ПРЕДИСЛОВИЕ

Среди большого числа ядерных образований малочастичные и, в частности, малонуклонные системы представляют собой выделенную группу. Эта выделенность заключается в сравнительно небольшом числе степеней свободы (или динамических переменных), необходимых для полного описания этих систем.

Оказалось, что в этом случае (в задачах трех и четырех тел, например) удается получить математически корректные и трактабельные с вычислительной точки зрения уравнения типа уравнений Фаддеева и Якубовского, безмодельным образом описывающие движение малонуклонных систем. В результате их физические характеристики находятся без привлечения каких-либо априорных представлений о движении частиц, на основе только "первых" принципов. Вследствие этого значительная часть лекций посвящена изложению аппарата уравнений Фадеева и Якубовского и их некоторых альтернативных модификаций. Рассмотрены также различные приближенные методы практического решения этих уравнений.

Наряду со строгими формулировками проблемы трех и четырех тел в лекциях даны и некоторые примеры приближенных динамических уравнений, пригодных в ряде случаев и не требующих для своего решения изощренной техники, необходимой для решения точных уравнений.

Хотелось бы упомянуть также о некоторых качественных особенностях трехчастичных систем. Но прежде чем переходить к этому важному вопросу, заметим, что практически во всех областях физики понимание свойств физической системы достигается тогда, когда эту систему удается представить как некую эффективную одночастичную систему. Примерами такой редукции к концепции одночастичного движения могут служить, например, уравнения Хартри—Фока и метод квазичастиц в задаче многих тел или уравнения Чу—Лоу в теоретико-полевой задаче описания л/V-взаимоде йствия. Стремление к такой редукции представляется, однако, не всегда безопасным, поскольку система с тремя и более степенями свободы, например трехчастичная система, может обладать качественными особенностями и характеристиками, совершенно не свойственными одночастичной модели. В качестве примера таких свойств приведем три.

Так называемый эффект Ефимова, возникающий в системе трех частиц, взаимодействующих друг с другом посредством короткодейству-

ющего потенциала (например, прямоугольная яма) такого, что в парной подсистеме имеется уровень с нулевой или близкой к нулю энергией. В этом случае возможна такая ситуация, когда уровни системы "выталк” ваются" из ямы при углублении потенциала, т.е. имеем зависимость, прямо противоположную той, которая имеет место в задаче двух тел.

Коллапс в системе трех частиц, взаимодействующих посредством парного 5-образного потенциала (эффект Томаса). Как известно, ничего похожего не происходит в системе двух частиц. В тексте лекций мы подробнее остановимся на трактовке этих двух эффектов с некоторой единой точки зрения.

Внемассовые характеристики парной f-матрицы, т.е. для полного описания систем из трех и более частиц оказывается недостаточным иметь только фазы двухчастичного рассеяния или, что то же самое, f-матрицу на массовой поверхности. В этом последнем примере мы сталкиваемся с необходимостью использования новых, не наблюдаемых в задаче двух тел характеристик парного взаимодействия.

Материал лекций подобран таким образом, чтобы слушатели смогли получить сведения, необходимые при практических расчетах свойств квантово-механических систем с небольшим числом степеней свободы. Вследствие этого в тексте много формул. Автор решил довольно подробно остановиться и на приближенных методах решения задачи двух тел. Это сделано не только для последующего использования этих приближений в задаче трех тел. Дело в том, что в существующих курсах по квантовой механике, как правило, излагаются приближенные методы (теория возмущений, борновское приближение и др.), предложенные 40 一 50 лет назад и нуждающиеся, конечно, в дополнениях, которые, по существу, и делаются в тексте. В изложении материала автор следовал в основном своим лекциям, читавшимся в течение ряда лет студентам-теоретикам физического факультета МГУ и других университетов.

Значительная часть материала лекций основана на результатах, рассеянных по многочисленным оригинальным работам, поэтому их содержание мало пересекается с содержанием тех немногих монографий, которые опубликованы на русском языке.

Автор заренее благодарит тех читателей, которые сочтут возможным выразить свои замечания по содержанию лекций.

Лекция первая

ПРОБЛЕМА ДВУХ ТЕЛ

Г.1. Свойства двухчастичной гчиатрицн

В этой лекции мы будем иметь дело только с двухчастичными системами. В конце концов нас будут интересовать характеристики задачи рас- сения, такие, как амплитуда рассеяния и в немассовая f-матрица, а также спектр связанных состояний. В последней части лекции показано, что для отыскания спектра собственных значений системы вовсе нет надобности сшивать функцию в области действия потенциала с внешней функцией, кам это обычно рекомендуется в учебниках. Точно так же длину рассеяния двух частиц, взаимодействующих, например, посредством потенциала Юкавы, ехр (—〃，)/「，найдем, не обращаясь ни к теории возмущений по потенциалу, ни к какому-либо другому стандартному приближению.

В первой части лекции приведены различные общие соотношения для парной f-матрицы.

Итак, пусть имеем уравнение Шредингера для двух частиц в системе центра инерции

(仇 + V-Z)屮(г) = 0,(1.1)

где Но — оператор кинетической энергии относительного движения частиц; V — потенциал взаимодействия, который тоже может быть оператором, например:

卜屮=J<r \ V\ г1) ф (гЭ dr-(1.2)

Далее большинство выкладок выполняются в импульсном представлении, поэтому введем фурьечзбраз парного потенциала

〈к I VM k'〉= J ехр (— i кг) < г I V I г z) exp (ik'r') dr dr '.(1.3)

Для локального потенциала

<r If〉= V (г) 5 (г -г)(1.4)

и, очевидно, фурьеобраз в этом случае принимает вид

〈к I UI %'〉= J 卜(г ) ехр [i (к — к') г ] dr .(1.5)

Выражение (1.5) удобно для получения парциальных гармоник фурье- образа потенциала. Действительно, /-я гармоника находится просто разложением по сферическим функциям экспонент в правой части и интегрированием по углам.

Вместо уравнения Шредингера (1.1) будем пользоваться двумя интегральными уравнениями, учитывающими граничные условия. Для задачи

5

на связанные состояния уравнение для волновой функции имеет вид

2 从dk'

W (k,Z)=——• J〈k I IH k'〉屮(k',N) ,(1.6)

%+ а(27Г)3

где Z = — a? / (2д) < 0 — энергия системы; д — приведенная масса двух частиц.

Для задачи рассеяния уравнение имеет вид

Wk。(k,N) = (2л)3 5 (k-k0) +

+(N_ 啖 +ie) J < kl UI ^) фко ^,Z)d^l{2Ti}3, (1.7)

где Z =抬/2〃〉0.

Подчеркнем, что в волновой функции рассеяния ф^0 (k, Z) вектор к является динамической переменной, а вектор к0 — параметром. Введем теперь парную f-матрицу соотношением

<к \t(Z) |к0) = f <к I UI Ю Wk。(k\Z)dkr/(2^3 =

=J exp (- ikr) V (r)屮匕 к , Z) dr.(1.8)

Отметим важное свойство второго интеграла в формуле (1.8). Дело в том, что далее мы всегда будем иметь дело с короткодействующими потенциалами. Это значит, что для вычисления парной t-матрицы существенно по возможности точное нахождение волновой функции рассеяния Wk。(r，Z) только в области действия потенциала.

Используя соотношение (1.8) в уравнении (1.7), получаем полезную связь волновой функции рассеяния с f-матрицей:

,〈kit (Z)| к。〉

Wk。(k,N) = (2%)3 5 (к - к0) + z•(1-9)

0N- 大2/(2从)+ i e

Исходя из определения парной t-матрицы (1.8) и уравнения для волновой функции ф (1.7), легко получаем известное уравнение Липпмана— Швингера для парной t-матри цы:

< k I f (Z) | kf) =〈 к I 力 к，〉+

(к \v \ q),_ , dq

+ J" 〈 ql t (N)丨 к〉 .(1.10)

N - g2/(24)+ i e(27Г)J

Здесь,вообще говоря, к2 WK? W2〃N.

Амплитуда рассеяния f связана с г-матрицей соотношением

f (к, И =- (д/2я) <к lt(Z) | kf)(1.11)

при Z = к2/(2ц) = к,2/(2ц).

6

f-Матрицу в правой части (1.11) будем в дальнейшем называть f-матрицей на "массовой поверхности" в отличие от решения уравнения (1.10), которое будем называть внемассовой t-матрицей.

Если взаимодействие V центральное, то, как известно, гамильтониан рассматриваемой системы обладает инвариантностью относительно вращений, т.е. в системе сохраняется орбитальный момент. В результате этого вместо уравнения (1.10) получаем уравнение для парциальной амплитуды f/ (к, к', Z) с неоднородным членом V/ (к, К):

吃化 Q =4тг〃/ (公)V (「"/ 化г) I 齿,(1.12)

где // (х) — сферическая функция Бесселя;力(х) = “тг/ (2х) J/ +1/2 (х). Парциальная внемассовая f-матрица Г/ (к, к99 Z) удовлетворяет обобщенному соотношению унитарности

Uq

Im f/ (к, к', Z) = - f/ 化 q, N) t* {к', q, N),(1.13)

27r

где q2/2〃 = Z.

Соотношение (1.13) очевидным образом переходит на массовой поверхности в обычное соотношение унитарности для двухчастичной амплитуды рассеяния. Соотношение (1.13) можно получить из так называемого тождества Гильберта для t-матрциы, к выводу которого и переходим.

Пусть гамильтониан системы

Н = Hq + V.3.14)

Введем функции Грина системы G (Z) w G。(Z)：

G (N) = (&-N)T； G。(N)=(仇-ML.(1.15)

Из определений (1.15) легко убеждаемся, что функция Грина системы G (Z) удовлетворяет операторному уравнению:

G(N) =G° (N) -G° (N) VG (Z).(1.16)

Можно ввести альтернативное к (1.8) определение парной f-матрицы:

t (Z) = V-VG (N)匕(1.17)

Действительно, пользуясь определением (1.17) и уравнением (1.16), приходим к уравнению Липпмана — Швингера для f-матрицы в операторной форме:

t (N) = U- VG0 (Z) f (Z).(1.18)

Из (1.17) и (1.18) легко получаем обратную связь функции Грина и f-матрицы:

G (N) =G0 (Z)-G0(Z)t{Z) G0(Z).(1.19)

Из соотношения (1.19) видно, что функция Грина системы имеет дополнительные по сравнению с f-матрицей кинематические особенности по

энергии N. Они связаны, как это следует из соотношения (1.19), с особенностями свободной функции Грина G。(Z).

Легко убедиться, что для функции Грина системы при энергиях Z】и Z2 имеет место тождество Гильберта

G (N】)—G (工2)=(4 —/)G(NJ G (Z2)(1.20)

[оно проверяется домножением (1.20) слева на G-1 (NJ и справа — на GT (/)】•

Получим его аналог для f-матриц. С этой целью покажем, что имеют место соотношения

f (Z) G。(N) = VG (N)(1.21)

и

G° (N) t (N), =G (Z) V.(1.22)

Умножим (1.19) слева на V;

VG (N) = VG0 (Z) - VGq (Z) f (Z) Go (Z)=

=[V- VG。(N) t{Z)] Go (N) =t (N) G° (N),

т.е. имеем (1.21). Далее умножим (1.17) слева на G° (Z)：

G° (Z) f (Z) = G° (N) V-Go (Z) VG (Z) V =

=[Go (N) - G。(N) VG (Z) ] V = G (Z) V,

т.е. имеем (1.22).

Теперь, умножив тождество Гильберта (1.20) слева и справа на V, получим

f (NJ - f(Z2) = (N2-NJ »G (NJ G (Z2)V =

=R -NJ t (NJ G。(ZJ Go (ZJ г (У(1.23)

Все формулы от (1.14) до (1.23) в силу их операторной формы имеют место для систем с любым числом частиц, а не только для двухчастичных систем.

t (к, к，, NJ - Г (к, к，,马)=t (к, к，, NJ - Г (к, к，,马)=Переходя от операторной формы к импульсному представлению, получаем тождество Гильберта для t-матриц в окончательной форме:

t (к, к，, NJ - Г (к, к，,马)=

t (к, к，, NJ - Г (к, к，,马)=

г (q, К N2)

[//(2〃)- ZJ [д2/(2Д)- Z2]

(1.24)

Покажем теперь [1], что в системе двух частиц, могущих образовывать одно связанное состояние, для f-матриць) имеет место представление

f (k/心引

9 (к) З(к')N +*2

+ U(k - k') +

X "q,匕 丁/2川士 i 0 ].(1.25)

Здесь ЭС2 = I Ео I — энергия связанного состояния.

Поскольку f (N) — аналитическая функция в комплексной плоскости переменной N, то для нее имеет место формула Коши

1 г (к, к', S)

f (к, k',N) = J dS.(1.26)

2Ш 7 S - Z

9 (k)夕(kf)z+x29 (k)夕(kf)z+x2(1.27)(1.27)Для интеграла по контуру % (рис. 1.1) имеем

9 (k)夕(kf)z+x2

9 (k)夕(kf)z+x2

(1.27)

(1.27)

t (к, k',S) с lim , dS

：-+ 0 27N7e S - Z

где функция 夕(к), называемая иногда вершинным формфактором, пропорциональна волновой функции связанного состояния. [Выражение (1.27) можно получить, используя спектральное разложение для функции Грина и соотношение (1.17).] Далее воспользуемся оценкой, полученной в [1] и позволяющей найти интеграл по контуру уд:

С

什(k, k，,N) - V (Ik-k'l)l 《 ;—дй-;Ч1.28)

[1 + Ik- кЧ]1 + 0 [1 + lzl]°/2

где 0 не зависит от Z.

Очевидно, что интеграл по контуру 7A при /?->«» равен просто U(lk — к'1). Наконец, последний интеграл по контуру, охватывающему разрез, содержит разность f (k, к\ S + i 0) — f (к, к\ S — i 0). Преобразуем ее, используя формулу (1.24) и полагая в ней =S + i е, Z2 =S — —ie:

t (k,匕S + i a - f (k, k\ S - iO)=

x

где 6

lim J t (k, q, S + i e) e -X)

扌G心

2〃

2i e

dq

(2Я)3

[『/(2川-S] + C2

Q2

= 2wi J7 (k, q, 2〃

+ iO )J

/(2TT)3

[g2/ (2д) -S] — дельта-функция Дирака.

X

±

iO) 5

\ 2〃

(1.29)

9

Используя соотношение (1.29) в (1.26), немедленно получаем третий член в формуле (1.25). Соотношения (1.24) и (1.25) дают ограничения на в немассовую f-матрицу.

Получим теперь еще одно представление для f-матрицы — так называемое представление Нойеса — Ковальского [2]. В этом представлении г- матрица разбивается на сумму двух слагаемых, первое из которых имеет сепарабельный вид, а второе исчезает на полумассовой поверхности. В результате f-матрица, удовлетворяющая уравнению с сингулярным ядром (уравнению Липпмана — Швингера), выражается через две функции, каждая из которых удовлетворяет уравнению с несингулярным ядром. Кроме того, как показано во второй лекции, представление Нойеса- Ковальского позволяет разбить трехчастичную волновую функцию на внутреннюю и внешнюю части без введения понятия о характерном радиусе, разделяющем пространство на внутреннюю и внешнюю части.

Итак, запишем парциальную f-матрицу, например ее S волновую компоненту f (к, к, N), в виде

t (k, q, Z + io) t (g, к', Z + i 0)

f 伙，К, N + i o) = +斤化 ％', N), (1.30)

t (q.q,Z + i 0)

где N = q2/2ц.

Введем обозначения

t (*, q, Z + i 0)4/g2、

f 化。);Mg) Waa ——+ io). (1.31)

t (q, q.Z + iO)A2〃/

Очевидно, что (1.30) принимает вид

t(k,k\Z + iO) = f{kf g) t(Q)f(k',q) +斤代 父,N).(1.32)

Получим уравнение для функции f (к, g). Для этого из уравнения Лип - пмана — Швингера

К V,N) = V (к, к') + -^—7 V 代川丄р2ф (1 зз) 2M оz - р2/(2Д)

в котором положим к' = q, вычтем уравнение Липпмана— Швингера при к = к' = q, умноженное на V 伙,q} /V (7, g). В результате получим

f 代"=U 代 ф IV (qt g) + J A 化 д, q)——x 0Z - p2

P2 dp

x f (A 9),(1.34)

7r2

где A (k, k', q} = V (k, N) — V (k, q) V (g, к') / V (g, q). Так как, по определению А (к, д, g) = А (д, к', д) = 0, функция f (к, д) удовлетворяет уравнению с несигулярным ядром. Используя выражение (1.32) и уравнения (1,33) и (1.34), для функции Я получаем уравнение также с регулярным ядром:

10

斤(к, k',Z) = A 化 K,G斤(к, k',Z) = A 化 K,GЯ (p, %', N)p2 dpЯ (p, %', N)p2 dp+ J л (к, д q) XО

斤(к, k',Z) = A 化 K,G

斤(к, k',Z) = A 化 K,G

Я (p, %', N)p2 dp

Я (p, %', N)p2 dp

(1.35)

Из этого уравнения видим, что на полумассовой поверхности, т.е., например, при к = q, R = 0. Таким образом,斤 (к, k9t Z) можно записать в виде

斤化 QN) = *2/(2川 _Z] /■代 K,N),(1.36)

где функция г (к, к', Z) уже не обращается в нуль при конечных к. Если функция f (р, q) найдена, то амплитуда рассеяния f (g) выражается через нее в виде простой квадратуры:

81

t (q) V (q,q)1 一 J■丿(q, p) 1 x

оN - //(2д) + j о

dp

X f{p,q) 2~•

Это выражение весьма полезно для нахождения амплитуды рассения с помощью различных приближенных способов вычисления функции У (р, q). Например, уже нулевая итерация уравнения для функции f, т.е. V (pz q) /V (q, q), часто приводит к вполне приемлемому приближению для амплитуды.

Фазово-эквивалентные потенциалы

Перейдем теперь к более детальному обсуждению свойств внемассовой парной Г-матрицы. Для этого придется ввести ряд новых понятий, таких, как волновые операторы Меллера, внемассовые волновые функции и фазово-эквивалентные потенциалы. Используя эти понятия, сначала покажем, что внемассовое продолжение уравнения Шредингера неоднозначна.

Итак, пусть имеем уравнение Шредингера

伏2 一〃)IWk〉= 0.(1.37)

Здесь снова к2 — Е; Н = % + К

Предположим, что имеют место два условия:

потенциал V (г) убывает достаточно быстро, причем так, что в нем имеется конечное число связанных состояний;

при Аг?〉0 выполняется граничное условие

〈г I Wk〉三 Фк (г ) г f оо = < klr > + t &ср (\ кг) 1г .(1.38)

Как уже отмечалось, выражения- (1.37) и (1.38) эквивалентны уравнению Лип- пмана—Швингера для волновой функции

|^(+)2>'= lk> + 依2 — 4。+ ©т 川 и]：%〉，(1.39)

где Ik) удовлетворяет уравнению

М -%)1к〉= 0.(1.40)

11

Введем волновой оператор Мёллера С (N) как решение уравнения

G (N) =1+(N-〃o)T И Л (Z).(1.41)

Очевидно, что оператор G (N) можно представить в виде

G (N) =1 + (N-〃)T и.(1.42)

Теперь ясно, что уравнение Липпмана—Швингера (1.39) можно записать в следующей форме:

\ф^2> = Л (AiC) I k>.(1.43)

Внемассовым продолжением выражения (1.43) является

1屮心経 > =Л (*2 + i е) 1^>, № * /・(1.44)

Функцию I W 〉, определяемую соотношением (1.44), называют внемжсовой волновой функцией. Она уже не является собственной функцией гамильтониана Н, а удовлетворяет уравнению

(/ — Н) |山£厶2 > = М 一兴)k〉.(1.45)

Покажем теперь, что исходя из одного и того же уравнения Шредингера (1.37), продление на внемассовую поверхность этого уравнения можно осуществить бесконечным числом способов, т.е. неоднозначно.

Действительно, перепишем уравнение (1.37) тождественным образом:

仅2 - 1/HqU- {H-U+ HoU}] I%〉=0, (1.46)

где U — унитарный оператор, который приближает единичный оператор так, что вектор (U — 1) 1k) имеет конечную форму. Тогда в г -представлении будем иметь ус ловие

lim rr< г l(/-ll г'〉f 0,(1.47)

r,r'f8

т.е. оператор U+ ^сосредоточен** в области малых г. Будем теперь продолжать уравнение (1Д6) на внемассовую поверхность при помощи полного набора состояний Гк>, где 10 удовлетворяет уравнению

М- if Hq и) lk> = 0.(1.48)

Из (148) и (1.40) следует, что

lk> = £/+1к>.(1.49)

По аналогии с уравнением (1.41) введем новый волновой оператор И (Z), который удовлетворяет операторному уравнению:

五(Z) = 1 + (Z- U+ HoU)T (Н - U+ HoS n (Z)(1.50)

ИЛИ

G (Z) =1+(Z-H)~1 (Н - U+ H0U).(1.51)

Таким образом, внемассовое продолжение уравнения (1.46) осуществляется выражением

I寐+±2 > = G (k2+ ie) I k*> =G 館 + ie) /I k*>.(1.52)

Из (1.44) и (1.52) получаем

W厶2〉一 喚”欠2〉=血伏2+i@-C(C+i©].lk)・(1.53)

Подставляя в (1.53) выражения для волновых операторов, окончательно получаем

風?%2〉-眩?К > = (*2 - к'2} (*2 -H + ie)"1 ((/+ -1) I к*>,(1.54)

т.е. продолжение волновой функции в область М ¥=И однозначно тогда и только тогда, когда (/+ = 1.

Все наблюд^мые в задаче двух тел определяются на массовой поверхности, т.е. в области к = к； поэтому два любых продолжения приводят к тождественным наблюдениям.

Перейдем теперь к введению понятия о фазово-зквивалентных потенциалах.

Обращаясь к исходному уравнению Шредингера (1.37), можно определить взаимодействие как |/ = Н — Но и t-матрицу в форме

<кг, \ Т(к2) 1к() =< км ll/l W„2〉=〈 к" "G (к2 +ie) I к>(1.55)

В выражении (1.55) Г-матрица определена в базисе I к) — собственных функций свободного гамильтониана ,5 Исходя из уравнения (1.46), по аналогии введем ^взаимодействие" V = Н — U HQ U и ^свободный** гамильтониан H°=U H^U, собственными функциями которого, как было принято выше, явлжотся векторы 丨欠〉.Введем теперь t-матрицу Т, соответствующую взаимодействию И:

<k° IHA-2) i?> = < к" \ v\ 恥*2〉= <к- 1ЙП (Ar2 + ie) R〉.(1.56)

Для того чтобы иметь возможность сравнивать t-матрицы (1.56) и (1.55), введем оператор

Т 伏2) = UT (М) (/ = (/"С (尸 + i£)U+t(1.57)

матричные элементы которого определены в базисе 1к). Этот оператор понадобился нам в дальнейшем^ Введем также соответствующий оператор взаимодействия V и волновой оператор G:

О = UVlf = UH и* - %;(1.58)

6 (N) = (/О (N)炉=1 + (N - "о)т 0 6 (N).(1.59)

Тогда (1.57) примет вид

т (К)= 0 6 (К + j е).(1.60)

Покажем теперь, что все потенциалы, определяемые выражением (1.58), имеют тождественные свойства на массовой поверхности. Действительно, исходное уравнение Шредингера (1.37) после унитарного преобразования (/принимает вид

(k2-UHU+) lJ^2> = 0,(1.61)

где

I礎牛 > ="眩力〉•(1.62)

Перепишем уравнение (1.61) f используя определение (1.58):

(*2 -HQ- V) I 咪+，2 ) = О.(1.63)

Так как уравнения (1.37) и (1.63) дают эквивалентное описание одной и той же двухчастичной системы, они должны давать одинаковые значения наблюдаемых этой системы, таких, как собственные значения и фазы рассеян第疗.Поэтому потенциалы (1.58) называют фазово-эквивалентными.

Приведем теперь пример, из которого станет ясно, что не всякое продление на внемассовую поверхность допустимо.―

Рассмотрим снова уравнение Липпмзна—Швингера для волновой функци I 屮〉： Wg%2〉= !Pf) + (k2 - U+ HhU + ! e；~!〈"一o + f/oS l±g)女2〉(1.64)

или

1±М)М〉=6М+ ©R"〉.(1.65)

Введем новый волновой оператор G:

立饮2 +ie) = 0 M + ie) и* = сЛС (*2 + ie)・(1.66)

Если теперь определить оператор рассеяния Т (Аг2) соотношением

ПК) = 1/Л (*2 + ie),(1.67)

то он совпадает с оператором Т (Аг?) на массовой и полумассовой поверхностях. Это следует из соотношения

〈к，汙优2) I к"〉=〈к」Т (/) к> +(М-к"2)〈кТ|/(%2-

-н + ie)-1(с/+ -1) Ik"〉，(1.68)

которое легко получается при учете (1.66) и J1.51).

Однако можно проверить, что оператор Т не удовлетворяет уравнению Липпма- на—Швингера, т.е. такое (1.67) продолжение неприемлемо, так как дает неверную асимптотику волновой функции.А

Построим теперь t-матрицы для фазово-эквивалентных потенциалов И и И. С этой целью воспользуемся двух потенциальной формулой. Так, пусть Т (к) — оператор перехода для взаимодействия V\ + V2, т.е.

7依2)=(% + 匕)e 依2 + i®(169)

где

C (N) = 1 + (Z - 〃о)т (% + 匕)A (N).(1.70)

Введем волновой оператор для потенциала V\:

Qi (Z) =1+ (N-〃i)t %.(1.71)

Здесь % =% + ^1^огда уравнение (1.70) можно переписать в форме J2(Z)=C1 (Z) + (N-〃1)т I/2 a (N).(1.72)

Используя это уравнение, для t-матрицы получаем

т (/)= % С】(％2 + j® + н + %(/ - 4] + i©T]卜2口 (*2 + 同 (1.73) ИЛИ

丁 便2)=厶 伙2)+ с； М — у 匕口 M + у(1.74)

Примем, что в выражении (1.74)

% =匕 И2 = И - И.(1.75)

Тогда имеем

勺=% +卜=〃 и

т М)=Т М)+ л+(*2 - \е)(Н-Н) С м + i£),(1.76)

где введены обозначения

6 (N) = 1 + (N- 〃)т С;(1.77)

Л = UHU\(1.78)

Выразим G через С. Легко убедиться, что из соотношений (1・52), (1.59) и соотно- 14

шения для внемассовой функции I 屮〉

I 破％ > =6 (*2 + ie) lk> можно получить

Й * + ie) к〉= и I殴％〉.(1.79)

Далее из (1.44), (1.54) и (1.79) получаем выражение G через G:

G (Z) = UC (Z) + U (N-〃)T (U+ -^ (Z-Ho).(1.80)

л

Подставляя (1.80) в (1.76), получаем искомую свя 於 операторов перехода Тн 乙 порождаемых фазово-эквивалентными потенциалами и и И:

夕饮2) =т М)+ G+ 伙2 _jе)(и+ _ 1)М — %)+

+ 便2 -/у。)(и- 1)G (К + © + 伍2 一〃0)(U- 1)依2 -，+ ie)7 x

x ((/+- 1) (*2 -〃o).(1.81)

Заметим, что условие конечности нормы вектора ((/" — 1) Ik ) достаточно для выполнения условия

lim (/ - И) <кН (U- 1)Q (к2 + ie) lk> = 0.(1.82)

ктк'

Имея это ввиду ^немедленно уреждаемсяг что на массовой поверхности, как и следовало ожидать, / (Аг?) = Г (欠力• Для разности полностью внемассовых матричных элементов операторов перехода / и 7 окончательно получаем

<к 1г М) |к"〉- <к* \т (К) к，〉= (*2 - к"2} <к* IQ+ (к2 -

-i е)(и+ - 1) к"〉+ 优 2 -М)〈к' I (и- 1) С (М + ie) к’’〉+

+ (К _ к"2) (*2 - к'2) <к I (U - ]) (к2 - Н + ie)~1 (С/+-1) 1к">.(，83)

Сепарабельные разложения f-матрицы

Рассмотрим теперь некоторые приближенные методы решения задачи двух тел. Будем интересоваться такими методами, в результате применения которых приближенная f-матрица t夕 {к, к', Z) будет представляться в виде суммы сепарабельных по переменным к \л к' членов. Такой вид приближений очень удобен для их дальнейшего использования в задачах трех и четырех тел. Вместе с тем эти приближенные методы имеют и самостоятельное значение; поскольку для их применимости не требуется делать допущений, которые обычно рекомендуются в курсах по квантовой механике.

Итак, начнем с метода Бейтмана [3]. Пусть имеем S -гармонику короткодействующего потенциала в импульсном пространстве:

00сsin х

卜化 К) = — j /о 优 г)/。伙'「)I/ (г) r2dr,/0 (х)=——.(1.84) 2 7Г 0X

Если потенциал V(r)— притягивающий, то,практически для любого кр- роткодействующего (т.е. спадающего быстрее любой степени 1//) взаимодействия функция V {к, к"} имеет колоколообразный вид (рис. 1.2).

Рассечем поверхность V (к, %' ) плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Будем строить приближенную поверхность

15

Рис. 1.2. Графическое построение приближенного потенциала (1.85)

VN 化 k' ) таким образом, чтобы она совпадала с исходной поверхностью V (к, к'} на линиях пересечения секущих плоскостей с поверхностью 丿 Ik, К).

Легко убедиться, что выражение вида

(1.85)(1.85)VN 化左‘)=S V (к, Ss ) (сГ1)^ V (S/,<),

(1.85)

(1.85)

где dy = V {Sj , Sj), aSj — некоторые фиксированные значения импуль сов к и к', удовлетворяет требуемому свойству. Действительно, полагая в (1.85) к = 6т (т = 1 ... /V), имеем

VN (Sm,k'} = S吸

/,/ = 1

но 2 卜(sm, s；) (сГ1) /； = 5m；, следовательно,

A/N

VN km，К) = s 3切 丿(6/, %')=丿(6g К),(1.86)

/ = 1

т.е. приближенная поверхность VN (Z, к') совпадает с точной на линии k = Sm・

Поясним процедуру (1.85) на примере. Пусть имеем потенциал Юкавы

V (г ) =G exp (—дг) /г, для которого S-гармоника (1.84) имеет вид

G化Q =—— 2кк'G化Q =—— 2кк'(1.87)(1.87)Д2 + (А- + *') 2

G

化Q =—— 2кк'

G

化Q =—— 2кк'

(1.87)

(1.87)

д2 + (% - Z 2

GG(1.88)(1.88)Как функция переменных к и к', потенциал (1.87) имеет вид, изображенный на рис. 1.2. Если выбрать в (1.85) s】=0 и органичиться в сумме только одним членом, то в результате получим

G

G

(1.88)

(1.88)

/ 代心=-1~~；~；——Г

（从2 + k2）（从2 +

Выражение (1.88) представляет собой известный и широко используемый в ядерной физике факторизованный потенциал Ямагучи [4].

16

Таким образом, нелокальный потенциал Ямагучи можно рассматривать как первое [в смысле (1.85) ] приближение к локальному потенциалу Юкавы.

Решая уравнение Лилпмана — Швингера для парной f-матрицы с приближенным потенциалом (1.85), легко получаем

л/tN (к, k',Z) = 2 V /, / = 1л/tN (к, k',Z) = 2 V /, / = 1化 б" к】(N)]“ 丿 к/, К),化 б" к】(N)]“ 丿 к/, К),(1.89)(1.89)гдегдес〃・(N) =%• +4тгт / ос〃・(N) =%• +4тгт / оИ (*, s/) И 伏，s/),И (*, s/) И 伏，s/),(1.90)(1.90)

л/

tN (к, k',Z) = 2 V /, / = 1

л/

tN (к, k',Z) = 2 V /, / = 1

化 б" к】(N)]“ 丿 к/, К),

化 б" к】(N)]“ 丿 к/, К),

(1.89)

(1.89)

где

где

с〃・(N) =%• +4тгт / о

с〃・(N) =%• +4тгт / о

И (*, s/) И 伏，s/),

И (*, s/) И 伏，s/),

(1.90)

(1.90)

т.е. для f-матриц получили выражение, также сепарабельное по переменным к и К. Очевидно, что для длины рассеяния из (1.89) получаем выражение

а = * V (0,6, ) [и】(())]〃• U (sA 0).

Л / = 1

Иногда бывает удобно выделить в выражении (1.89) потенциал в виде отдельного слагаемого. Простые выкладки приводят к формуле

严(к. k',Z} = I/ 化 У) +纟卜(к, Si) [С1 (Z)]^ /； (К),(1.89')

где // 伙‘)=，丿 ％, q) Go (q,Z) V (g, к') g2 dq. о

До сих пор мы имели дело с аппроксимацией парциальной гармоники потенциала V/ (к, к'}, т.е. с функцией двух переменных к и к'. Однако в кдерной и атомной физике довольно часто встречаются ситуации, когда система не обладает сферической симметрией. В этом случае нельзя отделить угловые переменные в уравнении Липпмана—Швингера, переходя к парциальным разложениям потенциала и f-матрицы. Примерами таких ситуаций являются: а) система из двух частиц, взаимодействующих друг с другом посредством нецентрального (например, аксиально-симметричного) потенциала; б) две частицы, движующиеся относительно друг друга с большим импульсом. В обоих случаях разложение по парциальным волнам привело бы к необходимости учета большого числа членов ряда. Использование многомерного обобщения разложения (1.85) позволяет обойтись без парциального разложения [5].

Действительно, рассмотрим движение частицы в аксиально-симметричном потенциале. В силу аксиальной симметрии можно от трехмерных уравнений перейти к двумерным, используя разложения вида

〈k”lk，〉= S Vm (^Г) exp {im^);(1.91)

Л7 =— оо

(1.92)17(1.92)17< k If (Z) | кг) = 2 tm (k, k',Z) exp (im ⑴,

(1.92)

17

(1.92)

17

где к, к' — двумерные векторы; (/?—разность азимутальных углов векторов к и к'.

Для компонент tm получаем двумерное интегральное уравнение Лип- пмана—Швингера:

tm (k,k',Z) = Vm (к, к') + 2тг/ dqVm (k,q) Go (q2,Z) fm* (q.^.Z).

(1.93)

Аппроксимируя точный нецентральный потенциал приближенным, также нецентральным потенциалом вида

V{N} (к, к'} = £ 俨)(石 Ud(m)〃W)価)，(1.94)

m/,/ = 1 '' /

получаем многомерные аналоги формул (1.89), (1.90):

tN (к. к'. Z} = S 〃”向 Me"' (N)L]"刀(丁)的，(1.95)

где

С：? (N) = d^} - 2я J dqn(^ (g) Go ^,Z}刀”唱)；

〃,m)庆)=|/团庆§•)；《,)=Vm (sj,s}); S； - набор фиксированных двумерных векторов.

Приведем конкретный пример использования изложенного обобщения метода Бейтмана. Будем интересоваться спектром уровней в нецентральном потенциале:

V (г ) = % exp (—ar2 cos2 0 — /3 f2 sin2 0).(1.96)

Для т-\л гармоники фурьеобраза потенциала (1.96) имеем

Vm (к, к') = Vo / (втг3/2 /3 \/а) ехр [— (к cos Q — к' cos 03 2 / (4а)—

-优 sin 6 - К sin 夕戶/(40)] -ехр(-у) /т (у),(1.97)

где /т (у) — функция Бесселя мнимого аргумента;

у = кк' sin 0 sin 07 (20).

Параметры потенциала (1.96) выбраны таким образом, чтобы в соответствующем центральном потенциале (т.е. при а = 0 = а。)имелось 4 уровня: 1S, 1Q, 2S, 2D. Кроме того, для удобства накладывалось условие равенства объемов в центральном и нецентральном потенциалах, приводящее к соотношению а/32 =硫.

Если ввести параметр деформации

3 = 1-а/0,(1.98)

характеризующий степень отклонения от центральной симметрии (5=0), то из условия det Cm (Z) = 0 можно получить спектр Еп,т (6), изобра- 18

рис. 1.3. Зависимость уровней энергии от де- •■但 формации 5:

женный на рис. 1.3. Здесь л — главное квантовое число; / — орбитальный момент уровня в центральном потенциале. Как видно из формулировки метода, он позволяет выйти за рамки теории возмущений по параметру деформации 5.Рассмотрим теперь другой способ приближенного решения уравнения Лип- пмана г Швингера для f-матрицы, ochoi ационного принципа Швингера *Пусть имеем набор линейно независимых функций I fn >. Покажем, чтоженный на рис. 1.3. Здесь л — главное квантовое число; / — орбитальный момент уровня в центральном потенциале. Как видно из формулировки метода, он позволяет выйти за рамки теории возмущений по параметру деформации 5.Рассмотрим теперь другой способ приближенного решения уравнения Лип- пмана г Швингера для f-матрицы, ochoi ационного принципа Швингера *Пусть имеем набор линейно независимых функций I fn >. Покажем, чтовидно характерное для нецентральных по- цвнциалов расщепление уровней по проекции т

женный на рис. 1.3. Здесь л — главное квантовое число; / — орбитальный момент уровня в центральном потенциале. Как видно из формулировки метода, он позволяет выйти за рамки теории возмущений по параметру деформации 5.

Рассмотрим теперь другой способ приближенного решения уравнения Лип- пмана г Швингера для f-матрицы, ochoi ационного принципа Швингера *

Пусть имеем набор линейно независимых функций I fn >. Покажем, что

женный на рис. 1.3. Здесь л — главное квантовое число; / — орбитальный момент уровня в центральном потенциале. Как видно из формулировки метода, он позволяет выйти за рамки теории возмущений по параметру деформации 5.

Рассмотрим теперь другой способ приближенного решения уравнения Лип- пмана г Швингера для f-матрицы, ochoi ационного принципа Швингера *

Пусть имеем набор линейно независимых функций I fn >. Покажем, что

для f-матрицы можно получить приближенное выражение 严=^ V\fm) (DT^mn{fn I 匕(1.99)

где

Dmn =〈6J W- VGq (£) V)\fm)-(1.100)

V — парный потенциал.

