешнего магнитного поля

Рассмотрим теперь случай, когда ансамбль атомов (или ядер) возбужден при 7 = 0 в присутствии магнитного поля В. Полный гамильтониан равен Н — Яо + Н', где Н' = — №вЛВ описывает взаимодействие с полем. Собственные состояния гамильтониана Яо выбраны в виде |/А7>. Магнитное поле вызывает расщепление уровней с одним и тем же значением /, но с разными М. Переходы между расщепленными уровнями характеризуются временем перехода Т ~ 1/ДЯ, гдеДЯ—максимальное расщепление уровня с угловым моментом L Будем считать, что время Т велико по сравнению с временем возбуждения. В этом случае влиянием магнитного поля в процессе возбуждения можно пренебречь и считать, что возбужденные атомы находятся в состояниях |7Л4}. Поле возмущает эти состояния сразу после возбуждения; мы рассмотрим изменение во времени исходных мультиполей (Т У)^) под действием оператора временной эволюции

И (/) = exp (- LHtMh.(4.7.25)

Соответствующие коэффициенты возмущения определяются выражением

G (/; <к = tr [Я (/) Т U^Q U ^ Т (J)tj. (4.7.26)

Исходные мультиполи определены относительно координатной системы XYZ, а поле В параллельно направлению 2. Выбрав ось 2 в качестве оси квантования, получаем

Я' = -£ф1в/гВ;(4.7.27)

соответствующие матричные элементы гамильтониана Я имеют вид

(Jm' | Я | Jm) = (В/ - §цвВт) дт/т. (4.7.28)

Преобразуем тензорные операторы в систему хуг с помощью (4.2.13) и вычислим след в (4.7.26), используя состояния |Яп> и учитывая (4.7.25) и (4.7.28). После некоторых манипуляций получим

Gk.i\ <1= 2 (-1№(омМя№^

Q'q'

xtrVu^TUkQ'U^iWhqA^

= 2 (- D" [о (op«)(Q%l [я («ИЛЛ х

Q'q'

X 2 Um' I T VW I J»1') Vm IT VW I JW exp (— ^lQ'^, m'ui

(4.7.29)

где р — угол между осями Z и z, а — азимутальный угол осих в системе XYZ, a ml означает ларморовскую частоту.

Теперь подставим выражение (4.2.9) для матричного элемента неприводимого тензора в системе xyz и выполним суммирование в (4.7.29) по т' и т, используя соотношение ортогональности для З/'-символов. Окончательно получим

G (/; t^qq = bKk X exp (- roLQ'O D (OPa)^ D (OPa)^.(4.7.30)

Q'

Согласно (В.12), множитель ехр(—twiQT) можно интерпретировать как поворот на угол — tod вокруг осп Z.

В простейшем случае, когда направление поля z совпадает с осью Z, имеем р = a — 0, и (4.7.30) сводится к выражению

СЦ, 0Kfe = WQgexp(-i(oLQ0. (4.7.31)

В этом случае поле не может изменить мультиполи, а вызывает просто изменение их фазы во времени:

<7- U; /Vkq) = exp (- №LQl^ (l (Г^.(4.7.32)

Выражения (4.7.30) и (4.7.31) используются в разд. 6.3.

Обозначения, используемые другими авторами

К сожалению, для тензорных операторов и мультиполей состояния применяются различные обозначения. Мы приведем здесь несколько обозначений, используемых в литературе.

Для тензорного оператора T(J'J)KQ применяются следующие обозначения:

^(о/', р/) — Omont, 1977;

T^U', /) —Наррег, 1972;

TKQ — Brink, Satchler, 1962; Lamb, Ter Haar, 1971.

Дьяконов и Перель (1965) используют такую нормировку, что их оператор Tq в наших обозначениях равен

[(2А + 1)/(27 + 1)]’/2(- \^QTUW

Для нашего мультиполя состояния (Т (/'7)^) используются следующие обозначения:

Р^аД р/) —Omont, 1977;

рК0(Д7) — Наррег, 1972;

р (//')kq — Brink,Satchler, 1962; Lamb, Ter Haar, 1971;

(-l/^+QpW^V)-steffen, Alder, 1975.

5

Излучение поляризованных атомов. Квантовые биения

Общая теория I. Описание процессов радиационного распада с помощью матрицы плотности

В настоящей главе мы рассмотрим распад ансамбля возбужденных атомов за счет испускания фотонов. Будем обсуждать следующий случай. Предположим, что ансамбль атомов «мгновенно» возбужден в момент времени / = 0. Как обычно, «мгновенно» означает, что время возбуждения меньше среднего времени жизни возбужденных состояний и любого характерного периода прецессии (см. разд. 3.5 и 4.7.1).

Механизм возбуждения может быть любым, и атомы могут быть возбуждены, например, с помощью электронного удара, за счет поглощения фотонов или при прохождении пучка через фольгу. Наша главная задача — вывести соотношения (5.2.6) и (5.2.7), которые будут использованы в следующих разделах. Читатели, не слишком интересующиеся математическими подробностями доказательств, могут перейти прямо к формулам (5.2.6) и (5.2.7).

Возбужденные атомы можно рассматривать как когерентную или некогерентную суперпозицию состояний |tziZiMi>, где /1 и Mi — квантовые числа углового момента, он означает совокупность всех остальных квантовых чисел, необходимых для описания состояния.

Предполагается, что атомы переходят на нижележащие уровни [агАМз). Далее мы будем считать а, и а2 фиксированными н опустим зависимость векторов состояния от этих квантовых чисел. Для дальнейшего упрощения будем пренебрегать конечным временем жизни конечного состояния.

Если использовать формализм спиральностей, то испущенные фотоны описываются векторами состояния |пы7>, где п есть направление наблюдения. Выведем теперь выражение для поляризационной матрицы плотности испущенных фотонов. На первом этапе вычислений будем использовать п в качестве оси квантования и все квантовые числа момента относить к этой оси. Такой выбор значительно упрощает вторую часть расчета, проводимого в следующем разделе. В конце вычислений мы преобразуем выражения к координатной системе. связанной с процессом возбуждения,

Непосредственно после возбуждения ансамбль возбужденных атомов можно описать матрицей плотности р(0), которая переходит согласно (2.4.15) в матрицу плотности

p(0out = t/(0p(0)^(0+.p(0out = t/(0p(0)^(0+.(5.1.1)(5.1.1)

p(0out = t/(0p(0)^(0+.

p(0out = t/(0p(0)^(0+.

(5.1.1)

(5.1.1)

где оператор U^ описывает временную эволюцию системы за счет взаимодействия с виртуальным полем излучения. (В этом разделе предполагается, что состояния атомов не возмущаются внутренними или внешними полями в период между возбуждением и распадом.) Матрица pOut описывает полный ансамбль атомов и фотонов в момент времени t, т. е. атомы, еще остающиеся в возбужденных состояниях, атомы на низших уровнях и фотоны, испущенные в интервале времени от 0 до t.

Процесс распада (радиационного перехода) можно описать в первом порядке теории возмущений. В этом приближении оператор U^, определенный соотношениями (2.4.35) и (2.4.31), имеет вид

£7(О = 17(Оо 1 -4£7(О = 17(Оо 1 -4

£7(О = 17(Оо 1 -4

£7(О = 17(Оо 1 -4

= (7(Оо= (7(ОоtJ и (x)oVU (т)0 dxОtJ и (x)oVU (т)0 dxО

= (7(Оо

= (7(Оо

t

J и (x)oVU (т)0 dx

О

t

J и (x)oVU (т)0 dx

О

(5.1.2)

где мы использовали (2.4.25). Элементы оператора V, описывающего взаимодействия между атомами и виртуальным полем излучения, будут определены ниже. Поскольку £/(/)о представляет собой оператор свободной эволюции, мы имеем

[7 (Оо I /гМ2<опХ) = ехр [— (//Й) £<7 — »и^ I ЕМ^пК), (5-1 -За)

U (Оо I W = ехр [- (,i№ Evt - у ,7/2] | ЛМ^,(5.1.36)

где учтена конечная ширина уровня начального состояния. Через £i и £2 обозначены энергии состояний с угловыми моментами Jy и /2 соответственно, а 71 — постоянная распада (затухания).

Нас интересуют элементы <опА'|р(7) |юпЛ> приведенной матрицы плотности р(0. которая описывает только поляризационное состояние испущенных фотонов. Нормировку выберем так же, как в (1.2.17); тогда диагональные элементы <о)пл|р(7) |conZ> дают интенсивность фотонов с частотой со И спиральностью К, детектированных в направлении п. Ис-

пользуя (3.2.3), запишем эти матричные элементы в виде (conV | р (/) | мпХ) = X У-М^пХ' | р (/)out I /2М2опХ).(5.1.4)

НМ;

Подстановка выражений (5.1.1) для p(QOut и (5.1.2) для £(/) дает *)

^U^VIMtW ГхМ^ХО^U^VIMtW ГхМ^ХО(<опГ|р(0|опХ) = 5- £ (JJM^nV НМ;

^U^VIMtW ГхМ^Х

О

^U^VIMtW ГхМ^Х

О

W\M\

X ^ Wo VU (т)0 йт 1ЦМ^юпХ^. о

Члены, пропорциональные единичной матрице, не могут давать вклад в переход Jt-> J2^ /ь Используя (5.1.3), получаем

(tonV | р (О | мил) =

=т £ (л,м2сопг । v | /X) (/;м; । ? (о) | jxm,) х мп

№l

X (Л^1 I Г^ | 72М2<0ПХ^X (Л^1 I Г^ | 72М2<0ПХ^XXс?т exp [i (—<х>— ®21 + iyi/2) т]с?т exp [i (—<х>— ®21 + iyi/2) т](5.1.5)(5.1.5)

X (Л^1 I Г^ | 72М2<0ПХ^

X (Л^1 I Г^ | 72М2<0ПХ^

X

X

с?т exp [i (—<х>— ®21 + iyi/2) т]

с?т exp [i (—<х>— ®21 + iyi/2) т]

(5.1.5)

(5.1.5)

где со2|' = (1/й)(Е2 — Ец), «21 = (1/й)(Е2 —Е]), а Ей, Yr и Е„ у1 означают энергии и постоянные распада (затухания) состояний | JiMi) и |71ЛБ) соответственно.

Матричные элементы оператора V в дипольном приближении в нерелятивистском пределе имеют вид (подробности см., например, Берестецкий и др., 1968)

^У2М2юпЛ | V17|М]^ = — Zco21 (2лй/ю)'/2 е (J2M2 ] е*г 17^^, (5.1.6)

где ех — вектор поляризации (1.2.8) (Z = ±l), г — оператор дипольного момента. Интегрирование по времени в

’) В еоответствии с нормировкой (1.2.17) мы должны ввести множитель Йео.

(5.1.5) легко выполняется:

,Зле^со™ 1

(0пГ|р(О|оп^ = -^ £</2М2|е*,гр;м;)Х

/ 2^2

х <« | Р (0) | J.M,) (J.M, | (e-r)t IJM^ X

/ exp [/ (to + co21, + iNy^ f] ~ 1 А f ^^iJ^J^y^^

\ t (to + to21, + zyr/2) J i (to + co21 + i^^) ■

(5.1.7)

Для получения численного множителя, стоящего перед всем выражением в правой части, мы положили ю21 ~ ®2Г> поскольку расщепление верхних уровней намного меньше разности энергий верхних и нижних состояний. Наконец, умножим обе стороны (5.1.7) на плотность конечных состояний u?d^dto/(2nc)3h и проинтегрируем по форме линии. Так как основной вклад вносит область го » согь интеграл по и можно распространить до —оо, что дает пренебрежимо малую ошибку, и затем выполнить интегрирование в комплексной «-плоскости, используя интегральную формулу Коши. Тогда имеем

р (n, t\,K=с (<о) X </2м2 | е*,г । /;м;> </;м; | Р (О) 17,м,) х /|М'/[М1

х <А м, | №у I № ^№^^^,

\ 1 И \ л / I 2 2/, ^v — E^jh + (у, + yf)/2

(5.1.8)

гдеС (го) = е2®4 d&[2n,c3h(5.1.9)

и dQ — элемент телесного угла, в который испускаются фотоны. В (5.1.8) для элементов полученной матрицы плотности введено обозначение p(n, t\-K. Векторы поляризации ех и е,- можно исключить из выражения (5.1.8), если учесть, что в формализме спиральностей координатный базис состоит из трех единичных векторов е+ь е_ь п, и вектор диполя г можно разложить по этому базису:

r = r*+1e+1 + < е^ + ^п,

где г+1, го — компоненты вертора г соответственно вдоль направлений е+1. я. Следовательно, r+i, го являются сферическими компонентами вектора г. В таких координатах скалярное произведение г и е^ запишется следующим образом: е\'т = Ч = -г_к.(5-1.10)

Это приводит к следующему окончательному выражению для элементов поляризационной матрицы плотности фотонов, наблюдаемых в направлении п:

р(пЛ,=Ф) £ Q#^.vxy><

х </ж । р (о) । z^i]) qa । a I W >

(5.1.11)(5.1.11)1 - exp [ _ / (E,, - E,) ЦП - (у,- + V,) //2] X 1(Е1,-Е1)/Й + (Т1+У1')/2

(5.1.11)

(5.1.11)

Общая теория IL Разделение динамических и геометрических факторов

Чтобы разделить динамические и геометрические факторы в выражении (5.1.11) и явно учесть закон сохранения углового момента, можно применить метод неприводимых тензорных операторов. Прежде всего разложим р(0) по мультиполям состояний, которые характеризуют возбужденные атомы непосредственно после возбуждения и определены в системе с осью квантования, направленой по п:

р(0)= £ pwoy т (/;/,) .(5.2.1)

Kq!x!x

Подстановка (5.2.1) в (5.1.1 в) дает

„(п.^-СМ 2 tr[r_1.7(z;/,)(!/t1.]<7(Zp])yX

Kql\lx

V 1 ~ехР \-l<Ev-Exyih-^xA-^vyiA

Xz(£i,_£i)/ft + (Yi, + Yi)/2•

где след выражается суммой:

tr ^т (/;/,) rt,] =х QAI r_x, 1 j;m;> x

LMJ J M MXMX

x (W IT y'AKq 1 j^m^ (jxmx । a | W- (5-2-3)

Чтобы выполнить суммирование в (5.2.3), мы применим сначала теорему Вигнера — Эккарта (4.2.27), которая позволяет разделить динамические факторы (приведенные матричные элементы) и геометрические элементы (3/-символы), а потом, используя соотношение (В.9) (приложение В), выразим сумму

по MfMiMo через 6/-символ. Подставляя элементы тензорных операторов (4.2.9), получаем

1г [г .х-г W,)fi/t к] - 5 № М J9 № М лу <-1 )'•х

V/11 К\ ( 1 1

xw+o*^ х,){,, „ J (5'2Л>

В то время как мультиполи (Т (/i/i)^) определены по отношению к осп квантования п, информация о возбужденных состояниях обычно задается с помощью тензоров Q UxlxV^, определенных в системе координат XYZ, которая больше подходит для описания процесса возбуждения (как, например, «система столкновения», введенная в разд. 3.5). Поэтому в качестве последнего шага нашего расчета преобразуем тензоры от формализма спиральности к системе XYZ. Если 6 и Ф — полярные углы вектора п в системе XYZ (см., например, рис. 4.1, где ось 2 может теперь совпадать с направлением п), то, согласно (4.3.13), имеем соотношение

WJx^ = I <7 (/(/.у D (Обф)^'(5.2.5а)

и обратное ему

(т №У = £ <7 (WOy D (Обу)^.(5.2.5)

Подстановка (5.2.4) и (5.2.5) в (5.2.2) даст окончательный результат

► р(п, Ох^ = С(со)£ </2|1г||/()а2||г||Л)’(-1/'+л+хХ

3\ix4KQq

„ / 1 1 к \ ( 1 1 К) (KW + х x(2k + d‘(_v х Л71,, Jcw^w.^x

Л /(^-E^ + tYr + YD^ ’ 1}

где q = 2/— к Заметим, что спиральность инвариантна относительно поворотов, так что значения V и К одинаковы в обеих координатных системах.

Выражение (5.2.6) даст поляризационную матрицу плотности фотонов, наблюдаемых в направлении п, испущенных за интервал времени (0, /). Можно также определить состояние фотонов, которые испущены в момент времени / (т. с. за короткий интервал от t до t-\-dty Соответствующая матрица плотности получается дифференцированием матрицы (5.2.6)

по времени. Обозначив производную матрицы плотности через p(n, /)vx, найдем

► р(п, О^ = С(со) £ </2IIГII Л></2пг ||/i)*(-l/'+A+XX //^сД^

v / 1 1 /<\ Г 1 1 К) аю

Х(2К+1)-(_х,y-yJOW^’X

X exp [^il£ri>L _ ИЦ21И ] (t (Щ,)^). (5.2.7)

Далее элементы матрицы плотности можно выразить через параметры Стокса с помощью (1.2.24). Это выражение и выражение (1.2.29) позволяют получить полную информацию о поведении излучения в поляризационных экспериментах.

Обсуждение общих формул

Общая структура уравнений

На выражениях (5.2.6) и (5.2.7) основано рассмотрение, проводимое в остальной части этой главы и следующей главе. Поэтому полезно подробно обсудить смысл упомянутых выражений. Здесь мы сосредоточим внимание на выражении (5.2.7), а обсуждение выражения (5.2.6) отложим до разд. 5.5, хотя многие из последующих замечаний относятся к обеим формулам.

Выражение (5.2.7) определяет поляризационную матрицу плотности фотонов, испущенных в момент времени /. Предполагается, что временная эволюция исходных возбужденных состояний атомов в период между их возбуждением и распадом возмущается только процессом распада и определяется оператором эволюции

[7 (/)0 = exp [— IH^h - Г//2],(5.3.1)

где |7iMi> — собственные функции гамильтониана Н^ и Г — матрица распада:

ехр (- Г//2) | JVMV) = exp (- Y1//2) | JXMX).

Подставляя (5.3.1) в (4.7.6), можно получить выражения для соответствующих коэффициентов возмущения для всех К и Q;

с(ЗД-0^

= ехр[— №vlt - (yv + yJ^] b^^jb^^. (5.3.2)

Мультиполи состояния, описывающие возбужденные состояния в момент I, даются выражением

(Т WA- 0^) = ехР [- i(M - (Yr + Y1) //2] (Т ^^Q). (5.3.3) Читая (5.2.7) справа налево и учитывая (5.3.3), получаем Р (°, t\-x = Ь • • 1 (Г Wh, 0^Q) =(5.3.4а)

= [...] exp [- roVxt - (Yr + ViH/2] (T WKQy (5.3.4)

т. e. мультиполи состояния (T (7(7i)^q^ характеризуют состояния атомов сразу после возбуждения и содержат всю информацию о процессе возбуждения. Экспоненциальный множитель описывает временную эволюцию возбужденных состояний между возбуждением и распадом. Остальные множители в выражении (5.2.7), обозначенные квадратными скобками в (5.3.4), связаны с процессом распада в момент времени t.

Теперь рассмотрим более подробно множители в квадратных скобках в выражении (5.3.4). Приведенные матричные элементы содержат всю информацию о динамике процесса распада, а 3/- и 6/-символы представляют собой геометрические множители, зависящие от квантовых чисел углового момента. Угловая зависимость излучения явно определяется элементами матрицы поворотов. Каждый элемент D^ связан с соответствующими мультиполями с теми же К и Q. Таким образом, каждая имеющаяся компонента Q мультиполя ранга К дает характерную угловую зависимость излучения. Следовательно, определяя функциональную зависимость от 6 и <р элементов щ;>л можно получить информацию о мультиполях состояния (Т (7(7i)^Qy Подробнее этот вопрос мы обсудим в гл. 6.

Мультиполи с одинаковыми К и Q, но с различными J' и 71 связаны с одним и тем же элементом матрицы поворотов DqQ и поэтому не могут быть определены по отдельности путем измерений углового распределения и поляризации излучения. Однако эти мультиполи умножаются на различные экспоненциальные множители, и, следовательно, их можно разделить, анализируя временную зависимость рХ'Х. Такой метод использовался, например, в экспериментах, в которых пучок атомов водорода возбуждался при прохождении сквозь фольгу (см., например, Burns, Hancock, 1971).

Важное значение имеют следствия закона сохранения углового момента при радиационном распаде, связанные с на-

личием 3/- и 6/-СНМВОЛОВ в выражениях (5.2.6) и (5.2.7). Заметим, что эти символы обращаются в нуль при К > 2. Последнее обстоятельство обусловлено тем, что наблюдается только дипольное излучение, когда полный угловой момент /, уносимый фотонами, равен единице. В общем случае при регистрации излучения с мультипольностью / вклад в рх\ дают мультиполи состояния ранга К ^ 2/.

Таким образом, хотя все мультиполи состояния ранга К, где К удовлетворяет условиям |7' — 71 |^ К ^ 3\ + h, требуются для полного описания матрицы плотности возбужденных состояний,

► элементы рХ'Х зависят только от тензоров с К = 0, 1, 2, и только они могут быть определены при наблюдении дипольного излучения.

Определение тензоров более высокого ранга с К > 2 требует, например, наблюдения дипольного излучения, испущенного в присутствии внешних полей, которые смешивают тензоры рап- га К ^ 2 с тензорами ранга К > 2 (см., например, разд. 6.3.). Информацию о мультиполях более высокого порядка можно извлечь также из экспериментов по рассеянию электронов на возбужденных лазером атомах. Более подробное описание этого метода дано в обзоре Хертеля и Столла (Hertel, Stoll, 1978).

В частном случае 72 = 0 все атомы переходят в одно и то же конечное состояние, и, согласно (В. 11), имеем

1 1 КЛ J\ Ji О J1 1 КЛ J\ Ji О J(-1)*3(-1)*3^/j Ajl"^/j Ajl"

1 1 КЛ J\ Ji О J

1 1 КЛ J\ Ji О J

(-1)*

3

(-1)*

3

^/j Ajl"

^/j Ajl"

В общем случае 6/-символ меньше ‘/з при 72 ¥= 0. Если значение Ji определено, то все элементы рк ^ и, следовательно, значения параметров Стокса и степень поляризации Р уменьшаются по сравнению со случаем /2 = 0 за счет множителя

1 1 К)

3 3 \ 1г j

Фактически при 72У=0 атомы переходят в состояния с различными значениями М2, которые не могут быть обнаружены в рассматриваемом эксперименте. Как обсуждалось в разд. 3.3, регистрируемый свет всегда является деполяризованным в том смысле, что Р <_ 1. Следовательно, 6/-символ можно интерпретировать как фактор деполяризации, который описывает деполяризацию излучения, вызванную ненаблюдаемостыо конечных состояний атомов.

5.3.2. Проявление когерентности. Квантовые биения

Выражение (5.2.7) показывает, что угловое распределение и поляризация испускаемых фотонов модулированы во времени из-за наличия зависящих от времени множителей с /' ^ 7ь Эти множители определяют временную эволюцию мультиполей (^ (Wi)^Q) согласно (5.5.3). Если состояния с различными 71 возбуждены некогерентно, то матрица плотности р(0) диагональна по Jv. Тогда, согласно результатам разд. 4.3.1, в выражение (5.2.7) дают вклад только мультиполи состояния с 71 = 71, а все члены с 7( ^ 71 обращаются в нуль и квантовые биения отсутствуют. Таким образом, наличие квантовых биений можно рассматривать как проявление когерентного возбуждения состояний с различными Ji (и различной энергией).

Когерентное возбуждение состояний с различными энергиями возможно только в том случае, когда процесс возбуждения удовлетворяет определенным условиям. В случае изотропного возбуждения (разд. 4.5.2) все мультиполи с К =# О обращаются в нуль. Из выражений (5.2.6) и (5.2.7) и свойств матрицы поворотов D^ следует, что фотоны излучаются изотропно и являются неполяризованными. При этом 6/-символы обращаются в нуль, если7{^7|, и квантовые биения отсутствуют. Таким образом, анизотропия возбуждения является необходимым условием для наблюдения любого пульсирующего сигнала. Далее, рассмотрим, например, возбуждение из основного состояния с заданной энергией, обусловленное фотопоглощением. В силу закона сохранения энергии для когерентного возбуждения необходимо, чтобы возбуждающий свет содержал область частот До, достаточно широкую для перекрывания разности энергий возбужденных уровней, равной (l/h)(EX' — Ev) = tov-X (разд. 3.1). Импульсы света с конечной шириной частот Дю можно представить в виде когерентной суперпозиции плоских волн с различными частотами: эта когерентность передается атомам и вызывает квантовые биения (см. разд. 2.3). С другой стороны, можно считать, что когерентность возбуждения обусловлена требованием, чтобы время возбуждения Д/ было много меньше любого времени, характеризующего возбужденные состояния. Время возбуждения и ширина спектра энергий возбуждающих частиц (электронов, фотонов) связаны соотношением неопределенности время — энергия: Д/ ~ 1/До. «Характерное» время возбужденной системы равно Мс ~ l/tom, где «ш = (l//t) фу— Е^) определяет максимальную разность энергий возбужденных состояний. Из требования Д/ «:. Мс снова следует то же условие коге-

рентного возбуждения: неопределенность энергии возбуждающих частиц должна перекрывать разность энергий возбужденных состояний.

Теперь рассмотрим наблюдаемые эффекты к которым приводит когерентность состояний с одним и тем же значением /ь но с разными Мр Если эти состояния можно считать вырожденными, то когерентность не приводит к эффекту квантовых биений. Если магнитные состояния возбуждены некогерентно, то матрица р(0) диагональна по Mj Как показано в разд. 4.5, в этом случае источник аксиально-симметричен относительно оси Z системы координат, в которой описываются столкновения, и все тензоры с Q #= 0 обращаются в нуль. Угловая зависимость элементов р^ тогда определяется элементами матрицы поворотов с Q = 0 («малыми» (/-функциями):

^(овф^—^б)^.

где q = К— X. Следовательно, элементы р^ зависят только от О — полярного угла вектора п — и не зависят от азимутального угла ф. Таким образом, испускаемое излучение аксиально-симметрично относительно оси Z координатной системы, в которой описываются столкновения.

Если состояния с различными /И] (и одним /]) возбуждены когерентно, то мультиполи с Q ^0 будут отличны от нуля, а элементы р^ будут зависеть от азимутального угла <р. Таким образом, когерентность состояний с одним и тем же значением Ji и разными Mi проявляется в изменении характера угловой зависимости испускаемого излучения.