Функционал Швингера для f-матрицы, как известно, имеет вид

(plf (£) I pf> = <pl ^1+ (Ф^ l^l pf> -

-〈w『)I W- VG0 (E) Q iwg)〉.(1.101)

Исходя из уравнений Липпмана—Швингера для волновых функций IW(+h И〈 W(-F|：

1夕>=m> + Go (日 ь叫"〉；(1.102)

〈吟7〉=〈pl +〈 W；)I 丿G。任)，(1.103)

легко убедиться в стационарности функционала (1.101) относительно вариации функций I W(+) > и < W(-)I около их точных значений. В качестве пробных функций в функционале (1.101) рассмотрим линейные комбинации некоторых функций "〃〉：

•Более подробное изложение применений вариационного принципа Швингера и его обобщений можно найти в монографии [б].

iwf)〉=幺 ал (рг)1 ^л>；(1.104)

< II bn (p).(1.105)

P 〃 = 1

Подставляя (1.104) и (1.105) в (1.101) и требуя стационарности функционала относительно вариаций коэффициентов а и Ь, находим для а и Ь:

仇，(p) = Z(plV\ fn)(夕1)〃〃，；(1.106)

п

а〃(р，)= ^, (hl”，〈％1 3 р'〉，(1.107)

где

Dmn =〈％ I (V- VG0 (£) V)\fn).(1.108)

Используя выражения (1.101), (1.106) — (1.108), получаем для f-матрицы приближенное сепарабельное по переменным р м р' выражение

<р \tN 低)I р，〉= 2 〈plVd %〉[hi (G]“〃，〈％"№，〉•(1.109) пп,— 1

Ясно, что если в качестве функций I fn > взять плоские волны lk〃〉，то получим уже известный трехмерный аналог сепарабельного разложения Бейтмана.

Для практического использования полученных приближенных выражений удобно записать их для парциальных волн. Введем функции

(9\pLM) = V —・2从г— YLM ^>(1.110)

2

где д — приведенная масса. Тогда

< plp> = 5 (р - рЭ ;(1.111)

〈p'LM'IpLM〉= — ，2从5厶厶，^мм * X(1.112)

『

и для плоской волны получим

I р) = \/—~• 2д 2 \pLM} Y[m ⑸.(1.113)

ЛLM

Функции (1.110} в координатном представлении имеют вид

<r\pLM)=例〃 ")i厶 Ylm (；).(1.114)

Уравнение для парциальных амплитуд принимает вид

20

<p\TL (S)lp'> = {p\VL\^} +

2 8《pl 〃％>〈 7■厶(S)力〉 ,

+ --J 5 g2弱,

Я 02〃S — g

где на массовой поверхности

〈ZI7■厶(£) l^> = — (1/Z) ехр 适厶 sin 6厶；Е = к2/2д + iе.

(1.115)(1.115)(L116)(L116)Полная амплитуда имеет вид

(1.115)

(1.115)

(L116)

(L116)

<plt(£)lp^> = V • 2Т Л Г^ 向〈pl乙(£)I心 Ylm 例 "2厶"(1.117)

〈Pl % 厶加=fnL 3Тогда〈Pl % 厶加=fnL 3ТогдаYlm(Й，" = 1・•・MYlm(Й，" = 1・•・M(1.118)(1.118)В качестве функций I% > выберем собственные функции операторов 厶2 sLz (厶—орбитальный момент), т.е.

〈Pl % 厶加=fnL 3

Тогда

〈Pl % 厶加=fnL 3

Тогда

Ylm(Й，" = 1・•・M

Ylm(Й，" = 1・•・M

(1.118)

(1.118)

2[Dl (S)]nzn = я2x [<pfl VL lp> -— 7Г2[Dl (S)]nzn = я2x [<pfl VL lp> -— 7Г2Д72Д7

2

[Dl (S)]nzn = я

2

x [<pfl VL lp> -— 7Г

2

[Dl (S)]nzn = я

2

x [<pfl VL lp> -— 7Г

2Д

7

2Д

7

J p〃 dp' f/dpfnl S %L (p) X

о

<PZI vL Ip^Xp^l vL lp> , zp'^dp"] (1.119)

2〃S - p"2

и для парциальной t-матрицы получаем

N

<p\TL (S)lp。= E {PL \V\ fnL} [D-1 (S}]nn^fn^V\pfL)f nzn* = 1

(1.120) где введены обозначения

У

218

-J X

一я 2д 0

х <pl VL I。〉％厶(q) «у? dq.(1.121)

В координатном представлении этот матричный элемент имеет вид

<pLW\fnL > =回 7 “ (pr) V(r) gnL (r) la，，(1.122)

где gnL(「)= V — J JL (Pr) fnL(P)Г dp. я 0

Так же как и в (1.89), в приближенном выражении для f-матрицы (1.120) можно выделить потенциал в виде отдельного слагаемого.

При практическом использовании разложений (1.89) и (1.120) возникают проблемы выбора параметров “ в разложении Бейтмана и вида функций fnL (q) в разложении (1.120).

В первом случае параметры s^ удобно находить из условия минимизации по ним функционала Ф (s^ ... s^}, где Ф 回...s^) имеет вид

Ф Ui ...fN) = 7 IU((Q -〃М (ktk'tSi SN)\^ dkdk'.

0

Например, для потенциала Юкавы, в котором есть только одно связанное состояние, достаточно взять только 3 параметра s( , чтобы достигалось условие

е = min Ф Ui ... sN) Ц W\2 dkdkf 弋 10-3.(1.123)

5i

Таким образом, видно, что условие (1.123) имеет чисто "геометрииес- кий" характер. Оно выражает степень близости приближенной поверхнос* ти VN (к, к') к точной V (%, к') и не требует для своего выполнения ни малости потенциала V (к, к'} по отношению к чему-либо, ни каких-либо специальных значений энергии системы, так как функционал Ф не зависит от энергии.

Для выбора функций fni_ (4) можно высказать лишь самые общие предположения. Во-первых, ясно, что эти функции должны быть такими, что все величины, входящие в (1.120), имели смысл. Это означает, что функция fnL(4)не должна быть ортогональна к потенциалу, т.е. интеграл (1-121) не должен быть мал. Кроме того, ясно, что эти функции должны быть линейно независимыми, в противном случае матрица %】(S) не существует. Во-вторых, степенное спадание t-матрицы по р при больших р, которое устанавливается независимо, имеет место, если функции %厶(q) также спадают степенным образом. Если известна какая-нибудь априорная информация о волновых функциях рассеяния, она также может быть учтена при выборе функций fni_ (g) на основе соотношений (1.104)— (1.108).

Рассмотрим теперь приближенное представление t-матрицы в сепарабельном виде, основанное на методе Бубнова — Галеркина [7]. Фактически речь будет идти о специальном выборе функций %厶(g), основанном на простых физических соображениях. Предположим, что нас интересует относительное движение двух частиц при низких энергиях, таких, что волновая функция, описывающая, например, рассеяние частиц, не сильно осциллирует е области действия потенциала V (г ). Тогда ясно, что в этой области волновую функцию можно аппроксимировать суммой полиномов невысокой степени. Убедимся, что такая аппроксимация волновой функции эквивалентна представлению t-матрицы в сепарабельном виде (1.120).

Итак, следуя методу Бубнова — Галеркина, будем искать волновую функцию системы в виде

N

以(r,Z) = S Cn (£Z) % (r),(1.124)

л = 1

где в качестве функций 屮“(г) будем брать полиномы степени л, нормированные с весом * V (г), т.е.

•Для простоты мы излагаем процедуру для знакопостоянного потенциала V (г), т.е. либо чисто притягивающего, либо отталкивающего. Обобщение на знакопеременные потенциалы дано в(7].

(1.125)(1.125)J r2dr V (г) ^pn (г) ^pm (г) = 6小"• о

(1.125)

(1.125)

Такую систему полиномов всегда можно построить, если существует интеграл J г2 dr V (г). о

Воспользуемся теперь S-волновой гарминикой уравнения (1.7) в координатном представлении:

28

以(乙刁=Л)(公)+——J r'2 dr'K (r,「'，Z) V(r') W% (r',Z), я 0(1.126)

где

K(r,r；Z)=7p2dp^4^2 ,(1.127)

oZ-p2/2〃

а также S-гармоникой выражения для f-матрицы (1-8):

t (■仁 Z) = J r2 dr/о (pr) V (r)心(r,Z)・(1.128)

о

Комбинируя выражения (1.124) — (1.128) для f-матрицы, получаем N

tN (р, к, Z) = S Мт(р) [Д-1 (S)}mnMn{k),(1.129)

тп-0

где

(1.130)(1.131)(1.130)(1.131)^тп(Z) = бтп — Втп(引；^тп(Z) = бтп — Втп(引；мп (р) = J г2 dr Фп (г) V (г) /о (рг); о

(1.130)

(1.131)

(1.130)

(1.131)

^тп(Z) = бтп — Втп(引；

^тп(Z) = бтп — Втп(引；

Легко убедиться, что выражение (1.129) может быть получено из уравнения Липпмана—Швингера для f-матрицы, если для потенциала V пред： положить

(1.132)(1.132)V (р.к)弋 VN (р, к) = ^ Мп(Р)мп(^)• л =0

(1.132)

(1.132)

Сепарабельный потенциал (1.132) также достаточно хорошо аппроксимирует исходный локальный потенциал V (г) [7].

Остановимся теперь на сепарабельном представлении двухчастичной t-матрицы, основанном на методе моментов [8]. Но прежде заметим, что разложение (1.124) представляет собой сумму сепарабельных членов по 23

переменным к s，. Имея в виду определение г-матрицы в форме (1.128), немедленно приходим к заключению, что, обладая разложением для волновой функции вида (1.124), мы всегда будем получать сепарабельное разложение f-матрицы по переменным k s к'. В методе моментов решение уравнения Липпмана—Швингера для волновой функции 屮％ (г, Z) также ищется в виде сепарабельного по Аг и г разложения

(乙刁=£ С^ {к, Z} Yn (「，Z)(1.133)

кл =0 п

по функциям Yn> являющимся моментами ядра VG0 уравнения Липпмана—Швингера, например:

Yn (r,Z) = J V (г) Go (г,гЭ Yn_y {r,,Z}r^ dr\ (1.134) о

Неизвестные коэффициенты 优 化 Z) находим из условия ортогональности невязки уравнения Липпмана—Швингера к функциям Yn (г, 2), т.е.

7【仇丿尸)(「)-严(「)] У入(r,Z) r2dr = 0.(135)

о

В результате для 码")(к, Z) получаем систему алегбраических уравнений

V 1 b“”(Z) -a“”+i (Z)]现”伙N)=⑷化 刁，(1.136) л* =0

где

Re (к, Z) = J /0 (kr) Yn (r,Z) I"; о

= J Yn(，，Z)丫曰"4 户 dr. о

Весьма эффективная версия использования метода моментов для решения двухчастичного уравнения Липпмана—Швингера была предложена в работе [8а]. Вместо итерационного уравнения (1.134) моменты ядра уравнения Липпмана—Швингера VG0 (£) строились посредством некоторой априорной системы линейно-независимых функций д^ (幻：

Такой выбор пробных функций обеспечивает правильное поведение S- фазы при больших к.

Далее подбиралось такое квадратурное правило (т.е. веса), чтобы для моментов / / ядра VG0 (£)

=三『2dp(1.138)

/7Г оP - k2 - l€

выполнялось точное соотношение

(1.139)(1.139)сNе

(1.139)

(1.139)

// (phk2) = S 叱7 伙2) g・(p/).

'/ =0

При этом веса 丿〃 определяются из системы (1.139). Например, полагая pN = к, получаем Im 勿〃：

Im Wji 伙2) = bINkV (卩，女).(1.140)

Используя квадратурное правило (1.139) и разложение f-матрицы по функциям д,(р)

(1.141)(1.141)#М (р, р； к) = S С/ (PM к® (р), / =1

(1.141)

(1.141)

для интегрального члена уравнения Липпман—Швингера будем иметь еле - дующее прдставление:

J7Г ОJ7Г О、(М 、 2卜(“ р) г О *) р dp、(М 、 2卜(“ р) г О *) р dpр2 一 ％2 一 ieр2 一 ％2 一 ie=学阳依2)t(M g〃p，,k)/=1(1.142)=学阳依2)t(M g〃p，,k)/=1(1.142)

J

7Г О

J

7Г О

、(М 、 2

卜(“ р) г О *) р dp

、(М 、 2

卜(“ р) г О *) р dp

р2 一 ％2 一 ie

р2 一 ％2 一 ie

=学阳依2)t(M g〃p，,k)

/=1(1.142)

=学阳依2)t(M g〃p，,k)

/=1(1.142)

получаем системуполучаем систему(1.143)(1.143)Собирая все члены в уравнении Л иппмана—Ш вингера, алгебраических уравнений для t'(р/, р', к):

получаем систему

получаем систему

(1.143)

(1.143)

S 出〃 +畋伙2)] t{N} (php\k2) = V(phpf}.

Комбинируя решение системы (1.143) и (1.141), находим неизвестные константы разложения С/ (pzz 灯 и, таким образом, завершаем получение аналитического представления приближенного решения f(М (р, р', к). Численный оасчет полумассовой амплитуды f(M (р, к)= =г (р, к, £)/t(M (к1 к, к} для потенциала Юкавы с триплетными параметрами при к = 0,1 в широком интервале по р дает погрешность 1 % при А/= 5 и 0,1% — при/V = 7.

К методу моментов мы снова вернемся при описании процедур приближенного решения трехчастичных уравнений.

Рассмотрим Теперь сепарабельное разложение парного потенциала и t-матрицы в ряд по собственным функциям ядра уравнения Липпмана— Швингера, т.е. по собственным функциям задачи Гиль бе рта —Шмидта. Однако вначале мы обсудим тесно связанную с такими разложениями проблему улучшения сходимости борновского ряда для t-матрицы [27]. Эта проблема имеет значительный самостоятельный интерес с точки зрения проведения практических расчетов таких величин, как энергия связи и фазы рассеяния в двухчастичной системе.

Итак, пусть гамильтониан системы имеет вид Н = Hq + V, где, как обычно, Hq — свободный гамильтониан, а 丿一потенциал взаимодействия. Рассмотрим уравнение Липпмана—Швингера для t-матрицы в операторной форме:

7(£) = V+VG0 (£) Т (Е). 25

Напомним, что борновский ряд этого уравнения — это просто его итерации no V ：

Т (Е) = V + 丿Gq (£) V + ...(1.144)

ряд стро-(1.145)функция(1.146)ряд стро-(1.145)функция(1.146)Заметим, что ни один член в разложении (1.144) не имеет особенности при отрицательной энергии. Это означает, что для получения полюса в t-матрице, соответствующего наличию связанного состояния, необходимо учитывать бесконечное число членов борновского ряда. Иными словами, этот ряд расходится при энергии, равной энергии — В связанного состояния системы. Поскольку расходимость связана с полюсом в Г-матрице, имеет смысл попытаться выделить полюс в явном виде, а борновский ить для неполюсной части.

ряд стро-

(1.145)

функция

(1.146)

ряд стро-

(1.145)

функция

(1.146)

Действительно, представим Г (Е) в виде

где Л (Е) не имеет полюса а 丨如〉м 力(Е) — собственная и собственное значение ядра уравнения Липпмана—Ш вингера, т.е.

UG0(目IM>=矶(日必).

Собственные значения для некоторых ” 北” (Е) обладают следующим свойством:

Пр (-в) = 1.(1.147)

Таким образом, при выполнении (1.147) уравнение (1.146) описывает обычную задачу на связанные состояния, a t-матрица (1.145) приобретает полюс по энергии в точке Е = — В.

Подставим (1.145) в уравнение Липпмана—Швингера; в результате для 丁 1 получим уравнение

丁I =匕 + VGq Т\,(1.148)

где

匕=丿-Wi〉〈 WJ =丿一 ％.(1.149)

Использовав (1.149), исключим V в уравнении (1.148) и для Т\ после обращения сепарабельной части окончательно получим

Л (£) = И1 (9 + V1 任)Gq (£) Тх (Е),(1.150)

где щ (£) = [1 —匕 Gq (£)]Т 匕.

Таким образом, исходя из (1.150), получаем итерационную схему по "уменьшенному" взаимодействию v i ~ 匕.При наличии нескольких связанных состояний представление (1.145) принимает вид

NTIE) = S л =1NTIE) = S л =1Iw〃＞〈 w/1 一小同Iw〃＞〈 w/1 一小同+ л.+ л.(1.151)(1.151)

N

TIE) = S л =1

N

TIE) = S л =1

Iw〃＞〈 w/

1 一小同

Iw〃＞〈 w/

1 一小同

+ л.

+ л.

(1.151)

(1.151)

Но даже с одним уровнем в системе выражение (1.151) с Л = 0 довольно хорошо аппроксимирует точную t-матрицу при небольшом числе членов N [28].

Идею о возможности теории возмущений по ''уменьшенному'' взаимодействию 匕 можно также использовать и при решении задачи Гилъбер- та—Шмидта.

Для реализации этого метода необходимо иметь независимый расчет собственных функций I 屮“〉и собственных значений r)n (Е) уравнения Гильберта — Шмидта. К сожалению, только для нескольких простых потенциалов (например, прямоугольная яма, потенциал Хюлатена в S-состоянии) такие решения известнь(. Тем не менее использованная в [27] для потенциала Юкавы итерационная процедура построения I фп > дала неплохие результаты.

Удачным вариантом разложения (1.151) оказалось разложение по собственным функциям I 0П >, найденным при некоторой фиксированной отрицательной энергии, например энергии связи двухчастичной системы :

Лекция вторая

ПРОБЛЕМА ТРЕХ ТЕЛ. ПИОН-ЯДЕРНОЕ РАССЕЯНИЕ

Общие замечения

В этой лекции мы переходим к изучению движения трехчастичных систем. В качестве основных динамических уравнений будем использовать уравнения Фаддеева или их модификации. При этом будем ограничиваться случаями только короткодействующих парных потенциалов взаимодействия между частицами

Прежде всего заметим, что уравнения движения трехчастичной системы в общем случае неинтегрируемы, т.е. ни спектр, ни другие наблюдаемые такой системы не могут быть выражены в виде квардатур, как, например, решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Неинтегрируе- мость уравнений движения трех и более частиц связана с тем, что для этих систем число имеющихся в распоряжении интегралов движения меньше числа необходимых для описания системы динамических переменных.

Действительно, рассмотрим три частицы в системе центра инерции (рис. 2.1). Ясно, что для описания положения этих частиц достаточно

Рис. 2.1. Переменные Якоби в системе трех частиц

якобиевских координат р и q:

miP2 -小2 Pl

P ；

m\ + л?2

小3（P1 + Р2）-（F + л?2）РЗ q /

m[ + m2 + m3

т.е. шести переменных. Если интересоваться состоянием с заданным полным моментом системы 厶，т.е. воспользоваться сохранением L, то это позволит отделить угловые переменные （углы Эйлера）, характеризующие ориентацию треугольника { р, q } в пространстве. Таким образом, наличие интеграла движения L позволяет проинтегрировать уравнения еще по трем переменным. Больше интегралов движения, вообще говоря, нет, и приходится иметь дело с уравнениями движения с тремя переменными. Однако существует несколько специальных случаев, когда уравнения, описывающие трехчастичные системы, все же удается точно проинтегрировать. Как правило, такая возможность реализуется, когда в системе имеются либо дополнительные интегралы движения, обусловленные спецификой парного взаимодействия, либо на систему наложены связи. Примером первой ситуации является трехчастичная система с парным взаимодействием осцилляторного типа. Гамильтониан такой системы

3 房 3

8=2 —

/ =1 2д / </ =1

простым преобразованием приводится к виду

& = ^ 比 / =1

т.е. к сумме одночастичных гамильтонианов, а волновая функция соот ветственно может быть записана в форме

屮=以W/,

где瑞力=立W/ •

Примером точно интегрируемой трехчастичнои системы со связями является известная задача Лагранжа в классическдй механике [9а], В этом случае плоское движение трех гравитирующих частиц со специальным выбором начальных скоростей также удается представить в форме некоторо- 28

го одночастичного движения. Другим примером такого сорта является движение одной частицы в поле двух центров, расстояние между которыми фиксировано, а взаимодействие частицы с каждым из центров имеет сепарабельный вид. В этом случае решение задачи для волновой функции или для амплитуды рассеяния дается в квадратурах и может быть обобщено на случай Л/-центров [9].

Перечислим теперь точные результаты, т.е. результаты теоремного характера, которые имеются в теории трехчастичных систем. Во-первых, это знаменитая теорема Брунса—Пуанкаре [10], которая утверждает, что в классической трехчастичной системе не может быть никаких новых алгебраических интегралов движения, кроме интегралов полной энергии, полного импульса и полного момента системы . Второй по времени получения результат принадлежит Томасу [11 ] и заключается в том, что в системе трех частиц с притягивающим парным взаимодействием вида V (г) = % 6 (г) происходит коллапс, т.е. спектр такой системы не ограничен снизу. Детальное рассмотрение свойств такого рода систем дано в работе [11а]. Далее идет анализ Л.Д. Фаддеева [1] нефредгольмового характера трехчастичных уравнений Липпмана—Швингера и формулировка новых — фредгольмовых уравнений для трех тел — уравнений Фаддеева и, наконец, рассмотрение В. Ефимовым [12] специального случая нефред- гольмовости трехчастичных уравнений, приведшее к открытию эффекта Ефимова, о котором уже шла речь в предисловии.

Уравнения Фаддеева благодаря своей универсальности нашли широкое применение в различных областях физики. Кроме чисто трехчастичных систем они обобщены для описания трех кластерных образований. Особенно подробно это обобщение разработано в ядерной физике [13].

В литературе высказывается иногда мнение, что к уравнениям Фаддеева следует прибегать лишь в случаях, когда рассматривается задача рас- сения. Однако, как будет ниже продемонстрировано на простом примере, и в задаче на связанное состояние эти уравнения приводят к значительно лучшим результатам, чем уравнение Шредингера. Это связано с тем, что уравнения Фаддеева написаны для компонент полной волновой функции и уже этой своей формой учитывают возможные асимптотики трехчастичной системы.

Отметим теперь трудности, с которыми приходится сталкиваться при решении уравнений Фаддеева.

Как показал впервые Л.Д. Фаддеев [1 ], в ядрах предложенных им уравнений при полной положительной энергии системы возникают "движущиеся" (т.е. зависящие от внешней переменной) логарифмические сингулярности. Они исчезают при итерациях, однако если мы хотим решать задачу не итерируя, то необходимо прибегать к специальным процедурам. На одной из них, использующей кусочную интерполяцию решений, остановимся ниже.

Другие трудности связаны с ситуациями, когда ядра уравнений перестают быть фредгольмовскими. Сюда относятся: 1) трехчастичные систе-

мы с кулоновским парным взаимодействием при полной положительной энергии (регуляризация уравнений Фаддеева для таких систем осуществлена С.П. Меркурьевым [14]); 2) трехчастичные системы с парным потенциалом, содержащим бесконечное отталкивание на малых расстояниях (эти уравнения также регуляризованы [15]); 3) трехчастичные системы, допускающие эффект Ефимова. Качественное исследование уравнений Фаддеева в последнем случае выполнено Л.Д. Фаддеевым [16] и независимо Амадо и Ноблом [17]. Как уже отмечалось в предисловии, к такому же типу нефредгольмовости относится и эффект Томаса [18].

Формальные выводы уравнений Фаддеева для амплитуд перехода и волновых функций

Приступим теперь к формальному выводу уравнений Фаддеева. Пусть полный гамильтоииан трехчастичной системы имеет вид Н = Hq + V, где Но — оператор кинетической энергии V = Vl2 + 丿2 з + 丿 13, а ^/ц — потенциал взаимодействия частиц/ и/.

Для трехчастичного оператора перехода Т имеем уравнение Липпмана— Швингера

丁(Z) = U + VGq (Z) Г (Z),(2.1)

「Ае G()(Z) = (Z — %厂1 —свободная функция Грина; 2 = £ + /е.

Ядро уравнения (2.1) не является квадратично-интегрируемым, поскольку мы имеем делос парными потенциалами; действительно,

< P1P2P3I S Р1Р‘2Р'3〉=6 (S р/ 一2叫)[6(Рз -Р‘3)〈 412 I 匕2lq'i2〉+

+ 6 ipi — pi)〈 q? 31 % 3I qA з > + 8(P2 — p‘2)〈 qg 丿# q'13 > 1 •⑵2)

Здесь p； — импульсы частиц; g〃 — относительный импульс в паре.

Сопоставим первому члену в правой части (2.2) диаграмму на рис. 2.2. Ясно, что при итерациях уравнения (2.1) всегда будут возникать члены, соответствующие умножению этой диаграммы самой на себя и приводящие к сингулярности в правой части уравнения (2.1). Для устранения этого дефекта уравнения (2.1) вместо полного оператора Т (Z) введем новые операторы 丁(；)：

7(2)=厂⑴(Z) +T(2)(Z) +丁(3)(Z),(2.3)

где

丁 (幻(Z)二 Vu + VuGq (Z) 7(Z),冰= 123, 231, 312.(2.4)

Воспользуемся уравнением Липпмана—Швингера для парных операторов перехода

Тц (Z)=力 + VjjG、(Z) Тц (Z).(2.5)

С этой целью выделим в правой части (2.4) член 丁伍)и перенесем его в левую часть. Тогда уравнение (2.4) примет вид

[1 - V^ (引]7(幻(Z)=%/+ V^ (Z)万⑴(Z) +丁5(2)]」2.6)

Рис. 2.2. Несвязанная трехчастичная диаграмма:^

частица 3 пролетает, не взаимодействуя, а частицы 1 и 2 j

взаимодействуют посредством потенциала %2礼

Умножая (2.6) слева на оператор [1 — ^б0 (Z) ]-1 и используя уравнение для парного Гюператора (2.5), получаем искомые уравнения:

丁伏)(Z) = ТЦ (Z) + Тц (Z) Gq (Z) [丁⑴(Z) +W)(Z)],

ijk = 123,231,312.(2.7)

Теперь ясно, что из-за отсутствия в правой части уравнений (2.7) диагонального члена 7(幻，итерационный ряд этих уравнений не содержит сингулярные члены (т.е. диаграммы вида рис. 2.1) и вследствие этого система (2.7) имеет однозначное решение. Уравнения для компонент трехчастичной волновой функции 加幻，где 屮 =i//⑴ + 屮(2) + 屮⑴， могут быть получены, например, из уравнений для компонент функций Грина G (*) (Z):

G (Z) =G〃(Z) -Gq (Z) +Gq Тц (Z) [G^ (Z) + G，(Z) ] (2.8) и определения

屮伙)=lim eG (幻(Z + /e) Ф,(2.9)

e ~> 0

где Ф — асимптотическая функция в одном из каналов. Например, для рассеяния частицы 1 на связанном состоянии частиц 2 и 3 можно получить уравнения

(2.10)(2.10)0(1)= ф1+G。(Z)g3 口)[w(2)+w(3)]； W(2)= Go (Z)办(Z)[w⑶ + w⑴]； 屮⑶=Go (Z)八2 (Z)【W⑴ +W(2)].

(2.10)

(2.10)

Для задачи на связанное состояние (Z <0) имеет место, очевидно, система однородных уравнений

w⑴=Go (Z) T23(Z)[w⑵+w⑶];

W(2)= Go (Z) r31 (Z)[屮⑶ + 屮⑴]； 卜(2.11)

w⑶=Go (Z) 712 (N)母⑴ ' W(2)]. J

Таким образом, перестройка трехчастичного уравнения понадобилась для того, чтобы вместо нефредгольмова уравнения (2.1) получить систему фредгольмовых уравнений (2.7) и (2.10), имеющих однозначное решение при заданной энергии. В связи с этим следует подчеркнуть, что уравнение Липпмана—Швингера (2.5) для двух тел, записанное в произвольной сис-

31

теме координат, также нефредгольмово, так как

〈Р1Р2 I 匕2 1Plp‘2〉= <РЧ12 I ^12 1рЧ12 > = 5 (p-p，)〈qi2l %2lq'12>，

(2.12)

где р — импульс центра инерции пары 12. Однако в этом случае сингулярность тривиальным образом устраняется переходом в систему центра инерции пары, в результате чего по относительной переменной д】？ получаем, как известно, уравнение с хорошим ядром.

Выведем уравнения Фаддеева в той форме, в которой автор их предположил в работе [1].

Будем исходить из уравнения Липпмана—Швингера для трехчастичной функции Грина

G(Z) = Go (Z) +G° (Z) VG (N).⑵⑶

Вместо функции G (Z) введем матрицу "印(N):

Ma(i 亿)=坛0% + %G (Z)丿伙(2.14)

Здесь а — двузначный индекс, пробегающий значения 23, 31, 12. Нетрудно убедиться, что трехчастичный оператор перехода Т (Z) выражается через операторы Ма^ следующим образом:

Т (Z) = 2 "а0 У) •

Используя уравнение (2.13), можно показать, что эти операторы удовлетворяют системе уравнений

〃а0(Z)=坛0 丿а + ^а ^о(N) S Му^ (Z),(2.15)

которая, однако, ничем не лучше уравнения (2.13), так как ядра этой системы содержат те же сингулярности, что и ядро уравнения (2.13). Для устранения сингулярностей разобьем сумму в правой части (2.15) на два слагаемых

VaG0 (Z) 〃а0 У) + 丿aG° (N) SМ祁(Z)

什a

и перенесем первое слагаемое в левую чась уравнений (2.15):

[1 — ^a ^о (Z) ] Ма^ 亿)=5a0 丿a + 丿aG° (N) S M,0 (^). (2.16)

Снова используя уравнение для парного оператора Та (N)

Та (Z) = % + 丿aG° (Z) Та (刁=%+ %(刁 G° 亿)％ =

=[1 +% (刁 G° (Z)] Pa(2.17)

и умножая (2.16) на 1 + %(刁 ^o (引 с учетом (2.17), получаем

恤0(Z)= 5a/3 Ta(刁 + Ta (Z) Go (Z)备@%0(刁•(2.18)

Система уравнений (2.18) и есть система уравнений Фаддеева для операторов Ма^ (Z). Если перейти от операторной формы уравнений (2.18) к импульсному представлению, то станет ясно, что неоднородный член в силу своей парной природы содержит 6-функцию. В связи с этим иногда бывает удобнее перейти от операторов /Й^ к итерированным операторам Wq0(N)= М呻 (Z) — 6耶 ％ (Z), для которых справедлива система уравнений

恤3(Z)=吗躍(Z)+% 忆)Go (Z) ^^(2)，(2.19)

где 唬)(Z) =0;嗡)(Z) =% (Z) G° (Z) % (Z).

Для решения уравнений Фаддеева необходимо перейти от операторной формы к какому-либо представлению — импульсному или координатному. Везде в дальнейшем будем использовать импульсное представление и естественную для него интегральную форму уравнений, хотя координатное представление и связанная с ним дифференциальная форма уравнений Фаддеева получили в последние годы значительное распространение [19]. Дифференциальная форма особенно удобна при рассмотрении систем с кулоновским взаимодействием, поскольку в этой форме не используется парная t-матрица, имеющая довольно сложный вид для кулоновского потенциала.

Как было сказано выше, мы будем интересоваться только системами с короткодействующими потенциалами. Для таких потенциалов, как правило, возможна [3] довольно хорошая их аппроксимация небольшим числом сепарабельных потенциалов, что приводит к значительному упрощению интегральных уравнений, не говоря уже о том, что парная t-матрйца в этом случае находится весьма просто.

Итак, запишем уравнения Фаддеева (2.10) для волновой функции в импульсном представлении, не интересуясь для простоты дискретными переменными (спином, изоспином). Ядра этих уравнений определяются свободной функцией Грина и парной t-матрицей, для которых, очевидно, имеем следующие матричные элементы в пространстве трехчастичных состояний (плоских волн):

. , 6 (к)% — к/%) 6 «р - р))

< к力吟丨 G° (Z) I k»M = ———5— ； (2.20) z_A72n2 物 .小/2 /

〈к'"Р‘/ I Tjk(Z\\kjkР/ > = < к九 I tjk(Z_L\ lk/Jt> 6 (p/ - p7 ).

'(2.21)

Здесь 屮 и р/ — снова якрбиевы переменные, а

阳%, = mj mk/gj + mQ； Д; =m； (ш/ + т%)/(т/+m/+m%) (рис. 2.3). Энергетический аргумент у парной г-матрицы имеет указанный в (2.21) вид, поскольку энергия парной подсистемы 啟，от которой зависит парная f-матрица 勿(&Q, равна разности полной энергии системы Z и энергии третьей частицы Ej^ = Z — р, /2д；.

Рис. 2.3. Переменные Якоби для частиц 4> / и £

Таким образом, уравнения Фаддеева для волновой функции в импульсном представлении имеют вид:

（kl2，P3）；（kl2，P3）；^(1)(k23,Pi)=®1(к2з,Р1)+(Z^(1)(k23,Pi)=®1(к2з,Р1)+(ZK232从2 3K232从2 3dk'23;X(2 ")3dk'23;X(2 ")3x〈 k2 3 1t'2 3 (z — ■) I k*2 3〉x〈 k2 3 1t'2 3 (z — ■) I k*2 3〉W（2）（k，3i，p‘2）+W"）（к，12Р'з）】；W（2）（k，3i，p‘2）+W"）（к，12Р'з）】；w")(кз1,Р2)-^―\243 1w")(кз1,Р2)-^―\243 1dk'3 13 X(2Я)3dk'3 13 X(2Я)3(2.22)(2.22)x《кз/Гз1(2— 2‘?)I к% 1 >屮⑶(к12,Рз)=-I 2% 2x《кз/Гз1(2— 2‘?)I к% 1 >屮⑶(к12,Рз)=-I 2% 2漳（3）（к，12Р'з）+ W（D（k‘23，P'J】；漳（3）（к，12Р'з）+ W（D（k‘23，P'J】；dk'12,dk'12,2仰2仰Iki2> [ф（1）（k‘23₽M + 屮⑴（k，31P‘2）】；Iki2> [ф（1）（k‘23₽M + 屮⑴（k，31P‘2）】；2从2 32从2 3где имеют место соотношения к'з 】равной массой)； 吟 = — — Pi 2=Pi — k'23. 2где имеют место соотношения к'з 】равной массой)； 吟 = — — Pi 2=Pi — k'23. 231=— —— Pik'23 (для частиц с31=— —— Pik'23 (для частиц с+ к‘2 3； к'12 =——Pl к‘23； Р'з =42+ к‘2 3； к'12 =——Pl к‘23； Р'з =42屮=W(D (k23> Pi) +屮(2)(k3i, P2)+屮⑶

（kl2，P3）；

（kl2，P3）；

^(1)(k23,Pi)=®1(к2з,Р1)+(Z

^(1)(k23,Pi)=®1(к2з,Р1)+(Z

K23

2从2 3

K23

2从2 3

dk'23

;X(2 ")3

dk'23

;X(2 ")3

x〈 k2 3 1t'2 3 (z — ■) I k*2 3〉

x〈 k2 3 1t'2 3 (z — ■) I k*2 3〉

W（2）（k，3i，p‘2）+W"）（к，12Р'з）】；

W（2）（k，3i，p‘2）+W"）（к，12Р'з）】；

w")(кз1,Р2)-^―

\243 1

w")(кз1,Р2)-^―

\243 1

dk'3 1

3 X

(2Я)3

dk'3 1

3 X

(2Я)3

(2.22)

(2.22)

x《кз/Гз1(2— 2‘?)I к% 1 >

屮⑶(к12,Рз)=-

I 2% 2

x《кз/Гз1(2— 2‘?)I к% 1 >

屮⑶(к12,Рз)=-

I 2% 2

漳（3）（к，12Р'з）+ W（D（k‘23，P'J】；

漳（3）（к，12Р'з）+ W（D（k‘23，P'J】；

dk'12,

dk'12,

2仰

2仰

Iki2> [ф（1）（k‘23₽M + 屮⑴（k，31P‘2）】；

Iki2> [ф（1）（k‘23₽M + 屮⑴（k，31P‘2）】；

2从2 3

2从2 3

где имеют место соотношения к'з 】

равной массой)； 吟 = — — Pi 2

=Pi — k'23. 2

где имеют место соотношения к'з 】

равной массой)； 吟 = — — Pi 2

=Pi — k'23. 2

31

=— —— Pik'23 (для частиц с

31

=— —— Pik'23 (для частиц с

+ к‘2 3； к'12 =——Pl к‘23； Р'з =

42

+ к‘2 3； к'12 =——Pl к‘23； Р'з =

42

Если все три частицы тождественны и не обладают спином и изоспином, то все три компоненты 屮团 имеют одинаковую функциональную зависи* мость от своих переменных, например х 化 р), и полная функция систр- мы определяется выражением

W = X 化23, Pi)+ X(кз1, Рг) +Х(%2, Рз)г

а для функции х из (2.22) получим уравнение

/ к2 3 р2 V dp9

X (к, р) = 3 (к, р) + ( NJ J x

\ m 4 m /(2Я)3

x 4《к I f 2) I — + p，〉+

\4 m /2

(

3『\ P 1

Z ) I— P‘>\x(P+—,p'),⑵23)

4 m /2 J2

где 3 (к, p) = (2я)3 6 (p -p)屮d (k) •

Если частицы имеют спин и взаимодействие зависит от спина, то это, вообще говоря, Приведет к возрастанию числа компонент у волновой функции системы.

Приближшное решение уравнений Фаддеева в задаче рассеяния частицы на связанной паре

Приступим теперь к приближенному решению уравнения (2.23). Нашей целью будет сведение многомерного уравнения (2.23) к одномерному интегральному уравнению, которое уже просто решается на ЭВМ.

Сначала отделим угловые переменные. С этой целью введем орбитальные моменты. I и 入，смысл которых ясен из рис. 2.4. Очевидно, что L = =I + X — полный орбитальный момент системы. Построим собственные функции операторов L2 vtM(M — проекция L на ось 今：

”弋(пъ Пр) =^ UmXn\LM)Y/m (%) 丫巾(吋•(2.24)

Здесь % s % — единичные векторы, направленные вдоль векторов к и р, a (Im 入从 I 厶簡 —коэффициент Клебша—Гордана.

Напомним, что векторы к и р в волновой функции х (к, р) — динамические переменные. Кроме этих векторов функция х (к, р) содержит зависимость от вектора р0 — импульса налетающей частицы. В связи с этим парциальное разложение для функции х (к, р, р0) имеет вид

X (к, р,р(0 =/£“Х/入厶伙,Р,Ро)怨饺 <n*» пр)ylm(%)•(2.25)

Подставляя разложение (2.25) и < k*l f (Z)lk〉= 2 (2/ + 1) t/ {k\ k, Z) x /

x Я/ (cos 6) в уравнение (2.23) f для X/入厶 получаем систему двумерных интегральных уравнений (в предположении, что орбитальный момент

Рис. )2.4. Диаграмма первого члена правой части уравнения [/А

— орбитальный момент относительного движения час- /

тицы 3 и центра инерции частиц 1 и 27

связанной пары равен нулю):

,6 (р - ро)

X/入厶 化 Р,Ро)= (2я)3 Зю (灯Jб/。6 入厶 +

/ 左 2 \ "" 1 1

+ 2△/(Z")—r ,dd,dtip %六(％№)£/ Iqhzj x

x /% X/火厶 ”，HPo)轡/，入，(％,, %),⑵ 26)

3"2/ 1 p，

где Z。= Z — — ; △/ = [ 1 + (― 1) ] — ； q = — + p', q'=P"*•

4 m222

Ограничимся случаем / =入=厶 =0. Это приближение, как правило, хорошо работает» если энергия налетающей частицы яевелика. Уравнение (2.26) принимает тогда вид двумерного интегрального уравнения

а3 (р — Ро)

X(^,PzPo)= (2я)3 >Рю (灯 ； +

ООр + " '/ 2

J 加 J * X

0 Ip-^l2

kf/33

x — to (g, £分)x (^\ pS Po)* g= v ^,2 + — p' — p2. (2.27) p44

Воспользуемся теперь сепарабельной аппроксимацией паркой t-матрицы по методу Бейтмана с Л/= 1. Из выражения (1.89) для t-матрицы имеем

t{q, k.Z^ =丿 ®”) V{s^k}/C{Z^.(2.28)

Подставив выражение (2.28) в уравнение (2.27) г получим

XXхх

X

X

х

х

XXV (к, Sl)X {к',р'} = (2")3 仍о(灯 ——-— +

X

X

——V4/SJ x 化,P') • P——V4/SJ x 化,P') • PP +/'/2 X J dk'

——V4/SJ x 化,P') • P

——V4/SJ x 化,P') • P

B(p)

Итак, для функции x (^,P) получаем представление

V (к, sx) В (p)(Zp- к2Im} C{Z^V (к, sx) В (p)(Zp- к2Im} C{Z^(2.29)(2.29),8 (p - pq)

V (к, sx) В (p)(Zp- к2Im} C{Z^

V (к, sx) В (p)(Zp- к2Im} C{Z^

(2.29)

(2.29)

X(k,P)=(2")3 Зю (幻+

где В (p) — неизвестная функция одной переменной. Используя представление (2.29) в определении функции В (р), получаем искомое-одномерное уравнение для функции В (р):

1 °°к (р, р')

В (р) = Bq (р) + -—— J dp' В ⑵，(2.30)

产 оC (ZpA

где

47rp +?о/2

8。(р) = J k'dk'V(q°,sx) ^о(И；

""О I]

I рI

q° =，

4

P + p'/2 (Pz PO = JIp -p72lP + p'/2 (Pz PO = JIp -p72lкГ I/ (q, sj V{k',sx)кГ I/ (q, sj V{k',sx)PPZp'-k'2/mZp'-k'2/m(2.31)(2.31)

P + p'/2 (Pz PO = J

Ip -p72l

P + p'/2 (Pz PO = J

Ip -p72l

кГ I/ (q, sj V{k',sx)

кГ I/ (q, sj V{k',sx)

P

P

Zp'-k'2/m

Zp'-k'2/m

(2.31)

(2.31)

2・4・ Решение уравнений Фаддеева при полной положительной энергии системы интерполяционным методом

Остановимся теперь на решении трехчастичных уравнений [21 ] при полной положительной энергии системы, т.е. рассмотрим ситуацию, когда кроме упругого рас- сения возможен процесс развала мишени. Как уже отмечалось, в ядрах уравнений Фаддеева при этой энергии возникают движущиеся особенности логарифмического типа. Чтобы акцентировать внимание именно на этих особенностях и способах "бор『 6bi" с ними и не загромождать текст деталями, рассмотрим упрощенный вариант уравнений Фаддеева — так называемые уравнения Скорнякова — Тер-Мартиросяна (С. — Т.) [22]. Эти уравнения описывают рассеяние в системе трех частиц с парным 6-образным потенциалом.

Итак, уравнение С. — Т・，описывающее квартетное nd S-рассеяние, имеет вид

V(3/4) к2 -Z- aGo (*,*о)2 8

；50 传，к0)=J x户-*o2Mo Я о

Go 依 к') а 阳 *о)*,2 dk'

<-,

2кк' (*,2 - *о - ie)

(2.32)

где а (ко,左0)— S・ компонента амплитуды квартетного л(/-рассеяния;

1 dxк2 +кЛ -Е,3_

Go(*,Ar*) = J ; Q = ; E^-a2 + —— 抬；

-1 О +x — i ekk94

4

£ — полная энергия системы; Z=£ + i£; (?=ml 6^1; Ar； =— m 与.

3

Очевидно, что величина Gq (Ar, к'、/2*k' — это просто угловой интеграл от свободной функции Грина системы. Для удобства введем в уравнении (2.32) безразмерные переменные:

х = */<(4/3) £; у = *7\/(4/3)-£; Хо = Аг о/V(4/3) £; 7 = а/ 04/3) £,

а вместо амплитуды а 伙，к。)будем использовать функцию а (л, хо)\^~

e (X)=-内,

[(2у/\/3) +- 1] [1 -i xoa t*o, *0)]

из (2.32) получим уравнение

Go (x, к。)

2 xxo

для которой

S W =一

Go (x, у) 7 - i

2xy储一弟)

(2.33)

где Р — главное значение интеграла.

Функция Go (х, /) имеет вид

Go (х, /) = G(1) (х, к) +i7TG(2) (х, к);

G(2)G(2)

G(2)

G(2)

где

G ⑴(х, к) = In

/ + у2 + ху - 3/4

е (г)

1 Itl <1

О Itl > 1.

(2.34)

Как следует из (2.34), ядро уравнения (2.33) действительно имеет движущиеся

логарифмические особенности, определяемые уравнениями

хх22хх2266XX++УзУз2222УЗУЗО < х < ^-;2О < х < ^-;222

х

х

2

2

х

х

2

2

6

6

X

X

+

+

Уз

Уз

2

2

2

2

УЗ

УЗ

О < х < ^-;

2

О < х < ^-;

2

2

2

Рис. 2・5・ Положение особенностей ядра (2.34) интег рального уравнения (2.33)

Положение особенностей ядра (2.34) в плоскости (ху) показано на рис. 2.5.

Обзор методов решения интегральных уравнений с особенностью типа (2.34) можно найти в работе [23], здесь же мы кратко изложим метод, основанный на предположении о гладкости функции В (х). Действительно, естественно предположить. что В (х) — гладкая функция внутри каждого из двух интервалов [01 ] и [1°°] : которую можно аппроксимировать на них интерполяционным полиномом Лагранжа [24]. В результате такой аппроксимации интегралы, содержащие сингулярные члены, удается взять аналитически, и вся задача нахождения функции 8 (х) сводится к решению системы алгебраических уравнений для коэффициентов интерполяции. Практически процедура выглядит следующим образом. Представим интеграл в правой части уравнения (2.33) в виде двух слагаемых:

818

Р J К (х, /) 8(у) dy = J К{х, К) 8(力 dy + P j К (х, у) В (у) dy, (2.35) о01

где

,Go (х, у) 7 - i "з/2) \Л -尸

К (х, к) = / -(2.36)

2ху/ -хо

Из (2.36) следует, что в правой части (2.35) подынтегральное выражение в первом слагаемом имеет движущиеся логарифмические особенности, тогда как во втором — только фиксированную полюсную особенность. Выделим в явном виде в первом интеграле (2.35) сингулярный множитель G() (х, /) и представим этот интеграл в виде суммы интегралов по интервалам Л = 1/Л/:

1N jh

(2.37)(2.37)^dyG0^x, /) Ф (/) = Е J dyGoix, /) Ф(и), о/=1 (/-1)Л

(2.37)

(2.37)

*В точке х = 1 функция 8 (л) имеет разрывную производную.

Re В (х);Im В (л)Re В (х);Im В (л)Рис. 2.6. График решения уравнения (2.23):

Re В (х);Im В (л)

Re В (х);Im В (л)

где

(2.38)(2.38)J?y-i (^3/2) \/l - Р

(2.38)

(2.38)

ф (у) = 8 (у).

2х/ к -xg

По предположению функция 8 (/) и вместе с ней и функция Ф (у) — гладкие функции в интервале [О, 1J, поэтому в каждом из интервалов [(/ — 1) Л, jh} они могут быть с достаточной степенью точности аппроксимированы интерполяционным полиномом Лагранжа 厶，)(/):

Ф/М = 2 厶勿(К) Ф(к^). (2.39)

Второй интеграл в правой части (2.35) вычисляется стандартными методами.

На рис. 2.6 изображены результаты решения уравнений (2.33) при £ = 6,7 МэВ. Как видно из этого рисунка, предположение о гладкости функции 8 (х) внутри интервалов [о, 1 ] и [1, °°] действительно оправданно, поэтому изложенная процедура представляется вполне надежной.

Уравнения Фаддеева в форме, предложенной

Альтом—Грассбергером—Сандхасом—Хелашвили

Приступим теперь к рассмотрению уравнений Фаддеева в форме, предложенной Альтом—Грассбергером—Сандхасом—Хелашвили (АГСХ) [25]. Это уравнения для операторов, матричные элементы которых по асимптотическим состояниям являются физическими амплитудами для соответствующих переходов.

Для удобства изложения напомним некоторые простые соотношения, имеющие место для двухчастичной системы. Итак, пусть имеем двухчастичный гамильтониан Н = Но + V vt соответствующие функции Грина G (Z) = (Z —Н)т； Go (Z) = (Z — Но)~1. Как и ранее, Г-матрицу введем равенством

G(Z) = Go(Z) +G° (Z) 丁忆)G° (Z).(2.40)

Тогда для S-матрицы в импульсном представлении, как обычно, имеем

Spp，= 5(Р-Р') -2тН5 (Ez-E) <pl7-(E + ie)lp->.(2.41)

Таким образом, для нахождения t-матрицы нужно решать либо уравнение для функции Грина

G (Z) = Go (Z) + Go (Z) VG (Z),(2.42)

либо непосредственно уравнение Липпмана—Швингера

7(Z) = V+ VG0 (Z) 7(N}.(2.43)

В принципе оба уравнения эквивалентны, однако f-матрица менее сингулярна, чем функция Грина; действительно, это видно, если записать соотношение (2.40) в импульсном представлении:

8 (р —11

〈pl G(Z) Ip，〉= + ——〈plT(Z) Ip，〉；—

Z - р2/2Д

(2.44)

Рассмотрим теперь гамильтониан трехчастичной системы:

Н = Но + S Vy, Vy = Уц, если 7#%/; у, /；/= 1, 2, 3.

В отличие от двухчастичного случая трехчастичный гамильтониан допускает различные "расщеплениям вида

Н = % +『а(2.45)

на канальный гамильтониан На и ,,взаимодействиег,

0a = 2%.(2.46)

7术a

Из определения (2.45) и (2.46) гамильтониан На описывает асимптотическую ситуацию, когда частица с номером а ни с чем не взаимодействует, а две другие находятся в связанном состоянии в потенциале Va. Таким образом, собственные состояния I Фап〉гамильтониана На, т.е. канальные собственные состояния, имеют вид произведений

I ①а〃〉= 1Ва〃〉1ч«〉，⑵ 47)

где I 屮如〉—собственная функция л-го связанного состояния пары, а I q> — плоская волна, описывающая относительное движение третьей частицы и центра инерции связанной пары.

Вместо свободной функции Грина Go (Z) введем канальную функцию Грина Ga (Z) = (Z —勿а)т и по аналогии с (2.40) введем оператор перехода %出

G(Z) = 6a0Ga (刁 +G^ (Z) U^a (Z) Ga (N).(2.48)

Мы вынуждены вводить канальные функции Грина Ga (Z) вместо свободной функции Грина Go (Z), поскольку теперь на бесконечности имеются канальные решения (2.47), а не плоские волны, как это было в задаче двух тел. Также по аналогии с определением двухчастичной $-матрицы (2.41) определим матричные элементы трехчастичной S-матрицы:

S0m,a〃(q'0，Ча)= 3倣 3m〃 3 (q。— * —

-2"i 5 (£'0m - £a〃)〈①0m I 00a(%〃 + i e) I ①a〃〉•(2.49)

Для трехчастичной функции Грина, используя канальные функции Грина, вместо уравнения (2.42) получаем

G(Z) = G0 (Z) +G0(Z)姦 0 吗 G(Z).(2.50)

Подставляя в уравнение (2.50) определение оператора перехода (2.48), получаем систему уравнений АГСХ для операторов U^

牛a(Z) = (1 -3傲)GU (Z) + ^S ^ j (Z) G° (Z) % •(2.51)

Сравнение уравнений (2.51) и (2.18) показывает, что общим свойством их структуры является отсутствие в правых частях обоих уравнений ''диа「онапьно「о'' члена, т.е. %。в (2.51) и М3 в (2.18). Таким образом, физический смысл требования фредгольмовости, из которого мы исходили при получении уравнений (2.18), состоит в корректном учете имеющихся асимптотических состояний трехчастичной системы, приведшем к фредгольмовым уравнениям (2.51).

Установим теперь связь между операторами перехода %。и фаддеевс- кими операторами М3. С этой целью формально перепишем систему уравнений (2.51) в виде уравнений Липпмана—Швингера:

夕=%■+”£(2.52)

где

办 а = %а；⑵ 53)

▽倣=(1 -М0)GQ;(2.54)

У о,0а =书做。。Та°8・⑵55)

По аналогии с двухчастичным случаем введем наряду с оператором перехода / оператор Грина 学：

纟=% + &0?*0.⑵56)

Легко убедиться, что У удовтетворяет уравнению

乡=&о + %W* •(2.57)

Вводя в определение (2-56) выражения (2.53) и (2.55) и используя (2.46) для у , получаем

扌0а= G(){30a % + »0 G%} G()= G0M^aG0,⑵58)

т.е. элементы ''функции Грина" о/ есть не что иное, как операторы Ма^, введенные Фаддеевым [см. (2.18) ]. Подставляя в (2.57) определения 乡о и1cVи используя (2.58), получаем уже известное уравнение Фаддеева для операторов "倣：

а = 3例 ％ + % Go S Муа.

7=0

Уравнения (2.51), так же как и уравнения Фаддеева, можно свести к одномерным, если использовать сепарабельное разложения для парной f-матрицы. Действительно, представим парный оператор Гу в виде суммы двух слагаемых:

Ту = 7^+Г7，7 =1,2,3,⑵ 59)

где %

(2.59a)(2.59a)7^ (Z) = К 1〃〉г”(Z)〈〃 I,

(2.59a)

(2.59a)

a 丁今—несепарабельный член, который можно в некоторых случаях рассматривать как возмущение. Подставляя (2.59) в (2.51), получаем матричное уравнение, формально напоминающее уравнение Липпмана—Швин

гера:

Г = V+ VG0T,(2.60)

где использованы следующие обозначения:

Цп, am =^n\G0U^aG0\am>;(2.61)

И3〃，ат =〈卽IG。〃'傲 G° I ат〉；(2.62)

Go, 0〃, ат = ^^aTa,nm-⑵63)

Оператор U加 удовлетворяет уравнению (2.51), в котором вместо Т? стоит Гу； индекс л принимает значения от 1 до А/^ в соответствии с числом учитываемых сепарабельных членов в f-матрице аналогично 1 & « т 4 N а .

Важным свойством операторов (2.61) — (2.63) является то, что они уже действуют не в шестимерном пространстве трехчастичных состояний, а в трехмерном пространстве состояний lqa>, описывающих, как уже отмечалось, свободное движение третьей частицы а относительно центра инерции двухчастичного кластера \ат). Например, амплитуда перехода из состояния а в состояние 0 имеет вид

碳(q0, Па) =〈 q'0 । 7>, ат 1Ча>- (2.64)

В соответствии с этим уравнения (2.60) после отделения угловых переменных переходят в систему одномерных уравнений (при условии, конечно, что оператор U^a найден независимо приближенным способом).

2・6・ Уравнения Фаддеева в форме, предложенной

Карлссоном и Цайгером

До сих пор мы нигде явно не интересовались амплитудами, описывающими процесс развала, т.е. переход 2 например л + d^n + л +р. Весьма удобный для рас смотрения этих процессов вариант уравнений Фамеева был предложен Карлссоном и Цайгером [26].

Сначала получим интегральное представление для фаддеевской компоненты волновой функции 1屮0〉，в котором явно выделим особенности, связанные с наличием упругого рассеяния, перестройки и развала. Затем определим соответствующие этим процессам амплитуды как вычеты в соответствующих полюсах, после чего уже получим уравнения для этих вычетов, т.е. уравнения Карлссона—Цайгера.

Введем полную систему функций ^анального гамильтониана 〃0 =〃о+% 0 = =1, 2, 3:

(2.65)

где |Ф^ ) — волновая функция связанного состояния пары 0 (пусть имеем только одно связанное состояние в каждой паре) с энергией К;丨 %” — соответствующая функция непрерывного спектра. °

Уравнения Фаддеева для компонент волновой функции имеют вид

(2.66)(2.66)№@» =6仅 Iр%)峭 一 Go (£ + iе) t0(E + ie)阪0 I 屮户〉，

(2.66)

(2.66)

т.е. в начальном состоянии имеется связанная пара в канале а, Е =р；(°)/2〃а — —北.

G0 =G0 =Воспользуемся теперь спектральным представлением для канальной функции Грина

G0 =

G0 =

0为/ （24伊一Эс2 _ z

(2.67)(2.67)〈P0啜 I 屮俨〉=В讀(pq - рд)-〈P0啜 I 屮俨〉=В讀(pq - рд)-纟0a(P^q。； Pa0)； £ + ie)纟0a(P^q。； Pa0)； £ + ie)啥(2%) + 啥(2叩)-Е啥(2%) + 啥(2叩)-Е⑵68)⑵68)(2.69)(2.69)(2.70)(2.70)(2.71)(2.71)闕一）5小?噬）i

(2.67)

(2.67)

〈P0啜 I 屮俨〉=В讀(pq - рд)-

〈P0啜 I 屮俨〉=В讀(pq - рд)-

纟0a(P^q。； Pa0)； £ + ie)

纟0a(P^q。； Pa0)； £ + ie)

啥(2%) + 啥(2叩)-Е

啥(2%) + 啥(2叩)-Е

⑵68)

⑵68)

(2.69)

(2.69)

(2.70)

(2.70)

(2.71)

(2.71)

5哈逑)噪出一受空竺*2

Pq / (2 门0)—次0 — E — i £

“彳(q°)君 0a(q0‘qg； рМ； е+ ie)

咆(2。0)+ 喝，(240)- E - ie咆(2。0)+ 喝，(240)- E - ie~ / dq‘0 Т77；~：'.二21 ■(2.72)

咆(2。0)+ 喝，(240)- E - ie

咆(2。0)+ 喝，(240)- E - ie

Из представления (2.72) ясно, что если определять амплитуды как вычеты волновой функции в соответствующих полюсах, то функции ^ Ba(Р伊 р[°)； £ = = Р0/(2叩)一*0)есть амплитуды упругого рассеяния (а = 0) и перестройки (Q W W0). Аналогично выражение для развальной амплитуды имеет вид

S S/3a (р, q0； Р%。); £ = р^/ (2咐 +&/ (2〃0)).

По существу представление (2.72) является трехчаетичным аналогом формулы

,+、г (р, к, %2 + i е)

)(р) = 3 (р - к) 一 — ,

J/(2从)一炉/(2从)_ ie

уже известной из рассмотрения двухчастичной задачи. Уравнения для полумассовых амплитуд "Х^и S^|3 легко получить,если в определениях (2.70) и (2.71) поставить представление для фаддеевской компоненты (2.72). В дальнейшем будем интересоваться уревнениями для внемассовых ам пли туд 义邛 > S ^ однако прежде чем приступить к их получению, установим связь между амплитудами 电0 ^^ и АГСХ- ам пли ту дам и U硝.

Можно показать, что существует аналог оператора Мёллера, переводящий канальную функцию в точную фаддеевскую компоненту *

I W 俨〉=俗仅—Go(£+ ie)勺3a (E + iQ] lp^)嚟〉，(2.73)

где E =為0)/ (2%) 一恋.

Учитывая связь операторов 长仅 и ^仅：

6()絵仅=—G^V^ Go^3a = — G()t0 G° 恥1(2.74)

и представление (2.72), после проектирования (2.73) на канальные состояния (2.65) получаем связь амплитуд 尤硝帆 告伙严 матричными элементами опереторов перехода D例：

尤仅(Р0р£°)； E+iG = -〈Р0嗖"畔。(£+ie) и&(Е+У1рГ)嚟>.(2.75) 宮仅(Р伊q； р£)； E+ie) = -〈P0*-)I1/Go (£+ie) ^(£+1е)1р^0) ^' (2.76)

(2.77)(2.78)(2.77)(2.78)На массовой поверхности, очевидно, <P^l^G0 (E + ie) =〈Р0磯l・

(2.77)

(2.78)

(2.77)

(2.78)

Учитывая (2.77) f из (2.75) получаем

尤仅(p伊 p，°)； e + i日=(p0吸2仅隔"曝*

т.е. еще раз убеждаемся в терминах операторов %;, что амплитуды /с^описывают упругое рассеяние и перестройку. При Е ^Р^ ^ / (2л^) ^3^ и £ ^Р0^0+ + 0，(2/1/3), т.е. не на массовой поверхности, (2.77) не выполняется и для внемассо- вого продолжения амплитуд (2.75) и (2.76) будем иметь выражения

%&(Р0，₽«} ； Z)=〈Р0 喲 ％ Go (N)农(Z) Go (Z) Va I 梨 嚟〉；(2.79)

&&(P，q0； P黑 Z)=〈P0WSj^*Go(N) U^{Z) Go (Z) %lp£)嚟* °(2.80)

При получении уравнения для внемассовых амплитуд (2.79), (2.80) будем исходить из уравнений АГСХ (2.51):

儉(Z) = - 6^Go1 (Z) 一2舌切力(Z) Go (Z) U?a (Z),b仅三 1 -3仲(2.80a)

Умножая уравнения (2.80a) слева на %Go и справа на G。％ и используя выражения (2.67), (2.79), (2.80) и соотношение G^ty = GyV^, получаем искомые уравнения:

冗仅（р伊 р£°）； Z）=嘴）（р, р£）; Z）-

笈允 力 7a 'Р'у Р$）； N）

"脑‘加戸侪（P伊叫 咛（2叫-鸟-Z

右州(p* q'y p\°)； z)

S f dp^dq*/!/^ (pg, p*r q'7) —т ；(2.81)

7=07Tp7 卩 7 7 經*(2呻 +g*(2唱-Z

價(P0,q°； P(* Z) = &砂)(Р*0； рГ'； Z)-

7镰"p'戸S(P伊q0叫)x

R” (吗 pA。) ； Z)85

* 彩耳 Z

x ―-~匚二・(2.82)

P,/(2”)^q^l{2^ -Z

Эффективные потенциальГ^Зу определяются следующим образом:

(2.83)

^^' ^^^ =噸咁））嵋）唄）； 屮07（p/г q。p，N =-旱（¥"『；曲—e, 力0y（p（r q。，p'r q'N =‘0（q0，q%D； —0-^^' ^^^ =噸咁））嵋）唄）； 屮07（p/г q。p，N =-旱（¥"『；曲—e, 力0y（p（r q。，p'r q'N =‘0（q0，q%D； —0-(2.84)(2.84)240240(q$2))2/(2pl7)+咨.(2.86)(q$2))2/(2pl7)+咨.(2.86)Здесь использованы следующие обозначения:Здесь использованы следующие обозначения:22Р**у •Р**у •

^^' ^^^ =噸咁））嵋）唄）； 屮07（p/г q。p，N =-旱（¥"『；曲—e, 力0y（p（r q。，p'r q'N =‘0（q0，q%D； —0-

^^' ^^^ =噸咁））嵋）唄）； 屮07（p/г q。p，N =-旱（¥"『；曲—e, 力0y（p（r q。，p'r q'N =‘0（q0，q%D； —0-

(2.84)

(2.84)

240

240

(q$2))2/(2pl7)+咨.

(2.86)

(q$2))2/(2pl7)+咨.

(2.86)

Здесь использованы следующие обозначения:

Здесь использованы следующие обозначения:

2

2

Р**у •

Р**у •

Как видно из выражений (2.81) — (2.86), ядра уравнений Фаддеева в форме Карлссона — Цайгера определяются эффективными потенциалами, не зависящими от энергии Z. Это весьма полезное свойство при практических расчетах. После простого преобразования в уравнениях для парциальных амплитуд можно перейти к уравнениям с действительными эффективными потенциалами, что также весьма удобно. Наконец, входными данными для уравнений (2.81), (2.83) явлтртся парные волновые функции дискретного и непрерывного спектров и полу массовые парные t-матрицы.

Решение уравнений Фаддеева методом моментов и методом сплайновых функций

Вернемся снова к методу моментов, который теперь будем использовать для решения уравнений Фаддеева. Рассмотрим две версии метода, которые будут применяться к задаче S-рассеяния частицы на связанной паре. Первая версия состоит в построении вспомогательных функций итерациями [см. (1.134) ] одномерных уравнений Фаддеева (для квартетного и дублетного /х/-рассеяния). Формально эта схема выглядит следующим образом. Пусть имеем одномерное уравнение для функции lx>：

lx> = lz0> +zAlx>.(2.87)

Так же, как и в (1.134), построим итерационную цепочку функций 1Хл〉，явля- ющихся моментами ядра Z△:

lxo> =lzo” 1\л> = 1хо> + ZAlX/,-1〉，〃 = 1 …州(2.88)

Решение, как обычно, ищем в виде линейной комбинации функций I Х〃〉：

1Х“> = £1х〃〉.(2.89)

л=0〃

Подставляя (2.89) в (2.87) и проектируя на функцию (X^IA, получаем систему уравнений для коэффифиентов а%

Ео {〈廿'“Х"〉-〈Xml^AM〉} 3：=〈XJAI Zo>.(2.90)

В импульсном представлении уравнение (2.87) имеет вид

2 ?> Z @ •幻2

х (р,幻 =Zo (р, к, к" — J ———5 XS：幻 P dp'.(2.91)

7Г о р* —к — iе

Решение уравнения (2.91) связано с трехчастичной фазой рассеяния:

3

X (尤 к) — — exp [i 5 (Ar) ] sin 5 (Ar),(2.92)

а функции Zo и Z имеют вид уже встречавшихся [см. (2.31) ] yrnoabix интегралов:

1 Ф(01)Ф(02)dx

No (."幻 =户 f -——;:—,(2.93)

.1 广 +0几 +即‘* -(3/4) Ar2 ё/

где bs = — 1 для s =0; bs =1/2 для s=1/2; s — спин частицы; g】=(—p2+

14

+ q'2+qq'*)"2； Q2 ~(p2 + Q，+w>，*)"2；

4

€ — энергия связи пары, на которой происходит рассеяние; Ф (q) =c/(J + 俨)— формфактор сепарабельного S-волнового потенциала Ямагучи; с' =20。(0 + &$; а=^^ 0 — протяженность потенциала Ямагучи;

4Г 3 о о 1

Z(р, р： к} =—Zo (р,р； *) S — (М_р，2)_е(2.94)

L 4」

и

а (0 + М(а+好

S ( — W)= •(2 95)

Q(a+0) (a+W+20)

Численные расчеты показали [29], что при импульсах 0 Ср С 2{fm~^) ряд (2.89) сходится к точному значению функции (полученному непосредственным интегрированием уравнения (2.91) по точкам) при Л/= 4 для дублетного рассеяния и при N— 2 для квертетного.

Вторая реализация [30] метода моментов основана на другом наборе вспомогательных функций IXn〉一 на так называемых сплайновых функциях. Определим эти функции. Для удобства интервал интегрирования в уравнении (2.91) преобразуем в интервал [о, 1 ]. На этом интервале введем упорядоченную совокупность точек С;, т.е. 0 = 6 <Q … <Cn — 1 <С/у=1・ Тогда базисная сплайновая функция X* определяется как

X^n(X)= 口(х - су ) -6 (х - Cj + 1)] (х-C/)m-1(2.96)

1 х>0

где 6 (х)=《и 1《/V,

О * <0

1《m《$• Величина $ задает число независимых базисных функций для каждой точки С/. Из определения ясно, что функция )^ (幻 отлична от нуля только в интервале [С(, С/ + 1) Функцию Ф (), заданную в том же интервале, будем аппроксимировать суммой

(2.97)(2.97)①"£т%хЗх)

(2.97)

(2.97)

Коэффициенты этого разложения 力 определяются из условия《=Ф(Су) и требования непрерывности @ (*) и ее первых $ — 1 производных во всех внутренних точках Cj интервала [о, 1 ]. Эти условия приводят к системе линейных уравнений для 4r Если используется равномерное распределение точек С/, т.е. С/ + ■, — С/ = 5, то для гюгрешности, вносимой аппроксимацией (2.97), можно получить оценку |Ф(х) —Ф(х) I《oust •

Из определения разложения (2.97) следует, что аппроксимации, использующие сплайновые функции (2.96), можно применить только к непрерывным функциям. В связи с этим в уравнении (2.91) при энергии, не превышающей порога развала, будем аппроксимировать сплайнами гладкую функцию Z (. pS 幻.Кроме того, в явном виде учтем асммптотическое поведение Z @ " к} при больших р. Из (2•吟 получаем, что при р^р^ к Z (. 土 幻 〜р~* а при р 〜р'»£ Z (р“1 幻〜 ~р . В соответствии с этим введем новую функцию

1 +~2

У (р, р： к} = —- %(Р，Р',幻，(2.98)

(1 +d)3

которую и будем аппроксимировать как

^(Р1Р1£) = N S 0"(幻 X*(Р)(九(2.99)

где

X； 9)= [6 (x — С/ ) — 0 lx — С/ + 1) ] (x — С/)"'; 1 — *

p = PO ； X G [—1,1].(2.100)

1

Масштабный множитель p()можно использовать для оптимизации решения.

Для удобства вместо уравнения (2^1) будем использовать его К-матричную форму* Тогда, имея в виду (2.99), для К (р, к} получим разложение

K(ptk)=z(prk,k)-(1 +р2)-3 2 S 4„(幻 Х；п(Р)，(2.101)

/ =1 т = 1

1

при этом К (£,幻 = — ・

к ctg 5 (幻

Коэффициенты а^ (Аг) находятся из системы линейных уравнений

Аа = 8.(2.102)

Здесь

Атп = 8〃' Мп + 3 0纟/ '力；

(2.103)

* = е A明国； / =1 Л = 1

J_ 2& ⑷ X{(P),

dn (Ar) — J2 2 У2 0 dp；

m〃я Pj(1+/)2(p2_a2)

2 P/ +1(1+p2) y}m^

(2.104)

(2.105)

娟他)=- J Z (p.k.外 5——/一

刀7Г PyQi

где

Pj =Ро (1 + С0 / (1 — Cj).

Таблица 2 7

-Р dp,

(2.106)

/V66

10

Точное

丿芻6,2986.286

6,284

6,284

Численный расчет проводился с пераметрами парного потенциала, описывающего низкоэнергетическое лр-взаимодействие в триплетном состоянии, т.е. € = 0,054(|жГ , 0 = 1,444 фм"1. Наиболее стабильные решения получены при р° =0,5 фм-1. Этот метод дал очень хорошую сходимость для полумассовой квартетной амплитуды при всех энергиях, вплоть до порога развала дейтрона. Для иллюстрации приведем таблицу, показывающую сходимость метода для квартетной длины рассеяния.

Унитаризация приближенных решений уравнений Фаддеева

Теперь перейдем к изложению методов приближенного нахождения трехчастичных амплитуд, в основе которых лежит условие унитарности, т.е. будем исходить из того, чтобы приближенная амплитуда удовлетворяла условию двухчастичной или трехчастичной унитарности. Рассмотрим три формулировки такого подхода, оказавшиеся весьма эффективными как с точки зрения приближенного описания реальных трехчастичных систем, так и в чисто теоретическом плане.

Первая из них [32], к изложению которой мы приступаем, основана на одном приближенном решении уравнений Фаддеева и пригодна для локальных и нелокальных парных потенциалов. Основная идея этого варианта унитаризации состоит в том, что система уравнений Фаддеева переписывается в виде двух связанных систем уравнений. При этом вторая система по-прежнему остается многомерной, а ядро первой выводится на массовую поверхность, т.е. первая система одномерна, а для центрального 50

взаимодействия она вообще превращается в алгебраическую. Таким образом, если найти (например, итерацией) какое-либо приближенное решение второй системы, то решение первой системы немедленно приведет к явному и унитарному выражению для амплитуды

Приступим к явному изложению этой формулировки. Пусть имеем систему из трех частиц с массами т^ т2, т3 и парными потенциалами 匕，丿2，匕，где, например,匕=丿23 — взаимодействие частиц 2 и 3.

3

Полный гамильтониан системы Н = Hq + 工 Va. Введем следующие опе- а = 1

раторы:

G(S) =- (S — 〃)т；(2.107)

Ga (S) =- (S -〃涼7；(2.108)

Та (S) =Va - VaGa (S) Va,a = 1,2,3,(2.109)

где Ha= Ho + Va — канальный гамильтониан. Для канальных операторов потребуются соотношения

G° (S) Та (S) = Ga (S) Va; % (S) G° (S) = % Ga ⑻(2.110)

(см. первую лекцию). Операторы (2.108), (2.109) определены в пространстве трехчастичных состойний; введем их аналоги в двухчастичном подпространстве:

да (S) =- (S-har4(2.111)

ta (S) = %- Va9a (S) %,a=1,2,3.(2.112)

Запишем выражение (2.21) для пары а :

〈Paq'l 丁。⑻ I Ра %〉= 3 (р'а - Ра＞〈Ч«! ta(S - р^/ (2恤)&〉， (2.113)

где, как и раньше, например, Мх = m】(т2 +т3) / (т^ +т2 +л?з). Введем теперь операторы 斤咅《【33]:

伪JS)=3仅 ％ + *а(S)；(2.114)

"зaм=瓦加好+W例"，(2.115)

где операторы 州а определены через полную функцию Грина:

件a(S)= 257а57/3 ^ - ^у,^8а VyG^ ^5-(2.116)

Операторы R^a обладают тем свойством, что их матричные элементы по канальным функциям I ^ат〉являются на массовой поверхности физи-

ческими амплитудами перехода Т из канала а в канал 0：

{&m\T\an> =〈 90m 低)1 嗑 仁 + © I %〃 @〉•(2.117)

Таким образом, на массовой поверхности матричные элементы операторов Я да совпадают с введенными ранее [см. (2.48), (2.49) ] матричными элементами операторов。傲・ Кроме того, заметим, что операторы "®а м "^а также имеют одинаковые матричные элементы на массовой поверхности. В этом легко убедиться из их определения и тождества

〈90m(E)I 丿0庵〃(Е)〉=〈90m (Е) 1 %饱〃広)>•(2.118)

Операторы 斤点@ удовлетворяют следующей системе уравнений Фаддеева (форма Лав леса):

^а(5) = у%з 力-彳 8” 用《у В) G° (S) 7r (S) ；(2.119)

R^a (S)= ^ 々a 丿7 - 洛0 % (S) G° (S) Rya(S}. (2.120)

В соответствии с соотношениями (2.114) и (2.115), а также (2.109) и (2.110) перейдем к уравнениям для операторов W^a

^a = ' S<у0 8” У"? ■- S 8ya И^^ Go 7^;(2.121)

H^a = S 00%0 Г7 - ^00 77Go %。•(2.122)

Перепишем уравнения (2.122) в форме, удобной для приближений, которые мы будем делать. С этой целью представим оператор Т, в виде двух слагаемых:

Ту = Т^ + 丁J?) ,(2.123)

явный вид которых дадим ниже. Введем оператор 吆》，удовлетворяющий уравнению (2.121), в котором Ту заменено на 7^\

曲；)=^务肺”弓⑴-彳^})GoTjD %a，⑵124)

а также соответствующий ему оператор R^ :

"品)=瓦a%+略之)•⑵125)

Тогда легко показать * что оператор 绚& Удовлетворяет уравнению

晔а =作*)+ 2 ⑨肉-叫;)G。] У?。)(5^_ g。％。].(2.126)

Выберем 丁尸)в виде

(2.127)(2.128)(2.127)(2.128)弓(2)(£+ ie) = VyG^ (曰 Vr где

(2.127)

(2.128)

(2.127)

(2.128)

G，？ (£) = - iff5 (£-%) P” 7= 1, 2,3,

a Q? — проектор на собственное канальное состояние 19” > (т.е. собственное состояние гамильтониана НЛ .

Таким образом, мы уже готовы к реализации той идеи, о которой говорилось выше. Действительно, уравнения Фаддеева (2.121) представлены в форме двух систем уравнений (2.126) и (2.124), причем благодаря выбору 7*,2) в виде (2.127), (2.128) ядра уравнений (2.126) выведены на массовую поверхность, т.е. уравнения (2.126) являются интегральными для трехчастичных амплитуд, взятых на массовой поверхности.

Используя соотношения

(2.129)(2.129)G? (£) gGo (£+ie) = G$ (£);

(2.129)

(2.129)

Go (£+ie)匕 G,(曰=G, (£),

а также выражения (2.119), (2.120} и (2.125), можно упростить уравнения (2.126) и перейти к уравнениям для операторов R^a：

80a(£+ie) = 8 品)(£ + ie) + S 介自)(E + iGG? (E) RJa (E+ie).