Рассмотрим теперь случай аксиально-симметричного атомного источника, который выстроен, но не ориентирован. Его можно получить, например, при возбуждении атомов электронным ударом без регистрации рассеянных электронов (разд. 4.6.3) и при поглощении атомами неполяризован- ных или линейно-поляризованных фотонов (разд. 4.5.3). Из соотношения

/ 1 1 К\—X' X q/ 1 1 К\—X' X q\ /I 1 КХ

/ 1 1 К

\—X' X q

/ 1 1 К

\—X' X q

/' и \.Х — X — у/

следует, что рц = p-i-i, и, следовательно, Цг = 0. Таким образом, в этом случае интенсивности двух компонент испускаемого излучения с различными значениями спиральности равны, и степень круговой поляризации обращается в нуль.

Наконец, предположим, что геометрия процесса возбуждения характеризуется плоскостью симметрии. Такой случай рассмотрен в разд. 4.6. Для фиксированного значения h элементы р/х зависят от четырех параметров. (не считая монополя): одной компоненты вектора ориентации и трех компонент тензора выстроенности. Такая ситуация возникает при возбуждении пучка, проходящего через фольгу, когда ось фольги наклонена относительно оси падающего пучка.

Возмущенное угловое распределение и поляризация

Общая теория

В настоящем разделе мы рассмотрим случай, когда возбужденные атомы возмущаются внешним или внутренним полем. Теория возмущенного углового распределения была развита в ядерной физике (см., например, Steffen, Alder, 1975). Мы начнем изложение с обсуждения основных принципов теории, а в следующем разделе и в гл. 6 приведем некоторые примеры ее использования.

Далее мы всегда предполагаем, что возмущение слабое и мало влияет на процессы возбуждения и распада, но достаточно сильно изменяет состояния атомов в период между возбуждением и распадом (предполагается, что моменты возбуждения и распада точно определены). В этом случае применима теория, изложенная в разд. 4.7.

Если возмущением можно пренебречь в процессе возбуждения, то возбужденные атомные состояния в момент t = О можно характеризовать мультиполями состояний (Т (ДЛ)™). Последующая временная эволюция мультиполей теперь определяется гамильтонианом Н = 7/о + Н', где //' — возмущение, и оператор эволюции имеет вид U = ехр[— (<//г)/Д— П/2]. Поэтому в выражениях разд. 5.3 нужно заменить Д(/)о на //(/). Возбужденные атомы в момент времени t характеризуются мультиполями состояний

(Пад^-^Дтуу,^ о”. (5.4.1)

согласно общему соотношению (4.7.5), в котором в оператор Д (О теперь включен член (Т UiJi)^, описывающий -радиа-

ционный распад состояний. Подстановка (5.4.1) в (5.3.4а) дает

p(n,/)w = C((») 5 Чг.^/^г^Х

Wi'i

KK'Q'Q

X D (06ф)^ G ЦМЛ, t^ (Т Q'J^. (5.4.2)

Сравнивая с (5.3.4), мы видим, что зависящий от времени экспоненциальный множитель в (5.3.4) заменяется общим коэффициентом возмущения, описывающим эволюцию во времени.

Различные внешние и внутренние поля могут влиять на временную эволюцию. Наблюдая экспериментально, как эти возмущения изменяют угловое распределение и поляризацию излучения, можно извлечь информацию о различных свойствах возбужденных состояний. Теперь проиллюстрируем сказанное несколькими примерами.

Квантовые биения, вызванные «нарушением симметрии»

В разд. 5.1—5.3 предполагалось, что атомные состояния с различными значениями углового момента Jv возбуждаются когерентно в момент t = 0. Когерентность приводит к вре- меинэй модуляции экспоненциального закона распада возбужденных состояний. В случае некогерентного возбуждения квантовые биения отсутствуют.

Этот вывод может оказаться неправильным, если время жизни возбужденных атомов достаточно велико и если возбужденные состояния возмущаются внешним или внутренним полем в период времени между возбуждением и распадом. Такие возмущения приводят к искажению возбужденных состояний и изменению во времени параметров ориентации и выстроенности и, следовательно, к временной модуляции углового распределения и поляризации испускаемого излучения, даже если когерентность между начальными возбужденными состояниями отсутствует. В этом случае квантовые биения обусловливаются возмущением, следующим. за возбуждением.

Четкое изложение основных принципов можно найти в литературе (см. Series Dodd, 1978; Andra, 1974). В основе метода лежит мгновенное изменение гамильтониана, описывающего возбужденные состояния. Если при / < 0 атомы находятся в собственных состояниях |ф0) гамильтониана Но и в

момент f = О гамильтониан мгновенно изменяется от Но до Н, то при t > 0 эволюция определяется гамильтонианом Н. Любое собственное состояние |ф0> переходит в когерентную суперпозицию собственных состояний гамильтониана Н, и эта когерентность вызывает квантовые биения.

Указанный общий принцип применим, например, в ситуациях, когда пучок свободных атомов попадает в область, где внезапно возникает внешнее поле. Другим примером может служить случай, описанный в разд. 3.5 и 4.6. Атомный ансамбль «мгновенно» возбуждается при / = О в состояния |LAfSiAfsi> гамильтониана Но, не учитывающего никаких связей со спинами. Последующая эволюция при / > О определяется полным гамильтонианом Н свободных атомов с включением спин-орбитальных взаимодействий, приводящих к тонкой (и, возможно, сверхтонкой) структуре. Подобная ситуация имеет место, когда пучок возбуждается при прохождении сквозь фольгу. Здесь предполагается, что в течение короткого времени, когда атомы проходят через фольгу, они возбуждаются в состояния |LAfSiAfSi>, в которых спины не связаны. После выхода из фольги эволюция состояния атомов определяется полным гамильтонианом, и следует учитывать явные члены, содержащие спин-орбитальные связи.

В качестве примера рассмотрим случай, когда атомный ансамбль с невзаимодействующими спинами «мгновенно» возбуждается при t = 0 и эволюционирует при / > О под влиянием спин-ор’битального взаимодействия, приводящего к тонкой структуре.

Получим элементы р (п, f)^ матрицы плотности фотонов, испущенных в момент t, подставляя соответствующие коэффициенты возмущения в (5.4.2). Коэффициент возмущения для взаимодействия, обусловливающего тонкую структуру, определяется формулой (4.7.17). Учитывая радиационный распад, подставим

U (О = ехр (— iHtlh — Г//2)

и получим, что коэффициент возмущения равен G(L, ОкХ X ехр(—у/), где G^L, f)K определяется согласно (4.7.17). При этом мы предполагали, что все состояния тонкой структуры, на которые расщепляется состояние (LSi), имеют одну и ту же постоянную распада у. Тогда из (5.4.2) получим

p(n, П^ = СН X tr[r_xT(L)K9rljD(0e<p)^G(L, 1)/Х

Хехр(-у/)(Т(£)^). (5.4.3а)

Интенсивность излучения /(п,/), испущенного в момент t в направлении п, определяется выражением

/(п, /) = р (п, 011 + р(п, 0-1-1 =

= С(®) Z |(L2||r||L)|2(-l)L+L2C(/<)X

UKQ

XlLLL2J2St + l Х

х| £ (2J( + 1) (2/, + О | л L к J cos cDK1f <7- kL^

(5.4.36) где через С (А) обозначены численные множители:

С (0) = — 2 (4л/3)‘/2, С(1) = 0, С(2) = —(8л/15)'\ (5.4.4)

Выражение (5.4.3) показывает, что можно непосредственно измерить величину расщепления тонкой структуры, наблюдая интенсивность испускаемого излучения как функцию времени (см. разд. 2.3).

При К — 0 в выражении (5.4.36) 6/-символы в квадратных скобках сводятся к

{

L /{ Si 1/i\Si+r.+/i

, Г А 7 = —(5.4.5)

/] L 0 J [(2L + 1) (2/j + !)]*/= ЛЛ’

и все интерференционные члены с /( #= А обращаются в нуль. Таким образом, для наблюдения квантовых биений, обусловленных тонкой структурой, необходима ориентация и (или) выстроенность атомного источника.

Так как взаимодействие, обусловливающее тонкую структуру, изотропно, оно, согласно (4.7.18), не связывает мультиполи с различными К и Q. Таким образом, начальная симметрия сохраняется при всех / > 0. Если, например, начальные возбужденные состояния аксиально-симметричны относительно некоторой оси, то излучение также симметрично относительно этой оси независимо от возмущения.

Аналогичные результаты справедливы для взаимодействия, вызывающего сверхтонкую структуру. Совместный эффект тонкого и сверхтонкого взаимодействий можно учесть, если в (5.4.3а) подставить соответствующие коэффициенты возмущения G(Lit)K (4.7.22).

В нашем изложении были по отдельности рассмотрены эффект когерентного возбуждения невырожденных состояний (разд. 5.1—5.3) и эффекты, вызванные взаимодействием,

обусловливающим тонкую структуру. Вообще говоря, оба эффекта перекрываются и квантовые биения накладываются друг на друга. Такие случаи были проанализированы экспериментально (Burns, Hancock, 1971) [см. также обзор Ма- сека и Бернса (Macek, Burns, 1976) и приведенную там литературу].

Итак, мы убедились, что для наблюдения квантовых биений требуется-. 1) хорошо определенное время возбуждения (импульсное возбуждение с длительностью импульсов, меньшей любого характерного атомного времени) и 2) регистрация испускаемого излучения во времени с временным разрешением tR^. 1/сощ]. Из-за отсутствия приборов с достаточным временным разрешением применение экспериментов с квантовыми биениями первоначально ограничивалось изучением эффекта Зеемана, когда с помощью магнитного поля создавалось расщепление уровней, составляющее несколько мегагерц. Широкое исследование квантовых биений стало возможным только после появления лазеров с наносекундной длительностью импульсов и особенно с развитием техники возбуждения пучка при прохождении через фольгу, где времена возбуждения имеют порядок 10-14 с.

Подробности экспериментов, результаты и дополнительное обсуждение можно найти в недавно опубликованных книгах и обзорах. Мы особенно рекомендуем книгу Корни (Согпеу, 1977) и отдельные главы обзора Ханле и Клейнпоппена (Hanle, Kleinpoppen, 1978, 1979).

Временное интегрирование по квантовым биениям

Стационарное возбуждение

Вернемся к выражению (5.2.6). Оно описывает, например, следующую ситуацию. Ансамбль атомов возбужден в момент времени / = 0, и излучение, испускаемое при последующих распадах, наблюдается в направлении п. Детектор фотонов может иметь такое временное разрешение tR, что учитывает все фотоны, излученные в течение интервала времени (0, tR). Соответствующие элементы матрицы плотности определяются выражением (5.2.6) с t^-tR.

Периоды Юр] и среднее время жизни т = у-1 много меньше обычных значений временного разрешения, так что множитель ехр(—^Ir) фактически обращается в нуль. С уче-

том этого (5.2.6) сводится к выражению

P(nU = C(") 2 <z2l|r||/()</2||r||7i)*(-l)'

'VVa

Х^ (2/( + 1)*/г

1 1 К— V К q1 1 К— V К q1 1 КЛ Jx Ja1 1 КЛ Jx JaХС(С 7Х+7<г№)гоХС(С 7Х+7<г№)го(5-5.1)(5-5.1)KQq

1 1 К

— V К q

1 1 К

— V К q

1 1 К

Л Jx Ja

1 1 К

Л Jx Ja

ХС(С 7Х+7<г№)го

ХС(С 7Х+7<г№)го

(5-5.1)

(5-5.1)

где мы положили у, = у для всех i и где через р(п)л-л обозначены проинтегрированные по времени элементы матрицы плотности для Ir 5> т.

Выражение (5.5.1) применимо, в частности, к стационарному возбуждению (начинающемуся в момент / = 0), например, с помощью волновых пакетов света, испускаемых резонансной лампой, или потока электронов. В этой и следующей главах мы будем использовать импульсное приближение, т. е. будем аппроксимировать падающий поток последовательностью случайных импульсов, испускаемых в случайные моменты времени. Это вызывает флуктуации, которые должны быть сглажены. Обсуждение затронутого вопроса можно найти в литературе (см. Series, Dodd, 1978), см. также гл. 7.

1ак как в случае стационарного возбуждения время наблюдения испускаемого фотона не определено относительно момента возбуждения, необходимо провести интегрирование по всем возможным значениям времени наблюдения; в результате мы получаем выражение (5.5.1). Полная матрица плотности равна Мр(п)Л'х, где N— число импульсов в секунду.

Важно уяснить, что пропорциональные (ТУУ^Л члены> характеризующие когерентность начальных состояний с различными /ь обращаются в нуль, если уровни не перекрываются, т. е. если о^, много больше ширины линий: ю,^ >> у. В этом случае

I №vx + Т) К Vv (5.5.2)

и основной вклад в рх-л дают некогерентные члены с Г\=1Х. С другой стороны, если среднее время жизни т много больше времени юр}, то в течение времени жизни атома происходит много осцилляций, которые практически взаимно сокращаются во всех зависящих от времени выражениях. В этом случае начальная, когерентность атомных состояний с различными энергиями не приводит к наблюдаемому эффекту.

Наши результаты можно резюмировать следующим образом. Если когерентно возбужден ряд состояний |/iMi>

6 Зак. 648

с различными значениями Jy и различными энергиями (это, согласно разд. 5.4, требует достаточно малого времени возбуждения), то когерентность приводит к квантовым биениям (ср., например, рис. 2.1 с рис. 3.1, см. обсуждение в разд. 3.4.2). Соответствующие интерференционные члены можно непосредственно наблюдать в экспериментах с достаточно высоким временным разрешением и хорошо определенным моментом возбуждения. Однако, когда наблюдаются величины, проинтегрированные по времени (что всегда имеет место при стационарном возбуждении'), когерентность состояний с различными энергиями сохраняется, только если разность энергий возбужденных состояний мала по сравнению с их шириной. Если же расстояние между уровнями велико, то когерентность пропадает.

Эффекты деполяризации, вызванные тонкой и сверхтонкой структурой

Рассмотрим теперь случай, когда предположения, сделанные в разд. 5.4.2, применимы, но временное разрешение детектора недостаточно для наблюдения квантовых биений. Выражение (5.4.3а) необходимо теперь проинтегрировать по времени от 0 до tR. Полагая, что tR много больше среднего времени жизни возбужденных состояний, мы можем устремить верхний предел интегрирования к бесконечности, допуская при этом пренебрежимо малую ошибку. Интеграл от коэффициентов возмущения С(Ь,1)кехр(—^1) равен

G (Мк = $ dtG ^’ ^к ехР (— yO =

О

VГ L J[ Si 1 2 v

= 2ST+“1 Z (2/1 + ^^ + ^ { Д £ /( J V + ии ’ ^'5'3^

Проинтегрированные по времени элементы матрицы плотности, следовательно, имеют вид

р (п)^ = С (о,) £ tr [г_х,7 (£)№ rt,] D (n)«Q G (L)K (T (L)^

(5.5.4)

Для синглет-синглетных переходов G(L)k = 1/т- Для St ^ О можно показать, используя свойства 6/-символов, что G(L)k <_ 1/у при /(=^= 0. В силу этого соотношения величина G (L)K(T (L)^) меньше, чем (1 /у) (Т (L)^ в синглетном случае: связь орбитальных моментов с неполяризованными спи-

нами приводит к потере ориентации и еыстроенности. Кроме того, при L2V=0 существует еще эффект деполяризации (см. обсуждение в разд. 5,3.1).

Аналогичным образом, подставляя соответствующие коэффициенты возмущения (4.7.21) или (4.7.22) вместо G(L,/)к в выражение (5.4.3а), можно учесть влияние сверхтонкой структуры на испускаемое излучение.

Поучительно рассмотреть предельные случаи, когда ширина линий либо много больше, либо много меньше расщепления тонкой структуры мм. В первом случае имеем

(5.5.5)(5.5.5)V + «и Y

(5.5.5)

(5.5.5)

во всех членах выражений для параметров Стокса. Из (5.5.3) и условия ортогональности для 6/-символов (В. 10) получаем

11(LJfSiV

гАОк = у 23^+7 Z ^ + » (/, L К J <У' + ° =

V <2S, + 1) (21 + 1) E ^ + **

для всех значений К. Суммирование дает

(5.5.6)(5.5.6)G^K = \h,

(5.5.6)

(5.5.6)

т. е. то же самое значение, что и в бесспиновом случае.

Полученный результат легко понять, так как в рассматриваемом случае среднее время жизни возбужденных состояний т ~ у-1 мало по сравнению с временем прецессии to"*, обусловленной спин-орбитальной связью. Иными словами, атом испускает фотон прежде, чем может установиться прецессия. Поэтому взаимодействием, приводящим к тонкой структуре, можно пренебречь, и выражения для параметров Стокса имеют такой же вид, как и в случае бессппновых атомов.

Теперь рассмотрим случай у ^ юи> т. е. т » Гор}; тогда

(5.5.7)(5.5.7)= 1/у при Л = Ji,

(5.5.7)

(5.5.7)

” VY ■ "2 < — при /1 =# Ju ®И V

Таким образом, как указывалось в разд. 5.5.1, основной вклад в параметры Стокса дают члены с Jf=Ji, а интерференци-

онными членами с /[ ^ 71 можно пренебречь. Из (5.5.3) и (5.5.7) следует, что в таком случае

1(L J. S, V

►°(л>«=Тед+т£<2А+ ')“{, L К Г <5'6'8)

Так как G(L)y<-< 1/у при К =# 0, анизотропия и поляризация испускаемого излучения уменьшаются.

Чтобы понять этот результат, вспомним, что в рассматриваемом случае на время жизни атома приходится много периодов прецессии. Поскольку мы интересуемся величинами, усредненными по интервалу времени (0,/^), где tR "> т, все интерференционные члены практически компенсируют друг Друга и сохраняются только не зависящие от времени члены с 7i = 7i (см. обсуждение в разделе 4.7.3).

Подведем итоги нашему рассмотрению. Если расщепление тонкой структуры сравнимо с шириной линий, нужно использовать выражение (5.5.3). Если ширина линии много больше расстояния между уровнями тщ, то эффектами тонкой структуры можно пренебречь. Если Ev — Е. > hv > Е, — Е, „ ,

■'ll 'ii

эффекты тонкой структуры следует учитывать, а сверхтонкой структурой можно пренебречь. Соответствующие множители С^к определяются выражением (5.5.8). Если ширина линии у мала по сравнению со сверхтонким расщеплением (^zifi ~ ^i^i)’ Т° не°бх°ДИМ0 учитывать взаимодействие, приводящее к сверхтонкой структуре. Соответствующие выражения для параметров Стокса получаются просто подстановкой коэффициентов возмущения (4.7.22) вместо G (L,t)K во все вышеприведенные формулы.

6

Некоторые приложения

Теория электрон-фотонных угловых корреляций в атомной физике

Синглет-синглетные переходы

Основные выражения (5.2.6), (5.2.7) и (5.4.2) можно применить к разнообразным экспериментальным ситуациям. В этой главе мы приведем несколько поучительных примеров их использования. В качестве первого примера покажем, как путем определения параметров Стокса можно извлечь информацию о процессе возбуждения. В частности, рассмотрим возбуждение атомов электронным ударом при условиях, описанных в разд. 3.5 и 4.6.

Вся информация о процессе столкновения содержится в приведенной матрице плотности р(0), описывающей состояния возбужденных атомов непосредственно после возбуждения. Для полного ее определения необходимо измерить все независимые компоненты Q, —К ^ Q ^ К, мультиполей состояния ранга К ^ 2L. Если рассеянные электроны не наблюдаются, то отличными от нуля могут быть только компоненты тензоров с Q = 0. Более полную информацию о процессе возбуждения можно получить, когда рассеянные электроны и испускаемые фотоны регистрируются на совпадение. В этом случае наблюдается только свет, испускаемый подансамблем атомов, а именно теми атомами, которые были возбуждены детектированными электронами. Как было показано в разд. 4.6, такой подансамбль характеризуется монополем, одной компонентой вектора ориентации, тремя компонентами тензора вы- строенности и всеми независимыми компонентами тензоров более высокого ранга 2 <. К ^ L. Однако мультиполи ранга К > 2 могут быть получены из наблюдения дипольного излучения только при наличии возмущений, перемешивающих тензоры разных рангов (см. разд. 5.3). Обсуждаемые здесь эксперименты на электрон-фотонные совпадения позволяют определить четыре параметра кроме дифференциального сечения о. Экспериментальное определение этих параметров и сравнение их с теоретическими результатами обеспечивают более чувствительную проверку теоретических предсказаний, чем более традиционные эксперименты, в которых

определяется только а. В данном разделе мы рассмотрим воз

буждение синглетных состояний из основного состояния атома с So = 0 и £0 = 0. Предположим, что наблюдается свет, испускаемый при переходе £->£2 (S2 = 0), и что временное

разрешение tR детектора фотонов много больше среднего времени жизни возбужденных атомов. В отсутствие возмущений поляризационная матрица фотонов, испущенных в течение

интервала времени (0, tR), даетсяинтервала времени (0, tR), даетсяРис. 6.1. Системы координат, используемые при описании экспериментов на совпадения.Рис. 6.1. Системы координат, используемые при описании экспериментов на совпадения.выражением (5.5.1), где л и 71 следует заменить на L.

интервала времени (0, tR), дается

интервала времени (0, tR), дается

Рис. 6.1. Системы координат, используемые при описании экспериментов на совпадения.

Рис. 6.1. Системы координат, используемые при описании экспериментов на совпадения.

Из поляризационной матрицы плотности можно вывести явные выражения для параметров Стокса. Испускаемые фотоны наблюдаются в направлении единичного вектора п, имеющего полярные углы 6 и ф в системе столкновения. Параметры Стокса удобнее всего рассматривать в систе-

ме координат, где направление п совпадает с осью квантования.

Вектор поляризации испускаемого света лежит в плоскости, перпендикулярной направлению распространения п. В этой плоскости выберем два ортогональных единичных вектора ei и е2 (см. разд. 1.2). Вектор ei лежит в плоскости, образован

ной вектором п и осью Z, и указывает направление увеличения 6. Вектор е2 перпендикулярен ei и п и указывает направление увеличения <р. Вектор ei в системе столкновения имеет полярные углы (0 + 90°, <р), а вектор е2 — углы (90°, <р + 90°). Следовательно, ei имеет такой же азимутальный угол, как и вектор п, а е2 лежит в ХУ-плоскости под углом <р к оси У (рис. 6.1). В этой системе координат, связанной с детектором, параметр Стокса т]3 равен степени линейной поляризации в направлении ei, a щ— степени линейной поляризации под углом +45° к еь Параметры Стокса можно вычислить, используя выражения (5.4.3а), (5.2.4) с J( = Zi=£ и (1.2.23), а также явный вид элементов матрицы поворотов. Получаем

у = £^) I (£2 и г и ц ,2 (_1}^^ [^ДД (Г (£)00) -

— ( £ L L j ^ (^22) sin2 6 cos 2<p ~ (^ (^i) sin 20 cos Ф +

+ 6"/2(7(L)^0)(3cos20-1))],(6.1.1a)

/■n3 = -^^-K^llrlli) |2(—1)^^^ ^ ^[(Z^X

X (1 + cos26) cos 2ф + (T (L)^ sin 20 cos ф +

+ (3/2)'/2<£(£)^sin20],(6.1.16)

/9i=-^i</4dirii£)ft-M)L+L2P ? 2}x YL L JL2 /

x [(T (L^ 2 cos 0 sin 2ф + (T (£)2I) 2 sin 0 sin ф], (6.1.1b)

М2 = - -^ I <M IIr IIL) |2 (- 1)L+L= { [ j J X

X 2/(T (£)^ sin 0 sin ф. (6.1.1г)

Здесь мы использовали приближение, введенное в разд. 5.5. Заметим, что тензоры (Т (£)2<3) и i (Т (L),^ действительны (см. разд. 4.6).

Монополь <£(£)оо> можно найти путем измерения дифференциального сечения. Выражения (6.1.1) дают тогда различные возможности для определения мультиполей состояний с К > 0. Например, можно измерить / для трех различных пар углов 0, ф (это дает три уравнения для определения трех независимых компонент тензора выстроенностп), а измерив /ц2 при одном значении углов 0, ф, определить вектор ориентации. Можно поступить и иначе, а именно измерить все четыре параметра Стокса для одного и того же направления 6, ф и, подставив их в (6.1.1), получить четыре уравнения для нахождения параметров ориентации и выстроен- ности. Такими способами можно определить экспериментально параметры возбуждения для различных атомов и сравнить их с теоретическими предсказаниями; дальнейшие подробности см. в обзоре Блума и Клейнпоппена (Blum, Kleinpoppen, 1979).

Вообще говоря, все пять мультиполей, входящие в (6.1.1), независимы. Следовательно, четыре параметра Стокса и дифференциальное сечение а также являются независимыми величинами. В частности, угловое распределение / содержит

информацию об атомном источнике, которая не может быть получена из определения других параметров.

Первый эксперимент такого рода для возбуждения состояний 'Р в гелии выполнили Эмннян и др. (Eminyan et al., 1974). В указанном случае (L = 1) возбужденные атомы полностью характеризуются тремя параметрами (см. разд. 3.5.2). Обсудим этот случай более подробно. Параметры Стокса не являются независимыми, и для полного определения атомной матрицы плотности требуются только три независимых измерения, например величин ст, / и /ц2. Выражая мультипольные параметры через параметры о, X, %, введенные в разд. 3.5.2, получаем из (6.1.1) при £ = 1, £2 = О

/ = £Ie1 I (оIIгII1) I2-у [ ■ ~ - (1 — sin2ecos 2<p + cos26) +

+ Xsin26 + [X(l —- Х)]'/2со8Х81п26со8ф^,(6.1.2a)

/т]2 = + ^ I <01| r || 1) I'2 ^ [£ (1 - X)]'/2 sin x sin 6 sin ф, (6.1.26)

где подставлены значения 6/-символов. Отсюда следует, что в данном случае возможно полное определение амплитуд рассеяния. Поэтому случай L = 1, Si — 0 представляет особый интерес.

Из выражения (6.1.26) следует, что степень круговой поляризации пропорциональна фазе х- Соответственно, измеряя величину /ц2, можно непосредственно определить х- Если фотоны детектируются в направлении оси У (6 = ф = 90°), то степень круговой поляризации получается делением (6.1.26) на (6.1.2а):

г]2 = + 2 [X (1 — Х)]'/2 sin X-(6.1.3)

Выражая амплитуды рассеяния в (4.6.1) через о, X и х с0’ гласно разд. 3.5.2, можно показать с помощью (4.6.5а), что

4i = <Ly).(6.1.4)

Таким образом, t]2 непосредственно характеризует степень ориентации или результирующий момент, переданный атомам в процессе возбуждения.

Когда фотоны детектируются в плоскости рассеяния, Ф — 0 и

(6.1.5)(6.1.5)т]3 = + 1.

(6.1.5)

(6.1.5)

Это можно показать, если записать (6.1.16) для L = 1, U = 0:

/Лз = - ^ КО || г || 1) |2 у {-^ [(-1 - cos2 6) cos 2ф+ sin2 6]—

— Л sin26 — [Л (1 — Л)]'/2 cos % sin 26 cos q}.(6.1.6)

Подставив ф = 0 и разделив на (6.1.2а), получим (6.1.5). Таким образом, фотоны, наблюдаемые в плоскости рассеяния, являются полностью линейно-поляризованными. Вектор электрического поля осциллирует вдоль направления еь

Как указывалось в разд. 3.5.2, возбужденное Ф-состояние представляет собой полностью когерентную суперпозицию состояний с различными М. Отсюда и из условия £2 = 0 следует, что детектируемое излучение испускается в результате перехода между двумя чистыми атомными состояниями. Следовательно, свет обязательно оказывается полностью поляризованным, т. е. Р = 1.

Влияние тонкого и сверхтонкого взаимодействия на испускаемое излучение

Теперь рассмотрим случай, когда электроны возбуждают атомные уровни с орбитальным угловым моментом L и спином Si #= 0, причем рассеянные электроны и испущенные фотоны регистрируются на совпадение. Будем считать, что предположения, обсуждавшиеся в разд. 3.5 и 4.7.2, выполнены.

Непосредственно после возбуждения состояние рассматриваемого подансамбля атомов описывается мультиполями состояния (4.6.1). Затем они возмущаются за счет тонкого (и, возможно, сверхтонкого) взаимодействия, которое в свою очередь оказывает влияние на излучение.

Если наблюдаются только проинтегрированные по времени величины (с верхним пределом интегрирования Ir^tV то элементы матрицы плотности испущенной радиации определяются выражением (5.5.4), в котором мультиполи состояния определяются формулой (4.6.1). Вспоминая, что для бесспн- новых атомов GUV = \/у, параметры Стокса для рассматриваемого случая можно получить, заменив (1/у) (Т (Р)^) в выражениях (6.1.1) на С^Р^^Т^Р^у Так, например,

угловое распределение принимает вид [G(1)o=I/t]:

1 = ДМ I <и II г || С) |= {* у (7 (7й) -

_(-1/-+^0(£)2{^ Vl ^j[(7(Lg2)sin2ecos2<p-

— (7(^)810 26 cos ф + (7Ч£)2о)(3^^(6.1.7)

Чтобы найти выражения для параметров /цз и /тщ следует умножить (6.1.16) и (6.1.1в) на общий множитель yG(L)2, а /ц2 получается умножением (6.1.1г) на yG(£)i.

В этих выражениях потеря ориентации и выстроенности, вызванная взаимодействием с ненаблюдаемой системой спинов, описывается множителями G(L)i и G(L)2. Поскольку G (£) к < 1 /т при К =# О, выражение (6.1.7) показывает, что угловое распределение становится более изотропным, чем в бесспиновом случае (угловое распределение «размазывается» из-за наличия спин-орбитальной связи). Значения других параметров Стокса уменьшаются по сравнению с бес- спиновым случаем пропорционально yG(L)i и yG(L)2 соответственно, что приводит к деполяризации испущенного излучения.

Коэффициенты возмущения G(L)K определяются выражением (5.5.3), если расщепление тонкой структуры ю^ сравнимо с шириной линий, выражением (5.5.8), если расщепленные уровни не перекрываются (у С Ori), и выражением (5.5.6), если у » ющ. В последнем случае тонкое взаимодействие не влияет на испускаемый свет.

Эффект взаимодействия, обусловливающего сверхтонкую структуру, можно рассмотреть способом, который описан в общих чертах в разд. 5.5.2.

Стационарное возбуждение

Поляризация ударного излучения

Формулы, приведенные в разд. 6.1, описывают поляризацию света, детектированного при совпадениях с рассеянными электронами, т. е. поляризацию фотонов, испущенных только выделенной частью ансамбля атомов. Теперь рассмотрим случай, когда рассеянные электроны не регистрируются. Предположим, что детектор фотонов обладает достаточным разрешением и может выделить фотоны, испускаемые при переходе между уровнями с фиксированными квантовыми чис-

ламп LS\~* L2S2. Однако, поскольку электроны не регистрируются, следует учитывать все фотоны, испущенные при этом переходе, независимо от направления вылета рассеянных электронов.

Если мы рассматриваем возбуждение стационарным потоком падающих электронов, то момент испускания фотонов не определен относительно момента возбуждения. Поэтому следует использовать усредненную по времени форму поляризационной матрицы плотности.

Когда рассеянные электроны не регистрируются, рассматриваемая атомная система, согласно разд. 4.6.3, является выстроенной, но неориентированной. Поэтому детектируемое излучение характеризуется только двумя параметрами: монополем <7(Е)оо>, который пропорционален полному сечению Q, и параметром выстроенности (Т (L).^, который определяется соотношением (4.6.11). Соответствующие параметры Стокса легко получить, подставляя нули вместо всех мультиполей, кроме (T^L^ и ^(Е)^, в выражение (6.1.7) и выражения для остальных параметров. Степень круговой поляризации и параметр тц обращаются в нуль, а ненулевые параметры Стокса определяются выражениями

Z (п) = С (со) | (Ц |1 г И L) |2 —(Т (L)oo> Г1 -

C^iadlrllZ.)^-!)^2^ ^ ^]б(Е)2(1/б’/2)Х

X(7’W20)(3cos26-1), (6.2.1а) ( 1 1 2 )

/Г|з(п) = С(<0)| <Z,2||rI]ZL> ]2(—l^+^l L |х

X G (L2) (3/2)'a (T (L)2+o) sin2 6. (6.2.16)

Монополь можно определить, измеряя полное сечение. Чтобы экспериментально определить (Т (L)^, можно измерить либо угловое распределение I, либо параметр /т]3. Обычно определяется комбинация этих параметров. Испускаемое излучение регистрируется под прямым углом к оси падающего пучка. Примем направление падающего пучка за ось Z, а направление наблюдения за ось X нашей системы координат. Тогда единичные векторы ei и е2, определяющие введенную в разд. 6.1 систему координат детектора, параллельны соответственно —Z и У.

Излучение, регистрируемое в направлении X, проходит через призму Николя, ось пропускания которой составляет угол Р с направлением падающего потока (т. е. угол 180° — р с осью ei). Прошедший через призму свет линейно-поляризо- ван, причем вектор поляризации е дается выражением (1.2.5) с заменой р на 180° —р (ср. рис. 6.2 с рис. 1.4):

(6.2.2)(6.2.2)е = — е, cos Р — е2 sin р.

(6.2.2)

(6.2.2)

Интенсивность пропущенного через призму света описывается выражением (1.2.29) с щ = т)2 = 0:

(6.2.3)(6.2.3)/е = (1/2) [/(Х) + Лъ(АЭсо8 2р],

(6.2.3)

(6.2.3)

где параметры /(X) и Л]з(Х) определяются соответственно выражениями (6.2.1а) и (6.2.16) при 6 = 90°, ср = 0°.

Обычно экспериментально измеряют поляризацию

► Р = Та^' (6’2Л) здесь /ц и /± обозначают интенсивности света, пропущенного через призму Николя,

Рис. 6.2. См. объяснение в тексте. когда ось пропускания параллельна (р = 0°) и перпендикулярна (Р = 90°) оси Z. Используя (6.2.3), получаем

Р = ^^- = т]з№.(6-2.5)

Поскольку щ = т)2 — 0, абсолютная величина параметра (6.2.4) равна степени поляризации Р = (iff + т^ + v^2, введенной в разд. 1.2. Подставляя в (6.2.1) значения 6 = 90°, ср = 0, т. е. рассматривая случай, когда направление п параллельно оси X, получаем

(6.2.6)(6.2.6)(_1)Г+ш^ | ^ J с (I)2 (3/2)’^ (г (Л)20)T^ETi?«ntw + ^n^O ' ^^ЦЮ

(6.2.6)

(6.2.6)

Таким образом, измерение Р в сочетании с определением полного сечения Q позволяет извлечь из эксперимента параметр

выстроенности.

Для синглет-синглетиых переходов G(<L')K = \/^ и (6.2.6) сводится к выражению

(_1)^Л 1 2 1(3/2)^ (г (£)J0\

Р =—2 , , ГЦ 2 1• (6-2-7)

^^ и (Ц(ю> + (-1)‘«. { J L>} 6-v, <г м)

В качестве примера рассмотрим случаи, когда излучение испускается в переходе xD-*-'P. Параметр выстроенности можно выразить через полные сечения Q(AJ), используя соотношения (4.6.11) и (4.6.9):

(

222 X

м-м «*-

м

= -(2/7),/42Q(2)-Q(l)-Q(0)J.(6.2.8а)

Аналогично из (4.6.10) получаем

(Т (2)00) = (1/5)‘/г [2Q (2) + 2Q (1) + Q (0)].(6.2.86)

Подстановка выражений (6.2.8) и численного значения 6/-символа в (6.2.7) дает

р = 3[-2Q(2) + Q(l) + Q(0)]

6Q (2) + 9Q (1) + 5Q (0)‘

Пороговое и псевдопороговое возбуждение

Как впервые отметили Персиваль и Ситон (Percival, Seaton, 1957), приведенные формулы значительно упрощаются для порогового возбуждения. Так как мы пренебрегаем связью со всеми спинами в процессе столкновения, спиновый и орбитальный моменты сохраняются по отдельности, что, в частности, дает

А4д -(- tii^ = М -р n^Y!

где Мо и m0 (М и mi)—магнитные квантовые числа начальных (конечных) состояний соответственно атомов и электронов. Проекция орбитального момента падающего электрона на направление распространения равна нулю (то = О). После порогового возбуждения падающий электрон имеет нулевую энергию и, следовательно, нулевой орбитальный момент (/7i] = 0). Таким образом, магнитное квантовое число атомов не может измениться при столкновении, и, поскольку предполагается, что атомы возбуждаются из основного состояния с То = 0, при пороговом возбуждении могут возбуждаться только состояния с М = 0.

Итак, при пороговом возбуждении только сечение Q(0) отлично от нуля, и из (4.6.11) и (4.6.10) имеем

(7'(L):0)=5'/2(-l)L(0 о oJQ(O), (6.2.10а)

У (L)oo> = Q (0)/(2£ + 1)'Д.(6-2.1 Об)

Подставляя (6.2.10) в (6.2.6), мы видим, что Q(0) исключается из окончательного выражения для Р. Таким образом, пороговое значение поляризации Р^г есть величина, зависящая только от геоА1етрии процесса возбуждения и не зависящая ни от каких (измеренных или вычисленных') значений сечения;

(6.2.11)

В случае L=\, La = 0, 5,-0 (6.2.11) дает значение Pthr = 1. Это легко понять, если заметить, что непосредственно после возбуждения атомы находятся в чистом состоянии |£,Л4 = 0>. Регистрируемые фотоны испускаются при переходе между двумя чистыми состояниями |£, Л1=0>-> ->|0> и, следовательно, полностью поляризованы. Если Лг^О, то испущенное излучение деполяризуется, поскольку конечные состояния атомов с М2 = ±1, 0 не регистрируются. Соответствующий эффект деполяризации явно описывается 6/-символом в выражении (6.2.11). Если, кроме того, Si =# 0, то наблюдается дополнительная деполяризация за счет взаимодействия с ненаблюдаемой системой спинов. Эта деполяризация описывается множителем G(L)2 в выражении (6.2.11). В общем случае G(L)2 определяется формулой (5.5.3). Если уровни тонкой структуры не перекрываются, то справедливо выражение (5.5.8) и начальная когерентность различных состояний тонкой структуры нарушается. Если необходимо учитывать такое сверхтонкое взаимодействие, то соответствующие коэффициенты возмущения можно определить из (4.7.22). Проведенное обсуждение еще раз показывает важность тонкого и сверхтонкого взаимодействия и влияние ширины уровней; оба названных фактора могут значительно менять поляризацию излучения. Интерпретация этих результатов с помощью векторной модели дана в обзоре Клейнпоппена (Kleinpoppen, 1969).

Большой интерес представляет поляризация импульсного излучения у порога. При попытках прямого измерения поре-

говой поляризации возникают трудности, связанные с измерениями малых интенсивностей, а также с эффектами возникновения каскадов и резонансов в околопороговой области энергий. Как указали Кинг и др. (King et al., 1972), измерение поляризации, выполненное для подсистемы атомов, которые возбуждены рассеянными вперед электронами, воспроизводит пороговые условия в отношении поляризации, а ошибки, вызванные каскадными процессами и резонансами, при этом устраняются. В самом деле, рассеянные вперед электроны имеют нулевую г-компоненту орбитального углового момента как до, так и после рассеяния (то = mi = 0), если направление движения совпадает с осью квантования. В таком случае, если рассматривать возбуждение из основного состояния с L = 0 и пренебречь эффектами спин-орбитальной связи в процессе столкновения, могут возбуждаться только состояния с М = 0. Соответствующие мультиполи (Гоо) и (Гго) определяются выражениями (6.2.10), в которых Q(0) следует заменить дифференциальным сечением о(0), описывающим возбуждение состояний с М = 0 рассеянными вперед электронами. В эксперименте регистрируются на совпадение рассеянные вперед электроны и испущенные фотоны и измеряется величина Р. Сечение о(0) исключается из выражения для Р, и Р определяется по формуле (6.2.11).

Такой метод был недавно применен в атомной и молекулярной физике [см., например, доклад Мак-Конки (McConkey, 1980) и приведенную в нем литературу].

Влияние слабого магнитного поля

Коэффициенты возмущения для различных геометрий. Явления когерентности

В этом разделе мы рассмотрим влияние магнитного поля на испускание света. Поле предполагается слабым, т. е. мы считаем, что среднее значение взаимодействия с магнитным полем много меньше расстояния между исходными рассматриваемыми уровнями в отсутствие поля. При этом можно воспользоваться теорией, развитой в разд. 4.7.4, и пренебречь влиянием поля на процесс возбуждения. Однако при описании временной эволюции возбужденных состояний между моментами возбуждения и распада влияние поля следует учитывать. Если обратиться к векторной модели, то возмущение, обусловленное полем, описывается прецессией векторов углового момента вокруг направления поля Н с ларморовской частотой,

Пусть при / = О возбуждены состояния | JM>. Тогда выражение для поляризационной матрицы плотности испускаемых фотонов получается из (5.4.2). Для рассматриваемого случая оно имеет вид

p(n, <)n-C(«>)i(E.tr[r.1.T(/,)Mrt1]D(O, 6, <>Х

ХО^ ехр(-т/)(Г(/,)*0}. (6.3.1) где 9 = V —X, и след выражения в квадратных скобках определяется формулой (5.2.4). Нужный нам коэффициент возбуждения можно найти, воспользовавшись выражением (4.7.30):

о <£ =Y#D №^q. exp (- ioLQ'0 D (OP V)^, (6.3.2) где P' и a' — полярные углы, определяющие направление поля Н в координатной системе XYZ, связанной с процессом возбуждения. Выведем теперь явные выражения для коэффициентов возмущения для некоторых геометрий, представляющих интерес.

Поле, параллельное оси Z

В этом случае применима формула (4.7.31):

G ^КК = еХР (~ ^О) bQqS(6.3.3)

и (6.3.1) принимает вид

р (п, t\,K = WL tr [г_ХТ (J^ л,^] D (0, 6, ф)^2к Q X

X exp (— itoLQt - у/) (Т (J^q). (6.3.4) Полученное выражение показывает, что угловое распределение и поляризация испущенного излучения осциллируют с частотой, зависящей от напряженности магнитного поля. Квантовые биения возникают, когда Q #= 0, т. е. когда уровни с различными М возбуждены когерентно. Магнитное поле не оказывает никакого влияния, если процесс возбуждения симметричен относительно оси Z (см., например, случай, обсуждавшийся в разд. 4.5.3).

Вектор п параллелен оси X, поле Н параллельно оси У

Теперь рассмотрим, что происходит, когда испущенный свет наблюдается в направлении X, а поле направлено вдоль оси У. В этом случае в выражениях (6.3.1) и (6.3.2) 6 = 90° Ф = 0, (У = а' = 90°.

После ряда алгебраических преобразований получаем £/Ж л/2, <LmX3(C = ^^

(6.3.5) Подстановка (6.3.5) в (6.3.1) дает

Р (X, t\,k = С (о) £ tr [г_х,7 (/^ к,_к г+ х] exp (.inQI^ X

X (-If d ^LtYKUx, q exP(- yO (T U^kq> (6.3.6)

Временная модуляция px,x определяется множителем d VM^k'+K q-

В качестве примера применения соотношения (6.3.5) рассмотрим ансамбль атомов, возбужденных с помощью процесса, аксиально-симметричного относительно оси Z (например, возбуждение пучком неполяризованного света или при прохождении пучка через фольгу, ось которой параллельна оси пучка). Возбужденный ансамбль характеризуется монополем и параметром выстроенности с К = 2, Q = 0. Интенсивность излучения, наблюдаемого в момент / в направлении X, определяется выражением

ЦХ, 0 = № /)п + р(Х, /)_,_,=

= 2C(to)tr (г_/1,)ехр(-У/)(Т(/О^ + Т +

+ С (to) tr [г./(Z.^rt J (1/2) (1 + 3 cos S^t) X

Хехр(-у0<7'(Ш (6.3.7)

где использованы явные выражения для d-функций и тождество

1г Г^ Wk, Щ] = f-»'tr WT (АД-. 'll-

Выражение (6.3.7) показывает, что интенсивность испытывает осцилляции с удвоенной ларморовской частотой. Интересно рассмотреть эффект когерентности, ответственный за эти квантовые биения. Только (Too) и (Та) дают вклад в (6.3.7) в результате некогерентного возбуждения состояний |/iAfi> с различными 7W], где М\ определены относительно оси квантования Z. Интерференционные эффекты между собственными состояниями | JiM'i) гамильтониана

tf = /70-gpBJH,который задает временную эволюцию между моментами воз-буждения п распада, ответственны за квантовые биения

(см. обсуждение в разд. 5.4.2). Если определить М[ по отношению к оси квантования, параллельной Н, то имеем

ехр [— {ilh)Ht} | Ji.Mf) — exp [— (z/Й) (£1 — h^LMf) /] | JiMf).

«Любое состояние |7iMi> можно записать в виде линейной суперпозиции состояний | /iMf):

I .W=E«(MiMi)| JiMi),

где не все возможные значения Alf могут существовать в новой системе. Матрица плотности р, описывающая возбужденные атомы, диагональна по М, но, вообще говоря, не диагональна по М(, если величина <Tio> отлична от нуля (в противном случае матрица р пропорциональна единичной матрице, которая диагональна в любом представлении). Эта когерентность между состояниями вызывает интерференционные эффекты, выражаемые d-функцией в (6.3.7). Приведенный пример еще раз показывает, что процесс возбуждения, некогерентный для одной оси квантования, может быть когерентным для других осей.

В общем случае если магнитное поле не параллельно оси Z, то интерференционные члены возникают, даже если состояния |/iMi> возбуждены некогерентно. Чтобы наблюдать квантовые биения, достаточно получить различную заселенность состояний |JiMi>, т. е. ненулевой параметр выстроен- ности, как показывает выражение (6.3.7).

Выражение (6.3.7) можно использовать для определения параметра выстроенности, а также гиромагнитного отношения [дальнейшие подробности можно найти в обзоре Масека и Бернса (Macek, Burns, 1976)].

Вектор п и поле Н параллельны оси X

Наконец, рассмотрим геометрию, когда направление наблюдения и направление поля параллельны оси X. Можно показать, что в этом случае

2 D (0, л/2, <\. q, G ^ = <Ц- л/2)^_х X

Хехр[—Z«L(V — X)/]. (6.3.8)

Подстановка последнего выражения в (6.3.1) даст

р№ Оп-СИ X Ч'-^М. х._хгЦк] У (— n/2)™x._x X

X exp [- №,. b'-XV- V<1 (Г У,)*д). (6.3.9)

Нужно заметить, что в такой геометрии интерференционные эффекты не зависят от Q (и поэтому не зависят от того, когерентно или некогерентно возбуждены состояния с различными Afi). Квантовые биения зависят от К— А, и только в недиагональных по X элементах поляризационной матрицы плотности будет проявляться временная модуляция. В следующем разделе мы подробно рассмотрим выражение (6.3.9) и его следствия.

6.3.2. Магнитная деполяризация.

Теория эффекта Хайле

В 1920-х годах Ханле (Hanle, 1924) открыл явление деполяризации резонансной флуоресценции атомов под влиянием внешнего магнитного поля. В течение последних 30 лет метод магнитной деполяризации получил дальнейшее развитие и широко применялся для изучения эффекта Зеемана и сверхтонкой структуры основного и возбужденных состояний, а также для определения радиационного времени жизни и скорости атомной релаксации. В настоящем разделе мы выведем формулы, необходимые для описания таких экспериментов.

Рассмотрим атомную систему, возбужденную линейно-поляризованным светом. Удобно определить систему столкновения следующим образом. Ось Z выбирается параллельной вектору поляризации е падающего света, а ось У— параллельной оси падающего пучка. Будем считать, что испускаемый резонансный свет наблюдается в направлении X, а внешнее магнитное поле также параллельно X.

Как показано в разд. 4.5.3, поглощение плоскополяризо- ванного света с вектором е, параллельным Z, обусловливает выстроенность возбужденных атомов, но не создает их ориентации. Следовательно, систему атомов можно полностью описать двумя параметрами, (Т (7i)00) и (Т (/J^). Поляризационная матрица плотности испускаемого излучения для рассматриваемой геометрии дается выражением (6.3.9). Параметры Стокса можно определить с помощью (6.3.9) и (1.2.23), используя систему координат детектора, введенную в разд. 6.2.1 (в нашем случае векторы n, ei и е2 параллельны соответственно осям X, —Z и У). Считая, что момент возбуждения (t = 0) хорошо определен, получаем

(х’ °=7^^tr (г-1Г-1) ехр (~ Y° ^Т (/,)о°) “

- С (о) tr [г,/ (Л)20 Л, ] ехр (- у/) (Т (J^, (6.з. Юа)

'М*> /) = - С (®) tr [г^Г (/,)2_2 г+,] (3/2)'л (cos 2GV) X

Хехр(-у/)(Т’(/1)2+0), (6.3.106)

/^(Х, /) = C(co)tr[rV(A)2_2'++1](^^ X

X exp (-Y/)(T (/,&}, (6.3.10b)

Zi)2(X, Z) = 0.(6.3.10г)

Последнее равенство следует из того, что начальное состояние возбужденных атомов не ориентировано и что магнитное поле не смешивает мультиполи разных рангов [см. (6.3.9)]. Заметим, что / (A', Z) не зависит от поля.

Особый интерес представляют параметры Стокса, проинтегрированные по времени. Интегрируя выражения (6.3.10) по времени от 0 до tR, где tR много больше среднего времени жизни (так что верхний предел можно устремить к бесконечности, допуская при этом пренебрежимо малую ошибку), получаем

/ (X) = [2С И^ (2/, + 1 )vq tr (г _,г+,) (7- (/,)00) -

— [С(со)/у] tr [г ,7 /,)2ог+_,] (Т (/Д), (6.3.11а)

'^W = - 7w (тУ с (ю) tr 1Г-1Г ^Х, Г«1 <г ^

I4YW =I4YW =2<£>lY2 + 4<о^2<£>lY2 + 4<о^(6.3.116)(6.3.116)/з\ч(?) ^Ч'-т^шш/з\ч(?) ^Ч'-т^шш

I4YW =

I4YW =

2<£>l

Y2 + 4<о^

2<£>l

Y2 + 4<о^

(6.3.116)

(6.3.116)

/з\ч

(?) ^Ч'-т^шш

/з\ч

(?) ^Ч'-т^шш

(6.3.11в)

Если излучение, наблюдаемое в направлении X, проходит через линейный поляризатор с осью пропускания, составляющей угол р с осью Z, то вектор поляризации е пропущенного света определяется выражением (6.2.2), которое является частным случаем общей формулы (1.2.4) при 6 = 0. Интенсивность пропущенного через поляризатор света можно получить, подставляя (6.3.11) в (1.2.29) и полагая 6 = 0:

I ^е = I (Х)/2 - (1/2) (3/2)v= tr [r_,T (J,)2 2 r+] (Т (J,)^ X

X ( 2 Л- Т C0S 2Р +— Sin 2^.(6.3.12)

\ Y + 4<olу + 4(0^)

Полезно рассмотреть пример использования соотношения (6.3.12). Пусть падающий линейно-поляризованный свет воз-

буждает атомы из основного состояния ’S в состояние VP. В силу правила дипольного отбора может возбуждаться только состояние с магнитным квантовым числом М = О, и единственный неисчезающий элемент матрицы плотности возбужденного состояния есть <М = О|р|Л4 = 0> = р00. Соотношение (4.3.3) дает

(Тоо> = з"/2Роо, (Ы = - (2/3)Vz Роо. (6.3.13)

Вычисляя следы в выражениях (6.3.11а) и (6.3.12) и описывая последующий переход в основное атомное состояние с помощью (5.2.4), получаем

tr (r-irti) = (1/3)|(0||г|| 1>|2,

tr (г_1Г (l^rti) = (1/3.б'А) I (Oil г II1) I2,

tr (r_iT (3WT) = (1/3) | (О II г II1) I2.(6.3.14)

Подстановка (6.3.13) и (6.3.14) в выражения (6.3.11а) и (6.3.12) даст

/ W = С (to) | (0II г II 1> I2 р00/3,(6.3.15а)

I (XX = (/ ДО) Г1 + 22 cos 2(3 + -2^л- 2- sin 2р 1.

[ Y + 4ы/у + 4а£ J

(6.3.156)

Следует заметить, что форма наблюдаемого сигнала /(Х)е, описываемая выражением (6.3.156), зависит от ориентации поляризатора относительно детектируемого пучка. Говорят, что кривая зависимости /(Х)е от напряженности поля имеет лоренцевскую форму при (3 = 0 и дисперсионную форму при (3 = 45°. На рис. 6.3, а и б показаны соответствующие кривые, описываемые выражением (6.3.156) в этих частных случаях.