7(2.130)

Пока это точные уравнения. Сделаем приближение для операторов R^ а именно в выражении (2.125) удержим только нулевую итерацию, т.е.:

喝)"端)=5饱匕+褰統"方⑴.(2.131)

Используя (2.131) для конкретного случая а = 1 (т.е. частица 1 падает на связанное состояние частиц 2 и 3) при отсутствии связанных состояний в потенциалах 匕？ и l/i 2, из уравнений (2.130) получаем простое уравнение для оператора "упругого" перехода:

"г = (Г13 + Г12) + Ь1з+兀2)G'i Z?M.(2.132)

Доведем решение уравнений (2.130) до конца для системы из трех бес- спиновых частиц. Запишем систему (2.130) в импульсном представлении:

〈0kgl7l aka〉=〈佻'0“ a%〉- i7r32M ”卜飞 x

x〈佻石1/1 3k"s〉8 (E-E^) <6k°5l Tl aka>.(2.133)

Здесь

〈你'0丨丁1 aka）三〈0k，0180al aka〉； 〈0kgl/laka〉三〈佻方 I 介品）I ak。〉.

Рис. 2.7. Дифференциальное сечение для упругого рассеяния частицы с энергией £кин = 14,1 МэВ на связанном состоянии двух частиц：

—точное решение; — • — •— унитари- зованное приближенное решение (2.139); импульсное приближение. (Сечение дано в относительных единицах, частицы тождественные.)

Для тождественных частиц в уравнении (2.133) имеется всего две независимые амплитуды — прямая TD и обменная ГЛ:

〈k'l7°lk〉=〈ak'丨丁I ak〉，a= 1,2, 3;(2.134)

〈k'l ГЯ1 k> =< 0k'l 7l ak>, 0 W a.(2.135)

Вводя симметризованную (или антисимметризованную) амплитуду

〈k'lTlk〉=〈k'lT°lk〉+2〈k'lT°lk〉，(2.136)

расцепляем систему (2.133). Для Т получаем

〈k'lTl к) =〈к"/1 k〉-/7r，dk"〈k，l/丨 к"〉3 (£ - £")〈k"l 7l к〉，⑵137) где

<k1/lk) =〈k1/"g +2〈к"/А|к>.⑵ 138)

Отделяя в урвнении (2.137) угловые переменные для 7/ {к, к'), находим

7} (к, к'\ = /, (к, Г) /[1 -i// 优,攵')]・(2.139)

Дифференциальное сечение при энергии налетающей частицы 14,1 МэВ, построенное с использованием амплитуд (2.139) на рис. 2.7, сравнивается с точным решением. (В обоих случаях, конечно, брался сепарабельный потенциал,) Как видно из рисунка, амплитуда (2.139) весьма близка к точной, т.е. процедура унитаризации, осуществляемая уравнением (2.130), приводит к весьма Существенной перенормировке ,,импyльcнoгo,, приближения //.

Дисперсионные методы в задаче трех тел

Второй метод, использующий условие унитарности [18, 34 — 36] для приближенного нахождения трехчастичных амплитуд, состоит в совместном использовании условия унитарности и аналитических свойств амплитуды как функции энергии. Уравнения для амплитуд физических процессов получаются в этом подходе на основе использования краевой задачи Римана [37]. Напомним вкратце ее постановку. Пусть на действительной оси заданы две функции D (х) и Н (х). Требуется найти две функции 54

尸士 (z), аналитические в верхней и нижней полуплоскостях соответственно, предельные значения которых на действительной оси удовлетворяют краевому условию

尸(х) =0 (х) F~ (х) +勿(х). (2.140)

Простейшим случаем краевой задачи Римана является задача о скачке, т.е. случай, когда (2.140) имеет вид

(2.141)(2.141)尸 + (х) - F~ М = Н (х).

(2.141)

(2.141)

Решением этой краевой задачи, как известно, являются функции

181 о

尸+ (z) = ~т= J 力 U)exp (itz)</f, F (z) = / x

У2ТГ 0Х/27Г —co

(2.142)(2.142)x A (t) exp (itz) dt,

(2.142)

(2.142)

где 力(t) =—7= ， H (x) exp (i r^) dx. V27T - 8

Именно такая ситуация имеет место уже в квантово-механической задаче двух тел. Действительно, для скачка парциальной амплитуды 力(S) имеем

(S⑸(力力(S⑸(力力i 0) = a7 (S}, — 00 <S ^― m2 *4,i 0) = a7 (S}, — 00 <S ^― m2 *4,(2.143)(2.143)

(S⑸(力力

(S⑸(力力

i 0) = a7 (S}, — 00 <S ^― m2 *4,

i 0) = a7 (S}, — 00 <S ^― m2 *4,

(2.143)

(2.143)

где функцию 的(S) можем считать заданной.

Амплитуда рассеяния следующим образом выражается через функцию Йоста 尸/ "):

(2.144)(2.144)f/(S) _ [Ff (к} - Ff (- к}]/2\к_ Nf (S)_ 2

(2.144)

(2.144)

―—_ = = , S = k .

vs戶/ (-幻О/ (S)

Из свойств функции Йоста известно, что Dt (S) имеет только правый разрез от S = 0 до °°. Кроме того, D)(S) -*1 при ISl f 8. функция же N] (S) не имеет правого разреза, так как она зависит только от к2, однако она имеет левый разрез от -°° до -л?/4. Обе функции F/(±k) стремятся к 1 при Ш -> 8, поэтому N/ (S) ->0 при ISl f8. функция Йоста 尸/ 伙) обладает свойством 尸/ (幻 =F* (—k *), откуда немедленно получаем, что функция。/ (S) вещественна для S < 0, а функция N[ (S) вещественна в области S > 0. Учитывая эти свойства и соотношения (2.143), (2.144),

получаем

/V/ (S + i 0) - M (S - i 0)/V/ (S + i 0) - M (S - i 0)2i О/ (S)—ОО V S《一—2i О/ (S)—ОО V S《一—一 Im Nf (S)_ -々(S)О/ (S) 2lsl "2一 Im Nf (S)_ -々(S)О/ (S) 2lsl "244(2.145)(2.145)

/V/ (S + i 0) - M (S - i 0)

/V/ (S + i 0) - M (S - i 0)

2i О/ (S)

—ОО V S《一—

2i О/ (S)

—ОО V S《一—

一 Im Nf (S)_ -々(S)

О/ (S) 2lsl "2

一 Im Nf (S)_ -々(S)

О/ (S) 2lsl "2

4

4

(2.145)

(2.145)

или для скачка N]:

ia/ (S)

/V/ (S + i 0)-也(S - i 0) = ,0 (S).

21sl '

Далее из (2.144) и условия унитарности в форме Im 万(к)=丨彳(幻 I 2 получаем

Im 力一‘ (S) = — Im 7/ I f； I ~2 = — 1 = Im D/ 0 ly/^N] (S)=

=[Dz (S + i 0) -Dz (S - i 0) 1 /2i 石Nt (S).

Таким образом, для скачка функции D)(S) имеем

Di (S + i 0) -Df (S - i 0) = - 2i \/s 0 (S) /^ (S).(2.146)

В результате окончательно получаем систему интегральных уравнений длт функций “(S) и D； (S) *:

1

N/ (S)= 一 27Г

/4(S')(s')

/-dS';(2.147)

-00寸S，(S' - S)

0 (S) = 1

8 a/^M (S，)

-，dS'(2.148)

оS' — S

или, что то же самое, уравнение для функции 0 (S):

00 а, (- S') О/ (-

0 (- S) =1f-—：--—-Ц=~- dS. (2.149)

“2/4 VS' (VS + V5 )

Итак, задавая скачок а/ (S) и решая уравнения (2.147) — (2.149), можно полностью определить амплитуду рассеяния на массовой поверхности как функцию энергии. Таким образом, информация о динамике взаимодействия, содержащаяся в потенциале (в подходе, основанном на уравнении Шредингера), в данном подходе задается с помощью той или иной приближенной функции az (S).

В качестве первого примера применения уравнений типа (2.147)— (2.149) к трехчастичным системам рассмотрим систему нейтрон и дейт-

=8仅)6 =8仅)6Рис. 2.8. Диаграмма /х/-рзссеянияг соответствующая ближайшей к физической области особенности

=8仅)

6

=8仅)

6

рон в квартетном состоянии. Будем интересоваться длиной квартетного nd-рассеяния.

По аналогии с (2.144) представим S-волну амплитуды ad-рассеннмя в виде

(2.150)(2.150)exp [i5 (к) ]/V(Е)

(2.150)

(2.150)

f (F) = sin 5 (к)=

kо(e)

Так же, как и в предыдущем случае, амплитуда (2.150) имеет унитарный правый разрез по энергии и "динамический" левый разрез на конечном интервале энергий, который определим ниже. Если не учитывать вклад от виртуального развала дейтрона, то, очевидно, условие унитарности будет иметь двухчастичный вид: Im f1 (£) =— к. Скачок амплитуды на левом разрезе а (Е), как и в предыдущем случае, будет задан из дополнительных соображений. Как показано в двухчастичном примере, функция D (£) имеет только правый разрез, а функция N{E) — только левый. Учитывая эти свойства, снова приходим к уравнениям для функций N и О, аналогичным уравнениям (2.147) и (2.148):

1N (£)=—— 2 7Ti1N (£)=—— 2 7Ti(2.151)(2.151)dE'

1

N (£)=—— 2 7Ti

1

N (£)=—— 2 7Ti

(2.151)

(2.151)

J a(£')。©;

厶 E' - E

D(F)D(F)dE'K (E) ' N(E')dE'K (E) ' N(E')(2.152)(2.152)

D(F)

D(F)

dE'K (E) ' N(E')

dE'K (E) ' N(E')

(2.152)

(2.152)

где Z. и /? - контуры интегрирования вдоль левого и правого разреза соответственно. Скачок на левом разрезе a (F) найдем приближенно, используя диаграмму (рис. 2.8), имеющую ближайшую особенность к физи-

ческой области. Вводя безразмерные переменные и параметрь: Z =—=

Зк2 е

二 (е ~ энергия связи дейтрона)，了 = (1 — г х/еш)"1 % 1,65 (г — 2€т

эффективный радиус в триплетном состоянии), в нерелятивистском пределе получаем

8(2)8(2)7271 + 3Z+ 1 — бесспиновый случай;

8(2)

8(2)

=In , т =(2.153)

ZV31 + N/з—1 — квартетное ad-рассеяние.

Таким образом, левый резраз расположен в интервале — 1/3>Z >-3. Уравнения (2.151), (2.152) в этих обозначениях принимают окончатель-

ныи вид

D{Z) =1D{Z) =1(2.154)(2.155)(2.154)(2.155)Z 8 yJUNg

D{Z) =1

D{Z) =1

(2.154)

(2.155)

(2.154)

(2.155)

—,dx

7Г О Л(X — Z)

-1/3。(幻 Im В (*)

(Z) = — J dx -3X —

Подставляя (2.155) в (2.154) и интегрируя оп х от 0 до °°, получаем

,、, iZ -1/3О (у) Im 8 (у)

D (Z) = 1 - i "N(Z) + — J dy ―——.(2.156)

“ -з vy (у - Z)

Уравнение (2.156) можно решить приближенно простой заменой [38]:

1//^ ~ C/(Z —а ) +6.(2.157)

В области интегрирования в (2.156) аппроксимация (2.157) приводит к погрешности около 2%. Константы С, С、и а найдем из требования пересечения левой и правой частей (2.157) в точках Z — — 3, — 1, — 1/3; в результате получим

з -16

а = ―==г-弋 0,3021; С==— 0 -0,9095; С)=а .

зуз - 1(3V3 - 1) 2

В приближении (2.157) уравнение (2.156) решается с учетом того, что функция /V (Z) имеет только левый разрез; в результате находим

LCZ

DIZ) = 1 -i VJ/V(Z) + —— [Л/忆)-N (а)] + Ct ZN (Z). (2.158) Z- a

Очевидно, на левом разрезе выражение (2.158) принимает вид

D (Z) ^ ^— CN{a).(2.159)

Z - а

Подставляя (2.159) в выражение (2.155), получаем

CN (в)

N (Z) =B{Z)[ZB (Z) -а В (a)].(2.160)

Z - a

Устремляя в (2.160) Z -> a , находим неизвестную константу /V (a):

N (a) =B(a)/|l +C [5(a) +aB, (a)]j .(2.161)

Поскольку D (0) = 1, то для длины квартетного nd-рассеяния 4a получаем

⑵ 162)⑵ 162)4a = — V (3/4) emN (0) a 6,3 фм.

⑵ 162)

⑵ 162)

Рис. 2.9. "Прямая" диаграмма с трехчастичным промежуточным состоянием, дающая основной вклад в соотношение унитарностиРис. 2.9. "Прямая" диаграмма с трехчастичным промежуточным состоянием, дающая основной вклад в соотношение унитарностиРис. 2.10. "Обменная" диаграмма с трех* частичным промежуточным состоянием, дающая основной вклад в соотношение унитарностиРис. 2.10. "Обменная" диаграмма с трех* частичным промежуточным состоянием, дающая основной вклад в соотношение унитарностиЭкспериментальное значение 4а равно 6,35 фм. Таким образом, единственное серьезное приближение а (Е) ^ В (£), сделанное при нахождении 4а, оказалось вполне оправданным. В случае дублетного леУ-рассеяния, к сожалению, такой простейший выбор для а (Е7 недостаточен.Рассмотрим теперь, какие следствия для спектра трехчастичной системы можно получить исходя из трехчастичного соотношения унитарности для амплитуды 3 -> 3W(k, р, k', р', Z) [39]. Удобно ввести парциальную амплитуду。厶(р, р； Z):W (к, р, к', р') = S(2L +1) Р£ (cos 0рр») Г (к) " (pzp； Z) t 伙')，Экспериментальное значение 4а равно 6,35 фм. Таким образом, единственное серьезное приближение а (Е) ^ В (£), сделанное при нахождении 4а, оказалось вполне оправданным. В случае дублетного леУ-рассеяния, к сожалению, такой простейший выбор для а (Е7 недостаточен.Рассмотрим теперь, какие следствия для спектра трехчастичной системы можно получить исходя из трехчастичного соотношения унитарности для амплитуды 3 -> 3W(k, р, k', р', Z) [39]. Удобно ввести парциальную амплитуду。厶(р, р； Z):W (к, р, к', р') = S(2L +1) Р£ (cos 0рр») Г (к) " (pzp； Z) t 伙')，где г (к} - S-гармоника парной г-матрицы на массовой поверхности.Основной вклад в соотношение унитарности для амплитуды 。厶 дают две диаграммы (рис. 2.9 и 2.10), в которых, очевидно, амплитуды С, стоят под знаком интеграла. Можно показать [40], что хорошим приближе-где г (к} - S-гармоника парной г-матрицы на массовой поверхности.Основной вклад в соотношение унитарности для амплитуды 。厶 дают две диаграммы (рис. 2.9 и 2.10), в которых, очевидно, амплитуды С, стоят под знаком интеграла. Можно показать [40], что хорошим приближе-нием для С (p,p\Z) является функцияс g,《^/nz,z) =c(z)х g,z),xнием для С (p,p\Z) является функцияс g,《^/nz,z) =c(z)х g,z),xт.е. С (Z)三 ат.е. С (Z)三 а6乙 Z) = 1,(厶=0), (2.163)6乙 Z) = 1,(厶=0), (2.163)Z) — амплитуда рассеяния частицы наZ) — амплитуда рассеяния частицы на,322паре частиц с нулевым относительным импульсом (так как — р + к 4,322паре частиц с нулевым относительным импульсом (так как — р + к 4=mZ). В результате для скачка функции С (Z) получаем△C(Z) = - I C(Z) I2 [pd(Z] +рс (Z)] 0 (Z),=mZ). В результате для скачка функции С (Z) получаем△C(Z) = - I C(Z) I2 [pd(Z] +рс (Z)] 0 (Z),⑵ 164)⑵ 164)гдегдеPdPdххPcPc64 7Г3 ⑺=— зузIt (q)I?；64 "3(N) = ==•зуз64 7Г3 ⑺=— зузIt (q)I?；64 "3(N) = ==•зузтт/~4~)_[ q2 dq 7 mz — q? I x(V —0一/~4~)_[ q2 dq 7 mz — q? I x(V —0一33(mZ-g?) ;Z) I 2 x(mZ-g?) ;Z) I 2 x⑵ 165)⑵ 165)m，dq； dq^ 6 (1 - lul) xm，dq； dq^ 6 (1 - lul) x(>/ — (mZ — q2); Z) x 4(>/ — (mZ — q2); Z) x 4

Рис. 2.9. "Прямая" диаграмма с трехчастичным промежуточным состоянием, дающая основной вклад в соотношение унитарности

Рис. 2.9. "Прямая" диаграмма с трехчастичным промежуточным состоянием, дающая основной вклад в соотношение унитарности

Рис. 2.10. "Обменная" диаграмма с трех* частичным промежуточным состоянием, дающая основной вклад в соотношение унитарности

Рис. 2.10. "Обменная" диаграмма с трех* частичным промежуточным состоянием, дающая основной вклад в соотношение унитарности

Экспериментальное значение 4а равно 6,35 фм. Таким образом, единственное серьезное приближение а (Е) ^ В (£), сделанное при нахождении 4а, оказалось вполне оправданным. В случае дублетного леУ-рассеяния, к сожалению, такой простейший выбор для а (Е7 недостаточен.

Рассмотрим теперь, какие следствия для спектра трехчастичной системы можно получить исходя из трехчастичного соотношения унитарности для амплитуды 3 -> 3W(k, р, k', р', Z) [39]. Удобно ввести парциальную амплитуду。厶(р, р； Z):

W (к, р, к', р') = S(2L +1) Р£ (cos 0рр») Г (к) " (pzp； Z) t 伙')，

Экспериментальное значение 4а равно 6,35 фм. Таким образом, единственное серьезное приближение а (Е) ^ В (£), сделанное при нахождении 4а, оказалось вполне оправданным. В случае дублетного леУ-рассеяния, к сожалению, такой простейший выбор для а (Е7 недостаточен.

Рассмотрим теперь, какие следствия для спектра трехчастичной системы можно получить исходя из трехчастичного соотношения унитарности для амплитуды 3 -> 3W(k, р, k', р', Z) [39]. Удобно ввести парциальную амплитуду。厶(р, р； Z):

W (к, р, к', р') = S(2L +1) Р£ (cos 0рр») Г (к) " (pzp； Z) t 伙')，

где г (к} - S-гармоника парной г-матрицы на массовой поверхности.

Основной вклад в соотношение унитарности для амплитуды 。厶 дают две диаграммы (рис. 2.9 и 2.10), в которых, очевидно, амплитуды С, стоят под знаком интеграла. Можно показать [40], что хорошим приближе-

где г (к} - S-гармоника парной г-матрицы на массовой поверхности.

Основной вклад в соотношение унитарности для амплитуды 。厶 дают две диаграммы (рис. 2.9 и 2.10), в которых, очевидно, амплитуды С, стоят под знаком интеграла. Можно показать [40], что хорошим приближе-

нием для С (p,p\Z) является функцияс g,《^/nz,z) =c(z)х g,z),x

нием для С (p,p\Z) является функцияс g,《^/nz,z) =c(z)х g,z),x

т.е. С (Z)三 а

т.е. С (Z)三 а

6乙 Z) = 1,(厶=0), (2.163)

6乙 Z) = 1,(厶=0), (2.163)

Z) — амплитуда рассеяния частицы на

Z) — амплитуда рассеяния частицы на

,322

паре частиц с нулевым относительным импульсом (так как — р + к 4

,322

паре частиц с нулевым относительным импульсом (так как — р + к 4

=mZ). В результате для скачка функции С (Z) получаем

△C(Z) = - I C(Z) I2 [pd(Z] +рс (Z)] 0 (Z),

=mZ). В результате для скачка функции С (Z) получаем

△C(Z) = - I C(Z) I2 [pd(Z] +рс (Z)] 0 (Z),

⑵ 164)

⑵ 164)

где

где

Pd

Pd

х

х

Pc

Pc

64 7Г3 ⑺=— зуз

It (q)I?；

64 "3

(N) = ==•

зуз

64 7Г3 ⑺=— зуз

It (q)I?；

64 "3

(N) = ==•

зуз

т

т

/~4~

)_[ q2 dq 7 mz — q? I x(V —

0一

/~4~

)_[ q2 dq 7 mz — q? I x(V —

0一

3

3

(mZ-g?) ;Z) I 2 x

(mZ-g?) ;Z) I 2 x

⑵ 165)

⑵ 165)

m，dq； dq^ 6 (1 - lul) x

m，dq； dq^ 6 (1 - lul) x

(>/ — (mZ — q2); Z) x 4

(>/ — (mZ — q2); Z) x 4

XX(2.166)(2.166)t (f/J t* (q2)X* (\/~ (mZ - q2); Z)

X

X

(2.166)

(2.166)

3

jMРис. 2.11. Борновская амплитуда первого порядка

где и = (mZ -山一"打/"i"2； Pi =•

3

Для t 伙)будем пользоваться приближением эффективного радиуса, т.е.

t(k) г—— :—— •(2.167)

27r2m - a 1 + (1/2) г 0* - i*

В качестве скачка на динамическом разрезе следует в данном случае взять скачок от борновской амплитуды второго порядка:

6(2)(p,"〔Z) = Jd3 qB^ {p,q,Z} t(z ~ 三-^ 5(1) (q,p；Z),

'4 m '(2.168)

где 8 ⑴ —борновская амплитуда первого порядка, соответствующая диаграмме на рис. 2.11. Сама эта диаграмма в приближении (2.163) вкла* да в соотношение унитарности не дает. Амплитуда 8。)(р, р； Z) имеет логарифмический разрез по Z от 0 до — °°, ее скачок имеет вид

(2.169)(2.169)

(2.169)

(2.169)

где е = Ма2 т; а — парная длина расхеяния.

Вводя безразмерные величины у = (1/4) mrlZ.v == 2lal /г о м учитывая поведение функции C{Z), для функции D(Z), как обычно в /V//7-методе, получаем аналог уравнения (2.156):

(у； V)/ (/, /1 О(У‘)dy',(у； V)/ (/, /1 О(У‘)dy',⑵ 170)⑵ 170)гдегде

(у； V)/ (/, /1 О(У‘)dy',

(у； V)/ (/, /1 О(У‘)dy',

⑵ 170)

⑵ 170)

где

где

/ (/, /О = (// - /о)『 о/ (/, /О = (// - /о)『 о(у" — у') (у" — у) (у" — /о)(у" — у') (у" — у) (у" — /о)

/ (/, /О = (// - /о)『 о

/ (/, /О = (// - /о)『 о

(у" — у') (у" — у) (у" — /о)

(у" — у') (у" — у) (у" — /о)

Рис. 2.12. Зависимсх:ть траектории уров- ы ней от параметра v — 2 г。

а функция С определяется скачком 厶台⑵.Легко показать, что при конечном V уравнение (2.170) фредгольмово и, следовательно, имеет единственное решение. На рис. 2.12 приведены некоторые траектории х = =V- У нулей функции D (у), т.е. траектории уровней энергии в зависимости от In

Полученный спектр обладает двумя замечательными свойствами:

если парная длина рассеяния стремится к бесконечности, т.е. lai -> 8, то параметр v, как это следует из определения, также стремится к бесконечности. При этом, как видно из рис. 2.12, происходит накопление уровней системы в окрестности точки Z = 0, т.е. имеет место эффект Ефимова;

если протяженность взаимодействия /■ 0 -► 0 (при конечном lai), параметр v снова стремится к бесконечности. Как видно из рис. 2.12, траектории всех уровней выходят на асимптотические значения у； • Однако если вспомнить, что размерное значение энергии равно Z = 4е/(тг о), то немедленно получаем, что при г 0 ->0 каждый уровень стремится к — 8, как — Мг о, т.е. имеет место коллапс, или явление Томаса.

С математической точки зрения рост числа трехчастичных связанных состояний (или нулетой функции О (у) )с увеличением v обусловлен неограниченным ростом нормы ядра уравнения (2.170). Действительно, при малых у н у'н 〃 -► 8 для ядра получаем оценку

(2.171)(2.171)у' In у' — у In у (/,/О ~

(2.171)

(2.171)

и для нормы ядра N = JlK (/, /0 \2dydy' имеем /V ~ lM и при v ->°°. Отсюда следует, что, для того чтобы функция О (у) в левой части уравнений (2.170) оставалась конечной при v функция D под интегралом должна сильно осциллировать, чтобы скомпенсировать возрастание ядра. Таким образом, получаем известное соотношение между числом ефимовс- ких уровней (нулей функции О (у)) и и:

lai

〃 ~ In 丿=In 2 .(2.172)

Наконец, отметим, что учет только двухчастичной унитарности, т.е. только двухчастичных промежуточных состояний, приводит вместо уравнения (2.170) к уравнению фредгольмового типа для функции О, свойства которого не меняются при р -► °°. Таким образом, для существования двух упомянутых выше эффектов трехчастичная амплитуда должна удовлетворять условию трехчастичной унитарности.

Упомянем также, что изложенный подход позволил сравнительно просто описать рассеяние частицы на резонансе [41].

Унитаризация на основе эволюционного

по константе связи метода (ЭКС)

Третий метод унитаризации приближенного выражения трехчастичной амплитуды идеологически весьма близок к унитаризации приближенных решений уравнений Фаддеева (см. выше).

Разница состоит в том, что в основе третьего метода лежат динамические уравнения не в конфигурационном пространстве, а так называемые ЭКС-уравнения [42] (эволюционные уравнения по константе связи).

Вначале кратко изложим нерелятивистскую версию этого подхода, а затем дадим несколько примеров его применения к конкретным физическим системам.

Итак, пусть имеем гамильтониан системы нескольких тел:

Н — Hq + gV;(2.173)

川屮，)〉=Fl^<+) >-(2.174)

В выражении (2.173) под Hq пока будем понимать свободный гамильтониан (ниже подробнее остановимся на других возможностях выбора 仇);

V — сумма всех взаимодействий между частицами; g — скалярная величина, изменяющаяся в интервале [0, 1]. Будем интересоваться эволюцией векторов состояния, т.е. решений уравнения (2.174), а также эволюцией матричных элементов различных операторов по этим решениям в зависимости от изменения параметра д. С этой целью продифференцируем уравнение (2.174) nog:

{H ~E){H ~E)I 稣+)> =I 稣+)> =dEdE-P 1夕〉.-P 1夕〉.(2.175)(2.175)

{H ~E)

{H ~E)

I 稣+)> =

I 稣+)> =

dE

dE

-P 1夕〉.

-P 1夕〉.

(2.175)

(2.175)

Для простоты рассуждений ограничимся сначала задачей рассеяния, в которой энергия системы Е является внешним параметром, поэтому dE/dg = 0. Тогда из соотношения (2.175) немедленно получаем дифференциальное по константе связи д уравнение для вектора состояния:

1> = 一 G (目丿 I 吟+))(2.176)

или

dg(2я) 3£p・-£ + i£dg(2я) 3£p・-£ + i£(2.177)(2.177)

dg(2я) 3£p・-£ + i£

dg(2я) 3£p・-£ + i£

(2.177)

(2.177)

где Vp-p 三〈屮产 I Vl 吆十)〉一матричный элемент оператора взаимодействия по решениям уравнений (2.174) • Граничное условие по д при нашем выборе Hq очевидно — при g = 0 для I ф„ > мы должны выбрать свобод- ней： решение. Используя уравнение (2.177), простым дифференцировани- 62

ем можно получить уравнение для матричного элемента любого оператора О:

%" °P'P =%" °P'P =dq(27Г)3dq(27Г)3"p，q ° qp % °p，q »qpЕр，- Eq - i6 Ep - Eq + i6"p，q ° qp % °p，q »qpЕр，- Eq - i6 Ep - Eq + i6.(2.178).(2.178)В частности, еслиВ частности, еслиОО= V, получаем нелинейное уравнение= V, получаем нелинейное уравнение

%" °P'P =

%" °P'P =

dq

(27Г)3

dq

(27Г)3

"p，q ° qp % °p，q »qp

Ер，- Eq - i6 Ep - Eq + i6

"p，q ° qp % °p，q »qp

Ер，- Eq - i6 Ep - Eq + i6

.(2.178)

.(2.178)

В частности, если

В частности, если

О

О

= V, получаем нелинейное уравнение

= V, получаем нелинейное уравнение

(2.179)(2.179)"р'р

(2.179)

(2.179)

+ (Ер- Eq + ie)-1].

Получим теперь уравнение для S-матрицы. С этой целью воспользуемся определением

(2.180)(2.180)Spp，=〈w『I w/+)> или, что то же самое,

(2.180)

(2.180)

e=T^ si?.e=T^ si?.(2.181)(2.181)Используя (2.181), и (2.177), получаем соотношениеИспользуя (2.181), и (2.177), получаем соотношение_ ,内1内2 Spqi »qiq2〈W，；' I_ ,内1内2 Spqi »qiq2〈W，；' I(27Г)6 Ер- £Q2 + i€(27Г)6 Ер- £Q2 + i€(2.182)(2.182)Комбинируя (2.182), (2.177) и оределение S-матрицы (2.180), окончательно получаемКомбинируя (2.182), (2.177) и оределение S-матрицы (2.180), окончательно получаем——=-2ffi f——=-2ffi fdgdg(2.183)(2.183)Итак, для нахождения матрицы рассеяния Spp- необходимо решать систему из двух уравнений (2.179) и (2.183). Отделяя в уравнении (2.183) угловые переменные, получаем ЭКС-уравнение для фазы рассеяния:Итак, для нахождения матрицы рассеяния Spp- необходимо решать систему из двух уравнений (2.179) и (2.183). Отделяя в уравнении (2.183) угловые переменные, получаем ЭКС-уравнение для фазы рассеяния:d3]dgd3]dgкц27Гкц27Г吆吆⑵ 184)⑵ 184)

e=T^ si?.

e=T^ si?.

(2.181)

(2.181)

Используя (2.181), и (2.177), получаем соотношение

Используя (2.181), и (2.177), получаем соотношение

_ ,内1内2 Spqi »qiq2〈W，；' I

_ ,内1内2 Spqi »qiq2〈W，；' I

(27Г)6 Ер- £Q2 + i€

(27Г)6 Ер- £Q2 + i€

(2.182)

(2.182)

Комбинируя (2.182), (2.177) и оределение S-матрицы (2.180), окончательно получаем

Комбинируя (2.182), (2.177) и оределение S-матрицы (2.180), окончательно получаем

——=-2ffi f

——=-2ffi f

dg

dg

(2.183)

(2.183)

Итак, для нахождения матрицы рассеяния Spp- необходимо решать систему из двух уравнений (2.179) и (2.183). Отделяя в уравнении (2.183) угловые переменные, получаем ЭКС-уравнение для фазы рассеяния:

Итак, для нахождения матрицы рассеяния Spp- необходимо решать систему из двух уравнений (2.179) и (2.183). Отделяя в уравнении (2.183) угловые переменные, получаем ЭКС-уравнение для фазы рассеяния:

d3]dg

d3]dg

кц

27Г

кц

27Г

吆

吆

⑵ 184)

⑵ 184)

где 丿/ — парциальная гармоника матричного элемента 丿kk，ПРИ 攵=к'.

Таким образом, при любом приближенном решении уравнения для %р，5-матрица остается унитарной, поскольку в силу уравнения (2.184) приближение делается для фазы.

Перейдем к применению ЭКС-метода к задаче трех тел. Будем сначала интересоваться nd-рассеянием в квартетном состоянии при низких энергиях (в данном случае — энергией ниже порога развала дейтрона).

Поскольку в трехчастичном рассеянии могут возникать несвязанные диаграммы, не дающие вклад в физический процесс, выделим вклад от 63

Рис. 2.13. Модифицированная обменная диаграмма для упругого /«/-рассеяния

них в матричный элемент V, определяющий амплитуду рассеяния:

〈pql\/lp，q'〉= < pql Vc\ prqr> + <pql U\p*q*>.(2.185)

Здесь U соответствует несвязанной части, т.е. U = Ev j; v j — парный потенциал. Для Vе получим

ddp^da"

<pq Vе р^Э = J 〈pql UUlp"q"〉〈p"q"ISC + dg(2“)6

+ U I p"q" 乂 p"q"丨》c + HI p"q"〉〈 p"q"丨 U +

(2.186)(2.186)+ dlp”q"〉e‘q"l Y] Ip'q'〉[(£рд-£д，д，-©т +

(2.186)

(2.186)

+ lEp，q，— Ep“q" + ie)-1 ].

где (UUf = 2 u/u；； Epq — энергия трехчастичного состояния.

Вид правой части подсказывает метод решения уравнения (2.186) — итерация в правой части по степеням Vе. В рассматриваемом случае nd- рассеяния нулевой итерации соответствует обменная диаграмма рис. 2.13, т.е. уравнение (2.186) принимает вид

{nd\ V\ nd) = 2 dg{nd\ V\ nd) = 2 dgI〈dl иЬр> I 2I〈dl иЬр> I 2-I % I 2从.-I % I 2从.(2.187)(2.187)

{nd\ V\ nd) = 2 dg

{nd\ V\ nd) = 2 dg

I〈dl иЬр> I 2

I〈dl иЬр> I 2

-I % I 2从.

-I % I 2从.

(2.187)

(2.187)

Легко убедиться, что для сепарабельного парного /WV-потенциалаЛегко убедиться, что для сепарабельного парного /WV-потенциалаV имеетV имеет

Легко убедиться, что для сепарабельного парного /WV-потенциала

Легко убедиться, что для сепарабельного парного /WV-потенциала

V имеет

V имеет

место соотношениеI <dl V \ пр) I 2 = {d\ V\ d) {пр\ V \ пр)=место соотношениеI <dl V \ пр) I 2 = {d\ V\ d) {пр\ V \ пр)=47r d5”(gat)47r d5”(gat)(2.188)(2.188)qqгде bNN — фаза триплетного /W-рассеяния.При получении соотношения (2.188) мы ем Гельмана — Лоу *<dl V\d) = dCdld^ = — 1где bNN — фаза триплетного /W-рассеяния.При получении соотношения (2.188) мы ем Гельмана — Лоу *<dl V\d) = dCdld^ = — 1воспользовались соотнош^ни-воспользовались соотнош^ни-(2.189)(2.189)и заменили дифференцирование по д дифференцированием по 紹 и выразили двухчастичный матричный элемент <лр1 V\ пр} через фазу рассеяния:и заменили дифференцирование по д дифференцированием по 紹 и выразили двухчастичный матричный элемент <лр1 V\ пр} через фазу рассеяния:<kl 丿Ik'〉/ = —4тг<kl 丿Ik'〉/ = —4тг"5” (%) dg"5” (%) dgNN(<)NN(<)1/21/2dgdgххX expJ i3"伍)-5竺伍” 一X expJ i3"伍)-5竺伍” 一(2.190)(2.190)

место соотношение

I <dl V \ пр) I 2 = {d\ V\ d) {пр\ V \ пр)=

место соотношение

I <dl V \ пр) I 2 = {d\ V\ d) {пр\ V \ пр)=

47r d5”(gat)

47r d5”(gat)

(2.188)

(2.188)

q

q

где bNN — фаза триплетного /W-рассеяния.

При получении соотношения (2.188) мы ем Гельмана — Лоу *

<dl V\d) = dCdld^ = — 1

где bNN — фаза триплетного /W-рассеяния.

При получении соотношения (2.188) мы ем Гельмана — Лоу *

<dl V\d) = dCdld^ = — 1

воспользовались соотнош^ни-

воспользовались соотнош^ни-

(2.189)

(2.189)

и заменили дифференцирование по д дифференцированием по 紹 и выразили двухчастичный матричный элемент <лр1 V\ пр} через фазу рассеяния:

и заменили дифференцирование по д дифференцированием по 紹 и выразили двухчастичный матричный элемент <лр1 V\ пр} через фазу рассеяния:

<kl 丿Ik'〉/ = —4тг

<kl 丿Ik'〉/ = —4тг

"5” (%) dg

"5” (%) dg

NN

(<)

NN

(<)

1/2

1/2

dg

dg

х

х

X expJ i3"伍)-5竺伍” 一

X expJ i3"伍)-5竺伍” 一

(2.190)

(2.190)

Далее, используя уравнение типа (2.184) для фазы nd-рассеяния

勿尸 Idg = — (k/3ir)(nd\ Ul nd)(2.191)

и соотношения (2.187), (2.188) для фазы nd-рассеяния, окончательно получаем

(2.192)(2.192)炉=_ 毁 d +.2)7 依'6""®*')

(2.192)

(2.192)

L 3。紹(q2 +絕)2 」/ ,

где q =女(5/4 + cos 0) ^2, а индекс / в правой части (2.192) ссютветству- ет / -й парциальной волне выражения в квадратных скобках.

Выражение (2.192). приводит для длины квартетного /хУ-рассеяния к ряду по малой величине Х//3 % 0,16:

16「засзх

аз /2 = I 1 — — + — ―― + ... * 6,75 фм. (2.193)

/ 然[4040

Значение квартетной длины рассеяния (2.193) неплохо согласуется с экспериментальным а3，2 = 6,35. Квартетный эффективный радиус также хорошо воспроизводится выражением (2.192) [43].

Как и в предыдущем методе унитаризации трехчастичной амплитуды, в данном подходе не удается описать дублетную длину /хУ-рассеяния. Причина та же: недостаточность учета только обменной диаграммы (рис. 2.13). Более эффективным оказалось применение этого метода унитаризации к проблемам тг-ядерного взаимодействия. Остановимся на задаче я-ядерного рассеяния при низких энергиях [44].

Как обычно в этом подходе, рассмотрим гамильтониан системы тг-ме- зон — ядро:

Н = Hq +h +gVjf.(2.194)

Здесь Hq — оператор кинетической энергии относительного движения

N

я-мезон — ядро; h — гамильтониан ядра;丿“ =2 ^itN- ~ потенциал вза- / =1'

имодействия я-мезона с ядром, состоянщим из А нуклонов. Физической ситуации, очевидно, соответствует гамильтониан (2.194) при g = 1.

Введем векторы состояния I д) г являющиеся собственными векторами гамильтониана (2.194), и векторы состояния 丨从〉—собственные векторы гамильтониана /7 =仇 + 力.Мз уравнения для фазы рассеяния (2.191) легко получаем уравнение для длины я-ядерного рассеяния:

da 必 /dg = — (д^/гтг) (тгД \ V hr А).(2.195}

Для вычисления правой части (2.195) как функции д не будем решать нелинейное уравнение для матричных элементов, как это делалось в случае nd-рассеяния, а воспользуемся более простой процедурой. Вместо потенциала 丿“ введем оператор перехода Т через соотношение

Т\пА> = дУ^\^А}.{2.196}

65

Тогда для искомого матричного элемента имеем

(7гД I V^itA) = — М \Т\пА>.(2.197)

g

Вычислим теперь правую часть соотношения (2.197) в линейном приближении по элементарной mN г-матрице. В этом приближении тг-мезон и ядро в конечном состоянии следует считать свободными, т.е. необходимо заменить вектор состояния I яД) на I тгД >, поскольку учет взаимодействия будет соответствовать учету высших порядков в разложении правой части соотношения (2.197) по степеням г^.