Рассмотрим, наконец, поляризацию Р, определенную выражением (6.2.4):

Р=^Г<6-ЗЛ6)

где /ц(/±)—интенсивность света, пропущенного через поляризатор, ось которого параллельна (перпендикулярна) оси Z. Интенсивности /ц и /± можно получить из (1.2.29), полагая Р = 0 и р = 90°. Это дает

Р = Чз-(6.3.17)

Подстановка (6.3.11а) и (6.3.116) в (6.3.17) приводит к следующему результату:

Р = Poy7(y2 + 4ml),

Рис. 6.4. Деполяризация резонансной флуоресценции.

где Ро — поляризация в отсутствие внешнего поля («ц = 0). Множитель

у2/(у2 + 4ю2) <- !

описывает деполяризацию испускаемого при флуоресценции света, вызванную магнитным полем. При медленном изменении поля Н поляризация излучения Р изменяется: от максимального значения при нулевом поле она монотонно падает с ростом напряженности поля (рис. 6.4). В этом и состоит эффект Ханле, или магнитная деполяризация резонансного излучения.

Мы хотели здесь показать, что формулы (6.3.12) и (6.3.15) представляют собой прямые следствия общей теории, изложенной в гл. 4 и 5. Интерпретацию эффекта Ханле с помощью полуклассической модели, экспериментальные результаты и приложения можно найти, например, в обзоре Коэна-Тан- нуджи и Кастлера (Cohen-Tannouidji, Hastier, 1966) и в книге Корни (Согпеу, 1977).

7

Квантовая теория релаксации

Уравнения для матрицы плотности диссипативных квантовых систем

Условия необратимости. Марковские процессы

Рассмотрим незамкнутую систему, находящуюся в постоянном контакте с окружающей средой и обменивающуюся с ней энер- 1 гией, поляризацией и т. д. Если вначале система находится в неравновесном состоянии, то с течением времени — при определенных условиях, которые будут сформулированы ниже,— она перейдет в равновесное состояние, определяемое внешними условиями, в частности температурой. Этот постепенный переход в равновесное состояние называется процессом релаксации. В настоящей главе мы рассмотрим некоторые методы изучения таких процессов.

Явления релаксации представляют собой необратимые процессы. Фундаментальные квантовомеханические уравнения движения — уравнения Шредингера и Лиувилля — описывают . 1 обратимую эволюцию во времени, поэтому основная проб- 1 лема заключается в решении вопроса, каким образом может ] возникнуть необратимость, если микроскопическое поведение I частиц строго обратимо. В последние годы достигнут успех j в решении этого вопроса. Подробное рассмотрение современ- I ной теории выходит за рамки нашей книги, и мы рекомендуем 1 читателям, интересующимся подробностями, обратиться к со- ’ временным учебникам по статистической физике, например к книге Пригожина (Prigogine, 1981).

Начнем с понятий, введенных в разд. 3.2. Рассмотрим систему S, взамодействующую с ненаблюдаемой системой R. , Обозначим матрицу плотности полной системы через p(Z) I и полный гамильтониан через Н = Hs + HR -f- V, где Hs _ и Hr — гамильтонианы систем S и R, а V описывает взаимодействие между S и R. В представлении взаимодействия вре- - менная эволюция р(0 описывается уравнением (2.4.41) или , (2.4.42). Подстановка (2.4.42) в (2.4.41) дает

t

р ^=(- Z/Й) [I/ (0„ р (0)1 - w $ dt' [V (Oj.IV Щь р (/),]], о

(7.1.1) (

где ^U')| — производная по времени от оператора р^ь а р(/)/ и VV)i— операторы в представлении взаимодействия, связанные с их шредингеровским представлением соответственно соотношениями (2.4.37) и (2.4.25), в которых Но следует заменить на Hs + Hr.

Приведенная, или редуцированная, матрица плотности p(/)s, описывающая рассматриваемую систему S, получается из р(0 путем взятия следа по всем переменным ненаблюдаемой системы R согласно выражению (3.2.5). Таким образом, в представлении взаимодействия

Р (Os/= tr^p (/)„(7.1.2)

и из уравнения (7.1.1) получаем p(0s/ = (-W^IKO/, P(O)J-

t

- (z/Й2) J dt'tnjm. (W, Р(П/]].(7.1.3)

о

При записи уравнений (7.1.1) и (7.1.3) предполагалось, что взаимодействие включается в момент времени t = 0. До этого момента S и R некоррелированы, и полная матрица плотности равна прямому произведению (см. приложение А): р(0) = р(0)5р(0)д = р(0)/.(7.1.4)

Связь между двумя системами может приводить к обратимому изменению энергии, поляризации и т. д. Такой пример был рассмотрен в разд. 5.7: связь орбитального углового момента с ненаблюдаемой системой спинов. Чтобы возник необратимый процесс, необходимо наложить на ненаблюдаемую систему дополнительные условия, препятствующие тому, чтобы энергия, первоначально содержащаяся в системе S и перешедшая в ненаблюдаемую систему R, переходила в систему S за любое конечное время.

В этом вопросе мы следуем Фано (Fano, 1957) и делаем первое из двух ключевых предположений. Предполагается, что R имеет так много степеней свободы, что результат взаимодействия с S быстро исчезает и не оказывает сколько-нибудь значительной обратной реакции на S, поэтому система R всегда описывается с помощью теплового равновесного распределения при постоянной температуре независимо от количества энергии и степени поляризации, перешедших в нее из системы S. Другими словами, мы предполагаем, что можно пренебречь реакцией S на R [поэтому система R всегда описывается матрицей плотности р(0) /г] и корреляциями между S и R, вызванными взаимодействием. В таком случае р(0?

можно представить в каждый момент времени в более простом виде:

►Р (О/ -^Р^! = Р (Os/ Р (0)/?,(7.1 .В)

не вводя сколько-нибудь заметной ошибки при вычислении p(Osz- Матрица плотности р(0)й определяется формулой (2.6.1):

рф^-ехр^Н^.(7.1.6)

Соотношение (7.1.5) является основным условием необратимости.

Далее мы будем рассматривать поведение «малой» динамической системы S, связанной с «большой» системой R, имеющей много степеней свободы. Во всей этой главе мы будем называть большую систему «термостатом» или «резервуаром». Например, атомы в газе сталкиваются с другими атомами, и последние могут играть роль теплового резервуара для рассматриваемых атомов. Свет в замкнутой полости взаимодействует со стенками, которые играют роль термостата для света. В экспериментах по магнитному резонансу спиновые переменные взаимодействуют с другими степенями свободы («решеткой») и переменные решетки образуют термостат.

Подстановка в уравнение (7.1.3) приближенной матрицы плотности (7.1.5) дает

Р (Os/ = - № Ьд [V ^b р (0)s р (0)д] - t

~(№ ^d/tr^y^, [^(И/, РЮ5/Р(О)Л]].(7.1.7)

о

Следует заметить, что поправки, не учитываемые в (7.1.5) и (7.1.7), можно рассматривать путем последовательных приближений. Если член взаимодействия V равен нулю, то система и резервуар некоррелированы и р(ф = р(ф. Если взаимодействие V мало (т. е. |У| <С |77s|, I Е| < |//r|), то можно записать

P(O = P(Os/P(O)R+Др,(7.1.8)

где Ар имеет порядок малости V. Подставляя (7.1.8) в (7.1.3) и удерживая члены порядка У2, мы получаем уравнение (7.1.7). Следовательно, (7.1.7) представляет собой уравнение движения для динамической системы с точностью до второго порядка по взаимодействию.

В уравнении (7.1.7) р(У)$/ стоит под интегралом, следовательно, поведение системы зависит от ее предыстории с мо-

мента времени f = 0 до момента f = t. Однако движение системы S демпфируется за счет ее связи с резервуаром; это демпфирование уничтожает информацию о поведении системы в прошлом. Поэтому мы делаем второе ключевое предположение: р(0$/ зависит только от текущего значения p(t)si. Другими словами, предполагается, что система теряет всю память о своем прошлом. Тогда в уравнении (7.1.7) можно сделать замену

► P^si^PWsi- (7.1.9)

Эта замена соответствует марковскому приближению и приводит к уравнению

► Р (Os/ = - V№ VrR [У (0/, P(O)sP (0)Rl -

- (1/Й)2 J dftrR [V (0/, [У (t% P(OsP(O)R]]. (7.1.10) о

В следующем разделе мы рассмотрим марковское приближение более подробно.

Временные корреляционные функции.

Обсуждение марковского приближения

Следующий шаг при анализе приближения (7.1.9) заключается в рассмотрении коэффициентов при p^si. Мы следуем здесь работе Луазелля (Loisell, 1973), в которой можно найти более подробное изложение отдельных вопросов (см. также Sargent, Scully, Lamb, 1974; Haken, 1970).

Предположим, что оператор взаимодействия можно записать в виде

y=ZQ.^,(7.1.11)

где операторы Fi связаны с резервуаром, а операторы Qi действуют только на переменные динамической системы. В представлении взаимодействия

У (0/ = exp [Z (Я5 + Hr) ЦК) У ехр [- Z ф8 + HR) ЦН\=

= ^Fkt\Qkf)i(7.1.12)

гдеF (t)i=exp(iH Rtjft) F^exp^—lHRtlti),(7.1.13а)

Q (f)i = exp {lHst!K) Qt exp (- lHstltt).(7.1.136)

Подставляя выражение (7.1.12) в уравнение (7.1.10), используя коммутативность операторов Fi и Qi и свойство

цикличности следа, получаем

Р (0s/ = - т £ {Q (0/ Р (0)s/ tr^ (F (0, P (0)^) -

-p(O)S/Q(Oztr^(F(O/P(O)fi)}-

- (w X $dt' «о ^ Q ^p ^i - Q ^ip ^ Q (oa x a c

X trp (F ^tF ^ p (0)^) - (Q (Oz P (Os; Q ^j -

- P (Os/ Q ^i Q (Oz) tr« (F (F)y F (Oz P Ш). (7.1.14)

Рассмотрим сначала средние значения

(F ^ = tr^ (F (0, p (0)л) = Z (W | F ^t | N) (N | p (0)^ | N),

(7.1.15)

где след удобно вычисляется с помощью собственных состояний |N> оператора HR, поскольку равновесная матрица плотности (7.1.6) диагональна в этом представлении. Предполагая, что операторы взаимодействия Ft не имеют диагональных элементов в этом представлении (иначе свободный гамильтониан можно было бы переопределить так, чтобы включить в него соответствующие члены), получаем

<F(0z> = 0.(7.1.16)

Это эквивалентно предположению, что среднее значение сдвига частоты, обусловленного взаимодействием, равно нулю. Таким образом, первый член в уравнении (7.1.14) обращается в нуль.

Далее рассмотрим функции

(^ W ^^ = tr, (F (0, F ^j p (0)л). (7.1.17)

Это временные корреляционные функции, т. е. средние значения произведений физических величин, взятых в различные моменты времени. Они характеризуют корреляцию, которая существует в среднем между взаимодействиями в моменты / и F. Как уже говорилось, резервуар предполагается большим и таким, что в нем быстро затухают эффекты взаимодействия, следовательно, резервуар будет быстро «забывать» о взаимодействиях с системой 3. Таким образом, можно ожидать, что функция <F(/)zF(F)/> отлична от нуля в некотором интервале t— F ^ т, где т представляет собой характерное время резервуара и называется корреляционным временем резервуара. Взаимодействия в моменты времени t и F становятся

очень мало коррелированными для / — f > т и некоррелированными для /—V » т, когда с учетом (7.1.16) имеем

(F (/), F (('),) ~ (F Wa (F (t'^ ~ 0.(7.1.18)

Следовательно, корреляционная функция <F ^ iF ^ j> имеет максимум при t = t' и уменьшается с увеличением разности t — V.

Корреляционное время т в среднем определяет время, в течение которого сохраняется некоторая память о взаимодействии. Природа т зависит от природы резервуара. В газах, например, т может определяться средним временем свободного пробега между двумя столкновениями. В экспериментах по магнитному резонансу любые ядра взаимодействуют с магнитным моментом соседних ядер, а в случае жидкостей т определяется средним временем, в течение которого ядра данной пары находятся в непосредственной близости друг от друга, прежде чем разойдутся в результате диффузии.

Наконец, заметим, что корреляционные функции (7.17) стационарны, т. е. зависят только от разности t — t'. Это можно показать, если использовать определение (7.1.13а), свойство цикличности следа и то обстоятельство, что равновесная матрица плотности (7.1.6) коммутирует с гамильтонианом Hr.

р (0i F кЛЬ = trR texP VH r1!^ Pi exP (~ tHRlIP) exp ЦН^/К) X

X Fj exp (— iH Rt'jh^ P (0)R] =

= tr^ {exp VHR V — K)//i] X

X Ft exp [- IHR (/ - ЩП\ FiP Ш =

-(РЦ-П^.(7.1.19)

Теперь мы используем эти результаты и снова рассмотрим марковское приближение. В силу свойства (7.1.18) в интеграл в (7.1.7) дает ненулевой вклад фактически только интервал от t'^ t — т до t'= t. Следовательно, значения p(f)S/ в момент V, лежащий вне этого интервала, влияют мало или совсем не влияют на значение p(0s; в момент времени t. Таким образом, система способна помнить свое состояние только в течение интервала времени, немного превышающего корреляционное время. Обычно интерес представляет макроскопическое поведение системы, а не детальные изменения ее состояния. Если т много меньше характерного времени V? (времени затухания или распада), требующегося для заметного изменения р(0«/ в макроскопическом масштабе,

Kl/v,(7.1.20)

то в подынтегральном выражении в уравнении (7.1.7) pU')si « pWsi и марковское приближение справедливо.

Замена р(О$/ на p(Z)s/ в уравнении (7.1.7) подразумевает, что мы не пытаемся подробно описать движение системы в течение интервалов времени, сравнимых с т. Нас интересует величина

др(0$/ P(< + A0S/-p(0s/, 19П

где сравниваются два значения матрицы плотности системы в моменты времени t и t + М, причем интервал М много больше т, но еще достаточно мал, чтобы изменение p^si было линейным по А/. Если удается найти интервал А/, удовлетворяющий этим условиям, то Ар/А/ можно заменить производной по времени (7.1.10). Необходимо только помнить, что нельзя использовать это уравнение для описания изменений р(0$/ в течение интервалов времени, меньших т. В указанном смысле марковское приближение часто называют «крупнозернистым» усреднением, а производную (7.1.10) — «крупнозернистой» производной.

Уравнение релаксации. Секулярное приближение

Обратимся к дальнейшему рассмотрению уравнения (7.1.14). Применяя соотношение (7.1.19) и вводя переменные t" — t — t', dt" = —dt', преобразуем интеграл ^^ •. • в интеграл \dt" .... Корреляционная функция <F(t"),F/} фак-, тически равна нулю при t" :> т, поэтому верхний предел интегрирования можно устремить к бесконечности, что в марковском приближении дает пренебрежимо малую ошибку. Используя (7.1.16), получаем

Р^81 = -т^\dt"Wfh, QU-ntpWslKmiFh- 11 о

- [Q (Оо р (Os/ Q (/ - ПД {F^ (И.)}.(7.1.22)

Заметим, что вся информация о резервуаре содержится в корреляционных функциях. Беря матричные элементы от опера- * торов Qi по собственным состояниям \пг> гамильтониана ; Hs, можно написать с помощью (7.1.136)

<т | Q (/), | /г) = exp (Zcom„O <m | Q, | п),(7.1.23) :

где<от„ = (Ет — E^jh.

Вводя обозначения

Г^нп = (W X <т Ш ^ <Z | Qj I п) Г dt" exp (- t®lnt") (F kHi F^, Ио

(7.1.24a)

Г^мп = (W £ <m | Q,. | ^) (Z | Qf | n) I dt" exp (- 1®тЬП (Р^"^, aо

(7.1.246) после некоторых алгебраических операций получаем выражение

<т' | р (Z)s/ |m> = £ <n' I р Wsi | n) f - £ ^mn^m-kkn- + r+mmV +

4“ Гnmm'n'^j ^n'm'rnfefcm} exp [Z(®m'nf + tomtit П»

(7.1.25a) которое можно представить в виде

(/?Z | р (Z)s/ | mt) = £ (/Z | p (Z)s/ | /Z) Rm'tnn'n X

X exp [Z <Em- — Em — En. + Enm, (7.1.256) где не зависящие от t параметры Rm'mn-„ равны величинам в фигурных скобках в выражении (7.1.25а).

Зависящая от времени экспонента в (7.1.256) обращается в нуль при условии

Ет' — Ет — ЕП' + Еп = о.(7.1.26)

Уравнение (7.1.25) часто заменяют приближенным уравнением

<m' I Р (Osz I m) = £' {п' | р (Z)s/| /г) Rm'mn-п,(7.1.27)

где штрих у знака суммы означает, что в сумме остаются только секулярные члены, т. е. члены, удовлетворяющие условию (7.1.26). Такое приближение означает, что «крупнозернистая» производная берется по интервалу AZ, большому по сравнению с периодом свободного движения системы,

А/ ^ Mtomn,

так что в течение интервала AZ система совершает много циклов.

Рассмотрим теперь секулярные члены более подробно. Следуя Луазеллю (Loisell, 1973), обратимся к случаю, когда

не существует никакой регулярности в распределении уровней системы. Тогда уравнение (7.1.26) удовлетворяется в одном из следующих случаев: (1) т'=п', т = п, т' ф т;

(2) т' = т, п’ = п, т' ф п'; (3) т' = т = п' — п. В указанных случаях

<m' I Р (Ох/ I m) = К™' I Р (Ох/ I m) Rm'mm'mY +

+ 6m'm Z'^IpMx/I^^ттпп + 6т'т <т' | р (Os/ I WO Rm-tn'm-mS

(7.1.28а)

где штрих у квадратных скобок указывает, что этот член дает вклад только при т' ф т, а штрих у знака суммы указывает, что член с т = п должен быть опущен. Если штрих у квадратных скобок опустить, третий член в (7.1.28а) будет учтен автоматически:

► (^ I Р V^SI \m)—t>m'm 52 (fl |Р (Ох/1^ ^mn Ym'm(m I Р(0х/1^)> п^т.

(7.1.286)

ГДе (прИ Ш 5^= fl) Wтп == ^ntnmn "V ^пттп, (7.1.29а)

Nm'm = 52 кУт'ккт' 4* Гщ/гйт) Гттт'т'Гттт'т'-(7.1.296)

к

В качестве упражнения предоставляем читателям доказать соотношение

(r^„fti)* = rz+ftnm,(7.1.30)

из которого следует, что величины Wmn действительны.

В приближении (7.1.28) недиагональные элементы матрицы плотности подчиняются уравнению

W | р (Os/| /п) = — Ym'm <m' | Р (05/ | т).(7.1.31)

Условие эрмитовости (2.2.5) означает

у , =у* ,.(7.1.32)

Физический смысл параметров Wmn и ymn рассмотрен в следующих разделах. Уравнение (7.1.28) можно преобразовать в представление Шредингера с помощью соотношения

Р (Ох/ = ехр №st№ Р (Ох ехр (— Шstlh\

которое дает

► кт' | р (Os 1 nt) = - (Z/й) <m' | \HS, p (Osl 1 m) +

+ Ьт-т 52 <n | p (Ox I «> Wmn — Ym'm (nV | p ^s | zn). (7.1.33) n

Первый член в этом уравнении описывает движение невозму- щешюн системы.

Уравнение движения для приведенной матрицы плотности часто называют обобщенным основны.м кинетическим уровне- пнем (generalized Master equation). Основное кинетическое уравнение (Master equation) впервые ввел в квантовую статистику Паули (Pauli, 1928). В первоначальной форме, использованной Паули, оно представляет собой уравнение для диагональных элементов р(()$ (см. разд. 7.2). Подробное изложение этого вопроса и строгие доказательства можно найти в обзоре Хааке (Нааке, 1973).

Уравнения (7.1.25), (7.1.28) и (7.1.33) играют очень важную роль в физической кинетике. Они описывают необратимое поведение системы и этим коренным образом отличаются от точных уравнений движения — уравнений Шредингера и Лиувилля. Полезно вкратце вспомнить основные шаги, сделанные при выводе «кинетических» уравнений из общего уравнения (7.1.3). Основное предположение заключается в том, что эффект взаимодействия между системой и резервуаром быстро затухает, поэтому резервуар практически остается в состоянии теплового равновесия и описывается матрицей плотности (7.1.6). Такое предположение приводит к интегрально-дифференциальному уравнению (7.1.7) для элементов матрицы pU^si. Временной интервал, для которого интеграл в этом уравнении действительно отличен от нуля, соответствует корреляционному времени т для взаимодействия !'(/)/. Если время т мало по сравнению с характерным временем 1/у, в течение которого состояние системы заметно изменяется, применимо марковское приближение р(/') з/ « р(0$/ и верхний предел интегрирования можно устремить к бесконечности. Марковское приближение позволяет свести интегрально-дифференциальное уравнение (7.1.7) к системе линейных дифференциальных уравнений для матричных элементов y^si с не зависящими от вре.иени коэффициентами Rm'mn'n- Если оставить только секулярные члены, то получается уравнение (7.1.28).

Мы достаточно подробно изложили вывод уравнений (7.1.25) и (7.1.33), чтобы показать те предположения, которые делаются при их выводе, и пределы применимости этих уравнений.

Основное кинетическое уравнение

Чтобы дать интерпретацию некоторых параметров, фигурирующих в уравнениях (7.1.25) и (7.1.28), рассмотрим производную диагональных элементов матрицы плотности p(/)s,

описывающей систему атомов (или ядер), взаимодействующих с некоторым резервуаром. Оставляя только секулярные члены и учитывая, что диагональные матричные элементы в представлении Шредингера и в представлении взаимодействия совпадают, из уравнения (7.1.28) получаем

9^тт" ^ VM^nnWmn Р (O/zzm 52 О тккт + I mkhm),п^тк^т

где введено обозначение

<m'lp(0slm) = P(/)m-m.

Используем (7.1.29а) и заменим во втором члене полученного уравнения индекс суммирования к на п; тогда

►Р (О/п/п = 52 Р ^nnW тпР (От/п 52 ^пт*(7.2.1)

п^тп^т

Уравнение (7.2.1) можно интерпретировать следующим образом. Диагональный элемент p(/)mm даст вероятность обнаружить атомный уровень |ш> занятым в момент времени t. Эта вероятность увеличивается со временем благодаря переходам из всех других уровней \п) на данный уровень |ш>. Она уменьшается в результате переходов с уровня |ш> на все другие уровни |л). Таким образом, скорость изменения диагональных матричных элементов должна определяться в общем случае соотношением вида

Р Wnm = прирост в | т) — убыль из | т\

Член, определяющий «прирост», получается умножением р^пп на соответствующую скорость перехода W^n-^m") и суммированием по всем состояниям |п>. «Убыль» получается умножением р(/)тт на скорость перехода №(/?i-^/i) и суммированием по всем п. Следовательно, параметры Wтп в уравнении (7.2.1) имеют смысл вероятностей переходов между атомными состояниями |л>->]ш> в единицу времени, вызванных взаимодействием с резервуаром.

Уравнение (7.2.1) часто называют основным кинетическим уравнением Паули. Условия, при которых это уравнение справедливо, были сформулированы в предыдущем разделе. В частности, для применимости марковского приближения необходимо, чтобы вероятность перехода, происходящего в данный момент времени, зависела только от состояния системы в этот момент времени, а не от ее предыстории. Уравнение (7.2.1) играет важную роль в современной статистике и применяется во многих задачах физики, химической кинетики и биологии (см., например, Наксп, 1978).

Полезно более подробно рассмотреть скорость переходов 1^riln = ritmmn +r^pimn, анализируя соотношения (7.1.24). Ис-

пользуя (7.1.13а) и вычисляя tr^ с помощью собственных состояний \N> гамильтониана резервуара Hr, находим

J dt" exp (— №mnt") trR [F (/ДОР M =

= 'E<N'\F1\N)(N\Fl\N')(N'\p(O)R\N')X

N'N

X dt" exp [Z ^En' — En — htomt^ t"lft\* (7.2.2a)

0

Интеграл, входящий в выражение для Гпттт равен

^ dt” exp (ltomnt") 1Гд \FSF (t")^ (0)д] =

= £ <N'\Fi\N)(N\Fi\N')(N'\p(O)R\N')X

N'N

X dt" exp [Z (,En' — En — htonm) t"!^(7.2.26)

где мы заменили t" на —t". Учитывая соотношение (7.1.11)

£ (m | Qt M> <N' \Fi\N) = (mN' | V ] nN\(7.2.2b)

подставим (7.2.2) в (7.2.24); это дает

W7тп = I пттп “Ь Гпттп

= (1/Й2) £ <n\Q1\m)(m\Qi\n)(N'\Fl\N)(N\Fi\N')X if NN'

X <N' I p (0)л IN') J dt" exp [z (EN- -EN- Ытп^ t"[ti\ + 0

+ (1/^2) £ («IQ/lmHmlQzl/tXAnOWW^^

UNN'

X<N'\9 (0)^ | N^ J dt" exp [Z <EN' -En- ^nm) t"№ = о

= (1/Й2) £ (nN' | V | mN) (mN | V | nN') (N' | p (0)R | N') X

NN'

X \ dt" exp V (En- — En — htomn) t"ih\ =

J-DO,

= (2л/А) £ | (mN | V | nN') |2 (N' | р (0)к | N') X NN'

X 6 (Еn' — Ем — Еютп).(7.2.3)

В соотношении (7.2.3) матричный элемент |<mN\V|nN'>|2 есть вероятность перехода атома с уровня |п> на уровень |т> при условии одновременного перехода резервуара из состояния \N') с энергией Ем- в состояние \N) с энергией Ем, причем в силу закона сохранения энергии Ем — Ем, = Еп— Ет

СистемаРезервуар

WmnЕм

Ет

Ем'

Рис. 7.1. См. объяснение в тексте.

(рис. 7.1). Эти вероятности затем усредняются с тепловым распределением резервуара для получения результирующих скоростей перехода в атомной системе. Соотношение (7.2.3) называют «золотым правилом» для скоростей перехода.