Итак, в этом приближении уравнение (2.195) принимает вид

da⑴da⑴"丄〈必仙）1з〉.27r g"丄〈必仙）1з〉.27r g(2.198)(2.198)

da⑴

da⑴

"丄〈必仙）1з〉.

27r g

"丄〈必仙）1з〉.

27r g

(2.198)

(2.198)

Матричный элемент в правой части уравнения (2.198) в импульсном при - ближении имеет вид

〈必丨 7■⑴(£“ ~ 0)丨必〉=2 J г . ..—(27Г)3 5(kj +

/ =1(27Г)3(27Г)3

о о

+ . .. + кд) W а(卜1,^д)《к/ I t?r/V/1 к /〉屮力(к】，...,к&),(2.199)

оо

где〈к/ ItnA/.lkj > — матричный элемент г-матрицы в системе центра ，°

инерции тг-мезона и 7-го нуклона, а к； = к/. В статическом пре^е-

mN + Rir

ле, т.е. когда 从“/团川 < 1, и в пренебрежении вкладом P-волны в Tr/V-взаи- модействии матричный элементе к/ I Гял/! ^/〉в интеграле (2.199) можно заменить его значением при Q = 0. С учетом изотопической структуры тгЛ/-взаимодействия для t^. имеем

»тгл// = to + »i (Т力)，⑵200)

где Т — изоспин n-мезона; Т/ — изоспин 7 -го нуклона; f0 и tj — изоска- лярная и изовекторная компоненты тг/\/-амплитуды соотвествтенно. Окончательно для амплитуды (2.199) получаем

<тгД1Г(1)кД> =2to (д) +2〈TI〉h (g) =At0(g} 土(N-Mtib).

(2.201)

Здесь 土 отвечает рассеянию я ^-мезонов; I — оператор изоспина ядра; Z и /V — число протонов и нейтронов; А = Z + /V. С использованием выражения (2.201) уравнение для длины рассеяния принимает вид

da：21dg = (1/g) [Па。(g) ± (N—Ма^ ©)],⑵202)

где

а ° ©) = — —^― to =—匕i/2 (g) + 2a3/2 ①)]；(2.203)

6627r3//

а】①)=— 11 = 一 —【ai/2 (g) — 83/2 ①)】；(2-204)

2 тг3

(2.205)(2.205)外/2 ①)，力/2 ①)—длины яЛ/-рассеяния как функции константы связи д, отвечающие состояниям с полным изоспином 1/2 и 3/2. Легко убедиться, что для сепарабельного тгМвзаимодействия

(2.205)

(2.205)

Wa = Av 伏)V 伙’)，V (外=1/(*2 + )2),

решая двухчастичное ЭКС-уравнение для длины рассеяния, получаем

а/ (д) =ga,"cn/{i _(7/2)g _ 皿产”，/ = g , _|_ ,(2.206)

где а严сп г соответствующие экспериментальные значения длин тг/V-pac- сеяния.

Решая уравнение (2.202) для длины я-ядерного рассеяния, получаем

(2.207)⑵208)(2.209)(2.207)⑵208)(2.209)磋"=Да0 士 (Z- N} at;

(2.207)

⑵208)

(2.209)

(2.207)

⑵208)

(2.209)

_2

获=-［In I 1 + 山/2| + 2ln I 1 +d3/2丨］；

一 21+%/27

ai =In *，4 =-—укеп .

371+C3/22

Из выражений (2.207) — (2.209) следует, что я-ядерная длина рассеяния (2.207) содержит уже все степени элементарной “ЛАдлмны рассеяния. Значения длин я-ядерного рассеяния, найденные по формуле (2.207), сильно отличаются от неунитаризованных значений длин и в то же время близки к экспериментальным длинам для большой совокупности легких ядер от дейтерия до натрия. Попробуем теперь более аккуратно определить матричный элемент (nA I U“l 必)，дающий в конечном счете длину тг-ядер- ного рассеяния. Уточнение состоит в том, что этот матричный элемент найдем, учитывая также и квадратичные по t^, а не только линейные члены. Для простоты рассмотрение проведем для случая nd-рассеннмн. С этой целью представим матричный элемент (ndl Fl itd) в форме

(■nd, k*l Fl itd, k> =『^- (nd, k'l Iqq】 Mlqqi I ylnd, k〉， (2.210)

(2")6

где (nd, k'llq, q】〉三依］(kn qt) — волновая 7rd■система, для которой при низких энергиях можно воспользоваться приближенным выражением

=(2“)3 5(% — к')屮d 何1)+ N' -=(2“)3 5(% — к')屮d 何1)+ N' -忌2从“d忌2从“d

=(2“)3 5(% — к')屮d 何1)+ N' -

=(2“)3 5(% — к')屮d 何1)+ N' -

忌

2从“d

忌

2从“d

(2.211)(2.211)x屮d(q‘J〈к', q'i I 厂I % q】〉.

(2.211)

(2.211)

(2 7Г)

С уметом (2.211) выражение (2.210) принимает вид, удобный для аппроксимации:

(nd, kl Fl Trd, k> = < nd, k'l Tl nd, k〉+ f 6 屮d S') x

(27Г)

x (k, q* I T* Go (£ — i e) T\ kq〉屮~ (q) •(2.212)

Выражение (2.212) в квадратичном по t^N приближении имеет вид

("，01T(2)］也0)= 一 J("，01T(2)］也0)= 一 Jdk 1 dq 1dk 1 dq 1(2ТГ)6(2ТГ)6屮（/3屮（/3+ -"""^ t打а1 ГIгм+ -"""^ t打а1 ГIгм

("，01T(2)］也0)= 一 J

("，01T(2)］也0)= 一 J

dk 1 dq 1

dk 1 dq 1

(2ТГ)6

(2ТГ)6

屮（/3

屮（/3

+ -"""^ t打а1 ГIгм

+ -"""^ t打а1 ГIгм

X 中4闻 + ?) + %.(%-?) %2叫中人1 + 2 ［崂(41 + ~^)tnN］ f啲2 屮d 3 —~^ +X 中4闻 + ?) + %.(%-?) %2叫中人1 + 2 ［崂(41 + ~^)tnN］ f啲2 屮d 3 —~^ +22++

X 中4闻 + ?) + %.(%-?) %2叫中人1 + 2 ［崂(41 + ~^)tnN］ f啲2 屮d 3 —~^ +

X 中4闻 + ?) + %.(%-?) %2叫中人1 + 2 ［崂(41 + ~^)tnN］ f啲2 屮d 3 —~^ +

2

2

+

+

xx+中d+中dГ"% t霏$ 屮d (41Г"% t霏$ 屮d (41⑵ 213)⑵ 213)

x

x

+中d

+中d

Г"% t霏$ 屮d (41

Г"% t霏$ 屮d (41

⑵ 213)

⑵ 213)

(2.214)(2.214)Вклад от члена 勿駕Вклад от члена 勿駕

(2.214)

(2.214)

Вклад от члена 勿駕

Вклад от члена 勿駕

Первые два члена в фигурных скобках, которые обозначим т£\, в статическом пределе равны

Вклад в длину рассеяния от выражения (2.214) определяется уравнением

d時)ldg = (了/g)尻(g) +2a； (g)】.(2.215)

Решая уравнение (2.215), получаем

冢圖=(4/Зт) (d1/2 +2d3/2 - Inl1 + d1/2 l-2lnl 1 + d3/2l). (2.216)

Оставшийся член (2.213) в статическом пределе принимает вид

7■胤 =-2 ^ < — > (tg -2t}),(2.217)

1 227T Г

где средний обратный радиус определяется выражением

(2.218)(2.218)1dkdq / к \ 1/ к 、

(2.218)

(2.218)

〈厂> =J~i^F^(ч~тл

в длину 7гс/-рассеяния дается уравнением

[эо (g) -2а? (д)][эо (g) -2а? (д)]⑵ 219)⑵ 219)

[эо (g) -2а? (д)]

[эо (g) -2а? (д)]

⑵ 219)

⑵ 219)

и равен

—Inll+di/al) + 2W3/2 — Ini 1 + с/з/2〔)+—Inll+di/al) + 2W3/2 — Ini 1 + с/з/2〔)+

—Inll+di/al) + 2W3/2 — Ini 1 + с/з/2〔)+

—Inll+di/al) + 2W3/2 — Ini 1 + с/з/2〔)+

+ [«3/2(1 + 山/2)El 1 + 山/2 । — «1/2(1 +

d\/2 - d3/2

+ 力/2)In I 1 + ~з/21•(2-220)

Итак, для длины тгеАрассеяния

^=圖+喝)+啕，⑵221)

В табл. 2.2 длина рассеяния (2.221) сравнивается с длиной, найденной решением уравнений Фаддеева для различных наборов параметров тгTV- потенциалов (а, Ь, с, d).

Таблица 2.2

Длина рассеяния

a

b

c

d

-0,074

-0,030

-0,061

-0,045

a (2.221)

-0,072

-0,029

-0,059

-0,044

Как видим из таблицы, формула (2.221) дает практически точное значение длины 7гс/-рассеяния.

Для полноты приведем выражение длины яД-рассеяния с учетом квадратичных по t^N членов:

^^)= -^^( 〉{俨1 + *2 + *3)(心/2 _ In 丨 1 + 心/2 I)+

+ (4户1 - 2户2 + *3)(%/2 - In 丨 1 + %/2 I)+(4户1 + *2 - 2户3)(心/2 -

一d3/2)1 [^3/2 (1 + 由/2)In 丨 1 + d[/2 I 一山/2(1 + d3/2)Ini 1 + %/2 I

(2.222)

где Я, = A (2 + 1);戶2 =2(A-U (Z- N}; P3 = (Z- N) - 2А;

24

気么=("1 /2 + 2%/2 — In 11 +dl/2 I — 2ln I 1 + d3y2 I)—

37

Зададимся теперь вопросом: какая физическая информация может быть получена на основе выражений для длин я-ядерного рассеяния (2.207) и (2.222) ? В частности, что можно сказать о свойствах ядерной системы, изучая длины тг-ядерного рассеяния? Из приведенных формул видно, что структура ядра проявляется в двух местах. Во-первых, матричный элемент оператора перехода < S I ГйгД> уже в линейном no t^ приближении начинает зависеть от ядерных волновых функций, если отказаться от статического 《％ /тn « 1) приближения. Однако вклад от слагаемых, пропорциональный 林電/mN，лежит внутри неопределенности, с которой можно вычислить вклад от статического слагаемого. Последняя неопределенность возникает из-за неопределенности в значении изоскалярной длины а^“ я/V- рассеяния. Таким образом, чтобы почувствовать структуру ядра, используя формулы линейного приближения, необходимо существенно улучшить знание а#", т.е. необходимо, чтобы ее относительная погрешность была меньше 从“/团川,т.е. была бы равна примерно 13 %.

Во-вторых, структура ядра проявляется при учете квадратичных по t^/y членов в виде ядерных матримньрс элементов типа < exp (aV ) 〃〉н〈 1〃〉， где а* = а (2从必ImQ 】/? ； а =々/хе; е — энергия связи ядра. Однако расчеты длины тгД-рассеяния для разных наборов 7г/\/-данных приводят к значительно большим различиям, чем вклад от квадратичных по г^ членов. Таким образом, для извлечения сведений о структуре ядер из данных по длинам тгД-рассеяния с использованием теории, учитывающей члены порядка t褊,необходимо провести независимую дискриминацию наборов элементарных тг/\/-данных.

Приступим теперь к обсуждению возможных обобщений ЭКС-метода [45]. Как уже отмечалось, исходным пунктом идеологии ЭКС-метода является утверждение о том, что описание эволюции динамической системы во времени эквивалентно в определенном смысле описанию ее эволюции по константе связи. Отсюда ясно, что ^^ecтecтвeнным,, граничным условием, необходимым для решения дифференциальных уравнений ЭКСметода, должно быть условие в точке д = 0, где д — константа связи. Таким образом, эволюция системы в этом случае начинается со свободного движения всех частиц системы. Именно здесь мы попытаемся обобщить метод.

Суть обобщения состоит в том, что эволюцию системы по константе связи будем начинать не со свободного движения (д = 0)« а с некотрро- го значения константы д = д°, при котором известно точное решение задачи, полученное каким-либо другим методом.

Проиллюстрируем эти соображения двумя примерами, в которых речь будет идти о задаче трех тел, а именно о тгс/-рассеянии при нулевой энергии пиона.

Итак, вместо гамильтониана “2/V системы, как обычно в методе ЭКС, введем вспомогательный гамильтониан

Н (р) =Н0 +Vn +gh. (2.223)

Здесь Hq — кинетическая энергия относительного движения пиона и центра инерции двух нуклонов; “ =丿“м + 丿“恤—потенциал взаимодействия тг-мезона с нуклонами; h — гамильтониан системы 2/V; д — параметр, который меняется в интервале [0, 1].

70

hh(1)=「四皿2(2 “)6(1)=「四皿2(2 “)6xxxx"(K q? ； k) + "* (k, q; k)〈 kq】16 I k*q2> (Z,# 屮 d(42)；"(K q? ； k) + "* (k, q; k)〈 kq】16 I k*q2> (Z,# 屮 d(42)；-^Ilix-qlllm'}-1 x(2.225)-^Ilix-qlllm'}-1 x(2.225)hh⑵=j⑵=j(2“)〈кд I力 I k2q2 >(2“)〈кд I力 I k2q2 >1 21 2П* 佃 q】；k') xП* 佃 q】；k') xП(k2, q?； kJП(k2, q?； kJX (X*- %；/(2从)—q；/(2") ) (Z - *1/(2д) - qll{2m'))'X (X*- %；/(2从)—q；/(2") ) (Z - *1/(2д) - qll{2m'))'(2.226)(2.226)

h

h

(1)=「四皿2

(2 “)6

(1)=「四皿2

(2 “)6

x

x

x

x

"(K q? ； k) + "* (k, q; k)〈 kq】16 I k*q2> (Z,# 屮 d(42)；

"(K q? ； k) + "* (k, q; k)〈 kq】16 I k*q2> (Z,# 屮 d(42)；

-^Ilix-qlllm'}-1 x

(2.225)

-^Ilix-qlllm'}-1 x

(2.225)

h

h

⑵=j

⑵=j

(2“)

〈кд I力 I k2q2 >

(2“)

〈кд I力 I k2q2 >

1 2

1 2

П* 佃 q】；k') x

П* 佃 q】；k') x

П(k2, q?； kJ

П(k2, q?； kJ

X (X*- %；/(2从)—q；/(2") ) (Z - *1/(2д) - qll{2m'))'

X (X*- %；/(2从)—q；/(2") ) (Z - *1/(2д) - qll{2m'))'

(2.226)

(2.226)

Очевидно, что Н(\) — это гамильтониан реальной системы “2/V, а Н (0) — решаемый гамильтониан для случая сепарабельных яЛ/-потенциа- лов. Решение уравнения Шредингера с гамильтонианом Н(0) технически получается так же, как и в задаче о взаимодействии налетающей частицы с фиксированными центрами. Это действительно так, поскольку из (2.223) видно, что гамильтониан Н (0) не содержит кинетической энергии нуклонов. Отметим, что даже приближенный учет члена gh в полном гамильтониане означает одновременный учет вкладов дискретного и непрерывного спектров гамильтониана мишени. В этом важное отличие излагаемого метода от таких известных приближений теории многократного рассеяния, как оптическая модель и другие, в которых обычно трудно учесть вклад от непрерывного спектра гамильтониана мишени.

Используя уравнение ЭКС-метода для гамильтониана (2.223), нейдем поправки к длине 7к/-рассеяния а。，вычисленной точно с гамильтонианом Н (0), который для простоты будем в дальнейшем называть гамильтонианом задачи с фиксированными центрами.

Уравнение для длины рассеяния имеет вид

上_ = ———〈фк. _0 1Л 1ф*=о>а(5г = О) = ао(2.224)

dg27r

Здесь I WQ — собственная функция гамильтониана (2.223);

〈Wk"万 iWk〉=〈Wk，l6lWk〉一£5 (k — k);

индекс с означает связную часть матричного элемента; Е — полная энергия системы, которая в рассматриваемом случае равна энергии связи дейтрона.

Матричный элемент в правой части уравнения (2.224) можно представить в виде

< Wk"万 I Wk〉' =力(1)+ 力(2).

Здесь

, 〈kqi 丨力 I k，q2〉

中d (qJ5； x

где m‘ = —; Z = R/2〃 +cr/m9; 9

〃(ki,qi；k')=『з《& q】丨 7"l к', q〉3d (q);(2.227)

(2 “)3

T — оператор перехода для системы “2/V; 的—волновая функция дейтрона.

При получении этого представления матричного элемента мы снова воспользовались приближенным представлением для волновой функции яс/системы:

Wk，(ki,qj = (2тг) 5 (k‘一kJ 9d (qj + (Z) x

\ 2Al m' /

X J ―〈ki q】I 71 (N‘)I kq'i > 屮~ (q'】).(2.227')

(2“)3

Из определения h следует, что /?(D обращается в нашем случае (£ = 6^) в нуль. Выражение h ⑵ найдем приближенно, вычисляя функцию "(Iq, q】；к) в пределе д = О*. В результате для 力(2) получаем

h С) =а，〃2)\^(2.228)

где а0 — длина тг(У-рассеяния при g = 0; Y — 0,05. Подставляя (2.228) в уравнение (2.224) с учетом граничного условия, находим решение в виде

а (д} = а0 - \/J~а о X.(2.229)

Для физического значения g = I

a“d = — 0,06 фм.(2.230)

Таким образом, как видно из выражения (2.229), поправка к длине тг(У-рассеяния а。，найденной в приближении фиксированных центров, квадратична по а。и ее вклад в силу малости самой величины а。для ?rd- системы довольно мал. Физическая причина такой ситуации состоит в малости (по ядерным масштабам) самого тг/\/-взаимодействия.

Перейдем теперь к рассмотрению второго примера обобщения ЭКСметода. Идея, которую мы будем в этом примере использовать, та же, что и в первом примере, — решаемость уравнения Шредингера с гамильтонианом Н {д) при некотором специальном значении д = д^. Под Н {д} во втором примере будем понимать гамильтониан вида

Н(д} =6 1з +/?23 +倣12，(2.231)

где h,y =р“2〃〃・ + Vjjjj = (13), (23); h 12 = ---3— + 丿⑵ Принятые обозначения ясны из рис. 2.14."“

Как и в предыдущем случае, Н{\} соответствует гамильтониану физической системы(7г2M . Можно показать [47], что при некотором значении

Рис. 2.14. Отменительные импульсы в система ЭТ2ЛЛ

Р13 — относительный импульс пиона и нуклона ，；

Р2 з — то же для нуклона 2

константы g = д° длина тг</-рассеяния будет равна сумме элементарных длин рассеяния. Это значение константы д и будем рассматривать в качестве граничного при решении уравнения ЭКС-метода для длины рассеяния. Для выяснения физического смысла величины д° перепишем гамильтониан (2.231) в переменных Якоби к = р13 + р23； q = (1/2) (р13 — р23)：

2” +/Г , q2

(2.232)(2.232)你 к，# =^Гк +^Г+ ^з^2з+^12,

(2.232)

(2.232)

где ц' = 1л-п!д] т' = д^/ (1 - flf + ^/т).

Таким образом, гамильтониан нуклонной подсистемы принимает вид

h nn =q2/m‘g)+g»i2・(2.233)

Оказывается, что при g = д()гамильтониан (2.223) имеет собственное значение, равное нулю. Из этого условия и будем определять численное значение константы д°. Итак, трехчастичный гамильтониан Н(^0) описывает взаимодействие налетающей частицы с массой 从“/go со связанным комплексом двух частиц, масса каждой из которых равна m'Qo), а энергия связи комплекса — нулю.

В правую часть уравнения (2.224) следует поставить матричный элемент оператора

力 12 =匕2 + (1/Дя)(^2/4 -д2),(2.234)

т.е. величину

dqi dk2 歯2 &

<0k«lh12l фк> = J— %，(kiqj) x

(27Г)к

х <ki4i lh 121к2Ч> Wk(k，q2)・(2.235)

Для вычисления (2.235) и решения уравнения (2.224) используем снова представление волновой функции (2.227) и граничное условие

a (go) = ^^d ①。)/%")2а°,(2.236)

где а° — изоскалярная комбинация пион-нуклонных /щин рассеяния, а ^d(g) = 2%/(1+д + д1r/团川).

Решение уравнения (2.224) будем искать в виде

а (д) а ①。)+ (g - д()) а⑴(g0)■(2.237)

Аппроксимация (2.237) оправдана, поскольку для сепарабельного трип-

73

летного /W-потенциала Vi2 числовое-значение д0 равно 0,744, т.е. близко к единице. Таким образом, в приближении (2.237) необходимо найти только константу a(D ©о), т.е. правую часть уравнения (2.224) при g =д(). Окончательно для а (д) получаем

a (g) =а Wo) 1 + (g - до)a (g) =а Wo) 1 + (g - до)1 — 90 + 1^1 mN1 — 90 + 1^1 mN⑵238)⑵238)

a (g) =а Wo) 1 + (g - до)

a (g) =а Wo) 1 + (g - до)

1 — 90 + 1^1 mN

1 — 90 + 1^1 mN

⑵238)

⑵238)

Из (2.238) следует

(2.239)(2.239)а“с = а (1) — 2,64 а ©о) — — 0,066 фм.

(2.239)

(2.239)

Для характеристики качества оценок (2.230) и (2.239) сравним их с решением уравнений Фаддеева и соответствующим экспериментальным значением.

aitdaitd=-0,061 фм; а^п = (— 0,073 ± 0,030) фм;=—0,066 фм;=-0,061 фм; а^п = (— 0,073 ± 0,030) фм;=—0,066 фм;(2.240)(2.240)(2.239)(2.239)

aitd

aitd

=-0,061 фм; а^п = (— 0,073 ± 0,030) фм;

=—0,066 фм;

=-0,061 фм; а^п = (— 0,073 ± 0,030) фм;

=—0,066 фм;

(2.240)

(2.240)

(2.239)

(2.239)

(2.230)(2.230)a“d = — 0,060 фм.

(2.230)

(2.230)

Близость значения (2.230) и (2.239) к а力 указывает на надежность полученных таким методом оценок длины я d-рассеяния.

В рамках ЭКС-метода легко оценить вклад в длину Trd-рассеяния от так называемого непрямого взаимодействия частиц 1 и 2, т.е. от члена Pi 2 P2 з /〃7г・ Расчет а (р) без учета этого члена дает

(2.241)(2.241)а(д} = а(дй}д2/д^.

(2.241)

(2.241)

Сравнение с оценкой, учитывающей член Pi2P2 3仙“，показывает, что вклад от него в длину рассеяния составляет 30 — 40 %.

Обратимся теперь к обсуждению двух специальных вопросов, касающихся трехчастичных систем, о которых мы упоминали выше.

Разделение трехчастичной волновой функции

на “внутреннюю'' и "внешнюю''

Разделим трехчастичную волновую функцию на "внутреннюю" и ^внешнюю" части. Такое разделение осуществим без явного введения радиуса, отделяющего внешнюю область от внутренней, как это обычно делается в Я-матричной теории.

Идея разбиения состоит в использовании представления Нойеса— Ковальского [48] (1.32) для парной t-матрицы:

Г {к, К, Z) =f(k,Z) Г (Z) f U；Z) + (*2 - Z)(7Г/2) г (k,k：Z>.(2.242)

При подстановке этого выражения в уравнения Фаддеева второй член приводит к ядрам уравнений, не содержащим свободной функции Грина. Иными словами, эти ядра на большом расстоянии не дают вкладов в трехчастичную волновую функцию.

Продемонстрируем эту процедуру на примере рассеяния бесспиновой частицы на связанной паре. Для простоты ограничимся везде нулевыми орбитальными моментами. В этом случае радиальная волновая функция трех частиц в конфигурационном пространстве имеет вид

W (x, % Z) = к (x) sin (Z +紹)1/2 у +』J d『j 對2 « о 0

X

к (p, d Z)

x —5 sin pxsin qyt

(2.243)

где x и у — Якобиевы переменные!

/2/П2m3 \「

х= (Г2-Г3)； У =

\^2 +m3 /

”2/n](色+g)

2

m2r 2 + тзг 3

m】+n?2 + m3

色+ m3

Функция К связана с фаддеевскими компонентами Ks следующим образом:

К (р, q, Z) = ^1 (р, q, Z) + 2 J d屮Ks 仍 cos <Д P siny),(

s =2,3 a$

(2.244)

где

a$ = l^-Mu I； bs =min 化一从i$, 7Г - ^,-Ди ), ^ = arctg (g/p);

P2 = p2 + q2; cos? Ass，= mims /^i +ms'^ ^ +ms'^ ■

Уравнения Фаддеева для компонент Ks имеют вид

1

—2 J

27rq s'Hs 0

附‘2

Sin2^* (麻，)2

(区;M 2 fs (ЛЛ- z-q2}

J dQ， z：

+ qu - Z

x

x 俗к 伙 S') 5 "一 "+炉)+ " 3 心 zl ；

P^，=p'ctg 〃ss，土 qcocec 〃$丁；万？ =P^ +q“ — q?,奴(P‘)=

=以 9')/ S'2 + /)，

где 以一волновая функция связанной пары.

Запишем представление Нойеса—Ковальского для ts :

匕 @,无 Z-『)="(.Z-『)Ts (Z-/)严 ©Z-J) +

+ (ТГ/2) (p2 +Q2 — Z) r s (.瓦 Z — q2} •

，(2.245)

(2.246)

Подставляя (2.246) в уравнения Фаддеева (2.245) для К$, получаем представление

Ks (p,q,Z)=尹(A Z-q2) Ts (Z-q2) H$ (g,z) +

+ (p2+ c^-Z)厶(p,q,Z).

Функции Hs и ls удовлетворяют системе зацепляющихся уравнений:

(2.247)

〃s (q, Z) = S

27rq s'Ws

8 dq'2

9；sM/

EsM

Р + q — Z

х

x [5 и* ^g S") 5 (q* —

лД+ае1) +ks, (p； q'.z)]；

1

厶(p, q, Z) = 2

4q s'Ws

8 dq'2

0 sin 2闷s"

或，)2

J dp'2 (Pss“ 2

(2.248)

% (■五Z-『)

.,27 X

p + <z - z

X [5 心，к (р') 5 (д' - “+修)+ 勺，(/ q', Z)].

75

Из представления ⑵247) и уравнений (2.248) следует, что двумерная часть функции Ks, т.е. функция /$ (р, a Z), ответственна за ,fвнутреннюю" область, а одномерная функция Hs (q, Z) — эа "внеижюю" область. На осно・е такого разбиения можно развить приближенную схему решения двумерных уравнений Фаддеева, разлагая функцию во внутренней области в конечные ряды по гиперсферическим функциям.

Известно, что для локализованных функций ряды по гиперсферическим функциям сходятся довольно быстро.

Второй вопрос связан с явной демонстрацией преимуществ уравнений Фаддеева перед уравнением Шредингера даже для проблемы связанных состояний [49]-

На примере кулоновской задачи двух центров убедимся, насколько важно разбиение волновой функции системы на фаддеевские компоненты.

Двухцентровую задачу с кулоновским взаимодействием обычно решают, переходя в уравнении Шредингера к сфероидальным координатам, в которых переменные разделяются. Мы не будем переходить к этим переменным, а применим метод связанных каналов к решению уравнений фаддеевского типа, т.е. уравнений для компонент волновой функции, имеющих физические асимптотики.

Итак, рассмотрим сначала систему, состоящую из одной легкой отрицательной частицы (1) и двух тяжелых положительных частиц (2 и 3). Постулируем следую* щую систему уравнений, описывающую эту систему:

〈Е — Н° - %2)W1 = % 1 W1 +8 12 屮2；(2 249)

(Е — Hq— %1)02『21 W1 +^22 02-

Здес* 屮=Wi + фз — волновая функция системы; г i — относительное расстояние между частицами 1 и 2; р — относительное расстояние между частицами 2 и 3; гз=Р — г 1；

"12(「1)=—1〃1；卜23(Р)=1/Р；匕3(Г 3)=—1〃з・

Потребуем, чтобы система уравнений (2.249) была эквивалентна уравнению Шредингера. Это приводит к следующим условиям:

а11 + а21 = %з +”2 3； 812+822 = " 12+ ”23・(2.250)

Будем искать решение системы уравнений (2.249) в виде разложений

W1 = 2 戶〃(р) % (г 1); % = 2 尸万(Р)伤(г 3),(2.251)

где 屮口 (г 1)и 9万(г з)— собственны» водородоподобнк»1е функции связанной системы легкой частицы 1 и ядра 2 и частицы 1 и ядра 3 соответственно. В суммах (2.251 J кроме суммирования подразумевается и интегрирование по непрерывному спектру.

Как видно из (2.250), эти ссютношения не фиксируют полностью коэффициенты ад. Исходя из того, чтобы эффективная энергия взаимодействия тяжелых частиц имела правильное ас им птотич ес кое поведение при р f8, приходим к условию а” =^22 =0. В результате уравнения (2.249) приобретают вид

(2.252)(2.252)(£ — 〃0 — "12)W1 = (%2 + ”23)屮2；

(2.252)

(2.252)

(£ - % — "13)w2 =(%3 + "23)w1.

Прежде чем приступать к их решению, сделаем несколько замечаний, касающихся единственности решений. В последнее время активно обсуждается вопрос о возможном существовании так называемых духовых решений уравнений типа (2.252) .Под духовыми решениями понимаются решения 必 и %，удовлетворяющие условию

W1 + % = W = 0・(2253)

При этом Wi W 0 н % *。・ Ясно, что в уравнениях Фаддеева в силу определения фад- 76

дееаскнх компонент ф( = G°Vj 屮 условие (2.253) не может выполняться и духовые решения отсутствуют.

Преобразуем уравнения (2.252) к виду

% = Gq (%2 屮 + 匕3 屮2)；(2 254)

W2=Go (%3 W + »23 %)• Г

Комбинируя уравнения (2.254) для компонент % и %，можно получить их фор- мальные выражения через волновую функцию

% = % W； 02 =做 W(2.255)

где операторы 伙 н 股 заданы в явном виде. Далее нетрудно проверить, что эти операторы удовлетворяют соотношению

% ♦股=1.(2.256)

Таким образом, если мы нашли ненулевые решения уравнений (2.252), то в силу свойства (2.256) условие (2.253) не будет выполняться, т.е. духовые решения в уравнениях (2.252) отсутствуют. В приведенном рассуждении мы имели в виду точные решения 屮i н 屮2 M точные операторы JVJ>2. Если же в результате приближенного [эешения уравнений найдутся приближенные операторы 也 и 佬 со свойством % + %《 1, то эти приближенные решения следует немедленно отбрсюить, в силу того что они слишком "далеко" отстоят от точных решений, приводящих к выполнению соотношения (2.256) •

После этих замечаний приступим к решению уравнений (2.252). Будем интересоваться задачей двух центров; в этом случае уравнения принимают вид

[£ — /?? (г 1)]屮1 ~【％2 (г 1)+ ”23 S)]%；(2.257)

[£ —力 2 (г)]屮2 = [%3 к 3)+ ”23 3)] W1，

где

11

力 1 = — △ г J + V12 (Г1)；力 2 = — △「з+»13(『23)；(2.258)

2ml2m2

т^ и /7?2 — приведенные массы частиц 1, 2 и 1, 3 соответственно.

Подставляя (2.251) в (2257) и переходя к представлению полного момента, получаем систему

(Ef)^ = 2 喇今；

仃I(2.259)

(Е-Е而*М= £ 礙 4M.

В уравнениях (2.259) использованы следующие обозначения: m三(/п, /г f /р); 7п 三 三 (ni, /г, /р); л = S, //, /р);方三(无 /，/,)； в круглых скобках стоят главное квантовое число и значения соответствующих орбитальных моментов

S华(Р) = _ 2 "г Дг 1р心 LM\ X

X Ur 豆 7b刃厶М) R；pMp (p)屮％ 生)Rmlr (rj i%2 + 匕3)X

X R“3)Ylf 得少3)立衣p 启 dr.d^p；

丿忌)(P)= E ,(/r ", /л Дл I LM) x

x(〃 Nr l'p(£p\LM) J 珞函(p) Yfr 防(％)斤同，(гз)(%з+ %3)x

X finir U1)У/，％(3)丫 ГрНр 0)dr 3d%

Для решения системы (2.259) воспользуемя процедурой сепарации по индексам, т.е. будем полагать

"田"^тп = S Vmi% Vg(2.260)

Ограничиваясь случаем /V = 1, уравнения (2.259) можно представить в виде

»£)% =Е 滤)(Е-Ет「啸)戶2；'

I(2.261)

川)戶2 =Z%^)(E-Em)T嘯尸1・

т,

Поскольку система (2.261) — алгебраическая, легко находим зависимость энергии Е от расстояния между частицами 2 и 3, т.е. эффективный потенциал для таких атомных и мезоатомных систем, какрр/4 dT^ лНе«/Д и др.

Для иллюстрации действенности системы (2.261) рассмотрим спектр системы dd〃 в состоянии с £ = 0. Так как в данном случае массы тяжелых частиц совпадают, система уравнений (2.261) вырождается в одно уравнение

若)戶-2 »界(Е-Е^ 麻 F.(2.262)

С учетом только основного ссютолния мезоатома d〃 можно найти эффективный потенциал системы ddfi:

(2.263)(2.263)/31 \

(2.263)

(2.263)

Е (р) = I — /п р + | exp (— тр).

\ 2Р /

Здесь т — приведенная масса d и Д (отсчет энергии ведется от сюновного уровня атома d/Z) • Потенциал (2.263) с хорошей точностью можно аппроксимировать потен

циалом Морзе:

Ид (р) = о| exp [—2q (р — /?о)] — 2ехр [—Q(p — 8。)]}

с параметрами Rq =2J9 а.е.; D = 0,107 а.е.; а = 0,72 a.e.f что приводит к следующим значениям энергии сюновного и возбужденного состояний: £ (Р = 0) = — 327 эВ, £ (Р = 1) = — 28 эВ. Эти значения энергий довольно близки к значениям, получаемым в громоздких расчетах, учитывающих большое число членов разложения трехчастичной функции по адиабатическому базису [50].

Лекция третья

ПРОБЛЕМА ЧЕТЫРЕХ ТЕЛ

Общие замечания

Перейдем к рассмотрению задачи четырех тел.

Сначала сделаем несколько общих замечаний, потом в качестве подготовительного этапа получим уравнения Фаддеева в дифференциальной 78

форме, а затем — уравнения Якубовского в дифференциальной и интегральной формах [51]. Также получим четырехчастичные интегральные уравнения в форме АГС. Далее рассмотрим приближенные четырехчастичные уравнения для амплитуд низкоэнергетического упругого рассеяния. Действенность этих уравнений продемонстрируем на двух конкретных примерах: “土 — 3 ^-рассеяния и л — ? Не-рассепнин. В конце лекции на основе приближений, развитых в четырехчастичных системах, будет рас - смотрена задача шести тел на примере упругого NN-рассеяния, рассматриваемого в нереляти^истской модели кварков.

О четырехчастичных системах имеется значительно более богатая и разнообразная информация, чем о трехчастичных. Более того, в них возможны бинарные реакции, вообще не возможные в трехчастичных системах, например: а + Знет^н+р； я" + 3Не ->3Н +тг°. Кроме того, реакция радиационного захвата тепловык нейтронов на 3Не, т.е. n + 3He-> -* 4 Не + у, значительно более чувствительна к вкладу так называемых обменных токов по сравнению с соответствующей реакцией в трехчастичной системе [52]. В связи с проблемой извлечения детальной информации о структуре обменных мезонных токов возникает необходимость очень точного нахождения волновых функций четырехчастичных систем 4 Не и л + 3Не исходя из одного и того же четырехнуклонного гамильтониана.

По-прежнему остается нерешенной проблема правильного вычисления энергии связи ядра 4 Не и объяснения поведения формфактора этого ядра.

Вместе с тем теоретический анализ четырехчастичных данных, основанный на решении точных четырехчастичных уравнений типа уравнений Якубовского, практически отсутствует. Среди расчетов свойств четырехчастичных систем, в которых используются уравнения Якубовского, следует упомянуть расчеты длин л3 Не (Н3) -рассеяния, амплитуд некоторых процессов в k-матричном приближении [53] и очень грубые расчеты энергий связи ядер д Не и д Н [54].

В расчетах связанных состояний четырехчастичных систем, в частности ядра 4 Не, значительный прогресс достигнут применением метода гиперсферических функций и различных его модификаций [55]. Примерение этого метода позволило получить сходящиеся результаты по энергии связи практически для всех существующих ,,реалистических/, потенциалов. Однако все они недосвязывают а-частицу на 4 — 5 МэВ.

Формальный вывод уравнения Якубовского

в интегральной н дифференциальной формах

3.1. Учитывая важность четырехчастичных уравнений Якубовского и имея в виду дальнейшее развитие теории этих уравнений, а именно их дифференциальную форму [56], приступим к выводу этих уравнений.

Прежде всего отметим, что перестройка четырехчастичных уравнений, связанная только с введением фаддеевских компонент

Wj= - Go 乙 W， (3.1) оказывается уже недостаточной.

Рис. 3.1. Несвязанные диаграммы в трвхчастичной системе: две частиць! взаимодействуют посредством потенциала % третья пролетает без взаимодействия

Вспомним, что введением этих компонент в трехчастичном случае удалось избавиться от возникновения в ядрах уравнений членов, соответствующих несвязанным диаграммам типа приведенных на рис. 3.1.

В четырехчастичной ситуации возникают новые несвязанные диаграммы (рис. 3.2, 3.3), от которых нужно также избавиться, поскольку они приводят к появлению 6-функций от соответствующих импульсов.