Так как оператор V эрмитов, вероятности переходов |<п^| V|m^|2 удовлетворяют условию

| (nN' | V | mN) р = | (mN | V | nN') р, (7.2.4)

т. е. переход ]п>|^>-> |m>|Af> имеет такую же вероятность, как и обратный переход. Однако условие (7.2.4), вообще говоря, неприменимо к вероятностям Wmn, описывающим результирующий переход |n>->|m>, усредненный по состояниям резервуара. Поскольку резервуар остается в тепловом равновесии (как обсуждалось в разд. 7.1.1), он с большей вероятностью находится в низшем состоянии |JV'>, чем в высшем состоянии \N) (см. рис. 7.1). Поэтому при Еп> Ет переход с атомного уровня [п> на уровень |т> более вероятен, чем обратный, и в общем случае

(7.2.5)(7.2.5)Wmn ^ «7^.

(7.2.5)

(7.2.5)

Обсудим полученные результаты более подробно. Из соотношения (2.6.4)

(N' | р (0)^ | N') = exp (- £En^Z(7.2.6)

получаем

Г „г„ - (2л/Й2) X | (mN | V I nN') f X

NN'

X exp (— ^En') 6 (En- — En — titomn), (7.2.7a) и для обратного перехода

W„,n = (2л/й7) X | (nN' | V | mN) p X

NN'

X exp (— PEN) 6 (En — En- — t№nm\ (7.2.76)

Используя условие симметрии (7.2.4) и закон сохранения энергии En = En- + Еп — Ет, выражение (7.2.76) можно представить в виде

^,„п = ехр [— р (Е„ — Е„,)] (2л/Й7) X

X Е I (mN I V I nN') I2 exp (— ^EN-) 6 (EN- — EN — htomn).

N'N

Сравнивая с (7.2.7a), находим

W„JWn.n = exp (- P£m)/exp (- 6En).(7.2.8)

Следовательно, при E„ > E,n переход с уровня \n> на уровень |/н> более вероятен, чем обратный переход.

Рассмотрим, например, двухуровневую систему, имеющую основное состояние |1) с энергией Е\ и возбужденное состояние |2) с энергией Ец. Из основного кинетического уравнения (7.2.1) и соотношения (7.2.8) получаем

Р Мп = IP isP (O22 — ^21Р (Он =

= Г21 {exp [- р (Е, - Ео)] р (022 - р (Он) = — р (022- (7.2.9) Равновесие устанавливается, когда результирующая заселенность уровней постоянна, т. е. когда ри = р22 = 0. В этом случае из (7.2.9) следует, что вероятности заселенностей определяются распределением Больцмана:

Итак, если первоначальное распределение отличается от (7.2.10), переходы, вызываемые процессом релаксации, стремятся создать равновесное тепловое распределение (7.2.10), при котором система находится в нижнем состоянии |1> с большей вероятностью, чем в верхнем состоянии |2>.

Наконец, заметим, что результат (7.2.5) формально следует из того, что связанные с резервуаром операторы F, и F] в выражениях (7.1.24), вообще говоря, не коммутируют. В противном случае, меняя местами Fi,F] и ш, п в (7.1.24), МЫ получили бы Гпттп = Гтппт И W тп = W пт- С ДРУГОЙ СТОРОНЫ, в теориях, где резервуар интерпретируется классическим образом и его действие па систему описываетя с помощью случайных функций времени, а не с помощью некоммутирующих операторов, имеет место равенство Wmn=Wnm. Последнее является серьезным недостатком всех полукласси- ческих теорий релаксации. Дальнейшее обсуждение затронутого вопроса можно найти, например, в книге Абрагама (АЬ- ragam, 1961).

Кинетика индуцированного излучения и поглощения

В этом и следующем разделах мы обсудим физический смысл и применение основных уравнений (7.1.28), (7.1.33) и (7.2.1). Мы рассмотрим взаимодействие атомов или молекул с внешним электромагнитным полем при наличии процессов релаксации. Задачи такого рода особенно важны для квантовой электроники.

Ограничимся темп случаями, когда разность энергий атомных или молекулярных состояний не слишком велика, так что соответствующая частота перехода лежит в области v^lO9— 1012 Гц (т. е. длина волны 2.^ 1 мм). Эта область включает, в частности, радиочастоты (104— 109 Гц) и микроволновую область (109—1012 Гц). Основные спектральные переходы в этой области связаны с вращательным спектром молекул в миллиметровом и сантиметровом диапазоне, электронным парамагнитным резонансом и ядерным магнитным резонансом. Изучаемые переходы в атомах соответствуют зеемановским уровням, расщепленным внешним магнитным полем, или естественным уровням тонкой и сверхтонкой структуры. Далее мы будем использовать сокращение РЧ для обозначения всей этой области частот.

Одно из существенных свойств переходов в радиочастотной и микроволновой области заключается в преобладании вынужденного излучения. Из теории излучения Эйнштейна следует, что отношение вероятностей вынужденных и спонтанных переходов пропорционально p(v)X3, где p(v)—спектральная плотность излучения. В оптической области p(v) и к малы и — исключая особый случай лазеров — преобладает спонтанное излучение. В РЧ-области длина волны К велика и излучение может иметь большую плотность p(v), поэтому вынуж-

денное излучение преобладает и часто оказывается, что спонтанным излучением можно пренебречь. Другое различие между оптическими и РЧ-лпнпямп связано с тем, что ширина оптической липни обычного источника определяется эффектом Доплера. Для РЧ-линий эффект Доплера мал, и, как будет показано ниже, им часто можно пренебречь по сравнению с другими эффектами уширения.

Теперь мы продемонстрируем применение основных уравнений, выведенных в разд. 7.1 и 7.2, на простых примерах двухуровневых систем. Пусть основное атомное пли молекулярное состояние | 1> имеет энергию Еь а возбужденное состояние |2) — энергию Ег. В экспериментах по магнитному резонансу разность энергии двух спиновых состояний возникает за счет постоянного однородного магнитного поля Но. Атомная система обладает аксиальной симметрией относительно осп квантования, определяемой направлением Но, и, следовательно, когерентность между двумя уровнями отсутствует. Соответствующая матрица плотности диагональна в представлении с базисными состояннмп |1> и |2>. В состоянии теплового равновесия заселенность этих уровней определяется распределением Больцмана.

Приложенное РЧ-поле вызывает переходы между состояниями. Предположим, что поле перпендикулярно осп квантования, так что существует выделенное поперечное направление. Как было показано в гл. 4 и 6, в этом случае возникает когерентная суперпозиция состоянии | 1> и 12>; следовательно, приведенная матрица плотности p(/)s рассматриваемой атомной системы не будет больше диагональной.

Кроме взаимодействия с внешним полем следует учитывать процессы релаксации. Различные случайные взаимодействия между соседними атомами стремятся установить или сохранить тепловое равновесие в среде, т. е. распределение атомов по двум уровням, подчиняющееся закону Больцмана. В парах такие взаимодействия имеют место при столкновениях атомов пара со стенками сосуда. В задачах, связанных с магнитным резонансом, флуктуирующие магнитные поля создаются магнитными моментами атомов. В твердом теле всегда существуют взаимодействия между соседними атомами, которые колеблются относительно своих положений равновесия; с этими колебаниями связана определенная энергия. Далее всегда будет предполагаться, что приняты основные приближения разд. 7.1. Будем полагать, в частности, что «среду», окружающую рассматриваемые атомы, всегда можно считать тепловым резервуаром, находящимся в состоянии теплового равновесия.

Таким образом, необходимо учитывать два конкурирующих процесса. Релаксация стремится восстановить тепловое распределение атомов по двум уровням. Так как вероятности переходов для вынужденного излучения и поглощения равны, внешнее поле стремится выровнять заселенности (в отсутствие спонтанного излучения). В результате за счет конкуренции этих процессов устанавливается динамическое равновесие, при котором заселенность уровня 12) выше, чем при тепловом равновесии. Релаксация вызывает больше переходов |2>-> |1), чем переходов в обратном направлении, а РЧ-поле постоянно индуцирует большее количество переходов с нижнего уровня на верхний, чем обратно. Таким образом число переходов, связанных с поглощением фотонов, превышает число переходов, сопровождающихся вынужденным излучением- Поэтому энергия непрерывно передается от поля к атомной системе, которая постоянно отдает ее резервуару в форме тепла. Такое поглощение излучения можно измерить методами РЧ-спектроскопии.

Для системы атомов, взаимодействующих с внешним электромагнитным полем, гамильтониан (без учета релаксации) может быть записан в виде

Д (/) = //«+!/(/), (7.3.1)

где Но—гамильтониан системы в отсутствие переменного поля (в случае магнитного резонанса статическое поле Но должно быть включено в гамильтониан Но). Взаимодействие атомов или молекул с приложенным полем представим в виде

V (/) = V cos tot = (1/2) V [exp (i®/) + exp (— itof^. (7.3.2) Для электрических дипольных переходов, например, оператор взаимодействия равен

V^ = — егЕ(/) =— erEcos®/, (7.3.3а) где ег — оператор дипольного момента атома и Е(/)—напряженность электрического поля. Взаимодействие парамагнитных атомов пли иоиов с переменным электромагнитным полем, имеющим вектор магнитного поля НД), описывается формулой

VV) = — цН(0 = — цНсоз®/, (7.3.36)

где ц— дипольный момент атомов (см. разд. 2.5). Следует заметить, что временная зависимость вида (7.3.2) обеспечивает эрмитовость операторов (7.3.3). Для поперечных полей матричные элементы <т' |1/1 т) отличны от пуля только при т' ^ //г (ти', /п = 1,2).

В отсутствие всех релаксационных процессов уравнением движения для интересующей нас приведенной матрицы плотности является уравнение Лиувилля (2.4.20), которое здесь мы запишем в форме

[р Ю,«'т1 = — “°m mP V\n'm — Ul^ (ill' | [V (0, р (Osl I т\ (7.3.4а) где toni'm = VEm-— E^lh. Взаимодействие между атомами и их окружением обычно учитывается путем добавления в уравнение (7.3.4а) соответствующего релаксационного члена

Р (Om'm = 2 Rm'mn'nP ^п'п-(7.3.46)

В результате получаем полное уравнение движения:

> Р Wm = — ^т’тР Wm ~ 07^0 W I [В (0, Р (Osl I «Й +

+ Zj Ещ'тп'пР (Опп» (7.3.4)

которое является основным кинетическим уравнением для рассматриваемой задачи. Зал/етшц что в этом уравнении не учитывается связь между различными членами, определяющими временную эволюцию p(t)s.

В оптической области в уравнение (7.3.4) нужно добавить член (у1п'т\п, описывающий спонтанное излучение. Поскольку спонтанное излучение является по существу случайным процессом, вызванным флуктуациями вакуумного поля, его можно описать членом

(P«i'm)sn " т'тРт'т»

где Гт •„, — скорость спонтанного распада возбужденного уровня.

С учетом соотношения (7.2.9) уравнения для диагональных элементов можно записать в виде

р (/)п = - (z/Й)(1 | [V (/), р (/)$] 11) + U7I2P (O22 - Й^Р (Он,

(7.3.5а)

Р (O22 = - (Ю0 <2 I [В (0, Р (Osl 12) + 1У21Р (Ou ~ U712p (022.

(7.3.56) Первый член этих уравнений

(Pmm)rad = (“ '/Ю <т [ [У (/), р (0S] | т) (7.3.6) есть скорость изменения вероятности заселенности уровня Мф за счет РЧ-поля, а другие члены описывают влияние процессов релаксации.

Из (7.1.33) с учетом выражения (7.3.2) и того факта, что диагональные элементы оператора V обращаются в нуль, следует уравнение для недиагональпых членов

Р (0г1 = Р (012 =

= - / (Ю21 - <У21) Р (O21 - Ш^ <2 I [И (О, Р (Osl I V =

= — z (w2i — zy2l) Р (O21 — ('72й) <2 I и 11) [exp (zroO +

+ ехр(— z’ro/)] (рп — р22). (7.3.7)

Уравнения (7.3.5) и (7.3.7) определяют скорость изменения элементов матрицы плотности за счет совместного действия внешнего поля и релаксации. Динамическое равновесие устанавливается при рп = Р22 = 0, т. е. когда эффекты вынужденного излучения и поглощения уравновешиваются процессами релаксации. Теперь изучим это «стационарное» решение более подробно.

Сначала рассмотрим уравнение (7.3.7). Элементы рДОт'т в представлении взаимодействия связаны с p(0m'm соотношением

Р (/)21 = exp (— z<o2l0 Р/ (O21,(7.3.8)

при выводе которого использовано выражение (2.4.37). Подставляя (7.3.8) в (7.3.7) и умножая обе части уравнения на exp (zro2i0, получаем

Р/ (O21 = — Y2iP/ (O21 — (</2й) (2 | V 11) {ехр [z (и^ + «)/] +

+ exp [z (<о21 — ю) /]} [р (Он — Р (O22L (7.3.9а)

В резонансной области ro2i « ® основной вклад дает низкочастотный член ехр [z(<o2i— ю)0, и в первом приближении быстро осциллирующими членами ехр [z (ro2i + ®)0 « « exp(2z®/) можно пренебречь (такое приближение называется «приближением вращающейся волны»). Тогда уравнение (7.3.9а) упрощается:

Р/ (O21 ~ — V21P/ (O21(t/2/г) (2 | V 11) X

X exp [z (to21 — to)/] [р (/)n — р (O22L (7.3.9)

Чтобы система была в стационарном состоянии, элементы матрицы плотности не должны зависеть от того, в какой момент времени они вычисляются. Поскольку «главный» член в (7.3.9) меняется как ехр [1(0)21 — ®)0> будем искать решение в виде

Р/ (O21 = ехр [z (ю21 — го) О Р (®)21,(7.3.10а)

(7.3.106)(7.3.106)p(02i=exp(—zro0p(ro)21.p(02i=exp(—zro0p(ro)21.которому в представлении Шредингера соответствует решение вида

(7.3.106)

(7.3.106)

p(02i=exp(—zro0p(ro)21.

p(02i=exp(—zro0p(ro)21.

После подстановки (7.3.10а) в уравнение (7.3.9) зависящие от времени экспоненциальные множители сокращаются и мы получаем

Р (^ = -^(21711).^-^

-^2^iV‘X-(7-ЗЛ1а)

Элементы p(/)i2 можно определить таким же способом. Заметим, что в этом случае в приближении вращающейся волны основной вклад дает член, пропорциональный exp(rot). Поэтому

Р (012 = exp (/со/) р (®)12(7.3.116)

и применение (7.1.32) приводит к результату

рН12 = ^-(2|У|1Г-^Р22 . .(7.3.11b)

2.По) — g)2i — гу21

Из приведенного вывода следует, что приближение вращающейся волны получается, если использовать следующие выражения для взаимодействия (7.3.2):

(2| У (/) |1) = (1/2) (21 V 11)ехр (- rot),

(11 У (/) ]2) = (1/2) (1 |И|2)ехр(М,(7.3.12)

а также (7.3.106) и (7.3.116) для элементов матрицы плотности. Члены более высокого порядка, пропорциональные exp (2до1), которыми мы пренебрегли, являются основным источником нелинейных эффектов в квантовой электронике.

Рассмотрим теперь уравнения (7.3.5), описывающие диагональные элементы матрицы плотности. Выражение (7.3.6) можно переписать следующим образом: применяя снова приближение вращающейся волны, используя выражение (7.3.106), (7.3.116) и (7.3.12) и подставляя для недиагоиаль- пых элементов решения (7.3.11), получаем

[р (022]rad - - Ц/h) (2 I V Ц) I 1) p (/)12 + Ц/h) (1 I V (/) I 2) p (/)21 =

=-да2)|(2|У|1)|2(Р11-р22)х

x (— ——) =

\ to — toy — 4Y21to — to2t + <y2l )

=| (2| У I V F-)^^(Р11 _ p22), (7.3.13a)

h(to-to2i-v2i) + V2i

где через y'i (Y21) обозначена действительная (мнимая) часть параметра релаксации у2ь Аналогично

[р (OnU^I <2 I V | 1) р7Уа ,2(р22 - р„). (7.3.136)

п—о)21 — у2() + T2I

Выражения (7.3.13) описывают изменение вероятности заселенности двух уровней, вызванное РЧ-полем. Сравнивая оба выражения, мы видим, что

[p(0n]rad —[p(/Mrad.[p(0n]rad —[p(/Mrad.(7.3.13в)(7.3.13в)

[p(0n]rad —[p(/Mrad.

[p(0n]rad —[p(/Mrad.

(7.3.13в)

(7.3.13в)

Последний результат легко понять, поскольку поле может увеличивать число атомов в состоянии | 1> только за счет вынужденных переходов |2)->|1>, и наоборот, «прирост» заселенности уровня |2> обусловлен индуцированными переходами |1>->|2>.

Введя определение

/

w Hi = 1/Й2 | (2 1171 1) I2 7V%;., , ,, W (Ю)р, (7.3.14) V0-^! - Y21C + Т2Г

перепишем уравнение (7.3.5) для стационарного состояния в форме

Р (Он ~ [^ 12 + ^7 (ю)12] р22 — [^21 + W (со)21] ри = 0,

Р (O22 = 1^21 + W (to)2l] Рн [1^ 12 + W (to)12l Р22 = 0. (7.3.15)

Как было показано в разд. 7.2, параметры Ц712 и 1Г21 представляют собой соответственно вероятности переходов |2>-> ~^|1> и 11>—>-|2), вызванных механизмом релаксации. Аналогично параметры U7(co)i2 и 1Е(со)21 представляют собой вероятности переходов |2>->|1> и |1>—12>, индуцированных переменным полем с частотой со. Поэтому мы можем рассматривать величины р (022[l^i2+ ^(о))^] и р(/)и [1Р21 4. №((о)21] в (7.3.15) как скорости увеличения и уменьшения вероятности заселенности уровня |1> при одновременном действии внешнего поля и процессов релаксации.

Если интенсивность РЧ-поля достаточно велика, то вероятности заселенностей р(/)и и р(/)22 могут значительно отличаться от своих равновесных значений р^ и р^. В этом случае говорят о накачке, обусловленной полем. Если интенсивность поля мала, то диагональные элементы остаются близкими к своим равновесным значениям и в правых частях выражений (7.3.11а) и (7.3.11 в) можно положить

Р^Р^- (7.3.16)

Энергия, поглощенная атомами и отданная полем в единицу времени, с учетом соотношения (7.3.13) определяется выражением

dE/dt =EV [р (Olllrad + ^2 [р (022]rad ~ (^1 " ^2) [р (Olllrad* (7-3.17)

Если [p(0n]rad < о, то число вынужденных переходов 11 > —>- 12> превышает число переходов сверху вниз |2>->|1> и система поглощает энергию РЧ-поля. Так как Е^ > ЕХ) в этом случае dE/dt > 0. Наоборот, при [p(/)n]rad > 0 в процессе вынужденного излучения энергии выделяется больше, чем поглощается, и dE/dt <_ 0.

Подстановка (7.3.13а) в выражение (7.3.17) дает

— = 2, (£2 - Д) | (2 I И 1 D Р 7Ъ1 ,2- (ри - р22),

dt а(б>—“21 —Y21) +Y21

(7.3.18а) а для слабого поля

^ ->,-£,) I <2 ! V | (> р -^А^. * - ^

(7.3.186)

Так как в тепловом равновесии р^ > р£\ из (7.3.186) следует, что dE/dt >> 0, и энергия из поля поглощается. В этом случае выражение (7.3.186) показывает, что наличие релаксации приводит к двум эффектам: 1) к сдвигу линии за счет мнимой части и 2) уширению линии за счет действительной части у^ параметра у2ь

Если в силу каких-либо обстоятельств возникает ситуация, когда р(0и < PW22, что в случае лазеров и мазеров называется инверсией заселенности, то dE/dt < 0. Это означает, что при прохождении через такую среду излучение не ослабляется за счет поглощения, а усиливается индуцированным излучением. На указанном эффекте основано действие лазеров и мазеров.

Уравнения Блоха

Магнитный резонанс1)

В этом разделе мы применим уравнение (7.3.4) к задаче о магнитном резонансе. Простейшей системой, в которой

Ч Подробнее теорию магнитного резонанса и магнитной релаксации см. в книгах: Абрагам (Abragam, 1961); Сликтер, 1967; Александров, 1975. — Прим, ред,

можно наблюдать магнитный резонанс, является двухуровневая система, например атомы или молекулы с нулевым орбитальным угловым моментом и спином 1/2 или атомы с нулевым угловым моментом электронов и спином ядра 1/2.

Если статическое магнитное поле Но приложено в направлении г, то энергии двух спиновых состояний |1> и |2), соответствующих ориентации «спин вверх» и «спин вниз», определяются выражением

Е, = -ц|Н0|, Е2 = ц|Н0|(7.4.1)

(см. рис. 7.2, где предполагается, что магнитный момент положителен). Энергетическое расщепление равно

ДЕ = Е2 —Е,=2ц|Н0|.(7.4.2)

Пусть к системе приложено поперечное электромагнитное поле с напряженностью магнитного поля НД/), которое ос-

W/2W/2Ег=^Н^ ( спин вниз )

W/2

W/2

™г.

Е] =-/i|H0| (спин вверх)

Рис. 7.2. Расщепление энергетического уров-ня в статическом магнитном поле.

циллирует с угловой частотой оц, удовлетворяющей условию резонанса:

йсо^—Д£ (7.4.3)

(ларморовской частотой). Тогда энергия поля будет поглощаться за счет перехода электронов (пли ядер) с нижнего уровня на верхний (возбуждение). В случае парамагнитного, или электронного спинового резонанса требуемые частоты лежат в микроволновой области. В случае ядерного магнитного резонанса необходимы радиочастоты.

Число атомов в верхнем состоянии увеличивается за счет падающего излучения. Однако одновременно идет и обратный процесс, обусловленный релаксацией, которая приводит к передаче энергии возбужденного состояния «окружающей среде» и стремится восстановить условия теплового равновесия. Действие этих конкурирующих факторов на спиновую матрицу плотности p(0s описывается уравнением (7.3.4),

в котором гамильтониан Но включает теперь статическое поле Но:

На = Н'0-и. Но.(7.4.4)

Гамильтониан /76 невозмущенных спиновых состоянии не входит в уравнение движения из-за вырожденности этих состояний. Используя (7.3.36), представим взаимодействие спина с внешними полями с помощью гамильтониана:

Н^ = — ^- Но + V (/) = -ft • (Но+ Н (/),).(7.4.5)

Прежде всего рассмотрим уравнения (7.3.5) в отсутствие РЧ-поля. При этом

р (Он = W12Р (O22W21Р (Он = Р (Озз- (7.4.6)

Будем считать, что каждый рассматриваемый спин реагирует на внешние поля независимо от всех других спинов и что «окружающую среду» можно рассматривать как тепловой резервуар в состоянии теплового равновесия. Добавляя и вычитая член IHiaPu в уравнении (7.4.6), с учетом условия ри + Р22 — 1 получаем

Р (Он = ^12 - 0^12 + ^21) Р (Он.(7.4.7а)

Р (0г2 = ^21 - (^12 + ^21) Р (O22,(7.4.76)

откуда вытекает

Р (Он - Р (O22 = (Г 12 - ^21) - (Г 12 + №01) [р (Он - Р (O22L

(7.4.8)

В состоянии теплового равновесия рц = 922 = 0, и из (7.4.8) следует

о(0) _ „(0) = 2^'2-^/у 4 дх

где р^1 и р.^’ — соответственно вероятности заселенностей уровней |1> и |2> при тепловом равновесии (в присутствии статического поля). Определив параметр Т\ выражением

►7’1 = l/(fi712 + I172i),(7.4.10)

Уравнение (7.4.8) можно записать в виде

• (А А (А — ^^ ~ ^ ~ [Р ^)ч ~ Р ^)зг]. . .,

Р(0пР (O22 ■—71•(7.4.11)

Заметим, что величина Т\ действительна в силу (7.1.30),

РЧ-полс можно учесть, добавляя соответствующие члены в уравнение (7.4.11):

Р (01! ~ Р (0=2 = ~ У^ [О I [V (0, Р (Osl | 1) -

- (2 I [ V (0, р (Osl 12)1 + ML~p<2^2Ll^. (7.4.12)

Теперь рассмотрим недиагональные элементы, пренебрегая мнимой частью yi2 (т. е. сдвигом линии). В этом приближении определим 72 следующим образом:/

►Г2=1/Т.2(7.4.13)

и запишем уравнение для недпагональных элементов

Р (021 = (- «о13 + 1/Г2) Р (021 - ^^ <2 I [У (0, Р (0s] I 1) = Р (о;2,

(7.4.14)

которое можно представить в виде

Р (0=1 = - т (2 I [Я (0, Р (0s) 11) + Р (О21/Г2. (7.4.15)

где Я(0 —гамильтониан (7.4.5).

Макроскопическая намагниченность М определяется формулой (2.6.6):

Л1, = МуА(о,-)/2,1 = х, у, z, (7.4.16а)

где о,-— соответствующая матрица Паули, N — полное число атомов в единице объема, у — гиромагнитное отношение.. Используя выражения (1.1.6) для матриц Паули, можно записать М в явном виде:

Мх = (1/2) Nyh (Pi2 + Р21), Ми = (1/2) N^ti (р12 — р21),

Л42 = (1/2)ЛМ(Рц -р22).(7.4.166)

В отсутствие эффекта релаксации уравнение движения для вектора намагниченности М совпадает с (2.5.5) с заменой Р на М и Н на Но+ HJ0- Добавляя релаксационные члены и используя уравнения (7.4.11), (7.4.15) и (7.4.166), получаем

►

-^ = Y [М X (Но + Н (/),],--^-,(7.4.17а)

dMМ„

-^^YlMX^o + H^-^-,(7.4.176)

^ = Y [М X Н (01 + -^ ~ Мг ,(7.4.17b)

где

"^Д^'Т(7.4.18)

Как показывает уравнение (7.4.17в), Mz* есть равновесное VWzJdt = 0) значение Mz в отсутствие РЧ-поля.

Уравнения (7.4.17) называются уравнениями Блоха; они были впервые выведены Блохом в 1946 г. (Bloch, 1946) для атомов с N уровнями, а в дальнейшем обобщены (Bloch, Wangsness, 1952). Основная особенность общих уравнений Блоха состоит в том, что влияние релаксации описывается с помощью двух действительных параметров Ту и Т^.

Мы привели здесь вывод уравнений Блоха главным образом для того, чтобы объяснить различные содержащиеся в них приближения. Эти приближения не всегда справедливы, и релаксация в общем случае описывается не столь просто, как в уравнениях (7.4.17). Тем не менее эти уравнения во многих случаях описывают наблюдаемые явления с хорошей точностью. Следует заметить, что макроскопическая намагниченность М определяется такими же уравнениями, как и в классических феноменологических теориях, и можно показать, что значения М равны значениям, полученным в классических моделях. Это объясняется тем, что в уравнениях (7.3.4) не учитывается спонтанное излучение. Подробное обсуждение затронутого вопроса можно найти в книге Абрагама (Abragam, 1961). В заключение заметим, что в полуклассических теориях, как указывалось в разд. 7.2, №12 = У72Ь откуда следует M(z = 0, в противоречии с экспериментом.

Продольная и поперечная релаксация. Спиновое эхо

Подробное обсуждение уравнений Блоха можно найти во многих работах, посвященных явлениям магнитного резонанса; мы ограничимся обсуждением физической природы параметров Ту и Т2.

Предположим, что в определенный момент времени (скажем. при t = 0) поле Н(/)| исчезло. В отсутствие Н| уравнения Блоха сводятся к уравнениям

dMJdt = wLM, — MxjT^

dMJdt = - toLMx - MJT,, (7 А. 19) dM;,]dt=(M^-Mz^Tv

где (Ol = v|Ho|. Если все процессы релаксации отсутствуют, вектор М будет свободно прецессировать вокруг статического поля Но с частотой юь Компонента Mz остается постоянной, а Мх и Му постоянны по величине и вращаются в плоскости ху. За счет различных взаимодействий спинов с их окружением спиновая система будет релаксировать

к состоянию теплового равновесия. Можно показать, что решение уравнений (7.4.19) имеет вид

М (0х = A sin (ю£/ + <р) exp (— t[T^,

Al ^у = A cos (aLt + <р) exp (— t/T^, (7.4.20) М ^г = (В - М®>) exp (— tHY) + М®,

где А, В и <р — постоянные интегрирования. Выражения (7.4.20) показывают, что вследствие релаксации Мх и Му стремятся к нулю с постоянной времени Т2, а Мг стремится к своему равновесному значению с постоянной времени Ть Таким образом, Т^ отражает распад компонент Мх и Му, перпендикулярных Но, и поэтому называется временем поперечной релаксации, тогда как Тх отражает распад продольной компоненты Мг и называется временем продольной релаксации.

Обращение в нуль компонент Мх и Му в состоянии теплового равновесия обусловлено отсутствием выделенного поперечного направления. Поэтому направления отдельных поперечных компонент М меняются случайным образом при переходе от одного атома к другому, и суммарная равнодействующая равна нулю. Отличие Мг от нуля связано с осевой симметрией системы, обусловленной статическим полем Но, которое приводит к различию энергий двух уровней.

Физическую природу параметров Тх и Т2 можно понять, обратив внимание на существование различных механизмов релаксации. Прежде всего это спин-решеточное взаимодействие, включающее все процессы обмена энергий между спиновой системой и ее окружением, например кристаллической решеткой. В общем случае все степени свободы, кроме спиновых, мы называем решеткой. Передача энергии от спиновой системы к решетке связана с переходами из верхнего спинового состояния в нижнее и вызывает изменение заселенностей двух спиновых состояний, а следовательно, и Мг. Таким образом, продольная релаксация связана с передачей энергии от спиновой системы к решетке. Поэтому Тх характеризует время, которое требуется системе для достижения энергетического равновесия со своим окружением.

Второй тип взаимодействия, спин-спиновое взаимодействие, включает все механизмы, посредством которых спины могут обмениваться энергией друг с другом, а не с решеткой в целом. Например, при упругом столкновении, в котором один атом испытывает переход |1>->|2>, а другой — переход |2>->|1>, энергия спиновой системы и значение М,

не изменяются. Следовательно, такие столкновения не могут дать вклад в продольную релаксацию, но разрушают когерентность между спиновыми состояниями (см. гл. 3); поэтому недиагональные элементы спиновой матрицы плотности и поперечные компоненты М стремятся к нулю. Таким образом, поперечная релаксация связана с потерей когерентности спиновой системы. Отметим, что любой процесс, дающий вклад в Гь будет в общем случае разрушать когерентность, так что Тх ^ Т2. Метод магнитного резонанса дает возможность определять времена релаксации и получать информацию о различных релаксационных процессах (см., например, Abragam, 1961; Gorney, 1977).

Физический смысл величины Т2 можно понять с помощью следующей простой модели (которая, однако, не учитывает всех аспектов поперечной релаксации). Непосредственно после выключения РЧ-поля индивидуальные спины начинают прецессировать вокруг Но. В отсутствие релаксации все компоненты спинов вращались бы с одной и той же частотой toL и исходные значения величин Мх и Мы были бы постоянны во времени. Различные случайные взаимодействия магнитных диполей создают вокруг каждого атома магнитное поле, что приводит к появлению помимо внешнего поля Но флуктуирующих компонент, либо усиливающих, либо ослабляющих Н3, и тем самым вызывает увеличение или уменьшение скорости прецессии отдельных спинов. В результате спины теряют синхронность вращения, и с течением времени их распределение размазывается на все более и более широкую область в плоскости ху; в конце концов результирующая поперечная компонента обращается в нуль. Величина Т2 характеризует время, за которое согласованность движения спинов совершенно исчезает. Прямое измерение времени Т2 представляет собой наиболее однозначный способ исследования механизмов потери когерентности.

Эта простая модель поперечной релаксации позволяет легко объяснить явление, известное под названием спинового эха. Пусть система ядерных магнитных диполей такова, что вектор намагниченности М указывает в направлении статического поля (оси z). К системе прикладывается резонансное радиочастотное поле, причем длительность импульса поля такова, что вектор М поворачивается в направлении х («л/2»-импульс; рис. 7.3, п). После окончания импульса отдельные спины прецессируют вокруг направления статического поля. Удобно рассматривать движение спинов в системе координат, которая вращается вокруг оси z с ларморовской частотой. В отсутствие релаксации спины вращались бы свободно вокруг Но с ларморовской частотой,

т. е. находились бы в покое во вращающейся системе. Так как частота прецессии имеет разную величину для каждой из компонент моментов из-за процессов релаксации, спины теряют фазировку и распределяются в плоскости ху (рис. 7.3,6). Спустя время t<Ti прикладывается второй импульс такой длительности, что направление всех спинов меняется на обратное («л-импульс»). Иными словами, те-

Рис. 7.3. Схема, иллюстрирующая возникновение спинового эха.Рис. 7.3. Схема, иллюстрирующая возникновение спинового эха.

Рис. 7.3. Схема, иллюстрирующая возникновение спинового эха.

Рис. 7.3. Схема, иллюстрирующая возникновение спинового эха.

перь компоненты спинов оказываются просто перевернутыми, как показано на рис. 7.3,6. Так как спины вращаются со своей прежней скоростью, они снова сходятся к одному вектору (рис. 7.3, г). В результате возникает импульс намагниченности в этом направлении, который проявляется как «эхо» первого высокочастотного импульса.

Абрагам (Abragam, 1961) предложил следующую аналогию рассматриваемого явления. Пусть группа муравьев ползет по краю блина. Все они начинают ползти одновременно из малой области, но из-за различия скорости своего движения они будут все шире расползаться по окружности блина («/^-процесс»), Если блин перевернуть («л-импульс»), ■ то муравьи перевернутся, но будут продолжать ползти в

прежнем направлении. В конце концов все муравьи снова соберутся вместе, за исключением тех, которые упадут с блина («Ггпроцесс»).

«Оптические» уравнения Блоха

Как было упомянуто в начале настоящего раздела, существует тесная аналогия между двухуровневым атомом и системой со спином 1/2 (в статическом магнитном поле, параллельном оси г). Состояние «спин вниз» соответствует основному уровню атома, а состояние «спин вверх» — возбужденному. Формализм, развитый выше для описания магнитного резонанса, можно обобщить на случай любой двухуровневой системы, на которую действует резонансное поперечное поле. Такой подход можно использовать для описания экспериментов в микроволновой или оптической области с применением когерентных полей (мазеров, лазеров)1).

Пригодность уравнения Блоха для описания мазера была впервые установлена Фейнманом и др. (Feynmann, Vernon, Hellwarth, 1957). Следуя упомянутой работе, введем фиктивную величину — «вектор псевдоспина» v, компоненты щ которого определяются аналогично компонентам (7.4.166):

щ = tr [Р Ms or х] = Р (/)12 + Р М2Ь У2 = tr [Р Ms ау] =

" i [Р М12 — Р (^211»

Уз = tr [р Ms сгг] = Р Мп — р М22.(7.4.21)

В этих выражениях p(/)s — матрица плотности атомной системы с двумя уровнями. Как показывают выражения (7.4.21), из зависит от разности чисел заполнения, а щ и и2 характеризуют когерентность двух состояний.

Исходя из уравнений (7.3.5) и (7.3.7), можно показать, по аналогии с выводом уравнений (7.4.17), что компоненты Vi удовлетворяют следующей системе уравнений, которые называются «обобщенными» или «оптическими» уравнениями Блоха:

dvjdt = [о X v]i — щПЧ,

. dc^dt = [to X v]2 — eJT^,^A.^

dv^dt = [© X v]3 — uJTi,

*) См. лекции Лэмба «Теория оптических мазеров» в книге «Квантовая оптика и квантовая радиофизика». — М.: Мир, 1968. — Прим. ред.

где «вектор» со имеет компоненты

Ю1 — (^12 + ^21)/^, ®2 =— l(Vl2 — П21)/Й,

<d3 = -(Ei-E2)/A,(7.4.23)

a Vij = <t| V|j> представляют собой матричные элементы введенного в разд. 7.3 оператора V, который описывает взаимодействие атомов с электромагнитным полем. Времена релаксации определяются выражениями (7.4.10) и (7.4.13).

Уравнения (7.4.22) позволяют дать геометрическую интерпретацию электрических дипольных переходов в двухуровневой системе, аналогичную описанию явления магнитного резонанса. Можно считать, что без релаксационных членов уравнения (7.4.22) описывают прецессию «вектора» v вокруг «вектора» со. Релаксационные члены имеют такой же смысл, как соответствующие члены в предыдущем разделе. Релаксация из (с постоянной времени Тх ) связана с различными путями обмена энергией между атомами и их окружением. Релаксация t>i и и2 (с постоянной времени 72) соответствует потере когерентности, вызванной различными процессами расфазировки. Рассматривая прецессию вектора v в промежутке времени между двумя приложенными импульсами, можно использовать такую геометрическую интерпретацию для объяснения фотонного эха. Более того, уравнения (7.4.23) можно использовать для изучения электромагнитных переходов в очень сильных полях, когда методы теории возмущений неприменимы. Следует, однако, подчеркнуть, что как уравнения Блоха (7.4.17), так и уравнения (7.4.22) не описывают все явления, связанные с переходами в двухуровневой системе. Подробный анализ уравнений (7.4.22) и их применения читатель может найти, например, в книге Вальтера (Walther, 1976).

Некоторые свойства матрицы релаксации

Общие ограничения на элементы матрицы релаксации

В разд. 7.1 было показано, что производная по времени от матрицы плотности в марковском приближении определяется системой связанных дифференциальных уравнений, которые в представлении взаимодействия имеют вид

Р/(Om'm ^ Rm'mn'nPi Ип'п,(7.5.1)

гдеPz ^m'm = <т' | Р (0s/1 m).

В секулярном приближении (7.1.28) имеем

Rm'mn'n ^^ ^тп\'п ' Mm'm^m'n'^mni

где первый член отличен от нуля только при т =# п.

Совокупность не зависящих от времени коэффициентов Rm'mn'n называется матрицей релаксации. Из результатов предыдущих разделов следует, что Rmmnn, например, определяет скорость перехода атомов с уровня |п> на уровень |т). Здесь мы, следуя работе Хаппера (Наррег, 1972), покажем, что физические соображения налагают некоторые важные ограничения на элементы матрицы релаксации. При этом будут вновь получены и обобщены некоторые результаты, выведенные в предыдущих разделах.

Если механизм релаксации не меняет число имеющихся атомов, то из вероятностной интерпретации диагональных элементов матрицы плотности следует, что

22 Р (0mm = 22 ( 22 Rmmn'nX Р/ (Оп'п 0.

тпп' \ т/

Так как в общем случае pi^n'n ф 0, имеем ^Rmmn'n=0(7-5.2)

т

для любых п' и п.

Рассмотрим уравнение, полученное из (7.5.1) комплексным сопряжением:

Р/ Wtn,m = z R*m.mn^i (OVn- (7.5.3а) пп

Из условия эрмитовости следует

Р/ (0mm- = 22 Rm-mn-nPl (Опп-(7-5"Зб)

пп

Из уравнений (7.5.1) и (7.5.36) вытекает

22 Р/ (0пп' (Rm'mn'n Rmm'nn') ^’ п п

откуда находим

Rm'mn'n == Rmm'nn'-(7.5.3)

Диагональные элементы матрицы плотности неотрица- гельны и не могут быть больше единицы (см. разд. 2.2). Чтобы обеспечить выполнение этих условий, элементы матрицы релаксации должны удовлетворять следующим условиям:

Rmmmm^^i(7.5.4а)

Rnnmm>0(7.5.46)

для любых двух ортогональных атомных состояний |т> и : |п>. В справедливости этих условий можно убедиться еле- ' дующим образом. Пусть в некоторый момент / заселен только один уровень |m> (р(/)тт = 1, р(/)пп = 0). При этом

Р (0mm == RmmmmP (0mm>

Р (Опп RnnmmP(0тт

для любого состояния п #= т. Поскольку элемент p(/)mm имеет максимум в момент t, он может только уменьшаться или оставаться равным единице согласно (7.5.4а). Элемент же р(/)пп имеет минимум в момент / и поэтому может только увеличиваться или оставаться нулевым согласно (7.5.46).

Релаксация мультиполей состояний

Если рассматриваемая система обладает определенной симметрией относительно поворотов, уравнение релаксации (7.5.1) удобно записать с помощью мультиполей состояний. Для простоты ограничимся случаем, когда атомная система находится в основном состоянии с определенным угловым моментом J и процесс релаксации вызывает переходы только между состояниями этого мультиплета.

Определим мультиполи состояния аналогично (4.3.3):

<w')«>-£(-о'-"'(2к+о(^_q)p,(-w

мм'

Тогда, используя обратное соотношение (4.3.6), можно записать уравнение релаксации (7.5.1) в виде

airy, ^1й1 -^«т1^ ^P-6.5)

где Rx№-« = X «w„(-l)!'‘'”'""'l(2X+l)(2X'+l)J*X

M'Mm'm

J J кM' —M — QJ J кM' —M — Q)С)С(7.5.6)(7.5.6)

J J к

M' —M — Q

J J к

M' —M — Q

)С

)С

(7.5.6)

(7.5.6)

Из условия эрмитовости (7.5.3) следует Rkqk'q' — ^. i)e+c Rk_qK-_q,.

Уравнение (7.5.5) описывает временную эволюцию мультиполей состояний при наличии взаимодействий, вызывающих релаксацию. В качестве особо интересного примера использования уравнения (7.5.5) рассмотрим случай, когда система находится в окружении, которое в среднем является

изотропным. Изотропные условия часто имеют место при релаксации поляризованного ансамбля к неупорядоченному состоянию. В гл. 4 было показано, что взаимодействие, инвариантное относительно поворотов, не может изменить ранг тензора Л' и не перемешивает его компоненты. Поскольку процесс релаксации не зависит от выбора оси квантования, скорость релаксации не должна зависеть от Q. Это приводит к условию симметрии

RkQK'Q' ■— — ^K^K'K^Q'QI(7-5.8)

где ук — скорость релаксации всех компонент тензора ранга К. Соотношение (7.5.7) означает, что величина ук действительна:

Тк = ^к’ (7.5.9а) можно показать, что

Ук^О. (7.5.96)

С учетом условия симметрии (7.5.8) уравнение (7.5.5) упрощается, и все (2Л’ 4- 1) компонент тензора ранга Л' релаксируют с одной и топ же скоростью:

d (т V, C^dt = -^ЛТ У- О- <7-5-10а) т. е. (Т U, t^ = (Т (7, OQ exp (- у^). (7.5. Юб)

Так как монополь <Г(7,/)оо> пропорционален следу матрицы плотности (который постоянен, если не происходит выбывания атомов из мультиплета /), то

Yo = O; (7.5.11)

следовательно, все мультиполи с А >0 стремятся с течением времени к нулю, и в состоянии теплового равновесия все состояния мультиплета имеют одинаковую заселенность. Если рассматриваемый мультиплет не является основным состоянием, то следует учесть возможность радиационного распада состояний.

Итак, мы видим, что в условиях изотропии каждый мультиполь нс связан с другилш мультиполями и релаксирует с характерной скоростью релаксации ^к- Число независимых скоростей, следовательно, уменьшается до (27+1). Это число велико при большом значении 7, но часто не все параметры представляют интерес. Существенное упрощение имеет место, например, при возбуждении атомов дипольным излучением. В этом случае может существовать только ориентация и вы- строенность (см. гл. 5), и независимо от значения 7 необходимо исследовать только две соответствующие скорости ре-

лаксации у1 и уг. Такая ситуация существует в большинстве экспериментов с оптической накачкой.

В некоторых случаях процесс релаксации не изотропен, но аксиально-симметричен по отношению к некоторой выделенной оси, как, например, при наличии внешнего поля. С такой ситуацией мы сталкиваемся в экспериментах по магнитному резонансу. Когда высокочастотное поле выключается, релаксация атомов происходит в присутствии статического магнитного поля, вследствие чего энергия магнитных состояний оказывается различной.

В гл. 4 показано, что мультиполи состояния с компонентами Q сохраняются в случае аксиально-симметричного взаимодействия. Тогда уравнение (7.5.5) принимает вид

d(Ty, O^Q^/dt = ^ RKQK,Q, (Т Ц, 0к,уу (7.5.12) Это уравнение показывает, что компоненты тензоров разных рангов с одним и тем же Q перемешиваются в процессе релаксации. В частности, параметры ориентации и выстроенно- сти с одним и тем же значением Q могут комбинироваться друг с другом.

Формализм мультиполей состояния представляет значительный интерес для описания релаксации в атомной и ядер- ной физике. Более подробное изложение и применение этого формализма к разным конкретным случаям читатель может найти, например, в обзорах Омонта (Omont, 1977) и Бейлиса (Baylis, 1979) и в цитированных там работах.

Лиувиллиевский формализм

В настоящем разделе мы опишем математический метод, особенно полезный в неравновесной квантовой статистике. Этот метод связан с представлением Лиувилля для матриц плотности.

Элементами гильбертова пространства являются векторы состояния |ф). Рассмотрим теперь совокупность линейных операторов А, В, .... действующих на состояния |ф>. Любая линейная комбинация линейных операторов есть также линейный оператор. Поэтому множество линейных операторов образует другое линейное пространство, которое называется пространством Лиувилля, если внутреннее произведение в нем определено соотношением

► (Л|В) = 4гЛ+В. (7.6.1) Мы будем использовать обозначения |Л), |В), ..., чтобы подчеркнуть, что эти операторы рассматриваются как элементы пространства Лиувилля.

Рассмотрим набор базисных векторов \т'>, |т> ...в гильбертовом пространстве. Тогда базис в пространстве Лиувилля образуется набором операторов Im'Xm^, которые получаются путем комбинации всех элементов набора |т>. Следуя работе Габриэля (Gabriel, 1969) и используя «дираковские» обозначения |m'm) для |т')<ш| и (m'm| для |m><m,|, а также определение (7.6.1), найдем соотношение ортогональности

(m'm ] п'п) = tr { | m) (mz | п) (п |} = Ьт-п-Ьтп(7.6.2)

и соотношение полноты

У, | m'm) (m'm [ = 1,(7.6.3)

т'т

где 1 есть единичный оператор в пространстве Лиувилля. Отсюда следует соотношение

(m'm | Л) = tr [ | иг) (т' | Л] = (tn | Л | т),(7.6.4)

т. е. внутреннее произведение любого лиувпллевского вектора А с базисным вектором |m'm) равно обычному матричному элементу (т'\А | m) = Am-m оператора А в гильбертовом пространстве.

Если свойства угловой симметрии рассматриваемой системы играют важную роль, то удобно в качестве базисных векторов использовать элементы |7(/,7)/(q). Такой набор является ортонормированным согласно (4.2.24):

(Т (J'J)W I Т (ГГ^ = tr {7 (rj)*,Q, Т U'^ =

= ^i'j^k'K^Q'QУ-6-5)

и полным:

Е |7'(/'Z)kq)(7(77)kq|= 1.(7.6.6)

J'JKQ

Действуя оператором (7.6.6) на матрицу плотности, рассматриваемую как вектор |р) в пространстве Лиувилля, получаем разложение

IP)= X I W)kq)(7(77)k<M(7.6.7)

riKQ

Мультиполи состояния тогда можно рассматривать как внутренние произведения

(77/7)^) = (7 (/7^^(7.6.8)

которые можно записать в обычной форме (4.3.5), используя определение (7.6.1). Выражения (7.6.7) и (7.6.8) соответствуют разложению (4.3.4).

Чтобы производить вычисления, используя пространство Лиувилля, необходимо ввести операторы Q, преобразующие вектор |Д) в другой вектор:

QM)=IQ^).(7.6.9)

Операторы 0 часто называют «супероператорами». В произвольном базисе имеем

(m'm | Q | Д) = 52 (т'т | Q | п'/г) (и 7г | Д) =п'п

= 52 Qm'tnn' n^n'ni(7.6.10)

п п

где использованы условие полноты (7.6.3) и соотношение (7.6.4). Таким образом, элементы супероператоров характеризуются четырьмя индексами *).

В качестве примера обратимся к общему уравнению релаксации (7.5.1):

Рт'т == 52 Rm'mn'nPn'n-п'п

Рассматривая матричные элементы как внутренние произведения лиувиллевских векторов согласно (7.6.4), можно записать

Vm'm | р) = 52 ^п'т | R | п'п) (п'п | р). п'п

Подстановка единичного оператора (7.6.3) дает

(m'm | р) = (m'm | R | р),

или|р) = ^|р),(7.6.11)

где R — супероператор релаксации

Особое значение для неравновесной квантовой статистики имеет оператор Лиувилля С, определенный для данного гамильтониана Н и любого оператора Д соотношением

►£ | Д) = (1/Й) | [Я, Д]),(7.6.12)

где [Я, Д] означает обычный коммутатор в гильбертовом пространстве. Удобный базис |£ /) для £ можно построить из собственных состояний |/>, |/> ... гамильтониана. В этом базисе

Z |Z/) = ElOO*l = (l/A) |[Я, |0(j|]) = ai/|//), (7.6.13)

*) Такое представление называют также тетрадным, а соответствующие операторы — тетрадпками. — Прим. ред.

т, е. собственные значения оператора Лиувилля совпадают с возможными частотами юц системы.

Уравнение движения (2.4.16) для матрицы плотности можно записать в новых обозначениях в следующем виде:

1р) = —(1/^)1 [77. р]). или

►-1р) = — <£|р)-(7.6.14)

Формальное решение уравнения (7.6.14) имеет вид

|р(/))Нр(0))ехр (-/£/),(7.6.15)

а соответствующий супероператор временной эволюции равен t7(/)=exp(— IU\<?.^Л^

Советуем сравнить выражение (7.6.15) с обычной формой (2.4.16).

Выражения (7.6.7) и (7.6.15) позволяют получить компактное представление для коэффициентов возмущения, определенных соотношением (4.7.6.). Предполагая, что рассматриваемая система в момент времени t = 0 описывается матрицей плотности

lp(0)) = Z(T(/Qir(/)TO),

а в момент времени / — матрицей

1рИ) = Е{7’(/, 0L>|7'(/)n),

получаем из (7.6.8) и (7.6.15)

(г и- 01,> - (Г УХ, | Р (0)=(Г (/)„ | с (01Р (0)) =

= £{7Xq)G<, (7.6.17)

где коэффициент возмущения в обозначениях лиувиллевского формализма дается выражением

GC^^VUUWWkqY (7.6.18)

Представленный здесь формализм применялся различными авторами к теории угловых корреляций, возмущенных процессами релаксации (см., например, Gabriel, 1969; Bosse, Gabriel, 1974).

Реальное преимущество оператора Лиувилля проявляется в резольвентной форме. Резольвентный метод, который ис-

пользует идеи и методы теории рассеяния для описания матрицы плотности в лиувиллевском представлении, позволяет представить формализм в компактной форме. Познакомиться с этим методом читатель может по оригинальной работе Цванцига (Zwanzig, 1960).

7.7. Линейный отклик квантовой системы

на внешнее возмущение

Физические задачи связаны с определением неизвестных свойств системы. Для этого воздействуют на систему внешним агентом и наблюдают реакцию системы. Иными словами, наблюдатель задаст вопрос системе, а система отвечает. Исходя из такой общей постановки, был развит формализм линейного отклика. Этот формализм Кубо впервые применил к теории необратимых процессов. Его цель состояла в изучении явлений переноса, например эффектов, обусловленных действием на равновесную систему внешних сил, которые вызывают отклонение системы от равновесия и появление тепло- и электропроводности или иной реакции на возмущение. В данном разделе мы дадим краткое введение в этот формализм.

Пусть на квантовую систему, описываемую матрицей плотности р(0, действует внешнее возмущение V^t). В теории необратимых процессов обычно предполагают, что система находилась в статистическом равновесии с термостатом в отдаленном прошлом (/-^—оо). Это выражается начальным условием

р(/)-^Ро(7.7.1)

при t-^—оо, где Ро — равновесная матрица плотности системы. • Временная эволюция матрицы плотности определяется уравнением Лиувилля (2.4.16). Если V(t) достаточно мало, то в первом порядке теории возмущений решение уравнения Лиувилля можно записать в виде

t

р (0 — Ро ■*’ U№ $ ^ ехР [^о (^ — 0М1 X — оо

X [v (О, Ро) ехр [- Шо ^ - w (7.7.2)

Его можно получить, преобразовав (2.4.43) обратно в представление Шредингера с помощью (2.4.25) и (2.4.37). В этом приближении изменение среднего значения <Д> оператора А

равно

Д (А (/)) = tr {р (/) Л} — tr р0Л =

hh[I7 (О. Ро] ехр[—[I7 (О. Ро] ехр[—

h

h

[I7 (О. Ро] ехр[—

[I7 (О. Ро] ехр[—

(7.7.3) Величину Д<Л(/)> можно рассматривать как отклик системы на внешнее возмущение в первом порядке. Нужно отметить, что гамильтониан //о + V^ описывает только саму систему и нс включает влияние термостата.