Итак, сначала кратко повторим вывод уравнений Фаддеева. Пусть име

ем трехчастичный гамильтониан

Н = H0 + ZVa, а ={12,23, 13).(3.2)

Перепишем уравнение Шредингера в виде

(仇一日w=-h(3.3)

или

ф = - Go (Е) Уф.(3.4)

Здесь для простоты мы ограничились однородным уравнением (3.4). Компонента Фаддеева, определяемая как

Wa = — G()(£} Ид ф,(3.5)

очевидно, удовлетворяет ссюгношению

W = 2Фа.(3.6)

а

Соотношение (3.5) можно записать в дифференциальной форме:

例0 - е)w或——匕心.(3.7)

Рис. 3.2. Несвязанная диаграмма в четырехчастичной системе: три частицы взаимодействуют между собой, четвертая пролетает без взаимодействияРис. 3.2. Несвязанная диаграмма в четырехчастичной системе: три частицы взаимодействуют между собой, четвертая пролетает без взаимодействия

Рис. 3.2. Несвязанная диаграмма в четырехчастичной системе: три частицы взаимодействуют между собой, четвертая пролетает без взаимодействия

Рис. 3.2. Несвязанная диаграмма в четырехчастичной системе: три частицы взаимодействуют между собой, четвертая пролетает без взаимодействия

Рис. 3.3. Несвязанная диаграмма в четырехчастичной системе: взаимодействие отлично от нуля только в парных подсистемах, сами же подсистемы движутся независимо 80

Рис. 3.4. Якобиевы переменные в системе трех частиц:

Xj2 — вектор, описывающий относительное расположение частиц 1 и 2, ух2 — вектор, описывающий относительное расположение частицы 3 и центра инерции частиц 1 и 2

(% + % 一目 Wa =(% + % 一目 Wa =一%0小伏一%0小伏(3.8)(3.8)Подставляя (3.6) в правую часть уравнений (3.7) и перенося "диагональный" член в левую часть, получаем уравнения Фаддеева в дифференциальной форме:

(% + % 一目 Wa =

(% + % 一目 Wa =

一%0小伏

一%0小伏

(3.8)

(3.8)

Обращая оператор в левой части уравнения (3.8), получаем уравнения Фаддеева в интегральной форме:

(3.9)(3.9)% = — Ga (Е) Va S Wg . 0 # a

(3.9)

(3.9)

Дифференциальные уравнения Фаддеева (3.8) должны быть дополнены, конечно, граничными условиям, которые в этом случае имеют вид

W沪(х, Р0)= Wa(X# exp(ipaya)坛0 +

+ %(x£ U耶(Уа，Р0). + 〃。0 (х, pg),(3.10)

где %0 (Уа，Р0)~2期 ^а> Р6)^^a^ exp U \/占 + %%】；даА ~ амплитуды упругого рассеяния и перезарядки; 仇。(х, р°) ~ 人。(х, р°) х х exp [i\Z^ х] /х5/2; ДоВ — амплитуда развала.

Здесь мы использовали обозначения для якобиевских переменных, показанных на рис. 3.4, х ~ {xtt, 丫办

Перейдем теперь к случаю четырех частиц*. Здесь возможны различные группировки частиц типа изображенных на рис. 18 — 20, поэтому используем такие понятия, как разбиение и цепочки разбиений. Распределение N частиц в а групп будем называть разбиением а. Примерами разбиений четырех частиц на две группы являются разбиения (泳〃 и (//) (к/). Взаимодействуют в этих группах только частицы, номера которых заключены в круглые скобки. В случае двух разбиений а и а символ (а, а) будем называть цепочкой разбиений. Символ а D а означает, что разбиение а получается из разбиения а делением его подсистем на части.

Для четырех частиц снова введем вначале фаддеевские компоненты волновой функции

% = — Go (Е)丿aW・(3.11)

Как и в трехчастичном случае компонента фа удовлетворяет уравнениям

(3.12)(3.12)

(3.12)

(3.12)

или в интегральной форме

Wa = 一 G“(£) % 屮^ •(3.13)

Уравнения (3.13) все еще не фредгольмовы. Для окончательной перестройки этих уравнений при помощи цепочки (а, а) введем компоненты у каждой функции 屮@ (в полной аналогии с трехчастичным случаем):

Waa = -Ga ^ va (盘昵胆⑶⑷

или то же самое в дифференциальной форме:

(仇 + % - Е)Фаа = 一 ％ (Д^а)и?伏(3J5)

Итак, если фаддеевская компонента фа, "пропорцианальная0 взаимодействию частиц в паре а, специфицируется номером псюледней взаимодействующей парь) частиц, то ее компонента 屮窗& специфицируется также и разбиением (в данном случае а), из которого возникла пара а.

Продолжим вывод уравнений. Можно показать [51], что имеет место следующее правило суммирования:

Е 2•(3.16)

aDa (0声а) Ua 0Ва

Применяя это правило к обеим частям выражения (3.14), получаем соот - ношение

% = 2 "ха •(3.17)

Подставляя разложение (3.17) в (3.15), немедленно получаем

(Но + Va - £) %а = — %2 Е 屮卽•(3.18)

Далее, следуя фаддеевской идеологии, как и в трехчастичном случае, выделяем в правой части уравнений (3.18) ,,диагональныйг, член, т.е член с b = а, м, перенсюя его влево, получаем уравнения Якубовского в дифференциальной форме [56]:

(仇 + Va - Е) %8 + Va ^ 屮" =-% 纟 2 L屮%。

(•у 声 a) Ua 'Ь^а ((З^а) Са

(3.19)

Перейдем теперь от уравнений (3.19) к их интегральной форме. Ясно, что для этого нужно обратить оператор, действующий на компоненты функции в левой части уравнений (3.19). Отличие от трех частиц состоит в том, что теперь этот оператор матричный. Очевидно, что искомый обратный оператор 碳g по определению должен удовлетворять системе уравнений

(% + Va -e) G粉 + Va(7 峯 а) 0 % = 一 兄*(3.20)

Рис. 3.5. Один из наборов якобиевых переменных для системы, состоящей из четырех частиц

где / — единичный оператор. Но система уравнений (3.20) есть не что иное, как уравнения Фаддеева для компонент функции Грина, порождаемой гам ильтонианом

(3.21)

Уравнения Фаддеева (3.20) в интегральной форме имеют более привычный вид:

G施=—GM呻—G。VaG施=—GM呻—G。Va(7 声 a) Ca(7 声 a) Ca(3.22)(3.22)

G施=—GM呻—G。Va

G施=—GM呻—G。Va

(7 声 a) Ca

(7 声 a) Ca

(3.22)

(3.22)

Обращая теперь уравнения (3.19) при помощи (3.20), получаем уравнения Якубовского для волновой функции в интегральной форме:

為)Са^^^'為)Са^^^'(3.23)(3.23)

為)Са^^^'

為)Са^^^'

(3.23)

(3.23)

Дополним дифференциальные уравнения Якубовского (3.19) граничными условиями на бесконечности. С этой целью введем якобиевы переменные для четырх частиц (рис. 3.5). Для удобства записи примем, что X 三｛х。 Уаа，Уа｝；冷三｛ха，Уаа｝； Уа三｛Уаз，Уа｝・

Тогда для волновой функции получим асимптотические условия

屮22(X, Рь)弋 崂(Ха) exp (ipaya) ЬаЬ+ 喈(Ха) Ugb (уа, рь) +

+ % 3)«ь (Уа, Р0)+ 喻(х, Р6)，(3.24)

где введены следующие обозначения:

I Уа1exp |i \J卫 + % I у。I Уа1exp |i \J卫 + % I у。exp ｛i \Zf~l xl ｝exp ｛i \Zf~l xl ｝(3.25)(3.25)(2->2): Ugb (уа,Рь)〜АаЬ 伉,Рь)

I Уа1exp |i \J卫 + % I у。

I Уа1exp |i \J卫 + % I у。

exp ｛i \Zf~l xl ｝

exp ｛i \Zf~l xl ｝

(3.25)

(3.25)

(2 今3): 4ь (Уа，Рь)〜Аааь (Уа, рь)

(2今4): Uo皆(x, pb) ~ Aob (xz pb)

Обсудим теперь возможности практического решения уравнений Якубовского (3.19) и (3.23). Как видно из самой структуры дифференциаль-

ных уравнений (3.19) и граничных условий к ним, для решения задач рассеяния в четырехчастичных системах необоходимо знать только волновые функции связанных состояний подсистем. Для решения же интегральных уравнений Якубовского (3.23) необходимо иметь в распоряжении функции Грина или амплитуды рассеяния для подсистем во всей области значений переменных. Поэтому совершенно ясно, что решение дифференциальных уравнений Якубовского представляет собой значит ел bHQ более простую задачу.

Четырехчастичные уравнения в форме АГСХ

В литературе вариант четырехчастичных уравнений в форме АГСХ используется широко, поэтому приведем их вывод. Напомним, что уравнения АГСХ являются уравнениями для операторов перехода, а не для волновых функций. Так же, как и при получении уравнений Якубовского, в основе получения уравнений АГСХ лежит та же идея двукратной последовательной перестройки ядер уравнений Липпмана—Швингера, в результате которой они становятся уравнениями фредгольмового типа.

Из второй лекции нам понадобятся некоторые соотношения, касающиеся техники уравнений АГСХ; для удобства изложения приведем их снова. Уравнения для операторов перехода U^a имеют вид

(3.26)(3.26)U0a = (1 — 60a ) Go1 + 备 ^ Ту Go Ща .

(3.26)

(3.26)

Эту систему, как уже говорилось, чисто формально можно записать в виде уравнения Липпмана—Швингера для У -матрицы:

旷=3+于九旷(3.27)

где

的а 三 恥；»0а 三(〔一台仅)^о1； У。，0a = ^aG0TaG0. (3.28)

Если теперь будем считать, что значения матричных индексов в уравнениях (3.26), (3.27) могут изменяться от 1 до 6, а не от 1 до 3, т.е. перейдем тем самым к четырехчастичной системе, то немедленно обнаруживаем, что эти уравнения не имеют однозначных решений, поскольку их ядра не являются квадратично-интегрируемыми. Действительно, выражение ^V^o, как это следует из определений (3.28), содержит взаимодействие между двумя частицами из четырех. Это обстоятельство приводит к тому, что по переменным остальных частиц возникают 5-функции в точности так же, как и в ядре трехчастичного уравнения Липпмана—Швингера (см. вторую лекцию). Другими словами, уравнение

*=3。+ 夕户 У(3.29)

в задаче четырех тел играет примерно ту же роль, что и уравнение для функции Грина G — Go + Go £ VyG в задаче трех тел. Отсюда следует, что необходимо еще раз применить фаддеевскую процедуру фредгольми- 84

Рис. 3.6. Несвязанная четырехчастичная Рис. 3.7. Несвязанная четырехчастичная диаграмма:диаграмма:

/-я частица — свободнаяпара частиц // не взаимодействует

с парой частиц к!

зации ядер уравнений (3.27). Для этого введем кластерные индексы р, о, т, которыми будем обозначать возможные разбиения в системе четырех тел. Например, разбиение р = (*, /) соответствует диаграмме рис. 3.6, а разбиение р = (//, к!} соответствует диаграмме рис. 3.7. С учетом этих обозначений уравнение (3.29) перепишем в виде

3=9。+ % ^P^Q,(3.30)

где 0Vp — часть 吋,действующая только в кластере р, т.е. по аналогии с (3.28) имеем

Ma = "-“a) Go1,(3.31)

если 0, а & р, т.е. если парь» а= (4 /) м 0 = (/； /0 содаржатся в наборах индексов, характеризующих данное р. В противном случае ^У^а = 0.

Итак, продолжая аналогию с трехчастичным случаем, введем аналог фаддеевских операторов 財仅：

豌的=3Gbp +” *»°・(3.32)

Далее точно так же, как во второй лекции были получены уравнения для операторов М^а，получим уравнения для операторов 粉叩：

(1 _^^/0)Х«аР = б^ПГ^+^^о S 叱7P.(3.33)

Обращая оператор, стоящий в левой части (3.33) в круглых скобках, получаем четырехчастичный аналог уравнений Фаддеева:

砂 =尹+"。 3 。 s猊叩，(3.34)

где трехчастичный оператор* 3*° определен как решение уравнения (3.27) с потенциалом 4y°, т.е.

环0=少吸У0go行0.(3.35)

Те же соображения, которые б трехчастичном случае позволили перейти от операторов М呻 к операторам перехода U呻,позволяют перейти от уравнений (3.34) к уравнениям для операторов перехода четырехчастичной системы:

uаР = (1 -5即)</尸 + 7讶。歹纥 5(3.36)

Уравнения (3.35) для трехчастичного оператора перехода 环 ° с учетом использованных обозначений (3.28) имеют вид

唯=(1 -3便)^о1 + ,露 方 G。%.(3.37)

У^Р

Уравнения для четырехчастичных операторов 竝0'° м t/即 в явном виде записываются следующим образом:

m鴨=5叩"。+部产弓G。鬲喷(3.38)

U蹤=(1 -5即)5仇6計 7■/ G訐 +Т^。(/雷 G。方G。U需.(3.39)

Как и интегральные уравнения Якубовского, четырехчастичные уравнения АГСХ (3.38) и (3.39) в качестве ядер содержат операторы перехода для двух- и трехчастичных подсистем Гу и 6^ соответственно.

При решении сложных систем интегральнь1х уравнений в форме Якубовского (3.23) или в форме АГСХ (3.39), являющихся в общем случае системами девятимерных уравнений, естественно приходится прибегать к той или иной аппроксимации ядер этих уравнений. Обычно эти аппроксимации связаны с использованием различного рода сепарабельных, т.е. конечномерных представлений двух- и трехчастичных амплитуд, определяющих ядра четырехчастичных уравнений. Например, широко распространено разложение по соответствующим функциям задачи Гильберта—Шмидта [57]. Однако псютроение таких функций и соответствующих собственных значений даже в задаче двух тел для большинства известных короткодействующих потенциалов может быть осуществлено только численно. Построение же трехчастичных функций Гильберта—Шмидта представляет собой еще более трудную задачу [58].

Таким образом, решение четырехчастичных интегральных уравнений приводит к необходимости использования целого ряда приближений и контролю этих приближений на сходимость. Задача еще более усложняется, если мы хотим иметь дело с ^реалистическими0 AW-потенциалами. Использование этих сложных потенциалов приводит к катастрофическому росту числа компонент в четырехчастичной волновой функции и соответствующему возрастанию размерности системы решаемых уравнений.

Приближенные четырехчастичные уравнения

для я (3 Л/) системы

Попытаемся выяснить физические причины, приводящие к столь сложной структуре уравнений, и используя это понимание, сформулируем новые приближенные четырехчастичные уравнения, более удобные в практических расчетах.

Как уже отмечалось во второй лекции, физический смысл фаддеевских компонент волновой функции трехчастичной системы ссютоит в том, что каждая компонента соответствует вполне определенному асимптотическо- 86

Рис. 3.8. "Древообразный0 набор якобиевых переменных для системы четырех частицт

彳

му поведению системы. Поскольку в системе четырех частиц число возможных ас им птотичес ки х состояний значительно больше, то, естественно, и число компонент волновой функции здесь больше, чем в трехчастичном случае. Это обстоятельство и позволяет в некоторых случвях рассматривать четырехчастичные уравнения с меньшим числом компонент в волновой функции [59]. Действительно, рассмотрим рассеяние частицы на связанном комплексе трех частиц при энергии налетающей частицы, не превышающей ближайшего порога развала трехчастиной мишени. В этом случае асимптотика четырехчастичной волновой функции имеет вид

〈Г12，Гз，，1^〉三 屮(“2，Гз“)

exp (idCp)

Q w0(口2/3，川 +丁X(r12，г3) ； 0-*8.(3.40)

W(Г12, Гз，р) f 0,丨口2 I,什3丨 f 8,

где % — падающая волна, а якобиевские переменные показаны на рис. 3.8; ЭС = х/2〃£о；从—приведенная масса мишени И налетающей частицы; Ёо — кинетическая энергия налетающей частицы; Т — искомая амплитуда упругого рассеяния, а < г 12, г з 1х)三 X (г 12» г з)— волновая функция основного состояния мишени. В силу граничных условий (3.40) четырехчастичная волновая функция удовлетворяет условию

J I W(Г12, Гз,川 |2 dj2 d”《М,(3.41)

т.е. является квадратично-интегрируемой функцией по координатам нуклонов. Это обстоятельство является ключевым во всех псюледующих рассуждениях. Для определенности будем иметь в виду четырехчастичную систему, состоящую из я-мезона и трехнуклонного ядра 3 Не (3 Н). (Более общий случай, например четырех тождественных частиц, будет рассмотрен ниже.) В рамках потенциальной картины гамильтониан этой четырехчастичной системы имеет вид

Н = Л о +力 с +丿Л/ +丿тг，(3.42)

где VN = S %;»“=£ Vi 疝

/ =#/ = 1 川=1

Л о — кинетическая энергия относительного движения “-мезона и центра инерции ядра; hc — кинетическая энергия нуклонов; 丿% — потенциал взаимодействия нуклонов с номерами 7 и / в ядре-мишени; V^ — потенциал взаимодействия я-мезона с нуклоном /. Основываясь на условии (3.41), можно аппроксимировать часть гамильтониана (3.42) Лс + Y№ зависящую только от переменных нуклонов г 12» П, оператором конем-

87

ного ранга. Например, можно положить

{hc + \/^}\^) « 丨9〉〈91标 +丿 л/丨9)〈91 W〉，(3.43)

где〈Г12，Гз1з〉三 3(Г12,Гз) — функция с конечной нормой. Очевидно, что если функция 屮(г 12, г 3) — собственная функция гамильтониана мишени, например 屮(г 12, г 3) = х (г 12, г 3) ；то <</>1Лс + Vfj\ 9〉=е, где е — энергия сюновного состояния трехнуклонной системы. Величина 〈屮1 W〉представляет собой новую неизвестную функцию, зависящую, однако, теперь только от одной переменной р. Это обстоятельство позволяет получить простое одномерное уравнение для амплитуды упругого я3 Нерассеян ия при низкой энергии я-мезонов. В более сложном случае, когда система состоит из нескольких взаимодействующих подсистем (кластеров) ,можно заменять части полного гамильтониана, зависящие только от переменных связанных подсистем, операторами конечного ранга и, следовательно, существенным образом и в то же время математически кор- ректоно понижать размерность исходных уравнений.

Для того чтобы воспользоваться приемом типа (3.43), перепишем уравнение Липмана—Швингера для системы я + ЗЛ/, выделяя в явном виде гамильтониан связанной подсистемы. Введем следующие функции Грина:

6(E) = (Н-Е)-1; Gc (目={h0+hc +VN - Е)т；'

Go(曰=仿0-目7; GO0(F) = (Ло +hc-E)-1 ; I (3.44)

G“(曰=So + Vn-E)-1.

Четырехчастичный оператор перехода имеет вид

7 = VSr -丿“G (曰 ％(3.45)

В дальнейшем потребуется вспомогательный также четырехчастичный оператор перехода 7°, определяемый следующим образом:

t° = Vn- VnGn (目丿万=I/"-丿藉。(目 7О.(3.46)

Воспользовавшись уравнением для полной функции Грина в форме

G (Е) = G“(£) - G7r (曰 Нс G (£),(3.47)

где Нс = hc + VN, и определениями (3.44) и (3.46), получим уравнение для оператора Т в форме, удобной для приближения, которое мы хотим сделать:

丁 = 丁° + Г° Go (E) Hc Gc (£) T=T° + T° [Go (E) - Gc (£) ] 7.(3.48)

Заметим, что уравнение (3.46) представляет собой вариант уравнения для амплитуды, описывающей рассеяние я-мезона на трех фиксированных центрах. В импульсном представлении это уравнение имеет вид

〈kl# (ri2, гз) I к'〉= 〃к, к', г 12, г з)〈 kliz 7r1к'〉-

-(2тг)-з jdk"f (к, к", г 12, г з)〈kl у7rl к"〉х

(3.49)(3.49)(3.50) >2——];3 J(3.50) >2——];3 J〈к"1т。(г 12, гз) 1кЗк"2/(2川-Е

(3.49)

(3.49)

(3.50) >

2

——];

3 J

(3.50) >

2

——];

3 J

где мы использовали следующие обозначание:

〈к, Г12，Гз17°1к‘，r：2,rf〉=b(ri2 — r‘3)5 (Г3 — г з) х

X <к1т°(Г12, г з) I к'〉；

"к, к\ r12, r3) = exp i (к— к) (-~ + -|-^ +

+ exp [ i (к' - к) (- г】？ /2 + г3/3) ] + exp [ - i (к' - к) г3

к, к' — импульсы, описывающие относительное движение п-мезона и центра инерции ядра в. начальном и конечном состояниях. Отличие амплитуды т° от амплитуды рассеяния на фиксированных центрах, используемой обычно в литературе [9], состоит, во-первых, в том, что амплитуда т° из уравнения (3.49) находится при энергии, равной полной энергии системы, в то время как обычная амплитуда рассеяния на фиксированных центрах определяется при энергии, равной кинетической энергии налетающей частицы. Это различие приводит, например, к тому, что амплитуда т°, играющая роль эффективного ,,пoтeнциaлa,, в уравнении (3.48), действительна до порога развала и комплексна выше порога, что представляется физически вполне оправданным. Во-вторых, она описывает относительное движение налетающей частицы и центра инерции мишени, т.е. мишень не считается жестко связанной с лабораторной системой координат, как это обычно полагается в модели фиксированных центров.

Из структуры ядра уравнения (3.49) следует, что его можно проинтегрировать в аналитическом виде для сепарабельных тг/\/-потенциалов и

Итак, приступим теперь к приближению. Оно будет заключаться в том, что гамильтониан ядерной подсистемы Нс аппроксимируется оператором конечного ранга:

N

Нс 弋 &?=『“ = [%〉％“〈xj(3.51)

Приближение (3.51) будет единственным при получении приближенных четырехчастичных уравнений. Запись Н? в форме (3.51) в действительности представляет собой различные варианты замены оператора Нс оператором конечного ранга 冲,отличающиеся друг от друга тем, как определена матрица。从"и векторы состояний 1х〃〉・ Имея в виду нахождение амплитуды упругого тг3 Не-рассеяния, будем далее полагать, что функции Хи (г 12, г з)三〈Г]2,Гз 1хд > образуют ортонормированный набор функций с конечной нормой, причем Xi является волновой функцией основного состояния связанной трехчастичной системы. В этом случае

%” =〈Xpi 1% I X”〉，从，"W 1, % = е5д1, (3.52)

где е — энергия связи трехнуклонного ядра. Легко найти, что функция

89

Грина Gc (目 в приближении (3.51) может быть представлена в форме

<k,r12,r3lGc (E)lk，,r；2，rZ〉=(2тг)3 6 (к - к9 х

х [6 (г 12 - г‘12)5 (г -rj)伏2/(2〃)一 £广1 -

“У, Хд (r 1 2 » г 3)「〃"(“' £)X" (г 12，Г 3)].(3.53)

Здесь

L\2U入"

где /дР =( Хд I Хр > = 5дР ,так как, по предложению, функции I 加〉орто- нормированы.

Таким образом, приближение (3.51) позволяет преобразовать основное уравнение для оператора Т (3.48) к виду

<к, г12, г 31 丁(£) I к',匕2,匕〉=6 (г 12 - г *12) 6 (г з - г з)х

х (к1т°(Г12,гз)1к，〉+ S / х

х ——г drhdrjkl#(Г12,гз)1к"〉融(г】2,гз)% к',曰 х

(2 7rу1

X 6 (Г 3, г з)<к", г ；2,吋 17 (曰 IК г ；2,г G •(3.54)

Введем новые амплитуды с помощью соотношений

〈к1““1к'〉三 /dr I? dr? dr；? dr,血(г 12, г з)х

х〈к, Г]2，гз1 丁(Е).|к',г；2，ГзП х“(rf2,r34；

〈к1т/1к'〉三 /dr 12 dгз&(г 12, гз) х

х〈 к1т° (г 12, г з)I к'〉X”(г 12, г з).(3.55)

^〈kl^lk”〉х^〈kl^lk”〉хX「入о (к",Е) (k-lr^ lkf>.X「入о (к",Е) (k-lr^ lkf>.Используя эти новые амплитуды, систему основных уравнений (3.54) можно представить в виде

^〈kl^lk”〉х

^〈kl^lk”〉х

X「入о (к",Е) (k-lr^ lkf>.

X「入о (к",Е) (k-lr^ lkf>.

(3.56)

Ограничившись в разложении (3.51) первым членом, получим уравнение для амплитуды упругого рассеяния “-мезона на связанном состоянии трех нуклонов:

dk"

〈к1т】1 Ik'〉三〈klrlk'〉=〈к1т°1к'〉+ е/ ?〈klNIk"〉х

(2я)3

х Е ) /-— - £ +е、 〈кТТк'〉.(3.57)

90\ 2从/\ 2м/

Итак, вместо сложной системы многомерных уравнений для системы четырех частиц получено простое одномерное уравнение, правда, в ограниченной области энергий. Единственное приближение (3.51), которым мы воспользовались, в рассматриваемой области энергий может быть улучшено систематическим образом [60]. При этом оказалось, что роль опущенных в (3.51) членов тем меньше, чем больше абсолютное значение энергии связи сюновного состояния мишени.

Продемонстрируем в деталях, как уравнение (3.57) применяется для вычисления длин рассеяния "士-мезонов на ядрах 3Не и 3Н. С этой целью запишем уравнения (3.49) и (3.57) для состояний с полным изотопическим спином Т системы я + 3 Не, который представляет собой сохраняющееся квантовое число, и из их решений уже скомбинируем физические амплитуды, например, для системы я* 3 Не, волновая функция которой не является собственной функцией оператора квадрата полного изоспина системы Т. Для этого найдем проекцию потенциала V^ на состояния системы с заданным изсюпином Т. В результате получим [61]

(3.58)(3.58)「4十八「叫「4十八「叫

(3.58)

(3.58)

「4十八「叫

「4十八「叫

> -67-символ; a 2tnN — пион-нуклонные потенциалы, 1/2 T 1/2

действующие в состоянии с определенным изосиином системы nN, равным 1/2 или 3/2.

Для сепарабельного яМпотенциала, действующего только в S-состоянии системы “Л/, выражение (3.58) в импульсном представлении имеет вид

(Г12,гз)к〉= S化)老(心，(3.59)

7r/ =1,2,3/ z

а = 1,2 где

aexp (ik г/ )1111

% (к) = ―-——； Zi = ——г 12 + г з； г2 =Г]2+ — с;

* + 傲2323

2(3.60)

Z3 =* - — Гз； А1 = С，入А； М =國 Х^;

入上3 _ глубины S-волновых 7гЛ/-потенциалов [62] в состояниях t^fj = 1/2 и tnN = 3/2 соответственно.

Уравнение (3.49) с потенциалом (3.59) легко решается:

<к1т°(Г12, Гз)к〉= S Аа»：(к) []Т (£, г12,г3)]^Й?(кЭ.(3.61) 力3〃，

Матричные элементы матрицы А задаются интегралами от произведения двух формфакторов “； и свободной функции Грина, как это обычно получается при нахождении амплитуды рассеяния на фиксированных центрах. Наиболее трудоемко в данном подходе вычисление многомерных интегралов в формулах (3.55). Фактически эта трудность до сих пор сдерживала применение этого метода к более тяжелым ядрам. В случае трехнуклонных ядер при полной отрицательной энергии матрица Д"1 в выражении (3.61) является плавной функцией своих переменных, т.е. угла между векторами г 12 и г 3 и длин этих векторов I г 12 I, I г 3 I, что существенно упрощает нахождение матричного элемента оператора т°.

Результаты решения уравнений (3.57) для длин я (3/V) -рассеяния приведены в табл. 3.1.

Талица 3.1

Данные

а>Не，中м

а37Г3Не-фм

"тг-Зне’Фм

а (Л；--3 Не -*

Н), фм

Теория

0,105

— 0,210

0

-0,149

Эксперимент

—

-0,226

0

—

Здесь а1 и а3 — длина тгЗЛ/-рассеяния в состояниях с полным изоспином Т системы, равным 1/2 и 3/2 соответственно.

Следует сказать несколько слов о том, что означает в этой таблице строка "эксперимент0 и откуда берутся числа, стоящие в этой строке.

Начнем с длины я" 3 Не-рассеяния. Эта величина (впрочем, так же, как и длина 7г+ 3 Не-рассеяния) не является непосредственно измеряемой величиной. Измеряемая величина — это сдвиг уровня △£" в основном состоянии я-мезоатома я- 3Не, который возникает в результате сильного яЛ/-взаимодействия. Далее, пользуясь формулой Дезера апА = ?е*ДЕ, которая получается применением теории возмущений по сильному 7гЛ/-вза- имодействию, находят длину я-ядерного рассеяния a7rA. Однако при этом следует иметь в виду, что вклад в экспериментальное значение Re аяд вносят как процессы чисто многократного рассеяния “-мезона на нуклонах ядра, которые могут быть описаны на потенциальном языке и к которым применима вышеописанная теория, так и процессы с исчезновением я-мезона в промежуточных состояниях. Строгая теория этих последних процессов в настоящее время отсутствует. (О попытках приближенного описания процессов поглощения я-мезона см. ниже.) Существует гипотеза

** = [_ (2тг/д7r厶)I % (0) 12L, Wo (0) —волновая фукция основного состояния 7ГД-атома при г = 0.

92

(3.62)(3.62)Бракнера [63], в соответствии с которой предполагается, что

(3.62)

(3.62)

△Езксп = АЕупр + Ь05Гэксп,

т.е. сдвиг уровня в я-мезоатоме представляет собой суммы сдвига, обусловленного только процессами многократного рассеяния я-мезона и экспериментального же значения ширины этого уровня. Обратимся к наблюдаемым данным для я" 3 Не-атома [64] : Еэксп = (0,050 ± 0,005)川扌； Гэксп = (0,034 土 0,012) т^. Отсюда с использованием (3.62) заключаем, что в пределах экспериментальных погрешностей АЕупр 弋 0. Таким образом, совпадение теории с экспериментом, показанное в таблице, следует понимать в описанном выше смысле.

Обобщим теперь приближенные четырехчастичные уравнения на случай, когда мишень разваливается и в конечном состоянии остаются 3 фрагмента. Излагаемый подход может служить альтернативой к существующим кластерным моделям ядерных реакций.

Снова для определенности будем рассматривать процессы типа я + + 3 Не -*р + d + я. Учитывая трехчастичный характер конечного состояния, исходный гамильтониан Н представим в виде

Н = HQ + Hd + v I + v 2 + и3.(3.63)

Здесь Но — сумма кинетических энергий относительного движения трех частиц р, du”；

Н(/ = h d + Vn,Nz； у 1 = %Л/з； у 2 =V“A/i + 丿“Л/?；

% =丿/Л/з + vN2N3 ；(3.64)

где h d — кинетическая энергия относительного движения нуклонов в дейтроне; V^. — потенциал взаимодействия “-мезона с нуклоном 7;

Vn・n • — потенциал взаимодействия нуклона 7 с нуклоном/. Как и в случае； Упругого рассеяния, введем несколько вспомогательных функций Грина:

g(曰=(Е-Н)-1;彳(曰=(H-Hd-E)-1;

gd 伍)=(Wo + Hd -EL; g° (曰=(H0-E)~l; >(3.65)

goo (曰=(Hid -F)-1..

Следуя Фаддееву, введем, как и во второй лекции, операторы MaQ и 嗚：

%0 = 丫。殆0 - vag{E) *;(3.66}

M%3 = ^。％0 - ％7(目 V0，a, 0 = 1, 2, 3.(3.67)

Оператор М^ — это новый объект, трехчастичный аналог t-матрицы для рассеяния на фиксированных центрах т°, введенной выше при описании упругого рассеяния.

Легко убедиться, что операторы Ма^ и М%д удовлетворяют уравнениям, формально имеющим вид уравнений Фаддеева:

%0 = Гa ^(^ -ta9d 任)入亂 М邓，(3-68)

m断=心5a0 一г舗。(ё)入^。m昵，GM)

(3.70)(3.70)где "канал ьные" Г-матрицы ta и f« удовлетворяют уравнениям типа уравнений Липпмана—Швингера:

(3.70)

(3.70)

fa = u а — u add 伍)？а；

Гд = ^а - и а9о(Е)©•(3.71)

Очевидно, что уравнение (3.71) при а = 2,3 является уравнением для двухцентровой f-матрицы.

Имея в виду соотношения

" л "" л "宀…宀…(3.72)(3.72)

" л "

" л "

宀…

宀…

(3.72)

(3.72)

уравнение Липпмана—Швингера для полного четырехчастичного оператора перехода Т можно переписать в форме

(3.73)(3.73)丁 =^+『дз IE) Hdgd (曰 Г.

(3.73)

(3.73)

Это уравнение является обобщением уравнения (3.48) в том смысле что оно в явном виде учитывает возможные каналы реакции через структуру Т. Однако оно не фредгольмово, поскольку его ядрд^содержит несвязанные блоки, возникающие из-за борновского члена в Г, в чем легко убедиться итерированием. Проведем фаддеевскую перестройку уравнения (3.73), чтобы устранить эти несвязанные блоки. С этой целью вместо операторов М凯 введем операторы 福0：

Mj/3 =煜%0+喩. (3.74)

Тогда оператор Т примет вид

干=Е М^ = Z琨+ S И/^ = Г00 + Гф,(3.75)

殖a ap

т.е. в явном виде выделена часть 7°°, порождающая нефредгольмовость уравнения (3.73).

Как всегда при перестройке, введем компоненты амплитуд:

= 7-0 0 +Т°° д0 (Е) Hdgd 任)(厶 +%)；

72=% +%g。(目也9d(日 6+з)；>(3.76)

Лa =琨+ 南go (目 Hdgd (日(71 +厶).

Очевидно, что выполняются соотношения

Т = 7"] + Т2 и 2 71a = 丁i・(3-77)

Подставляя соотношение (3.75) в уравнение (3.73) и используя введенные компоненты (3.76), получаем для них систему фредгольмовых уравнений:г

71a = ta + ^а9о (^)^(/3d (曰 丁2 +

+ tag。(£)Ud(£)2 Aa；卜(3.78)

y^a

厶=% +%> go (曰 Hdgd (目(％ + Z7ia)*・

Итак, получена система четырехчастичных уравнений, учитывающая трехчастичный характер конечного состояния и записанная в форме, удобной для применения приближений типа (3.51). Однако прежде чем приступать к использованию этих приближений, воспользуемся еще одним упрощающим рассмотрение обстоятельством. Дело в том, что из определения оператора И^д следует, что он, вообще говоря, может быть малым (по норме, например), если все три кластера в конечном состоянии не подходят друг к другу одновременно на малые расстояния. В этом случае можно положить

ма& fa 6a<3侍.79)

и система уравнений (3.78) существенно упрощаятся:

3

71a = fa + tag。(£)也 9d (目丁 , 丁 = ' ^iai 7*2 =0' (3.80)

0 声аа = 1

Таким образом, для четырехчастичных амплитуд ^ a получен аналог уравнений Фаддеева (3.80). Покажем теперь, что в приближении

(3.81)(3.81)Л/

(3.81)

(3.81)

Hd —£ I Хд〉^др〈 X” I

уравнения (3.80) сводятся к системе двумерных интегральных уравнений. Введем смешанные якобиевы переменные:

= , 41 =由；

m + m“

67r Pd — 2 6p“

(3.82)(3.82)k2 =, q2 = P/v；

(3.82)

(3.82)

2m + m “

2mp/y - тр~

к? =, q3 =p“；

3m

Pd + Ря + P/V = 0, r = Г 12

f 0a = 0

*Из вида борновского члена для оператора =<ясно, что Т©

не содержит несвязанных диаграмм, т.е. ядро второго уравнения системы (3.78) так-

9595же фредгольмово.

95

95

и запишем входящие в уравнения (3.80) функции в этих переменных. Для функции Грина д^ (Е) в приближении (3.81)

〈ka , qa, г 丨 де (£j 丨 ka , q'a，г '〉= (2тг)6 6 (ка - к% ) В & - q'J х

XX6 (г - г-мa2瓦/^Х〃(г}「％ (ка , qa)焉(г)6 (г - г-мa2瓦/^Х〃(г}「％ (ка , qa)焉(г)曰-曰-(3.83)(3.83)(3.84)(3.84)

X

X

6 (г - г-

мa2瓦/

^Х〃(г}「％ (ка , qa)焉(г)

6 (г - г-

мa2瓦/

^Х〃(г}「％ (ка , qa)焉(г)

曰-

曰-

(3.83)

(3.83)

(3.84)

(3.84)

т — масса нуклона;心 =т~1 + ггГ^ ; 口;丨={2т) ~1 + {т + т11)~1;讶= =(2m) т + m?； Д21 = m~i + (2/7?+ /7?7r广 1 ; Дз1 = ((2/3) т} ~1 ;Дз =/77? + (3/77)- 1 .

Выражения для Q в пространстве четырехчастичных состояний имеют вид

〈ка，Ча，г 1% lk},q>,r，〉= (2я)2 6 (qa~q'a)х

х〈％ , г I % 9а)I к%, г，〉.(3.85)

Исходя из уравнения для fa> получаем уравнения для матричных элементов Q，аналог уравнений (3.56):

〈ка，г 1%(4а)丨 к% , г'〉=5 (г - г') <ка 1т° (г) I кга> + d к"

+ 2 J —-3 dr"^a\rl (г) Ik- >хм (г) Г« (^,да)хр (г") х

Дf(2 Я)尸

х〈ка’гТ% 3)К，〉，(3.86)

где〈 ка 丨 т； (г) I к}〉- двухцентровая t-матрица.

Введя матричные элементы:

< ка I 应的 к%〉三(dr x^ (г) (ка 1т° (г) I к*а > \v (г);

< ка I та( ^ I кд > 三 J dr dr'х从("х> (3.87)

х < ка, г I та 9а)К，г，〉х”(г，)，

получим из (3.86) систему одномерных интегральных уравнений для матричных элементов операторов та, 〃〃：

《Q 17a，曲(Oa)I к% > =〈 ka I 吟 a\ I к «> + E J— x

x〈 к。I 吟,叩 I k&〉Г®р (k^,q) <k« I rtt v^ 仇)I k« >.(3.88)

Итак, определены все величины, входящие в уравнения (3.80), и теперь можно приступить к явной записи интегральных уравнений для матричных элементов искомых операторов 7〔 а, исходя из уравнений (3.80).