Предположим, что V ^ можно представить в виде

V (/) = -/(/) В.<?ЛА^

где /(0—внешняя вынуждающая сила (например, электрическое поле), а В — оператор, относящийся к системе (например, дипольный оператор). Подстановка (7.7.4) в (7.7.3) дает t

А (Л (/)) = (i/^ $ dt' tr {[В, Ро] А ^ - /)} f Щ - -со

t

- т $ tr {р0 [Л (/' - О, BA} f (П dt'; (7.7.5)

при этом мы использовали циклическую инвариантность следа и ввели величину

Л (/' — /) = exp { [— iH^t' — /)]/й} А ехр [Шо (/' — /)/й]. (7.7.6)

Если ввести функцию Грина

► «Л (/) В (/')» = - ц/h) е (/ - П tr [р0 [Л (/), В (/')] }, (7.7.7) где e(/ — f)—ступенчатая функция, то верхний предел интегрирования в (7.7.5) можно устремить к бесконечности. Тогда выражение для Д(Л (/)) можно записать так:

ОО

►ДМ (/)) = $ «Л (/' - /) В)) / (П dt'. (7.7.8)

— ОО

Выражение (7.7.8) показывает, что влияние внешнего возмущения на среднее значение наблюдаемых можно описать с помощью функций Грина, связывающих наблюдаемую величину с возмущением.

Смысл функции Грина можно выяснить, если рассмотреть Диничный импульс в момент ^i, т. е. заменить f(t') на

6(f— /1), где 6(f —<i)—дельта-функция Дирака. При этом из (7.7.8) следует

А(Л(/)) = «Л (^ —/)В».(7.7.9)

Таким образом, функция Грина «А (Г— Г) В» есть изменение А<Л(/)> величины А в момент времени t, обусловленное единичным импульсом в момент времени V. Тогда выражение (7.7.8) можно интерпретировать как линейную суперпозицию откликов, каждый из которых вызван импульсом в момент времени V с амплитудой Kf). Область значений Г в (7.7.8) определяется условием V <Д (иначе ступенчатая функция обращается в нуль). Следовательно, отклик носит причинный характер, так как учитывается только влияние возмущений, имевших место в прошедшие моменты времени. Поэтому величину (7.7.7) называют запаздывающей функцией Грина.

Равенство (7.7.8) называется формулой Кубо для линейного отклика системы. Важно подчеркнуть, что эта формула выражает неравновесные свойства системы через средние по равновесным состояниям. Можно также определить нелинейный отклик системы на внешнее воздействие. Однако функции Грина в этом случае уже не будут определяться свойствами невозмущенной системы.

Рассмотрим частный случай периодического возмущения

Г(/) = — Гоехр(—/ю/ + е/)В,(7.7.10)

где Го — амплитуда, а е— бесконечно малая величина, обеспечивающая условие 1/(0^ 0 при t->—сю. Для периодического возмущения (7.7.10) формула (7.7.8) принимает вид

А (Л (/)) = Го ехР (— ^ + 80df «Л (/' — /) В» X

— ОО

Хехр[—го (/' — /) +е (/' — /)] =

ОО

— Vo exp (— №t + е/) ^ «Д (т) В)) exp (— гот + ет) t/т =— ОО

= Гоехр(— itot A-etH<AB))to,(7.7.11)

где т = Г — t и «Лб»^ определяется интегралом в (7.7.11а). Обобщенная восприимчивость ^(to), описывающая влияние периодического возмущения (7.7.10), определяется соотношением

(7.7.12:(7.7.12:А (Л (0) ^ X («) Го exp (— itot + е/).

(7.7.12:

(7.7.12:

Сравнивая (7.7.11) и (7.7.12), получаем

^WWV(7.7.13)

Это формула Кубо для обобщенной восприимчивости.

Выведенные здесь соотношения можно использовать в качестве отправной точки при описании явлений переноса. При соответствующих условиях можно установить связь между формализмом отклика и теорией необратимых процессов Онсагера. Показано, что при достаточно слабом внешнем возмущении, когда допустимо ограничиться первым порядком теории возмущений, коэффициенты переноса можно вычислить, используя равновесную матрицу плотности. Например, электрическая проводимость непосредственно связана с откликом системы на внешнее поле, а этот отклик в свою очередь оказывается связанным с временными корреляционными функциями. Обсуждение затронутых вопросов выходит за рамки нашей книги. Подробное изложение теории и многочисленные применения читатель может найти в книге Зубарева 1) (1971).

В этом разделе была рассмотрена теория реакции квантовой системы па внешнее возмущение, которая приводит к запаздывающим термодинамическим функциям Грина:

«д (0в (Г))/ = 4~^-1'Ша (О, В (Г)]),(1)

где (...) —усреднение по статистически равновесному состоянию. Для этого усреднения удобно использовать матрицу плотности для большого канонического ансамбля Гиббса

р0 — Z-1 exp (— pS^), Z = tr exp (— pJ^),

где Э^ = Н — н^, В — химический потенциал, N — полное число частиц. Такое усреднение имеет преимущество перед усреднением с матрицей плотности канонического ансамбля Гиббса, так как не требует дополнительного условия постоянства числа частиц. Представление Гейзенберга операторов удобно определять также с помощью Ж, а не Н:

Термодинамические функции Грина нашли широкое применение в теории твердого тела и вообще в статистической физике равновесных и неравновесных процессов, так как они очень упрощают решение сложных задач (см. Боголюбов Н. Н., 1959; Зубарев Д. Н., 1960; Тябликов С. В., 1975).

Кроме запаздывающих функций Грина, вводят опережающие функции Грина:

«л (0 s ОТ = - 4г е (/' - о ([Д (0, В (Г)]),(2)

которые, хотя и не имеют такого простого физического смысла, как запаздывающие, очень удобны как вспомогательное средство для аналитиче-

ского продолжения фурье-компонент функций Грина:

ОО

«Л|5))ю = ( {{A^B^e^^dd-ГУ

— ОО

что облегчает решение уравнений для функций Грина.

Применяются также функции Грина, в которых усредняется не коммутатор Д(/)В(/') — В(/')Д(/), а антикоммутатор А^В^П + В^А^, и функции Грина, в которых вместо разрывного множителя 0(/ — /') стоит символ хронологического упорядочения операторов (причинные функции Грина). Последние при нулевой температуре совпадают с функциями Грина, применяемыми в квантовой теории поля.

Функции Грина зависят только от разности / — V и удовлетворяют уравнению движения

£((Д(/)ВГО = АЫ(|Л,в]) + (([А(<)| д6(Г)»,(3)

которое имеет неоднородный член, пропорциональный 6 (/ — Г), возникающий при дифференцировании 0(/— Г). Этот член, делающий уравнение неоднородным, облегчает его решение, подобно тому как в теории линейных дифференциальных уравнений введение d-образного члена в уравнение определяет функцию Грина, упрощающую его решение. Уравнение (3) содержит кроме исходных функций Грина также функции Грина более высокого порядка. Для них можно также построить подобное уравнение и т. д., т. е. получить цепочку для функций Грина. Эти уравнения одинаковы как для запаздывающих, так и для опережающих функций Грина (для антикоммутаторных функций Грина нужно заменить средний коммутатор на средний антикоммутатор); следовательно, их необходимо дополнить граничными условиями. Это делается с помощью спектральных представлений для функций Грина. Если уравнения для функций Грина удастся приближенно свести к конечной системе уравнений («расцепить»), то, решая полученные уравнения, можно найти не только функции Грина, но и временные корреляционные функции <А(/)В(/')> и средние значения операторов <АВ> без явного вычисления следа

Для временных корреляционных функций имеет место простое соотношение (граничное условие Кубо — Мартина — Швингера)

(A W В (0)> = (В (0) A (t + ift^\(4)

которое легко доказать, выполнив циклическую перестановку операторов под знаком следа:

(Л (0 В (0)) = Z-1 tr Ve-№ei,stlhAe-1,6tl,tB^ =

= Z"1 tr (ве-№-»№ *Де№-»№) *е-^.

Следовательно, спектральная интенсивность временных корреляционных функций обладает свойством

Jab к- Q) = 1ва^ ^ю,^

ОО

где^^ПА^ = А_ JBAV^ek^v-hdtol

— ОО2"

ОО

поэтому (Л (/) В ^^ = -~- JBA (о) е’^е1^ ^ -Z) do.{6}

— ОО

Учитывая спектральное представление для разрывной 0(0-функции

ОО

6(0=2^$ТТ^^(?)

— ОО

(е > 0 считается бесконечно иля для функций Грина(е > 0 считается бесконечно иля для функций ГринаООW^-^ ( («-->)/„— ООООW^-^ ( («-->)/„— ОО(со)(со)dtoЕ — о ± /е *dtoЕ — о ± /е *(8)(8)малой), получаем спектральные представле-

(е > 0 считается бесконечно иля для функций Грина

(е > 0 считается бесконечно иля для функций Грина

ОО

W^-^ ( («-->)/„

— ОО

ОО

W^-^ ( («-->)/„

— ОО

(со)

(со)

dto

Е — о ± /е *

dto

Е — о ± /е *

(8)

(8)

Продолжим функ-Продолжим функ-где знаку г соответствует « + », а знаку а «—» перед Ze цпю (8) в область комплексной энергии, полагая

Продолжим функ-

Продолжим функ-

ОО✓

..1 С /dco I «Д| В»Е при Im Я > 0,

<-'1|В»£ = -^ \ (еР“- 1)W«) T=S п(9)

-оо( (И I В»Е при Im Е< 0,

л будем рассматривать (9) как единую аналитическую функцию в комплексной плоскости Е. Эти простые аналитические свойства делают функции Грина (9) весьма удобными для приложении. Если известна функция ((Л | B»tol го можно найти спектральную интенсивность /уд с помощью простого соотношения

«ЛI я»„„ - «л I в»._„ - тН^- 1) /„».

которое следует из формулы (9). Для антнкоммутаторных функций Грина множитель ^to—1 надо заменить на е^м + 1.— Прим. ред.

Приложения

А. Прямое произведение

Важную роль в матричной алгебре играет прямое произведение С = Л X В двух матриц Л и В; каждый элемент матрицы С получается путем замены каждого элемента ац матрицы Л на матрицу aijB. Таким образом, если Л и В представляют собой соответственно Л'- и «-мерную матрицы, то С является N X «-мерной матрицей. Например, если

/ац а12\/6Н 612\

Л = 1 I В = 1 I,\а2] а22/W21 О22/

то прямое произведение АХВ есть четырехмерная матрица

(АЛ а)(АЛ а)аххВ ах2В\ct^B а^В)

(АЛ а)

(АЛ а)

где каждый «элемент», ацВ означает двумерную матрицу

амВ =амВ =(АЛ б)(АЛ б)рмЬп ацЬ«\ЯцЬ>2Х Ctijbffi.

амВ =

амВ =

(АЛ б)

(АЛ б)

Можно показать, что если А и С суть т X m-матрицы, а В и D суть п X «-матрицы, то обычное матричное произведение матрицы (Л X В) на матрицу (CXD) определяется формулой (А X B)(CXD) = (AC) X (BD).(А.2а)

Имеется важное соотношение между следами:

tr (Л X S) = tr Л tr S.(А.26)

Применение соотношений (А.2) позволяет исключить использование явных матричных представлений в большинстве расчетов.

Определение (АЛ) применимо и для векторов-строк, которые можно рассматривать как матрицы с одной строкой. Например, при записи спиновых состояний в стандартном представлении прямое произведение состояния | + 1> со спином

1 п состояния | —1/2> со спипом 1/2 имеет вид

(А.З)(А.З)

(А.З)

(А.З)

что мы будем записывать в виде

(А.4)(А.4)1 + 1>|- 1/2) = | 1, - 1/2).

(А.4)

(А.4)

В более общем случае рассмотрим два линейных пространства R и г с базисами |М> и |и> соответственно [т. е. любой вектор из R(r) можно записать в виде линейной комбинации состояний |А)(|п»]. Комбинированное пространство (прямое произведение пространств R и г) можно натянуть на множество всех прямых произведении

|^п) = |М)|и), (А.5)

т. е. произведений всех возможных пар, составленных из базисных векторов [ А> и |м>.

Например, ансамбль частиц со спином 1 может находиться в состоянии |+1>, а ансамбль частиц со спином 1/2 — в состоянии | —1/2>. Когда системы разделены и не взаимодействуют, состояние комбинированной системы представляется прямым произведением | +1, —1/2>. Это простое представление неприменимо, когда две системы взаимодействуют (см. разд. 3.1). Однако любой вектор | хр>, представляющий состояние связанной системы, можно всегда записать в виде суммы прямых произведений:

I ^> = S я (Af, m) | М) | т),(А.6)

Мт

где М = ±1, 0, т = ±1/2.

Прямое произведение состояний обладает следующими важными свойствами. Скалярное произведение определяется соотношением

(М', n'\N, n) = <N'Winin').

Матричные элементы оператора Q(/?), действующего только на пространство R, имеют вид

<N', n'\Q(R)\N, n) = (N'\Q(R)\N}(n'\n),(А.7)

прямое произведение операторов записывается следующим образом:

<N', n'\QWXQ^\N, n^^W^Q^R^NXn^QH^. (А.8)

Рассмотрим теперь смесь состояний |Д, «>, представленных матрицей плотности

Р = £ WN, п | N, п) <N, п |,(А.9)

N, п

где WNn есть вероятность обнаружить систему в состоянии |А, п> = ]Д>]п>. Две системы являются некоррелированными, если

WNn = WNWn,(АЛО)

т. е. если вероятность обнаружить одну систему в состоянии \N> не зависит от вероятности обнаружить другую систему в состоянии |п>. Если условие (АЛО) выполняется, то, согласно (А.5) и (А.9),

Р = (Е ^|А)(А|)(1 Гп|п)(и|)=р(А)Хр(п).(АЛ 1)

Таким образом, в частном случае некоррелированных систем. полная матрица плотности представляется прямым произведением матриц отдельных систем.

В качестве примера рассмотрим два ансамбля частиц со спинами Si и S2. В отсутствие взаимодействия две системы некоррелированы и описываются матрицами плотности p(Si) и p(S2). Тогда объединенная система характеризуется матрицей плотности

Pin=p(Si)Xp(s2).

Разлагая матрицы плотности p(Si) и p(S2) по спин-тензорам согласно разд. 4.4, получаем

Р.п =[g,(7(S,)y ^.^[ЕШ)],) T(S^,]-

= S Ц (S,)y <J ($,)]„> [Г ($,),„ х т (S,),J. (А.12) - KQM

Используя соотношения (А.26), (4.2.24) и (4.2.25), получаем след:

1г [р,„ (г (S,)^. XI)]- Z ЦIS,^ (т (Sjy X

X tr [7 (S,)K„ XI №)„] [г ($,)*.<,. XI]-

= (252+1)-''.(Г(5,)го)<Г№)„>

С учетом (4.3.14) окончательно имеем

(г (say=tr Pln [г (sj^, х 1].(а. 13)

Подобным образом спин-тензоры, характеризующие только вторую систему, определяются выражением

(Т ^2Ук) = tr pln [1 X Т (S2)*J.(А. 14)

Выражения (А.12) — (А.14) используются, например, в теории рассеяния для описания начального состояния поляризованных частиц.

Б. Мультиполи состояния связанных систем

Рассмотрим две взаимодействующие системы, имеющие моменты J и I. Эти две системы могут быть образованы двумя различными ансамблями частиц, например электронами со спином / = 1/2 и атомами со спином J, или двумя различными характеристиками одного и того же состояния (например, атомное состояние может характеризоваться электронным угловым моментом 7 и ядерным спином /).

Мультиполи состояния, описывающие связанную систему, можно построить, связывая сначала состояния ]7М) и |/т> в собственные состояния оператора полного углового момента F, а затем используя эти собственные состояния F для построения тензорных операторов T(F'F)KQ по формуле (4.2.3) и мультиполей состояний согласно (4.3.3).

Часто оказывается более удобным другой способ представления полной матрицы плотности. Возьмем набор всех тензорных операторов Ту^кд и Т (l)kq, описывающих отдельные подсистемы (А ^ 27, 6^27), и построим набор всех прямых произведений T(J)Kq X ТЦ)^, как описано в приложении А. Любой оператор, действующий на полном пространстве, натянутом на прямые произведения |7М>|/т>, можно разложить по этому набору. Следовательно,

р - Е <Т u4Q X Т ц^ [Г </)w X 7 (/)„].(Б. 0

Согласно приложению А, мультиполи состояния определяются из (Б.1) путем вычисления следа:

<7 «^ X 7 (/£,) = tr р [7 (7)^ X 7 (/у.(Б.2)

Если две системы некоррелированы, то, как следует из приложения А,

<Т (/& X Т О=(т ^у (т uQ(Б.З)

Во многих случаях особый интерес представляют параметры

<Т (<Q X О - (2/ + 1)'А' (т U^KQ X т (/)оо>.(Б.4)

В выражении (Б.4) использовано соотношение (4.2.14) и 1 есть (2/4- 1)-мерная единичная матрица. Используя (А.86), легко показать, что

(J 1<Q X О = tr р [Г ^KQ X 1] = tr [р (7) Т (7)*J(Б.5)

где р(7)—приведенная матрица плотности, описывающая только систему J;

UM' IР(7) | JM) = 2 УМ', 1т\р\Ш, [ту

т

Поэтому, если нас интересует только система 7, а система / не наблюдается, то следует рассматривать только набор мультиполей (Т (7)^ X 1) = ^Г WkqY Точно так же если наблюдается только система /, то представляют интерес мультиполи (1 X Т (7)^) = (Г (7)^). Соответствующие примеры приведены в разд. 4.7. В качестве еще одного примера рассмотрим эксперименты по рассеянию поляризованных частиц со спинами 7 и 7. Для определения поляризационных состояний одной из систем 7 или 7, когда состояния другой системы не поляризованы или не регистрируются, можно использовать набор всех спин-тензоров, соответственно <7 (7)^0 X 1) или <1 X Т иУкЧ\ Если измеряется поляризация обеих систем в эксперименте на совпадения, то нужно рассматривать некоторые или все параметры, для которых К и к одновременно отличны от нуля. Используя для pout выражение (Б.2), для pin — выражение (А.12) и соотношение (Д.5), можно связать спин-тензоры конечных состояний со спин-тен- зорами начальных состояний.

Наконец, приведем соотношение между «связанными» тензорами T^F'F^'q' и «несвязанными» операторами T^kqX XTUW

Т <F'FVq- = X [(2/<+1)(2^ + KQM

'КX (AQ, кд | AV) 7'КX (AQ, кд | AV) 7ккКК(Б.6)(Б.6)

'К

X (AQ, кд | AV) 7

'К

X (AQ, кд | AV) 7

к

к

К

К

(Б.6)

(Б.6)

где {...} означает 9/-символ.где {...} означает 9/-символ.Обратное соотношение можноОбратное соотношение можно

где {...} означает 9/-символ.

где {...} означает 9/-символ.

Обратное соотношение можно

Обратное соотношение можно

получить, используя свойства ортогональности 9/-спмвола:

TWkqXTW^ X [(2К + 1)(2^ + 1)(2Н+1)(2^+1)]'лХ

FF'K'Q'

'К к К'*

XWQ, kq\K'Q'}\j 1 fAt^'F^q,. (Б.7)

17 / F

В частном случае к = 0 соотношение (Б.7) дает

Т Wkq X 1 = (2/ + 1)'/j [Г UkQ X Т (/)00] =

= £ [(20 + 1)(2F4- ^(-О^^Г, F. ^V^'^kq- (Б-8) F'FU ' U

Аналогичное соотношение справедливо и для тензорных операторов ХХТЦ^кч, описывающих только систему /, когда система J не наблюдается.

В. Формулы теории углового момента

Коэффициенты Клебша—Гордана

Z ОХ ^1JM) (W, J2M21 JM) = Ьм,м б^м , (В. 1 а)

JM2 2

у (JtMb JoMolfM^U^b 72М2|7М) = 6гДИлг. (В. 16)

Свойства симметрии: (7,МЬ 72Л12|7Л7) =

=(-1)=(-1)=(-1)=(-1)71 + /2 — ^71 + /2 — ^/ l-VJs-!/ l-VJs-!^-Л!,. J2-M2IJ-M) =U2,m21 jvmv\jm^ =^-Л!,. J2-M2IJ-M) =U2,m21 jvmv\jm^ =(В.2а)(В.26)(В.2а)(В.26)

=(-1)=(-1)

=(-1)=(-1)

71 + /2 — ^

71 + /2 — ^

/ l-VJs-!

/ l-VJs-!

^-Л!,. J2-M2IJ-M) =

U2,m21 jvmv\jm^ =

^-Л!,. J2-M2IJ-M) =

U2,m21 jvmv\jm^ =

(В.2а)

(В.26)

(В.2а)

(В.26)

=[(27 + 1)/(272 + 1)],/2(-1/1'Л,‘ (ЛМь J-M\l2- М^ (В.2в) =[(27 -[- 0/(271 4- 1)]'/!(-1)л+мЧ/ - М, 12М2\1Х-М^= (В.2г)

3 ]-С1Ш6ОЛЫ

Определение:

7, 72 7

51! М.2 М

ухмь J2M2\J-M). (В.З)

Соотношения ортогональности:

2 (27 + 1)JM2 (27 + 1)JM71 72•М, М271 72•М, М2^ А Г ^ ^2 ^ А$ м/хм{ м'. м/ ^л,1 М2М2^ А Г ^ ^2 ^ А$ м/хм{ м'. м/ ^л,1 М2М2Е( м,м,Е( м,м,71 72 7 X / 71 /2 7Mj М2 MVkMi м2 м71 72 7 X / 71 /2 7Mj М2 MVkMi м2 м-^г^Ышг.-^г^Ышг.(В. 4а)(В.46)(В. 4а)(В.46)

2 (27 + 1)

JM

2 (27 + 1)

JM

71 72

•М, М2

71 72

•М, М2

^ А Г ^ ^2 ^ А$ м/хм{ м'. м/ ^л,1 М2М2

^ А Г ^ ^2 ^ А$ м/хм{ м'. м/ ^л,1 М2М2

Е( м,м,

Е( м,м,

71 72 7 X / 71 /2 7

Mj М2 MVkMi м2 м

71 72 7 X / 71 /2 7

Mj М2 MVkMi м2 м

-^г^Ышг.

-^г^Ышг.

(В. 4а)

(В.46)

(В. 4а)

(В.46)

Свойства симметрии: 3/-символ не изменяется при циклической перестановке его столбцов и умножается на (— i)/,+/2+J при нециклической перестановке. В частности,

71 72 7 XМх м2 м)71 72 7 XМх м2 м)72 1 ^1 X к 3 ^ । 7q X,м2 м mJ дм мх mJ72 1 ^1 X к 3 ^ । 7q X,м2 м mJ дм мх mJ/Jx 72 ^( ^ i\ 1VM, M2 m) 11 W2 Mi M/Jx 72 ^( ^ i\ 1VM, M2 m) 11 W2 Mi Mh+h+J Г к ^2 J\—Mi —M2 —Mh+h+J Г к ^2 J\—Mi —M2 —M(B.5a)(B.56).(B.5b)(B.5a)(B.56).(B.5b)

71 72 7 X

Мх м2 м)

71 72 7 X

Мх м2 м)

72 1 ^1 X к 3 ^ । 7q X,м2 м mJ дм мх mJ

72 1 ^1 X к 3 ^ । 7q X,м2 м mJ дм мх mJ

/Jx 72 ^( ^ i\ 1

VM, M2 m) 11 W2 Mi M

/Jx 72 ^( ^ i\ 1

VM, M2 m) 11 W2 Mi M

h+h+J Г к ^2 J\—Mi —M2 —M

h+h+J Г к ^2 J\—Mi —M2 —M

(B.5a)

(B.56).

(B.5b)

(B.5a)

(B.56).

(B.5b)

Частный случай:

/ Ji /о 0\^^)J|—Alt

Im, -m2 0/ = "(^b^ ^^^M.(B.6)

6)-симеолы

Определение:

J7i 72 73") l/l /2 /з)”

= Г („пЕ^+Х/.+Ет/ ;1 J2 J3 A

по всем M^ m^\—^1 —М2 —М3/

/ Л к /з V 11 72 hX/j, /2J3\

^AMt m2 —Шз/х—пц M2 m3j\tnx —m2 M3)‘' '

Симметрия: 6/-спмвол не изменяется при перестановке двух любых столбцов и при перестановке любых двух элементов верхней строки с двумя элементами, расположенными под ними, например

{

71 72 73)(Jt Ja 72)( jx j2 /3"|

, /i /2 /з)1 /1 /з h31.71 72 /J

/1 7» /3VМ, —М2 mJ \ х г h /2 /з / \/П1 т2 т3/1 7» /3VМ, —М2 mJ \ х г h /2 /з / \/П1 т2 т372 /з /1М2 —М3 тх72 /з /1М2 —М3 тхСвертка:

/1 7» /3V

М, —М2 mJ \ х г h /2 /з / \/П1 т2 т3

/1 7» /3V

М, —М2 mJ \ х г h /2 /з / \/П1 т2 т3

72 /з /1

М2 —М3 тх

72 /з /1

М2 —М3 тх

^^^|)/14-/24"^з4-^14~^24-^*

(В.9)(В.9)хМ1МА

(В.9)

(В.9)

Ортогональность: их12г\иа2П л

Х(2/+ 1)(2Г + 1){;> Ал(В.10)

Частное значение:

(A J2 -М(-р'.+А+Уз^ н)

io 73 /2j[(2/2+1) (2/з +ВГ'1

Элементы матрицы поворотов

Определение:,

D <\Мм'м = ехР Vм'^ d ^м-м ехР (1Л^“)-(В• 12)

Симметрия:

d <„ = d <-»& = <-»'"" “ *& =(-1)"'‘" d №>-”-"’

(В. 13)

оьМ™=(-1),,’""о №)"'„.-„•<ВЛ4>

Частное значение:

dKl-M-^'X-M- d(.C„-6M.M.(B.I5)

Связь со сферическими функциями YJM и полиномами

Лежандра Pj:

D^a^a = ^MVWJ-V\^kY^jM, (В.16а)

П(уР«С = [4л/(27 + 1)1'ЬГ (Нм>(ВЛ66)

П(у₽а)оо =P(cos₽)r(В.16в)

пь.

J3 J\

А -Mt

Произведение (и = уРа):

(В. 17)(В. 17)D^f') D^toV/м

(В. 17)

(В. 17)

= X (27 + 1) I / / ')(., х, /.илг Mil Л12 /и /Х^И, Л12 М/

Ортогональность:

$ D CyP°)^ D ^^мм- sin ₽ J₽ du d^ =

= [8л2/(2/ + 1)] bn^mMbm-№. (B.18)

Матричные элементы неприводимых тензорных операторов. Теорема Вигнера—Эккарта:

W|7’KQ|/M> = (-l)r-A1/f 7 К ^ПМ^.(В.19)

Редукция для сложной системы (£+$ = /, U + S' — Г^: Если тензорный оператор TKq действует только на систему с угловыми моментами L, L', то

<(£'£') Л 7 К ||(£S) П = (— l/''-^^* |(2Г + 1) (2J + 1)]V’X (L' Г S)

Х1/ L ^J^'H^ll^W (В.20)

Г. Эффективность измерительного прибора

Диагональные элементы <п|р|/г> матрицы плотности дают вероятность обнаружить чистое состояние ]«> при экспериментальном наблюдении. Однако в большинстве экспериментальных ситуаций, которые можно представить, обнаруживается на единственное чистое состояие. Детектор в общем случае реагирует на несколько состояний |н> с относительными вероятностями («эффективностями») еп. Полная вероятность срабатывания прибора определяется в представлении базисных векторов |и> выражением

^= Е е„<п|р|п).(ГД)

Введем оператор, аналогичный оператору плотности (2.2.1): е = Е en I и) <« I;(Г.2)

п

тогда выражение (Г.1) можно представить в виде

W = tr ре.(Г.З)

Оператор е называется «матрицей эффективности» измерительного прибора и полностью описывает его реакцию. Если прибор с достоверностью реагирует только на одно состояние |и> (т. е. является идеальным фильтром), то е —|н><и|.

В этом случае из смеси можно выделить определенное чистое состояние |п> и (Г.1) сводится к выражению

IE = r„=(«|p|n).(Г.4)

В качестве примера рассмотрим измерение поляризации частиц со спином 1/2. Матрица эффективности е поляризационного фильтра есть 2 X 2-матрица, которую можно разложить по системе из матриц Паули и двумерной единичной матрицы аналогично разложению матрицы плотности в разд. 1.1.5:

е = (1/2) (1+ ^Qzaz) = (1/2) (1+Qo).(Г.5)

Преобразуя к представлению с базисными состояниями |±1/2, z'>, где матрица е диагональна, находим

е — 2 V о 1 - q)е — 2 V о 1 - q)(Г.6)(Г.6)

е — 2 V о 1 - q)

е — 2 V о 1 - q)

(Г.6)

(Г.6)

где Q=|Q|. Таким образом, в этом представлении е имеет

вид

e = (l/2)(l + Q)| 1/2, z')(l/2, z'| + (l/2)0-Q)X

XJ-1/2, 2')(-l/2, z'|; (Г.7)

это выражение связывает параметр Q с эффективностями выделения фильтром состояний | + 1/2, z'>.

Далее, из соотношений (1.1.46) и (Г.5) следует, что

IE = tr ре = (1/2) (1 + PQ)(Г.8)

Поэтому W имеет максимальное значение lE^, когда Р и Q параллельны, и минимальное значение IE44., когда Р и Q ан- типараллельны. Отсюда следует, что Q определяет направление, в котором должен быть ориентирован поляризационный фильтр для получения максимальной реакции.

Итак, чтобы определить поляризацию Р данного пучка с помощью фильтра с известным Q, нужно менять ориентацию фильтра до тех пор, пока IE не достигнет максимального значения. Это направление и есть направление Р. Если параметр Q известен, то абсолютную величину вектора поляризации | Р| можно найти, измерив значения 1Ем и W7^, соответствующие максимальной и минимальной чувствительности, и воспользовавшись формулой

р_ ^~^,Г9)

Д. Оператор рассеяния и оператор перехода

В теории рассеяния удобно рассматривать начальное состояние частиц как вектор |фщ>, относящийся к бесконечно удаленному прошлому, когда взаимодействием частиц можно пренебречь, а конечное состояние как вектор |фОи0, относящийся к бесконечно удаленному моменту будущего, соответствующему такому большому расстоянию между частицами, что взаимодействием между ними снова можно пренебречь. Тогда S-матрицу можно определить соотношением

l^ut> = S|ipin>,(Д.1)

т. е. процесс столкновения рассматривается как «черный ящик», который математически описывается величиной S, преобразующей in-состояния в out-состояния. Если начальное состояние описывается матрицей плотности

P^ZrJ^M'h

то матрица плотности роие описывающая конечное состояние, получается при действии на рщ операторов S и S+:

SpinS* = £ Г ZSI<) <C I s+ = i

= Z Wi I ^out) Ш I = Pout. (Д.2)

Поскольку обычно рассматриваются переходы между различными состояниями, удобно вычесть из S единичный оператор 1 и определить оператор перехода;

7 = 5 —1.(Д.З)

Из (Д.1) и (Д.2) следует

Г I-фщ> = I ^Out> — | 1pin>.(Д.4) .

Все возможные переходы (рассеяние, реакции) в системе связаны с различием начального и конечного состояний, т. е. -. Т преобразует in-состояние в состояния рассеяния. Тогда ^ представляет интерес та часть матрицы плотности (Д.2), ко- j торая содержит информацию только о состояниях рассеяния; она имеет вид

Pout^rpinT1".(Д.5) j

Главная задача теории рассеяния заключается в опреде- > лении Т, т. е. в определении всех матричных элементов Т (см. разд. 3.5.).?

Литература *)

Abraoam А. (1961). The Principles of Nuclear Magnetism. — Oxford: Clarendon Press. [Имеется перевод: Абрагам А. Ядсрный магнетизм. — M.: ИЛ’Млександров И. В. (1975). Теория магнитной релаксации. — М.: Нау- К8, Andra Н. J. (1974). Physica Scripta, v. 9, р. 252.

Andra Н. J. (1971). —in: Progress in Atomic Spectroscopy/ed. W. Han- Ie, H. Kleinpoppen. - NY: Plenum Press.

Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М„ Питаевскии Л. П. (1968). Релятивистская квантовая теория Ч. I. — М.: Наука.

Baylis W. Е. (1979). —in: Progress in Atomic Speclrosiopy/ed. W. Han- Ie H Kleinpoppen. - NY: Plenum Press

Bloch F. (1946).-Phys Rev., v 70, p. 460

Bloch F„ Wangsness R. K. (1952). — Phys. Rev., v. 89, p. 728.

Blum K., Kleinpoppen H. (1979). — Phys. R^p., v. 52 p. 203.

Blum K. Kleinpoppen H. (1981).-Adv. At. Mo Phys в печати.

«Боголюбов H. Н. (1970). Избранные труды. — Киев: Наукова думка. "■'Боголюбов Н. Н. (1959). — ДАН СССР, т. 126, с. 53.

Born М., Wolf Е. (1970). Principles of Optics. — NY: Pergamon Press [Имеется перевод: Борн M„ Вольф Э- Основы оптики. -М.: Наука, 1970]

Bosse L, Gabriel Н. (1974). —Z. Phys., Bd. 266, S. 283.

Brink D. M„ Satchler G. R. (1962). Angular Momentum. - Oxford: С1аГ BtS P^G., Joachain C. J. (1982). Theory of Electron - Atom Scattering — NY: Plenum Press.

6 Burns D„ Hancock W. IL ('971)--Phys. Rev. Lett, v. 27, p. 370.

Chow IE., Scully M. O., Stoner W. (1975). — Phys. Rev., v. All, P' ^Cohen-Tannouidji C. (1962).-Ann. Phys. (Paris), v. 7, p. 423

Cohen-Tannouidji C„ Kastler A. (1966).-in: Progress in Optics/ed. E Wolf v. 5. — Amsterdam, North-Holland.

Gorney A. (1977). Atomic and Laser Spectroscopy. — Oxford, Clarendon ^d’Espagnat B. (1976). Conceptual Foundations of Quantum Mecha- ^^ко^В. И. (1964). — ЖЭТФ, t. 47, c 1483..

Edmonds A. R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics.- Princeten: Princeton University Press. [Имеется перевод: Эдмондс А. Угловые моменты в квантовой механике. — М.: ИЛ, 1УЫ.],

Eminyan М., McAdam К., Sleuin L, Kleinpoppen Н. (1974). —J. Phys., v. В7, р. 1519.

‘) Работы, отмеченные звездочкой, добавлены редактором перевода.

Поим. ред.

Fano U. (1953). — Phys. Rev., v. 90, p. 577.

Fano U. (1957). — Rev. Mod. Phys., v. 29, p. 74.

Fano U., Komoto M. (1977). — X. ICPEAC, Paris, Abstract of Papers, p. 516.

Fano U„ Macek J. (1973). — Rev. Mod. Phys., v. 45, p. 553.

Farago P. S. (.971).— Rep Prog. Phys., v. 34, p. 1055.

Feynmann R. F., Vernon F. L, Hellwarth R. W. (1957). — J. Appl. Phys., v. 28, p. 49.

Gabriel H. (1969). — Phys. Rev., v. 781, p. 506.

Gottfried К (1966). Quantum Mechanics. — NY: Benjamin.

Haake F. '1973). —in: Springer Tracts of Modern Physics, v. 66.— Berlin: Springei

Haken H. (1970). — in: Encyclopedia of Physics, v. XXV/2c. — Berlin: Springer.

Haken H. (1978). Synergetics—Berlin, Springer. [Имеется перевод: Xa- кен Г. Синергетика. — М.: Мир, 1980.]

Hanle IF. (1924). —Z. Phys., Bd. 30, S. 93.

Hanle W., Kleinpoppen H. (1978, 1979). Progress in Atomic Spectroscopy, v. A, B. — NY: Plenum Press.

Hopper W. (1972). — Rev. Mod. Phys., v. 44, p. 169.

Herman H. W., Hertel I. V. (1979). — in: Coherence and Correlation in Atomic Physics/ed. H. Kleinpoppen, J. F. Williams. — NY: Plenum Press

Hertel I. V., Stoll IF. x1978) — Adv. At. Mol. Phys., v. 13, p. 113.

Hollywood M. I., Crowe A., Williams L F. (1979).—J. Phvs., v B12 p. 819.

Jammer M. (1974). The Philosophy of Quantum Mechanics. — NY: Wiley.

lauch J. M. (1973). Are Quanta Real? — Bloomington: Indiana University Press.

Kessler J. (1976). Polarised Electrons. — Berlin: Springer.

King G., Adams A., Read F. H. (1972).—J. Phys., v. B5. p. L254.

Kleinpoppen H. (1969). — in: Physics of the One and Two Electron Atoms./ed. F. Bopp, H. Kleinpoppen. — Amsterdam: North-Holland.

Lamb F. K., Ter Haar D. (1971). — Phys. Rep., v. 2, p. 253

Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. (1963). Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — М.: Наука.

* Landau L. D. (1927).— Z. Phys., Bd. 45, S 430.

Loisell IF. H. (1973). — Quantum Statistical Properties of Radiation.— NY: Wiley.

Macek J., Burns D. (1976). — in: Beam Foil Spectroscopy/ed. S. Bashkin. — Berlin: Springer.

Macek J., Jaecks D. H. (1971). — Phys. Rev., v. A4, p. 1288.

McConkey J. IF. (1980). — in: Coherence and Correlation in Atomic Physics/ed. H. Kleinpoppen, J. F. Williams. — NY: Plenum Press.

McMaster IF. (1954). — Am. J. Phys., v. 22, p. 357.

Messiah A. (1965). Quantum Mechanics. — Amsterdam: North-Holland.

[Имеется перевод: Мессии А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1972.]

Omont А. (1977). — Prog. Quantum Electron., v. 5, p. 69.

Pauli IF. (1928). Sommerfeld-Festschrift. — Leipzig: Hirzel.

Percival I. C., Seaton M. J. (1957).— Phil. Trans. R. Soc. v A251 p. 113.

Prigogine I. (1981). — The Microscopic Theory of Irreversible Processes, в печати.

Robson В. A. (1974). — The Theory of Polarisation Phenomena. — Oxford: Clarendon Press.

Rodberg J. S., Thaler R. M. (1967). Introduction to the Quantum Theory of Scattering. — NY: Academic Press.

Roman Р. (1965). Advanced Quantum Mechanics. — NY: Addison-Wes-

Sargent M., Scully M. O., Lamb W. E. (1974). Laser Physics. — NY: Addison-Wesley.

Series G. W„ Dodd J. N. (1978). —in: Progress in Atomic Spectrosco- py/ed. W Hanle, H. Kleinpoppen. — NY: Plenum Press.

*Сликтер 4. (1967). Основы теории магнитного резонанса.—М.: Мир.

Steven R. М., Alder К. (1975). —in: Electromagnetic Interactions in Nuclear Spectroscopy/ed. W. D. Hamilton. — Amsterdam, North-Holland.

Steph N. C„ Golden D. E. (1980). —Phys. Rev., v. A21, p. 1848.

ter Haar D. (1961). —Rep. Prog. Phys., v. 24, p. 304.

Tolman R. C. (1954). The Principles of Statistical Mechanics. — L: Oxford University Press.

*Тябликов С. B. (1975). Методы квантовой теории магнетизма. — М.: Наука, 1975.

von Neumann I. (1927). — Gottinger Nachrichten, 245.

yon Neumann I. (1955). Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. — L.: Oxford University Press. [Имеется перевод: фон Нейман И. Математические основы квантовой механики. — М.: Наука, 1964.]

Walther Н. (1976). Laser Spectroscopy of Atoms and Molecules. — Berlin: Springer.

Зубарев Д. H. (1971). Неравновесная статистическая механика. — M.: Наука.

*3убарев Д. Н. (1960) —УФН, т. 71, с. 71.

Zwanzig R. (I960). —J. Chem. Phys., v. 33, p. 1338.

Анизотропное возбуждение 154

Базисные состояния 51

Векторная поляризация 121

Векторный оператор 110

Вектор ориентации 117

Вектор поляризации фотонов 34— 36

частиц со спином '/г 16—

18

1 120

Возбуждение пучка при прохождении сквозь фольгу 156, 158 — светом, геометрические характеристики 128

Возмущенное угловое распределение 156—160

Восприимчивость 224

Временная эволюция вектора состояния 63—66 мультиполей состояний 134—

144

необратимая 84, 186, 193 обратимая 84

■смешанных состояний 63— 68

Время релаксации 210 Выстроенность атомов 117, 125 173, 218

Деполяризация фотонов 153, 162— 163, 170, 174, 183

— частиц со спином */2 92 Дипольное излучение, правила отбора для мультиполей состояний 153

Дисперсионная форма кривой 181 Дифференциальное сечение 98

Закон Кюри 77

Замкнутая квантовомеханическая система 82

Золотое правило 196

Инвариантность относительно отражений 131—133

поворотов 123—127

Инверсия заселенностей 205

Индуцированное излучение 198—

205

Квадрупольный момент 117

Квантовые биения 58, 59, 154— 160

Когерентная суперпозиция 61,63, 99, 115, 124, 155, 199

Когерентные эффекты в столкновениях 92—99

— — вызванные магнитным полем 175—179, 199

и квантовые биения 154, 157—160, 176

и угловые распределения 155

и эффекты релаксации 211—213

Корреляционная функция 188, 189

Корреляционное время 188

Коэффициенты возмущения 134— 136

для взаимодействия сверхтонкой структуры 141

тонкой структуры 141, 163—164

— магнитного поля 143—144

формализм Лиувилля 221

— Клебша — Гордана 233

Крупнозернистое усреднение 190

Ларморовская частота 444

Лоренцевская форма кривой 181

Магнитная деполяризация 183

Магнитный резонанс 199, 205— 209

Марковское приближение 187, 189, 193

Матрица плотности, временная эволюция 66—73, 82—84, 145— 149, 183—193

в формализме Лиувилля 218—222

диагональные элементы и вероятность 54

мультипольное разложение 113—118

нормировка 41, 55

прямое произведение 230

число независимых параметров 26, 56, 100, 101

■— эрмитовость 54

поворотов 109, 235

релаксации 215, 216

в формализме Лиувилля 220

эффективности 236

Матрицы Паули 15, 30—33, 74, 208, 213

Мультиполи состояния аксиально- симметричных систем 123—126 атомов 129, 134, 149—151 — — в пространстве Лиувилля 218—221

— временная эволюция 134— 141

комплексное сопряжение 116

некоррелированных систем 231

— — определение 114 релаксация 216—218 связанных систем 231—233 — — сферически-симметричных систем 126—127

— трансформационные свойства 116

условие эрмитовости 115

Некогерентная суперпозиция 61, 62, 80, 89, 92

Некоррелированные системы 230— 231

Необратимые процессы 84, 184— 186, 193, 224

Оператор временной эволюции 63—66, 70, 71

—-в пространстве Лиувилля 221

Оператор Лиувилля 220

— перехода 97, 238

— плотности 53

для фотонов 40

частиц со спином V2 23

— рассеяния 97, 238

— среднее значение 53, 55

для подсистемы 82

— углового момента НО, 111

Оптическая накачка 204

и релаксация 217—218

Ориентация атомов 117, 118, 126, 129, 142, 217, 218

Основное кинетическое уравнение 193—198, 201

обобщенное 193

Открытые квантовомеханические системы 83

временная эволюция 83, 84, 184—193

Параметры Стокса 43—46, 167—

169, 171, 179, 180

Полиномы Лежандра 235

Полностью когерентная суперпозиция 61, 93, 94, 102, 158, 169

Поляризация атомов 118

— излучения при пороговом возбуждении 173—175

электронном ударе 170—

173

— фотонов 35, 36, 87, 94, 169

— частиц со спином */2 21, 91

-со спином 1 122

Представление векторов состояния 51

— взаимодействия 68—73

— матрицы плотности 23, 41, 53

— Шредингера 69

Приближение вращающейся волны 202, 203

Приведенная матрица плотности 81—85, 185, 232

— — — атомов 98, 132, 138

фотонов 88, 146—151

частиц со спином V2 92

Приведенные матричные элементы 113

Принцип детального баланса 196 — несепарабельности 78—81 — суперпозиции 51

Причинность 224

Прямое произведение 96, 228—233

Псевдоспин 213

Ранг тензорного оператора 110

Рассеяние, зависящее от спинов 232

Релаксация 183

— изотропная 217

— поперечная 209—213

— продольная 209—213

Сверхтонкая структура 140, 141

Сдвиг линии 205

Система координат, связанная с детектором 166

— со столкновением 96, 150, 166

Скалярный оператор НО

Скорость перехода 195—197

Смешанные состояния 53

фотонов 37

частиц по спином ’/г 18

Совпадения электрон-фотонные 165—170

Соотношение полноты 52

в пространстве Лиувилля 219

Сопряженное состояние 15, 40, 52

Сопряженный тензорный оператор 112

Сохранение полного спина 100

Спиновая прецессия 73—74 Спиновое эхо 211—212

Спиновые состояния 13, 15, 20, 33

Спип-орбитальная связь 95, 137, 158

Сппн-решеточное взаимодействие 210

Спин-тензоры 119—121, 230—231

Спиральность фотонов 39, 40

Спонтанное излучение 201

Статистические тензоры см. Мультиполи состояния

Статистический оператор см. Оператор плотности

Супероператор 220

— релаксации 220

Сферические гармоники 235

Зу-символ 233

6/-СИМВОЛ 234

9/-СНМВОЛ 232

Тензор выстроенности 117

Тензорная поляризация 121

Тензорный оператор 105—113

Теорема Вигнера-Эккарта 113, 236

Тепловое равновесие 74, 197

Тонкая структура, квантовые биения 157—160

расщепление 140

Угловые корреляции 165—170

Уравнение Лиувилля 67, 72, 83, 221

Уравнения Блоха для магнитного резонанса 205—213

«оптические» 213—214

Условия ортогональности в пространстве Лиувилля 219

коэффициентов Клебша —

Гордана 233

3/-С11мволов 234

— эрмитовостп 54

Уширение линии 205

Фильтр Штерна — Герлаха 12

Формализм линейного отклика

222—225

Формула Кубо 224

Функции Грина 223

Хаотическое распределение 58

Чистые состояния 50

возбужденных атомов 94, 102

фотонов 36, 48, 94

— — частиц со спином */2 13, 33

— — — со спином 1 122

Эффект Ханле 179—183

Оглавление

Предисловие редактора перевод? 5

Предисловие 7

Глава 1. Основные понятия12

Спиновые состояния и матрица плотности для частиц со спином 1/212

Чистые спиновые состояния .12

Вектор поляризации 15

Смешанные спиновые состояния18

Сравнение чистых и смешанных состояний . ..21

5. Спиновая матрица плотности н ее основные свойства 23

Алгебра матриц Паули 30

Выводы 33

Состояние поляризации и матрица плотности для фотонов 34

Классическое понятие поляризации волны . . . 34

Чистые и смешанные состояния поляризации фото'

нов36

Квантовомеханическое понятие спина фотона... 38

Матрица плотности для поляризаций ....41

Описание посредством параметров Стокса...43

Глава 2. Общая теория матрицы плотности49

Чистые и смешанныеквантовые состояния49

Матрица плотности иее основные свойства53

Когерентность и некогерентность58

Элементарная теория квантовых биений.... 58

Понятие когерентной суперпозиции61

Временная эволюциястатистических смесей63

Оператор временной эволюции63

Уравнение Лиувилля66

Представление взаимодействия 68

Спиновая прецессияв магнитном поле73

Системы в тепловомравновесии 74

1лава 3. Связанные системы78

Несепарабельность квантовых систем после взаимодействия 78

Взаимодействие с системой, не подвергаемой наблюдению.

Приведенная матрица плотности81

Анализ света, излученного атомами(ядрами)85

Свойства когерентности состояний поляризации . . 85

Описание излученных фотонов88.

Некоторые дальнейшие следствия из принципа несепара- бельиости 90

Спиновая деполяризация за счет столкновений . . 90

«Полная когерентность» возбуждений атомов . . 92

Возбуждение атомов электронным ударом I ..... 94

Приведенная матрица плотности атомной системы . 94

Ограничения, обусловленные требованиями симметрии 99

Глава 4. Неприводимые компоненты матрицы плотности104

Введение 104

Определение тензорных операторов105

Общее правило построения105

Трансформационные свойства при поворотах. Матрица поворотов108

Примеры ПО

Некоторые свойства тензорных операторов... 112

Мультиполи состояния (статистические тензоры)...113

Определение мультиполей состояния113

Основные свойства мультиполей состояния . . .115

Физическая интерпретация мультиполей состояния. Вектор ориентации и тензор выстроенности 116

Примеры. Спин-тензоры118

1. Спин-тензоры для частиц со спином 1/2. . .118

.2. Описание частиц со спином 1119

Свойства симметрии. Связь между симметрией и когерентностью 123

Аксиально-симметричные системы123

Сферически-симметричные системы 126

Примеры. Фотопоглощение на атомах (ядрах) . . 128

Возбуждение атомов электронным ударом II. Мультиполи состояния129

Возникновение атомной ориентации при столкновениях 129

Общие следствия инвариантности относительно отражений 131

Аксиально-симметричные атомные системы . ... 134

Временная эволюция мультиполей состояний при наличии внешнего возмущения134

Коэффициенты возмущения134

Коэффициенты возмущений для взаимодействий, об условливающих тонкую и сверхтонкую структуру 1.36

Явный пример 141

Влияние внешнего магнитного поля143

Обозначения, используемые другими авторами . . . . 144

Глава 5. Излучение поляризованных атомов. Квантовые биения . . . 145

Общая теория I. Описание процессов радиационного распада с помощью матрицы плотности145

Общая теория II. Разделение динамических и геометрических факторов149

Обсуждение общих формул ....151

Общая структура уравнений151

Проявление когерентности. Квантовые биения 154

Возмущенное угловое распределение и поляризация . . 156

Общая теория156

Квантовые биения, вызванные «нарушением симметрии» 157

Временное интегрирование по квантовым биениям . . . 160

. Стационарное возбуждение160

Эффекты деполяризации, вызванные тонкой и сверхтонкой структурой162

Глава 6. Некоторые приложения165

Теория электрон-фотонпых угловых корреляций в атомной физике165

Синглет-синглетные переходы 165

Влияние тонкого и сверхтонкого взаимодействия на испускаемое излучение 169

Стационарное возбуждение170

Поляризация ударного излучения170

Пороговое п псевдопороговое возбуждение . . . 173

Влияние слабого магнитного поля175

Коэффициенты возмущения для различных геометрий. Явления когерентности175

Магнитная деполяризация. Теория эффекта Ханле 179

Глава 7.Квантовая теория релаксации 184

Уравнения для матрицы плотности диссипативных квантовых систем .. 184

Условия необратимости. Марковские процессы . . 184

Временные корреляционные функции. Обсуждение марковского приближения187

Уравнение релаксации. Секулярное приближение . 190

Основное кинетическое уравнение193

Кинетика индуцированного излучения и поглощения . . 198

Уравнения Блоха 205

Магнитный резонанс205

Продольная и поперечная релаксация. Спиновое эхо 209

«Оптические» уравнения Блоха213

Некоторые свойства матрицы релаксации214

Общие ограничения на элементы матрицы релаксации 214

Релаксация мультиполей состояний°16

Лпувиллиевский формализм218

Линейный отклик квантовой системы на внешнее возмущение 222

Приложения . , , 228

Прямое произведение228

Б. Мультиполи состояния связанных систем231

Формулы теории углового момента233

Г. Эффективность измерительного прибора236

Д. Оператор рассеяния и оператор перехода238

239242239242Литература . . .

239

242

239

242

Предметный указатель

*) Мы рассматриваем только операторы с целым К,

ББК 22.31 Б 70

УДК 530.145.63

Блум К.

Б 70 Теория матрицы плотности и ее приложения. Пер, с англ. — М.: Мир, 1983. —248 с., ил.

Монография известного физика из ФРГ содержит последовательное и доступное изложение теоретических основ метода матрицы плотности и его применений к проблемам квантовой электроники, атомной и молекулярной сйектроскопии, физики необратимых процессов. Основные понятия подробно обсуждаются и иллюстрируются простыми примерами.

Для физиков-теоретиков и экспериментаторов, занимающихся квантовой электроникой, лазерной спектроскопией, ядерной физикой, а также студентов старших курсов и аспирантов соответствующих специальностей.

ББ1704020000—486041(01)—831704020000—486041(01)—8357—84, ч.57—84, ч.11ББК 22.31530.1ББК 22.31530.1

Б

Б

1704020000—486

041(01)—83

1704020000—486

041(01)—83

57—84, ч.

57—84, ч.

1

1

ББК 22.31

530.1

ББК 22.31

530.1

Редакция литературы по физике

© 1981 Plenum Press, New York

© Перевод на русский язык, «Мир», 1983