Введем амплитуды 彳卩：

〈ka，4a I 磋以 I %,%〉三 /dr dr'x小г) x

x〈ka，4a，rl7"ial k%, q%，「" > X^ (尸)•(3.89)

Тогда уравнения (3.80) приобретают вид системы уравнений Фаддеева для компонент операторов перехода 7a с учетом того, что один из трех кластеров (в данном случае дейтрон) имеет внутренние степени свободы, характеризуемые индексами д:

<кк 411 Т^ Ik］ q、> = (2")3 5 (q】-q%)〈 kJ「皿 Ik%〉一

-3 J 〈%小,m1心〉「女出'，01)x 。入 (2тг)

X ［<-a2k7 +%qi； - k?-71411^^ I -q2% +仇^1； 一心一力*〉+

+〈 — а зк； — 0з41 ； kf — Т3Ч11 个^)丨 一。3吟—ЗзЧ*!；心—7з4*1〉］；

〈к?, q? I 丁］：)Iк%，q'2〉= (2n)3 6 (qj — q‘2)〈 к? IQ,从以 Ik%〉一

-2/^Ц" <к21т2гД(7 Ikp「戍)他'《2)x

0入(2")

X ［〈-七先' -02q2； к' - a2q2 l&{? I -72k'2 -02q'2； kт -a2q,2> +

+(一力4' +012； -к2' -%q2 17姆 I -71^2 +0也'2； -ка -斫*>］；

〈k3, q3 I T^ I k、，q、) = (2я) 3 6 (Чз — q'3)〈 кз IT3, др Ik、〉—

-S J —"3I 3从01吗>F ?(依'"3)x

0入 (27Г)3，产0入

х К — 73kM + 03口3； — к? —。3。3 I T^ I — 73 к% — ЗзЧ*з； — к'з — a3q*3 > +

+(一的吗一仇 q3； kf-xq3 I 及沪-a*%-0е'з； к3-7田3〉］.-

(3.90)

Амплитуды развала 3 Не или упругого рассеяния находятся, как обычно, вычислением матричных элементов оператора 7=2 Т^ посоответству-

a97

ющим асимптотическим состояниям. При записи уравнений （3.90） использованы следующие обозначения для численных констант:

2m

2 Зт + m 冬

1

«1;

仇；7i

2m +m冬

3

3

2т

团冬（m^ + 3m）

m

，02、

2m +

+ 团冬）（2m + m冬）

m + m冬

2с

3m +山冬m^

3

3 （m + 团冬）m +

mn

Отметим еще раз, что предложенные здесь приближенные четырехчастичные уравнения могут быть применены （и это было сделано отчасти в [65]） к описанию взаимодействия и других адронов, например, Л-частиц, антипротонов, К-мезонов с легчайшими ядрами при низких энергиях.

Рассеяние п （р） на трехнуклонных ядрах

при низких энергиях

Рассмотрим теперь обобщение схемы приближенных малочастичных уравнений на случай тождественных частиц, т.е. будем интересоваться описанием таких процессов, как упругое рассеяние нуклонов на ядрах d, 3Не,3Н.

В настоящее время практически отсутствуют достаточно надежные расчеты волновых функций таких, например, четырехчастичных систем, как тепловой нейтрон + трехнуклонное ядро. В этих случаях излагаемый подход, обобщенный на тождественные частицы, представляется особенно эффективным.

Продемонстрируем прием, учитывающий тождественнсють частиц сначала на примере трех частиц. С этой целью рассмотрим квартетное nd- рассеяние. Тождественность нуклонов будем учитывать, строя антисим* метризованные асимптотические функции

l3k> =\/5公以八〉.（3.91）

Здесь 1х（/к> — неантисимметризованная канальная функция системы п + d; оператор

А = （1/6） （1 -Р12 - %з -"23 +々2々3 +々2%3）,（3.92）

a Q" — оператор перестановки всех координат частиц 7, /. Тогда для амплитуды лкУ-рассеяния получаем

f （k； к\ Z） =〈 <Рк，I 丁1 Зк〉=х

2 7Г27Г

X〈Xdk'l 7（1 -2々3）I %к〉.

Таким образом, для определения амплитуды упругого "рассеяния

необходимо найти матричный элемент по неантисимметризованным волновым функциям оператора Г = Г(1 — 2" 3 ).

Используя уравнение (3.48) для оператора Т, получаем следующее уравнение для оператора Г:

(3.93)(3.93)Г = Г° + Г° (Go - GJ Г,Г° =7° (1 -2"1з)・

(3.93)

(3.93)

Далее, обращаясь к приближению (3.51) и ограничиваясь в нем для простоты первым членом, получаем уравнение для искомых матричных элементов от оператора Г:

〈Xdk'EXdk〉=〈x^k'll^l 壮卜〉+

<Хс/ко 1Г1)^к> .<Хс/ко 1Г1)^к> .(3.94)(3.94)dk" 〈XdkTT°lxdk"〉

<Хс/ко 1Г1)^к> .

<Хс/ко 1Г1)^к> .

(3.94)

(3.94)

(2 7Г)3 (£"-N) (£"-N + %

Если для вычисления 7° использовать триплетный ЛЛ\/-потенциал, приводящий к низкоэнергетическим /W-характеристикам % = — 2,225 МэВ, а? = 5,378 фм, г ? = 2,7 фм, то решение уравнения (3.94) приведет к квартетной длине nd-рассеяния, равной 4a = 5,25 фм. Экспериментальное значение 4аэксп = 6,35 土 0,02 фм. Поскольку энергия ближайшего порога развала 3 Не почти в 3 раза превышает энергию связи дейтрона, то можно ожидать, что применение к л3 Не-системе одночленной аппроксимации (3.51) приведет к более близким к эксперименту значениям длин рассеяния.

Заметим, что поскольку в л3Не-рассеянии имеется всегда открытый канал л3Не -*р3Н (так как I竹I > Ie3Hel), выражения для длин упругого л3 He-рассеяния имеют мнимую часть. Обычно при решении уравнений Якубовского для этого процесса кулоновское взаимодействие между протонами опускается из-за трудностей расчета. Вследствие этого мнимые части длин рассеяния в таких расчетах вычислить невозможно. Использование приближенных четырехчастичных уравнений позволяет частично устранить этот дефект.

Рассуждая так же, как и в трехчастичном случае, можно получить следующее выражение для амплитуды упругого 〃？ Не-рассеяния:

f (k',k,Z)=-似/2外〈x3нек1 7(1 -3%4)丨X3^к〉，

д = (3/4) /7?.(3.95)

Таким образом, снова нужны матричные элементы не оператора перехода Т, а нового оператора

(3.96)(3.96)「三丁（1-3%4）.

(3.96)

(3.96)

Так же как и в трехчастичном случае, для оператора Г получаем уравне - ние

Г = Г。+ 7。(Go - Gc) Г, Г° = 7。(1 - ЗА/.(3.97)

Поскольку имеется только два трехнуклонных ядра, то естественно аппроксимировать гамильтониан трехнуклонной подсистемы полного га

99

мильтониана Н двучленной формулой [3.51]

he 2 "仔)=езне I Хзне〉〈Хзне I +е3Hl *н ' *3HL(3.98)

Для простоты и не очень теряя в точности будем полагать, что пространственные части волновых функций ядер 3Не и 5Н одинаковы:

< 1231хзн )三 хЗне(Г12』з)=Л/ехр (-Хр) ^/2；

卜 (3.99)

〈1231хзн > =Х3н(Г12, г з) =2ехр (-Хр)打 1/2，

「де& =ЭСЗне； Р? = (3/2) г% +2г；；

Х±]/2 — антисимметризованная спин-изоспиновая функция трех нуклонов в состоянии со спином 1/2 и проекцией изоспина ± 1/2.

Пусть S, Т — полный спин и изоспин системы четырех нуклонов соответственно. Тогда амплитуда рассеяния в канале со спином S

‘〃з Не *'，k,Z) =[〈 Xk'l「sr = о 亿)Ixk〉*

27r 2

+〈xk，11\T=1 亿)Ixk〉],(3.100)

S = 0, 1; <r 12, r 3I X> = N exp (-Xp).

Уравнение для матричных элементов оператора Г в приближении (3.98) и мме^т вид

〈XklFsrl Xk〉=〈Хк1Г&т I Xk〉+

dk" 斤(％‘‘，N)c

+ J——; 〈Хк"71т1хк"〉〈Хк"11\т1хк〉，(3.101)

где

Rlk”，Z)=— -——包出 + —.(3.102)

2£"-2+езне2 £* - Z + езн

Важной особенностью структуры функции R (£‘‘，Z) является наличие в ней полюса при Z = е3 Не, что приводит к появлению мнимой части у функции R (к", Z) и соответственно у длин л3 He-рассеяния. В случав же р3 Н-рассеяния соответствующие,»» длины рассеяния действительны, поскольку в этом случае следует в (3.101) и (3.102) положить Z =^з н и функция R 伙",Z) не имеет мнимой части.

Таблица 3.2

ST

力尸/*В

Уравнения Якубовского

ST

分尸守

[53]

00

8,1 一",5

12,34

0,1

4,0 + i0,06

3,77

10

2,9+ i 0,1

3,03

11

5,6 - iOQ9

3,13

Таблица 3.3

Ahc^h^}

[53]

Эксперимент [бб]

До6,05 - i0,72 8,05

6,1 ±0,6-1 (4,4448 ±9 Ю'4)

Ах4,2 5 + 2,005 3,08

4,0 ± 0,2-i (1,7 ±0,8 • 10』

Примечание. Длины л

3Не-рассеяния Ag (л 3Не) =— [Д^о +Д^г].

Таблица 3.4

[53]

Эксперимент [67]

4о3,8

3,77

3,31 ± 0,12

Ау4,9

3,13

3,60 ±0,10

Примечание. Длины л

3Н-рассеяния А^ (л 3Н) =&「

При вычислении ядра и неоднородного члена в уравнении (3.101) будем использовать триплетный Л/Л/-потенциал, уже использованный в /«/-рассеянии, и синглетный потенциал с параметрами, воспроизводящими длину синглетного /W-рассеяния as = — 23,69 фм.

Результаты решения уравнения (3.101) для длин рассеяния в различных спиновых состояниях приведены в табл. 3.2 — 3.4. Для сравнения приводятся также результаты, полученные решением уравнений Якубовского [53] и экспериментальные значения длин рассеяния (фм).

Как видно из табл. 3.3, 3.4, приближенные четырехчастичные уравнения (3.101) в случае системы четырех нуклонов довольно хорошо описывают взаимодействие нейтронов с трехнуклонными ядрами при низких энергиях.

MV-рассеяние в нерелятивистской модели кварков (задача шести тел)

Конечномерная аппроксимация гамильтонианов подсистем позволяет подойти к решению значительно более сложных задач по сравнению с рассмотренными выше. Изложим этот подход в применении к модельной задаче столкновения нуклонов, рассматриваемых как составные объекты, т.е. приступим к решению задачи шести тел [68].

Ключевым условием, позволяющим сделать задачу трактабельной, является условие невылетания кварков из нуклона. Это обстоятельство и создает возможность аппроксимации внутринуклонных гамильтонианов операторами конечного ранга и позволяет написать динамическое уравнение только по одной переменной — импульсу относительного движения центров инерции сталкивающихся объектов.

Итак, пусть 〃о — свободный гамильтониан относительного движения центров инерции ^Уклонов; Н( (/ = 1,2) — гамильтониан внутреннего движения кварков 36

в /-м нуклоне; I/ = 22 V小 а 卜歹―потенциал взаимодействия кварков, при

/ = 1 / = 4

надлежащих разным нуклонам. Введем также гамильтонианы подсистем:

% 三"1 + “2, "асе = "о + % •(3.103)

Далее будем следовать процедуре, крторую применяли при получении приближенных четырехчастичных уравнений для случая упругого рассеяния. С этой целью введем функции Грина:.

Go (Z) = (%-Z)T; Gacc(Z)=(也8一2)7;,⑶他)

&(Z) = [H0 + V—Z)~l; G(Z) = ("-Z)T,>

где HHq + Hc + V — полный гамильтониан, а вспомогательным оператор

Т^V - VG (Z) V - V - VGq (N) 7°.(3.105)

Оператор 尸,определенный соотношениями (3.105), является в данной задаче обобщением оператора Г°, введенного при рассмотрении задач в четырехчастичном случае. Сейчас, как это следует из определения, оператор 7"° описывает рассеяние трех фиксированных центров (кварки в нуклоне 1, например) на трех других фиксированных центрах. Эта задача также может быть решена аналитически при условии что кварк-кварковый потенциал может быть аппроксимирован оператором конечного ранга.

Используя введенные обозначения, для полного оператора Т, как обычно, получаем уравнение

Т = Г° + 7° Go (Z) "cGacc 亿)Г = Г° + 7° [G。(Z) - Gacc (Z) ] Т. (3.106)

Гамильтониан подсистемы Нс аппроксимируем оператором первого ранга:

% * d" = “1X1X2〉〈Х1Хг1，(3.107)

где lxiX2〉=〔Xi〉協〉，丨尤〉—собственная функция внутреннего гамльтониана Н/ ; £()/2 — собственное значение Hj . соответствующее основному состоянию нуклона; £()=2(тд/— Эш。); гид/ — масса нуклона; т。=340 МэВ — масса кварка. Аппроксимация (3.107) может быть легко улучшена добавлением слагаемого, соответствующего возбуждению изобары. Такая процедура, безусловно, расширяет область энергий, при которых применимы приближенные малочастичные уравнения. Как и в четырехчастичном случае, получаем одномерное интегральное уравнение дпя амплитуды упругого /WV-рассеяния:

<klrlk,> = < k17^ I kr > + 60f ―— - <klr°lq> x

(27Г)з

x Go (qZ) Go («N- J)〈ql T I k，〉•(3.108)

Однако матричный элемент (k I ~ I k，〉в данном случае выражается в виде значительно более сложного интеграла (по сравнению со случаем четырех частиц):

<klr° lk*> = f X；以1)X胃(*2)〈к1т° (*i，*2)к〉x

X Xl(*1)X2(*2)dx\dK〉・(3.109)

В уравнении (3.108) использованы обозначения;

〈к1т1к，〉三 f X；(*1)X；(*2)〈匕 *「*2, I 戸 К “I, х 2 ) х

X Х1(х'1)Х2(Х‘2)办1 "*2〃1 d*2；(3.110)

〈к, х「к 丨 丁° I x'i，к%, к'〉= 5(Х| — x'i)5 (*2 — x‘2)〈kl T° (к】，к?) Ik'〉•(3.111)

12з｝，*2 三｛г 56, г 456 ｝ ； г — переменные Якоби (рис. 3.9).，—соотношение (3.111), получаем уравнение для вспомогательной ам・ плитуды (kl?^ (xlf х^) Ik*):12з｝，*2 三｛г 56, г 456 ｝ ； г — переменные Якоби (рис. 3.9).，—соотношение (3.111), получаем уравнение для вспомогательной ам・ плитуды (kl?^ (xlf х^) Ik*):XlXlГ23，ГГ23，ГИспользуяИспользуя9〈Мт (*卜*2)1“〉= <kl l/lkf> 2 9m(*1，*2, к)屮片(*i，*2, k')—m=19dq- 2 3mУ1，®k)，_ 9m(X], *2, q) xm = 1(2Я)9〈Мт (*卜*2)1“〉= <kl l/lkf> 2 9m(*1，*2, к)屮片(*i，*2, k')—m=19dq- 2 3mУ1，®k)，_ 9m(X], *2, q) xm = 1(2Я)

12з｝，*2 三｛г 56, г 456 ｝ ； г — переменные Якоби (рис. 3.9).

，—соотношение (3.111), получаем уравнение для вспомогательной ам・ плитуды (kl?^ (xlf х^) Ik*):

12з｝，*2 三｛г 56, г 456 ｝ ； г — переменные Якоби (рис. 3.9).

，—соотношение (3.111), получаем уравнение для вспомогательной ам・ плитуды (kl?^ (xlf х^) Ik*):

Xl

Xl

Г23，Г

Г23，Г

Используя

Используя

9

〈Мт (*卜*2)1“〉= <kl l/lkf> 2 9m(*1，*2, к)屮片(*i，*2, k')—m=1

9dq

- 2 3mУ1，®k)，_ 9m(X], *2, q) x

m = 1(2Я)

9

〈Мт (*卜*2)1“〉= <kl l/lkf> 2 9m(*1，*2, к)屮片(*i，*2, k')—m=1

9dq

- 2 3mУ1，®k)，_ 9m(X], *2, q) x

m = 1(2Я)

Рис. 3.9. Набор якобиевых переменных для шести частиц

(3.112)(3.112)(3.113)(3.113)х <kl 1/1 q> G()(0iN) <qlr° (xv x2) Ik),

(3.112)

(3.112)

(3.113)

(3.113)

где функции 屮т имеют вид

屮т(*i，*2，к) = П exp [i о/ г 7 к ], /=23,123小'

56,456

где 4n — числовая матрица.

При сепарабельном потенциале V решение уравнения (3.112) можно представить в виде

(3.114)(3.114)〈klT° (*i，X2)lk，〉二万1 (*1，К2，к) X"4 (*i，*2, N) ?) (х「*2, к，)， где " — многомерный вектор с компонентами

(3.114)

(3.114)

勿(Х1，Х2, к) = «勿(Х1，Х2, к) = «g (*•') 9；(X1，X2，k，)，/ =1,…，9;

勿(Х1，Х2, к) = «

勿(Х1，Х2, к) = «

子伙')屮；_ 9(X1，X2, k'), / = 10,. . ., 18;

M 伙)仍(xp xj, k), / =1, ..., 9;

.入彳饮)伤 _ 9 (xp *2, k), j = 10, . . ., 18;

入 и g (Аг) — интенсивность и формфактор сепарабельного кварк-кваркового потенциала. С учетом (3.114) 12-кратный интеграл (3.109) приобретает вид

，办1</*2 斤 1 (*i，*2，k) *7 bq, *2, N) " (к〉*2, У) 1X1(*1)I?仪2(*2)»• —(3.115)

Для вычисления интеграла (3.115) воспользуемся фактом отсутствия узких резонансов в упругом Л07-рассеянии при энергии до 1 ГэВ. Это обстоятельство позволяет предположить, что обратная матрица — достаточно плавная функция переменных X] и *2・

Действительно, в области резонанса амплитуда должна обладать свойством 〈kl~lk'〉* 方(k) t (£) Л (к9 . Отсюда и из выражения (3.115) приходим к заключению, что в этом (т.е. резонансном) случае должна иметь место очень резкая зависимость от X] % *2・ Грубо говоря, мы должны были бы ожидать зависимости вида

Рис. 3.10. Фазы AIV-рассеяния: сплошная кривая — результат расчета S・ фазы /WV-рассеяния на основе уравнения (3.116); 1 — экспериментальные значения 3sl ・ фазы Л/Мрассеяния

Таким образом, предполагая из физических соображений плавное поведение матрицы X-1, можно получить приближенное значение амплитуды (3.115), разлагая матрицу х~1 в ряд около некоторых равновесных значений Tj и х^- Ниже ограничимся только первым членом разложения, псюле чего интегрирование в выражении (3.115) легко выполняется. В рассматриваемой области энергий (до 400 МэВ) эта процедура приводит к погрешности, не превышающей 15 %.

Последующее решение этой задачи уже не представляет никаких затруднений. Действительно, отделяя в уравнении (3.108) угловые переменные, приходим к одномерному уравнению

(к,匕 Z) = Т；化 ％： Z) + J dq& 优,Q, Z) 7/ (q. Ar； Z),(3.116)

0

гдео

疗伙,S Z)

I/ 化 4, Z) = —r- £o J '；

2Л2(<72/(2Д)-Z) (<?2/(2д) - Z + e0)

寸 比KZ) = (1/2) JT <kl7X，lk,> Pt (x) dx; x = (kk) / (kk^ .

-1

Уравнение (3.116) для / = 0 решалось методом Бейтмана с тремя разрезами. Результирующая зависимость S-фазы от энергии показана на рис. 3.10. Точки соответствуют экспериментальной фазе 3S】в /иААрассеянии.

Как видно из р”с.3.10, уравнение (3.108) качественно ,,ухватывает,/ динамику движения рассмотренной шести кварковой системы.

Лекция четвертая

СМЕЖНЫЕ ПРОБЛЕМЫ*

Уравнения Фаддеева и гейзенберговский ферромагнетик

Рассмотрим, как возникают уравнения Фаддеева в описании гейзенберговского ферромагнетика, следуя в основном работе [69]. С этой целью введем гейзенберговский гамильтониан Н^, описывающий взаимодействие соседних спинов (будем считать, что имеем дело со спином S = 1/2)

в изотропной кубической решетке размерностью d (d = 1,2, 3): 1

= — — J S S S； S； +△，)>().(4.1)

/ △

Здесь S/ — операто спина в 7 -м узле; сумма по 7 означает сумму по всем узлам решетки, а сумма по А включает ближайших соседей данного спина, расположенного в / -м узле. (Символ S/ + д употребляется для обозначения оператора спина частицы,расположенной в одном из узлов ближайших к / -му и определяемых вектором А.)

Состояние с одним перевернутым спином будем называть одномагнон- ным состоянием. Если Л/ — число спинов, то оператор

〃 =——Л/ + 2 sM(4.2)

2/'

определяет число магнонов в данном состоянии и является хорошим квантовым числом. В основном состоянии 10>, по определению, л = 0. Для получения уравнений Фаддеева потребуются матричные элементы гамильтониана Hs в подпространстве трехмагнонных (л = 3) состояний. Для S = =1/2 такими состояниями будут состояния вида

I ГПь nth, Шз > = Sm—m2 sm3IO〉,если гл】W 电 W m3 W гл】；|(43)

I пи,他，g〉三 0, если m, = m« (/ W 攵)，一

где л?/ — вектор, определяющий положение / -го магнона.

Ограничения на значения проекций спинов в определении трехмагнон- ного состояния (4.3) неудобны для практических вычислений, поэтому воспользуемся расширенным пространством состояний I m n m2, m3〉， обладающих следующими свойствами:

〈mi mj m3 丨 т% гл% т，з〉=夕(2)6呻】т% 6 т^ т^ В т^ т、；(4.4)

—2 I mi 他 m3 Mm】т2 mз 丨=1,(4.5)

6 гтц , т? т3

где 2 означает суммирование по всем перестановкам 1, 2, 3. Такое рас- Р (“

ширение пространства не влияет на динамические свойства рассматриваемой спиновой системы, поскольку матричные элементы гамильтониана Hs по состояниям (4.4), (4.5) обращаются в нуль при т； =伙(/ 工 外• Действительно, учитывая коммутационные соотношения для спиновых операторов, находим

斤S । m】ГП2 ГП3 ) = J (1 — 5mi m2 —Bmi m3 — § m2 m3 +26mlm2 6m2 m3)x

x [3d I m^ ITIj ГП3 ) — S (6mi，m2 + A+ 5mi，m]+A + 6m2，m2 + A)x

x 1mlm2 m3〉x 1mlm2 m3〉1£2 △1£2 △2P(P/)2P(P/)(1 - bmp】+ А, Ер?-(1 - bmp】+ А, Ер?-

x 1mlm2 m3〉

x 1mlm2 m3〉

1£

2 △

1£

2 △

2

P(P/)

2

P(P/)

(1 - bmp】+ А, Ер?-

(1 - bmp】+ А, Ер?-

(4.6)(4.6)-bmp】+ A, т°з)I №1 + A，m"2,呻3〉].

(4.6)

(4.6)

Из выражения (4.6) следует равенство нулю матричных элементов гамильтониана Hs по функциям, принадлежащим расширению.

Введем фурье-образ трехмагнонного состояния:

lktk2k3 > = 2 exp [i S kn п^,] I mx n^ m3 >,(4.7)

Л/3/2 mi тзтзл

где k； — импульс z-го магнона. Совокупность импульсов трехмагнонного состояния к], к2, к3 будем для удобства обозначать к. Состояния I к> образуют полный набор ортонормированных состояний в подпространстве трехмагнонных состояний, т.е.

〈klk'〉= 2 Bl%]-k'J 6(кр2 - к%) Ь(крз-к%);(4.8)

Р(Р/)

2I к】 к? кз〉〈 к】к2kз I = 1.(4.9) 6 kiк2к3

Используя соотношения (4.4) — (4.9), для матричного элемента гамильтониана % получаем выражение

〈kl〃s I к'〉= ——2 exp [i 2 к'〃 m'〃 - i 2 к〃 f] x

/V’ m, m'лл

x〈 гл】m2 mз 丨 〃s I m'lm'zm、〉=

d

= 2 [3J — J(coski〃 + cosk2n +cosk3〃)]〈klk'〉+

л = 1

4J3 d

+ ——5 (P - P3 22 5 (kr； -k；) x

N订=1 " = i 丿 /

/ К %\1-j

хcosр初(cos cosgn) - G eDn№n，P'in、 +

+ 5 (Р-РЭ S S g ⑴(k) f ⑴(k‘).(4.10)

л = 1 / =1 n "

В формулах (4.10) использованы следующие обозначения:

1

Р = Iq + к? + кз，К/ = к/ + к%, р； = - (ку - kQ ,

/ W/Wk; %/, к = 1,2,3;(4.11)

е Рт К т，Р】п)= 3 — cos {Рп ~ К\п) -г 2 cos^~~—^ cos %〃； (4.12)

"“他‘ =",• 3 [2ss *£•"-8s%-H;(4.13)

106

Л2) (кЭ

4J

N2

3

2

/ =

I [2sin (戶〃 -K'jn) - sin £•〃 ];

(4.14)

Л3) (к)

12J

N2

3

2

/ =

[1 - cos (Pn-K\n)]; 1

(4.15)

д「(к)

3

=2

/ =1

cos

（户〃 -K〃）；

(4..16)

д『）（к）

3

=S / =1

sin

(户〃 -К ini ;

(4.17)

9?)(к)

=1.

(4.18)

Индекс / означает номер магнона, а л — номер координатной оси; с = =1 r . . ,t d*

Гамильтониан (4.10) формально можно представить в виде

з

Hs = Hq +2 匕 + V ⑶(4.19)

/ =1•

Слагаемые в (4.19) имеют следующий смысл. Гамильтониан Но описывает свободное движение трех магнонов с импульсами к； и энергиями 号：

Ej = J £(1 — cos kin).(4.20)

Л = 1

Второй член ответствен за парные взаимодействия магнонов (магнон с номером / — спектатор). Наконец, последний член в (4.19) соответствует трехчастичному взаимодействию магнонов. Заметим, что как парное, так и трехчастичное взаимодействия имеют сепарабельный вид. Это свойство потенциалов взаимодействия, как всегда, приводит к возможности уменьшить размерность уравнений Фаддеева.

Имея трехмагнонный гамильтониан в форме (4.19), приступим к получению уравнений Фаддеева для Т-матрицы. Следуя второй лекции, запишем трехм аг ионное уравнение Л иппмана—Швингера для оператора перехода Т:

44

7(F) = 2 % + 2 Vi Go (F) T(E},(4.21)

j = 1j = 1

где Go (£) = (E — HQ}~1 ,ь V4 — трехмагнонное взаимодействие. Опре - делим фаддеевские компоненты Г-матрицы

丁U)= V,- + 匕 GoT, /• = 1, 2, 3;(4.22)

Г(4)= v4 + V4GqT,厂=& 厂⑺，(4.23)

откуда непосредственно получаем систему уравнений Фаддеева для этих компонент

W)= Г/ + Tj Go (7⑺ +7•伍)+ 厂(4)), 1,2,3 = /,/, k; (4.24)

7(4)=厂4 + 厂4G。 (7(i)+ 丁")+7•⑶)；(4.25)

Г-матрицы Г/ удовлетворяют уравнениям Липпмана—Швингера:

Т, =Vj + Vj G0Tj, / = 14.(4.26)

Ясно, что сепарабельный вид ^потенциалов0 V, позволяет найти решения уравнений (4.26) в аналитическом виде. Получим сначала решения для парных, т.е. двухмагнонных Г-матриц 7} (/ = 1, 2, 3). Введем полную систему ортонормированных трехчастичных состояний ! РКуру > :

〈РК/ Р/ I Р，К，р/〉= 5(Р- Р，)6 (К； - К；) [5 (р7- р7)+ 5 (Р/ + Р'/ I]]?)

—2 IРК/ р/〉〈 РК； ру I = 1(4.28)

2 РК/Р/

и будем решать уравнения (4.26) для парной Г-матрицы в базисе (4.27), (4.28)・ Учитывая сепарабельный характер выражения (4.106), немедленно получаем

2d

<РК/Р/ I7；- 1к-> =3(Р-Р'),三[А/ (р/)吻(К/,кХ).(429)

Вектор Л ； имеет следующие компоненты:

力(pj = (cosрг lt 1,. . ., cosplt/, 1),(4.30)

а функции ф, являются решением соответствующей системы алгебраических уравнений; они могут быть представлены в форме [70]

2d

吻=2 Aim(K,E) vm (K,k‘)，/• = 1,…2d.(4.31)

m = 1

Аналогично, используя сепарабельный характер трехчастичного потенциала (4.106), для матричных элементов оператора 乙 получаем

(kl^lk*) = 5 (P-F) 2 д/ (k) 77 (心曰，(4.32)

/ =1

где, как обычно, 3d-мерный вектор д (к) состоит из формфакторов сепарабельного потенциала 乙，т.е.

g =(gP),gF),g$3)д^.д^.д^).(4.33)

а функции г；, удовлетворяющие системе линейных уравнений, представ- 108

ляются в виде

(4.34)(4.34)3d

(4.34)

(4.34)

Ti = 2 〜•(Р,曰力(心，/ -23d.

Подставляя выражения Г-матриц Т； из (4.29) и (4.32) в уравнения Фад* деева (4.24), (4.25) для фаддеевских компонент Т^^, получаем представление

<РК/ р/ 丨丁⑺ Ik，〉<РК/ р/ 丨丁⑺ Ik，〉2d

<РК/ р/ 丨丁⑺ Ik，〉

<РК/ р/ 丨丁⑺ Ik，〉

三1 力 q(М %(К/,Р,к',目，/• = 1,2,3, (4.35)

где функции 屮§ удовлетворяют системе одномерных интегральных уравнений

% (К, Р, К 曰=屮^ (К, k‘，Е} + 2 f dK" Rqq，x

E4(2TT)d

X (K", K,P,曰％，(K",P,k',£j, g=1 ...2d,(4.36)

яdя

где j dK s П j dKn.

-"л=1 ' я

Выражения для ядра и неоднородного члена могут быть представлены в форме с3d

吟(Кк「® = Wq (К,к，,£) + 2 rQr (К, Р, Е) тг (кЗ.(А)

Г = 1

Здесь Wq определяется выражением (4.31), где 4J 31

и л(К. к') = —— . 2 j Ьк). к(8s — Kg 一 cos Р^п)(Б)

и

1W“(K,k, Е}дг (к)

(К,р,£) =— ЕВрр，力;(В)

6кЕ- Е(к)

“(к”,к,р,曰“(к”,к,р,曰川2 吟D(K, К") hq，(p)p £-£(P, K,p)

“(к”,к,р,曰

“(к”,к,р,曰

+ — 2(K",P,£) ag RE) /〃〃，(K",P,E).(Г)

2 г л

Функция W” также может быть определена соотношением (4.31) с заменой V п⑴,где “ 1)— первое слагаемое в правой части (Б).

Аналогично

〈klT(4)|k'〉= 5(Р-Р3 2 дт (к)嶋(к',Е).(4.37)

m = 1

Функции 守皿(к‘, Е) выражаются через решения уравнений (4.36):

阮„ (к，, Р,曰=тт (к) +

3 7rdК 3d 2d

+ I 7 22 атп(Р，曰 Inq х

2-7Г(27Г)" л = 1 Q = 1

(4.38)(4.38)X (K,P,E)3q(K,P,k，,£j.

(4.38)

(4.38)

Выражение для /〃, имеет вид

/〃,(К",Р,Е)/〃,(К",Р,Е)2 f〃(K, р) л q' (р) р £ — £ (Р, К, р)

/〃,(К",Р,Е)

/〃,(К",Р,Е)

Таким образом, четвертая фаддеевская компонента Г-матрицы 厂⑷ фактически вь!ражается в виде квадратур через решения, порождаемые парным взаимодействием магнонов.

Уравнения (4.36) могут быть решены только численным интегрированием, поэтому ниже рассмотрим случай одномерного ферромагнетика, для которого трехмагнонная Г-матрица будет найдена в явном виде. Для простоты найдем Г-матрицу вблизи полюса по энергии, соответствующего связанному состоянию трех магнонов, т.е. при Е, равном значению, полученному Бете [71]:

Е = ЕБ = (1/3) (1 - cos Р).(4.39)

Итак, вблизи полюса, очевидно, представление для Г-матрицы имеет вид

V网〉〈w611/

丁 (日 *°——-——，(4.40)

£- £в

где I Wb〉亠 волновая функция связанного состояния, откуда с точностью до нормировочного фактора Г-матрица имеет вид

{к\Т(Е) Ш =〈内 ⑺屮口〉.(4.41)

Волновую функцию связанного состояния IWb〉предствим в виде, найденном Бете:

丨屮5〉=2 a mg тз'т^тз〉,(4.42)

Л?1Л?2Л?з

где в пределе больших N коэффициенты атутгтз имеют вид

amlm2m3 = exp (iW) exp [i (Р - 2и} ”2 + 2(团1 +g) - И (т3 -тх)],

(4.43)

a k'l =u+iu; к； =戶一2u; k'3 = u — i и , причем параметры ими определяются полным импульсом Р:

2Z1 + z2Q

“ =arctg — ; exp (— 2u ) =—; z = 3 ctg ——.(4.44)

z' + 39 + z^2

Используя (4.43), в пределе N f 8 для Г-матрицы (4.41) получаем

〈kl丁Ik'〉= 5 (P -P^ x

3 Гx 2 cos Pj <7=13 Гx 2 cos Pj <7=12exp (— к ) [exp (— к ) cos (“ + K//2) —-cos(P — (3/2)勺)]] ch у — cos (и — P + K/)J

3 Г

x 2 cos Pj <7=1

3 Г

x 2 cos Pj <7=1

'exp(— к) [cos(P —勺)+ cos 俨一2Kj) — exp (— к) cos и — exp (— к) cos (u — “)]ch u — cos (u — P + 勺)

(4.45)

Выражение (4.45), как и следовало ожидать, имеет только один полюс при энергии Е = ЕБ. Заметим, что оно имеет структуру, аналогичную решениям одномерных уравнений Фаддеева для частиц, взаимодействующих через 5-образный потенциал [72].

4.2. Правила сумм и вириальные коэффициенты

Займемся теперь правилами сумм или формулами следов, как их называют математики. В ядерной физике довольно давно уже известны правила сумм в теории фотоядерных реакций. Они связыают различные моменты полного сечения поглощения фотона с другими наблюдаемыми. Например, в работе [73] на основе определенных аналитических свойств амплитуды процесса было получено следующее правило сумм:

где 0y — полное сечение поглощения фотонов всех мульти польностей яд ром, содержащим А нуклонов, Z протонов и /V нейтронов; д — порог фоторождения тт-мезонов.

Рассмотрим правила сумм, которые связывают собственные значения, интегралы от амплитуд или фаз рассеяния и потенциалов взаимодействия. Практически все результаты в этой области были получены еще в работах [74 — 78], которым и будем следовать ниже.

Начнем с простейшего случая — одномерной задачи двух тел на полуоси О & х <8. Рассмотрим уравнение Шредингера для этой системы:

〃W = Еф,(4.47)

где Н = — d2 /dx2 + V (х); W (0) = 0.

Введем функции непрерывного спектра, удовлетворяющие (4.47) и асимптотическому условию:

(4.48)(4.48)А (%)「

(4.48)

(4.48)

W (х, к) = sin [кх + 5 (幻],к =

х f 8 к

а также условию 屮'(0, к) = 1.

Далее потребуется функция, которую можно назвать S-матрицей для рассматриваемого движения, поскольку величина 丨 S — 112 определяет вероятность процесса:

S (幻=1 + / exp (i кх) V (х)屮(х, к、dx = А (к) exp [i 6 (k) ]. (4.49) о

При к ->°° для функции S (к) имеет место оценка

100卜(0)1/8\ 2

S (%) = 1- J" V (X) dx + ——-IJ V(X)办) +

2\ко4—8户 \o/

+ 0^ •(4.50)

f V (X)以+0 оf V (X)以+0 о(Ее можно получить, например, итерируя соответствующее (4.47), (4.48) интегральное уравнение для функции ф (х, к) при к—8.) Отсюда получае iyi оценки для фазы 5 (к) и амплитуды А (к):

f V (X)以+0 о

f V (X)以+0 о

(4.51)(4.51)5 (к)= 2к

(4.51)

(4.51)

Для получения формул следов потребуется представление

(4.52)(4.52)n а2 + 冶

(4.52)

(4.52)

П In —-— , lmk>0, =1 к2

где эе； — собственное значение гамильтониана (4.47). Это представление можно получить, используя аналитические свойства S (к) в комплексной плоскости энергии.

Определим след оператора Н как

SpН = f (х\Н\х) dx.(4.53)

Используя спектральное разложение гамильтониана Н

Я = - S 吊 1/〉〈/丨 +，Е\фЕ){фЕ\д^,(4.54)

/ = 1о

где <xl/> — собственная функция дискретного спектра, а〈川屮£〉三 112

=W (x, к) — функция непрерывного спектра, прямым вычислением можно получить выражение

勺"222 8

Sp (Н1—〃2)=— £ эс5 ' + S 龍,()+ — J к х /=1/=17Г о

х [51 (幻-52 (к) ] dk(4.55)

при условии, что J М (х)—匕(х) ] dx = 0. Учитывая это условие и оце- о

нку для фазы (4.51), получаем

8с 8 S ® (S) - В (S)]

I S Bi (S) -52 (S)] dS =- lim к2P J ——^―-——~~-dS.

0…8° s -*(4.56)

Логарифмируя выражение (4.52) из (4.56), получаем

Л12 С?2200

一,2产尸)+ 2 吃(2)+-/S® (S) -60]dS =

/ =1 '/ =1' я 0

к fgк fgInInА2伏）'А2伏）'A1伍）A1伍）(4.57)(4.57)

к fg

к fg

In

In

А2伏）'

А2伏）'

A1伍）

A1伍）

(4.57)

(4.57)

Наконец, используя в правой части (4.57) оценку (4.51) для амплитуды А, получаем искомое правило сумм:

л 12 а 22

-2 心 1)+ 2 ас/) + — j к [5j 依)_§2 (幻]dk = / = 1/ = 17Г 0

=—[丿2 (0)—丿1 (0)]. (4.58) 4

Перейдем теперь к получению правил сумм в трехмерном случае задачи двух тел. Введем гамильтониан системы Н = Но + V. Пусть в потенциале V имеется п уровней Е卜 Определим функцию спектрального сдвига

(4.59)(4.59)Г (F)三 Sp [G (曰- Go (£)],

(4.59)

(4.59)

где G(£) = (H-Е)'1; G。(曰=(H0-E)~l.

Используя спектральные разложения для функций Грина G (目 и Go (目 и асимптотическое поведение функций непрерывного спектра W (г, Е) при г —8 для функции спектрального сдвига при Im Е^ 0, можно получить соотношения

о 11

Sp [G(E) - Go (F) ] = f d 工 mt + x

—oo E・ 一 E /27Ti

E> E]

8d£'d

X fSp In S (ЕЭ ;(4.60)

0 £'-£ d£‘

1 d

Ит Im Sp [G (£ + ie ) - Go (£ + ie)] = 一 Sp InS (曰 £>0

No2i d£ °'‘倦1)

где m I — нормировочные константы волновых функций дискретного спектра. Учитывая интегральное уравнение для двухчастичной функции Грина, функцию спектрального сдвига можно представить в виде

Sp [G(£) - Go (曰]=7= [，dy V (у) - f dy dz exp (i-^ly- zl )x

8?ri V£

(4.62)(4.62)X V(y) V (z) G(yrz,E)],

(4.62)

(4.62)

откуда уже непосредственно получаем высокоэнергетическое (I fl -* °°) поведение функции спектрального сдвига:

Sp [G(£) -Go(£)] ^/ dyV(y)— x

87Tiyf2if3/2

(4.63)(4.63)8(2/ + 1) Q/

(4.63)

(4.63)

x 2:,

/=0E'

где коэффициенты разложения Q/ определяются через потенциал V (г) следующими рекуррентными формулами:

I厶唱么（х,х）;I厶唱么（х,х）;

I厶唱么（х,х）;

I厶唱么（х,х）;

С」т + 1)(х,х9 =2(m+1) С? + 2)伉 W)+ } }勿(1^2)x

(y*)j ；(4.64 卜(y*)j ；(4.64 卜x I △уСГ)(у,х') — 丿(у) С/小(у.х*) -т (т+ 1} П^ + 2) п = 0, 1,. ..; т= 0,1, ...»л,

(y*)j ；

(4.64 卜

(y*)j ；

(4.64 卜

где у =^1 х + 亨 м； aS。)= 1;现？产 а挣 + "

=旧沔 i = 0; s = 1,2,...; t = 0,1,....

Из выражений (4.60), (4.61) и асимптотической (при I Е\ ->8)оценки функции спектрального сдвига (4.63) следует, что для функции f (曰

/ (£) = Sp [G (曰-Go (曰]I dx V (x)(4.65)

8?ri V£

имеет место соотношение

л

J E‘f 旧 dE = — Z m/弓，(4.66)

?ri Cr/ = 1

Устремляя Я к бесконечности и стягивая часть контура, охватывающе го разрез к полуоси [0,8)из (4.66) f получаем тождество

ехр (i7T$) COS 7Г$8,

J dEEs Imf (E+iO) 一

需0

exp(i7Ts) sin亠о 仆

у dE^ Re f(£)= _ 2 m/E；.

я0/ = 1

При s = 0 получаем с учетом (4.61) к (4.65) правила сумм вида

л1 001

£ Ш/ — — — J dE Iгп f (E + iO) = — Sp In S (0)=

/ =1и о2wi

=—In det S (0).(4.68)

2ffi

Выражение (4.67) допускает аналитическое продолжение в область s > > 1/2. В результате, используя снова (4.65) и (4.61) для целых s, получаем набор правил сумм

ли 00

SpInS (£j +SpInS (£j +2 т,Е^ =——J dEE" 一 1

SpInS (£j +

SpInS (£j +

2i V? + 47r2i V? + 47r/ = 12TTi о

2i V? + 47r

2i V? + 47r

2i Д - 1 Q/、

J dr V (r ) + —=-2—■：— , 〃 = 1,2,... . (4.69)

\JE /=0

(Частные случаи правил сумм (4.69) рассмотрены в [80].)

Например, при д = 1 (4.69) принимает вид

л18「2i \/Г

2 т/ Et =——У dE Sp In S (£) + /dr I/ (г) +

/ =127Ti 0 L47Г

(4.70)(4.70)J dr V2 (r ) 87Ti \/Z

(4.70)

(4.70)

Соотношения (4.69) будем называть обобщенными теоремами Левинсона [79].

Оказалось, что свойства функции спектрального сдвига могут быть использованы при нахождении вириальных коэффициентов газа частиц, взаимодействующих посредством парного потенциала V (г). Напомним, что вириальные коэффициенты определяют разложение термодинамического потенциала С или давления Р по степеням плотности. Например, для давления вириальное разложение имеет вид [81]

(4.71)(4.71)RT / ва2 (Т) Я2а 3 (Г) p = ( 1 + +；——+ ...

(4.71)

(4.71)

V \ ИV2

где а2 и аз ~ второй и третий вириальные коэффициенты соответственно. Используя технику правил сумм, покажем, что второй вириальный коэффициент а2 выражается через двухчастичные фазы рассеяния на потенциале V (г ) [82, 83]. Эти результаты обобщены для третьего вириального коэффициента в [78, 84].

Итак, для второго вириального коэффициента имеем

а2 ⑺ =—々X Sp [еХр(-<ЗЛ) - ехр (-<ЗЛ0)1,(4.72)

где Т — температура;入=[2л•方"(цкТ)]】/2；力 =Л 0 + V — двухчастичный гамильтониан (к — постоянная Больцмана). (Выражение (4.72) можно получить, используя определение [81] термодинамического потенциала П и вириальное разложение для него.)

Для нахождения правой части выражения (4.72) воспользуемся представлением

1 ехр(-0〃)=J exp(-0Z) G (N) dZ.(4.73)

2ТП C

Здесь G (Z) — двухчастичная функция Грина, а контур С имеет вид, изображенный на рис. 4.2.

Используя выражения (4.61), (4.72) и (4.73), для второго вириального коэффициента получаем

^ь

а? = — \/2 入，2 ехр (0э｛； ) + —— J dE ехр(—0目 sp g (£j » .

/ = 127roJ (4.74)

d

В формуле (4.74) введены обозначения q (Е) = — is+ (Е) —$ (Е), а оператор s (р) выражается через S-матрицу:dE

,,6 (Е‘一 £),

〈pl SI р'〉=〈 pl s (Е) I р'〉.(4.75)

Далее, для spg (Е) имеем db, (Е) sp<7 (Е) =22 (2/+ 1) ,(4.76)

/dE

Рис. 4.2. Контур интегрирования в правой части выражения (4.73)

где 5/ — фаза рассеяния. Из (4.76) следует, что след sp берется по углам в отличие от следа Sp, который берется по всему объему.

Оператор q (£) называют оператором временной задержки. Действительно, если составить разность At/ между временем пролета частицы с моментом / в области потенциала короткодействующего взаимодействия и временем пролета в той же области в отсутствие потенциала:

Я Г2

△f/△f/(4.77)(4.77)(4.78)(4.78)=lim j 力* (「｝ W/ (г) dr,

△f/

△f/

(4.77)

(4.77)

(4.78)

(4.78)

斤 f 8 L47ГУ г 1

то окажется, что [85]

△ Г/ = - s；dS[ldE = gz (Е),

т.е. парциальная гармоника оператора q (F) совпадает со временем, которое можно назвать временем задержки или временем столкновения. Комбинация выражений (4.74) и (4.76) приводит к выражению второго вириального коэффициента через характеристики двухчастичной задачи ЭС/ и 5 (F) [83] высших парциальных волн.

Системы с переменным числом частиц

До сих пор мы имели дело с системами, в которых число частиц в процессе рассеяния не менялось. Ясно, что такое описание рассеяния приближенное. Например, в случае упругого рассеяния 7Г-мезонов на ядре возможны промежуточные безмезон- ные состояния или ссютояния с двумя мезонами и т.д. Чтобы учесть возможность такого рода переходов, необходимо перейти к теоретико-полевому описанию процесса рассеяния. (Детально проблемы 7Г-ядерного взаимодействия обсуждаются в [86, 87].) Такой подход, кроме того, позволяет, по крайней мере в принципе^ избавиться от так называемых эффектов двойного учета в потенциальном описании пион-ядер- ного взэимодействия. Что это зэ эффекты? Рассмотрим, например, 7П^-рассеяниег ко。 торое будем описывать в рамках уравнений Фаддеева, задавая феноменологические и NN- потенциалы. Тогда ясно, что диаграмма вида рис. 4.3, дающая вклад в 7T/V- рассеяние, будучи проитерированной, дает вклад и в Л07*взаимодействие (рис. 4.4). А поскольку феноменологические ЛЛЛ и NN- потенциалы выбираются независимо, то и возникает двойной учет одной и той же диаграммы.

Попытки приближенного теоретико-полевого описания взаимодействия Я-мезо- нов с ядерными системами предпринимались по двум направлениям. В цикле работ [88] в явном виде рассматривали систему двух уравнений для чисто нуклонной и нуклонюдномезонной компонент волновой функции для системы 7T2/V. Авторы находили действительную и мнимую части длин 血-рассеяния. Распространить эту фор-

Рис. 4.3. Диаграмма ЯЛАвзаимодействия Рис. 4.4. Одномезонная диаграмма /V/V-взаи- модействия

мулировку на более сложные системы до сих пор не удалось по двум причинам. Первая обусловлена сложнсютью нахождения "потенциальной" части амплитуды рассеяния. В случае системы 7ГЗЛ^ например, эта часть амплитуды удовлетворяет системе уравнений Якубовского. Вторая причина связана с отсутствием в этом подходе ясного понимания того, как производить перенормировку нуклонных масс с ростом числа нуклонов.

Другая теоретико-полевая формулировка взаимодействия пионов с ядрами основана на представлении Лоу для амплитуды рассеяния. Как и в случае 7ГЛ/<истемы( это представление приводит к уравнениям типа Чу—Лоу для амплитуд 7Г-я дерн ого рассеяния, если ограничиться условиями, аналогичными двухчастичной унитарности для ттААсистемы. Наиболее четко этот подход сформулирован в работе [89), которой мы и будем с годовать ниже.

Итак, пусть гамильтониан Я описывает бозонное поле и мишень. Будем предполагать, что невзаимодействующие бозонное поле и мишень описываются векторами состояний, являющимися собственными состояниями гамильтониана &:

〃丨 k> =6J|c 1к>;(4.79)

分I%〉=%1%*(4.80)

где 鼻一энергия бозоне, а £а и |病—энергия и собственный вектор мишени, находящейся в состоянии а. Рассмотрим собственный вектор 1%，@* описывающий бозон, взаимодействующий с мишенью, причем бозон налетает с импульсом к на мишень, находящуюся в состоянии а Этот собственный вектор удовлетворяет урав* нению Шредингера

(£q + 3卜—〃)1 屮卜 а> 士 = °・(4.81)

Значок 士 соответствует расходящимся и сходящимся волнам. Полная энергия системы £ равна £ = £@ + 31c. Определим операторы рождения и поглощения бозЬнов

『Ос) 1о> 三 Ik*(4.82)

т.е. оператор 『 (к), действуя на вакуум, рождает бозон в состоянии Ik). Учитывея граничное условие на — °°, вектор I %, 0〉представим в форме

l^ka>± =『(к)1%》+ 1х产•(4.83)

Очевидно, 1х〉± соответствует рассеянной волне. Подставляя выражение (4.83) в уравнение (4.81) для IX)/ получаем

lx〉± = G(% + Зк 士 ir?)丿(к) I%*(4.84)

где

G(Z) W (Z-H)T(4.85)

—функция Грина системы, а

J (к)三[儿『(к)] — 31cb. (к).(4,86)

118

Таким образом, выражение для собственного вектора гамильтониана Н, описывающего рассеяние бозона, который налетает на мишень с импульсом к, имеет вид

I Wk, а> ± =『(к) 2а> + G(% + Зк 士 i 9)J (к) I%〉.(4.87)

Зная векторы состояний I 屮卜,Q> 士, найдем S-матрицу процесса исходя из определения

〈K0lska> h〈Wk,0lWk「a〉：(488)

Для этого воспользуемся следующим соотношением между функциями Грина, справедливость которого легко проверяется:

G (* + i ") = G (* - i") - 27Ti6 (х-Н).(4.89)

Отсюда получаем связь между векторами состояний | S и | 屮〉~：

1^к,д>+ = 1%, q广-27Ti 5 & +3女 一〃)J (k) l%〉・(4.90)

Подставляя (4.90) в определение (4.88) дпя S-матрицьь получаем

《k，,0lslk,0> =-〈收「0 lWk,a>- -2?ri -〈Wk，,0 15(£а+з% - “)x

X J (k) l(pa) = 5侬b (k* - k) —2m 5 (£a +3|c-£0-3k，)X

x <k',plr(Ep + 3k"lk,a〉.(4.91)

Соотношение (4.91) можно рассматривать как определение Т-матрицы для систем с переменным числом частиц, т.е.

〈К0|Т (£0 + Зу) ka> 三-《宓<0 IJ (k) I%〉.(4.92)

Заметим, что выражение (4.92) определяет полумассовую Т-матрицу. Подстановка вектора 1^>" в (4.88) приводит ко второй полумассовой Т-матрице:

《К0|т(8 + 3k)lk,a〉三《30|j+ g IWk,a〉+・(4.93)

Очевидно, что оба определения (4.92) и (4.93) совпадают на массовой поверхности, т.е. когда Eq + 例=£0 + J'・

Для получения представления Лоу для Т-матрицы подставим в выражение (4.93)

собственный вектор l^k, Q〉 из (4.87):

<k*,|3lT(£a+Wk) lk,a> =《90 Ь+(кЭ『(к) 19a广

+〈屮0 I'*(k‘)G(£q+ Зк + i") J (к) 1屮@〉・(4.94)

Используя тождество

J*Oc')『(к)=『(к) J.(k') + [J* (к'),『(к)]..(4.95)

соотношение (4.94) перепишем в виде

〈匕0|丁(％ + Зк)ка> =〈屮0 I/ (к) j+(Y) 3〉+

+〈屮0丨[J* (к，),『(к)]_ I%〉+

+ “0 lj* (к，)G(/+ Зк + i") J 依)l%>.(4.96)

Преобразуем первый член в правой части (4.96) с помощью соотношения

(к) 1屮0〉={g0 — Зк — #}。(к) 1屮0〉(4.97)

или

b (к) 1屮0〉= [£0 — Зк — W — i 17I 1 J* (к) 1屮0〉•(4.98)

119

(Прямым вычислением можно убедиться, что переход от (4.97) к (4.98) возможен только для теорий, в которых отсутствуют состояния с отрицательной энергией ме・ зонов.) Таким образом, первый член в (4.96) принимает вид

〈30 lb* (k) j+ (к，)I%〉=〈90 Ь (к) G (£0 - Зк - ir?)J* (к，)1%〉・ (4.99)

В теории 7ТЛ/-рассеяния такие члены обычно называют кроссинг-членами. Используя (4.99), получаем искомое представление Лоу для полумассовой Т*матрицы:

〈к，, 01 7(% + Зк)ка〉=〈呼 lj (k)G (Е0 - 3k - i ")尸(к，)I%〉+

+〈帘 lj* (к') G{Ea + Зк + il?) J (к) I%〉+

+〈帘 I [J* (к，)，b* (k)]_ 19a )•(4.100)

Ясно, что если в правой части соотношения (4.100) использовать соотношение полноты в виде

1 = 2 1屮7〉〈屮7 I + 2, Jdq 丨 Wq, 7〉〈Wq，7〉，(4.101)

т.е. с учетом только двухчастичной унитарности, то получим нелинейные уравнения для амплитуд перехода Г.

После простых преобразований, учитывающих только коммутационные свойства операторов в b (к) и J (к'), можно прийти к представлению Лоу для полностью вне- массовой Лматрицы:

<к-,<3 Ir (£) lk,a) =〈90|j+(k') G(E + ir?)J (к) I За〉+

+〈90 IJ (к) G (区+ Е0 — Е-i 力 J* (к”％〉+

+〈30l[b(k，)，J (к) ]_ \^)а).(4.102)

Посмотрим теперь, какой вид принимает представление Лоу (4.102) для Т-матри- цы, если детализировать полный гамильтониан для различных моделей тгЛЛвззимо- действия.

Итак, пусть пион-ядерный гамильтониан имеет вид

Н = Н1r + Нn +А ял/,(4.103)

где

Нр =工 Зк ь+ (k) b (к)(4.104)

к

—свободный пионный гамильтониан (сЦ^ =\/к +牙笈)；〃д/— нуклонный гамильтониан, включающий все взаимодействия нуклонов, за исключением взаимодействия с пионами. Используя это свойство гамильтониана 〃必 получаем

{HN，b (k)]_ = lHN,b^ (k)]_ = 0,(4.105)

что немедленно приводит к следующему виду J (к):

J (к) = [Н,『(к) ]_ 一 Зк 6* (к) = [Л м，6+ (к) ]_.(4.106)

Выберем в качестве 方行川 простой гамильтониан, линейный по мезонному полю: h^N =工【》依)b(k) + 丿(к) / (к)],(4.107)

к

где оператор V зависит только от нуклонных операторов, (「амильтонизн (4.107) может быть просто сведен к гамильтониану Чу—Лоу введением изотопического ин* декса у пионных операторов b (к) и соответствующим выбором операторов V (к).) 120

Гамильтониан (4.107) приводит к соотношению

J (к) = [Л*,/ (к)]_ = V (к),(4.108)

откуда следует, что последний член в представлении Лоу (4.102) исчезает и оно при* ниамет вид

〈к，,0 I WE) lk,a〉=〈901丿(丫)G(E + i т?) i/(k) I%〉+

+〈90 I V (к) G(Ea + Е0 - Е - i〃)丿(к，)丨生〉.(4.109)

Легко проверить, что условие кроссинг-симметрии, которое в нерелятивистском рассмотрении имеет вид

〈K0I 丁(Е) lk,a〉=〈一k，,al 丁(％ +Е0 —Е) I -к,0〉* =

=〈-k,0l L (%+£0 - Е)।-Ка〉，(4.110)

приводит к следующему ограничению на вид операторов V (к):

V (к) =ехр «9)V+ (— к).(4.111)

Для гамильтонианов типа Чу—Лоу обычно имеет место соотношение V (к) = =1/+ (一幻•

Рассмотрим теперь "квадратичный" по пионному полю лМгамильтониан **потен- циального,г типа:

h^N = 2 W (q, q') / (q) 6 (q') •(4.112)

qq'

С гамильтонианом (4.112) для функции J (k) получаем

J (k) = 2 W (q, k)『(q).(4.113)

q

Используя выражение (4.113), для коммутатора в третьем члене представления Лоу (4.102) получеем

仿(k，)，J (k)]_ = W(K к),(4.114)

а само представление принимает вид

(к；<3 \т (£) 1к,а> =〈90 lw(k，,k) I%〉+

+ S “0 lb В) W(q，, к，)G (Е+ i") W(q, к)『(q) Wa〉+

+ 2〈呼丨『(q) W(q,k) G (Еа + Е0 -Е-i") Mq'，k') b(q') Wa〉・ (4」15) q，q “

Два первых члена в представлении (4.115) характерны для теорий потенциального типа, например, первый член можно интерпретировать как борновский член потенциального рассеяния. Последнее, третье слагаемое в (4.115) кроссингового типа обычно отсутствует в теории потенциального взаимодействия пионов с ядрами. Совершенно ясно, что это отсутствие связано с дополнительной гипотезой об отсутствии частиц, тождественных с налетающей в составе мишени, т.е.

6 («И *〉= 0.(4.116)

Таким образом, при описании в рамках потенциальной теории взаимодействия Л-мезонов с ядрами всегда неявно присутствует гипотеза об отсутствии л-мезонов в ядре.

Здесь хотелось бы упомянуть о направлениях исследований, не отраженных в лекциях. В первую очередь — это работы по применением метода гиперсферических функций (К-гармонмк) к изучению свойств легчайших ядер. Этот метод оказался весьма эффективным для расчетов с центральными короткодействующими потенциалами, не содержащими сильного отталкивания на малых расстояниях. Более сложные потенциалы приводят к необходимости модификации метода. В псхледнее время предложено матричное обобщение этого подхода, применяемое при рассмотрении теоретико-полевых моделей.

Очень красивые результаты были получены в новой формулировке модели граничных условий в задаче трех тел. Оказалось, что для получения уравнений Фаддеева в этом случае оказывается нед<хтаточно информации, задаваемой условиями задачи Дирихле во внешней области, как ранее предполагалось, а нужно добавлять информацию о внутренней задаче Неймана.

Значительный прогресс в расчетах свойств малочастичных систем, в том числе и с чисто кулоновским взаимодействием (таких, например, как д-мезомолекулы), был достигнут в псхледнее время применением различного рода модификаций метода Монте-Карло.

Наконец, упомянем о применениях метода континуальных интегралов в теории малочастичных систем. Основная идея использования этого метода заключается в том, что при дискретизации континуального интеграла число точек, в которых вычисляются соответствующие функции, растет с ростом числа частиц (т.е. числа динамических переменных) значительно медленнее по сравнению с ростом числа точек при непсхред- ственной дискретизации исходных динамических уравнений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Фаддеев Л.Д. —Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1963, т. 1, с. 69<— 119.

Noyes Н.Р. — Phys. Rev. Lett., 1965, vol. 15, p. 538 — 540; Kowalski O.O. — Phys. Rev. Lett.. 1965, vol. 15, p. 798 — 800.

Ахмадходжаев Бм Беляев В・5” Вжеционко Е. — Письма в ЖЭТФ, 1969, т. 9, с. 692-694.

Yamaguchi Y. — Phys. Rev., 1954, vol. 95, p. 1628 — 1634.

Беляев В.Б., Вжеционко Е・,Иргазиев Б.Ф., — Ядерная физика, 1974, т. 20, 1267 - 1272; 1976, т. 24, 1250- 1255.

Зубарев А.Л. Вариационный принцип Швингера в квантовой механике. М.: Энергоиздат, 1981. — 144 с.

7・ Ефимов В.Н. Припринт ОИЯИ 4 — 5741, Дубна, 19 71; Препринт ОИЯИ Р—2546, Дубна, 1966.

Воробьев Ю.В. Метод моментов в прикладной математике. М.: ГИФМЛ, 1958.— 132 с.

Osborn Т.А. 一 Nucl. Phys., 1973, vol. A211, p. 211 一 220.

Walecka J・D・, Foldy L.L. 一 Ann. Phys., 1969, vol. 54 (3), p； 447 一 468.

9a. Зоммерфельд А. Механика: Пер. с нем. М.: Изд-во иностр, лит., 1947. — 391.

Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. М•: Наука, 1965. — 440 с.

Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики, М.： Наука, 1967. — 523 с.

Thomas L・—Phys. Rev., 1935, vol. 47, p. 903 — 915.

. Минлос P.A- Фаддеев Л.Д. — Журн. экрперим. и теорет. физ., 1961, т. 41, 1850- 1855.

Efimov V. — Phys. Lett., 1970, vol. 3 3B, p. 563 — 564.

Кукулин B・I4・，Неудачин В.Г., Померанцев В.Н. — Ядерная физика, 1976, т. 24, 298 - 307; - J. Phys. G. Nucl. Phys., 1978, vol. 4r р. 1709- 1 23.

Меркурьев С.П. — Ядерная физика, 19 76, т. 24, с. 289 — 301.

Меркурьев С.П., Мотовилов А.К. — В кн.: Теория квантовых систем с сильным взаимодействием, Калинин: Изд-во Калининского университета, 1983, с. 95 — 103.

Фаддеев Л.Д. Лекции. Школа Московского инженерноч^изического института, М・」Изд. МИФИ, 1971, — 50 с.

Amado R«D.r Noble J.V. — Phys. Rev., 1972, vol. D5, p. 1992 — 2011.

Simonov Yu. A. e. a. — Nucl. Phys., 1980, vol. A 334, p. 82 — 98.

Merkuriev S.P. Preprint FUB/HEP2/80, Berlin (West), 1980. — Acta Phys., 1981, Austriaca, Suppl. XXIII.

Беляев B・5・, Зубарев А.Л. — ядерная физика, 1971, т. 14, с. 545 — 558.

Belyaev V.B., Wrzechionko J・,Zubarev A.L. Preptint E4 — 5763, Dubna, 1971.

Беляев В.Б. и др. — Ядерная физика, 1973, т. 18, с. 779 — 791.

Скорняков 「・В” Тер-Мартиросян К.А. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1950, т. 31, с. 775-792.

Беляев В・5“ Ефимов В.Н. — Препринт ИТФ-71-78Р, Киев, 1971.

Ziegelman Н・,Sohre G. — Phys. Lett., 1971, vol. 34 В, p. 579 — 582.

Alt E・O” Grassberger P・,Sandhas W. — Nucl. Phys., 1967, vol. B2, p. 167 — 183.

Хелашвили A.A. Препринт ОИЯИ, Р2-3371, Дубна, 1967.

Karlsson D.R., Zeiger E.M. — Phys. Rev. D, 1974, vol. 9, p. 1761 — 1772; D, 1974, vol. 10, p. 1291 — 1311.

Weinberg S. - Phys. Rev., 1963, voL 131, p. 440 - 462.

Jost R., Pais A. — Phys. Rev., 1951, vol. 82, p. 840 — 855.

2 7a. Harms E. — Phys. Rev. C, 1970, vol. 1# p. 1667 — 1681.

Харченко В.Ф. Дисс. на соиск, ученой степ, д-ра физ. - мат. наук, 1971, Киев, ИТФ.

Harms Е. — Phys, Lett., 1972, vol. 41 В, р. 26 — 28.

Osborn Т・А・，Eyre D. Preprint Cyclotron Lab.r Dep., of Phys. Univ, of Manitoba, Canada, 1978.

Schultz M.H* Spline Analysis, Prentice-Hall, 1973.

2. Stoan I.H.- Phys. Rev., 1968, vol. 165, p. 1587- 1601.

Lovelace C. Strong Interactions and High Energy Ed. R.G. Moorehouse, Physics. Lond. : Oliver and Boy, 1964.

Нуссенцвейг X.M. Причинность и дисперсионные соотношения. М.: Мир, 1976.-491 с.

Barton G・，Phillips А.С. — Nucl. Phys., 1969, vol. A132, p. 97 — 111.

Бадалян A.M., Симонов Ю.А. — Ядерная физика, 1975, т. 21, 890 — 903.

Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.— 538 с.

Гахов Ф.Д. Краевые задачи, М•: Наука, 1977. — 640 с.

Pagels Н. - Phys. Rev., 1965z vol. 140, p. 81599 — 1613.

Simonov Yu.A.e.a. — Nucl. Phys., 1980, vol. A334, p. 80 — 98.

0. Greben J・M・, Simonov Yu. A. — Phys. Rev., 19 7 8, vol. C18, p. 642 — 654.

Бадалян A.M” Симонов Ю.А. — Ядерная физика, 1975, с. 21, 890 — 903.

Киржниц Д.А., Крючков Г.Ю., Такибаее Н.Ж. — Элементарные частицы и атомное ядро, 1979, т. 10, вып. 64, с. 741 — 764.

Такибаев Н.Ж. Препринт ИФВЭ-40-76, АН КазССР, Алма-Ата, 1976.

Беляев В.Б., Соловцова О-П. — Ядерная физика, 1981, т. 33, вып. 3, с. 699 — 711.

5. Беляев В・5・, Соловцова О.П. — Ядерная физика, 1981, т. 34, вып. 2, с. 339 — 351.

Киржниц Д.А. — В кн.: Проблемы теоретической физики. Памяти И.А. Тамма. М.: Наука, 1972. с. 74 — 92.

Беляев В*5” Соловцова О.П< : J. Phys. GM Nucl. Phys.t 1982, vol. 8, p. 349 — 355.

Noyas HP. - Phys. Rev. D, 1972,v3・5, P^ 1547 一 1551.

Беляев В.Б. и пр. Препринт ОИЯИ Р4-82*810, Дубна, 1982.

Виницкий С.И. и др. Препринт ОИЯИ Р4-13036, Дубна, 1980.

Якубовский О.А. — Ядерная физика, 1967, т. 5, с. 13T2 — 1320.

Towner I.S., Khanna F.C. — Nucl. Phys., 1981, vol. 3 56Af p. 445 — 469.

Kharchenko V.F., Levashov V.P. — Nucl. Phys., 1980, vol. 343A, p. 249 — 317; Tjon J.A. — Nucl. Phys., 1981, vol. 353A, p. 47 — 60.

Барышников АГ, Блохинцев Л.Д., Народоцкий И.М. — Ядерная физика, 1977, т. 25, с. 1167- 1175.

Perne R” Sandhas W. — Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 39, p. 788 — 791.

Gibson B.F., Lehman D・R. — Phys. Rev。，1981, vol. 23C, p. 404 — 421.

Горбатов A..M. и др. — В кн.: Теория квантовых систем с сильным взаимодействием, Калинин : Изд-во Калининского университета, 1983, с. 34 — 42.

Фомин Б.А.Г Эфрос В.Д. Препринт ИАЭ—3420, М.г 1981.

Меркурьев С.П,, Яковлев С.Л. — Докл. АН СССР, 1982, т. 262, с. 591 — 594.

Merkuriev S.P., Yakovlev S.L. Preprint ISN 83.39, Grenoble, ^983.

7. Narodetsky LM. Riv. Nuovo cimento, 1981, vol. 4, p, 12 5; Nucl. Phys., 1974, vol. A221zp. 191 —211;

Tjon J.A. 一 Phys. Lett., 1975, vol. 56B, p.217- 220.

Belyaev V.B.,Mdtler K. — Z. Physik, 1976, vol. A2 79, p. 47 — 56.

Беляев B・5・，Вжеционко E. — Ядерная физика, 1978, т. 28, с. 392 — 402.

Беляев В.Б., Пупышев В.В. — Ядерная физика, 1984, т. 39, с. 594 — 601.

Belyaev V.B., Wrzecionko J., Sakvarelidze M.l. — Preprint JINRr 1978, E4 — 11505, Dubna, Phys. Lett. 1979, B83, p. 19 — 22.

Afnan I.R., Thomas A.W- — Phys. Rev., 1974, vol. C10, p, 109 — 122.

Brueckner К .A. — Phys. Rev., 1955, vol. 98, p. 769 — 771.

Abela e.a. — Phys. Lett., 1977, vol. B68f p. 429 — 432.

Беляев В.Б., Пупышев B.B. — Ядерная физика, 1982, т. 35, с. 905 — 913.

Sears V.F., Khanna F.C. — Phys. Lett., 1975, vol. 56B, p. 1 — 3.

Seagrave J・D・, Berman B.L・, Phatlips T.W. — Phys. Lett., 1980, vol. 91B, p. 200 — 202.

Беляев B.5., Пупышев B<B. — Ядерная физика, 1980, т. 31, с. 1324 — 1331.

Majumdar С.К. - Phys. Rev,, 1970, vol. В1, р. 287 - 297; J. Math. Phys., 1978, vol. 19, p. 2187-2193.

Van Himbergen J.E. — Physica, 1977, vol. A86, p. 93 — 116.

Bethe H. - Z. Phys., 1931, vol. 71, p. 205 - 228.

Dodd L・R・一丄 Math, and Phys., 1970, vol. 11,p. 207 — 213.

Gell-Mann M” Goldberger M.L., Tirring W.E. — Phys. Rev., 1954, vol. 95, p. 16121627.

Фаддеев Л.Д. — Докл. АН СССР, 1957, т. 115, с. 878 — 881.

Буслаев ВС, Фаддеев Л.Д. — Докл. АН СССР, I960, т. 132, с. 13 — 17.

Буслаев В.С. - Докл. АН СССР, 1962, т. 143, с. 1067 - 1070.

Буслаев В.С. — В кн.: Проблемы математической физики /Под ред. М.Ш. Бирмана. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1966. — вып. 1.

Буслаев В.С., Меркурьев С.П. — Теор. и мат. физика, 19 70, т. 5, 372 — 387.

Береги П., Захарьев 5.Н” Ниязгулов С.А. — Физика элементарных частиц и атомного ядра, 1973, т. 4, вып. 2, с. 512 — 533.

Newton R. — J. Math. Phys., 1977, vol. 18, p. 1348 — 1358.

Dreyfus — Helv. Phys. Acta, 1978, vol. 51, p. 321 — 329.

Киржниц ДА, Такибаев Н.Ж. — Ядерная физика, 1972, т. 16, с. 253 — 268.

Ландау П・Д“ Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.： Наука, 1964. — 480 с.

Beth M・S” Utenbeck R.J. 一 Physica, 1936, vol. 3, p. 729 — 742.

Bolle D. - Ann. Phys., 1979, vol. 121, p. 131 一 146.

Киржниц Д.А., Такиваев Н.Ж. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1978, г. 75, с. 785 — 796.

Smith F.T. 一 Phys. Rev., 1960, vol. 118, p. 349 — 356; vol. 119, p. 2098 - 2098.

Koltun D・S・，Eisenberg J.M. Theory of Meson Interactions with Nuclei. A Weley- Interscience Publication John Wiley and Sons, 1979. — 463.

Копалейшвили Т.И. Вопросы теории взаимодействия Л-мезонов с ядрами. М.： Энергоатомиздат, 1984. — 192 с.

Koltun D.S., Mizutani Т. — Ann. Phys., 1977, vol. 1, p. 109 — 140.

Avishay Y., Mizutani T. — Nud. Phys.f 1980, vol. A338r p. 377 — 382.

Siciliano E・R・，Thaler R.M. — Ann. Phys., 1978, vol. 115, p. 191 — 247.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

Лекция первая. Проблема двух тел 5

1・1・ Свойства двухчастичной г-матрицы 5

Уравнение Липпмана—Швингера. Внемассовая t-матрица. Тождества Гильберта для функций Грина и t-матриц. Спектральное представление для t-матрицы. Представление Нойеса-Ковальского для t-матрицы

Фазово-эквивалентные потенциалы 11

Внемассовые волновые функции Операторы Мёллера

Сепаребельные разложения t-матрицы 15

Метод Бейтмана. Вариационный принцип Швингера. Метод Бубнова—Гал ер кина. Метод моментов. Разложение по функциям Гильберта-Шмидта. Улучшение сходимости борновского ряда

Лекция вторая. Проблема трех тел. Пион-ядерное рассеяние 27

Общие замечания 27

Формальные выводы уравнений Фаддеева для амплитуд перехода и волновых функций 30

Приближенное решение уравнений Фаддеева в задаче рассеяния частицы на связанной паре 35

Решение уравнений Фаддеева при полной положительной энергии интерполяционным методом 37

Уравнения Фаддеева в форме, предложенной Альтом—Грассбергером— Сандхасом — Хелашвили 40

Уравнения Фаддеева в форме, предложенной Карлссоном и Цайгером .43

Решение уравнений Фаддеева методом моментов и методом сплайновых функций 47

Хнитаризация приближенных решений уравнений Фаддеева 50

Дисперсионные методы в задаче трех тел 54

Роль условия трехчастичной унитарности. Эффект Ефимова и теорема Томаса

Унитаризация на основе эволюционного по константе связи метода (ЭКС) 62

Задачи пион-ядерной динамики в методе ЭКС. Обобщения метода ЭКС

Разделение трехчастичной волновой функции на "внутреннюю" и "внешнюю" 74

Лекция третья. Проблема четырех тел 78

Общие замечания 78

Формальный вывод уравнения Якубовского в интегральной и дифференциальной формах 79

Четырехчастичные уравнения в форме АГСХ 84

Приближенные четырехчастичные уравнения для 7Г (ЗА/)-системы . . . •86

814^1723 90001122814^1723 90001122Рассеяние л (р) на трехнуклонных ядрах при низких энергиях

814^1723 90001122

814^1723 90001122

Л0\АРассеяние в нерелятивистской модели кварков (задача шести тел)

Лекция четвертая. Смежные проблемы

4・1・ Уравнения Фаддеева и гейзенберговский ферромагнетик

9・2・ Правила сумм и вириальные коэффициенты

4.3. Системы с переменным числом частиц Заключение Список литературы

Владимир Борисович Беляев

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ МАЛОЧАСТИЧНЫХ СИСТЕМ

Редактор 3・4 Андреенко

Художественный редактор А.Т, Кирьянов

Технические редакторы Г.Н. Ляду хи на, М.П. Татаринова

Корректор С.В. Малышева

Операторы С.В. Быкова, И.А. Соколова

ИБ№525

Набор выполнен в Энергоатомиздате на Композере ИБМ-82. Подписано в печать 02.12.85»Т-11959.Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная №1. Печать офсетная.Усл.печ. л. 7,44. Усл. кр.-отт. 7,67. Уч.-изд. л. 10,30. Тираж 1950 зкз. Заказ 3561. Цена 1р.60к. Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-11Д, Шлюзовая наб., 10

Московская типография №9 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли

109033, Москва, Ж-33, Волочаевская ул., 40

**Свойства малочастмынх систем с кулоновским взаимодействием подробно обсуждаются в монографии Л.Д.Фаддеева и С.П. Меркурьева **Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частей". М.： Наука, 1985.

*2 + у2 — ху — 3/4

В. Б. Беляев

Лекции по теории малочастичных систем

Б. Беляев

Лекции по теории малочастичных систем

図

МОСКВА

ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1986

УДК 530.145 : 521.13

Беляев В.Б. Лекции по теории малочастичных систем. М.: Энерго- атомиздат, 1986, 128 с.

Изложены проблемы малого числа тел в квантовой механике. Рассмотрены новые методы приближенного решения задач двух, трех и четырех тел.

Для научных работников, занимающихся исследованием динамических систем с небольшим числом степеней свободы.

Табл. 6 Ил. 31. Библиогр. 89.

РецензентЛ.Д. Блохинцев

1704020000-560Б 83051 (01)-861704020000-560Б 83051 (01)-86©Энергоатомивдат, 1986©Энергоатомивдат, 1986

1704020000-560Б 83

051 (01)-86

1704020000-560Б 83

051 (01)-86

©Энергоатомивдат, 1986

©Энергоатомивдат, 1986